Optik für Ingenieure Grundlagen; mit 28 Tabellen

Pedrotti · Pedrotti · Bausch · Schmidt Optik für Ingenieure

F. Pedrotti · L. Pedrotti · W. Bausch · H. Schmidt

Optik für Ingenieure Grundlagen 3., bearbeitete und aktualisierte Auflage Mit 407 Abbildungen und 28 Tabellen

123

Prof. Dr. Frank L. Pedrotti S.J. Prof. Dr. Leno S. Pedrotti Prof. Dr. Werner Bausch i. R. Prof. Dr. Hartmut Schmidt*

St. Louis University, St. Louis, Missouri Center for Occupational Research and Development, Waco, Texas Fachhochschule Darmstadt Fachbereich Mathematik und Naturwissenschaften Schöfferstr. 3 64295 Darmstadt * und Johann Wolfgang GoetheUniversität Fachbereich Physik 60325 Frankfurt am Main [email protected] [email protected]

Titel der amerikanischen Originalausgabe: Introduction to Optics, 2nd Edition, by Frank L. Pedrotti S.J. and Leno S. Pedrotti, © 1993 by Prentice Hall Inc., a Pearson Education Company, Upper Saddle River, New Jersey, USA 1. Aufl. der deutschen Übersetzung: © 1996 der deutschen Ausgabe by Prentice Hall Verlag GmbH 2. Auflage: © 2002 Springer-Verlag Heidelberg Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar.

ISBN-10 3-540-22813-6 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-22813-6 Springer Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdr ucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002, 2005 Printed in The Netherlands Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutzgesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Text und Abbildungen wurden mit größter Sorgfalt erarbeitet. Verlag und Autor können jedoch für eventuell verbliebene fehlerhafte Angaben und deren Folgen weder eine juristische Verantwortung noch irgendeine Haftung übernehmen. Satz und Herstellung: LE-TeX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig Umschlaggestaltung: medionet AG, Berlin Gedruckt auf säurefreiem Papier 7/3141/YL - 5 4 3 2 1 0

Inhaltsverzeichnis

1

Was ist Licht? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2

Erzeugung und Messung von Licht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Elektromagnetisches Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Strahlungsphysikalische Gr¨ oßen (Radiometrie) . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Lichttechnische Gr¨ oßen (Fotometrie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Schwarzer Strahler (Hohlraumstrahler) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Optische Strahlungsquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Strahlungsdetektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 9 10 16 19 22 31

3

Geometrische Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Huygenssches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Das Fermatsche Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Umkehrung des Lichtweges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Brechung an einer ebenen Grenzfl¨ache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Abbildung durch ein optisches System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Brechung an einer sph¨ arischen Fl¨ache – Vorzeichenkonvention . . . 3.7 D¨ unne Linsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Kr¨ ummung von Wellenfronten und Brechwert von Linsen . . . . . . . 3.9 Newtonsche Abbildungsgleichung f¨ ur die Linse . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10 Reflexion an ebenen Spiegeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11 Reflexion an einer Kugeloberfl¨ ache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41 43 47 51 51 53 58 64 70 72 73 76

4

Matrixmethoden der paraxialen Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Die dicke Linse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Die Matrixmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Die Translationsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Die Brechungsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Die Reflexionsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85 85 90 91 92 94

VI

Inhaltsverzeichnis

4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11

Die Matrizen f¨ ur dicke und d¨ unne Linsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Systemmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bedeutung der Elemente der Systemmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lage der Hauptpunkte eines optischen Systems . . . . . . . . . . . . . . . . Beispiele zur Systemmatrix und den Hauptpunkten . . . . . . . . . . . . Raytracing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95 97 100 103 107 109

5

Abbildungsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Strahl- und Wellenaberrationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Brechung an einer Kugelfl¨ ache (Seidelsche N¨aherung) . . . . . . . . . . ¨ 5.3 Sph¨ arische Aberration/ Offnungsfehler ....................... 5.4 Koma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Astigmatismus und Bildfeldw¨ olbung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Verzeichnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Chromatische Aberration/Farbfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115 116 118 124 128 131 134 137

6

Optische Instrumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Blenden, Pupillen und Luken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Bildhelligkeit: Blenden und Pupillen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Hauptstrahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Gesichtsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Prismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Die Kamera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Lupen und Okulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Mikroskope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Fernrohre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

147 147 148 151 153 156 170 176 184 191

7

Optik des Auges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Aufbau des Auges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Das Auge als optisches Instrument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Funktion des Auges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Augenfehler und ihre Korrektur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Lasertherapie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

205 206 208 211 216 223

8

Wellengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 Eindimensionale Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Harmonische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Harmonische Wellen in komplexer Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Kugelwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7 Elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7.1 Feldst¨ arke und Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

233 233 235 239 242 243 245 245 245

Inhaltsverzeichnis

VII

8.7.2 Maxwellsche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 8.7.3 Intensit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 8.8 Doppler-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Interferenz von Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1 Superpositionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 9.2 Uberlagerung gleichlaufender, gleichfrequenter Wellen . . . . . . . . . . 9.3 Koh¨ arente und inkoh¨ arente Sender . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Interferenz ebener Wellen beliebiger Frequenz und Richtung . . . . 9.5 Stehende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Interferenz schr¨ ager“ Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ” 9.7 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

259 260 261 267 268 270 271 274

10 Lichtinterferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1 Zweistrahlinterferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Der Youngsche Doppelspalt-Versuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Doppelspaltinterferenz mit virtuellen Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Interferenz an dielektrischen Schichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Interferenzen gleicher Dicke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6 Newton-Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7 Dickenmessung mittels Interferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

281 282 286 291 293 299 301 303

11 Optische Interferometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Das Michelson-Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Anwendungen des Michelson-Interferometers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Modifikationen des Michelson-Interferometers . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Stokes-Beziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Vielstrahlinterferenz an einer Planplatte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6 Fabry-Perot-Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.7 Streifenprofil: Airy-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.8 Aufl¨ osungsverm¨ ogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.9 Nutzbarer Spektralbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

309 310 314 316 318 320 323 326 328 331

12 Koh¨ arenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Fourier-Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Fourier-Analyse endlicher Wellenz¨ uge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Zeitliche Koh¨ arenz und nat¨ urliche spektrale Linienbreite . . . . . . . . 12.5 Teilkoh¨ arenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6 R¨ aumliche Koh¨ arenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.7 R¨ aumlicher Koh¨ arenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

337 337 343 346 353 354 361 363

9

VIII

Inhaltsverzeichnis

13 Holografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1 Konventionelle und holografische Fotografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Hologramm einer Punktquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Hologramm eines ausgedehnten Gegenstandes . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4 Eigenschaften des Hologramms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5 Weißlicht-Hologramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.6 Weitere Anwendungen der Holografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

371 371 373 376 381 381 383

14 Matrixbeschreibung der Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 14.1 Beschreibung von polarisiertem Licht mit Jones-Vektoren . . . . . . . 390 14.2 Matrizendarstellung von Polarisatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 15 Erzeugung von polarisiertem Licht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1 Dichroismus: Polarisation durch selektive Absorption . . . . . . . . . . . 15.2 Polarisation bei Reflexion an dielektrischen Oberfl¨achen . . . . . . . . 15.3 Polarisation durch Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4 Anisotropie der Brechzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5 Doppelbrechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.6 Optische Aktivit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.7 Spannungsoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.8 Polarisation durch Fl¨ ussigkristalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

421 421 425 428 432 437 442 447 449

16 Fraunhofer-Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.1 Beugung am Einzelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2 Beugungsbedingte Strahldivergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3 Rechteck- und Kreisblenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4 Aufl¨ osungsverm¨ ogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.5 Beugung am Doppelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.6 Gitterbeugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

459 461 466 468 472 478 482

Beugungsgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Gittergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nutzbarer Spektralbereich eines Gitters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dispersion des Gitters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufl¨ osungsverm¨ ogen des Gitters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gittertypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blaze-Technik f¨ ur Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gitterkopien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interferenzgitter (holografische Gitter) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gitterinstrumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

493 494 495 497 499 501 504 509 510 512

17 Das 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9

Inhaltsverzeichnis

IX

18 Fresnel-Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1 Fresnel-Kirchhoffsches Beugungsintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2 Kriterium f¨ ur Fresnel-Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3 Fresnel-Beugung an Kreisblenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.4 Fresnelsche Zonenplatte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5 Fresnel-Beugung an Rechteckaperturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.6 Die Cornu-Spirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.7 Anwendungen der Cornu-Spirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.8 Babinetsches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

519 520 524 526 529 533 535 538 546

19 Interferenz an Mehrfachschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.1 Transfer-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2 Reflexion bei senkrechtem Einfall des Lichtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.3 Reflexminderung durch zwei Schichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4 Reflexminderung durch drei Schichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.5 Hochreflektierende Schichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

553 554 559 561 565 566

20 Fresnelsche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1 Die Fresnelschen Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2 Reflexion an optisch dichteren und d¨ unneren Medien . . . . . . . . . . . 20.2.1 Reflexion und Transmission bei n < n
. . . . . . . . . . . . . . . . 20.2.2 Reflexion und Transmission bei n > n
. . . . . . . . . . . . . . . . 20.3 Phasen¨ anderung bei Reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.4 Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.5 Evaneszente Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.6 Komplexe Brechzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.7 Metallreflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

573 573 579 580 583 583 589 590 593 595

21 Grundlagen der Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1 Einsteins Quantentheorie der Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Wesentliche Komponenten des Lasers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Laserprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Eigenschaften des Laserlichtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4.1 Einfarbigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4.2 Koh¨ arenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4.3 Strahldivergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4.4 Laserintensit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4.5 Fokussierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5 Lasertypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

601 602 609 613 618 618 623 626 630 633 638

X

Inhaltsverzeichnis

22 Eigenschaften von Laserstrahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1 Die dreidimensionale Wellengleichung und elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Fresnel-N¨ aherung von Kugelwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 Der Gaußsche Strahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.4 Strahltaille und Wellenfront des Gaußschen Strahls . . . . . . . . . . . . 22.5 Stabile und instabile Laserresonatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.6 Laserstrahlausbreitung durch beliebige optische Systeme . . . . . . . . 22.7 Gaußsche Strahlen h¨ oherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

641

23 Laseranwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.1 Laserwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2 Laser und Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.3 Gegenw¨ artige Entwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

673 674 682 689

24 Faseroptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.1 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 24.2 Optische Ubertragungssysteme .............................. ¨ 24.3 Bandbreite und Ubertragungsrate ........................... 24.4 Lichtausbreitung in Fasern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.5 Erlaubte Moden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.6 D¨ ampfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.7 Signalverzerrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.7.1 Modendispersion der Stufenindexfaser . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.7.2 Gradientenindexfaser und deren Modendispersion . . . . . . . 24.7.3 Materialdispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.7.4 Wellenleiterdispersion und maximale Bitraten . . . . . . . . . . . 24.8 GRIN-Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.9 Richtkoppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

693 694 694 698 698 702 705 710 710 712 713 717 719 723

642 643 645 648 653 655 665

25 Fourier-Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731 25.1 Optische Abbildung und Signalverarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732 25.1.1 Fraunhofer-Beugung und Fourier-Transformation . . . . . . . . 732 25.1.2 Ortsfrequenzanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736 25.1.3 Optische Filterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740 25.1.4 Optische Korrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742 25.1.5 Optische Abbildung als Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746 ¨ 25.1.6 Systembeschreibung mit Hilfe der Ubertragungsfunktion . . 752 25.1.7 Modulations¨ ubertragungsfunktion der perfekten Abbildung 755 25.2 Fourier-Spektroskopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758

Inhaltsverzeichnis

XI

26 Nichtlineare Optik und Lichtmodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.1 Nichtlineare Medien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.2 Frequenzverdopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.3 Frequenzmischung und Brechzahlmodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.4 Der Pockels-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.5 Der Kerr-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.6 Faraday-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.7 Akustooptische Effekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.8 Nichtlineare optische Phasenkonjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

765 766 767 773 776 783 785 788 793

27 Optische Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.1 Definition der optischen Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.2 Mikroskopische Theorie der optischen Konstanten . . . . . . . . . . . . . 27.3 Optische Konstanten der Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.3.1 Dispersion von Gl¨ asern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.3.2 Optische Konstanten der Ionenkristalle . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.4 Optische Eigenschaften der Metalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.5 Plasmafrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

803 804 808 815 815 818 821 824

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835

Vorwort zur 1. Auflage

¨ Das vorliegende Buch ist die Ubertragung des erfolgreichen amerikanischen Lehrbuches Introduction to Optics von Frank L. und Leno S. Pedrotti ins Deutsche. Der Originaltext wurde u ¨ berarbeitet, die deutschen DIN-Bezeichnungsund -Vorzeichenregeln verwendet und die Darstellung an die Voraussetzungen im deutschsprachigen Raum – so weit m¨ oglich – angeglichen. Einige Kapitel wurden um wichtige Aspekte, wie Modenstrukturen in Lichtwellenleitern und Lasern, Fl¨ ussigkristalle, systemtheoretische Ans¨atze und GRIN-Optik, erg¨anzt. ¨ Optik: Eine Einf¨ uhrung will einen m¨ oglichst umfassenden Uberblick u ¨ber die faszinierenden Teilbereiche der Optik geben. Vor 1960 (Vor-Laserzeit) war die Alltagserfahrung mit der Optik in der Regel auf den Gebrauch eines Fotoapparates, eines Fernglases, einer Lupe, eines Mikroskops oder lediglich einer Brille beschr¨ ankt. Heute begegnet uns t¨ aglich eine Vielzahl unterschiedlicher und teilweise komplexer optischer Systeme. Im Supermarkt werden an der Kasse die Strichcodes auf Waren durch Laserscanner erfasst. Kopierger¨at und Fax sowie Laserdrucker, CD-Abspielger¨ ate, Videokameras, Hologramme und Telekommunikation mit Lichtwellenleitern geh¨ oren zum normalen Umfeld. In den Medien werden uns die Leistungen und Grenzen der modernen Optotechnik, z.B. beim Hubble-Teleskop, vor Augen gef¨ uhrt. In Forschung, Entwicklung und in der industriellen Produktion dienen Laser, Optoelektronik, Faseroptik sowie Anwendungen der nichtlinearen Optik als wichtige Werkzeuge. Dieser Breite an aktuellen und zu erwartenden Anwendungen will das Buch gerecht werden. Neben den klassischen Feldern – geometrische Optik, Abbildungsfehler, optische Instrumente, Interferenz- und Beugungsph¨anomene – die in der Anwendung bei optischen Sensoren, der Beleuchtungsoptik und der Bildverarbeitung zunehmende Bedeutung haben, werden moderne Bereiche der Optik – wie Laser, Holografie, Faseroptik, dielektrische Filme, Fourieroptik – dargestellt. Die Anforderungen an die mathematischen Vorkenntnisse des Lesers sind je nach optischem Teilgebiet sehr unterschiedlich, gute (Fach-)Abiturkenntnisse sind aber meist ausreichend. Mit einfachen 2 × 2- Matrizen kann man in der paraxialen

XIV

Vorwort

N¨ aherung die Abbildung durch optische Systeme, die Wirkung von Polarisationselementen, reflexmindernde Beschichtungen oder die Ausbreitung eines Laserstrahles (Gaußstrahles) berechnen. Im Gegensatz zum Original haben wir bei der Anwendung der Maxwell-Gleichungen auf die Vektoranalysis verzichtet. Dieses Buch will anhand von Beispielen und einfachen mathematischen Herleitungen die Grundlagen und Prinzipien der Optik verst¨andlich machen und eignet sich f¨ ur das Grundstudium und Selbststudium von Studierenden der Physik, Natur- und Ingenieurwissenschaften. Durch die Vermittlung von Prinzipien zum Entwurf optischer Ger¨ ate und die Behandlung weitergehender Themen ist es auch im Hauptstudium – insbesondere f¨ ur die ingenieurwissenschaftlichen Fachbereiche – wertvoll. Zu jedem Kapitel gibt es eine Sammlung von durchgerechneten ¨ Beispielen und Ubungen unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade, die der Vertiefung des Stoffes dienen. Die Idee, eine deutschsprachige Fassung des Buches der Br¨ uder Pedrotti zu er¨ stellen, er¨ offnete sich in den Lehrveranstaltungen, d.h. Vorlesungen, Ubungen und Labors des Aufbaustudienganges Optotechnik und Bildverarbeitung“ an ” der Fachhochschule Darmstadt. Einer von uns (HS), hatte die Qualit¨aten des Pedrotti“ bereits w¨ ahrend der Arbeit in der Industrie sch¨atzen gelernt. Die ” ¨ beabsichtigten Anderungen besprachen wir im Sommer 1993 mit den Br¨ udern Pedrotti, die unser Vorhaben sehr positiv aufnahmen. Zu Beginn der Arbeit haben wir die amerikanische Ausgabe mehreren deutschen Kollegen u ¨ bersandt und sie um ihren Kommentar gebeten. In der 1. Auflage konnten wir noch nicht alle ¨ Anderungsvorschl¨ age ber¨ ucksichtigen. Die Erstellung eines so umfangreichen Buches ist nur mit kompetenter, professioneller Unterst¨ utzung m¨ oglich. Wir m¨ ochten deshalb den Fachkollegen f¨ ur ihre Anregungen und Korrekturhinweise, dem Verlagsleiter bei Prentice-Hall, Herrn Pakendorf, f¨ ur seine große Geduld und Frau Eckert f¨ ur das Schreiben des umfangreichen Manuskriptes danken. Der gr¨ oßte Dank gilt unseren Familien. Ohne ihr besonderes Verst¨ andnis f¨ ur den hohen u ¨ ber drei Jahre andauernden zeitlichen Aufwand f¨ ur dieses Buch w¨ are dieses Projekt nicht m¨oglich gewesen. Darmstadt, im Sommer 1996

Werner Bausch Hartmut Schmidt

Vorwort zur 3. Auflage

Die 2002 im Springer-Verlag erschienene 2. Auflage mit dem ge¨anderten Titel Optik f¨ ur Ingenieure: Grundlagen war bereits im Laufe des Jahres 2004 vergriffen. Bei der Neuauflage konnten wir die Fortschritte auf dem Gebiet der modernen Optik vor allem dadurch ber¨ ucksichtigen, dass wir die Fachkollegen in unserem Studiengang Optotechnik und Bildverarbeitung“ f¨ ur Anregungen zur Aktua” ¨ lisierung und Korrekturvorschl¨ age gewinnen konnten. Anderungsvorschl¨ age von Lesern der ersten beiden Auflagen versuchten wir ebenfalls zu ber¨ ucksichtigen. So ¨ wurden die umfangreichsten Anderungen und Erg¨anzungen in den Laserkapiteln (Laserdiode) und bei der Faseroptik vorgenommen. Bei der Neuauflage wurden insbesondere die fotografischen Abbildungen verbessert und eine neue druckfertige Vorlage in LATEXerstellt. Diese umfangreiche Arbeit leistete Herr Daniel Reymann, Student unseres Studiengangs, mit hohem Einsatz und vielen eigenen Ideen und Vorschl¨agen, wof¨ ur wir ihm herzlich danken. Unser Dank gilt auch unseren Kollegen, den Herren Blendowske, Brinkmann, Dirks, Großkopf, Heddrich, Liesem, Rohlfing, Schoenes und Str¨obel, f¨ ur ihre Mitarbeit und Empfehlungen; weiterhin dem Springer-Verlag mit Frau HestermannBeyerle f¨ ur ihre fundierte Begleitung und Herrn Holzwarth f¨ ur seine Hilfe und Unterst¨ utzung beim Design des Buches. Besonderen Dank sagen wir unseren Familien, die wiederum Verst¨ andnis f¨ ur die zeitliche Inanspruchnahme hatten. In manchen Momenten hat mich (HS) Kalliope, die Muse der Wissenschaft, befl¨ ugelt, die Arbeit voranzutreiben. Darmstadt, im Herbst 2004

Werner Bausch Hartmut Schmidt

Gr¨ oßen und Formelzeichen

a, a
a aS , ap , aR A A α α α b B B B β β
β χ c c0

c g , cp , cs

Objekt- und Bildweite Beschleunigung Bezugs-, Nah- und Fernpunktweite Fl¨ ache Aufl¨ osungsverm¨ ogen Streu-, Beugungs- und Abstrahlwinkel Keilwinkel zwischen Fl¨ achen D¨ ampfungskoeffizient von Fasern (Spalt-)Breite Beugungsverbreiterung ¨ Ubertragung-, Bitrate magnetische Induktion Drehwinkel (opt. Aktivit¨ at) Abbildungsmaßstab Spaltbeugungsparameter (16.10) elektrische Suszeptibilit¨ at Licht-, Wellengeschwindigkeit Vakuumlichtgeschwindigkeit (bisweilen nur c) Gruppen-, Phasen- und Schallgeschwindigkeit

C C d d dA , dE dopt ds D D D D∗  D(R) δ δ δ(x) ∆ ∆ ∆n ∆t e E

Kapazit¨at Kr¨ ummungsmittelpunkt Kreisblendendurchmesser Scheitelabstand von Fl¨achen Amplituden-, bzw. Energieeindringtiefe optischer Weg Skintiefe Brechwert einer Linse Gitterdispersion Schwellenempfindlichkeit Detektor Detektivit¨at ¨ optische Ubertragungsfunktion (OTF) Phasendifferenz Ablenkungswinkel, Winkel zwischen Strahlrichtungen δ-, Dirac-Funktion Differenz, z.B. ∆x Gangunterschied relative Kern-MantelBrechzahldifferenz Zeitdifferenz, Pulsbreite Hauptpunktabstand von zwei optischen Systemen elektrische Feldst¨arke

XVIII Gr¨ oßen und Formelzeichen

E, Ee ε, ε
, ε
r εg εp ε0 εr ε = ε0 εr f f f, f
F F −1 Φ, Φe F/F 2 ϕ ϕ ϕ0 f12 g g g G/G γ γ12 γi Γ
h

2

Beleuchtungs- und Bestrahlungsst¨ arke Einfalls-, Brechungs- und Reflexionswinkel Grenzwinkel der Totalreflexion Brewster-Winkel elektrische Feldkonstante des Vakuums Dielektrizit¨ atszahl Dielektrizit¨ atskonstante Frequenz Oszillatorenst¨ arke Objekt- und Bildbrennweite Fouriertransformation inverse Fouriertransformation Lichtstrom, Strahlungsfluss Spalt- oder Formfaktor/Funktion Phase Winkel bei Polarkoordinaten Nullphasenwinkel Faltungsintegral (25.24) Brechzahlexponent bei GRIN g-Parameter bei Laserresonatoren Gitterkonstante, (Doppel-)Spaltabstand Gitter-, Struktur-Faktor/Funktion Coddington-Formfaktor Koh¨ arenzgrad γ-Parameter bei Mehrfachschichten (19.4) Vergr¨ oßerung, Winkelvergr¨ oßerung Einfallsh¨ ohe eines Strahles

h h(X, Y ) H, He H, H
H H Hm I I, Ie j j Jm (x) κ k, k k˜ = λ1 κ/κ k, K K, K
K K K l l lK lt , lr L L, Le Lp (l)

Lp

Plancksches Wirkungsquantum Punktbildfunktion (PSF) Belichtung, Bestrahlung Hauptpunkte Hubble-Konstante magnetische Feldst¨arke Hermite-Polynom der Ordnung m Intensit¨at Lichtst¨ arke, Strahlst¨arke √ −1, imagin¨are Einheit Jones-Vektor f¨ ur Polarisationszust¨ande Bessel-Funktion m-ter Ordnung Absorptions-, Extinktionskoeffizient Kreiswellenzahl, Wellenvektor Wellenzahl Ortskreisfrequenz/-Vektor Blendenzahl Knotenpunkte fotometrisches Strahlungs¨aquivalent Absorptions-, Extinktionskonstante Kerr-Konstante L¨ange, Entfernung azimutale Modenzahl (Laserresonator) Kristallkoh¨arenzl¨ange (26.7) zeitliche bzw. r¨aumliche Koh¨arenzl¨ange L¨ange (Laserresonator) Leuchtdichte, Strahldichte Perioden-, Pitchl¨ange (24.36) Laguerre-Polynom der Ordnung p, l

Gr¨ oßen und Formelzeichen

λ, λ0 m

m m m M Me M, MWL µ µ0 µr n

n n, n
/n no , nao N Nv NF ν O, O
p p P P, P
P p

Wellenl¨ ange, Vakuumwellenl¨ ange Ordnungszahl (m = 0, 1, . . ., Beugung) Modenzahl, Modenindex (Faseroptik) Modenzahl (x-Richtung, Laserresonator) Ruhmasse Modulation, (Streifen-)Konstrast spezifische Ausstrahlung Material-, Wellenleiterdispersionskoeffizient Beweglichkeit magnetische Feldkonstante des Vakuums Permeabilit¨ atszahl Ordnungszahl (n = 1, 2, . . ., Beugung) Modenzahl (y-Richtung, Laserresonator) Brechzahl/komplexe Brechzahl ordentliche, außerordentliche Brechzahl Anzahl Anzahldichte (N/V )(18.35) Fresnel-Zahl Abbesche Zahl Objekt- und Bildpunkt auf der Achse radiale Modenzahl (Laserresonator) Impuls Leistung Objekt- und Bildpunkt außerhalb der Achse elektrische Polarisation elektrisches Dipolmoment

q q Q, q Qe r r r r, R R  R/R Rn    (f ) s s s, s
sEH , sAH’ sEK , sAK’ S  S  S σ, σ
t t t T T T

XIX

longitudinale Modenzahl (Laserresonator) komplexer Strahlparameter (Laserresonator) Ladung, Einzellladung Strahlungsenergie (Kr¨ ummungs-)Radius Reflexionsfaktor Ortsvektor, Verschiebungsvektor lineare und quadratische elektrooptische Konstante Kr¨ ummungsradius Wellenfront Ortsfrequenz/-vektor Radius der Zonenplatte Reflexionsgrad spezifische Rotation (opt. Aktivit¨at) Kr¨ ummungsradius Resonatorspiegel (Laser) spektrale Strahlungsdichte Auslenkung spektrale Detektorempfindlichkeit Objekt- und Bildschnittweite Hauptpunktabst¨ande Knotenpunktabst¨ande Scheitelpunkt Poynting-Vektor Stokes-Vektor f¨ ur Polarisationszust¨ande Strahlwinkel zur optischen Achse Transmissionsfaktor Zeit Brennpunktabstand von optischen Systemen Temperatur Airy-Funktion Periodendauer

XX

Gr¨ oßen und Formelzeichen

 T (R)

τ τ0 , τc ϑ  Θ(R) θ θ θ u, u
u, u
U, UHW v v V V V V (λ)

¨ Modulations-Ubertragungsfunktion (MTF) Transmissionsgrad Koh¨ arenzzeit Polarisationswinkel ¨ Phasen-Ubertragungsfunktion (PTF) halber Strahl¨ offnungswinkel (Gauß-Strahl) Winkel zwischen Polarisationsrichtungen Bragg-Winkel Aperturwinkel Unsch¨ arfekreisdurchmesser Spannung, Halbwellenspannung Geschwindigkeit Fresnel-Aperturkoordinate V -Faserparameter Verdet-Konstante Volumen spektraler Hellempfindlichkeitsgrad des Auges

w w, w
W ω, ωp Ω Ω0 X, Y

x, y x
, y
ymin z z, z
zR Z z

Strahltaillenradius (Gauß-Strahl) halber Feldwinkel, Sehwinkel Arbeit, Energie (Plasma-)Kreisfrequenz Raumwinkel Einheits-Raumwinkel Koordinaten in der Bildbzw. Beugungs-(Fourier)Ebene Koordinaten in der Objektbzw. Aperturebene Koordinaten in der Bildebene minimal aufl¨osbarer Abstand Lichtausbreitungsrichtung brennpunktbezogene Objekt- und Bildweite Rayleigh-L¨ange Wellenwiderstand komplexe Zahl

1 Was ist Licht?

Einleitung Das Verst¨ andnis der physikalischen Natur des Lichtes hat sich in der Wissenschaftsgeschichte faszinierend entwickelt. Seit dem Entstehen einer modernen Naturwissenschaft im 16. und 17. Jahrhundert hat man versucht, Licht mit den komplement¨ aren Modellen Teilchen“ oder Welle“ zu beschreiben, wobei ab” ” wechselnd eines der Modelle den Vorzug erhielt. Erst in unserem Jahrhundert erkannte man, dass Licht sowohl Wellen- als auch Teilcheneigenschaften aufweist. Zahlreiche bedeutende Wissenschaftler versuchten, diesen Welle-TeilchenDualismus zu l¨ osen. Dies gelang schließlich durch die Entwicklung der Quantenelektrodynamik, eine der bedeutendsten und erfolgreichsten Theorien der modernen Physik. Im Folgenden wollen wir einige H¨ ohepunkte der Entwicklung der modernen Optik skizzieren. Hierbei m¨ ussen wir neben der Optik einige weitere Gebiete der Physik, vor allem die Elektrodynamik und die Atomphysik, mit einbeziehen. Dies zeigt, dass der Erkenntnisprozess zu einer Integration der physikalischen Teilgebiete f¨ uhrte, mit dem Ergebnis, dass Licht und subatomare Teilchen, wie die Elektronen, mit Hilfe derselben Modelle Materie“ oder Energie“ zu verstehen ” ” sind.

2

1 Was ist Licht?

Im 17. Jahrhundert war der prominenteste Vertreter der Teilchentheorie des Lichtes Isaac Newton (1643-1727), der Genius, der auch eine einheitliche Theorie der Mechanik und Gravitation schuf. In seiner Opticks“ betrachtet New” ton Licht als einen Strom sehr kleiner Teilchen, die von der Lichtquelle ausgesandt werden und sich geradlinig ausbreiten. Obwohl sich Newton oft vehement gegen physikalische Hypothesen aussprach, die nicht direkt durch Beobachtungen oder Experimente erh¨ artet waren, beharrte er auf seiner Teilchenhypothese. Wichtige Grundlage war f¨ ur ihn die Beobachtung, dass bei Licht scharfe Schatten entstehen k¨ onnen – im Gegensatz zu Wasser- und Schallwellen, die an Hindernissen gebeugt werden. Newton untersuchte auch jene Interferenzmuster, die heute als Newtonsche Ringe bezeichnet werden und die nicht einfach durch Teilchenstr¨ ome erkl¨ arbar sind. Er erweiterte daraufhin das Teilchenbild und erkl¨ arte diese Lichtmuster als fits of easy reflection and easy transmission“, ” also eine Art periodische Teilchenbewegung aufgrund anziehender und abstoßender Kr¨ afte, die von den Materialien im Lichtweg ausge¨ ubt werden. Wegen Newtons u ¨ berragenden wissenschaftlichen Leistungen – vor allem in der Mechanik – konnte sich seine Betrachtung des Lichtes auch noch im 18. Jahrhundert durchsetzen.

Kurze Geschichte der Optik – Photonen- und Wellenmodell Christiaan Huygens (1629-1695), holl¨ andischer Physiker und Mathematiker und Zeitgenosse Newtons, entwickelte in seiner Abhandlung u ¨ber das Licht ( Tracta” tus de lumine“) 1690 die Hypothese, dass Licht eine Wellenbewegung darstellt, die sich, ausgehend von einer Quelle, in einem alles durchdringenden elastischen ¨ Medium, dem Ather, in alle Richtungen ausbreitet. Ihn beeindruckte die Beobachtung, dass sich zwei kreuzende Lichtstrahlen u ¨ berhaupt nicht beeinflussen, wie dies auch von Wasser- und Schallwellen bekannt ist. Mit Hilfe seiner Theorie entwickelte er das nach ihm benannte Huygenssche Prinzip und konnte hiermit Reflexion und Brechung sowie die Doppelbrechung von Kalkspat erkl¨aren. Fast genau 100 Jahre nach der Ver¨ offentlichung von Newtons Opticks“ f¨ uhrte ” der Engl¨ ander Thomas Young (1773-1829) ein entscheidendes Experiment durch, ¨ das die Welleneigenschaften des Lichtes bewies und damit den Ubergang vom Teilchen- zum Wellenbild des Lichtes bewirkte. In seinem ber¨ uhmten Doppel¨ spaltexperiment wurde ein undurchl¨ assiger Schirm mit zwei kleinen Offnungen ¨ mit dem monochromatischen Licht einer kleinen Offnung beleuchtet. Die beobachteten Schatten“ bildeten ein komplexes Interferenzmuster ¨ahnlich dem von ” Wasserwellen. Die Erfolge der Wellentheorie setzten sich bis ins 20. Jahrhundert fort. Im ausgehenden 19. Jahrhundert mit seinem absoluten Vertrauen auf die aktuelle wissenschaftliche Erkenntnis gab es kaum Zweifel, dass das Licht – wie fast alle

1 Was ist Licht?

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Gebiete der klassischen Physik – gut erforscht und verstanden war. Dies folgte aus zahlreichen Arbeiten, von denen nur einige erw¨ahnt seien: 1821 ver¨ offentlichte Augustin Fresnel (1788-1827) die Ergebnisse seiner Experimente und Analysen, die Licht als Transversalwellen behandeln. Er zeigte, dass die Doppelbrechung von Kalkspat mit polarisiertem Licht verbunden ist. ¨ Vor ihm war man davon ausgegangen, dass die Lichtwellen des Fluids“ Ather ” notwendigerweise longitudinal sind, analog zu Schallwellen in einer Fl¨ ussigkeit, die keine transversalen Wellen transportiert. Mit Hilfe der Fresnelschen Gleichungen konnte er die Reflexion und Transmission polarisierten Lichtes an der Grenzfl¨ ache zwischen zwei optischen Medien beschreiben. James Clark Maxwell (1831-1879) fasste die experimentellen Beobachtungen der Gebiete Elektrizit¨ at und Magnetismus in seinen 4 Maxwellgleichungen zusammen. Aus diesen folgte eine Voraussage f¨ ur die Geschwindigkeit elektromagneti¨ scher Wellen im Ather, die mit dem Messwert der Lichtgeschwindigkeit u ¨ bereinstimmte. Dies best¨ atigte die Modellvorstellung von Licht als elektromagnetischer Welle, die einen – besonders wichtigen – Ausschnitt des elektromagnetischen Spektrums darstellt. 1887 versuchten Albert Michelson und Edward Morley vergeblich, mit Hilfe eines optischen Interferenzexperiments die Bewegung der Erde ¨ relativ zum Ather festzustellen. Dies gab u.a. den Anstoß zu Albert Einsteins (1879-1955) spezieller Relativit¨atstheorie (1905), in der sich die Annahme eines ¨ Athers als u ussig erweist“; damit entf¨allt auch die Komplikation einer trans¨berfl¨ ” versalen Schwingung im Innern einer Fl¨ ussigkeit. Im 19. Jahrhundert entstand ein festes Fundament f¨ ur die Wellentheorie, das allerdings gegen Ende des Jahrhunderts wieder zu br¨ockeln begann, so dass der Welle-Teilchen-Disput neu entbrannte. Die Wellentheorie versagt bei der Erkl¨ arung der W¨ armestrahlung und der Wechselwirkung von Licht mit Materie, z.B. beim Photoeffekt. Im Jahre 1900 – also gerade an der Schwelle zum 20. Jahrhundert – berichtete Max Planck (1858-1947) in einer Sitzung der Deutschen Physikalischen Gesellschaft, dass er die Gesetze der Schwarzk¨orperstrahlung nur dann korrekt herleiten konnte, wenn er von der merkw¨ urdigen Annahme ausging, dass Licht in Energiepaketen und nicht als kontinuierliche Welle emittiert wird; damit waren die Quanten und die Quantenmechanik geboren. Nach Planck ist die Energie WPh eines Quants elektromagnetischer Strahlung proportional zur Frequenz f Quanten-, Photonenenergie

WPh = hf

(1.1)

mit h = 6,626 · 10−34 Ws2 , dem Planckschen Wirkungsquantum. Bei der Untersuchung des ¨ außeren Photoeffekts, der Ausl¨osung von Elektronen aus einer Metalloberfl¨ ache durch Licht, hatte Lenard 1902 entdeckt, dass die kinetische Energie der Elektronen nur von der Lichtfrequenz und nicht von der Lichtintensit¨ at abh¨ angt. Unterhalb einer Grenzfrequenz fg konnten keine Elektronen mehr

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1 Was ist Licht?

ausgel¨ ost werden. Einstein erkl¨ arte dies 1905 mit Hilfe von Plancks Gleichung als Wechselwirkung eines Stroms von Lichtquanten (Photonen) mit den Elektronen, die mit der sogenannten Austrittsarbeit WA im Metall gebunden sind. Die Photonen u ¨bertragen ihre gesamte Energie hf auf die Elektronen und werden dabei vernichtet. Die maximale kinetische Energie Wkin der austretenden Elektronen ist dann die Differenz von Photonenenergie und Austrittsarbeit: Wkin = hf − WA

(1.2)

F¨ ur Frequenzen f < fg = WA /h reicht die Photonenenergie nicht mehr zur ¨ Uberwindung der Bindungsenergie aus. Der D¨ane Niels Bohr (1885-1962) stellte 1913 bei der Erkl¨ arung der Emissions- und Absorptionsprozesse in H-Atomen folgende Bedingung auf: Bohrsche Frequenzbedingung

hfmn = Wm − Wn

(1.3)

wonach die Energie hfmn der absorbierten und emittierten Photonen gleich der Differenz der diskreten Energien Wm und Wn des Elektrons in den Schalen m und n ist. Hiermit konnte er das Linienspektrum des Wasserstoffs erkl¨aren. Das Korpuskelmodell des Lichtes kam 1922 auch Arthur Compton zu Hilfe, der hiermit die inelastische (Compton-) Streuung von R¨ontgenstrahlen an freien Elektronen erkl¨ arte. Entsprechend den klassischen Stoßgesetzen treffen hierbei R¨ontgenphotonen auf ruhende Elektronen und u ¨ bertragen hierbei einen Teil ihrer Energie – unter Erhaltung von Gesamtenergie und Gesamtimpuls. Diese Erfolge des Teilchenmodells zeigten, dass Licht als eine besondere Art von Materie anzusehen ist, der Energie und Impuls zugeordnet ist. Louis de Broglie (1892-1987) verallgemeinerte diese Erkenntnis und ver¨offentlichte 1924 die Hypothese, dass (mikroskopische) Teilchen mit dem Impuls p auch Welleneigenschaften mit der Materiewellenl¨ange oder der de-Broglie-Wellenl¨ange

λ=

h p

(1.4)

aufweisen sollten, wobei h wieder die Plancksche Konstante ist. Erste Best¨atigungen seiner Hypothese erfolgten 1927-28 durch Clinton Davisson und Lester Germer in den USA und Sir George Thomson in England bei Experimenten, die sich nur als Beugung von Elektronen an Kristallgittern interpretieren ließen. Damit galt der Welle-Teilchen-Dualismus universell. Licht verhielt sich bei Ausbreitungs-, Interferenz- und Beugungsph¨anomenen wie Wellen; es konnte sich aber auch bei der Wechselwirkung mit Materie, z.B. beim Photoeffekt, als Teilchen verhalten. Auf der anderen Seite zeigten Elektronen in der Regel Teilcheneigenschaften, die z.B. beim punktf¨ ormigen Aufblitzen einer Szintillationsschicht

1 Was ist Licht?

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zu beobachten waren; in anderen F¨ allen – beispielsweise bei der Doppelspaltbeugung mit Hilfe eines Elektronenmikroskops – waren sie als Wellen zu betrachten. Dass sich Photonen und Elektronen sowohl als Teilchen als auch als Wellen verhalten, schien zun¨ achst ein unl¨ osbarer Widerspruch, da ja Teilchen und Wellen v¨ ollig verschiedene Eigenschaften sind. Allm¨ahlich wurde, insbesondere durch die ¨ Uberlegungen von Bohr klar, dass Photon und Elektron weder Teilchen noch Wellen sind, sondern komplexere und weitgehend unanschauliche Gebilde darstellen. Bohr formulierte hierf¨ ur das Prinzip der Komplementarit¨at. Bei der Erkl¨ arung physikalischer Ph¨ anomene versucht man nat¨ urlich, auf die gut bekannten Modelle Welle und Teilchen zur¨ uckzugreifen. Es zeigt sich jedoch, dass keines dieser beiden Modelle f¨ ur ein umfassendes Verst¨andnis des Photons oder Elektrons ausreicht. Wir m¨ ussen uns damit begn¨ ugen, festzustellen, dass in bestimmten Situationen wellen¨ ahnliche und in anderen teilchen¨ahnliche Eigenschaften vorherrschen. Wir kennen aber kein einfaches physikalisches Modell, das alle beobachteten Ph¨ anomene beschreibt. Quanten- oder Wellenmechanik befasst sich mit im Raum – mehr oder weniger – lokalisierten Teilchen und beschreibt somit sowohl Licht als auch Materie. In Verbindung mit der speziellen Relativit¨atstheorie gelten f¨ ur Impuls p, Wellenl¨ ange λ, Geschwindigkeit v und kinetische Energie Wkin als Funktion der Gesamtenergie W und (Ruh-)Masse m: √ W 2 − m2 c4 p= (1.5) c hc h =√ 2 p W − m 2 c4
m2 c4 pc2 v= =c 1− W W2

(1.6)

λ=

Wkin = W − mc2 = mc2 (γ − 1)

mit

γ=

(1.7) 1

(1.8) 2

1 − (v/c)

Hierbei ist c die Vakuumlichtgeschwindigkeit, mc2 die Ruhenergie W0 und Wkin die Arbeit zur Beschleunigung eines anfangs ruhenden Teilchens auf die Geschwindigkeit v. Wir sehen, dass die kinetische Energie nicht mehr einfach durch 1 2 ur v  c durch Reihenentwicklung 2 mv gegeben ist; dieser Ausdruck folgt erst f¨ von γ. Die relativistische Masse ergibt sich zu mrel = γm. Photonen unterscheiden sich von anderen Teilchen, wie Elektronen und Neutronen, wesentlich dadurch, dass sie keine Ruhmasse haben. Dann vereinfachen sich die obigen Beziehungen (1.5) bis (1.8) bei Verwendung von W = WPh = hf (s. (1.1)) zu:

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1 Was ist Licht?

p=

W hf h = = c c λ

(1.9)

λ=

hc c h = = p W f

(1.10)

pc2 =c W

(1.11)

v=

W = Wkin = hf

(1.12)

W¨ ahrend Teilchen mit endlicher Ruhmasse die Lichtgeschwindigkeit c nur asymptotisch f¨ ur W → ∞ erreichen, bewegen sich masselose Teilchen im Vakuum immer mit der konstanten Geschwindigkeit c. Die Energie eines Photons ist von seiner Geschwindigkeit unabh¨ angig, kinetische und Gesamtenergie stimmen u ¨berein! Beispiel 1.1 Relativistisches“ Elektron und Photon ” Elektronen (Ruhenergie W0 = 0,511 MeV) werden auf eine kinetische Energie von 2,5 MeV beschleunigt. Bestimmen Sie den relativistischen Impuls, die Wellenl¨ ange und die Geschwindigkeit der Elektronen. Ermitteln Sie die entsprechenden Gr¨ oßen f¨ ur ein Photon (γ-Quant) derselben Energie. L¨ osung Die Gesamtenergie ist die Summe von kinetischer und Ruhenergie: W = W0 + Wkin = 3,011 MeV = 4,82 · 10−13 Ws. Aus (1.5) folgt f¨ ur den Impuls p = 1,58 · 10−21 kg m/s. Die Materiewellenl¨ ange ist dann h λ = = 4,18 · 10−13 m = 418 fm1 p und die Geschwindigkeit v = 2,95 · 108 m/s bzw. v/c = 0,985. F¨ ur das Photon erhalten wir statt dessen mit m = 0: p = 1,61 · 10−21 kg m/s,

λ = 412 fm sowie v = c.

Ein weiterer wichtiger Unterschied zwischen Elektron und Photon besteht darin, dass Elektronen der Fermi- und Photonen der Bose-Statistik gehorchen. Aus der Fermi-Statistik folgt die Einschr¨ ankung, dass sich zwei Elektronen in demselben wechselwirkenden System nie in demselben Quantenzustand befinden, d.h. 1

fm = femto“-m = 10−15 m. ”

1 Was ist Licht?

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exakt gleiche physikalische Eigenschaften aufweisen d¨ urfen. In der Bose-Statistik gilt dieses Verbot nicht, so dass eine große Zahl von benachbarten Photonen mit gleichen Impulsen und Energien existieren kann. Dies ist in Lichtstrahlen der Fall, weshalb die Teilchennatur des Strahls im Allgemeinen unbemerkt bleibt und Licht als kontinuierliche elektromagnetische Welle zu beschreiben ist. Bei dieser Betrachtung erscheinen elektromagnetische Felder als eine spezielle Realisierung von Photonenzust¨ anden. Eine wesentliche Konsequenz der Wellennatur von Teilchen ist in Heisenbergs (1901-1970) Unbestimmheitsrelationen enthalten. Hiernach gehorchen Teilchen keinen deterministischen Bewegungsgleichungen, sondern die Theorie sagt nur Wahrscheinlichkeiten voraus. In der Wellenmechanik sind den Teilchen u ¨ ber die fundamentale Wellengleichung Wellenamplituden zugeordnet, deren Betragsquadrat proportional zu der Wahrscheinlichkeit ist, ein Teilchen in einem bestimmten Zeitintervall in einem Raumbereich anzutreffen. Damit wird auch die Intensit¨at dieser Wellen, die ebenfalls proportional zum Amplitudenquadrat ist, ein Maß f¨ ur diese Wahrscheinlichkeit. F¨ ur große Teilchenzahlen gehen Wahrscheinlichkeiten in scharfe Werte u onnen dann f¨ ur die Bestrahlungsst¨arke Ee einer ¨ ber. Wir k¨ Lichtwelle im Teilchenbild schreiben Bestrahlungsst¨arke im Photonenbild

Ee =

N˙ hf A

(1.13)

2 mit [Ee ] = W/m . Hierbei ist N˙ /A die Photonenstromdichte (Einheit: Photoache trifft. Auf diese Weise lassen sich nen/(s ·m2 )), die auf die bestrahlte Fl¨ Interferenz- und Beugungsmuster auch im Teilchenbild erkl¨aren. Die Wellenamplituden bestimmen jeweils die Wahrscheinlichkeiten f¨ ur das Auftreffen der Teilchen an den einzelnen Punkten der Bestrahlungsmuster. In der Quantenelektrodynamik, die die Prinzipien von Wellenmechanik und spezieller Relativit¨ atstheorie vereint und den Welle-Teilchen-Dualismus aufl¨ost, nimmt man an, dass Photonen nur mit Ladungen wechselwirken. Beispielsweise kann ein Elektron sowohl Photonen absorbieren als auch emittieren, wobei die jeweilige Wahrscheinlichkeit dem Ladungsquadrat proportional ist. Hierbei gilt f¨ ur die Bose-Teilchen des Lichtes kein Erhaltungssatz der Teilchenzahl. Elektronen und Photonen gehorchen denselben allgemeinen Prinzipien, wodurch wesentliche Unterschiede aufgehoben werden. Durch diese Vereinheitlichung wird Licht nur als eine andere Form von Materie betrachtet. Die von uns zugrunde gelegte Beschreibung beh¨alt die komplement¨aren Aspekte von Teilchen und Welle bei und beschreibt die experimentellen Beobachtungen durch das jeweils richtige“ Modell. Wir werden sehen, dass f¨ ur viele ” optische Ph¨ anomene (z.B. die Lichtbeugung), die in diesem Buch behandelt werden, das Wellenmodell des Lichtes angemessen ist. Das Photonenbild ist aber beim Verst¨ andnis der Lichtabsorption und Lichtemission sowie der Photonendetektoren unerl¨ asslich.

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1 Was ist Licht?

¨ Ubungen 1.1 Berechnen Sie die de Broglie-Wellenl¨ ange a) eines Golfballs mit 50 g Masse und einer Geschwindigkeit von 20 m/s, b) eines Elektrons mit 10 eV kinetischer Energie. 1.2 Die Empfindlichkeitsschwelle des menschlichen Auges liegt im g¨ unstigsten Fall bei etwa 100 Photonen/s. Das Auge ist bei einer Wellenl¨ ange von etwa 550 nm am empfindlichsten. Welche minimale Lichtleistung kann das Auge demnach detektieren? 1.3 Wie groß ist die Energie (in eV) von Photonen vom Rand des sichtbaren Spektrums bei 400 und 700 nm? 1.4 Bestimmen Sie Energie und Impuls eines Photons, dessen Energie gleich der Ruh¨ 1.5) ist. energie des Elektrons (s. Ub. 1.5 Zeigen Sie, dass die Ruhenergie des Elektrons 0,511 MeV betr¨ agt. 1.6 Ein Elektron durchf¨ allt eine Potentialdifferenz von 1 MV. Zeigen Sie, dass man f¨ ur seinen Impuls schreiben kann: p = 1,422 MeV/c, wobei c die Vakuumlichtgeschwindigkeit ist. 1.7 Beweisen Sie die folgende reduzierte Gr¨ oßengleichung f¨ ur den Zusammenhang zwischen Photonenergie und Wellenl¨ ange: 1240 nm WPh = eV λ 1.8 Beweisen Sie, dass f¨ ur v
c die relativistische kinetische Energie Wkin = mc2 (γ − 1) in den klassischen Ausdruck Wkin = 12 mv 2 u ¨ bergeht. 1.9 Ein a) b) c)

Proton wird auf eine kinetische Energie von 2 GeV beschleunigt. Finden Sie: seinen Impuls, seine de Broglie-Wellenl¨ ange und die Wellenl¨ ange eines Photons mit der gleichen Gesamtenergie.

1.10 Bei senkrechter Einstrahlung liegt die Bestrahlungsst¨ arke der Sonne in Meeresh¨ ohe ur eine mittlere Wellenl¨ ange von 550 nm bei etwa 1 kW/m2 . Berechnen Sie hieraus f¨ die Photonenstromdichte bezogen auf 1 cm2 . 1.11 Zwei parallele Lichtstrahlen gleicher Leistung, aber unterschiedlicher Wellenl¨ ange, treffen auf eine Oberfl¨ ache. Zeigen Sie, dass hierbei das Verh¨ altnis der Photonenstr¨ ome gleich dem der Wellenl¨ angen ist.

2 Erzeugung und Messung von Licht

Einleitung Die elektromagnetische Strahlung von Strahlungsquellen kann unterschiedliche Wellenl¨ ange (oder Frequenz) und St¨ arke aufweisen. Die Einteilung aufgrund der Wellenl¨ ange wird durch das elektromagnetische Spektrum charakterisiert. ¨ Die Anderungen in der St¨ arke werden durch physikalische Begriffe beschrieben, die sich in den Gebieten der Radiometrie (Strahlungsphysik) und Fotometrie (Lichttechnik) entwickelt haben. Quellen und Detektoren der elektromagnetischen Strahlung klassifiziert man nach dem entsprechenden spektralen Bereich und nach der St¨ arke des erzeugten (Quellen) oder des nachgewiesenen Signals (Detektoren).

2.1 Elektromagnetisches Spektrum Eine elektromagnetische St¨ orung, die sich durch den Raum als Welle ausbreitet, nennt man monochromatisch, wenn sie nur ein sehr schmales Wellenl¨ angenband (∆λ ≈ 0) enth¨ alt oder polychromatisch, wenn sie viele Wellenl¨ angen, entweder diskret oder in Form eines Kontinuums, aufweist. Die Verteilung der Energie u ¨ ber die verschiedenen Teilwellen nennt man Spektrum der

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2 Erzeugung und Messung von Licht

Strahlung. Das Adjektiv spektral beinhaltet die Wellenl¨angenabh¨angigkeit. Verschiedene Bereiche des elektromagnetischen Spektrums werden gesondert gekennzeichnet, wie z.B. Radiowellen, γ-Strahlung, Licht und ultraviolette Strahlung. Die meisten der gebr¨ auchlichen Bezeichnungen sind in Abb. 2.1 angegeben, in der das elektromagnetische Spektrum sowohl in Abh¨angigkeit von der Wellenl¨ ange λ als auch von der Frequenz f gezeigt wird. Diese beiden Gr¨ oßen h¨ angen u ¨ber die Wellengeschwindigkeit (Phasengeschwindigkeit) c zusammen: Phasengeschwindigkeit einer Welle

c = λf

(2.1)

Die Strahlung, die in Abb. 2.1 angenommen wird, soll sich im Vakuum ausbreiten, ur die Welwo n¨ aherungsweise c0 = 3 · 108 m/s gilt. Gebr¨auchliche Einheiten f¨ −9 lenl¨ angen sind Nanometer (1 nm = 10 m) oder Mikrometer (1 µm = 10−6 m). Die Bereiche verschiedener Wellenl¨ angen sind nicht pr¨azise begrenzt. Die Gebiete k¨ onnen u ¨ berlappen, wie z.B. beim Kontinuum von der R¨ontgen- bis zur Gammastrahlung. In DIN 5031 sind die Wellenl¨angenbereiche genormt festgelegt. Der enge Bereich elektromagnetischer Wellen von ungef¨ahr 380 nm bis 780 nm verursacht einen Sinneseindruck im menschlichen Auge und wird deshalb als Licht bezeichnet. Diese sichtbare Region des Spektrums, die die Farben vom Roten (langwelliges Ende) bis zum Violetten (kurzwelliges Ende) beinhaltet, ist durch die unsichtbaren ultravioletten – 100 nm bis 380 nm – und infraroten – 780 nm bis 1 mm – Bereiche begrenzt. Diese drei Bereiche zusammen umfassen die optische Strahlung, die nach DIN 5031 von λ = 100 nm bis ca. 1 mm reicht.

2.2 Strahlungsphysikalische Gr¨ oßen (Radiometrie) In der Strahlungsphysik besch¨ aftigt man sich mit der Messung elektromagnetischer Strahlung. In diesem Kapitel f¨ uhren wir die strahlungsphysikalischen Gr¨ oßen ein, die zur Charakterisierung des Energieinhaltes der Strahlung benutzt werden. Sp¨ ater diskutieren wir kurz einige der physikalischen Prinzipien, die in Messger¨ aten zur Messung von Strahlung genutzt werden. In der Praxis werden eine Vielzahl strahlungsphysikalischer Begriffe eingef¨ uhrt und eingesetzt. Wir f¨ uhren hier nur die gebr¨ auchlichsten an. Diese Gr¨oßen und die zugeh¨origen Einheiten sind in Tabelle 2.1 dargestellt. Die strahlungsphysikalischen Gr¨ oßen erscheinen mit dem Index e“ (ener” getisch), um sie von den ¨ ahnlichen lichttechnischen Begriffen zu unterscheiden. urfen Die Gr¨ oßen Strahlungsenergie Qe und Strahlungsfluss Φe einer Quelle bed¨

2.2 Strahlungsphysikalische Gr¨ oßen (Radiometrie)

11

Abb. 2.1. Elektromagnetisches Spektrum als Funktion der Wellenl¨ ange im Vakuum und der Frequenz. Der kleine Bereich des sichtbaren Spektrums ist vergr¨ oßert herausgezeichnet

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2 Erzeugung und Messung von Licht

keiner weiteren Erkl¨ arung. Die Strahlungsflussdichte auf einer Empf¨anger-Fl¨ache nennt man: Bestrahlungsst¨arke

Ee =

dΦe dA2

mit [Ee ] =

W m2

(2.2)

Tabelle 2.1. Radiometrische und fotometrische Gr¨ oßen Strahlungsphysikalische Gr¨ oßen Benennung

Lichttechnische Gr¨ oßen

Zeichen

Einheit

Definition Benennung

Strahlungsenergie

Qe

Ws

Strahlungsfluss

Φe

W

Φe =

Strahlst¨ arke

Ie

W/sr

Ie =

2

Strahldichte

Le

Bestrahlungsst¨ arke

Ee

W/m2

spezifische Ausstrahlung

Me

W/m2

W/(m sr) Le =

Zeichen Einheit

Lichtmenge

Q

lm s

dQe dt

Lichtstrom

Φ

lm

dΦe dΩ dIe dA1 cos ε

Lichtst¨ arke

I

cd = lm/sr

Leuchtdichte

L

cd/m2

Beleuchtungsst¨ arke

E

lx = lm/m2

Ee = Me =

dΦe dA2 dΦe,H dA1

 Bestrahlung He Ws/m2 He = Ee dt Belichtung H lx s Anmerkung: Φe,H ist der Strahlungsfluss einer Strahlungsquelle in den Halbraum, dA1 = Fl¨ achenelement der Quelle, dA2 = Fl¨ achenelement des Empf¨ angers, s. Abb. 2.5 sr = sterad, lm = Lumen, cd = Candela, lx = Lux.

Die Strahlungsflussdichte einer Quelle, die den Strahlungsfluss dΦe,H vom Fl¨ achenelement dA1 in den Halbraum strahlt, bezeichnet man als: spezifische Ausstrahlung

Me =

dΦe,H dA1

mit [Me ] =

W m2

(2.3)

Den durch eine Punktquelle in eine gegebene Richtung (s. Abb. 2.2) emittierten Strahlungsfluss Φe pro Raumwinkeleinheit dΩ nennt man: Strahlst¨arke

Ie =

dΦe dΩ

mit [Ie ] =

W sr

(2.4)

Die Strahlst¨arke Ie einer Kugel, die die Leistung Φe gleichf¨ormig in alle Richtungen abstrahlt, ist z.B. Φe /4π sr, da der Raumwinkel in diesem Fall 4π sr betr¨agt.

2.2 Strahlungsphysikalische Gr¨ oßen (Radiometrie)

13

e Abb. 2.2. Die Strahlst¨ arke Ie = dΦ ist der Fluss pro Raumwinkeleinheit, dem hier dΩ die Kreisfl¨ ache dA zugeordnet wurde. Es gilt dΩ = dA/r2

¨ Die Anderung der Bestrahlungsst¨ arke mit dem Abstand von der Quelle (s. Abb. 2.3) ergibt sich, wenn man die Bestrahlungsst¨arke auf einer Kugelfl¨ache, die konzentrisch um die Punktquelle liegt, berechnet. Der Raumwinkel betr¨agt 4π und die Kugeloberfl¨ ache A = 4πr2 . Damit ist: Ee =

Φe Ie 4πIe = 2 = A 4πr2 r

(2.5)

Abb. 2.3. Bestrahlungsst¨ arke einer Punktquelle als Funktion des Abstandes. Der Fluss, der von der Punktquelle ausgeht, verteilt sich u oßere Fl¨ achen und ¨ ber zunehmend gr¨ bewirkt damit eine Bestrahlungsst¨ arke, die mit 1/r 2 abnimmt

Die Strahldichte Le gibt die Strahlst¨ arke der projizierten Quellenfl¨ache (effektive Senderfl¨ ache) an, die senkrecht zur Beobachtungsrichtung steht. Sie ist mit

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2 Erzeugung und Messung von Licht

(2.4) gegeben durch: Strahldichte

Le =

dIe d2 Φe = dA1 cos ε dΩ dA1 cos ε

mit [Le ] =

W sr m2

(2.6)

Im Folgenden wollen wir die Bedeutung der Strahlst¨arke f¨ ur den besonderen Fall eines Lambertschen Strahlers diskutieren. Die Strahlst¨arke wird f¨ ur einen vorgegebenen Raumwinkel durch die feste Aperturblende AB in der Entfernung r von der strahlenden Oberfl¨ ache festgelegt, wie in Abb. 2.4 gezeigt. Die Blende kann z.B. die Eingangs¨ offnung eines Messinstrumentes sein, das den gesamten ¨ Strahlungsfluss, der durch die Offnung eintritt, misst. In Richtung der Normalen auf der Oberfl¨ ache beobachtet man bei ε die maximale Strahlst¨arke Ie0 . Bewegt man die Apertur auf einem Kreis (Kugeloberfl¨ache) mit dem Radius r, wobei man den Winkel ε vergr¨ oßert, so nimmt von der Beobachtungsrichtung aus gemessen die Strahlst¨ arke proportional zu cos ε ab: Abstrahlungscharakteristik eines Lambertschen Strahlers

Ie (ε) = Ie0 cos ε

(2.7)

Misst man die Strahldichte Le f¨ ur jeden Winkel ε, so ist diese konstant, weil f¨ ur jeden Winkel die Bestrahlungsst¨ arke durch die Fl¨ache A1 cos ε dividiert wird, so dass die Kosinusabh¨ angigkeit verschwindet: Le =

Ie (ε) Ie0 cos ε Ie0 = konst. = = A1 cos ε A1 cos ε A1

(2.8)

Abb. 2.4. a) Strahlungsfluss entlang einer Beobachtungsrichtung, die unter dem Winkel ε zur Normalen der abstrahlenden Oberfl¨ ache steht. Die strahlende Fl¨ ache ist gerastert, ihre Projektion gestrichelt gezeichnet. b) Strahlst¨ arke des Lambertschen Strahlers in Abh¨ angigkeit vom Abstrahlwinkel im Polardiagramm

2.2 Strahlungsphysikalische Gr¨ oßen (Radiometrie)

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Ist die Strahldichte einer strahlenden Oberfl¨ache unabh¨angig vom Beobachtungswinkel, so handelt es sich um einen Lambertschen Strahler. F¨ ur sogenannte Kugelstrahler gilt demgegen¨ uber I(ε) = konst. Die Gl¨ uhwendel einer Lampe wirkt in der Ebene, die die Achse der Wendel enth¨alt wie ein Lambertstrahler, in der Ebene senkrecht dazu wie ein Kugelstrahler. Als N¨ achstes zeigen wir, dass die Strahldichte f¨ ur einen Strahl, der sich in einem homogenen, nicht absorbierenden Medium ausbreitet, u ¨ berall denselben Wert aufweist. Abbildung 2.5 zeigt einen Strahl in solch einem Medium, wobei ¨ zur Ubersicht nur der zentrale Strahl gezeichnet ist und das schmale umgebende Strahlenb¨ undel, das durch die Fl¨ achenelemente dA1 und dA2 geht, nicht gezeigt wird. Der zentrale Strahl trifft relativ zu den Oberfl¨achennormalen unter den achen, so wie in Abb. 2.5 gezeigt. Der Raumwinkel Winkeln ε1 und ε2 , auf die Fl¨ ist dΩ1 = dA2 cos ε2 /r2 , wobei dA2 cos ε2 die Projektion der Fl¨ache dA2 darstellt. Nach (2.6) erh¨ alt man f¨ ur die Strahldichte L1 auf dA1 : Le1 =

d2 Φe1 d2 Φe1 = dΩ1 dA1 cos ε1 (dA2 cos ε2 /r2 ) dA1 cos ε1

(2.9)

In ¨ ahnlicher Weise erhalten wir bei Vertauschung von dA1 und dA2 in Abb. 2.5: Le2 =

d2 Φe2 d2 Φe2 = dΩ2 dA2 cos ε2 (dA1 cos ε1 /r2 ) dA2 cos ε2

(2.10)

Abb. 2.5. Nachweis der Erhaltung der Strahldichte in einem homogenen verlustfreien Material

In einem nicht absorbierendem Medium bleibt die Leistung im Strahlenb¨ undel konstant, das bedeutet dΦe1 = dΦe2 , so dass wir aus (2.9) und (2.10) schließen k¨ onnen, dass Le1 = Le2 ist. Daraus ergibt sich, dass die Strahldichte des Strahles immer gleich der Strahldichte der Quelle ist, es gilt dann Le1 = Le2 = Le0 . Betrachten wir als N¨ achstes Abb. 2.6 und untersuchen den Anteil der Strahlungsleistung, der das Fl¨ achenelement dA2 auf der Oberfl¨ache A2 vom Fl¨achen-

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2 Erzeugung und Messung von Licht

Abb. 2.6. Beleuchtung einer Fl¨ ache durch eine andere strahlende Oberfl¨ ache. Jedes strahlende Fl¨ achenelement dA1 tr¨ agt zur Bestrahlung jedes bestrahlten Fl¨ achenelementes dA2 bei

element dA1 der Quellenfl¨ ache A1 erreicht. Die Verbindungslinie der Fl¨achenelemente hat die L¨ ange r12 und bildet mit den Oberfl¨achennormalen die Winkel ε1 und ε2 . Die Strahlungsleistung betr¨ agt d2 Φe12 . Mit (2.9) und (2.10) erh¨alt man: d2 Φe12 =

Le cos ε1 cos ε2 dA1 dA2 2 r12

und f¨ ur die Gesamtstrahlungsleistung auf der gesamten zweiten Oberfl¨ache aufgrund der Einstrahlung von der gesamten ersten Fl¨ache durch Integration   Le cos ε1 cos ε2 dA1 dA2 (2.11) Φe12 = 2 r12 A1 A2 Hieraus ergibt sich f¨ ur die Abstrahlung in den Halbraum: Lambertscher Strahler Kugelstrahler

Φe = πIe0 Ω0

(2.12)

Φe = 2πIe0 Ω0

mit Ω0 = 1 sr als Einheits“-Raumwinkel. ” Da wir bei dieser Integration die Leistung und nicht die Amplituden addiert haben, nehmen wir stillschweigend an, dass die Strahlungsquelle inkoh¨arente Strahlung emittiert. In einem sp¨ ateren Kapitel werden wir uns ausf¨ uhrlicher mit der Addition inkoh¨ arenter und koh¨ arenter Strahlung besch¨aftigen.

2.3 Lichttechnische Gr¨ oßen (Fotometrie) Die strahlungsphysikalischen (radiometrischen) Gr¨oßen kennzeichnen die Strahlungsenergie bei allen Wellenl¨ angen. Bei der Fotometrie beschr¨ankt man sich

2.3 Lichttechnische Gr¨ oßen (Fotometrie)

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auf den sichtbaren Anteil des optischen Spektrums. Die Radiometrie ist eine rein physikalische Messung, w¨ ahrend bei der Fotometrie die Empfindlichkeit des menschlichen Auges f¨ ur verschiedene Wellenl¨angen ber¨ ucksichtigt wird und man deshalb physiologisch-physikalische Messungen durchf¨ uhrt. Damit ber¨ ucksichtigt man, dass das menschliche Auge als Detektor keine konstante spektrale Empfindlichkeit aufweist; die Nachweisempfindlichkeit f¨ ur verschiedene Wellenl¨angen ist unterschiedlich. Betrachtet man drei Lichtquellen von gleicher Strahlungsdichte, die z.B. blaues, gelbes und rotes Licht aussenden, so wird die gelbe Lichtquelle viel heller erscheinen als die anderen. Benutzt man fotometrische Einheiten, so misst man die Eigenschaften der sichtbaren Strahlung so, wie sie dem normalen Auge erscheinen und nicht wie sie ein physikalischer Detektor nachweist. Da (gl¨ ucklicherweise) nicht alle menschlichen Augen identisch sind, hat man eine Standardempfindlichkeit festgelegt, die in Abb. 2.7 gezeigt ist. Hier ist die relative Helligkeitsempfindlichkeit des Auges gegen die Wellenl¨ange (spektraler Hellempfindlichkeitsgrad nach DIN 5031, Blatt 3) aufgetragen. Man sieht, dass die maximale Empfindlichkeit bei der gelb-gr¨ unen Wellenl¨ange von 555 nm auftritt. Dies gilt f¨ ur die Empfindlichkeit des Auges f¨ ur photopische Anpassung (Zapfensehen), also bei Tag. F¨ ur kleinere Beleuchtungsst¨arken, wenn das Auge auf skotopische Anpassung (St¨ abchensehen) adaptiert ist, verschiebt sich das Maximum der Kurve zum Gr¨ unen hin und liegt bei 507 nm. Der menschliche Farbeindruck ist eine Funktion der Beleuchtungsst¨arke, bei sehr niedrigen Beleuchtungsst¨ arken hat man keinerlei Farbeindruck mehr. Eine M¨oglichkeit dies nachzuweisen, ist der Vergleich der Farben von Sternen, wie sie dem Auge erscheinen, mit Farbfotografien. Die Abh¨ angigkeit der Farbempfindung von einer minimalen Beleuchtung l¨ asst sich durch Projektion eines Farbdias auf einen Schirm mit sehr niedriger Stromst¨ arke der Projektorgl¨ uhlampe zeigen. Bei sehr kleinen elektrischen Str¨ omen erscheint das Farbdia auf dem Schirm schwarz-weiß, bzw. in Graut¨onen. Erst bei Steigerung der Stromst¨ arke u ¨ ber einen Grenzwert erh¨alt man ein farbiges Bild. Andererseits kann man sehr intensive Strahlung auch jenseits der Wellenl¨ angengrenze der Standard-Augenempfindlichkeit sehen. So ist die Infrarotstrahlung eines Gallium-Arsenid-(GaAs-) Halbleiterlasers bei ca. 900 nm als tiefes Rot wahrnehmbar. Die radiometrischen Gr¨ oßen h¨ angen mit den fotometrischen Gr¨oßen u ¨ ber die Augenempfindlichkeitskurve der Abb. 2.7 in der folgenden Weise zusammen: Einem Strahlungsfluss von 1 W bei der Peakwellenl¨ange 555 nm, wo die Augenempfindlichkeit f¨ ur Tagessehen maximal ist, entspricht ein Lichtstrom von 683 lm (Lumen). Dieser Wert gen¨ ugt der neuen Definition der Basiseinheit Candela; in der DIN 5031 ist noch 685 lm/W angegeben. Dann entspricht z.B. bei λ = 610 nm, wo die Augenempfindlichkeit 0,5 (oder 50%) betr¨agt, 1 W Strahlungsfluss einem Lichtstrom von Φ = 0,5·683 lm = 341,5 lm. Die Kurve zeigt, dass bei λ = 510 nm, im Blau-Gr¨ unen, der Helligkeitseindruck wieder auf 50% abgefallen ist. Fotometrische Einheiten entsprechen in ihrer Definition radiometrischen Einheiten. Dies

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2 Erzeugung und Messung von Licht

Abb. 2.7. Standardisierter spektraler Hellempfindlichkeitsgrad des menschlichen Auges (DIN 5031). V (λ): Tagessehen (photopische Anpassung). V
(λ): Nachtsehen (skotopische Anpassung). Der Lichtstrom Φ beschreibt den Helligkeitseindruck, z.B. Tagessehen: Φ = Km Φe V (λ), wobei Km = 683 lm/W der Maximalwert des fotometrischen Strahlungs¨ aquivalentes bei Tagessehen ist

ist in Tab. 2.1 gezeigt. Im Allgemeinen werden entsprechende Gr¨oßen durch die folgende Gleichung zueinander in Beziehung gesetzt fotometrische Gr¨ oße = K(λ) · radiometrische Gr¨oße

(2.13)

wobei K(λ) die absolute spektrale Empfindlichkeit f¨ ur monochromatische Strahlung der Wellenl¨ ange λ angibt. V (λ) ist der spektrale Hellempfindlichkeitsgrad f¨ ur ur das Nachtdas Tagessehen und V
(λ) der spektrale Hellempfindlichkeitsgrad f¨ sehen, wie durch die DIN-Kurve angegeben; damit gilt f¨ ur die absolute spektrale Empfindlichkeit f¨ ur Tages- und Nachtsehen: Tagessehen Nachtsehen

K(λ) = Km · V (λ) mit Km = 683 lm W

K
(λ) = Km · V
(λ) mit Km = 1699 lm W

(2.14)

2.4 Schwarzer Strahler (Hohlraumstrahler)

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wobei Km der Maximalwert des fotometrischen Strahlungs¨aquivalentes f¨ ur das
f¨ ur das Nachtsehen ist. Tagessehen und Km Fotometrische (lichttechnische) Gr¨ oßen werden durch das vorangestellte Wort Licht- (Leucht-) gekennzeichnet und weisen die gleichen Formelzeichen wie die strahlungsphysikalischen Gr¨ oßen auf, nur der Index e“ wird weggelassen. Die ” Einheit des Lichtstroms Φ ist das Lumen, die Einheit der Lichtst¨arke I die Candela (cd), die der Leuchtdichte L ist Candela/m2 und die der Beleuchtungsst¨arke E ist Lux (lx = lm/m2 ). Beispiel 2.1 Strahlungsphysikalische und lichttechnische Gr¨ oßen einer Gl¨ uhlampe Eine Gl¨ uhlampe, die 10 W Strahlungsleistung abgibt, befindet sich 2 m von einer Oberfl¨ ache entfernt. Die Oberfl¨ ache steht senkrecht zur Verbindungslinie zwischen der Gl¨ uhlampe und der Oberfl¨ache. Berechnen Sie die Bestrahlungsst¨ arke auf der Oberfl¨ ache. Ermitteln Sie die Beleuchtungsst¨arke unter der Annahme, dass die 10 W von einer roten Gl¨ uhbirne bei λ = 650 nm emittiert werden. L¨ osung 10 W W Bestrahlungsst¨ arke Ee = PA = 4π(2m) 2 = 0,2 m2 Aus der DIN-Kurve erh¨ alt man V (650 nm) ≈ 0,1. Damit ergibt sich die Beleuchtungsst¨ arke: E = K(λ) · Ee = Km · V (λ) · Ee : E = 683

lm lm W · 0,1 · 0,2 2 = 13,7 2 = 13,7 lx W m m

Damit w¨ urde man mit einem Radiometer 2 W/m2 und mit einem Fotometer 13,7 lx messen. Bei polychromatischer Strahlung sind die radiometrischen und fotometrischen Gr¨ oßen im Allgemeinen Funktionen der Wellenl¨ange. Diese Abh¨angigkeit kennzeichnet man durch Vorstellen des Wortes spektral und durch Zusatz des Index λ“ oder durch Hinzuf¨ ugen des Buchstabens λ in Klammern. Man gibt z.B. den ” e spektralen Strahlungsfluss durch Φeλ = dΦ dλ an. Der gesamte Strahlungsfluss ergibt sich dann durch Integration u ¨ ber den entsprechenden Wellenl¨angenbereich: 

λ2

Φe =

Φeλ (λ) dλ λ1

2.4 Schwarzer Strahler (Hohlraumstrahler) Ein schwarzer Strahler ist ein idealer Absorber: Die gesamte Strahlung, die auf ihn einf¨ allt, wird unabh¨ angig von Einfallswinkel oder Wellenl¨ange vollst¨andig

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2 Erzeugung und Messung von Licht

absorbiert. Ein schwarzer Strahler ist auch eine ideale Strahlungsquelle: Keine Oberfl¨ ache, die dieselbe Temperatur wie der schwarze Strahler aufweist, kann im thermischen Gleichgewicht mehr Strahlung als dieser abgeben. In der Praxis realisiert man ihn durch eine geschw¨ arzte Oberfl¨ache oder durch einen Hohlraumstrahler mit schwarzen Innenfl¨ achen, der eine im Verh¨altnis zur inneren ¨ Oberfl¨ ache sehr kleine Offnung aufweist. Ein einfaches Beispiel f¨ ur einen schwarzen Strahler ist eine Oberfl¨ ache, die durch die scharfen Kanten eines Stapels von Rasierklingen gebildet wird. Die Anordnung der Rasierklingenkanten absorbiert das einfallende Licht aufgrund der Vielfachreflexion fast vollst¨andig. Die spezifische spektrale Ausstrahlung Meλ ist durch Max Planck berechnet worden. Er fand, dass der Strahlungsprozess und der Absorptionsprozess quantisiert sein m¨ ussen. Das Ergebnis dieser Berechnung ergibt f¨ ur die spezifische spektrale Ausstrahlung   2πhc20 1 (2.15) Meλ = λ5 ehc0 /λkT − 1 wobei die physikalischen Konstanten h, c0 und k die Plancksche Konstante, die Vakuumlichtgeschwindigkeit und die Boltzmann-Konstante darstellen. Setzt man die bekannten Werte dieser Konstanten ein, so erh¨alt man das   W 1 Plancksches 3,742 · 108 Meλ = (2.16) 5 2 14388/λT Strahlungsgesetz λ e − 1 m µm wobei man λ in µm (Mikrometer) und T in K (Kelvin) einsetzt. Meλ ist in Abb. 2.8 f¨ ur verschiedene Temperaturen dargestellt. Die spezifische spektrale Ausstrahlung nimmt bei jeder Wellenl¨ ange mit der absoluten Temperatur zu. Das Maximum der Kurven verschiebt sich mit zunehmender Temperatur zu k¨ urzeren Wellenl¨ angen und f¨ allt f¨ ur T = 5000 und 6000 K in den Bereich des sicht¨ baren Spektrums (gestrichelte vertikale Linien). Die Anderung der Wellenl¨ange λmax , bei der die spezifische spektrale Ausstrahlung maximal ist, mit der Temperatur findet man durch Differenzieren von Meλ nach λ und nachfolgendes Nullsetzen der entsprechenden Gleichung. Man erh¨alt: Wiensches Verschiebungsgesetz

λmax T =

hc = 2,8971 · 103 µm K 4,966k

(2.17)

Das Wiensche Verschiebungsgesetz ist durch die fett gestrichelte Kurve in Abb. 2.8 veranschaulicht. Integriert man die spezifische spektrale Ausstrahlung von (2.16) u angen, so erh¨ alt man die gesamte spezifische spektrale Ausstrah¨ ber alle Wellenl¨ ache unter der Schwarzk¨ orperstrahlungskurve bei der Temperatur T : lung Me als Fl¨ Stefan-Boltzmann-Gesetz

Me = σ T 4

(2.18)

2.4 Schwarzer Strahler (Hohlraumstrahler)

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Abb. 2.8. Spektrale Verteilung der Schwarzk¨ orperstrahlung f¨ ur vier verschiedene Temperaturen. Die vertikalen, gestrichelten Linien kennzeichnen das sichtbare Spektrum und die fett gestrichelte Linie, die die Maxima der vier Kurven verbindet, kennzeichnet das Wiensche Verschiebungsgesetz

wobei die Stefan-Boltzmann-Konstante σ = 5,670 · 10−8 W/(m2 K4 ) ist. Die Strahlung von realen Oberfl¨ achen ist immer geringer als die einer Schwarzk¨orper - oder Planckschen Strahlungsquelle, was man durch die Angabe des Emisucksichtigt. Unterscheidet man nun zwischen der spezifischen sionsgrades εE ber¨ spektralen Ausstrahlung Meλ,p eines zu untersuchenden Probek¨orpers und der des schwarzen Strahlers Meλ,s bei gleicher Temperatur, so erhalten wir: εE (λ) =

Meλ,p Meλ,s

(2.19)

22

2 Erzeugung und Messung von Licht

Das Verh¨ altnis εE (λ) der spektralen Ausstrahlungen ist im Allgemeinen wellenl¨ angenabh¨ angig. In den Spezialf¨ allen, bei denen εE (λ) = konst. unabh¨angig von der Wellenl¨ ange ist, nennt man den Probek¨orper einen grauen Strahler . In diesem Fall ist die spektrale Ausstrahlung des Probek¨orpers immer proportional zu der des schwarzen Strahlers, und die Kurven unterscheiden sich nur um einen konstanten Faktor. So ist z.B. die spezifische spektrale Ausstrahlung eines heißen Wolframfadens sehr ¨ ahnlich der eines grauen Strahlers mit εE = 0,4 − 0,5. Die Schwarzk¨ orperstrahlung kann man zur Definition einer Farbskala in Einheiten der absoluten Temperatur benutzen. Die Farbtemperatur einer Probelichtquelle ist dann die Temperatur eines schwarzen Strahlers, der in seiner spektralen Verteilung Meλ dieser Quelle in einem bestimmten Spektralbereich so nahe wie m¨ oglich kommt. In diesem Sinne sagt man, dass z.B. eine Kerzenflamme eine Farbtemperatur von 1900 K aufweist, w¨ ahrend die Sonne eine typische Farbtemperatur von 5500 K besitzt.

2.5 Optische Strahlungsquellen Wir kennen nat¨ urliche Strahlungsquellen, wie z.B. das Sonnenlicht oder das Streulicht vom Himmel, oder k¨ unstliche Lichtquellen, wie z.B. Gl¨ uhlampen oder Gasentladungslampen. Das Licht der verschiedenen Quellen kann monochromatisch bzw. spektral kontinuierlich verteilt sein oder aus einzelnen Spektrallinien bestehen. Die Verteilung der Strahlungsenergie u ¨ ber die Wellenl¨ange bestimmt die Farbe des Lichtes und damit die Farbe der Oberfl¨achen, die man bei Beleuchtung mit diesem Licht sieht. Jeder der einen Fotoapparat benutzt, ist sich bewusst, dass die auf dem Film registrierte Farbe des Objektes von der Art der Lichtquelle, die man zur Beleuchtung benutzt, abh¨angt. Lichtquellen wandeln zugef¨ uhrte Energie nur teilweise in Strahlungsenergie um. Bei den Temperaturstrahlern wird die zugef¨ uhrte Energie zun¨achst in W¨armeenergie umgewandelt und dann vom erw¨ armten K¨ orper als Strahlung abgegeben. Bei den Lumineszensstrahlern wird die zugef¨ uhrte Energie sofort in innere Energie, z.B. eines Atoms durch Anregung gebundener Elektronen, umgewandelt. Die abgegebene Strahlung ist f¨ ur die jeweiligen Atome (Molek¨ ule) charakteristisch. ¨ Der folgende kurze, nicht vollst¨ andige Uberblick klassifiziert die Lichtquellen in folgender Weise: Nat¨ urliche Lichtquellen Sonnenlicht, Streulicht vom Himmel Temperaturstrahler schwarze Strahler Globarquellen Gl¨ uhlampen Hochintensive Lichtbogenquellen

2.5 Optische Strahlungsquellen

23

Lumineszenzstrahler Entladungslampen Leuchtstoffr¨ ohren Halbleiterdioden (LED) koh¨ arente Lichtquellen (Laser) Das Tageslicht besteht aus direkter Sonnenstrahlung und Streulicht vom Himmel. Das direkt von der Sonne kommende Licht hat eine spektrale Verteilung, die deutlich verschieden vom Streulicht des Himmels ist, das vorwiegend blaue Farbkomponenten aufweist. Die spektrale solare Bestrahlungsst¨arke ist in Abb. 2.9 dargestellt.

Abb. 2.9. Solare Bestrahlungsst¨ arke oberhalb der Erdatmosph¨ are bzw. auf Meeresniveau bei klarer Sicht und Sonne im Zenith

Die extraterrestrische solare Strahlung zeigt, dass sich die Sonne ann¨ahernd wie ein Schwarzk¨ orperstrahler mit der Temperatur 6000 K im Zentrum der Sonnenscheibe und ca. 5000 K am Rand verh¨ alt. Die Strahlung, die auf der Erdoberfl¨ ache eintrifft, wird durch die Absorption in der Erdatmosph¨are ver¨andert. Die gesamte Bestrahlungsst¨ arke Ee gerade außerhalb der Erdatmosph¨are ist die

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2 Erzeugung und Messung von Licht

Solarkonstante mit 1355 W/m2 . Steht die Sonne im Zenith, so ist die Bestrahlungsst¨ arke auf einer horizontalen, ebenen Fl¨ache Ee = 1120 W/m2 . Dies gilt f¨ ur einen wolkenlosen Himmel. Man setzt die solare Strahlung gew¨ohnlich nicht als Lichtquelle im Labor ein, sondern verwendet Hochdruck-Xenonlampen mit geeigneten Filtern zur Simulation dieser Strahlung. K¨ unstliche optische Strahlungsquellen, die Licht aufgrund des Aufheizens von Materie, z.B. durch elektrischen Strom, emittieren, nennt man Temperaturstrahler. Die Strahlungsenergie wird u ¨ ber ein breites Kontinuum von Wellenl¨angen abgegeben. K¨ aufliche schwarze Strahler bestehen aus einem Hohlraum, der ein kleines Loch aufweist. Diese Anordnung hat einen konstanten, wellenl¨angenunabh¨ angigen Emissionsgrad, der fast gleich 1 ist. Solche Strahlungsquellen sind f¨ ur Betriebstemperaturen im Bereich von fl¨ ussigem Stickstoff (-196◦ C, 77 K) bis zu altlich. Eine Gl¨ uhlampe, die besonders im infraroTemperaturen von 300◦ C erh¨ ten Bereich n¨ utzlich ist, ist die sogenannte Nernstquelle. Diese Quelle besteht aus einem zylindrischen Rohr oder einem Stab aus Zirkon-, Yttrium- und Thoriumoxid, der durch elektrischen Strom geheizt wird. Der nutzbare Spektralbereich reicht vom Sichtbaren bis zu 30 µm. Die Nernstquelle verh¨alt sich wie ein grauer Strahler mit einem Emissionsgrad gr¨ oßer 0,75. Benutzt man als Stabmaterial gesintertes Siliziumkarbid, so erh¨ alt man den sogenannten Globarstrahler mit einem Emissionsgrad von 0,88 und der Charakteristik eines grauen Strahlers (s. Abb. 2.10).

Abb. 2.10. Infrarot-Strahlungsquelle (Globar) mit kontinuierlichem Spektrum von 1 bis 25 µm. Die Quelle besteht aus einem Siliziumkarbid-Widerstand von 6 mm Durchmesser bei ca. 1000 K

2.5 Optische Strahlungsquellen

25

Die Wolfram-Gl¨ uhfadenlampe ist eine h¨aufig benutzte Quelle f¨ ur optische Instrumente. Sie gibt kontinuierliche Strahlung im sichtbaren und infraroten Bereich ab. Diese Lampe gibt es in einer großen Auswahl von Gl¨ uhfadenformen und Ausf¨ uhrungen des Glaskolbens. Der Gl¨ uhfaden kann als Wendel oder als B¨ andchen ausgebildet sein. Ein flaches Band liefert eine sehr homogene strahlende Oberfl¨ ache. Der Glaskolben besteht f¨ ur Anwendungen bei hoher Temperatur aus Quarzglas. Die Strahlung im sichtbaren Bereich ist der eines grauen Strahlers sehr ¨ ahnlich, der Emissionsgrad erreicht Werte von 1, wenn der Gl¨ uhfaden sehr eng gewendelt ist. Die fotometrische (lichttechnische) Emission h¨angt von der Gl¨ uhfadentemperatur und der elektrischen Stromst¨arke ab. Wenn die Lampe in Betrieb ist, dampft vom Gl¨ uhfaden immer etwas Wolfram ab und lagert sich auf der Innenseite des Glaskolbens ab. Man erh¨alt dort einen dunklen Film, der den Lichtstrom der Lampe u ¨ ber die Lebensdauer bis zu 20% vermindern kann. Dieser Prozess f¨ uhrt zu einem d¨ unneren Gl¨ uhdraht und erh¨oht damit den elektrischen Widerstand. F¨ ullt man den Glaskolben bei einem Druck von 0,8 bar mit einem chemisch nicht reaktiven Gas, gew¨ ohnlich Stickstoff oder Argon, so kann man diesen Verdampfungsprozess verlangsamen. Dieses Problem hat man noch besser bei der Quarzhalogen- oder Wolframhalogen-Lampe durch Zusatz von Halogend¨ ampfen (Jod, Brom) zum Gas gel¨ ost. Der Halogendampf bewirkt in einem regenerativen Zyklus, dass der Glaskolben von Wolfram frei bleibt. Jod reagiert mit dem Wolframniederschlag auf dem Glas zum gasf¨ormigen Reaktionsprodukt Wolframjodid, das auf dem heißen Gl¨ uhdraht nur bei Standardbedingungen (hohe Temperaturen) wieder dissoziiert und dabei Wolfram und Jod freisetzt. Eine typische spektrale Bestrahlungskurve einer 100 W-Quarzhalogengl¨ uhlampe ist in Abb. 2.11 gegeben. Als hochintensive Punktstrahlungsquelle setzt man die Zirkon-Bogenlampe ein, wobei die elektrische Anschlussleistung zwischen 1 und 500 W variiert. Man benutzt eine Oxidkathode in einer Argonatmosph¨are und erzeugt zus¨atzlich Zirkondampf. Strahlung wird durch Gl¨ uhemission der schmelzenden Kathodenoberfl¨ ache sowie durch den angeregten Zirkondampf und das Argongas erzeugt. Sie wird durch ein kleines Loch von 0,1 bis 3 mm Durchmesser emittiert, das sich in der metallischen Anode befindet. Die spektrale Verteilung entspricht der eines grauen Strahlers bei 3200 K. Eine Quecksilberdampf-Kurzbogenlampe mit uhrungen erreicht man Pel = 200 W liefert L = 40 000 cd/cm2, in anderen Ausf¨ Leuchtdichten bis L = 220 000 cd/cm2. Die Lampe entspricht einem grauen Strahler von 3000 K und liefert kontinuierliche Strahlung von 0,3 µm bis 2,5 µm. Bei der Wolframbogenlampe heizt eine Bogenentladung zwischen zwei Wolframelektroden die Elektroden in einer Atmosph¨are von Argon so weit auf, dass man eine spektrale Strahlungsverteilung ¨ahnlich der einer Wolframlampe von 3100 K erh¨ alt. F¨ ur hohe Leuchtdichten muss man andere Lampenkonstruktionen verwenden. Die ¨ alteste Quelle dieser Art ist die Kohle-Lichtbogenlampe, die immer noch als Projektorlampe eingesetzt wird. Der Hochstromlichtbogen entsteht zwischen zwei

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2 Erzeugung und Messung von Licht

Abb. 2.11. Spektrale Strahlungsst¨ arke einer 10 W Quarzhalogenlampe, die kontinuierliche Strahlung von 0,3 bis 2,5 µm liefert

Kohlest¨ aben in Luft. Eine 200 A-Kohlebogenlampe hat eine maximale Leuchtdichte von 160 000 cd/cm2 mit einer spektrale Verteilung, die der eines grauen Strahlers von 6000 K ¨ ahnlich ist. Durch Einsatz verschiedener Materialien im Kern des Kohlestabes kann man einen großen Bereich von spektralen Verteilungen abdecken. Wenn man um den Lichtbogen herum den Gasdruck stark erh¨oht, erh¨ alt man eine Hochdruckbogenlampe und die Strahlung weist sowohl Linien als auch ein kontinuierliches Spektrum auf. Abbildung 2.12 zeigt eine solche Lampe mit Geh¨ause. Die gebr¨auchlichste dieser Lampen, die elektrische Anschlussleistungen von Pel = 50 W bis Pel = 50 kW aufweist, ist die Hochdruck-Quecksilberbogenlampe, die eine vergleichsweise geringe kontinuierliche Strahlung, aber starke Spektrallinien aufweist und eine gute Strahlungsquelle im Ultravioletten ist. Die Xenonlampe emittiert kontinuierliche Strahlung vom nahen Ultraviolett u ¨ber das Sichtbare bis zum na¨ hen Infrarot; die Quecksilber-Xenon-Bogenlampe liefert eine Uberlagerung des Quecksilberspektrums mit der kontinuierlichen Strahlung des Xenons und ein Xenon-Linienspektrum bei 0,8 µm bis 1 µm. Wie schon vorher beschrieben, ist die Farbqualit¨ at der Xenon-Lampe mit einer Farbtemperatur von 6000 K a¨hnlich der des Sonnenlichtes. Spektrale Emissionskurven der Xenon- und QuecksilberXenonlampe sind in den Abbildungen 2.13 und 2.14 gezeigt. Eine Xenon-Kurzbogenlampe mit 250 W elektrischer Anschlussleistung liefert Leuchtdichten bis zu 26 000 cd/cm2 . Die Wasserstoff - und Deuterium-Bogenlampen sind vor allem f¨ ur die Ultraviolett-Spektroskopie geeignet, da sie im Ultravioletten ein kontinuierliches Spektrum bei hoher Leuchtdichte abgeben. Abbildung 2.15 zeigt die typische spektrale Emission einer Deuterium-Lampe, die ein linienfreies Kontinuum von 180 nm bis 400 nm liefert.

2.5 Optische Strahlungsquellen

27

Abb. 2.12. Kurzbogenlichtquelle: a) Kurzbogenlampe, b) Lampe mit r¨ uckseitigem Spiegel und vorgesetzter Optik im Geh¨ ause der Lichtquelle eingebaut

In der Gasentladungslampe, die zu den Luminiszenzstrahlern geh¨ort, fließt u ¨ ber zwei Elektroden ein Strom durch das ionisierte Gas, das in einer Glasoder Quarzr¨ ohre eingeschlossen ist. Glas absorbiert ultraviolette Strahlung unterhalb ungef¨ ahr 400 nm, wogegen Quarz bis 180 nm durchl¨assig ist. Das elektrische Feld zwischen den Elektroden beschleunigt die Elektronen so hoch, dass sie die Gasatome ionisieren k¨ onnen. Als Elektronenquelle kann man eine geheizte Kathode (Gl¨ uhemission), ein starkes elektrisches Feld an der Kathode (Feldemission) oder den Stoß von positiven Ionen auf die Kathodenoberfl¨ache (sekund¨are ¨ Emission) einsetzen. Beim Ubergang der angeregten Gasatome in energetisch tiefer liegende Zust¨ ande wird Energie in Form von Strahlung (Photonen) frei. Betriebsbedingungen wie hoher Druck oder hohe Temperatur ergeben im Allgemeinen eine kontinuierliche spektrale Verteilung, zus¨atzlich zu den verbreiterur ten Spektrallinien des Gases. Man erreicht Leuchtdichten bis 1100 cd/cm2 f¨ Pel = 250 W. Bei niedrigem Druck und niedrigen Stromst¨arken treten scharfe Spektrallinien auf und der kontinuierliche Hintergrund wird sehr klein. Diese

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2 Erzeugung und Messung von Licht

Abb. 2.13. Spektrale Emission einer Hochdruck-Xenon-Kurzbogenlampe

Abb. 2.14. Spektrale Emission einer Niederdruck-Quecksilber-Xenon-Bogenlampe

2.5 Optische Strahlungsquellen

29

Abb. 2.15. Spektrale Emission einer Niederdruck-Deuterium-Bogenlampe bei 50 W

Betriebsbedingungen setzt man f¨ ur scharfe Spektrallinien in monochromatischen Quellen ein. Die Natriumentladungslampe liefert als Spektrallampe nur Strahlung in einem engen Bereich, der aus den gelben Spektrallinien bei 589,0 und 589,6 nm besteht. Monochromatische Strahlung bei Wellenl¨angen von 404,7 nm (violett), 534,8 nm und 546,1 nm (gr¨ un) und 577,0 und 579,1 nm (gelb) liefert die Quecksilber-Niederdruck-Gasentladungslampe. Mit anderen Gasen oder D¨ampfen erzeugt man Spektrallinien bei anderen Wellenl¨angen. F¨ ur hohe spektrale Reinheit ben¨ otigt man Gase, die isotopenrein sind. Blitzlampen sind intensive Strahlungsquellen f¨ ur sichtbare Strahlung und Strahlung in nahem Infrarot. Bei diesen Lampen wird durch die Entladung eines Kondensators mit hohem Strom eine kurzzeitige Gasentladung erreicht. Meistens benutzt man Xenon als F¨ ullgas. Blitzlampen f¨ ur den einmaligen Gebrauch liefern hochintensive Lichtblitze durch die schnelle Verbrennung von metallischer (Aluminium- oder Zirkon-) Folie oder Draht in einer reinen Sauerstoffatmosph¨are. In den Leuchtstofflampen erfolgt eine Quecksilberdampf-Gasentladung bei niedrigem Druck und niedrigen Stromst¨ arken. Die ultraviolette Strahlung der angeregten Quecksilberatome wird in der Leuchtstoffbeschichtung auf der Innenseite der Glasr¨ ohre durch Fluoreszenz in sichtbares Licht umgewandelt. Die spektrale Verteilung h¨ angt von den Eigenschaften des verwendeten Leuchtstoffs ab. Tageslicht-Lampen weisen z.B. eine Mischung von Zink-Beryllium-Silikat und Magnesium-Wolframat auf. Die Leuchtdiode (LED) hat sich in der Gegenwart (2004) von einer Lichtquelle niedriger Leuchtdichte zu einer Hochleistungslichtquelle entwickelt, deren optoelektrischer Wirkungsgrad vergleichbar mit dem der Hochdruckgasentladungen (z.B. Xe) ist. Das Licht wird – im Unterschied zu den vorher beschriebenen ¨ Quellen – in einem pn-Ubergang in Halbleitern erzeugt. Der Dioden-Chip be-

30

2 Erzeugung und Messung von Licht

findet sich in einem gasdicht abgeschlossenen Geh¨ause. Wenn man eine kleine Spannung (einige Volt) in Durchlassrichtung der Diode anlegt, werden Photonen durch die Rekombination von Elektronen und L¨ochern in der Umgebung der pn-Grenzschicht erzeugt. Verf¨ ugbare LEDs reichen von der In-Ga-As-P-(IndiumGallium-Arsenid-Phosphid-) Infrarotdiode, die bei einer Wellenl¨ange von ca. 1,2 µm maximal emittiert, bis zur GaN-(Gallium-Nitrid-) Diode, die bei 400 nm violettes Licht abgibt. Die Leuchtdioden liefern eine spektrale Verteilung mit einer Halbwertsbreite (Wellenl¨ angendifferenz in halber H¨ohe der spektralen Verteilung) von ∆λ = 35 nm im Infrarot (λ ≈ 900 nm) bis ∆λ = 6 nm im Violett ¨ (λ ≈ 400 nm), wie in Abb. 2.16 gezeigt. Andert man die Zusammensetzung des Halbleitermaterials, so kann man in einem weiten Spektralbereich Strahlung erzeugen. Eine LED kann auch – mit Abstrichen an der Farbqualit¨at – weißes“ ” Licht abgeben. Hierbei wird die kurzwellige Strahlung aus der pn-Schicht durch eine geeignete Fluoreszenzschicht auf dem Chip in Licht umgewandelt. H¨ochste Leuchtdichten werden mit D¨ unnfilm-LEDs erreicht. Sie haben nur eine d¨ unne, Licht erzeugende Schicht, die so nahe an der Oberfl¨ache ist, dass sie fast das gesamte, intern mit hohem Wirkungsgrad (> 100 lm/W) erzeugte, Licht nach oben abgeben. Die Leuchtdichten einer LED mit einer Fl¨ache von 350 µm × 350 µm erreichen Werte von 2,5 · 106 cd/m2 . Eine andere Klasse von LEDs, die OLEDs (organische LEDs, organische Verbindungen als lichtabgebende Schicht) wird f¨ ur die Anzeigen (Displays) in Mobiltelefonen oder anderen elektronischen Ger¨aten eingesetzt. Da diese Anzeigen d¨ unn sind, kann die Bauh¨ohe sehr gering sein.

Abb. 2.16. Spektren von Leuchtdioden

Der Laser ist eine sehr wichtige moderne Lichtquelle, die koh¨arente und monochromatische Strahlung bei sehr hoher Intensit¨at im ultravioletten, sichtbaren

2.6 Strahlungsdetektoren

31

und infraroten Bereich abgibt. Wegen der zentralen Rolle, die der Laser als optisches Instrument spielt, wird er in den Kapiteln 21–23 ausf¨ uhrlich behandelt.

2.6 Strahlungsdetektoren Jede Vorrichtung, die eine messbare physikalische Antwort auf die einfallende Strahlungsenergie liefert, ist ein Detektor. Der gebr¨auchlichste Detektor ist nat¨ urlich das Auge, das einen subjektiven Eindruck liefert. Die im Folgenden diskutierten Detektoren erlauben eine quantitative und objektive Messung. Das Auge spielt beim menschlichen Sehen eine entscheidende Rolle und wird deshalb in Kapitel 7 ausf¨ uhrlich behandelt.

Abb. 2.17. a) Thermoelement, das aus verschiedenen Materialien (dunkle und helle Linien) aufgebaut ist, die an den Punkten T1 und T2 verbunden sind, wobei eine Temperaturdifferenz an den Verbindungsstellen eine Spannung an den Enden ergibt. b) Reihenschaltung von Thermoelementen (Thermos¨ aule, Thermopile). Strahlung wird an den Verbindungsstellen T1 , die in thermischem Kontakt mit einem schwarzen Absorber sind, absorbiert; die Verbindungsstellen T2 sind von den Stellen T1 thermisch isoliert. c) Industrielle Ausf¨ uhrung, ¨ außerer Durchmesser ca. 3 mm. Die Thermoelemente (Antimon-Wismut) werden auf eine d¨ unne Folie im Vakuum aufgedampft

Die gebr¨ auchlichsten Detektoren kann man wie folgt klassifizieren: Thermische Detektoren Thermoelemente und Thermos¨ aulen (Thermopiles) Bolometer und Thermistoren Pyroelektrische Detektoren Pneumatische oder Golay-Detektoren Quantendetektoren Vakuum-Photozelle, Photomultiplier (Sekund¨arelektronenvervielfacher)

32

2 Erzeugung und Messung von Licht

Photowiderstand Photoelement, Solarzelle Photodiode Fotografischer Film Wenn die prim¨ are Antwort eines Detektors auf einfallende Strahlung ein Temperaturanstieg ist, so nennt man dieses Ger¨at einen thermischen Detektor. Die Empf¨ angerfl¨ ache ist gew¨ ohnlich ein d¨ unner, geschw¨arzter Metallstreifen oder ein Pl¨ attchen eines Halbleitermaterials, die u ¨ber alle Wellenl¨angen effizient absorbieren. Ein Ger¨ at, in dem die Temperaturdifferenz an zwei Verbindungsstellen verschiedener Metalle oder unterschiedlich dotierter Halbleiter eine Spannung erzeugt, nennt man Thermoelement (s. Abb. 2.17 a). Dieser Effekt l¨asst sich durch die Reihenschaltung von Thermoelementen verst¨arken. Diesen Detektor nennt man Thermos¨aule (Thermopile, s. Abb. 2.17 b). Es gibt auch thermische Detektoren, bei denen ein Widerstandsk¨ orper insgesamt seine Temperatur ver¨andert und man diese Widerstands¨ anderung misst. In einer solchen Messvorrichtung wird als Messelement entweder ein Metall (Bolometer ) oder h¨aufiger ein Halbleiter (Thermistor ) eingesetzt. Typischerweise benutzt man zwei geschw¨arzte empfindliche Elemente in benachbarten Zweigen einer Br¨ uckenschaltung, wobei ein Element der einfallenden Strahlung ausgesetzt ist und das andere abgeschirmt wird. Aufgrund der Widerstands¨ anderung tritt ein Br¨ uckenstrom auf, der zur Messung der Strahlung genutzt wird. Im pyroelektrischen Detektor bewirkt die Temperatur¨ anderung eine Ver¨ anderung der Oberfl¨achenladung von bestimmten Materialien, wie z.B. Lithiumtantalat (LiTaO3 ) oder Triglyzinsulfat (TGS), die den pyroelektrischen Effekt zeigen. Der Detektor reagiert nur auf Strahlungs¨anderungen. Bei zeitlich konstanter Strahlung liefert er kein Signal. Die Golay-Zelle benutzt zum Nachweis die thermische Ausdehnung eines Gases. Die von einer geschw¨ arzten Membran absorbierte W¨ arme wird an das Gas in einer gasdichten Kammer weitergegeben. Der Druckanstieg im Gas ¨außert sich in einer Verformung der kammerbegrenzenden W¨ ande, die gew¨ ohnlich optisch, z.B. u ¨ ber die Reflexion an einem Spiegel, nachgewiesen wird (s. Abb. 2.18). Thermische Detektoren rea¨ gieren im Allgemeinen langsam auf Anderungen der einfallenden Strahlung. Bei schnellen Signalen, z.B. Pulsen mit Anstiegs- und Abfallszeiten im ms-Bereich, sind thermische Detektoren in der Regel u ¨berfordert und man benutzt die schnelleren Quantendetektoren. Das Zeitverhalten der Detektoren wird durch die Zeit¨ konstante τ charakterisiert. Diese gibt die Zeit an, die nach einer Anderung des Eingangssignals vergehen muss, bis das Ausgangssignal z.B. 63% des Endwertes erreicht. Quantendetektoren reagieren direkt auf die einfallenden Photonen der Strahlung. Die Photonen wirken direkt auf die Elektronen im Detektormaterial. Wenn dabei Elektronen aus der bestrahlten Oberfl¨ache ausgel¨ost werden, nennt man dieses Ger¨ at einen photoemissiven Detektor (¨außerer Photoeffekt). Typischerweise absorbiert eine photosensitive Oberfl¨ ache (Photokathode, enth¨alt meist Alkali-

2.6 Strahlungsdetektoren

33

Abb. 2.18. Pneumatischer Golay-Infrarotdetektor

Metalle mit niedriger Austrittsarbeit f¨ ur Elektronen) Photonen, deren Energie hf gr¨ oßer als die Austrittsarbeit der im Metall gebundenen Elektronen ist. Werden die photoemittierten Elektronen durch eine positive Anode in einer evakuierten R¨ ohre gesammelt und als Strom in einem ¨außeren Kreis nachgewiesen, so nennt man diesen Detektor eine Vakuum-Photozelle. Wird das Signal intern durch sekund¨ are Elektronenemission verst¨ arkt, so ist dies ein Photomultiplier (s. Abb. 2.19). In diesem Fall werden die prim¨aren Photoelektronen beschleunigt, so dass bei einer Folge von St¨ oßen mit den Elektroden (Dynoden) der Strom durch die zus¨ atzlich aus den Dynoden ausgel¨osten sekund¨aren Elektronen (Sekund¨ arelektronenvervielfacher = SEV) verst¨arkt wird. Am Ausgang des Photomultipliers erh¨ alt man durch die lawinenartige Zunahme der Verst¨arkung ein hohes Ausgangssignal, das zum einfallenden Photonenstrom proportional ist. Der spektrale Bereich von Photomultipliern mit verschiedenen Photokathoden reicht unter Ber¨ ucksichtigung der Transmission des Fenstermaterials von λ = 160 nm (Sb-Cs) bis λ = 1200 nm (Ag-O-Cs).

