Netzberechnung - Berechnung stationärer und quasistationärer Betriebszustände in Elektroenergieversorgungsnetzen

Neuberechnung Berechnung stationärer und quasistationärer Betriebszustände in Elektroenergieversorgungsnetzen

Dr.-Ing. habil. Bernd Oswald Dozent für Elektroenergieversorgung an der Technischen Hochschule Leipzig

mit 67 Bildern, 12 Tabellen und 5 Übungsaufgaben mit Lösungen

vde-verlag gmbh • Berlin • Offenbach

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Vorwort

L ektor: Dipl.-Ing. (Univ.) R oland W erner Titelillustration: Michael Kellermann

D ie Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme

Leistungsfluß-, Kurzschluß- und Stabilitätsberechnungen gehören zum Aufga­ bengebiet des in der Netzplanung und im Netzbetrieb der Elektroenergieversor­ gung tätigen Ingenieurs. Die Berechnungen werden heute ausnahmslos mit Com­ puterprogrammen durchgeführt. Die verwendeten Programme sind weitgehend perfektioniert. Sie beruhen auf bewährten, ausgefeilten Algorithmen, die einen guten Kompromiß zwischen Aufwand und Genauigkeit darstellen und insbeson­ dere die topologischen und parametrischen Besonderheiten der Elektroenergie­ versorgungsnetze (Dreileiternetze) berücksichtigen. Das vorliegende Buch stellt sich die Aufgabe, in einheitlicher Beschreibungs­ form das Grundwissen über die mathematischen Modelle und die Lösungs­ methoden systematisch darzulegen. Behandelt werden die Leistungsßußberechnung nach dem Stromiterations- und Newton-Verfahren sowie die entkoppelte Leistungsflußberechnung, die Kurzschlußberechnung nach dem Überlagerungs­ verfahren und nach der Methode der Ersatzspannung an der Fehlerstelle, wie sie den IEC- und VDE-Bestimmungen zugrunde liegt, und die Berechnung der sta­ tischen und transienten Stabilität. Die Stoffvermittlung folgt der Vorlesung Netzberechnung, die ich an der Tech­ nischen Hochschule Leipzig für Studenten der Elektrischen Energietechnik halte. Vorausgesetzt werden das Rechnen mit komplexen Größen, die Grundzüge der Matrizenrechnung sowie die Grundlagen der elektrischen Energietechnik. Die mathematischen Grundlagen und die Ersatzschaltungen der Betriebsmittel mit ihren Parametern werden in wiederholender Form an den Anfang der eigent­ lichen Ausführungen zu den genannten Berechnungszielen: Leistungsfluß, Kurz­ schluß und Stabilität gestellt. Den Abschluß bilden fünf ausführlich durchgerech­ nete Übungsaufgaben, die es sich lohnt, nachzuvollziehen. An der Idee zu diesem Buch ist der vde-verlag maßgeblich beteiligt. Dafür gebührt den Verantwortlichen mein Dank.

Oswald, Bernd: N etzberechnung: Berechnung stationärer und quasistationärer Betriebszustände in Elektroenergieversorgungsnetzen / Bernd Oswald. —Berlin; Offenbach : vde-verlag, 1992 ISBN 3-8007-1718-2

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KARLSRUHE

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Dresden, im Oktober 1990

B. Oswald

ISBN 3-8007-1718-2 ©

1992

vde-verlag gmbh, Berlin und Offenbach Bism arckstraße 33, D-1000 Berlin 12

Alle Rechte Vorbehalten

I D ruck: O skar Zach G m bH & Co., Berlin

9201

3

Inhalt

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

Grundlagen.................................................................................................... Stationäre und quasistationäre Zustände in Elektroenergienetzen . . . . Schreibweise der komplexen G rö ß e n ....................................................... Verbraucherzählpfeilsystem....................................................................... Bezogene G rö ß e n ........................................................................................ Symmetrisches Dreileitersystem................................................................. Koordinaten transform ation........................................................................ Komponentensysteme..................................................................................

9 9 10 12 15 16 20 23

2 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.3 2.3.1 2.3.2 2.4 2.4.1 2.4.2 2.5

Ersatzschaltungen der Betriebsmittel......................................................... Synchronm aschinen.................................................................................... Mitsystemersatzschaltungen ..................................................................... Gegensystemersatzschaltung..................................................................... Nullsystemersatzschaltung.......................................................................... Asynchronmaschinen.................................................................................. Mitsystemersatzschaltungen ..................................................................... Gegensystemersatzschaltung..................................................................... Nullsystemersatzschaltung.......................................................................... Transform atoren.......................................................................................... Mit- und Gegensystemersatzschaltungen................................................. Nullsystemersatzschaltungen..................................................................... Leitungen...................................................................................................... Mit- und Gegensystemersatzschaltungen................................................. Nullsystemersatzschaltung......................................................................... Nichtmotorische Abnehmer.......................................................................

29 29 29 32 33 34 34 36 36 36 36 40 43 43 45 46

3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

Gleichungssysteme des N e tz e s................................................................... Netzgraph .................................................................................................... Topologische Eigenschaften von Elektroenergienetzen........................... Topologische M atrizen................................................................................ Knoten- und M aschensatz......................................................................... Allgemeine Form der Netzgleichungen..................................................... Knotenadmittanzdarstellung..................................................................... Maschenimpedanzdarstellung................................................................... Knotenimpedanzdarstellung ..................................................................... Prinzipielle Lösung der Netzgleichungen.................................................

