Schwingungen mechanischer Antriebssysteme: Modellbildung, Berechnung, Analyse, Synthese

Hans Dresig Schwingungen und mechanische Antriebssysteme Hans Dresig Schwingungen und mechanische Antriebssysteme Mod...

Author: Hans Dresig

86 downloads 1556 Views 5MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Hans Dresig Schwingungen und mechanische Antriebssysteme

Hans Dresig

Schwingungen und mechanische Antriebssysteme Modelbildung, Berechnung, Analyse, Synthese

Zweite Auflage Mit 192 Abbildungen und 46 Tabellen

123

Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. Hans Dresig Institut für Mechanik Professur Maschinendynamik/Schwingungslehre Straße der Nationen 62 09107 Chemnitz E-Mail: [email protected]

Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar.

ISBN-10 3-540-26024-2 2. Aufl. Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-26024-0 2. Aufl. Springer Berlin Heidelberg New York ISBN 3-540-41674-9 1. Aufl. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001, 2006 Printed in EU Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z. B. DIN, VDI, VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewähr für die Richtigkeit, Vollständigkeit oder Aktualität übernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls für die eigenen Arbeiten die vollständigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gültigen Fassung hinzuziehen. Satz: Satzherstellung Dr. Naake, Chemnitz Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig Umschlaggestaltung: Medionet AG, Berlin Gedruckt auf säurefreiem Papier

7/3100/YL - 5 4 3 2 1 0

Vorwort

Antriebssysteme haben die Aufgabe, Körper in Bewegung zu setzen und dabei zuverlässig und sicher zu funktionieren. Erfahrungsgemäß gibt es aber verschiedenartige dynamische Störerscheinungen in den Baugruppen zwischen Motor und Abtrieb, insbesondere bei Anlauf- und Bremsvorgängen oder bei bestimmten kritischen Drehzahlen. Beim Entwurf und der Konstruktion der mechanischen Antriebssysteme von Maschinen und Transporteinrichtungen, insbesondere des Verarbeitungsmaschinen- und Werkzeugmaschinenbaues, werden hohe Ansprüche an den Konstrukteur gestellt, der Aufgaben der Maschinendynamik lösen muß. Das beginnt mit der zweckmäßigen Konzeption eines Antriebssystems und geht bis zur Auslegung und Dimensionierung einzelner Bauelemente. Solche Aufgaben sind nur lösbar, wenn Klarheit u¨ ber die Gesetzmäßigkeiten herrscht, die das dynamische Verhalten der Antriebssysteme bestimmen. Die Entwicklung der rechnergestützten Simulation, die eine Analyse festkörpermechanischer Erscheinungen in Wechselwirkung mit anderen Einflüssen erlaubt und deren Integration in die CAD-Umgebung, ist gegenwärtig der Inhalt vieler Forschungsprojekte. Im vergangenen Jahrzehnt gab es enorme Fortschritte bei der Entwicklung der numerischen und der experimentellen Methoden. Das dynamische Verhalten der Maschinenelemente und einiger Baugruppen dynamisch hoch beanspruchter Antriebssysteme ist von vielen Forschern intensiv analysiert worden, worüber in zahlreichen Artikeln berichtet wird. Es ist ein Anliegen des Autors, einen Einblick in den aktuellen Stand zu geben. Es werden die neuesten Publikationen berücksichtigt, aber da es unmöglich ist, bei einer zusammenfassenden Darstellung auf allen Teilgebieten in die Tiefe zu gehen, wird nur exemplarisch gezeigt, wie weit die Modellbildung und Modellberechnung bei manchen Baugruppen bereits getrieben wurde. Das Buch wendet sich an Fachleute, die beim Entwurf der verschiedenartigsten Erzeugnisse dynamische Effekte berücksichtigen müssen. Es behandelt festköpermechanische Antriebssysteme, also keine elektrischen, magnetischen, hydraulischen oder pneumatischen Antriebe. Die Wechselwirkung mit den elektrischen Antrieben wird stellenweise berücksichtigt, aber der wesentliche Inhalt bezieht sich auf das mechanische Verhalten von Antrieben des klassischen Maschinenbaues. Es wird die Verbindung zwischen den fundamentalen Methoden der Mechanik und den modernen Berechnungsmethoden gezeigt, um zur Integration solcher an den Technischen Universitäten und Fachhochschulen vertretenen Grundlagengebiete wie Angewandte Mechanik, Konstruktionstechnik, Maschinenelemente, Getriebe- und Antriebstechnik, Maschinendynamik, Schwingungstechnik, Simulationstechnik und Mechatronik einerseits und den Anwendungsgebieten, wie z. B. allgemeiner Maschinenbau, Fördertechnik, Verarbeitungsmaschinen und Werkzeugmaschinen andererseits beizutragen.

VI

Vorwort

Das Buch soll dem Leser helfen, spezifische dynamische Erscheinungen in Antriebssystemen kennenzulernen, zu analysieren, zu bewerten, zu berechnen und konstruktiv zu beeinflussen. Es werden deshalb typische dynamische Effekte erklärt und behandelt, die bei der Entwicklung eines Erzeugnisses zu beachten sind, wenn z. B. durch die Drehzahlerhöhung ein höheres dynamisches Problemniveau“ er” reicht wird. Manche der Erkenntnisse werden in Form allgemeiner Regeln zusammengefaßt. Allen Mitarbeitern meines Lehrstuhls, insbesondere den Herren Dipl.-Ing. Gao , Dr.-Ing. Ludwig Rockhausen, Dr.-Ing. Paul Rodionow, Dr.-Ing. Xingliang Holger Weiß und Dipl.-Ing. Jörg Weiß sowie dem Studenten Arnd Golle, die mit ihren Diskussionen und bei der Berechnung von Beispielen behilflich waren, möchte ich für die Mitarbeit danken, insbesondere auch Frau Gisela Richter, die alle meine Wünsche bei der Zeichnung von Bildern und Tabellen erfüllte und Frau Eugenia Tereschenko, die mich bei der Literaturbeschaffung sehr unterstützte. Dank für Anregungen und Diskussionen richte ich auch an die mir kollegial verbundenen Herren Dr.-Ing. A. Laschet (ARLA Maschinentechnik/Wipperfürth), Dipl.-Ing. U. Schreiber (ITI Dresden), Dipl.-Ing. E. Schröder (Mannesmann Dematic/Wetter), Dr.-Ing. C. Spensberger (Kupplungswerk Dresden) und Dr.-Ing. H. Wiese (MAN Roland Druckmaschinen/Offenbach), die mir Parameterwerte, praktische Beispiele und Bildmaterial zur Verfügung stellten. Ich danke auch den Herren Prof. Dr. sc. nat. I. I. Blekhman (Russische Akademie der Wissenschaften/Sankt Petersburg), Dr.-Ing. A. Fidlin (Fa. LuK Antriebssysteme/Bühl), Dr. sc. techn. P. Hupfer (Fraunhofer-Institut für Werkzeugmaschinen und Umformtechnik Chemnitz), Prof. Dr. rer. nat. E. Krämer (Technische Universität Darmstadt), Prof. Dr. sc. techn. H. Loose (Fachhochschule Brandenburg), Prof. Dr.-Ing. H. H. Müller-Slany (Universität Duisburg) und Dipl.-Ing. Friedmar Dresig (Robert Bosch GmbH Stuttgart), die Teile des Manuskriptentwurfs gelesen und mich mit ihren kritischen Fragen und Anmerkungen zu klareren Formulierungen und Ergänzungen veranlaßt haben. Besonders danke ich Herrn Dr.-Ing. Steffen Naake, der mit viel Geduld, Sachkenntnis und Verständnis aus meiner sich im Laufe von zwei Jahren entwickelnden Manuskriptvorlage das Buchmanuskript in die vorliegende Form gebracht hat. Herrn Dr. Merkle vom Springer-Verlag danke ich für die verständnisvolle Zusammenarbeit. Dankbar bin ich auch Barbara, meiner lieben Frau, ohne deren ermunternden Beistand dieses Buch nicht entstanden wäre. Auerswalde, Dezember 2000

Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. Hans Dresig TU Chemnitz Institut für Mechanik Professur Maschinendynamik/Schwingungslehre e-mail: [email protected] http://www.mb1.tu-chemnitz.de

Vorwort zur 2. Auflage

Für die zweite Auflage wurden Druckfehler eliminiert sowie Korrekturen und einige Ergänzungen vorgenommen. Zur Modellbildung gibt es neue Abschnitte, die sich auf die Vermeidung steifer Systeme (Abschn. 2.1.2.3), auf geschlossene Frequenzgleichungen von Kontinua-Biegeschwingern (Abschn. 2.4.4.2), auf die Reibung (Abschn. 2.4.7) und die modale Anregbarkeit (Abschn. 5.2.1) beziehen. Der bisherige Abschn. 4.7 wurde als Abschn. 2.4.5 eingeordnet. Ganz neu geschrieben wurden die Abschnitte u¨ ber Planetengetriebe (Abschn. 4.7), Stoßfolgen (Abschn. 5.4.5) und Vibrationshämmer (Abschn. 5.7.4). Darin werden jeweils konkrete Maßnahmen zur Schwingungsminderung empfohlen. Im Literaturverzeichnis wurden schwer erreichbare und/oder veraltete Literaturstellen gestrichen, aber dafür neueste Literatur an 35 Stellen ergänzt. Auerswalde, Juni 2005

Prof. em. Dr.-Ing.-habil. Hans Dresig Mittelstr.1 09244 Lichtenau [email protected]

Inhaltsverzeichnis

1

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2.1

Modellbildung mechanischer Antriebssysteme . . . . . . . . . . . . . . . 5 Einführung in die Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.1 Ziele der Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.2 Typen der Berechnungsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.2.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.2.2 Einteilung der Berechnungsmodelle . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.2.3 Zur Vermeidung steifer“ Systeme . . . . . . . . . . . . . . 22 ” 2.1.3 Beispiel: Antrieb eines Mechanismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Bewertung von Modellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.1 Regeln zur Verifikation von Modellgleichungen . . . . . . . . . . . 26 2.2.2 Normierung der Parameter und der Variablen . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.3 Berechnungsmodelle von Schubkurbelgetrieben . . . . . . . . . . . 31 2.2.3.1 Modellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.3.2 Elastisches Abtriebsglied mit Spiel . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.3.3 Spiel im Kurbelgelenk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.3.4 Zur Kolbensekundärbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.4 Beispiele für mehrere Modellstufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.4.1 Modellgleichungen von Rotoren mit Unwucht . . . . . . 45 2.2.4.2 Schadensfall an einer Pumpenwelle . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2.4.3 Versuchsstand mit Unwuchterreger . . . . . . . . . . . . . . 52 Induktive Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.3.2 Parametererregte Schwingungen einer Buchschneidemaschine . 58 2.3.3 Selbsterregte Schwingungen eines Wicklers . . . . . . . . . . . . . . 61 2.3.4 Instationäre Bewegungen bei Kranen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.3.4.1 Anheben der Last vom Boden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.3.4.2 Heben und Senken (Modell mit n = 2) . . . . . . . . . . . 71 2.3.4.3 Heben und Senken (Modell mit n = 4) . . . . . . . . . . . 79 2.3.4.4 Antriebsmoment bei Wippkranen . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.3.5 Diskrete Schwinger statt Kontinua (Balken- und Stabmodelle) . 86 Deduktive Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.4.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.4.2 Grundfrequenz von Schleifspindeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 2.4.3 Von 23 zu 5 Parametern (Fahrbewegung eines Brückenkrans) . . 101 2.4.4 Von räumlichen zu eindimensionalen Balken- und Stabmodellen 105 2.4.4.1 Allgemeine Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

2.2

2.3

2.4

1

X

2.5

2.6

Inhaltsverzeichnis

2.4.4.2 Biegeschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4.3 Längs- und Torsionsschwingungen . . . . . . . . . . . . 2.4.4.4 Modellierung einer Getriebewelle . . . . . . . . . . . . . 2.4.5 Schwenkbewegung eines Auslegerarms . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.6 Modellreduktion mit der Mittelungsmethode . . . . . . . . . . . 2.4.7 Reibungseinflüsse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.7.1 Zur Modellierung der Reibung . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.7.2 Einflußder Schwingungen auf die Reibungszahl . . . Ermittlung von Parametern des Gesamtsystems . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Sensitivitätsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1.1 Allgemeine Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1.2 Beispiel: Torsionsschwingerkette . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Parameterermittlung aus gemessenen Eigenfrequenzen und Eigenformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Identifikation eines Systems mit zwei Freiheitsgraden . . . . . Freiheitsgradreduktion und Modellanpassung . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Grundlagen der Freiheitsgradreduktion . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 2.6.2 Statische und dynamische Kondensation (G UYAN , R OHRLE ) 2.6.3 Reduktion nach R IVIN und D I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.4 Modale Reduktion und Eigenformapproximation . . . . . . . . . 2.6.5 Vergleich der Reduktionsmethoden an einem Beispiel . . . . . 2.6.6 Modale Synthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.7 Kopplung von zwei Schwingerketten . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

113 119 121 124 131 132 132 134 139 139 139 142

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

146 150 153 153 155 157 159 160 164 167

3.5

Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen . . . . . . 173 ¨ Erreger- und Ubertragungselemente von Torsionsschwingern . . . . . . . 173 Parameterwerte einzelner Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 3.2.1 Zylinder- und Kegelelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 3.2.2 Zusatzlängen und Nachgiebigkeitsfaktoren . . . . . . . . . . . . . . . 181 3.2.3 Drehsteifigkeiten von Kurbelwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 3.2.4 Dämpfungswerte von Torsionsschwingern . . . . . . . . . . . . . . . 186 Wälzlager und Fugen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 3.3.1 Allgemeine Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 3.3.2 Kugel- und Rollenlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 3.3.3 Fugen, Kontaktstellen, Gleit- und Wälzführungen . . . . . . . . . . 194 Getriebe, Kupplungen, Motoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 3.4.1 Zahnradgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 3.4.2 Berechnungsmodelle für nachgiebige Kupplungen . . . . . . . . . . 199 3.4.2.1 Allgemeine Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 3.4.2.2 Berechnungsmodell für Elastomerkupplungen . . . . . . 201 3.4.2.3 Nichtlineare Effekte bei biharmonischer Erregung . . . . 204 3.4.3 Asynchronmotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Dämpfungskennwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

4 4.1 4.2

Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen . . . . . . . 219 Anlaufvorgang eines Antriebs mit Asynchronmotor . . . . . . . . . . . . . . 219 Fahrzeug-Antriebsstrang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

3 3.1 3.2

3.3

3.4

XI

Inhaltsverzeichnis

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

5 5.1

5.2

5.3

Kupplungen im Antriebsstrang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Allgemeine Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Lüfterantrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Druckmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ungleichmäßig u¨ bersetzende Mechanismen . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Schwingungsursachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Schwingungen am Abtriebsglied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Schwingungen infolge elastischer Antriebsglieder . . . . . . . . Selbsthemmende Getriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Schwingungsursachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Keilschubgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3 Schneckengetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schwingungen von Zugmittelgetrieben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Schwingungsursachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2 Eigenfrequenzen des Zweischeiben-Riemengetriebes . . . . . . 4.6.3 Erzwungene und parametererregte Schwingungen . . . . . . . . 4.6.4 Kettengetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.5 Zahnriemengetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Planetengetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1 Allgemeine Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.2 Bewegungsgleichungen eines einfachen Berechnungsmodells 4.7.3 Beispiel: Getriebe mit drei Planeten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.4 Vergleich von drei Fällen unterschiedlicher Zahneingriffe . . . Fahrbewegung eines Regalbediengerätes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.1 Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.2 Herleitung der Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.3 Lösung der Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.4 Zahlenbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Irreguläre Belastungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.1 Querstoßan Führungsbahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 4.9.2 Nachlauf nach dem Abschalten (Uberlastsicherung) .......

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

228 228 229 233 236 236 241 246 250 250 251 254 262 262 264 268 270 277 279 279 280 283 286 288 288 290 293 295 298 298 301

Zur Synthese von Antriebssystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 Regeln zur dynamischen Synthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 5.1.1 Zur Struktursynthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 5.1.2 Modellstufe Starrkörpersystem“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 ” 5.1.2.1 Bewegung eines einzelnen Starrkörpers . . . . . . . . . . . 311 5.1.2.2 Bewegung von Starrkörpersystemen . . . . . . . . . . . . . 312 5.1.3 Modellstufe Lineares Schwingungssystem“ . . . . . . . . . . . . . . 315 ” 5.1.4 Modellstufe Nichtlineares Schwingungssystem“ . . . . . . . . . . 318 ” Modale Anregbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 5.2.1 Allgemeine Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 5.2.2 Beispiel: Torsionsschwingerkette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 Optimale Auslegung von Baugruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 5.3.1 Konturen von Unwuchtmassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 5.3.2 Kompensatoren für ungleichmäßig u¨ bersetzende Getriebe . . . . 326

XII

5.4

5.5

5.6

5.7

Inhaltsverzeichnis

¨ 5.3.3 Ubersetzungsverh¨ altnisse bei minimalem Trägheitsmoment . . 5.3.4 Stabprofile für extreme Eigenfrequenzen . . . . . . . . . . . . . . . Optimale Bewegungsabläufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Instationäre Starrkörperbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Eigenbewegung von Mechanismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3 Anlaufen und Bremsen eines linearen Schwingers . . . . . . . . . 5.4.3.1 Vergleich von Anlauffunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3.2 Optimaler Antriebskraftverlauf . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.4 Rechtecksprünge und Restschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.5 Stöße und deren Kompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.5.1 Einzelstoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.5.2 Mehrere Stöße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.5.3 Endlose Stoßfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.5.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.6 Resonanzdurchlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zum Entwurf schwingungsarmer Mechanismen . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Gestellschwingungen und Massenausgleich . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Torsionsschwingungen und Leistungsausgleich . . . . . . . . . . . 5.5.3 HS-Profile bei Kurvengetrieben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.3.1 Theoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.3.2 Rastgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.3.3 Schrittgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.4 Beeinflussung des Erregerspektrums mehrgliedriger Koppelgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Optimale Stützenabstände angetriebener Balken . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.2 Gekoppelte Biege- und Torsionsschwinger . . . . . . . . . . . . . . 5.6.3 Balken auf mehreren Stützen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Antriebe von Vibrationsmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.2 Schubkurbelgetriebe als Schwingungserreger . . . . . . . . . . . . 5.7.3 Unwuchterreger und Selbstsynchronisation . . . . . . . . . . . . . 5.7.3.1 Zur historischen Entwicklung dieser Antriebsart . . . . 5.7.3.2 Bedingungen für stabile Betriebszustände von Unwuchtrotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.3.3 Beispiele für Vibrationsantriebe mit Selbstsynchronisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.4 Vibrationshammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.4.1 Minimale konstante Handkraft . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.4.2 Dynamisch ausgeglichener pneumatischer Schlaghammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

327 329 332 332 336 339 339 344 347 354 354 354 358 360 366 372 372 375 378 378 382 384

. . . . . . . . . .

391 393 393 394 397 404 404 405 410 410

. 412 . 416 . 421 . 421 . 423

Häufig benutzte Formelzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

1 Einleitung

Antriebssysteme sind das Herzstück aller Maschinen. Die technische Entwicklung (Steigerung der Drehzahlen, der Genauigkeit, der Produktivität, des Wirkungsgrades oder die Senkung des Lärm- und Schwingungspegels) verlangt bei vielen Antrieben vom Entwickler und Konstrukteur die Lösung dynamischer Probleme. Schon im Stadium der Projektierung und Konstruktion (also vor dem Musterbau) sollen dynamisch günstige Lösungen gefunden werden. Vielfach muß der Ingenieur in seiner Firma ein konkretes Problem möglichst schnell, kostengünstig, umweltfreundlich und dauerhaft lösen. Was kann man einem Antriebstechniker dazu für Ratschläge geben, wo jedes Erzeugnis und jedes Problem seine Besonderheiten hat? Es kann nützlich sein, die Lösung vergleichbarer Fragestellungen aus Nachbargebieten zu beachten, um die Fehler, die andere gemacht haben, zu vermeiden. Es gibt erzeugnisunabhängige allgemeine Probleme in der Antriebsdynamik. Dazu zählen: • die Erfüllung der von der Technologie (vereinfacht gesagt: an der Kontaktstelle zwischen Werkzeug und Werkstück) gestellten Anforderungen, • Probleme der Modellbildung (von der Problemformulierung bis zur Deutung der Meß- und Rechenergebnisse), • gemeinsame Grundlagen aus der Physik (dynamisches Verhalten, modale und spektrale Betrachtungsweise), • Realisierung von solchen Standardaufgaben“ wie Anfahren, Bremsen, eine Be” wegung erzeugen, Resonanzdurchlauf, • Bewertung von Parametereinflüssen. Man könnte die Probleme der Antriebsdynamik danach ordnen, welche Objekte wie in Bewegung versetzt, wie sie räumlich und zeitabhängig bewegt werden, also z. B.: • bewegte Objekte: Punktmassen, starre Körper, Mechanismen, Stäbe, Biegebalken, Strukturen, Platten, Scheiben, Schalen, • Bewegung im Raum: rotierend, vibrierend, translatorisch, auf ebenen oder räumlichen Bahnen, • Bewegungsablauf in der Zeit: stetig beschleunigend oder verzögernd, unstetig (stoßartig, sprunghaft), harmonisch, periodisch. Aus der Kombination der verschiedenen Fälle in diesen drei Punkten resultiert die ganze Vielfalt der praktischen Fragestellungen, wie sie z. B. bei solchen Bewegungen wie

2

1 Einleitung

• rotierenden Bewegungen von Schleifspindeln, Textilspindeln, Wicklern, Zentrifugen, Unwuchterregern, • vibrierenden Bewegungen von Schwingförderern, Webladen und Nadelbarren in Textilmaschinen und Rütteltischen, • gleichförmigen Bewegungen von Zahnrad-, Planeten- und Riemengetrieben, • ungleichmäßigen Bewegungen von Kurven-, Koppel- und Räderkoppelgetrieben vorkommen, oder bei unerwünschten Schwingungen in Motoren, spielbehafteten Lagern und Gelenken und bei den Abtriebsbewegungen (Positioniergenauigkeit). Grundlagenkenntnisse sind zeitlos gültig und auf verschiedene Erzeugnisse (auch auf noch nicht existierende!) u¨ bertragbar. Die theoretischen und experimentellen Methoden und Verfahren, die von den Bearbeitern konkreter Probleme in der Literatur erwähnt werden, wiederholen sich. Der Autor hat sich bemüht, die unveränderlichen gemeinsamen Grundlagen so zu vermitteln, daß man die in der Praxis auftauchenden Probleme einordnen und lösen kann. Dazu gehört die Deutung komplizierter Erscheinungen (auch von Rechen- oder Meßergebnissen) durch die Zurückführung auf Elementarvorgänge, wozu z. B. die Beachtung von Eigenbewegungen (und als Sonderfall davon die modale Betrachtungsweise) gehört. Die Entwicklung der Software hat in den vergangenen Jahren große Fortschritte gemacht, so daß heutzutage Probleme lösbar sind, die noch vor einigen Jahren wegen der damit verbundenen numerischen Probleme unlösbar schienen. Es ist nicht mehr nötig, die Gleichungen aufzustellen und analytisch zu lösen, aber zum physikalischen Verständnis trägt die Rechnung von Hand“ wesentlich bei. Im vorliegenden Buch ” werden analytische Lösungen vorgestellt: • wenn es um einfach lösbare Aufgaben geht, • wenn analytische Zusammenhänge die u¨ bersichtliche Darstellung von Parametereinflüssen ermöglichen, • wenn analytische Zusammenhänge zur Vorbereitung numerischer Auswertungen interessieren und • wenn dimensionslose Kenngrößen eingeführt werden. Mit der Einsatzmöglichkeit leistungsfähiger Software sind allerdings einige neue Problemgruppen entstanden. Dazu gehören: • höhere Anforderungen an die Kunst der Modellbildung“ (die Problembearbei” ter müssen die physikalischen Zusammenhänge verstehen, bevor Software eingesetzt wird), • neue Anforderungen an Eingabedaten (insbesondere für Erregungen, Steifigkeiten und Dämpfungen fehlen Parameterwerte), • neue Anforderungen bezüglich der Ergebniskontrolle (Computerergebnisse bewerten, Rechenergebnisse u¨ berprüfen), • höhere Anforderungen an die Ergebnisinterpretation und Phantasie bei der konstruktiven Umsetzung. Das zweite Kapitel befaßt sich deshalb ausführlich mit Fragen der Modellbildung. Das dritte Kapitel geht auf die Besonderheiten von Torsionsschwingungen in Antriebssträngen ein.

1 Einleitung

3

Das vierte Kapitel befaßt sich mit gekoppelten Biege-, Längs- und Torsionsschwingungen. Das fünfte Kapitel widmet sich Syntheseaspekten, darunter auch mit optimalen Bewegungsabläufen und Fragen der Struktursynthese. Es werden viele Beispiele aus der Konstruktionspraxis dargestellt. Eine erzeugnisunabhängige und problemorientierte Betrachtungsweise erlaubt, Querverbindungen bezüglich der Formulierung und Lösung dynamischer Probleme herzustellen. Es kommt dem Autor darauf an, die Möglichkeiten der gezielten konstruktiven Einflußnahme auf den verschiedenen Ebenen der Problembearbeitung zu zeigen. Es werden die Grundlagenkenntnisse der Mathematik und Mechanik vorausgesetzt, die ein Diplomingenieur des Maschinenbaues während seines Studiums normalerweise erworben hat, z. B. Methoden zur Aufstellung von Differentialgleichungen und Grundlagen der Matrizenrechnung. Lösungsmethoden für Gleichungen, Differentialgleichungen und Eigenwertprobleme werden wie die handelsübliche Software als black box behandelt. Es wird auf dem im Lehrbuch der Maschinendynamik [150] vermittelten Stoff aufgebaut. Der Autor stellt eigene Forschungsergebnisse vor und berücksichtigt bei der Stoffauswahl den gegenwärtigen internationalen Entwicklungsstand. Dazu wurde neben der Literatur des deutschen und englischen Sprachraums auch die sonst wenig beachtete osteuropäische Literatur ausgewertet. Am Ende vieler Kapitel erfolgt ein Ausblick auf den aktuellen Stand bei der Untersuchung des behandelten Objekts, wie er sich in Dissertationen und weiterführenden Forschungsberichten darstellt, so daß der interessierte Leser auch Anregungen für eigene weitergehende Arbeiten findet.

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

2.1 Einfuhrung ¨ in die Modellbildung 2.1.1 Ziele der Modellbildung Ein reales Antriebssystem läßt sich durch kein Berechnungsmodell so abbilden, wie ” es wirklich ist“. Ein Berechnungsmodell ist stets das Ergebnis einer Abstraktion und soll für einen bestimmten Zweck verwendbar sein. Für ein und dasselbe Antriebssystem können durchaus unterschiedliche Berechnungsmodelle zweckmäßig sein, je nach den Fragen, die gestellt oder den Antworten, die gesucht werden. Man benutzt Berechnungsmodelle in der Antriebsdynamik aus drei Gründen: 1. Zeit- und Kostenersparnis bei der Entwicklung neuer oder verbesserter Erzeugnisse dadurch, daß an Stelle teurer Versuchsstände (oder Messungen an der realen Maschine, deren Betrieb man unterbrechen muß) die dynamische Simulation am Computer erfolgen kann. 2. Klärung physikalischer Ursachen für störende Erscheinungen (z. B. Resonanzschwingungen, Brüche, Lärm). Stör- und Schadensfälle haben, nachdem sie intensiv ausgewertet wurden, oft zur Verbesserung der Modellbildung und zum Modellverständnis beigetragen. 3. Ermittlung optimaler Parameterwerte hinsichtlich der jeweiligen speziellen Kriterien (z. B. Materialaufwand, Energiebedarf, Steifigkeit, Lage der kritischen Drehzahlen u. a.). In den vergangenen Jahren haben die Möglichkeiten zur modellgestützten Analyse mechanischer Systeme an Bedeutung gewonnen, da sich durch die Leistungsfähigkeit der Computer und der Software der zeitliche und finanzielle Aufwand für Simulationsrechnungen bedeutend vermindert hat. Demgegenüber sind Prüfstandversuche zeit- und kostenaufwendig geblieben. Allgemein kann man sagen: Berechnungsmodelle in der Antriebsdynamik haben den Zweck, das dynamische Verhalten der Objekte (Maschinenelemente, Baugruppen oder das Gesamtsystem) qualitativ richtig darzustellen und die quantitative Berechnung von Kraftund Bewegungsgrößen zu ermöglichen, so daß der Einfluß aller für die jeweilige Fragestellung wesentlichen konstruktiven Parameter auf das dynamische Verhalten erkennbar und interpretierbar wird.

6


In einer frühen Konstruktionsphase, die ohne gesicherte experimentelle Untersuchungen auskommen muß, kann man nur von wenigen Parameterwerten ausgehen. Es empfiehlt sich, in diesem Stadium die Parameter zu variieren und zu analysieren, welchen Einfluß Parameteränderungen haben. Erst in einer späteren Konstruktionsphase, wenn schon ein Funktionsmuster gebaut wurde, kann man mit experimentellen Ergebnissen vergleichen. Da eine experimentelle Untersuchung nur mit zusätzlichem Aufwand mehrere Parameteränderungen zuläßt, ist es prinzipiell schwierig, daraus allgemeingültige Aussagen für große Parameterbereiche zu gewinnen. Ein deutlicher Vorteil bei experimentellen Untersuchungen sind die unvereinfachten“ realen Verhältnisse des Ob” jekts. Der Prozeß der Modellbildung in der Antriebsdynamik ordnet sich in einen allgemeinen Prozeß der Systemdynamik ein, der in [42] beschrieben wird, vgl. Bild 2.1.

Bild 2.1 Simulation dynamischer Systeme [42]

Die Modellbildung in der Antriebsdynamik betrifft physikalische, mathematische und analytisch/numerische Gesichtspunkte. Für dieselbe Fragestellung können unterschiedliche Bearbeiter durchaus verschiedene physikalische Modelle zur Problembeschreibung benutzen, also z. B. kontinuierliche Modelle oder diskrete Modelle, vgl. die Abschnitte 2.3.5 und 2.4.4. Es ist durchaus möglich, dasselbe reale Objekt sowohl mit der Methode der Finiten Elemente (FEM) als auch mit der Methode der Mehrkörper-Systeme (MKS) zu beschreiben und zu berechnen. Bereits bei der Modellbildung hat man sich auf die Nutzung des großen Angebots an kommerziel¨ ler Software für die Modellberechnung einzustellen. Tabelle 2.1 gibt eine Ubersicht u¨ ber einige in der Antriebsdynamik vielfach eingesetzte Programmsysteme. Es besteht die Gefahr, daß man bei der Beschränkung auf vorhandene Software die analytischen Zusammenhänge vergißt“. Analytische Methoden behalten ihre ” ¨ Bedeutung für Abschätzungen, für Plausibilitätsbetrachtungen,für die Ahnlichkeits¨ mechanik und für alle Uberlegungen zur Normierung und Skalierung von Parameterwerten.

2.1 Einfuhrung ¨ in die Modellbildung

Tabelle 2.1 Programmsysteme für die Antriebsdynamik Nr. 1

Name ABAQUS

2

alaska

3

ANSYS

4

ARLA SIMUL

5

DRESP

6

ITI -SIM

7

LS-Dyna

8

mHSL

9

MSC

10

Pro/ Mechanica

Kurzbezeichnung Nichtlineares FEM-Berechnungsprogramm (explizite und implizite Zeitintegration), große Verformungen, Kontakt, nichtlineare Materialgesetze Simulation von Mehrkörpersystemen einschließlich elektromechanischer Systeme (nichtlinear/linear) zusätzliche Differentialgleichungen formulierbar, Modalanalyse Universelles FEM-Programmpaket für Statik, Dynamik, Temperaturfeld, elektromagnetische Felder, Strömung; Große Verformungen, Nichtlinearitäten, Kontakt, Stationäre und transiente Berechnungen Berechnung linearer/nichtlinearer Torsionsschwingungssysteme (instationär/ stationär), insbesondere Antriebsstränge; Frequenzanalyse, Modalanalyse Simulation des dynamischen Anlagenverhaltens, insbesondere des Drehschwingungsverhaltens von Antriebssystemen Simulationssoftware für mechanische, elektrische, hydraulische, pneumatische und thermische Komponenten- und Systemanalyse inklusive Regelung Nichtlineares FEM-Programm (explizite und implizite Zeitintegration), Statik und Dynamik, große Verformungen, Kontakt, nichtlineare Materialgesetze, crash und impact Simultane Generierung und Optimierung von bis zu 5 HS-Bewegungsgesetzen (Lagefunktionen) unter Vorgabe von bis zu 120 Forderungen; Berücksichtigung des Schwingungsverhaltens Mehrkörpersimulation, Modalanalyse, Gesamtsystemanalyse Produktfamilie für funktionelle Simulationslösungen in Verbindung mit dem CAD-Modell für strukturelle, thermische und mechanische/dynamische Fragestellungen Lineare Statik und Dynamik, Parameteroptimierung, abgeschlossenes FEM-Programm

Internet-Adresse: http://. . . www.abaqus.de

www.tu-chemnitz.de/ifm

www.cadfem.de [10], [312]

www.arla.de [213], [301]

www.ime.rwth-aachen.de/ ˜dresp/

www.iti.de [302], [285]

www.dynamore.de

www.mb.tu-chemnitz.de/ MADYN/

www.mscsoftware.com www.rand.com

7

8


Tabelle 2.1 Programmsysteme für die Antriebsdynamik (Fortsetzung) Nr. 11

Name SAM

12

SAMCEFMECANO

13

SIMPACK

14

WinDAM

Kurzbezeichnung Getriebeentwurf Bewegungs- und Kraftanalyse von 2-DGetrieben (als Starrkörpermechanismus) Mehrkörpersimulation von Starrkörpern und/oder flexiblen 2-D- oder 3-D-Strukturen Simulation beliebiger mechanischer Systeme FEM, CAD kinetostatische Analyse ebener Mechanismen mit mehreren Antrieben und beliebiger Struktur Integration der Bewegungsgleichung partielle Ableitungen berechenbar

Internet-Adresse: http://. . . www.artras.nl

software.de/sw/software/

www.cam-uksimpack.demon.co.uk/ siminfo.html www.mb.tu-chemnitz.de/ MADYN/

Ein Unterschied zwischen verschiedenen Berechnungsmodellen besteht oft im Aufwand, sowohl bei der physikalischen und mathematischen Beschreibung als auch bei der Lösung der Modellgleichungen. Die konstruktiven Schlußfolgerungen können unabhängig vom betriebenen mathematischen oder numerischen Aufwand sein, d. h., es ist im Idealfall möglich, daß man mit Minimalmodellen die geforderten Aussagen zur Beeinflussung des realen Objekts finden kann. Jede Modellberechnung bezieht sich auf eine bei der Modellbildung festzulegende topologische Struktur. Eine charakteristische Größe für ein Berechnungsmodell ist der Parametervektor, der die Gesamtheit der Modellparameter erfaßt, mit denen das reale Objekt beschrieben wird. Das reale Objekt wird also stets auf eine endliche Anzahl von K Einflußgrößen reduziert, vgl. Tabelle 2.2. Modellbildung beginnt mit der Definition eines Parametervektors, also der Einflußgrößen, die u¨ berhaupt in Betracht gezogen werden. Konstruktive Maßnahmen“ ” beziehen sich lediglich auf die Umsetzung der am Berechnungsmodell gefundenen zweckmäßigen Parameterwerte. Konstruieren ist in diesem Sinne das Festlegen von Zahlenwerten für die Komponenten der Parametervektoren. Ein reales Objekt wird durch hunderte oder tausende von Parameterwerten definiert, aber nicht alle werden in Berechnungsmodellen erfaßt. Jedes Berechnungsmodell beschränkt sich auf eine endliche Anzahl von Parametern. Manchmal sind noch nicht einmal Minimalmodelle notwendig, um konstruktive Entscheidungen zu treffen. Oft legt ein Experte, der ein tiefes Verständnis des physikalischen Hintergrundes besitzt, die wesentlichen Parameterwerte fest. Auf Grund umfangreicher Erfahrungen kann man auch zu Ergebnissen gelangen, die sich scheinbar nur mit komplizierten Berechnungsmodellen begründen lassen. In einigen Industriezweigen, wo hochwertige Produkte produziert werden, sind oft komplizierte Berechnungsmodelle u¨ blich. Diese sind in jahrzehntelanger Wechselwirkung zwischen Rechnung und Messung entwickelt worden. Das trifft z. B. auf den Turbinenbau, Schiffbau, Fahrzeugbau und die Luft- und Raumfahrttechnik zu, wo hunderte von Mannjahren in die Entwicklung zutreffender Berechnungsmodelle

9


Tabelle 2.2 Anzahl der Parameter im Parametervektor p bei typischen Beispielen Gl.-Nr.

Tabelle 2.6

(2.38), (2.47)

2.7

2.2.3

2.8

2.20 2.26 2.29 2.33 2.37 2.39 2.47 2.60

2.2.4.1 2.2.4.2 2.2.4.3 2.3.3 2.3.4.2 2.3.4.3 2.3.5 2.4.2 2.4.3 2.4.4.4 2.5.3

2.57

(2.75) (2.81)

Objekt Ungleichmäßig u¨ bersetzende Mechanismen Schubkurbelgetriebe

Anzahl K 2...5

3...9 8 8 15 6 11 7 11 23 15 (9) 4

2.5.1.2

Rotoren mit Unwucht Pumpenwelle Versuchsstand Wickler Hubwerk Hubwerk Elastisch gelagerter Balken Schleifspindel Fahrbewegung Brückenkran Getriebewelle Torsionsschwinger mit zwei Freiheitsgraden Torsionsschwingerkette

3.13

3.4.2.2

Scheibenkupplung

5

4.3

3.4.3 4.2

Asynchronmotor Torsionsschwingung Fahrzeugantriebsstrang Schneckengetriebe Biege- und Torsionsschwingung Riemen Längs- und Torsionsschwingung Riemengetriebe Zahnriemen Planetengetriebe Regalbediengerät Koppelgetriebe Schrittgetriebe Kettenwirkmaschine

6 31

2.13

(2.162) (2.173) (2.217) 2.12 2.17 (2.397) (2.368), (2.372) (3.63), (3.64) (3.69) 4.1 (4.46) (4.47)

Bild

Abschnitt 2.1.2.3

4.21

4.5.3 4.6.2

(4.48)

4.25

4.6.2

(4.84)

4.30 4.31 4.36 5.36 5.43 5.49

4.6.5 4.7.2 4.8.4 5.5.1 5.5.3.3 5.6.2

(4.140) (5.217) (5.243)

4.4

6...9

7

15 8 17 6 9 13 15 7 6

und deren Umsetzung in erzeugnisorientierte Spezialprogramme investiert wurden. Dort ist es möglich und u¨ blich, das dynamische Verhalten vieler Baugruppen bei allen denkbaren dynamischen Vorgänge mit Berechnungsmodellen zu simulieren. Für viele solcher hochentwickelten Objekte existieren ausgereifte Berechnungsmodelle, die die realen Verhältnisse sehr gut wiedergeben. Von Modellbildung“ im engeren Sinne kann man eigentlich nur dann sprechen, ” wenn für einen realen Vorgang ein Berechnungsmodell u¨ berhaupt erst gebildet wer-

10


den soll. Existiert bereits ein Berechnungsmodell und werden bei der Erzeugnisentwicklung neue Parameterbereiche (z. B. höhere Drehzahl, neuer Werkstoff, größere Abmessungen) angestrebt, muß dabei eine Modellbildung“ den Geltungsbereich des ” bisherigen Berechnungsmodells erweitern. Im allgemeinen Maschinenbau sind für viele Objekte und Vorgänge noch keine ausreichenden Berechnungsmodelle vorhanden. Der Prozeß der Modellbildung ist bei vielen Baugruppen gegenwärtig in vollem Gange, und es gibt bisher noch keine allgemeingültige Modellbildungs-Strategie. Im Abschnitt 2.3 wird die induk” tive Modellbildung und im Abschnitt 2.4 die deduktive Modellbildung“ als Stra” ” tegie erläutert, aber in der Praxis werden meist gemischte“ heuristische Strategien ” benutzt. Abschließend seien noch einige Regeln genannt, die man bei der Modellbildung beachten sollte: 1.

Man beginne mit der Modellbildung erst dann, wenn man die dynamischen Vorgänge am realen Objekt kennt und in der Lage ist, physikalisch begründete Hypothesen zu formulieren. 2. Ein Berechnungsmodell muß zweckmäßig und qualitativ richtig sein. Es soll so einfach wie möglich und nur so kompliziert sein, daß es die gestellten Genauigkeitsanforderungen erfüllt. Ein Modell wird durch präzise Eingabedaten nicht qualitativ besser. 3. Kein Modell bildet die Realität absolut richtig ab, die Genauigkeit jedes Parameterwertes ist begrenzt, und die Modellstruktur ist ein endlicher Ausschnitt aus der unbegrenzten Realität. 4. Außerhalb des Geltungsbereichs eines Berechnungsmodells kann die Berechnung große Abweichungen von der Realität und sogar unsinnige Ergebnisse liefern. 5. Man erweitere Berechnungsmodelle bei Bedarf und ziehe aus Modellstufen niederer Ordnung keine Schlußfolgerungen höherer Ordnung. 6. Man berücksichtige in einem Berechnungsmodell insbesondere solche Parameter des realen Objekts, deren Parameterwerte experimentell beeinflußbar sind. 7. Man u¨ berzeuge sich von den Parametereinflüssen einer Modellberechnung durch davon möglichst unabhängige Berechnungsmodelle und benutze zumindest Plausibilitätskontrollen. 8. Die Anzahl der Freiheitsgrade eines Berechnungsmodells ist nicht direkt abhängig von der Anzahl der Parameterwerte. Sie ist zwar ein Maß für den erforderli¨ chen Rechenaufwand, aber nicht für die erzielbare Ubereinstimmung zwischen Rechen- und Meßergebnissen. 9. Man erwarte von Eingabedaten für Parameterwerte keine höhere Genauigkeit als zwei bis drei gültige Ziffern und demzufolge auch nicht von den Ergebnissen der Modellberechnung. 10. Man kann von Computern in der Regel numerisch genaue Ergebnisse erwarten, aber man glaube nicht, daß im Vergleich zur Realität stets unbedingt richtige Lösungen gewonnen werden. Der Praxisabgleich“ ist entscheidend! ” 11. Man nutze alle Kontrollmöglichkeiten für die numerischen Ergebnisse. Jede Rechnung ohne Kontrolle gehört in den Papierkorb! 12. Man prüfe das Modell durch Abgleich der Parameterwerte und der Simulationsergebnisse mit experimentellen Ergebnissen.


11

2.1.2 Typen der Berechnungsmodelle 2.1.2.1 Allgemeines Bild 2.2 zeigt Gesichtspunkte, die mit der Modellbildung im Zusammenhang stehen. Die Anwendung von Berechnungsmodellen ist sinnvoll, wenn die Parameterwerte hinreichend genau zur Verfügung stehen, das Berechnungsmodell das Realsystem qualitativ richtig abbildet, das Simulationsprogramm das Berechnungsmodell korrekt auswertet, die am realen Objekt vorhandenen Kraft- und Bewegungsgrößen vorausberechnet werden können, konstruktive Schlußfolgerungen möglich sind und berechnete Größen hinreichend genau mit experimentellen Ergebnissen u¨ bereinstimmen. Konstruktionsunterlagen (Vorkenntnisse, Erfahrungen)

Berechnungsmethoden für Parameterwerte

Berechnungsmodell (Struktur, Parameter)

Modellstruktur korrigieren

Parameterwerte (präzisieren)

Modellberechnung (Simulation) (Software, z. B. FEM, MKS)

Strukturbewertung (qualitativer Vergleich)

quantitativer Vergleich

Kraft- und Bewegungsgrößen

Messung von Parameterwerten

Messungen am realen Objekt

Schlußfolgerungen, Systemkonfiguration (z. B. Dimensionierung der Bauteile)

Meßstrategie

reales Objekt (z. B. Antriebssystem) Bild 2.2 Prinzipielle Wechselwirkungen und Aspekte bei der Modellbildung

Zur Modellbildung gehören Daten zu den Parametern (Parameterwerte). Da man die Parameterwerte in der Fachliteratur nicht immer findet, ist ihre Ermittlung eine Teilaufgabe der Modellbildung. Es ist wünschenswert, daß die Firmen, welche die für Antriebssysteme typischen Baugruppen herstellen, in den Prospekten und Erzeugniskatalogen außer geometrischen auch Kennwerte und Kennlinien veröffentli-

12


chen, welche das mechanische (und/oder elektromagnetische) Verhalten ihrer Produkte quantitativ beschreiben. Jedes diskrete oder kontinuierliche Berechnungsmodell läßt sich durch endlich viele (Anzahl K) Parameter beschreiben, die man einheitlich mit p1 , p2 , . . . , pk bezeichnen kann. Ein konkretes Objekt wird durch Parameterwerte (also Zahlenwerte mit Maßeinheiten) charakterisiert. Man kann sie zusammenfassend in einem Parametervektor pT = (p1 , p2 , . . . , pk )

(2.1)

erfassen. Auf die Auswahl eines Berechnungsmodells (Mitte oben in Bild 2.2) wird in den Abschnitten 2.3 und 2.4 eingegangen. Beim gegenwärtigen Entwicklungsstand wird meist Software auf der Basis von FE-Modellen, MKS-Modellen oder der Kopplung von solchen Modellen mit CAD-Systemen eingesetzt. Bei großen Bewegungen sind MKS-Programme von Vorteil, da sie alle geometrischen Nichtlinearitäten automa” tisch“ berücksichtigen. In allen Fällen spielt die modale Analyse eine zentrale Rolle, und das Denken mit Begriffen wie Eigenfrequenzen und Eigenformen ist bei der Modellbildung von großem Vorteil, da zu Anfang oft die Frage steht, ob ein Berechnungsmodell linear oder nichtlinear angesetzt werden kann. Die rechte Spalte in Bild 2.2 drückt aus, daß man Strategien zum Vergleich von Rechen- und Meßergebnissen und zur Modellanpassung benötigt, wie sie in Abschn. 2.5 behandelt werden. Vor einer Messung sollte schon ein Konzept für die spätere Auswertung im Hinblick auf die Modellbildung vorhanden sein. Die erwähnte Meßstrategie soll die qualitativ zu erwartenden Systemantworten und deren Größenordnung gedanklich vorwegnehmen. Dies ist nicht nur wegen der Auswahl der Meßbereiche der Geber von Interesse, sondern auch wegen des Ergebnisvergleichs mit traditionellen Modellvorstellungen. Mit den unter dem Punkt Modellberechnung erwähnten Kraft- und Bewegungsgrößen sind zeitlich veränderliche Kräfte, Momente, Leistungen, Frequenzen, Schwingformen, Wege, Deformationen, Winkel und deren Geschwindigkeiten, Beschleunigungen, Winkelgeschwindigkeiten u. a. gemeint. Die Schlußfolgerungen beziehen sich letzten Endes auf die konstruktive Umsetzung der Parameterwerte, angefangen von den Motordaten, denen der Getriebe, Kupplungen und Antriebsstränge bis zu denen der Abtriebsglieder. Zur Dimensionierung einzelner Baugruppen, auch zur Optimierung, werden in den Abschnitten 3 und 4 typische Beispiele behandelt. Die analytische und numerische Behandlung der Berechnungsmodelle erfolgt für Antriebssysteme in a¨ hnlicher Weise wie die der Tragsysteme in der Strukturdynamik. Gemeinsam wird auf viele Gebiete der angewandten Mathematik und speziell auf die Theorie der linearen Schwingungssysteme zurückgegriffen. Wenn die Berechnungsmodelle linear sind, können u. a. die Methoden der Modalanalyse, der Substrukturtechnik und der Freiheitsgradreduktion auch in der Antriebsdynamik angewendet werden. Worin bestehen die Besonderheiten der Berechnungsmodelle in der Antriebsdynamik? • Antriebssysteme dienen dazu, Körper zu bewegen, also werden infolge der Bewegungen stets Massenkräfte verursacht. Man hat es also mit Berechnungsmo-


•

•

•

•

•

•

13

dellen zu tun, bei denen die dynamischen Kräfte von den Parametern des Systems selbst abhängen, während in der Strukturdynamik die Erregungen meist von au” ßen“, entweder aus einer kinematischen Erregung (z. B. Erdbeben) oder aus den Massenkräften eines Antriebssystems (z. B. Unwuchterregung) stammen. Die Massenkräfte kann man nach der Ursache der Beschleunigung zweckmäßig als Summe der kinetostatischen Massenkräfte und der Vibrationskräfte (vibrodynamische Kräfte) verstehen. Als kinetostatische Kräfte werden diejenigen Anteile bezeichnet, die sich aus der Beschleunigung der starren Körper ergeben ( star” re Maschine“, Modellstufe 1). Man kann dabei noch unterscheiden zwischen den kinetostatischen Kräften der zwangläufigen (erwünschten) Primärbewegung und denen der unerwünschten Sekundärbewegung, die sich infolge des stets vorhandenen Spiels in Führungen, Lagern und Gelenken einstellt und zu Zusatzbeschleunigungen führt. Kinetostatische Kraftverläufe der Primärbewegung stellen Mittelwerte dar, denen die kinetostatischen Kräfte der Sekundärbewegung und die Vibrationskräfte u¨ berlagert sind. Die im Abschnitt 2.2.3.3 behandelte tangentiale Bewegung des Bolzens in der Lagerschale, die Kolbensekundärbewegung (Abschn. 2.2.3.4) oder der Schräglauf (Abschn. 4.9) sind Beispiele für Sekundärbewegungen, aber auch alle unerwünschten zusätzlichen Schwingungen kann man als Sekundärbewegungen auffassen, vgl. Bilder 2.7, 2.9b, 2.10, 2.12d, 2.17, 2.18, 2.19, 4.13 bis 4.16, 2.50 und 5.45. Als Vibrationskräfte werden die Anteile bezeichnet, die infolge der den Beschleunigungen der Starrkörper u¨ berlagerten Schwingungen der realen Systeme entstehen. Sie können durch die Primärbewegung (z. B. aus erzwungenen Schwingungen resultierenden Massenkräfte) oder die Sekundärbewegung (z. B. Stoßkräfte beim Kontakt von Körpern) verursacht werden. Vibrationskräfte sind mit Modellen berechenbar, bei denen das (lineare oder nichtlineare) elastische Verhalten (z. B. an den Kontaktstellen oder das Materialverhalten) berücksichtigt wird, vgl. die Modellstufe 2 oder Modellstufe 3 in Tabelle 2.3 und die Bilder 2.9a, 2.10 und 2.12. Nicht nur bei Verbrennungsmotoren (z. B. Kröpfungswinkel bei Kurbelwellen, Reihenfolge der Zündzeitpunkte), sondern auch bei allen anderen Antriebssystemen gibt es relativ viele Möglichkeiten, Strukturen und Parameter zu variieren, durch optimale Parameter die Schwingungserregung zu vermindern und das Schwingungsverhalten zu beeinflussen, vgl. die Beispiele in Kapitel 5. In Antriebssystemen treten häufig nichtlineare Effekte auf. Diese können infolge geometrischer Nichtlinearitäten bei großen Bewegungen“ oder infolge nichtli” nearen Materialverhaltens (wozu auch das Reibungsverhalten gehört) auftreten, vgl. Abschn. 2.2.3, 2.2.4, 3.4.2, 4.4 und 4.6.3. Knicke und Unstetigkeiten sind auch eine typische Besonderheit in Berechnungsmodellen der Antriebssysteme. Dazu gehören gestufte Federn, das Spiel in Kupplungen oder Zahnradpaarungen, das Lagerspiel, Reibkraftsprünge, die bei Richtungsänderung der Relativgeschwindigkeit in Lagern auftreten, und auch die Selbsthemmung (z. B. bei Schneckengetrieben) ist eine unstetige“ Nichtlinea” rität, vgl. Abschn. 4.5. Manchmal spielt bei der Bestimmung der dynamischen Belastungen die Wechselwirkung des Antriebs mit seiner Energiequelle eine wesentliche Rolle. Es wird dann erforderlich, die Kennlinien der hydraulischen, pneumatischen

14

•

•

•

•


oder elektromechanischen Antriebe in die Modellgleichungen einzubeziehen, vgl. Abschn. 3.4.3 und 4.1. In der Antriebsdynamik werden von Seiten der Elektriker“ einfache Berechnungsmodelle für das dynamische Verhalten der ” mechanischen Komponenten gewünscht und andererseits müssen von Seiten des Mechanikers“ Methoden der Steuer- und Regelungstechnik beachtet werden. ” Es gibt Fälle, in denen die Gestellbewegungen einen Einfluß auf die Massenkräfte des Antriebssystems haben, d. h., die mechanischen Wechselwirkungen zwischen Antrieb und Gestell müssen manchmal im Berechnungsmodell berücksichtigt werden, vgl. das Beispiel der Unwuchterregung in Abschn. 2.2.4, des Pressenantriebs in Abschn. 2.2.3.2 und der Selbstsynchronisation in Abschn. 5.7.3. Ein typisches Problem ist die Modellierung der Lagerstellen von Antriebssystemen. Je nach Fragestellung muß einer Kontaktstelle bei der Modellbildung besondere Aufmerksamkeit gewidmet werden, vgl. das Beispiel in Bild 2.33 und die Kennwerte in Abschn. 3.3.3. Die mathematische Modellierung von Antriebssystemen hat vom Standpunkt der Mechanik noch die Besonderheit, daß es an Stelle der Absolutkoordinaten, welche die Lage des mechanischen Systems gegenüber einem raumfesten Bezugssystem beschreiben, oft zweckmäßig ist, Relativkoordinaten zu benutzen, vgl. die Beispiele in Abschn. 2.2.3 und 2.2.4. Die Eigenfrequenzen beim Fahren unterscheiden sich von den Eigenfrequenzen im Stillstand des (von der Bremse festgehaltenen) Systems, vgl. die Beispiele in Abschn. 2.3.4. und 4.8.3. Bei rotierenden Körpern in einem Antriebssystem unterscheiden sich die bezüglich des rotierenden Bezugssystems gemessenen Frequenzen von denen, die man am raumfesten Bezugssystem messen kann. Beim konstruktiven Entwurf eines Antriebssystems gibt es gewisse Freiheiten bei der Gestaltung der Zeitverläufe, die maßgeblichen Einfluß auf das dynami¨ sche Verhalten haben. Dynamisch gunstige Bewegungsgesetze können Schwingungen vermeiden und vermindern, vgl. das Beispiel des Schrittgetriebes in Abschn. 5.5.3.3 oder die Beispiele in Abschn. 5.4 und 5.5.4.