Abb. 2.19. Prinzip des Photomultipliers. Die Photonen treffen durch ein seitliches Fenster auf die Photokathode. Von der Photokathode emittierte Elektronen werden auf die n¨ achste Dynode beschleunigt und l¨ osen u oße von Dynode zu Dynode mehr ¨ ber St¨ sekund¨ are Elektronen aus. Der verst¨ arkte Strom wird auf der Anode nachgewiesen

34

2 Erzeugung und Messung von Licht

In der gasgef¨ ullten Photozelle nutzt man eine andere M¨oglichkeit der Verst¨arkung. Hierbei werden zus¨ atzliche Elektronen durch Ionisation des Restgases erzeugt. Im Fall von gen¨ ugend energetischen Photonen (λ < 550 nm) ist die Empfindlichkeit von photoemissiven Detektoren ausreichend, um einzelne Photonen zu z¨ ahlen. Dieser Detektortyp hat damit u ¨berragende Empfindlichkeit im sichtbaren und ultravioletten Spektralbereich. F¨ ur Wellenl¨ angen im Infraroten – jenseits ca. 1,2 µm – gibt es keine Photoemitter und man benutzt photoleitende Detektoren (Photowiderst¨ande). In diesen Detektoren werden Photonen in d¨ unnen Filmen oder im Volumen des Materials absorbiert und erzeugen dort zus¨ atzliche freie Ladungen in Form von ElektronLochpaaren (innerer Photoeffekt). Sowohl die negativen (Elektronen) als auch die positiven (L¨ ocher, Defektelektronen) Ladungen vergr¨oßern die elektrische Leitf¨ ahigkeit des Materials. Ohne Beleuchtung bewirkt eine angelegte Spannung einen kleinen Dunkelstrom im Messwiderstand. Bei Beleuchtung erniedrigen die zus¨ atzlichen Ladungstr¨ ager den Widerstand und man erh¨alt bei konstanter ¨außerer Spannung einen erh¨ ohten Photostrom, der proportional zum Photonenstrom ist. Als Material verwendet man CdS (Cadmiumsulfid) und CdSe (Cadmiumselenid) im Sichtbaren bzw. im nahen Infrarot (s. Abb. 2.20). Im ferneren Infrarotbereich werden PbS-(Bleisulfid, 0,8–3 µm) und PbSe-(Bleiselenid, 1–5 µm) Detektoren eingesetzt. Im Wellenl¨ angengebiet von 1–8 µm weisen die Halbleitermaterialien PbS, PbSe und PbTe (Bleitellurid) einen großen photovoltaischen Effekt auf und haben eine gr¨ oßere Empfindlichkeit als die Thermos¨aule oder gew¨ohnliche Bolometer. Bei gr¨ oßeren Wellenl¨ angen (λ > 5 µm) muss man Photowiderst¨ande k¨ uhlen, um ausreichende Empfindlichkeit f¨ ur niederenergetische Photonen sicherzustellen. ¨ Der gebr¨ auchlichste photovoltaische Detektor ist ein pn-Ubergang in Form des Photoelementes, das ohne Fremdspannung betrieben wird. Das Photoelement ¨ besteht aus einem pn-Ubergang aus p-dotiertem und n-dotiertem Silizium. Die Dotierung bedeutet den Zusatz von geringen Mengen an Fremdmaterial zum ¨ Halbleiter, die entweder einen Uberschuss (n-Typ) oder einen Mangel (p-Typ) der Leitungselektronen bewirken. Im Grenzbereich zwischen diesen Materialien entsteht aufgrund der Diffusion der Ladungstr¨ager ein elektrisches Feld. Wenn in ¨ der Umgebung des pn-Ubergangs Photonen absorbiert werden, werden die erzeugten Elektron-LochElektron-Lochpaare durch dieses Feld getrennt und man erh¨alt eine ¨ außere Spannungs¨ anderung, den photovoltaischen Effekt. Die Leerlaufspannung nimmt logarithmisch mit der Beleuchtungsst¨arke zu und geht gegen einen S¨attigungswert. Die Solarzelle und der Belichtungsmesser in der Fotografie sind Anwendungen dieses Detektors. ¨ Betreibt man den pn-Ubergang mit einer Vorspannung (engl: BIAS) in SperrRichtung, so ist der Strom proportional zum einfallenden Photonenstrom (bzw. der Beleuchtungsst¨ arke). Man bezeichnet dieses Element als Photodiode. In der pin-Photodiode hat man zwischen der sehr d¨ unnen p-Schicht und der n-Schicht eine dickere (bis 1 mm) Schicht aus reinem, nichtdotierten (schwachdotierten)

2.6 Strahlungsdetektoren

35

Abb. 2.20. Spektrale Empfindlichkeit von Photowiderst¨ anden. a) CdS- Element, die maximale Empfindlichkeit liegt bei ca. 550 nm, in der N¨ ahe der maximalen Empfindlichkeit des Auges f¨ ur Tagessehen. b) CdSe-Element mit maximaler Empfindlichkeit bei ca. 740 nm, geeignet zum Nachweis der Strahlung im nahen Infrarot, z.B. einer Gl¨ uhlampe

Halbleitermaterial, das eigenleitend (engl.: intrinsic) ist. pin“ steht f¨ ur die Rei” henfolge der Schichten, p-dotiert–intrinsic–n-dotiert. Der Dunkelstrom (Strom mit ”BIAS”, ohne Bestrahlung) ist besonders klein. Wegen der dicken i-Schicht erreicht man eine hohe Quantenausbeute (Verh¨altnis von erzeugten Ladungstr¨ agern zu einfallenden Photonen). Die pin-Diode hat Grenzfrequenzen im GHzBereich. Bei der Lawinendiode (Avalanche-Photo-Diode, APD), die ¨ahnlich wie die pin-Diode aufgebaut ist, sorgt ein interner Verst¨arkungsmechanismus f¨ ur h¨ ohere Empfindlichkeit. Hierbei werden in der i-Schicht durch Stoßionisation zus¨ atzliche Ladungstr¨ ager erzeugt. Man verwendet auch zweidimensionale Matrixanordnungen (Arrays) von Photodioden als Bildgeber. Jedes Photodioden- oder MOS- (Metalloxid-Halbleiter-) Element der Matrix reagiert auf die einfallende Strahlung und liefert ein Pixel (picture element, Bildelement) am Ausgang. Bei der Belichtung speichert jedes der diskreten Elemente auf einem Siliziumchip die photoinduzierte Ladung in einem Potentialtopf“, der durch die angelegte Gatterspannung erzeugt wird. Die ” gespeicherte Ladung in jedem Pixel ist ein Maß f¨ ur die lokale Bestrahlungsst¨arke und wird zur elektronischen Aufzeichnung des Bildes abgefragt. Die Abtastung

36

2 Erzeugung und Messung von Licht

und das Auslesen werden durch Ladungstransfer entlang Reihen solcher Elemente (CCD, charge coupled device, ladungsgekoppelte Elemente) oder durch Zufuhr von Ladung durch das darunterliegende Halbleitermaterial (CID, charge injection device) ausgef¨ uhrt. Durch sequentielles Lesen der gespeicherten Ladung rekonstruiert man die urspr¨ ungliche Bestrahlungsst¨arkeverteilung und ermittelt damit das Bild. CCDs in Matrixanordnung werden in Fernsehkameras oder in astronomischen Teleskopen und Spektrographen eingesetzt. Ein weiterer Photodetektor ist der fotografische Film oder die Fotoplatte. Es sind fotografische Emulsionen mit einer spektralen Empfindlichkeit verf¨ ugbar, die vom R¨ ontgenstrahlungsbereich bis in den nahen Infrarotbereich (ca. 1,2 µm) reicht. Das empfindliche Material ist eine Emulsion von Silberhalogenid-Kristallen oder -K¨ ornern. Ein einfallendes Photon l¨ ost ein Elektron des Halogen-Ions ab, das sich dann mit dem Silber-Ion vereinigt und ein neutrales Silberatom ergibt. Nach der Belichtung enth¨ alt die Emulsion vor der Entwicklung zun¨achst ein latentes Bild, eine Verteilung von reduzierten Silberatomen, die durch die empfangene Strahlungsenergie bestimmt ist. Das latente Bild wird durch den Entwickler verst¨ arkt und sichtbar gemacht. Die eingesetzten chemischen Reaktionen liefern weitere freie Elektronen, um den Reduktionsprozess fortzusetzen, wobei das latente Bild als Katalysator f¨ ur den weiteren Ablauf wirkt. Die Dichte der Silberatome und damit die Schw¨ arzung des Films ist sowohl von der Bestrahlungsst¨ arke als auch von der Belichtungszeit – also von der Bestrahlung – abh¨ angig. Damit hat der fotografische Film im Gegensatz zu anderen Detektoren den Vorteil der Integration eines Lichtsignals. Sogar schwache Strahlung kann durch den kumulativen Effekt einer langen Belichtungszeit nachgewiesen werden. Unsensibilisierte Schichten von AgBr sind nur f¨ ur Licht mit λ < 490 nm empfindlich. Orthochromatische sensibilisierte Schichten sind f¨ ur λ ≤ 590 nm, also bis zum Gelb empfindlich. Panchromatische sensibilisierte Schichten weisen Licht im Bereich von λ = 380 − 700 nm nach. Die absolute spektrale Empfindlichkeit s eines Detektors kann man als das Verh¨ altnis von Ausgangs- zu Eingangssignal definieren, z.B. f¨ ur eine Photodiode: absolute spektrale Empfindlichkeit

sΦ (λ) =

Photostrom IPhoto = Strahlungsfluss Φe (λ)

(2.20)

Eingangsgr¨ oße ist der Strahlungsfluss oder die Bestrahlungsst¨arke. Das Ausgangssignal ist ein Strom oder eine Spannung. Detektor und zugeh¨origer Verst¨arker sollten ein Ausgangssignal liefern, das proportional zum Eingangssignal ist. Im Allgemeinen ist s von der Wellenl¨ ange abh¨angig. Ein nicht selektiver Detektor ist in seinem Ausgangssignal nur vom Strahlungsfluss abh¨angig, nicht von der Wellenl¨ ange. Thermische Detektoren benutzen eine geschw¨arzte Empfangsfl¨ache, die meist nicht selektiv ist. Die Eintrittsfenster von Detektoren wirken aufgrund der wellenl¨ angenabh¨ angigen Transmission selektiv.

2.6 Strahlungsdetektoren

37

Die Schwellenempfindlichkeit D eines Detektors ist das Reziproke der rausch¨aquivalenten (minimal detektierbaren) Strahlungsleistung, die man noise equivalent power (NEP) ΦN des Detektors nennt: Schwellenempfindlichkeit

D=

1 ΦN

(2.21)

F¨ ur den Vergleich verschiedener Detektoren benutzt man eine weitere Gr¨oße, die Detektivit¨at

√ ∗

D =

A∆f ΦN

(2.22)

Hierbei ist A die empfindliche Fl¨ ache des Detektors und ∆f die Frequenzbandbreite des Messverst¨ arkers. Die Grenzfrequenz eines Detektors ist die Frequenz, √ bei der die Empfindlichkeit s auf das 1/ 2-fache (−3 dB) des Wertes bei zeitlich konstanter Beleuchtung zur¨ uckgegangen ist. Die minimal detektierbare Leistung ist durch das Untergrundrauschen des Detektors begrenzt. Es gibt viele Quellen f¨ ur dieses Untergrundrauschen, z.B. statistische Fluktuation von Photonen (Strahlungsrauschen, Photonenrauschen), oder die thermische Bewegung von Ladungstr¨agern (Widerstands- oder JohnsonRauschen), die in allen Detektoren auftreten. Es gibt das Erzeugungs- und Rekombinationsrauschen aufgrund statistischer Fluktuationen der Anzahl der Ladungstr¨ ager in Photoleitern, das Schrotrauschen aufgrund der zuf¨alligen Emission von Elektronen in photoemissiven Detektoren und das Rauschen aufgrund von Temperaturfluktuationen in thermischen Detektoren.

¨ Ubungen 2.1 Berechnen Sie die Frequenzen elektromagnetischer Strahlung, die einen Sinneseindruck im normalen Auge hervorrufen. 2.2 Eine monochromatische Lichtquelle strahlt bei 500 nm mit einer Leistung von 500 W. a) Nur 2% der Gesamtleistung erreichen das Auge als Lichtstrom. Wie groß ist der Lichtstrom am Auge? b) Die Quelle strahlt gleichf¨ ormig in alle Raumrichtungen. Berechnen Sie die Strahlst¨ arke und die Lichtst¨ arke. c) Die strahlende Fl¨ ache der Quelle betr¨ agt 50 cm2 . Berechnen Sie die spezifische Ausstrahlung. d) Wie groß sind Bestrahlungsst¨ arke und Beleuchtungsst¨ arke auf einem Schirm, der 2 m von der Quelle entfernt ist, wenn die Oberfl¨ ache senkrecht zum einfallenden Strahlungsfluss ist?

38

2 Erzeugung und Messung von Licht e) Der Schirm enth¨ alt eine Bohrung mit 5 cm Durchmesser. Wie groß sind Strahlungsfluss und Lichtstrom, die durch das Loch gelangen?

2.3 a) Ein 50 mW He-Cd-Laser emittiert bei 441,6 nm und ein 4-mW–He-Ne-Laser bei 632,8 nm. Benutzen Sie Abb. 2.7, um die relative Helligkeit der beiden Laserstrahlen gleichen Durchmessers auf einem weißen Papier zu vergleichen. Nehmen Sie Tagessehen an (photopische Sicht). b) Wie groß muss die Leistung eines Argonionen-Lasers sein, der bei 488 nm emittiert, damit die Helligkeit eines gr¨ unen 0,5-mW–He-Ne-Lasers bei 543,5 nm unter den Bedingungen von a) erreicht wird? 2.4 Eine Lampe, die 3 m direkt oberhalb eines Punktes P am Boden eines Raumes angebracht ist, erzeugt in P eine Beleuchtungsst¨ arke von 100 lm/m2 . a) Wie groß ist die Lichtst¨ arke der Lampe? b) Wie groß ist die Beleuchtungsst¨ arke auf einem anderen Punkt am Boden, der 1 m vom Punkt P entfernt ist? 2.5 Ein Parkplatz wird bei Nacht durch gleiche Lampen an der Spitze von zwei Masten, die 9 m hoch und 12 m voneinander entfernt sind, beleuchtet. Nehmen Sie an, dass die Lampen gleichm¨ aßig in alle Raumrichtungen strahlen. Vergleichen Sie die Beleuchtungsst¨ arke am Boden f¨ ur Punkte direkt unter der Lampe und in der Mitte zwischen beiden Lampen. 2.6 Eine kleine Quelle mit einer Lichtst¨ arke von 100 cd befindet sich im Brennpunkt eines Kugelspiegels von 50 cm Bildbrennweite und 10 cm Durchmesser. Wie groß ist die mittlere Beleuchtungsst¨ arke eines parallelen Strahlenb¨ undels, das vom Spiegel reflektiert wird, wenn man einen Reflexionsgrad von 80% annimmt? 2.7 a) Die Sonne erscheint von der Erdoberfl¨ ache aus unter einem Winkel von 0,5◦ . Die Beleuchtungsst¨ arke ist bei senkrechtem Einfall ungef¨ ahr 105 lx. Bestimmen Sie die Leuchtdichte der Sonne. b) Bestimmen Sie die Beleuchtungsst¨ arke auf einer horizontalen Oberfl¨ ache unterhalb des halbkugelf¨ ormigen Himmels mit der gleichf¨ ormigen Leuchtdichte L. 2.8 Eine kreisf¨ ormige Scheibe mit dem Radius 20 cm und der gleichf¨ ormigen Leuchtdichte 105 cd/m2 beleuchtet eine kleine ebene Oberfl¨ ache von 1 cm2 , die 1 m vom Zentrum der Scheibe entfernt ist. Die kleine Oberfl¨ ache ist so orientiert, dass ihre Normale unter einem Winkel von 45◦ zu der Verbindungsachse zwischen den Zentren beider Oberfl¨ achen steht. Die Achse ist senkrecht zur kreisf¨ ormigen Scheibe. Wie groß ist der Lichtstrom, der auf die kleine Fl¨ ache einf¨ allt? 2.9 Leiten Sie das Wiensche Verschiebungsgesetz aus der Planckschen Formel f¨ ur die spezifische Ausstrahlung der schwarzen Strahlers ab. 2.10 Leiten Sie das Stefan-Boltzmannsche Gesetz aus der Planckschen Formel f¨ ur die spezifische Ausstrahlung der Schwarzk¨ orperstrahlung ab. (Hinweis: Benutzen Sie die Substitution x = hc/λkT , um die Integration zu vereinfachen.) 2.11 Das Maximum des solaren Spektrums liegt bei ungef¨ ahr 500 nm. Bestimmen Sie die Oberfl¨ achentemperatur der Sonne, wobei Sie annehmen, dass diese ein schwarzer Strahler ist.

2.6 Strahlungsdetektoren

39

2.12 a) Bei welcher Wellenl¨ ange zeigt ein schwarzer Strahler mit T = 6000 K die h¨ ochste spezifische Ausstrahlung pro Wellenl¨ angeneinheit? ¨ b) Der schwarze Strahler werde durch eine Offnung von 1 mm Durchmesser eines Hohlraumstrahlers von 6000 K realisiert. Bestimmen Sie die Leistung, die durch ¨ die Offnung im Wellenl¨ angenbereich von 550 – 551 nm abgestrahlt wird. 2.13 Bei gegebener Temperatur ergibt sich λmax = 550 nm f¨ ur einen Hohlraumstrahler. Die Hohlraumtemperatur wird so weit erh¨ oht, bis sich die spezifische Ausstrahlung verdoppelt. Wie groß ist die neue Temperatur und die neue Wellenl¨ ange maximaler Ausstrahlung λmax ? 2.14 Wie groß muss die Temperatur eines grauen Strahlers mit dem Emissionsgrad εE = 0,45 sein, um die gleiche spezifische Ausstrahlung wie ein schwarzer Strahler bei T = 5000 K zu erreichen?

3 Geometrische Optik

Einleitung Die Ausbreitung von Licht muss nicht in jedem Fall als Wellenbewegung betrachtet werden. Wenn die Wellenl¨ ange des Lichtes vernachl¨assigbar klein gegen¨ uber den Abmessungen der Komponenten des optischen Systems ist, kann man in der N¨ aherung der geometrischen Optik arbeiten. Kann der Wellencharakter des Lichtes nicht vernachl¨ assigt werden, so spricht man von Wellenoptik. Die geometrische Optik ist ein Spezialfall der Wellenoptik. W ellenoptik −−−−→ geometrische Optik λ→0

Da die Wellenl¨ ange von Licht normalerweise sehr klein gegen¨ uber der Gr¨oße gebr¨ auchlicher Objekte ist, kann man das Verhalten eines Lichtb¨ undels, das durch Blenden¨ offnungen verl¨ auft oder auf Hindernisse trifft, durch die geometrische Optik erkl¨ aren. Wir erinnern uns, dass die Beobachtung von scharfen Schatten Newton zu der Behauptung veranlasste, dass die offensichtliche geradlinige Ausbreitung von Licht durch einen Strom von Lichtkorpuskeln besser erkl¨art wird als durch eine Wellenbewegung. Die Ausbreitung langwelliger Wellen, z.B. Wasser-

42

3 Geometrische Optik

oder Schallwellen, ist daf¨ ur bekannt, dass man eine deutliche Beugung um Hindernisse herum erkennen kann. Zur Zeit von Isaac Newton gab es schon erste Beobachtungen der Beugung von Lichtwellen. Der Jesuit Francesco Grimaldi hatte die feine Struktur am Rand eines Schattens bemerkt, die nicht durch die geradlinige Ausbreitung von Licht erkl¨ arbar war. Die Abweichung von der geradlinigen Ausbreitung von Licht an der Kante eines Hindernisses wurde Beugung genannt. Innerhalb der N¨ aherung der geometrischen Optik betrachtet man Licht als Strahlen, die sich geradlinig von einer Quelle ausbreiten. Der Strahl ist dann der Weg, entlang dessen sich Lichtenergie von einem Punkt eines optischen Systems zu einem anderen Punkt ausbreitet. Der Strahl ist eine n¨ utzliche Konstruktionshilfe, aber eine abstrakte Vorstellung, da in der Praxis nat¨ urlich nur Lichtb¨ undel existieren. Diese kann man nie so weit einengen, dass sie mathematischen Linien entsprechen. Der Laserstrahl ist wahrscheinlich die beste N¨aherung eines Lichtstrahles. Wenn man jedoch eine Blenden¨offnung, durch die der Laserstrahl verl¨ auft, sehr klein macht, beginnt der Strahl nach dieser Blenden¨offnung eine charakteristische Beugungsverbreiterung zu zeigen. L¨ auft ein Lichtstrahl durch ein optisches System, das aus mehreren homogenen Medien besteht, so ist der optische Weg eine Abfolge von Richtungs¨anderungen mit dazwischen liegenden geradlinigen Abschnitten. Diese ergeben sich jedesmal, wenn Licht reflektiert oder gebrochen wird. Folglich sind die nachstehenden Gesetze grundlegend f¨ ur die geometrische Optik: Reflexionsgesetz Wird ein Lichtstrahl an der Grenzfl¨ ache zwischen zwei homogenen Medien reflektiert, so bleibt der reflektierte Strahl in der Einfallsebene und der Reflexionswinkel aßig gleich groß wie der Einfallswinkel ε. ε
r ist betragsm¨ Reflexionsgesetz

ε
r = −ε

(3.1)

Die Einfallsebene ist durch den einfallenden Strahl und das Einfallslot definiert. Das Einfallslot ist die Normale auf der Grenzfl¨ache im Einfallspunkt. Die Vorzeichenkonvention und die Bezeichnungsregeln werden im Kapitel 3.6 (Brechung an einer sph¨ arischen Fl¨ ache) ausf¨ uhrlich erkl¨art. Wie aus Abb. 3.1 ersichtlich, werden die Winkel relativ zum Einfallslot gemessen, wobei sich das Vorzeichen des Winkels aus der Richtung der k¨ urzesten Drehung des Bezugsschenkels (Lot) in die Strahlrichtung ergibt. Linksdrehungen des Bezugsschenkels ergeben ein positives Vorzeichen des Winkels, Rechtsdrehungen ein negatives. Diese Vorzeichen m¨ ussen f¨ ur die Zahlenwerte der Winkel benutzt werden. Sie sind in Abb. 3.1 deshalb nur als Erinnerung in Klammern (+) oder (−) angegeben.

3.1 Huygenssches Prinzip

43

Brechungsgesetz von Snellius Wenn ein Lichtstrahl an der Grenzfl¨ ache zwischen zwei homogenen, optisch isotropen Medien gebrochen wird, so bleibt der gebrochene Strahl in der Einfallsebene und der Sinus des Brechungswinkels ε
ist direkt proportional zum Sinus des Einfallswinkels ε: sin ε = konst. (3.2) sin ε
Beide Gesetze sind in Abb. 3.1 dargestellt. An der Grenzfl¨ache zwischen zwei transparenten Medien wird der einfallende Strahl partiell reflektiert und partiell transmittiert.

Abb. 3.1. Darstellung des Reflexions- und Brechungsgesetzes

3.1 Huygenssches Prinzip Der holl¨ andische Physiker Christiaan Huygens (1629-1695) betrachtete Licht als eine Serie von Wellenpulsen, die von jedem Punkt eines leuchtenden K¨orpers ¨ ausgehen. Die Ausbreitung sollte durch eine Relaiskette aus Atherteilchen er¨ folgen. Als Ather bezeichnete er ein elastisches Medium, das den ganzen Raum ausf¨ ullt. Im Rahmen dieses Modells betrachtete Huygens jeden Punkt einer sich ausbreitenden St¨ orung als Ausgangspunkt von neuen Pulsen, die zu der St¨orung beitrugen. Um zu zeigen, wie dieses Modell der Lichtausbreitung die Gesetze der geometrischen Optik erkl¨ art, schlug er folgendes Prinzip vor:

44

3 Geometrische Optik

Jeder Punkt einer sich ausbreitenden Wellenfront kann als Ausgangspunkt von Elementarwellen (Kugelwellen) gleicher Frequenz, Wellenl¨ange und Polarisation betrachtet werden, die sich selbst wieder mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten und deren Einh¨ ullende die neue Wellenfront festlegt.

Abb. 3.2. Huygenssches Prinzip f¨ ur eine ebene und f¨ ur eine Kugelwelle

In Abb. 3.2 wird dieses Prinzip auf eine ebene und eine Kugelwelle angewandt. In jedem dieser F¨ alle bestimmt der Streckenzug AB die anf¨angliche Wellenfront,

und A B ist die neue Wellenfront zu einem sp¨ateren Zeitpunkt t. Der Radius jeder Elementarwelle (sph¨ arische Welle) ist c · t, wobei c die Geschwindigkeit des Lichtes im Ausbreitungsmedium ist. Nach Huygens ist ein Teil der Elementarwelle bei der Anwendung des Prinzips zu vernachl¨assigen. Andernfalls w¨ urde man die geradlinige Ausbreitung des Lichtes aus diesem Prinzip nicht ableiten k¨onnen. Dies l¨ asst sich aus Abb. 3.3 entnehmen, die die Ausbreitung einer sph¨arischen ¨ Welle beschreibt, die vom Punkt O ausgeht und auf eine Offnung A1 B1 f¨allt. Unter der Annahme der geradlinigen Ausbreitung des Lichtes bilden die Geraden OA und OB die scharfen Kanten des Schattens auf der rechten Seite der Blenden¨ offnung. Einige der Elementarwellen, die von Punkten auf der Wellenfront (Bogen A1 B1 ) ausgehen, u ¨ berlappen jedoch im Bereich des Schattens. Folgt man Huygens, so werden diese nicht ber¨ ucksichtigt, und die neue Wellenfront endet an den Punkten A
1 und B1
. Durch diese N¨aherung vermied Huygens – f¨alschlich – die Beugung von Licht in den Bereich des geometrischen Schattens. Huygens

3.1 Huygenssches Prinzip

45

vernachl¨ assigte auch die Wellenfront, die durch die r¨ uckw¨artige H¨alfte der Elementarwellen gebildet wird und in die entgegengesetzte Richtung l¨auft. Trotz der Schw¨ achen seines Modells, die sp¨ ater von Fresnel und anderen beseitigt wurden, konnte Huygens durch Anwendung dieses Prinzips die Gesetze der Reflexion und der Brechung ableiten.

Abb. 3.3. Huygensche Konstruktion f¨ ur eine Wellenfront, die auf ein Hindernis, in diesem Fall eine Blenden¨ offnung, trifft

Abbildung 3.4 illustriert die Ableitung des Reflexionsgesetzes mit Hilfe der Huygensschen Konstruktion f¨ ur die Reflexion eines schmalen, parallelen Lichtb¨ undels. Das Huygenssche Prinzip muss hier modifiziert werden, um die Reflexion einer Wellenfront AC, die schr¨ ag auf eine ebene Grenzfl¨ache XY trifft, zu beschreiben. Der Einfallswinkel der Strahlen AD, BE und CF relativ zur Senkrechten P D (Einfallslot) ist ε. Punkte auf der Wellenfront AC kommen nicht gleichzeitig auf der Grenzfl¨ ache an. Dies muss man bei der Konstruktion der Elementarwellen, die die reflektierte Wellenfront bestimmen, ber¨ ucksichtigen. Wenn die Grenzfl¨ ache XY nicht vorhanden w¨ are, w¨ urde die Huygenssche Konstruktion die Wellenfront GI ergeben. Die reflektierende Fl¨ache bewirkt, dass w¨ahrend des gleichen Zeitintervalls, das der Strahl CF ben¨otigt, um von Punkt F nach I zu kommen, der Strahl BE zun¨ achst die Strecke EJ und nach der Reflexion zus¨atzlich eine Strecke der L¨ ange JH zur¨ ucklegt. Deshalb wird f¨ ur den reflektierten Anteil eine Elementarwelle um J mit dem Radius JH gezeichnet, die oberhalb der reflektierenden Oberfl¨ ache verl¨ auft. In gleicher Weise wird eine Elementarwelle mit dem Radius DG und dem Zentrum D gezeichnet, die die Ausbreitung

46

3 Geometrische Optik

Abb. 3.4. Ableitung des Reflexionsgesetzes (obere Abbildung) sowie des Brechungsgesetzes aus dem Huygensschen Prinzip

3.2 Das Fermatsche Prinzip

47

nach der Reflexion f¨ ur den unteren Teil des Strahlb¨ undels beschreibt. Die neue Wellenfront verl¨ auft tangential zu diesen Elementarwellen in den Punkten M und N und ist in der Abbildung als KI gezeigt. Ein repr¨asentativer reflektierter Strahl ist DL, der senkrecht zur reflektierten Wellenfront gezeichnet ist. Das Einfallslot P D benutzt man, um den Einfallswinkel und den Reflexionswinkel des Strahles zu definieren. Die Konstruktion zeigt, dass Einfalls- und Ausfallswinkel im Betrag gleich groß sind, wie in Abb. 3.4 angegeben. In Abb. 3.4 wird die Huygenssche Konstruktion f¨ ur das Brechungsgesetz gezeigt. Hierbei m¨ ussen wir unterschiedliche Geschwindigkeiten des Lichtes im oberen und unteren Medium ber¨ ucksichtigen. Wenn die Geschwindigkeit des Lichtes im Vakuum c0 ist, dann beschreiben wir die Geschwindigkeit des Lichtes im oberen Medium durch den Quotienten c0 /n, wobei n eine Konstante ist, die das Medium charakterisiert und die als Brechzahl bezeichnet wird. Die Geschwindigkeit des Lichtes im unteren Medium betr¨agt c
= c0 /n
. Die Punkte D, E und F der einfallenden Wellenfront kommen an den Punkten D, J und I der ebenen Grenzfl¨ ache XY zu verschiedenen Zeiten an. Ohne die brechende Fl¨ache entsteht die Wellenfront GI, wenn der einfallende Strahl CF den Punkt I erreicht. W¨ ahrend des Fortschreitens des Strahles CF von F nach I in der Zeit t breitet sich der Strahl AD in dem unteren Medium aus, wo die Geschwindigkeit z.B. geringer ist. Betr¨ agt die Entfernung F I = DG = c · t, so konstruiert man eine Elementarwelle mit dem Radius c
· t mit dem Zentrum D. Den Radius DM kann man wie folgt schreiben:     n DG

DM = c t = c = DG c n
In gleicher Weise zeichnet man eine Elementarwelle mit dem Radius JN = (n/n
)JH um den Punkt J. Die neue Wellenfront KI enth¨alt einen Punkt I auf der Grenzfl¨ ache und ist, wie in der Abbildung zu sehen, tangential zu den Elementarwellen in den Punkten M und N . Die geometrische Beziehung zwiur den einfallenden Strahl AD und den schen den Winkeln ε und ε
, die sich f¨ gebrochenen Strahl DL ergibt, ist das Brechungsgesetz (Abb. 3.4): Snelliussches Brechungsgesetz

n sin ε = n
sin ε


(3.3)

3.2 Das Fermatsche Prinzip Die Gesetze der geometrischen Optik k¨ onnen auch aus einer anderen fundamentalen Hypothese abgeleitet werden. Die grundlegenden Annahmen des Fermatschen Prinzips wurden bereits von Hero von Alexandria, der im 2. Jh. v. Chr. lebte,

48

3 Geometrische Optik

genannt. Nach seiner Vorstellung nimmt Licht immer den k¨ urzesten Weg zwischen zwei Punkten. F¨ ur die Ausbreitung zwischen zwei Punkten in demselben homogenen Medium ist dieser Weg selbstverst¨andlich die gerade Linie, die die beiden Punkte verbindet. In Abb. 3.5 ist die Ableitung des Reflexionsgesetzes u urzesten Weg ¨ ber das Fermatsche Prinzip dargestellt. Hier ist nun nach dem k¨ mit einer Reflexion am Spiegel gefragt. Die Abbildung zeigt drei m¨ogliche Wege von Punkt A zu Punkt B, wobei in den Punkten C und E bei der Reflexion offensichtlich Ein- und Ausfallswinkel nicht entgegengesetzt gleich groß sind. Betrachten wir einen beliebigen Weg ACB. Wenn der Punkt A
auf der Senkrechten AO so gew¨ ahlt wird, dass AO gleich OA
ist, so sind die rechtwinkeligen Dreiecke AOC und A
OC kongruent. Daraus folgt, dass AC gleich A
C ist. Damit ist die Entfernung, die der Strahl vom Punkt A zum Punkt B u ucklegt die ¨ber C zur¨
urzeste Entfernung von A
nach B gleiche wie von Punkt A zu B u ¨ ber C. Die k¨
ist offensichtlich die gerade Linie A DB, so dass der Weg ADB die richtige Wahl ist und dem tats¨ achlichen Lichtweg entspricht. Aus elementaren geometrischen ¨ Uberlegungen (gleiche Scheitelwinkel) folgt, dass f¨ ur diesen Weg ε
r = −ε gilt. Die
Forderung, dass A DB eine einfache gerade Linie sein muss, legt fest, dass der reflektierte Strahl in der Einfallsebene liegen muss. Hier ist es die Papierebene.

Abb. 3.5. Konstruktion zum Beweis des Reflexionsgesetzes aus dem Heroschen Prinzip

Der franz¨ osische Mathematiker Pierre de Fermat (1601 od. 1608-1665) generalisierte das Prinzip von Hero, um das Brechungsgesetz zu beweisen. Wenn der Endpunkt C – wie in Abb. 3.6 – unterhalb der Fl¨ache eines zweiten Mediums liegt, so muss der richtige Lichtweg nicht der k¨ urzeste geometrische Weg bzw. die gerade Linie AC sein, denn dies w¨ urde den Winkel des gebrochenen Strahles gleich dem Einfallswinkel machen und das empirisch festgestellte Brechungsgesetz verletzen. Fermat forderte deshalb, dass der Lichtstrahl von A nach C den Weg nimmt, auf dem er die k¨ urzeste Zeit braucht. Diese Generalisierung schließt das

3.2 Das Fermatsche Prinzip

49

Herosche Prinzip als Spezialfall ein. Wenn sich das Licht im zweiten Medium langsamer ausbreitet, wie in Abb. 3.6 angenommen, dann wird es an der Grenzfl¨ ache so gebrochen, dass es einen Weg bevorzugt, auf dem es das zweite Medium in k¨ urzerer Zeit durchl¨ auft. Damit wird die gesamte Laufzeit t von A nach C minimiert. Wir erhalten t=

BC AB +
c c

Abb. 3.6. Beweis des Brechungsgesetzes aus dem Fermatschen Prinzip

wobei c und c
die Geschwindigkeiten des Lichtes im ersten und im zweiten Medium sind. Benutzt man den Satz von Pythagoras und entnimmt die Entfernungen aus Abb. 3.6, so erh¨ alt man: z12 + h2 z22 + (b − h)2 + t= c c
Da eine andere Wahl des Weges die Position des Punktes B und damit auch die Entfernung h ¨ andert, k¨ onnen wir die Zeit mit dt/dh = 0 minimieren: b−h dt h − 2 =0 = 2 2
dh c z1 + h c z2 + (b − h)2 Nach Abb. 3.6 k¨ onnen wir in der Formel die Winkel f¨ ur den einfallenden und gebrochenen Strahl einsetzen und erhalten:

50

3 Geometrische Optik

dt sin ε sin ε
= −
=0 dh c c Daraus entnimmt man, dass c
· sin ε = c · sin ε
ist. F¨ uhrt man die Brechzahlen der Medien durch die Relation c = c0 /n ein, so erhalten wir wieder das Brechungsgesetz n sin ε = n
sin ε


(3.3)

Um die allgemeine G¨ ultigkeit des Fermatschen Prinzips zu erreichen, ist, wie zu¨ vor f¨ ur das Huygenssche Prinzip, eine Uberarbeitung n¨otig. Es gibt Situationen, in denen der tats¨ achliche Weg, den ein Lichtstrahl nimmt, nicht die minimale Zeit erfordert, sondern einer von vielen m¨ oglichen Wegen ist, f¨ ur die jedesmal die gleiche Zeit ben¨ otigt wird. Als Beispiel f¨ ur den zuletzt angegebenen Fall betrachten wir die Ausbreitung von Licht, das von einem Brennpunkt im Innern eines Ellipsoidspiegels u ¨ber eine unendliche Zahl von Wegen zum anderen Brennpunkt l¨ auft (s. Abb. 3.9 a). Da die Ellipse der Ort aller Punkte ist, f¨ ur den die Summe der Abst¨ ande von den zwei Brennpunkten konstant ist, erfordern alle Lichtwege die gleiche Zeit. Pr¨ aziser formuliert man: Fermatsches Prinzip: Der tats¨ achliche Weg, den ein Lichtstrahl bei seiner Ausbreitung zwischen zwei gegebenen Punkten in einem optischen System nimmt, ist so beschaffen, dass die optische Wegl¨ ange bei Variation des Lichtweges ein Extremum darstellt. ¨ Dies bedeutet, dass bei einer geringen Anderung des Lichtweges die optische Wegl¨ ange unver¨ andert bleibt. Die so definierten extremalen Wege nennt man station¨ ar“. Wellen, die sich auf Wegen eng benachbart zu den station¨aren“ ” ” Wegen ausbreiten, interferieren konstruktiv und dominieren deshalb die Lichtausbreitung. Die letzte Fassung des Fermatschen Prinzips beruht auf der Variationsrechnung. Die Variationsrechnung legt die Funktion fest, f¨ ur die ein bestimmtes Integral einen Extremwert annimmt. In der Optik ist dies das Integral u ¨ber die Zeitintervalle, die ein Lichtstrahl auf seinem Weg ben¨otigt1 :   ds 1 n(s) ds = Extr. t= = c c0 Hierbei bedeuten n die Brechzahl, s den Weg und c, c0 die Lichtgeschwindigkeit im Medium bzw. im Vakuum. 1

Ein ¨ ahnliches Prinzip, das Hamilton-Prinzip der kleinsten Wirkung, fordert in der Mechanik ein Minimum des bestimmten Integrals der Lagrange-Funktion (Differenz von kinetischer und potentieller Energie). Die Newtonschen Gesetze der Mechanik folgen hieraus.

3.4 Brechung an einer ebenen Grenz߬ ache

51

3.3 Umkehrung des Lichtweges Betrachten wir noch einmal die F¨ alle der Reflexion und Brechung, die in den Abb. 3.5 und 3.6 dargestellt sind. Wenn die Punkte A und B ausgetauscht werden, so dass nun B die Lichtquelle ist und A der Punkt, in dem wir das Licht beobachten, so sagt das Fermatsche Prinzip den gleichen Lichtweg voraus wie vorher. Dies bedeutet, dass jeder Lichtstrahl in einem optischen System immer den gleichen Weg zur¨ uck nimmt, wenn man den Lichtweg umkehrt. Dieses Prinzip ist sehr n¨ utzlich, wie wir in sp¨ ateren Kapiteln erkennen werden.

3.4 Brechung an einer ebenen Grenzfl¨ ache Betrachten wir den Lichtstrahl (1) in Abb. 3.7 a, der unter dem Einfallswinkel ε auf eine ebene Grenzfl¨ ache, die zwei transparente Medien trennt, auftrifft. Die beiden Medien haben die Brechzahlen n und n
, wobei n > n
gilt. Der Austrittswinkel des gebrochenen Strahls sei ε
. Das Brechungsgesetz lautet: n sin ε = n
sin ε


(3.3)

¨ Das Brechungsgesetz ergibt, dass beim Ubergang vom optisch dichteren zum op
tisch d¨ unneren Medium (n > n ) der Strahl vom Lot weg gebrochen wird. Kehrt ¨ man den Lichtweg um, so sieht man, dass beim Ubergang vom optisch d¨ unneren zum optisch dichteren Medium der Strahl zum Lot hin gebrochen wird. Das Brechungsgesetz fordert, dass der Strahl (3), der senkrecht auf die Grenzfl¨ache trifft (Einfallswinkel ε = 0), ohne Richtungs¨anderung weiter l¨auft (Brechungsangig vom Verh¨ altnis der Brechzahlen). Die drei Strahlen in winkel ε
= 0, unabh¨ Abb. 3.7 a gehen von einer Punktquelle unterhalb der Grenzfl¨ache z.B. im Wasser (n = 1,33) aus und gehen in ein oberes Medium, das eine kleinere Brechzahl hat (z.B. Luft, n
= 1). Untersucht man, ob die drei Strahlen außerhalb des Wassers von einer scheinbaren Lichtquelle innerhalb des Wassers ausgehen k¨onnen, so geschieht dies durch r¨ uckw¨ artige Verl¨ angerung der Strahlen (1), (2) und (3) in Abb. 3.7 a durch gestrichelte Linien. Man erkennt, dass sich die drei Visierlinien nicht in einem Punkt schneiden. F¨ ur Strahlen, die unter einem kleinen Einfallswinkel auf die Grenzfl¨ ache fallen, ergibt sich jedoch ein eindeutiger Bildpunkt. F¨ ur kleine Einfallswinkel gilt die paraxiale N¨aherung: sin ε ≈ tan ε ≈ ε

(im Bogenmaß)

Ausgehend von (3.3) kann dann das Brechungsgesetz durch n tan ε = n
tan ε
gen¨ ahert werden. Entnehmen wir den Tangens aus Abb. 3.7 b, so erhalten wir:

52

3 Geometrische Optik

n

h h = n

. s s

Abb. 3.7. Brechung und Totalreflexion an einer ebenen Grenzfl¨ ache

Der Bildpunkt entsteht im Abstand s
von der Oberfl¨ache. Damit erh¨alt man die Bildschnittweite einer Planfl¨ache

s
=

n
s n

(3.4)

und den Bildversatz einer Plan߬ache

OO
=

n
− n s n

(3.5)

3.5 Abbildung durch ein optisches System

53

Hierbei ist s die entsprechende Tiefe des Gegenstandes. Dies bedeutet, dass Objekte, die sich unter Wasser befinden, bei Betrachtung von einer Stelle oberhalb der Wasseroberfl¨ ache n¨ aher an der Oberfl¨ache zu sein scheinen, als sie es tats¨ achlich sind. F¨ ur Wasser erh¨ alt man s
= (1/1,33)s = 3/4s. Bei Betrachtung des Unterwasserobjektes mit dem Auge bekommt man auch dann ein scharfes oßer ist, d.h. wenn man flach auf die Wasseroberfl¨ache Bild, wenn der Winkel ε
gr¨ ¨ schaut. Dies liegt daran, dass die Offnung der Pupille nur ein schmales B¨ undel von Lichtstrahlen f¨ ur die Entstehung des Bildes auf der Netzhaut durchl¨asst. Da diese Strahlen sich nur wenig in ihrer Richtung unterscheiden, scheinen sie von demselben Bildpunkt auszugehen. Die scheinbare Tiefe dieses Bildes ist jedoch nicht 3/4 der Objekttiefe wie f¨ ur paraxiale Strahlen und außerdem vom Beobachtungswinkel abh¨ angig. Strahlen, die unter einem großen Einfallswinkel auf die Grenzfl¨ache treffen, werden auch die Grenzfl¨ ache unter einem immer gr¨oßeren Ausfallswinkel (Brechungswinkel) verlassen, wie das in Abb. 3.7 c dargestellt ist. Ein kritischer Einur den Brechungswinkel ε
= 90◦ erreicht. Daraus ergibt sich fallswinkel εg wird f¨ u ur n > n
): ¨ ber das Brechungsgesetz (f¨ sin εg =

n
n
sin 90◦ = n n

und hieraus der Grenzwinkel der Totalreflexion

εg = arcsin

n
n

mit n > n


(3.6)

F¨ ur Einfallswinkel ε > εg wird der einfallende Strahl total reflektiert. Die Totalreflexion ist von gr¨ oßter Bedeutung f¨ ur die Ausbreitung von Licht in Glasfasern, wie dies in Kapitel 24 beschrieben wird. Wir sollten uns merken, dass dieser optische Effekt nur dann auftritt, wenn n gr¨oßer als n
ist, dies bedeutet, dass Licht aus dem optisch dichteren Medium auf eine Grenzfl¨ache zu einem optisch d¨ unneren Medium trifft.

3.5 Abbildung durch ein optisches System In diesem Abschnitt diskutieren wir den Begriff der optischen Abbildung und geben die praktischen und theoretischen Gr¨ unde an, die bewirken, dass ein Bild nicht ideal ist. In Abb. 3.8 enth¨ alt der Bereich, der mit optisches System“ be” zeichnet wird, eine beliebige Anzahl von reflektierenden und/oder brechenden Oberfl¨ achen beliebiger Kr¨ ummung und Brechzahl, die die Richtung von Strahlen, die den Objektpunkt O verlassen, ¨ andern. Wir sehen daraus, dass jedes Medium homogen und isotrop ist und deshalb durch eine einzige Brechzahl charakterisiert werden kann. Wir erkennen aus der Abbildung, dass vom Objektpunkt O Strahlen in alle Richtungen des Objektraumes, der vor der ersten reflektierenden oder

54

3 Geometrische Optik

Abb. 3.8. Erzeugung eines Bildes durch ein optisches System

brechenden Fl¨ ache des optischen Systems liegt, ausgehen. Die Kugeloberfl¨achen, die normal zu den Strahlen verlaufen, nennt man Wellenfronten. Alle Strahlen, die von O ausgehen, erreichen eine Wellenfront in der gleichen Zeit. Im Objektraum divergieren die Strahlen, und die sph¨arischen Wellenfronten (Kugelfl¨ achen) werden gr¨ oßer. Wir nehmen nun an, dass das optische System die Strahlen so umlenkt, dass sich die Wellenfronten beim Verlassen des optischen Systems im Bildraum zusammenziehen und die Strahlen in einen einzigen Punkt konvergieren, den wir Bildpunkt O
nennen. Aus dem Fermatschen Prinzip folgt, dass jeder Strahl, der von O ausgeht und bei O
endet, die gleiche Zeit ben¨otigt. Diese Strahlen nennt man isochron (gleichzeitig). Weiterhin k¨onnen wir aus dem Prinzip der Lichtumkehr folgern, dass, wenn O
der Objektpunkt ist, jeder Strahl seine Richtung umkehrt, dabei aber seinen Weg durch das optische System beibeh¨ alt und somit O der korrespondierende Bildpunkt wird. Die Punkte O und O
nennt man deshalb konjugierte Punkte des optischen Systems. Jeder Strahl, der von O ausgeht und durch ein ideal abbildendes optisches System verl¨auft, geht auch wieder durch den Punkt O
hindurch. Wenn man ein ausgedehntes Objekt abbilden will, muss diese Vorschrift f¨ ur jeden Objektpunkt und seinen konjugierten Bildpunkt gelten. In der Praxis sind die Bilder nicht ideal, d.h. Punkte werden nicht in Punkte abgebildet, da Lichtstreuung, Abbildungsfehler und Beugung auftreten. Einige der Strahlen, die von O ausgehen, erreichen O
nicht, weil an den brechenden Oberfl¨ achen diffuse oder spiegelnde Reflexion auftritt und außerdem Streuung an Inhomogenit¨ aten in den transparenten Medien auftreten kann. Diese Schw¨achung des Lichtes vermindert die Helligkeit des Bildes. Es kann jedoch auch vorkommen, dass einige Strahlen, die von anderen Objektpunkten Ok (nicht in Abb. 3.8 gezeigt) ausgehen, durch O
verlaufen und damit das Bild verf¨alschen. Wenn das optische System nicht f¨ ur alle m¨ oglichen Objektstrahlen eine eindeutige Beziehung zwischen Objekt- und Bildpunkten bewirkt, wie das f¨ ur die konjugierte Abbildung aller Objektpunkte n¨ otig ist, so sprechen wir von Abbildungsfehlern (Aberrationen). Die Aberrationen werden im Kapitel 5 behandelt. Jedes optische System verarbeitet nur einen Teil der Wellenfront, die vom Objekt ausgeht, deshalb kann das Bild nicht exakt scharf sein. Man erh¨alt ein unscharfes, beu-

3.5 Abbildung durch ein optisches System

55

gungsbegrenztes Bild. Beugung tritt immer auf, da Licht als Welle betrachtet werden muss. Nur in dem nicht erreichbaren Grenzwert der geometrischen Optik, wo λ → 0 gilt, w¨ urden Beugungseffekte vollst¨andig verschwinden. Ideal abbildende reflektierende Oberfl¨achen werden in Abb. 3.9 gezeigt. Objekt- und Bildpunkte k¨ onnen durch Umkehrung des Lichtweges vertauscht werden. Wir sehen, dass in Abb. 3.9 b das Bild virtuell ist. Dies bedeutet, dass das Bild nur durch r¨ uckw¨ artige (gestrichelte) Verl¨angerung der Strahlen entsteht. Das virtuelle Bild ist nicht auf einem Schirm auffangbar. In Abb. 3.9 c wird deutlich, dass die parallel reflektierten Strahlen ein Bild im Unendlichen erzeugen. In jedem Fall k¨ onnen wir zeigen, dass das Fermatsche Prinzip, das isochrone Strahlen zwischen Objekt- und Bildpunkten fordert, die geometrische Form der reflektierenden Fl¨ achen festlegt. Fragen wir uns nun nach der Gleichung f¨ ur eine geeignete brechende Oberfl¨ ache, die den Objektpunkt O in den Bildpunkt O
u uhrt, wie in Abb. 3.10 gezeigt. Dort ist ein beliebiger Punkt P mit den Ko¨ berf¨ ordinaten y, z auf der zu beschreibenden Oberfl¨ache Σ angegeben. Wir fordern, dass jeder Strahl, der von O ausgeht, wie z.B. OP O
, so gebrochen wird, dass auft. Ein anderer Strahl ist OSO
, der senkrecht zur Ober߬ache er durch O
verl¨ durch den Scheitel S verl¨ auft. Nach dem Fermatschen Prinzip sind diese Strahlen isochron. Da die Medien auf jeder Seite der brechenden Oberfl¨ache verschiedene Brechzahlen aufweisen, sind die isochronen Strahlen jedoch nicht von gleicher geometrischer L¨ ange. Die Laufzeit eines Strahles durch ein Medium der Dicke d mit der Brechzahl n ist: t=

nd d = c c0

Gleiche Laufzeiten bedeuten gleiche Werte des Produkts: optische W egl¨ ange = n d = Brechzahl × geometrischer W eg

(3.7)

In dem eben beschriebenen Problem fordert das Fermatsche Prinzip, dass nl1 + n
l1
= nl2 + n
l2
= konst.

(3.8)

ist, wobei die Entfernungen in Abb. 3.10 definiert sind. Benutzt man die y, zKoordinaten des Punktes P , so erh¨ alt man f¨ ur die erste Summe in (3.8):  2 (3.8 a) n y 2 + z 2 + n
y 2 + (l2 + l2
− z) = konst. Die Konstante in der Gleichung l¨ asst sich aus (3.8) f¨ ur ein gegebenes Problem berechnen. Gleichung (3.8 a) beschreibt ein kartesisches Ovaloid (Rotation eines Ovales um die z-Achse) wie in Abb. 3.11 a als Ausschnitt gezeigt. Bei den meisten Anwendungen m¨ ochte man jedoch das Bild in demselben optischen Medium wie das Objekt erhalten. Dieses Ziel wird durch eine Linse erreicht,

56

3 Geometrische Optik

Abb. 3.9. Fehlerfreie Abbildung durch reflektierende Oberfl¨ achen mit konjugierten Objekt- und Bildpunkten. In c) ist die Abbildung nur f¨ ur die dort gezeigten achsenparallelen Strahlen fehlerfrei!

Abb. 3.10. Fehlerfreie Abbildung. Brechende Oberfl¨ ache Σ, die den Objektpunkt O in den Bildpunkt O
u uhrt ¨ berf¨

die die Lichtstrahlen an zwei Oberfl¨ achen bricht und damit ein Bild außerhalb der Linse erzeugt. Es ist deshalb von besonderem Interesse, die Oberfl¨achen zu bestimmen, die nach der ersten Brechung jeden Objektstrahl parallel zum anderen machen. Wenn solche Strahlen auf die zweite Oberfl¨ache fallen, k¨onnen sie erneut so gebrochen werden, dass sie ein fehlerfreies Bild erzeugen. Die entsprechenden Fl¨ achen sind in den Abbildungen 3.11 b und 3.11 c angegeben. Abh¨angig

3.5 Abbildung durch ein optisches System

57

Abb. 3.11. Abbildungsfehlerfreie Ober߬ achen. a) Das kartesische Ovaloid bildet O in O
ab. b) Die hyperbolische Ober߬ ache bildet den Objektpunkt O ins Unendliche ab, wobei O in einem Brennpunkt liegt und n < n
ist. c) Elliptische Ober߬ ache, die den Objektpunkt O ins Unendliche abbildet, wobei O in einem Brennpunkt liegt und n > n
ist

von der relativen Gr¨ oße der Brechzahlen ist die brechende Oberfl¨ache entweder ein Hyperboloid (n < n
) oder ein Ellipsoid (n > n
). In Abb. 3.12 ist eine doppelt hyperbolische Linse gezeigt. Fehlerfreie Abbildung wird nur f¨ ur die Objektpunkte O auf der optischen Achse erreicht, die den korrekten Abstand zur der Linse haben. F¨ ur Punkte, die n¨aher an der Linse liegen, ist die Abbildung nicht ideal. Je gr¨ oßer das Objekt ist, um so ungenauer ist die Abbildung. Da die Bilder von ausgedehnten Objekten nicht frei von Abbildungsfehlern sind und hyperbolische Oberfl¨achen zudem schwierig herzustellen sind, macht man die Oberfl¨ achen meistens sph¨arisch (Kugelfl¨achen). Die sph¨arischen Aberrationen, die man so erzeugt, werden als Kompromiss akzeptiert, da

Abb. 3.12. Fehlerfreie Abbildung durch eine Linie mit asph¨ arischen (hyperbolischen Fl¨ achen)

58

3 Geometrische Optik

Kugeloberfl¨ achen wesentlich leichter und preiswerter herzustellen sind. F¨ ur optische Systeme, die hohen Anforderungen an die Abbildungsqualit¨at gen¨ ugen m¨ ussen, werden aber durchaus Linsen mit asph¨arischen Fl¨achen eingesetzt. In der weiteren Behandlung der geometrischen Optik konzentrieren wir uns auf den Fall von sph¨ arischen reflektierenden und brechenden Fl¨achen mit einem Kr¨ ummungsradius r. Der Spezialfall r → ∞ gilt f¨ ur die ebene Oberfl¨ache.

3.6 Brechung an einer sph¨ arischen Fl¨ ache – Vorzeichenkonvention Die verwendeten Formelzeichen sind in einer Tabelle am Buchanfang angegeben. Basis f¨ ur die Bezeichnungsregelung ist die DIN 1335 . Punkte werden durch lateinische Großbuchstaben und Strecken durch lateinische Kleinbuchstaben gekennzeichnet. Die Winkel sind mit griechischen Kleinbuchstaben bezeichnet. Konjugierte Gr¨oßen, die nach Definition paarweise einander zugeordnet sind, werden mit dem gleichen Buchstaben beschrieben. Die bildseitige Gr¨oße wird zus¨ atzlich mit einem Strich (
) markiert. So ist y eine Strecke in der Gegenstandsorige Strecke in der Bildebene. Demgegen¨ uber wird der ebene und y
die zugeh¨ Objektbrennpunkt mit F , der Bildbrennpunkt mit F
und die Objektbrennweite mit f und die Bildbrennweite mit f
bezeichnet, wobei die objektseitige Gr¨oße zus¨ atzlich einen Querstrich tr¨ agt. Dies soll deutlich machen, dass F und F
nicht konjugiert sind, d.h. sie sind nicht einander abbildbar, denn das Bild von F liegt nicht in F
. Die Lichtrichtung verl¨ auft von links nach rechts. Blickt man in Lichtrichtung, so ist n die Brechzahl vor einer Grenzfl¨ache und n
die Brechzahl hinter der Grenzfl¨ache. Strecken werden von einem Bezugspunkt (in den Zeichnungen als Punkt markiert) gemessen und sind durch einseitige Pfeile gekennzeichnet. Alle Strecken, die von einem Bezugspunkt aus nach rechts oder nach oben gemessen werden, sind positiv. Strecken, die von einem Bezugspunkt aus nach links oder nach unten gemessen werden, sind negativ. Zur Veranschaulichung sind teilweise in den Zeichnungen in Klammern zus¨ atzlich beigef¨ ugte Vorzeichen angegeben. Diese in Klammern angegebenen Vorzeichen sind nur eine Hilfe. Sie verdeutlichen, dass man beim Einsetzen eines Zahlenwertes diesen mit einem positiven oder negativen Vorzeichen versehen muss. Die Vorzeichen von Winkeln werden relativ zu einem Bezugsschenkel bestimmt. Bei den Schnittwinkeln σ, σ
mit der optischen Achse ist der Strahl Bezugsachse. F¨ ur die Ein- und Ausfallswinkel ε, ε
ist das Einfallslot Bezugsschenkel. Ein positives Vorzeichen ergibt sich, wenn man den Bezugsschenkel entgegen dem Uhrzeigersinn bis zum Zusammenfallen mit dem anderen Schenkel drehen muss ( Linksdrehung“). Die Winkelpfeile in den Zeichnungen zeigen vom ” Bezugsschenkel weg.

3.6 Brechung an einer sph¨ arischen Fl¨ ache – Vorzeichenkonvention

59

Abb. 3.13. Bezeichnungsregeln f¨ ur die Vorzeichen von Strecken und Winkeln nach DIN 1335

Diese Vorzeichenregeln sind in den Abbildungen 3.13 und 3.14 (Kr¨ ummungsradius einer Kugelfl¨ ache) veranschaulicht. Beispiel 3.1 Vorzeichendefinition Ein Gegenstand hat eine Gr¨ oße von 0,2 m. Man legt die z-Achse (Lichtrichtung) durch den Fußpunkt O des Gegenstandes. Es sei a die Gegenstandsweite und a
die Bildweite. Hat der Gegenstand einen Abstand von 0,8 m von der eingezeichneten Ebene, so muss man in den Gleichungen a = −0,8 m einsetzen. F¨ ur den Kr¨ ummungsradius der Kugelfl¨ache in Abb. 3.14 w¨are r = +2,5 cm einzusetzen. Berechnet man z.B. f¨ ur den Schnittwinkel σ
= +25◦ , dann muss in der entsprechenden Zeichnung (s. Abb. 3.13) der bildseitige Strahl von links nach rechts abfallend verlaufen. Bezugsschenkel ist stets der Strahl, der hier durch Linksdrehung zur Deckung mit der optischen Achse gebracht wird. Wir wenden uns nun der Behandlung der Brechung einer sph¨arischen Kugelfl¨ ache mit dem Kr¨ ummungsradius r und dem Kr¨ ummungsradius C zu, wie sie in Abb. 3.14 dargestellt ist. Ein Strahl geht vom Objektpunkt O aus und wird vom Objekt aus gesehen an der konvexen Fl¨ache zum Punkt O
hin gebrochen. Es gilt das Brechungsgesetz: n sin ε = n
sin ε
.

60

3 Geometrische Optik

Im Folgenden wird die Brechung in der sogenannten paraxialen N¨aherung behandelt. Dies bedeutet, dass nur achsennahe Strahlen zugelassen werden und damit Einfalls- und Brechungswinkel nur kleine Werte annehmen. Man entwickelt deshalb die Winkelfunktionen in eine Reihe: sin ε = ε − cos ε = 1 −

ε3 3! ε2 2!

+ +

ε5 5! ε4 4!

− ···

(3.9)

− ···

Bricht man diese Reihenentwicklung nach dem ersten Glied ab, so gilt: sin ε ≈ ε,

cos ε ≈ 1 und

tan ε =

sin ε ≈ε cos ε

(3.10)

Das Brechungsgesetz lautet dann: paraxiales Brechungsgesetz

n ε = n
ε


(3.11)

Abb. 3.14. Strahlverlauf und Schnittweiten bei einer brechenden Kugel߬ ache

Aus der Abb. 3.14 l¨ asst sich in dem Dreieck CO
P der Außenwinkel ϕ =
σ + ε entnehmen. Aus Dreieck CP O berechnet man den Außenwinkel ε = ϕ− σ. Substituiert man ε und ε
in (3.11), so erh¨alt man:


n(ϕ − σ) = n
(ϕ − σ
)

(3.12)

3.6 Brechung an einer sph¨ arischen Fl¨ ache – Vorzeichenkonvention

61

Als N¨ achstes ersetzen wir die Winkel durch den Tangens des entsprechenden Winkels, wie sich das aus Abb. 3.14 entnehmen l¨asst, wobei die Entfernung SQ in der paraxialen N¨ aherung sehr klein ist und deshalb QC = r (QO = s, QO
= s
) angenommen wird. Wir erhalten     h h h h (3.13) n − = n
−
r s r s und hieraus die: Schnittweitengleichung einer Fl¨ache mit dem Kr¨ ummungsradius r n
n n
− n − = s
s r

(3.14)

Die Gr¨ oße s
ist die Bildschnittweite. Sie wird vom Scheitel S der gekr¨ ummten Fl¨ ache aus gemessen. s ist die Objektschnittweite und r der Kr¨ ummungsradius der brechenden Fl¨ ache. F¨ ur r → ∞ erh¨ alt man eine ebene brechende Fl¨ache und damit die Schnittweitengleichung einer ebenen Fl¨ache: n
s (3.4) n wobei s
die scheinbare“ Tiefe ist, wie wir sie im vorherigen Abschnitt bestimmt ” haben. Der Abbildungsmaßstab β
= y
/y eines ausgedehnten Objekts y l¨asst sich aus Abb. 3.15 entnehmen. F¨ ur den Strahl, der auf den Scheitel S f¨allt, gilt in der ur die Winkel paraxialen N¨ aherung nε = n
ε
. Wenn man weiterhin den Tangens f¨ einsetzt, so erh¨alt man: s
=

n

y
y = n

s s

und den Abbildungsmaßstab β
einer Fl¨ache

β
=

y
n s
=
y n s

(3.15)

Da y in diesem Falle positiv und y
negativ ist, erkennt man, dass β
einen negativen Wert annimmt. Allgemein l¨ asst sich daraus entnehmen, dass ein negatives Vorzeichen f¨ ur den Abbildungsmaßstab entgegengesetzte Orientierung von Gegenstand und Bild bedeutet. Im Falle einer ebenen brechenden Fl¨ache kann man (3.4) in (3.15) einsetzen und erh¨ alt damit β
= 1. Deshalb haben die Bilder, die durch eine ebene brechende Fl¨ ache erzeugt werden, gleiche Gr¨oße und Orientierung wie das Objekt.

62

3 Geometrische Optik

Abb. 3.15. Definition des Abbildungsmaßstabes bei einer brechenden Kugelfl¨ ache

Werden bei der Abbildung mehrere Fl¨ achen durchlaufen, f¨ ur die β1
=

n1 s
1 · , n
1 s1

β2
=

n2 s
2 · , n
2 s2

...,

βl
=

nl s
l · n
l sl

gilt, so ergibt sich der Abbildungsmaßstab einer Fl¨achenfolge

β
=

y
= β1
β2
. . . βl
y

(3.16)

Setzt man in (3.15) (nach Abb. 3.14) f¨ ur s = h/σ und f¨ ur s
= h/σ
, so ergibt sich f¨ ur ein beliebiges System die Helmholtz-Lagrange-Invariante

y n σ = y
n
σ


(3.17)

Dies bedeutet, dass das Produkt aus Objekt- bzw. Bildgr¨oße, der Brechzahl und ¨ dem Strahlwinkel mit der Achse (Offnungswinkel) f¨ ur den paraxialen Objektraum und den Bildraum eines beliebigen optischen Systems eine Erhaltungsgr¨oße ist. Beispiel 3.2 Brechung an Kugelfl¨ achen Wir wenden die eben gewonnenen Erkenntnisse auf die Brechung an sph¨arischen Fl¨ achen an. In Abb. 3.16 a ist ein Objekt in Luft 30 cm von einer konvexen sph¨ arischen Fl¨ ache mit dem Kr¨ ummungsradius r = 5 cm entfernt. Auf der rechten Seite der Grenzfl¨ ache befindet sich Wasser (n
= 1,33). Bevor wir repr¨ asentative Strahlen konstruieren, bestimmen wir zun¨achst die Bildschnittweite und den Abbildungsmaßstab des Bildes, indem wir (3.14) und (3.15) benutzen. Gleichung (3.14) wird zu: 1 1,33 1,33 − 1 − =
s −30,5 cm 5 cm

3.6 Brechung an einer sph¨ arischen Fl¨ ache – Vorzeichenkonvention

63

Wir erhalten s
= 0,4 m. Das positive Vorzeichen zeigt an, dass das Bild auf der rechten Seite der Grenzfl¨ ache liegt. Auf der rechten Seite entsteht demnach im Schnittpunkt der Strahlen ein reelles Bild. Aus (3.15) erh¨ alt man: β
=

1 · 40 cm = −1 1,33 · (−30,5) cm

Dies bedeutet, dass das Bild relativ zum Objekt invertiert ist und die gleiche Gr¨ oße wie dieses hat. Abbildung 3.16 a zeigt das Bild und einige repr¨asentative Strahlen. In diesem Beispiel erstreckt sich das Medium weit genug zur rechten Seite der sph¨ arischen Fl¨ ache, so dass das Bild innerhalb dieses Mediums entsteht und keine weitere Brechung auftritt. Wir wollen nun annehmen (s. Abb. 3.16 b), dass das zweite Medium eine dicke Linse mit der Scheiteldicke d = 10 cm ist, die eine zweite konkave sph¨arische Fl¨ache mit dem Kr¨ ummungsradius r2 = −5 cm hat. Die Brechung an der ersten Oberfl¨ache wird durch ¨ diese Anderung nicht beeinflusst. Innerhalb der Linse haben die Strahlen eine Richtung, die ein Bild im Abstand von 40 cm von der ersten Fl¨ache ergeben w¨ urde. Diese Strahlen werden jedoch von der zweiten Oberfl¨ache gebrochen und produzieren deshalb ein anderes Bild, wie in der Abbildung gezeigt. Das reelle Bild f¨ ur die Oberfl¨ ache (1) ist ein virtuelles Objekt f¨ ur die Oberfl¨ache (2), da dieses Objekt auf der rechten Seite der Oberfl¨ache (2) als gedachte (gestrichelte) Verl¨ angerung der Strahlen entsteht. F¨ ur die zweite Brechung erh¨ alt man somit aus (3.14) und mit s2 = s
1 −d =
ur das Umgebungsmedium Luft 40 cm − 10 cm = 30 cm sowie n2 = 1 f¨ 1 1,33 1 − 1,33 − = s
2 30 cm −5 cm und damit s
2 = 9,1 cm. Aus (3.15) ergibt sich der Abbildungsmaßstab zu β2
=

1,33 · 9,1 cm 2 ≈ = 0,4 1 · (30) cm 5

Das endg¨ ultige Bild hat also 2/5 der Gr¨oße des virtuellen Objektes und die gleiche Orientierung. F¨ ur den gesamten Abbildungsmaßstab gilt β
= β1
·β2
= −0,4. Relativ zu dem Originalobjekt hat das endg¨ ultige Bild 2/5 von dessen Gr¨ oße und ist invertiert. Das soeben gezeigte Verfahren l¨ asst sich f¨ ur die Brechung an einer beliebigen Fl¨ achenfolge generalisieren. Die einzelnen Brechungsvorg¨ange werden in der Reihenfolge, in der das Licht auftrifft, behandelt. Die Objektschnittweite des lten Schrittes ist durch die Bildschnittweite des (l − 1)-ten Schrittes bestimmt. Wenn das Bild des (l − 1)-ten Schrittes nicht vor der brechenden Fl¨ache entsteht, so dient das virtuelle Bild, das bei der gestrichelten Verl¨angerung der reellen Strahlen entsteht, als virtuelles Objekt f¨ ur den l-ten Schritt.

64

3 Geometrische Optik

Abb. 3.16. Beispiel f¨ ur die Brechung an sph¨ arischen Fl¨ achen a) Brechung durch eine einzelne sph¨ arische Fl¨ ache. b) Brechung durch eine dicke Linse. Die Indizes 1 und 2 beziehen sich auf die Brechungen an der ersten und zweiten Grenzfl¨ ache

3.7 Du ¨ nne Linsen Wir wenden nun die angegebene Methode bei der Ableitung der Abbildungsgleichung f¨ ur die d¨ unne Linse an. Wie auch im Beispiel zu Abb. 3.16 sind hier zwei Brechungen an Kugelfl¨ achen zu ber¨ ucksichtigen. Hierbei vereinfachen wir das optische System in der Weise, dass die Scheiteldicke der Linse im Vergleich zu den Gegenstands- und Bildweiten vernachl¨ assigt wird. Diese N¨aherung l¨asst sich f¨ ur viele praktische F¨ alle verwenden. Wir nehmen nun an, dass auf beiden Seiten der Linse das gleiche Medium mit der Brechzahl n1 ist und die Brechzahl des Linsenagt. Damit ist n1 = n
2 und n
1 = n2 = nL (s. Abb. 3.16). Zum materials nL betr¨ besseren Verst¨ andnis werden im Folgenden auch die Gleichungen ohne diese Vereinfachungen f¨ ur die Brechzahlen angegeben. F¨ ur die erste brechende Oberfl¨ache mit dem Kr¨ ummungsradius r1 gilt n1 n
− n1 n
1 − = 1
s1 s1 r1

oder

nL n1 nL − n1 − = s
1 s1 r1

(3.18)

3.7 D¨ unne Linsen

65

und an der zweiten Grenzfl¨ ache mit dem Kr¨ ummungsradius r2 erhalten wir: n2 n
2 − n2 n
2 − = s
2 s2 r2

oder

n1 nL n1 − nL − =
s2 s2 r2

(3.19)

Die zweite Objektweite ist gegeben durch s2 = s
1 − d

(3.20)

wobei d die Scheiteldicke der Linse ist, die in der N¨aherung der d¨ unnen Linse u ¨ ber den Linsendurchmesser konstant ist. Bei zus¨atzlicher Vernachl¨assigung von d erh¨ alt man dann: s2 = s
1

(3.21)

Wir setzen nun diesen Wert f¨ ur s2 in (3.19) ein und addieren (3.18) und (3.19):   n1 n1 1 1 − +
= (nL − n1 ) − s1 s2 r1 r2 angliche Gegenstandsschnittweite und s
2 die endg¨ ultige Nun ist aber s1 die anf¨ Bildschnittweite; deshalb lassen wird die s-Indizes weg und schreiben einfach   1 1 1 nL − n1 1 (3.22) − = − s
s n1 r1 r2 Die Bildbrennweite einer d¨ unnen Linse (d ≈ 0) definieren wir als die Schnittweite f¨ ur ein Objekt im Unendlichen und entsprechend die Gegenstandsbrennweite als Gegenstandsschnittweite f¨ ur ein Bild im Unendlichen. Wir erhalten mit s
= f
und 1/s = 0 aus (3.22) die   1 nL − n1 1 1 (3.23) = − Bildbrennweite einer d¨ unnen Linse f
n1 r1 r2 Gleichung (3.23) ergibt die Brennweite f¨ ur eine Linse der Brechzahl nL und mit den Kr¨ ummungsradien r1 und r2 , wobei die Linse in einem Medium mit der Brechzahl n1 benutzt wird. In den meisten F¨allen befindet sich die Linse aherung der d¨ unnen Linse (d ≈ 0) kann in Luft und es gilt n1 = 1. In der N¨ man die Schnittweiten, die von den Linsenscheiteln aus gemessen werden, durch Gegenstands- und Bildweite ersetzen. Damit ergibt sich mit (3.23) aus (3.22): Abbildungsgleichung der d¨ unnen Linse

1 1 1 − =

a a f

(3.24)

Hierbei bezeichnet man a
als Bildweite und a als Gegenstandsweite. F¨ ur reale, dicke Linsen werden die Brennweiten, sowie Bild- und Gegenstandsweiten relativ

66

3 Geometrische Optik

zu den Hauptpunkten und nicht zu den Linsenscheiteln gemessen (s. Kap. 4). ¨ F¨ ur prinzipielle Uberlegungen an einfachen optischen Systemen ist die N¨aherung durch d¨ unne Linsen als erste Absch¨ atzung n¨ utzlich. Wir untersuchen nun die Wirkung von Linsen auf ebene Wellenfronten (s. Abb. 3.17) und sehen, dass eine Positivlinse (Sammellinse, Bildbrennweite f
> 0, Bildbrennpunkt F
rechts von der Linse), die in der Mitte dicker ist als am Rand, eine konvergente Wellenfront erzeugt. Dagegen bewirkt eine Negativlinse (Zerstreuungslinse, Bildbrennweite f
< 0, Bildbrennpunkt F
links von der Linse), die in der Mitte d¨ unner als am Rand ist, dass die einfallenden parallelen Strahlen hinter der Linse divergieren. Der Anteil der Wellenfront, der durch den dickeren Teil der Linse geht, wird relativ zu anderen Lichtwegen verz¨ogert.

Abb. 3.17. Wirkung a) einer Sammellinse mit f
> 0 und b) einer Zerstreuungslinse mit f
< 0 auf ebene Wellenfronten

Die Konstruktionen des Abbildungsstrahlenganges f¨ ur Sammellinsen und Zerstreuungslinsen mit Hilfe dreier repr¨ asentativer Strahlen – Parallelstrahl (1), Brennpunktstrahl (2), Mittelpunktstrahl (3) – sind in der Abb. 3.18 angegeben. Man verwendet eine symbolische Darstellung der d¨ unnen Linse, die aus einer vertikalen Linie mit Pfeilen an den Enden besteht, wobei die Pfeile symbolisch die Form der Linse beschreiben. Der Parallelstrahl (1), der von der Spitze des Objektes ausgeht, verl¨ auft parallel zur optischen Achse und geht auf der rechten Seite der Linse durch den bildseitigen Brennpunkt. Bei Abb. 3.18 b verl¨auft der einfallende Parallelstrahl (1) nach dem Durchgang durch die Linse so weiter, als w¨ urde er, wie durch den gestrichelten Verlauf angedeutet, vom Bildbrennpunkt ur F
herkommen. Den Brennpunktstrahl (2) kann man in entsprechender Weise f¨ beide Linsen konstruieren. Die zwei gezeichneten Strahlen sind ausreichend, um den Bildpunkt festzulegen. Zus¨ atzlich kann man jedoch den Mittelpunktstrahl (3) zeichnen, der ungebrochen durch den Mittelpunkt der Linse geht. Der mittlere Teil der Linse verh¨alt

3.7 D¨ unne Linsen

67

Abb. 3.18. Strahlendiagramme f¨ ur die Abbildung durch a) Sammellinse, b) Zerstreuungslinse

sich wie eine planparallele Platte, die die Richtung des einfallenden Strahles nicht ¨andert und wegen ihrer geringen Dicke den Strahl kaum parallel verschiebt. Konstruktionsstrahlen f¨ ur die optische Abbildung mit d¨ unnen Linsen (nach Abb. 3.18) (1) Parallelstrahl (2) Brennpunktstrahl (3) nicht gebrochener Mittelpunktstrahl

→ Brennpunktstrahl → Parallelstrahl

Bei der Konstruktion der Strahlenverl¨aufe sehen wir, dass mit Ausnahme des Mittelpunktstrahls jeder Strahl durch eine Sammellinse zur optischen Achse hin gebrochen wird, w¨ ahrend jede Brechung bei der Zerstreuungslinse von der optischen Achse weg erfolgt. Aus den Strahlendiagrammen ergibt sich, dass der Winkel w, unter dem die Objektstrecke y vom Mittelpunkt der Linse aus gesehen

68

3 Geometrische Optik

wird gleich dem Winkel w
ist, unter dem die Bildstrecke y
gesehen wird. Damit erh¨ alt man aus den ¨ ahnlichen Dreiecken f¨ ur das reelle Bild in 3.18 a oder f¨ ur das virtuelle Bild in 3.18 b den β
=

Abbildungsmaßstab

y
a
= y a

(3.25)

Weitere Beispiele f¨ ur Strahlendiagramme von zwei Linsen, die hintereinander auf der optischen Achse angeordnet sind, werden in Abb. 3.19 gezeigt und in Beispiel 3.3 diskutiert. Beispiel 3.3 Zweilinsiges optisches System mit d¨ unnen Linsen Berechnen und beschreiben Sie das Zwischenbild und das Endbild f¨ ur ein zweilinsiges optisches System, wie es in der Abb. 3.19 a dargestellt ist. Hierbei sei f1
= 15 cm, f2
= −15 cm und der Abstand der beiden Linsen e = 60 cm. Der Gegenstand befindet sich 25 cm vor der ersten Linse. L¨ osung Die erste Linse ist eine Sammellinse mit f1
= 15 cm. Der Gegenstand ist bei a1 = −25 cm. Aus (3.24) folgt die Bildweite: a
1 =

a1 f1
−25 cm · 15 cm = = +37,5 cm a1 + f1
−25 cm + 15 cm

Wir erhalten den Abbildungsmaßstab: β1
=

a
1 37,5 cm = = −1,5 a1 −25 cm

Das erste Bild (Zwischenbild) ist demnach reell und liegt 37,5 cm rechts von der ersten Linse. Relativ zum Gegenstand ist das Bild invertiert (weil β
negativ ist), und das Zwischenbild ist 1,5-mal so groß wie der Gegenstand. Die zweite Linse ist eine Zerstreuungslinse: f2
= −15 cm. Das reelle Zwischenbild ist reelles Objekt f¨ ur die zweite Linse mit der Objektweite a2 = a1 − e = 37,5 cm − 60 cm = −22,5 cm. Wir sehen, dass es sich auf der linken Seite der Linse (2) befindet. Dadurch ergibt sich: a
2 =

a2 · f2
−22,5 cm · (−15 cm) = = −9 cm a2 + f2
−22,5 cm − 15 cm

β2
=

a
2 −9 cm = = 0,4 a2 −22,5 cm

und

3.7 D¨ unne Linsen

69

Das Endbild ist virtuell, 9 cm links von der zweiten Linse, relativ zum Zwischenbild nicht invertiert (β2
ist positiv) und 0,4 mal so groß wie dieses. Die Gesamtvergr¨ oßerung ist durch β
= β1
β2
= −1,5·0,4 = −0,6 gegeben. Hieraus ersieht man, dass das Endbild relativ zum Anfangsobjekt invertiert ist und 0,6-mal so groß ist wie dieses. Alle diese Eigenschaften sind qualitativ aus dem Strahlendiagramm der Abb. 3.19 a zu entnehmen.

Abb. 3.19. a) Erzeugung eines virtuellen Bildes durch ein optisches System, das aus einer Sammellinse (1) und einer Zerstreuungslinse (2) besteht. b) Erzeugung eines reellen Bildes O

durch ein optisches System aus zwei Sammellinsen. Das Zwischenbild O
ist bei a reelles und bei b virtuelles Objekt f¨ ur die zweite Linse

70

3 Geometrische Optik

3.8 Kru ¨ mmung von Wellenfronten und Brechwert von Linsen F¨ ur bestimmte Anwendungen kann eine andere Interpretation der Abbildungsgleichung der d¨ unnen Linse n¨ utzlich sein. Aus der Abbildungsgleichung der d¨ unnen Linse 1 1 1 − =
a
a f

(3.24)

und aus Abb. 3.20 erkennen wir, dass sich zum einen aus den Kehrwerten von Gegenstands- und Bildweite der Kehrwert der Bildbrennweite ergibt; zum anderen beschreiben die Kehrwerte von Gegenstands- und Bildweite die Kr¨ ummungsradien der Wellenfronten, die um den Gegenstand O und das Bild O
zentriert sind. Eine ebene Wellenfront hat eine Kr¨ ummung von 0 (Kr¨ ummungsradius = ∞). Abbildung 3.20 zeigt Kugelwellen, die von einem Gegenstandspunkt O ausgehen und die die Kr¨ ummung V = 1/a beim Auftreffen auf die d¨ unne Linse haben. Wir sehen in Abb. 3.20 a, dass nach der Brechung die Wellenfronten auf den Bildpunkt O
zulaufen, oder, wie in Abb. 3.20 b gezeigt, sich weiter ausdehnen und scheinbar vom virtuellen Bildpunkt O
herkommen. Nach dem Durchgang ¨ durch die Linse ist die Kr¨ ummung der Wellenfronten V
= 1/a
Die Anderung ¨ der Kr¨ ummung beim Ubergang vom Gegenstandsraum in den Bildraum wird vom Brechwert D der Linse verursacht, der durch den Kehrwert der Bildbrennweite D
= 1/f
gegeben ist. Mit dieser Definition l¨asst sich (3.22) in folgender Weise schreiben: V
−V =

1 = D
f


(3.26)

Die Einheiten von V und V
sind reziproke L¨angen. Wenn man die L¨ange in Metern misst, so ergibt sich f¨ ur die reziproken Werte die Einheit 1/m oder Dioptrie (dpt). Der Brechwert einer Linse mit einer Bildbrennweite von f
= 2 m betr¨agt D = 5 dpt. Die oben genannte Darstellung betont mehr die Kr¨ ummung der Wellenfront oder die Konvergenz oder Divergenz der Strahlen als Gegenstands- oder Bildweiten. Daraus ergibt sich, dass der Grad der Konvergenz V
der Strahlen auf der Bildseite zum einen durch den urspr¨ unglichen Grad der Konvergenz V auf der Objektseite und zum anderen durch den Brechwert 1/f
der Linse bestimmt wird. Gleichung (3.26) kann auch auf den Fall der Brechung an einer einfachen Grenzfl¨ ache angewandt werden. In diesem Fall ergibt sich aus (3.14) f¨ ur den Brechwert der einzelnen Fl¨ ache D
= (n
− n)/r. Das Rechnen mit Brechwerten ist noch in einem anderen Fall n¨ utzlich. Wenn man d¨ unne Linsen sehr nahe zusammenbringt, so kann man wegen der verschwindenden Scheiteldicke dieses optische System als eine einzelne d¨ unne Linse be-

3.8 Kr¨ ummung von Wellenfronten und Brechwert von Linsen

71

¨ Abb. 3.20. Anderung in der Kr¨ ummung einer Wellenfront bei der Brechung durch eine d¨ unne Linse. a) Sammellinse, b) Zerstreuungslinse

trachten und die Brennweite der Kombination als Funktion der Einzelbrennweiur ein ten f1
, f2
, . . . der einzelnen Linsen berechnen. Wir k¨onnen beispielsweise f¨ zweilinsiges System folgende Abbildungsgleichungen angeben: 1 1 1 − =

a1 a1 f1

und

1 1 1 − =
.
a2 a2 f2

Da f¨ ur den hier betrachteten Fall die beiden Linsen sehr nahe zusammenliegen, gilt a2 = a
1 und damit ergibt sich bei Addition der zwei Abbildungsgleichungen 1 1 1 1 1 − =
+
=

a2 a1 f1 f2 f

72

3 Geometrische Optik

Man sieht, dass die Summe der einzelnen reziproken Brennweiten das Reziproke der Gesamtbrennweite f
des Paares ergibt. Verallgemeinert erh¨alt man: Gesamtbrennweite f¨ ur Hintereinanderschaltung von d¨ unnen Linsen ohne Zwischenraum 1 1 1 =
+
+ . . . oder D
= D1
+ D2
+ . . . (3.27)
f f1 f2 Man sieht, dass sich die reziproken Brennweiten oder Brechwerte (D
= 1/f
) der Linsen addieren.

3.9 Newtonsche Abbildungsgleichung fu ¨ r die Linse Misst man Gegenstands- und Bildweiten relativ zu den Brennpunkten einer Linse, wie durch die Abst¨ ande z und z
in der Abb. 3.21 (Linse in Luft) angegeben, so erh¨ alt man die Newtonsche Form der Abbildungsgleichung. Die Dreiecke 1 und unne 2 (bzw. 
1 und 
2 ), die sich durch die Brennpunktstrahlen und die d¨ Linse zu beiden Seiten der Linse ergeben, sind a¨hnlich (Strahlensatz). Deshalb gilt f¨ ur den Abbildungsmaßstab: −f −y
= y −z

und

f
y = −y
z


(3.28)

Hieraus erh¨ alt man die Newtonsche Form der Abbildungsgleichung

z · z
= f · f


oder

z · z
= −f
2

(3.29)

wobei f¨ ur den Fall gleicher Medien auf beiden Seiten der Linse f¨ ur die Gegenstandsbrennweite f = −f
eingesetzt wurde. Diese Form der Abbildungsgleichung

Abb. 3.21. Ableitung der Newtonschen Abbildungsgleichung f¨ ur die d¨ unne Linse

3.10 Reflexion an ebenen Spiegeln

73

gilt auch f¨ ur dicke Linsen, da die Abst¨ ande von Gegenstand und Bild relativ zu den Brennpunktlagen und nicht zu Linsenoberfl¨achen gemessen werden. Aus (3.28) ergibt sich die Newtonsche Form des Abbildungsmaßstabes

β
=

−f f
−z
=
= z f z

(3.30)

3.10 Reflexion an ebenen Spiegeln Im Folgenden wollen wir die Erzeugung von Bildern durch ebene Spiegel diskutieren. Hierzu m¨ ussen wir zwischen der Reflexion an einer ideal ebenen Oberfl¨ache und der diffusen Reflexion an einer rauen Oberfl¨ache unterscheiden. Im ersten Fall gehorchen Strahlen, die auf die Oberfl¨ache treffen, dem Reflexionsgesetz (3.1) und aus einem einfallenden Parallelstrahlb¨ undel wird durch die Reflexion ein ausfallendes Parallelstrahlb¨ undel. Im zweiten Fall wird zwar das Reflexionsgesetz lokal in jedem Punkt befolgt, die mikroskopisch k¨ornige Oberfl¨ache erzeugt jedoch reflektierte Strahlen, die in verschiedene Richtungen verlaufen und damit als Ergebnis eine diffuse Streuung des einfallenden Strahlb¨ undels. Jede ebene Oberfl¨ ache erzeugt immer einen Anteil einer solchen diffusen Reflexion, da man in der Praxis keine ideal ebene Oberfl¨ ache herstellen kann. Aus der Winkelverteilung der reflektierten Strahlung kann man auf die Oberfl¨acheng¨ ute schließen. Im Weiteren werden wir ideale Reflexion voraussetzen. Betrachten wir die Reflexion eines einzelnen Lichtstrahles OP an der xyFl¨ ache in Abb. 3.22 a. Aufgrund des Reflexionsgesetzes bleibt der reflektierte Strahl P Q in der Einfallsebene, die durch die Fl¨achennormale im Auftreffpunkt des einfallenden Strahles und den einfallenden Strahl definiert wird. Wenn man den Weg OP Q in seine xyz-Komponenten aufspaltet, so sieht man, dass durch die Reflexion die Richtung des Strahles OP bez¨ uglich der z-Richtung umgekehrt wird. Dies bedeutet, dass die z-Komponente invertiert wird. Wenn die Richtung des einfallenden Strahles durch den Einheitsvektor er1 = (ex1 , ey1 , ez1 ) gegeben ist, so erh¨ alt man aufgrund der Reflexion: er1 = (ex1 , ey1 , ez1 ) → er2 = (ex1 , ey1 , −ez1 ) Wenn ein Strahl nacheinander von drei exakt rechtwinklig zueinander angeordneten Ebenen (Tripelspiegel), wie z.B. in der Ecke eines W¨ urfels, reflektiert wird (s. Abb. 3.22 b), so ergibt sich er1 = (ex1 , ey1 , ez1 ) → er2 = (−ex1 , −ey1 , −ez1 )

74

3 Geometrische Optik

Tabelle 3.1. Zusammenstellung wichtiger Formeln zur Brechung und zur Abbildung Snelliussches Brechungsgesetz

n sin ε = n
sin ε


(3.3)

paraxiales Brechungsgesetz

n ε = n
ε


(3.11)

n d = Brechzahl × geometrischer W eg n
εg = arcsin mit n > n
n

(3.7)

optische Wegl¨ ange Grenzwinkel der Totalreflexion Schnittweitengleichung einer Fl¨ ache mit dem Kr¨ ummungsradius r

n n
n
− n − = s
s r

Abbildungsmaßstab einer Fl¨ achenfolge

(3.4)

y
n s
=
y n s

(3.15)

y
= β1
β2
. . . βl
y

(3.16)

Helmholtz-LagrangeInvariante Bildbrennweite einer d¨ unnen Linse

β
= β
=

y n σ = y
n
σ
1 nL − n1 = f
n1

Gesamtbrennweite f¨ ur Hintereinanderschaltung von d¨ unnen Linsen ohne Zwischenraum Newtonsche Form der Abbildungsgleichung Newtonsche Form des Abbildungsmaßstabes



1 1 − r1 r2

(3.17)



1 1 1 − =

a a f

Abbildungsgleichung der d¨ unnen Linse Abbildungsmaßstab

(3.14)

n
s n

s
=

Schnittweitengleichung einer ebenen Fl¨ ache Abbildungsmaßstab β
einer Fl¨ ache

y
a
f
= = a + f
y a 1 1 1 =
+
+... f
f1 f2

β
=

z · z
= f · f
β
=

(3.6)

oder

z · z
= −f
2

−f f
−z
=
= z f z

(3.23)

(3.24)

(3.25) (3.27)

(3.29)

(3.30)

3.10 Reflexion an ebenen Spiegeln

75

und der Strahl kommt exakt antiparallel zum einfallenden Strahl zur¨ uck. Eine Anordnung von mehreren solcher Tripelspiegel bewirkt die exakte R¨ uckspiegelung eines Strahlenb¨ undels, so z.B. Licht eines Autoscheinwerfers durch die Reflektoren am Straßenrand oder eines Laserstrahles von einem Reflektor auf der Mondoberfl¨ ache. Bei einem Tripelspiegel wird der reflektierte Strahl unabh¨angig von der Dreuber dem hung des Tripelspiegels um beliebige Achsen exakt um 180◦ gegen¨ einfallenden Strahl umgelenkt.

Abb. 3.22. Reflexion an ebenen Spiegeln a) Einfach-, b) Tripelspiegel

Die Abbildung durch ebene Spiegel ist in Abb. 3.23 a dargestellt. Ein punktf¨ormiges Objekt O sendet Strahlen auf einen Spiegel. Das Reflexionsgesetz stellt sicher, dass die Dreiecke ON P und O
N P kongruent sind, so dass alle reflektierten Strahlen scheinbar von dem Bildpunkt O
ausgehen. Dieser liegt auf der Normalen ON und die Bildweite O
N ist im Betrag (ohne Vorzeichen) gleich der Gegenstandsweite ON . Das Auge sieht ein punktf¨ormiges Bild bei O
genau in der gleichen Weise wie es einen realen punktf¨ormigen Gegenstand sehen w¨ urde, der in O
angeordnet ist. Da es keinen realen Strahlenverlauf jenseits der Spiegeloberfl¨ ache gibt, ist das entstehende Bild virtuell. Man kann es vor dem Spiegel nicht auf einem weißen Blatt Papier auffangen, wie dies f¨ ur ein reelles Bild m¨ oglich w¨are. Alle Punkte eines ausgedehnten Objektes, z.B. die Pfeile in Abb. 3.23 b, werden durch einen ebenen Spiegel in der gleichen Weise abgebildet: Zu jedem Gegenstandspunkt gibt es einen Bildpunkt, der um soviel unterhalb der reflektierenden Fl¨ ache liegt, wie der Objektpunkt sich oberhalb der Fl¨ache befindet. Die Verbindungslinie von Objekt- und Bildpunkt steht senkrecht auf der Oberfl¨ache. Wir stellen fest, dass die Lage des Bildes nicht von der Position des Auges abh¨angt.

76

3 Geometrische Optik

Abb. 3.23. Abbildung durch ebene Spiegel

Weiterhin zeigt Abb. 3.23 b, dass die Bildgr¨oße identisch zur Gegenstandsgr¨oße ¨ ist, dass also der Abbildungsmaßstab gerade gleich 1 ist. Die Anderung der Orientierung durch die Spiegelung wird in Abb. 3.23 c dargestellt, wobei hier der Spiegel nicht direkt unterhalb des Gegenstandes liegt. Zur Konstruktion des Bildes verl¨ angert man die Spiegelebene. Abbildung 3.23 d zeigt Vielfachbilder eines Gegenstandspunktes O, die sich durch zwei senkrecht zueinander stehende Spiegelfl¨ achen ergeben. Die Bilder O1
und O2
werden durch einfache Reflexion an den beiden Spiegeln gebildet, aber das dritte Bild O3
entsteht durch die nacheinander erfolgende Reflexion an beiden Spiegeloberfl¨achen.

3.11 Reflexion an einer Kugeloberfl¨ ache Kugelspiegel k¨ onnen entweder konkav oder konvex sein, je nachdem, ob der Kr¨ ummungsmittelpunkt C auf der gleichen Seite wie der Gegenstandspunkt O liegt oder auf der entgegengesetzten Seite. In Abb. 3.24 wird ein konkaver Spiegel gezeigt und die Abbildung des Objektpunktes O in den Bildpunkt O
dargestellt. Bei einer Spiegelung wird der Lichtweg bez¨ uglich der z-Achse (optische Achse) umgekehrt, was auch in den Abbildungsgleichungen zu Vorzeichen¨ anderungen f¨ uhren w¨ urde. Deshalb faltet (= ˆ Spiegelung) man den Strahlengang an der Scheitelebene der Spiegelfl¨ache auf und erh¨alt dann einen Bild-

3.11 Reflexion an einer Kugeloberfl¨ ache

77

Abb. 3.24. Reflexion an einem sph¨ arischen Hohlspiegel. Es wird der normale“ und der ” aufgefaltete“ Strahlengang dargestellt. Mit der Auffaltung wird die Vorzeichen¨ ande” rung, die bei der Reflexion wegen der Umkehr der Lichtrichtung auftritt, beseitigt
punkt OAuf (Auffaltung). Dies bedeutet eine Vorzeichenumkehr f¨ ur s
und f
. Das Auffaltungsverfahren hat bei der Berechnung des Strahlengangs in Laserresonatoren (s. Kap. 21) besondere Bedeutung. Es ergibt sich f¨ ur die

aufgefaltete Spiegelfl¨ ache : Schnittweitengleichung Brennweiten Abbildungsgleichung Abbildungsmaßstab

1

1 1 2 =
= s rAuf fAuf rAuf r
fAuf = und f Auf = 2 2 1 1 1 − =

aAuf a fAuf

y a β
= = Auf y a s
Auf

−

(3.31) (3.32) (3.33) (3.34)

78

3 Geometrische Optik

Bei Abbildung einer Objektstrecke y wirkt die aufgefaltete Spiegelfl¨ache wie eine d¨ unne Linse, d.h. s und s
Auf kann man durch a und a
Auf ersetzen. Das Reflexionsgesetz an der aufgefalteten Spiegelfl¨ ache lautet ε
Auf = ε. Abbildung 3.25 zeigt den Strahlenverlauf an einigen sph¨arischen Spiegeln ohne Auffaltung. Es gilt f¨ ur die nicht aufgefaltete Spiegelfl¨ ache : Schnittweitengleichung Brennweiten Abbildungsgleichung Abbildungsmaßstab

1 1 1 + =

s s f r r
und f = f = 2 2 1 1 1 + =
a
a f
y a
β
= =− y a

(3.35) (3.36) (3.37) (3.38)

Abb. 3.25. Brennpunkte und Abbildung an sph¨ arischen Spiegeln ohne Auffaltung

In Abb. 3.26 wird die Bildkonstruktion f¨ ur einen Hohlspiegel und einen W¨olbspiegel gezeigt. Beispiel 3.4 Reflexion an Kugelspiegeln mit/ohne Auf faltung Ein 3 cm großer Gegenstand wird 20 cm vom Scheitel eines a) konvexen und b) konkaven Spiegels aufgestellt. Der Betrag der Brennweite ist jeweils 10 cm. Bestimmen Sie Lage und Abbildungsmaßstab des Bildes.

3.11 Reflexion an einer Kugeloberfl¨ ache

79

Abb. 3.26. Abbildung durch sph¨ arische Spiegel (ohne Auffaltung): a) Konkavspiegel (Hohlspiegel), verkleinertes reelles Bild, b) Konkavspiegel (Hohlspiegel), vergr¨ oßertes virtuelles Bild, c) Konvexspiegel (W¨ olbspiegel), verkleinertes virtuelles Bild, (1) Parallelstrahl, (2) Brennpunktstrahl, (3) Mittelpunktstrahl

L¨ osung
= −10 cm, a = −20 cm. Aus a1) konvexer Spiegel, mit Auffaltung, fAuf 1 1 1 folgt:
a
Auf − a = fAuf
afAuf −20 cm · (−10) cm = = −6,67 cm a
Auf =
a + fAuf −20 cm − 10 cm a
−6,67 cm β
= Auf = = 0,333 a −20 cm

80

3 Geometrische Optik

Das Bild nach Auffaltung liegt 6,67 cm links vom Scheitel des Spiegels, hat die gleiche Orientierung wie der Gegenstand und ist 1/3 so groß wie dieser. a2) konvexer Spiegel, keine Auffaltung, f
= 10 cm, a = −20 cm. Hier folgt aus a1
+ a1 = f1
: af
−20 cm · 10 cm = a
= = 6,67 cm a − f
−20 cm − 10 cm a
6,67 cm β
= − = − = 0,333 a −20 cm Das Bild liegt 6,67 cm rechts vom Scheitel des Spiegels, hat die gleiche Orientierung wie der Gegenstand und ist 1/3 so groß wie dieser.
= 10 cm, a = −20 cm. Hier gilt: b) konkaver Spiegel, Auffaltung, fAuf
af −20 cm · 10 cm Auf a
Auf = = = 20 cm
a + fAuf −20 cm + 10 cm a
20 cm β
= Auf = = −1 a −20 cm Das Bild liegt 20 cm rechts vom Scheitel des Spiegels, hat die umgekehrte Orientierung wie der Gegenstand und ist genauso groß wie dieser.

¨ Ubungen Hinweis: Die Brechzahl von Wasser betr¨ agt 1,33, f¨ ur Glas wird, wenn nicht anders angegeben, n = 1,5 verwendet. 3.1 Berechnen Sie die Laufzeit eines Lichtstrahles, der die Entfernungen z1 im Medium der Brechzahl n1 , z2 im Medium der Brechzahl n2 , . . . sowie zm im Medium mit nm zur¨ ucklegt. Geben Sie das Ergebnis Ihrer Berechnung in Form einer Summe an. 3.2 Bestimmen Sie das kartesische Ovaloid f¨ ur die ideale Abbildung mit einer brechenden Fl¨ ache, wenn der Objektpunkt auf der optischen z-Achse 20 cm vom Scheitel der Oberfl¨ ache entfernt ist und der konjugierte Bildpunkt 10 cm innerhalb des zweiten Mediums liegt. Nehmen Sie f¨ ur das brechende Medium eine Brechzahl von 1,5 an, das a ur den Schnitt des ¨ußere Medium sei Luft. Bestimmen Sie die Gleichung f¨ Ovaloids mit der yz-Ebene, wobei der Koordinatennullpunkt im Objektpunkt liegt. Stellen Sie eine Tabelle mit den y- und z-Koordinaten der Fl¨ ache auf und zeichnen Sie die Fl¨ ache mit einigen Konstruktionsstrahlen. 3.3 Eine bikonvexe Linse hat einen Durchmesser von 5 cm und die Randdicke null. Ein Punktobjekt auf der optischen Achse erzeugt ein reelles Bild auf der entgegengesetzten Seite. Gegenstand und Bild sind 30 cm von der Mittelebene der Linse entfernt. Das Linsenmaterial hat eine Brechzahl von 1,52. Benutzen Sie den Satz von der Gleichheit der optischen Wege durch das Zentrum und den Rand der Linse, um die Dicke der Linse in der Mitte zu bestimmen.