49 49 50 52 55 55 56 60 61 64

4 4.1

Leistungsflußberechnung.............................................................................. Problematik, Voraussetzungen, A nwendungen.......................................

71 71 5

4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.4 4.5 4.6

Stromiterationsverfahren............................................................................. Strom gleichung............................................................................................ Algorithm us.................................................................................................. Einbeziehung von P -U -K noten................................................................. Newton-Verfahren........................................................................................ Leistungsgleichung...................................................................................... Kartesische Form der Jacobi-M atrix....................................................... Polarkoordinatenform der Jacobi-M atrix............................................... Algorithmus.................................................................................................. Vergleich zwischen Stromiterations- und Newton-Verfahren................ Entkoppelte Leistungsflußberechnung..................................................... Schnelle entkoppelte Leistungsflußberechnung.......................................

73 73 76 78 79 79 80 83 85 87 88 91

5 5.1 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.2.5 5.2.6 5.3 5.3.1 5.3.2 5.4

Kurzschlußberechnung.................................................................................. Übersicht, Berechnungsziel ....................................................................... Berechnung des dreipoligen Anfangskurzschlußwechselstroms............ Allgemeines M odell...................................................................................... Überlagerungsprinzip.................................................................................. Algorithmus.................................................................................................. Vereinfachte Kurzschlußberechnung ohne Leistungsflußberechnung .. Im pedanzkorrektur...................................................................................... Takahashi-Verfahren.................................................................................... Berechnung unsymmetrischer Anfangskurzschlußwechselströme........ Gleichungen der ungekoppelten K om ponentennetze............................. Bedingungen an der Kurzschlußstelle....................................................... Berechnung von Mehrfachkurzschlüssen.................................................

93 93 94 94 97 99 102 103 106 108 108 110 115

6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

Stabilitätsberechnung.................................................................................... Untersuchungsgegenstand......................................................................... Bewegungsgleichung.................................................................................... Transfiguration des Netzes auf die G eneratorknoten............................. Berechnung der statischen Stabilität......................................................... Berechnung der transienten Stabilität.......................................................

123 123 124 126 128 131

7 7.1 7.2 7.3

Übungsaufgaben mit Lösungen................................................................... Geordnete Elim ination................................................................................ Topologisch gesteuerte E lim ination......................................................... Berechnung der Knotenimpedanzmatrix aus der Knotenadm ittanzm atrix............................................................... Zweigweise Bildung der K notenim pedanzm atrix.............. .................... Bildung der spärlichen Knotenimpedanzmatrix nach dem Takahashi-Verfahren.................................................................

143 143 143

7.4 7.5

6

143 144

Größenbezeichnungen

Die Bezeichnung der Größen wird im Text bei ihrer Einführung erklärt. Es gelten folgende allgemeine Vereinbarungen: 1. Komplexe Größen werden durch Unterstreichen gekennzeichnet: g rotierender Amplitudenzeiger (g = u oder i) G ruhender Effektivwertzeiger (G = U oder I) S Scheinleistung, Z Impedanz, Y Admittanz 2. Matrizen und Vektoren werden halbfett geschrieben. Amn = (aik)m*" Matrix mit m Zeilen und n Spalten dmn = (äik)m*" Matrix mit komplexen Elementen aik x n = (x;)" Spaltenvektor mit n Elementen An = diag(at)" Diagonalmatrix mit n Elementen a; A'mm Dreiecksfaktorisierte zu A mm E Einheitsmatrix, 0 Nullmatrix, o Nullvektor 3. Tiefgestellte Indizes Ankera a, b, c Leiter a, b, c Betriebs-, Blindb d, q, 0 Park-Komponenten Gegeng Haupth i Stromk Kurzschlußm Magnetisierungsn NennPrimär-, PolradP Quellen-, Querachse q r Bemessungs-, reduziert s Sekundär-, Selbstu Spannung w Wirkü Streu-

B D G K L M N S T Z 1 2 0 1 11

Bezugs-, DiagonalGeneratorKnotenLastMaschen-, MotorModale Komponenten Natürliche Komponenten, Netz Symmetrische Kompo­ nenten, Ständer TorZweig, Impedanz Mitsystem Gegensystem Nullsystem, Arbeitspunkt Realteil Imaginärteil

144

7

4. Hochgestellte Indizes konjugiert komplex T transponiert transient " subtransient

k 0 I, II

Kurzschluß Stationär Systeme der Doppelleitung

Aus Platzgründen sind in einigen Fällen die Indizes M für Modalkomponenten, D für Diagonalkomponenten, 1 und 11 für Real- und Imaginärteil auch hochgestellt.