2.1.2.2 Einteilung der Berechnungsmodelle Im folgenden wird eine Systematik vorgeschlagen, um die verschiedenen Berechnungsmodelle zu ordnen. Dies soll das theoretische Verständnis erleichtern sowie Hilfestellung bei der Modellbildung und bei der Suche nach den Schwingungsursachen geben, vgl. [81]. In der Technischen Schwingungslehre und Maschinendynamik werden die Schwingungen nach ihren Entstehungsursachen in freie“, erzwun” ” gene“, parametererregte“ und selbsterregte“ Schwingungen unterschieden [231]. ” ” Die internen Zusammenhänge, die dieser Einteilung zugrundeliegen, sollen etwas näher betrachtet werden. Ausgehend von der aus der Physik und Systemdynamik bekannten grundlegenden Auffassung, daß Zustandsänderungen realer dynamischer Systeme nur von ihrem Zustand selbst abhängen, folgt auch (weil es in der Realität genau genommen keine mechanische Größe gibt, die explizit als Funktion der Zeit gegeben ist), daß ¨ aller Zustandsgrößen das Ergebnis von Wechselwirkungen die zeitliche Anderung der Systemelemente ist. Von dieser Auffassung her sind alle Modellgleichungen als Sonderfälle selbsterregter Systeme zu betrachten.

15


Die Annahme einer von außen“ gegebenen Zeitfunktion für Kraft- oder Bewe” gungsgrößen ist so gesehen häufig eine sehr zweckmäßige Vereinfachung der Realität. Bei der Modellbildung wird also genaugenommen ein ursprünglich selbsterregter Schwinger (der in Wechselwirkung mit seiner Umgebung steht) durch einen Schnitt zur Umgebung zum Berechnungsmodell der erzwungenen und parametererregten Schwingungen vereinfacht. Es ist aus diesem Grunde bei realen Schwingungsvorgängen auch nicht möglich, scharfe Grenzen zwischen freien“, erzwungenen“ ” ” und selbsterregten“ Schwingungen zu ziehen und diese Unterschiede aus der Ana” lyse von Meßsignalen automatisch“ zu erkennen. ”

a)

m

mq&&+ kq = 0

k

t = 0: q(0) = 0, q& (0) = v0

q

b) m

F (t )

mq&&+ kq = F (t )

k

F(t)

t = 0: q(0) = 0, q& (0) = 0

q

0

ta

T

t

Bild 2.3 Minimalmodell für Stoßbelastung (Anregungszeit ta ) a) Freie Schwingung, b) Erzwungene Schwingung

¨ Um zu zeigen, wie fließend der Ubergang bei der Modellbildung von freien zu erzwungenen Schwingungen erfolgt, wird ein Stoß betrachtet. Bild 2.3a zeigt das Modell des freien Schwingers, bei dem die Bewegung mit einer gegebenen Anfangsgeschwindigkeit v0 beginnt. Nach diesem Modell wird dem Schwinger anfangs kinetische Energie u¨ bertragen, die sich aus der Anfangsbedingung zu (1/2) · mv02 ergibt, aber danach wirkt keine Erregerkraft mehr. Es wird eine Schwingung angeregt, die gemäß √ v0 sin ω t; Fw = kq = v0 km · sin ω t (2.2) q= ω mit der Eigenkreisfrequenz ω = k/m verläuft (Wandkraft Fw ). Wird dagegen das Modell des erzwungenen Schwingers (Bild 2.3b) benutzt, erfolgt die Energieübertragung durch die Erregerkraft während der Anregungszeit (0 t ta ), und die allgemeine Lösung lautet für beliebige Erregerkraftverläufe mit dem Duhamel-Integral q=

1 mω

t

F(t ) sin ω (t − t ) dt

(2.3)

0

1 1 sin ω t F(t ) cos ω t dt − cos ω t F(t ) sin ω t dt mω mω t

=

0

t

0

16


Bei einer entsprechend Bild 2.3b kurzzeitig einwirkenden Kraft, d. h. unter der Bedingung t < ta T =

2π ω

;

cos ω t ≈ 1;

sin ω t ≈ 0

ist der zweite Summand in Gl. (2.3) null und es verbleibt als Näherung: ta 1 I v0 q= F(t ) dt sin ω t = sin ω t = sin ω t mω mω ω

(2.4)

(2.5)

0

Das Zeitintegral u¨ ber die Kraft ist bekanntlich gleich dem Impuls I = mv0 . Also wurde mit dem Modell von Bild 2.3b dasselbe Ergebnis erhalten wie mit dem Modell gemäß Bild 2.3a, vgl. Gl. (2.2) und Gl. (2.5). Damit ist gezeigt, daß es bei kurzzeitigen Belastungen für die angeregten Schwingungen nicht darauf ankommt, welchen Zeitverlauf die Erregerkraft F innerhalb ihrer Stoßzeit hat. Bei ta T kann man durch den Kraftverlauf (z. B. Rechteck- oder Halbsinusform) die Schwingungsamplitude nicht beeinflussen, vgl. dazu auch Abschn. 5.2, 5.4.3 und 5.4.4. Es ist bei kurzen Stößen also zulässig, aus dem Impulssatz die Anfangsgeschwindigkeit an der Stoßstelle zu ermitteln und damit die angestoßenen freien Schwingungen zu berechnen. Dieses kleine Beispiel zeigt auch, daß das Modell des erzwungenen Schwingers den freien Schwinger als Sonderfall enthält. Andererseits fällt es leichter, von der Vorstellung auszugehen, daß ein Antriebssystem von außen“ mit gegebenen Zeitfunktionen in Bewegung versetzt wird. In ” der Getriebetechnik wurde traditionell so begonnen [336]. Bei dieser Auffassung kann man bei der Modellbildung mit einem Berechnungsmodell eines zwangläufigen Systems beginnen, aber dies ist erfahrungsgemäß durch weitere dynamische“ ” Freiheitsgrade zu erweitern. Wesentliche Aspekte sind bei jeder Modellbildung die Anzahl der Freiheitsgrade, die Art der internen Wechselwirkungen und die Beziehung zu der Energiequelle, welche die Bewegungen verursacht. Die räumlich-zeitlichen Schnittgrenzen legen fest, wo und wie eine Wechselwirkung mit der Umgebung berücksichtigt wird. Nichtlineare Schwingungssysteme besitzen gegenüber linearen Schwingungssystemen einige Besonderheiten. • Das Superpositionsprinzip gilt nicht, d. h., die Wirkung der Summe mehrerer Ursachen ist nicht gleich der Summe der Wirkungen der einzelnen Ursachen. • Eigenschwingungen nichtlinearer Systeme verlaufen nicht immer harmonisch. • Die Periodendauer nichtlinearer Systeme ist von den Anfangsbedingungen abhängig, sie a¨ ndert sich mit der Amplitude [231]. • Bei Erregung eines nichtlinearen Systems mit einer gegebenen Frequenz f kann es nicht nur mit dieser Frequenz, sondern auch mit ganzzahligen Vielfachen oder ganzzahligen Teilen davon (sogenannten Subharmonischen) antworten; also mit den Frequenzen fa = n · f /m (m, n sind kleine ganze Zahlen) [322]. • Bei Erregung eines nichtlinearen Systems mit zwei Frequenzen ( f1 , f2 ) kann es zu Kombinationsresonanzen bei folgenden Frequenzen kommen: fa = n · f1 ± m · f2 (m, n sind kleine ganze Zahlen) [101]. • Nichtlineare Systeme können chaotische Bewegungen ausführen [17], [46], [231].


17

Es ist nicht sinnvoll, ein reales Objekt mit einem linearen Berechnungsmodell zu beschreiben, wenn es die oben genannten nichtlinearen Effekte zeigt, da damit Fehlaussagen zu erwarten sind. Wird ein Zeitverlauf für eine Kraft- oder Bewegungsgröße angegeben, bedeutet ¨ dies, daß keine Ruckwirkung vom Systemverhalten auf die Erregung stattfindet. Es wird somit also eine von den Bewegungen des Systems unabhängige (unerschöpfliche) Energiequelle in der Systemumwelt angenommen. Randbedingungen modellieren Systemgrenzen und Anfangsbedingungen definieren zu einem Anfangszeitpunkt die potentielle und kinetische Energie eines Antriebssystems. ¨ Die Ermittlung der Schwingungsursachen beginnt zweckmäßig mit Uberlegungen zur Suche nach der Energiequelle im realen System. Zu den Energiequellen zählen die hydraulischen, pneumatischen, elektrischen, piezoelektrischen oder elektromagnetischen Antriebe mit ihren Kennlinien, die meist nichtlineare Funktionen zwischen Kräften oder Momenten und einer Geschwindigkeit oder Drehgeschwindigkeit sind. Auch reibende Oberflächen, strömende Medien und thermodynamische Prozesse u. a. können solche Energiequellen sein. Tabelle 2.3 Drei Stufen der Berechnungsmodelle Modellstufe 1 1a 1b 2 2a 2b 2c 3

Typ des Systems Starrkörpersystem ( starre Maschine“) ” Gegebene Antriebsbewegungen Gegebene Antriebskraftgrößen Zwangserregte Schwingungssysteme Lineares Schwingungssystem mit konstanten Koeffizienten Lineares Schwingungssystem mit zeitvariablen Koeffizienten Nichtlineares Schwingungssystem mit zeitvariablen Koeffizienten Selbsterregte Systeme

Form der Modellgleichungen

q = q0 (t) Mq¨ + F(˙q) = f (t)

Mq¨ + D˙q + Kq = f (t)

(1)

M(t)¨q + D(t)˙q + K(t)q = f (t)

(2)

M(t, q)¨q + D(t, q, q˙ )˙q + K(t)q = f (t) (3) f (q, q˙ , q¨ ) = 0

(4)

Tabelle 2.3 zeigt eine Einteilung der Berechnungsmodelle in 3 Modellstufen. Es wird grundsätzlich unterschieden zwischen zwangläufigen, zwangserregten und selbsterregten Systemen. Dasselbe reale Objekt kann mit allen drei Modellstufen abgebildet“ werden, es kommt jeweils auf den Modellzweck und seine konkreten ” Belastungs- und Bewegungsverhältnisse an! In Tabelle 2.3 sind die Modelle vom Einfachen (Modellstufe 1) zum Komplizierten (Modellstufe 3) hierarchisch geordnet. Man kann diese Ordnung physikalisch (nach der Herkunft der Energiequelle), mathematisch (nach der Komplexität der Gleichungen) und mit der historischen Entwicklung begründen. Zum ersten Aspekt ist zu erwähnen, daß die Frage nach der Energiequelle von der niederen zur höheren Stufe immer klarer formuliert wird: Auf Stufe 1 sind ki-

18


nematische Größen vorgegeben, welche mechanische Energie in das zwangläufige mechanische System u¨ bertragen. In Stufe 2 ist eine Kraft- oder Bewegungsgröße als Funktion der Zeit gegeben, die unbeeinflußt von der Antwort des erregten Systems ist. In Stufe 3 ist schließlich die Energiequelle Bestandteil des autonomen Systems. Es ist dann erforderlich, auch eine Modellbildung des Motors (z. B. für elektrische Baugruppen) vorzunehmen, vgl. Abschn. 3.4.3. Vom mathematischen Standpunkt aus kann man Berechnungsmodelle nach der rechten Seite“ ihrer Gleichungen klassifizieren. Dabei stellt Stufe 3 das autonome ” System dar, von dem die Modelle der anderen Stufen deduktiv ableitbar sind. Man kann rein formal mathematisch zeigen, daß unter vereinfachenden Annahmen die jeweils niedere Stufe eine Näherung der höheren Stufe ist, d. h., mit dem Modell der höheren Stufe lassen sich die Effekte prinzipiell realitätsnaher als mit den Modellen der tieferen Stufen beschreiben. Zum dritten Aspekt (dem historischen“) ist zu sagen, daß bei vielen Objekten ” eine Modellierung oft mit einem zwangläufigen System begann, vgl. auch Abschn. 2.3.3. Dies hängt auch damit zusammen, daß die Entwicklung jedes Antriebssystems zunächst bei niederen Geschwindigkeiten beginnt, und wenn es sich bewährt, werden im Laufe der Jahre immer höhere Geschwindigkeiten angestrebt. Beim Hochlaufen eines Antriebssystems von null auf die Maximaldrehzahl werden gewissermaßen auch die verschiedenen ( historischen“) Modellstufen vom Einfachen zum Kompli” zierten durchlaufen. Bei niederen Geschwindigkeiten verhält sich das Objekt wie ein zwangläufiges System, während man das nichtlineare Verhalten spätestens bei der Zerstörung des Objekts vorführen kann. Dieser Fall muß u¨ brigens bei der Rekonstruktion von Schadensfällen manchmal ernsthaft analysiert werden. Berechnungsmodelle der Stufe 1 sind zwangläufige Starrkörpersysteme (Modell starre Maschine“) mit gegebenen Zeitfunktionen einer oder mehrerer An” triebsbewegungen oder Antriebskraftgrößen. Die einfachsten Modelle sind die der Stufe 1a, wo an Stelle von Differentialgleichungen nur algebraische Gleichungen auftreten, weil der Bewegungszustand durch eine Primärbewegung“ vorgegeben ” wird. In der Praxis sind dies Modelle für starre spielfreie gleichmäßig oder ungleichmäßig u¨ bersetzende Getriebe, die genau so viele Freiheitsgrade ( Laufgrade“) ” wie Antriebe haben. Bei der Anwendung dieser Modellstufe wird vorausgesetzt, daß sich alle Körper gleichzeitig und ohne Zeitverzögerung bewegen. Der Zeitverlauf der Antriebsbewegungen bestimmt dann den Bewegungszustand im Starrkörpersystem. Der gegebene Zeitverlauf bestimmt auch, wo und wie viel mechanische Energie dem System zugeführt (Beschleunigen) oder entzogen (Verzögern) wird. Bei Stufe 1b sind die Bewegungsgleichungen zu integrieren, z. B. bei Starrkörpermechanismen mit einem oder mehreren Freiheitsgraden. Beispiele dazu sind Pendel und Kreisel, vgl. auch die Beispiele im Abschnitt 5.7.3. Ein Starrkörpersystem ist durch geometrische Abmessungen und Masseparameter beschreibbar, vgl. Tabelle 2.5. Zur Abgrenzung des Geltungsbereichs des Starrkörpermodells gegenüber dem des erzwungenen Schwingungssystems (Stufe 2 in Tabelle 2.3) gibt es zwei einfache grobe Kriterien: 1. Bei periodischen Erregungen ist das Starrkörpersystem (auch Modell der star” ren Maschine“ genannt) für den stationären Zustand als Modell anwendbar, wenn es langsam“ erregt wird. Dies bedeutet bei periodischen Erregungen, daß die ” höchste Erregerfrequenz, die noch eine bedeutsame Amplitude im Fourier-


19

spektrum aufweist, wesentlich kleiner als die niedrigste Eigenfrequenz f1 des realen Objekts sein muß. Also lautet das Kriterium: kΩ ω 1 = 2π f1

(2.6)

mit der Grundkreisfrequenz Ω der Erregung und der Ordnung k der höchsten relevanten Harmonischen. Kraftgrößen a¨ ndern sich mit dem Quadrat der Drehzahl. 2. Bei instationären Erregungen, also den typischen Anfahr-, Brems-, Beschleunigungs- oder Verzögerungsvorgängen, ist das Modell des Starrkörpersystems anwendbar, so lange die einwirkende Kraft sich langsam“ a¨ ndert, d. h. wenn ” die größte Schwingungsdauer T1 des realen Objekts bedeutend kleiner als die Anlaufzeit ta der einwirkenden Kraft- oder Bewegungsgröße ist. Als Kriterium gilt: 1 = T1 ta f1

(2.7)

Die dynamischen Kräfte und Momente, die sich bei der Anwendung des Starrkörpermodells ergeben, werden als kinetostatische Kräfte bezeichnet. Ihre zeitlichen Verläufe stellen Mittelwerte dar, denen sich die aus den Schwingungen eines Systems resultierenden vibrodynamische Kräfte“ u¨ berlagern. Meist stellen die ” kinetostatischen Kräfte eine untere Grenze für die dynamische Belastung dar, aber wenn der negative Wert einer Vibrationskraft mit dem Spitzenwert einer kinetostatischen Kraft zeitlich zusammenfällt, kann die Gesamtbelastung zu diesem Zeitpunkt auch kleiner werden als der kinetostatische Wert. Entscheidend für die Grenze zwischen dem Modell des erzwungenen Schwingers und dem Starrkörpermodell ist die Grundfrequenz des realen Objekts. Bei der Frage starr oder schwingungsfähig“ ist also eine modale Anregbarkeit (vgl. Abschn. ” 5.2) und die Grundfrequenz abzuschätzen. Die Antwort richtet sich nicht nach der absoluten Höhe der Drehzahl oder der Grundfrequenz, sondern nach den durch die Kriterien (2.6) und (2.7) beschriebenen Proportionen. Tabelle 2.4 zeigt Bereiche der ersten Eigenfrequenz typischer Baugruppen und Objekte. Es sind dabei auch exemplarisch die im vorliegenden Buch behandelten Beispiele eingeordnet worden. Zur Modellstufe 2 werden lineare und nichtlineare Schwingungssysteme gezählt, die durch eine gegebene Zeitfunktion erregt werden. Es wird zwischen linearen (Stufe 2a), parametererregten (Stufe 2b) und nichtlinearen (Stufe 2c) Schwingungssystemen unterschieden, vgl. die in Tabelle 2.3 genannten Kennzeichen. In Tabelle 2.5 sind die wesentlichen Parameter aufgeführt, welche u¨ blicherweise zu den jeweiligen Modellstufen gehören. Ein wesentliches Kennzeichen ist die Anzahl ihrer Freiheitsgrade. Sie richtet sich einerseits danach, welche physikalischen Effekte zu berücksichtigen sind, wie viele Eigenformen (Moden) bei einem linearen System tatsächlich angeregt werden, aber auch danach, wie genau man die räumliche Auflösung des Belastungs- und Deformationsverhaltens bestimmen will. Es muß gewährleistet sein, daß der Erregerfrequenzbereich innerhalb des Eigenfrequenzbereichs des Modells liegt. Deshalb gilt das Kriterium: Das Modell soll Eigenfrequenzen bis oberhalb der höchsten Erregerfrequenz besitzen.

20


Tabelle 2.4 Typische Bereiche von Grundfrequenzen f1 in Hz

Objekt/Baugruppe

Beispiel

2 000

Wälzkörper in Wälzlagern

Gl. (2.217)

Gl. (2.211)

Abschn. 2.2.3

Tabelle 2.5 Typische Parameter der verschiedenen Modellstufen gegebene Parameter

berechenbare Größen

1

geometrische Abmessungen (Längen, ¨ Winkel, Ubersetzungsverh¨ altnisse), Masseparameter (Massen, Schwerpunktabstände, Hauptachsen, Trägheitstensor), kinematische Bewegungsabläufe und/oder Antriebskraftgrößen

reduziertes Massenträgheitsmoment, Geschwindigkeit und Beschleunigung der Starrkörperbewegungen, Gelenkund Lagerkräfte, Fundamentbelastung, Antriebsmoment

Längs- und Drehfederkonstanten, Längs- und Biegesteifigkeit, Längsund Drehdämpferkonstanten, Materialkennwerte, zeitliche Erregerkraftverläufe, Fourierkoeffizienten bei periodischer Erregung, zeitliche Vera¨ nderung der Parameter

Eigenfrequenzen und Eigenformen, Zeitverläufe der Kraft- und Bewegungsgrößen bei erzwungenen Schwingungen, Resonanzstellen höherer Ordnung (kritische Drehzahlen), Ortskurven, Instabilitätsbereiche parametererregter Schwingungen

geschwindigkeitsabhängige Lager¨ daten (Olfilm-Einfluß), Reibwerte, Kennlinien der Motor- und Bremsmomente, nichtelastisches Materialverhalten (viskos, plastisch), nichtlineare geometrische und stoffliche Kennwerte

nichtlineare Schwingungen, selbsterregte Schwingungen, Kombinationsresonanzen, Grenzzykel, Wechselwirkung zwischen Schwingungssystemen und Energiequelle, amplitudenabhängige Eigenfrequenzen, nichtlineare Wechselwirkungen

starr

Stufe

linear

2

nichtlinear

3


21

Bild 2.4 illustriert diese Zusammenhänge. Bei Fall a) ist Bedingung (2.6) erfüllt, und es ist keine Resonanz möglich. Liegen viele höhere Eigenfrequenzen des Berechnungsmodells weit u¨ ber dem Gebiet des Erregerfrequenzbereichs, so hat das Berechnungsmodell unnötig viele Freiheitsgrade, vgl. Bild 2.4b. Anscheinend hat das Modell zu wenige Freiheitsgrade, wenn die höchste Eigenfrequenz des Berechnungsmodells innerhalb des Bereichs der Erregerfrequenzen liegt, vgl. Bild 2.4c.

a)

0

b) 0

c)

0

f1

f1

f1

fn

Erregerfrequenzbereich

fn

Frequenz f

fn

Frequenz f

Frequenz f Eigenfrequenzbereich

Bild 2.4 Frequenzrelationen bei der Modellbildung a) Starrkörpersystem, b) Modell mit zu vielen Freiheitsgraden, c) Modell mit Vernachlässigung hoher Eigenfrequenzen

Es kommt dann darauf an, wo fn+1 liegt. Hat fn+1 einen Wert weit oberhalb der höchsten Erregerfrequenz, so ist die Wechselwirkung vernachlässigbar, vgl. auch die Mittelungsmethode in Abschn. 2.4.6. Ohne Beachtung der Eigenformen hat der Vergleich der Eigenfrequenzen mit den Erregerfrequenzen keine klare Aussagekraft hinsichtlich des Berechnungsmodells, vgl. auch Abschn. 2.3.5, 2.5.3 und [245]. Wenn die n-dimensionalen Vektoren der Erregerkräfte und Eigenformen zueinander orthogonal sind, entsteht z. B. keine ¨ Schwingungserregung, und es besteht trotz der Ubereinstimmung von Erreger- und Eigenfrequenz keine Resonanzgefahr [150]. Bei der Modellbildung in der Antriebsdynamik sollten stets die Kriterien beachtet werden, die in [245] formuliert wurden, vgl. Abschn. 2.3.5. Parametererregte Schwinger (Modellstufe 2b und 2c), die infolge der gegebenen Zeitfunktionen zu den zwangserregten Systemen zu zählen sind, können ebenfalls in lineare und nichtlineare eingeteilt werden. Ihre Differentialgleichungen können auf Grund eines sehr allgemeinen Satzes von L JAPUNOV [229] durch eine Transformation in Systeme mit konstanten Koeffizienten u¨ berführt werden, weshalb sie sich physikalisch auch wie Modelle der Modellstufe 2a verhalten. Selbsterregte Schwinger (Modellstufe 3) werden meist als Systeme mit wenigen Freiheitsgraden behandelt. Es sind stets nichtlineare Systeme, wobei die Stabi-

22


litätsgrenzen oft schon mit linearen Systemen ermittelt werden können, z. B. Abschn. 4.5.3. Bei mehr als zwei Freiheitsgraden treten manchmal auch chaotische Bewegungen auf [17], [46], [231]. Es ist aus numerischen Gründen ratsam, sog. steife“ Differentialgleichungen zu ” vermeiden. Das Verhältnis der höchsten Eigenfrequenz zur niedrigsten soll möglichst ¨ klein sein. Dahinter steckt die Uberlegung, daß • sich Schwingungen mit verschiedenen Frequenzen, die sich voneinander mehr als etwa um den Faktor 20 unterscheiden, gegenseitig kaum beeinflussen • die Zeitschrittweite bei numerischen Integrationsverfahren sich nach der höchsten im System auftretenden Frequenz richtet und bei hohen Frequenzen unnötig lange Rechenzeiten entstehen. • numerische Ergebnisse mit zunehmender Rechenzeit ungenauer werden Dazu ist zu sagen, daß die expliziten Runge-Kutta-Verfahren (MATLAB-Funktionen ode23 bzw. ode45) ungeeignet sind, weil die Schrittweitensteuerung sehr kleine Schrittweiten wählt. Die Standard-Routine für steife Differentialgleichungen ist die Funktion ode15s [266]. Ist die Steifheit nicht zu hoch, so kann man auch ode23t verwenden, welche auf einem einfachen impliziten Verfahren beruht. 2.1.2.3 Zur Vermeidung steifer“ Systeme ” Bei der Modellbildung mechanischer Systeme werden manchmal vorsichtshalber“ ” die Federsteifigkeiten aller elastischen Elemente berücksichtigt, auch wenn deren Größe sich voneinander stark unterscheidet. Man argumentiert, daß es korrekter sei, die harten Federn von Anfang an nicht zu vernachlässigen, denn man könne sie später mit mehreren Zehnerpotenzen auf nahezu unendlich erhöhen, dann erhalte man das Ergebnis auch für die starre Kopplung an der Stelle, wo eine harte Feder im Modell vorhanden ist. Dieses Argument ist aber nicht stichhaltig, denn man erhält damit sehr steife Differentialgleichungen. Das folgende kleine Beispiel soll zeigen, daß und wie man steife Systeme schon bei der Modellbildung vermeiden kann.

m

F x1

a)

b)

x1

κk x3

x2

m F

m

k

k

x2

S

Bild 2.5 Zur zweckmäßigen Modellbildung a) Dreimassenmodell, b) Zweimassenmodell

m


23

Man betrachte die beiden in Bild 2.5 gezeigten Berechnungsmodelle, die dasselbe reale Objekt abbilden: im Fall a mit drei Freiheitsgraden (Bild 2.5a) und im Fall b (Bild 2.5b) mit zwei Freiheitsgraden. Es interessiert die dynamische Belastung in der Mitte der rechten Masse (Stelle S). Im Modell a wird diese Stelle durch eine harte Feder erfaßt, deren Federkonstante wesentlich größer als die der anderen Feder ist (Faktor κ 1), während das Modell b an dieser Stelle keine Feder hat. Die Bewegungsgleichungen für das Dreimassensystem in Bild 2.5a lauten: mx¨1 + k(x1 − x2 )

=F

(2.8)

mx¨2 − k(x1 − x2 ) +κ k(x2 − x3 ) = 0

(2.9)

−κ k(x2 − x3 ) = 0

(2.10)

mx¨3

Seine drei Eigenkreisfrequenzen, bei denen die Null für die Starrkörperbewegung mit gezählt wird, ergeben sich aus ω 1 = 0;

√ 1 − κ + κ 2 )k/m; √ ω 32 = (1 + κ + 1 − κ + κ 2 )k/m ω 22 = (1 + κ −

(2.11)

Bei Werten von κ 1 gilt die Näherung ω 1 = 0; ω 22 = (1,5 − 0,375/κ )k/m;

(2.12)

ω 32 = (2κ + 0,5)k/m

Bei einer viel härteren rechten Feder unterscheiden sich ω 2 und ω 3 um mehrere Zehnerpotenzen, d. h. es entstehen steife Differentialgleichungen. Die Lösung wird weiter verfolgt für den Wert κ = 1 000. Damit ergibt sich aus (2.11) oder (2.12): ω 1 = 0; ω 22 = 1,499 37k/m;

(2.13)

ω 32 = 2 000,50k/m

und für die Kraft in den Federn erhält man die Lösung F12 = k(x1 − x2 ) = [0,6665(1 − cos ω 2t) + 0,0001(1 − cos ω 3t)]F

(2.14)

F23 = κ k(x2 − x3 ) = [0,3332(1 − cos ω 2t) + 0,0002(1 − cos ω 3t)]F

(2.15)

Aus den Zahlenwerten ist ablesbar, daß die Komponente mit der niedrigen Eigenfrequenz viel stärker als die mit der hohen Eigenkreisfrequenz ω 3 angeregt wird und die wesentliche dynamische Belastung durch die Schwingungen mit der niedrigen Eigenfrequenz bestimmt wird. Die Schwierigkeiten, die bei der numerischen Lösung des exakten“ Dreimassenmodells entstehen, folgen daraus, daß die für die Maximal” belastung unbedeutende Komponente mit der hohen Eigenfrequenz den Lösungsverlauf sehr aufraut“. ” Je größer die κ -Werte sind, desto störender macht sich die Rauheit“ bemerkbar. ” Es kann vor allem bei größeren unüberschaubaren Systemen passieren, daß wegen

24


der hohen Steife der Differentialgleichungen die Simulationssoftware relativ lange rechnet und gar keine brauchbare Lösung liefert. Nun wird ein einfaches Modell (Bild 2.5b) mit zwei Massen ohne die steife zweite Feder betrachtet, das den Bewegungsgleichungen mx¨1 + k(x1 − x2 ) = F;

2mx¨2 − k(x1 − x2 ) = 0

(2.16)

gehorcht. Die interessierende Kraft liegt an der an der Schnittstelle S innerhalb der rechten Masse und wird nicht durch eine steife Feder lokalisiert. Dieses Zweimassenmodell hat die Eigenfrequenzen ω 1 = 0,

ω 2∗2 = 1,5k/m

(2.17)

Für die Kräfte in der Feder und an der Schnittstelle S (wo vorher die harte Feder angeordnet war) ergibt sich als Lösung der Differentialgleichungen (2.16): F12 = k(x1 − x2 ) = 0,6667(1 − cos ω 2∗t)F F23 = −mx¨2 = 0,3333(1 −

cos ω 2∗t)F

(2.18) (2.19)

Diese Lösung stimmt praktisch mit derjenigen in (2.14) und (2.15) u¨ berein. Bei der Modellbildung kann man meist aus ingenieurtechnischer Sicht unwesentliche Elemente ignorieren und auf diese Weise steife Differentialgleichungen vermeiden. Es ist deshalb vor allem bei Berechnungsmodellen mit vielen Freiheitsgraden zu empfehlen, relativ kleine Massen und relativ steife Federn zu vernachlässigen. Dann werden extrem hohe (und physikalisch sinnlose) Eigenfrequenzen von Anfang an vermieden. Es ist also zweckmäßig, vor der numerischen Simulation eine Modellvereinfachung vorzunehmen, evtl. auch mit Methoden der Freiheitsgradreduktion, vgl. Abschn. 2.6. 2.1.3 Beispiel: Antrieb eines Mechanismus Als Beispiel erläutert Tabelle 2.6 die 3 Stufen der Berechnungsmodelle für den Antrieb eines ungleichmäßig u¨ bersetzenden Mechanismus. Verfolgt man die Tabelle, kann man die mathematischen Vereinfachungen (bzw. bei umgekehrter Betrachtung die Verallgemeinerungen) erkennen, die von Stufe zu Stufe erfolgen. Wie ersichtlich, kommen bei höheren Modellstufen nicht unbedingt mehr Freiheitsgrade, aber mehr Parameter im Parametervektor p vor, vgl. auch Tabelle 2.5. In der Modellstufe 1a wird der Antriebswinkel ϕ 0 als Funktion der Zeit vorgegeben. Damit kann man berechnen, welches Antriebsmoment bei einer zwangläufigen kinematischen Bewegung erforderlich ist. Man könnte analog auch Bewegungsabläufe beim Anfahr- oder Bremsvorgang vorgeben und Antriebsmomente infolge instationärer Bewegungsabläufe erhalten. Ein stellungsabhängiges Antriebsmoment ergibt sich aus dem Verlauf von J(ϕ ), vgl. Gl. (4) in Tabelle 2.6. Das reduzierte Trägheitsmoment J(ϕ ) charakterisiert die stellungsabhängige kinetische Energie eines zwangläufigen Mechanismus, vgl. [81], [150]. Wird das Antriebsmoment Man (t) gegeben, so ist die Differentialgleichung (5) zu integrieren, vgl. Modellstufe 1b. Die Differentialgleichung (5) für die Absolutkoordinate des Antriebswinkels ist i. allg. nur numerisch integrierbar. Das Torsionsmoment T in der Antriebswelle unterscheidet sich vom Antriebsmoment, wenn das


25

Tabelle 2.6 Zur Stufung der Berechnungsmodelle für einen Antrieb mit einem ungleichmäßig u¨ bersetzenden Mechanismus Modellstufe 1a

Modell, Parameter

ϕ = ϕ (t)

M an

J (ϕ)

starr

ϕ

1b

Parameter: J(ϕ ), ϕ (t) M an

starr

J0

T

ϕ

q1 6 Parameter von Motor und Bremse (Kennlinien, Umschaltzeiten). Das Antriebsmoment könnte nach einer Modellierung als Mehrkörpersystem (MKS) mit handelsüblicher Software als Funktion all dieser Parameter berechnet werden, vgl. Tabelle 2.1. Die numerische Integration des dabei entstehenden Systems von nichtlinearen Differentialgleichungen würde die Bewegungen und die dynamischen Beanspruchungen in allen interessierenden Bauteilen liefern. Einen Einblick in den Einfluß der beteiligten 50 Parameter auf das dynamische Antriebsmoment könnte man durch wiederholte Anwendung so eines Rechenprogramms gewinnen. Man kann das dynamische Antriebsmoment aber einfacher beurteilen, wenn man eine Zerlegung in Teilsysteme vornimmt, die jeweils nur wenige Parameter enthalten. So eine Zerlegung, wie sie Bild 2.31 darstellt, kann sowohl zur Gewinnung analytischer Formeln, als auch bei der Modellierung als Mehrkörpersystem (MKS) empfohlen werden. Es wird die Tatsache ausgenutzt, daß die Eigenfrequenzen der drei dargestellten Teilsysteme sich jeweils etwa um den Faktor 10 unterscheiden. Aus diesem Grunde verlaufen die Pendelschwingungen der Last nahezu unabhängig von den Schwingungen des Auslegersystems, und Getriebeschwingungen beeinflussen nicht die des Lastpendels und des Auslegersystems. Umgekehrt gibt es jedoch eine Rückwirkung der jeweils niederfrequenten Schwinger durch eine quasistatische“ Anre” gung auf die höherfrequenten, z. B. werden beim Vorzeichenwechsel der Zahnstangenkraft infolge des Lastpendelns Getriebeschwingungen angestoßen. Im Modell gemäß Bild 2.31a werden die Masse der Last, die Pendellänge und das Auslegersystem als Starrkörpersystem berücksichtigt. Während nur 6 kinematische Abmessungen die Lagefunktion x = x(ϕ ) beeinflussen, wird das reduzierte Trägheitsmoment J(ϕ ) des Auslegersystems sowohl von diesen als auch von den Masseparametern des Auslegersystems und des Gegenmassehebels bestimmt [66]. Diese vielen Parameter lassen sich auf nur zwei nichtlineare Funktionen kondensie” ren“. Das erste Teilsystem erfaßt die Wechselwirkung zwischen der Pendelschwingung der Last und dem Antriebsmoment bei großen Bewegungen des Auslegersystems und läßt sich durch folgende Bewegungsgleichungen beschreiben: 1 = uMan [J(ϕ ) + mL x 2 ]ϕ¨ + [J (ϕ ) + 2mL x x ]ϕ˙ 2 +mL x l q¨1 2 x ϕ¨ +x ϕ˙ 2 +l q¨1 +gq1 = 0

(2.183) (2.184)

¨ altnis zwischen dem Motor- und DruckDabei ist u = ϕ˙ M /ϕ˙ das Ubersetzungsverh¨ lenkerdrehwinkel und der Strich bedeutet die Ableitung nach ϕ . Beim zweiten Teilsystem in Bild 2.31b wird nur das nachgiebigste Bauteil (der biegsame Drucklenker) als Feder berücksichtigt. Das reduzierte Trägheitsmoment J(ϕ ) interessiert dann nur in der Stellung ϕ ∗ , in welcher der Anlauf beginnt, denn diese Schwingungen sind schnell gegenüber der langsamen Ausladungsänderung.

2.3 Induktive Modellbildung

Zuglenker

Ausleger

Gegenmasse

a)

Pendelschwingungen der Last f1 < 1 Hz

ϕ

Drucklenker

l

85

M, ϕM JM

q1

x

mL q2 m2 EI l2

m1

ϕ l1

b)

m1 ϕ+q3 c)

JM

kT

JM

M, ϕM

M, ϕM

Schwingungen des Auslegersystems 1 Hz < f < 10 Hz

Schwingungen des Getriebes 10 Hz < f < 100 Hz

l1

Bild 2.31 Modellzerlegung für das Berechnungsmodell eines Wippkrans a) Lastpendel, b) Auslegersystem, c) Getriebeschwingung

Deshalb darf man J(ϕ ∗ ) auf die beiden Einzelmassen m1 und m2 reduzieren, vgl. auch Gl. (2.187). Man kann mit diesem Minimalmodell die Schwingungen relativ zur mittleren kinematischen Primärbewegung berechnen und erhält damit sowohl eine Näherung für das dynamische Motormoment infolge der Schwingungen des Auslegersystems als auch eine Abschätzung für das dynamische Drucklenkermoment. Die entsprechenden Bewegungsgleichungen a¨ hneln denen in Abschn. 4.9 und sind in Aufgabe 23 in [76] ausführlich angegeben. Das Modell in Bild 2.31c soll das Berechnungsmodell eines schwingungsfähigen Zahnradgetriebes andeuten. Die träge Masse des gesamten Auslegersystems wird dabei durch die Einzelmasse m1 repräsentiert, und das Minimalmodell für das Zahnradgetriebe kommt bei der Berechnung mit der reduzierten Torsionsfederkonstante kT aus. Die ursprünglich 16 Parameter reduzieren sich also auf drei. Für die Berechnung der Getriebeschwingungen ist evtl. auch die dynamische Motorkennlinie und das Getriebespiel (beim Vorzeichenwechsel der Zahnstangenkraft infolge des Lastpendelns) von Bedeutung, also Parameter, die auf die Teilsysteme a und b keinen Einfluß haben.

86


2.3.5 Diskrete Schwinger statt Kontinua (Balken- und Stabmodelle) Als Berechnungsmodelle für Biegeschwinger wurden zu Beginn des 20. Jahrhunderts bei Ingenieurberechnungen meist diskrete Modelle benutzt. Das reale Objekt (z. B. eine abgesetzte Welle mit Zahnrädern) wurde in masselose Balkenabschnitte und Einzelmassen oder Scheiben aufgeteilt und dann als Schwinger mit wenigen Freiheitsgraden behandelt. In den 50er Jahren des 20. Jahrhunderts kamen die Ver¨ fahren der Ubertragungsmatrizen auf, die es erlaubten, sowohl mit den Kontinua als auch mit diskreten Mehrmassenmodellen zu rechnen. Seit den 70er Jahren haben sich die FE-Modelle für die Berechnung der Biegeschwingungen durchgesetzt, d. h., sie sind in vielen Programmen implementiert. Einfache Modelle mit wenigen Freiheitsgraden sind für Abschätzungen oder ¨ Uberschlagsrechnungen weiterhin von Interesse, vgl. das Beispiel der Schleifspindel in Abschn. 2.4.2, des Auslegerarms in Abschn. 2.4.5 oder des Regalbediengeräts in Abschn. 4.8. Für die Modellierung von Antrieben in Verbindung mit Reglern werden oft einfache diskrete Berechnungsmodelle (Minimalmodelle) gesucht. Man kann kontinuierliche Systeme durch diskrete Systeme mit wenigen Freiheitsgraden ersetzen, wenn man den Erregerfrequenzbereich berücksichtigt. Die Anzahl der Freiheitsgrade hängt von der jeweiligen Aufgabenstellung ab, insbesondere vom Erregerfrequenzbereich und der Anlaufzeit, vgl. Abschn. 2.1.2.2. Während die in Abschn. 2.4.4 behandelten Kontinuum-Modelle im gesamten Frequenzbereich brauchbar sind, gelten die diskreten Modelle nur im unteren Frequenzbereich. Entsprechend den in Abschn. 2.1.2 dargelegten Grundsätzen zur Einteilung der Modelltypen muß ein Berechnungsmodell, das nur im tiefsten Erregerfrequenzbereich angewendet werden soll, außer den Parametern des Starrkörpersystems nur die tiefen Eigenfrequenzen und die niederen Eigenformen gut approximieren, vgl. Bild 2.4. Das einfachste Modell, ein Schwinger mit einem Freiheitsgrad, ist im Frequenzbereich unterhalb der ersten Eigenfrequenz als Minimalmodell dann geeignet, wenn die Grundfrequenz und die Grundschwingungsform eine Näherung für das Kontinuum darstellen. Für einen höheren Frequenzbereich, der zwischen die erste und zweite Eigenfrequenz reicht, benötigt man ein Modell, das außer der ersten auch die zweite Eigenfrequenz und -form erfaßt. Analog kann man zu Modellen u¨ bergehen, die drei oder mehr Eigenfrequenzen approximieren. Beispiele für Balkenmodelle, die Biegeschwingungen im niederen Frequenzbereich modellieren, sind in Bild 2.32 und Tabelle 2.9 und Tabelle 2.10 angegeben. Zeitlich veränderliche Erregerkräfte können an den Einzelmassen angreifen, während kinematische Erregungen an den Lagerstellen eingeleitet werden können, z. B. eine Vertikalbewegung an jedem gelenkigen Lager oder eine Drehbewegung an der Einspannstelle. Bei der Diskretisierung werden an den Stellen xk einzelne Punktmassen mk angeordnet. Es bestehen folgende drei Bedingungen für die Berechnung der Parameter des diskreten Systems (xk , mk ) aus denen des Kontinuums [245]: 1. Erhaltung der kinetischen Energie, also Erhalt von Masse:

m=

l 0

A(x) dx = ∑ mk k

(2.185)

87


Statisches Moment: S =

l

A(x)x dx = ∑ mk xk

(2.186)

A(x)x2 dx = ∑ mk xk2

(2.187)

k

0

Trägheitsmoment:

J=

l

k

0

• Erhalt der potentiellen Energie, also gleiche Biegesteifigkeit EI und damit gleiche Deformation an den Stellen der Massenpunkte. Diese Bedingung wird bei den hier beschriebenen Diskretisierungsmethoden erfüllt. ¨ • Erhaltung der modalen Größen, also die Ubereinstimmung von Eigenfrequenzen und Eigenformen. Für die i-te Eigenfrequenz folgt aus dem Rayleigh-Quotient: l

ω i2 =

EI(x)wi2 (x) dx

0

l 0

(2.188)

A(x)w2i (x) dx

Durchbiegung an diskreten Stellen der i-ten Eigenschwingform: wi (xk ) = wki

k = 1, 2, . . .

(2.189)

Die Ordnung der Näherungen kann man nach der Anzahl der berücksichtigten Eigenfrequenzen und Eigenformen einteilen (i = 1, 2, . . . , I). Diskrete Modelle, die aus masselosen Balkenabschnitten und punktförmigen Einzelmassen bestehen, können auf verschiedene Weise aus dem Kontinuum gewonnen werden. Ein systematischer Weg besteht darin, daß man den Balken in endlich viele Abschnitte einteilt und jede Abschnittmasse auf die beiden Enden jedes Abschnittes so aufteilt, daß der Schwerpunkt des Abschnittes erhalten bleibt. Die Anzahl der Massen entscheidet u¨ ber die Anzahl der berechenbaren Eigenfrequenzen, vgl. die in Bild 2.32 gezeigten Modelle.

A(x), EI(x)

m = Al x

mk

a)

xk

m 8

EI(x)

b)

Bild 2.32 Diskrete Modellbildung bei Balken a) beliebiger Verlauf A(x), I(x), b) konstanter Querschnitt

m 4 l 4

m 4

l 4

m 8

m 4

l 4

l 4

88


Die folgenden Ausführungen beziehen sich auf einen Balken der Länge l mit konstanter Biegesteifigkeit EI und gleichmäßiger Masseverteilung A = m/l. Wählt man gleichgroße Abschnitte, so erhält man das in Bild 2.32b dargestellte Modell. Die n Eigenfrequenzen eines beiderseits gelenkig gelagerten Balkens kann man aus Gl. (2.190) berechnen [99]: 2 iπ 12n4 EI cos − 1 n ; ω i2 = i = 1, 2 . . . , n (2.190) iπ 3 ml 2 + cos n Für den nicht diskretisierten Balken (Kontinuum) kann man in diesem Falle auch eine geschlossene Formel angeben: i4 π 4 EI ω i2 = ; i = 1, 2, . . . , ∞ (2.191) ml 3 Bei großem n und kleinem i ergeben Gl. (2.190) und Gl. (2.191) angenähert dieselben ω i . Die Eigenfrequenzen, die man mit dem diskreten Modell berechnet, sind bei größerem i/n etwas tiefer als die des Kontinuums. Bei großen Ordnungen i wird der Unterschied immer größer, d. h. die Diskretisierung ist nur für den unteren Bereich des Spektrums brauchbar. Die hier am Beispiel des beiderseits gelenkig gelagerten Balkens erläuterte Vorgehensweise zur Bildung von diskreten Modellen kann sinngemäß auf andere Randbedingungen und auf veränderliche Querschnitte (Bild 2.32a) u¨ bertragen werden. Als Erfahrungsregel kann man sagen, daß etwa dreimal soviel Punktmassen (oder Abschnitte) gewählt werden müssen, wie die Anzahl der interessierenden Eigenfrequenzen, wenn man eine Genauigkeit im einstelligen Prozentbereich erreichen will. Das Minimalmodell eines Balkens besteht aus der Mindestzahl von Massen, die zur Berechnung der interessierenden Eigenfrequenzen benötigt wird. Solche Minimalmodelle für Balken mit konstantem Querschnitt sind in Tabelle 2.9 und Tabelle 2.10 angegeben. Sie erfüllen (außer Fall 3) die Bedingungen (2.185) und (2.186), aber nicht immer die Gln. (2.187) bis (2.188). Es ist in Tabelle 2.9 gekennzeichnet, welche der obengenannten Bedingungen von den betreffenden Modellen erfüllt werden ( +“ erfüllt, −“ nicht erfüllt). ” ” Exemplarisch soll gezeigt werden, wie die für Fall 4 in Tabelle 2.9 angegebenen Parameterwerte gewonnen wurden. Es folgen aus den Bedingungen (2.185) bis (2.188) folgende Forderungen an die drei unbekannten Massen und zwei unbekannten Abstände: Masse: Statisches Moment: Trägheitsmoment: erste Eigenfrequenz: zweite Eigenfrequenz:

m0 + m1 + m2 = m = Al ml m1 x1 + m2 x2 = 2 2 ml m1 x12 + m2 x22 = 3 ml 3 1 A + A2 − B = 0,080 9 = 2 EI ω1 ml 3 1 A − A2 − B = 0,002 06 = 2 EI ω2

(2.192) (2.193) (2.194) (2.195) (2.196)

89


Die Formeln auf den linken Seiten entsprechen dem Dreimassensystem, die Werte auf den rechten Seiten denen des Kontinuums, vgl. (2.295) in Abschn. 2.4.4.2. Dabei folgen die Ausdrücke A und B aus den Einflußzahlen, vgl. [150]: A=

m1 x13 + m2 x23 , 6EI

B=

m1 m2 x13 (4x23 − 9x1 x22 + 6x12 x2 − x13 ) (6EI)2

(2.197)

Tabelle 2.9 Diskrete Balkenmodelle als Einzelmassen und Biegefedern (Masse m = Al, Biegesteifigkeit EI = konst.)