3.11 Reflexion an einer Kugeloberfl¨ ache

81

3.4 Eine Glaskugel von 5 cm Durchmesser hat einen kleinen Kratzer auf ihrer Oberfl¨ ache. Man beobachtet den Kratzer durch das Glas entlang einer Achse durch den Mittelpunkt von einer Position direkt gegen¨ uber. An welcher Stelle erscheint der Kratzer und wie groß ist sein Abbildungsmaßstab? 3.5 An welcher Stelle vor einer sph¨ arischen brechenden Fl¨ ache muss man ein Objekt anordnen, damit die Brechung parallele Lichtstrahlen erzeugt? Wie groß ist die Brennweite einer einzigen brechenden Oberfl¨ ache? 3.6 Ein kleiner Goldfisch wird im Innern eines kugelf¨ ormigen Aquariums von 30 cm Durchmesser betrachtet. Bestimmen Sie die scheinbare Position und den Abbildungsmaßstab des Fischauges, wenn die tats¨ achliche Position a) im Zentrum der Kugel und b) in der Mitte der Sichtlinie vom Zentrum zum Rand ist. Nehmen Sie an, dass das Glas so d¨ unn ist, dass sein Einfluss auf die Brechung vernachl¨ assigt werden kann. 3.7 Ein kleines Objekt befindet sich vor dem d¨ unnen, konvex–sph¨ arischen Glasfenster eines Wassertanks. Der Kr¨ ummungsradius der Fensterfl¨ ache ist 5 cm. Die innere hintere Seite des Tanks besteht aus einem ebenen Spiegel, der 25 cm vom Fenster entfernt ist. Bestimmen Sie Ort und Gr¨ oße des Bildes eines Objektes, das sich 30 cm vom Fenster entfernt außerhalb des Tanks befindet. Die Brechung durch das Glas des Fensters kann vernachl¨ assigt werden. 3.8 Eine plankonvexe Linse hat eine Bildbrennweite von 25 cm und soll aus Glas der Brechzahl 1,52 hergestellt werden. Berechnen Sie den Kr¨ ummungsradius der Schleifund Polierwerkzeuge, die bei der Herstellung der Linse ben¨ otigt werden. 3.9 Berechnen Sie die Brennweite einer d¨ unnen Meniskuslinse, deren sph¨ arische Oberfl¨ achen die Kr¨ ummungsradien 5 und 10 cm haben. Die Brechzahl des Glases ist 1,5. Berechnen Sie eine Positiv- und eine Negativlinse. 3.10 Eine Seite eines Aquariums besteht aus einer großen Glaslinse (n = 1,5). Die Linse ist bikonvex mit Kr¨ ummungsradien vom Betrag 30 cm. Ein kleiner Fisch im Aquarium ist 20 cm von der Linse entfernt. Wo scheint sich der Fisch zu befinden, wenn man ihn durch die Linse betrachtet? Wie groß ist der Abbildungsmaßstab? 3.11 Zwei d¨ unne Linsen haben Bildbrennweiten von −5 und +20 cm. Bestimmen Sie ihre resultierende Brennweite, wenn sie a) sich im optischen Kontakt befinden und b) 10 cm voneinander entfernt sind. 3.12 Zwei identische d¨ unne plankonvexe Linsen mit Kr¨ ummungsradien vom Betrag 15 cm sind so angeordnet, dass ihre gekr¨ ummten Oberfl¨ achen im Scheitel aneinander¨ der Brechzahl 1,65 gef¨ ullt. stoßen. Der Zwischenraum zwischen den Linsen ist mit Ol Die Brechzahl des Glases ist 1,5. Bestimmen Sie die Brennweite der Kombination. ¨ (Hinweis: Betrachten Sie die Olschicht als d¨ unne Zwischenlinse.) 3.13 Ein Okular besteht aus zwei d¨ unnen Linsen von 20 mm Bildbrennweite im Abstand von 16 mm. a) Wo muss man ein kleines selbstleuchtendes Objekt positionieren, damit das Licht, das vom Objekt ausgeht, parallel gemacht wird?

82

3 Geometrische Optik b) Welche Orientierung hat das Bild relativ zum Objekt? Ist das Bild vergr¨ oßert? Kl¨ aren Sie diese Fragen anhand einer Strahlenkonstruktion.

3.14 Eine d¨ unne Zerstreuungslinse und ein konkaver Spiegel haben Bildbrennweiten, die dem Betrage nach gleich sind. Drei halbe Brennweiten vor die Zerstreuungslinse wird ein Gegenstand positioniert. Der Spiegel befindet sich in der Entfernung 3f
auf der anderen Seite der Linse. Bestimmen Sie die Bildlage in der paraxialen N¨ aherung. a) Verwenden Sie ein Strahlendiagramm. b) Berechnen Sie die Lage und Gr¨ oße des Bildes. 3.15 Ein kleines Objekt ist 20 cm von der ersten Linse eines dreilinsigen Systems entfernt, das die Bildbrennweiten 10 cm, 15 cm und 20 cm aufweist. Der Abstand zwischen den ersten beiden Linsen ist 30 cm, der zwischen den letzten beiden 20 cm. Berechnen Sie die endg¨ ultige Bildlage relativ zur Position der letzten Linse sowie den Abbildungsmaßstab, wenn: a) alle drei Linsen Positivlinsen sind, b) die mittlere Linse eine Negativlinse ist, c) die erste und letzte Linse Negativlinsen sind. Zeichnen Sie f¨ ur jeden der F¨ alle ein Strahlendiagramm. 3.16 Eine d¨ unne konvexe Glaslinse hat eine Bildbrennweite von 30 cm in Luft. Bringt man die Linse in eine durchsichtige Fl¨ ussigkeit, so wird sie eine Negativlinse mit einer Bildbrennweite von f
= −188 cm. Bestimmen Sie die Brechzahl der Fl¨ ussigkeit. 3.17 Auf einem Schirm m¨ ochte man ein vierfach vergr¨ oßertes Bild eines hellen Objektes erzeugen. Hierzu soll eine plankonvexe Linse mit n = 1,5 und r2 = −16 cm benutzt werden. Verwenden Sie die Newtonsche Form der Abbildungsgleichung und bestimmen Sie den Abstand des Objektes und des Schirmes von der Linse. Hat das Bild ¨ die gleiche Orientierung wie das Objekt? Uberpr¨ ufen Sie Ihr Resultat anhand der gew¨ ohnlichen Abbildungsgleichung. 3.18 Drei d¨ unne Linsen der Bildbrennweiten 10 cm, 20 cm und −40 cm werden in optischen Kontakt gebracht und bilden eine Verbundlinse. a) Bestimmen Sie den Brechwert jeder einzelnen Linse und den Brechwert der Kombination. b) Bestimmen Sie den Kr¨ ummungsradius der Kugelwellen, die von einem Objektpunkt 12 cm vor dem System ausgehen und den Kr¨ ummungsradius der resultierenden Kugelwellen, die auf das Bild zulaufen. Ermitteln Sie aus dem Ergebnis die Bildweite in cm. 3.19 Eine Linse wird entlang der optischen Achse zwischen einem festen Objekt und einem festen Bildschirm bewegt. Die Entfernung l zwischen Gegenstand und Bild ist gr¨ oßer als die vierfache Bildbrennweite der Linse. Man findet zwei Stellungen der Linse f¨ ur die auf dem Schirm ein scharfes Bild entsteht, in einem Falle vergr¨ oßert und im anderen Falle verkleinert. Die beiden Linsenpositionen unterscheiden sich um die Entfernung e. Zeigen Sie, dass die Bildbrennweite der Linse durch f
= (l2 − e2 )/4l

3.11 Reflexion an einer Kugeloberfl¨ ache

83

gegeben ist. Dies ist die Besselsche Methode, um die Brennweite einer Linse zu bestimmen. 3.20 Auf einem Schirm wird mit einer Linse das Bild eines Gegenstandes entworfen. Man h¨ alt die Position der Linse fest und bewegt sowohl den Gegenstand als auch das Bild in eine neue Position, die wieder ein scharfes Bild ergibt. Die zwei Gegenstandspositionen seien O1 und O2 und die Abbildungsmaßst¨ abe β1
und β2
. Zeigen Sie, dass die Bildbrennweite der Linse durch folgende Formel gegeben ist: f
=

O1 O2 1/β1
− 1/β2


Dies ist die Abbesche Methode zur Bestimmung der Brennweite einer Linse. 3.21 Ermitteln Sie das Reflexionsgesetz mit Hilfe des Fermatschen Prinzips durch Minimierung des Weges eines beliebigen Strahles vom Quell- zum Aufpunkt. 3.22 Bestimmen Sie das Verh¨ altnis der Brennweiten von zwei identischen d¨ unnen plankonvexen Linsen, wobei die eine auf der flachen Seite und die andere auf der gekr¨ ummten Seite verspiegelt ist. Das Licht f¨ allt jeweils auf die unverspiegelte Seite ein. 3.23 Zeigen Sie, dass bei der Abbildung durch eine d¨ unne Linse die minimale Entfernung ur welche Lage von Bild und Gegenstand von Gegenstand und Bild gleich 4f
ist. F¨ findet man dies? 3.24 Ein Lichtstrahl durchl¨ auft eine Reihe von ebenen Grenzfl¨ achen, die alle parallel zueinander sind und Gebiete unterschiedlicher Dicke und Brechzahl voneinander trennen. a) Zeigen Sie, dass f¨ ur ein- und ausfallenden Strahl das Brechungsgesetz mit den Brechzahlen des ersten und letzten Gebietes gilt, so, als ob die dazwischenliegenden Gebiete nicht existieren. b) Berechnen Sie die Parallelverschiebung des auslaufenden relativ zum einlaufenden Strahl. 3.25 Ein paralleler Lichtstrahl f¨ allt auf eine plankonvexe Linse von 4 cm Dicke. Der Kr¨ ummungsradius der konvexen Seite betr¨ agt r = −4 cm. Die Brechzahl des Linsenmaterials betr¨ agt 1,5 und die Linse wird in Luft benutzt. Bestimmen Sie die Lage von objekt- und bildseitigem Brennpunkt der Linse. 3.26 Eine sph¨ arische Grenzfl¨ ache hat einen Kr¨ ummungsradius von r = 10 cm und trennt Materialien der Brechzahlen 1 und 4/3. Der Kr¨ ummungsmittelpunkt liegt auf der Seite mit der h¨ oheren Brechzahl. Bestimmen Sie die Brennweiten f¨ ur Licht, das von jeder Seite einf¨ allt. Wie a ¨ndert sich das Ergebnis, wenn die zwei Brechzahlen vertauscht werden? 3.27 Ein Flugzeug wird f¨ ur Luftaufnahmen zur Erstellung einer Landkarte eingesetzt. Der Maßstab der Karte soll 1:50 000 sein, das Kameraobjektiv hat eine Bildbrennweite von 150 cm. Bestimmen Sie die geeignete H¨ ohe f¨ ur die Luftaufnahme. 3.28 Bestimmen Sie die minimale H¨ ohe eines Wandspiegels, der es einer 1,80 m großen Person gestattet, sich vollst¨ andig zu sehen. Skizzieren Sie Strahlen, die vom Kopf

84

3 Geometrische Optik und von den F¨ ußen der Person ausgehen und bestimmen Sie eine geeignete Anordnung des Spiegels, so dass die Person ihr vollst¨ andiges Bild unabh¨ angig von ihrem Abstand vom Spiegel sehen kann.

3.29 Der Einfallswinkel eines Lichtstrahles, der auf die Mitte der obersten Fl¨ ache eines durchsichtigen W¨ urfels einf¨ allt, betr¨ agt 45◦ . Die Brechzahl des W¨ urfelmaterials ist 1,414. Skizzieren Sie den Strahlenverlauf durch den W¨ urfel. 3.30 Zur Bestimmung der Brechzahl einer transparenten Glasplatte benutzt man folgendes Verfahren: Ein Mikroskop wird zun¨ achst auf einen kleinen Kratzer in der oberen Oberfl¨ ache fokussiert (scharf gestellt) und die Position des Objektivs notiert. Bringt man das Objektiv des Mikroskops um 1,87 mm n¨ aher an die Glasplatte heran, so sieht man wieder ein scharfes Bild des Kratzers. Die Dicke der Platte ist 1,5 mm. Warum sieht man das zweite scharfe Bild und wie groß ist die Brechzahl des Glases? 3.31 Eine kleiner Lichtpunkt auf der unteren Fl¨ ache eines Glasquaders von 2,25 cm Dicke wird durch das Glas betrachtet. Die Strahlen des an der oberen Fl¨ ache total reflektierten Lichtes ergeben einen Kreis von 7,6 cm Durchmesser auf der unteren Fl¨ ache. Bestimmen Sie die Brechzahl des Glases. 3.32 Zeigen Sie, dass die Parallelverschiebung s eines Lichtstrahles, der eine planparallele Platte der Dicke d durchl¨ auft, durch d sin(ε − ε
) cos ε

gegeben ist, wobei ε und ε Einfalls- und Brechungswinkel sind. Bestimmen Sie die Verschiebung, wenn d = 3 cm, n = 1,5 und ε = 50◦ ist. s=

3.33 Ein Maßstab von 1 m L¨ ange liegt entlang der optischen Achse eines konvexen Spieahere Ende 60 cm von der Spiegels der Bildbrennweite f
= −40 cm, wobei das n¨ geloberfl¨ ache entfernt ist. Wie groß ist das Bild des Maßstabes? 3.34 Eine Halbkugel aus Glas ist auf der gekr¨ ummten Oberfl¨ ache versilbert. Im Glas befindet sich auf der optischen Achse eine kleine Luftblase, die 5 cm von der ebenen Oberfl¨ ache entfernt ist. Der Kr¨ ummungsradius der sph¨ arischen Fl¨ ache betr¨ agt 7,5 cm. Wenn man entlang der optischen Achse auf die ebene Oberfl¨ ache schaut, so sieht man zwei Bilder der Luftblase. Warum entstehen sie und wo liegen sie? 3.35 Ein konkaver Spiegel entwirft auf einem Schirm ein Bild, das doppelt so groß wie der Gegenstand ist. Gegenstand und Spiegel werden dann so verschoben, dass das Bild dreimal so groß wie der Gegenstand wird. Wenn bei diesem Verfahren der Spiegel um 75 cm bewegt wird, wie weit muss man dann den Gegenstand bewegen? Wie groß ist die Brennweite des Spiegels?

4 Matrixmethoden der paraxialen Optik

Einleitung In diesem Kapitel besch¨ aftigen wir uns mit Methoden zur Analyse komplizierter optischer Systeme. Solche Systeme weisen mehrere brechende oder reflektierende Elemente auf, die hintereinander auf der optischen Achse angeordnet sind. Wir beginnen mit der Beschreibung der dicken Linse, wobei wir den Begriff des Hauptpunktes bzw. der Hauptebene einf¨ uhren. Im Weiteren besch¨aftigen wir uns mit der Berechnung von optischen Systemen mit der Matrixmethode. Hierbei werden 2 × 2 Matrizen multipliziert, die die Komponenten des Linsensystems beschreiben. Mit diesem Verfahren kann man die Gesamtmatrix des optischen Systems ermitteln, aus der sich dann z.B. die Hauptpunkte berechnen lassen.

4.1 Die dicke Linse Betrachten wir zun¨ achst eine sph¨ arische dicke Linse. Die Linsenoberfl¨achen sind Kugelfl¨ achen, deren Kr¨ ummungsmittelpunkte auf der optischen Achse des optischen Gesamtsystems liegen (zentrierte Kugelfl¨achen). Die Scheiteldicke (Dicke entlang der optischen Achse) kann nicht vernachl¨assigt werden, wenn man die optische Abbildung mit dieser Linse berechnet. F¨ ur eine d¨ unne Linse sollte die

86

4 Matrixmethoden der paraxialen Optik

Scheiteldicke d ≈ 0 sein. Ob eine Linse in die Kategorie d¨ unn“ oder dick“ ein” ” zuordnen ist, h¨ angt von der Genauigkeit ab, die bei der optischen Berechnung erforderlich ist. Die Abbildungseigenschaften der dicken Linse k¨onnen mit den Methoden, die in Kap. 3 behandelt worden sind, bestimmt werden: Das Bild eines gegebenen Objektes, das durch die Brechung an der ersten Fl¨ache erzeugt wird, wird zum Objekt f¨ ur die Abbildung durch die zweite Linsenfl¨ache. In der Gegenstandsweite f¨ ur die Berechnung der Abbildung durch die zweite Grenzfl¨ ache muss nun die Dicke der Linse ber¨ ucksichtigt werden. Das Bild, das durch die zweite Linsenfl¨ ache erzeugt wird, ist dann das endg¨ ultige Bild, das die dicke Linse entwirft. Die optische Abbildung durch eine dicke Linse kann auch so dargestellt werden, dass die Ermittlung von Lage und Gr¨oße der Bilder f¨ ur beliebige Objekte sehr ¨ ahnlich zum Verfahren f¨ ur die d¨ unne Linse erfolgt. Die Beschreibung einer dicken Linse durch Hauptpunkte, Knotenpunkte und Brennweiten ist sehr n¨ utzlich, da sie auch auf beliebig komplizierte optische Systeme anwendbar und dort besonders vorteilhaft ist. Man findet f¨ ur die dicke Linse drei ausgezeichnete Punktepaare (Kardinalpunkte), aus denen die abbildenden Eigenschaften abgeleitet werden k¨onnen. Die Ebenen, die in den Kardinalpunkten senkrecht zu den optischen Achsen stehen, nennt man Kardinalebenen 1 . Die sechs Kardinalpunkte (s. Abb. 4.1 und 4.2) sind: – der Objektbrennpunkt und der Bildbrennpunkt (F , F
) – die beiden Hauptpunkte (H, H
), – die Knotenpunkte (K, K
).

Abb. 4.1. Hauptpunkte H und H
eines optischen Systems

Ein Strahl ausgehend vom Objektbrennpunkt F verl¨auft nach der Linse parallel zur optischen Achse (s. Abb. 4.1 a, Bild im Unendlichen“). Ein Strahl paral” lel zur Achse (Objekt im Unendlichen“) wird durch die Linse in der Weise ” 1

Diese Fl¨ achen sind tats¨ achlich leicht gekr¨ ummt, in der paraxialen N¨ aherung werden sie als Ebenen approximiert.

4.1 Die dicke Linse

87

Abb. 4.2. Knotenpunkte K, K
eines optischen Systems

gebrochen, dass er durch den Bildbrennpunkt F
verl¨auft (s. Abb. 4.1 b). Die Verl¨ angerungen des einlaufenden und des ausfallenden Strahles schneiden sich nach Definition in den Hauptebenen. Diese werden in den Hauptpunkten H und ur eine d¨ unne“ Linse fallen die zwei H
von der optischen Achse durchstoßen. F¨ ” Hauptebenen zusammen. Man benutzt eine vertikale Linie, um diese Hauptebene darzustellen. Im Allgemeinen sind die beiden Hauptebenen voneinander getrennt, sie k¨ onnen sogar weit außerhalb des optischen Systems selbst liegen. Wenn die Lage der Hauptebenen bekannt ist, kann man den Abbildungsstrahlengang zeichnen. Die Strahlen, die durch die Brennpunkte verlaufen, ¨andern ihre Richtung am Schnittpunkt mit den Hauptebenen (s. Abb. 4.1). Der dritte Strahl, den man normalerweise in Strahlkonstruktionen f¨ ur d¨ unne Linsen anwendet, ist der Strahl durch den Mittelpunkt der Linse. Dieser Mittelpunktstrahl wird f¨ ur eine d¨ unne Linse weder abgelenkt noch parallel verschoben. Mit Hilfe der Knotenpunkte kann man diesen Strahl auch bei einer dicken Linse oder einem beliebigen optischen System konstruieren (s. Abb. 4.2). Jeder Strahl, der durch den Knotenpunkt K verl¨ auft, verl¨ asst das optische System parallel zum einfallenden Strahl, ist aber so verschoben, dass er aus dem zweiten Knotenpunkt K
entspringt. Die Lagen aller sechs f¨ ur die Konstruktion wichtigen Kardinalpunkte sind in Abb. 4.3 gezeigt. F¨ ur die Vorzeichen der Strecken wird dieselbe Konvention wie in Kap. 3 benutzt: Strecken, die von links nach rechts gemessen werden, haben ein positives Vorzeichen und die von rechts nach links haben ein negatives Vorzeichen. F¨ ur die dicke Linse beschreiben die Entfernungen s1H und s2H
die Positionen der Hauptpunkte relativ zu den Scheitelpunkten S1 und S2 , w¨ahrend f und f
die Entfernungen der Brennpunkte von den Hauptpunkten angeben. Die Brennweiten werden also nicht von den Scheitelpunkten der Linse aus gemessen. Die gerichteten Strecken sind wieder durch einen dicken Punkt (Ursprung) und eine Pfeilspitze (Zielpunkt) dargestellt. Im Folgenden werden wir die paraxialen Grundgleichungen f¨ ur die dicke Linse ohne Beweis angeben. Obwohl die Ableitung nur einfache Algebra und Geometrie

88

4 Matrixmethoden der paraxialen Optik

Abb. 4.3. Symbole, die zur Beschreibung der Kardinalpunkte der dicken Linse benutzt werden. Dies sind die Brennpunkte (F , F
), die Hauptpunkte (H, H
) und die Knotenpunkte (K, K
). Geometrische Bezugsgr¨ oßen sind die Scheitelpunkte S1 , S2 sowie die Kr¨ ummungsmittelpunkte C1 und C2

beinhaltet, ist sie etwas aufw¨ andig. Sp¨ ater in diesem Kapitel werden wir diese Gleichungen u ¨ ber die Matrixmethode relativ einfach ermitteln k¨onnen. Verwendet man die Symbole, die in Abb. 4.3 definiert sind, und die Schnittweitengleichungen f¨ ur die Brechung an einer Fl¨achenfolge (s. Kap. 3), so erh¨alt man die Objektbrennweite der dicken Linse nL − n
nL − n (nL − n) (nL − n
) d 1 = − − nr2 nr1 nnL r1 r2 f

(4.1)

und die: Bildbrennweite

f
= −

n
f n

(4.2)

Wir sehen, dass die zwei Brennweiten dann von gleichem Betrag sind, wenn die Linse nur von demselben brechenden Medium umgeben ist, so dass n = n
ist. F¨ ur den Abstand der Hauptpunkte gilt: Abstand des objektseitigen Hauptpunktes

Abstand des bildseitigen Hauptpunktes

s1H =

nL − n
fd nL r2

(4.3)

s2H
= −

nL − n
f d nL r1

(4.4)

4.1 Die dicke Linse

Der Abstand der Knotenpunkte ist gegeben durch:   n
nL − n
Abstand des objektseitigen d f + s1K = 1 − Knotenpunktes n nL r2

Abstand des bildseitigen Knotenpunktes

 s2K
=

 n nL − n 1−
− d f
n nL r1

89

(4.5)

(4.6)

Die Brechzahl der Medien auf beiden Seiten der Linse ist im allgemeinsten Fall verschieden. Dann gelten die allgemeine Abbildungsgleichung

f
f + =1
a a

(4.7)

und der allgemeine Abbildungsmaßstab

β
=

a
n an


(4.8)

Hierbei sind die Gegenstands- und Bildweiten a und a
sowie die Gegenstandsund Bildbrennweiten f und f
relativ zu den entsprechenden Hauptebenen gemessen. F¨ ur den einfachen Fall einer Linse in Luft, mit n = n
= 1, erh¨alt man s1H = s1K und s2H
= s2K
, objekt- und bildseitiger Hauptpunkt fallen mit dem entsprechenden Knotenpunkt zusammen. Weiterhin sind Bild- und Objektbrennweiten gleich groß und es gelten die Gleichungen, die wir bereits in Kap. 3 bei der Abbildung mit der d¨ unnen Linse kennengelernt haben: Abbildungsgleichung f¨ ur beidseitig gleiche Medien

Abbildungsmaßstab f¨ ur beidseitig gleiche Medien

1 1 1 − =

a a f

β
=

y
a
= y a

(3.24)

(3.25)

Beispiel 4.1 Brennweiten und Hauptpunkte der dicken Linse Bestimmen Sie die Brennweiten und die Hauptpunkte einer 4 cm dicken, biummungsradien konvexen Linse aus Glas mit der Brechzahl nL = 1,52 und Kr¨ von ±25 cm, wenn die Linse die Eintritts¨offnung eines langen Zylinders, der ullt ist, abschließt. mit Wasser (n
= 1,33) gef¨

90

4 Matrixmethoden der paraxialen Optik

L¨ osung Dicke Linse Aus (4.1) folgt: 1,52 − 1,33 1 1,52 − 1 (1,52 − 1) · (1,52 − 1,33) 0,04 m = − − 1 · (−0,25 m) 1 · (0,25 m) 1 · 1,52 −0,25 m · 0,25 m f Damit ist f = −0,357 m und der objektseitige Brennpunkt F liegt 35,7 cm links des Hauptpunktes H. Mit (4.2) erh¨alt man: 1,33 f
= − (−0,357 m) = 0,475 m. 1 Der bildseitige Brennpunkt F
liegt 47,5 cm rechts vom Hauptpunkt H
. Mit (4.3) und (4.4) berechnet man: 1,52 − 1,33 · (−0,357 m) · 0,04 m = 0,00714 m = 7,14 mm 1,52 · (−0,25 m) 1,52 − 1 =− · 0,475 m · 0,04 m = −0,026 m = −26 mm 1,52 · 0,25 m

s1H = s2H


Der Hauptpunkt H liegt also 7,14 mm rechts des linken Linsenscheitels und H
liegt 26 mm links des rechten Scheitels.

4.2 Die Matrixmethode Wenn das optische System aus mehreren Elementen besteht, z.B. den 4 oder 5 Linsen, die das Objektiv einer Kamera bilden, ben¨otigen wir ein allgemeines Verfahren, das die Berechnung der optischen Kenngr¨oßen dieses Systems erleichtert. Solange wir uns auf paraxiale Strahlen beschr¨anken, kann dies im Rahmen einer einfachen Matrixmethode erfolgen. Wir beschreiben im Folgenden das Verfahren zur Bildkonstruktion. Wir be¨ nutzen Matrizen, um Anderungen in der H¨ohe und im Winkel der Strahlen zu beschreiben, wenn sie beim Durchlaufen des optischen Systems aufeinander fol¨ gende Reflexionen und Brechungen erfahren. Wir werden zeigen, dass diese Anderungen in der H¨ ohe und in der Richtung eines Strahles im Rahmen der paraxialen N¨ aherung durch lineare Gleichungssysteme beschrieben werden, die sich in Matrixform schreiben lassen. Kombiniert man die Matrizen, die einzelne Brechungen und Reflexionen beschreiben, so l¨ asst sich ein gegebenes optisches System durch eine einzige Gesamtmatrix darstellen, aus der die wesentlichen Eigenschaften des zusammengesetzten optischen Systems abgeleitet werden k¨onnen. Diese Methode ist auch die Basis der Rechenmethoden zur Verfolgung eines Strahles durch ein optisches System beliebiger Komplexit¨ at.

4.3 Die Translationsmatrix

91

Abbildung 4.4 zeigt den Verlauf eines einzelnen Strahles durch ein optisches System. Der einfallende Strahl (Index E ) wird durch die Entfernung zE in der die erste brechende Fl¨ ache liegt, sowie durch seine H¨ohe hE und den Steigungswinkel σE relativ zur optischen Achse charakterisiert. In diesem System ¨andert sich der Steigungswinkel bei jeder Brechung, z.B. in den Punkten 1 − 5 und bei jeder Reflexion, z.B. im Punkt 6. Die H¨ ohe h des Strahles relativ zur optischen Achse ¨andert sich ebenfalls beim Durchlaufen des optischen Systems. Zur Beibehaltung der Vorzeichenkonventionen ist zus¨ atzlich der aufgefaltete Strahlengang (s. Kap. 3) bei der Reflexion am Spiegel 6 eingezeichnet. Wir wollen nun ein Verfahren entwickeln, mit dem wir H¨ohe und Steigungswinkel des Strahles an jeder Stelle des optischen Systems berechnen k¨onnen. F¨ ur gegebene Eingangsdaten hE , und σE beim Achsenpunkt T wollen wir die Ausgangsdaten hA
und σA
im Punkt T
ermitteln.

Abb. 4.4. Verlauf eines Strahles durch ein optisches System. Der Strahl kann durch seine H¨ ohe h und den Steigungswinkel σ beschrieben werden. Auf der rechten Seite der Abbildung ist auch die Auffaltung des reflektierten Strahles (s. Kap. 3) eingezeichnet

4.3 Die Translationsmatrix Zun¨ achst wollen wir die Translation eines Strahles (s. Abb. 4.5) in einem homogenen Medium betrachten. Die in axialer Richtung zur¨ uckgelegte Entfernung wird durch l beschrieben; in den Punkten 0 und 1 ist die H¨ohe und die Steigung des Strahles durch die Parameter h0 und σ0 bzw. h1 und σ1 gegeben. Die Strahlh¨ ohen h0 bzw. h1 sollten nicht mit der Objektgr¨oße y bzw. der Bildgr¨oße y
verwechselt werden. ur h, l Hier gilt σ1 = σ0 und h1 = h0 − l tan σ0 . Beim Einsetzen von Werten f¨ und σ muss man auf die Vorzeichen achten. Nimmt man als Beispiel Abb. 4.5, so h¨ atten die Zahlenwerte f¨ ur h, l positive und der f¨ ur σ ein negatives Vorzeichen. Diese Gleichungen kann man mit Hilfe der paraxialen N¨aherung tan σ0 ≈ σ0 umschreiben:

92

4 Matrixmethoden der paraxialen Optik

h1 = h0 · 1 + σ0 · (−l)

σ1 = h0 · 0 + σ0 · 1

(4.9)

In Matrixschreibweise erh¨ alt man dann folgende Gleichungen:



  h1 1 −l h0 = 0 1 σ1 σ0

(4.10)

mit der

T=

Translationsmatrix

1 −l

 (4.11)

0 1

Die Eingangsdaten (hE = h0 , σE = σ0 ) werden durch die Translationsmatrix in die Ausgangsdaten (h
A = h1 , σA = σ1 ) transformiert.

Abb. 4.5. Translation eines Strahles

4.4 Die Brechungsmatrix Als N¨ achstes wollen wir die Brechung des Strahles an einer Kugelfl¨ache berechnen, die zwei Medien mit den Brechzahlen n und n
voneinander trennt (s. Abb. 4.6). Wir berechnen wieder die Kenngr¨oßen des Strahles (h
, σ
) nach der Brechung aus denen vor der Brechung (h, σ). Die Brechung geschieht in einem ¨ Punkt, deshalb tritt keine Anderung des Strahlabstandes zur Achse auf; es gilt
h = h. F¨ ur die Winkel ergibt sich aus Abb. 4.6: h h − ε
und σ = ϕ − ε = − ε r r
Mit der paraxialen Form des Brechungsgesetzes n · ε = n · ε
erhalten wir σ
= ϕ − ε
=

4.4 Die Brechungsmatrix

σ
= −

n h ε+ =
n r



n
− n n
r

 h+

93

n σ n


und damit das lineare Gleichungssystem h
= h  · 1 + σ · 0 n
− n σ
= h + σ nn
n
r

(4.12)

oder in Matrixform

h
σ




⎞  1 0 h = ⎝ n
− n n ⎠ σ n
r n


und damit die: Brechungsmatrix f¨ ur Kugelfl¨ache

⎛

⎞ 1 0 B = ⎝ n
− n n ⎠ n
r n
⎛

(4.13)

Abb. 4.6. Brechung an einer Kugelfl¨ ache (sph¨ arische Fl¨ ache)

Strecken, die in Lichtrichtung orientiert sind, erfordern ein positives Vorzeichen f¨ ur den Zahlenwert, den man bei der Berechnung einsetzt, z.B. hat in Abb. 4.6 der Kr¨ ummungsradius, der von der sph¨ arischen Fl¨ache aus gez¨ahlt wird, einen positiven Zahlenwert. F¨ ur Strecken, die entgegengesetzt zur Lichtrichtung orientiert sind, muss ein negativer Zahlenwert eingesetzt werden. F¨ ur den Fall r → ∞ erh¨ alt man die Brechungsmatrix f¨ ur eine ebene Fl¨ache.

94

4 Matrixmethoden der paraxialen Optik

4.5 Die Reflexionsmatrix Zum Abschluss betrachten wir die Reflexion an einer sph¨arischen Fl¨ache, so wie sie in Abb. 4.7 gezeigt wird.

Abb. 4.7. Reflexion an einer Kugelfl¨ ache (sph¨ arische Fl¨ ache) ohne und mit Auffaltung

Wie in Kapitel 3 beschrieben, verwenden wir den aufgefalteten“ Strahlengang, ” bei dem die Lichtrichtung nicht durch die Reflexion umgekehrt wird. Aus der Schnittweitengleichung f¨ ur die aufgefaltete Spiegelfl¨ache 1 1 2 2 1 − =
= =−
s s f rAuf r

(3.31)

erh¨ alt man mit h = h
und durch Einsetzen von s = h/σ und s
= h/σ
(s. Abb. 4.7) in der paraxialen N¨ aherung das Gleichungssystem2: h
= h · 1 + σ · 0 σ
= h −2 r +σ·1 2

In den Gleichungen ist bei s
der Index Auf“ weggelassen. ”

(4.14)

4.6 Die Matrizen f¨ ur dicke und d¨ unne Linsen

95

oder in Matrixform

h




=

σ


1 0 −2 r

  h

1

σ

und damit: Reflexionssmatrix f¨ ur die spiegelnde Kugelfl¨ache bei aufgefaltetem Strahlengang

 1 0 R= (4.15) −2 r 1

4.6 Die Matrizen fu ¨ r dicke und du ¨ nne Linsen Wir leiten nun die Matrix ab, die die Wirkung einer dicken Linse auf einen Lichtstrahl beschreibt. Um allgemein zu bleiben, nehmen wir verschiedene Medien auf beiden Seiten der Linse an. Diese haben die Brechzahlen n und n
(s. Abb. 4.8). Beim Durchgang durch die Linse erf¨ ahrt der Strahl zwei Brechungen und eine Translation. Dies sind Schritte, f¨ ur die wir schon zuvor die entsprechenden Matrizen abgeleitet haben. Ausgehend von der Abb. 4.8 w¨ahlen wir der Einfachheit halber eine Meniskenlinse mit zwei positiven Kr¨ ummungsradien und k¨onnen dann symbolisch schreiben: 

h1

σ1





h3 σ3



σ0

f¨ ur die erste Brechung (Brechungsmatrix B1 = M1 ) und 

h1

= M2 

 h0

= M1

h2 σ2



= M3

σ1 h2 σ2

f¨ ur die Translation (Translationsmatrix T = M2 ) und  f¨ ur die zweite Brechung (Brechungsmatrix B2 = M3 )

oder insgesamt: 

h3 σ3

= M3 M2 M1

 h0

(4.16)

σ0

Es ist offensichtlich, dass die dicke Linse durch die Matrix M = M3 M2 M1 dargestellt werden kann. Wir erinnern uns daran, dass die Multiplikation von Matrizen

96

4 Matrixmethoden der paraxialen Optik

assoziativ, aber nicht kommutativ ist. Deshalb muss die absteigende Ordnung dieses Matrizenproduktes erhalten bleiben. Die einzelnen Matrizen wirken auf den Lichtstrahl in derselben Reihenfolge und Art und Weise wie die entsprechenden optischen Ph¨ anomene – Brechung, Translation, Reflexion – den Lichtstrahl bei seinem Durchgang durch das System beeinflussen. Wir wenden dieses Resultat auf die dicke Linse in Abb. 4.8 an, deren Brechzahl ur die gesamte Linse n¨aherungsweise d betr¨agt. Die Medien nL und deren Dicke f¨ links und rechts von der Linse weisen unterschiedliche Brechzahlen n bzw. n
auf. Wenn B f¨ ur eine Brechungsmatrix und T f¨ ur eine Translationsmatrix steht, ergibt sich f¨ ur die dicke Linse die zusammengesetzte Matrix M = B2 TB1 :





 1 0 1 0 1 −d Strahlmatrix der Mdick = (4.17) n
−nL nL nL −n n dicken Linse 0 1

n r2

n

nL r1

nL

Wir vereinfachen die Matrix f¨ ur den Fall einer d¨ unnen Linse (d = 0), die auf beiden Seiten von Medien mit der gleichen Brechzahl (n = n
) umgeben ist, und erhalten 





1 0 1 0 1 0 (4.18) L= nL −n n n−nL nL 0 1 nr2 n nL r1 nL und nach Multiplikation der Matrizen: ⎛ L=⎝n

L −n

n

⎞

1

1 r1

−

1 r2



0 1

⎠

Abb. 4.8. Verlauf eines Strahles durch eine dicke Linse

(4.19)

4.7 Systemmatrix

97

Das Matrixelement in der ersten Spalte und zweiten Zeile kann man als Kehrwert der bildseitigen Brennweite der d¨ unnen Linse darstellen:   nL − n 1 1 1 (3.23) = − f
n r1 r2 Daraus ergibt sich die Strahlmatrix f¨ ur die d¨ unne Linse:

Strahlmatrix der d¨ unnen Linse

L=

1 0

1 f


 (4.20)

1

Wie gew¨ ohnlich ist f
positiv f¨ ur eine Sammellinse und negativ f¨ ur eine Zerstreuungslinse. In Tabelle 4.1 sind die bisher abgeleiteten Matrizen zusammengestellt.

4.7 Systemmatrix Wir verallgemeinern den obigen Formalismus und erhalten eine Matrixgleichung, die eine beliebige Anzahl K von Translationen, Reflexionen und Brechungen beschreibt: 



hE h
A = MK MK−1 . . . M2 M1 (4.21) σA σE Die Matrix f¨ ur das Gesamtsystem ist dann M = MK MK−1 . . . M2 M1

(4.22)

F¨ ur ein beliebiges optisches System erh¨ alt man so eine einfache 2 × 2-Matrix, die man Systemmatrix nennt. Beispiel 4.2 Systemmatrix der dicken Linse Bestimmen Sie die Systemmatrix f¨ ur die dicke Linse der Abb. 4.8, deren Matrix vor der Multiplikation durch (4.17) gegeben ist. Die dicke Linse hat die folgenden Parameter: r1 = 45 cm, r2 = −30 cm, d = 5 cm, nL = 1,6, n = n
= 1.

98

4 Matrixmethoden der paraxialen Optik Tabelle 4.1. Strahlmatrizen ⎛

Translationsmatrix

⎞

⎜ 1 −l ⎟ ⎟ T=⎜ ⎝ ⎠ 0 1

⎛ Brechungsmatrix Kugelfl¨ ache

⎜ B=⎜ ⎝

⎞ 0 ⎟ ⎟ ⎠

1

n
−n n n
r n


⎛ Brechungsmatrix ebene Fl¨ ache

⎜1 0 ⎟ ⎟ BE = ⎜ ⎝ ⎠ n 0 n


⎛ Matrix d¨ unne Linse

⎞

⎞

⎜ 1 0⎟ ⎟ L=⎜ ⎝ ⎠ 1 f
1 1 nL − n = f
n

⎛



⎞

⎜ 1 0⎟ ⎟ Reflexionsmatrix R=⎜ ⎠ ⎝ aufgefalteter Kugel2 1 rAuf spiegel

1 1 − r1 r2



4.7 Systemmatrix

99

L¨ osung

Mdick =

oder schließlich: Mdick =





1

0

−1 50 cm

1,6

23 24 −7 1200 cm

1 −5 cm 0

− 258cm



1

0



1 1 120 cm 1,6

1



17 16

Die Systemmatrix wird gew¨ ohnlich in der symbolischen Form

 AB Systemmatrix M= CD

(4.23)

dargestellt. Die Elemente A, B, C und D beschreiben spezielle Eigenschaften des optischen Systems, wie wir im Folgenden sehen werden. Beachten Sie, dass die Werte der Matrixelemente des Systems von der Wahl des Orts von Strahleingang und Strahlausgang abh¨ angen. F¨ ur den Fall der dicken Linse, den wir gerade berechnet haben, ist als Eingangsebene die linke Linsenoberfl¨ache und als Ausgangsebene die rechte Linsenoberfl¨ ache gew¨ahlt worden. Wenn man die Ein- bzw. die Ausgangsebene nach links oder rechts verschieben w¨ urde, m¨ usste die Systemmatrix entsprechende Translationsmatrizen enthalten, die die Entfernungen der Verschiebung angeben. Die Matrixelemente ¨andern sich und die Systemmatrix beschreibt nun das vergr¨ oßerte System. Unabh¨angig hiervon hat die Determinante der Systemmatrix eine wichtige Eigenschaft: det M = AD − BC =

nE n
A

(4.24)

nE und n
A sind die Brechzahlen des Eingangs- und Ausgangsmediums des optischen Systems. Die Determinanten aller Matrizen, die in Tabelle 4.1 angegeben sind, haben entweder die Werte n/n
oder 1. Weiterhin gilt allgemein, dass die Determinante eines Produkts von Matrizen gleich dem Produkt der Determinanten ist. Symbolisch gilt: det M = det MK · MK−1 · MK−2 · . . . · det M2 · M1

(4.25)

Bei der Berechnung dieses Produkts fallen alle Brechzahlen der Zwischenmedien heraus und es bleibt nur das Verh¨ altnis nE /n
A u ¨brig. Sehr oft sind nE und n
A die Brechzahlen von Luft und damit ist det M = 1. Gleichung (4.24) dient der ¨ Uberpr¨ ufung der Systemmatrix.

100

4 Matrixmethoden der paraxialen Optik

4.8 Bedeutung der Elemente der Systemmatrix Wir untersuchen nun die Sonderf¨ alle, bei denen eines der Elemente in der Systemmatrix den Wert 0“ annimmt. In symbolischer Form erhalten wir aus (4.23) ”



 

h
A AB hE = (4.26)
σA σE CD Dies ist ¨ aquivalent zu den algebraischen Relationen: h
A = AhE + BσE
σA = ChE + DσE

(4.27)

Abb. 4.9. Spezialf¨ alle der Systemmatrix. a) F¨ ur D = 0 ist die Eingangsebene die objektseitige Brennebene des optischen Systems. b) F¨ ur A = 0 ist die Ausgangsebene die bildseitige Brennebene des Systems. c) F¨ ur B = 0 sind die Eingangsebene (= Objektebene) und die Ausgangsebene (= Bildebene) zueinander konjugiert, A = y
/y gibt den Abbildungsmaßstab an. d) F¨ ur C = 0 ergibt ein paralleles Strahlenb¨ undel auf
der Eingangsebene ein paralleles B¨ undel auf der Ausgangsebene, D = σA /σE gibt die Winkelvergr¨ oßerung an

4.8 Bedeutung der Elemente der Systemmatrix

101

Spezialf¨alle der Systemmatrix: a) D = 0
= ChE unabh¨ angig von σE . Da hE festgelegt ist, beIn diesem Fall ist σA deutet dies, dass alle Strahlen, die einen Punkt in der Eingangsebene ver
auf der Ausgangsebene aufweisen, unabh¨angig lassen, denselben Winkel σA von ihrem Winkel in der Eingangsebene. Wie in Abb. 4.9 a gezeigt ist, f¨allt die Eingangsebene mit der objektseitigen Brennebene des optischen Systems zusammen. b) A = 0 Dieser Fall ist dem vorher beschriebenen sehr ¨ahnlich. Hier ist h
A = BσE und angig von hE ist. Daraus folgt, dass Strahlen, die dies bedeutet, dass h
A unabh¨ die Eingangsebene unter demselben Winkel verlassen, unabh¨angig von ihrer ohe h
A auf der Ausgangsebene ankommen. H¨ ohe hE alle unter der gleichen H¨ Wie Abb. 4.9 b zeigt, ist die Ausgangsebene hier die bildseitige Brennebene des Systems. c) B = 0 Hier ist h
A = AhE , unabh¨ angig von σE . Alle Strahlen, die von einem Punkt der H¨ ohe y = hE in der Eingangsebene ausgehen, kommen bei der gleichen H¨ ohe y
= h
A auf der Ausgangsebene an. Diese Punkte sind zueinander konjugierte Objekt- und Bildpunkte (s. Abb. 4.9 c), Eingangs- und Ausgangsebene sind konjugierte Ebenen des optischen Systems. Weiterhin gilt f¨ ur den Abbildungsmaßstab β
= y
/y = h
A /hE = A. d) C = 0
Hier ist σA = DσE , unabh¨ angig von hE . Dieser Fall ist analog zum Fall c), wobei hier die Strahlh¨ ohen durch die Richtungen ersetzt sind. Parallele Eingangsstrahlen ergeben hier parallele Ausgangsstrahlen in einer anderen
/σE = D die Winkelvergr¨oßerung. Ein Richtung. Weiterhin ergibt Γ
= σA System, f¨ ur das C = 0 gilt, wird auch als afokales System bezeichnet, wie es z.B. beim Fernrohr realisiert ist. Das Fernrohr nimmt typisch parallele Strahlen eines weit entfernten Objektes durch das Objektiv auf, parallele Strahlen verlassen das Okular.

102

4 Matrixmethoden der paraxialen Optik

Beispiel 4.3 Systemmatrix eines Kunststoffstabes Wir illustrieren den Fall c) durch ein Beispiel. Hierzu ordnen wir rechts von einem kleinen Objekt in einen Abstand von zE = 16 cm die linke Grenzfl¨ache eines sehr langen Kunststoffstabes an. Diese weist eine polierte Kugelfl¨ache mit dem Kr¨ ummungsradius r = 4 cm auf (s. Abb. 4.10). Die Brechzahl des Kunststoffmaterials betr¨ agt n
= 1,5, der Stab befindet sich in Luft. Wir fordern, dass das unbekannte Bild auf der Ausgangs-Referenzfl¨ache
von der sph¨arischen Kugelfl¨ache aufweist. entsteht, die einen Abstand zA
Wir wollen den Bildabstand zA und den Abbildungsmaßstab bestimmen. Die Systemmatrix besteht aus dem Produkt von 3 Matrizen: einer Translation T1 in Luft vom Objekt zum Stab, einer Brechung B an der sph¨arischen Oberfl¨ache und einer Translation T2 im Stabmaterial bis zum Bild. Wir erinnern uns daran, die Matrizen in der umgekehrten Form als Produkt zu schreiben, und erhalten M = T2 BT1 , also

M=

=


1 −zA





0

1,50−1 1 4 cm·1,50 1,50

0 1 1−

1


zA

12 cm 1 12 cm

−16 cm +


2zA

1

−16 cm

0 

1



3

− 23


ist in den Matrixelementen enthalten. Wie vorher Die gesuchte Gr¨ oße zA beschrieben, ist f¨ ur den Fall B = 0 die Ausgangsebene die Bildebene. Damit 2z
kann man den Bildabstand erhalten, indem man B = −16 cm+ 3A = 0 setzt.
Hieraus folgt zA = 24 cm. Der Abbildungsmaßstab ist durch den Wert des Matrixelementes A gegeben:
zA = −1. 12 cm Wir schließen hieraus, dass das Bild 24 cm innerhalb des Stabes entsteht, es ist invertiert und hat dieselbe Gr¨ oße wie das Objekt. Dieses Beispiel zeigt, wie die Systemmatrix benutzt werden kann, um auf einfache Art und Weise Lage und Gr¨ oße des Bildes zu erhalten. Man muss aber in jedem Fall pr¨ ufen, inwieweit man nicht einfacher und schneller mit den Formeln der Gaußschen Optik (s. Kap. 3) zum Ziel kommt. Der Vorteil der Matrixmethode liegt darin, dass man auch sehr komplizierte Systeme, die aus vielen Elementen bestehen, relativ einfach berechnen kann.

β
= A = 1 −

4.9 Lage der Hauptpunkte eines optischen Systems

103

Abb. 4.10. Beispiel f¨ ur die Matrixmethode, Abbildung durch einen Kunststoffstab

4.9 Lage der Hauptpunkte eines optischen Systems Die Eigenschaften eines optischen Systems k¨onnen aus den Elementen A, B, C und D der Systemmatrix abgeleitet werden. In Abb. 4.11 verallgemeinern wir die Abb. 4.3, indem wir die Abst¨ ande der sechs Kardinalpunkte relativ zur Eingangsund Ausgangsebene E und A, die als Grenzen des berechneten optischen Systems festgelegt werden, definieren. Die Brennpunkte F und F
sind um die Objekt- und Bildbrennweite f und f
von den Hauptebenen und um die Brennpunktsabst¨ande f E und fA
von der Eingangs- und Ausgangsebene entfernt. Die Abst¨ande sEH und sAH
geben die relative Lage der Hauptpunkte und die Abst¨ande sEK und sAK
die der Knotenpunkte an. Entfernungen, die von der Bezugsebene nach rechts gemessen werden, sind wieder positiv und nach links gemessene negativ. Haupt- und Knotenpunkte k¨ onnen durchaus auch außerhalb des optischen Systems liegen, d.h. außerhalb des Gebietes, das durch Eingangs- und Ausgangsebene definiert ist. Wir leiten nun die Beziehung zwischen den Entfernungen, die in Abb. 4.11 definiert sind, und den Systemmatrixelementen her. Wir betrachten hierzu die Abb. 4.12 a, die die Entfernungen f E , sEH und f herausgreift, die relativ zur Eingangsebene definiert sind. Die Eingangskoordinaten eines gegebenen Strahles durch den Brennpunkt F sind (hE , σE ) und die Ausgangskoordinaten (h
A , 0). Damit ergeben sich die Strahlgleichungen zu: h
A = AhE + BσE
σA

und

= 0 = ChE + DσE

oder

hE = −(D/C)σE

(4.28)

F¨ ur kleine Winkel k¨ onnen wir σE = hE /f E setzen. Damit ergibt sich: fE =

hE D =− σE C

In ¨ ahnlicher Weise erhalten wir mit σE = h
A /f :

(4.29)

104

4 Matrixmethoden der paraxialen Optik

Abb. 4.11. Lage der 6 Kardinalpunkte eines optischen Systems. Die Konstruktionsstrahlen, die zu den Knotenpunkten und den Hauptebenen geh¨ oren, werden ebenfalls angegeben

h
A AhE + BσE AD = =B− , σE σE C nE 1 f = − AD−BC = − detC M = −
C nA C f =

also (4.30)

Mit (4.29) und (4.30) erhalten wir den objektseitigen Hauptebenenabstand sEH :   D nE 1 1 nE sEH = f E − f = − +
−D (4.31) = C nA C C n
A Aus der Abb. 4.12 b kann man ¨ ahnliche Beziehungen f¨ ur den bildseitigen Hauptebenenabstand sAH
, Brennpunktabstand fA
und Bildbrennweite f
gewinnen. Die Ergebnisse der zuletzt genannten Berechnungen sind in Tabelle 4.2 dargestellt. Aus Abb. 4.12 c k¨ onnen wir die objekt- und bildseitigen Abst¨ande sEK und sAK
der Knotenpunkte bestimmen. F¨ ur kleine Winkel σE gilt σE =

hE sEK

(4.32)

Eingangs- und Ausgangsstrahlen schneiden die optische Achse unter demselben
Winkel. Aus den Gleichungen (4.27) erhalten wir mit σE = σA : σE = C hE + D σE

oder

hE 1−D = σE C

(4.33)

4.9 Lage der Hauptpunkte eines optischen Systems

105

Abb. 4.12. a) Strahlkonstruktion zur Ableitung von objektseitigem Hauptebenenabstand sEH , Brennpunktabstand f E und Objektbrennweite f aus den Matrixelementen A, B, C und D. b) Strahlkonstruktion zur Ableitung von bildseitigem Hauptebenen
abstand sAH
, Brennpunktabstand fA und Bildbrennweite f
aus den Matrixelementen. c) Strahlkonstruktion zur Ableitung der objekt- und bildseitigen Knotenpunktabst¨ ande sEK und sAK
aus den Matrixelementen

106

4 Matrixmethoden der paraxialen Optik

Kombinieren wir (4.32) und (4.33), so erhalten wir: sEK =

1−D C

(4.34)

Tabelle 4.2. Lage der Kardinalpunkte in Abh¨ angigkeit von den Elementen der Systemmatrix. Die Abst¨ ande sind f¨ ur die Objektseite auf die Eingangsebene und f¨ ur die Bildseite auf die Ausgangsebene bezogen. Die Ebenen werden vor Beginn der Berechnung definiert, man kann diese z.B. in die Scheitelpunkte von Linsenoberfl¨ achen legen und erh¨ alt dann die Abst¨ ande relativ zu den Scheiteln. Die Brennweiten sind relativ zu ihren Hauptebenen definiert. fE = −

D C

objektseitiger Abstand des Brennpunktes F

A C nE /n
A − D = C


= fA

bildseitiger Abstand des Brennpunktes F


sEH

objektseitiger Abstand des Hauptpunktes H

A−1 C 1−D = C

sAH
=

bildseitiger Abstand des Hauptpunktes H


sEK

objektseitiger Abstand des Knotenpunktes K

sAK
=

A − nE /n
A C

bildseitiger Abstand des Knotenpunktes K


nE /n
A C 1 = C

f = f E − sEH = −

objektseitige Brennweite∗


f
= fA − s
AH


bildseitige Brennweite∗

A, B, C und D sind die Elemente der Systemmatrix (4.23) relativ zu den jeweiligen Hauptebenen

∗

In ¨ ahnlicher Weise ergibt sich: A − nE /n
A (4.35) C Bei der Ableitung von (4.35) benutzten wir det M = AB − BC = nE /n
A . Alle Resultate sind in Tabelle 4.2 zusammengefasst. Aus den Beziehungen, die dort aufgelistet sind, folgen die allgemeinen S¨ atze: sAK
=

4.10 Beispiele zur Systemmatrix und den Hauptpunkten

107

1. Hauptpunkte und Knotenpunkte fallen zusammen (sEH = sEK und sAH
= sAK
), wenn Eingangs- und Ausgangsmedien gleiche Brechzahlen besitzen. 2. Objekt- und Bildbrennweite eines optischen Systems sind von gleichem Betrag, wenn Eingangs- und Ausgangsmedien die gleichen Brechzahlen besitzen. 3. Der Abstand der Hauptpunkte ist immer gleich dem Abstand der Knotenpunkte: sEH − sAH
= sEK − sAK
.

4.10 Beispiele zur Systemmatrix und den Hauptpunkten Als Beispiel wollen wir ein optisches System betrachten, das aus zwei d¨ unnen Linsen in Luft besteht, die um den Abstand e voneinander entfernt sind (s. Abb. 4.13). Die Linsen haben die Bildbrennweiten f1
und f2
, die positiv oder negativ sein k¨ onnen.

Abb. 4.13. Zweilinsiges optisches System in Luft, der Abstand der beiden d¨ unnen Linsen betr¨ agt e

Wenn die Eingangs- und Ausgangsebene am Ort der Linsen liegen, so besteht ur die d¨ unnen Linsen und die Systemmatrix aus den zwei Matrizen L1 und L2 f¨ der Translationsmatrix T entsprechend der Entfernung e zwischen ihnen. Damit erh¨ alt man die Systemmatrix M = L2 TL1 oder: ⎛ M=⎝ ⎛ =⎝

1 1 f2


1 f2


⎞

⎠ 1 1 0

0

1 − fe
1   1 − fe
+ 1

⎛ −e ⎝ 1 1 1 f1
−e 1 f1


1−

e f2


⎞ 0

⎠

1 ⎞ ⎠

(4.36)

108

4 Matrixmethoden der paraxialen Optik

Wir k¨ onnen die Gesamtbrennweite f
dieses Systems aus der Systemmatrix M ableiten. Wegen f
= 1/C gilt: 1 1 e 1 =
+
−


f f1 f2 f1 f2

(4.37)

Weiterhin fallen der objektseitige Haupt- und Knotenpunkt bei der Entfernung sEH = sEK = (1 − D)/C von der ersten Linse und der bildseitige Haupt- und Knotenpunkt im Abstand sAH
= sAK
= (A − 1)/C von der zweiten Linse zusammen. Deshalb ist: sEH = sEK =

f
e f2


und sAH
= sAK
= −

f
e f1


(4.38)

Beispiel 4.4 Brennweiten und Hauptpunkte des Huygensschen Okulars Diese Ergebnisse wollen wir auf das Huygenssche Okular anwenden. Das Okular besteht aus zwei d¨ unnen positiven Linsen, die sich im Abstand

e = (f1 + f2 )/2 befinden. Wir nehmen f1
= 3,125 cm und f2
= 2,083 cm an. L¨ osung Aus (4.37) erhalten wir mit e = 2,604 cm f¨ ur f
= 2,5 cm. Die Lupenver

gr¨ oßerung ΓL = −aS /f ist deshalb 10-fach. Hierbei ist as = −0,25 m die Bezugssehweite bei Betrachtung mit dem Auge. Dies ist eine genormte Nahsehweite (s. Kap. 6 und 7), die f¨ ur normalsichtige Menschen (weder kurz- noch weitsichtig) typisch ist. Aus (4.38) erhalten wir sEH = 3,125 cm und sAH
= −2,083 cm. Das optische System ist in Abb. 4.14 zusammen mit den Hauptpunkten und den Konstruktionsstrahlen gezeigt. Die einfallenden Objektstrahlen ergeben ein virtuelles Objekt O
, das zwischen beiden Linsen liegt. Die divergenten Strahlen, die das System verlassen, ergeben ein vergr¨oßertes virtuelles Bild, das man sieht, wenn man in das Okular hineinschaut. Das Huygenssche Okular wird in Kapitel 6 ausf¨ uhrlich diskutiert. Beispiel 4.5 Brennweiten und Hauptpunkte einer dicken konvexplanen Linse Zum Abschluss wollen wir die Hauptpunkte einer halbkugelf¨ormigen Glaslinse bestimmen und ein Strahlendiagramm skizzieren (s. Abb. 4.15). Die Kr¨ ummungsradien der Linse sind r1 = 3 cm und r2 = ∞. Die Linse befindet sich in Luft und das Linsenmaterial hat eine Brechzahl von nL = 1,5.

4.11 Raytracing

109

Abb. 4.14. Strahlenkonstruktion mit den Hauptpunkten f¨ ur das Huygenssche Okular

L¨ osung Die Eingangs- und Ausgangsebenen befinden sich bei den Scheiteln der beiden Linsenfl¨ achen und damit ist M = B2 TB1 :

M=

=



1

0

1

−3 cm

0

1,5

0 

1

2 3 1 6 cm

−2 cm



1

0



0,5 1 1,5·3 cm 1,5

1

wobei det M = 1 gilt. Mit den Beziehungen aus Tabelle 4.2 erhalten wir die Werte f E = −6 cm, fA
= 4 cm, sEH = 0, sAH
= −2 cm, f = −6 cm und f
= 6 cm. Haupt- und Knotenpunkte der konvexplanen Linse fallen zusammen, sie sind in Abb. 4.15 mit H und H
bezeichnet. Wir sehen, dass die objektseitige Hauptebene am Scheitel der konvexen Fl¨ache liegt und die bildseitige Hauptebene um zwei Drittel der Dicke der Linse von der planen Fl¨ ache entfernt ist. Allgemein l¨ asst sich f¨ ur die konvexplane Linse ableiten, dass, solange die Brechzahl des Mediums außerhalb der Linse u ¨ berall gleich ist, die eine Hauptebene immer am Scheitel der Kugelfl¨ache liegt und die andere um den Quotienten -d/nL von der planen Linsenfl¨ache entfernt ist. In Abb. 4.15 sind die Konstruktionsstrahlen unter Benutzung der Hauptund Knotenebenen f¨ ur ein beliebiges reelles Objekt y eingezeichnet. In diesem Fall zeigen die ausfallenden Strahlen ein virtuelles Bild y
nahe dem Objekt, das genauso wie dieses orientiert und etwas vergr¨oßert ist.

4.11 Raytracing Die Annahme der paraxialen Strahlen vereinfacht die Beschreibung des Verlaufs von Lichtstrahlen durch ein optisches System erheblich, da keine Winkelfunktio-

110

4 Matrixmethoden der paraxialen Optik

Abb. 4.15. Strahlenkonstruktion f¨ ur eine halbkugelf¨ ormige konvexplane Linse

Abb. 4.16. In einem keilf¨ ormigen Stab aus PMMA breitet sich ein Lichtb¨ undel mit ¨ einem Anfangs-Offnungswinkel von 35◦ aus. Die Einfallswinkel auf die Grenzfl¨ ache werden immer kleiner. Kurz vor dem Stabende tritt das Licht seitlich aus dem Stab aus, so dass praktisch kein Licht den Stab am Ende verl¨ asst. Es sind nur Lichtstrahlen mit Intensit¨ aten oberhalb einer Schwelle angezeigt. Dieses Beispiel zeigt, dass es keinen Lichttrichter“ gibt. Die Raytracing-Berechnungen wurden mit OPTICAD“ durch” ” gef¨ uhrt.

4.11 Raytracing

111

nen in den Gleichungen auftauchen. F¨ ur viele Anwendungen ist diese N¨aherung ausreichend, da in einem optischen System das Bild in der Regel von Lichtstrahlen nahe der optischen Achse erzeugt wird. Wenn jedoch die Qualit¨at des Bildes verbessert werden soll, muss man Wege finden, die Abbildungsfehler zu vermeiden, die durch die Strahlen erzeugt werden, die mehr oder weniger von der idealen Annahme abweichen. Um den tats¨ achlichen Weg von individuellen Strahlen durch ein optisches System zu verfolgen, muss jeder Strahl verfolgt werden (traced), wobei man das Reflexions- und das Brechungsgesetz auf alle Komponenten des optischen Systems anwendet. Diese Technik nennt man Raytracing (Strahlverfolgung), da diese fr¨ uher von Hand, also grafisch mit Maßstab und Winkelmesser in einem stufenweise ablaufenden Prozess f¨ ur eine genaue geometrische Vorlage eines optischen Systems durchgef¨ uhrt wurde. Heute ist mit Hilfe von Rechnern die Berechnung des Strahlverlaufs einfach und schnell m¨oglich. Raytracing-Methoden sind oft auf meridionale Strahlen beschr¨ankt, dies sind Strahlen, die in einer Ebene liegen, die die optische Achse enth¨alt. An dieser Stelle wird auf das Verfahren nicht genauer eingegangen, da inzwischen eine Vielzahl von Raytracing-Programmen f¨ ur den Einsatz auf dem PC zur Verf¨ ugung stehen. Als Beispiel seien hier die Programme ”ASAP”, ”OPTICAD” und ”SIGMA 2100” genannt, die ein unbeschr¨ anktes (unconstrained, non-sequential) Verfahren einsetzen. Hierbei werden an jeder optischen Grenzfl¨ache die Intensit¨aten des reflektierten und des gebrochenen Strahles mit Hilfe der Fresnelgleichungen berechnet, wobei der Strahl im optischen System ohne Einschr¨ankung hin- und herlaufen kann. Bei einem anderen Typ von Programmen wird vorausgesetzt, dass das Licht das optische System nur in einer Richtung (z.B. von links nach rechts) durchl¨ auft.

¨ Ubungen 4.1 Eine bikonvexe Linse der Scheiteldicke 5 cm und der Brechzahl 1,6 hat Oberfl¨ achen mit den Kr¨ ummungsradien ±0,4 m. Die Linse wird mit einer Seite auf Wasser gelegt, die entgegengesetzte Oberfl¨ ache ist in Ber¨ uhrung mit Luft. Bestimmen Sie die Brennweiten und skizzieren Sie Brennpunkt- und Hauptpunktlagen. 4.2 Eine bikonkave Linse mit n = 1,53 hat Oberfl¨ achen mit den Brechwerten von 5 dpt und 8 dpt. Die Linse befindet sich in Luft und hat eine Scheiteldicke von 3 cm. a) Bestimmen Sie die Lage der Brenn- und der Hauptpunkte. b) Ein Gegenstand befindet sich 30 cm vom linken Scheitelpunkt der Linse entfernt. Bestimmen Sie die Lage des Bildes relativ zum Linsenzentrum. c) Berechnen Sie die paraxiale Bildweite in der N¨ aherung der d¨ unnen Linse. Wie groß ist der prozentuale Fehler gegen¨ uber genauer Berechnung (dicke Linse)? 4.3 Eine bikonkave Linse hat Kr¨ ummungsradien von -0,2 m und +0,1 m. Die Brechzahl betr¨ agt 1,5 und die Scheiteldicke 5 cm. Ein 2,5 cm großes Objekt befindet sich 8 cm vom linken Scheitel der Linse entfernt. Bestimmen Sie Gr¨ oße und Lage des Bildes.

112

4 Matrixmethoden der paraxialen Optik

4.4 Eine bikonvexe Linse hat Oberfl¨ achen mit den Kr¨ ummungsradien ±0,1 m und eine Scheiteldicke von 2 cm. Die Brechzahl des Glases betr¨ agt nL = 1,61 und die Linse befindet sich zwischen Luft und Wasser (nW = 1,33). Links von der Linse befindet sich in 60 cm Abstand vom Scheitel ein Gegenstand von 5 cm Gr¨ oße. Bestimmen Sie die Hauptpunkte der Linse sowie Lage und Gr¨ oße des Bildes. 4.5 Eine hohle Glaskugel von 10 cm Radius wird mit Wasser gef¨ ullt. F¨ ur paraxiale Strahlen ist die Brechung aufgrund der d¨ unnen Glaswand zu vernachl¨ assigen. a) Bestimmen Sie die Hauptpunkte und fertigen Sie eine maßst¨ abliche Skizze an. b) Berechnen Sie f¨ ur ein kleines Objekt, das sich 20 cm von der Kugel entfernt befindet, die Lage des Bildes und den Abbildungsmaßstab. ¨ c) Uberpr¨ ufen Sie Ihre Berechnungen durch eine maßst¨ abliche Skizze mit den Konstruktionsstrahlen. 4.6 Eine Reihe von Lichtstrahlen trifft auf die ebene Oberfl¨ ache einer Glashalbkugel in Luft mit 5 cm Radius und der Brechzahl n = 1,5. a) Ein Strahl trifft parallel zur optischen Achse und im Abstand von 1 cm von dieser auf die Glashalbkugel. Stellen Sie die Systemmatrix f¨ ur die Brechung an der Glaskugel auf und bestimmen Sie den Ausgangsabstand und den Ausgangswinkel des Strahles. b) Berechnen Sie die Systemmatrix f¨ ur ein neues System, dessen Ausgangsebene
sich im Abstand zA von der Glashalbkugel befindet. c) Benutzen Sie die neue Systemmatrix, um den Schnittpunkt des oben beschriebenen Strahles mit der optischen Achse zu bestimmen. 4.7 Eine Linse hat die folgenden Spezifikationen: r1 = 1,5 cm = r2 , Scheiteldicke d = 2 cm, n = 1,0, nL = 1,6 und n
= 1,3. Bestimmen Sie die Hauptpunkte mit der Matrixmethode. Zeichnen Sie eine maßst¨ abliche Skizze der Linse und konstruieren Sie den Strahlenverlauf f¨ ur ein von Ihnen gew¨ ahltes Objekt. 4.8 Eine d¨ unne Positivlinse der Bildbrennweite f1
= 10 cm ist 5 cm von einer d¨ unnen Negativlinse der Bildbrennweite f2
= −10 cm entfernt. Bestimmen Sie mit der Matrixmethode die Bildbrennweite der Kombination und die Lage der Brennpunkte und Hauptebenen. Zeichnen Sie eine maßst¨ abliche Skizze des Systems und konstruieren Sie den Strahlenverlauf f¨ ur ein beliebiges Objekt, das sich vor dem System befindet. 4.9 Eine Glaslinse von 3 cm Scheiteldicke hat eine konvexe Oberfl¨ ache mit einem Kr¨ ummungsradius von 5 cm und eine weitere konvexe Oberfl¨ ache mit einem Radius von −2 cm. Die erste Fl¨ ache ist auf der linken Seite in Kontakt mit Luft und die andere mit einer Fl¨ ussigkeit der Brechzahl 1,4. Die Brechzahl des Glases ist 1,5. Bestimmen Sie die Lage der Brennpunkte, der Hauptpunkte und die Brennweiten des Systems. Benutzen Sie die Matrixmethode. 4.10 a) Bestimmen Sie die Systemmatrix f¨ ur ein einfaches System, das aus einer d¨ unnen Linse der Bildbrennweite 10 cm besteht und f¨ ur das die Eingangsebene 30 cm vor und die Ausgangsebene 15 cm hinter der Linse liegt. b) Zeigen Sie, dass die Matrixelemente die bekannten Positionen der sechs Kardinalpunkte einer d¨ unnen Linse angeben. c) Warum ist in diesem Fall das Matrixelement B = 0? Was ist die besondere Bedeutung von A in diesem Fall?

4.11 Raytracing

113

4.11 Die Kristallkugel einer Wahrsagerin hat eine Brechzahl von 1,5 und einen Durchmesser von 20 cm. a) Bestimmen Sie mit der Matrixmethode den Ort der Hauptpunkte. b) An welcher Stelle wird Sonnenlicht durch die Kristallkugel fokussiert? 4.12 Eine dicke Linse hat eine konkave und eine konvexe Oberfl¨ ache mit betragsm¨ aßig gleichen Kr¨ ummungsradien von 5 cm. Sie hat eine Scheiteldicke von 1 cm, die Brechzahl betr¨ agt 1,5. Finden Sie: a) die Systemmatrix f¨ ur die Linse in Luft, b) die Hauptpunkte. Zeichnen Sie f¨ ur ein beliebiges Objekt das Strahlendiagramm. 4.13 Ein achromatisches Dublett besteht aus einer positiven Kronglaslinse der Brechzahl 1,52 und der Scheiteldicke 1 cm, die mit einer negativen Flintglaslinse der Brechzahl 1,62 und der Scheiteldicke 0,5 cm zusammengekittet ist. Alle Oberfl¨ achen haben einen Kr¨ ummungsradius vom Betrag 20 cm. Das Dublett soll in Luft benutzt werden. Bestimmen Sie: a) die Systemmatrixelemente f¨ ur die Ein- und Ausgangsebene im Scheitelpunkt der Linsenoberfl¨ achen; b) die Hauptpunkte; c) die Bildbrennweite der Kombination, wobei Sie die Linsengleichung (3.23) und die Gleichung zur Ermittlung der Bildbrennweite zweier Linsen in optischem Kontakt benutzen. Vergleichen Sie diese Berechnung von f
, f¨ ur die d¨ unne Linsen angenommen sind, mit dem vorherigen Wert. 4.14 Vergr¨ oßern Sie das optische System der Abb. 4.15 so, dass ein Objektraum auf der linken und ein Bildraum auf der rechten Seite der Linse eingeschlossen ist. Die linke Linsenoberfl¨ ache habe von der neuen Eingangsebene im Objektraum den Abstand
zE und die neue Ausgangsebene im Bildraum den Abstand zA von der Linse. a) Berechnen Sie die Systemmatrix f¨ ur das vergr¨ oßerte System. b) Untersuchen Sie das Matrixelement B, um die allgemeine Beziehung zwischen Gegenstands- und Bildweiten der Linse zu erhalten. Leiten Sie die allgemeine Beziehung f¨ ur den Abbildungmaßstab her. c) Berechnen Sie aus den Ergebnissen von b) die Bildentfernung und den Abbildungmaßstab f¨ ur einen Gegenstand, der sich 20 cm von der linken Seite der Linse befindet. d) Welche Information kann man aus der Systemmatrix erhalten, wenn man die Matrixelemente A = D = 0 (s. Abb. 4.9)setzt? 4.15 Bestimmen Sie die Systemmatrix f¨ ur das Kameraobjektiv in Abb. 6.19 a (Cookesches Triplett). Das Licht trifft von der linken Seite her auf sechs sph¨ arische Oberfl¨ achen, deren Kr¨ ummungsradien r1 bis r6 sind. Die Dicken der drei Linsen sind d1 bis d3 und die Brechzahlen n1 bis n3 . Der Abstand in Luft zwischen den Linsenoberfl¨ achen betrage e1 und e2 . Skizzieren Sie das Linsensystem mit den Hauptpunkten. Wie weit hinter der letzten Oberfl¨ ache muss sich die Filmebene befinden, um paraxiale Strahlen zu fokussieren?

114

4 Matrixmethoden der paraxialen Optik Daten: r1 = 19,4 mm

d1 = 4,29 mm

e1 = 1,63 mm

n1 = 1,611

r2 = -128,3 mm

d2 = 0,93 mm

e2 = 12,90 mm

n2 = 1,5744

r3 = -57,8 mm

d3 = 3,03 mm

n3 = 1,6110

r4 = 18,9 mm r5 = 311,3 mm r6 = -66,4 mm 4.16 Berechnen Sie die Systemmatrix (Matrizen ausmultiplizieren) einer dicken Linse ausgehend von (4.17), aber ohne die Annahme der Bedingung n = n
und d = 0. Bestimmen Sie die Matrixelemente A, B, C und D der dicken Linse. 4.17 Entnehmen Sie die Orte der Hauptpunkte mit Hilfe der Tabelle 4.2 aus den Matrixelementen der dicken Linse in Aufgabe 4.16 und verifizieren Sie, dass f und f
durch (4.1) und (4.2) gegeben sind. Best¨ atigen Sie außerdem, dass die Abst¨ ande s1H , s2H
, s1K und s2K
durch die Gleichungen (4.3) bis (4.6) gegeben sind.

5 Abbildungsfehler

Einleitung In den bisherigen Berechnungen der Abbildung durch ein optisches System haben wir ideale Verh¨ altnisse angenommen. Dies bedeutet, dass jedem Objektpunkt durch die Abbildung umkehrbar eindeutig ein Bildpunkt zugeordnet wird. Geometrische Figuren werden hierbei in ¨ ahnliche Figuren u uhrt. Eine Objek¨berf¨ tebene, die senkrecht zur optischen Achse steht, wird mit ortsinvariantem Abbildungsmaßstab u ¨ber die Ebene in eine achsensenkrechte Bildebene transformiert. Eine ideale Abbildung erh¨ alt man bei der Beschr¨ankung auf paraxiale Strahlen. Dies sind Strahlen, die nahe der optischen Achse verlaufen und kleine Winkel relativ zu dieser aufweisen. In diesem Fall nehmen auch Einfalls-, Reflexions- und Brechungswinkel kleine Werte an. Damit kann die Reihenentwicklung der Sinusund Kosinusfunktion f¨ ur σ (Schnittwinkel) oder ε (Einfallswinkel), gegeben durch ε5 ε3 + − ... ≈ ε 3! 5! ε4 ε2 + −... ≈ 1 cos ε = 1 − 2! 4! jeweils durch den ersten Term angen¨ ahert werden. Die Grenzen des Paraxialgebietes h¨ angen von der geforderten Genauigkeit ab. Sie sind nicht allgemein festgelegt. sin ε = ε −

116

5 Abbildungsfehler

Die Optik des Paraxialgebietes wird Gaußsche Optik genannt. Der Einschluss von Termen h¨ oherer Ordnung der Reihenentwicklung in den Berechnungen ergibt eine Abweichung von der idealen Abbildung mit zunehmendem Winkel. Diese Abweichungen werden als Abbildungsfehler (Aberrationen) bezeichnet. Wenn in der Reihenentwicklung der n¨ achste Term (z.B. ε3 in der N¨aherung f¨ ur sin ε) ber¨ ucksichtigt wird, so erh¨ alt man eine Theorie, die die Abbildungsfehler der dritten Ordnung enth¨ alt. Diese werden, wie auch die Fehler anderer Ordnung, durch die oft benutzten Kugelgrenzfl¨achen von optischen Elementen (Linsen, Spiegel) verursacht. Die Aberrationen verschwinden z.B. f¨ ur ebene Spiegel oder Linsen mit asph¨ arischen Grenzfl¨ achen. Die Abbildungsfehler dritter Ordnung sind durch den deutschen Mathematiker Ludwig von Seidel untersucht und klassifiziert worden und werden deshalb Seidelsche Aberrationen genannt. F¨ ur monochromatisches Licht gibt es f¨ unf Seidelsche Abbildungsfehler (geometrische Fehler): sph¨arische Aberration, Koma, Astigmatismus, Bildfeldw¨olbung und Verzeichnung. Ein zus¨ atzlicher Abbildungsfehler, die chromatische Aberration r¨ uhrt von den wellenl¨ angenabh¨ angigen Abbildungseigenschaften (Brechzahl n(λ), Dispersion der optischen Werkstoffe) des optischen Systems her. In diesem Kapitel erfolgt eine kurze Berechnung der Abbildungsfehler dritter Ordnung und eine qualitative Beschreibung jeden Fehlers zusammen mit den typischen Verfahren f¨ ur seine Vermeidung.

5.1 Strahl- und Wellenaberrationen Die Abweichung von der idealen Abbildung kann entweder durch die Strahl- oder die Wellenaberrationen beschrieben werden. In Abb. 5.1 sehen wir zwei Wellenfronten, die von einem optischen System ausgehen, das einen Objektpunkt O abbildet. Die Wellenfront W1 ist eine Kugelwellenfront, die ein ideales, punktf¨ormiur die tats¨achliche ges Bild in O
ergibt. Die Wellenfront W2 ist ein Beispiel f¨ Wellenfront. Sie hat eine asph¨arische Approximation, deren Form aus exakten Berechnungen des Strahlengangs im optischen System f¨ ur einen gegebenen Objektpunkt folgt. Die Strahlen durch A und B, die senkrecht auf den zugeh¨origen Wellenfronten stehen, schneiden die paraxiale Bildebene nicht in demselben Punkt. Der Fehler in Richtung der optischen Achse, dargestellt durch die Entfernung LO
, wird L¨angsabweichung (longitudinale Aberration) genannt, w¨ahrend der Fehler O
OF
senkrecht zur optischen Achse, der in der Bildebene gemessen wird, Querabweichung (transversale oder laterale Aberration) genannt wird.

5.1 Strahl- und Wellenaberrationen

117

Dies sind die Strahlaberrationen. Alternativ hierzu kann man die Aberration als Abweichung der deformierten Wellenfront von der idealen Wellenfront bei verschiedenen Abst¨ anden von der optischen Achse beschreiben. Am Ort des Punktes B ist die Wellenfrontaberration durch die Entfernung AB gegeben (s. Abb. 5.1). Wir sehen, dass die Strahlen, die zu den beiden Wellenfronten geh¨oren und die durch den Punkt S auf der optischen Achse verlaufen, auf der optischen Achse denselben Bildpunkt O
treffen. Strahlen, die durch Punkte zwischen S und B gehen, treffen die Bildebene in anderen Punkten in der Umgebung von O
und erzeugen ein unscharfes Bild als Folge der Aberration. Die maximalen Strahlaberrationen bestimmen die Gr¨ oße des Zerstreuungskreises der als unscharfes Bild eines Objektpunktes entsteht. Die Optimierung der Konstruktion eines optischen Systems zielt immer darauf ab, die Strahlaberrationen so weit zu reduzieren, dass sie ¨ ahnlich klein wie die unvermeidlichen Beugungserscheinungen werden.

Abb. 5.1. Strahl- und Wellenfrontaberrationen eines optischen Systems

Die Strahlaberration, die zur Wellenaberration AB geh¨oren, werden im Folgenden berechnet. Hierzu wird der Abstand AB = q in Abh¨angigkeit von der ¨ Gr¨ oße h der Apertur, die den bildseitigen Offnungswinkel des Systems festlegt, ermittelt. Aus Abb. 5.2 ergibt sich, dass der Winkel α zwischen den tats¨achlichen und den idealen Strahlen, die von einem Punkt P in der H¨ohe h auf der Wellenfront ausgehen, gleich dem Winkel zwischen den Tangenten an die Wellenfronten ist. Die Wellenfronten, die durch das optische System geformt werden, breiten sich im Bildraum mit der Brechzahl n
aus. Aus der Abb. 5.2 (s. Ausschnitt) entnimmt man den die infinitesimale Wellenfrontaberration dq als optische Wegl¨ange im Bildraum: dq = n
α dh

(5.1)

118

5 Abbildungsfehler

Der Differentialquotient dq/dh beschreibt die Kr¨ ummung der Wellenfront im Punkt P . Die Querabweichung ∆y in der y-z-Ebene, die von den Strahlen in der Nachbarschaft von P herr¨ uhrt, ergibt sich in N¨aherung zu: ∆y = αs
=

Querabweichung

s
dq n
dh

(5.2)

Hierbei ist s
die paraxiale Bildschnittweite der Wellenfront und α wurde aus (5.1) entnommen. In x-Richtung, senkrecht zur y-z-Ebene (Papierebene) erh¨alt man in ¨ ahnlicher Weise, wenn h nicht in der y-z-Ebene liegt: ∆x =

s
dq n
dhx

(5.3)

Die L¨ angsabweichung ∆z l¨ asst sich aus der Querabweichung ∆y berechnen: L¨angsabweichung

∆z =

s
∆y ∆y ≈ tan σ h

(5.4)

Abb. 5.2. Zusammenhang zwischen den Strahlaberrationen ∆y und ∆z in der y-z¨ Ebene und der Wellenaberration q. Der vergr¨ oßerte Bildausschnitt zeigt die Anderung ¨ dq der Wellenaberration als Folge der Anderung dh in der Aperturgr¨ oße

5.2 Brechung an einer Kugelfl¨ ache (Seidelsche N¨ aherung) Im Folgenden wollen wir die Brechung an einer einzelnen Kugelfl¨ache berechnen. Hierbei ber¨ ucksichtigen wir Winkelfehler bis zur 3. Ordnung. In Abb. 5.3 sehen

5.2 Brechung an einer Kugelfl¨ ache (Seidelsche N¨ aherung)

119

wir, wie ein beliebiger Strahl OQ, der von einem axialen Objektpunkt O ausgeht, durch eine sph¨ arische Fl¨ ache gebrochen wird, deren Kr¨ ummungsmittelpunkt C ist. Die Grenzfl¨ ache trennt zwei Medien mit den Brechzahlen n und n
. Der gebrochene Strahl f¨ uhrt zu einem axialen Bildpunkt in O
. Nach dem Fermatschen Prinzip sind in erster N¨ aherung die optischen Wegl¨angen der Strahlen OQO
und OSO
gleich. Es treten Strahlaberrationen auf, da sich die Strahlwegl¨angen ur unterschiedliche Lagen des Punktes Q auf der sph¨arischen Grenzfl¨ache OQO
f¨ unterscheiden. Wir definieren die Aberration im Punkt Q als: q(Q) = (OQO
− OSO
)OW

(5.5)

Abb. 5.3. Brechung eines Strahles an einer sph¨ arischen Grenzfl¨ ache

Hierbei weist der Index OW darauf hin, dass die optische Wegl¨angendifferenz1 zu berechnen ist, d.h.: q(Q) = (nl + n
l
) − (n
s
− ns)

(5.6)

Benutzt man den Kosinussatz, so kann man die L¨angen l und l
durch die Gr¨oßen, die in Abb. 5.3 definiert sind, ausdr¨ ucken: l2 = r2 + (r − s)2 − 2r(r − s) cos ϕ

(5.7)


2

(5.8)


2




l = r + (r − s ) + 2r(r − s ) cos ϕ 2

Verwendet man die N¨ aherung 1

Bei der Ableitung werden die in Kapitel 3 beschriebenen Vorzeichenkonventionen benutzt. Die Teilabschnitte l und l
des Lichtweges haben beide positive Vorzeichen.

120

5 Abbildungsfehler

cos ϕ ≈ 1 −

ϕ2 ϕ4 + 2! 4!

cos ϕ ≈ 1 −

h4 h2 + 2r2 24r4

(5.9)

so erh¨ alt man mit ϕ ≈ h/r: (5.10)

Setzt man (5.10) in (5.7) und (5.8) ein und formt um, so erh¨alt man:   2 1/2 h (r − s) h4 (r − s) l = −s 1 + − rs2 12r3 s2   2 1/2 h (r − s
) h4 (r − s
) − l
= s
1 + rs
2 12r3 s
2

(5.11) (5.12)

Ersetzt man den Inhalt der eckigen Klammern in (5.11) und (5.12) durch x und x
, so kann man die Quadratwurzel der Ausdr¨ ucke in den geschweiften Klammern durch die binomische Entwicklung n¨ ahern: (1 + x)1/2 ≈ 1 +

x x2 − 2 8

(5.13)

Damit gilt: 

 x x2 l ≈ −s 1 + − 2 8  

2 x x l
≈ s
1 + − 2 8

(5.14) (5.15)

und somit:   h2 (r − s) h4 (r − s) h4 (r − s)2 l = −s 1 + − − 2rs2 24r3 s2 8r2 s4   h2 (r − s
) h4 (r − s
) h4 (r − s
)2

l =s 1+ − − 2rs
2 24r3 s
2 8r2 s
4

(5.16) (5.17)

wobei Terme mit h6 und h8 vernachl¨ assigt sind. Die Gleichungen f¨ ur l und l
werden in (5.6) eingesetzt und nach Umformung folgt die Wellenaberration:

5.2 Brechung an einer Kugelfl¨ ache (Seidelsche N¨ aherung)



121

2  1 1 − − s
r (5.18) Der erste Term in h2 stellt die paraxiale N¨aherung dar. Die eckigen Klammern enthalten die Schnittweitengleichung (3.14) f¨ ur die Abbildung durch ein brechende Kugelfl¨ ache. Der h2 -Term ist somit gleich 0. Der Abbildungsfehler 3. Ordnung ist durch den Term in h4 gegeben. Die Bezeichnung 3. Ordnung“ bezieht sich ” auf die auftretende Potenz des halben Strahlb¨ undel¨offnungswinkels u
= h/s
bei
dq . Wenn h klein ist, so sind die der Berechnung der Querabweichung ∆y = ns
dh Strahlen paraxial und die Aberration, die durch den h4 -Term gegeben ist, kann vernachl¨ assigt werden. Der Inhalt der eckigen Klammern, der bei dem Faktor angig von h. Dies zeigt, dass die Wellenaberration proporh4 steht, ist unabh¨ tional zur vierten Potenz der Strahlh¨ ohe (Durchstoßh¨ohe, Durchgangsh¨ohe) h – gemessen von der optischen Achse – ist: h2 q(Q) = 2



n n
−
s s





n
− n r



n h4 − − 8 s

q = g h4



1 1 − r s

2

n
+
s



(5.19)

Hierbei ist g eine Proportionalit¨ atskonstante. Dies ist das Ergebnis unserer Berechnung f¨ ur axiale Objektpunkte. Wir werden das Resultat sp¨ater verallgemeinern und die Abbildungsfehler f¨ ur nicht axiale Objektpunkte berechnen. Wir haben die Aberration q(Q) als die Differenz der optischen Wegl¨angen f¨ ur die idealen und die tats¨ achlichen Strahlen berechnet, die sich aus der Wellenaberration AB in Abb. 5.1 ergeben. Die Abweichung AB der tats¨achlichen von der idealen Kugelwellenfront ist vom Abstand h von der optischen Achse und ¨ damit vom Offnungswinkel des abbildenden Strahlenb¨ undels abh¨angig und wird ¨ als sph¨arische Aberration oder Offnungsfehler bezeichnet.

Abb. 5.4. Vergleich von axialen und schiefen Strahlenb¨ undeln, die durch eine Eintrittspupille verlaufen

122

5 Abbildungsfehler

Bevor wir die sph¨ arische Aberration im Einzelnen untersuchen, wollen wir uns den anderen Abbildungsfehlern 3. Ordnung zuwenden. Dazu analysieren wir nichtaxiale Objektpunkte. In Abb. 5.4 sind zwei Strahlenb¨ undel gezeigt, deren ¨ Offnungswinkel durch die als Eintrittspupille EP wirkende Aperturblende (s. Kap. 6.1) bestimmt wird. Ein Strahlenb¨ undel, das vom axialen Objektpunkt O ausgeht, ergibt ein unscharfes Bild um den paraxialen Bildpunkt O
herum. Dieses Bild wird durch die sph¨ arische Aberration beeinflusst, wobei die St¨arke undels abh¨angt. der Aberration von der H¨ ohe h0 der Randstrahlen des Strahlenb¨ Das Strahlenb¨ undel ist symmetrisch zur optischen Achse OCO
, wobei C der Kr¨ ummungsmittelpunkt der brechenden Fl¨ache ist. Weiterhin wird ein schiefes Strahlenb¨ undel gezeigt, das von einem außeraxialen Objektpunkt P ausgeht. Dieses B¨ undel ist nicht symmetrisch zur Achse OO
, ohne die begrenzende Apertur EP w¨ are seine Symmetrieachse durch die Gerade P CP
gegeben. Die H¨ohe hP der Strahlen des schiefen B¨ undels muss von der zuletzt genannten Achse aus gemessen werden, um die Aberrationen aus (5.19) ableiten zu k¨onnen. Wir erkennen, dass die Abweichung von der Symmetrieachse im Falle des schiefen B¨ undels viel gr¨ oßer ist. Das schiefe Strahlenb¨ undel f¨ uhrt zu st¨arkeren Aberrationen als ein entsprechendes Strahlenb¨ undel, das von axialen Objektpunkten ausgeht. Die Gr¨ oße von hP ist in hohem Maß von der Lage der Apertur abh¨angig. Letzere hat den geringsten Einfluss, wenn sie in der N¨ ahe des Kr¨ ummungsmittelpunktes C positioniert wird. Betrachten wir nun das außeraxiale Strahlenb¨ undel, das vom Objektpunkt P ur den Punkt ausgeht, wie in Abb. 5.5 gezeigt. Die Aberrationsfunktion qB (Q) f¨ Q auf der Wellenfront l¨ asst sich in folgender Form schreiben: qB (Q) = (P QP
− P BP
)OW = g(BQ)4 = g4B

(5.20)




In (5.20) messen wir die den Abstand  des Strahles P QP relativ zur Achse P BP
und nehmen an, dass die Punkte B, S und Q in einer vertikalen Ebene liegen, die die Wellenfront im Punkt S ann¨ahert. Man kann zeigen, dass diese N¨ aherung die Ergebnisse der Theorie der Abbildungsfehler in dritter Ordnung nicht ver¨ andert. Wir haben (5.19) benutzt und den Abstand BQ durch die Gr¨oße B ersetzt. In ¨ ahnlicher Weise kann man f¨ ur den Wellenfrontpunkt S ableiten: qB (S) = (P SP
− P BP
)OW = g(BS)4 = gb4

(5.21)

Bezieht man den Punkt Q auf die optische Achse SC, so l¨asst sich eine außeraxiale Aberrationsfunktion q(Q) definieren, die sich aus der Differenz der axialen Aberrationen bei Q und S berechnen l¨ asst: q(Q) = qB (Q) − qB (S) = g4B − gb4 = g(4B − b4 )

(5.22)

Wendet man den Kosinussatz auf das Detailbild in Abb. 5.5 an, so erh¨alt man:

5.2 Brechung an einer Kugelfl¨ ache (Seidelsche N¨ aherung)

123

Abb. 5.5. Abbildung eines außeraxialen Punktes P . Die Aberration f¨ ur einen beliebigen Punkt Q auf der Wellenfront kann auf die Symmetrieachse P BP
oder die optische Achse OCO
bezogen werden. Die gestrichelte Linie stellt eine gen¨ aherte Wellenfront in S dar. Das untere Bild zeigt eine Frontansicht eines Teiles der Wellenfront

2B = 2 + b2 + 2b cos θ Wenn man diesen Ausdruck f¨ ur B in (5.22) einsetzt, ergibt sich:   q(Q) = g 4 + 42 b2 cos2 θ + 22 b2 + 43 b cos θ + 4b3 cos θ

(5.23)

Aus den a ¨hnlichen Dreiecken SBC und O
P
C in Abb. 5.5 erkennt man, dass die Entfernung SB = b proportional zur H¨ohe y
des paraxialen Bildpunktes P
u asst sich als ¨ ber der optischen Achse ist. Dies l¨ b = ky


(5.24)

schreiben, wobei k eine Proportionalit¨ atskonstante ist. Ersetzt man b in (5.23) alt man f¨ ur die Wellenaberration: durch ky
, so erh¨ q(Q) = 0 C40 4 + 1 C31 y
3 cos θ + 2 C22 y
2 2 cos2 θ + 2 C20 y
2 2 + 3 C11 y
3  cos θ (5.25)

124

5 Abbildungsfehler

Die Koeffizienten C in (5.25) haben Indizes, die die Exponenten der Gr¨oßen y
,  und cos θ beschreiben. So geh¨ ort z.B. der Koeffizient 1 C31 zum Term y
3 cos θ,
wobei y in der ersten,  in der dritten und cos θ in der ersten Potenz auftritt. Der vorangestellte Index von 1 C31 soll die Potenz der objektabh¨angigen Gr¨oße angigen Gr¨oßen 3 und cos θ mit den nachgey
von der Potenz der aperturabh¨ stellten Indizes von 1 C31 deutlicher unterscheiden. Die einzelnen Terme in (5.25) beschreiben Wellenfrontaberrationen, die zur Gesamtaberration des Bildes beitragen. dq , so Geht man zu den Strahlaberrationen u ucksichtigt ∆y ≈ d ¨ber und ber¨ y 2 erh¨ alt man die f¨ unf (monochromatischen) Seidelschen Aberrationen , die – wie aus (5.25) hervorgeht – additive Gr¨ oßen sind: Seidelsche Aberrationen

∆y ∼

3 cos θ

sph¨ arische Aberration

3 sin θ

y
2 (2 + cos 2θ)

Koma

y
2 sin 2θ

y
2  cos θ

Astigmatismus

y
2  cos θ

Bildfeldw¨ olbung

y
2  sin θ

y
3

Verzeichnung

0

∆x ∼

y
2  sin θ

Jede Aberration ist durch die Abh¨ angigkeit von y
(Abweichung von axialer“ ” Abbildung),  (Durchmesser der Apertur z.B. der brechenden Fl¨ache) und θ (Drehsymmetrie um die optische Achse) charakterisiert. Die N¨aherung 3. Ord” ur die Exponenten nung“ erkennt man daran, dass in den Produkten y
m n f¨ ¨ proportional. m + n = 3 gilt. y
und  sind zum Seh- bzw. zum Offnungswinkel Wir sehen, dass der erste Term, der die sph¨arische Aberration beschreibt, (5.19) entspricht, wobei  die Gr¨ oße der Apertur kennzeichnet. Wir beschreiben nun die beobachtbaren Auswirkungen dieser Aberrationen und erl¨ autern die Verfahren zur Reduktion der Abbildungsfehler.

¨ 5.3 Sph¨ arische Aberration/ Offnungsfehler Der Term 0 C40 4 in (5.25) beschreibt die sph¨arische Aberration. Dies ist der angt. Deshalb tritt die sph¨arische Aberration einzige Term, der nicht von y
abh¨ auch f¨ ur axiale Objekt- und Bildpunkte auf, wie es f¨ ur eine einzelne Linse in der
wird durch Strahlen erzeugt, die Abb. 5.6 a gezeigt wird. Der axiale Bildpunkt OE die Linse in gr¨ oßerem Abstand von der optischen Achse durchlaufen, w¨ahrend der paraxiale Bildpunkt O
durch achsennahe Strahlen gebildet wird. Die Entfernung
OE O
auf der optischen Achse beschreibt die longitudinale sph¨arische Aberration 2

Born u. Wolf: Principles of Optics.

¨ 5.3 Sph¨ arische Aberration/ Offnungsfehler

125

– L¨angsabweichung –, die proportional zu 2 ist. Die Entfernung O
G in der paraxialen Bildebene gibt die entsprechende transversale sph¨arische Aberration – Querabweichung – an, die proportional zu 3 ist. Die Aberrationen h¨angen
links von O
liegt, wie hier außerdem von der Gegenstandsweite ab. Wenn OE f¨ ur den Fall einer Sammellinse gezeigt, so nennt man die sph¨arische Aberration
¨ positiv (sph¨ arische Uberkorrektion). F¨ ur eine Zerstreuungslinse befindet sich OE
auf der rechten Seite von O , und die sph¨ arische Aberration bezeichnet man als

zwischen OE und O
negativ(sph¨ arische Unterkorrektion). In einem Punkt OM auf der optischen Achse erh¨ alt man in der Praxis einen besten“ Brennpunkt. ” Das Bild an dieser Stelle hat den kleinsten Zerstreuungskreis. Benutzt man (5.2) und (5.4) f¨ ur die transversale und longitudinale Aberration, so kann man die entsprechenden sph¨ arischen Strahlaberrationen wie folgt erhalten: sph¨arische Querabweichung

∆y =

s
dq s
s
dq 3 = 4 = 0 C40  cos θ n
dh n
dy n


und sph¨arische L¨angsabweichung

∆z =


2 s
∆y 0 C40 s =4 2 y n


Abb. 5.6. Sph¨ arische Aberration einer Linse mit dem Ergebnis a) unterschiedlicher Bildweiten und b) verschiedener Brennweiten. (Zur Veranschaulichung ist die Strahlkonstruktion f¨ ur eine d¨ unne Linse mit ihrer Hauptebene ohne den Strahlenverlauf in der Linse gezeichnet)

Beispiel 5.1 Sph¨ arische Strahlaberration Ein paralleles Strahlenb¨ undel trifft parallel zur Achse eines Glasstabes auf dessen sph¨ arische Eingangsoberfl¨ ache mit dem Kr¨ ummungsradius r = 4 cm. Die Brechzahl des Glasstabes ist n = 1,6. Bestimmen Sie die longitudinale und die transversale sph¨ arische Strahlaberration f¨ ur Licht, das im Abstand h = 1 cm von der optischen Achse auf den Stab trifft.

126

5 Abbildungsfehler

L¨ osung F¨ ur große Schnittweiten s → −∞ wird (5.18) n¨aherungsweise:   2  1 h4 n
1 − q=− 8 s
s
r Um ∆z zu berechnen, muss man zun¨ achst die Ableitung   2  1 h3 n
1 dq − =− dh 2 s
s
r

dq dh

ermitteln:

Die Schnittweite s
wie auch die Brennweite der Oberfl¨ache l¨asst sich aus der paraxialen Schnittweitengleichung (3.14) gewinnen: 1,6 1 0,6 − =
s ∞ 4 cm Damit l¨ asst sich

dq dh

dq 1 cm3 =− dh 2

oder

s
= 10,667 cm

berechnen: 

1,6 10,667 cm



1 1 − 10,667 cm 4 cm

2  = −0,001831

10,667 cm s
dq = (−0,001831) = −0,0122 cm n
dh 1,6 s
10,667 cm ∆z = ∆y = (−0,0122 cm) = −0,130 cm h 1 cm

∆y =

Die Abb. 5.6 b zeigt die sph¨ arische Aberration, wenn sich der Gegenstand im Unendlichen befindet. Die Strahlen durch Kreiszonen verschiedenen Durchmessers auf der Linse ergeben verschiedene Brennweiten, so dass f
eine Funktion der Strahlh¨ ohe h ist. Die normalerweise angegebene Brennweite einer Linse gilt f¨ ur den Grenzfall h → 0. Diese Brennweite betr¨agt nach (3.23):   1 1 1 (5.26) = (n − 1) − f
r1 r2 Gleichung (5.26) gilt f¨ ur eine d¨ unne Linse in Luft, wobei die Brechzahl des Linsenmaterials n betr¨ agt und die Kr¨ ummungsradien der Oberfl¨achen r1 und r2 sind. Aus (5.26) ergibt sich, dass eine gegebene Brennweite f
durch verschiedene Kombinationen von r1 und r2 erzeugt werden kann. Verschiedene Paare von Kr¨ ummungsradien, die zu der gleichen Brennweite geh¨oren, k¨onnen einen großen Einfluss auf die sph¨ arische Aberration der Linse haben. Abbildung 5.7 zeigt die ¨ ¨ Anderung in der Form einer Linse, wenn die Durchbiegung durch Anderung der Kr¨ ummungsradien variiert wird und die Brennweite konstant bleibt.

¨ 5.3 Sph¨ arische Aberration/ Offnungsfehler

127

Als Maß f¨ ur die Form der Linse benutzt man den Coddington-Formfaktor

γ=

r2 + r1 r2 − r1

(5.27)

wobei die u ur r1 und r2 verwandt wird. Gibt man ¨ bliche Vorzeichenkonvention f¨ z.B. die Brechzahl n = 1,5 und die Bildbrennweite f
= 10 cm einer d¨ unnen Linse vor, so hat man die Freiheit, eine bikonvexe Linse mit dem Formfaktor γ = 0 (r1 = 10 cm, r2 = −10 cm), eine plankonvexe Linse mit γ = +1 (r1 = 5 cm) oder eine Meniskuslinse mit γ = +2 (r1 = 3,33 cm, r2 = 10 cm) zu verwenden. Diese Linsenformen sowie auch die spiegelbildlichen Formen mit den negativen Formfaktoren werden in der Abb. 5.7 gezeigt.

Abb. 5.7. Ausf¨ uhrungsformen von Einzellinsen identischer Brennweite. Der Coddington-Formfaktor, der unter jeder Linse angegeben ist, dient zur Klassifizierung der Linsenform

Die sph¨ arische Aberration einer einzelnen sph¨arischen brechenden Fl¨ache ist durch (5.18) gegeben. Bei einer d¨ unnen Linse tragen beide Grenzfl¨achen zur sph¨ arischen Aberration bei. Die gesamte longitudinale sph¨arische Aberration einer d¨ unnen Linse kann man als Differenz a1
− a1
p darstellen, wobei a
h die Bildh weite f¨ ur einen Strahl der H¨ ohe h und a
p die paraxiale Bildweite ist.   1 1 1 h2 n3 n+2 2 2 −
=
3 γ + 4(n + 1)pγ + (3n + 2)(n − 1)p + a
h ap 8f n(n − 1) n − 1 n−1 (5.28)
+a , f
die Bildbrennweite und n die Brechzahl der d¨ unnen Hierbei ist p = aa
−a Linse. ¨ Minimale aber nicht verschwindende sph¨arische Aberration (s. Ubung 5.11) erreicht man f¨ ur den Coddington-Faktor: γS = −

2(n2 − 1) p n+2

(5.29)

128

5 Abbildungsfehler

F¨ ur einen Gegenstand im Unendlichen ist γS = 0,71, wobei die Brechzahl der Linse n = 1,5 betr¨ agt. Dieser Formfaktor ist dem der plankonvexen Linse (γ = +1) ¨ahnlich. Deshalb werden in optischen Systemen oft plankonvexe Linsen – wobei die konvexe Seite den parallel einfallenden Strahlen zugewandt ist – eingesetzt, um die sph¨ arische Aberration zu minimalisieren. Im allgemeinen ist ein Minimum der sph¨ arischen Aberration gleichbedeutend mit gleich großer Brechung an den beiden Linsenfl¨ achen. Eine Verminderung der sph¨arischen Aberration l¨asst sich durch Linsenkombinationen erreichen, weil Positivlinsen und Negativlinsen sph¨ arische Aberration mit entgegengesetzten Vorzeichen erzeugen. Eine h¨aufige Anwendung dieser Technik findet man in den Doppellinsen (Dublett), die miteinander verkittet sind. Die Korrektur der sph¨arischen Aberration ist hierbei nur f¨ ur eine Linsenzone exakt. Die fehlerfreie Abbildung f¨ ur alle Linsenzonen l¨asst sich ¨ durch die aplanatische Abbildung (siehe Ubung 5.2), oder asph¨arische Fl¨achen erreichen.

5.4 Koma Die Koma 3 ist in (5.25) durch den Term 1 C31 y
3 cos θ gegeben, der eine außeraxiale Aberration (y
= 0) beschreibt. Die Koma ist nicht rotationssymmetrisch ¨ um die optische Achse (cos θ = konst.) und nimmt mit dem Offnungswinkel des Strahlb¨ undels stark zu. Die Koma ergibt kometenschweif¨ ahnliche Bildfehler. ¨ ¨ Schr¨ ankt man den Offnungswinkel deutlich ein, was den Offnungsfehler verkleinert, so bleibt wegen y
= 0, ein Restfehler bestehen. Abbildung 5.8 a verdeutlicht die Aberration f¨ ur ein schr¨ ages B¨ undel paralleler Strahlen, das in einer vertikalen Ebene liegt und durch eine einzelne Linse gebrochen wird. Jede Kreiszone auf der Linse erzeugt ein kreisf¨ormiges Bild, das man komatischen Kreis nennt. Die Strahlen in einer vertikalen Ebene der Kreiszone des Strahlenb¨ undels ergeben ein Bild im oberen Teil jedes komatischen Kreises, w¨ ahrend Zonenstrahlen, die in einer horizontalen Ebene liegen, ein Bild im unteren Teil des komatischen Kreises erzeugen. Jedes andere Strahlenb¨ undel erzeugt Bilder, die den komatischen Kreis vervollst¨andigen. Die Kombination all dieser komatischen Kreise, die im Radius mit dem Zonenradius zunehmen, ergeben die kometenschweif¨ ahnliche Figur, die in der Abb. 5.8 b gezeigt ist und von der der Name dieser Aberration stammt. Tats¨achlich ergibt jede Zone einen unterschiedlichen Abbildungsmaßstab, so dass yc
(Zentralstrahlen) nicht gleich arische Aberration kann auch die Koma als ye
(Randstrahlen) ist. Wie die sph¨ eine positive Gr¨ oße (ye
> yc
) oder als negative Gr¨oße (ye
< yc
) auftreten. 3

Die Koma, nicht das Koma.