1 Grundlagen

1.1

Stationäre und quasistationäre Zustände in Elektroenergienetzen

Im Idealfall sollen Wechsel- und Drehstromnetze mit nennfrequenten sinusförmi­ gen Spannungen und Strömen betrieben werden. Tatsächlich entstehen jedoch durch die Wirkung von Nichtlinearitäten bei den Betriebsmitteln mehr oder weniger Verzerrungen der einfrequenten Sinusform von Spannungen und Strö­ men. Nach der Fourier-Analyse lassen sich verzerrte Sinusschwingungen in einen Grundschwingungsanteil und mehrere Oberschwingungsanteile zerlegen. Da für die in diesem Buch behandelten Berechnungsziele die Oberschwingungs­ anteile von untergeordneter Bedeutung sind, soll nachfolgend eine generelle Be­ schränkung auf die Grundschwingungsanteile erfolgen. Für die Momentanwerte von Spannungen und Strömen genügt dann der Ansatz: u = ücos(cot + (pu),

(1.1)

i = icos (cot + qii),

(1.2)

oder allgemein für g = u oder i: g = gcos(cot + (pg).

(1.3)

Dabei ist g die Amplitude, co = 2 n f die Kreisfrequenz und co. 2.3 2.3.1

1

Mi

Mi

Zps üf

Zps

Z PS

Ipl II

t/0 = (i?s+ j* o + 3Z ME) I 0 = Z 0I 0 .

“

_

(2.24) C/sl

Transformatoren Mit- und Gegensystemersatzschaltungen

Die folgenden Ausführungen beziehen sich auf Zweiwicklungs-Volltransformatoren. Dreiwicklungstransformatoren können nach dem gleichen Prinzip behandelt werden. Es soll vereinbart werden, daß die Primärwicklung (Index p) stets mit der Oberspannungswicklung identisch ist. Zwischen Primär- und Sekundärwicklungsgrößen (Index s) im Mitsystem vermit­ teln die beiden grundlegenden Beziehungen:

p1

Zp

Z s

y^

S1

Up, 01

—

Bild 2.10 M itsystem -Ersatzschaltung des Zweiwicklungstransformators mit komplexem Übertrager

37

D a die Admittanzmatrix in Gl. (2.24) für alle Schaltgruppen außer YyO und Yy6 unsymmetrisch ist, läßt sich Gl. (2.24) nicht allgemein als Ersatzschaltung inter­ pretieren. Läßt man jedoch die Schaltgruppendrehungen der Mit- und Gegensystemgrößen außer Betracht, was in den meisten Berechnungsfällen möglich ist, so kommt man zu der für das Mit- und Gegensystem gleichermaßen gültigen Ersatzschaltung ohne Übertrager in Bild 2.11. Will man jedoch mit auf die Netzspannungsebene der Primärseite umgerechneten Sekundärgrößen (oder umgekehrt) rechnen, so muß man beachten, daß i.a. und auch durch die Wirkung der Transformatorregelung das Verhältnis der Netz­ nennspannungen nicht mit dem Übersetzungsverhältnis ü übereinstimmt. Schreibt m an: En

u„

■UNC,

77US \ TTOS TT u nN \ u nN u rs

(2.25)

so drückt der Faktor c die Abweichung der Spannungsverhältnisse voneinander aus. Er enthält demnach auch den Einfluß der Regelung und wird für quer- und schräggeregelte Transformatoren komplex. Die Ersatzschaltungen in Bild 2.12 veranschaulichen die Umrechnung und die Zerlegung in Gl. (2.25). Für die umgerechneten Sekundärgrößen gilt in Analogie zu Gl. (2.24):

“ Ipl

c

c

Zps c2

Zps

Zps

-

Uvi (2.26) üN Us

1 & Z 1 ____________________________ '

1 T T-Isl UN

1

Bild 2.12 Mitsystem-Ersatzschaltungen des Zweiwicklungstransformators mit auf die Netz­ nennspannung der Oberspannungsseite umgerechneten Sekundärgrößen (D rehung durch die Schaltgruppe nicht berücksichtigt) a) mit Ü bertrager für die Berücksichtigung der Spannungsabweichung c b) ohne Ü bertrager für die Berücksichtigung der Spannungsabweichung c

Isl

und umgekehrt:

C Z„

cZ„

- u pl mn

u

cZ„

(2.27)

Ü.-

Die im M it- und Gegensystem wirksame Impedanz: Z ps = Z p + Z's = R ps + j Xps

p1

1 ■7

ü -ps

s1

(2.28)

hat in bezogener Form die Größenordnung:

zps = Mk = 0>04 ...0,16,

yP,

&

rps= ^ = 0,02...0,002, or

01

—

—

Bild 2.11 Variante der M itsystem -Brsatzschaltung des Zweiwicklungstransform ators ohne Ü bertrager und ohne Berücksichtigung der D rehung durch die Schaltgruppe

38

wobei die rechts stehenden Werte wieder für die größeren Bemessungsleistungen gelten. 39

steht. Die Elemente bestehen aus: ^0

Z„ ^PSO

(2.31)

ry

ZmO

=PPO

7 '

J_% 7'

sO ~r -> Ä'sM

(2.32)

’

zl

(2.33)

Ss0 ~ Z p0 + 3 Z pM '

Man vergewissert sich für Z m0 —> co von der Ähnlichkeit der Elemente mit denen der Ersatzschaltung für das Mitsystem: psO

Bild 2.13 Nullsystem -Ersatzschaltungen des Zweiwicklungstransformators mit der Schaltgruppe a) T-Ersatzschaltung b) Ü -Ersatzschaltung

= Z—pO nO+' Zs 0 +' 3J ZpM —sO — pM + 3 ZsM )

Zpp0

^ssO * ^ •

Andererseits wird für Z pM und/oder Z 'Maußerdem: -p p 0 '

co

2.3.2 Nullsystemersatzschaltungen

und für Z l

Die Ersatzschaltungen für das Nullsystem hängen von der Schaltgruppe, der Art der Sternpunkterdung und der Kernbauart ab. Die Magnetisierungsimpedanz Z m0 ist im Nullsystem für Dreischenkeltransformatoren nicht vernachlässigbar. Sie wird deshalb generell mitgenommen.