Fall Nr.

m0 m

Modell

1

l

m1 m

m2 m

x1 l

3

4

m0

m1

Bedingung J ω1 ω2 +

0,250 0,750

0,667

0,282 0,718

0,697

+

0,371 0,629

0,728

+ +

x1

2

x2 l

x2

x1 m0

m1

0,116 0,499 0,386 0,355 0,838 + +

+

0,212 0,684 0,104 0,580 1,000 + +

+

m2

x1

5 m0

m1

m2

m0

m1

m0

6 7 8

x1 m0

m1 x1

m1 x1

m0

0,254 0,493

0,500

+

0,090 0,410

0,284

+ +

0,175 0,325

0,340

+

+

Die Lösung des Gleichungssystems (2.192) bis (2.196) für die fünf Unbekannten ergibt die in Tabelle 2.9 (Fall 4) angegebenen Parameterwerte. Einen wesentlichen Einfluß stellen die Randbedingungen dar. Kein Lager ist ideal starr, keine Einspannung kann eine Verdrehung völlig verhindern. Die an den Lagerstellen eines Berechnungsmodells in Wirklichkeit vorhandenen Bauteile sind auch deformierbar. Die Einspannung in einem elastischen Halbraum würde einen endlichen Biegewinkel an der Einspannstelle ergeben. Vielfach werden diese Kontaktstellen“ bei praktischen Berechnungen zu hart ” modelliert“, weil man an die aus der Grundlagen-Mechanik bekannten starren La” gerbedingungen gewohnt ist. Der Einfluß der Lagersteifigkeiten (und Dämpfungen) sollte möglichst abgeschätzt werden, um entscheiden zu können, ob er vernachlässigbar ist oder nicht. Für die beiden oben behandelten Lagerbedingungen des Balkens wurde der Einfluß der Lagerfederkonstanten in Bild 2.33 dargestellt.

90


10 9 λ21

π1 =10

8 π1 =1

7 6 π1 =

5

k1 = 0,1 k2

4 a)

l

3

EI 2

k1

k2

A

1 0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

3

b)

Kennwert π 2 =

k2l EI

Bild 2.33 Zum Einfluß der Lagersteifigkeiten a) Balken mit zwei elastischen Lagern, b) Abhängigkeit der ersten Eigenkreisfrequenz (ω 1 = λ 12 EI/(Al 4 )) von den relativen Lagersteifigkeiten

Man sieht, wie stark die erste Eigenfrequenz von den Lagersteifigkeiten abhängt. Es reicht manchmal aus, einen Vergleich zwischen der Biegesteifigkeit EI und der Federkonstanten vorzunehmen, indem man die dimensionslose Kenngröße π 2 = k2 l 3 /(EI) berechnet. Für den beiderseits gestützten Balken wurde in [76] folgende Näherungsformel zur Bewertung der Lagersteifigkeiten hergeleitet: EI Al 4 ω 12 > 4 π 1 1+ 1+ 3π 2 π1 π4

(2.198)

Die Abhängigkeit der Eigenfrequenzen von Lagersteifigkeiten und Endmassen zeigt Bild 2.33 und Bild 2.34, vgl. auch [197]. Ein Balken kann als Alternative dazu auch dadurch diskretisiert werden, daß an Stelle der Biegesteifigkeit (wie in Tabelle 2.9) die Masseverteilung u¨ ber der Länge unverändert bleibt. An die Stelle diskreter Speicher der kinetischen Energie und masseloser Biegefedern treten dann diskrete Speicher der potentiellen Energie (Torsionsfedern) und unelastische Starrkörper. Der Kontinuum-Balken wird also durch Torsionsfedern und Starrkörper diskretisiert. Während bei der Aufteilung in Einzelmassen die Biegesteifigkeit (und damit die potentielle Energie) unverändert bleibt


l

m

91

l

m

A, EI

A, EI

k

k

λ5

λi

4π λ4

11,0

3π λ3

7,85

2π 4,73

λ2

π

1

0,5

λ1

0 100

500

m Al

1000

1500 kl EI

2000

3

Bild 2.34 Abhängigkeit der ersten fünf Eigenwerte λ i und Eigenformen von den Randbedingungen am Balkenende (ω i = λ i2 EI/Al 4 )

und eine Approximation der kinetischen Energie des Kontinuums durch Einzelmassen erfolgt, wird bei der Aufteilung in Einzelfedern die Masseverteilung (und damit die kinetische Energie) nicht verändert und die potentielle Energie durch die Einzelfedern annähernd erfaßt. Die Bedingungen (2.185) bis (2.187), die bei der Diskretisierung in Einzelmassen erfüllt werden sollen, sind bei der Aufteilung in Starrkörper automatisch erfüllt. Als Alternative dazu besteht hier die Forderung nach • Erhaltung der potentiellen Energie bei linearer Momentenverteilung, woraus das Mohrsche Integral für die am Ende des Kragträgers oder in Balkenmitte auftretende Durchbiegung:

y=

l 0

Mx M ∆lk dx = ∑ EI k Tk k

(2.199)

folgt. Daneben gilt die Forderung nach Erhalt der niederen Eigenfrequenzen ebenfalls, vgl. Gl. (2.188).

92


Tabelle 2.10 stellt als Alternative zu Tabelle 2.9 die Aufteilung von einseitig eingespannten und beiderseits gelenkig gelagerten Balken in starre Körper und Torsionsfedern dar. Tabelle 2.10 Diskrete Balkenmodelle als Starrkörper und Torsionsfedern (Masse m = Al, Biegesteifigkeit EI = konst.)

Fall Nr.

kT1l EI

Modell

kT2 l EI

x1 l

Bedingung y ω1 ω2

0

+

kT1

1

4,121

l kT1

2

1,590

x1 kT1

3

kT2

kT1

5

kT1 kT1

6

x1

7

+

+

10,76 1,750 0,351 + +

+

3,963 4,602 0,500

x1

4

0,272 + +

x1

+

2,029

0,500

3,473

0,380 + +

3,077

0,340

+

+

2,070 1,404 0,380 + +

+

kT2 kT1 kT1 kT2

8 x1

Analog zu Tabelle 2.9 sind in Tabelle 2.10 die Bedingungen markiert, welche diese Modelle erfüllen. Exemplarisch soll für Fall 2 gezeigt werden, wie man zu den Parameterwerten kommt. Es wird gefordert, daß die Durchbiegung bei einer Belastung am Balkenende infolge einer Einzelkraft dieselbe ist: y=

l 0

Fl 3 F(l − x1 )2 Fx2 dx = = EI 3EI kT1

(2.200)

und daß die tiefste Eigenkreisfrequenz des einseitig eingespannten Balkens derjenigen gleicht, die sich für einen prismatischen Starrkörper der Länge l − x1 ergibt: ω 12 =

12,362 · EI kT1 3 · kT1 = = Al 4 J A(l − x1 )3

(2.201)


93

Aus diesen beiden Gln. ergibt sich der Abstand für die Lage der Torsionsfeder und deren Federkonstante zu EI x1 = 0,272 1, kT1 = 1,590 (2.202) l Für die Berechnung von Längsschwingungen können an Stelle des Kontinuums (vgl. Abschn. 2.4.4) zur Berechnung der tiefen Eigenfrequenzen auch diskrete Modelle benutzt werden. In Tabelle 2.11 sind die diskreten Parameterwerte für Stäbe mit konstanter Querschnittsfläche A angegeben. Die hier vorgestellten Diskretisierungsmethoden liefern Modelle mit einer minimalen Anzahl von Freiheitsgraden (Minimalmodelle). Sie unterscheiden sich durch ihre geringe Anzahl von Koordinaten von den weitverbreiteten FE-Modellen. Die Berechnung der Biegelinien und der Momentenverläufe kann mit diesen Minimalmodellen ebenfalls erfolgen. So liefern die diskreten Balkenmodelle mit Einzelmassen gute Näherungen für die Biegelinien, weil der Verlauf der Biegesteifigkeit nicht verändert wurde. Die Querkraft- und Momentenverläufe werden infolge der diskreten Krafteinleitung an den Einzelmassen durch Geradenabschnitte nur grob angenähert. Die diskreten Balkenmodelle mit den Einzelfedern liefern demgegenüber gute Näherungen für die Querkraft- und Momentenverläufe, da die ursprüngliche Masseverteilung längs des Balkens (aus denen die dynamische Belastung resultiert) erhalten bleibt. Derartige Minimalmodelle von Balken können zweckmäßig angewendet werden, wenn • eine minimale Anzahl von Freiheitsgraden gewünscht wird, z. B. – bei der Echtzeitberechnung innerhalb eines geregelten Antriebssystems, – bei der Variantenberechnung, wenn Bewegungsgleichungen oft zu integrieren sind, – bei nichtlinearen Optimierungsrechnungen (möglichst wenige Variable) • oder wenn ein Bauteil innerhalb eines Antriebssystems vereinfacht erfaßt werden kann, z. B. – das Pleuel in einem Schubkurbelgetriebe, vgl. Tabelle 2.7, Fall 4, – den Auslegerarm in Abschn. 2.4.5, – die Führungssäule eines Regalbediengeräts, vgl. Abschn. 4.8.1. Welcher Typ der Minimalmodelle benutzt wird, hängt davon ab, in welches Softwarepaket der Anwender es einbauen will. Für MKS-Programme sind die Modelle vorteilhaft, die in Tabelle 2.10 angegeben sind. Werden die Schwingungen von massebelegten Zug-Druck- oder Torsionsstäben mit dem Kontinuum-Modell berechnet, ergeben sich bei allen Lagerbedingungen unendlich viele Eigenfrequenzen, vgl. die in Tabelle 2.13 angegebenen Gleichungen. Die meist interessierenden tiefen Eigenfrequenzen können mit den in Tabelle 2.11 angegebenen Minimalmodellen, sowohl für Längsschwingungen als auch für Torsionsschwingungen berechnet werden. Es wurde zwar die Symbolik von diskreten Längsschwingern für diese Darstellung gewählt, aber diese ist denen der Torsionsschwinger a¨ quivalent, vgl. die Analogien in Bild 5.16 und Tabelle 5.6. Diese Formeln lassen sich aus den Gln. (2.351) bis (2.353) herleiten, die in Abschn. 2.5.1 angegeben sind.

94


Tabelle 2.11 Minimalmodelle für Zug-Druck-Stäbe (m = Al, k = EA/l) und GIT /l) Torsionsstäbe (m = Ip l, k =

Fall Nr. 1

k1 m1

m1

2 3

m0 m

Modell

k1 m1

m1

4 5

k1 m1

k1 m2

m1

6 7

k1 m0

m1 k1

8 m0

9

k2 m1

k1

k2

m2 k1

m1 m

m2 m

k1 k

k1 m0

m0

Bedingung m ω1 ω2

1

+ + − −

0,5

2,467

− + + −

0,203

1

+

0,203 0,595

2

+ + + −

− + −

0,375 0,250 3,701

− + + +

0,203 0,135

2

+

1

+ + + −

0,595 0,405

− + +

0,356 0,488 0,156 1,660 2,516 + + + +

0,230 0,270

2,667

0,297 0,405

2

k1 m1

k

0,5

m0 m1 m1 m0

10

k2 k

4

+ + + +

+ + + −

2.4 Deduktive Modellbildung 2.4.1 Allgemeines In der Logik wird unter Deduktion die Herleitung des Besonderen aus dem Allgemeinen verstanden. Bei der deduktiven Modellbildung wird der Weg vom allgemeinen ( u¨ berdimensionalen“ und unzweckmäßigen) Modell zum speziellen (ein” fachen, u¨ bersichtlichen, adäquaten“) Modell beschritten. Im Startmodell“ werden ” ” bei der deduktiven Modellbildung alle physikalischen Effekte berücksichtigt, von denen man meint, daß sie von Einfluß auf das Ergebnis sein könnten. Damit enthält das Modell aber auch unwesentliche Einflußgrößen, und oft ist auch der numerische Aufwand zur Lösung der dabei entstehenden umfangreichen Gleichungen unvertretbar hoch. Das komplizierte Modell läßt sich oft wesentlich vereinfachen, ohne daß Nachteile hinsichtlich der Aussagekraft entstehen.

2.4 Deduktive Modellbildung

95

Die wesentlichen Schritte bei dieser Modellbildungsstrategie sind: 1. Formulierung der allgemeinsten Modellgleichungen In das Berechnungsmodell werden alle denkbaren problemspezifischen Einflußgrößen einbezogen, weil erst in den folgenden Schritten deren Bewertung und Auslese erfolgen soll. Es sind ebenfalls die Schritte 2 bis 4 zu durchlaufen, die bei der induktiven Methode (Abschn. 2.3.1) aufgeführt wurden. 2. Beurteilung der Parametereinflüsse in den Modellgleichungen Dies erfolgt durch das Einsetzen der Parameterwerte in die Modellgleichungen. In den Modellgleichungen, die i. allg. aus Summen von mehreren Termen bestehen, werden die Zahlenwerte der einzelnen Summanden ermittelt, die natürlich alle mit gleichen Maßeinheiten auszudrücken sind. Zweckmäßig ist die Einführung dimensionsloser Kenngrößen, welche stets Form von Potenzprodukten aus den Parametern haben [48], [145], [190], [297], [305]. Die Summanden bestehen aus Produkten dieser Kenngrößen mit den Variablen und deren (auch höheren oder auch partiellen) Ableitungen. Es wird geprüft, ob und welche Summanden große oder kleine Zahlenwerte haben. Diejenigen Summanden, die nur kleine Beiträge unterhalb einer gewissen Grenze (ob 0,1 %, 1 % oder 3 % hängt von den jeweiligen Anforderungen ab) zum Endergebnis beisteuern, werden vernachlässigt, d. h., die Terme, deren Einfluß sich als unwesentlich herausgestellt hat, werden aus den Modellgleichungen gestrichen. 3. Auswertung der Empfindlichkeitsanalyse Zur Bewertung der Bedeutung einzelner Parameter kann eine als Sensitivitätsanalyse bekannte Methode benutzt werden [187]. Sie besteht darin, die partiellen Ableitungen der Ergebnisgrößen nach den Parametern zu bilden und somit den Einfluß der Eingabeparameter auf das Ergebnis zu prüfen. An die Stelle partieller Ableitungen können auch Differenzenquotienten treten. Dies hat den Vorteil, daß dieselbe Analysemethode (z. B. ein Softwareprogramm) nur mit geringfügig abgewandelten Parameterwerten wiederholt benutzt werden kann. Bei zweckmäßiger (in Relation zu den jeweiligen Fertigungstoleranzen) Größe der ¨ endlichen Parameteränderungen kann dabei der Einfluß kleiner Anderungen sichtbar werden. Aus der Sensitivitätsanalyse ist zu schlußfolgern, welche Bedeutung die Genauigkeit der einzelnen Parameterwerte für die Ergebnisgrößen hat. Wenn ein Ergebnis nahezu unempfindlich gegenüber einem Parameter ist, kommt es also nicht darauf an, diesen möglichst genau zu bestimmen. Andererseits sieht man, welche Parameter die Ergebnisgrößen besonders stark beeinflussen. Es kann danach entschieden werden, auf welche Parameter es besonders ankommt, welche keinen wesentlichen Einfluß haben und welche der Haupteinflußgrößen relativ genau bestimmt werden müssen, wenn man die Genauigkeit der Ergebnisgrößen verbessern will. 4. Vereinfachung des Startmodells Nach den Schritten 2 und 3 kann das Startmodell auf den zweckmäßigen Umfang eines adäquaten Modells verkleinert werden. Zur Vereinfachung linearer Schwin-

96


gungssysteme sind die Methoden der Freiheitsgradreduktion anwendbar, die in Abschn. 2.6 behandelt werden. Mit den damit berechenbaren Ergebnissen ist es auch möglich, das Startmodell zu beurteilen, indem man in die allgemeinsten Gleichungen die Lösungen einsetzt. Die Zahlenwerte der Summanden, die man vernachlässigt hat, erhält man zum Vergleich, d. h., man kann sich zum Schluß davon u¨ berzeugen, daß das Startmodell (aus Schritt 1) keine wesentlich anderen Ergebnisse liefert als das durch die beschriebenen Schritte gewonnene adäquate Modell. Im Gegensatz zur induktiven Strategie, wo man mit wenigen Freiheitsgraden und mathematischen Mindestanforderungen beginnt, liegt der Ausgangspunkt des deduktiven Herangehens auf einem höheren Niveau. Das können von Anfang an eine größere Anzahl von Freiheitsgraden (und damit gewöhnliche Differentialgleichungen) oder sogar partielle Differentialgleichungen sein, vgl. Abschn. 2.4.4. Die Diskretisierung der Kontinua, die bei der deduktiven Strategie erst kurz vor einer numerischen Auswertung erfolgt, beginnt bei der induktiven Strategie bereits zu Beginn durch die Einführung von Einzelmassen und Einzelfedern. Theoretisch kann man, indem man von der anderen Seite“ kommt, durch das deduktive Herangehen das” selbe Berechnungsmodell finden wie auf induktivem Wege. Beide Strategien werden in der Praxis oft kombiniert. Man kann auch, nachdem man durch die deduktive Herangehensweise die wesentlichen physikalischen Zusammenhänge deutlicher erkannt hat, anschließend dafür ein Minimalmodell“ aufstellen. In den Abschnitten 2.4.2 (Schleifspindel) und ” 2.4.3 (Brückenkran) werden Beispiele erläutert, bei denen sich zum Schluß ganz einfache Gleichungen zur Berechnung der anfangs undurchschaubaren physikalischen Vorgänge ergeben. 2.4.2 Grundfrequenz von Schleifspindeln Schleifspindeln müssen bei möglichst hohen Drehzahlen arbeiten und dürfen (im Gegensatz z. B. zu Textilspindeln) unterhalb der Betriebsdrehzahl keine Resonanzstellen haben, da die Gefahr von Bearbeitungsungenauigkeiten entsteht. Ihre tiefste Eigenfrequenz (Grundfrequenz) soll möglichst groß sein. Die historische Entwicklung der Berechnungsmodelle dieser wichtigen Baugruppe von Werkzeugmaschinen begann im Jahre 1939 und ist in der Arbeit [164] ausführlich dargestellt, die auch den aktuellen Forschungsstand zur Modellierung und Optimierung von Spindeleinheiten enthält. Schleifscheibe Schleifdorn

Kugellager

Riemenscheibe

Bild 2.35 Technische Zeichnung einer Schleifspindel

Die folgenden Ausführungen beziehen sich auf eigene Untersuchungen, die zu Beginn der 70er Jahre in Zusammenarbeit mit dem Wälzlagerwerk Fraureuth ent-


97

standen, vgl. [150]. Sie sollen lediglich der Erläuterung der in Abschn. 2.4.1 dargelegten Strategie dienen. Nach den ersten Vorstellungen besaßen die Parameter am Schleifdorn eine besondere Bedeutung, vgl. Bild 2.35. Man hatte von konstruktiver Seite alles unternommen, um dieses Teilstück durch Verkürzung der Dornlänge und Vergrößerung des Durchmessers möglichst steif zu gestalten. Die Frage lautete, ob und mit welchen konstruktiven Maßnahmen (man dachte an eine Vergrößerung des Durchmessers im Mittelteil der Welle oder an zusätzliche Kugellager im Mittelteil) die erste Eigenfrequenz der Schleifspindel weiter erhöht werden kann.

a)

b) Bild 2.36 Schleifspindel a) Startmodell, b) Berechnete Grundschwingungsform (erste Eigenform)

Als Berechnungsmodell wurde zunächst ein Startmodell“ benutzt, bei dem die ” Biegesteifigkeiten aller Wellenabschnitte berücksichtigt wurden, insbesondere auch der vordere Schleifdorn, der die Schleifscheibe trägt. Bild 2.36a zeigt das Maximalmodell, das zur Berechnung der Eigenfrequenzen (im Sinne von Schritt 1 der deduktiven Modellbildungsstrategie) benutzt wurde. Es berücksichtigte auch die anfangs nur u¨ berschläglich bekannten Steifigkeiten der vorgespannten spielfreien Kugellager. Die Rechnung ergab die in Bild 2.36b dargestellte Grundschwingungsform. Aus ihr ist erkennbar, daß die Deformation der Kugellager (also deren Steifigkeit) einen wesentlichen Einfluß auf die Grundschwingungsform und damit auf die erste Eigenfrequenz (d. h. die erste kritische Drehzahl) der Schleifspindel besitzt. Man kann der Grundschwingungsform auch entnehmen, daß vor allem die Massen an den Wellenenden (Riemenscheibe, Schleifscheibe) große Amplituden haben. Demzufolge ist die Grundschwingungsform im wesentlichen durch die Starrkörperdrehung um den zwischen den Kugellagern befindlichen Schwingungsknoten bestimmt. Die (unter Schritt 2 und 3 der deduktiven Strategie in Abschn. 2.4.1 genannte) Analyse der Parametereinflüsse und die Sensitivitätsanalyse führen also zu folgender Interpretation: • Je größer die Masse der Riemenscheibe ist, desto tiefer liegt die erste Eigenfrequenz. Also muß man die Riemenscheibe möglichst leicht bauen (z. B. Aluminium statt Stahl). • Eine Stützung in der Mitte durch ein oder mehrere zusätzliche Kugellager hätte praktisch keinen Einfluß auf die erste Eigenfrequenz, weil dort ein Schwingungsknoten liegt. • Die Erhöhung der Biegesteifigkeit durch Vergrößerung des mittleren Wellendurchmessers wird die Grundfrequenz nur unwesentlich anheben, weil die gesamte Spindel (mit nur geringem Biegeanteil) fast wie ein starrer Körper schwingt.

98


• Es ist nicht nötig, zwei Federkonstanten an jeder Lagerstelle in das Modell aufzunehmen, da deren Abstand sehr klein ist. • Das Berechnungsmodell läßt sich so vereinfachen, wie es Bild 2.37 zeigt.

398

68

∅94

∅76

∅76

254

a)

Schleifscheibe

m1

I1

Kugellager

I2

m3

k l1

Riemenscheibe

I1

m4

m2

k l2

l3

b) ϕ11 ϕ31

−ϕ41

c)

−ϕ21

Bild 2.37 Schleifspindel a) Skizze, b) Berechnungsmodell mit vier Freiheitsgraden, c) Grundschwingungsform

Auf dieses (gemäß Schritt 4 der deduktiven Strategie) wesentlich einfachere Modell gegenüber dem von Bild 2.36a war man auf induktivem Wege nicht gekommen, weil man den Parametern in Nähe des Schleifdorns zu große Bedeutung beimaß. Man kann mit Näherungsformeln die untere und obere Grenze der Grundfrequenz berechnen. In [79] wird gezeigt, wie man solche Näherungsformeln herleiten kann. Man muß dazu die Einflußzahlen n jk und Näherungswerte für die Amplitudenverhältnis¨ se der ersten Eigenform kennen, die man aus Messungen oder aus einer Uberschlagsrechnung vorher ermitteln muß. Die Einflußzahlen für das in Bild 2.37 dargestellte Berechnungsmodell folgen aus der elementaren Balkentheorie. Es sind dahinter die Parameterwerte für ein Beispiel angegeben, vgl. Gln. (2.203) bis (2.210): n11 =

l13 l2 · l12 l 2 + (l1 + l2 )2 + + 1 = 12,000 0 · 10−2 µ m/N 3EI1 3EI2 kl22

(2.203)


n22 =

l33 l 2 · l2 l 2 + (l2 + l3 )2 + 3 + 3 = 4,321 7 · 10−2 µ m/N 3EI1 3EI2 kl22 1 = 3,009 1 · 10−2 µ m/N, n34 = n43 = 0 µ m/N k l1 l2 l3 2l1 l3 + l2 (l1 + l3 ) = − = −2,945 9 · 10−2 µ m/N 6EI2 kl22

99

(2.204)

n33 = n44 =

(2.205)

n12 = n21

(2.206)

l1 + l2 = 4,929 6 · 10−2 µ m/N kl2

(2.207)

n14 = n41 = −

l1 = −1,920 4 · 10−2 µ m/N kl2

(2.208)

n23 = n32 = −

l3 = −0,5141 · 10−2 µ m/N kl2

(2.209)

l2 + l3 = 3,523 3 · 10−2 µ m/N kl2

(2.210)

n13 = n31 =

n24 = n42 =

Die Grundfrequenz läßt sich folgendermaßen eingrenzen Z2 1 1 = f1 max f1 min = √ < f1 2π N2 2π N1

(2.211)

Das Gleichheitszeichen gilt dann, wenn die Grundschwingungsform

ϕ T1 = (ϕ 11 , ϕ 21 , ϕ 31 , ϕ 41 ) genau bekannt ist. In Gl. (2.211) werden benötigt:

1 N1 = S1 + 4

3 S12 S2 − 4 4

(2.212)

S1 = m1 n11 + m2 n22 + m3 n33 + m4 n44 S2 =

(2.213)

+ + + +2 m1 m2 n212 + m1 m3 n213 + m1 m4 n214 +2 m2 m3 n223 + m2 m4 n224 + m3 m4 n234 m21 n211

m22 n222

m23 n233

m24 n244

2 2 2 2 + m2 ϕ 21 + m3 ϕ 31 + m4 ϕ 41 Z2 = m1 ϕ 11

N2 =

2 m21 n11 ϕ 11

+

2 m22 n22 ϕ 21

+

2 m23 n33 ϕ 31

(2.214)

(2.215) +

2 m24 n44 ϕ 41

+2 (m1 m2 n12 ϕ 11 ϕ 21 + m1 m3 n13 ϕ 11 ϕ 31 + m1 m4 n14 ϕ 11 ϕ 41 )

(2.216)

+2 (m2 m3 n23 ϕ 21 ϕ 31 + m2 m4 n24 ϕ 21 ϕ 41 + m3 m4 n34 ϕ 31 ϕ 41 ) Die Formeln (2.211) in Verbindung mit Gl. (2.203) bis (2.210) und (2.212) bis (2.216) ¨ erlauben es, auf einfache Weise Parametereinflusse zu analysieren. Es sind immerhin K = 11 Parameterwerte (m1 , m2 , m3 , m4 , l1 , l2 , l3 , I1 , I2 , E, c) einer Schleifspindel dabei berücksichtigt. Sie eignen sich als Analysemodell für eine nichtlineare Optimierung.

100


Für eine Schleifspindel mit den Parameterwerten ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2,06 · 1011 N/m2 E – Elastizitätsmodul von Stahl ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ l1 ⎟ ⎜254 mm ⎟ – Abstände zwischen den ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ l2 ⎟ ⎜398 mm ⎟ Punktmassen und den ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ l3 ⎟ ⎜ 68 mm ⎟ Lagerstellen ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ I ⎟ ⎜1,64 · 10−6 m4 ⎟ – Flächenträgheitsmomente ⎜ 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x = ⎜ I2 ⎟ = ⎜3,84 · 10−6 m4 ⎟ der Wellenabschnitte ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜m1 ⎟ ⎜6,71 kg ⎟ – Masse der Schleifscheibe ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜m2 ⎟ ⎜8,95 kg ⎟ – Masse der Riemenscheibe ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜m ⎟ ⎜15,06 kg ⎟ – auf Lagerstellen reduzierte ⎜ 3⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝m4 ⎠ ⎝15,06 kg ⎠ Wellenmassen 3,323 · 107 N/m k – Lagersteifigkeit

(2.217)

soll nun die Abschätzung erprobt werden. Es wurden damit die obengenannten Einflußzahlen in den Gln. (2.203) bis (2.210) berechnet. Näherungswerte für die Amplitudenverhältnisse der Grundschwingungsform sind, vgl. Bild 2.37c: ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 2,9 ϕ 11 ⎜ ϕ ⎟ ⎜ −1,4 ⎟ ⎟ ⎜ 21 ⎟ ⎜ (2.218) ϕ1 = ⎜ ⎟ ⎟=⎜ ⎝ ϕ 31 ⎠ ⎝ 1,2 ⎠ −1,0 ϕ 41 Setzt man die Zahlenwerte aus den Gln. (2.203) bis (2.210) in die Gln. (2.212) bis (2.216) und danach in Gl. (2.211) ein, erhält man folgende Eingrenzung der ersten Eigenfrequenz: f1 min = 132,6 Hz,

f1 max = 139,7 Hz

Bild 2.38 FE-Modell einer konventionellen Spindeleinheit aus [164]

(2.219)


101

Die Grundfrequenz liegt also mit etwa 3,5 % Genauigkeit bei f1 = 135 Hz. Ein Vergleich mit experimentellen Ergebnissen zeigte, daß die Lagerung der Spindeleinheit im Maschinengestell einen weiteren wesentlichen Einfluß darstellt, d. h., für die Spindel selbst war das Minimalmodell gefunden, aber es mußte mit der Gestellstruktur gekoppelt werden. In [164] wurden mehrere komplizierte Berechnungsmodelle vorgeschlagen und mit einem FEM-Programm analysiert. Bild 2.38 zeigt ein Beispiel. 2.4.3 Von 23 zu 5 Parametern (Fahrbewegung eines Bruckenkrans) ¨ Das folgende Beispiel stützt sich auf die Dissertation [57], in welcher einige Zwischenschritte der Modellbildung eines Brückenkrans beschrieben sind. Der Brückenkran hat eine Eigenmasse von 60 000 kg, eine Spannweite von 30 m und kann Massen von 20 000 kg heben und transportieren. Es geht um ein Berechnungsmodell zur Simulation der Fahrbewegung, wobei das Pendeln der Last berücksichtigt wird. Bild 2.39a zeigt eine Skizze des Realsystems und Bild 2.39b ein diskretes Berechnungsmodell, das K = 23 Parameter erfaßt. Die Last wird als mathematisches Pendel aufgefaßt und gemäß Gl. (2.221) in ein Feder-Masse-System umgerechnet. Aus der Gleichsetzung der Eigenkreisfrequenzen g k ω2 = = (2.220) l m und dem Vergleich des Pendelweges l ϕ mit dem Fahrweg x ergibt sich die gleiche Horizontalkraft bei der Federkonstante g (2.221) k = mL l Im folgenden wird die Modellbildungsstrategie in Anlehnung an die Darstellung in [57] beschrieben. Sie ist im wesentlichen deduktiv, da dabei aus einem komplizierten System mit vielen Einflußgrößen ein einfaches Modell mit drei Freiheitsgraden gebildet wird. Die schrittweisen Vereinfachungen sind aber in [57] eher heuristisch als konsequent mechanisch-mathematisch begründet worden. Das Startmodell besteht schon aus diskreten Masse- und Federparametern, welche das Tragwerk, das Triebwerk und die pendelnde Last beschreiben. Die Parameterwerte des Startmodells sind: Parameterwerte des Brückenkrans: max. Traglast mL = 20 000 kg Eigenmasse: m33 + m34 = 60 000 kg Spannweite: l = 30 m Getriebe/Teilkreisradien: r14 = 0,150 m, r21 = 0,360 m, r22 = 0,110 m, r31 = 0,325 m Drehmassen und Massen J11 = 6,00 kg · m2 , J12 = 1,70 kg · m2 , J13 = 6,80 kg · m2 , J14 = 0,57 kg · m2 , nach Bild 2.39b: J21 = 6,32 kg · m2 , J22 = 0,80 kg · m2 , J31 = 66,21 kg · m2 , J32 = 44,14 kg · m2 , m33 = 25 000 kg, m34 = 35 000 kg, m35 = variabel ( 20 000 kg)

102


Drehsteifigkeiten der Getriebewellen Federsteifigkeiten von Kranbrücke und Lastpendel: Motormoment: Radradius:

MA = 1 217 N · m rA = 0,325 m

Bremse und Kupplung

Motor

r32

l

Laufkatze

kT 11 = 17,03·105 N · m, kT 12 = 0,37·105 N · m, kT 13 = 7,91·105 N · m, kT 21 = 0,21·105 N · m m35 g (variabel) k33 = 3,373 · 107 N/m, k34 = l

Getriebe 1

mL

a)

Getriebe 2

Last J 14

J 13 kT13

J 12 kT12

J 11 kT11

MA

r14 J 22

r21 kT21

kT21

J 32

r22 J 32

r31

ϕ32

J 22

Motor, Bremse Kupplung Getriebe 1

Getriebe 2

J 21 r32 J 31

J 31

m33 / 2 x33

k33 / 2

m33 / 2 m34 k34

b)

Kranbrücke

k33 / 2

m35

Bild 2.39 Brückenkran a) Skizze des Tragwerks und Fahrwerks b) Berechnungsmodell mit 12 Freiheitsgraden (Startmodell)

pendelnde Last


103

Das in Bild 2.39b skizzierte Startmodell, das insgesamt 12 Freiheitsgrade hat, davon 8 rotatorische und 4 translatorische, wird in einem ersten Schritt zu einem Modell mit 8 Freiheitsgraden vereinfacht, welches nur noch aus translatorischen Freiheitsgraden besteht, vgl. Bild 2.40.

m22

m31 m33 / 2 m32

k 21

FA

m11 m12 m13

k33 / 2

m21 m14

m35 m34 k34

k11 k12 k13 k 21 m22

k33 / 2 m32 m31 m33 / 2

Bild 2.40 Berechnungsmodell eines Brückenkrans mit 8 Freiheitsgraden

¨ Beim Ubergang vom Startmodell zum Modell gemäß Bild 2.40 wurden folgende Annahmen getroffen: • Der Kran wird als symmetrisch zur Mitte der Kranbrücke behandelt. Es tritt zwischen den Rädern und den Schienen kein Schlupf auf. Die Rollbewegung zwischen Rad und Schiene wird mit der Zwangsbedingung x33 = r32 ϕ 32

(2.222)

erfaßt. • Getriebespiel wird vernachlässigt. Die Transformation auf Wegkoordinaten erfolgt mit den bekannten Reduktionsbedingungen der starren Maschine“ [150]. Die große Anzahl der konstruktiven ” Parameter reduziert sich auf eine kleinere Anzahl von 17 mechanischen Parametern. Die Umrechnungsformeln lauten hierbei ( j = 1, 2, 3, 4). 2 r21 · r31 J1 j ; j = 1, 2, 3 4 (2.223) m1 j = r14 · r22 · r32 2 r31 J2 j ; j = 1, 2 (2.224) m2 j = r22 · r32 2 1 J3 j ; j = 1, 2 (2.225) m3 j = r32 2 r21 · r31 kT 1 j ; j = 1, 2, 3 (2.226) k1 j = r14 · r22 · r32

104


k21 =

r31 r22 · r32

2 kT 21

(2.227)

Die sich damit ergebenden Zahlenwerte sind in Tabelle 2.12 zusammengefaßt. Tabelle 2.12 Parameterwerte für das Berechnungsmodell von Bild 2.40 i

j

1 1 1 1 2 2 3 3 3 3 3

1 2 3 4 1 2 1 2 3 4 5

mi j in kg 2 856 809 3 237 271 522 66 627 418 25 000 35 000 20 000

ki j in 106 N/m 810,6 17,6 376,5 − 1,735 − − − 33,73 0,02 −

1/ki j in 10−8 m/N 0,123 5,682 0,266 − 57,637 − − − 2,965 5 000 −

Man sieht, daß die lange Verbindungswelle, die das Antriebsmoment von Getriebe 1 auf das Getriebe 2 verteilt (Bild 2.39a), außer dem Lastpendel, das weichste Federelement (k12 ) darstellt. Es sind erfahrungsgemäß nur die tiefen Eigenfrequenzen für die Belastung der Kranbrücke infolge der Fahrbewegung von Interesse. Somit werden nur zwei Eigenfrequenzen berücksichtigt und alle höheren Eigenfrequenzen vernachlässigt. Bei der weiteren Vereinfachung zu einem System mit nur noch 3 Freiheitsgraden werden solche Abschätzungen vorgenommen, wie sie auch in Abschn. 2.3.4 näher beschrieben sind. Die Abschätzung der Eigenfrequenzen der Teilsysteme ergeben für • das Lastpendel (in Abhängigkeit der Pendellänge, die zwischen 1 m und 10 m liegen kann): fA = (0,2 . . . 0,5) Hz • die Biegeschwingung der an den Rädern festgehaltenen Kranbrücke: k33 1 fB = ≈ 4,9 Hz 2π m34 • die Torsionsschwingung isoliert betrachteter Getriebeabschnitte: kT 12 + kT 13 2kT 21 1 1 fC = ≈ 55 Hz, fD = ≈ 40 Hz 2π J13 2π J21

(2.228)

(2.229)

105


Man kann daraus schließen, daß die Torsionswellen des Triebwerks sehr steif gegenüber den anderen Bauteilen sind. Sie werden somit als quasistarr behandelt. Die reduzierten Massen können addiert werden: m1 = m11 + m12 + m13 + m14 + m21 = 7 695 kg m2 = m22 + m31 + m32 + m33 + m34 = 61 111 kg

(2.230)

m3 = m35 = 20 000 kg Die Gesamtsteifigkeit der elastischen Torsionswellen wird mit der Formel für die Reihenschaltung in eine einzige Federkonstante umgerechnet, vgl. Tabelle 2.12: 1 1 1 1 1 1 = + + + + k1 k11 k12 k13 2k21 k33 ⇒

k1 = 1,5 · 106 N/m,

k2 = k34 = 20 000 N/m

(2.231)

bei l = 9,81 m m1

m2

m3

FA k1

k2

Bild 2.41 Minimalmodell für den Brückenkran mit Lastpendel

Damit wurden die 5 Parameterwerte des Dreimassensystems ermittelt, das in Bild 2.41 dargestellt ist. Man erkennt an den Zahlenwerten, daß das Lastpendel weicher ist als der Kran. In der Arbeit [57] wurden mit diesem Modell Simulationsrechnungen durchgeführt. 2.4.4 ¨ Von raumlichen zu eindimensionalen Balken- und Stabmodellen 2.4.4.1 Allgemeine Zusammenhänge Als Beispiel für die deduktive Modellbildung werden in diesem Abschnitt Balkenmodelle behandelt. Aus den Grundgleichungen für beliebige Bewegungen dreidimensionaler Kontinua, die auch große Verschiebungen und große Verzerrungen hervorrufen können, vgl. z. B. [326], lassen sich deduktiv alle anderen Differentialgleichungen starrer und deformierbarer Kontinua herleiten. Es ist also nicht nötig, für die in der Antriebsdynamik auftretenden Fragen zur Dynamik von Bändern, Riemen, Seilen, Drähten, Fäden und (zum Teil auch) Ketten jeweils neue“ Differenti” algleichungen aufzustellen. Sind zwei der Körperabmessungen (die Querschnittsabmessungen) klein gegenüber der dritten (der Abmessung in Längsrichtung) – wie das bei fadenförmigen Körpern der Fall ist –, dann ist es möglich und zweckmäßig, aus den Bewegungsgleichungen die Abhängigkeit von zwei Ortskoordinaten zu eliminieren und vom

106


dreidimensionalen zum eindimensionalen Kontinuum als mechanischem Modell u¨ berzugehen. Je nachdem, welche Annahmen u¨ ber die Steifigkeitsverhältnisse gemacht werden, kann es sich um Balkenmodelle (Timoshenko-Balken, RayleighBalken, Euler-Bernoulli-Balken) oder bei Vernachlässigung von Biege- und Torsionssteifigkeit um Fadenmodelle (dehnbarer Faden, undehnbarer Faden) handeln. Aus den grundlegenden Beziehungen dreidimensionaler Kontinua lassen sich die kinematischen und kinetischen Grundgleichungen des geometrisch nichtlinearen Timoshenko-Balkens ableiten, wenn man davon ausgeht, daß die Querschnitte eben bleiben (Bernoulli-Hypothese), daß große Verschiebungen möglich sind, die Verzerrungen aber klein bleiben und daß das Material homogen und isotrop ist und sich linear-elastisch verhält, vgl. [346]. Im Timoshenko-Balken-Modell sind die translatorische und rotatorische Trägheit der Querschnitte ebenso berücksichtigt wie auch Verschiebungs- und Verdrehungsverzerrungen. Relative Verschiebungen der Querschnitte in Richtung der Balkenachse führen zu Längsdehnungen, Verschiebungen quer zur Balkenachse zu Querschubdeformationen. Verdrehungen der Querschnitte gegeneinander resultieren in Torsions- (bei Verdrehungen um die Balkenachse) und Biegedeformationen (bei Verdrehungen um die Querachsen). Die Wirkung der Umgebung auf den Balken wird durch Linienlasten berücksichtigt. Punktförmige Lasteinleitungen oder Lagerungen ¨ müssen durch Rand- oder Ubergangsbedingungen in das Berechnungsmodell eingebracht werden. Für den geometrisch nichtlinearen Timoshenko-Balken erhält man das durch die Gln. (2.232) bis (2.238) definierte Berechnungsmodell, das auch große Bewegungen im Raum berücksichtigt, vgl. z. B. [300]. Zur Darstellung der benötigten kinematischen und kinetischen Größen wird ein raumfestes und kartesisches Koordinatensystem mit den Basiseinheitsvektoren ex = (1, 0, 0)T ,

ey = (0, 1, 0)T ,

ez = (0, 0, 1)T

(2.232)

eingeführt. Unabhängige Variablen sind die Zeit t und die materielle Bogenkoordinate s. Punkt“ bedeutet im Weiteren die partielle Ableitung nach der Zeit t und Strich“ ” ” die partielle Ableitung nach der Bogenkoordinate s. Abhängige Variable sind der T Ortsvektor r = (x, y, z) , der die Lage der Balkenachse im Raum beschreibt und die Kardanwinkel φ = (φ x , φ y , φ z )T , die die Orientierung des Querschnitts im Raum bestimmen. Die geometrischen Verhältnisse werden durch die Rotationsmatrix R und die inkrementelle Rotationsmatrix Φ beschrieben: R = Rz Ry Rx , mit

⎛

Φ = ez eTz + Rz ey eTy + Rz Ry ex eTx

1 0 0 ⎜ Rx = ⎝ 0 cos ϕ x − sin ϕ x 0 sin ϕ x cos ϕ x ⎛ cos ϕ z − sin ϕ z 0 ⎜ Rz = ⎝ sin ϕ z cos ϕ z 0 0 0 1

⎞ ⎟ ⎠, ⎞ ⎟ ⎠

⎞ cos ϕ y 0 sin ϕ y ⎟ ⎜ Ry = ⎝ 0 1 0 ⎠, − sin ϕ y 0 cos ϕ y ⎛

(2.233)


107

Schnittkraft f und Schnittmoment m (Index 0 kennzeichnet Größen der spannungsfreien Konfiguration) hängen von den geometrischen Verhältnissen und den Federparametern ab: f = RΓ (RT r − RT0 r0 ),

m = RK(Φ Tφ − Φ T0φ 0 )

Federparameter sind enthalten in den Matrizen ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ GIT 0 EA 0 0 0 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ K = ⎝ 0 EI2 0 ⎠ Γ = ⎝ 0 GAS2 0 ⎠, 0 0 GAS3 0 0 EI3 EA GAS2 , GAS3 GIT EI2 , EI3

(2.234)

(2.235)

Dehnsteifigkeit Schubsteifigkeiten Drehsteifigkeit Biegesteifigkeiten

Zwischen den Massenkräften und -momenten, den Schnittgrößen und den eingeprägten Linienlasten q = (qx , qy , qz )T muß Gleichgewicht herrschen: RJΦ Tφ˙ ˙ = m + Sr f (2.236) (M˙r) ˙ = f + q, ⎞ ⎛ 0 −z +y ⎟ ⎜ (2.237) Sr = ⎝ +z 0 −x ⎠ −y +x 0 Masseparameter sind enthalten in den Matrizen ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ A 0 0 I1 0 0 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ M = ⎝ 0 A 0 ⎠ , J = ⎝ 0 I2 0 ⎠ 0 0 A 0 0 I3

(2.238)

A Massebelegung I1 , I2 , I3 bezogene Trägheitsmomente

Die Gln. (2.235) und (2.238) gelten für die Querschnittshauptachsen bei Verwendung der Verbindungslinie der Querschnittsschwerpunkte als Balkenachse. Im folgenden wird davon ausgegangen, daß die Querschnittskenngrößen konstant sind. Nach Einsetzen der kinematischen Beziehungen (2.233) und der SchnittgrößenVerformungs-Beziehungen (2.234) in die Gleichgewichtsbedingungen (2.236) erhält man 6 nichtlineare partielle Differentialgleichungen für die 6 Variablen in r(t, s) und φ (t, s), die der Modellstufe 3 entsprechen. Diese Gleichungen sind in vielen Fällen schwierig mathematisch zu handhaben. Deshalb ist es oft zweckmäßig, zu strukturell einfacheren Gleichungen u¨ berzugehen, wenn die Verschiebungen und Verdrehungen eine bestimmte Größe nicht u¨ berschreiten. Sollen z. B. die Querschwingungen von rotierenden Wellen untersucht werden, dann kann man davon ausgehen, daß die Verschiebungen in den Querrichtungen klein bleiben. Mit dem Ansatz: ⎞ ⎛ s ⎟ ⎜ ϕx = Ω t (2.239) r = ⎝ wy ⎠ , wz

108


erhält man nach Linearisierung aus den Beziehungen (2.232) bis (2.238) für die linearen Querschwingungen des Timoshenko-Balkens mit rotationssymmetrischem Querschnitt folgende partielle Differentialgleichungen für die Verschiebungen (wy , wz ) und die Verdrehungen (ϕ y , ϕ z ), wenn Ω die als konstant angenommene Winkelgeschwindigkeit der Welle ist:

Aw¨ y

= GAS (wy − ϕ z ) + qy ,

I(ϕ¨ z − 2Ω ϕ˙ y ) = EI ϕ z + GAS (wy − ϕ z ) Aw¨ z

=

GAS (wz

+ ϕ y ) + qz ,

I(ϕ¨ y + 2Ω ϕ˙ z ) = EI ϕ y − GAS (wz + ϕ y )

(2.240) (2.241) (2.242) (2.243)

Dabei ist GAS = GAS2 = GAS3 und I = I2 = I3 = 1/2 · I1 . Die Gln. (2.240) und (2.241) beschreiben die Schwingungen in y-Richtung und die Gln. (2.242) und (2.243) die Schwingungen in z-Richtung. Die Bewegungen in y- und in z-Richtung sind durch die Kreiselwirkung des Querschnitts (repräsentiert durch die Terme −2I Ω ϕ˙ y und +2I Ω ϕ˙ z ) miteinander gekoppelt. Dreht sich die Welle nicht oder ist die Kreiselwirkung vernachlässigbar klein, dann entkoppeln sich die Gln. (2.240) bis (2.243). Die Schwingungen in den zwei Ebenen können dann getrennt voneinander betrachtet werden. Eliminiert man aus den Differentialgleichungen (2.240) bis (2.243) die Winkel ϕ y und ϕ z und vernachlässigt die Rotation (Ω = 0), dann erhält man die Bewegungsgleichungen für die Querschwingungen des Timoshenko-Balkens um seine Hauptachsen in der x, y-Ebene und der x, z-Ebene: .... Aw¨ y − Izz (1 + EA/GAS )w¨ y + Izz (A/GAS ) wy +EIzz wy = qy (2.244) .... Aw¨ z − Iyy (1 + EA/GAS )w¨ z + Iyy (A/GAS ) wz +EIyy wz = qz (2.245) Die Fläche AS = kA folgt aus der Querschnittsfläche A und einer von der Querschnittsform abhängigen Schubverteilungszahl k > 1, die z. B. beim Rechteck-Vollquerschnitt k = 1, 2 beträgt. Die Flächenträgheitsmomente Iyy und Izz beziehen sich auf die Querschnittshauptachsen. Die bisher betrachteten Differentialgleichungen eindimensionaler Kontinua beziehen sich auf das in Gl. (2.232) eingeführte raumfeste kartesische Koordinatensystem. Sollen kleine Bewegungen relativ zu einer stationären Kontur (z. B. Ballonkurve in Bild 2.44a oder Bewegung u¨ ber Rolle) berechnet werden, so ist es oft zweckmäßig, die natürlichen Richtungen (d. h. das begleitende Dreibein) der stationären Kontur zur Darstellung der Bewegungsgleichungen zu verwenden. Im folgenden wird am Beispiel der linearen Schwingungen von zylindrischen Schraubenfedern gezeigt, wie sich die betreffenden Differentialgleichungen aus Gln. (2.232) bis (2.238) ergeben. Die Schraubenfeder habe den Wickelradius R und die Steigung m, vgl. Bild 2.42. Die Raumkurve der Schraubenlinie entspricht der Balkenachse im spannungsfreien Zustand und ist gegeben durch: ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ R cos ψ x0 s ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ mit ψ = (2.246) r0 (s) = ⎝ y0 ⎠ = ⎝ R sin ψ ⎠ , 2 R + m2 z0 mψ


109

z

2πm

ψ

(x0, y0, z0)

R

x

y

Bild 2.42 Geometrische Verhältnisse an der Schraubenfeder

Das begleitende Dreibein (Tangenteneinheitsvektor e1 , Normaleneinheitsvektor e2 und Binormaleneinheitsvektor e3 ) der Schraubenlinie ergibt sich aus Gl. (2.246) zu (vgl. z. B. [50]): ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ −R sin ψ − cos ψ 1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ e2 = ⎝ − sin ψ ⎠ , e1 = ⎝ R cos ψ ⎠ , 2 2 R +m m 0 ⎞ ⎛ m sin ψ 1 ⎟ ⎜ e3 = (2.247) ⎝ −m cos ψ ⎠ R2 + m2 R Nach Transformation in die durch Gln. (2.247) definierten natürlichen Richtungen erhält man nach Linearisierung aus den allgemeinen Timoshenko-Balkengleichungen (2.232) bis (2.238) folgenden Satz von Bewegungsgleichungen, vgl. z. B. [356]: Gleichgewichtsbedingungen:

Au¨1 = F1 − KF2 + q1

(2.248)

Au¨2 =

F2

+ KF1 − W F3 + q2

(2.249)

Au¨3 =

F3

+ W F2 + q3

(2.250)

I1 ϕ¨ 1 = M1 − KM2

(2.251)

I2 ϕ¨ 2 =

M2

+ KM1 − W M3 − F3

(2.252)

I3 ϕ¨ 3 =

M3

+ W M2 + F2

(2.253)

Schnittgrößen-Verformungs-Beziehungen: F1 = EA(u1 − Ku2 )

(2.254)

F2 =

GAS2 (u2

+ Ku1 − Wu3 − ϕ 3 )

(2.255)

F3 =

GAS3 (u3

+ Wu2 + ϕ 2 )