5.4 Koma

129

Abb. 5.8. a) Koma durch ein schr¨ ages, tangentiales B¨ undel paralleler Strahlen, das von einem weit entfernten, außeraxialen Objektpunkt ausgeht. Die Strahlen ergeben jeweils den obersten Punkt f¨ ur den zugeh¨ origen komatischen Kreis. b) Erzeugung eines schweif¨ ahnlichen Bildes durch eine Reihe von komatischen Kreisen. Die u ¨ brigen Bildpunkte jedes einzelnen Kreises werden durch windschiefe B¨ undel erzeugt, z.B. durch ein sagittales B¨ undel in der Ebene senkrecht zur y − z-Ebene. c) Nicht paraxiale Strahlen von einem Objektpunkt P nahe der optischen Achse erzeugen einen Bildpunkt P
, der der Abbeschen Sinusbedingung gen¨ ugt

Ohne die gew¨ ohnlich benutzte paraxiale N¨aherung – Beschr¨ankung auf diejenigen Strahlen, die kleine Neigungswinkel zur optischen Achse aufweisen und nahe zu dieser sind – kann man zeigen, dass f¨ ur Objektpunkte nahe der optischen Achse jeder Strahl, der an einer sph¨ arischen Grenzfl¨ache gebrochen wird, die Abbesche Sinusbedingung erf¨ ullen muss. Zur Beseitigung der Koma ist die Abbesche Sinusbedingung eine notwendige Voraussetzung; bei fehlender sph¨arischer Aberration ist sie auch hinreichend.

130

5 Abbildungsfehler

Zur Herleitung der Sinusbedingung muss man einen Zusammenhang zwi¨ schen dem Abbildungsmaßstab und dem Offnungswinkel des abbildenden Strahlenb¨ undels herstellen. Mit dem Sinussatz und dem Brechungsgesetz (s. Abb. 5.8 c) gilt: sin ε sin u
sin ε
sin u = , =
, n sin ε = n
sin ε
, r PC r P C y PC =
und ny sin u = n
y
sin u
y
P C Hier bedeuten y und y
die Objekt- und Bildgr¨oße und die Winkel u und u
¨ sind die halben Offnungswinkel des Strahlenb¨ undels in den optischen Medien
n und n . Berechnet man den Abbildungsmaßstab, so l¨asst sich die Abbesche Sinusbedingung in folgender Form schreiben: Abbesche Sinusbedingung

β
=

y
n sin u =
y n sin u


(5.30)

Um die Koma zu vermeiden, muss der Abbildungsmaßstab bei der Brechung in ¨ allen Kreiszonen der Linse und damit f¨ ur alle Werte des halben Offnungswinkels u bei der Abbildung gleich und damit die Sinusbedingung erf¨ ullt sein. Um die Sinusbedingung zu erf¨ ullen (β
= konst.), sind die bei Strahlenkonstruktionen benutzten Hauptfl¨ achen im Allgemeinen nicht eben, sondern Kugelur OC = ∞ die fl¨ achen mit ihren Mittelpunkten in O bzw. O
. Allerdings ist f¨
objektseitige Haupt߬ ache H eine Ebene und H eine Kugel߬ache mit r = f
. Die einzelnen Linsenzonen (unterschiedliches h) ergeben dann die gleiche Brennweite. Um die Koma zu minimieren, w¨ ahlt man wie bei der sph¨arischen Aberration eine geeignete Linsenform. Der Coddington Formfaktor (5.27), der minimale sph¨ arische Aberration erzeugt, ist ¨ ahnlich dem, der auch die Koma minimiert, so dass beide Aberrationen durch die Wahl von nur einer Linsenform erheblich reduziert werden k¨ onnen. Man kann zeigen, dass f¨ ur eine Linse keine Koma existiert, wenn:  2 
 2n − n − 1 a +a (5.31) γK = − keine Koma n+1 a
− a Im vorigen Beispiel der Linse mit n = 1,5 und einem Objekt im Unendlichen erur minimale sph¨arische gibt (5.31) einen Wert von γK = 0,8, der nahe dem Wert f¨ ullt, Aberration γS = 0,7 ist. Ein optisches System, das die Sinusbedingung erf¨ nennt man aplanatisch. Aplanatische Linsen bilden kleine Gegenst¨ande in der N¨ ahe der optischen Achse ohne Koma ab.

5.5 Astigmatismus und Bildfeldw¨ olbung

131

5.5 Astigmatismus und Bildfeldw¨ olbung Eine aplanatische Optik weist immer noch zwei eng miteinander verkn¨ upfte Aberrationen auf, deren Wellenaberrationsterme zusammengef¨ u gt y
2 2  2 2 C22 cos θ+ + 2 C20 ) ergeben. Der erste Term erzeugt Astigmatismus und der zweite Term, der symmetrisch um die optische Achse ist, wird Bildfeldw¨olbung genannt. Beide Aberrationen nehmen in gleicher Weise mit dem Achsenabstand des Objektpunktes und mit der Gr¨ oße der Apertur der brechenden Fl¨ache zu. In der Abb. 5.9 a sind die Referenzebenen, die man bei der Diskussion des Astigmatismus oder der Koma verwendet, erl¨autert. Ein nicht auf der optischen Achse liegender Objektpunkt und die optische Achse definieren die Tangentialebene (Meridionalebene). Die Sagittalebene steht senkrecht auf der Tangentialebene. Der Hauptstrahl liegt als einziger Strahl in beiden Ebenen Die Abb. 5.9 a und 5.9 b illustrieren die astigmatischen Bilder eines außeraxialen Objektpunktes P durch ein tangentiales Strahlenb¨ undel im Schnitt tt
und
ein sagittales B¨ undel von Strahlen durch den Schnitt ss einer einzelnen Linse. Da diese senkrecht zueinander stehenden Strahlenb¨ undel in unterschiedlichen Entfernungen von der Linse fokussiert werden, sind die zwei Bilder Linien, die an den Positionen S und T f¨ ur das sagittale und das tangentiale B¨ undel entstehen. Die Brennlinie bei T liegt in der sagittalen und die Brennlinie bei S in der tangentialen Ebene. H¨ alt man einen Schirm senkrecht zum Hauptstrahl und bewegt ihn von S zu T , so werden die beobachteten Bilder auf diesem Weg von elliptischer Form sein. Ungef¨ ahr in der Mitte zwischen S und T wird der Brennfleck kreisf¨ormig, man erh¨ alt eine Kreisfl¨ ache geringster Verzerrung. Der Ort der Linienbilder S und T liegt f¨ ur verschiedene Objektpunkte P auf gekr¨ ummten Fl¨achen, wie in Abb. 5.9 c dargestellt. Die Abweichung der beiden Fl¨achen voneinander, entlang eines beliebigen Hauptstrahles zu einem gegebenen Objektpunkt, beschreibt die Gr¨ oße des Astigmatismus. Dieser ist ungef¨ ahr proportional zum Quadrat des Abstandes von der optischen Achse. Wenn die T -Fl¨ache links von der S-Fl¨ache zu finden ist, wie hier gezeigt, so nennt man den Astigmatismus positiv, im anderen Fall negativ. Wenn die Punkte P auf einer Kreislinie in einer Objektebene senkrecht zur optischen Achse liegen, so erh¨ alt man auf der T -Fl¨ache ein scharfes Bild. Gleichzeitig wird jedoch in der S-Fl¨ ache das Bild der Kreislinie unscharf sein und u ¨ berall die Breite der S-Brennlinie“ aufweisen. Andererseits werden Objektpunkte ent” lang radialer Linien des Objektkreises nur in der S-Fl¨ache scharfe radiale Bilder erzeugen (s. Abb. 5.9 e). Der Astigmatismus ergibt f¨ ur kreisf¨ ormige oder radiale Elemente ( Wagenrad ” mit Speichen“), die sich in der Objektebene befinden, eine scharfe Abbildung in zwei unterschiedlichen Bildfl¨ achen.

132

5 Abbildungsfehler

Aus Abb. 5.9 c erkennen wir, dass zur Eliminierung des Astigmatismus die tangentialen und sagittalen Bildfl¨ achen (Bildschalen) zusammenfallen m¨ ussen. Wenn ¨ die Kr¨ ummung dieser Fl¨ achen durch die Anderung der Linsenform oder Abst¨ande so ver¨ andert wird, dass sie zusammenfallen, so erh¨alt man die sogenannte PetzvalFl¨ache. F¨ ur ein aplanatisches System erh¨ alt man auf dieser Fl¨ache punktf¨ormige Bilder von Punktobjekten. Ist diese Fl¨ ache gekr¨ ummt, so hat man zwar den Astigmatismus eliminiert, aber die Bildfeldw¨olbung bleibt bestehen. Um unter diesen Bedingungen eine scharfe Abbildung zu erhalten, muss man die Aufzeichnungsebene (Filmebene) in der Form einer Petzval-Fl¨ache kr¨ ummen. Die PetzvalFl¨ ache kann f¨ ur jedes optische System festgelegt werden, sogar wenn die T - und S-Fl¨ achen nicht zusammenfallen. Die Petzval-Fl¨ache ist im Gegensatz zu den T - und S-Fl¨ achen unabh¨ angig von der Linsenform oder der Position der Linse und h¨ angt nur von den Brechzahlen und Brennweiten der beteiligten Linsen ab. In der Theorie 3. Ordnung ist die Petzval-Oberfl¨ache um einen Faktor 3 weiter

5.5 Astigmatismus und Bildfeldw¨ olbung

133

Abb. 5.9. a) Astigmatische Linienbilder an den Positionen S und T eines außeraxialen Objektpunktes P durch tangentiale (tt
) und sagittale (ss
) B¨ undel von Lichtstrahlen. b) Fotografie von astigmatischen Bildern, die durch eine Linse erzeugt werden, wie in Abb. 5.9 a gezeigt. Die Linienbilder in S und T werden durch Fluoreszenzschirme als Querschnitte der Strahlen sichtbar gemacht. c) Astigmatische Bildfl¨ achen einer Linse(Bildschalen). d) Astigmatische Abbildung von radialen und kreisf¨ ormigen Objekten. e) Einsatz einer Apertur, um die Bildfl¨ achen einer Linse einzuebnen“. Die Fl¨ ache ” zwischen den S- und T -Fl¨ achen, auf der ein sch¨ arferes Bild entsteht, ist durch eine gestrichelte Linie dargestellt

134

5 Abbildungsfehler

von der T -Fl¨ ache entfernt als von der S-Fl¨ache und liegt immer auf der Seite der S-Fl¨ ache, die in der T -Fl¨ ache abgewandt ist. Zwei Linsen haben eine ebene Petzval-Fl¨ache, wobei die Bildfeldw¨ olbung eliminiert wird, wenn folgende Bedingung erf¨ ullt ist: n1 f1
+ n2 f2
= 0 F¨ ur die Petzval-Fl¨ ache einer Anzahl k d¨ unner Linsen in Luft gilt die Bedingung: Petzval-Summe

k  1 1 =
n i fi rp

(5.32)

i=1

rp ist der Kr¨ ummungsradius der Petzval-Fl¨ache. F¨ ur kleine Werte der PetzvalSumme erh¨ alt man eine fast ebene Bildfl¨ ache. Die Einebnung des Feldes aufgrund dieser Bedingung kann nicht durch eine einzelne Linse bewirkt werden, l¨ asst sich aber durch den Einsatz einer Apertur (siehe Abb. 5.9 d) erreichen. Bei dieser Anordnung verlaufen die schiefen Hauptstrahlen, die durch die Apertur festgelegt werden, nicht durch das Zentrum der Linse. Die S- und T - astigmatischen Fl¨ achen sind nun entgegengesetzt gekr¨ ummt, und die Oberfl¨ ache geringster Verzerrung ist eben, wie dies in der Abbildung gezeigt ist. Diese preiswerte Methode zur Einebnung der Bildfl¨ache wird in einfachen Kameras benutzt. In anderen Anordnungen, bei denen die Petzval-Bedingung nicht ohne Aufgabe anderer Forderungen erf¨ ullt werden kann, verwendet man eine langbrennweitige Linse nahe der Bildebene. Die Linse wirkt der Bildfeldw¨olbung entgegen, ohne andererseits die Bildqualit¨at allzu sehr zu beeintr¨achtigen. In der Theorie der Abbildungsfehler 5. Ordnung kann man erreichen, dass sich die T - und S-Fl¨ achen in einem gewissen Abstand von der optischen Achse einander n¨ ahern und sogar schneiden. Man erreicht einen geringeren Astigmatismus in einer mittleren Brennebene. Im anastigmatischen Kameraobjektiv wird dies ausgenutzt.

5.6 Verzeichnung Wenn alle anderen vorher beschriebenen Seidelschen Aberrationen eliminiert werden, bleibt noch eine letzte, f¨ unfte Aberration u ¨brig, die Verzeichnung genannt wird und die in (5.25) durch den Term 3 C11 y
3  cos θ gegeben ist. Sogar wenn Gegenstandspunkte scharf in Bildpunkte abgebildet werden, zeigt sich die Ver¨ zeichnung als Anderung des Abbildungsmaßstabes von Objekten in unterschiedlichem Abstand von der optischen Achse. Wenn die Vergr¨oßerung mit dem Abstand von der Achse zunimmt, erh¨ alt man aus dem quadratischen Netz Abb. 5.10 a, das als Gegenstand dient, ein Bild, wie in Abb. 5.10 b gezeigt. Das Ergebnis nennt

5.6 Verzeichnung

135

Abb. 5.10. Abbildung: a) eines quadratischen Netzes, b) kissenf¨ ormige Verzeichnung, c) tonnenf¨ ormige Verzeichnung aufgrund unterschiedlicher Vergr¨ oßerung

man kissenf¨ormige Verzeichnung. Wenn andererseits die Vergr¨oßerung mit dem Abstand von der Achse abnimmt, erh¨ alt man ein Bild, wie in Abb. 5.10 c gezeigt, das man tonnenf¨ormige Verzeichnung nennt. Das Bild ist in jedem Fall scharf, aber verzeichnet. Solche Verzeichnungen werden durch Begrenzungen des Strahlb¨ undels durch Aperturen oder Linsenfassungen, die wie Aperturen wirken, hervorgerufen. Aus Abb. 5.11 a k¨ onnen wir diesen Effekt entnehmen. Dort ist das Bild eines außeraxialen Punktes, das durch eine einzelne Linse erzeugt wird, gezeigt. Es sind zwei Strahlenb¨ undel dargestellt, jedes ist durch eine Apertur begrenzt, die sich (1) in einem gewissen Abstand von der Linse befindet, w¨ahrend (2) nahe der Linse positioniert ist. Wenn die Apertur der Linse gen¨ahert wird, wird der Weg zur Linse k¨ urzer. Bei Position (1) sieht man, dass der Lichtweg vom Objekt zur Linse gr¨ oßer – und damit auch die Vergr¨oßerung kleiner – ist. Diese Abnahme der Vergr¨ oßerung aufgrund der Position der Apertur wird noch deutlicher, wenn der Objektpunkt weiter von der Achse entfernt ist, so dass das Bild eine tonnenf¨ ormige Verzeichnung aufweist. Bringt man die Apertur in den Bildraum der Linse, so kann man die Auswirkung dieser Maßnahme aus der gleichen Abbildung entnehmen, wenn man alle Strahlen und die Rolle von Gegenstands- und Bildweite vertauscht. In diesem Fall ist das Verh¨ altnis von Gegenstands- zu Bildweite kleiner und im Bild tritt die kissenf¨ ormige Verzeichnung auf. Wenn die Apertur sehr nahe an die Linse gebracht wird, tritt diese Verzeichnung nicht auf. Ein symmetrisches Dublett, das eine Apertur in der Mitte zwischen den beiden Linsen aufweist, ist aufgrund beider Effekte frei von Verzeichnung f¨ ur den Abbildungsmaßstab
β = −1. Die Auswirkung der Lage der Apertur auf die Verzeichnung wird in den Abb. 5.11 b, c und d gezeigt.

136

5 Abbildungsfehler

Abb. 5.11. a) Auswirkung einer Apertur auf die Verzeichnung eines Bildes durch eine Linse. Die Apertur bei Pos. (1) erzeugt mehr tonnenf¨ ormige Verzeichnung als in Position (2). Vertauscht man Gegenstand und Bild, so erzeugt dasselbe System kissenf¨ ormige Verzeichnung. b) Abbildung eines quadratischen Netzes durch eine Positivlinse. Befindet sich die Apertur zwischen Gegenstand (hinten) und Linse, so tritt tonnenf¨ ormige Verzeichnung des Bildes auf. c) Abbildung eines quadratischen Netzes durch eine Positivlinse. Befindet sich die Apertur nahe bei der Linse, so ist das Bild frei von Verzeichnung d) Bild eines quadratischen Netzes durch eine Positivlinse. Befindet sich die Apertur zwischen Linse und Bild, so tritt kissenf¨ ormige Verzeichnung des Bildes auf

5.7 Chromatische Aberration/Farbfehler

137

5.7 Chromatische Aberration/Farbfehler Die letzte Aberration, die wir diskutieren, ist nicht monochromatisch. Weder die N¨ aherung 1. Ordnung (Gaußsche oder paraxiale) noch die Theorie 3. Ordnung, mit der wir uns in den vorhergehenden Abschnitten besch¨aftigt haben, ber¨ ucksichtigten die Dispersion bei der Brechung. Bei normaler Dispersion, die wir im Folgenden behandeln werden, nimmt die Brechzahl mit zunehmender Wellenl¨ange ab. Jede Glasart ist durch den Verlauf der Funktion n(λ) gekennzeichnet. Aufgrund der Dispersion tritt eine zus¨ atzliche chromatische Aberration (C.A.) auf. Dies gilt auch f¨ ur die paraxiale Optik, bei der Bilder, die durch verschiedene Farben des Lichtes erzeugt werden, nicht zusammenfallen. Bei den monochromatischen Aberrationen dritter Ordnung (5.25) k¨onnen wir chromatische Effekte durch die Ber¨ ucksichtigung der Wellenl¨ angenabh¨angigkeit jedes Koeffizienten in der Entwicklung ber¨ ucksichtigen. Die chromatische Aberration einer Linse ist in Abb. 5.12 a gezeigt. Da die Bildbrennweite f
einer Linse von der Brechzahl des Glases abh¨angt, ist f
auch eine Funktion der Wellenl¨ ange. Die Abbildung zeigt, dass parallel einfallende Lichtstrahlen f¨ ur das rote und violette Ende des sichtbaren Spektrums durch die Linse in verschiedenen Brennpunkten fokussiert werden. Wir sehen, dass ein Kegel violetten Lichtes einen Zerstreuungskreis um den roten Brennpunkt bei R erzeugt. F¨ ur weißes“ Licht werden die dazwischen liegenden Farben zwischen ” diesen beiden Punkten fokussiert werden. Die st¨arkere Brechung der k¨ urzeren Wellenl¨ angen bringt f¨ ur eine Positivlinse den violetten Brennpunkt n¨aher an die Linse. Abbildung 5.12 b zeigt die chromatische Aberration f¨ ur einen außeraxialen Objektpunkt und stellt die longitudinale chromatische Aberration und die transversale chromatische Aberration dar. Die longitudinale chromatische Aberration wird auch Farbl¨angsfehler genannt, da die Bilder f¨ ur verschiedene Farben nicht im gleichen Abstand zur Linse liegen. Die transversale chromatische Aberration – Farbvergr¨oßerungsfehler – kann als unterschiedliche Vergr¨ oßerung bei der Abbildung des Objektes durch verschiedene Farben interpretiert werden. Man beseitigt die chromatische Aberration durch den Einsatz mehrerer brechender Elemente entgegengesetzten Brechwertes. Gebr¨auchlich ist der so genannte Achromat, ein Linsensystem, das aus einer konvexen und einer konkaven Linse unterschiedlicher Glasarten besteht, die dicht hintereinander angeordnet oder auch verkittet sind. Die Dispersion der Komponenten ist bei geeigneter Auswahl der Glassorten umgekehrt proportional zum Brechwert. Dieses Linsensystem weist f¨ ur eine gegebene Brennweite eine verringerte chromatische Aberration u ¨ber einen betr¨ achtlichen Teil des sichtbaren Spektrums auf. Die Linsenform der einzelnen Linse ist f¨ ur die Achromatisierung ohne Bedeutung, man kann durch geeignete Wahl (Coddington-Faktor) zus¨atzlich monochro-

138

5 Abbildungsfehler

Abb. 5.12. Chromatische Aberration (C.A., u ur eine d¨ unne ¨bertrieben gezeichnet) f¨ Linse. Die Auswirkung a) auf die Brennweite und b) auf die longitudinalen und transversalen Abweichungen f¨ ur rotes (R) und violettes (V) Licht sind dargestellt.

matische Abbildungsfehler beheben. Bei vielen Achromaten sind die sph¨arische Aberration und die Koma f¨ ur eine mittlere Wellenl¨ange korrigiert und auch die Abbesche Sinusbedingung erf¨ ullt.

Abb. 5.13. Achromatisches Dublett, bestehend aus (1) einer bikonvexen Kronglaslinse verkittet mit (2) einer Negativlinse aus Flintglas. Die Bezeichnung der vier Kr¨ ummungsradien ist angegeben

Der Aufbau eines achromatischen Dubletts ist in Abb. 5.13 gezeigt. F¨ ur den Mittelpunkt des sichtbaren Spektrums im Gelben, wie er durch die Fraunhoferur die Brechwerte der Wellenl¨ ange λd = 587,56 nm gegeben ist, erh¨alt man f¨ beiden Linsen:

5.7 Chromatische Aberration/Farbfehler



139



1 1 1 = (n1d − 1) − ≡ (n1d − 1)K1
f1d r11 r12   1 1 1 ≡ (n2d − 1)K2 =
= (n2d − 1) − f2d r21 r22

D1d =

(5.33)

D2d

(5.34)

Hierbei sind die Kr¨ ummungsradien wie in Abb. 5.13 angegeben. nd bezeichnet die Brechzahl f¨ ur die Fraunhofer-d-Linie. Zus¨atzlich haben wir die Konstanten K1 und K2 f¨ ur die Linsengeometrie (Kr¨ ummungsradien) eingef¨ uhrt. In (4.32) haben wir bereits gezeigt, dass der Brechwert eines Dubletts zweier Linsen im Abstand e gegeben ist durch: 1 1 e 1 =
+
−

f
f1 f2 f1 f2

(5.35)

D = D1 + D2 − eD1 D2

(5.36)

oder

F¨ ur ein verkittetes Dublett d¨ unner Linsen ist der Abstand zwischen beiden Linsen e = 0, und die Brechwerte der Linsen werden einfach addiert. D = D1 + D2

(5.37)

Benutzt man (5.33) und (5.34), so erh¨ alt man: D = (n1 − 1)K1 + (n2 − 1)K2

(5.38)

Die chromatische Aberration verschwindet f¨ ur die Wellenl¨  ange λd , wenn der Brechwert unabh¨ angig von der Wellenl¨ ange ist, oder ∂D ∂λ d = 0. Angewandt auf (5.38) ergibt diese Bedingung: ∂n1 ∂n2 ∂D = K1 + K2 (5.39) ∂λ ∂λ ∂λ Die Dispersion ∂n ∂λ in der Umgebung von λd kann man durch die Werte bei den roten und blauen Fraunhofer-Wellenl¨ angen, λC = 656,3 nm und λF = 486,1 nm, ann¨ ahern: ∂n nF − nC (5.40) ≈ ∂λ λF − λC Die Dispersion der Gl¨ aser setzen wir in (5.39) ein und erweitern, so dass:  ∂n1d n1F K1 = K1 ∂λ λF  ∂n2d n2F K2 = K2 ∂λ λF

  − n1C n1d − 1 D1d = − λC n1d − 1 (λF − λC )ν1d   − n2C n2d − 1 D2d = − λC n2d − 1 (λF − λC )ν2d

(5.41) (5.42)

140

5 Abbildungsfehler

Hierbei haben wir (5.33) und (5.34) benutzt und die Abbesche Zahl νd eingef¨ uhrt. Diese ist definiert als: νd ≡

Abbesche Zahl

nd − 1 nF − nC

(5.43)

n1d −1 wobei ν1d = n1F ur die Linse (1) bedeutet. −n1C die Abbesche Zahl f¨ Eine große Abbesche Zahl beschreibt ein brechendes Material geringer Disunen Bereich in der N¨ahe persion, nd ist die Hauptbrechzahl und liegt im gelbgr¨ der maximalen Empfindlichkeit des Auges. Die Brechzahldifferenz nF − nC wird Hauptdispersion genannt. In neueren Katalogen benutzt man eine andere Abbesche Zahl

νe ≡

ne − 1 nF
− nC


mit den Fraunhofer-Wellenl¨ angen λe = 546,07 nm, λF
= 479,99 nm und λC
= 643,85 nm. Setzt man (5.41) und (5.42) in (5.39) ein, so erh¨alt man als Bedingung f¨ ur verschwindende chromatische Aberration: ν2d D1d + ν1d D2d = 0 oder

D1d ν1d =− D2d ν2d

(5.44)

Da die Abbesche Zahl immer positiv ist, bedeutet dies, dass man eine Kombination aus einer Positiv- und einer Negativlinse bilden muss. Aus (5.37) und (5.44) kann man den Brechwert der einzelnen Elemente als Vielfaches des gew¨ unschten Brechwertes Dd der Kombination berechnen: 1 −ν1d = D1d = Dd f1
ν2d − ν1d

und D2d = Dd

ν2d ν2d − ν1d

(5.45)

F¨ ur die Kr¨ ummungsfaktoren K, die in (5.33) und (5.34) eingef¨ uhrt wurden, erh¨alt man: K1 =

D1d n1d − 1

und K2 =

D2d n2d − 1

(5.46)

Zur Vereinfachung w¨ ahlen wir die Linse (1) bikonvex (gleicher Betrag des Kr¨ ummungsradius f¨ ur beide Oberfl¨ achen). Zus¨atzlich m¨ ussen die Kr¨ ummungsradien der beiden Linsen an der Grenzfl¨ ache u bereinstimmen. Die Kr¨ ummungs¨ radien gen¨ ugen deshalb den Gleichungen: r11 =

2 , K1

r12 = −r21 ,

r21 = r12 ,

und r22 =

r12 1 − K2 r12

(5.47)

5.7 Chromatische Aberration/Farbfehler

141

F¨ ur die Konstruktion eines achromatischen Dubletts entnimmt man die Brechzahlen und die Abbesche Zahl f¨ ur die benutzen Gl¨aser aus den Angaben des Herstellers, wie sie in Tabelle 5.1 dargestellt sind. Die Berechnung des achromatischen Dubletts l¨asst sich einfach durchf¨ uhren, indem man (5.45), (5.46) und (5.47) der Reihe nach anwendet. Benutzt man z.B. 520 636 Kronglas und 617 366 Flintglas, um einen Achromaten mit f
= 15 cm zu konstruieren, so erh¨ alt man aus den Gleichungen folgende Kr¨ ummungsradien: r11 = 6,6218 cm; r12 = −6,6218 cm; r21 = −6,6218 cm; r22 = −223,29 cm. Unter Benutzung dieser Werte kann man mit (5.33) und (5.34) die Brennweiten f¨ ur jede der Fraunhofer-Linien berechnen. Diesen Fall finden sie in Tab. 5.1: Tabelle 5.1. Einzel- und Gesamtbrennweiten eines zweilinsigen Anchromaten f1
/cm

f2
/cm

f
/cm

λd

6,3653

-11,0575

15,000

λC

6,3961

-11,1470

15,007

λF

6,2966

-10,8485

15,007

Abb. 5.14. Dublett mit verschiedenen Hauptebenen f¨ ur rotes und blaues Licht. a) Gleiche Brennweiten bewirken verbleibende longitudinale chromatische Aberration (Farbl¨ angsfehler). b) Gleiche Brennpunktlagen bewirken eine bleibende transversale chromatische Aberration (Farbvergr¨ oßerungsfehler)

Konstruiert man einen Achromaten als d¨ unne Linse, so sind die Brennweiten fast gleich und damit werden die longitudinale und die transversale chromatische Aberration gleichzeitig eliminiert. Die bildseitigen Hauptebenen f¨ ur eine dicke Linse oder ein optisches System aus mehreren Linsen m¨ ussen f¨ ur unterschiedliche Wellenl¨ angen nicht zusammenfallen, so wie dies f¨ ur eine d¨ unne Linse der Fall ist. Dann f¨ uhren gleiche Brennweiten bei einer dicken Linse nicht zu einem einzigen wellenl¨ angenunabh¨ angigen Brennpunkt auf der Achse, und die longitudinale chromatische Aberration bleibt bestehen (s. Abb. 5.14 a). Wenn die Brennweiten

142

5 Abbildungsfehler Tabelle 5.2. Auswahl optischer Gl¨ aser

Type

Katalog-

Abbesche

code∗

Zahl νD

nc

nd

nF

nd −1 nF −nC

656,3 nm

587,56 nm

486,1 nm

gerundet (nd − 1) 10νd Borkron (BK 7)

517 642

64,17

1,51432

1,51680

1,52238

Borkron

520 636

63,59

1,51764

1,52015

1,52582

Baritleichtkron

573 574

57,43

1,56956

1,57259

1,57953

Baritschwerkron 638 555

55,49

1,63461

1,63810

1,64611

Schwerflint

617 366

36,60

1,61218

1,61715

1,62904

Flint

620 380

37,97

1,61564

1,62045

1,63198

Schwerflint

689 312

31,15

1,68250

1,68893

1,70460

Schwerflint (SF 6)

805 255

25,46

1,79608

1,80518

1,82771

Quarzglas 458 678 67,83 1,45637 1,45846 1,46313 Beispiel: Borkron: nd = 1,5168; 1000(nd − 1) ≈ 517; νd = 64,17; 10νd ≈ 642 ergibt den Code: 517 642

∗

f¨ ur rotes und blaues Licht nicht u ¨bereinstimmen (s. Abb. 5.14 b), so verursacht
und fR
einen Unterschied im Abbildungsmaßstab und die die Differenz in fB transversale chromatische Aberration (Farbvergr¨oßerungsfehler) bleibt bestehen. Zur Beseitigung dieses Fehlers m¨ ussen die Hauptebenen f¨ ur die zwei korrigierten Wellenl¨ angen zusammenfallen. Eine weitere M¨ oglichkeit zur Vermeidung der chromatischen Aberration besteht darin, zwei getrennte Linsen aus derselben Glassorte (n1 = n2 = n) im Abstand e = 0 zu benutzen. Die Bedingung ∂D ∂λ = 0, angewandt auf (5.36) ergibt nun:  ∂D ∂  2 = (n − 1) (K1 + K2 ) − (n − 1) K1 K2 e = 0 ∂λ ∂λ Hieraus folgt der Linsenabstand zur: Achromatisierung eines zweilinsigen Systems

durch den Abstand e.

e=

f1
+ f2
2

(5.48)

5.7 Chromatische Aberration/Farbfehler

143

Dieses Verfahren benutzt man zur Achromatisierung zweilinsiger Okulare (Huygens oder Ramsden), die in Kapitel 6 vorgestellt werden.

¨ Ubungen 5.1 Verifizieren Sie (5.18) durch Einsetzen von (5.16) und (5.17) in (5.6). 5.2 Die Bild- und Objektschnittweiten einer sph¨ arischen brechenden Oberfl¨ ache erf¨ ullen zus¨ atzlich zu (3.14) die Beziehung 1/s
= −1/s + 1/r. Zeigen Sie, dass dann a) s
= (n
/n
)s gilt und b) q(Q) f¨ ur die sph¨ arische Aberration in (5.18) verschwindet. c) Zeigen Sie, dass q(Q) auch f¨ ur s
= r und f¨ ur Strahlen, die die sph¨ arische Oberfl¨ ache im Scheitel durchsetzen, verschwindet. Solche Bildpunkte nennt man aplanatische Punkte. d) Bestimmen Sie die aplanatischen Punkte f¨ ur eine sph¨ arische Oberfl¨ ache mit dem Kr¨ ummungsradius 8 cm, die zwei Medien mit den Brechzahlen 1,36 und 1,70 trennt. 5.3 Ein kollimierter Lichtstrahl f¨ allt auf die ebene Seite einer plankonvexen Linse der Brechzahl 1,5 und des Durchmessers 50 mm mit dem Kr¨ ummungsradius −40 mm. Bestimmen Sie die sph¨ arische Wellenaberration, sowie die longitudinale und die transversale sph¨ arische Strahlaberration. 5.4 Zeigen Sie, dass f¨ ur einen sph¨ arischen Konkavspiegel eine analoge Rechnung wie f¨ ur die brechende Kugelfl¨ ache folgende Aberration 3. Ordnung ergibt:  2 h4 1 1 q= − 4r r s wobei r f¨ ur den Kr¨ ummungsradius steht. 5.5 Benutzen Sie das Ergebnis von Aufgabe 5.4 und bestimmen Sie die Wellenaberration, die transversale und die longitudinale Aberration f¨ ur einen Kugelspiegel von 2 m Bildbrennweite und 50 cm Durchmesser, wenn dieser ein Bild eines weit entfernten punktf¨ ormigen Objektes entwirft. 5.6 In einem Spiegelteleskop wird ein Kugelspiegel mit dem Durchmesser d und der Bildbrennweite f
= 3 m benutzt, wobei f
/d = 3,75 gilt. a) Benutzen Sie das Ergebnis von Aufgabe 4 und ermitteln Sie die Gr¨ oße der sph¨ arischen Wellenaberration des Teleskops. b) Es wird eine Korrekturplatte nach Schmidt (siehe Kapitel 6) mit der Brechzahl 1,4 installiert, um die sph¨ arische Aberration zu korrigieren. Wie groß muss der Unterschied in der Plattendicke zwischen Zentrum und Rand sein? 5.7 Eine Linse mit dem Brechwert 4 dpt und dem Durchmesser 6 cm ergibt eine longitudinale sph¨ arische Aberration von 1 cm bei der Abbildung eines axialen Objektpunktes. Das Objekt ist 50 cm von der Linse entfernt. Bestimmen Sie: a) die transversale sph¨ arische Aberration und b) den Durchmesser des Brennflecks in der paraxialen Brennebene.

144

5 Abbildungsfehler

5.8 Bestimmen Sie f¨ ur eine d¨ unne Linse mit n = 1,5, r1 = 10 cm und r2 = −10 cm die longitudinale und transversale sph¨ arische Strahlaberration, wenn die einfallenden Strahlen parallel zur Achse durch einen unendlich schmalen Kreisring mit dem Radius h = 1 cm verlaufen. 5.9 Bestimmen Sie f¨ ur eine Linse die longitudinale sph¨ arische Strahlaberration als Funktion der Strahlh¨ ohe h, indem Sie die Gleichung f¨ ur die sph¨ arische Aberration einer d¨ unnen Linse aus Aufgabe 5.8 benutzen. Zeichnen Sie die longitudinale Strahlaberration als Funktion der Strahlh¨ ohe f¨ ur h = 0, 1, 2, 3, 4 und 5 cm auf. Die Linse hat eine Brechzahl von 1,6 und die Kr¨ ummungsradien der Oberfl¨ achen sind r1 = 36 cm und r2 = −18 cm. Die einfallenden Lichtstrahlen sind parallel zur optischen Achse. 5.10 Eine bikonvexe Linse der Brechzahl 1,5 mit den Kr¨ ummungsradien 15 cm und −15 cm entwirft ein Bild eines axialen Objektpunktes, der sich 25 cm von der Linse entfernt befindet, wobei die Strahlen durch einen unendlich schmalen Kreisring mit dem Radius h = 2 cm an der Linse verlaufen. Bestimmen Sie die longitudinale und die transversale sph¨ arische Strahlaberration (s. Aufg. 5.8). 5.11 Zeigen Sie mit (5.28), dass f¨ ur e = (1/a
h ) − (1/a
p ) und minimale sph¨ arische Aberration erf¨ ullt ist, wenn: γ=

de dγ

= 0 die Bedingung f¨ ur

2(n2 − 1)p n+2

wobei γ f¨ ur den Coddington-Formfaktor steht. 5.12 Eine Positivlinse mit der Brechzahl 1,5 und der Bildbrennweite 30 cm wird in ihrer Form so ver¨ andert, dass Coddington-Formfaktoren von 0,7 und 3,0 auftreten. Bestimmen Sie die entsprechenden Kr¨ ummungsradien der Linsenoberfl¨ ache. 5.13 Eine d¨ unne Positivlinse der Bildbrennweite 20 cm ist so ausgelegt, dass sie minimale sph¨ arische Aberration in der Bildebene, die 30 cm von der Linse entfernt ist, aufweist. Die Brechzahl der Linse ist 1,6. Bestimmen Sie die Kr¨ ummungsradien der Linsenoberfl¨ achen. 5.14 Eine d¨ unne plankonvexe Linse mit 1 m Bildbrennweite und der Brechzahl 1,6 soll so orientiert sein, dass sie bei der Fokussierung eines kollimierten Lichtb¨ undels m¨ oglichst kleine sph¨ arische Aberration aufweist. Zeigen Sie, dass bei der richtigen Orientierung das parallele Licht auf die gekr¨ ummte Seite der Linse auff¨ allt und vergleichen Sie den Coddington Formfaktor f¨ ur beide Orientierungen mit dem Wert f¨ ur minimale sph¨ arische Aberration. 5.15 Ein paralleles Lichtb¨ undel wird mit einer Positivlinse bei minimaler sph¨ arischer Aberration fokussiert. Die Bildbrennweite betr¨ agt 30 cm. Das Glas hat eine Brechzahl von 1,5. Bestimmen Sie: a) den Coddington-Formfaktor, b) die Kr¨ ummungsradien der Linse. c) Wie a ndern sich die Antworten, wenn man die Linse zur Erzeugung eines kol¨ limierten Lichtstrahles bei punktf¨ ormiger Quelle benutzt? 5.16 Bearbeiten Sie Aufgabe 5.15, wenn die Linse kleine Koma aufweisen soll.

5.7 Chromatische Aberration/Farbfehler

145

5.17 Eine Positivlinse der Bildbrennweite 20 cm wird zur Bildumkehr benutzt, d.h. die Linse ¨ andert die Orientierung des Bildes, ohne die Gr¨ oße zu ver¨ andern. Welche Kr¨ ummungsradien f¨ ur die Linsenoberfl¨ achen ergeben f¨ ur diese Anwendung minimale sph¨ arische Aberration? Die Brechzahl des Linsenmaterials ist 1,5. 5.18 Bearbeiten Sie Aufgabe 5.17, wenn die Linse die Koma reduzieren soll. 5.19 Die Bildfeldw¨ olbung einer Linse aus Kronglas (n = 1,5230) mit 20 cm Bildbrennweite soll verringert werden. Zu diesem Zweck wird eine zweite Linse aus Flintglas (n = 1,7200) hinzugef¨ ugt. Wie groß sollte ihre Bildbrennweite sein? Die angegebenen Brechzahlen beziehen sich auf Natriumlicht der mittleren Wellenl¨ ange 589,3 nm. 5.20 Ein Fernrohrobjektiv besteht aus einem Dublett aus einer Positivlinse (n1 = 1,5736, f1
= 3,543 cm) und einer Negativlinse (n2 = 1,6039, f2
= −5,391 cm), die zusammengekittet sind. a) Bestimmen Sie den Radius der Petzval-Oberfl¨ ache. b) Welche Bildbrennweite muss die Negativlinse aufweisen, um eine ebene PetzvalOberfl¨ ache zu ergeben? 5.21 Entwerfen Sie ein achromatisches Dublett aus 517 645 Kron- und 620 380 Flintglas, das eine Gesamtbildbrennweite von 20 cm aufweisen soll. Die Kronglaslinse soll bikonvex sein. Bestimmen Sie die Kr¨ ummungsradien der ¨ außeren Linsenoberfl¨ achen und die Bildbrennweite f¨ ur die d-, C-, und F -Fraunhofer-Linien. 5.22 Entwerfen Sie ein achromatisches Dublett mit 5 cm Bildbrennweite aus 638 555 Kron- und 805 255 Flintglas. Bestimmen Sie: a) die Kr¨ ummungsradien der Linsenoberfl¨ achen, b) die Bildbrennweiten f¨ ur die d-, C- und F - Fraunhofer-Linien, c) die Brechwerte der einzelnen Elemente. d) Wird (5.44) erf¨ ullt? 5.23 Entwerfen Sie ein achromatisches Dublett von −10 cm Bildbrennweite aus 573 574Kronglas und 689 312-Flintglas. Die Kronglaslinse soll bikonvex sein. Bestimmen Sie: a) die Kr¨ ummungsradien der Linsenoberfl¨ achen, b) die einzelnen Bildbrennweiten f¨ ur die Fraunhofer-d-Linie, c) die Gesamtbildbrennweiten der Linse f¨ ur die d-, C- und F -Fraunhofer-Linie.

6 Optische Instrumente

Einleitung In diesem Kapitel werden wir die Methoden der geometrischen Optik, die wir vorher entwickelt haben, bei der Diskussion verschiedener optischer Instrumente einsetzen. Das Kapitel beginnt mit einer Einf¨ uhrung in die Wirkung von Blen¨ den, Pupillen und Luken, die den Offnungswinkel der Lichtb¨ undel begrenzen, die von optischen Instrumenten verarbeitet werden. Blenden bestimmen z.B. die Helligkeitsverteilung in der Bildebene, die Bildsch¨arfe“ oder den Bildausschnitt. ” Folgende optische Instrumente werden behandelt: Prisma, Kamera, Lupe, Okular, Mikroskop und Fernrohr.

6.1 Blenden, Pupillen und Luken Bisher haben wir Verfahren untersucht, die den Verlauf von Strahlen durch ein optisches System Schritt f¨ ur Schritt durch die Formeln der Gaußschen Optik (Kapitel 3) oder die Matrixmethode (Kapitel 4) beschreiben. Dies waren Konstruktionsmethoden f¨ ur die optische Abbildung, wir sprechen vom Abbildungsstrahlengang, der durch die Konstruktionsstrahlen definiert ist. Nicht jeder Strahl, der von einem Objektpunkt ausgeht und in ein optisches System eintritt, tr¨agt jedoch zum Bild bei. Abh¨ angig vom Ort des Objektpunktes und dem Neigungswinkel des Strahls bez¨ uglich der optischen Achse kann dieser Strahl aufgrund des Durchmessers der optischen Bauelemente (Linsen, Spiegel, Blenden) blockiert werden. Ein ¨ Objektpunkt wird deshalb durch Lichtb¨ undel abgebildet, deren Offnungswinkel durch die optischen Bauelemente begrenzt ist (s. Abb. 6.1).

148

6 Optische Instrumente

Blenden werden u.a. zur Verbesserung der optischen Abbildung eingesetzt. Im Kap. 5 haben wir gesehen, dass Blenden zur Verringerung der sph¨arischen Aberration, des Astigmatismus und der Verzeichnung benutzt werden k¨onnen. In anderen Anwendungen setzt man Blenden ein, um das Bild scharf zu begrenzen, wie man z.B. beim Hineinblicken in das Okular eines optischen Instrumentes erkennt. Man benutzt Blenden, um st¨ orende Lichtstreuung an optischen Komponenten abzuschirmen. Blenden sind immer gegenw¨artig, da jede Linse einen endlichen Durchmesser hat und deshalb als Blende im System wirkt. Blenden beeinflussen die Eigenschaften eines optischen Systems in entscheidender Weise. Die Verringerung des Durchmessers einer einzelnen Linse kann zur Reduktion der Abbildungsfehler f¨ uhren, wobei dann offensichtlich das Bild, das von der Linse entworfen wird, geringere Helligkeit aufweist. In diesem Kapitel untersuchen wir, wie die Sch¨arfentiefe der Abbildung durch ein optisches System vergr¨ oßert wird, wenn man den wirksamen Durchmesser der Linse verringert. Der Linsendurchmesser bestimmt durch die unvermeidbaren Beugungserscheinungen (s. Kap. 16) auch bei aberrationsfreier Optik die Aufl¨osung im Bild. Zus¨atzlich definieren Blenden den Feldwinkel ( Blickwinkel“, Gesichtsfeld“) und damit die ” ” Ausdehnung des Objektfeldes, das im Bild erscheint. 6.1.1 Bildhelligkeit: Blenden und Pupillen Aperturblende (AB) Aperturblende nennt man die k¨ orperliche Blende in einem optischen System, ¨ die den Offnungswinkel 2u des abbildenden Strahlenb¨ undels begrenzt, das von einem axialen Objektpunkt ausgeht (s. Abb. 6.1 a). Die Helligkeit des Bildes wird durch die Aperturblende festgelegt. Die Blende“ ” der Kamera oder die Iris des menschlichen Auges sind Beispiele f¨ ur Aperturblen¨ den. Ein anderes Beispiel ist das Fernrohr, in dem die Offnung (Durchmesser) der Objektivlinse als Aperturblende festlegt, wie viel Licht vom Fernrohr aufgenommen wird. Die Aperturblende ist jedoch nicht immer identisch mit der ersten Komponente eines optischen Systems. In Abb. 6.1 a bestimmt die Blende AB vor ¨ der Linse als Aperturblende den Offnungswinkel des Strahlenb¨ undels, das durch die Linse verarbeitet werden kann. Wenn jedoch das Objekt OP n¨aher an die AB herangef¨ uhrt wird, kann schließlich die Linsenfassung die begrenzende Apertur ¨ werden. In diesem Fall ist der Offnungswinkel des B¨ undels, das von der Linsenfassung begrenzt wird, kleiner als der von der Blende vor der Linse vorgegebene Winkel, so dass die Linse als Aperturblende wirkt.

6.1 Blenden, Pupillen und Luken

149

Abb. 6.1. Begrenzung von Strahlenb¨ undeln durch verschiedene Kombinationen von Sammellinse und Aperturblende (AB)

150

6 Optische Instrumente

Eintrittspupille (EP ) Die Eintrittspupille ist das Bild der Aperturblende, wenn man von der Objektseite in das optische System blickt. In Abb. 6.1 a ist dies die Aperturblende AB selbst, in diesem Falle sind also AB und EP identisch. Dies ist aber nicht der allgemeine Fall, wie wir aus Abb. 6.1 b erkennen. Hier steht die Aperturblende hinter der Linse, wie in den meisten fotografischen Kameras. Welche Komponente wirkt nun b¨ undelbegrenzend? Es ist die ¨ Komponente, deren Gr¨ oße den Offnungswinkel des Strahlenb¨ undels, das von O ausgeht, begrenzt. In der Abbildung ist die Eintrittspupille durch die gestrichelte Linie, die mit EP bezeichnet ist, markiert. Strahlen, die von O auf diese virtu¨ elle Blende zulaufen, haben einen kleineren Offnungswinkel als Strahlen, die auf die Begrenzung der Linse fallen. Strahlen, die von O aus auf den Rand der EP zielen, werden durch die Linse so gebrochen, dass sie gerade am Rand der realen Aperturblende vorbeigehen. Dies gilt, weil AB und EP zueinander konjugiert sind. Die Randpunkte der EP sind die Bilder der Randpunkte der AB. In Abb. 6.1 c wird ein weiteres Beispiel gezeigt, bei dem die Blende vor der Linse steht und als Aperturblende f¨ ur das System wirkt. Dieser Fall ist von Abb. 6.1 a verschieden, weil die Blende innerhalb der Brennweite der Linse liegt. Trotzdem wirkt die Blende als Aperturblende f¨ ur das System, weil sie – und nicht die Linse – b¨ undelbegrenzend wirkt. Weiterhin ist sie die EP des Systems, da sich kein weiteres abbildendes Element zwischen der Aperturblende und dem Objekt befindet. Austrittspupille (AP ) Die Eintrittspupille eines optischen Systems ist das Bild der Aperturblende, das man von der Objektseite aus im optischen System sieht. Von der Bildseite des optischen Systems aus sieht man ein anderes Bild der Aperturblende, das den ¨ undels begrenzt. Offnungswinkel 2u
des austretenden Strahlenb¨ Die Austrittspupille ist das Bild der Aperturblende, wenn man von der Bildseite in das optischen Systems blickt. Die Austrittspupille ist folglich das Bild der Aperturblende, das durch die abbildenden Elemente zwischen der Blende und dem Bild des Objektes erzeugt wird. Die Aperturblende in Abb. 6.1 b ist auch Austrittspupille des Systems, da sie das letzte optische Bauteil im Strahlverlauf ist. Die Austrittspupille ist zur Aperturblende konjugiert, die Ebenen AP und AB sind hier zueinander konjugierte Ebenen. Die AP ist immer zur EP konjugiert, d.h. die AP ist das Bild der EP . In Abb. 6.1 a ist die AP das reelle Bild der EP ; in Abb. 6.1 c ist sie ein virtuelles

6.1 Blenden, Pupillen und Luken

151

Bild. Wir sehen, dass in jedem Fall die Strahlen, die den Rand der Eintrittspupille treffen, auch den Rand der Austrittspupille ber¨ uhren. In dem System der Abb. 6.1 a erh¨ alt man auf einem Schirm, den man an den ¨ Ort der Austrittspupille bringt, ein scharfes Bild der kreisf¨ormigen Offnung der Aperturblende. In einem optischen System, wie z.B. dem Okular, ist es wichtig, die Austrittspupille in Bezug auf Lage und Durchmesser mit der Pupille des ¨ ¨ Auges in Ubereinstimmung zu bringen. Die Austrittspupille begrenzt den Off
nungswinkel 2u der Strahlen, die einen Bildpunkt ergeben. 6.1.2 Hauptstrahl Der Hauptstrahl eines von einem Objektpunkt ausgehenden Lichtb¨ undels zielt auf die Mitte der Eintrittspupille. Der Hauptstrahl verl¨asst das optische System in der Richtung, die durch die Mitte der Austrittspupille und den konjugierten Bildpunkt festgelegt ist. Der Hauptstrahl ist repr¨ asentativ f¨ ur das abbildende Lichtb¨ undel. Die Eintrittspupille ist das Bild der Aperturblende und zur Austrittspupille konjugiert, deshalb muss der Hauptstrahl real durch die Mitte der Aperturblende verlaufen. Untersuchen Sie dieses Verhalten in allen drei Systemen der Abb. 6.1. Sie erkennen, dass der Hauptstrahl im Strahlenb¨ undel, das von einem axialen Objektpunkt ausgeht, mit der optischen Achse u ¨ bereinstimmt.

Abb. 6.2. Begrenzung von Lichtstrahlen in einem optischen System, das aus zwei Positivlinsen und einer Blende besteht

152

6 Optische Instrumente

Als N¨ achstes betrachten wir ein System, das etwas komplizierter als das von Abb. 6.1 ist. Nat¨ urlich kann die einzelne Linse der Abb. 6.1 f¨ ur ein komplettes optisches System stehen, wobei die Strahlenwege durch die Hauptpunkte festgelegt sind. In Abb. 6.2 wird ein System dargestellt, das aus zwei Linsen L1 und ussen L2 mit einer Blende AB zwischen den beiden Linsen besteht. Zun¨achst m¨ wir folgende Frage beantworten: Welches Element wirkt als die b¨ undelbegrenzende Aperturblende des Gesamtsystems? Hierzu bestimmen wir, welches Element des gegebenen Systems – in diesem Fall AB, L1 oder L2 – die Eintrittspupille festlegt, die vom Objektpunkt aus gesehen das Strahlenb¨ undel mit dem kleinsten ¨ Offnungswinkel definiert. Um zu entscheiden, welches Element die Aperturblende ist, bestimmt man die Eintrittspupille jedes Elementes: L2 :

Durch ein Konstruktionsstrahlendiagramm oder eine Berechnung l¨asst offnung L2 , das durch L1 erzeugt wird, sich das Bild L
2 der Linsen¨ ermitteln. In Abb. 6.2 ist Lage und Gr¨oße dieses Bildes gezeigt. AB: Das Bild der Blende AB, das durch L1 entworfen wird, ist virtuell, es ist mit AB1
bezeichnet. L1 : Da die Linse L1 das erste Systemelement ist,wirkt sie auch als Eintrittspupille. Die drei Pupillen L
2 , L1 und AB1
werden als N¨achstes vom axialen Objektpunkt ur ein B¨ undel von O aus den kleinsten O aus betrachtet. Daraus, dass AB1
f¨ ¨ Offnungswinkel aufweist, schließen wir, dass die Blende AB die Aperturblende und AB1
die Eintrittspupille des Systems ist. Wenn die Aperturblende ermittelt ist, wird sie durch die rechts befindlichen optischen Elemente abgebildet und definiert die Austrittspupille. In unserem Fall wird AB durch L2 in AB2
abgebildet. In Abb. 6.2 ist der Hauptstrahl zusammen mit zwei Randstrahlen, die von den Randpunkten O und P
des Objektes ausgehen und auf den Rand der Eintrittspupille zielen, gezeichnet. Wir sehen, dass der Hauptstrahl real durch die Mitte der Aperturblende AB verl¨ auft, auf die Mitte der Eintrittsspupille EP zielt und aus der Mitte der AP kommt. Der Hauptstrahl – oder seine Verl¨ angerung – schneidet die optische Achundel, das vom Objektpunkt se in den Ebenen AB, AB1
und AB2
. Das Strahlenb¨ ¨ O oder P ausgeht und dessen Offnungswinkel durch die Eintrittspupille AB1
begrenzt wird, durchl¨ auft gerade noch die Austrittspupille AB2
. Das reelle Bild des ultige Objektes, das durch L1 erzeugt wird, ist durch O
P
bezeichnet. Das endg¨ Bild des Objektes, das durch L2 erzeugt wird, ist virtuell, da die Strahlen, die durch O
oder P
verlaufen, rechts von L2 divergieren.

6.1 Blenden, Pupillen und Luken

153

6.1.3 Gesichtsfeld Feldblende (F B) ¨ Der Offnungswinkel des Strahlenb¨ undels, das von einem axialen Objektpunkt ausgeht, wird durch die Eintrittspupille begrenzt, die damit die Helligkeit des Bildes bestimmt. Eine weitere Kenngr¨oße eines optischen Systems ist die Gr¨oße des abgebildeten Objektfeldes. Hierzu gibt es zwei M¨ oglichkeiten. Man kann zum einen f¨ ur eine bestimmte Objektweite den Durchmesser (oder bei einem Rechteckfeld Breite und H¨ohe) direkt angeben, zum anderen kann man den Feldwinkel 2w als Kenngr¨oße nennen. w ist der Winkel zwischen der optischen Achse und dem Hauptstrahl, der von einem Randpunkt des vom optischen System h¨ochstens abbildbaren Objektfeldes ausgeht und auf die Mitte der Eintrittspupille zielt, und w
der entsprechende bildseitige Winkel f¨ ur den Hauptstrahl, der aus der Richtung der Mitte der Eintrittspupille auf einen Randpunkt des Bildfeldes zul¨auft. Das Element, das die Gr¨ oße des vom optischen System abbildbaren Objektfeldes bzw. den Feldwinkel festlegt, nennt man Feldblende. Ein sehr einfaches Beispiel f¨ ur die Einschr¨ ankung des Feldes ist ein Blick durch ein Fenster. Die Feldblende einer Kamera ist das Filmformat, das die Gr¨oße des Filmbildes begrenzt, sie liegt hier in der Bildebene. Bei einem Diaprojektor ist der Diarahmen eine Feldblende, die sich in der Objektebene befindet und damit den projizierten Ausschnitt des Filmes definiert. Linsen k¨onnen ebenfalls als Feldblenden wirken, wie weiter unten gezeigt wird. Um zu sehen, wie eine Feldblende wirkt, betrachten wir Abb. 6.3. In Teil a) besteht das optische System aus einer einzelnen Linse und einer Blende, die sich vor der Linse befindet. Strahlenb¨ undel, die von einem axialen Objektpunkt O ¨ ausgehen, sind im Offnungswinkel durch die Blende beschr¨ankt. Sie werden durch ur einen außeraxialen Punkt die Linse zum Punkt O
fokussiert. Das Gleiche gilt f¨ allen ist die Linse groß genug, um das auftreffende P und sein Bild P
. In beiden F¨ Strahlenb¨ undel vollst¨ andig zu verarbeiten. Wenn die Objektebene gleichm¨aßig hell ist und die Blende durch ein kreisf¨ ormiges Loch gebildet wird, dann ist die Bestrahlungsst¨ arke innerhalb eines Kreises mit dem Radius O
P
in der Bildebene homogen. Der Hauptstrahl, der von P ausgeht, durchl¨auft alle Elemente des optischen Systems ohne Einschr¨ ankung. Der Punkt P liegt offensichtlich im Objektfeld. Dieses wird vom Feldwinkel 2w, der durch den Linsendurchmesser definiert ist, festgelegt. Betrachtet man nun Objektpunkte, die weiter von der optischen Achse entfernt sind, so wird ein Teil der Strahlen aus solchen Punkten – nach Durchlaufen der Blende – die Linse verfehlen. Dies gilt z.B. f¨ ur Punkt P2 im Teil b) der Abb. 6.3, wobei das gleiche optische System wie in a) vorliegt. P2 ist so gew¨ahlt, dass der Haupt- oder zentrale Strahl des B¨ undels gerade den oberen Rand der

154

6 Optische Instrumente

Abb. 6.3. Die Abbildungen a) und b) zeigen f¨ ur dasselbe optische System die Wirkung der Linsen¨ offnung als Feldblende. In a) wird der Punkt P ohne Einschr¨ ankung abgebildet. In b) tritt Vignettierung (Abschattung, geringere Helligkeit im Bildpunkt P2
) auf und der Punkt P3 wird nicht mehr abgebildet. Abb. c) ist ein Beispiel f¨ ur ein komplizierteres optisches System, wobei die durch die Hauptstrahlen und die Feldblende F B definierten Feldwinkel 2w bzw. 2w
in Objekt- und Bildraum dargestellt sind. In diesem Fall sind die Pupillen und Luken reelle Bilder der Apertur- und der Feldblende

6.1 Blenden, Pupillen und Luken

155

Linse verfehlt. Ungef¨ ahr die H¨ alfte des Strahlenb¨ undels geht verloren, dies bedeuahr halb so viel Licht empf¨angt wie die Punkte tet, dass der Bildpunkt P2
ungef¨ O
und P1
. Betrachtet man die Bildebene, so nimmt die Helligkeit mit zunehmender Entfernung von der optischen Achse ab. Diese teilweise Abschattung der ur außeraxiale Objektpunkte ¨außeren Teile eines Bildes durch eine Blende, die f¨ auftritt, nennt man Vignettierung. Starke Vignettierung erzeugt ein Bild eines punktf¨ ormigen Objektes, das astigmatisch aussieht. Schließlich w¨ahlen wir einen Objektpunkt P3 so, dass alle Strahlen, die durch die Blende gehen, die Linse vollst¨ andig verfehlen. Im betrachteten Fall wirkt die Linsen¨offnung als Feldblende. Wenn der Rand des Bildfeldes scharf begrenzt werden soll, ist es sinnvoll, die Feldblende in die Bildebene zu bringen, so dass sie mit dem Bild zugleich scharf ist. Ein einfaches Beispiel einer solchen Feldblende ist die Maske in der Filmebene einer Kamera. Die Begrenzung des Feldwinkels durch eine Blende ist sinnvoll, wenn z.B. die Abbildung durch achsenferne Strahlen wegen der Bildfehler mindere Qualit¨ at aufweist oder wenn die Vignettierung die Beleuchtungsst¨arke in den achsenfernen Teilen des Bildes reduziert. Eintrittsluke (EL) Die Eintrittsluke ist das Bild der Feldblende, das auf der Objektseite durch alle optischen Elemente, die links von ihr liegen, erzeugt wird. Die Eintrittsluke begrenzt den Feldwinkel des Systems. Wenn die Feldblende in der Bildebene liegt, findet man die Eintrittsluke in der konjugierten Objektebene. Die Eintrittsluke legt die Ausdehnung des Objektfeldes in vertikaler und horizontaler Richtung fest. Austrittsluke (AL) Die Austrittsluke ist das Bild der Feldblende von der Bildseite des optischen Systems her gesehen. In der Abb. 6.3 c sind die Feldblende und Ein- und Austrittsluke f¨ ur ein komplizierteres optisches System dargestellt, das aus zwei Linsen und zwei Aperturblenden besteht. Die erste Blende ist die Aperturblende des Systems, aus der die Eintrittspupille durch Abbildung mit der Linse L1 und die Austrittspupille durch Abbildung mit der Linse L2 erzeugt wird. Die zweite Blende ist die Feldblende mit den entsprechenden Bildern: der Eintrittsluke auf der linken Seite und der Austrittsluke auf der rechten Seite. Der Feldwinkel im Objektraum kann durch den Winkel 2w beschrieben werden, dessen Scheitel in der Eintrittspupille liegt und der durch die Eintrittsluke begrenzt wird. In gleicher Weise kann der Feldwinkel im Bildraum durch 2w
angegeben werden. Wir sehen, dass der Feldwinkel des optischen Systems durch die Eintrittsluke bzw. die Feldblende festgelegt wird. Da EL und AL beide Bilder der Feldblende F B sind, liegen sie in zueinander

156

6 Optische Instrumente

konjugierten Ebenen. Deshalb laufen die eingezeichneten Hauptstrahlen genau an den R¨ andern von Eintrittsluke, Feldblende und Austrittsluke vorbei. Zusammenfassung wichtiger Begriffe Helligkeit Aperturblende:

Die in einem optischen System physikalisch vor¨ handene Blende, die den Offnungswinkel des Strahlenb¨ undels begrenzt, das von einem axialen Objektpunkt ausgeht und noch durch das System verarbeitet wird.

Eintrittspupille:

Das Bild der Aperturblende von der Objektseite des optischen Systems aus gesehen.

Austrittspupille:

Das Bild der Aperturblende von der Bildseite des optischen Systems aus gesehen.

Feldwinkel Feldblende:

Die physikalisch vorhandene Blende, die den Feldwinkel 2w eines optischen Systems begrenzt. w ist der Winkel zwischen der optischen Achse und einem Hauptstrahl, der von einem Randpunkt des vom optischen System gerade noch abbildbaren Objektfeldes ausgeht und auf die Mitte der Eintrittspupille zielt.

Eintrittsluke:

Das Bild der Feldblende von der Objektseite des optischen Systems aus gesehen.

Austrittsluke:

Das Bild der Feldblende von der Bildseite des optischen Systems aus gesehen.

6.2 Prismen Ablenkung durch ein Prisma Die obere H¨ alfte einer bikonvexen sph¨ arischen Linse erzeugt in der paraxialen N¨ aherung ein Bild eines axialen Objektpunktes, wie das in Abb. 6.4 gezeigt ist. Wenn die Linsenoberfl¨ ache vom Rand der Linse aus vollst¨andig eben fortgesetzt wird, erh¨ alt man ein Prisma und die paraxialen Strahlen bilden keinen konjugierten Bildpunkt. Es ist trotzdem hilfreich, in einigen F¨allen ein Prisma als H¨alfte einer konvexen Linse anzusehen.

6.2 Prismen

157

Abb. 6.4. Die Strahlablenkung durch eine H¨ alfte einer bikonvexen Linse ist der Wirkung eines Prismas ¨ ahnlich

Im Folgenden leiten wir Beziehungen ab, die den Verlauf eines einzelnen Lichtstrahles durch ein Prisma beschreiben. Die Brechung an jeder Oberfl¨ache ist durch das Brechungsgesetz gegeben. Die St¨arke der Brechung ist abh¨angig von der Brechzahl des Prismenmaterials und deshalb auch eine Funktion der Wellenl¨ ange des einfallenden Lichtes. ¨ Die Anderung der Brechzahl und der Lichtgeschwindigkeit mit der Wellenl¨ange nennt man Dispersion, sie wird sp¨ater ausf¨ uhrlich behandelt. Zun¨achst nehmen wir monochromatisches (einfarbiges) Licht an, dem aufgrund des Prismenmaterials eine bestimmte Brechzahl zugeordnet ist. Die Winkel, die den Verlauf des Strahles durch das Prisma beschreiben, sind in Abb. 6.5 definiert.

Abb. 6.5. Verlauf eines beliebigen Strahls durch ein Prisma

Der Einfallswinkel und der Brechungswinkel an jeder Prismenoberfl¨ache sind relativ zu den Einfallsloten (Oberfl¨ achennormalen beim Ein- und Austrittspunkt) gemessen. Die Gesamtwinkelablenkung δ aufgrund der Brechung durch das gesamte Prisma ist die Summe der Winkel¨ anderungen δ1 und δ2 an der ersten und der zweiten Oberfl¨ ache. Das Brechungsgesetz ergibt f¨ ur die beiden Oberfl¨achen eines Prismas in Luft:

158

6 Optische Instrumente

n1 sin ε1 = n
1 sin ε
1 n2 sin ε2 = n
2 sin ε
2

mit n1 = 1, n
1 = n gilt mit n2 = n, n
2 = 1 gilt

sin ε1 = n sin ε
1 n sin ε2 = sin ε
2

(6.1) (6.2)

Aus der Zeichnung ergeben sich die folgenden geometrischen Beziehungen f¨ ur die Winkel: δ1 = ε
1 − ε1 δ2 = ε
2 − ε2 α = ε
1 − ε2

(6.3) (6.4) (6.5)

Benutzt man (6.1) bis (6.5) zur Programmierung eines Rechners, so kann man leicht die Reihe von Rechenoperationen durchf¨ uhren, die schließlich den Ablenkwinkel δ ergeben. Wenn der brechende Winkel und die Brechzahl n des Prismenmaterials gegeben sind, so erh¨ alt man durch stufenweise Berechnung eines Strahles mit dem Einfallswinkel ε1 folgende Beziehungen:   sin ε1
(6.6) ε1 = arcsin n δ1 = ε
1 − ε1 ε2 = ε
1 − α ε
2 = arcsin(n sin ε2 )

(6.3) (6.7) (6.8)

δ = δ1 + δ2 = ε
1 − ε1 + ε
2 − ε2 = α + ε
2 − ε1 oder mit

(6.9)

 ε
2 = arcsin(cos α sin ε1 − sin α n2 − sin2 ε1 )

Hieraus ergibt sich die Strahlablenkung δ: Strahlablenkung δ f¨ ur ein Prisma in Luft mit brechendem Winkel α, Brechzahl n, Einfallswinkel ε1 und Ausfallswinkel ε
2 δ = α + ε
2 − ε1

 = α − ε1 + arcsin(cos α sin ε1 − sin α n2 − sin2 ε1 )

(6.10)

¨ Die Anderung des Ablenkwinkels δ mit dem Einfallswinkel ist in Abb. 6.6 f¨ ur u r ε1 = α = 30◦ und n = 1,5 gezeigt. Wir sehen, dass die minimale Ablenkung f¨ 23◦ auftritt. Die Brechung durch ein Prisma bei minimaler Ablenkung δmin wird oft im Experiment eingesetzt. Wir sehen, dass f¨ ur minimale Gesamtablenkung der Lichtstrahl symmetrisch (s. Abb. 6.7) durch das Prisma verl¨auft. In diesem Fall vereinfachen sich die geometrischen Beziehungen mit ε
2 = −ε1 = −ε1 sym und ε
1 = −ε2 zu

6.2 Prismen

159

Abb. 6.6. Gesamtablenkung δ als Funktion des Einfallswinkels f¨ ur einen Lichtstrahl ur durch ein Prisma mit α = 30◦ und n = 1,5. Die minimale Gesamtablenkung tritt f¨ einen Einfallswinkel von ε1 = 23◦ auf

δmin = −2 ε1sym − 2 ε2

(6.11)

und aus (6.5) ergibt sich α = −2 ε2 . Damit erhalten wir: δmin = α − 2 ε1sym und aus (6.1) mit sin ε1sym = n sin α/2:   α α − δmin sin = n sin 2 2

(6.12)

(6.13)

bzw. Prisma, minimale Gesamtablenkung

δmin = α − 2 arcsin(n sin α/2)

(6.14)

160

6 Optische Instrumente

Aus (6.13) folgt: Bestimmung der Brechzahl n des Prismenmaterials aus der minimalen   Strahlablenkung δmin sin (α−δ2min )   (6.15) n= sin α2

Abb. 6.7. Verlauf eines Strahles durch ein Prisma f¨ ur minimale Gesamtablenkung

Gleichung (6.15) erm¨ oglicht die Berechnung der Brechzahl n des Prismenmaterials, wenn man den brechenden Winkel α und den Winkel δmin der minimalen Gesamtablenkung kennt. Eine wichtige N¨ aherung von (6.15) ergibt sich f¨ ur den Fall von kleinen Prismenwinkeln und entsprechend kleiner Gesamtablenkung. N¨ahert man den Sinus des Winkels durch den Winkel im Bogenmaß, so erh¨alt man: δmin ≈ −α (n − 1)

(6.16)

◦

F¨ ur einen brechenden Winkel von α = 15 betr¨agt die Abweichung aufgrund von (6.16) ungef¨ ahr 1% vom exakten Wert. F¨ ur α = 30◦ betr¨agt der Fehler 5%.

Abb. 6.8. Typische Dispersionskurve und daraus folgende Farbzerlegung von weißem Licht bei der Brechung durch ein Prisma

6.2 Prismen

161

Dispersion Gleichung (6.10) gibt die Gesamtablenkung eines monochromatischen Lichtstrahls durch ein Prisma als Funktion der Brechzahl an. Die Brechzahl h¨angt jedoch von der Wellenl¨ ange ab, deshalb ist es sinnvoll, f¨ ur diese Gr¨oße n(λ) zu schreiben. Dies bedeutet, dass die Gesamtablenkung δ von der Wellenl¨ange des einfallenden Lichtes bestimmt wird und verschiedene Wellenl¨angenkomponenten des einfallenden Lichtes durch die Brechung im Prisma voneinander getrennt wer = 0 und die Aufspaltung eines Lichtden. Eine typische Dispersionskurve dn dλ strahles in seine verschiedenen Farbkomponenten sind in Abb. 6.8 gezeigt. Wir sehen, dass k¨ urzere Wellenl¨ angen gr¨ oßere Brechzahlen und damit kleinere Lichtgeschwindigkeiten im Prismenmaterial aufweisen. Violettes Licht wird deshalb durch die Brechung im Prisma am st¨ arksten abgelenkt. Die Dispersion, die in der Kurve in Abb. 6.8 gezeigt ist, wird normale“ Dispersion genannt; sie ist ” materialabh¨ angig. Eine empirische Beziehung, die die Kurve approximiert, wurde von Cauchy angegeben. n(λ) = A0 +

A2 A3 + 4 + ... λ2 λ

(6.17)

Abb. 6.9. Charakteristische Strahlverl¨ aufe, die die Winkeldispersion als Differenz der Ablenkwinkel δF −δC f¨ ur zwei Fraunhofer-Wellenl¨ angen λF und λC sowie die Ablenkung δd f¨ ur die mittlere Wellenl¨ ange zeigen

wobei A0 , A2 , A3 , . . . empirische Konstanten (s. (27.41)) sind, die sich aus einem Fit an die Daten eines bestimmten Materials ergeben. Oft sind die beiden ersten Terme dieses Ausdrucks ausreichend, um eine vern¨ unftige N¨aherung zu ergeben. Dies bedeutet, dass man nur experimentelle Ergebnisse der Brechzahl f¨ ur zwei bestimmte Wellenl¨ angen ben¨ otigt, um A0 und A2 zu bestimmen und damit die Dispersionskurve zu n¨ ahern. F¨ ur die Steigung der Dispersionskurve ergibt sich dann aus Cauchys Formel dn/dλ ≈ −2A2 /λ3 . Die Dispersion wird in Kap. 27 ausf¨ uhrlicher behandelt.

162

6 Optische Instrumente

dδ Es ist wichtig, dass man die Winkeldispersion dλ (Farbzerlegung) von der dδ dδ dn Ablenkung δ unterscheidet. Es gilt: dλ = dn · dλ . Man erkennt, dass die Windδ und der Eigenschaft keldispersion beim Prisma von der geometrischen Gr¨oße dn dn des Prismenmaterials abh¨ a ngt. Obwohl Prismenmaterialien großer Brechzahl dλ n eine große Ablenkung bei gegebener Wellenl¨ange erzeugen, muss die Dispersion oder die Aufspaltung benachbarter Wellenl¨angen nicht entsprechend groß sein. Abbildung 6.9 zeigt den Unterschied. Historisch wurde die Dispersion durch die Brechzahlen bei drei Wellenl¨ angen in der Mitte und am Rand des sichtbaren Spektrums charakterisiert. Diese Wellenl¨angen nennt man Fraunhofer-Linien. Diese findet man als Absorptionslinien im solaren Spektrum, das J. v. Fraunhofer untersucht hat. Die Wellenl¨ angen der Linien sind zusammen mit den Brechzahlen f¨ ur gebr¨ auchliche Gl¨ aser in Tab. 6.1 gegeben. Die F - und C-Linien r¨ uhren von der Absorption durch Wasserstoffatome her; die D-Absorptionslinie kommt von der Absorption durch Natriumatome in der ¨außeren Atmosph¨are der Sonne. Da die gelbe Natrium-D-Linie ein Dublett ist (589,0 und 589,6 nm), wird in Berechnungen die mittlere Wellenl¨ ange 589,3 nm benutzt. Sp¨ater hat man die monochromatischere d-Linie des Heliums bei 587,56 nm eingesetzt, um das Zentrum des sichtbaren Spektrums zu charakterisieren. Heute wird oft die gr¨ une e-Quecksilberlinie bei 546,07 nm verwandt, die nahe am Maximum der Augenempfindlichkeit (s. Abb. 2.7) liegt.

Tabelle 6.1. Fraunhofer-Linien und Brechzahlen f¨ ur gebr¨ auchliche Gl¨ aser λ/nm

Linie

Brechzahl n Kronglas BK 7

Flintglas SF 12

486,1

F , blau, Wasserstoff

1,5224

1,7046

587,6

d, gelb, Helium

1,5168

1,6891

589,3

D, gelb, Natrium

1,5167

1,6889

656,3

C, rot, Wasserstoff

1,5143

1,6825

Abbesche Zahl νd

64,17

31,15

F¨ ur die weitere Rechnung beschr¨ anken wir uns auf ein schmales Prisma bei dem der brechende Winkel α klein ist, so dass sin α ≈ α gilt. Bei minimaler Strahlablenkung f¨ ur die d-Linie erh¨ alt man f¨ ur das Verh¨altnis der Winkelaufangen verglichen mit der Ablenkung δd spreizung δF − δC der F - und C-Wellenl¨ der d-Wellenl¨ ange, wie in Abb. 6.9 gezeigt, aus (6.16): nF − nC δF − δC = δd nd − 1

6.2 Prismen

163

Das Verh¨ altnis von mittlerer Ablenkung zu mittlerer Winkelaufspreizung nennt man Abbesche Zahl (s. Kap. 5): νd =

δd nd − 1 = δF − δC nF − nC

(6.18)

In Tabelle 6.1 betr¨ agt die Abbesche Zahl f¨ ur Kronglas BK 7 νd = 64,17 und f¨ ur Flintglas SF 12 νd = 31,15. Wegen des Nenners (nF − nC ) bedeutet die hohe klein) und die niedrige Abbesche Zahl f¨ ur das Kronglas niedrige Dispersion ( dn dλ dn Abbesche Zahl f¨ ur das Flintglas hohe Dispersion ( dλ groß). Prismenspektrometer Bei diesem Instrument benutzt man ein Prisma als dispersives Element, wobei der brechende Winkel des Prismas und die Winkelablenkung f¨ ur verschiedene Wellenl¨ angen bekannt sind. Seine wesentlichen Komponenten sind in Abb. 6.10 gezeigt. Das zu analysierende Licht wird auf einen engen Spalt S fokussiert, dann durch die Linse L kollimiert und durch das Prisma P gebrochen, das h¨aufig auf einem drehbaren Tisch befestigt ist. Lichtstrahlen bestimmter Wellenl¨ange verlassen das Prisma nach der Brechung parallel und k¨onnen durch ein Fernrohr, das auf Unendlich eingestellt ist, beobachtet werden.

Abb. 6.10. Komponenten eines Spektroskops, S = Eintrittsspalt, L = Kollimatorlinse, P = dispergierendes Prisma

Bei der Drehung des Fernrohres bez¨ uglich des Prismentisches beobachtet man bei richtig eingestellter Optik ein scharfes Bild des Spaltes f¨ ur jede Wellenl¨angenkomponente. Die Ablenkung δ wird relativ zur Fernrohrposition bei der Beobachtung des Spaltes ohne das Prisma gemessen. Benutzt man das Instrument f¨ ur Beobachtungen ohne die Winkelverschiebung der Spektrallinien zu messen, so nennt man es Spektroskop. Verwendet man zus¨ atzliche Instrumente, um das Spektrum aufzuzeichnen, z.B. einen fotografischen Film in der Brennebene eines Objektivs, so nennt man das Instrument einen Spektrographen. F¨ ur ein Prisma aus einer

164

6 Optische Instrumente

bestimmten Glassorte ist der nutzbare Wellenl¨angenbereich durch den Transmissionsbereich des Glases festgelegt. Um z.B. einen Spektrographen f¨ ur das Ultraviolette aufzubauen, verwendet man Prismen aus Quarz (SiO2 ) und Kalkspat (CaF2 ). Strahlung im infraroten Bereich kann man mit Prismen untersuchen, die aus Alkalihalogeniden (NaCl, KCl) oder Saphir (Al2 O3 ) bestehen. Farbauf l¨ osung Wenn die Wellenl¨ angendifferenz zwischen zwei Komponenten eines Lichtstrahles, der auf ein Prisma einf¨ allt, sehr klein wird, kann das Prisma diese schließlich nicht mehr aufl¨ osen. Die Aufl¨ osung eines Prismenspektrographen ist eine Kenngr¨oße, die wir in diesem Abschnitt bestimmen wollen. Betrachten wir zwei Spektrallinien auf dem fotografischen Film eines Prismenspektrographen. Diese Linien sind Bilder des Spaltes, das bedeutet, dass man f¨ ur eine genaue Wellenl¨angenmessung den Eintrittsspalt so schmal wie m¨ oglich einstellen sollte, vorausgesetzt es erfolgt immer noch eine ausreichende Belichtung des Filmes. F¨ ur kleine Spaltbreiten findet man, dass das Bild einer – exakt monochromatischen – Spektrallinie eine Breite aufweist, die von der Gr¨ oße der kollimierenden Linse oder der Gr¨oße der Prismenfl¨ ache abh¨ angt. Dieses Ph¨ anomen r¨ uhrt von der Beugung des Lichtes her, die wir in einem anderen Kapitel behandeln werden. Da die Linienbilder aufgrund der Beugung eine nicht weiter reduzierbare Breite haben, findet man bei abnehmenden ∆λ, dass sich die Linien so weit u ¨ berlappen, dass sie nicht mehr unterscheidbar sind. Man erreicht den Grenzwert f¨ ur die Aufl¨osung des Instrumentes. Keine weitere Vergr¨ oßerung der Bilder kann eine h¨ohere Aufl¨osung erzeugen, mit der man die nahe nebeneinander liegenden Spektrallinien unterscheiden kann. Betrachten wir Abb. 6.11 a, in der ein monochromatisches paralleles Lichtb¨ undel auf ein Prisma so einf¨ allt, dass es die Prismenoberfl¨ache vollst¨andig ausf¨ ullt. Aus dem Fermatschen Prinzip folgt, dass der Strahl F T W isochron (gleichzeitig) zu dem Strahl GX ist, da sie auf den gleichen ebenen Wellenfronten GF und XW beginnen und enden. Die Berechnung der optischen Wege ergibt F T + T W = GX = n1 b wobei b die Basisl¨ ange des Prismas und n1 die Brechzahl des Prismas bei der Wellenl¨ ange λ1 ist. Wenn eine zweite benachbarte Wellenl¨angenkomponente λ2 mit λ2 − λ1 = ∆λ im einfallenden Strahl vorhanden ist, geh¨ort zur Komponente λ2 die Brechzahl n2 = n1 − ∆n. Bei normaler Dispersion ist ∆n eine kleine positive Gr¨ oße. Die auslaufenden Wellenfronten der beiden Komponenten, die in Abb. 6.11 b gezeigt sind, sind also durch eine kleine Winkeldifferenz ∆δ getrennt und werden deshalb in verschiedenen Punkten der Brennebene des Objektives fokussiert. Das Fermatsche Prinzip ergibt angewandt auf die zweite Komponente λ2 :

6.2 Prismen

165

Abb. 6.11. Konstruktionsdiagramme zur Bestimmung der chromatischen Aufl¨ osung eines Prismas. a) Brechung von monochromatischem Licht. b) Brechung von zwei Wellenl¨ angenkomponenten, die sich um ∆λ unterscheiden

F T + T W
= F T + T W − ∆s = (n1 − ∆n) b Subtrahiert man die beiden letzten Gleichungen, so erh¨alt man ∆s = b ∆n oder

 ∆s = b

dn dλ

(6.19)

 ∆λ

(6.20)

Gleichung (6.20) zeigt den Zusammenhang zwischen Wegl¨angendifferenz ∆s und Wellenl¨ angendifferenz ∆λ. Man kann auch die Ablenkungsdifferenz einf¨ uhren    ∆s b dn ∆δ = = ∆λ (6.21) h h dλ wobei h die Strahlbreite ist. Wir wenden nun das Rayleigh-Kriterium an, welches den Grenzwert der Aufl¨ osung f¨ ur beugungsbegrenzte Bilder liefert. Dieses Kriterium wird in der sp¨ ateren Behandlung der Beugung erl¨autert und angewendet, wobei gezeigt wird, dass die minimale Winkeldifferenz ∆δ zweier Wellenfronten, bei der die Bilder gerade aufl¨ osbar sind, gegeben ist durch:

166

6 Optische Instrumente

λ h Kombiniert man (6.21) und (6.22), so erh¨ alt man    λ b dn = ∆λ h h dλ ∆δ =

(6.22)

oder f¨ ur die minimale unterscheidbare Wellenl¨angendifferenz: λ ∆λmin = dn b dλ Man definiert nun das Aufl¨osungsverm¨ogen Prisma

A=

   dn  λ = b   ∆λmin dλ

(6.23)

(6.24)

wobei (6.23) benutzt wird. Bei vorgegebener Dispersion aufgrund der Glassorte kann man die Aufl¨ osung eines Prismas durch Vergr¨oßerung der Basis b erh¨ohen. Diese Technik f¨ uhrt bald zu sehr großen und schweren Prismen. dn/dλ kann man z.B. aus der Cauchy-Formel (6.17) und den Daten des Prismenmaterials berechnen. Beispiel 6.1 Auf l¨ osungsverm¨ ogen Prisma Bestimmen Sie das Aufl¨ osungsverm¨ ogen und die minimal aufl¨osbare Wellenl¨ angendifferenz f¨ ur ein Prisma der Basisl¨ange 5 cm, das aus Flintglas besteht. L¨ osung Wir k¨ onnen mit Hilfe von Tab. 6.1 den Mittelwert der Dispersion f¨ ur λ = 550 nm n¨ aherungsweise berechnen: 1,7046 − 1,6891 nF − nd ∆n = = = −1,5271 · 10−4 nm−1 ∆λ λF − λd 486,1 nm − 587,6 nm Damit ergibt sich das Aufl¨ osungsverm¨ogen zu:    dn  A = b   = 0,05 · 109 nm · 1,5271 · 10−4 nm−1 = 7636 dλ Die minimale aufl¨ osbare Wellenl¨ angendifferenz im Gebiet um 550 nm ist damit: ∆λmin =

λ 550 nm = ≈ 0,072 nm = 72 pm A 7636

6.2 Prismen

167

Obwohl Gitterspektrographen eine h¨ ohere Aufl¨osung erreichen, nutzen sie im Allgemeinen den angebotenen Strahlungsfluss weniger gut. Außerdem erzeugen sie f¨ ur dieselbe Wellenl¨ ange Bilder h¨ oherer Beugungsordnung, was sehr st¨orend ist, wenn man eine Quelle mit einer breiten spektralen Verteilung untersucht. Die Beugungsbilder verschiedener Ordnung u ¨ berlappen dann, und die Wellenl¨ange ist nicht unmittelbar zuzuordnen. Gitterspektrographen werden sp¨ater beschrieben. Prismen f¨ ur spezielle Anwendungen Prismen lassen sich so kombinieren, dass man insgesamt ein achromatisches Verhalten bekommt. Dies bedeutet, dass die Winkeldispersion f¨ ur zwei gegebene Wellenl¨ angen verschwindet und die Ablenkung bestehen bleibt. Andererseits kann man ein Geradsichtprisma verwenden, um verschwindende Ablenkung f¨ ur eine bestimmte Wellenl¨ ange zu erreichen, wobei die Winkeldispersion erhalten bleibt. Prinzipskizzen dieser Kombinationen zweier Prismen sind in Abb. 6.12 gezeigt. Die Anordnung von Prismen in Abb. 6.12 a ist so gew¨ahlt, dass ein Prisma die Winkeldispersion des anderen gerade aufhebt, man kann aber auch die Prismen so zusammensetzen, dass man doppelte Winkeldispersion erreicht.

Abb. 6.12. Achromatisches und nichtablenkendes Prisma

In Spektrometern verwendet man Prismen, die f¨ ur unterschiedliche Wellenl¨ angen – bei Drehung des Prismas – eine konstante Ablenkung erzeugen. Ein Beispiel ist das Pellin-Broca-Prisma, das in Abb. 6.13 dargestellt ist. Ein kollimiertes Lichtb¨ undel tritt in das Prisma durch die Fl¨ache AB ein und verl¨asst das uglich der Prisma durch die Fl¨ ache AD, wobei der austretende Strahl um 90◦ bez¨ Richtung des eintretenden Strahles abgelenkt ist. Die gestrichelten Linien sind nur hinzugef¨ ugt, um die Wirkung des Prismas zu verstehen. Ein Teilstrahl vorgegebener Wellenl¨ ange durchl¨ auft das Prisma mit minimaler Ablenkung, wobei die Lichtstrahlen innerhalb des Prismas parallel zur Prismenbasis AC verlaufen. An der Fl¨ ache BC tritt Totalreflexion auf, die den Lichtstrahl in den Prismenabschnitt ADC weiterleitet, wo die weitere Ausbreitung wieder unter der Bedingung

168

6 Optische Instrumente

Abb. 6.13. Pellin-Broca-Prisma f¨ ur konstante Ablenkung

der minimalen Ablenkung erfolgt. Da der Prismenabschnitt BEC nur als Spiegel dient, verl¨ auft der Strahl mit minimaler Ablenkung durch die Abschnitte AEB und ADC, die zusammen ein Prisma mit einem brechenden Winkel von 60◦ ergeben. Die Spektrallinie wird im Brennpunkt F
der Linse L registriert. Das Prisma wird auf dem Prismentisch gedreht (um eine Achse, die senkrecht zur Papieroberfl¨ ache steht). Bei der Rotation tritt f¨ ur verschiedene Wellenl¨angen im einfallenden Strahl die Bedingung minimaler Ablenkung auf, was einen Brennpunkt in F
ergibt. Die Drehung des Prismas kann in Winkelgraden oder noch g¨ unstiger in Wellenl¨ angen kalibriert werden. Reflektierende Prismen Prismen, bei denen Totalreflexion auftritt, werden h¨aufig in optischen Systemen benutzt, um die Richtung der optischen Achse oder die Orientierung von Bildern zu a urlich k¨ onnen Prismen alleine keine Bilder erzeugen. Wenn man sie ¨ndern. Nat¨ in Verbindung mit abbildenden Elementen benutzt, kollimiert man das Licht vor dem Eintritt in das Prisma und l¨ asst es senkrecht auf die Prismenoberfl¨ache einfallen, um prismatische Bildfehler zu vermeiden. Man kann statt Reflexionsprismen auch ebene Spiegel einsetzen, aber die reflektierenden Prismenoberfl¨achen sind leichter vor Verschmutzung zu sch¨ utzen, und die Totalreflexion ergibt einen h¨oheren Reflexionsgrad. Ein weiterer, wichtiger Vorteil ist die mechanische Stabilit¨ at der Winkel von Prismenoberfl¨ achen.

6.2 Prismen

169

¨ Abb. 6.14. Anderung der Bildorientierung durch Prismen. a) Rechtwinkliges Prisma. b) Dove-Prisma. c) Penta-Prisma mit pentagonaler Schnittfl¨ ache d) Porro-Prisma.

170

6 Optische Instrumente

6.3 Die Kamera Der einfachste Typ einer Kamera ist die Lochkamera (s. Abb. 6.15 a). Lichtstrahlen eines Objektes treten durch ein kleines Loch in einen lichtdichten Kasten ein und treffen auf einen fotografischen Film. Vor dem kleinen Loch kann noch eine einfache Anordnung, die als Verschluss dient, angebracht sein, z.B. ein St¨ uck schwarzes Klebeband. Dann wird ein Bild des Gegenstandes auf die r¨ uckw¨artige Seite des Kastens projiziert, auf der sich der Film befindet. Wie schon vorher festgestellt, wird ein idealer Bildpunkt so definiert, dass jeder Strahl eines Objektpunktes, der durch das optische System verarbeitet wird, den konjugierten Bildpunkt trifft. Eine Lochkamera fokussiert nicht und nutzt nur wenige Strahlen, die von einem Objektpunkt ausgehen. Wegen des geringen Durchmessers des Loches, wird jedoch jeder Punkt des Bildes nur durch Strahlen getroffen, die ann¨ ahernd von demselben Punkt des Objektes ausgehen, wie in Abb. 6.15 b gezeigt. Von jedem Objektpunkt gehen B¨ undel von Strahlen aus, die durch das Loch begrenzt sind und deshalb ein kleines kreisf¨ormiges Bild auf ¨ dem Schirm erzeugen, so wie in Abb. 6.15 a zu sehen. Die Uberlappung dieser Kreise als Bilder der konjugierten Objektpunkte ergeben ein Bild, dessen Sch¨arfe vom Durchmesser jedes einzelnen Kreises abh¨angt. Wenn die Durchmesser zu groß sind, erh¨ alt man ein unscharfes Bild. Reduziert man die Gr¨oße des Loches, dann wird das Bild sch¨ arfer, bis eine bestimmte Gr¨oße erreicht ist. Verkleinert man den Durchmesser weiter, dann werden die Bilder jedes Objektpunktes aufgrund der Beugung wieder breiter und das Bild verschwimmt. Im Experiment findet man, dass die g¨ unstigste Lochgr¨ oße ungef¨ahr 0,5 mm betr¨agt, wenn der Abstand zwischen Loch und Filmoberfl¨ ache ungef¨ahr 25 cm ist. Das Loch sollte ideal kreisf¨ ormig in eine m¨ oglichst d¨ unne Folie gestanzt werden. Ein g¨ unstiger Aufbau ist ein Loch in einer Aluminiumfolie, die durch eine große Blende getragen wird. Der Hauptvorteil einer Lochkamera besteht darin, dass man nicht fokussieren, also die Brennweite der Linse den gegebenen Bild- und Gegenstandsweiten anpassen muss. Damit werden alle Gegenst¨ande unabh¨angig von ihrem Abstand zur Kamera auf dem Schirm scharf abgebildet, die Sch¨arfentiefe wird sehr groß. Der Nachteil dieser Kamera besteht darin, dass das Loch nur wenig Licht durchl¨ asst und deshalb die Belichtungszeiten sehr lang sind. Diese Beschr¨ankung wird jedoch heute durch den Einsatz empfindlicher CCD-Empf¨anger ausgeglichen, die es erlauben, die Lochkamera f¨ ur technische Anwendungen einzusetzen. Die Lochkamera ist nicht f¨ ur die Abbildung bewegter Objekte geeignet. Die Entfernung vom Loch zur Bildebene, deren Bildformat als Feldblende wirkt, beeinflusst die Sch¨ arfe des Bildes und den Feldwinkel. Verkleinert man die Entfernung zur Bildebene, so wird der Feldwinkel und bei gleicher Entfernung zum Objekt das Objektfeld gr¨ oßer. Bei unver¨ andertem Bildformat wird dann die Gr¨oße eines bestimmten Objektes in der Szene abnehmen. Die Bildkreise werden ebenfalls kleiner.

6.3 Die Kamera

171

Abb. 6.15. Abbildung durch eine Lochkamera

Abb. 6.16. Einfache Kamera

Vergr¨ oßert man das Loch der Kamera so weit, dass man eine Sammellinse einsetzen kann, dann erh¨ alt man die grundlegenden Elemente einer gew¨ohnlichen Kamera (s. Abb. 6.16). Vorteile dieser Modifikation sind zum einen eine Erh¨ohung der Helligkeit des Bildes und zum anderen eine Erh¨ohung der Bildsch¨arfe. Der ¨ Offnungswinkel des Strahlenb¨ undels, das von einem Objektpunkt ausgeht, ist wegen des gr¨ oßeren Durchmessers der Linse entsprechend gr¨oßer, dies erh¨oht die Beleuchtungsst¨ arke in der Bildebene. Der Abstand der Linse zur Bildebene ist nun durch Objektweite und die Bildbrennweite der Linse festgelegt. F¨ ur weit entfernte Objekte liegt die Bildebene ann¨ahernd in der Brennebene der Linse. F¨ ur n¨ ahere Objekte liegt das Bild weiter von der Linse entfernt. Da die Bildebene im Allgemeinen durch die Filmebene festgelegt ist, erzeugt man ein schar¨ fes Bild durch Anderung des Abstandes der Linse vom Film, dies bedeutet das Fokussieren (Scharfstellen) des Kameraobjektivs. Die Extrema der m¨oglichen Linsenpositionen bestimmen die kleinste und gr¨oßte Entfernung eines Objektes,

172

6 Optische Instrumente

die die Kamera verarbeiten kann. Nahaufnahmen werden dadurch erm¨oglicht, dass man die Linse durch eine andere mit k¨ urzerer Brennweite ersetzt oder eine Vorsatzlinse verwendet. Die Bildbrennweite des Objektivs (Linsenkombination) bestimmt bei festgelegtem Filmabstand zum Objektiv und Bildformat des Filmes das Objektfeld (bzw. Feldwinkel = Sehwinkel ), das die Kamera verarbeitet. Im Allgemeinen ist der Abbildungsmaßstab proportional zur Brennweite des Objektivs. Ein Weitwinkelobjektiv hat eine kurze Brennweite und einen großen Feldwinkel. Ein Teleobjektiv ist ein System großer Brennweite, das einen großen Abbildungsmaßstab (hohe Vergr¨ oßerung) auf Kosten des Feldwinkels erm¨oglicht. Beim Teleobjektiv vermeidet man eine entsprechende große Baul¨ange der Kamera indem man eine Positivlinse im gewissen Abstand von einer zweiten Negativlinse anordnet, so dass die Kombination weiterhin eine Sammellinse darstellt. Dabei ist der Abstand der Frontlinse zur Filmebene geringer als die Brennweite, d.h. der bildseitige Hauptpunkt H
liegt vor der Frontlinse. Ein weiteres wichtiges Element der Kamera ist die Blende, die den Lichtstrom, der den Film erreicht, bestimmt. In den meisten Kameras ist diese Blende ver¨ anderlich und mit der Belichtungszeit gekoppelt, um insgesamt die Belichtung des Filmes zu bestimmen. In den nachfolgenden Betrachtungen wird als Objekt ein isotroper Strahler mit großer Abstrahlfl¨ache vorausgesetzt. Die Bestrahlungsst¨ arke (Intensit¨ at) in der Bildebene ist proportional zur Fl¨ache der Blende und umgekehrt proportional zur Fl¨ ache des Bildes. In Abb. 6.17 wird eine kreisf¨ ormige Blende angenommen, die den Durchmesser D eines parallelen Strahlenb¨ undels definiert, das von der Linse verarbeitet werden kann. Das Licht soll homogen u ¨ber eine entsprechende kreisf¨ormige Fl¨ache des Durchmessers d in der Bildebene verteilt sein, dann gilt f¨ ur die Bestrahlungsst¨ arke: Ee ∼

Fl¨ ache des durchgelassenen Strahlenb¨ undels D2 = 2 Fl¨ ache des Bildes d

(6.25)

Abb. 6.17. Bestrahlungsst¨ arke in der Bildebene. Die Blende (nicht gezeigt) bestimmt den nutzbaren Durchmesser D der Linse

6.3 Die Kamera

173

Wie in Abb. 6.17 zu sehen, ist die Bildgr¨ oße proportional zur Bildbrennweite der Linse, damit ergibt sich:  Ee ∼

D f


2 (6.26)

F¨ ur optische Systeme mit großer, frei bestimmbarer Objektweite (Fernrohr- und Fotoobjektive) spezifiziert man die Blendenzahl

k≡

f
DEP

(6.27)

wobei DEP der Durchmesser der Eintrittspupille ist. Die Blendenzahl nimmt also mit kleiner werdender Eintrittspupille zu. Bei der Kamera verwendet man nach ¨ DIN 4521 die relative Offnung 1/k, statt z.B. k = 5,6 ergibt sich 1 : 5,6. Die Bestrahlungsst¨ arke ist: 1 (6.28) k2 In vielen Kameras benutzt man Blenden¨ offnungen, durch die man die Bestrahlungsst¨ arke um Faktoren von 2 ¨ andern kann. Die entsprechenden Blendenzahlen √ bilden dann eine Folge, wobei aufeinanderfolgende Glieder im Verh¨altnis 1 : 2 stehen (s. Tab. 6.2). Gr¨ oßere Blendenzahlen entsprechen kleineren Beleuchtungsst¨ arken. Da die Gesamtbelichtung des Filmes durch das Produkt aus Strahlungsfluss und Belichtungszeit gegeben ist, kann man bei gegebener Beleuchtung verschiedene Belichtungszeiten und Blenden w¨ahlen. Wird eine fotografische Aufnahme mit einem bestimmten Film – dessen Empfindlichkeit durch die DINoder die ASA-Zahl beschrieben wird – mit einer Belichtungszeit von 1/50 Sekunde und einer Blendenzahl k = 8 gemacht, so kann man statt dessen auch eine Belichtungszeit von 1/100 Sekunde und eine Blendenzahl von k = 5,6 benutzen, was dieselbe Gesamtbelichtung ergibt. F¨ ur die Wahl von Belichtungszeit und Blendenzahl sind noch andere Kriterien wichtig. Die Belichtungszeit muss kurz genug sein, um eine bewegte Szene ohne Unsch¨ arfe aufnehmen zu k¨ onnen. Die Wahl der Blendenzahl k ¨andert eine weitere Eigenschaft des Bildes, die Sch¨arfentiefe. Um diese Gr¨oße pr¨azise zu definieren, benutzen wir Abb. 6.18, die einen axialen Objektpunkt in der Entfernung a0 (Einstellentfernung am Objektiv) von einer Linse zeigt, der in einen Bildpunkt im Abstand a
0 abgebildet wird. Alle Objektpunkte der Objektebene werden so exakt in die Bildebene abgebildet, wenn man von Linsenfehlern und Beugung absieht. Objektpunkte, die n¨ aher zur Linse oder weiter entfernt liegen, ergeben Bilder, die entweder weiter entfernt oder n¨aher zur Bildebene abgebildet werden. Deshalb zeigt ein ebener Film, der sich in der Entfernung a
0 von der Linse befindet, nicht nur scharfe Bildpunkte, sondern auch unscharfe Bildscheibchen Ee ∼

174

6 Optische Instrumente

(Kreisfl¨ achen), abh¨ angig von der Entfernung der Objektpunkte zur Linse. Bei kleinem Durchmesser der Unsch¨ arfekreise ist wegen des begrenzten Aufl¨osungsverm¨ ogens des Auges das Bild bei Betrachtung noch ausreichend scharf. Geht man vom Aufl¨ osungsverm¨ ogen des Auges (s. Kap. 7, ca. 3 Winkelminuten) aus, so erh¨ alt man z.B. f¨ ur das Bildformat 24 mm × 36 mm bei Betrachtung im Abstand ur den zul¨assigen der Formatdiagonalen einen Durchmesser von u
= 0,03 mm f¨ Unsch¨ arfekreis. Tabelle 6.2. Standardisierte Blendenzahlen Blendenzahl k

k2

relative Bestrahlungsst¨ arke Ee ∼ k−2

1

1

1

1,4

2

1/2

2

4

1/4

2,8

8

1/8

4

16

1/16

5,6

32

1/32

8

64

1/64

11

128

1/128

16

256

1/256

22

512

1/512

Zur Berechnung der vorderen und hinteren Grenzabst¨ande av und ah , bei denen die Unsch¨ arfe gerade den maximal zul¨ assigen Wert von u
erreicht, denken uck in die Obwir uns in Abb. 6.18 den Unsch¨ arfekreis-Durchmesser u
als u zur¨ jektebene in der Einstellentfernung a0 abgebildet. Mit der Abbildungsgleichung und dem Strahlensatz (s. Abb. 6.18) ergibt sich

und aus

β
=

f
u
= a0 + f
u

(6.29)

av =

a0 DEP DEP − u

(6.30)

−av DEP = −u av − a0

6.3 Die Kamera

175

Abb. 6.18. Strahlendiagramm zur Verdeutlichung der Sch¨ arfentiefe. Objekt- und Bildraum werden nicht im gleichen Maßstab gezeigt

Verwendet man noch k = f
/DEP und ersetzt den Unsch¨arfekreis-Durchmesser u durch u
, so erh¨ alt man f¨ ur die Grenzen des Sch¨arfentiefebereichs: Sch¨arfentiefebereich: a0 f
2 f
2 − u
k(a0 + f
) a0 f
2 ah =
2 f + u
k(a0 + f
) av =

vordere Grenze hintere Grenze

(6.31) (6.32)

F¨ ur viele Kameraaufnahmen gilt f  |a0 | mit a
≈ f
und man kann (6.31) und (6.32) vereinfachen zu 1 u
k 1 = −
2 av a0 f

und

1 1 u
k = +
2 ah a0 f

1 1 2 + = , und f¨ ur ah = −∞ erh¨alt man av = a0 /2. Dies av ah a0 bedeutet, dass f¨ ur einen Sch¨ arfetiefebereich, der bis Unendlich reicht, die vordere Sch¨ arfegrenze bei der halben Einstellentfernung liegt (Anwendung im Fixfokusobjektiv). Die meisten Kameras sind mit einer Sch¨arfetiefenskala versehen, von der die entsprechenden Werte von |ah | und |av | abgelesen werden k¨onnen, wenn man die Einstellentfernung a0 und die Blendenzahl k gew¨ahlt hat. Wie sich aus (6.31) Dann ergibt sich

176

6 Optische Instrumente

und (6.32) ergibt, ist der Sch¨ arfentiefebereich f¨ ur kleine Blenden¨offnungen (große k-Zahl), kurze Bildbrennweiten und große Gegenstandsentfernungen groß. An ein Kameraobjektiv werden hohe Anforderungen gestellt. Das Objektiv muss einen großen Feldwinkel haben, der in der Gr¨oßenordnung von 35◦ bis ur ein Normalobjektiv liegt und bis zu 120◦ f¨ ur ein Weitwinkelobjektiv 65◦ f¨ sein kann. Kameraobjektive m¨ ussen auch lichtstark sein, d.h. eine große rela¨ tive Offnung aufweisen. Das Bild muss u ¨ ber die ganze Ebene des Filmes frei von Abbildungs- und Farbfehlern sein. Da eine Korrektur eines Abbildungsfehlers h¨ aufig eine Verschlechterung des Bildes aufgrund eines anderen Fehlers bewirkt, sind die meisten Objektive Kompromisse in der Linsenauslegung. Der Aufwand f¨ ur den Entwurf eines Objektivs, das dem Lastenheft entspricht, ist durch den Einsatz von Rechnerprogrammen stark verringert worden. Die Forderungen an ein fotografisches Objektiv k¨ onnen selten durch eine einzelne Linse erf¨ ullt werden. In Abb. 6.19 a sind Objektive unterschiedlicher Qualit¨at dargestellt: von der Einzelelement-Meniskenlinse mit Vorderblende, die man manchmal noch in einer sehr einfachen Kamera findet, bis zum vierlinsigen Tessar-Objektiv. Der Einsatz von symmetrischen Linsensystemen relativ zur Blende ist ein Kennzeichen guter Objektive. Bei solchen Anordnungen kann eine Linsengruppe die Fehler der anderen aufheben, so dass die Qualit¨ at des Bildes durch die Vermeidung von sph¨ arischen Abbildungsfehlern, Astigmatismus, Koma, Verzeichnung und Farbfehlern erh¨ oht wird. Das viellinsige Objektiv einer 35 mm-Kamera ist in einem Schnittbild gezeigt (s. Abb. 6.19 b).

6.4 Lupen und Okulare Die Lupe ist im Wesentlichen eine Positivlinse, die man z.B. verwendet, um Kleingedrucktes zu lesen, man nennt sie auch Leseglas. In der Regel benutzt man eine einfache konvexe Linse, aber es wird auch ein Dublett oder ein Triplett eingesetzt, was eine wesentlich h¨ ohere Bildqualit¨ at bei hohen Vergr¨oßerungen oder großen Durchmessern ergibt. Abbildung 6.20 zeigt das Arbeitsprinzip einer einfachen Lupe. Ein kleines Objekt der Gr¨ oße y befindet sich in Abb. 6.20 a in der Bezugsweite aS = −25 ur das Auge. cm. Bei dieser Lage erscheint das Objekt unter dem Sehwinkel wS f¨ Um ein gr¨ oßeres Bild auf der Netzhaut zu erzeugen, benutzt man die Lupe und das Objekt kann nun in einen kleineren Abstand (s. Abb. 6.20 b) gebracht werden, wobei es gerade innerhalb der Bildbrennweite der Linse liegt. In dieser Lage sieht das Auge ein virtuelles Bild unter einem gr¨oßeren Winkel wS
. Die Winkelvergr¨ oßerung Γ eines optischen Instrumentes, das direkt mit dem Auge zusammenwirkt, definiert man als Winkelvergr¨oßerung

Γ
=

tan wS
, tan wS

(6.33)

6.4 Lupen und Okulare

177

Abb. 6.19. a) Aufbau von Kameraobjektiven. b) Schnittbild einer 35 mm-Kamera, die ein viellinsiges Objektiv aufweist

178

6 Optische Instrumente

Abb. 6.20. Vergr¨ oßerung der Lupe. Sehwinkel a) ohne und b) mit Lupe

wobei wS der Sehwinkel ohne und wS
der Sehwinkel mit Instrument ist. y

ur die Damit erh¨ alt man aus Abb. 6.20 mit tan wS = −y aS und tan wS = eA −a
L f¨ Vergr¨ oßerung einer Lupe Γ
= −

y
−aS · y eA − a
L

hieraus folgt mit dem Abbildungsmaßstab β
= chung: Γ
= −

y
y

(6.34) =

a
L a

und der Abbildungsglei-

f
− a
L aS · eA − a
L f


(6.35)

Betrachtet man das Bild im Unendlichen, so ist a
L = −∞ Lupenvergr¨oßerung

ΓL
= −

aS −0,25 m 0,25 m =− =

f f f


(6.36)

6.4 Lupen und Okulare

179

Im anderen Extrem betrachtet man das virtuelle Bild in der Bezugssehweite ur das auf Nahsehen des Auges und damit ist a
L − eA = aS und man erh¨alt f¨ akkommodierte Auge die Vergr¨ oßerung ΓL
= 1 −

aS + eA eA = ΓL
+ 1 −

f f

(6.37)

Beispiel 6.2 Vergr¨ oßerung Lupe Eine Lupe hat die Bildbrennweite f
= 20 cm. Wie groß ist die Lupenvergr¨ oßerung und die Vergr¨ oßerung bei Akkommodation auf die Bezugssehweite ur die Augenabst¨ ande eA1 = 10 cm und eA2 = 0 cm? aS f¨ L¨ osung Gleichung (6.36) ergibt f¨ ur die Lupenvergr¨oßerung ΓL
= −

aS −0,25 m =− = 1,25
f 0,2 m

ur die Bei Nah-Akkommodation erh¨ alt man mit (6.37) f¨ ur eA1 = 10 cm f¨ Vergr¨ oßerung: Γ
= 1 −

−0,25 m + 0,1 m = 1,75 0,2 m

und f¨ ur eA2 = 0 cm: Γ
= 1 −

−0,25 m = 2,25 0,2 m

Die tats¨ achliche Vergr¨ oßerung h¨ angt vom jeweiligen Beobachter ab, der die Lupe solange bewegen wird, bis er das virtuelle Bild bequem sehen kann. F¨ ur kleine Brennweiten unterscheiden sich (6.36) und (6.37) nur unerheblich; man benutzt zur Angabe der Vergr¨ oßerung h¨ aufig allein (6.36). Einfache Lupen haben Vergr¨ oßerungen im Bereich von 2× bis 10×, beim Entwurf der Linsen f¨ ur hohe Vergr¨ oßerungen muss man jedoch die Abbildungs- und Farbfehler korrigieren. Benutzt man Lupen, um das Auge bei der Betrachtung von Bildern zu unterst¨ utzen, die durch ein weiteres optisches System erzeugt werden, so nennt man diese Okulare. Zum Beispiel dient das reelle Bild, das durch die Objektivlinse eines Mikroskops entworfen wird, als Objekt, das man durch das Okular betrachtet, wobei die Vergr¨ oßerung des Okulars zur Gesamtvergr¨oßerung des Instruments beitr¨ agt. Um qualitativ hochwertige Abbildungen zu erhalten, benutzt man Okulare, die korrigiert sind, vor allen Dingen reduziert man den Farbquerfehler (s. Kap. 5). Hierzu verwendet man meist zwei Linsen. Wir haben bereits fr¨ uher ge
zeigt, dass die wirksame Brennweite f (relativ zu den Hauptebenen gemessen)

180

6 Optische Instrumente

von zwei d¨ unnen Linsen, die in dem Abstand e voneinander entfernt sind, gegeben ist durch: 1
fOk

=

1 1 e
+
−

f1 f2 f1 f2

(6.38)

wobei f1
und f2
die Bildbrennweiten der einzelnen Linsen sind. Mit der Formel f¨ ur die Bildbrennweite d¨ unner Linsen erh¨ alt man bei gleicher Glassorte der Linsen und Luft als Umgebungsmedium 1 = (n − 1) f1
und 1 = (n − 1) f2






1 1 − r11 r12

1 1 − r21 r22

 ≡ (n − 1) K1

(6.39)

≡ (n − 1) K2

(6.40)



Die Ausdr¨ ucke in Klammern enthalten die Kr¨ ummungsradien der Linsenoberurzt. Setzt man (6.39) fl¨ ache und sind durch die Konstanten K1 und K2 abgek¨ und (6.40) in (6.38) ein, so erh¨ alt man: 1
fOk

= (n − 1)K1 + (n − 1)K2 − e(n − 1)2 K1 K2

(6.41)

Um den Farbquerfehler zu korrigieren, ist es erforderlich, dass die Bildbrennweite der Linsenkombination unabh¨ angig von der Brechzahl wird oder
d (1/fOk ) =0 dn

Aus (6.41) erh¨ alt man:
) d (1/fOk = K1 + K2 − 2eK1 K2 (n − 1) = 0 dn Diese Bedingung l¨ asst sich erf¨ ullen, wenn die beiden Linsen im Abstand ec angeordnet sind, wobei:   1 1 1 ec = + 2 K1 (n − 1) K2 (n − 1)

Wegen (6.39) und (6.40) gilt dann: Bedingung f¨ ur verschwindenden Farbquerfehler

ec =

1
(f + f2
) 2 1

(6.42)

6.4 Lupen und Okulare

181

Diese Bedingung gilt unabh¨ angig von der Linsenform. Durch die Wahl geeignet gekr¨ ummter Linsenoberfl¨ achen kann man noch andere Abbildungsfehler korrigieren1 .

Abb. 6.21. Huygenssches Okular

Abb. 6.22. Ramsden-Okular

Sowohl das Huygenssche als auch das Ramsden-Okular (s. Abb. 6.21 und 6.22) sind entsprechend (6.42) konzipiert. Bei beiden Systemen sind plankonvexe Linsen im Abstand der H¨ alfte der Summen der Bildbrennweiten angeordnet. In Abb. 6.21 betr¨ agt die Bildbrennweite der Feldlinse F L ungef¨ahr das 1,7-fache der 1

Der Farbl¨ angsfehler bleibt, weil die Hauptebenen des Systems nicht zusammenfallen. Siehe Abb. 5.14 und die Diskussion hierzu.

182

6 Optische Instrumente

Bildbrennweite der Augenlinse AL. Das prim¨are Bild, das das Okular verarbeitet, ur die Feldlinse. Die Feldlinse entwirft ist in diesem Fall das virtuelle Objekt (y
) f¨ ein reelles Bild (y

), das man durch die Augenlinse betrachtet. Wenn das reelle Bild in die Brennebene der Augenlinse f¨ allt, betrachtet man das vergr¨oßerte Bild im Unendlichen, wobei sich das Auge am Ort der Austrittspupille befindet. Wir sehen, dass das Huygenssche Okular nicht als gew¨ohnliche Lupe genutzt werden kann. F¨ ur quantitative Messungen mit dem Okular verwendet man ein Fadenkreuz oder eine Strichplatte mit einem Maßstab. Damit diese Messvorrichtungen in die Bildebene des Messobjektes scharf abgebildet werden, muss man das Fadenkreuz in der Brennebene der AL anordnen. Dies erreicht man, indem man das Fadenkreuz an der Aperturblende anbringt (s. Abb. 6.23 a). Das Bild des Fadenkreuzes hat nicht die gleiche Qualit¨ at wie das des Gesamtokulars, da nur die Augenlinse alleine f¨ ur die Abbildung verantwortlich ist.

Abb. 6.23. Aufbau a) des Huygensschen und b) des Ramsden-Okulars

Diesen Nachteil vermeidet man im Ramsden-Okular (s. Abb. 6.22), bei dem sich sowohl das prim¨ are als auch das Zwischenbild vor der Feldlinse befinden. Bei diesem Okular haben die Linsen dieselbe Bildbrennweite f
und sind entsprechend (6.42) im Abstand f
angeordnet. Im Idealfall treten parallele Strahlen aus dem Okular aus, was ein vergr¨ oßertes virtuelles Bild im Unendlichen ergibt, wenn das reelle Objekt y
sich am Ort der ersten Linse befindet. An diese Stelle bringt man auch eine Strichplatte. Ein Nachteil dieser Anordnung besteht darin, dass die Oberfl¨ ache der Linse ebenfalls scharf mit dem unter Umst¨anden darauf befindlichen Staub oder Schmutz abgebildet wird. Zur Abhilfe wird der Abstand ur der Linsen geringf¨ ugig gr¨ oßer als f
eingestellt, die Strichplatte befindet sich f¨

6.4 Lupen und Okulare

183

eine scharfe Abbildung etwas vor der Feldlinse. F¨ ur diese Anordnung ist jedoch die Bedingung (6.42) nicht mehr exakt erf¨ ullt, es treten Farbquerfehler auf. Eine Modifikation des Ramsden-Okulars, bei der Farbfehler fast vollst¨andig eliminiert werden, ist das Kellner-Okular, bei dem die Ramsden-Augenlinse durch ein achromatisches Dublett ersetzt wird. Beispiel 6.3 Huygenssches Okular Bei einem Huygensschen Okular werden zwei Linsen mit den Bildbrennweiten f1
= 6,25 cm und f2
= 2,5 cm eingesetzt. Bestimmen Sie den optimalen
des Linsenabstand zur Reduktion des Farbquerfehlers, die Bildbrennweite fOk Okulars und die Lupenvergr¨ oßerung. L¨ osung Der optimale Linsenabstand ist gegeben durch: 1
1 (f + f2
) = (6,25 cm + 2,50 cm) = 4,375 cm 2 1 2 Die Bildbrennweite ergibt sich aus: ec =

1
fOk

=

1 1 ec 1 1 4,375 cm +
−

= + −
f1 f2 f1 f2 6,25 cm 2,50 cm 6,25 cm · 2,5 cm


Damit erh¨ alt man fOk = 3,57 cm. Die Lupenvergr¨oßerung betr¨agt

ΓL
= −

aS 0,25 m = ≈7
fOk 0,0357 m

Auf dem Okular wird vom Hersteller 7ד f¨ ur die Lupenvergr¨oßerung ” angegeben. Bei der Konstruktion von Okularen entwirft man m¨oglichst eine Austrittspupille, die nicht viel gr¨ oßer als die Augenpupille ist, damit man kein Licht verliert. Wir erinnern uns daran, dass die Austrittspupille das Bild der Eintrittspupille ist, das durch das Okular entworfen wird, und dass das Verh¨altnis der Durchmesser von Eintritts- zu Austrittspupille gleich der Vergr¨oßerung ist. Da die Eintrittspupille durch die vorangehenden Elemente des optischen Systems bestimmt wird (Durchmesser der Objektivlinse in einem einfachen Teleskop), begrenzt diese Forderung die Vergr¨ oßerung des Okulars und setzt damit eine untere Grenze f¨ ur die Brennweite. Die wichtigen Eigenschaften eines Okulars sind in den folgenden Angaben enthalten: 1. Lupenvergr¨oßerung Gebr¨ auchliche Werte sind 4× bis 25×, was Bildbrennweiten von 6,25 cm bis 1 cm entspricht.

184

6 Optische Instrumente

2. Augenabstandsweite Dies ist die Entfernung von der Augenlinse zur Austrittspupille. Okulare haben Augenabst¨ ande im Bereich von 5 bis 25 mm. 3. Sehfeldzahl oder Bildfeldwinkel Die Sehfeldzahl kennzeichnet den Durchmesser 2y
des Zwischenbildes, welches das Okular verarbeiten kann. Die Sehfeldzahl liegt im Bereich von 5 bis 30 mm. Den Bildfeldwinkel 2w
ermittelt man aus der Gleichung: tan w
=

y

fOk

6.5 Mikroskope Die Vergr¨ oßerung von kleinen Objekten, die man durch einfache Lupen erreicht, l¨asst sich durch ein Mikroskop erheblich steigern. In der einfachsten Form besteht dieses Ger¨ at aus zwei Positivlinsen, einer Objektivlinse von kleiner Brennweite, die nahe dem Objekt ist und einer Lupe, die als Okular dient. Das Okular blickt“ hierbei auf das reelle Zwischenbild, das durch das Objektiv erzeugt wird. ” In Abb. 6.24 sieht man, dass bei einer Objektlage außerhalb der Brennweite f Ob des Objektivs ein reelles Bild O
innerhalb des Mikroskops entsteht. Nach dem Zwischenbild erreichen die Lichtstrahlen das Okular. Bei Beobachtung mit dem Auge richtet man es so ein, dass das Zwischenbild gerade innerhalb der Objektbrennweite des Okulars entsteht. Befindet sich das Auge nahe dem Okular, so sieht man ein virtuelles Bild, das umgekehrt und stark vergr¨oßert ist. Die Objektivlinse dient als Eintrittspupille des optischen Systems. Das Bild der Objektiv¨ offnung, das durch das Okular erzeugt wird, ist die Austrittspupille. Am Ort der Austrittspupille ist die Bestrahlungsst¨arke maximal, dies ist deshalb die optimale Position f¨ ur die Eintrittspupille des Auges. Eine spezielle Blende, die als Feldblende wirkt, befindet sich am Ort des Zwischenbildes. Das Auge sieht dann beide scharf abgebildet, was dem Bildfeld eine scharf definierte Grenze gibt. Benutzt man das Mikroskop zusammen mit einer Kamera, so ben¨otigt man ein reelles Endbild. In diesem Fall liegt das Zwischenbild außerhalb der Okularbrennweite f Ob Gesamtvergr¨ oßerung Betrachtet man das Endbild mit dem Auge, so kann man die Vergr¨oßerung des Mikroskops wie im Falle der Lupe definieren. Die Winkelvergr¨oßerung f¨ ur ein Bild im Unendlichen (Auge ist auf Unendlich“ akkommodiert) ist mit (6.36) ” aS 0,25 m
=−
= (6.43) ΓM ft ft


6.5 Mikroskope

185

Abb. 6.24. Abbildungsstrahlengang im Mikroskop

wobei ft
f¨ ur die Gesamtbrennweite beider Linsen steht, die sich im Abstand tme befinden. Den Abstand von Objektiv und Okular bezeichnet man als mechanische alt man: Tubusl¨ange tme . Aus (6.38) erh¨ 1 1 1 tme =
+
−

ft
fOb fOk fOb fOk

(6.44)

Setzt man (6.44) in (6.43) ein, so ergibt sich:
=− ΓM



+ fOk − tme ) aS (fOb

fOb fOk

(6.45)

Mit Hilfe der Abbildungsgleichung f¨ ur die d¨ unne Linse k¨onnen wir f¨ ur die Objektivlinse das Verh¨ altnis von Bild- zu Gegenstandsentfernung angeben
− tme f
+ fOk a
Ob = Ob
aOb fOb

(6.46)


F¨ ur d¨ unne Linsen gilt hierbei (nach Abb. 6.24): a
Ob = tme +f Ok = tme −fOk . F¨ ur dicke Linsen ist diese Beziehung nicht g¨ ultig, da man den Abstand zwischen jeweiliger Hauptebene und entsprechender Linsenoberfl¨ache ber¨ ucksichtigen muss. Mit (6.45) folgt dann aus (6.46)
= ΓM

a
Ob −aS ·
aOb fOk

und man erh¨ alt: Vergr¨oßerung des Mikroskops




= βOb ΓOk ΓM

(6.47)

186

6 Optische Instrumente

Die Gesamtvergr¨ oßerung ist also gerade das Produkt der Vergr¨oßerungen von

und Okular ΓOk , sofern man das Bild im Unendlichen betrachtet. Objektiv βOb Mit der Newtonschen Formel (3.35) f¨ ur den Abbildungsmaßstab des Objektivs ergibt sich:
=− βOb


zOb t =−

fOb fOb

(6.48)


wobei der Abstand t zwischen den Brennpunkten FOb und F Ok als optische Tubusl¨ange bezeichnet wird. Die Vergr¨ oßerung des Mikroskops l¨asst sich dann folgendermaßen schreiben:
= ΓM

t aS

fOb fOk

(6.49)

In vielen Mikroskopen benutzt man standardm¨aßig eine mechanische Tubusl¨ange

und fOk sind jeweils effektive Brennweiten tme = 0,16 m. Die Brennweiten fOb von vielelementigen Linsensystemen, die bez¨ uglich der Abbildungsfehler korrigiert sind. Beispiel 6.4 Mikroskop
= 1,9 cm Ein einfaches Mikroskop hat ein Objektiv mit der Brennweite fOb
und ein Okular mit fOk = 5 cm. Die mechanische Tubusl¨ange sei tme = 16,4 cm, beide Linsen sind d¨ unn“, d.h. Linsenfl¨achen und Hauptebenen fallen ” zusammen. Bestimmen Sie die Vergr¨ oßerung des Mikroskops. L¨ osung

− fOk = 16,4 cm − 1,9 cm − 5 cm = 9,5 cm und t = tme − fOb
= ΓM

t aS

fOb fOk

=

0,095 m · (−0,25 m) = −25 0,019 m · 0,05 m

Numerische Apertur F¨ ur ein lichtstarkes Objektiv, das helle Bilder erzeugt, sollte der Durchmesser der Objektivlinse so groß wie m¨ oglich sein. Mit zunehmender Vergr¨oßerung nehmen jedoch die Brennweite und damit der Durchmesser der Objektivlinse (s. (3.23)) ¨ sowie der Offnungswinkel f¨ ur vom Objekt ausgehende Lichtb¨ undel ab. In Abb. 6.25 ist die Lichtb¨ undelbegrenzung durch die Objektivlinse eines Mikroskops dargestellt. Auf der rechten Seite befindet sich Luft zwischen Linse und ¨ Der Strahl, der vom ObDeckglas, im Zwischenraum auf der linken Seite ist Ol. jektpunkt O aus durch das d¨ unne Deckglas und die Luft bis zum Rand des Ob¨ jektivs geht, definiert mit der optischen Achse den halben Offnungswinkel uL des

6.5 Mikroskope

187

¨ Abb. 6.25. Mikroskopobjektiv, Funktionsweise einer Ol-Immersionslinse

Lichtb¨ undels, das von der Linse verarbeitet werden kann. Wegen der Brechung an der Glas–Luft-Grenzfl¨ ache k¨ onnen Strahlen, die einen gr¨oßeren Einfallswinkel als uL haben, die Linse nicht erreichen. Zur Abhilfe bringt man eine transparen¨ zwischen Deckglas und Objektivlinse (s. linke Seite der te Fl¨ ussigkeit, z.B. Ol, Abb. 6.25), deren Brechzahl so nahe wie m¨oglich an der des Glases liegt. Damit oglich. Typischerweise erreicht man bei einer ist ein gr¨ oßerer Halbwinkel uOl ¨ m¨ ¨ nOl ¨ Brechzahl des Deckglases von 1,522 f¨ ur Ol ¨ = 1,516. Ein großer Offnungswinkel ergibt eine hohe Beleuchtungsst¨ arke in der Bildebene. Kenngr¨oße f¨ ur die B¨ undelbegrenzung ist die numerische Apertur Mikroskopobjektiv

AN = n sin u

(6.50)

Aufgrund des Brechungsgesetzes ist die numerische Apertur eine Invariante im Objektraum. F¨ ur Luft mit nL = 1 und ng f¨ ur die Brechzahl des Deckglases erhalten wir AN = ng sin uL = sin u
L ¨ und beim Einsatz eines Ol-Immersionsobjektivs:
AN = ng sin uOl ¨ = nOl ¨ sin uOl ¨

F¨ ur Luft ist der Maximalwert der numerischen Apertur 1. Wenn man jedoch den ¨ der Brechzahl nOl ullt, ist eine maximale numerische Objektraum mit einem Ol ¨ f¨ oglich. In der Praxis ist der Grenzwert ungef¨ahr Apertur bis zum Wert von nOl ¨ m¨ 1,4. Wie bereits vorher gezeigt, ist die Bildhelligkeit (Beleuchtungsst¨arke) umgekehrt proportional zum Quadrat der Blendenzahl k. Hier ist die Bildhelligkeit proportional zu A2N . Die numerische Apertur ist ein wichtiger Auslegungsparameter, da sie sowohl die Aufl¨ osung als auch die Sch¨arfentiefe der Linse festlegt.

188

6 Optische Instrumente

Die Aufl¨ osung ist proportional zur numerischen Apertur, w¨ahrend die Sch¨arfentiefe umgekehrt proportional zu A2N ist. In Mikroskopen werden meist Objektive mit numerischen Aperturen im Bereich von 0,08 bis 1,3 eingesetzt. Biologische Pr¨ aparate werden normalerweise mit einem Deckglas von 0,17 bis 0,18 mm Dicke versehen. F¨ ur Objektive mit numerischer Apertur gr¨oßer als 0,3 ¨ hat das Deckglas – wenn man keine Olimmersion benutzt – zunehmenden Einfluss auf die Bildqualit¨ at, da es eine gr¨ oßere sph¨arische Aberration bewirkt. Deshalb muss ein biologisches Objektiv die Aberration durch das Deckglas kompensieren. Im Gegensatz hierzu wurde ein metallurgisches Objektiv ohne solche Kompensationsm¨ oglichkeit entworfen. Bei niedrigen Vergr¨oßerungen mit Brennweiten im Bereich von 8 bis 64 mm benutzt man achromatische Objektivlinsen. Diese Objektivlinsen sind normalerweise f¨ ur die Fraunhofer-C-(rot) und F -(blau) Wellenl¨ angen chromatisch und dar¨ uber hinaus bei der Fraunhofer-Wellenl¨ange d (gelbe Heliumlinie) sph¨ arisch korrigiert. Bei h¨ oheren Vergr¨oßerungen benutzt man f¨ ur Objektivlinsen mit Brennweiten im Bereich von 4 bis 16 mm Fluss-Spatlinsen (CaF2 ), die zusammen mit Glaselementen eine bessere Korrektur im Bereich des sichtbaren Spektrums bewirken. Wenn die Korrektur fast ideal ist, nennt man diese Objektivlinsen apochromatisch. Da bei hohen Vergr¨oßerungen die Korrektur besonders wichtig ist, sind Apochromate gew¨ohnlich Objektive mit Brennweiten im Bereich vom 1,5 bis 4 mm. Mit Hilfe moderner Techniken und Materialien kann man Objektivlinsen mit ebenem Bildfeld anfertigen. Diese Linsen nennt man Anastigmaten, wobei neben der anastigmatischen Ebnung des Bildfeldes ¨ auch die Offnungsund Farbfehler korrigiert sind. Bei h¨oheren Vergr¨oßerungen wird das Objektiv als Immersionsobjektiv ausgelegt. Bei Immersionsmikroskopen ¨ durch Glyzerin und die optiersetzt man im Ultravioletten gew¨ ohnlich das Ol schen Glaselemente durch Fluss-Spat- oder Quarzelemente, da diese bei k¨ urzeren Wellenl¨ angen eine h¨ ohere Transmission aufweisen. Diese Diskussion sollte zeigen, dass qualitativ hochwertige Mikroskope oft nur f¨ ur einen speziellen Einsatz nutzbar sind. Die Auslegung eines Objektivs oder eines Okulars ist direkt mit der Funktion anderer optischer Elemente im Instrument verkn¨ upft. Deshalb ist es im Allgemeinen nicht m¨oglich, Objektive und Okulare zwischen verschiedenen Mikroskopmodellen auszutauschen, ohne dass die Leistung des Mikroskopes schlechter wird. Die Abb. 6.26 zeigt die optischen Komponenten in eines Standard-Mikroskops und den Lichtweg im Instrument. Zur Beleuchtung des Objektes im Mikroskop ist es bei geringen Vergr¨ oßerungen ausreichend, das Umgebungslicht oder das Licht einer Lampe mit einem Spiegel in den Abbildungsstrahlengang zu bringen. Zun¨ achst muss man Hell- und Dunkelfeldbeleuchtung unterscheiden. Bei der Hellfeldbeleuchtung ist bei der Betrachtung durch das Okular das objektfreie Feld hell, bei Dunkelfeldbeleuchtung ist das objektfreie Feld dunkel. Licht, das an der Objektstruktur gebeugt oder gestreut wird, bewirkt entsprechend eine Verdunkelung oder eine Aufhellung in der Bildebene. F¨ ur undurchsichtige Objekte benutzt man die Auf lichtbeleuchtung, f¨ ur durchsichtige die Durchlichtbeleuchtung.

6.5 Mikroskope

189

Abb. 6.26. Standardmikroskop mit K¨ ohlerscher Beleuchtung

Bei hohen Vergr¨ oßerungen muss man spezielle Beleuchtungsysteme einsetzen; man trennt dann den Abbildungs- und den Beleuchtungsstrahlengang, wie dies in Abb. 6.26 gezeigt ist. Die Gl¨ uhwendel der Lampe besitzt meist eine inhomogene Verteilung der Leuchtdichte, dies w¨ urde bei einer einfachen Anordnung zu einer ungleichm¨ aßigen Beleuchtungsst¨ arke in der Ebene des Pr¨aparates f¨ uhren. Deshalb benutzt man am Mikroskop oft die K¨ohlersche Beleuchtung mit einem verflochtenen Abbildungs- und Beleuchtungsstrahlengang. In Abb. 6.28 ist als erstes Element nach der Lampe die Kollektorlinse gezeigt, die die Gl¨ uhwendel in die Brennebene der Kondensorlinse abbildet. Die Leuchtfeldblende befindet sich direkt hinter dem Kollektor und wird vom Kondensor in die Objektebene abge-

190

6 Optische Instrumente

Abb. 6.27. Verflochtener Strahlengang im Mikroskop mit K¨ ohlerscher Beleuchtung

6.6 Fernrohre

191

bildet. Die Einstellung dieser Irisblende bestimmt den Durchmesser des ausgeleuchteten Objektfeldes. In der Kondensorbrennebene liegt eine weitere Irisblende, die als Aperturblende die Beleuchtungsst¨arke in der Objektebene festlegt. Der telezentrische Strahlengang auf der Bildseite des Kondensors, bei dem parallele Strahlen die Kondensorlinse verlassen, sichert f¨ ur alle Punkte des Objektfeldes dieselbe Beleuchtungsst¨ arke. Die Lage der Eintrittspupille (EP ) in der Brennebene der Linse ist typisch f¨ ur den telezentrischen Beleuchtungsstrahlengang, der auch h¨ aufig in Strichcodelesern eingesetzt wird. Der zus¨atzliche Vorteil dieses Prinzips zeigt sich bei Beobachtung des Strichcodes mit derselben Optik (Umkehrung des Strahlenganges). Abstands¨ anderungen des Strichcodes relativ zur ¨ abbildenden Linse ergeben keine Anderungen der Vergr¨oßerung, da sich in der bildseitigen Brennebene der Linse eine Aperturblende (Austrittspupille) befindet.

6.6 Fernrohre Die Fernrohre werden in Linsenfernrohre (Refraktoren) und Spiegelteleskope eingeteilt, je nachdem, ob Linsen oder Spiegel zur Erzeugung des Bildes eingesetzt werden. Zus¨ atzlich gibt es sogenannte katadioptrische Systeme, in denen brechende und reflektierende Oberfl¨ achen kombiniert sind. Fernrohre (Teleskope) unterscheidet man auch danach, ob das Bild invertiert ist oder ob man mit dem Auge oder mit fotografischen Methoden beobachtet. Linsenfernrohre (Refraktoren) Die Abbildungen 6.28 und 6.29 zeigen zwei Typen von Linsenfernrohren, die ein invertiertes bzw. ein aufrechtes Bild erzeugen. Das Kepler-Fernrohr (s. Abb. 6.28) nennt man auch astronomisches Fernrohr, da die Bildorientierung bei astronomischen Objekten unwichtig ist. Das Galilei-Fernrohr in Abb. 6.29 erzeugt ein aufrechtes Bild, da im Okular eine Linse mit negativer Bildbrennweite (Zerstreuungslinse) eingesetzt wird. In jedem Fall werden nahezu parallele Lichtstrahlen eines weit entfernten Objektes durch eine Objektivlinse mit positiver Bildbrennweite (Sammellinse) gesammelt, die ein reelles Bild in ihrer Bildbrennebene erzeugt. Die Objektivlinse ist im Durchmesser gr¨ oßer als die Augenpupille und damit lichtst¨arker als das bloße Auge, so dass auch weit entfernte und damit lichtschw¨achere Sterne beobachtet werden k¨ onnen. Die Objektivlinse ist meist eine Dublett-Linse, die bez¨ uglich der chromatischen Aberration korrigiert ist. Das durch das Objektiv erzeugte reelle Zwischenbild wird durch das Okular beobachtet, das in den Abbildungen als Einzellinse gezeichnet ist. Das Zwischenbild, das in oder nahe der Brennebene des Okulars entsteht, dient als reelles Objekt f¨ ur das Okular im astronomischen Fernrohr und als virtuelles Objekt im Falle des Galilei-Fernrohres. Das einfallende Parallelstrahlb¨ undel von einem weit entfernten Objektpunkt (a = −∞ oder |a| 

192

6 Optische Instrumente

Abb. 6.28. Astronomisches oder Kepler-Fernrohr

Abb. 6.29. Terrestrisches oder Galilei-Fernrohr
fOb ) verl¨ asst das Fernrohr wieder als Parallelstrahlb¨ undel. Bringt man das Auge in die N¨ ahe des Okulars, so beobachtet man ein Bild im Unendlichen. Das Objekt erscheint dem nackten“ Auge unter dem Sehwinkel wS und nach dem Okular ” unter dem Winkel wS
. Aus den beiden rechtwinkligen Dreiecken in der Abbildung ergibt sich:

Winkelvergr¨oßerung Fernrohr, Objekt im Unendlichen ( afokale“ Einstel” lung) ΓF
∞ =

tan wS
f
= − Ob
tan wS fOk

(6.51)


Das negative Vorzeichen bedeutet, dass das Bild f¨ ur fOk > 0 (s. Abb. 6.28)
< 0. In jedem invertiert ist. Ein aufrechtes Bild erh¨ alt man in Abb. 6.29 mit fOk Fall ist die L¨ ange e dieses Fernrohres f¨ ur d¨ unne Linsen gegeben durch:

6.6 Fernrohre

e = fOb + fOk

193

(6.52)


< 0 eine kleine Baul¨ange; diesen Vorteil nutzt Ein Galilei-Fernrohr hat wegen fOk man im Opernglas. Zur Erzeugung eines aufrechten Bildes modifiziert man das astronomische Fernrohr durch den Einsatz einer dritten Positivlinse, deren Funktion darin besteht, das Zwischenbild zu invertieren. Diese Maßnahme verl¨angert aber das Fernrohr um mindestens das Vierfache der Bildbrennweite der Zusatzlinse. Eine Bildaufrichtung ohne zus¨ atzliche Baul¨ange erreicht man in Prismenfernrohren mit einem gefalteten Strahlengang durch den Einsatz von Umkehrprismen, wie bereits vorher beschrieben. F¨ ur jedes Fernrohr ist die Objektiv¨ offnung Aperturblende und gleichzeitig Eintrittspupille (EP ). Das Bild der Aperturblende hinter dem Okular ist die Austrittspupille (AP ). Beim astronomischen Fernrohr liegt die Austrittspupille gerade außerhalb des Okulars und wird so ausgelegt, dass sie der Gr¨oße der Pupille des Auges entspricht. Ein Fernrohr sollte die Austrittspupille in gen¨ ugendem Abstand vom Okular aufweisen, um einen bequemen Augenabstand einhalten zu k¨ onnen. Eine bequemere Beobachtung erreicht man auch durch eine Austrittspupille von geringf¨ ugig gr¨ oßerem Durchmesser als die Augenpupille, so dass ¨ eine Anderung des Augenabstandes weniger kritisch ist. Wir sehen, dass beim Galilei-Fernrohr die Austrittspupille innerhalb des Okulars liegt, wo sie dem Auge nicht zug¨ anglich ist. Dies f¨ uhrt zu einem geringeren Feldwinkel, dem sogenannten Schl¨ ussellocheffekt“ des Galilei-Fernrohrs. Wir sehen, dass man beim Kepler” Fernrohr am Ort des Zwischenbildes eine Feldblende einsetzen kann, w¨ahrend dies f¨ ur das Galilei-Fernrohr nicht m¨ oglich ist. Der Durchmesser der Austrittspupille DAP h¨angt sehr einfach mit dem Durchmesser der Objektivlinse DEP u ¨ ber die Vergr¨oßerung zusammen. Aus Abb. 6.28 erh¨ alt man mit a = −∞:

DAP DEP =
fOb f Ok und damit Vergr¨oßerung Fernrohr

ΓF
∞ =

DEP DAP

(6.53)

Der Index F“ steht f¨ ur Fernrohr“. Es gilt DAP < 0, wenn die Eintrittspupille ” ” (= Aperturblende) durch ein Positivokular als reelle Austrittspupille abgebildet wird. Damit ist der Durchmesser des Strahlenb¨ undels, das die Objektivlinse oßer als der Durchmesser des Strahlenb¨ undels, ausf¨ ullt, um den Faktor |ΓF
∞ | gr¨ das durch die Austrittspupille verl¨ auft. Wir sehen, dass deshalb noch nicht die Beleuchtungsst¨arke des Bildes im selben Verh¨altnis gr¨oßer wird, da die Bildgr¨ oße um den gleichen Faktor |ΓF
∞ | zunimmt. Die Beleuchtungsst¨arke des Bildes

194

6 Optische Instrumente

kann nicht gr¨ oßer als die spezifische Ausstrahlung (s. Kap. 2) des Objektes sein, tats¨ achlich ist das Bild wegen der nicht vermeidbaren Lichtverluste aufgrund der Reflexion an den Linsenoberfl¨ achen weniger hell.

Abb. 6.30. Schnittbild eines binokularen Fernglases, man erkennt das mehrlinsige Objektiv sowie die Okularlinse und das Prisma zur Bildumkehr

Zwei¨ augige Fernrohre (binokulare Fernrohre, s. Abb. 6.30) erlauben eine bequemere Betrachtung, da beide Augen daran beteiligt sind. Zus¨atzlich erlaubt der Einsatz von Porro-Prismen, den Abstand zwischen den Objektivlinsen gr¨oßer zu machen als den Abstand zwischen den Augenpupillen, was den stereoskopischen Effekt durch das zwei¨ augige Sehen vergr¨ oßert. Weiterhin werden durch die Prismen aufrechte Bilder erzeugt. Die Bezeichnung 6 × 30“ f¨ ur Binokulare bedeutet, ” dass die Vergr¨ oßerung 6-fach und der Durchmesser der Objektivlinse (Eintrittspupille) 30 mm ist ( ΓF
∞ × DEP“). Aus (6.53) schließen wir, dass die Austritts” ¨ pupille f¨ ur dieses Binokular 5 mm betr¨ agt, was in guter Ubereinstimmung mit dem normalen Pupillendurchmesser ist. F¨ ur n¨achtliche Beobachtungen, wo die Pupillen etwas gr¨ oßer sind, ist ein binokulares Fernglas mit der Spezifikation

6.6 Fernrohre

195

7 × 50“ vorzuziehen, bei dem die Austrittspupille einen Durchmesser von ca. ” 7 mm aufweist. Beispiel 6.5 Feldstecher Bestimmen Sie den Augenabstand, den Bildfeldwinkel und den Sehfelddurchmesser eines 6 × 30“-Feldstechers. Die Bildbrennweite der Objektivlinse ist ”
= 15 cm und der Okularlinsendurchmesser DOk = 1,5 cm. fOb L¨ osung Die Bildbrennweite des Okulars ergibt sich aus (6.51)
=− fOk


fOb 15 cm =− = 2,5 cm
ΓF ∞ −6

Der Augenabstand ist die Entfernung von der Okularlinse zur Austrittspupille. Die Austrittspupille ist das Bild der Objektiv¨offnung, wenn man durch die Okularlinse sieht. Damit ergibt sich der Augenabstand als Bildweite a
der Austrittspupille:



a f
e fOk (fOb + fOk ) fOk = =

+ f
) − f
a + f
e − fOk (fOb Ok Ok (15 cm + 2,5 cm) · 2,5 cm = = 2,92 cm 15 cm

a
=

F¨ ur eine Objektebene im Abstand von a0 = −1000 m erh¨alt man mit tan wBf =

−DOk −1,5 cm = = −0,0429 2e 2 · 17,5 cm

den Bildfeldwinkel 2wBf = 4,9◦ ; oder den Sehfelddurchmesser y = 2a0 tan wBf =

a0 · (−DOk ) 1000 m · 0,015 m = = 85 m e 0,15 m + 0,025 m

Spiegelteleskope Objektivlinsen mit großem Durchmesser bewirken eine gr¨oßere Lichtst¨arke und eine gr¨ oßere Aufl¨ osung des Fernrohres. Es ist sehr schwierig, große homogene Linsen ohne optische Fehler herzustellen und – wegen des hohen Gewichts – heikel, diese mechanisch stabil zu befestigen. Diese Probleme sowie die chromatische Aberration lassen sich durch den Einsatz gekr¨ ummter Spiegelfl¨achen, wie z.B. beim 8 m-Spiegelteleskop der ESA in Chile, vermeiden. Große Spiegelteleskope werden normalerweise zur Untersuchung weit entfernter, lichtschwacher astronomischer

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6 Optische Instrumente

Abb. 6.31. Basistypen von Spiegelteleskopen. a) Newtonsches Teleskop. b) CassegrainTeleskop. c) Gregory-Teleskop

Objekte eingesetzt, deshalb registriert man h¨aufig das Bild durch eine Fotografie mit großer Belichtungszeit. Das Prinzip einiger Spiegelteleskope ist in Abb. 6.31 gezeigt. Beim Newtonschen Spiegelteleskop verwendet man einen parabolisch geformten Spiegel, um alle parallel einfallenden Strahlen in denselben Brennpunkt Fp
zu fokussieren. Vor dem Brennpunkt setzt man einen ebenen Spiegel in den Strahlengang, um die konvergierenden Strahlen in einem zweiten Brennpunkt Fs
nahe der Wand des Fernrohres zu fokussieren. Am Rand befindet sich ein Okular zur Betrachtung des Bildes. Der Einsatz eines parabolischen Spiegels vermeidet sowohl die chromatische als auch die sph¨ arische Aberration, aber die Koma ist f¨ ur außeraxiale Objektpunkte weiterhin vorhanden, wodurch das nutzbare Bildfeld stark ein-

6.6 Fernrohre

197

geschr¨ ankt wird. Das Hale-Teleskop ist so groß, dass der Beobachter auf einer speziell montierten Plattform direkt hinter dem prim¨aren Fokus Fp
sitzen kann (s. Abb. 6.32). Nat¨ urlich reduziert jedes Hindernis innerhalb des Teleskops die Lichtmenge, die zum Bild beitr¨ agt. Beim Cassegrain-Teleskop (s. Abb. 6.31 b) ist der sekund¨ are Spiegel von hyperbolisch konvexer Form und reflektiert das ¨ Licht vom prim¨ aren Spiegel durch eine Offnung im prim¨aren Spiegel in einen sekund¨ aren Fokus, wo man es bequem beobachten und aufzeichnen kann. Die hyperbolische Oberfl¨ ache bewirkt eine ideale Abbildung zwischen den Punkten des prim¨ aren und des sekund¨ aren Fokus, da sie die Brennpunkte des Hyperboloids sind. Eine solch ideale Abbildung ist auch m¨oglich, wenn man den sekund¨aren Spiegel konkav-ellipsoid macht, wie im Gregory-Teleskop (s. Abb. 6.31 c). Der are (Fs
) Brennpunkt dieses Teleskops sind nun die prim¨ are (Fp
) und der sekund¨ Brennpunkte des Ellipsoids.

Abb. 6.32. Hale-Spiegelteleskop (5 m). Man sieht den Beobachter in einem K¨ afig in der N¨ ahe des prim¨ aren Fokus sowie die reflektierende Oberfl¨ ache des 5 m-Spiegels

Das Schmidt-Teleskop Das beste katadioptrische Teleskop wurde von Bernhardt Schmidt entworfen. Er vermied die sph¨ arische Aberration des prim¨aren sph¨arischen Spiegels durch den

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6 Optische Instrumente

Abb. 6.33. Schmidt-Teleskop

Einsatz einer d¨ unnen brechenden Korrekturplatte im Teleskop. Um diesen Aufbau zu verstehen, betrachten wir Abb. 6.33. Der konkave prim¨are Reflektor in a) empf¨ angt schmale B¨ undel paralleler Strahlen aus verschiedenen Richtungen. Jedes Strahlenb¨ undel geht durch eine Blende, deren Zentrum im Kr¨ ummungsmittelpunkt des prim¨ aren Spiegels liegt. Die Achse jedes Strahlenb¨ undels betrachte man als optische Achse, es gibt keine außeraxialen Objektpunkte und deshalb tritt keine Koma und kein Astigmatismus f¨ ur dieses System auf. F¨ ur

6.6 Fernrohre

199

kleine Strahlenb¨ undel besteht jedes dieser B¨ undel aus paraxialen Strahlen, die in gleicher Entfernung vom Spiegel fokussiert werden. Diese Entfernung ist gleich der Bildbrennweite oder gleich dem halben Kr¨ ummungsradius des Spiegels. Die Bildpunkte liegen auf der Kugeloberfl¨ ache, die durch die gestrichelte Linie beschrieben ist. F¨ ur Strahlenb¨ undel mit großem Querschnitt, wie in b) gezeigt, tritt sph¨ arische Aberration auf, die eine kleinere Brennweite f¨ ur Randstrahlen bewirkt. Schmidt entwarf eine durchsichtige Korrekturplatte, die sich am Ort der Blende befindet. Diese Platte wirkt am Rand als Negativ- und im Zentrum als ¨ Positivlinse und kompensiert den Offnungsfehler. Die Brennpunkte aller einfallenden Strahlenb¨ undel liegen dann auf der sph¨arischen Brennfl¨ache, wie in c) gezeigt. Das Schmidt-Teleskop ist deshalb bez¨ uglich Koma, Astigmatismus und sph¨arischer Aberration korrigiert. Da sich die Korrekturplatte am Ort des Kr¨ ummungsmittelpunktes des Spiegels befindet, ist die Abbildung paralleler Strahlenb¨ undel verschiedener Neigung gleich. Die verbleibenden Aberrationen sind durch die Fehler bei der Herstellung der Korrekturplatte verursacht. Ein Nachteil des SchmidtTeleskops ist das kugelf¨ ormig gew¨ olbte Bildfeld. Damit m¨ ussen die fotografischen Filme oder Platten entsprechend geformt sein, oder man muss das Feld durch eine Linse vor der Aufnahmefl¨ ache ebnen“. Wir sehen weiterhin, dass die Kor” rekturplatte sich am Ort der doppelten Brennweite des Spiegels befindet, damit ist dieses Teleskop doppelt so lang wie die vorher beschriebenen Teleskope (s. Abb. 6.31).

¨ Ubungen 6.1 Ein Objekt hat eine Gr¨ oße von y = 2 cm, gemessen von der optischen Achse aus. Das optische System besteht aus einer Blende von 2 cm Durchmesser und einer d¨ unnen konvexen Linse der Bildbrennweite 5 cm mit 5 cm Durchmesser. Das Objekt ist 10 cm und die Blende 2 cm vom Scheitel der Linse entfernt. Bestimmen Sie die Position und Gr¨ oße von Eintritts- und Austrittspupille und des Bildes. Fertigen Sie eine Skizze des optischen Systems an und zeichnen Sie von der Spitze des Objektes den Hauptstrahl und die zwei Randstrahlen durch das optische System zum konjugierten Bildpunkt. ¨ 6.2 Wiederholen Sie Ubung 6.1 f¨ ur ein Objekt von 4 cm Gr¨ oße mit einer Aperturblende von 2 cm Durchmesser und einer d¨ unnen konvexen Linse der Bildbrennweite 6 cm und 5 cm Durchmesser. Das Objekt ist 14 cm von der Linse entfernt und die Aperturblende liegt in 2,5 cm Entfernung auf der Bildseite der Linse. ¨ 6.3 Wiederholen Sie Ubung 6.1 f¨ ur ein Objekt von 2 cm Gr¨ oße, einer Blende von 2 cm Durchmesser und einer d¨ unnen konvexen Linse von 6 cm Bildbrennweite und einem Durchmesser von 5 cm. Das Objekt befindet sich 14 cm und die Aperturblende 4 cm vor der Linse. 6.4 Ein optisches System besteht aus folgenden Komponenten (von links nach rechts):

200

6 Optische Instrumente 1. Gegenstandsebene, 2. d¨ unne Linse L1 , 40 cm von der Gegenstandsebene entfernt, 3. Aperturblende AB, 20 cm weiter als L1 , 4. d¨ unne Linse L2 , 10 cm weiter als AB, 5. Bildebene. Die Linse L1 hat eine Bildbrennweite von 13,3 cm und einen Durchmesser von 2 cm; die Linse L2 hat eine Bildbrennweite von 6,6 cm und einen Durchmesser von 2 cm; ¨ die Blende B hat eine Offnung von 0,5 cm Durchmesser. Alle Komponenten sind auf der optischen Achse zentriert: a) Skizzieren Sie das System maßst¨ ablich. Bestimmen Sie: b) den Ort der Bildebene, c) die b¨ undelbegrenzende Aperturblende und die Eintrittspupille, d) die Austrittspupille, e) die feldbegrenzende Blende, die Eintrittsluke und die Austrittsluke, f) den Bildfeldwinkel des Systems.

6.5 Zeichnen Sie f¨ ur ein Prisma mit dem brechenden Winkel α = 60◦ und der Brechzahl 1,52 den resultierenden Ablenkwinkel als Funktion des Eintrittswinkels auf. 6.6 Ein paralleler Strahl weißen Lichts durchl¨ auft ein gleichseitiges Glasprisma bei minimalem Ablenkwinkel. Wie groß ist der Winkelabstand der roten (nr = 1,525) und blauen (nb = 1,535) Lichtstrahlen, die das Prisma verlassen? ur Kron- und 6.7 a) Ermitteln Sie n¨ aherungsweise die Cauchy-Konstanten A0 und A2 f¨ Flintglas, indem Sie die Daten f¨ ur die C und F Fraunhofer-Linien aus Tab. 6.1 benutzen. Berechnen Sie die Brechzahl der Fraunhofer d-Linie unter Benutzung dieser Konstanten und der Cauchy-Reihe (6.17) f¨ ur zwei Reihenglieder. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit den Werten, die in der Tabelle gegeben sind. b) Berechnen Sie die Dispersion in der Umgebung der Fraunhofer d-Linie f¨ ur beide Glassorten, indem Sie die Cauchy-Beziehung verwenden. c) Berechnen Sie das Farbaufl¨ osungsverm¨ ogen von Kron- und Flintprismen in der Umgebung der Fraunhofer d-Linie, wenn die Basisl¨ ange des Prismas 75 mm betr¨ agt. Berechnen Sie das minimal aufl¨ osbare Wellenl¨ angenintervall in diesem Gebiet. 6.8 Ein gleichseitiges Prisma aus Flintglas wird f¨ ur ein Spektroskop eingesetzt. Die ¨ Anderungen der Brechzahl mit der Wellenl¨ ange sind in der folgenden Tabelle gegeben:

λ/ nm

n

656,3

1,63461

587,6

1,63810

486,1

1,64611

6.6 Fernrohre

201

Bestimmen Sie: a) den minimalen Ablenkwinkel f¨ ur Natriumlicht von 589,3 nm, b) die Abbesche Zahl des Prismenmaterials, c) die Cauchy-Konstanten A0 und A2 im Gebiet großer Wellenl¨ angen. Berechnen Sie mit Hilfe der Cauchy-Beziehung die Dispersion des Prismas bei 656,3 nm, d) die minimale Basisl¨ ange eines Prismas, wenn es die Wasserstoff-Dublettlinien bei 656,2716 nm und 656,2852 nm aufl¨ osen soll. Ist dies ein realistisches Beispiel? 6.9 Ein gleichseitiges Prisma liefert bei Messungen in einem Spektrometer folgende minimale Ablenkwinkel: C-Linie: 38◦ 20’; d-Linie: 38◦ 33’; F -Linie: 39◦ 12’. Bestimmen Sie die Abbesche Zahl des Prismas. 6.10 Die Brechzahlen f¨ ur bestimmte Kron- und Flintgl¨ aser sind: Kronglas: Flintglas:

nC = 1,527, nd = 1,530, nC = 1,630, nd = 1,635,

nF = 1,536 nF = 1,648

Die beiden Glassorten sollen f¨ ur ein Geradsichtprisma (bestehend aus zwei Prismen) f¨ ur die d-Wellenl¨ ange eingesetzt werden. Der brechende Winkel des Flintglasprismas betr¨ agt 5◦ . Bestimmen Sie den brechenden Winkel des Kronglasprismas und den Unterschied in den Ablenkwinkeln f¨ ur einen d- und einen F -Strahl. Nehmen Sie an, dass beide Prismen eine kleine Basisl¨ ange aufweisen und symmetrischer Strahlengang vorliegt. 6.11 Ein achromatisches d¨ unnes Prisma f¨ ur die C- und F -Fraunhofer-Linien soll aus Kron- und Flintgl¨ asern, wie in Tabelle 6.1 beschrieben, hergestellt werden. Das Kronglasprisma hat einen brechenden Winkel von 15◦ . Bestimmen Sie: a) den brechenden Winkel des Flintglasprismas, b) die verbleibende mittlere Abweichung f¨ ur die d-Fraunhofer-Linie. 6.12 Eine Lambertsche Oberfl¨ ache hat die Form eines Quadrates der Seitenl¨ ange 5 cm. Die Fl¨ ache strahlt eine Gesamtleistung von 25 W in den vorderen Halbraum (2π sr) aus. Eine Kamera mit einem Objektiv von 4 cm Brennweite und Blendenzahl k = 8 wird zur Fotografie des Objektes benutzt, wobei dieses 1 m von der Linse entfernt ist. a) Bestimmen Sie die spezifische Ausstrahlung, die Strahlst¨ arke und die Strahldichte des Objektes (s. Tab. 2.1). b) Bestimmen Sie den Strahlungsfluss, der auf den Film in der Kamera trifft. c) Bestimmen Sie die Bestrahlungsst¨ arke auf dem Film. 6.13 Untersuchen Sie die Eigenschaften von (6.31) und (6.32), die die Abh¨ angigkeit der Sch¨ arfentiefe von der Gr¨ oße der Blende, der Brennweite und der Gegenstandsweite angibt. Erstellen Sie eine entsprechende graphische Darstellung mit einem Rechner oder mit Bleistift und Papier. 6.14 Eine Kamera wird zur Fotografie von drei Reihen von Studenten in einer Entfernung von 6 m benutzt, wobei auf die mittlere Reihe scharf eingestellt ist. Nehmen Sie an, dass die Unsch¨ arfe aufgrund von Objektpunkten in der ersten und dritten Reihe kleiner sein soll als die Gr¨ oße eines typischen Silberkorns der Emulsion, z.B. 1 µm.

202

6 Optische Instrumente Bei welcher kleineren oder gr¨ oßeren Gegenstandsweite als der der mittleren Reihe erh¨ alt man eine zu große Unsch¨ arfe, wenn die Kamera eine Brennweite von 50 mm hat und die Blende auf k = 4 eingestellt ist?

6.15 Ein Teleobjektiv besteht aus der Kombination zweier d¨ unner Linsen, die eine Bildbrennweite von +20 cm und -8 cm aufweisen. Die Linsen haben einen Abstand von 15 cm voneinander. a) Bestimmen Sie die Bildbrennweite der Kombination, die Entfernung von der Negativlinse zur Filmebene und die Bildgr¨ oße eines weit entfernten Objektes, das von der Kamera aus gesehen unter einem Winkel von 2◦ erscheint. b) Ermitteln Sie die gleichen Gr¨ oßen und die Lage der Hauptebenen, indem Sie die Matrixmethode aus Kapitel 4 benutzen. 6.16 Ein Kameraobjektiv mit 5 cm Bildbrennweite und einer Blendeneinstellung von k = 4 wird auf ein Objekt in 1,80 m Abstand fokussiert. Bestimmen Sie die Sch¨ arfentiefe, wenn der maximale Durchmesser des Unsch¨ arfekreises zu 0,05 mm angenommen wird. 6.17 Die Sonne erscheint von der Erdoberfl¨ ache aus gesehen unter einem Winkel von 0,5◦ , wobei bei senkrechtem Auffall eine Beleuchtungsst¨ arke von 105 lx (Lux) typisch ist. Wie groß ist die Beleuchtungsst¨ arke f¨ ur ein Bild der Sonne, das durch eine Linse von 5 cm Durchmesser und der Bildbrennweite 50 cm erzeugt wird? 6.18 a) F¨ ur ein Kameraobjektiv wird eine bikonvexe Linse der Bildbrennweite 15 cm benutzt. Wie groß ist ein Bild einer 1,80 m großen Person in 30 m Abstand, das auf dem Film erzeugt wird? b) Die bikonvexe Linse wird durch ein Teleobjektiv, bestehend aus einer bikonvexen Linse von 12 cm Bildbrennweite und einer konkaven Linse, ersetzt. Die konkave Linse befindet sich an der Stelle der zuerst genannten Linse und die konvexe Linse ist 8 cm davor. Wie groß muss die Bildbrennweite der konkaven Linse sein, damit weit entfernte Gegenst¨ ande scharfe Bilder bei der gleichen Lage der Filmebene wie zuvor ergeben? Wieviel gr¨ oßer ist das Bild der Person, wenn man das Teleobjektiv benutzt? 6.19 Das Objektiv einer Kleinbildkamera (Filmformat 24×36 mm) weist die Beschriftung 50 mm, 1:1,8“ auf. ” a) Wie groß ist der maximale Blendendurchmesser? b) Bestimmen Sie, beginnend mit der maximalen Blenden¨ offnung, die n¨ achsten drei k-Zahlen, die es erm¨ oglichen, die Beleuchtungsst¨ arke jeweils auf 1/3 zu reduzieren. c) Welche Blendendurchmesser entsprechen diesen k-Zahlen? d) Bei maximaler Blenden¨ offnung und einer Belichtungszeit von 1/100 Sekunde wird ein Bild aufgenommen. Welche Belichtungszeiten sind f¨ ur jeden der anderen Blendendurchmesser n¨ otig, damit die gleiche Strahlungsenergie den Film trifft? 6.20 Die in (6.36) angegebene Vergr¨ oßerung gilt auch f¨ ur das zweilinsige Okular, wenn die Bildbrennweite der Kombination (s. (6.38)) benutzt wird. Zeigen Sie, dass die Vergr¨ oßerung eines Zweilinsen-Okulars, das der Bedingung f¨ ur verschwindende chromatische Aberration gen¨ ugt, f¨ ur ein Bild im Unendlichen durch folgenden Ausdruck gegeben ist:

6.6 Fernrohre

203

Γ
= 12,5 cm(1/f1
+ 1/f2
) 6.21 Ein Vergr¨ oßerungsglas besteht aus zwei d¨ unnen plankonvexen Linsen von jeweils 3 cm Bildbrennweite, die 2,8 cm voneinander entfernt sind. Finden Sie: a) die Bildbrennweite des Gesamtsystems, b) die Vergr¨ oßerung f¨ ur ein Bild, das im Nahpunkt des Auges erzeugt wird. 6.22 Das Objektiv eines Mikroskops hat eine Bildbrennweite von 0,5 cm. Es entwirft das Zwischenbild 16 cm vom bildseitigen Brennpunkt der Objektivlinse entfernt. a) Welche Gesamtvergr¨ oßerung hat das Mikroskop, wenn ein Okular mit der Beschriftung 10× benutzt wird? b) In welcher Entfernung vom Objektiv befindet sich der beobachtete Objektpunkt? 6.23 Ein einfaches Mikroskop besitzt ein Objektiv und ein Okular, beides d¨ unne Linsen der Bildbrennweiten 1 cm und 3 cm. Ein Objekt befindet sich 1,2 cm vor der Objektivlinse. Das virtuelle Bild, das vom Okular erzeugt wird, ist scheinbar 25 cm vom Auge entfernt. Berechnen Sie: a) die Gesamtvergr¨ oßerung des Mikroskops, b) den Abstand der Linsen. 6.24 Zwei d¨ unne bikonvexe Linsen, die 25 cm voneinander entfernt sind, bilden ein Mikroskop, dessen Gesamtvergr¨ oßerung 20 betr¨ agt. Die Bildbrennweite der Okularlinse betr¨ agt 4 cm. Bestimmen Sie die Bildbrennweite der anderen Linse. 6.25 Ein Fernrohr enth¨ alt eine Strichplatte – dies ist eine Glasplatte, auf der ein Maßstab eingeritzt ist – in der gemeinsamen Brennebene von Objektiv und Okular. Die Strichplatte ist damit ebenso scharf wie durch das Fernrohr betrachtete Gegenst¨ ande. Das Fernrohr wird auf einen Telefonmast in 30 m Entfernung scharf eingestellt. Die Bildbrennweite des Objektivs betr¨ agt 20 cm. Wie groß ist das Bild des Mastes auf der Millimetereinteilung der Strichplatte? 6.26 Ein Fernglas tr¨ agt die Markierung 7 × 35“. Die Bildbrennweite des Objektivs ” betr¨ agt 14 cm und der Durchmesser der Feldlinse des Okulars 1,8 cm. Bestimmen Sie: a) die Vergr¨ oßerung eines entfernten Gegenstandes, b) die Bildbrennweite des Okulars, c) den Durchmesser der Austrittspupille, d) den Abstand der Austrittspupille von der Augenlinse, e) den Durchmesser des Objektfeldes in einer Entfernung von 300 m vom Fernglas. 6.27 a) Zeigen Sie, dass bei Betrachtung des Endbildes eines astronomischen Fernrohrs in endlichem Abstand die Vergr¨ oßerung durch folgenden Term gegeben ist:

ΓOk fOb a


wobei ΓOk der Abbildungsmaßstab des Okulars und a

die Entfernung vom Okular zum Endbild ist.

Γ
=

204

6 Optische Instrumente b) F¨ ur solch ein Fernrohr benutzt man z.B. zwei Sammellinsen mit Bildbrennweiten von 30 cm und 4 cm. Bestimmen Sie die Vergr¨ oßerung, wenn das Bild im Unendlichen oder in der Bezugssehweite a

= aS = −25 cm betrachtet wird.

6.28 Der Mond erscheint bei Beobachtung ohne Fernrohr unter einem Winkel von 0,5◦ . Die Bildbrennweiten der Objektiv- und Okularlinsen eines terrestrischen Fernrohrs sind 20 und 5 cm. Bestimmen Sie den Durchmesser des Bildes des Mondes, wenn man diesen durch das Fernrohr in der Bezugssehweite aS = −25 cm betrachtet. 6.29 Ein Opernglas benutzt ein Objektiv und ein Okular mit Bildbrennweiten von 12 cm und -4 cm. Bestimmen Sie die L¨ ange (Linsenabstand) des Instrumentes und seine Vergr¨ oßerung f¨ ur einen Betrachter, dessen Augen auf das Bild a) im Unendlichen und b) auf die Bezugssehweite aS = −25 cm akkommodiert sind. 6.30 Ein astronomisches Teleskop wird f¨ ur die Projektion des Mondes auf einen Schirm benutzt, wobei dieser 25 cm von einem Okular von 5 cm Bildbrennweite entfernt ist. Wie weit muss das Okular aus seiner normalen Lage verschoben werden? 6.31 a) Das Ramsden-Okular eines Teleskops besteht aus zwei Positivlinsen der Bildbrennweiten 2 cm, die sich im Abstand von 2 cm befinden. Berechnen Sie die Vergr¨ oßerung, wenn das Bild im Unendlichen betrachtet wird. b) Das Objektiv des Fernrohrs ist eine Positivlinse der Bildbrennweite 30 cm mit dem Durchmesser 4,5 cm. Bestimmen Sie die Gesamtvergr¨ oßerung des Fernrohrs. c) Geben Sie Lage und Durchmesser der Austrittspupille an. d) Der Durchmesser der Feldlinse des Okulars betr¨ agt 2 cm. Bestimmen Sie den Bildfeldwinkel des Fernrohrs. 6.32 Zeigen Sie, dass die Winkelvergr¨ oßerung eines Newtonschen Spiegelteleskops f¨ ur das Bild im Unendlichen durch das Verh¨ altnis von Objektiv- zu Okularbrennweite gegeben ist, so wie dies auch beim Linsenfernrohr der Fall ist. 6.33 Der Prim¨ arspiegel eines Cassegrain-Spiegelteleskops hat eine Brennweite von 3,60 m. Der konvexe Sekund¨ arspiegel ist 3 m vom Prim¨ arspiegel entlang der optischen Achse entfernt und entwirft das Bild eines entfernten Gegenstandes im Scheitel des prim¨ aren Spiegels. Ein Loch im Spiegel gestattet die Betrachtung des Bildes durch ein Okular von 10 cm Brennweite, das sich genau hinter dem Spiegel befindet. Berechnen Sie die Brennweite des konvexen Spiegels und die Winkelvergr¨ oßerung des Instrumentes.

7 Optik des Auges

Einleitung In diesem Kapitel besch¨ aftigen wir uns mit der Optik des Auges. Zuerst untersuchen wir seine Struktur und Funktion. Im Anschluss daran betrachten wir die optischen Fehler in einem fehlsichtigen Auge und geben die normalerweise gebr¨ auchlichen Korrekturoptiken (Brillen, Kontaktlinsen) an. Zum Schluss dieses Kapitels werden chirurgische Verfahren beschrieben, die mit Laserstrahlung spezieller Intensit¨ at und Wellenl¨ ange durchgef¨ uhrt werden. Zusammen mit dem Gehirn stellen die Augen ein bemerkenswertes biooptisches System dar. Das Auge erzeugt Bilder von Gegenst¨anden in Entfernungen vom Zentimeterbereich bis ins Unendliche. Es verarbeitet Objekte, so ausgedehnt wie der Himmel u ¨ber uns oder es fokussiert auf ein Detail, so klein wie ein Stecknadel¨ ohr. Es passt sich an einen außergew¨ohnlichen Bereich von Intensit¨aten an, vom flackernden Schein einer Kerze, die Kilometer entfernt in einer dunklen Nacht zu sehen ist, bis zum Sonnenlicht, das so hell ist, dass das optische Bild auf der Netzhaut gef¨ ahrliche Verbrennungen verursachen kann. Es unterscheidet zwischen subtilen Farbnuancen von tiefem Purpur bis zu tiefem Rot. Am Wichtigsten f¨ ur uns ist, dass das Auge den Raum um uns erfasst. In ihm lokalisiert es Gegenst¨ ande und macht uns die dreidimensionale Welt zug¨anglich.

206

7 Optik des Auges

7.1 Aufbau des Auges Anatomisch gesehen ist der Augapfel von fast exakt kugelf¨ormiger Gestalt und hat einen Durchmesser von ungef¨ ahr 22 bis 24 mm. Er liegt eingebettet in Fettgewebe in der Augenh¨ ohle und ist durch die Knochenw¨ande des Sch¨adels gesch¨ utzt. Optisch betrachtet ist das Auge eine Kamera, die das einfallende Licht eines Objektes als reelles Bild auf die r¨ uckw¨artige Fl¨ache des Augapfels fokussiert. Die grundlegenden Bestandteile des Auges sind in Abb. 7.1 dargestellt. Zun¨ achst wollen wir die Schl¨ usselelemente des Auges entlang der optischen Achse untersuchen und zwar in der Reihenfolge, in der sie auch von Lichtstrahlen bei der Bildentstehung durchlaufen werden. Licht tritt durch die Hornhaut in das Auge ein. Die Hornhaut ist ein durchsichtiges Gewebe ohne Blutgef¨ aße, aber mit vielen Zellen- und Nervenfasern. Sie hat einen Durchmesser von ungef¨ ahr 12 mm und ist im Zentrum ca. 0,6 mm dick und zum Rand hin etwas st¨ arker. Ihre Brechzahl ist 1,376. Beim Auftreffen auf die Grenzfl¨ ache Luft/Hornhaut, wo die Brechzahl sich von 1 auf 1,376 ¨andert, wird das Licht stark gebrochen. Die Hornhautgrenzfl¨ache sorgt f¨ ur 73% des Brechwertes des Auges. Unmittelbar hinter der Hornhaut befindet sich die Vorderkammer, ein kleiner Raum, der mit einer w¨ assrigen Fl¨ ussigkeit gef¨ ullt ist, die N¨ahrstoffe f¨ ur die Hornhaut enth¨ alt. Diese Fl¨ ussigkeit hat eine Brechzahl von 1,336, ¨ahnlich der von Wasser. Weil die Brechzahlen der Hornhaut und der Fl¨ ussigkeit in der Vorderkammer nahezu gleich sind, tritt nur eine geringe Brechung auf, wenn das Licht von der Hornhaut in die Vorderkammer eintritt. Den Abschluss der Vorderkammer bildet die Iris, eine Trennwand, die dem Auge seine charakteristische Farbe gibt und die Lichtmenge festlegt, die in das Auge eintritt. Die Menge und die Verteilung des Pigmentes in der Iris bestimmt, ob das Auge blau, gr¨ un, grau oder braun aussieht. Babies haben blaue Augen, weil noch keine Pigmente vorhanden sind. Damit u ¨ berwiegt die Rayleigh-Streuung. Die einstellbare ¨ Offnung in der Iris, durch die das Licht hindurchtritt, nennt man Pupille. Die Iris enth¨ alt zwei S¨ atze von Muskeln, die die Gr¨oße der Pupille in Abh¨angigkeit vom Außenlicht ver¨ andern, so dass der Durchmesser von einem Minimum von ungef¨ ahr 2 mm an einem hellen Sonnentag bis zu einem Maximum von ungef¨ahr ¨ 8 mm bei sehr geringer Helligkeit ver¨ andert werden kann. Wenn Arzte das Innere des Auges untersuchen, benutzen Sie Medikamente, z.B. Atropin, um die Pupille zu vergr¨ oßern. Nach dem Durchgang durch die Pupille f¨allt das Licht auf die Augenlinse, ein transparentes Gebilde, ungef¨ ahr von Gr¨ oße und Form einer essbaren Linse. Die Augenlinse sorgt f¨ ur die Feinabstimmung im Abbildungsprozess. Ihre Form wird so ge¨ andert, dass f¨ ur einen Gegenstand in bestimmter Entfernung ein scharfes Bild auf der Netzhaut entsteht. Die Form der Linse wird durch einen Ringmuskel kontrolliert, der durch Fasern mit der Peripherie der Linse verbunden ist. Wenn der Muskel entspannt ist, nimmt die Linse ihre flachste Form an, die f¨ ur die geringste Brechung der einfallenden Lichtstrahlen sorgt. In diesem Zustand ist das

7.1 Aufbau des Auges

207

Abb. 7.1. Vertikaler Schnitt durch das Auge

Auge auf entfernte Objekte eingestellt. Wenn sich der Muskel zusammenzieht, ¨andert sich die Linsenform. Die vordere (der Hornhaut n¨ahere) Linsenfl¨ache wird st¨ arker gekr¨ ummt und sorgt f¨ ur eine st¨ arkere Brechung des Lichtes, die hintere Linsenfl¨ ache ¨ andert die Kr¨ ummung nur wenig. Die Linse wird dabei um 0,5 mm dicker, der Kr¨ ummungsradius der vorderen Fl¨ache ver¨andert sich von 10 mm auf 5,3 mm, was einer Zunahme des Brechwertes um 14 dpt entspricht. Im angespannten Zustand ist das Auge auf Nahobjekte eingestellt. Die Linse selbst ist ein komplexes, zwiebel¨ahnliches Gebilde, das durch eine elastische Membran zusammengehalten wird. Wegen der laminatartigen Struktur der Linse ist die Brechzahl nicht homogen. Nahe dem Zentrum der Linse und auf der Achse ist die Brechzahl ungef¨ ahr 1,41, nahe der Peripherie f¨allt sie bis auf 1,38 ab (GRIN-Element). Nach der Brechung an der Linse tritt das Licht in die Hinterkammer und danach in den Glask¨ orper ein, eine transparente, gelartige Substanz deren Brechzahl (1,336) wieder nahe der von Wasser ist. Der strukturlose Glask¨orper enth¨alt kleine Gewebeteilchen, die als schwebende Teilchen durch das Gesichtsfeld laufen. Man sieht sie besonders gut, wenn man auf eine strukturlose weiße Wand schaut. Nach der Durchquerung des Glask¨ orpers erreichen die Lichtstrahlen schließlich die innere, hintere Wand des Auges, die Netzhaut. Die Netzhaut (Retina) ist mit einer Struktur von Photorezeptoren, die man St¨abchen und Zapfen nennt, bedeckt. Die langen d¨ unnen St¨ abchen, deren Zahl mehr als hundert Millionen betr¨ agt, sind nahe der Peripherie der Retina dichter angeordnet. Sie sind besonders f¨ ur schwaches Licht empfindlich, k¨ onnen allerdings nicht zwischen Farben un-

208

7 Optik des Auges

terscheiden. Die gr¨ oßeren Zapfen, weniger als zehn Millionen in der Zahl, h¨aufen sich bevorzugt nahe dem Zentrum der Retina in einem Gebiet von ungef¨ahr 3 mm Durchmesser, das man Macula (gelber Fleck, Macula Lutea) nennt. Im Gegensatz zu den Eigenschaften der St¨ abchen sind die Zapfen f¨ ur helles Licht und Farben sehr empfindlich, funktionieren aber nicht so gut bei schwachem Licht. Mit den Photorezeptoren sind drei verschiedene Typen von Nervenzellen (amakrine, bipolare und multipolare Zellen) verbunden, die die visuellen Impulse vorverarbeiten und zum Sehnerv u ¨bertragen. Der Sehnerv ist die einzige Verbindung, die visuelle Informationen von der Netzhaut zum Gehirn u ¨bertr¨agt. Zus¨ atzlich zu den optischen Schl¨ usselkomponenten, auf die das Licht entlang der Sehachse trifft, enth¨ alt das Auge noch andere Komponenten, die wir kennenlernen wollen. Wie in Abb. 7.1 zu sehen, ist das Auge mit einer z¨ahen weißen Schicht umh¨ ullt, der Lederhaut (Sklera), die eine ¨außere feste H¨ ulle des Augapfels aus derbem Bindegewebe darstellt. Innerhalb der Lederhaut liegt die Aderhaut, die ungef¨ ahr 4/5 des Auges zur R¨ uckseite hin bedeckt und die die meisten der Blutgef¨ aße enth¨ alt, u ¨ber die das Auge ern¨ahrt wird. Noch weiter zum Inneren des Auges hin liegt die Netzhaut, auf der wir die St¨abchen und Zapfen finden. Im Zentrum des gelben Flecks (Macula), schl¨afenw¨arts des Sehnervenkopfes, liegt die Netzhautgrube (Fovea centralis), das Gebiet der gr¨oßten Sehsch¨arfe. Wenn es notwendig ist, dass man etwas sehr scharf und detailliert betrachtet – z.B. wenn man einen kleinen Splitter mit einer Nadel entfernt –, so bewegt sich das Auge kontinuierlich, so dass das Licht, das von dem abzubildenden Gegenstand kommt, pr¨ azise auf die Netzhautgrube f¨allt, ein st¨abchenfreies Gebiet von ungef¨ ahr 200 µm Durchmesser. Im Gegensatz hierzu ist ein anderes kleines Gebiet der Netzhaut, das am Austrittspunkt des Sehnervs liegt, vollkommen unempfindlich f¨ ur Licht. Dieser Fleck, der keinerlei Photorezeptoren aufweist, wird deshalb blinder Fleck genannt.

7.2 Das Auge als optisches Instrument Wie wir schon gesehen haben, ist das normale biologische Auge von kugelf¨ormiger Gestalt, wobei die Entfernung von der Hornhaut zur Netzhaut ca. 22 mm betr¨agt. Die optischen Oberfl¨ achen, die im Wesentlichen zum Brechwert des Auges beitragen, sind: 1. die Grenzfl¨ ache zwischen Luft und Hornhaut (gr¨oßter Brechwert), 2. die Grenzfl¨ ache zwischen Vorderkammerfl¨ ussigkeit und Linse und 3. die Grenzfl¨ ache zwischen Linse und Glask¨orper. Zusammengefasst kann man das Auge recht einfach als d¨ unne Positivlinse darstellen, die eine ¨ aquivalente Bildbrennweite von 17 mm in Luft im entspannten Zustand (auf unendlich eingestellt) oder die Bildbrennweite 14 mm in Luft im

7.2 Das Auge als optisches Instrument

209

angespannten Zustand (Nahsehen) aufweist. Im Bem¨ uhen, die optischen Eigenschaften des Auges klarer darzustellen, hat man optische Augenmodelle entwickelt. Ein Augenmodell (nach H. v. Helmholtz und L. Laurance) ist in Abb. 7.2 gezeigt. Das Augenmodell stellt den entspannten Zustand des Auges dar. F¨ ur das angespannte Auge ¨ andert sich der Kr¨ ummungsradius der Linsenvorderfl¨ache von r = 10 mm auf r = 5,3 mm. In Verbindung mit Abb. 7.2 gibt Tabelle 7.1 die wichtigen optischen Grenzfl¨ achen an. Sie weist auf deren Entfernung vom Scheitel der Hornhaut auf der optischen Achse, Kr¨ ummungsradien, Brechzahlen und die Brechwerte der optischen Oberfl¨ achen von Hornhaut und Linse hin. Wir sehen, dass die Werte der Brechzahlen f¨ ur unterschiedliche Teile des Auges wie auch die Kr¨ ummungsradien der Oberfl¨ achen nicht mit den Werten des biologischen Auges selbst u ¨bereinstimmen.

Abb. 7.2. Darstellung des Augenmodelles nach v. Helmholtz, modifiziert durch Laurance. Die Definition der Symbole ist in Tabelle 7.1 angegeben

210

7 Optik des Auges Tabelle 7.1. Konstanten des Augenmodelles

Optische Ober߬ ache oder Element

Definition Entfernung Kr¨ ummungs- Brechzahl des Symbols vom Scheitel radius der der Oberfl¨ ache Hornhaut /mm /mm

Brechwert /dpt

Hornhautscheitel

S1

–

+8∗

–

+41,6

Linse (Einheit)

L

–

–

1,45

+30,5

–

+12,3

∗∗

Front߬ achenscheitel

S2

+3,6

+10

R¨ uckw¨ artiger Fl¨ achenscheitel

S3

+7,2

-6

–

+20,5

Auge (Einheit)

–

–

–

–

+66,6

Objektseitiger Brennpunkt

F

-13,04

–

–

–

Bildseitiger Brennpunkt

F


+22,38

–

–

–

Objektseitiger Hauptpunkt

H

+1,96

–

–

–

Bildseitiger Hauptpunkt

H


+2,38

–

–

–

Objektseitiger Knotenpunkt

K

+6,96

–

–

–

Bildseitiger Knotenpunkt

K


+7,38

–

–

–

Vorderkammer

VK

–

–

1,333

–

Glask¨ orper (Hinterkammer)

HK

–

–

1,333

–

Eingangspupille

EP

+3,04

–

–

–

Austrittspupille

AP

+3,72

–

–

–

∗ ∗∗

Die Hornhaut ist unendlich d¨ unn angenommen Wert f¨ ur das entspannte Auge. F¨ ur das vollst¨ andig akkomodierte Auge wird der Kr¨ ummungsradius der Frontfl¨ ache 5 mm

7.3 Funktion des Auges

211

7.3 Funktion des Auges Das Auge soll ein Abbild eines Objektes oder einer Szene auf der Retina erzeugen. Dies muss f¨ ur weit entfernte oder nahe Gegenst¨ande genauso wie in sehr hellem oder in schwachem Licht m¨ oglich sein. Um diesen Anforderungen gerecht zu werden, muss das Auge spezielle Funktionen aufweisen. Das Auge akkommodiert, um nahe oder weit entfernte Objekte zu sehen. Das Auge adaptiert, um Lichtsignale unterschiedlicher Helligkeit zu verarbeiten. Durch das r¨ aumliche Sehen kann die dreidimensionale Orientierung im Raum erfolgen. Die Sehsch¨arfe des Auges bestimmt, ob es ein getreues, detailliertes Bild eines externen Objektes erzeugen wird. Im Folgenden diskutieren wir jede dieser Funktionen ausf¨ uhrlich. Akkommodation Das Auge akkommodiert abh¨ angig von der Entfernung eines Gegenstandes vom Auge, um ein scharfes Bild auf der Netzhaut (Retina) zu erzeugen. Bei einem entfernten Gegenstand entspannt sich der Ziliarmuskel (Ringmuskel weitet sich), der um die Linse herum angeordnet ist, und die Linse nimmt eine flache Form an, wobei der Kr¨ ummungsradius der Linsenfl¨achen r1 = 10 mm und r2 = −6 mm betr¨ agt. Wenn sich der Gegenstand n¨ aher zum Auge befindet, so zieht sich der Ziliarmuskel zusammen und die (jugendliche) Linse strebt (aufgrund ihrer Eigenelastizit¨ at) zur Kugelform hin. Dies f¨ uhrt zu kleineren Kr¨ ummungsradien urzeren Brennweite. Dies erh¨oht den (r1 = 5,3 mm und r2 = −5,3 mm) und einer k¨ Brechwert der Linse und damit k¨ onnen nahe Objekte scharf abgebildet werden. Beim normalen Auge – bevor der normale Alterungsprozess der Linse ihre Elastizit¨ at und die F¨ ahigkeit, sich zu verformen, raubt – sorgt die Akkommodation f¨ ur ein getreues Abbild auf der Retina, sowohl f¨ ur weit entfernte Objekte (im Unendlichen) als auch bei nahen Objekten in einem Abstand von ungef¨ahr 25 cm. Die Grenzeinstellungen der Akkommodationsf¨ahigkeit sind die Fernpunktweite aR und die Nahpunktweite aP . Tabelle 7.2 zeigt die Verringerung der Akkommodationsf¨ ahigkeit (Erh¨ ohung der Nahpunktweite) mit dem Alter (Mittelwerte). Tabelle 7.2. Verringerung der Akkommodationsf¨ ahigkeit mit dem Alter, aR = Fernpunktweite = −∞, aP = Nahpunktweite, (1/aR − 1/aP ) = Akkommodationsbreite Alter in Jahren

10

20

30

40

50

60

70

80

aP in cm

-7

-9

-12

-21

-60

-120

-120

-120

14,3

11,1

8,3

4,8

1,7

0,8

0,8

0,8

(1/aR − 1/aP ) in dpt

212

7 Optik des Auges

Adaption Als Adaption bezeichnet man die F¨ ahigkeit des Auges, Lichtsignale zu verarbeiten, die von sehr schwachem bis zu sehr hellem Licht reichen, einem Bereich von Strahlungsfl¨ ussen, die sich um den erstaunlichen Faktor von ungef¨ahr 109 −16 (10 W= ˆ 500 Photonen/s bis 10−7 W) unterscheiden. Der Lichtstrom (Photonenstrom), der in das Auge eintritt, wird zun¨achst durch die Iris mit ihrer einstellbaren Apertur, der Pupille, geregelt. Der große Bereich von Lichtstr¨omen, der durch das Auge verarbeitet wird, kann nicht allein durch die Ver¨anderung des Pupillendurchmessers (von 8 mm bis zu 2 mm; dies entspricht einem Faktor 16 im Lichtstrom) erreicht werden. Vielmehr sind Photorezeptoren in der Netzhaut, St¨ abchen und Zapfen, und ihre spezifische Empfindlichkeit f¨ ur Licht f¨ ur die bemerkenswerte Adaption des Auges verantwortlich. Die Schl¨ usselkomponenten sind Pigmente, die in den St¨ abchen und in den Zapfen enthalten sind. Die St¨abchen, die f¨ ur das D¨ammerungssehen verantwortlich sind, enthalten ein Pigment, das Sehpurpur genannt wird. Die Zapfen sind f¨ ur Lichtsignale hoher Intensit¨ at und f¨ ur verschiedene Farben empfindlich. Sie enthalten drei verschiedene Sorten von Sehpigmenten, die rot-, gr¨ un- und blauempfindlich sind. Die zahlreichen d¨ unnen St¨ abchen (Gesamtzahl ca. 1,3 · 108 , Durchmesser ca. 2 µm) sind zusammengefasst mit einer Nervenfaser verbunden. Dies erm¨oglicht es, dass eines von hundert St¨ abchen eine einzelne Nervenfaser aktiviert. Die weniger zahlreichen und gr¨ oßeren Zapfen (Gesamtzahl ca. 7 · 106 , Durchmesser ca. 4 µm), die im Gebiet der Macula (gelber Fleck) angeordnet sind, sind einzeln mit einer Nervenfaser verbunden und wirken deshalb f¨ ur sich alleine. Die Aktivierung der Nervenfasern – der zentrale Prozess beim Sehen – h¨angt von chemischen Ver¨anderungen, die im Sehpigment stattfinden, ab. Wenn Licht auf die Photorezeptoren f¨ allt, wird das Sehpigment ausgebleicht. ¨ Die Anderung im Zustand des Sehpigmentes in den St¨abchen oder Zapfen ergibt ein elektrisches Ausgangssignal bzw. eine Nervenpulsrate. Diese elektrischen Impulse werden u ¨ ber den Sehnerv ins Gehirn u ¨bertragen. Wenn der Sehpurpur vollkommen ausgebleicht ist, werden die Photorezeptoren f¨ ur weitere Lichtsignale unempfindlich. Dann muss zun¨ achst eine Regeneration des Pigmentes in den St¨ abchen erfolgen, bevor sie wieder empfindlich werden. Das Sehpigment der St¨ abchen ist viel empfindlicher f¨ ur Licht als eines der drei Pigmente in den Zap¨ fen. Die Anderung vom D¨ ammerungssehen zum Sehen bei intensivem Licht besteht in dem Prozess der Adaption, bei dem die St¨abchenpigmente ausbleichen und damit die St¨ abchenrezeptoren unempfindlich werden. Das helle Licht wird dann von den weniger empfindlichen Zapfen weiter verarbeitet. Im Gegensatz dazu beinhaltet die Adaption von intensivem hellen Licht zu schwachem Licht die Regeneration des Pigmentes in den St¨abchen und die Wiederherstellung des Nachtsehens. Das St¨abchensehen ist wirksam bei Intensit¨ aten, die von Sternenlicht einer klaren, mondlosen Nacht bis zu Licht der Intensit¨ at des Viertelmondes reichen. Das Zapfensehen (die St¨abchen sind vollst¨andig

7.3 Funktion des Auges

213

ausgebleicht und nicht mehr wirksam) reicht von Lichtintensit¨aten der D¨ammerung bis zum hellsten Sonnenlicht. Im Zwischenbereich zwischen Viertelmond und D¨ ammerung sind sowohl St¨ abchen als auch Zapfen aktiv. R¨ aumliches Sehen Die F¨ ahigkeit, die Tiefe oder Position von Gegenst¨anden im dreidimensionalen Raum abzusch¨ atzen, nennt man stereoskopisches Sehen. Beim Menschen kommen die beiden Sehnervstr¨ ange von den Augen im Gehirn in der N¨ahe des optischen Chiasmas zusammen. Vom optischen Chiasma f¨ uhren die Nervenfasern, die von der rechten H¨ alfte jedes Auges kommen, zur rechten Hirnh¨alfte. Nervenfasern aus der linken H¨ alfte jedes Auges enden in der linken H¨alfte des Gehirns. Obwohl also jede H¨ alfte des Gehirns ein Bild von beiden Augen erh¨alt, formt das Gehirn daraus ein einziges Bild. Die Verschmelzung dieser beiden getrennten Bilder durch das Gehirn in ein einziges Bild erlaubt das beid¨augige Sehen. Die geringen Unterschiede zwischen den Bildern des linken und des rechten Auges sind die Basis des r¨aumlichen Sehens beim Menschen. Es sei hier bemerkt, dass sogar das ein¨ augige Sehen eine gewisse Tiefenwahrnehmung erlaubt. Dies ist u ¨ber die Bildverarbeitung, die im Gehirn stattfindet (plausible Schlussfolgerungen), m¨oglich, d.h. man erkennt die Parallaxe, Abschattungen und die besondere Perspektive vertrauter Objekte, die r¨aumliches Sehen erm¨oglicht. Beid¨ augiges Sehen ohne Doppelsehen erreicht man, wenn die Bilder eines Objektes auf korrespondierende Punkte jeder Netzhaut der beiden Augen fallen. Betrachtet man einen Gegenstand oder eine Szene, so bewegen sich die Aug¨apfel in der Weise, dass die Bilder auf die Netzhautgrube jedes Auges fallen. Die meisten Menschen sind entweder links- oder rechts¨augig, was bedeutet, dass ein Auge das andere f¨ uhrt. Um zu bestimmen, welches das F¨ uhrungsauge ist, k¨onnen wir den folgenden einfachen Test durchf¨ uhren: Wir halten bei ausgestrecktem Arm den Daumen auf Augenh¨ ohe. Wir lassen beide Augen ge¨offnet und richten den Daumen als Visierpunkt so aus, dass er vor der senkrechten Kante eines Bildes, einer T¨ ur, eines Fensters oder eines anderen Gegenstandes im Raum liegt. Wir lassen Arm und Daumen in dieser festen Position und schliessen jeweils ein Auge und halten das andere offen. Das F¨ uhrungsauge ist das Auge, f¨ ur das in ge¨ offnetem Zustand der Daumen auf der Visierlinie zum Referenzgegenstand hin bleibt. Sehsch¨ arfe Die Sehsch¨ arfe beschreibt die F¨ ahigkeit, Gegenst¨ande exakt (originalgetreu) zu sehen. Diese F¨ ahigkeit h¨ angt direkt vom Aufl¨osungsverm¨ogen ab. Man definiert das Aufl¨osungsverm¨ogen des Auges als das Reziproke des minimalen Sehwinkels wmin , unter dem zwei Linien oder Punkte noch als getrennt erkannt werden.

214

7 Optik des Auges

Das Aufl¨ osungsverm¨ ogen h¨ angt auch von der Gestalt der Objekte, dem Kontrast und der Beleuchtung ab. Im Normalfall werden zwei Punkte, die 75 µm voneinander entfernt sind, aus einem Abstand von 250 mm noch als getrennt erkannt. Dies entspricht ca. 4 Winkelminuten (4
). In der Ferne sind es 0,5
bis 1
. Bei der Betrachtung von Nonien (Linien), z.B. auf einer Schieblehre, kann man noch ca. 6 bis 12 µm Unterschied in der Position der beiden Striche aus einem Abstand von 250 mm erkennen, das entspricht ca. 5 bis 10 Winkelsekunden osungsverm¨ ogen h¨ angt von der Form des Objektes ab, weil (5

− 10

). Das Aufl¨ hierbei der Aufbau der Netzhaut (Mosaik) und die Bildverarbeitung des Gehirns mitwirken. Im Allgemeinen kann man sehr gut Asymmetrien feststellen, z.B. ob zwei Kreise konzentrisch oder nicht konzentrisch sind. Das Aufl¨osungsverm¨ogen des Auges oder die Sehsch¨ arfe l¨ asst sich auf eine weitere Weise messen. Den kleinsten Winkel, der durch Blockbuchstaben dargestellt wird, die von einer Tafel gelesen werden k¨ onnen, bezeichnet man als minimal lesbar“. Da die meisten von ” uns sich irgendwann einem Sehtest mit Hilfe von Sehtafeln unterziehen mussten, beschr¨ anken wir die Diskussion der Sehsch¨arfe hier auf die Bestimmung des Aufl¨ osungsverm¨ ogens aus den minimal lesbaren Pr¨ ufzeichen (Optotypen) auf Sehtafeln. Die Bestimmung der Sehsch¨ arfe wird nach der deutschen Fassung der Internationalen Normen DIN EN ISO 8596 und 8597 durchgef¨ uhrt (s. Deutsche Ophthalmologische Gesellschaft, www.dog.org/publikationen-sinnesphysiologie ur /quasiko kapitel1 102003.pdf). Der Teil 3 der DIN 58220 gilt weiterhin f¨ die gutachterliche Sehsch¨ arfebestimmung bei Fernblick. Das Normsehzeichen ist ausschließlich der Landolt-Ring in 8 Winkelstellungen. Die Leuchtdichte der Sehzeichen, des Pr¨ uffeldes, die Sch¨ arfe der Zeichen, die Abst¨ande der Zeichen voneinander und vom Rand des Pr¨ uffeldes, die Anzahl der Landoltringe mit geraden ¨ und schr¨ agen Offnungen und die Pr¨ ufentfernungen sind festgelegt. Der Kehr¨ wert der schmalsten Offnung im Landolt-Ring (gemessen in Bogenminuten des Sehwinkels), welche der Proband noch zweifelsfrei erkennen kann, ergibt den Zahlenwert der Sehsch¨ arfe (Visus). Menschen mit normalem Sehverm¨ogen k¨onnen im ¨ Durchschnitt noch Offnungen, die bei gegebener Sehweite einem Sehwinkel von
¨ von 1 entsprechen, erkennen. Dies entspricht der Beobachtung einer Offnung 1,46 mm aus 5 m Abstand und wird als ein Visus von 1 oder 100% definiert. Eine ¨ Person, die die Offnung nur unter einem Sehwinkel von 2
(1,46 mm aus 2,5 m Abstand) erkennen kann, hat einen Visus von 0,5 oder 50%. Abbildung 7.3 zeigt ¨ den normierten Landolt-Ring (Strichst¨ arke d, Offnung d und Durchmesser 5d). Die historische Sehtafel wurde von dem holl¨andischen Augenarzt Hermann Snellen entwickelt. Nach Snellen sind die Buchstaben auf dieser so konstruiert, dass die Blockgr¨ oße eines Buchstabens, gemessen von oben nach unten oder von Seite zu Seite aus der Testentfernung unter einem Winkel von 5
gesehen wird. Die Linien innerhalb eines Buchstabens, so z.B. der vertikale Strich in dem Buchstaben T oder der horizontale Strich in dem Buchstaben H, sind alle so konstruiert,

7.3 Funktion des Auges

215

dass die Breite jedes Striches aus der Testentfernung unter einem Winkel von 1
gesehen wird. Diese beiden Winkelwerte entnahm Snellen aus den Daten, die f¨ ur die Strichaufl¨ osung“ des Auges gelten. Nach Snellen kann das normale“ ” ” Auge gerade noch einen Buchstaben unter einem Sehwinkel von 5
aus einer Entfernung von 6 m aufl¨ osen (s. hierzu Abb. 7.4). In diesem Fall wird das Auge als normal“ bezeichnet, und die Sehsch¨arfe (Visus, Norm-Fernvisus) betr¨agt ” VF = 6 m/6 m = 100%.

Abb. 7.3. 3 Landolt-Ring mit Strichst¨ arke d

Auf der Sehtafel werden Snellen-Buchstaben verschiedener Gr¨oße benutzt, die der Messung der Sehsch¨ arfe dienen. Ein sehr großer Buchstabe ist f¨ ur ein normalsichtiges Auge unter einem Winkel von 5
bzw. 1
(Buchstabendetail) aus einer Testentfernung von z.B. 9 m lesbar. Die Gr¨ oße anderer Buchstaben wird proportional zur Testentfernung gew¨ ahlt. Sie erscheinen dann unter den Sehwinkeln von ur andere ausgew¨ ahlte Entfernungen, wie z.B. 60 m, 30 m, 24 m usw. 5
bzw. 1
f¨ bis zu 3 m. Wenn die Buchstaben von einer Testperson aus einer Testentfernung von 6 m (auch 5 m-Sehtafeln sind gebr¨ auchlich) gelesen werden, so misst man die Sehsch¨ arfe in Einheiten der Snellen-Br¨ uche. Der Z¨ahler des Snellen-Bruches bedeutet die festgelegte Testentfernung und der Nenner die Normentfernung, bei der der Buchstabe unter einem Winkel von 5
erscheint. Ist z.B. der große Blockbuchstabe E, der unter einem Winkel von 5
in einer Entfernung von 90 m erscheint, f¨ ur eine Testperson in 6 m Entfernung von dem Buchstaben gerade lesbar, so bezeichnet man die Sehsch¨ arfe als 6 m/90 m. Ein Snellen-Bruch von 6 m/90 m bedeutet, dass die Testperson schlecht sieht, da sie nur aus der kleinen Entfernung von 6 m das lesen kann, was eine normalsichtige Person aus einer Entfernung von 90 m scharf sieht. Die normale, durchschnittliche Sehsch¨arfe ist arfen von VF = 7,5 m/6 m = 1,25 (125%) VF =6 m/6 m = 1,0 (100%), aber Sehsch¨ sind m¨ oglich.

216

7 Optik des Auges

Abb. 7.4. Konstruktion des Buchstabens H f¨ ur die Snellensche Sehtafel zur Messung der Sehsch¨ arfe. Der obere Teil der Abbildung zeigt einen Teil einer Sehtafel, die den Buchstaben H und einige andere Buchstaben enth¨ alt

7.4 Augenfehler und ihre Korrektur Die paraxialen Abbildungsfehler bei der Lichtbrechung durch das Auge f¨ uhren zu drei gut bekannten Anomalien beim Sehen: Kurzsichtigkeit (My¨ opie), Ubersichtigkeit (Hyperopie, Weitsichtigkeit) und Astigmatismus. Die beiden ersten Defekte sind in der Regel auf einen abnorm geformten Augapfel zur¨ uckzuf¨ uhren, der in der axialen Richtung zu lang oder zu kurz ist. Jede Abweichung von der normalen L¨ ange bewirkt, dass die kombinierten brechenden Elemente, Hornhaut und Linse, kein scharfes Bild des Objektes auf der Netzhaut f¨ ur weit entfernte oder nahe Gegenst¨ ande erzeugen k¨onnen. Astigmatismus, der dritte Defekt, r¨ uhrt von einer gr¨ oßeren ungleichm¨aßigen oder asymmetrischen Kr¨ ummung von brechenden Fl¨ achen des Auges, oftmals der Hornhautoberfl¨ache, her. Der Astigmatismus ist auch beim normalsichtigen Auge bereits in leichter Form vorhanden. Dies macht eine gleichzeitige scharfe Abbildung von Lichtstrahlen, die auf das ganze Auge fallen, unm¨ oglich. Die Augenfehler treten einzeln oder auch in der Kombination mit Astigmatismus auf, sie sind jedoch durch entsprechende ¨ außere optische Elemente (Brille oder Kontaktlinsen) korrigierbar.

Abb. 7.5. Vergleich des normalsichtigen und kurzsichtigen Auges und optische Korrektur. In der Abbildung ist die Brechung durch die Augenlinse nicht gezeigt. Die Abk¨ urzungen haben folgende Bedeutung: N.N.P. = normaler Nahpunkt; M.N.P. = myoper Nahpunkt; M.F.P. = myoper Fernpunkt

7.4 Augenfehler und ihre Korrektur 217

218

7 Optik des Auges

Zur Beurteilung der Abweichung einer Fehlsichtigkeit von der Norm beziehen wir uns auf das normale“ Auge, das im linken Teil der Abb. 7.5 dargestellt ist. ” Durch die Akkommodation kann das normalsichtige Auge ein scharfes Abbild von Gegenst¨ anden erzeugen, die zwischen der Fernpunktweite aR , normalerweise aR = −∞ (vgl. Abb. 7.5 a) und der Nahpunktweite aP , normalerweise aP = −25 cm, f¨ ur einen jungen Erwachsenen liegen. Wenn das normale Auge auf das Unendliche fokussiert ist (entfernte Gegenst¨ande), so tritt paralleles Licht in das entspannte Auge ein und erzeugt ein scharfes Bild (s. Abb. 7.5 a). Wenn das Auge auf den Nahpunkt fokussiert ist, trifft divergentes Licht auf das angespannte Auge (vollst¨ andig akkommodiert) und erzeugt ein scharfes Bild auf der Netzhaut (s. Abb. 7.5 b). Kurzsichtigkeit (Myopie) Verglichen mit einem normalsichtigen Auge ist ein myopes oder kurzsichtiges Auge gew¨ ohnlich in axialer Richtung l¨anger, als die normale L¨ange von 22 mm. Als Folge hiervon (s. Abb. 7.5 c) erzeugt das kurzsichtige Auge ein scharfes Bild eines entfernten Objektes, das vor der Netzhaut liegt, und damit nat¨ urlich auf der Netzhaut ein unscharfes Bild. Mit dem nicht akkommodierten kurzsichtigen Auge werden erst dann scharfe Netzhautbilder erzeugt, wenn das Objekt vom Unendlichen aus die myope Fernpunktweite erreicht hat. Dies ist die gr¨oßte Weite, f¨ ur die scharfes Sehen (Abb. 7.5 d) m¨ oglich ist. Das myope Auge kann f¨ ur kleinere Gegenstandsweiten als die Fernpunktweite durch Akkommodation scharf sehen, sogar f¨ ur Punkte, die n¨ aher als der normale Nahpunkt (s. Abb. 7.5 e) sind. Da die Winkelvergr¨ oßerung mit der N¨ ahe zum Auge hin zunimmt, hat das myope Auge den Vorteil u berlegener Vergr¨ o ßerung f¨ ur Objekte, die nahe an das Auge gehalten ¨ werden. (Es kann daher f¨ ur einen Uhrmacher von Vorteil sein, wenn er kurzsichtig ist, zumindest w¨ ahrend der Arbeitsstunden.) Eine kurzsichtige Person hat einen kleineren Akkommodationsbereich (s. Tab.7.2) und im Vergleich mit einer normalsichtigen Person einen n¨ aheren Fernpunkt und einen n¨aheren Nahpunkt. Die ver¨ anderte Lage des Nahpunktes ist sicherlich ein Vorteil, der zu nahe liegende Fernpunkt ist jedoch ein entscheidender Nachteil und muss korrigiert werden. Die Kurzsichtigkeit wird durch Brillen mit Negativlinsen (Zerstreuungslinsen) korrigiert, die den myopen Fernpunkt in die normale Position (a = ∞) bringen. Abbildung 7.5 f zeigt die korrigierte Sicht von weit entfernten Gegenst¨anden. Wir erkennen, dass, soweit es die Optik des Auges selbst betrifft, das Licht von entfernten Objekten von dem eigenen myopen Fernpunkt auszugehen scheint. In ¨ ahnlicher Weise illustriert die Abb. 7.5 g die korrigierte Nahsicht f¨ ur partielle Akkommodation. Um einen Eindruck vom Brechwert der Negativlinsen zu bekommen, die man ben¨ otigt, um Kurzsichtigkeit zu korrigieren, betrachten wir das folgende Beispiel:

7.4 Augenfehler und ihre Korrektur

219

Beispiel 7.1 Brille zur Korrektur der Kurzsichtigkeit Eine kurzsichtige Person (ohne Astigmatismus) hat eine Fernpunktweite von aR = −100 cm und eine Nahpunktweite von aP = −15 cm. 1. Welche Korrekturlinsen sollte ein Augenarzt verschreiben oder ein Augenoptiker anpassen, um den myopen Fernpunkt ins Unendliche zu verschieben? 2. Kann die kurzsichtige Person mit dieser Korrektur ein Buch, das am normalen Nahpunkt mit aP = −25 cm gehalten wird, gut lesen? L¨ osung 1. Aus der Abb. 7.5 f und der Gleichung f¨ ur die d¨ unne Linse erhalten wir
mit a → −∞ und a = −100 cm 1 1 1 − =
a
a f

oder

1 1 1 − =
−100 cm ∞ f

Dies ergibt f
= −100 cm. Die Linsen der Brille sollten deshalb eine urde eine Bildbrennweite von f
= −100 cm haben. Der Augenarzt w¨ Brille mit einer Korrektur von −1,00 Dioptrien verschreiben. 2. Aus der Abb. 7.5 g und der Abbildungsleichung f¨ ur die d¨ unne Linse mit f
= −100 cm und a = −25 cm erhalten wir die Bildweite a
: 1 1 1 − =
a −25 cm −100 cm Dies ergibt a
= −20 cm. Wir sehen, dass das virtuelle Bild eines Gegenstandes, der bei a = −25 cm gehalten wird, durch die Brille in einem Abstand von 20 cm vor dem Auge erzeugt wird. Da die kurzsichtige Person Gegenst¨ ande bis zu einer Entfernung von a = −15 cm vom Auge scharf sehen kann, ist das virtuelle Bild des Gegenstandes, das durch die Linse bei a = −20 cm Entfernung erzeugt wird, ohne Schwierigkeiten zu sehen. Tats¨ achlich k¨ onnen wir aus der Abbildungsgleichung mit a
= −15 cm (myope Nahpunktweite einer Person) und f
= −100 cm die Objektweite a = −17,6 cm berechnen. Dies bedeutet, dass die kurzsichtige Person mit Brille selbst Objekte in einer Entfernung von 17,6 cm noch scharf sehen kann.

¨ Ubersichtigkeit (Hyperopie, Weitsichtigkeit) Das u urzer als das normalsich¨bersichtige oder hyperope Auge ist gew¨ohnlich k¨ tige Auge. W¨ ahrend das myope Auge zu viel Konvergenz in seinem optischen System hat und deswegen eine Zerstreuungslinse zur Korrektur der zu starken

220

7 Optik des Auges

Brechung ben¨ otigt, hat das hyperope Auge eine zu geringe Konvergenz und erfordert eine Sammellinse, um die Brechung zu verst¨arken. Analog zu Abb. 7.5 zeigt Abb. 7.6 die Defekte und die Korrektur, die f¨ ur das weitsichtige Auge auftreten. In Abb. 7.6 a sehen wir das Licht von einem entfernten Objekt, das in das entspannte Auge eintritt und hinter der Netzhaut fokussiert wird, was ein verschwommenes Bild auf der Netzhaut ergibt. Abbildung 7.6 b zeigt, dass das hyperope Auge so akkommodieren kann, dass entfernte Gegenst¨ande scharf gesehen werden. In Abb. 7.6 c erkennt man, dass der hyperope Nahpunkt weiter entfernt als der normale Nahpunkt entfernt ist. Daraus ergibt sich, dass Gegenst¨ ande, die n¨ aher sind als der hyperope Nahpunkt, sogar bei voller Akkommodation nicht mehr scharf auf die Netzhaut abgebildet werden k¨onnen. Die Korrekturmaßnahme durch die Brille mit Positivlinsen ist in den Abb. 7.6 d und 7.6 e gezeigt. Das korrigierte Auge sieht jetzt entfernte Objekte ohne Akkommodation deutlicher und am normalen Nahpunkt befindliche Gegenst¨ande sind bei voller Akkommodation ebenfalls scharf abgebildet. Wir wollen nun sehen, wie ein Augenarzt die Brechwerte der Brillenlinsen zur ¨ Korrektur der Ubersichtigkeit ermitteln k¨ onnte. ¨ Beispiel 7.2 Brille zur Korrektur der Ubersichtigkeit Die Nahpunktweite einer u ¨ bersichtigen Person wird zu aP,H = −150 cm bestimmt. Welche Korrekturlinsen werden ben¨otigt, damit diese Person Gegenst¨ ande in der normalen Nahpunktweite (aP = 25 cm) scharf erkennen kann? L¨ osung Aus Abb. 7.6 e und der Gleichung der d¨ unnen Linse mit a = −25 cm und a
= −150 cm kann man die Bildbrennweite der Linse bestimmen: 1 1 1 − =
−150 cm −25 cm f Die Berechnung ergibt f
= 30 cm und hieraus den Brechwert D = 1/f
= 3,3 m−1 . Mit einer Brille dieser St¨arke kann die weitsichtige Person nun auch Objekte in -25 cm Abstand vom Auge scharf sehen.

Astigmatismus Das astigmatische Auge hat in unterschiedlichen Meridianen eine ungleiche Kr¨ ummung der Oberfl¨ achen der brechenden Elemente, u ¨ berwiegend der Hornhaut. Der Kr¨ ummungsradius der Hornhautoberfl¨ache in zwei Ebenen, die die optische Achse enthalten, ist verschieden. Diese Asymmetrie f¨ uhrt zu verschiedenen Brechwerten und folglich zur Fokussierung des Lichtes in verschiedenen Entfernungen von der Netzhaut, dies bedeutet eine verschwommene Abbildung.

7.4 Augenfehler und ihre Korrektur

221

Abb. 7.6. Fehlfunktion des u ¨bersichtigen Auges und optische Korrektur. In der Abbildung ist die Brechung durch die Augenlinse nicht gezeigt. Die Abk¨ urzungen haben folgende Bedeutung: H.N.P. = hyperoper Nahpunkt, N.N.P. = normaler Nahpunkt

Wenn die zwei Ebenen orthogonal zueinander sind, so nennt man diesen Defekt regul¨aren Astigmatismus, eine Fehlsichtigkeit, die durch geeignete Brillen korrigiert werden kann. Wenn die beiden Ebenen nicht orthogonal sind, eine seltene Fehlsichtigkeit, die man irregul¨aren Astigmatismus nennt, ist diese Anomalie nicht einfach zu korrigieren. Der regul¨ are Astigmatismus wird durch das Anbringen eines Zylinderschliffs auf der r¨ uckseitigen Fl¨ache der entsprechenden Brillenlinse korrigiert. Nehmen wir z.B. an, dass der Brechwert in der vertikalen Ebene der Hornhaut um 1 Dioptrie gr¨ oßer ist als der Brechwert in der horizontalen Ebene. Dies bedeutet, dass die Hornhautoberfl¨ache st¨arker in der vertikalen Ebene gekr¨ ummt ist und dass vertikal orientierte Details eines Objektes n¨aher an der Hornhaut fokussiert werden als horizontal orientierte. Betrachten wir eine zylindrische Oberfl¨ ache mit einem Brechwert von −1 Dioptrie in der vertikalen“ Ebene. Da ein Zylinder keine Kr¨ ummung in Achsenrich” tung hat, weist diese Oberfl¨ ache keinen Brechwert in der horizontalen Ebene

222

7 Optik des Auges

auf. Wenn man eine solche Oberfl¨ ache bei der Brillenlinse verwendete wird diese Linse die Fehlsichtigkeit, die durch die Hornhaut erzeugt wird, kompensieren und die Brechwerte in beiden Ebenen angleichen. Der korrigierte Astigmatisur die meisten von uns tritt mus erzeugt eine anamorphotische Abbildung 1 . F¨ ¨ Sehunsch¨ arfe durch Astigmatismus zusammen mit Kurzsichtigkeit oder Ubersichtigkeit auf. Die Kurzsichtigkeit selbst bewirkt ein unscharfes Bild von entfernten Objekten. Der Astigmatismus verst¨ arkt das Problem, indem er eine zus¨atzliche Unsch¨ arfe in einer Ebene hinzuf¨ ugt. Die Korrektur beider Fehlsichtigkeiten wird durch sph¨ arisch/zylindrische Linsen bewirkt. Die sph¨arische Oberfl¨ache dient zur Korrektur der Kurzsichtigkeit und die zylindrische zur Korrektur des Astigmatismus. Wenn Augen¨ arzte eine Brille zur Korrektur des myopen oder hyperopen Astigmatismus verschreiben, geben sie in der Regel drei Zahlen an. F¨ ur den myopen Astigmatismus k¨ onnten die drei Zahlen wie folgt lauten: −2,00; −1,00; 180◦ . F¨ ur den hyperopen Astigmatismus k¨ onnte die Brillenverschreibung so aussehen: +2,00; −1,50; 180◦ . Die erste Zahl bezeichnet den Brechwert der Kugelfl¨ache in den Einheiten dpt (m−1 ), die zweite Zahl den Brechwert der Zylinderfl¨ache in dpt und die dritte Zahl die Orientierung der Zylinderachse, wobei spezifiziert wird, ob die Achse des Zylinders vertikal, horizontal oder dazwischen liegt. In der optometrischen Notation wird die horizontale Achse als 180◦ -Achse bezeichnet, oder einfach 180◦“ ” und die vertikale Achse als 90◦“. ” Abbildung 7.7 zeigt die optischen Bedingungen, die zu den Verschreibungen f¨ ur den myopen und hyperopen Astigmatismus geh¨oren. F¨ ur den Fall des myopen Astigmatismus, Abb. 7.7 a, ist die Hornhautoberfl¨ache offensichtlich weniger stark in der horizontalen Ebene (Brechwert = 45,00 dpt) gekr¨ ummt als in der vertikalen (Brechwert = 46,00 dpt). Die myope Korrektur, die immer in der Ebene des kleinsten Brechwertes gemessen wird, betr¨agt in diesem Fall -2,00 dpt in der horizontalen Ebene. Die astigmatische Korrektur durch einen Zylinder mit horizontaler Achse (180◦ ) wird zu -1,00 dpt bestimmt. Abbildung 7.7 b zeigt die entsprechende Verschreibung f¨ ur den hyperopen Astigmatismus. Wir sehen, dass eine sph¨ arische Korrektur von 2,00 dpt ben¨otigt wird, um die Hyperopie zu beseitigen und eine zylindrische Korrektur von −1,50 dpt entlang der vertikalen Ebene (180◦ ) eingesetzt wird, um die Brechwerte in den beiden orthogonalen Ebenen anzugleichen. 1

Bei der anamorphotischen Abbildung fallen die bildseitigen Brennweiten zusammen. Die Brennweiten und damit die Lagen der Hauptebenen, sowie die Abbildungsmaßst¨ abe in Meridional- und Sagittalschnitt sind verschieden

7.5 Lasertherapie

223

Abb. 7.7. Beispiel f¨ ur myopen und hyperopen Astigmatismus und die korrigierenden Brillenverschreibungen. a) Messung in der 180◦ -Ebene ergibt −2,00 dpt Myopie. Die Brillenverschreibung ist −2,00; −1,00; 180◦ . b) Messung in der 180◦ -Meridianebene ergibt +2,00 dpt Hyperopie. Die Brillenverschreibung ist +2,00 −1,50; 180◦ . Wenn der entsprechende Zylinderschliff auf der R¨ uckseite des Brillenglases angebracht wird, reduziert die Korrektur von −1,00 dpt den Brechwert in der vertikalen Ebene von 46,00 dpt auf 45,00 dpt, macht deshalb die Brechwerte in den beiden Ebenen gleich und beseitigt den Hornhaut-Astigmatismus

7.5 Lasertherapie Nicht alle Fehlsichtigkeiten k¨ onnen mit den geeigneten Brillengl¨asern optisch korrigiert werden. Es gibt organische Defekte, die sogar eine Operation erfordern. Als ausgezeichnetes Hilfsmittel im Operationsraum hat sich der Laser (s. Kap. 21, 23) bew¨ ahrt und er wird bei der Behandlung von Augendefekten erfolgreich eingesetzt. Gepulste und kontinuierliche Laserstrahlen werden zur Zeit verwendet, um Glaukome (gr¨ uner Star), Netzhautblutungen, Degenerationen der Macula (gelber Fleck auf Netzhaut), Netzhautdefekte und tr¨ ube intraokulare Membranen zu behandeln. Der gr¨ une Star, eine Krankheit des Auges, die mit erh¨ohtem Fl¨ ussigkeitsdruck innerhalb des Auges einhergeht und allm¨ahlich zur Blindheit f¨ uhrt, wird mit dem Argon-Ionenlaser und dem Neodym-Yttrium-Aluminium-Granat(Nd:YAG) Laser behandelt. Die Behandlung besteht in der Reparatur der Defekte im Auge, die den erh¨ ohten Druck verursachen. ¨ Man benutzt den Laser, um verstopfte Offnungen zu ¨offnen oder um neue Kan¨ ale f¨ ur besseren Fl¨ ussigkeitsaustausch im Auge herzustellen. Der Laser wird auch f¨ ur die Behandlung der Retinopathia diabetica, einer Ursache f¨ ur Blindheit, eingesetzt. Um die organischen Fehler zu beheben, setzt man die thermische Energie des Laserstrahls ein, um Tausende von kleinen Brandwunden an der R¨ uckseite der Netzhaut anzubringen. Man verhindert dadurch das gef¨ahrliche Wachstum oder den Riss von neuen nicht ben¨ otigten Blutgef¨aßen (Neovaskularisation). Man benutzt die thermische Wirkung des Laserstrahls zur Koagulation der Netzhaut

224

7 Optik des Auges

oder im Bereich von Netzhautl¨ ochern, um eine Netzhautabl¨osung zu verhindern. Diese Methode war die erste erfolgreiche Anwendung des Lasers in der klinischen Medizin. Der Excimer-Laser, der im tiefen Ultraviolett (λ ≈ 200 nm) Strahlung liefert, bietet technische Vorteile, um die Hornhaut in ihrer Form zu ver¨andern, wie z.B. zur Korrektur der Myopie (radiale Keratotomie). Der Nd:YAG-Laser wird am h¨ aufigsten in der Augentherapie eingesetzt, wobei z.B. interne Membranen zerst¨ ort werden. Nach der Operation des grauen Stars – Entfernung der Katarakt-behafteten Linse und Ersatz durch ein Plastikimplantat – kommt es vor, dass bestimmte Membranen, die die neue Linse an ihrem Platz halten, undurchsichtig werden und damit das Licht entlang der Sehachse blockieren. In einem Korrekturverfahren wird ein hochenergetischer Laserstrahl auf einen Punkt nahe der opaken Membran fokussiert. Aufgrund der enormen Leistungsdichten (Intensit¨ aten) im Laserstrahl erfolgt eine Ionisation des optischen Mediums, dem eine ¨ akustische Stoßwelle folgt. Der Uberdruck, der hierbei entsteht, zerreißt die Membran und gestattet den ungehinderten Durchgang des Lichtes, die Sicht ist wieder hergestellt. Die radiale Keratotomie und die Hinterkammer-Chirurgie werden in den folgenden Abschnitten ausf¨ uhrlicher behandelt. Radiale Keratotomie Bei der radialen Keratotomie f¨ uhrt man radiale Schnitte an der Hornhaut eines zu großen myopen Augapfels (s. Abb. 7.8) aus. Nachdem die Schnitte verheilt sind, wird die Hornhaut flacher. Hierdurch l¨asst sich wieder normale oder fast normale Sicht des Auges herstellen. Dieses Verfahren, das nur von einem erfahrenen Augenarzt durchgef¨ uhrt werden kann, wurde 1972 in der Sowjetunion entdeckt. Man erz¨ ahlt, dass ein ziemlich kurzsichtiger Sowjetb¨ urger namens Boris Petrow in eine Keilerei auf einem Schulhof in Moskau verwickelt war. Dabei traf ein kr¨ aftiger Faustschlag seine dicken Brillengl¨aser und zerbrach diese in viele Teile. Einige dieser Glasst¨ ucke ritzten tats¨achlich die Hornhaut von Boris in einem regelm¨ aßigem radialen Muster, ohne jedoch die Hornhaut zu durchdringen. Der sowjetische Augenarzt N. Fjodorow, der den jungen Mann behandelte, hatte nicht viel Hoffnung, dass das Auge wieder heilen w¨ urde, obwohl die Schnitte nur oberfl¨ achlich waren. Erstaunlicherweise heilte jedoch die Hornhautoberfl¨ache mit allen Schrammen und wurde dabei flacher, was das Verschwinden der Myopie bedeutete. Der junge Mann sah ohne Brille besser als jemals zuvor. Fjodorow erkannte die Bedeutung dessen, was er beobachtete und entschied sich, unter kontrollierten Bedingungen das zu wiederholen, was die Natur und eine Faust so unkontrolliert vollbracht hatten. Diese radiale Keratotomie wird nun mit einem speziellen Skalpell durchgef¨ uhrt. Die kurzfristigen Resultate waren sehr erfreulich. Ob die Operationen jedoch langfristig erfolgreich sind, muss sich im Laufe der Zeit erweisen. Es kommt vor, dass statt der Myopie nun Astigmatismus in verst¨ arkter Form auftritt.

7.5 Lasertherapie

225

¨ Abb. 7.8. Beseitigung der Myopie durch Anderung der Kr¨ ummung der Hornhaut mittels radialer Keratotomie. a) Frontansicht mit radialen Schnitten, b) Seitenansicht vor und nach den Schnitten

Heute wird bei dieser Methode ein Laser eingesetzt. Da die Hornhaut reichlich Wasser enth¨ alt, hat sie eine sehr große Absorptionskonstante f¨ ur Infrarotstrahlung bei 10,6 µm (CO2 -Laser) und ultraviolette Strahlung unterhalb 400 nm. Abbildung 7.9 gibt die relative Absorption von Laserlicht f¨ ur einige Wellenl¨angen beim Durchgang durch eine Schicht von 1 mm Dicke aus Wasser (gestrichelte Kurve) oder H¨ amoglobin (durchgezogene Kurve) an. Wir erkennen, dass bei 10,6 µm der Absorptionsgrad fast 100% betr¨agt, was bedeutet, dass die CO2 Laserstrahlung durch die Hornhaut stark absorbiert wird. Wir sehen auch, dass die Strahlung des Argonionen-Lasers oder des frequenzverdoppelten Nd:YAGLasers bei λ ≈ 500 nm im H¨ amoglobin stark absorbiert wird, was diese beiden zu ausgezeichneten Kandidaten f¨ ur die Photokoagulation macht. Der HochleistungsLaserstrahl wird fast vollst¨ andig durch das Hornhautgewebe absorbiert, kerbt die Hornhaut und erzeugt einen sauberen Schnitt oder eine trogf¨ormige Mulde, die ungef¨ ahr von der Breite des Laserstrahls ist. Das Laserskalpell“, das bei der ra” dialen Keratotomie benutzt wird, hat eine Breite von 50 bis 100 µm. CO2 -Laser kann man bis auf 50 µm fokussieren und Excimer-Laser sogar auf noch kleinere Durchmesser. Abbildung 7.10 zeigt einen histologischen Schnitt (100-fache Vergr¨ oßerung) eines Laserschnittes, der mit einem CO2 -Laser in der Hornhaut eines Kuhauges durchgef¨ uhrt wurde. Die mittlere Leistung des Laserstrahles betrug 0,5 W, dieser wurde auf einen Brennfleck von 50 µm fokussiert. In 20 Durchg¨angen f¨ uhrte der Laser einen Schnitt von ungef¨ ahr 60 µm Breite und 400 µm Tiefe aus.

226

7 Optik des Auges

Abb. 7.9. Absorption des Laserlichtes in Augengewebe. Die prozentuale Absorption ist f¨ ur eine Schichtdicke von 1 mm Wasser (gestrichelte Kurve) und 1 mm H¨ amoglobin (durchgezogene Kurve) angegeben. Wir erkennen, dass die Hornhaut bei 10,6 µm fast vollst¨ andig undurchl¨ assig und bei 1,06 µm gut durchl¨ assig ist

Wenn man die Breite des Laserstrahles geeignet einstellt und die Strahlleistung kontrolliert, sollte es m¨ oglich sein, saubere radiale Schnitte der gew¨ unschten Breite und Tiefe in der Hornhautoberfl¨ ache durchzuf¨ uhren. Ein solcher Vorgang ist mittels Mikroprozessoren steuerbar und w¨ urde genau die Anzahl und Art der Schnitte produzieren, die notwendig w¨ aren, die Myopie zu beseitigen, ohne einen Astigmatismus zu erzeugen. Mit dem Excimer-Laser kann man mittels Laserablation bei geringer thermischer Einwirkung die Hornhaut direkt abtragen. Bei der Ablation wird die chemische Bindung durch die hohe Energie des Photons (λ ≈ 200 nm) direkt aufgebrochen. Das Material wird nicht durch Zufuhr von W¨armeenergie verdampft. Schwachpunkt der Behandlung ist die genaue Vermessung des Brechwertes des Auges vor der Operation und die daraus folgende Art und Weise der Form¨ande-

7.5 Lasertherapie

227

Abb. 7.10. 100 fache Vergr¨ oßerung eines Laserschnittes in der Hornhaut eines Kuhauges. Die kleinste Skalenteilung betr¨ agt 5 µm

rung, die durchzuf¨ uhren ist. Insgesamt gesehen ergibt sich jedoch ein Hoffnungsschimmer f¨ ur Personen mit Kurzsichtigkeit. Vielleicht ist in einigen Jahren eine permanente Korrektur m¨ oglich. Hinterkammer-Chirurgie In einem anderen Verfahren, das man Hinterkammer-Chirurgie nennt, wird ein Nd:YAG-Laser benutzt, um undurchsichtige Membranen auf der optischen Achse des Auges, die nach einer Star-Operation“ und Ersatz der nat¨ urlichen Augenlin” se durch ein Kunststoffimplantat verbleiben k¨onnen, zu zerreissen. Der gepulste Nd:YAG-Laser emittiert einen Laserstrahl von λ = 1,06 µm, der durch die Hornhaut, den Glask¨ orper und die Linse praktisch ohne Absorption hindurchgeht (s. Abb. 7.9, geringe Absorption bei 1,06 µm). Der intensive Laserstrahl dringt in den vorderen Teil des Auges ein und wird unmittelbar hinter der Linse scharf fokussiert, ca. 4 mm von der Frontfl¨ ache der Hornhaut entfernt (s. Abb. 7.11). An dieser Stelle befindet sich die tr¨ ube (opake) Membran, der hintere Teil der Kapsel, die vorher die tr¨ ube Linse enthielt und in dem sich nun eine Kunststofflinse befindet. Vor Einsatz der Laserchirurgie wurde die opake Membran mit chirurgischen Instrumenten entfernt. Zus¨ atzlich zu dem Trauma, das mit der Operation verbunden ist, war diese Art der Chirurgie des Augapfels immer mit dem Risiko des Eindringens von Fremdk¨ orpern und der erh¨ohten Gefahr von Infektionen verbunden. Diese Nachteile vermeidet man bei der Nd:YAG-Laser-Chirurgie, die ambulant am Patienten in einigen Minuten durchgef¨ uhrt wird. Die nicht invasive Laseroperation wurde durch D. Aron-Rosa in Paris und durch F. Frankhauser in Bern begr¨ undet. Die Hinterkammer-Chirurgie, wie sie zur Zeit durchgef¨ uhrt wird, benutzt einen fokussierten, kurzen Puls der 1,06 µm Laserstrahlung. Der

228

7 Optik des Auges

Abb. 7.11. Seitenansicht eines Nd:YAG-Laserstrahls, der auf die Linsenkapsel fokussiert ist

Puls wird von einem g¨ utegeschalteten Nd:YAG-Laser abgegeben und hat eine Energie von 1 bis 4 mJ und eine Pulsl¨ ange von einigen Nanosekunden. Bei einem modengekoppelten Laser ist die Pulsenergie ungef¨ahr die gleiche, aber die Pulsl¨ ange ist sehr viel k¨ urzer. Sie liegt ungef¨ahr im Bereich von Picosekunden. Bei solch kurzen Zeiten erreicht die Laserleistung sogar f¨ ur Pulsenergien von einigen mJ den Bereich von Megawatt oder h¨ oher. Beispiel 7.3 Bestrahlungsst¨ arken bei Laseroperationen Bestimmen Sie die Bestrahlungsst¨ arke Ee (Leistungsdichte), die von einem Nd:YAG-Laser-Puls der Energie 4 mJ und der Pulsl¨ange 1 ns erzeugt wird, wenn der Puls auf einen kleinen Fleck von 30 µm Durchmesser fokussiert wird. L¨ osung Die L¨ osung berechnet sich wie folgt: P 4 · 10−3 J mit P = = 4 · 106 W A 1 · 10−9 s 3,14 · (30 · 10−6 )2 m2 πD2 ≈ = 7,065 · 10−10 m2 A= 4 4 W 4 · 106 W Ee = = 5,7 · 1015 2 −10 2 7,065 · 10 m m

Ee =

Das Beispiel zeigt, dass hohe Leistungen, die auf kleine Brennflecke von 5 − 50 µm Durchmesser fokussiert werden, Bestrahlungsst¨arken oder Leistungsdichten von 1016 W/m2 erzeugen. Hierbei treten sehr hohe elektrische Feldst¨arken auf, die zun¨ achst einen Durchschlag (Ionisation) im optischen Gewebe und die Bildung eines Plasmas bewirken. Die explosive Ausdehnung des Plasmas erzeugt

7.5 Lasertherapie

229

Abb. 7.12. Fokussierung des Laserlichtes zur Zerst¨ orung einer Membran bei der Linsenkapsel-Chirurgie. Je gr¨ oßer der Konvergenzwinkel des Strahles ist (ca. 17◦ , begrenzt durch die Pupillenapertur), desto gr¨ oßer ist der Strahldivergenzwinkel und um so geringer die Auswirkung der Laserstrahlung auf die Netzhaut. Die Außenbegrenzung des Laserstrahls ver¨ andert sich aufgrund der Beugung (s. Kap. 21)

eine starke Stoßwelle, die radial nach außen l¨auft und mechanisch die naheliegenden Membranen zerreißt. Weder die Laserstrahlung, die auf die Netzhaut trifft, noch die sich ausdehnende Stoßwelle richtet im Auge Schaden an (s. Abb. 7.12). Der Laserstrahl, der auf die Fokussierungslinse zul¨auft, ist durch vorgeschaltete Optik so aufgeweitet worden, dass die Strahldivergenz sehr klein ist (der Strahl ist hochkollimiert, s. Kap. 21). Aufgrund dieser experimentellen Anordnung konvergiert der Strahl in einem Punkt nahe der Membran, wobei er die Stoßwelle erzeugt, die schließlich zur mechanischen Zerst¨orung der Membran f¨ uhrt.

¨ Ubungen 7.1 Aus Tabelle 7.1 l¨ asst sich entnehmen, dass der Kr¨ ummungsradius der Hornhaut des Auges 8 mm betr¨ agt. Nehmen Sie die Hornhaut als eine d¨ unne Grenzfl¨ ache (deren eigene Brechung vernachl¨ assigt werden kann) an, die auf einer Seite von Luft und auf der anderen Seite von einem Glask¨ orper begrenzt wird. Bestimmen Sie den Brechwert der Hornhautgrenzfl¨ ache. 7.2 Betrachten Sie die nicht akkommodierte Linse des Auges als eine isolierte Einheit, die die Kr¨ ummungsradien und Brechzahlen des Prinzipauges“ in Tabelle 7.1 hat. ” a) Berechnen Sie die Bildbrennweite und den Brechwert f¨ ur eine d¨ unne Linse (= Augenlinse) in Luft.

230

7 Optik des Auges b) Berechnen Sie die Bildbrennweite und den Brechwert f¨ ur die tats¨ achliche Umgebung der Linse, die auf beiden Seiten von einer Fl¨ ussigkeit mit einer Brechzahl von 1,33 umgeben ist. Rechnen Sie in der N¨ aherung der d¨ unnen Linse. c) Berechnen Sie die Bildbrennweite und den Brechwert f¨ ur die Augenlinse, indem Sie diese als dicke Linse der Dicke 3,6 mm behandeln. (Benutzen Sie die Matrixmethode aus Kap. 4.)

7.3 Entnehmen Sie aus Tabelle 7.1 und Abb. 7.2 die Werte f¨ ur die Brechzahl und die Abst¨ ande der Elemente des nicht akkommodierten Prinzipauges. Bestimmen Sie die Entfernung des Bildes von der Hornhaut f¨ ur: a) einen Gegenstand im Unendlichen, b) einen Gegenstand in der Entfernung von a = −25 cm vom Auge. Berechnen Sie die Abbildung durch sph¨ arische Oberfl¨ achen in einer dreistufigen ¨ Kette von Brechungen. Nehmen Sie f¨ ur den Teil b) dieser Ubung an, dass das voll akkommodierte Auge folgende Daten hat: Die Frontfl¨ ache der Linse ist st¨ arker gekr¨ ummt, Kr¨ ummungsradius +6 mm (statt vorher + 10 mm), die r¨ uckw¨ artige Oberfl¨ ache beh¨ alt den Kr¨ ummungsradius von −6 mm. Dies bewirkt, dass die Scheiteldicke der Linse auf 4 mm anw¨ achst und die Entfernung von der Hornhaut zur Frontoberfl¨ ache der Linse auf 3,2 mm verk¨ urzt wird. 7.4 Verwenden Sie die Matrixmethode, um die Systemmatrix f¨ ur das nicht akkommodierte Prinzipauge“ aus Tabelle 7.1 und Abb. 7.2 zu finden. ” a) Bestimmen Sie die Matrixelemente der Systemmatrix, wobei sich das System von der ersten brechenden Fl¨ ache der Hornhaut bis zur letzten Brechung an der zweiten Linsenfl¨ ache erstreckt. b) Bestimmen Sie aus den Matrixelementen die objektseitigen und bildseitigen Brennpunkte und die entsprechenden Hauptpunkte, jeweils relativ zur Hornhautoberfl¨ ache. Vergleichen Sie das Ergebnis mit den Entfernungen, die in Abb. 7.2 angegeben sind. 7.5 Stellen Sie eine Snellensche Sehtafel f¨ ur eine Testentfernung von 1,50 m her. Die Tafel soll Reihen von Buchstaben enthalten, die Sehsch¨ arfen von 6/90, 6/30, 6/18, oße der Blockbuchstaben und die Breite 6/6 und 6/5 testet. Bestimmen Sie die Gr¨ der Buchstabenstriche (in cm) f¨ ur jede Reihe der Buchstaben. 7.6 Eine weitsichtige Person hat keinen astigmatischen Defekt am Auge und eine Nahpunktweite von aP,W = −125 cm. Die Korrektur durch eine Brille erfordert, dass diese Person Objekte in der normalen Nahpunktweite aP = −25 cm sieht. a) Wie groß m¨ ussen die Brechwerte der Korrekturlinsen der Brille sein? b) Kann die Person bei Benutzung der Brille ein weit entferntes Objekt auf die Netzhaut fokussieren? 7.7 Eine Person hat eine Fernpunktweite von aR = −50 cm und eine Nahpunktweite von aP = −15 cm. Wie groß muss der Brechwert der Linsen einer Brille sein, um die korrekte Fernpunktweite zu ergeben? Wo liegt der Nahpunktweite, wenn die Brille benutzt wird? 7.8 Bestimmen Sie aus Abb. 7.9, welche Laser f¨ ur folgende Operationen geeignet sind: a) Photokoagulation von blutenden Gef¨ aßen auf der Netzhaut. b) Thermisches Schneiden von Hornhautschichten.

7.5 Lasertherapie

231

c) Fokussierung von Licht im Glask¨ orper ohne Absorption w¨ ahrend des Durchgangs durch die Hornhaut, die Linse und die zugeh¨ origen Blutgef¨ aße. 7.9 Entnehmen Sie aus den folgenden Brillenverschreibungen, welche Augenfehler vorliegen: a) −1,5, −1,5, Achse 180◦ b) −2,0 c) +2,0 d) +2,0, −1,5, Achse 180◦ 7.10 In Abb. 7.10 ist ein CO2 -Laser gezeigt, mit dem Einschnitte in die Hornhaut ausgef¨ uhrt werden. Der Laser hat eine mittlere Leistung von 5 W und die Strahldivergenz (voller Strahl¨ offnungswinkel) betr¨ agt 2,2 mrad. Nach dem Austritt aus dem Lasergeh¨ ause wird der Strahl durch einen 5×-Strahlaufweiter geschickt und dann durch eine Germaniumlinse der Bildbrennweite 3,3 cm auf die Hornhaut fokussiert. a) Warum benutzt man Germanium und nicht Glas als Linsenmaterial? b) In Kapitel 21.4 wird die Fokussierbarkeit des Lasers diskutiert und gezeigt, dass die Strahldivergenz des aufgeweiteten Laserstrahles gleich der Divergenz des einfallenden Laserstrahles dividiert durch den Strahlaufweitungsfaktor ist. Wie groß ist die Strahldivergenz des CO2 -Laserstrahles nach dem Durchgang durch den 5×-Strahlaufweiter? c) Bestimmen Sie den Durchmesser d des Brennpunktes auf der Hornhaut. Benutzen Sie die N¨ aherungsformel d = f
2θ, wobei f
die Bildbrennweite und θ der halbe Strahl¨ offnungswinkel des aufgeweiteten Strahles ist. (s. Kap. 21.4 zur Erl¨ auterung der Gleichung d = f
2θ). d) Wie groß ist die Bestrahlungsst¨ arke des fokussierten CO2 -Laserstrahls auf der Hornhaut? 7.11 F¨ ur eine Vorderkammeroperation, wie sie in diesem Kapitel beschrieben wurde, sind folgende Daten typisch: Laser: Nd:YAG Wellenl¨ ange: 1,06 µm Pulsl¨ ange: 10 ns Energie pro Puls: 10 mJ Strahldivergenz am Ort der fokussierenden Linse: 0,1 mrad Brechwert der fokussierenden Linse: 20 dpt. a) Wie groß ist die mittlere Leistung pro Puls? b) Wie groß ist der Durchmesser des fokussierten Nd:YAG-Laserstrahls auf der ¨ Membran im Inneren des Auges? (s. Ubung 7.10). c) Das einfallende Licht trifft ohne Verluste auf die Membran, wie groß ist die Bestrahlungsst¨ arke auf dieser? 7.12 Wenn man mit dem Laser arbeitet, wird man ermahnt, nie in den Strahl zu ” blicken“. Bei der Arbeit mit einem Helium-Neon-Laser (Milliwatt-Leistung) ist man versucht, diese Vorsichtsmaßnahme zu vernachl¨ assigen. Sogar wenn die Leistung im Laserstrahl gering ist, kann die Abbildung durch das Auge doch den Strahl so auf die Oberfl¨ ache der Netzhaut fokussieren, dass eine hohe Bestrahlungsst¨ arke auftritt. Um sich diesen Effekt klar zu machen, betrachten wir einen 4 mW He-Ne-Laser, der einen kollimierten Strahl von 7 mm Durchmesser bei 632,8 nm abgibt, wobei die Strahldivergenz 1,5 mrad betr¨ agt.

232

7 Optik des Auges a) Bestimmen Sie die Bestrahlungsst¨ arke unmittelbar nach dem Austritt aus dem Lasergeh¨ ause. b) Nehmen Sie an, dass der Strahl vollst¨ andig ein dunkel“ adaptiertes Auge trifft ” (Pupillendurchmesser 7 mm), das in den Strahl blickt und auf Unendlich akkommodiert ist. N¨ ahern Sie das Auge als eine einfache d¨ unne Linse von 17 mm Bildbrennweite (in Luft) und bestimmen Sie die Bestrahlungsst¨ arke im Brenn¨ fleck auf der Netzhautoberfl¨ ache. (Benutzen Sie Ubung 7.10 c, um die Gr¨ oße des Brennflecks zu berechnen.) c) Um welchen Faktor erh¨ oht die Fokussierung durch das Auge die Bestrahlungsst¨ arke? Wie denken Sie u ¨ ber die Ernsthaftigkeit der Ermahnung, nicht in den Strahl zu blicken?

8 Wellengleichungen

Einleitung In diesem Kapitel wird zun¨ achst die mathematische Beschreibung der allgemeinen Wellenausbreitung formuliert und dann auf den wichtigen Spezialfall der harmonischen Welle eingegangen. Daran anschließend werden harmonische elektromagnetische (Licht-)Wellen und ihr Energietransport untersucht.

8.1 Eindimensionale Wellengleichung Die allgemeinste mathematische Beschreibung einer dispersionsfreien laufenden Welle und die ihr zugrunde liegende Differentialgleichung l¨asst sich auf folgende Weise bestimmen: Man betrachtet zun¨ achst einen eindimensionalen Wellenpuls beliebiger Form, der in einem Koordinatensystem O
(s
, x
) durch die Auslenkung s
= f (x
) (s. Abb. 8.1 a) beschrieben wird. Dieses O
-System bewege sich zusammen mit dem Puls mit der Geschwindigkeit c relativ zu einem ruhenden System O entlang der x-Achse nach rechts (s. Abb. 8.1 b). Bei dieser Bewegung soll die Form des Pulses unge¨ andert bleiben. Dann kann man einen beliebigen Punkt P entweder durch Angabe der Koordinate x im System O oder durch Angabe von

234

8 Wellengleichungen

x
in O
festlegen, wobei x
= x − ct. Die s-Koordinaten sind identisch. Damit kann der Puls vom Standpunkt des ruhenden Systems O durch s = s
= f (x
) = f (x − ct) beschrieben werden. Bei Bewegung nach links ¨andert sich das Vorzeichen von c ur t = 0) f¨ ur die und wir erhalten (mit der Anfangsbedingung x = x
f¨ laufende Welle

s = f (x ± ct)

− rechtslaufende Welle: positive x-Richtung

(8.1)

+ linkslaufende Welle: negative x-Richtung

Die ursp¨ ungliche beliebige Form des Pulses wird nicht ver¨andert, sondern in der Zeit t lediglich um ct entlang der x-Achse verschoben. Die Wellenfunktion f ist beliebig, so dass z.B. s = A sin(x − ct),

s = A · (x + ct)2

und s = A e(x−ct)

laufende Wellen darstellen. Nur die erste Welle ist jedoch periodisch.

Abb. 8.1. Ausbreitung eines Wellenpulses. a) Der Wellenpuls erscheint im mitbewegten O
-System station¨ ar. b) Im ruhenden O-System bewegt er sich mit der Geschwindigkeit c

8.2 Harmonische Wellen

235

Als N¨ achstes soll die partielle Differentialgleichung aufgestellt werden, der die durch (8.1) beschriebenen Wellenfunktionen gen¨ ugen. Wir schreiben s = f (x
) mit

x
= x ± ct







∂x so dass bei partieller Differentiation ∂x ∂x = 1 und ∂t = ±c. Mit Hilfe der Kettenregel erh¨ alt man hiermit f¨ ur die 1. Ableitung nach der Zeit t:

∂f ∂x
∂f ∂s = = ±c
∂t ∂x
∂t ∂x und f¨ ur die 2. Ableitung:  
    ∂ 2f ∂ ∂s ∂s ∂x ∂f ∂ ∂ ∂ 2s = ±c (±c) = c2
2 = = 2


∂t ∂t ∂t ∂x ∂t ∂t ∂x ∂x ∂x Bei Ableitung nach dem Ort ist ∂ 2f ∂ 2s = ∂x2 ∂x
2 Gleichsetzen der beiden Ergebnisse f¨ ur Wellengleichung

∂ 2f ∂x
2

f¨ uhrt dann zu der eindimensionalen

∂ 2s 1 ∂ 2s = ∂x2 c2 ∂t2

(8.2)

Jede – auch nach ihrer physikalischen Natur – beliebige Welle der Form (8.1) muss ullen. Zur Beantwortung mithin auch die Wellen(differential)gleichung1 (8.2) erf¨ der Frage, ob eine vorgegebene Funktion von x und t eine laufende Welle darstellt, muss man also nur best¨ atigen, dass sie entweder von der allgemeinen Form (8.1) ist oder der Wellengleichung (8.2) gen¨ ugt.

8.2 Harmonische Wellen Von besonderer Bedeutung sind harmonische Wellen, die durch Sinus- oder Kosinusfunktionen beschrieben werden: ⎧ ⎨sin [k(x ± ct)] s(x, t) = sˆ · (8.3) ⎩ cos [k(x ± ct)] 1

Man bezeichnet mit Wellengleichung h¨ aufig sowohl die Wellen-Differentialgleichung als auch die Gleichung s(x, t), die wir Wellenfunktion nennen.

236

8 Wellengleichungen

¨ sˆ, die Amplitude, und k sind Konstanten, bei deren Anderung die harmonische Welle erhalten bleibt. Solche Wellen sind periodisch und wiederholen sich beliebig oft; sie werden h¨ aufig durch unged¨ ampft harmonisch schwingende Oszillatoren erzeugt. Sinus- und Kosinusfunktionen bilden einen vollst¨andigen Satz von Eigenfunktionen mit der Konsequenz, dass jede beliebige periodische – z.B. rechteckf¨ ormige – Wellenform durch eine Linearkombination solcher Funktionen (8.3) mit Hilfe einer Fourier-Reihe (s. Kap. 12.1) beschrieben werden kann. Wegen sin x = cos(x − π/2) unterscheiden sich die beiden Funktionen (8.3) nur durch eine Phasenverschiebung von π/2. Es ist deshalb im Folgenden ausreichend, nur eine der Funktionen zur Beschreibung heranzuziehen. Hier wird die Sinusschreibweise verwendet.

Abb. 8.2. R¨ aumliche und zeitliche Ausbreitung einer Sinuswelle. a) Sinuswelle zu einem festen Zeitpunkt (Momentaufnahme, Sinuslinie mit Wellenl¨ ange λ). b) Sinuswelle an einem festen Ort (Schwingung mit Periodendauer T )

In Abb. 8.2 ist der Ausschnitt einer Sinuswelle sˆ sin(k(x + ct)) dargestellt. Abb. 8.2 a ist die Darstellung zu einem festen Zeitpunkt, also eine Momentaufnahme (Schnappschuss) der Welle, Abb. 8.2 b gilt an einem festen Ort, wo man eine Schwingung beobachtet. In Abb. 8.2 a ist die Periodizit¨atsl¨ange, die Wellenl¨ange λ, eingezeichnet. Wegen dieser Periodizit¨at f¨ uhrt eine Vergr¨oßerung beliebiger x um λ zu demselben s-Wert. Da die Sinusfunktion mit 2π periodisch ist, gilt dementsprechend f¨ ur einen festen Zeitpunkt t: sin (k(x + λ) + kct) = sin(kx + kct + 2π) Der Vergleich der Argumente f¨ uhrt auf kλ = 2π und damit zu der wichtigen Kreiswellenzahl

k=

2π λ

(8.4)

k ist der Betrag des Wellenvektors k (s. Kap. 8.5) und wird auch als Ausbreitungskonstante bezeichnet. Entsprechend tritt an einem festen Ort x eine mit

8.2 Harmonische Wellen

237

der Periodendauer T periodische Schwingung (s. Abb. 8.2 a) auf. Hier f¨ uhrt die Periodizit¨ at zu sin [kx + kc(t + T )] = sin(kx + kct + 2π) Mithin wird kcT = 2π und die Geschwindigkeit c = 2π/kT . Hieraus erhalten wir nach Einf¨ uhrung der Frequenz

f=

1 T

(8.5)

mit (8.4) die Phasengeschwindigkeit

c = λf

(8.6)

Diese Beziehung ist in der Optik auch deshalb von großer Bedeutung, weil im Allgemeinen eine direkte Messung der Lichtfrequenz von etwa 500 THz nicht m¨oglich ist. Sie muss mit Hilfe von (8.6) aus den Messwerten von c und λ berechnet werden. Zur Beschreibung von Schwingungen verwendet man meist die zu k analoge Kreisfrequenz

ω=

2π = 2πf T

(8.7)

Mit f = c/λ ergibt sich der Zusammenhang mit der Kreiswellenzahl: ω = kc. In der Spektroskopie ist zus¨ atzlich die Wellenzahl k˜ = k/2π = 1/λ gebr¨auchlich. Aufgrund der angegebenen Zusammenh¨ange zwischen den Wellenparametern sind f¨ ur harmonische Wellen mehrere verschiedene Schreibweisen m¨oglich und u ¨ blich2 :  ω  s = sˆ sin [k(ct ± x)] = sˆ sin ωt ± x c       x t ˜ ± = sˆ sin 2π f t ± kx s = sˆ sin 2π T λ

(8.8) (8.9)

Um beliebige Anfangsauslenkungen (bei t = 0 und z.B. x = 0) wiedergeben zu k¨ onnen, m¨ ussen wir in obigen Gleichungen noch einen Nullphasenwinkel 3 ϕ0 2

3

Ausgehend von (8.3) und sin(−α) = − sin α h¨ atte s bei einer rechtslaufenden Welle ein negatives Vorzeichen. Dies wird jedoch durch einen entsprechenden Nullphasenwinkel kompensiert. Diese Bezeichnung entspricht einer DIN-Empfehlung, wir verwenden auch Phasen” verschiebung“.

238

8 Wellengleichungen

einf¨ uhren. Wir kommen dann zu der hier gew¨ahlten Ingenieurschreibweise“ der ” Gleichung einer eindimensionalen harmonischen Welle

s = sˆ sin(ωt ± kx + ϕ0 )

(8.10)

wobei wieder –“ eine Welle in positiver x-Richtung beschreibt. Das Argument ” des Sinus bezeichnet man als Phase ϕ: ϕ = ωt ± kx + ϕ0

(8.11)

die bei einer Welle zeit- und ortsabh¨angig ist, da eine harmonische Welle ein r¨ aumlich und zeitlich periodischer Vorgang ist, der sich mit der Wellengeschwindigkeit ausbreitet. Betrachtet man bei einer Welle einen Punkt konstanter Auslenkung s = sˆ sin ϕ, wie er von einem mitbewegten Beobachter in O
registriert wird, so muss die Phase konstant sein und mit (8.11) gelten: dϕ = ωdt ± kdx = 0 Damit hat man eine weitere M¨ oglichkeit zur Bestimmung der Phasengeschwindigkeit

c=

dx ω = ∓ = ∓λf dt k

(8.12)

Dies best¨ atigt noch einmal, dass c > 0, wenn ϕ = ωt − kx, also eine Welle in positiver x-Richtung vorliegt. ussen die Anfangsbedingungen Zur Bestimmung des Nullphasenwinkels ϕ0 m¨  f¨ ur Auslenkung (s(t = 0) = s0 ) und Schnelle (v0 = ds dt t=0 ) z.B. bei x = 0 ur bekannt sein. Dann folgt aus (8.10): s0 = s(0,0) = sˆ sin ϕ0 und wir erhalten f¨ den Nullphasenwinkel4 s  0 ϕ0 = arcsin bei v0 > 0 sˆ H¨ aufig ist die genaue Kenntnis von ϕ0 nicht erforderlich und wir k¨onnen (8.10) mit ϕ0 = 0 vereinfachen. 4

Diese Formel wird erst durch die zus¨ atzliche Angabe v0 > 0 eindeutig, da bei gleichem s0 die Steigung der s(t)-Kurve positiv (v0 > 0) oder negativ sein kann. Bei v0 < 0 ist ϕ0− = π − ϕ0+ .

8.3 Komplexe Zahlen

239

Beispiel 8.1 Seilwelle Die Auslenkung einer laufenden Seilwelle ist gegeben durch:   t x π s(x, t) = 3,5 cm sin 10π − 3π + s m 4

(∗)

Bestimmen Sie Wellenl¨ ange, Frequenz, Phasengeschwindigkeit und Nullphasenwinkel. Berechnen Sie außerdem die Auslenkung bei x = 10 cm f¨ ur t = 0 und t = 1,5 s. L¨ osung Durch Vergleich mit (8.10) findet man direkt: k = 3π rad/m, ω = 10π rad/s und ϕ0 = π/4. Damit wird dann λ = 2π/k = 2/3 m und f = ω/2π = 5 Hz. Die Phasengeschwindigkeit ergibt sich zu c = λf = 3,33 m/s mit positivem Vorzeichen, d.h. man hat eine Welle in positiver x-Richtung. Man kann auch in (∗) ϕ = konst. setzen und bilden: dϕ = 0 = 10π · dt − 3π · dx dann wird ebenfalls c = dx/dt = 10π/3π = 3,33 m/s. Die Auslenkungen sind: s(x = 0,1 m; t = 0) = 3,5 cm · sin(−0,3π + π/4) = −0,55 cm und s(0,1 m; 1,5 s) = 3,5 cm · sin(15π − 0,3π + π/4) = 0,55 cm. (Vergessen Sie nicht, Ihren Rechner in den rad-Modus“ umzuschalten!) ”

8.3 Komplexe Zahlen Die Beschreibung von harmonischen Schwingungen und Wellen wird durch die Verwendung der komplexen Darstellung wesentlich vereinfacht. Wir fassen deshalb das Wichtigste zu den komplexen Zahlen noch einmal zusammen: Eine komplexe Zahl5 z wird durch die Summe ihrer Real- (Re) und Imagin¨arteile (Im) festgelegt: komplexe Zahl

z = Re(z) + j Im(z) = x + j y

(8.13)

√ x und y sind reelle Zahlen und j = −1, die imagin¨are Einheit 6 . Nach Abb. 8.3 ist z ein Punkt in der Gaußschen Zahlenebene, der auch durch die Polarkoordinaten (z, ϕ) festgelegt werden kann. Hiermit definiert man einen Vektor, der vom Ursprung zu dem Punkt z weist und den man meist als komplexen Zeiger z bezeichnet. Sein Betrag ist nach Pythagoras z = |z| = x2 + y 2 . 5 6

Komplexe Gr¨ oßen, wie z.B. z, E, . . . werden durch Unterstreichen gekennzeichnet. Wir w¨ ahlen die in der Technik u ¨bliche Schreibweise mit j statt i.

240

8 Wellengleichungen

Abb. 8.3. Grafische Darstellung einer komplexen Zahl in der Gaußschen Zahlenebene mit reeller (Re) und imagin¨ arer (Im) Achse

Mit x = z cos ϕ und y = z sin ϕ wird dann (8.13): z = z(cos ϕ + j sin ϕ) Mit Hilfe der ejϕ = cos ϕ + j sin ϕ

Eulerschen Formel

(8.14)

erhalten wir daraus die wichtige Darstellung in z = z ejϕ

(8.15)

x2 + y 2   y  Im(z) ϕ = arg z = arctan = arctan x Re(z)

(8.16)

Polarkoordinaten

mit Betrag und Argument: Betrag Argument

z = |z| =



Die zu z konjugiert komplexe Zahl z ∗ erh¨ alt man einfach durch Ersetzen von j durch −j: z ∗ = x − j y = z e−jϕ

(8.17)

Hiermit kann der Betrag einer komplexen Zahl einfach berechnet werden, denn es gilt das

8.3 Komplexe Zahlen

Betragsquadrat

z · z ∗ = (z ejϕ )(z e−jϕ ) = |z|2

241

(8.18)

Einige wichtige Rechenregeln: Addition/Subtraktion

z = z 1 ± z 2 = (x1 ± x2 ) + j (y1 ± y2 )

(8.19)

Multiplikation

z = z 1 · z 2 = z1 z2 ej(ϕ1 +ϕ2 )

(8.20)

= (x1 x2 − y1 y2 ) + j (x1 y2 + x2 y1 )

Die Multiplikation kann man also durch eine Drehstreckung 7 veranschaulichen. Aus (8.3) folgt die wichtige Beziehung: Re(z 1 ± z 2 ) = Re(z 1 ) ± Re(z 2 )

(8.21)

Bei der Multiplikation ist hingegen: Re(z 1 · z 2 ) = Re(z 1 ) · Re(z 2 )

(8.22)

Dies ist bei der komplexen Beschreibung von Wellen von großer Bedeutung. ange 1 (Einheitskreis), der – entgegen dem Uhrzeigerejϕ ist ein Zeiger der L¨ ur einige spezielle sinn – um ϕ von der x-Achse gedreht wurde. Damit kann ejϕ f¨ j-Werte leicht angegeben werden (s. Abb. 8.4).

Abb. 8.4. Wichtige Werte von ejϕ

7

Der neue Zeiger z ejϕ ist in seiner L¨ ange gestreckt oder gestaucht (z = z1 · z2 ) und im Winkel gedreht (ϕ = ϕ1 + ϕ2 ).

242

8 Wellengleichungen

8.4 Harmonische Wellen in komplexer Darstellung Ausgehend von z = z ejϕ und (8.10) erh¨ alt man f¨ ur die komplexe Darstellung einer eindimensionalen s = sˆ ej(ωt±kx+ϕ0 ) = sˆ ej(ωt±kx)

harmonischen Welle

(8.23)

Hierbei ist es vorteilhaft, die sˆ = sˆ ejϕ0

komplexe Amplitude

(8.24)

einzuf¨ uhren, die dann den Nullphasenwinkel enth¨alt. Nach der Eulerschen Formel beschreiben dann sowohl der Realteil von (8.23) Re(s) = sˆ cos(ωt ± kx + ϕ0 )

(8.25)

als auch der Imagin¨ arteil ebene Welle

Im(s) = sˆ sin(ωt ± kx + ϕ0 )

(8.26)

harmonische Wellen. Die komplexe Beschreibung umfasst mithin sowohl die Beschreibung mit Hilfe des Sinus als auch des Kosinus. Wir treffen die Vereinbarung, dass die – physikalisch nat¨ urlich nur im Reellen existierende – Welle in der Regel durch die Sinusdarstellung beschrieben wird, dass also bei Angabe von s nach (8.23) der Imagin¨ arteil (8.26) gemeint ist. Die komplexe Beschreibung ist mathematisch einfacher, da sich die Anwendung von Additionstheoremen er¨ ubrigt und mit Exponentialfunktionen leichter als mit trigonometrischen Funktionen zu rechnen ist. Dies wird am Beispiel der Differentiation und Integration von (8.23) besonders deutlich: ∂ ∂s s ej(ωt−kx) = jωs (8.27) = sˆe−jkx ejωt = j ωˆ ∂t ∂t   1 1 −jkx s dt = sˆ e ejωt dt = sˆ ej(ωt−kx) = s (8.28) jω jω Differentiation ist hiernach gleichbedeutend mit einer Multiplikation mit jω, Integration mit einer Division durch jω. Die Ausgangszeiger werden in ihrer L¨ange ver¨ andert und um ±π/2 gedreht. Sie sollten unbedingt beachten: Da entsprechend (8.22) Im(z 1 · z 2 ) = Im(z 1 ) · Im(z 2 ) ist, darf die komplexe Schreibweise bei Auftreten von Produkten und Potenzen – also insbesondere auch in der nichtlinearen Optik (s. Kap. 26) – nicht angewendet werden!

8.5 Ebene Wellen

243

Sie m¨ ussen hier mit der Sinusdarstellung oder sin x =

ejx − e−jx 2j

rechnen.

8.5 Ebene Wellen Die Gleichung einer harmonischen Welle soll auf eine beliebige Ausbreitungsrichtung im Raum verallgemeinert werden. F¨ ur eine Welle in positiver x-Richtung folgt aus (8.10) f¨ ur eine Momentaufnahme der Auslenkung zum Zeitpunkt t = 0 (und ϕ0 = π): s = sˆ sin kx

(8.29)

Abb. 8.5. Ebene Wellen, die sich entlang der x-Achse ausbreiten. y-z-Ebenen (bei x = konst.) sind Ebenen konstanter Phase

F¨ ur konstantes x ist die Phase ϕ = kx = konst. Punkte gleicher Phase (und Auslenkung) liegen dann bei einer r¨ aumlichen Welle auf Fl¨achen, die man als Wellenfronten bezeichnet und die hier y-z-Ebenen darstellen (s. Abb. 8.5). Deshalb spricht man hier von ebenen Wellen. Die Phase eines beliebigen Raumpunktes, der durch einen Vektor r festgelegt ist, stimmt dann mit der des Punktes x = r cos θ u ¨berein (s. Abb 8.6 a) und aus (8.29) folgt s = sˆ sin(kr · cos θ). Dieses

244

8 Wellengleichungen

Ergebnis l¨ asst sich einfacher interpretieren, wenn man k = 2π/λ einem Wellenvektor k zuordnet, dessen Richtung mit der Ausbreitungsrichtung der Welle u ¨ bereinstimmt und damit senkrecht auf der Wellenfront steht. Hiermit kann die Ebene konstanter Phase bei beliebiger Ausbreitungsrichtung (s. Abb. 8.6 b) festgelegt werden durch: k · r = kr cos θ = kx x + ky y + kz z

(8.30)

und wir erhalten f¨ ur eine in k-Richtung fortschreitende ebene Welle



s = sˆ ej(ωt−k·r)

(8.31)

Abb. 8.6. Ausbreitung ebener Wellen in unterschiedlichen Richtungen, die durch den Wellenvektor k festgelegt sind. a) k zeigt in Richtung der x-Achse, b) k in beliebiger Richtung. Die Ebenen konstanter Phase sind durch k · r = konst. festgelegt

Es l¨ asst sich leicht best¨ atigen8 , dass die Gleichung der dreidimensionalen Welle (8.31) der partiellen Differentialgleichung (Wellengleichung) ∂ 2s ∂ 2s 1 ∂ 2s ∂ 2s + + = ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 c2 ∂t2

(8.32)

gen¨ ugt. Betrachtet man die r¨ aumlichen Ableitungen als Operatoren, so kann man hierf¨ ur auch schreiben: 8

Mit Hilfe von

∂s ∂s ∂ 2s ∂ 2s = −kx2 s. = jωs; 2 = −ω 2 s; = −jkx s; ∂t ∂t ∂x ∂x2

8.7 Elektromagnetische Wellen



∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

 s=

245

1 ∂ 2s c2 ∂t2

und erh¨ alt mit Hilfe des Laplace Operators9 : Laplace-Operator

=

∂2 ∂2 ∂2 + 2+ 2 2 ∂x ∂y ∂z

(8.33)

einen einfachen Ausdruck f¨ ur die dreidimensionale Wellengleichung

s =

1 ∂ 2s c2 ∂t2

(8.34)

8.6 Kugelwellen Von einem Punkt ausgehende harmonische Wellen breiten sich in einem isotropen Medium in allen Raumrichtungen gleich schnell aus. Dann sind die Fl¨achen gleicher Phase, die Wellenfronten, Kugelfl¨ achen mit dem Ort der Quelle als Zentrum. Diese Kugelwellen k¨ onnen durch eine ¨ahnliche Gleichung wie die ebenen Wellen beschrieben werden. Die Amplitude nimmt jedoch mit wachsendem Abstand proportional mit 1/r ab, da die Energie der Welle auf eine immer gr¨oßere Kugelfl¨ ache verteilt wird. Damit gilt f¨ ur die Kugelwelle

s=

sˆ1 j(ωt−k·r) e r

(8.35)

Die Intensit¨ at I (= Leistung pro Fl¨ ache) der Welle ist abh¨angig vom Amplitudenquadrat und nimmt dann mit 1/r2 ab. Damit bleibt die durch eine Kugelfl¨ache (A = 4πr2 ) transportierte Gesamtleistung I · A konstant. Die Bedeutung von sˆ1 muss jeweils genau festgelegt werden. Es kann nicht die Amplitude bei r = 0 ur einen passend gew¨ahlten sein, da diese f¨ ur r → 0 divergiert. sˆ1 muss vielmehr f¨ Referenzabstand (r = r1 ) als sˆ1 = sˆ(r1 ) · r1 definiert werden.

8.7 Elektromagnetische Wellen 8.7.1 Feldst¨ arke und Geschwindigkeit Die bisher diskutierten Gleichungen f¨ ur harmonische Wellen beschreiben ganz allgemein jede wellenartige St¨ orung, die sich sinusf¨ormig ¨andert, also z.B. Wellen 9

 = ex ∂ + ey ∂ + ez ∂ . Es gilt  = ∇2 mit dem Nablaoperator ∇ ∂x ∂y ∂z

246

8 Wellengleichungen

auf einer Saite, Wasser- oder Schallwellen. Bei einer speziellen Welle hat s die Bedeutung einer bestimmten physikalischen Gr¨oße und ist z.B. der Wechseldruck in einer Schallwelle. F¨ ur elektromagnetische Wellen, zu denen auch das Licht geh¨ ort, steht s entweder f¨ ur das ver¨ anderliche elektrische Feld der elektrischen  oder f¨  Diese Feldst¨arke E ur das magnetische Feld der magnetischen Induktion B. Felder sind in der Welle untrennbar gekoppelt.

 magAbb. 8.7. a) Ebene elektromagnetische Welle in x-Richtung. Elektrisches Feld E,   netische Induktion B und Wellenvektor k bzw. Geschwindigkeit c stehen jeweils senk =B  × c (8.39) recht aufeinander. b) Dreibein der Vektoren mit E

Abbildung 8.7 veranschaulicht eine ebene elektromagnetische Welle. Die L¨ osung der Maxwellschen Gleichungen, die die Wellenausbreitung beschreiben,

8.7 Elektromagnetische Wellen

247

 und B-Feld  ergibt, dass Ezueinander und zur Ausbreitungsrichtung und damit  zum Wellenvektor k senkrecht stehen. Wir schreiben ˆ j(ωt−k·r)  =E e E ˆ j(ωt−k·r)  =B B e

elektromagnetische Welle

(8.36) (8.37)

ˆ und B ˆ die Amplituden der Felder E  und B  darstellen. Man sieht, dass wobei E   E und B identische Wellenvektoren und Frequenzen haben und sich somit mit derselben Geschwindigkeit und Wellenl¨ ange ausbreiten. Im so genannten Fernfeld sind sie (in verlustfreien Medien) außerdem in Phase. Dar¨ uber hinaus sind die beiden Felder streng proportional zueinander: E = cB

(8.38)

und bilden ein Dreibein (s. Abb. 8.7 b) entsprechend der  =B  × c E

Verkn¨ upfung

(8.39)

mit der zu k parallelen 1 c= √ εµ

Ausbreitungsgeschwindigkeit

(8.40)

Hierbei ist ε = εr ε0 die Dielektrizit¨atskonstante mit der Dielektrizit¨atszahl εr und As der elektrischen Feldkonstante ε0 = 8,8542 · 10−12 Vm sowie µ = µr µ0 mit der Vs . Permeabilit¨ atszahl µr und der magnetischen Feldkonstante µ0 = 4π · 10−7 Am Im Vakuum (mit εr = µr = 1) breitet sich die Welle dann nach (8.40) frequenzunabh¨ angig mit der c0 = √

Vakuumlichtgeschwindigkeit

m 1 = 2,998 · 108 ε0 µ0 s

(8.41)

aus. F¨ ur den Zusammenhang zwischen c, der Geschwindigkeit in einem Medium, und c0 folgt aus (8.40) und (8.41): Lichtgeschwindigkeit

c= √

c0 c0 ≡ εr µr n

mit Brechzahl n

(8.42)

Die in der Optik gebr¨ auchliche Brechzahl n ist hiernach u ¨ ber die Maxwell-Relation

n=

√

εr µr ≈

√

εr

(8.43)

248

8 Wellengleichungen

mit den in der Elektrodynamik verwendeten Gr¨oßen verkn¨ upft. Bei den hohen Frequenzen der Optik ist bei fast allen Stoffen µr ≈ 1; εr und damit n sind frequenzabh¨ angig, was man als Dispersion bezeichnet. So hat z.B. Wasser bei Gleichfeldern und kleinen Frequenzen εr = 81, woraus mit (8.42) folgt, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit c ≈ c0 /9. Bei Lichtfrequenzen gilt hingegen εr = 1,8 und nach (8.43) ist n ≈ 4/3, also c ≈ 34 c0 . 8.7.2 Maxwellsche Gleichungen Um die oben gemachten Aussagen zu veranschaulichen, stellen wir uns in einem Dielektrikum einen elektromagnetischen Wellenpuls konstanter H¨ohe mit den Feldst¨ arken E und B vor, der in x-Richtung mit der Geschwindigieit c fortschreitet und bei x
= ct abrupt auf null geht. Mit der Welle bewegt sich ein Beobachter 1, der u ¨ber eine Glimmlampe zur Messung der elektrischen Feldst¨arke und eine kleine Hallsonde zur B-Messung verf¨ ugt. Befindet er sich links vom Pulsende, so registriert er konstante Werte der Feldst¨arken. Ein Beobachter 2 auf der x-Achse (bei x) ist mit den gleichen Instrumenten ausgestattet. Er beobachtet die Feldst¨ arken E und B ab dem Moment, wo ihn die Welle passiert. Zur Pr¨ ufung seiner Messergebnisse verkn¨ upft er die Feldgr¨oßen u ¨ ber die Maxwellgleichungen. Nach dem Induktionsgesetz (2. Maxwellgleichung) hat ein zeitlich ver¨anderlicher magnetischer Fluss Φ ein elektrisches Feld zur Folge: !    · ds = −Φ˙ = − B  · dA 2. Maxwell-Gleichung (8.44) E dt Der ruhende Beobachter 2 w¨ ahlt bei der Anwendung von (8.44) das Integrationsgebiet so, dass der linke Rand noch die Glimmlampe am Ort x enth¨alt und der rechte Rand bei x + ∆x noch nicht von der Welle erreicht wurde. Wir erhalten  = ∆yc dt · ez :  = Bez und dA dann nach Abb. 8.8 a mit B !

 · ds = E(x + ∆x) ∆y − E(x) ∆y = −E(x) ∆y = −B · dA = −Bc ∆y E dt

und damit die Best¨ atigung von (8.38): E = cB (8.38)  und B  tats¨achlich senkrecht aufeinander Außerdem haben wir gezeigt, dass E stehen (s. (8.39)). Eine weitere Verkn¨ upfung der Feldst¨arken erfolgt u ¨ ber das Durchflutungsgesetz (1. Maxwell-Gleichung), wonach ein sich zeitlich ver¨andernder elektrischer Fluss Φ˙ e (Verschiebungstrom) ein magnetisches Feld hervorruft:  !     · dA  · d A = εE  · ds = Φ˙ e = D 1. Maxwell Gleichung (8.45) H dt dt

8.7 Elektromagnetische Wellen

249

Abb. 8.8. In x-Richtung fortschreitender elektromagnetischer Wellenpuls der H¨ ohe E und B, der bis x
= ct gelangt ist, und von einem mitbewegten (1) und ruhenden Beobachter (2) untersucht wird. Integrationswege des am Ort x ruhenden Beobachters: a) zum Induktionsgesetz (B-Puls) und b) zum Durchflutungsgesetz (E-Puls)

250

8 Wellengleichungen

 = εE  die elektrische Erregung oder Verschiebungsdichte; da wir Hierbei ist D uns in einem Dielektrikum befinden, kann kein Leitungsstrom auftreten. Aus Abb. 8.8 b folgt dann mit H(x + ∆x) = 0: !  · ds = 0 · ∆z + H · ∆z = εE dA = εEc ∆z H dt und somit H = εEc

(8.46)

Nach (8.38) ist andererseits H=

B E = µ µc

Gleichsetzen von (8.46) und (8.47) liefert dann c = (8.40).

(8.47) √1 , εµ

also die Best¨atigung von

8.7.3 Intensit¨ at Eine elektromagnetische Welle u agt elektrische und magnetische Feldener¨bertr¨ gie. Die Energiedichte (Energie/Volumen) we des elektrischen Feldes ist – wie beim geladenen Kondensator – gegeben durch we =

1 ε · E2 2

(8.48)

Beweis: Wir bestimmen die Energiedichte des elektrostatischen Feldes eines geladenen Plattenkondensators: Bekanntlich ist die im Feld gespeicherte potentielle Energie: at C = ε A , wobei A = Fl¨ ache und d = Plattenabstand. Wpot = 12 CU 2 mit der Kapazit¨ d · E 2 d2 = 12 εE 2 Ad. Mit dem F¨ ur die Spannung gilt U = Ed. Damit wird Wpot = 12 εA d Volumen V = Ad erh¨ alt man hieraus f¨ ur die Energiedichte w = Wpot /V gerade (8.48).

In Analogie zur magnetischen Feldenergie einer Spule gilt f¨ ur den magnetischen Anteil wm =

1 1 B2 µH 2 = 2 2 µ

mit der magnetischen Feldst¨arke H: H=

B µ

(8.49)

8.7 Elektromagnetische Wellen

251

Ersetzt man in (8.48) E 2 nach (8.38) durch c2 B 2 = B 2 /εµ, so sieht man, dass elektrisches und magnetisches Feld gleich viel Energie transportieren. Die gesamte Energiedichte w = 2we = 2wm wird dann: EH (8.50) c Bei der Herleitung wurde im 2. Term εE (mit (8.38) und (8.40)) durch εBc = H/c ersetzt. w = εE 2 = µH 2 = εc EB =

Abb. 8.9. Energiefluss in einer Welle. In der Zeit ∆t tritt durch die Fl¨ ache A gerade die in dem Quader des Volumens Ac∆t enthaltene Energie ∆W

Als N¨ achstes soll die von der elektromagnetischen Welle transportierte Leistung untersucht werden (s. Abb. 8.9). In der Zeit ∆t wird durch eine Referenzfl¨ache A gerade die Energie ∆W = w∆V transportiert, die in einem Quader vom Volumen ∆V und der Kantenl¨ ange c∆t enthalten ist. Damit wird die transportierte Leistung P : P =

w∆V w(Ac∆t) ∆W = = = wcA ∆t ∆t ∆t

(8.51)

Die zeitabh¨ angige Intensit¨ at S = P/A – also Leistung pro Fl¨ache (in W/m2 ) – ist somit S = wc

(8.52)

Wie zu erwarten, h¨ angt damit die St¨ arke (Intensit¨at) einer Welle nicht nur von der in einem Volumenelement befindlichen Energie – der Energiedichte w – ab, sondern auch von der Geschwindigkeit, mit der diese Energie zur bestrahlten Fl¨ ache transportiert wird. Mit (8.50) wird dies f¨ ur die elektromagnetische Welle: S = EH = εcE 2

(8.53)

252

8 Wellengleichungen

 × B)  fließende EnerIntensit¨ at – als in Ausbreitungsrichtung (= Richtung von E giestromdichte – wird als  ×B   =E  ×H  = εc2 E S

Poynting-Vektor

(8.54)

bezeichnet. Die elektrischen und magnetischen Felder des sichtbaren Lichtes schwingen mit etwa 500 THz so extrem schnell, dass es keinen Detektor gibt, der diesen Schwingungen folgen kann. Alle optischen Detektoren registrieren deshalb die u ¨ ber viele Perioden gemittelte mittlere Intensit¨at I, diese bezeichnen wir im Folgenden als Intensit¨at, obwohl Energiestromdichte oder Bestrahlungsst¨arke exaktere Bezeichungen w¨ aren. Mit (8.53) und (8.11) ist dann an einem festen Ort ˆ 2 sin2 (ωt + ϕ0 ) I = S = εcE

(8.55)

Zeitmittelung des sin2 u ¨ber eine oder mehrere Perioden ergibt die Intensit¨at

I=

1 10 2

und mit (8.50)

ˆ2 1 ˆ2 1 ˆ 2 1 B 1ˆˆ = µcH = c E H = εcE 2 2 2 2 µ

(8.56)

Die Intensit¨ at – die Leistung pro Fl¨ ache – h¨angt quadratisch von den Feldgr¨oßen ab, deshalb spricht man bei den o.g. tr¨ agen Sensoren der Optik auch von quadratischen Detektoren. Beachten Sie, dass elektrischer und magnetischer Energieanteil immer gleich groß sind. Bei Wechsel des Mediums bleibt mithin das Produkt E · H bei gleicher Intensit¨ at unge¨ andert; die Feldst¨arken ¨andern sich aufgrund der Materialkonstanten εr und µr , die in die Energiedichte und die Geschwindigˆ in Materie (bei µr = 1 und keit eingehen. Wie aus (8.56) ersichtlich ist, wird E ˆ oßer als im Vakuum. εr > 1) kleiner und B gr¨ Bei Verwendung der komplexen Schreibweise ist die Intensit¨at gegeben durch: I=

1 ˆ ˆ ∗ 1 ˆ ˆ∗ E · H = εc E · E 2 2

(8.57)

Beispiel 8.2 Laserstrahl Ein Laserstrahl mit 2 mm Durchmesser transportiert eine Lichtleistung von 6 kW. Bestimmen Sie die Intensit¨ at und die Amplituden von elektrischer Feldst¨ arke und magnetischer Induktion (im Vakuum).

10

Es gilt sin2 ωt =

1 2

−

1 2

cos 2ωt und damit sin2 ωt =

1 T

T 0

sin2 ωt dt = 12 .

8.8 Doppler-Effekt

253

L¨ osung P GW Die Intensit¨ at ist I = PA = πr 2 = 1,9 m2 . Damit wird  √ ˆ E 2I ˆ ˆ= 2µ0 c0 I = 1,2 MV E ε0 c0 = m und B = c0 = 4 mT. Die elektrische Feldst¨ arke erreicht damit fast die Durchschlagsfeldst¨arke der Luft bei Normaldruck von etwa 3 MV m .

8.8 Doppler-Effekt Der durch die Beobachtung bei Schallwellen vertraute Doppler-Effekt findet seine Entsprechung bei Lichtwellen – mit einem wichtigen Unterschied: Bei Schallwellen unterscheidet man zwischen der Frequenz¨anderung bei bewegtem Sender, die auf einer Wellenl¨ angen¨ anderung beruht, und der Frequenz¨anderung bei bewegtem Beobachter aufgrund ge¨ anderter Schallgeschwindigkeit. Die beiden Effekte sind physikalisch verschieden und f¨ uhren zu unterschiedlichen Gleichungen f¨ ur die Berechnung der Frequenz¨ anderung. Dies steht im Gegensatz zum DopplerEffekt bei elektromagnetischen Wellen. Schallwellen breiten sich nur in einem Medium aus, w¨ ahrend Licht auch im Vakuum fortschreitet. Wenn das Ausbreitungsmedium wegf¨ allt, entf¨ allt auch der Unterschied zwischen bewegtem Sender und Empf¨ anger; es gibt nur noch noch eine relative Bewegung zwischen beiden, die dann auch die Frequenz¨ anderung des Lichtes bestimmt. Die spezielle Relativit¨ atstheorie beschreibt die dopplerverschobene Wellenl¨ange λ
im Vakuum durch: "  # # 1− v
c0 f λ # =
(8.58) = $ v λ f 1 + c0 v ist die Relativgeschwindigkeit zwischen Sender und Beobachter, wobei gilt: v > 0 bei Ann¨aherung und v < 0 bei Entfernung der beiden. F¨ ur v  c erh¨alt man aus obiger Gleichung dasselbe Ergebnis wie bei bewegtem Schallempf¨anger:

Erweitern von (8.58) mit



v λ =1−
λ c 1+

v c0

ergibt die verschobene Frequenz f
:   1 + vc f =f
 2 1 − cv0


Doppler-Effekt

(8.59)

(8.60)

254

8 Wellengleichungen

Der Nenner ist eine Folge der relativistischen Zeitdehnung ( bewegte Uhren gehen ” langsamer“), er f¨ uhrt dazu, dass auch bei Bewegung quer zur Verbindungslinie ein – in der klassischen Physik nicht bekannter – transversaler Doppler-Effekt zu erwarten ist. F¨ ur v  c wird der Nenner gleich 1 und es verbleibt eine Frequenz¨ anderung wie bei bewegtem Schallempf¨anger. Die Gleichung (8.60) gilt mit ur die Doppler-Verschiebung in einem Medium der Brechzahl n. c = cn0 auch f¨ Der Doppler-Effekt hat eine Reihe von wichtigen Anwendungen. In der Astronomie wird er zur Bestimmung der Geschwindigkeit von Sternen und Quasaren herangezogen. Man beobachtet immer eine Rotverschiebung, also eine Zunahme der Wellenl¨ ange aufgrund einer Bewegung von uns weg. Der amerikanische Astronom E. Hubble stellte fest, dass die Rotverschiebung mit der Entfernung d der Objekte zunimmt und die Fluchtgeschwindigkeit gegeben ist durch: Hubble-Effekt

v = Hd

(8.61)

H bezeichnet man als Hubble-Konstante. Eine Doppler-Verbreiterung von Spektrallinien tritt wegen der statistischen (W¨ arme-)Bewegung der lichtemittierenden Gasatome auf. Sie kann zur Temperaturmessung in heißen Gasen und Plasmen herangezogen werden. In der Spektroskopie ist sie ein unerw¨ unschter Effekt, da sie zu einer Frequenzunsch¨arfe f¨ uhrt. In der Messtechnik wird der Doppler-Effekt zur ber¨ uhrungslosen Geschwindigkeitsmessung (z.B. bei Walzstraßen) herangezogen. Beachten Sie, dass hier h¨aufig in Reflexion gearbeitet wird. Hierbei bewegt sich das Spiegelbild mit der doppelten Geschwindigkeit und in (8.60) tritt bei v  c die doppelte Frequenz¨anderung auf: v Doppler-Effekt bei Reflexion ∆f = 2 f (8.62) c Beispiel 8.3 Doppler-Effekt Licht von einer weit entfernten Galaxie zeigt eine Verschiebung der gr¨ unen Spektrallinie des Sauerstoffs von 513 nm auf 525 nm. Wie groß ist die Geschwindigkeit der Galaxie relativ zur Erde und in welcher Entfernung befindet sie sich? (H ≈ 2 · 10−18 s−1 ).

8.8 Doppler-Effekt

255

L¨ osung Wir nehmen zun¨ achst an, dass v  c und verwenden (8.59). Sollte ein Wert f¨ ur v auftreten, der der getroffenen Annahme nicht gen¨ ugt, so m¨ usste die Rechnung mit der komplizierteren – aber relativistisch exakten – Gleichung
(8.60) wiederholt  werden.  Mit λ = 513 nm und λ = 525 nm erh¨alt man aus


(8.59): v = c0 1 − λλ = −0,0234 c0 = −7 020 km/s. Die Zunahme von λ und das negative Vorzeichen von v zeigen, dass sich die Galaxie von der ¨ Erde wegbewegt. Ihr Abstand (s. Ubung 8.21) ist d = v/H = 3,5 · 1021 km = 3,7 · 108 Lichtjahre.

¨ Ubungen 8.1 Auf einem Seil breitet sich in negativer x-Richtung ein Puls aus, der bei t = 0 2 die Gaußform s = a e−bx aufweist. Skizzieren Sie den Puls mit a = 10 cm, b = −2 0,05 cm f¨ ur den Zeitpunkt t = 0 und geben Sie die Wellenfunktion f¨ ur eine Geschwindigkeit vom Betrag 3 m/s an. 8.2 In der Mitte einer gespannten Saite wird bei t = 0 die folgende Auslenkung beobachtet: 4 mm (0,5x/cm)2 + 1 a) Formulieren Sie die Wellenfunktion f¨ ur eine mit 25 m/s in die negative x-Richtung laufende Welle. b) Skizzieren Sie die Wellenpulse f¨ ur t = 0; 2 und 5 s. (Beachten Sie, dass sich die Welle in die positive und negative x-Richtung ausbreitet.) s(x, 0) =

8.3 Untersuchen Sie die folgenden mathematischen Ausdr¨ ucke und kl¨ aren Sie, a) ob es sich um laufende Wellen handelt b) falls a) zutrifft, wie groß Betrag und Richtung der Geschwindigkeit ist: 1. s(z, t) = A sin2 [4π(2t/s + 2z/m)] 2. s(x, t) = A(5x/m − 5t/s)2 3. s(x, t) = BxA2 −t 8.4 Falls der folgende Ausdruck eine laufende Welle darstellt, so geben Sie Gr¨ oße und Richtung der Geschwindigkeit an (Einheiten: x in m, t in s): 2

2

0,1 m · ex −20xt+100t x − 10t 8.5 Eine harmonische Welle breitet sich in der negativen z-Richtung aus, hat eine Auslenkungs-Amplitude von 2 (willk¨ urliche Einheiten), eine Wellenl¨ ange von 1 m und eine Periodendauer von 3 s. Am Ursprung ist zum Zeitpunkt t = 0 die Auslenkung null und die Schnelle s˙ > 0. Wie lauten die Wellenfunktionen, die explizit s=

256

8 Wellengleichungen a) b) c) d)

Wellenl¨ ange λ und Periodendauer T , Kreiswellenzahl k und Phasengeschwindigkeit c, Kreiswellenzahl k und Kreisfrequenz ω enthalten? Wie lautet die Welle in komplexer Schreibweise?

8.6 a) Geben Sie f¨ ur t = 0 die Gleichung einer harmonischen Welle an, die sich in negativer x-Richtung ausbreitet, eine Amplitude von 5 m, eine Wellenl¨ ange von 50 m und ϕ0 = 0 aufweist. b) Durch welchen Zusammenhang wird die Auslenkung der obigen Welle bei t = 4 s beschrieben, wenn sie sich mit 2 m/s ausbreitet? 8.7 Eine harmonische Welle hat die Auslenkung s = 10 cm · sin(628x/cm − 6,28t/s). Bestimmen Sie Amplitude, Wellenl¨ ange, Frequenz, Periodendauer, Kreisfrequenz, Kreiswellenzahl und Geschwindigkeit der Welle. 8.8 Ermitteln Sie mit Hilfe der Methode der konstanten Phase die Phasengeschwindigkeiten der folgenden Wellen in Abh¨ angigkeit von den Konstanten A, B, C und D. F¨ uhren Sie außerdem eine Dimensionsbetrachtung f¨ ur diese Gr¨ oßen durch: a) f (y, t) = A · (y/m − t/s)2 b) f (x, t) = A · (Bx + Ct + D)2 2 2 2 c) f (z, t) = A · eBz +BC t −2BCzt 8.9 Eine in +x-Richtung laufende harmonische Welle hat f¨ ur t = 0 bei x = 0 die Auslenkung 13 Einheiten und -7,5 Einheiten bei x = 3λ/4. Formulieren Sie die Gleichung der Welle f¨ ur t = 0. (Angabe in reeller und komplexer Form, Angabe der komplexen Amplitude). 8.10 a) Beweisen Sie: Falls bei einer linkslaufenden Sinuswelle bei t = 0 die maximale positive Auslenkung bei x0 auftritt, so ist der Nullphasenwinkel: π x0 − 2π 2 λ b) Bestimmen Sie ϕ0 f¨ ur λ = 10 cm und x0 = 0; 5/6; 2,5; 5 und −0,5 cm. c) Welche Phasenwinkel w¨ urden mit den Werten von b) auftreten, wenn man eine Kosinuswelle zugrunde legt? 8.11 Finden Sie f¨ ur eine dreidimensionale ebene Welle die f¨ ur k·r zutreffenden Ausdr¨ ucke, wenn die Ausbreitungsrichtung a) die positive z-Achse ist, b) entlang der Linie x = y, z = 0 liegt und c) senkrecht zur Ebene x + y + z = konst. steht. ϕ0 =

8.12 Beweisen Sie f¨ ur eine komplexe Zahl z: z + z∗ a) Re(z) = 2 z − z∗ b) Im(z) = 2j ejϕ + e−jϕ c) cos ϕ = 2 ejϕ − e−jϕ d) sin ϕ = 2j

8.8 Doppler-Effekt

257

8.13 Wird eine komplexe Wellenfunktion mit j, 1/j oder −1 multipliziert, so ist dies gleichbedeutend mit einer Phasenverschiebung um π/2, −π/2 bzw. π. Beweisen sie dies. 8.14 Die gegenl¨ aufigen Wellen s1 = sˆ ej(ωt+kx) und s2 = sˆ ej(ωt−kx+π) werden u ¨ berlagert. Zeigen Sie, dass f¨ ur die resultierende Welle gilt: s = Im(s1 + s2 ) = 2ˆ s sin kx · cos ωt Es handelt sich um eine stehende Welle (s. Kap. 9). 8.15 Die Intensit¨ at des Sonnenlichts betr¨ agt an der Erdoberfl¨ ache etwa 1 kW/m2 (Solarkonstante). a) Finden Sie die zu diesem Wert geh¨ origen Amplituden des E- und B-Feldes. b) Berechnen Sie die hiermit gekoppelte Photonenflussdichte (s. Kap. 1), also die Zahl der Photonen pro m2 und s unter der Annahme, dass die mittlere Wellenl¨ ange an der Erdoberfl¨ ache 700 nm betr¨ agt. 8.16 F¨ ur eine Lichtwelle in Glas der Brechzahl 1,5 findet man eine Amplitude des EFeldes von 100 V/m . Wie groß sind die Amplituden des B- und H-Feldes und die Intensit¨ at? 8.17 a) Das Licht einer 100 W-Lampe mit einer Strahlungsausbeute von 10% breitet sich gleichm¨ aßig in alle Raumrichtungen aus. Ermitteln Sie Bestrahlungsst¨ arke ˆ und B ˆ in 10 m Entfernung. sowie E b) Vergleichen Sie die Werte mit denen eines 2- kW-Laserstrahles, der auf einen Fleck von etwa 100 µm2 fokussiert wird. √ 8.18 Warum muss bei einer Zylinderwelle die Amplitude mit 1/ r und ihre Intensit¨ at mit 1/r abnehmen? 8.19 Beim Doppler-Effekt ist die verschobene Wellenl¨ ange λ
durch (8.58) gegeben. Leiten Sie hieraus (8.59) f¨ ur v
c her. 8.20 Wie schnell m¨ ussen Sie sich einer auf rot (λ bei 640 nm) stehenden Verkehrsampel n¨ ahern, damit sie Ihnen gr¨ un (540 nm) erscheint? Rechnen Sie mit der f¨ ur v
c geltenden N¨ aherung und relativistisch exakt. 8.21 Ein Quasar am Rande des noch beobachtbaren Universums zeigt eine so starke Rotverschiebung, dass die ultraviolette Lyman-α-Linie (λ = 121,6 nm) des Wasserstoffs auf den 4,8-fachen Wert ins Sichtbare verschoben wird. Wie groß ist die Fluchtgeschwindigkeit, wenn die Verschiebung durch den Doppler-Effekt hervorgerufen wird? Wie weit ist der Quasar von uns entfernt, wenn die Hubble-Konstante H ≈ 2 · 10−18 s−1 ? (Angabe auch in Lichtjahren.) 8.22 Sch¨ atzen Sie die Doppler-Verbreiterung der roten Heliumlinie (λ = 706,52 nm) bei T = 1 000 K ab. Der Effektivwert der thermischen Geschwindigkeit ist gegeben durch:
3RT veff = M kg Nm R ist die allgemeine Gaskonstante R = 8,314 · 103 kmol·K und M (= 4 kmol ) die (Kilo-)Molmasse.

9 Interferenz von Wellen

Einleitung In Kapitel 8 wurden die Eigenschaften einer (harmonischen) Welle diskutiert. H¨ aufig werden sich jedoch zwei oder mehrere Wellen in einem Beobachtungspunkt u ¨ berlagern oder entlang derselben Richtung ausbreiten. Wir werden zun¨achst die ¨ Uberlagerung gleichfrequenter und gleichgerichteter harmonischer Wellen unterschiedlicher Amplitude und Phase untersuchen und feststellen, dass wieder eine harmonische Welle gleicher Frequenz entsteht. Bei der Berechnung der resultierenden Intensit¨ at von koh¨ arenten und inkoh¨arenten Teilwellen ergeben sich wichtige Unterschiede. Daran anschließend werden stehende Wellen behandelt, die bei der Superposition gegenl¨ aufiger Wellen auftreten. Es folgt die Untersuchung der Interferenz von ebenen Wellen, die sich unter beliebigen Winkeln kreuzen. Zum Schluss wird auf die Gruppengeschwindigkeit – die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Einh¨ ullenden einer Gruppe von harmonischen Wellen unterschiedlicher Frequenz – und deren Zusammenhang mit der so genannten Wellendispersion eingegangen.

260

9 Interferenz von Wellen

9.1 Superpositionsprinzip ¨ Bei der Uberlagerung von Wellen interessiert die momentane Gesamtauslenkung s = s(r, t) in einem Punkt, wenn dort gleichzeitig zwei Wellen mit den Einzelauslenkungen s1 und s2 eintreffen. In linearen Medien gilt hierbei das Superpositionsprinzip, das besagt, dass die gesamte Auslenkung einfach gleich der Summe der Einzelauslenkungen ist, dass sich die Wellen also gegenseitig nicht st¨oren: Superpositionsprinzip

s = s1 + s2

(9.1)

¨ Bei der experimentellen Uberpr¨ ufung der aus diesem Prinzip gefolgerten Ergebnisse stellt man fest, dass dieses f¨ ur elektromagnetische Wellen im Vakuum exakt gilt, in Medien jedoch nur bei kleinen Lichtintensit¨aten in der sogenannten linearen Optik. Das Prinzip (9.1) l¨ asst sich auch mathematisch formaler formulieren: Falls s1 und s2 unabh¨ angige L¨ osungen der Wellengleichung (8.34) 1 ∂ 2s · c2 ∂t2 sind, so ist auch die Linearkombination s =

s = as1 + bs2

(9.2)

eine L¨ osung der Differentialgleichung. a und b sind hierbei willk¨ urliche Konstanten1 . ¨ Die Uberlagerung von elektromagnetischen Wellen kann durch die Vektoraddition der elektrischen oder magnetischen Felder ausgedr¨ uckt werden: 2  =E 1 + E E

 =B 1 + B 2 und B

Hierbei ist die Richtung der Einzelvektoren zu beachten. Vektoren, die senkrecht oder parallel zueinander stehen, f¨ uhren zu unterschiedlichen Ergebnissen; dies ¨ werden wir bei der Uberlagerung von polarisiertem Licht best¨atigen. Hier betrachten wir zun¨ achst die elektromagnetischen Felder als Skalare. Diese skalare N¨ aherung ist nur f¨ ur parallele E-Vektoren streng g¨ ultig; sie wird jedoch auch h¨ aufig bei ann¨ ahernd parallelen Feldern sowie bei unpolarisiertem Licht ange wendet, bei dem das E-Feld durch zwei orthogonale, inkoh¨arente Komponenten beschrieben werden kann. In Medien treten bei der Wechselwirkung mit Licht sehr hoher Intensit¨at nichtlineare Effekte auf und das Superpositionsprinzip ist nicht mehr exakt g¨ ultig. 1

In der Systemtheorie bezeichnet man ein System, dessen Antwortgr¨ oße s dieses Verhalten zeigt, als lineares System.

¨ 9.2 Uberlagerung gleichlaufender, gleichfrequenter Wellen

261

(9.2) enth¨ alt dann auch Produktterme (∼ s1 · s2 , ∼ s21 . . .), die u.a. zu Frequenzmischung und Frequenzverdopplung f¨ uhren. Diese nichtlineare Optik (s. Kap. 26) hat sich seit der Erfindung des Lasers zu einem wichtigen Zweig der modernen Optik entwickelt.

¨ 9.2 Uberlagerung gleichlaufender, gleichfrequenter Wellen In Kapitel 8 wurde gezeigt (s. (8.23) und (8.36)), dass eine ebene harmonische Welle, die in positiver x-Richtung fortschreitet, beschrieben wird durch: harmonische ebene Welle

ˆ1 ej(ωt−kx+ϕ01 ) ≡ E ˆ ej(ωt−kx) E1 = E 1

(9.3)

Hierbei ist ω = 2πf die Kreisfrequenz, k = ω/c = 2π/λ die Kreiswellenzahl und ˆ die E 1 komplexe Amplitude

ˆ = Eˆ1 ejϕ01 E 1

(9.4)

¨ die den Nullphasenwinkel ϕ01 enth¨ alt. Die Uberlagerung von zwei gleichfrequenten ebenen Wellen gleicher Ausbreitungsrichtung und unterschiedlicher Amplituˆ2 ergibt den Feldst¨ arkeverlauf den Eˆ1 und E ˆ1 ej(ωt−kx+ϕ01 ) + E ˆ2 ej(ωt−kx+ϕ02 ) E = E1 + E2 = E

(9.5)

Bei dieser Beschreibung ist die Ortskoordinate x des Beobachtungspunktes in einem Koordinatensystem festgelegt, dessen Ursprung beliebig w¨ahlbar ist. Die – im Allgemeinen unterschiedlichen – Wege von den Sendern zum Nullpunkt, die zu Phasenverschiebungen der beteiligten Wellen f¨ uhren, werden durch die ucksichtigt. In Kapitel 10 wird eine andere Nullphasenwinkel ϕ01 und ϕ02 ber¨ Beschreibung verwendet, bei der die ortsabh¨angigen Phasen der Wellen durch die Abst¨ ande x1 und x2 von den Sendern zum Beobachtungspunkt festgelegt wird. Da Sender und Koordinatensystem in der Regel ortsfest sind, unterscheiden sich die beiden Darstellungen nur um einen konstanten Phasenwinkel. Mit Hilfe der komplexen Amplituden k¨ onnen wir (9.5) folgendermaßen umschreiben:   ˆ ej(ωt−kx) + Eˆ ej(ωt−kx) = E ˆ +E ˆ ej(ωt−kx) E=E 1 2 1 2 (9.6) j(ωt−kx) j(ωt−kx+ϕ0 ) ˆ ˆ ≡ Ee =Ee oder in reeller Schreibweise: ebene Gesamtwelle

E = Im(E) = Eˆ sin(ωt − kx + ϕ0 )

(9.7)

262

9 Interferenz von Wellen

¨ Der Vergleich von (9.6) mit (9.3) zeigt uns, dass nach der Uberlagerung eine Welle derselben Frequenz und Kreiswellenzahl vorliegt. Ihre komplexe Amplitude – also Amplitude und Nullphasenwinkel – ist jedoch ge¨andert: ˆ +E ˆ =E ˆ1 ejϕ01 + Eˆ2 ejϕ02 ˆ = Eˆ ejϕ0 = E E 1 2

(9.8)

ˆ und ϕ0 aus den entsprechenden Werten der Einzelwellen beUm Amplitude E rechnen zu k¨ onnen, verwenden wir das Zeigerdiagramm (s. Abb. 9.1) der komplexen Amplituden und erhalten f¨ ur den resultierenden Nullphasenwinkel: tan ϕ0 =

ˆ ) ˆ2 sin ϕ02 ˆ ˆ ) + Im(E Im(E) Im(E Eˆ1 sin ϕ01 + E 1 2 = = ˆ ˆ ) + Re(Eˆ ) ˆ2 cos ϕ02 ˆ1 cos ϕ01 + E Re(E) Re(E E 1 2

(9.9)

¨ Abb. 9.1. Zeigerdiagramm f¨ ur die Uberlagerung von 2 harmonischen Wellen mit den ˆ und E ˆ . a) Zeigeraddition. b) Komponentenzerlegung komplexen Amplituden E 1 2

ˆ kann (s. Abb. 9.1 b) aus E ˆ 2 = Re(E) ˆ 2 + Im(E) ˆ 2 oder mit Hilfe Der Betrag von E des Kosinussatzes berechnet werden. Formal folgt aus (9.8):    ˆE ˆ2 ejϕ02 E ˆ2 e−jϕ02 ˆ2 = E ˆ ∗ = Eˆ1 ejϕ01 + E ˆ1 e−jϕ01 + E E (9.10) ˆ 2 + 2E ˆ1 E ˆ2 cos(ϕ02 − ϕ01 ) ˆ2 + E =E 1 2 Mit der Phasendifferenz der Teilwellen

δ = ϕ02 − ϕ01

(9.11)

ˆ 2 (nach (8.52)) ergibt sich hieraus die Gesamtintenund der Intensit¨ at I = 12 εcE sit¨at bei Interferenz von zwei Wellen der Einzelintensit¨aten I1 und I2 : Gesamtintensit¨at (9.12) I = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos δ

¨ 9.2 Uberlagerung gleichlaufender, gleichfrequenter Wellen

263

Die Intensit¨ at ist also nicht einfach die Summe der Einzelintensit¨aten, sondern weist zus¨ atzlich einen Interferenzterm auf, der von der Phasenbeziehung zwischen den Teilwellen bestimmt wird. F¨ ur den wichtigen Spezialfall gleicher Amplituden und Intensit¨ aten (I1 = I2 ) folgt dann: δ (9.13) 2 Bei der Interferenz von Wellen sind zwei Grenzf¨alle besonders interessant: I = 2I1 (1 + cos δ) = 4I1 cos2

a) Konstruktive Interferenz Hier sind die beiden Wellen in Phase, ihre Wellenberge fallen zusammen (s. Abb. 9.2 a). Dann muss die Phasendifferenz ein ganzzahliges Vielfaches von 2π sein: konstruktive Interferenz

δ = m 2π

m = 0, ±1, ±2, . . .

mit

(9.14)

Die Nullphasenwinkel von Gesamtwelle und Teilwellen stimmen u ¨ berein und Amplitude (9.8) sowie Intensit¨ at erreichen ihre Maximalwerte: ˆ1 + E ˆ2 ˆmax = E E Imax = I1 + I2 + 2



(9.15) I1 I2

(9.16)

Bei gleichen Amplituden und Intensit¨ aten der Teilwellen beobachtet man eine Verdopplung der Amplitude, aber die vierfache(!) Intensit¨at. Die konstruktive Interferenz ist in Abb. 9.2 a anhand einer Momentaufnahme veranschaulicht. Nach (9.7) gilt bei t = 0 und ϕ0 = π f¨ ur den r¨ aumlichen Verlauf der Gesamtwelle:   2π ˆ E = Emax sin x (9.17) λ b) destruktive Interferenz Hier sind beide Teilwellen gegenphasig, d.h. Wellenberg trifft auf Wellental (s. Abb. 9.2 b). Dies ist der Fall, wenn die Phasendifferenz: destruktive Interferenz

δ = (2m + 1)π

mit

m = 0, ±1, ±2, . . .

(9.18)

Dann wird cos δ = −1 und wir beobachten (s. Abb. 9.2 b) die Minimalwerte: ˆ1 − E ˆ2 ˆmin = E E und

264

9 Interferenz von Wellen

¨ Abb. 9.2. Uberlagerung von zwei gleichfrequenten in positiver x-Richtung laufenden ebenen Wellen unterschiedlicher Phasendifferenz δ mit dem Amplitudenverh¨ altnis ˆ 2 /E ˆ1 = 0,8 und Nullphasenwinkel ϕ01 = π, d.h. E1 = −E ˆ1 sin(ωt − kx). MomentaufE ˆmax = 1,8 E ˆ1 ; b) destruktive nahmen bei t = 0. a) konstruktive Interferenz, δ = m2π, E ˆmin = 0,2 E ˆ1 ; c) δ = π/3 + m2π, E ˆ = 1,56 E ˆ1 , ϕ0 = 0,46 rad Interferenz δ = (2m+ 1)π, E

¨ 9.2 Uberlagerung gleichlaufender, gleichfrequenter Wellen

Imin

= I1 + I2 − 2 I1 I2

265

(9.19)

Bei gleichen Amplituden tritt v¨ ollige Ausl¨ oschung auf. ¨ Die obigen Ergebnisse lassen sich leicht auf die Uberlagerung von N Wellen (s. Abb. 9.3) erweitern. Wir schreiben ˆ1 ejϕ01 + Eˆ2 ejϕ02 + E ˆ3 ejϕ03 + . . . ˆ = Eˆ ejϕ0 = E E

(9.20)

und trennen Realteil ˆ =E ˆ cos ϕ0 = Re(E)

N 

ˆi cos ϕ0i E

i=1

und Imagin¨ arteil ˆ sin ϕ0 = ˆ =E Im(E)

N 

ˆi sin ϕ0i E

i=1

¨ Abb. 9.3. Zeigerdiagramm f¨ ur die Uberlagerung von 4 gleichfrequenten Wellen

Hieraus folgt f¨ ur den Nullphasenwinkel: Nullphasenwinkel

%N ˆ ˆ Im(E) i=1 Ei sin ϕ0i tan ϕ0 = = %N ˆ ˆi cos ϕ0i Re(E) E i=1

F¨ ur den Betrag der Gesamtamplitude gilt:

(9.21)

266

9 Interferenz von Wellen

ˆ 2 + Re(E) ˆ 2 ˆ 2 = Im(E) E

N 2 N 2   ˆi sin ϕ0i = + E Eˆi cos ϕ0i

Amplitude

i=1

(9.22)

i=1

ˆ ∗ berechnen Um die zu (9.10) analoge Form zu erhalten, m¨ ussen wir mit (9.20) Eˆ E und erhalten: Gesamtamplitude

ˆ2 = E

N  i=1

ˆ2 + E i

N  N 

ˆj cos(ϕ0j − ϕ0i ) ˆi E 2E

(9.23)

j>i i=1

Die Notation j > i stellt sicher, dass Terme mit i = j, die bereits in der ersten Summe ber¨ ucksichtigt wurden, und solche mit i < j, die vom Faktor 2 erfasst werden, unber¨ ucksichtigt bleiben. Die Summe von N harmonischen gleichfrequenten und gleichlaufenden Wellen ergibt wieder eine harmonische Welle (9.7) derselben Frequenz aber ge¨ anderter Phase (9.21) und Amplitude (9.22) und (9.23). ˆ∗ = E ˆ1 e−jϕ01 + E ˆ2 e−jϕ02 +. . . f¨ Beweis von (9.23): Multiplikation von (9.20) mit E uhrt   2 2 2 j(ϕ02 −ϕ01 ) −j(ϕ02 −ϕ01 ) 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ +. . . = E1 + E2 +2E1 E2 cos(ϕ02 − +e zu: E = E1 + E2 + E1 E2 e ϕ01 ) + . . . und damit zu den ersten Gliedern von (9.23), die restlichen Terme ergeben sich analog.

Beispiel 9.1 Interferenz von 3 ebenen Wellen Am Ort x = 0 interferieren drei rechtslaufende Wellen mit dem Feldst¨arkeverlauf: E1 = 7 sin(ωt + π/3), E2 = 12 cos(ωt + π/4) und E3 = 20 sin(ωt + π/5). Bestimmen Sie die resultierende Amplitude sowie den Phasenwinkel ϕ0 und geben Sie die Wellenfunktion an. (Angabe der Feldst¨arkeamplituden in kV/m.) L¨ osung Um eine konsistente Beschreibung der Nullphasenwinkel zu erreichen, muss zun¨ achst mit cos ϕ = sin(ϕ + π/2) die Kosinus- in eine Sinuswelle umgewandelt werden: E2 = 12 sin(ωt + 3π/4). Dann wird mit (9.22):    π   π 2 3π 2 ˆ + 12 sin + 20 sin E = 7 sin 3 4 5    π   π 2 3π + 7 cos + 12 cos + 20 cos 3 4 5 = 26,32 + 11,22 = 817

9.3 Koh¨ arente und inkoh¨ arente Sender

267

ˆ = 28,6 kV/m. und E Dasselbe Ergebnis muss nat¨ urlich aus (9.23) folgen:      ˆ 2 = 72 + 122 + 202 + 2 7 · 12 · cos 3π − π + 7 · 20 · cos π − π + E 4 3 5 3   π 3π − = 817 + 12 · 20 · cos 5 4 Nach (9.21) ist ϕ0 = arctan(26,3/11,2) = 1,17 rad = 0,37π. Die resultierende harmonische Welle wird dann durch 28,6 kV/m · sin(ωt − kx + 1,17 rad) beschrieben.

9.3 Koh¨ arente und inkoh¨ arente Sender Bei der Herleitung von (9.12) waren wir von harmonischen Wellenz¨ ugen ausgegangen. Diese verlaufen u unge, sie ¨ber beliebig lange Zeiten ohne Phasenspr¨ sind damit ideal koh¨ arent und exakt monofrequent2. Folglich haben zwei oder mehr Teilwellen immer eine feste Phasenbeziehung zueinander und in (9.12) tritt bei der Ermittlung der mittleren Intensit¨ at ein zeitunabh¨angiger Mittelwert auf: cos δ = cos δ = konst. Bei konstruktiver Interferenz war cos δ = 1 und bei gleichˆ = 2E ˆ1 . Entsprechend interferieren N gleichphasige koh¨arente starken Wellen E Wellen gleicher Amplitude, bei denen alle Zeiger parallel stehen, zur Gesamtamplitude ˆ1 Eˆ = N E

(9.24)

I = N 2 I1

(9.25)

und zur Gesamtintensit¨ at

Bei konstruktiver Interferenz der Strahlung N identischer koh¨arenter Sender addieren sich die Amplituden der Wellen und die resultierende Intensit¨at ist at. das N 2 -fache der Einzelintensit¨ Hat man eine große Zahl von Teilwellen gleicher Amplitude, aber unterschiedlicher Phase, so muss man zwei F¨ alle unterscheiden: 2

Nach der Unsch¨ arferelation (12.31) ist das Produkt aus Frequenz- und Zeitunsch¨ arfe ∆f · ∆t ≈ 1. Bei einem unendlich ausgedehnten Wellenzug gilt dann ∆f = 0.

268

9 Interferenz von Wellen

1. Die Einzelwellen, die z.B. von vielen Radioantennen emittiert werden, verlaufen harmonisch, ihre Phase ϕ0i ist mithin zeitlich konstant, in Bezug auf die anderen Sender aber statistisch verteilt. In diesem koh¨arenten Fall gibt es – bei hinreichend großem N – im statistischen Mittel zu jedem Zeiger i einen Zeiger j entgegengesetzter Richtung und die resultierende Welle verschwindet. 2. Die Phase der Einzelsender schwankt zeitlich statistisch. Dies ist bei der Lichtemission der Fall. Licht emittierende Atome senden nur kurz zusammenh¨ angende – und folglich nur ann¨ ahernd harmonische – Wellenz¨ uge aus, deren Dauer selbst bei monochromatischen“ Spektrallampen nur ca. 1 ns be” tr¨ agt. Der Zeitpunkt der Emission schwankt statistisch. Wellen von 2 Atomen – und damit erst recht von 2 Lampen – sind also inkoh¨arent, sie haben keine feste Phasenbeziehung. In (9.12) wird cos δ = 0, da der Kosinus im zeitlichen Mittel alle Werte zwischen +1 und −1 mit gleicher Wahrscheinlichkeit annimmt, der Interferenzterm verschwindet und die Intensit¨aten sind additiv: I = 2I1 . Bei einer großen Zahl von N inkoh¨arenten Teilwellen k¨onnen wir uns vorstellen, dass sich die Interferenzterme von jeweils 2 Teilwellen herausmitˆ 2 = N · Eˆ2 und die Gesamtintensit¨at: teln. F¨ ur N Sender wird daraufhin E 1 I = N I1

(9.26)

Dieses Ergebnis wird auch aus (9.23) verst¨andlich, wo die Kosinusterme unter der Doppelsumme wieder mit gleicher Wahrscheinlichkeit positive und % negaˆ2 = ˆ2 = E tive Werte annehmen, im Zeitmittel verschwinden und somit E i ˆ12 verbleibt. NE ¨ Bei der Uberlagerung inkoh¨ arenter Wellen ist die Gesamtintensit¨at die Summe der Einzelintensit¨ aten. Konstruktive Interferenz kann zu sehr hohen Intensit¨aten f¨ uhren, so ist z.B. die Intensit¨ at von 100 gleichstarken koh¨ arenten Sendern das Hundertfache von 100 gleichstarken inkoh¨ arenten Sendern.

9.4 Interferenz ebener Wellen beliebiger Frequenz und Richtung In den folgenden Abschnitten wird die Interferenz von ebenen Wellen untersucht, die sich in Frequenz und Ausbreitungsrichtung unterscheiden k¨onnen. Die Ergebnisse sollen – zur Verminderung des Rechenaufwandes – als Spezialf¨alle eines allgemeinen Ansatzes hergeleitet werden.

9.4 Interferenz ebener Wellen beliebiger Frequenz und Richtung

269

Zwei ebene harmonische Wellen unterschiedlicher Frequenz (f1 = f2 ), Richtung (k1 = k2 ) und Amplitude ergeben in einem Punkt P , der durch einen Ortsvektor r festgelegt ist, zum Zeitpunkt t die elektrische Feldst¨arke: ˆ1 ej(ω1 t−k1 ·r+ϕ01 ) +Eˆ2 ej(ω2 t−k2 ·r+ϕ02 ) ≡ E ˆ1 ejα1 +E ˆ2 ejα2 (9.27) E = E 1 +E 2 = E Die Phase der Teilwelle i (mit i = 1, 2) ist somit αi (r, t) = ωi t − ki · r + ϕ0i

Phase der Welle i

(9.28)

und die Wellen weisen eine zeit- und ortsabh¨angige Phasendifferenz δ auf: δ(r, t) = α2 − α1 = (ω2 − ω1 )t − (k2 − k1 ) · r + ϕ02 − ϕ01

(9.29)

Aufgrund dieser Zeitabh¨ angigkeit kann sich dann keine station¨are Interferenz ausbilden. ˆ2 = F¨ ur die weitere Untersuchung soll (9.27) umgeformt werden: Wir setzen E j(α1 +α2 )/2 ˆ ˆ E1 + ∆E und klammern e aus:   ˆ1 ej(α1 +α2 )/2 ej(α2 −α1 )/2 + e−j(α2 −α1 )/2 + ∆E ˆ ejα2 E=E   ˆ1 cos α2 − α1 ej(α1 +α2 )/2 + ∆E ˆ ejα2 = 2E 2

(9.30)

¨ Bei Ubergang zur reellen Schreibweise (E = Im(E)) wird dies 

   α2 − α1 α1 + α2 ˆ sin α2 sin + ∆E 2 2   ˆ r, t) sin α1 + α2 + ∆Eˆ sin α2 = E( 2

ˆ1 cos E = 2E

(9.31)

mit der Interpretation: ¨ Bei Uberlagerung von zwei laufenden Wellen unterschiedlicher Frequenz und Richtung entsteht eine Welle, deren Phase gleich dem Mittelwert der Phasen 2 der Einzelwellen ( α1 +α ) ist, mit einer von der Differenz der Einzelphasen be2 ˆ r, t): stimmten zeit- und ortsabh¨angigen Amplitude E(   ˆ r, t) = 2E ˆ1 cos α2 − α1 = 2E ˆ1 cos δ(r, t) Gesamtamplitude E( (9.32) 2 2 ˆ2 = E ˆ1 + ∆E) ˆ verbleibt eine durch die InBei ungleichen Teilamplituden (E terferenz v¨ ollig unbeeinflusste laufende Welle der Phase α2 und Amplitude ∆Eˆ (letzter Summand in (9.31)).

270

9 Interferenz von Wellen

9.5 Stehende Wellen Stehende Wellen treten bei der Interferenz gegenl¨aufiger Wellen auf, die meist durch Reflexion laufender Wellen realisiert werden. Wir setzen gleichfrequente Wellen (ω1 = ω2 = ω) gleicher Amplitude voraus und fordern, dass sich Welle 1 in +x- und Welle 2 in −x-Richtung ausbreitet, dass also: k1 ·r = kx und k2 ·r = −kx. Dann folgt aus (9.29) und (9.31) f¨ ur die Beschreibung der stehenden Welle: ˆ ˆ cos(kx + ϕ0x ) · sin(ωt + ϕ0t ) ≡ E(x) sin(ωt + ϕ0t ) E = 2E

(9.33)

(ϕ0x und ϕ0t sind Nullphasenwinkel, die die Rand- und Anfangsbedingungen ber¨ ucksichtigen). Das Ergebnis zeigt, dass es sich bei der stehenden Welle nicht um eine Welle (bei der die Phase, das Argument des Sinus, zeit- und ortsabh¨angig ist), sondern um eine Schwingung (nur zeitabh¨angige Phase) mit ortsabh¨angiger ˆ Amplitude E(x) handelt. Mit k = 2π/λ und ϕ0x = −π/2, sowie ϕ0t = π/2 folgt aus (9.33) f¨ ur die in Abb. 9.4 dargestellte   2π ˆ E(x, t) = 2E sin x · cos ωt (9.34) stehende Welle λ mit der ortsabh¨ angigen Amplitude:  ˆ ˆ sin E(x) = 2E

 2π x λ

(9.35)

Eine stehende Welle weist als Knoten bezeichnete Punkte auf, an denen Ampliˆ tude E(x) und damit Feldst¨ arke E immer null sind. Solche Knoten treten nach (9.35) f¨ ur 2πx/λ = mπ auf, also bei den Koordinaten: Knotenlage bei ϕ0x = − π2 :

x=m

λ 2

mit

m = 0, 1, 2, . . .

(9.36)

Knoten liegen somit immer im Abstand einer halben Wellenl¨ange. Die Extrema der Amplitude bezeichnet man als B¨auche, ihr Abstand betr¨agt ebenfalls λ/2, w¨ ahrend Knoten und Bauch nur um λ/4 voneinander entfernt sind. Extrema der Auslenkung beobachtet man zu den Zeitpunkten: T mit m = 0, 1, 2, . . . (9.37) 2 Dies ist Ihnen vom schwingenden Pendel bekannt, bei dem in einer Periode zwei Extrema und zwei Nulldurchg¨ ange auftreten. Ein wesentliches Kennzeichen einer Welle, der Energietransport, geht in der stehenden Welle verloren. Die Energie ist zwischen den Knoten gespeichert und t=m

9.6 Interferenz schr¨ ager“ Wellen ”

271

Abb. 9.4. Stehende Wellen. a) Typischer Fall f¨ ur das Entstehen einer stehenden Welle ¨ bei Uberlagerung einer rechtslaufenden und durch Reflexion gebildeten linkslaufenden Welle. b) Feldst¨ arkeverlauf einer stehenden Welle zu verschiedenen Zeitpunkten. Die durchgezogenen Kurven zeigen die Extremalwerte mit den B¨ auchen. In den Knoten (K) ist E immer Null

h¨ alt die Schwingung aufrecht. Erzeugung der stehenden Welle durch Mehrfachreflexion, z.B. in einem Laserresonator, f¨ uhrt zu Reflexionsverlusten an den Endspiegeln; zus¨ atzliche Absorptionsverluste in dem Medium bewirken unterschiedliche, ortsabh¨ angige Amplituden der hin- und r¨ ucklaufenden Wellen. Dann kann in den Knoten keine vollst¨ andige destruktive Interferenz auftreten und die B¨auche haben unterschiedliche H¨ ohe. In diesem Fall l¨asst sich die entstehende Welle als ¨ Uberlagerung einer stehenden und einer laufenden Welle beschreiben, die die Energie zum Auskoppelspiegel transportiert.

9.6 Interferenz schr¨ ager“ Wellen ” Von besonderem Interesse (z.B. bei der Herstellung von Sinusgittern mit Hilfe von Zweistrahlinterferenz) ist die Superposition von Wellen gleicher Frequenz (gleicher Amplitude), aber unterschiedlicher Ausbreitungsrichtung, deren Wellenvekaufig kleinen – Winkel 2θ einschließen (s. Vektordiagramm toren k1 und k2 den – h¨ Abb. 9.5 a). In einem rechtwinkligen Koordinatensystem, bei dem die x-Achse in Richtung der Winkelhalbierenden der Einfallsrichtungen zeigt, erh¨alt man unter Verwendung von (9.31) (mit α1 = −k1 ·r = −kx x+ky y, α2 = −k2 ·r = −kx x−ky y ˆ = 0 sowie Abb. 9.5 b) f¨ und ∆E ur die resultierende Welle

272

9 Interferenz von Wellen

2 schr¨aglaufende Wellen wobei k =

 k2 k1 + 2

k⊥ = ky = k sin θ =

ˆ1 cos(k⊥ y) · sin(ωt − k x) E = 2E

mit k = kx = k cos θ =

2π λ

sowie k⊥ =

(9.38)  k1 k2 − 2

mit

2π . λ⊥

Abb. 9.5. Schr¨ aglaufende ebene Wellen. a) Zwei Teilstrahlen mit den zugeh¨ origen Wellenfronten und Wellenvektoren, die unter dem Winkel 2θ in Punkt P zusammentreffen. b) Diagramm der k-Vektoren. Die Summe der Einzelvektoren beschreibt die laufende Welle in x-Richtung (die parallel zur Winkelhalbierenden liegt) und ihre Differenz die stehende Welle in y-Richtung

9.6 Interferenz schr¨ ager“ Wellen ”

273

¨ Das Ergebnis der Uberlagerung von 2 schr¨ aglaufenden Wellen ist mithin eine in Richtung der Winkelhalbierenden (k - bzw. x-Richtung) laufende Welle mit dem Wellenvektor k und der Wellenl¨ ange λ =

λ cos θ

(9.39)

und eine hierzu senkrechte stehende Welle mit dem Wellenvektor k⊥ und der Wellenl¨ange der stehenden Welle

λ⊥ =

λ sin θ

(9.40)

Abbildung 9.5 b verdeutlicht das Entstehen der stehenden Welle aufgrund der antiparallelen y-Komponenten der Wellenvektoren. In Abb. 9.6 a ist der Ver-

Abb. 9.6. a) Momentaufnahme des Amplitudenquadrats der elektrischen Feldst¨ arke bei der Interferenz schr¨ aglaufender Wellen. b) Moir´e-Muster (Verdrehungs-Moir´e) bei unterschiedlichen Verdrehungswinkeln 2θ der Liniengitter

274

9 Interferenz von Wellen

ˆ 2 bei einer Momentaufnahme der Teil- und Gelauf der Amplitudenquadrate E samtwellen dargestellt. Die entstehenden Strukturen lassen sich mit Liniengittern nachbilden, man bekommt die in Abb. 9.6 b dargestellten Moir´e-Muster . In Abb. 9.6 b ist auch der Einfluss des Verkippungswinkels 2θ auf die Wellenl¨angen der fortschreitenden und stehenden Welle zu erkennen. Die Registrierung eines solchen Interferenzfeldes mit einem Film oder fotorefraktiven3 Kristall ergibt ein Intensit¨ ats- oder Phasengitter mit Sinusverlauf, bei dem der Gitterabstand g auche einer stehenden Welle ist, also: gleich dem Abstand λ⊥ /2 der B¨ λ (9.41) 2 sin θ Die Gitterkonstante steigt bei Verringerung des Kippwinkels. Solche Gitter haben bei der Erkl¨ arung der Holografie und als HOE4 große Bedeutung (s. Kap. 17.8). g=

Beispiel 9.2 Holografisches Gitter Der aufgeweitete Strahl eines He-Ne-Lasers (λ = 632,8 nm) passiert einen Strahlteiler. Die entstehenden Teilstrahlen schließen in Luft einen Winkel von 8◦ ein und interferieren in einer Fotoschicht der Brechzahl n
, die senkrecht zur Winkelhalbierenden der Strahlen steht. Wie groß ist der Abstand der Interferenzstreifen in Luft und in der Schicht? L¨ osung λ0 λ0 Nach (9.41) gilt in Luft (mit 2θ = 8◦ ): g = 2 sin θ ≈ sin 2θ = 4,5 µm und in 0 dem Fotomedium g
= n
2λsin θ
. Da nach dem Brechungsgesetz

sin θ = n sin θ , wird der Einfluss der kleineren Wellenl¨ange des Mediums gerade durch die Brechung zum Lot hin kompensiert und die Gitterkonstanten stimmen u ¨ berein.

9.7 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit In der Optik ist die Superposition von Wellen gleicher oder vergleichbarer Amplitude aber (wenig) unterschiedlicher Frequenz von großer Bedeutung. Aufgrund der Dispersion breiten sich solche Wellen (in Medien) mit unterschiedlicher Ge¨ schwindigkeit aus. Die Uberlagerung von Wellen, deren Wellenfronten mit unterschiedlicher Phasengeschwindigkeit fortschreiten, f¨ uhrt zu einer periodischen ¨ Anderung der Gesamtamplitude. Ein Punkt maximaler Gesamtamplitude breitet sich dann auch mit einer anderen Geschwindigkeit, der Gruppengeschwindigkeit, 3 4

Medium (z.B. Lithium-Niobat), das bei Belichtung seine Brechzahl ¨ andert. HOE = H olografisch-Optische-E lemente.

9.7 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit

275

aus, w¨ ahrend die Maxima der Teilwellen mit der Phasengeschwindigkeit fort¨ schreiten. Die wesentlichen Ergebnisse k¨ onnen schon an der Uberlagerung von 2 Wellen demonstriert werden. Wir setzen bei Anwendung von (9.31) zwei in x-Richtung fortschreitende Welˆ = 0) voraus len (mit den Phasen αi = ωi t − ki x + ϕ0i ) gleicher Amplitude (∆E und w¨ ahlen die Nullphasenwinkel so, dass aus (9.31) ein Kosinusprodukt folgt: ˆ cos (ωg t − kg x) · cos (ωp t − kp x) = E(x, ˆ t) cos (ωp t − kp x) E = 2E

(9.42)

1 1 2 2 mit ωg = ω2 −ω , kg = k2 −k und ωp = ω1 +ω , kp = k1 +k . 2 2 2 2 ˆ t) = Gleichung (9.42) beschreibt eine Welle, bei der die Amplitude E(x, ˆ · cos (ωg t − kg x) nunmehr zeit- und ortsabh¨angig ist, allerdings mit – ge2E gen¨ uber den Einzelwellen – stark vergr¨ oßerten zeitlichen und o¨rtlichen Periodenl¨ angen, da h¨ aufig gilt: f1 ≈ f2 und damit ωp  ωg und somit auch kp  kg . In Abb. 9.7 sind f¨ ur einen festen Ort der Verlauf von niederfrequenter Amplitude ˆ t) und hochfrequentem Schwingungsterm (cos(ωp t − kp x)) sowie der durch E(x, Produktbildung entstehende Gesamtverlauf (9.42) einer amplitudenmodulierten Schwingung wiedergegeben. Man beobachtet das von der Bewegung zweier gekoppelter Pendel oder von zwei leicht verstimmten Stimmgabeln bekannte Ph¨anomen der Schwebung. Aus Abb. 9.7 b ist ersichtlich, dass die Gesamtschwingung mit der doppelten Frequenz der Einh¨ ullenden oszilliert, man erh¨alt damit die

fs = 2fg = f2 − f1

Schwebungsfrequenz

(9.43)

Wie erw¨ ahnt, breiten sich in einem Medium Lichtwellen unterschiedlicher Wellenl¨ ange im Allgemeinen mit unterschiedlicher Geschwindigkeit aus. Selbst das als monochromatisch bezeichnete Laserlicht besteht aus einem – wenn auch schmalen – Wellenl¨ angenband um die mittlere Wellenl¨ange. F¨ ur zwei beliebige Wel¨ lenl¨ angen dieses Bandes l¨ asst sich die oben behandelte Uberlagerung der Teilwelur len vornehmen und die Geschwindigkeit c = ωk berechnen. Man erh¨alt dann f¨ die Phasengeschwindigkeit des hochfrequenten (ωp ) Anteils von (9.42) Phasengeschwindigkeit

cp =

ωp ω1 + ω2 ω = ≈ = λf kp k1 + k2 k

(9.44)

wobei benachbarte Frequenzen vorausgesetzt wurden, so dass ω1 ≈ ω2 = ω und entsprechend k1 ≈ k2 = k. Die Einh¨ ullende, der niederfrequente Anteil von (9.42), schreitet mit der Gruppengeschwindigkeit

cg =

ωg ω2 − ω1 dω = ≈ kg k2 − k1 dk

(9.45)

276

9 Interferenz von Wellen

Abb. 9.7. a) Verlauf der Kosinusterme Amplitude“ (cos(ωg t − kg x)) und Schwin” ” gung“ (cos(ωp t − kp x)) (s. (9.42)) als Funktion der Zeit f¨ ur fp = 10 · fg und die Orte x = x0 = 0, λg , . . . sowie ebenso als Funktion des Ortes f¨ ur die Zeiten t = 0, T, . . . b) Amplitudenmodulierte Gesamtwelle (9.42). c) Schwebung bei Liniengittern (VerlaufsMoir´e).

¨ fort. Die differentielle Anderung setzt wieder kleine Unterschiede der entsprechenden Gr¨ oßen voraus. Gruppen- und Phasengeschwindigkeit m¨ ussen nicht gleich groß sein. F¨ ur cp > cg laufen die hochfrequenten Wellen nach rechts unter der ” urde eine solche Relativbewegung verEinh¨ ullenden hindurch“, nur f¨ ur cp = cg w¨ schwinden. Dies l¨ asst sich auch mit einem Oszilloskop demonstrieren, bei dem die Frequenz fa der horizontalen Ablenkspannung nicht mit der Frequenz f1 eines Eingangssignals u ¨bereinstimmt. Ist f1 etwas kleiner als fa , so sieht man den Wellenzug langsam nach rechts laufen, seine Geschwindigkeit steigt mit der Frequenzdifferenz fa − f1 an. Mit einem zus¨atzlichen zweiten Signal mit f2
f1 beobachtet man eine sich langsam (∼ fa − (f1 − f2 )) nach rechts bewegende

9.7 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit

277

Schwebungsfigur, die von einer im linken Knoten entstehenden hochfrequenten Welle u ¨ berholt wird, deren Geschwindigkeit proportional zu fa − 12 (f1 + f2 ) ist. asst sich ein Zusammenhang zwischen Gruppen- und PhasenMit ω = cp k l¨ geschwindigkeit herstellen:     k dn λ dn Gruppen- und Phasen= cp 1 + · (9.46) cg = cp 1 − · geschwindigkeit n dk n dλ

d(kc )

Beweis: Nach ist cg = dω = dkp , bei Anwendung der Produktregel wird dies dk  (9.45)  dc dc c c = − np · dn = np · dn · λ . Der cg = cp + k dkp (∗). Wegen cp = cn0 ist dkp = − nc02 · dn dk dk dλ k letzte Schritt folgt aus k =

2π λ

wegen

dk k

= − dλ . Einsetzen in (∗) ergibt (9.46). λ

Im Vakuum verschwindet die Dispersion, dann ist dn = 0, Phasen- und Grupdλ pengeschwindigkeit werden unabh¨ angig von der Wellenl¨ange und sind immer gleich groß. In Medien mit normaler Dispersion ist dn dλ < 0 und mithin cg < cp . Wie bereits erw¨ ahnt, k¨ onnen diese Ergebnisse auch auf ein Kontinuum von Teilwellen aus einem schmalen Frequenzband u ¨ bertragen werden. Auch hier gibt es die Phasengeschwindigkeit, mit der die Teilwelle der Mittenfrequenz fortschreitet und die Gruppengeschwindigkeit des gesamten Wellenpulses. Letztere bestimmt die Geschwindigkeit, mit der die Energie der Welle transportiert wird, und ist die mit einem Detektor direkt messbare Gr¨oße. Bei einer amplitudenmodulierten Radiowelle w¨ urde man die Gruppengeschwindigkeit als Signalgeschwindigkeit bezeichnen. Lichtpulse in Lichtwellenleitern werden aufgrund der unterschiedlichen Phasengeschwindigkeiten der beteiligten Teilwellen verbreitert; damit wird ¨ die Ubertragungskapazit¨ at f¨ ur Informationen begrenzt. Die Wellenmechanik beschreibt ein lokalisiertes Elektron durch ein schmales Wellenpaket, das sich in harmonische Materiewellen aufspalten l¨ asst. Die Geschwindigkeit des Elektrons ist durch die Gruppengeschwindigkeit der beteiligten Wellen gegeben. Ein interessantes Beispiel f¨ ur den Unterschied zwischen Gruppen- und Phasengeschwindigkeit liegt bei schr¨ aglaufenden Wellen vor. Die Phasengeschwindigkeit folgt aus (9.38) oder cp = λ f und (9.39) zu: c (9.47) cos θ Die Gruppengeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der sich der Einzelstrahl in x-Richtung fortpflanzt, also die x-Komponente von c: cp =

cg = c cos θ

(9.48)

Das Produkt der beiden Geschwindigkeiten ist winkelunabh¨angig: cp cg = c2

(9.49)

278

9 Interferenz von Wellen

¨ Ubungen 9.1 Zwei ebene Wellen sind gegeben durch: E1 = 

ˆ 5E x 3m

−

2 4 st

und +2

E2 = 

ˆ −5E x 3m

+ 4 st − 6

2

+2

a) Beschreiben Sie die Bewegung dieser Wellen. ¨ b) Zu welchem Zeitpunkt ist die Uberlagerung der Wellen u ¨ berall null? c) An welchem Punkt x0 l¨ oschen sich die Wellen immer aus? 9.2 a) Zeichnen Sie das Zeigerdiagramm der folgenden in +x-Richtung laufenden harmonischen Mikrowellen der Frequenz f = 1 GHz und ihrer Resultierenden: π ˆ2 = 7 V , ˆ1 = 2 V , E E ϕ01 = 0 ϕ02 = m m 4 b) Beschreiben Sie die resultierende Welle (im Vakuum) in komplexer und Sinusform. 9.3 Finden Sie die Resultierende von 2 Einzelseilwellen mit den Amplituden 3 und 4 mm und den Nullphasenwinkeln 30◦ und 90◦ , wenn ihre Geschwindigkeit 2 m/s und die Frequenz 2 Hz betr¨ agt. 9.4 Zwei entlang der x-Achse laufende Wellen haben am Ort x = 0 den zeitlichen Verlauf: s1 = 5 mm · sin(ωt + π/2) und s2 = 7 mm · sin(ωt + π/3), ihre Phasen¨ geschwindigkeit ist c. Geben Sie die Gleichung der durch Uberlagerung erzeugten Welle an. 9.5 An einem festen Ort (in Luft) beobachtet man f¨ ur drei in negativer x-Richtung laufende Wellen den folgenden zeitlichen Verlauf des E-Feldes: E1 = 1V/m·sin(ωt− 10◦ ), E2 = 3 V/m·cos(ωt+100◦ ) und E3 = 2 V/m·sin(ωt−30◦ ). Die Periodendauer betr¨ agt 10 ns. Wie lautet die Beschreibung des E-Feldes der resultierenden Welle, wenn die einzelnen E-Vektoren parallel liegen? (Beachten Sie die Umrechnung von Grad in rad.) 9.6 100 Antennen emittieren identische Wellen mit dem zeitlichen Verlauf E = 0,02 V/m· sin(ωt + ϕ0 ). Die Wellen interferieren an einem festen Ort. Welche Amplitude hat die resultierende Welle, wenn am Empf¨ anger: a) alle Wellen in Phase sind (koh¨ arente Sender), b) die Phasenbeziehungen zuf¨ allig verteilt sind? 9.7 Zwei gleichfrequente ebene Wasserwellen schwingen in z-Richtung. Ihre Auslenkung ist gegeben durch:   x t +π s(x, t) = 5 mm · sin 150 + 6 s cm   y π t + s(y, t) = 2 mm · sin 150 + 6 s cm 2 Berechnen Sie die Auslenkung am Punkt x = 5 cm und y = 2 cm.

9.7 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit

279

9.8 Zwischen Gruppen- und Phasengeschwindigkeit besteht der Zusammenhang: dcp dλ a) Beweisen Sie diese Beziehung und geben Sie cg auch als Funktion von n und ω an. b) Stellen Sie  fest, ob die Gruppengeschwindigkeit in Medien mit normaler Dispersion dn oßer oder kleiner als die Phasengeschwindigkeit ist. dλ < 0 gr¨ cg = cp − λ ·

9.9 Die Abbesche Zahl ist definiert als νd = (nd − 1)/(nF − nC ), wobei sich C, d und F auf die Fraunhofer-Wellenl¨ angen λC = 656,3 nm, λd = 587,6 nm und λF = 486,1 nm beziehen. Sch¨ atzen Sie die Gruppengeschwindigkeit f¨ ur ein Glas mit der Abbezahl 30 und nd = 1,50 ab. 9.10 Die Brechzahl von Glas kann n¨ aherungsweise durch die empirische Cauchy-Beziehung n = A + λB2 beschrieben werden. Berechnen Sie hiermit Phasen- und Gruppengeschwindigkeit bei λ = 500 nm f¨ ur ein Glas mit A = 1,40 und B = 2,5 · 104 nm2 . 9.11 Zwischen Dielektrizit¨ atszahl εr und Brechzahl n besteht die Relation: εr = n2 . a) Beweisen Sie, dass dann die Gruppengeschwindigkeit   ω dεr c0 1− · cg = √ εr 2εr dω b) Bei Gasen findet man die empirische Beziehung: A ω02 − ω 2 Hierbei sind A und ω0 f¨ ur das Gas charakteristische Konstanten. Falls der zweite Term klein ist, kann man f¨ ur die Gruppengeschwindigkeit schreiben:   Aω 2 cg ≈ c0 1 − 2 (ω0 − ω 2 )2 Wieso ? εr = 1 +

9.12 a) Beweisen Sie die folgende Beziehung f¨ ur die Gruppengeschwindigkeit: dcp dλ b) Berechnen Sie hiermit cg f¨ ur ein Medium, in dem cp = A + Bλ. Erkl¨ aren Sie das Ergebnis. cg = cp − λ ·

9.13 Bei Wasserwellen k¨ onnen zwei Grenzf¨ alle unterschieden werden: Bei großer Wassertiefe und Wellenl¨ ange – also auf dem hohen Meer – wird die R¨ uckstellkraft der schwingenden Teilchen durch die Schwerkraft hervorgerufen. Man spricht von  Schwerewellen mit der Phasengeschwindigkeit cp = gλ (mit g = 9,81 m/s2 ). Wel2π len kleiner Wellenl¨ ange – die Oberfl¨ achenwellen – werden aufgrund der Oberfl¨ achen2πσ spannung σ vorw¨ artsgetrieben, hier ist cp = mit  = Dichte des Wassers. λ

Zeigen Sie, dass f¨ ur Schwerewellen cg = gilt.

cp 2

und f¨ ur Oberfl¨ achenwellen cg =

3 c 2 p

280

9 Interferenz von Wellen

9.14 Monochromatisches Laserlicht trifft senkrecht auf einen ebenen Spiegel, der sich mit der Geschwindigkeit v entfernt. Welche Schwebungsfrequenz beobachtet man ¨ bei Uberlagerung von emittiertem und reflektiertem Strahl?   x 9.15 Auf einer Saite breiten sich die gegenl¨ aufigen Wellen s1,2 = 7 mm·sin 200π ts ∓ 2 m aus. Untersuchen und skizzieren Sie die resultierende Welle und geben Sie deren Amplitude, Wellenl¨ ange, Frequenz und Geschwindigkeit an. 9.16 In einem Kundtschen Rohr bildet sich eine stehende Schallwelle aus, deren Auslenkung durch     πx t s = 3 µm · sin · cos 560π 0,6 m s gegeben ist. a) Bestimmen Sie Amplitude, Frequenz, Wellengeschwindigkeit und Wellenfunktion der erzeugenden laufenden Wellen. b) Wie groß ist der Knotenabstand? c) Berechnen Sie Auslenkung, Schnelle und Beschleunigung eines Teilchens bei x = 2 cm f¨ ur t = 0,22 s. 9.17 Schreiben Sie zwei gegenl¨ aufige gleichfrequente Wellen in komplexer Notation auf ¨ und zeigen Sie, dass deren Uberlagerung eine stehende Welle ergibt.

10 Lichtinterferenz

Einleitung In diesem Kapitel werden wir Experimente zur Interferenz von zwei oder mehreren Lichtwellen behandeln und die Voraussetzungen diskutieren, unter denen sich Interferenz beobachten l¨ asst. Von besonderem Interesse sind die Grenzf¨alle der Verst¨ arkung oder konstruktiven Interferenz und der Abschw¨achung oder ¨ destruktiven Interferenz der u sich die Interferenz¨ berlagerten Wellen. Andern bedingungen r¨ aumlich, so treten Interferenzmuster auf. Bekanntestes Beispiel sind die Interferenzstreifen des Youngschen Doppelspaltversuchs, mit dem die ¨ Wellennatur des Lichtes bewiesen wurde. An d¨ unnen Seifenh¨auten oder Olfilmen beobachtet man Interferenzfarben, da f¨ ur ein Wellenl¨angenintervall des weißen Lichtes Verst¨ arkung und ein anderes Abschw¨achung auftritt. Alle diese Interferenzph¨ anomene lassen sich mit dem Wellenmodell des Lichtes erkl¨aren.

282

10 Lichtinterferenz

10.1 Zweistrahlinterferenz In Kap. 9 wurde die Interferenz skalarer Wellen in komplexer Schreibweise be¨ handelt. Wir untersuchen nun die Uberlagerung von zwei Wellen unter Ber¨ ucksichtigung des Vektorcharakters des elektrischen Feldes und verwenden die reelle Beschreibung. Im Raumpunkt P , der durch den Ortsvektor r festgelegt ist, sollen die von zwei Quellen ausgehenden gleichfrequenten ebenen Wellen ˆ  1 sin(ωt − k1 · r + ϕ01 ) 1 = E E ˆ  2 sin(ωt − k2 · r + ϕ02 ) 2 = E E

(10.1)

¨ interferieren. Nach dem Uberlagerungsprinzip wird die resultierende Feldst¨arke im Punkt P : 1 + E 2 P = E E Wir hatten gesehen, dass die quadratischen“ Detektoren der Optik nur das zeit” gemittelte Quadrat der Feldst¨ arken und damit die Intensit¨at I = εcE 2 (8.53) nachweisen k¨ onnen. Wir erhalten deshalb   1 + E  2 )2 = εc E 2  2 = εc(E 2 + E  2 + 2E 1 · E I = εc E (10.2) 1 2 P und schreiben f¨ ur die Intensit¨ at I = I1 + I2 + I12

(10.3)

I1 und I2 sind die Intensit¨ aten der Einzelwellen und I12 ist der wichtige Interferenzterm 2 1 · E I12 = 2εcE

(10.4)

der zeigt, dass bei der Interferenz nicht einfach die Intensit¨aten addiert werden. Der Interferenzterm h¨ angt von der Phasenbeziehung und Polarisation der Teil1 ⊥ E  2 , d.h. ur E wellen ab. Bei linear polarisiertem Licht verschwindet I12 f¨ wenn die Schwingungsebenen senkrecht aufeinander stehen, und wird maximal,  2 ist. Koh¨ 1  E arentes unpolarisiertes Licht ist interferenzf¨ahig, da es in wenn E zwei orthogonale Komponenten zerlegt werden kann, die bei den interferierenden Teilwellen jeweils parallel stehen. Damit reduziert sich der Interferenzterm  2 auf das Resultat 1  E f¨ ur unpolarisertes Licht und polarisiertes Licht mit E der skalaren Theorie (s. Kap. 9), falls nicht die Wellenfronten zus¨atzlich verkippt sind, d.h. es muss gelten: k1  k2 . Zur Berechnung von (10.4) bestimmen wir zun¨ achst mit (10.1)1 : 1

und dem Additionstheorem 2 sin α sin β = cos(α − β) − cos(α + β).

10.1 Zweistrahlinterferenz

283

&   ˆ ˆ   1 · E  2 = εc E 2E · E ·  r − k ·  r + ϕ − ϕ cos k 1 2 2 1 01 02 +  ' − cos 2ωt − (k1 + k2 ) · r + ϕ01 + ϕ02 Bei Zeitmittelung verschwindet der zeitabh¨angige Term. Wir f¨ uhren die Phasendifferenz δ der Teilwellen ein: δ = k2 · r − k1 · r + ϕ01 − ϕ02

(10.5)

und erhalten den Interferenzterm: ˆ ˆ  I12 = εcE 1 · E 2 cos δ  F¨ ur parallele E-Vektoren folgt hieraus das bereits bekannte Ergebnis (9.12) f¨ ur die Intensit¨ at der Zweistrahlinterferenz Intensit¨at der Zweistrahlinterferenz (10.6) I = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos δ

Abb. 10.1. Zweistrahlinterferenz im Beobachtungspunkt P , der durch einen Ortsvektor r festgelegt ist. Die ortsabh¨ angigen Phasen, mit denen die Teilwellen in P eintreffen, werden – bei Welle 1 – durch k1 · r1 = k1 r1 bestimmt. Bei Welle 2 gilt k2 r2 mit r2 = r2
+ r2

sowie einer evtl. zus¨ atzlichen Phasenverschiebung bei der Reflexion

Zur Ermittlung der Phasendifferenz (10.5) ist es vorteilhaft, die ortsabh¨angige Phase der Wellen nicht durch den Ortsvektor r, sondern durch die Abst¨ande r1,2 des Aufpunktes P von den Quellen Q1,2 auszudr¨ ucken (s. Abb. 10.1). (Wegen

284

10 Lichtinterferenz

k1 · r = k1 · r1 + k1 · ∆r1 unterscheiden sich dann die Phasen k1 · r und k1 · r1 nur um einen konstanten Betrag k1 · ∆r1 ). F¨ ur Kugelwellen ist k1,2  r1,2 und wir erhalten aus (10.5): δ = k2 r2 − k1 r1 + ∆ϕ

(10.7)

ur synchron schwingende mit den Kreiswellenzahlen k1,2 = cω0 n1,2 = k0 n1,2 . F¨ Sender ist nun ∆ϕ = 0, falls nicht zus¨ atzliche Phasenverschiebungen – z.B. durch Reflexion – auftreten. Anschaulicher als die Phasendifferenz ist der Gangunterschied ∆ der interferierenden Teilstrahlen. Hierunter versteht man die Wegstrecke im Vakuum, die der Phasendifferenz δ entspricht, d.h. Phasendifferenz ↔ Gangunterschied

δ = k0 ∆ =

2π ∆ λ0

(10.8)

Hiermit folgt dann aus (10.7) (nach Division durch k0 ) f¨ ur den Gangunterschied Gangunterschied

∆ = n 2 r 2 − n 1 r 1 + ∆


(10.9)

Hierbei ist der optische Weg

dopt = n · r

(10.10)

gleich dem Produkt von geometrischem Weg und Brechzahl. Der optische Weg ber¨ ucksichtigt den Einfluss unterschiedlicher Ausbreitungsgeschwindigkeiten (c = c0 /n) auf die Phasenverschiebung. Damit kommen wir zu der Formulierung von (10.9): Der Gangunterschied ∆ von zwei Teilwellen ist gleich der Differenz der optiunge bei schen Wege plus einem konstanten Beitrag ∆
durch evtl. Phasenspr¨ Reflexion und unterschiedliche Phasenlage der Sender. Die Beziehung f¨ ur den Gangunterschied folgt auch direkt aus der Laufzeitdifferenz ∆t der Teilstrahlen: r2 r1 − c0 = n 2 r 2 − n 1 r 1 c2 c1 dabei ist t1 die Laufzeit auf Weg 1 und c0 ∆t die der Laufzeitdifferenz entsprechende Wegstrecke im Vakuum. Wir hatten bereits in Kap. 9 die wichtigen Grenzf¨alle der Interferenz diskutiert: a) konstruktive Interferenz tritt auf, wenn die interferierenden Teilwellen in Phase sind, wenn also ∆ = c0 ∆t = c0 (t2 − t1 ) = c0

10.1 Zweistrahlinterferenz

Phasendifferenz und Gangunterschied

δ = m · 2π ∆ = mλ

mit m = 0, ±1, ±2, . . .

285

(10.11)

Wegen cos δ = 1 tritt dann nach (10.6) die maximale Intensit¨at auf: Imax = I1 + I2 + 2 I1 I2

(10.12)

b) destruktive Interferenz Hier schwingen die Teilwellen gegenphasig; folglich gilt Phasendifferenz und Gangunterschied

δ = (2m + 1)π ∆ = (2m + 1) λ2

mit m = 0, ±1, ±2, . . . (10.13)

und man beobachtet die minimale Intensit¨at: Imin = I1 + I2 − 2 I1 I2

(10.14)

Sind die interferierenden Wellen gleich stark (I1 = I2 = I0 ), so hat man nach (10.6) den Intensit¨ atsverlauf Intensit¨atsverlauf f¨ ur gleiche Teilintensit¨aten

I = 4I0 cos2

δ 2

(10.15)

Bei konstruktiver Interferenz tritt die vierfache Intensit¨at (Imax = 4I0 ) der Einzelwelle auf, w¨ ahrend bei destruktiver Interferenz v¨ollige Ausl¨oschung (Imin = 0) zu beobachten ist (s. Abb. 10.2). Mittelt man u ¨ ber wenigstens eine r¨aumliche Peur riode, so wird die mittlere Intensit¨ at I = 2I0 . Dieses Ergebnis ist repr¨asentativ f¨ Interferenz- und Beugungsph¨ anomene: Liegt die Energiedichte an einigen Stellen unterhalb des Durchschnittswertes, dann ist sie an anderen Punkten dar¨ uber und das gesamte Interferenzmuster erf¨ ullt den Erhaltungssatz der Energie. Zur Beschreibung des Kontrasts der Interferenzstreifen f¨ uhrt man den Strei−Imin ein. Nach Einsetzen erh¨alt man fenkontrast oder die Modulation M = IImax max +Imin den √ Imax − Imin 4 I1 I2 Streifenkontrast M= = (10.16) Imax + Imin 2(I1 + I2 )  mit den Spezialf¨ allen M = 1 f¨ ur I1 = I2 (s. Abb. 10.2 b) und M = 2 I2  I1 .

I1 I2

f¨ ur

286

10 Lichtinterferenz

Abb. 10.2. Zweistrahlinterferenz. Intensit¨ at der Interferenzstreifen als Funktion der Phasendifferenz δ und des Gangunterschieds ∆. a) ungleiche Intensit¨ aten der Teilwellen (I1 = I2 ). b) gleiche Intensit¨ aten (I1 = I2 = I0 ). In b) ist der Streifenkontrast erh¨ oht, da die Untergrundhelligkeit Imin verschwindet.

10.2 Der Youngsche Doppelspalt-Versuch Das f¨ ur die Wellentheorie des Lichtes entscheidende Interferenzexperiment wurde 1802 von Thomas Young durchgef¨ uhrt und ist in Abb. 10.3 schematisch wiedergegeben. Monochromatisches Licht passiert zun¨achst eine kleine Kreisblende Q, um eine ann¨ ahernd punktf¨ ormige und damit r¨aumlich koh¨arente Lichtquelle zu realisieren. Auf die Verwendung dieser Blende kann heute verzichtet werden, da man in der Regel r¨ aumlich und zeitlich koh¨arentes Laserlicht einsetzt. Das Licht f¨allt anschließend auf zwei nah benachbarte L¨ocher Q1 und Q2 , zwei koh¨arente punktf¨ ormige Lichtquellen, von denen Kugelwellen ausgehen, deren Interferenz auf einem Schirm im Abstand s beobachtet werden kann. Diese Quellen werden im Experiment meist durch schmale, parallele L¨angsspalte (senkrecht zur Zeichenebene) ersetzt, um ein lichtst¨ arkeres Beugungsbild zu erhalten. Man hat dann entlang der L¨ angsrichtung der Spalte eine sehr große Zahl von Punktquellen, die nicht koh¨ arent sein m¨ ussen. In der y-z-Ebene gelten die Interferenzbedingungen der Punktquellen, w¨ ahrend in x-Richtung fast keine Beugungsverbreiterung auf-

10.2 Der Youngsche Doppelspalt-Versuch

287

Abb. 10.3. Schema des Youngschen Doppelspaltexperiments. Q ist die punktf¨ ormige Lichtquelle, die Aperturen Q1 und Q2 sind in der Regel Spalte, die senkrecht auf der Papierebene stehen. Damit beobachtet man die Interferenz von Zylinderwellen

tritt (siehe Kap. 16.3). Der Beobachtungspunkt P ist um r1 = Q1 P und r2 = Q2 P von den Spalten entfernt. Aus (10.9) folgt dann f¨ ur den Gangunterschied ∆ = r2 − r1

(10.17)

Damit sich die von Q1 und Q2 ausgehenden Wellen u ¨ berlappen und der Abstand der Interferenzstreifen groß wird, soll der Spaltabstand g sehr klein gegen den Schirmabstand s sein (wir untersuchen damit Fraunhoferbeugung, s. Kap 16). In diesem Fall ergibt sich f¨ ur ∆ ein einfacher Ausdruck: Schl¨agt man um P einen Kreis mit dem Radius Q1 P , so schneidet dieser die Gerade Q2 P bei N ; folglich ahert man Q1 N durch eine Gerade an, so erh¨alt man ein wird ∆ = Q2 N . N¨ rechtwinkliges Dreieck mit ∆ = r2 − r1 ≈ g sin α

(10.18)

wobei – wegen OP ⊥ Q1 N – α durch den Winkel zwischen optischer Achse und Gerade OP , den Beugungswinkel α, ersetzt werden kann. Mit der Bedingung ∆ = mλ f¨ ur konstruktive Interferenz hat man f¨ ur die Beugungsmaxima Beugungsmaxima

sin αmax = m

λ g

mit

m = 0, ±1, ±2, . . .

(10.19)

und bei destruktiver Interferenz (mit ∆ = (2m + 1)λ/2) f¨ ur die Beugungsminima

288

10 Lichtinterferenz

Beugungsminima

sin αmin = (2m + 1)

λ 2g

mit

m = 0, ±1, ±2, . . . (10.20)

Wenn die beiden Spalte gleich groß sind, haben die ausgehenden Wellen gleiche Amplitude und die Intensit¨ at der interferierenden Wellen ist im Beobachtungspunkt P durch (10.15) gegeben. Wir hatten vorausgesetzt, dass nur kleine Beugungswinkel auftreten und die Beobachtungspunkte P nahe an der optischen Achse liegen, dann wird sin α ≈ tan α = y/s. Mit δ = 2π∆/λ und ∆ = g sin α = gy/s kann man dann die Intensit¨ at (10.15) in Abh¨angigkeit von y angeben:  πgy  δ = 4I0 cos2 2 λs Damit liegen die Interferenzmaxima entsprechend (10.19) bei I = 4I0 cos2

λs mit g und haben die konstanten Abst¨ ande ymax = m

m = 0, ±1, ±2, . . .

(10.21)

(10.22)

λs (10.23) g Die Minima weisen dieselben Abst¨ ande auf und liegen zwischen den Maxima. Abbildung 10.4 zeigt die auf dem Beobachtungsschirm gemessene Intensit¨atsverteilung. Das Ergebnis (10.23) ist f¨ ur alle Beugungsexperimente repr¨asentativ: Der Abstand der Interferenzstreifen steigt mit der Wellenl¨ange und dem Abstand von ¨ den beugenden Offnungen an, wird aber mit zunehmendem Spaltabstand kleiner. Die Messung von ∆y kann somit zur Bestimmung von Wellenl¨angen und Spaltabst¨ anden herangezogen werden. Der Doppelspalt-Versuch l¨ asst sich bei großen Schirmabst¨anden auch als Interferenz schr¨aglaufender ebener Wellen (s. Abb. 9.5) interpretieren: Ein Beobachter bei y = 0 sieht um den Winkel 2θ = g/s verkippte Wellenfronten auf sich zukommen und registriert in y-Richtung Maxima, deren Abstand ∆y gleich dem Abstand λy /2 = λ/2θ (s. (9.41)) der Wellenb¨auche der stehenden Welle sein ¨ muss. Nach Einseten von 2θ = g/s erh¨ alt man dann die georderte Ubereinstimmung mit (10.23). ∆y =

Beispiel 10.1 Doppelspalt Koh¨ arentes Licht trifft auf zwei identische und parallele Spalte im Abstand g = 0,2 mm. Auf einem 1 m entfernten Schirm werden Interferenzstreifen mit einem Abstand von 3,29 mm beobachtet. Beschreiben Sie die Bestrahlungsst¨ arke in der Schirmebene, wenn der Beitrag eines Spaltes gleich I0 ist. Wie groß ist die Wellenl¨ ange des Lichtes? Welcher Streifenkontrast liegt vor? Geben Sie weiterhin die Ergebnisse f¨ ur den Fall an, dass einer der Spalte doppelt so breit ist wie der andere.

10.2 Der Youngsche Doppelspalt-Versuch

289

Abb. 10.4. Intensit¨ at der Doppelspaltinterferenz als Funktion des normierten Abstang des y λs von der optischen Achse. Beugungsmaxima treten bei ganzzahligen Abstandswerten auf, die mit der Beugungsordnung m u ¨bereinstimmen

Abb. 10.5. Interferenz des Lichtes aus zwei koh¨ arenten Punktquellen. Man beobachtet abwechselnd helle und dunkle Interferenzstreifen. Helligkeit entsteht in Richtungen, in denen Wellenberg (durchgezogene Kreise) auf Wellenberg trifft. Treffen Berge auf T¨ aler (gestrichelt), so entsteht destruktive Interferenz und damit Dunkelheit

290

10 Lichtinterferenz

L¨ osung 2·10−4 m·3,29·10−3 m = 658 nm. Mit Wir erhalten aus (10.23): λ = g∆y s =  1m  y . Bei gleichen Intensit¨aten der (10.21) ergibt sich I = 4I0 cos2 955 mm Einzelspalte ist der Streifenkontrast M = 1. Wird die Breite des Spaltes 2 ˆ1 mit ˆ 2 = 2E verdoppelt, so wird die von diesem durchgelassene Amplitude E der Intensit¨ at I2 = 4I1 . Der Abstand der Streifen bleibt derselbe, da der Spaltabstand g = konst. Wir erhalten aus (10.12) und (10.14): Imax = 9I1 und Imin = I1 . Der Kontrast wird atsverlauf ist)nach  M = 0,8.Der Intensit¨ (  y . (10.6): I = 5I1 + 4I1 cos δ = I1 1 + 8 cos2 2δ = I1 1 + 8 cos2 955 mm

¨ Abb. 10.6. Bildung heller Interferenzstreifen bei Uberlagerung des Lichtes aus zwei koh¨ arenten Punktquellen. Die Abst¨ ande von den Quellen Q1 und Q2 zu einem Punkt P benachbarter Streifen unterscheiden sich um ganzzahlige Vielfache der Wellenl¨ ange. Im Dreidimensionalen entstehen Hyperboloide, die um die y-Achse rotationssymmetrisch sind

10.3 Doppelspaltinterferenz mit virtuellen Quellen

291

Eine andere M¨ oglichkeit zum Verst¨ andnis der Bildung heller und dunkler Interferenzstreifen durch konstruktive bzw. destruktive Interferenz wird durch Abb. 10.5 erkl¨ art: Wellenberge und -t¨ aler der von Q1 und Q2 ausgehenden Kugelwellen laufen auf den oben befindlichen Schirm zu. Entlang der mit H (Helligkeit) bezeichneten Linien sind die Teilwellen in Phase (Berge fallen auf Berge und T¨aler auf T¨ aler) und f¨ uhren zu konstruktiver Interferenz. D-Linien (Dunkelheit) entsprechen destruktiver Interferenz, bei der Berge auf T¨aler treffen. Ginge hierbei von den Quellen (Einzelspalten) nur jeweils eine Elementarwelle aus (dies ist bei Spaltbreiten der Fall, die kleiner als eine Wellenl¨ange sind, s. Kap. 16.1), so w¨ urden im ganzen umgebenden Raum (sehr lichtschwache) Interferenzlinien auftreten. Bei zunehmender Spaltbreite wird die Beugung am Einzelspalt reduziert und man beobachtet verst¨ arkte Helligkeit in Vorw¨artsrichtung. Die Interferenzbedingung f¨ ur helle Ringe ist wieder (s. Abb. 10.6): r2 − r1 = mλ

(10.24)

Sie legt im Raum Hyperbelfl¨achen fest, da die Bedingung r2 − r1 = konst. Hyperbeln beschreibt. In der in Abb. 10.6 wiedergegebenen Anordnung ist das Interferenzfeld rotationssymmetrisch um die y-Achse. Stellt man dann einen Beobachtungsschirm (bei y = 0) senkrecht zur y-Achse, so beobachtet man konzentrische Interferenzringe, w¨ ahrend in Ebenen, die senkrecht zur z-Achse stehen, Interferenzstreifen aquidistant und gerade verlaufen. Da sich die auftreten, die f¨ ur x2 + y 2  z 2 ¨ Interferenzen u ¨ ber den ganzen Raum erstrecken, spricht man hier von nichtlokalisierten Interferenzstreifen.

10.3 Doppelspaltinterferenz mit virtuellen Quellen Interferenzeffekte k¨ onnen bisweilen auch f¨ ur eine einzige Lichtquelle beobachtet werden. Hier werden durch Reflexion oder Brechung virtuelle koh¨arente Quellen erzeugt, die zusammen oder mit der Originalquelle ein Interferenzmuster erzeugen. Die Abbildungen 10.7 bis 10.9 erl¨autern dies an drei Beispielen. Diese sind nicht nur von historischer Bedeutung, sondern sollen uns die Vielfalt an – bisweilen unerwarteten – Interferenzeffekten vor Augen f¨ uhren. In Abb. 10.7 interferieren auf dem Schirm die von der Quelle Q direkt ausgehenden Teilwellen mit denen aus der virtuellen Quelle Q
, die durch Reflexion an der Spiegelebene SS
erzeugt wird. Man bezeichnet dies als den Lloydschen Spiegelversuch. Mit g = 2h (h = H¨ohe der Quelle u ¨ber dem Spiegel) wird dann das Ergebnis durch uhrt, (10.21) und Abb. 10.4 beschrieben. Wenn der Schirm den Spiegel bei S
ber¨ beobachtet man dort einen dunklen Fleck. Dies ist darauf zur¨ uckzuf¨ uhren, dass die Welle bei Reflexion einen Phasensprung von π erf¨ahrt. Wir m¨ ussen dann alλ so bei der genauen Analyse in (10.17) ∆ = r2 − r1 + 2 schreiben, um diesen Phasensprung zu ber¨ ucksichtigen.

292

10 Lichtinterferenz

Abb. 10.7. Interferenz beim Lloydschen Spiegelversuch. Koh¨ arente Quellen sind die Punktquelle Q und ihr Spiegelbild Q
im Abstand g = 2h

Abb. 10.8. Interferenz beim Fresnelschen Spiegelversuch. Koh¨ arente Quellen Q1 und Q2 sind die virtuellen Bilder der Punktquelle Q, die von den beiden ebenen – um die Achse O leicht verkippten – Spiegeln S1 und S2 gebildet werden. Der Beobachtungsschirm darf nicht von direktem Licht getroffen werden.

Eine a ¨hnliche Anordnung ist beim Fresnelschen Spiegelversuch gegeben. Zwei leicht gekippte Spiegel S1 und S2 erzeugen aus der Punktquelle Q die beiden unge heben sich hier virtuellen Quellen Q1 und Q2 durch Reflexion. Phasenspr¨ auf. Der Abstand der Quellen g kann aus Abb. 10.8 entnommen werden, die Lage der Interferenzstreifen ist durch (10.22) gegeben. Beim Fresnelschen Biprisma erzeugt man die beiden virtuellen Quellen Q1 und Q2 durch Brechung (s. Abb. 10.9). Der Prismenwinkel ist hier sehr klein und liegt im Bereich von etwa 1◦ . Zur Berechnung des Abstandes g wird ein Strahl

10.4 Interferenz an dielektrischen Schichten

293

Abb. 10.9. Interferenz mit dem Fresnelschen Biprisma. Die koh¨ arenten Quellen Q1 und Q2 entstehen bei der Lichtbrechung in den beiden H¨ alften des Prismas als virtuelle Bilder der Quelle Q

betrachtet, der das Prisma symmetrisch (d.h. Einfallswinkel = Ausfallswinkel) durchsetzt. In diesem Fall ist erh¨ alt man den minimalen Ablenkwinkel βm = (n − 1)α (s. (6.16)) und aus Abb. 10.9 den virtuellen Spaltabstand beim Biprisma

g ≈ 2 d βm = 2 d α(n − 1)

(10.25)

Die Lage der Interferenzringe wird dann wieder durch (10.22) festgelegt.

10.4 Interferenz an dielektrischen Schichten ¨ Die bekannten Farberscheinungen von d¨ unnen Olfilmen auf Wasser und bei Seifenblasen sowie die brillanten Farben von Perlen (Perlmutt), Pfauenfedern und Schmetterlingsfl¨ ugeln werden durch Lichtinterferenz an einzelnen oder mehreren d¨ unnen (meist transparenten) Schichten hervorgerufen. Die Entstehung und Beobachtung der Farben wird durch zahlreiche Parameter, wie Gr¨oße und Spektralbreite der Lichtquelle sowie Form und Reflexions- und Absorptionsverm¨ogen der Schichten, beeinflusst. Zun¨ achst untersuchen wir die Interferenz an einer d¨ unnen transparenten und ¨ auf Wasser, planparallelen Schicht der Brechzahl ns , die z.B. durch einen Olfilm

294

10 Lichtinterferenz

Abb. 10.10. Zweistrahlinterferenz an einer d¨ unnen Schicht. Strahlen, die an der Oberund Unterseite der ebenen Schicht reflektiert werden, werden mit Hilfe einer Linse L in P zur Interferenz gebracht

eine Oxidschicht auf Metallen (→ Anlauffarben) oder eine Aufdampfschicht auf Glas (→ Entspiegelung) gebildet wird (Abb. 10.10). Ein bei A auf die Oberfl¨ache treffender Strahl wird in einen reflektierten und gebrochenen Teilstrahl aufgespalten. Diese der Interferenz (an d¨ unnen Schichten) vorausgehende Strahlteilung bezeichnet man auch als Amplitudenteilung. Bei Experimenten wie dem Doppelspaltversuch werden hingegen verschiedene Bereiche einer Wellenfront u ¨ berlagert, man spricht dann von Wellenfrontteilung. Der gebrochene Strahl wird (ganz oder teilweise) an der Unterseite bei B reflektiert und verl¨asst bei C die Schicht (nach erneuter Brechung) in der Richtung des bei A reflektierten Strahles. Der bei C reflektierte Anteil erf¨ ahrt in der Schicht Mehrfachreflexionen, die zu vielen parallel austretenden Strahlen und damit zur Vielstrahlinterferenz f¨ uhren (s. Kap. 11.5). Hier wird zun¨ achst schwache Reflexion vorausgesetzt; dann gen¨ ugt es, nur die Interferenz von zwei Teilwellen zu betrachten. Die bei A und C austretenden Parallelstrahlen werden durch eine Sammellinse (h¨aufig das Auge) in P zur Interferenz gebracht. Da die Wellen unterschiedliche Wege zur¨ ucklegen, weisen sie in P einen Gangunterschied ∆ auf. Bei senkrechtem Lichteinfall, wo Strahl 2 die Dicke d zweimal zus¨ atzlich durchlaufen muss, gilt nach (10.9) f¨ ur den Gangunterschied bei: Reflexion an einer Schicht

∆ = 2ns d + ∆r

(10.26)

Hierbei ist d die Schichtdicke, ns ihre Brechzahl und ∆r der durch die Reflexionen eventuell zus¨ atzlich erzeugte Gangunterschied. Treten beide Reflexionen nur am unneren Medium (n1 > optisch dichteren (n1 < ns < n2 ) oder nur am optisch d¨ ns > n2 ) auf, so ist ∆r = 0. Ist hingegen eine Reflexion am dichteren und die

10.4 Interferenz an dielektrischen Schichten

295

andere am d¨ unneren Medium, so wird ∆r = λ2 . Dies f¨ uhrt z.B. dazu, dass bei zwei Schichten trotz gleicher optischer Dicke bei der einen konstruktive und bei der anderen destruktive Interferenz vorliegen kann Eine wichtige Anwendung der Interferenz ist die Entspiegelung optischer Fl¨ achen (Brillengl¨ aser, Linsen) durch reflexmindernde Schichten. Hier ist meist unge auftreten. Um die n1 = 1 (Luft) und ns < n2 , so dass keine Phasenspr¨ st¨ orende Reflexion durch Interferenz zu unterdr¨ ucken, m¨ ussen zwei Bedingungen erf¨ ullt sein: 1. Phasenbedingung: Die Teilwellen m¨ ussen f¨ ur destruktive Interferenz gegenphasig verlaufen und damit den Gangunterschied ∆ = 2ns d = λ/2 (oder ungerade Vielfache hiervon) aufweisen. Dann muss die Dicke mindestens den Wert λ/4-Schicht

d=

λs λ0 = 4ns 4

(10.27)

haben. Man spricht von einer λ/4- Schicht“. ” 2. Amplitudenbedingung: Die Teilwellen m¨ ussen f¨ ur vollst¨andige Ausl¨oschung zus¨ atzlich gleiche Amplituden aufweisen. In Kap. 19 wird gezeigt, dass an der Grenzfl¨ ache zwischen zwei Medien 1 und 2 der Reflexionsfaktor r, das Verh¨ altnis von reflektierter zu einfallender Amplitude, gegeben ist durch r12 =

n1 − n2 n1 + n2

(10.28)

Zur Erf¨ ullung der Amplitudenbedingung muss an den Grenzfl¨achen 1 → s und s → 2 gelten: r1s = rs2 . Hieraus folgt nn1s = nn2s und damit Brechzahl einer λ/4-Schicht

ns =

√

n1 n2

(10.29)

√ F¨ ur n1 = 1 (Luft) ist dann ein Material mit der Brechzahl ns = n2 zu w¨ ahlen. Da im Allgemeinen noch zus¨ atzliche Faktoren wie H¨arte (Kratzfestigkeit), ann¨ ahernd gleiche thermische Ausdehnungskoeffizienten von Schicht und Tr¨ ager sowie Alterungsbest¨ andigkeit zu ber¨ ucksichtigen sind, steht meist kein Stoff zur Verf¨ ugung, der die Amplitudenbedingung exakt erf¨ ullt. Um die Reflexion von weißem Licht mit nur einer Schicht zu mindern, muss man die Dicke d so w¨ ahlen, dass die Reflexminderung f¨ ur die Mitte des sichtbaren√Spektrums (550 nm) auftritt. F¨ ur eine Glaslinse mit n2 = 1,5 ist dann ns = 1,5 ≈ 1,22 und die Schichdicke d = λ0 /(4ns ) = 112 nm. Einen guten Kompromiss stellt Magnesiumfluorid (MgF2 ) mit ns = 1,38 dar. Da die Reflexminderung bei einer einzigen Schicht f¨ ur den blauen und roten Grenzbereich des Spektrums schlechter als in der Mitte ist, erscheint die entspiegelte Linse im reflektierten Licht

296

10 Lichtinterferenz

Abb. 10.11. Dielektrischer Spiegel aus Schichten abwechselnd hoher (h) und niedriger (n) Brechzahl. Jede Schicht hat eine optische Dicke von λ0 /4 und eine geometrische Dicke von λ0 /4nh,n

farbig. In der Praxis erh¨ alt man durch Dreifachschichten unterschiedlicher Dicke und Brechzahl eine befriedigende, u ¨ ber das ganze sichtbare Spektrum reichende Reflexminderung (s. Kap. 19). Neben der Entspiegelung k¨ onnen Schichten auch zur dielektrischen Verspiegelung durch Vielfachschichten mit abwechselnd hoher und niedriger Brechzahl verwendet werden (Abb. 10.11). Haben die Schichten alle die gleiche optische Dicke atzlichen Phasensprungs alle reflektierten λ0 /4, so interfererieren wegen des zus¨ Wellen der entsprechenden Wellenl¨ ange konstruktiv und man erh¨alt einen schmalbandigen Spiegel mit einem – von der Anzahl der Schichten abh¨angigen – unter Umst¨ anden sehr hohen Reflexionsgrad. Durch Variation der Schichtparameter lassen sich mit Vielfachschichten schmal- und breitbandige Ent- und Verspiegelungen erzielen (s. Kap. 19). Die Interferenz an Einfachschichten soll nun f¨ ur einen beliebigen Einfallswinkel ε analysiert werden (Abb. 10.12). Um die Wegdifferenz zwischen den Strahlen 1 und 2 zu berechnen, wird auf Strahl 1 (im Punkt D) eine Senkrechte durch den Austrittspunkt C von Strahl 2 gezeichnet. Ab den Punkten C und D verlaufen die Strahlen in demselben Medium parallel, sie erfahren also keine zus¨atzlichen Gangunterschiede. Dann ist der Gangunterschied (ohne Phasensprung) gleich der Differenz der optischen Wege zwischen ABC = AB + BC und AD, also

10.4 Interferenz an dielektrischen Schichten

297

Abb. 10.12. Interferenz an einer Einzelschicht der Brechzahl ns mit Licht, das unter einem beliebigen Einfallswinkel ε einf¨ allt, an Ober- und Unterseite teilweise reflektiert wird und damit Amplitudenteilung erf¨ ahrt. Mehrfachreflexion wird vernachl¨ assigt

∆w = ns ABC − n1 AD Hieraus folgt f¨ ur einen unter dem Winkel ε einfallenden Strahl der Gangunterschied

∆w = 2ns d cos ε


(10.30)

Hierbei ist d die Schichtdicke und ε
der Brechungswinkel, den wir direkt mit Hilfe des Brechungsgesetzes berechnen k¨ onnen. H¨aufig nutzt man auch die etwas umst¨ andlichere Beziehung ns cos ε
=

n2s − n21 sin2 ε.

Beweis von (10.30): Nach Abb. 10.12 ist AB = d/ cos ε
und damit ns ABC = 2dns / cos ε
. Weiterhin ist AC = 2d tan ε
und AD = AC sin ε = 2d tan ε
sin ε = 2dns sin2 ε
/(n1 cos ε
) da tan ε
= sin ε
/ cos ε
und sin ε = ns sin ε
/n1 . Hiermit wird ∆w = ns ABC − n1 AD = 2dns (1 − sin2 ε
)/ cos ε
= 2dns cos ε
.

F¨ ur senkrechten Lichteinfall (ε = ε
= 0) wird wieder ∆w = 2ns d (s. (10.26)). Ber¨ ucksichtigen wir in (10.30) mit ∆r den Gangunterschied durch Phasenspr¨ unge, so erhalten wir die bekannte Bedingung f¨ ur konstruktive und destruktive Interferenz: ⎧ ⎨mλ mit m = 0, 1, 2, . . . (10.31) ∆w + ∆r = ⎩ (2m + 1) λ2

298

10 Lichtinterferenz

Falls f¨ ur einen unter ε einfallenden Strahl z.B. die Bedingung f¨ ur konstruktive Interferenz erf¨ ullt ist, gilt diese Bedingung f¨ ur alle unter diesem Winkel einfallenden Strahlen, die von einer ausgedehnten Lichtquelle ausgehen. Diese besteht aus unabh¨ angigen und damit inkoh¨ arenten Punktquellen Q1 − Q3 , die alle zur Intensit¨ at im Punkt P beitragen. Wegen der Inkoh¨arenz verschiedener Quellen sind Interferenzen nur zwischen Strahlpaaren (z.B. (a), (b) in Abb. 10.13)) aus oglich. Die Interferenz verschwindet, wenn die Apertur der derselben Quelle Qi m¨ Linse, die die Strahlen in P vereinigt, zu klein ist, um beide Teilwellen (a) (b) durchzulassen. Dies kann z.B. auch bei großer Filmdicke und damit großem Abstand zwischen (a) und (b) aufgrund des begrenzten Pupillendurchmessers des beobachtenden Auges auftreten. Ohne fokussierende Linse sind diese virtuellen Interferenzstreifen nicht beobachtbar. Man bezeichnet sie auch als lokalisierte Streifen, da sie im Unendlichen (oder im Brennpunkt einer Linse) lokalisiert sind, im Gegensatz zu den nichtlokalisierten Streifen (Abb. 10.6), die u ¨berall im Raum beobachtbar sind. Die in Abb. 10.13 gezeigte Anordnung f¨ uhrt zu den sogenannten Haidinger-Ringen. Man spricht meist von Interferenzkurven gleicher Neigung, da zur Interferenz alle unter den gleichen Winkeln ein- und austreten¨ den Wellen beitragen. Anderung des Einfallswinkels f¨ uhrt wegen (10.30) zu einer Verschiebung der Interferenzmuster.

Abb. 10.13. Interferenz an einer dielektrischen Schicht unter Verwendung einer ausgedehnten Lichtquelle. Die Interferenzstreifen gleicher Neigung“ entstehen in der Brenn” ebene einer Linse

Streifen gleicher Neigung k¨ onnen nicht mit einer Punkt- oder wenig ausgedehnten Lichtquelle beobachtet werden, da die Teilstrahlen unter unterschiedlichen Winkeln auf die Schicht fallen (s. Abb. 10.14). Man sieht hier Interferenzstreifen anderer Art. Da die von den beiden Oberfl¨achen zum Beobachtungspunkt

10.5 Interferenzen gleicher Dicke

299

Abb. 10.14. Interferenz an einer dielektrischen Schicht der Dicke d mit Hilfe einer Punktquelle. Die Interferenzen entsprechen denen von zwei Punktquellen (s. Abb. 10.6). Brechung wurde vernachl¨ assigt. Bei Ber¨ ucksichtigung der Brechzahl ist der Abstand g ¨ 10.22) der beiden virtuellen Lichtquellen Q1 und Q2 gleich 2ns d + λ0 /2 (s. Ub.

P reflektierten Teilwellen nach den Spiegelgesetzen aus zwei virtuellen Quellen Q1 und Q2 (s. Abb. 10.14) zu kommen scheinen, kann die Interferenz als solche von zwei Punktquellen (s. Abb. 10.6) verstanden werden. Dann lassen sich auf einem Schirm, z.B. mit Quecksilber- oder divergentem Laserlicht, nichtlokalisierte Interferenzstreifen in beliebigem Abstand oberhalb der Schicht nachweisen. Der Vergleich der Abb. 10.14 und 10.6 zeigt, dass im vorliegenden Fall Interferenzringe entstehen.

10.5 Interferenzen gleicher Dicke Bei einer Schicht variabler Dicke d variiert der Gangunterschied ∆ = 2ns d cos ε
auch bei konstantem Einfallswinkel. Bei senkrechtem Einfall sind dann in der Schichtebene helle und dunkle Streifen zu sehen, die man als Fizeau-Streifen oder Interferenzkurven gleicher Dicke bezeichnet, da zur Interferenz im Punkt P alle Teilwellen beitragen, die von Bereichen gleicher Dicke ausgehen. Abb. 10.15 a zeigt eine Beobachtungsm¨ oglichkeit, bei der ein zus¨atzlicher Strahlenteiler die Beobachtung bei senkrechter Inzidenz erm¨ oglicht. Hier ist wieder ∆ = 2ns d + ∆r mit ∆r = 0 oder λ/2. Experimentell kann die Interferenz gleicher Dicke einfach mit monochromatischem Licht und zwei Mikroskopdeckgl¨asern beobachtet werden, zwischen die am Rand z.B. ein Haar geklemmt ist (Abb. 10.15 b). Die Fizeau-Streifen entstehen an der d¨ unnen Luftschicht, wobei bei der unteren Reflexion zus¨ atzlich ein Phasensprung von λ/2 auftritt. Da die Dicke d linear mit x variiert, sieht man im reflektierten Licht abwechselnd virtuelle helle und dunkle, ¨aquidistante lokalisierte Streifen, die sich nicht auf einen Schirm projizieren lassen. Bei Beobachtungen in der Natur trifft meist weißes Tageslicht auf Schichten ¨ (z.B. Olfilme auf Wasser, Seifenh¨ aute) variabler Dicke (s. Abb. 10.16). Hierbei

300

10 Lichtinterferenz

Abb. 10.15. Interferenzen gleicher Dicke an einer keilf¨ ormigen Schicht. a) Versuchsaufbau mit Hilfe eines Strahlenteilers. b) Luftkeil, der von zwei Mikroskopdeckgl¨ asern gebildet wird. Der Abstand der Interferenzstreifen betr¨ agt ∆x = λ2 Dl

tritt – aufgrund von Einfallswinkel und Dicke – konstruktive Interferenz nur f¨ ur einen – meist kleinen – Bereich des Films und ein begrenztes Band von Wellenl¨ angen auf. Wird z.B. rotes Licht in m-ter Ordnung verst¨arkt und liegen die l¨angeren und k¨ urzeren Wellenl¨ angen, f¨ ur die Verst¨arkungen in der Ordnung m−1 und m + 1 auftreten, außerhalb des sichtbaren Bereichs, so erscheint das reflektierte Licht rot. Dies kann bei niedrigen Ordnungen – also bei d¨ unnen Filmen – auftreten. Man beobachtet die Farben d¨ unner Bl¨attchen“. ”

Abb. 10.16. Interferenz an einer Schicht variabler Dicke, die durch eine ausgedehnte ¨ Lichtquelle beleuchtet wird. Anderung von Filmdicke und Einfallswinkel bestimmen den Wellenl¨ angenbereich, der durch Interferenz verst¨ arkt wird

10.6 Newton-Ringe

301

10.6 Newton-Ringe Fizeau-Streifen eignen sich – als Kurven gleicher Dicke – gut zum Nachweis kleiner Dickenvariationen. Abb. 10.17 a zeigt eine praktische Anwendung bei der Pr¨ ufung der Qualit¨ at der sph¨ arischen Fl¨ ache einer Linse mittels der entstehenden Newton-Ringe. Der Luftspalt zwischen der Linsenfl¨ache und einer optisch planen Fl¨ ache wird mit dem senkrecht einfallenden monochromatischen Licht einer Natrium- oder Quecksilberlampe (mit Filter) beleuchtet. F¨ ur eine perfekte Kugelfl¨ ache ergeben sich konzentrische Interferenzkreise um den Ber¨ uhrpunkt P mit einem dunklen Ring in der Mitte, da f¨ ur d → 0 Ausl¨oschung aufgrund des Phasensprungs auftritt. Abweichungen von der Kreisform weisen auf Fehler der Kugelfl¨ ache hin. Die Anordnung eignet sich auch zur Messung von Kr¨ ummungsradius und Brennweite der Linse mit Hilfe des Radius der Interferenzringe. Nach Abb. 10.17 b und dem Satz von Pythagoras erh¨alt man f¨ ur den Zusammenhang zwischen Kr¨ ummungsradius r und dem Radius m der Interferenzringe ucksichtigung, dass dm  , r2 = 2m + (r − dm )2 . Ausmultiplikation und Ber¨ ergibt: r=

2 2m + d2m ≈ m 2dm 2dm

(10.32)

Wertet man dunkle Ringe aus, so muss bei Ber¨ ucksichtigung des Phasensprunges gelten: 2dm + λ/2 = (2m + 1)λ/2, also dm = mλm /2. Mit (10.32) erh¨alt man f¨ ur den Kr¨ ummungsradius der Linse

Abb. 10.17. a) Versuchsaufbau zur Beobachtung von Newton-Ringen. Interferenzen gleicher Dicke entstehen an dem Luftspalt zwischen Linse und Basisplatte. b) Geometrie zur Berechnung des Radius der Newton-Ringe

302

10 Lichtinterferenz

r=

2m mλ

(10.33)

Beispiel 10.2 Radien der Newton-Ringe Eine plankonvexe Linse (n = 1,523) mit einem Brechwert von 0,125 Dioptrien wird mit der konvexen Seite auf eine optisch plane Platte gelegt. Mit einem Messmikroskop vermisst man die Interferenzringe f¨ ur Na-Licht (λ = 589,3 nm). Welchen Radius misst man f¨ ur den 1. und 10. dunklen Ring? L¨ osung   Der Brechwert einer Linse ist durch f1
= (n − 1) r11 − r12 gegeben. Mit f
= 8 m, n = 1,523 und r2 → ∞ wird r1 = 4,184 m. Aus (10.33) folgt: 2m = mrλ und damit 1 = 1,57 mm und 10 = 4,94 mm. Wegen des Energieerhaltungssatzes m¨ ussen dunklen Interferenzringen in Reflexion helle Ringe in Transmission entsprechen, die Ringsysteme sind somit komplement¨ ar mit einem hellen zentralen Fleck bei der Transmission (Abb. 10.18). Weiterhin ergibt sich im durchgehenden Licht ein wesentlich schlechterer Kontrast: An einer Fl¨ ache werden etwa 20% der Amplitude reflektiert und damit bei konstruktiver Interferenz in Reflexion nahezu 40% der einfallenden Amplitude entsprechend 16% der Intensit¨ at austreten. Der Reflexionsgrad variiert damit

Abb. 10.18. Fotografien von Newton-Ringen. Ringe in a) reflektiertem und b) transmittiertem Licht sind komplement¨ ar. In Reflexion tritt ein wesentlich besserer Kontrast auf

10.7 Dickenmessung mittels Interferenz

303

zwischen zwischen 0 und 16%, der Transmissionsgrad nur zwischen 84% und 100%. Ironischerweise sind die beschriebenen Ringe, deren Verst¨andnis die Wellennatur des Lichtes voraussetzt, nach dem bekanntesten Verfechter der Korpuskeltheorie des Lichtes, Isaac Newton, benannt. Wahrscheinlich bestimmte Newton mit ihrer Hilfe zum ersten Mal die Lichtwellenl¨ange, interpretierte sie jedoch als Abstand zwischen den easy fits of reflection“ der Lichtteilchen. ”

10.7 Dickenmessung mittels Interferenz Interferenzen gleicher Dicke werden als empfindliche optische Messmethode zur Dickenmessung genutzt. Abbildung 10.19 zeigt eine Messanordnung, mit der die Dicke d einer Schicht F gemessen wird, die auf einem Tr¨ager T aufgedampft ¨ wurde. Uber einen Lichtleiter L wird monochromatisches Licht aus der Lichtquelle LQ auf einen Teilerw¨ urfel ST gef¨ uhrt, der einen Teilstrahl zu einem ebenen Spiegel S und den anderen zum Messobjekt lenkt. Nach Reflexion werden beide Teilstrahlen im Mikroskop M S u ¨berlagert. Zum einfacheren Verst¨andnis kann man den am Spiegel S reflektierten Strahl auch von dem virtuellen Spiegelbild S
ausgehen lassen. Man sieht dann deutlich, dass das Interferenzmuster durch

Abb. 10.19. Anordnung zur Messung der Schichtdicke d mit Hilfe von Interferenzstreifen, die durch Wellen entstehen, die an der Oberseite de Schicht F und dem Substrat T reflektiert werden

304

10 Lichtinterferenz

die Interferenz an der Luftschicht zwischen S
und F (bzw. T ) erzeugt wird. S l¨ asst sich verschieben, um die optischen Wege etwa gleich zu machen, und auahernd parallel zur Schichtoberfl¨ache wird. Bei ßerdem kippen, so dass S
ann¨ leichter Verkippung beobachtet man Interferenzstreifen gleicher Dicke an dem Luftkeil zwischen S
und F , auf den das Mikroskop fokussiert wird. Beim praktischen Einsatz des Ger¨ ates bilden Spiegel und Prismen ein Modul, das in ein Mikroskop gesetzt wird. Schicht und Substrat erzeugen zwei gegeneinander verschobene Streifensysteme, wie sie in Abb. 10.20 a wiedergegeben sind. Aus deren

Abb. 10.20. a) Fotografie der Interferenzstreifen, die mit einer Messanordnung nach Abb. 10.19 erzeugt wurden. Die trogartige Vertiefung entstand beim Aufdampfen der Schicht als Schatten“ eines d¨ unnen, geraden Drahtes. b) Skizze der linken Seite des ” Fotos. Das Streifenmuster ist an der Kante des Troges um den Betrag ∆x (s. (10.34)) verschoben

Abstand x und Verschiebung ∆x kann die Dicke d bestimmt werden. Die Lage der Maxima ist durch ∆ = 2d + ∆r = mλ festgelegt; hiernach entspricht ¨ dem Ubergang von der Ordnung m nach der Ordnung m + 1 immer eine Di-

10.7 Dickenmessung mittels Interferenz

305

cken¨ anderung ∆d = λ/2, da bei der Differenzbildung eventuelle Phasenspr¨ unge d = herausfallen. Der Streifenverschiebung ∆x ist dann – entsprechend ∆x x λ/2 – folgende Probendicke d zugeordnet: ∆x λ (10.34) x 2 x, der Abstand der Beugungsmaxima, und ∆x, die Streifenverschiebung der Maxima, k¨ onnen direkt mit dem Okularmikrometer eines Messmikroskops oder einer CCD-Kamera gemessen werden; aus (10.34) folgt dann die Probendicke d. Verwendung monochromatischen Lichtes liefert keine eindeutigen Ergebnisse, da z.B. f¨ ur ∆x = 0,5x und ∆x = 1,5x dasselbe Interferenzbild auftritt. Man hat zwei M¨ oglichkeiten, dies zu umgehen: Die erste Methode verwendet zus¨atzlich weißes Licht, bei dem nur bei m = 0 weiße und sonst farbige Streifen auftreten. Damit hat man einen eindeutigen Bezugspunkt, auf den man dann die mit monochromatischem Licht gemessenen x-Werte beziehen kann. Bei der zweiten ¨ Methode verwendet man Schichten mit abgeflachten Kanten, bei denen der Ubergang von dem Streifensystem des Substrats zu dem der Schicht allm¨ahlich erfolgt und damit, wie in Abb. 10.20 a, genau verfolgt werden kann: Dieser allm¨ahliche ¨ Ubergang kann bei einer stufenf¨ ormigen Kante durch Aufdampfen einer Metallschicht (z.B. aus Silber oder Aluminium) erzielt werden, die Stufenh¨ohe bleibt hierbei meist dieselbe. Die Beschichtung hat den zus¨atzlichen Vorteil, dass unterschiedliche Reflexionsgrade von Schicht und Substrat beseitigt und an das Reflexionsverm¨ ogen des Spiegels S angepasst werden. Das Verfahren ist damit auch bei transparenten und schlecht reflektierenden Proben anwendbar. Die Metallisierung bewirkt außerdem Vielfachreflexion, was zu sch¨arferen Interferenzstreifen f¨ uhrt (Tolansky-Methode). d=

¨ Ubungen 10.1 Zwei ebene Lichtwellen gleicher Polarisationsrichtung werden beschrieben durch   ˆ1 sin ωt − k1 · r + π E1 = E 5  π  ˆ E1 = E2 sin ωt − k2 · r + 6 ˆ1 = 3 kV/m und E ˆ2 = 4 kV/m. Die Strahlen interferieren in einem Punkt, zu mit E dem Strahl 1 einen der Phasenverschiebung π/3 entsprechenden l¨ angeren optischen Weg zur¨ ucklegt als Strahl 2. Berechnen Sie: a) die Intensit¨ aten der Einzelstrahlen, b) den Beitrag des Interferenzterms I12 , c) die Gesamtintensit¨ at und d) den Streifenkontrast.

306

10 Lichtinterferenz

ˆ1 = 1,6 kV/m und E ˆ2 = 2,8 kV/m 10.2 Zwei harmonische Lichtwellen der Amplituden E interferieren auf einem Schirm. Wie groß ist der Streifenkontrast, wenn die Vektoren der elektrischen Feldst¨ arke a) parallel und b) senkrecht zueinander stehen? 10.3 Zwei interferierende Strahlen weisen ein Amplitudenverh¨ altnis von 2:1 auf. Welcher Streifenkontrast wird beobachtet? Wie groß muss das Amplitudenverh¨ altnis bei Kontrast M = 0,5 sein? 10.4 a) Beweisen Sie, dass bei Zweistrahlinterferenz mit dem Intensit¨ atsverh¨ altnis der Teilstrahlen von N : 1 der Streifenkontrast gegeben ist durch: √ 2 N M= N +1 b) Welche Intensit¨ atsverh¨ altnisse entsprechen M = 0,96; 0,9; 0,8 und 0,5? 10.5 Licht der gr¨ unen Hg-Linie bei λ = 546,1 nm passiert einen engen horizontalen Spalt, der sich 1 mm u ¨ ber einem ebenen, waagerechten Spiegel befindet (Lloydscher Spiegelversuch). Beschreiben sie qualitativ und quantitativ, was auf einem 1 m entfernten Schirm zu beobachten ist. 10.6 Ein Doppelspalt wird von Licht der bekannten Wellenl¨ ange λ1 = 436 nm und der unbekannten Wellenl¨ ange λ2 beleuchtet. Man beobachtet, dass das 4. Beugungsminimum von λ1 mit dem Maximum 3. Ordnung der Wellenl¨ ange λ2 zusammenf¨ allt. Wie groß ist λ2 ? 10.7 Bei einem Youngschen Doppelspaltversuch betr¨ agt der Abstand der engen Spalte 0,2 mm. Auf einem 1,5 m entfernten Beobachtungsschirm registriert man bei Einstrahlung von monochromatischem Licht 34,73 mm Abstand zwischen den Beugungsminima +5. und −5. Ordnung. Bestimmen Sie die Lichtwellenl¨ ange. 10.8 Die Beugung am Doppelspalt liefert ein Beugungsmuster mit 5,6 mm Abstand zwischen aufeinander folgenden Minima. Der Abstand Doppelspalt–Beobachtungsebene betr¨ agt 10 m, der Abstand der Spalte 1 mm. Skizzieren Sie den experimentellen Aufbau. Welche Wellenl¨ ange liegt vor? 10.9 Licht der Wellenl¨ ange λ = 600 nm wird an einem Doppelspalt mit dem Spaltabstand g = 0,5 mm gebeugt. a) Welchen Schirmabstand muss man w¨ ahlen, um einen Abstand von 1 mm zwischen den Beugungsminima zu erhalten? b) Einer der Spalte wird mit einer d¨ unnen Glasplatte (Dicke d = 15 µm, n = 1,5) abgedeckt. Warum und um welchen Betrag verschiebt sich hierbei das Beugungsbild in lateraler Richtung? Welchen Gangunterschied muss die Glasplatte erzeugen, damit die Beugungsmaxima gerade an die Stellen der halben Maximalintensit¨ at geschoben werden? 10.10 Weißes Licht (400–780 nm) beleuchtet einen Doppelspalt mit 1,25 mm Spaltabstand. Das Beugungsbild wird auf einem 1,5 m entfernten Schirm registriert. 3 mm von der nullten Ordnung trifft das gebeugte Licht – durch ein kleines Loch in dem Schirm – auf den Eintrittsspalt eines Spektrometers. Warum und bei welchen Wellenl¨ angen beobachtet man in dem registrierten Spektrum dunkle Linien? 10.11 Licht einer Na-Spektrallampe (mit λ = 589,3 nm) wird mit einer Kondensorlinse auf einen Kollimatorspalt abgebildet und trifft dann auf ein Fresnelsches Biprisma

10.7 Dickenmessung mittels Interferenz

307

aus Glas (n = 1,50). Das Interferenzmuster wird auf einem Schirm, der vom Prisma doppelt so weit wie der Spalt entfernt ist, beobachtet. Der Streifenabstand betr¨ agt 0,3 mm. Bestimmen Sie den Prismenwinkel. 10.12 Die Ber¨ uhrungslinie von zwei ebenen Spiegeln ist die Drehachse f¨ ur eine kleine Verkippung der Spiegel. Um diesen Drehwinkel in einem Experiment nach Art des Fresnelschen Spiegelversuchs zu bestimmen, l¨ asst man Na-Licht (589,3 nm) aus einem Spalt, der parallel zur Ber¨ uhrungslinie in 50 cm Entfernung angeordnet ist, auf die Spiegel fallen. In 1 m Abstand registriert man auf einem Schirm, dessen Normale parallel zur Richtung des reflektierten Strahls liegt, das Interferenzbild mit 0,5 mm Abstand der hellen Streifen. Wie groß ist der Verkippungswinkel? 10.13 Der Prismenwinkel eines sehr d¨ unnen Prismas (n = 1,5) wird mit der Methode des Fresnelschen Biprismas durch Interferenz bestimmt. Hierbei ist das Verh¨ altnis der Abst¨ ande Spalt – Prisma und Prisma – Beobachtungsschirm gleich 1:4. Mit gr¨ unem Hg-Licht (λ = 546,1 nm) registriert man 20 dunkle Interferenzlinien auf 5 mm L¨ ange. Welcher Prismenwinkel liegt vor? ¨ 10.14 Weißes Licht trifft senkrecht auf einen d¨ unnen Olfilm (n = 1,3) auf einer Glasplatte. Reflexionsminima werden im Sichtbaren bei 525 nm und 675 nm registriert. ¨ Bestimmen Sie die Dicke des Olfilms und die Interferenzordnungen. 10.15 Eine Entspiegelungsschicht aus MgF2 (n = 1,38) auf Glas weist bei λ = 580 nm und senkrechter Lichtinzidenz minimale Reflexion auf. F¨ ur welche Wellenl¨ ange wird bei einem Einfallswinkel von 45◦ destruktive Interferenz beobachtet? 10.16 Auf eine Linse der Brechzahl 1,78 soll eine Antireflexschicht f¨ ur die Wellenl¨ ange 550 nm aufgebracht werden. Ermitteln Sie Brechzahl und Dicke der Schicht. 10.17 Der Reflexionsgrad ist das Verh¨ altnis von reflektierter zu einfallender Leistung, wobei die Leistung proportional dem Quadrat der Feldst¨ arkeamplituden ist. a) Berechnen Sie den Reflexionsgrad bei senkrechtem Einfall f¨ ur eine Oberfl¨ ache der Brechzahl 1,4 in Luft und eine Wellenl¨ ange von 500 nm. b) Welche Dicke muss eine reflexmindernde Schicht dieses Materials auf Glas der Brechzahl 1,6 haben? c) Wie groß ist dann der Reflexionsgrad? 10.18 In einem senkrechten Rechteckrahmen befindet sich eine Seifenhaut (n = 1,33), die mit Laserlicht (λ = 632,8 nm) senkrecht beleuchtet wird. Man beobachtet 15 waagrechte Interferenzstreifen pro cm. Begr¨ unden Sie, warum die Haut keilf¨ ormig verl¨ auft und geben Sie den Keilwinkel an. 10.19 Ein Parallelstrahl weißen Lichts (400–780 nm) trifft unter 45◦ auf zwei parallele Glasplatten, die durch einen Luftspalt von 10 µm getrennt sind. Das reflektierte Licht wird mit einem Prismenspektroskop untersucht. Wie viele dunkle Linien sieht man in dem Spektrum? 10.20 Zwischen zwei aufeinander liegende Mikroskopdeckgl¨ aser wird an einem Rand eine d¨ unne Folie geschoben, so dass sich ein Luftkeil bildet. L¨ asst man Na-Licht (λ = 589 nm) senkrecht auffallen, so beobachtet man genau 40 dunkle Linien zwischen den Kanten, die sich ber¨ uhren, bis zur Kante der Folie. Welche Dicke hat die Folie? Warum sieht man an der Glaskante einen dunklen Streifen?

308

10 Lichtinterferenz

10.21 Zwei aufeinander liegende ebene Glasplatten ber¨ uhren sich entlang einer Seite. Parallel zu dieser Seite ist in 20 cm Abstand ein Draht von 50 µm Durchmesser geschoben, so dass ein Luftkeil gebildet wird. Bei senkrechtem Einfall von gr¨ unem Quecksilberlicht (λ = 546,1 nm) beobachtet man Interferenzen gleicher Dicke. Welchen Abstand haben die dunklen Streifen? Wie viele Streifen liegen zwischen Kante und Draht? 10.22 Trifft Licht aus einer Punktquelle auf eine d¨ unne Schicht (Brechzahl n, Dicke d), so kann die Interferenz durch Einf¨ uhrung von zwei virtuellen Quellen im Abstand g erkl¨ art werden. Zeigen Sie, dass bei nahezu senkrechtem Einfall g = 2nd + λ/2. 10.23 Zur Bestimmung des Kr¨ ummungsradius einer sph¨ arischen Linse wird die Messmethode der Newton-Ringe verwendet und die sph¨ arische Fl¨ ache auf eine ebene Platte gelegt. Wie groß ist deren Kr¨ ummungsradius, wenn (bei Hg-Licht mit λ = 546,1 nm) der Durchmesser des 10. hellen Ringes 7,85 mm betr¨ agt? ¨ der Brechzahl n zwi10.24 Newton-Ringe werden einmal ohne und einmal mit einem Ol schen Linse und Basisplatte betrachtet. Zeigen Sie, dass f¨ ur das Radienverh¨ altnis von Ringen gleicher Ordnung n¨ aherungsweise gilt: √ Luft = n Ol ¨ 10.25 Eine Anordnung zur Beobachtung von Newton-Ringen wird mit Licht beleuchtet, das aus zwei benachbarten Spektrallinien (mit λ1 = 546 nm und λ2 ) besteht. Welchen Wert hat λ2 , wenn der 11. helle Ring zur Wellenl¨ ange λ1 mit dem 10. von λ2 zusammenf¨ allt? Geben Sie den Ringradius und die Dicke der Luftschicht an dieser Stelle an, wenn der Kr¨ ummungsradius der sph¨ arischen Fl¨ ache 1 m betr¨ agt. 10.26 Auf der Fotografie des mit einem Interferenzmikroskop (bei λ = 546,1 nm) gewonnenen Streifenmusters registriert man einen Streifenabstand von 1 mm. Diese Streifen werden an einer Objektkante um 3,4 mm lateral verschoben. Welche H¨ ohe hat diese Kante, bei der es sich z.B. um eine Aufdampfschicht handelt?

11 Optische Interferometrie

Einleitung Optische Interferometer sind Instrumente, die durch optische Wegl¨angenunterschiede bedingte Lichtinterferenzen vielf¨ altig nutzen. Diese allgemeine Definition, die man noch auf akustische und andere nichtoptische Wellen erweitern kann, ber¨ ucksichtigt die Vielfalt in Bauart und Anwendung dieser Ger¨ate. In diesem Kapitel werden vornehmlich Michelson- und Fabry-Perot-Interferometer und einige der zahlreichen Anwendungen diskutiert. In Interferometern werden aus einem Prim¨ arstrahl durch Strahlteilung zwei oder mehrere koh¨arente Teilstrahlen erzeugt, die nach Durchlaufen unerschiedlicher optischer Wege u ¨berlagert werden und ein Interferenzmuster erzeugen. Zur Klassifizierung von Interferometern kann man die Methode der Strahlteilung heranziehen: Interferometer mit Wellenfrontteilung verwenden Teile derselben Wellenfront, Beispiele sind der Doppelspaltversuch von Young und dessen Abwandlungen wie der Lloydsche Spiegelversuch und das Fresnelsche Biprisma (s. Kap. 10). Interferometer mit Amplitudenteilung verwenden Strahlenteiler, die den Ursprungsstrahl in zwei Teile aufspalten. Dies ist im Michelson-Interferometer der Fall, wo die Teilung meist durch einen teilreflektierenden dielektrischen oder Metallspiegel erfolgt; weitere M¨oglichkeiten sind die reduzierte Totalreflexion in Teilerw¨ urfeln sowie Doppelbrechung und Beugung. Eine andere Klassifikation unterscheidet zwischen Zweistrahl-Interferometern,

310

11 Optische Interferometrie

wie dem von Michelson, und Vielstrahl-Interferometern vom Typ des FabryPerot.

11.1 Das Michelson-Interferometer 1881 setzte Albert Michelson (1852–1931) zum ersten Mal ein Interferometer ein, das die Entwicklung der modernen Physik entscheidend mitbestimmte. Dieses einfache und vielseitige Instrument wurde z.B. als experimenteller Test der G¨ ultigkeit der speziellen Relativit¨ atstheorie verwendet, mit ihm wurde die Hyperfeinstruktur von Spektrallinien entdeckt, die Gezeitenwirkung des Mondes untersucht und die Festlegung der L¨ angeneinheit Meter erm¨oglicht. Michelson selbst leistete auf zahlreichen Anwendungsgebieten Pionierarbeit. Abbildung 11.1 a gibt das Schema eines Michelson-Interferometers wieder. Der von einer ausgedehnten Lichtquelle L ausgehende Strahl 1 wird durch einen an der Oberseite halbverspiegelten Strahlenteiler ST (z.B. dielektrischer Spiegel auf Glas) geteilt, wir haben also ein Interferometer vom Typ Amplitudenteilung“. ” Reflektierter Strahl 2 und durchgehender Strahl 3, die m¨oglichst gleiche Amplitude aufweisen sollten, werden dann von gut reflektierenden Spiegeln S1 und S2 zur¨ uckgeworfen und treffen nochmals auf den Strahlenteiler. Der durchgelassene Anteil von 2 und der reflektierte Anteil von 3 verlassen das Interferometer als Welle 4, die nunmehr aus Teilwellen besteht, die im Allgemeinen unterschiedliche optische Wege zur¨ uckgelegt haben und damit gegeneinander phasenverschoben sind. An mindestens einem der Spiegel sind mechanische oder piezoelektrische Justierungen angebracht, so dass die Oberfl¨achen von S1 und S2 senkrecht zueinander ausgerichtet werden k¨ onnen. Einer der Spiegel kann außerdem – auf Bruchteile einer Wellenl¨ ange genau – entlang der Strahlachse verschoben werden. Auf diese Weise l¨ asst sich der Gangunterschied zwischen den Teilstrahlen 2 und 3 kontinuierlich ver¨ andern. Machen Sie sich klar, dass Strahl 3 den Strahlenteiler dreimal, 2 ihn jedoch nur einmal durchsetzt, so dass deren optische Wege – bei gleicher geometrischer Wegl¨ ange – verschieden werden. Dies kann bei Interferenz mit weißem Licht zu Gangunterschieden f¨ uhren, die gr¨oßer als die Koh¨ arenzl¨ ange sind. Eine Kompensation ließe sich durch Verschiebung von S2 erreichen, wegen der Dispersion allerdings nur f¨ ur eine Wellenl¨ange. Um die Verschiebung Wellenl¨ angen unabh¨ angig zu kompensieren, wird zus¨atzlich in Strahl 2 eine zum Strahlenteiler parallele Kompensationsplatte K eingeschoben, die mit diesem in Material und Dicke identisch ist. Kleine Verkippungen dieses Kompensators bewirken optische Wegl¨ angen¨ anderungen, die eventuell verbleibende Gangunterschiede ausgleichen. Das Michelson-Interferometer hat zwei zueinander senkrechte Strahlenachsen. Leichter verst¨ andlich ist ein a ¨quivalentes optisches System mit nur einer Achse,
das die virtuellen Bilder L der Lichtquelle und S1
des Spiegels S1 verwendet, die bei Spiegelung an dem Strahlenteiler ST entstehen. Diese Spiegelbilder ergeben

11.1 Das Michelson-Interferometer

311

Abb. 11.1. Michelson-Interferometer. a) Aufbau aus ausgedehnter Lichtquelle L, Strahlenteiler ST , feststehendem (S1 ) und verschiebbarem Spiegel (S2 ) sowie Kompensationsplatte K. b) ¨ aquivalenter optischer Aufbau nach Spiegelung von L und S1 an ST . ∆w = 2d cos ε ist der Wegunterschied der Teilstrahlen

sich einfach durch eine +90◦ -Drehung (entgegen dem Uhrzeigersinn) der waagrechten Achse L − S1 um den Durchstoßpunkt D. Das Bild L
wird anschließend erneut an den den Spiegeln S1
und S2 gespiegelt, man erh¨alt damit die beiden virtuellen Lichtquellen L
1 und L
2 (s. Abb. 11.1 b). Ist d der Abstand von S1
und S2 , so wird der Abstand der Bilder L
1 und L
2 gleich 2d. Das Licht aus einem Punkt Q der Lichtquelle L
wird an den Spiegeln S1
und S2 , die im Abstand d parallel zueinander stehen, reflektiert und scheint von den virtuellen Punktquellen Q
1 und Q
2 mit dem Abstand 2d zu kommen. Der Gangunterschied der austretenden Strahlen ist dann (s. Abb. 11.1 b) Gangunterschied

∆ = ∆w + ∆r = 2d cos ε + ∆r

(11.1)

wobei ε der Winkel des Einfallsstrahls relativ zur optischen Achse ist und ∆r eventuelle Gangunterschiede durch Reflexion erfasst. Verl¨auft der Einfallsstrahl senkrecht zu den Spiegeln, so ist ε = 0 und der Gangunterschied der Wege uber dem anderen wird ∆w = 2d, da der Abstand d, um den ein Spiegel gegen¨

312

11 Optische Interferometrie

verschoben ist, vom Licht zweimal – vor und nach der Reflexion – durchlaufen wird. Konstruktive Interferenz mit ∆ = mλ tritt dann (ebenso wie destruktive Interferenz) f¨ ur jede zus¨ atzliche Verschiebung um ∆d = λ/2 auf. Das optische System von Abb. 11.1 b entspricht einer Luftschicht zwischen planparallelen Platten, die von einer ausgedehnten Lichtquelle beleuchtet wird. Es handelt sich hier um Interferenzen gleicher Neigung (s. Kap. 10.4), die bei Betrachtung mit dem Auge oder einem auf ∞ fokussierten Teleskop als Ringsystem beobachtbar sind. Bei Interferenz von Teilwellen gleicher Amplitude ist die Gesamtintensit¨at (10.15)   δ (11.2) I = 4I0 cos2 2 wobei entsprechend (10.8) zwischen Phasendifferenz δ und Gangunterschied ∆ der Zusammenhang besteht: ∆ (11.3) λ Aufgrund der Reflexion entsteht zwischen Strahl 2 und 3 ein zus¨atzlicher Gangunterschied von ∆r = λ/2, da Strahl 2 zwei Reflexionen (an S2 und ST ) mit Phasensprung erleidet und Strahl 3 nur einmal (an S1 ) mit Phasensprung reur dunkle Streifen (destruktive flektiert wird1 . Dann gilt mit (11.1) und (10.13) f¨ Interferenz): ∆ = 2 d cos ε + λ/2 = (2m + 1)λ/2 oder: δ = k∆ = 2π

dunkle Ringe

2d cos ε = mλ

mit m ≈ mmax =

2d λ

(11.4)

mit der Ordnungszahl m. Ist d gerade so gew¨ahlt, dass im Zentrum des Ringsystems (d.h. bei ε = 0) Ausl¨ oschung vorliegt, so ist die zugeh¨orige Ordnungszahl 2d (11.5) λ und wird im Allgemeinen sehr große Werte annehmen (mmax = 105 bei d = 3 mm und λ = 600 nm). Wegen m ∼ cos ε nimmt die Ordnung der Interferenzringe mit zunehmender Entfernung vom Zentrum ab! Mit der Ringzahl alt man dann eine Indizierung, die von innen nach außen p = mmax − m erh¨ zunimmt. Mit (11.4) und (11.5) ergibt sich hiermit f¨ ur dunkle Ringe: mmax =

dunkle Ringe

1

2d(1 − cos ε) = pλ mit Ringzahl

p = 0, 1, 2, . . .

(11.6)

Dieses Ergebnis geht von einer dielektrischen Verspiegelung von ST aus, die optisch d¨ unner als Glas ist. Ist diese Annahme nicht erf¨ ullt, so behalten die wesentlichen Gleichungen – wie (11.8) – ihre G¨ ultigkeit, da bei der Messung nur Streifenverschiebungen registriert werden.

11.1 Das Michelson-Interferometer

313

Abb. 11.2. Verschiedene Indizierungen der Interferenzringe. m = Interferenzordnung, p = mmax − m = Ringzahl (vom Zentrum aus gez¨ ahlt)

mit p = 0 im Zentrum. Abbildung 11.2 erl¨autert die Verh¨altnisse f¨ ur den Fall m = 100. Nach Abb. 11.1 b ist einem Punkt (oder Kreis) im Ringsystem ein fester Einfallswinkel ε zugeordnet. Entsprechend (11.4) muss dann bei Zunahme des Abstands d – wegen cos ε = konst. – auch die Ordnung m zunehmen. Ein dunkler (oder heller) Ring der Ordnung m geht folglich f¨ ur eine Verschiebung von ∆d = λ/2 in einen der Ordnung m + 1 u ¨ ber. Man beobachtet bei kontinuierlich wachsendem Spiegelabstand, wie immer neue Ringe aus dem Zentrum herausquellen und nach außen wandern und den umgekehrten Effekt mit schrumpfenden Ringen bei Abstandsabnahme. Diese Beobachtung ist also nicht vom Betrag des Abstandes abh¨ angig, so dass bei Bewegung des Spiegels S2 nach unten die Ringe zun¨ achst nach innen wandern und sich der Effekt nach Erreichen von d = 0 umkehrt. Der Winkelabstand ∆ε von zwei Ringen, die sich um ∆m Ordnungen unterscheiden, ist nach (11.4) (wegen d(cos ε) = − sin ε dε): λ ∆m (11.7) 2d sin ε Dies bedeutet, dass f¨ ur vorgegebenes ∆m die Ringe um so weiter auseinander liegen, je kleiner der Wegunterschied 2d wird. F¨ ur den Grenzfall d = λ/2 wird (s. (11.4)) m = cos ε, die Ordnungszahl also immer ≤ 1; das gesamte Blickfeld enth¨ alt somit nur einen Ring. Registriert man die Interferenzringe an einem festen Ort nahe oder in dem Zentrum des Ringsystems, so folgt aus (11.4) nach Bildung des totalen Differentials (f¨ ur ∆ε = 0 und cos ε = 1): ∆ε = −

Streifenz¨ahlung

∆m =

2∆d λ

(11.8)

314

11 Optische Interferometrie

Durch Abz¨ ahlung der den Beobachtungspunkt durchlaufenden Ringe kann man dann entweder die Wellenl¨ ange (bei bekanntem ∆d) oder (bei bekanntem λ) die Verschiebung ∆d, z.B. die L¨ ange eines Endmaßes, ermitteln. Beispiel 11.1 Michelson-Interferometer In einem Michelson-Interferometer werden mit monochromatischem Licht Ringe beobachtet. Wenn der bewegliche Spiegel um 0,73 mm verschoben wird, registriert man, dass 300 Ringe im Zentrum verschwinden. Wie groß ist die Wellenl¨ ange des Lichtes? Um wie viel verschieben sich die Ringe, wenn ein Glaspl¨ attchen mit der Dicke dg = 5 µm und Brechzahl ng = 1,51 in einen Interferometerarm gebracht wird? (Der Lichtstrahl soll senkrecht auf die Glasfl¨ ache treffen). L¨ osung ∆d = 2·0,73 Aus (11.8) folgt λ = 2 ∆m 300 mm = 487 nm. Da die Ringe im Zentrum verschwinden, liegt eine Verringerung des Spiegelabstandes vor. Durch die Glasplatte wird der optische Weg in einem Arm vergr¨oßert und man erh¨alt den Gangunterschied ∆ = 2(ng − 1) dg . Mit ∆ = ∆m λ erh¨alt man ∆m = 10,5 Ringe.