Zl

Schaltgruppen YyO:

co wird noch: und

1 o &

o

1

—äz2 ’O

ZsO + 3 Z'sM + Z m0 ~ZmO

ZmO Z p O ”1” 3 Z pM -f- Z m O

U Po

40

Z„o — pO + 3 Z pM+ Z,

- psO

V,pO ^ p sO

c2

c2

7 'ssO

7 ^ psO

(2.34) «N Us(

(2.29)

U'nO.

Für Z mo rechnet man bei Dreischenkeltransformatoren mit:

in der für 7m 2O Z l = (Zp0 + 3 Z pM+ Z m0) (Z'0 + 3 Z 'M+ Z,mO/ - —

Z,ppO

1 1 Z ~ + ZZ~ — ppO j'psO

.. IsO “n

i- pO

Z ' n = Z '0 + 3Z sM+ Z„

Die weitere Umformung der Ersatzschaltung in Bild 2.13b analog zum Mit­ system führt zur Ersatzschaltung in Bild 2.14 mit der zugehörigen Stromglei­ chung: 1 ^

Das Übersetzungsverhältnis ist reell, und man erhält unter Einbeziehung der möglichen Sternpunkt-Erde-Impedanzen Z pM und Z sM auf dem gleichen Weg wie für das Mitsystem die Ersatzschaltungen in Bild 2.13. Die Schaltung im Bild 2.13b gehorcht der Stromgleichung:

oo

und

co Zpso - » c o , für Z pM-► co folgt

ZmO ~ ^ ZpsO >

(2.30)

und Zpso wird meist mit Z ps gleichgesetzt. 41

a)

pO

Zpo

Z so

3Zsm

ü

Bild 2.14 Äquivalente Ersatzschaltung zu Bild 2.13b mit auf die N etznennspannung der Oberspannungsseite umgerechneten Sekundärgrößen

Schaltgruppen Yd... und D y ...: Über eine Dreieckswicklung kann kein Nullsystem übertragen werden. Deshalb enthalten die Ersatzschaltungen für diese Schaltgruppen in Bild 2.15 und Bild 2.16 eine Unterbrechung zwischen Primär- und Sekundärseite.

Bild 2.16 Nullsystem-Ersatzschaltungen der Zweiwicklungstransformatoren mit den Schalt­ gruppen D y . . . a) ausführlich b) Im pedanzen auf der Prim ärseite zusammengefaßt

2.4

a)

2.4.1 p0

Z SQ

1____ 1---------1___ J -------- --------- [ = _ J --------ipo

s'O

ü

*-------

n

h

Uto

UsO

/po

1

^ZpM+.ZpQ

11i uni—

00 -------

b)

r

Uso

Bild 2.15 Nullsystem-Ersatzschaltungen der Zweiwicklungstransformatoren mit den Schalt­ gruppen Yd . . . a) ausführlich b) Im pedanzen au f der Primärseite zusammengefaßt

42

Mit- und Gegensystemersatzschaltungen

SO {£-» o 1 O

—

—pQ

Leitungen

Von den beiden möglichen Formen II- oder T-Ersatzschaltung hat die IIErsatzschaltung in den knotenorientierten Modellen den Vorteil, daß sie weniger interne Knoten in das Gesamtmodell einbringt. Bei Beschränkung auf ein IT-Glied für die gesamte Leitung, was in der stationären Netzberechnung bis zur 400-kV-Ebene durchaus gerechtfertigt ist, entsteht überhaupt kein innerer Kno­ ten (Bild 2.17). Ebenso sind die Konduktanzen Gb für Isolationsverluste u.a., deren zahlenmäßige Bestimmung ohnehin problematisch ist, bis zu dieser Span­ nungsebene in den meisten Fällen vernachlässigbar. Die vollständige Entkopp­ lung der drei symmetrischen Komponenten und damit die Aufstellung getrennter Ersatzschaltungen wie in Bild 2.17 und Bild 2.18 setzt diagonal-zyklisch- (siehe Abschnitt 1.6) (zumindest jedoch zyklisch-)symmetrischen Aufbau der Impedanzund Admittanzmatrizen der Leitung voraus. Durch die Verdrillung bzw. ge­ kreuzte Verlegung von Einleiterkabeln wird dieser Zustand zumindest annähernd erreicht. Leitungsparameter werden nicht in p.u. oder %, sondern in der ent­ sprechenden Maßeinheit pro 1 km Länge angegeben und durch den oberen Index ' gekennzeichnet. Typische kilometrische Werte sind (erste Werte für Mittelspannung, letzte Werte für Hochspannung bis 400 kV) in Tabelle 2.2 ange­ geben. 43

AC/1 = A UY = Zx 11 + Z'x l ? = ^ ( Z x + Z'x)I[ und ebenso: für

M J\ = AUl

und

A U l0 = A U ^ .