(2.256)

M1 =

GIT (ϕ 1

− Kϕ 2)

(2.257)

110


M2 = EI2 (ϕ 2 + K ϕ 1 − W ϕ 3 ) M3 =

EI3 (ϕ 3

+ W ϕ 2)

(2.258) (2.259)

Dabei sind die uk die Verschiebungen und die ϕ k die Verdrehungen der Schraubenlinie, die Fk die Schnittkräfte und die Mk die Schnittmomente, jeweils gemessen in den natürlichen Richtungen (k = 1, 2, 3). K und W sind Krümmung bzw. Windung der Schraubenlinie: m R , W= 2 (2.260) K= 2 R + m2 R + m2 Gln. (2.248) bis (2.259) gelten für kleine Verschiebungen und Verdrehungen. Nach Einsetzen der Schnittgrößen-Verformungs-Beziehungen (2.254) bis (2.259) in die Gleichgewichtsbedingungen (2.248) bis (2.253) erhält man 6 lineare partielle Differentialgleichungen für die uk (t, s) und ϕ k (t, s). Die Differentialgleichungen (2.244) bis (2.255) enthalten als Spezialfall die Gleichungen für die linearen Querschwingungen des geraden Timoshenko-Balkens ohne Kreiselwirkung. Setzt man K = 0 und W = 0, dann erhält man aus den Gln. (2.248) bis (2.259) die Gln. (2.240) bis (2.243), wenn dort Ω = 0 gesetzt wird. Weiterhin erhält man für K = W = 0 aus den Schraubenfedergleichungen (2.248) und (2.254) die Differentialgleichungen für den Zug-Druck-Stab (Längsverschiebung u = u1 ):

Au¨ = (EAu ) + q1

(2.261)

und aus den Schraubenfedergleichungen (2.251) und (2.257) die Differentialgleichungen für den Torsionsstab (Drehwinkel ϕ = ϕ 1 ):

I1 ϕ¨ = (GIT ϕ )

(2.262)

Setzt man in den Schraubenfedergleichungen m = 0 (⇒ W = 0), dann folgen aus Gln. (2.248) bis (2.259) die Bewegungsgleichungen für einen Kreisbogenträger, vgl. auch [333], Bd. 3. Das Timoshenko-Balkenmodell berücksichtigt die Querschubdeformation und die rotatorische Trägheit des Querschnitts. Diese sind aber insbesondere für schlanke Balken sehr klein. Vernachlässigt man die Querschubdeformation, dann muß der Normalenvektor des Querschnitts parallel zum Tangentenvektor der Balkenachse sein: Sr RRT0 r0 = o

(2.263)

Geht man davon aus, daß der Querschnitt rotationssymmetrisch ist und daß der Balken im spannungsfreien Zustand gerade ist, dann erhält man bei Vernachlässigung der Querschubdeformation (Gl. (2.263)) und der rotatorischen Trägheit des Querschnitts (J = 0) aus den Timoshenko-Balkengleichungen (2.232) bis (2.238) nach Elimination der Querkräfte die Bewegungsgleichung des geometrisch nichtlinearen Euler-Bernoulli-Balkens in folgender Form (vgl. [346]): √ r A¨r = EA r T r − 1 √ (2.264) r T r r Sr r (r T r )r − 2 ϑ +q + GI + EISr Sr T (r T r )2 (r T r )3 (r T r )3/2

111


z in m

100 0 −100

−200 −300 −200 −100

0

100

200

300

400

500 600 x in m

700

0

100

200

300

400

500 600 x in m

700

y in m

200 100 0 −300 −200 −100

Bild 2.43 Anwendungsbeispiel für Gl. (2.264): Instationäre Bewegung des Steuerkabels einer Unterwassersonde (Abb. aus [346])

Setzt man EI = 0 und GIT = 0, so geht Gl. (2.264) in die Bewegungsgleichung des geometrisch nichtlinearen dehnbaren, biege- und torsionsschlaffen Fadens u¨ ber: √ r T A¨r = EA r r −1 √ +q (2.265) r T r Aus ihr wurde z. B. der Fadenballon beim Ringspinnen und die Fadenbewegung beim Abzug von einer Spule berechnet, vgl. Bild 2.44b. In allen bisher betrachteten Berechnungsmodellen wurde als Ortskoordinate die materielle Bogenkoordinate verwendet. Die Verwendung der materiellen Bogenkoordinate als Ortskoordinate ist zweckmäßig, wenn kein Massetransport u¨ ber die Systemgrenzen auftritt. Zur Berechnung von längsbewegten eindimensionalen Kontinua, wie sie bewegte Riemen, Kabel, Bänder oder Ketten darstellen, empfiehlt sich die Transformation auf ein nichtmaterielles Intervall. Ist v die Geschwindigkeit des Kontinuums in Längsrichtung, dann erhält man nach Einführung der neuen unabhängigen Variablen: τ = t,

σ = s + vt

(2.266)

folgende Ausdrücke für Absolutgeschwindigkeit und -beschleunigung: ∂r ∂t

=

∂r ∂τ

+v

∂r ∂σ

,

∂2 r ∂t 2

=

∂2 r ∂τ 2

+ 2v

∂2 r ∂σ ∂τ

+ v2

∂2 r ∂σ 2

(2.267)

112


Bild 2.44 Anwendungsbeispiele für Gl. (2.265): a) Fadenballon beim Ringspinnen (Abb. aus [274]), b) Fadenabzug von einer Spule (Abb. aus [28])

Die Gln. (2.264) und (2.265) gelten für beliebig große Verschiebungen, so lange die Verzerrungen klein bleiben. Ist der Bewegungsvorgang eben und sind die auftretenden Verschiebungen im Verhältnis zur Balkenlänge klein, dann folgt mit dem Ansatz (u – Längsverschiebung, w – Querverschiebung, F0 – konstante Vorspannkraft): ⎞ ⎛ s 1 + F0 /(EA) + u ⎟ ⎜ (2.268) r=⎝ w ⎠ 0 für die gekoppelten nichtlinearen Längs- und Querschwingungen des längsbewegten Euler-Bernoulli-Balkens aus Gl. (2.264), wenn man w bis zum kubischen Term und alle anderen Größen jeweils bis zum linearen Term entwickelt und den Einfluß der Längsgeschwindigkeit v entsprechend Beziehungen (2.266) und (2.267) einarbeitet:

1 2 2 A(u+2v ¨ u˙ +v u ) = F0 +EA u + w (2.269) + EIw w +qx 2 1 2 2 w −EI(w −u w ) +qy A(w+2v ¨ w˙ +v w ) = F0 +EA u + w 2 (2.270) Das dynamische Verhalten von Riemen und langen Abspannseilen (z. B. bei Baggern) oder langer dünner Stäbe ist durch gekoppelte Biege-Längsschwingungen gekennzeichnet. Die Gln. (2.269) und (2.270) sind u¨ ber die nichtlinearen Terme in den rechten Seiten miteinander gekoppelt. Diese Kopplung ist stärker, wenn die Nichtlinearitäten größer sind. Ist die Querbewegung w so klein, daß die nichtlinearen Terme in Gl. (2.269) vernachlässigbar klein sind, und lassen sich die aus der Längsbewegung resultierenden Trägheitswirkungen ebenso vernachlässigen wie die Linienlast qx , so


113

erhält man aus Gln. (2.269) und (2.270) die Differentialgleichung für die parametererregten Querschwingungen des längsbewegten Euler-Bernoulli-Balkens: (F0 + EAu ) = 0

⇒

EAu = F1 (t)

(2.271)

A(w¨ + 2vw˙ + v w ) = (F0 + F1 (t)) w − EIw 2

+ qy

(2.272)

Der zeitabhängige Längskraftanteil F1 (t) kann beispielsweise durch die Drehschwingungen angrenzender Riemenscheiben hervorgerufen werden. Für v = 0 beschreibt Gl. (2.272) den pulsierend belasteten Knickstab (z. B. Pleuelstangen in Mechanismen). 2.4.4.2 Biegeschwingungen Ist die Längskraft konstant, dann erhält man aus Gl. (2.272) für die entkoppelten linearen Querschwingungen des längsbewegten Euler-Bernoulli-Balkens mit Längskrafteinfluß:

A(w¨ + 2vw˙ + v2 w ) = F0 w − EIw + qy

(2.273)

Gl. (2.273) schließt folgende wichtige Sonderfälle ein: • für F0 = 0 und v = 0 den ruhenden Euler-Bernoulli-Balken ohne Längskrafteinfluß:

Aw¨ = −EIw + qy

(2.274)

• für EI = 0 die längsbewegte Saite (z. B. längsbewegte Riemen oder Bänder):

A(w¨ + 2vw˙ + v2 w ) = F0 w + qy

(2.275)

• und für EI = 0 und v = 0 die ruhende Saite:

Aw¨ = F0 w + qy

(2.276)

Die Basis für viele Schwingungsberechnungen des Biegeschwingers bildet die gewöhnliche Differentialgleichung EIr + Aω 2 r = 0

(2.277)

die aus Gl. (2.274) folgt, wenn keine Querbelastung auftritt (qy = 0) und harmonische Schwingungen mit der Kreisfrequenz angenommen werden: w(t, s) = r(s) exp( jω t)

(2.278)

Lineare Schwingungsprobleme führen auf Eigenwertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen, aus denen sich die Eigenfrequenzen und Eigenformen bzw. Eigenbewegungen bestimmen lassen (Modellstufe 2a). In Tabelle 2.13 sind die Eigenfrequenzen einiger der in diesem Abschnitt dargestellten linearen Berechnungsmodelle dargestellt, die man aus den genannten Formeln gewinnen kann, vgl. [134], [150].

114


Tabelle 2.13 Eigenfrequenzen bei Querschwingungen (beidseitig gelenkig gelagert) Berechnungsmodell Folgerung aus Eigenfrequenzen fi (i = 1, 2, 3, . . .) Gln. (2.240), EA π i2 EI ε Timoshenko-Balken (2.242) mit 1− 1+ (1) fi = 2 A 2 GAS 2l Ω =0 ⎡ ⎤ 2 2 I I π i Ω Ω EI rotierender Gln. (2.244), f = ± (1+ ε ) ⎦ (2) (1− ε )⎣ + i Rayleigh-Balken (2.245) A A A 2l 2 Euler-BernoulliBalken mit Längskraft längsbewegte Saite

π i2

Gl. (2.273) mit v = 0

fi =

Gl. (2.275)

i fi = 2l

Dabei bedeutet mit der Balkenlänge l: ε = π 2 i2

2l 2

EI A

F0 A

1+

F0 l 2 π 2 i2 EI

Av 2 1− F0

(3)

(4)

I 1 Al 2

Für Schwingungen des Timoshenko-Balkens in einer Ebene ergibt sich mit dem Ansatz (2.278) aus (2.244) oder (2.245) die gewöhnliche lineare Differentialgleichung für r(s): EIr + I ω 2 (1 + EA/GAS )r + Aω 2 (I ω 2 /GAS − 1)r = 0

(2.279)

Diese Gleichung erweitert (2.277) um drei Terme, welche die Rotationsträgheit der Querschnitte (I ω 2 ) und die Schubverformung (GAS ) berücksichtigen. Wird in (2.279) für die dynamische Biegelinie der Ansatz r(s) = rˇ exp(κ ξ );

ξ = x/l

(2.280)

eingesetzt, erhält man mit den Abkürzungen π1 =

I , AI 2

π2 =

EI , GAS I 2

π3 = λ 4 =

AI 4 ω 2 EI

(2.281)

die charakteristische Gleichung κ 4 + (π 1 + π 2 )λ 4 κ 2 + (π 1 π 2 λ 4 − 1)λ 4 = 0

(2.282)

¨ im Sinne von Abschn. 2.2.2. Die EigenfrequenDie π i sind Ahnlichkeitskennzahlen zen sind in der dimensionslosen Kennzahl π 3 versteckt“. Im Falle π 1 = π 2 = 0 ” verbleibt das Berechnungsmodell der elementaren Theorie, bei dem Schubverfor¨ mung und Rotationsträgheit vernachlässigt sind. An Hand der Ahnlichkeitskennzahlen kann man in (2.279) erkennen, daß der Einfluß der Rotationsträgheit (π 1 ) und der Schubverformung (π 2 ) auf die charakteristischen Werte κ mit höheren Frequenzen (λ ) ansteigt. Von den vier Wurzeln der biquadratischen Gleichung (2.282) sind κ 1 = −κ 2 reell und die anderen beiden imaginär: # $ 1 −(π 1 + π 2 )λ 4 + λ 2 (π 1 − π 2 )2 λ 4 + 4 κ1 = (2.283) 2


Dabei ist κ 3 = −κ 4 = jκ 0 und es gilt # $ 1 κ0 = (π 1 + π 2 )λ 4 + λ 2 (π 1 − π 2 )2 λ 4 + 4 2

115

(2.284)

Die vier charakteristischen Werte wären in (2.280) einzusetzen. Wenn man zur Umformung der Exponentialfunktionen die Eulerschen Relationen benutzt, kann man aber die Lösung auch mit den trigonometrischen Funktionen und den Hyperbelfunktionen beschreiben, d. h. die Gleichung für die dynamische Biegelinie des Timoshenko-Balkens lautet allgemein r = a1 cosh(κ 1 ξ ) + a2 sinh(κ 1 ξ ) + a3 cos(κ 0 ξ ) + a4 sin(κ 0 ξ )

(2.285)

Für die vier Koeffizienten a1 bis a4 erhält man, wenn man die Erfüllung von der vier Randbedingungen eines Balkens fordert, ein homogenes Gleichungssystem. Das Nullsetzen der Koeffizientendeterminante liefert schließlich die Frequenzgleichung, aus welcher die Eigenfrequenzen berechnet werden können, die natürlich von den jeweiligen Randbedingungen abhängen. Am Beispiel des Kragträgers sollen Ergebnisse verglichen werden. In Tabelle 2.14 sind die Werte λ i2 angegeben, die sich für den einseitig eingespannten Kragträger mit Rechteck-Vollquerschnitt ergeben [345, Bd. 3] und gemäß (2.281) den Eigenkreisfrequenzen ω i = 2π fi proportional sind. Tabelle 2.14 Eigenwerte λ i2 des Kragträgers (Länge l) mit Rechteckquerschnitt (Höhe h) Ordnung i 1 2 3 4 5

elementare Theorie 3,52 22,03 61,70 121,0 200,0

Timoshenko-Balken h/l = 0,1 3,49 20,82 55,36 100,9 153,9

h/l = 0,2 3,41 18,42 44,46 74,14 106,4

h/l = 0,3 3,31 15,90 35,52 55,90 76,29

Die Zahlenwerte zeigen, daß die elementare Balkentheorie nur für h/l 1 akzeptable Werte für die unteren Eigenfrequenzen liefert. Wegen der Berücksichtigung der Schubverformung ist der Timoshenko-Balken nachgiebiger und infolge der Rotationsträgheit auch träger“. Dies hat zur Folge, daß alle Eigenfrequenzen, die nach ” der elementaren Balkentheorie berechnet werden, größer sind als die des weicheren“ ” Timoshenko-Balkens, der die Realität genauer erfaßt. Die Unterschiede nehmen mit der Ordnung i der höheren Eigenfrequenzen zu. Einen weiteren Vergleich der Ergebnisse der elementaren Theorie mit der Timoshenko-Theorie bezüglich der Eigenschwingformen zeigt Bild 2.45. Dort sind für einen Balken mit Rechteckquerschnitt und dem Verhältnis h/l = 0,2 die ersten drei Eigenformen dargestellt. Deutliche Unterschiede sind an der Einspannstelle ersichtlich. Die Eigenformen unterscheiden sich mit zunehmender Ordnung bei den höheren Eigenformen immer mehr voneinander.

116


u +1

i =1 i =3

0 0,1 0,2 0,3

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

0,9 1,0 x / l i =2

−1

Bild 2.45 Eigenschwingungsformen des einseitig eingespannten Timoshenko-Balkens Volle Linien: elementare Theorie, gestrichelt: Timoshenko-Theorie

Bei relativ kurzen Balken und insbesondere bei Hohlquerschnitten, bei denen große Schubverteilungszahlen k > 1 vorhanden sind, ist die elementare Theorie zur Berechnung von Balkenschwingungen ungeeignet, da sie zu ungenaue Werte ergibt. Auf die Theorie des Timoshenko- Balkens wird z. B. in [99] und [345, Bd. 3] näher eingegangen. In vielen Rechenprogrammen der modernen Software sind auch Modellelemente des Timoshenko-Balkens enthalten. Zur Erfassung vieler Parameter dient das in Bild 2.46 dargestellte Modell eines ebenen Biegeschwingers. Es berücksichtigt zwei jeweils in ihrem Schwerpunkt isotrop federnd abgestützte starre Körper an beiden Rändern (k = 1,2). Dieses Modell wird beschrieben durch zwei Massen mk , zwei Trägheitsmomente Jk , zwei Längsfedern mit den Federkonstanten kk , zwei Drehfedern mit den Drehfederkonstanten kTk und einem sie verbindenden massebelegten Balken. Der Balken hat die Länge l, eine konstante Querschnittsfläche A und das Flächenträgheitsmoment I. Sein Material besitzt den Elastizitätsmodul E und die Dichte . Die axialen Trägheitsmomente Jk der Körper beziehen sich auf die jeweiligen Schwerpunktachsen senkrecht zur Bildebene. Es sind Hauptträgheitsmomente. l m1

m2

J1

J2

EI A

kT1 k1

kT2 k2

Bild 2.46 Mit Längs- und Drehfedern abgestützter Kontinuum-Balken

Der Parametervektor dieses ebenen Modells enthält insgesamt K =13 Parameter: pT = (m1 , m2 , J1 , J2 , k1 , k2 , kT1 , kT2 ,l, E, I, , A)

(2.286)


117

Daraus lassen sich mit den drei Bezugsgrößen l, EI und Al folgende acht dimensi¨ onslosen Ahnlichkeitskennzahlen bilden (k = 1, 2) mk kk l 3 Jk kTk l ; ; (2.287) π 2k = π 3k = ; π 4k = Al EI Al 3 EI Aus den physikalischen und geometrischen (dimensionsbehafteten) Parametern folgen alle Eigenfrequenzen fi = ω i /(2π ), die mit den dimensionslosen Eigenwerten λ i im folgenden Zusammenhang stehen: π 1k =

Al 4 Al 4 = ω i2 (2.288) EI EI ¨ Das hier nicht näher beschriebene Verfahren der Ubertragungsmatrizen [150] erlaubt, eine geschlossene Formel für die Frequenzgleichung zu gewinnen, aus der alle Eigenwerte – und mit (2.288) letztlich auch alle Eigenfrequenzen fi (i = 1, 2, . . ., ∞) – berechnet werden können. Es ist möglich, diese Frequenzgleichung mit den vier dimensionslosen Kennzahlen λ i4 = (2π fi )2

Kk = λ π 1k −

π 2k

λ3

;

Lk = λ 3 π 3k −

π 4k

λ

;

k = 1, 2

(2.289)

auszudrücken. Dazu werden folgende nur vom Eigenwert λ abhängende Funktionen definiert: g1 = cos λ cosh λ ;

g2 = sin λ sinh λ

g3 = sin λ cosh λ ;

g4 = cos λ sinh λ

(2.290)

Mit den vorgenannten Ausdrücken lautet die Frequenzgleichung: F(λ , p) = (1 − g1 )(K1 L1 K2 L2 + 1) + (1 + g1 )(K1 L1 + K2 L2 ) +2g1 (K1 L2 + K2 L1 ) + 2g2 (K1 K2 − L1 L2 ) +(g3 − g4 )[(K1 + K2 − K1 K2 (L1 + L2 )]

(2.291)

+(g3 + g4 )[(L1 + L2 − L1 L2 (K1 + K2 )] = 0 Es ist eine nichtlineare transzendente Gleichung, aus der man alle Eigenwerte λ i (i = 1, 2, . . ., ∞) berechnen kann. Sie umfaßt die Frequenzgleichungen vieler technisch interessanter Biegeschwinger. Tabelle 2.15 zeigt als Spezialfälle von Bild 2.46 einige Beispiele von verschieden gelagerten Biegeschwingern und deren Frequenzgleichungen, die sich deduktiv aus (2.291) gewinnen lassen. Die drei Bezugsgrößen (Länge l, Biegesteifigkeit EI, Balkenmasse Al), die den Kontinuumbalken charakterisieren, sind in Tabelle 2.15 nicht mit eingetragen. Meist interessieren nur die niederen Eigenfrequenzen, d. h. die kleinsten λ Werte. Zweckmäßig wird zu deren Ermittlung ein Computerprogramm zur Nullstellensuche benutzt. Mit einer Frequenzgleichung ist die Sensitivitätsanalyse, also speziell die Analyse von Parametereinflüssen (z. B. der Lagersteifigkeiten) auf alle Eigenfrequenzen relativ schnell möglich. Auch zur Lösung von Aufgaben der Synthese kann man (2.291) und deren Spezialfälle verwenden. Man kann z. B. bis zu vier gewünschte Eigenfrequenzen vorgeben

118


Tabelle 2.15 Beispiele von Biegeschwingern (Spezialfälle von dem Modell in Bild 2.46) Fall Skizze 15 cT1

m2

16

Frequenzgleichung −π 41 (1 + g1 ) + (g3 − g4 )(1 + π 12 π 41 )λ + 2g2 π 12 λ 2 = 0

(1 − g1 )π 12 π 32 λ 4 + 1 + g1 − (g3 − g4 )π 12 λ − (g3 + g4 )π 32 λ 3 = 0

m2 J2

17

(1 + g1 )λ 3 − (g3 − g4 )(π 12 λ 4 − π 21 ) = 0

m2 c2

18

cT2

(1 + g1 )π 42 λ 3 − (g3 − g4 )(λ 4 − π 21 π 42 ) + 2g2 π 21 λ = 0

c1

und bei einer Syntheseaufgabe diejenigen Parameterwerte bestimmen, bei denen der Biegeschwinger (neben anderen) genau diese Eigenfrequenzen hat. Mit angenommenen Werten für die drei Bezugsgrößen erhält man anfangs die geforderten Zahlenwerte λ i und kann damit soviel Frequenzgleichungen aufstellen, wie man Unbekannte hat. Es sind zunächst die vier Unbekannten K1 , K2 , L1 und L2 in (2.291) oder z. B. die unbekannten π ik in Tabelle 2.15. Aus den berechneten dimensionslosen Kennzahlen folgen in Verbindung mit den Bezugsgrößen die Parameterwerte pk aus (2.287), welche einen Schwinger definieren, der (neben anderen) die vorgegebenen Eigenfrequenzen hat. Zur Erläuterung der scheinbar komplizierten Verfahrensweise werden zwei Beispiele betrachtet. Das erste Beispiel behandelt die Frage nach der Frequenzgleichung für das Berechnungsmodell in Bild 2.33. Der Parametervektor enthält in diesem Falle sieben Elemente (k1 , k2 , l, E, I, , A). Es gibt damit gemäß (2.287) nur zwei von Null ver¨ schiedene Ahnlichkeitskennzahlen: π 21 =

k1 l 3 , EI

π 22 =

k2 l 3 EI

(2.292)

Damit folgt aus (2.288) L1 = L2 = 0; K1 = −π 21 /λ ; K2 = −π 22 /λ und aus (2.291) die spezielle Frequenzgleichung F(λ , p) = 1 − g1 + 2g2 K1 K2 + (g3 − g4 )(K1 + K2 ) = 1 − cos λ cosh λ + 2 sin λ sinh λ π 21 π 22 /λ 2 −(sin λ cosh λ − cos λ sinh λ )(π 21 + π 22 )/λ = 0

(2.293)


119

Als zweites Beispiel soll die Frequenzgleichung für den einseitig eingespannten Balken (Kragträger, vgl. Bild 2.45) aufgestellt werden. Für diesen Spezialfall ist am rechten freien Rand m2 = 0, J2 = 0, k2 = 0 und kT2 = 0. Die Einspannstelle am linken Rand läßt sich durch den Grenzübergang für m1 → ∞ (oder k1 → ∞) und J1 → ∞ ¨ (und/oder kT1 → ∞) mit dem Modell in Bild 2.46 auch erfassen. Die Ahnlichkeitskennzahlen sind dafür π 11 = π 21 = π 31 = π 41 → ∞,

π 51 = 0;

(2.294)

π 12 = π 22 = π 32 = π 42 = π 52 = 0

Daraus folgt aus (2.288) K1 → ∞, K2 = 0, L1 → ∞ und L2 = 0. Die Frequenzgleichung (2.291) verkürzt sich nach einem Grenzübergang zu F(λ , p) = 1 + g1 = 1 + cos λ cos hλ = 0 (2.295) lim K1 →∞, L1 →∞ K1 L1 Diese Gleichung ergibt sich aus Tabelle 2.15, sowohl für Fall 1 (mit π 12 = 0, π 41 → ∞), für Fall 2 (mit π 12 = π 32 = 0) als auch für Fall 3 (π 12 = π 21 = 0). Die erste und die zweite Nullstelle der Frequenzgleichung (2.295) sind λ 1 = 1,8751 und λ 2 = 4,6941. Diese beiden Werte wurden in (2.195) und (2.196) verwendet (1/λ 14 = 0,080 89; 1/λ 24 = 0,002 060), um die Eigenfrequenzen des diskreten Zweimassenmodells mit denen des Kontinuums zu vergleichen, vgl. Fall 4 in Tabelle 2.9. 2.4.4.3 ¨ Langsund Torsionsschwingungen Werden die Längs- oder Torsionsschwingungen von Stäben mit dem KontinuumModell berechnet, ergeben sich bei allen Lagerbedingungen unendlich viele Eigenfrequenzen. Sie stehen in Verbindung mit der Schallgeschwindigkeit im Kontinuum, welche in Metallen für Längsschwingungen E ∼ (2.296) c= = 5 km/s

ist, da das Verhältnis von E-Modul zu Dichte bei den u¨ blicherweise verwendeten Metallen etwa in dem selben Verhältnis zueinander steht und für Torsionsschwingungen GIT ∼ (2.297) c= = 3,2 km/s Ip beträgt. Liegen keine Kreisquerschnitte vor, gilt IT = Ip , d. h., das sogenannte Torsionsflächenmoment IT unterscheidet sich dann vom polaren Flächenträgheitsmoment Ip . Die Eigenfrequenzen fi und zugehörigen Eigenformen ui ergeben sich für Zug-Druck-Stäbe und für Torsionsstäbe aus denselben Formeln. Sie lauten für beiderseits freie Stäbe unter Beachtung der Ausdrücke aus Gl. (2.296) oder Gl. (2.297): f1 = 0, (i − 1)c , fi = 2l

u1 = 1 (i − 1)π x ; ui = cos l

i = 2, 3, . . . , ∞

(2.298)

120


Für einseitig befestigte/einseitig freie Zug-Druck- oder Torsionsstäbe gilt (2i − 1)π x (2i − 1)c fi = , ui = sin ; i = 1, 2, . . . , ∞ (2.299) 4l 2l Für beiderseits befestigte Zug-Druck- oder Torsionsstäbe gilt iπ x i·c , ui = sin fi = ; i = 1, 2, . . . , ∞ (2.300) 2l l Für den Kontinuum-Stab, der mit einem diskreten Schwinger verbunden ist, lassen sich zwei dimensionslose Kenngrößen einführen, von denen (abgesehen von den Randbedingungen) die Eigenwerte λ i abhängen: ω il kl m kT l J π1 = ; π2 = λi = = = ; (2.301) EA GIT Al Ip l c Tabelle 2.16 Frequenzgleichungen für Kombinationen von Kontinuum und Einzelmasse (links: Längsschwinger, rechts: Torsionsschwinger)

Fall

Berechnungsmodell (Frequenzgleichung) l

l

1 A

IP

m

( π1 − π 2 λ ) tan λ + λ = 0 2

A

m

π1 − π 2 λ − π1 π 2 λ tan λ = 0 2

A

IP

J

IP

π1 − π 2 λ − λ tan λ = 0

kT J

(3)

k A

kT

GIT

m

2

4

GIT

(2)

k 3

J

(1)

k 2

kT

GIT

k

m

GIT

kT

IP

J

( π1 − π 2 λ ) tan λ + π1 π 2 λ = 0 (4) 2

Für den Stab, der mit Masse m (bzw. Trägheitsmoment J) verbunden und Feder k (bzw. Torsionsfederkonstante kT ) gekoppelt ist, ergeben sich die Eigenwerte aus den in Tabelle 2.16 angegebenen transzendenten Frequenzgleichungen. Die Lösung kann für konkrete Werte der Kennzahlen (also für gegebene Parameterwerte) numerisch erfolgen. Aus Gl. (1) in Tabelle 2.16 kann man für π 2 = π 1 = 0 (also für m = 0, k = 0) aus tan λ = ∞ die in Gl. (2.299) angegebenen Frequenzen finden.


121

Für mechanische Antriebe lassen sich die in Tabelle 2.16 dargestellten Berechnungsmodelle für lange Zug-Druck-Stäbe (z. B. Nadelbarren in Textilmaschinen) oder Torsionsstäbe (z. B. lange Antriebswellen) empfehlen, da sie den Einfluß nachgiebiger Kopplungen an Kontaktstellen erfassen. Bei Torsionsschwingern können das Kupplungen sein, bei Längsschwingern die Kontaktstellen zu Nachbarkörpern. Den festen Lagern im Modell können in der Realität die Angriffspunkte der kinematischen Erregung zugeordnet werden, z. B. Kurvenscheiben oder Nocken von Ventiltrieben, während den freien Rändern Krafterregungen zuzuordnen sind. In Abschn. 5.3.4 wird die Kopplung einer Endmasse mit einem Kontinuum veränderlichen Querschnitts näher analysiert. 2.4.4.4 Modellierung einer Getriebewelle Bild 2.47a zeigt eine Getriebewelle, die aus sechs zylindrischen Abschnitten besteht. Neben den darin angegebenen sechs Werten für die Durchmesser und sechs Längen sind folgende drei Materialparameter (also insgesamt 15 Parameter) gegeben: Dichte

= 7 800 kg/m3 ,

Elastizitätsmodul

E = 2,1 · 1011 N/m2 und

Querkontraktionszahl

ν = 0,3.

Es sollen die tiefsten drei Torsionseigenfrequenzen mit verschiedenen FE-Modellen berechnet und mit dem einfachen Modell mit 5 Freiheitsgraden (masselose Torsionsfedern, starre Scheiben) verglichen werden, vgl. Bild 2.47b. 40 80

40

80

20

kT1

kT3

∅ 24

∅ 38

∅ 100

∅ 38

∅ 50

∅ 24

20

kT5

J1

kT6

J5

J2

J6

J4

Bild 2.47 Getriebewelle; a) Abmessungen (12 geometrische Parameter), b) Berechnungsmodell mit 5 Freiheitsgraden (9 Parameter)

122


Es gibt mehrere Möglichkeiten, diese Getriebewelle mit FE-Programmen zu berechnen [312]. Es soll die Vernetzung jeweils mit verschiedener Anzahl von Elementen mit 10-knotigen Tetraedern (Solid92), die jeweils drei translatorische Freiheitsgrade haben, mit Hexaedern (Solid45) und mit Balken (Beam4) erfolgen. Mit dem Programm ANSYS (vgl. Tabelle 2.1) wurden die Eigenfrequenzen und Eigenformen für eine unterschiedliche Anzahl solcher Elemente berechnet. Die in Tabelle 2.17 eingezeichnete Vernetzung entspricht dem dritten Modell. Die Biegeschwingungsformen wurden bloß in einer Ebene (obwohl sie auf Grund der räumlichen Modellierung automatisch in zwei Ebenen berechnet wurden) dargestellt. Für das siebente Berechnungsmodell (Bild 2.47b) wurden mit der in Abschn. 3.2.1 beschriebenen Methode die Kennwerte der Zylinderelemente bestimmt, vgl. Gl. (3.10) und Gl. (3.12). Danach wurde die in Tabelle 2.11 (Fall 1) angegebene Vorschrift zur Diskretisierung benutzt, indem für jeden der Abschnitte 1, 3, 5 und 6 das ¨ Trägheitsmoment dieser Zylinderabschnitte je zur Hälfte auf die Ubergangsstellen aufgeteilt wurde und die Drehsteifigkeit erhalten blieb. Die Abschnitte 2 und 4 wurden als starre Körper modelliert. Die Längen der Abschnitte 1, 3, 5 und 6 wurden mit den Korrekturfaktoren jeweils verlängert, vgl. Bild 3.3 und Bild 3.5. Die Parameterwerte des siebenten Modells (vgl. Bild 2.47) ergaben sich also zu J1 = 2,54 kg · mm2 ;

kT1 = 114 383 N · m

J2 = 130,2 kg · mm ;

kT3 = 389 436 N · m

J4 = 3 158,8 kg · mm ;

kT5 = 187 888 N · m

J5 = 74,0 kg · mm2 ;

kT6 = 29 896 N · m

2

2

J6 = 10,2 kg · mm

2

Wie die Modellierung, die Anzahl und die Art der Modellelemente das Ergebnis beeinflussen, geht aus den folgenden Zahlenwerten hervor. Als tiefste Eigenfrequenz der Torsionsschwingung wurde bei allen Modellen für das ungefesselte System erwartungsgemäß f1 = 0 Hz erhalten (Eigenform dazu ist die freie Starrkörperdrehung). Für die unteren beiden Torsionseigenfrequenzen ergab sich für die Modelle: 1:

f2 = 7 380 Hz;

f3 = 8 485 Hz ANSYS, 32 760 Solid92-Elemente

2:

f2 = 7 413 Hz;


3:

f2 = 7 438 Hz;


4:

f2 = 7 453 Hz;


5:

f2 = 7 705 Hz;

f3 = 9 227 Hz ANSYS, 56 Beam4-Elemente

6:

f2 = 7 710 Hz;

f3 = 9 237 Hz ANSYS, 28 Beam4-Elemente

7:

f2 = 6 927 Hz;

f3 = 8 455 Hz Torsionsschwinger, 5-Scheiben

Zur Interpretation der Unterschiede zwischen den berechneten Eigenfrequenzen: Mit größer werdender Elemente-Anzahl nähern sich die berechneten Eigenfrequenzen asymptotisch den wahren Werten dieses Kontinuums. Das erste Modell liefert die genauesten Werte, da es die Deformationen im Innern der Welle am genauesten abbildet. Auch diese Ergebnisse bestätigen die Erfahrungsregel: Je größer


123

Tabelle 2.17 Mit dem Programm ANSYS [10], [312] berechnete Eigenfrequenzen und Eigenformen der Getriebewelle von Bild 2.47a 1

Biegeschwingung: 2 010 Hz

4

Torsionsschwingung: 7 438 Hz

2


5


3


6


die Anzahl der Elemente bei der FEM-Modellierung ist, desto kleiner sind die Eigenfrequenzen. Die Tetraeder-Elemente (Solid92) approximieren die Getriebewelle offenbar besser als die Hexaeder-Elemente (Solid45), denn sie liefern mit einer kleineren Elemente-Anzahl die genaueren Eigenfrequenzen. Dies läßt sich aus mechanischer Sicht damit erklären, daß bei weniger Elementen ein größerer Zwang im System herrscht, was zu höheren Steifigkeiten (also zu höheren Frequenzen) führt. Die Modellierung beim sechsten Modell mit den 28 Elementen Beam4 (kontinuierliche Torsionsstab-Modelle) ergibt bei f2 etwa 4,5 % und bei f3 etwa 8,9 % zu hohe Werte im Vergleich zu denen des ersten Modells. Das einfache klassische“ siebente Modell des diskreten Torsionsschwingers lie” fert bei f2 etwa 6,5 % bzw. bei f3 etwa 0,4 % zu tiefe Werte gegenüber dem genauesten FE-Modell. Die Abweichung zu tieferen Werten ist hier nicht gesetzmäßig, sondern zufällig aufgetreten, d. h. der Anwender, der nur das siebente Ergebnis kennen würde, könnte nicht entscheiden, auf welcher Seite das richtige Ergebnis liegt. Vermutlich wäre dieses Ergebnis aber hinreichend genau und brauchbar, d. h., die einfachen Modelle können ausreichen, wenn es nur auf die tiefsten Eigenfrequenzen ankommt, vgl. Abschn. 3.2. In Anbetracht dieser Frequenzunterschiede, die allein durch die Modellierung (und nicht durch die Rechengenauigkeit der Programme) bedingt sind, lehrt schon dieses einfache Beispiel, daß normalerweise stets Unterschiede zwischen Rechenund Meßergebnissen bei Eigenfrequenzen bestehen. In der Praxis wirken sich die begrenzte Genauigkeit der Materialparameter (diese sind meist nur auf zwei Ziffern genau bekannt), der Meßwerte (jede Messung hat eine begrenzte Genauigkeit) und

124


¨ der Modellfehler so aus, daß im Normalfall keine genauere Ubereinstimmung als et¨ wa 5 % erwartet werden kann. Eine Ubereinstimmung von weniger als 10 % ist meist ¨ schon gut, aber eine genauere Ubereinstimmung als 2 % ist fragwürdig. 2.4.5 Schwenkbewegung eines Auslegerarms Auslegerarme, die als kleine Zeiger in Meßgeräten (Millimeterbereich), Roboterarme (Meterbereich) oder Ausleger von Turmkranen oder Tagebaugroßgeräten Schwenkbewegungen ausführen, lassen sich nicht immer als starre Körper behandeln. Ihre Elastizität kann sich sowohl auf das Antriebsmoment als auch auf die Bewegung der Auslegerspitze infolge der angeregten Schwingungen auswirken. Für eine dynamische Zustandsregelung der Bewegungen eines Auslegerarms müssen die sogenannten Streckenparameter bekannt sein, um die Rückführkoeffizienten des Reglers optimal an die Strecke anzupassen. Es soll an diesem Beispiel gezeigt werden, unter welchen Bedingungen für ein aus physikalischer Sicht kontinuierliches System (mit unendlich vielen Freiheitsgraden) eine Freiheitsgradreduktion auf ein System mit zwei Freiheitsgraden erfolgen kann. Diese Aufgabe wird hier aus der Sicht der Mechanik gelöst, wobei die ursprünglichen physikalischen Parameter bekannt sind. Es sei auf ein ganz anderes Konzept hingewiesen, bei dem ebenfalls das Ziel darin besteht, einen beliebigen Mehrmassenschwinger durch die Struktur eines Zwei” massenschwingers abzubilden, um dann die Regelung darauf abzustimmen“ [22]. Es wird dort auf Arbeiten aufgebaut, in denen ein genetischer Algorithmus zur Identifikation der Streckenparameter“ eingesetzt wird. Die in [22] propagierte Art der au” tomatisierten Modellreduktion funktioniert offenbar erfolgreich und ermöglicht dem Anwender die Inbetriebnahme von PI-zustandsgeregelten Antrieben, ohne daß dieser die physikalischen Parameter der Regelstrecke kennen muß. Es wird im folgenden das Balkenmodell eines Auslegerarms betrachtet, dessen Einspannstelle zwangläufig gemäß des Bewegungsgesetzes t t 1 ϕ = ϕˆ − sin 2π (2.302) ; 0 t ta ta 2π ta während der Anregungszeit ta um einen Schwenkwinkel ϕˆ in der horizontalen Ebene gedreht wird, vgl. Bild 2.48. Man vergleiche dazu die Ausführungen in Abschn. 5.4.3. ϕ $ ϕ 0 a)

& ϕ

ta

t

0 b)

&& ϕ $ 2ϕ ta

ta

t

0 c)

Bild 2.48 Zwangläufige Schwenkbewegung des Auslegerarms a) Winkel, b) Winkelgeschwindigkeit, c) Winkelbeschleunigung

ta 2

$ 2πϕ

ta

t a2

t

125


Der Balken mit der drehbaren Einspannung hat eine gleichmäßige Massebelegung A. Infolge der Biegesteifigkeit EI ist er schwingungsfähig, es betragen die ersten beiden Eigenfrequenzen im Stillstand [150] EI f2 = 3,507ω 0 ; ω0 = (2.303) f1 = 0,560ω 0 ; Al 4 mit der Bezugskreisfrequenz ω 0 . Zum Vergleich wird mit den beiden in Bild 2.49 dargestellten Modellen gerechnet.

l x2 M an

q2

q1

x1

M an

m2

m1

F2

q3

F1

x1

x2

ϕ(t) a)

b)

w(l)

x

A

&2 mk x k ϕ

xk

w(x)

qk

EI qk &2 m x ϕ xk k k

ϕ(t) d)

c)

Bild 2.49 Berechnungsmodelle eines Auslegerarms a) Diskretes Zweimassensystem, b) Kräfte am Zweimassensystem, c) Balken als Kontinuum, d) Zur Erklärung der Fliehkraftkomponente

Als Parameter des Zweimassensystems folgen entsprechend Tabelle 2.9 (Fall 4) in Abschn. 2.3.5 die Längen und Einzelmassen (m = Al): m1 m2 µ1 = µ2 = = 0,499; = 0,386; m m x1 x2 = 0,355; = 0,838 ξ1 = ξ2 = (2.304) l l Es gelten folgende linearen Beziehungen zwischen Kräften und Deformationen des Balkens, vgl. Bild 2.49b: q1 = n11 F1 + n12 F2 ,

q2 = n21 F1 + n22 F2

Die tangential wirkenden Kräfte sind F1 = m1 x1 ϕ¨ − q¨1 + q1 ϕ˙ 2 , F2 = m2 x2 ϕ¨ − q¨2 + q2 ϕ˙ 2

(2.305) (2.306)

126


Sie setzen sich zusammen aus der Trägheitskraft der Starrkörperbewegung (mk xk ϕ¨ ), derjenigen der elastischen Zusatzbewegung (mk q¨k ) und einer in tangentialer Richtung wirkenden Komponente der Fliehkraft. Kombiniert man die Gln. (2.305) und (2.306), erhält man die Bewegungsgleichungen für die Relativkoordinaten q1 und q2 : n11 m1 q¨1 + n12 m2 q¨2 + (1 − n11 m1 ϕ˙ 2 )q1 − n12 m2 ϕ˙ 2 q2 = ϕ¨ (n11 m1 x1 + n12 m2 x2 )

(2.307)

n21 m1 q¨1 + n22 m2 q¨2 − n21 m1 ϕ˙ q1 + (1 − n22 m2 ϕ˙ )q2 2

2

= ϕ¨ (n21 m1 x1 + n22 m2 x2 )

(2.308)

Es sind zwei gekoppelte gewöhnliche Differentialgleichungen mit veränderlichen Koeffizienten. Die Winkelgeschwindigkeit und -beschleunigung für die Schwenkbewegung des Antriebs folgen aus Gl. (2.302) zu ϕˆ t t 2π ϕˆ ϕ˙ = ϕ¨ = 2 sin 2π (2.309) 1 − cos 2π , ta ta ta ta Die Einflußzahlen ergeben sich für k = 1 und k = 2 zu xk3 x2 (3l − xk ) x2 (3x2 − x1 ) , n3k = k , n12 = 1 = n21 (2.310) 3EI 6EI 6EI Das Antriebsmoment folgt aus dem Momentengleichgewicht, vgl. Bild 2.49b und Gl. (2.306): nkk =

Man = x1 F1 + x2 F2 − m1 x1 ϕ˙ 2 q1 − m2 x2 ϕ˙ 2 q2 = x1 m1 (x1 ϕ¨ − q¨1 ) + x2 m2 (x2 ϕ¨ − q¨2 )

(2.311)

Es kann nach der Berechnung der Lösungen der Bewegungsgleichungen bestimmt werden. Für die Starrkörperbewegung würde es einfach Man = (ml 2 /3)ϕ¨ betragen. Der Relativweg an der Armspitze kann mit den Koordinaten q1 und q2 ausgedrückt werden: n31 n22 −n32 n21 n32 n11 −n31 n12 q1 + q2 = −0,667q1 + 1,445q2 (2.312) q3 = n11 n22 −n212 n11 n22 −n212 Die letztgenannten Zahlenwerte ergeben sich nach dem Einsetzen der aus Gl. (2.304) bekannten Größen. Die Lösung der Bewegungsgleichungen (2.307) und (2.308) unter den Anfangsbedingungen t = 0:

q1 = q2 = 0, q˙1 = q˙2 = 0

(2.313)

kann numerisch mit einem expliziten Runge-Kutta-Verfahren erfolgen. Die numerische Integration endet nicht zur Zeit ta , weil sich daran noch die freien Schwingungen anschließen. Die zugehörigen Bewegungsgleichungen der zweiten Etappe folgen aus den Gln. (2.307), (2.308) oder (2.317), wenn für die kinematische Erregung ϕ˙ 1 = 0 und ϕ¨ 1 = 0 gesetzt wird. Die numerische Integration wird bei t = 2ta abgebrochen. Wird für den Auslegerarm das Kontinuum-Modell benutzt, so ist von der aus Abschn. 2.4.4. folgenden partiellen Differentialgleichung (2.215) auszugehen. Da keine Längsgeschwindigkeit vorhanden ist, folgt daraus (v = 0):

Aw¨ − (F0 w ) + EIw − qy = 0

(2.314)


127

Aus der tangentialen und radialen Beschleunigung des sich drehenden Balkens kann man die tangentialen und radialen Streckenlasten qx = Axϕ˙ 2 ,

qy = Axϕ¨

(2.315)

berechnen. Querkraft- und Längskraftverlauf längs des Balkens folgen daraus nach aus der Statik bekannten Zusammenhängen aus einer Integration, wobei hier für Gl. (2.314) allein der Längskraftverlauf interessiert: F0 =

l x

1 Aϕ˙ 2 x dx = Aϕ˙ 2 l 2 − x2 2

(2.316)

Setzt man die nunmehr ermittelten kinetostatischen Belastungen in die Differentialgleichung (2.314) ein, ergibt sich folgende partielle Differentialgleichung zur Berechnung der Biegeschwingungen des drehenden Balkens mit konstantem Querschnitt für beliebige Verläufe ϕ (t): 1 (2.317) EIw + A(w¨ − xϕ¨ ) − Aϕ˙ 2 l 2 − x2 w = 0 2 Die einzelnen Terme in Gl. (2.317) haben (von links nach rechts gelesen) folgende physikalische Bedeutung: Einfluß der Biegesteifigkeit, der Trägheitskraft (kinematische Beschleunigung infolge der Drehung plus Beschleunigung des Balkens), des Fliehkrafteinflusses in tangentialer Richtung. Der letzte Term entspricht dem dritten Term der Kräfte in Gl. (2.306). Als Randbedingungen müssen zur Integration dieser partiellen Differentialgleichung berücksichtigt werden: x = 0: w = 0, w = 0; x = l: M = EIw = 0, Q = −EIw = 0

(2.318)

Sie drücken aus, daß der Auslegerarm am Drehpunkt fest eingespannt ist und am ¨ Ende einen freien Rand hat. Zur besseren Ubersicht werden die relative Zeit τ , der relative Abstand ξ und die relative Auslenkung w eingeführt: t x w (2.319) τ = , ξ = , w= ta l l Mit einem Komma und dem entsprechenden Index wird im folgenden die Ableitung ¨ nach τ und nach ξ gekennzeichnet. Zwei dimensionslose Ahnlichkeitskennzahlen, der Schwenkwinkel und die relative Anregungszeit, charakterisieren diese Aufgabe: ta π 1 = ϕˆ , π 2 = ω 2ta = 1,786ta f1 = 1,786 (2.320) T1 Gl. (2.320) wurde mit einem FEM-Programm gelöst. Bei der Berücksichtigung von 10 kubischen Elementen erhält man die exakte Lösung“ für das Kontinuum, die in ” Bild 2.50b dargestellt ist. Der Rechenaufwand betrug beim Minimalmodell nur etwa 2 % desjenigen, der zur Lösung der partiellen Differentialgleichung (2.317) benötigt wurde. Als Ergebnisgrößen sind der relative Schwingweg an der Auslegerspitze q3 = w(l)/l bzw. q3 /l und der Verlauf des Antriebsmoments angegeben.

128


1

q$3 / l π 22

Schwingweg q3 / l π 22

1,5

0,5

0 −0,5

−1

a)

−1,5

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

2

1

1,2 1,4 1,6 1,8 bezogene Zeit t/ta

Schwingweg w(l ) / l π 22

1,5

0,5

0 −0,5

1

−1,5 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

4

Antriebsmoment M an t a2 / ( Al 3ϕ$ )

2

1

−1

b)

3

2

3


2

3 2 1

0 π 2 = 1,786ta f1

−1

−2 1 2 3

−3

c)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1


2

Parameterwerte Kurve 1: π 2 = 18,74; Kurve 2: π 2 = 8,03; Kurve 3: π 2 = 4,46

Bild 2.50 Relativweg der Auslegerspitze und Antriebsmoment a) Balken als Minimalmodell mit zwei Freiheitsgraden, vgl. Tabelle 2.9 (Fall 4), b) Balken als Kontinuum, c) Antriebsmoment für das Kontinuum


129

Man vergleiche die mit dem Zweimassensystem erhaltenen Ergebnisse, die in Bild 2.50a dargestellt sind, mit denjenigen des Kontinuums in Bild 2.50b! Die Ergebnisse sind qualitativ sehr a¨ hnlich und unterscheiden sich quantitativ nur wenig voneinander. Für das Antriebsmoment wurde auf die zweite Darstellung verzichtet, da der Unterschied sehr gering war. Zum Vergleich: Der Spitzenwert für das Antriebsmoment ergibt sich für die Starrkörperbewegung mit Beachtung von Gl. (2.309) zu |Man |max =

Al 3 ϕˆ ml 2 2π Al 3 ϕˆ · ϕ¨ max = = 2,099 3 3 ta2 ta2

(2.321)

d. h., aus Bild 2.50c geht der Unterschied hervor, den die Schwingungen verursachen. Der Auslegerarm schwingt im wesentlichen mit seiner ersten Eigenfrequenz, die sich infolge des Fliehkrafteinflusses gegenüber dem Ruhezustand unwesentlich erhöht. Die höheren Eigenfrequenzen, die das Kontinuum-Modell enthält“, werden ” praktisch nicht angeregt. Es bestätigen sich an diesem Ergebnis einige allgemeine Aussagen zum dynamischen Verhalten und zur Anregbarkeit von Antriebssystemen bei instationären Bewegungen: • Die Schwingungsamplitude am Ende der Bewegungsetappe ist stark von der Kenngröße abhängig, die das Verhältnis von Anregungszeit ta zur Periodendauer T1 der Grundschwingung ausdrückt. Die Abnahme dieser Kenngröße kann man als kleiner werdende Anregungszeit (bei sonst gleicher Massebelegung und Biegesteifigkeit) oder als kleiner werdende Steifigkeit (bei unveränderter Massebelegung und Anregungszeit) oder als zunehmende Massebelegung (bei unveränderter Biegesteifigkeit und Anregungszeit) interpretieren. • Wenn die Anregungszeit wesentlich länger dauert als die Periodendauer der Grundschwingung, dann liegt quasi eine kinetostatische Belastung vor, und es werden nur sehr kleine Schwingungen angeregt. Dies geht aus Bild 2.50 hervor und wurde in Abschn. 2.1 durch Gl. (2.7) angekündigt. • Wesentlich ist das Verhältnis von Anregungszeit zur Periodendauer der ersten Eigenfrequenz. Bild 2.51 zeigt, wie die Amplitude der Restschwingung von der bezogenen Anregungszeit ta f1 = ta /T1 abhängt. Die dort eingetragenen Pfeile mit den Zahlen 1 bis 3 markieren die Zeitverhältnisse, die den Rechenergebnissen in Bild 2.50 entsprechen. In der Nähe ganzzahliger Verhältnisse treten gar keine Amplituden der Restschwingungen auf. Dieser ideale Fall gilt nur für das ungedämpfte System. Beim gedämpften System gibt es keine exakten Nullstellen, lediglich Minima. Endet die Bewegung im Augenblick großer Ausschläge, so haben die Restschwingungen große Amplituden. Physikalisch läßt sich dies mit der jeweiligen Phasenlage der Schwingung erklären, die der Auslegerarm in dem Augenblick besitzt, wenn der Bewegungsvorgang (durch eine Unstetigkeit höherer Ordnung beendet wird. Auf den bemerkenswerten Effekt, daß Schwingungen durch definierte Unstetigkeiten der Erregung (Impulse, Sprungfunktionen, Knicke im Zeitverlauf, ...) abgefangen werden, wird am Beispiel einer Folge von Sprungfunktionen des Antriebsmoments in Abschn. 5.6 ausführlicher eingegangen. • Man kann sagen, daß das Minimalmodell mit zwei Freiheitsgraden für den Be¨ mit den Erreich der Kenngröße π 2 > 0,5 hinreichend gute Ubereinstimmung gebnissen des Kontinuum-Modells zeigt. Der Unterschied ist unwesentlich, vgl.