11.2 Anwendungen des Michelson-Interferometers Die in Abb. 10.19 wiedergegebene Methode der Dickenmessung d¨ unner Schichten beruht auf dem Michelson-Interferometer. Das Interferometer l¨asst sich auch zur Messung der Brechzahl von Gasen verwenden. Hierzu bringt man in Strahl 3 (s. Abb. 11.1 a) eine evakuierbare Messzelle mit planparallelen Fenstern, die das zu vermessende Gas bei bekanntem Druck und vorgegebener Temperatur enth¨alt. Nach Auspumpen der Zelle auf einen vernachl¨assigbaren Druck werde die Ringverschiebung ∆m registriert. Ist l die L¨ ange der Zelle, so ¨andert sich wegen des ¨ Ubergangs der Brechzahl von n nach 1 (Vakuum) der optische Weg um ∆d = nl − l = l(n − 1)

(11.9)

Mit (11.8) folgt f¨ ur die Brechzahl: Brechzahlmessung

n=1+

λ ∆m 2l

(11.10)

Eine weitere interessante Anwendung des Michelson-Interferometers ist die Bestimmung der kleinen Wellenl¨ angendifferenzen benachbarter Spektrallinien (der
Wellenl¨ angen λ und λ = λ − ∆λ). Jede Wellenl¨ange hat ihr eigenes Ringsys¨ tem, deren Uberlagerung zu Intensit¨ ats-Schwebungen f¨ uhrt. Unterscheiden sich

11.2 Anwendungen des Michelson-Interferometers

315

Interferenzordnungen m und m
der beiden Ringsysteme um eine ganze Zahl N , so entsteht ein kontrastreiches scharfes Interferenzmuster, w¨ahrend das Muster f¨ ur m − m
= N + 1/2 verwaschen wird. Bei Koinzidenz (m
= m + N ) gilt nach (11.4) f¨ ur einen Spiegelabstand d1 und ε → 0 (d.h. Beobachtung in der N¨ ahe des Ringzentrums): 2d1 = m1 λ = m
1 λ
= (m1 + N )(λ − ∆λ) ≈ m1 λ + N λ − m1 ∆λ

(11.11)

wobei N ∆λ wegen N  m vernachl¨ assigt wurde. Hieraus folgt f¨ ur die Koinzidenzbedingung bei Spiegelabstand d1 : ∆λ (11.12) λ Vergr¨ oßert man den Abstand auf d2 , so tritt an dem gleichen Beobachtungspunkt (und damit Winkel ε) dann Koinzidenz auf, wenn die Differenz N um 1 vergr¨oßert wurde, wenn also in (11.11) gilt m2 λ = (m2 + N + 1)λ
. Wir erhalten dann anstelle von (11.12): N λ = m1 ∆λ = 2d1

∆λ (11.13) λ Differenzbildung von (11.13) und (11.12) f¨ uhrt dann mit der Spiegelverschiebung ∆d = d2 − d1 auf die (N + 1)λ = m2 ∆λ = 2d2

Wellenl¨angendifferenz

∆λ =

λ2 2∆d

(11.14)

Mit dieser Methode wird in Physikpraktika h¨aufig der Abstand der gelben Na-D-Linien (λ = 589,59 nm, λ
= 589,00 nm) ermittelt. Die bisherige Diskussion des Michelson-Interferometers ging von Interferenzen gleicher Neigung aus. Dies setzte voraus, dass in Abb. 11.1 a S1 und S2 exakt senkrecht und somit S1
und S2 in Abb. 11.1 b exakt parallel zueinander angeordnet sind. Wird der Spiegel S1 leicht gegen S2 verkippt, so dass in Abb. 11.1 b zwischen S1
und S2 ein Luftkeil entsteht, so sieht man auf dem Spiegel S1 lokalisierte gerade Interferenzstreifen gleicher Dicke, die parallel zur Kippachse von S1
und S2 verlaufen. Bei großen Keilwinkeln beobachtet man als Interferenzkurven Hyperbelb¨ ogen. Wie in Kapitel 10 erl¨autert, treten bei einer ann¨ahernd punktf¨ ormigen Lichtquelle reelle, nichtlokalisierte Streifen auf, die von zwei virtuellen Bildern Q
1 und Q
2 der Quelle stammen. Diese Streifen lassen sich leicht mit Laserlicht demonstrieren, das mit einer kurzbrennweitigen Linse vor dem Strahlenteiler fokussiert wird. Abb. 11.3 ist die Fotografie von Kurven gleicher Dicke, die durch eine Kerzenflamme in einem Interferometerarm verzerrt werden, da aufgrund der Temperaturunterschiede die Brechzahl von Luft und damit die optische Wegl¨ ange ver¨ andert wird.

316

11 Optische Interferometrie

Abb. 11.3. Deformation der Interferenzstreifen gleicher Dicke aufgrund von Brechzahl¨ anderungen in der Umgebung einer Kerzenflamme

11.3 Modifikationen des Michelson-Interferometers Obwohl es zahlreiche M¨ oglichkeiten gibt, einen Lichtstrahl aufzuspalten und nach dem Durchlaufen verschiedener Lichtwege wieder zu u ¨berlagern, betrachten wir nur zwei Methoden, die als Modifikationen des Michelson-Interferometers angesehen werden k¨ onnen. Das Twyman-Green-Interferometer (s. Abb. 11.4 a) verwendet eine punktf¨ ormige Lichtquelle Q im Brennpunkt einer Kollimatorlinse L1 , so dass alle Strahlen parallel zur optischen Achse (cos ε = 1) einfallen und beim Austritt durch die Linse L2 in einem Punkt P , an dem sich z.B. das Auge befindet, fokussiert werden. Statt der Interferenzstreifen gleicher Neigung treten nun – bei leicht verkippten Spiegeln – Streifen gleicher Dicke auf. Im Grenzfall exakt paralleler Spiegel und ebener Wellenfronten w¨ urde sich bei P nur ein Punkt ergeben. Bringt man in ein solch hochwertiges Interferometer Pr¨ uflinge, wie z.B. das Prisma in Abb. 11.4 b, so kann man deren Qualit¨at pr¨ ufen. Spiegel S1 wird um den Ablenkwinkel gekippt, so dass wieder die Interferenzen von Abb. 11.4 a auftreten. Oberfl¨ achenfehler oder Brechzahlvariationen des Prismas bewirken eine Verformung der Wellenfronten und eine entsprechende Ver¨anderung des Interferenzbildes. Bei der Pr¨ ufung sph¨ arischer Linsen, z.B. auf Linsenfehler wie

11.3 Modifikationen des Michelson-Interferometers

317

die sph¨ arische Aberration, verf¨ ahrt man entsprechend, man ersetzt jedoch Spiegel S1 durch einen Konvexspiegel K, damit die in der Linse gebrochenen Strahlen wieder in ihrer Einfallsrichtung reflektiert werden (s. Abb. 11.4 c).

Abb. 11.4. Twyman-Green-Interferometer. a) Aufbau mit punktf¨ ormiger Lichtquelle Q und Kollimatorlinse L1 . Die Spiegel S1 bzw. S2 sind leicht gekippt, so dass Interferenzen gleicher Dicke auftreten. b) Qualit¨ atspr¨ ufung eines Prismas P r, S1 ist um den Ablenkwinkel gekippt. c) Pr¨ ufung einer Linse L unter Verwendung eines Konvexspiegels

Abb. 11.5. Mach-Zehnder-Interferometer mit Strahlenteiler ST und den Umlenkspiegeln S1 und S2 . Die bei dem teildurchl¨ assigen Spiegel S3 nach oben austretenden Strahlen sind nicht gezeichnet

318

11 Optische Interferometrie

Beim Mach-Zehnder-Interferometer (s. Abb. 11.5) wird der einfallende Strahl ebenfalls durch einen Strahlenteiler ST geteilt. Die Teilstrahlen werden dann aber durch die Spiegel S1 und S2 lediglich um 90◦ umgelenkt und mit Hilfe des halbdurchl¨ assigen Spiegels S3 u ¨ berlagert. Hier stimmen die optischen Wege von 1 und 2 bei gleicher geometrischer Wegl¨ ange und gleichen Teilerspiegeln u ¨ berein, eine Kompensationsplatte er¨ ubrigt sich somit. Dieses Interferometer kann z.B. bei Str¨ omungsuntersuchungen im Windkanal eingesetzt werden, wo Variationen des statischen Drucks zu Brechzahl¨ anderungen und entsprechenden Streifenverschiebungen f¨ uhren. Das Mach-Zehnder-Interferometer hat den Vorteil, dass man durch kleine Drehungen der Spiegel (z.B. S3 ) erreichen kann, dass die dann leicht divergent austretenden Teilstrahlen scheinbar von einem Punkt des Objekts kommen. Bei Verwendung einer Abbildungslinse k¨onnen dann Testobjekt und die Interferenzstreifen auf dem Objekt gleichzeitig scharf abgebildet werden. Beim Michelson-Interferometer waren hingegen die Interferenzstreifen auf dem Spiegel lokalisiert. Die bislang diskutierten Interferometer basierten auf Zweistrahlinterferenz mit Amplitudenteilung. Um die Vielstrahlinterferenz des Fabry-PerotInterferometers zu verstehen, wollen wir zun¨achst die Vielfachreflexionen an einer transparenten, planparallelen Platte untersuchen.

11.4 Stokes-Beziehungen Sir George Stokes (1819–1903) stellte Beziehungen zwischen den an einer ebenen, brechenden Grenzfl¨ ache reflektierten und durchgelassenen Teilwellen und der einfallenden (ebenen) Welle auf. Wir definieren f¨ ur eine einfallende Welle der ˆ den komplexen elektrischen Feldst¨ arke E e und Amplitude E Reflexionsfaktor

r=

ˆ Er E = r ˆ Ee E e

(11.15)

und entsprechend den Transmissionsfaktor

t=

Et Eˆ = t ˆ Ee E e

(11.16)

ˆ wird dementsprechend in den reflektierten Anteil Die einfallende Amplitude E e ˆ ˆ aufgespalten. F¨ ˆ ur einen E r = rE e und die durchgelassene Amplitude Eˆ t = tE e aus Medium 2 kommenden Strahl verwenden wir die gestrichenen Gr¨oßen r
und t
. Als Reflexionsgrad  bezeichnet man das Verh¨altnis von reflektierter zu einfallender Leistung P , also Reflexionsgrad

=

Pr = r2 Pe

(11.17)

11.4 Stokes-Beziehungen

319

Abb. 11.6. Einfallende (Index e), reflektierte (r) und transmittierte (t) Teilstrahlen an einer Grenzfl¨ ache zur Herleitung der Stokes-Beziehungen

Dann gilt f¨ ur den Transmissionsgrad2 Transmissionsgrad

τ=

Pt Pe

(11.18)

Ausgehend von Abb. 11.6 a muss nach dem Prinzip der Umkehrbarkeit des Lichtweges (Invarianz gegen Zeitumkehr) auch der in Abb. 11.6 b wiedergegebene Fall mit zwei einfallenden Strahlen g¨ ultig sein. Er f¨ uhrt jedoch wegen der zus¨atzlichen Reflexion und Transmission der einfallenden Wellen zu der in Abb. 11.6 c wiedergegebenen Realisierung. Gleichsetzen der Amplituden der Abb. 11.6 b und Abb. 11.6 c ergibt f¨ ur ˆ ˆ = (r2 + t
t)E Medium 1: E e e
ˆ Medium 2: 0 = (r t + tr)E

e

Hieraus folgen dann die Stokes-Beziehungen zwischen den Transmissions- und Reflexionsfaktoren Stokes-Beziehungen

tt
= 1 − r2 r = −r


(11.19) (11.20)

Beachten Sie, dass die Gr¨ oßen r und t winkelabh¨angig sind (s. Kap. 20.4) und deshalb die obigen Gleichungen zu verstehen sind als t(ε) t
(ε
) = 1 − r2 (ε) und upft. r(ε) = −r
(ε
). Die Winkel ε und ε
sind u ¨ ber das Brechungsgesetz verkn¨ 2

Im Allgemeinen gilt nicht τ = t2 (s. Kap. 20). Entsprechend der Definition sind r und t komplexe Gr¨ oßen. In Kap. 20 wird gezeigt, dass sie f¨ ur eine dielektrische Grenzfl¨ ache reell sind, ein evtl. Phasensprung bei Reflexion kann durch ein negatives Vorzeichen von r erfasst werden.

320

11 Optische Interferometrie

Nach (11.20) ist r = −r
= r
ejπ , dies bedeutet, dass der Betrag der reflektierten Amplituden – und damit die Intensit¨aten – gleich sind, die Phasen aber um π gegeneinander verschoben sind. Dies ist Ausdruck der Tatsache, dass beim ¨ Ubergang vom optisch d¨ unneren ins dichtere Medium – in Analogie zur Reflexion einer Seilwelle am festen Ende – ein Phasensprung auftritt, beim umgekehrten Vorgang aber nicht (s. Fresnel-Gleichungen in Kap. 20.4).

11.5 Vielstrahlinterferenz an einer Planplatte In Kapitel 10.4 wurde die Reflexion an einer Planplatte in der Zweistrahln¨aherung untersucht, jetzt wollen wir Mehrfachreflexionen ber¨ ucksichtigen. Wir betrachten eine planparallele Platte der Dicke d, auf die unter einem Winkel ε ein schmales Lichtb¨ undel der Amplitude Eˆ e trifft (s. Abb. 11.7). r und t sind die ur eine Reflexions- und Transmissionsfaktoren f¨ ur eine a¨ußere und r
und t
die f¨ innere Fl¨ ache. F¨ ur jeden Abschnitt des Strahls kann die neue Amplitude durch Multiplikation der vorherigen mit den jeweiligen Reflexions- und Transmissionsfaktoren berechnet werden. An der Ober- und Unterseite der Platte treten zahlreiche Parallelstrahlen aus, die in der Brennebene einer Sammellinse interferieren. Bei großer Koh¨ arenzl¨ ange des Lichtes und/oder kleiner Plattendicke sind hierbei die Teilstrahlen, die aus demselben Einfallsstrahl hervorgehen, koh¨arent. ¨ Wir untersuchen die Uberlagerung der an der Oberseite der Platte reflektierten Strahlen. Die Phasendifferenz 3 δ zwischen benachbarten Strahlen wurde bei der Zweistrahlinterferenz berechnet (10.30): Phasendifferenz

δ = k∆ mit

∆ = 2ns d cos ε


(11.21)

F¨ ur die komplexen Amplituden der Teilwellen erhalten wir aus Abb. 11.7: ˆ Eˆ 1 = rE e

ˆ ˆ E 2 = tt r E e e−jδ ˆ e−j2δ . . . Eˆ = tt
r
3 E 3

(11.22)

e

F¨ ur die n-te (mit n > 1) reflektierte Welle gilt dann: ˆ = tt
r
(2n−3) Eˆ e−j(n−1)δ E n e Nimmt man eine beliebig große Platte (mit unendlich vielen Teilwellen) an, so ˆ : wird die resultierende Amplitude E r 3

Eventuelle Phasenspr¨ unge sind hier in den Vorzeichen von r und r
enthalten.

11.5 Vielstrahlinterferenz an einer Planplatte

321

Abb. 11.7. Reflektierte und transmittierte Strahlen bei Vielfachreflexion an einer planparallelen Platte der Dicke d und Brechzahl ns

Eˆ r =

∞ 

ˆ + ˆ = rE E n e

n=1



ˆ =E e

∞ 

ˆ r
(2n−3) e−j(n−1)δ tt
E e

n=2  ∞ 
−jδ
(2n−4) −j(n−2)δ

r + r
tt e

r

e

(11.23)

n=2

Der letzte Summenterm ist von der Form einer geometrischen Reihe ∞ 

xn−2 = 1 + x + x2 + . . .

n=2
2 −jδ

wobei x = r e . Wegen |x| < 1 konvergiert die Reihe gegen den Wert 1/(1 − x). Damit wird die resultierende Amplitude:  

−jδ ˆ = Eˆ r + tt r e E r e 1 − r
2 e−jδ Bei Anwendung der Stokes-Beziehungen (11.19) und (11.20) erh¨alt man dann

322

11 Optische Interferometrie

  (1 − r2 )r e−jδ ˆ ˆ Er = Ee r − 1 − r2 e−jδ und nach Vereinfachung: −jδ ˆ r(1 − e ) Eˆ r = E e 1 − r2 e−jδ

(11.24)

ˆ 2 – das Zur Berechnung der reflektierten Leistung ermitteln wir – wegen Pr ∼ E r Betragsquadrat    1 − e−jδ 1 − ejδ ˆe2 r2 ˆr2 = Eˆ Eˆ ∗ = E E r r 1 − r2 e−jδ 1 − r2 ejδ Nach Ausmultiplikation und Verwendung der Beziehung 2 cos δ = ejδ + e−jδ sowie des Reflexionsgrades  = r2 einer Seite der Planplatte wird die reflektierte Leistung Planplatte

Pr =

2(1 − cos δ) Pe 1 + 2 − 2 cos δ

(11.25)

wobei Pe die einfallende Leistung ist. Nach analoger Rechnung erhalten wir f¨ ur die transmittierte Leistung Planplatte

Pt =

(1 − )2 Pe 1 + 2 − 2 cos δ

(11.26)

Die Gle´ıchung (11.26) h¨ atte man auch direkt mit der aus dem Energieerhaltungssatz folgenden Beziehung Pr + Pt = Pe

(11.27)

und (11.25) herleiten k¨ onnen. Aus (11.25) folgt, dass die Reflexion f¨ ur cos δ = 1 verschwindet und somit ¨ in Ubereinstimmung mit (11.26) und (11.27) die gesamte einfallende Leistung durchgelassen wird. Wir erhalten demnach: Reflexionsminima bzw. Transmissionsmaxima ⎧ ⎨δ = m2π bzw. Pr = 0 bzw. Pt = Pe bei ⎩ ∆ = 2ns d cos ε
= mλ

(11.28)

Diese Bedingung ist uns von der Zweistrahlinterferenz bekannt (s. (10.30) u. ur ein Reflexi(10.31) mit ∆r = λ/2). Aus Abb. 11.7 und (11.22) folgt, dass f¨ onsminimum alle Strahlen mit n ≥ 2 in Phase sind und – wegen r
= −r – zum

11.6 Fabry-Perot-Interferometer

323

ersten Strahl gegenphasig schwingen. Da die Gesamtreflexion verschwindet, l¨oscht sich demnach der erste Strahl mit der Summe aller anderen aus. Bei der Zweistrahlinterferenz hatten wir vorausgesetzt, dass sich schon der erste und zweite Strahl ausl¨ oschen, dann m¨ ussten aber deren Amplituden ann¨ahernd gleich groß sein. Nach (11.22) ist ihr Amplitudenverh¨ altnis ˆ ˆ tt
r
E E 2 e = = −(1 − r2 ) ˆ ˆ r E E 1 e

(11.29)

achlich gegen −1 geht. Das negative Vorzeichen zeigt, dass was f¨ ur kleine r2 tats¨ die Teilwellen gegenphasig schwingen: Bei einer Glasplatte (ns = 1,5) in Luft ist der Reflexionsgrad bei senkrechtem Lichteinfall:  = r2 = 0,04. Damit l¨oscht der zweite Strahl bereits 96% des ersten Strahls aus und die Zweistrahln¨aherung ist gerechtfertigt. F¨ ur cos δ = −1 oder δ = (2m + 1)π

und ∆ = 2ns d cos ε
= (2m + 1)

λ 2

(11.30)

ergeben sich (s. (11.25)): Reflexionsmaxima

Pr =

4 Pe (1 + )2

(11.31)

Der Nenner von (11.26) hat in diesem Fall seinen gr¨oßten Wert, so dass (wie auch aufgrund von (11.27) zu erwarten)  Transmissionsminima

Pt =

1− 1+

2 Pe

(11.32)

auftreten.

11.6 Fabry-Perot-Interferometer Das Fabry-Perot-Interferometer nutzt die Vielstrahlinterferenz an Planplatten im durchgehenden Licht. Dieses Instrument ist wohl das Interferometer mit dem gr¨ oßten Anwendungsbereich. Es wird zur hochgenauen Wellenl¨angenmessung, zur Analyse der Hyperfeinstruktur von Spektrallinien, zur Bestimmung der Brechzahl von Gasen sowie als Laserresonator verwendet; optische Schaltelemente f¨ ur optische Rechner k¨ onnten mit nichtlinearen Fabry-Perots“ realisiert werden. ” Abbildung 11.8 zeigt eine typische Anordnung: Zwei dicke Glas- oder Quarzplatten schließen eine planparallele Luftplatte“ ein, an der die Vielfachreflexion ”

324

11 Optische Interferometrie

Abb. 11.8. Fabry-Perot-Interferometer mit ausgedehnter Lichtquelle LQ. In der Brennebene der Linse L beobachtet man Interferenzen gleicher Neigung der von den Punkten Qi ausgehenden Teilwellen

erfolgt. Demzufolge sind die inneren Oberfl¨achen der Glasplatten von entscheidender Bedeutung. Sie sind bis zu einer Planheit besser λ/50 poliert und durch dielektrische oder auch Silber- und Aluminiumschichten zu etwa 95% hochreflektierend. Silberschichten mit einer Dicke von etwa 50 nm eignen sich f¨ ur Wellenl¨ angen gr¨ oßer 400 nm. Im Ultraviolett verwendet man Aluminiumschichten. Die ¨ außeren Glasfl¨ achen sind gegen die zueinander parallelen inneren Fl¨achen leicht (um Winkelminuten) verkippt, um st¨orende Interferenzen an den Außenfl¨achen zu vermeiden. Die Dicke d der Luftschicht bestimmt – wie unten gezeigt – entscheidend die Leistungsf¨ ahigkeit des Interferometers. Bei festem Plattenabstand spricht man auch von einem Etalon. Wir verfolgen zun¨ achst einen von einem Punkt Q der ausgedehnten Lichtquelle ausgehenden Strahl, der unter ε, dem Winkel zur optischen Achse, einf¨allt (s. Abb. 11.8); er erzeugt im Punkt P der Brennebene einer Sammellinse L Vielstrahlinterferenz. Hierbei unterscheiden sich benachbarte Teilstrahlen durch zwei zus¨ atzliche Reflexionen, so dass sich die Phasenspr¨ unge aufheben. Der geometrische Wegunterschied ist f¨ ur alle Nachbarstrahlen gleich – und stimmt mit dem von zwei reflektierten Strahlen (11.21) u ¨berein. Folglich haben wir in Transmission konstruktive Interferenz oder helle Ringe f¨ ur: helle Ringe

∆ = 2d cos ε = mλ

(11.33)

¨ In Ubereinstimmung mit (11.28) ist dies auch die Bedingung f¨ ur ein Reflexionsminimum. F¨ ur festes d wird die Interferenzbedingung (11.33) nur f¨ ur bestimmte Einfallswinkel ε – aber Strahlen aus beliebigen Punkten Qi (s. Abb. 11.8) der ausgedehnten Lichtquelle – erf¨ ullt und man beobachtet die bekannten konzentrischen Interferenzringe gleicher Neigung. Wird zus¨atzlich bei ausgedehnter Lichtquelle eine Kollimatorlinse am Eingang verwendet (s. Abb. 11.9 a), so wird jeder Punkt der Lichtquelle gerade in einen zugeordneten Bildpunkt auf dem Schirm

11.6 Fabry-Perot-Interferometer

325

Abb. 11.9. a) Fabry-Perot-Interferometer mit einer ausgedehnten Lichtquelle und Kollimatorlinse L1 bei festem Plattenabstand. Auf dem Beobachtungsschirm wird ein kreisf¨ ormiges Interferenzmuster registriert, das auf dem Foto wiedergegeben ist. Punkte Q der Lichtquelle werden in Punkte P u uhrt. b) Fabry-Perot“ mit einer Punkt¨ berf¨ ” lichtquelle Q und variablem Plattenabstand. Im Brennpunkt der zweiten Linse ist ein Detektor D platziert, dessen Ausgangssignal bei Variation des Plattenabstandes um ∆x schematisch wiedergegeben ist

(z.B. Fotoplatte) abgebildet. Abb. 11.9 b zeigt eine Anordnung mit punktf¨ormiger Lichtquelle. Hier treffen alle Strahlen unter demselben Winkel (hier ε = 0) auf das Interferometer und werden auf den Detektor fokussiert. Bei kontinuierlicher Variation des Plattenabstandes d registriert der Detektor das Interferenzmuster als Funktion der Zeit in Form eines Interferogramms. Sendet die Lichtquelle zwei benachbarte Wellenl¨ angen aus, so liefert die Anordnung der Abb. 11.9 a ein doppeltes Ringsystem, w¨ ahrend man mit der Variante der Abb. 11.9 b bei Abstands¨ anderung zwei Intensit¨ atsmaxima registriert.

326

11 Optische Interferometrie

11.7 Streifenprofil: Airy-Funktion Den Verlauf der am Empf¨ anger gemessenen Bestrahlungsst¨arke als Funktion der Phasendifferenz bezeichnet man als Streifenprofil. Die Sch¨arfe der Linien bestimmt nat¨ urlich letztlich das Aufl¨ osungsverm¨ogen des Instruments. Ausgehend von (11.26) erh¨ alt man unter Verwendung der Beziehung   δ 2 cos δ = 1 − 2 sin 2 f¨ ur den Intensit¨ats-Transmissionsgrad 4 des Fabry-Perot, die so genannte T =

Airy-Funktion

1 It   =   4 Ie 1 + (1−) sin2 2δ 2

(11.34)

wobei  der Reflexionsgrad einer Spiegelfl¨ ache ist und die Phasendifferenz (s. (11.21) und (11.33)) bei einer Luftplatte“ durch ” 4πd cos ε δ= λ gegeben ist. Mit Hilfe des von Fabry definierten Finesse-Koeffizienten K (s. Abb. 11.10)  K=

2r 1 − r2

2 =

4 (1 − )2

(11.35)

kann die Airy-Funktion kompakter geschrieben werden: T =

1   1 + K sin2 δ2

(11.36)

Bei konstruktiver Interferenz (mit cos δ = 1 und sin(δ/2) = 0) ist maximale Transmission zu erwarten. Aus (11.36) folgt dementsprechend5 Tmax = 1. Destruktive Interferenz (bei cos δ = 0 und sin(δ/2) = ±1) ergibt die minimale Transmission: Tmin = 4

5

1 1+K

In (11.26) ist das Leistungsverh¨ altnis Pt /Pe bei beliebigem Einfallswinkel eines Parallelstrahls angegeben. Beim Fabry-Perot hat man ann¨ ahernd senkrechten Lichteinfall, so dass die Querschnittsfl¨ achen von ein- und austretendem Strahl – trotz Mehrfachreflexion – u ur die entsprechenden ¨ bereinstimmen. Gleichung (11.26) gilt dann auch f¨ Intensit¨ aten. Es war ein verlustfreies Medium vorausgesetzt.

11.7 Streifenprofil: Airy-Funktion

Abb. 11.10. Verlauf des Ringkontrastes K und der Finesse F = des Reflexionsgrades 

π 2

√

327

K als Funktion

Die Gr¨ oße K wurde zun¨ achst als Abk¨ urzung eingef¨ uhrt. Man pr¨ uft leicht nach, dass K die Gleichung erf¨ ullt K=

Itmax − Itmin Itmin

(11.37)

und damit (anders als u ¨ blich, s. (10.16)) den Kontrast der Ringe beschreibt. Der Koeffizient K h¨ angt empfindlich vom Reflexionsgrad  ab, denn wenn  von 0 bis 1 variiert, ¨ andert sich K von 0 bis ∞ (s. Abb. 11.10). Dies wirkt sich auf den Verlauf der Airy-Funktion T aus, die in Abb. 11.11 als Funktion der Phasendifferenz mit Reflexionsgrad  und Kontrast K als Parameter dargestellt ur δ = m 2π und Tmin = 1/(1 + K) ist. Bei allen Kurven ist Tmax = 1 f¨ ur beliebige Reflexionsgrade zu bei δ = (m + 1/2) π. W¨ ahrend Tmax = 1 f¨ beobachten ist, ist Tmin nie exakt null, sondern n¨ahert sich diesem Wert erst f¨ ur  → 1. Steigendes  f¨ uhrt zu immer sch¨arferen Linien und einem immer breiteren, nahezu unbestrahlten Bereich zwischen den Linien. F¨ ur einen u ¨blichen Wert von  = 0,95 nimmt K den Wert 1520 an und die Halbwertsbreite der Ringe betr¨ agt weniger als ein Viertel des Wertes bei  = 0,80. Zum Vergleich ist auch (gestrichelt) der normierte Streifenverlauf (I/Imax = cos2 δ/2, s. (11.2)) bei der Zweistrahlinterferenz eines Michelson-Interferometers gezeigt.

328

11 Optische Interferometrie

Abb. 11.11. Streifenprofil des Fabry-Perot. Durchl¨ assigkeit oder Airy-Funktion T als Funktion der Phasendifferenz δ mit den Kurvenparametern: Reflexionskoeffizient r, Reflexionsgrad  = r 2 , Ringkontrast K und Finesse F (s. (11.41)) Kurve 1: r = 0,2;  = 0,04; K = 0,17; F = 0,65. Kurve 2: 0,5; 0,25; 1,8; 2,1. Kurve 3: 0,9; 0,81; 90; 14,9. δ1/2 gibt die Halbwertsbreite der Kurve 3 an. Die gestrichelte Kurve 4 entspricht dem Michelson-Interferometer (Zweistrahlinterferenz) mit δ1/2 = π

11.8 Auf l¨ osungsverm¨ ogen F¨ allt auf ein Fabry-Perot Licht mit zwei benachbarten Wellenl¨angen, dann tritt ein doppeltes Ringsystem auf, eines f¨ ur jede Wellenl¨ange. F¨ ur eine Interferenzordnung m registriert man somit in radialer Richtung zwei mehr oder weniger deutlich getrennte Maxima (s. Abb. 11.12 f¨ ur den Fall gleicher Intensit¨at der Teilwellen). In Abb. 11.12 a ist der Verlauf der Maxima f¨ ur die Wellenl¨angen λ und λ + ∆λ einzeln gezeichnet, die Messung liefert die (gestrichelte) Summenkurve. Man erkennt, dass unterhalb eines minimalen Wellenl¨angenabstandes ∆λmin die beiden Maxima nicht mehr aufgel¨ ost werden k¨onnen. Es gibt verschiedene Aufl¨ osungskriterien zur Erkennbarkeit der Maxima und Ermittlung von ∆λmin . Das Rayleigh-Kriterium fordert eine Einsattelung von mindestens 20% (genauer Tmin = 8/π 2 · Tmax ) zwischen den Maxima. Das ebenfalls nach Rayleigh be-

11.8 Aufl¨ osungsverm¨ ogen

329

Abb. 11.12. a) Verlauf der Bestrahlungsst¨ arke in den Fabry-Perot Ringen bei zwei Wellenl¨ angenkomponenten etwa gleicher Eingangsintensit¨ at. Beobachtet wird die Gesamtintensit¨ at (gestrichelt), die an der Rayleigh-Grenze eine Einsattelung von 20% aufweisen muss. b) Ermittlung der Ringbreite: Halbwertsbreite δ1/2 des Peaks und zugeh¨ orige Differenz δc . Es gilt δc = δ+ − m 2π und δ1/2 = 2δc

nannte und bekanntere Kriterium zur Aufl¨osung bei Spalt- und Gitterbeugung (s. Kap. 16 u. 17) ist hier nicht anwendbar. Wir fordern vereinfachend, dass in dem Ringsystem der Mindestabstand von zwei Maxima gleicher Ordnung gleich dem Abstand sein muss, der der Halbwertbreite δ1/2 = 2δc der Einzelmaxima entspricht (s. Abb. 11.12). Wir ermitteln zun¨achst δc : Am m-ten Maximum muss f¨ ur δ+ = m2π + δc gelten: T (δ+ ) = 1/2; dann hat der Nenner√von T (11.36) den Wert 2, woraus folgt: K sin2 (δ+ /2) = 1 und sin(δ+ /2) = 1/√ K. Da in der Umgebung √ der Maxima | sin δ+ |  1 gilt, wird δ+ = m2π + 2/ K und damit δc = 2/ K. Die Halbwertsbreite der Interferenzmaxima ist folglich gleich: Halbwertsbreite

4 δ1/2 = 2δc = √ K

(11.38)

Um die zugeh¨ orige Wellenl¨ angendifferenz ∆λmin zu bekommen, berechnen wir zuerst die Differenz6 ∆λn , die erforderlich ist, um in Abb. 11.11 eine Verschiebung um eine ganze Beugungsordnung – entsprechend ∆δ = 2π – zu erzielen, f¨ ur die also: m(λ + ∆λn ) = (m + 1)λ 6

Nutzbarer Spektralbereich, s. Kap. 11.9.

330

11 Optische Interferometrie

Dies ist offensichtlich f¨ ur ∆λn = ∆λmin aus der Proportion

λ m

der Fall. Ausgehend hiervon k¨onnen wir

δ1/2 ∆λmin = ∆λn 2π gewinnen und erhalten mit (11.38) und ∆λn = λ/m: 2π π√ λ =m =m K ∆λmin δ1/2 2

(11.39)

Unter dem spektralen Aufl¨ osungsverm¨ ogen A eines Spektrometers versteht man allgemein: A=

λ ∆λmin

(11.40)

Durch Einf¨ uhrung der Finesse

√  r π√ K=π =π F = 2 1 − r2 1−

(11.41)

kann man das Auf l¨osungsverm¨ogen des Fabry-Perot-Interferometers mit (11.39) bis (11.41) in eine einfache Form bringen: Auf l¨osungsverm¨ogen

A=

λ = mF ∆λmin

(11.42)

Ein hohes Aufl¨ osungsverm¨ ogen erreicht man demnach f¨ ur eine hohe Finesse F und f¨ ur große Ordnungszahlen m, also im Zentrum des Ringsystems, und großen Plattenabstand, da nach (11.33): 2d (11.43) λ Die G¨ ute eines Perot-Fabry h¨ angt entscheidend von dem Reflexionsgrad der Platten und der Finesse ab, die ihrerseits die Linienbreite bestimmt. Der Vergleich von (11.39) und (11.41) f¨ uhrt zur gebr¨ auchlichsten Definition der Finesse: Fialtnis von Phasenwinkelabstand 2π benachbarter nesse F = 2π/δ1/2 ist das Verh¨ Maxima zu Halbwertsbreite δ1/2 eines Ringes. Damit gilt dann auch: mmax =

Finesse ist das Verh¨ altnis von Linienabstand benachbarter Linien zur Halbwertsbreite einer Linie. Wir fassen zusammen:

11.9 Nutzbarer Spektralbereich

2π Linienabstand = δ1/2 Linienbreite r A π√ K=π = = 2 2 1−r m

331

F = Finesse

(11.44)

Beispiel 11.2 Fabry-Perot Gegeben sei ein Fabry-Perot-Interferometer mit dem Plattenabstand 1 cm und dem Reflexionsgrad  = 0,90. Man bestimme f¨ ur eine Wellenl¨ange von 500 nm die maximale Beugungsordnung, den Kontrast, die Finesse sowie das minimal aufl¨ osbare Wellenl¨ angenintervall, das Aufl¨osungsverm¨ogen und den nutzbaren Spektralbereich (s. (11.45)). L¨ osung √ = 40 000 ≈ m; Reflexionsfaktor r =  = 0,95; Wir erhalten: mmax = 2d λ √ 4 π Kontrast K = (1−) K = 30,6; Aufl¨osungsverm¨ogen 2 = 380; Finesse F = 2 λ λ = mF = 1,2 · 106 ; ∆λmin = A = 0,42 pm und nutzbarer A = ∆λ λ Spektralbereich ∆λn = m = 12,5 nm.

Gute Fabry-Perot-Interferometer weisen Aufl¨osungsverm¨ogen von etwa 106 bis 2 · 107 auf. Damit erreicht man Werte, die die Leistungen von Beugungsgittern und Prismen um ein bis zwei Gr¨ oßenordnungen u ¨ bertreffen. Abbildung 11.13 gibt das Ringsystem der gr¨ unen Quecksilberlinie wieder und zeigt deren Feinstruktur.

11.9 Nutzbarer Spektralbereich Da sich die Ringsysteme verschiedener Wellenl¨angen u ¨ berlagern, k¨onnen an einem Punkt Ringe unterschiedlicher Wellenl¨ ange und Ordnung auftreten und damit die Messung der Wellenl¨ angen erschweren oder verhindern. Dies l¨asst sich durch Einschr¨ ankung des untersuchten Spektralbereiches verhindern. Wir betrachten zwei ur kleine ∆λ sind die beiden aufgel¨osten Wellenl¨ angen λ1 und λ2 = λ1 + ∆λ. F¨ (es gilt also ∆λ > ∆λmin ) Ringsysteme in jeder Ordnung dicht beisammen und eindeutig unterscheidbar. Bei Steigerung von ∆λ steigt auch der Abstand der Ringe gleicher Ordnung; wenn er gleich dem Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Ordnungen einer Wellenl¨ ange wird, ist keine Eindeutigkeit mehr gegeben. ur den Grenzfall, dass die LiWir berechnen den Wellenl¨ angenunterschied ∆λn f¨ nie m-ter Ordnung der Wellenl¨ ange λ2 auf die Ordnung m + 1 von λ1 f¨allt. Da in (11.33) d und cos ε u ¨ bereinstimmen, muss gelten mλ2 = (m + 1)λ1

332

11 Optische Interferometrie

Abb. 11.13. Fabry-Perot-Ringe bei der gr¨ unen Quecksilberlinie (λ = 546,1 nm), die die Feinstruktur der Spektrallinie wiedergeben

Mit λ2 = λ1 + ∆λn gilt dann: nutzbarer Spektralbereich

∆λn =

λ1 m

(11.45)

∆λn bezeichnet man als nutzbaren oder freien Spektralbereich, es ist der Betrag, um den die Wellenl¨ ange ge¨ andert werden muss, damit die m-te Ordnung der ur λ1 zusammenf¨allt. Da m ≈ 2d/λ, Wellenl¨ ange λ1 +∆λn mit der Ordnung m+1 f¨ gilt auch λ2 (11.46) 2d Machen Sie sich unbedingt klar: ∆λmin ist der kleinste Abstand, den zwei Wellenl¨ angen haben d¨ urfen, damit sie noch getrennt oder aufgel¨ost werden k¨onnen. Er wird klein (und damit das Aufl¨ osungsverm¨ogen A groß), wenn in hoher Ordnung mit guter Finesse gearbeitet wird (s. (11.42)). Ist ∆λ > ∆λmin , sind also zwei Linien deutlich erkennbar, so kann der Nachweis erschwert werden, wenn sie zu weit – und zwar um mehr als ∆λn – voneinander entfernt sind. Man erkennt, dass eine hohe Beugungsordnung m zwar die Aufl¨osung steigert, jedoch den Spektralbereich einengt. Im Bsp. 11.2 war ∆λn nur 12,5 pm! Ein gutes Spektrometer sollte ein m¨ oglichst großes Verh¨ altnis ∆λn /λmin aufweisen! Mit (11.42) und (11.45) erh¨ alt man f¨ ur das Verh¨ altnis von nutzbarem Spektralbereich zu minimal nachweisbarem Wellenl¨ angenbereich gerade die Finesse: ∆λn =

11.9 Nutzbarer Spektralbereich

333

Abb. 11.14. a)Verwendung eines Fabry-Perot-Etalons in Verbindung mit einem Prismen-Spektrografen. Das Fabry-Perot hat ein hohes Aufl¨ osungsverm¨ ogen, das Prisma einen großen nutzbaren Spektralbereich. b) Feinstruktur von Spektrallinien, die mit einer Anordnung nach a) aufgel¨ ost wurde

∆λn =F ∆λmin

(11.47)

Die Finesse ist damit als G¨ utezahl des Fabry-Perot geeignet. Der Nachteil des unter Umst¨ anden extrem kleinen nutzbaren Spektralbereiches kann durch Kombination mit einem weiteren Spektrometer umgangen werden. So kann man z.B. zwei Etalons – das eine mit großem freiem Spektralbereich ∆λn und das andere mit großem Aufl¨ osungsverm¨ ogen A – hintereinander schalten. Eine andere M¨oglichkeit ist die Kombination mit einem (Prismen-) Spektrografen (s. Abb. 11.14 a). Falls das einfallende Licht aus einzelnen spektralen Komponenten mit einer Fein¨ struktur besteht, ergibt sich eine un¨ ubersichtliche Uberlagerung der Ringsysteme der einzelnen Komponenten. Nach Trennung der einzelnen Komponenten mit einem Prisma (mit relativ weit ge¨ offnetem Eintrittsspalt) erscheint jedes Wellenl¨ angenintervall der Quelle als breites Bild des Spaltes mit den der Feinstruktur der jeweiligen Farbe entsprechenden Interferenzlinien (s. Abb. 11.4 b).

334

11 Optische Interferometrie

¨ Ubungen 11.1 Wird der Spiegel eines Michelson-Interferometers um 114 µm verschoben, so registriert eine Fotodiode 523 Interferenzmaxima. Welche Wellenl¨ ange hat das verwendete Licht? 11.2 Ein Michelson-Interferometer wird mit gr¨ unem Hg-Licht (λ = 546,1 nm) beleuchtet. Auf einem Schirm treten gerade Interferenzstreifen auf. Man misst 11 helle Streifen pro cm. Wie erkl¨ aren Sie dies? Welche Gr¨ oße l¨ asst sich aus den angegebenen Messwerten ermitteln? 11.3 Ein d¨ unnes Bl¨ attchen aus Flussspat (CaF2 , n = 1,434) wird so in einen Arm eines Michelson-Interferometers geschoben, dass es senkrecht auf dem Lichtstrahl steht. F¨ ur Licht der Wellenl¨ ange 632,8 nm beobachtet man eine Verschiebung des Interferenzmusters um 35 Streifen. Welche Dicke hat das Bl¨ attchen? 11.4 Bei einem Michelson-Interferometer sieht man einen zentralen dunklen Fleck, der von konzentrischen hellen und dunklen Ringen umgeben ist. Ein Arm des Interferometers ist 2 cm l¨ anger als der andere, das verwendete Licht hat 500 nm Wellenl¨ ange. Ermitteln Sie die Interferenzordnungen a) des zentralen Flecks und b) des 6. dunklen Ringes (vom Zentrum aus gez¨ ahlt). 11.5 Die Brechzahl eines Gases soll mit Hilfe eines Michelson-Interferometers bestimmt werden. Hierzu befindet sich in einem Arm des Interferometers eine evakuierte Zelle der L¨ ange l, in die vorsichtig das zu messende Gas eingelassen wird. a) Stellen Sie eine Gleichung zur Berechnung der Brechzahl n (bei Atmosph¨ arendruck) auf. Parameter: l, λ sowie N = Zahl der an einer Fotodiode vorbeilaufenden Interferenzmaxima. b) Wie viele Interferenzstreifen werden bei Kohlendioxid (n = 1,00045 bei p = 1013 mbar) registriert, wenn λ = 632,8 nm und l = 10 cm? 11.6 Ein Michelson-Interferometer arbeitet mit dem Licht eines He-Ne-Lasers (λ = 632,8 nm) und ist f¨ ur einen maximalen Gangunterschied von 20 µm justiert. Welchen Winkel schließt a) der erste beobachtbare Ring und b) der zehnte Ring mit der optischen Achse ein? (Z¨ ahlung vom Zentrum aus.) 11.7 Um die G¨ ute einer polierten Oberfl¨ ache zu pr¨ ufen, setzt man sie an die Stelle eines der Spiegel im Michelson-Interferometer. Mit He-Ne-Licht wird ein Interferenzmuster registriert, das u ache eine Streifenverzerrung von weniger ¨ ber die gesamte Oberfl¨ als ein Viertel des Streifenabstandes aufweist. Wie groß ist die maximale Tiefe von Polierfehlern? 11.8 Der Laserstrahl eines He-Ne-Lasers (λ = 632,8 nm, Leistung P = 1 mW, Strahldurchmesser = 1 mm) trifft unter 45◦ auf eine d¨ unne Schicht der Brechzahl 1,414 und wird mit einem Reflexionsfaktor |r| = 0,280 (mehrfach) reflektiert. Berechnen Sie: a) die Amplitude des E-Vektors der einfallenden Welle, b) den Austrittswinkel des gebrochenen Strahls, c) die Gr¨ oße von r
und tt
mit Hilfe der Stokes-Beziehungen, d) die Amplituden der E-Vektoren der ersten drei reflektierten Strahlen sowie den zugeh¨ origen Reflexionsgrad,

11.9 Nutzbarer Spektralbereich

335

e) analog zu d) die Amplituden und den Transmissionsgrad der ersten zwei durchgehenden Strahlen, f) die minimale Dicke der Schicht, bei der sich die reflektierten Strahlen ausl¨ oschen, wenn sie mit einer Linse in einem Punkt fokussiert werden. 11.9 Licht trifft nahezu senkrecht auf eine Glasplatte (n = 1,52). a) Zeigen Sie mit Hilfe von (10.28), dass die Reflexions- und Transmissionsfaktoren der jeweils ersten drei reflektierten und durchgehenden Wellen gegeben sind durch 1.

2.

3.

r

0,206

0,198

0,0084

t

0,957

0,041

0,0017

b) Zeigen Sie weiterhin, dass der Streifenkontrast (s. auch Aufg. 10.4) der beiden ersten reflektierten Strahlen bei 0,999, der der durchgehenden hingegen nur bei 0,085 liegt. 11.10 Die Platten eines Perot-Fabry-Interferometers haben einen Reflexionsfaktor von r = 0,91. Es soll zur Trennung des Hα -Dubletts (λ = 656,3 nm, ∆λ = 136 pm) des Wasserstoffspektrums verwendet werden. Wie groß m¨ ussen Aufl¨ osungsverm¨ ogen und Plattenabstand mindestens sein? 11.11 Die Modenstruktur eines He-Ne-Lasers (λ = 632,8 nm) soll mit einem Fabry-Perot aufgel¨ ost werden. Der Frequenzabstand der Moden betr¨ agt 150 MHz. Die Platten haben einen Reflexionsgrad von 0,999 und sind durch einen Luftspalt getrennt. a) Welche Finesse muss das Instrument haben? b) Welches Aufl¨ osungsverm¨ ogen ist erforderlich? c) Wie w¨ ahlen Sie den Plattenabstand? d) Wie groß sind dann nutzbarer Spektralbereich und minimal aufl¨ osbares Wellenl¨ angenintervall? 11.12 Ein Fabry-Perot-Etalon besteht aus einer Planplatte hochbrechenden Materials (n = 4,5) mit 2 cm Dicke. Die verspiegelten Oberfl¨ achen haben einen Reflexionsgrad von 0,9. Bestimmen Sie f¨ ur einen Wellenl¨ angenbereich um 545 nm: a) die h¨ ochste Interferenzordnung, die in dem Interferenzmuster auftritt, b) das Verh¨ altnis Tmax /Tmin , also von maximalem zu minimalem Transmissionsgrad, c) das Aufl¨ osungsverm¨ ogen. 11.13 Ein Wellenl¨ angendublett bei λ = 490 nm ist um ∆λ = 5,5 pm getrennt und wird mit einem Fabry-Perot untersucht, dessen Plattenabstand variiert werden kann. Bei welchem Abstand f¨ allt die m-te Ordnung der einen Komponente mit der m + 1-ten Ordnung der anderen zusammen? 11.14 Der Reflexionsgrad eines Fabry-Perot betr¨ agt 60%. Ermitteln Sie das Verh¨ altnis von maximal zu minimal durchgelassener Intensit¨ at. 11.15 Weißes Licht passiert ein Fabry-Perot-Interferometer der in Abb. 11.9 b gegebenen Bauart und wird mit einem Spektrometer nachgewiesen. Man beobachtet eine Reihe von hellen Spektralbanden. Wird zur Kalibrierung gleichzeitig das Licht einer HgLampe in das Spektrometer eingestrahlt, so registriert man zwischen der violetten

336

11 Optische Interferometrie (435,8 nm) und gr¨ unen (546,1 nm) Linie des Quecksilbers 150 helle Banden. Welchen Plattenabstand hat das Etalon?

¨ 11.16 Wenden Sie die Uberlegungen, die zur Berechnung der Finesse eines Fabry-Perot gef¨ uhrt haben, auf ein Michelson-Interferometer an. Ermitteln Sie mithin die Finesse als Verh¨ altnis von Phasenwinkel-Abstand benachbarter Interenzmaxima zu Halbwertsbreite. 11.17 Betrachten Sie ein Mach-Zehnder-Interferometer (s. Abb. 11.5), dessen Strahlenteiler und Spiegel S3 einen Transmissionsgrad von 80% aufweisen und 20% des Lichtes reflektieren. Vergleichen Sie den Streifenkontrast der beiden (eingezeichneten) waagrecht austretenden Strahlen (1 + 2) mit dem von zwei Strahlen, die aus dem Spiegel S3 nach oben – also parallel zu dem einfallenden Strahl 2 – austreten.

12 Koh¨ arenz

Einleitung Koh¨ arenz beschreibt die zeitliche und r¨ aumliche Korrelation der Phasen von Wellen. Teilwellen mit zuf¨ allig schwankenden Phasenbeziehungen sind inkoh¨arent, solche mit zeitunabh¨ angigen Phasendifferenzen koh¨arent. Koh¨arenz als Voraussetzung f¨ ur visuell beobachtbare station¨ are Interferenzmuster wurde bei der Lichtinterferenz in Kap. 10 diskutiert. In Kapitel 9 wurde der Einfluss der Koh¨arenz auf die Intensit¨ at interferierender Wellen behandelt. Wir sahen, dass sich bei konstruktiver Interferenz koh¨ arenter Wellen die Amplituden addieren, bei inkoh¨arenten Wellen hingegen die Intensit¨ aten. In diesem Kapitel wird die Koh¨arenz genauer untersucht und unterschieden zwischen der zeitlichen oder longitudinalen Koh¨arenz, die die Spektralverteilung der Lichtquelle beschreibt, sowie der r¨aumlichen oder lateralen Koh¨arenz, die mit der Gr¨oße der Quelle zusammenh¨angt. Außerdem wird mit dem Korrelationsgrad ein quantitatives Maß f¨ ur die in optischen Interferenzexperimenten immer gegebene Teilkoh¨arenz gefunden. Wir beginnen mit einer kurzen Behandlung der Fourier-Methoden, die in diesem Kapitel ben¨ otigt werden.

12.1 Fourier-Reihen In Kapitel 9 wurde gezeigt, dass die Addition von beliebig vielen harmonischen Wellen gleicher Frequenz aber unterschiedlicher Amplituden und Nullphasenwinkel wieder eine harmonische Welle derselben Frequenz ergibt. Unterscheiden sich

338

12 Koh¨ arenz

die Wellen außerdem in der Frequenz, so entsteht (bei rationalen Frequenzverh¨altnissen) eine periodische aber anharmonische Welle beliebiger Form f (t), wie z.B. die in Abb. 12.1 dargestellte. Die Fourier-Synthese harmonischer Wellen erzeugt eine beliebige Vielfalt von periodischen Wellenformen. Der umgekehrte Prozess der Fourier-Analyse zerlegt einen periodischen Vorgang in seine harmonischen Komponenten.

Abb. 12.1. Anharmonische periodische Funktion mit der Periodendauer T

Die Zerlegung einer periodischen anharmonischen Welle in eine Reihe von harmonischen Wellen setzt die Erf¨ ullung der Dirichletschen Bedingung voraus: Ist f (t) eine periodische Funktion der Periodendauer T , die in ihrem Periodenintervall st¨ uckweise monoton und beschr¨ ankt ist, so konvergiert ihre Fourier-Reihe ∞

fr (t) = Fourier-Reihe

a0  (an cos nωt + bn sin nωt) + 2 n=1

(12.1)

∞

a0  cn sin(nωt + ϕn ) + fr (t) = 2 n=1

(12.2)

(t−0) f¨ ur jedes reelle t gegen f (t+0)+f . Die Konvergenz erfolgt im quadratischen Mittel, 2 d.h. der mittlere quadratische Fehler wird minimiert und f¨ ur N → ∞ gilt:



T

|f (t) − fN (t)|2 dt → 0 wobei man fN = bezeichnet.

a0 2

+

%N n=1

(12.3)

0

cn sin(nωt + ϕn ) als N -te Partialsumme der Fourier-Reihe

Die Funktion f (t) hat die Periodendauer T und damit die Kreisfrequenz ω = 2π/T , (12.1) beschreibt das Auftreten von Teilwellen der Kreisfrequenzen ωn = nω mit den Amplituden an bzw. bn . Eine gleichwertige Beschreibung (12.2) ist

12.1 Fourier-Reihen

339

die Verwendung jeweils einer – dann aber phasenverschobenen – Teilwelle mit ωn und der Amplitude cn . Die Verkn¨ upfung der beiden Darstellungen erfolgt u ¨ber (s. (12.12)): an (12.4) cn = a2n + b2n und tan ϕn = bn Die Fourier-Koeffizienten an lassen sich aus (12.1) nach Multiplikation mit cos und Integration u ¨ber eine Periodendauer T berechnen. Wir geben zun¨achst nur das Ergebnis an und werden es sp¨ ater u ¨ ber die komplexen Fourier-Koeffizienten beweisen: 2 an = T



T

f (t) cos nωt dt

(12.5)

f (t) dt

(12.6)

f (t) sin nωt dt

(12.7)

0

mit dem Spezialfall 2 a0 = T



T 0

und entsprechend f¨ ur die bn bn =

2 T



T 0

Einfacher und u ¨bersichtlicher kann die Fourier-Reihe in komplexer Notation – unter Verwendung von (12.1) und der Eulerschen Formel – angegeben werden. Wir schreiben f¨ ur die komplexe Fourier-Reihe f (t) =

komplexe Fourier-Reihe

∞ 

F n ejnωt

(12.8)

n=−∞

und beachten, dass f¨ ur die komplexen Fourierkoeffizienten gelten muss: F −n = F ∗+n , damit f (t) reell ist. Zur Bestimmung der F n verwenden wir die Orthogonalit¨atsrelation 

T

ej(m−n)ωt = δmn T

(12.9)

0

mit dem Kronecker-Symbol

δmn

⎧ ⎨0 f¨ ur m = n = ⎩ 1 f¨ ur m = n

(12.10)

340

12 Koh¨ arenz

Im Zeigerdiagramm ist die Orthogonalit¨ atsbeziehung (12.9) unmittelbar anschaulich, f¨ ur m = n rotiert der ej(m−n)ωt zugeordnete Zeiger der L¨ange 1 in einer Periode gerade (m − n)-mal, der Mittelwert verschwindet. F¨ ur m = n steht der Zeiger bei dem Wert 1 still und die Integration u ¨ber eine Periode ergibt T . uhrt Multiplikation von (12.8) mit e−jmωt und Integration u ¨ber eine Periode f¨ auf 

T

f (t) e−jmωt dt =

0



T

F n ej(n−m)ωt dt = F n T δnm 0

und mit (12.10) auf die komplexen Fourier-Koeffizienten

F n = An + j Bn =

1 T



T

∞ 

f (t) e−jnωt dt

0 n=−∞

(12.11) F¨ ur die Umrechnung zwischen den Koeffizienten der komplexen und reellen Darstellung der Fourier-Reihen gelten die Beziehungen: reelle und komplexe Fourier-Koeffizienten an = 2An bn = −2Bn

cn = 2Fn = 2 A2n + Bn2 = a2n + b2n An an =− tan ϕ = bn Bn

(12.12)

Beweis: Der Vergleich von (12.1) und (12.8) liefert f¨ ur die Reihenglieder mit Index n (bzw. ±n) unter Verwendung von F n = An + jBn , F −n = F ∗n = An − jBn sowie j = −1/j: an cos nωt + bn sin nωt = (An + jBn ) ejnωt + (An − jBn ) e−jnωt = 2An cos nωt − 2Bn sin nωt und damit an = 2An und bn = −2Bn . Weiterhin folgt aus (12.2) und (12.8) f¨ ur t = 0 mit F n = An + jBn = Fn ejϕ˜n :   cn sin ϕn = F n + F −n = Fn ejϕ˜n + e−jϕ˜n = 2Fn cos ϕ ˜n = 2Fn sin (ϕ ˜n + π/2) ,

12.1 Fourier-Reihen

341

Abb. 12.2. Zeigerdiagramm der komplexen und reellen Fourierkoeffizienten. Da in (12.2) die Sinusschreibweise verwendet wurde, stimmen die Phasenwinkel von cn und F n nicht u ¨ berein; es gilt ϕn = ϕ˜n + π/2

 Abb. 12.3. Die Rechteckfunktion rect

t τ0

 , ein Rechteckpuls der Dauer τ0

342

12 Koh¨ arenz

also ϕn = ϕ ˜n + π/2 und cn = 2Fn . Das Zeigerdiagramm (Abb. 12.2) veranschaulicht die Ergebnisse und zeigt die Berechnung die Phasenwinkels.

Als Beispiel betrachten wir die Fourier-Analyse einer Rechteckwelle (s. Abb. 12.4). Zur vereinfachten Beschreibung f¨ uhren wir zun¨achst mit Abb. 12.3) die ⎧ ⎪0 f¨ ur |t| > τ0 /2 ⎪   ⎪ ⎨ t Rechteckfunktion = 1 rect f¨ ur |t| < τ0 /2 (12.13) Pulsdauer τ0 ⎪ τ0 ⎪ ⎪ ⎩ 1/2 f¨ ur |t| = τ0 /2 ein und schreiben damit die Rechteckwelle mit der Periodendauer T = 2τ0 (und der Amplitude 1) in der Form:   t − nT rect f (t) = T /2 n=−∞ ∞ 

(12.14)

Abb. 12.4. Rechteckwelle der Periodendauer T , Pulsbreite τ0 = T /2 und Amplitude fˆ

Da f (t) eine gerade Funktion ist, erwarten wir, dass in (12.1) die bn -Terme ver¨ schwinden. Wir berechnen – zur Ubung – die komplexen Fourier-Koeffizienten F n , (obwohl bei dieser einfachen Funktion die reellen an einfacher direkt zu berechnen w¨ aren). Aus (12.11) folgt (bei Verschiebung der Integrationsgrenzen): 1 Fn = T



T /2

f (t) e −T /2

−jnωt

1 dt = T



T /4 −T /4

e−jnωt dt = −

   π T 1 2 sin nω = sin n = An = nωT 4 nπ 2

 1  −jnωT /4 − ejnωT /4 e jnωt

12.2 Fourier-Integrale

343

Hieraus erhalten wir mit (12.12) die reellen Fourierkoeffizienten an =

 π 2 sin n nπ 2

mit

a0 = 1, a1 =

2 21 , a2 = 0, a3 = − ,··· π π3

(12.15)

Damit gilt f¨ ur die Fourier-Entwicklung der Rechteckwelle der Amplitude fˆ   2 1 1 1 1 ˆ + cos ωt − cos 3ωt + cos 5ωt − cos 7ωt + . . . f (t) = f 2 π 3 5 7 (12.16) 

Die Reihe konvergiert aufgrund der Koeffizienten langsam, was die Abb. 12.5 ¨ best¨ atigt. Abbildung 12.5 zeigt das Auftreten von Uberschwingern“, der soge” nannten Gibbsschen T¨ urmchen, die typischerweise an Sprungstellen einer Funktion auftreten und auch f¨ ur N → ∞ nicht verschwinden.

12.2 Fourier-Integrale Bei der Untersuchung nichtperiodischer Funktionen, die wir als periodische Funktion mit Periodendauer T → ∞ betrachten k¨onnen, l¨asst sich die Fourier-Reihe (12.8) zu einem Fourier-Integral verallgemeinern:  ∞ 1 F (ω) ejωt dω (12.17) f (t) = 2π −∞ Diese Gleichung besagt, dass ein zeitlich beliebig verlaufender nichtperiodischer ¨ (oder transienter) Vorgang durch Uberlagerung harmonischer Schwingungen beschrieben werden kann, wobei deren komplexe Amplituden F (ω) – also Betrag und Phase – ein kontinuierliches Frequenzspektrum aufweisen. Im Gegensatz hierzu tritt bei periodischen Vorg¨ angen ein diskretes Frequenzspektrum auf (s. ur T → ∞ aus (12.11) f¨ ur die diskreten F n folgen; wir Abb. 12.6). F (ω) muss f¨ erhalten: 1 F n = lim T →∞ T



T /2

f (t) ejn2π·t/T dt −T /2

und beachten, dass dω = 2π/T ein sehr kleines Frequenzintervall darstellt und ω = ndω zu setzen ist. Dann berechnen wir aber mit obigem Integral nur den Amplitudenbeitrag dF des Intervalls dω, d.h.  dω ∞ dF = f (t) e−jωt dt 2π −∞

344

12 Koh¨ arenz

Abb. 12.5. Fourier-Synthese der Rechteckwelle mit Partialsummen fN (t) der FourierReihe f¨ ur a) N = 3, b) N = 11 und c) N = 41

12.2 Fourier-Integrale

345

Abb. 12.6. Frequenzspektren. Die Fourier-Analyse einer periodischen Funktion ergibt Fourier-Koeffizienten cn bei den diskreten Frequenzen fn , w¨ ahrend bei der FourierTransformation einer nicht periodischen Funktion ein kontinuierliches Frequenzspektrum F (ω) auftritt

Mit dF (12.18) dω bezeichnen wir die Fourier-Transformierte von f (t), sie ist mithin als Amplitudendichte zu verstehen. Bei den Fourierreihen hatten wir mit F n die Amplituden selbst berechnet. Originalfunktion f (t) (12.17) und Bildfunktion F (ω) bilden ein Paar von Fourier-Transformierten, was man h¨aufig durch einen Operator F symbolisiert: F (ω) = 2π

 ∞ Fourierf (t) e−jωt dt = F (f (t)) (12.19) F (ω) = Transformation −∞  ∞ inverse 1 F (ω) ejωt dω = F −1 (F (ω)) (12.20) Fourier-Transformation f (t) = 2π −∞ Die obige Fourier-Transformation u uhrt eine zeitabh¨angige Funktion in eine ¨ berf¨ frequenzabh¨ angige, wir transformieren also vom Zeitbereich in den Frequenzbereich. Analog kann man im Ortsbereich – z.B. bei der Untersuchung der optischen Abbildung – f¨ ur eine ortsabh¨ angige Funktion f (x, y, z) eine r¨aumliche Periode uhren, der dann bei der Fourier-Transformierten F (κ) die OrtsLx (Ly , Lz ) einf¨ kreisfrequenz κx = 2π/Lx (κy , κz ) entspricht. Man schreibt also (s. Kap. 25): F (κ) = F (f (x, y, z)) f (x, y, z) = F −1 (F (κ))

(12.21)

346

12 Koh¨ arenz

12.3 Fourier-Analyse endlicher Wellenzu ¨ ge Die Spektralzerlegung einer unendlich langen Sinuswelle ist extrem einfach: Man erh¨ alt einen einzigen Term der reellen Fourier-Reihe, dessen Frequenz mit dem der Welle u oherer Harmonischer verschwinden. Solche un¨bereinstimmt. Terme h¨ begrenzten Sinuswellen sind jedoch eine mathematische Idealisierung, in der Praxis treten immer unperiodische Wellenz¨ uge endlicher Dauer – wie in Abb. 12.9 – auf. Offensichtlich kann diese Welle nicht durch eine einzige Sinuswelle wiedergegeben werden, vielmehr sind zur Wiedergabe zahlreiche harmonische Wellen unterschiedlicher Frequenz erforderlich, die sich im Bereich des Wellenzuges u ¨ berwiegend konstruktiv u ¨ berlagern und außerhalb des Intervalls destruktiv interferieren. Offenbar f¨ uhrt das Ein- und Ausschalten der Welle zu zahlreichen zus¨ atzlichen spektralen Komponenten, die aufgrund der Fourier-Transformation ¨ kontinuierlich verteilt sind. Diese Uberlegungen gelten f¨ ur jeden endlichen Wellenzug beliebiger Form. In Kapitel 12.1 hatten wir die Fourier-Zerlegung einer Rechteckwelle, einer periodischen Folge von Rechteckpulsen, analysiert. Nun wollen wir das Frequenzspektrum eines einzelnen Rechteckpulses der Dauer τ0 (s. Abb. 12.3) berechnen und erhalten aus (12.19) – unter Verwendung der rect-Funktion (12.13):    τ0 /2 t F (ω) = F (rect(t/τ0 )) = rect e−jωt dt e−jωt dt = τ 0 −∞ −τ0 /2  ωτ  2 e−jωτ0 /2 − ejωτ0 /2 0 = sin (12.22) =− jω ω 2 

∞

Zur u uhren wir die in der Optik (z.B. bei der Spalt¨ bersichtlichen Beschreibung f¨ beugung, s. Kap. 16) h¨ aufig ben¨ otigte sinc-Funktion (s. Abb. 16.2) ein: sinc-Funktion

sinc x =

sin x x

(12.23)

Hiermit wird die Fouriertransformierte des Rechteckpulses der Dauer τ0 :    ωτ  t 0 ) = τ0 sinc F (rect (12.24) τ0 2 Dieses Frequenzspektrum ist in Abb. 12.7 f¨ ur zwei verschiedene Pulsdauern dargestellt. Man erkennt, dass sich die Breite des zentralen Maximums des Spektrums und die Pulsdauer τ0 reziprok zueinander verhalten. Hierbei ist die Fl¨ache unter der F (ω)-Kurve – bei konstanter Pulsh¨ ohe – unabh¨angig von der Pulsdauer. Um dies zu zeigen, entnehmen wir einer Integraltabelle das Integral  ∞ sin ax π dx = f¨ ur (a > 0) (12.25) x 2 0

12.3 Fourier-Analyse endlicher Wellenz¨ uge

347

Abb. 12.7. Fourier-Transformierte von Rechteckpulsen (s.(12.24)), der Zeitdauern τ01 und τ02 mit τ02 /τ01 = 5. Bei ω = 0 ist F (0) = τ0 , der erste Nulldurchgang liegt bei ω1 = 2π/τ0 . F¨ ur τ0 → ∞ gilt: F (ω) → ∞ bei ω = 0 und F (ω) → 0 bei ω = 0, die Funktion zeigt das Verhalten der δ-Funktion

348

12 Koh¨ arenz

und kommen f¨ ur (12.24) zu dem Ergebnis  ∞  ωτ  0 sinc dω = 2π τ0 2 −∞

(12.26)

  F¨ ur einen sehr langen Puls mit τ0 → ∞ wird f (t) = rect τt0 = 1 und F (ω) wird extrem schmal, es verschwindet bei ω = 0 und geht bei ω = 0 – wegen sinc (0) = urlich nur die Frequenz 1 – mit τ0 gegen ∞. In einem reinen Gleichsignal kann nat¨ ω = 0 auftreten! Damit muss die Amplitudendichte F (0) unendlich groß werden. Zur Beschreibung dieses Ergebnisses verwendet man die Deltafunktion δ(ω). Es handelt sich hier um keine Funktion im klassischen Sinne, sondern eine Distribution, die sich als Grenzwert verschiedener klassischer Funktionen darstellen l¨asst. Ausgehend von (12.22) und (12.24) kommen wir mit τ0 → ∞ zu dem Ergebnis (s. Abb. 12.8):  ∞ 1 δ(ω) = e−jωt dt 2π −∞ ⎧ Deltafunktion2 ⎨0 f¨   ur ω = 0 ωτ0 τ0 = lim sinc = (12.27) τ0 →∞ 2π ⎩ 2 ∞ f¨ ur ω = 0 Durch den Vorfaktor haben wir mit Hilfe von (12.26) die Normierung der δFunktion erreicht:  ∞ Normierung Deltafunktion δ(ω) dω = 1 (12.28) −∞

Mit Hilfe der δ-Funktion k¨ onnen wir jetzt die Fourier-Transformation der Konstante f (t) = 1, eines Rechteckpulses unendlicher Dauer, einfach ausdr¨ ucken: F (1) = 2πδ(ω)

(12.29)

Die δ-Funktion l¨ asst sich als Grenzwert vieler anderer Funktionen darstellen; man verifiziert leicht, dass f¨ ur einen Rechteckpuls der Dauer τ0 und H¨ohe 1/τ0 im Zeitbereich gilt:   1 t (12.30) δ(t) = lim rect τ0 →0 τ0 τ0 denn f¨ ur τ0 → 0 geht die H¨ ohe des Pulses gegen ∞, w¨ahrend seine Breite gegen null geht, so dass die Fl¨ ache als H¨ ohe·Breite konstant gleich 1 bleibt. 2

Es gilt = δ(−ω), so dass man meist den positiven Exponenten verwendet: δ(ω) =  ∞ δ(ω) jωt 1 dt. 2π −∞ e

12.3 Fourier-Analyse endlicher Wellenz¨ uge

349

Abb. 12.8. Symbolische der δ-Funktion δ(ω
−ω). (1) steht f¨ ur die St¨ arke“  ∞ Darstellung ”
der δ-Funktion, d.h. −∞ δ(ω − ω) dω
= 1

Nach dieser Untersuchung des extrem langen Pulses gehen wir nunmehr n¨aher auf die Fourier-Transformierte (12.24) von Pulsen endlicher Dauer ein. In Abb. 16.2 sind die sinc (β)-Funktion und sinc2 (β), das normierte Amplitudenund Leistungsspektrum eines Rechteckpulses, dargestellt. Man sieht (vergl. auch Abb. 12.7 u. 12.10), dass das Leistungsspektrum im Wesentlichen durch Frequenzen um das Hauptmaximum bei ω = 0 bestimmt wird, obwohl durchaus auch h¨ ohere Frequenzen einen Beitrag liefern. Die Breite des Hauptmaximums kann als Abstand ∆β = 2π der ihm benachbarten Nulldurchg¨ange definiert werden; die entsprechende Frequenzbreite ist dann ∆ω = 4π/τ0 . Meist verwendet man jedoch zur Kennzeichnung der Frequenzbreite die Halbwertsbreite ∆ω1/2 ≈ 2π/τ0 bzw. ∆f = ∆ω1/2 /2π, die (Frequenz-)Bandbreite, bei der das Leistungsspektrum auf die H¨ alfte des Maximalwertes absinkt3 . Dann gilt: Breite ∆ω1/2 und Dauer τ0 eines Wellenzuges sind reziprok; je k¨ urzer ein Wellenzug ist, desto gr¨ oßer ist die zu seiner Darstellung erforderliche Frequenzbreite. Dies ist die Grundlage der Unsch¨arferelation der Signaltheorie Unsch¨arferelation

∆ω1/2 · τ0 ≈ 2π

oder

∆f · τ0 ≈ 1

(12.31)

Das Produkt aus Frequenzbandbreite und Zeitdauer eines Signals betr¨agt etwa 1. Multiplikation mit der Planckschen Konstante h ergibt mit ∆t = τ0 und ∆W = h∆f die bekannte Heisenbergsche 3

√ Die Amplitude hat dann auf 1/ 2 ≈ 0,7= ˆ − 3 dB abgenommen.

350

12 Koh¨ arenz

∆W · ∆t ≈ h

Energie-Zeit-Unsch¨arferelation

(12.32)

Das Produkt aus Energie- und Zeitunsch¨ arfe ist etwa gleich dem Planckschen Wirkungsquantum.

Abb. 12.9. Harmonischer Wellenzug endlicher Dauer τ0 = 7 T /2 mit der Periodendauer T = 2π/ω0 . Die r¨ aumliche Ausdehnung des Pulses ist die Koh¨ arenzl¨ ange lt = c τ0

Ein weiteres wichtiges Beispiel zur Unsch¨ arferelation und Lichtinterferenz ist das Verhalten eines Kosinuswellenzuges (s. Abb. 12.9) der Dauer τ0 und der Periodendauer T (mit ω0 = 2π/T ). Mit Hilfe der Rechteckfunktion k¨onnen wir den Wellenzug einfach beschreiben:   t f (t) = cos ω0 t · rect (12.33) τ0   Einsetzen in (12.19) ergibt (mit cos ω0 t = 12 ejω0 t + e−jω0 t zun¨achst f¨ ur den Term mit dem positiven Exponenten  F + (ω) =

∞

−∞

f+ (t) e

−jωt

1 dt = 2



τ0 /2

ej(ω0 −ω)t dt

−τ0 /2

  τ0 ω − ω0 ej(ω0 −ω)τ0 /2 − e−j(ω0 −ω)τ0 /2 = sinc τ0 = 2j(ω0 − ω) 2 2 F¨ ur den negativen Exponenten erh¨ alt man analog F − mit positivem Vorzeichen im Argument der sinc-Funktion und damit insgesamt f¨ ur die FourierTransformierte des endlichen Kosinuszuges:

12.3 Fourier-Analyse endlicher Wellenz¨ uge

F (ω) = F + + F −

     ω + ω0 τ0 ω − ω0 = sinc τ0 + sinc τ0 2 2 2

351

(12.34)

In Abb. 12.10 a ist das Amplitudenspektrum F (ω) f¨ ur einen extrem kurzen Puls der Dauer einer halben Periode (τ0 = T /2) dargestellt, in Abb. 12.10 b findet man F (ω) und das der Intensit¨ at proportionale Leistungsspektrum |F (ω)|2 des Wellenzuges der Abb. 12.9 mit τ0 = 7 T /2. Bei monochromatischem“ Licht eines ” einfachen Dauerstrich-Lasers w¨ are τ0 /T  105 . F¨ ur extrem kurze Laserpulse von weniger als 10 fs Dauer, die man durch mode locking“ erzeugen kann, gilt ” hingegen τ0 /T ≈ 5. Wir sehen in Abb. 12.10 a, dass bei sehr kurzen Pulsen die Beitr¨ age der beiden Summanden von (12.34), der nach ±ω0 verschobenen sinc-Funktionen, stark u ¨ berlappen und zu einer sehr breiten Spektralverteilung f¨ uhren, die der des Rechteckpulses ¨ ahnelt. Der Abstand der Nulldurchg¨ange des zentralen Maximums betr¨ agt hier ∆ω0 = 6π/τ0 = 6ω0 . Die große Bandbreite, die man mit sehr kurzen Pulsen (z.B. 5 fs beim Titan-Saphir-Laser) erreichen kann, f¨ uhrt dann zu weißen Lichtblitzen“. F¨ ur lange Wellenz¨ uge (mit τ0  T ” ¨ so dass das Spektrum auf der bzw. ω0 τ0  1) verschwindet die Uberlappung, positiven ω-Achse allein durch den ersten Summanden und auf der negativen Achse durch den zweiten Term bestimmt wird. Dann erh¨alt man bei ω = ±ω0 – ur ω > 0) wegen sinc(0) = 1 – den Maximalwert τ0 /2; Nulldurchg¨ange treten (f¨ 0 bei ω−ω τ = nπ auf, also f¨ u r: 0 2 ω = ω0 ± n

2π τ0

Wir erhalten im Wesentlichen das vom Einzelpuls bekannte Verhalten, mit dem Unterschied, dass die Mittenfrequenz nach ±ω0 verschoben ist und das Hauptmaximum bei gleicher Pulsl¨ ange nur halb so hoch ist, da die integrale Amplitude auf zwei Maxima aufgeteilt ist. Die Bandbreite von F+ und F− stimmt mit F (ω) (12.24) des Einzelpulses u ¨ berein, so dass wir die Unsch¨arferelation best¨atigt finden. F¨ ur τ0 → ∞ – also einen Kosinus-Wellenzug unendlicher Dauer – wird ∆f = 0, eine einzige Frequenz oder Wellenl¨ ange ist f¨ ur die Darstellung ausreichend. Wir erhalten dann aus (12.34) und (12.27): F (cos ω0 t) = π [δ(ω − ω0 ) + δ(ω + ω0 )]

(12.35)

Exakt monochromatische Wellen sind somit nur bei unendlicher Zeitdauer m¨oglich. Im anderen Grenzfall τ0 → 0, einem δ-Puls, wird die Frequenzbreite ∆f nach (12.31) sehr groß (∆f = 1/τ0 → ∞!). Je sch¨arfer und schm¨aler mithin ein Puls im Zeitbereich ist, desto breiter wird sein Frequenzspektrum (Unsch¨arferelation).

352

12 Koh¨ arenz

Abb. 12.10. Fourier-Transformation von Kosinus-Wellenz¨ ugen der Dauer τ0 . a) Amplitudenspektrum F (ω) f¨ ur einen Kosinuspuls“ der Dauer τ0 = T /2 mit den Einzelbei” ¨ tr¨ agen der sinc-Verteilungen bei ±ω0 . b) Uberh¨ ohtes Amplitudenspektrum 3 · F (ω) und 2 Leistungsspektrum |F (ω)| des Wellenzuges der Abb. 12.9 mit τ0 = 7 T /2 (ω0 τ0 = 7π)

12.4 Zeitliche Koh¨ arenz und nat¨ urliche spektrale Linienbreite

353

12.4 Zeitliche Koh¨ arenz und natu ¨ rliche spektrale Linienbreite Bei Licht gibt es keine exakt monochromatischen Lichtquellen. Monochroma” tisches“ Laserlicht kann (s. Abb. 12.11) als eine Folge von harmonischen Wellenz¨ ugen endlicher L¨ ange, die voneinander durch diskontinuierliche Phasen¨anderungen getrennt sind, beschrieben werden. Diese Phasen¨anderungen sind eine Folge der zuf¨ allig schwankenden Zeitpunkte der Emission von Lichtwellen durch angeregte Atome. Kennzeichnend f¨ ur eine Lichtwelle ist dann die mittlere Zeitdauer der Wellenzuges, die Koh¨arenzzeit τ0 . Aus der Unsch¨arferelation folgt, dass die nat¨ urliche Frequenzbreite einer Spektrallinie umgekehrt proportional zur Koh¨ arenzzeit der Lichtquelle ist. Je gr¨oßer die Koh¨arenzzeit, desto monochromatischer die Quelle. Die L¨ ange eines koh¨arenten Pulses bezeichnet man als Koh¨arenzl¨ange lt , wobei lt = c τ0

(12.36)

Abb. 12.11. Folge von harmonischen Wellenz¨ ugen unterschiedlicher L¨ ange oder Lebensdauer τ . Der gesamte Wellenzug kann durch eine durchschnittliche Lebensdauer τ0 , die Koh¨ arenzzeit, gekennzeichnet werden

Wegen der Unsch¨ arferelation (12.31) und ∆f = −c/λ2 ∆λ (da f = c/λ) gilt dann: lt ≈

Koh¨arenzl¨ange

λ2 ∆λ

(12.37)

und damit f¨ ur die spektrale Linienbreite ∆λ ≈

λ2 λ2 = lt cτ0

(12.38)

Wir haben hierdurch die Linienbreite ∆λ als Folge der Frequenz-Zeit-Unsch¨arferelation erkl¨ art. Sie l¨ asst sich jedoch auch mit Hilfe der Heisenbergschen

354

12 Koh¨ arenz

Orts-Impuls-Unsch¨arferelation

∆x · ∆px ≈ h

(12.39)

begr¨ unden. Repr¨ asentiert der Wellenzug ein Photon, so ist es mit der Ortsunsch¨ arfe ∆x ≈ lt lokalisiert, dem Photonenimpuls px = h/λ = hf /c ist eine Unsch¨ arfe ∆px = λh2 ∆λ zuzuordnen. Mit (12.39) ergibt sich hieraus (12.38). Mit Hilfe der Messung der spektralen Linienbreite lassen sich somit mittlere Koh¨ arenzzeit und Koh¨ arenzl¨ ange absch¨ atzen. Weißes Licht mit einem Spektralbereich von ca. 400 bis 700 nm hat eine Spektralbreite von ∆λ ≈ 300 nm. Mit einer mittleren Wellenl¨ ange von λ = 550 nm folgt dann aus (12.37) λ2 5502 nm2 = ≈ 1 µm ≈ 2λ ∆λ 300 nm Die Koh¨ arenzl¨ange betr¨ agt mithin nur etwa 2 Wellenl¨angen des gr¨ unen Lichtes von 550 nm. Hiermit wird verst¨ andlich, dass bei weißem Licht Interferenzstreifen schwierig zu beobachten sind, da die Gangunterschiede der interferierenden Wellen nicht gr¨ oßer als die (extrem kleine) Koh¨arenzl¨ange sein d¨ urfen. Gasentladungslampen (z.B. Na- oder Hg-Lampen) sind wesentlich monochromatischer und somit koh¨ arenter. So hat z.B. die gr¨ une Hg-Linie bei 546 nm (bei niedrigen Gasdr¨ ucken) eine Linienbreite von 25 pm, woraus eine Koh¨arenzl¨ange von 1,2 cm folgt. Das fr¨ uher f¨ ur die Meterdefinition verwendete orange Licht (λ = 606 nm) des Isotops Krypton-86 hat lediglich eine Linienbreite von ∆λ = 0,47 pm und damit eine Koh¨ arenzl¨ ange von etwa 80 cm. Laserstrahlung u ¨ bertrifft diese Werte bei weitem, so weisen z.B. Standard-CO2 -Laser bei der infraroten Wellenl¨ange von 10,6 µm Linienbreiten von 10 fm und dementsprechend Koh¨arenzl¨angen von u ¨ber 10 km auf! Stabilisierte He-Ne-Laser erreichen Hunderte von Kilometern! Leider treten bei einfachen He-Ne-Lasern, wie sie z.B. in Vorlesungen und Praktika eingesetzt werden, meist nur Koh¨ arenzl¨ angen auf, die etwa gleich der L¨ange des Resonators sind, da die L¨ ange aufgrund von Temperatur¨anderungen und Schwingungen der Endspiegel schwankt, so dass Frequenz¨anderungen die Koh¨arenzl¨ange begrenzen. Deshalb muss bei Verwendung dieser Laser – z.B. in der Holografie – auf ann¨ ahernd gleiche optische Wege der interferierenden Teilstrahlen geachtet werden. lt ≈

12.5 Teilkoh¨ arenz Man bezeichnet, wie bereits erw¨ ahnt, zwei Teilwellen als koh¨arent, wenn sie eine zeitlich konstante Phasendifferenz aufweisen. In der Praxis kann diese Bedingung nur n¨ aherungsweise erf¨ ullt werden, wir sprechen dann von Teilkoh¨arenz, die im Folgenden genauer definiert wird. Im Beobachtungspunkt P der Abb. 12.12 wollen wir die Interferenz von zwei ebenen Teilwellen beobachten, die aus derselben

12.5 Teilkoh¨ arenz

355

Quelle Q (z.B. Laser) stammen, aber unterschiedliche optische Wege zur¨ uckgelegt haben. Die beiden Wellen k¨ onnen durch  E 1 (r, t) = Eˆ1 ej(ωt−k1 ·r+ϕ1 )  E (r, t) = Eˆ2 ej(ωt−k2 ·r+ϕ2 )

(12.40)

2

beschrieben werden. Legt die untere Welle 2 einen k¨ urzeren Weg zur¨ uck, so eilt sie der oberen Welle um einen der Laufzeit τ entsprechenden Phasenwinkel δ = ωτ vor und wir erhalten f¨ ur den – an einem festen Ort interessierenden – zeitabh¨angigen Anteil der Feldst¨ arken: ˆ1 ejωt E1 = E ˆ2 ejω(t+τ ) E =E 2

Abb. 12.12. Interferenz im Punkt P von zwei Wellen aus einer Quelle Q, die unterschiedliche optische Wege zur¨ ucklegen. Die Wellen werden bei Q1 und Q2 durch verschiedene Weisen umgelenkt, z.B. durch Reflexion, Brechung oder Beugung

Damit wird die Feldst¨ arke im Punkt P : E P = E 1 +E 2 und die mittlere Intensit¨at IP : 1 1 εc E P E ∗P = εc (E 1 + E 2 ) (E ∗1 + E ∗2 ) 2 2 1 = εc (|E 1 |2 + |E 2 |2 + E 1 E ∗2 + E ∗1 E 2 ) 2

IP =

(12.41)

Wegen E 1 E ∗2 + E ∗1 E 2 = 2Re(E 1 E ∗2 ) gilt dann:   IP = I1 + I2 + εc Re E 1 E ∗2

(12.42)

356

12 Koh¨ arenz

Hierbei stehen I1 , I2 f¨ ur die Intensit¨ aten der Einzelstrahlen, der dritte Term beschreibt die Interferenz. Außerdem haben wir gleiche Polarisation vorausgesetzt und in (12.41) mit skalaren Feldern gerechnet. Wir f¨ uhren nunmehr die Korrelationsfunktion Γ ein: 1 KorrelationsΓ 12 (τ ) = E 1 (t) E ∗2 (t + τ ) = 5 funktion T

T /2 

E 1 (t) E ∗2 (t + τ ) dt

(12.43)

−T /2

Bei Normierung auf die Effektivwerte der Felder erhalten wir f¨ ur die normierte Korrelationsfunktion oder den Korrelationsgrad

Γ 12 (τ ) Γ 12 (τ ) γ 12 (τ ) = = εc √ 2 I1 I2 Γ11 (0) Γ22 (0)

(12.44)

Damit l¨ asst sich die Intensit¨ at6 im Punkt P (12.42) durch den Koh¨arenzgrad ausdr¨ ucken   Intensit¨at IP = I1 + I2 + 2 I1 I2 Re γ 12 (τ ) (12.45) Zweistrahlinterferenz Die normierte Korrelationsfunktion γ12 (t), der wesentliche Teil des Interferenzterms, ist abh¨angig von der Laufzeitdifferenz τ und damit der Lage des Punktes P . Wir wissen, dass diese Laufzeitunterschiede zur Erzielung einer hohen ussen. F¨ ur E 1 = E 2 Koh¨ arenz klein gegen die mittlere Koh¨ arenzzeit τ0 sein m¨ und τ = 0 ist γ = 1 und die beiden Teilwellen sind – unabh¨angig von der Gr¨oße von τ0 – in Phase. Man hat also immer konstruktive Interferenz. Wir wollen nun – f¨ ur den Spezialfall endlicher harmonischer Wellenz¨ uge – den Zusammenhang zwischen Koh¨ arenzgrad γ12 und der als konstant angenommenen Koh¨ arenzzeit τ0 herleiten. Hierzu betrachten wir in Abb. 12.13 a einen Wellenzug konstanter Amplitude, der sich nach der Zeit τ0 jeweils sprungartig a¨ndert und hierbei statistisch schwankende Nullphasenwinkel aufweist (Abb. 12.13 b). Er interferiert mit einem um τ (< τ0 ) voreilenden durch Strahlteilung entstandenen Wellenzug, der dementsprechend in Abb. 12.13 a nach links verschoben wurde. Wir berechnen zun¨ achst den Integrand von (12.43): ˆ ejωt E ˆ1 ejϕ(t) E ˆ ∗ e−jω(t+τ ) = E ˆ2 e−jϕ(t+τ ) e−jωτ E 1 (t) E ∗2 (t + τ ) = E 2 1 ˆ1 E ˆ2 e−jωτ ejδ mit δ = ϕ(t) − ϕ(t + τ ) =E 5

6

T ist die Mittelungszeit, f¨ ur die h¨ aufig T = ∞ gew¨ ahlt wird, so dass man f¨ ur die ∞ Korrelationsfunktion c = −∞ E 1 (t)E ∗2 (t + τ ) dt findet. Vgl. auch (10.6). Gleichung (12.45) ist weitergehend, da sie durch Verwendung der Laufzeit τ anstelle der Phasendifferenz δ auch nichtharmonische Wellen einschließt.

12.5 Teilkoh¨ arenz

357

Abb. 12.13. Zum Koh¨ arenzgrad von zwei um τ verschobenen Wellenz¨ ugen. a) Verlauf der Feldst¨ arke. b) Verlauf der Nullphasenwinkel der Bezugswelle und der um τ voreilenden Welle (gestrichelt). c) Phasendifferenz δ der beiden Wellen. In den Intervallen mit δ = 0 der Breite τ0 − τ verlaufen die Wellenz¨ uge gleichphasig

358

12 Koh¨ arenz

Die Nullphasenwinkel ϕ und die Phasendifferenz δ sind nun zeitabh¨angig. Zur Berechnung der Korrelationsfunktion Γ 12 (12.43) ist lediglich u ¨ ber ejδ zu mit−jωτ = konst. Da die tr¨ agen optischen Detektoren u teln, da e ¨ber Zeiten Tm  τ0 – beim menschlichen Auge ist Tm /τ0 ≈ 108 – mitteln, k¨onnen wir ohne Fehler ahlen und damit voraussetzen, dass in (12.43) u Tm = N τ0 w¨ ¨ber eine ganze Zahl N von Wellenz¨ ugen integriert wird. Abb. 12.13 c zeigt, dass im gesamten Integrationsbereich N Intervalle der Breite τ0 − τ existieren, in denen die Teilwellen – trotz unterschiedlicher Nullphasenwinkel – gleichphasig sind und damit ejδ = 1 gilt. In den verbleibenden Intervallen der Breite τ schwankt die Phasendifferenz statistisch, so dass die Mittelung ejδ = 0 ergibt. Im Zeigerdiagramm entspr¨ache dies der Feststellung, dass alle Richtungen gleich h¨aufig vorkommen, so dass die Zeigersumme verschwindet. Wir erhalten damit den Gesamt-Mittelwert ejδ

1 = N τ0



N τ0

0

N e dt = N τ0



τ0 −τ

jδ

1 dt = 0

τ0 − τ τ0

und die Korrelationsfunktion: ˆ2 e−jωτ · τ0 − τ ˆ1 E Γ 12 (τ ) = E τ0 ˆ 2 Eˆ 2 folgt dann der normierte komplexe Koh¨arenzgrad Mit Γ11 (0)Γ22 (0) = E 1 2   Γ (τ ) τ γ 12 (τ ) = 12 = 1− (12.46) e−jωτ ˆ ˆ τ 0 E1 E2 mit dem Realteil, dem reellen Koh¨arenzgrad     |τ | Re γ 12 (τ ) = 1 − cos ωt wobei τ0

0 ≤ |τ | ≤ τ0

(12.47)

Hierbei ist τ die Laufzeit und ωτ = δ die Phasendifferenz der Teilwellen. Der Koh¨ arenzgrad (s. Abb. 12.14 a) erreicht den Maximalwert 1 bei τ = 0 (gleiche optische Wege) und verschwindet f¨ ur |τ | > τ0 . Das bisher Gesagte gilt in gleicher Weise bei einer um τ nacheilenden Welle (d.h. τ < 0), dies wird in (12.47) durch Betragszeichen ber¨ ucksichtigt. Die Amplitude des Kosinusterms in (12.47), also der Betrag des Koh¨arenzgrades       t |τ |   · rect (12.48) γ12 (τ ) = γ 12 (τ ) = 1 − τ0 2τ0 ist in Abb. 12.14 b wiedergegeben, er legt die Extrema des Interferenzterms in (12.45) fest und bestimmt damit den Kontrast der Interferenzstreifen als Funktion der Verschiebung τ . Es l¨ asst sich leicht zeigen, dass der Koh¨ arenzgrad |γ12 | f¨ ur gleiche Intensit¨aten mit der in Kap 10 eingef¨ uhrten Sichtbarkeit oder Kontrastfunktion M u ¨ berein¨ 12.15): stimmt, denn es gilt (s. Ub.

12.5 Teilkoh¨ arenz

359

Abb. 12.14. a) Reeller Koh¨ arenzgrad Re(γ 12 ) von zwei Wellen der Koh¨ arenzzeit τ0 als Funktion der Laufzeitdifferenz. b) Verlauf des Betrages des Koh¨ arenzgrades oder – f¨ ur gleiche Intensit¨ aten – der Kontrastfunktion

√ I1 I2 Imax − Imin =2 γ12 (τ ) (12.49) Imax + Imin I1 + I2 Damit ergeben sich bei der Interferenz f¨ ur Intensit¨at (12.45) und Kontrast folgende Spezialf¨ alle: M=

Diese Ergebnisse best¨ atigen noch einmal (12.49), wonach bei gleicher Intensit¨ at Betrag des Koh¨ arenzgrades und Kontrast identische Maßzahlen f¨ ur die Koh¨ arenz darstellen. Den F¨ allen 2. und 3. entsprechende Interferenzen wurden in den Abb. 10.2 a und 10.2 b dargestellt.

360

12 Koh¨ arenz

1. Inkoh¨ arenz: τ > τ0 und γ12 = 0

f¨ ur gleiche Intensit¨ aten:

Ip = I1 + I2 (Addition der Intensit¨ aten)

Ip = 2I0

M = 0, da Imax = Imin = Ip 2. Koh¨ arenz: τ0 → ∞ bzw. τ
τ0 und γ12 = 1 √ Ip = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos ωτ √ Imax = I1 + I2 + 2 I1 I2 √ Imin = I1 + I2 − 2 I1 I2

Imax = 4I0 Imin = 0 M=

3. Teilkoh¨ arenz: 0 < τ < τ0 , 0 < γ12 < 1 √ Ip = I1 + I2 + 2 I1 I2 Re(γ 12 )

4I0 4I0

=1

Ip = 2I0 (1 + Re(γ 12 )) Imax = 2I0 (1 + γ12 ) Imin = 2I0 (1 − γ12 ) M=

4I0 γ12 4I0

= γ12

Beispiel 12.1 Koh¨ arenzgrad In einem Interferenzexperiment wird ein Lichtstrahl in zwei Teilwellen gleicher Amplitude aufgespalten. Diese Wellen werden nach Durchlaufen unterschiedlicher Wege wieder u ¨berlagert. Das Licht hat die Wellenl¨ange 541 nm mit einer Linienbreite von ∆λ = 0,1 nm, die Wegdifferenz ist 1,5 mm. Bestimmen Sie: Koh¨ arenzl¨ange, reellen Koh¨ arenzgrad und Kontrast der Interferenzstreifen. Wie wird der Kontrast ver¨ andert, wenn der Wegunterschied verdoppelt wird? L¨ osung λ2 = 2,93 mm. Weiterhin ist der Die Koh¨ arenzl¨ ange ist gegeben durch lt = ∆λ τ ∆ Kontrast M = γ12 = 1 − τ0 = 1 − lt = 0,49, wobei das Verh¨altnis von Verz¨ ogerungszeit zu Koh¨ arenzzeit durch das entsprechende Verh¨altnis von Gangunterschied ∆ = c τ zu Koh¨ arenzl¨ ange lt ersetzt wurde. Der reelle Koh¨ arenzgrad ist ∆ = 17,42 · 103 rad, λ also Re(γ 12 ) = −0,30. Bei Verdopplung des Gangunterschiedes wird ∆ > lt und τ > τ0 , die Strahlen sind dann inkoh¨arent und damit wird M = 0. Re(γ 12 ) = γ12 cos ωτ = γ12 cos δ

mit

δ = 2π

12.6 R¨ aumliche Koh¨ arenz

361

12.6 R¨ aumliche Koh¨ arenz Bei der zeitlichen Koh¨ arenz haben wir die Korrelation der Phasen der Teilwellen bei unterschiedlichen Laufzeiten – entsprechend Verschiebungen entlang der Ausbreitungsrichtung der Wellen – untersucht; man spricht hier auch von longitudinaler Koh¨arenz . Der Koh¨ arenzgrad ließ sich mittels des Streifenkontrastes in einem Interferometer mit Amplitudenteilung, wie z.B. dem Michelson-Interferometer, ermitteln. Zeitliche Koh¨ arenz ist ein Maß f¨ ur die durchschnittliche L¨ange der teilkoh¨ arenten Wellenz¨ uge, deren Eigenschaften durch den Mechanismus der Lichterzeugung in der Quelle (Gl¨ uhlicht, Laser) bestimmt werden. Im Gegensatz hierzu betrachten wir bei der r¨aumlichen oder lateralen Koh¨arenz die Phasenkorrelation zwischen r¨ aumlich getrennten Punkten des Strahlenfeldes. R¨aumliche Koh¨arenz ist damit bei Interferometern mit Wellenfrontteilung von Bedeutung, wie z.B. bei der Beugung am Doppelspalt, wo die Sichtbarkeit des Interferenzmusters von dem Koh¨ arenzgrad des einfallenden Wellenfeldes am Ort der beiden Spalte abh¨angt.

Abb. 12.15. Wellenfront- und Amplitudenteilung der Strahlung aus einer Quelle Q und Anordnungen zur Messung der r¨ aumlichen und zeitlichen Koh¨ arenz

Zum Verst¨ andnis der Koh¨ arenzeigenschaften eines Wellenfeldes betrachten wir in Abb. 12.15 eine Lichtquelle Q, deren Licht einerseits einen Doppelspalt durchsetzt und andererseits in einem Michelson-Interferometer untersucht wird. R¨ aumliche Koh¨ arenz von Wellen aus den Punkten A und B liegt immer dann vor, wenn Q eine Punktquelle ist und A und B gleichen Abstand von der Quelle haben, so dass sie auf derselben Wellenfront liegen. Wird man dann auf einem

362

12 Koh¨ arenz

Schirm bei P1 deutliche Interferenz erkennen? Dies h¨angt nat¨ urlich davon ab, ob das von Q entlang der Pfade QAP1 und QBP1 laufende Licht sowohl r¨aumlich als auch zeitlich koh¨ arent ist. Die G¨ ute der zeitlichen Koh¨arenz folgt aus dem Vergleich von Koh¨ arenzl¨ ange und Gangunterschied ∆ = QAP1 − QBP1 der Teilwellen. Wir erhalten das gleiche Ergebnis, wenn wir statt dessen in einer beliebigen radialen Richtung das Licht von zwei Wellenfronten im Abstand ∆ mit einem Michelson-Interferometer untersuchen. F¨ ur Gangunterschiede, die sehr klein gegen die Koh¨ arenzl¨ ange (∆  lt ) sind, treten deutliche und kontrastreiche Interferenzstreifen bei P1 auf. Bei wachsendem ∆ werden sie immer kontrast¨ armer und verschwinden f¨ ur ∆ > lt . In der Praxis wird Q immer eine ausgedehnte Lichtquelle sein, so dass A und B von Licht aus zahlreichen Quellpunkten bestrahlt wird, die bei gew¨ohnlichen Lichtquellen (keine Laser) voneinander unabh¨angige, inkoh¨arente Wellenz¨ uge emittieren. Es soll nun gezeigt werden, dass zwei im Abstand d befindliche unabh¨ angige – also zeitlich inkoh¨ arente – Punktquellen Q1 und Q2 (s. Abb. 12.16) dennoch r¨ aumlich koh¨ arent sind, wenn man in einem um r entfernten Gebiet innerhalb der r¨ aumlichen Koh¨ arenzl¨ ange λ (12.50) α beobachtet. Hierbei ist α der Winkel, den die Teilstrahlen in P einschließen. Falls diese Beziehung gilt, muss es in jedem beliebigen Strahlungsfeld einen Raumbereich geben, in dem das Licht koh¨ arent ist, er hat die Querausdehnung lr aufgrund der r¨ aumlichen und die L¨ angsdimension lt durch die zeitliche Koh¨arenz, also ein Volumen von etwa lr2 lt um den Punkt P . Jedes beliebige Interferometer kann somit nur dann Interferenzen registrieren, wenn es Strahlung aus diesem Raumbereich verwendet. lr
0) wird durch ” Punkte auf der oberen Halbkugel dargestellt, rechtszirkular polarisiertes Licht (S3 = 1) ist durch den Nordpol“ der Kugel gegeben. Linear polarisiertes Licht ” ¨ dargestellt. F¨ ur die untere (S3 = 0) wird durch Punkte in der Aquatorebene Halbkugel ergeben sich die entsprechenden linkselliptischen oder linkszirkularen Zust¨ ande. ¨ Als N¨ achstes wollen wir die Uberlagerung von mehreren Polarisationszust¨anden berechnen. Die Addition von links- und rechtszirkular polarisiertem Licht gibt z.B.:







 1 1 2 1 1 1 1+1 1 √ +√ =√ =√ 2 2 2 2 −j j −j + j 0

406

14 Matrixbeschreibung der Polarisation

Dies ist linear polarisiertes Licht der doppelten Amplitude. Wir schließen daraus, dass linear polarisiertes Licht als eine Superposition von gleichen Anteilen links- und rechtszirkular polarisierten Lichtes betrachtet werden ¨ kann. In einem weiteren Beispiel betrachten wir die Uberlagerung von vertikal und horizontal polarisiertem Licht, das in Phase ist:



 

 √ 1 1 0 1 + = 2√ 2 1 1 0 √ Als Ergebnis erhalten wir linear polarisiertes Licht der 2-fachen Amplitude mit einem Neigungswinkel von 45◦ relativ zur x-Achse. Wir sehen, dass die Addition von orthogonalen Komponenten linear polarisierten Lichtes kein unpolarisiertes ˆx ¨ Licht ergibt. Unpolarisiertes Licht erh¨ alt man, wenn bei Uberlagerung der E ˆ ˆ ˆ und Ey -Amplituden Ex = Ey gilt und die Nullphasen ϕx und ϕy zeitlich statistisch schwanken. Die Wellen sind dann inkoh¨arent. Mit Jones-Vektoren kann man kein unpolarisiertes oder partiell polarisiertes Licht darstellen.

14.2 Matrizendarstellung von Polarisatoren Optische Elemente, die Licht transmittieren und dabei den Polarisationszustand ¨andern, nennt man Polarisatoren. Die physikalischen Grundlagen der Polarisatoren werden im n¨ achsten Kapitel diskutiert. Hier werden nur die drei grunds¨atzlichen Typen von Polarisatoren vorgestellt.

Abb. 14.8. Wirkung eines Linearpolarisators auf unpolarisiertes Licht

14.2 Matrizendarstellung von Polarisatoren

407

Linearpolarisator  Dieses linear polarisierende Element unterdr¨ uckt im Idealfall alle E-Schwingungen in einer gegebenen Richtung und l¨ asst Schwingungen in der dazu senkrechten Richtung durch. Meistens ist die Selektivit¨at nicht vollst¨andig (