2.4.2 Nullsystemersatzschaltung Bild 2.17

M it- und Gegensystemersatzschaltung der Leitungen in Form eines Il-GIieds

Tabelle 2.2:

P aram eter von Leitungen (M itsystemparameter)

Param eter

R '/(n /k m )

XL/(fi/km)

Cb/(nF/km)

Freileitungen Kabel

0,4 ...0 ,0 3 0,4 ... 0,03

0,4 ... 0,25 0,1 ... 0,2

9 ... 13 600 ... 250

Die Nullsystemersatzschaltung der Einfachleitung unterscheidet sich von der für das Mit- und Gegensystem lediglich durch die Größenordnung der Parameter (Bild 2.18). D a ein Teil des Nullstroms auch von der Umgebung geführt werden kann, ist die Angabe von engeren Wertebereichen für die Nullsystemparameter nicht mehr ohne weiteres möglich. Zur groben Orientierung seien die Werte von Tabelle 2.3 genannt. Doppelleitungen bleiben auch unter der Voraussetzung jeglicher Verdrillung in ihren Nullsystemem gekoppelt.

Nimmt man bei Doppelleitungen ebenfalls eine diagonal-zyklisch symmetrische Impedanzmatrix (gleiche Belegung und entsprechende Verdrillung vorausgesetzt) an, so entsteht durch die Symmetrierung folgende Impedanzmatrix im Bereich der symmetrischen Komponenten:

I Z\ Z2

I 2o I

Zl

Z'o

Bild 2.18 leitung)

N ullsystem -Ersatzschaltung der Leitungen in Form eines II-G lieds (Einfach­

I Zx Zi

I Zo I

Z2 Zo

Folglich bleiben die Komponentensysteme noch in sich gekoppelt. Gleiches trifft auch auf die Admittanz der Querglieder zu. Mit der Verdrillungsart ß gelingt es, noch Z j = Z 2 = 0 zu erzielen. Ansonsten können die Koppelelemente jedoch ohne weiteres in die mathematischen Modelle einbezogen werden. Für den reinen Parallelbetrieb treten die Koppellemente explizit nicht in Erscheinung, denn bei gleichen Strömen im System I und II wird:

Tabelle 2.3:

N ullsystem param eter von Leitungen

Param eter

-Ro/(ß/km)

X i/(ß /k m )

Q /(n F /k m )

Freileitungen Kabel

(2 ... 9)R' 2 ... 0,4

(3 ... 6)X'h 0,7 ...0,3

(0 .4 ... 0,6) c ; 300 ... 200

45

2.5

Nichtmotorische Abnehmer

Unter nichtmotorischen Abnehmern soll hier weniger ein Einzelabnehmer als vielmehr eine Gruppe von Abnehmern verstanden werden. Ihr Verhalten gegen­ über Spannungsänderungen läßt sich nur schwer mathematisch analysieren, so daß man auf Meß- oder Erfahrungswerte angewiesen ist. In den meisten Fällen ist ein Potenzansatz für die von der Abnehmergruppe aufgenommene Leistung in der Form:

s - , +ja- , . ( 0 +1« , ( 0 Spannungsband

ausreichend. Die Exponenten p und q für die Spannungsabhängigkeit der Wirk- und Blindleistung um einen Arbeitspunkt (Index 0) schwanken zwischen 0 und 2. Aus Gl. (2.35) läßt sich leicht eine allgemeine Ersatzschaltung für das Mit- und Gegensystem in Form einer spannungsabhängigen Admittanz bzw. Impedanz angeben (Bild 2.19): S = 3 l / / * = 3 [ / 2J * ,

(2.36)

Y = G + i B = j ^ j j = j ^ I - } j ^ j j :=

^2'37^

Bild 2.20 Abnehmerleistungen als Funktion der Spannung 1 P = q = 0 konstante W irk- und Blindleistung 2 P = 9 = 1 konstanter W irk- und Blindstrom 3 p = q = 2 konstante A dm ittanz (Impedanz)

2. p = q = 1: konstanter Wirk- und Blindstrom: S = y7~U + j

U = 3(/w0 —j / b0) U

(2.39)

3. p = q = 2: konstante Admittanz: S = ^ | U2+ j

uo

Bild 2.19

uo

U 2 = 3 J* U 2 = 3(G0 - j ß 0) U 2

(2.40)

Mit- und Gegensystemersatzschaltung für nichtm otorische Abnehmer

Besonders interessant, weil praktisch einfacher zu handhaben als eine spannungs­ abhängige Admittanz, sind die folgenden, auch in Bild 2.20 skizzierten drei Sonderfälle (zur Vereinfachung werden p und q gleichermaßen behandelt. Sie können jedoch auch unterschiedlich angenommen werden): 1. p = q = 0: konstante Wirk- und Blindleistung: S = P0 +}Qo = S0 46