130


1 3

bezogene Schwingungsamplitude q$ 3 / l π 22

0,9 0,8 0,7

2

0,6

$ 90o ϕ=

0,5

$ 60o ϕ=

0,4

$ 30o ϕ=

1

0,3 0,2 0,1 0

0

2

4

6

8

10

12

bezogene Anregungszeit t a / f1

Bild 2.51 Schwingamplitude der Restschwingungen als Funktion der Anregungszeit ta und des Schwenkwinkels ϕˆ

die Spitzenwerte in Bild 2.50a und 2.50b, da im wesentlichen nur die erste Eigenfrequenz des Auslegerarms angestoßen wird. Deshalb ist Bild 2.51 mit Bild 5.18 vergleichbar. • Nur bei extrem schnellen Bewegungen (Kennzahl π 2 < 0,5) sind Schwingungen mit höheren Eigenfrequenzen zu erwarten, da erst dann das Verhältnis von Anregungszeit zu Periodendauer der höheren Eigenschwingungen in die Größenordnung von Eins kommt. Für die u¨ blichen Parameterverhältnisse von Auslegerarmen, die kleine Zeiger in Meßgeräten (Millimeterbereich), Greifer in Montageeinrichtungen, Roboterarme (Meterbereich) oder Ausleger von Turmkranen oder Tagebaugroßgeräten sein können, erfolgen die Bewegungen (relativ zur jeweiligen Eigenschwingungsdauer!) kaum so schnell. Beispiel: Ein Auslegerarm mit Kreisquerschnitt aus Stahl, der einen Durchmesser von 20 mm und eine Länge von l = 2 m hat und dessen erste Eigenfrequenz etwa 15 Hz beträgt, müßte innerhalb einer (praktisch unsinnig kurzen) Zeit ta = 0,01 s bewegt werden, damit höhere Eigenformen spürbar angeregt werden. Reale Auslegerarme werden zweckmäßigerweise so steif konstruiert, daß sie sich in dem Kenngrößenbereich von π 2 > 1 bewegen. Sie lassen sich aber nicht immer so bauen, daß Schwingungen völlig vermieden werden. Die aus Bild 2.51 ablesbaren günstigen Anregungszeiten sind oft nur in groben Toleranzbereichen realisierbar. Man kann schlußfolgern, daß es zulässig ist, die Schwingungsberechnung solcher Auslegerarme mit dem Minimalmodell mit zwei Freiheitsgraden vorzunehmen. Dies gilt auch für Auslegerarme mit veränderlichem Querschnitt, für welche zwar die partielle Differentialgleichung (2.215) gilt, aber dafür würde sich erst recht eine Vereinfachung zu entsprechenden gewöhnlichen Differentialgleichungen des diskreten Systems empfehlen, vgl. Abschn. 2.3.4.


131

2.4.6 Modellreduktion mit der Mittelungsmethode Zu den Methoden der Modellreduktion kann man die Mittelungsmethoden zählen, die sich bei der Untersuchung nichtlinearer Schwingungen bewährt haben. Mit ihnen ist es möglich, von den ursprünglichen nichtlinearen Differentialgleichungen, die die tatsächlichen komplizierten Bewegungen beschreiben, zu einfacheren Differentialgleichungen u¨ berzugehen. Die gemittelten Gleichungen“, die nur die wich” tigsten Parameter und Freiheitsgrade enthalten, erleichtern die Untersuchungen und erlauben oft auch, die physikalischen Ergebnisse leichter zu interpretieren. Zu den Mittelungsmethoden gehören die asymptotischen Methoden von K RYLOW und B OGOLJUBOW ([37], [122], [183]), welche die urspr¨ unglichen Bewegungsgleichungen in solche für die Amplituden und Phasen umformen und aus der Sicht der Anwendung, z. B. zur Berechnung der Einhüllenden einer Schwingung, geeignet sind. Eine der Mittelungsmethoden erlaubt die direkte Trennung der schnel” len“ und langsamen“ Komponenten der Bewegungen [30]. Hier soll nur auf die letzt” genannte Mittelungsmethode eingegangen werden, die vor allem bei Schwingern mit Unstetigkeiten vorteilhaft einsetzbar ist, bei denen das Erfassen der Umschaltpunkte numerische Schwierigkeiten bereitet, vgl. z. B. [98], [206], [262], [290]. Sie eliminiert auf Grund heuristischer Vorstellungen im Berechnungsmodell die schnellen“ ” (hochfrequenten) Komponenten und beschränkt sich auf die Aufstellung und Lösung der Gleichungen für die langsamen“ (niederfrequenten) Komponenten. ” Ursprünglich seien folgende Differentialgleichungen des Systems bekannt: m¨q = F(q, q˙ , t) + F ∗ (q, q˙ , t, Ω t)

(2.322)

Dabei ist m eine Masse, q der n-dimensionale Vektor der verallgemeinerten Koordinaten, Ω ein positiver großer“ Parameter, F eine langsam“ veränderliche Kraft, F ∗ ” ” eine schnell veränderliche Kraft, speziell eine 2π -periodische Funktion von τ = Ω t. q

X (t )

Koordinate

q (t )

ψ(t )

q X

T = 2π / Ω

Zeit

t

Bild 2.52 Beispiel mit schnellen und langsamen Komponenten

Es wird angenommen, daß die Lösung der Gl. (2.322) in folgender Form dargestellt werden kann, vgl. Bild 2.52: q(t, τ ) = X(t) + ψ (t, τ )

(2.323)

Dabei ist X die interessierende langsame“ und ψ eine schnelle“ Komponente. In ” ” den Differentialgleichungen (2.322) wird u¨ ber eine volle Periode der schnellen Kom-

132


ponente gemittelt. Wird als Abkürzung für diese Mittelung in Anlehnung an die Literatur [31], [32], [35], [333] eine spitze Klammer benutzt, dann gilt: 1 2π

2π

ψ (t, τ ) d τ = ψ (t, τ ) = 0;

0

1 X(t) = 2π

2π

(2.324) q(t, τ ) d τ = q(t, τ )

0

Analog gilt ˙ = ˙q(t, τ ); X(t) ¨ = ¨q(t, τ ) ψ˙ (t, τ ) = 0; ψ¨ (t, τ ) = 0; X(t)

(2.325)

Der Mittelwert der hochfrequenten Komponente ist also null, und der Mittelwert der Funktion q(t, τ ) ist dann die langsame“ Bewegung X(t). Unter bestimmten Bedin” gungen gelingt es, von der ursprünglichen Gl. (2.322) zur Gl. (2.326) u¨ berzugehen, die nur noch langsame Komponenten enthält: ˙ t) ˙ t) + V(X, X, mX¨ = F(X, X,

(2.326)

Gl. (2.326) ist einfacher als die ursprüngliche Gl. (2.322). Sie enthält nur solche Parameter, die für die Gewinnung der langsamen Bewegung nötig sind. Gl. (2.326) kann im Vergleich zu der des ursprünglichen Systems eine bedeutend niedrigere Ordnung haben, sie kann auch bei ursprünglich nichtautonomen Systemen autonom sein; sie kann glatt“ sein (auch bei unstetigen Systemen) und sie kann ein Potential auch ” bei ursprünglich nichtkonservativen Systemen haben. Die Gl. (2.326) ist auf zahlreiche praktische Beispiele angewandt worden, z. B. in [30], [31], [32], [35], [307] und [308], vgl. auch Abschn. 5.7.3. 2.4.7 Reibungseinflusse ¨ 2.4.7.1 Zur Modellierung der Reibung Antriebssysteme bewegen sich, und zwischen allen beweglichen Teilen wirken bei der Relativbewegung Reibungskräfte. Die Modellierung der Reibung ist deshalb vielfach eine wichtige Aufgabe. Bekanntlich wird die Kraftübertragung durch Reibung (in Kupplungen, Bremsen, Rädern, Keilriemen, Gleitförderern u. a.) und auch zur Selbsthemmung (in Keilschub- und Schneckengetrieben) angewendet. Andererseits stört die Reibung wegen des Verschleißes und der Energieverluste (in Lagern und Gelenken), die sie verursacht. Aus der Sicht der Dynamik ist sie für selbsterregte Schwingungen (stick-slip-Effekt) verantwortlich, die bei langsamen Gleitbewegungen, beim Bremsenquietschen oder beim Kontakt aufeinander abrollender Rotoren, z. B. bei Walzwerken, Papiermaschinen, Druckmaschinen und Wicklern (vgl. Abschn. 2.3.3) unangenehm sind. Es ist bekannt, daß sich die Haftreibung von der Gleittreibung unterscheidet, und i. allg. ist die Haftreibungszahl µ 0 größer als die Gleitreibungszahl µ . Es ist auch vielfach festgestellt worden, daß die Gleitreibungszahl nicht konstant ist, sondern sich


133

im allg. mit der relativen Geschwindigkeit v a¨ ndert. Die Reibungskraft FR ist der Normalkraft FN weitgehend proportional. Es gilt FR = µ i (v)FN (2.327) Zur Erfassung der Reibungszahl werden folgende Ansätze angewendet, die hier willkürlich durchnummeriert werden, um sie von der Reibungszahl µ unterscheiden zu können. µ 1 (v) = µ sign(v) (2.328) µ 2 (v) = µ [1 − exp(v/v0 )] sign(v) µv µ 3 (v) = √ 2 v + ε2

µ 4 (v) = µ 5 (v) =

µ0 +

2µ π

v v0

tanh(v/ε )

(2.331) (2.332)

µ0 − µ sign(v) 1 + |v/v0 | % 3 & 1 v v µ 7 (v) = 3µ 1 − + sign(v) v0 3 v0 µ 6 (v) =

(2.330)

arctan(v/ε )

(2.329)

µ+

(2.333) (2.334)

Bei der numerischen Integration von Bewegungsgleichungen müssen die Zeitpunkte ¨ ermittelt werden, zu denen der Ubergang vom Haften zum Gleiten und umgekehrt auftritt. Bei hochfrequenten Bewegungen mit vielen Richtungswechseln führt das zu großen Rechenzeiten, wenn man die Signumfunktion benutzt. Aus diesem Grunde werden für die Reibgesetze gern stetige Näherungen eingeführt, so daß die Suche ¨ der Ubergangszeitpunkte entfallen kann. Es gilt z. B. v = sign(v) (2.335) lim √ ε →0 v2 + ε 2 In den Ansätzen (2.330) bis (2.332) werden sehr kleine ε -Werte eingeführt, um die Signum-Funktion zu approximieren. Diese Funktionen a¨ ndern bei v = 0 ihr Vorzeichen, ohne daß Unstetigkeiten auftreten. Mit den Konstanten v0 hat man in den Ansätzen (2.329), (2.331), (2.333) und (2.334) eine weitere Variable, um experimentell ermittelte Verläufe anzunähern. Ganz andere Ansätze werden in [127], [128] zur Erfassung der Reibung in Gleitführungen vorgeschlagen. Experimentell wurde festgestellt, daß der Haftreibungswert µ 0 mit der Dauer der Haftung zunimmt. Nach längerer Haftzeit wird er größer, was näherungsweise beschrieben wird durch v = 0: µ 0 = µ max − (µ max − µ 0 ) exp(−t/t ∗ ) (2.336) Dabei wird eine weitere Konstante t ∗ eingeführt, die vom Zustand der Materialpaarung an der Kontaktstelle abhängt. Während der Gleitphase werden folgende Ansätze vorgeschlagen: (2.337) 0 < v < v0 : µ = µ 0 + (µ 0max − µ 0 ) exp(−v/ε ) v > v0 :

µ = µ 0 + c(v − v0 )

(2.338)

134


Mit diesen Funktionen gemäß (2.336) bis (2.338) wurden die Stick-Slip-Bewegungen berechnet, die in Baugruppen von Werkzeugmaschinen bei geringer Schmierung auftraten. 2.4.7.2 Einfluß der Schwingungen auf die Reibungszahl Selbsterregte Reibungsschwingungen (stick-slip-Bewegungen) treten in Gleitführungen auf, wenn kleine Relativgeschwindigkeiten in der Gleitpaarung auftreten. Bei Werkzeugmaschinen können solche Schwingungen bei Positionierbewegungen sehr ¨ störend sein. In [128] und [146] wird ein Uberblick u¨ ber bislang bekannte Theorien zu dieser Problematik gegeben und in [127] werden die Parametereinflüsse auf den Charakter und den Verlauf der selbsterregten Reibungsscheingungen untersucht. Dabei wird ein Ansatz für die Reibkraft benutzt, der für die Ruhereibung eine Abhängigkeit von der Haftzeit und im Gleitbereich einen Einfluß der Gleitgeschwindigkeit berücksichtigt.Es gibt allerdings auch selbsterregte Reibungsschwingungen bei konstanter Reibungszahl, vgl. Abschn. 2.3.3 und Abschn. 4.5. In [146] wird mit einfachen Modellen (u. a. ein Bürstenmodell) das dynamische Verhalten eines Reibschwingers mit simultaner Selbst- und Fremderregung berechnet und auch Meßergebnissen gegenübergestellt. In Abhängigkeit von den Systemparametern stellt sich ein harmonisches, ein polyharmonisches oder ein chaotisches Systemverhalten für fallende Reibkennlinien ein. Die Bestimmung der Parameterwerte der Reibmodelle aus der Geometrie und den Oberflächendaten der Kontaktflächen ist derzeit noch nicht zuverlässig möglich. Ansätze dazu finden sich in [299]. Bei der folgenden Betrachtung um eine Gesetzmäßigkeit bezüglich des Einflusses von hochfrequenten Schwingungen, die z. B. die Reibung an Kontaktstellen zwischen Körpern, die Materialdämpfung (vgl. Abschn. 3.4.2), den Vibrotransport bei Sieben und Schwingförderern, den Widerstand bei Vibrationsrammen oder beim Vibrationsschneiden beeinflussen. Falls niederfrequente harmonische Belastungen von hochfrequenten Schwingungskomponenten u¨ berlagert werden, so verändert sich das Verhalten der niederfrequenten Komponenten oft in u¨ berraschender Weise. Mit dem folgenden einfachen Modell soll die Frage beantwortet werden, wie hochfrequente Vibrationen die Reibung an Kontaktflächen modifizieren, vgl. Bild 2.53. a)

g

b)

q s (t )

m

F (t )

mq&&

F

µ µmg sign(q& − s&)

Bild 2.53 Masse auf horizontal vibrierender Unterlage a) Systemskizze, b) Kräfte in horizontaler Richtung

Eine Masse liegt auf einer ebenen horizontal hochfrequent vibrierenden Unterlage, wobei µ die Gleitreibungszahl an der Kontaktfläche ist. Die Unterlage bewegt sich harmonisch gemäß s = sˆ sin Ω t;

s˙ = sˆΩ cos Ω t;

s¨ = −sˆΩ 2 sin Ω t

(2.339)

135


Die Masse m würde auf der Unterlage liegen bleiben (q˙ = s), ˙ wenn ihre Beschleunigung kleiner ist als das Produkt von Erdbeschleunigung und Haftreibungszahl (und die Kraft F = 0 ist), wenn sˆΩ 2 < µ g ist. Bei |F| > µ mg wird die Masse in Kraftrichtung relativ zur Unterlage beschleunigt. Wenn sich infolge der Vibration die Richtung der Relativgeschwindigkeit zwischen der Masse und der Unterlage a¨ ndert, wechselt die Gleitreibungskraft ihr Vorzeichen. Bewegt sich die Unterlage langsamer als die Masse, wird die sich bewegende Masse durch die Reibkraft gebremst, bewegt sich die Unterlage schneller als die Masse, so beschleunigt die Reibkraft diese Masse. Die Richtung der Reibkraft µ mg hängt vom Vorzeichen der Relativgeschwindigkeit (q˙ − s) ˙ ab, welches etappenweise plötzlich zu solchen Zeiten ti wechselt, wenn ˙ Ω ti ) ist. Die Reibkraft a¨ ndert ihr Vorzeichen in den Intervallen nicht, in deq(t ˙ i ) = s( nen q(t) ˙ > s(t) ˙ oder q(t) ˙ < −s(t) ˙ gilt, vgl. Kurven 1 und 3 in Bild 2.54. Es wird hier ausgeschlossen, daß die Masse an der Unterlage haftet und in endlichen Zeitabschnitten q(t) ˙ = s(t) ˙ gilt. Zusammenfassend kann man dann das dynamische Kräftegleichgewicht für alle Etappen folgendermaßen angeben: ˙ mq¨ = F(t) − µ mgsign (q˙ − s)

(2.340)

Geschwindigkeit

q& (t ) s$Ω

1

X& = 〈 q& (t )〉

s$Ω cos Ω t

2 0

τ1

π

2π

3π

Ωt q& (t ) s$Ω

3

b)

sign (q& − s&)

a)

+1 0 −1

τ1

π

2π−τ1 2π

3π

Ωt

Bild 2.54 Zur Anwendung der Mittelungsmethode auf das System gemäß Bild 2.53 a) Geschwindigkeiten: Kurve 1: qmin > sΩ ; Kurve 2: −sˆΩ < q˙ < sˆΩ ; Kurve 3: q˙max < −sˆΩ ; b) Signumfunktion gemäß Gl. (2.340)

Der u¨ bliche Berechnungsweg würde darin bestehen, diese Differentialgleichung (2.340) analytisch oder numerisch zu integrieren. Es wären dabei Anfangsbedingun-

136


gen anzugeben und wegen der Signumfunktion viele Etappen zu unterscheiden, wo¨ bei für Weg und Geschwindigkeit jeweils die Ubergangsbedingungen (die jeweiligen Endwerte einer Etappe sind die Anfangswerte der nächsten Etappe) zu berücksich¨ tigen sind. Dabei entsteht durch die Suche nach den Zeitpunkten des Ubergangs ein gewisser Rechenaufwand und numerisch ein Genauigkeitsverlust. Man kann den Rechenaufwand vermindern, wenn man sich nur für die niederfrequente Bewegung u¨ ber viele Schwingungsperioden interessiert, indem man die in Abschn. 2.4.6 vorgestellte Mittelungsmethode anwendet. Nimmt man in Differentialgleichung (2.340) eine Trennung der Komponenten analog zu Gl. (2.322) vor, dann ist die langsame“ Kraft F(q, q˙ , t) = F(t) und die ” schnelle“ Kraft ” ˙ = −µ mg sign (q˙ − sˆΩ cos Ω t) (2.341) F ∗ (q, q˙ , t, Ω t) = −µ mg sign (q˙ − s) Den Mittelwert der niederfrequenten Komponente der Beschleunigung kann man berechnen, indem man die Differentialgleichung (2.340) u¨ ber eine volle Periode der schnellen“ Bewegung (0 Ω t = τ 2π ) integriert. Aus der Anwendung der Ope” ration gemäß Gl. (2.324) auf Gl. (2.340) gilt wegen F(t) = F(t) für den Geschwindigkeitsbereich, der durch Kurve 2 in Bild 2.54 charakterisiert wird: 1 X¨ = 2π

2π 0

2π

F(t) µ g q¨ d τ = sign (q˙ − sˆΩ cos τ ) d τ − m 2π

(2.342)

0

Während der Etappe, in der q˙ > sˆΩ cos τ gilt, ist die Signumfunktion gleich plus Eins, und in dem Zeitbereich, in dem q˙ < sˆΩ cos τ gilt, ist die Signumfunktion gleich minus Eins, vgl. Bild 2.54. Die Grenze zwischen diesen Bereichen tritt auf, wenn ˙ sˆΩ ) X˙ − sˆΩ cos τ 1 = 0, d. h. bei τ 1 = arccos X/( (2.343) ˙ 1 ) = q(t ˙ 1 , τ 1 ) gilt. wobei angenommen wird, daß zu diesem Zeitpunkt annähernd X(t Es gilt also X˙ < sˆΩ : sign (X˙ − sˆΩ cos τ ) = −1 0 < τ < τ1: τ 1 < τ < 2π − τ 1 :

X˙ > sˆΩ :

sign (X˙ − sˆΩ cos τ ) = +1

2π − τ 1 < τ < 2π :

X˙ < sˆΩ :

sign (X˙ − sˆΩ cos τ ) = −1

(2.344)

Den Wert des in Gl. (2.342) auftretenden Integrals kann man sich bei obiger Annahme aus den rechteckigen Flächen berechnen, die in Bild 2.54 zu sehen sind. Es gilt für −sˆΩ < X˙ < sˆΩ : 2π 0

sign (X˙ − sˆΩ cos τ ) d τ =

τ 1

(−1) dt +

0

2π−τ 1 τ1

+1 dt +

2π

(−1) dt 2π −τ 1

= −τ 1 + (2π − τ 1 ) − τ 1 − 2π + (2π − τ 1 ) ˙ sˆΩ ) = 2π − 4τ 1 = 2π − 4 arccos X/(

(2.345)

Daraus folgt aus Gl. (2.342) die Beschleunigung aus einer Gleichung der Form von Gl. (2.326) für die gemittelte Bewegung:

˙ sˆΩ ) ¨ = F(t) − µ g 1 − 2 arccos X/( ˙ < sˆΩ : X(t) (2.346) |X| m π


137

Der Ausdruck in der eckigen Klammer von Gl. (2.346) ist kleiner als eins, d. h., bei vibrierender Unterlage wirkt im Mittel eine kleinere Reibkraft als bei ruhender Unterlage. Dies kommt dadurch zustande, daß die Reibkraft intervallweise ihr Vorzeichen ¨ a¨ ndert und die Masse nicht immer bremst, sondern zeitweise beschleunigt. Andert die Gleitgeschwindigkeit zwischen Masse und Unterlage ihr Vorzeichen nicht, so gilt ¨ = F(t) − µ g sign (X) ˙ ˙ sˆΩ : X(t) (2.347) |X| m Gl. (2.347) beschreibt eine durch Reibung gebremste Bewegung der auf einer ruhenden Unterlage gleitenden Masse. Wenn X˙ −sˆΩ oder X˙ sˆΩ ist (Betrag der Geschwindigkeit der Masse immer größer als die maximale Schwinggeschwindigkeit), dann wirkt die Reibung immer entgegengesetzt zur Richtung der Antriebskraft F, sie a¨ ndert nicht ihre Richtung und hemmt die jeweilige Bewegung mit konstanter Reibkraft. Wirkt eine Kraft F auf eine Masse m, so ist deren mittlere Beschleunigung auf der vibrierenden Unterlage größer als auf ruhender Unterlage. Bei relativ hohen Schwinggeschwindigkeiten (sˆΩ → ∞ oder X˙ → 0) entsteht der Grenzwert ˙ arccos X/(sˆΩ ) = π /2, und der Ausdruck in der eckigen Klammer von Gl. (2.346) geht gegen null. In diesem Grenzfall rutscht die Masse auf der Unterlage an derselben Stelle schnell“ hin und her. Die langsame“ Bewegung der Masse wird nicht ” ” beschleunigt, d. h., im Mittel“ bewegt sich die Masse bei hohen Frequenzen so, als ” ob gar keine Reibung vorhanden wäre. Im Gebiet von relativ kleinen Geschwindigkeiten (etwa X˙ < 0,3sˆΩ ) wirkt die trockene Reibung wie eine viskose Dämpfung, denn die gemittelte Reibkraft ist dann angenähert der Geschwindigkeit proportional. Man kann diese Zusammenhänge auch so interpretieren, als ob eine von der Geschwindigkeit abhängige Reibungszahl zwischen Masse und vibrierender Unterlage wirksam wäre. Definiert man die effektive Reibungszahl mit ( ' ˙ sˆΩ ) ˙ > sˆΩ µ sign X/( für |X| (2.348) µ eff = ˙ sˆΩ ) ˙ < sˆΩ µ 1 − (2/π ) arccos X/( für |X|

F I OP GH JK PQ

LM MN

µeff

Reibungszahl µ

X& 2 µ 1− arccos π s$Ω

−1,5

−1

−0,5

0

−µ

0,5

1

X& s$Ω

1,5

Geschwindigkeit

Bild 2.55 Effektive Reibungszahl auf einer harmonisch vibrierenden Unterlage

138


6

1

Weg

5 4

2

3 2

3

1 0 −1

a)

π

0

2π

3π

4π

τ = ωt

0,4

2

Beschleunigung

0,2

1

0

−0,2 −0,4 0

b)

π

2π

3π

π

2π

3π

τ = ωt

4π

0,1

Kraft

1 0,05

3

0

2 −0,05 −0,1

c)

0

τ = ωt

4π

Bild 2.56 Masse auf vibrierender Unterlage unter der Wirkung einer harmonischen Kraft a) Wegverlauf: Kurve 1: X/s; ˆ Kurve 2: q/s; ˆ Kurve 3: s/sˆ b) Beschleunigungsverlauf: Kurve 1: F(t)/m; Kurve 2: q/g ¨ ¨ c) Kraftverlauf: Kurve 1: F(t)/mg; Kurve 2: µ eff ; Kurve 3: X/g

2.5 Ermittlung von Parametern des Gesamtsystems

139

so lassen sich Gl. (2.346) und Gl. (2.347) zu einer einzigen Differentialgleichung zusammenfassen: ¨ = F(t) − µ eff g (2.349) X(t) m Diesen Zusammenhang illustriert Bild 2.55. Unter Benutzung der in den Gln. (2.322) bis (2.326) eingeführten Bezeichnungen hat man also mit Gl. (2.349) die mathematische Beschreibung für ein Minimalmodell für die Bewegung der Masse auf der vibrierenden Unterlage erhalten. Die Lösung dieser Differentialgleichung (2.349) liefert die langsame“ Bewegung der Masse m. Sie ist einfacher möglich als die Lösung ” der Differentialgleichung (2.340), bei der infolge der Signumfunktion viele Bewegungsetappen zu unterscheiden sind [98]. Abschließend sei noch die Lösung der ursprünglichen Gl. (2.340) derjenigen der gemittelten Gl. (2.349) gegenübergestellt. Für einen niederfrequenten Kraftverlauf (ω Ω ) F(t) = 0,2µ mg sin ω t

(2.350)

mit den Werten ω = 0,1Ω und sˆΩ /g = 1, bei dem im statischen Fall (Ω = 0) sich die Masse gar nicht in Bewegung setzen würde, ergaben sich die in Bild 2.56 dargestellten Lösungen. Im Bild 2.56a sieht man die hochfrequente sinusförmige Bewegung der Unterlage (Kurve 3) im Vergleich zur Bewegung der Masse m. Die Masse m bewegt sich unter dem Einfluß der Reibung genaugenommen hochfrequent (Kurve 2), aber es stellt sich im Mittel ein sinusförmiger Wegverlauf ein (Kurve 1). Da die Anfangsbedingungen nicht klar formuliert sind, liegt die Lösung der gemittelten“ Gleichung (2.349) nicht ” u¨ berall in der Mitte“ der Lösung der Gl. (2.340). ” Bild 2.56c zeigt die Lösung der Differentialgleichung (2.349), also Ergebnisse für die gemittelte langsame Bewegung. Den Verlauf der Beschleunigung, die durch die Reibkraft mit beeinflußt wird, zeigt Kurve 3 im Vergleich zum Verlauf der eingeprägten Kraft (Kurve 1). Die auf die Masse wirkende mittlere Kraft ist die Summe aus der Erregerkraft (Kurve 1) und der gemittelten Reibkraft (Kurve 2). 2

2.5 Ermittlung von Parametern des Gesamtsystems 2.5.1 Sensitivitätsanalyse 2.5.1.1 Allgemeine Zusammenhänge Im allgemeinen stimmen die berechneten und gemessenen Eigenfrequenzen und Eigenformen eines Antriebssystems nicht u¨ berein. Für die Modellanpassung ist es von Interesse, einfache Zusammenhänge zwischen den Parameterwerten und den modalen Kenngrößen zu kennen. Die im Abschn. 2.6.2 behandelten Beispiele zeigen, daß lineare Zusammenhänge ausgenutzt werden können, um die Modellanpassung vorzunehmen. In vielen Fällen empfiehlt es sich auch, die Abhängigkeit der Eigenfrequenzen und Eigenformen in der Umgebung“ konkreter Werte des Parametervektors ”

140


x 0 eines vorhandenen Antriebssystems zu untersuchen, da ein Antriebssystem nicht nur in einem engen Parameterbereich funktionieren“ soll. Die Anordnung der fol” ¨ genden Zusammenhänge ist auch zur gezielten und effektiven Anderung des Eigenschwingungsverhaltens möglich. Für den praktischen Einsatz ist es wichtig, daß ein Antriebssystem in einem möglichst weiten Parameterbereich stabil betrieben werden ¨ kann, also auch unempfindlich gegenüber Fertigungstoleranzen und Anderungen des Betriebspunktes“ (Parameteränderungen) ist. ” Ein typisches Beispiel für einen sensiblen Betriebspunkt ist der Einsatz eines Schwingers in der Resonanzspitze“, z. B. mit dem Ziel, auf einfache Weise große ” Amplituden zu erreichen. Die Resonanzspitze ist aber in ihrer Höhe und Frequenzlage sehr empfindlich gegenüber Parameterschwankungen! Dies liegt daran, daß die Resonanzamplitude von der (meist schwer vorausberechenbaren) Dämpfung abhängt, daß die Eigenfrequenz gegenüber Parameteränderungen infolge von Fertigungstoleranzen oder Alterungseffekten empfindlich ist und daß auch die Erregerfrequenz schwanken kann. Ein Ausweg kann in solchen Fällen durch eine breite ” Resonanzspitze“ gesucht werden, die aber oft nur durch die Verwendung nichtlinearer Federn (und entsprechend kompliziertere Berechnungsmethoden) praktisch realisierbar ist. Typische Verläufe der Abhängigkeit der Eigenfrequenzen von einem Parameter zeigen die Bilder 2.21, 2.33, 2.34, 5.53 und 5.54. Es empfiehlt sich in jedem Falle, solche Abhängigkeiten in der Umgebung des Parameters“ zu berechnen, um die Sensi” tivität der Eigenfrequenzen gegenüber Parameteränderungen u¨ berblicken zu können. Im folgenden wird lediglich auf die Beziehungen zwischen modalen Kenngrößen und Parameteränderungen bei linearen ungedämpften Schwingungssystemen eingegangen. Es gilt in erster Näherung ∂ω i2 ∆ω 2 1 2 2 2 ω i (p0 + ∆ p) = ω i0 1 + 2 ∑ · ∆ pk = ω i0 1 + 2i ω i0 k ∂ pk ω i0 (2.351) ∆ pk 2 2 2 = ω i0 + ∆ ω i = ω i0 1 + ∑ sik pk0 k Die partiellen Ableitungen kann man bezüglich der Masse- und Federparameter mit ¨ Hilfe der modalen Parameter ausdrücken. Folgende Beziehung für die Anderung der Eigenkreisfrequenzen geht auf die Arbeit [104] zurück und hat seitdem in viele Lehrbücher Eingang gefunden, vgl. z. B. [112], [150], [201]: ∂ω i2 ∂K 1 2 ∂M = ϕ Ti0 − ω ϕ i0 (2.352) i0 ∂ pk µi ∂kk∗ ∂m∗k Dabei sind die Matrizen bekannte Funktionen des Parametervektors, d. h. M(p) und K(p) sind gegeben, wobei in der Massenmatrix meist andere Komponenten des Parametervektors (die Masseparameter m∗k ) als in der Steifigkeitsmatrix (die Federparameter kk∗ ) enthalten sind. Die modalen Massen µ i und die modalen Steifigkeiten γ i stehen mit den Eigenkreisfrequenzen in folgendem Zusammenhang [150]: 2 ω i0 =

γi , µi

γ i = ϕ Ti0 Kϕ i0 ,

µ i = ϕ Ti0 Mϕ i0 ;

i = 1, 2, . . . , n

(2.353)


141

Allgemein erhält man die Sensitivitätsmatrizen aus ∂K ∂ pk

∂M

= K k (p),

∂ pk

= Mk (p);

k = 1, 2, . . . , K

(2.354)

Häufig besteht eine lineare Abhängigkeit der Matrizen von den Parametern: K = ∑ pk K k = ∑ kk∗ K k , k

M = ∑ pk Mk = ∑ m∗k Mk

k

k

(2.355)

k

so daß man die Sensitivitätsmatrizen K k und Mk für diesen Fall aus den ursprünglichen Matrizen K 0 und M0 einfach mit Hilfe eines Koeffizientenvergleichs findet, vgl. auch das Beispiel in Gl. (2.367). Aus den Beziehungen (2.352) folgt dann mit Gl. (2.355) und ∆ λi =

∆ ω i2 2 ω i0

=

1 γi

2 ϕ Ti0 ∑ K k − ω i0 Mk ϕ i0 ∆ pk

k

= ∑ γ ik k

∆kk∗ γi

− µ ik

∆m∗k µi

∆ pk = ∑ sik ∆ ξ k = ∑ sik pk0 k k

(2.356)

¨ Dabei sind die ∆m∗k und ∆kk∗ jeweils Anderungen der Massen- oder Federparameter. In die Gl. (2.356) wurden die Sensitivitätskoeffizienten sik sowie γ ik = ϕ Ti K kϕ i

und

µ ik = ϕ Ti Mkϕ i

(2.357)

eingeführt, von denen in den folgenden Abschnitten noch mehrfach Gebrauch gemacht wird, vgl. z. B. Bild 4.4. Es ist zweckmäßig, einen Parametervektor mit relativen Parameterwerten einzuführen, also p mit seinen eigenen Startwerten p0 dimensionslos zu machen. Es entsteht dabei der Vektor mit dimensionslosen Komponenten: p1 p2 pK T ξ = , , ..., (2.358) = (ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ K ) p10 p20 pK0 Drückt man die Abhängigkeit in Gl. (2.356) mit den relativen Frequenzänderungen und relativen Parameteränderungen aus, dann gilt mit ∆ p1 ∆ p2 ∆ pK ∆ξ T = , , ..., (2.359) = (∆ ξ 1 , ∆ ξ 2 , . . . , ∆ ξ K ) p10 p20 pK0 und ∆λ =

∆ ω 12 ∆ ω 22 ∆ω 2 , 2 , ..., 2N 2 ω 10

ω 20

ω N0

T = (∆ λ 1 , ∆ λ 2 , . . . , ∆ λ N )T

(2.360)

folgende Beziehung ∆λ = S∆ξ

(2.361)

Die Sensitivitätsmatrix S = ((sik )) enthält relative Sensitivitätskoeffizienten. Sie hat n Zeilen (entsprechend der Anzahl der Koordinaten bzw. Freiheitsgrade) und K Spalten (entsprechend der Anzahl der Parameter im Parametervektor p), vgl. das Beispiel in Gl. (2.378).

142


¨ Die Anderung der Eigenvektoren infolge von Parameteränderungen berechnet sich in erster Näherung zu ϕ i = ϕ i0 + ∑ k

∂ϕ i ∂ pk

· ∆ pk = ϕ i0 + ∆ϕ i

(2.362)

Sie können ebenfalls durch die modalen Größen ausgedrückt werden [104]. Beachtet man die Beziehungen (2.355) bis (2.357), so findet man: ∆ϕ i = µ i

n

∑

j=1

2 γ ik ∆kk∗ − ω i0 µ ik ∆m∗k ϕ j, µ j γ i − µiγ j

j = i

(2.363)

Man kann diese Abhängigkeit auch mit den relativen Parameteränderungen ausdrücken. Analog zu Gl. (2.361) ergibt sich das Matrizenprodukt ∆ϕ i = Ri · ∆ξ

(2.364)

Dabei sind die Ri Rechteckmatrizen mit n Zeilen und K Spalten, die sich aus dem Koeffizientenvergleich aus Gl. (2.363) ergeben, vgl. auch das Zahlenbeispiel von Gl. (2.379). 2.5.1.2 Beispiel: Torsionsschwingerkette Der Parametervektor x jeder Torsionsschwingerkette enthält lediglich n Trägheitsmomente Jk und Torsionsfederkonstanten kTk . Bei Benutzung der absoluten Drehwinkel qk im Koordinatenvektor q stehen die Trägheitsmomente in der Hauptdiagonalen der Massenmatrix und die Torsionsfederkonstanten findet man in der Steifigkeitsmatrix, welche eine tridiagonale Bandstruktur besitzt, vgl. die Beispiele in den Gln. (2.367), (2.475), (2.476) und (2.447). Bei Torsionsschwingerketten ergeben sich für die modalen Massen und Steifigkeiten folgende einfache Ausdrücke: n

µ i = ϕ Ti Mϕ i =

∑ Jk ϕ ki2 ,

k=1

γ i = ϕ Ti Kϕ i =

n

∑ kTk (ϕ ki − ϕ k+1, i )2

(2.365)

k=2

Die modale Erregerkraft bezüglich der i-ten Eigenform beträgt hi = ϕ Ti F =

n

∑ ϕ ki Mk (t)

(2.366)

k=1

Als Beispiel wird das in Bild 2.57 dargestellte reduzierte Berechnungsmodell eines Antriebsstranges betrachtet. Die Matrizen dieses Systems lauten für die im Bild 2.57 angegeben Koordinaten: ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ kT2 −kT2 0 0 J1 0 0 0 ⎜−k ⎜0 J 0 0 ⎟ −kT3 0 ⎟ ⎟ ⎜ T2 kT2 + kT3 ⎟ ⎜ 2 K=⎜ M=⎜ ⎟, ⎟ ⎝ 0 ⎝0 0 J3 0 ⎠ kT3 + kT4 −kT4 ⎠ −kT3 0 0 0 J4 0 0 −kT4 kT4 (2.367)

143


J4 J1 kT2

q1

J3

J2

kT3

kT4

q2

q3 q4

Bild 2.57 Berechnungsmodell eines Antriebsstranges: Torsionsschwingerkette

Die durch Gl. (2.354) definierten Sensitivitätsmatrizen ergeben sich aus Gl. (2.367) für den Parametervektor pT = (p1 , p2 , p3 , p4 , p5 , p6 , p7 ) = (kT2 , kT3 , kT4 , J1 , J2 , J3 , J4 ) dieses Torsionsschwingers zu ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 1 −1 0 0 0 0 0 0 ⎜−1 1 0 0⎟ ⎜0 1 −1 0⎟ ⎟ ⎟ K2 = ⎜ K1 = ⎜ ⎝ 0 0 0 0⎠ , ⎝0 −1 1 0⎠ , 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 0 0 0 0 1 0 0 0 ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎜0 0 0 0⎟ ⎟, ⎟ ⎜ M K3 = ⎜ = 4 ⎝ 0 0 1 −1⎠ ⎝0 0 0 0⎠ 0 0 −1 1 0 0 0 0 ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎜0 1 0 0⎟ ⎜0 0 0 0⎟ ⎜0 ⎟ ⎟ M5 = ⎜ M6 = ⎜ M7 = ⎜ ⎝0 0 0 0⎠ , ⎝0 0 1 0⎠ , ⎝0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(2.368)

(2.369)

0 0 0 0

0 0 0 0

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎠ 1

Aus Gl. (2.357) folgen die Sensitivitätskoeffizienten unter Beachtung von Gl. (2.369) zu µ ik =

∂µ i ∂Jk

= ϕ ki2 ,

γ ik =

∂γ i ∂kTk

= (ϕ ki − ϕ k+1, i )2

(2.370)

Die Koeffizienten µ ik sind ein Maß dafür, welchen Einfluß der k-te Masseparameter auf die i-te Eigenfrequenz hat. Man kann die Zahlenwerte der µ ik den einzelnen Trägheitsmomenten zuordnen und analog zur Eigenform längs der Schwingerkette auftragen. Die kinetische Energie der einzelnen Trägheitsmomente ist bei der betreffenden Eigenschwingform den Zahlenwerten der µ ik proportional, vgl. die Rechnerausdrucke des Programms ARLA -SIMUL in Abschn. 4.2 und Bild 2.58. Die moda-

144


len Massen und modalen Steifigkeiten ergeben sich aus den Sensitivitätskoeffizienten zu µi =

n

∑ µ ik Jk ,

γi =

k=1

n

∑ γ ik kTk

(2.371)

k=2

Die Koeffizienten γ ik sind ein Maß dafür, welcher Energieanteil der potentiellen Energie (Formänderungsenergie) bei einer Eigenschwingung in der betreffenden Torsionsfeder gespeichert wird. An den Stellen, wo diese Werte besonders groß sind, a¨ ndert sich mit der Torsionsfederkonstante die potentielle Energie (und damit die Eigenfrequenz) besonders stark, vgl. Gl. (2.353). Der Parametervektor des in Bild 2.57 dargestellten Torsionsschwingers hat sieben Komponenten, und die Zahlenrechnung erfolgt mit den Parameterwerten für x 0 : ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 146 N · m kT20 x1 ⎜x2 ⎟ ⎜ 262 N · m ⎟ ⎜kT30 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜x3 ⎟ ⎜ 1 025 N · m ⎟ ⎜kT40 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ 2 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ x 0 = ⎜ 0,221 kg · m ⎟ = ⎜J10 ⎟ = ⎜ (2.372) ⎜x4 ⎟ ⎜x5 ⎟ ⎜0,008 3 kg · m2 ⎟ ⎜J20 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝x6 ⎠ ⎝0,012 6 kg · m2 ⎠ ⎝J30 ⎠ 2 J40 x7 2,000 kg · m Die Lösung des Eigenwertproblems liefert für die Modalmatrix φ dieser Torsionsschwingerkette folgende Elemente, wenn bei der Normierung die erste Komponente aller Eigenvektoren gleich 1 gesetzt wird: φ = (ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 , ϕ 4 )

⎛

ϕ 11 ϕ 12 ϕ 13

⎜ϕ ⎜ 21 ϕ 22 ϕ 23 =⎜ ⎝ϕ 31 ϕ 32 ϕ 33 ϕ 41 ϕ 42 ϕ 43

⎞ ⎛ 1 1 1 1 ϕ 14 ⎟ ⎟ ⎜ ϕ 24 ⎟ ⎜1 0,833 −17,26 −34,09⎟ ⎟ ⎟=⎜ ϕ 34 ⎠ ⎝1 0,079 −45,36 8,908 ⎠ 1 −0,114 0,247 −0,025 ϕ 44 ⎞

(2.373)

Die modalen Steifigkeiten und die modalen Massen ergeben sich aus Gl. (2.365): φ T Kφ = diag(γ i ) = diag(0

219,3 2,7721 · 106

φ T Mφ = diag(µ i ) = diag(2,242

1,977 · 106 ) N · m

0,253 28,74 10,87) kg · m2

(2.374)

Die erste modale Steifigkeit ist deshalb null, weil es sich um ein ungefesseltes System handelt. Die Quadrate der Eigenkreisfrequenzen und die Eigenfrequenzen betragen 2 2 2 2 λ T0 = (ω 10 , ω 20 , ω 30 , ω 40 ) = (0

f1 = 0 Hz,

f2 = 4,69 Hz,

866,6 9,467 · 104

f3 = 48,9 Hz,

1,819 · 105 ) s−2

f4 = 67,9 Hz

(2.375)

vgl. Bild 2.58. Gemäß Gl. (2.370) ergeben sich damit die Werte für die Sensitivitätskoeffizienten, mit denen es möglich ist, die Abhängigkeit der Eigenfrequenzen von ¨ kleinen Parameteränderungen auszudrücken. Die Quadrate der relativen Anderungen der drei von Null verschiedenen Eigenkreisfrequenzen (i = 2, 3, 4) ergeben sich gemäß Gl. (2.356) wie folgt:


∆ ω i2 2 ω i0

= γ i1

∆kT2 γi

−µ i4

+ γ i2

∆J1 µi

∆kT3

− µ i5

γi

∆J2 µi

+ γ i3

145

∆kT4

− µ i6

γi

∆J3 µi

− µ i7

(2.376)

∆J4 µi

Setzt man die Zahlenwerte aus den Gln. (2.373), (2.374)und (2.375) ein, so ergeben ¨ sich die relativen Anderungen ∆λ = S∆ ξ gemäß Gl. (2.361) für ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ∆kT2 /kT20 ∆x1 /x10 ⎜∆kT3 /kT30 ⎟ ⎜∆x2 /x20 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎛ 2 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜∆x3 /x30 ⎟ ∆ ω 2 /ω 20 ∆kT4 /kT40 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎠ ⎟ ⎜∆x4 /x40 ⎟ ∆λ = ⎝∆ ω 32 /ω 30 , ∆ξ = ⎜ (2.377) ⎜∆J1 /J10 ⎟ = ⎟ ⎜ 2 ⎜∆J2 /J20 ⎟ ⎜∆x5 /x50 ⎟ ∆ ω 42 /ω 40 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝∆J3 /J30 ⎠ ⎝∆x6 /x60 ⎠ ∆J4 /J40

∆x7 /x70

mit Hilfe der Sensitivitätsmatrix ⎞ ⎛ 0,146 0,679 0,175 −0,873 −0,023 −0,000 −0,104 S = ((sik )) = ⎝0,140 0,076 0,784 −0,008 −0,086 −0,902 −0,004⎠ 0,714 0,245 0,041 −0,020 −0,888 −0,092 −0,000 (2.378) Diese Näherungsformeln liefern für kleine relative Parameteränderungen bis zu 10 % die Eigenfrequenzen mit einer relativen Genauigkeit von etwa 1 %. Aus der unterschiedlichen Größe der Matrizenelemente sik ist abzulesen, daß die zweite Eigenfrequenz am stärksten durch kT3 und J1 , die dritte Eigenfrequenz durch kT4 und J3 und die vierte Eigenfrequenz durch kT2 und J2 beeinflußt wird. Diese unterschiedlichen Empfindlichkeiten lassen sich anschaulich erklären, wenn man die zugehörigen Eigenformen ansieht. Bild 2.58 zeigt die mit ARLA -SIMUL berechneten Eigenformen [213], [301]. Falls große Parameteränderungen analysiert werden sollen, ist die Anwendung der Methoden der Versuchsplanung zu empfehlen, weil mit den dabei entwickelten quadratischen Funktionen eine höhere Genauigkeit in größeren Parameterbereichen erreichbar ist. Der Rechenaufwand zur Bestimmung der Polynomkoeffizienten ist geringer und die Näherung ist in einem großen Parameterbereich genauer, wenn man Methoden der Korrelationsanalyse oder der optimalen Versuchsplanung anwendet,wie sie z. B. in [2] beschrieben sind und in [79] auf Biegeschwingungen einer Spindel angewendet wurden. Die Koeffizienten für die Abhängigkeit der Eigenformen von Parameteränderungen gemäß Gl. (2.364) ergeben sich mit den angegebenen Daten für dieses Beispiel folgendermaßen: ⎛ −0,005 2,257 · 10−3 2,455 · 10−3 ⎜ 0,139 −0,112 −0,027 ⎜ R2 = ⎜ ⎝ 0,028 0,132 −0,16 −2,343 · 10−4 −6,168 · 10−4 8,511 · 10−4

⎞ −0,098 −0,0032 −0,0005 0,102 −0,103 0,0012 −0,0003 0,102⎟ ⎟ ⎟ −0,101 −0,0023 0,0002 0,103⎠ −0,099 −0,0031 −0,0004 1,02

146


⎞ ⎛ −0,627 0,568 0,059 −0,958 1,027 −0,073 0,004 ⎜ 26,513 −11,184 −15,329 −1,585 −16,157 17,732 0,010⎟ ⎟ ⎜ R3 = ⎜ ⎟ ⎝−6,885 2,992 3,893 0,028 4,444 −4,259 −0,213⎠ 0,003 −0,035 0,033 0,002 −0,003 0,247 −0,246 ⎞ ⎛ 0,439 −0,312 −0,128 −0,992 0,708 0,284 0,000 ⎜ −4,93 2,024 2,906 −0,553 7,019 −6,454 −0,012⎟ ⎟ ⎜ R4 = ⎜ ⎟ ⎝−13,266 5,711 7,556 0,559 16,267 −16,806 −0,02 ⎠ 0,055 −0,010 −0,046 −0,002 −0,068 0,045 0,025

ARLA-SIMUL FE HZ

Rev. 6.85-X

PHI (NMAX=004)

(2.379)

File: E-PKW.PLT

EKIN (NMAX=004)

EPOT (NMAX=003)

γ 22 x 2

µ 24 x 4 (002) 4.7

µ36 x6

(003) 49.0

µ 45 x5

γ 33 x3

γ 41 x1 γ 42 x 2

(004) 67.9

Bild 2.58 Eigenformen und Sensitivitätskoeffizienten von Gl. (2.376) für das Beispiel in Bild 2.57 (Indizes beziehen sich auf Vektor x)

2.5.2 Parameterermittlung aus gemessenen Eigenfrequenzen und Eigenformen Bekanntlich ist es erst dann möglich, Vorausberechnungen, Variantenvergleiche oder eine Optimierung des dynamischen Verhaltens eines Antriebssystems vorzunehmen, wenn das Berechnungsmodell die wesentlichen dynamischen Eigenschaften des Realsystems erfaßt. Zum Modellabgleich kann man experimentelle Ergebnisse nutzen, die sich auf das dynamische Verhalten des Gesamtsystems beziehen. Die Ergebnisse einer experimentellen Modalanalyse können auch zur Kontrolle und Bewertung der lokalen Parameterwerte dienen. Für die Modellstufe 2, das lineare Schwingungssystem, ist zwischen dem Berechnungsmodell (z. B. einem FEM-Programm) und dem


147

realen Objekt (z. B. einem Prototyp) vor allem ein Abgleich der Eigenfrequenzen und der Eigenschwingformen erforderlich. Erst danach hat es Sinn, sich näher mit den Dämpfungsparametern zu befassen, vgl. Abschn. 3.5. Im folgenden wird wie in Abschnitt 2.5.1 das ungedämpfte System betrachtet, für welches aus den Bewegungsgleichungen das Eigenwertproblem (2.380) K(p) − ω i2 M(p) ϕ i = o folgt. Darin bestimmt der Parametervektor p die Größe der Elemente sowohl in der Massenmatrix M als auch in der Steifigkeitsmatrix K. Es wird angenommen, daß von diesem Parametervektor Startwerte p0 bekannt sind, also z. B. diejenigen Zahlenwerte, mit denen beim Entwurf des Antriebssystems gerechnet wurde. Da die einzelnen Komponenten pk nicht ganz genau bekannt sind, wird der gesuchte Parametervektor als Summe p = p0 + ∆ p

(2.381)

aufgefaßt, wobei die Abweichungen ∆ p als Ursache dafür angesehen werden, daß die Rechen- und Meßergebnisse von Eigenfrequenzen und Eigenformen nicht genau u¨ bereinstimmen, d. h., die Struktur des Modells wird als richtig vorausgesetzt. Da der Zusammenhang der Matrizenelemente mit den Elementen des Parametervektors bekannt ist, sind auch die Elemente sik der Sensitivitätsmatrix S = ((sik )) bekannt. ¨ Es gilt Gl. (2.351) für die durch Parameteränderungen erreichbaren Anderungen der Quadrate der Eigenkreisfrequenzen. Der Vektor der mit den Startwerten p0 berechneten Eigenkreisfrequenzquadrate wird mit 2 2 2 2 T λ 0 = (ω 10 , ω 20 , . . . , ω i0 , . . . , ω I0 ) ,

i = 1, 2, . . . , I

(2.382)

bezeichnet, und der Vektor der am realen Objekt gemessenen Werte ist 2 2 2 T λ e = (ω 1e , ω 2e , . . . , ω 2je , . . . , ω Je ) ,

j = 1, 2, . . . , J

(2.383)

Es ist im allgemeinen I < n, da nicht alle berechenbaren Eigenfrequenzen verglichen werden, und J < I, da die Anzahl der berechneten Eigenfrequenzen und Eigenformen meist größer als die der gemessenen ist. Es kann oft von vornherein nicht gesagt werden, welche der berechneten Eigenfrequenzen welchen der gemessenen Eigenfrequenzen entsprechen, weil nicht nur deren Beträge angenähert u¨ bereinstimmen müssen, sondern auch die dazu gehörige Eigenschwingform benachbart sein muß. Wenn man zunächst deren gegenseitige Zuordnung prüft, kann es sein, daß der Eigenvektor der i-ten berechneten Eigenfrequenz demjenigen einer j-ten gemessenen Eigenfrequenz a¨ hnelt. Die Auswahl und die Reihenfolge der zugeordneten Eigenfrequenzen wird deshalb mit einer Zuordnungsmatrix Z ausgedrückt. Z ist eine Rechteck-Matrix, die Nullen und Einsen enthält und mittels der Matrizenmultiplikation die Zuordnung der berechneten Frequenzen mit den dazu passenden gemessenen besorgt. Z kann man aus der MAC-Matrix erhalten, vgl. Gl. (2.389). Der Differenzvektor λ e − Zλ 0 , der die zueinander richtig zugeordneten Eigenfrequenzen vergleicht, kann analog zu Gl. (2.360) mit den Werten von λ 0 dimensionslos gemacht werden, so daß der aus Gl. (2.360) bekannte dimensionslose Vektor ∆λ entsteht. Die Rechnung mit dimensionslosen Frequenzverhältnissen hat den Vorteil, daß große und kleine Eigenfrequenzen numerisch mit gleicher Gewichtung behandelt

148


werden. Die Berechnung wird außerdem mit dem gemäß Gl. (2.359) definierten dimensionslosen Vektor der Parameteränderungen ∆ ξ empfohlen. Dann kann man den Zusammenhang zwischen den Parameteränderungen und den Eigenfrequenzänderungen wie in Gl. (2.361) ausdrücken: S∆ξ = ∆λ

(2.384)

Dabei ist die (J × K)-Matrix S und der J-dimensionale Vektor ∆λ bekannt und der K-dimensionale Vektor der relativen Parameteränderungen ∆ξ gesucht. Wenn J = K = I wäre, könnte man aus einem linearen Gleichungssystem (2.384) die di¨ der bemensionslosen Komponenten in ∆ξ erhalten, welche die Ubereinstimmung rechneten und gemessenen Eigenfrequenzen garantieren. So würden z. B. bei der Identifikation von zwei Parametern an I = 2 Eigenfrequenzen aus Gl. (2.384) folgende zwei Gleichungen für die beiden Unbekannten ∆ p1 und ∆ p2 folgen, wenn die Zuordnung schon stimmte und Z eine Einheitsmatrix ist: s11

∆ p1 ∆ p2 ω2 − ω2 ω2 + s12 = 1e 2 10 = 1e −1 2 p10 p20 ω 10 ω 10

(2.385)

s21

∆ p1 ∆ p2 ω2 − ω2 ω2 + s22 = 2e 2 20 = 2e −1 2 p10 p20 ω 20 ω 20

(2.386)

Es muß meist aber noch berücksichtigt werden, daß sich die Anzahl K der Parameter pk von derjenigen der gemessenen Eigenfrequenzen (J) unterscheidet. Bei praktischen Aufgaben ist meist J > K und S eine (J × K)-Rechteckmatrix, z. B. wie in Gl. (2.378). Die Auflösung des u¨ berbestimmten Gleichungssystems nach den Unbekannten ∆ξ ist dann mit der Pseudo-Inversen möglich, die eine Minimierung der Fehlerquadratsumme des u¨ berbestimmten Gleichungssystems (2.384) erreicht, d. h., es ergibt sich aus Gl. (2.384) ∆ξ = (ST S)−1 ST ∆λ

(2.387)

Die daraus resultierenden dimensionslosen Parameterdifferenzen ∆ξ erlauben die Berechnung von verbesserten Parameterwerten, vgl. Gl. (2.381): pk = pk0 + ∆ pk = pk0 + ∆ ξ k pk0 ,

k = 1, 2, . . . , K

(2.388)

Die Ergebnisse sind jedoch kritisch zu bewerten, da bei jedem linearen Schwingungssystem für unterschiedliche Parametervektoren dieselben Eigenfrequenzen auf¨ treten können, vgl. [282]. Man darf allein aus der Ubereinstimmung von berechneten und gemessenen Eigenfrequenzen nicht den Schluß ziehen, daß die Parameterwerte des Berechnungsmodells mit denen des realen Objekts u¨ bereinstimmen. Man muß sich auch davon u¨ berzeugen, daß auch die Eigenformen u¨ bereinstimmen. Nun soll noch ein anderer Weg gezeigt werden, der von den Eigenschwingformen ausgeht. Wird vorausgesetzt, daß die Rechen- und Meßgrößen sich auf dieselben Punkte der Struktur beziehen, so können die Vektorkomponenten ϕ ki der berechneten und gemessenen Eigenformen unmittelbar miteinander verglichen werden, obwohl sie sich im allgemeinen noch durch einen Maßstabsfaktor unterscheiden. Bei den rechnerisch bestimmten Eigenvektoren ϕ i0 ist es ebenfalls wie bei den Eigenfrequenzen zunächst unklar, welchen am realen Objekt gemessenen Eigenvektoren ϕ ie sie zuzuordnen sind.


149

Es gibt mehrere Methoden, um die richtige Zuordnung der Eigenvektoren zu ermitteln. Bei einfachen Aufgaben kann man sich manchmal auf die Anschauung verlassen. Ein einfacher Vergleich ist dadurch möglich, daß man die Komponenten eines berechneten Eigenvektors ϕ i0 u¨ ber denen des gemessenen Eigenvektors ϕ ie aufträgt. ¨ Besteht zwischen beiden Vektoren eine völlige Ubereinstimmung, dann liegen alle Punkte exakt auf einer Geraden. Wenn diese Darstellung eine Punktwolke um eine mittlere Gerade ergibt, so liegt eine gute Korrelation vor, vgl. Bild 2.59. Bei gleichen Normierungen verläuft die mittlere Gerade unter einem Winkel von 45◦ . ϕkie Messwerte

ϕki0 Rechenwerte

Bild 2.59 Zum Vergleich der Komponenten berechneter und gemessener Eigenvektoren

Eine in der Strukturdynamik u¨ bliche und bewährte Vergleichsmethode benutzt die sogenannte MAC-Matrix (MAC – Modal Assurance Criterion). Jedes Element dieser Matrix stellt den Wert eines normierten Skalarprodukts von einem gemessenen Vektor ϕ je und einem berechneten Eigenvektor ϕ i0 dar und bewertet die Korrelation zwischen diesen. Der Wert des Matrizenelements (ϕ Tjeϕ i0 )2 (2.389) = cos2 α i j MAC(i, j) = T (ϕ jeϕ je ) · (ϕ Ti0ϕ i0 ) ¨ ist ein Maß für die Ubereinstimmung zwischen ϕ je und ϕ i0 [362] und [94]. Eine ideale eindeutige Unterscheidbarkeit zwischen allen Eigenvektoren läge vor, wenn in der MAC-Matrix nur Nullen und Einsen stehen. Dann würde die MAC-Matrix der Zuordnungsmatrix Z entsprechen. Praktisch haben die Matrizenelemente Werte zwischen null und eins, weil die betrachteten Vektoren keine idealen Voraussetzungen erfüllen. Erfahrungsgemäß besteht bei einem Matrizenelement MAC(i, j) < 0,3 zwischen den beiden Vektoren kaum eine Korrelation, aber bei MAC(i, j) > 0,8 ist eine gute Korrelation zwischen beiden Vektoren vorhanden. Die MAC-Matrix ist geeignet, um Eigenvektoren dicht benachbarter Eigenfrequenzen zu unterscheiden. Sie kann eine Rechteckmatrix sein, aber nach den zu Eins aufgerundeten oder zu null abgerundeten Resultaten kann man daraus die Zuordnungsmatrix Z gewinnen. Weitere Kriterien zum Vergleich berechneter und gemessener Eigenvektoren behandelt [272]. Falls derartige Kriterien zur Identifikation von Parameterwerten benutzt werden, sollten auch die in [245] behandelten Aspekte beachtet werden, vgl. Abschn. 2.3.5.

150


Nachdem die Zuordnung der berechneten Eigenformen ϕ i0 (p) an die experimentell ermittelten Eigenformen ϕ ie erfolgt ist, muß noch eine einheitliche Normierung der Eigenvektoren erfolgen, bevor ein quantitativer Vergleich (z. B. die Differenz zwischen den Komponenten) dieser Vektoren möglich ist. Dies läßt sich mit der Einführung eines unbekannten Maßstabsfaktors wi (für jede Ordnung i) erreichen, der aus der Bedingung

∑(ϕ kie − wi ϕ ki0 )2 = Min!,

i = 1, 2, . . . , I

(2.390)

k

oder max |ϕ kie − wi ϕ ki0 | = Min!, k

i = 1, 2, . . . , I

(2.391)

bestimmbar ist. Ist dies erfolgt, kann von Gl. (2.364) ausgegangen werden. Die Vektoren ∆ϕ i = ϕ ie − wiϕ i0

(2.392)

sind dann die Differenzvektoren zwischen den gemessenen und berechneten (in gleicher Weise normierten) Eigenvektoren. Es entstehen somit die Vektorgleichungen R∆ξ = ∆ϕ

(2.393)

K Spalten und so viele Zeilen hat, wie ∆ξ wobei die Matrix R = Komponenten besitzt. Der Vektor ∆ϕ = (∆ ϕ 1 , ∆ ϕ 2 , . . . , ∆ ϕ I )T berücksichtigt alle vergleichbaren Eigenformen. Es entstehen auf diese Weise meist wesentlich mehr Gleichungen als Unbekannte, so daß entweder mit der Ausgleichsrechnung (Fehlerquadratminimum) oder mit der linearen Optimierung (minimale Maximalabweichung) eine Kompromißlösung gefunden werden muß. Analog zu Gl. (2.387) kann man die Lösung auf der Grundlage der Ausgleichsrechnung mit der Pseudo-Inversen berechnen: T

(RT1 , RT2 ,

. . . , RTI )

∆ξ = (RT R)−1 RT ∆ϕ

(2.394)

2.5.3 Identifikation eines Systems mit zwei Freiheitsgraden Hier soll an einem einfachen System mit zwei Freiheitsgraden die Problematik der Identifikation der Parameterwerte an Hand von gemessenen und berechneten Eigenfrequenzen und Eigenformen verdeutlicht werden. Gegeben sei die in Bild 2.60a gezeigte Struktur, an der zwei Eigenfrequenzen von f = 13 Hz und f = 27 Hz und zwei Eigenformen 1 1 ϕ 11 = = , ϕ 1e = κ1 1,7 ϕ 21 (2.395) 1 1 ϕ 21 = = ϕ 2e = κ2 −1,3 ϕ 22


151

gemessen wurden. Aus den gemessenen Eigenfrequenzen ergibt sich wegen ω ie = 2π fi gemäß Gl. (2.383) 2 2 T λ e = (ω 1e , ω 2e ) = (6 672, 28 780)T s−2

(2.396)

J2 J1 kT2

a) q2

b)

ϕ21

kT1

q1 ϕ11

ϕ12

c)

ϕ22

Bild 2.60 Zur Identifikation eines Systems mit zwei Freiheitsgraden a) Berechnungsmodell, b) erste Eigenschwingform, c) zweite Eigenschwingform

Der Parametervektor umfaßt zwei Drehfederkonstanten und zwei Trägheitsmomente: p = (p1 , p2 , p3 , p4 )T = (kT1 , kT2 , J1 ,J2 )T

(2.397)

Das System wird durch folgende Matrizen beschrieben, wenn der Koordinatenvektor qT = (q1 , q2 ) gemäß Bild 2.60 definiert ist: kT1 + kT2 −kT2 J1 0 , K= (2.398) M= −kT2 kT2 0 J2 Folgende Beziehung besteht zwischen den Eigenkreisfrequenzen ω i0 , den Eigenformen ϕ i0 und den Massen- und Steifigkeitsmatrizen (Eigenwertproblem), vgl. Gl. (2.380): 2 (K − ω i0 M)ϕ i0 = o,

i = 1, 2

(2.399)

Setzt man alle aus den Gln. (2.395) bis (2.398) bekannten Größen ein, so ergibt sich folgendes homogene lineare Gleichungssystem: (kT1 + kT2 )ϕ 11 − kT2 ϕ 21 − ω 12 J1 ϕ 11 = 0 −kT2 ϕ 11 + kT2 ϕ 21 − ω 12 J2 ϕ 21 = 0 (kT1 + kT2 )ϕ 12 − kT2 ϕ 22 − ω 22 J1 ϕ 12 = 0 −kT2 ϕ 12 + kT2 ϕ 22 − ω 22 J2 ϕ 22 = 0

(2.400)

152


Benutzt man die in Gl. (2.395) schon eingeführten Amplitudenverhältnisse κi und ordnet man diese Gleichungen nach den Unbekannten des Parametervektors, so erhält man folgende 4 Gln. für die 4 Unbekannten: =0 kT1 + (1 − κ1 )kT2 − ω 12 J1 (κ1 − 1)kT2 − κ1 ω 12 J1 = 0 =0 kT1 + (1 − κ2 )kT2 − ω 22 J1 2 (κ2 − 1)kT2 − κ2 ω 2 J2 = 0

(2.401)

In diesem Fall stimmt die Anzahl K der unbekannten Parameter mit der doppelten Anzahl der Freiheitsgrade (2n) u¨ berein. Für den Fall, daß K < 2n ist, also mehr Gleichungen als Unbekannte vorliegen, kann die Lösung mit der Ausgleichsrechnung (Pseudo-Inverse) gesucht werden. Falls K > 2n ist, können entweder einige Parameterwerte gegeben oder weitere Nebenbedingungen erfüllt werden. Da auf der rechten Seite lauter Nullen stehen, können prinzipiell keine absoluten Werte, sondern nur Quotienten der Parameterwerte berechnet werden. Bei dem durch die Gln. (2.401) gegebenen homogenen Gleichungssystem muß die Hauptdeterminante null sein, damit Lösungen existieren. Die Berechnung dieser Determinante liefert: (2.402) det = (ω 22 − ω 12 ) κ2 ω 22 (κ1 − 1) − κ1 ω 12 (κ2 − 1) = 0 Sie stellt eine notwendige Bedingung dar, welche die in den Gln. (2.395) und (2.396) angegebenen Meßwerte erfüllen müssen. Dies ist eine willkommene Kontrollmöglichkeit, die auch bei anderen Systemen beachtet werden sollte. Sollte diese Bedingung nicht erfüllt sein, ist die Frage berechtigt, ob das Modell in Bild 2.60a ¨ das reale Schwingungssystem richtig abbildet. Naturgemäß darf man die Ubereinstimmung nur auf soviel Ziffern erwarten, wie es der Meßgenauigkeit entspricht. Da beim vorliegenden System ω 1 = ω 2 ist, kann aus dem Ausdruck in der eckigen Klammer von Gl. (2.402) die folgende Bedingung hergeleitet werden, die zwischen den modalen Parametern bestehen muß: ω 22 = ω 12

κ1 (κ2 − 1) κ2 (κ1 − 1)

(2.403)

Setzt man die entsprechenden Zahlenwerte für dieses Beispiel in der rechten Seite dieser Gl. ein, so ergibt sich 28 474, d. h., ein Zahlenwert, der im Rahmen der Genauigkeit der Eingabedaten mit ω 22 hinreichend genau u¨ bereinstimmt, vgl. Gl. (2.396). Die ermittelten Eigenfrequenzen und Eigenformen stehen also nicht im Widerspruch zu dem in Bild 274a angenommenen Berechnungsmodell. Aus den Gln. (2.399) erhält man als Lösungen folgende Quotienten: ω 2 κ1 ω 2 κ2 kT2 = 2 = 1 J2 κ1 − 1 κ2 − 1

≈ 1,62 · 104 s−2

(2.404)

−ω 12 (κ2 − 1) + ω 22 (κ1 − 1) kT1 = ≈ 1,605 kT2 ω 22 − ω 12

(2.405)

(κ1 − κ2 )ω 12 κ1 J1 = 2 J2 (ω 2 − ω 12 )(κ1 − 1)

(2.406)

≈ 2,207

2.6 Freiheitsgradreduktion und Modellanpassung

153

Absolute Größen von Masse- und Federparametern lassen sich allein aus Eigenfrequenzen und Eigenformen nicht berechnen! Dimensionsbehaftete Parameterwerte lassen sich erst dann berechnen, wenn die absolute Größe eines Parameters (oder einer Funktion von Parametern) vorgeben wird, z. B. ein Parameterwert von J2 .

2.6 Freiheitsgradreduktion und Modellanpassung 2.6.1 Grundlagen der Freiheitsgradreduktion Manche Berechnungsmodelle werden mit sehr vielen Freiheitsgraden (oder Knotenpunkten) behandelt, weil der Verlauf der Spannungen und Verformungen interessiert. Häufig werden FE-Modelle engmaschig vernetzt, um die Spannungen und Verformungen am Rande von Löchern, an Kerben, innerhalb von Kontaktstellen, an Querschnittsübergängen und an Krafteinleitungsstellen zu berechnen. Die Anzahl der Freiheitsgrade eines Berechnungsmodells erreicht bei solchen strukturdynamischen Aufgaben häufig eine Größenordnung von n = 105 bis 106 . Bei Systemen mit vielen Freiheitsgraden ist es schwieriger, verschiedene Varianten schnell zu analysieren und eine in dynamischer Hinsicht optimale Variante zu ermitteln als bei Schwingungssystemen mit wenigen Freiheitsgraden. Deshalb kann es zweckmäßig sein, ein mathematisches Optimierungsverfahren abwechselnd mit dem Analysemodell des reduzierten Berechnungsmodells und dem des ursprünglichen Modells zu koppeln. Die Optimierungsergebnisse, die nach der Analyse vieler Varianten des einfachen Modells erzielt wurden, können an das ursprüngliche Modell u¨ bergeben werden, mit dem die Optimierungsrechnung fortgesetzt wird. Nach einer gewissen Rechenzeit kann wieder eine Modellreduktion erfolgen und nach mehreren solchen Iterationsschritten das Optimierungsziel mit relativ weniger Aufwand erreicht werden, als wenn man keine Reduktion vorgenommen hätte. Häufig ist der Erregerfrequenzbereich eines Realsystems eng begrenzt, so daß es nicht nötig ist, alle“ Eigenfrequenzen und Eigenformen im Berechnungsmodell ” zu erfassen, vgl. Bild 2.4. Für Aufgaben, bei denen das globale dynamische Verhalten des Antriebssystems interessiert, kann die Anzahl der Freiheitsgrade wesentlich kleiner als für den Spannungsnachweis sein, also die Größenordnung von 101 bis 104 haben. Nachdem die dynamische Analyse mit dem Startmodell die Verteilung der dynamischen Belastungen lieferte, kann danach die feinere Vernetzung für die Ermittlung der lokalen Zustandsgrößen vorgenommen werden. Ausgehend von einem Berechnungsmodell mit vielen Freiheitsgraden ist es zweckmäßig, zur dynamischen Analyse die Anzahl der Freiheitsgrade wesentlich zu reduzieren. Ein Weg, zu solchen Modellen mit wenigen Freiheitsgraden zu gelangen, besteht darin, das große System“ mit einer der Methoden der Freiheitsgradreduktion systematisch ” zu verkleinern“. Solche Methoden sind in der Strukturdynamik entwickelt worden, ” und ihre Herleitung ist in der Literatur ausgiebig beschrieben, vgl. z. B. [112], [150], [202], [278], [365]. Hier sollen deshalb nur einige dieser Methoden erläutert und ihre Anwendung bei Antriebssystemen exemplarisch vorgeführt werden.

154


Das ursprüngliche Schwingungssystem mit n Freiheitsgraden, das durch die Massenmatrix M, die Steifigkeitsmatrix K, den Erregerkraftvektor f und den Koordinatenvektor q beschrieben wird, lautet Mq¨ + Kq = f

(2.407)

Es soll auf ein System mit n1 Freiheitsgraden reduziert und mit dem Koordinatenvektor qe beschrieben werden, wobei n1 < n ist. Das allgemeine Vorgehen kann man sich so vorstellen, daß die Koordinaten eingeteilt werden in solche, die erhalten bleiben (externe Koordinaten qe ) und solche, die nach außen nicht mehr in Erscheinung treten (interne Koordinaten qi ). Nach der Reduktion sollen die Bewegungsgleichungen die Form Mred q¨ e + K red qe = f red

(2.408)

haben. Die Reduktion erfolgt formal mit Hilfe einer Transformationsmatrix T, einer Rechteckmatrix mit n Zeilen und n1 Spalten. Diese Transformationsmatrix stellt eine lineare Beziehung zwischen den Koordinaten qe des reduzierten Systems und denen des ursprünglichen Systems her: q = Tqe

(2.409)

Sie liefert außerdem noch allgemeine Zusammenhänge, welche zwischen den Matrizen des ursprünglichen Systems (2.407) und denen des reduzierten Systems (2.408) bestehen. Wenn gefordert wird, daß die kinetische und die potentielle Energie des ursprünglichen Systems und des reduzierten Systems u¨ bereinstimmen sollen, erhält man 1 1 1 T T q˙ e T M T q˙ e = q˙ Te Mred q˙ e (2.410) Wkin = q˙ T Mq˙ = 2 2 2 1 1 1 T T Wpot = qT Kq = (2.411) qe T K Tqe = qTe K red qe 2 2 2 durch einen Koeffizientenvergleich die Matrizen des reduzierten Systems: Mred = T T MT;

K red = T T KT

(2.412)

Aus den (n × n)-Matrizen des ursprünglichen Systems (2.407) werden somit diese (n1 × n1)-Matrizen. Während das durch Gl. (2.407) beschriebene ursprüngliche System n Eigenkreisfrequenzen λ = (ω 12 , ω 22 , . . . , ω n2 )T

(2.413)

besitzt, zu denen in der Modalmatrix Φ die zugehörigen n Eigenvektoren ϕ i

Φ = (ϕ 1 , ϕ 2 , . . . , ϕ n )

(2.414)

stehen, hat das reduzierte System nur n1 < n Eigenkreisfrequenzen 2∗ T λ ∗ = (ω 12∗ , ω 22∗ , . . . , ω n1 )

(2.415)

und n1 Eigenvektoren, die in der reduzierten Modalmatrix

Φ ∗ = (ϕ ∗1 , ϕ ∗2 , . . . , ϕ ∗n1 ) zusammengefaßt sind.

(2.416)


155

Die Bewegungsgleichungen (2.407) enthalten also die Form (K red − ω i∗2 Mred )ϕ ∗i = f red

(2.417)

Verlangt man, daß die virtuelle Arbeit der Erregerkräfte am ursprünglichen System ebenso groß ist wie diejenige am reduzierten System, also mit Gl. (2.409) δ W = f T δ q = f T (T δ qe ) = f Tred δ qe

(2.418)

so erhält man folgende Vorschrift für die Umrechnung der Erregerkräfte: f red = T T f

(2.419)

Mit der Festlegung einer Transformationsmatrix T ist eine formale Reduktion der Freiheitsgrade unter dem Aspekt der Energieäquivalenz möglich. Das spektrale Verhalten der ursprünglichen und des reduzierten Systems stimmt allerdings nicht völlig u¨ berein, weil n − n1 Eigenfrequenzen verlorengehen. Die Berücksichtigung von Forderungen an das spektrale und modale Verhalten ist bei der Wahl der Transformationsmatrix T möglich. Von den verschiedenen Methoden, so eine Transformationsmatrix T zu definieren, werden im folgenden einige beschrieben, die auf die Besonderheiten von Antriebssystemen zugeschnitten sind. Bei Antriebssystemen kommt es meist darauf an, daß die tiefen Eigenfrequenzen und Eigenformen des ursprünglichen (vollständigen) Systems mit denen des reduzierten (verkürzten) Systems u¨ bereinstimmen. Nach der Lösung der Differentialgleichungen des reduzierten Systems (2.408) ist es möglich, mit Hilfe von Gl. (2.409) die Ergebnisse auf die ursprünglichen Koordinaten q umzurechnen. 2.6.2 ¨ ) Statische und dynamische Kondensation (G UYAN , ROHRLE Zur Vorbereitung der Kondensation werden die Koordinaten des ursprünglichen Systems (2.407) in interne Koordinaten qi (die nur intern verbleiben) und externe Koordinaten qe (die extern weiter behandelt werden) eingeteilt qe K ee K ei Mee Mei fe ∗ ∗ ∗ ∗ q = ; K = ; M = ; f = (2.420) qi K ie K ii Mie Mii fi Da normalerweise diese Koordinaten ursprünglich noch nicht in einer derartigen Reihenfolge geordnet sind, muß vorher eine solche Umordnung erfolgen, daß im Koordinatenvektor die externen Koordinaten oben und die internen Koordinaten unten angegeben werden. Diese Einteilung (Partitionierung) muß auch bei den Matrizen erfolgen, was durch die entsprechenden Indizes in Gl. (2.420) angegeben ist. Aus dem ursprünglichen System der Bewegungsgleichungen (2.407) folgt nach dem Ansatz q∗ = qˆ exp( jω t) das Eigenwertproblem: o qˆ e K ee − ω 2 Mee K ei − ω 2 Mei = (2.421) o qˆ i K ie − ω 2 Mie K ii − ω 2 Mii Ausmultiplizieren liefert zwei Gleichungen für zwei unbekannte Vektoren K ee − ω 2 Mee qˆ e + K ei − ω 2 Mei qˆ i = o (2.422) 2 2 (2.423) K ie − ω Mie qˆ e + K ii − ω Mii qˆ i = o

156


Aus Gl. (2.423) folgt die Abhängigkeit der internen Koordinaten von den externen: −1 qˆ i = − K ii − ω 2 Mii (2.424) K ie − ω 2 Mie qˆ e = −Sˆqe In Kurzfassung kann man dies mit der Matrix −1 S = K ii − ω 2 Mii K ie − ω 2 Mie

(2.425)

ausdrücken, die man aus einem Koeffizientenvergleich erhält. Der gesamte Koordinatenvektor q läßt sich somit durch folgende Matrizenmultiplikation darstellen E qe (2.426) = q= qe = Tqe qi −S d. h., die Transformationsmatrix T = (E, − S)T

(2.427)

liefert eine exakte Reduktion, wenn die Kreisfrequenz ω eingesetzt wird. Man müßte also mit einer frequenzabhängigen Transformationsmatrix operieren, wenn man eine im ganzen Frequenzbereich korrekte Reduktion vornehmen wollte. Hat die Transformationsmatrix konstante Elemente, ist also die Erhaltung aller Eigenfrequenzen bei der Freiheitsgradreduktion nicht möglich. Von G UYAN [130] wurde vorgeschlagen, die Kondensation speziell für den statischen Fall vorzunehmen. Dabei werden gewissermaßen die Massenkräfte vernachlässigt, und alle statischen Beziehungen zwischen Kräften und Koordinaten bleiben beim reduzierten System korrekt erhalten. Bei dieser Art der Freiheitsgradreduktion ergibt sich aus Gl. (2.425) als Sonderfall ω = 0 die Matrix S = K −1 ii K ie

(2.428)

und mit der daraus in Verbindung mit Gl. (2.427) folgenden Transformationsmatrix T (2.429) T = (E, − S)T = E, − K −1 ii K ie kann man gemäß Gl. (2.412) folgende Matrizen des reduzierten Systems berechnen: K red = K ee − K ei K −1 ii K ie

(2.430)

Mred = Mee − Mei S − ST Mie + ST Mii S

(2.431)

Der reduzierte Erregerkraftvektor ist dann gemäß Gl. (2.419) berechenbar und lautet f red = f e − S f i

(2.432)

Die verbleibenden Koordinaten qe werden in der angloamerikanischen Literatur master-degrees“ und die eliminierten Koordinaten qi slave-degrees“ genannt. Die ” ” Transformationsformeln (2.430) bis (2.432) kennzeichnen die sogenannte statische Kondensation. Das reduzierte System besitzt eine geringere Massenträgheit, aber dieselbe Steifigkeit, und demzufolge werden alle seine n1 Eigenfrequenzen etwas größer gegenüber den Werten vergleichbarer Ordnungen des ursprünglichen Systems, vgl. auch das Beispiel in Abschn. 2.6.5. ¨ [278] wurde vorgeschlagen, an Stelle einer statischen Reduktion Von R OHRLE bei ω = 0 eine Reduktion für einen Richtwert ω˜ vorzunehmen, der innerhalb des

157


Erregerfrequenzbereichs des Antriebssystems liegt, vgl. Bild 2.4. Dann können die obengenannten Formeln benutzt werden, indem mit folgender Matrix S˜ gerechnet wird, vgl. Gl. (2.425): −1 K ie − ω˜ 2 Mie (2.433) S˜ = K ii − ω˜ 2 Mii Daraus ergibt sich die Transformationsmatrix ˜ T T = (E, − S)

(2.434)

mit der die durch Gln. (2.409), (2.412) und (2.419) beschriebenen Operationen erfolgen können, um die Vektoren und Matrizen des reduzierten Systems zu erhalten. 2.6.3 Reduktion nach R IVIN und D I Von R IVIN [275] wurde eine Methode zur Freiheitsgradreduktion bei Torsionsschwingerketten vorgeschlagen, die in der Dissertation von D I [58] aufgegriffen und (z. B. auch auf gedämpfte Schwinger) erweitert wurde. Es wird vorausgesetzt, daß bereits eine Diskretisierung erfolgte, z. B. gemäß Tabelle 2.11 und Abschn. 3.2.1. Steife Teilsysteme, die an relativ hohen Eigenfrequenzen gegenüber ihrer Umge” bung“ erkennbar sind, werden lokal als starre Körper behandelt. Das Verfahren beginnt damit, daß aus der Torsionsschwingerkette Teilsysteme mit einem Freiheitsgrad herausgeschnitten werden. Dabei wird zwischen zwei verschiedene Typen von Teilsystemen unterschieden, vgl. Bild 2.61a und b. Beim Teilsystem des Typs A befindet sich die Drehmasse (Jk ) zwischen zwei Torsionsfedern und bei den Teilsystemen des Typs B liegt eine Torsionsfeder (kTk ) zwischen jeweils zwei Drehmassen, die am a¨ ußeren Rand frei schwingen können. Bei einem Torsionsschwinger mit n Scheiben entstehen also n Teilsysteme des Typs A und n − 1 Teilsysteme des Typs B. Die freien oder eingespannten Enden der Torsionsschwingerkette können auf diese Weise ebenfalls berücksichtigt werden. kT k−1

a)

kTk

Jk

kTk

b)

Jk

J k+1

Bild 2.61 Zur Illustration eines Reduktionsschrittes bei einer Torsionsschwingerkette a) Modelltyp A, b) Modelltyp B

Die Eigenkreisfrequenzen aller Teilsysteme werden für k = 1, 2, . . . , n − 1 (mit kT0 = kT n+1 = 0) berechnet aus kT k−1 + kTk kTk (Jk + Jk+1 ) 2 2 ω Ak = ; ω Bk = (2.435) Jk Jk Jk+1 Nach dieser Aufteilung erhält man also aus Gl. (2.435) insgesamt 2n−1 verschiedene Kreisfrequenzen von Teilsystemen. Von allen diesen Kreisfrequenzen wird die größte herausgesucht. 2 2 ω k2 max = Max [ω Ak , ω Bk ] (alle k)

(2.436)

158


Sie markiert gewissermaßen das steifste Teilsystem innerhalb der Schwingerkette. Deshalb wird an dieser Stelle eine partielle Reduktion vorgenommen. Je nach dem, ob die höchste Kreisfrequenz durch ein System vom Typ A oder B zustande kam, erfolgt im folgenden Reduktionsschritt die Aufteilung der in der Mitte liegenden Drehmasse auf die Nachbarscheiben (Bild 2.62a) oder die Aufteilung der mittleren Federkonstante auf die Nachbarfedern (Bild 2.62c), vgl. Tabelle 2.18. Die Erregermomente werden auch umgerechnet. M k−2

M k−1

kT k−2

J k−2

a) M k−2

kT k−1

J k−1

J k−2

M k+1

J k+1

Jk

Mk

M k+2 kT k−1

kT k+1

kTk

J k+2

M k+1 kT k+1

kTk Jk

J k+1

c)

* M k−1

M k*

kT* k−1

kT k−2

b)

Mk

kT* k

kT k+1 J k*

* J k−1

M k*

M k+2

J k+2

d)

kT* k+1

J k*

Bild 2.62 a) Modellabschnitt des Torsionsschwingers, b) Reduktion gemäß Modelltyp A, c) Modellabschnitt des Torsionsschwingers, d) Reduktion gemäß Modelltyp B

Zur Berechnung der durch einen Stern gekennzeichneten neuen“ Parameter wer” den die folgenden Formeln benutzt: Teilsystem Typ A: ∗ = Jk−1 + Jk−1

kT∗ k−1 =

kT k−1 Jk ; kT k−1 + kTk

Jk∗ = Jk+1 +

kTk Jk kT k−1 + kTk

kT k−1 kTk kT k−1 + kTk

∗ = Mk−1 + Mk−1

(2.437) (2.438)

kT k−1 Mk ; kT k−1 + kTk

Mk∗ = Mk+1 +

kTk Mk kT k−1 + kTk

(2.439)

Teilsystem Typ B: Jk∗ = Jk + Jk+1 ;

Mk∗ = Mk + Mk+1

1 1 1 Jk+1 = + ; ∗ kTk kTk−1 Jk + Jk+1 kTk

1 1 1 Jk = + kT∗ k−1 kT k−1 Jk + Jk+1 kTk

(2.440) (2.441)

Nach jedem Reduktionsschritt wird der Freiheitsgrad des Gesamtsystems um Eins vermindert. Es verschwindet“ jeweils die höchste Eigenfrequenz des Ge” samtsystems, es a¨ ndern sich alle Eigenfrequenzen und Eigenformen ein wenig, erfahrungsgemäß die niederen Eigenfrequenzen am wenigsten. Es ist zweckdienlich (aber nicht erforderlich), wenn man während des Reduktionsverfahrens auch die Eigenfrequenzen und Eigenformen des zu vereinfachenden Systems vergleicht und


159

aus diesen Resultaten schlußfolgert, wann das Reduktionsverfahren abgebrochen wird. Die höchste Eigenfrequenz des zu reduzierenden Schwingungssystems kann nach jedem Reduktionsschritt aus den Parametern des vorhergehenden und des folgenden Systems (mit Stern gekennzeichnet) berechnet werden: 2 ω n−1 =

∗ + kT∗ k+1 kTk + kT k+1 n−1 kTk −∑ Jk Jk∗ k=1 k=1 n

∑

(2.442)

Die Reduktion wird schrittweise solange vorgenommen, bis eine Reduktionsgrenze“ ” erreicht ist, die der Bearbeiter festlegen kann. Eine solche Grenze kann die minimale Anzahl von Scheiben sein, die man für die Deutung der Berechnungsergebnisse ¨ benötigt, oder die höchste Eigenfrequenz oder eine zulässige Toleranz zu den Anderungen der wichtigen niederen Eigenfrequenzen. Als Erfahrungsregel gilt [275], daß die Reduktion spätestens dann abgebrochen werden sollte, wenn die höchste Eigenfrequenz der Teilsysteme gemäß Gl. (2.435) wenigstens etwa viermal größer ist als die höchste Eigenfrequenz des reduzierten Gesamtsystems, vgl. Gl. (2.442). Die statische Gesamtsteifigkeit (∑ 1/kTk ) und das summarische Trägheitsmoment (∑ Jk ) bleiben bei allen Reduktionsschritten erhalten, d. h., die summarischen Kennwerte des Starrkörpersystems und des elastischen Systems werden entsprechend den bei der Balkendiskretisierung erläuterten Grundsätzen nicht verändert, vgl. Abschn. 2.3.5. Wenn am freien Ende reduziert wird, entstehen freie Torsionsfedern als Wellenstümpfe, die man vernachlässigen kann, vgl. Tabelle 2.18. 2.6.4 Modale Reduktion und Eigenformapproximation Eine einfache Möglichkeit der Freiheitsgradreduktion besteht darin, nur wenige Eigenformen zu berücksichtigen, d. h. die Anzahl der Freiheitsgrade auf so viele zu beschränken, wie für das jeweilige Problem wesentlich sind. Bei dieser modalen Reduktion wird das Eigenwertproblem für das ursprüngliche System einmal vollständig gelöst, um alle n Eigenfrequenzen und Eigenformen (Moden) zu ermitteln. Danach wird eine Anzahl n1 < n der wesentlichen Eigenformen ϕ i ausgewählt, z. B. nach einem Kriterium für die zu berücksichtigenden Eigenkreisfrequenzen ω i , vgl. Abschn. 2.1.2 und Bild 2.4. Daraus gewinnt man eine reduzierte Modalmatrix, die dann eine Rechteckmatrix mit n Zeilen und n1 Spalten ist. Da in der Antriebsdynamik meist nur die niederen Eigenfrequenzen interessieren, sind praktisch die ausgewählten wesentlichen Eigenformen ϕ i oft mit den n1 niederen Eigenformen identisch, aber es könnten auch beliebige andere höhere Ordnungen einbezogen werden, wenn diese sich nach dem Kriterium der Anregbarkeit als wesentlich erweisen sollten, vgl. Abschn. 5.2. Die modale Reduktion erfolgt gemäß Gl. (2.409), (2.412) und (2.419), wobei die Transformationsmatrix die Eigenvektoren ϕ i enthält: T = (ϕ 1 , ϕ 2 , . . . , ϕ n1 )

(2.443)

Die im Koordinatenvektor qe verbleibenden n1 Koordinaten sind dann diejenigen modalen Koordinaten p, die zu den ausgewählten Freiheitsgraden gehören. Eine modale Koordinate pi beschreibt keine reale physikalischen Koordinate einer einzelnen Masse, sondern die Gesamtheit solcher Koordinaten, die zu der i-ten Eigenform

160


gehören. Sowohl die Massenmatrix als auch die Steifigkeitsmatrix werden bei dieser Reduktionsmethode Diagonalmatrizen, deren jeweils n1 Elemente die modalen Massen und modalen Steifigkeiten der berücksichtigten n1 Moden sind: Mred = diag(µ i );

K red = diag(γ i )

(2.444)

Der Erregerkraftvektor gemäß Gl. (2.419) bezieht sich dann nur auf die berücksichtigten n1 Eigenformen. Es bleiben die ausgewählten n1 Eigenfrequenzen (für die dann ω i2 = γ i /µ i gilt) und Eigenformen exakt erhalten, während alle anderen (n−n1) Eigenfrequenzen und Eigenformen nach der Reduktion nicht mehr existieren. Ausgehend von dem Grundgedanken dieser modalen Reduktion besteht eine weitere Reduktionsmethode darin, an Stelle der exakten Eigenformen ϕ i , welche die Transformationsmatrix in Gl. (2.443) definieren, eine Eigenformapproximation vorzunehmen. Es werden dabei Formfunktionen, d. h. Näherungsansätze ϕ˜ i , für die wesentlichen Eigenformen benutzt. Diese kann man (im Sinne des Ritzschen Verfahrens) schätzen, indem man z. B. die Lage der Schwingungsknoten und eine Amplitudenverteilung bei den einzelnen Eigenformen annimmt oder indem man z. B. experimentelle Ergebnisse am Realsystem auswertet. Man geht also von einer Transformationsmatrix T = (ϕ˜ 1 , ϕ˜ 2 , . . . , ϕ˜ n1 )

(2.445)

aus, mit der man Beziehungen zwischen den ursprünglichen Koordinaten und den neuen Koordinaten des reduzierten Systems erhält, vgl. Gl. (2.409). Man kann damit die anderen in Abschn. 2.6.1 begründeten Transformationen vornehmen, vgl. Gl. (2.409), (2.412) und (2.419). Als Resultat werden dann keine Diagonalmatrizen für Mred und K red entstehen, wie das bei der exakten modalen Reduktion der Fall ist. Die Approximation mit der Transformationsmatrix gemäß Gl. (2.445) stellt gegenüber den exakten Eigenformen, die in Gl. (2.443) berücksichtigt wurden, einen Zwang dar, der zur Folge hat, daß die tiefsten Eigenfrequenz höher als die des ur¨ sprünglichen Systems sein wird. Uber die Veränderung der höheren Eigenfrequenzen gegenüber denen des ursprünglichen Systems lassen sich keine einfachen allgemeinen Aussagen machen. Die Methode der Eigenformapproximation hat gegenüber der exakten modalen Reduktion den Vorteil, daß das Eigenwertproblem des ursprünglichen (großen) Systems nicht gelöst werden muß. Man kann damit auch ein Kontinuum auf wenige Freiheitsgrade reduzieren, vgl. das Beispiel in Abschn. 4.8.2. 2.6.5 Vergleich der Reduktionsmethoden an einem Beispiel Bild 2.63 zeigt einen Torsionsschwinger mit 6 Freiheitsgraden. Er ist in Form einer Bildwelle“ dargestellt, d. h., der Durchmesser charakterisiert die Größe der Dreh” massen und die Länge der Wellen ihre Nachgiebigkeit, vgl. [150]. Dieser Torsionsschwinger soll auf ein Berechnungsmodell mit drei Freiheitsgraden reduziert werden, und zwar nach vier Methoden der Freiheitsgradreduktion: • • • •

der Methode von R IVIN [275], der Methode von G UYAN [130], ¨ der Methode von R OHRLE [278], der Eigenformapproximation.

161


Es sollen die Matrizen der reduzierten Systeme ermittelt und deren ersten drei Eigenfrequenzen mit denen des ursprünglichen Berechnungsmodells verglichen werden. q1

q2 2kT

q3 kT

q4 3kT

J

2J

4J

q5 kT

q6 2kT

J

J

3J

Bild 2.63 Torsionsschwinger mit sechs Freiheitsgraden

Die Bewegungsgleichung dieses Torsionsschwingers nimmt mit der Massenmatrix M und der Steifigkeitsmatrix K des Torsionsschwingers bezüglich der in Bild 2.63 angegebenen Koordinaten qT = (q1 , q2 , q3 , q4 , q5 , q6 ) die Form Mq¨ + Kq = 0

(2.446)

an, wobei die Matrizen lauten: ⎞ ⎛ ⎛ 4 0 0 2 −2 0 0 0 0 ⎜0 1 0 ⎜−2 3 −1 0 0 0⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜0 0 2 ⎜ 0 −1 4 −3 0 0⎟ ⎟ ⎜ , M =J⎜ K = kT ⎜ ⎟ ⎜0 0 0 ⎜ ⎜ 0 0 −3 4 −1 0⎟ ⎝0 0 0 ⎝ 0 0 0 −1 3 −2⎠ 0 0 0 0 0 0 0 −2 2

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 3 0

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠

(2.447)

1

Tabelle 2.18 Freiheitsgradreduktion nach der Methode von R IVIN Reduktionsschritt 0 (ursprüngliches System)

λ i = ω i2 J/kT

Freiheitsgradreduktion nach R IVIN

2

1 1

2

0,9 1 0,6207

4,6897 3

0,8182

1

λ2 λ3 λ4 λ5

2 1

3 0,8182

2 3

3,3103

1

3,3103

λ2 λ3 λ4

= 0,163 6 = 0,718 1 = 2,735 9 = 3,414 9 = 5,467 6 = 0,164 2 = 0,649 2 = 2,748 7 = 3,350 0 = 0,153 1 = 0,598 4 = 2,748 9

λ 2 = 0,154 9 λ 3 = 0,574 8

0,7423

0,6207 4,6897

λ2 λ3 λ4 λ5 λ6

2 3

3

4 2

1

2 1

4

1

3

4

J ω k2 max /kT Typ B 4,50

Typ A 2,90

Typ B 2,667

162


Das Eigenwertproblem (K − ω 2 M)ϕ = 0 kann mit dimensionslosen Größen formuliert werden, so daß an Stelle der Eigenkreisfrequenzquadrate der Eigenwert λ = ω 2 J/kT erscheint. Die Lösung liefert λ 1 = 0, da es sich um ein ungefesseltes Schwingungssystem handelt. Die anderen 5 dimensionslosen Eigenwerte sind in Tabelle 2.18 oben (Reduktionsschritt 0) angegeben. Wünscht man eine Reduktion auf ein System mit drei Freiheitsgraden, bedeutet dies, daß der Erregerfrequenzbereich für dieses System unterhalb von etwa λ = 2 liegt, vgl. Bild 2.4 in Abschn. 2.1. Wird nach der Methode von R IVIN reduziert, ergibt sich nach jedem Reduktionsschritt ein um einen Freiheitsgrad reduziertes Modell. In Tabelle 2.18 sind die nach den Zwischenschritten entstehenden Berechnungsmodelle mit ihren Eigenwerten dargestellt. Die Darstellung als Bildwelle“ zeigt, daß bei allen Reduktionsschritten die Sum” me aller Trägheitsmomente (4 + 1 + 2 + 1 + 3 + 1 = 12)J ist. Die Gesamtnachgiebigkeit zwischen den a¨ ußeren Scheiben (1/2 + 1 + 1/3 + 1 + 1/2 = 4/3)/kT bleibt erhalten, was auch an der konstanten Länge der Bildwelle erkennbar ist. An den Ergebnissen sieht man, wie sich von Schritt zu Schritt der höchste Eigenwert verab” schiedet“ und die niederen Eigenwerte durch Näherungswerte ersetzt“ werden. Die ” Reduktion auf das System mit drei Freiheitsgraden stellt offenbar schon eine zu grobe Vereinfachung dar, denn λ 2 unterscheidet sich nach dem dritten Reduktionsschritt schon um etwa 6 %. Bei der statischen Reduktion nach G UYAN [130] muß zunächst entschieden werden, auf welche Knoten reduziert wird. Dazu werden zweckmäßig diejenigen gewählt, an denen die größten Drehmassen konzentriert sind. Dies sind die Koordinaten q1 , q3 und q5 . Entsprechend der in Abschn. 2.6.2 beschriebenen Methode erfolgt eine Umordnung der Elemente des Koordinatenvektors so, daß im oberen Teil die master“-Koordinaten und im unteren Teil die slave“-Koordinaten stehen. Die ” ” Bewegungsgleichung (2.446) behält ihre Form, aber der Koordinatenvektor und die Matrizenelemente aus Gl. (2.447) werden umsortiert“, vgl. Gl. (2.420): ” qT = (q1 , q3 , q5 , q2 , q4 , q6 ) = (qTe , qTi ) ⎛ ⎛ ⎞ 4 0 0 2 0 0 −2 0 0 ⎜0 2 0 ⎜ 0 4 0 −1 −3 0⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜0 0 3 ⎜ 0 0 3 0 −1 −2⎟ K ∗ = kT ⎜ ⎟, M∗ = J ⎜ ⎜0 0 0 ⎜−2 −1 0 3 0 0⎟ ⎝0 0 0 ⎝ 0 −3 −1 0 4 0⎠ 0 0 −2 0 0 2 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ 0⎠ 1

(2.448)

(2.449)

Entsprechend der in Abschn. 2.6.2 begründeten Rechenvorschrift ergeben sich die Matrizen des auf die master“-Koordinaten reduzierten Systems. Aus Gl. (2.430) ” folgt: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ 2 0 0 −2 0 0 1/3 0 0 −2 −1 0 K red /kT = ⎝0 4 0⎠ − ⎝−1 −3 0⎠⎝ 0 1/4 0 ⎠⎝ 0 −3 −1⎠ 0 0 3 0 −1 −2 0 0 1/2 0 0 −2 ⎛ ⎞ 1 ⎝ 8 −8 0⎠ −8 17 −9 (2.450) = 12 0 −9 9


163

Für die reduzierte Massenmatrix ergibt sich mit der aus Gl. (2.428) bekannten Matrix ⎞ ⎞⎛ ⎛ ⎛ ⎞ −2 −1 0 1/3 0 0 0 1 ⎝−8 −4 ⎟ ⎟⎜ ⎜ 0 −9 −3 ⎠ S = ⎝ 0 1/4 0 ⎠⎝ 0 −3 −1⎠ = (2.451) 12 0 0 −12 0 0 −2 0 0 1/2 aus Gl. (2.431): ⎞ ⎛ 640 32 0 ⎟ J ⎜ Mred = ⎝ 32 385 27⎠ 144 0 27 585

(2.452)

Dabei fällt auf, daß diese Massenmatrix keine Diagonalmatrix mehr ist, im Gegensatz zu allen Massenmatrizen von Torsionsschwingerketten, bei denen die Absolutwinkel der Scheiben als Koordinaten gewählt werden. Dies ist eine Folge der GuyanReduktion, bei dem die anschauliche Vorstellung aufgegeben werden muß, daß jedem Diagonalelement eine Scheibe des Torsionsschwingers zugeordnet werden kann. Die Eigenwerte des statisch kondensierten Systems folgen gemäß Gl. (2.417) aus |K red − ω ∗2 Mred | = 0

(2.453)

und lauten (Reduktion nach G UYAN) mit λ i = ω i∗2 J/kT : λ 1 = 0,

λ 2 = 0,165 8,

λ 3 = 0,755 0

(2.454)

Vergleicht man sie mit denen in Tabelle 2.18 erkennt man, daß die beiden von null verschiedenen Eigenwerte etwas größer sind als die des ursprünglichen Systems. Sie sind wesentlich genauer als diejenigen, die sich nach der Reduktionsmethode von R IVIN ergeben, vgl. Tabelle 2.18. Die Anwendung der dynamischen Kondensation empfiehlt sich, wenn man den Erregerfrequenzbereich kennt, weil man dann auch weiß, auf welche Eigenfrequenzen es besonders ankommt. Interessiert das dynamische Verhalten der Schwingerkette z. B. im Bereich zwischen der ersten und zweiten Eigenfrequenz, also hier im Bereich 0,2 < λ < 0,6, so sollte ein Richtwert λ˜ = ω 2 (J/k) aus diesem Bereich gewählt werden. Setzt man diesen Richtwert in Gl. (2.433) und Gl. (2.434) ein, erhält man eine Transformationsmatrix T, aus der sich mit Gl. (2.412) die reduzierte Massen- und Steifigkeitsmatrix berechnen lassen. Hier soll auch gezeigt werden, wie sich die Größe des Richtwertes λ˜ auf die Eigenwerte auswirkt. Die Lösung des ¨ ): Eigenwertproblems (2.418) liefert folgende Ergebnisse (Reduktion nach R OHRLE λ˜ λ˜ λ˜ λ˜

= 0,25: = 0,35: = 0,45: = 0,55:

λ1 λ1 λ1 λ1

= 0,006 5; = 0013 6; = 0,023 7; = 0,037 2;

λ2 λ2 λ2 λ2

= 0,164 3; = 0,167 5; = 0,173 8; = 0,184 1;

λ3 λ3 λ3 λ3

= 0,736 3 = 0,730 1 = 0,724 9 = 0,720 9

(2.455)

¨ Die Tendenz der Anderungen ist offensichtlich und auch verständlich. Hätte man den ersten oder zweiten Eigenwert als Richtwert gewählt, wäre der betreffende jeweils exakt herausgekommen. So sieht man, daß eine Kompromißlösung zu suchen ist. Bei λ˜ = 0,35 unterscheiden sich der zweite und der dritte Eigenwert nur etwa um 2 % von den exakten Werten, vgl. erste Zeile in Tabelle 2.18. Interessant ist, daß der erste

164


Eigenwert, der exakt Null ist, im Gegensatz zu den anderen Reduktionsmethoden einen endlichen Wert behält. Abschließend soll die Eigenformapproximation, die keine Lösung des ursprünglichen Eigenwertproblems verlangt, zum Vergleich herangezogen werden. Da die erste Eigenfrequenz null ist, weil ihr bei der freien Schwingerkette eine Starrkörperrotation entspricht, sollen nur Näherungen für die zweite und dritte Eigenform berücksichtigt werden. Es ist bekannt, daß die zweite Eigenform der Schwingerkette einen Schwingungsknoten und die dritte Eigenform zwei Schwingungsknoten hat. Man kann also die Lage dieser Knoten schätzen, und wenn man darauf achtet, daß bei keiner höheren Eigenform eine Eigenrotation zustandekommt, kann man auch die Größe der Amplituden der einzelnen Scheiben so abschätzen, daß in der Summe kein Drehimpuls in einer Drehrichtung u¨ brigbleibt. Diesen Bedingungen ¨ die beiden Eigenformen, die laut Gl. (2.445) in die entsprechen die Ansätze fur Transformationsmatrix eingehen: ϕ˜ T1 −1,5 −1,0 0 0,3 1,5 2,2 = (2.456) T= ϕ˜ T2 −0,8 −0,3 1,5 1,5 −0,1 −0,7 Berechnet man damit unter Beachtung von Gl. (2.412) die reduzierte Massen- und Steifigkeitsmatrix, so erhält man 4,19 −0,46 21,68 6,60 (2.457) ; K red = kT Mred = J −0,46 7,02 6,60 9,92 Aus der Frequenzdeterminante von Gl. (2.453) folgt eine quadratische Gleichung, als deren Wurzeln sich folgende Eigenwerte ergeben: λ 2 = 0,171 3;

λ 3 = 0,993 8

(2.458)

Der erste Wert stellt eine relativ gute Näherung dar, der entsprechend der theoretischen Voraussage etwas oberhalb des richtigen Wertes liegt, vgl. Tabelle 2.18. Die höheren Eigenwerte sind meist weniger genau, da es bei höheren Ordnungen immer schwieriger wird, die Eigenform zu schätzen. 2.6.6 Modale Synthese Bei Antriebssystemen, die aus mehreren Baugruppen zusammengesetzt sind, kann zur Freiheitsgradreduktion eine Substrukturtechnik empfohlen werden, die als modale Synthese in der Strukturdynamik bekannt ist [113]. Ziel dieser Substrukturtechnik ist ein Gleichungssystem, das weniger Koordinaten als das ursprüngliche System hat, aber welches das wesentliche dynamische Verhalten im interessierenden (unteren) Frequenzbereich hinreichend genau widerspiegelt. Es wird hierbei nur vorausgesetzt, daß die einzelnen Baugruppen linearen konservativen Systemen entsprechen, deren Eigenfrequenzen und Eigenformen schon ermittelt wurden. Es kann sich dabei z. B. um Teilmodelle für Wellenstränge, mehrstufige Getriebe oder Bauteile am Abtrieb handeln. In der Praxis kann es auch vorkommen, daß das ursprüngliche Antriebssystem durch Anbauteile ergänzt werden soll. Dann wären außer den als bekannt vorausgesetzten modalen Parametern des ursprünglichen Systems noch diejenigen der Anbauteile zu beschaffen.


165

Das resultierende Schwingungsverhalten des aus bekannten Teilsystemen bestehenden Gesamtsystems kann dann unter Nutzung der von den Teilsystemen schon bekannten modalen Daten und den Parametern der Substruktur, welche die Teilsysteme koppelt, vorausberechnet werden. Da in der Praxis oft nur die niederen Eigenfrequenzen des Gesamtsystems interessieren, die wiederum nur von den unteren Bereichen der beiden Eigenfrequenzspektren der Teilsysteme abhängen, kann man eine Vereinfachung vornehmen. Man kann sich auf die Mitnahme einer kleinen Anzahl von Eigenfrequenzen und Eigenformen der Teilsysteme beschränken. Bei der Entscheidung, bis zu welcher Ordnung die zugehörigen Eigenformen bei der modalen Synthese mitzunehmen“ sind, um ei” ne gewisse Genauigkeit bei den interessierenden Eigenfrequenzen zu erreichen, wird eine in [113] (auf Seite 251) zitierte Erfahrungsregel empfohlen: Berücksichtigt man bei der modalen Synthese alle Struktureigenformen, deren Eigenfrequenz unter dem Doppelten der gerade noch interessierenden höchsten Eigenfrequenz des Gesamtsystems liegt, so bleibt der Fehler (von einigen Aus” reißern“ abgesehen) unter 1 %. Im folgenden wird die modale Synthese für den Fall von zwei Teilsystemen beschrieben, die durch eine als trägheitslos angenommene Baugruppe verbunden sind, deren elastisches Verhalten durch die Steifigkeitsmatrix K erfaßt wird. Dabei wird auf die Berücksichtigung der Dämpfung verzichtet. Die beiden Teilsysteme werden mit den Buchstaben A und B gekennzeichnet. Die Anzahl der ursprünglichen Bewegungskoordinaten der Teilsysteme wird mit NA und NB bezeichnet. Die Bewegungsgleichungen für die erzwungenen Schwingungen der beiden unabhängigen Teilsysteme lauten: MA q¨ A + K A qA = f (0) A

(2.459)

MB q¨ B + K B qB =

(2.460)

f (0) B

Vorausgesetzt wird, daß folgende Größen bekannt sind: Massen- oder Steifigkeitsmatrizen MA oder K A und MA oder K B sowie die Eigenfrequenzspektren in Form der diagonalen Spektralmatrizen, die nA bzw. nB Diagonalelemente haben. 2 Ω A = diag (ω Ai ),

2 Ω B = diag (ω Bi )

(2.461)

Die beiden Modalmatrizen

Φ A = (ϕ A1 , ϕ A2 , . . . , ϕ AnA ),

Φ B = (ϕ B1 , ϕ B2 , . . . , ϕ BnB )

(2.462)

enthalten niedere Eigenformen der Teilsysteme, die rechnerisch oder experimentell gewonnen wurden. Die eingeprägten Kraftgrößen sind in den Erregerkraftvektoren f (0) A (t),

f (0) B (t)

(2.463)

der Teilsysteme erfaßt. Die Vektoren pA bzw. pB der modalen Koordinaten haben nA bzw. nB Komponenten. Es gilt also: nA NA ,

nB NB

(2.464)

In den Modaltransformationen der beiden Teilsysteme qA = Φ A · pA ,

qB = Φ B · pB

(2.465)

166


sind deshalb die beiden Modalmatrizen Rechteckmatrizen, deren Zeilenzahl NA bzw. NB beträgt und deren Spaltenzahl (nA bzw. nB ) insgesamt kleiner ist als die Anzahl der ursprünglichen Koordinaten der Teilsysteme. Man beschränkt sich auf diejenigen Freiheitsgrade, die zu den tiefen Eigenfrequenzen gehören. Die Normierung soll so erfolgt sein, daß mit den Matrizen der Teilsysteme (vgl. Gl. (2.459) und (2.460)) gilt:

Φ TA MAΦ A = E,

Φ TA K AΦ A = Ω A

(2.466)

Φ TB MBΦ B

Φ TB K BΦ B

(2.467)

= E,

=ΩB

Bild 2.64 zeigt schematisch die beiden Teilsysteme mit der Koppelstruktur und den Bezeichnungen der dazu gehörenden Größen. M A , K A , qA

Koppelstruktur

Struktur A

K

M B , K B , qB

Struktur B

Ω A , Φ A , pA

Ω B , Φ B , pB

Bild 2.64 Gesamtsystem als Kopplung der Strukturen A und B durch die Koppelstruktur K

Die Bewegungsgleichungen in modalen Koordinaten folgen aus den Gleichungen (2.459), (2.460) mit (2.465) bis (2.467) und lauten: p¨ A + Ω A pA = Φ TA · f A

(2.468)

p¨ B + Ω B pB = Φ TB · f B

(2.469)

Die Kopplungssteifigkeiten sind in einer ((NA + NB ) × (NA + NB ))-Steifigkeitsmatrix K erfaßt. Man formuliert, wie die Kraftgrößen u¨ ber die eine trägheitslose Koppelstruktur charakterisierende Steifigkeitsmatrix K mit den ursprünglichen Bewegungskoordinaten an beiden Teilsystemen zusammenhängen: (k) f A = f (0) A + fA ,

(k) f B = f (0) B + fB

f (0) A

(2.470)

f (0) B

Dabei sind in den Vektoren bzw. die Komponenten der tatsächlich von außen (k) auf die Teilsysteme wirkenden Kräfte und in den Vektoren f (k) A und f B die Koppelkraftkomponenten enthalten. (k) ΦA 0 qA pA fA = −K = −K (2.471) 0 ΦB qB pB f (k) B (0) Zu den aus Gl. (2.459) und (2.460) bekannten eingeprägten Kraftgrößen f (0) A und f B (k) (k) kommen hier die inneren Kraftgrößen f A und f B hinzu, die an den Koppelstellen auftreten. Durch Einsetzen dieser Beziehung in Gl. (2.468) und (2.469) ergibt sich eine inhomogene Gleichung für das gekoppelte Gesamtsystem: pA ΩA 0 p¨ A + p¨ B pB 0 ΩB (0) T ΦA 0 ΦA 0 fA pA − K (2.472) = 0 Φ TB 0 ΦB pB f (0) B


167

die auch in folgender Form geschrieben werden kann: T p¨ A pA ΩA 0 ΦA 0 ΦA 0 + + ·K· p¨ B pB 0 ΩB 0 ΦB 0 Φ TB T (0) ΦA 0 fA = (2.473) 0 Φ TB f (0) B Diese Bewegungsgleichungen sind zur dynamischen Analyse des gekoppelten Systems geeignet. Daraus folgen z. B. für beliebige Erregerkraftgrößen die modalen Koordinaten. Aus denen kann man wiederum gemäß Gl. (2.465) die Verläufe der ursprünglichen Bewegungskoordinaten berechnen, d. h. damit auch alle interessierenden dynamischen Größen an allen Stellen des Gesamtsystems. Aus dem homogenen Differentialgleichung-System von (2.473) folgt nach dem Einsetzen der u¨ blichen harmonischen Ansätze mit der noch unbekannten Eigenkreisfrequenz ω das Eigenwertproblem T Ω A − ω 2E 0 ΦA 0 ΦA 0 pA 0 ·K· = + 0 0 Φ TB 0 ΦB 0 Ω B − ω 2E pB (2.474) Daraus können sowohl die Eigenfrequenzen als auch die Eigenformen des Gesamtsystems berechnet werden. Die Eigenformen in den ursprünglichen Koordinaten folgen aus der Transformation (2.465) Weitere Fälle von Strukturkopplungen, z. B. mit Benutzung der Eigenformen der eingespannten Systeme oder mit Koppelstrukturen, die durch Masse- und Steifigkeitsmatrix beschrieben werden, finden sich ausführlich in [113]. 2.6.7 Kopplung von zwei Schwingerketten In Bild 2.65 ist ein Antriebssystem dargestellt, das aus zwei homogenen Schwingerketten und einem elastischen Kopplungsglied besteht. Die Spektralmatrizen gemäß Gl. (2.461) für die beiden Teilsysteme lauten: ⎞ ⎛ 0 0 0 0 ⎟ 4k ⎜ 0 0,049 52 0 0 2 ⎟ = diag(ω Ai Ω A = T1 ⎜ ) ⎠ 0 0,188 26 0 J1 ⎝ 0 0 0 0 0,388 74 ⎞ ⎛ 0 0 0 4kT2 ⎝ 2 ⎠ = diag(ω Bi 0 0,095 49 0 ΩB = ) (2.475) J2 0 0 0,345 49 Unter Beachtung der Massenmatrizen MA = J1 diag(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) = J1 · E MB = J2 diag(1, 1, 1, 1, 1) = J2 · E

(2.476)

168


J1 kT1

a)

q1

b)

Struktur A J1 J1 J1

J1 kT1

q2

kT1

q3

kT1

q4

J1 kT1

q5

Koppelfeder Struktur B J1 J2 J2 J2 J2

kT1

q6

kT

q7

J2

kT2 kT2 kT2 kT2

q8

q9

q10 q11

q12

c)

ϕ 1A

ϕ 1B

ϕ 2A

ϕ 2B

ϕ 3A

ϕ 3B

ϕ 4A

ϕ 4B

ϕ 5A

ϕ 5B

ϕ 6A

ϕ 7A

Bild 2.65 Zur Kopplung von zwei Schwingerketten; a) Strukturen A und B mit Koppelfeder, b) alle 7 Eigenformen der Struktur A, c) alle 5 Eigenformen der Struktur B

lauten die gemäß Gl. (2.466) und (2.467) normierten und entsprechend abgeschnit” tenen“ Modalmatrizen, die nur die ersten 4 Eigenformen der Struktur A bzw. die ersten 3 Eigenformen der Struktur B berücksichtigen, vgl. Bild 2.65: ⎛ ⎞ 1 1,379 −1,274 −1,106 ⎜ 1 1,106 −0,315 0,614 ⎟ ⎜ ⎟ 1 0,614 0,882 1,379 ⎟ ⎜ 1 ⎜ ⎟ A A A 0 1,414 0 ΦA = √ ⎜ 1 ⎟ = ϕA 1,ϕ2,ϕ3,ϕ4 7J1 ⎜ 1 −0,614 0,882 −1,379 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 −1,106 −0,315 −0,614 ⎠ 1 −1.379 −1,274 1,106


⎛ 1 ΦB = √ 5J2

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

1 1,345 −1,144 1 0,831 0,437 1 0 1,414 1 −0,831 0,437 1 −1,345 −1,144

169

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = ϕ B1 , ϕ B2 , ϕ B3 ⎟ ⎠

(2.477)

Mit den Parameterwerten kT1 = 1 000 N · m,

kT2 = 2 000 N · m,

J1 = 0,03 kg · m ,

J2 = 0,05 kg · m2

2

lauten die Eigenfrequenzen der ungekoppelten Teilsysteme: f1A = 0 Hz,

f2A = 81,25 Hz,

f3A = 158,43 Hz,

f1B = 0 Hz,

f2B = 123,61 Hz, f3B = 235,11 Hz

f4A = 227,67 Hz,

Die Torsionsfederkonstante der Kupplung, die beide Teilsysteme miteinander verbindet, ist kT = 500 N · m Es interessiert nur der Frequenzbereich des Gesamtsystems bis zu 120 Hz. Entsprechend der in Abschn. 2.6.6 genannten Erfahrungsregel interessieren bei der modalen Synthese dann nur die Eigenfrequenzen der Teilsysteme bis zu 240 Hz. Dies wurde oben beachtet, d. h., vom Teilsystem A wurden nur die ersten nA = 4 und vom Teilsystem B nur die ersten nB = 3 Eigenfrequenzen und -formen berücksichtigt. Das Gesamtsystem mit ursprünglich 12 Freiheitsgraden kann damit auf ein Modell mit 7 Freiheitsgraden reduziert werden. Die Elemente der Kopplungsmatrix K ergeben sich aus den Bedingungen des Momentengleichgewichts an der Verbindung beider Teilsysteme an den Koordinaten 7 und 8, vgl. Bild 2.65. Es gilt: T78 = kT (q7 − q8 ),

T87 = −kT (q7 − q8 )

(2.478)

In Matrizenschreibweise folgt für die Kopplungsmatrix also aus einem Koeffizientenvergleich: ⎞ ⎛ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ (2.479) ⎟=K ⎜ ⎜ 0 0 0 0 0 0 kT −kT 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 0 0 0 0 −kT kT 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎝ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎠ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

170


Tabelle 2.19 Elemente der Eigenvektoren (Modalmatrix Φ ) a) Eigenformen ϕ i des echten“ Gesamtsystems ” b) Eigenformen ϕ˜ i des Gesamtsystems, die durch die modale Synthese berechnet wurden a) k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

ϕ1

ϕ2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0,9478 0,8463 0,7005 0,5183 0,3090 0,0835 −0,3760 −0,4745 −0,5524 −0,6064 −0,6339

ϕ3

−0,9790 −0,7013 −0,2247 0,3159 0,7667 1 0,9496 0,3099 0,0767 −0,1746 −0,3847 −0,5038

ϕ˜ 1

ϕ˜ 2

ϕ˜ 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0,9305 0,8299 0,7035 0,5134 0,2697 0,0855 −0,3743 −0,4524 −0,5477 −0,6046 −0,6205

ϕ4

−0,6426 −0,2885 0,2247 0,6140 0,6649 0,3494 −0,1588 −1 −0,7510 −0,1571 0,5090 0,9413

ϕ5

ϕ6

−0,7809 0,4672 0,9686 −0,0782 −1 −0,3235 0,8701 0,4758 −0,2565 −0,6472 −0,1758 0,5297

ϕ7

0,8936 0,0802 −0,8062 −0,9587 −0,2385 0,6988 1 −0,2183 −0,3573 −0,2252 0,0776 0,3216

ϕ˜ 5

ϕ˜ 6

ϕ˜ 7

−0,5870 0,4829 0,6726 −0,3637 −0,7371 0,2330 0,7784 −0,9683 0,0658 1 0,4153 −0,8002

b) k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

−0,9980 −0,7368 −0,2380 0,3557 0,8088 0,9919 1 0,3230 0,1066 −0,1899 −0,4203 −0,5296

ϕ˜ 4

−0,6446 −0,3177 0,2195 0,6690 0,6981 0,2907 −0,1400 −1 −0,7148 −0,1687 0,4820 0,9364

0,8786 0,0234 −0,8043 −0,8405 −0,1717 0,5848 1 −0,2372 −0,3095 −0,2438 0,0469 0,3407

−0,7646 0,4441 0,9586 −0,0443 −1 −0,3793 0,9146 0,5016 −0,2523 −0,7032 −0,2037 0,5801

−0,4373 0,3072 0,5574 −0,1529 0,6911 −0,0544 1 −0,9707 0,1308 0,8698 0,3190 −0,6662

Damit kann die Eigenwertgleichung (2.474) aufgestellt werden. Sie ist eine (7 × 7)Matrix und liefert folgende Näherungswerte für die sieben Eigenfrequenzen: f˜1 = 0 Hz,

f˜2 = 6,69 Hz,

f˜3 = 15,54 Hz,

f˜5 = 27,92 Hz,

f˜6 = 36,76 Hz,

f˜7 = 39,67 Hz

f˜4 = 21,64 Hz,

Berechnet man unabhängig davon die ersten sieben damit vergleichbaren exakten Eigenfrequenzen des unverkürzten Gesamtsystems, so erhält man die Vergleichswerte: f1 = 0 Hz,

f2 = 6,64 Hz,

f3 = 15,45 Hz,

f5 = 27,72 Hz,

f6 = 36,74 Hz,

f7 = 39,23 Hz

f4 = 21,57 Hz,


171

Ein Vergleich zeigt, daß diese ersten sieben Eigenfrequenzen beim reduzierten System mit denen des ursprünglichen Systems tatsächlich nur bis zu etwa 1 % abweichen. (Die maximale Abweichung von 1,12 % tritt bei f7 auf.) Allerdings gibt es die höheren Eigenfrequenzen beim reduzierten System gar nicht mehr. Bezüglich der Eigenformen ist auch nur ein Vergleich mit den ersten sieben Ordnungen möglich. Aus der Modalmatrix des reduzierten Gesamtsystems von Gl. (2.474) kann man mit der Transformation gemäß Gl. (2.465) die Elemente der Eigenvektoren (ϕ˜ i ) in den ursprünglichen Bewegungskoordinaten berechnen, die dann mit denen des vollständigen Gesamtsystems (ϕ i ) vergleichbar sind. In Tabelle 2.19 sind die Elemente ϕ ki und ϕ˜ ki der beiden Modalmatrizen zum Vergleich angegeben. Gesamtsystem J1

J1

kT1

a)

q1

J1 kT1

q2

J1 kT1

q3

J1 kT1

q4

J1 kT1

q5

J1

kT1

q6

J2 kT

q7

J2

J2

J2

J2

kT2 kT2 kT2 kT2

q8

q9

q10 q11 q12

~ 1

~ 2

~

3

~ 4

~ 5

~ 6

~ b)

7

Bild 2.66 Ergebnisse der modalen Synthese zum Vergleich a) Skizze des Gesamtsystems, b) erste sieben Eigenformen des Gesamtsystems

172


Es zeigt sich, daß die Eigenformen, die hier alle mit dem Wert Eins für das größte Element normiert wurden, zahlenmäßig nicht so genau u¨ bereinstimmen wie die Eigenfrequenzen. Das ist eine oft beobachtbare Tatsache. Man kann die (normalerweise zum Vergleich von berechneten und gemessenen Schwingungsformen benutzten und in Abschn. 2.5.2 näher erläuterten) Elemente der MAC-Matrix gemäß 2 T ϕ i · ϕ˜ j (2.480) MAC(i, j) = T ϕ i · ϕ i ϕ˜ Tj · ϕ˜ j berechnen, um einen quantitativen Vergleich vornehmen zu können [362]. Es ergibt sich mit den in Tabelle 2.19 enthaltenen Zahlenwerten aus Gl. (2.480): MAC(1,1) = 1, MAC(4,4) = 0,997 4,

MAC(2,2) = 0,999 6, MAC(5,5) = 0,993 1,

MAC(3,3) = 0,999 0, MAC(6,6) = 0,997 5,

MAC(7,7) = 0,945 2 Die Genauigkeit nimmt im Mittel auch hier mit der Ordnungszahl i ab, aber selbst bei der siebenten Eigenform, wo der MAC-Wert etwas abfällt, stimmten die Formen noch recht gut u¨ berein, vgl. dazu auch Bild 2.66. In Bild 2.66 sind die ersten sieben Eigenformen dargestellt, die das Gesamtsystem hat. Die exakten“ und die durch modale Synthese ermittelten Eigenformen un” terscheiden sich voneinander so wenig, daß man infolge der Zeichenungenauigkeit kaum Unterschiede erkennen kann. Beachtlich ist allerdings der große Unterschied zu den in Bild 2.65 dargestellten Eigenformen der Teilsysteme!

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

3.1 ¨ Erreger- und Ubertragungselemente von Torsionsschwingern Antriebssysteme, welche sich als Torsionsschwinger berechnen lassen, können grob aufgeteilt werden in Baugruppen von • Erregerelementen (z. B. alle motorischen Antriebe wie Elektromotoren, Kolbenmaschinen, Lüfter, Propeller, Bremsen, Bearbeitungsprozesse, die als Kräfte oder Momente von außen auf das Antriebssystem wirken) und ¨ • Ubertragungselementen (z. B. Wellen, Getriebe, Kupplungen), vgl. [215]. Die diskrete Struktur eines Drehschwingungsmodells mit allen zugehörigen physikalischen Größen ist Bild 3.1 zu entnehmen.

Übersetzung M k−1

k −1

k

Mk

uk−1 J k−1 da k−1 ϕk−1

masselose Drehfeder Drehsteifigkeit Relativdämpfung M k+1

kT k−1

uk Jk da k ϕk

k +1

starre Drehmasse Absolutdämpfung

kT k

J k+1 da k+1 ϕk+1

Bild 3.1 Drehschwingungssystem als diskretes Masse-Feder-Modell

Um transiente Vorgänge nachbilden zu können, sind a¨ ußere Erregungen zu berücksichtigen, die den Antriebs- bzw. Arbeitsmaschinen und den Arbeitsprozessen zuzuordnen sind. Eine Anregungsfunktion kann deshalb sowohl Antriebs- als auch reine Belastungsfunktion sein. Die zugehörigen Modellelemente werden hier als Erregerelemente bezeichnet, die in den zugrundezulegenden Schwingungsmodellen meistens auf eine einzige starre Drehmasse zu beziehen sind. Es ist jedoch zu beachten, daß aufgrund von Rückwirkungen zwischen Erreger¨ und Ubertragungselementen, motorische Antriebe auch als Teilsysteme mit diskreten

174


Feder-Masse-Elementen abgebildet werden. In diesem Fall versteht man unter einem Erregerelement die eigentliche a¨ ußere Drehmomenteneinwirkung (z. B. der harmonische Tangentialdruckverlauf pro Zylinder eines Verbrennungsmotors, umgerechnet als auf die Kurbelwelle wirkendes Erregermoment). Entsprechend der Differentialgleichung Jk ϕ¨ k + da k ϕ˙ k + Tk = ∑ g j M jk = Mk

(3.1)

j

mit den Erregermomenten M jk = M jk (t, ϕ k , ϕ˙ k , x 1 , x 2 )

(3.2)

und g j als zeitunabhängige, reine zeitabhängige oder winkel- und winkelgeschwindigkeitsabhängige Gewichtung. Die a¨ ußere Drehmomentfunktion Mk , die sich wiederum aus j Einzelerregermomenten M jk zusammensetzen kann, wird auf die Drehmasse Jk bezogen und hängt entweder explizit oder aber u¨ ber Winkel ϕ k bzw. Winkelgeschwindigkeit ϕ˙ k implizit von der Zeit t ab. Es ist ebenfalls möglich, daß sich die Erregermomente aus mehrdimensionalen Kennfeldern ergeben, so daß sich noch weitere, parameterbezoge¨ ne Abhängigkeiten ergeben (z. B. Verbrennungsmotorkennfelder). Uber die in Gl. (3.2) beispielhaft genannten Parameter x 1 und x 2 ist wiederum eine implizite Zeit-, Winkel- bzw. Geschwindigkeitsabhängigkeit zu beachten. Das Erregermoment läßt sich in vielen Fällen durch Gewichtungsfunktionen g j den gemessenen Beanspruchungen besser anpassen [215]. So läßt sich u¨ ber eine reine Zeitgewichtung ein sanfter Anlaufvorgang mit recht guter Qualität abbilden und rechnerisch simulieren. Gewichtungen spielen vor allem auch dann eine Rolle, wenn plötzliche Unstetigkeiten (wie z. B. Spiele, Stöße und Anschläge) spezifische Systemeigenschaften spontan a¨ ndern. Mit Tk werden die an der Drehmasse Jk angreifenden inneren Momente zusammengefaßt. Diese setzen sich aus den elastischen, dämpfenden (relativ dämpfenden) oder auch reibungsbehafteten Anteilen zusammen. Im Falle einer impliziten Zeitabhängigkeit beeinflussen die Systemantworten u¨ ber die Winkelkoordinaten ϕ k bzw. ϕ˙ k die Erregermomente M jk . Somit sind z. B. Berechnungen von geregelten und damit rückwirkungsbehafteten Antrieben möglich. Erregermomente werden mathematisch mit einem Antriebsmoment Man beschrieben, wenn das mittlere statische Moment Mst größer Null ist (Beschleunigungsund somit Antriebsvorgang); bei einer negativen statischen Momentengröße spricht man definitionsgemäß von einem Belastungsmoment. Nicht in allen Fällen lassen sich Erregermomente als geschlossene Funktionen beschreiben. Oft liegen bei der Lösung praktischer Aufgabenstellungen keine Details bezüglich der Erregerkennlinien vor. Selbst wenn der Erregermechanismus bekannt ist, können die notwendigen Werte für die Eingabeparameter ungenau und somit bezogen auf den konkreten Praxisfall unbrauchbar sein. Sollten jedoch Meßwerte zur Verfügung stehen, so kann beispielsweise ein Beschleunigungssignal an einer großen Drehmasse (z. B. an einem Schwungrad) sehr hilfreich sein für die punktweise Vorgabe des dynamischen Anteils einer Erregerfunktion. Zwischenwerte werden entweder linear oder auch u¨ ber Splines interpoliert.

¨ 3.1 Erreger- und Ubertragungselemente von Torsionsschwingern

175

Zur Beurteilung des Erregerverhaltens spielen die typischen Erregerfrequenzen eine wichtige Rolle, vgl. Bild 2.4. Die Erregerfrequenzen sind entweder im Falle von einigen elektrischen Maschinen netzabhängige Festfrequenzen oder im Regelfall einfach bzw. k-mal proportional zur Erregerdrehzahl (Motordrehzahl). Tabelle 3.1 faßt die wichtigsten Erregerfrequenzen zusammen, die externen Erregermomenten zugeordnet werden. Tabelle 3.1 Erregerfrequenzen typischer Erregerelemente [54], [319], [339] Erregerelemente 1

Pumpe, Lüfter, Ventilator, Propeller zP Anzahl von Schaufeln, Blättern

2

spezielle Impeller-Anregung zR Anzahl der Rotorbeschaufelung, zS Anzahl der stationären Schaufeln, q größter gemeinsame Nenner aus zR und zS Kolben-Kompressor, Pumpe, 2-TaktVerbrennungsmotor 4-Takt-Verbrennungsmotor

3 4 5

6

7

AC-Motor (Generator) fN Netzfrequenz (50 oder 60 Hz) p Anzahl der Pole (z. B. 2, 4) frequenzgeregelter Antrieb (VFD) pV Anzahl der Pulse (VFD) (z. B. 6, 12) p Anzahl der Pole (AC-Motor) (2, 4) Ungleichmäßig u¨ bersetzende Mechanismen, vgl. Abschn. 4.4

Erregerfrequenzen (bezogen auf die jeweilige Drehfrequenz f ) Blattpassierfrequenz (Schaufelfrequenz): zP · f (zR · zS /q) · f

1, 2, 3, . . . , k · f (ganze Ordnungen k) 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; . . .; k · f (halbe Ordnungen k) 1 · fN 2 · fN p· f 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; . . .; k · pV · p · f k · f ; k = 1, 2, . . . ,K (K = Ordnung der höchsten Harmonischen)

¨ Ubertragungselemente lassen sich grob in die folgenden drei Hauptgruppen aufteilen: • Wellen (Torsionsstab, evtl. Berücksichtigung von Wellen-Naben-Verbindungen) • Getriebe (z. B.: Zahnradgetriebe, Umlaufrädergetriebe, Schneckengetriebe, Riemengetriebe, hydrodynamische Getriebe, Berücksichtigung aller winkel- und geschwindigkeitsabhängigen Eigenschaften) • Kupplungen (z. B.: elastische Kupplungen, mehrstufige Fahrzeugkupplungen, Schalt- und Rutschkupplungen, Freiläufe, Gelenkwellen) ¨ Wesentlich sind manchmal nichtlineare Effekte, die sich Ubertragungselementen (Wellen, Getrieben, Kupplungen) zuordnen lassen wie z. B. Spiele und Dämpfungen. Dadurch hängt die dynamische Beanspruchung von der a¨ ußeren Anregung nichtline¨ ar ab. Die Ubertragungselemente sorgen dafür, daß sich die Drehmomentübertra¨ gung zwischen zwei benachbarten Drehmassen vollzieht. Diese sogenannten Uber-

176


tragungsmomente hängen von der Steifigkeit, der Dämpfung, dem Verdrehwinkel, der Verdrehwinkelgeschwindigkeit oder manchmal explizit von der Zeit ab. Für die an der Drehmasse Jk angekoppelten Drehsteifigkeiten kT k lassen sich die ¨ inneren Ubertragungsmomente Tk wie folgt formulieren: Tk = Tel k + Td k + Tr k

(3.3)

wobei im allgemeinen gilt: Tel k =

kT k ∆ ϕ k uk

elastisches Moment

(3.4)

Td k =

dT k ∆ ϕ˙ k uk

Dämpfungsmoment

(3.5)

Reibungsmoment

(3.6)

Tr k = Tr k (∆ ϕ k , ∆ ϕ˙ k )

In den Gln. (3.4) bis (3.6) wird mit ∆ ϕ k der Differenzwinkel bzw. mit ∆ ϕ˙ k die Differenzwinkelgeschwindigkeit zwischen zwei benachbarten Drehmassen unter Berück¨ sichtung der Ubersetzung uk bezeichnet. Es gilt: ∆ϕk =

ϕk

uk

− ϕ k+1 ;

∆ ϕ˙ k =

ϕ˙ k

uk

− ϕ˙ k+1

(3.7)

¨ Die Einführung einer Ubersetzung uk hat den Vorteil, daß auf die sonst u¨ blichen Drehmassen- bzw. Drehsteifigkeitsreduktionen verzichtet werden kann. Unter Re” duktion“ versteht man hier die Umrechnung einer Massenträgheit oder Drehsteifigkeit (oder auch Relativdämpfung) in eine dynamisch adäquate Größe, das heißt in eine Größe gleicher kinetischer oder potentieller Energie. Die Reduktion erfolgt auf eine Bildwelle“, die sich in den meisten praktischen Anwendungen mit der Motor” drehzahl dreht. Bei der Beurteilung der Massen- und Steifigkeitsverteilung bezüglich des Energieinhalts in einem Schwingungssystem ist die zahlenmäßige Gegenüberstellung von reduzierten Massen und Steifigkeiten vorteilhaft. Gesamtmassen und Gesamtnachgiebigkeiten lassen sich einfach aus einer Bildwelle ableiten. Allgemein läßt sich folgender Zusammenhang formulieren: R = Jred

JW K

∏

(3.8)

u2k

k=1

wobei mit R die Bildwelle bezeichnet wird und mit W irgendeine Welle, die u¨ ber ¨ eine oder mehrere Ubersetzungen in Beziehung zur Welle R steht. Die Gesamtübersetzung wird als Produkt der Einzelübersetzungen gebildet. Für die Reduktion von Drehsteifigkeiten kT k und Relativdämpfungen dT k gilt die analoge Beziehung nach Gl. (3.8). ¨ Die Ubersetzung uk wird im Regelfall durch geometrische Beziehungen vorgegeben, so z. B. im Falle eines Stirnrad- bzw. Kegelradgetriebes u¨ ber das Verhältnis von Zähnezahlen z bzw. u¨ ber das Verhältnis von Teilkreisdurchmessern d. Bei Riemenund Kettengetrieben gelten analoge Betrachtungsweisen u¨ ber die Rad- und Scheibendurchmessern. Bei Zahnrad- bzw. Zugmittelgetrieben können auch die Drehzahl¨ verhältnisse zur Bestimmung des Ubersetzungsverh¨ altnisses in Beziehung gesetzt

¨ 3.1 Erreger- und Ubertragungselemente von Torsionsschwingern

¨ Tabelle 3.2 Kennlinien von Ubertragungselementen [215] 1

Baugruppe Spiel in Wellen, Getrieben und Kupplungen, vgl. auch Bilder 2.6 und 4.19

Kennlinien-Darstellung

M ∆ϕ

δ 2

Zahnradgetriebe, vgl. auch Bild 3.12

k km

0 3

elastische Kupplung, vgl. Abschn. 3.4.2.2

2π 4π

zϕ

M

∆ϕ 4

Kupplung mit mehrstufiger Elastizität, vgl. Abschn. 3.4.2.2

M

∆ϕ 5

Reibungsbehaftetes Antriebselement, vgl. Tabelle 3.9

M

∆ϕ 6

Rutschkupplung, vgl. Abschn. 5.4.3

M M R1 M R2 & ∆ϕ, ∆ϕ & ∆ϕ

7

Freilauf, vgl. Abschn. 5.4.3

M

∆ϕ

177

178


¨ Tabelle 3.3 Erregerfrequenzen typischer Ubertragungselemente ¨ Ubertragungselemente 1

2 3 4

Kupplung (+ Spiel), Zentrifugalkompressor, Turbine (Anregung aufgrund von Unwuchten, Exzentrizitäten, Fluchtfehlern) Gelenkwelle, Kurbelgetriebe Zahnradgetriebe z Zähnezahl Wälzlager

Erregerfrequenzen (bezogen auf die jeweilige Drehfrequenz f ) 1· f 2· f 2· f Zahneingriffsfrequenz: 1, 2, 3 · z · f vgl. Tabelle 3.5

werden. Somit läßt sich folgendes formulieren (Indizes beziehen sich auf die Bezeichnungen in Bild 3.1): uk =

ϕ˙ k zk+1 dk+1 = = zk dk ϕ˙ k+1

(3.9)

¨ Zu den Ubertragungselementen sollen hier auch Baugruppen mit veränderlichen Parametern hinzugezählt werden. Derartige Baugruppen zeichnen sich dadurch aus, daß je nach Erregertyp das Trägheitsmoment J bzw. die Drehsteifigkeit k bzw. die ¨ Relativdämpfung d bzw. die Ubersetzung stellungsabhängige (z. B. periodische) Ei¨ genschaften haben. Die in den folgenden Abschnitten beschriebenen Ubertragungselemente stellen repräsentative Beispiele aus der Vielzahl der in der Antriebstechnik ¨ vorkommenden Elemente dar. Eine Ubersicht ist der Tabelle 3.2 zu entnehmen. Die typischen Erregerfrequenzen von Baugruppen mit veränderbaren Parametern sind in der Tabelle 3.3 zusammengefaßt.

3.2 Parameterwerte einzelner Elemente 3.2.1 Zylinder- und Kegelelemente Für jedes Schwingungsmodell, das aus mehreren Masse- und Feder-Elementen besteht und als gerades, verzweigtes oder vermaschtes System abgebildet werden kann, ergibt sich die Frage nach der Ermittlung der entsprechenden Parameter. Die Parameterwerte sind entscheidend für die Abbildungsqualität des Realsystems durch das Schwingungsmodell und somit für die darauf folgende Berechnung. Zu den Parametern, die für die Modellbildung eines Antriebssystems hinsichtlich der Drehschwingungsanalyse von Bedeutung sind, zählen Trägheitsmomente J, Federsteifigkeiten k, Absolutdämpfungen da und Relativdämpfungen d. Es ist die Aufgabe des Ingenieurs, diese Parameterwerte anhand von Konstruktionszeichnungen so weit wie möglich zu ermitteln. Falls nötig, müssen ggf. auch Abschätzungen vorgenommen werden. In manchen Fällen werden auch Trägheits-

3.2 Parameterwerte einzelner Elemente

179

momente und Drehsteifigkeiten sowie Lagerdaten von Herstellern katalogmäßig zur Verfügung gestellt. Im Regelfall wird bei der Berechnung der Trägheitsmomente und Steifigkeiten von Drehschwingungssystemen die abgesetzte Welle zugrunde gelegt, falls nicht schon durch die Zuordnung von diskreten Massen zu Erregerelementen bzw. diskre¨ ten Steifigkeiten zu Ubertragungselementen die Parameter von vornherein durch Katalogwerte gegeben sind. Normalerweise müssen den einzelnen Wellenabschnitten noch die Anteile aus den durch das Modell abgesetzte Welle nicht beschreibbaren Anteile von Massen und Steifigkeiten zugeschlagen werden [189]. Bild 3.2 zeigt eine abgesetzte Welle und die vereinfachte Diskretisierung in Trägheitsmomente und Federsteifigkeiten. Prinzipiell wird hierbei der Schwerpunkt von jedem einzelnen Wellenelement (Zylinder- bzw. Kegelelement) als Bezugspunkt betrachtet. 1

2

kT1

J1

3

kT2

J2

4

kT3

J3

5

kT4

J4

6

kT5

J5

diskretes Masse-Feder-System J6

Bild 3.2 Diskretes Masse-Feder-System als Modell einer abgesetzten Welle

Für die Berechnung des polaren Trägheitsmomentes Jp k (im Folgenden kurz Jk genannt) eines zylindrischen Körpers gilt: Jk = Ip · l;

Ip =

πd4

32

(3.10)

mit der Dichte und dem polaren Flächenträgheitsmoment Ip . Die Steifigkeit kT zwischen zwei benachbarten Zylinderelementen k und k + 1 berechnet sich bei einer Reihenschaltung zu: −1 1 1 + (3.11) kT = kT k kT k+1 Die Teilsteifigkeiten kTk lassen sich aus den halben Zylinderlängen des Zylinderelements kTk in erster Näherung wie folgt bestimmen: kTk =

GIp lk

(3.12)

In gleicher Weise läßt sich die Relativdämpfung di aus zwei Dämpfungsanteilen dk und dk+1 analog zur Gl. (3.11) bestimmen.

180


lk

lk+1 k +1

dk

d k+1

k

∆l lk+1/2

lk /2

Bild 3.3 Modell einer einfach abgesetzten Welle mit zwei Zylinderelementen k und k + 1

Falls ein Hohlzylinderelement zugrunde gelegt wird, berechnet man das polare Flächenträgheitsmoment Ip aus π

Ip =

(3.13) (d 4 − d14 ) 32 2 mit Innendurchmesser d1 und Außendurchmesser d2 . Es kann sinnvoll sein, ein Einzelelement in mehrere Abschnitte aufzuteilen. Für einen kegeligen Wellenabschnitt mit kleinen Keilwinkeln (entsprechend Bild 3.4) gilt für d1 < d2 folgende Beziehung für das gesamte Trägheitsmoment: J=

π d25 − d15

160 d2 − d1

l

(3.14)

Falls das Kegelelement als eine einzige diskrete Drehmasse abgebildet wird, ergeben sich rechts und links vom Schwerpunkt S zwei Teilsteifigkeiten k1 und k2 . Die Teilsteifigkeiten ergeben sich bezogen auf die Teillängen l1 und l2 zu: kT1 = mit

GIp ; l1 γ 1

kT2 =

GIp l2 γ 2

% 2 3 & d1 d1 1 d1 ; γ1 = + + 3 dS dS dS

(3.15) % 2 3 & dS dS 1 dS γ2 = + + 3 d2 d2 d2

(3.16)

Die Teillängen l1 und l2 sind jeweils die Abstände von der Kegelstirnfläche zum Schwerpunkt S: l2 =

l 2d1 + d2 ; 3 d1 + d2

l1 = l − l2

(3.17)

Für den Kegeldurchmesser im Schwerpunkt S gilt: dS = d1 +

l1 (d2 − d1 ) l

(3.18)


181

Kegelelement

d2

d1

dS

S

J1 l1

l2

J2

l Bild 3.4 Geometrie an einem kegeligen Wellenabschnitt

Die Teilsteifigkeiten k1 bzw. k2 müssen mit den benachbarten Teilsteifigkeiten kk−1 bzw. kk+1 in Reihe zu der jeweiligen Gesamtsteifigkeit geschaltet werden, vgl. Bild 3.2 und Gl. (3.11). Bei kürzeren Kegelabschnitten kann es jedoch auch sinnvoll sein, die Drehmasse des Kegelelementes nach rechts und links vom Schwerpunkt aufzuteilen.

3.2.2 Zusatzlängen und Nachgiebigkeitsfaktoren Da der Kraftfluß bei Wellenabsätzen – a¨ hnlich wie bei einer Strömung – den spontanen Durchmessersprüngen nicht direkt folgen kann, bewirkt die Berechnung der Stei¨ figkeiten nach Gl. (3.11) die Abbildung einer zu harten“ Steifigkeit. An den Uber” gangsstellen zu den größeren Zylinderelementen existieren kraftflußfreie Bereiche, die mit den Totwassergebieten in der Hydrodynamik zu vergleichen sind. Dieser Effekt läßt sich rechnerisch durch sogenannte Zusatzlängen ∆l näherungsweise erfassen, wenn keine präziseren FEM-Ergebnisse vorliegen [133], [138], [281], vgl. auch Abschn. 2.4.4.4. Dies bedeutet, daß die Zylinderelemente mit dem kleineren Durchmesser um einen bestimmten Betrag fiktiv verlängert werden, um auf diese Art und Weise die zusätzliche Nachgiebigkeit aufgrund des Wellenabsatzes abzubilden (siehe Bild 3.3 mit eingetragener Zusatzlänge ∆l). Für dk < dk+1 gelten für die Teilsteifigkeiten kk bzw. kk+1 folgende neuen Längen: lk∗ = kk + ∆l;

∗ lk+1 = lk+1 − ∆l

(3.19)

Ausführliche Untersuchungen u¨ ber Zusatzlängen verschiedener Typen von Wellenabsätzen und die Berechnung mit Hilfe von Bessel-Funktionen sind in der Arbeit [281] zu finden. In Bild 3.5 sind die Zusatzlängen für einfach abgesetzte Wellen ¨ ¨ mit Ubergangsradius r dargestellt. Bei großen Ubergangsradien und großen Durchmesserverhältnissen kann die Zusatzlänge negativ werden, was einer Verhärtung des ¨ Wellenübergangs entspricht. In diesem Fall wäre jedoch die Modellierung des Ubergangs mit einem zwischengeschalteten Kegelelement sinnvoller.


Zusatzlänge

182

bezogener Radius

Durchmesserverhältnis Bild 3.5 Bezogene Zusatzlängen für einfach abgesetzte Wellenabschnitte mit ¨ Ubergangsradius r in Abhängigkeit vom Durchmesserverhältnis und bezogenem Radius r [281]

Für r = 0 läßt sich die Zusatzlänge auch vereinfacht durch drei Bereiche wie folgt beschreiben: ⎧ ⎪ für 0 < δ 0,3 ⎨0,155 (3.20) λ = −0,115δ + 0,189 5 für 0,3 δ 0,5 ⎪ ⎩0,264 · (1 − δ ) für 0,5 δ 1 mit λ = ∆l/dk und δ = dk /dk+1 . Das in Bild 2.47 dargestellte Beispiel einer Getriebewelle wurde zunächst als 6Massen-System ohne Zusatzlängen hinsichtlich der Eigenfrequenzen und Eigenfor-


183

men berechnet. Eine Vergleichsrechnung mit Zusatzlängen nach Gl. (3.20) zeigte eine Absenkung der Eigenfrequenzen zwischen 4 und 12 %, während die Eigenformen unverändert blieben. Die Steifigkeiten nahmen bis zu 22 % ab. Zusatzlängen haben nur einen geringen Einfluß auf das Ergebnis, wenn die Längen der Zylinderelemente relativ groß im Verhältnis zum Wellendurchmesser sind. Einen Einfluß auf die Steifigkeit eines Zylinderelements haben Paßfederverbindungen. Nach [174] wird dieser Einfluß durch einen Nachgiebigkeitsfaktor ψ > 1 zum Ausdruck gebracht. Dieser gibt an, um wieviel eine Welle mit gegenüber einer glatten weicher wird. Als wirksamer Durchmesser d ∗ einer Welle mit Nut wird der Wellendurchmesser d abzüglich der Nuttiefe h zugrunde gelegt. Die Teilsteifigkeit berechnet sich dann zu: kT =

GIp (d ∗ ) ψ l

mit d ∗ = d − h

(3.21)

1,2 h

ψ 1,1

d* d

1,0 0 a)

0,1 t = h /d *

0,2

1,8 ψ 1,6 180°

1,4 1,2 1,0 0 b)

0,1 t = h /d *

0,2

Bild 3.6 Ermittlung des Nachgiebigkeitsfaktors ψ für Wellen mit Nut [174]

Bild 3.6 zeigt die Zusammenhänge zwischen der Nuttiefe, dem wirksamen Wellendurchmesser und dem Nachgiebigkeitsfaktor ψ . Man kann den Faktor ψ auch in diesem Fall vereinfacht durch zwei Geradengleichungen für die betreffende WellenNaben-Verbindung berechnen. Für die Welle mit einer einzigen Paßfeder gilt dann mit der Abkürzung t = h/d ∗ : ' 1 für t 0,05 ψ = (3.22) 0,96 + 0,8t für t 0,05

184


Für die Welle mit zwei um 180◦ versetzten Paßfedern gilt: ' 1 + 2t für t 0,1 ψ = 0,76 + 4,4t für t 0,1

(3.23)

Korrekturen bei anderen Wellenausführungen (z. B. bei exzentrisch gebohrten Wellen, konischen Wellen, konisch gebohrten zylindrischen Wellen) sind in [133], [247] anhand von Diagrammen bzw. Formeln zusammengestellt. 3.2.3 Drehsteifigkeiten von Kurbelwellen Die Berechnung von Drehsteifigkeiten von Kurbelwellen geschieht im Normalfall nicht mehr nach den in den vorherigen Abschnitten beschriebenen Regeln, sondern wird anhand einer detaillierten strukturmechanischen Modellierung auf der Basis von CAD-aufbereiteten Geometriedaten mit Hilfe der Finiten-Elemente-Methode (FEM) durchgeführt. In diesen Berechnungen werden nicht nur Steifigkeiten sondern auch die Ermittlung von Massenträgheiten erfaßt. Umfangreiche Strukturberechnungen von Kurbelwellen sind zwar im Regelfall recht genau, stehen aber für erste rechnerische Untersuchungen nicht immer sofort zur Verfügung. Gerade im Entwurfsstadium kommt der vereinfachten, aber dennoch praxisnahen Modellierung von Kurbelwellen eine besondere Bedeutung zu. Im folgenden wird lediglich auf die Berechnung von Kurbelwellen-Drehsteifigkeiten näher eingegangen. Früher konnten Steifigkeitswerte nur anhand von Messungen (Verdrehversuchen) ermittelt und dann anhand von (semi-) empirischen Formeln dem Berechnungsingenieur zur Verfügung gestellt werden [140], [247]. Grundsätzliche Berechnungsvorschriften für Kurbelwellen, die sich vor allem auch auf die festigkeitsmäßige Auslegung beziehen, werden in den einschlägigen Schiffsbau-Richtlinien [224] und [117] detailliert behandelt. Die wichtigsten Formeln, die man auch heute noch für Berechnungen anwendet, sind in [133], [138], [140] zusammengestellt. In der Triebwerksberechnung ist es u¨ blich, die Gesamtsteifigkeit aus den sog. a¨ quivalenten Längen“ le (auch reduzierte Längen“ genannt) zu ermitteln [133], ” ” [247], [140]. Unter der a¨ quivalenten Länge versteht man die Länge einer virtuellen Vollwelle mit vorgegebenem Referenzdurchmesser de und dem gleichen Materialkennwert Ge sowie der gleichen Drehsteifigkeit kT wie bei der gestuften, realen Kurbelwelle. Für die Steifigkeit gilt demnach: kT =

Ge Ip (de ) le

(3.24)

Für eine abgesetzte Welle mit zylindrischen Abschnitten läßt sich folgender Zusammenhang formulieren: le = Ge de4 ∑ j

lj G j (d24 j − d14 j )

(3.25)

mit Innendurchmesser d1 j und Außendurchmesser d2 j . Unter Zugrundelegung der a¨ quivalenten Größen sowie des in Bild 3.7 angegebenen Ersatzmodells berechnet sich die Drehsteifigkeit für einen Kurbelwellenab-


185

Bild 3.7 Geometrische Größen eines Hubzapfens mit anteiliger Welle für die Berechnung der Drehsteifigkeit eines Kurbelwellenabschnitts (nach [138])

schnitt nach verschiedenen in der Literatur vorgestellten Formeln. Der mathematische Zusammenhang wird ursprünglich in Form einer Nachgiebigkeitsgröße ε = le /de4 dargestellt. Die Ausgangsgleichung für die a¨ quivalente Steifigkeitsberechnung lautet: π Ge (3.26) kT = 32ε Als a¨ quivalenter Durchmesser de wird der Wellenaußendurchmesser ds festgelegt. Die nachfolgenden Formeln lassen sich je nach Anwendungsfall alternativ einsetzen: a) Formel nach W ILSON ε =

b + 0,4d1s a + 0,4d2c r − 0,2 · (d2s + d2c ) + 4 + 4 − d4 4 h · w3 d2s d − d 1s 2c 1c

b) Formel nach Z IAMANENKO [247] w d2s b + 0,6h d2s 0,8a + 0,2 r3/2 b + r √ ε = + 4 − d4 4 − d4 d2s d2c hw3 d2c 1s 1c c) Formel nach C ONSTANT [53] b 1 a 0,94 ε = · + 4 + 4 − d4 4 α 1α 2α 3α 4 hw3 d2s d2c − d1c 1s

(3.27)

(3.28)

(3.29)

In der Formel (3.29) werden noch Beiwerte α 1 , α 2 , α 3 , α 4 benötigt, die sich gemäß den folgenden Gleichungen bestimmen lassen. Der Beiwert α 1 korrigiert den Einfluß der Wangenbreite im Verhältnis zum Wellendurchmesser: ⎧ −1/2 ⎪ ws −d1s wc −d1c ⎨ 1 − 0,082 5 · + − 0,32 für d1s > 0 α1 = (3.30) 2ws 2wc ⎪ ⎩0,9 für d1s = 0

186


¨ Mit α 2 wird die Anderung der Wangendicke berücksichtigt. Es gilt: ⎧ 4h 4h 3 ⎪ ⎪ für > ⎨1666 − l l 2 (3.31) α2 = ⎪ 4h 2 ⎪ ⎩1 für l 3 Die Größe sowie auch Anordnung der Wangenfasen (Wangenschrägen) gehen in den Beiwert α 3 ein: ⎧ 1,010 ohne Fase an den Wangen ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1,000 für Fase AB und A B ⎪ ⎪ ⎨0,965 für Fase CD α3 = (3.32) ⎪ 0,930 für Fase CD und CD ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0,950 für Fase EF ⎪ ⎪ ⎩ 0,900 für Fase EF und E F Der Lagereinfluß wird u¨ ber α 4 abgebildet: ' β für β 1 α4 = 1 für β < 1

(3.33)

mit β = pl 3 w/(d24 −d14 )+q. Dabei ist p = 0,002 9; q = 0,91 für Schiffsmotoren und große Stationärantriebe und p = 0,01; q = 0,84 für Fahrzeug- und Flugmotoren. Die Formel (3.29) gilt für Kurbelwellen mit großen Bohrungen und Wangenfasen. Weitere Formeln zur Ermittlung der a¨ quivalenten Länge werden als Redukti” onsformeln“ in [140] ausführlich vorgestellt, auf die hier nicht näher eingegangen wird. Die Formeln von G EIGER, S EELMANN, C ARTER und T UPLIN sowie auch die B ICERA-Formel von der British Internal Combustion Engine Research Association werden in der genannten Literatur generell in folgender, anschaulicher Schreibweise präsentiert, siehe auch [133]: le = qs

Ipe Ipe Ipe + qc + qw Ips Ipc Ipw

(3.34)

Der Koeffizient qs berücksichtigt die Elastizität des Wellenzapfens einschließlich eines Wangenanteils. Mit dem Koeffizienten qc wird die Elastizität des Hubzapfens erfaßt, während der dritte Koeffizient qw die Biegebeanspruchung der Wange infolge des am Hubzapfen wirkenden Torsionsmomentes widerspiegelt. 3.2.4 ¨ Dampfungswerte von Torsionsschwingern Die Ermittlung von praxisnahen Dämpfungswerten unterliegt im Regelfall immer großen Unsicherheiten, da ein Zusammenhang zwischen Dämpfung und geometrischen Angaben nicht generell hergestellt werden kann. Wenn versuchstechnisch gewonnene Werte entweder nicht vorliegen bzw. auf den betreffenden Anwendungsfall nicht u¨ bertragbar sind, kann nur mit Näherungswerten gearbeitet werden.

187


Die Dämpfung eines Schwingungssystems stammt aus • a¨ ußerer Dämpfung (Absolutdämpfung): Dämpfung durch a¨ ußere Bewegungswiderstände (Führungen, Lagerungen), • innere Dämpfung (Relativdämpfung): Dämpfung durch innere Verformungswiderstände in den elastischen Bauteilen (material- bzw. werkstoffabhängig). Solange keine a¨ ußeren Drehmomente konkret als Belastungsgrößen funktional beschreibbar sind, lassen sich Drehmomente, die von außen auf das Antriebssystem ¨ wirken, auch als Absolutdämpfungsmoment beschreiben. Ublich ist der Ansatz der viskosen Dämpfung, vgl. Bild 3.1 und Gl. (3.1): Td k = dd k ϕ˙ k

(3.35)

In vielen Fällen lassen sich die Dämpfungskonstanten dd k nur experimentell ermitteln. Für bestimmte Maschinen existieren zur Berechnung der absoluten Dämpfungskoeffizienten da (in N · m · s/rad) auch analytische Ansätze [150]: a) Schubkurbelgetriebe in Kolbenmotoren: da = µ Ar2

(3.36)

mit Kolbenfläche A in m2 , Kurbelradius r in m und Dämpfungsbeiwert µ . Für den Dämpfungsbeiwert µ werden folgende Werte angenommen: µ = 1,5 · 104 . . . 2,0 · 104 N · s/m3

für Kraftfahrzeugmotoren

µ = 4,0 · 10 . . . 5,0 · 10 N · s/m

für (Groß-)Dieselmotoren

4

4

3

b) Kreiselverdichter, Ventilatoren, Gebläse: da = 19,1

Mab n

(3.37)

mit Mab in N · m, n in min−1 . c) Schiffsschrauben: da = 38,2

Mab n

(3.38)

mit Mab in N · m, n in min−1 . In den letzten beiden Gleichungen wird mit Mab der Absolutwert des mittleren Abtriebsmoments bezeichnet. Es ist oft u¨ blich, daß anstelle der in Gln. (3.37) und (3.38) genannten Absolutdämpfungskoeffizienten der Hersteller Kennlinien in Form einer (meist quadratischen) drehzahlabhängigen Kurve vorgibt. Da die Dämpfungskoeffizienten di im Regelfall nicht bekannt sind, läßt sich u¨ ber den dimensionslosen Dämpfungsgrad D (Lehrsches Dämpfungsmaß) eine näherungsweise, praxistaugliche Berechnung realisieren [215]. Hierzu wird in einem ersten Berechnungsgang das Eigenverhalten des ungedämpften Schwingungssystems berechnet. Für die Zuordnung gilt die Annahme, daß der größte lokale Anteil der potentiellen Energie einer Eigenform die entsprechende Eigenfrequenz primär beeinflußt.

188


Da für den Dämpfungsgrad D Erfahrungswerte vorliegen, läßt sich aus der Beziehung dT =

2DkT

(3.39)

ωi

der dimensionsbehaftete Dämpfungskoeffizient dT für die Relativdämpfung ermitteln. Hierbei besteht eine Zuordnung zwischen dem Wellenabschnitt (kT ), in dem die potentielle Energie der zugewiesenen Eigenform maximal ist, und der zugehörigen Eigenkreisfrequenz ω i . Es sei an dieser Stelle angemerkt, daß eine derartige Zuordnung besonders bei mehrfach verzweigten oder gar vermaschten Systemen nicht immer eindeutig gegeben ist. Bei diesem Verfahren wird einem Steifigkeitsort“ immer eindeutig eine Eigen” kreisfrequenz ω i zugeordnet. Es können jedoch umgekehrt mehrere Steifigkeitsorte einer einzigen Eigenkreisfrequenz zugewiesen werden. Zahlreiche rechnerische Untersuchungen haben gezeigt, daß die Zuordnung tieferer Eigenkreisfrequenzen generell bevorzugt werden muß, damit das Dämpfungsverhalten des Schwingungssystems praxisgerecht abgeglichen werden kann (im Regelfall Eigenfrequenzen bis zu 100 Hz). Man kann hieraus auch den Schluß ziehen, daß in vielen Untersuchungen, in denen ohnehin das Grundverhalten des Schwingungssystems primär von Interesse ist, die Ungenauigkeit von Dämpfungswerten bezüglich höherer Eigenkreisfrequenzen ggf. nicht ins Gewicht fällt. Andererseits muß beispielsweise bei dynamischen Untersuchungen von Zahnradstufen gerade das höhere Frequenzverhalten (meist 500 . . . 2 500 Hz) möglichst exakt datenmäßig abgebildet werden, damit z. B. eine akustische Störschwingung rechnerisch gut nachgebildet werden kann. Erfahrungswerte für den Dämpfungsgrad D sind der Tabelle 3.4 zu entnehmen [215]. Tabelle 3.4 Erfahrungswerte für den Dämpfungsgrad D ¨ Ubertragungselement

Dimensionsbereiche

Richtwerte für den Dämpfungsgrad D

Welle (St)

d 100 mm

0,005

Welle (St)

d > 100 mm

0,01

Zahnradstufe

P 100 kW

0,02

Zahnradstufe

P = 100 . . . 1 000 kW

0,04

Zahnradstufe

P > 1 000 kW

0,06

elastische Kupplung

siehe Herstellerkataloge

0,02 . . . 0,2

Im Einzelfall müssen die in Tabelle 3.4 genannten Richtwerte vom jeweiligen Hersteller u¨ berprüft werden und für vorgegebene Randbedingungen meßtechnisch eingehend verifiziert werden. Der Dämpfungsgrad D kann auch für den Resonanzbereich aus Ansätzen umgerechnet werden, die in Abschn. 3.5 angegeben sind.

¨ 3.3 Walzlager und Fugen

189

3.3 ¨ Walzlager und Fugen 3.3.1 Allgemeine Zusammenhänge Antriebssysteme bestehen aus relativ zueinander bewegten Körpern, die u¨ ber Lager, Gelenke, Kupplungen und andere Maschinenelemente untereinander und mit dem Tragsystem (Gestell) verbunden sind. Verbindungselemente (oder -stellen) besitzen im Vergleich mit den kompakten Körpern oft eine deutlich geringere Steifigkeit, weshalb deren Ermittlung besondere Aufmerksamkeit gewidmet werden muß. Das Steifigkeitsverhalten der Gelenke, Lager- und Kontaktstellen ist für das Deformationsund Schwingungsverhalten von großer Bedeutung und muß bei der Modellbildung entsprechend berücksichtigt werden. Es gibt eine weit entwickelte Gleitlagertheorie, die es ermöglicht, die Feder- und Dämpfungskennwerte der Gleitlager auf Grund der hydrodynamischen Schmierfilmtheorie zu berechnen [201], [202], [333], Bd. 3, vgl. auch DIN 2204-3 (Auslegung von Gleitlagerungen, Berechnung). Die Steifigkeit der Gleitlager spielt insbesondere in der Rotordynamik eine Rolle. Bezüglich der dynamisch bedeutungsvollen Kennwerte der Wälzlager und Fugen liegen aus den vergangenen Jahrzehnten viele experimentelle Untersuchungsergebnisse vor, vgl. [43], [47], [173], [177], [182], [261], [333], [342], [343], [345], [351], [363].

radiale Lagersteifigkeit in N/mm

Gleitlager (ungeschmiert) 106

Wälzlager (einreihig)

105

10 4

103

10 2

Elastomergelenke (statisch belastet)

0

50

100

150

200

Außendurchmesser des Lagers in mm

Bild 3.8 Lagersteifigkeiten als Funktion des Außendurchmessers [106]

190


Wälzlager beeinflussen den Schwingungszustand eines Antriebssystems in verschiedener Hinsicht. Sie wirken sowohl als Schwingungserreger als auch als Federn und Dämpfer [363]. Aus Sicht der Maschinendynamik interessieren die von ihnen ausgehenden Erregerfrequenzen (die nicht nur durch die Anzahl der Wälzkörper und deren Abmessungen, sondern auch durch Wälzlagerschäden bedingt sein können) und die Lagersteifigkeiten, die für die Berechnung der Eigenfrequenzen von Bedeutung sind, vgl. auch Abschn. 2.4.2. Der unruhige Lauf von Maschinen, eine mangelhafte Arbeitsgenauigkeit oder störende Laufgeräusche sind oft durch Lagerschäden bedingt. Mit dem Ziel der Früherkennung von Wälzlagerschäden und Beziehungen zwischen den Schwingungssignalen und den Arten der Lagerschäden befassen sich ausführlich [188], [195] und [316]. ¨ Einen Uberblick u¨ ber die Größenordnung von radialen Lagersteifigkeiten vermittelt Bild 3.8. Die dort angegebenen Zahlenbereiche können zur groben Orientierung dienen und die Entscheidung erleichtern, ob im konkreten Fall die Lagersteifigkeiten mit hoher Genauigkeit ermittelt werden müssen oder ob Näherungswerte ausreichen. In vielen Fällen, z. B. auch bei der in Abschn. 2.4.2 erwähnten Berechnung der Eigenfrequenzen von Schleifspindeln, hat sich gezeigt, daß außer den Lagersteifigkeiten selbst auch die Steifigkeiten der Umbauteile eines Wälzlagers von Bedeutung sind, da sie die Gesamtsteifigkeit mitbestimmen. Die Steifigkeiten des Maschinengestells – dabei vor allem der Füge- und Kontaktstellen – haben manchmal etwa dieselbe Größenordnung wie die der Wälzlager, d. h., man muß die Umbauteile auch im Berechnungsmodell berücksichtigen, vgl. Abschn. 3.3.3.

3.3.2 Kugel- und Rollenlager Auf die Erregerfrequenzen, die von Wälzlagern ausgehen, und auf die verschiedenen Möglichkeiten der Eigenschwingungen und Eigenfrequenzen der Wälzlager (Schwingungen der Kugeln, der Wälzlagerringe in der Ringebene und senkrecht dazu) geht [316] ausführlich ein. Diese sind für die Wälzlagerdiagnostik wesentlich. So a¨ ußert sich z. B. die Beschädigung des Außen- oder Innenringes oder eines ¨ Wälzkörpers in einem kurzen Stoßimpuls, der sich infolge der Uberrollvorg¨ ange der Wälzkörper periodisch wiederholt und abhängig von der Schadensart ein charakteristisches Spektrum anzeigt, vgl. [195], [188]. Kugel- und Rollenlager können nicht einfach mit allgemeinen FE- oder MKS-Programmen berechnet werden. Es empfiehlt sich, zur Simulation spezifische Programme einzusetzen [310]. Die in Tabelle 3.5 angegebenen Formeln zeigen mögliche Wälzlagerfrequenzen, die sich neben den von den Zahnradgetrieben stammenden Frequenzen (vgl. Abschn. 3.4.1), den Umlauffrequenzen von Riemen, Ketten und anderen Baugruppen innerhalb eines Antriebssystems dann besonders negativ auswirken, wenn an einer wichtigen Stelle eine Eigenfrequenz mit einer dieser Erregerfrequenzen u¨ bereinstimmt.


191

Tabelle 3.5 Kinematische Erregerfrequenzen von Wälzlagern [316], [188] Ursache ¨ Uberrollfrequenz Außenring (Außenringschaden) ¨ Uberrollfrequenz Innenring (Innenringschaden) Rotationsfrequenz Käfig (Käfigschaden) Rotationsfrequenz Wälzkörper (Wälzkörperschaden) ¨ Uberrollfrequenz eines Wälzkörperbereichs

Erregerfrequenz 1 fa = fn z 1 − (Dw /DT ) cos α 2 1 fi = fn z 1 + (Dw /DT ) cos α 2 1 fk = fn 1 − (Dw /DT ) cos α 2 # $ 1 fw = fn (DT /Dw ) 1 − ((Dw /DT ) cos α )2 2 $ # fu¨ = fn (DT /Dw ) 1 − (Dw /DT cos α )2

(1) (2) (3) (4) (5)

Die in diesen Gleichungen vorkommenden Größen sind in Bild 3.9 eingetragen und haben folgende Bedeutung: fn z Dw DT α

Wellendrehfrequenz (Drehfrequenz des Innenringes fn = n(min−1 )/60), Anzahl der Wälzkörper, Wälzkörperdurchmesser, Teilkreis- oder Rollkreisdurchmesser Druckwinkel, vgl. Bild 3.9.

∅Dw

α

α

∅DT

Bild 3.9 Bezeichnungen der geometrischen Parameter eines Wälzlagers

Neben dem Eigenverhalten eines Wälzlagers, das für höhere Frequenzbereiche wesentlich ist, interessiert für niederfrequente Schwingungsvorgänge eines Antriebssystems vor allem seine Steifigkeit. Die Steifigkeit eines Wälzlagers, also eines räumlich ausgedehnten Bauelements, das in drei unabhängigen Richtungen durch Kräfte und Momente belastet ist, muß schon bei linearem Verhalten eigentlich durch eine (6 × 6)-Steifigkeitsmatrix beschrieben werden. Die Koeffizienten solch einer Steifigkeitsmatrix (die verallgemeinerten Federzahlen) hängen von vielen Parametern des Wälzlagers ab. Die Ermittlung dieser Federzahlen kostet einen hohen Aufwand, den man treiben muß, wenn hohe Genauigkeitsanforderungen erfüllt werden sollen [47]. Für viele Anwendungsfälle kann man sich allerdings auf die Berücksichtigung der radialen Steifigkeit beschränken, vgl. die in Tabelle 3.6 angegebenen Formeln.

192


Tabelle 3.6 Beziehungen zwischen Radialkraft Fr , radialer Steifigkeit k und radialer Verschiebung ur bei Wälzlagern spielfreies Radial-Rillenkugellager

spielfreies Radial-Zylinderrollenlager

Fr = 21,9 . . . 25,2 kN/mm2 × × zD2W · (ur /DW )3/2

(1)

Fr = 7,3 . . . 8,9 kN/mm2 × 2 × zlW · (ur /lW )1,11

(2)

k = 32,9 . . . 37,8 kN/mm2 × × zDW · (ur /DW )1/2

(3)

k = 8,1 . . . 9,9 kN/mm2 × × zlW · (ur /lW )0,11

(4)

k = 1,2 . . . 1,3 kN/mm× $1/3 # × (Fr /N) · z2 · (DW /mm)

(5)

k = 3,3 . . . 4,0 kN/mm× # $0,1 × (Fr /N) · z9 · (lW /mm)8

(6)

Fr = 7,89 kN/mm2 × × zD2W · (ur /DW )3/2 /κ 0,35

(7)

Fr = 6,52 kN/mm2 × 2 × zlW · (ur /lW )1,08

(8)

k = 11,8 kN/mm2 × × zDW · (ur /DW )1/2 /κ 0,35

(9)

k = 7,04 kN/mm2 × × zlW · (ur /lW )0,08

(10)

k = 0,595 kN/mm× (11) × (Fr /N) · z2 · (DW /mm)1/3 /κ 0,35

k = 3,67 kN/mm× (12) × (Fr /N)0,074 · z0,926 · (lW /mm)0,852

k = 1,14 kN/mm× (13) $1/3 # 2 2 × (Fr /N) · z · (DW /mm) · cos α

Die Formeln in Tabelle 3.6 stammen aus verschiedenen Literaturquellen und wurden auf eine einheitliche Form gebracht. Sie differieren etwas untereinander, aber sie liefern etwa dieselben Endwerte. Vermutlich liegen die realen Werte innerhalb der dadurch gegebenen Grenzen. In den Formeln (1) bis (6) wurden die jeweils kleineren Werte der Koeffizienten aus [201] und die größeren Werte aus [351] entnommen. Die Formeln (7) bis (12) gehen auf [92] zurück, während Gl. (13) aus [333], Bd. 3, ermittelt wurde. Die Abkürzungen bedeuten: Fr Radialkraft auf den Innenring, vgl. Bild 3.11d ur Radialverschiebung des Innenringes gegenüber dem Außenring, vgl. Bild 3.11d k radiale Federsteifigkeit (Abhängig von Radialverschiebung oder Radialkraft) DW Durchmesser eines Wälzkörpers, vgl. Bild 3.9 und Bild 3.11a lW Länge einer Zylinderrolle, vgl. Bild 3.11a z Wälzkörperanzahl κ = (DT /DW − 1) Schmiegung Zwischen den drei Formen von Abhängigkeiten bestehen folgende Relationen: dFr = k = k(ur ) = k(Fr ) (3.40) dur Es sind in allen Fällen nichtlineare Beziehungen, so daß man genau genommen bei k nicht von einer Federkonstante“ sprechen kann. Um eine anschauliche Vorstellung ” von der Größenordnung und dem Grad der Nichtlinearität dieser Zusammenhänge zu vermitteln, wurde in Bild 3.10 für konkrete Parameterwerte sowohl die Radialkraft Fr = Fr (ur );


193

als auch die radiale Lagersteifigkeit für vier Beispiele berechnet. Die dargestellten Federkennlinien in Bild 3.10a ergeben sich aus den Gln. (1) und (2) in Tabelle 3.6, während die Abhängigkeit der Federsteifigkeit in Bild 3.10b aus den Gln. (3) und (4) berechnet wurde. Man sieht, daß die Rollenlager immer steifer als die Kugellager sind, wenn man die Lager mit gleicher Rollenlänge, gleicher Wälzkörperanzahl und gleichem Kugeldurchmesser vergleicht. Die nichtlineare Abhängigkeit ist augenscheinlich bei kleinen Belastungen erheblich, aber bei großen Belastungen ist die Abweichung von der Linearität gering.

4

6⋅10 4

3

4⋅10 4

2

2⋅10 4

1

0 a)

8⋅10 5

0

20

40

60 80 u in µm

k in kN/mm

Fr in N

8⋅10 4

4 3 2 1

6⋅105 4⋅10 5 2⋅105

0

100 b)

0

20

40

60 80 u in µm

100

Bild 3.10 Vergleich der Kennlinien von Kugel- und Zylinderrollenlagern, vgl. Tabelle 3.6 a) Radialkraft gemäß Gl. (1), b) Lagersteifigkeit gemäß Gl. (2) Kurve 1: z = 10, DW = 10 mm; Kurve 2: z = 15; DW = 8 mm; Kurve 3: z = 10, lW = 10 mm; Kurve 4: z = 15; lW = 8 mm

Für Radial-Rillenkugellager mit Spiel (δ > 0) oder Vorspannung (δ < 0) besteht nach [92] bei radialer Belastung nachstehende Beziehung zwischen der Radialkraft Fr und den Parametern des Wälzlagers: ⎧ ⎫ ⎡ ⎤3 ⎡ ⎤32⎪ ⎪ π δ 2 j 2 δ ⎪ ⎪ J−1 ⎪ ⎪ ⎨ ur − 2 2 jπ ⎢ ur cos z − 2 ⎥ ⎬ kN ⎥ −0,35 2 ⎢ 2 DW ⎣ + 2 cos Fr ≈ 34,3κ ⎦ ⎣ ⎦ · ∑ ⎪ ⎪ DW z DW mm2 ⎪ ⎪ j=1 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ (3.41) In einem Wälzlager wird die Radialkraft auf die verschiedenen Wälzkörper ungleichmäßig verteilt, vgl. Bild 3.11d. J < z ist die Anzahl der belasteten Wälzkörper. Bei z Wälzkörpern beträgt der Winkelabstand zwischen ihnen ∆ ϕ = 2π /z. Eine Kontaktkraft besteht an dem jeweiligen ( j-ten) Wälzkörper nur dann, wenn die jeweilige Eindringtiefe [ur cos(2 jπ /z) − δ /2] positiv ist. Die von der Belastung abhängige Federsteifigkeit k stellt lediglich einen mittleren Wert dar und berücksichtigt nicht die Veränderung der Steifigkeit infolge des ¨ Uberrollens der Wälzkörper. Es gibt dabei Stellungen, wo die Last direkt u¨ ber einem Wälzkörper und Stellungen, wo die Last zwischen zwei Wälzkörpern eingeleitet wird. Die synchrone Bewegung aller z Kugeln führt genau genommen zu einer drehwinkelabhängigen Steifigkeit. Die periodische Steifigkeitsänderung mit der Kreisfrequenz zΩ kann zu erzwungenen und zu parametererregten Schwingungen

194 a)

δ 4 δ 4


lW

b) δ 2

c)

d)

δ 2

∅DT δ 4 δ 4

Fr

ur −

δ 2

δ 2

Bild 3.11 Wälzlager mit Spiel δ a) Zylinderrollenlager, Radialschnitt; b) Rillenkugellager, Radialschnitt; c) Axialschnitt, Symmetrielage; d) Axialschnitt, Radialverschiebung ur des Innenringes unter Last

der wälzgelagerten Rotoren führen, wobei Ω die Drehgeschwindigkeit des Rotors ist. Es sind Fälle aufgetreten, wo ein Rotor unerwartet intensive Schwingungen mit der z-fachen Drehfrequenz der Welle zeigte, weil seine (eigentlich sehr hohe) Eigenfrequenz damit u¨ bereinstimmte und zu Resonanz führte. Um solche Vorgänge rechnerisch zu prüfen, benötigt man genaue Angaben zu entsprechenden Parameterwerten der Wälzlager, die man von den Wälzlagerherstellern erhalten kann. Die führenden Wälzlagerhersteller stellen für die Wälzlagerauslegung auf CD-ROM oder onlineDaten und Berechnungsverfahren u¨ ber Internet zur Verfügung, z. B. [154], [157], [159]. 3.3.3 Fugen, Kontaktstellen, Gleit- und Wälzfuhrungen ¨ Die Steifigkeit von Fugen, Schraubverbindungen und anderen Kontaktstellen ist bedeutend kleiner und die Dämpfung ist erheblich größer als diejenige des vollen Materials. Beide haben deshalb einen wesentlichen Einfluß auf das Deformationsund Schwingungsverhaltens eines Antriebssystems, vgl. [288] und die dort zitierte Literatur. Hier seien einige Werte zusammengestellt, die zur Orientierung dienen können. ¨ Versuche mit verschraubten Fugestellen, die normal zur Kontaktfläche dynamisch belastet wurden, zeigen eine starke Abhängigkeit der Steifigkeit und Dämpfung von der Flächenpressung. Die Steifigkeit nimmt mit der Oberflächenrauheit zu, während die Dämpfung vermindert wird. In [343] werden Werte für die spezifische ¨ benetzter Fügestellen angegeben, die an eiFugensteifigkeit trockener und mit Ol nem Versuchsstand im Bereich der genannten Flächenpressung gemessen wurden. Die Federkonstante einer verschraubten Fügestelle läßt sich angenähert durch folgende Formeln beschreiben: p N A für p = 1 . . . 10 N/mm2 · k ≈ 1 060 mm2 N/mm2 mm (3.42) A N 2 für p > 10 N/mm k ≈ 3 000 · mm2 mm

3.4 Getriebe, Kupplungen, Motoren

195

¨ Die Dämpfungskonstante ist auch von der Olviskosit¨ at abhängig, und sie beträgt etwa A N·s p d ≈ 0,045 (3.43) · mm2 N/mm2 mm ¨ Versuchsergebnisse u¨ ber die Steifigkeit von Gleitfuhrungen für eine Gleitpaarung Kunststoff–Metall wurden in [261] veröffentlicht. Die Parameterwerte wurden in Abhängigkeit von der Flächenpressung, der Benetzung, der dynamischen Fügestellenbelastung und der Gleitgeschwindigkeit ermittelt. Zur Orientierung sei davon hier nur die Kontaktsteifigkeit im Bereich von Gleitgeschwindigkeiten im Bereich von 0 bis 3,5 m/min genannt: N A · (3.44) 2 mm mm ¨ Nach [342] liegt die Fugensteifigkeit geklebter Fugestellen bei Flächenpressungen im Bereich von p = 1 . . . 30 N/mm2 bei etwa k ≈ 100

N A (3.45) · 2 mm mm Sie hat also etwa dieselbe Größe wie die der verschraubten Fügestellen, aber sie ist im Gegensatz dazu nicht von der Flächenpressung an der Kontaktstelle abhängig, vgl. Gl. (3.42). k ≈ 3 100

3.4 Getriebe, Kupplungen, Motoren 3.4.1 Zahnradgetriebe Die Schwingungen in Zahnradgetrieben werden bestimmt durch • die stellungsabhängige Steifigkeit der Verzahnung, • die begrenzte Fertigungsgenauigkeit (z. B. Stöße beim Eingriff jedes Zahns), • a¨ ußere Anregungen, z. B. Torsionsschwingungen des gesamten Antriebsstranges. Die Zahnräder innerhalb eines Getriebes führen gekoppelte Translations- und Torsionsschwingungen aus, die aufgrund der stellungsabhängigen Steifigkeiten der Verzahnung gekoppelt sind, aber auch durch die Nachgiebigkeit der Wellen und deren Lager beeinflußt werden. Es treten gekoppelte erzwungene und parametererregte Schwingungen auf, so daß das ganze Antriebssystem zusätzlichen dynamischen Beanspruchungen unterworfen wird. Die Vorausberechnung der Schwingungen erfordert einen hohen Aufwand bei der Modellierung, die schon in den siebziger Jahren des 20. Jahrhunderts begann [6], [324] und zu immer komplizierteren Modellen führte, auf die hier nicht eingegangen werden kann, vgl. dazu [156], [185], [206], [257], [290], [364] und Abschn. 4.7. Die Federkonstante eines Zahnrades ist in tangentialer Richtung veränderlich, weil beim Abrollen zweier Zähne sich der Kraftangriffspunkt vom Zahnfuß zum

196


Zahnkopf (und umgekehrt) verschiebt, wobei sich die Steifigkeit kontinuierlich a¨ ndert. Beim Eingriff jedes neuen Zahns tritt ein Steifigkeitssprung ein. Beim Abwälzen sind meist zwei oder mehr Zähne im Eingriff, so daß sich in Abhängig¨ ε ein Steifigkeitsverlauf ergibt, wie er exemplarisch in keit vom Uberdeckungsgrad Bild 3.12 dargestellt ist. Zur Berechnung der Steifigkeit bei jeder Eingriffsstellung, wozu die exakte Zahnform (vor allem auch im Fußbereich) benötigt wird, gibt es Software, mit der aus dem zunächst berechneten Steifigkeitsverlauf eines einzelnen Zahneingriffs durch Superposition der Steifigkeitsverlauf des gesamten Eingriffs ergibt. Die Zahnradberechnungen mit vorhandener Software [155] beinhalten neben Stirnrädern auch Kegel-, Schnecken- und Schraubräder, und es lassen sich u. a. Konfigurationen von Zahnradpaaren, Planetenstufen und Zahnstangengetriebe berechnen [184], [186]. Die stellungsabhängige Steifigkeit der Verzahnung ist hauptsächlich von folgenden Faktoren abhängig: • Verzahnungsart (Geradverzahnung, Schrägverzahnung), ¨ • Art der Zahnkorrekturen (Profilverschiebung, Uberdeckungsgrad), • Form des Radkörpers (Verbindung Zahnkranz- Radkörper). Die begrenzte Fertigungsgenauigkeit bedingt Verzahnungsfehler [226], also • Montage- und Fertigungsfehler (z. B. Rundlauffehler, Flankenabweichungen) und • betriebsbedingte Schäden (z. B. verschleißbedingte Flankenschäden an allen Zähnen), die mit der Zahneingriffsfrequenz periodisch verlaufen und Schäden an einzelnen Zähnen (z. B. Zahnfußschäden, Ausbrüche, Grübchen), die sich mit der Drehfrequenz periodisch wiederholen, vgl. die in DIN 3979 genannten insgesamt 27 verschiedenen Schadensarten. Der Verlauf der Zahnsteifigkeit ist eine periodische Funktion des Winkels ϕ , der ¨ sich aus der Summe der Verläufe der Einzelsteifigkeiten in Abhängigkeit vom Uber¨ deckungsgrad ε ergibt, vgl. Bild 3.12. Dadurch, daß die Uberdeckungsgrade nicht ganzzahlig sind, treten bei jedem Zahneingriff Steifigkeitssprünge auf. Aus dynami¨ scher Sicht wäre es günstig, ganzzahlige Uberdeckungsgrade zu realisieren, was sich bei Schrägverzahnung auch durch die Breite des Zahnkranzes beeinflussen läßt. Der periodische Verlauf der Zahnsteifigkeit läßt sich bei einem Zahnrad mit z Zähnen als Funktion des Drehwinkels ϕ durch die Komponenten der statischen und dynamischen Federkonstante in folgender Weise beschreiben: k(ϕ ) = kst + kdyn F(zϕ )

(3.46)

Das Verhältnis der dynamischen zur statischen Steifigkeit beträgt etwa kdyn = 0,05 . . . 0,15 (3.47) kst Die Verformung wird nicht allein durch die Werkstoffparameter der sich berührenden Zähne beeinflußt, welche für die Hertzsche Pressung (örtliche Abplattung an der Kontaktstelle), die Biege- und Schubdeformation des Zahns und die Deformation im elastischen Zahnradkörper verantwortlich sind, sondern auch durch die Oberflächenqualität der Zähne. Man beachte dazu die neueste Software für die Berechnung der Zahnsteifigkeit [40], [155], [186], vgl. auch DIN 3990.

197

a)

Gesamtsteifigkeit 10

Einzelsteifigkeit

5

0 t se ε⋅t se

Drehweg r⋅ϕ

N / mm µm

15

spezifische Steifigkeit k in

spezifische Steifigkeit k in

N / mm µm


15

Gesamtsteifigkeit

10 Einzelsteifigkeit 5

0

b)

t se ε⋅t se

Drehweg r⋅ϕ

Bild 3.12 Steifigkeitsverlauf beim Zahneingriff [215] ¨ ε = 2,5 a) Verzahnung mit Uberdeckungsgrad ¨ ε = 4,1 b) Verzahnung mit Uberdeckungsgrad

Oft sind nur spezifische Zahnsteifigkeiten kspez gegeben, so daß mit den geometrischen Daten für die Radkörperbreite b, den Schrägungswinkel β und den Teilkreisdurchmesser do der statische Anteil der Drehsteifigkeit berechnet werden muß: 2 do k b 2 kst = (3.48) cos β Die spezifische Zahnsteifigkeit, die in DIN 3990 mit cγ bezeichnet wird, liegt nach [215] im Bereich kN (3.49) cγ = k = 10 . . . 20 · mm2 Die Berechnung der Steifigkeit der Verzahnung ist mit den Angaben in DIN 3990 möglich, aber es gibt auch tiefergehende Analysen der Herstellerbetriebe. Die Arbeit [7] enthält z. B. Formeln zur Bestimmung der Zahnsteifigkeit von spiralverzahnten Kegelrädern unter Berücksichtigung der Biege- und Kontaktsteifigkeit, welche auf der Basis von Berechnungs- und Meßergebnissen gewonnen wurden. Die berechneten Steifigkeiten der Zahnräder liegen fast immer u¨ ber den Werten, die als Federkonstanten in der Schwingungsberechnung Bedeutung haben, weil sekundäre Einflüsse unbeachtet bleiben. In [352] wird berichtet, daß sich nach DIN 3990 Teil 1 aus der Verzahnung eine theoretische Torsionssteifigkeit von kT = 11,0 · 107 N · m/rad ergab, die in Wirklichkeit aber kT = 1,4 · 107 N · m/rad betrug, weil Nachbarbauteile wesentlichen Einfluß hatten, vgl. Abschn. 4.3.3. Die periodische Funktion bezüglich des Winkels zϕ F(zϕ ) = ∑ ck cos zkϕ

(3.50)

¨ läßt sich durch ihre Fourierkoeffizienten ck charakterisieren, die vom Uberdeckungsgrad ε und der Art der Verzahnung abhängig sind. Eine kleine Profilüberdeckung

198


führt zu großen Steifigkeitssprüngen und damit zu einer Fourierreihe mit einem breiten Erregerspektrum, d. h. großen Harmonischen k-ter Ordnung. Die Schwingungsanregung ist geringer, wenn die Fourierkoeffizienten ck mit zunehmender Ordnung k ¨ ε , einem größeschnell abnehmen. Dies ist bei einem größeren Uberdeckungsgrad ren Schrägungswinkel β und einem kleineren Modul m der Fall, was sich aber nicht immer verwirklichen läßt. Eine Profilverschiebung (Kopfrücknahme) ergibt steifere Zähne und relativ geringere Schwankungen der Zahnsteifigkeit. Die zeitabhängige Erregerfunktion ergibt sich erst, wenn der Verlauf des Winkels ϕ (t) bekannt ist. Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit der Antriebswelle ist ϕ = Ω t wird aus der periodischen Funktion bezüglich des Winkels zϕ eine periodische Zeitfunktion: F(zΩ t) = ∑ ck cos zkΩ t

(3.51)

Unter Ω wird hier die jeweilige Winkelgeschwindigkeit des betrachteten Zahnrades ¨ (Uberrollkreisfrequenz) verstanden, so daß bei Ω auf Indizes verzichtet wird. Gibt man den einzelnen Wellen innerhalb eines Zahnradgetriebes die Indizes 1 und 2, so besteht zwischen zwei miteinander kämmenden Zahnrädern, welche die Zähnezahlen z1 und z2 haben, bekanntlich die Beziehung z1 Ω 1 = z2 Ω 2 . Bei Umlaufräderge¨ trieben hat man deren Bauform zu beachten, da sich daraus die Uberrollfrequenzen von Glockenrad, Sonnenrad und Planetenrädern ergeben [188], [226]. Wesentliche ¨ Erregerfrequenzen sind die Uberrollfrequenzen der Zahnräder f =

Ω 2π

(3.52)

deren ganzzahlige Vielfache, die sich z. B. infolge von Rundlauffehlern auswirken, und die Zahneingriffsfrequenz fz =

zΩ 2π

(3.53)

Es gibt infolge der periodischen Abläufe also auch Erregerfrequenzen k-ter Ordnung fk =

kΩ ; 2π

fzk =

kzΩ ; 2π

k = 1, 2, . . .

(3.54)

wobei die Bedeutung der letztgenannten von der Größe der betreffenden Fourierkoeffizienten ck abhängt, vgl. auch Abschn. 5.5.3.1. Falls die Winkelgeschwindigkeit des Zahnrades nicht konstant ist, treten weitere Erregerfrequenzen auf, wie die folgende Betrachtung zeigt: Angenommen, der Drehwinkel des Zahnrades schwanke infolge der Torsionsschwingungen des Antriebsstranges harmonisch mit einer Eigenkreisfrequenz ω i gemäß ϕ (t) = Ω t + ϕˆ sin ω it

(3.55)

mit einer kleinen Winkelamplitude ϕˆ 1, dann entsteht daraus näherungsweise wegen cos(zkϕˆ sin ω it) ≈ 1;

sin(zkϕˆ sin ω it) ≈ zkϕˆ sin ω it

(3.56)


199

nach Anwendung eines Additionstheorems auf den k-ten Summanden cos zkϕ = cos [zk (Ω t + ϕˆ sin ω it)]

(3.57)

= cos(zkΩ t) · cos(zkϕˆ sin ω it) − sin(zkΩ t) · sin(zkϕ sin ω it) ≈ cos(zkΩ t) − zkϕˆ sin(zkΩ t) · sin ω it 1 = cos(zkΩ t) − zkϕˆ [cos(zkΩ − ω i )t − cos(zkΩ + ω i )t] 2 Aus dem letzten Ausdruck erkennt man, daß außer den Erregerfrequenzen gemäß Gl. (3.54) auch noch die Erregerfrequenzen (zkΩ − ω i ) (zkΩ + ω i ) und fz k+i = (3.58) 2π 2π existieren. Diese Frequenzen liefern die sogenannten Seitenbandstrukturen eines Spektrums, d. h. unter- und oberhalb der eigentlichen Resonanzspitzen treten Nebenlinien im Abstand der Eigenfrequenzen fi = ω i /2π auf. In vielen Fällen führen die ¨ höheren Harmonischen zu dynamischen Uberh¨ ohungen in Form von Resonanzen kter Ordnung. Parametererregte Schwingungssysteme mit mehreren Freiheitsgraden haben die Besonderheit, daß bei einer periodischen Parametererregung Instabilitätsgebiete auftreten, wenn die Bedingungen kΩ = 2ω i (Parameterresonanzen) oder kΩ = ω k ± ω i (Kombinationsresonanzen) erfüllt sind [81], [113], [101], [231]. Es können also Resonanzen bei den Frequenzen fz k−i =

fk ± fi ; k = 1, 2, . . . (3.59) k für verschiedene Kombinationen der Eigenfrequenzen fk und fi des ungestörten Systems auftreten. Im Spektrum mehrstufiger Zahnradgetriebe sind auch solche Summen- und Differenzfrequenzen aus den Eigenfrequenzspektren mehrerer Getriebestufen beobachtet worden [188]. Aus den Darlegungen geht hervor, daß in Zahnradgetrieben die in den Gln. (3.52), (3.53), (3.54), (3.58) und (3.59) angegebenen Frequenzen auftreten, die sich am Gehäuse, in den Lagern und im Antriebsstrang auswirken können. Methoden der Schwingungsdiagnose ermöglichen, Verzahnungsfehler im Zusammenhang mit ih¨ ren spektralen Kennzeichen zu identifizieren. In [188] wird ein Uberblick u¨ ber verschiedene signalgestützte Analyseverfahren gegeben und an Hand von Beispielen die Identifikation von Verzahnungsfehlern illustriert. f =

3.4.2 Berechnungsmodelle fur ¨ nachgiebige Kupplungen 3.4.2.1 Allgemeine Zusammenhänge Die Norm DIN 740-2 ( Nachgiebige Wellenkupplungen“) gilt für schlupffreie Kupp” lungen, deren Kraftübertragungsglieder sowohl aus teilweise oder allseitig nachgie” bigen Elastomeren als auch aus metallelastischen Federelementen bestehen“. Für die

200


Berechnung wird dort das Berechnungsmodell des linearen Zweimassenschwingers benutzt, wobei die Steifigkeit mit der Drehfederkonstante kT und das Dämpfungsverhalten mit der relativen Dämpfung ψ erfaßt wird. Es ist allerdings nur eingeschränkt möglich, das Verhalten von Elastomerkupplungen mit einem linearen Modell zu beschreiben; nicht nur, wenn die Drehfederkennlinien nichtlinear sind, sondern auch, weil die Parameter von der Winkelamplitude, der Frequenz, dem Torsionsmoment, der Temperatur, der Lastwechselzahl und anderen Einflußgrößen abhängig sind [20], [107], [238]. Eine Linearisierung kann allein in der Nähe eines Betriebspunktes erfolgen (wenn dieser bekannt ist), aber schon ein linearer Ansatz für die Dämpfung führt zu ungenauen Ergebnissen, wenn von sinusförmigen Zeitverläufen der Belastung abgewichen wird, vgl. Abschn. 3.4.2.3. Experimentelle Untersuchungen mit harmonischer Erregung bestätigten folgende Tendenzen bei Elastomerkupplungen: • Mit zunehmender Schwingwinkelamplitude fallen die Parameterwerte von kT und ψ ; bei großen Ausschlägen bis etwa auf den halben Wert im Vergleich zu kleinen Ausschlägen. • Mit der Frequenz steigen diese Parameterwerte. Die dynamische Steifigkeit kann sich gegenüber der statischen Steifigkeit um den Faktor 1,1 bis 4,5 erhöhen [107]. • Mit steigender Kupplungstemperatur fallen Steifigkeit und Dämpfung ab. • Mit zunehmender Lastwechselzahl nimmt die Steifigkeit zu, die Dämpfung bleibt etwa konstant. • Mit der mittleren Belastung nimmt die Steifigkeit zu. Die DIN 740-2 empfiehlt ausdrücklich, auf kompliziertere Berechnungsmodelle u¨ berzugehen, wenn die Voraussetzungen nicht erfüllt sind, die für das Minimalmodell des Zweimassensystems gelten. Ein Problem besteht dabei darin, mit möglichst wenigen (und experimentell leicht ermittelbaren) Parameterwerten solch ein komplizierteres Modell zu definieren. In [238] wurde eine Beschreibung der nichtlinearen Abhängigkeiten der Parameterwerte unter Verwendung von Masterkurven“ vorge” schlagen und erläutert. Dies läuft darauf hinaus, normierte Parameter einzuführen ¨ und die Werkstoffparameter mit Ahnlichkeitskennzahlen zu charakterisieren, vgl. Abschn. 2.2.2. Andere komplizierte Berechnungsmodelle werden Abschn. 3.4.2.2 beschrieben. Eine Modellierung von Antrieben, in denen hydrodynamische Kupplungen eingesetzt werden, bereitet auf Grund des nichtlinearen Verhaltens dieser Kupplungsbauart besondere Schwierigkeiten, da sich die komplexen Strömungsvorgänge im Innern der Kupplung schwierig modellieren lassen, wie die Arbeiten [103] und [165] zeigen. Einen anderen Zugang zur Modellierung zeigen die Arbeiten [23] und [311], in denen Berechnungsmodelle hydrodynamischer Kupplungen auf der Grundlage von systemtheoretischen Betrachtungen ( Black-Box-Modelle“) entwickelt werden. ” Die Brauchbarkeit der entwickelten Modelle wird durch den Vergleich von simulierten und an einem Versuchsstand gemessenen Verläufen der Drehzahlen und Drehmomente an der Kupplung bewertet, und es wird in [311] gezeigt, daß sich die diskreten nichtlinearen Modelle in einem Antriebsstrangmodell für Simulationsrechnungen einsetzen lassen. Es ist zu empfehlen, die Dimensionierung der Kupplungen zunächst mit einem Minimalmodell vorzunehmen, auch unter Beachtung der in Abschn. 5.2, 5.4.3 und


201

5.4.4 beschriebenen Erregungen. Zur Simulation der nichtlinearen Berechnungsmodelle kann man handelsübliche Software einsetzen, wobei zur Kupplungsberechnung z. B. ARLA SIMUL [301], ITI -SIM [302] und DRESP geeignet sind, vgl. Tabelle 2.1. Zur Auslegung von Elastomerkupplungen reichen lineare Berechnungsmodelle nicht aus, wie die in den folgenden Abschnitten behandelten Beispiele zeigen. 3.4.2.2 Berechnungsmodell fur ¨ Elastomerkupplungen In der Arbeit [306] werden mehrere Berechnungsmodelle für elastische Kupplungen analysiert und davon dasjenige bevorzugt, welches auf den Arbeiten [209] und [121] aufbaut. Es wurde u. a. für das Programm ITI -SIM und das von der Forschungsvereinigung Antriebstechnik entwickelte Programm DRESP aufbereitet, vgl. Tabelle 2.1. Das im folgenden vorgestellte Kupplungsmodell basiert auf einem nichtli¨ technische Gummiwerkstoffe [209]. Es berücksichtigt nearen Materialmodell fur deformationsund zeitabhängige Eigenschaften und wurde experimentell an Gummifedern u¨ berprüft. Dieses Modell verwendet an Stelle einer Federkennlinie folgenden Ansatz für das innere Kupplungsmoment [121]: T = kT ϕ + Mr K(t)

Bild 3.13 Hochelastische Scheibenkupplung (Kupplungswerk Dresden)

(3.60)

202


Dabei ist kT die Torsionsfederkonstante und ϕ der Verdrehwinkel. Das Reib- oder Dämpfungsmoment Mr = Rk ln(1 + k ϕ ∗ )

(3.61)

wird durch die Parameter Rk und k bestimmt, welche experimentell aus der Hysteresekurve zu ermitteln sind. ϕ ∗ = ϕ max − ϕ ist der relative Torsionswinkel, der vom Umkehrpunkt ