Optik: physikalisch-technische Grundlagen und Anwendungen

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Author: Heinz Haferkorn

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Heinz Haferkorn

Optik Phy sikalisch-technische Grundlagen und Anwendungen

4.,bearbeitete und erweiterte Auflage

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Heinz Haferkorn Optik Physikalisch-technische Grundlagen und Anwendungen


Heinz Haferkorn

Optik Phy sikalisch-technische Grundlagen und Anwendungen

4.,bearbeitete und erweiterte Auflage

Autor: Prof. Dr. Heinz Haferkom. em. Technischc Universitiit llmenau

Das vorlicgende Werk wurde sorgfaltig erarbeitet. Dennoch uhemehmen Autor und Verlag fur die Richtigkeit von Angaben. Hinweisen und RatschlPgen sowie fur eventuelle Druckfehler keine Haftung.

Das Titelbild wurde uns niit freuridlicher Genehmigung dea L a w Zentruma Hannover e. V. zur Verfugung gestellt.

Bibliogratischc Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation i n der Deutschen Nationalbibliografie: detaillierte bibliogratische Daten sind im Internet iihcr abrufhar.

ISBN 3-527-40372-8 0 2003 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA. Weinheim

Gedruckt auf slurefreiem Papier. Alle Rechte. insbesondere die der Ubersetzung in andere Sprachcn. vorbehalten. Kein Teil dieses Buches darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgcndeiner Form - durch Photokopie. Mikroverfilmung oder irgendein anderes Verfahren - reproduziert oder in eine von Maschinen, insbesondere von Datenverarbeitungsmaschinen.verwendbare Sprache ubertragen oder ubersetzt werden. Die Wiedergabe von Warenbezeichnungen, Handelsnamen oder sonstipen Kennzeichen in diesem Buch berechtigt nicht zu der Annahme. daS diese von jedermann frei benutzt werden durfen. Vielmehr kann es sich auch dann um eingetragene Warenzeichen oder sonstige gesetzlich geschutzte Kennzeichen handeln. wenn sie nicht eigens als solche markiert sind. All rights reserved (including thow of translation into other languages). No part of this book may be reproduced in any form -by photoprinting. microfilm. or any other means - nor transmitted or translated into a machine language without written permission from the publishers. Registered names. trademarks. etc. used in this book. even when not specifically marked as such, are not to be considered unprotected by law. Satz: Manuela Treindl. I.aaher (ah Kapitel 7 ) Druck: Druckerei Lokay, Reinhcim Bindung: Litgeh & Dopf GmbH. Hcppenheim

Vorwort zur 4. Auflage Nachdem die 3. Auflage des Bandes Optik vergriffen ist und umfangreiche Recherchen sowie Nachfragen von Fachkollegen einen weiteren Bedad erwarten lassen, hat sich der Verlag zur Herausgabe einer weiteren Auflage entschlossen. Der Inhalt der 3. Auflage stellt auch heute noch ein solides Fundament fur die Beschaftigung mit der Optik dar, wenn auch an einigen wenigen Stellen manuelle oder grafische Methoden behandelt werden, die durch den Einsatz des Computers an Bedeutung verloren haben (z. B. bei der Prismendimensionierung). Deshalb war es naheliegend, den bisherigen Inhalt beizubehalten und durch einige weiterfuhrende oder aktuelle Abschnitte zu erganzen (Kapitel7). Dabei muate aus Pbtzgriinden teilweise die umfassende theoretische Darstellung gegenuber verbalen Aussagen zuriickstehen. Fur geringfugige Uberschneidungen zwischen dem bisherigen Text und dem Text des Kapitels 7 bittet der Autor um Entschuldigung. Zu besonderem Dank ist der Autor dem Verlagsleiter Physik des Wiley-VCH, Dr. Alexander Grossmann, verpflichtet. Seine positive Einschatzung des Buches und sein Optimismus fur eine erfolgreiche Weiterfuhrung haben diese Auflage ermoglicht. Der Autor bedankt sich ebenfalls bei den Mitarbeitern des Verlages, die zum Gelingen des Vorhabens beigetragen haben. In diesen Dank sollen auch die Mitarbeiter der Verlage einbezogen werden, die die vorangegangenen Auflagen bearbeitet haben. Hinweise zur Verbesserung des Buches oder zu vielleicht noch vorhandenen Fehlern nimmt der Autor stets gem entgegen. Ilmenau, im Juli 2002

Heinz Haferkorn

Vorwort zur 3. Auflage Die erste Auflage des Buches ,,Optik" beruhte auf den langjahrigen Lehr- und Forschungserfahrungen am Lehrstuhl fur Technische Optik der Technischen Hochschule Ilmenau und loste die von mir zum internen Gebrauch herausgegebenen Lehrbriefe ab. Aufgrund des erfreulichen Interesses, das meinem Buch entgegengebracht wurde, machte sich nach kurzer zeit eine zweite Auflage notwendig. Die vorliegende dritte Auflage wurde griindlich uberarbeitet und wesentlich erweitert. Die Aufgabe dieses Buches sol1 darin bestehen, das spezifische physikalische Grundlagenwissen aufzufrischen und zu ergbzen, die Voraussetzungen fiir die Beschaftigung mit den Spezialgebieten zu schaffen sowie Unterstutzung bei der praktischen Anwendung der Optik zu geben. Deshalb galt es, bei einem vertretbaren Umfang des Buches die Funktion eines Lehrbuches mit

h

Vorwort zur 3. Auflace

der eines Nachschlagewerkes zu vereinen, d. h. ein ausgewogenes Verhaltnis von methodischem Rustzeug und praktisch notwendigen Kenntnissen uber grundlegende optische Elemente zu finden sowie die Wechselbeziehungen zwischen den physikalischen und den technischen Aspekten zu erfassen. Daraus ergibt sich auch, dalJ kein Platz fur Ubungsaufgaben und Angaben uber kommerzielle Gerlte vorhanden ist. Wahrend in einigen Abschnitten uber den Stoff der Grundlagenvorlesung hinausgegangen wird, muBte auf Teilgebiete der Spezialausbildung in Technischer Optik bzw. Physik verzichtet werden. So wurden vor allem die systematische Theorie der optischen Abbildung einschlieBlich der Bewertung und Synthese optischer Systeme, die optische MeBtechnik, die Spektroskopie, die Holographie, die integrierte Optik und die Laserphysik nur eingeschrankt dargeboten. Es sind aber in der dritten Auflage Teilgebiete umfassender als in der ersten Auflage sowie zahlreiche neuere Entwicklungen enthalten. Das betrifft vorrangig die Strahlungsphysik, Strahlungsquellen und -empfanger, die Laserbundel-Transformation,die Abbildung mit inhomogenen Elementen, die diinnen Schichten, die nichtlineare Optik, die adaptive Optik sowie die optischen Systeme. Das Literaturverzeichnis wurde erweitert, und einige farbige Abbildungen konnten eingefugt werden. Besonders ausfuhrlich wurden solche Gebiete behandelt, die erfahrungsgemd3 in der Ausbildung grol3ere Schwierigkeiten bereiten. Wert gelegt wird auf exakte Definitionen und auf eine solide Darstellung der klassischen technischen Optik, die in manchen Lehrbuchern in den Hintergrund gedrangt wird. Der Autor vertritt die Meinung, daB es auch fur das Verstandnis und die Weiterentwicklung der vielfaltig vorliegenden Computer-Software notwendig ist, die optischen Grundlagen zu behemschen. Es kann nicht die Aufgabe von Hochschulabsolventen sein, nur vorgegebene Gleichungen rezeptmaBig abzuarbeiten. Deshalb wird groBer Wert auf die Ableitung der Zusammenhange gelegt. Die Darstellungsweise ist vorwiegend dem Lehrbuchcharakter angepaBt. Ein Teil der Ableitungen vnn Gleichungen ist aus dem Text herausgeliist und in Tabellen zusammengefalJt worden, meistens in Form von FluObildem. Dadurch sol1 die Ubersichtlichkeit beim Nachschlagen erhoht werden. Grundlagenkenntnisse in Mathematik und Physik werden vorausgesetzt. Die'Formelzeichen und Vorzeichenregeln der Technischen Optik werden konsequent nach den in Abschnitt 1.2 angegebenen Grundsatzen benutzt. Da Buchstaben mehrfach verwendet werden mussen, wird die Bedeutung jeweils in den einzelnen Abschnitten erklart. An der Erarbeitung und Lehrerprobung des Stoffes uber viele Jahre hinweg haben die Mitarbeiter des Lehrstuhls fur Technische Optik der Technischen Hochschule Ilmenau Anteil. lhnen gilt deshalb an dieser Stelle besonderer Dank. Fur wertvolle Hinweise bedanke ich mich bei den Herren Professoren J. Klebe (Potsdam), B. Wilhelmi (Jena) und J. R. Meyer-Arendt (Oregon, USA). Dem Verlag bin ich sehr dankbar fur die Moglichkeit, nach vielen zeitbedingten Problemen die dritte Autlage auf den Markt bringen xu konnen. SchlieBlich habe ich den Lektorinnen Frau Erika Amdt und Frau Brigitte Mai fur die Unterstutzung bei der Realisierung und die gute Zusammenarbeit zu danken. Eingeschlossen in diesen Dank sind alle, die an der technischen Herstellung Anteil haben. insbesondere Herr und Frau Ritter (Berlin) fur die ausgezeichnete Umsetzung des Manuskripts in die Reprovorlage. Zum SchluB mochte ich die Hoffnung ausdrucken, daB moglichst viele Studierende und Fachkollegen das Buch positiv aufnehmen mogen und daraus Nutzen ziehen konnen. Hinweise zur Verbesserung nimmt der Autor jederzeit dankbar entgegen. Ilmenau, im Februar 1994

Heinz Haferkorn

1

Einleitung

I1

2.4.4

1.1

Arbeitsgebiet Optik

2.4.5

1.1.1

Sichtbares Licht Das elektromagnetische Spektrum Lichtquanten Gliederung und Entwicklung des Arbeitsgebietes

I I1 13 14

1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.2 I .2. I I .2.2

2.5 2.5.1

16

Bezeichnungsgrundsatze

18

Formelzeichen Vorzeichenregeln

18 20

2.5.2 2.5.3 2.5.4

2 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2. I .4 2.1 .5

Physikalische Grundlagen Lichtwellen und -strahlen Elektromagnetische Wellen Polarisationsarten Huygenssches Prinzip Lichtstrahlen Fermatsches Prinzip

23 23 23 29 34 35 31

Reflexion und Brechung

39

Brechungsgesetz Reflexionsgesetz Polarisation durch Reflexion und Brechung Totalreflexion Doppelbrechung

39 44

2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3

Dispersion und Absorption

64

Absorption Dispersion Werkstoffe

64 72

2.4

Koharenz

2.4. I 2.4.2 2.4.3

Spontane und induzierte Emission Interferenzanteile der Intensitat Zeitliche Koharenz bei spontaner Emission

84 84 87

2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5

46 53 57

2.5.5

Raumliche Koharenz bei spontaner Emission Kohbenz bei induzierter Emission Interferenz Amplituden und Phasendifferenzen an der planparallelen Platte Intensitaten an der planparallelen Platte Interferenzerscheinungen an planparallelen Platten lnterferenzerscheinungen an keilformigen Platten Weitere Interferenzerscheinungen Beugung

2.6.1 2.6.2 2.6.3 2.6.4 2.6.5

Mathematische Fassung des Huygensschen Prinzips Fraunhofersche Beugung am Rechteck Fraunhofersche Beugung am Kreis Beugung am Liniengitter Fresnelsche Beugung an der Kante

102 i08 1 I8 1 I8

121 125 129 132 134 134 138 143 146 153

Abbildung

156

Optische Abbildung Ideale geometrisch-optische Abbildung Geometrisch-optische Abbildung Wellenoptische Abbildung

156

159 161 162

Strahlungsphysik und Lichttechnik

164

3.1

Strahlungsphysikalische GroRen

164

3.1.1

StrahlungsfluB Strahlstarke

164 I68

2.7 2.7.1 2.7.2 2.7.3 2.7.4

15

93

3

3.1.2

8

3. I .3 3.1.4 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 4

Inhalt Strahldichte Bestrahlungsstarke

169 170

4.4

Wellenoptisch abbildende Funktionselemente

Lichttechnische GroBen

172

Lichtstrom Lichtstirke Leuchtdichte Beleuchtungsstarke Fotometrisches Entfernungsgesetz

172 I73 175 I75 I76

4.4. I 4.4.2 4.4.3 4.4.4

Intensitat in der Bildebene Intensitat in Achsenpunkten Wellenaberrationen Punktbildfunktion. Definitionshelligkeit Modulationsiibertragungsfunktion Inkohiirente Ortsfrequenzfilterung Zonenplatte Hologramme

Abbildende optische Funktionselemente

4.4.6 179

4.1

Geometrisch-optisch abbildende Funktionselemente 4.1.1 Funktionselemente 4.1.2 Brechende Rolationsflachen 4. I .3 Beziehungen fur das paraxiale Gebiet 4. I .4 Flachenfolgen 4. I .5 Zentrierte Linsen 4. I .6 Reflektierende Rotationsflichen 4. I .7 Windschiefe Strahlen 4.1.8 Matrixdarstellung im paraxialen Gebiet 4.1.9 Spezielle rotationssymmetrische Funktionselemente 4.1.10 Spezielle nichtrotationssymmetrische Funktionselemente 4.1.1 I Inhomogene und anisotrope Funktionselemente 4.1.12 Funktionselemente zur Laserbiindel-Transformation

4.2

Bundelbegrenzende optische Funktionselemente

4.2. I 4.2.2 4.2.3 4.2.4

Begrenmng der Offnung Scharfe Feldbegrenzung Randabschattung Begrenzung des Zerstreuungskreises Begrenzung des Lichtstroms

4.2.5 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.3.5

179 I79 180 I84 193 206 218

4.4.7 4.4.8

235 238 250 254 263 266

266 274 276 283 295

327 33 1 336 34 1 350 357 362 366

Nichtabbildende optische Funktionselemente

374

5.1 5.1.1 5.1.2

Lichtleitende Funktionselemente Linsenfolgen Licht- und Bildleitkabel

374 374 379

5.2

Dispergierende Funktinoselemente

5

226

300 Klassifikation der Abbildungsfehler 300 Abbildungsfehler im paraxialen Gebiet 306 Offnungsfehler 3 10 Koma. Bildfeldwolbung. Astigniatismus 315 Verzeichnung 323 Abbildungsfehler

4.4.5

327

5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.4

Dispersionsprismen Beugungsgitter Etalons Auflosungsvermogen. Dispersionsgebiet Filternde Funktionselemente Absorptionsfilter Interferenzfilter mit Absorption Dielektrische Mehrfachschichten Reflexionsanderung

382 382 392 399 400 407 407 409 415 423

5.4

Polarisierende Funktionselemente

5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.4.4 5.4.5 5.4.6

Polarisationsprismen Flachenpolarisatoren Phasenplatten Halbschattenpolarisatoren Interferenzpolarisatoren Matrizenbeschreibung

43 1 43 1 436 439 442 445 448

5.5

Ablenkende Funktionselemente

453

5.5. I 5.5.2 5.5.3 5.5.4 5.5.5

Planspiegel Planparallele Platten Planspiegelplatten Reflexionsprismen Keile. Kristallplatten und -prismen

453 460 464 464 487

9

Inhalt Apertur- und lichtstromandernde Funktionselemente

492

5.6.1 5.6.2 5.6.3

Neutralfilter Biindelteilung Mattscheiben. Bildschirme

492 493 497

5.7

Energiewandelnde Funktionselemente

5.7.1 5.7.2 5.7.3

Strahlungsquellen KenngroDen von Strahlungsempfangern Strahlungsempfdnger

5.8

Nichtlineare Funktionselemente

5.8.1 5.8.2

Grundziige der nichtlinearen Optik 5 10 Funktionselemente 514

6

Optische Instrumente und Systeme

5.6

6. I 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4 6.1.5 6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4 6.2.5 6.2.6 6.2.7 6.2.8

Grundbegriffe Auge Grundzuge der Brillenoptik VergroBerung Abbildungsmahtab Optische Instrumente und Gerate Lupe und Mikroskop Lupe Optikschema des zusammengesetzten Mikroskops VergriiRerung und Auflosungsvermogen Scharfentiefe Beleuchtung Fourier-Theorie der kohaenten Abbildung Mikroskopische Abbildung von Liniengittern Partiell-koharente Abbildung

499 499 506 508 5 10

Perspektive und Scharfentiefe Fotometrie

608 616

6.5 6.5.1 6.5.2 6.5.3 6.5.4 6.5.5

Optische Systeme

618

Beleuchtungssysteme Achromatische Fotoobjektive Aplanatische Fotoobjektivd Anastigmatische Fotoobjekive Objektive mit veranderlicher Brennweite 6.5.6 Spiegelobjektive 6.5.7 Fernrohrobjektive 6.5.8 Mikroobjektive 6.5.9 Okulare 6.5.10 Spezielle optische Systeme

7 52 1 521 521 527 529 535 537 539 539 543 547 555 559 566 570 580

Fernrohr

583 583

6.6.3 6.3.4

Afokale Systeme VergroRerung und Auflosungsvermogen Fernrohrleistung Spezielle Fernrohre

5 87 596 598

6.4

Fotografie

602

6.4.1 6.4.2

Abbildungsarten Biindelbegrenzung

602 603

6.3 6.3.1 6.3.2

6.4.3 6.4.4

7.1 7.1.1 7.1.2 7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4 7.3 7.3.1

618 628 634 634 642 650 653 656 662 665

Weiterfiihrende und aktuelle Ergiinzungen

673

Einleitung

673

Vorbemerkungen Aspekte der Entwicklung des Arbeitsgebietes

673

Physikalische Grundlagen

677 677 679 686 690

Dipolstrahlung Interferometer Beugung an Raumgittern Streuung

674

Strahlungsphysik und Lichttechnik 695 Licht- und Beleuchtungstechnik

695


700

7.4.1 7.4.2 7.4.3 7.4.4

Inhomogene Funktionselemente Hologramm-Typen Anwendungen der Holografie Koh2rente Bildverarbeitung

700 703 710 715

7.5

Nichtabbildende Funktionselemente

7 I7

7.5.1 7.5.2 7.5.3 7.5.4

Integrierte Optik Modulatoren. Schalter. Speicher Strahlungsquellen Anwendungen der Laser

717 722 732 743

7.6

Optische Instrumente und Systeme 748

7.6. I 7.6.2 7.6.3

Mikroskopierverfahren Astronomische Fernrohre Optische Systeme

7.4

748 760 764

Inhalt

10

7.6.4 7.6.5 7.6.6

Ansatz optischer Systeme

Korrektion optischer Systeme Bewertung optischer Systeme

764 770 772

Literatur und Quellen

779

Namen- und Sachverzeichnis

787

1

Einleitung

1.1 Arbeitsgebiet Optik 1.1.1

Sichtbares Licht

Die Q t i k ist die Disziplin der Physik, in der die Eigenschaften des Lichtes unlcrsucht werden. Das Licht stellt eine Erscheinung der rnateriellen Welt dar,deren Wesen erst nach eincm griindlichen Studium ihrer Wirkungen erfaI3t werden kann. Zunachst werden wir das Licht als Strahlung ansehen, die von den Lichtquellcn ausgeht oder von den Gegenstiinden reflektiert wird und auf die dlls menschliche Auge anspricht. Das Bestreben, Weiteres uber das Licht zu erfahren, fiihrt zur experirnenlellen Untersuchung seiner Ausbreitungseigensch&en. Die Beobachtung der Lichtausbreitung im Vakuum - oder auch in der Luft bei nicht zu groUen Strecken - legt &as Model1 des L i c h t s t r i s nahe (Abb. 1.1). Wir kommen so zur rein geometrischen Behandlung des Lichtweges. Einern einzelnen Lichtstrii kmn jedoch keine physikalische Kealitat Lukommen. Allein die Tatsache, daU Licht eine Energieform darstellt, schliefit die Konzentration liings irgendwelcher Strecken aus. Das Strahlenmodell kann deshalb iiber das reale Wesen des Lichtes nichts aussayen und hat nur eng begrenzte Gultigkeit.

Abb. 1.1 Lichtstreuung an Staubteilchen.Eindruck eines Lichtstrahls

Unter geeigneten Versuchsbedingungen werden Interferenz (Abb. 1.2), Beugung ( Abb. 1.3) und Polarisation (Abb. 1.4) des Lichtes beobachtet. Interferenzerscheinungen lassen sich nur mit dnem Wellenmodell beschreiben. Ejne wesentliche Seite des Lichtes muW also sein Wellencharakter sein. Die Polarisierbarkeit des Lichtes beweist, dal3 die Lichtwellen transversal sind. Wcitere Experimente, wie z. B. der Faraday-Effekt (Abb. 1.5) und der Ken-Effekt, zeigen, dalj es sich bei Licht um elektromdgnetische Wellen handelt, also urn elcktromdgnetische Feldenergie. Bei der Ablenkung des Lichtes durch ein Dispersionsprisma wird weibes Licht in die Spektralfarben zerlegl. Jeder Farbe kann ein kleines Frequenzintervall bzw. im homogenen

12

1 Einleitung Schirm

Abb. 1.2 Interfcrenz des Lichtes a111 Fresnelschen Hiprisiiia Sch i rm

naturliches Licht vor dern

Abb. 1.3 Heugung des Lichtes am Spalt

Abb. 1.4 Polarisation des Lichtes durch ein Filtcr

v.4 g ed rehte Schwrngungsebene

Abb. 1.5 Faraday-fltfekt (scheniatiscli)

Abb. 1.6 Spektrliler IIellenipfindlichkeitsgrad des Auges

1.1 Arbeitsgebiet Optik

13

Stoff ein Wellenlhgenintervall zugeordnet werden. Das menscNiche Auge spricht auf Licht unterschiedlicher WellenlUge verschieden stark an. Nach zahlreichen Messungen ist man iibereingekommen, als Grundlage fiir fotometrische Messungen eine Konvention uber die relative spektrale Hellempfindlichkeit des Auges einzufiihren. Die grol3te Hellempfindlichkeit liegt im Gelbgriinen bei der Wellenliinge d = 555 nm. Sie ist gleich 1 gesetzt. Den spektralen Hellempfindlichkeitsgrad Vn als Funktion von d zeigt Abb. 1.6. Unser Auge nimmt den Bereich von d = 380 nm bis d = 780 nm wahr. (In Abb. 1.6 kommt der Anteil oberhalb A = 700 nm nicht zum Ausdruck, weil die relative spektrale Hellempfindlichkeit zu klein ist.) Nun sind wir in der Lage, fiir die Naturerscheinung Licht im engsten Sinne, nmlich As auf unser Auge einwirkende Strahlung, den physikalischen Charakter anzugeben, der wesentliche Ausbreitungseigenschaften erfaf3t.

I

Eine wesentliche Seite des Lichtes ist seine Erscheinungsform als elektromagnetische Welle. Die Wellenliingen liegen fiir sichtbares Licht zwischen d = 380 nm und d = 780 nm. Die Energieverteilung auf die einzelnen Frequenzintervalle bestimmt die Farbzusammensetzung und d a t den Fubeindruck.

1.1.2

Das elektromdgnetische Spektrum

Die Wellenliingen des sichtbaren Lichtes stellen n u einen schmalen Ausschnitt aus dem gesamten Wellenliingenbereich dar, den die elektromagnetischen Wellen umfassen. An das rote Ende des sichtbaren Teils des Spektmms schlieRt sich der infrarote, an das violette Ende der ultraviolette Bereich an. Noch groBere Wellenliingen als das Infrarot haben die schlechthin als eleklrische Wellen bezeichneten Erscheinungen der drahtlosen Nachrichtentechnik. In Richtung kiirzerer Wellenliingen folgen auf Ultraviolett die Rontgenstrahlung, die Gammastrahlung und die Hohenstrahlung. Einen Uberblick uber die Verteilung der einzelnen Bereiche vermittelt die logarithmische Wellenliingenskala der Abb. 1.7.

-14 -13 -12 -11 -5

-4

,

1

-10 - 9

-3

-2

-1

1

1

1

0 1

-8

-7 2

1 1

-6

/

-5 4

3 1

-1,

1

-3

6

5 1

-2

1

8

7 1

0

-1

1

10

9 1

2

1

1

11 1

3 4 Lgi(k/m))

5

12 13

14

l g Il/nml 1

1

I

22,48 2,48 iU@ 1948 1848 1748 1648 15,48 lqL8 13,LE 12,48 11,48 10,48 9,48 8,48 748 6,48 5,48 4,LB 348 Lg ( v/5‘’ )

Abb. 1.7 Elektromagnetisches Spektrum

Die genannte Einteilung des elektromagnetischen Spekmms ist relativ willkiirlich vorgenommen worden. Die einzelnen Bereiche uberschneiden sich auRerdem teilweise. Der wesentliche Gesichtspunkt der Gliederung sind die unterschiedlichen Methoden, mit denen die Wellen erzeugt werden, d.h. die verschiedenen Prinzipien der Strahlungsquellen.

14

1 Eiiileitung

Es erhebt sich nun die Frage, wodurch sich die Wellenliingenbereiche vom physikalischen Gesichtspunkt aus voneinander unterscheiden. AuBerdem erscheint es angebracht, das Gcbiet “Optik” von einer speziellen Bindung an die relative spektnlle Hellemptindlichkeil des Auges zu befreien. Wie weit sollcn wir aber dabei gehen? Diese Frage Iiiljt sich nur beantworten, wenn &e zweitc wesentliche Seite des Lichtes, sein Quantencharakter, in die Betrachtung einbezogen w i d .

1.1.3

Lichtquanten

Bei der theoretischen Behmdlung von Experimenten, bei denen &as Licht in Wcchselwirkung mit Stoff trill, mit dem Wellenmodell ergeben sich Widerspriiche grundsiitzlicher Natur. h u t lich tritt das Versagen des Wellenmodells bei der Deutung des iulkren lichtelektrischen Effektes hervor. Wir erliutern kurz den experimentellen Befund (Abb. 1.8). Metall

E

Photonen strorn

ELektronenstrom

Abb. 1.8

Aul3erer lichtelektrischerEffekt (schemntisch)

Bei der Bestrahlung einer Metalloberlliche mit Licht konnen Elektronen ausgelost werden. Me Messungen ergeben: -

Die Anzahl der austretenden Elektronen ist proportional der Lichtintensitiit. Die kinetische Energie der Elektronen ist proportional der Frequenz des Lichtes.

Die lunetische Energie der Elektronen hingt also nicht von der Lichtintensitit ab, wie es mit dem Wellenmodell zu crwarlen wiire. Einstein erkannte 1905, dal3 die experimentiellen Befunde des au13eren lichtelektrischen Effektes mit der Annahme von Lichtquanten der Energie W=kv

zwanglos erkliirt werden konnen. Es gilt: Jedes Quant kann ein Elektron auslosen, so da13 die Anzahl der Elektronen von der Anzahl der 1,ichtquanten abhingt. Diese ist durch die Lichtintensitiit bestimmt. - Die kinetische Energie der ausgelosten Elektronen muU gleich der um die Austrittsarbil Wo verminderten Energie eines Lichtquants sein. Es ist also -

= 2 7

= hv-W,.

1.1 Arbeitsgebiet Optik

15

Damit ist experimentell eindeutig nachgewiesen:

I

Eine wesentliche Seite des Lichtes ist sein Quantencharakter.

Wir sind auf einen echten dialektischen Widerspruch gefiihrt worden. Das Licht, als eine Erscheinung der materiellen Welt, hat zwei wesentliche Seiten, die im klassischen Sinne unvereinbar sind, den Wellen- und den Quantencharakter. Deshalb wenden wir oftmals zur Beschreibung der Eigenschaften des Lichtes zwei Modelle an, von denen jedes fur sich nur eine wesentliche Seite widerspiegelt. Die Erscheinungsform als elektromagnetische Welle wird mit dem Wellenmodell beschrieben, das sich besonders eignet, wenn die Ausbreitung des Lichtes zu behandeln ist. Die Erscheinungsform als Gesamtheit von Lichtquanten wird mit dem Quantenmodell beschrieben, das sich besonders bei der Behandlung der Wechselwirkung des Lichtes mit Stoff beWi ihlt.

Die elektromagnetische Theorie des Lichtes hat von den Mawellschen Gleichungen auszugehen. Die Eigenschafien der Stoffe werden modellmd3ig einbezogen. Die Modelle koMen rein klassisch angesetzt werden, oder sie werden quantentheoretisch begtiindet. Eine relativ umfassende Giiltigkeit hat die Vorgehensweise der Wellenmechanik, bei der die Stoffe quantentheoretisch, die Felder klassisch dargestellt werden (semiklassische Theorie). Aber auch in dieser nichtrelativistischen Quantentheorie existieren Wellen- und Quantenmodell nebeneinander. Das Lichtquant wird auch Photon genannt. Die Photonen stellen Elementarteilchen mit dem Spin 1, der Ruhemasse 0, der Energie W = h v , der Masse m = ( h v ) / c 2und dem Impuls p = ( h v ) / cdar. Bereits wegen der verschwindenden Ruhemasse muU eine konsequente Theorie der Photonen eine relativistische Theorie sein. Eine formale Vereinigung von Wellen- und Quantenmodell wird in der Quantenelektrodynamik vorgenommen. Diese ist ein Spezialfall der Quantenfeldtheorie, in der grundsatzlich die Elementarteilchen aus einer Quantelung der zugeordneten Wellenfelder hervorgehen. Die Anzahl der Lichtquanten, &e auf die Energieeinheit entfallen, betragt

Mit h = 6,6262.10-34W.s2 und c=2,99792.108m.s-' erhalten wir die Quantenanzahl je Wattsekunde. die der Abb. 1.9 zu entnehmen ist.

Abb. 1.9

Quantenanzahl z je Wattsekunde im elektromagnetischen Spektrum

I Einleitung

16

Mit abnehmender Quantenamahl je Energieeinheit oder je Volumeneinheit tritt der Quantencharakter gegcnuber dem Wellencharakter stiirker in den Vordergrund. Im elektromagnetischen Spektrum liegt das sichtbare Licht bei mittleren Quantenanzahlen je Energieeinheit. Qumten- und Wellencharakter kommen also weitgehend zur Geltung. Wir stellen fest:

Die optische Strahlung umfalJt den Teil des elektromagnetischen Spekmms, in dem Wellen- und Quantencharakter gleichrangig zu beriicksichtigen sind.

I

Scharfe Grenzen koMen nicht gemyen werden. Die eine Grenze liegt innerhalb des infmoten Bereichs, die andcre im Gebiet der Rontgenstrahlung. Die Mittelstellung des Lichtes im elektromagnetischen Spektrum bedingt die Vielfalt an Erscheinungen und Methoden der Optik. Tabelle 1.1 IJntergliederung der uptischen Strlihlung

Gebiec

Wellenlage in IIIII

IR -c

1000000... 3000 3 000.. .14OO 14OO... 780

R-B IR-A

VIS

780 ... 380

W - A LJV - I3

380 ... 315 315 ... 280 280 ... 100

uv-c

Im Sinne der Lichttechnik wird nur fir den sichtbmen Teil des elektromagnetischen Spektrums der Begriff “Licht” verwendet. Die Anteile vom Ultravioletten (UV, A=lWnm . .. 380 nm) iiber das Licht (VIS, von eng. visible = sichtbar) bis zum lnfrioten (IR, 1 = 780 nm . ..lOa, pm,) werden optische Strahlung genannt. Tab. 1.1 enthjilt die weitere Unteneilung der optischen Strahlung.

1.1.4

Gliederung und Entwicklung des Arbeitsgebietes

Optik als physikalische Disziplin. Eine Gliederung der Optik vom physikalischen Standpunkt aus ist durch die Modelle gegeben, mit denen die Eigenschaften des Lichles behmdelt werden koMen. Wir unterscheiden: -

Geometrische Optik (Strahlenrnodell) Wcllenoptik (Wellenmodell) Qumtenoptik (Quantenmodell).

Die Mittelstellung des Lichtes innerhalb des elektromagnetischen Spektrums bringt enge Reziehungen zu anderen physikalischen Disziplinen mit sich. Im langwelligen Bereich uberschneiden sich die Arbeitsgebiete Optik und Mikrowellenphysik, im kurzwelligen Bereich ist der Ubergang zur Rontgenphysik flieBend. Das Wellenmodell b e w m sich auch in der Elektrophysik. Das Quantenmodell erf& die direkte Verbindung zur Molekiil-, Atom-, Festkiirper- und Elementarleilchenphysik.

1.1 Arbeitsgebiet ODtik

17

Die Beschaftigung mit der Optik als physikalischer Disziplin dient vorwiegend der Erkenntnis und der Bereitstellung von neuen Prinzipien fiir die technische Anwendung. Optik a l s technische Disziplin. In bestimmten technischen Systemen werden die optischen Gesetze und Erscheinungen, also optische Wirkprinzipien, genutzt. Diese technisch-optischen Systeme losen im wesentlichen zwei Aufgabenkomplexe:

- Aufgaben der Informationstechnik -

Aufgaben der Energietechnik.

Den weitaus umfassendsten Einsatzbereich stellen die Aufgaben der Informationstechnik dar, also die Aufgaben Informationserfassung, -iibertragung, -wandlung, -speicherung und -auswertung. Die Informationstechnik befaJ3t sich mit Informationen iiber Erscheinungen, Prozesse und Systeme in der materiellen Welt, deren gesetzmiifjige Zusammenhkge und mathematische Beschreibung im Rahmen der Einzelwissenschaften zum Zweck der Erkenntnis - technische Prozesse und Systeme zum Zweck ihrer Weiterentwicklung, ihrer meotechnischen Erfassung, ihrer Regelung und Steuerung - gesellschaftliche, natiirliche und technische Prozesse und Systeme zum Zweck der Nachrichteniibertragung.

-

Technische Systeme zur Losung der genannten Aufgaben werden Gerate genannt.

I

Die Geratetechnik ist die technische Disziplin, deren Gegenstand die Vorstufen der Produktion, die Produktion und die Konsumtion von Geraten ist.

Die Technische Optik ist damit vorwiegend mit der Geratetechnik verbunden. Aufgaben der Energietechnik, also Aufgaben der Energieiibertragung, -wandlung, -speicherung, -regelung und -steuerung, werden zum gegenwwgen Zeitpunkt nur in geringem Umfang mit technisch-optischen Systemen gelost. Beispiele sind die Beleuchtungstechnik, die Energieiibertragung mittels Laser zur Materialbearbeitung und die Energieerzeugung iiber die gesteuerte Kernfusion, bei denen das Plasma mit fokussierten Laserbiindeln erhitzt wird. Entwicklungstendenzen. In der Entwicklung der optischen Gerate zeichnen sich folgende prinzipielle Tendenzen ab: -

Im Zuge der Rationalisierung von Konstruktion und Fertigung sowie zur Verbesserung des Kundenservices werden optische Gerate mit gleicher Grundfunktion oder mit ihrer Peripherie zu Geratesystemen zusammengefal3t. Die optischen Gerate werden aus optimierten Baugruppen gebildet und damit selbst optimiert. Die geringere Komplexitat der Baugruppen wird in vielen Fgillen die mathematische Modellierung der Funktion und ihrer Analyse ermoglichen, so daB die Optimierung der Baugruppen quantitativ erfaRbar wird. Optimierte Baugruppen konnen zu Einheitssystemen zusammengefa6t werden. Die Kopplung von Optik und Elektronik wird weiterhin wachsende Tendenz zeigen. Elektronische Baugruppen erweitern und e r g m e n die Leistungsfmgkeit der technisch-optischen Systeme, indem sie das optische Signal wandeln, registrieren und auswerten. Die

18

1 Einleitunn

klassische Kombination Feinmechanik - Optik ist verstdkt ubergegangen in dle Kombination Feinmechanik - Optik - Elektronik. D u u haben besonders die Mikromechanik, die Optoelektronik und die Mikroelektronik beigetragen. Durch den Einsatz von Mikrorechnern ist es moglich, auch in optischen Systemen Regel- und Steuerprozesse in grokrem Umfang zu realisieren. - In den Bauelementen kiinnen neue optische Wirkprinzipien und neue optische Werkstoffe eingesetzt sein. In wachsendem Umfang werden dle Ergebnisse der Laserphysik, der nichtlinearen Optik, der Kohjirenzoptik und der Optik der Wellenleiter, z. B. in Form der integrierten Optik, in die technische Anwendung ubergefiihrt.

1.2 Bezeichnungsgrundsatze 1.2.1

Formelzeichen

Fur die geometrische Optik sind die Bezeichnungsrichtlinien und die Formelzeichen unabhangig von den anderen Gebieten der Optik festgelegt worden. Dasselbe gilt fiir einige weitere Teilgebiete der Optik, z. B. fiir die Lichttechnik oder die lineare Ubertragungstheorie. Bei einer umfassenden Darstellung der Optik entstehen auch zahlreiche Rertihrungspunkte zu anderen Teilgebieten von Physik und Technik (Elektrophysik und -technik, Optoelektronik, Quantentheorie, Thermodynamik u.a.). Dadurch l a t sich nicht vermeiden, da13 Formelzeichen mehrfach verwendet werden. Die spezielle Bedeutung wird deshalb in den einzelnen Kapiteln erkl2rt. Grundsatzlich geht das Bestreben in diesem Buch W n , die genormten oder in intemitionalen Richtlinien empfohlenen Bezeichnungsgrundsiitze anzuwenden. Neben den einschlagigen Standards werden die Empfehlungen der IUPAP (SYMBOLS, UNITS AND NOMENCLATURE IN PHYSICS, Document U.I.P. 20 von 1978) und die Festlegungen der 11. Generalkonferenz fiir Malj und Gewicht (1960) zum Intemationalen Einheitensystem (SI) weitgehend beriicksichtigt. In Einzelfdlen werden aus methodischen Gesichtspunkten oder wegen der Uberschneidung der Gebiete abweichende Festlegungen getroffen. In Tab. 1.2 sind die in diesem Buch umgesetzten Grundsatze fiir die Auswahl der Formelzeichen enthalten. Tab. 1.3 enthiilt ausgew<e Formelzeichen. Besonders hingewiesen sei auf folgende Abweichungen (in Klammern nach DIN): Knotenpunkt N (H), Objektpunkt A (0),Scheitelpunkt V (S), Pfeilhohe g ( p ) .

Das Uberstreichen objektseitiger nichtkonjugierter GroSen wenden wir nur an, wenn dadurch MiSverstiindnisse vermieden werden. Es ist nicht einzusehen, dal3 die Brennweite f nur dann vom Leser als nichtkonjugiert zu f' erkannt werden soll, wenn das Formelzeichen iiberstrichen ist (f),dagegen aber die Brennweite f' ohne Uberstreichen als nichtkonjugiert zu f erkannt werden mu13. (Im ubrigen wird der Querstrich oft auch dann nicht angewendet, wenn es sich um die Sehwinkel handelt, die manchmal konjugiert, aber manchmal nichtkonjugiert sind.)

19

1.2 Bezeichnungsgrunde

Tabelle 1.2 Grundsiitze fur die Auswahl von Formelzeichen __

Element

Darstellung

Beispiel

Punkte

lateinische GroObuchstaben lateinische Kleinbuchstaben griechische Kleinbuchstaben gestrichen iiberstrichen (bei Bedarf) griechische Buchstaben

Objektpunkt A

Strecken Winkel Grokn des Bildraumes nichtkonjugierte GroSen dimensionslose Grokn

Pupillengrokn

mit Index p

Objektgrok y Zentriwinkel cp BildgrBk y' Brennpunkt F AbbildungsmaBstab

p',Y Y Zentriwinkel 'pp fiir den Hauptstrahl

Tabelle 1.3 Ausgewslhlte Formelzeichen Punkte ~

_

~

_

Objektpunkt Kriimmungsmittelpunkt Brennpunkt Hauptpunkt Knotenpunkt (Nodus) Knotenpunkt, nach DIN Achsenpunkt der Pupille Scheitelpunkt (Vertex) Scheitelpunkt, nach DIN ~

Entfernung Hauptpunkt -axialer Objektpunkt (Objektweite) Entfernung axialer Objektpunkt -beliebiger Achsenpunkt Entfernung Kriimmungsmittelpunkt- axialer Objektpunkt Linsendicke Abstand zweier benachbarter Flslchenscheitel Brennweite Pfeilhohe Durchstobhohe eines Strahls Hauptpunktspanne Strahllage Entfemung axialer Pupillenpunkt - axialer Objektpunkt Kriimmungsradius Schnittweite Optisches Interval1

a

b C

d e

f ?!.

h i 1

P 1

S

t

20

1 Einleitung

Tabelle 1.3 Fortsetzung

Strecken Querkoordinaten eines Objektpunktes Entfernung Brennpunkt - axialer Objektpunkt

x, Y 2

Winkel Ablenkung eines Lichtstrahls Winkel zwischcn Lichtstrahl und Einfallslot (Einfallswinkel) Winkel zwischen I;lkhennormale und optischer Achse (Zentriwinkel) Winkel zwischen Lichtstrahl und optischer Achse (Schnittwinkel)

6

Azimut

v

&

cp 0

Dimensionslose GroUen TiefenmaUstab AbbildungsmiiBstab Winke1verh;iltnis Relative Teildispersion Abbesche Zahl Hohenverhdtnis Numerische Apertur Vergrokmng

d p' Y' P V 0

A

rf

Von den GrundsAtzen abweichende Bezeichiiungen Brechzahl Offnungszahl (Blendenzahl) Offnungsverhatnis Halbex Offnungswinkel Halber Feldwinkel Sehwinkel

1.2.2

n k K U

W

Ws

Vorzeichenregeln

Bei der Anwendung von Beziehungen der geometrischen Optik in der Optik-Konsmktion werden Strecken und Winkel nach bestimmten Grundsiitzen mit VorLeichen versehen. Vorausgesetzt wird der Normalfall rotationssymmetrischer optischer Systeme.

Ein rotationssymmetrisches optisches System hat eine Symmetrieachse, die optische Achse genannt wird. Die Funktion der optischen Systeme ist die optische Abbildung. Die optische Abbildung transfonniert GroUen des Objcktraums in GroSen des Bildraums. Die Punkte des Objekt- und des Bildraums sind durch die Kwrdinaten festgelegt. Im allgemeinen verwendet man rechtshindige kartesische Koordinatensysteme.

1.2 Bezeichnungsgrundsiitze

21

Vereinburungen: Die kartesischen Koordinaten des Objektraums werden mit x, y, z, die des Bildraums werden mit x', y', z' bezeichnet. Die z-Achse und die z'-Achse stimmen mit der optischen Achse uberein. Die objektseitige Lichtrichtung wird in Zeichnungen im allgemeinen von links nach rechts angenommen (Abb. 1-10). Definition (Abb. 1.1 1). Ein aaeraxialer Objektpunkt und die optische Achse spannen die Meridionalebene auf. Eine Sagittalebene steht senkrecht auf der Meridionalebene und enthiilt einen als Bezugsstrahl ausgewiihlten Lichtstrahl. Vereinbarung: Die Meridionalebene wird im allgemeinen in die Zeichenebene gelegt und als y-z-Ebene verwendet.

Vurzeichenvereinburungen:Eine Strecke ist positiv, wenn der fiir die Vorzeichenfestlegung ausgewiihlte Bezugspunkt am linken Ende der Strecke liegt.

Abb. 1.10 Koordinatensysteme bei einer zentrierten optischen Abbildung

Zentriertes optisches System ein Merrdionolstrahl Meridionalebene Bezugsstmh l ein Sagittalstmhl Sagittalebene ophsche Achse A

ex

Abb. 1.11 Meridional- und Sagittalebene(A Objektpunkt)

Zur Bestimmung des Vorzeichens eines Winkels zwischen einem Lichtstrahl und einer Bezugsgeraden dreht man in Gedanken den Lichtstrahl auf dem kiinesten Weg in den Bezugsschenkel. Bei Drehung im mathernatisch positiven Sinn (entgegen dem Uhtzeigersinn) ist der Winkel positiv. Das Vorzeichen von Strecken und Winkeln wird in die Zeichnungen mit eingetragen. Der Drehsinn zur Bestimmung des Vorzeichens von Winkeln kann in Zeichnungen durch Anbringen von nur einem MaSpfeil gekennzeichnet werden.

22

1 Einleihna

Beispiele fiir die brechendc Fliiche (Abb. 1.12) enthat Tab. 1.4.

Anmerkung: Auf zwei Unterschiede in diesem Buch gegenuber den DIN-Vorschriften ist hinzuweisen. Sie haben sich in der Lehre b e w m und hangen auch mit der zeitlichen Erarbeitung des Manuskripts zusammen. 1. Fur den Einfalls-, Brechungs- und Reflexionswinkel wird in DIN der Strahl als Bezugsschenkel verwendet. Dadurch erhalten diese Winkel das entgegengesetzte Vorzeichen. Es ist aber inkonsequent, zur Bestimmung des Vorzeichens bei & “den Strahl in die Achse”, bei E “das Einfallslot in den Strahl” zu drehen. In den entsprechenden Gleichungen ist der Ubergang zu DIN durch Vorzeichenwechsel bei den Einfalls-, Reflexions- und Brechungswinkeln leicht vollziehbar. 2. Weiter wird festgelegt, daM die Vorzeichen der Strecken und Winkel in Zeichnungen einzuklammern sind. Davon wird hier abgewichen. Auf die Polemik, ob dies falsch ist, wollen wir nicht weiter eingehen. Es sei jedoch darauf hingewiesen, daD bei der Ableitung von Formeln anhand von Skizzen das Vorzeichen ohnehin zu beriicksichtigen ist. So ergibt sich z.B. nach Abb. 1.12 die vorzeichenbehaftete Streclce AC aus -s* r und nicht aus (-)i+ r oder gar s^ + r . Mit dem zahlenmdigen Beispiel s^ = - 100 und r =SO erhdt man -s^ + r = 100+ SO = 150, also den richtigen Wert. Natiirlich darf man in die Skizzen nicht die vorzeichenbehafteten Zahlenwerte einsetzen und dann Strecken zahlenmSig addieren.

+

Abb. 1.12 Grokn an der

brechenden Kugelflache Tabelle 1.4 Bezugsgrokn fiir die Vorzeichenfestlegung

Element

Formelzeichen

Bezugspunkt bzw. Schenkel

Schnittweite Fllchenradius StrahllSlnge Schnittwinkel Zentriwinkel Einfallswinkel Reflexionswinkel Brechungswinkel Ablenkung

s r

FlachenscheitelV Flachenscheitel V FllchendurchstoSpunktB Optische Achse Optische Achse Einfallslot (Normale) Einfallslot (Normale) Einfallslot (Normale) Verlslngerung des einfallenden Strahls

1 0

cp & &’ &’

6

bzw.

E”

2

Physikalische Grundlagen

2.1

Lichtwellen und -strahlen

2.1.1

Elektromagnetische Wellen

Das Modell der ebenen Welle. In 1.1.1 haben wir erlautert, da13 eine wesentliche Seite des Lichtes seine Erscheinungsform als elektromagnetische Welle ist. In einer elektromagnetischen Welle sind die elektrische Feldsmke E und die magnetische Feldstiirke H gesetzmsig zeitlich und ortlich verhderlich. Die elektromagnetische Welle transportiert elektrische und magnetische Feldenergie.

I

Die elektromagnetische Welle ist die Ausbreitungsform der elektromagnetischen Feldenergie.

Fiir theoretische Untersuchungen iiber die Eigenschaften der Lichtwelle wird in vielen Faillen das Modell der ebenen periodischen elektromagnetischen Welle verwendet. Bei einer ebenen Welle ist die Schwingungsphase auf zueinander parallelen Ebenen, den Wellenflachen, konstant. In einer periodischen elektromagnetischen Welle sind die elektrische und magnetische Feldstiirke zeitlich und ortlich periodisch. Es gilt: In einer ebenen elektromagnetischen Welle schwingen die eleldrische und die magnetische Feldstiirke in je einer Ebene zeitlich und ortlich periodisch. Die elektrische Feldstnke E . die magnetische Feldstiirke H und der Einheitsvektor in Ausbreitungsrichtung s bilden ein Rechtssystem. Die Wellenfliichen sind eben (Abb. 2.1).

E A

Abb. 2.1 Darstellung der FeldstSrken in einer elektromagnetischen Welle

Die optischen Wirkungen der elektromagnetischenWelle werden vorwiegend durch den elektrischen Anteil bestimmt. Wir beschr*dnken deshalb die weiteren Beziehungen zunachst auf die elektrische FeldsWke. Die reelle Darstellung der ebenen Welle. Die Beschreibung der Welle zu einer bestimmten B i t t = const ergibt eine periodische Funktion des Weges 1. Wir nehmen an, dal3 diese Funktion sinusformig ist (Abb. 2.2a). Auch die Darstellung der Schwingung der elektrischen Feldstiirke an einem festen Ort 1 = const ergibt dam eine sinusformige Kurve (Abb. 2.2b).

Wellenzahl k =

Kreiswellenzahl w = 2nk

Anzahl der Perioden je Liingeneinheit

Anzahl der Perioden auf 2x Langeneinhei ten

A

1

Abb. 2.2a Darstellung der sinusformigen Welle bei t = const

t-const

Wellenlange A

Liinge einer Periode

fiumliche Periodizitslt

Tabelle 2.1 GroBen zur Beschreibung einer Welle

va

E = A cos[ 2 7 4 ; - t) + 61

E = Acos[2n(kl-~r)+6]

E = A cos(w4 - mt + 15)

Amplitude A

Anfangsphase 6

c =

Verkniiufune

1-const

=

Kreisfrequenz w = 2nv

Frequenz v T

1

Schwingungsdauer T

bei 1 = const

Abb. 2.2b Darstellung der sinusfonnigen Welle

yM

EI

Anzahl der Perioden in 271 Zei teinheiten

Anzahl der Perioden je Zeiteinheit

Dauer einer Periode

Zeitliche Periodizitslt

2.1 Lichtwellen und -strahlen

25

Raumliche und zeitliche Periodizitat werden mit den Grokn beschrieben, die in Tab. 2.1 zusammengestellt sind. Die Anfangsphase 6 ist die Schwingungsphase, die den Zustand der Welle zur Zeit t = 0 am Ort I = 0 bestimmt. Die Geschwindigkeit, mit der sich die Schwingungsphasen ausbreiten, nennen wir Phasengeschwindigkeitc. Nach Tab. 2.1 gilt = va. (2.1) Die sinusftjrmige Welle kann mit einer Sinus- oder einer Kosinusfunktion mathematisch beschrieben werden. Weil die genannten Winkelfunktionen die Periode 2x haben, ist

E = Asin(wI-wt+6)

oder E = Acos(wl-ot+6)

(2.2a, b)

zu setzen. (In Tab. 2.1 wurden am Beispiel der Kosinusfunlction weitere Schreibweisen eingetragen, die durch das Umrechnen der SchwingungsgroSenentstehen.) Die Vorzeichen von wl und ut miissen entgegengesetzt gewWt werden, wenn die Gleichungen (2.2a, b) eine Welle beschreiben sollen, die sich in positiver I-Richtung ausbreitet. Oftmals ist das Verhalten mehrerer Wellen unterschiedlicher Ausbreitungsrichtung zu untersuchen. Dazu ist es notwendig, die Ausbreitungsrichtung durch den Einheitsvektor s und einen beliebigen Punkt des Wellenfeldes durch den Ortsvektor r anzugeben. Fiir den vom Ursprung aus durch die Welle zuriickgelegten Weg gilt nach Abb. 2.3 die Beziehung 1 = r . s . (Das Skalarprodukt der Vektoren r und s gibt die Liinge der Projektion des Vektors r auf die Richtung des Vektors s an.) Damit gehen G1. (2.2a) und G1. (2.2b) uber in

E =Asin[w(rs)-wt+S]

und

E = Acos[w(rs)-wr+6].

(2.3a, b)

Abb. 2.3 Zur Ableitung der GI. (2.3)

Komplexe Darstellung der ebenen Wdle. Die elektrische Feldstiirke als eine beobachtbare GroRe mul3 durch reelle Funktionen dargestellt werden. G1. (2.3a) und G1. (2.3b) beschreiben also den physikalischen Sachverhalt unseres Modells der ebenen Welle. Zur rechnerischen Vereinfachung theoretischer Ableitungen ist manchmal die komplexe Schreibweise der elektrischen Feldstiirke formal anwendbar. Es gilt zunachst E = A Im (ej[w(r8)-m1+6]] und E = A Re (e j[w(ri)-mt+sJ)

Beide Gleichungen lassen sich zusammenfassenzu E = Ae

j[w(rs)-ar+S]

(2.4)

26

2 Physikalische Grundlagen

Von den unter Anwendung von G1. (2.4) erhaltenen Ergebnissen hat dam n u der Realteil oder der Imaginiirteil physikalische Bedeutung. Die komplexe Amplitude. Mit der Anfangsphase 6 und dem Betrag der Amplitude A kann d e komplexe Amplitude

(2.5)

a =

gebildet werden. Setzen wir noch w = -2n und

li

0=

h

ein, dann erhalten wir aus G1. (2.4) mit G1. (2.5) 2rj

-( r s - C l )

E = a e A

I

Die komplexe Amplitude a stellt die formale Zusammenfassung des Betrags der Amplitude A und der Anfangsphase 6 der Welle dar.

Wellengleichung. Die G1. (2.6) fiir die ebene periodische Welle ist eine Losung der aus den Maxwellschen Gleichungen fir homogene isotrope Nichtleiter

h + r o t E = 0,

-b+rotH = 0

(2.7a, b)

folgenden Wellengleichung (B magnetische Induktion, H magnetische Feldstiirke, D elektrische Verschiebung, E elektrische Feldstiirke). In isotropen Stoffen gilt aul3erdem D = &,&oE, H = -B . Pr PO

(2.8a, b)

Darin sind E~ und p o die elelctrische bzw. magnetische Feldkonstante, E~ die relative Dielektrizitatskonstante, pr die relative Permeabilitat; E , und pr sollen orts- und zeitunabhhgig sein. Aus G1. (2.7b) geht rnit GI. (2.8a, b)

- &,E0 I3 + -rot B = P r PO

o

hervor. Wir differenzieren nach der Zeit und setzen B aus G1. (2.7a) ein. Wir erhalten E,E,

fi + 1

r o t rot E = 0. Pr PO

(2.7~)

Es ist rot rot E = grad div E - A E mit A E = divgrad E,.e,+divgradE,.e,+divgrad

Damit geht aus G1. (2.7~)

E,.e,,


27

hervor. Wir fiihren die Abkiirzung

ein und erhalten (2.9)

I

G1. (2.9) ist die partielle Differentialgleichung zur Bestimmung der elektrischen FeldstLke im homogenen isotropen Nichtleiter. in dem keine ijberschuSladungen enthalten sind. Sie wird Wellengleichung genannt.

E, = p , = 1. Die absolute Brechzahl des Nichtleiters, die durch n = co/c definiert ist, ist also mittels

Fiir das Vakuum ist

(2.10)

n=&

auf elektromagnetische StoffgroRen zuriickzufiihren. Im allgemeinen sind die Stoffe, die das Licht nicht absorbieren, nicht ferromagnetisch, so das mit guter Ngiherung pr = 1 ist und n= gilt. Fiir die ebene periodische Welle nach G1. (2.6) ist

J.r

grad Ex = -2xj Ex.s

A

und divgrad Ex = - - 4ERx2,

A2

gilt, erfiillt die G1. (2.6) die Wellengleichung. Es gibt aber noch eine Vielzahl weiterer Ltisungen der Wellengleichung, u.a. auch die der Kugelwelle. Intensitiit der ebenen Welle. Die magnetische Feldstiirke der ebenen Welle 1 s t sich aus der elektrischen Feldstlirke mit der G1. (2.7a) unter Beriicksichtigung von G1. (2.8b) berechnen. Mit G1. (2.6) erhalten wir wegen rot u v = u rot v + grad u x v

Bei der ebenen Welle ist rot a = 0,so did3 nach Ausrechnen des Gradienten 2 ~ j rot E = -(sxE)

A

wird. Integration von G1. (2.7a) nach der Zeit ergibt fiir die periodische Welle

H = --jrot1

PIPo

E . d t = -(sx PrPoC

E)

28


bzw. H =

\i""

(sxE). (2.11) PrPO Die Energiestromdichte, also die je Sekunde durch eine senkrecht zur Ausbreitungsrichtung stehende Flacheneinheit hindurchgehende Feldenergie, folgt aus

S =ExH.

(2.12)

S ist der Poyntingvektor. Fiir die ebene Welle gilt mit G1. (2.11) S = \ JPr, E POo [ E ~ ( s ~ E ) ] .

Nach dem Entwicklungssatz fiir doppelte Vektorprodukte und mit E s = 0 ( E steht senkrecht auf s) ergibt sich (2.13) Wir haben bereits betont, daR nur der Realteil oder der Imaginslrteil der komplexen Feldstiirke physikalisch sinnvoll ist. Diese Aussage wird bei der Produktbildung wesentlich. Fiir die Summe zweier komplexer Zahlen gilt: Realteil der Summe = Summe der Realteile beider Summanden, Deshalb diirfen komplexe Feldstiirken addiert werden. Fiir das Produkt zweier komplexer Zahlen gilt aber: Realteil des Produkts f Produkt aus den Realteilen der Faktoren. Der Realteil des Produkts zweier komplexer Zahlen beschreibt demnach nicht den physikalischen Vorgang, der durch das Produkt aus den Realteilen der Faktoren gegeben ist. Wir koMen trotzdem die komplexe Schreibweise verwenden, wenn wir statt E 2 den Ausdruck

[+ ( 6+ .*)I2

einsetzen ( E * ist zu E konjugiert komplex). Wegen E + E* = 2Re ( E ) ist gesichert, dao nur die physikalisch sinnvollen Realteile multipliziert werden. Damit erhalten wir

Durch die Periodizitat der elektrischen Feldstiirke schwanlct auch die Energiestromdichte zitlich und raumlich. Die Lichtdetektoren registrieren jedoch den Mittelwert iiber eine gro0ere Anzahl an Perioden. Diesen Mittelwert berechnen wir aus

Die ersten beiden Summanden sind periodische Funktionen, deren Mittelwert iiber eine Periode verschwindet. Der dritte Summand ist zeitlich konstant, so daB (2.14)

2.1 Lichtwellen und -srrahlen

29

gilt. Der Betrag des Zeitmittelwertes des Poyntingvektors, ((S)(,wird Intensitat der Welle genannt. Mit ~ , ~ ~ =pl /, ~pergibt *~ sich fiir die Intensitat l

2.1.2

Polarisationsarten

Die Lichtwelle ist eine transversale Welle, so dalj sie polarisiert werden kann. In einer polarisierten Welle beschreibt der Vektor der elektrischen Feldsttirke in jeder zur Ausbreitungsrichtung senkrechten Ebene eine bestimmte Bahn. Diese ist, wie wir noch beweisen werden, eine gerade Strecke, ein Kreis oder eine Ellipse. Dementsprechend unterscheidet man verschiedene Polarisationsarten.

I

Die Lichtwelle kann linear, zirkular oder elliptisch polarisiert werden.

Die linear polarisierte Welle hat eine raumfeste Ebene, in der die elektrische Feldstkke schwingt. In der senkrecht dazu liegenden Ebene mu3 dam die magnetische Feldstkke schwingen. Historisch hat sich folgende Bezeichnungsweise eingebiirgert:

I

Die elektrische Feldsttirke schwingt in der Schwingungsebene; die magnetische Feldsttirke schwingt in der Polarisationsebene.

Es ist auch moglich, dal3 sich linear polarisierte Wellen gleicher Phase, aber verschiedener Schwingungsrichtung in der gleichen Richtung ausbreiten. In solchem Licht, das partiell polarisiert heifit, ist eine Schwingungsrichtungbevorzugt enthalten. Im theoretischen Grenzfall, bei dem alle Schwingungsrichtungenvorkommen und alle Amplituden gleich sind, wird von natiirlichem Licht gesprochen. Eine linear polarisierte Welle, die sich in z-Richtung ausbreitet, wird nach GI. (2.2a) in reeller Form durch

E = Asin(wz-m+S) beschrieben. Wir erhalten experimentell linear, zirkular oder elliptisch polarisiertes Licht, wenn wir zwei phasenverschobene, senkrecht zueinander schwingende Wellen gleicher Frequenz uberlagern. Diesen Vorgang wollen wir theoretisch behandeln. Wir nehmen die x- bzw. die y-Richtung als Schwingungsrichtung an. Die elektrischen Feldstiirken der Wellen lauten Ex = AXsin(wz-wf+6,)

und Ey = Aysin(wz-ot+Sy).

Wir untersuchen die resultierende Feldstsirke und deren Schwingung am festen Ort z = ~ 0 Die , Anteile W Q in den Argumenten der Sinusfunktionen gehen dann in die Anfangsphase am Ort z = Q ein. Wir setzen WQ+&

=

s:,

wz0+c5, = 6;

und erhalten Ex = Axsin(-wf+61),

Ey = Aysin(-wt+6b).

30


Die Phasendifferenz zwischen den Wellen betragt

6 = 6;-6;.

(2.16)

Abb. 2.4 demonstriert das Entstehen einer zirkular polarisierten Schwingung fiir den Spezial-

6; = 0",

t=o

6 = 90"

It t =4w

Abb. 2.4 Entstehung der zirkular polarisierten Welle

Tabelle 2.2 Ableitung der Gleichung fiir die Schwingungsellipse

Komponenten der elektrischen Feldswke E, = A, sin (-ox + 6;) E, = A, sin (-mt + a:), Auflosen nach - mt Ex a,: -mt = arcsin -Ax

EY - at = arcsin --

6;

AY

Gleichsetzen der rechten Seiten

Einfiihren der Phasendifferenz 6 = 6; - 6: und Urnformen

9 = sin (arcsin -+ti A, A Ex X

1

Anwenden der Additionstheoreme

Anwenden von cos a = ,/=

Umformen

31


Fiir den allgemeinen Fall ist in Tab. 2.2 die Kurvengleichung

(2.17) abgeleitet worden. Die quadratische Gleichung (2.17) stellt einen Kegelschnitt dar (Abb. 2.5). Weil die Bahnkurve des Feldstiirkevektors innerhalb des durch 2Ax und 2Ay aufgespannten Rechtecks bleiben muR, kann es nur ein Kreis, eine Ellipse oder eine gerade Linie sein.

Abb. 2.5 Schwingungsellipse

In Tab. 2.3a und Tab. 2.3b sind auRerdem die Beziehungen enthalten. mit denen die Lage der Bahnkurven und das Achsenverhiiltnis der Ellipsen bestimmt werden konnen. Es gilt fiir die Lage (Abb. 2.5) tan201 = tan2ly.cos6,

tanly =

A’; Ax

(2.18a, b)

fiir das Hauptachsenverhiiltnis (Abb. 2.5)

sin2y = fsin2ly.sin6,

tany = .;b

Tabelle 2.3a Ableitung der Gleichung zur Berechnung der Achsenlage der Ellipse

Hauptachsentransformationder Kurvengleichung 2 cos 6 A, A* Ax A,

tan2a = --

Einfiihrung &r Abkiinung

Einsetzen und Anwenden eines Additionstheorems

tan2a = -

(2.19a, b)

32


Tabelle 2.3b Ableitung der Cileichung zur Berechnung des Hauptachsenverhfiltnissesder Ellipse Parameterdarstellung der Ellipsenflache F =1 $(E& - E y i , ) d r

2 Differentiation der Komponenten der elektrischen Feldstirke Ex = -oAxcos(-wr+6:), by = - o A , c O S ( - ~ t + 6 ~ ) Einsetzen in die Flachengleichung, Anwenden von Additionstheoremen

-z 1 oA,Aysin(6: - 6;)

F =

(~ni/m

jdr 0

EinfWen von S = 6; - 6: und Integrieren F = rcA,A,sin& Ausdrikken der Ellipsenflache mit den Halbachsen F = nab Gleichsetzen der Flachengleichungen und Beachten, daI.3 A,, A,, a, b positiv sind ab = f A,AY sin6 Intensiut der ebenen Wellen (Amplituden A, und A Y )

I

= ~%(A:+A,z)

2

IntensitBlt der ebenen Wellen (Amplituden a und b)

I

=

5%(aZ+b2) 2

Gleichsetzen der Intensitiiten a 2 + b 2= As+A,’ Division durch ub

iAy

a+-=+ b a

A,

A,

sind

Abkiirzungen

Einsetzen (h+tmy)sinS = Anwenden von

tan2y+l tan~

2 sin2y

Einsetzen sin2y = f s i n 2 y . s i n 6

33


Tab. 2.4 f&t die Schwingungsformen bei verschiedenen Werten der Phasendifferenz zusammen. Abb. 2.6 veranschaulicht den raumlichen Zustand einer elliptisch polarisierten Welle zu einer festen Zeit.

Abb. 2.6 Elliptisch polarisierte Welle in einem Zeitmoment

Tabelle 2.4 Polarisationsarten (Schwingungsformen in A b h g i g k e i t von der Phasendifferenz, Umlaufsinn entgegen der Lichtrichtung gesehen)

Phaseniifferenz

Kurvengleichung

I

Schwingungsform

IA,#A.

lEy =

I

ISchwingungsform I

I\

polarisiert

polarisiert

linkselliptisch polarisiert

linkselliptisch

elliptisch mlarisiert linkselliptiscb polarisiert linear polarisiert rechtselliptisch polarisiert elliptisch rechts-

Eli

linkszirkular polarisiert links-

elliptisch polarisiert linear polarisiert

1 0 1 1 1 0 1 &: :? I zisich polarisiert

polarisiert

polarisiert

elliptisch

elliptisch

34 2.1.3


Huygenssches Prinzip

Die Ausbreitung des Lichtes kann als Uberlagerung von Lichtwellen gedeutet werden. Wir erlautern diese Aussage am Beispiel einer Lichtwelle, die von einer punktfonnigen Lichtquelle ausgesendet wird. Die Lichtquelle ist dadurch ausgezeichnet, dal3 an ihrem Ort primiir eine elektromagnetische Schwingung eingeleitet wird. Die Schwingung ubertragt sich durch die radiale Ausbreitung des elektromagnetischen Feldes von Volumenelement zu Volumenelement. In der Umgebung der Lichtquelle beobachten wir die zeitlich und raumlich veriinderliche elektromagnetische Feldenergie als elektromagnetische Welle. Das Huygenssche Prinzip stellt eine M6glichkeit dar, die Ausbreitung dieser Welle allgemein zu verstehen. In Abb. 2.7 ist eine Kugelwelle durch die Wellenflachen veranschaulicht. Die Wellenfront ist verstsirlct eingezeichnet. In einem Punkt P’, der auf der Wellenfront liegt, beginnt gerade die Schwingung. Fiir das ubrige Gebiet hat der Punkt P’ also mit der Lichtquelle gemeinsam, dal3 eine Schwingung eingeleitet wird. Der Unterschied zwischen der Lichtquelle P und dem Punkt P’ besteht darin, daB am Ort der Lichtquelle Energie, z. B. Wiirmeenergie, in elektromagnetische Feldenergie umgewandelt wird, wiihrend die Schwingungsenergie im Punkt P’ aus der Welle selbst stammt. Die Schwingung sollte sich nun vom Punkt P’ aus ebenfalls radial ausbreiten und der Punkt P’ damit zum Zentrum einer Kugelwelle werden. Da der Punkt P’ beliebig ausgew2hlt ist, gilt dieselbe Uberlegung fiir jeden Punkt des Wellenfeldes. Diese theoretische Erwartung wird im ersten Teil des Huygensschen Prinzips postuliert.

I

Jeder Punkt eines Wellenfeldes ist Erregungszentrum einer Kugelwelle, die Elementarwelle genannt wird.

Wir beobachten jedoch keine Elementarwellen, sondern eine Kugelwelle, die von der Lichtquelle P ausgeht. Diese Tatsache wird durch die Uberlagerung der Elementarwellen erkliirt. In Richtung der Normalen zu den Gesamtwellenflachen koMen sich die Elementarwellen ungestort ausbreiten. In allen anderen Richtungen heben sie sich durch Interferenz gegenseitig auf. Daraus ergibt sich eine radiale Verschiebung der Wellenfront, die als Einhiillende der Elementarwellen erscheint. (In Abb. 2.7 ist ein Teil der neuen Wellenfront gebrochen eingezeichnet.)

..-

Abb. 2.7 Zum Huygensschen Prinzip

Zum Versthdnis dieses Vorgangs sei noch darauf hingewiesen, da0 die Erregungszentren infinitesimal benachbart sind und die Elementarwellen in kleinsten Bereichen interferieren. In Abb. 2.7 muDten der Abstand der Zentren und die Elementarwellen stark vergroRert dargestellt werden. Wir formulieren den zweiten Teil des Huygensschen Prinzips:


I

35

Die Elementatwellen uberlagern sich so, da13 nur ihre Einhiillende, die Wellenfront, beobachtet werden kann. Parallel zur Wellenfront verlaufen die Flachen gleicher Phase, die Wellenflachen.

Das Huygenssche Prinzip, also die Beschreibung der Wellenausbreitung mit Hilfe der ijberlagerung von Elementarwellen, bewtihrt sich bei der Deutung shtlicher Ausbreitungseigenschaften der Lichtwellen.

2.1.4

Lichtstrahlen

In der geometrischen Optik werden die Ausbreitungseigenschaften des Lichtes mittels der Lichtstrahlen beschrieben. Der Verlauf der Lichtstrahlen wird mit mathematischen Methoden untersucht. Es gilt also:

I

Die geometrische Optik bedient sich des Strahlenmodells des Lichtes.

Die Beschreibung der Ausbreitung von Lichtwellen geht im allgemeinen in die Beschreibung des Lichtweges mit Lichtstrahlen iiber, wenn die Wellenlhge des Lichtes gegen 0 geht. Die geometrische Optik versagt aber auch im Grenzfall 1 0 . wenn die Verhatnisse in der Umgebung der Schattengrenze und an Orten hoher Energiedichte untersucht werden sollen. Trotzdem wenden wir die geometrische Optik an, um die Begrenzung von Strahlenbiindeln und die Konzentration von Lichtstrahlen in einem Punkt oder dessen unmittelbarer Umgebung zu behandeln. Wir mussen uns aber dariiber klar sein, dal3 wir dann im Rahmen der geometrischen Optik selbst fiir kleine WellenlWgen nur Ntiherungsaussagen erhalten. Die feineren Einzelheiten, die mit der Biindelbegrenzungund der Vereinigung von Licht in der Umgebung von Bildpunkten verbunden sind, gehen dabei verloren. Wir fassen zusammen:

I

Das Strahlenmodell beschreibt den Lichtweg, wie er im Grenzfall verschwindender Wellenlhge auI3erhalb von Stellen hoher Energiedichte und in einer gewissen Entfernung von der Schattengrenze vorhanden wae. Von siimtlichen weiteren Eigenschaften des Lichtes wird abstrahiert.

Bestimmte Eigenschaften der Lichtwelle ktinnen dem Lichtstrahl formal - ohne physikalische Begriindung - zugeordnet werden, damit einige zusatzliche wellenoptische Aspekte in die geometrisch-optische Beschreibung einbezogen sind (z. B. Zuordnung einer Wellenlhge). Die Anwendung des Strahlenmodells auf Fiille, die nicht den theoretischen Voraussetzungen entsprechen (z. B. die Anwendung fiir I % 0). fiihrt zu Ntiherungsaussagen. Das Strahlenmodell des Lichtes wirft noch eine weitere Frage auf, die seine Anwendbarkeit auf praktische Probleme betrifft. Ein einzelner Lichtstrahl und sein Verlauf lassen sich mathematisch abstrakt behandeln. Experimentell ist ein einzelner Lichtstrahl nicht zu realisieren. Wir erlautern den ProzeS des Ausblendens eines Lichtbundels abnehmenden Durchmessers am Beispiel einer kreisformigen Lochblende. Wir erzeugen ein Parallelbiindel, das wir senkrecht auf einen undurchsichtigen Schirm mit einer kreisfdrmigen Offnung treffen lassen. Geometrisch-optisch ergibt sich hinter dem Schirm ein Parallelbundel mit dem Lochdurchmesser und damit einer scharfen Schattengrenze.Vemngern wir den Lochdurchmesser stetig, dam sollte sich das Bundel schlie6lich auf einen Lichtstrahl zusammenziehen. Praktisch wird dieser Proze6 durch den Wellencharakter des


36

Lichtes begrenzt. Mit kleiner werdender Lochblende tritt d e Beugung stPker in den Vordergrund. Im Bundel liegt eine Intensitatsverteilung nach Abb. 2.8 vor. Im Innern der ersten Nullstelle befindet sich der Hauptanteil der Intensitat (ca. 84%). Abb. 2.9 enthdt den auf die Brennweite f‘ einer abbildenden Linse bezogenen Radius r‘ des ersten dunklen Ringes und den halben Offnungswinkel u’ des Bundels. Die in Abb. 2.8 eingezeichnete Strahlenvereinigung im Brennpunkt der Linse ist also nicht geeignet, das Verhalten des Lichtes bei enger Blende richtig zu beschreiben.

I

Intensitat

Abb. 2.8 Intensitiitsverteilung durch Beugung an der kreisformigen Offnung 687

20 -

51,7

15 -

t

t

3

i_

34,4

‘;I0

-

m 0 7

122

5-

I

0

1

I

I

-

0,4 Ot6 0,8 Durchmesser der Offnung in mm

0,2

I

-

1.0

Abb. 2.9 Radius der ersten Nullstelle bei der Beugung an der kreisformigen Offnung

Bei R = 500 nm und 0,l mm Lochdurchmesser ist r’/ f’ = 6 , l . und u’ = 21’. In der Brennebene einer Sammellinse mit der Brennweite f’ = 50 mm betragt also der Durchmesser des hellen Zentrums 2r‘ = 0,61 mm. Wir halten fest:

I

Ein einzelner Lichtstrahl ist eine mathematische Abstraktion. In der Praxis mussen wir stets das Verhalten von Lichtbundeln untersuchen.

Axiome der geometrischen Optik. Es gibt verschiedene Moglichkeiten, zu den Gesetzen der geometrischen Optik zu gelangen. Wir werden zwar einige wellenoptische Aspekte zur Veranschaulichung und Begriindung der grundlegenden Gesetze heranziehen, grundsatzlich wollen wir sie jedoch axiomatisch an die Spitze stellen.

2.1 Lichtwellen und -suahlen

37

Axiome sind Satze. die im Rahmen der dargestellten Theorie nicht beweisbar sind. Sie folgen aus der Erfahrung, indem sie empirisch festgestellte Zusammenhbge verallgemeinern. Auf die Axiome wird das Gebaude der Folgerungen und theoretischen Aussagen aufgebaut. Das Brechungsgesetz z. B. soll ursprtinglich von Snellius durch Messungen gefunden worden sein. Die Meflfehler gestatten natiirlich nicht, das Gesetz in aller Strenge experimentell zu bestatigen. Die Abstraktion liegt in der mathematischen Fassung, die ex& fiir siimtliche im Rahmen der Voraussetzungen liegende Fgille gelten soll. Wir formulieren die Axiome der geometrischen Optik. 1. Axiom: Im homogenen Stoff sind die Lichtstrahlen gerade. 2. Axiom: An der Grenzflache zweier homogener isotroper Nichtleiter wird das Licht im allgemeinen nach dem Reflexionsgesetz reflektiert und nach dem Brechungsgesetz gebrochen. 3. Axiom: Der Strahlengang ist umkehrbar, d. h, die Lichtrichtung auf einem Lichtstrahl ist belanglos. 4. Axiom: Lichtbiindel durchkreuzen einander, ohne sich gegenseitig zu beeinflussen. Die Axiome 1, 3 und 4 sind fiir sich verst&dlich. Der Inhalt des 2. Axioms wird Gegenstand des nachsten Abschnitts sein. Zunsichst definieren wir noch einige Begriffe, die im Zusammenhang mit Gesamtheiten von Lichtstrahlen auftreten.

I

Jede raumliche Gesamtheit von Lichtstrahlen nennen wir ein Strahlenbundel; jede in einer Ebene liegende Gesamtheit von Lichtstrahlen nennen wir ein Strahlenbuschel.

In der geometrischen Optik kommen nicht beliebige Strahlenbundel vor. Die Lichtstrahlen mussen vom wellenoptischen Standpunkt aus senkrecht zu den Wellenflachen stehen.

I

Ein Bundel, dessen Strahlen Normalen zu einem Flachensystem darstellen, heil3t orthotom.

In der geometrischen Optik werden also orthotome Strahlenbundeluntersucht. Da l b g s des gesamten Lichtweges die Wellenflachen senkrecht zu den Strahlen verlaufen, gilt der Satz van Malus:

I

Durch Reflexionen und Brechungen des Lichtes geht die Orthotomie der Strahlenbundel nicht verloren.

Der Satz von Malus ist wellenoptisch evident. Wir verzichten deshalb auf den umstbdlichen Beweis mit rein geometrisch-optischen Mitteln.

2.1.5

Fermatsches Prinzip

Das Huygenssche Prinzip erkl8t-t die Lichtausbreitung mittels der ijberlagerung von Elementarwellen. Seine Basis ist das Wellenmodell des Lichtes. Das Fermatsche Prinzip ist eine weitere Grundlage fiir die Ausbreitung des Lichtes. Es fiihrt auf die dem Strahlenmodell des Lichtes zugeordneten Axiome, die wir in 2.1.4 angegeben haben. Der Sarz von Fermut 1Ut sich damit als allgemeines Prinzip fiir den Zugang zur geometrischen Optik venvenden. Er lautet:


38

Ein Lichtstrahl verbindet zwei Punkte des Raumes auf einem Weg, dessen optische Liinge, verglichen mit der Liinge von Nachbarwegen, einen Extremwert darstellt. Im allgemeinen handelt es sich um einen minimalen Weg. Das Fermatsche Prinzip gilt demnach W die optische Wegliinge L, die auch kurz Lichtweg genannt wird. Dieser ist gegeben durch L = nl.

(2.20)

Verglichen werden durfen nur der wirkliche Lichtweg und mogliche Nachbarwege. Abb. 2.10a zeigt, dal3 beim ebenen Spiegel der wirkliche Lichtweg zwischen A und A’ kiirzer ist als der gestrichelte Nachbarweg. Der direkte Weg zwischen A und A’ ist zwar kiirzer, er stellt aber keinen Nachbarweg dar. Abb. 2. lob enthiilt ein Beispiel dafiir,da13 der wirkliche Lichtweg zwischen A und A‘ l a i n ger ist als der gestrichelte Nachbarweg. Das geht daraus hervor, daO der Lichtweg iiber den zum Vergleich eingezeichneten Ellipsenspiegel mit den Brennpunkten A und A’ unabhhgig vom AuflrefTpunkt des Strahls konstant ist.

a)

bJ

C)

Abb. 2.10 Fermatsches Prinzip, wirklicher Lichtweg ist ein Minimum (a) bzw. Maximum (b) bzw. gehort zu einem Wendepunkt (c)

Abb. 2 . 1 0 ~demonstriert den Spezialfall gleicher L h g e aller Lichtwege zwischen A und A’, wie er beim Kugelspiel moglich ist. (A und A’ stimmen mit dem Kriimmungsmittelpunkt uberein.) Bei stiickweise konstanter Brechzahl (Abb. 2.1 l), dem praktisch wichtigsten Fall, lautet die mathematische Fassung des Fermatschen Prinzips x n k l k = Extremum.

(2.21)

k

Die absolute Brechzahl nk des StOffeS k ist durch

gegeben; co bzw. ck sind die Lichtgeschwindigkeiten im Vakuum bzw. im Stoff k. Damit gilt nach G1. (2.21)

?$

co

= Extremum.

co ist eine Konstante, und & = l k lck ist die Zeit, in der das Licht die Strecke Eine mit GI. (2.21) gleichwertige Formulietung lautet also = Extremum.

x& k

zuriicklegt. (2.22)

2.2 Reflexion und Brechung

39

Abb. 2.11 Lichtweg bei stiickweise konstanter Brechzahl

In Worten:

I

Das Licht legt zwischen zwei Punkten denjenigen Lichtweg zuriick, der gegeniiber Nachbarwegen eine extremale Zeit erfordert.

In den sogenannteninhomogenen Stoffen ist die Brechzahl eine stetige Funktion des Ortes. Der Lichtweg zwischen den Punkten A und A' ist aus A'

L = J'nd

(2.23)

A

zu berechnen. Das Fermatsche Prinzip ist in die Form r n d l = Extremum

(2.24)

A

zu bringen. Die Berechnung des Verlaufs der Lichtstrahlen nit G1. (2.24) ist eine Aufgabe der Variationsrechnung, d e GI.~ (2.24) ist gleichwertig mit A'

6 j n d l = 0. A

Die auf G1. (2.25) bezogene Formulierung des Fermatschen Prinzips lautet:

I

Die erste Variation des Lichtweges verschwindet.

Das Problem 1Ut sich auf die Losung von Differentialgleichungen,den Eulerschen Gleichungen der Variationsrechnung, zuriickfiihren.

2.2 Reflexion und Brechung 2.2.1

Brechungsgesetz

Wdlenoptische Begriindung des Brechungsgesetzes. Wir untersuchen das Verhalten des Lichtes an einer unendlich ausgedehnten, ebenen Grenzfliiche, die zwei homogene, isotrope und nichtabsorbierende Stoffe voneinander trennt.


40

An dieser Stelle nennen wir einen Stoff “homogen”, wenn die Phasengeschwindigkeit des Lichtes an jeder Stelle den gleichen Betrag hat; wir nennen ihn “isotrop”, wenn die Phasengeschwindigkeit des Lichtes unabhagig von der Ausbreitungsrichtung ist. Eine ebene Lichtwelle treffe unter dem Einfallswinkel E auf die Grenzflache auf. Der hindurchgehende Anteil wird gebrochen und verlaist die Grenzflache unter dem Brechungswinkel E’. Die Brechung des Lichtes ist eine Folge des Huygensschen Prinzips, nach dem die Ausbreitung der Wellenfront als Ausbreitung der Einhiillenden von Elementarwellen erkliirt wird (Abb. 2.12).

Abb. 2.12 Brechung an einer Grenzflache

Abb. 2.13 Zur Ableitung des Brechungsgesetzes mit dem Huygensschen Prinzip

In Abb. 2.13 stellt die Ebene AC eine Wellenflache dar. In der Zeit, in der die Wellenfront im Stoff 1 vom Punkt A aus bis zur Grenzflache (Punkt B) gelangt, breitet sich die Wellenfront im Stoff 2 vom Punkt C bis zum Punkt D aus. Die Ebene BD ist ebenfalls eine Wellenflache. Fiir die Ausbreitungszeit gilt (c und C’ sind die Phasengeschwindigkeiten des Lichtes) y sin&

t = --

und

y sin E’ t = I C

C

(2.26)

Gleichsetzen der rechten Seiten und Umformen ergibt

-sin- e‘c sine

I

/

--

(2.27)

c*

‘

Fiir ” < wird das Licht d>C

vom

hin gebrochen. Einfallslot weg

Die Richtung der Wellennormalen gibt im isotropen Stoff zugleich die Richtung der Lichtstrahlen an, so daD auch in der geometrischen Optik das Brechungsgesetz (2.27) gilt. Theoretisch exalct ist diese Aussage jedoch nur fiir die unendlich ausgedehnte Grenzflache. An einer durch Kanten begrenzten Flache eines Korpers tritt Beugung auf. In vielen praktischen Fiillen kann jedoch davon abgesehen werden. Auch bei nichtebenen Wellenflachen wenden wir das Brechungsgesetz (2.27) an. Gebrochen wird die Wellennormale, also der Strahl.

2.2 Reflexion und Brechuna

41

Absolute und relative Brechzahl. Fiir den iibergang des Lichtes aus dem Vakuum in einen Stoff gilt das Brechungsgesetz (2.27) in der Form

sine sine'

- CO = n.

(2.28)

c

Das Verhdtnis aus der Phasengeschwindigkeit des Lichtes im Vakuum co und der Phasengeschwindigkeit des Lichtes in einem Stoff c ist dessen absolute Brechzahl n.

I

Fiir zwei verschiedene Stoffe 1st

n = -co

und n ' = 7 co ,

C

(2.29)

C

so daR I

c=IL C'

(2.30)

n

gilt.

Das Brechungsgesetz (2.27) l a t sich mit (2.30) als sine, sine

-a n'

oder (2.31)

nsine = n'sine'

schreiben. Das Produkt n sine kann also mit den vor der Flache giiltigen GrtiBen oder mit den hinter der Flache gultigen GroBen gebildet werden. Es ergibt sich beide Male der gleiche Wert.

I

Das Produkt n sine ist eine Invariante der Brechung.

In der technischen Optik wird zur Kennzeichnung des Stoffes im allgemeinen die Brechzahl nL gegenuber Luft verwendet. Weil aus G1. (2.30) nach Erweitern

CI - -.-

nLuft

=

3 mit

n

__ =

n' - n; nL und nLuft

nt n Luft folgt, gilt G1. (2.31) auch dann, wenn die Brechzahlen n und n' auf Luft bezogen sind. c

nL"R

n'

ZusammengefaBt ergibt sich als Inhalt des Brechungsgesetzes ftir die Brechung an der Grenzflache zwischen zwei homogenen, isotropen und nichtabsorbierenden Stoffen:

I

Der Lichtstrahl bleibt in der Einfallsebene. Einfdls- und Brechungswinkel sind verkniipft durch n sine = n' sine'.

Zeichnerische Ermittlung der Richtung des gebrochenen Strahls. Die Richtung des gebrochenen Strahls l%t sich mit einem einfachen zeichnerischen Verfahren bestimmen. Wir geben zunachst die Zeichenvorschrift an und beweisen anschliefiend deren Richtigkeit. 1. Zeichne zwei konzentrische Kreise, deren Radien sich wie die Brechzahlen beiderseits der

Grenzflache verhalten! 2. Zeichne durch den Mittelpunkt der Kreise eine Parallele zur Strahlrichtung vor der Grenz-

fltiche! Diese schneide den Kreis, dessen Radius der Brechzahl vor der Grenzfliiche proportional ist, im Punkt A.


42

3. Zeichne durch den Punkt A eine Parallele zum Einfallslot! Diese schneide den Kreis, dessen Radius der Brechzahl hinter der Grenzflache proportional ist, im Punkt B. 4. Verbinde den Mittelpunkt der Kreise mit dem Punkt B! Diese Verbindungslinie ist der Strahlrichtung hinter der brechenden Flache parallel.

Abb. 2.14 Zur Konstruktion der Richtung des gebrochenen Strahls

Beweis (Abb. 2.14). Anwenden des Sinussatzes im Dreieck ABC:

sin(-&') = -r sin(l8O0+e) r" Anwenden von sin(-&') =-sin&', sin(l80"+~)= -sin& und Vergleich mit dem Brechungsgesetz ergibt

also das vorausgesetzte Radienverhdtnis. Die Hilfskonstruktion wird zweckmaig auRerhalb des eigentlichen Strahlenverlaufs und in einem vergroaerten Maastab ausgefiihrt. Das Verfahren ist nicht nur bei Planflachen anwendbar. Vektorielles Brechungsgesetz. Sowohl das Brechungsgesetz (2.3 1) als auch die zeichnerische Konstruktion der Richtung des gebrochenen Lichtes sind einfach anwendbar, wenn die Strahlen in einer Ebene bleiben. Bei der Brechung an mehreren Flachen bleibt ein Lichtstrahl zwar an jeder Einzelflache in der Einfallsebene; die Einfallsebenen verschiedener Flachen stimmen im allgemeinen jedoch nicht uberein. Es ist dann der Strahlenverlauf im Raum zu untersuchen. Dabei sind oft komplizierte raumliche Winkelbeziehungenzu betrachten. Ein raumlicher Strahlenverlauf l a t sich rationell behandeln, wenn die Flachenlagen und die Strahlrichtungen durch Vektoren beschrieben werden. Die Richtung des Lichtstrahls vor bzw. nach der Brechung ist durch den Einheitsvektor s bzw. s' gegeben (Abb. 2.15). Die Lage der Flache bezuglich des einfallenden Lichtstrahls ist durch die Richtung der Flachennormalen im Auftreffpunkt charakterisiert. Wir verwenden dazu den Normaleneinheitsvektor n.


43

Abb. 2.15 Einheitsvektoren fiir das vektorielle Brechungsgesetz

Abb. 2.16 Vektorielles Brechungsgesetz

Das vektorielle Brechungsgesetz hat die Vektoren s, s’ und n so miteinander zu verknupfen, dal3 nsine =n’sine’ gilt. Es liegt nahe, die Sinusfunlctionen durch die Betriige von Vektorprodukten zu ersetzen. Es gilt (Abb. 2.15) sine = IsxnI und nsi&‘ = Is’xnl. (2.32) Weil der Lichtstrahl bei der Brechung in der Einfallsebene bleibt, stehen die Vektoren s x n und s’x n senkrecht auf der Einfallsebene. In Abb. 2.15 weisen beide Vektoren in die Zeichenebene hinein (vgl. Abb. 2.16). Wir diirfen also auch

n(s x n ) = n’(s’x n )

(2.33)

setzen. G1. (2.33) ist das vektorielle Brechungsgesetz (Abb. 2.16). Im allgemeinen sind die FlEhenlage und die Richtung des einfallenden Lichtstrahls bekannt, d. h., die Vektoren n und s sind vorgegeben. Die Aufgabe besteht dann darin, aus dem vektoriellen Brechungsgesetz (2.33) den Einheitsvektor s’ in Richtung des gebrochenen Strahls zu berechnen. Die Auflosung von G1. (2.33) nach s‘ ist in Tab. 2.5 enthalten. Das Ergebnis lautet s‘ = n s -n

n’

1; 1.J(ns)-

(2.34)

Die Komponenten von s’ folgen aus (2.35) Die Rechenvorschrifkn (2.35) fCir die Komponenten von s’ wertet man am besten in einem Rechenschema aus. Mit den Abkiirzungen (2.36a, b, c) von denen N und W in Nebenrechnungen bestimmt werden, erhalten wir nach Tab. 2.6.

2.B.

das Schema

44


Tabelle 2.5 Ableitung des vektoriellen Brechungsgesetzes ____

~

_

_

_

_

_

_

Anwenden des vektoriellen Brechungsgesetzes n ( s x n ) = n'(s'x n )

Vektorielle Multiplikation mit n

1

Anwenden des Entwicklungssatzes n[n2s- (ns)n] = n'[nzsf- (ns*)n]

Anwenden von n2 = 1, Auflosen nach s'

+

I

[s - (ns)n] n(ns')

I Anwenden des Brechungsgesetzes Anwenden von cos E = (ns) und sin2 E = 1- cos2 E

I Einsetzen IK G n t e n d a r s t e l l u n g

Tabelle 2.6 Rechenschema fiir das vektorielle Brechungsgesetz

- nxM

- nyM

- n,M

+ s,N

+ s,N

+ s,N

2.2.2

N(ns) -W

I

Rdexionsgesetz

An einer Grenzflache, die zwei Stoffe unterschiedlicher Brechzahl voneinander trennt, wird stets ein Teil des Lichtes reflektiert. Das Reflexionsgesetz, das wir wie das Brechungsgesetz mit dem Huygensschen f i n z i p begriinden konnten, lautet:


I I

45

Der Lichtstnhl bleibt in der Einfallsebene. Einfalls- und Reflexionswinkel sind durch &

= -d

miteinander verknupft.

Der Reflexionswinkel &’ wird analog zum Einfallswinkel & gegenuber der HaCheMOfmalen, also gegenuber dem Einfallslot, gemessen. In der Schreibweise & = -€’ (2.37) driickt sich die Vorzeichenregel fiir Winkel aus, die natiirlich auch fix den Reflexionswinkel gilt. Wir konnen die Tatsache, d d der Reflexions- und der Einfallswinkel entgegengesetzt gleich sind, auch dadurch veranschaulichen, dal3 bei der Reflexion beide Strahlen auf derselben Seite der Grenzflache liegen. Der Lichtstrahl “kehrt sich im wesentlichen um”. Der Vergleich des Brechungsgesetzes (2.31) und des Reflexionsgesetzes zeigt, dal3 das Reflexionsgesetz formal als Spezialfall des Brechungsgesetzes fiir

n = -n’ (2.38) aufgefdt werden kann. Die Folge davon ist, d d Beziehungen, die fiir die Brechung abgeleitet worden sind, unter Anwendung von G1. (2.38) fiir die Reflexion spezialisiert werden konnen. Vektorielles Reflexionsgesetz. Auch das Reflexionsgesetz IiU3t sich in eine vektorielle Form bringen. Wir legen fest, d d der Normalenvektor A in die reflektierende Flache hinein und der Strahlvektor s’ in Richtung des reflektierenden Strahls weist (Abb. 2.17).

Abb. 2.17 Einheitsvektoren fiir das vektorielle

Abb. 2.18 Zur Ableitung des vektoriellen

Reflexionsgesetz

Reflexionsgesetzes

Das vektorielle Reflexionsgesetz geht aus dem vektoriellen Brechungsgesetz hervor, wenn n’ = - n gesetzt und s‘ in -s’ (2.39) ubergefiihrt wird. Dies ist zu erkennen, wenn man den Spezialfall & = 0 betrachtet. Das vektorielle Brechungsgesetz ergibt s’ = s

(&=0), w w e n d das Reflexionsgesetz mit der festgelegten Richtung von s’ s’ = - s (&=0) ergeben m a .

(2.40)

46


Aus G1. (2.33) folgt mit GI. (2.38) und GI. (2.39) das vektorielle Reflexionsgesetz s x n = s’xn.

(2.41)

Entsprechend geht GI. (2.34) mit G1. (2.38) und GI. (2.39) uber in s‘ = s - 2(ns)n.

(2.42)

G1. (2.42) ist auch anhand von Abb. 2.18 auf einfache Weise anschaulich abzuleiten. Die Komponenten des Strahlvektor s’ lauten s; = si -2(ns)n,,

i = x , y, z .

Auch fiir die Auswertung dieser Rechenvorschriften sei ein Rechenschema vorgeschlagen (Tab. 2.7). Tabelle 2.7 Rechenschema fiir das vektorielle Reflexionsgesetz

2.2.3

Polarisation durch Reflexion und Brechung

Reflexions- und Brechungsgesetz sind eine unmittelbare Folge der Forderung, daR die Tangentialkomponente der elektrischen Feldstiirke an der Grenzflache zweier Dielektrika stetig ist: Et, = Et* (E,, Tangentialkomponente unmittelbar vor, E,* unmittelbar hinter der Grenzflache). Die Gleichungen der elektrischen Feldstiirken an der Grenzflache lauten nach G1. (2.6)

einfallende Welle

Ej(r.

E = a.e

- c,)

reflektierte Welle gebrochene Welle Die Grenzflache liege in der x-y-Ebene, also bei z = 0. Die Stetigkeitsforderungfiihrt auf Ex+EI = E:I und

E,+E; = EY.

Diese Gleichungen mussen fiir beliebige Zeiten t und beliebige Punkte der Grenzflache gelten. Das ist nur moglich, wenn die variablen Exponentialfunktionen in jedem Summanden gleich sind. Diese Forderung bedeutet


47

Gleichheit der Koeffizienten von r liegt vor, wenn

also

ist. Wegen c = v;l ist

v=v=v. Die Frequenz des Lichtes gindert sich bei Reflexion und Brechung nicht. Wenn die Einfallsebene die n-z-Ebene ist. gilt sy = 0 , so daS wegen GI. (2.43) auch S; = S; = 0 sein muS. Das ist der Beweis dafiir,daf3 die Normalen des reflektierten und des gebrochenen Lichtes in der Einfallsebene liegen.

Eih'allsebene

reflektkrende Fldche

Abb. 2.19b Zerlegung der Feldstiirkevektoren. Azimut

Abb. 2.19s Vektoren und ihre Zerlegung

bei Reflexion und Brechung Fiir die x-Komponenten ist

A = -s:n" Und S, = -s" Y X n zu fordern. Aus Abb. 2.19a ist abzulesen, dal3 S,

s,=

= : S

-sine,

s:=

sind, =:s

-sin&"

(2.44a, b. c)

ist. Damit ergeben sich das Reflexionsgesetz &'=-& und das Brechungsgesetz n s i n ~ = n"sin &" direkt aus der Stetigkeit der Tangentialkomponentender elektrischen Feldstiirke an der Grenzflache.

48

2 Physlkalische (irundlagen

Fresnelsche Formeln. Wir lassen eine linear polarisierte ebene Lichtwelle auf die Grenzflache zwischen zwei homogenen und isotropen Nichtleitern auftreffen. Ein Teil der Lichtenergie wird reflektiert, ein Teil geht durch die Grenzflache hindurch. Fiir die Amplituden der reflektierten und der gebrochenen Lichtwelle erhalten wir relativ einfache Gleichungen, wenn wir sie in eine Komponente parallel zur Einfallsebene up und eine Komponente senkrecht zur Einfallsebene a, zerlegen (Abb. 2.19b). Den Winkel zwischen der Einfallsebene und der Schwingungsrichtung nennen wir Azimut. Fiir die Azimute gilt

(2.45) Aus Abb. 2.19a lesen wir a, = - u p cos E ,

a: = a)pcos E’,

a, = a,,

a; = a:, a: = a i s i n d ,

a, = -a,sinE,

al: = -U:COS d f , ajr = uy, a: = -agsinE”

(2.46)

ab. Da dle Grenzflache dle x-y-Ebene, die Einfallsebene die x-z-Ebene ist, hat der Ortsvektor r keine y- und z-Komponente. Es ist also

sr = s,x,

sfr = six,

sf‘r = s:x.

Mit den Gleichungen (2.44a, b, c) fiir die Komponenten von s, sf und s f f , dem Reflexionsund dem Brechungsgesetz wird -sr= - -

s’r = -

xsinE

C

C

9

--xsinE

C

C

’

sf’r - --xsin& Cff

C

Es ist also sr/c=s‘r/c=sffr/cf‘, und die Exponentialfunktionen in den Gleichungen fiir die elektrischen Feldstkken an der Grenzflache sind gleich. Die Stetigkeitsbedingungen f i r dle Tangentialkomponenten der elektrischen Feldstjirke gelten fur dle komplexen Amplituden: a,+a:

= a:,

u,+a;

= a;

bzw. mit den Gleichungen (2.46) (up-u’,)cosE =

a;COSEN,

a,+a: = a,.

(2.47a, b)

Die Stetigkeitsbedingungen fiir die Tangentialkomponenten der magnetischen Feldstiirke H , , = H,* lauten mit n = wegen

JEr

unter Beachtung der Gleichheit der Exponentialfunktionen in E , E‘, E“

n ( s x a),

+ n(s’ x d ) , =

n ( s x a),

+ n(s’ x d ) , = n ” ( f

n N ( S nx

a”),

und x a”),.


ex

49

ey

ez

, 0 COSE -aapcos& a, -aPsin&

s x a = -sin&

ex

s ' x ~ '= -sin&

al,cos&

ey

I

,

-COSE

a:

-a',sin~

sin( nc,, die Hauptdispersion also positiv (normale Dispersion). (In friiheren Glaskatalogen wurde nd als Hauptbrechzahl verwendet. AuBerdem war die Grunddispersion oder mittlere Farbzerstreuung nF - ncJ angegeben). Die Abbesche Zahl v stellt eine GroRe dar, mit der ebenfalls die Dispersion der optischen Glker beschrieben wird. Die Abbesche Zahl hat eine besondere Bedeutung ftir theoretische Zusamrnenhiinge, die bei der Synthese optischer Systeme angewendet werden. Die Abbesche Zahl fiir die Wellenluge A ist definiert durch VA =

n A- 1 nF'-nr

78


Es 1st also zu beachten, daB eine groRe Abbesche Zahl eine kleine Dispersion bedeutet, und umgekehrt. Zur Charakterisierung des Dispersionsverhaltens optischer Glber in Glaskatalogen sol1 die Abbesche Zahl verwendet werden, die mit der Hauptbrechzahl berech.net wurde, also n , -1

v, =

nF’

- net

Die optischen Glber liegen etwa im Bereich 10 < v, < 120.

In der Fertigung befinden sich Glastypen, f i r die etwa 20 < v, < 90 gilt. (Frtiher w d e in Glaskatalogen die Abbesche Zahl vd = (nd - l)/(nF - n c ) verwendet.) Der Tradition folgend werden Glber in den Bereichen n, < 1,6028, n,

v, > 54,7,

> 1,6028, v, > 49,7

Krone, die ubrigen Glber Flinte genannt (Abb. 2.44). (Fiir die vorher verwendete Bezugslinie “d” liegt die Grenze fiir nd> 1,6 bei vd = 50, fiir nd< 1,6 bei vd = 5 5 . )

20

50

80

v,

Abb. 2.44 Einteilung der Glaser in Flinte und Krone

Die relative Teildispersion P’ wird fiir spezielle Aufgaben der Farbfehlerkorrektion optischer Systeme benotigt.

I

Eine relative Teildispersion ist eine auf die Hauptdispersion bezogene Teildispersion.

Forme1ms;Big gilt

Ein Beispiel ist

Glasdiagramme. Ein Glastyp wurde friiher ausschlieSlich durch die Glasart und eine laufende Nummer beschrieben (z. B. Borkron 7 mit dem Symbol BK 7). Heute wird die Angabe Optisches Glas Glasart 1000(n, - l)/lOv,

79

2.3 Dispersion und Absorption

bevormgt ( n , mit drei Stellen, v, mit einer Stelle nach dem Komma). Fiir BK 7 mit n, = 1,5 18, v, = 63,9 lautet die Bezeichnung Optisches Glas BK 518/639. (Gelegentlich werden auch 1000(n, - 1)und lOv, verwendet.) Um bei der Vielzahl der zur Verfiigung stehenden Glker einen schnellen iiberblick uber deren optische Daten zu erhalten, hat es sich als nutzlich erwiesen, ihre Lage in verschiedene Glasdiagramme einzuzeichnen. Glasdiagramme benotigt man vor allem bei der Synthese optischer Systeme. Das n-v-Diagramm (Abb. 2.45a) ermoglicht einen ijberblick uber das Brechungs- und Dispersionsverhaltender Glastypen. In Zeichnungen, Rechenunterlagen und vor allem in Glasdiagrammen ist die genormte Bezeichnung unhandlich. Deshalb erhZilt jeder Glastyp zusatzlich eine Codenummer. durch die er z. B. im Glasdiagramm gekennzeichnet wird.

I

60

I

I

50

40

o: -.-

*e

Abb. 2.45a n,-v,-Diagramm fiir optische Gl-r

Optische Kristalle. Kristalle sind wertvolle Werkstoffe, die verwendet werden, wenn die optischen Eigenschaften der GlLer deren Einsatz nicht mehr zulassen. In der Natur kommen Kristalle meist nicht in ausreichender GrOl3e und Reinheit vor, deshalb werden sie kiinstlich geziichtet. Kristalle haben oftmals extreme optische Eigenschaften, sie konnen deshalb vorteilhafi in speziellen optischen Systemen mit hoher Bildgute eingesetzt werden. FluSspat (CaF, ) wird z. B. wegen seiner gunstigen Dispersionseigenschaften in Mikroobjektiven verwendet. In den Spektralbereichen, die an das sichtbare SpelrXrum angrenzen, absorbieren die Glker bereits stark. Fiir diese Bereiche werden Kristalle eingesetzt; im Ultravioletten z. B. FluSspat (durchlsSsig bis 150 nm herab) und @an. Bei Bauelementen fiir die visuelle Beobachtung koMm doppelbrechende Kristalle schlecht verwendet werden. Deshalb wird Quarz nicht in seiner kristallinen Form, sondern geschmolzen als Kieselglas (auch Quarzglas genannt) benutzt. Im Infraroten wird vielfach Steinsalz (durchlksig bis 1700 nm) eingesetzt. Lithiumfluorid (LiF) wird sowohl im Ultravioletten als auch im Infraroten verwendet. Doppelbrechende Kristalle benutzt man in der Polarisationsoptik zur Erzeugung und Untersuchung von polarisiemm Licht.

80


Optische Plaste. Plaste oder optische Kunststoffe sind synthetische Polymerisationsprodukte, Wenn sie bestimmten physikalischen Anforderungen geniigen, z. B. ausreichend transparent, wischfest und temperaturfest sind, kann man sie als optische Werkstoffe verwenden. Besonders geeignet sind u. a. die Duroplaste. Aus der Literatu sind uber 100 optisch brauchbare Plaste bekannt. Wir zeigen in Abb. 2.45b d e Lage dieser Plaste im n- v-Diagramm. Man erkeMt, dal3 sie den Bereich optischer Gliiser in Richtung kleiner Brechzahlen und kleiner Abbescher Zahlen erweitern. Wie bei den GlBern mu13 versucht werden, Stoffe zu entwickeln, die im n-v-Diagramm einen gro13eren Bereich uberstreichen.

'W

,

1

100

80

1

1

1

-

60

D'

1

40

1

1

20

,

n - vn -Diagramm mit der Lage der optischen Plaste Abb. 2.45b

Plaste haben gegenuber Glas einige Vorteile; man kann einfache Bearbeitungsmethoden anwenden, und der Materialpreis ist gering. So betragt bei entsprechend hoher Stiickzahl der Preis fiir eine Plastlinse nur 15% des Preises einer entsprechenden Glaslinse. Plaste haben auRerdem eine gute Lichtdurchlksigkeit, eine geringere Schockempfindlichkeit und eine geringere Dichte als Gliiser. Nachteilig sind die etwa zehnfach grogere Temperaturabhhgigkeit der physikalischen Eigenschaften, besonders der Brechzahl, die relativ geringe Temperaturbesthdigkeit und der hohe W-eausdehnungskoeffizient. Auf Grund der teilweise ungunstigen Eigenschaften sind Plaste gegenwmg fiir optische Systeme mit hoher Bildgiite ungeeignet. Giinstig sind sie in der Beleuchtungsoptik bei nicht zu hohen Temperaturbelastungen und fiir Bauelemente z u visuellen Anwendung einsetzbar. In groOen Stiickzahlen werden bereits Lupen, Prismen, Beleuchtungslinsen, gemmmte Lichtleiter, Plastfaserbundel und Brillengliiser hergestellt. Fiir Brillenglker wird der besonders widerstandsfige Duroplast 01 PS verwendet. Auch Fotoobjektive mit einem Offnungsverhtdtnis von 1: 8 sind bereits entwickelt worden. Plaste werden ferner zur Herstellung von Haftschalen, Kiivetten, Arbeitsschutzglkern und als Speicherstoffe verwendet. Besonders geeignet sind sie als Werkstoff fiir asphiirische Linsen, Fresnel-Linsen und Fresnei-Prismen. Plaste sind kein Ersatz fiir konventionelle optische Werkstoffe, sondern eine wertvolle Ergihzung.

Infrarottransparente Stoffe. Fur optische Bauelemente, die im infraroten Spektralbereich eingesetzt werden, ist eine hohe Transparenz in diesem Gebiet erforderlich. Einzelne optische Gliiser eignen sich nur fiir das nahe Infrarot (ca. bis 3 pm). Umgekehrt absorbieren die Infra-


81

rotstoffe im sichtbaren Gebiet meistens sehr stark, so daB Methoden der Optik, die im sichtbaren Gebiet angewendet werden, fiir optische Systeme im Infraroten abgewandelt werden miissen (Zentrierung, priifung u. a.). Besondere Bedeutung fiir die Thermografie und die Whnebildtechnik haben Spektralbereiche der beiden “optischen Fenster”, in denen die Atmosphke sehr gute Transparenz hat (A= 3.. .5 pm, A = 8.. .14 pm). Wir konzentrieren deshalb die Ausfiihrungen auf Stoffe fiir diese Spektralbereiche. Die optischen Kennzahlen, die fiir Glaer definiert wurden, konnen auch auf die infrarottransparenten Stoffe angewendet werden (Tab. 2.14). Es ist jedoch ublich, als Abbesche ZahTabelle 2.14 1nfrarotdurchl;issige Stoffe

Stoff

Brechzahlen bei 3 4

(in pm)

5 v4 MgO 1,6920 1,6684 1,6368 12,l 4 0 3 1,7077 1,6752 1,6266 8,3 1,659 MgOA1203hp 1,698 1,685 17,6 LiF 1,36660 1,34942 1,32661 8,7 MgFz 1,3640 1,3526 1,3374 13,3 CaF, 1,41750 1.40963 1,39908 22,z BaF, 1,4613 1,458 1,4502 41.3 NaCl 1,52447 1,5219 1,51892 94,O KCl 1,47366 1,4720 1,4706 154,2 1,5341 222.9 KBr 1.5365 1,535 1,667 CsBr 1,669 1,668 334,O 1,742 CsJ 1,744 1,743 371.5 KRS 5 2,3857 2,3820 2,3798 234,2 KRS 6 2,1990 2,1956 2,1928 192,8 ZnS 2,2572 2,25 18 2,2461 112.8 ZnSe 2,4376 2.4332 2,4295 176.9 CdS 2,273 2.264 2,259 9093 Si 3,4320 3,4255 3,4223 250,l Ge 4,0450 4,0244 4,0151 101,2 151,7 GaAs 3,3157 3,3062 3,3005 IR 11 1,6253 BS 37A 1,6266 1,6074 1,5826 13,8 BS 39B 1,6364 1,6181 1,5959 15.3 CORTRAN 9754 1,644 bei 1,3 pm As2S3 2,41608 2,41116 2,40725 1593 As2Se3 2,4882 2,4835 2.48 11 208,9 FSG 919 2,5196 2,5148 2,5 119 196.7 FSG 920 2,8116 2,8040 2,8000 155.5 FSG 921 2,625 1 2,6201 2,6172 205,l FSG 922 2,6273 2,6218 2,6182 178,2 BS 1 2,5120 2,5070 UKC 28 2,7120 2,7070 2,7026 181,6 UKC 29 2,6225 2,6178 2,6141 192.6 UKC 32 3,0072 2,9988 2,9926 136,9 UKC 34 2,6147 2,6100 2,6067 201,3

8 1,4824

10

12

v10

1,215 1,2634 1,4008 1,426 1,50677 1,49470 1,4567 1,4628 1,530 1,5268 1,6625 1,664 1,74 1,739 2,3745 2,3707 2,1839 2,1767 2,2228 2,2002 2,4173 2,4065 2,226 2,243 3,4179 3,4184 4,0053 4,0032 3,2774 3,2873

1,48180 1,449 1.5215 1.660 1,737 2,3662 2,1674 2,1700 2,3930 2,205 3,4173 4,0023 3,2653

19,8 33,l 62.0 165.6 2463 165,l 71,3 22,7 57.9 32,3 2198.1 1001,o 103,5

2,39403 2,4779 2,5034 2,7922 1,6113 2,6096 2,4972 2,6940 2,6065 2,9810 2,5995

2,36446 2,4749 2,4899 2,7817 2,6020 2,5947 2,4840 2.6788 2,5934 2,9635 2,5873

467 492,2 110.9 170,2 172,8 107,6 114,7 11l,o 122.2 112.8 130,7

2,38155 2,4767 2,4975 2,7873 2,6070 2,6029 2,49 14 2,6875 2,6006 2,973 1 2,5941


82

len fur die Bereiche der optischen Fenster v4

n4 -1

=n2

- a5

und y o =

nlo - 1 n8 - n12

anzugeben (die Indizes beziehen sich auf die Wellenl'dnge in p). Nach [35] kann man die Infrarotstoffe nach ihrer Struktur einteilen in Kristalle (Einkristalle, Mischkristalle, polykristalline Stoffe), - kristalline Halbleiter, - GlLser (Aluminat-, Germanat-, Chalkogenidglker), - Plaste. -

Nach der Herstellungstechnologielassen sie sich gliedern in Kristallzucht (aus der Schmelze oder Zonenschmelzverfahren), HeiRpreSverfahren, CVD-Verfahren (chemical vapour deposition, Abscheidung aus der Gasphase), Glasschmelze, Glasschmelze unter Hochvakuum (Chalkogenidglaser), Plastherstellung. Einkristalle sind z. B. CaF, und Thalliumhalogenide (KRS 5, KRS 6). HeiRgepreSte polykristalline Stoffe sind z. B. MgFz, MgO, ZnSe. Sie werden z. B. unter der Firmenbezeichnung IRTRAN angeboten. In neuerer Zeit wird auch der Einsatz von polykristallinem CaLa,S4 und SrLa2S4vorbereitet. Germanat-, Tellurit- und Aluminatglker sind im mittleren Infrarot einsetzbar. Sie W e n die Firmenbezeichnungen IR 11 (Aluminatglas, ehem. UdSSR), BS 37A, BS 37B (Aluminatglas, GB) und CORTRAN 9754 (Germanatglas, USA). Chalkogenidgliiser stellen amorph erstante Schmelzen von Schwefel, Tellur und Selen dar, wobei Elemente der IV., V. oder VII. Gruppe des Periodensystems u.a. zugesetzt sind. Der erste Vertreter dieser Gruppe war das AsZS3, das z. B. von der Firma Servo Corporation of America als Servofrax vertrieben wird. Gunstige Eigenschaften zeigen die Halbleiter Germanium, Silicium und Galliumarsenid, die sich durch eine groBe Brechzahl auszeichnen, bei denen aber dadurch auch die Entspiegelung von Linsenoberflachenbesondere Bedeutung hat. Weitere Einzelheiten sind z. B. [35] und [36] zu entnehmen. Spiegelmetall. Fiir Oberflachenspiegel und auch fiir Ruckflachenspiegel (Planspiegelplatten, vgl. 5.5.3) werden im allgemeinen Trager aus Glas oder Kieselglas mit Metallschichten iiberzogen. Dazu konnen u a. Aufdampfverfahren oder chemische Verfahren angewendet werden. Zum Schutz der Metallschicht vor atmosphiirischen Einfliissen erhalten Oberflachenspiegel oft eine diinne Schicht aus Siliciumdioxid (vgl. 5.3.4), Planspiegelplatten eine duMe Kupferschicht (vor allem bei Silberbelag), die auRerdem noch lackiert sein kann. Die Spiegelmetalle sollen einen groDen Reflexionsgrad im gesamten genutzten Wellenlwgenbereich auheisen.


83

Im sichtbaren Gebiet und im infraroten Gebiet hat Silber einen grol3en spektralen Reflexionsgrad (Abb. 2.46), im ultravioletten Gebiet allerdings ein Reflexionsminimum. Da Silber an Luft geschwkt wird (EinfluS von SH,), sind Schutzschichten erforderlich. Dadurch ist seine Verwendung bei Planspiegelplatteneinfacher als bei Oberflachenspiegeln.

1

I

Aluminium

0,75 -

jeweils kurz nach dem Aufdampfen € = O0

45

-

425 .

4t Abb. 2.445

200

360

&I

5;n

sbo

7bo

so0

R in nm-

Reflexionsgrad von Silber und Aluminium als Funktion der Wellenlslnge

Goldschichten sind sehr bestsindig gegeniiber atmosphiirischen Einfliissen. Der spektrale Reflexionsgrad ist besonders im infraroten Spektralbereich hoch und liegt von I = 0.75 pm bis A = 3 0 p iiber 0,99. Ein universe11 anwendbares Spiegelmetall ist Aluminium, das zwar nicht ganz die grol3en spektralen Reflexionsgrade erreicht wie Silber und Gold, aber vom ultravioletten bis zum infraroten Bereich einsetzbar ist (Abb. 2.46). Die nach dem Aufdampfen entstehende Aluminiumoxidschicht schiitzt die Spiegeloberflache. Es sei noch darauf hingewiesen, daB sich Metallschichten nach dem Auflragen allm8;hlich verhdern konnen sowie der Reflexionsgrad und die Absorptionskonstante (Tab. 2.11) vom Auftragverfahren, der Schicht&cke und von Umwelteinflussen abhtingen. Tab. 2.15 enthiilt einige Beispiele fiir spektrale Reflexionsgrade von Spiegelmetallen. Tabelle 2.15 Spektraler Reflexionsgrad von Spiegelmetall (kurz nach dem Aufdampfen, nach [22])

A innm 300 400 500 600 700 800 900 1000 5000 loo00

Aluminium

0,923 0,924 0,918 0,911 0,897 0,867 0,891 0,940 0,984 0.987

Silber

Gold

KuDfer

Platin

0,176 0,956 0,979 0,986 0,989 0,992 0,993 0,994 0,995 0,995

0,377 0,387 0,477 0,919 0,970 0,980 0,984 0,986 0,994 0,994

0,336 0,475 0,600 0,933 0,975 0,981 0,984 0.985 0,964 0.989

0,576 0,663 0,714 0,752 0,772 0,785 0,805 0,807 0,949 0.962

84


2.4

Koharenz

2.4.1

Spontane und induzierte Emission

Energiezustiinde. Der in diesem Abschnitt zu behandelnde physikalische Begriff “Kohiirenz” l a t sich nur verstehen, wenn die elementare Wechselwirkung des Lichtes mit den Stoffen beriicksichtigt wird. Deshalb wiederholen wir die aus der Physik bekannten gnmdsatzlichen Erkenntnisse uber die atomaren und molekularen Prozesse, an denen Lichtquanten beteiligt sind. Die Elektronen eines Atoms koMen diskrete Energiezustiinde annehmen (Abb. 2.47a). Der stabile Zustand, der Grundzustand, ist derjenige mit der geringsten Gesamtenergie. Durch Energiezufuhr lassen sich angeregte Zustbde erzeugen (Abb. 2.47b). Diese sind im allgemeinen instabil, so dalj nach einer gewissen Zeit direkt oder uber mogliche Zwischenstufen unter Energieabnahme der Grundzustand wieder erreicht wird (Abb. 2.47~).

Cl

a)

Abb. 2.47 a) Diskrete Energieniveaus des Wasserstoffatoms, b) Anregung durch Absorption eines Lichtquants, c) &rgang in den Grundzustand unter Lichtausstrahlung

Wir nehmen an, da13 die Energiebderungen mit der Vernichtung oder Erzeugung von Lichtquanten verbunden sind. Zwischen der atomaren Energiewderung W,- W,und der Frequenz v der dem absorbierten oder emittierten Lichtquant zugeordneten Welle besteht der Zusmmenhang

W*-Wl = hV

(2.95)

W . s2). (Planck-Konstante h = 6,6262. Bei molekularen Systemen sind zusatzlich zu den diskreten Energiezustbden der Elektronen diskrete Energiezustbde der Molekiilrotation und der Atomschwingungen moglich. Diese

2.4 Kohaenz

85

Energieniveaus liegen im allgemeinen dichter als die Elektronenniveaus. Die GI. (2.95) gilt auch fiir hergiinge zwischen Rotations- und Schwingungsniveaus. In festen Stoffen gibt es unter anderem Energiebader, in denen die Energieniveaus sehr eng beieinander liegen. Aus der unterschiedlichen Niveaustruktur resultieren die in 2.3.1 genannten Eigenschaften der Spektren atomarer, molekularer und glilhender fester Stoffe, die in Tab. 2.16 zusammengestelltsind. Wir greifen zwei Niveaus eines atomaren Systems heraus und beschreiben die bei der Wechselwirkung mit einem Quant moglichen Elementarprozesse. Tabelle 2.16 Niveaus und Spektren von Stoffgmppen

Atomare Stoffe

-

Elektronenniveaus

-

Linienspektren

Molekulare Stoffe

-

Elektronenniveaus Rotationsniveaus Schwingungsniveaus

-

Bandenspektren

gliihende feste Stoffe

-

Energiebiinder

-

kontinuierliche Spektren

Absorption eines Lichtquants. Wir lassen auf das atomare System Licht auftreffen. Bei der Ausbreitung des Lichtes ist die Erscheinungsform der Lichtwelle wesentlich. Die Lichtwelle enthalte Licht eines bestimmten Frequenzbereiches. Die spektrale Energiedichte w( v) gibt die Energie je Frequenzintervall dv an, die im Zeitmittel in der Volumeneinheit dz des Feldes enthalten ist:

Bei der Wechselwirkung des Lichtes mit den Atomen ist die Erscheinungsform der Quantengesamtheit wesentlich. Die spelctrale Energiedichte der Lichtwelle ist im Quantenmodell der Anzahl der Quanten des Frequenzintervalls dv je Volumeneinheit proportional. Enthat die Lichtwelle die Frequenz

v = - w2-w,, h

w,

w,,

also das Licht Quanten der Energie W = h v, dann besteht eine gewisse Wahrscheinlichkeit dafiir, da8 Atome die Energie dieser Quanten aufnehmen. Die Atome werden unter Vernichtung, also Absorption, von Lichtquanten angeregt. Die Wahrscheinlichkeit flu die Absorption eines Lichtquants h b g t von der je Volumeneinheit vorhandenen Anzahl an Quanten ab. Fiir die ijbergangswahrscheinlichkeit gilt (2.96) B,, ist die GroSe, die fiir den Energieiibergang von W, nach W, in einem konkreten Atom charakteristisch ist und die mit den Methoden der Quantentheorie berech.net werden kann.

I

Die Wahrscheinlichkeit fiir die Absorption eines Lichtquants der Frequenz v unter Erhohung der atomaren Energie um den Betrag W, - W, = h v ist der spektralen Energiedichte der Lichtwelle proportional.

2 Pbysikalische Grundlagen

86

Spontane Emission eines Lichtquants. Der angeregte Zustand mit der Energie W, ist im allgemeinen instabil. Er wird unter Ausstrahlung eines Lichtquants wieder abgebaut. Bei Abwesenheit eines PuReren Feldes findet der Ubergang vom Niveau W, zum Niveau W, im Einzelatom ausschliefllich zufdlig, d. h statistisch, statt. Fiir die von PuReren Einflussen unabhiingige Ausstrahlung, die spontane Emission, betragt die Ubergangswahrscheinlichkeit (2.97) A l l ist eine Grofie, die fiir den spontanen Ubergang von W, nach W, eines konkreten Atoms charakteristisch ist. Auch A , mu8 quantentheoretisch berechnet werden.

,

Die Wahrscheinlichkeit fiir die spontane Emission eines Lichtquants der Frequenz v unter Verminderung der atomaren Energie um den Betrag W,- W, = h v ist unabhiingig von einem aderen Wellenfeld. Die wahrscheinliche Lebensdauer eines angeregten Zustandes, die Verweilzeit T,,, ist der ijbergangswahrscheinlichkeitfiir die spontane Emission umgekehrt proportional. Es ist also (2.98)

W m e n d der Verweilzeit, also wiihrend der wahrscheinlichen Ausstrahlungsdauer, legt die ausgestrahlte Lichtwelle den Weg S2l

= cT2,

(2.99)

zuriick. Die Verweilzeit liegt in der GroDenordnung von lo-' s. Fur c = 3 lo8 m . s-' und s ergibt sich z. B. sal= 3 m.Daraus folgt: T,, = Die aufgrund spontaner Emission strahlenden Lichtquellen senden eine Vielzahl von kurzen Wellenzugen aus, keine unendlich ausgedehnten zusammenhiingenden Wellen.

l

Es gibt auch angeregte Zustiinde mit einer bezuglich spontaner Emission sehr groDen Verweilzeit. Solche Zustiinde hei8en metastabil. Induzierte Emission eines Lichtquants. Siimtliche hergiinge aus angeregten Niveaus in tiefere Niveaus, experimentell besonders bei h r g i i n g e n von metastabilen Niveaus aus beobachtbar, koMen durch ein aderes Wellenfeld erzwungen werden. Fur diese induzierte Emission betragt die Ubergangswahrscheinlichkeit Uinduzierr= W ( V ) . B 2 1 .

(2. loo)

B,, ist eine GrtjDe, die fiir den induzierten ilbergang von W2 nach W, eines konkreten Atoms charakteristisch ist. B2 kann quantentheoretisch berechnet werden..

,

Die Wahrscheinlichkeit fiir die induzierte Emission eines Lichtquants der Frequenz v unter Verminderung der atomaren Energie um den Betrag W, - W, = h v ist der spektralen Energiedichte der anregenden Welle proportional. Beziehungen zwischen den Koeffizienten. Thermodynamische Untersuchungen ergeben fir den Zustand des Strahlungsgleichgewichts die Aussagen [ 11 (wir beschriinken uns auf nichtentartete Zustiinde):

2.4 Koharenz

87

- Bei der induzierten Emission hat die induzierte Welle dieselbe Ausbreitungsrichtung wie die induzierende Welle. - Die Wahrscheinlichkeitenfiir die induzierte Emission und fiir die Absorption sind gleich: B12 =

B2l

(2.101)

- Die Wahrscheinlichkeiten fiir die spontane und fiir die induzierte Emission sind einander proportional. Der Proportionalitlitsfaktor hiingt von der dritten Potenz der Frequenz ab: (2.102)

Im Bereich so hoher Frequenzen, wie sie im optischen Spektralbereichvorliegen, ist die sponm e Emission auch bei der Anregung von induzierter Emission nicht zu vernachlksigen. Sie bewirkt ein zusatzliches Rauschen.

2.4.2

Interferenzanteile der Intensitslt

Die von den Lichtquellen ausgehenden Lichtwellen iiberlagern sich im allgemeinen in vielfNtiger Weise. An einer Stelle des Raumes. an der das Licht registriert wird, konnen sich Lichtwellen uberlagern, die von verschiedenen Punkten derselben Lichtquelle, von Punkten unterschiedlicher Lichtquellen und zu verschiedenen Zeiten ausgesendet werden. In speziellen optischen Meageraten, den Interferometern, wird die ijberlagerung von Lichtwellen gezielt herbeigefiihrt. Urn die Interferenzerscheinungen verstehen zu konnen, ist es notwendig, das Zusammenwirken von Lichtwellen zu untersuchen. Die auf spontaner Emission beruhenden Lichtquellen senden kurze Wellenziige aus. In der drahtlosen Nachrichtentechnik ist es jedoch moglich, durch smdige Energiezufuhr zur ausstrahlenden Antenne eine sehr lange, angeniihert sinusformige Triigerwelle zu erzeugen. Auch mit stabilisierten Lasern sind relativ lange Wellenzuge mit nahezu harmonischen Schwingungen zu realisieren. Wir untersuchen zunachst die ijberlagerung von sinusformigen Wellen. Die Erscheinungen, die sich zusatzlich aus den Verhiiltnissen bei der Lichtausstrahlung ergeben, werden wir anschliel3end darstellen. Uberlagerung ebener periodischer Wellen. In komplexer Darstellung lautet die Gleichung der elektrischen Feldstiirke fiir eine ebene periodische Welle nach G1. (2.6) (2.103)

Die ijberlagerung mehrerer Wellen erfordert die vektorielle Addition der Einzelfeldst5rken (2.104)

Gleiche Ausbreitungsrichtung bedeutet gleiche Einheitsvektoren s, ,so daB


88

gilt. Der Faktor (2.105) ist die komplexe Amplitude der Summenwelle, also ist 2 x j (rs - c t )

E=aek

I

Die ijberlagerung ebener monochromatischer Wellen gleicher Ausbreitungsrichtung ergibt eine Welle gleicher Frequenz und Ausbreitungsrichtung, deren komplexe Amplitude die Summe der komplexen Einzelamplituden ist.

Jeder Amplitudenvektor kann in zwei senkrecht aufeinander stehende Komponenten akl und a k 2zerlegt werden, so da8 (2.106)

wird. Die Intensitat einer ebenen Welle betragt nach G1. (2.15)

Wir setzen G1. (2.106) ein:

Weil x u H und x u k 2 senkrecht aufeinander stehende Vektoren sind, deren skalares Produkt verschwindet, ist (2.107)

I

Die Intensitaten senkrecht zueinander schwingender Wellen uberlagern sich additiv. Es geniigt, die Interferenz linear polarisierter Wellen zu untersuchen.

(Von diesem Ergebnis wurde bereits bei der Behandlung der Polarisationsarten in 2.1.2 Gebrauch gemacht.) Wir gehen bei den weiteren Uberlegungen von (2.108)

aus. Wir erinnern daran, daD die komplexe Amplitude durch a, = AteJak gegeben ist. Aus der G1. (2.108) folgt, wie im allgemeinen die Interferenzerscheinungen zu behandeln sind: Die Betrage der Teilamplituden A k sind aus den Daten der Interferenzanordnung zu berechnen. Die Phasen der Teilwellen 6, ergeben sich aus den Lichtwegen in der Interferenzanordnung unter Beriicksichtigung von Phasenspriingen. Die komplexen Teilamplituden uk sind zu addieren. Die Intensitat folgt aus G1. (2.103).

2.4 Koh2renz

89

Wir gehen zur reellen Schreibweise uber, indem wir die komplexen Amplituden in G1. (2.108) einsetzen:

Wir formen urn in

oder

Mit den Abkiirzungen

6i -6, = 6 i k und exp(j6ik)+exp(- jSik) = 2cos tjik erhalten wir r

1

(2.109) Wir konnen den Faktor (E,E,c)/~ auch in die Summen hineinnehmen, wobei (2.1 10) entsteht. Der Anteil 2

xm cos

6ik

in GI. (2.1 10) tritt auf, weil die Wellen miteinander in

i 0 ist, liegt der Aufpunkt im geometrischen Schatten; wenn to< 0 ist, liegt der Aufpunkt im geometrischen Lichtbundel. Mit f(v, w) = const = found

geht G1. (2.347) uber in (2.348) Das Integral l u t sich aufspalten in

Nach [7] sind die Fresnelschen Integrale definiert als

155

2.6 Beugung

oder j e Tj t y z dv = --C(vo)+j 21 Va

[:- - S ( V , > 1.

Die Intensitat im Aufpunkt ist aa* proportional, also der GroSe (2.349a) Im geometrischen Lichtbundel geht die GrtjDe a (-m) a*(--) gegen den Wert 82

(2.349b)

so daJ3 die darauf nonnierte Intensitat (2.350a) betriigt. Die Schattengrenze liegt bei kann in die Form

t o= 0, also v o = 0, hinter ihr ist

+{[c(-~-c(~~)I~

+[s(-)-s(~~)I

i =

i = 1/4. G1. (2.350a) (2.350b)

gebracht werden. In der Darstellung S ( v ) als Funktion von C(v) (Cornusche Spirale, Abb. 2.109) stellt die GroSe in den geschweiften Klammern das Quadrat des Abstandes der Punkte v = vo und v = m der Cornuschen Spirale dar. Insgesamt ergibt sich hinter der Kante ein Verlaufder nonnierten Intensitiit gem26 Abb. 2.1 10a. b und Tab. 2.23. Die Anwendung der G1. (2.347) auf die Beugung an einem Spalt fthrt auf eine Intensitatsverteilung mit Maxima und Minima. Die bei der Fraunhoferschen Beugung vorhandenen Nullstellen treten nicht auf [ 191.

-1,o

g

L

L

1a

-3 -

%

-1,5

Pororneter v

-951

Comusche Spirale, Absrand der Punkte v = v 0 vom Punkt v = -

Abb. 2.109


156

Abb. 2.110a Normierte Intenslat bei der Fresnelschen Beugung an der Kante

Abb. 2.110b Beugungsbild an der Kante

Tabelle 2.23 Ort sowie normierte Intensitiilen der Maxima und Minima bei Fresnelscher Beugung an der Kante

iMax ~~

1,2172 2,3445 3,0820 3,6741 4,1832 4,6367

1,3704 1,1993 1,1457 1,1261 1,1104 1,0994

I

-V0

lMin

1,8725 2.7390 3,39 13 3,937 1 4,4159 4,8473

0,778 1 0,8432 0.87 19 0,8890 0,9006 0,9093

2.7 Abbildung 2.7.1

Optische Abbildung

Der Begriff “Abbildung” wird in verschiedenen Wissenschaftsgebieten verwendet. Vor allem stellt er eine philosophische Kategorie dar, die fiir die E r k l h n g des Erkenntnisprozesses von Bedeutung ist. Auch in der Mathematik wird von einer Abbildung gesprochen, wenn eine Menge von Elementen mit bestimmten Relationen in die gleiche oder in eine andere Menge transfonniert wird. So kann ein Raum als eine Menge von Punkten mit einer bestimmten Metrik in einen zweiten Raum abgebildet werden. Die optische Abbildung transformiert mit Hilfe von technischen Systemen bestimmte Objekteigenschaften in Bildeigenschaften. Es ist nun unsere Aufgabe, Gemeinsamkeiten der verschiedenen Abbildungen herauszuarbeiten, sie andererseits abzugrenzen und zu klassifizieren. Gegeben ist in jedem FalI ein Objekt, das abgebildet werden soll. Das Objekt kann materiel1 sein. Bei der Erkenntds von Erscheinungen der realen Welt sind die Objekte materiell. Das trim damit auch auf die realen Objekte bei der realen optischen Abbildung zu.

2.7 Abbildung

157

Die Objekte koMen aber auch nichtmaterieller Natur sein. Sowohl bei der mathematischen Transformation als auch bei der Abbildung von modellierten technischen Strukturen sind die Objekte nicht materiell gegeben. Zum Beispiel ist ein Kreis in der materiellen Welt nur angeniihert realisierbar. Als Gegenstand der Mathematik stellt er ein nichtmaterielles Gebilde dar. Auch ein Objektpunkt ist nur das Modell fiir einen eng begrenzten Bereich der Objektstruktur. Die Abbildung transformiert die wesentlichen Eigenschaften des Objekts in das Bild bzw. Abbild, d. h in einen anderen Bereich, so dal3 aus dem Bild auf bestimmte Eigenschaften des Objekts zuriickgeschlossenwerden kann und am Bild modellm2Rige Untersuchungen iiber das Objekt mtiglich sind. Das Bild kann auch dazu dienen, einen kiinstlerisch beeinfldten Eindnrck von der objektiven Realitat zu vermitteln. Das Bild kann materiell sein, es ist dann ein materielles Modell des Objekts. Ein ProzeD, ein System oder eine Struktur koMen jedoch in den nichtmateriellen Bereich abgebildet werden, so daR das Bild ein nichtmaterielles Modell des Objekts darstellt. In diesem Sinne l a t sich eine im materiellen Bereich vorliegende reale Abbildung selbst in den nichtmateriellen Bereich abbilden, also modellieren. Im modellierten Bereich sprechen wir von einer konkreten Abbildung, wenn die abbildende Struktur bzw. der abbildende ProzeD ebenfalls modellmaI3ig bekannt sind; wir sprechen von einer abstrakten Abbildung, wenn nur die Verkniipfung von Eingangs- und Ausgangsgrokn, also die Funktion der abbildenden Struktur, betrachtet wird. Wir fassen zusammen:

I

Die Abbildung ist eine Transformation von wesentlichen Eigenschaften eines Objektbereichs in den Bildbereich zum Zweck der Erkenntnis, der Modellierung oder der kiinstlerischen Darstellung der objektiven Realitat.

Wir ubertragen nun die allgemeinen Erkenntnisse iiber die Abbildung auf die optische Abbildung. Wir halten zunachst fest:

I

Die Realisierung der optischen Abbildung ist eine der Hauptaufgaben der technischen Optik.

Die optische Abbildung wird durch technische Systeme vennittelt. Diese beeinflussen das vom Objekt ausgehende Licht so, daJ3 es im Bildraum die wesentlichen Eigenschaften der Objektstruktur reproduzieren kann.

I

Die optische Abbildung wird durch technische Systeme, die optischen Systeme, vermittelt. Triiger der Informationen iiber das Objekt ist das Licht.

Wir unterscheiden die reale, die konkrete und die abstrakte optische Abbildung. Die reale optische Abbildung transformiert die Eigenschaften einer materiellen Objektstruktur, die auf den riiumlichen und zeitlichen Zustand des Lichtes einwirken, in die reale Bildstruktur. Das Licht ist der materielle Trager der Objektinformationen. Es liegt eine reale technische Struktur vor, ein reales optisches System, die das Licht so beeinfldt, daI3 die Bildstruktur entsteht. Diese kann subjektiv (visuell) oder objektiv ausgewertet werden. Eine reale optische Abbildung verkniipft folgende Strukturen: - das reale Objelctsystem, das aus der Strahlungsquelle, dem Beleuchtungssystem und der Objektstruktur bestehen kann, - das reale optische System, das im allgemeinen eine Baugruppe darstellt, deren Hauptfunktion durch abbildende optische Bauelemente realisiert wird,

158 -


das reale Bildsystem, das aus der Bildstruktur, der Auffangflache und dem Strahlungsempfiinger bestehen kann.

Die konkrere optische Abbildung ist das nichtmaterielle Modell der realen optischen Abbildung. Objektsystem, optisches System und Bildsystem werden modellm2l3ig beschrieben. Da jedoch die Modelle der in der Abbildungskette auftretenden technischen Strukturen in die Betrachtung einbezogen werden, sind auch die Strukturen konkret gegeben. So liegt z.B. das Modell des realen optischen Systems als konkrete Struktur aus Funktionselementen vor, die wir konkretes optisches System nennen. Dieses ist im allgemeinen eine Funktionsgruppe. Wir weisen noch darauf hin, d& das konkrete System auch die Fertigungsfehler modellm&ig erfassen kann. Das Lichtsignal tritt als konkretes Modell des Lichtes auf, z.B. als Wellenmodell des Lichtes. Die konkrete optische Abbildung kann nur theoretisch behandelt werden. Die Objektstruktur ist im allgemeinen durch die Objektfunktion mathematisch modelliert. Die abstrukre optische Abbildung erfal3t den allgemeinen Zusammenhang zwischen Objekt- und Bildeigenschaften. Sie ist somit ebenfalls ein nichtmaterielles Modell der realen optischen Abbildung, aber ohne Beriicksichtigung der konkreten technischen Strukturen. Das abstrakte Modell des optischen Systems erfiillt also nur bestimmte Funktionen. Diese bestehen darin, Eingangssignale so in Ausgangssignale umzuwandeln, d& die Merkmale einer Abbildung erfiillt werden. Das abstrakte optische System ist eine “black box”, deren Funktion in Elementarfunktionen zerlegt werden kann. Auch vom konkreten Modell des Lichtes ist so weit zu abstrahieren, d& das Licht als Signal ohne physikalische Modellstruktur behandelt wird. Das Licht tritt dm im eigentlichen Sinne nicht mehr in Erscheinung, und es werden allgemeine Gesetze der technischen Abbildung von Objektinformationen in Bildinformationen aufgedeckt oder anwendbar. Wir wollen die bei der optischen Abbildung vorliegenden Einzelerscheinungen noch etwas genauer angeben und formulieren zunachst die allgemeinen Zusammenhange. -

-

-

-

Die optische Abbildung stellt eine Transformation derjenigen Eigenschaften der Objektstruktur in die Bildstruktur dar, die eine Modulation des Lichtes hervormfen. Moduliert werden koMen smtliche GrtiBen, die den raumlichen und zeitlichen Zustand des Lichtes beschreiben. Infolge der Modulation sind die Informationen iiber das Objekt im Lichtsignal verschlusselt (codiert) enthalten. Da die Lichtdetektoren Leuchtdichte- und Farbunterschiede registrieren, mul3 die Bildstruktur eine Entschliisselung darstellen, die die transformierte Objektstruktur in Farb- oder HelUDunkel-Kontraste umwandelt. Im allgemeinen treten bei der Abbildung beabsichtigte und unerwiinschte Filterwirkungen auf, durch die bestimmte Objekteigenschaften im Bild hervorgehoben, abgeschwacht oder unterdriickt werden. Die Abbildung kann durch statistische Schwankungserscheinungen beeinflul3t werden, die ein optisches Rauschen darstellen.

Die einzelnen Schritte erlautern wir am Beispiel des Liniengitters mit stuckweise konstanter Strukturfunktion, das mit einem senkrecht zur Gitterebene einfallenden Parallelbiindel be-

2.7 Abbildung

159

leuchtet wird. Ein Projektionsobjektiv bildet das Gitter auf einem Schirm ab. Die Lichtwelle sol1 in Form des skalaren Wellenmodells betrachtet werden. Modulation. Das Liniengitter moduliert die Lichtwelle, indem es die komplexe Amplitude periodisch verSndert. Die ebene Wellenflache wird durch die ortlich periodisch variable Transparenz, die ijrtlich variable optische Wegliinge und durch die Beugung in eine komplizierte Wellenflache umgewandelt. Codierung. Die am Liniengitter gebeugte Welle enthat die Objekteigenschaften verschlusselt, indem sie die im Objekt periodisch verilnderlichen Grijkn in Form von Amplituden- und Phasenverlaufen in einem Wellenfeld transportiert. Filterwirkung. Das Projektionsobjektivhat einen begrenzten Durchmesser, so d d es niemals das gesamte am Liniengitter gebeugte Licht erfassen kann. Das hat zur Folge, d d im Bild nicht das gesamte vom Objekt ausgehende Licht zur Interferenz gebracht wird. Im Bild konnen dadurch nicht alle Objekteigenschaften erkannt werden, z. B. unter bestimmten Verhiiltnissen nicht die scharfen Kanten der einzelnen Periodizitatsbereiche. Das Liniengitter erscheint verwaschen, und nur die Periodizitat ist in das Bild ubertragen worden. Es sind also bestimmte Objekteigenschaften unterdriickt, d. h durch eine Filterwirkung aus der Welle getilgt worden. Entschliisselung. Die Information uber das Objekt, d e die Lichtwelle enthat, muR in optisch wahrnehmbare Bildeigenschaften umgewandelt werden. Ohne besondere MaRnahmen wiiren z.B. Phasenunterschiede im Objekt nicht im Bild erkennbar. Es gibt jedoch Maf3nahmen (Eingriffe in die Welle, die einer Filterung entsprechen), durch die Phasendifferenzen in Hell/Dunkel-Kontrast umgewandelt, also entschlusselt werden konnen. Optisches Rauschen. Bei der Projektion ist Streulicht vmhanden, das sowohl aus dem Abbildungsvorgang wie auch aus der Umgebung stammen kann. Im Bild setzt das Streulicht den Kontrast herab.

2.7.2

Ideale geometrisch-optische Abbildung

Die in 2.7.1 gegebene allgemeine Beschreibung der optischen Abbildung 1 s t sich in einzelnen Zugen verfeinern, wenn ein bestimmtes Model1 des Lichtes und darnit eine konkrete theoretische Konzeption der optischen Abbildung zugrunde gelegt wird. Wir stellen uns auf den Standpunkt der geometrischen Optik. In der geometrisch-optischen Theorie der Abbildung denken wir uns das Objekt aus leuchtenden Punkten aufgebaut. Dabei ist es gleichgultig, ob es sich um direkt ausgestrahltes, reflektiertes oder gestreutes Licht handelt. Von jedem Objektpunkt geht ein rjdumlicher Lichtkegel, ein Strahlenbundel, aus.

I

Jedes Strahlenbundel des Objektraumes hat einen Konvergenzpunkt A, in dem sich die Strahlen schneiden. Deshalb wird es homozentrisch genannt.

Die Gesamtheit an Objektpunkten stellt die Objektstruktur dar. Als modulierbare GroBen treten nur die raumliche Verteilung der Objektpunkte und die Strahlrichtungen auf. Die punktformige geometrisch-optischeAbbildung wird nun folgendermden definiert:

160 I


Eine punktformige geometrisch-optische Abbildung liegt vor, wenn die homozentrischen Strahlenbundel mit den Konvergenzpunkten A in homozentrische Strahlenbiindel mit den Konvergenzpunkten A’ venvandelt werden. Der einem Objektpunkt A zugeordnete Konvergenzpunkt A’ ist der Bildpunkt. A und A’ heiDen konjugiert.

Die punktfomige geometrisch-optische Abbildung transformiert also eine Struktur aus Objektpunkten in eine Struktur aus konjugierten Bildpunkten.

I

Die Gesamtheit aller moglichen Objektpunkte bildet den Objektraum; die Gesamtheit aller moglichen Bildpunkte bildet den Bildraum.

Da sowohl die Gesamtheit der moglichen Objektpunkte wie auch die Gesamtheit der moglichen Bildpunkte den Raum vollstiindig ausfiillen konnen, uberdecken sich im allgemeinen Objekt- und Bildraum einer Abbildung. Wir unterscheiden sowohl bei den Objekt- als auch bei den Bildpunkten reelle und virtuelle Punkte.

I

In einem reellen Punkt schneiden sich die Lichtstrahlen; in einem virtuellen Punkt schneiden sich die Verlhgerungen der Lichtstrahlen.

Abb. 2.1 11 demonstriert die punktformige geometrisch-optische Abbildung am ebenen Spiegel. Zu jedem Objektpunkt gibt es am ebenen Spiegel einen Bildpunkt. Der Spiegel teilt soWONden Objektraum als auch den Bildraum. Der Halbraum vor dem Spiegel enthiilt die reellen Objekt- und Bildpunkte; der Halbraum hinter dem Spiegel enthiilt die virtuellen Objektund Bildpunkte. Der Abb. 2.1 12 ist zu entnehmen, daR ein ebener Spiegel jede Objektstruktur in eine gleichgrooe Bildstruktur abbildet, also transformiert. Eine geometrische Figur, z. B. ein Quadrat, wird in eine m i c h e Figur abgebildet. (Im Spezialfall des ebenen Spiegels ist es eine kongruente Figur.) Damit erfiillt der ebene Spiegel eine zweite Forderung, die an eine ideale geometrisch-optische Abbildung zu stellen ist, niimlich die khnlichkeit.

I

Bei der W i c h e n Abbildung werden geometrische Figuren in W i c h e Figuren abgebildet.

Damit gilt:

I

Die ideale geometrisch-optische Abbildung ist punktformig und W i c h .

Abb. 2.111 a) Reelles Objekt, virtuelles Bild am ebenen Spiegel, b) Virtuelles Objekt, reelles Bild am ebenen Spiegel

161

2.7 Abbildunp,

Der unendlich ausgedehnte ebene Spiegel Wiirde eine ideale geometrisch-optische Abbildung realisieren. Besondere Bedeutung haben die rotationssymmetrischen optischen Abbildungen, bei denen sowohl im Objekt- als auch im Bildraum eine Symmetrieachse, die optische Achse, existiert. Eine ideale geometrisch-optische rotationssymmetrische Abbildung, die den gesamten Raum punkU3rmig und geometrische Figuren in achssenkrechten Ebenen gihnlich abbildet, wird durch gebrochene lineare Funktionen mathematisch beschrieben. Sie ist im mathematischen Sinne eine rotationssymmetrischekollineare Abbildung. A u k r mit dem Planspiegel ist die kollineare Abbildung nicht mit optischen Systemen realisierbar.

Abb. 2.112 Kongruentes Bild am ebenen Spiegel

2.7.3

Geometnsch-optische Abbildung

Praktisch ist niemals der gesamte Objektraum abzubilden und eine exakt punktfomige und gihnliche Abbildung weder notwendig noch moglich. In der geometrischen Optik ist die einzige physikalische Grundlage fiir die Bestimmung des Strahlenverlaufs das Fermatsche Prinzip, also die Extremaleigenschaft des Lichtweges. Durch das Fermatsche Prinzip sind die Strahlrichtungen innerhalb des Systems aus optisch wirksamen Flachen und Stoffen festgelegt, wenn die Objektpunkte und die objektseitigen Strahlrichtungen vorgegeben sind. Die Strahlen eines objektseitig homozentrischen Bundels schneiden sich im Bildraum im allgemeinen nicht in einem Punkt,aber haufig in der Umgebung eines Punktes. Es sind damit zwei EinschrWcungen, denen eine realisierbare geometrisch-optischeAbbildung unterliegt: 1. Die abzubildende Objektstruktur ist raumlich begrenzt, d. h,die abzubildenden Objektpunkte sind auf ein bestimmtes Gebiet des Objektraumes beschrhkt. 2. Die Bildstruktur besteht nicht aus Bildpunkten, aber die Strahlen, die von einem Objektpunkt ausgehen, schneiden sich im Bildraum in der Umgebung eines Punktes.


162

Wir erlautern diese Bemerkungen an drei Beispielen, Bei der Projektion von Diapositiven hat das Projektionsobjektiv die Aufgabe, die ebene und begrenzte Objektstruktur m i c h vergrol3ert auf die Projektionswand abzubilden. Es ist also ein Ausschnitt einer Objektebene in einen Ausschnitt der Bildebene abzubilden. Bei der fotografischen Aufnahme wird ein Teil der Objektebene in einen Teil der Filmebene abgebildet. Die abzubildende Objektpunkte und die Punkte eines beiderseits der Objektebene liegenden Gebietes (des Schiirfentiefenbereichs) sollen auf dem Endbild so kleine Zerstreuungsfiguren ergeben, da8 ein den Forderungen genugender Bildeindruck erreicht wird. - Beim Betrachten eines Fixsterns mit dem Fernrohr mu8 das Licht, das vom Fixstern ausgeht und von dem Femrohr aufgenommen wird, auf eine so kleine Flache konzentriert werden, daB der Stem als Punkt erscheint. Die geometrisch-optische Abbildung muS unbestimmter definiert werden als die ideale geometrisch-optische Abbildung. Die geometrisch-optische Abbildung transformiert eine rhmlich begrenzte Struktur aus Objektpunkten in eine Bildstruktur aus Zerstreuungsfiguren, deren Gesamtheit in Verbindung mit einem bestimmten Empfainger eine den Anforderungen des jeweiligen Anwendungszweckes geniigende Aussage uber wesentliche Objekteigenschaften erlaubt. Wie groB die zulissigen Abweichungen von der Punktfodgkeit und von der ;ihnlichkeit sind, h h g t von der speziellen Aufgabe ab. Die genaue Beantwortung dieser Frage setzt umfassende Untersuchungen uber die Bewertung optischer Systeme und Bilder voraus. Diese sind nicht allein auf geometrisch-optischer Grundlage moglich [ 191. Durch eine entsprechende Kombination von abbildenden optischen Elementen in den optischen Systemen wird der Bereich der angeniiherten punktfomigen und gihnlichen Abbildung auf die notwendige GroBe erweitert.

2.7.4

Wellenoptische Abbildung

Bei der Behandlung der optischen Abbildung mit dem Wellenmodell des Lichtes wird im allgemeinen davon ausgegangen, daB das Licht zeitlich kohiirent ist. Wird nur ein Objektpunkt abgebildet, dann ist die Frage nach der rhmlichen Kohiirenz gegenstandslos. Das wellenoptische Modell der Abbildung eines Objektpunktes beschreibt eine von diesem ausgehende Kugelwelle, die an den Offnungen des optischen Systems gebeugt wird und deren Wellenflkhen durch die abbildenden Elemente transfonniert werden. Dadurch entsteht im Bildraum eine Intensitatsverteilung mit Interferenzmaxima und -minima. Die Konzentration der Lichtintensitat in einem Hauptmaximum und seine Umgebung ist Bedingung fiu die optische Abbildung im Sinne der Wellenoptik. Fiir die theoretische Behandlung der wellenoptischen Abbildung eines reellen Objektpunktes wird ein Modell verwendet, das noch weiter spezialisiert ist. Es gelten folgende Festlegungen: - Vom Objektpunkt geht eine divergente Kugelwelle aus.

2.7 Abbildunp,

163

- Ein geometrisch-optisch punktfbnig abbildendes optisches System wandelt die Kugelwelle in eine Kugelwelle mit einem anderen Konvergenzpunkt um. Alle anderen optischen Systeme eneugen eine Welle mit asphiirkhen Wellenfltichen. - Die vom optischen System transformierten Wellen werden an der Austrittspupille gebeugt, wobei fiir die einzelnen Aufpunkte im Bildraum im allgemeinen Phasendifferenzen zwischen den Teilwellen entstehen. - Die Interferenz der Teilwellen, die von den einzelnen Elementen der Austrittspupille ausgehen, ergibt die bildseitige Intensitiitsverteilung. Bei der Abbildung ausgedehter Objekte geht nach dem wellenoptischen Modell von jedem Objektpunkt eine Kugelwelle aus, die transformiert und gebeugt wird. Die ijberlagerung s2mtlicher Beugungsbilder M g t von der rihmlichen Kohtirenz im Objektraum ab. Bei inkohiirent strahlenden Punkten sind die Intensitaten, bei kohtirent strahlenden Punkten die komplexen Amplituden, bei partiell-kohhnten Punkten gemischte Ausdriicke zu addieren. Das Umsetzen dieses Konzepts ist teilweise in 4.4 vorgenommen worden. Ausfbhrlich sind die theoretischen Grundlagen in [ 191 dargestellt.

3

Strahlungsphysik und Lichttechnik

3.1

Strahlungsphysikalische Groflen

3.1.1

StrahlungsfluB

Eine wesentliche Seite der optischen Strahlung 1st ihre Erscheinungsform als elektromdgnetische Welle. Die Energie der optischen Strahlung, also die elektromagnetische Feldenergie, ist unabhtingig vom menschlichen Auge registrierbar. Es gibt eine Vielzahl an Strahlungsempfbgern, die eine objektive Messung der energetischen GroBen gestatten. Dazu gehoren Fotozellen, Fotoelemente, Fotovervielfacher, Fotodioden, Fototransistoren, Fotowiderstiinde, lichtempfindliche Schichten zur Fotografie, CCD-Zeilen bzw. -matrizen u.a. Objektive MeBverfahren sind aderhalb des sichtbaren Gebietes notwendig. Die objektiv gemessenen energetischen GroBen der optischen Strahlung werden zweckmN3ig in denselben Einheiten angegeben wie andere Energieformen der Physik. Die im Zusammenhang mit der Strahlungsenergie stehenden GroBen werden strahlungsphysikalische GroBen genannt, wenn sie in den physikalischen Mdeinheiten angegeben und unabhiingig von den physiologisch-optischen Eigenschaften des menschlichen Auges gemessen werden. Gegeben sei eine zeitlich stationiire und raumlich begrenzte Strahlungsquelle. Wir legen eine geschlossene Flache um die Strahlungsquelle und berechnen die im Zeitmittel je Zeiteinheit durch die Flache hindurchgehende Energie (Abb. 3.1).

einhullende Floche

Abb. 3.1 Zur Definition des Strahlungsflusses

Abb. 3.2 Spektraler StrahlungsfluO

Damit erhalten wir die gesamte Strahlungsleistung der Quelle, fiir die der Begriff des Strahlungsflusses Qe gepragt wird. (Der Index “e” deutet auf “energetische GroRe” hin.)

I

Der Strahlungsflul3 Qe stellt die SUahlungsleistung einer Quelle dar. Er wird in der Einheit Watt gemessen.

165

3.1 StrahlungsphysikalischeGrokn

In einem nichtabsorbierenden Stoff ist der Energieerhaltungssatz fiir die Strahlungsenergie erfiillt. Der StrahlungsfluD ist also eine primiire GrOfle, die beim Durchgang durch ein optisches System bei Vernachlhsigung von Verlusten erhalten bleibt. Der StrahlungsfluS einer Quelle setzt sich im allgemeinen aus den Anteilen fiir die einzelnen Wellenliingen zusammen. Der spektrale StrahlungfluD (3.1) bestimmt die Strahlungsleistung im Wellenliingenintervall StrahlungsfluD(Abb. 3.2)

a.Entsprechend gilt fiir den

A2 @e

=

j@&

(3.2)

Ai

Der Strahlungsflul3je Flacheneinheit der Quelle in den Halbraum wird spezifische Ausstrahlung genannt und mit d@C Me = -, dql

[ M e ] = -,W m2

(3.3)

bezeichnet (ql Flache der Quelle). Fiir die spezifische spektrale Ausstrahlung gilt (3.4)

Als Beispiel betrachten wir den schwarzen Strahler, der z. B. als Hohlraumstrahler ausgebildet sein kann [ 141. Die strahlende Offnung sei eben und strahle in den gesamten davor liegenden Halbraum. Die spezifische spektrale Ausstrahlung ergibt sich aus der Planckschen Strahlungsgleichung [ 141 zu

(T absolute Temperatur). Die Konstanten haben die Werte c1 = (3,741832f0,000020).10-16W . m 2 ,

c2 = (1,438786f0,000045)~10-2 m.K. Relative spektrale spezifische Ausstrahlungen enthat Abb. 3.3. Mit der Abkiirzung x = - c2 AT kann fiir G1. (3.5) auch

geschrieben werden. Die spezifische Ausstrahlung folgt wegen dx=-%a, AT

~ 2 x 1 bei 0 02ALm,

166

3 StrahlunnsDhvsik und Lichttechnik

aus

Das Integral kann mit Hilfe von [2] (3.9a, b, c)

gelost werden. Es ergibt sich (3.10) Das ist das Stefan-Boltzmannsche Gesetz. Die Konstante betragt Q

= (5,67032 f O,OOo71)~ lo-* W. m-*. K 4 .

Abb. 3.3 Relative spektrale spezifische Ausstrahlung des schwanen Strahlers als Funktion der Wellenltinge

Differenzieren von G1. (3.7) nach der Wellenltinge fiihrt auf

bzw. 5x4(eX-1)-x5ex = Die Gleichung e”(5-x) = 5

o

(3.11)

167

3.1 StrahlungsphysikalischeGrti6en

hat die Ldsung x = 4,9651, so das sich aus GI. (3.6) das Wiensche Verschiebungsgesetz Am,T = b

(3.12)

und mit c2 b = (2.897790+0,000090).10-3m . K

ergibt. Bis zu T 3000 K kann fiir das sichtbare Gebiet in G1. (3.5) die Eins im NeMer vernachlksigt werden. Es entsteht die Wiensche Nuerung der Strahlungsgleichung: (3.13)

Daraus folgt die spezifische Ausstrahlung zu

Ausrechnen des Integrals fiihrt auf Me = ~c1T4 [e-x1(x~+3x~+6x1+6)-e-xz(x~+3x~+6~2+6)]. c2

FiirAl =0, Az = m ist x1 = 0 , x2 = m und M e = -6cl T4 .

(3.14)

4

Statt des exalden Faktors 7c4/15 = 6,49 erhdt man also den Faktor 6, der relative Fehler betriigt ca. 8%. Tab. 3.1 enthat als Funktion der Temperatur die spezifische Ausstrahlung im gesamten Spektrum, jeweils nach der Planckschen und nach der Wienschen Strahlungsgleichung berechnet, sowie im sichtbaren Gebiet nach der Wienschen Strahlungsgleichung.

Tabelle 3.1 Spezifische Ausstrahlung nach der Stefan-Boltzmannschen Gleichung und in der Wienschen Nfierung (Gesamtstfahlung und im sichtbaren Gebiet) TinK

1000 2000 3000 4Ooo 5Ooo 6Ooo

7000 8000 9000

loo00

lo-' M e (Stefan-Boltzmann)

lo-' Me (Wien)

0,00057 0.00907 0,04593 0,145 16 0,35439 0,73487 1,36144 2,32256 3,72030 5,67032

0,00052 0,00838 0,04236 0,13412 0,32744 0,67898 1,25789 2,14591 3,43733 5,23902

lo-' M e (Wien, VIS) 0,00152 0.05814 0,41390 1,44082 3,42890

168

3 Strahlungsphysik und Lichttechnik

Leuchtende Stoffe sind hlufig als graue Strahler anzusehen. Ihr Absorptionsvermogen ist unabhiingig von der Wellenliinge, aber kleiner als beim schwarzen Strahler. Bei Selektivstrahlern ist das Absorptionsvermogen wellenlhgenabhangig . In diesen Fiillen kann die Temperatur des schwarzen Strahlers mit gleicher spezifischer Ausstrahlung angegeben werden. Diese sogenannte “schwarze” Temperatur T, ist stets kleiner als die wahre Temperatur des Stoffes. Fiir Platin betragt z. B. beim Schmelzpunkt die wahre Temperatur T = 2042 K, die schwarze Temperatur T, = 1832 K. Gliihlampen enthalten Gliihdriihte aus Wolfram, dessen Schmelzpunkt bei 3635 K liegt. Bei VakuumgluNampen wird die Temperatur des Gluhfadens auf ca. 2700 K begrenzt. Bei Fiillung des Kolbens mit Edelgas wird die Temperatur von ca. 3000 K vemetbar. Zusatze von Iod oder Brom (Halogengliihlampe) ermoglichen Temperaturen des Gliihdrahtes bis ca. 3400 K. Durch die Temperaturerhohung wird eine wesentlich griil3ere Strahlungsausbeute (3.15)

(P elektrische Leistung) erreicht. Wegen der Verschiebung des Strahlungsmaximums nach kleineren Wellenliingen liegt ein grofierer Anteil im sichtbaren Gebiet. Gasentladungen, Lumineszenzdioden und Laser sind in starkem Mal3e Selektivstrahler.

3.1.2

Strahlstiirke

Eine Strahlungsquelle strahlt im allgemeinen raumlich ungleichm2Big. Auch die einzelnen Elemente der Strahlungsquelle strahlen richtungsabhiingig. Wir greifen einen Punkt der Quelle und ein Raumwinkelelement dR heraus, dessen Spitze im betrachteten Punkt liegt (Abb. 3.4). Der auf das Raumwinkelelement dR entfallende StrahlungsfluB heiRt Strahlstiirke und wird mit I , bezeichnet. Es gilt (3.16)

I

Die Strahlstiirke I, ist der StrahlungsfluB je Raumwinkelelement.

tluelle

Abb. 3.4 Zur Definition der Strahlstiirke

Eine punktformige Strahlungsquelle ist nicht realisierbar. Die angegebene Definition der Strahlstkke ist aber auch dam anwendbar, wenn die Spitze des Kaumwinkelelementes im

169

3.1 StrahlunesDhvsikalische &O&n

Mittelpunkt eines Flachenelementes dq, der Quelle liegt. (Wir verwenden fiir Fltichen das Symbol 4,weil spater die numerische Ape- A benotigt wird. Elemente der Quelle indizieren wir mit “l”,Elemente des Empfahgers mit “2”.)

3.1.3

Strahldichte

Ein Flkhenelement dq, der Quelle strahlt mit der richtungsabhilngigen Strahlst2rke dl,(R). Die von der Flkheneinheit senkrecht zum Flachenelement ausgesendete Strahlstiirke I,, ist ein Ma6 fiir die Dichte der Energieabstrahlung. Diese wird Strahldichte Leo genannt. Es ist also Me0

Leo = -*

dq,

I

[Leo]=

W z .

(3.17)

Die Strahldichte Leo ist die auf die Flacheneinheit der Quelle bezogene Lichtst&ke, die senkrecht zu einem Flachenelement der Quelle wirksam wird.

Die SrrahldichtedefinitionIiiDt sich fiu schr’dg zum Flachenelement stehende Empfiinger erweitern. Eine ebene und kreisformige Flache habe in senkrechter Richtung die Strahldichte L e o ,Ein seitlich stehendet Empfiinger registriert die Strahlung scheinbar von einer elliptischen Flache, die die kleine Halbachse b = a cos E ,

hat (Abb. 3.5). Die Flache der Ellipse ist also kleiner als die Flache des Kreises. Die Strahldichte betragt deshalb (3.18)

Die Strahldichte ist von der Richtung unabhbgig,

N ~ M

Leo = L,,

(3.19)

d q1

Abb. 3.5 Strahldichte scluag zu einer strahlenden Ebene

170

3 Strahlungsphysikund Lichttechnik

d.h.

-K -O

- -1 d

dql

COSEl

e

dql

(3.20)

ist. Daraus folgt

dz, =

dcOCOS&l

(3.21)

I, =

cos E l .

(3.22)

bzw. leO

Ein Strahler mit diesen Eigenschaften heifit Lambert-Strahler. Fiir den Strahlungsfld des Lambert-Strahlers gilt Oc = j f e d a .

(3.23)

Bei Abstrahlung eines ebenen Lambert-Strahlersin den Halbraum ist 4 2 2c

Q2, = Ic0

a,

sin E~ . cos &, . d q dq. 0

(3.24)

0

Ausrechnen des Integrals ergibt Qzc = 7Cf,ORO = xL,q,Q,.

(3.25)

Diese Gleichung ist auch auf den spektralen Strahlungsflul3anwendbar. Es gilt also auch Me,, = -- XQOL,,*. dq, dQzc A

(3.26)

Nach GI. (3.5) hat also der schwane Lambert-Strahler die spelctrale Strahldichte (3.27)

3.1.4

Bestrahlungsstiirke

Wir gehen vom theoretischen Grenzfall einer punktfomigen Quelle aus und legen um diese eine Kugel (Abb. 3.6). Der Strahlungsflulil trim senkrecht auf die Kugelflache auf. Fiir die Stslrke der Bestrahlung der Kugelflache ist der auf die Flacheneinheit entfallende StrahlungsfluR dQeoma6gebend. Die Bestrahlungsswke Eeo ist damit durch E,, =

d@CO - 9

dq2

W [E,,] = m2

(3.28)

definiert. In Worten:

I

Die Bestrahlungsstiirke Eeo ist der auf die Flacheneinheit des Empfa;ngers bezogene Strahlungsflul3, der senkrecht auf seine Flache trifft.

171

3.1 Strahlungsphysikalishe&Men

Die Bestrahlungssttirke kann auch bei nicht punktf6rmigen Quellen berechnet werden. Es mussen d m die Strahlungsfluhnteile der einzelnen Flachenelemente der Quelle beriicksichtigt werden. Der schrag auf einen ebenen Empminger auftreffende Strahlungsfluk der in einem Kreiskegel verlaufi, bestrahlt eine elliptische Flache (Abb. 3.7). Die groBe Halbachse der Ellipse betragt a =

b cos E2

-,

Abb. 3.6 Zur Definition der Bestrahlungssmke

Abb. 3.7 Bestrahlungsstllrkebei schrag beleuchteter Ebene

Die bestrahlte Flache ist damit um den Faktor cos E~ gr6kr als bei senkrechter Bestrahlung. Fiir die Bestrahlungsstiirkegilt E, = E,, cos E2.

(3.29)

Die Bestrahlungssttirke, als Leistung je Flkheneinheit, stellt zugleich die Energie dar, die je Zeiteinheit durch eine senkrecht zur Energieausbreitung stehende Flacheneinheit geht. Sie ist also eine Energiestromdichte, so wie der Betrag des Zeitmittelwertes des Poynting-Vektors. Damit ist die Bestrahlungsstiirkefiir den Fall eines bestrahlten Schirms mit der Intensitat identisch. Bestrahlung. Manche Empminger, wie z.B. die fotogrifischen Schichten, akkumulieren die auhffende Strahlungsenergie. Die auf die Flacheneinheit entfallende Strahlungsenergie, die Bestrahlung E,, W g t von der BestrahlungsstiWe und von der Zeit ab.

I

Die Bestrahlung E, ist die Strahlungsenergie, die je Flacheneinheit auf einen Empfigertrifft.

Damit gilt

(3.30) Die smhlungsphysikalischen GrOEen und ihre Einheiten sind in Tab. 3.2zusammengestellt.

172

3 Strahlunasphysik und Lichttechnik

Tabelle 3.2 Strahlungsphysikalische GroDen GroBe

deutsch englisch StrahlungsfluB radiant flux (radiant power) Strahlstiirke radiant intensity Strahldichte radiance

franzosisch flux CnergCtique intensite energktique luminance 6nergCtique

russisch

Formelzeichen

Einheit

lIOTOK JIYYMCTOfi

a~eprn~ cma ~ a n y r e ~ ~ r nnoTHocTb

M B J I ~ ~ H M R

Bestrahlungs- irradiance stiirke

Bestrahlung

irradiation

Cclairernent Cnergetique irradation

3.2

Lichttechnische GroJ3en

3.2.1

Lichtstrom

o6nyraeMocn o6npe~ue

Der StraNungsfluR einer Quelle kann mit dem rnenschlichen Auge subjektiv registriert werden. Dabei wird er entsprechend dem spektralen Hellempfindlichkeitsgrad V, bewertet. Auf Strahlung mit Wellenltingen, die auOerhalb des sichtbaren Gebietes liegen, spricht das Auge nicht an. Bei der Wellenlbge A = 555 nm ist die Hellempfindlichkeit des Auges am groRten. Damit bereits in den Einheiten der energetischen GroRen die physiologisch-optische Bewertung zum Ausdruck kommt, wird ein selbsttindiges Einheitensystem eingefihrt. Die im Zusammenhang mit der Lichtenergie stehenden GrijRen heiOen lichttechnische GroOen, wenn sie in lichttechnischen Einheiten gemessen und damit physiologischoptisch bewertet werden.

Der Lichtstrom ist der V,-bewertete Strahlungsflul3. A l s Einheit des Lichtstroms dient das Lumen (lm). Der Lichtstrom ergibt sich entsprechend der G1. (3.2) aus dem spektralen Strahlung s f l a unter Einbeziehung des spektralen Hellempfindlichkeitsgrades V, und des fotornetrischen Strahlungsaquivalents K, zu (Abb. 3.8) 780 nm

0 = K,

IOe,,(A)V'(A)dA,

[O] = lm.

(3.31)

380 nm

Das fotometrische Strahlungsaquivalent K, ist der Umrechnungsfaktor von Watt in Lumen. In 3.2.2 werden wir ableiten, daR es maximal K , = 683-lm W

(3.32)

betr'dgt.

In analoger Weise zum Aufbau der ubrigen strahlungsphysikalischen GroOen aus dem StrahlungsfluR leiten sich aus dem Lichtstrom die weiteren lichttechnischen GroRen ab.

3.2 Lichttechnische Grhkn

173

Abb. 3.8 Zur Definition des Lichtstroms

3.2.2

Lichtstiirke

Die Lichtstilrke ist durch (3.33) definiert. Die Lichtstiirke I wird im SI-System als GrundgroSe eingefiihrt, so daB ihre Einheit, die Candela, mittels einer primiiren MeSvorschrift festgelegt werden muO. Bis 1979 galt: Die Lichtstirke, die 1 cmz der Fliiche eines schwarzen K6rpers bei der Erstanungstemperatur des Platins (2042 K) und dem Druck 101325 Pa senkrecht zu seiner Ober.flEhe ausstrahlt, betragt 60 cd (60 Candela). Die 16. Generalkonferenz fiir Ma0 und Gewicht hat im Oktober 1979 eine neue Definition beschlossen, die aber inhaltlich keine grundlegende hderung mit sich bringt. Diese Definition lautet:

I

Die Candela ist die in einer Richtung abgegebene Lichtsti-irke einer Lichtquelle, die eine monochromatische Strahlung der Frequenz 540 THz ausstrahlt und deren Strahlstiirke in dieser Richtung 1/683 W .sr-l betragt.

Fiir den Zusammenhang zwischen den Einheiten Lumen und Candela gilt 1 Im = 1 cd.sr.

Analog zu G1. (3.25) ergibt sich fiir den in den Halbraum gestrahlten Lichtstrom einer Lichtquelle mit richtungsunabhiingigerLeuchtdichte

aJ= RROI,.

(3.34)

Mit 1, = 60 cd folgt daraus @ = 188Slm.

Durch numerische Integration erhiilt man mit

Qe,2

nach G1. (3.4) und G1. (3.5) bei T = 2042K

174

3 Strahlungsphysikund Lichttechnik

und 4,= 1 cm2 (Abb. 3.9) " p e , A V A dA = 0,276 w e

(3.35)

380 nm

Damit gilt fiir das fotometrische Strahlungsaquivalent

0

Km

=

=--18895 h = 6 8 3 b . W 0,276 W

78p.,1vAdA

(3.36)

380 nm

Das bedeutet, daR 1 W monochromatische Strahlungsleistung (1 W StrahlungsfluS) bei I = 555 nm den Lichtstrom CJ = 683 lm ergibt. Die absolute spektrale Empfindlichkeit (3.37)

K ( n ) = K m VA(I),

die fotometrisches Strahlungsaquivalentfiir monochromatische Strahlung genannt wird, ist in Abb. 3.10 enthalten. Beispielsweise ist bei A = 490 nm der Strahlungsleistung von 1 W nur der Lichtstrom Q, = 142,l lm aquivalent. Strahler @Q\/ schwaner lunpotarisiert)

-

7001

t4

5 soot

= t LOO

Y

300}

I \\

I

h. in nm

h in nmAbb. 3.9 V, -bewedeter spektraler StrahlungsfluB des schwarzen Strahlersbei T = 2042 K

------)

Abb. 3.10 Fotometrisches Strahlungsaquivalent fUr monochromatische Strahlung

als Funktion der Wellenliinge Die absolute Empfindlichkeit des Auges fiir Strahlung des schwarzen Korpers bei T = 2042 K betragt 780pm

Km

J C J ~ , . ~ VdA A 380 nm

=

780nm

j

= L 188 5 1m - 104,7-.lm 1.8 W W

CJeA

380 nm

K heifit auch fotometrisches Strahlungsaquivalentder Gesamtstrahlung.

(3.38)

175

3.2 Lichttechnische Gr66en

Die Normlichtart A strahlt eine Lichtquelle aus, die die Farbtemperatur Tj = 2859 K hat.

Das bedeutet, daS der Farbeindruck derselbe ist wie bei der Betrachtung eines schwanen Strahlers der Temperatur T = 2859 K . Fiir diesen Fall ist 780 am

780 nm

j @ e , L d A= 399,615.10’qlW und

j@e,LVLdA=91,56.103 q,W, 380 nm

380 nm

also

K = 683‘91,56

= 156,49m,

W

399,615 W

3.2.3

Leuchtdichte

Die Leuchtdichte folgt aus l d l L, = -COSE,

Fiir

(3.39)

dq,‘

= 0 ergibt sich aus G1. (3.39)

dl, Lo = -, dql

a.

[Lo]= m2

(3.40)

Oftmals wird die Fliiche in cm2 gemessen und die Einheit Stilb (sb) mittels

[L]= sb = cd .cm-’

(3.41)

eingefiihrt. Die Einheit Apostilb (asb) ist gesetzlich nicht mehr zulksig. Sie ist durch (3.42)

gegeben.

3.2.4

Beleuchtungsstiirke

Die Beleuchtungsstiirke berechnen wir aus d@O Eo = -, dq,

[Eo] =

5

= lx.

(3.43)

Als Abkiirzung fiir die Einheit lm . m-2 wird die Bezeichnung Lux (lx) verwendet. Trim der Lichtstrom schrag auf die beleuchtete Fliiche auf, d m ist gemM G1. (3.29)

E, = EOCOSEZ zu setzen.

(3.44)

176

3 Strahlungsphysik und Lichttechnik

Die Belichtung lautet entsprechend G1. (3.30) B = Et,

[B] = 1x.s.

(3.45)

Die lichttechnischen GroRen sind in Tab. 3.3 zusammengestellt.

GroBe

englisch franzosisch flux lumineux luminous flux (luminous power) LichtstArke luminous intensity intensite lumineuse Leuchtdichte luminance luminance

russisch

Formel- Einheit zeichen

c s e T o B o f i IIOTOK

0

lrn = cd. sr

cma

I

cd

RPKOCTE.

L

Beleuchtungs- illuminance smke Belichtung quantity of illuminance

eclairement

ocseueHHocm

E

cd , m-2 sb = cd . cm-* Ix = 1m.m-2

quantite d’eclairement

o c a eqem e

B

Ix . s

deutsch Lichtstrom

3.2.5

cBeTa

Fotometrisches Entfernungsgesetz

Der Lambert-Strahler. Als Modell einer ausgedehnten ebenen Lichtquelle wird haufig der sogenannte Lambert-Strahler verwendet. Dieser hat, aus jeder Richtung betrachtet, die gleiche Leuchtdichte. Fur die Lichtstake des Lambert-Strahlers folgt aus (vgl. G1. (3.19)) L , = Lo

(3.46)

(3.47)

also d l = dI,COS

E,.

(3.48)

Beim Lambert-SUahler gelten damit einfache analytische Beziehungen SOWONfiir die Leuchtdichte als auch fiir die Lichtstiirke. Darin ist seine Bedeutung als Modellquelle begriindet.

I

Der Lambert-Strahler hat fiir jede Richtung konstante Leuchtdichte und eine vom Betrachtungswinkel kosinusfonnig abhkgige Lichtstiirke.

Das fotometrische Entfernungsgesetz. Wir knupfen nochmals an Abb. 3.6 und an die Ableitung der G1. (3.28) an, beziehen uns aber auf die lichttechnischen GroRen. Eine punktfor-

3.2 Lichttechnische GroBen

177

mige Quelle erzeugt auf einer konzentrisch dazu liegenden Kugelflache die Beleuchtungsstiirke

Das Flachenelement der Kugel driicken wir durch das Raumwinkelelement d R und den Kugelradius r aus: dq, = r 2 d L ! . l . QO

AuSerdem fiihren wir die Lichtstirke I, nach G1. (3.33) ein. Wir erhalten

I

(3.49)

E, = $Go.

Dieser Ausdruck stellt das fotometrische Entfernungsgesetzfiir eine punktfonnige Lichtquelle der Lichtstiirke I. dar, die ein schriig stehendes Flachenelement in der Entfernung r beleuchtet (Abb. 3.11).

Ernpfanger

I0

Quelle

Abb. 3.11 Zum fotometrischen Entfernungs-

Abb. 3.12 Zum fotometrischen Entfernungs-

gesetz. Punktfonnige Lichtquelle

gesetz. Ausgedehnte Lichtquelle

Der optische FIuR. Wir koMen das fotometrische Entfernungsgesetz fiir den Fall erweitern, dal3 das Licht von einem kleinen Flachenelement einer ausgedehnten Lichtquelle ausgestrahlt wird (Abb. 3.12). Dazu ist in der G1. (3.49) die Lichtstiirke d i fiir die Ausstrahlungsrichtung einzufiihren. Fiir E setzen wir dementsprechend dE.Wir erhalten dE = -COS&2.R,. di r2 Nach GI. (3.39) ist d l = L cos &, . dq1, also

a=--cos &I .cos &,

(3.50)

dql. (3.5 1) r2 Eine andere Schrejbweise erhalten wir, wenn wir nach G1. (3.43) den Lichtstrom einfiihren. Es gilt dann d2@ =

'

9 cos E, . cos - dq,dq,. r2 &2

(3.52)

178

3 StrahlungsDhvsik und Lichttechnik

Mit GI. (3.52)ist der Lichtstrom zu berechnen, den das Flachenelement dq, dem in der Entfernung r stehenden Flachenelement dq, zustrahlt. 1st die Lichtquelle ein Lambert-Strahler, dann ist L eine Konstante. Auf der rechten Seite von G1. (3.52)ist die Leuchtdichte die lichttechnische GroSe, w&rend der Faktor cos El cos & Qodq,dq, r2 '

d2G =

(3.53)

die geometrischen Verhatnisse beschreibt. Er wird optischer F l d oder Lichtleitwert genannt. Allgemein ist also d 2 0 = L.d2G.

I

(3.54)

Der optische FluD spiegelt den EinfluD der geometrischen GroSen des optischen Systems wider. Der Lichtstrom stellt das Produkt aus optischem FluD und Leuchtdichte dar.

In der Schreibweise nach G1. (3.52)oder GI. (3.54)wird das fotometrische Entfernungsgesetz auch fotometrisches Grundgesetz genannt.

4


4.1 Geometrisch-optischabbildende Funktionselemente 4.1.1

Funktionselemente

Technische Strukturen haben bestimmte Funktionen zu erfiillen. Eine Funktion besteht darin, Eingangsgroh in AusgangsgroBen uberzufiihren. So koMte z. B. ein paralleles Lichtbundel vorgegebener Richtung in ein Parallelbundel anderer Richtung zu transformieren sein. Es ware dann eine technische Struktur notwendig, die die Funktion “Ablenken” verwirklicht. Es leuchtet ein, dao es dafur mehrere Strukturen geben k a ~In. unserem Beispiel wtiren Spiegel, Prismen, Glasfaserbundel u. a. geeignet. Der SchlUS von der Funktion auf die Struktur ist also nicht eindeutig, wiihrend der umgekehrte SchluS eindeutig sein kann. Jede Struktur hat neben den gewiinschten Hauptfunktionen noch Nebenfunktionen, die besonders zu beachten sind und die gegebenenfalls die Auswahl einschrimken. Bei Prismen kann z. B. die Lichtablenkung mit einer Farbaufspaltung (Dispersion), mit einer Polarisation des Lichtes u. a. verbunden sein. Der SchluS von der Struktur auf die Hauptfunktion ist also auch nicht immer eindeutig, im allgemeinen aber nahegelegt. Wir unterscheiden reale und konkrete Strukturen. Reale Strukturen sind materiell, also gefertigt. Sie koMm nur experimentell untersucht werden. Konkrete Strukturen stellen nichtmaterielle Modelle der realen Strukturen dar. Sie ktinnen nur theoretisch behandelt werden. Es ist zweckmiif3ig, die elementaren Funktionen zu ermitteln, die einem physikalischen Wirkprinzip zugeordnet sind. In diesem Sinne definieren wir den Begriff der Elementarfunktion. Eine Elementarfunktion ist eine Verhupfung zwischen vorgegebenen EingangsgroBen und vorgegebenen AusgangsgrOBen, deren weitere Zergliederung in Zwischenstufen nicht erforderlich ist, weil sie unmittelbar mit realen technischen Strukturen den Bauelementen - mit bestimmter Wahrscheinlichkeit realisiert und mit konkreten technischen Strukturen - den Funktionselementen - modelliert werden kann oder soll. Die Anzahl der notwendigen Elementarfunktionen ist damit auch von der Entwicklung der technologischen Bedingungen abhiingig. Gelingt es, eine technische Struktur zu entwickeln, die als Ganzes eine Funktion realisiert, so kann diese als Elementarfunktion aufgefaRt werden. Es gilt weiter:

I

Ein Bauelement ist eine reale technische Struktur, die als Ganzes in einer bestimmten Umgebung vorgegebene EingangsgroBen mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit in vorgegebene AusgangsgrOBen uberfiihrt.

Es kommt also nicht darauf an, ob bei der Fertigung und Montage des Bauelements mehrere Einzelteile notwendig sind. Wesentlich ist n u , daS das Bauelement ohne weitere Bearbeitungs- sowie innere Montage- und Justierprozesse in eine komplexe technische Struktur eingefiigt werden kann und die gewiinschte Funktion erfiillt.

4 Abbildende ovtische Funktionselemente

180

Das Model1 des Bauelements ist das Funktionselement. Mit desem werden die wesentlichen Eigenschaften des Bauelements theoretisch erfaI3t.

I

Ein Funktionselement ist eine konkrete technische Struktur, die als Games in einer modellmiiBig bestimmten Umgebung vorgegebene EingangsgroBen in vorgegebene AusgangsgroBen iiberfiihrt.

Die Funktionselemente teilen wir nach Elementarfunktionen ein. Zur Zeit liegen noch keine abgeschlossenen Untersuchungen dariiber vor, welche optischen Elementarfunktionen notwendig sind. Wir verwenden hier die Elementarfunktionen Abbilden, Bundelbegrenzen, Ablenken, Dispergieren, Filtern, Lichtleiten, Polarisieren und Energiewandeln. In diesem Abschnitt beschiiftigen wir uns mit geometrisch-optisch abbildenden Funktionselementen. Ihre Funktion, die geometrisch-optische Abbildung, 1Ut sich ausreichend genau mit dem Strahlenmodell des Lichtes beschreiben.

4.1.2

Brechende Rotationsflachen

Das augenfttligste abbildende optische Bauelement stellt die Linse dar (Abb. 4.1). Eine Linse besteht aus zwei brechenden Flachen, die in bestimmter Weise zueinander angeordnet sind. Eine einzelne brechende Flache 1Ut sich nicht als Bauelement ausbilden. Trotzdem ist es fiir das Verstiindnis der geometrisch-optisch abbildenden Funktionselemente notwendig, die Eigenschaften der Einzelflache zu untersuchen. Wir werden dabei auch wesentliche methodische Hilfsmittel kennenlernen.

Abb. 4.1 Sammellinse

Die Linsenflachen miissen im allgemeinen feinoptische Qualitat haben, d. h,ihre Genauigkeit hinsichtlich Kriimmung und Oberflachenbeschaffenheitunterliegt besonders hohen Anforderungen. Die Oberflache wird gepriift, indem mit Probegliisern Newtonsche Ringe erzeugt oder Interferometer eingesetzt werden. A l s Vergleichsliinge dient also die Wellenliinge des Lichtes. Bei der traditionellen Fertigung von Linsen werden die Flachen an Glaskorper durch Lappen und Polieren angearbeitet (Bearbeiten mit losem Korn zwischen Linsenflache und Werkzeug). Dabei lassen sich Kugelflachen, also sphiirische Flachen, leichter und damit billiger herstellen als andere Flachen. Das ist der Hauptgrund dafiir, dal3 asphiirkhe Flachen seltener zum Einsatz kommen als sphiirische Flachen, obwohl jene Vorteile fiir einen einfachen Aufbau optischer Systeme mit sich bringen wiirden. Berechnung von Meridionalstrahlen. Wir wollen den Verlauf eines Lichtstrahls hinter der brechenden Flache berechnen. Die Daten des Strahls vor der Fliiche sollen gegeben sein. Die allgemeine Losung dieser Aufgabe stellt sich als unerwartet schwierig heraus, besonders wenn

4.1 Geometrisch-optisch abbildende Funktionselemente

181

mehrere Flkhen aufeinander folgen. Wir beschrihken uns deshalb auf die Berechnung von Strahlen, die im Meridionalschnitt verlaufen (vgl. 1.2.2). Strahlen, die im Meridionalschnitt verlaufen, heisen Meddionalstrahlen. Alle anderen Strahlen werden “windschief’ genannt.

I

Eine Flachennormale benutzen wir als optische Achse. Die Kugelfliiche ist rotationssymmetrisch um die optische Achse. Zur Festlegung des Lichtstrahls vor der brechenden Fliiche sind zwei Bestimmungsstiicke notwendig. Eine geeignete GroBe ist die Schnittweite. Die Schnittweite ist die Entfernung des Punktes, in dem ein Lichtstrahl die optische Achse schneidet, vom Flachenscheitel.

I

Als zweite GrWe verwenden wir - bei endlicher objektseitiger Schnittweite den Schnittwinkel des Strahls mit der optischen Achse (Abb. 4.2), - bei unendlicher Schnittweite die Einfallshohe des Strahls an der ersten Flache (Abb. 4.3).

L

l?’

Abb. 4.2 Zur Ableitung des Normalschemas (Objektweite endlich)

VI

Abb. 4.3 Zur Ableitung des Normalschemas (Objektweite unendlich)

Fiir Strahlen, die nicht nahe der optischen Achse verlaufen, schreiben wir die Schnittweiten und -winkel mit “Dach” (also s^, &). Fiir den Fall, daB nicht die objektseitige Schnittweite s^, sondern die DurchstoDhohe in einer achssenkrechten Ebene gegeben ist, ermitteln wir die objektseitige Schnittweite folgendermal3en (Abb. 4.2): i * . . j t a n u = s^-ci, s =a+(4.1) tan & *

.

182

4 Abbildende optische Funktionselemente

Entsprechend ergibt sich die DurchstoShohe in einer beliebigen bildseitigen achssenkrechten Ebene (Abb. 4.2): tan

2

=

A, $' = (;'--')tan -a

2.

s

(4.2)

Die Ableitung der Formeln fiir die Berechnung der bildseitigen Schnittweite und des bildseitigen Schnittwinkels anhand der Abb. 4.2 und 4.3 ist in Tab. 4.1 enthalten. Bei der Strahldurchrechnung an der sph8;rischen Flache ist es unzweckmWig, einen geschlossenen Ausdruck fir die bildseitigen GroSen abzuleiten. Es werden Formelsatze angewendet, die einer algorithmischen Aufbereitung der Rechnung entsprechen. Tabelle 4.1 Ableitung des Normalschemas

I

1

Anwenden des Auknwinkelsatzes im Dreieck

Gleichliegende Winkel an den Parallelen

Anwenden des AuOenwinkelsatzes im Dreieck

I

iY= p+&' Anwenden des Sinussatzes im Dreieck

im Dreieck

Anwenden des Sinussatzes im Dreieck

sin (180°+e) --- i + r sin (-6) 1

sin E = --h

sine' = r - s sin 3 r

oder sin E - r - s sin 6 r

1

Division sin 6' sin& = r-i -sin 6 sin &' r - i' Anwenden des Brechungsgesetzes sin3 sin6

_-r - ; n'r-i'

*,


183

Die Formelsatze lauten fiir; # - w : sin & = ‘-sin r

s i n & = --h r

sin E’ = n sin E n cp = 6-&

sin E’ = -sin n n’ q = -& iT‘= q?+&’

iT‘ =

cp+E’

(4.3a, b) E

(4.4a, b) (4.5a, b) (4.6a, b)

- r - sin E’ + r j’ = - r sin . E‘ (4.7a, b) sin iT‘ sin 6’ Die Rechenschemata (4.1) bis (4.7) heiSen Normalschemata. Beispiel. Eine brechende Kugelflache habe den Radius r = SO mm. Die Brechzahlen seien n = 1 und n’= 1,5182. Die objektseitige Schnittweite sei unendlich. Es sind die bildseitigen Schnittweiten fiir die Strahlen mit den Einfallshohen h = 10, 20, 30,40 und 45 mm zu berechnen. AuRerdem sind die DurchstoBhohender Strahlen in einer um 146,49 mm vom Scheitel entfemten achssenkrechten Ebene anzugeben. Das Ergebnis, mit dem Normalschema berechnet, ist in Tab. 4.2 enthalten. In Abb. 4.4ist der Strahlenverlauf zeichnerisch dargestellt. Wie sieht es nun mit der optischen Abbildung durch diese brechende Flache aus? Das einfallende achsparallele Strahlenbundel kommt vom unendlich fernen Achsenpunkt. Dieser ist also der Objektpunkt. Bei einer punktformigen Abbildung m a t e die bildseitige Schnittweite unabhugig von der Einfallshohe sein. Tab. 4.2 und Abb. 4.4 zeigen, da6 dies nicht der Fall ist. Fiir abnehmende Einfallshiihe konvergiert die Schnittweite gegen den in die Tab. 4.2 zusatzlich eingetragenen Wert s’ = 146,49 mm. j’ =

+

Abb. 4.4 Schnittweiten an einer brechenden Flache

184


Tabelle 4.2 Bildseitige GroOen an einer brechenden Fl2che

i’lINll

h/= 0 10 20 30 40 45

-j‘/m 0 0,089 0,767 3,000 9,395 17,368

146,49 145,21 141,23 134.09

122.43 11335

Abb. 4.4 I a t efkeMen, daR im Bildraum eine Konzentration der Lichtstrahlen in einem gewissen Gebiet vorliegt. Es ist also zu erwarten, dal3 wir mit der brechenden Kugelflache eine geometrisch-optisch Abbildung im Sinne von 2.7.3 realisieren koMen. Aus diesem Grunde ordnen wir die sphiirische brechende Flache in die Behandlung der abbildenden optischen Funktions- bzw. Bauelemente ein. Wir kommen auf die Problematik der Realisiemng der geometrisch-optischen Abbildung in 4.3 zuriick. Insbesondere sind Hinweise notig, wie groD die Abweichungen von der idealen optischen Abbildung sind und wie groa die “zuliissige Umgebung” fiir die Strahlschnittpunkte sein darf. Das Normalschema erfordert sehr genaue Rechnungen mit hoher Stellenzahl, wenn n und n’ wenig voneinander abweichen. Einfalls- und Brechungswinkel sind dann auch wenig voneinander verschieden. In den ersten beiden Auflagen dieses Buches waren deshalb fiir diese Fiille spezielle Gleichungen angegeben worden, die aber beim Einsatz von Computern keine Bedeutung mehr haben.

4.1.3

Beziehungen fur das paraxiale Gebiet

Definition des paraxialen Gebiets. Eine besondere Rolle fiir die Untersuchung der Verhdtnisse an brechenden Rotationsflachen spielen die “flach und achsnahe” verlaufenden Lichtstrahlen. Die Formulierung “flacher Strahlenverlauf’ driickt aus, da8

tan

Q

tan

d

= sin Q = d

(4.8)

und = sin Q’

L-

d

(4.9)

sein soll. Die Achsniihe ist gewiihrleistet, wenn tan q = sin q

=

cp

(4.10)

ist. Wegen h sin cp = r

(4.11)

(Abb. 4.2) ist GI. (4.10) gleichbedeutend mit (4.12)

4.1 Geometriscb-optiscbabbildende Funktionselemente

I

185

Der Bereich um die optische Achse, in dem die Forderungen (4.8) bis (4.12) gelten, wird paraxiales Gebiet oder GauRscher Raum oder fadenformiger Raum genannt.

Der Name “achsnaher Raum” ist ebenfalls ublich. Dabei ist aber zu beachten, dal3 nicht allein die Achsnme, sondern auch die kleine Strahlneigung vorauszusetzen ist.

I

Die im paraxialen Gebiet verlaufenden Lichtstrahlen heiL3en Paraxialstrahlen.

Die Bedeutung des paraxialen Gebietes liegt darin, dal3 - geschlossene Beziehungen fiir die paraxialen BildraumgroSen gelten, ein schneller herblick uber die grundstitzlichen Verhiiltnisse an brechenden Rotationsflachen erhalten wird sowie - Bezugs- und HilfsgroRen fiir die Beschreibung des Strahlenverlaufs im aderaxiden Gebiet gewonnen werden. -

Die Abbesche Invariante stellt den Zusammenhang zwischen der objektseitigen und der bildseitigen Schnittweite von Paraxialstrahlenher. Die Ableitung der Abbeschen Invarianten (Abb. 4.5 und Tab. 4.3) geht von der Definition des Winkelverhiiltnisses tan 0’ y’ = -

(4.13)

tan B

aus. Im paraxialen Gebiet kann dafiir 0’ y’ = -

(4.14)

0

geschrieben werden.

Abb. 4.5 Zur Ableitung der Abbeschen Invarianten

Das Ergebnis der Ableitung in Tab. 4.3 lautet Q

I

(. .)

1 1 = = n ---

1 1 +a).

(4.15)

Die Grol3e Q kann sowohl mit den objektseitigen als auch mit den bildseitigen GroSen berechnet werden. Sie bleibt an der brechenden Flache konstant und wird Abbesche Invariante genannt.

186


Tabelle 4.3 Ableitung der Abbeschen Invarianten Anwenden der Winkelfunktionen in den Dreiecken

Brechung eines paraxialen Meridionalstrabls

fiJ -5

-_-___--~_____---

Definition des Winkelverhdbiisses -y’ = a

5’9

+g

U

Definition des paraxialen Gebiets tan u = u, tan

U’ = u’, g

s, s’

c

I

Einsetzen

Anwenden von

u - n s-r

Gleichsetzen s - n s-r n’sl-r

7---

s

Umformen (Abbesche Invariante)

Auflosen von GI. (4.15) nach s’ ergibt (4.16) s

r

Daraus folgt: I

Im paraxialen Gebiet ist die bildseitige Schnittweite unabhtingig von der Strahlneigung und damit von der Einfallshohe. S a t l i c h e Paraxialstrahlen, die von einem Objektpunkt ausgehen, schneiden sich bildseitig in einem Punkt.

Irn paraxialen Gebiet liegt eine punktformige Abbildung vor. Strenggenornmen ist diese Aussage jedoch ohne praktische Bedeutung. Exakt gilt G1. (4.16) nur fiu die Einfallshohe null, also fiir einen Lichtstrahl, der l u g s der optischen Achse verlauft (daher auch der Name “fadenformiger Raurn”). Ein einzelner Lichtstrahl l a t sich aber nicht realisieren und konnte auch kein Bild ergeben, weil sich dazu Strahlen schneiden mussen. Die eigentliche Bedeutung

187


der G1. (4.16) liegt in ihrem Niiherungscharakter. Wir verweisen auf das Beispiel der brechenden Fliiche, fiir die das Strahldurchrechnungsergebnisin Tab. 4.2 enthalten ist. Mit abnehmender Einfallshtihe strebt die Schnittweitegegen den paraxialen Wert s’ = 146.49 mm. Die achssenkrechte Ebene, die den paraxialen Bildpunkt enthat, ist die GauSsche Bildebene.

I

Die Helmholtz-Lagrangesche Invariante vermittelt den Zusammenhang zwischen dem Winkelverhiililtnis und dem Abbildungsmaktab. Die Definition des Abbildungsmastabs als Verhiiltnis der lateralen Abmessungen des Bildes und des Objektes ist der Ableitung in Tab. 4.4 unter Verwendung von Abb. 4.6 zugrunde gelegt. Das Ergebnis lautet nya = n’y’a‘.

I

(4.17)

Das Produkt nya stellt eine Invariante &r paraxialen Abbildung an brechenden Hachen dar, die Helmholtz-LagrangescheInvariante genannt wird.

Abb. 4.6 Zur Ableitung der Helmholtz-LagrangeschenInvarianten

Aus der Helmholtz-LagrangeschenInvariante folgen die Gleichungen n P’y’ = -

(4.18)

n’

und wegen a’/o= s/s’ (4.19) Der AbbildungsmaSstab fiir die Gaul3sche Bildebene ist also konstant. Kardinalelemente. Die optische Achse enthiilt ausgezeichnete Punktepaare, die eine beson&re Bedeutung fiir den paraxialen Strahlenverlauf haben. Diese Punktepaare, die sogenannten Kardinalpunkte, sind die Hauptpunkte, die Knotenpunlrte und die Brennpunkte.

I

Ein Objekt, das in der durch den objektseitigen Hauptpunkt H gehenden achssenk1 in die achssenkrechte rechten Ebene steht, wird mit dem AbbildungsmaSstab Ebene abgebildet, die den Hauptpunkt H’ enthat.

r=

Der objektseitige Hauptpunkt und der bildseitige Hauptpunkt sind also zueinander konjugiert. Ein Lichtstrahl, der die optische Achse im objektseitigen Knotenpunkt N unter dem Winkel a schneidet, schneidet die optische Achse im bildseitigen Knotenpunkt N‘ unter dem gleichen Winkel (a=a’1. Fiir die Knotenpunkte ist das Winkelverhiiltnis y’ gleich 1.

188


Tabelle 4.4 Ableitung der Helmholtz-Lagrangeschen Invarianten Brechung eines Paraxialstrahls am Flachenscheitel ~~

Definition des AbbildungsmaOstabes

Anwenden der Winkelfunktionen fiir kleine Winkel in den Dreiecken

-E,=--,

Y

-& ’ 0-

--YP I

S

Einsetzen Anwenden des Brechungsgesetzes fiir kleine Winkel - n --E, n‘

i

Anwenden von Einsetzen

~

s s

Umformen (Helmholtz-Lagrangeshe Invariante) ny a = n’y ’a’ Der objektseitige Knotenpunkt und der bildseitige Knotenpunkt sind also zueinander konjugiert. Der objektseitige Brennpunkt F wird in den unendlich fernen Achsenpunkt abgebildet (bildseitige Schnittweite des objektseitigen BreMpUnktstraNS sk = -). Der bildseitige Brennpunkt F’ ist das Bild des unendlich fernen Achsenpunktes (objektseitige Schnittweite des bildseitigen Brennpunktstrahls sF,= -). Objekt- und bildseitiger Brennpunkt sind n i c h t zueinander konjugiert. Die Kardinalelemente der brechenden Rotationsflache sind in Abb. 4.7 eingezeichnet. Die Schnittweiten der Haupt-, Knoten- und Brennpunktstrahlen werden in Tab 4.5 abgeleitet. Daraus folgt:

I

Die Hauptpunkte H und H’ fallen mit dem Flachenscheitel V, die Knotenpunkte N und N’ mit dem Kriimmungsmittelpunkt C zusammen.


189

Brennwdten. Als RechengroRen haben die Brennweiten eine besondere Bedeutung. Es gilt: tigen Brennpunktes vom bildseitigen Die obJektsei.tige Brennweite ist der Abstand des objektsei bildseittge objektseitigen Hauptpunkt, bildseitigen (Die Formulierung schlieBt die Vorzeichenregel ein. Bezugspunkte fiir die Brennweiten sind die Hauptpunkte.) f'

Abb. 4.7 Kardinalelemente und ausgezeichnete Strahlen fiir die brechende Fliiche

In Tab. 4.5 wird abgeleitet, daJ3 fiir die Brennweiten der brechenden Rotationsflache (4.20)

-n'r

f'=+-=K-1

n'r

n'-n'

(4.21)

(4.22)

gilt.

Zeichnerische Konstruktion von Bildort und -gro8e. Die Kenntnis der Kardinalelemente einer brechenden Flsche gestattet in einer einfachen Weise &e zeichnerische Ermittlung von Bildort und -groRe. Die achssenkrechten Ebenen, die durch die Hauptpunkte gehen und die wir Hauptebenen nennen, werden im MaRstab 1:l aufeinander abgebildet. Ein Lichtstrahl muR die bildseitige Hauptebene in der gleichen Entfernung von der optischen Achse durchstofien, in der er die objektseitige Hauptebene durchstoRt. Fiir die Bildkonstruktion gibt es drei ausgezeichnete Strahlen (Abb. 4.7). Der objektseitig achsparallele Strahl geht bildseitig durch den Brennpunkt F'. Der objektseitige Bre~punktstraNverlauft bildseitig achsparallel. Der objektseitige Knotenpunktstrahl wird parallel zu sich so versetzt, daJ3 er durch den bildseitigen Knotenpunkt geht.

Brennpunkt-Koordinatensystem. Bisher verwendeten wir zur Messung von Objekt- und Bildweite die Entfernungen vom Flachenscheitel, also die Schnittweiten. Im Brennpunkt-Koordinatensystem werden die Urspriinge der Koordinatensysteme in die Brennpunkte gelegt. Es eignet sich besonders fiir die Losung von Aufgaben der Optik-Konstruktion.

I I

[

(:t)

s=

nbH

S”

=o

s;,

=o

Schnittweiten des Hauptpunktsrrahls

Schlufifolgerung: Objekt in der Scheitelebene wird mit dem AbbildungsmaEstab fl’ = 1 in sich abgebildet.

nEo = n’E’,

Vergleich mit dem Brechungsgesetz fiir kleine Winkel (Brechung am Flachenscheitel)

s’ =

s;,

3 z - m

s‘

f

n’- n

n’-n

n’ r =-nr f’ = -

f’ = sGz-s;(a

sN = r

sfi. =

T

Schnittweiten des Knotenpunktstrahls

SP-SH

Anwenden von sH = s;l. = 0

f =

Schlufifolgerung: Der Strahl, der durch den Kriimmungsmittelpunkt geht, wird nicht abgelenkt.

Vergleich mit der Abbeschen Invarianten (n’ # n )

SN =

Spezialfall y’= 1 (aN= crfi. ) (Definition der Knotenpunkte)

u

Definition der Brennweiten (einschlie6lich Vorzeichenregel)

Schnittweiten der Brennpunktstrahlen

SF

f = a l

n’&

ti(+-+)

Spezialfdle (Definition der Brennpunkte)

n --- =

Spezialfallp‘ = 1 (yk, = YH) (Definition der Hauptpunkte)

n y a = n’y’cr‘

I s

Anwenden von (WinkelverMtnis)

Anwenden der Abbeschen Invarianten

Anwenden der Helmholtz-Lagrangeschen Invarianten

y’= a’ =

I

Knotenpunkte (N, N’)

I I I Brennpunkte (F, F’)

--------

Hauptpunkte (H, H’)

Brennpunktstrahl

Achsparallelstrahl

Knotenpunktstrahl

Ausgezeichnete Strahlen

Tabelle 4.5 Ableitung der Gleichungen fiir die Kardinalelemente der brechenden Flache


19 1

In Tab. 4.6 werden die Beziehungen fiir die Koordinaten der Kardinalpunkte, fiir den Abbildungsmahtab und fiir das Winkelverhtiltnis angegeben. Daneben wird der Tiefenmasstab definiert durch a’ = -.dz’ (4.23) dz Es ist

a‘ =

--p. f’

(4.24)

f

Wir heben die in Tab. 4.6 abgeleiteten Beziehungen fiir die Berechnung des paraxialen Bild-

oms (Newtonsche Abbildungsgleichung) zz‘ = ff’

(4.25)

und des paraxialen AbbildungsmaSstabs (4.26)

heNOr. Tabelle 4.6 Berechnung der paraxialen Grlil3en im Brennpunkt-Koordinatensystem

Koordinaten der Kardinalpunkte

WinkelverhWnis

Spezialfall p’ = 1 (HauptpunktKoordinaten)

hnlichkeit der

I z,=-f.zk,=-f’ 1

Definition des Winkelverhiilmisses und Zusammensetzen der Strecken

Definition des AbbildungSmasstabes

t

I

Gleichsetzen

Definition (BrennpunktKoordinaten) I

Hf

(Abbildungsgleichung)

l5

Differenzieren (TiefenmaOstab)

a’ d z ’ dz

IEinsetzen

’ z+f - z z+f ’ y=---ffLZ -+ ff’ f ’ f ‘ f + z 22

z

I Einsetzen

Kiirzen und Anwenden der Abbildungsgleichung

I

Spezialfall r‘=1 (KnotenpunktKoordinaten) ZN =f’, z ; , = f

z+f,

a‘ = z ‘ + f ’

ap = f , a N= f + f ’ a;, = f’, a“. = f + f’

Einsetzen (Koordinaten der Brennpunkte und Knotenpunkte.)

a =

Zusammensetzen der Strecken

Koordinaten der Kardinalpunkte

ZF =

0, z, = f’ 0, Z” =

Anwenden von

Einsetzen (Abbildungsmdstab)

Anwenden von

Tabelle 4.7 Berechnung der paraxialen GroBen im Hauptpunkt-Koordinatensystem

Anwenden von

s = a

Anwenden von

I

a‘

n-K a f’ ----

n’

(Abbildungsgleichung)

Urnformen _ n’ _n- - n’-n

Einsetzen

f

I

Anwenden der Abbeschen Invarianten

Abbildungsgleichung

4.1 GeomeUisch-ovtisch abbildende Funktionselemente

193

Hauptpunkt-Koordinatensystem.In manchen Fdlen, besonders bei der Behandlung der optischen Abbildung durch Fotoobjektive und durch Projektionsobjektive, ist es gunstig, die Objektweite sowie die Bildweite von den Hauptpunkten aus zu messen. Diese fallen dann mit den Urspriingen der Koordinatensysteme zusammen. Die fiir das Brennpunkt-Koordinatensystem abgeleiteten Formeln lassen sich in die Formeln fiir das Hauptpunkt-Koordinatensystemumschreiben, wenn nach Abb. 4.8 a = z+f,

(4.27)

a' =

(4.28)

Z'+f'

gesetzt wird (Tab. 4.7). f'

A

-a

I

-

t

l

-

Z'

a'

Abb. 4.8 Haupt- und Brennpunktkoordinaten

Wtihrend die Abbildungsgleichung im Brennpunkt-Koordinatensystem nur die universellen Brennweiten enthat, sind die im Hauptpunkt-Koordinatensystemgiiltigen Beziehungen fiir den Abbildungsmdstab

p'

=

Ad n' a

(4.29)

und fiir die Abbildungsgleichung (4.30)

in die die Brechzahlen eingehen, spezifisch fiir das paraxiale Gebiet der brechenden Flache. (Zu beachten ist, daR die Objektweite a nur dann mit der Schnittweite s identisch ist, wenn der Paraxialstrahl vom Achsenpunkt des Objekts ausgeht.)

4.1.4

Flachenfolgen

Ubergangsbeziehungenfur Meridional- und Paraxialstrahlen. Flac-afolgen bestehen aus zueinander zentrierten Flachen. Wir betrachten brechende Rotationsflachen, deren optische Achsen zusammenfallen.

Bei einer zentrierten Folge aus Rotationsflkhen liegen die Kriimmungsmittelpunkte der Scheitelkreise auf einer Geraden, die die optische Achse der Flachenfolge darstellt.

194


Die GrijRen des Bildraums der Flachenfolge bestimmen wir, indem wir Lichtstrahlen von Flache zu Flache durchrechnen. Fur die Meridionalstrahlengelten die Formeln (4.3) bis (4.7) des Normalschemas. Zur Bestimmung der paraxialen G r o k n der Einzelfltichen sind die Formeln aus 4.1.3 anzuwenden (vgl. auch 4.1.8).

Abb. 4.9 Zu den ijbergangshziehungen

P!

I_

-K

4

Abb. 4.10 Zu den hergangsbeziehungen fiir das paraxiale Gebiet

Die objektseitigen GroRen einer in der Flachenfolge stehenden Flache mussen aus den bildseitigen Grofien der vorangehenden Flache berechnet werden. Fiir achsfeme Meridionalstrahlen lesen wir in Abb. 4.9 folgende hergangsbeziehungen ab: nk+l

= n:,

&k+1

= &;,

sk+1

(4.31a) (4.31b) /

= sk-ek. A/

(4.31~)

Fiir Paraxialstrahlen gilt nach Abb. 4.10 nk+l

= n;,

ak+l

=

sk+l = s; - e;, Yk+l

=

hk+1

= hk - e; 0;.

(4.32a.. .e)

$9

Die paraxialen Grbyen der Fldchenfolge lassen sich aus den paraxialen Schnittweiten be-

195

4.1 Geometrisch-optixh abbildende Funktionselemente

rechnen. Fiir den AbbildungsmaBstab

p'

=

'

v,

(4.33)

Y1

einer Folge aus n brechenden Fltichen werden in Tab. 4.8 (Grundlage ist Abb. 4.11) und in Tab. 4.9 die Beziehungen

p'

=

np;,

(4.34)

k=l

(4.35) (4.36)

abgeleitet. Tabelle 4.8 Ableitung von Gleichungen fiir den AbbildungsmaSstab Definition des Abbildungsmastabs fiir das System

p.=& YI Anwenden von yk+l= y;

I

Definition des AbbildungsmaBstabs fiir die Einzelfl2chen

I

I I

Einsetzen

I

AbbildungsmaSstab einer brechenden Fl2che

1 I I Einsetzen

Anwenden von

At+]

= n;

1

196


Tabelle 4.9 Ableitung einer Gleichung fiir den AbbildungsmaOstab

Anwenden der Helmholtz-Lagrangeschen Invarianten ( n ; = n,+, , y; = y,+, , a; = )

Anwenden der Winkelfunktionen in den Dreiecken

!

I

Einsetzen

I

I

Anwenden der Definition fur on= h , / h ,

1

H

H’

Abb. 4.11 Zur Ableitung von Abbildungsmahtab und Brennweite fiir ein Flachensystem

Abb. 4.12 Zur Brennweite fiir ein Flachensystem

197


Die Berechnung der Brennweite aus den Schnittweiten an den Einzelfliichen ist in Tab. 4.10 auf der Basis der Abb. 4.12 d u r c h g e w worden. Folgende Beziehungen seien hervorgehoben:

(4.37) s, =

f ’ = s,-,f 1

--.

a n

Tabelle 4.10 Ableitung der Gleichung fiir die Brennweite einer Flachenfolge

Anwenden der hnlichkeit der Dreiecke

Urnformen und Enveitern mit h , f ‘ han = s,-f- h h , =SA

hn h ,

wn h ,

Grenzubergang s, + - 0 0 , h + hl , a:

Anwenden von P’= 1 n 2 s’ 1

4

sl a, Eliminieren von an

Anwenden von n

n,

’

Umformen n

mm (SIP’)

$I+-

f

Einsetzen

4

f’


198

Kardinalelemente von zwei Fliichen. Zwei brechende Flschen stellen eine Linse dar. Es ist u. a. auch deshalb notwendig, die Kardinalelemente eines Systems aus zwei zentrierten brechenden Flachen zu berechnen. Als Hilfsmittel verwenden wir Abb. 4.13. Dieser - sowie der Ableitung der Beziehungen liegen zwei Gesichtspunkte zugrunde: - Der bildseitige Brennpunkt des Ersatzsystems ist das vom zweiten System entworfene Bild des Brennpunktes F;, weil alle achsparallel einfallenden Strahlen durch F; und F' gehen miissen. - Die Verliingerung eines achsparallel einfallenden Strahls schneidet den ihr zugeordneten durch das System gehenden Strahl in einem Punkt der bildseitigen Hauptebene H' des Ersatzsystems (Definition der Hauptebenen p' = 1).

Abb. 4.13 Brennpunkt und bildseitige Hauptebene fiir zwei Flachen

Als Rechenhilfsgrofie wird die optische Tubusliinge verwendet. Fiir diese gilt folgende Definition:

I

Die optische Tubusliinge, auch optisches Interval1 genannt, ist der Abstand des objektseitigen Brennpunktes eines Systems vom bildseitigen Brennpunkt des vorangehenden Systems.

Bei zwei Systemen ist die optische Tubusliinge t der Abstand des Brennpunktes F, vom Brennpunkt F; . Nach Abb. 4.13 gilt t =

el-h'+f2.

(4.38)

Die Ableitung der Beziehungen ist in den Tab. 4.11 und 4.12 enthalten. Es ergibt sich fiir die Brennweiten des Ersatzsystems

f

Af2 =t,

(4.39) (4.40)

und fiir den Abstand der Hauptebenen H bzw. H' von den Hauptebenen H, bzw. H i


199

fie: a,H = -

(4.41)

-.ftX

(4.42)

t '

' = aZH)

Bei mehreren Abbildungen mussen die Beziehungen (4.38) bis (4.42) auf jeweils zwei aufeinanderfolgende Systeme wiederholt angewendet werden. Wir konnen aber unter der Voraussetzung, daO fiir jedes Einzelsystem f'=-f

gilt, noch einige weitere Gleichungen ableiten.

Es ist zweckmSig, in die weiteren iiberlegungen die Brechkraft einzufiihren.

I

Die Brechkraf&F' eines optischen Systems ist der Kehrwert seiner bildseitigen BreMWeite:

F'=

1

(4.43

7.

f

Tabelle 4.11 Ableitung der Gleichungen fiir die Brennweite des Ersatzsystems

Abbilden von F,' durch das System 2 Anwenden von (Winkelverhiiltnis)

Definition des optischen Intervalls Anwenden der Winkelfunktionen in den Dreiecken

Einsetzen

I

4f = - 4f,

Analoge Ableitung f

=fi f i t

I

200


Tabelle 4.12 Ableitung der Gleichungen fiir die Hauptebenenlage des Ersatzsystems

Abbilden von F,’ durch das System 2

I Anwenden der Abbildungsgleichung (z2=-tt)

Brennweite des Gesamtsystems

f’=

,, -fifi t

1

I

Einsetzen

I ’

a2H’

’ f,f,‘+f,‘f; =

f i - 7

t

Umfonnen

Definition der optischen Tubusliinge t =

e;-f,’+

f2

I(

Einsetzen

I

1

Analoge Ableitung

I

Als weitere HilfsgroBen verwenden wir die Quotienten aus den DurchstoBhohen eines Licht-

strahls durch die Hauptebenen innerhalb des Systems und der DurchstoBhohe in der Hauptebene der ersten Teilabbildung. Wir setzen Wk

=

-.hk

h,

(4.44)

Es gilt (4.45)

Die Hohenverhdtnisse in aufeinanderfolgendenHauptebenen innerhalb des Systems betragen

4.1 Geometrisch-optischabbildende Funktionselemente

20 1

(vgl. Abb. 4.14) h V = -.

a:-l

h,-l

Damit ergibt sich (4.46) Im Spezialfall a , = -00 wird a; = fi' und

wz = a2&' (sl =--). Aderdem ist (Abb. 4.15)

a2 = $-el

1- el4' oder a2 = -

F; .

Es gilt also 02

= I-&'

(al=--).

(4.47)

Es ist sinnvoll, noch die Definition

a1 = 1

(4.48)

hinzuzufiigen.

Abb. 4.14 Zur Ableitung des Htihenverhtilmisses

Abb. 4.15 Zur Ableitung der Gleichung fiir

o,bei unendlicher Objektweite Fiir die Brechkrajl eines Systems mit fiihrten Ableitung

f;= - fk gilt entsprechend der in Tab. 4.13 durchge(4.49)

In einem System, in dem die Hauptebenen aller Einzelabbildungen zusammenfallen, sind swtliche wk gleich 1. Wir erhalten n

F' =

FL (alle k=l

=l).

(4.50)

202


Tabelle 4.13 Ableitung der Gleichung fiir die Brechkraft einer Flachenfolge (Brechkraft eines Systems aus n Einzelabbildungen mit f,' = - A )

Brechkraft der zusammengesetzten Abbildung

Definition des optischen In tervalls t = e;-f,'+ f 2 ~

Spezialfall

f:= - A . fi'= - f 2 t = e;-fi'-f;

I

Einsetzen und Diviaeren

Einfiihren der Brechkriifte F' = F,'+ Fl- e;F;%;'

I

Anwenden von w, = I-e;F,' I

I

Einsetzen F' = F,'+02F; I

Definition w, = 1 I

(I

F'=

20~5' k=l

Spezialfall

alle ok = 1 alle e; = 0

In Worten:

1

In einem optischen System mit f; = - f,., in dem shtliche Hauptebenen zusammenfallen, setzen sich die Einzelbrechkrrne additiv zur Gesamtbrechkraft zusammen.

Fiir die Hauptebenenabstade des Gesamtsystems von den Hauptebenen H, bzw. Hi ergeben sich bei zwei Abbildungen mit h ' = - & ebenfalls einfache Beziehungen.

203

4.1 Geometrisch-oDtisch abbildende Funktionselemente

Aus G1. (4.42) folgt mit G1. (4.40) a;H’ =

--elf’

(4.5 la)

A’ .

el eliminieren wir mittels (4.47), so da13 wir UiH’

=

(a,-1)

f’

(4.51b)

( a , = -00)

erhalten. Entsprechend l a t sich G1. (4.41) in (4.52a) und in (4.52b) umformen. Abbildungsgleichung fur f’= - f . Im Unterschjed zu den Hauptebenen der einzelnen brechenden Flache stimmen die Hauptebenen zweier Flachen mit nichtverschwindendem Abstand nicht iiberein. Fiir

(4.53) (4.54)

(Die Beziehungen zN = f’, z;, = f , zH = -f , 2;. = -f’ aus Tab. 4.6 gelten auch fiir das Ersatzsystem.)

I

In einem optischen System mit f = - f’ stimmen der objektseitige Hauptpunkt und der objektseitige Knotenpunkt sowie der bildseitige Hauptpunkt und der bildseitige Knotenpunkt uberein.

Nach Abb. 4.16 ergibt sich fiir den AbbildungsmaSstab (4.55)

Abb. 4.16 Zur Ableitung der Abbildungsgleichung bei f’ =

-f


204

Daraus folgen die Abbildungsgleichung

--1 1 = r a’

a

(4.56a)

f’

und die Beziehungen

Zeichnerische Bestimmung von Bildort und -grofie. An der Abbildung eines Objekts konnen entsprechend unseren Ausfiihrungen nacheinander mehrere optische Elemente oder Systeme beteiligt sein. Beim Mkroskop z. B. erzeugt das Objektiv ein reelles Zwischenbild des Objekts, das Okular liefert davon ein virtuelles Endbild (Abb. 4.17). Fiir das paraxiale Gebiet brauchen wir zur Berechnung von Bildort und BildgroBe nur die abgeleiteten Beziehungen wiederholt anzuwenden. D ~ zeichnerische s Verfahren koMen wir schrittweise ausfiihren, indem wir die Zwischenbilder nacheinander ermitteln. Dabei kann lediglich d e Schwierigkeit auftreten, d& ein Zwischenbild hinter der Hauptebene H des njichsten Systems entsteht. Fiir dieses ist das Zwischenbild ein virtuelles Objekt. Wichtig ist weiter, daJ3 wir auch innerhalb einer Abbildungsfolge Strahlen in Zwischenbildpunkten beginnen lassen konnen. Wir nehmen dabei nur an, da13 wir den vorausgehenden Strahlenverlauf noch nicht kennen.

Abb. 4.17 Paraxiale Abbildung im Mikroskop

An den Beispielen der Abb. 4.18a bis 4.18f sol1 die zeichnerische Methode zur Bestimmung von Bildort und -groDe fiir einige Fiille veranschaulicht werden. Fiir die Strahlkonstruktion empfiehlt sich das formale Anwenden folgender Regeln: - Zeichne den ausgezeichneten Strahl im Objektraum bis zur Hauptebene H (DurchstoBhohe h)! - Zeichne den ausgezeichneten Strahl in der gleichen Achsentfernung h von der Hauptebene H’ an weiter! Beachte folgende Zuordnung:

Objektraum achsparalleler Strahl Strahl durch den Brennpunkt F Strahl durch den Knotenpunkt N

+ + +

Bildmum Strahl durch den Brennpunkt F’ achsparalleler Strahl Strahl durch den Knotenpunkt N’ (ohne Richtungsiinderung)

4.1 Geometrisch-ootisch abbildende Funktionselemente

Abb. 4.18 Beispiele fiir die Srrahkonstruktion

205


206

4.1.5

Zentrierte Linsen

Die sphiirische Linse ist das wichtigste geometrisch-optischabbildende Funktionselement.

I

Die sphiirische Linse besteht aus einem Werkstoff mit hohem Reintransmissionsgrad, Sie stellt einen Korper mit zwei zueinander zentrierten brechenden Kugelflachen dar.

Die Zentrierung von Linsen und Linsenfolgen ist fiir die Praxis ein wichtiges Problem. Hier begniigen wir uns mit einigen Andeutungen dazu. Zwei Kugelflachen sind stets zueinander zentriert. Die Kugelmittelpunkte liegen auf einer Geraden, die zur optischen Achse der Linse wird. Die Linsen werden jedoch am Rande gefaI3t. Die Rotationssymmetrieder gefa&en Linse ist nur gesichert, wenn die Symmetrieachse des Randes, die sogenannte Formachse, mit der optischen Achse zusammenfWt (Abb. 4.19). Bei Linsenfolgen mussen auBerdem die optischen Achsen siimtlicher Einzellinsen zusammenfallen.

Abb. 4.19 Zentriexte Linse

In Abb. 4.20 sind drei Faille von Zentrierfehlern bei einer Linse dargestellt. Dabei wurde vorausgesetzt, daI3 die Formachse und die optische Achse in einer Ebene liegen. Im allgemeinen schneiden sich jedoch beide Achsen nicht, so daJ3 die Verhdtnisse wesentlich komplizierter sind als in den Beispielen der Abb. 4.20 (vgl. etwa [ 191). optische Achse -.

Formachse

a)

Abb. 4.20 Beispiele fiir nichtzentriexte Linsen

Kardinalelemente. Die weiteren Ausfiihrungen beziehen sich auf das paraxiale Gebiet einer zentrierten Linse. Sie gelten nicht n u fur sphiirische Linsen, sondern fiir alle Linsen, die zentrierte Rotationsflachen enthalten. Gegeben sei eine zentrierte Linse, die beiderseits an den gleichen Stoff angrenzt. Die Linsendicke werde mit d bezeichnet (Abb. 4.21). Die Untersu-

207

4.1 Geometrisch-ovtisch abbildende Funktionselemente

chung der Abbildung im paraxialen Gebiet der Linse erfordert die Kenntnis der Kardinalelemente. Bei einem System aus brechenden Fltichen mit n, = n‘, ist f‘= -f.

Es geniigt demnach, die bildseitige Brennweite f’ bzw. die Brechkraft F‘ zu berechnen. AuBerdem fallen die Haupt- bzw. Knotenpunkte H und N sowie H’ und N’ zusammen. Zur Ableitung der Brechkraftformel gehen wir von GI. (4.40) fiir die Brennweite zweier brechender FlEhen aus. Wir s e w n also

Nach (4.20) und (4.21) lassen sich die Brennweiten der Linsenflachen mit

.;

- = , = n2 n n1 n2

(4.57)

(n relative Brechzahl des Linsenwerkstoffes gegenuber der Umgebung) darstellen durch (4.58a, b)

(4.59a, b) H

H‘

Abb. 4.21 Paraxiale GrMen der Linse

Als HilfsgrtiSen verwenden wir die reduzierte Dicke d. = -d n

(4.60)

und die Sphmmeterwerte (4.61a, b)

Die Ableitung der Brechkraftfoxmel ist in Tab. 4.14 zusammengestellt. Wir entnehmen ihr (4.62)

208


oder F' =

(4.63)

@1-@2+#1#2d.

Bei zwei brechenden Hachen betriigt die Entfernung des Hauptpunktes H' vom Hauptpunkt Hi der zweiten Flache nach GI. (4.51a)

Einsetzen von (4.58b), (4.60) und (4.61a) fihrt auf

a>Hp = -f'Qi,d.

(4.64)

Eine analoge Ableitung ergibt

ulH = f Q z d .

(4.65)

Tabelle 4.14 Ableitung der Gleichung fur die Brechkraft einer Linse Brechkraft zweier kollinearer Abbildungen

Definition der optischen Tubuslhge t = d-f,'+ fi

(mit e; = d ) Einsetzen und Ausdividieren F' = - fi- -1+ L - d Brennweiten der Einzelflachen mit n;/n,=n,/n; = n

fi

r,

= --, n-1

,

fi

=

f; fi'

f; A%'

nr,

n- 1

1 d' = - d n

Definition der Sphiirometerwerte


209

MeDtechnisch ist die Entfernung des Brennpunktes vom Flachenscheitel leichter zu erfassen als die Brennweite. Die Scheitelbrennweiten f , bzw. f,' sind die Entfernungen der Brennpunkte von den Flachenscheiteln V, bzw. V,. Der Kehrwert der Scheitelbrennweite f,'ist die Scheitelbrechkraft &' . Nach Abb. 4.21 gilt f. = f +a,,

und f.'= f'+a;,..

(4.66a, b)

Daraus geht mit (4.64) und (4.65)

f, = f ( l + 0 2 ( i ) und f,'= f'(1-eld)

(4.67a, b)

hervor. Bilden wir den Kehrwert von f,' nach G1. (4.67b) und eliminieren wir die Brechkraft F' mittels G1. (4.63), dann entsteht (4.68) bzw . (4.69) Die zeichnerische Bestimmung des paraxialen Bildortes und des paraxialen AbbildungsmaBstabs fiihren wir mit Hilfe der Brennpunktstrahlen und des Knotenpunktstrahls (zugleich Hauptpunktstrahl) aus (Abb. 4.22 und 4.23).

Abb. 4.22 Strahkonstruktion fiir die Samrnellinse

Abb. 4.23 Strahlkonstruktion

fiir die Zerstreuungslinse

Klassifikation der Linsenformen. Eine zentrierte Linse ist durch die Scheitelkriimmungen der beiden FWchen, durch die Flachenform, die Dicke, die Brechzahl, den AuDendurchmesser und den fkeien Durchmesser festgelegt. Fiir unsere Untersuchungen, die sich auf das paraxiale Gebiet beschrjdnken, spielen der AuDendurchmesser und der freie Durchmesser keine Rolle. Die Brechzahl ist nur in engen Grenzen variierbar und hat wenig EinLluS auf die grundlegende Wirkung der Linsen. Strahlenverlauf und Brechkraft werden wesentlich durch die Kriimmungsradien und die Linsendicke bestimmt. Von besonderer Bedeutung ist die Unterscheidung von Sammel- und Zerstreuungslinsen. Es gilt:

210


Bei positiver Brennweite f’ schneiden sich achsparallel einfallende Paraxialstrahlen im bildseitigen BfeMpUnkt F’. Die Lime verwandelt ein paraxiales Parallelbundel in ein konvergentes Bundel und stellt damit eine Sammellinse dar (Abb. 4.24). Bei negativer Brennweite f ’ schneiden sich die Verlbgemngen von achsparallel einfallenden Paraxialstrahlen im bildseitigen Brennpunkt F‘. Die Linse verwandelt ein paraxiales Parallelbundel in ein divergentes Bundel und stellt damit eine Zerstreuungslinse dar (Abb. 4.25).

I

\

Brechung von Strahlen an der Sammel-

Abb. 4.24

linse

Brechung von Strahlen an der Zerstreuungslinse

Abb. 4.25

Abb. 4.26 Divergentes Bundel bildseitig der Sammellinse

Ob ein konvergentes oder ein divergentes Lichtbundel entsteht, h b g t von der Objektweite ab (Abb. 4.26). Eine Sammellinse bricht die Lichtstrahlen stets zur Achse zu (of> 0); eine Zerstreuungslinse bricht die Lichtstrahlen stets von der Achse weg (d€ o).(Die Winkel sind mit Vorzeichen zu betrachten.) Das hat z. B. zur Folge, daR eine Zerstreuungslinse innerhalb eines Systems fiir das hinter ihr stehende System grol3ere Einfallshohen mit sich bringt. Fiir die paraxiale Abbildung an Linsen gelten wegen f ’ = -f die Gleichungen des BrennpunktKoordinatensystems

Die grafische Darstellung der Bildweite und des Abbildungsmahtabes als Funktion der Objektweite in der Abb. 4.27 fiir Sammellinsen und in der Abb. 4.28 fiir Zerstreuungslinsen ermoglicht eine schnelle ijbersicht uber die Zusammenhiinge. Verschiebt man ein Zeichendreieck so, daO die Schenkel des rechten Winkels parallel zu den Koordinatenachsen bleiben und der Scheitel des rechten Winkels auf der ausgezogenen Kurve bleibt, dann zeigen die Winkelschenkel die gegenseitige Lage von Objekt und Bild an. Im Hauptpunkt-Koordinatensystem gilt

Eine einfache Gestalt der Abbildungsgleichung erhalten wir, wenn wir die Kehrwerte der Strecken einfiihren:

Damit ergibt sich

21 1


"

I I I

I

-7----

P

J

+.-.

Abb. 4.27 Grafische Darstellung der Abbildungsgleichung (Sammellinse)

z'

I

I

i

I --I-

I I -- --

-dz+

--&.4--2+-.I H F

Abb. 4.28 Grafische Darstellung der Abbildungsgleichung (Zerstreuungslise)

212


In einem A’-A-Diagramm wird die Abbildungsgleichung durch eine Gerade dargestellt (Abb. 4.29 fiir eine Sammellinse). Der Abbildungsmahtab p’ = tan f und das Winkelverhiiltnis y’ = cot f sind ebenfalls aus dem Bild abzulesen.

Abb. 4.29 Grafische Darstellung der Abbildungs-

gleichung fiir die Kehrwerte der Strecken Wir gehen nun dazu uber, die Linsenformen zu klassifizieren. Fiir die Linsenflachen ergeben sich die sechs Moglichkeiten, die in Abb. 4.30 zusammengestellt sind. Von den neun daraus durch Kombination entstehenden Linsen (Abb. 4.31) sind die Kombinationen 1/4 und 3/6, 1/5 und 2/6 sowie 2/4 und 3/S identisch. Die Kombination der beiden Planflachen 2 und 5 ergibt eine planparallele Platte ohne Brechkraft. Es bleiben damit fiinf Linsenformen ubrig, die zu untersuchen sind. l:4

5

6

Abb. 4.30 Mogliche brechende Flachen

H

Abb. 4.32

1.5

2.4

2,5

2;6

3;4

3.5

3.6

Abb. 4.31 Mogliche Kombinationen brechender Flkhen zu Linsen

H’

Symmetrische Bikonvexlinse

Abb. 4.33 Teleskopische symmetrische

Bikonvexlinse


213

Symmetrische Bikonvexlinse (rl = -r, = r). Wir betrachten die symmefrische Bikonvexlinse wegen der besseren ijbersicht bei betragsmaig gleichen Radien (Abb. 4.32). Die Ergebnisse sind sinngemiU3 auf den allgemeinen Fall der unsymmetrischen Linse zu ubertragen. Wegen wird die BrecNuaft nach G1. (4.63) F’ = G ( 2 - d ) .

(4.70)

Die Hauptpunkte haben nach (4.64) und (4.65) die Scheitelabstiinde alH

= -a;H’

=

fad

> 0.

Die Hauptpunkte liegen also symmetrisch in der Linse. Fiir 2>

@d

oder d
0. Es liegt eine Sammellinse vor. Die Dicke darf also einen bestimmten Wert nicht uberschreiten, wenn die Linse sammelnd sein soll. Bei n = 2 braucht die Dicke allerdings nur kleiner als 4r zu bleiben (Kugel d = 2r!). Bei kleinen Linsendicken koMen wir 1 d < r , F‘ = 2@, U ~ H= -a;Hr = -d 2 setzen. Bei n = 1.5 dritteln die Hauptebenen angeniihert die Linse. Im Spezialfall d = -2nr n-1 verschwindet die Brechkraft. Das liegt &an, daR der bildseitige Brennpunkt der ersten und der objektseitige Brennpunkt der zweiten Flkhe zusammenfallen. Die Linse, als eine Folge aus zwei brechenden Flachen betrachtet, stellt ein teleskopisches System dar. Das optische Intervall ist null (Abb. 4.33). Bei d > & n-1 erhalten wir den wegen der betrachtlichen Linsendicke praktisch uninteressanten Fall der Zerstreuungslinse (F‘ < 0). Die Hauptebenen liegen auBerhalb der Linse. An dieser Stelle verweisen wir nochmals darauf, da6 die Definitionen der Sammel- und der Zerstreuungslinse ausschliefllich an das Vorzeichen der bildseitigen Brennweite gebunden sind. Es ist moglich, da6 der bildseitige Brennpunkt einer Sammellinse vor der zweiten Linsentlache liegt. Ein achsparallel einfallendes Paraxialbundel verlat dam die Linse als divergentes Bundel. Entsprechend kann bei einer negativen bildseitigen BreMweite der bildseitige Brennpunkt aaerhalb der Linse liegen. Abb. 4.34 zeigt fiir eine symmetrische Bikonvexlinse mit n = 1.5, r = 10 mm, wie die Brennweite, die ScheitelbreMweite und von der Linsendicke abhiingen. Im Intervall

l 0.

Die Brechkraft ist stets negativ, die Bikonkavlinse also stets zerstreuend. Die Hauptebenen liegen symmetrisch innerhalb der Linse (Abb. 4.35). Plankonvexlinse ( 5 = r > 0, r, = -). Fiir cDI = @ und 0,= 0 wird

(4.72) und a," = 0,

=

-2

(4.73)

H'

Ir F'

Abb. 4.35 Symmetrische Bikonkavlinse

Abb. 4.36 Plankonvexlinse

Abb. 4.37 Plankonkavlinse


215

Die Plankonvexlinse 1st eine Sammellinse, deren Brechkraft unabhagig von der Dicke ist. Eine Hauptebene tangiert die gekriimmte Flache der Linse, die andere liegt um die Strecke d / n von der Planflache entfernt innerhalb der Lime (Abb. 4.36). Plankonkavlinse ( 4 = -r < 0 , r2 = -). Fiir die Plankonkavlinse gelten sinngemU dieselben ijberlegungen wie fiir die Plankonvexlinse. Die Brechkraft

F ’ = -/I-1

(4.74)

r

ist negativ, die Plankonkavlinse also zerstreuend (Abb. 4.37). Konkavkonvexlinse (r, > 0 , r2 > 0 , r, c r2). Wegen konvexlinse

> O2 1st die Brechkraft der Konkav-

F ’ = @1-@2+@,@2d stets positiv. Es liegt eine Sammellinse vor. Damit wird alH = alH

-f’~~d,

= -f’a1d, a;Ht c 0.

< 0,

Die Hauptebenen liegen auf den konvexen Seiten der Flachen; H liegt immer, H’ oft aul3erhalb der Lime (Abb. 4.38). Wegen ihrer a&en Form wird die Konkavkonkexlinse auch sammelnder Meniskus genannt. Bei einem sammelnden Meniskus mit objektseitig konvexen Fl2chen ist infolge der speziellen Hauptebenenlage die Scheitelbrennweite wesentlich kleiner als die bildseitige BEMweite. Die Baulshge von der Fassung bis zur Brennebene wird verhUiltnisrnti&g klein. Bei umgekehrter Lage des sammelnden Meniskus, konkave Flachen auf der Objektseite, gilt das Gegenteil (Abb. 4.39).

Abb. 4.38 Konkavkonvexlinse mit kleiner

bildseitiger Schnittweite

Abb. 4.39 Konkavkonvexlinse mit grokr bildseitiger Schnittweite

Hoeghscher Meniskus ( 4 = r2 = r > 0). Eine Linse, bei der beide Kriimmungsradien gleich sind, heifit Hoeghscher Meniskus. Die Brechkrafi betragt

F’ = (n- 1)’ d nr2

’

(4.75)

der Meniskus ist sammelnd. Die Hauptebenen haben von der Dicke unabhagige Scheitel-

216

4 Abbildende oDtische Funktionselemente

abstiinde (Abb. 4.40) U,H

’

= u2H’=

-- r

(4.76)

n-1’

Konvexkonkavlinse (ri > 0, r, > 0, rj > 6 ) . Fur cP1> CD2 war stets F’ > 0. Fiir GJ1< 0,enthalt die Brechkraftformel zwei Summanden unterschiedlichen Vorzeichens, so daR drei Fgle zu unterscheiden sind. Es gilt >

alai2d fiirF’
0. Eine Zerstreuungslinse liegt vor, wenn fiir die Linsendicke d < -(cn -r2) (4.77) n-1 gilt. Diese Bedingung wird in den meisten praktisch vorkommenden Fgillen eingehalten sein. Die Hauptebenen liegen dann auf den konkaven Seiten der Flachen und wegen der geringen Dicke im allgemeinen auRerhalb der Linse (Abb. 4.41). Damit haben wir die Linsen klassifiziert. Fiir die Bezeichnungsweise gilt: Linsen mit vorwiegend sammelnder Wirkung erhalten die Endung “-konvex”. Dabei wird nicht unterschieden, wie die Linse im Strahlengang steht. Von den Ausnahmen bei groDen Linsendicken wird abgesehen. Sammelnd sind demnach bikonvexe, plankonvexe und konkavkonvexe Linsen. Ihr auReres Merkmal ist, da13 die Dicke auf der Achse groJ3er ist als am Rand. Zerstreuungslinsen sind am Rand dicker als auf der optischen Achse und werden durchweg mit der Endung “-konkav” bezeichnet. Zerstreuend sind demnach bikonkave, plankonkave und konvexkonkave Linsen.

Abb. 4.40 Hoeghscher Meniskus

Abb. 4.41 Konvexkonkavlinse

Aquivalentlinsen. Bei kleinen Linsendicken hiingen &e paraxialen GroDen der Linse nur wenig von der Linsendicke ab. Fiir bestimmte Aufgabenstellungen ergeben sich einfache Beziehungen, wenn zunachst mit Linsen verschwindender Dicke gerechnet wird.

1

Eine Linse mit verschwindender Dicke wird Aquivalentlinse genannt.

Fiir d = 0 wird die Brechkraft F’ = CD1-02. Wegen Ul” = = 0

(4.78a) (4.78b)


217

gilt:

I

Bei einer Aquivalentlinse fallen die Haupt-, Knoten- und Scheitelpunkte zusammen.

(Zu beachten ist, daI3 wir die Beziehungen des paraxialen Gebiets von Linsen fiir den Fall abgeleitet haben, bei dem beiderseits der Linse der gleiche Stoff angrenzt.) Die Aquivalentlinse kann mit einem Formparameter beschrieben werden, der Durchbiegung genannt wird. Die Durchbiegung einer Aquivalentlinse ist die Summe der Abbeschen Invarianten der Linsenflachen.

I

Die Definition der Durchbiegung lautet

Q

=

(4.79)

Qi+Q,-

Mit s1 = s, s; = s’ und nl = n; = 1 erhalten wir aus (4.15) und (4.79)

(4.80)

Der Name “Durchbiegung” kommt daher, dao bei monotoner hderung von Q die Linse ihre Form so veriindert, als wiirde sie durchgebogen (s und F’ konstant gehalten). Abb. 4.42 demonstriert diese Durchbiegung fiir Linsen mit s = n = 1.5, F’= 1 mm-l. (Die zeichnerisch notwendige Linsendicke geht natiirlich nicht in die Rechnung ein.) -00,

-30

-15

-6

-9

-3

0

3

6

9

15

30 Q/mm-‘

Abb. 4.42 Linsenform in Abh;ingigkeit von der Durchbiegung

Die Kenntnis der Durchbiegung und der Brechkraft genugt, urn die Kriimmungsradien der Aquivalentlinsen zu berechnen. Mit n{ = % = n und s; = s2 folgt aus der Abbeschen Invarianten GI. (4.15)

Einsetzen von F’ nach G1. (4.78a) fiihrt auf Qi - Q 2

=

nF‘

(4.81)

Addition bzw. Subtraktion von G1. (4.79) und G1. (4.81) ergibt (4.82a, b) Aus Q, und Q2 folgen unmittelbar die Kriimmungen (4.82~.d)


218

4.1.6

Reflektierende Rotationsflichen

Retlexion an sphlrischen Einzelfllchen. Eine Flache, deren Hauptfunktion die Reflexion des Lichtes darstellt, ist eine Spiegelflache. Im allgemeinen wird ein groDes Verhiiltnis aus reflektierter und einfallender Intensitat durch die Anwendung polierter Metallobefilchen bzw. durch das Auftragen leitender oder nichtleitender Schichten auf einen nichtleitenden Triger erreicht.

I

Hohlspiegel haben einen negativen Kriimmungsradius, sie sind also konkav. Wolbspiegel haben einen positiven Kriimmungsradius, sie sind also konvex.

Spiegelflachen stellen geometmch-optisch abbildende Funktionselemente dm, die fiir sich allein eine grol3ere Bedeutung als brechende Flachen haben. Insgesamt kommen jedoch Spiegelflachen in optischen Systemen seltener zum Einsatz als brechende Flachen. Das Reflexionsgesetz &’

=

-&

kann als Spezialfall des Brechungsgesetzes fiir /

n = -n

aufgefaUt werden. Demnach sind die fiir sphMsche brechende Flachen abgeleiteten Formeln auch f i r Kugelspiegel anwendbar.

Abb. 4.43

Grokn am sphiirischen Hohlspiegel

Meridionalstrahlen. Fur die Durchrechnung von Meridionalstrahlen sind die Formelsiitze des Normalschemas (4.3) bis (4.7) umzuformen. Es ergibt sich (Abb. 4.43) fiir;

#

fiir; =

-03:

h sin& = --, r

sin& = -sin&, r &’

=

--m:

-&,

’=

-&,

cp =

-&,

&

cp = 6 - & , 3 = cp+&’ = &-2&,

ff =

s“ I = r . sin&

s = -r-+r.

sin(&- 2.5)

+,.,

A ’

-.,

-2&,

sin E sin 2~

(4.83a. b) (4.84) (4.85a, b) (4.86a, b) (4.873, b)


FW s^ =

-00

219

kann mittels

umgeformt werden in

(4.88)

Bei grohen Einfallshohen kommt es vor, dao ein Meridionalstrahl mehr als einmal am Spiegel reflektiert wird. Darauf ist bei der Strahldurchrechnung zu achten. Fiir s^ = -00 ergibt z.B. G1. (4.88) i' = 0, wenn ein Strahl die Einfallshohe h = l4/2 hat, Es entsteht ein Strahlenverlauf, wie er in Abb. 4.44 gezeichnet ist.

V

Abb. 4.44 Keilexion am spbmscben Hohlspiegel fiir E , = 60"

Aufgespalkte Spiegelflache. Haufig sind die Spiegelflachen in einem optischen System mit brechenden Fliichen kombiniert. Die Strahldurchrechnung wird unubersichtlich, weil sich durch die Rucklaufigkeit der Lichtstrahlen an den Spiegelfliichen die Vorzeichenwahl kompliziert. Wir vermeiden diese Schwierigkeiten, wenn wir den Spiegel formal in zwei Fltichen aufspalten und die Lichtrichtung beibehalten (Abb. 4.45). Die Spiegelfltiche ist dann an ihrer Scheitelebene gespiegelt worden.

Abb. 4.45 Gr66en am aufgespalteten Hohlspiegel


220

Das Reflexionsgesetz fiir die aufgespaltete Spiegelflache erscheint in der Form E‘

=

(4.89)

&

und kann als Spezialfall des Brechungsgesetzes fiir I

n = n

(4.90)

aufgefdt werden. Diese Auslegung hat jedoch nur formalen Charmer. Es ist wesentlich zu beachten, daR der Lichtsuahl bis zur Spiegelflache zu zeichnen ist und erst am Spiegelbild des Spiegels in der gleichen Hohe weitergeht. Es handelt sich also weder um einen Spezialfall der Brechung an einer Flache noch urn die Brechung an zwei Flachen. Deshalb mussen auch die Durchrechnungsformeln neu abgeleitet werden. Sie koMen nicht aus denen fiir die brechende Flache mit n’ = n gewonnen werden. Der Abb. 4.45 ist zu entnehmen, daB

r’ = -r

(4.91)

9%

(4.92)

und -‘p

zu setzen ist. Meridionalstrahlen. Die Ableitung der Durchrechnungsformeln fiir Meridionalstrahlen ist derjenigen fiir brechende Flachen (Tab. 4. I ) vollig analog. Das Ergebnis lautet fiir;

#

-w:

sin E = T--s sin 6 , r

E’

= E,

fiiri =

-05:

sin& = --, h r

(4.93a, b)

= E,

(4.94)

‘p = -&,

(4.95a, b)

3=

(4.96a, b)

&’

2&,

= -r+_sinEr sin 2&

(4.97a, b)

Der Vergleich der Gleichungen (4.86), (4.87) und (4.96), (4.97) zeigt, daD sich die bildseitiund die bildseitigen Schnittwinkel 3 nur im Vorzeichen unterscheiden. gen Schnittweiten i’ Dieses in Abb. 4.43 und 4.45 anschaulich zum Ausdruck kommende Ergebnis bestatigt zusatzlich die Rchtigkeit des Formelsatzes (4.93) bis (4.97). Die Invarianten des paraxialen Gebietes. Einzelne Spiegelflache. Die Abbesche Invariante der brechenden Flache,

geht mit

n’ = - n

_-1 1

uber in die Abbesche Invariante der Spiegelflache,

=-l+A.

r s r s Die Helmholtz-Lagrangesche Gleichung der brechenden Flache

n y o = n’y’d

(4.98)

22 1

4.1 Geometrisch-optischabbildende Funktionselemente ergibt fiir den AbbildungsmaDstab

p’

=

--d

(4.99)

0 ‘.

Der AbbildungsmaRstabwird gleich 1 fiir d = - ff. Der Vergleich mit dem Reflexionsgesetz

E’ = -& zeigt, daD p’ = 1 wird, wenn der Spiegelscheitel abgebildet wird. Fiir die Schnittweiten der Hauptpunkte gilt also

I

(4. loo)

= 0.

s* = s;,

Die Hauptpunkte des einfachen Spiegels fallen mit dem Spiegelscheitel zusammen.

Fiir einen Strahl, der durch die Knotenpunkte geht, muB d = ff sein. Das ist fiir einen Strahl erfiillt, der durch den Kriimmungsmittelpunkt geht. Fiir die Knotenpunkte ist t

(4.101)

sN = sNp= r .

I

Die Knotenpunkte des einfachen Spiegels fallen mit dem Krummungsmittelpunkt zusammen.

Aus G1. (4.99) folgt dann noch fiir die achssenkrechte Ebene, die die Knotenpunkte enthjilt, daD p’ = -1 ist. Die Abbesche Invatiante (4.98) W t sich umformen in

-+1 1 = -. 2 s‘

r

s

(4.102)

-

Die objektseitige Brennweite f = sF ergibt sich aus GI. (4.102) mit s‘ = : f

= 11. 2

Entsprechend ist die bildseitige Brennweite f’ = sb, aus G1. (4.102) mit s = f’ = 1

--

(4.103) abzulesen: (4.104)

2‘

Es ist trivial, daD (4.105)

f’ = f

herauskommt, weil eine Spiegelflache wegen der Umkehrbarkeit des Strahlenganges nur einen Brennpunkt haben kann.

I

Die Brechkraft F’ eines Spiegels ist gleich der doppelten Krtimmung des Spiegels.

Die Lage der Kardinalelemente und die ausgezeichneten Strahlen sind in der Abb. 4.46a fiir den Hohlspiegel, in der Abb. 4.46b fiir den Wolbspiegel enthalten. Mit G1. (4.103) I a t sich die Abbildungsgleichungin Hauptpunkt-Koordinaten (4.102)

1 + 1 =1 sf

f

s

(4.106)

schreiben. Der AbbildungsmaSstab folgt aus G1. (4.19):

p‘

= --.S’ S

(4.107)

222


Der Tiefernahtab betragt nach Tab. 4.6 01’

=

(4.108)

-P’2.

Daraus folgt, da8 das Objekt und das Bild gegenlaufig sind.

L.-__

H-H

F-F’

N=N’

Abb. 4.46 Srrahlkonstruktion a) am Hohlspiegel, b) am Wolbspiegel

Irn Brennpunkt-Koordinatensystem gilt fiir b e Koordinaten I

-f,

der Hauptpunkte

ZH = ZH‘ =

der Knotenpunkte

zN = zh, = f .

(4.109) (4.1 10)

Die Abbildungsgleichung lautet ZZ’

=

(4.111)

f2.

Daraus lesen wir ab, da8 z und z’ stets gleiches Vorzeichen haben, d. h., Objekt und Bild liegen, von der BreMebene aus gesehen, auf der gleichen Seite. Der Abbildungsrndstab betragt

p ’ = - -f

(4.112)

Z‘

____

Abb. 4.47 Grafische Darstellung &r

Abbildungsgleichung (Hohlspiegel)


223

I

I

i

I I

A

Abb. 4.48 Grafische Darstellung der

Abbildungsgleichung (Wtilbspiegel) Abb. 4.47 und 4.48 enthalten die grafische Darstellung der Abbildungsgleichung in BRMpunktkoordinaten f%rden Hohl- bzw. fiir den Wolbspiegel. h e n sind die zu einer gegebenen Objektweite gehorende Bildweite und der AbbildungsmaSstab zu entnehmen.

Aufgespaltete Spiegelfliiche. Aus dem Normalschema (4.93) bis (4.97) ergibt sich durch Spezialisierung auf das paraxiale Gebiet, daR die Abbesche Invariante fiir die aufgespaltete Spiegelflache (4.113) lautet. Daraus folgt:

I

I

Auch fiir die aufgespaltete Spiegelflaiche ist die Abbesche Invariante durch Spezialisierung derjenigen fiir die brechende Flache zu gewinnen. Es ist n' = n zu setzen, aber zu beachten, daa der bildseitige Kriimmungsradius vom objektseitigen durch das Vorzeichen unterschieden ist.

Umformen von G1. (4.113) fiihrt wegen r' = -r auf die Abbildungsgleichung

4-1= -2.

(4.1 14)

= -1.

(4.115)

r Aus G1. (4.1 14) folgt mit sk, = f' fiir s = --oo die bildseitige Brennweite s

f '

s

2

und mit sF = f fiir s' =

-

die objektseitige Brennweite

f = -r

(4.116)

f'= -f.

(4.117)

2'

Es gilt

224


weil objektund bildseitiger Brennpunkt, vom Flachenscheitel aus gesehen, auf verschiedenen Seiten liegen. Die Abbildungsgleichung (4.1 14) 1 s t sich mit G1. (4.115) in (4.1 18) umformen. Wegen f ’ = -f sind siimtliche fiir diesen Spezialfall angegebenen Formeln in der paraxialen Abbildung anwendbar. Insbesondere gilt: Die Haupt- und die Knotenpunkte der aufgespalteten Spiegelflache fallen mit dem Flachenscheitel zusammen (Abb. 4.49 und 4.50).

Abb. 4.49

Strahlkonstruktion am aufgespalteten Hohlspiegel

Abb. 4.50 Strahlkonstruktion am aufgespalteten WBlbspiegel

Es zeigt sich also, daR aul3er dem naturgems mit der aufgespalteten Spiegelflache verbundenen Auseiniderfallen der Brennpunkte auch die Knotenpunkte an einer anderen Stelle liegen als bei der einfachen Spiegelflache. Das hat z. B. zur Folge, daR die aufgespaltete Spiegelflache nur mit Vorsicht zur Untersuchung des Einflusses von Flachenkippungen anzuwenden ist. Wir betonen deshalb noch einmal: Die aufgespaltete Spiegelflache ist ein formales Hilfsmittel, mit dem die Strahldurchrechnung an Spiegelflachen ohne die mit der Rucklaufigkeit der reflektierten Lichtstrahlen verbundenen Schwierigkeiten moglich ist.

Tab. 4.15 enthat zusammenfassend die grundlegenden Gleichungen fir die Abbildung im paraxialen Gebiet.

225

4.1 Geometrisch-optisch abbildende Funktionselemente Tabelle 4.15 Zusammenstellung von Beziehungen fiir das paraxiale Gebiet

f’ #

_+

f , p’y‘ =

--f (Beispiel: brecbende Einzelflacbe)

f’

=0

Brennpunkt-Koordinaten

zp

Hauptpunkt-Koordinaten

ZH =

f

=

a;, =f’

2:. =

0

-f

z;l,=

-f’

aH = 0

ah. = 0

Knotenpunkt-Koordinaten

z = f’

Zh, =

f

a N= f + f ‘

ah. = f + f ’

AbbildungsmaBstab

f --L p ’ = - z - f’

WinkelverMtnis

f = - z=

TiefenmaBstab

a’= -z‘

Abbildungsgleichung

zz‘= ff’

f’ Z

-f _- - _f -1

f’ p’

z’

=

-LB2

f’ a 7’= a a’

f

a’ =

-($I2+

f’ = - f, p’y‘ = 1 (Beispiel: Einzellinse in Luft) Brennpunkt-Koordinaten

ZF =

0

z& = 0

aF =

-f’

a;. = f ’


ZH =

f’

26, = -f‘

aH =

0

a;, = 0


z N = f’

z;. =

a”, = 0

AbbildungsmaBstab

B’=-=-L f’

aN= 0 p ’ = -a‘ a

Winkelverbdtnis

f=L=-fl=l

TiefenmaBstab

a‘=

Abbildungsgleichung

zz’= - f’2

-f‘

f’

z

p’

z’

f’

f=-a =- 1 a’ p’

(;J

-I’ = P2 Z

a’ = --1 1 a‘

=

p’2

=1

a

f’

f’ = f , p’y‘ = -1 (Beispiel: reflektierende Einzelfliicbe) Brennpunkt-Koordinaten

ZF = 0


ZH =


z

2;.

-f‘

= f’

= 0

-f’

aH = 0

ah. = 0

z;, =

f’

a N = 2f’

ah. = 2f’

Winkelverhfilmis TiefenmaBstab

a‘

Abbildungsgleichung

2.’ =

p’=

f’

=

a;, = f’

z;, =

-f= -z’ z f ’ f = t = r = -I

AbbildungsmaBstab

a F = f’

z’

p’=

-a.a

y ‘ = - a= - -

1

p’

a’

p’

-Z = -PI2 Z

f’2

Brennpunkt-Koordinateensystem

-+1 1 =1

a’

a

f’

Hauptpunkt-Koordinatensystem

4 Abbildende ODtisChe Funktionselemente

226 4.1.7

Windschiefe Strahlen

Smtliche Strahlen, die nicht in der Meridionalebene liegen, heinen windschiefe Strahlen. Die Durchrechnung eines windschiefen StraNs durch ein System aus brechenden Flachen wird in Koordinatenschreibweise unubersichtlich, weil der Strahl nicht in ein und derselben Ebene liegt. Es ist also ein raumlicher Strahlenverlauf zu untersuchen. Fiir derartige Aufgaben ist die vektorielle Darstellung am rationellsten. Die Durchrechnung von windschiefen Strahlen ist eines der Probleme, deren Losung durch Anwenden des vektoriellen Brechungsgesetzes wesentlich vereinfacht wird. Die Durchrechnung eines windschiefen Strahls l a t sich in &e Teilaufgaben Berechnung der EingangsgroRen, Durchrechnung an einer Flache, ijbergang zur nacichsten Flache, - Schlul3rechnung

-

zerlegen. Zur vektoriellen Strahldurchrechnung sind der Normaleneinheitsvektor n im DurchstoRpunkt auf der Flache und die Einheitsvektoren s bzw. s’ mit dem vektoriellen Brechungsgesetz

oder dem vektoriellen Reflexionsgesetz s’ = s - 2(ns)n

zu verknupfen. Der Ort des DurchstoRpunktes durch die Flache ist ebenfalls durch einen Vektor zu keMzeichnen. In der ersten und zweiten Auflage dieses Buches wird dazu der Vektor verwendet, der vom Kriimmungsmittelpunktder folgenden FlPche ausgeht. Feder [67] hat einen Formelsatz entwickelt, bei dem der Vektor vom Flachenscheitel zum DurchstoRpunkt des Strahls mit der Flache weist. Haferkorn und Tautz [68] haben den Formelsatz auf dezentrierte Flachen angewendet. Wir beschreiben die Lage des Kriimmungsmittelpunktes der Flache durch den Einheitsvektor k, der vom DurchstoRpunkt der z-Achse durch die Flache zum Kriimmungsmittelpunkt weist. Bei zentrierten Flachen liegt k auf der z-Achse und geht vom Flachenscheitel V aus. Wir behandeln zunachst die Brechung an rler k-ten Flache. Swtliche GroRen, die der k-ten Flache zugeordnet sind, schreiben wir vorlaufig ohne Index. Es gilt (Abb. 4.51)

v , - , + ~ , s= el-1 e , + m

m+l,s = Y , v + r n = rk.

(4.1 19a, b, c)

In G1. (4.119~)W e n wir die Kriimmung R = l/r ein und setzen R v + n = k.

(4.119d)

227


Auf der Basis der Gleichungen (4.1 19) wird in Tab. 4.16 die Teilstrahlliinge

1, =

RmZ- 2(mk) (ks)+ (ns)

(4.120)

abgeleitet. Tabelle 4.16 Ableitung der Gleichung fiir die Teilstrahlliinge I ,

m+12s = v

Quadrieren und (ms) = 0 und (ms) = 0 beachtet I, = (vs)

(vk) = ( m k ) + l , ( k s )

L n = k-Rv I

skalare Multiplikation mit s und (vs) eingesetzt Rl, = (kS)-(n~)

Quadriert und n2 = k 2 = 1 2R(KV) = R2v2

v 2 und (vk) eingesetzt 2R(mk)+212R(ks)= R 2 ( m 2 + l ; )

1

7

Multiplikation mit (ks)+ (ns) Rl,[(ks)+(ns)]=(kS)’- IS),

2R (mk)+ 2 (ks)[(ks)- (m)]

A

(ns)’ =

(ns) eingesetzt und umgefomt

Rm2- 2(mk) (ks)+ (m)

(ks)2-R[Rm2-2(mk)]

228


Tabelle 4.17 Ableitung der Gleichungen fiir die HilfsgroBen m2 und mk

skalare Multiplikation

skalare Multiplikation mit s, Beachten von

mit k und Umformen

Quadrieren

e, = (O,O, 1)

Die HilfsgroRen m 2und mk werden in Tab. 4.17 berechnet. Es ist

+ + el!, + 2 1 , ( ~ ~ --~2el-, s ) vk-l,z- 2e;-,ll s,

m2 = v : - ~ 1:

(4.12 1a)

(mk)= (v,-,k) +l,(ks)- e ; - , k z .

(4.121b)

und

Fiir die Teilstrahll2nge I I gilt nach Tab. 4.17 1, = el-,s, - (vk-,s).

(4.121~)

Bei zentrierten Flachen hat k nur eine z-Koordinate, es ist also k = (0,0,l). Als EingangsgroRen dienen die Komponenten von so (Abb. 4.52), die bei sIf -m aus (4.122a, b, c)

(4.122d) folgen. Bei s1 =

-W

sind die Richtungskosinus zu verwenden. Sie gehen bei sox = 0 uber in

s o y = -sin&p,

sox = cos up.

(4.123a. b)

(hPist Schnittwinkel des Bezugsstrahls mit der optischen Achse.) Die Koordinaten der Eintrittspupillenebene xp, yp,p bzw.

spl konnen

auf jede beliebige Ebene umgedeutet werden.


229

Abb. 4.52 Zur Ableitung der Gleichungen fik die Eingangsgrokn

.~

s;,

e

Abb. 4.53 Zur Ableitung der Gleichungen fiir die SchluOrechnung

Die SchluDrechnung ergibt sich aus der Beziehung Es ist r' = (2, i',0). also

r- = .? = v,,+1s;,,

r,' =

y = v,,+1s:,.

Y,

+ Is:

+

= (si - b)sLn r' (Abb. 4.53).

(4.124a, b) (4.124)

Den gesamten Rechenablauf enthdt Tab.4.18. Die Darstellung fiir die Wellentlachenberechnung und fiir dezentrierte Flachen ist in [ 191 angegeben. Aspharische brechende Flachen. Fiir die Durchrechnung von windschiefen Strahlen an asphiirischen Fliichen, die durch Polarkoordinaten dargestellt sind (vgl. 4.1.9), wird zunachst der DurchstoSpunld iterativ bestimmt. Ausgangswert ist der Radius r, der Scheitelkugel, mit dem nach dem Formelsatz fiir sphiirische Flachen cosy, = nk berechnet wird. Aus G1. (4.164) ergibt sich der neue Wert r,. Das Verfahren wird solange wiederholt, bis die iinderung des Radius unterhalb einer vorgegebenen Schranke liegt. Zur Bestimmung der FlaCheMOtmalen ist der Vektor Y in spmschen Polarkoordinaten darzustellen. Es ist (4.125a) v = x(cp. W e , + Y ( % y)e, + z(% W e ,

230


Tabelle 4.18 Ablauf der windschiefen Strahldurchrechnung

Q = cos a - bzw. = 0 soy = cosp soy = -sin tip soz = COS? so, = cosa,

l o = J ( x - x p ) 2 + ( y - Y p ) 2+ p 2 sox = (x - X p ) / l O soy = (Y - Y p ) / l o $02 = P/'o

4 k:=k+l

t nein

L-! s.: +b'-v,,

? = v,,+1s:, j' = v,,+1s:,


231

mit x = rsintysincp,

y = rsintycoscp,

z = to-rcosy

(4.125b)

(Abb. 4.54). Nach den Regeln der Differentialgeometriefolgt der Normaleneinheitsvektoraus (4.126a)

mit (nur in (4.126~.d) bedeutet r’ die Ableitung von r g e m s (4.126d))

av = (r sin ty cos cp)e,

av

aty

+ (r sin y sin q)e,,

(4.126b)

= sincp(r cos ty + r’sin ty)e,+ cos cp(r cos

w+ r‘sin ty)e, + (r sin ty - r‘cos w)e,, (4.126~) (4.126d)

Das Vorzeichen von n richtet sich nach dem von t.

C -

Abb. 4.54 Zur Berechnung der Komponenten des Vektors Y bei asph&ixhen Flitchen

Spiegelflhhen. Bei der Durchrechnung windschiefer Strahlen an asph&schen aufgespalteten Spiegelflachen ist zunachst zu beachten, dafl in die ijbergangsfonneln von der Spiegelflkhe zur mhsten Flkhe der Radius r’ einzusetzen ist. Filr die aufgespaltete Spiegelflache ist die bisherige Schreibweise des vektoriellen Reflexionsgesetzes ungeeignet. Objekt- und bildseitiger Nonnaleneinheitsvektor fallen nicht zusammen, so dafl die vektorielle Schreibweise des Reflexionsgesetzesin eine der aufgespalteten Spiegelflkhe angepa6te Form zu bringen ist. Nach Abb. 4.55 gilt wegen & = E’ s x n = s’xd.

Die Auflosung nach s’ ergibt das vektorielle Reflexionsgesetz fiir die aufgespaltete Spiegelflkhe,

s‘ = (n’n)s - (n’s)n+ (ns)n’. Bei einem aufgespaltetenPlanspiegel gilt n’= n, (n’n)= 1 und s’ = E.

(4.127)

232


Das Rechenscherna nach Tab. 4.18 ist fiir den aufgespalteten Spiegel anwendbar, wenn die Hinweise fiir die hderungen in den ijbergangsbeziehungen beachtet werden und das vektorielle Brechungsgesetz durch das vektorielle Reflexionsgesetz nach G1. (4.127) ersetzt wird.

Berechnung windschiefer Strahlen in Matrixdarstellung. Wir gehen vorn vektoriellen Brechungsgesetz (2.33) aus. Es lautet = 0.

nx(n’s’-ns)

Die Komponenten des Vektorprodukts folgen aus ex

eY

n, n’d-na

‘2,

n’p’-np

e, nz n’y’-n

Die GroDen a, j3, y sind die Richtungskosinus des einfallenden Strahls und a’, p‘, y’ die des gebrochenen Strahls. Das Ausrechnen der Determinante ergibt

- n y ) - n, (n’p’ - no) = 0, n,(n’ y’ - n y ) - n, (n’a’ - n a) = 0, n,(n’P’- np) - ny(n’a’ - n a) = 0.

ny(n’ y’

(4.128a, b, c)

Weiter gilt fiir den Einfalls- und den Brechungswinkel cos E = sn = an, +ony + yn,, cos E’ = s’n = a’n, +@’ny+ y’nz. Diese Gleichungen losen wir nach y bzw. y’ auf: 1 y = J-(cosE-anX-fin,,), y’ = -(COSE n, n, Einsetzen von y und y’ in G1. (4.128a) ergibt

n’a’- n a wird mittels G1. (4.12%) eliminiert:

P

P

- a n,-p’n,).

(4.129a, b)


233

Durch Auflosen von G1. (4.130) nach n’p’- n p erhalten wir unter Verwendung von n2 +ny’+n: = 1

die Beziehung

n’ P’ - n p = ny (n‘ cos E’

- n cos E ) .

(4.131)

Eine analoge Ableitung mit G1. (4.128b) als Ausgangsbeziehung fiihrt auf

n’a’-na = n,(n’cosd-ncosE).

(4.132)

Bei der sphiirischen brechenden Flache ist (Abb. 4.56) “x

rx , n y = - - ‘Y , nr = = --r r

--.rz r

(4.133)

Setzen wir die Identitat der objektund bildseitigen DurchstoDkoordinaten durch die brechende Fliiche an, r: = rx, ri = ry, rz’ = rz ,

(4.134)

](:p1

dam ktinnen wir die Brechung an der sphMschen Fliiche durch die Matrixprodukte n’ cos E’

- n cos E

r 1

(4.135a)

(4.135b) beschreiben.

Abb. 4.56 Vektoren fiir das vektorielle Brechungsgesetz

Fur Meridionalstmhlenist a = a’= 0 und ry = y , so daI3 mit n’cosd-ncosE r

=

(4.136)

234


auch (4.137) geschrieben werden kann.

Ubergangsbeziehungen. Fiir den Ubergang von einer brechenden Fliiche zur anderen gilt (Abb. 4.57) nk+l rx.k+l

= n;,

=

ak+l

=

a;,

rx,k + l ; a k + l *

Pk+l

ry,k+l

=

=

fi;?

(4.138) (4.139)

ry.k + l ; P k + l *

In Matrixschreibweises e w n wir (4.140) Ausrechnen des Matrizenproduktsergibt nk+lfik+l

ry.k+l

=

An;P; +Bry',kp

(4.141)

+ Dry'.k.

(4.142)

= cn;fi;

Der Vergleich von (4.141), (4.142) und (4.13% (4.139) legt die Elemente A, B , C und D folgenderma6en fest: A=l,

E=O,

C=,

II

D=1.

nk

Abb. 4.57 hergangsbeziehungen

,' f x ,

k

G ,' ,

k+l

_L--.---/--.--

Die hergangsmatrix lautet also (l!

;)*

(4.143)

Zur praktischen Umsetzung der windschiefen Strahldurchrechnung existieren heute viele interne und kommerzielle Rechenprogramme. Im allgemeinen sind sie in Programme zur Optimierung bzw. Synthese optischer Systeme eingebunden. Ein Beispiel ist in [71] angegeben. Weitere Programme, vor allem aus US-amerikanischen Institutionen, koMen z. B. [33] entnommen werden.

4.1 Geomeuisch-optisch abbildende Funktionselemente

4.1.8

235

Matrixdarstellung im paraxialen Gebiet

Ubergang zum paraxialen Gebiet. Fiir den Grenzfall des paraxialen Gebiets gehen wir von

B = &+90",

rr = h

aus (Abb. 4.58). Damit ist

-

cosp = -sin0 oder

p

=

-0.

(4.144)

Weiter wird (4.145) Die Brechung von Paraxialstrahlen schreibt sich in Matrixdarstellung

(-y)(; -T)(-;Q). =

(4.146)

(Y) (; :)("R)

(4.147)

Dafiir kann auch =

gesetzt werden. Fiir Q = 0 muD nach der Definition des Brennpunktes hF'

sein. G1. (4.146) ergibt n'F' = n ' - n

r und damit (4.148)

Abb. 4.58 iibergang zum paraxialen Gebiet

Die ijbergangsmatrix nimmt wegen 1; = t; die Form (4.149)

236


an. Bei der Anwendung in Verbindung mit der Schreibweise nach G1. (4.147) ist sie abzuwandeln in (4.150)

Paraxiale Strahldurchrechnung. Wir bezeichnen die Abbildungsmatrix mit A, die Ubergangsmatrix mit U. Fiir eine dicke Linse, die beiderseits an Stoffe mit unterschiedlicher Brechzahl grenzt, gilt dam (4.15 1) Mit

erhalten wir durch Ausmultiplizieren der Matrizen (4.152) Setzen wir (4.153)

so ist also f

4

n,

f ' = -,

= --,

m11

f, = -n,-,

11112

m12

m12

&'=

I m22 n2-, m12

m,, = -d

und wegen alH= f, - f bzw. a;", = &'- f

alH= -n,- m11-1 , m12

I

I

m22-1

= n2-.

11112

Die mi, heifien GauDsche Konstanten. Die numerische Strahldurchrechnung fiir das paraxiale Gebiet wird zweckmaig auf die Matrizenmultiplikation aufgebaut. Als Eingangsgrofie dient

n l q = n , -hl

(4.154)

$1

mit einer beliebigen EingangsgroBe h, . Es ist (4.155) und (4.156)

237

4.1 Geometrisch-optisch abbildende Funktionselemente alS0

.’,a‘, = r n l l n , ~ l + r n m , ~ h’, h l , = m21n1~1+rn12h1.

(4.157), (4.158)

Rechnet man nicht die Elemente von A,, insgesamt aus, d m erhiilt man schrittweise die GroRen nach Tab. 4.19. Tabelle 4.19 Schema fiir die paraxiale Strahldurchrechnung

k:=k+l

k=n

nk+l‘k+l

=

la

nk u k

Nach Tab. 4.10 ergibt sich h a,, = s f , h, ~= h, 0;’

(4.159)

woraus mit h = h, f f

hl =(sl = --)

a‘,

(4.160)

hervorgeht. Fiir die Hauptebenenlage gilt a;*’ = s:,-f’

(sl = -).

(4.161)

Tab. 4.20 enthdt die paraxiale Strahldurchrechnung an einer Bikonvexlinse. Die objektseitigen GrtiBen werden mittels Ruckw&tsrechnung bestimmt.


238

Bei der aufgespalteten Spiegelflache ist wegen n'F' = -2n'/r = -2n/r die Matrix

(4.162)

zu verwenden. Tabelle 4.20 Beispiel zur paraxialen Strahldurchrechnung (vgl. Tab. 4.2) rl=50, r,=-300. n l = l , n;=n,=1,5182, n l = l , d = 5 , >=3,2934(alleLiingeninmm) SI

--oo

hl

50 0 0,5182 50 146,48784

nlal n; a; h; sl

f' = 83,109119,

n2 0 2

hz

n; 4 h; s;

0,5182 48,293374 0,60 161875 48,293374 80,272395

= -2,8367238

Zur rechnergestiitzten paraxialen Dimensionierung, Manipulation und Analyse rotationssymmetrischer optischer Systeme existiert an der TU Ilmenau das Programm ILPADI [70].

4.1.9

Spezielle rotationssymmetrischeFunktionselemente

Als spezielle geometrisch-optischeFunktionselemente fassen wir alle Elemente auf, die nicht ausschliefilich aus zentrierten sphtirischen brechenden oder refleklierenden Flachen bestehen. Wir teilen sie folgendermden ein: - Spezielle zentrierte Elemente (sphtirische und asphiitische Spiegellinsen, asphtirische Lin-

sen), - spezielle nichtzentrierte Elemente (Zylinderlinsen, torische Linsen, schrag stehende Plan-

parallelplatten), - Elemente mit nichtstetigen Flachen (Fresnel-Linsen, Wabenlinsen, Fliegenaugenlinsen), - Elemente mit orts- oder richtungsabhiingiger Brechzahl (Elemente aus inhomogenen oder anisotropen Stoffen). In 4.1.9 bis 4.1.1 1 behandeln wir asphiirische Rotationsflachen, Spiegellinsen, Zylinderlinsen, torische Linsen, Fresnel-Linsen und Gradientenlinsen; Wabenlinsen werden spater behandelt.


239

Anwendung von aspharischen Rotationsflachen. Asphiirische Flachen werden seltener in optischen Systemen angewendet als Kugelflachen, weil ihre Fertigung in feinoptischer Qualitat schwieriger ist. Hinsichtlich der Schleif-, Lapp- und Polierverfahren gibt es zwei Moglichkeiten fiir die Fertigung asphiirischerFlachen. Bei der sogenannten lokalen Retusche wird eine sphiirische Flache durch zonenweises Nachpolieren abgewandelt. Dieses Verfahren ist nur bei geringen Abweichungen von der Kugel okonomisch vertretbar. Sein Erfolg h u g t von der Geschicklichkeit des Feinoptikers ab. Das enielte Ergebnis wird in gewissen Abstiinden iiberprijft. Die lokale Retusche ist langwierig und teuer. Als Beispiel kann der Astrovierlinser von Sonnefeld dienen (Abb. 4.59), bei dem die letzte Flache retuschiert ist, um die Vereinigung aderaxialer Strahlen zu verbessern.

Abb. 4.59 Astrovierlinser nach Sonnefeld

Bei groI3en Abweichungen von der Kugel ist das maschinelle Vofiiisen der Flachen notwendig. Das endgultige Schleifen, Liippen und Polieren ist weniger aufwendig, wenn die MaRhaltigkeit durch Feinfriisen weitgehend gesichert ist. Durch spezielle Verfahren, wie z. B. das Trirota-Verfahren, bei dem die asphjirische Flache nur durch Rotationsbewegungen erzeugt wird. und seine Weiterentwicklung, haben sich aussichtsreiche Losungen fiir die Fertigung asphiirischer Rotationsflachen ergeben. Einige Beispiele fiir den Einsatz asphjirischer Rotationsflachen sind: In Kondensoren ist haufig die Genauigkeit der Flachen nicht so hohen Fordemngen unterworfen wie in Hochleistungsoptik. Sie stellen ein wichtiges Anwendungsgebiet der asphjirischen Fliichen dar. In Spiegelfemrohren und in Scheinwerfern spielen asphtirische Spiegelfliichen eine grofie Rolle. Ein besonderes Anwendungsfeld stellen die Weitwinkelobjektive fiir Luftbildaufnahmen mit extremen Forderungen dar. Auch in Fotoobjektiven werden sie bereits gelegentlich eingesetzt. Darstellung aspharischer Rotationsflachen. Die Behandlung der Strahldurchrechnung an asphiirkhen Flachen erfordert deren analyusche Darstellung. In den seltensten Fiillen ist die Beschreibung mittels geschlossener Funktionen moglich. Im allgemeinen verwendet man Beziehungen, die den Unterschied zwischen der asphbischen Flache und einer geometrisch ausgezeichneten Flache in Form einer Polynomdarstellung beschreiben. Die ausgezeichnete Flache wird moglichst so gewmt, da6 die asphiirische Flache wenig davon abweicht. Drei Darstellungen sind besonders nahegelegt.

- Geringe Deformationen von der Ebene aus werden in kartesischen Koordinaten beschrieben, indem die Pfeilhohe g als Funktion der Hohe h angegeben wird: g =

C4h4+C6h6+Cgh8+..'.

(4.163)

240 -


1st die Grundform eine Kugel, dann sind Polarkoordinaten angepaRt. Die Meridiankurve der asphMschen Rotationsflache wird durch das Polynom r = ro+c,y4+c6~+cg@+~~~

(4.164)

dargestellt. - In manchen Fdlen ist bei groaen Abweichungen von Ebene und Kugel von der Parabel aiiszugehen. In kartesischen Koordinaten gilt dann (4.165) Die y-Koordinaten beziehen sich auf die Vergleichsparabel. Berechnung einer asphiirischen Rotationsfliiche. Als Beispiel berechnen wir eine brechende Rotationsflache, die den unendlich fernen Achsenpunkt in einen Bildpunkt abbildet. Wir gehen vom Satz von Malus aus, nach dem der Lichtweg zwischen zwei Wellenflachen konstant ist. Ein achsparalleler Strahl muR demnach von einer achssenkrechten Ebene bis zum

~

_

_

7

Abb. 4.60 Zur Berechnung

einer asph&ischen Flslche Bildpunkt dieselbe optische L a g e haben wie ein Strahl,der von derselben achssenkrechten Ebene aus l a g s der optischen Achse bis zum Bildpunkt verlauft. Nach Abb. 4.60 ist -nl + n ' t = n'f. ES

gilt -1 = g, I' =,-/, ng + n

'

,

also /

m =

ny'.

Quadrieren ergibt (4.166) Das ist bei n > n ' die Gleichung eines Hyperboloids, bei n < n ' die Gleichung eines Ellipsoids. Tab. 4.21 enthat Koordinaten einer asphiirischen Flache mit n = l , n'=1,5 und f'=100mm. E r g w e n wir diese Flache durch eine zum Bildpunkt konzentrische Flache, d a m entsteht eine

4.1 Geometrrscb-oDtiscbabbildende Funktionselemente

24 1

Linse, die den unendlich fernen Achsenpunkt punktformig abbildet (Abb. 4.61). Im Fall n > n’ ergibt sich eine Plankonvexlinse mit einer hyperbolischen Flache (Abb. 4.62). Es ist jedoch zu beachten, da6 beide Linsen zwac den Achsenpunkt punktf6rmig abbilden, nicht aber ein kleines achsensenkrechtes Flachenelement. Tabelle 4.21 Koordinaten einer asphiirkhen %the

5 10 15

20 25 30

18,025 24,725 29,580 33,333 36,325 38,73

Irn allgemeinen 1st die Berechnung von asphMschen RotationsflPchen, die 1Merhalb eines optischen Systems oder an einer Einzellinse einen vorgegebenen Stmhlenverlauf realisieren sollen, aufwendiger als im beschriebenen Beispiel. Nomalerweise ist eine Differentialgleichung fiir die Meridiankurve zu losen. Es kann aber auch die Bestimmung von diskreten Flachenpunkten aus der Strahldurchrechnung mit anschliel3ender Darstellung der Flachengleichung als Ausgleichspolynom notwendig sein.

Abb. 4.61 AspWscbe Linse

(Rotationsellipsoid und Kugelflacbe)

AspMsche Linse und Rotationshyperboloid)

242


Spiegel mit Kegelschnitten als Meridiankurven. Die Gleichung der Meridiankurve eines Spiegels, der den unendlich fernen Achsenpunkt punktfonnig abbildet, erhalten wir aus G1. (4.166), wenn wir n' = -n setzen: h2 = 4f'g.

Das ist die Gleichung einer Parabel (Abb. 4.63a). Die Abbildung eines im Endlichen liegenden reellen Objektpunktes in einen reellen Bildpunkt wird vom reflektierenden Rotationsellipsoid vennittelt (Abb. 4.63b). Ein auberaxialer Strahl hat die L u g e l 1 + Z 2 , der Achsstrahl die L u g e 2a. Gleichheit beider Lichtwege ergibt die fiir eine Ellipse charakteristische Beziehung

1 1 + 1 2 = 2a. Die Kugelflache ist der Spezialfall, bei dem der Objekt- und der Bildpunkt mit dem Kriimmungsmittelpunkt zusammenfallen. Das Rotationshyperboloid bildet einen reellen Objektpunkt in einen virtuellen Bildpunkt ab (Abb. 4.63~).Das geht aus der Definition der Hyperbel hervor, fiir die

1, - 1 2 = 2a ist. Spiegelflachen sind gegenuber Fertigungstoleranzen empfindlicher als brechende Flachen. Sie sollten deshalb nur als asphiirkhe Flachen ausgebildet werden, wenn mit brechenden Flachen die gewiinschte Wirkung nicht erreicht wird.

g eornetrische b)

c)

geometrische Bren n p u nMe

Brenn pun kte

Abb. 4.63 a) Parabolspiegel, b) elliptischer Spiegel,

c ) hyperbolischer Spiegel


243

Meridionale Strahldurchrechnungan aspharischen Rotationsflachen.Wir denken uns eine Flache analpsch vorgegeben. Die Gleichung der Meridiankurve sei entweder in kartesischen Koordinaten h = h(g) oder in Polarkoordinaten r = r( w) ausgedriickt. Wir berechnen den Verlauf eines Meridionalstrahls. In karfesischen Kuurdinafen setzen wir zunikhst voraus, dal3 die Schnittweite s und die PfeilhOhe g vorgegeben sind (Abb. 4.64). Wir berechnen die Ableitung h’(g). Aus p = hJl+h’*,

(4.167)

cot cp = h’

(4.168)

werden die Llinge p der Normalen und ihr Schnittwinkel mit der Achse gewonnen. (Gl. (4.167) und G1. (4.168) ubernehmen wir aus der Differentialgeometrie.) Nach Abb. 4.64 erhalten wir welter po = pcoscp+g. Mit cos cp = (cot

c p ) / d x sowie (4.167) und (4.168) formen wir um in

Po = hh‘+g (nur in (4.167) bis (4.169) ist h’ die Ableitung). AuSerdem gilt tanu=- h i-g‘

(4.169) (4.170)

Abb. 4.64 GroBen an einer aspMschen Rotationsflache

Damit sind die Hilfsgrokn fiir die Strahldurchrechnung gegeben. Anhand von Abb. 4.64 leiten wir mit dem Sinussatz, dem Adenwinkelsatz und dem Brechungsgesetz auf dem gleichen Wege wie bei der sphMschen Flache in 4.1.2 die Beziehungen Po-S^sin&, sin& = -

(4.171)

P sin&’ = +sin n

E,

(4.172)

cp =

&-&,

(4.173)

iY =

cp+&’,

(4.174)

s^’ = -p- sin E’

sin i~ +Po ab. G1. (4.173) wird nur zur Kontrolle benOtigt, da cp bereits aus G1. (4.168) folgt.

(4.175)

244


(4.176) (Die Rechnung beginnt erst bei G1. (4.172).) Die Polarkoordinaten wiihlen wir so, daR der Ursprung im Kriimmungsmittelpunkt der Schmiegungskugel fiir den Scheitel der Flache liegt. Die optische Achse ist die Polarachse. Als AusgangsgrtiBen dienen zunachst die Schnittweite s^ und der Winkel y.Die HilfsgroSen folgen aus (Abb. 4.64) 1 dr tanp = --, r dW rsin y tan6 = s^ -ro + r cos y‘

(4.177) (4.178)

Die Durchrechnungsformeln, mit Sinussatz, AuBenwinkelsatz und Brechungsgesetz abgeleitet, lauten

ro - S sin(&--) = -sin 6, r

(4.179)

sin E’ = +sin

(4.180)

n

E,

z =ly+E’--p,

(4.181)

sin (E‘ - p) s = -r + r, . sin 3

(4.182)

‘.I

Bei s^ = --oo fallen G1. (4.178) und G1. (4.179) wegen b= 0 weg. Es gilt d m E =

p-ly.

(4.183)

Bei den h e r angegebenen Ableitungen der Durchrechnungsformeln fiir asphiirische Flachen setzen wir voraus, dal3 die Pfeilhohe g bzw. der Polarwinkel y gegeben ist. Steht die Flache innerhalb eines optischen Systems, dann keMen wir iiber die ijbergangsbeziehungen die Schnittweite s^ und den Schnittwinkel 6. Die GroBe von g bzw. y m a durch Probieren ermittelt werden. Dazu wird y niiherungsweise vorgegeben (z. B. wird als AusgangsgroRe der Zentriwinkel q0 zum DurchstoSpunkt des Lichtstrahls mit dem Scheitelkreis verwendet). Aus der Flachengleichung erhalten wir eine Ntiherung fiir h bzw. r. Aus G1. (4.170) bzw. (4.178) berechnen wir damit eine Ngiherung ftir 6. Darauf wird y abgeiindert und 6 erneut bestimmt. Das Verfahren wird solange fortgesetzt, bis der richtige 6-Wert erhalten wird. Sowohl bei der trigonometrischen Durchrechnung wie auch in Programmen zur Strahldurchrechnung ist es allerdings in der Praxis moglich und notwendig, iterative Verfahren zur Bestimmung des Strahldurchstofipunktes anzuwenden. Beziiglich der Durchrechnung windschiefer Strahlen vgl. 4.17.

Paraxiales Gebiet von aspharischen Rotationsflachen. Aus GI. (4.171) und G1. (4.175) folgt po -isin 6 -sine (4.184) Die linke Seite ist wegen des Brechungsgesetzes gleich n‘/n. Auf der rechten Seite setzen wir


245

die im paraxialen Gebiet giiltigen Niiherungen sin& != h, s i n 3 = sh! S

Po = ro

(4.185)

ein. Es ergibt sich die Abbesche Invariante (4.186)

I

Im paraxialen Gebiet sind die Formeln fiir Kugelflachen giiltig, wenn der m m mungsradius r, der Schmiegungskugel des Flachenscheitels eingesetzt wird.

Bei geringen Anspriichen an die Genauigkeit, z. B. bei asph2rischen Flachen in Kondensoren, ist ein schneller Uberblick iiber den Strahlenverlauf zu gewinnen, wenn das in 2.2.1 angegebene Verfahren zur zeichnerischen Ermittlung des gebrochenen Strahls angewendet wird. Zentrierte Spiegellinsen. Spiegellinsen stellen spezielle geometrisch-optische Funktionselemente dar, deren Hauptfunktion auf der Reflexion des Lichtes beruht. Zentrierte Spiegellinsen bestehen aus einer brechenden und einer reflektierenden Rotationsflache. Ihr Vorteil gegeniiber Oberflachenspiegeln besteht darin, daS die Spiegelfliiche durch die davorliegende Glasschicht geschiitzt ist. Sie konnen deshalb leicht gesaubert werden. Die Anwendbarkeit ist vocallem durch folgende Nachteile begrenzt:

Neben dem einmal an der Spiegelflache reflektierten Licht, dem Hauptreflex, entstehen Nebenreflexe. Von diesen ist der durch die Reflexion an der Vorderflache auftretende Vorderreflex am stkksten. Die hoheren Nebenreflexe nehmen intensitatsmiiI3ig rasch ab. Der Vorderreflex kann durch die Entspiegelung mittels Interferenzschichten herabgesetzt werden. Fiir groRe Spiegellinsen ist aber das Aufbringen der Schichten schwer zu realisieren. Im Glas entstehen Absorptionsverluste, die bei groRen und damit dicken Spiegellinsen iiber 5% betragen konnen. Die zweimalige Brechung an der Vorderflache ist mit Farbfehlern verbunden, so dai3 ein wesentlicher Vorteil der Spiegel verlorengeht. Spiegellinsen werden selten fiu hochwertige optische Systeme eingesetzt. h e Hauptanwendungsgebiete liegen bei den Scheinwerfern, den Signaloptiken, Beleuchtungssystemen und Fahrzeugleuchten. Paraxiales Gebiet von Spiegellinsen. Fiir die Abbildung im paraxialen Gebiet sind die Abbildungsgleichungen unabhiingig von der Fliichenform, weil nur der Scheitelkreisradius in die Beziehungen eingeht. Wir berechnen die Scheitelbrennweite und die Brennweite, indem wir die Methode der aufgespalteten Spiegelflachen anwenden (Abb. 4.65). An der ersten Flache gilt wegen s, = --m nach G1. (4.21) (4.187) Die Ubergangsbeziehung zur zweiten Flache, s2

= s;-d,

(4.188)

246


ergibt zusammen mit der Abbildungsgleichung (4.114)

1= L-2 s;

(4.189)

r2

s2

den Kehrwert der bildseitigen Schnittweite an der Spiegelflache:

_1 -

(n-l)rz-2nrl+2(n-l)d s; nr1r2-(n-l)rzd

(4.190)

Aus der Abbildungsgleichung an der dritten Flache

4

*3

ss

s3

=

&

(4.191)

A'

ergibt sich mit s3 = ss - d und G1. (4.187)

1 - n-1 n = (n-l)(s; -d)+nr, +r

sl

r,

s2-d

(4.192)

r, (4 - d )

oder n[(n-l)r2 -2nr1+2(n-1)d] nrlrz- 2 ( n - 1 ) r 2 d + 2 n r , d - 2 ( n - 1 ) d 2

F ' = L = 3

s;

+-.n-1

(4.193)

Die BreMweite folgt aus G1. (4.37) zu f' =

-.s;s; s;

(4.194)

SZ s3

Mit s2 und sg entsprechend G1. (4.188) sowie s; nach G1. (4.192) erhalten wir f'

s;s;r,(s; - d )

=

(s; - d ) ( s ; - d ) [ ( n -1)(ss -d)+nr,]' s[ wird mit G1. (4.187), f'

n r: r2 =2

(n

(4.195)

sl mit G1. (4.190) eliminiert. Nach einigen Umformungen entsteht 1

- l)r2[nrl- (n- l)d] - nr, [nr,- 2(n - l)d]- ( n- 1)2d2.

Abb. 4.65 Spiegellinse mit aufgespalteter Spiegelflslcbe

(4.196)


247

Beispiele von Spiegellinsen

- Spiegellinsen mit konzentrischen Kugelflachen, fiir die also rz = r, -d gilt, haben l3.r s = -w oder s’ = w einen sehr storenden Vorderreflex. Dadurch sind sie schlecht als Scheinwerferoptiken zu gebrauchen. Sie eignen sich aber als Beleuchtungsspiegel groRer Offnung mit einem AbbildungsmaSstab fl’ = -1. Die Brennweite folgt aus G1. (4.196) zu

(4.197)

- Spiegellinsen mit nichtkonzentrischen Kugelflachen eignen sich fiir unendliche Objektoder Bildweite, wenn der Objekt- oder Bildpunkt in den Kriimmungsmittelpunkt der Vordemache gelegt wird (Abb. 4.66). Dadurch wird der Vorderreflex unschmich gemacht. Derartige Spiegellinsen wurden friiher unter dem Namen “Mangin-Spiegel” als Scheinwerferspiegel eingesetzt. Mit s; = -r, ergibt sich aus G1. (4.193) der Radius der Spiegelflache: r, = 2

(2n - I)r, d - nrf - ( n - l)dz 2( n - 1)d -r, (2n - 1)

(4.198)

Der Nachteil der Mangin-Spiegel ist ihre grol3e Randdicke, besonders bei groRen Durchmessern. Damit verbunden sind ein hohes Gewicht, Spannungen beim E r w m e n und Farbfehler. -

Fiir Scheinwerfer werden Spiegellinsen hergestellt, die Parabolflachen oder deformierte Parabolflkhen haben. Damit lassen sich gunstige Abbildungseigenschaften und geringe Reflexe erreichen. Ein Beispiel dafiir ist der R-Spiegel, der bei Carl Zeiss Jena entwickelt wurde.

Abb 4.66 Mangin-Spiegel

Fresnel-Linsen stellen Stufenlinsen dar. Sie bestehen aus Ringzonen, die jeweils ein Lichtbiindel in die gewiinschte Richtllng brechen. Die dteren Fresnel-Linsen, wie sie in Scheinwerfern und Signaloptiken eingesetzt werden, haben relativ grobe Stufen. Sie werden aus Glas gepreSt, und die Begrenzungsfliichender Zonen sind im Meridionalschnitt gekriimmt (Abb. 4.67). Fresnel-Linsen lassen sich bei geringem Gewicht mit groRem Offnungsverhdtnis herstellen. Als Beleuchtungsoptiken fiir Positionslampen von Schiffen oder Seezeichen werden Giirtellinsen verwendet. Diese kann man sich entstanden denken, indem der Meridionalschnitt einer Fresnel-Lime urn eine zur optischen Ache senkrechte Achse gedreht wird. (Die Giirtellinse stellt dann einen Kreiszylinder dar. auf dessen Oberflkhe die Ringzonen angeordnet

248


a

sind; Abb. 4.68,) Im allgemeinen Fall kann die (iiirtellinse auch eine vom Kreiszylinder abweichende Form haben.

Abb. 4.68 Zylindrische Giirtellinse Abb. 4.67 Fresnel-Linsemit

gekriimmten Wirkflanken

Die heule im Geratebau eingesetzten Fresnel-Linsen bestehen im allgemeinen aus Plaste.

Sie haben sehr feine Stufen (bis etwa 0,05 mm herab), so da13 die brechenden Flkhen, die Wirkflanken, aus technologischen Griinden Ausschnitte aus Kreiskegeln sein miissen. Der Ubergang zwischen den Wirkflachen wird durch Storflanken gebildet (Abb. 4.69). Diese fuhren in der Bildebene zu Streulicht und zu rhgformigen Abschattungsgebieten, wenn die Fresnel-Linse als Kondensor in der N a e der Objektebene steht. Fiir die Fresnel-Linse, die ein Parallelbundel fokussieren soll, gilt nach Abb. 4.70 f i r die kte Ringzone &2k

= yk? 6, =

Eik-yk.

tan

Yk

=

7 hk .

(4.199a, b, c)

s2

Setzt man E,, nach GI. (4.199a) und hdt man nsiny, = sin(&+yk).

&ik nach G1. (4.199b) in das Brechungsgesetz ein, so er-

Abb. 4.69 Fresnel-Lime mit kegelfonnigen Wirkflanken

Abb. 4.70 Brechung eines achsparallelen

Strahls an einer kegelfbnnigen Wirkflanke


249

Nach Umformen ergibt sich mit G1. (4.199~) hk -

(4.200)

Die Zone mit der Flankenneigung yk vereinigt das ringformige Biindel mit der Breite Ahk liings der Achse auf der Strecke (4.201) Es ist also

(4.202)

zu wiihlen, wenn die Biindel aller Zonen im gleichen Interval1 der Achse vereinigt werden sollen. Der Zerstreuungskreis in einer achssenkrechten Ebene ist allerdings nur von der Zonenbreite Ahk abhiingig. Die Fresnel-Linse zerlegt eine ebene Wellenflache in Ringzonen mit unterschiedlicher Phase auf einer Bezugskugel um den angesuebten Bildpunkt (mit der Schnittweite s;). Sie bewirkt also auch bei infinitesimal schmalen Wirkflanken keine punktformige Abbildung mit gleichen Phasen der Teilwellen. Der Lichtweg von einer achssenkrechten Ebene vor der Linse bis zum “Bildpunkt” ist nicht konstant. Durch das ijberlagern von zwei Systemen aus Wirkflanken auf demselben Untergrund lassen sich Fresnel-Linsen mit zwei “Bildpunkten” herstellen, allerdings mit vermindertem Bildkontrast. Mit zwei Fresnel-Linsenist ein im Endlichen liegender Objektpunkt in einen irn Endlichen liegenden Bildpunkt abzubilden, wobei das Lichtbundel zwischen den Linsen achsparallel sein kann. Die Stmktur der Wirk- und Storflanken mu8 aufeinander abgestimmt sein.

Beriicksichtigt man die Brechung an den Planfl&hen, dann ist ein Paar von Fresnel-Linsen moglich, deren Struktur gegenubersteht (Abb. 4.71). Damit 1st diese vor Staub geschutzt. Die geeignete Berechnung der Wirk- und Storflanken sichert, daB die zweite Linse nicht das von den Wirkflanken der ersten Linse ausgehende Licht abschattet. SchlieDlich ist auch das Anbringen der Rillenstruktur auf einem gekriimmten Untergrund moglich.

250


4.1.10 Spezielle nichtrotationssymmetrischeFunktionselemente Zylinderlinsen gehoren zu den nichtrotationssymmetrischen abbildenden Funktionselementen. Die optisch wirksamen Flachen stellen polierte Zylinderflachen dar (Abb. 4.72).

I

Eine Zylinderlinse enthailt zwei polierte Zylinderoberflachen, deren Rotationsachsen parallel zueinander verlaufen.

Die Kreiszylinderlinse wird von Kreiszylindern begrenzt. Die von den Zylinderachsen aufgespannte Ebene stellt eine Symmetrieebene dar. Beim Einsatz der Zylinderlinse in einem zentrierten optischen System muR darauf geachtet werden, dal3 die optische Achse beide Zylinderachsen senkrecht schneidet. Zylinderlinsen, die in zylindrische Fassungen aufgenommen werden sollen, sind zu “zentrieren”. Darunter ist zu verstehen, da13 die Formachse - d. h. dle Symmetrieachse der aderen Berandung - beide Zylinderachsen senkrecht schneidet.

w

Abb. 4.72

Zylinderlinse

Die Zylinderlinse hat zwei ausgezeichnete Schnitte (Abb. 4.72). Ein senkrecht auf den Zylinderachsen stehender Schnitt wird wirksamer Schnitt genannt. Ein parallel zu der Ebene, die die Zylinderachsen enthat, liegender Schnitt heil3t unwirksamer Schnitt. Lichtstrahlen, die im wirksamen Schnitt liegen, werden so gebrochen wie die Meridionalstrahlen an einer sphslrischen Linse. Dem wirksamen Schnitt kann eine Brennweite zugeordnet werden. Strahlen, die im unwirksamen Schnitt verlaufen, werden wie an einer planparallelen Platte gebrochen, also nur parallel zu sich versetzt (Abb. 4.73).

Brechung im a) wirksamen bzw. b) unwirksamen Schnitt der Zylinderachse

Abb. 4.73

25 1


Zylinderlinsen bilden weder punktformig noch W c h ab. Sie sind uberhaupt nicht geeignet, Strahlenbundel in der Umgebung eines Punktes zu vereinigen. Im paraxialen Gebiet der beiden ausgezeichneten Schnitte ist der Abbildungsmahtab fl’ unterschiedlich, und zwar ist er im unwirksamen Schnitt gleich 1, im wirksamen Schnitt von der Objektweite und der Brennweite abhiingig. Dabei ist aber noch zu beachten, daD die Vereinigungspunkte der Strahlen des unwirksamen und des wirksamen Schnittes im allgemeinen weit auseinanderfallen. Die Wirkung von Zylinderlinsen sol1 an einigen Beispielen verdeutlicht werden. Die brechenden Flachen seien jeweils so berechnet, daR die Strahlen, die in einem wirksamen Schnitt verlaufen, in einem Punkt vereinigt werden.

Abb. 4.74 Bildlinie bei der Brechung

an der Zylinderlinse (s = -= )

Abb. 4.75 Bildlinie bei der Brechung an der Zylinderlinse (s # --m )

In Abb. 4.74 wird ein Objektpunkt abgebildet, der senkrecht vor der Planflache im Unendlichen liegt. Es ist zu erkennen, dal3 jeweils nur die Strahlenbundel der einzelnen wirksamen Schnitte in einem Punkt vereinigt werden. Als Bild des Objektpunktes ist eine Bildlinie anzusehen. Die Lichtenergie verteilt sich auf eine Gerade. In Abb. 4.75 liegt der Objektpunkt im Endlichen senkrecht vor der Mine der Zylinderlinse. In diesem Fall gibt es iiberhaupt nur ein Buschel, das in einem wirksamen Schnitt verliiuft,

25 2


und ein Buschel, das in einem unwirksamen Schnitt verlauft. Alle anderen Strahlen sind windschiefe Strahlen. Damit treten Abweichungen der Strahlendurch$tolJpunkte von der eigentlichen Bildlinie auf. Die Abbildung einer Objektlinie, die parallel zu den Zylinderachsen in der Symmeuieebene liegt, fiihrt zu einer verwaschenen Bildlinie. Ein Objektspalt, dessen Mittellinie die gleiche Lage hat, wird so abgebildet, dal3 sich seine Liinge nur in Abhhgigkeit von der Divergenz des im unwirksamen Schnitt verlaufenden Buschels hdert, seine Breite aber entsprechend dem Abbildungsmahtab im wirksamen Schnitt abgewandelt wird. Gewisse Bildunschmen durch die windschiefen Strahlen sind nicht zu vermeiden (Abb. 4.76).

eines Objektspalts

=

q-f; Abb. 4.77 Gekreuzte Zylinderlinsen (Objekt im Unendlichen)

Der AbbildungsmaBstab l33t sich in zwei zueinander senkrechten Schnitten unterschiedlich gestalten, wenn zwei Zylinderlinsen gekreuzt angeordnet werden (Abb. 4.77). Beim Anamorphoten aus einem sammelnden und einem zerstreuenden Glied aus Zylinderlinsen, die wie ein hollhdisches Fernrohr wirken, ist eine Bilddehnung oder -stauchung in einem Schnitt moglich. In Verbindung mit einem Projektionsobjektiv, das die praktisch punktformige Abbildung iibernimmt, wird das bei der Aufnahme einseitig gestauchte Bild wieder gedehnt und damit die Breitwandprojektion ermoglicht (Abb. 4.78).

Torische Flachen stellen nichtzentrierte Flachen dar, die vorwiegend in Brillenglkern verwendet werden. Torische Linsen bestehen im allgemeinen aus einer torischen und einer spharischen Flache. Sie haben in senkrecht zueinander stehenden Schnitten verschiedene Brech-


253

kraifte und dienen der Korrektur astigmatischer Augen. Wir beschreiben die Entstehung einer torischen Flache (Abb. 4.79).

-

Anomorphot (wirksomer Schniit)

Objekt

objektiv

anomorpho!ischer Foktor =

$

U e r s t e s Zy lind erg ti ed 1 - F lzweites Zylirdergliedl PrOJektions- lunwirksomer Schnitt) objektiv

‘1

*

Abb. 4.78 Anamorphot aus Zylinderlinsen a) Wirksamer Schnitt, b) unwirksamer Schnitt

Abb. 4.79 Zur Entstehung &r

torischen Flache

Gegeben sei ein Kreisbogen mit dem Radius r,, der in der Y-Z-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems liegt. Wir drehen diesen Kreisbogen urn eine zur Y-Achse parallele Achse. Die Enffernung der Drehachse von der Y-Achse betrage r, . Die vom Kreisbogen ubersuichene Flache wird torische Flache genannt. Einen beliebigen Punkt des in der X-2-Ebene entstehenden Schnittkreises mit dem Radius r, ktinnen wir als Flachenscheitel V ansehen. In diesen legen wir den Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems x, y, z, so daR die x-yEbene Tangentialebene zur torischen Flache ist.

254

4 Abbildende outische Funktionselemente

Im Flachenscheitel hat also die torische Flache in der y-z-Ebene den Krummungsradius r,, in der x-z-Ebene den Krummungsradius r,. Die Kriimmungsradien sind demnach in zwei senkrecht zueinander stehenden Schnitten verschieden, so dal3 die torische Flache nicht rotationssymmetrisch ist. Fiir zwei enge Buschel, die die Flache in der Ebene des Hachenscheitels durchstoaen, betragen die wirksamen BreMweiten

A‘=

n’r,

und

fi = Inn’. -r2n

(4.203)

Die Ebene, die im Scheitel den Kreis mit dem Radius r, aus dem Torus ausschneidet, heiSt Rotationsschnitt. Fiir einen beliebigen Rotationsschnitt ist P,C, der wirksame Kriimmungsradius. Jede senkrecht zum Rotationsschnitt stehende Ebene bildet einen Meridianschnitt, der einen Schnittkreis mit dem Radius P2C2= r, enthat. P2C2 gibt die Richtung der FlaCheMOrmalen an. Bei r, > r, spricht man von einem “wurstformigen”, bei r, < r, von einem “tonnenformigen” Torus.

4.1.1 1 Inhomogene und anisotrope Funktionselemente

Bei inhomogenen Stoffen hiingt die Brechzahl stetig vom Ort ab, sie ist eine Funktion der Ortskoordinaten. Nach dem Fermatschen Prinzip ist dam der Lichtweg gekriimmt. Fiir den optischen Lichtweg H im Rahmen der geometrischen Optik gilt (grad H ) 2 = n2 [ 191. Bei inhomogenen Stoffen ist grad n # 0, also grad H nicht stuckweise konstant, weshalb auch von Gradientenoptik gesprochen wird (im Englischen “gradient index”, abgekiirzt GRIN). Inhomogene Stoffe finden Anwendung als duMe Ubergangsschichten zwischen zwei homogenen Stoffen mit dem Ziel der Reflexionsminderung, als Gradientenfaser zur Signal- und Bildubertragung sowie als Gradientenlinsen oder -stabe zur optischen Abbildung. Bevorzugte Brechzahlverteilungen sind der Radialgradient (Zylindersymmetrie), der Axialgradient (konstante Brechzahl auf parallelen Ebenen) und der sphs;rische Gradient (Kugelsymmetrie). Wir behandeln zunachst Gradientenfasern und -stabe mit Zylindersymmetrie. Lichtausbreitung in inhomogenen Stoffen. Die Ausbreitung des Lichtes in einer Gradientenfaser sol1 geometrisch-optisch betrachtet werden. In einer Gradientenfaser nimmt die Brechzahl radial mit der Entfernung von der Faserachse ab. Die Lichtstrahlen beschreiben gekriimmte Bahnen, wenn sie nicht in Richtung der Brechzahliinderung oder senkrecht dazu verlaufen. Wendet man das Brechungsgesetz auf zwei benachbarte Schichten mit den Brechzahlen n und n + dn an, so ergibt sich

nsin& = (n+dn)sin(&+d&) und unter Anwendung der Additionstheoreme und Vernachlksigung kleiner GrtiSen n sine = n sin&+ d n . sin&+n cos&.d&

bzw. ncos&.d&+sin&.dn= 0.

(4.204)


255

AuflBsen nach d&ergibt d& = --tan&.-.

dn n

(4.205)

Aus Abb. 4.80 folgt (4.206) Durch Gleichsetzen von d&nach GI. (4.205) und GI. (4.206) erhiilt man fiir die Kriimmung der Lichtstrahlen wegen tan&.-dP = P

dn -rn&.-

n

den Ausdruck (4.207) 1st die Brechzahl als Funktion des Ortes bekannt, so 1%3t sich mit Hilfe von G1. (4.207) der Kriimmungsradius der Lichtstrahlen berechnen. Beschtthkt man sich auf Paraxialstrahlen, so kann nach der Theorie der Raumkurven

K

=

--d2r

dz2 gesetzt werden. Weiter gilt im paraxialen Gebiet dp = dr , so dal3 G1. (4.207) auf -d2r - - _1 d_n n dr dz2 fiihrt.

(4.208)

Flachen konstonter Brechzohl

/ Abb. 4.80 Strahlenverlauf im inhomogenen Stoff

Brechzahlverteilungen. Eine Gradientenfaser, deren Brechzahl mit der Entfernung von der Zylinderachse abnimmt, kann die Lichtstrahlen fokussieren, also eine optische Abbildung realisieren. In der Literatur w d e jedoch gezeigt, d& es k i n e Brechzahlverteilung gibt, mit der eine punktfoxmige Abbildung erzielt wird. Mit einer vorgegebenen Brechzahlverteilung ist es nicht moglich, sowohl meridionale wie auch windschiefe Strahlen in einem Punkt zu vereinigen.

256


Wir betrachten zunachst die Ausbreitung von Meridionalstrahlen in einem inhomogenen Stoff (Abb. 4.81). Die Lichtstrahlen breiten sich in der Gradientenfaser infolge der stetigen Abnahme der Brechzahl sinusformig aus. Es entsteht eine sinusformige Bahn um die Faserachse, ohne da13 die Grenzflache erreicht wird.

c

Z

Abb. 4.81 Verlauf von Meridionalstrahlen im inhomogenen Stoff

Die ideale Brechzahlverteilung eines inhomogenen Stoffes bezuglich der Abbildung im Meridionalschnitt ist gegeben durch n(r) = n,sech(&r)

(nA ist die Brechzahl auf der Achse, r ist der Abstand von der Achse, a ist eine positive Konstante, sech x = I/(cosech x) ist der Hyperbelsekans, En sind Eulersche Zahlen.)

4 X

Abb. 4.82 Schraubenformiger Verlauf eines windschiefen Strabls im inhomogenen Stoff

Sollen windschiefe Strahlen in der Faser schraubenformige Bahnen ergeben (Abb. 4.82).

so ist die Brechzahlverteilung

erforderlich. Die Brechzahlverteilungen nach GI. (4.209) und GI. (4.210) unterscheiden sich in den Koeffizienten der Glieder ab 4. Ordnung des Radius. B e s c h r W man sich auf das paraxiale Gebiet, so brauchen nur die Glieder bis zur 2. Ordnung beriicksichtigt zu werden, und die ideale Brechzahlverteilung ist gegeben durch

n ( r ) = nA(l-+ar2).

(4.21 1)

25 7


In der Niihe der Zylinderachse muD die Brechzahlverteilung auf jeden Fall parabolisch sein, damit eine paraxiale Abbildung zustande kommt. Abbildungsgleichungen im paraxialen Gebiet. Mit der idealen Brechzahlverteilung im paraxialen Gebiet G1. (4.211) fiihrt die GI. (4.208), die &e Ausbreitung der Lichtstrahlen beschreibt, auf eine Schwingungsgleichung(im folgenden Text bedeutet nur bei r’ der Strich die Ableitung von r nach z gems (4.214)) -++r d2r

= 0.

(4.2 12)

dzZ

Dabei w d e n die Annahmen 10,5.ar21 Q 1 und n ( r ) = nA verwendet. Die Losung der G1. (4.212) liefert unter Beriicksichtigung der Anfangsbedingungen fiir den eintretenden Strahl (Einfallshohe r(0)= re,Strahlneigung r’(0)= re’)den Strahlenverlauf in der Faser (Abb. 4.83)

r ( z ) = re cos (J;;z) + r

i l sin(J;;z)

(4.2 13)

J;;

rl

=I

I

5

i

Abb. 4.83 Ein- und Ausgangsgrokn der Gradientenfaser

und durch Differentiation die Strahlneigung (4.214)

Setzt man in den Gleichungen (4.213) und (4.214) z gleich der Faserliinge 1, so erhdt man den Zusammenhang zwischen den Ein- und AusgangsgroBen innerhalb der Gradientenfaser: r, = r,cos(fil)+rilsin(J;il),

(4.215a)

= -re J;;sin(f i l ) + ri cos(,L/)

(4.2 15b)

J;;

rl

Man kann dieses Gleichungssystem als Matrizenprodukt schreiben: (4.216)

Die Paraxialstrahlen breiten sich in der Gradientenfaser sinusformig mit der Periode 2x/& aus. Dabei fallen die Durchgiinge durch die Faserachse nur bei achsparallel einfallenden Strahlen unabhiingig von der Einfallshohe re in einem Punkt zusammen. Daraus resultiert

25 8


auch, dal3 alle achsparallel einfallenden Strahlen, nachdem sie die Faser passiert haben, in einem Punkt konvergieren. Der Abstand dieses Konvergenzpunktes von der Faseraustrittsflache betragt fs’. In der Entfernung -f’ kann eine aquivalente duMe Linse angenommen werden (Abb. 4.84).

rl 1

H’

--______

--

~

F’

Abb. 4.84 Zur Brennweite einer

Gradientenfaser Es koMen dann fiir die Gradientenfaser Brennpunkte, Hauptpunkte, Scheitelbrennweiten, Brennweiten und Hauptebenen definiert werden. Ein achsparallel einfallender Strahl hat am Austrittsende der Faser die Hohe r, = r,cos(J;;l)

(4.217a)

und die Neigung rat = -r,fisin(,Ll).

(4.217b)

Unter der Voraussetzung n ( r ) = nA und dem Brechungsgesetz nAri = n L d fiir kleine Winkel ergibt sich fiir die Scheitelbrennweite (4.218) nAr,Ja sin(Ja

Fiir die Brennweite erhiilt man (4.219) und fiir die Lage der Hauptebene H’ (4.220) Die entsprechenden Gleichungen fiir die objektseitigen GrOSen unterscheiden sich nur durch das Vomichen von den bildseitigen, weil der bildseitig achsparallel austretende Strahl analog verlaufen wiirde. G1. (4.219) zeigt, d& die Brennweite einer Gradientenfaser aul3er von ihren Konstanten nur von ihrer Liinge und nicht von ihren sonstigen geometrischen Abmessungen abhiingig ist. Um die Beziehungen zwischen Objekt und Bild zu erhalten, geht man von Abb. 4.85 aus. Strahlen, die von einem Punkt A des Objekts ausgehen, schneiden sich in einem Punkt des


259

Bildes. Betrachtet man zwei ausgezeichnete Strahlen, einen achsparallelen Strahl (1) und einen. der zum Achspunkt der EinUittsflache zielt (2), so lassen sich daraus die bildseitige Schnittweite s’, die BildgroRe y’ und der Abbildungsmdstab 0’ berechnen. Yl

- -s

- s’

I

Abb. 4.85 Abbildung an &r Gradientenfaser

Mit Hilfe der Koordinaten der austretenden Strahlen rii und deren Richtungen

&;

= (nArLi))/nL.die aus dem Brechungsgesetz folgen, ktinnen die Geradengleichungen fiir die

beiden austretenden Strahlen (1’) und (2’) aufgestellt werden. Die GroRen rii und rai erhsilt man unter Beriicksichtigung der Anfangswerte der eintretenden Strahlen (rel = y, re>= 0 , re, = 0, re; = (nL&,)/nA= -(nLre2)/(nAs)) aus den Gleichungen (4.215): y(l,) =

-?

re1& sin(&/) ( z -11

+ rel cos (

~ l ) ,

(4.221a) (4.221b)

Aus der Forderung gleicher Bildhohe folgt die Lage des Bildes: (4.222)

Setzt man G1. (4.222)in eine der Gleichungen (4.221) ein. so erhiilt man die BildgrtiRe ynl

n cos ( , / i l )

+ nAs J;;sin(&l)

(4.223)

und daraus den Abbildungsmdstab p‘ = y’/y . Mit Hilfe der Brennweite nach G1. (4.219) kann man umformen in

p’ =

f‘

(4.224)

s+ f R c o s ( & I ) .

Numerische Apertur. Die maximale numerische Apertur ergibt sich aus der Forderung, das der Randstrahl des einfallenden Strahlenbundels in der Gradientenfaser maximal bis zum wirksamen Faserradius r, ausgelenkt werden darf (Abb. 4.83). Mit der GI. (4.214) folgt aus der Extremwertforderung r’(zl) = 0 21

71 =2&’

(4.225)


260

Damit ergibt sich fiir die maximale Strahlneigung innerhalb der Faser aus G1. (4.213) re' = rpJZ. Mit dem Brechungsgesetz erhdt man die maximale numerische Apertur zu A = nsinu = nArF&.

(4.226)

Transmissionsverlust. Lichtverluste werden in Gradientenfasern hauptsachlich durch Reflexionsverluste an den Endflachen und - Lichtabsorption im inhomogenen Stoff hervorgerufen. Die Reflexionsverluste lassen sich mit den Fresnelschen Fonneln berechnen. Die Absorptionsverluste hhgen von der Wellenlhge und vom Lichtweg in der Faser ab. -

Farbfehler. Inhomogene Stoffe lassen sich aus homogenen Stoffen herstellen, indem durch eine thermisch angeregte Diffusion Substanzen in die Faser eingebracht werden. Die Konzentration der einzelnen Komponenten des inhomogenen Stoffes ist ortsabhiingig, wodurch sich ein Brechzahlgradient herausbildet. Infolge der Wechselwirkung der einzelnen Komponenten des inhomogenen Stoffes in Abhhgigkeit von ihrer Konzentration mit dem Licht ist die Brechzahherteilung wellenlhgenabhiingig. Das bedeutet, dal3 bei der Abbildung Farbfehler und bei der Signalubertragung Verzermngen auftreten. Grddientenlinsen. Die Anwendungsgebiete der Gradientenlinsen sind besonders bei optischen Systemen fiir Kopiermaschinen, Videoplattengeraten und bei Mikroobjektiven zu finden. Auch Schmidt-Platten fiir Teleskope lassen sich realisieren. Allgemein sind Gradientenlinsen fiir miniaturisierte optische Systeme zweckm&I3ig.

fl Y O ge k r u mmte Bildschale

Abb. 4.86 Strahlenverlauf a) beim Maxwellschen c) bei der verallgemeinerten Luneburg-Lime

Fischauge, b) bei der Luneburg-Linse,


26 1

Bereits Maxwell hat 1854 die Abbildung mittels einer kugelsymmetrischen Brechzahlverteilung behandelt. Der Brechzahlverlauf

n(r) =

n0

(4.227)

1+(;)* (bei r = 0 liegt der Brennpunkt, und es ist n ( 0 ) = no, im Unendlichen gilt n(-) = 0) ermtiglicht die Abbildung nach der Gleichung zz’ = -R2 (Abb. 4.86a). Darin ist R der Radius, bis zu dem die Brechzahl auf 0,5no gesunken ist. Abgesehen davon, daR die Brechzahlverteilung pralctisch nicht zu realisieren ist, hat die Abbildung Verzeichnung. Die unendlich ferne Ebene kann auf die Kugelfliiche der Linse abgebildet werden, wenn die Brechzahl nach der Funktion (4.228) verlauft ( n = f i n , im Mittelpunlct, n = no an der Oberfliiche). Diese inhomogene Kugel wird Luneburg-Lime genannt (Abb. 4.86b). Sie laOt sich noch so abwandeln, da5 die gekriimmte Bildschale aderhalb der Linse mit dem Radius R liegt (z. B. den Radius 2R hat; Abb. 4.86~). Luneburg-Linsen und ihre Variationen haben in der integrierten Optik Bedeutung erlangt. Linsen mit radialer Brechzahliinderung sind With wie die “GRIN-Stabe” zu behandeln. Der fokussierenden Wirhng durch die Brechzahlverteilung uberlagern sich die Flachenbrechkriifte. Es lassen sich mit sphMschen Begrenzungsflachen analoge Verbesserungen der Bildgiite erreichen wie mit asphiirkhen Fliichen. k a l e Brechzahliinderungen sind ebenfalls geeignet, bei Funktionselementen, die entweder ebene oder sphMsche Grenzflschen haben, die Bildgute gunstig zu beeinflussen. In diesem Fall kann sich auch eine inhomogene Schicht begrenzter D i c k an einen homogenen Stoff anschlieRen. Miesel [38] berichtet uber die Verringerung des Offnungsfehlers (vgl. 4.3.3) bei Gradientenlinsen. Als MaS dient die Schnittweitendifferenz As’ = i’- s‘ zwischen einem Strahl der Einfallshohe h und dem paraxialen Strahl. Die axiale Verteilung hat den Verlauf

n(z) = no+n1z, die radiale Verteilung wird durch die Funktion (4.209), also durch n(r) = nosech(&r)

dargestellt. Die Konstanten n, bzw. a sind so vorgegeben, daS die Abweichung von n o = 1.5 bis 6 . auf einer Strecke von 10 m m betragt. Es wurde eine Plankonvexlinse ca. 3 mit dem Radius der Vorderflache 50 mm in Luft verwendet. Die objektseitige Schnittweite ist unendlich. Tab. 4.22 enthiilt die berechneten Werte fiir As’. Fiir Einzellinsen hat auch Moore bereits 1971 Berechnungen durchgefthrt [39]. Diese wurden z.B. auf Kollimatorlinsen ausgedehnt 1401. Moore gibt Werte fiir die Abbildungsfehler, Spot-Diagramme (DurchstoDpunkte in der Auffangebene fiir ausgewiihlte Strahlen) und Toleranzforderungen an. Eine Linse mit dem axialen Gradienten n = 1.65- 0,030294~ (Tab. 4.23a), eine Lime mit dem radialen Gradienten n = 1,522+0,0983r2 +0,03222r4 (Tab. 4.23b) und eine Linse mit dem radialen Gradienten n = 1,55+0,000261r4+0,00003r6 (Tab. 4.23~)werden vorgestellt. Bei der letzten Linse folgt die paraxiale Brechkraft nur aus

262


der Kriimmung der Linsenflachen. Die Arbeiten zu inhomogenen Schmidt-Platten werden wir in 6.5 refeneren. Tabelle 4.22 Offnungsfehler von Gradientenlinsen nach [38] (sphiirische Liingsabweichung As’ = ?- s’)

h

homogen

n , = -0,058 cm-’

n , = - 0,0575 cm-’

0,7 1.4 2,l 2,s

-0,0566 -0,2302 -0,5344 -0,9984

0,0005204 0,0015289 0,0009329 -0,0065869

O,ooOo398 -o,oO04995 -0,00393 19 -0,0159933

& = 0,065 cm-’

& = 0,067 cm-I

~

h ~

0.7 1.4 2.1 2,8

0,0002701

0,003148 0,0125656 0,0167991 - 0,0054573

- O,OoO5924

-0,013778 - 0,062521

Tabelle 4.23 Von Moore angegebene Kollimatorlinsen, (a) axialer Gradient, (b) radialer Gradient, (c) radialer Gradient (Daten im Text, s = - m )

Offnungsverhdtnis 1:4 200 Brennweite in nun Durchmesser in mm 50 10 Dicke in mm 127,395 Radius 1, in mm Radius r2 in mm 5977,286

1:s 100 20 17.5 33,333 18,967

1:5 100 20

10 58,118 -962,279

Anisotrope Funktionselemente. Fiir Linsen, die wegen des grofieren spektralen Transmissionsgrades auBerhalb des sichtbaren Gebiets oder wegen des ungewohnlichen Dispersionsverhaltens (grofie Abbesche Zahl bzw. Lage im P-v-Diagramm weit von der “eisernen Geraden” entfernt, auf der die Mehrzahl der Glber liegen) aus Kristallen hergestellt werden sollen. wird man im allgemeinen die isotropen kubischen Kristalle einsetzen. Gelegentlich sind aber auch Funktionselemente aus optisch einachsigen oder zweiachsigen Kristallen erforderlich, &e eine von der Lichtrichtung abhhgige Brechzahl haben, also anisotrop sind. Zentrierte Linsen aus optisch einachsigen Kristallen sind nur dann optisch rotationssymmetrisch, wenn die optische Kristallachse parallel oder senkrecht zur optischen Ache liegt. Deshalb werden diese Faille bevorzugt. Da sich ordentliche Strahlen wie im isotropen Stoff mit der Brechzahl n , verhalten, hat die Kristallinse eine Brechkraft, die aus F,‘ = O1- O2+ Q102(ir

(4.229)


263

mit (4.230a, b, c) folgt. Bei einer Linse, bei der die optische Achse senkrecht zur optischen Kristallachse steht, haben bereits im paraxialen Gebiet die im Hauptschnitt verlaufenden Strahlen einen anderen Konvergenzpunkt als die senkrecht zum Hauptschnitt verlaufenden Strahlen. Es ergeben sich zusatzlich zur Brechkraft fiir das ordentliche Bundel zwei Brechkriifte fiir das aaerordentliche Bundel. Die Sphiirometerwerte lauten n,-1 '1

aJIV= -,

0 2 ,

=

Ry-1

-.

(4.23 1a, b)

r2

Als reduzierte Dicken sind

(4.232a, b) mit (4.233a. b) (vgl. [ 191) zu verwenden. Die Brechkriifte folgen aus

FA =

@Iv

- @zy

+ @1y@2ydm. &' =

-

@Iv @zv

+ #1V@2rds.

(4.234a, b)

Bei einer Linse mit parallel zur optischen Achse verlaufender optischen Kristallachse tritt k i n e Aufpaltung des Lichtes ein, das sich l a g s der optischen Achse ausbreitet. Es ist I(, = n , = n: / n , sowie d,,, = d8, und es entstehen nur zwei Brennpunkte. Eine Plankonvexlinse hat zwar nur eine Brechkra, aber wegen der unterschiedlichen Hauptpunktlagen trotzdem auseinanderfallende Brennpunkte.

4.1.12 Funktionselemente zur Laserbundel-Transformation Fiir die Transformation von Laserbiindeln gelten nicht in jedem Fall die Gleichungen des paraxialen Gebiets von reflektierenden und brechenden Rotationsfliichen. Das liegt besomiem an der geometrischen und strahlungsphysikalischenStruktur der Laserbundel. In 2.4.5 wurde ausgefiihrt, daa im Grundmodus der Laserschwingung ein Gaul3bundel ausgesendet wird, bei dem die htensitiit senkrecht zur Bundelachse nach einer GauI3funktion abnimmt und l h g s der Biindelachse eine engste Einschniirung vorhanden ist (Taille, Abb. 2.68, 2.69). Der Radius der Taille wird mit w, , der Radius in der Entfernung z von der Taille mit w bezeichnet (Gl. (2.193)). Der halbe Divergenzwinkel folgt aus G1. (2.195). Nach [19] betragt der Taillenradius fiir einen Resonator der L b g e 1, der durch Spiegel mit den Radien r, und r2 gebildet wird,

(4.235)

264


G1. (2.192) stellt den Spezialfall fiir r, = r, = 1 dar (konfokaler Resonator). Die Gleichungen vereinfachen sich. wenn die konfokalen Brennweiten

W, =

X Z und -wo

A

w

= Ew2

(4.236a, b)

A

eingefiihrt werden. Die Gleichungen (2.193) und (2.195) gehen uber in (4.237a, b) Es l u t sich zeigen, daU ein rotationssymmetrisches optisches System mit der Brennweite f’ im Rahmen der sogenannten paraxialen Niiherung die in der Entfernung a , (gemessen vom Hauptpunkt H aus) liegende Taille in die Enffernung

’

a, = -

( a , +f’)f‘’

(a, + f’>*+

(4.238)

wd’+f’

transforrniert. Der Taillen-TransformationsmaOstabp: = wi /wofolgt aus

f‘ =

(4.239)

J’-

Winkelverh2ltnis bzw. Tiefenmastab betragen (4.240a, b)

Der Divergenzwinkel transformiert sich nach tan 0’= TWOt a n 0.

(4.240~)

WO

Die Abb. 4.87 und 4.88 veranschaulichen die Transformationsgleichungen fiir ein Beispiel.

4

I

I

”

I

Abb. 4.87 Bildseitige Taillenentfemung a:

(gestrichelt: Bildweite, die sich nach der paraxialen Abbildungsgleichung fiir Linsen ergabe)

Abb. 4.88 Taillen-TransformationsmaDstab pi als Funktion der Taillenentfemung a,


265

Fiir hohere Moden als "EMoo kann man angenahert davon ausgehen, das in den Gleichungen der Taillendurchmesserund der Divergemwinkel um den Faktor v,, zu vergroRern ist (worn,,= v,,w,. Om,= v,,@). Fiir Moden ohne Rotationssymmetrie "EM,, (rn f n ) gilt v,, fiir die maximale Ausdehnung. Es ist z. B. v,, = 1 5 , vz0 = 1.85, 1.~30= 2,14. Der Vergrokrungsfaktor gilt auch fiir die transfonnierten Grofien. Es ist demnach ,@ ,: = v,@ und w,,, = v,, w;. AUSG1. (4.238) folgt (4.241)

G1. (4.239) fiihrt auf (4.242)

Weiterhin ist bei kleinen Winkeln (mit tan @'/tan @ = 1//3:~) '2 om, =

WOZrnn + @ i n ( 0 ,

+ .I-')'

(4.243)

f '*

Bei Halbleiterlasern ist zu beachten, das die Bundeltaillen in zwei zueinander senkrechten ~ beide Schnitte getrennt Schnitten sehr verschieden grofi sind. Die Gleichungen sind d a fiir anzuwenden. Die Laserbundel-Transformation ist fiir zwei grundlegende Aufgaben erforderlich: fiir die Fokussierung auf eine kleine Flache und fiir die Anderung des Bundelradius, die mit der &Iderung des Divergenzwinkels verbunden ist. Fiir die Fokussierung mu8 (P:l moglichst klein sein. Da la, nicht sehr groS gew2h.k werden kann, muD W, moglichst groR sein. Bei Gas- und Festkorperlasern ist die Divergenz klein, also W, grofi. Es gilt angeniihert bei W, 9 IQ, + f 'I

+f'l

P:

=

If I' w,'

Daraus folgt, daR ein optisches System mit kleiner Brennweite erforderlich ist. Die VergroRerung des Bundelradius fiihrt nach G1. (4.240~)zur Vemngerung der Divergenz. Der maximale Effekt wird erreicht, wenn die Bundeltaille in der objektseitigen Brennebene liegt, weil dann p: = f '/Woist (maximaler Wert). Eine weitere giinstige Wirkung hat demnach ein kleines W,. Bei Gas- und Festkoperlasern ist diese Forderung nicht erfiillt. Es m a t e also ein optisches System mit einer grol3en Brennweite verwendet werden. Haufig werden zweigliedrige afokale Systeme eingesetzt ( t = 0, f' = -). In diesem Fall ist (vgl. 6.3.2) =

W, p2 ' z ;

=

Ztp

(4.244a. b)

mit dem Aufweitungsfaktor (4.244~) Die umfassende Analyse der Kogelnickschen Formeln (4.236) bis (4.240) und ihre programmtechnische Umsetzung wurde von Richter u.a. vorgenommen [72], [73].

266


4.2

Bundelbegrenzende optische Funktionselemente

4.2.1

Begrenzung der Offnung

Blenden. In der geometrischen Optik werden die Objekte mit Strahlenbiindeln abgebildet, die von den einzelnen Objektpunkten ausgehen. In den optischen Systemen blenden die Spiegel-, Prismen- und Linsenfassungen sowie besondere Blenden aus den objektseitigen Lichtkegeln die Bundel aus, die die Abbildung vermitteln. Der gesamte damit zusammenhiingende Komplex an Erscheinungen wird oft “Strahlenbegrenzung” genannt, obwohl der Begriff “Bundelbegrenzung” besser ist. Dieser soll deshalb hier bevorzugt werden.

I

Siimtliche Offnungen im Strahlenraum eines optischen Systems, die an der Bundelbegrenzung beteiligt sind, heil3en Blenden.

Im allgemeinen nehmen wir die Blenden kreisforrnig und konzentrisch zur optischen Achse an, d. h., wir setzen im allgemeinen zentrierte optische Systeme und Blenden voraus. Nur bei anderen Blendenformen und -1agen soll besonders darauf hingewiesen werden. Die Bundelbegrenzung durch Blenden hat fir die Realisierung der optischen Abbildung groI3e Bedeutung. Einzelheiten uber den EinflUa der Blenden auf die Strahlenvereinigung werden wir in 4.3 behandeln. Es gibt jedoch grundlegende Blendenwirkungen, die mit ausreichender Naerung durch Anwenden der Beziehungen des paraxialen Gebietes untersucht werden koMen. Diesen wenden wir uns in diesem Abschnitt vorwiegend zu. Strenggenommen arbeiten wir in diesem Komplex mit so grol3en Blenden, Blendenbildern, Objekten und Bildern, daB das paraxiale Gebiet verlassen wird. Wenn wir in diesem Zusammenhang vom paraxialen Gebiet der geometrisch-optisch abbildenden Funktionselemente sprechen, dann meinen wir damit, daB wir die Formeln des paraxialen Gebietes anwenden. Da die Abbildung im paraxialen Gebiet ideal ist, wiire es eigentlich theoretisch exakt, von einer Untersuchung der Blendenwirkungen in einem ideal abbildenden System zu sprechen. Das Einzeichnen der Linsen in die Abbildungen dient zur Erhohung der Anschaulichkeit und soll stiindig darauf hinweisen, dal3 auch die Linsenfassungen als Blenden wirken. Zu behandeln sind auf der dargestellten Basis die Begrenzung der Offnung, - die Begrenzung des Feldes, - die Begrenzung des Zerstreuungskreises und - die Begrenzung des Lichtstroms. -

Die hier verwendeten Definitionen weichen teilweise von denen ab, die in DIN 1335 und in einigen Lehrbuchern verwendet werden. Die Unterschiede werden in 4.2.3 zusammengefaklt dargestellt. Offnungsblende. Wir beschmgen uns zuerst mit der Begrenzung der Offnung. Die hier betrachteten optischen Bilder sollen Luftbilder sein, d. h , sie werden nicht auf einem Schirm aufgefangen. Die Objektpunkte liegen auf der optischen Achse. Abb. 4.89 zeigt eine Plankonvexlinse. Die objektseitige Schnittweite betragt s = , die bildseitige Schnittweite s’ = f’

--

267

4.2 Bundelbegrenzende ovtische Funktionselemente

(weil Flachenscheitel und Hauptpunkt H' zusammenfallen). Eine besondere Blende ist nicht vorhanden. Die Linsenfassung begrenzt das Biindel, das vom unendlich fernen Achsenpunkt ausgeht, indem sie objektseitig den Durchmesser 2h des Bundels festlegt. 6 HH'

Abb. 4.89 Linsenfassung als Offnungsblende. Unendliche Objektweite

Abb. 4.90 zeigt dieselbe Plankonvexlinse wie Abb. 4.89, aber die objektseitige Schnittweite ist endlich. Die Begrenzung des Bundels durch die Linsenfassung kommt in der Festlegung des objektseitigen Offnungswinkels 2u zum Ausdruck. Objektebene

6 HH'

Abb. 4.90 Linsenfassung als Offnungsblende. Endliche Objektweite

Sowohl in Abb. 4.89 wie auch in Abb. 4.90 begrenzt die Blende den bildseitigen Offnungswinkel 2u'. Damit gelten folgende Definitionen:

I

I

Der

ObJektseitige

bildseitige

Offnungswinkel

2u 2u

ist der Winkel, den zwei in einer Ebene lie-

gende Randmahlen im ObJektraurn einschliekn. Bildraum Die Blende, die bei der Abbildung des unendlich fernen Achsenpunktes den objektseitigen Durchmesser 2h, bei der Abbildung eines im Endlichen liegenden Achsenpunktes den objektseitigen Offnungswinkel2u des Lichtbundels begrenzt, ist die Offnungsblende.

In Abb. 4.89 und 4.90 wirkt die Linsenfassung als Offnungsblende. Bei optischen Systemen, die fiir endliche objektseitige Schnittweite verwendet werden, ist es aus theoretischen Griinden oft zweckmiiBiger, statt des objektseitigen Offnungswinkels die numerische Apemu A (lies Alpha) anzugeben. Diese ist definiert durch A = n sinu.

(4.245)

Der Faktor n ist die Brechzahl des Stoffes, der sich vor dem optischen System befindet.


26 8

Austrittspupille. In Abb. 4.91 w d e gegeniiber Abb. 4.89 zusatzlich eine Blende vor der Linse angebracht. Wir sprechen von einer Vorderblende. Jetzt wirkt diese als Offnungsblende, weil sie und nicht die Linsenfassung das Biindel einengt. 8,

HH'

Abb. 4.91 Offnungsblende als Vorderblende. 88,

Reelle Austrittspupille

Dieses SymWir bilden die Offnungsblende paraxial durch die Linse ab und erhalten 6,. bol bedeutet: durch Abbilden nach rechts entstandenes Bild der Blende B, . Das Symbol steht unterhalb des Blendenbildes, weil es einem umgekehrten Bild zugeordnet ist. Da B, und zueinander konjugiert sind, verlauft das Bundel so, als befinde sich an der Stelle von 6,eine wirkliche Blende.

m,

I

Das bildseitige Bild der Offnungsblende OB ist die Austrittspupille AP.

Die KeMtniS von Ort und GroSe der Austrittspupille reicht bei bekanntem Bildort aus, um die Begrenzung des Lichtbiindels im Bildraum zu bestimmen. +

88,

8,

B, H H '

c

cu

Abb. 4.92 Offnungsblende als Vorderblende. GBE

Virtuelle Austrittspupille

Abb. 4.92 unterscheidet sich von Abb. 4.91 dadurch, daR die Offnungsblende niiher an die Linse herangeriickt ist. Sie befindet sich innerhalb der Brennweite der Linse, so daB ihr Bild, die Austrittspupille, links der Linse liegt und virtuell ist. Dadurch gehen bildseitig die Randstrahlen nicht durch den Rand der Austrittspupille, sie scheinen von ihm herzukommen. (Die Strahlenverlbgerungen gehen durch den Pupillenrand.) Die Aquivalenz von Offnungsblende und Austrittspupille druckt sich darin aus, daB die Austrittspupille den bildseitigen Offnungswinkel 2u' festlegt. Damit ergibt sich eine zweite Moglichkeit, die Austrittspupille zu definieren. Die Austrittspupille AP ist das bildseitige Blendenbild, das bei einer im Endlichen liegenden Bildebene von deren Achsenpunkt aus unter dem kleinsten Winkel erscheint, bei einer im Unendlichen liegenden Bildebene das Blendenbild mit dem kleinsten Durchmesser. (Hinterblenden sind wie bildseitige Blendenbilder zu behandeln.) Diese Definition ist besonders fiir das Aufsuchen der Austrittspupille bei unbekannter Lage der Offnungsblende niitzlich.

4.2 Biindelbegrenzende optische Funktionselemente

269

Eintrittspupille. In Abb. 4.91 ilndert sich an der Biindelbegrenzung nichts, wenn die Blende ausgetauscht werden (Abb. 4.93). Es liegt dann eine Hinterblende vor. B1 und ihr Bild Diese wirkt in Abb. 4.93 als Offnungsblende, weil sie den bildseitigen Offnungswinkel 2u' bestimmt.

m,

Abb. 4.93 Offnungsblende als Hinterblende. Reelle Eintrittspupille

Die Kenntnis des objektseitigen Blendenbildes E, geniigt, um im Objektraum die Begrenzung des Biindels festlegen zu konnen. Ohne diese KeMtniS miilken wir das gesamte Bundel verfolgen, das die Linsenfassung hindurchltitlt. Die Blende B2 schneidet dann den in der Abb. 4.93 nicht getonten Anteil weg, so dal3 die nicht getonten Riinder des objektseitigen Bundels nicht an der Abbildung beteiligt sind.

I

Das objektseitige Bild der Offnungsblende OB ist die Eintrittspupille EP.

Weiter gilt also:

I

Eintrittspupille, Offnungsblende und Austrittspupille sind zueinander konjugiert.

8, HH'

8,

c

BB,

c

'\I

Abb. 4.94 Offnungsblende als Hinterblende.

,

GBE

Virtuelle Eintrittspupille

Auch die Blende B2 in Abb. 4.94 stellt eine Hinterblende dar. Sie begrenzt das Bundel stiirker als die Linsenfassung und ist deshalb die Offnungsblende. Im Unterschied zu Abb. 4.93 ist in Abb. 4.94 die Eintrittspupille ein virtuelles Bild der Offnungsblende. Die objektseitigen Randstrahlen zielen demnach auf die Eintrittspupille hin und gehen nicht wirklich hindurch. Zur Bestimmung der Eintrittspupille bei unbekannter Lage der Offnungsblende ist folgende Definition anwendbar: Die Eintrittspupille EP ist das objektseitige Blendenbild, das bei einer im Endlichen liegenden Objektebene von deren Achsenpunkt aus unter dem kleinsten Winkel erscheint, bei einer im Unendlichen liegenden Objektebene das Blendenbild mit dem kleinsten Durchmesser. (Vorderblenden sind wie objektseitige Blendenbilder zu behandeln.)

Als MaBzahl der objektseitigen Begrenzung der Offnung verwenden wir bei unendlich fernem

270


Objekt die Offnungs- oder Blendenzahl k. Diese ist definiert durch 21

k = J (2h ist der Durchmesser der Eintrittspupille). 2h Der Kehrwert der Offnungszahl 1st die relative Offnung oder das Offnungsverhaltnis

(4.246)

2h (4.247) = Abb. 4.95 sol1 noch einmal demonstrieren, daJ3 es vom Objektort abhhgt, welche Blende als Offnungsblende wirkt. In Abb. 4.9Sa ist die objektseitige Schnittweite unendlich. Die Blende B, hat einen kleineren Durchmesser als die Blende B, , so da8 sie Offnungsblende (Vorderblende) und Eintrittspupille ist. Das Bild G, stellt die Austrittspupille dar; es erscheint vom Achsenpunkt des Bildes aus unter einem kleineren Winkel als die Blende B,. In Abb. 4.95b ist der Grenzfall dargestellt. B, und B, werden vom Achsenpunkt des Objekts aus unter dem gleichen Winkel gesehen. Wir haben zwei Eintrittspupillen, Offnungsblenden und Austrittspupillen. Die Blende B, und das Blendenbild sind die Austrittspupillen. In Abb. 4.9% scNieRlich ist die Blende B, Offnungsblende, Eintrittspupille und Austrittspupille. (Den geringen Unterschied zwischen der Linsenfassung und ihrem Bild konnen wir in allen Fiillen vernachliissigen, weil die Fassung sehr nahe bei der Hauptebene H steht.)

7'

el

84

Objektebene

81

8, HH'

8, H H ' ,

,,

Abb. 4.95 Abhhgigkeit der

Offnungsblende von der Objekt-

Bestimmung der Offnungsblende. Der Algorithmus, mit dem die Begrenzung der Offnung in einem beliebigen zentrierten optischen System untersucht werden kann, l%t sich in einem FluSbild darstellen (Tab. 4.24). Folgende Bezeichnungen und Begriffe sind zu erlautern: Bevorzugter Zwischenbildraum. Eine optische Abbildung ist im allgemeinen zusammengesetzt, d. h,das Objekt wird nacheinander von mehreren Funktionselementen abgebildet. Das Bild, das vom ersten abbildenden Funktionselement erzeugt wird, also das erste Zwischen-

4.2 Bundelbegrenzende optische Funktionselemente

27 1

bild, ist das Objekt fiir das zweite abbildende Funlctionselement usw. Jeder Teilabbildung sind ein Objekt- und ein Bildraum zugeordnet. Shtliche Objekt- und Bildraume iiberdecken sich volls~dig. In einer optischen Abbildung aus n Einzelabbildungen sind die Bildraume 1 bis n-1 Zwischenbildriiume. Die Begrenzung der Offnung kann in jedem Zwischenbildraum untersucht werden. S h t l i che Blenden sind in den ausgewiihlten Zwischenbildraum abzubilden. In diesem 1st die Definition der Austrittspupille anzuwenden, womit die Austrittspupille fiir den Systemteil gefunden wird, der als Ganzes das ausgewiihlte Zwischenbild erzeugt. Der Aufwand zur Abbildung der Blenden ist am geringsten, wenn der Zwischenbildraum ausgewiihlt wird, in dem die meisten Blenden stehen. Diese sind ja dann direkt wie zwischenbildseitige Blendenbilder zu behandeln. In diesem Sinne formulieren wir:

I

Ein bevorzugter Zwischenbildraum enthiilt mehr Blenden als die iibrigen Bildrjdume des optischen Systems.

Blenden und Blendenbilder. Die Teilabbildung k ist mit dem Index k gekennzeichnet. Die Blenden tragen den Index v . So bedeutet BkBy: Bild der Blende v im Zwischenbildraum der Teilabbildung k. Grundsatzlich fiihrt der in Tab. 4.24 dargestellte Zweig iiber die Blendenbilder im Objektoder Bildraum stets zum Ziel. Der Aufwand kann jedoch grofier sein als iiber die Blendenbilder in einem Zwischenbildraum. Abb. 4.96 zeigt ein optisches System aus zwei Linsen. In Abb. 4 . 9 6 ~wurde der geringe Unterschied zwischen B, und dem davon durch die Linse 1 erzeugten Bild vernachlbsigt. Dasselbe gilt fiir B, und das durch die Linse 2 davon erzeugte Bild. c

Abb. 4.% Offnungsbegrenzung bei zwei Linsen. Bestimmung der Offnungsblende a) Ausgangsschema, b) Bestimmung uber die Blendenbilder im Objektraum bzw.

im Bildraum, c) Bestimmung im Zwischenbildraum

272


Tabelle 4.24 Schema zur Bestimmung der Offnungsblende

I

Zwischenbildraum?

Bilde sslmtliche Blenden in den bevorzugten Zwischenbildraum ab!

Suche das Blendenbild, das vom Achsenpunkt des Zwischenbildes aus unter dem kleinsten Winkel erscheint! B,B, := AP,

Suche das Blendenbild mit dem kleinsten Durchmesser ! B,B, := AP,

nein Die Blende, die AP, zugeordnet ist, ist die Offnungsblende.

Ap, ist die Offnungsblende

B, := OB

AP, : = OB

I

Bilde die Offnungsblende bildseitig ab! objektseitig

Bij,:= AP t

BB,:= EP I

213


nein

Bilde Wtliche Blenden Objektraum ab! in den Bildraum

I

I nein Suche das Blendenbild, das vom Achsenpunkt des ObJektes aus unter dem Bildes kleinsten Winkel erscheint! BB,:=EP, AP

Suche das Blendenbild mit dem kleinsten Durchmesser! BB,:=EP

a,:= I

1st die

I

I

I

I

I

I

EP Vorderblende?

nein Die Blende, die dem Blendenbild zugeordnet is4 ist die Offnungsblende.

I

B, := i)B I

Bilde die Offnungsblende bildseitig ab! objektseitig

a":= AP

=,:= EP

I

I

I

i

Vorderblende ist die Die Hinterblende i)ffnungsblende. EP := b B AP:= OB 1

1

274 4.2.2

4 Abbildende optische Funktionselemente Scharfe Feldbegrenzung

Die Offnungsblende begrenzt das Strahlenbundel, &as von einem Achsenpunkt ausgeht. Fiir Strahlenbundel, die in auI3erhalb der optischen Achse liegenden Objektpunkten konvergieren, haben wir die Blendenwirkung noch zu untersuchen. Die von auDeraxialen Punkten ausgestrahlten Lichtbundel werden nicht nur von der Offnungsblende begrenzt, sondern auch noch durch andere Blenden des optischen Systems. Einmal kann die Offnung des Bundels, das von einem auseraxialen Punkt ausgeht, zusatzlich e i n g e s c h r w werden, zum anderen wird der Ausschnitt der Objektebene begrenzt, dessen Objektpunkte abgebildet werden. Es wird also im allgemeinen durch Blenden, die keine Offnungsblenden sind, die Leuchtdichte- bzw. Beleuchtungsstiirkeverteilungim Bild zusatzlich beeinfluat und der abgebildete Teil der Objektebene, das Objektfeld, festgelegt. Die mit der Feldbegrenzung verbundenen Begriffe und Definitionen erlautern wir an ausgesuchten Beispielen. Abb. 4.97 enthiilt eine Linse und eine in der Objektebene angebrachte Blende B1. Der Rand von B, erscheint vom Mittelpunkt der Eintrittspupille aus unter einem kleineren Winkel als die Linsenfassung B3. Die freie Flache der Blende B, stellt den Teil der Objektebene dar, der abgebildet wird. Die Blende B, begrenzt also den Durchmesser 2y des Objektfeldes und damit auch den Durchmesser 2y’ des Bildfeldes.

Abb. 4.97

Feldblende in der Objektebene

Die Begrenzung des Feldes kann auch durch die Angabe des Winkels 2w, unter dem das Objektfeld vom Achsenpunkt der Eintrittspupille aus erscheint, oder des Winkels 2w‘, unter dem das Bildfeld vom Achsenpunkt der Austrittspupille aus erscheint, ausgedriickt werden. Es gelten folgende Definitionen: I

objektseitige Feldwinkel 2w, kurz Objektwinkel genannt, ist der Winkel, unter bildseitige Feldwinkel 2w’, kurz Bildwinkel Eintrittspupille dem das ObJektfeld vom Achsenpunkt der aus erscheint. Bildfeld Austrittspupille Der Durchmesser eines im Endlichen liegenden Objektfeldes 2y ist die Feldzahl. (Die Feldzahl wird im allgemeinen in Millimeter gemessen.) Die Blende, die bei einer im Endlichen liegenden Eintrittspupille den Objektwinkel 2w, bei einer im Unendlichen liegenden Eintrittspupille die Feldzahl festlegt, ist die Feldblende FB . Der

275

4.2 Biindelbewenzende optische Funktionselemente ~

m,

In Abb. 4.97 ist auch das bildseitige Bild der Feldblende eingetragen. Die Kenntnis dieses Blendenbildes erlaubt die Beurteilung der Feldbegrenzung im Bildraum. Die Feldblende und ihr Bild sind fiir die Feldbegrenzung gleichwertig.

I

Das bildseitige Bild der Feldblende FB ist die Austrittsluke AL.

Abb. 4.98 unterscheidet sich von Abb. 4.97 nur dadurch, daO die feldbegrenzende Blende in der Bildebene liegt. An den Verhtiltnissen 3ndert sich dadurch nichts. Das objektseitige Bild der Feldblende &, gestattet die Beurteilung der Feldbegrenzung im Objektraum.

I

Das objektseitige Bild der Feldblende FB ist die Eintrittsluke EL.

In Abb. 4.97 ist die Feldblende wegen ihrer Lage im Objektraum zugleich Eintrittsluke, in Abb. 4.98 ist sie wegen ihrer Lage im Bildraum zugleich Austrittsluke.

Abb. 4.98 Feldblende in der Bildebene

In Abb. 4.99 steht die Offnungsblende in der bildseitigen Brennebene der Linse, so d d sich die Eintrittspupille im Unendlichen befindet. In diesem Fall kann objektseitig nur die Feldzahl. nicht der Objektwinkel angegeben werden. Abb. 4.100 enthat den h2ufig auftretenden Fall des unendlich fernen Objekts, dessen Feldgr6Se objektseitig nur durch den Objektwinkel festgelegt ist. Die Definitionen der Luken lassen sich auch folgendermden angeben:

I

I I

Eintrittspupille EintrittslukeEL ist bei einer im Endlichen liegenden das AL Austritts pupille Austrittsluke Die objektseitige Blendenbild, das von deren Achsenpunkt aus unter dem kleinsten Winbildseitige Eintrittspupille objektseitige kel erscheint, bei einer im Unendlichen liegenden das Austrittspupille bildseitige Vorderblenden sind wie objektseitige Blendenbild mit dem kleinsten Durchmesser. ( Hinterblenden bildseitige Blendenbilder zu behandeln.)

In den bisherigen Beispielen ist das Bildfeld scharf begrenzt, d. k,an seinem Rand springt die Leuchtdichte von einem endlichen Wert auf 0, weil die Eintrittsluke mit der Objektebene zusammefllt. AuBerdem geht das gesamte von einem Punkt des Objektfeldes, also auch von dessen Randpunkten, kommende und durch die Eintrittspupille ausgeblendete Bundel auch durch die Linse. Sibntliche Punkte des Objektfeldes werden mit Lichtbundeln, die die Eintrittspupille vollst3ndig ausfillen, abgebildet; es wird kein Teil der Bundel durch weitere Blenden abgeschnitten.

276


Das Objekt- und das Bildfeld sind scharf begrenzt, wenn die Feldblende in der Objektebene oder in einer zur Objektebene konjugierten Ebene steht.

I

Der Strahl, der von einem Objektpunkt aus durch die Mitte der Eintrittspupille geht, spielt eine besondere Rolle als Bezugsstrahl. Er wird deshalb Hauptstrahl genannt. 82

HH’

h

N

-

EP im Unendlichen

Abb. 4.99 Feldblende in der Objektebene, Eintrittspupilleim Unendlichen 8, H H ’ R,=FP

8,= F0

G ~ E t

Z,=AP

Oblekt und EL im Unendlicheii

Abb. 4.100 Feldblende in der Brennebene, Objekt im Unendlichen

In den bisher dargestellten Faillen sind die Hauptstrahlen Symmetriestrahlen der abbildenden Bundel. Der Begriff “Symmetriestrahl” wird hier in dem Sinne verwendet, daR dieser Strahl durch den Schwerpunkt der FlPche geht, die den Schnitt des Bundels mit einer achssenkrechten Ebene darstellt. Die Hauptstrahlen zu den beiden in einer Ebene liegenden Randpunkten des Feldes schlieBen objektseitig den Objektwinkel 2w, bildseitig den Bildwinkel 2w‘ ein. Der Strahl, der von einem Objektpunkt aus objektseitig durch die Mitte der Eintrittspupille, bildseitig durch die Mitte der Austrittspupille geht, wird Hauptstrahl genannt. Bei scharfer Feldbegrenzung ohne Abschattung ist der Hauptstrahl Symmetriestrahl des abbildenden Bundels.

4.2.3

Randabschattung

Abschattung durch Abschattblenden. Das optische System in Abb. 4. lOla unterscheidet sich von demjenigen der Abb. 4.97 in der GroRe der Feldblende, die zugleich Eintrittsluke ist. Durch das vergroSerte Objekffeld wird fiir einen Teil der Objektpunkte die Linsenfassung B, zusatzlich zur Offnungsblende bundelbegrenzend wirksam. Der innere Bereich der Objektebene wird mit voller Eintrittspupille abgebildet (in Abb. 4.101a durch die strichpunktierten Strecken begrenzt).


277

B e den Objektpunkten dieses Bereichs zugeordneten Hauptstrahlen sind Symmetriestrahlen der abbildenden Bundel. Die Punkte des ringf6rmigen auSeren Bereichs werden nicht mit der vollen Eintrittspupille abgebildet, weil die Linsenfassung B, einen Teil des einen Punkt abbildenden Bundels wegschneidet. Fiir einen Randpunkt des Objektfeldes in der Abb. 4. lOla ist das der nichtgetonte und durch eine unterbrochene Linie begrenzte Teil des Bundels. Die perspektivische Darstellung (Abb. 4.101b) 1 s t erkennen, dal3 das Bundel in der Eintrittspupille ein Kreiszweieck ausfiillt.

Abb. 4.101a Randabschattung durch die Linsenfassung

Abb. 4.101b Perspektivische Darstellung zu Abb. 4. lOla

Eine Blende, die weder Offnungs- noch Feldblende ist und die trotzdem in das abbildende Bundel hineinragt, stellt eine Abschattblende AE3 dar. Sie erzeugt Randabschattung oder kiinstliche Vignettierung. Die Bilder von Abschattblenden werden Abschattluken ASL genannt. Bei Randabschattung sinkt die Leuchtdichte in der ringf6rmigen AuBenzone des Bildfeldes nach dem Rande zu staker als ohne Randabschattung, aber stetig ab. Liegt die Eintrittsluke in der Objektebene wie in der Abb. 4. lola, dann bleibt eine scharfe Begrenzung des Bildfeldes erhalten. Die Leuchtdichte springt am Feldrand von einem endlichen Wert auf 0. Die Randstrahlen eines abgeschatteten Bundels liegen nicht symmetrisch zum Hauptstrahl, sondern zu dem durch den Schwerpunkt des Kreiszweiecks gehenden Schwerstrahl. Abschattung durch die Feldblende. In Abb. 4.102a fallen Objektebene und Feldblende, die zugleich Eintrittsluke ist, nicht zusammen. Die perspektivische Darstellung (Abb. 4.102b)

278


zeigt besonders, dal3 hier auch ohne Abschattblende, also bereits durch die Feldblende, Randabschattung auftritt. Im Unterschied zur Randabschattung durch Abschattblenden gliedern sich die Objekt- und die Bildebene in drei Bereiche. Der innere Bereich wird mit voller Eintrittspupille abgebildet, die Hauptstrahlen sind Schwerstrahlen. Fiir den Rand dieses Bereichs ist in Abb. 4.102a das abbildende Bundel unterbrochen begrenzt. Im Bild des ringfonnigen mittleren Bereichs sinkt die Leuchtdichte stiirker ab als ohne Abschattung. Die Hauptstrahlen sind in den abbildenden Bundeln enthalten, aber nicht mehr mit den Schwerstrahlen identisch. Fiir den aderen Rand dieses Bereichs ist in Abb. 4 . 1 0 2 ~das abbildende Bundel eingetragen. Es fullt in meridionaler Richtung nur noch die halbe Eintrittspupille aus. Der innere und der mittlere Bereich stellen das Objektfeld dar, denn nur sie werden vom Objektwinkel 2w erfal3t. Im Bild der auJ3eren Ringzone sinkt die Leuchtdichte stetig auf 0 ab. Fiir keinen Punkt dieser Zone existiert der Hauptsuahl. Die Grenze des aul3eren Bereichs ist in Abb. 4.102a strichpunktiert gezeichnet.

I

Liegt die Feldblende nicht in der Objektebene oder in einer zur Objektebene konjugierten Ebene, dann sind Objekt- und Bildfeld nicht scharf begrenzt. Objektwinkel2w Das ObJektfeld ist definitionsgemU3durch den festgelegt und zeigt Bildfeld Bildwinkel 2w' Randabschattung durch die Feldblende. Aderhalb des Objektfeldes besteht eine Ringzone, deren Punkte noch abgebildet werden, fiir die aber im Bildfeld die Leuchtdichte nach dem Rand zu stetig auf 0 zuriickgeht.

Abschattblenden, die in Abb. 4.102a bis 4 . 1 0 2 ~vermieden sind, wiirden eine weitere Randabschattung bewirken.

Abb. 4.102a Randabschattung durch die Feldblende

Abb. 4.102b Perspektivische Darstellung zu Abb. 4.102a


279

B3

Abb. 4.102~ Randabschattung durch die Feldblende (schematisch)

Bestimmung der Feldblende. Das FluRbild zum Algorithmus “Bestimmung der Feldbegrenzung” ist in Tab. 4.25 enthalten. Sollten die Eintrittspupille, die Austrittspupille oder die Offnungsblende nicht bekannt sein, d m muR erst das “Unterprogramm” Bestimmung der Offnungsblende (Tab. 4.25) abgearbeitet werden. In das Schnittbild des optischen Systems sollten noch der Hauptstrahl und die Randstrahlen eingezeichnet werden. Auf diese Weise ist auch die eventuell vorliegende Randabschattung zu erkennen. Abb. 4.103 zeigt dasselbe optische System aus zwei Linsen wie Abb. 4.96. Es ist eine Blende hinzugefiigt worden. -

Unkdlichen

Abb. 4.103 Bestimmung der Feldblende im zweilinsigen optischen System, a) Ausgangsschema, b) Bestimmung von der Ein- bzw. Austrittspupille aus, c) Bestimmung von der Offnungsblende aus

280


Tabelle 4.25 Schema zur Bestimmung der Feldblende

EPp r bekann t?

ja I

L

I nein

14 I

Zwischenbildraum?

-

Bestimmung der OB

objektseitigen bildseitigen Blendenbilder bekannt? Bilde slimtliche Blenden in Objektraum den ab! Bildraum

J

I]

I ja

Sind die

I

- 1

I

1 nein Suche das Blendenbild, das vom Achsenpunkt EP der - aus unter dem kleinsten Winkel erscheint!

Suche das Blendenbild mit dem kleinsten Durchmesser!

AP BB, := EL

BB, := EL

mv:=AL

a,:= AL I

1st die

EL Vorderblende?

ja

AL Hinterblende?

I nein

I

EL Die Blende, die der - zugeordnet ist,

I ist die Feldblende. B, := FB

AL

I

bildseitig Bilde die Feldblende objektseitig ab!

a”:= AL a,:= EL

I

I

Die ‘Orderblende ist die Feldblende. Hinterblende EL:= FB

I I AL:=FB

I

28 1


Sind die Blendenbilder im bevorzugten Zwischenbildraum

ja

Bilde s;imtliche Blenden in den bevonugten Zwischenbildraum ab ! t

Suche das Blendenbild mit dem kleinsten Durchmesser!

Suche das Blendenbild, das vom Achsenpunkt der APk aus unter dem kleinsten Winkel erscheint!

I I

B,B,:= AL,

1 1st die AL materielle Blende? nein

J

ja

I

Die Blende, die der A L k zugeordnet ist, ist die Feldblende. B, := FF3

Bilde die Feldblende

m,:= AL

m,:= EL

bildseitig ab! objektseitig

BkBv:= AL,

1

I

II II

ALk ist die Feldblende.

A L k : = FB

282


Vergleich rnit Festlegungen irn Standard. Die in 4.2 verwendeten Definitionen weichen von denen ab, die in der DIN 1335 fiir die Begrenzung des Feldes vorgegeben werden. Wir nennen in Tab. 4.26 stichpunktartig die Unterschiede. Der wesentliche Unterschied zwischen den Festlegungen in der DIN 1335 und den in 4.2 verwendeten besteht also in der Definition der Feldblende. Wir sind jedoch der Meinung, die Definition sollte so ausgelegt sein, dal3 in jedem optischen System eine Feldblende enthalten ist. Die Feldbegrenzung ist immer vorhanden, es ist deshalb unbefriedigend, wenn diese nicht durch eine Feldblende, sondern durch eine Abschattblende bewirkt werden soll. AuRerdem unterscheiden sich die Randabschattungen durch eine Abschattblende (keine Abschattung uber den Hauptstrahl hinaus) und durch die Feldblende (Abschattung bis uber den Hauptstrahl hinaus). Nach der Definition in DIN 1335 hat z. B. das hollihdische Fernrohr keine Feldblende eine Darstellungsweise, die wir fiir unbefriedigend halten. Tabelle 4.26 Unterschiede zwischen DIN 1335 und Abschnitt 4.2 DIN 1335

Abschnitt 4.2

Unter einer Feldblende wird eine Blende nur dann verstanden, wenn sie scharfe Feldbegrenzung hervormft. Die Feldblende mu8 demnach in der Objektebene oder in einer dazu konjugierten Ebene stehen. Objektebene steht, Eine Feldblende, die in der Bildebene Objektfeldblende genannt. wird Bildfeldblende Die Bilder der Feldblende heisen Sichtfelder.

Als Feldblende wird jede Blende aufgefdt, die das abgebildete Objektfeld begrenzt, auch wenn sie zugleich abschattend wirkt. Die Feldblende kann beliebige Lage haben. Die Begriffe “Objektfeldblende” und “Bildfeldblende” werden nicht verwendet.

Die Bilder der Feldblende werden Luken genannt. ~

Objektraum Das Bild der Feldblende im wird Bildraum Eintrittsfeld (Objektfeld) genannt, Austrittsfeld (Bildfeld)

Die Feldzahl wird auch f i b Bild- und Zwischenbildfelder definiert.

Objektraum Das Bild der Feldblende im Bildraum Eintrittsluke heiBt Austrittsluke ‘ Objektfeld ist der vom Objektwinkel Das Bildfeld Bildwinkel Objektebene festgelegte Teil der Bildebene Die Feldzahl wird nur fiir Objektfelder definiert.

Objekt- und Bildwinkel werden nur bei unendlich femem Objekt- bzw. Bildfeld definiert.

Objekt- und Bildwinkel werden unabhugig von Objekt- und Bildlage angegeben.

Zu den Abschattblenden wird auch die feldbegrenzende Blende gezalt, wenn diese zugleich Randabschattung hervormft.

Abschattblenden sind alle Blenden, die Randabschattung hervormfen, a u k r der Offnungs- und der Feldblende.

Luken sind nur die paraxialen Bilder der Abschattblenden.

Bilder der Feldblende heiBen auch Luken. Die Bilder der Abschattblenden werden Abschattluken genannt.

~

~~

4.2 Biindelbenrenzende oDtische Funktionselemente _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ~

4.2.4

283

Begrenzung des Zerstreuungskreises

Sehwinkel und Perspektive. Wir beschreiben die Verhdtnisse beim Betrachten von Gegensthden, die in der Tiefe gestaffelt sind, oder von riiumlichen Strukturen. Wir nehmen an, daO mit einem ruhenden Auge beobachtet wird. Von den einzelnen Objektpunkten gehen Strahlenbundel aus. Der von einem Objektpunkt aus durch die Mitte der Eintrittspupille des Auges verlaufende Lichtstrahl, also der Hauptstrahl fiir direkte Beobachtung, heist Sehstrahl.

I

Der Winkel w, zwischen den 2uReren Sehstrahlen eines Gegenstandes oder eines seiner Strukturelemente ist der Sehwinkel.

Die GroRe des Netzhautbildes ist im wesentlichen vom Sehwinkel des zugeordneten Gegenstandes abhfingig. Es gilt also:

I

Gegenstiinde, die unter dem gleichen Sehwinkel gesehen werden, erscheinen dem Auge gleich groR.

Der Sehwinkel w, ist ein Ma13 fiir die scheinbare GrtiRe eines Gegenstandes. Es ist jedoch rechnerisch gunstiger, mit dem Tangens des Sehwinkels zu arbeiten. Da die Sehwinkel meistem klein sind. ist praktisch kein Unterschied zwischen dem Sehwinkel und seinem Tangens zu bemerken. Wir definieren deshalb:

I

Die scheinbare GroRe eines Gegenstands oder eines Strukturelements ist der Tangens seines Sehwinkels, also der Ausdruck tan w,.

Messen wir die Sehweite p , von der Eintrittspupille des Auges aus. dann gilt nach Abb. 4.104 tan w, = - -.Y

(4.248)

PS

-P S

Abb. 4.104 Sehweite, Sehwinkel

Bei der Betrachtung riiumlicher Strulcturen haben wir einen perspektivischen Eindruck. Dieser hsingt von den GroRenverhdtnissen hintereinander liegender Strukturelemente ab. Wir koMm den Objekten eine Perspektive zuordnen, die folgendermden zu definieren ist:

I

Die Perspektive eines Gegenstands bzw. einer Struktur ist seine beim einaugigen Sehen vorhandene rtiumliche Erscheinungsform, die durch die Verhiiltnisse der scheinbaren GroRen hintereinander liegender Strukturelemente bestimmt wird.

Die Perspektive einer StruMur h b g t also vom Verhdtnis der Sehwinkel ab, deren Scheitel im Schnittpunkt shtlicher Sehstrahlen liegen. Dieser hat demnach fiir die Beurteilung der Perspektive eine besondere Bedeutung.

I

Der Schnittpunkt der Sehstrahlen ist das Perspektivitatszentrum.

284


Beim direkten Sehen mit einern ruhenden Auge ist die Mitte der Augenpupille das Perspektivitatszentm. Beim Blicken mit bewegtem Auge tritt der Augendrehpunkt an die Stelle der Eintrittspupille. Optische Systeme koMen durch Abbilden das Perspektivitatszentm verlagem. Es gibt hinsichtlich der Lage des Perspektivitatszentms relativ zu Auge und Gegenstand drei Moglichkeiten. - Bei der entozentrischen Perspektive liegt das Perspektivitatszentrum in Lichtrichtung gesehen hinter dem Gegenstand. Die dem Auge abgewandten Strecken des Gegenstandes erscheinen bei gleicher L h g e unter kleineren Sehwinkeln als die n3heren (Abb. 4.105). Die entozentrische Perspekbve tritt beim direkten Sehen und beim Fernrohr auf (Abb. 4.106). - Bei der telezentrischen Perspektive liegt das Perspektivitatszentrum im Unendlichen. Siimtliche Strecken erscheinen gleich lang. Die telezentrische Perspektive kommt beim Mikroskop mit objektseitig telezentrischem Strahlengang vor (Abb. 4.107 und 4.108).

Abb. 4.105 Entozentrische Perspektive

H-HA, (-0bJekt

Augenpupille

IrnUnendlichen

Abb. 4.106 Entozentrische Perspektive beim Fernroh

j :=pEf

r

Abb. 4.107 Telezenmsche Perspekuve H=H& PersDeMivitatszentrum irn Unendlichen I

Abb. 4.108 Telezentrische Perspektive beim Mikroskop

H-HA,

I

Augenpupille


285

- Bei der hyperzenu-ischen Perspektive liegt das ZenUum in Lichtrichtung gesehen vor dem Gegenstand. Der perspektivische Eindruck ist ungewohnt, weil die weiter entfernten Strecken unter groseren Sehwinkeln erscheinen als die n&eren (Abb. 4.109). Hyperzentrische Perspektive kann bei der Beobachtung mit der Lupe auftreten (Abb. 4.1 10).

Abb. 4.109 Hyperzentrische Perspektive Augenpupille

Perspektivitatszentrum Abb. 4.110 Hyperzentrische Perspektive bei der Lupe

BildauRang und perspektivische Darstellung. Zentrierte optische Systeme bilden paraxial ein achssenkrechtes Flachenelement in ein achssenkrechtes Flachenelement ab. Das Bild kann virtuell sein, so dal3 es nicht auf einer Flache auffangbar ist. Ein reelles Bild entsteht zuniichst als Struktur aus Strahlschnittpunkten im Raum und wird dann Luftbild genannt. Sowohl ein virtuelles Bild wie auch ein Luftbild ist direkt mit dem Auge beobachtbar. Als Auffangflache dient dann die gewolbte Netzhaut. Diese Faille kommen in den subjektiven optischen Instrumenten vor, zu denen das Mikroskop und das Fernrohr gehliren. Bei objektiven optischen Instrumenten, wie z. B. bei Foto- und Projektionsobjektiven. wird das reelle Bild auf einer Flache aufgefangen. Die Form der Auffangflache hiingt vom jeweiligen optischen System und von der Aufgabenstellung ab. Bei bestimmten Astrokameras ist die Auffangflkhe, in die der Film gebracht werden m a , eine Kugelflache. Bei manchen Rontgenschirmbildkameraswerden torische Auffangflachen verwendet. In vielen Fdlen wird das Bild auf einer ebenen Flache aufgefangen. Bei der fotografischen Bildaufnahme ist dadurch eine einfache und genaue Filmfiihmng mdglich.

I

Eine ebene Auffangflache nennen wir Filmebene oder Mattscheibenebene. Die ihr paraxial zugeordnete Objektebene ist die Einstellebene.

Da wir die Verhdtnisse im paraxialen Gebiet bzw. bei einer kollinearen Abbildung betrachten, gilt, das Strukturen, die in der Einstellebene liegen, punktformig in die Auffangebene abgebildet werden. Von Strukturen, die sich vor oder hinter der Einstellebene befinden, entsteht beim Fehlen von Randabschattung in der Einstellebene und in der Auffangebeneeine Struktur aus Zerstreuungskreisen, deren Durchmesser von der GrMe der Eintrittspupille des Systems abhiingt.


286

Abb. 4.111 Zur Schiirfen- und Abbildungstiefe

In Abb. 4.11 1 ist diese Tatsache fiir einen Punkt A vor der Einstellebene veranschaulicht. Das vom Punkt A ausgesendete Strahlenbundel, dessen Offnungswinkel durch die Eintrittspupille festgelegt wird, durchsetzt die Einstellebene EE in einer Zerstreuungsfigur. Diese ist beim Fehlen von Randabschattung kreisformig, sonst ein Kreiszweieck oder -meheck. Die GroBe der Zerstreuungsfigur hiingt vom Durchmesser der Eintrittspupille wesentlich ab. Bildseitig erzeugt das Strahlenbundel in der Filmebene FE eine Zerstreuungsfigur, die der objektseitigen konjugiert ist. Allgemein gilt: Die Gesamtheit der von siimtlichen Punkten des Objektraumes ausgehenden Strahlenbundel ergibt in der Einstellebene die objektseitige Projektionsfigur. Diese ist die Summe der Projektionen der Eintrittspupille von den Raumpunkten aus. Die objektseitige Projektionsfigur wird in die ihr paraxial zugeordnete bildseitige abgebildet. Diese liegt in der Filmebene. Eine Zerstreuungsfigur in der Filmebene wird nicht aufgelost, wenn sie eine bestimmte, dem speziellen Empfiinger zugeordnete GroSe nicht iiberschreitet. Sie erscheint dann dem Empfhger als Punkt. Am deutlichsten erkennen wir diesen Umstand am Beispiel der Netzhaut. Die Struktur der Netzhaut IUt die Auflosung zweier Punkte, die einen kleineren Winkelabstand als eine Minute haben, nicht zu. Folglich sehen wir einen Zerstreuungskreis, dessen Rginder weniger als eine Minute Winkelabstand haben, als Punkt. In 250 mm Entfernung entspricht einer Minute ein Durchmesser von 0,07 mm. In 3hnlicher Weise haben auch fotografische Schichten und lichtelektrische Empfhger ein begrenztes Auflosungsvermogen. Die Anordnung aus Zerstreuungsfiguren, die in der Filmebene von aderhalb der Einstellebene liegenden Strukturen entsteht, erscheint demnach als System von Bildpunkten, wenn die einzelnen Zerstreuungsfiguren nicht aufgelost werden. DardUS folgt: Durch die Begrenzung der Offnung, durch die auch die Grofie der Zerstreuungsfiguren begrenzt ist, und durch das endliche Auflosungsvermogen der Empfanger ist es moglich, nicht nur von der Einstellebene, sondern auch von gewissen Raumbereichen vor und hinter ihr eine perspektivische Darstellung in der Filmebene zu erhalten. Die Offnungsblende hat eine Tiefenwirkung fiir die Abbildung. Die perspektivische Darstellung 1 s t sich folgendermaI3en definieren: Die perspektivische Darstellung ist die Uberlagerung der nichtaufgelosten Zerstreuungsfiguren, die in der Filmebene von Punkten eines vor und hinter der Einstellebene liegenden Bereiches des Objektraums erzeugt werden. Die perspektivische Darstellung stellt die in die Ebene projizierten Verhdtnisse der scheinbaren GroBen von hintereinander liegenden Strukturelementen dar.

287


(Der gesamte Bildeinclruck wird in gewissem Umfang auch von aufgelosten Zerstreuungsfigu-

ren beeinflat.) Abbildungs- und Scharfentiefe. Im Bildraum wird der Bereich, dessen Projektionsfigur in der Filmebene scharf erscheint, durch den Feldkegel und zwei achssenkrechte Ebenen begrenzt. Abb. 4.112 enthat die Groaen, die bei der folgenden Rechnung auftreten werden. Die Entfernung b; und b: der beiden Ebenen von der Filmebene werden durch den maximal zulaissigen Zerstreuungskreisdurchmesser 2p’ bestimmt; b; erkliiren wir als linke, 6: als rechte Abbildungstiefe. Die Summe b’ = b: (- b;) ist die gesamte Abbildungstiefe. Die Abstiinde b, und br der objektseitig zugeordneten Ebenen von der Einstellebene sind die linke bzw. rechte Schiirfentiefe. Die Bezeichnungen “links” und “rechts” bilden wir im Objektraum. Damit gilt:

+

Die Abbildungstiefe ist der achsparallele Abstand der beiden Ebenen im Bildraum, deren Punkte mit dem maximal zulbsigen Zerstreuungskreisdurchmesser in die Filmebene projiziert werden. Die Schiirfentiefe ist der zur Abbildungstiefe konjugierte Bereich des Objektraumes. Wir berechnen die Schwentiefenbereiche anhand der Abb. 4.112. Nach dem Strahlensatz gilt (4.249) FE I

Abb. 4.112 Zur Berecbnung der Schtirfentiefe

Aufltisen nach bl bzw. b, ergibt

P , br = bl = -PP -1 P

--.

P -P+P 1

P

Statt pp fiihren wir Blendenzahl k durch PP

=

f’ 2k

und statt p den bildseitigen Zerstreuungskreisradius

P’ = IP’lP

(4.250)

288


ein. Wir erhalten bl =

br = -

?*

~-

2kp’

*.

(4.25 1)

2kp’

Wir koMen auch die numerische Apertur A = pp/lpI venvenden, womit 61 =

P , b,=P IPIAIP’I -1 IPlAIP’I +1

P’

P’ entsteht. Fur IpAP’/p’I

(4.252)

S

1 ist (4.253)

Die G1. (4.250), (4.252) und (4.253) spiegeln den EinfluR der EintrittspupillengroBe auf die Schirfentiefenbereiche wider. Es kommt darin der anschauliche Sachverhalt zum Ausdruck, da13 die Schiirfentiefe mit kleiner werdendem Durchmesser der Eintrittspupille wachst. Die Diskussion der Gleichung khren wir an dieser Stelle nicht im einzelnen durch, weil dies besser bei der Behandlung der optischen Instrumente erfolgt. Abb. 4.1 13 demonstriert die Abh’dngigkeit der Schiirfentiefe von der Blendenzahl bei einer fotografischen Aufnahme.

Abb. 4.113a

Abb. 4.113b Abb. 4.113 Abhiingigkeit der Schsentiefe von der Blendenzahl a) GroBe, b) kleine Blendenzahl

4.2 Biindelbegrenzende optische Funktionselemente

289

Perspektivischer Eindruck. Wir legen ein optisches System zugrunde. durch das die Einstellebene in die Filmebene abgebildet wird. Nach den bisher erlauterten Verhdtnissen bei der Abbildung von r'dumlichen Smkturen entsteht in der Filmebene eine perspektivische Darstellung. Die Eintrittspupille des optischen Systems veruin beim Bildauffang die Augenpupille und stellt das Perspektivitatszenmm dar. Die perspektivische Darstellung kann direkt oder durch eine Lupe vergroOert auf einer Manscheibe betrachtet werden (z. B. bei Plattenkameras oder im Sucher einer Spiegelreflexkamera). Auch bei der Fixierung auf einer fotogrdischen Schicht wird eine NachvergroRerung haufig angewendet.

I

Der Betrachter projiziert subjektiv die perspektivische Darstellung aufgrund seiner Erfahrung in den Raum und hat einen perspektivischen Eindruck.

Ein natiirlicher perspektivischer Eindruck kann nur dann entstehen, wenn d;is Perspektivitatszenmm des optischen Systems mit dem Perspektivitiitszenmm identisch ist, das der Beobachter beim direkten Betrachten des Objekts w m e n wiirde. AuUerdem mussen siimtliche Sehwinkel w, beim direkten Sehen des Objekts und beim Betrachten der perspektivischen Darstellung w,' gleich sein. Der perspektivische Eindruck h> demnach vom Wen des Quotienten y: = tanw;/tanw, ab. Es gilt: > 1: tiefenverkiirzter perspektivischer Eindruck,

1

y; = 1: tiefenrichtiger (natiirlicher) perspektivischer Eindruck, < I: tiefenverlhgener perspektivischer Eindruck , Zur Berechnung von y: setzen wir vordus, daB die Perspektivitatszentren bei der Aufnahme der Darstellung und beim direkten Sehen keine Htihen- und Seitenverschiebung haben. Eine ungleiche Entfernung vom Objekt lassen wir zu. Die urspriingliche Darstellung sei um den Faktor v niichvergrol3ert. Bei direkter Betrachtung des Objekts ist (Abb. 4.1 14) tanw, =

--.Y

(4.254)

P*

Das auf vy' nachvergrtikrte Bild wird aus der Sehweite p: betrachtet. Analog zu Abb. 4.104 ist (4.255)

Augenpupille beirn

Abb. 4.1 14 Zur Berechnung des Sehwinkelverh%ltnisses

290


Division von G1. (4.255) durch G1. (4.254) ergibt tan w: - y’p,v tanw, yp;

(4.256) ’

Weiter gilt (Abb. 4.114) -ps = -a+a,+Ap

(4.257)

und nach G1. (4.56)

Einsetzen in GI. (4.257) fiihrt auf

(;/---

ps = f’

;;j-AP.

Wir verwenden p’= y’/y und erhalten aus Cil. (4.256)

(4.258) Bei A p = 0 (zusammenfallende Perspektivitatszentren) betragt also die Betrachtungsentfernung mit natiirlichem perspektivischen Eindruck wegen 7: = 1 (4.259)

ps’ = vf’(l-$).

Die Gleichungen (4.258) und (4.259) sind besonders bei der fotografischen Aufnahme anzuwenden. Hier soll nur ein einfaches Beispiel angegeben werden. Beispiel. Eine Fernaufnahme ( a = --) auf Kleinbildformat (24 mm x 36 mm) mit einem Objektiv der BreMWeite f’=50mm soll so nachvergrofiert werden, da13 sie aus p,’ = -375 mm Sehweite einen natiirlichen perspektivischen Eindruck vermittelt.

&sung. Bei u =

p’=

--

wird

0

und nach G1.(4.259)

Das Bildformat mu13 18 ern x 24 ern betrdgen. Die Abb. 4.115a, b, c sollen die drei Arten von perspektivischen Eindriicken vermitteln. Sie sind auf 24 ern x 36 ern aufgenommen und so nachvergroflert, dalj sie aus der Sehweite p: = -400 mm betrachtet werden mussen.

29 1


Abb. 4.115a

Abb. 4.115b

Abb. 4.115 Sehwinkel beim Betrachten der nachvergrtikrten Aufnahme (Brennweite von oben nach unten wachsend): a) tiefenverlthgert, b) richtig, c) verkiirzt

292


Telezentrischer Strahlenverlauf. Bei der kollinearen Abbildung ohne Randabschattung ist das abbildende Biindel symmetrisch zum Hauptstrahl. In der Gaul3schen Bildebene wird der Bildpunkt durch den DurchstoRpunkt des Hauptstrahls reprkentiert. In jeder anderen achssenkrechten Auffangebene ergibt sich statt des Bildpunktes ein Zerstreuungskreis, dessen Mittelpunkt der DurchstoDpunkt des Hauptstrahls ist (Abb. 4.116). Die paraxiale BildgroDe

EP

Abb. 4.116 Zur Berechnung des AbbildungsmaBstabes fiir eine Auffangebene

y;, in einer um b’ aus der GauRschen Bildebene verschobenen Auffangebene ist also durch den Abstand des Hauptstrahl-DurchstoDpunktesvon der optischen Achse gegeben. (Durch den Querstrich wird darauf hingewiesen, daB TLb’.nicht zu y konjugiert ist.) Wir definieren den AbbildungsmaBstab fix die Auffangebene durch (4.260) In einem optischen System ohne Randabschattung ist die paraxiale BildgroRe in einer Auffangebene nur von der DurchstoBhohe des Hauptstrahls abhiingig. In Auffangebenen, die parallel zur GauDschen Bildebene liegen, entstehen Zerstreuungskreise um die DurchstoRpunkte der Hauptstrahlen. Werden die Zerstreuungskreise vom E m p f ~ g e rnicht aufgelost, dann erscheint das Bild in der Auffangebene punktfiinnig, und der AbbildungsmaBstab BLT,’. ist unabhiingig von Verschiebungen der Auffangebene, wenn die DurchstoRhohen der Hauptstrahlen erhalten bleiben. Wir leiten nun den Zusammenhang zwischen dem AbbildungsmaBstab s,’,und der Enffernung zp der Eintrittspupille vom objektseitigen Brennpunkt des optischen Systems ab. Nach Abb. 4.116 ist (4.261 a) (4.261b)

also -

FLb’.tan w’

p b , = -.p

tanw

(4.262)

4.2 Biindelbeuenzendeovtische Funktionselemente

293

Nach Tab. 4.6 gilt fiir das Winkelverhiibis der Pupillenabbildung

’ tanw’ y p = - tanw =-

ZP

f’

-

f

-

z;

(4.263)

und nach Abb. 4.116

p = z-zp.

(4.264)

Mit GI. (4.263)und G1. (4.264) geht G1. (4.262)uber in (4.265) ZP

Wir verbinden die Auffangebene fest mit dem optischen System, so daB

& = const ist. Die Entfernung z des Objekts variieren wir, wobei auch p’ variiert. Fiir p‘ = & fdlt die Auffangebene mit der GauRschen Bildebene zusammen. Es gilt

ZP

Bei einer hderung des Abstandes zwischen Objekt und Eintrittspupille riickt das Bild aus der GauDschen Bildebene heraus, und es gilt im allgemeinen

Nur m

zp =

O0

gilt unabhiingig von z -

Pb,

=

-7

(zp =

m).

(4.266)

Die Eintrittspupille liegt dann im Unendlichen. Die Hauptstrahlen verlaufen objektseitig achsparallel, was als objektseitig telezentrischer Strahlenverlauf bezeichnet wird (Abb. 4.117). Analoge Verhiiltnisse liegen bei bildseitig telezenuischem Strahlenverlauf vor (Abb. 4.118). ObJektseitig telezentrischer Strahlenverlaufliegt vor, wenn bildseitig die Bildseitig Eintrittspupille EP . Austrittspupille in cler bildseitigen im Unendlichen, also die Ausuittspupille AP Einuittspupille objektseitigen Brennebene des optischen Systems liegt.

294

I

I

I


Der paraxiale AbbildungsmaRstab

p:,

fest mit dem optischen System

fiu eine

ist beim Fehlen von Randabschattung unabhtingig von

verbundene Objektebene

ObJektweite. Das Bild besteht aus Zerstreuungskreisen, in dessen Mittelpunkten Bildweite die DurchstoSpunkte der Hauptstrahlen liegen

Aus G1. (4.262) erhalten wir mit G1. (4.263) und dungsmaRstab

= FL,-zi (Abb. 4.116) fiir den Abbil-

p:,

(4.267) Mit p = const ergibt sich bei bildseitigem telezentrischen Strahlenverlauf

fib'' = - f-

(4.268)

H

H'

Abb. 4.117 Objekwitig telezentrischer Strahlenverlauf

EP

H

H'

Auffangebene

I

Abb. 4.1 18 Bildseitig telezentrischer Suahlenverlauf

Objektseitig telezentrischer Strahlenverlauf ist bei MeSmikroskopen wichtig, bei denen eine Teilung (Okularmikrometer) in der Auffangebene angebracht ist, die vor der Messung mit einer Teilung in der Objektebene (Objektmikrometer) kalibriert wird. Jede Abweichung der La-


295

ge des auszumessenden Objekts von der Ebene. fUr die kalibriert wurde, wiirde einen MeBfehler verursachen, wenn nicht objektseitig telezentrischer Strahlenverlauf eingehalten wiirde.

4.2.5

Begrenzung des Lichtstroms

Begrenzung des Lichtstroms fur achsnahe Flachenelemente. Ein ideales zentriertes optisches System bildet einen Ausschnitt der achssenkrechten Einstellebene in einen Ausschnitt der GauSschen Bildebene ab. Wir greifen zunachst ein symmetrisch zur optischen Ache liegendes Flachenelement h e m s und untersuchen den Verlauf des Lichtstroms durch das optische System. (Die folgenden Ableitungen gelten bis auf die Einheiten und die Zahlenwertgleichungen sowohl fiir die lichttechnischen wie auch fiu die strahlungsphysikalischen GrtiBen. Wir beschriinken die Ausfiihrungen auf die lichttechnischen GrijSen, weil dafiir teilweise Besonderheiten in den Einheiten zu beachten sind.) Das Flachenelement dq der Objektebene habe die Leuchtdichte L. Es sei ein LambertStrahler mit der LichtsWke d l = dl, cos 29 (Abb. 4.119). Nach G1. (3.33) strahlt das Flachenelement in ein Raumwinkelelementden Lichtstrom

dz@ = dlocos29dR.

(4.269)

In Polarkoordinaten gilt

ds2 = Rosin29d29dq. Objektseitig begrenzt die Eintrittspupille den Offnungswinkel 2u und damit den vom optischen System erfaten Lichtstrom. Dieser ergibt sich aus G1. (4.269) durch Integration Uber den Raumwinkel: Zr

u

d@ = d I o . R o~ d q ~ s i n 6 c o s 8 d 2 9 . 0

(4.270)

0

Die Integration ergibt d@ = dl, . R, nsin’u, so da13 wir mit dl, = Ldq fUr den vom Flkhenelement dq ausgehenden und vom optischen System aufgenommenen Lichtstrom d o = nRoLsin2u.dq

(4.271)

erhalten. EP

H

H’ ohne Immersion .-

m i t homogener Immersion

Zur Berechnung des Lichtstroms durch ein optisches System

Abb. 4.119

Brechung des Lichtes an der Frontlinse

Abb. 4.120

296


Grenzt an die Vorderflache des optischen Systems ein Stoff mit von Luft verschiedener Brechzahl an, dann werden die vom Objekt ausgehenden Lichtstrahlen gebrochen (Abb. 4.120). Das optische System mit dem Offnungswinkel 2u e r f a t den Lichtstrom, den das Objelct in den Winkel 2U strahlt. Wegen des Brechungsgesetzes gilt sinii = nsinu. Die obere Grenze von 29 im Integral (4.270) ist der Winkel U , sonst bleibt die Rechnung dieselbe. G1. (4.271) geht uber in d@ = x R o L n 2sin2udq

(4.272)

bzw. mit der numerischen Apertur A = n sinu d@ = nRoLA2dq, [d@] = lm = sr.sb.cm2.

(4.273)

(Einigen Beziehungen fiigen wir ein Einheitenbeispiel bei.) Der optische Flu13 betriigt demnach dG = xRoA2dq.

(4.274)

Abgesehen von Verlusten im optischen System mu13 wegen des Energieerhaltungssatzes der Lichtstrom objektund bildseitig gleich sein: d@ = do’.

(4.275)

Wir wiederholen d e Ableitung bis zur G1. (4.272) mit den bildseitigen GroBen und erhalten d0‘ = x RoL’nf2sin2u’ dq’.

(4.276)

L’ ist die Leuchtdichte, die im Luftbild vorhanden ist. Nach G1. (4.275) gilt L n2 sin2udq = L’ nr2sin2u’ dq’.

(4.277)

Die Leuchtdichten sind im Objekt und im Bild gleich, d. k,es is1 L = L‘,

(4.278)

n2 sin2u dq = nr2sin2u’ dq’

(4.279)

wenn

gilt. Bei quadratischen Flachenelementen koMen wir dq = (dy)2, dq’ = (dy’)’ setzen. Gleichung (4.279) geht dann in n sinu dy = n’sinu’dy’

(4.280)

uber. Fiir kleine Objekt- und Bildhohen schreiben wir dafiir nysinu = n’y’sinu’.

(4.281)


297

Das ist die Abbesche Sinusbedingung, die in einem optischen System erfiillt sein m a , wenn bei der punktformigen Abbildung eines Achsenpunktes gleichzeitig ein achssenkrechtes Flachenelement in ein achssenkrechtes Fliichenelement transfonniert werden soll. In einem optischen System, bei dem die Sinusbedingung erfiillt ist, bleibt die Leuchtdichte in zueinander konjugierten achsnahen Flachenelementen konstant. (Von Verlusten, z. B. durch Absorption, Reflexion und Streuung, muD abgesehen werden.)

1

Bei n = n’ ist nach G1. (4.281) y sinu = y’ sinu’. Die Punkte, fiir die y = y’ (p’ = 1) ist, also die Hauptpunkte, fallen wegen u = u’ rnit den Knotenpunkten zusammen. Der bildseitige Verlauf stimtlicher von einem Achsenpunkt ausgehenden Lichtstrahlen wird richtig wiedergegeben, wenn sie an den Hauptkugeln geknickt werden (Abb. 4.121). Zum Beweis bilden wir

Es ist also a sinu = a’sinu’ und ysinu = y’ sinu’. Die Pupillenflachen mussen gems der Ableitung des Lichtstroms ebenfalls als Kugelfl8chen angenommen werden (in Abb. 4.119 bereits beriicksichtigt).

Abb. 4.121 Abbildung mit Hilfe der Hauptkugeln

Die Beleuchtungsstiirke in der GauRschen Ebene folgt aus E = & dq‘

’

Wegen d@’ = d@ und

ergibt sich aus G1. (4.273) (4.282)

298


Wir nehmen fiir die weitere Rechnung die Gultigkeit der Sinusbedingung G1. (4.281) fiir den Fall n = 1 an. Nach Abb. 4.119 ist PP

smu =-.

(4.283a)

a-up

Nach GI. (4.56)gilt a =

f'(8-1)

'[iP 1

und up = f 7-1

also

,

(4.283b) Einsetzen von G1. (4.283)in GI. (4.282)ergibt

(4.284)

Statt pp m e n wir die Blendenzahl k = - f'

2PP ein und erhalten

(4.285)

Sol1 E in Lux herauskommen, wenn L in Stilb eingesetzt wird, dann mussen wir Gl. (4.285) in eine Zahlenwertgleichung umwandeln. Sie lautet 1047cR,L/sb E/lx =

2'

(4.286)

4kz(1-g) Unter Verwendung von lo47c asb = 1sb gilt

E/lx =

.R, Llasb 2 '

(4.287)

4k2[1-$) Begrenzung des Lichtstroms fur aufieraxiale Flachenelemente. Das lichtaussendende Flachenelement der Objektebene dq, befinde sich auRerhalb der optischen Achse des zentrierten optischen Systems. Wir berechnen den Lichtstrom, der durch das Flachenelement dq, der


299

Eintrittspupille aufgenommen wird, durch dessen Mittelpunkt die optische Achse geht (Abb. 4.122). Im fotometrischen Enffernungsgesetz G143.52) L E, cos E~ dq,dq, dz@ = -fiocos tZ

ist E,

=

E~

P = w und r = -

cos w

zu setzen. Damit erhalten wir d2@= 7 L fio C O S w ~ dq, dq,.

(4.288) P Das kreisformige Flachenelement dq, der Eintrittspupille habe den Radius dp, und erscheine vom Achsenpunkt des Objekts aus unter dem Winkel du . Sein Flacheninhalt ergibt sich zu dq, = x(dp,)’ = x p 2 ( ~ ) z .

(4.289)

Aus G1. (4.288) folgt mit G1. (4.289) d2@ = x R o L ( d u ) 2 d q l ~ s 4 w .

(4.290)

Abb. 4.122 Zur Berechnung des Lichtstroms von aukraxialen Fliichenelementen

Im Bereich kleiner Offnungswinkel, fiir die der Winkel durch den Sinus des Winkels ersetzbar ist, 1Mt sich fiir G1. (4.290) d@ = ~ R ~ L s i n ~ u d q , c o s ~ w

(4.291)

schreiben. Mit dq, = dq,”P” und d@’= d@ gilt fiir die Beleuchtungsst2rkein der GauSschen Bildebene x 0, Lsin2u E = COs4w. (4.292)

P’,

Wir setzen (4.293) und schreiben G1. (4.292) um in E, = E,COS~W. Fiir Eo kOMen wir shtliche dafiir abgeleiteten Beziehungen einsetzen.

(4.294)

4 Abbildende oDtische Funktionselemente

300

Bei der Abbildung auDeraxialer Flachenelemente der Objektebene, die als LambertStrahler betrachtet werden kann, nimmt die Beleuchtungsstiirke in der GauSschen Bildebene mit der vierten Potenz des Kosinus des halben Feldwinkels ab. Der optische Flub betragt dG = R SZ, sin2u cos4wdq, . (4.295) Die Ableitung bringt deutlich zum Ausdruck, daR G1. (4.294) strenggenommen nur eine Naherungsformel darstellt. Sie gilt insbesondere nur bei kleinen Offnungswinkeln (Objekt im Endlichen) bzw. groljen Blendenzahlen (Objekt im Unendlichen). Allgemein muB festgestellt werden, daR eine hohe Genduigkeit der Rechnung nicht angestrebt zu werden braucht. Einflusse, die bei der Ableitung unberiicksichtigt bleiben miissen (z. B. Randabschattung, Reflexions- und Absorptionsverluste, EinfluS von Abbildungsfeldern bei der Objekt- und Offnungsblenden-Abbildung), bringen ohnehin quantitative Abweichungen von den qualitativ richtigen Ergebnissen mit sich.

I

4.3 Abbildungsfehler 4.3.1

Klassifikation der Abbildungsfehler

Wir beschmgen uns nochmals mit der optischen Abbildung. Zunachst wiederholen wir die bisher behandelten Gesichtspunkte. Die ideale geometrisch-optische Abbildung ordnet jedem Punkt des Objektraumes umkehrbar eindeutig einen Bildpunkt zu und transformiert geometrische Figuren in W i c h e Figuren. Eine punktformige Abbildung liegt vor, wenn homozentrische Bundel in homozentrische Bundel ubergefiihrt werden. Die ideale geometrisch-optische Abbildung ist nur mit ebenen Oberflachenspiegeln weitgehend anzuniihern. Die wichtigsten geometrisch-optisch abbildenden Funktionselemente, die zentrierten spharischen Spiegel und Linsen, bilden im allgemeinen nicht punktformig und m l i c h ab. Asphiirische Spiegel und Linsen koMm so berechnet werden, daR sie einen Achsenpunkt mit weitgeoffneten Bundeln in einen Achsenpunkt abbilden. Allgemein l a t sich in einem optischen System durch asphiirische Flachen die Anniiherung an die ideale geometrischoptische Abbildung verbessern. Asphiirische Flachen werden jedoch aus okonomischen und technologischen Griinden oft vermieden. In der Praxis geniigt es, eine geometrisch-optische Abbildung anzustreben, bei der nur Punkte eines begrenzten Teils des Objektraumes in ausreichend kleine Zerstreuungsfiguren abzubilden sind. Im paraxialen Gebiet, d. h mit flach und achsnahe verlaufenden Lichtstrahlen, bilden Zentrierte optische Systeme mit monochromatischem Licht punktformig und m i c h ab. Abbildungsfehler. Mit Strahlen, die auBerhalb des paraxialen Gebiets verlaufen, also bei der Abbildung von ausgedehnten Objektfeldern mit weitgeoffneten Bundeln, ergeben sich im all-

4.3 Abbildungsfehler

301

gemeinen Abweichungen von der punktfodgen iihnlichen Abbildung. Bereits im paraxialen Gebiet, aber auch im auDeraxialen Gebiet, entstehen bei brechenden Flachen Abweichungen von der idealen geometrisch-optischen Abbildung, wenn mit polychromatischem Licht gearbeitet wird. Die Abweichungen von der idealen geometrisch-optischen Abbildung werden Abbildungsfehler oder Aberrationen genannt. Die Abbildungsfehler, die bei der Abbildung mit monochromatischem Licht auftreten. werden geometrische Fehler genannt. Die Abbildungsfehler, die durch die Dispersion der optischen Werkstoffe entstehen, werden Farbfehler oder chromatischeFehler genannt.

Strahlaberrationen.Die durch die Abbildungsfehler hervorgerufenen Abweichungen mussen quantitativ erfast werden. Im Rahmen der geometrischen Optik konnen dazu nur GroBen dienen, die in Verbindung mit dem Verlauf der Lichtstrahlen stehen. Im allgemeinen verwendet man die Abweichungen der Strahlkoordinaten von den Koordinaten eines Bezugsstrahls und erhiilt so die Strahlaberrationen. Wir unterscheiden zwei Gruppen von Strahlaberrationen: die Querabweichungen und die Liingsabweichungen. Die Querabweichungen sind die in einer achssenkrechten Ebene gemessenen Abweichungen der Strahl-Durchstoflkoordinaten2’. if von den Koordinaten eines Bezugsstrahls x’ , y‘ . Bei der Anwendung von kartesischen Koordinaten legen wir die Meridionalebene in die y-zEbene. Wir erhalten dann (Abb. 4.123) Ax’ = 2 - x ’ die sagittale Querabweichung Ay’ = j ’ - y ’ . und die meridionale Querabweichung Als Auffangebene wird oftmals die GauBsche Bildebene angenommen, als Bezugskoordinaten werden bevorzugt die Koordinaten des GauDschen Bildpunldes verwendet. Die Liingsabweichungen von Strahlschnittpunkten werden entweder von einem auf dem Bezugsstrahl liegenden Bezugspunkt oder von einer achssenkrechten Bezugsebene - z. B. der Gaufischen Bildebene - aus gemessen (Abb. 4.124).

.Y’t

Abb. 4.123 Sagittale und meridionale

Abb. 4.124 LAngsabweichungenim

Querabweichung

Meridionalschnitt


302

Fur die Abbildung von Achsenpunkten ist die optische Achse der Bezugsstrahl. In diesem Fall wird die Schnittweitenabweichung angegeben. Diese lautet also

As’ =

;I--’.

Im allgemeinen wird fiir s’ die paraxiale Schnittweite eingesetzt. Die Abweichungen hangen von den Systemparametern und von den unabhiingigen Strahlkoordinaten ah. Die graphischen Darstellungen der Abweichungen als Funktionen der unabhangigen Strahlkoordinaten werden Korrektionsdarstellungen genannt. Offnungsfehler oder spharische Aberration. Bei der Abbildung von Punkten der optischen Achse mit weit geoffneten Bundeln hiingt die bildseitige Schnittweite der Strahlen vom objektseitigen Schnittwinkel 6 bzw. von der Einfallshohe h ab (Abb. 4.125). Damit verbunden sind die sphiirische Lhgsabweichung As‘ und die sphiirische Querabweichung Ay’. Das bildseitige Strahlenbundel liegt symmetrisch zur optischen Achse. Fur die Abbildung von Achsenpunkten ist der Offnungsfehler der einzige geometrische Fehler.

Abb. 4.126 Meridionale Koma bei einer brechenden Flache

Abb. 4.125 Offnungsfehler

bei einer Sammellinse

Koma oder Asymmetriefehler. Bei der Abbildung von auoeraxialen Punkten mit weit geoffneten Bundeln uberlagert sich dem Offnungsfehler die Koma. Als Bezugsstrahl fiir die Abbildung aufleraxialer Punkte dient meistens der Hauptstrahl. Die Koma Puflert sich in bildseitig unsymmettlsch zum Hauptstrahl liegenden Strahlenbundeln. Zwei objektseitig symmetrisch zum Hauptstrahl verlaufende Meridionalstrahlen haben bildseitig ungleiche Liingsabweichungen AL’ (Abb. 4.126). Ein beliebiger Komastrahl hat in der GauSschen Bildebene eine meridionale und eine sagittale Querabweichung. Astigmatismus oder Zweischalenfehler. In Analogie zur Abbildung von Achsenpunkten mit ParaxialstrahJen koMen bei der Abbildung von aaeraxialen Punkten hauptstrahlnahe Strahlen untersucht werden. Da jedoch die Flachen des optischen Systems im allgemeinen nicht rotationssymmetrisch zum Hauptstrahl liegen, ist im allgemeinen bildseitig auch keine Kota-

Abb. 4.127

b)

0

-0 I 0

a) Astigmatismus bei einer Sammellinse, b) Bundelquerschnitt in verschiedenen Ebenen


303

tionssymmetrie im hauptstrahlnahen Bundel vorhanden. Die beiden ausgezeichneten Buschel, das meridionale und das sagittale Buschel, haben deshalb unterschiedliche bildseitige Schnittpunkte auf dem Hauptstrahl (Abb. 4.127). Bei der Abbildung von aderaxialen Punkten mit hauptstrahlnahen Bundeln wird einem Objektpunkt durch das meridionale Buschel ein meridionaler und durch das sagittale Buschel ein sagittaler Bildort zugeordnet. Die damit verbundene Abweichung von der Punktformigkeit wird Astigmatismus genannt. Bildfeldwolbung. Sowohl der meridionale als auch der sagittale Bildort fallen im allgemeinen nicht mit dem DurchstoDpunkt des Hauptstrahls in der GauRschen Bildebene zusammen. Die Abweichungen iindern sich mit der Hauptstrahlneigung. Die Folge davon ist, daB eine in der Meridionalebene liegende gerade Strecke durch die meridionalen und durch die sagittalen hauptstrahlnahen Buschel in je eine gekriimmte Strecke abgebildet werden. Einem ebenen Objekt werden zwei gekriimmte Bildflachen zugeordnet (Abb. 4.128). Das Vorliegen von gekriimmten Bildschalen wird Bildfeldwijlbung, das Auseinanderfallen der meridionalen und der sagittalen Bildschale Astigmatismus genannt.

Abb. 4.128 Bildschalen an einer Sammellinse

Abb. 4.129 Bild eines Quadrats bei kissenfiirmiger Veaeichnung

Verzeichnung. Bei der Abbildung aderaxialer Punkte fdlt der DurchstoSpunkt des Hauptstrahls in der GauSschen Bildebene nicht mit dem GauRschen Bildpunkt zusammen. Betrachten wir den DurchstoSpunkt des Hauptstrahls als den aderaxialen Bildort, d a m weicht die BildgrMe von der paraxial berechneten Bildgrofje ab (Abb. 4.129). Die Abweichung ist von der Hauptstrahlneigung abhiingig, so daD dadurch die h i c h k e i t zwischen Bild und Objekt beeintrachtigt wird. Der damit verbundene Abbildungsfehler heifit Verzeichnung . Farblangsfehler. Die paraxiale Schnittweite eines Systems aus brechenden Flachen hiingt von der Brechzahl und damit von der Wellenl&ge ab. Die paraxiale Schnittweitenabweichung von der Schnittweite fiir eine Bezugsfarbe kennzeichnet den Farbliingsfehler (Abb. 4.130).

H IH'

Abb. 4.130 Farblllngsfehler bei einer G

$22

i

dunnen Sammellinse

304


Farbfehler des Hauptstrahls. Auch die Schnittweite des Hauptstrahls hiingt von der Wellenl u g e ab. Die Folge davon ist eine h d e r u n g der paraxial berechneten BildgroDe mit der Wellenliinge. Es tritt der Farbfehler des Hauptstrahls auf (Abb. 4.131).

Abb. 4.131 Farbfehler des Hauptstrahls bei einer dunnen Sammellinse mit Vorderblende

Fdrbige Variationen der geometrischen Abbildungsfehler. Bei Strahlenbundeln mit endlichen Offnungen und bei endlichen Feldern treten siimtliche Abbildungsfehler auf. Wird auRerdem mit polychromatischem Licht abgebildet, dann hiingen die Abweichungen von der Wellenliinge ab. Es ergeben sich die farbigen Variationen der geometrischen Abbildungsfehler. Abbildungsfehler dritter Ordnung. Fiir ein vorgegebenes optisches System sind die Querabweichungen in der GauRschen Bildebene Funktionen der StrahldurchstoSkoordinatenin der Objekt- und Eintrittspupillenebene. Die ObjektgroDe hiingt mit dem Objektwinkel 2w, die PupillengroDe mit dem Offnungswinkel 2u zusammen. Eine Reihenentwicklung der Querabweichungen nach Potenzen des Objekt- und des Offnungswinkels ergibt, daO die erste Niiherung aus Summanden besteht, die die Faktoren urnW" mit rn + n = 3 enthalten. In erster Niiherung gilt also

AyT =

urnw"B,,,,,. m+n=3

Tab. 4.27 enthHt &e den einzelnen Summanden zugeordneten Abbildungsfehler, die in dieser Niiherung Abbildungsfehler dritter Ordnung genannt werden. Der Gultigkeitsbereich der Reihenentwicklung bis zur dritten Ordnung ist das Seidelsche Gebiet. Tabelle 4.27 Abbildungsfehler dntter Ordnung

Offnungsfehler Koma Astigmatismus Bildfeldwolbung Verzeichnung

m

n

Koeffizient

3 2

0

B30

1

B2,

1

2 2 3

B12

1 0

g2 &I3

4.3Abbildungsfehler

305

Die vom Offnungswinkel 2u abhhgigen Fehler - Offnungsfehler, Koma, Astigmatismus und Bildfeldwolbung - m e n zu Zerstreuungsfiguren in der GauRschen Bildebene. Die Verzeichnung hat keinen EinfluR auf die GroRe der Zerstreuungsfigur, sie verschiebt den Bildort innerhalb der Gadschen Bildebene. Der Tab. 4.27 ist zu entnehmen: Der Offnungsfehler und die Koma treten bereits bei der Abbildung kleiner Objekte mit weit geoffneten Bundeln stark in Erscheinung. Bei der Abbildung groRer Fehler mit sehr engen Biindeln storen besonders die Verzeichnung, der Astigmatismus und die Bildfeldwolbung.

k

Abb. 4.132 Sphwsche Abweichungen beim Hohlspiegel

Als ein spezielles Beispiel fiir die Reihenentwicklung des Offnungsfehlers w w e n wir einen sphiirischen Hohlspiegel mit unendlicher Objektweite (Abb. 4.132). Die sphiirische Liingsabweichung betrPgt r

1

(4.296)

Durch Reihenentwicklung folgt daraus (4.297)

Irn Seidelschen Gebiet gilt angen&ert fiir s = - m Ay' = AS .-,2h r

(4.298)

so daR die Querabweichung durch Offnungsfehler dritter Ordnung (4.299)

betragt. Die Korrektionsdarstellung As'

f

306


mit den exakten Werten und nach Abbrechen der Reihe (4.297) mit verschiedenen Summanden ist in Abb. 4.133 enthalten. Abb. 4.134 demonstriert den relativen Fehler der Schnittweitendifferenz dritter Ordnung in Abhiingigkeit von h / r .

0

O,25

0,SO

_&’ f

Abb. 4.133 Zur Gultigkeit der Reihenentwicklung der sph&ischen Liingsabweichung

4.3.2

Abb. 4.134 Relativer Fehler fiir den Offnungsfehler dritter Ordnung

Abbildungsfehler im paraxialen Gebiet

Farblangsfehler. Im paraxialen Gebiet ist die Abbildung mit monochromatischem Licht punktf6rmig und W i c h . Die Punkte der Objektebene werden in Punkte der Gadschen Bildebene abgebildet. Fiir eine brechende Rotationsflache betragt die Entfernung der GauBschen Bildebene vom Flachenscheitel nach der Abbeschen Invarianten , n‘ s = n I n’-n s r Nur in Spezialfiilllen wird mit quasimonochromatischem Licht abgebildet; im allgemeinen 1st das Licht polychromatisch. Die paraxiale Schnittweite ist dam von der Wellenlhge des Lichtes abhiingig, weil dwch die Dispersion die Brechzahlen von der Wellenlhge abhiingen. Die Gauljschen Bildebenen fir die einzelnen Wellenliingen fallen auseinander. Es gilt also: Beim Abbilden mit polychromatischem Licht ist die paraxiale Schnittweite brechender Flachen von der Wellenliinge des Lichtes abhhgig. Der dadurch entstehende Abbildungsfehler heiat Farbliingsfehler.


Samrnellinse

307

Zerstreungslinse

1

*A.-;.

Abb. 4.135 Chromatische Liingsabweichung von Linsen

Zur Darstellung des Farbliingsfehlers wird die Schnittweitendifferenzf& zwei Wellenliingen verwendet. Die Funktion A ~ S '=

s;~ - s ; ~ =

f(a) (a, < a2)

(4.300)

ist in Abb. 4.135 dargestellt. Bei der Sammellinse ist Aks' < 0 ; man spricht vom unterkomgierten Farbliingsfehler (Abb. 4.136). Bei der Zerstreuungslinse ist AAs' > 0; man spricht dann vom iiberkomgierten Farbliingsfehler (Abb. 4.137). H-H'

Abb. 4.136 Unterkomektion

bei der dunnen Sainmellinse

H-H'

Abb. 4.137 ijberkorrektion bei der dunnen Zerstreuungslinse

Dichromasiebedingung. Haufig wird die Schnittweitendifferenzauf die BreMweite des optischen Systems normiert. Der negative Kehrwert dieser GrtlDe wird iiquivalente Abbesche Zahl genannt: _1 -- --AAs' V

f'

(4.301)

*

Fiir ein optisches System aus n dUMm zusammenfallenden Linsen (d = 0 ) gilt (4.302)

G1. (4.302) wird Dichromasiebedingung genannt. (In der Literatur findet man im allgemeinen die BeneMung Achromasiebedingung.) Die Berechnung eines optischen Systems mit einem

308


groaen “aquivalenten v ” fiihrt zu einem kleinen Farbliingsfehler, weil dadurch die paraxiale Schnittweite fiir jeweils zwei Farben gleich wird (Abb. 4.138).

I

Ein optisches System, bei dem durch die Erfiillung einer Dichromasiebedingung die paraxiale Schnittweite fiir jeweils zwei Farben gleich ist, nennen wir Dichromat.

Die beim Dichromaten noch vorhandenen Schnittweitenabweichungen SuRern sich in farbigen Riindern der Bilder. Diese Restfehler des Dichromaten werden sekundkes Spektrum genannt. Bei zwei diinnen zusammenfallenden Linsen mit v = m geht G1. (4.302) iiber in (4.303) Daraus folgt, dab ein zweilinsiger Dichromat aus einer Sammellinse und einer Zerstreuungslinse bestehen r n d . Bei vorgegebener positiver Gesamtbrechkraft ist die Sammellinse diejenige aus dem Glas hoherer Abbescher Zahl. Trichromasie. Das sekundke Spektmm wird vermieden, wenn die paraxialen Schnittweiten fiir drei Farben zusammengelegt werden. Ein optisches System mit dieser Eigenschaft nennen wir einen Trichromaten. Abb. 4.139 enthdt die Korrektionsdarstellung, aus der zu erkennen

Abb. 4.138 Chromatische

Lagsabweichung eines Dichromaten

Abb. 4.139 Chromatische Lagsabweichung eines Trichromaten

Abb. 4.140 Chromatische Lagsabweichung eines Polychromaten

ist, dab beim Trichromaten zwei Dichromasiebedingungen fur aneinander angrenzende Wellenliingenbereiche zu erfiillen sind.

I

Ein optisches System, bei dem durch die Erfiillung zweier Dichromasiebedingungen die paraxiale Schnittweite ftir jeweils drei Farben gleich ist, heil3t Trichromat.

Der Aufbau eines Trichromaten aus zwei Linsen ist ungunstig. Im allgemeinen stellen Trichromate dreilinsige Systeme dar. Polychromasie. Es koMte der Eindruck entstehen, da13 das sekundke Spektrum durch schrittweises Hinzunehmen weiterer Dichromasiebedingungen stetig zu vermindern ist. Es l a t sich jedoch zeigen, dab durch die Erfiillung dreier Dichromasiebedingungen die paraxiale Schnittweite fiir eine groRere Anzahl von Farben gleich ist. Wir sprechen deshalb von einem Polychromaten. Die Korrektionsdarstellung fiir ein Beispiel zeigt Abb. 4.140. Farbfehler des Hauptstrahls. Der Farbliingsfehler auRert sich in einer Abhiingigkeit der paraxialen Schnittweite von der Wellenliinge. Dadurch liegt die GauRsche Bildebene fiir die einzelnen Farben an verschiedenen Stellen.


309

Wir wollen jetzt annehmen, daJ3 wir einen idealen Polychromaten berechnet haben, bei dem die GauRschen Bildebenen fiir alle Farben zusammenfallen. Die paraxialen Bilder der Offnungsblende liegen d a m trotzdem im allgemeinen an Stellen, die von der Wellenlhge abhibgen. Bei einer Mittelblende liegen die Achsenpunkte der Eintritts- und der Austrittspupille an verschiedenen Orten. Dadurch ist auch der Verlauf des Hauptstrahls im paraxialen Gebiet ftir die einzelnen Farben unterschiedlich (Abb. 4.141).

Abb. 4.141 Farbfehler des Hauptstrahls einer diinnen Linse mit Vorderblende

Da wir ohne Randabschattung den Durchstolipunkt des Hauptstrahls in der GauRschen Bildebene als Bildpunkt ansehen konnen, ist die BildgroBe wellenlibgenabhibgig . Diese auf Grund des Farbfehlers des Hauptstrahls vorhandene Abweichung von der idealen Abbildung heiRt deshalb auch FarbvergroRerungsfehler. Fiir den Abstand des DurchstoSpunktes des Hauptstrahls fiir eine Wellenliinge vom DurchstoRpunkt des Hauptstrahls fiir die Bezugswellenlibge wird auch der Begriff “Chromatische VergroRerungsdifferenz” (CVD) verwendet. Der Farbfehler des Hauptstrahls entsteht, weil die paraxiale Abbildung der Offnungsblende mit Farblhgsfehler behaftet ist. Die hpillenlage und damit der Hauptstrahlenverlauf hiingen von der Wellenliinge ab. Dadurch ist bei vorgegebener ObjektgroSe die paraxiale BildgroBe von der Farbe des Lichtes abhiingig. Beim gleichzeitigen Vorliegen von Farblibgsfehler muR die BildgroRe in der GauRschen Bildebene der Bezugswellenliinge gemessen werden. Folgende Hinweise sind wesentlich: - Die Einzellinse ohne zusatzliche Offnungsblende ist frei vom Farbfehler des Hauptstrahls. Dasselbe gilt praktisch fiir duMe Systeme, bei denen ein Linsenrand als Offnungsblende wirkt. - Die Einzellinse mit zusatzlicher Offnungsblende fiihrt stets Farbfehler des Hauptstrahls ein. - Ein symmetrisch zur Offnungsblende aufgebautes System hat f k den AbbildungsmaDstab p‘ = - 1 keinen Farbfehler des Hauptstrahls (Abb. 4.142).

3 Abb. 4,142 Verschwinden des Hauptsrrahlfarbfehlers

im symmetrischen optischen System

310 4.3.3


Offnungsfehler

Definition. Bei der Abbildung von Punkten der optischen Achse mit monochromatischem Licht tritt nur der Offnungsfehler auf. Fiir die Abbildung von Achsenpunkten stellt jede Ebene, die die optische Achse enthat, eine Meridionalebene dar. Zur rechnerischen Bestimmung des Offnungsfehlers sind deshalb nur Meridionalstrahlen durchzurechnen. Wir betrachten den Strahlenverlauf an einer sphihischen brechenden Flache (Abb. 4.143 und Abb. 4.144). Die bildseitige Schnittweite s*’ der Strahlen hiingt in Abb. 4.143 von der

Abb. 4.143 Offnungsfehler bei unendlicher Objektweite GBE

Abb. 4.144 Offnungsfehler bei endlicher Objektweite

Einfallshohe, in Abb. 4.144 vom objektseitigen Schnittwinkel 6 und damit ebenfalls von der Einfallshohe ab. Die Strahlen eines von einem Objektpunkt ausgehenden Bundels endlicher Offnung werden nicht in einem Punlct vereinigt. In jeder achssenkrechten Auffangebene, speziell auch in der GauBschen Bildebene, entsteht wegen der Rotationssymmetrie um die optische Achse ein Zerstreuungskreis.

l

Die Abweichung von der hnktformigkeit des Bildes, die bei der Abbildung von Achsenpunkten durch die Abhiingigkeit der bildseitigen Schnittweite von der Einfallshohe hervorgerufen wird, ist der Offnungsfehler, auch s p h ~ s c h eAberration genannt.


31 1

Das Lichtbundel schniirt sich beim Vorliegen von Offnungsfehler bildseitig nur ein, es ist nicht homozentrisch. Die Einhullende des bildseitigen Strahlenbundels, das aus den Strahlen bis zu ihrem Schnittpunkt mit der optischen Achse besteht, w&e beim offnungsfehlerfreien System ein Kegel, dessen Spitze im Gaaschen Bildpunkt lage. Allgemein gilt:

I

Die Einhullende des bildseitig einer brechenden Flache verlaufenden Strahlenbundels hei5t Kaustik. Die Spitze der Kaustik liegt bei der Abbildung von Achsenpunkten im GauSschen Bildpunkt (Abb. 4.145). GBE

Abb. 4.145 Kaustik

Darstellung. Quantitativ wird der Offnungsfehler durch die sphiirische Lgingsabweichung As’ = s^’ s’ oder die meridionale Querabweichung in der GauBschen Bildebene erfal3t (Abb. 4.143). Nach Abb. 4.143 besteht der Zusammenhang

-

A y ’ = As’tan&‘.

Bei negativer Lgingsabweichung spricht man von Unterkorrektion, bei positiver Lgingsabweichung von herkorrektion. Eine einzelne spMsche Sammellinse ist im allgemeinen unterkorrigiert, eine Zerstreuungslinseiiberkomgiert. In den Korrektionsdarstellungen des Offnungsfehlers wird die sphWsche Lbgsabweichung auf der Abszissenachse abgetragen. Als Ordinate dient bei s = --m die Einfallshohe, bei s # --m der Schnittwinkel 6 oder die numerische A p e m A = n sin&. Abb. 4.146 enthat die Darstellung der sphMschen Ltingsabweichung fiir die brechende Riiche aus Abb. 4.143. Abb. 4.147 zeigt das Schnittbild eines hinsichtlich Offnungsfehler komgierkn optischen Systems, Abb. 4.148 die dazugehorige typische Korrektionsdarstellung.

i.

-1-03 q5 1

As’

mm

mm

Abb. 4.146 Sphtirische Lglngs-

abweichung einer sph&-ischen Flache

ds’

Abb. 4.147 Tessar

Abb. 4.148 Korrektionsdarstellung

des Offnungsfehlers fiir ein Tessar

312


In einem beziiglich Offnungsfehler korrigierten optischen System gibt es im allgemeinen eine Einfallshohe ho = 0 , fir die die Schnittweite s^’ gleich der paraxialen Schnittweite ist, so daR die sphiirische Liingsabweichung As’(h,) verschwindet. Die maximale sphiirische Langsabweichung Ash( h,) wird Zonenfehler genannt (Abb. 4.148). Die sphiirische Querabweichung in der Gaulischen Bildebene Ay’ wird auf der Ordinatenachse abgetragen. Es ist vorteilhaft, als unabhiingige Variable tan ir‘ zu verwenden. Die den Abb. 4.143 und 4.146 zugeordnete Korrektionsdarstellung der Querabweichung ist in Abb. 4.149 und die den Abb. 4.147 und 4.148 zugeordnete Korrektionsdarstellung der Querabweichung in Abb. 4.150 enthalten. In einer zur Gauljschen Bildebene parallelen Auffangebene, die den Abstand b‘ von der GauDschen Bildebene hat, betragt die sphwsche Querabweichung (AY’)~,eines Lichtstrahls nach Abb. 4.15 1 (AY‘)~,= Ay’ - b’ tan ir‘.

(4.304)

Abb. 4.149 Sphiirische Querabweichung fur eine brechende Flache

In der Korrektionsdarstellung beschreibt die Kurve Ay’(tan ir‘) den Verlauf der sphiirischen Querabweichung in der GauRschen Bildebene. Der Subtrahend b’tan ir‘ h h g t linear von tan 3 ab und ergibt deshalb in der Korrektionsdarstellung eine Gerade. Es gilt also: Der Zerstreuungskreis in der Auffangebene, die die Entfernung b’ von der Gauljschen Bildebene hat, ergibt sich aus der maximalen Ordinatendifferenz zwischen der Kurve Ay’(tan 3)und der Geraden b’tan ir‘ (Abb. 4.149).

AP

Abb. 4.150 Sphiirische Querabweichung fiir ein korrigiertes System

Auffa ng GBE ebene

Abb. 4.151 Querabweichung in einer Auffangebene


313

Bestimmung von “besten Auffangebenen”. Zwei Auffangebenen sind besonders ausgezeichnet, - die Auffangebene, in der der kleinste Zerstreuungskreisentsteht, und

- die Auffangebene mit dem hellsten Bildkern. Den kleinsten Zerstreuungskreis erhalten wir in einer Auffangebene, deren Abstand b’ von der Gaul3schen Bildebene folgendermaOen bestimmt wird: In die Darstellung Ay’(tan3) zeichnen wir von allen Geraden, die durch den Ursprung gehen, diejenige ein, fiir die die maximale Ordinatendifferenz zwischen der Kurve Ay‘(tan 3) und der Geraden b’tan a betragsmaig den kleinsten Wert hat. In Abb. 4.149 ist das Verfahren fiir eine Einzelflache dargestellt. Es ist b’ = -30 mm und IAy‘lMax= 2 mm. Der Lichtstrom verteilt sich nahezu gleichmaig iiber den gesamten Zerstreuungskreis, so daS die schematische Lichtverteilung nach Abb. 4.152 entsteht. Ein kleiner heller Bildkern mit schwacher Umstrahlung, wie es in Abb. 4.153 schematisch dargestellt ist, entsteht in einer Auffangebene, in der der Hauptanteil an Strahlen in einem kleinen Bereich des gesamten Zerstreuungskreises liegt. In einem unkorrigierten optischen System kann die Lage der Geraden b’tan 2,deren Steigung den Abstand der Ebene mit dem hellsten Bildkern von der GauBschen Bildebene angibt, nur geschatzt werden. Das Ergebnis nach Abb. 4.149 lautet b‘ = -20 mm, JAy’JMax = 4 mm. Fiir ein korrigiertes optisches System legt man die Gerade b’tana parallel zu der Geraden, die die Kurve Ay’(tan&‘) zweimal tangiert. In Abb. 4.150 lesen wir b’ = -0.2 mm ab. In der Ebene des kleinsten Zerstreuungskreises sind die Gebiete wesentlicher Intensitiit im Bild eines Punktes groBer als in der Ebene des hellsten Bildkerns, aber das Streulicht ist schwacher. Deshalb ist in der Ebene des kleinsten Zerstreuungskreisesdas Auflosungsvermogen geringer, der KonUast fiir grobe Strukturen groI3er als in der Ebene des hellsten Bildkerns.

h Y‘

Abb. 4.152 Intensitiit bei kleinstem Zerstreuungskreis (schematisch)

Abb. 4.153 Intensitiit bei hellstem

Bildkern (schematisch)

Hohlspiegel. Entsprechend den Ausfiihrungen in 4.1.9 wird der unendlich ferne Achsenpunkt durch einen Parabolspiegel Offnungsfehlerfrei abgebildet. Ein im Endlichen liegender Objektpunkt wird durch einen elliptischen Spiegel in einen reellen Bildpunkt, durch einen hyperbolischen Spiegel in einen virtuellen Bildpunkt ohne Offnungsfehler abgebildet. Von einem Kugelspiegel wird nur der Scheitel in sich selbst (AbbildungsmaSstab p’ = 1) und der Kriimmungsmittelpunkt in sich selbst (AbbildungsmaSstab j3‘ = - 1) Offnungsfehlerfiei abgebildet. Brechende Flache. Eine einzelne asphsirische Rotationsflkhe l a t sich stets so bestimmen, daS sie offnungsfehlerfrei ist. (Ein Beipiel wurde in 4.1.9 angegeben.) Die sphsirische Hiiche bildet den unendlich fernen Achsenpunkt mit Offnungsfehler ab.

3 14


Im Endlichen gibt es drei Punktepaare, die sich ohne Offnungsfehler aufeinander abbilden: Es ist trivial, daI3 der Hachenscheitel fehlerfrei in sich selbst abgebildet wird.

Strahlen, die vom Kriimmungsmittelpunkt ausgehen oder auf ihn hinzielen, werden nicht gebrochen. Deshalb wird der Krummungsmittelpunkt ohne Offnungsfehler in sich abgebildet. Das dritte offnungsfehlerfreie Punktepaar finden wir, wenn wir untersuchen, fiir welche objektseitige Schnittweite die bildseitige Schnittweite s = r - r - sin E’ sin 6‘ I

unabhiingig vom Winkel ? ist. Es mu13 also -sin- E’ sin# sin E’ sein ( m= konstant). Das Brechungsgesetz -= % zeigt, da13 fiir sin& n

m =

--

n’

und - s i n 3 = sin&

die gestellte Forderung zu erfiillen ist. Der h n k t , fiir den ;=-& ist, wird also ohne Offnungsfehler in den Punkt mit der Schnittweite (4.305) s = s =r+%r *I

I

n

bzw . s = r -n+n’ n’ abgebildet. Aus der Abbildungsgleichung folgt die konjugierte objektseitige Schnittweite 1

(4.306) n Bei r =50mm, n = 1 und n ’ = 1,5182 ergeben sich die Schnittweiten s = 125,91 mm und s’ = 82,93 mm. Es handelt sich um die Abbildung eines virtuellen Objektpunktes in einen reellen Bildpunkt. s = r-. n+n’

Einzelne Samrnellinse. Bei der Abbildung des unendlich fernen Achsenpunktes fiihrt eine dunne sphiirische Einzellinse stets Offnungsfehler ein. Die Sammellinse ist unterkorrigiert (As‘ < 0), die Zerstreuungslinse uberkomgiert (As’> 0). Die Korrektion des Offnungsfehlers ist deshalb mit einer geeigneten Kombination aus Sammel- und Zerstreuungslinsen moglich. Fiir dunne Linsen gilt allgemein die Regel:

I

Wenn der Offnungsfehler klein bleiben soll, dann ist die Linse so in den Strahlengang zu stellen, dial3 die st5rker gekriimmte Seite der groReren Schnittweite zugekehrt ist.

Aus der Theorie der Abbildungsfehler dritter Ordnung folgt, dal3 der Offnungsfehler im Seidelschen Gebiet ein Minimum hat, wenn die Durchbiegung der Linse (4.307)


315

betragt. Fiir s = - m folgt daraus fin die dunne Linse mit dem Offnungsfehler-Minimumdas Radienverhatnis

- _r,

2n2-n-4

n(2n+l)

(4.308) '

Bei n = 1 3 ist

L = -1-

r,

6'

Von Bedeutung ist die Moglichkeit, den Offnungsfehler durch Aufspalten einer Linse in zwei Linsen zu vemngern. Gaul$-Fehler. Die Abweichungen durch Offnungsfehler sind bei brechenden Flachen auch von der Wellenlage des Lichtes abhiingig.

I

Die farbige Variation des Offnungsfehlersheil3t GauI3-Fehler.

(Der Name erklM sich daraus, daB G a d ein Fernrohrobjektiv mit einem kleinen solchen Fehler berech.net hatte.)

Abb. 4.154 Korrektionsdarstellung fiir ein System mit

GauO-Fehler

Abb. 4.155 Korrektionsdarstellung fiir ein System mit vermindertem GauO-Fehler

Abb. 4.156 Korrektionsdarstellung fiir einen

Apochromaten

Abb. 4.154 enthat die Korrektionsdarstellung des Offnungsfehlers fiir ein Fernrohrobjektiv mit Gad-Fehler. Die Vemngerung des GauI3-Fehlers eines Dichromaten l%t sich erreichen, wenn der Farblagsfehler unterkonigiert wird. Die Offnungsfehlerkurven fur zwei Farben schneiden sich dann bei einer mittleren Einfallshtihe (Abb. 4.155). Bei einem Trichromaten wird im allgemeinen der Gad-Fehler fiir zwei Farben behoben. Es ergibt sich ein Apochromat. In Abb. 4.156 ist die Korrektionsdarstellung fiir ein apochromatisches Fernrohrobjektiv angegeben.

4.3.4

Koma. Bildfeldwolbung. Astigmatismus

Offnungsfehler im schragen Bundel. Wir betrachten zunachst eine brechende Flache, bei der die Offnungsblende in der Ebene des Knimmungsmittelpunktessteht.

316


Der Objektpunkt befinde sich im Unendlichen (Abb. 4.157). Bezugsstrahl sei der Hauptstrahl. Dieser geht ungebrochen durch die Flache hindurch. Die Folge davon ist, daR der

Hauptstrahl der optischen Achse gleichwertig ist. Das Strahlenbundel verlauiuft bildseitig rotationssymmetrisch zum Hauptstrahl. Die Strahlen verschiedener Durchstofihohe in der Eintrittspupille schneiden den Hauptstrahl in verschiedenen Punkten. Es liegt Offnungsfehler des schragen Bundels vor.

I

Auch im schragen Bundel kann Offnungsfehler im weiteren Sinne vorhanden sein. Das Strahlenbundel 1st daM rotationssymmetrisch zum Hauptstrahl.

Meridionale Koma. Wir riicken die Offnungsblende aus der Ebene des Kriimmungsmittelpunktes heraus. Dadurch wird ein anderer als der durch den Kriimmungsmittelpunkt gehende Strahl zum Bezugsstrahl (Abb. 4.158). Der Schnitt der Kaustik mit der Meridionalebene zeigt

Abb. 4.157 Offnungsfehler im schragen Bundel

Abb. 4.158 Meridionale Koma einer brechenden Fkche

nun keine Symmetrie mehr zum Hauptstrahl. Diese unsymmetrische Strahlenvereinigung im Meridionalschnitt heiBt meridionale Koma oder Asymmetriefehler. Die meridionale Koma wird oft schlechthin als Koma bezeichnet. Fiir sie gilt also: Die mericllonale Koma ist die Abweichung von der Punktformigkeit, clle bei der Abbildung auReraxialer Punkte mit einem weitgeoffneten Meridionalbiischel auftritt und die sich in einer unsymmetrisch zum Bezugsstrahl liegenden Strahlenvereinigung auBert. Zur quantitativen Behandlung der meridionalen Koma sind Meridionalstrahlen verschiedener Schnittweite durchzurechnen.

Darstellung als Querkoma. In der GauBschen Bildebene fallen die DurchstoSpunkte der Meridionalstrahlen nicht mit dem GauBschen Bildpunkt zusammen. Es entsteht eine Querabweichung Ay’, die ebenfalls zur Darstellung der meridionalen Koma verwendet wird. Es ist gunstig, die Querabweichung als Funktion von tan d -tan darzustellen, weil d a m die beste Auffangebene so ennittelt werden kann, wie es fiir den Offnungsfehler in 4.3.3 beschrieben w d e (Abb. 4.159).

ap

Sagittale Koma. Die meridionale Koma gibt noch keinen vollsthdigen Eindruck von der Strahlenvereinigung schrager Bundel. Wir mussen auch den Verlauf der windschiefen Strahlen beachten.

I

Die Abweichung von der Punktfonnigkeit, die bei der Abbildung auBeraxialer Punkte mit windschiefen Strahlen entsteht, heifit sagittale Koma.

4.3Abbildunasfehler

317 *Y”’ f‘=85mm

--0J

---0,3

-44

Abb. 4.159 Meridionale Querabweichung fiir ein schrages Bundel

Wir betrachten zunachst nur Strahlen, die objektseitig im Sagittalschnitt verlaufen. Zwei Strahlen, die objektseitig symmetrisch zum Meridionalschnitt liegen. bleiben auch bildseitig symmetrisch zum Meridionalschnitt. Die Ebene, die beide Strahlen bildseitig aufspannen, enthat jedoch nicht den Hauptstrahl. Die Ebenen, die Strahlenpaare mit verschiedener Entfernung vom Hauptstrahl aufspannen, fallen nicht zusammen. Sie fachern sich also im Bildraum so auf, daB sie unterschiedliche Neigung zur bildseitigen Sagittalebene haben (Abb. 4.160).

Abb. 4.160 Zur sagittalen Koma

Abb. 4.161 Zerstreuungsfigur der Koma

Die objektseitig im Sagittalschnitt verlaufenden Strahlen haben in der Gaaschen Bildebene sowohl eine meridionale als auch eine sagittale Querabweichung (Abb. 4.160). Die DurchstoSpunkte shtlicher Sagittalstrahlen bilden eine “Rinne”. (Die sagittale Koma der reinen Sagittalstrahlen wird deshalb auch Rinnenfehler genannt.) Die Zerstreuungsfigur, die von shtlichen windschiefen Strahlen erzeugt wird, hat ein schweiffomges, also ein “komaformiges” Aussehen (Abb. 4.161). Diese Unsymmetrie der Zerstreuungsfigur bewirkt, daB die Koma besonders storend wirkt. Wir weisen noch darauf hin, dal3 die von uns dargestellte Auswirkung der Koma strenggenommen durch das Zusammenwirken von Offnungsfehler im schragen Bundel und Koma entsteht. Im Seidelschen Gebiet sind diese Fehler additiv, wobei die sagittale Querabweichung der reinen Sagittalstrahlendurch den Offnungsfehler entsteht.

Die Sinusbedingung. Wir gehen von einer brechenden Flache aus, die offnungsfehlerfrei abbildet. Es konnte sich also um eine asphMsche Flache oder um eine sphiirische Flache mit einer der in 4.3.3 abgeleiteten speziellen Objektlage handeln. Shtliche Strahlen, die vom Achsenpunkt des Objekts ausgehen, sollen also durch den Achsenpunkt des Bildes gehen.

318


Wir wollen angeben, welche Bedingung erfiillt sein mul3, damit ein kleines achssenkrechtes Flachenelement, durch dessen Mitte die optische Achse geht, mit weit geoffneten Bundeln in ein kleines achssenkrechtes Flachenelement abgebildet wird. Bei der Abbildung von Punkten, die in der N3he der optischen Achse liegen, tritt in erster Ngiherung nur Koma auf. Die gestellte Forderung lauft also darauf hinaus, daf3 die offnungsfehlerfreie Flache ein kleines achssenkrechtes Flachenelement komafrei abbilden soll. Die Ableitung mit Hilfe der Satze von Fermat und Malus, die hier nicht angegeben werden soll, fiihrt auf die Abbesche Sinusbedingung (4.281), die wir in 4.2.5 aus lichttechnischen Betrachtungen abgeleitet haben: ny sin6 = n’y‘ sin?.

(4.309a)

Die Abbesche Sinusbedingung ist auch auf ein Hachensystem anwendbar. Ein optisches System, bei dem die Sinusbedingung erfiillt ist, wird aplanatisch genannt. Bei der Abbildung eines unendlich fernen Flachenelements ist 6 = 0. Die Sinusbedingung geht in die Forderung

j f = f’

(4.309b) uber. Die fiir achsferne Strahlen verallgemeinerte Brennweite eines aplanatischen Systems ist aus f =- h (4.309c) sin &‘ zu berechnen. Die objektseitige Hauptflache ist eben (Abb. 4.162).

Aplanatische Punkte. Die in 4.3.3 angegebenen Punktepaare, die sich offnungsfehlerfrei aufeinander abbilden, werden aplanatische Punkte genannt. Kleine Flachenelemente am Ort dieser Punkte werden zusatzlich komafrei abgebildet, weil die Sinusbedingung erfullt ist. Die Kombination zweier Flachen, die aplanatische Objektpunkte abbilden, ergibt aplanatische Linsen. Von diesen hat der sammelnde aplanatische Meniskus besondere praktische Bedeutung (Abb. 4.163). Die erste Flache liegt konzentrisch zum Objektpunkt. Fur sie gilt Sl = r,, Sl = r,. (4.310) I

Die iibergangsbedingung zur zweiten Flache lautet s2 = s l - d bzw. s2 = r, - d .

(4.3

Der Radius der zweiten Flache folgt nach GI. (4.306) aus r2 = -. n2 s2

ni +n2

(4.3

4.3 Abbildunesfehler

319

Mit n2 = n, n; = 1 und (4.31 1) erhalten wir (4.313) Aus G1. (4.305) ergibt sich mit G1. (4.312) s; = n ( s , - d ) .

(4.314)

Ein reeller Objektpunkt (s, < 0) wird also stets in einen virtuellen Bildpunkt (sl c 0) abgebildet. Positive Brechkraft hat der Meniskus, wenn die Bedingung d < -nrl (q < O!) erfiillt ist. Der sphdrische Hohlspiegel ist unabhiingig von der Objektlage komafrei, wenn sich die Offnungsblende in der Ebene des Kriimmungsmittelpunktes befindet. Der Hauptstrahl ist dann auch im Bildraum Symmetriestrahldes abbildenden Bundels. Bei dieser speziellen Lage wird die Offnungsblende “natiirliche” Blende genannt. Der Hohlspiegel mit natiirlicher Blende bildet zwar komafrei, aber nicht offnungsfehlerfrei ab. In diesem Fall spricht man von einer isoplanatischen Abbildung.

Ein aptisches System, das symmetrisch zur Offnungsblende aufgebaut ist, bildet fiir den Abbildungsmabtab p’ = -1 isoplanatisch ab (Objekt- und Bildweite gleich). Bildfddwolbung. Wir gehen von einem Hohlspiegel mit natiirlicher Blende aus. Die Objektweite sei unendlich. Der Hohlspiegel hat dann Offnungsfehler des schragen Bundels (Abb. 4.164).

Wir verringern den Durchmesser der Offnungsblende, so daO schliefilich nur noch das hauptstrahlnahe Bundel iibrigbleibt. Der Zerstreuungskreis in der senkrecht zum Hauptstrahl


320

stehenden Ebene, die vom Spiegel um die Brennweite entfernt ist, wird dabei stetig verkleinert. Der Hauptstrahl ist beim Hohlspiegel mit natiirlicher Blende der optischen Achse vollig gleichwertig, so daR sich die hauptstrahlnahen Bundel so verhalten wie die Paraxialstrahlen. Die Bildpunkte, die durch die hauptstrahlnahen Bundel von Punkten einer im Unendlichen liegenden Objektebene zugeordnet werden, haben s-tlich &e Entfernung f ’ vom Spiegel. Die Bildflache stellt eine Kugel mit dem Radius f ’ = r / 2 dar, das Bildfeld ist gewolbt. Bleibt bei der Abbildung aufleraxialer Punkte mit hauptstrahlnahen Bundeln die Rotationssymmetrie um den Hauptstrahl im Bildraum erhalten, dann liegt im allgemeinen Bildfeldwolbung vor. Die Bildpunkte, die einer objektseitig achssenkrechten Ebene zugeordnet sind, bilden eine gekriimmte Flache, die Petzval-Schale genannt wird. Petzval-Bedingung. Bei einer sphiirischen brechenden Flache hat die Petzval-Schale fiir die Abbildung einer unendlich fernen Ebene die Kriimmung 1 =-

1 r-f’.

rp Setzt man f‘

=

‘ n -n

,

g l =&l (n)

n

n’

d m gilt

Im Rahmen der Theorie der Abbildungsfehler dritter Ordnung l%t sich zeigen, daR die Kriimmung der Petzval-Schale bei einem optischen System aus n Flachen = -n:$$s(*)]

(4.315)

betragt. Die Summe heil3t Petzval-Summe. Der Ansatz eines optischen Systems mit einer kleinen Petzval-Summe schafft giinstige Voraussetzungen fiir ein ebenes Bildfeld. Astigmatismus. Wir riicken die Offnungsblende des Hohlspiegels aus der Ebene heraus, die durch den Krtimmungsmittelpunkt geht. Sie bleibt dabei die Eintrittspupille, aber sie ist nicht die Austrittspupille (Abb. 4.165). Durch die Reflexion der Hauptstrahlen in eine andere als die


321

Lichteinfallsrichtung geht die Rotationssymmetrie um die Hauptstrahlen verloren. Es besteht nur noch Symmetrie in der Meridional- und in der Sagittalebene fiir das hauptstrahlnahe Gebiet. Zwei hauptstrahlnahe Meridionalstrahlen, die objektseitig symmetrisch zum Hauptstrahl verlaufen, bleiben bildseitig symmetrisch zum Hauptstrahl. Die entsprechende Aussage gilt flir hauptstrahlnahe Sagittalstrahlen.

I

Der bildseitige Schnittpunkt der Strahlen des hauptstrahlnahen

meridionalen Biisagittalen

schels mit dem Hauptstrahl ist der meridionale Bildpunkt (Abb. 4.127). sagittale

1st bei der Abbildung aaeraxialer Punkte mit hauptstrahlnahen Bundeln im Bildraum keine Symmetrie urn den Hauptstrahl vorhanden, dann treten Astigmatismus und Bildfeldwolbung auf. Eine achssenkrechte Ebene wird auf zwei gekriimmte Bildschalen abgebildet. Das Auseinanderfallen von sagittaler und meridionaler Bildschale wird Astigmatismus genannt.

Sagittaler Bildort. In Abb. 4.166a ist fiir die brechende Kugelflache der zum Objektpunkt gehorige Hauptstrahl eingezeichnet. Die Gerade durch den Objektpunkt und den Kriimmungsmittelpunkt C ist der optischen Achse gleichwertig. Deshalb mussen sich bildseitig

Abb. 4.166a Zur Bestimmung des sagittalen Bildortes

stimtliche Strahlen, die den gleichen Winkel q wie der Hauptstrahl mit der Geraden AC einschliekn, in ein und demselben Punkt schneiden. Mit anderen Worten: Strahlen, die objektseitig auf einem Kreiskegel liegen, dessen Spitze der Objektpunkt ist, liegen bildseitig auf einem Kreiskegel, in dessen SpirZe sie sich schneiden. Die dem H a u p t s W infinitesimal benachbarten Sagittalstrahlen konnen als Bestandteil des betrachteten Strahlenkegels angesehen werden. weil sie innerhalb eines infinitesimalen Ausschnitts einer Tangentialebene an den Kegel liegen.

I

Der sagittale Bildort ftillt mit dem Punkt zusammen, in dem sich der Hauptstrahl und der Strahl, der durch den Kriimmungsmittelpunkt geht, schneiden.

Meridionaler Bildort. Die hauptstrahlnahen Strahlen des meridionalen Buschels haben andere Einfallswinkel als der Hauptstrahl. Die oberhalb des Hauptstrahls verlaufenden Strahlen werden schwacher abgelenkt als dieser. Die Folge davon ist, dal3 der meridionale Bildort niiher an der brechenden Flache liegt als der sagittale Bildort.

322

I

4 Abbildende opusche Funktionselemente

Der meridionale Bildort km ist der Schnittpunkt der Strahlen, die die Einfallswinkel E, fde, haben, mit dem Hauptstrahl (Abb. 4.166b).

Abb. 4.166b Zur Bestimmung des meridionden Bildortes

Nach [ 191 gilt 1,'

18

~

den sagittalen Bildort an der brechenden Kugelflache = A

n' cos E; - n cos E,

mitA=

r

(4.316a, b)

Fiir den meridionalen Bildort gilt n' COS'

1:

EL - n cos2e, -- A . 1,

(4.3 16c)

Fiir die astigmatische Strahldurchrechnung benotigt man noch die schiefe D i c k [ 191 t

k!L

=

rk s i n q p k

-rk+l

sinqk+l

sin Ypk

(4.317)

und die SchluSgleichungen (Abb. 4.167) a*,,-s;,

(4.3 18)

cos a*,,, - s;.

(4.319)

b,*= 2rnsin2 -+ccos VPn 2 bk = 2rnsin2% 2

+ I,!

j!FI.-I-ry Abb. 4.167 Zur Ableitung der achsparallelen Absmde der Bildorte

4.3Abbildungsfehler

323

Darstellung. Zur Darstellung von Astigmatismus und Bildfeldwolbung tragen wir auf der Abszisse die achsparallelen Abstbde der sagittalen und der meridionalen Bildpunkte von der GauRschen Bildebene ab. Als unabhbgige Variable verwenden wir den objektseitigen Schnittwinkel hP des Hauptstrahls mit der Achse oder die paraxiale BildgroRe y’. Abb. 4.168a zeigt die Korrektionsdarstellung fiir eine Sammellinse, Abb. 4.168b fir ein korrigiertes optisches System. Ein optisches System, bei dem die meridionale Bildschale links von der sagittalen Bildschale liegt, heiRt unterkorrigiert. Ejne duMe sammelnde Einzellinse ohne zusatzliche Offnungsblende ist stets unterkorrigiert. Ein Anastigmat ist ein optisches System, das hinsichtlich Astigmatismus und Bildfeldwolbung korrigiert ist.

m

y;

Yfb I0

b; -6

-3

0

6~j102 mm

b& -2

I

--

Omml

b)

‘1)

Abb. 4.168 Korrektionsdarstellungdes Astigmatismus a) fiir eine Sammellinse, b) fiir ein Tessar

4.3.5

Veneichnung

Definition. Wir bilden eine Objektstruktur ab, die in einer achssenkrechten Ebene liegt. Zur Erzeugung einer Bildstruktur, die der Objektstruktur geometrisch gihnlich ist, mul3 der Abbildungsmdstab innerhalb der Auffangebene konstant sein. Er darf also nicht von den Objektkoordinaten x und y abhagen. Diese Fordemng war neben der Punktfiirmigkeit Voraussetzung fiir die ideale geometrisch-optischeAbbildung. Weil die konkreten optischen Funktionselemente nicht ideal abbilden, ist das Bild im allgemeinen nicht dem Objekt ihlich. Der Abbildungsfehler, der die Abweichung von der h i c h k e i t zwischen Objekt und Bild erfdt, wird Verzeichnung genannt. Die Verzeichnung auRert sich bei zentrierten optischen Systemen mit endlicher Objektweite darin. daP~der Abbildungsmdstab eine Funktion der ObjektgroRe ist. Bei unendlicher Objelctweite ist die BildgrGRe nicht der scheinbaren ObjektgroRe proportional. (Der Proportionalitatsfalctor ist im paraxialen Gebiet die objektseitige Brennweite.) Das Strahlenbundel, das einen aderaxiden Objektpunkt abbildet, hat bei einem abschattungsfreien optischen System den Hauptstrahl als Schwerstrahl. Deshalb bestimmt der Durchstoflpunkt des Hauptstrahls in der Auffangebene den Bildort und damit die BildgrtiRe. Es genugt

324

4 Abbildende omische Funktionselemente

also zur Untersuchung der Verzeichnung, den Verlauf der Hauptstrahlen zu berechnen. Die Verzeichnung ist ohne Beimischung anderer Abbildungsfehler zu beobachten, wenn die Objektebene punktformig in die Bildebene abgebildet wird. Die Verzeichnung ist ein Abbildungsfehler, der keine Zerstreuungsfigur, sondem eine radiale Verschiebung des Bildpunktes innerhalb der Auffiigebene hervormft. Darstellung. Als Ma13 fiir die Verzeichnung kann die Differenz aus der DurchstoUhGhe des Hauptstrahls i’ und der paraxial berechneten BildgroRe y’ in der GauBschen Bildebene dienen. Im allgemeinen gibt man die relative Verzeichnung (4.320) an. Fiir eine endliche Objektweite kann nach Division von ZWer und Nenner durch y in G1. (4.320) (4.321) geschrieben werden. Fiir Ay’/y’ < 0 ist die BildgroRe zu klein; das optische System hat tonnenfonnige Verzeichnung (Abb. 4.169 und 4.170). Fur Ay’/y’ > 0 ist die BildgroBe zu groR; das optische System hat kissenformige Verzeichnung (Abb. 4.171 und Abb. 4.172).

8

lOOo$!’

--“t F i 4 - 20 OIOO

Abb. 4.169 Bild eines Quadrats bei

Abb. 4.170 Korrektionsdarstellung fiir

tonnenformiger Veneichnung

tonnenformige Verzeichnung

””4 40

Abb. 4.171 Bild eines Quadrats bei kissenformiger Verzeichnung

Abb. 4.172 Korrektionsdarstellung fiir

kissenformige Veneichnung

Bei Fotoobjektiven liegt die relative Querabweichung normalenveise unter 5%0 bei Luftbildobjektiven unter 1%0

Tangensbedingung. Wir untersuchen, unter welchen Voraussetzungen ein optisches System verzeichnungsfrei ist. Die Abb. 4.173 zeigt ein optisches System, bei dem die Abbildung der

325


Offnungsblende mit Offnungsfehler behaftet ist. Die Orte der Eintritts- und der Austrittspupille sind dadurch von der HauptstraNneigung im Achsenpunkt der Offnungsblende abhiingig. Das ist im allgemeinen auch im hinsichtlich Offnungsfehler korrigierten System so, weil die Korrektion fiir die Objektebene, aber nicht fiir die Abbildung der Offnungsblende durchgefiihrt wird. Dieser Offnungsfehler der Pupillen, auch Pupillenaberration genannt, ist die Hauptursache der Verzeichnung. Nach Abb. 4.173 ist tan

=

4, PI

tan&,, = --i 2 i 2

'

(4.322) (4.323)

Daraus folgt fiir die Abbildungsmahtabe (4.324)

Abb. 4.173 Zur Ableitung der Tangensbedingung

Die Verzeichnung verschwindet, wenn der Abbildungsmahtab unabhiingig von der ObjektgrtiDe ist. Wir fordern also

j: = j;.

(4.325)

Wir setzen G1. (4.324) in G1. (4.325) ein und erhalten (4.326)

G1. (4.326) ist die Bedingung, deren Einhaltung garantiert, daO ein optisches System verzeichnungsfrei ist. Wenn (4.327)

326


gilt, dann geht (31. (4.326) in

&L1

- tan iiL2 tan -tan b,, tan &,*

(4.328)

uber; GI. (4.328) ist gleichbedeutend mit tan&’, - const. tan iiP

(4.329)

GI. (4.329) heifit Tangensbedingung. Sie ist z. B. erfiillt, wenn unabhbgig von y

l.

Es entsteht die nullte Ordnung, die in der Richtung a = ah liegt. Fiir die Richtungen der beiden anderen Beugungsordnungen gilt

a-a,

1

= f-A' - f -A'a g

A

(4.487)

O.

Mit einer ebenen Rekonsmktionswelle, bei der a; = 0 und

a

A' = A ist, erhalten wir

= fa,.

Die Signalwelle ( a = ao)und die dazu konjugierte Welle ( a = -a,) werden also rekonstruiert (Abb. 4.21 la). Hologramm

Hologramm

--

Abb. 4.211 a) Rekonstruktion der Signalwelle mit der Referenzwelle, b) Rekonstruktion der Referenzwelle mit der Signalwelle

4.4 Wellenoptisch abbildende Funktionselemente

369

Die Intensitat in den Beugungsordnungen ist allerdings 1/16 der einfallenden Intensitat. Man spricht davon, daR die Beugungseffektivitat 1/16 = 0,0625 ist. Sie kann erhoht werden, wenn statt des Amplitudenhologramms ein Phasenhologramm verwendet wird. Dieses entsteht z. B., indem durch Bleichvorgiinge die urspriingliche Amplitudenstruktur in eine Phasenstruktur umgewandelt wird. Mit einer ebenen Rekonstruktionswelle, ftir die ah = a, und A‘ = A gilt, ist a = f % + a o= 0 bzw. 2%. Die Referenzwelle und die dazu konjugierte Welle werden rekonstruiert (Abb. 4.21 lb). Die Rekonstruktion ist also komplementiir, d. h., Einstrahlen der Referenzwelle ergibt die Signalwelle und umgekehrt. Mit einer stetigen Variation der Rekonstruktionswellenliinge 1Ut sich die Richtung der gebeugten Welle stetig im VerhBiltnis A’/A variieren. Holoqmmm -

In analoger Weise wie das Liniengitter 1Ut sich eine Zonenplatte holografisch erzeugen. Wir bringen zu diesem Zweck eine ebene Referenzwelle und eine Kugelwelle, die von einem Objektpunkt ausgeht, zur Interferenz (Abb. 4.212). Fiir den optischen Wegunterschied gilt

A L = r-ro = J p 2 + r ; -ro.

(4.488)

Fur p G lrol entsteht durch Reihenentwicklung (4.489) Die Intensit& in der Hologrammebene ist proportional (4.490)

Es entsteht die Radialabhiingigkeit der Intensitat wie in Abb. 4.210, aber die Maxima betragen (aa*),,, = ( A , + A 2 / r 0 ) ’ , die Minima betragen (uu*),, = ( A , - A 2 / r 0 ) ’ . Der Kontrast der Zonenplatte, den wir auch Modulationsgrad nennen koMen, betriigt (4.491) K = 2A1‘42ro A:rt + A ; ‘ Nur fiir A , = A2/ro wird K = 1.


370

Es gelten dieselben Kekonstruktionsbedingungenwie beim Liniengitter. Es entsteht beim Einstrahlen der Referenzwelle ein reelles und ein virtuelles Bild des Objektpunktes. Wegen der Lage der beiden Bildpunkte auf einer Geraden, die senkrecht auf den Wellenflachen der Rekonstruktionswelle steht, spricht man von Geradeausholografie. Reelles und virtuelles Bild lassen sich trennen, wenn bei der Aufzeichnung die Referenzwelle schrag auf das Hologramm uifft (Abb. 4.213). Holoqramm

A; ,

Abb. 4.213 Kekonstruktion eines Hologramms, bei dem mit einer schrag einfallenden Referenz-

welle aufgenommen wurde Bisher sind wir von der Aufzeichnung eines Objektpunktes ausgegangen. Da jedes Objekt als Gesamtheit von Objektpunkten aufgefal3t werden kann, lassen sich auch ausgedehnte Objekte holografisch abbilden. Bei der Aufzeichnung ist es notwendig, daR die Signal- und die Referenzwelle koh’drent zueinander sind. Sie werden deshalb im allgemeinen durch Teilung eines Laserbundels erzeugt, mit dem die groBe Koh’drenzl’dnge erreichbar ist (Abb. 4.214). Die Information uber jedes Element des Objekts ist im gesamten Hologramm gespeichert, so daR auch mit Teilen des Hologramms die Rekonsmktion moglich ist (redundante Speicherung). Fiir zeitlich periodische Wellen (groRe Koh’drenzltinge) genugt es, mit den komplexen Amplibden zu rechnen. Die Signalwelle hat die komplexe Amplitude a, = A,ej”, die Refe~

Urnlenksplegel

%

Kohorentes Licht

Korper

Abb. 4.214

Aufnahmebedingungen bei einem Hologramm von einem ausgedehnten Objekt


37 1

renzwelle die komplexe Amplitude aR= ARej6R.Die Amplitudenbetrage und die Phasen sind ortsabhiingig. Die iiberlagerung in der Hologrammebene ergibt wegen der zeitlichen Koharenz die komplexe Amplitude a = aR+as, woraus sich bei einem quadratischen Empfdnger (registriert den Mittelwert der Energiestromdichte), die der Intensitat proportionale Grol3e aa* = (aR+a,) (a: +at) bzw. aa+ = aRai+a&

* + aRa, * + aRaS

(4.492)

ergibt. Das Ausrechnen der Produkte fidut auf das bekannte Ergebnis aa* = A;

+ A; + 2 ARA, cos (6s- 6 R ).

Im Hologramm sind die Betrage der Amplituden und die Phasen gespeichert. Die Registrierung in einer fotografschen Schicht im linearen Bereich der Kennlinie fiihrt auf die Amplitudentransparenz z

- aa*.

Die Rekonstruktion mit der Referenzwelle ergibt zuniichst die komplexe Amplitude hinter dem Hologramm

(4.493)

Neben dem Storlicht (erster Summand) entstehen die Signalwelle (dritter Summand) und ihre konjugiert Komplexe (zweiter Summand). Die Rekonstruktion mit der Signalwelle fiihrt auf a,z

- n,(A~+Ai)+A;a,+A~a~.

(4.494)

Wir erhalten die Referenzwelle und ihre konjugiert Komplexe. Es besteht allgemein Reziprozitat zwischen Signal- und Referenzwelle, analog zu den bereits beim holografischen Gitter festgestellten Bedingungen. Die Klassifizierung der Hologramme kann nach verschiedenen Gesichtspunkten vorgenommen werden. Dazu gehoren: Beeinflussung der komplexen Amplitude . Amplituden-Hologramm . Phasenhologramm - geometrische Struktur des Tragers . Flachenhologramm (z. B. bei Gittern auch gekriimmt moglich) . Volumenhologramm (Beugung am Raumgitter) - Entfernung vom Hologramm von Objekt bzw. Bild . Bildfeldhologramm (Objekt nahe) . Fraunhofer-Hologramm (Objekt weit entfernt) . Fourier-Hologramm (Objekt im Unendlichen, im Hologramm ist die Fourier-Transformierte der Objektfunktion registriert)

-

372 -

4 Abhildende optisclie Funktionselemente

Herstellungsverfahren . experimentelle Hologramme . synthetische Hologramme

Das rekonstruierte Bild ist dem Objekt raumlich iihnlich, wodurch die holografische Abbildung in weiten Bereichcn ohne die Begrenzung durch die Schikfentiefe arbeitet. Das wird z. €3. bei der Kombination von Holografie und Mikroskopie genutzt. Auch f i r die Hologramme lassen sich analog wie fiir Zonenplatten Abbildungsgleichungen ableitcn. Es ist auch eine Theorie der Abbildungsfehler ausgearbeitet worden. Bei den synthetischen Hologrammen wird die komplexe Amplitude fiir das modellmiil3ig vorgegebene Objekt im Hologramm berechnet. Betrag und Phase sind in einer geeigneten Kodierung aufzuzeichnen. Es werden meistens binike Hologramme verwendet. Ein Beispiel stellt die Zonenplatte dar,die die Information nur durch “helle” und “dunkle” Kinge geeigneter Breite und Lage gespeichert enthiilt. Rotationssymmetrische synthetische Hologramme, die mit der Wellenaberration von optischen Fliichen odcr optischen Systemen moduliert sind, eignen sich als Korrektionselemente f i r die Abbildungsfehler (Ortsfrequenzfilter) und als Priifnormal in Interferometern (z. B. bei der i nterferometrischen Asphiirenpriifung). Hologrdmm-Interferometrie. Resondere Bedeutung hat die Hologramm-Interferomel~eerlangt. Mit dieser kiinnen zeitliche Zustandsanderungen eines Objekts registriert werden. Es gibt clrei grundsiitzliche Verfahren: DoppelbeliclirunRsfedinik. Das Objekt wird zu zwei Zeitpunkten belichtet, clie Signalwelle aber im gleichen Hologramm registriert, d. h., beide Signalwellen uberlagern sich vor der

Abb. 4.215 Rekonstruktion eines Doppelbelichtungsliologrrunlns vom elektronischen Feinzeiger MWA 4072 mit MeOstiinder. Veriinderung der Geriitetempemturzwischen den Belichtungeo uui 10 K Zeit zwischen den Belichtungen: 10 Minuten Lichtquelle: Rubin-Impulslaser


373

Entwicklung der holografischen Schicht. Bei der Rekonstrukrion ist das Bild von Interferenzstreifen durchzogen, aus denen auf die Verwderung des Objekts zwischen den Belichtungszeitpunkten geschlossen werden kann (z. B. auf Deformationen, Abb. 4.215). ~if-Miffelungsfechnik. Sie eignet sich zur Untersuchung der Eigenschwingungen von Korpern. Voraussetzung sind kleine Amplituden und weitgehend stationiire Lage der Schwingungsknoten und -bauche, denn es wird der zeitliche Mittelwert des Interferenzanteils ~ A S A R C O S ( & -6s) aufgezeichnet. Die Schwiirzungsverteilung im Hologramm zeigt die Lage der Schwingungsknoten an. Die Zeit-Mittelungstechnikeignet sich nicht zur Echtzeitmessung. Echtzeiffechnik.Langsam vertinderliche Vorgiinge lassen sich in Echtzeit verfolgen. Dazu wird vom Zustand zu einer bestimmten Zeit ein Hologramm erzeugt. Nach exakt genauer Positionierung des Hologramms an die gleiche Stelle wie bei der Aufnahme (oder Entwicklung ohne Entfernung vom Aufnahmeort) sind die Vetjdnderungen des Objekts an den sich kontinuierlich verformenden Interferenzstreifen zu erkennen.

5

Nichtabbildende optische Funktionselemente

5.1

Lichtleitende Funktionselemente

5.1.1

Linsenfolgen

Ein lichtleitendes Funktionselement biindelt den Lichtstrom und leitet ihn uber merkliche Strecken weiter, ohne da13 damit prim& eine optische Abbildung angestrebt wird. Im Grunde genommen ubertragt jedes optische System den Lichtstrom, aber zum Zweck der optischen Abbildung. Der Einfla der geometrischen Verhaltnisse des optischen Systems auf den ubertragenen Lichtstrom wird durch den Lichtleitwert erfal3t. Dieser folgt fir ein Flachenelement dq, der Quelle aus dG = n A 2 ~ ~ ~ 4 ~ . d q l . Auch optische Folgen, die nur den Lichtstrom leiten sollen, konnen abbildende Elemente enthalten. Im allgemeinen wird aber die Lichtquelle oder eine ausgeleuchtete Pupille ohne das Ziel der Informationsubertragung abgebildet. Das hat oftmals zur Folge, dalj an die Bildgute nicht so hohe Anforderungen gestellt werden. So koMen z. B. die Beleuchtungssysteme in optischen Instrumenten durchweg als lichtleitende Funktionsgruppen betrachtet werden. Sie werden zweckmaig im Zusammenhang mit dem gesamten optischen Instrument behandelt und in diesem Abschnitt ausgeklammert. Eine Linsenfolge zur Lichtleitung l%t sich bis auf eventuelle Eingangs- und Ausgangselemente durch periodische Wiederholung einer Elementarzelle aus zwei Linsen bilden. In Mauixschreibweise stellen wir die Abbildung durch die Elementarzelle aus dunnen Linsen in der Gestalt

):[

=

i-b;

;)[;

q-:; A(); T)(-b; ;)(;)

(5.1)

dar (Abb. 5.1). Ausrechnen der Ubertragungsmatrix ergibt mit F,'+ F; -e;F,'F;

= F'

und e; +e;+e; = Lopr

die Beziehung

d 1 - eh F' - e; F,' ( h ' ) = [-L,,,+eie;F'+e:(ehF,'+e;F;)

F' l-e:F,'-e;F')(i)'

(5.2)

Eine stabile Lichtleitung ohne Lichtstromverluste uber mehrere Elementarzellen 1st gesichert, wenn sich das Bundel nicht sthdig aufweitet und sich die leuchtende Rache nicht sthdig vergroDert (es tritt keine Randabschattung ein). Das ist z.B. gewiihrleistet, wenn sich die Ubertragungsmatrix auf die Form

375

5.1 Lichtleitende Funktionselemente

d nicht von h, h' d = -0.

nicht von cf abhiingig, und es gilt

spezialisiert. Dann ist h'= -h,

(5.4)

Der ebenfalls denkbare Fall, dal3 die Diagonalelemente die Werte +1 annehmen, fiihrt bei Linsen zu keinem brauchbaren Ergebnis. Aus G1. (5.2) und G1. (5.3)folgt

F' = 0,

(5.5)

- L , , , + e ~ ( e ~ F , ' + e ~ F ,= ') 0,

(5.6)

1-e:Fi = -1,

(5.7)

l-e;F,' = -1.

(5.8)

Es mu13 also

el = 2h' = 2 f i

(5.9)

gelten. Damit die periodische Wiederholung moglich ist, mu13 e; = 0 sein. Aus G1. (5.6) ergibt sich mit G1. (5.9) und Lopr= ei +e; eh =

2h'.

(5.10)

ZusammengefaSt gilt also eh =

el =

2f,',

f; = H,=H;

A', e;

= 0,

F' = 0.

H,-H;

Abb. 5.1 Elementanellen aus zwei dunnen Linsen

-h '

e;=O

Abb. 5.2 Linsenfolge zur Lichtleitung

Abb. 5.2 zeigt anschaulich, daR die Folge aus Elementarzellendie Eigenschaft hat, sowohl das Lichtbundel stwdig zu folcussieren als auch die Hauptstrahlen in einem Gebiet um die optische Achse zu fiihren. Die Anordnung entspricht einer Folge von abbildenden Linsen und Feldlinsen. Ein Parallelbundel ist uber eine Linse mit der Brennweite f l = 2f; einzukoppeln. Entsprechend wiire durch eine Linse mit der BreMWeite fn' = 2A' auszukoppeln, falls ein Parallelbundel benotigt wird.

376

5 Nichtabbildende optische Funktionselemente

Laserresonatoren. In 2.4.5 sind wir bereits auf den konfokalen Laserresonator eingegangen, der aus zwei Kugelspiegeln mit zusammenfallenden Brennpunkten besteht. Im Grundmodus bildet sich ein GauRsches Bundel aus. Die im Resonator hin- und herlaufende Welle bildet eine stabile stehende Welle. Resonatoren aus Kugelspiegeln (Abb. 5.3a) bilden ein Beispiel fir die zweckmaige Anwendung der Matrixdarstellung der optischen Abbildung. Wir denken uns den Resonator aus einer periodischen Folge von Elementarzellen aufgebaut. Jede Elementarzelle besteht aus einem Eingangselement und einem Ausgangselement, die jeweils die halbe Brechkraft des ersten Spiegels haben, und einem Zwischenelement mit der Brechkrafl des zweiten Spiegels (Abb. 5.3b).

Abb. 5.3 Laserresonator aus Kugelspiegeln a) Spiegelsystem,b) Elementanelle

Fiir die aufgespaltete Spiegelflache gilt entsprechend G1. (4.148)mit n = n' = 1 (5.11)

Die Ubertragungsmatrix lautet nach G1. (4.150)

(-:) ;)-

(5.12)

Fiir die Elementarzelle gems Abb. 5.3b ist mit e' = 1

(5.13)

Das Ausrechnen des Matrizenprodukts ergibt (5.14)

mit g, = 1--,IF,' 2

g2 = 1-21F;

bzw. g1 = I - &

r,

g2 = 1---.1 r2

(5.15a, b)

377


Nach dem Theorem von Sylvester [6]ist A sinn@-sin[(n - 1)0] Bsin 0 DsinnO-sin[(n -I>@]

(5.16)

wobei A+D cos 0 = 2 gilt. Nach G1. (5.14) ist cos 0 = 2g,g, -1. Wegen - 1I cos 0 5 1 mu13

(5.17)

(5.18) (5.19)

0 5 g1g2 2 1

sein. Nur fiir Resonatoren, die die Bedingung (5.19) erflillen, sind stabile Eigenschwingungen mbglich. Deshalb heiRt die Beziehung (5.19) Stabilitatsbedingung. In der grafischen Darstellung g, = f(g,) liegen die stabilen Resonatoren in dem Gebiet, das durch die Geraden g, = 0 und g, = 0 sowie die Hyperbel g, = I/gl begrenzt ist (Abb. 5.4). Tab. 5.1 enthat fiir einige spezielle Resonatorkonfigurationendie GroRen g, , g, A, B, C, D. 92t

plonpomllel

-7-*

)kol -2

-3-

-4

To

konze

2

1

-i-

3

91

- - - --

I I I I

Abb. 5.4 Stabilitiitsdiagramm

Tabelle 5.1 Matrixelemente von sDh,h;irischenLaserresonatoren konfokal konzentrisch

1 = 1, = 1, 1 = 24 = 2r,

g1

g,

0 -1

0 -1

A=D

B

C

-1

0 0

0 21

1

0

1

plan-sph&iSch (Mittelpunkt auf Planflkhe)

r, = m

1

0

-1

plan-plan

r, = r, = 00

1

1

1

0

-21

378


Erzeugung eines Lichtbundels konshnten Durchmessers. Wir zeigen noch, dal3 zwischen zwei Blenden B, und B, auch mit einer klassischen Lichtquelle ein Lichtbundel konstanten Durchmessers erzeugt werden kann.Nach Abb. 5.5a gilt pB = -y’ = -p’y,

h’ = 2y

(5.20a, b)

H-H’ I

f’

Z‘

Abb. 5.5a Parallelbundel zwischen zwei Blenden

und

h = pB + h’,

also mit G1. (5.20a) und G1. (5.20b) h = -pIy+2y

bzw. h = y(2-P’);

(5.21)

h nach G1. (5.21) ist der erforderliche Linsenradius, bei dem l a g s der Strecke z’ = -p’f‘ das

Lichtbundel konstanten Durchmesser hat. Mit einem Spiegel oder einem Linsensystem ohne zusatzliche Blende kann, abgesehen von Abbildungsfehlern, eine zylindrische Lichtrohre erzielt werden, wenn die Lichtquelle in die fotometrische Grenzentfernung abgebildet wird. Diese ergibt sich aus der Forderung, dal3 die Durchmesser der freien Offnung (Eintrittspupille) und des Lichtquellenbildes gleich sind (Abb. 5.5b). FUr den Abstand der Lichtquelle vom objektseitigen Brennpunkt gilt (5.22)

Abb. 5.5b Parallelbundel innerhalb der fotometrischen Grenzentfemung

379


5.1.2

Licht- und Bildleitkabel

Licht- und Bildleitkabel stellen biegsame optische Funktionselemente dar, die den Lichtstrom von ihrer Eintrittsflache zu ihrer Austrittsflaiche ubemagen. Sie bestehen aus Anordnungen dunner Fasern aus hochtransparenten Werkstoffen (Glas, Quatz, Plaste), weshalb man auch von Faseroptik oder Fiberoptik spricht. Der Faserkern mit der Brechzahl nK ist von einem dunnen Mantel mit der Brechzahl nM umgeben, wobei stets nM < nK gilt. Bei den Lichtleitkabeln haben die Faserenden an der Eintrittsflaiche des Kabels eine vollig andere gegenseitige Anordnung als die Faserenden an der Austrittsflache des Kabels (ungeordnete Fasern). Lichtleitkabel dienen deshalb ausschlieSlich der Ubertragung des Lichtstroms. Bei den Bildleitkabeln besteht zwischen den Faserenden an der Austrittsflache des Kabels dieselbe fiumliche Anordnung wie zwischen den Faserenden an der Eintrittsfltiche. Dadurch erscheint ein auf der Eintrittsflkhe erteugtes Bild auf der Austrittsflache gerastert wieder. Bildleitkabel gehi5ren n u bedingt zu den abbildenden Funktionselementen; sie leiten aber das Bild von einer Flkhe zuf anderen weiter. Wir betrachten nur zylindrische Fasem, deren Kerndurchmesser wesentlich gro6er als die Dicke der umhiillenden Schicht und als die Wellenliinge des Lichtes ist. In diesem Fall sind die grundlegenden Eigenschaften geometrisch-optisch zu verstehen. Die Eindringtiefe des Lichtes in den Mantel ist klein. Sehr duMe Fasern mit dicker Umhiillung stellen Wellenleiter dar, die nur wellenoptisch behandelt werden konnen. Bei ihnen verlauft die Welle mit einer merklichen Amplitude auch im Mantel. Die Lichtleitung durch ein Bundel erfolgt durch fortgesetzte Totalreflexion innerhalb der Glasfasern. Damit die Totalreflexion nicht durch die Beriihrung der einzelnen Glasfasern gestort wird, iiberzieht man den Kern mit einem Mantel aus Glas niedrigerer Brechzahl. Die Endflachen der Faserbundel sind poliert. Ein unter dem Einfallswinkel E auf die Faser treffender Lichtstrahl wird an dieser gebrochen und trim auf die Grenzschicht Kern-Mantel. An dieser wird er bei Einhaltung des Grenzwinkels der Totalreflexion E ~ der , sich aus nM sin&G= -

(5.23)

nK

ergibt, gerade noch totalreflektiert. Da der Strahl auf die ntichste Kern-Mantel-Grenzschicht unter dem gleichen Winkel auftrifft. wird er an dieser ebenfalls totalreflektiert. Das wiederholt sich, bis der Strahl die Faser verliif3t. Es sol1 die maximale numerische Apertur des Lichtbundels berechnet werden, das durch Totalreflexion im Meridionalschnitt der Glasfaser weitergeleitet wird. Aus dem Brechungsgesetz sin E' = (sin &)/nK folgt mit dem groDten moglichen Brechungswinkel &' = go"+&, die Gleichung (Abb. 5.6) sin E sin(90"+eG) = C O S E ~= -. (5.24) nK

Der Grenzwinkel der Totalreflexion ergibt sich aus GI. (5.23), so da6 (5.25)

5 Nichtabbildende oDtische Funktionselemente

380

und A = sine =

-/,

(5.26)

ist. Bei nK = 1,7 und nM = 1,5 wird A = 0,8. Fur die Anwendung der Licht- und Bildleitkabel ist die Lichtdurchlassigkeit wichtig. Diese ist irn wesentlichen von der Durchlassigkeit der einzelnen Fasern, von der fiir den Lichttransport nicht genutzten Flache des Mantels und vorn Packungsfaktor abhiingig. Der Transmissionsgrad einer Faser wird durch die Fresnelschen Reflexionsverluste. durch Verluste infolge der vielfachen Totalreflexion und durch die Absorptionsverluste irn Glas bestimrnt. Der Reflexionsgrad ist bei einer einmaligen Totalreflexion theoretisch gleich 1. Praktisch W e n jedoch Storungen in der Kern-Mantel-Grenzschicht und sehr geringe Absorption im c

1

1

L

b‘:

I

I 1

I

t

Abb. 5.6 Meridionalschnitt einer Lichtleitfaser

Mantel zu geringen Reflexionsverlusten von Bruchteilen eines Promille. Durch den kleinen Faserdurchrnesser wird das Licht sehr viele Male reflekuert. Aus Abb. 5.6 ergibt sich fiir die Anzahl der Totalreflexionen auf der Lange 1 (5.27)

Bei einern Faserdurchmesser von 30 pm und der Liinge 1 m sind bei hoher Apertur einige lo4 Reflexionen rnoglich. Infolge dieser groSen Anzahl an Totalreflexionen wirken sich auch die geringen Verluste einer Reflexion auf den Transmissionsgrad der Faser rnerklich aus. Fiir die Absorptionsverluste ist der Glasweg (5.28)

groaer als die Faserliinge anzusetzen. Die Anordnung von zylindrischen Fasern in einem Bundel kann durch eine Quaclratpackung oder die dichteste Dreieckpackung vorgenomrnen werden. Fur die Quadratpackung

@

a)

b)

Abb.5.7 Packungsarten a) Quadratpackung, b) Dreieckpackung


38 1

ist (Abb. 5.7a)

tl=-=-AQuadrat

nr2 49

- 0,785

(A ist hier der Flacheninhalt). Fiir die Dreieckpackung ist (Abb. 5.7b)

Die GroDe 9 ist der Fullfaktor. Das Verhdtnis des Flacheninhalts des Faserkerns mit dem Durchmesser dK zur Flache der gesamten Faser mit dem Aul3endurchmesser d , multipliziert mit dem Fullfaktor, ergibt den Packungsfaktor up = (dK/d)’ 9. Fiir einen hohen Packungsfaktor und damit geringe Lichtverluste im Lichtleitkabel ist ein geringer Manteldurchmesser der Fasern gunstig. Andererseits ist jedoch eine Eindringtiefe von einigen Wellenlgingen in den Mantel fiir die Totalreflexion erforderlich. Bei handelsublichen Fasern betragt z. B. die BrechzaN nM = 1,52, die Brechzahl nK = 1,60. Nach GI. (5.26) wird ein Bundel mit der maximalen numerischen Apertur A = 0,5 ubertragen. Die Fasern haben einen Durchmesser von d = 30 pm. Es werden Kabel mit Lgingen bis zu 2 m und Durchmesser bis zu 10 mm angeboten. Der Transmissionsgrad betriigt unter bestimmten Bedingungen (mirtlere Apertur, Normlichtart A) Z= 0,5 bei der L a g e 250 mm, Z= 0,3 bei der Lginge 2 m. Mit flexiblen Lichtleitkabeln laBt sich Licht auf gekriimmten Bahnen weiterleiten. Dadurch wird eine Moglichkeit eroffnet, hochfrequente Feldenergie in der gleichen Weise zu bundeln wie niederfrequente Wechselstrome in Drtihten. Die Flexibilitat ist z. B. bei der Beleuchtung von Korperhohlen vorteilhaft, in die abbildende optische Systeme zur Beobachtung eingefiihrt werden. In optischen Gedten koMen z. B. uber Faserbundel mehrere Skalen durch eine zenwale Lichtquelle beleuchtet werden. Ein Teil der Planspiegel und der Reflexionsprismen l U t sich somit einsparen. Eventuell damit verbundene Platz- und Justierprobleme fallen also weg. Bildleitkabel. Ein Faserbundel kann als abbildendes Funktionselement im obengenannten e i n g e s c h r W n S h e verwendet werden. Dazu ist es erforderlich, dal3 die Fasern geordnet sind. Bei der Herstellung solcher Bundel wird der Glasfaden auf eine Trommel gewickelt. Der entstandene Faserring wird nach der Fixierung zerschnitten. Zur Bildubertragung muS auf der Eintrittsflache ein Bild erzeugt werden (Abb. 5.8). Das Auflosungsvermogen h a g t auf3er von dem der Eintrittsflgche aufgepragten Auflosungsvermogen noch vom Faserdurchmesser und vom Packungsfaktor sowie von der Ordnung der Fasern ab. Sehr duMe Fasern, die ein hohes Auflosungsvermogen haben, weisen groRere

Abb. 5.8 hertragung durch ein Bildleitkabel


382

Transmissionsverluste auf als dickere Fasern. Bei Duchmessern von 1 bis 100 pm und hohen numerischen Aperturen ist das erreichbare Auflosungsvermogen gut. Eine Kontrastminderung gegenuber dem aufgepragten Bild durch das Bildleitkabel kann durch zu geringe Schichtdicken des Fasermantels hervorgerufen werden. 1st die in den Mantel eindringende Welle nicht genugend abgeklungen, so dringt Energie in den Mantel der Nachbarfaser ein. Ferner koMen Inhomogenitaten im Faserkern bewirken, dal3 Strahlen so aus ihrer Richtung abgelenkt werden, daB sie in den Mantel eindringen. Bildleitkabel mit ebenen Endflachen ubertragen die Bilder aberrationsfrei. Durch eine entsprechende Form der Endflache der Kabel kann die Bildflache von der Ebene abweichend gestaltet werden. So ist z. B. die Bildfeldwolbung des vorangehenden Systems ausgleichbar. Durch konische Faserbundel kann auch der AbbildungsmaBstab in gewissen Grenzen beeinf l a t werden.

5.2 Dispergierende Funktionselemente 5.2.1

Dispersionsprisrnen

Ein dispergierendes Funktionselement zerlegt das Licht spektral. Hauptanwendungsgebiete der dispergierenden Funktionselemente sind -

die Spektroskopie (funktionsbestimmendes Element der Spektrografen); die Ausfilterung von quasimonochromatischem Licht aus polychromatischem Licht (funktionsbestimmendes Element der Monochromatoren).

Die wichtigsten dispergierenden Funktionselemente sind: - Dispersionsprismen (Brechung des Lichtes), - Beugungsgitter (Beugung des Lichtes), - Etalons und Keile (Interferenz des Lichtes). Wir behandeln zunachst die Dispersionsprismen. In der Mathematik wird unter einem Prisma ein Korper verstanden, dessen Grund- und Deckflache kongruente Vielecke darstellen und dessen Seitenflachen Parallelogramme sind. Fur die Zwecke der technischen Optik ist diese Definition um einen funktionellen Gesichtspunkt zu erweitern. Wir definieren:

I

Ein Prisma ist ein Korper aus einem lichtdurchljissigen Stoff, der mindestens zwei ebene und nichtparallele optisch wirksame Flachen hat.

Die optische Wirkung besteht im allgemeinen aus Reflexionen und Brechungen. Im Gegensatz zur Definition der Mathematik sind fiir ein Prisma in der technischen Optik die Form und die Beschaffenheit der optisch nicht wirksamen Flachen fiir die Funktion unwesentlich.

I

Ein Dispersionsprisma ist ein Prisma mit mindestens zwei brechenden Flachen. Der Winkel zwischen zwei brechenden Flachen ist ein brechender Winkel y . Ein Dispersionsprisma zerlegt das Licht spektral.

5.2 Dispergierende Funktionselemente

383

(Eine Grenzflache, durch die das Licht senkrecht hindurchgeht, betrachten wir hier als brechende Flache.) Die spektrale Zerlegung des Lichtes durch ein Prisma kann bewuDt genutzt werden. Sie kann aber auch unerwiinscht sein. Das ist der Fall, wenn das Licht vom Prisma nur abgelenkt werden soll. Wir sprechen d m nicht von einem Dispersionsprisma. Die Dispersion des Lichtes kann nicht geometrisch-optisch, sondern nur wellenoptisch verstanden werden. Deshalb gilt: Ein Dispersionsprisma ist ein wellenoptisches Funktionselement. Seine Hauptfunktion ist die spektrale Zerlegung des Lichtes. Die Ablenkung des Lichtes stellt eine Nebenfunktion dar. Da die Hauptfunktion auf der Brechung des Lichtes beruht. kann das Dispersionsprisma auch wie ein geometrisch-optischesFunktionselement behandelt werden. Die Aufgabe besteht zunichst darin, die Ablenkung 6 eines Lichtstrahls zu berechnen. Fiir einen Lichtstrahl beliebiger Richtung ist diese Aufgabe schwierig zu losen. Wir besc-en uns auf die Berechnung der Ablenkung eines Lichtstrahls, der im Hauptschnitt verlauft. Der Hauptschnitt zweier brechender Prismenflkhen steht senkrecht auf der brechenden Kante. Diese ist die Schnittgerade der brechenden Flachen. Ein Lichtstrahl, der im Hauptschnitt einfdlt, bleibt im Hauptschnitt.

I

Wir haben also den Vorteil, daR wir den Strahlverlauf in einer Ebene behandeln koMen. Eine geschlossene Formel fiir die Ablenkung 6 wiire aber trotzdem unhandlich. Wir leiten deshalb einen Formelsatz ab, mit dem die einzelnen GroRen schrittweise zu berechnen sind. Wir nehmen an, daR das Prisma beiderseits an den gleichen Stoff angrenzt. Die relative Brechzahl fiir den ijbergang in das Prisma sei n. Die Ableitung der Beziehungen ist in Tab. 5.2 enthalten. Die benotigten GroRen entnehmen Tabelle 5.2 Ableitung der Gleichungen fiir das Dispersionsprisma . . Gegeben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . Brechung . . . . . . an . .der . . ersten . . . .Flache . . . . . . . . . .

Anwenden &s Brechungsgesetzes sin E ; = Lsin E , hergang zur zweiten Flache

v

n

u

n

g

Auknwinkelsatz im Dreieck DFE

Winkelsumme im Dreieck DEG 180" = 180"-

Y-E;+E~

Urnformen E2

= y+E;

. . Brechung . . . . . . an . .der . .zweiten . . . . .Flache . . . . . . . . .

Anwenden des Brechungsgesetzes sine; = nsinE2

Einsetzen 6=-E,+&;-y

I

384


wir der Abb. 5.9. Das Ergebnis ist folgender Satz von Formeln: sin E; = -sin 1 . E,, n € 2 = y+E;, sin&; = n sinE2,

6

= -El+&;-

(5.29) (5.30) (5.31) (5.32)

y.

Die Anwendung von Formelsatzen zur schrittweisen numerischen Berechnung der GriiBen ist fir die geometrische Optik typisch. (Vgl. die Strahldurchrechnung durch Flachenfolgen.) Sie fiihrt im allgemeinen zu weniger Rechenfehlern als das Einsetzen von Zahlen in lange, unubersichtliche Formeln. AuSerdem kommt sie der Algorithmierung des Rechenprozesses entgegen und ist damit dle Arbeitsweise, die auf Rechenanlagen direkt ubertragbar ist.

Abb. 5.9 Meridionalschnitt (Hauptschnitt)

eines Dispersionsprismas

10 20 30 LO 50 60 70 80 90°

-El

Abb. 5.10 Ablenkung am Prisma als Funktion des Einfallswinkels

10 20 30 40 50 60 70 80 90"

-Lf

Abb. 5.11 Bestimmung der Brechungswinkel

bei Minimalablenkung

In Abb. 5.10 ist fiir ein Prisma mit der Brechzahl n = 1,5028 und mit dem brechenden Winkel y = 60' die Ablenkung 6 als Funktion des Einfdlswinkels E , grafisch dargestellt. Die Kurve beginnt bei - E , = 28'6', weil fiir betragsmaig kleinere Einfallswinkel an der zweiten = 37'24' bei eiFlache Totalreflexion eintritt. Die Ablenkung hat ein Minimum aMin nem Einfallswinkel von - E , = 48'52'. In Abb. 5.11 sind die Funktion &; = f ( - & , ) und die ) die Gerade schneiden sich bei Gerade E; = - E , angegeben. Die Kurve &; = f ( - ~ ~und - E , = 48'52'. Daraus folgt fir das spezielle Beispiel, da8 die Minimalablenkung bei E;

=

-&,

(5.33)

385

5.2 Dispergierende Funktionselemente vorliegt. Aus G1. (5.33) folgt sin E; = -sinEl, wegen G1. (5.29) und G1. (5.31) ist n sin &* =

- n sin &I, also auch (5.34)

E, = -&:.

Die Gleichungen (5.33) und (5.34) leiten wir in der Tab. 5.3 allgemein ab. Es gilt also: Die Ablenkung 6 hat ihren kleinsten Wert, d. h, es liegt die Minimalablenkung vor, wenn das Licht im Hauptschnitt symmetrisch verlauft (Abb. 5.12).

I

Zwischen der Minimalablenkung 6, und dem brechenden Winkel 1 a t sich ein direkter Zusammenhang finden. Dieser wird in der Tab. 5.4 hergestellt und fiihrt auf sin"- 8 +Y = nsin--. Y

(5.35)

2

2

Tabelle 5.3 Ableitung der Winkelbeziehungen fiir die Minimalablenkung hderung der Ablenkung mit E; Ableiten von 6 = - E , + E; - y

Ableiten von

E,

= arcsin ( n sin &;)

n cos E;

d&

&=Jw

b

Ableiten von &; = arcsin ( n sin n cos E , d4 = dE2

b

Ableiten von .z2=

b

JE

d&2 = d&i

y+E;

1

w Bedingung fiir einen Extremwert n cos E; n cos &2 -d6 =-

I

Urnformen

Anwenden der Vorzeichenregel E ; = -&2

I

386


Diese Gleichung stellt d e Grundlage fir die Messung der Brechzahl des Prismenwerkstoffs dar. Der brechende Winkel und die Minimalablenkung 6, konnen mit einem Goniometer gemessen werden.

Abb. 5.12 Symmetrischer Strahlenverlauf im Dispersionsprisma Tabelle 5.4 Ableitung der Gleichung fiir die Minimalablenkung

1

Anwenden von I

Einsetzen von €2

E, = - E ;

in

= y+E:

y = -24

Einsetzen von E; = 6 = -&,+E;-y 6, = -2E,

-

-E,

in

y

Y -- -1 sin &+Y sin 2 n 2 Prismen-Anordnungen. Im einfachsten Fall besteht das Optik-Schema eines Monochromators aus einem Beleuchtungsspalt, der mittels eines Kollimators ins Unendliche abgebildet wird, dem Dispersionsprisma und einem Fernrohrobjektiv, das den Eintrittsspalt in den Austrittsspalt abbildet. Das gewiinschte Wellenltingenintervall wird durch das Drehen des Prismas eingestelit (Abb. 5.13). Ohne besondere Manahmen ld3t sich nicht erreichen, dal3 nach dem Justieren auf Minimalablenkung fiir eine Wellenltinge auch die anderen Wellenliingen in Minimalablenkung auf den Austrittsspalt fokussiert werden.

had

Beleuateter Spolt

H-HA,

H=Hbb

spolt

./'

/d/

Abb. 5.13 Optikschema des Prismenmonochromators

5.2 Diswraierende Funktionselemente

387

Es w d e n deshalb Prismenformen sowie Baugruppen aus Dispersionsprismen und Spiegelflachen entwickelt, deren Gesamtablenkung unabhiingig von der Wellenliinge ist. Bei ihnen ist dann nur die Minimalablenkung fiir eine Wellenlbge einzujustieren, um &e Minimumbedingung fiir alle Wellenlhgen zu efillen.

Wadsworth-Anordnung. Abb. 5.14 zeigt die Kombination aus Dispersionsprisma und Planspiegel. Die Ziffern bei den Winkeln geben die Reihenfolge der Winkelbestimmung an, Das Ergebnis fiir die Gesamtablenkung durch Prisma und Spiegel ist Sp+s = 180”- 2p. (5.36)

Abb. 5.14 Kombination aus Prisma und Planspiegel

Die Ablenkung ist SOWON vom Einfallswinkel als auch von der Wellenliinge 2 unabhiingig. Eine Drehung des Gesamtsystems iindert die Ablenkung nicht. Fiir = 90” wird =0 (Abb. 5.15). Diese Anordnung des Planspiegels, bei der das Licht nicht abgelenkt wird, wird Wadsworth zugeschrieben. SP+S

Einprisma konstanter Ablenkung. Der Planspiegel kann wegen der Umkehrbarkeit des Strahlengangs auch vor dem Dispersionsprisma stehen. Der Spiegel lsist sich auch zwischen zwei Teilprismen anordnen. Die Abb. 5.16a. b, c zeigen den iibergang vom Einzelprisma zur Baugmppe aus zwei Teilprismen und einem Planspiegel. Es gilt ebenfalls Sp+s = 180”- 2p. Durch Anschleifen der beiden brechenden Flachen und der Spiegelflache an einen Glaskorper (gestrichelt gekennzeichnet) entsteht ein sogenanntes “Einprisma” mit konstanter Ablenkung.

388


Abb. 5.16 a) Prisma mit Minimalablenkung. b) Aufspaltung des Prismas aus a) in zwei Teilprismen,

c) hergang zum Einprisma konstanter Ablenkung Das Autokollimationsprisma (Abb. 5.17) ist der Spezialfall des Einprismas mit 6p+s= 180'.

/

/

Abb. 5.17 Autokollimationsprisma (Lituow-Prisma)

p =O

und

Abb. 5.18

Abbe-Prisma

Das Abbe-Prisma (Abb. 5.18) ist der Spezialfall des Einprismas mit p = 45' und 6p+s= 90°, bei dem y = 60' gewiihlt ist. An der Spiegelflache betragt der Einfallswinkel 45', so dal3 sie totalreflektierend sein kann. Wird das Abbe-Prisma, wie in Abb. 5.18 angegeben, aus drei Teilprismen zusammengesetzt, so ist es moglich, die Dispersionsprismen aus Flintglas und den totalreflektierenden Halbwiirfel zur Verringerung der Absorption im kurzwelligen Bereich aus Kronglas zu fertigen. Bei Herstellung aus einem Glaskorper ist es fertigungstechnisch gunstiger, das Prisma um den in Abb. 5.18 gestrichelt gezeichneten Teil zu vergroaern. Baugruppen mit mehrfacher Dispersion entstehen, wenn ein Prisma doppelt durchsetzt oder mehr als ein Prisma verwendet wird. Abb. 5.19 zeigt ein Beispiel aus einem doppelt durchsetzten Abbe-Prisma, einem Autokollimationsprisma und einem Planspiegel (bei gleichen brechenden Winkeln der Prismen dreifache Dispersion). Konstante Ablenkung erfordert die Drehung der beiden Prismen um eine gemeinsame Achse bei feststehendem Spiegel.


389

\

Abb. 5.19 Kombination aus Abbe-Prisma,

Abb. 530 Flirsterlingscher Dreiprismensatz

Planspiegel und Autokollimationsprisma Abb. 5.20 enthat den Fijrsterlingschen Dreiprismensatz. Da sich die Ablenkungen der beiden einfachen Dispersionsprismenaufheben, bleibt nur die 90"-Ablenkung des Abbe-Prismas ubrig. Prismenkombinationen ohne Spiegelflache lassen sich ebenfalls mit konstanter Ablenkung ausbilden. Dazu ist es erforderlich, daB sie entgegengesetzt zueinander verdreht werden. Kollimator und Fernrohrobjektiv mussen mitgedreht werden. Im Beispiel der Abb. 5.21 sind der Kollimator mit dem ersten, das Objektiv mit dem zweiten Prisma starr zu verbinden.

Die Prismen werden nicht nur von Strahlen durchsetzt, die im Hauptschnitt verlaufen, sondern auch von windschiefen Strahlen. Das hat ZW Folge, daR das Fernrohrobjektiv eines Spektografen oder Monochromators ein gekriimmtes Bild des geradlinigen Eintrittsspaltes erzeugt. Es tritt eine Kriimmung der Spektrallinien auf. Deshalb koMen Monochromatoren und Spektografen zur optimalen Lichtnutzung mit geknimmtem Austrittsspalt ausgeriistet sein. Der Radius der Spektrallinien in der Bildebene eines Femrohmbjektivs mit der BreMweite f betrsgt bei symmetrischem Strahlenverlauf in einem Prisma (Minimalablenkung)

fsp

=

d-

1 n2sin*1 2 Y ( n 2 - 1) sin 2

2nfl

(Bei y = 60°, n = 1,7200 und f' = 100 mm ergibt sich fsp = 179mm.)

(5.37)

390


Geradsichtprisrnen. Die bei Dispersionsprismen mit der Farbaufspaltung verbundene Ablenkung des Lichtes ist fiir Laborgerate im allgemeinen unerheblich. Fiir transportable Gerate, z. B. fiir Handspektroskope, ist ein fluchtender Strahlenverlauf vorzuziehen. Sowohl eine einfache Be&enung als auch eine zweckmtd3ige Formgestaltung sind mit der gestreckten Anordnung der B augruppen giinstiger zu verwirklichen. Geradsichtprismen lenken das Licht einer mittleren Wellenlbge nicht ab. Die Farbaufspaltung ist gering, so daB sie nur fiir Handspektroskope geeignet sind. Das Amici-Prisma (Abb. 5.22) besteht aus Kron- und Flintglasprismen, deren Ablenkung sich fiir die mittlere Wellenlhge aufhebt. Das Licht der Hauptfarbe muD d a m die Baugruppe symmetrisch durchsetzen. Das bedeutet beim Amici-Prisma aus drei Teilprismen symmetrischen Strahlengang am mittleren Prisma, gleiche brechende Winkel und verschwindende Ablenkung an den beiden aaeren Prismen (vorausgesetzt sind gleiche Glastypen in den au5eren Prismen).

Abb. 5.22 Amici-Prima aus a) drei bzw. b) fiinf Teilprismen

Aus der Forderung nach verschwindender Ablenkung, 6 = - E, + &; - y1= 0, am ersten Prisma folgt mit &; = - y2/2 (wegen der umgekehrten Lage nehmen wir den brechenden Winkel y2 negativ an)

Aul3erdem gilt €2

=&I + y1.

Anwenden des Brechungsgesetzes an den beiden Grenzflachen des ersten Prismas ergibt nach dem Umformen (5.38)

Abb. 5.23 enthat die Abhhgigkeit n; =f(n;) mit - y 2 als Parameter bei y1 = - y2. Die Grenzgerade fiir y2 = 0 mit der Gleichung n; = 2 4 - gilt fiir drei Keile, die aber wegen der unzureichenden Dispersion nicht geeignet sind. Abb. 5.24 gibt fiir den Einsatz von B K 7 (n, = 1,5 1859, v, = 63,87) in den beiden auDeren Prismen und y, = - yz die erforderliche Brechzahl des mittleren Prismas an. Bei der Kombination mit SF21 (n, = 1,93322, v, = 20,78 ) gilt yz = - 80,34O. Die Divergenz zwischen der h- und der C-Linie bemgt 11". Bei einem Prismensatz, dessen auRere Prismen den brechenden Winkel y1= 70" haben und aus BK7 gefertigt sind, mu13 das mittlere Prisma mit yz = -90" aus Glas mit der


39 1

Brechzahl n, = 1,73395 bestehen. Dafiir wiirde sich evtl. SF 10 (n, = 1,73430, v, = 28,12) eignen, mit dem aber das Licht der e-Linie um 0,05O abgelenkt wird. Die Dispersion zwischen der h- und der C-Linie betragt 4,88O.

1,L

15,

1,6

1,7

* n;

60

I

I

70

60

I

-

90 1w d; in Grod

Abb. 5.23 Brechzahl des Mittelprismas als

Abb. 5.24 Brechzahl des Mittelprismas

Funktion der Brechzahl der aukren prismen bei verschiedenen brecbenden Winkeln

als Funktion des brecbenden Winkels bei n;= n; = 1,51859

110

Geringere Reflexionsverluste an den Grenzflachen erhiilt man, wenn diese senkrecht zur Richtung des Lichtes der mittleren Wellenliinge orientiert werden. Ein Beispiel dafilr ist das Wernicke-F'risma (Abb. 5.25). Die drei Teilprismen miissen aus unterschiedlichen Glastypen hergestellt werden. Es ist yl = - y2/2 und &2 = - E; = yl, so da6 das zweimalige Anwenden des Brechungsgesetzes mit der ijbergangsbeziehung & j = E; + y2auf

+

n; = -nl cos 2y1 2 cos yl Jni2 - n;' sin2y1

(5.39a)

oder (5.39b) fiihrt. Bei y, =45" ist z.B. die Brechzahlkombination SFlO (n, =1,73430, v, =28,12), BaF 13 (n, = 1,62250, v, = 49,09), K 11 (n, = 1,50207. v, = 61.37) geeignet. Die Aufspaltung zwischen der h- und der C-Linie betragt allerdings nur 0,96O. Bei y1 = 30" ist die Brechzahl im dritten Prisma auf n, = 1,52749 abzuadern.

5 Nichtabbildende omische Funktionselemente

392 5.2.2

Beugungsgitter

Die Beugungsgitter lassen sich nach verschiedenen Gesichtspunkten einteilen. Wir beschrkken uns auf Liniengitter und unterscheiden nach den beiden Moglichkeiten, die komplexe Amplitude des Lichtes zu beeinflussen, Amplituden- und Phasengitter, - nach der Form der Gitterflache Plan- und Konkavgitter, - nach der Beobachtungsart Transmissions- und Reflexionsgitter. -

Wir greifen aus den Kombinationen der drei angefiihrten Merkmale die praktisch wichtigsten heraus und gehen niiher darauf ein. Ein planes Transmissionsgitter entsteht, wenn auf einen ebenen Gitterrohling, z. B. aus POliertem Glas, mit einem Diamanten in gleichmaigen Abstiinden SUiche geritzt werden. Dazu dienen die Gitterteilmaschinen. Bei diesen wird entweder der Gitterrohling oder das ReiDwerk, das den Diamanten tragt, mittels Priizisionsschrauben jeweils um die Gitterkonstante verschoben. Im ersten Fall bewegt sich der Diamant, im zweiten das Gitter lwgs einer Furche. Der gesamte Aufbau der Gitterteilmaschine mu13 sehr stabil sein. Fiir geringere Anspriiche an &e Gleichmal3igkeit der Teilung werden Gitterkopien verwendet. Auf ein Glasgitter wird mehrere Male eine Kollodiumlosung gegossen. Nach dem Eintrocknen l26t sich ein dunner Film abziehen, der die Gitterstrukhu-besitzt. Auch andere Stoffe eignen sich fiir eine Kopie des Gitters. Beim planen Transmissionsgitter liegen die Ordnungen nach G1. (2.329) in den Richtungen 010-01

=g

m=0,+1,+2,+3 ,...

Die Intensitat in den Ordnungen h k g t von der Furchenform ab und ist nicht in jedem Fall im voraus festzulegen. Bei planen Reflexionsgirtern wird die Teilung in eine Metalloberflache geritzt. Meistens ist das Spiegelmetall auf einen Glastrager aufgedampft. Welches Metal1 verwendet wird, richtet sich auch nach dem vorgesehenen Spektralbereich. Im Ultravioletten eignet sich z. B. Aluminium, Bei Reflexionsgittern 1 a t sich mit entsprechend geformten Diamanten im allgemeinen eine vorgeschriebene Furchenform gut annaern. Das gilt besonders fiir Gitter, die im langwelligen Spektralbereich (Infrarot) eingesetzt werden, weil dam die Gitterkonstante groDer sein kann.Reflexionsgitter sind im wesentlichen Phasengitter, d. h,die Phase ist eine periodische Funktion des Ortes. Die Ordnungen liegen auch beim Reflexionsgitter in den aus (5.40)

berechneten Richtungen. Der Richtungskosinus a: gibt die Richtung des reflektierten Lichtes an. Nach Abb. 5.26 ist

a0 = -/

180"-&,,

also a; =

-01,.

(5.41)

Auf die Richtung des einfallenden Lichtes bezogen gilt demnach

a0+a = --.mA g

(5.42)


393

Fiir das ungebeugte Licht der nullten Ordnung gilt behandeln wir zwei Spezialfdle. h

01

= -ao.Hinsichtlich der Furchenfonn

gebeugtes Licht

Abb. 5.26 Beugungswinkel bei Reflexionsgittem

Das Laminargitter besitzt “kastenformige” Furchen (Abb. 5.27). Wir untersuchen die Beugung fiir senkrechten Lichteinfall und fiir niedrige Ordnungen. Bei der Stufenhdhe h haben die in den Vertiefungen reflektierten Biindel gegeniiber den auf den Erhohungen reflektierten Biindeln den lbgeren Lichtweg 2h. Die Phasendifferenz betriigt

a = -47th

(5.43)

A ‘

Fiir die Strukturfunktion gilt

1

oI

ej’, f ( ~= ) ej”’. 1,

K

0 gegeben, die Filter sehen braunlich-rot aus. Abb. 5.38 enthiilt fiir einige Beispiele die Reintransmissionsgrade fiir die Einheitsdicke als Funktion der Wellenlhge.

409

5.3 Filternde Funktionselemente Tabelle 5.8a Einteilung der Farbgliker nach dem spektralen Transmissionsbereich U(V)-Glber Blauglber Griingliker Gelbgriinglber Gelbglwr OrangeglWr Rotgl-r

U B V GV G 0 R

I(R)-Gliker WeiDglkr Bandengiber Neutralglber Wmeschutzg1;iser Farbtemperaturiindernde Glslser

I W M N C FB FR

Tabelle 5.8b Einteilung der Farbglkr nach dem charakteristischen spektralen Transmissionsverlauf Kantenglber Anlaufglber Einmaximumglber

K A E

Doppelmaximumglslser Bandenglber

D (300.. .800 nm)

I I

I I I

X i n nm

-

t

1000

ILOO

-

1800 2200 kin n m

' 2600

3000

Abb. 5.38 Reintransmissionsgrad von Farbfiltern als Funktion der Wellenlslnge

Code-Nr. 726 (WeiOglas WG 10). 671 (Griinglas VG 12), 771 (IR-KantenglasUG7)

5.3.2

Interferenzflter mit Absorption

Die Herstellung von Interferenzfiltern wurde moglich, nachdem die Technologie dunner Schichten industriell beherrscht wurde.

I

Interferenzfilter enthalten Systeme aus diinnen Schichten, in denen das Licht so interferiert, dai3 der spektrale Transmissionsgrad oder der spektrale Reflexionsgrad an einen vorgegeben Verlauf weitgehend angeniihert wird.

Entsprechend dieser Begriffsbestimmung unterscheiden wir Interferenztransmissions- und Interferenzreflexionsfilter. Ein Teil der diinnen Schichten muS geniigend durchsichtig sein. Wegen der geringen Schichtdicken konnen wir die Absorption in Nichtleitern vernachlbsigen. Wir bezeichnen


410

deshalb ein System aus nichtleitenden Schichten als lnterferenzfilter ohne Absorption. Interferenzfilter mit Absorption enthalten duMe und damit teildurchlassige Metallschichten. Wir behandeln zuniichst den theoretisch einfachen Fall der nichtleitenden Einfachschicht zwischen teildurchliissigen Metallschichten (Abb. 5.39).

n.1 "2

n3

zwischen Metallschichten

Interferenzflter mit Absorption (Einfachschicht). Die Anordnung nach Abb. 5.39 ist dem Fabry-Perot-Etalon analog. Die Metallschichten haben zwei wesentliche Wirkungen: Erhohung des Reflexionsgrades an den Oberflachen der nichtleitenden Schicht; - hderung der Phase des Lichtes (Phasenspnmg). -

Die Reflexion an den Adenflachen der Trager ist fir die Interferenz unwesentlich; sie geht in den Transmissionsgrad des Filters ein. Wir berechnen den Reintransmissionsgrad eines Filters, auf den eine ebene Welle trim. Innerhalb der nichtleitenden Schicht treten Mehrfachreflexionen auf. Shtliche im hindurchgehenden Licht enthaltenen Bundel mussen durch beide Metallschichten gehen, wobei die komplexen Amplituden um die Faktoren tl und t2 geschwacht und in der Phase um exp j ( 6 d l + a d 2 ) geiindert werden. Die Groaen t,, t 2 , a d , , 6 d 2 folgen aus den Formeln fiir die Metallreflexion. Gegenuber dem direkt hindurchgelasenen Licht haben die ubrigen Bundel je zwei zusatzliche Metallreflexionen mit dem Reflexionsfaktor r, r2 und der Phaseniindenmg 6,, + ar,erfahren. Zwei aufeinanderfolgende Bundel haben die Phasendifferenz 6 durch den Wegunterschied in der Schicht. Die komplexe Amplitude eines beliebigen Biindels lautet also = at1 2 . e j ( b , + & 2 ) ( 1

2 1L-l. e j W - l ) ( 4 , + & 2 ) ,

ej(k-1)6.

(5.1 16)

Wir nehmen an, daD beide Metallschichten gleich sind. Ferner verwenden wir den Energiesatz in der Form R+T+A = 1 (R Reflexionsgrad, T Transmissionsgrad, A Absorptionsgrad). AuRerdem ist analog zu G1.

(2.201) und G1. (2.202)

qr2 = q2 = R

(5.117)

= 1-R-A

(5.118)

und tit2

zu setzen.

5.3 Filternde Funktionselemente

Wegen der gleichen Einfallswinkel an den Metallschichten ist (5.117)undGl. (5.118)gehtGl. (5.116)iiberin a;( = a ( l - ~ - ~ ) . e j ( s " l + " " 2 ~ k - l . eZj(k-1)6,.ej(k-l)s

41 1

Sr,= Sr, = Sr . h4it G1. (5.1 19)

Die durch Interferenz der Teilbiindel entstehende Amplitude betragt (5.120) Die Summation wird mit der Formel fiir die Summe der unendlichen geometrischen Reihe ausgefiihrt. Wir erhalten (5.121)

-

(1- R A)'

1" =

(5.122)

Fiir die Maxima gilt 1-R-A

(5.123)

1-R

A+Sr = kn.

(5.124)

2

Der Transmissionsgrad hiingt vom Absorptionsgrad der Metallschichten ab und sinkt erwartungsgemS3 mit wachsender Dicke der Verspiegelung. Aus G1. (5.124) ergibt sich unter Vetwendung von G1. (2.217a)

2x n, d cos E" A0

+a, = kn.

(5.125)

Die erforderliche Schichtdicke betriigt d =

*O

2n n2 cos E"

(kn-5,).

(5.126)

Nach dem Vorbild der Ableitung von G1. (5.90) erhalten wir fiir die relative Halbwertsbreite der Durchliissigkeitsmaxima

' '

(5.127) xfi(k-$)

Analog lS3t sich auch die relative Zehntelwertsbreite berechnen. Es ergibt sich

1- A i o

1

=

3(1- R)

(5.128)

412


Fur Interferenzfilter mit Einfachschichten gilt also allgemein A&,, = 3AAO3.

(5.129)

Wir diskutieren die Gleichungen (5.123), (5.124), (5.127) fiir senkrechten Lichtdurchgang und n, = n3.Die Ergebnisse sind dann unabh8;ngig von der Schwingungsebene des einfallenden Lichtes. Aus G1. (5.126) folgt (5.130) Fik Silberschichten gilt bei

&=0

praktisch unabhigig von der Schichtdicke angeniihert

6, = 0 , 2 5 ~ .

(5.131)

Bei Lo = 552 nm und n2 = 1,5 ergibt sich flir k = 1 eine Dicke von d = 138nm. In den hoheren Ordnungen ist d um Vielfache von Ao/2nz = 184 nm zu vergroDern. Die Eigenschaften zweier Filter, die sich in der Dicke der Silberschichten unterscheiden, sind in Tab. 5.9 zusammengestellt. Folgende allgemeingultigen Ergebnisse sind abzulesen: Ein hoherer Reflexionsgrdd setzt den Transmissionsgrad stark herab. - Ein Filter 1. Ordnung l a t auch Licht mit kleinerer Wellenliinge hindurch. - Ein Filter hoherer Ordnung l a t auch Licht hoherer und niedrigerer Wellenliinge hindurch. - Filter hoherer Ordnung haben geringere Halbwertsbreiten. -

Tabelle 5.9 Vergleich von vier Interferenzfiltern

1

Filter I

Filter I1

R

0,86

A

0,02 0,12 0,734

0,945 0,025

I. Ordnung d (in nm)

0,03

AM,

0,298

6.4%

2.4%

T I;, /I

Filter I und Filter I1

(innm)

138 552 236,57 1503

1. Ordnung

4. Ordnung d (in run)

A,, 4. Ordnung

0,48W

(in nm)

690 2760 1182 752,73

552 435,74

Sol1 ein Filter nur eine Ordnung hindurchlassen, also ein Linienfilter sein, d a m miissen wir ihn mit einem zweiten Filter koppeln, der die ubrigen Ordnungen unterdriickt. Das kann durch ein Farbglas erreicht werden. Handelsubliche Interferenzfilter enthalten deshalb eingekittete Farbglaser. Bei der Anwendung eines Interferenzfilters mussen wir darauf achten, &a13 er vom Parallel-

5.3 Filtemde Funktionselemente _ _

~

413

~

~~

~

__

biindel senkrecht durchsetzt wird. Bei kleinen Neigungen verschiebt sich sein Transmissionsgrad-Maximum nach kleineren Wellenliingen. Aus GI. (5.126) folgt (5.132) Fiir kleine Winkel gilt (5.133)

Es handelt sich um einen quadratischen Effekt, so L-LD kleine Abweic.-ungen von E” = 0 in Kauf genommen werden koMen. Abweichungen von der Parallelltiit innerhalb des Lichtbundels bewirken eine Abnahme der Wellenlhge des Lichtes nach dem Ran& zu. Bei einem Bundel mit dem Offnungswinkel2u innerhalb der Schicht ergibt sich ao(En=o)-a0(Ett=U)

= ) ~ , - a , c 0= ~ ~ 2,(i-cosu).

(5.134)

Bei u = 60’ ist also z. B.

a,(&” = 600)

=

1 A,(E” 2

= 01.

(5.135)

SchlieBlich ist zu beachten, da6 das Licht bei schrlgem Durchgang durch den Filter polarisiert wird. Die Beziehungen sind dann fiir R,, und R,, T, getrennt anzuwenden (vgl. 5.4.5). Die Intensitat in den Maxima wird auch verhdert, weil die Metallschichten wellenliingenabMgig absorbieren. Dadurch wird u. a. der Einsatz von Interferenzfiltern im Ultravioletten und Infraroten beeintrachtigt. Filterkombinationen ohne Kopplung. Interferenzfilter k0Mm miteinander kombiniert werden. Sie wirken dann so wie Anordnungen aus Farbglbern. Die Transmissionsgrade der einzelnen Filter sind miteinander zu multiplizieren, weil zwischen den wirksamen Schichten verschiedener Filter keine Interferenz des Lichtes eintritt. Wir sprechen deshalb auch von Filterkombinationen ohne Kopplung bzw. von hppelinterferenzfiltern. Durch die Reflexionen an den Filteroberflachen wird der Transmissionsgrad herabgesetzt. AuDerdem konnen bei parallelen Filtern storende Nebenbilder entstehen. Die Filter werden deshalb manchmal gegen die optische Achse geneigt. Dabei mu6 auf die veriinderte Lage des Maximums geachtet werden. Mehrfachschichten mit Kopplung. Wir sparen gegenuber den ungekoppelten Interferenzfiltern Metallschichten ein, vermindern also die Absorptionsverluste, wenn wir abwechselnd nichtleitende und leitende Schichten aufdampfen. Der Transmissionsgrad des Filters ist dann nicht mehr das Rodukt aus den Transmissionsgraden der Einzelschichten. Wegen der Interferenz siimtlicher durch das Schichtsystem hindurchgehenden Bundel mussen erst die komplexen Amplituden addiert werden, bevor daraus die Gesamtintensitiitgebildet werden kann. Die Schichten sind miteinander gekoppelt. Je weniger durchltissig die Metallschichten sind, desto geringer ist die Kopplung. Formal bestehen Analogien zu den gekoppelten elektrischen Schwingkreisen, wie sie in den Bandfiltern vorkommen. Die Transmissionsgradkurven entsprechen daher mit wachsender Kopplung - also mit steigendem Transmissionsgrad der Metallschichten - immer mehr den typischen Bandfilterkurven mit einer Einsattelung des Maximums (Abb. 5.40 a, b, c). Wir beschrwen uns auf ein Beispiel aus [ 5 ] . Es handelt sich um


414

einen Zweifachflter, bei dem samtliche Nichtleiter gleiche Brechzahl haben und die drei Metallschichten gleich sind. Die Daten der Metallschichten sind: Abb. 5.40a Abb. 5.40b Abb. 5.40~

Dicke d = 30 nm , Transmissionsgrad T = 0,164 ; Dicke d = 20 nm , Transmissionsgrad T = 0,30; Dicke d = 15 nm, Transmissionsgrad T = 0,40.

0)

b)

c)

Abb. 5.40 Transmissionsgrade bei gekoppelten Interferenzschichten a) Schwache, b) mittlere, c ) starke Kopplung

Tab. 5.10 enthdt industriell gefertigte Typen von Interferenzfiltern mit Absorption. Die Spezialfilter sind enger toleriert, so daR das Transmissionsgrad-Maximum genauer garantiert wird. Bei den Doppel- und Kopplungsfiltern sind zwei Filter mit unterschiedlicher Ordnung der Maxima miteinander kombiniert. Die Resonanzfilter enthalten Zweifachschichten mit Kopplung, bei denen AAOJ = 1,7A& gilt. Es handelt sich um Interferenzfilter mit einer groaeren Flankensteilheit der Maxima. Tab. 5.1 1 enthalt die Daten von jeweils einem Beispiel fiir jeden Filtertyp. Tabelle 5.10 Industriell gefertigte Typen von Interferenzfiltern mit Absorption

Bezeichnung

Abkiirzung

W -1nterferenzfilter Interferenzfilter IR-Interferenzfilter

WIF IF

W-Spezialinterferenzfilter Spezialinterferenzfilter IR-Spezialinterferenzfilter

WSIF SIF

W-Kopplungsinterferenzfilter Doppelinterferenzfil ter W-Kopplungsspezialinterferenzfilter

Doppelspezialinterferenzfilter

WKIF DIF WKSIF DSIF

Resonanzinterferenzfi lter Resonanzspezialinterferenzfilter Doppelresonanzsinterferenzfilter Doppelresonanzspezialinterferenzfilter

RIF RSIF DRIF DRSIF

IRIF

IRSIF


415

Tabelle 5.11 Beispiele von industriell gefertigten Interferenzfiltem mit Absorption ( 7 Transmissionsgrad bei der Wellenluge A , AA Toleranz der Wellenltinge kn DurchlaSmaximum, AAo.s Halbwertsbreite)

TYP

7 in %

AJnm

AA/m

AA,,/nm

100AAo,5/Ain %

WIF IF

25...30 25...35 20...30

333 546 2000

+5

f5 f 30

10...20 7...11 5 70

3...6 1,3...2 53 s

25...30 25...35 20...30

546

f 2 f 3 +12,-4

10...20 7...11 < 70

3...6 1,3...2 5 3.5 2,7.. .6,7 0,92.. ./6 2,7.. .6.7 0,92. . . / 6

2.7 ...4,6 2,7...4.6 1,8...3,7 1,8.. .3,7

IRIF

WSIF SIF

IRSIF

333 2000

DIF WKSIF DSIF

15...20 8...15 15...20 8.. .15

225 546 225

f4 f 5

546

f 3

6...15 5 . .9 6...15 5 . .9

RIF RSIF DRIF DRSIF

40...60 40...60 20...30 20.. .30

546

f5 f 3 f5 +3

15...25 15.. .25 10...20 10...20

WKIF

5.3.3

546

546 546

f2

Dielektrische Mehrfachschichten

Einfachschicht. Eine diinne nichtleitende Schicht zwischen gleichen Tfigerplatten mit einer anderen Brechzahl erzeugt wegen des geringen Reflexionsgrades der Grenzflachen nur zwei Bundel wesentlicher Intensitat. Der Transmissionsgrad h> kosinusformig von der Wellenliinge ab. Die Einfachschicht ist als Filter wenig geeignet. Die Metallschichten in den Interferenzfiltern mit Absorption dienen der Erzeugung vieler interferierender Bundel. Ihr Nachteil ist die Absorption, die bei kleinen Halbwertsbreiten nur geringe Transmissionsgrade ennoglicht. Die absorbierte Energie wird in W W e umgewandelt. so dao bei hohen Intensitaten Ver2nderungen im Filter auftreten kijnnen. Mehrfachbundel miissen aber auch entstehen, wenn nichtleitende Schichten mit abwechselnd hoher und niedriger Brechzahl verwendet werden (damit der Reflexionsgrad der Grenzflachen merklich ist). Deshalb eignen sich auch Schichtsysteme, die nur nichtleitende Schichten enthalten, als Interferenzfilter. Die Transmissionsgradkurven solcher Filter haben wegen der starken Kopplung der Schichten den Charakter von Bandfilterkurven. Behandlung von Schichtsystemen. Wir gehen von den Gleichungen (2.47a, b) und (2.48a, b) aus, die fiir eine Grenzflache gelten. Sie haben sich unmittelbar aus der Forderung ergeben, dal3 die Tangentialkomponenten der elektrischen und der magnetischen Feldsttirke an der Grenzflache stetig sind. Bei zwei Grenzflachen ist im Inneren der Schicht an der ersten Grenzfliiche noch der Anteil al” zu addieren, der durch die Reflexion an der zweiten Grenzflache zuriicklauft (Abb.


416

5.41). Wir beschriinken uns zunachst auf den Fall der senkrecht zur Einfallsebene schwingenden elekuischen Feldstake. Den Index s in den Gleichungen lassen wir vorlaufig weg.

Aus G1. (2.47b) folgt fiir die komplexe Amplitude an der ersten Grenzflache a, +a; = a;+al”.

(5.136)

An der zweiten Grenzflache gilt

(5.137)

a2 +a; = a;.

Fur die komplexen Amplituden der magnetischen Feldstiirke ergeben sich aus G1. (2.48a) bis auf den Faktor der sich ohnehin herauskiirzt,

,/=,

n, (a, - a;) cos E , = n1” =

(5.144)

Auflosen der Gleichungen (5.143) und (5.144) nach den komplexen Amplituden a; und a?


417

liefert (5.145a, b) Einsetzen von a: und u;" in G1. (5.136) sowie Anwenden der Eulerschen Formel fiihrt auf (5.146) Einsetzen von a; und a;" in G1. (5.138) sowie Anwenden der Eulerschen Formel ergibt (5.147) mit

y: =

no cos tz0 = n, COSE~

(5.148)

(no, E~ GrMen vor der Schicht).

G1. (5.146) und G1. (5.147) stellen ein lineares Gleichungssystem dar, das in Matrixschreibweise (5.149) lautet. Die Matrix (5.150) enthat die charakteristischen Daten der Schicht fiir die senkrecht schwingende Welle. Die analoge Ableitung ftir eine Welle, bei der die elektrische Feldsttirke parallel zur Einfallsebene schwingt, hat von den Gleichungen (2.47a) und (2.48b) auszugehen. Sie lauten unweggelassen) ter Einbeziehung des an der zweiten Grenzflache reflektierten Anteils (*/, (al - a ~ ) c o s ~=, (a;-ay) cose;l,

n,(al +a;) = n;(ay+a;")

(5.151, 5.152)

und (a2- a ~ ) c o s=~g~c o s ~ y , n2(a2+ a ; )

= n;u;.

(5.153, 5.154)

Mit den Gleichungen (5.140a, b) und den Abkiirzungen

kBnnen wir nun die fiir die "s-Komponente" abgeleiteten Gleichungen iibemehmen. Fiir die

418

5 Nichtabbildende oDtische Funktionselemente ~

~

~

~~

_

_

“p-Komponente” gilt (5.156) (jypsina cos6 Es kann also unabhiingig von der Schwingungsrichtung (5.157) geschrieben werden, nur ist jeweils das entsprechende y einzusetzen. Die Kopplung der zweiten und dritten Schicht wird durch (5.158)

beschrieben. Multiplikation mit M I von links ergibt (5.159) Nach dem Ausmultiplizieren der linken Seite von G1. (5.159) IiiBt sich mit den Gleichungen (5.136), (5.138), (5.140a, b), (5.141) und (5.148) zeigen, daO (5.160) ist. Es gilt also fiir k Schichten

(5.161) (a: komplexe Amplitude hinter dem System aus k Schichten) mit

(5.162) Explizit gilt

a, +a[ = m , 1 ~ + m ,y,ar, 2

(5.163)

Yo(a1-a:) = m 2 1 d + m a 2 r s 4 .

(5.164)

Setzen wir fiir den Reflexionsfaktor r = .:/a1 und den Transmissionsfaktor t = a,”/al, so ist l+r

(5.165)

1-r

(5.166)

r =

(5.167)

woraus

5.3 Filtemde Funktionselemente

419

und t =

2 yo

romll + rorsm12 +Q, + ‘Y,Q,

(5.168)

folgt. Dabei ist entsprechend den Gleichungen (5.142), (5.148). (5.155b) und (5.155~)

yi

= nocosEo,

y: = n,cosc,

r,’

=

* --

”/,

no G~

cosg‘

(5.169.5.170) (5.171, 5.172)

Der Reflexionsgrad ergibt sich aus p = \I-(’,der Transmissionsgrad aus T = 1- p. Doppelschichten. Wir untersuchen die Wirkung eines Schichtsystems, das auf einen Trager der Brechzahl n, aufgetragen ist und auf das das Licht senkrecht auftrifft. Vor der Schicht ist die Brechzahl no vorhanden. Es gilt dam P y: = ym, yo = no, ys = n,.

Fiir ein System aus zwei Schichten der Dick d0/4n mit hoher bzw. niedriger Brechzahl 1st

also cos 6,= cos a2= 0, sin 6l = sin 6, = 1 zu setzen. Es ist

(5.174)

Wegen y1= n;, y2 = n: gilt

(5.175)

Fiir den Reflexionsfaktor ergibt G1. (5.167) mit y 5 / y o= n,/no

(5.176)

F& nN-- n” erhalten wir die Matrix einer Ao/2n-Schicht: -1 = (0

0 -1).

(5.177)

420

5 Nichtabbildende optische Funktionselemenie

Periodische Schichtsysteme. Fiir ein periodisches System aus einer geraden Anzahl k von Lo/4n -Schichten abwechselnd hoher und niedriger Brechzahl gilt

(5.178)

und damit nach G1. (5.167)

(5.179)

Wird die Lo/4n-Schicht mit hoher Brechzahl (nH) symbolisch mit H (in der englischen Literatur ebenfalls H), die A0/4n-Schicht mit niedriger Brechzahl (n,) mit N (in der englischen Literatur mit L) bezeichnet, so ist das periodische System (0P no, s P ns) k

k

o ( H N ) ~ s oder o ( N H ) ~ s zu kennzeichnen. Das Hinzufiigen einer Schicht, so daS insgesamt k (ungerade) Schichten vorhanden sind, fiihrt auf k-1

0 (5.180) IYZ

(n$-

0

(das negative Vorzeichen bei n;'/n;' l a t sich durch Ausklammern des Faktors -1 und Vorziehen vor die Matrizen beseitigen). k-1

Fiir die Anordnung ON(HN)'

s lautet der Reflexionsfaktor

(5.181)

k-1

Fiir die Anordnung o ( H N ) Hs ~ sind die Matrizen folgendermaen zu multiplizieren:

M =


42 1

~~

Fiir den Reflexionsfaktor gilt

(5.183)

Dielektrische Spiegel. Periodische ho/4n -Schichtsysteme eignen sich als dielektrische Spiegel. Diese werden z. B. in Laserresonatoren und als Ersatz fiir die Metallschichten in Interferenzfiltern eingesetzt. Als Beispiel nehmen wir an, daS die Schichten auf einen Glastriiger aufgedampft sind (no = 1, n, = 1.52). Die Schichten sollen aus Titandioxid (n" = 2,4 A H) und Magnesiumfluorid (n" = 1,384 N ) bestehen. Tab. 5.12 e n w t die mit den Gleichungen (5.179), (5.181) und (5.183) berechneten Werte des Reflexionsgrades. Sie weist aus, daR bei einer ungeraden Ank-1

zahl von Schichten die Anordnung o ( H N ) ~ H svorzuziehen ist. Die Werte der Tab. 5.12 gelten naturgema nur flir die Wellenlhge, fiir die die Schichtdicken dimensioniert sind. Den spektralen Reflexionsgrad fiir einige Schichtanordnungen zeigt Abb. 5.42. Geeignete Werkstoffe fiir Schichtsysteme sind in Tab. 5.13 enthalten.

k-l

k

k

pfiir (HN)'

2

0,4131 0,7496 0,969 0.9966

4 8

12

k 3 5 9 13

k-1

pfiirN(HN)'

p fiir (HN)'H

0,1716 0,5762 0,9419 0,9935

0,7048 0.8910 0,9875 0,9999997

Tabelle 5.13 Werkstoffe fiir dunne Schichten (nach [22]) n ( A= 550 nm)

Kryolith Magnesiumfluorid Cerfluorid Zirkoniumoxid Zinksulfid Titandioxid Bleitellurid

(Na,ALF,) (MgF,) (CeF, 1

Transmissions bereich in p

lo00 1266

1850 1775 904

1415 958

(TiO, )

(PbTe)

5,O

0.39.. .14 0.4 ...12 4.. -20

Silizium

(Si)

Germanium

(Gel

3,46 4,12

1,2.. .15 1,8...23

(ZnS)

Schmelz punkt in "C

0.2 ...14 0,12. .8 0.3.. .5

1,35 1,38 1.63 2910 2 32 24

(zro,)

-

1460

422

5 Nichtabbildende optische Funktionselemente 100 -

t

80-

.-

or

6040 -

20 -

Abb. 5.42 SpektralerReflexionsgradvon dielektrischen Spiegeln mit verschiedenen Mehrfachschichten (nach [21])

InterferenztXter ohne Absorption. Bei einem Interferenzfilter sind die Schichten zwischen Glastragern angeordnet. Zwischen den beiden dielektrischen Spiegeln liegt die lo /2nSchicht, die das Maximum des Transmissionsgrades bestimmt. Das fiihrt zu Anordnungen, die durch k

k-1

k-1

s(HN)THooH(NH)Ts

k

oder s(HN)?oo(NH)?s

(5.184)

zu beschreiben sind (00 steht fiir eine A. /2n0 -Schicht). Das Ausmultiplizieren der zugeordneten Matrizen ergibt die Einheitsmatrix, so da6 nach G1. (5.167)

P =

(-),

2

2 =

(5.185)

I-p

wird. Die Etalons ohne Absorption haben also eine hohe Transmission. Abgesehen von den Reflexionen an den Aul3enflachen der Tragerplatten ist ihr Reflexionsgrad nur so groS wie bei einer Grenzflache, an der sich die BrechzaN um n, -no iindert. Bei einer groflen Anzahl an Schichten kljnnen allerdings die geringe Absorption in der Einzelschicht und die Streuung den Transmissionsgrad auf Werte urn 0,5 herabsetzen. Abb. 5.43 zeigt den Aufbau eines Interferenzfilters ohne Absorption. Als Beispiel wiihlen wir n, = 1,52, ny= 2,4 (Titanoxid), n y = 1,38 (Magnesiumfluorid) und fiir die A0/2noSchicht no = 1,63 (Cerfluorid). Damit ergibt sich bei acht Schichten beiderseits der A. /2n0 -Schicht

lAFI

p8 = 0,95 und fiir die erste Ordnung 100 - = 1,63%,

bei neun Schichten

psi

p9 = 0,9796 und fiir die erste Ordnung 100 - = 0,656%, bei 13 Schichten

lA4

pI3 = 0,998 und fiir die erste Ordnung 100 - = 0,07%.

Bei 13 Schichten wiirde also die Halbwertsbreite eines Filters mit dem DurcNiissigkeitsmaximum A = 546 nm nur AAo5 = 0,38 nm betragen.


423

Ein System aus dielektrischen Spiegeln und einer Ao/2n-Schicht wird Cavity genannt. Die Kopplung mehrerer Cavity verbessert die Flankensteilheit. So ist bei einem System nach G1. (5.129) AAoJ/AAo,s = 3, bei zwei Systemen AAoJ/AAOs = 1.7 und bei drei Systemen AAo.l/AAos = 1,3.

Abb. 5.43 Aufbau eines Interferenzfilters ohne Absorption

mit der Anordnung s(HN)~HooH(NH)~s (AoSchwerpunktwellenl&-tge) Es sei noch darauf hingewiesen, daB mit dem behandelten Formalismus auch absorbierende Schichten untersucht werden koMen, wenn mit der komplexen Brechzahl gearbeitet wird [ 151.

5.3.4

Reflexionsanderung

Bei den Transmissions-Interferenzfilkrnwird das hindurchgelassene Licht ausgenutzt. Bei ihnen kommt es also auf den Verlauf des spektralen Transmissionsgrades an. Durch die Interferenz an duMen Schichten wird aber ebenfalls der Reflexionsgrad beeinflat. Sowohl die Erhohung des Reflexionsgrades von Spiegeln als auch die Unterdriickung der Reflexion an Oberfliichen haben praktische Bedeutung. Entspiegdung mit Einfachschicht. Unter der “Entspiegelung” versteht man das Bedampfen von Linsen-, Prismen- und Plattenflschen mit duMen, wenig absorbierenden Schichten zum Zwecke der Reflexionsminderung durch Interferenz. Bei den Erzeugnissen von Carl Zeiss Jena wurde fUr Einzelschichten die Handelsbezeichnung ‘T-Belag” bzw. bei mehreren Schichten “MC-Belag” eingefiihrt. Die Entspiegelung von Flkhen an Linsen. Prismen und Planplatten, die das Licht nicht reflektieren sollen, hat drei wesentliche Vorteile: Da bei der Interferenz an praktisch nichtabsorbierenden Schichten der Energierhaltungssatz erfiillt ist. ist der nichtreflektierte Lichtstrom im hindurchgelassenen Licht enthalten. E n System, dessen Elemente entspiegelt sind, ist also “lichtsttirker” als ein sonst gleiches, nichtentspiegeltes System. Das unkontrolliett reflektierte Licht ruft sttirende Nebenbilder und Reflexe hervor, die durch eine Entspiegelung weitgehend vermieden werden. Zwischen den Linsenfliichen eines Systems treten Mehrfachreflexionen auf. Dadurch entsteht Streulicht, das den Kontrast des Bildes herabsetzt. Entspiegelte Systeme erzeugen kontrastreichere Bilder als nichtentspiegelte Systeme.


424

Das Beispiel einer nichtabsorbierenden Einfachschicht, die auf eine Planplatte aufgedampft ist, wollen wir quantitativ behandeln. Als Planplatte sol1 auch eine polierte Metallplatte zugelassen werden. (Abb. 5.44). Die an der nichtabsorbierenden Schicht reflektierte Welle hat die

Amplitude a; = - r, A (das Minuszeichen reprsentiert den Phasensprung). Die nachste Welle, die die Schicht verlut, ist am Metall reflektiert (Faktor r2)und durch die erste Flache zweimal hindurchgelassen worden (in verschiedenen Richtungen, Faktor tltl). Sie hat gegenuber der direkt reflektierten Welle mit der Amplitude u[ auf Grund des Weges in der Schicht die Phasendifferenz 6 und infolge des bei der Metallreflexion aufuetenden Phasensprunges die Phasendifferenz 6,.Die komplexe Amplitude dieser Welle betragt

4 = r 1f1r2 A . ej(6+4), Jede weitere im austretenden Licht enthaltene Welle ist je einmal zusatzlich am Metall und von innen an der Schichtoberflache reflektiert worden. Die durch Interferenz entstehende Gesamtamplitude a' = x u ; betragt also a' = -r,A+r 1 t'r A.ej(s+6c)+t t'rr2A.e2j(8+6r)+... 1 2 1 1 1 2

oder (5.186) Nach G1. (2.201) und GI. (2.202) bestehen die Zusammenhiinge r,=&,r2=a

und t l t ; = l - K l .

Damit geht GI. (5.186) uber in (5.187) m=O

Die unendliche geometrische Reihe summieren wir. Das ergibt (5.188) Den gesamten Reflexionsgrad berechnen wir aus p = -da'* A2

(5.189) '


425

Wir setzen G1. (5.188) in G1. (5.189) ein und formen so urn, dal3 der Ausdruck Rl + R,

-2

a cos(6+ 6, ) = 1+R,R2- 2 ~ c o s ( 6 + 6 , )

(5.190)

entsteht. Mit cos a = 1- 2 sin2(a/2) erhalten wir

o=

L

(5.191)

Wir dishtieren zunachst die Entspiegelung einer nichtabsorbierenden Platte. Je nachdem, ob die Brechzahl der aufgedampften Schicht grol3er oder kleiner als die Brechzahl des TrQers ist, ist 6, = O oder 6, = x . Die Annahme 6, = O fiihrt auf einen Widerspmch. (Das sol1 jedoch hier nicht niiher untersucht werden.) Wir setzen deshalb 6, = x , so daO (~-&)’+4~.C0sz{ P =

L

(1 - G ) ’ + 4 a .

(5.192)

COS’$

ist. Wir konnen den Reflexionsgrad zurn Verschwinden bringen, wenn wir die beiden Bedin-

gungen cos’:

f i = fi

= 0 und

(5.193, 5.194)

erfiillen. Die G1. (5.193) legt die Schichtdicke fest. Sie garantiert die richtigen Phasendifferenzen zwischen den Teilwellen und wird deshalb Phasenbedingung genannt. Die G1. (5.194) enthat eine Aussage iiber die Brechzahl der aufgedampften Schicht. Durch ihre Erfiillung sind die Amplitudenverhiiltnisseso festgelegt, daB sich die Teilwellen gegenseitig ausloschen. G1. (5.194) wird Amplitudenbedingung genannt. Die Phasenbedingung (5.193) verlangt, daB die Beziehung 6 = (22+1)x erfiillt ist. Die optische Weglhge, die der Phasendifferenz zugeordnet ist, betragt AL = 2nd (n bezeichnet die Brechzahl, d die Dicke der aufgedampften Schicht). Wir erhalten mit 6 = (27t A L / A , ) d = -2z+1a0, 4 n

z = 0 , 1 , 2 , 3,...

(5.195)

Die Amplitudenbedingung (5.194) formen wir fiir den Fall einer nahezu senkrecht einfallenden Welle urn. Es ist dann nach GI. (2.54)

fi=e und

n+n,

no+n

(n, Brechzahl des Tragers) zu setzen. Die Amplitudenbedingung fiihrt auf n =

6 bzw.

n =

(bein,=I).

(5.196)

Bei der Entspiegelung einer nichtabsorbierenden Platte fiir senkrecht auftreffendes Licht mit einer Einfachschicht muD die Schichtdicke ein ungeradzahliges Vielfaches von A0/4n, die Brechzahl der Schicht gleich der Wurzel aus der Brechzahl des Tragers sein.

426


Mit einer Einfachschicht kann der Reflexionsgrad nur fiir eine Wellenliinge zum Verschwinden gebracht werden (Abb. 5.45). Das hat zwei Ursachen. Einmal l@t sich nach G1. (5.195) die Schichtdicke nur fir eine Wellenltinge richtig bemessen, und zum anderen ist wegen des unterschiedlichen Verlaufs der Funktionen n = n ( A ) und n, = n,(A) (verschiedene Dispersionskurven) die Amplitudenbedingung (5.196) nur fir eine Wellenliinge exakt zu erfiillen.

Abb. 5.45 Kurve 1: d Kurve 2: d Kurve 3: d

Entspiegelung einer Glasplatte der Brechzahl n, = 1,52 (no = 1) mit einer Einfachschicht = Ao/4n. n = 1,2329 = 3A0/4n, n = 1,2329 = A0/4n, n = 1,38

An der Farbe des reflektierten Lichtes ist zu erkennen, fiir welche Farbe entspiegelt wurde. Wird die Reflexion z. B. von gelbem Licht unterdriickt, so erscheint die Schicht blau, also in der KornplementWarbe zu Gelb. Ein Purpurfarbton zeigt Entspiegelung fiir den gelbgriinen Spektralbereich an. Fiir die Wirkungsweise der Entspiegelung im gesamten ausgenutzten Wellenliingenintervall ist auch die Schichtdicke wesentlich. Die Schicht mit der kleinstmoglichen Dicke d = A0/4n ( z = 0) ist am giinstigsten. In Abb. 5.45 sind die Funktionen p = p ( A ) fiir eine Schicht mit dieser Dicke (Kurve 1) und fur eine Schicht mit der Dicke d = 3A/4n (Kurve 2) gegenubergestellt. Fiir die Entspiegelung optischer Gliiser, deren Brechzahl zwischen 1,4 und 2.1 liegt, muB die Brechzahl der Schicht nach G1. (5.196) zwischen 1,18 und 1.45 betragen. Kryolith ( n = 1,35) und Magnesiumfluorid ( n = 1,38) sind die giingigen niedrigbrechenden Schichtstoffe. Damit konnte die Amplitudenbedingung nur fiir Glber mit n = 1,82 bzw. n = 1.9 erfiillt werden. Deshalb bleibt bei niedrigbrechenden Gliisern im gesamten Wellenliingenbereich eine Restreflexion ubrig (Abb. 5.45, Kurve 3).

Entspiegelung mit Mehrfachschichten. Mit Mehrfachschichten ist die Auswahl der Schichtbrechzahlen gunstiger zu losen. AuSerdem kann der Reflexionsgrad in einem groSeren Wellenliingenbereich herabgesetzt werden.

Fiir zwei A0/4n-Schichten betragt der Reflexionsgrad nach G1. (5.179) 2


427

Er verschwindet fiir (5.197) = 1,2329, zu wiihlen, es muD n;> nr sein. Bei n, = 1 5 2 , Bei no = 1 ist also 4 / n r = & n; = 1.7 ist nr= 1.38. In Abb. 5.46 ist die Funktion p(A) fiir eine Doppelschicht dargestellt.

Abb. 5.46 Entspiegelung einer Glasplatte der Brechzahl n, = 1,52 (no = 1) mit einer Doppelschicht, d, = A0/4n; (&"= 1,381, d, = A,/44 (n;= L70) (nach [4])

Fiir eine Dreifachschicht mit Ao/4n, A 0 / 2 n , 3&/4fl gilt (5.198) (weil die Ao/2n-Schicht auf den Reflexionsgrad fiir die ausgewmte Wellenlage keinen Einflu6 hat). In Abb. 5.47 ist der Reflexionsgrad Kir ein Schichtsystem dargestellt. Fiir eine Dreifachschicht mit A0/4n, A0/2n, A0/4n gilt G1. (5.198) ebenfalls. Abb. 5.48 enthdt zwei Beispiele. Die Festlegung der Schichtdicke s c h r W von vornherein die Liisungsmannigfaltigkeit ein. Das allgemeine Problem fiihrt z. B. bei zwei Schichten auf das Lijsen der Gleichung r = 0 mit

M = [ c o s ~ , -sina2)[ r2 j j y2 sin 6, cos 6,

c o s ~ , +sinS,) j ylsin 6,

(5.199)

cos 6,

Abb. 5.49a e n W t ein Beispiel fiir zwei Schichten (no = 1, nr= 1,38, dl =97,8 nm,n;'=2,15, dz = 238 11111, n, = 1,52). Es kiinnen auch zwei Nullstellen des Reflexionsgrades erzeugt wer2, dz =A0/2n;, n, = l,66. den. Abb. 5.49b gilt fiir no = 1, n;= 1.38, dl = &/4 nr, .I;= Weitere Hinweise sind [4] oder [ 151 zu entnehmen.

Abb. 5.47 Entspiegelung einer Glasplatte der Brechzahl n, = 1,52 (no = 1) mit einer Dreifachschicht, d, = A0/4n; (q"=1,38), d2 = A,,/24' (n;= 2.03), d3 = 3A0/44' (n;= 1,707) (nach [4])


428

I t l Qr

2

\

0

LOO

.’ /

*\

500

600

700

800 Xin nm c

Abb. 5.48 Entspiegelung einer Glasplatte der Brechzahl n, = 1,52 (no= 1) mit einer Dreifachschicht, d, = A0/4nY,d2 = A0/2ny, d3 = A0/4n; Kurve 1: n;’= 1,38, ny= 2,12, n;= 1,63, Kurve 2: n;’=1.38, n:=2.42, n;=1,712 (nach [4])

4

a) 0

\

400

6

500

6 00

700

800 2.

In

nm

Abb. 5.49 Entspiegelung einer Glasplatte mit einer Doppelschicht (Daten im Text, nach [4])

Die bisherigen Ableitungen gelten fiir nahezu senkrecht auf eine Plantlache auftreffende Wellen. Fiir schragen Lichteinfall ist die Ableitung bis zur G1. (5.194) gultig. Wir miissen aber beachten, daR der Reflexionsgrad von der Lage der Schwingungsebene des Lichtes gegeniiber der Einfallsebene abhkgt. Die G1. (5.194) ist deshalb fUr zwei Beziehungen zu formulieren, fiir R, und fiir R,. Beide Grol3en lassen sich im allgemeinen nicht zu Null machen, so daR eine vollsttindige Entspiegelung fiir schragen Lichteinfall nicht moglich ist. Beim Einfall von natiirlichem Licht ist das reflektierte Licht linear polarisiert, wenn R, = 0 oder R , = 0 ist; sonst ist es partiell linear polarisiert (vgl. 5.4.5). An Linsenflachen kommen im allgemeinen Einfallswinkel eines groBeren Bereiches vor. Es genugt aber in den meisten praMischen Fdlen, die Schichtdicke und die Brechzahl fiir senkrecht auftreffendes Licht zu bemessen. Von 0 verschiedene Einfallswinkel bewirken eine geringe Verschiebung der Nullstelle des Reflexionsgrades zu einer anderen Wellenliinge. Bei sehr groRen Offnungswinkeln der Bundel und damit stark variierendem Einfallswinkel innerhalb der Biindel ist eine Entspiegelung mit inhomogenen Schichten moglich.


429

Als Beispiel aus [4] sei der Reflexionsgrad fiir die Grenzschicht zwischen einem Stoff mit der Brechzahl no = 1,52 und einem Stoff mit der Brechzahl n, = 2.5 angegeben. Ohne Zwischenschicht betriigt der Reflexionsgrad p = 0,06. Fiir eine Zwischenschicht mit linearem Brechzahlanstieg iiber verschiedene Dicken hinweg ist der Reflexionsgrad in Abb. 5.50 angegeben. Bereits bei der optischen Dicke nd = k 0 / 2 (n mittlere Brechzahl der inhomogenen Schicht) zeigt sich ein deutlicher Entspiegelungseffekt.

t

-

s

lineorer Brechzohlonstieg von n-1,52 oufn=z,5

optische Dicke

.t 2Q

a 0

Die “Kaltlichtspiegel” stellen einen Spezialfall des entspiegelten Tragers dar. Sie werden als Beleuchtungsspiegel in Kinoprojektoren eingesetzt. Durch zwei Mehrfachschichten ( 2 . B. aus je zehn Schichten) auf einem Hohlspiegel ohne Metallbelag wird der Reflexionsgrad in einem breiten Band herabgedriickt (Bandfilterwirkung). Dieses Band wird in den infraroten Spektralbereich gelegt. so dal3 der infrarote Anteil des vom Lichtbogen kommenden Lichtes durch den Spiegel hindurchgeht, ohne diesen zu erwhnen. Die Wiinnebelastung des Filmes wird herabgesetzt. Im sichtbaren Gebiet muI3 ein Reflexionsband mit moglichst hohem Reflexionsgrad liegen (Abb. 5.51).

40

60

80 100

Abb. 5.51 Reflexionsgrad und TransmissionsAlnm

grad eines Kaltlichtspiegels

Die Reflexionserhohung durch Interferenz an aufgedampften Schichten wird besonders bei Metallspiegeln angewendet. Wir setzen wieder senkrecht auftreffende ebene Wellen voraus. Der Trager besteht aus Metal1 und ist damit ein absorbierender Stoff. Der Wert der Phasendifferenz 6, in der GI. (5.191) ist von der Metallart abhiingig. Wir erhalten einen maximalen

430


Reflexionsgrad, wenn 6+ 6, sin2= 1 2 ist. Daraus folgt die Bedingung -6+- 6, - (2z+l)”. 2 2 Die Schicht muR die Dicke

(5.200)

(5.20 1) haben. Der Reflexionsgrad betragt nach den Gleichungen (5.191) und (5.200) (5.202) Abb. 5.52 enthiilt die Darstellung der Funktion p = p(RJ mit R2 als Parameter. Es ist zu erkennen, da5 sich nur im Bereich relativ geringen Reflexionsgrades des Tragers ein merklicher Effekt erzielen la&. Dazu wiiren aber sehr hochbrechende Schichten notwendig. Deshalb hat

u Metoll

Abb. 5.52 Reflexionsgrad eines Metallspiegels mit Einfachschicht (die K w e n beginnen fiir R,= 0 bei den R 2-Parametem)

Abb. 5.53 Doppelschicht auf einem Metallspiegel

die Methode z. B. bei Aluminiumspiegeln im fernen Ultraviolett praktische Bedeutung. Die gleiche Wirkung wie eine aufgedampfte Einfachschicht hat nach Messner eine Anordnung nach Abb. 5.53. Bei geeigneter Wahl der D i c k d, und bei einer Dicke d2 = &/4n gilt bei der Doppelschicht ebenfalls die G1. (5.202) fiir den gesamten Reflexionsgrad. Abb. 5.52 veranschaulicht auch die Wirkung der Doppelschicht. Eine weitere Erhohung des Reflexionsgrades in breiten Spektralbandern I%t sich durch Mehrfachschichten mit abwechselnd hoher und niedriger Brechzahl erreichen. Abb. 5.54 zeigt die Wirkung einer Schicht aus Cerdioxid, Magnesiumfluorit und Cerdioxid auf einem Aluminiumspiegel. Aul3erdem ist der EinfluB einer SO-Schicht angegeben, die nur dem Schutz der Spiegeloberflache dient (nach [9]).

5.4 Polarisierende Funktionselemente

200 400 600 800 1000

431

1500 A/nm

Abb. 5.54 Retlexionsgrad eines Aluminiumspiegels a) mit SiO-Schicht, b) ohne Belag, c) mit Mehrfachschicht

5.4

Polarisierende Funktionselemente

5.4.1

Polarisationsprismen

Polarisierende Funktionselemente iindern den Polarisationszustand des Lichtes. Sie werden entweder Polarisatoren genannt, wenn sie Licht mit geiindertem Polarisationszustand bereitstellen, oder Analysatoren, wenn sie dem Nachweis oder der Untersuchung von polarisiertem Licht dienen sollen. Bei ihnen kommt es im allgemeinen darauf an, dal3 ihre Drehung um die Lichtrichtung genau gemessen werden kann. Bei Polarisatoren ist anzustreben, das der Polarisationszustand im gesamten Feld gleich ist. Sie werden vorwiegend zur linearen Polarisation des Lichtes eingesetzt. Polarisatoren fiir zirkular und elliptisch polarisiertes Licht heiOen Phasenplatten. Analysatoren konnen ebenfalls uber das gesamte Feld einheitliche Polarisationseigenschaften aufweisen. Zur Verbesserung der Nachweisempfindlicht der Drehung werden sie aber auch mit geteiltem Feld hergestellt. Hinter den beiden Feldteilen stehen die Schwingungsebenen entweder senkrecht, oder sie bilden einen kleinen Winkel miteinander (Halbschattenpolarisatoren). Es gibt fiinf Ausf&rungsfmen von polarisierenden Funktionselementen: - Polarisationsprismen (doppelbrechende Kristalle), - Polarisationsfilter(dichroitische Stoffe), - Interferenzpolarisatoren (Systeme aus duMm Schichten), - Reflexionspolarisatoren (reflektierende oder durchlilssige Grenzflachen), - Phasenplatten (doppelbrechende planparalle Platten). Polarisationsprismen beruhen vorwiegend auf der Doppelbrechung des Lichtes an schwach absorbierenden Kristallen. (Eine Ausnahme werden wir am SchluB dieses Abschnitts behandeln.) Bevorzugt werden Kalkspat, Quan und synthetische Kristalle wie etwa ADP- und KDP-Einkristalle, die optisch einachsig sind. Die Brechzahlen sind in Tab. 5.14 enthalten. Kalkspat (CaCO,) ist sehr stark doppelbrechend, kann aber nicht gezuchtet werden. Besonders hochwertig ist der isliindische Doppelspat. Quarz (Si02) hat eine geringe Doppelbrechung und dreht aaerdem die Schwingungsebene des Lichtes, er ist also optisch aktiv. Quan


432

hat aber auch auflerhalb des sichtbaren Gebiets einen gunstigen Reintransmissionsgrad. ADPEinkristalle werden aus einer wtiljrigen Losung von Ammoniumdihydrogenphosphat geziichtet. Es sind relativ grol3e Einkristalle mit sehr homogenen optischen Eigenschaften moglich. Der Reintransmissionsgrad ist von 250 nm bis 1076 nm ausreichend groK Die optische Achse liegt gunstig gegenuber den aufleren Begrenzungsflachen der Kristalle. KDP ist Kaliumdihydrogenphosphat. Tabelle 5.14 Hauptbrechzahlen von optisch einachsigen Kristallen

n,

na

hlnm

Kalkspat

1,64996 1,65838 1,66786 1,68318

1,48269 1,48643 1,49080 1,49774

760,82 589,298 486,1353 396,8496

Qun

1,539 190 1,544220 1,549662 1,558116

1,548 10 1,55332 1,55896 1,56769

760,82 589,298 486,1353 396,8496

ADP

1,62598 1,54592 1,50364

1,56738 1,49698 1,46666

2 13,856 366,2878 1152,276

KDP

1.60 177 1,52909 1,49135

1,54615 1,48409 1,45893

2 13,856 366,2878 1152.276

Lithiumniobat LiNbO,

2,4144 2,2407 2,1193

2,3638 2,1580 2,0564

420 1200 4200

Beryl1 Be,Al,(SiO, ) 6 Eis (0°C) Natronsalpeter NaNO,

1,5841

1,5772

589,298

1,3091

1,3105

589,298

1,5854

1,3369

589,298

Turmalin

1,6367

1,6193

589,298

Das Nicolsche Prisma besteht aus Kalkspat. Die Kristalle des Kalkspats gehoren dem hexagonalen System an. Sie bilden im natiirlichen Zustand ein Rhomboeder aus sechs Rhomben. Die Winkel zwischen den Kanten betragen 105'5' und 74'55'. Die kristallografische Haupta c h e und damit die optische Achse des Kristalls geht durch die Punkte, in denen die Kanten drei stumpfe Winkel miteinander bilden (Abb. 5.55a und b). In Abb. 5.56 ist der Kristall so gedreht, dal3 die optische Achse in Zeichenebene liegt. Der spitze Winkel der Kanten betragt in diesem Schnitt 70'52'. Dieser Winkel wird auf 68" abgeschliffen, der Kristall geteilt und die Haften mit Kanadabalsam verkittet (Abb. 5.57). Fiir Licht der Na-D-Linie betragen die Brechzahlen n, =1,65838, n (Kanadabalsam) = 1,542, n, = 1,48643. Eine ebene Welle, die parallel zu den Seitenkanten des Prismas ein

433


I optische Achse

Abb. 5.55b Rhomboeder der Kristallstruktur innerhalb eines Kallrspatkristalls

Abb. 5.55a Kallrspatkristall

Mlt, hat den Einfallswinkel E, = 22". Durch Doppelbrechung wird das Licht aufgespalten. Die Schwingungsebene des ordentlichen Strahles steht senkrecht zum Hauptschnitt; die Schwingungsebene des aukierordentlichen Strahles liegt parallel zum Hauptschnitt. Der ordentliche Strahl hat den Brechungswinkel &: = 13'3' und damit den Einfallswinkel c2 = 76"87' an der Kanadabalsamschicht. Dort betragt der Grenzwinkel der Totalreflexion fiir den ordentlichen Strahl e, = 68'24'. Der ordentliche Strahl wird also totalreflektiert und von der Fassung des Prismas absorbiert.

Abb. 5.56 Schnitt durch einen Kallrspatkristall, der die optische Achse e n W t

Abb. 5.57 Nicolsches Prisma 0

Der aufierordentliche Strahl wird schwiicher gebrochen. Fiir ihn ist die Kanadabalsamschicht ein optisch dichterer Stoff.Er geht durch das Prisma hindurch, so daB aus diesem linear polarisiertes Licht austritt. Fiir ein konvergentes Bundel wird der Grenzwinkel der Totalreflexion an der Kanadabalsamschicht vom ordentlichen Strahl unterschritten, wenn der Konvergenzwinkel gr6Rer als 3 1" ist. Bei weiRem Licht zeigen sich durch die Dispersion farbige Riinder des Biindels.

Das Foucaultsche Prisma (Abb. 5.58) unterscheidet sich vom Nicolschen Prisma dadurch, daf3 statt des Kanadabalsams eine Luftschicht vorhanden ist und die Endflachen nahezu senkrecht zu den Seitenkanten stehen. Luftspalt I

Abb. 5.58 Foucaultsches Prisma

434

5 Nichtabbildende ovtische Funktionselemente

Der Transmissionsgrad fir ultraviolettes Licht ist grol3er als beim Nicolschen Prisma. Nachteile sind der geringe zulassige Konvergenzwinkel von 8 O , die schwierigere Fassung und die Mehrfachreflexionen in der Luftschicht. Das Glan-Thompsonsche Prisma hat senkrecht zu den Seitenkanten geschliffene rechteckige oder quadratische Endflachen. Die optische Achse liegt in beiden Teilprismen parallel zu den Endflachen (Abb. 5.59). Fiir Untersuchungen im sichtbaren Gebiet konnen die Teilprismen mit Kanadabalsam gekittet werden; im Ultravioletten verwendet man z. B. Glyzerin, Rizinusol, oder man belut eine Luftschicht. In diesen Fillillen koMen Konvergenzwinkel bis

42" erreicht werden. Eine senkrecht auf die Eintrittsflache treffende Welle wird nicht gebrochen, aber in zwei senkrecht zueinander schwingende Wellen aufgespalten. Der ordentliche Strahl wird an der Trennschicht totalreflektiert, der aaerordentliche Strahl trim aus. Das Glan-Thompson-Prisma wird in den Geraten wegen seiner giinstigen Eigenschaften bevorzugt angewendet. Es ist gut aus ADP herstellbar, allerdlngs bei grol3erer Baulkge und kleinerem Konvergenzwinkel als bei Kalkspat. Die Prismen von Rochon (Abb. 5.60), S6narmont (Abb. 5.61) und Wollaston (Abb. 5.62, 5.63) bestehen aus zwei an der Hypotenusenflache zusammengesetzten Halbwiirfeln aus optisch einachsigen Kristallen. Die Bilder gelten fiir Kalkspat oder ADP. Die Prismen liefern zwei senkrecht zueinander schwingende Wellen, wobei die beiden Wellen divergieren. Dadurch ist nach einer gewissen Strecke die Trennung vorhanden. Die drei genannten Prismen unterscheiden sich durch die Lage der optischen Achsen in den Teilprismen.

Abb. 5.60 Rochon-Pnsma

Abb. 5.61 SCnamont-Prisma

Abb. 5.62 Wollaston-Prisma

Abb. 5.63 Wollaston-Prisma. Konstruktion des Bundelverlaufs a) fiir die aukrordentliche Welle im zweiten Teilbundel, b) fiir die ordentliche Welle im zweiten Teilbundel

435


Beim Rochon- und beim Senarmont-Prisma mit senkrecht auftreffendem Licht wird der ordentliche Strahl nicht abgelenkt und zeigt keine Dispersion. Beim Wollaston-Prisma ist die Divergenz der austretenden Bundel grokr als bei den beiden anderen Prismen, aber bei beiden Biindeln tritt Dispersion auf. Beim Wollaston-Prisma aus Kalkspat betrjdgt die Divergenz 20". Das Dove-Prisma (Abb. 5.64) ist ein Halbwiirfel aus einem optisch einachsigen Stoff, so daS das Licht um 90" abgelenkt wird. Die einseitige Vertauschung durch die Spiegelflache kann storend sein.

optische Achse

Abb. 5.64 Konstruktion des Bundelverlaufs am Dove-Prima

Bei den doppelbrechenden Polarisationsprismen wird der Lichtstrom fast um 50% ausgenutzt. Es treten nur geringe Reflexions- und Absorptionsverlusteauf. Die verfiigbaren Einkristalle mit homogenen optischen Eigenschaften ermoglichen nur relativ geringe Durchmesser. Die Kristalle, vor allem d e natiirlichen Kristalle, sind teuer. Der maximale Konvergenzwinkel ist begrenzt. Die erforderliche Liinge der Prismen bringt unter Umstiinden Platzschwierigkeitenfiir den Einbau in Gerate mit sich.

Das Fresnelsche Parallelepiped (Abb. 5.65) besteht aus Glas. Seine Funktion, die E m u gung von zirkular polarisiertem Licht, beruht nicht auf der Doppelbrechung, sondern auf der Totalreflexion. In 2.2.4 wurde angegeben, daB zwischen der senkrecht und der parallel zur Einfallsebene schwingenden Welle bei der Totalreflexion die Phasendifferenz 6 eingefiihrt wird, die aus tan4 = 2

4

-

cos E sin2E sin2E~ sin2E

(5.203)

; Abb. 5.65 Fresnelsches Parallelepiped


436

folgt. Die zur Erzeugung von zirkular polarisiertem Licht erforderliche Phasendifferenz von 90" wird z. B. durch zweimalige Totalreflexion eingefiihrt, wenn bei n = 1,5 der Einfallswinkel &=53" betragt. Das Fresnelsche Parallelepiped ist also ein Funktionselement, das weniger zu den Polarisationsprismen als zu den Phasenplatten in Beziehung steht. Mit zwei Prismen kann auch die Phasendifferenz 180" erzeugt werden.

5.4.2

Flachenpolarisatoren

Flachenpolarisatoren beruhen auf der Richtungsabhtingigkeitder Absorption, die in Kristallen und anderen optisch anisotropen Stoffen aufueten kann. Bei Kristallen 1 s t sich analog zum Indexellipsoid, dessen halbe Hauptachsen den Hauptbrechzahlen n, , n 2 , n3 gleich sind, ein Absorptionsellipsoid einfiihren. Dessen Halbachsen sind durch die GroRen

gegeben, wobei die ki die Hauptabsorptionskoeffizientendarstellen. Bei den kubischen Kristallen, die optisch isotrop sind, ist auch die Absorption richtungsunabhibgig. Die optisch einachsigen Kristalle werden durch ein Absorptionsellipsoid beschrieben, das ein Rotationsellipsoid darstellt. Die Absorption der ordentlichen Welle ist richtungsunabhtingig; die Absorption der auSerordentlichen Welle unterscheidet sich senkrecht zur optischen Achse am st&ksten von der Absorption der ordentlichen Welle. Die Absorption ist wellenlibgenabhtingig. Bei den optisch einachsigen Kristallen wird die unterschiedliche Absorption fiir die beiden ausgezeichneten Richtungen (parallel und senkrecht zur optischen Achse) Dichroismus genannt. Die optisch zweiachsigen Kristalle werden durch ein dreiachsiges Rotationsellipsoid beschrieben. Es wird dann von Trichroismus gesprochen. Der Dichroismus wird bei den Flachenpolarisatoren (auch Polarisationsfilter genannt) ausgenutzt.

I

Flachenpolariatoren sind planparallele Platten aus dichroitischen Stoffen, bei denen zwischen der ordentlichen Welle und der aderordentlichen Welle ein groDer Unterschied des Absorptionskoeffizienten besteht.

Die Vorteile der Flachenpolarisatoren sind ihre geringe Baultinge und damit das geringe Gewicht, die fluchtende optische Achse und die Moglichkeit, Polarisatoren mit grol3em Durchmesser herzustellen. Nachteile der Fachenpolarisatoren sind die Fgibung des Lichtes, der unter 1 liegende Polarisationsgrad, die hderung des Polarisationsgrades bei einer Neigung um die optische Achse und ferner die Schwierigkeiten, bei groRen Filtern optisch einwandfrei ebene Oberflachen zu enielen. Turmalin. Der klassische Vertreter des dichroitischen Polarisators ist die Turmalinzange (Polarisator und Analysator im gemeinsamen Metallbugel). Turmalin ist ein optisch einachsiger Kristall des trigonalen Systems (Brechzahlen in Tab. 5.14). fine Kristallplatte, die parallel


437

zur optischen Achse geschnitten ist, absorbiert bereits bei Dicken von 1 mm den ordentlichen Strahl fast vollstiindig. Die aus dem Kristall austretende, linear polarisierte auRerordentliche Welle fiihrt infolge der wellenliingenabhiingigen Absorption im Kristall zu griin gefaibtem Licht. Der nutzbare Durchmesser der Polarisatoren ist durch die GroBe der natiirlich vorkommenden Kristalle begrenzt.

Herapathit ist ein Periodid des Chininsulfats. Aus ihm lassen sich grol3e graugriine, hygroskopische Kristalle kiinstlich herstellen. Die mechanischen Eigenschaften der Kristalle bereiten Schwierigkeiten bei der Verwendung in Polarisationsfiltern. Durch Einkitten in Planglasplatten kOMten jedoch 1935 die ersten Flachenpolarisatoren, die bei Carl Zeiss Jena Herotare genannt wurden, in den Handel gebracht werden. Gunstige mechanische Eigenschaften haben Polarisationsfilter, bei denen viele dichroitische Einluistalle in eine isotrope Folie eingebettet sind. So werden z. B. Herapathit-Mikrokristalle mit ca. 1pm L h g e und ca. 0,05 pm.. .O, l p Dicke in einer Schicht mit 25pm.. .lOOpn Dicke so eingebracht, daB siimtliche optische Achsen gleiche Richtung haben. Hohere Schichtdicken bringen einen hoheren Polarisationsgrad, aber auch st2rkere Absorption mit sich. Ein Nachteil der Polarisationsfilter mit Mikrokristallen ist die leichte Triibung durch die Streuung an den kleinen Teilchen. Hochpolymere. Heute werden Flkhenpolarisatoren vorwiegend aus besonders behandelten hochpolymeren Stoffen hergestellt. Ausgangsstoffe sind Stoffe mit Kettenmolekiilen von Polyvinylalkohol, -ketal,-acetal usw. Eine mechanische Deformation der Folien, z. B. eine Dehnung, richtet die Kettenmolekiile so aus, daB die Folien doppelbrechend werden. Die so behandelten Folien werden mit einem dichroitischen Farbstoff, z.B. mit Iod, eingef&bt. Das parallel zur Dehnungsrichtung schwingende Licht und das senkrecht dazu schwingende Licht werden verschieden stark absorbiert. Durch geeignete Kombination aus Folie und Farbstoff sind Polarisationsgrade uber 99% im sichtbaren Gebiet erreichbar. Der Transmissionsgrad betragt fiir weiBes Licht etwa 30%. Wegen der Hygroskopizitat ist das Einkitten der Folien in Deckglker notwendig. Filter, die im Spektralbereich von 600 nm ...2400mn den Transmissionsgrad 20% und den Polarisationsgrad uber 99% ermdglichen, entstehen bei besonderer Behandlung der gedehnten Folien (erhohte Trocknungstemperatur, verjdnderte Iodkonzentration, Zusatz eines Dehydrationsmittels). Mit Iod eingefabte Folien haben Absorptionsmaxima bei 290 nm und 360 nm . Der Transmissionsgrad 1 s t sich durch spezielle FMxmethoden anheben, so daB auch UV-Polarisationsfilter hergestellt werden kljnnen. Diese sind auch ohne Deckglgiser einsetzbar.

Transmissions- und Polarisationsgrad. Die Schwingungsrichtung hoher Transmission wird Polarisationsrichtung, die geringer Transmission Sperrichtung genannt. Trim eine linear polarisierte Welle unter dem Azimut w senkrecht auf einen Polarisator, dann wird die Amplitude vektoriell zerlegt. Wegen der quadratischen Abhiingigkeit der Intensitat von der Amplitude gilt (Abb. 5.66a) I, =

I.COS'W,

I, = ~.sin'w.

Mit den Transmissionsgraden fUr die Polarisationsrichtung z, und die Spemchtung 2, erhalten wir nach Austritt des Lichtes aus dem Polarisator I: = z p ~ . c o s 2 w , I: = zsI.sin2ty.


438

Der gesamte Transmissionsgrad folgt aus T = ( I ; + Z l ) / I zu T = 7, cos’

w+ z, sin2y.

(5.204)

Fiir z, G 7p kaM d& T = 2,cos’ I# geschrieben werden. Fiir unpolarisiert auftreffendes Licht teilt sich die Intensitat je zur Halfte auf die Polarisations- und die Spemchtung auf. Die Gleichungen lassen sich formal aus denen fiir linear polarisiertes Licht mit w= 45’ herleiten. Es gilt 7 =

1 -(?,+rS)

2

bzw.

1 z = -7, 2

(bei rS G 7,)

(5.205a, b)

Als Polarisationsgrad definieren wir in Analogie zu 2.2.3

a,= -.7, - 7s

(5.206)

7, + 7s

P

Abb. 5.66 Zerlegung der Amplitude

a) im Polarisator, b) am Analysator

a1

Polarisator und Analysator. Bei zwei gleichen Bauelementen, von denen das erste als Polarisator, das zweite als Analysator dient, wird der Transmissionsgrad folgenderrnaDen berechnet: Am Eingang des Analysators betragen die Intensitaten bei linear polarisiertem Licht vor dem Polarisator (Abb. 5.66b) I, = T ~ Icos2 . y .cos2rp+ r S I sin2 . y .sin’cp, I, =

T s f . sin’

y . cos2~

p +7,

I . cos’ y . sin’ 9.

Hinter dern Analysator ergibt sich die Intensitat I“ = z p f ,+ 7, I, und damit fiir den Transmissionsgrad Z

=

(6- 2’) COS2 ljf.COS’ Cp+

10 cd . m-*)liegt Zapfensehen vor. Die Anpassung an groRe Leuchtdichten geht schnell vor sich. Bei Blendung (L> 104cd.m-’) sinkt die Empfindlichkeit kurzzeitig auf das 10-6-fache. - Der mesoptische Bereich (Dtimmerungssehen) stellt das hergangsgebiet dar.

Sehscharfe. Das menschliche Auge hat infolge der Netzhautstruktur ein begrenztes Auflosungsvermogen. Dieses hiingt von der Leuchtdichte und der Objektform ab. Bei angestrengtem Tagsehen werden zwei Objektpunkte getrennt wahrgenommen, wenn ihr Winkelabstand mindestens w, = 1’ P O,OoO29 rad bett3dgt. Etwa der doppelte Wert wird bei “bequemem” Sehen aufgelost. Der Winkel w, heist physiologischer Grenzwinkel. Die Sehschsirfe W, ist der Kehrwert des in Winkelminuten gemessenen aufltjsbaren Sehwinkels w,. Es gilt also W, = l’/(wA in Minuten). Die Sehschsirfe 1 ist demnach dem physiologischen Grenzwinkel zugeordnet. Kurz unterhalb der zur Blendung fiihrenden Leuchtdichte L = 3.103 cd . m-’ k a die ~ Sehschsirfe den Wert W, = 2 erreichen; bei Nachtsehen geht sie bis auf W, = 0,02 zuriick. Fiir Strichanordnungen ist die SehschMe grijRer als fiir Punktepaare. Sie betragt z. B. bei der Einstellung eines Striches auf einen schmalen Spalt oder in einen Doppelstrich sowie auf die Winkelhalbierende zweier Striche W, = 10, bei der Einstellung eines Einfachstriches auf die Verliingerung eines Einfachstriches W, = 6 (NoniussehschMe, WN = 10” 4 5 . rad;

Abb. 6.2). Wichtig ist noch, daR die volle SehschMe nur bei der Abbildung in die Netzhautgrube erreicht wird (direktes Sehen, Feldwinkel etwa 2w = 4’). Beiaugiges Sehen ist fiir das raumliche Sehen und damit sowohl fiir die Perspektive wie

524

6 Optische Instnunente und Systeme

fiir die Entfernungsschatzung verantwortlich. In Verbindung mit optischen Geraten und mit Brillen 1st die Kenntnis der Pupillendistam notwendig (PD-Wert, Tab. 6.3). Tabelle 6.3 Haufigkeit der Pupillendistanz 56 0 1

58 1 3

60 3 10

62 8

64 13

65 14

66

14

12

10

7

13

68 8 2,5

70 3 0.5

72 1 0

(inmm) (in 'lo) Manner (in 8) Frauen

Spektrale Empfindlichkeit. Wie wir bereits in 1.1.1 angegeben haben, liegt das Maximum des spektralen Hellempfindlichkeitsgrades V, bei A = 555 nm (photopisches Sehen). Im Wellenltingenbereich 380 nm I A I780 nm ist der spektrale Hellempfindlichkeitsgrad ungleich 0 (sichtbares Spektralgebiet, VIS; Abb. 1.6). Fiir skotopisches Sehen liegt das Maximum des spektralen Dunkelempfindlichkeitsgrades V; bei A = 507 nm . V,l hat bei A = 380 nm noch den geringen Wert 0,0006, ist aber bereits bei A = 690 nm gleich 0. Fdrbsehen. Die Netzhaut besteht aus verschiedenartigen miteinander gekoppelten Elementen (Abb. 6.3). Die Zapfen und Stahhen stellen die lichtempfindlichen Elemente dar, wiihrend die weiteren Zellen (bipolare, Horizontal-, amakrine und Ganglienzellen) bereits eine Vorverarbeitung der Information vornehmen. Sie sorgen z.B. dafiir, dal3 beim Dunkelsehen mehrere Stabchen den Reiz auf eine Nervenfdser wirken lassen.

1 1 Gonglien-

zellen

/ Membronscheibchen

mit Sehforbstoff Synopsenzone

Abb. 6.3 Schnitt durch die Netzhaut des Auges

6.1 Grundbegriffe

525

Fiir das Farbsehen sind ausschlieSlich die Zapfen der Netzhaut wirksam. Die Stabchen sind nur fiir Helligkeitsunterschiede empfindlich. Die Zapfen enthalten Pigmente, die rot-, griinund blauempfindlich sind. In dem Teil der Netzhaut, der die Bipolar- und Ganglienzellen enthat, sind chromatische Einheiten vorhanden, die die Farbreize subtraktiv verarbeiten. Es gibt eine Rot-Griin-Einheit, eine Blau-Gelb-Einheit und eine additiv wirkende Helligkeitseinheit. Die Rot-Griin-Einheit leitet entweder den Reiz Rot oder Griin, die Blau-Gelb-Einheit entweder den Reiz Blau oder Gelb weiter. Die Helligkeitseinheit steuert die Grautone bei. Die Zapfen arbeiten demnach entsprechend einer Dreifarbentheorie, die chromatischen Einheiten nach einer Gegenfarbentheorie. Diese Synthese aus der Dreifarbentheorieund der Gegenfarbentheorie wird Zonentheorie genannt (Abb. 6.4). Ebene der Zapfchen IP Pigment)

Ebene der bipolaren Zellen (R Reizl

Ausgangssignak

Abb. 6.4 Grundschema der Zonentheorie

Ein Farbeindruck kann durch Mischen dreier Grundfarben erzeugt werden. Als Grundfarben werden im allgemeinen Rot, Griin und Blau verwendet. Man unterscheidet die additive und die subtraktive (multiplikative) Farbmischung. Additive Farbmischung trim ein, wenn die Grundfarben fiumlich oder zeitlich geuennt sind, aber so dargeboten werden, daB die Einzelfarben nicht aufzulosen sind. Beim Farbfernsehen sind z. B. in einer Bildzelle drei Punkte oder Segmente mit den Grundfarben dicht nebeneinander angeordnet. Beim sich drehenden Farblcreisel koMen die Grundfarben zeitlich nacheinander wirken. Additive Farbmischung tritt auch auf, wenn die Bilder der Grundfarben derselben Szene iibereinander projiziert werden (Abb. 6.5. Farbtafel I). Die subtraktive Farbmischung stellt eigentlich eine multiplikative Farbmischung dar. Sie kann z. B. durch das Hintereinanderschalten von drei Filtern vorgenommen werden, die je eine Grundfarbe hindurchlassen. Die Filter haben die Transmissionsgrade 2,. 7, und 7,. Die Kombination fiihrt zum Transmissionsgrad 2 = rRT~ r,, und der resultierende Farbeindruck h h g t von den Einzelwerten der Transmissionsgrade ab (Abb. 6.6, Farbtafel I). Vorausgesetzt ist dabei, daR weifies Licht im Sinne des energiegleichen Spektrums einfilt. Auch bei reflektierenden Stoffen ist die subtraktive Farbmischung moglich. Es multiplizieren sich dam die Reflexionsgrade. Farbwerte, Farbvalenzen. Fiir die additive Farbmischung konnen normierte Farbwerte eing e m werden, um die Anteile der Grundfarben Rot, Griin und Blau quantitativ zu erfassen. Die Normierung erfolgt so, daB fiir das energiegleiche Spektrum (WeiS) R = G = B = 1 ist. Die Farbwerte haben fiir einige Beispiele folgende GroSen (Reihenfolge Rot, Griin, Blau): WeiS (1 111, Gelb (1 lo), Cyan (0 111, Griin (0 lo), Purpur (10 l), Rot (10 0), Blau (00 l), Schwan (0 0 0). Andere Farben sind mit Farbwerten zwischen 0 und 1 zu ermischen.

6 Optische Insmmente und Systeme

5 26

Die drei Farbwerte legen &e Farbvalenz (F) fest. Die Primtirvalenzen (R), (C), (B) sind dadurch ausgezeichnet, da8 nur ein Farbwert ungleich 0 ist. Fiir die additive Farbmischung wird nun d e Farbvalenz als Summe aus den Produkten “Farbwert x Primiir-Valenz” dargestellt: (F) = R(R) + G(G) + B(B). Fiir weiBes Licht ist R = G = B = 1. Grau ist ein “WeiR” mit verringerter Helligkeit. Es wird durch R = G = B c 1 beschrieben. Venninderung eines Farbwertes erzeugt farbiges Licht. So sind z. B. fiir (F) = 1(R) + I( G) + 0,5 (B) = 0,5[(R) + (G) + (B)] + 0,5 [(R) + (G)]

Grau und Gelb uberlagert, d. k,d e Sattigung der gelben Farbe ist gegenuber derjenigen mit R = G = l , B=O geringer. Durch h d e r n der Farbwerte kann ein anderer Farbton erzeugt werden. Daraus ergibt sich, da13 eine Farbe auch durch die drei GroRen Farbton 4 Qualitat, Sattigung A WeiDlichkeit , Helligkeit 4 Quantitat gekennzeichnet werden kann. Die Helligkeit stellt die fotometrische Groae dar, die nicht unmittelbar mit der Farbigkeit verbunden ist. Deshalb wird die Farbart durch den Farbton und die Sattigung beschrieben und l a t sich als Ort in eine Farbtafel eintragen. Als Farbwertanteile werden die GroBen r =

R R+G+B’

G B , b= = R+G+B R+G+B

mit r+g+b = 1

eingefiihrt. Die Farbwertanteile bestimmen die Farbart. Normfarbtafel. Die quantitative Beschreibung der im Grunde genommen subjektiven Farbwahrnehmung als Aufgabe der Farbmetrik muR unabhiingig vom Einzelbeobachter moglich sein. Deshalb wurde der Begriff des fotometrischen Normalbeobachters eingefiihrt, dessen Eigenschaften durch eine Vielzahl an Messungen ermittelt wurde. Die Versuchspersonen m a ten normalsichtige Augen haben. Gemessen wurde bei Helladaptation und 2’ MeBfeld. Als Farbwerte der Spektralfarben fir den fotometrischen Normalbeobachter ergeben sich die Normspektralwertfunktionen X ( A ) , ?(A) und 1 ( A ) (Abb. 6.7). Dabei wird festgelegt, daR diese Funktionen positiv sind und F(A)= V,(A) ist.

Ainnrn-

Abb. 6.7 Normspektralwertfunktionen

6.1 Grundbegriffe

5 27

Die Farbvalenz ergibt sich mit der Farbreizfunktion cp(A) (relativer spektraler StrahlungsfluS, z. B. QZc,i/QZe,imx ) aus den Komponenten (Normfarbwerte)

x

=

kjcp(a)x(a)da,

Y

= kjcp(a)jqi)da,

z

=

kjcp(a)z(a)da.

Die Integration ist von 380 nm bis 780 nm vorzunehmen. Die Konstante k folgt aus der Forderung, daO fiir WeiB (Unbunt) Xu= Y, = Z, = 100 sein sol1 und 5 nm breite Intervalle der Spektralfarben betrachtet werden, zu k = 0,9358 nm-’. Mit den Normfarbwerten ist jeder Farbvalenz ein Punkt im Fubenraum zugeordnet. Zur Darstellung in der ebenen Normfarbtafel werden die Normfarbwertanteile X Y Z x = z = X+Y+Z’ = X+Y+Z’ X+Y+Z verwendet (Abb. 6.8, Farbtafel I). Das rechtwinklige Farbdreieck y = f ( x ) hulk den Spekualfarbenzug, der mit der Purpurgeraden abgeschlossen ist, vollstilndig ein. Wegen x + y + z = 1 und xu = y, = z, fur den Unbuntpunkt liegt dieser in der Normfarbtafel bei xu= y, = 0,33.

6.1.2

Grundzuge der Brillenoptik

Werden unendlich ferne Objekte nicht scharf auf der Netzhaut abgebildet, dam spricht man von Fehlsichtigkeit (Ametropie). Ursachen daf& konnen eine falsche L a g e des Augapfels, fehlerhafte Form von Hornhaut oder Augenlinse und altersbedingte Veruderungen des abbildenden Systems des Auges sein. Kurzsichtigkeit (Myopie). Beim myopen Auge entsteht das Bild eines unendlich fernen Objekts vor der Netzhaut (Abb. 6.9). Auf der Netzhaut entstehen Zerstreuungsfiguren, also ein unscharfes Bild. Ursachen koMen ein zu langer Augapfel oder eine zu groBe Brechkraft von Hornhaut und Augenlinse sein. Der Fernpunkt liegt im Endlichen, der Nahpunkt niiher am Auge als bei Normalsichtigkeit. Kurzsichtige konnen sich also einem Gegenstand stiirker nYhem als Normalsichtige. Fiir das scharfe Sehen von unendlich fernen Gegenstiinden benotigt der Kurzsichtige eine Sehhilfe (Brille) mit zerstreuenden Linsen (Abb. 6.9).

n

Abb. 6.9 Kurzsichtiges Auge und Korrektur mit zerstreuendem Brillenglas

Abb. 6.10 Weitsichtiges Auge und Korrektur mit sammelndem Brillenglas

Ubersichtigkeit (Hypermetropie, auch Hyperopie, Weitsichtigkeit). Beim hypermetropen Auge wiirde das Bild eines im Unendlichen liegenden Objekts hinter der Netzhaut entstehen, wenn diese den Strahlengang nicht unterbrechen wiirde (Abb. 6.10). Auf der Netzhaut ist das

6 Optische Instrumente und Svsteme

528

Bild unscharf, es besteht aus Zerstreuungsfiguren. Ursachen konnen ein zu kurzer Augapfel oder eine zu kleine Brechkraft von Hornhaut und Augenlinse sein. Der Fernpunkt ist virtuell und liegt hinter dem Auge. Der hrsichtige kann zwar durch Akkommodation den Fernpunkt ins Unendliche riicken, aber beim beidaugigen Sehen treten Probleme bezuglich der Fusion beider Bilder auf. Deshalb benotigt der Ubersichtige fiir das scharfe Sehen von unendlich fernen Objekten eine Sehhilfe mit sammelnden Linsen (Abb. 6.10). Alterssichtigkeit (Presbyopie). Das presbyopische Auge enthat eine altersbedingt weniger elastische Augenlinse, wodurch die Akkommodationsbreite herabgesetzt und der Nahpunkt vom Auge weggeriickt wird (Tab. 6.2). Presbyopie setzt im allgemeinen mit 40 Jahren ein und bleibt ab dem 60. Lebensjahr konstant (Akkommodationsbreiteca. 1 dpt, Tab. 6.2). Der Nahpunkt liegt zunehmend aul3erhalb der deutlichen Sehweite, so da13 beim Lesen "der Arm zu kurz wird. Lesen und Arbeiten in der N&e erfordern eine Brille mit Sammellinsen. Astigmatismus. Der Astigmatismus des Auges tritt bereits bei der Abbildung von Punkten auf, die auf der optischen Achse liegen. Die Ursache ist die Abweichung entweder der Hornhaut oder der Augenlinse von der Rotationssymmetrie. Im Normalfall stehen der Hauptschnitt mit der groRten astigmatischen Brechkraft und der Hauptschnitt mit der kleinsten astigmatischen Brechkraft senkrecht aufeinander. Im Bildraum ergeben sich die beiden Bildlinien, zwischen denen der mittlere Zerstreuungskreis liegt, analog zum Abbildungsfehler Astigmatismus (der aber nur bei au13eraxialen Objektpunkten auftritt). Der Astigmatismus mu13 mit Brillenglasern korrigiert werden, die nicht rotationssymmetrisch sind. Dazu eignen sich Glaser mit einer torischen Flache und Glker mit Zylinderflachen. Die Kombination einer sphikischen und einer zylindrischen Flache wird sphiirozylindrische Linse genannt. 1st das Auge nur in einem Hauptschnitt fehlsichtig (kurz- oder weitsichtig, einfacher Astigmatismus), im anderen normalsichtig, dann genugt ein zylindrisches Brillenglas. Bei grol3em Blickwinkel kann aber dessen Abbildungsfehler Astigmatismus storend sein. 1st das Auge in beiden Hauptschnitten fehlsichtig (zusammengesetzt kurz- oder weitsichtig), dann ist ein torisches Brillenglas erforderlich. Brillenglher. Die Vorlaufer der heutigen Brillenglaser stellen Bikonkav-, Plankonkav-, Bikonvex- und Plankonvexlinsen dar. Sie sind nicht an das blickende Auge angepdt und haben im allgemeinen starken Astigmatismus (Tab. 6.4). Spater wurden schwach meniskenformige periskopische Glker eingesetzt. Bei den sammelnden Glkern hatte die IMenflaChe 1,25 dpt Brechkraft, bei den zerstreuenden Glasern die AuBenflache - 1,25 dpt Brechkraft (Betrag des Radius 418 mm bei n = 1,523). Der Astigmatismus ist nur bei den Glasern mit -14 dpt null. Tabelle 6.4 Astigmatismus von Brillengliisem mit 4 dpt Scheitelbrechkraft bei 35" Blickwinkel

Scheibenfonn bikonvex plankonvex periskopisch Halbmuschel-

astigmatische Differenz in dpt

Punktal las nach v .%oh

-0,Ol

2,75 1-60 1.11 0,09



5 29

6.1 Grundbegriffe

Die VergriSDerung der Brechkraft einer Flache auf 6 dpt bei Zerstreuungslinsen und -6 dpt bei Sammellinsen (Betrag des Radius 87 mm bei n=1,523) fiihrt auf die stiirker durchgebogenen Halbmuschel- oder Meniskengliiser. Der Astigmatismus ist bei den Glkern mit -4,5 dpt null, aber insgesamt gegenuber den periskopischen Gliisern verringert. Bei der Berechnung der ersten punktuell abbildenden BrillenglLer (v. Rohr 1912) wurde beriicksichtigt, dal3 beim blickenden Auge der Augendrehpunkt 25 mm hinter dem Brillenglasscheitel liegt. Der Astigmatismus sollte fiir die Abbildung des unendlich fernen Punktes klein sein. Als maximale Scheibendurchmesserwaren 28.. .35 mm vorgesehen (Blickwinkel ca. 30" bei zerstreuenden, ca. 35" bei sammelnden Linsen). Die Erweiterung auf 50 mm Scheibendurchmesser sowie die praktische Korrektion des Astigmatismus fir die Objektweiten Unendlich und 1 m wurde von Roos 1951 vorgenommen. Bei der Objektweite 0,25 m ist der Astigmatismus ebenfalls noch gering. Abb. 6.11 enthiilt Korrektionsdarstellungen fiir zwei Beispiele mit 4 dpt Scheitelbrechkraft. In Tab. 6.4 sind die astigmatischen Differemen fiir Brillenglker mit 4 dpt Scheitelbrechkraft bei 35" Blickwinkel gegeniibergestellt. Sammellinsen mit B r e c m e n oberhalb 8.5 dpt miissen mit einer asphiirischen Flache versehen sein, wenn der Astigmatismus klein sein sol1 (KatralglLer). Bezuglich der Ausfiihrungsformen mussen wir auf die Spezialliteratur verweisen (Mehrstiirkenglber, Glker mit gleitendem Brechkraftiibergang, Haftglker u. a. ). n-1 $= 2'

4;5.6 d p t

$=

C

c v

20

01

4,1 d p t

-

Abb. 6.11 Korrektionsda~stellungder astigmatischen Differenz als Funktion des Scheibendurchmessersbei -0.2 0 0,4 0,8 0 2 0 Oak 0.8 zwei Durchbiegungen (Objektweiten 0 0 , 1 m, 0,25 m; + 3 Scheitelbrechkraft 4 dpt) astigmatische Oifferenz in d p t

6.1.3

VergroRerung

Scheinbare GroRe. Die scheinbare GrORe eines mit dem menschlichen Auge betrachteten Gegenstandes hiingt ausschlieBlich von der BildgroBe auf der Netzhaut ab.

I

Gegenstiinde, deren Netzhautbilder gleich groB sind, werden als gleich groS empfunden.

In Abb. 6.12 ist w, der Sehwinkel und a, die Sehweite. Bei den praktisch vorkommenden Sehwinkeln kann tan w, = w, gesetzt werden. Es gilt dann nach Abb. 6.12

6 Optische Instrumente und Systeme

530

beziehungsweise

y^’ = u;- Y = -a; tan ws. US

_-

__

-

Abb. 6.12 Zur scheinbaren G r d k (N und N’ sind die Knotenpunkte des Auges)

Der Abstand a; des Knotenpunktes N’ von der Netzhaut wird im allgemeinen als konstante GroRe angenommen. Es gilt deshalb:

I

Gegensthde, fiir die der Tangens des Sehwinkels den gleichen Wert hat, werden gleich groB wahrgenommen.

Der Ausdruck tanw, = --Y

(6.3)

US

ist die scheinbare GroBe eines Gegenstandes. Deutliche Sehweite. Die scheinbare GroBe eines vorgegebenen Gegenstandes hat den groliten Wert, wenn die Sehweite u, so klein wie moglich gewiihlt wird. Fiir a, gibt es jedoch eine vom Alter des Menschen abhhgige Grenze. Unterhalb dieser Grenze reicht die maximale Akkommodation des Auges nicht aus, um ein scharfes Bild zu erzeugen. Die jeweils kleinstmogliche Sehweite ist durch den Nahpunkt des Auges gegeben. Stadige maximale Akkommodation ist jedoch so ermiidend, daB ein Gegenstand vom Auge weiter entfernt als im Nahpunkt betrachtet werden sollte. Aus diesen Griinden ist man ubereingekommen, eine deutliche Sehweite festzulegen, bei der ein Gegenstand im Durchschnitt von normalsichtigen Menschen ohne anstrengende Akkommodation mit der maximal moglichen scheinbaren GroRe wahrgenommen wird.

I

Als deutliche Sehweite gilt a, = - 250 mm.

(6.4)

Die deutliche Sehweite ist eine konventionell vorgegebene BezugsgroRe. Diejenige Sehweite, in der ohne anstrengende Akkommodation die maximal mogliche scheinbare GroUe faktisch erreicht wird, kann im Einzelfall davon abweichen. Vergrolierung. Die VergroRerung der scheinbaren GroRe einer Struktur mit optischen Hilfsmitteln ist notwendig, wenn der physiologische Grenzwinkel beim direkten Sehen nicht erreicht wird. Wir definieren:

Die Vergroljerung r‘ eines mit dem Auge gemeinsam benutzten optischen Systems ist das Verhatnis der scheinbaren GroRe tan w,’des von ihm entworfenen Bildes zur scheinbaren Grol3e tan w, , die der Gegenstand in einer vorgegebenen Entfernung hat.

53 1

6.1 Grundbenriffe

Allgemein gilt also fiir die VergroRerung

r’= -.tan w,‘ tan w,

Der physiologische Grenzwinkel k a beim ~ direkten Sehen durch zwei grundsatzlich verschiedene Ursachen unterschritten werden. - Der physiologische Grenzwinkel wird unterschritten, wenn die Objektstruktur eine so geringe lineare GroRe hat, d d sie trotz Anniiherung des Gegenstandes auf die deutliche Sehweite nicht aufgelost wird. Das trim zum Beispiel bei den Bakterien oder Viren zu. In diesem Fall ist ein optisches System notwendig, eine Lupe oder ein Mikroskop, das ein vergro6ertes Bild erzeugt. Die scheinbare G r o k tan w,’beim Beobachten der Objektstruktur mit dem optischen System muD groRer sein als die scheinbare GrBRe der Objektstruktur tan w, in der deutlichen Sehweite. Die Sehweite mit dem optischen System kann gleich der deutlichen Sehweite oder betragsmMig grBRer als diese sein. Fiir ein im Endlichen liegendes Bild betragt die VergrOBerung (Abb. 6.13)

oder

-0;

r’ = -p’-

--

250 a:/mm

Eine Vergrijkrung

I

- 0,

Abb. 6.13 Zur Berechnung c

der Vergr6Berung

(6.7) *

1 tritt nur ein, wenn

ist. Die Abbildung des Gegenstandes ins Unendliche ergibt die VergroDerung

r’= --tmw: ad Y beziehungsweise

-

(6.8)

Der physiologische Grenzwinkel wird unterschritten, wenn die Objektstruktur nicht zugiinglich ist - also nicht in die deutliche Sehweite gebracht werden k a -~und eine so gro6e Entfernung vom Beobachter hat, daJ3 sie nicht auflBsbar ist. Das ist z.B. bei den Oberflachenstrukturen der Planeten der Fall. Die Saturnringe beispielsweise sind zwar gro-


532

De Objekte, aber ihre Entfernung verhindert die Auflasung ihrer Struktur beim direkten Sehen. Das anzuwendende optische System, ein Fernrohr, muR ein Bild der Objektstruktur erzeugen, dessen scheinbare GroOe tan w: groaer ist als die scheinbare GroBe tan w, des Gegenstandes in der richtigen Sehweite. Die lineare Bildgrofle y’ kann kleiner sein als die ObjektgroBe y, sobald a: entsprechend kleiner ist als a,. Bei unendlichen Sehweiten fur Objekt und Bild ist die allgemeine G1. (6.5) zur Berechnung der Vergrokrung zu vetwenden. Liegen Objekt und Bild im Endlichen, d m gilt

(Abb. 6.13 mit -a, anstelle von -ad) oder (6.10)

Entsprechend gilt bei unendlicher Objektweite und endlicher Bildweite

r’= -L

(6.1 1)

a: tan w,

bzw. bei endlicher Objektweite und unendlicher Bildweite (6.12) Y Die hier angegebenen Beziehungen sind in der Tab. 6.5 ubersichtlich zusammengefal3t worden. Tabelle 6.5 Spezialfalle der Gleichung fiir die Vergrbkrung

Objektweite

Bildweite endlich

unendlich

endlich

Mikroskop

r’ = - 250 P’

r‘= 250mw:

unendlich

Mikroskop

entfdlt

entfdlt

Fernrohr

r’=

a:/=

1 Y’ tan w. a:

Yi-

r=-

tanw:

tan w,

Einfaches Mikroskop. Eine einzelne Sammellinse werde dicht vor das Auge gehalten und habe eine so kleine freie Offnung, daB diese als Offnungsblende wirkt. Diese Anordnung heiDt einfaches Mikroskop. Die Linse bildet den Gegenstand ins Unendliche ab, wenn dieser in der Brennebene liegt (Abb. 6.14). Nach G1. (6.9) gilt n i t (6.13)

r;

= 250

f /mm

( a : = = , a,=-250mm).

(6.14)

533

6.1 GNndbegriffe

H

H‘

Abb. 6.14 Sammellinse als einfaches Mikroskop (a: = m)

Das Bild kann hijchstens auf die deutliche Sehweite angentihert werden, wobei sich die VergroBerung nach G1. (6.7) mit a: = -250 mm auf (6.15)

(Abb. 6.15) bzw. auf

r’= =+1

(a:=-250mm, as=-250mm)

f ’/mm

(6.16)

erhijht.

Abb. 6.15 Saamellinse als einfaches Mikroskop (a: = - 250 IWII) .~

Tabelle 6.6 Eigenschaften von Lupe, Leseglas und einfachem Mikroskop

Lupe

Ort des Auges Bewegung des Auges

Leseglas

-

einfaches Mikroskop

nahe des Systems starres Auge

weit weg vom System dicht hinter dem System blickendes Auge schauendes Auge (Bewegung des Kopfes) Offnungsbegrenzung Augenpupille Augenpupille freie offnung des Systems PAP PAP P EP Feldbegrenzung freie Offnung freie Offnung Augenpupille P EL (1) P EL (2) e AL. (3) (1) Voraussetzung: Sehfeld des Auges gr66er als das Bildfeld der Lupe (Full- oder Sehfeldperspektive) (2) Blickfeld des Auges mitbestimmend fiir das Feld (Hauptperspektive oder Blickfeldperspektive) (3) “Schliisselloch-Beobachtung”(Schlusselloch-Perspektive)

In Tab. 6.6 sind zwei weitere einstufig vergrofiernde optische Instrumente fiir die VergroDerung naher Objekte geringer linearer GroBe aufgefiihrt. Lupe, Leseglas und einfaches Mikroskop unterscheiden sich durch den Gebrauch bzw. durch die Offnungs- und Feldbegren-

5 34


zung. Fur den Fall a: = m und a: = -250 mm gilt fiir Lupe, Leseglas und einfaches Mikroskop die gleiche Vergroflemngsbeziehung G1. (6.14). Einfaches Fernrohr. Bei der Anwendung einer Sammellinse als einfaches Fernrohr ist die Objektschnittweite grol3 gegenuber der Brennweite, so dall ein reelles Bild entsteht. Dieses Luftbild wird mit dem Auge betrachtet. Die scheinbare GroDe des Gegenstandes sol1 vom Hauptpunkt H der Linse aus beurteilt werden. Das Bild liegt in der Entfernung der deutlichen Sehweite. Bei unendlich fernem Gegenstand ist (nach Abb. 6.16a) tan w,= -y'/f' und a: = ad zu setzen, womit aus G1. (6.11)

f' f'!mm r'N -- - -~ ad

(a: = -00, a: endlich)

250

(6.17)

hervorgeht. Das negative Vorzeichen zeigt an,daB das Bild zweiseitig vertauscht ist. FW die Beobachtung eines im Endlichen liegenden Gegenstandes gilt nach G1. (6.10)

Es ist a: = a d , a, = a und p'=

a' a (Abb. 6.16b), also

r'=-.a'

(6.18)

ad H

H'

H

H'

Abb. 6.16 Sammellinse als einfaches Femrohr a) a, = m, b) a, endlich

6.1 Grundbegriffe

535

Anwenden der Abbildungsgleichung ergibt r’

(6.19)

Bei la1

%

f’ ist angeniihert

r’ = - f‘/mm (1 250 Wegen a c 0 und Ia1

%-

-5)

(a, und a: endlich).

(6.20)

f’ ist I T’l geringftigig gr6Ber als I ri I .

Wir erkennen beim Vergleich der GI. (6.14) mit G1. (6.17) einen wesentlichen Unterschied zwischen einfachem Mikroskop und einfachem Fernrohr. Die NormalvergroRerung des einfachen Mikroskops ist dessen Brennweite urngekehrt proportional. Die NormalvergroRerungdes einfachen Fernrohrs ist dessen Brennweite proportional.

I

Tab. 6.7 enthailt die Formeln fUr die Vergrofierungen des einfachen Mikroskops und des einfachen Fernrohrs. Tabelle 6.7 Vergrokrung einfacher optischer Instrumente

Objektweite endlich

unendlich

6.1.4

Bildweite endlich

unendlich

einfaches Mikroskop

r’=250+ 1

r’-- 250

einfaches Femrohr

r’=-f’lmm(1

einfaches Mikroskop

encdlt

einfaches F e m h r

r;=--f ’/m

f’lm

250

-6)

- f’/m

enfdlt

entMlt 250

enfdlt

AbbildungsmaBstab

Bei optischen Systemen, die nicht unmittelbar mit dem Auge zusammen benutzt werden, bestimmt der Abbildungsmdstab

p y ’ Y

(6.21)

das GroRenverhUtnis zwischen Bild und Objekt. Im folgenden sol1 stets f = -f’ angenommen werden. Bei zentrierten optischen Systemen gilt irn paraxialen Gebiet fiir das Brennpunktkoordinatensystem (6.22)


536 und fiir das Hauptpunktkoordinatensystem

pt

= -a’ .

(6.23)

U

Fiir u = -m wird p’ = 0 und y = 00. Die ObjektgroBe 1 s t sich nur im WinkelmaS ausdriicken. Es ist (6.24) y’ = f tan w,. Die Brennweite tritt hier als Mal3 fiir das Verhiiltnis aus der linearen BildgrGBe und der scheinbaren ObjektgroRe auf. Fiir u’ = --m ist p’ = m, so daD die GroRenbeziehungen zwischen Objekt und Bild mittels

y = f’tanwi

(6.25)

darzustellen ist. Bei unendlich fernem Gegenstand ist die BildgroRe der scheinbaren ObjektgroRe proportional. Bei unendlich fernem Bild ist die scheinbare BildgroRe der ObjektgroRe proportional. Der Proportionalitatsfaktor ist im ersten Fall die objektseitige, im zweiten Fall die bildseitige Brennweite. Bei erfiillter Sinusbedingung ist der MaDstab ftir die Abbildung achsnaher Flachenelemente mit weit geoffneten Bundeln aus

p’

n sin6 = -

(6.26)

n’ sin d’

zu berechnen. Bei der Projektion werden die Bilder auf einem Schirm aufgefangen, und erst das Schirmbild wird betrachtet. Die scheinbare GroBe des Schirmbildes betragt nach G1. (6.3) (6.27) wobei y’ = yo’ die lineare GroBe des Projektionsbildes und a: die Betrachtungsentfernung ist. Gleichung (6.27) kann in der Gestalt (6.28) geschrieben werden. Auch die Mattscheibe im Sucher einer Spiegelreflexkamera oder in einer Plattenkamera unterbricht die objektive Abbildung. Eine visuelle Beobachtung des Mattscheibenbildes schlieBt sich an. Dieses hat bei der Betrachtung aus der deutlichen Sehweite die scheinbare GroRe (6.29)

Das auf “unendlich eingestellte” Fotoobjektiv ergibt nach G1. (6.29) mit G1. (6.24) die scheinbare ManscheibenbildgroBe f ’/mm

tanw,‘ = --

250

tan w,.

(6.30a)

6.1 Grundbegriffe

537

Das Fotoobjektiv, als Sucher benutzt, wirkt wie ein einfaches Femrohr mit der Vergrokrung (6.30b)

Erst bei Objektivbrennweiten f’ > 250 mm ist eine VergroRerung I I-’\> 1 zu bemerken.

6.1.5

Optische Instrumente und Gerate

Optisches Instrument. Der Begriff des optischen Instruments ist historisch entstanden. Es gibt Meinungen, nach denen er heute ubemussig wiire. Wir verwenden ihn als einen Begriff, der eine bestimmte Kategorie von optischen Systemen kennzeichnet. Wir definieren:

I

Ejn optisches Instrument ist eine Anordnung aus optischen Funktionselementen und -gruppen, mit der auf lichtoptischem Wege ein Bild erzeugt wird. Optische Instrumente erweitern mit optischen Mitteln die Leistungsf2higkeitdes menschlichen Auges.

Die Einteilung der optischen Instrumente richtet sich danach, ob das Auge in die Abbildungsfolge unmittelbar einbezogen ist oder ob die Abbildung vor dem Betrachten des Bildes unterbrochen wird. Bei subjektiven optischen Instrumenten gehort das Auge direkt dem Strahlengang des optischen Systems an. Insbesondere wird das Bild nicht aufgefangen, bevor es dem Auge dargeboten wird. Entscheidend fiir die Wirkungsweise ist die Beschaffenheit des reellen Endbildes auf der Netzhaut. Subjektive Instrumente dienen der VergrWerung des Sehwinkels. Sie erweitern also die Leistungsfmgkeit des Auges in der Richtung, daR das Auflosungsvermogen erhilht wird, bzw. hinsichtlich eines deutlichen Sehens. Deshalb wwde friiher fiir solche Instrumente der Begriff des “verdeutlichenden Instruments” benutzt. Die unmittelbare Bindung des Instruments an das menschliche Auge schlieDt eine wiederholte Beobachtung ohne das gleiche Objekt aus. Die subjekuven optischen Instrumente sind z. B. die Lupe, das visuell benutzte Mikroskop und das visuell benutzte Femrohr. Objektive optische Znstrumente entwerfen zunikhst unabhagig vom menschlichen Auge ein Bild des Gegenstands. Dieses Bild wird zum Beispiel auf einem Schirm, einer Mattscheibe oder einer konservierenden Schicht aufgefangen. Erst nachtraglich scNieDt sich die Betrachtung an. Zwischen der Abbildung und der Betrachtung liegen teilweise Ifingere h e r tragungsketten oder -xiten, die den Informationsgehalt des Bildes findern. Man denke zum Beispiel an den ProzeD vom Belichten des Films bis zur Vorfiihrung der fertigen Kopie, bei dem weitere optische Systeme mitwirken, oder an den Weg einer Fernsehaufnahme bis zum Beobachten auf dem Bildschirm. Haufig ist das von objektiven Instrumenten erzeugte Bild konserviert, so daR es wiederholt angesehen werden kann.Die Informationen uber das Objekt sind dam gespeichert. Deshalb ist auch der Begriff des “reproduzierenden Instruments” im Gebrauch. Die Erweiterung der Leistung des Auges liegt vor allem darin, daR objektive optische Instrumente ein Bild erzeugen, das ohne sofortiges Einbeziehen des Auges in den Abbildungsvorgang, also zu einer anderen Zeit oder an einem anderen Ort auswertbar ist. GroRenbeziehungen zwischen Objekt und Bild werden zunachst durch den AbbildungsmaRstab oder die linearen Abmessungen und die scheinbare GroRe vermittelt.


538

Objektive optische Instrumente sind z.B. Fotoobjektive, Projektionssysteme, Scheinwerferoptiken, aber auch optische Anordnungen zur Mikrofotografie, MWoprojektion und Astrofotografie. Optisches Gerat. Ein optisches Gerat stellt ein komplexes techniaches Gebilde dar, in dem Baugruppen verschiedener technischer Disziplinen vereint sind. Die Hauptfunktion des Gerates beruht auf den Gesetzen der Optik. Mit einem optischen Gerat werden Informationen aufgenommen, ubertragen, gewandelt und ausgewertet, wobei das Licht als EnergietrBger dient. Die Gesamtheit der optischen Funktionselemente, die teilweise oder vollst’dndg zu optischen Systemen und Instrumenten zusammengefat sein koMen, bilden das Optik-Schema des optischen Gerates. Die klassischen optischen Gerate, wie z. B. die Mikroskope, sind vorwiegend feinmechanisch-optische Gerate. Sie bestehen aus einem optischen Instument, weiteren optischen Funktionselementen und feinmechanischen Funktionsgruppen. In dieser Beziehung verstehen wir unter einem Mikroskop einerseits ein optisches Instrument, wenn nur die fiir die Hauptfunktion notwendigen optischen Systeme und Funktionselemente gemeint sind, und andererseits ein optisches Gerat, wenn shtliche Funktionsgruppen betrachtet werden, also zum Beispiel auch die Triebe, Tische, Stative und so weiter. In den modemen optischen Geraten koMen mehr oder weniger shtliche technische Disziplinen angewendet sein. In besonders starkem M a e tritt die Elektrotechnik, speziell die Elektronik und die Mikroprozessortechnik, an die Seite der Optik. Die elektronischen Baugruppen ersetzen aber nicht die optischen Funktionselemente, deren Umfang weitgehend erhalten bleibt. Sie erweitern und e r g h e n &e optischen Gerate hinsichtlich ihrer Leistungsf~gkeit,indem sie das optische Signal umwandeln, steuem, registrieren und auswerten. Andererseits wird die Optik in Bereiche eindringen, die bisher nur der Elektronik vorbehalten waren. Das trim zum Beispiel fiir bestimmte Funktionen in Datenverarbeitungsanlagen zu. Tab. 6.8 enthat eine schematische Einteilung technisch-optischer Gebilde. Das Optik-Schema kann aus optischen Instrumenten, optischen Systemen und optischen Funktionselementen nebeneinander oder in einem Strahlengang bestehen. Ein optisches Instrument enthiilt entweder nur optische Funktionselemente oder auch zu optischen Systemen zusammengefaljte Funktionselemente. Tabelle 6.8 Schematische Einteilung technisch-optischer Gebilde optisches Gerat

subjektives optisches Instrument

I

nichtoptische Baugruppen

I

~

~

~~

~

geometrisch-optisch abbildend wellenoptisch abbildend

Optik-Schema

bundelbegrenzend

ablenkend lichtleitend

dispergierend

optisches System

Instrument

I

optisches Funktionselement

I

polarisierend filtemd apertur- und lichtstrom&ndemd quantenoptisch emittierend quantenoDtisch absorbierend

6.2 Lupe und Mikroskop

5 39

6.2

Lupe und Mikroskop

6.2.1

Lupe

In Tab. 6.6 wurden einige Eigenschaften von Lupe, Leseglas und einfachem Mikroskop gegenubergestellt. Die beim einfachen Mikroskop mit unendlicher Bildweite geltende Nomalvergr6Rerung und die VergroRerung fiir ein in der deutlichen Sehweite entstehendes Bild wurden in 6.1.3 berechnet. Fiir eine Lupe, die dicht vor ein normalsichtiges Auge gehalten wird, gelten dieselben Gleichungen wie fiir das einfache Mikroskop. Die NormalvergroRerung der Lupe betrPgt also nach G1. (6.14) (a:=m, u, =-250mm).

(6.31)

Nach der Akkommodation auf die deutliche Sehweite gilt nach G1. (6.16)

r‘=r;+l

(a:=-250mm, a, =-250mm).

(6.32)

Bundelbegrenzung und Perspektive. Bei der Lupenbeobachtung wirkt die Augenpupille als Austrittspupille. Die Eintrittspupille hat die Entfemung

f r2

(6.33) z’p vom objektseitigen Brennpunkt der Lupe (Abb. 6.17). Die gegenseitige Lage von Eintrittspupille und Objekt bestimmt die Perspektive. Fiir ein in der objektseitigen Brennebene stehendes Objekt gilt: ZP

=

Bei

--

zi = 0 ist z , =

bei zk < 0 ist

OQ,

es liegt telezentrische Perspektive vor;

zp > 0, es liegt entozentrische Perspektive vor;

bei Z; > 0 ist z , < 0, es liegt hyperzentrische Perspektive vor. H-H’

EP

AP

Abb. 6.17 Zur Pupillenabbildung bei der Lupe

Wir berechnen die Austrittspupillen-Entfemungvon der Lupe a; fiir natiirliche Perspektive (also im wesentlichen den Augenort). Mit 4 = z‘,+f’ (6.34)

540


und GI. (6.31), (6.33) erhalten wir 250 62500 4 / m m = -ri rL2zp/mm'

(6.35)

Die natiirliche Perspektive ist diejenige, die beim direkten Sehen des Objekts aus der deutlichen Sehweite heraus vorliegt. Es m d also auch bei der Lupenbeobachtung zp = 250 mm gesetzt werden, womit sich aus G1. (6.35) (6.36) ergibt. Abb. 6.18 enthdt a; als Funktion von rh. Bei hohen VergrtiDerungen erfordert die natiirliche Perspektive einen relativ geringen Abstand des Auges von der Lupe. 130r

t

\

70 60 -

50 -

LO

-

30 20

-

Abb. 6.18 Austrittspupillenlage 2

0

L

6

8

+

10

als Funktion der Normalvergrollerung bei natiirlicher Perspektive; Brennweite der Lupe

Die freie Linsenoffnung wirkt als Feldblende. Da sie nicht mit der Objektebene zusammenfilt, liegt Kandabschattung durch die Feldblende vor.

VergroBerung bei akkommodiertem oder fehlsichtigem Auge. Bei einer Lupe, die mit einem fehlsichtigen d e r mit einem akkommodierenden Auge benutzt wird, h b g t die VergroDerung auch von der Entfernung Auge - Lupe ab. Wir gehen davon aus, da13 dle lineare GroDe des Netzhautbildes dle scheinbare Grolje des Objekts bestimmt. Fiir die Anderung der Vergrijaerung gegenuber der NormalvergroDerung ist deshalb die h d e r u n g der BildgroRe auf der Netzhaut entscheidend. Der Abbildungsmdstab von Lupen- und Augenabbildung betrage beim fehlsichtigen Auge P', beim normalsichtigen und entspannten Auge Ph. Die VergroDerung ergibt sich dann aus

r'

=

rh7. P'

(6.37)

PN

Der Abbildungsmdstab l U t sich zusammensetzen aus demjenigen der Lupe und demjenigen

54 1


des Auges:

P;. = -ft. Zt

(6.38)

Nach Abb. 6.19 ist z; = a:

z;.

- ft und at

=

UA

+e’, also

ft

= u,+e’-

(6.39)

und

P‘L =

f; -e’-u,

L f

Entsprechend folgt aus p i = -fA/ZA mit zA = a, - fA ftu den Abbildungsmdstab des Auges

(6.41)

-

-=AH; I

;

-2

4

--

*

+-

- -

-a[

4

-

12 1,3

l l - HA

f

b

F;

FL

-6

_ - fi

Ort des inneren Brillenglassheitels

-

e’

-%

Abb. 6.19 Vom Auge weg-

Insgesamt betragt der Abbildungsmdstab

(6.42) Bei a, = -00 (entspanntes normalsichtigesAuge) gilt

P”

=

R‘ fA

(6.43)

Mit fL’mm = 250/rA sowie G1. (6.37), (6.42), (6.43) ergibt sich die VergrZjflerung

~250 e’/mm - a

r’ = -r; G

aA

A / m

(6.44)

/mm - f A jmrn

Wir setzen (Abb. 6.19)

e’ =

(6.45)

-fA - z A H ~

und erhalten

250

+

fA/mm- uA/mm fA/mm- uA/mm

(6.46)

542


Die Entfernung, auf die ein fehlsichtiges oder akkommodiertes Auge eingestellt ist, wird von dem 13,3 mm vor dem objektseitigen Hauptpunkt liegenden Punkt aus gemessen. Sie ist gleich der Brennweite, die der in Dioptrien angegebenen Fehlsichtigkeit zugeordnet ist. Es wird also

a,/mm =

lo00 -

DbPt

und

aA/mm = -'0°0

DIdPt

13,3.

(6.47,6.48)

(Der Ziihler loo0 entsteht durch die Umrechnung von 1 dpt = 1 m-' in mm-'. Der genannte Bezugspunkt liegt 12 mm vor dem vorderen Scheitel der Hornhaut und wird als Ort des innefen Scheitels eines Brillenglases angenommen.) Akkommodation und Kurzsichtigkeit liegen bei D < 0, Weitsichtigkeit liegt bei D > 0 vor. Da die Brennweite des entspannten Auges f A = -17,l mm betragt, gilt fA-aA =

---'O0O

3,8.

(6.49)

DbPt Damit ergibt sich aus G1. (6.46) f

(6.50)

Praktisch ist stets

so da13 mit ausreichender Nmerung (6.51) gesetzt werden kann.

Akkommodation auf die deutliche Sehweite. Akkornmodation auf aD = ad= -250 mm entspricht einer zusatzlichen Brechkraft D = -4 dpt . Die VergroDerung betragt (6.52)

k + 1. Dazu muO also die LuBei Z M L = 0 ergibt sich die bereits abgeleitete G1. (6.32): I-'= r pe so dicht vor das Auge gehalten werden, daI3 ihr bildseitiger Hauptpunkt mit dem objektseitigen BreMpUnkt des Auges zusammenf2llt. Die Vergrofierung nimmt ab, wenn die Lupe weiter vom Auge entfernt gehalten wird. So ist z. B. bei Z A H ~= - 125 mm

r'

1 = -r;+i. 2

(Bei I-; = 8 ist also nur noch I-'= 5 ) . Abb. 6.20 enthat die Abhiingigkeit der VergroDerung

6.2 Lum und MikroskoD

543

von zAHi fiir eine Lupe mit r -= 5, f: = 50 mm bei Akkommodation mit D = -4 dpt und bei Weitsichtigkeit mit D = 4 dpt .

0

50

100 -ZAH'

L

Abb. 6.20 VergriUerung der Lupe als Funktion des Abstandes Auge - Lupe

Ausfiihrungsformen. Bei Lupen mit schwacher Vergroflerung kann wegen der kleinen Austrittspupille die Korreldion des Offnungsfehlers und die Erfiillung der Sinusbedingung untergeordnete Bedeutung haben. Das gro6e Feld erfordert die Korrektion der Koma, des Astigmatismus, der Verzeichnung und des Farbfehlers des Hauptstrahls. Die Bildfeldwolbung kann teilweise durch die Akkommodation auf die geluiimmte Bildschale ausgeglichen werden.

Abb. 6.21 a) Plankonvexlinse als Lupe, b) Verantlupe, c) aplanatische Lupe, d) auastigmatische Lupe

Abb. 6.21 enthat einige Ausfiihrungsformen von Lupen. Fiir geringe Anspriiche genugt bis zu r'=6 eine Plankonvexlinse, deren Planflache dem Auge zuzukehren ist (geringer Astigmatismus, Abb. 6.21a). Die Verantlupe erfiillt htihere Anspriiche hinsichtlich der Bildqualitiit bis zu Vergroflerungen r'=4, weil bei ihr der Astigmatismus, die Bildfeldwolbung, die Verzeichnung und der Farbfehler des Hauptstrahls korrigiert sind (Abb. 6.21b). Bei hoheren VergrODerungen miissen auch der Offnungsfehler korrigiert und die Sinusbedingung erfiillt sein (aplanatische Lupe, r'=6.. .15, Abb. 6.21~).SchlieDlich lassen sich mit erhohtem Aufwand fiir stkkere Vergrokrungen anastigmatische Lupen berechnen, bei denen alle Abbildungsfehler ausreichend korrigiert sind (Abb. 6.21d).

6.2.2

Optikschema des zusammengesetzten Mikroskops

Das Optikschema des zusammengesetzten Mikroskops enthat das Objektiv und das Okular. so dal3 eine zweistufige Abbildung realisiert wird. Das Objektiv erzeugt das reelle Zwischenbild, das mit dem Okular wie mit einer Lupe betrachtet wird. Im Normalfall befindet sich das Endbild im Unendlichen, das Okular wird mit der Normalvergr6Serung benutzt. Abb. 6.22a enthat fiir diesen Fall den Abbildungsstrahlengang. Das Endbild kann bis auf maximal ad = -250 mm an das Auge herangefiihrt werden, wobei die

544

6 Optische Instrumente und Systeme H=H1,,

Zwischenbild

Objek

Abb. 6.22 Abbildung im zusammengesetzten Mikroskop a) Bildweite unendlich, b) Bild in der deutlichen Sehweite

VergroRerung geringfiigig anwachst (Abb. 6.22b). Wir nennen die Vorteile des zusammengesemen Mikroskops gegenuber dem einfachen Mikroskop: 1. Die zweistufige Abbildung ermoglicht eine kleine Gesamtbrennweite des Mikroskops bei groReren Einzelbrennweiten von Objektiv und Okular. Dadurch sind hohere Vergrofierungen zu erreichen. Aus f

=

f6bf6k

(6.53)

t

folgt mit einer entsprechend groRen optischen Tubusliinge t eine kleine Gesamtbrennweite. Abb. 6.23 zeigt ein Beispiel, bei dem f6b=4mm, fik=20mm, t =160mm, ft=-0,5mm, r'=-500 ist.

'

'bb

-

FO k

t

T

1 -

'bk -fOk

Fdk

fdk

Abb. 6.23 Grundpunkte des Mikro-

skops (objektseitigLuft)

2. Zwei Forderungen sind mit dem optischen System des Mikroskops zu erfiillen: Das Objektfeld sol1 einen gegenuber der Gesamtbrennweite groOen Durchmesser haben. - Die numerische Apertur sol1 moglichst groR sein, damit das Auflosungsvermogen gewiihrleistet ist. -

Mit einer einstufigen Abbildung sind beide Forderungen kaum zu realisieren, weil die Korrektion optischer Systeme fiir groRe Felder und groRe Offnungen schwierig ist. Beim zusam-


545

mengesetzten Mikroskop ist jedoch die Abbildung so auf Objektiv und Okular aufgeteilt, da0 diese je eine der Forderungen erfiillen. Das Objektiv bildet ein gegenuber seiner Brennweite kleines Objektfeld mit weit getiffneten Bundeln, also mit groRer numerischer Apertur, ab. Bei einem Mikrmbjektiv ist die Sinusbedingung erfiillt. Diese lautet mit n‘ = 1, P‘ = y’/y , A = n sinu A sinu’ = 7 .

P

(6.54)

Da im allgemeinen bei Mikroobjektiven mit gr6Derem AbbildungsmaRstab auch eine grtiRere numerische Apertur vorliegt, gilt fiir alle Objektive angen2hert u’ = 1”...3”. Fiir das Okular ist demnach die numerische Apertur sehr klein. Es bildet ein groRes Objektfeld mit engen Bundeln ab.

3. Im allgemeinen ist es gunstig, objektseitig telezentrischen Strahlengang vorzusehen. Die Offnungsblende liegt dann in der bildseitigen Brennebene des Objektivs oder in einer dazu konjugierten Ebene.

Abb. 6.24 Hauptstrahlenverlauf im zusammengesetzten Mikroskop

Die optimale Verknupfung der Strahlenbundel zwischen Mikroskop und Auge wird erreicht, wenn die Augenpupille am Ort der Austrittspupille des Gesamtsystems steht. Diese muR also dem Auge zugiinglich sein. Das Okular hat deshalb unabhhgig von seiner VergrtiBerung die Aufgabe, die Offnungsblende reel1 abzubilden und damit bildseitig konvergenten Hauptstrahlenverlauf zu verwirklichen (Abb. 6.24). 4. Gegenuber dem einfachen Mikroskop hat das zusammengesetzte Mikroskop die Vorteile eines groReren freien Arbeitsabstandes, einer gr6Beren Entfernung Objekt - Auge und des einfachen VergroRerungswechsels.

5. Betrachtet man das Objekt als eine beugende Struktur, die mit Parallelbundeln beleuchtet wird, dam eneugt das Objektiv in seiner bildseitigen Brennebene ein Beugungsbild. In dieses lassen sich Eingriffe vornehmen, die zu verschiedenen Mikroskopierverfahren fiihren. Dieser Vorteil ist nur beim zusammengesetzten Mikroskop gegeben.

Abgleich. Der Mikroskoptubus ist ein Rohr zur Aufnahme des Objektivs, des Okulars, von Reflexionsprismen oder Spiegeln und weiterer Bauelemente, die die Strahlenbundel beeinflussen. Das Objektiv wird entweder direkt an den Tubus oder an einen Objektivrevolver angeschraubt. Das Okular wird in den Tubus eingesteckt. Objektiv und Okular werden “abgeglichen”. d. h,ein Objektiv- und Okularwechsel erfordert keine Verstellung des Tubus. Dazu ist es notwendig. daR die Bildweite des Objektivs und

546


die Objektweite des Okulars konstant bleiben. Die mechanische Tubusliinge war bei den Herstellern verschieden. Tab. 6.9 enthat Beispiele sowie die Abgleichlslngen nach DIN 58887 (Abb. 6.25). Tabelle 6.9 Abgleichlhgen beim Mikroskop ~

Abstand Objekt Zwischenbild

Anwendung

192

Durchlicht Auflicht grokr Arbeits abstand

Hersteller

mechanische Tubusliinge

Abgleichlhge Objektiv Okular

Carl Zeiss Jena

160

45 45

13 13

75

13

45 33 45 37

10 10 18 18

192

45

10

195

Carl Zeiss 160 Oberkochen 170 Leitz DIN

160

183

197

Durchlicht Durchlicht

1x9

- - - - - - - - - - - - -- -

Objekt

'

Fbb

_ _ ~ - _ _

_-___-___

----~

Abgleichlange Objektlv

-c

-

k

t

Abglachlange

Okula

'

rnechanische Tubuslange F

h

Abb. 6.25 Abgleichliingen am Mikroskoptubus

Folgende Gesichtspunkte bestimmen die Abgleichltingen: - Tubusltinge. Der Abbildungsmahtab des Objektivs wachst bei konstanter Objektivbrenn-

weite mit der Tubusltinge. Andererseits darf das Mikroskop insgesamt nicht zu hoch werden. - Objektiv. Die gesamte Objektivpalette unterschiedlicher Ltinge m a abgleichbar sein. Zu grol3e Abgleichlslngen bringen Probleme bei der Zentrierung mit sich. - Okular. Starke Okulare haben eine kleine Brennweite, deshalb sollte die Abgleichltinge der Okulare moglichst klein sein. Fiir die Entfernung vom Objekt bis zum Zwischenbild gilt: Entfernung Objekt bis Zwischenbild = (mechanische Tubusliinge ) + (Abgleichliinge Objektiv) - (Abgleichliinge Okular ) .

Fiir die optische Tubusltinge gilt (Abb. 6.25):

r/mm = (mechanische Tubusltinge) /mm - (Abgleichliinge Okular) /mm + c/mm. Bei schwachen Objektiven ist c klein; bei starken Objektiven ist c u n g e f ~gleich der Abgleichlange Okular.


6.2.3

547

Vergroflerung und Auflosungsvermogen

Vergroflerung. Wir legen ein Mikroskop zugrunde, bei dem die Bildweite unendlich ist. Nach GI. (6.8) gilt fiir die VergrljDerung bei unendlicher Bildweite und bei der deutlichen Sehweite als Bezugsentfernung ad r‘ = --tan

Y

w,’.

In Tab. 6.10 wird diese Beziehung auf die spezifischen Verhdtnisse des zusammengesetzten Mikroskops angewendet (Abb. 6.26). Das Ergebnis lautet r’ = p b b r & (6.55) und (6.56) In Worten: Die VergrijBerung des Mikroskops ist das Produkt aus dem Abbildungsmalhtab des Objektivs und der VergroRerung des Okulars. - Die Vergroserung des Mikroskops l a t sich mit der Formel fiir die Vergrofierung der Lupe berechnen, wenn in diese die Gesamtbrennweite des Mikroskops eingesetzt wird. -

Abb. 6.26 Zur Ableitung der Vergrokmng

Objektive mit unendlicher Bildweite. In der Mikroskopie werden auch Objektive mit unendlicher Bildweite eingesetzt. Diese beruhen auf der Abbeschen Zerlegung der mikroskopischen Abbildung, die wir zunachst erlautem (Abb. 6.27a). Das Objektiv wird durch eine duMe Zerstreuungslinse e r g b t , die in der bildseitigen Brennebene steht und das Zwischenbild ins Unendliche verlegt. Sie muR demnach die BRMweite f,= - t haben. Objektiv und Zerstreuungslinse wirken wie eine Lupe mit der BreMweite (6.57) und der Vergrijfierung (6.58) Die Wirkung der Zerstreuungslinse wird mittels einer duMen Sammellinse der BreMweite fs’=t kompensiert, die ebenfalls in der bildseitigen Brennebene des Objektivs steht.

548


1 v1

>

'3 24 W

b"

0

6.2 Luue und Mikroskov

H=Hb,

H = H ~H-H!~

H-Hbb

549

H-H,;

H-Hb,

Abb. 6.27 a) Abbesche Zerlegung der mikroskopischen Abbildung, b) Mikroskop mit Objektiv unendlicher Bildweite

Sammellinse und Okular stellen ein astronomisches Femrohr mit der Vergroflerung (6.59) dar. Die MikroskopvergrijSerung 1 s t sich in folgender Form darstellen:

r'

=

r;r;.

(6.60)

Die Abbesche Zerlegung wird bei der Femhrlupe genutzt. Diese Kombination aus Lupe und Fernrohr hat den Vorteil eines groSen Arbeitsabstands. Die Objektive mit unendlicher Bildweite wirken wie die Kombination aus Objektiv mit endlicher Bildweite und Zerstreuungslinse. Es ist nur noch die Sammellinse hinzuzusetzen. Die Sammellinse wird Tubuslinse genannt. Diese stellt aber in Wirklichkeit ein hinsichtlich Farblbgsfehler komgiertes optisches System dar (Abb. 6.27b). Die Gesamtvergroflerung betragt

r'

=

r6bfiub

f6k

(6.61a)

(6.61b) Die Brennweiten der Tubuslinsen sind so abgestuft, daS man ein einfaches Verhsltnis zu 250 mm erhslt. Vorteile der Objektive rnit unendlicher Bildweite sind: - Es ist keine feste Tubuslfinge notwendig; - Planplatten, Filter, Polarisationsfilterauf der Bildseite des Objektivs, wie sie z. B. in Polarisationsmikroskopen vorkommen, fiihren keinen Astigmatismus ein.


550

Tabelle 6.1 1 Zur Berechnung des Austrittspupillen-Durchmessers

Anwenden der Sinusbedingung fur unendliche Bildweite mit h = PI, Definition der numerischen Apertur

I

7

A = nsinu

I

VergroOerung des M

also f =

1

ad

7

r

Einsetzen 2adA 2p; = r ' Konvention uber die deutliche Sehweite ad = -250mm

-

Einsetzen

2p,/mm

=

500A 7

Normalvergrofierung. Der Austrittspupillen-Durchmesser des Mikroskops hMgt von der VergroRerung ab. In Tab. 6.1 1 (Abb. 6.28) wird abgeleitet, daO 500 A (6.62) 2pk/mm = --

r'

ist. Bei dem Austrittspupillen-Dhmesser 2pi = 1 mm spricht man von der NormalvergroRerung des Mikroskops. Diese betragt also

ri

= -500A.

(6.63)

A

H -n

a

Abb. 6.28 Zur Ableitung des Austrittspupillen-Duhmessers

Ablesevergrofierung. Bei der Definition der VergroRerung fiir die Lupe und fiir das Mikroskop wird der Sehwinkel ohne Instrument w, auf die deutliche Sehweite ad= - 250 rnm bezogen. Die wirksame VergroRerung beirn Ablesen von Marken oder Teilungen mit der Lupe oder mit dem Mikroskop ergibt sich aber als Verhutnis der scheinbaren GroSe mit Instrument und der scheinbaren GroSe ohne Instrument bei unveriinderter Entfernung a, der Augenpupille vom Objekt.


Die AblesevergrOfierung

r;

=

55 1

ri folgt damit aus der Vergrijljerung durch

a /mm -rJ+.

Liegt die Skale in der objektseitigen Brennebene einer Lupe, dam betragt die Ablesevergrofierung

(6.65)

Abb. 6.29 Zur Ableitung der Ablesevergrtikmng

Fiir die MikroskopvergrO13ernggilt r'= r d k g b bzw. mit

r'

=

rdk

= 250/( fAk/rnm), fibb = f&/z

f 6 b 250 f d k tirnrn'

(6.66)

Aus G1. (6.64) ergibt sich mit GI. (6.65) und G1. (6.66) (6.67) Mit f6b=16mm, fdk=50mm, z=-1,6mm erhalten wir z.B. r'=-62, vergroSerung wiirde in diesem Fall r'= -50 sein.

die Mkroskop

Aufliisungsvermogen. Nach GI. (4.337) hat die erste Nullstelle der Beugungsfigur, die sich bei der Abbildung eines Punktes ergibt, in der Bildebene den Radius

r' = 0,61-.A P'

PP

(6.68)

Vorausgesetzt ist eine kreisformige Offnungsblende. Zwei inkohiirent zueinander strahlende Objektpunkte gelten als auflosbar, wenn die erste Nullstelle der einen Beugungsfigur mit dem Hauptmaximum der anderen Beugungsfigur

552


hiichstens zusammenfiillt. In der Mitte zwischen den beiden Maxima ist dann die Intensitat um 37% geringer als in den Maxima. Der Kontrast betragt 0,16. Die G1. (6.68) gibt also zugleich den auflosbaren Abstand zweier Punktbilder in der Zwischenbildebene des Mikroskops an. Da der bildseitige Offnungswinkel u' des Mikroobjektivs klein ist, gilt tan u' = sinu'

P; = 7

P

und r' = 0,61-

A sin u"

(6.69a)

Die Sinusbedingung nrsinu = n'r'sinu' ergibt mit n' = 1, n sinu = A Ar r' = sin u' '

(6.69b)

Der in der Objektebene auflosbare Abstand betragt nach GI. (6.69a, b) rA

A

= 0,61-. A

(6.70)

Inkohiirent strahlende Objektpunkte liegen vor, wenn das Objekt selbst leuchtet oder mit grol3er Apertur beleuchtet wird. (Bei selbstleuchtenden Objekten wird das Licht nur an der Offnungsblende des Mikroobjektivs gebeugt. Bei beleuchteten Objekten tritt zusatzlich Beugung am Objekt auf.) Man bezeichnet das Verhdtnis aus der Beleuchtungsapertur Ak und der numerischen Apertur des Mikroobjektivs A als Kohiirenzparameter

s = -.Ak A

(6.71)

Kohiirente Beleuchtung ist durch S = 0, inkohiirente Beleuchtung durch S -) m gekennzeichnet. Fiir 0 < S < m liegt partiell-kohiirente Beleuchtung vor. Allerdings ist Licht mit S = 1 bereits weitgehend inkohiirent. Fiir partiell-kohiirente Beleuchtung geht G1. (6.70) uber in

A

rA

=

mAx.

(6.72)

Der Faktor mA wird in 6.2.8 bermhnet und ist in Abb. 6.30 ah Funlrtion von S dargestellt. Das Auflosungsvermogen beleuchteter Objekte h h g t nicht nur vom Kohiirenzparameter, sondern auch von der Objektform und der Beleuchtungsart ab. So ist z.B. fiir ein Liniengitter

553


mA=1, wenn kohiirente Beleuchtung mit achsparallelem Licht angewendet wird, und mA=0,5 fiir koharente Beleuchtung mil einem schrtigen Parallelbundel. Nutzllche Vergrollerung. Bisher haben wir nur die Eigenschaft des Auges beriicksichtigt, zur Auflosung zweier Intensitatsverteilungeneinen Mindestkontrast zu benotigen. Die daraus resultierende aufltisbare Strecke m d aber wegen des Auflosungsvermogens des Auges a d e r dem einen winkelmii6igen Mindestabstand haben. Beim Mkroskop ist das insofern deutlich, als j a die in der Zwischenbildebene entstehende Beugungsfigur durch das Okular wie mit einer Lupe betrachtet wird. Dadurch m d der Abstand r' auch vom Auge aufgelost werden. In Tab. 6.12 wird abgeleitet, wie hoch die MikroskopvergrMerung sein m d , damit die auflosbare Strecke mit der scheinbaren Grol3e tan w,'wahrgenommen wird. Es ergibt sich G' = 250 A tan w,' (6.73) mAA/mm ' Tabelle 6.12 Zur Ableitung der forderlichen Vergrokrung

I

Scheinbare Grok der im Zwischenbild aufgelosten Strecke

I

Im Objekt auflosbare Strecke 1,

A

= mA 2

Umrechnung auf das Zwischenbild

I

Einsetzen

Vergrokrung des Mikroskops

G' r; = rAkp;,,bzw. p b = r&

I

.

. I

v

I

NormalvergrdBerung des Okulm

I

I

Einsetzen

tanw;= - m, r;A/m 250 A


554

Tab. 6.13 enthat ftir einige Werte von mA und w: die GroRen 2p; und -&'/A

bei

A = 500 mm. Man nennt den Bereich, in dem das Auflosungsvermogen des Objektivs und das des Auges gunstig angepaM sind, den Bereich der nutzlichen VergoRerung. Fur ihn gilt etwa 500A I

(r'(I l O A ,

l m m L 2pi 2 0,5mm.

(6.74a, b)

Die untere Grenze wird entspechend G1. (6.74) als NormalvergroDerung

ri

= -500A,

2pi = l m m ,

(6.75)

die obere Grenze als forderliche Vergrofierung

c'= - 1 0 0 0 A ,

2 4 = 0,5mm

(6.76)

aufgefat. Die numerische Apertur der Mikroobjektive ist bei etwa 1,7 begrenzt. so daR die ftirderliche Vergrokrung maximal I r; = 1700 betragt. Hijhere VergroRerungen als Ir'l=2000 sind also nicht sinnvoll. In MeRmikroskopen, in denen es auf die NoniussehschWe ankommt, ist die auflosbare Versetzung von Teilstrichen etwa 1/6 derjenigen fiir punktfonnige Objekte. Deshalb ist bei dieser speziellen Anwendung ein hoherer Betrag der Vergroflerung als 2000 noch vertretbar.

I

Tabelle 6.13 Werte fiir 2pL und -I''/A

w:

fiir das Mikroskop

mA = 0,50

mA = 0,151

rnA

-rd

-G

--G

2p;/mm

210

145

1,05 0,53

290 580

3.44 1,72

A

2p;/mm

2'

290 580

0.86

4'

1160

0.43

I'

1.72

A

238 475 951

2p;/mln

A

= 1,oo

0,86

Menunsicherheit beim MeBmikroskop. Im MeRmikroskop wird das Objekt mittels eines in der Zwischenbildebene angebrachten Okulannikrometers ausgemessen. Der linearen Zwischenbildgrofie y&, entspricht die scheinbare GroRe tan w.' = y&/f&. Mit y = y&/&, ergibt sich

Aus der NormalvergroDerung des Okulars folgt &/mm = 250/rdk, also

y/mm =

250 tan w,' r6k %b

oder mit tan w,'=w,' 250 w: y/mm = -

r'*

Die MeRunsicherheit im Objekt betragt bei der subjektiv gegebenen Unsicherheit A w.' des Sehwinkels 250 Ay/mm = -Aw,'. (6.77a)

r

sss

6.2 LULX und Mikroskor,

Die empirisch ermittelte subjektive Unsicherheit A w.' h h g t vom Austrittspupillenradius des Mikroskops ab und ist der Tab. 6.14 zu entnehmen. Tabelle 6.14 Unsicherheit des Sehwinkels in Abhmgigkeit von der Grok des Austrittspupillendurchmessers des Mikroskops 2p;/-

0.5

A w:

58'

0,6 2,s

098

1

,o

2.0

38

22'

20'

1.8'

1,7'

Ein Mikroskop, das mit der forderlichen VergroBerung'-I = - 1000A benutzt wird, hat den Austxittspupillendurchmesser2p'p = 0.5 mm. Dafiir ist nach Tab. 6.14

~ w =;2 , t ~4 8.10-~rad. Aus G1. (6.77a) folgt die MeRunsicherheit Ay/mm = 2'10-4 bzw. A

Ay/pm = -.1 5A

Mit einem Objektiv der numerischen A p e m A = 0.4 ist also Ay = 0.5pm. Die G1. (6.77a) gilt auch f5r die Lupe mit NonnalvergroRerung:

Ay/mm =

250 A w,'

,-

(6.77b)

G

Die Augenpupille als Austrittspupille ist bei den ublichen Leuchtdichten grokr als 3 mm, so rad gerechnet werden kann. Es ist also dal3 mit A w: = 1,7' 4 5 . Ay/mm =

1 8fi.

(6.78a)

Auf einem Teilkreis mit dem Radius R entspricht das einer Unsicherheit des Winkels von =

bzw. mit 1" 4 5 .

AY

7=

1 gr{R/mm

rad

A a/Winkelsekunden = 0,25.16

1

(6.78b)

Bei f - = 8 und R = 160 mrn e m i t man z. B. die Unsicherheit A a = 19.5".

6.2.4

Scharfentiefe

Die SchSrfentiefe des Mikroskops ergibt sich aus dem begrenzten Auflosungsvermogen des Auges und aus der beugungsbedingten axialen Verbreiterung der Intensit&tsverteilungin der Umgebung der Zwischenbildebene (vgl. 4.2.4 und 4.4.2). Durch Akkommodation des Auges ist eine Erhcihung der Schiirfentiefemoglich.


556

Geometrisch-optische Scharfentiefe. Das begrenzte Auflosungsvermogen des Auges bringt es mit sich, daB ein geornetrisch-optisch entstehender Zerstreuungskreis als Punkt wahrgenommen wird. Abb. 6.3 1 zeigt die irn Zwischenbildraurn vorhandenen Abbildungstiefenbereiche, die dern zulksigen Zerstreuungskreisdurchmesser zugeordnet sind. Es gilt nach dem Strahlensatz

PI, = -

P’

P ’+b: , PI, - P’+ b: . P’

-b;

(6.79a, b)

b: Zwischenbild

*‘Ob

P’ b;.

Abb. 6.31 Abbildungstiefe

Wegen p’

%- b:, b:

folgt daraus

b’1 -- -&p’

, b,’ = d p ’

PI,

Pi

(6.80a, b)

oder mitsin u’ = pi/p’ bJ =

--!?-sin u”

P’ b: = sin u’ ’

(6.81a, b)

Anwenden der Sinusbedingung ergibt b’I --

___ P’IP’I A ,

b:=- P’IP‘I A ’

(6.82a, b)

Die Abbildungstiefe kann mit der Beziehung fiir den Tiefenmastab cd in die SchWentiefe umgerechnet werden: b: = -b; = db,.

Es ist a‘ = (n”’’)/n, also mit n’ = 1 (6.83) Der Durchmesser 2p’ des Zerstreuungskreises in der Zwischenbildebene erscheint bei der Betrachtung mit dern Okular, das mit der NormalvergroBerung benutzt wird, unter dern Sehwinkel 2P’ w: = tanw; = 7. fOk

Damit gilt (6.84)

557


Mit 250

fdk/mm = - und

Ifl'Ir,k

r&k

=

Ir'l

erhalten wir (6.85) Gesamte Scharfentiefe Nach G1. (4.360) folgt die wellenoptische Schiirfentiefe des Mikro-

skops aus

Die gesamte Schaifentiefe betr2gt also 125nw,' nA/mm b,/rnm = -b,/mm = A(P( +F'

(6.86)

(6.87)

Bei der Normalvergrokrung

1 r$l= 500A geht daraus

hervor. In Abb. 6.32 ist der wellenoptische Anteil von b,/n als Funktion der numerischen Apertur fiu A =300 nm , 500 nm und 700 nm grafisch dargestellt. Der geometrisch-optischeAnteil, der von der Vernroflerung abhtingt, ist in Abb. 6.33 f%r w,' = 2' zum wellenoptischen Ante rden. 500lllfl 1°"11"1

Grsarntwerl der rcrhthten chnrferrtiefe d a Mikrnskops

-

~

- wcllen

opiisrherAnteil

Pornmeter Wellenlonge)

10

Abb. 6.32 Wellenoptische SchWentiefe

Abb. 6.33 Gesamte ScWentiefe

558

6 Ovtische Instrumente und Svsteme

Zur Abschatzung der rechten SchMentiefe bei einer anderen Wellenltinge ist der Unterschied zum Wert fiir A = 500 nm der Abb. 6.32 zu entnehmen und zum Gesamtwert nach Abb. 6.33 zu addieren bzw. davon zu subtrahieren. Bei der Annahme eines anderen zulbsigen Sehwinkels K’ f%r den Zerstreuungskreisdurchmesser ist in Abb. 6.33 der Unterschied zwischen der gestrichelten Kurve (wellenoptischer Anteil) und der ausgezogenen Kurve im Verhdtnis %’/2’ zu vertindern. Fokussierfehler im Mefimikroskop. In optischen Mefigeraten werden Lupen, Mikroskope oder Fernrohre eingesetzt, mit denen auf optische Objekte, Bilder, Strichmarken usw. “scharf eingestellt” werden mufi. Kommt es darauf an, entweder die Entfernung Objekt - Bild auszumessen oder das Bild moglichst genau in der Ebene einer Vergleichsmarke zu entwerfen, dann gehen die Fokussierfehler in &as MeRergebnis ein. Diese entstehen durch die S c M e n - bzw. Abbildungstiefe. Von der Akkommodation des Auges wird in den folgenden ijberlegungen abgesehen. Aaerdem sol1 als Kriterium des Fokussierfehlers die geometrisch-optische Abbildungstiefe fiir verschiedene Einstellhilfen verwendet werden. Die wellenoptische Abbildungstiefe spielt bei der Einstellung auf Strichmarken eine untergeordnete Rolle. Beim MeRmikroskop betragt der geometrisch-optische Anteil des Fokussierfehlers nach GI. (6.85)

125nw,‘ b,/mm = kAIT’I

(6.88)

’

Fur Punktepaare und Parallelstriche gilt erfahrungsgema w,’ = 2’ P 6 . rad , fiir versetzte rad und fur einen Mittelstrich, der mit Doppelstrichen einStriche w,’= 0,25‘ 4 0,75. rad . gefangen wird, w,‘ = 0,l B 3 . Fiir die NormalvergroRerung I r’l= 5 0 0 A , n = 1 und A = 500 nm ergibt sich bF/pm = +500w,‘/A2. Daraus folgt: Punktepaare

A2bF = fO,3pm,

Doppelstriche

A2bF = k0,3pm,

versetzte Striche

A2bF = kO,0375 km,

Stricheinfang

A2bF= f0,015pm.

Der wellenoptische Anteil wiirde in allen Faillen bei 2 = 500 nm den Wert A’ bFw= k0,25 pm annehmen, so daU er die gunstigen Einstellhilfen unwirksam werden liefie. Fiir die Lupe gilt bei w,‘ = 1’ b/mm =

+

r‘2 N

18 75

; PP /mm ’

(6.89)

Danach m a t e die VergroRerung der Lupe moglichst grofl, die Leuchtdichte moglichst klein sein. Letzteres gilt, weil die Grol3e der Augenpupille mit der Leuchtdichte abnimmt. Bei einer Lupe mit Ti = 4 und PI, = 2 mm ist b=+_0,58mm und

f‘=62,5mm.

Die Fokussierung ist also auf knapp k 1%moglich.


6.2.5

559

Beleuchtung

Allgemeines. Im zusammengesetzten Mikroskop ist im allgemeinen die Beleuchtung des Objekts mit optischen Hilfsmitteln erforderlich. Bei schwachen Vergr6krungen kann es ausreichend sein, das Himmelslicht oder das Licht einer Leuchte uber einen Spiegel in den Abbildungsstrahlengang zu lenken. Bei stiirkeren Vergr6Eerungen sind jedoch besondere Beleuchtungssysteme mit optimaler Koppelung an den Abbildungsstrahlengang notwendig. Damit sind auch spezielle Mikroskopierverfahren anwendbar, die auf Eingriffen in das abbildende Bundel beruhen. Grundsatzlich sind zunachst die Hellfeld- und die Dunkelfeldbeleuchtung zu unterscheiden. Bei Hellfeldbeleuchtung erscheint das objektfreie Feld hell ausgeleuchtet. Das Objekt veriindert die Leuchtdichteverteilung im Feld. Bei Dunkelfeldbeleuchtung ist das objektfreie Feld dunkel. Das am Objekt gebeugte und gestreute Licht hellt das Bildfeld entsprechend der Objektstruktur auf. Durchsichtige Objekte werden im allgemeinen durchstrahlt, sie werden mit Hellfeldbeleuchtung abgebildet. Fiir undurchsichtige Objekte ist die Auflichtbeleuchtung anzuwenden, bei der das am Objekt reguliir oder diffus reflektierte sowie das gebeugte Licht abbildet. Abb. 6.34 stellt die Beleuchtungsarten gegenuber, indem die Lage der Beleuchtungsaperhu zum Objekt angegeben wird. Das Objekt kann auch schrag beleuchtet werden. Die Einfallsrichtung des Lichtes stellt das Azimut der Beleuchtung dar (Abb. 6.35). Schrage Beleuchtung fiihrt leicht zu einer ungleichmiil3igen Ausleuchtung des Objektfeldes, die wir Azimuteffekt nennen.

Abb. 6.34 Beleuchtungsarten

Abb. 6.35 Azimut der Beleuchtung

Nach G1. (4.282) betragt die Beleuchtungsstiirkein der Objektebene do

E = -= ~~R,,LA'~, (6.90) d9 wobei L die Leuchtdichte der Quelle und A' die Beleuchtungsaperhu ist. Fiir die Helligkeit des Netzhautbildes ist die Lichtstiirke in der Austrittspupille des Mikroskops entscheidend. Dafiir gilt bei erfiillter Sinusbedingung der Gesamtabbildung ( 7 Transmissionsfaktor des optischen Systems) I' = 7L.(Flsche der AP),

560


also 1 I' = -XZL(~P;)', [1'] = Cd, 4 oder mit G1. (6.62) (Umrechnung von 2pi/mm auf 2&/m notwendig!) 0,SA

(6.91)

(6.92)

Daraus folgt I'fcd =

A* 0 , 0 6 2 5 zL/(cd/m*). ~ r'2

(6.93)

Beleuchtung uber Spiegel. Auch bei Mikroskopen ohne eingebautes Beleuchtungssystem ist es notwendig, das Licht iiber Spiegel umzulenken, weil der Tubus meistens senkrecht oder schrag steht. Ein ebener Spiegel lenkt das Licht nur ab. Bei kunstlichen Lichtquellen hat er keinen Einflu0 auf die Bundelbegrenzung. Bei der Mikroskopie mit Himmelslicht wirkt die Spiegelfassung als Eintrittspupille. ~ Eintrittspupille wirken. Mit dem Ein Hohlspiegel vergrol3ert die Lichtquelle. Er k a als Hohlspiegel ist bei relativ kleiner Lichtquelle eine relativ grol3e Beleuchtungsapertur moglich (Abb. 6.36).

Bild dkr Quelle

Abb. 6.36 Beleuchtung uber einen Hohlspiegel

Kohlersche Beleuchtung. Die 1893 von Kohler erfundene Mikroskopbeleuchtung erfiillt alle Forderungen, die an das Beleuchtungssystem des Mikroskops zu stellen sind. Wir formulieren zunachst die Forderungen: -

Die maximal auszuleuchtende Apertur ist von der grol3ten Abbildungsapertur abhhgig. Es gilt (6.94a) (6.9413)

angesetzt wird. Die Beleuchtungsapertur mul3 mit nicht zu grol3en Lichtquellen erreicht werden, weil sonst keine ausreichenden Leuchtdichten moglich sind. - Das Objekt sol1 g1eichms;flig ausgeleuchtet sein. Das ist gewiihrleistet, wenn die Beleuchtungsapertur fiir shtliche Punkte des Objektfeldes gleich ist.

6.2 L u x und Mikroskov

561

- Die Beleuchtungsapertur muS an die Abbildungsapertur angepaJ3t werden koMen. Dazu ist -

die Apemrblende einstellbar zu gestalten. Die GrtiSe des beleuchteten Feldes ist auf das abzubildende Objektdetail zu beschrwen, weil sonst unntitiges Streulicht auftritt.

Das Kohlersche Beleuchtungssystem erfiillt smtliche Fordemngen mit einer Anordnung aus zwei sammelnden optischen Systemen, dem Kollektor und dem Kondensor sowie den entsprechenden Blenden. Die Wirkung der einzelnen Elemente entwickeln wir schrittweise.

Der Kondensor ist ein sammelndes optisches System, mit dem die Lichtquelle oder ein davon erzeugtes Bild so vergrokfi wird, d& die Beleuchtungsapertur erhijht wird (Abb. 6.37a). Wir ktinnen diesen Sachverhalt auch so deuten, daB durch den Kondensor mit kleinerer Lichtquelle die gleiche Apertur ausgeleuchtet wird (Abb. 6.37b). Es wird bereits hier deutlich. da0 die GroDe des beleuchteten Objektfeldes von der LichquellengroDe abhiingt. Mit dem Kondensor 1Mt sich also die erste Forderung an die Mikroskopbeleuchtung erfiillen.

e abjekt

Quelle

b)

Abb. 6.37 Wirkung des Kondensors a) Lichquelle konstanter GrUk, b) Apertur konstanter GrtiEe

Auch die zweite Forderung ist mit bem Kondensor zu verwirklichen. Dazu muB die Lichtquelle in der objektseitigen Brennebene des Kondensors stehen. Wir erhalten bildseitig des Kondensors telezentrischen Strahlenverlauf und damit die gleiche Beleuchtungsapertur fiir alle Punkte des Objektfeldes (Abb. 6.38). KolleMor H=Hi,/

/

"=~im

Quelle

'/ Abb. 6.38 Lichtquelle in der Brennebene des Kondensors

Abb. 6.39 Kollektor

Omungs-Kondensor blende

H-Hk


562

Der Kollektor. Die Lichtquelle kann oftmals nicht in der objektseitigen Brennebene des Kondensors angeordnet werden. Einerseits ist die Brennebene nicht immer ZugZnglich, andererseits koMte sich der Kondensor unzulbsig e r w i e n . Die Kondensorwirkung bleibt jedoch vollstiindig erhalten, wenn die Lichtquelle in die objektseitige Brennebene des Kondensors abgebildet wird. Diese Aufgabe iibernimmt der Kollektor, der ebenfalls ein sammelndes optisches System darstellt (Abb. 6.39). In der Kondensorbrennebene ist dadurch der Einsatz einer Irisblende moglich, die als Aperturblende wirkt und mit der die dritte Forderung an die Mikroskopbeleuchtung realisiert wird (einstellbare Beleuchtungsapertur). Die Leuchgeldblende vervollstiindigt das Kohlersche Beleuchtungssystem. Sie steht dicht hinter dem Kollektor und wird vom Kondensor in die Objektebene abgebildet. Durch das Einstellen der Irisblende wird der Durchmesser des beleuchteten Feldes festgelegt und damit noch die vierte Forderung erfiillt (Abb. 6.40). Der Kollektor und die Leuchtfeldblende sind entweder im Mikroskop oder in der Mikroskopierleuchte eingebaut. H = H + ,F6

08

H=HL

Abb. 6.40 Vollsmdiges Kijhlersches Beleuchtungssystem i K

Abb. 6.41 Zur Ableitung des Strahlungsflusses

Strahlenflufi. Die Sinusbedingung fiir die Abbildung der Lichtquelle durch den Kollektor lautet PLAKo = PpA’,,. (6.95)

Nach Abb. 6.41 ist angeniihert (6.96a. b) also

(6.97)

6.2 Luue und Mikroskop

563

Einsetzen von G1. (6.97) in G1. (6.95) ergibt PLAKa =

blAk.

(6.98)

Die GroBe 2pLAKa

ist der StrahlenfluDder Beleuchtung. Je nach der VergroSerung ist ein StrahlenfluR 0,l bis 0,8 erforderlich. Es ist ersichtlich: Bei konstantem StrahlenfluD erfordert eine kleinere Lichtquelle eine groDere Kollektorapertur (z. B. bei StrahlenfluD =0,8, 2 p =~5 mm, A&= 0,16), und das ausleuchtbare Objektfeld hiingt von der Kondensorapertur ab. Folgerungen a w dem Strahlenflun. Die bildseitige Apertur des Kondensors muD an die Abbildungsapertur angepaBt werden. Im theoretischen Grenzfall sollten beide numerischen Aperturen gleich sein. Bei Immersionsobjekten werden Aperturen von AOb= 1,66 erreicht. Sol1 in diesem Fall die volle Aufliisung erzielt werden, dann ist auch bildseitig des Kondensors Olimmersion zu verwenden. Im allgemeinen genugt es jedoch, fiir die Kondensorapertur A; = 0,75AOb

anzusetzen. Durch Licht, das am Objekt gebeugt und gestreut wird. ist trotzdem die volle Objektapertur teilweise ausgenutzt. AuDerdem deutet die Untersuchung der partiell-kohtirenten Abbildung darauf hin, daB Kohtirenzparameter

gunstig sind. Um die Anwendung von Olimmersionen zu vermeiden, wird oft die groBte Kondensorapertur auf A; =0,95 festgelegt. Objektive unterschiedlicher Apertur haben auch unterschiedliche Objektfelddurchmesser. Zur optimalen Ausnutzung der Lichtquelle m u t e deshalb bei jedem Objektivwechsel auch der Kondensor gewechselt werden. Das ist jedoch zu aufivendig. Es wird die Beleuchtungsapertur mit der Aperturblende und das ausgeleuchtete Feld mit der Leuchtfeldblende eingestellt. Bei kleinen Objektfeldern ist die Apertur des Kollektors, bei groSen Objektfeldern die Flache der Lichtquelle nicht voll ausgenutzt. Sehr groDe Objektfelder, wie sie bei schwachen Objektiven (Ifl’I c 10) vorkommen, lassen sich auf diesem Wege mit einem Kondensor hoher Apertur nicht ausleuchten. Die freien Durchmesser des Kondensors und der Leuchtfeldblende sind aus mechanischen Griinden auf etwa 20 mm bis 30 mm begrenzt. Die Brennweite eines Kondensors hoher Apertur liegt deshalb bei fi = 10 mm. Damit l%t sich auch bei maximal geoffneter Leuchtfeldblende nur ein relativ kleines Objektfeld ausleuchten. Zur Behebung dieser Schwierigkeiten sind im wesenlichen folgende Wege ublich:

- Durch Abschrauben oder Ausschwenken einzelner Linsen wird die Brennweite des Kondensors vergr66ert. Danach muD durch Verstellen des Kondensors das Bild der Leuchtfeldblende wieder in die Objektebene gebracht werden. -

Es wird eine Zusatzlinse oder ein Zusatzsystem vor den Kondensor geklappt. Die Leuchtfeldblende wird dadurch nicht mehr in die Objektebene abgebildet, so daB mit ihr das beleuchtete Feld nicht geregelt werden kann.


564

beweo liche

far

pan krutisches System

Abb. 6.42 Pankrati-

scher Kondensor

- Eine nahezu optimale Beleuchtung mit konstant bleibendem Produkt aus Kondensorapertur

AK und beleuchtetem Objektfelddurchmesser 2y ermoglicht der pankratische Kondensor (Richter 1936). Abb. 6.42 zeigt den prinzipiellen Aufbau. Die Aperturblende wird durch ein System mit veraderlicher Brennweite in die Brennebene des Kondensors abgebildet. Der Betrag des AbbildungsmaRstabes dieser Abbildung liiI3t sich stetig zwischen l/3 und 3 adern. Das entspricht einer Aperturiinderung im Bereich Ak = 0,16 bis 1.4. Die Leuchtfeldblende wird durch die erste Hilfslinse in die Zerstreuungslinse des pankratischen Systems, durch die zweite Hilfslinse und den Kondensor in die Objektebene abgebildet. Dabei bleibt das Produkt 2yAk, also der StrahlenfluB, konstant. Die Hilfslinien beeinflussen die Lichtquellenabbildung praktisch nicht, weil sie in der Niihe von Zwischenbildern stehen (Feldlinsen). - Eine weitere Moglichkeit, durch Einklappen einer Zusatzlinse und einer Zusatzblende einen Kondensator fiir groRe Objektfelder brauchbar zu machen, wurde von Riesenberg angegeben (Patentschrift 58606, Kl. 42h, 3/02, Ausgabetag 5. 11. 1967).

Auflichtbeleuchtung. Die Oberflache eines undurchsichtigen Objekts muR mit Auflichtbeleuchtung betrachtet werden. Bei dieser wird das Beleuchtungssystem seitlich an den Tubus angebracht und durch das Objektiv hindurch beleuchtet. Das Objektiv wirkt dabei gleichzeitig als Kondensor.

Abb. 6.43 Auflichtbeleuchtung a) Planspiegelplatte,b) Teilungswiirfel, c) Prrsma

565


Abbildungs- und Beleuchtungsstrahlengang konnen mit einer Planspiegelplatte (Abb. 6.43a). einem Teilungswiirfel (Abb. 6.43b) oder einem Prisma (Abb. 6.43c), das den halben Bundeldurchmesser einnimmt, vereinigt werden. Vor- und Nachteile der drei Anordnungen sind in Tab. 6.15 zusammengestellt. Tabelle 6.15 Vergleich verschiedener ablenkender Funktionselemente zur Auflichtbeleuchtung Platte

Wiirfel

Prisma

Auflosungsvennogen

unveriindert

unveriindert

Lichtausbeute Beleuchtungsart Linsenreflexe GleichmUigkei t

gering gerade vorhanden gut

gering gerade gering gut

Abbildungsfehler

wie schragstehende Planplatte

wie schragstehende Planplatte

senkrecht zur Prismenkante halb so gro8 wie parallel gut schrag gering bei starken Objektiven nicht immer gut wie geradestehende Planplatte

Die Abbildungsfehler der ablenkenden Funktionselemente lassen sich vermeiden, wenn sie im parallelen Strahlengang stehen. Dam eignen sich Mikroskope, die mit Objektiven mit unendlicher Bildweite ausgeriistet sind. Das ablenkende Funktionselement muB zwischen Objektiv und Tubuslinse angebracht sein. Das Kohlersche Beleuchtungssystem ist durch eine der Tubuslinse gquivalente Lime zu ergmen (Abb. 6.44). Als Aperturblende wirkt die Blende, die in der bildseitigen BreMebene des Objektivs steht. Es ist aber miiglich, durch Hilfslinsen eine im Beleuchtungssystem eingebaute Msblende dorthin abzubilden. Gegenuber der Durchlichtbeleuchtung erfrihrt dadurch das Kohlersche Beleuchtungssystemeinige Abwandlungen (Abb. 6.45).

eki

Q

FLi

Abb. 6.44 Optikschema einer Kohlerschen

Beleuchtung fiir Auflicht Hilfslinse

OB

II

tung fiir Auflicht

566


Dunkelfeldbeleuchtung. Bei Dunkelfeldbeleuchtung darf kein direktes Licht in das Objektiv gelangen. Das gelingt mit einem ringfoegen Beleuchtungsbundel, das die Objektivapertur ausspart. Dazu dient z. B. der Kardioidkondensor. Theoretisch besteht dieser aus einem Ausschnitt einer Rotationskardioide mit der Gleichung der Schnittkurve in einer Ebene in Polarkoordinaten, r = p(l+coscp), und einer Kugel mit dem Durchmesser d = 2p, dessen Mittelpunkt auf der Rotationsachse der Kardioide liegt und die Koordinate

hat. Shtliche Suahlen, die achsparallel einfallen und sowohl am Kugel- als auch am Kardioidausschnitt reflektiert werden, gehen durch den Koordinatenursprung (Abb. 6.46). Diese Abbildung des unendlich fernen Achsenpunktes ist aplanatisch.

Abb. 6.46 Theoretische Anordnung aus Rotationskardioideund Kugel

Abb. 6.47 Praktische Ausfiihrung des

Kardioidkondensors

Praktisch ersetzt man die Kardioide durch eine Kugelflache und schleift die reflektierenden Flachen an Glaskorper an (Abb. 6.47). Das Kohlersche Beleuchtungssystem ist in Verbindung mit dem Kardoidkondensor so abzuwandeln, daD eine Hilfslinse achsparalleles Licht erzeugt und die Aperturblende ringfonnig ist. Damit Totalreflexion an der oberen Grenzflache vermieden wird, ist Olimmersion zwischen dem Kondensor und dem Objekt erforderlich.

6.2.6

Fourier-Theorie der koharenten Abbildung

Wir behandeln die Abbildung im Mikroskop vom Standpunkt der Wellenoptik aus. Die grundsatzlichen Untersuchungen dazu stammen von Ernst Abbe, weshalb man auch von der “Abbeschen Theorie der Abbildung im Mikroskop” spricht. Wir unterscheiden zwischen der Abbildung beleuchteter Objekte (Nichtselbstleuchter) und


567

der Abbildung von Objekten, die selbst Licht ausstrahlen (Selbstleuchter). Im ersten Fall ist das Licht im allgemeinen partiell-kohiirent,im zweiten Fall inkohiirent. Bei Selbstleuchtern 1st die hrtragungstheorie der inkohiirenten Abbildung anzuwenden (vgl. 4.4.5). Objektfunktion. Fiir den Grenzfall der kohtirenten Beleuchtung, wie sie bei der Beleuchtung des Objekts mit einer punktformigen Lichtquelle vorkhe. wollen wir die 'Iheorie entwickeln. Wir legen Ktihlersche Beleuchtung zugrunde und nehmen eine punktformige Lichtquelle an (Abb. 6.48). Das Objekt bestehe aus einer ebenen Struktur. Diese veriindert die komplexe

Abb. 6.48

Kohlersche Beleuchtung

mit punktfomiger Lichtquelle

Amplitude der Lichtwelle. Die komplexe Amplitude vor dem Objekt ao(x,y)wird durch die Objektfunktion f ( x , y )in die komplexe Amplitude a ( x , y ) abgewandelt. Es ist a(x,y) = a,(x,y)f(x,y). (6.99) (Vgl. die Beugung am Gitter, bei der wir die zur Objektfunktion analoge Strukhufunktion verwendet haben.) Die Objektfunktion wirkt iin allgemeinen auf den Betrag und die Phase der komplexen Amplitude, so da6 sie folgenderma6en zerlegt werden kann: f(x, y ) =

CJ(X,y)

. ejg(xy).

Ein reines Amplitudenobjekt ist durch 6 = 0, ein reines Phasenobjekt durch siert.

(6.100) CJ = 1

charakteri-

Beugungsfunktion. Am Objekt wird das Licht gebeugt. Das Mikroobjektiv fokussiert die Parallelbundel verschiedener Richtung in der bildseitigen Brennebene, so dal3 in dieser ein Beugungsbild entsteht.

I

Das Beugungsbild in der bildseitigen Brennebene des Mikrcmbjektivs ist vollsttindig durch die Objektfunktion bestimmt. Es enthat also in latenter Form shtliche Eigenschaften des Objekts, die das Licht vertindern, und ist bestimmend fiir das Zwischenbild.

Das Beugungsbild wird auch primiires Bild genannt. Zu seiner Berechnung ist die Fraunhofersche Beugung an einer ebenen Strulctur zu betrachten. Wir gehen deshalb von der G1. (2.308) aus und erhalten fiir die Richtungsverteilung der komplexen Amplitude im Beugungsbild

Die Integration erstreckt sich eigentlich uber die Flache des Objekts. Es bringt jedoch Vorteile fiir die theoretische Behandlung mit sich, wenn wir von -0 bis +- integrieren. Weil a d e r -

568


halb der Flache des Objekts die Funktion f ( x ,y ) verschwindet, entsteht dadurch kein FeNer.

Wir fiihren die Richtungsvariablen

v = - a- a, , p = - P-Po a

(6.102a, b)

ein und erhalten fiir die Beugungsfunktion m

a(v,p) =

A j j f ( ~ , y ) . e - * ~ j ( ~ ~ ’Y~. ~ ) d r d

(6.103)

-_

Wenn wir das gesamte gebeugte Licht durch das Mikroobjektiv erfassen, gelangt das von einem Objekt ausgehende Licht vollstiindig in einen Punkt der Zwischenbildebene. Diese ist der Objektebene optisch konjugiert. Zwischen den Teilbundeln bestehen keine Phasendifferenzen. Es gilt: In einem Punkt des Zwischenbildes interferieren die von einem Objektpunkt ausgehenden gebeugten Teilbundel zur maximalen Intensitat, Ein hinsichtlich der Leuchtdichte-Verteilung dem Objekt 2hnliches Bild entsteht, wenn das gesamte von den Objektpunkten ausgehende Licht zum Bildaufbau beitragt. Das Zwischenbild wird auch sekundiires Bild genannt. Dieses wird durch das Okular abgebildet, das wie eine Lupe wirkt. Wellenoptisch treten keine Besonderheiten auf. Wir untersuchen deshalb stets das primke und das sekundiire Bild. Der geometrisch-optische AbbildungsmaOstab des Mikroobjektivs ist fiir die wellenoptische Theorie ebenfalls unwichtig. Es kommt nur auf die Intensitatsverhdtnisse im Bild an, an denen sich bei W i c h e r VergroDerung nichts iindert. Wir transformieren das Koordinatensystem in der Zwischenbildebene so, dal3 der AbbildungsmaRstabgleich 1 ist. Bildfunktion. Die komplexe Amplitude im Zwischenbild b(x‘,y’) , die wir Bildfunktion nennen, mul3 unter den Voraussetzungen - das gesamte Licht kommt zum Zwischenbild, - AbbildungsmaSstab auf 1 normiert

gleich der Objektfunktion sein. Wir erhalten aus G1. (6.103) (6.104) -_

x’ und y’ sind die normierten Koordinaten im Zwischenbild. G1. (6.104) gestattet bei KeMtnis der Bildfunktion die Berechnung der Beugungsfunktion. Es mul3 aber auch moglich sein,

die Bildfunktion aus der Beugungsfunktion zu berechnen. Dieses Problem ist losbar, weil G1. (6.104) ein Fourier-Integral enthat. Die Fourier-Transformation ermoglicht die Umkehrung in

-m

Es gilt also Die Beugungsfunktion a( v, p ) und die Bildfunktion b(x‘,y’) sind Fourier-Transformierte.

I

Aus diesem Grunde sprechen wir hier von der Fourier-Theorie der kohiirenten Abbildung.

569

6.2 Lure und Mikroskop

Eingriffsfunktion. Bei der realen Abbildung tragt niemals das gesamte von einem Objektpunkt ausgehende Ucht unveriindert zum Bildaufbau bei. Bereits durch die begrenzte numerische Apertur des Mikroobjektivs wird ein Teil des Lichtes abgeblendet. Es gibt aber auch Mikroskopierverfahren (z. B. das Dunkelfeldverfahren), bei denen Eingriffe in das Lichtbundel vorgenommen werden. Die Einwirkungen auf die komplexen Amplituden des Beugungsbildes, also auf die Beugungsfunktion a( v, p ) , erfassen wir mit der Eingriffsfunktion c,, ( V,p ) . ej@(vv’’)innerhalb des durch die Austrittspupille

moglichen Lichtbundels , (6.106) lo sonst. Sgimtliche Eingriffe wirken sich auf das primtire Bild aus und kOMa als iiquivalenter Eingriff in dieses gedeutet werden. Mit Eingriff kann die Bildfunktion auch auBerhalb des GauSschen Bildpunktes mit den Koordinaten 4,yh verschieden von 0 sein. In einem isoplanatischen Gebiet hiingt sie jedoch nur von x’ - &, y’ - yh ab. Aus GI. (6.104) geht bei einem Eingriff c(v,p) =

-

a(v, p ) . c(v, p ) = A jJ’b(xf,yf).e - 2 n j l v ( r ’ - r ~ ) + r ( Y ‘ - YY’ ~)l~d

(6.107)

-ca

hervor. Die Umkehrung mittels der Fourier-Transformation lautet b(y, y’) =

L A

p ) . ,-(,,

p ) . eZxj[v(x’-&)+fi(y’-y’

dvdp .

(6.108)

-_

Bezeichnen wir mit d( v, p ) die Fourier-Transformierteder Bildfunktion, dann gilt

&(v,p)= a(v,fi).c(v,p) bzw. b(v,p) = j ( v , p ) . c ( V , p ) .

I

(6.109)

Bei der kohiirenten optischen Abbildung ergibt sich die Fourier-Transformierte der Bildfunktion als Produkt von Beugungs- und Eingriffsfunktion.

Wir m e n mittels g(x‘, y’) =

jjc(v, p ) . ezxi[v(x’-&)+rc(Y’-Y~)ld VdP m

(6.110)

-_

die Fourier-Transformierte der Eingriffsfunktion ein. Sie beschreibt den EinfluS des Eingriffs auf die komplexen Amplituden in der Zwischenbildebene. Analog zur Punktbildfunktion G1. (4.382) k6nnen wir g(x‘,y’) als Punktbildamplitudenfunktionbezeichnen. Wegen G1. (6.103) gilt gems G1. (6.109) und G1. (6.110): Bei der kohtirenten Abbildung ist die Fourier-Transformierte der Bildfunktion gleich dem Produkt aus der Fourier-Transformierten der Objektfunktion und der Punktamplitudenfunktion. Analog zur Ableitung, die zu G1. (4.406) fiihrte, l a t sich der Zusammenhang zwischen den komplexen Amplituden und der Punktbildamplitudenfunktionauch durch das Faltungsintegral

I

(6.11 1)

570

6 Optische Instnunente und Systeme

Die Richtungsvariablen konnen unmittelbar in reduzierte Pupillenkmrdinaten ZL = xb/pb und j$ = yk/pb mittels

umgerechnet werden. Die reduzierten Ortskoordinaten lauten

Damit ergeben sich die Schreibweisen (6.1 12a) -m

bzw. (6.112b) Die Eingriffsfunktion (6.113) erweist sich damit unmittelbar als Pupillenfunktion

y;) = WP,Y,). --I

CG;,

--I

Damit liiI3t sich G1. (6.109) umformen in

&xi, y;)

= a(x;, $1

&z;, y;)

=

P(z;>y;)

(6.114a)

bzw.

j ( q ,y;) P

g , y;).

(6.114b)

In Worten: Die Fourier-Transformierte der Bildfunktion ist gleich der Fourier-Transformierten der Objektfunktion multipliziert mit der Pupillenfunktion. Die Pupillenfunktion ist die Ubertragungsfunktion der kowenten optischen Abbildung. Es werden also die komplexen Amplituden linear ubertragen.

6.2.7

Mikroskopische Abbildung von Liniengittern

Besonders ubersichtlich ist die koh5rente Abbildung eines Liniengitters zu behandeln. Die Objektfunktion h a g t rlur von einer Variablen ab und ist periodisch mit der Gitterkonstanten g. Sie lautet f(x+kg) = f(x),

k = 0 , 1 , 2 ....

(6.115)

571


Die Beugungsfunktion wurde in 2.6.4 berechnet. Es gilt: -

Die Beugungsfunktion hat nur fiir die diskreten Richtungsvariablen

v,=-, m

m = O , f l , f 2 ,...,

g

(6.116)

wesentlich von 0 verschiedene Werte.

- Die komplexe Amplitude in der m-ten Ordnung ist der Fourier-Koeffizient der Reihenentwicklung der Objektfunktion f ( K), also der Ausdruck U,,,(V,)

= jf(K).eZKjmKdK.

(6.117)

0

Die Variable K ist durch X = (k+K).g, OsKSl, definiert. Die Aperturblende, die sich in der objektseitigen BreMebene des Kondensors befindet, sei ein parallel zu den Gitterstrichen liegender infinitesimal schmaler Spalt. Das Beugungsbild besteht aus Linien, die den Ordnungen des Beugungsspektrums entsprechen. Amplitudengitter. Gegeben sei ein reines Amplitudengitter mit “kastenformiger” Objektfunktion. Diese lautet

i

1,

f(K)

=

0,5,

0,

OSK 0,5 ist, werden mit negativem Kontrast abgebildet. Die dunklen Objektstreifen erscheinen heller als die durchlksigen Objektstreifen.

578


Das Phasengitter hat nach G1. (6.133) die Bildfunktion m

b ( d ) = j6Ko

'sinvIn ejv,,,e-21CjmC'

(6.142)

Diese Bildfunktion unterscheidet sich von der Bildfunktion G1. (6.138) des Amplitudengitters nur um den Faktor j 6. Deshalb gilt unter Verwendung von G1. (6.140) (6.143)

I

Bei der Berechnung des Kontrastes kurzt sich der Faktor j 612 , so daR beim Phasengitter ebenfalls 1-2K0 K = (6.144) 4- .', (1gilt. Die Funktion K( K Phasengitter:

~ wird )

auch beim Phasengitter durch Abb. 6.58 dargestellt. Es gilt fiir

Der Kontrast im sekundken Bild ist gegeniiber dem im Hellfeldbild vergronert. Phasengitter werden im Dunkelfeld sichtbar. - Gitter, bei denen K~ = 0,5 ist, sind unsichtbar. - Gitter, fur die K~ > 0,5 ist, werden mit negativem Kontrast abgebildet. Beim Phasengitter bedeutet dies, daR die Bereiche des Gitters, in denen das Licht eine groDere optische Weglsbge nd hat, heller erscheinen als die Bereiche mit kleinerer optischer Weglsbge. -

111I

x x,:

-

1

1

xo=

schrnole Streifen optisb dichter schmole Streifen optisch dunner

'

schrnole Stwen optisch dunner schrnole Streifen optisch dicker

Abb. 6.59 Deutungsmoglichkeiten beim symmetrischen Dunkelfeldverfahren

Es ist zu beachten, daR in unserem Fall der Objektbereich K~ IK I1 derjenige mit der grijBeren optischen Dicke ist. Fiir ein positives 6 eilt die Phase im Gebiet 0 IK IK~ der Phase in dem ubrigen Gebiet voraus. Bei der Betrachtung eines Phasengitters mit dem Dunkelfeldverfahren konnen wir allerdings nicht unterscheiden, ob der schmale oder der breite Objektbereich einer Periode der kleineren optischen Dicke zugeordnet ist (Abb. 6.59). Es l U t sich also mit dem symmetrischen Dunkelfeldverfahren nicht entscheiden, welcher Objektbereich der optisch diinnere ist.

Phasenkontrastverfahren. Das Dunkelfeldverfahren stellt eine Mikroskopiermethode dar, mit der Phasengitter sichtbar gemacht werden. Ein weiteres Verfahren, mit dem von Phasengittern kontrastreiche Bilder erzeugt werden konnen, ist das Phasenkontrastverfahren. Es liefert bei ausreichend groDer Apertur objektiihnliche Bilder. Das Phasenkontrastverfahren wurde von Zernike vorgeschlagen. Wir gehen vom Vergleich der komplexen Amplituden im primaren Bild des Amplitudengitters (Abb. 6.49) mit den komplexen Amplituden im primiiren Bild


579

des Phasengitters mit kleiner Phasenbderung (Abb. 6.57) aus. Das primiire Bild des Phasengitters muB danach in das primiire Bild des Amplitudengitters ubergefiihrt werden koMen, wenn beim Phasengitter der zusatzliche Phasenunterschied von nahezu 90” zwischen der nullten und den hoheren Ordnungen aufgehoben wird. Zu diesem Zweck brauchen wir nur am Ort der nullten Ordnung in der hinteren BreMebene des Mikrmbjektivs ein sogenanntes Phasenplsttchen anzubringen. Dieses erzeugt die gewiinschte Phaseniinderung und schwiicht das Licht durch Absorption. Wir stellen die Bildfunktionen von Amplituden- und Phasengitter nach G1. (6.123) und GI. (6.133) gegeniiber. Amplitudengitter: Phasengitter: Der Vergleich zeigt, daO wir bei einer Eingriffsfunktion (6.145)

fiir die Bildfunktion des Phasengitters (es ist uo= 1+ j S K , )

(das Glied mit 6’ ist vernachlgissigt worden) oder (6.146) erhalten. GI. (6.146) ist bis auf den Faktor j S mit der Bildfunktion des Amplitudengitters identisch. Es ergibt sich unter Verwendung von G1. (6.125) (6.147) und K = 1. Die Bereiche mit grtil3erer optischer Weglhge erscheinen dunkler als die ubrigen Bereiche (positiver Phasenkontrast).

I

Bei dem “positiven Phasenkontrastverfahren” erscheinen die Objektbereiche mit grtiBerer optischer Weglbge im Bild dunkler als die Objektbereiche mit kleinerer optischer Wegliinge. Bei dem “negativen Phasenkontrastverfahren”ist es umgekehrt.

Aus couo=

J6KoUo

= jS~o(l+jSrco>

(6.148)

folgt unter VernachlsSsigung der Glieder mit 6’ .E

coa, = 6Koe’?.

(6.149)


580

Nach G1. (6.132a) und G1. (6.149) mu8 der Phasenstreifen die Phase urn (6.150)

iindern und den Betrag der komplexen Amplitude urn 1- 6 K 0 .

(6.151)

Wegen des als klein vorausgesetzten Wertes von 6 wird das Bild lichtschwach. Die Phasen= n/2, die ein Voreilen der Phase in der nullten Ordnung erfordert, l U t sich inUderung direkt realisieren, indem die Phase in den Ordnungen m # 0 um 6 = -n/2 (Nacheilen der Phase in diesen Ordnungen) geiindert wird. Das hier behandelte positive Phasenkontrastverfahren mit kleiner Phaseniinderung ergibt den Maximalkontrast K = 1, weshalb wir auch von einem “optimalen Phasenkontrastverfahren”sprechen konnen. Der Nachteil besteht aber darin, dao ein stark absorbierender Phasenstreifen erforderlich ist. Es ist aber praktisch nicht notwendig, den Maximalkontrast anzustreben. Mit einem Phasenstreifen geringerer Absorption 1Ut sich bei nicht zu geringer Bildintensitat ein ausreichender Kontrast emielen. Auf die Vielfalt an Mikroskopierverfahren und Spezialmikroskopen kann nicht eingegangen werden. Wir verweisen auf [ 5 ] und [751. Auch neuere Entwicklungen wie z. B. die allgemeinen Scanning-Mikroskope oder die konfokalen Laserscan-Mikroskope [74] erfordern umfassende Darstellungen in Monografien.

6.2.8

Partiell-koharenteAbbildung

Die kohiirente Abbildung von mikroskopischen Objekten ist ein Grenzfall fiir verschwindende Beleuchtungsapertur oder Beleuchtung mit raumlich kohiirenter Laserstrahlung. Im allgemeinen ist das Licht partiell-kohiirent. Auch bei der Fotolithografie zur Ubertragung von mikroelektronischen Strulcturen bilden die Objektive mit partiell-kohiirentem Licht ab. Das von einem Lichtquellenpunkt ausgehende Licht, das bei der Kohlerschen Beleuchtung hinter dem Kondensor eine Richtung hat, uberlagert sich nach der Beugung am Objekt und an der Offnungsblende in der Zwischenbildebene kohiirent, d . h , es interferiert. Die yon verschiedenen Lichtquellenpunkten stammenden Anteile sind inkohiirent zueinander und iiberlagem sich in der Zwischenbildebene inkohiirent, d . h , es addieren sich die Intensitaten. Der Vorgang ist analog zur rtiumlichen Kohiirenz beim Youngschen Interferometer. Wir betrachten zunachst zwei feine Offnungen in der Objektebene, die zwei punktfonnige Objekte annfiem. Beleuchtet wird mit einer ausgedehnten kreisformigen Lichtquelle konstanter Leuchtdichte. (Es 1Ut sich zeigen, daR zwischen direkter Beleuchtung ohne optische Hilfsmittel und der Kohlerschen Beleuchtung kein Unterschied in der Sttukturierung des Bildes besteht.) Aufgrund von GI. (2.183) betragt die Interferemintensitat nach der Beugung an den beiden Offnungen in der GauDschen Zwischenbildebene I = 1, + I 2 + 2 J - K

I r,*(O)Icos

(a12

+ 61,).

(6.152)

Wir nehmen an, daO beide Offnungen gleich groI.3 sind und ferner die Offnungen und die Lichtquelle syrnmetrisch zur optischen Achse liegen ( x , = - x 2 = p/2, y1= -yz = p/2,


581

d / R = sin u k , a12 = a,, = 0; Abb. 6.60). Den AbbildungsmaDstab nonnieren wir auf Es ist dann auch p = p'. Die Beleuchtungsapertur folgt aus (Abb. 6.60) d / R = sin uk.

PObj = 1.

4

Quelle

ObieM

Objektiv

Bild

A;(- .>

Abb. 6.60 Abbildung von zwei Objektpunkten a) Meridionalebene, b) GauBsche Bildebene

Wir fiihren den Kohilrenzparametergems G1. (6.71),

s = - -sin& - -Ak sinu

A '

ein (u halber Offnungswinkel des Objektivs, A, Af numerische Apemen). Vor dem Objekt betragt nach G1. (2.187) der nonnierte KohSrenzgrad (6.153) mit v12

nad

- 2xpslnu; = A

=AR -

2npSsinu =

A

sv

(6.154)

(p' = x2 + y2). Die Beugungsbilder in der Gadschen Bildebene haben die Intensitat (6.155a, b) mit

2 n sinu ( x ' - x ) 2 + ( y ' - y ) 2 , v1 = -

vz = 2RSinu , / ( x ' + ~ ) ~ + ( y ' + y ) ~(6.156a. . b)

A

Mit den Gleichungen (6.153) und (6.155) folgt aus G1. (6.152) fiir die Intensitat im Aufpunkt A' der Bildebene

Liegt der Aufpunkt im Koordinatenursprung, d m ist x' = y' = 0 und

v, =

v2

=

-=v

n

,/m

= p , so dal3

582

6 ODtische Instrumente und Svsteme

wird. Es gilt

Im Gaul3schen Bildpunkt A; gilt x’ = x, y’ = y und damit v1 = 0, v2 = 2 v . Die Intensitfit betragt

I ( x , y , S ) = I O { l + [ ~ ] 2 t 22J ,2Sv (2Sv) 2J1(2v) Die Grenzfalle kohaente Beleuchtung ( S = 0) und inkohaente Beleuchtung (S + W ) ergeben 2

I(O,O,O) = 410[*]

i

2

, I ( x , y , O ) = I , I+2Jfv2v)i

bzw.

Verwenden wir als Giitekriterium fir das Auflosungsvermogen der Punkte die Vorschrift I(O,O,S)/I(x,y,S)=0,73, da m erhalten wir nach numerischer Auswertung fiir S = 0 (kohaente Beleuchtung)

p = 0,811,

fiir S 4

-

A

(6.158a)

(inkohiirente Beleuchtung)

p = 0,61&

A‘

(6.158b)

Bei beliebigem Kohiirenzparameter gelten die Werte der Abb. 6.30. Das Minimum des Auflosungsvermogens (beste Auflosung) ergibt sich bei S = 1,46 und betragt

p = 0,57$.

(6.159)

Dieselbe Auflosung wie bei S + m liegt fiir S = 1 vor. Bei diesem Kohiirenzparameter koMen wir also diesbezuglich von quasiinkohiirentem Licht sprechen. Fiir ausgedehnte Objekte ist die Berechnung der Intensitat in der Bildebene aufwendig. Beispiele sind z. B. in [ 191 enthalten. Beziiglich des Auflosungsvermogens von Sinusgittern bestfitigen sich die Werte der Tab. 6.13. Es folgt (6.160) wobei S I1 sein mulj und S = 1 den inkohiirenten Fall darstellt. Es ist also mA

1

= l+S

zu setzen (koh&ent rnA= 1, inkohiirent mA = 0,5, bei S = 0,5 ist mA = 0,66).

583

6.3 Femohr

6.3

Fernrohr

6.3.1

Afokale Systeme

Begriff. In ihrer Grundfunktion sind die Fernrohre afokale Systeme. In diesem Abschnitt behandeln wir nur zentrierte afokale Systeme. Es gilt:

I

Afokale optische Systeme transformieren ein paralleles Strahlenbundel in ein Parallelbundel. Sie haben die Gesamtbrechkraft F' = 0.

Fiir die einzelne dicke Linse ergibt sich aus der Brechkraftbeziehung (GI. (4.62))

mit F' = 0, dal3 entweder r, = r2 = sein mu8 (trivialer Fall der planparallelen Platte ohne &&rung des Bundeldurchmessers) oder

zu wiihlen ist (vgl. 4.1.5, symmetrische Bikonvexlinse). Das Verhiiltnis der Bundeldurchmesser folgt aus G1. (4.47) zu

Der bildseitige Brennpunkt der ersten Flache und der objektseitige Brennpunkt der zweiten Flache fallen zusammen. Eine dicke Linse eignet sich zwar theoretisch als afokales Funktionselement, praktisch storen jedoch die erforderliche grol3e Glasdicke sowie die Abbildungsfehler. Zwei optische Systeme haben nach G1. (4.40) die aquivalente Brechkraft

Das optische Intervall t folgt fiir Systeme mit fi'= t = el - f i t -

-fi

und fi* = -f2 nach G1. (4.38) aus

fl.

Auch aus zwei optischen Systemen entsteht ein afokales System, wenn das optische Interval1 gleich 0 ist. Daraus ergibt sich

el = A'+ &'.

(6.16 la)

(Den trivialen Fall f'= f;= = scheiden wir aus.) Zwei Fale sind von praktischer Bedeutung:

fi'

> 0.f; > 0

(zwei sammelnde Systeme); der Abstand der Systeme ist gleich der Summe ihrer bildseitigen Brennweiten.

5 84

A’

’0 ,A’ < 0

6 Optische Instrumente und Systeme (sammelndes und zerstreuendes System); der Abstand der Systeme ist gleich der Differenz der bildseitigen Brennweitenbetrage:

e; =

fi’-lfiI.

(6.16 1b)

Beide Fdle sollen genauer untersucht werden.

Sammelndes Objektiv und sammelndes Okular sind charakteristisch fiu das astronomische Fernrohr, das auch Keplersches Fernrohr genannt wird. Abb. 6.61 zeigt den Suahlengang fiir die Abbildung des unendlich fernen Achsenpunktes und fiir die Abbildung eines aderaxialen Punktes. Es zeigt sich, dal3 ein Parallelbundel, welches von oberhalb der optischen Achse einH-H’,

H=Hbk

Abb. 6.61 Strahlenverlauf im

astronomischen Fernrohr fdlt, dem Beobachter von unterhalb der optischen Achse zu kommen scheint. Abb. 6.61 1 s t folgende Eigenschaften des astronomischen Fernrohrs erkennen:

die Summe der bildseitigen Brennweiten von Objektiv und Okular bestimmt. - Das Bild ist hohenund seitenvertauscht. - In der bildseitigen Brennebene des Objektivs entsteht ein reelles Zwischenbild.

- Die Bauliinge wird im wesentlichen durch

Bundelbegrenzung. Die freie Objektivoffnung des astronomischen Fernrohres wirkt im allgemeinen als Offnungsblende und damit praktisch auch als Eintrittspupille. Die Austrittspupille ist das durch das Okular erzeugte Bild der freien Objektivoffnung. Wegen

liegt sie um (6.162) hinter der bildseitigen Hauptebene des Okulars und ist dem Auge zug2nglich. Abb. 6.62 enth a t den Hauptstrahlenverlauf im astronomischen Femrohr. Bei Okularen mit relativ grol3en Brennweiten enffernen sich die Hauptstrahlen vom Zwischenbild bis zum Okular weit von der optischen Achse. Es ist dann erforderlich, das Okular aus Feld- und Augenlinse zusammenzusetzen. Die Feldlinse im Zwischenbild oder in dessen Niihe wirkt vorrangig auf den Hauptstrahlenverlauf und hat wenig EinfluR auf den Abbildungsstrahlengang (Abb. 6.63).

V

-

-

AP

FB

~

/

I

-

/

/ r ’

Abb. 6.62 Hauptstrahlenverlauf

A

V

im astronomiscben Femrohr

FB

AP

-

/

/ -

Abb. 6.63 Feldlinse in der

Zwischenbildebene

4

In der bildseitigen BreMebene des Objektivs entsteht das reelle Zwischenbild. An dieser Stelle muB die Feldblende angebracht werden, wenn das Feld scharf begrenzt sein sol1 (Abb. 6.62). Aus- und Eintrittsluke liegen im Unendlichen. Das astronomische Fernrohr eignet sich gut als Me& und Zielfernrohr, weil in der reellen Zwischenbildebene Marken und Teilungen angebracht werden konnen, die gemeinsam mit dem Bild scharf gesehen werden. Astronomische Fernrohre. bei denen das Objektiv nur aus Linsen besteht, werden Refraktoren genannt. Bei Reflektoren oder Spiegelfernrohrenist das Hauptelement des Objektivs ein Hohlspiegel. Astronomische Fernrohre mit hohenund seitenrichtigem Bild. Fiir Beobachtungen von natiirlichen Objekten auf der Erde und in einem Teil der Geriite start die Hohen- und Seitenvertauschung bei der Abbildung im astronomischen Femrohr. Sie kann vermieden werden, wenn durch Linsensysteme (terrestrisches Fernrohr) oder Reflexionsprismen (Prismenfernrohr) die Umkehr des Bildes aufgehoben wird.

_r

Abb. 6.64 Terrestrisches

Fernoh Terrestrische Fernrohre enthalten im allgemeinen ein Umkehrsystem aus Linsen, das mit dem MaOstab p’= - 1 abbildet. Der bildseitige BreMpunkt des Objektivs und der objektseitige BreMpunkt des Okulars mussen jeweils um die doppelte BreMweite des Umkehrsystems von den zugeordneten Hauptpunkten entfernt sein (Abb. 6.64). Bei terrestrischen Fernrohren

586

6 Optische Instrurnente und Systeme

sind zwei Feldlinsen erforderlich (Abb. 6.65). Ein wesentlicher Nachteil der terrestrischen Fernrohre ist ihre grofie Baulhge.

Prismenfernrohre werden mono- und binokular hergestellt. Die Prismensatze zur Hohenund Seitenvertauschung d&fen nicht nur komplanare Spiegelflachen haben. Ihnen muS das Prismensymbol (n 1 - 1, - 1,1 oder 1)zugeordnet sein. Bevorzugt werden die Porroschen Prismensatze 1. und 2. Art sowie das Konig-, Dialyt- und Abbe-Prisma, aber auch das zusammengesetzte Schmidt-Prisma 1st geeignet (Abb. 6.66). Die Porroprismen haben den Vorteil des teilweise riicklaufigen Strahlengangs, der die Bauliinge verkiirzt. Die seitliche Versetzung der optischen Achse ermoglicht bei Doppelfernrohren eine vergroaerte objektseitige Pupillendistanz. Bei den ubrigen Prismensatzen fluchtet die optische Achse. Zwei Reflexionen finden an einer Dachkante statt, so daI3 der Doppelbildfehler durch sehr enge Toleranzen vennieden werden m a .

Abb. 6.66 Prismenfemrohr

Abb. 6.67 Strahlenverlauf im hol1;indischen Fernrohr

Sammelndes Objektiv und zerstreuendes Okular liegen beim hollhdischen Fernrohr vor, das auch Galileisches Femrohr genannt wird. In Abb. 6.67 ist der Strahlengang dargestellt. Folgende Eigenschaften sind abzulesen: - Die Baulbge wird im wesentlichen durch die Differenz der bildseitigen Brennweitenbetrage von Objektiv und Okular bestimmt.

587

6.3 Femrohr

- Das Bild ist hohenund seitenrichtig. - Das Zwischenbild ist virtuell, so daS an seinem Ort keine Marken angebracht werden konnen. Als Me& und Zielfernrohr ist das hollhdische Fernrohr nur geeignet, wenn die Marken mittels optischer Elemente in den Strahlengang eingeblendet werden. Biindelbegrenzung. Die Offnung wird durch die Augenpupille begrenzt, die damit zugleich Austrittspupille ist. Ihr objektseitiges Bild, die Eintrittspupille, liegt weit hinter dem Fernrohr und ist relativ klein (Abb. 6.68). H-Hb,

H=Hb,

FB

AP

v \

-

+Abb. 6.68 Hauptstrahlenverlauf im holl;indjscben Femrohr

4

In der virtuellen Zwischenbildebene kann keine Feldblende angebracht werden. Als Feldblende und Eintrittsluke wirkt die freie Offnung des Objektivs, so daR Randabschattung durch die Feldblende eintritt.

Beim Einbau eines afokalen Systems vom Typ des hollhdischen Fernrohrs in ein OptikSchema ohne direkte Koppelung an das Auge ist die freie Objektivoffnung Eintrittspupille und Offnungsblende; die Austrittspupille ist virtuell und liegt zwischen Objektiv und Okular. Als Feldblende und Austrittsluke wirkt der fi-eie Okulardurchmesser (Abb. 6.69).

6.3.2

VergroBerung und Auflosungsvermogen

Afokales System, unendliche Objektweite. Die allgemeine VergriiSerungsformel G1. (6.5), die die scheinbare GroSe tan w,' des Bildes und die scheinbare GroOe tan w, des Objekts mit


588 Hilfe der Beziehung

r*,=-

tan w: tan w,

verkniipft, l a t sich fiir das afokale astronomische Fernrohr mit unendlicher Objektweite (durch den Index gekennzeichnet) spezialisieren. Nach Abb. 6.70 ist tan w, =

Ydb

-7 tanw: ,= fob

Ybb -,

f&k

’

0

0

0 \

-__

*

b F,

ws ‘db

t

= FO

k

Yip0 Abb. 6.70 Zur Ableitung der Vergr6Serung eines afokalen Systems

also (6.163) Die gleiche Beziehung gilt auch fiir das holl2indische Fernrohr.

Afokales System, endliche Objektweite. Beim astronomischen Fernrohr als afokales System mit endlicher Objektweite entsteht auch das Endbild im Endlichen (Abb. 6.71). Nach der

I

IYYdk

Abb. 6.71 Zur Ableitung der Ver-

grokrung eines afokalen Systems bei endlicher Objektweite

Newtonschen Abbildungsgleichung gilt fiir den Ort des Zwischenbildes (6.164)

fiir den Ort des Endbildes (6.165)

6.3 Femohr

589

Es ist (GroBen ohne Index gelten fiir das Fernrohr insgesamt) ZOb

= 21

also

z& = ZOk,

zbk

= z’,

(9) 2

z’ =

z

oder

z’ = -z.1

(6.166)

r : 2

Die Bildweite Iz’l sollte nicht kleiner als die deutliche Sehweite sein. Daraus folgt als kleinste mogliche Entfernung des Objekts

z/m = -0.25r:~.

(6.167a)

r:

= -20 ist z. B. z = -100 m. Bei Das Intervall z2 - z1 im Objektraum wird auf das Intervall des Bildraumes

(6.167b) gestaucht. Im Fernrohr entsteht ein tiefenverkiirzter perspektivischer Eindruck.

Fokussiertes System auf unendliche Bildweite bei endlicher Objektweite. Das Endbild entsteht auch bei einem im Endlichen liegenden Objekt im Unendlichen, wenn das optische Intervall so geiindert wird, dal3 das Zwischenbild in der objektseitigen Brennebene des Okulars bleibt (Abb. 6.72). Das optische Intervall m a den Betrag

haben.

f bb 4

\ -

4 w,

-

f

-

..3

Fbb

Abb. 6.72 Fernrohr mit endlicher Objektweite und unendlicber Bildweite

Die VergroBerung ist damit neu zu berechnen. Es ist (6.169a. b) also (6.170)

590

6 Optische Instnrmente und Systeme

bzw. (6.171)

Nur,wenn nicht mehr IzI

+ f&gilt, weicht die VergroSerung merklich von r:

ab.

VergroBerung und Pupillenabbildungsmas~b. Nach Abb. 6.73 betragt fiir z =m der Abbildungsmahtab der Pupillen (6.172a)

und nach Abb. 6.74 fiir z f -, aber z’ = w ,

p’

=

-A= 1 f&+t

(6.172b)

7’

Abb. 6.73 Zur Ableitung des Pupillenmdstabs fiir unendliche Objektweite

Abb. 6.74 Zur Ableitung des PupillenmaSstabs fur endliche Objektweite

Es wird in beiden Fgillen

r’p; = 1.

(6.173)

Diese Beziehung stellt die Grundlage fiir ein Verfahren zur Messung der VergroUerung dar. Sie gilt nicht fiir das holliindische Fernrohr mit visuellem Gebrauch. Sie ist aber statt dessen anwendbar fiir die Lukenabbildung, wenn die Eintrittsluke mit der freien Objektivoffnung ubereinstimmt:

r’p; = 1.

(6.174)

Bei einem binokularen holliindischen Fernrohr ist wegen der Pupillendistanz der Augen der Objektivdurclunesser auf etwa 50 m m . 4 0 mm begrenzt. Die Austrittsluke hat den Durch-

messer 2PL 2p; = 7.

(6.175)

r

Bei hohen VergroSerungen wiirde die Austrittsluke sehr klein. Deshalb sollte die VergroUe7 sein. Es ist z. B. mit 2pL =56 mm rung des binokularen Fernrohrs nicht groRer als etwa und r‘=7 nur 2 p i = 8 mm.

r’=

59 1

6.3 Fernrohr

Ausgleich von Fehlsichtigkeit. Nach G1. (6.48) betragt die Entfernung, auf die ein um D Dioptrien fehlsichtiges oder akkommodiertes Auge eingestellt ist, (6.176)

Abb. 6.75 Zur Berechnung des optischen Intervalls bei Fehlsichtigkeit und bei Akkommodation

Das Okular ist bei der Verwendung des Fernrohrs mit einem fehlsichtigen Auge so zu verschieben, daR sein Endbild mit der Einstellentfernung des Auges zusammenfidlt. Daraus folgt (Abb. 6.75) -z&k+zL

= -aA.

(6.177)

(Dabei haben wir niiherungsweise angenommen, daR die Austrittspupille des Fernrohrs am Ort der objektseitigen Hauptebene des Auges liegt.) Mit

folgt daraus (6.178) Praktisch kann

angenommen werden, so daB t/mm = 0,001(f~~/mm2)(D/dpt)

(6.179)

ist. Die Dioptrieneinstellungdes Okulars kann linear in Dioptrien Fehlsichtigkeit geteilt werden. Akkommodation und Kurzsichtigkeit erfordern ein negatives, Weitsichtigkeit erfordert ein positives optisches Intervall.

592


Akkommodation auf die deutliche Sehweite bedeutet D = -4 dpt. Bei einem Okular mit

fdk = 25 mm betragt das erforderliche optische Interval1 t = - 2,5 mm. Auflosungsvermogen. Beim astronomischen Fernrohr wird das Auflosungsvermogen durch den objektseitigen Winkel d charakterisiert, unter dem zwei auflosbare Punkte erscheinen mussen. In der Zwischenbildebene erhalten wir von beiden Punkten ein Beugungsbild. Da die Lichtbundel inkohiirent zueinander sind, uberlagern sich die Intensitaten der Beugungsbilder. Nach Abb. 6.76 und G1. (4.339) wird im Zwischenbild des Fernrohrs die Strecke r; = 1,22Ak aufgelost. Es ist (Abb. 6.76) r‘ 1 d = tan d = -, k = - (K Offnungsverhilltnis), fAb K also d =

1,22-

a

fhb

(6.180a, b) (6.181)

’

H-H bk

1

Abb. 6.76

Auflosbarer Winkel

GroRes Offnungsverhilltnis und groRe Objektivbrennweite sind gunstig fiir ein gutes Auflosungsvermogen. Wegen der Kleinheit der auflosbaren Winkel ist Mit d nach G1. (6.181) und K = 2pp/fAb ergibt sich (6.182) Bei A = 500 nm und 1’ I16’154’ ist 0,96pp/mm I IG’l I 3,84pp/mm.

(6.183)

AuRerdem gilt mit den gleichen Werten nach G1. (6.173) 1 mm 2 pk 2 0,26 mm.

(6.184)

(pi ist der Radius der Austrittspupille des gesamten Fernrohrs.) [GIist die forderliche VergroRerung, bei der das Auflosungsvermogen des Fernrohrs und des Auges gunstig angepal3t sind.

593

6.3 Femrohr

Bei o’=1’ gilt niiherungsweise

I&’[

= pp/mm

und

pb = 1 mm.

Es liegt daM die forderliche VergroBerung im engeren Sinne vor. Von der NormalvergroDerung spricht man beim astronomischen Femrohr, wenn dessen Austrittspupille und die Augenpupille gleichen Durchmesser haben. Bei einem friiheren Schulfemrohr von Carl Zeiss Jena liegt die VergroBerung bei r’=-21 bis -140, die forderliche VergroBerung betragt I G’l= 30.. .120. Es ist mit einem Objektiv ausgeriistet, dessen Eintrittspupille den Durchmesser 2p, = 63 mm hat. Bei A = 516,4 nm folgt aus G1. (6.181) fiir den auflosbaren Winkel o = lo-’ P 2”. Dieser Wert stellt den theoretischen Grenzfall dar. Abbildungsfehler, Zentrierfehler, Luftunruhe u. a. setzen praktisch das Auflosungsvermogen herab. Zum Vergleich seien einige Zahlen angegeben. So betragt der groDte scheinbare Aquatordurchmesser der Sonne 32‘36”, des Mars 25,l” und des Neptun 2,4”. Das Spiegelfemrohr des Mt. Palomar mit 2p, = 5 m hat die forderliche VergroDerung I GI=2400.. .9600. Es lost bei A = 500 nm theoretisch den Winkel d = 1,22. lo-’ P 0,025” auf. Unter diesem Winkel wiirden die Endpunkte eines Stabes mit 1 m L u g e in ca. 8200 km Entfernung erscheinen. Der Einflul3 der Erdatmosphiire begrenzt das Auflosungsvermogen auf ca. 1”. Auswege, diesen Einflul3 zu vermindern, stellen die Installierung der Femrohre auf Berggipfeln oder die extraterrestrische Astronomie dar. Technische Moglichkeiten zur Anniiherung an das beugungsbegrenzte Auflosungsvermogen sind Verfahren zur Bildverarbeitung (Speckle-Interferometrie und -Holografie) sowie die Anwendung der aktiven und der adaptiven Optik. Unter Speckle versteht man die fleckenartigen Intensitatsverteilungen, die durch die statistische Uberlagerung sehr kleiner Lichtkonzentrationen entstehen. Die Flecke konnen durch die Streuung von kohiirentem Licht an feinen Teilchen auftreten (z. B. an Staub auf Oberflachen bei der Laserabbildung: Laserspeckle). Dabei spielt die Bundelbegrenzung eine Rolle, durch die hohe Ortsfrequenzen herausgefiltert werden. Speckle-Verteilungen erhalt man aber auch aufgrund der Luftunruhe bei der Abbildung von Sternen. Diese Speckle-Muster sind groDer als das beugungsbegrenzte Punktbild. Bei der Speckle-Interferometrie wird die digitale Fourier-Analyse einer grol3en Anzahl von fotografischen Aufnahmen kurzer Belichtungszeit vorgenommen. Dadurch wird die Autokorrelationsfunktion des astronomischen Objekts erhalten. Aus dieser sind die Sternorte zu ermitteln. Die Speckle-Holografie hat den Vorteil, dal3 vor der digitalen Fouriertransformation die Datenreduzierung mittels einer optischen Fouriertransformation vorgenommen wird. Diesem Zweck dienen die Speckle-Interferogramme eines Nachbarsterns, der als Punktlichtquelle anzusehen ist. Die kohiirente Uberlagerung der Bilder, die von den Paaren der Speckle-Interferogramme erzeugt werden, ergibt eine mittlere Intensitatsverteilung, die digital weiterverarbeitet werden kann. Sowohl bei der Speckle-Interferometrie wie auch bei der Speckle-Holografie erhalt man das beugungsbegrenzte Auflosungsvermogen des Femrohrs. Es werden also die Einflusse der Atmosphiire und der Abbildungsfehler auf das Bild eliminiert. Weigelt [48] erhielt z. B. bei der Speckle-Holografie an Aufnahmen mit dem vor 14 Jahren installierten 3,6-m-Spiegelteleskop der ESO (European Southern Observatory) 0,03” Auflosungsvermogen bei einem Doppelstern. Das ESO hat am 6. Februar 1990 ein weiteres 3,6-m-Spiegelteleskop eingeweiht, das als New Technology Telescope bezeichnet wird und ebenfalls in La Silla, Chile, stationiert ist. Die “neue Technologie” besteht darin, dal3 der Hauptspiegel nur halb so dick wie sonst ublich


594

ist (240 mm), wodurch die Kosten des Teleskops n u ein Drittel derjenigen des Vorgtingers betragen (25 Mi0 DM). Dafur ist mit 78 an den Spiegel angreifende Kolben die elekrronischmechanische Regelung seiner genauen Form bei jeder Teleskopstellung erforderlich. Bei der Erprobung des Systems w d e 0,33” Aufliisungsvermogen erzielt. In Vorbereitung befindet sich das Very Large Telescope (VLT) der ESO, das aus vier Teleskopen mit 175 mm dicken 8-m-Spiegeln bestehen soll. Die elektronisch geregelte Optik wird aktive Optik genannt; sie ist die Vorstufe zur adaptiven Optik. Die adaptive Optik stellt die Moglichkeit dar, atmosph~scheEinflusse zu kompensieren (fiir die Luftumhe wird auch der englische Begriff “seeing” verwendet). Im Gegensatz zur nichtlinearen adaptiven Optik, bei der die Welle selbst ihre Phasenkonjugation erzeugt, muU bei der linearen adaptiven Optik die Phase durch Stellelemente getindert werden. Die gestorte Wellenflache wird ausgemessen, und daraus werden die Steuersignale fiir die Korrektur abgeleitet. Diese ist moglich, wenn entweder der Hauptspiegel segmentiert ist und die Segmente schnell variiert werden koMen oder ein zusatzlicher Spiegel deformiert wird. Letzteres ist besonders bei grol3en Teleskopen angebracht. Die lineare adaptive Optik erfordert also im wesentlichen folgende Schritte: Die bildseitige Wellenflache ist in diskreten Punkten auszumessen, d. h,ihre Abweichung von der idealen Wellenflache ist zu ennitteln (Messung der Wellenaberrationen mit einem geeigneten Sensor). Die Koeffizienten einer Pol ynomdarstellung der Wellenaberrationen sind zu berechnen (z. B. Zernike-Polynomkoeffizienten). Ort und GroRe der Verstellung der Korrekturelemente werden mit Hilfe von leistungsf‘dhigen (vor allem schnellen) Computern errechnet und daraus die Regelsignale die Stellglieder bestimmt. Die Stellglieder (Aktuatoren) veriindern das optische System so, daB die Abweichungen der Wellenflache von der Sollform komgiert werden. Aus dieser Darstellung folgt bereits, daD die Regelung in Echtzeit zu erfolgen hat und damit hohe Anforderungen an die Geschwindigkeit der Informationsverarbeitung gestellt werden. Daraus ergeben sich bei groUen Teleskopen zur Zeit noch Einschriinkungen hinsichtlich der raumlichen Auflosung (Anzahl der moglichen Meastellen und Aktuatoren) sowie des Wellenlhgenbereichs. Gunstige Bedingungen liegen im inffaroten Gebiet vor. Probleme und Ergebnisse zur adaptiven Optik bei groDen Teleskopen gibt Merkle an [49]. Das grundsatzliche Schema der Anordnung zeigt Abb. 6.77. deformierbarer

I n f o r m o t inns-

Wellenflache

u n d SteuerWellenf lache

Abb. 6.77 Prinzip der adaptiven Opt& fiir Spiegelteleskope

6.3 Fernrohr

595

~

Der Detektion der Wellenflache dient ein Shak-Hartmann-Sensor. Die Wellenflache wird mittels eines Linsenarrays aus 1600 Linsen mit je 170 mm Brennweite aufgeteilt. Jede Linse nimmt die Flache von 1x 1mm2 ein. Als Empfager dient eine Anordnung aus einem zweistufigen Nahfokus-Bildverstiirker mit Mikrokanalplatte und einer iiber eine Faserplatte angekoppelten 100x 100 Elemente umfassenden Diodenmatrix. Es konnen wahlweise 25 Unteraperturen mit je 400 Elementen oder 100 Unteraperturen mit je 100 Elementen gebildet werden. Zur Kalibrierung des Sensors dient eine ebene Welle, die von einem Laser eneugt und iiber einen Teiler in den Strahlengang eingeleitet werden kann. Die piezoelektrischen Aktuatoren greifen an einen deformierbaren Zusatzspiegel an, der aus einer 130 mm groRen, 0,7 mm dicken versilberten Quarzplatte besteht. Die 19 Alrtuatoren befinden sich auf einer sechseckigen Flache mit dem aktiven Durchmesser 70 mm. Bei Spannungen U = f 1500 V betriigt der Hub +7,5 pm. Die eingesetzte Rechentechnik verarbeitet 2 . lo6 Pixel/s, womit die Wellenflache bis zu 200 Mal je Sekunde analysiert und konigiert werden kann. FW die beugungsgegrenzte Korrektur ist die Rechnerkapazitat fiir Wellenliingen oberhalb 2,2 pm ausreichend. Ein Problem der adaptiven Optik fiir Fernrohre stellt die geringe Intensitat vieler astronomischer Objekte dar. Deshalb ist im allgemeinen ein heller Stern zur Wellenflachenanalyse notwendig, der in der Umgebung des zu untersuchenden Objekts liegen m a . Es wird angestrebt, die Wellenflache mittels der Auswertung von in der Atmosphaire gestreuter Strahlung eines Lasers im Wellenflachensensor zu messen. Die bei der ESO eingesetzte adaptive Optik w d e zunachst Ende 1989 am 1,52-m-Teleskop des Observatoire de Haute Provence in Frankreich erfolgreich getestet. (An der Entwicklung waren das Observatorium Paris-Meudon, das Office National d’Etudes et de Recherches Aerospatiales (ONERA) und LASERDOT beteiligt.) Die Erprobung am 3,6-m-Teleskop der ESO in La Silla, Chile, fand im April 1990 statt [67]. Abb. 6.78a-f (Farbtafel 11) demonstriert die Leistungsf~gkeitder adaptiven Optik. Wihrend in La Silla durch die Luftunruhe ohne adaptive Optik nur selten ein Auflosungsvermogen unter 0,5” erreicht wird, erhiilt man mit der adaptiven Optik praktisch beugungsbegrenztes Auflosungsvermogen im Infraroten iiber A = 3 pm (die Aufnahmen wwden fur A = 3 3 pm angefertigt). Unterhalb A = 3 pm kann eine teilweise Korrektur der Lufturuuhe erreicht werden. Abb. 6.788 enthiilt die berechnete Modulationsiibertragungsfunktion fiir die Abbildung mit einem 2.2-m-Teleskop (nach [49]). Die Wirkung der adaptiven Optik ist deutlich erkennbar. Bei dem geplanten VLT-Teleskop wird die Kopplung von aktiver und adaptiver Optik angestrebt. Die Bildverarbeitung in Verbindung mit der Speckle-Holografie koMte sich anschlieDen. Die extratemestrische Astronomie ist gegeniiber den optischen und rechentechnischen Methoden zur Ausschaltung der atmosphtirischen Einfliisse aderordentlich aufwendig und kostspielig. Sie liefert aber auch Ergebnisse, die von der Erde aus nicht zu gewinnen sind. Dazu gehoren die Untersuchungen im gesamten Wellenliingenbereich des elektromagnetischen Spektrums und die Registriemng von extrem lichtschwachen Objekten, die wegen des Wegfalls von Hintergrundstrahlung moglich ist. Insgesamt gibt es ein umfangreiches Programm, das nur mit der extraterresuischen Astronomie abgewickelt werden koMte. Darauf konnen wir jedoch nicht eingehen und vetweisen auf [50]. Im Jahr 1990 wurden zwei extraterrestrische Teleskope gestartet. Der Rontgensatellit ROSAT arbeitet im Rontgengebiet und im daran anschlieaenden Bereich des Vakuumultraviolett. Das Projekt “Space Telescope Hubble” hatte sich nach Beginn der Planung ca. 1970 lange Zeit veaogert (es war fiir 1984 angekiindigt). Die Kosten betragen ca. 2 Mrd Dollar.

596


Im Friihjahr 1990 erfolgte der Start in den Weltraum (Umlaufbahn in rund 500 km Hohe). Der Primaspiegel des Hubble-Teleskops hat den Durchmesser 2,4 m, womit 0,06” Auflosungsvermogen envartet wurde. Dazu ist die Nachfiihrung des Teleskops mit der Genauigkeit 0,007” erforderlich. Mittels fiinf Detektoren koMen Untersuchungen im Spektralbereich von 115 nm bis 1OOOnm durchgefiihrt werden. Fiir Sterne bis zur GroBenklasse 17 w a e die Spektroskopie mit dem Auflosungsvermogen A/AA= lo2...lo3, fiir Sterne bis zur 26. GroDenklasse mit dem Auflosungsvermogen A/AA= lo3...los moglich. Neben einer Weitwinkelund einer Planetenkamera ist auch eine Kamera fiir Objekte grol3er GroBenklasse (schwache Objekte) eingebaut, so daB Sterne bis zur 27. GroBenklasse zu registrieren wiiren. Aufgrund der Miingel eines Teilspiegels im Teleskop, die sich nach dem Start herausstellten, entsprachen viele der bisher vom Hubble-Teleskop gelieferten Aufnahmen nicht den Erwartungen. Durch die erfolgreiche Reparatur des Teleskops unmittelbar im Weltraum Ende 1993 wurde die volle Leistungsfigkeit hergestellt.

6.3.3

Fernrohrleistung

Begriffe. Die VergroBerung und das Auflosungsvermogen kennzeichnen die visuelle Leistungsfiihigkeit des Fernrohrs noch nicht ausreichend. Das liegt besonders daran, daB die Benutzungsart, die Objektleuchtdichte und -farbe sowie das Zusammenspiel mit den physiologisch-optischen Eigenschaften des Auges stark wechselnden Bedingungen unterworfen sind.

I

Als weitere Kennzahl wurde in 6.1.1 die Sehschiirfe eingefiihrt. Die Sehschiirfe WA ist der Kehrwert des visuell auflosbaren Sehwinkels wA.

(6.185) Als Fernrohrleistung wird definiert:

I

Die Fernrohrleistung A ist das Verhiiltnis aus der Sehschiirfe mit Fernrohr und der Sehschiirfe ohne Fernrohr. (6.186)

Beim Tagessehen ist die Austrittspupille des Fernrohrs im allgemeinen grokler als die Augenpupille, deren Durchmesser bei grorjen Objektleuchtdichten etwa 2 mm betragt. Die Fernrohrleistung ist dann der VergroBerung proportional, d. h., es ist

A = q I r’l

( q Nutzungsgrad des Fernrohrs).

(6.187)

Tabelle 6.18 Fernrohrleistung und Nutzungsgrad von Feldstechern

Irl x 2 P p

A

q (aufgelegt)

6x30 8x30 7x50 10 x 50 15x60

5,02 6,40 6,48 9,12 11,75

A

q (freihslndig)

0,84

3,95

0,80

5,oo

0,93 0,91 0,78

435 5,62 6,48

0,66 0,62 0,65 0,56 0,43

597

6.3 Femrohr

Messungen an unverguteten Feldstechern ergaben z. B. die Werte der Tab. 6.18 (nach [9]). Die VergroRerung I r’I=8 ist ungefjhr die Grenze fiir freihtindiges Beobachten.

Beim Diimmerungssehen bzw. Nachtsehen (Umfeldleuchtdichte unter 10 cd . m-’ ) ist die Austrittspupille des Fernrohrs kleiner als die Augenpupille. Es gilt: Augenpupillendurchmesser > 2pi > 2 mm. Durch experimentelle und theoretische Untersuchungen auf der Grundlage der physiologischen Optik wurde fiir die Femrohrleistung

A = W P , )

zm

Irt I

1-2m

(6.188)

gefunden. Die empirischen Konstanten q und m haben folgende Werte: L > 10 cd. m-’ 0,l cd . m-’ c L < 10cd . m-’ L< cd m-’

(Tagessehen. photopisches Sehen ) m=O (mittlere Dammerung , mesoptisches Sehen) m = 0,25, q = 0,3 (Dunkelsehen, skotopisches Sehen ) m =0,5.

Im Bereich der mittleren Dhmerung gilt damit A =0 , 3 , / m .

(6.189)

Die GroRe

z = J m

(6.190)

ist die Diimmerungszahl des Femrohrs. Ein Fernrohr mit 2 p , = 30mm und I PI=6 hat die Dtimmerungszahl Z = 13,4 und die Fernrohrleistung A = 4. Beim Dunkelsehen htingt die Fernrohrleistung nicht von der VergroRerung. aber linear vom Durchmesser der Eintrittspupille ab.

Lichtstiirke bei ausgedehnten Objekten. Fiir die Beleuchtungssttirke auf der Netzhaut ist die Lichtstiirke in der Austrittspupille bestimmend. Diese betragt (L‘ Leuchtdichte in der Austrittspupille)

I’ = L’ (Flache der Austrittspupille), also 1 I’ = -??L‘(2p$ 4

(6.191)

Die GrORe (2p’p)’ wurde friiher geometrische Fernrohrlichtsttirke genannt. Davon sollte jedoch Abstand genommen werden, weil es sich um eine rein geometrische Gr6Re handelt. Ohne Lichtstromverluste im Femrohr ist die Leuchtdichte in der Eintrittspupille gleich der Objektleuchtdichte. Die Verluste konnen durch den wellenltingenabhiingigen Transmissionsgrad z erfaEt werden. Es gilt dann I’ = 2 7 L ( 2 p i ) 2 . 4

(6.192)

Fiir den Ausdruck ~ ( 2 p ’ , findet ) ~ man in der Literatur den Namen “physikalische Femrohrlichtstiirke”.


598

Kleine Objekte hoher Lichtstiirke stellen z. B. die Fixsterne dar. Ihr geometrisch-optisches Bild ist wesentlich kleiner als der zentrale Teil ihres Beugungsbildes in der Zwischenbildebene. Fiir solche Objekte gilt der Riccosche Satz:

I

Kleine Objekte hoher Lichstiirke werden erkannt, wenn der ins Auge gelangende Lichtstrom uber dem Schwellenwert a,, liegt.

Der Lichtstrom, den das Fernrohr von einem Stern aufnimmt und der die Beleuchtungsstiirke E in der Eintrittspupille erzeugt, betriigt

(6.193)

@ = REP;.

Fixsterne werden also wahrgenommen, wenn die von ihnen hervorgerufene Beleuchtungsstiirke die Bedingung E2-

(6.194)

4 0

RP’p

erfiillt. In erster Linie ist also der Eintrittspupillenradius fur die Sichtbarkeit der Fixsterne bestimmend. Da jedoch der Schwellenwert des Lichtstroms mit der Umfeldleuchtdichte wachst, wirkt sich auch eine hohere VergroRerung gunstig aus. Die Umfeldleuchtdichte sinkt mit der VergroBerung. Auch mit dem Fernrohr werden die Fixsterne als punktformige Objekte nicht linear vergroRert abgebildet; es wird lediglich ihre scheinbare Helligkeit erhoht. AuRerdem ist verstiindlich, daB z. B. am Tage bei groRen Umfeldleuchtdichten der Schwellenwert @, stark heraufgesetzt ist.

6.3.4

Spezielle Fernrohre

Wir wollen noch ausgewmte Beispiele fiir den Einsatz der Fernrohre in der MeRtechnik angeben.

Kollimator. Der Kollimator ist hinsichtlich seiner Funktion kein Fernrohr, aber sein optisches System besteht im allgemeinen aus einem Fernrohrobjektiv. Mit dem Kollimator wird durch optische Abbildung ein unendlich fernes Objekt erzeugt. Das Optik-Schema besteht aus dem Objekt, das eine Lochblende, eine Spaltblende, ein Fadenkreuz, eine Teilung u. a. darstellen kann und dem Objektiv, in dessen Brennebene das Objekt steht (Abb. 6.79). Die Abweichung von der Achsparallelitat des Bundels beuagt (tan w = w) (6.195) H-H’

Abb. 6.79 Kollimator

599

6.3 Femolu

Der Kollimator wird oft mit einer Lupe verglichen, weil diese ebenfalls das Objekt ins Unendliche abbildet. Es ist aber zu bedenken, daB der Kollimator ein kleines Feld abbildet und die LupenvergrtiOerung wegen der groOen Objektivbrennweite wesentlich unter 1 liegen wiirde.

Ablesefernrohr. Zur Ablesung von Marken und Teilungen dient das Ablesefernrohr. Es wird mit endlicher Objektweite angewendet. Die Einstellung sol1 so vorgenommen werden, dal3 das Zwischenbild immer in der objektseitigen BreMebene des Okulars entsteht. Dazu dient entweder die Okularverstellung, wobei a' = f&,+ t (t optische Tubuslhge) ist, oder die Brennweite des Objektivs wird durch eine Linsenverschiebung stetig getindert (Innenfokussierung), SOW a'=&,+i wird. Die Fernrohrvergrbpeng fiir die endliche Objektweite ist nach G1. (6.171)

r'

= r:(i+fi).

(6.196)

In diesem Fall ist die Bezugssehweite ohne Fernrohr von dessen Eintrittspupille aus gemessen (a, = a ) . Unter der AblesevergroOerung versteht man wie beim Mikroskop die VergrijOerung, bei der die Bezugssehweite ohne Femrohr von dessen Austrittspupille aus gemessen wird. Die Offnungsblende stimmt mit der fteien Objektivoffnung iiberein, und das Objektiv hat eine groSere Brennweite als das Okular. Es entsteht dam eine Fernrohrlupe. Diese hat den Vorteil, auch weiter entfernte Marken ablesen zu koMen. Der letzte Summand in G1. (6.65) ist (wegen zp = f&+ t ) abzuwandeln in

so daf3 G1. (6.67) in (6.197) iibergeht. Mit f&= 80 mm, f&= 20 mm, z = -40 mrn ergibt sich z. B. rL = -40,3, die MikroskopvergroOerung wiirde in diesem Fall r' = 25 sein. Die Ablesevergrijaerung geht bei z + 00, also bei hderung der optischen Tubuslhge auf t = 0, in die FernrohrvergrijOerung r = - 4 iiber.

-

Fokussierfehler. SchlieDlich berechnen wir noch den Fokussierfehler des Ablesefernrohn, der durch die geometrisch-optische Abbildungstiefe entsteht. Der Abb. 6.80 ist die Beziehung (6.198) zu entnehmen. Daraus folgt mit

r'

aus G1. (6.170) (6.199)


600 EP H-Hb,

Zwischen bl I d ehcne H-Hb,

,

Abb. 6.80 Zur Ableitung des Fokussierfehlers beim Fernrohr

(6.200) /

an und erhalten (6.20 1) Im Objektraum gilt (Abb.

also mit b’ aus G1. (6.201) (6.202)

Bei Vernachlksigung von I ws‘zl gegenuber p; rL2ergibt die Umformung (6.203) Der Fokussierfehler betragt

bF --W’Z2 &A

c2

P’P

M t w,’= 1’A 3.10-4 rad,

PI,= 1 mm,

(6.204) I r L l = 5 , z = -lo00 mm ergibt sich 2.B. bF = & 12 mm.

Richtungsmessung. Zur Messung der Winkel, die zwei Achsen miteinander bilden, verwendet man die Kombination aus Kollimator und Fernrohr (Abb. 6.81). Die Marke des Kollimators wird beleuchtet. Bei den kleinen Winkeln gilt fiir die Markenversetzung y& = - wf&. Eine Parallelverschiebung des Fernrohrs ergibt keinen MeBfehler, sondern lediglich eine Randabschattung.

6.3 Fernrohr

601 H-Hb,

Abb. 6.81 Richtungsmesssung mit Kollimator und Fernrohr

Fluchtungsmessung. Zur Messung der seitlichen Versetzung zweier Achsen in einer vorgegebenen Ebene beleuchtet der Kollimator lediglich eine vor seinem Objektiv angebrachte Strichmarke. Es ist ein Ablesefernrohr zu verwenden, das auf die Strichmarke eingestellt wird (Abb. 6.82). H-nbb

_FKoIl/ -+t

Abb. 6.82 Fluchtungsmesssung mit Kollimator und Fernrohr

platte

Das Autokollimationsfernrohr vereinigt Kollimator und Fernrohr in einem Get%&(Abb. 6.83). Das Fernrohrobjektiv dient gleichzeitig als Kollimatorobjektiv. Die relative Lage eines Planspiegels gegeniiber der optischen Ache laiat sich genau messen. Wegen der Reflexion gilt y& = -f&.2w.

(6.205)

Strich-

Strichmarke des Okulors

Abb. 6.83 Autokollimations-

fernrohr

Das Zielfernrohr, wie es z. B. bei Gewehren angewendet wird, zeichnet sich durch ein Umkehrsystem und die g r o k Entfernung der Austrittspupille aus (Abb. 6.84). In der Feldblende befindet sich das sogenannte Abkommen zum Zielen. Die Fokussierung auf die endliche Objektweite wird mittels Verschieben des Umkehrsystems vorgenommen. Gewehrzielfernrohre haben Vergrijserungen zwischen r’=2 und 8, die Austrittspupille hat 6 bis 8 mm Durchmesser und ist vom Okular etwa 80 bis 100 mm entfernt.

602


[ A bkornrnen ---,I

H-H;,

Umkehrsyslem

H,-H;

H,=H,

Abb. 6.84

6.4

Fotografie

6.4.1

Abbildungsarten

Zielfemrohr

Die fotografischen Objektive gehoren zu den objektiven optischen Instrumenten, weil das von ihnen erzeugte Bild im allgemeinen nicht unmittelbar betrachtet wird. Die Aufgabe der Fotoobjektive besteht darin, einen Ausschnitt der Einstellebene so in die Auffangflache reel1 abzubilden, daR das Bild die fiir den jeweiligen Anwendungszweck erforderliche Bildgiite aufweist. In den meisten Fdlen ist die Auffangflache eben. In diesem Abschnitt behandeln wir ein Fotoobjektiv als ein sammelndes optisches System, das ideal abbildet. Das Bild eines Objekts, das sich in der unendlich fernen Einstellebene befindet, liegt in der Brennebene. Der Abbildungsmdstab betriigt p’ = 0. Ein im Endlichen liegender Gegenstand wird mit dem Mastab

p ‘ = , L’ = _ _f f’ 2 abgebildet; p‘ ist stets negativ, das Bild also umgekehrt. Die Entfernung z’ =

-py

der Auffangebene von der Brennebene wird optische Kameraliinge genannt. Je nach dem Abbildungsmal3stab beziehungsweise der optischen Kameraliinge unterscheidet man verschiedene Aufnahmearten.

Makroaufnahmen. Bei einer Makroaufnahme ist der Betrag des AbbildungsmaRstabes

Ip’I

I 1.

Wir unterteilen weiter: - Bei Fernaufnahmen gilt p‘ = 0 und z’=O.

603

6.4 Fotografie

Die Abbildung ist einstufig, d. h,sie wird durch ein optisches System vermittelt. - Bei Normalaufnahmen gilt 0
55').

Weitwinkelobjektive. Bei einem Weitwinkelobjektiv ist die bildseitige Schnittweite im allgemeinen sehr klein. Das kann zu Platzmangel beim Einbau von optischen Bauelementen zwi-

6 Outiscbe Instrumente und Svsteme

608

schen Objektiv und Bildebene fiihren. Dieses Problem tritt z. B. bei Spiegelreflexkameras auf, bei denen der klappbare Spiegel eine bestimmte Mindestschnittweite des Objelctivs erfordert. Es werden deshalb auch kurzbrennweitige Objektive mit langer Schnittweite benotigt, die also im Prinzip einen besonderen Typ des Weitwinkelobjektivs darstellen (Retrofokusobjektive). Objektive mit langer Schnittweite sind dadurch charakterisiert, daR sie aus einer zerstreuenden Frontlinse und einem sammelnden Glied bestehen. Nach G1. (6.215) gilt fiir ein zwei= w 2f'. Mit einem entsprechenden Wert fiir o2l a t sich erreichen, daU gliedriges System a;F wesentlich groBer als die BreMweite ist (Abb. 6.90). Die Einfallshohe des Randstrahls wird wegen o,> 1 am sammelnden Glied besonders groR. Deshalb ist dieses unter anderem fiir die Korrektion des Offnungsfehlers mehrlinsig auszufiihren. Bei 2w 2 83" wird auch von Superweitwinkelobjektiven,bei 2w 2 180" von Fisheye-Objektiven gesprochen. Zerstreu ungslinse H,=H;

so rn me1ndes System "2

H;

_.

Abb. 6.90 Zur Realisierung

langer Schnittweiten

6.4.3

Perspektive und Scharfentiefe

Perspek tive Die gmndlegenden, die Perspektive sowie die Schmentiefe betreffenden Definitionen und Beziehungen w d e n bereits in 4.2.4behandelt. Deshalb beschrmen wir uns hier auf eine Zusammenfassung und auf die Anwendung bei Fotoobjektiven. Wir fiihren die Ergebnisse nochmals an. -

Durch die Begrenzung der Offnung und das endliche Auflosungsvermogen der Empfhger ist es moglich, nicht nur von der Einstellebene, sondern von gewissen Raumbereichen vor und hinter ihr eine perspektivische Darstellung in der Filmebene zu erhalten. Die Offnungsblende hat eine Tiefenwirkung fiir die Abbildung.

-

Die Gesamtheit der von den Punkten des Objektfeldes ausgehenden Strahlenbundel ergibt in der Einstellebene die objektseitige Projektionsfigur, welche die Summe der von den Objektpunkten ausgehenden Projektionen der Eintrittspupille ist. Die objektseitige Projektionsfigur wird in die zugeordnete bildseitige Projektionsfigur abgebildet. Die letztere liegt in der Filmebene und ist die bei der fotografrschen Aufnahme erhaltene perspektivische Darstellung.

-

Der Betrachter projiziert auf Grund seiner Erfahrung die perspektivische Darstellung in den Raum und hat einen perspektivischen Eindruck. Dieser h a g t vom Verhdtnis des Sehwinkels beim Betrachten des Objekts w, und beim Betrachten der perspelctivischen Darstellung w,' ab.

609

6.4 Fotografie

Nach G1. (4.258) gilt

y,’ = Y’

V

p’ AP p,’

‘( g)

vf 1 - vp‘Ap tanw; -tan w, P,‘ tanw, Pi 1 tiefenverkiirzter perspektivischer Eindruck, 1 tiefenrichtiger perspektivischer Eindruck, 1 tiefenverliingerterperspektivischerEindruck;

(6.217)

y,’ > y,‘ = 7,‘ < Nachvergrofierung der perspektivischen Darstellung, f‘ und /3‘p Konstanten des Aufnahmeobjektivs, AbbildungsmaSstab der Aufnahme, Entfernung der Eintrittspupille des Aufnahmeobjektivs von der Eintrittspupille des Auges bei direkter Betrachtung des Aufnahmegegenstandes, Betrachtungsentfernung der perspektivischen Darstellung.

Wir diskutieren die G1. (6.217). -

Fernaufnahmen. Bei p’ = 0 ist (6.218) A p und /3’p haben keinen Einfla auf den perspektivischen Eindruck. Die Proportionalitat zwischen yL und f’ fiihrt dazu, daf3 ys’ bei Tele- und bei Fernobjektiven grofier, bei Weitwinkelobjektiven kleiner als bei Normalobjektiven ist. Aufnahmen mit Fernobjektiven zeigen oft einen tiefenverkiirzten perspelctivischen Eindruck (z. B. : Faballtor erscheint, seitlich aufgenommen, weniger breit als bei der Betrachtung mit unbewaffnetem Auge).

-

Normalaufnahmen. Mit GI. (6.217) 1 s t sich ausrechnen, aus welcher - liings der optischen Achse des Aufnahmeobjektivs gemessenen - Entfernung vom Aufnahmeort A p der Gegenstand betrachtet werden miiste, damit er mit der gleichen Perspektive erscheint wie die (eventuell nachvergrtifierte) Aufnahme. Eine andere Bedeutung hat A p nicht. Wir setzen im weiteren A p = 0 .

Der MaSstab der Pupillenabbildung B’p hat folgenden EinflUa: Wegen p’< 0, p’,>O wird y: bei pb < 1 vergroDert (tiefenverliingerndeWirkung), bei > 1 verkleinert (tiefenverkiirzende Wirkung). Bei Fernobjektiven mit < 1, wie es bei den Sonnaren vorkommt ( 2 . B. p’p = 0,63), wird also der tiefenverkiirzende Eindruck nicht so stark sein wie bei Fernobjektiven mit /3; = 1, Da meistens p;, 1 ist, reicht im allgemeinen die NUerung

r,‘ =

vf ‘(1 - p’) P,’

(6.219)

aus. Bei Normalaufnahmen mit 0 < Ip’I < 0,l gilt

vf ’

- < y,’ =

P,‘

1,l.vf’ P,’

-,

(6.220)


610

Der endliche AbbildungsmaBstab bewirlct also eine geringe Tiefenverkiirzung gegenuber der Fernaufnahme. Beispiel: Bei einer auf 60 mm x 90 m m vergroaerten Kleinbildaufnahme ist v = -2,5. Mit f’ = 50 mm (Normalobjektiv), p’ = -0,l und pi = - 250 mm erhalten wir ys’ = 0 , 5 5 . Die

Aufnahme ist tiefenverltingert. Das stort besonders bei Portrataufnahmen (“lange Nase”). Verwenden wir ein Fernobjektiv mit f‘ = 100 mm, dam wird y: = 1, , Fiir Portrataufnahmen sind also grokre BreMWeiten als beim Normalobjektiv vorteilhaft. -

Diaprojektion. Die G1. (6.217) gilt auch bei der Diaprojektion. Ein Beispiel dafiir moge genugen. Eine Aufnahme mit einem Kleinbildobjektiv f’ = 5 8 mm, p’p= 1,4 sol1 auf 1800 mm Breite projiziert werden (v = -50). Fiir eine Fernaufnahme betriigt die Betrachtungsentfernung mit natiirlichem perspektivischem Eindruck pi = -2,9 m; bei einer Normalaufnahmemitp’=-O,O5 ist p : = - 3 m .

Scharfentiefe. In Abb. 6.91 sind die Entfernungen der Grenzen des Schikfentiefenbereichs von der Einstellebene bl und 6, eingetragen. Nach Abb. 6.91 gilt (6.221)

In den NeMern von G1. (6.221) kann bei Fotoobjektiven ap gegenuber al und a, vernachlasigt werden. EE

EP

H

Aus G1. (6.221) folgt nach entsprechender Umformung

(6.222) Mittels (6.223) m e n wir die Bezugsentfernung u,, ein und setzen (6.224)

61 1

6.4 Fotografie

Mit G1. (6.224) erhalten wir aus G1. (6.222) und (6.223) durch Addition bzw. Subtraktion a, =

a, = - und

m-1

(6.225a. b)

m+l’

Fiir m = 1 ergibt sich a

q =

0 ,

a, = 2 und a, = a.

(6.226)

2

Daraus folgt die Bedeutung der Bezugsentfernung a, : Von der Objektentfernung a = a. ab reicht der linke Schiirfentiefenbereichbis ins Unendliche. Die Einstellung auf die Objektweite a, wird deshalb “Naheinstellung auf Unendlich” oder “Fixfokuseinstellung” genannt.

*-

Zur Berechnung von a. benotigen wir die Grijf3en a, und a , , Nach G1. (4.25 1) haben die Grenzen des SchWentiefenbereichsdie Entfernungen =

bl

bzw.

b, =

-

P

f’lP’I

;1

(6.227a, b)

2kp’

2kp‘

von der Einstellebene; p’ ist der zuliissige Zerstreuungskreisradius.Nach Abb. 6.91 ist p = a-ap, b, = a , - a

und

b, = a , - a .

(6.228)

Mit den G1. (6.228) gehen die G1. (6.227) iiber in

(6.229a. b)

Es wird nach G1. (6.223) und G1. (6.229)

_1

-@-%I f’lp’l

-

2k4

2

.

a,

Im Nenner kann a: vernachliissigt werden. Wir erhalten a , = - f’lP’I, -

2k4

a2 a-%.

Unter Verwendung von G1. (4.56b) l%t sich a’ a

- ap

’(+ - 1)

-- 8’f

8’ 1-K

2

(6.230)

612


schreiben. Es gilt also (6.231)

Wenn die Aufnahme um den Faktor v nachvergrofiert wird, erscheint der Zerstreuungskreisdurchmesser bei der Betrachtung aus der Entfernung p; unter dem Winkel

x’

= -,2vp’ PS

(6.232)

Mit Hilfe von G1. (6.232) eliminieren wir p‘ aus G1. (6.231), so dal3 Y f’(

a, =

-

1-

4) P,

Ps‘

2

1-p’

f’

’kXI

(6.233)

entsteht. Unter Beriicksichtigung von Ap = 0 und G1. (6.217) wird

r

1’ (6.234)

Fiir praktische Zwecke genugt es, die Klammer durch 1 zu ersetzen. So erhalten wir schlieB lich a0

=.,sy-

f’

I

kX

(6.235)

x‘ koMen unterschiedliche Fordemngen gestellt werden. Wir geben zwei davon an. Fiir x’ wird der physiologische Grenzwinkel (etwa 1’ ) zu

Fiir die Konstanten y: und

angesetzt und natiirlicher perspektivischer Eindruck geforden ( y : = 1). Damit wird 3f’/mm k -

ao/m = -~

(6.236)

Es genugt im allgemeinen, die Anspriiche zu reduzieren und mit x’=1/1500 sowie mit yl= 0,8 zu rechnen. So wird oft bei Kleinbildobjektiven verfahren, wie z. B. beim Tessar 2,8/50. Dann gilt

ao/m = -

1,2f’/mm k ’

(6.237)

Mit f’ = 50 m m und k = 4 ergibt sich 2.B. aus G1. (6.237) a, = -15 m. Zur Berechnung einer Schiirfentiefentabellek6Mm wir auch von G1. (6.23 1) ausgehen und

6.4 Fotogrdie

613

einen zulasigen Zerstreuungskceisdurchmesservorgeben. Als Richtwert gilt 2p’ =

Formatdiagonale 1500

Die Werte nach Tab. 6.20 weichen bei den kleinen Formaten vom Richtwert ab, weil die Forderungen sonst nur schwer realisierbar wiicen. Tabelle 6.20 Durchmesser des zulhsigen Zerstreuungskreises fiir Schikfentiefetabellen

(1) bedeutet 16-mm-Schmalfilm. (2) bedeutet 8-mm-Schmalfilm Format /mm2

90x120

0,loo

60x90 60x90 45x60

0,075 0,060 0,050

24x36 24x24 18x24 7.5 x 103 (1) 3.6 x 4 3 (2)

0,033 0,033 0,025 0,015 0.010

Wir mussen das Problem der Schiirfentiefe, das wir bisher nur geometrisch-optisch betrachtet haben, durch einige wellenoptische Aspekte ergwen. Die Intensitiitsverteilung im Bildraum des Objektivs wird durch die Beugung an der Offnungsblende bestimmt. In 4.4.2 wurde abgeleitet, da6 bei der Abbildung von Achsenpunkten in den Entfemungen b: (wellenoptisch) = b;(wellenoptisch) = 22k2

(6.238)

von der GauSschen Bildebene noch 80% der Intensit& vorhanden sind, die im geometrischoptischen Bildpunkt vorliegt. Diese Intensitiit reicht zur BilddeEnition aus. Es ist demnach nicht notwendig. die Auffangebene in die GauSsche Bildebene zu stellen. Es besteht wellenoptisch ein Bereich der bildseitigen Einstelltiefe, der auch wellenoptische Abbildungstiefe genannt wird.

Abb. 6.92 Zur Kombination von geometrisch-optischer und wellenoptischer Abbildungstiefe

Die geometrisch-optische Abbildungstiefe ist von der um f2A.k’ aus der Gadkchen Bildebene verschobenen Auffangebene aus zu ziihlen (Abb. 6.92). Die geometrisch-optische Abbildungstiefe folgt aus

b: (geom-opt.) = bi(geom.-opt.) =

f” rs’

’

(6.239)

614


Die gesamte Abbildungstiefe betragt

x’

b’ = -b’ I -- ’k + 2Ak2.

Y:

1 Hieraus geht fir ys’ = 0,8, x’ = -und 1500

(6.240)

A = 500 nm

b:/mm = -b;/mm = 0,83.10-3f‘/mm.k+10-3k2

(6.241)

hervor. Bei kleinen Blendenzahlen ist die wellenoptische Abbildungstiefe gegenuber der geometrisch-optischen zu vernachlbsigen. Abb. 6.93 enthat die Funktion b: = f(k) f i r ein Kleinbildobjektiv mit der BreMweite f’= 50 mm (y: = 0,8, x’ = l/1500).

0

5

10

15

20

25

30 k

Abb. 6.93 Abbildungstiefe eines Kleinbildobjektivs

Die Gleichung (6.240)l a t sich nur bis zu einer bestimmten Blendenzahl anwenden. Der Radius des durch Beugung in der Gauhchen Bildebene erzeugten Zerstreuungskreises kann nach GI. (4.339)mit

r‘ = 1,22Ak abgeschatzt werden (Radius des ersten dunklen Ringes der Beugungsfigur). Bei wird r’/mm = 0,61.10-3k.

(6.242)

A = 500 nm (6.243)

Nach GI. (6.218)und G1. (6.232)betragt der Radius des geometrisch-optischen Zerstreuungskreises

(6.244) 1 und yi = 0,8 woraus mit X I = 1500

pf =

10-~f’

(6.245)

folgt. Wenn r’ nach G1. (6.243)groBer wird als p’ nach GI. (6.245),dann ist der beugungsbedingte Zerstreuungskreis grol3er als der geometrisch-optisch zulksige Zerstreuungskreis. Das

615

6.4 Fotografie

ist ab der Blendenzahl k = 0,69f'/mm

(6.246)

der Fall. Bei f ' = 50 mm ist p' = 0.02 mm und k = 343. Fiir groflere Blendenzahlen, als sie durch GI. (6.246) gegeben sind, hat es keinen Sinn, den geometrisch-optischenZerstreuungskreis kleiner als den Radius des Beugungsscheibchens zu fordern. Aus

ergibt sich mit GI. (6.242) und nach Addition von G1. (6.238) b: = -b; = 2,44dk2+2Ak2 = 4,44Ak2

(6.247)

bzw. bei A=500nm b:/mm = -b;/mm = 2,22.10-3k2.

(6.248)

Allerdings ist dann nach G1. (6.246) notwendig, daR fiir die Brennweite des Objektivs f' 2 1,45k (6.249) gilt (A = 500 MI 1. Sonst erscheint der Zerstreuungskreis bei der Betrachtung des - eventuell nachvergriiserten (yl= 0,8) - Positivs unter einem Winkel x' > l/1500. Der EinfluS der Beugung ist bei grokn Blendenzahlen zu beriicksichtigen. Die Abemtionen der optischen Systeme sind dann praktisch zu vernachlhsigen, so dal3 die angegebenen Formeln auch bei der Abbildung von Achsenpunkten mit konkreten Fotoobjektiven anwendbar sind. Beispiel:Eine Kleinbildaufnahme mit der Objektivbrennweite f' = 100 mm w d e mit der extrem grokn Blendenzahl k = 60 ausgefiihrt. 1. Wir berechnen unter obigen Annahmen die Nachvergrokrung fiir den Perspektivefalrtor y.' = 0,s und die Betrachtungsentfemung p: = - 250 mm. 2. Wie groR sind der Radius des Zerstreuungskreises in &r GauDschen Bildebene und die Abbildungstiefe? 3. Wie grofl ist a, bei p'= O?

Liisung: 1. Aus G1. (6.218) folgt

2. Aus GI. (6.244) oder aus GI. (6.243) ergibt sich r'= p'= 0,04 mm. Aus G1. (6.248) erhalten wir wegen k > 0,69f '

b: = -b;= 8mm. 3. Die Abbildungsgleichung f'2

=

-7 =

-2

b: ergibt t , = -1250 mm. Also ist a, = zr - f ' = -1 350 mm. zf


616 6.4.4

Fotometrie

Bei Fotoobjektiven verwendet man stan der auf die relative Augenempfindlichkeit bezogenen (“V,-bewerteten”) lichttechnischen CiroOen vorteilhafter die aquivalenten in physikalischen Einheiten gemessenen strahlungsphysikalischen Gr66en. Die hier benotigten Beziehungen wurden in 4.2.5 abgeleitet. Die Bestrahlungsstiirke in Flachenelernenten, die der optischen Achse benachbart sind, betriigt nach G1. (4.285) ohne Beriicksichtigung der Reflexions- und Absorptionsverluste 1

E, = A Q L ,

g]

2 ’

4k2[ 1 -

(6.250)

Die Schwhung der fotografischen Schicht ist im lineruen Teil der Schwhungskurve proportional der Bestrahlungsstiirke und der Belichtungszeit. Fiir gleiche Schwiirzung gilt also E,,fI = Eat2.

(6.251)

Bei gleichem Aufnahmezustand ( L , = konstant) und gleicher Einstellung (p’ = konstant) ist nach G1. (6.250) (6.252) Fiir t, = 2f2 erhalten wir

k, =

Ak,.

(6.253)

Eine VergroOerung der Blendenzahl auf das A f a c h e erfordert bei gleicher Schwhung eine Verdopplung der Belichtungszeit. Die Blendenzahlreihe ist deshalb so aufgebaut, daR sich benachbarte Werte urn den Faktor f i unterscheiden. Sie lautet: 0,7; 1,O; 1,4; 2,O; 2,8; 4,O;5,6; 8,O; 11,O; 16,O USW.

Bei einer Fernaufnahme ist 1 E, = xl&L,4k2

(6.254)

Eine Normal- und Nahaufnahme mit Fp= 1, der gleichen S M d i c h t e und Blendenzahl gilt 1 4k2(1 - p’>z

E, = A Q L ,

(6.255)

’

Gleiche Schwikzung erhalten wir f i r t

= L,(l-p’)2.

(6.256)

Wegen p* < 0 erfordern Aufnahmen mit nichtverschwindendern AbbildungsmaRstab unter sonst gleichen Bedingungen eine lhgere Belichtungszeit als Fernaufnahmen. Abb. 6.94 enthat die Auswertung der G1. (6.256). Bei einer Lupenaufnahme mit = -10 ergibt sich f/r, = 12 .

6.4 Fotonrafie

617

Fiir die Bestrahlungsstake in auReraxialen Flachenelementen gilt nach G1. (4.294) unter der Annahme, dat3 keine Randabschattung, keine Reflexions- und Absorptionsverluste sowie keine Aberrationen auflreten, E , = E,,cos~w.

(6.257)

E,, ist die Bestrahlungsstake in axialen Flachenelementen, w ist der Winkel, den der Hauptstrahl mit der optischen Achse einschliest.

Die nach dem “cos4w-Gesetz”vorhandene Abnahme der BestrahlungsstWce im Bildfeld wird “natiirliche Vignettiemng” oder “natiirliche Abnahme” der Bestrahlungsstake genannt.

I

In Abb. 6.95 ist die Funktion E,/E,, = f(w) graiisch dargestellt. Die natiirliche Vignettierung kann bei Weitwinkelobjektiven, besonders bei solchen mit sehr groRem Objektwinkel, untragbare Werte annehmen. Es wurden deshalb verschiedene Mdnahmen getroffen, durch die die Bestrahlungsstiirke bei Weitwinkelobjektiven nicht nach dem “cos4w -Gesetz” abnimmt.

0

2

4

6

8

10

Ip*l

Abb. 6.94 VerlUgemngsfaktor der Belichtungszeit @‘ f 0)

0

100

200

W

Abb. 6.95 Natiirliche Vignettierung und Abnahme der Bestrahluagsstilrke bei einem Objektiv (Kreise)

Die einfachste Moglichkeit besteht darin, die Bestrahlungsstake in der Umgebung der optischen Achse durch eine rotierende Sternblende, durch Grauglasscheiben oder durch teildurchlLsig verspiegelte Scheiben zu schwkhen. Damit ist ein Verlust an GesamtstrahlungsfluR verbunden. Bei einem Objektiv mit tonnenformiger Verzeichnung sinkt die Bestrahlungsstiirke mit dem Objektwinkel langsamer als nach dem “cos4w -Gesetz”. Einen Beweis dafiir findet sich bei Wandersleb. Die extremen Weitwinkelobjektive mit Objektwinkeln in der Niihe von 2w = 180” haben starke tonnenformige Verzeichnung, da sonst entsprechend Abb. 6.95 kaum Licht in die Bildecken M e . Bei Objektiven mit geeigneten Abweichungen von der idealen Pupillenabbildung, also mit gunstigen Pupillenaberrationen, nimmt die Bestrahlungsstake angenshert nach einem “cos”Gesetz” mit n < 4 ab. Ein solches Objektiv ist z. B. das Flektogon. (Beim Flektogon mit f’= 20 mm betragt bei k = 2,8 der Wert n = 3,6 ; beim Abblenden iindert er sich stetig bis auf n = 1,2.)

618


Weitere Einfliisse auf die Bestrahlungsstiirke. Bei realen Fotoobjektiven ist die BestrahIungssWke in der Filmebene geringer, als wir sie mit GI. (6.250) ausrechnen. Die Ursache dafin sind Absorptionsverluste in den Glkern, Reflexionsverluste an den Oberflachen der Linsen und Reste von Abbildungsfehlern, &e die Strahlenvereinigung in einem Punkt verhindern. Bei der Abbildung aderaxialer Flachenelemente wird im allgemeinen die nach GI. (6.257) berechnete Bestrahlungsstiirke zusatzlich durch Randabschattung herabgesetzt. Da diese Einflusse quantitativ nur schwer voneinander zu trennen sind, beriicksichtigen wir sie durch einen empirischen Transmissionsfaktor z , indem wir E, (reales Objektiv) = TE, (idealisiertes Objektiv) (6.258) setzen. Die Groae der Absorptionsverluste in den Linsen wird von den Glasarten und von der L b g e des Glasweges bestimmt. Die Wellenliingenabhhgigkeit der Absorption kann zu einer Verf%rbung des Lichtes fiihren. Viele optische Glaser, z. B. stimtliche Schwerflinte, erscheinen in der Durchsicht gelb, absorbieren also blaues Licht am stiirksten. Der “Farbort des Objektivs” (im Farbendreieck) lut sich jedoch mittels Entspiegelung der Linsenoberflachen verbdern, bei der die Reflexion der von den GlLern bevorzugt absorbierten Farbe unterdriickt wird. Die Linsenoberflache erscheint in dieser Farbe. Gelbstich durch Absorption wird also durch eine gelb (oder braunlich) reflektierende duMe Interferenzschicht teilweise ausgeglichen. Die Reflexionsverluste wachsen vor allem mit der AnzaN der Glas-Luft-Flachen in den Objektiven. Der Einsatz von hochbrechenden Glasern erhoht die Reflexionsverluste. Durch &e Entspiegelung lassen sie sich auf so kleine Betrage vemngern, dal3 auch die Konstruktion von Objektiven mit relativ vielen Linsen ermoglicht wird. Bei alteren Objektiven ohne Entspiegelung liegen die Verluste durch Absorption und Reflexion je nach der Linsenzahl zwischen 30% und 60%. Die Randabschattung oder kunstliche Vignettiemng wird bei Fotoobjektiven im allgemeinen absichtlich eingefihrt, um die Abweichungen durch Koma in zuliissigen Grenzen zu halten. Die Randabschattung bewirkt eine stkkere Abnahme der Bestrahlungsstkke mit dem Feldwinkel, als sie nach dem “cos4w-Gesetz” zu erwarten ist. Abb. 6.95 enthat auch Werte fiir die Abnahme der Bestrahlungsstkke mit dem Feldwinkel, wie sie an einem realen Objektiv gemessen werden. Darin spiegelt sich der EinfluD shtlicher behandelten Faktoren wider.

6.5

Optische Systeme

6.5.1

Beleuchtungssysteme

Optische Systeme zur Beleuchtung, also zur Bundelung des Lichtstroms in optischen Geraten und zur gleichmaigen Ausleuchtung von Flachen oder abzubildenden Objekten, sind bei der Projektion, im Mikroskop sowie bei speziellen Aufgaben innerhalb optischer Gerate erforderlich. Die Diaprojektion ist ein Beispiel fir die gleichmiU3ige Ausleuchtung eines durchstrahlten Objekts. Die Grundaufgabe besteht zunachst in der einstufigen Abbildung des Objektfeldes mittels des Projektionsobjektivs. Innerhalb des Objektivs liegt dessen Eintrittspupille. Wir

619

6.5 Optische Systeme

symbolisieren das Objektiv durch zusammenfallende Hauptebenen, an deren Ort auch die Offnungsblende angenommen werden soll. Abb. 6.96a zeigt die direkte Beleuchtung mit einer punktforrnigen Lichtquelle, dem Grenzfall der sehr kleinen Lichtquelle. Durch jeden Objektpunkt geht von der Lichtquelle aus nur ein Lichktrahl. Eine sehr kleine Lichtquelle hat also den Nachteil, daO die Beleuchtungsapertur sehr klein ist. Dafiir ist eine hohe Leuchtdichte moglich. Abb. 6.96b zeigt die direkte Beleuchtung mit einer so groBen Lichtquelle, da6 flir jeden Objektpunld die Beleuchtungs- und die Abbildungsapertur gleich sind. Es wird eine so gro0.e Lichtquelle benotigt, dai3 im allgemeinen eine geringe Leuchtdichte erreicht wird.

Lichtsuelle

\I

Abb. 6.96 Beleuchtung bei der Projektion a) PunktfOrmige Lichtquelle, b) grok Lichtquelle, c) mit Kondensor

620


Abb. 6 . 9 6 ~demonstriert, da13 die Abbildung der Lichtquelle in die Eintrittspupille des Objektivs die maximal mogliche Beleuchtungsapertur bei nicht zu grofier Lichtquelle ermoglicht. Das Beleuchtungssytem wird auch hier Kondensor genannt. Nach Abb. 6.97 gilt bei erfiillter Sinusbedingung sinuK = -,h

(6.259)

aK

h sin& = a; '

(6.260) (6.261)

Division von G1. (6.259) durch G1. (6.260) und Einsetzen von uZ/aK nach G1. (6.261) ergibt mit den numerischen A p e m e n A K = sin uK, A; = sin uk (6.262) Die Bildweite bei der Projektion ist groB, so da13 das Objekt nahezu in der Brennebene des Objektivs steht. Es gilt angeniihert sinu;

=

-.Y

(6.263)

f6b

Aus G1. (6.262) und G1. (6.263) folgt

2yLAK = Y

(6.264)

worin k =f6b/2pp die Blendenzahl des Objektivs ist.

I

Das Produkt aus der Lichtquellengrofie und der Kondensorapertur ist bei vorgegebenem Format und vorgegebenem Objektiv konstant.

Beim Kleinbildformat 24 mm x 36 mm ist z. B. y = 21 mm, so daD mit einem Objektiv k = 3 2yLAK

7

sein mu13 (z. B. AK = 0,25, 2yL = 28 mm und

AK

= 0,7, 2yL = 10 mm).


62 1

Der Kondensor bildet ein relativ kleines Feld mit relativ grofien Apemen ab. Daraus ergibt sich, daR besonders

- der Offnungsfehler klein gehalten und -

die Sinusbedingung beachtet

werden mussen. Da es sich n u um die Abbildung der Lichtquelle in die Eintrittspupille handelt, sind die Forderungen im allgemeinen nicht so streng zu erfiillen. Hinsichtlich des Offnungsfehlers gilt die Korrektion als ausreichend, wenn die vom Achsenpunkt der Eintrittspupille aus zuriickverfolgten Strahlen die Lichtquelle ueffen (Abb. 6.98). Es ist im allgemeinen ZweckmhBig, die Lichtquelle aus ihrem paraxialen Ort herauszuriicken (Abb. 6.98). Ein vollstshdiger h r b l i c k wird erzielt, wenn zusStzlich die Bundel, die vom Rand der Eintrittspupille ausgehen, zuriickverfolgt werden. Es 1 s t sich eine Regel ablesen: Kleine Lichtquellen ermoglichen hohe Leuchtdichten, sie erfordern hohe Beleuchtungsapemen und gut korrigierte Kondensoren. Die Gleichmsigkeit der Ausleuchtung ist schwierig zu erreichen.

Abb. 6.98 Strahlenverlauf im Objektraum bei RuckwiWsrechnung

GroDe Lichtquellen stellen geringere Anforderungen aa das Beleuchtungssystem. Es sind nicht so hohe Leuchtdichten, aber leichter eine gleichmSige Ausleuchtung zu realisieren. Einzellinse. Bei nicht zu groRen Aperturen geniigt eine Einzellinse als Kondensor. Sie kann als Linse mit kleinem Offnungsfehler ausgebildet werden. Bei der duMm Einzellinse ( d = 0) muO die Durchbiegung Q

= Ln +( 2J +s F ’ )

(6.265)

betragen. Mit (6.266)

622


und s’ = a; =

f;(l-pK)

(6.267)

gilt (6.268) bzw. (6.269)

Oft lU3t sich auch eine Plankonvexlinse verwenden, deren konvexe Flache der groReren Schnittweite zugekehrt sein mul3. Mit einer geeigneten Brechzahl stellt die Plankonvexlinse zugleich die Linse minimalen Offnungsfehlers dar. Dabei kann es aber vorkommen, dal3 die erforderliche Brechzahl praktisch nicht zu realisieren ist. Zwei Linsen. Hohere Anforderungen lassen sich mit zweilinsigen Kondensoren erfiillen. Werden zwei duMe Linsen bei verschwindendem Abstand mit dem kleinsten Offnungsfehler verwendet, dann miissen beide gleiche Brechkraft haben:

(6.270)

Hodam hat fiir dicke Linsen durch trigonometrische Rechnung festgestellt, dal3 sich mit wachsendem Betrag des Abbildungsmdstabs das Brechkraftverhatnis 474’ geringfigig erhoht, und zwar bei Ip’I = 00 auf etwa 1,4, bei lpl=2 auf etwa 1,2 (Abb. 6.99). Fiir die bei Kon-

Abb. 6.99 Brechkraftverhdtnis als Funktion

Abb. 6.100 Kondensoren fiir verschiedene

des AbbildungsmaDstabs

AbbildungsmaOstabe

densoren im allgemeinen ublichen Abbildungsmal3stabe und bei Beriicksichtigung der durch die Dickeneinfiihrung entstehenden Veriinderungen ist das im Ansatz unwesentlich (Beispiele Abb. 6.100). Zwei zusammenfallende dunne Plankonvexlinsen bilden mit dem kleinsten Offnungsfehler ab, wenn ihre Brechkriifte so aufgeteilt werden, dal3 n + 2 4f’ n 2 - 1

F;=l F’

2

n

s 2n+l

n

(6.271)

623


bzw. (6.272) und (6.273) ist (Abb. 6.101a). Es ist z. B. fiir - f ' / s = 0,8

fiir - f ' / s = 0.5

und und

n=1,6: n=1,6:

&',IF' = 0,64; &',IF' = 0,5.

Abb.6.lOlb enthat den Fall der Abbildung ins Unendliche. G1. (6.272) gilt auch fiw dicke Linsen, bei denen H;und H2 zusammenfallen [20]. L

s

'J aJ

-

I

2,o n

s bi

Abb. 6.101 Brechkraftder erslen Plankonvexlinse a) als Funktion des AbbildungsmaDstabsund der ;3rechzahl, b) a l s Funktion der Brechzahl bei Abbildung ins Unendliche

Drei Linsen. Die Apertur kann zunikhst verringert werden, wenn vor die beiden Linsen eine dritte Linse gesetzt wird. Diese koMte plankonvex sein. Es 1iiRt sich aber auch ein aplanatischer Meniskus verwenden. Dieser hat die Radien (6.274). (6.275) AnschlieSend sind zwei Plankonvexlinsen moglich, deren Brechkraftverhilltnis wie bejm zweilinsigen Kondensor berechnet ist (Abb. 6.102).


624

Aspharische Linsen. Der Einsatz von asphiirischen Flachen ennoglicht es, Kondensoren ausreichender Bildgiite aus wenigen Linsen zu berechnen. Wegen des hoheren Fertigungsaufwandes wird das Bestreben dahin gehen, mit einer asph’drschen Flache auszukommen. Bereits mit einem Paraboloid, dessen Koordinaten durch den Scheitelradms bestimmt sind, lassen sich oftmals gute Strahlenvereinigungen erzielen. Abb. 6.103 enthiilt ein Beispiel fiir die Suahlenvereinigung bei einem dreilinsigen Kondensor mit einer Plan-Paraboloid-Linse, das Hodam angegeben hat [lo]. (Das Ausgangssystem mit sphiirischen Flachen ergab den Strahlenverlauf nach Abb. 6.98.) Weitere Variationsmoglichkeiten bieten Ellipsoid- oder Hyperboloidflachen. bei denen zwei Parameter variiert werden koMen.

LlhtWellenort

Abb. 6.103 Kondensor mit einer asphiirischen Flache (Riickwiirtsrechnung durch einen Kondensor nach Abb. 6.102, bei dem die vierte Flache ein Rotationsparaboloid ist)

Aus zwei asphiirkhen Linsen lassen sich ebenfalls Kondensoren aufbauen. Geht man vom Spezialfall achsparallelen Lichtes zwischen den Linsen aus, dann gilt fiir kleinen Offnungsfehler: Die Plan-Paraboloid-Linsen sollten aus Glas mit moglichst groRer Brechzahl bestehen (theoretisch n = 2) (Abb. 6.104a). Bei Ellipsddflachen an Plankonvexlinsen mit der Brechzahl n = 1,5 ist die groBe Halbachse 1,2f’, die kleine Halbachse 0,77 f’ zu wiihlen (Abb. 6.104b). (Die angegebenen Regeln wurden f i r dzs Seidelsche Gebiet dunner Linsen abgeleitet.) Die Korrektion von Offnungsfehler und Koma erfordern den Einsatz von zwei geeignet berechneten asph’drschen Flachen.

Wabenkondensor (Abb. 6.1%). Zur gleichmUigen Ausleuchtung mit kleinen, stark strukturierten Lichtquellen kann die Kombination eines iiblichen Kondensors mit einem Wabenkondensor verwendet werden. Der Kondensor bildet die Lichtquelle in die Eintrittspupille des Projektionsobjektivs ab. Hinter dem Kondensor steht eine Wabenlinse, die kleine kreisforrnige Bereiche tragt. Eine daran angepate Plane tragt ebenfalls eine groRere Anzahl von kleinen Linsen (es wird auch der Begriff der “Fliegenaugenlinse” verwendet). Jede dieser Linsen bildet ein Element der ersten Wabenlinse in die gesamte Eintrittspupille des Objektivs ab. Damit


625

wird erreicht, da6 das Licht von jedem Lichtquellenelement auf die gesamte Eintrittspupille verteilt wird.

Wobenl insen (StruMur schernatisch)

c c

Abb. 6.104 Zweilinsiger Kondensor a) Zwei Paraboloidflkhen,b) zwei EllipsoidWhen,

c) gIeichm2.BigeAusleuchtung bei einer kleinen Lichtquelle mit Wabenkondensor Zur Ausleuchtung eines rechteckigen Feldes muD die erste Wabenlinse rechteckige Elemente tragen. Die Fliegenaugenlinsen k0Mm auch aus einer Struktur von gekreuzten Zylinderlinsen bestehen, die wie in der Abb. 4.77 in zwei senkrechten Schnitten deselbe Bildweite haben. Damit wlire z. B. bei einem quadratischen Raster in der ersten Linse ein rechteckiges Feld auszuleuchten. Beleuchtung in fotolithogdischen Geriiten. Bei der Erzeugung feiner Strukturen mittels Projektionsfotolithografie werden sehr hohe Anforderungen an das Beleuchtungssystem gestellt. Die wesentlichen sind [%I: Beleuchtung mit schmalbandigem Licht ( A n = 20 nm) im kurzwelligen Spektralbereich ( 2 . B. A = 436 nm); Gleichmiif3igkeit der Beleuchtungsst&ke in Bildfeldern bis 150 mm Durchmesser f 2,5% genau; grol3e Beleuchtungsstiirke, damit trotz geringer Empfindlichkeit der lichtempfindlichen Fotolacke eine kleine Belichtungszeit moglich ist; Einstellbarkeit des Kohlirenzparametersim Bereich S = 0,65.. .0,8. Als gunstigste Strahlungsquelle hat sich die Quecksilberhiichstdrucklampe in Verbindung mit dielektrischen Umlenkspiegeln erwiesen, die das gewiinschte Wellenlhgengebiet bevorzugt reflektieren. Die geometrischen und stmhlungstechnischen Eigenschaften der Quecksilberhtichstdrucklampe (geringe zeitliche und raumliche Konstanz) legen es nahe, sie zur Beleuchtung mit einem Wabenkondensor abzubilden. Die grundlegende Anordnung enspricht derjenigen in der Abb. 6.104c.

626


Eine Variante zur besseren Ausnutzung des Lichtstroms der L a m p wird in [56] angegeben (Abb. 6.105). Sie ermoglicht die weitere Verringerung der Belichtungszeit. An dle Stelle des einfachen Hohlspiegels, der die Quelle angeniihert in sich abbildet, trin eine Anordnung aus zwei elliptischen Spiegeln El und E l , einem Ringspiegel R sowie einem Kegelspiegel K. Der Spiegel E l bildet den Bogen der Lampe in die Ebene bei A; ab, wobei kleine Offnungswinkel n

Abb. 6.105 Anordnung zur Erhiihung des nutzbaren Lichtstroms einer Quecksilber-

hijchstdrucklampe mit elliptischen Spiegeln (Erlluterung der Buchstaben im Text, nach [56]) nicht zum Tragen kommen, weil die Leuchtdichte-Indikatrix und die konstruktive Anordnung der Lampe dies verhindern. Dieser Mangel wird dadurch ausgeglichen, daO der Spiegel E 2 in A$ ein virtuelles Bild des Bogens erzeugt, das uber den Ringspiegel R und den Kegelspiegel K in die Ebene von A', abgebildet wird. Diese Ebene enthiilt damit die sekundiire Lichtquelle, die wie bei der Anordnung nach Abb. 6 . 1 0 4 ~mit Hilfe des Wabenkondensors in die Eintrittspupille des Objektivs transfonniert wird. A,, A,, A', und A; sind die geometrischen Brennpunkte der Ellipsen. Die nutzbaren Winkelbereiche betragen = 45", 0,= 25", 0, = 20". In [56] wird angegeben, daB gegenuber der urspriinglichen Anordnung mit einfachem Hohlspiegel der StrahlungsfluR um den Faktor 1,5 bis 2 erhtiht ist, je nach Alterung der Lampe. Scheinwerfer. Zur Beleuchtung weit entfernter Gegenstiinde oder fiir Signalzwecke werden Scheinwerfer verwendet. Sie stellen eine Leuchte dar, bei der mit optischen Bauelementen der von der Lichtquelle ausgesendete Lichtsuom in einen begrenzten Kaumwinkel konzentriert wird. Ab der fotometrischen Grenzentfernung, die sich aus GI. (5.22) zu Ppf' z' = -

YL

ergibt, erscheint bei erfiillter Sinusbedingung die Offnung des Scheinwerfers vollstiindig mit Licht ausgefiillt. Er stellt dann eine Leuchte dar, die die GroI3e der Freien Offnung des Scheinwerfers und die Leuchtdichte der Quelle hat. Auf der optischen Achse wird die Leuchtstiirke I = pnp2,L (6.276) erzeugt ( p Reflexionsgrad des Spiegels, bei Linsenoptik durch den Transmissionsgrad z zu ersetzen).

627


Die Lichtquelle sol1 moglichst klein sein, damit die Koma gering bleibt. Trotzdem ergibt sich eine natiirliche Streuung in den Winkel 2w, der von der Lichtquellengrok y, abhbgt und aus w=yL/f’ folgt. Das gilt aber nur bei erfiillter Sinusbedingung. Allgemein zeigt Scheinwerferoptik eine vom Winkel abhhgige Zonenstreuung 6 , = 2y,/ fl (fl“ZOnenbreMweite”, Abb. 6.106).

Abb. 6.106 Grtikn am Scheinwerferspiegel

Fiir groJ3e freie Offnungen werden Spiegel als abbildende Elemente genutzt. Fiir nicht zu hohe Anspriiche, z. B. fiir Handleuchten und Fahrzeugleuchten, koMen Metallspiegel eingesetzt werden. Ihren Nachteilen, wie geringe Genauigkeit und geringer Reflexionsgrad, stehen die Vorteile des niedrigen Preises und das Fehlen von Nebenreflexen gegenuber. Oberflachenspiegel eignen sich wegen des fehlenden Schutzes der reflektierenden Schicht weniger gut fiir Scheinwerfer. Deshalb sind Spiegellinsen bevorzugt (siehe 4.1.9). Dabei ist neben der Offnungsfehler- und Komakomektion auf das Zusammenfallen von Hauptreflex und Doppelreflex sowie evtl. noch hoherer Nebenreflexe zu achten. Der Manginspiegel (Abb. 4.66) hat keinen Vorderreflex, aber den Nachteil der groDen Randdicke, die zu chromatischen Abemtionen, groaem Gewicht und Temperaturspannungen fiihrt.Es sind deshalb Spiegellinsen mit deformierten Kugel- und Paraboloidflachen entwikkelt worden [58]. Beim Sphaoidspiegel ist die sphMsche Vorderflache so abgewandelt. daR die Rmddicke verringert ist. Er ist relativ billig, hat aber stiirende Nebenreflexe. Der gunstigste Scheinwerferspiegel (R-Spiegel von Zeiss), bei dem der Offnungsfehler korrigiert ist und smtliche Nebenreflexe mit dem Hauptreflex zusammenfallen, besteht aus einer parabolischen Vorderfltiche und einer defonnierten parabolischen Spiegelflkhe. Bei nicht zu groDem Offnungsverhiiltnisfiir Signalzwecke und Biihnenscheinwerfer eignen sich sphikisch und evtl. chromatisch korrigierte Linsensysteme. Der nutzbare Offnungswinkel betragt beim einfachen Achromaten 2u = 30” (Abb. 6.107a), beim Zusatz eines Meniskus 2u = 60” (Abb. 6.107b), bei der Kombination aus Meniskus und asphMscher Linse 2u = 90” (Abb. 6.107~).

a)

b)

C)

Abb. 6.107 Linsenobjektive fiir Scheinwerfer a) Achromat, b) Achromat mit Meniskus, c) Meniskus mit asph;irischer Lime

628

6 Optische Insrrumente und Svsteme

Fiir diffuse Biihnenbeleuchtung koMen Streuscheiben oder defokussierte Lmpen verwendet werden. Die Beleuchtung einer kleinen Szene mit scharf begrenztem Rand entspricht der Projektion einer kreisformigen Blende auf grol3e Enffernungen. Dazu kann ein abgewandeltes Cassegrain-Objektiv aus einem Manginspiegel als Hauptspiegel und anstelle des hyperbolischen Fangspiegels einem “zerstreuenden Manginspiegel” denen (Abb. 6.108).

Abb. 6.108 Projektionsobjektiv aus zwei Manginspiegeln

6.5.2

Achromatische Fotoobjektive

Die dunne Einzellinse. Wir untersuchen die Eigenschaften der duMm Einzellinse, weil das Bestreben stets darauf gerichtet ist, die gestellte Aufgabe mit einem moglichst geringen Aufwand zu losen. Aul3erdem stellt die Einzellinse das Funktionselement fiir mehrlinsige Fotoobjektive dar, so dal3 die Kenntnis ihrer Eigenschaften auch fiir das VersWdnis der Wirkung komplizierter Systeme nutzlich ist. In Abb. 6.109 sind fiir eine duMe Einzellinse (d = 0) mit ~ = - m , n = 1,5 und F’ = 1 mm-’ folgende fiir das Seidelsche Gebiet giiltige GroSen als Funktionen der normierten Durchbiegung Q, = Q/F’ dargestellt:

Fiir die Gebiete Q, I- 3 und Q, 2 6 ist die Entfernung der Eintrittspupille von der Linse angegeben, bei der der Astigmatismus verschwindet. Im Interval1 -3 < Q, < 6 gibt es keine “astigmatismusfreie Eintrittspupille”. Fiir diesen Bereich ist die Enffernung der Eintrittspupille eingetragen, bei der der Astigmatismus ein Minimum hat. - Fiir die Linse mit der astigmatismusfkeien Eintrittspupille mit der kleineren Schnittweite sPo sind der Astigmatismuskoeffizient C,, der KomakoeKizient K O und der Veneichnungskoeffizient E, dargestellt. Der Index “Null” deutet an, daB s-tliche Koeffizienten auf die Brechkraft 1 norrniert sind. C, K Ound Eo sind ein MaO fiir die Grol3e der Abweichungen, die durch die einzelnen Abbildungsfehler im Seidelschen Gebiet hervorgerufen werden. - Der Offnungsfehlerkoeffizent B,, der unabhhgig von der Eintrittspupillenlage ist, ist ebenfalls in der Abb. 6.109 enthalten. -

Der Abb. 6.109 ist zu entnehmen: Die duMe Einzellinse mit dem Offnungsfehlerminimum hat starken Astigmatismus. Die Gleichmaigkeit der Korrektion fiir das gesamte Bildfeld erfordert einen Kompromil3 zwischen der Korrektion des Offnungsfehlersund des Astigmatismus. Es ist also notwendig, die Durchbiegung der Linse so zu wiihlen, dal3 der Offnungsfehler nicht minimal ist. Das ist aber in der Umgebung des Minimums nicht so kritisch.

6.5 ODtische Svsteme

Abb. 6.109 Grlikn fiir die diinne Linse im Seidelschen Gebiet

629

630


Aus Abb. 6.109 folgen zwei Formen dunner Linsen, die fiir die fotografische Abbildung gunstig sind. Astigmatismus- und komafrei bei nicht zu grol3em Offnungsfehler sind die dunne Linse mit der Durchbiegung Q,=-3 und dem Abstand der Eintrittspupille sPo= -0,33 sowie die dunne Linse mit der Durchbiegung Q, = 6 und dem Abstand der Eintrittspupille sPo= 0,22. Die zuerst genannte Linse ist plankonvex und hat eine Vorderblende, die zweite Linse ist ein nach der Bildseite konkaver Meniskus mit Hinterblende. Wir untersuchen die Linse mit der Durchbiegung Qo= - 3 und dem Abstand der Eintrittspupille sPo= -0,33 genauer. Auf die Brennweite f' = 100 mm umgerechnet erhalten wir Q = 3 lo-' mm-' und sp= -33 mm. Der auf die Brechkraft 1 bezogene Offnungsfehlerkoeffizient betragt nach Abb. 6.109 Bo = 9. Ohne Beweis geben wir an, daR die Querabweichung in der GauSschen Bildebene bei Offnungsfehler dritter Ordnung und s = --oo aus (6.277) folgt. Daraus erhalten wir mit f' = 100 mm, k = 12,5 und Bo = 9 die Querabweichung Ay' = 0,0288 mm. Der Zerstreuungskreis hat den Durchmesser 21 Ay'/= 0,0576 mm. In der um 6' = -0,36 mm vor der Gaaschen Bildebene liegenden Auffangebene betragt der Zerstreuungskreisdurchmesser 21( Ay')b" = 0,0144 mm. Die auSeraxialen Bildpunkte liegen wegen der Astigmatismusfreiheit auf der Petzval-Schale. Deren Kriimmung betragt (6.278) woraus r, = -150 mm folgt. Ohne Beweis sei fiir diesen Fall die Formel fiir die Querabweichung in der GauDschen Bildebene angefiihrt: (6.279) Daraus ergibt sich, daR der Zerstreuungskreis in den Ecken des Formats doppelt so groR wie auf der optischen Achse ist [Ay' nach GI. (6.279) gleich Ay' nach GI. (6.277), die Querabweichungen addieren sich im Seidelschen Gebiet], wenn wir y' I14,7 mm wiihlen. Der ausnutzbare Objektwinkel ergibt sich daraus zu 2w = 17". Die relative Querabweichung durch Verzeichnung dritter Ordnung (s = - 00 )

Lsy' = Y'

1 Y'2 Eo 2 f'2

(6.280)

hat bei y' = 14.7 mm den Wert 100,Ay'/y' = - 1,08%, es liegt tonnenformige Verzeichnung vor (der Abb. 6.109 entnehmen wir Eo =0,56). Mit einem Kronglas der Abbeschen Zahl v=60 fihrt der Farblhgsfehler zu einer Schnittweitendifferenzzwischen C' und F' von ALs' = s;. - s& = -1,7 mm. Mit einer Linse aus hoherbrechendem Glas sind noch etwas gunstigere Werte als in unserem Beispiel moglich. Die geringen Linsendicken, die bei den kleinen in Frage kommenden Offnungsverhiiltnissen notwendig sind, iindern das Ergebnis nicht grundlegend ab. Wir fassen zusammen:


I

63 1

Mit einer duMm Einzellinse geeigneter Durchbiegung und Blendenlage ist eine brauchbare Abbildung zu erzielen, wenn das Offnungsverhiiltnis etwa auf 1:10 und der Objektwinkel etwa auf 25" begrenzt bleiben.

Dicke Einzellinsen. Linsen mit gro6er Dicke kommen als Einzellinsen zur fotografischen Abbildung im allgemeinen nicht vor. Sie sind aber oft wesentliche Grundelemente in mehrlinsigen Systemen. Zwei Formen sind besonders ausgezeichnet. Der Hoeghsche Meniskus hat verschwindende Petzval-Summe. Er stellt eine dicke Lime dar, bei der beide Flachen gleichen Radius haben. In bestimmten Fiillen l a t sich der Hoeghsche Meniskus mit einer geeigneten Lage der Offnungsblende als anastigmatische Einzellinse ausbilden. Die ubrigen Abbildungsfehler sind jedoch vorhanden, so daf3 der Hoeghsche Meniskus als Einzellinse nicht gut verwendbar ist. Der konzentrische Meniskus. Eine Linse, d e m Flachen konzentrisch zur Offnungsblende liegen, ist koma-, astigmatismus- und verzeichnungsfrei. Die Petzval-Schale liegt ebenfalls konzentrisch zur Offnungsblende. Die Brechkraft betragt

(6.28 1) Fiir rj < 0 und fiir r, > 0 bei d < q erhalten wir eine Zerstreuungslinse, die wegen ihrer negativen Petzval-Summe in mehrlinsigen Systemen venvendet wird, wenn auch meistens in etwas abgehderter Form.

Achromate. Der Farbltingsfehler 1 s t sich mit zwei verkitteten Linsen korrigieren. Wenn die beiden Linsen gleiche Brechzahl haben, bleiben die ubrigen Abbildungsfehler der Einzellinse in ihrer Grol3e erhalten. Die Maf3stabsbedingung fiir zwei duMe zusammenfallende Linsen

F' = F,'+F;

(6.282)

und die Dichromasiebedingung (6.283) legen die Brechkrtifk eindeutig fest. Aus G1. (6.282) und G1. (6.283) folgt

v, (6.284a. b)

(6.285a, b) Fiir v2 > v, ergibt sich die Anordnung Zerstreuungslinse - Sammellinse, iiir v2 < v, die um-

gekehrte Anordnung. Es gilt:

I

Kleine Einzelbrechkrtifk und damit kleine Krtimmungen erfordern ein v2/v1-VerMtnis, das moglichst stark verschieden von 1 ist.

6 Optische Instrutnente und Systeme

632

Die Efillung der Dichromasiebedingung gewiihrleistet, dal3 die paraxiale Schnittweite fiir jeweils zwei Farben gleich ist. Wegen der hohen Empfindlichkeit der Fotoschichten im kurzwelligen Spektralbereich legt man die Schnittweite fiir d und g zusamrnen. Diese Dichromatisiemng reicht fur Fotoobjektive im allgemeinen aus. Die Auswahl von Glkern mit gleicher Brechzahl und sehr verschiedener Abbeschen Zahl ist schwierig. Im allgemeinen haben die Glker mit einer grol3en Abbeschen Zahl eine kleine Brechzahl und umgekehrt. Es ist deshalb in einem Dichromaten normalerweise notwendig, daR die Sammellinse eine niedrigere Brechzahl hat als die Zerstreuungslinse. Damit ist auch eine hderung der geometrischen Abbildungsfehler gegeniiber der Einzellinse verbunden. Der Meniskus mit Hinterblende enthat eine konkave Kittflache. Wegen n, c n2 wirkt diese zerstreuend. Sie verbessert damit &e Offnungsfehlerkorrektion.Wir koMen also auch absichtlich unterschiedliche Brechzahlen einfiihren und den Offnungsfehler korrigieren. Dann darf v2/v, nicht extrem stark von 1 abweichen, weil sonst die Zerstreuungslinse eine zu kleine Brechhafterhat und den Offnungsfehler der Sammellinse nicht ausgleichen kann. Da es bereits vor der Eroffnung der Jender Glashutte Gliiser gab, bei denen eine kleine Brechzahl mit einer groDen Abbeschen Zahl und umgekehrt gekoppelt waren, nennt man einen hinsichtlich Offnungsfehler und Koma korrigierten Dichromaten einen Altachromaten.

I

Eine zerstreuende Kittflache ist ein Mittel zur Offnungsfehlerkorrektion. Ein Altachromat ist ein Dichromat, dessen Offnungsfehler unter Zuhilfenahme einer zerstreuenden Kittflkhe korrigiert wurde.

Die Kittflache verschlechtert allerdings die Abweichungen, die durch die Feldfehler hervorgerufen werden. Die Petzval-Summe fiir das System aus dunnen Linsen betragt (6.286) Mit G1. (6.282) eliminieren wir F;:

(6.287)

Die Petzval-Summe ist also bei einem Dichromaten mit n, > n, groRer als bei einer Einzellinse mit der Brechzahl n 2 . Ein achromatisches Objektiv, bei dem aber wegen des geringen Brechzahlunterschieds

der Linsen der Offnungsfehler nicht auskorrigiert war, stellte das Frontar dar. Es hatte ein Offnungsverhiiltnis K = 1 : 9 und w d e mit dem Objektwinkel 2w=34" benutzt (Abb. 6.110).

633


6.5.3

Aplanatische Fotoobjektive

Bereits den Ausfiihrungen in 6.5.2 ist zu entnehmen, daD es mit alten Glhern schwierig ist, die Petzval-Summe der Objektive klein zu halten. Die Bildfeldw6lbung der Objektive kann also nicht durch eine geeignete Auswahl dieser Glher behoben werden. Obwohl es andere Mtiglichkeiten gabe, auch mit alten Glhern eine kleine Petzval-Summe zu erreichen, wurden Objektive ohne Bildfeldwolbung vie1 verwendet. Ein System, dessen Offnungsfehlerund Koma korrigiert ist, das aber Bildfeldwolbung hat, nennen wir einen Aplanaten.

I

Wir behandeln drei Grundformen der Aplanate. Simplet. Aplanatische Simplets. die gleichzeitig auch Achromate sind, haben wir im Prinzip bereits in 6.5.2 untersucht. Sie eignen sich wegen der starken Bildfeldwolbung und wegen des Astigmatismus schlecht als “Landschaftslinsen”. Fiir Fernobjektive sehr langer Brennweite. bei denen der Objektwinkel klein ist, werden sie gelegentlich eingesetzt. Sie haben dann ein relativ kleines Offnungsverhiiltnis. Das Petzval-Objektiv ist ein Aplanat vom Dublettyp. Es besteht aus zwei Dichromaten. die einen grofleren Abstand voneinander haben. Der objektseitige Dichromat hat eine Kittflache, der bildseitige nicht (Abb. 6.11 1). Das Objektiv ist bemerkenswert, weil es bereits 1840 von

.-.#

Abb. 6.111 Petzval-Objektiv

Petzval mit der Theorie der Abbildungsfehler dritter Ordnung berechnet wurde. Es hatte das bis dahin noch nicht erreichte OffnungsverMtnis K = 1: 3.4. Die beiden Glieder des PetzvalObjektivs sind sammelnd. Es ergibt sich eine Brechkraftaufteilung auf Vorder- und Hinterglied, so daS das Offnungsverhiiltnis fiir das Vorderglied kleiner 1st als fiir das gesamte System. Vorder- und mnterglied sind einzeln im Offnungsfehler korrigiert. Das Hinterglied kompensiert die Koma und den Astigmatismus des Vordergliedes. Beide Glieder bestehen aus Altdichromaten, deren Petzval-Summe nicht verschwindet. Die Petzval-Summen der Glieder addieren sich wegen deren positiver Brechkraft. Das Petzval-Objektiv hat deshalb eine stiirkere Bildfeldwolbung als eine Einzellinse, so daL3 das ausnutzbare Bildfeld klein ist. Auch die grab Bauliinge scden Bildwinkel ein, weil Randabschattung eintritt. Durch das kleine Bildfeld und das relativ gro6e Offnungsverhiiltnis bei sehr guter Korrektion des Offnungsfehlers eignete sich das Petzval-Objektiv als “Porb-iitobjektiv”. In Abwandungen ist die Bildfeldwillbung etwas verbessert worden, so da6 auch Ausfiihrungsformen mit gegenuber dem Original vergrijflertem Bildfeld existieren. Doppelaplanate. Bei der Behandlung der Abbildungsfehler hatte sich folgendes ergeben:

Ein System, das symmetrisch zur Offnungsblende aufgebaut 1st und mit dem MaBstab = - 1 abbildet, ist frei von Koma, Verzeichnung und Farbfehler des Hauptstrahls. Der Astigmatismus laiDt sich bei geeigneter Wahl der Systemhaften durch die Lage der Offnungsblende beheben.

,

6 Ovtische Instrumente und Svsleme

634

Bei der Benutzung des symmetrischen Systems fiir einen anderen AbbildungsmaSstab als p’ = - 1 (z. B. p’ = 0) treten Koma, Verzeichnung und Farbfehler des Hauptstrahls in Erscheinung. Aber bei nicht zu grol3em Offnungsverhdtnis bleibt eine befriedigende Korrektion erhalten.

Abb. 6.112 a) Periskop von Steinheil, b) Landschaftsaplanat von Steinheil

Eines der ersten Fotoobjektive auf der Basis der symmetrischen Systeme stellte das Periskop von Steinheil dar (Abb. 6.112a). Es besteht aus zwei symmetrisch zur Blende stehenden Menisken. Offnungsfehler und Farblhgsfehler sind nicht korrigiert, es handelt sich also weder um einen Aplanaten noch um einen Dichromaten. Der Astigmatismus ist durch die Blendenlage so beeinflat worden (uberkorrigiert worden), daR die mittlere Bildschale nur schwach gewolbt ist.

I

Die Ebnung der mittleren Bildschale in einem System, das Astigmatismus besitzt, wird “Bildfeldebnung im ubertragenen Sinne” genannt.

Das Periskop konnte zwar nur mit dem Offnungsverhdtnis 1:40, aber mit dem fiir die damalige Zeit (1865) groRen Objektwinkel 2w = 90” benutzt werden. In einem symmetnschen Dublet ist der Farblhgsfehler korrigiert, wenn beide Glieder aus Dichromaten bestehen. Die Korrektion des Offnungsfehlers in den Gliedern ermoglicht ein groSeres Offnungsverhdtnis, auch bei AbbildungsmaOstaben p’ # - 1. Die dazu notwendlge zerstreuende Kittflache beeintluWt jedoch die Astigmatismuskorrektion ungunstig. Es ist deshalb ublich gewesen, Portratobjektive mit verbesserter Offnungsfehlerkorrektion und Landschaftsobjektive mit verbesserter Astigmatismuskorrektion bei nicht so grol3em Offnungsverhdtnis zu entwickeln. Ein Beispiel ist der Landschaftsaplanat 1: 1 0 3 , 2w = 60” von Steinheil (Abb. 6.1 12b). Die Kittflache wirkt nur schwach zerstreuend, weil an ihr die Brechzahldifferenz klein ist (An = 0,0356). Der wenig von 1 abweichende Quotient v2/v1= 0,87 der beiden Gliiser eines Gliedes bedlngt groRe Brechkrilfte. Durch die Korrektion der Glieder eines symmetrischen Dublets konnen diese auch ganz gut fiir sich allein benutzt werden. Es besteht die Moglichkeit, verschiedene Brennweiten anzuwenden (Satzobjektive).

6.5.4

Anastigmatische Fotoobjektive

Die bisher behandelten optischen Systeme haben merkliche Bildfeldwolbung, weil bei ihnen die Petzval-Bedingung nicht erfiillt ist. Wir wollen nun die Bedingungen untersuchen, die im Ansatz eines Anastigmaten aus zwei dunnen zusammenfallenden Linsen zu verwenden sind.


635

Grundsatzlich gilt: Bei einem Anastigmaten, also bei einem System, bei dem Astigmatismus und Bildfeldwtilbung korrigiert sind, muI3 bereits im Ansatz die Petzval-Bedingung beriicksichtigt werden.

I

Fiir ein anastigmatisches Simplet aus zwei dunnen Linsen, das au5erdem dichromatisiert ist, gelten die Ansatzbedingungen F' = F;'+F;

(MaRstabsbedingung),

(6.288)

(Dichromasiebedingung),

(6.289)

(Petzval-Bedingung).

(6.290)

Die Aquivalentwerte n und v mussen ausreichende Groae haben (beispielsweise l / n = 0,3, l/ v = 0,003). Die drei Gleichungen fiir die Brechkriifte der beiden Linsen haben nur dann eine nichttriviale Losung, wenn

=o

(6.291)

ist. Die Aufltisung von G1. (6.291) ergibt

---

1 1 1 nl n2 1 - = -1 V n _1 - _ VI

+

-1

-1

n2v1

n1v2

vz

1

1

Vl

v2

~ '

(6.292)

Aus G1. (6.292) ist abzulesen:

I 1,443 0,7

In einem l/n-l/v-Diagramm liegen die PUnMe mit den Koordinaten ( l / n l , l/v,), ( l / n z , l/v2) und ( l / n , l/v) auf einer Geraden (Abb. 6.113). Im Feld der K llegt auch BaLK, i m Feld derKF, BaF, BaLF und BaSF liegen KzF und KzFS,

2,0 0,s

Abb. 6.113 l/n-l/v-Diagramm der optischen G l k r

636


Schwenkt man im l / n - 1/ v-Diagramm ein Lineal um den Punkt mit den vorgegebenen Koordinaten (l/n , l/v), dam ergeben siimtliche auf den dadurch festgelegten Geraden liegende Glaser diese Aquivalentwerte. Fiir l/n = l/v= 0 geht GI. (6.292) in (6.293) iiber. In diesem Fall mu13 die Gerade im l/n - 1/ v-Diagramm, auf der die Glker liegen, durch den Ursprung gehen. Die Brechkrafte folgen, wenn GI. (6.292) erfiillt ist, aus G1. (6.288) und G1. (6.289). Wir erhalten (6.294a, b) Ein Wert v < 00 verringert die Brechkriifte gegeniiber denjenigen fiir v = 00. Solange v B v, und v >> v, gilt, bleibt jedoch im wesentlichen der Quotient vz/vI bestimmend fur die Brechkriifte. Es ist schwierig, kleine Brechkriifte zu erreichen, weil die durch GI. (6.202) bestimmte Gerade sehr steil ist und quer zum schmalen Bereich der optischen Glber im l/n-l/v-Diagramm verlauft. Im allgemeinen sind d e realisierbaren Quotienten v 2 /v, nicht sehr verschieden von 1. Es sind Glker notwendig, die bei einer grol3en Brechzahl eine groRe Abbesche Zahl haben, und Glker, die bei einer kleinen Brechzahl eine kleine Abbesche Zahl haben. Derartige Glker wurden erstmalig von Schott auf Anregung von Abbe erschmolzen. Sie werden “neue Glaser” genannt, wobei sich dies auf die Situation Anfang unseres Jahrhunderts bezieht. Insbesondere eignen sich Schwerkrone und Leichtflinte. Heute sind die Lanthankrone, Lanthanflinte und Tiefflinte besonders geeignet. Ein dichromatisches Simplet mit kleiner Petzval-Summe hat au13er dem Nachteil relativ grol3er Brechkriifte noch den Nachteil einer sammelnden Kittflache. Dadurch wird die Offnungsfehler-Korrektion erschwert. Sie ist im Seidelschen Gebiet nur fir bestimmte Parameter moglich.

I

Ein Dichromat aus “neuen Glasern”, dessen Offnungsfehler trotz der sammelnden Kittflache korrigiert ist, ist ein Neuachromat.

Ein anastigmatisches Simplet entsteht, wenn der Astigmatismus minels einer geeigneten Lage der Offnungsblende beseitigt wird. Ein solches System l a t sich jedoch nicht gleichzeitig hinsichtlich Offnungsfehler und Koma korrigieren. Es sind im allgemeinen alte und neue Gliiser miteinander zu kombinieren. Andstigmate vom symmetrischen Dublettyp. Es liegt nahe, die gunstigen Eigenschaften, die ein Doppelaplanat hat, fiir den Aufbau eines Anastigmaten zu nutzen. Dazu ist es notwendig, die Petzval-Summe der symmetrisch zur Offnungsblende angeordneten Systemhdften klein zu halten. Damit ist das Prinzip der symmetrischen Anastigmaten gegeben:

I

Im symmetrischen Anastigmaten sind die Koma, die Verzeichnung und der Farbfehler des Hauptstrahls fiir den Abbildungsmdstab p’ = - 1 durch den symmetrischen Aufbau korrigiert.


I

637

Die Petzval-Summe der beiden Glieder ist klein, und der Astigmatismus ist mittels eines geeigneten Abstandes der Glieder von der Offnungsblende komgiert.

Beim Hoeghschen Meniskus ist die Petzval-Summe gleich 0. Zwei Hoeghsche Menisken, die mit ihren konkaven Hachen der Blende zugekehrt sind (wegen der Astigmatismuskorrektion), ergeben also einen symmetrischen Anastigmaten. Ein derartiges System stellt das im Jahre 1900 von Hoegh angegebene Hypergon dar (Abb. 6.114a). Offnungsfehler und Farblugsfehler sind nicht komgiert, so daD das OffnungsverhNtnis auf 1 : 4 0 beschrshkt bleibt. Die gute Korrektion der “Feldfehler” erlaubt Objektwinkel 2w=140°; es handelt sich also um ein Weitwinkelobjektiv. Zur Korrektion des Offnungsfehlers und des Farblugsfehlers miissen die HNften des symmetrischen Anastigmaten mindestens aus zwei Linsen bestehen. Der Einsatz zweier Neuachromate mit Kittflache ist wegen der geschilderten Nachteile hinsichtlich der Offnungsfehlerkorrektion schwierig. Unverkittete zweilinsige Glieder sind jedoch moglich. So entsteht z. B. der Doppelanastigmat von Hoegh (1898). der fiir K = 1 :7,6 und 2w = 60” ausgelegt war (Abb. 6.1 14b).

Abb. 6.114 a) Hypergon, b) hppelanastigmat, c) Omnar, d) Dagor

Aber auch mit alten Gliisern ist ein Anastigmat aufzubauen, wenn die beiden Linsen jedes Gliedes einen merklichen Abstand voneinander haben. Strenggenommen liegt dann kein Dublettyp, sondern ein Quadruplettyp vor. Fiir ein Glied gelten (bei n = v = =) die Ansatzbedingungen 4’ = 4; +w&, (6.295) (6.296)

4; 4; 0 = -+-, n12

(6.297)

n12

woraus (6.298)

6 Outische Instrumente und Svsteme

638

folgt. Stan G1. (6.293) ist also die weniger strenge Forderung o2

Vll

12

v12

= n,l

(6.299)

n12

mit Hilfe einer geeigneten Glasauswahl zu erfiillen. Bei vlI = 1,5Vl2ist mit wI2= 1 die Relation n l l = 1,5n1, notwendig, bei w12= 0,8 dagegen nur rill = 0,96n12,was mit alten Glhern moglich ist. Ein Beispiel fiir diese Ausfhhmng des symmetrischen Anastigmaten ist das Omnar von Busch mit K = 1 :4,5, bei dem v,,/v12 = 1,76, tlll/nl2= 0,93 ist (Abb. 6.1 14c). In iilteren Formen des symmetrischen Anastigmaten sind die Glieder dreilinsig mit einer sammelnden und einer zerstreuenden Kittflache (Kopplung von Alt- und Neuachromatenj. Die Kittflachen waren notwendig, weil die Entspiegelung noch nicht bekannt war und deshalb Glas-Luft-Flachen unerwunschte Reflexe mit sich bringen konnten. Die Abb. 6.1 14d zeigt als Beispiel das Dagor von Hoegh (1892), das fir K = 1: 13 und 2w = 70" verwendbar war. Die Vorrechnung eines zweilinsigen Simplets ergibt zwei Losungen, deren prinzipielle Linsenanordnung in Abb. 6.115a und Abb. 6.115b enthalten sind. Abb. 6.115a stellt ein System dar, wie es von Fraunhofer als Fernrohrobjektiv eingesetzt wurde. Das System nach Abb. 6.115b ist von Gaul3 als Femrohrobjektiv angegeben worden. Es hat den Vorteil eines kleinen GasFehlers. Wegen der starken Kriimmungen ist es jedoch schwer zu fertigen, insbesondere zu zentrieren. Die Komakorrektion bereitet Schwierigkeiten.

Zwei symmetrisch zur Offnungsblende angeordnete GauBsche Femohrobjektive ergeben das Grundsystem fiir die Anastigmate vom Gad-Typ. Bei diesem ist allerdings die Dicke der Menisken, die der Blende benachbart sind, oft wesentlich groDer als beim Fernrohrobjektiv. Dadurch ist die Beseitigung der Petzval-Wolbung in den Gliedern leichter miiglich (es sind die giinstigen Eigenschaften des konzentrischen Meniskus angeniihert iibertragen). Ein Beispiel fiir das symmetrische Gad-Objektiv ist das Omnar (Abb. 114c). Anastigmate vom unsymmetrischen Dublettyp. Bei groDen Offnungsverhtdtnissen ist der symmetrische Aufbau ungunstig, wenn der AbbildungsmaRstab stark von p' = 1 abweicht. Deshalb sind unsymmetrische Dublets entwickelt worden, die in der Grundtendenz noch wesentliche Zuge des symmetrischen Anastigmaten besitzen. Besonders deutlich zeigt sich dies beim Topogon von Zeiss (Abb. 6.116aj, bei dem die erste und die letzte Linse geringfugig verschiedene Radien und Dicken haben. Es handelt sich um ein Weitwinkelobjektiv mit korrigiertem Offnungs- und Farbltingsfehler. Das Topogon w d e wegen seiner kleinen Verzeichnung auch als Luftbildobjektiv verwendet. Es gab z.B. eine Ausfiihrungsform mit

-


639

K = 1:6,3 und 2w = 100" sowie eine Ausfiihrung flir Kleinbildaufnahmen mit K = 1:4, 2w = 82" und f' = 25 mm. Auch das Orthometar von Merte (1926) hat etwas verschiedene dreilinsige Glieder mit einer Kittfltiche (K = 1:4 3 , 2w = 70"). Vom symmetrischen GauR-Typ leitet sich das Planar K =1:3,3, 2w=50° ab (Abb. 6.116b), bei dem nur die letzte und die erste Fltiche etwas verschiedene Radien haben. Das Planar kann als das Ausgangssystem der unsymmetrischen Anastigmate vom GauS-Typ angesehen werden. Es besitzt die typischen dicken Menisken, die ihre konkave Flache der Blende zukehren und im allgemeinen eine Kittflache haben. Dazu kommen die beiden objekt- bzw. bildseitigen Sammellinsen, die oft wenig von der plankonvexen Form abweichen. Fiir groSe Offnungsverhiiltnisse ist der GauR-Typ besonders ausgezeichnet. Die abbildenden Strahlen werden an vielen Fltichen gebrochen, wobei die Einfallswinkel an den meisten Flachen klein bleiben. Der Offnungsfehler ist deshalb mit kleinem Zonenfehler korrigierbar. Auch der Hauptstrahl hat an den einzelnen Flachen kleine Einfallswinkel, was gunstig fiir die Astigmatismuskomktion ist. Die Symmetrie geht bei groDen Offnungsverhiiltnissen und p' # - 1 vollig verloren. so daR die Voraussetzungen fiir die Komakorrektion ungunstiger als bei symmetrischen Systemen sind. Ein bekanntes Objektiv vom Gad-Typ war das Biotar, z.B. mit K = 1: 1,4, 2w = 35' von Zeiss, das allerdings nicht mehr gefertigt wird (Abb. 6.116~). Eine Weiterentwicklung des GauS-Typs in Richtung von Systemen mit extremem Offnungsverhiiltnis ist z. B. das R-Biotar K = 1:0,85, 2w = 32" (Abb. 6.116d), das fiir Oszillografen- und Rontgenbildschirmaufnahmen verwendet wird. Die Bildfeldebnung wird durch eine Smyth-Linse unterstiitzt. Diese stellt eine Zerstreuungslinse dar, die direkt vor der Bildebene steht und deren Petzval-Summe etwa entgegengesetzt gleich der Petzval-Summe des ubrigen Objektivs ist. Die Smyth-Linse wirkt sich nur in einer Verringerung der Petzval-WB1bung aus, weil bei ihr wk = 0 ist und in s-tlichen Ansatz- und Vorrechnungsbedingungen, auRer in der Petzval-Bedingung, der ihr zugeordnete Summand verschwindet. Da die SmythLinse mindestens den Durchmesser des Bildfeldes haben muB, ist sie schwer und konstruktiv ungunstig. Die Lage in der Bildebene bringt den Nachteil mit sich, daR Blasen in der Linse und Staub auf der Oberfltiche im Bild zu sehen sind. Bei den Flektogonen von Carl Zeiss Jena ist vor eine Gad-Variante in groaerem Abstand ein zerstreuender Meniskus gesetzt. Es entsteht ein Objektiv mit langer Schnittweite. Als Beispiel diene das Flektogon K = 1 :2.8. 2w = 63". f' = 35 mm (Abb. 6.1 16e). Auch das Petzval-Objektiv 1B;Bt sich zu einem unsymmetrischen Anastigmaten vom Dublettyp ausbauen. Es muB dann aus Gliedern mit kleiner Petzval-Summe zusammengesetzt werden, indem in diesen moderne Glber oder auch mehr als zwei Linsen zur Anwendung kommen. Ein weiteres Beispiel fiir die unsymmetrischen anastigmatischen Dublets ist das Teleobjektiv. Durch den Aufbau aus einem sammelnden und einem zerstreuenden Glied hat es gunstige Voraussetzungen fiir die Erfiillung der Petzval-Summe, ohne deren Korrektion in den Gliedern zu erfordern. Eines der ersten Teleobjektive war das Bistelar von Busch (K = 1 : 11, 2w = 36"), fiir das = 0,625.5' gilt (Abb. 6.1 160. Heute werden Teleobjektive fiir fotografische Zwecke nur noch selten gefertigt, weil die Verkiirzung der Schnittweite nicht so erheblich ist und sowohl die Offnungsfehler- als auch die Verzeichnungskorrektion schwierig ist. Bei Offnungsverhliltnissen K = 1:5 reicht der einfache Aufbau aus zweilinsigen Gliedern nicht aus. Fiir Kleinbildaufnahmen mit Brennweiten f' < 500 mm sind Fernobjektive auf der Basis der noch zu behandelnden Sonnare geeignet. Etwa ab Brennweite f' = 500 mm sind Spiegelobjektive vorteilhafter.

640


Abb. 6.116 a) Topogon, b) Planar,c) Biotor, d) R-Biotor, e) Flektogon, f) Bistelar, g) Prakticar 1,4/50, h) Prakticar 2,4/28, i) Canon-Fischaugenobjektiv 5,6/7,5, j) Canon-Superweitwinkelobjektiv4/17

6.5 Ootiscbe Svsteme

641 ~

~~

Die Anastigmate fiir die Kleinbildfotografie sind sthdig weiterentwickelt worden. Teilweise sind neue hochbrechende Glher eingesetzt worden, teilweise errnaglichen die rechnergestiitzten Methoden der Optik-Konstruktion bessere Parameter. Beispiele sind die Prakticare von Carl Zeiss Jena, von denen Abb. 6.116g und 6.116h zwei Beispiele zeigen. Im Prakticar 1,4/50 ist z. B. in der fiinflen und sechsten Linse hochbrechendes Kronglas, in der siebenten Linse Lanthanflint enthalten. Fiir spezielle Fiille sind die Objektive mit Innenfokussierung (Einstellen auf endliche Entfernung durch Verschieben einer Linse oder Linsengruppe) oder mit der Einstellung der Bildgute auf die Abbildung naher Objekte durch die Verschiebung von Linsengruppen ausgeriistet (Floatingobjektive). Fischaugenobjektive (Fisheye-Objektive) bilden den gesamten Halbraum ab. Sie erfassen demnach den Objektwinkel 2w = 180". Damit stellen sie extreme Weitwinkelobjektive dar, die bei der Verwendung an Spiegelreflexkameras als Retrofokussysteme aufgebaut sein mussen. Der Bildwinkel md3 naturgema wesentlich kleiner als 180" sein, denn das Bildformat ist begrenzt. Deshalb kdMen Fischaugenobjektive nicht U i c h abbilden. Es gibt zwei praktisch realisierbare Fiille: Das Bild wird in aquidistanter Projektion innerhalb einer Kreisflache erzeugt. Ein Beispiel ist das Objektiv 5,6/7,5 von Canon, bei dem das Verhtiltnis aus Schnittweite und Brennweite 5,6: 1 ist (Abb. 6.116i). Das Bild ist flachentreu, wobei die durch die Bildmitte verlaufenden Linien gerade bleiben, alle anderen Linien gekriimmt sind. Diese Eigenschaft hat das Canon-Fischaugenobjektiv 2,8/15. Unverzeichnete Bilder bei grol3en Objektwinkeln sind mit Superweitwinkelobjektiven mdglich (Canon-Objektiv 4/17, Abb. 6.116j). Spezielle Objektive sind diejenigen fiir sehr groDe Offnungsverhtiltnisse, mit apochromatischer Korrektion und mit Ausgleich von perspelctivischer Verzerrung. Sehr groae Offnungsverhtiltnissesind bei Objektiven mit einer asphiirischen Flsche zu erzielen (z. B. Canon 1,4/24 und 1,2/55). Apochromatische Korrektion ist besonders bei langbrennweitigen Objektiven von Vorteil. Sie ist mit Linsen aus Calciumfluorid moglich (z. B. Canon 2,8/300). Objektive zum Ausgleich von perspektivischen Verzerrungen erfordern die parallele Verschiebung der optischen Achse (Shift-Objektiv) und die Kippung der optischen Achse (TiltObjektiv). Canon hat ein derartiges Objektiv auf den Markt gebracht (2,4 35). Anastigmate vom Triplettyp. Das einfache Triplet ist ein System aus drei Einzellinsen, die nicht vernachlksigbare Absthde voneinander haben. Bei einer Anordnung SammellinseZerstreuungslinse-SammellinselUt sich das einfache Triplet als Anastigmat ausbilden. Die Petzval-Summe wird durch eine geeignete Brechkraftaufteilung auf die Einzellinsen genugend klein, so dal3 auch tiltere Glher verwendbar sind. Die Offnungsfehlerkorrektion ist mit den zur Zeit verfiigbaren Glhern bis zu dem OffnungsverhUtnis K = 1 :2,8 gut mdglich. Weil jedoch die dritte Flache konkav und die zerstreuende Wirkung der Mittellinse, die eine relativ hohe Brechkraft besitzt, besonders fiir die Randstrahlen wirksam ist, haben Triplets eine g r o k zone des Offnungsfehlers. Zu den ersten Triplets gehort die "Cooke lens" K = 1 :5,6, 2w = 68' der englischen Firma Taylor, Taylor and Hobson (Abb. 6.117a). Durch das Einfiihren von Kittfltichen oder das Aufspalten der Einzellinsen leitet sich aus dem einfachen Triplet eine ganze Reihe weiterer unsymmetrischer Anastigmate ab. die also als Tripletvarianten aufgefdt werden konnen.

642


Besonders bekannt sind die Tessare; sie stellen Tripletvarianten mit verkittetem Hinterglied dar (Abb. 6.117b). Im allgemeinen ist die Kittflache sammelnd, so dalj das Hinterglied mit einem Neuachromaten verwandt ist. Der Zonenfehler wird gegenuber demjenigen des einfachen Triplets verringert. Die Tessare zeichnen sich durch eine fiir den einfachen Aufbau sehr gute Bildschme aus, allerdings bei manchen Systemen erst nach einer gewissen Abblendung.

Abb. 6.117 a) Cooke lens, b) Tessar, c) Sonnar, d) Olympia-Sonnar

Auch die Gmppe der Sonnare geht aus dem einfachen Triplet hervor. Die Sonnare lassen sich als Tripletvarianten mit dreilinsigem Mittelglied und teilweise auch mit zweilinsigem Hinterglied auffassen. Als Beispiele seien das SOMU K = 1:2, 2w = 45’ (Abb. 6.1 17c), das SOMN K = 1: 2,8, 2w = 14O, f’ = 108 mm, das sogenannte “Olympia-Sonnar” (Abb. 6.1 17d) und das Sonnar K = 1:4, 2w = go, f’ = 300 mm genannt. Sonnare eignen sich wegen der guten Korrektion und der kleinen Baultinge als Fernobjektive. So hat z. B. das Sonnar K = 1:4, f’ = 135 mm die Schnittweite s‘ = 87,8 mm, das Triotar (einfaches Triplet) mit sonst gleichen Daten die Schnittweite 8’ = 134,2 mm. Mit dem Sonnar lassen sich bei einfacherem Aufbau die gleichen Offnungsverhiiltnisse erzielen wie mit GauR-Varianten. Allerdmgs ist die Korrektion der Feldfehler nicht so gut wie bei diesen. Weitere Tripletvarianten, bei denen jedes Glied mehrlinsig sein kann, gibt es in vielen Ausfiihrungen. Wir konnen aber hier nicht weiter darauf eingehen.

6.5.5

Objektive mit veranderlicher Brennweite

In der Fotografie, besonders jedoch in der Kinematografie und Fernsehtechnik, besteht oft der Wunsch, den Objektwinkel an das Motiv anpassen zu konnen. Das ist mit einer hderung der Brennweite des Aufnahmeobjektivs verbunden. Eine unstetige Brennweiteniinderung ist bei den modernen Kameras mit SchlitzverschluS auf einfache Weise durch den Wechsel der Objektive mdglich. Der hohe Aufwand (es werden im allgemeinen neben dem Normalobjektiv ein kurz- und ein langbrennweitiges Objektiv benotigt) erscheint dadurch gerechtfertigt, daS

643


jedes System optimal konigiert werden kann. Gegeniiber dem Austausch des vollstiindigen Objektivs ist die Verwendung von Satzobjektiven preisgunstiger. Verschiedene Brennweiten lassen sich dadurch erzielen, daS die Teilglieder getrennt benutzt werden konnen bzw. einzelne Glieder auswechselbar sind. Sie sind auch in Kameras zu verwenden, bei denen der Verschlu6 innerhalb des Objektivs liegt. Das Hinterglied mit dem Verschla muS fest mit der Kamera verbunden bleiben. Die selbstmdige Benutzung der Teilglieder ist bei der Berechnung des Objektivs von vornherein zu beriicksichtigen, um die Abbildungsfehler in Grenzen zu halten. Die Anfordemngen an die Bildqualitat sind aber durch die Kleinbildfotografie so gewachsen, daO der Korrektionszustand von Teilgliedern heute nicht mehr befriedigen kann. Eine weitere Moglichkeit, die Brennweite unstetig zu verhdern, ist durch das Vorschalten eiFernrohr *

Hauptsystern A IH:

nes afokalen Vorsatzes, der im Prinzip ein holliindisches Fernrohr darstellt, vor das eigentliche Aufnahmeobjektiv gegeben. Die Abb. 6.118 zeigt den Aufbau eines solchen Systems. Die Gesamtbrechkraft von Fernrohr und Hauptsystem erhalten wir aus F' = ~ ' + ~ o ~ F ~ + ~ O ~ & ' .

(6.300)

Nach Abb. 6.118 ist w* = wg =

4fi =-x F;'

(6.301)

Aus G1. (6.300) folgt mit G1. (6,301) F' = &F;.

(6.302)

Fiir die Gesamtbrennweite des Systems ist der Faktor o2bestimmend, der je nach Stellung des Vorsatzes im Strahlengang groBer als 1 werden kann. Ftir o2> 1 wird die Gesamtbrennweite gegenuber derjenigen des Hauptsystems vergroBert (Abb. 6.1 18 oben), fiir wp = l/w2 < 1 dagegen verkleinert (Abb. 6.118 unten). Da das Hauptsystem auch ohne Vorsatz verwendet werden kann. stehen insgesamt drei Brennweiten zur Verfiigung.


644

GroBere praktische Bedeutung besitzen variofokale oder pankratische Systeme (auch Zoom-Objektive genannt), die eine stetige Brennweiteniinderung erlauben. Sie werden besonders in Film- und Fernsehkameras zur Erzielung sogenannter “Fahreffekte” eingesetzt. Bei der Anwendung in der Fotografie mussen fiir pankratische Systeme beim Durchfahren des Brennweitenbereichs folgende Fordemngen erfiillt sein: Die Auffangebene muD ihre Lage unveriindert beibehalten. - Das Offnungsverh<nis darf sich im allgemeinen nicht iindern. - Die Bildgute des Objektivs mulj innerhalb gewisser Grenzen erhalten bleiben. -

Um bei einer Andemng der Brennweite die Lage der Bildebene konstant zu halten, mu13 das optische System aus mindestens zwei Gliedern bestehen, die sich in axialer Richtung verschieben lassen. Die Verhdtnisse bei der Abbildung der unendlich fernen Objektebene durch ein pankratisches System zeigt Abb. 6.119.

-

_I

Abb. 6.119

Pankratisches System

pus zwei Linsen

Fiir die BreMWelte eines zw igliedrigen Systems gilt die Beziehung

(6.303)

Bei konstanten Einzelbrennweiten kann die Gesamtbrennweite durch h d e n m g der optischen Tubusliinge stetig variiert werden. Wird die dazu notwendige Verschiebung n u von einem Teilglied, z. B. dem Vorderglied, ausgefiihrt, so verlagert sich auch die Bildebene. Das wird verhindert, wenn t in entsprechender Weise auf beide Glieder aufgeteilt wird. Aus G1. (6.303) folgt f;tI = fr;tn. (6.304) Mit fn = t I - A t

= tI+A,-A,

645


ergibt sich aus G1. (6.304) (6.305) Die Bildebene bleibt an ihrem Ort,wenn (Abb. 6.1 19)

ain = a;, - A

(6.306)

gilt. Uber die Beziehungen (6.307) und G1. (6.303) erh2lt man A 2 zu

f;

A2 = - ( f i - A ’ )

A’

,;f

(6.308)

= - f’.

A’

Durch Einsetzen von G1. (6.308) in GI. (6.305) kann A l berechnet werden: (6.309)

Wie sich aus den Bestimmungsgleichungenfiir A l und A 2 ablesen l u t , ist bei einer Ver‘dnderung der Brennweite f ’ um A f ’ die Verschiebung A 2 des Hintergliedes linear, die Verschiebung A des Vordergliedes nichtlinear. Beide Bewegungen mussen durch ein kompliziertes Getriebe gekoppelt werden. Derartige pankratische Systeme werden in der Literatur Systeme mit mechanischem Ausgleich genannt. fL45

fc25u.80

F‘

-d

Abb. 6.120 Vario-Glaukar

Die Korreldon der pankratischen Systeme Uber den gesamten Brennweitenbereich ist mit Schwierigkeiten verbunden. Es wird deshalb der Varioteil so angelegt, daR er ein virtuelles Bild in grol3er Entfernung liefert und zusammen mit einem Grundobjektiv verwendet werden kann. Trotzdem 1Mt sich das Gesamtsystem nur fiir eine mittlere Brennweite konigieren. Bei jeder anderen Einstellung treten Bildverschlechterungenauf. Als Beispiel fiir ein Variosystem mit mechanischem Ausgleich wird in Abb. 6.120 das VarieGlaukar (1 :2.8. f’ = 25 mm.. . ..A0mm) gezeigt. Aus Abb. 6.120 ist zu erkennen, daR sich die Offnungsblende hinter dem eigentlichen pankratischen System befindet. Das ist notwendg, um die Forderung nach einem konstanten Offnungsverh2ltniszu erfiillen.

646


Abb. 6.121 Zur Ableitung der Konstanz

des Offnungsverhdtnisses Zum Beweis dieser Aussage dient Abb. 6.121. Die relative Offnung ist definiert durch (6.310) Daraus folgt mit 0; = p’,/p, = -zb/f‘ die Beziehung

K =

--2P; I

(6.311)

.

CP

Fiir al = - m fdlt die ortsfeste Bildebene des pankratischen Systems mit der Brennebene zusammen. Der Abstand - z’p zwischen Brennebene und Offnungsblende (Austrittspupille) bleibt stets der gleiche, so dal3 das Offnungsverhiiltnis unabhagig von der Brennweite einen konstanten Wert behat. Bei den pankratischen Systemen mit mechanischem Ausgleich ist die Koppelung zwischen den ungleich bewegten Stellgliedern nur mit hohem konstruktivem Aufwand zu verwirklichen. Daher hat man nach Losungen gesucht, die eine gemeinsame Verschiebung zweier fest miteinander verbundener Glieder gestatten. Abb. 6.122a zeigt ein optisches System aus drei Gliedern. Seine Brennweite ergibt sich mit a2=

--t 1 2 + h!’ A‘

und

zu f‘ =

X’fi’f; - h” .

(6.312)

t12t23

Werden das erste und das dritte Glied gemeinsam in Lichtrichtung urn + v gegeniiber dem zweiten Glied verschoben, so iindem sich in G1. (6.312) die optischen Tubuslsingen und damit die Gesamtbrennweite des Systems: (6.313) Der Ort der Bildebene (Brennebene) bleibt konstant, wenn die Bedingung

Al‘ = l\-l‘

= v-z;+z;, = v+Az; = 0

(6.314)

fiir alle Werte v erfiillt ist. Durch Anwendung der Newtonschen Abbildungsgleichung konnen


647

z; und z;, bestimmt werden, und man erhat

(6.315) Die G1. (6.315) ist 3. Grades in v. Daraus folgt, dal3 sich der Ort der Bildebene mit der Verschiebung v iindert, aber dreimal gleich ist (fiir die drei Nullstellen der G1. (6.315)). Die Abb. 6.122b zeigt an einem Beispiel den Gang der Brennweitentinderung A f' und die Abweichungen von der Konstanz der Bildebenenlage Al' als Funktion der Verschiebung v. Wird der Varioteil zusammen mit einem Grundsystem benutzt, dann lassen sich bei geeigneter Wahl seiner Parameter nach G1. (6.315) Werte fiir Al' erzielen, die innerhalb der ScWfentiefe des Grundsystems liegen und dadurch zu vernachlidssigensind. Da die Auswanderung der Bildebene dieser Systeme durch optische Mittel ausgeglichen wird, hat sich fiir sie die Bezeichnung Systeme mit optischem Ausgleich eingebiirgert. Ein solches System war das Voigtliinder-Zoomar (1 :2,8, f' = 36 mm.. -82mm). Heute haben Varioobjelcte mit optischem Ausgleich weitgehend an Bedeutung verloren. Die Varioobjelcte mit mechanischem Ausgleich fiir die Kleinbildfotografie werden nach zwei grundlegenden Konstruktionsprinzipienaufgebaut. HH;

HH:

HH; H '

Abb. 6.122 a) Pankratisches System aus drei Gliedern, b) Brennweiteniinderung im System nach a)

648


Viergruppenbauweise. Fiir Brennweiten f‘ > 40 mm und grolje Variofaktoren werden die Funktionen auf vier Linsengruppen verteilt. Das sammelnde Frontglied ubernimmt die Entfernungseinstellung. Mit der Verschiebung des zerstreuenden Variators wird die Brennweite geiindert. Der sammelnde oder der zerstreuende Kompensator sorgt dafiir, da13 die Bildebene erhalten bleibt. Das feststehende sammelnde Grundobjektiv enthdt die Offnungsblende, so daS das Offnungsverhdtnis bei der Brennweiteniinderung konstant bleibt. Aus der Lage der Offnungsblende leitet sich der Nachteil des relativ groI3en Frontgliedes ab. AuSerdem neigen diese Varioobjektive zur unvollstiindigen Verzeichnungskorrektion (bei der kleinen Brennweite tonnenformig, bei der groljen Brennweite kissenformig). Ein Beispiel ist das Prakticar 4/80.. .200 von Carl Zeiss Jena, bei dem das Grundobjektiv als Teleobjektiv ausgebildet ist (Abb. 6.123). Zur besseren Korrektion sind in mehreren Linsen hochbrechende Krongliiser eingesetzt (LaK und LaSK). Auch von der japanischen Firma Canon werden die langbrennweitigen Varioobjektive in Viergruppenbauweise hergestellt (z. B. 4,5/85.. .300).

\ \

I

\

\

I I I

I

I

\ \

I

I

f’=200

Abb. 6.123 Schnittbild und

Verstellbereich fur das Zeus-Prakbcar 4/80.. .200 Zweigruppenbauweise. Fur kleine Brennweiten, also auch fir den Bereich der Weitwinkelobjektive, hat sich die Zweigruppenbauweise durchgesetzt. Mit der Verstellung des Vordergliedes werden die Brennweite und die Entfernung eingestellt (Variator). Die Verschiebung des Hintergliedes (Kompensator) ennoglicht die Einhaltung der Bildebene. Daraus folgt, daa sich mit der Brennweite auch das Offnungsverhatnis iindert. Es wird im allgemeinen mit wachsender Brennweite kleiner (groljere Blendenzahl). Bei Kameras mit Messung der Belichtungszeit mittels des vom Objektiv erfaSten Lichtes (TTL-Messung, Abk. fir “through the lens”, d. k “durch das Objektiv”) ist das problemlos. Auch der Brennweitenbereich ist etwa

649


auf 2 bis 2.5 begrenzt. Dafiu ist das Frontglied klein, und die Verzeichnungskonektion ist besser moglich. Die Zweigruppenbauweise wurde zuerst von der Firma Canon eingefiihrt (2.B. Objektiv 2,8...3,5/35.. .70). Nach dem gleichen Prinzip ist das Zeiss-Prakticar 2,7.. .3,5/35.. .70 konstruiert (Abb. 6.124).Die Abbildung enthtilt auch die Macrostellung, bei der die Bildgiite fiir nahe Objekte gut ist. Die planparallele Glasplatte begiinstigt neben ihrer Schutzwirkung die

' I

' I !,

f"- 70

Abb. 6.124 Schnittbild und Verstellbereich fiir das Zeiss-Practicar Z7.. .3,5/35...70

Bildfeldebnung. Die Korrektionsdarstellungen fiu den Offnungsfehler und seine Variationen in Abb. 6.125 lassen erkennen, dat3 bei der oberen Brennweite ein s*keres Abblenden vorteilhafl sein wird. Die aus dem unterschiedlichen Verlauf des Offnungsfehlers resultierende Verlagemng der besten Auffangebene w d e bei den Steuerkurven beriicksichtigt. Fiir die Film- und Fernsehtechnik sowie fiir das technische Fernsehen sind Varioobjektive mit groDen Variofaktoren realisiert worden. Bei Carl Zeiss Jena waren z. B. fiir das technische Fernsehen die Vario-Tevidone fiir den Brennweitenbereich f' = 15 mm.. .150 mm im Programm. Beim Schneider-TV-Variogon 2,l...6,3/20.. .600 ermBglicht das nacheinander ausgefiihrte Verschieben von Paaren an Linsengruppen den groI3en Variofaktor. Die Offnungsblende ist zwischen dem ersten und dem zweiten Paar an Linsengruppen angeordnet, wodurch das Frontglied keinen zu grolkn Durchmesser annimmt. Damit ergibt sich das konstante Offnungsverhtiltnis 1 :2,l beim Variieren der Brennweite von 20 mm auf 200 mm rnit den ersten

650


Linsengruppen. Beim Verschieben der zweiten Linsengmppen nimmt die Blendenzahl linear auf k = 6.3 zu. Das Objektiv besteht aus 30 Linsen, so dal3 es vor der Einfiihrung der reflexmindernden Schichten nicht realisierbar gewesen wke. f ' = 35

I

!0,175 /

1

-0.10

$1

f'=50

0.05

/

/

0.10 -

0.05 -0.175

--.--.-'tw - 0.05 -

-0.10

6.5.6

-

6'

Abb. 6.125 Querabweichungendes Offnungsfehlers und seiner farbigen Variation fiir das Objektiv aus Abb. 6.124 (Hauptfarbe, - - - - blau, -. -. -

Spiegelobjektive

Um weit entfernte Objekte formatfillend abbilden zu konnen, z. €3. bei Sportaufnahmen, sind groSe Objektivbrennweiten erforderlich. Damit ist, selbst bei Teleobjektiven, eine groRe Baul u g e verbunden. Durch den Einsatz von Spiegelflachen kann die Bauliinge klein gehalten werden. Spiegelsysteme haben gegeniiber Linsensystemen drei weitere Vorteile: Bei der Reflexion treten keine chromatischen Abbildungsfehler auf. Daher bilden Spiegelsysteme vollig farbfehlerfrei ah. Die Querabweichung des Offnungsfehlers eines sphtirischen Hohlspiegels ist im Seidelschen Gebiet fir s=--m etwa 1/7 derjenigen einer Linse gleicher Brennweite, deren Durchbiegung so bestimmt worden ist, dal3 der OffnungsfeNer seinen kleinsten Wert hat.


65 1

Deshalb lassen sich Spiegelobjektiveim allgemeinen bei gleichem Offnungsverhatnis mit kleinerem Zonenfehler komgieren als Linsensysteme. - Ein sph2rischer Hohlspiegel ist frei von Astigmatismus und Koma, wenn er mit einer Offnungsblende in der Ebene seines Kriimmungsmittelpunktes benutzt wird (“natiirliche Blende”). Aderaxiale Punkte werden dann nur mit Offnungsfehler und anastigmatischer Bildfeldwolbung abgebildet. Fiir die Korrektion des Offnungsfehlers bestehen mehrere Moglichkeiten. Mit einer parabolischen Spiegelfliiche wird der unendlich ferne Achspunkt offnungsfehlerfrei abgebildet. Bei der Abbildung von Punkten, die sich aderhalb der optischen Achse befinden, wirken sich d a m jedoch Koma und Astigmatismus sehr st6rend auf das Bild aus. Mit Hilfe einer Spiegellinse nach Mangin (Abb. 4.66) kann der Offnungsfehler durch die zweimalige Brechung an der Vorderfliiche der Linse korrigiert werden. Von Nachteil sind u. a. die dabei entstehenden aderaxialen Abbildungsfehler sowie der Farbfehler. Eine wesentliche Verbesserung der Spiegelsysteme hinsichtlich der Korrektion des Offnungsfehlers wurde durch die Erfindungen von B. Schmidt (1931) und D.D. Maksutow (1941) erreicht. Schmidt beseitigte die spWsche Unterkorrektion durch eine Korrektionsplatte in der Ebene des Kriimmungsmittelpunktesdes

L a /---

C

1 2

3

Abb. 6.126 a) Schmidt-Spiegel, b) Maksutow-System, c) Spiegelsystem von Zeiss, d) Korrektionsdarstellungen zu c)

Hohlspiegels. deren eine Flache in der Mitte konvex und am Rande konkav ausgebildet ist (Abb. 6.126a). Dadurch werden nahezu alle Strahlen eines achsparallelen Biindels im Spiegelbrennpunkt einer mittleren Zone vereinigt. Schmidt-Systeme sind aderdem weitgehend frei von Koma, Astigmatismus und Farbfehler. Maksutow benutzte einen zum Kriirnmungsmittelpunkt des sphtirischen Hohlspiegels konzentrischen Meniskus, der weder Koma noch Astigmatismus einfiihrt (Abb. 6.126b). Der Offnungsfehler des Hohlspiegels wird durch eine entsprechend gewaihlte Dicke des Meniskus korrigiert. Der Farbfehler kann durch Achromatisierung der Korrektionslinse beseitigt werden.


65 2

Eine ausreichende Korrektion des Offnungsfehlers ist auch mit Linsensystemen moglich, die vor dem sphiirischen Hohlspiegel angeordnet sind (Abb. 6.126~).Werden beide Linsen aus dem gleichen Glas hergestellt und besitzen sie entgegengesetzt gleiche Brechkriifte, dam bilden sie ein nahezu afokales und farbfehlerfreies System. Die Korrektion der Bildfeldwolbung kann durch einen sammelnden Achromaten in der NShe der Auffangebene erreicht werden (Smyth-Linse). Dadurch verlagert sich die “natiirliche” Blende vom ~mmungsmillelpunktin Richtung auf den Spiegel, was zu einer wesentlichen Verkiirzung der Bauliinge fuM. Neben Vorteilen besitzen Spiegelsysteme jedoch auch Nachteile. Durch die Umkehrung der Lichtrichtung am Spiegel mu13 sich die Auffangebene vor dem Spiegel befinden. Das ist nur bei speziellen Anwendungszwecken moglich. Meistens werden mit einem zweiten Spiegel (Hilfsspiegel) die Strahlen wieder in ihre urspriingliche Richtung reflektiert. Der Hauptspiegel ist durchbohrt, um dem abbildenden Biindel den Durchtritt zu gestatten. In beiden Fdlen wird der mittlere Teil des Biindels abgeschattet. Als MaB fiir die Abschattung kann das Verhdtnis der abgeschatteten Pupillenfllche A, zur Flache der Eintrittspupille ohne Zentralabschattung A. benutzt werden; Spiegelsysteme mit Hilfsspiegel besitzen eine ringformige Eintrittspupille, so daB

(2) 2

7=

(6.316)

gilt. Die wirksame relative Offnung K , ist d a m durch

K, =

2f p ” C

(6.317)

gegeben. Eine ringformige Eintrittspupille verandert auch die Intensitatsverteilungim Beugungsbild. Abb. 4.201 zeigt die Intensitatsverteilung in der Bildebene bei der Abbildung eines leuchtenden Punktes mit voller und ringformiger Eintrittspupille. Durch das Ausblenden des zentralen Biindelteils verlagert sich die Intensitat vom Hauptmaximum auf die Nebenmaxima. Das ist mit einer Abnahme des Bildkontrastes verbunden. Das Auflosungsvermogen ist verbessert, weil die erste Nullstelle nsiher am Hauptmaximum liegt als bei voller Offnung. Fiir normale fotografische Zwecke ist jedoch die Steigerung des Kontrastes vorteilhafter als die des Auflosungsvermogens. AuDerdem kann durch Fremdlicht, &as seitlich am Hilfsspiegel vorbei unmittelbar in die zentrale DurchlaRoffnung des Hauptspiegels fdlt, der Bildkontrast wesentlich verschlechtert werden. Deshalb miissen in das System Blenden eingebaut werden, die das schrag einfallende Fremdlicht abfangen. Ein weiterer Nachteil der Spiegelsysteme ist die Empfindlichkeit der Spiegelflachen gegeniiber Falschlagen. Die vorzusehenden Justierstellen und die Justierung selbst bedeuten einen hohen konstruktiven und fertigungstechnischenAufwand. Abb. 6 . 1 2 6 ~zeigt als Beispiel das Zeiss-Spiegelobjektiv 4/500.AuDer Haupt- und Hilfsspiegel, den beiden Frontlinsen zur Korrektion des Offnungsfehlers und dem Achromaten vor der Auffangebene (Smyth-Linse) befindet sich im Suahlengang ein Filterrevolver. Hier koMen neben Farbfiltern auch Graufilter zur Schwachung des Lichtstroms eingesetzt werden, da das Objektiv keine veriinderliche Offnungsblende besitzt. Die ausgezeichnete Farb- und Offnungsfehlerkorrektion ist in Abb. 6.126d zu erkennen.

653


6.5.7

Fernrohrobjektive

Bei Femrohrobjektiven miissen wir zwischen Objektiven fiir den visuellen Gebrauch und Objektiven fiir die Astrofotografie unterscheiden. Letztere sind im eigentlichen Sinne keine Fernrohr-, sondern Fotoobjektive, so da6 wir sie zunachst ausklammern wollen. Fernrohrobjektive haben die Aufgabe, ein kleines Feld mit groBer Offnung und polychromatischem Licht abzubilden. Daraus folgt, dal3

- der Offnungsfehler, - die Koma fiir kleine Flachen (Erfiillung der Sinusbedingung), -

der Farbliingsfehler

korrigiert sein miissen. GroRen EinfluR auf die Bildqualitat hat die Korrektion der Farbfehler. Trichromatische Korrektion mit beseitigtem Gad-Fehler ist deshalb bei Hochleistungsobjektiven anzustreben. Zweilinsige Achromate. Es bereitet keine Schwierigkeiten, aus einer Sammel- und einer Zerstreuungslinse einen Achromaten herzustellen. Bei Gerateoptik und nicht zu groRen Linsendurchmessern lassen sich beide Linsen verkitten oder ansprengen (Abb. 6.127a). Das Offnungsverhiiltnis kann etwa bis zu 1 :3,5 betragen.

Abb. 6.127 a) Zweilinsiger Achromat, a)

b)

C)

b) E-Objektiv von Zeiss, c) AS-Objektiv von Zeiss

Die fiir astronomische Zwecke verwendeten Objektive haben Offnungsverhiiltnisse um 1 :10 herum. Bei groReren Durchmessern (etwa ab 60 mm) w&e eine Verkittung nicht stabil. AuRerdem ist bei nichtverkitteten Linsen ein weiterer Radius fiir Korrektionszwecke frei. Abb. 6.127b zeigt das E-Objektiv von Carl Zeiss Jena. Zweilinsige Halbapochromate. Durch den Einsatz von Kurzflint in der Zerstreuungslinse kann das sekundiire Spektrum vemngert werden. Das Offnungsverhiiltnis m a auf etwa 1 : 11 begrenzt bleiben. Ein derartiger Halbapochromat ist das AS-Objektiv (Abb. 6.127~). Zweilinsige Apochromate. h4it dem Einsatz von Calciumfluorid (CaF2) in der Frontlinse ist es moglich, einen zweilinsigen Apochromaten herzustellen. Ein Beispiel, bei dem Calciumfluorid mit Borkron 7 kombiniert ist, wird in [531 und [54] beschrieben (APQ-Objektiv). In Abb. 6.128 ist der Farbliingsfehler des Apochromaten mit dem freien Wchmesser 100 mm (Offnungsverhiiltnis 1 : 10) und der Brennweite lo00 mm dem Farblagsfehler des AS-Objektivs mit den gleichen Daten gegeniibergestellt. Bei dem APQ-Objektiv liegt der Durchmesser des geometrisch-optischen Zerstreuungskreises fiir h = 546 nm und h = 644 nm weit unter dem beugungsgedingten Zerstreuungskreisdurchmesser. Fiir h = 480 nm sind der geometrisch-optischeund der beugungsbedingte Zerstreuungskreis gleich groB. Das bedeutet, dal3 das APQ-Objektiv beugungsbegrenzt abbildet (Definitionshelligkeit alle Farben V > 0,95). Seine chromatische und sphtirische Korrektion ist im gesamten sichtbaren Spektralbereich gegeben. Dadurch wird ein weiRer Stern als weil3er Stem abgebildet, und das Bild

654


ist kontrastreich. Der Einsatz von Calciumfluorid bringt eine hohe Transparenz im gesamten Spektrum mit sich.

-

q . 1 p5 f

10

Abb. 6.128 Relative Brennweitenabweichung durch Farbliingsfehler fiir das AS-Objektiv und das APQ-Objektiv

Das AS-Objektiv hat nur fiir die Hauptfarbe (k.=546nm) die Definitionshelligkeit V = 0,95, weil dafik der geometrisch-optische angeniihert so groB wie der wellenoptische Zersueuungskreisdurchmesserist. Fiir k. = 480 nm ist er etwa viermal, fiir A, = 644nm knapp zweimal so grol3.

Dreilinsige Achromate. Fiir groSere Offnungsverhaltnisse und hohere Anspriiche an die Bildqualitat miissen die Fernrohrobjektive dreilinsig sein. Es sind sowohl Systeme mit verkitteten Linsen (Abb. 6.129a) wie auch mit einem Luftabstand in Gebrauch (Abb. 6.129b).

Abb. 6.129 a) Dreilinsiger Achromat, b) dreilinsiger Achromat mit Luftlinse, c) B-Objektiv von Zeiss, d) F-Objektiv von Zeiss

Dreilinsige Apochromate. Trichromate mit komgiertem GauB-Fehler beruhen vorwiegend auf dem Einsatz von Glasern mit ungewohnlichem Dispersionsverlauf. Zwei Glasarten sind ausgezeichnet, die Kurzflinte und die Schwerflinte. Entsprechend gibt es Kurzflint- und Schwerflintapochromate. Die Kwflintapochromate (Abb. 6.129~. B-Objektiv 1 : 15) enthalten Linsen stkkerer Kriimmung ; das erreichbare Offnungsverhiiltnis ist eingesc-, und die Linsen sind empfindlich gegen Dezentrierung. Schwerflintapochromate haben etwas gunstigere Kriimmungen. Sie werden verkittet (mit Offnungsverh2ltnissen bis 1 : 3 bei Gerateoptik), unverkittet (als Fernrohrobjektive wie z. B. das F-Objektiv 1 : 11, Abb. 6.1296) und mit einem groBeren Luftabstand zwischen zwei Linsen hergestellt. Hemiplanare. Diese Objektive enthalten einen Meniskus auf der Objektseite (Abb. 6.130a) oder auf der Bildseite (Abb. 6.130b). mit dem der Astigmatismus und die Bildfeldwolbung gunstig zu beeinflussen sind. Sie werden eingesetzt, wenn etwas grol3ere Felder benotigt werden (bis etwa 2w = 20").


655

Abb. 6.130 a) und b) Hemiplanare, c) und d) Teleobjektive

Teleobjektive konnen auch als Fernrohrobjektive ausgebildet werden. Mit ihnen sind besonders Fernrohre in geodatischen Geriiten ausgeriistet. Die Einstellung eines Fernrohres mit Teleobjektiv auf eine endliche Objektweite wird oftmals nicht durch das Verschieben des Okulars. sondern durch das Verschieben des zerstreuenden Gliedes im Teleobjektiv vorgenommen (Innenfokussierung). Normale Teleobjektive konnen bis zu einem Feldwinkel 2w = 38" und dem Offnungsverhiiltnis 1:5,6 venvendet werden (Abb. 6.130~).Der Gaul3-Fehler ist zu verringern, wenn das sammelnde Glied als Schwerflintaphromat ausgebildet wird (Abb. 6.13Od).

Astrofotograf'ie. Objektive fiir Astrokameras benotigen im allgemeinen bei guter Korrektion in der Umgebung der optischen Achse und fiir polychromatisches Licht auch die KorreMion fiir ein groI3eres Feld als die visuell benutzten Syteme. Sie sind deshalb aus den Grundtypen der Fotoobjektive abzuleiten. Es gibt z. B. den Femrohraplanaten (Grundtyp Petzval-Objektiv), Triplets, auf die auch der Astrovierlinser von Sonnefeld zuriickzufiihren ist (in Abb. 4.59 als Beispiel fiir ein System mit einer deformierten Flkhe angegeben), Tessare, Sonnare und Planare. Dabei ist zu beachten, daO alle diese Systeme bei grokn Brennweiten nur fiir geringere Feldwinkel als bei den normalen Fotoobjektiven korrigierbar sind. Spiegelobjektive.In der historischen Entwicklung der Fernrohre und bei Fernrohren mit sehr grof3er Eintrittspupille spielen die Spiegelobjektive eine hervorragende Rolle. Die historische Bedeutung resultiert einmal daraus, daB Newton es als unmoglich ansah, den Farbfehler von Linsen zu beseitigen, zum anderen auch daraus, da6 selbst nach dem Erkennen von Newtons Irrtum die praktische Realisierung von Achromaten nicht losbar war. Heute sprechen fiir die Spiegelobjektive die vollige Farbfehlerfreiheit der Oberflachenspiegel, die giinstige Offnungsfehlerkorrekon bei Parabolspiegeln oder bei Kugelspiegeln mit Hilfslinsen und das relativ geringe Gewicht bei groSen Durchmessern. Der Nachteil der Spiegel sind die geringeren zulbsigen Fertigungstoleranzen der Oberflache. iiber 1 m Durchmesser sind Linsenobjektive praktisch nicht venvendbar. Die grot3e Glasmasse und Linsendicke bringen es mit sich, daB Glasfehler schwierig zu vermeiden sind und das Glas als amorpher Stoff zeitlich instabil ist. Die Linse kann regelrecht flieaen. Ein Problem bei den Spiegelobjektiven stellt die Rucklaufigkeit des Lichtes dar. Es sind MaBnahmen notwendig, mit denen das bildseitige Biindel aus dem objektseitigen ausgekop-

656


pelt wird. Dazu dienen vor allem Fangspiegel und Bohmngen im Hauptspiegel. Diese fiihren jedoch leicht zu Spannungen im Spiegelmaterial. Die Spiegelfernrohre von Gregory, Cassegrain und Newton enthalten einen parabolischen Hauptspiegel. Bei der Variante von Gregory ist der Hauptspiegel durchbohrt, der Fangspiegel ist elliptisch (Abb. 6.131a). Der bildseitige Brennpunkt des Objektivs und der objektseitige Brennpunlct des Okulars liegen in je einem geometrischen Brennpunkt des Ellipsoids. Das Bild ist aufrecht, die Bauliinge groR. Bei der Cassegrainschen Ausfiihrung ist der Hauptspiegel ebenfalls durchbohrt. Der Fangspiegel ist hyperbolisch, das Bild hohenund seitenvertauscht, die Baul'dnge gegenuber dem Gregoryschen System kleiner (Abb. 6.131b). Porabolspiegel

Porn bol y l i e y l

Parabolspiegel

elliptischer Spie

b)

0)

CI

Abb. 6.131 a) Gregory-Spiegel, b) Cassegrainscher Spiegel, c) Newtonscher Spiegel

Newton vermeidet das Durchbohren des Hauptspiegels, indem er da9 Licht mittels eines Planspiegels seitlich herausfiihrt (Abb. 6.131~). Schmidt erfand 1930 in Hamburg-Bergedorf das nach ihm benannte Spiegelsystem. Seine Idee, die Koma, den Astigmatismus und die Verzeichnung durch die Anordnung der Offnungsblende in der Ebene des Kriimmungsmittelpunlctes, den Offnungsfehler mittels einer asphiirkhen Korrektionsplatte zu beseitigen, wurde bereits bei den Fotoobjektiven behandelt (Abb. 6.126a). Dort ist auch das Maksutow-System angegeben, bei dem die Schmidt-Platte durch einen sphaschen Meniskus ersetzt wird (Abb. 6.126b). Moore hat vorgeschlagen, die konventionelle Schmidt-Platte durch eine Platte mit inhomogener Brechzahl zu ersetzen, die sphiirisch gekriimmt ist (gradient-index corrector plate [41]). Es ist jedoch fraglich, ob der technologische Aufwand fiir eine Platte aus einem inhomogenen Stoff gerechtfertigt ist. Auf die Bedeutung von segmentierten Spiegeln oder deformierbaren Spiegeln im Rahmen der aktiven und adaptiven Optik sind wir bereits in 6.3.2 eingegangen.

6.5.8

Mikroobjektive

Mikroobjektive (Mikroskopobjektive) sind im allgemeinen kurzbrennweitige optische Systeme, die ein kleines Feld mit groDer objektseitiger numerischer Apertur abbilden. Ausnahmen davon stellen nur die schwachen Mikroobjektive fur kleine Abbildungsmdstabe dar. Nach 6.2.3 sind die Objektive fiir endliche Bildweite (z.B. fiir die mechanische Tubusliinge 160 mm bzw. fiir die Objekt-Bild-Entfernung 195 mm) und die Objektive mit unendlicher Bildweite zu unterscheiden. Letztere erfordern eine zusatzliche Tubuslinse. Sie werden aber in neuerer Zeit bevorzugt angewendet.


657

Die Offnungsblende befindet sich in der bildseitigen Brennebene des Objektivs, so daJ3 objektseitig telezentrischer Strahlenverlauf vorliegt. Spezialausfiihrungen gibt es fiir verschiedene Mikroskopierverfahren. In den Objektiven fiu die Polarisationsmikroskopie sind &e Linsen besonders spannungsarm gefaRt. Objektive fiir das Phasenkontrastverfahren enthalten die Phasenplatte zur Ortsfrequenzfilterung im primaen Bild. Immersionsobjektivesind so korrigiert, dal3 die volle Bildleistung nur bei Anwendung der Olimmersion erreicht wird. Da bereits das Deckglas, mit dem die mikroskopischen Praparate abgedeckt werden, Abbildungsfehler einfiihrt, sind die stakeren Objektive meistens ftir die standardisierte Deckglasdicke 0.17 mm korrigiert. Es gibt aber auch Objektive, die ohne abgedecktes Praparat zu benutzen sind. Objektive mit Korrektionsfassung lassen sich auf Deckglasdicken zwischen 0,12 und 0,20 mm einstellen. Die Normalfeldobjektive sind fiir den Bildfelddurchmesser 20 mm, die Groafeldobjektive fiir den Bildfelddurchmesser 28 mm bzw. 32 mm berechnet. Bei Mikroobjektiven sind

- der Offnungsfehler und - die Farbfehler zu korrigieren sowie - die Sinusbedingung zu erfiillen. Bei den Planobjelctiven kommt die anastigmatische Korrektion hinzu.

Achromate sind Dichromate, deren Offnungsfehler komgiert ist und bei denen die Sinusbedingung erfiillt ist. Astigmatismus und Koma sind gering. Achromate haben Bildfeldwolbung und ein sekundiires Spektmm. Die Bildfeldwolbung ist bei visuellem Gebrauch wegen der Moglichkeit der Akkommodation nicht besonders storend. Die Struktur der Achromate ist je nach der numerischen Apertur verschieden, weil naturg e m s der Aufwand mit der Aperhu ansteigt. Abb. 6.132 enthat einige Beispiele. Bei den swkeren Objektiven wird oftmals die Amicische Frontlinse verwendet. Diese stellt eine dicke Plankonvexlinse dar, die nahezu aplanatisch ist.

Abb. 6.132 Achromatische Mikroobjektive (numerische Apenur von a) bis d) wachsend)

Apochromate haben gegenuber den Achromaten ein wesentlich vemngertes sekundiices Spektmm (trichromatische Korrektion), und der GauD-Fehler ist komgiert. Unkomgiert ist die Bildfeldwolbung. Der Farbfehler des Hauptstrahls 1 s t sich ebenfalls schwierig beseitigen. Deshalb verwendet man Apochromate zusammen mit Kompensationsokularen, die den Farbfehler des Hauptstrahls der Objektive kompensieren.

65 8


Bereits Abbe fand durch Rechnungen und Experimente, daD eine wesentliche Verbesserung der Achromate durch die Korrektion des GauD-Fehlers moglich ist. Man muSte dazu eine Flache einfiihren, die den Offnungsfehler unterkorrigiert, den Farblagsfehler aber uberkorrigiert. Das erforderte den Einsatz von Glkern, &e wir als neue Glaser im Eriiher behandelten Sinne anzusehen haben. Abbe standen anfangs diese Glker nicht zur Verfiigung, deshalb venvendete er Flussigkeitsmenisken zwischen Linsen. Die Zusammenarbeit mit Schott ermoglichte es, bereits 1884 die ersten Apochromate herauszubringen.

Abb. 6.133 Apochromatische Mikroobjektive (numerische Apertur von a) bis d) wachsend)

Zur apochromatischen Korrektion ist der Einsatz von Kristallen vorteilhaft (Fluuspat, Lithiumfluorid, Thalliumfluorid). Heute stehen jedoch auch optische Glker z w Verfiigung, die die Kristalle ersetzen koMen (z. B. Berylliumglker). In Abb. 6.133 sind einige Schnittbilder von Apochromaten angegeben. Halbapochromate sind Achromate mit vennindertem GauD-Fehler. Das wird durch den Einsatz von FluRspat erreicht (Fluoritobjektive). Das sekundiire Spektrum ist grokr als bei den Apochromaten. Der einfachere Aufbau kann jedoch zu kontrastreicheren Bildern fiihren. Plunachrornate und Ylanapochromate sind Objektive mit geebnetem Bildfeld. Bei den Achromaten und Apochrornaten ist das Bildfeld nach der Objektseite zu gewolbt. Das gekriimmte Bildfeld ist besonders fiir die Mikrofotografie ungunstig, weil entweder nur die Mitte oder nur der Rand scharf abgebildet wird. Die Ebnung des Bildfeldes erfordert die Erfiillung der Petzval-Bedingung, Das gelang erstmals Boegehold 1938 bei Carl Zeiss Jena.

Abb. 6.134 Planobjektive (numerische Apertur von a) bis d) wachsend)


659

Fiir sehr kleinen Betrag des AbbildungsmaRstabes kann ein optisches System verwendet werden, das einem umgekehrten Teleobjektiv W e l t . Sonst sind fiir die Planobjektive dicke Menisken charakteristisch. Diese k6Men bei positiver Brennweite eine negative PetzvalSumme haben, so daI3 sie besonders zur Korrektion der Bildfeldwolbung geeignet sind. Die meisten Planobjektive mussen mit Plan-Kompensationsoklaren zusammen benutzt werden. Es gibt aber auch Planobjektive mit korrigiertem Farbfehler des Hauptstrahls. Abb. 6.134 enthailt einige Beispiele fiir Planobjektive.

Monochromate sind Mikroobjektive, die nur fiir eine Wellenlilnge korrigiert sind. Sie sind fiir das Arbeiten im Ultravioletten gedacht (z. B. Wellenl&gen 275 nm oder 257 nm). Monochromate bestehen aus aplanatischen Menisken und einer Zerstreuungslinse. Als Werkstoff dient geschmolzener Quarz (Kieselglas). In Tab. 6.21 sind fiir eine Auswahl an Mikroobjektiven die optischen Daten zusammengestellt. Tabelle 6.21 h r s i c h t uber eine Auswahl an Mikroobjektiven mit endlicher Bildweite

Objekttyp

IP’I

Achromate

2,s 8 20 40

Apochromate

90 10 20

40 60 90

Planachromate

GroDfeldachromate GroDfeldapochromate

2,s 10 40 100

A

f’/mm

freier Objektabstand

0,08

56,3 18 83 4,4 2 16,2 8,3 4,3

975 9 1.6 035 0,ll

29

0,22 0,11

0,20 0,40 0,65 1.25 0,3 0.65 0,95

1 1,3 0,07 0,25

0,65 1,25

25

0,65

40 100

0.65 1,25 0,30

10

25 63 100

0.65

0.90 1,32

2 30.4 14,7 4,38 1,72

5 0.7

0.12

8.6 5,1 1 0.03

0,12 0,22 0,08 48 0,25 0,lO 0.09

Grofifeldobjektive. Die Normalfeldobjektive sind fiir den Zwischenbilddurchmesser 20 mm, die GroRfeldobjektive fiir den Zwischenbilddurchmesser 28 mm bzw. 32 mm berechnet. Die weitere Entwicklung ist in Richtung der GroRfeldplanobjektive mit korrigiertem Farbvergrijserungsfehler gegangen (CVD-frei A Korrektion der chromatischen VergroRerungsdifferenz). Dazu hat wesentlich der Einsatz von synthetisch gezuchteten FluSspat mit groRer Homogenitat beigetragen. Die Verwendung der Planobjektive ohne CVD-Korrektion zusammen mit Kompensations-

660


okularen fiihrt noch zu Farbsaumen irn Bild. Als CVD-Wen wird die GroUe CVD = 7.100 AY;

(in %)

mit Ay; = y;.-y’,

Ye

verwendet. Bei einem Mikroobjektiv und einer Tubuslinse ohne CVD-Korrektion ist die CVD nahezu konstant, Ay; also yb proportional. Bei Kompensationsokularen besteht dagegen zwischen Ay; und y: ein nichtlinearer Zusammenhang. Deshalb ist die Kompensation des Farbvergrofierungsfehlers nicht uber das gesamte Bildfeld vollst2ndig. Abb. 6.135 demonstriert den Sachverhalt am Beispiel zweier Objektiv-Okular-Kombinationen.

I

0.d

T-o0.4 ’

lEEzGz5 10

20

30

+ydb in m m a1

Abb. 6.135 a) Lateraler Farbfehler bei der Kombination von Objektiv und Okular, b) Farbquerfehler in der Zwischenbildebene, Farben wie bei a) (nach [ 5 2 ] ) ( 1 ) CVD des Objektivs 1.5% und Kompensationsokular, (2) CVD-freies Objektiv und Okular Tabelle 6.22 GroBfeld-Planachromate,Bildweite unendlich, AbgleichlUge 45 mm, Korrektion der CVD Vergrokrung

numerische ApertW

Brennweite freier Arbeitsabstand in mm

in mm

~~~

3,2 6,3

0.06

12,5

0,25 950 0,65 0,80 0.90 1,30

25

40 50 100 100

0.12

78 39,5 20 10

6,3 5 2,5 2,5

maximaler Objektfelddurchmesser in mm

~~

4,7 15,7 a0 1.95

0,53 0.40 0,25 0,20

10 5

2.6 1.3 0,80 0,64 0,32 0.32

Tab. 6.22 enthat eine Auswahl an Grofifeldplanobjektiven fiir 32 mm Zwischenbilddurchmesser mit CVD-Korrektion. Die Bezeichnung dafiir ist z. B. “GF-Planachromat 50x/0,80-/0,17A”, wobei das “A” d e CVD-Korrektion kennzeichnet und 0,17 mm die Deckglasdicke ist. (Ohne CVD-Korrektion wird die Bezeichnung “C” verwendet.)

Fiir nicht so groBe Anspriiche an d e FeldgroUe sind auch Planachromate ftu die Zwischenbildgrone 20 mm und Apochrornate fiir die ZwischenbildgroBe 19 mm mit CVD-Korrektion entwickelt worden (bei biologischen Praparaten sind beide Objektivreihen noch bis 25 mm Zwischenbilddurchmesser verwendbar). In Tab. 6.23 und Tab. 6.24 sind Beispiele angegeben.

66 1


Abb. 6.136 zeigt das Schnittbild und die Definitionshelligkeit fiir ein GroRfeldobjektiv. Eine Besonderheit stellen die Mikroobjektive mit groRem Arbeitsabstand dar, die wegen ihrer Anwendungsmoglichkeit in Kammern mit “K” gekennzeichnet sind. Sie k6Men mit und ohne eine Planplatte aus Glas bzw. Kieselglas verwendet werden (Abb. 6.137). 1

b

t 95 0 b)

-

20 25 32 Bildfelddurchmesser in mrn

Abb. 6.136 a) GF-Planachromat 25x/0,65 -/O, 17A (CVD-Korrektion,die grauen Linsen sind aus FluDspat), b) Definitionshelligkeit als Funktion des Zwischenbilddurchmesrs; (1) Scharfstellung auf die Bildmitte, (2) optimale Scharfstellung

Abb. 6.137 Mikroobjektiv mit grokm Arbeitsabstand K 8x/0,10 (f’= 3 1,3 mm, freier Arbeitsabstand ohne Frontplatte 39.5 mm)

Tabelle 6.23 Planachromate, Bildweite unendlich, Korrektion der CVD Vergrokmng

numerische Apertur

Brennweite freier Arbeitsabstand in mm in mm

maximaler Objektfelddurchmesser in mm

5 10 20 50 100

0,lO 0,zo 0.40 480

50 25 125 5

4

130

2, s

12,8 14,l 26 0,38

0,17

2

1 0,4 0.2

Tabelle 6.24 Apochromate, Bildweite unendlich. Korrektion der CVD Vergrokrung

numerische Apettur

Brennweite freier Arbeitsabstand in mm in mm

maximaler Objektfelddurchmesser in nun

39,6 20

6.6 1.4 0.3

3

25

0.17 0,35 0,65

50 100

0,95 1,40

5 2.5

0,17

0.38 0,19

63

12,5

10

0,09

1,5 476

662 6.5.9


Okulare

Die Mikroskop- und die Fernrohrokulare bilden das Zwischenbild wie Lupen ab. Im Normalfall befindet sich das Zwischenbild in der objektseitigen Brennebene des Okulars, das Endbild entsteht demnach im Unendlichen. Die Austrittspupille des Objektivs ist die Eintrittspupille des Okulars. Diese liegt damit im allgemeinen weit vor dem Okular, so daO der Hauptstrahlenverlauf wenig vom telezentrischen Strahlenverlauf abweicht. Als Kennzahlen werden die NormalvergroDerung r’=250/(f’/mm) und die Feldzahl 2yo,/mm angegeben. Der halbe Bildwinkel w’ und h e Feldzahl sind durch 2y = 2f;ktanw’ bzw. 2r&.y/mm = 500tanw’

(6.318)

miteinander verknupft. Bei einem Feldwinkel 2w‘= 36” ist noch keine zu starke Augenbewegung notwendig. Legt man diesen als maximalen Bildwinkel fest, dann gilt wegen tanl8’= 0,32 (6.319a) 2r;,.y/rnm = 160. Wegen des normalen Steckdurchmessers 23,2 mm mu13 die Feldzahl der schwachen Okulare (bis r’=8) auf 20 mm begrenzt werden. Bei den stiirkeren Okularen nimmt die Feldzahl mit der VergroRerung ab. Bei Okularen mit erweitertem Feld betragt der Steckdurchmesser 30 mm. Es wird (6.3 19b) 2r;,.y/mm = 200 gewmt, so da8 2w’= 46” ist. Die objektseitige Feldzahl des Mikroskops folgt aus (6.320) Sie betragt also 2y,,/mm

160 bzw. = I

Ir I

200 2yob/mm = -

Ir‘r

(6.32 1a, b)

Bei Objektiven mit unendlicher Bildweite ist von G1. (6.320) auszugehen. Fiir den Zwischenbilddurchmesser 32 mm und den Tubusfaktor 0,8 erhat man bei Okularen mit der Feldzahl25 250 (6.32 1c) 2YOb = IT’I’ Im allgemeinen bilden also die Okulare ein grofies Feld mit kleiner Offnung ab. Daraus ergibt sich, daI.3 vorrangig die Abbildungsfehler - Farbfehler des Hauptstrahls - Astigmatismus und - Verzeichnung zu korrigieren sind. Es kann aber auch notwendig sein, die Bildfeldwolbung zu beriicksichti-


663

gen (Planokulare). Spezialfdle sind z. B. die Kompensationsokulare und die Feldstecherokulare, bei denen ein Anteil an Verzeichnung vorgegeben wird, weil dies fiir die Beobachtung bewegter Objekte gunstig ist.

Plankonvexlinse. Eine Plankonvexlinse eignet sich als Okular mit kleiner VergroRerung und nicht zu groSem Feld. Die Plantlache ist dem Auge zuzukehren, damit der Astigmatismus und die Verzeichnung klein sind. Monozentrisches Okular (Abb. 6.138a). Ein Femrohrokular aus drei miteinander verkitteten Linsen ist das monozentrische Okular. Es hat wie die Einzellinse nur zwei Glas-Luft-Fliichen, so da13 es reflexarm ist. Der Aufbau aus zwei Zerstreuungslinsen (Flintglas) und einer Sammellinse (Kronglas) ennoglicht die Korrektion des Astigmatismus fiir eine nicht zu groRe Feldzahl. Ramsden-Okular. Bei kleinen und mittleren VergroDerungenhaben die Okulare relativ groSe Brennweiten. Die Entfernung vom Zwischenbild bis zu der Augenlinse ist so groa, daD sich die divergenten Hauptstrahlen weit von der optischen Achse entfernen. Das gilt besonders fiir groRe Felder. Die Okulare werden dann zweckmaiaig aus einer Feldlinse und einer Augenlinse zusammengesetzt. Dabei verkiixzt sich allerdings die Schnittweite der Austrittspupille. Beim Ramsden-Okular (Abb. 6.138b) steht die Feldlinse in der Zwischenbildebene. Feldund Augenlinse haben dieselbe Brechzahl. Ihre Brennweiten sind gleich der Brennweite des Okulars. Es gilt (6.322) Dadurch ist die Brennweite des Okulars fiir zwei Farben gleich und der Farbfehler des Hauptstrahls klein. Wegen der groRen Enffernung der Eintrittspupille fdlt die Austrittspupille fast mit der Augenlinse zusammen. Das ist ein wesentlicher Nachteil des Ramsden-Okulars. Ein weiterer Nachteil ist das Zusammenfallen von Zwischenbild und Feldlinse, wodurch Schmutz und Blasen in der Feldlinse im Bild zu sehen sind. Das Ramsden-Okular ist bis zu einem Feldwinkel von 25" korrigierbar, wobei jedoch die Verzeichnung nicht klein ist.

Kellner-Okular (Abb. 6.138~).Die Nachteile des Ramsden-Okulars lassen sich vermeiden, wenn die Augenlinse aus Sammellinse (Kronglas) und Zerstreuungslinse (Flintglas) zusammengesetzt wird. Es entsteht ein Kellner-Okular, bei dem die Zwischenbildebene vor der Feldlinse liegt und die Austrittspupille bei nicht zu starken Vergroaerungen dem Auge gut zughglich ist. Huygens-Okular (Abb. 6.138d). Ramsden- und Kellner-Okular haben den Vorteil, daS die Zwischenbildebene vor dem Okular liegt. Strichmarken und Teilungen lassen sich im Tubus anbringen und bleiben bei einem Okularwechsel erhalten. Wenn dieser Vorteil nicht benotigt wird, dann lassen sich die Nachteile des Ramsden-Okulars auch mit einer einfachen Feld- und Augenlinse aus gleichen Glbern vermeiden. Das Zwischenbild muR zwischen Feld- und Augenlinse liegen. Bei dem so entstehenden Huygensschen Okular ist die Brennweite fiir zwei Farben gleich, wenn fiir den Linsenabstand (6.323a) gilt.

664


Fur den Abstand der Austrittspupille von der als dunn angenommenen Augenlinse sl,, gilt angeniihert (6.323b)

Da s’,2 > 0 gelten muD, ist FL > Fk zu w M e n (bzw. gibt z.B. s’,Z/f’=0,165. Das Zwischenbild liegt um

fi > f;).

Das Verhiiltnis

f;/fL

= 1,5 er-

(6.323~)

von der als dunn angenommenen Feldlinse entfernt, also wegen FL > F; zwischen Feld- und Augenlinse (bei f;/ fL = 1,5 gilt sl/ f‘ = 0,25). Zw:B.

AP

Zw.-B.

zw.-B.

t.

9)

AP

i

Abb. 6.138 Okulare (Zw.-B. Zwischenbild 4 Feldblende) a) Monozentrisches Okular, b) Ramsden-Okular, c) Kellner-Okular, d) Huygenssches Okular, e) Konig-Okular, f) Orthoskopisches Okular, g) Eme-Okular, h) Feldstecher-Okular

Konig-Okular und orthoskopisches Okular. Bei stiirkerer VergrtiDerung ist die Brennweite der Okulare so klein, da8 eine Feldlinse nicht erforderlich ist. Andererseits ist eine kleinere Bauliinge notwendig, damit das Zwischenbild vor dem Okular liegt. Ein Okular dieser Art aus drei Linsen stellt das Konig-Okular dar (Abb. 6.138e).


665

Eine bessere Verzeichnungskorrektion ist mit dem vierlinsigen orthoskopischen Okular moglich (Abb. 6.1380.

GroBfeldokulare. Gelegentlich wird vom scheinbaren Bildfelddurchmesser ausgegangen. Dieser stellt die BildgroBe dar, wie sie dem Beobachter in 250 mm Entfernung von der Austrittspupille aus erscheint. Es gilt: scheinbarer Bildfelddurchmesser = Feldzahl X Okularvergr6Serung

(die GriiSe in den G1. (6.319a, b) und (6.321~)).Okulare mit scheinbaren Bildfelddurchmessern uber 175 mm werden GroSfeldokulare genannt. Die Objektive mit CVD-Korrektion sind naturgema auch mit Okularen zu benutzen, die CVD-Korrektion haben. Zu den GroSfeldobjektiven passen GroSfeldokulare, die entweder mit 23,2 mm (P-Okulare) oder mit 30 mm Steckdurchmesser (Pw-Okulare) angeboten werden (Tab.6.25). Tabelle 6.25 P-Okulare (23,2 mm Steckdurchmesser) und Pw-Okulare (30 mm Steckdurchmesser), Korrektion der CVD

TYP

Vergrokrung Feldzahl ~~

P

GF-P GF-P GF-P GF-P

Pw GF -pW GF-Pw

~~

~

63 10 10

19 20 18

12s

16 1z5

16 6.3 10

16

25 25 16

Bildfelddurchmesser in mm 120 200 180 200 200 158 250 256

Brennweite in mm 39,7 25 25 20 156 39,5 25.7 15,7

mittlere Pupillenhdhe in mm 20 oder 10 20 oder 10 20 oder 10 10

10 12 21 12

Blendentyp Mittelblende Mittelblende Vorderblende Vorderblende Vorderblende Mittelblende Mittelblende Mittelblende

Feldstecher-Okulare. Fiir Feldstecher werden Okulare mit groSem Feldwinkel benotigt. Es ist dann gunstig, bei der Korrektion auch die Bildfeldwolbung zu beriicksichtigen. Zwei Beispiele sind das Erfle-Okular (Abb. 6.138g) und ein Feldstecher-Okular von Carl Zeiss Jena (Abb. 6.13811). Bei letzterem sind die dicken Menisken geeignet. die Bildfeldebnung zu erleichtern.

6.5.10 Spezielle optische Systeme

In diesem Abschnitt sollen Beispiele fiir optische Systeme mit speziellen Anwendungen zusammengestellt werden. Es handelt sich um die kurz gefaRte ijbersicht uber einige in der Literatur zu findende Angaben. Fotolithografische Objektive. Die Mikrostrukturierung erfordert die Abbildung von Schablonen mit feinen Strukturelementen auf eine Fotolackschicht. Der Fotolack benotigt einen hohen Kontrast des Bildes (= 03). In der Mikroelektronik wurde auSerdem der Durchmesser

666


der zu srrukturierenden Siliciumscheiben stlindig vergroRert. Daraus ergibt sich, &a13 die Objektive fir die Projektionsfotolithografiequasibeugungsbegrenzt fir grol3e Offnungen und grorje Felder sein mussen und nur geringe Verzeichnung haben durfen. Sie brauchen jedoch nur fiir schmale Wellenliingenbereiche korrigiert zu werden (ca. 10 nm). Die VergroRerung des Auflosungsvermogens hat weiter die Tendenz mit sich gebracht, die Arbeitswellenllinge zu verkleinern. Die Objektive sind stiindig komplizierter und ihre Baulange groRer geworden. Der Preis ist entsprechend hoch, so daR ihre Nutzung aurjerhalb der lithografischen Gerate nicht veruetbar ist. Die Forderungen an die Werkstoffe und an die Zentrierung sind extrem groR, so daR neue Priifverfahren, neue Fassungsmethoden und rechnergestutzte Methoden der Montage eingefiihrt werden m d t e n [60]. Bei der Priifung der Bildgute ist zu beachten, daD in der Projektionsfotolithografie mit partiell-kohiirentem Licht gearbeitet wird. BiLde bene

I

+-#-I

a)

t

500 mm

_.

I

500 mm

Abb. 6.139 Objektive fur die Fotolithografie a) UM 1: 4/0,25, b) UM-Am1: 5/0,25.. .0,40 (grau: Lanthanflinte),c) fiir W korrigiert

Abb. 6.139 demonstriert die Entwicklung der fotolithografischen Objektive an drei Beispielen. Abb. 6.139a zeigt ein Objektiv der Anfangsphase bei Carl Zeiss Jena (1967). Die


667

Ahnlichkeit mit einem Mikroobjektiv ist noch deutlich erkennbar. Es lost auf einem Feld von 2 mm x 2 mm Strukhnen mit 3 pm Breite auf. Mit dem Objektiv nach Abb. 6.139b w d e n unter praxisnahen Bedingungen bei definierten Parametern der Schicht mit der numerischen Apertur 0,25 bei 20 mm x 20 mm FeldgroBe 1,44 pm und mit der numerischen Apertur 0,4 bei 8 mm x 8 mm Feldgrdfle 0,83 pm aufgeldst. Die Vemichnung liegt unter 150 nm. Der Vorstol3 in den ultravioletten Bereich bringt neue Komplikationen mit sich, denn die kleinen Wellenliingen bis zu 200 nm herab engen die Toleranzen weiter ein. AuRerdem ist die Werkstoffauswahl begrenzt auf Fluoride und Kieselglas. Abb. 6.139~zeigt das Schnittbild eines Versuchsobjektivs [59]. Lasersysteme. Die theoretischen Grundlagen fiir optische Systeme zur Laserfokussierung und zur Laserbiindelaufweitunghaben wir bereits in 4.1.12 behandelt. Kommerziell sind Aufweitungssysteme sowohl vom Galileityp (Abb. 6. M a ) wie auch vom Keplertyp (Abb. 6.14Ob) verfiigbar. Fiir die Interferometrie und die Holografie sind groOe Aufweitungsfaktoren bei geringen Wellenaberrationen anzustreben. Das System nach Abb. 6.140~enthiilt ZUT Sicherung der KoMenz eine 20 pm groBe Modenblende.

Abb. 6.140 Kommerzielle Laseraufweitungssysteme a) Galilei-Typ4x oder 7x, b) Kepler-Typ 15x. c) Kepler-Typ 5Ox rnit Modenblende fiir die

Interferometrie und Hologrdie (Wellenaberrationenbei A = 632.8 nm kleiner als A )

Abb. 6.141 Laserfokussiersysteme a) Monochromat mit sphiirischer Korrektion, z. B. mit f’(780 nm) = 20 mm, b) Monoctuomat f’= 10 mm, numerische Apertur A’ = 0,3

Die Laserfokussierung ist mit Monochromaten moglich, die hinsichtlich Offnungsfehler konigiert oder aplanatisch sind. Fiir hohe Leistungsdichten sind Kittflachen zu vermeiden. Abb. 6.141 zeigt zwei Beispiele. Abbildung auf CCD-Matrizen. Spezifische Forderungen werden an Objektive gestellt, die in Verbindung mit CCD-Matrizen verwendet werden. Nach [61] sind fiir hohe MeSgenauigkeiten folgende Bedingungen zu nennen: - Sehr geringe Verzeichnung (unter 1pm), - konstante Kaustik im gesamten Bildfeld mit dem Punktbilddurchmesser von ungefsihr 0,05 mrn, - k i n e Unsymmetrien des Punktbildes, also extreme Korrektion der Koma und der Farbkoma sowie des Farbfehlers des Hauptstrahls,

668


- keine Randabschattung, - minimales Streulicht.

Ein Beispiel ist das in Abb. 6.142a enthaltene Intensar 1,4/100. Dieses Objektiv ist fur den Einsatz in Sternsensoren, evtl. auch im kosmischen Bereich, vorgesehen. Daraus ergeben sich zusatzlich die Forderungen nach geringer Masse und thermischer Stabilitiit (durch Titanfassung unterstiitzt) sowie der Lage der Eintrittspupille nahe der Frontlinse (PupillenabbildungsmaRstab pp= 0,78). Beriicksichtigt wurden aul3erdem eine planparallele Kieselglasplatte vor dem Objektiv und eine planparallele Abdeckplatte des Empf'dngers (2,5 mm.. .3 mm dick, bildseitige Schnittweite ohne Glasweg s' = 10,7 mm). -

0.06 "'

/ b)

I

y'=0 w

z

oo

t

Abb. 6.142 a) Schnittbild des Intensars 1,4/100, 2w = lo", fiir Sternsensoren (CCD-Matrizen), b) Korrektionsdarstellung fiir die Bildmitte, c) Korrektionsdarstellung fiir den Bildrand (Schwerpunktwellenliinge, - untere Grenzwellenliinge, -.-.- obere Grenzwellenliinge)


669

Es wurde je eine Variante fiir die Wellenliingenbereiche 440 nm.. .650 nm und 540 nm.. . ...85Onm berechnet. Die Verzeichnung ist kleiner als 1pm, der Farbquerfehler maximal 4 pm und die relative Abweichung der Isoplanasie unter 0,l %O . In der Bildmitte hat der geometrisch-optische Zerstreuungskreis 0,04 mm, am Feldrand 0,055 mm Durchmesser. Abb. 6.142b und c lassen die GleichmUigkeit des Korrektionszustands erkeMen.

Laserscanner. Fiir die Lasergraw oder die zeilenweise Bestrahlung mit Laserbundeln (Scanningverfahren) sind optische Systeme erforderlich, die eine angepaRte Punktauflosung mit bestimmten iihnlichkeitsforderungenim Feld verbinden. Die Situation W e l t derjenigen fiir o p tische Systeme, die in Verbindung mit CCD-Matrizen benutzt werden. Die Laserbundel werden mit drehbaren Spiegeln oder mit Polygonspiegeln in zwei Richtungen abgelenkt. Wenn x’ und y’ die Bildpunktkoordinatenund d der Winkel zwischen Parallelbundel vor dem Objektiv und der optischen Achse sind, so gibt es zwei Varianten fiir die Korrektion der Objektive. Bei Verzeichnungsfreiheit gilt [66]

+

x’2 y’2 = (f’tan

0)2

,

(6.324a)

bei der sogenannten Tangensentzermng (auch “F-theta-Komktion” genannt) gilt x‘Z+y‘Z

=

(f’0)Z.

(6.324b)

Die getrennte Ablenkung in x’- und in y’-Richtung durch je eine Spiegelverstellung um (pl bzw. ‘pz ergibt !Tir Tangensentzermng in der ersten Nmerung (Glieder 3. Ordnung vernachlksigt) X‘ = 2f’(p,, y’ = 2f’(pz. (6.325) (Fiir Verzeichnungsfreiheit wiirde x’ = f’ tan 2q,, y’ = f’ tan 2(p2 sein.) Deshalb werden Objektive fiir Laserscanner im allgemeinen mit Tangensentzerrung ausgefiihrt. Abb. 6.143a e n W t ein Beispiel fiir ein Laserscannersystem mit der Brennweite f‘ = 100 mm, bei dem der Feldwinkel 60” und das Offnungsverhiiltnis 1 : 23,8 betragen. Die Tangensentzerrung wird uber die gesamte Liinge auf 0.2% genau eingehalten. Das System nach Abb. 6.143b arbeitet bei der Wellenliinge 4,416 prn und hat die Brennweite f’= 48 mm 1331.

Abb. 6.143 a) Weitwinkel-Scannersystem mit “F-theta-Korrektion” und 3000

Punkten iiber die ScanUnge 106.6 mm, b) telezentrisches Scannersystem mit “F-theta-Korrektion” und 6667 Punkten iiber die Scanliinge

Beugungsbegrenzter Aplanat. Fiir den Einsatz in Interferometern, fiir weitere meDtechnische Aufgaben und als Abtastsystem ist bei Carl Zeiss Jena ein beugungsbegrenzter Aplanat hoher numerischer Apertur entwickelt worden, der Vorbild fiir weitere derartige Systeme sein konnte. Die Wellenaberrationen liegen unter 0,004A. so d& beim konkreten System


670

V > 0,9995, beim realen System V > 0,985 erreicht wird (V Definitionshelligkeit). Die a d e r e Meniskuslinse l a t sich um 4’ kippen, womit z. B. Reflexlicht ausgekoppelt wird. Abb. 6.144 enth‘dlt das Schnittbild [62]. Fiir die Abtastung von compact disc (CD) und anderen optischen Speichern sind sehr leichte und damit miniaturisierte optische Systeme wiinschenswert. Die Einfiihrung von Grddientenlinsen und asphtirischen Linsen erscheint aussichtsreich. Eine vierlinsige Variante ist in Abb. 6.145 enthalten.

100 rnm

,

Abb. 6.144 Beugungsbegrenzter Aplanat hoher numerischer Apertur

I

10 rnm

I

Abb. 6.145 MiniaturisiertesAbtastobjektiv fiir Digitalschallplatten

Fouriertransformationsoptik. Fiir die optische Fouriertransformation, d. h fiir Aufgaben der Ortsfrequenzfilterung und der Zeichenerkennung, werden Objektive benotigt, die aus zwei identischen Gliedern bestehen. Der bildseitige Brennpunkt des ersten Gliedes und der objektseitige BreMpUnkt des zweiten Gliedes fallen zusammen. Das in der objektseitigen Brennebene des ersten Gliedes stehende Objekt wird mit im allgemeinen zeitlich und raumlich kohiirenten Parallelbiindeln beleuchtet und in die bildseitige Brennebene des zweiten Gliedes abgebildet (Abb. 6.146). Filterebene H,- H,’

Beugungsbild

H2- H;

(Fouriertransfw-

Abb. 6.146 Grundaufbau eines Fouriertransformationsobjektivs

Die Fouriertransformierte der Objektfunktion wird in der gemeinsamen Brennebene erzeugt (Beugungsfunktion, analog zum primaen Bild der Abbeschen Mikroskoptheorie). An dieser Stelle konnen mit Ortsfrequenzfiltern Eingriffe vorgenommen werden. In der Ebene durch F; entsteht d m die Fouriertransformierte des Produkts aus Beugungs- und Eingriffsfunktion. Jedes der beiden Glieder muI3 fiir zwei Ebenen korrigiert sein, und zwar fiir die unendlich ferne und die objektseitige BreMebene. Beziiglich spezieller Fouriertransformationsobjektive, die in Verbindung mit CCD-Matrizen arbeiten, verweisen wir auf [63].


67 1

Objektive fur die Infrarottechnik. Fiir die Infrarottechnik, besonders fiir d e Thermografie und fiir Erkennungsaufgaben an Objekten, die durch die Erdatmosphue hindurch zu beobachten sind, werden optische Systeme benotigt, die in den beiden optischen Fenstern (2 pm.. . ...5 pm und 8 pm.. .14 pm) transparent sind. Als Linsenwerkstoffe kommen entsprechend 2.3.3 vor allem Germanium, Silicium, GaAs, As& und Chalkogenidgliiser in Frage. Im allgemeinen sind d e Objektive nur fir ein optisches Fenster komgiert. Beispiele stellen die Objektive aus Abb. 6.147 dar. Triplets auf Germaniumbasis sind in Kiew (Ukraine) fir den Wellenlbgenbereich 8 pm.. . ...14 pm entwickelt worden. Das Objektiv Pion 1 hat die Brennweite f ' = 60 mm und das Offnungsverhiiltnis 1 : 1. Auf der Achse sinkt der Kontrast bei 34 Linien je Millimeter, im auReren Feldpunkt bei 10 Linien je Millimeter auf 0,5 ab. Das Objektiv Pion 2 mit der Brennweite f' = 120 mm und dem OffnungsverhNtnis 1:0,85 lost beim gleichen Kontrast auf der Achse 24 Linien je Millimeter, am Feldrand 10 Linien je Millimeter auf. Der Transmissionsgrad liegt fiir beide Objektive bei 70% .

Abb. 6.147 Objektive fiir die Infrarottechnik a) Servo-Corporation 2/50, A = 0,5 pm...2,6pm, optisches Glas und b) Servo-Corporation 0,78/25, A = 8 pm.. .13pm, Ge,

CaF2,

c) Carl Zeiss Jena 1,4/18, ChaJkogenidglWrund GaAs, d) Carl Zeiss Jena 1,4/30

Bei Carl Zeiss Jena sind Objektive entstanden, die in beiden optischen Fenstern verwendbar sind. Die in Abb. 6.147 gezeigten Objektive sind auRerdem thennisch stabilisiert [64]. Sie losen bei 50% Kontrast 10 Linien je Millimeter auf. Korrektion optischer Systeme. Wir wollen diesen Abschnitt mit einigen kurzgefaRten Bemerkungen zur Korrektion optischer Systeme abschlief3en. In 6.5 sind Hinweise fiir den Ansatz optischer Systeme gegeben worden. Mit Hilfe der Gleichungen fiir das paraxiale Gebiet und der Ansatzbedingungen lassen sich gunstige Ausgangssysteme. d. k Startsysteme fiir die weitere Optimierung bereitstellen. Hgufig dienen dazu aber auch Vorbildsysteme, die in die Optimiemngsprogramme integriert sind. Die Aufgabe, ein optisches System ausreichender Bildgute zu entwickeln, obliegt dem KorrektionsprozeR. Die Korrektion optischer Systeme beruht auf der gegenseitigen Kompensation der Abbildungsfehler der daxin enthaltenen abbildenden Funktionselemente,indem die Suukturparameter (Radien. Dicken, Absttinde, Werkstoffdaten) schrittweise abgewandelt werden. Zur Kontrolle der jeweils erreichten Bildgiite ist die wiederholte Bewertung des Systems notwendig. Heute existieren betriebsinterne und kommerzielle Rechenprogramme zur sogenannten automatischen Korrektion optischer Systeme. Sie beruhen auf der Strahldurchrechnung, den daraus abgeleiteten Gutekriterien und den mathematischen Methoden der iterativen nicht-

672


linearen Optimierung. Die automatische Korrektion (computer-aided lens design) ist eine spezielle Form der rechnergestiitzten Konstruktion (computer aided design, abgekunt CAD). Mit der automatischen Korrektion werden kiirzere Entwicklungszeiten erreicht, und es ist die Entwicklung von komplexeren optischen Systemen moglich. Routineprozesse werden vorwiegend automatisiert, so dd3 die Produktivitat des Optik-Konstrukteurs grofier ist.

7

Weiterfiihrende und aktuelle Erganzungen

7.1

Einleitung

7.1.1

Vorbemerkungen

Um die Weiterentwicklung seit dem Erscheinen der 3. Auflage im Jahre 1994 bei vertretbarem okonomischen Aufwand in der 4. Auflage beriicksichtigen zu konnen, werden in diesem Kapitel einige Erganzungen aufgenommen. Dabei ist aber die Beschriinkung auf wesentliche Hinweise in knapper Form angemessen, weil die Vielfalt an neuen Aspekten fur eine umfassende Behandlung zu grol3 ist. Zunachst sei darauf hingewiesen, dal3 die Bereitstellung an kommerziellen Bauelementen, Verfahren und Geraten seitens der optischen Industrie einen so groBen Umfang angenommen hat, daB selbst eine Auswahl an Beispielen den Rahmen des Buches sprengen wurde. Es liegen von allen Herstellern umfangreiche Kataloge vor, die teilweise auch eine kurze Darstellung der Begriffe der Optik und der Eigenschaften von Bauelementen enthalten. Allein in der Zeitschrift der Physikalischen Gesellschaft [77] sind monatlich umfassende Angebote vorhanden, von denen ein groBer Teil auf Grund der weiter wachsenden Bedeutung optischer Methoden optischer Natur ist. Auch den Fachorganen der Wissenschaftlichen Gesellschaft Lasertechnik ,,LaserOpto" und der Deutschen Gesellschaft fur angewandte Optik ,,Photonik" [79] sind kommerzielle Angebote zu entnehmen. In diesem Zusammenhang sei auch auf die von einem Gremium aus Fachleuten erarbeitete Agenda ,,Optkche Technologien fur das 2 1. Jahrhundert" [78] verwiesen, in der auf die Erfordernisse bei der Weiterentwicklung optischer Methoden in Industrie und Forschung auf verschiedenen Gebieten eingegangen wird. Die Entwicklung der Optik ist in den letzten Jahrzehnten stets eng mit der Entwicklung der Rechentechnik verbunden gewesen. Die Fortschritte hinsichtlich der Rechengeschwindigkeit, des Speicherumfangs, der Moglichkeiten, direkt mit dem Rechner zu kommunizieren, haben sich stets auch in einer neuen Qualitat der Methoden zur Entwicklung optischer Systeme und Baugruppen sowie der digitalen optischen Bildverarbeitung niedergeschlagen. Die Nutzung groBer Rechenanlagen wird im allgemeinen der Industrie vorbehalten bleiben, in der auch die umfassende Software existiert. Nur dadurch war die Entwicklung von Hochleistungsoptik fur die verschiedenen Spektralbereiche moglich. Dagegen sind die PC durch ihre direkte Verfugbarkeit am Arbeitsplatz tagliches ,,Handwerkszeug" vieler Entwickler. Die dafur handelsubliche Software (2.B. in [33] und einigen Firmenkatalogen angegeben) ist oft so anwenderfreundlich, daB selbst bei geringen Optik-Vorkenntnissen bemerkenswerte Ergebnisse erzielt werden konnen. Diese Methode sollte allerdings nicht zur Regel werden. SchlieBlich sei auf die Fortschritte in der MeBtechnik verwiesen, die eng mit der kommerziellen Verfugbarkeit der verschiedenen Lasertypen und der Einfuhrung der verschiedenen Varianten der Laserspektroskopie verbunden sind. Mit der Festlegung der Lichtgeschwindigkeit auf den Wert c = 299 792 458 m . s-l ist auch die Meterdefinition an eine Eigenschaft des Lichtes gebunden, und als Vergleichsnormal fur mit Langenmessungen verbundene MeBaufgaben dient die Wellenlange der optischen Strahlung.

674

7 Weitefihrende und aktuelle Erganzungen

Durch den Einsatz der Faseroptik mit geringer Dampfung konnte die optische Nachrichtenubertragung einen regelrechten Siegeszug antreten. Dazu existiert umfangreiche Spezialliteratur, die auch den systemtechnischen und den informationstechnischen Aspekt beriicksichtigt. Grundlegende Ausfuhrungen dazu sind in [76] enthalten.

7.1.2

Aspekte der Entwicklung des Arbeitsgebietes

In der modemen Geratetechnik ist die Integration von Prazisionsmechanik, Optik und Mikroelektronik, speziell der Mikrorechentechnik zu beobachten. Das gilt sowohl fur die klassischen feinmechanisch-optischen Gerate wie auch fur Gerate der MeB- und Automatisierungstechnik sowie zur Laborautomatisierung. Diese Tendenz ist auch in Gebieten vorhanden, die sich bisher ausschlieBlich elektrischer Prinzipien bedienten, wie z. B. die Messung von Spannung, Stromstarke oder magnetischen GroBen und die Nachrichtenubertragung sowie die Rechentechnik. In der Automatisierungstechnik sind besonders die optoelektronischen Sensoren mit den daran angepal3ten Beleuchtungs- und Abbildungssystemen sowie die Signalubertragung bestimmend fur den wachsenden Anteil an optischen Prinzipien. Es ist aber auch verstkkt das Eindringen von elektronischen Losungen in Geraten zu beobachten, bei denen bisher nur feinmechanisch-optische Bauelemente verwendet wurden. Einige Entwicklungen, die zu dem genannten Trend beigetragen haben, sind: -

Strahlungsquellen, wie z. B. die Lumineszenzdioden und die Laser, vor allem die Halbleiterlaser wegen ihrer geringen Abmessungen und ihrer hohen Lebensdauer,

- Struhlungsernpfunger, teilweise mit Informationsvorverarbeitung, wie z. und -Matrizen [ 1011,

B. die CCD-Zeilen

-

Signalubertragungsstrecken auf der Basis der Lichtwellenleiter,

-

k m p l e x e und schnelle Infot-mationsverarbeitungmit Mikrorechnern und die damit verbundenen Steuerfunktionen bei optischen Systernen,

- optische Buuelemente, wie z. B. die Variooptik, die Gradientenoptik, die aspharische Optik

und die Fresnellinsen, - optische Vegahren, wie z. B. die Holografie, die Bildverarbeitung, einschlieljlich der opti-

schen Filterung, die Scannverfahren (Scanning, engl. Abtastung, Abrasterung des Objektes mit abgelenkten Lichtbundeln) und die integrierte Optik (Kopplung miniaturisierter Bauelemente in einem Wellenleiter). Folgende Grunduufguben fur optoelektronische Gerate konnen unterschieden werden: - Bewertung von Fremdstrahlung mittels optoelektronischer Empfanger (z. B. Belichtungsmesser,

Dammerungsschalter). - Bewertung der vom Gerat ausgehenden Strahlung nach ihrer Veranderung wiihrend der Aus-

breitung

(2.

B. Lichtschranken und -taster).

- Modulation, Ubertragung und Empfang von Signalen (z. B. optische Nachrichtenubertragung,

Fernsteuerung mittels Infrarotstrahlung).

7.IEinleitung

675

- Fokussierung und Steuerung von optischen Systemen. - Wandlung bildmaoiger Informationen in elektrische Signale (z. B. Aufnahrnerohren, opto-

elektronische Kameras, Bildverarbeitung, wofiir auch neue Verfahren der Auflichtbeleuchtung entwickelt wurden [91]). In einem optoelektronischen Gerat werden i. allgem. die optische Strahlung zur Inforrnationsubertragung, ein optoelektronischer Empfanger zur Signalwandlung (gelegentlich auch andere optische Empfanger, wie z. B. thermische) und mikroelektronische Baugruppen zur Informationsverarbeitung eingesetzt.

Photonik. In Anlehnung an das Gebiet ,,Elektronik", das urspriinglich die Wechselwirkung zwischen Elektronen und auI3eren Feldern erfaBt hat, wobei nur in Ausnahmefallen Photonen beteiligt waren (z. B. beim Photoeffekt), wurde in den letzten Jahren der Begriff ,, Phutunik" (engl. Photonics) eingefuhrt. Die inhaltliche Definition der Photonik wird aber wie bei jedem neuen Begriff sehr unterschiedlich gesehen. Im Vordergrund steht leider oftmals nur das Bestreben, sich modern darzustellen. Das komrnt bereits darin zum Ausdruck, daR manche Autoren den Begriff Photonik als Ersatz fur den Begriff Optik verwenden, indern sie darin samtliche Teilgebiete der Optik einordnen. Auch die optische Industrie benutzt ihn zu Werbezwecken. Im Grunde genommen beschreibt bereits die Optoelektronik die Wechselwirkung zwischen Photonen, Elektronen und auBeren Feldern. Eine neue Qualitat der Verbindung von Elektronik und Optik ist dadurch entstanden, daB die Entwicklung der Halbleitertechnik und der integrierten Optik viele neue Effekte des aktiven Zusamrnenwirkens von Photonen und Elektronen oder Defektelektronen hervorgebracht hat. Deshalb sollte der eigentlich nicht erforderliche Begriff Photonik auf die Vorgange beschrankt bleiben, bei denen der Photonencharakter der optischen Strahlung unmittelbar zur Erklihng der Funktion von optoelektronischen Bauelementen benotigt wird, oder optische und elektronische Funktionen in einem Halbleiter integriert sind. Beziiglich der Entwicklung der Optik steht weiterhin die Erforschung der physikalischen Grundlagen auf der Tagesordnung. Die Erzeugung spezieller Photonen und ihrer Eigenschaften stehen im Vordergrund, vor allem ihr statistisches Verhalten ([84], [88], [97]). Die Erwartungen fur die mefitechnische Umsetzung der Eigenschaften der ,,gequetschten" Photonen (squeezing states) sind bisher nur bedingt erfullt worden. Neue geratetechnische Losungen, bei denen wesentlich optische Prinzipien und Bauelemente genutzt werden, sind zu erwarten. Physik und Technik bedingen sich aber gegenseitig, so daI3 die Ubergange flieI3end sind und von der reinen Grundlagenforschung bis zur angewandten Forschung, bzw. der konstruktiven und technologischen Umsetzung reichen. Diese Tendenz zeigt sich besonders bei der Weiterentwicklung der Laser und der nichtlinearen Optik. Die analoge Fotogra3e hat sich zunachst in Richtung der Automatisierung einzelner Funktionen entwickelt (Belichtungsrnessung, automatische Fokussierung, automatische Anpassung der Belichtung an die Filmempfindlichkeit). Fur die Amateurfotografie mit Kleinbildfilrnen stehen Varioobjektive rnit guter Bildqualitat in vielfaltiger Auswahl an Brennweitenbereichen zur Verfiigung (siehe auch Abschn. 6.5.5 und 7.6.3). Fur starke NachvergroRerungen oder die professionelle Fotografie bleiben die festbrennweitigen Objektive hoher Bildgute sowie die groaformatigen Kameras unverzichtbar. Irn Vormarsch ist die digitale Fotugrafie, die in erster Linie durch den Ersatz des Films durch CCD-Matrizen und die digitale Speicherung der Bilddaten ausgezeichnet ist. Die Bilder lassen

676

7 Weiterfiihrende und aktuelle Erganzungen

sich sofort betrachten und im Computer bearbeiten. Einzelheiten sollen hier nicht behandelt werden. Die optischen Zusammenhange sind z. B. in [96] und [98] dargelegt worden. Die Nuhfeld-Mikroskopie hat eine groBe Vielfalt an Methoden und Geratelosungen mit sich gebracht, die sich betrachtlich von der klassischen Mikroskopie unterscheiden. Deshalb wird im Abschn. 7.6.1 naher darauf eingegangen. Es existiert bereits eine grolje Anzahl an Veroffentlichungen uber die Anwendungen. Das wird auch dadurch gefordert, daB inzwischen viele Firmen ausgereifte kommerzielle Gerate in ihren Katalogen sowie in Fachzeitschriften anbieten (z. B. in [77]). Bei den astronomischen Fernrohren sind immer komplexere Losungen mit hohem technischen und materiellen Aufwand in Angriff genommen worden, wobei zwischen der ersten Konzeption und der Inbetriebnahme lange Entwicklungszeiten liegen. Nahere Ausfiihrungen enthalten die Abschnitte 6.3.2 und 7.6.2. Fur optische Experimentalaufbauten oder fur die Kombination von Einzelelementen zu speziellen MeBgeraten stehen heute fur fast alle optischen Funktionen industriell gefertigte Bauelemente und Baugruppen zur Verfugung, wobei haufig auch Kundenspezifikationen beriicksichtigt werden kiinnen. Die Mikrostrukturierung fur die Mikroelektronik erlaubt immer feinere Strukturen durch den Ubergang zu kleinen Wellenlangen. Davon profitiert auch die integrierte Optik (Abschn. 7.5. l), s o daU von Mikro- und Nanooptik gesprochen wird [991, [ 1001. Dabei spielen die Mikrolinsenraster, die auf Brechung beruhen und Bezug zum Wabenkondensor haben (Abschn. 6.5.1, [93]) sowie die diffraktiven optischen Elemente (abgek. DOE), die auf Beugung beruhen, eine wichtige Rolle. Die vielfaltigen Einsatzmoglichkeiten und die Grenzen der diffraktiven optischen Elemente werden in [94] aufgezeigt. Eine spezielle Anwendung zur Strahlformung wird in [92] dargestellt. Bei den Strahlungsquellen sind besonders zwei Richtungen zu enviihnen. Das Bestreben, die hohe Lebensdaucr der LED fur Beleuchtungszwecke zu nutzen, fuhrt zu den ,,weiU" strahlenden LED (Abschn. 7.5.3). Die Entwicklung von Strahlungsquellen hoher Leuchtdichte, u. a. fur das Projektionsfemsehen, wurde durch die Kopplung einer Quecksilber-Hochstdruckentladung mit einem Halogen-KreisprozeB eingeleitet (UHP-Lampe, [90]). Wir wollen noch kurz auf den Dualismus zwischen Wellen- und Teilchencharakter eingehen, der grundsatzlich bei samtlicher Materie vorhanden ist. Der Dualismus driickt sich offenbar in einer Wechselbeziehung von Kontinuitat (Welle) und Diskretisierung (Teilchen) aus. Wir haben z. B. beim Photon bewuBt die Formulierung gewlhlt, daU eine wesentliche Seite der Charakter als elektromagnetische Welle und eine wesentliche Seite der Charakter als Elementarteilchen in Form eines Quantes darstellt. Keineswegs kann davon gesprochen werden, daB das elektromagnetische Feld keine Materie ist. Auch das Elektron zeigt je nach Versuchsanordnung die beiden wesentlichen Seiten Teilchen und Welle. Im Unterschied zum Photon hat es aber Ruhemasse, so dab es stoffliche Materie darstellt. Die Welle ist nicht elektromagnetisch. Die dem Elektron zugeordnete sogen. Materiewelle ist im eigentlichen Sinne eine ,,Stoffwelle". Obwohl die mit diesen Problemen verbundenen Fragen starker in die Philosophie einzuordnen sind, sollten sie hier noch kurz angesprochen werden. Auf alle Falle konnen die oft vorzufindenden Meinungen, das Photon sei weder Teilchen noch Welle oder die Photonen verhalten sich manchmal wie Teilchen, manchmal wie Wellen, den physikalischen Sachverhalt nicht befriedigend beschreiben. SchlieBlich ist der Dualismus kein theoretisches und schon gar kein subjektiv auslegbares Phanomen. sondern eine experimentell nachweisbare Realitat. Bemerkenswerte Ausfiihrungen dazu sind z. B. [88] und [97] zu entnehmen.

7.2 Physikalische Grundlagen

7.2 7.2.1

677

Physikalische Grundlagen Dipolstrahlung

Wir wollen die Entstehung Hertzscher Wellen durch schwingende elektrische Dipole behandeln. Allgemein gilt, daB eine bewegte elektrische Ladung ein Magnetfeld erzeugt, dessen Starke der Geschwindigkeit der Ladung proportional ist. Eine beschleunigte Ladung und damit auch eine auf einer geschlossenen Bahn umlaufende Ladung ist mit einem zeitlich veranderlichen Magnetfeld verbunden. Sie bewirkt die Abstrahlung einer elektromagnetischen Welle. Der schwingende elektrische Dipol mit dem Dipolmoment p = Q 1 (Q elektrische Ladung) erzeugt in groBeren Entfemungen (r >> h) den Betrag der elektrischen Feldstkke

E =

o2p s i n 6 4 n; E~ cg r

jwr

-

e c

(7.1 a)

und den Betrag der magnetischen Fe1dst;irke

H = -co' Eo 2 .

(7.1 b)

o2

Die Intensitut, also der Betrag des Zeitmittelwertes des Poyntingvektors S, betragt fur den sinusformig schwingenden Dipol der Amplitude po (7.2)

In Abb. 7.1 ist (S)in einem Polardiagramm dargestellt. (Bei grol3en Ladungsgeschwindigkeiten entsteht als relativistischer Effekt eine Verlagerung des Maximums von 6 = 90" weg nach kleineren Winkeln.) Die gesamte je Zeit ausgestrahlte Energie, die Strahlungsleistung, ergibt sich zu

(1 ist die Lange des Dipols, I,, die der schwingenden Ladung zugeordnete Amplitude der Stromstake).

Dipol

Abb. 7.1 Ausstrahlung des schwingenden Dipols


67x

\

I

/

Abb. 7.2 Zur Polarisation des reflekticrten Lichtes

Die klassische Theorie drr Lichtuusstrahlung geht von den gleichen GesetzmiilJigkeiten aus. Die ausgestrahlte Wellenlange des schwingenden Dipols hangt mit seiner Lange zusammen (bei der Grundschwingung ist 1 = A&). Deshalb mussen infolge der kleinen Wellenlangen im optischen Bereich atomare Dipole angenommen werden. Betrachtet man ein mit konstanter Winkelgeschwindigkeit o auf einer Kreisbahn urn den Kern umlaufendes Elektron, so ist diese Bewegung zwei senkrecht aufeinander stehenden Dipolschwingungen aquivalent. Die Winkelgeschwindigkeit entspricht der Kreisfrequenz der ausgestrahlten Lichtwelle, die wegen o = v / r von dem Bahnradius abhangt. Das Model1 des schwingenden elektrischen Dipols erklart qualitativ die lineare Polarisation des an einer Grenzflache reflektierten Lichtes (Abschn. 2.2.3). Das elektrische Feld der Welle intluenziert im Stoff Dipole, die in ihrer Schwingungsrichtung nicht strahlen. Deshalb fehlt der reflektierte Anteil der Welle, wenn der reflektierte Strahl mit dem gebrochenen einen rechten Winkel bildet (Abb. 7.2). Fur die rechtwinklig zur Einfallsebene schwingende Komponente tritt diese Erscheinung nicht auf. Die Annahme von schwingenden elektrischen Dipolen fur die Lichtausstrahlung aus atomaren Systemen erklart auch die natiirliche spektrale Verbreiterung der Spektrallinien. Da die Anzahl an Dipolen je Volumen die elektrische Polarisation ergibt, gilt eine zu G1. (2.90) analoge Gleichung auch fur die Lichtausstrahlung. Die Dampfung der Schwingung geht in Form einer fiktiven Strahlungsreibung ein. Die Losung der Differentialgleichung ergibt fur die Ausstrahlung des gedampften Dipols den StrahlungsfluR

(7.4) Die spektrale Strahlungsleistung betragt

(7.5)

7.2 Phvsikalische Grundlagen

679

Daraus ergibt sich die volle Halbwertsbreite zu

Mit z = 4,0422274 . lo2' (1 / v i ) erhalt man bei h,= 500 nm A& = 1,1803752 . nm. Diese naturliche Linienbreite ist mit klassischen spektroskopischen Methoden kaum auflosbar; sie wird auch durch andere Effekte uberdeckt. Die spektrale Breite bestimmt die Koharenzlange, deren GroBe fur naturliche Dampfung und fur Doppler-Dampfung in den Gln. (2.156) und (2.157), bzw. unter EinschluB weiterer Einfliisse in G1. (2.158) angegeben ist. Die Anwendung der klassischen Elektrodynamik auf die Lichtausstrahlung durch Atome und atomare Systeme muB unvollstandig bleiben. Einmal ist sie abhangig von einem geeigneten Atommodell und zum anderen beriicksichtigt sie nicht den Quantencharakter des Lichtes. Als erfolgreich hat sich die Kombination der Elektrodynarnik rnit der Quantentheorie erwiesen. Damit lassen sich die experimentellen Ergebnisse bei der Lichtausstrahlung theoretisch deuten. Der unmittelbare Vorgang der Entstehung der Lichtquanten aus anderen Erscheinungsformen der Materie oder der ,,Vemichtung" von Lichtquanten ist allerdings auf diesem Wege nicht zu verstehen. Ansatze dam werden in der Quantenfeldtheorie bereitgestellt.

7.2.2

Interferometer

In den Abschn. 2.4.3,2.5.5 und 5.2.3 sind wir auf einige Beispiele von Interferometem eingegangen. Es handelte sich um: - Interferometer mit zwei interferierenden Bundeln

. . . .

Mach-Zehnder-Interferometer (Abb. 2.52, Abb. 2.89) Jaminsches Interferometer (Abb. 2.88) Dreieck-Interferometer (Abb. 2.90) Youngsches Interferometer (Abb. 2.53) und - Interferometer mit Mehrfachbundeln . Fabry-Perot-Interferometer (Abb. 5.3 1, Abb. 5.33) . Lummer-Gehrcke-Platte (Abb. 5.32). Diese Beispiele waren in die theoretischen Grundlagen der Interferenz eingeordnet und nicht systematisch behandelt worden. Deshalb sollen hier einige Erganzungen folgen. Interferometer dienen bevorzugt zu: -

Langenmessungen (Interferenzkomparator) Brechzahlmessungen (Interferenz-Refraktometer) Winkelmessungen (Stern-Interferometer) Spektroskopischen Messungen (Interferenz-Spektroskopeund -Spektrometer) Wellenflachenmessungen und Messungen von Giitefunktionen der Abbildung.

Drei Interferometer-Anordnungen, die bisher im Text zu wenig Beachtung fanden. sollen etwas detaillierter betrachtet werden : Michelson-Interferometer, Fouriertransformations-Interferometerund Sagnac-Interferometer.


680

Q

t

_ ._ ._ .

.

I

T Zur Beobachtungseinrichtung

Abb. 7.3 Michelson-Interferometer

Michelson-Interferometer. Im klassischen Michelson-Interferometer interferieren zwei Teilbundel, die an einern Bundelteiler erzeugt und an zwei Spiegeln reflektiert wurden. Die Interferenz-Erscheinung kann mit einern Fernrohr betrachtet werden (Abb. 7.3). Es gelten die G1. (2.1 I la), bzw. bei entsprechender Symrnetrie der Anordnung GI. (2.1 1 Ib). Sind die Abstande der beiden Spiegel von der Glasplatte einander gleich, so haben die beiden Lichtbundel 1 und 2 gleiche Wege zuriickgelegt, da in den Weg des Bundels 2 eine Platte eingeschaltet wird, die die gleiche Dicke wie die Teilerplatte hat. Die sich uberlagernden Biindel 1 und 2 haben also keine Phasendifferenz und verstarken sich. Eine Verstarkung tritt auch dann ein, wenn sich die Abstande der Spiegel von der Glasplatte um ein geradzahliges Vielfaches von W4, die optischen Wegunterschiede der Lichtwellen also um ein geradzahliges Vielfaches von h12 voneinander unterscheiden. Dagegen loschen sich die beiden Bundel aus, wenn der Unterschied der Abstande der beiden Spiegel von der Teilerplatte ein ungeradzahliges Vielfaches von W4 ist. Einem (nahezu) auf Unendlich eingestellten Auge, das von den Lichtbundeln 1 und 2 getroffen wird, erscheint demnach das Gesichtsfeld abwechselnd hell und dunkel, wenn einer der beiden Spiegel verschoben wird. Der Wechsel erfolgt bei der Verschiebung eines Spiegels urn W4. Das Gesichtsfeld erscheint nicht gleichmaflig hell oder dunkel, sondern zeigt bei genau zentrischer Aufstellung des Interferometers konzentrische Kreise. Da die Lichtquelle ausgedehnt ist, fallen viele parallele Strahlenbundel unter verschiedenen Neigungen auf die Teilerplatte. Es entstehen demnach Kreise gleicher Neigung. Man kann sich die Wirkungsweise des Interferometers am besten so veranschaulichen, dal3 man sich den einen Arm in die Richtung des anderen gedreht denkt (in Abb. 7.4 S , nach S ; ). Stehen die beiden Spiegelebenen parallel, dann kann man die oben beschriebenen Interferenzerscheinungen ohne weiteres als die einer planparallelen Platte erkennen. Der Abstand zwischen den beiden parallelen Flachen S , und S 2 ist gleich d. Blickt man unter dem Winkel E, so sind die beiden Spiegelbilder der Lichtquelle urn 2d voneinander entfernt (Abb. 7.5). Verstarkung tritt ein, wenn die Beziehung 2 d cos E = m h gilt (rn ganzzahlig).


68 1

TP

s,

Abb. 7.4 Ersatzschema des Michelson-Interferometers

Abb. 7.5 Wirkungsweise des Michelson-Interferometers

Wird S, bewegt, wahrend S I bei feststehender Lichtquelle unverandert bleibt, so erscheinen neue Interferenzstreifen fur eine Verschiebung As von U2. Erscheinen somit N neue Streifen, dann gilt AS

h=2--. N

Hieraus folgt, dal3 man mit dieser Versuchsanordnung die absolute Messung einer Wellenlange vornehmen kann, indem man z. B. den Spiegel S, mittels einer Mikrometerschraube parallel zu


682

sich selbst um einen merjbaren Betrag verschiebt und gleichzeitig die Anzahl der Helligkeitswechsel des Gesichtsfeldes beobachtet. Gewohnlich werden die verwandten Spiegel urn einen geringen Winkel geneigt. Wiederum gilt dann die obige Beziehung fur eine kleine Anderung der Neigung, namlich h = 2 ASIN.SchlieSt die eine Spiegelebene mit der anderen (wenn man sich die Arme zusammenfallend denkt) einen Winkel ein, so erscheinen die Interferenzen einer keilformigen Platte. 1st z. B. die eine Platte gegen die andere um eine lotrechte Achse etwas verdreht (Abb. 7.6), so erhalt man eine Schar von oben nach unten verlaufender gerader Interferenzstreifen, deren Abstand um so kleiner ist, je starker die Platten gegeneinander geneigt sind. 1st hierbei z. B. der Abstand der Spiegelmitten von der Teilerplatte gleich, so herrscht dort der optische Wegunterschied Null, man sieht im weil3en Licht den zentralen Interferenzstreifen, urn den sich (nahezu) symmetrisch die Farbenerscheinungen gruppieren. Wird nun der eine Arm durch irgendeine Ursache etwas verlangert oder verkurzt, so ist die Stelle gleicher Armlange nicht mehr in der Mitte der Spiegel, sondern rechts oder links davon. In der Abb. 7.6 ist die neue Stellung punktiert angegeben. Jetzt erscheint der zentrale Streifen an einer anderen Stelle des Spiegels. 1st die Neigung der beiden Spiegelebenen so, daB etwa je 3 Streifen auf beiden Seiten des zentralen Streifens zu sehen sind (daB also nach gedachtem Zuruckdrehen des einen Armes in die Richtung des anderen das linke Ende des einen Spiegels um 6 Wellenlangen naher ist als das rechte), so bedeutet die Verschiebung des zentralen Streifens um eine Streifenbreite, daB der eine Arm seine Lange um eine Lichtwellenlange geandert hat. Da es nicht schwierig ist, eine Streifenbreite von etwa 5 mm zu erzielen, so bedeutet dies eine vergrorjerte Aufzeichnung der Langenanderung um das 104-fache. Durch Beobachtung mit einem Femrohr, besonders aber durch fotografische Registrierung kann man noch Verschiebungen von Tausendstel Streifenbreiten, also Langenanderungen von 10-7 cm feststellen (und dies unter Umstanden auf eine Lange von mehreren Metern entsprechend relativen Langenanderungen von lo-"). Eine Anwendung dieser Methode stellt der zur Uberpriifung der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in bewegten Koordinatensystemen venvendete Michelsonsche Interferenzversuch dar. 1st bei der letzten Anordnung die Lichtquelle nicht monochromatisch, so fallen die Interferenzstreifen der einen Wellenlange zwischen die der anderen. Nachdem der Wegunterschied um einen gewissen Betrag vergroBert worden ist, fallen sie jedoch wieder zusammen. Man erhalt also, wenn man das Verhaltnis der Unterschiede von maximaler und minimaler Intensitat in Abhan-

s,

TP

Abb. 7.6 Geneigte Spiegel beim Michelson-Interferometer


683

Frequenz

Abb. 7.7 Intensitat der Ha-Linie nach MICHELSON

gigkeit von der Verschiebung der Platten auftragt. z. B. Abb. 7.7. Diese stellt den Intensitatsverlauf der Linie Hanach Messungen von MICHELSON dar. Aus dem Kurvenverlauf erkennt man, dal3 diese Linie zusammengesetzt ist, sie ist ein Dublett.

Twyman-Interferometer.Ein abgewandeltes Michelson-Interferometer zur Priifung von optischen Bauelementen und Systemen stellt das Twyman-Interferometer dar. Beleuchtet wird mit Parallelbundeln, die mittels eines optischen Systems erzeugt werden (Kollimator). Das zu priifende Element wird in den einen Interferometerarm gebracht. Der in diesem Arm befindliche Spiegel wird so ausgebildet und angeordnet, dal3 das auf dem Ruckweg aus einem fehlerfreien Element austretende Lichtbiindel iiber den gesamten Querschnitt konstante Phase hat. Das Feld im Beobachtungsfernrohr - oder in der Filmebene einer Kamera - ist gleichmaBig hell. Fehler des zu prufenden Elements sind an dunklen Stellen im Interferenzbild zu erkennen. Bei einem optischen System, das eine Kugelwelle erzeugen soll, die im Brennpunkt konvergiert, muB der Interferometerspiegel sphiirisch sein. Sein Kriimmungsmittelpunkt mul3 mit dem Brennpunkt des optischen Systems zusammenfallen (Abb. 7.8).

Interferenzspektroskopiemit Fourier-Transformation.Eine Methode zur Untersuchung des Spektrums einer Strahlungsquelle, die f i r grol3ere Spektralbereiche anwendbar und besonders fur Infrarot geeignet ist, stellt die Interferenzspektroskopie mittels Fourier-Transformation dar. Diese beruht auf der Interferenz zweier Bundel mit zeitlich langsam veranderlicher optischer Wegdifferenz AL. So kann z. B. der StrahlungsfluB QJAL.) am Ausgang eines Michelson-Interferometers fotometrisch registriert werden. Aus GI. (2.1 1 1 b) ergibt sich mit der Kreiswellenzahl k = ( 2 7 c ) A und damit 6 , , = 2 7c AL.I h = k M , sowie 2 I,, = @,(k), i = @e,k = @e,k @,(k,AL) = @,(k)

+ @ , ( k ) cos(kAL).

Integration uber das gesamte Kreisfrequenz-Interval1 fiihrt auf m

@,(AL.) = j@,(k)dk 0

m

+ /@,(k)cos(kAL.)dk. 0

684

7 Weiterfihrende und aktuelle Erpanzuneen ~

~~

Planspiegel

Prufling Konkavspiegel Blende Kondensor

Fernrohrobjektiv

\I/

2

Zwischenbildebene

Abb. 7.8 Aufbau eines Twyman-Interferometers zur Priifung eines Objektivs hinsichtlich Offnungsfehler

Das erste Integral ist eine Konstante und damit ohne Belang fur die Spektroskopie. Das zweite Intregral ist ein Fourier-Integral. Demnach ist der spektrale StrahlungsfluS (De(AL)in Abhangigkeit von der optischen Weglange die Fourier-Transformierte des spektralen Strahlungsflusses Qe(k). Die Umkehr der Fourier-Transformation lautet m

Q . , ( k ) = J(D,(AL)cos(kAL.) d(AL)

(7.9)

0

Miljt man bei langsam veranderlicher optischer Wegdifferenz AL den StrahlungsfluB a e ( A L ) , dann erhalt man durch die Fourier-Transformation den spektralen StrahlungsfluB Oe(k).

Interferometer von SAGNAC. Mit seiner Interferometer-Anordnung verfolgte SAGNAC das Ziel, den Einflulj auf die Zeit zu messen, die ein Lichtbundel zum Zuriicklegen eines geschlossenen Weges benotigt. Die Drehung eines geschlossenen Polygons, in dem sich das Licht ausbreitet, muljte eine Geschwindigkeitsdifferenz zwischen dem in Drehrichtung und dem entgegen der Drehrichtung verlaufenden Lichtes bewirken. In der Abb. 7.9 ist das Prinzip dargestellt. Das Licht der Lichtquelle L wird im Raum zwischen den beiden Glasplatten G I und G2 an einer halbversilberten Flache bei a in zwei Teile zerlegt. Ein Teil kehrt uber die Spiegel S,, S,, S,, S, zu diesem Punkt zuriick, wahrend der andere in der entgegengesetzten Richtung lauft. Die wieder vereinigten Strahlenbundel treffen auf die


685

Abb. 7.9 Interferometer von SAGNAC

fotografische Platte P, auf der die Interferenzen aufgezeichnet werden. Es sei 1 ein in der Drehrichtung liegendes Strahlenstuck in der Entfernung r vom Mittelpunkt, bei dem die Lineargeschwindigkeit der Drehung v ist. Dann wird fur das in der Drehrichtung laufende Licht die Zeit zum Durchlaufen dieser Strecke tl = 1/ (c - v), fur das entgegengesetzt laufende Strahlenbundel aber t2 = I / (c + v). Der Zeitunterschied, der in Ruhe Null ist, wird also bei der Drehung (7.10) (bei v 1 liegt Fresnelsche Beugung, bei F < 1 liegt Fraunhofersche Beugung vor. Bei 1 + m, 1' + 03 gilt F + 0, so daR Lichtquelle und Bild im Unendlichen liegen. Entsprechend unterscheidet man je nach Objektentfernung - Fresnel- bzw. Nahfeld- oder Bildfeld-Hologramme bei F - Fraunhofer- bzw. Fernfeld-Hologramme bei F < 1, - Fourier-Hologramme bei F = 0.

> 1,

Die Flachenhologramme sind oftrnals Transmissions-Hofogramme,die also bei der Rekonstruktion durchstrahlt werden. Sie stellen im allgem. Amplituden-Hologramme dar, die einen ortsabhangigen Transmissionsgrad zeigen. Durch Ausbleichen entstehen Strukturen, die durch Dickenschwankungen und ortliche Brechzahlanderungen nur die Phase des Lichtes beejn flussen. Sie werden als Phasen-Hologramme bezeichnet. Es lassen sich aber auch Reflexions-Hologramme erzeugen, indem auf Metallflachen Fotoresist aufgetragen wird, der nach dem Entwickeln das Beugungsprofil enthalt.

Beugungseffektivitat (Beugungswirkungsgrad). Das Verhaltnis aus der Intensitat in einer Beugungsordnung und des einfallenden Lichtes wird als Beugungseffektivitat bezeichnet. Beim Amplituden-Hologramm betragt die maxirnale Beugungseffektivitat 6,25 %. Mit Phasen-Hologrammen sind maximal 33,9 % erreichbar. Werte von 100 % sind mit den noch zu behandelnden Volurnen-Hologrammen moglich.

Fouriertransformations-Holografie.Befindet sich eine beugende Struktur in der objektseitigen Brennebene einer Sammellinse (bzw. eines sammelnden Linsensystems), dann wird sie ins Unendliche abgebildet, w a r e n d in der bildseitigen Brennebene das Beugungsbild entsteht. Bei Beleuchtung der beugenden Struktur mit einer ebenen Welle handelt es sich um Fraunhofersche


706

Hologramm

Objektiv a)

\ B‘

Objektiv Hologramm S,, ./

Abb. 7.27 Fouriertransformations-Hologramm, a) Aufnahme, b) Rekonstruktion (Einheitsvektoren: so ungebeugtes Licht, s,? reelle, ss3virtuelle Signalwelle)

Beugung. Die komplexen Amplituden u p ( $ , y b ) im Beugungsbild ( x i , $ Koordinaten in der bildseitigen Brennebene der Linse) sind der Fourier-Transformierten der Objektfunktion Ax,y) proportional: (7.45) m -m

Die Beugungsfunktion op(.xi, $,) ist als komplexe Funktion nqht direkt aufzuzeichnen, weil die lichtempfindlichen Schichten das Absolutquadrat ( a p ( x i , y i ) ( registrieren. Es kann aber mit einer koharenten Referenzwelle zur Interferenz gebracht werden. Die komplexe Amplitude betragt in der Brennebene up(x,!,,yi) + a,(.x;,yL) (Abb. 7.27~1). Bei der Rekonstruktion mit der Referenzwelle muR eine identische Sammellinse nachgeschaltet werden, in deren Brennebene die Objektfunktion entsteht. Zusatzlich ergibt sich noch die konjugierte Welle, die aber eine andere Richtung hat (Abb. 7.27b). Synthetische Hologramme. Die experimentelle Aufnahme des Hologramms hat den Nachteil, dal3 Referenz- und Signalwelle koharent zueinander sein mussen. Deshalb konnte sie erst nach der Entwicklung der Laser effektiv durchgefuhrt werden. Hologramme von relativ einfachen Strukturen lassen sich aber mit Rechenanlagen modellieren. Dazu werden die Amplituden- und Phasenverteilung in der Hologrammebene berechnet. Die Aufzeichnung erfolgt meistens in Form

7.4 Abbildende Funktionselemente

707

Abb. 7.28 a) binares synthetisches Hologramm, b) Rekonstruktion mit dem Hologramm nach a)

der binaren Hologrumme, bei denen z. B. durch Plotter Schwarz-WeiB-Verteilungenin die fotoempfindliche Schicht eingeschrieben werden. Das Hologramm besteht aus einer Matrix aus Elementarzellen (Abb. 7.28a). Jede Zelle enthalt eine Offnung, deren GroBe ein MaB fur den Amplitudenbetrag und deren Lage ein MaB fur die Phase ist. Bei der Rekonstruktion entstehen die nullte Ordnung und mehrere Beugungsordnungen (Abb. 7.28b). Auch synthetische Phasenhologramme sind moglich, womit z. B. die Intensitat in den Ordnungen beeinfluBbar ist, bzw. die Beugungseffektivitat erhoht wird. Volurnen-Holografie. Bisher sind wir davon ausgegangen, daB das holografische Beugungsmuster in einer dunnen Schicht aufgezeichnet ist. Das Interferenzfeld von zwei Wellen hat jedoch eine raumliche Ausdehnung, so daB es auch in einer dicken lichtempfindlichen Schicht gespeichert werden kann. Die so entstehende raumliche Beugungsstruktur stellt ein VolumenHologramm dar. Die Grundlagen der Volumen-Holografie lassen sich mit der Interferenz zweier ebener Wellen verstehen. Nach G1. (2.6) gilt fur die elektrischen Feldswken zweier ebener Wellen mit den Normalen-Einheitsvektoren ss (Signalwelle, bzw. Objektwelle) bzw. sR(Referenzwelle)

Es = as e

3( r s s ) - j o t

2aj ~

, ER=aReA

( r s~ )- j w f

(7.46a, b)

Die Addition ergibt fur kohiirente Wellen gleicher Schwingungsrichtung (7.47) Die Intensitat ist dem Zeitmittelwert (EE*) = ([El’ )proportional, wobei die Zeitabhangigkeit herausfallt. Es bleibt

(7.48)

708


Die Anfangsphasen der beiden Wellen konnen vernachlassigt werden, indem 6, = 6 , = 0 gesetzt wird. Ausrechnen des Absolutquadrates ergibt, da der Proportionalitatsfaktor bei den Amplituden gleich ist und die Intensitaten den Amplitudenquadraten proportional sind,

I = I , +I, + 2 m c o s ( y r n )

(7.49)

mit dern Gittervektor n = ss - sK+ Es entsteht ein riiumliches sinusformiges Interferenzmuster, bei dem die Maxima senkrecht zu dem Gittervektor n angeordnet sind. Fur die Maxima gilt 211.

-rn=2kx, 1,

k = 1 , 2 , 3 ,...,

bzw. Irllnlcos(r,n) = k h

(7.50)

Nach Abb. 7.29 ist cos (r,n) = h/r. also h = k U l n . Der Abstand zweier aufeinander folgender Maxima betragt g = h,,, - h, = Wlnl. g ist die Gitterkonstante des Sinusgitters. Mit dem Winkel 2 a zwischen ss und S, ergibt sich (nl = 2 sin a, bzw.

h

(7.51)

Bei der Rekonstruktion rnit einer ebenen Welle, die die Richtung der Referenzwelle hat, wird die Signalwelle (Objektwelle) erzeupt, wenn die Braggsche Reflexionsbedingung (7.14) erfullt ist. Der dort eingefiihrte Netzebenen-Abstand d ist hier mit der Gitterkonstanten g identisch, und es gilt a = aB,so daB GI. (7.5 I ) mit der Braggschen Retlexionsbedingung (7.14) ubereinstirnmt. Voraussetzung fur die Rekonstruktion ist aul3erdem die Einstrahlung der korrekten Wellenlange h. Stellt die eingestrahlte Welle polychromatisches (weil3es) Licht dar, dann wird nur die


Abb. 7.30 a) Beispiel fur die Erzeugung eines Volumenhologramms,b) Rekonstruktion des Hologramms nach a) mit der inversen Referenzwelle, wobei die konjugierte Welle entsteht, c) Beispiel fur die Erzeugung des Volumenhologramms,d) Rekonstruktion des Hologramms nach c) mit der Referenzwelle, wobei die Signalwelle reflektiert wird

709

7 Weiterfuhrende und aktuelle Erganxungen

710

Welle mit der Wellenlange rekonstruiert, die die Bragg-Bedingung erfullt. Die Rekonstruktionswelle ist also einfarbig. Abb. 7.30 demonstriert fur zwei Beispiele die Aufnahme und die Rekonstruktion von Volumenhologrammen. Holografie ist auch mit nichtoptisthen Wellen moglich. Sie stellt sogar den Ausgangspunkt der Entwicklung der Holografie dar. Um 1948 herum hatte sich GABOR die Aufgabe gestellt, die Auflosung elektronenmikroskopischer Aufnahmen zu erhohen. Er wollte ein Beugungsbild der Elektronenbundel, in dern die Amplituden und Phasen der Materiewellen gespeichert waren, als beugende Struktur fur Lichtwellen verwenden und so das Objektwellenfeld mit einem veranderten Maljstab rekonstruieren. GABOR erhielt 197 I fur seine Arbeiten zur Holografie den Nobelpreis. Erst nach der Erfindung der Laser konnten 1962 LEITH und UPATNIEKS an der Universitat Michigan die Ideen GABORS zu praktisch brauchbaren Ergebnissen fuhren. Die Entwicklung der synthetischen Holografie setzt die Entwicklung leistungsfahiger Rechenanlagen und des Algorithmus zur schnellen Fouriertransformation voraus. AuBerdem erfordert sie Plotter mit entsprechender Auflosung.

7.4.3

Anwendungen der Holografie

Holgrrifisc~h-r)i~tisc.hr Btrirrlrrriente (HOE) stellen Hologramme dar, deren Rekonstruktion die

Funktion von optischen Bauelementen nachbildet. Abbildende Hologramme sind wellenoptisch abbildende Bauelemente auf der Basis der Beugung des Lichtes an Interferenzstrukturen. Entscheidend ist die Rekonstruktion durch Beugung. Die Interferenzstrukturen konnen analog mittels der lnterferenz koharenter Wellen erzeugt oder digital berechnet und aufgezeichnet werden (Computer-Hologramm. synthetisches Hologramm).

Beugungsgitter. Die Erzeugung holografischer Beugungsgitter durch die Interferenz von zwei ebenen Wellen haben wir im Abschn. 4.4.8 behandelt. Holografische Amplituden- und Phasengitter sind billiger als die geritzten Gitter. Bei einer ausreichend ebenen Gitterflache (Abweichungen von der Ebene kleiner als U20)treten im Spektrometer keine falschen Linien (,,Gittergeister") auf. Gitterkonstanten his zu 200 nm herab lassen sich bei groller Beugungseffektivitat (2 90 5%) und geringem Streulichtanteil (lo3 der Signalintensitat) realisieren. Auch Konkavgitter sind auf holografischem Wege herstellbar. Hologrc!fi.sckrZorren~~lrrttrn entstehen bei der Uberlagerung zweier koharenter Wellen innerhalb der Speicherschicht. 1st eine der beiden Wellen eben, dann erhalten wir eine Fre.snrl.sche Z~nrnplnttr.Dazu mu8 aber auljerdem die ebene Welle senkrecht auf die Speicherflache treffen und der Ausgangspunkt C,, der Kugelwelle auf der Mittelsenkrechten liegen (in-line Hologmmm, Grrrirlrcrus-Holo,yrmiin j. Nach Abb. 7.31a betrigt der Lichtweg vom Punkt C,, bis zur Hologrammebene in der Entfernung p vom Mittelpunkt I


71 1

Hologramm

Abb. 7.31 a) Zur Aufnahrne einer holografischen Zonenplatte, b) Rekonstruktion bei der Zonenplatte, c) Profil der nach a) aufgenommenen Zonenplatte, d) Rekonstruktion bei der off-axis Zonenplatte

7 Weiterfiihrende und aktuelle Erginzungen

712

Reihenentwicklung und Abbrechen mit dem quadratischen Glied (p’

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