(2-38) 47

3 Gleichungssysteme des Netzes

3.1

Netzgraph

D erN etzgraph beschreibt die Struktur des Netzes. Er enthält alle erforderlichen topologischen Daten. Bild 3.1 zeigt die Entwicklung des Netzgraphen aus dem Schaltbild eines Netzes und seiner Betriebsmittel über die Impedanzersatzschaltimg. Spannungsquellen sind im Graph widerstandslose Zweige. Sammelschienen werden zu Knoten. Knoten und Zweige werden numeriert. In Computerprogram-

a)

GEN1

SS1

SS 2

GEN 2

Bild 3.1

N etzschaltbild (a), Im pedanzersatzschaltung (b) und N etzgraph (c)

49

men erfolgt die Vergabe der Knoten- und Zweignummern intern. Die Orientie­ rung der Zweige und die Zählpfeile für die Zweiggrößen werden angepaßt (Bild 3.2). K,

Z,

Bild 3.2

K*

1

H------------- Uo.— ...... “ ! 1 i i1 ri v> b ! i i i r r i ^ v;

Beispiele für Masche, Baum und Schnitt

Zu einem Graph läßt sich eine Vielzahl (ein Wald) von Gerüsten (Bäumen) angeben. Für einen Graph mit k Knoten und z Zweigen existieren m = z —(k— 1) = z —n unabhängige Zweige und unabhängige Maschen. In Bild 3.3 ist k = 6, n = 5, z = 8 und m = 8 —5 = 3. Ein Schnitt trennt mindestens einen Knoten vom Graph. Dieser Sonderfall heißt Knotensatz. Jeder Schnitt erhält einen Orientie­ rungspfeil. Ein fundamentaler Schnitt enthält nur einen Gerüstzweig, und die Orientierung des Schnitts wird der des Gerüstzweigs angepaßt. Die Anzahl der fundamentalen Schnitte ist gleich der der unabhängigen Knoten n = k — 1.

f i i l ! 1 l

(.)

1 M

s

Z ur Beschreibung der Struktur von Dreileiterystemen

• Die drei Leiter des Dreileitersystems bilden eine Ordnung (ein Bündel). Zur Beschreibung der Struktur genügt im Hinblick auf die einpolige Darstellung die Beschreibung der Struktur der Bündel. • Als Bezugsknoten (abhängiger Knoten) bietet sich der Rückleiter des Dreilei­ tersystems an. Er erhält die Bezeichnung 0 (Null). Alle Zweige lassen sich dann in Verbindungen von den unabhängigen Knoten (Sammelschienen) zum Be­ zugsknoten und in Verbindungen zwischen den unabhängigen Knoten eintei­ len. Die Verbindungen zwischen den unabhängigen Knoten sollen im folgen­ den mit Leitungen bezeichnet werden. Ihre Anzahl sei l(l Ü22 X i = ----(Zi —ä l 2 ^ 2

3 13X 3) .

Formal läßt sich das Aufwärtsrechnen schreiben als:

x = ( A 'y ly' ■ 66

(3.46)

Häufig ist die Aufgabenstellung in der Netzberechnung so, daß ein Gleichungs­ system wiederholt mit verschiedenen rechten Seiten y zu lösen ist. Man organi­ siert deshalb das Abwärtsrechnen i.a. so, daß die Ermittlung von y' und A ' getrennt voneinander erfolgen. Für den Fall der neuen rechten Seile braucht dann nur y ' neu ermittelt werden, während die Dreiecksfaktorisierte A ' erhalten bleibt. Zur Ermittlung von y ' benötigt man die Eliminationskoeffizienten, denn es gilt nach Gl. (3.42): y' = C - ly .

(3.47)

Bei symmetrischen Koeffizientenmatrizen können die cik entsprechend Gl. (3.44) leicht aus A ' gewonnen werden, während man bei unsymmetrischen Koeffi­ zientenmatrizen die beim Dreiecksfaktorisieren frei werdenden Speicherplätze (s. Gin. (3.41) und (3.45)) zur Ablage der cik benutzen kann. Die Gl. (3.47) wird in ihrer Form nicht praktisch ausgewertet. Vielmehr berechnet man y ' rekursiv aus der zu Gl. (3.47) inversen Beziehung: ~ C y'= y.

(3.48)

So gilt für das Beispiel:

I 2=

¥ 2 ~ £ 21

iTi

X3 =

X3 ~ £31 ¥ 1 —£32X 2 ■

5

Weist nun die Koeffizientenmatrix A Nullelemente, wie das insbesondere bei der Knotenadmittanzmatrix der Fall ist, auf, so können im Verlauf der Dreiecksfak­ torisierung in der Matrix A ' zusätzliche, sogenannte Füllelemente entstehen. Die Anzahl der Füllelemente ist abhängig von der Eliminationsreihenfolge. Um den Aufwand bei der Lösung des Gleichungssystems zu minimieren, wird man einerseits Operationen mit Nullelementen durch vorherigen Test auf Null ver­ meiden (Nullerkennung) und andererseits bemüht sein, unnötige Füllelemente zu vermeiden. Zur Minimierung der Füllelemente hat Tinney drei mögliche Strategien vorgeschlagen, für die der Erfolg und der Aufwand in der genannten Reihenfolge zunehmen: • Primitive Strategie: Eliminationsreihenfolge nach aufsteigender Anzahl der Elemente pro Zeile (in der Admittanzmatrix als Knotengrad bezeichnet). Die anhand der Ausgangsmatrix einmal festgelegte Reihenfolge wird nicht mehr geändert. Es ist klar, daß sie durch Füllelemente „gestört“ wird. • Suboptimale Strategie: Die Eliminationsreihenfolge wird stets nach der aktuel­ len (Berücksichtigung der Füllelemente) kleinsten Anzahl von Elementen pro Zeile festgelegt. Bei mehreren Zeilen mit gleicher Anzahl von Elementen wird die Elimination mit der erstbesten von diesen (z.B. die mit dem kleinsten 67

Index) fortgeführt. Dabei kann es im Endergebnis doch noch zu unnötigen Füllelementen kommen. • Optimale Strategie: Es wird auch bei mehreren Zeilen mit gleicher Anzahl von Elementen vorausschauend geprüft, welche Reihenfolge die minimale Anzahl von Füllelementen bringt. Aufgrund des ausgewogenen Verhältnisses zwischen Aufwand (Suchoperationen in den Listen für die kompaktgespeicherte Koeffizientenmatrix) und Nutzen (Vermeidung von Füllelementen) arbeiten anspruchsvolle Computerprogramme meist nach der suboptimalen Strategie. Der allgemein verwendete Begriff der topologisch gesteuerten Elimination ist von der Lösung der Netzgleichungen mit der Knotenadmittanzmatrix als Koeffizientenmatrix, in der sich die Struktur des Netzes widerspiegelt, entlehnt. Das kleine Beispiel in Bild 3.10 soll die vorstehenden Ausführungen illustrieren. Die zugehörige Stromgleichung lautet: y n

J 12

J 21

y_22

3^31

0

0

i '1 3

^33-

c/i

~ ii =

U2 L c /J

13 12

L

J

In der natürlichen Eliminationsreihenfolge Knoten 1, 2, 3 ergibt sich nach Elimination von Knoten 1:

.------- 4---------- ---

—---------- ---------- u

Knoten 2 e lim in ie rt Z u

J 12

3^13

'u i

0

V22

^23

u2

3?33

Ul

0

~li =

I I

2 3

Knoten 2 + 1 e lim in ie rt

Bild 3.10 Netzbeispiel zur Lösung der Netzgleichungen durch topologisch gesteuerte Elimination a) Schaltbild b) Verifizierung der Eliminationsreihenfolge K noten 1, 2, 3 am N etzgraph c) Verifizierung der Eliminationsreihenfolge K noten 2, 1, 3

und nach Elimination von Knoten 2: In 0 0

y 12 y_%2 o

y 13 y23

u 2

3^3

u3

r iii

=

3

ll I

Mit }?23 ist ein Füllelement in der Dreiecksmatrix entstanden. Die Eliminations­ schritte lassen sich sehr schön am Netzgraph interpretieren (Bilder 3.10b und c). Jede Umrechnung eines Elements bedeutet das Entstehen eines neuen Zweiges (gestrichelt) und seine Parallelschaltung mit einem evtl. bereits vorhandenen. Ist vorher kein Zweig vorhanden (Nullelement in J KK), so bildet der neue Zweig ein Füllelement (s. Bild 3.10b). Die Umrechnung der Knotenströme wird Stromver­ werfung genannt.

Der Knoten 1 in Bild 3.10 hat den Knotengrad 2, während die beiden anderen nur den Rnotengrad 1 haben. Also wäre es besser gewesen, mit Knoten 2 oder 3 zu beginnen. In der Eliminationsreihenfolge 2, 1, 3 erhält man nach Elimination von Knoten 2:

21 3^2203 1 13

Zn J

-3^31

0

Zi

U

U2

0

y 33_

L c/ 3J

ii

=

i 2

L

J

69

und nach Elimination von Knoten 1:

-0

o y_2i

0

^13 Ul o U2 ^33_ L c / J

lz L iü

oder umgeordnet: y_22 y n

o

o i_2 ü

Z 13

_ 0

U2 Ul =

0 i y33_ L t / 3J

Leistungsflußberechnung

i'i ii

y_n y_zi

4

Lz Ii L iU

Es ist kein Füllelement entstanden, und an der Zahl der Striche an den Elementen ist erkennbar, daß weniger Rechenoperationen für das Abwärtsrech­ nen erforderlich waren.

4.1

Problematik, Voraussetzungen, Anwendungen

Ziel der Leistungsflußberechnung (auch Lastflußberechnung) ist die Bestimmung des Wirk- und Blindleistungsflusses in allen Netzzweigen sowie der Netzverluste und der Blindleistungsbilanz. Dazu müssen neben den Zweigimpedanzen alle Knotenspannungen Ut bekannt sein. Ihre Bestimmungsgrößen Real- und Ima­ ginärteil oder W inkel1) und Betrag bilden den gesuchten (stationären) Zu­ standsvektor: x = i u t

u i ... u t

-

u ?

u t

-

. . .

u

n

J

oder: x = [^

S2

ö n U,

U2 ...

U{

... C/„]T .

Die Ausgangssituation an den Netzknoten ist unterschiedlich. M an unterscheidet je nach den Vorgabewerten die in Tabelle 4.1 zusammengestellten Knotenarten. Tabelle 4.1:

K notenspezifikation für die Leistungsflußberechnung

K notenarten

gegeben

gesucht

Bilanzknoten (Slack-Knoten)

U, 5

P,Q

Abnehm erknoten (P-ß-K noten)

P,Q=f(U )

U, 3

Einspeise- oder G eneratorknoten (P-lZ-Knoten)

P, u

Q.S

Es muß mindestens (siehe Abschnitt 4.2.2) ein Bilanz- oder Slack- oder SwingKnoten vorgegeben werden. Er muß in der Lage sein, die Leistungsbilanz herzustellen. Deshalb sollte als Bilanzknoten ein großes Kraftwerk oder eine Fremdnetzeinspeisung gewählt werden. Die Vorgabe mehrerer Bilanzknoten ist problematisch, da sie bereits einen Leistungsfluß untereinander erzwingen.

*) In der Leistungsflußberechnung hat sich die Bezeichnung S für den Spannungswinkel = 3„ (U U ^ RBtt)\ + u ±1 ,

(4.41)

h,k = ^

= 3(U tG ik+ U t±B,k),

(4.42)

mu =

= 3 ( ^ G lf- U t ß „ ) - 3 ^

° \ U i0 (4.52)

Damit bekommt man folgende Form der Jacobi-Matrix1): /= 3

[U tG ^ + U ^ B ^ { -U tB a + U ^ G ^ r " + ( - U t Bik + C/M Gik)n*" ( - U t Gik - t/M ß iky x »_ Blockdiagonal-symmetrischer Anteil

.

0AQ; .. . mik= ^ J T = 3 (U> G‘k- U t B ik),

(4.43)

(4.44)

d iag ( 3 , ' -

+ 0A P, . ,, 0P.na = ^ ?f = 3 ( - t / iI ß ü + t / / J-Gn) + 3 7 M _ ^ i r , 0 AP

"i* = ^ y n = 3 ( - U i B ik +

Gik) = rni k ,

0AO; .L. n> . , Sßi hi = ^ 7^ = T3 /( - Ur r Jt- ± Bii- Ur rt lGß ii) +i 35 Iif i ______ ± 1 _

diag (4.45)

(4.46)

0AQ;

.. , = 3 ( - C/,^ B(Jt - C/f G J = - hik..

9 Qj dU t

d ia g ^ /f1

8 Pt dU t

diag \3 Ij--

QQi dU t

(4.53)

4.3.3 Polarkoordinatenform der Jacobi-Matrix Der Zustandsvektor setzt sich für diese Form aus den Winkeln v+1 = Uuv+1/U iiv zusammen:

(4.47) X = [ ^ !

lik =

- 3 Ij~

^ i

(4.48)

Ö2 ... öi ... ö„

U j U2 . . . Ui . . . U „ ] T .

(4.54)

Mit:

17* — V pWik J Zik —yikc

mit:

Ui = UteiS‘ dP,

aut

Ut { u ,y < -2 Pi T t2 ^i y iu?0 i0 \ u i0

0P; _ t/M 'Pi 2 Q U ^ r ‘ tt Ufo

f u , \ P t~* iO lu \U i0

(4.49)

(4.50)

wird: AP, = 3 Ui I

j Uj cos (Sjj + (pij)

Pi,

(4.55)

j= i

!) D er G rößenordnung der Elemente der U nterm atrizen der Jacobi-M atrix entsprechend, ist für die numerische Lösung die U m ordnung des Gleichungssystems so, daß die größeren Elemente in der Diagonale stehen, zweckmäßig. D as wird erreicht, wenn im Z ustandsvektor zuerst die Imaginärteile der K notenspannungen angeordnet werden.

82

83

AQ, = 3 Ui £ yijUjSiniöij + c p i^ -Q i, ;=i

(4.56)

ln

bzw.

dAQi 0 M:i dAQi : 0 Mt

AP; = Pii+

i

P ij- P ,,

n

0 Ö-

Z Qi j + 2g i; ~ Q ^ f = qu + Aö i + J = l ,* i

( X~ 3i) ö i ’

—hik >

(4.69)

(4-70)

(4.57) und die Jacobi-Matrix nimmt die Form an:

A Qi

=qu + t

q tj-Q i>

(4.58)

Ph = 3 U iyiiUicos(pii = 3GiiU j >

(4.59)

q,t = 3 l/fj/l( Ut sin cpu = - 3

(4.60)

Uf,

Pu = 3 Ut ytj Uj cos ( Jo'A«S = Io

(5.48)

(5.58)

‘) Der Index K für Knoten wird im folgenden weggelassen.

108

109

5.3.2

Bedingungen an der Kurzschlußstelle

Die Strom-Spannungsbeziehungen an der Kurzschlußstelle sollen dem Ansatz: £ r!“ is + i?siis = o

(5.59)

gehorchen:). Sie müssen aus den natürlichen Kurzschlußbedingungen:

r c¥ / ta H rrk ^ib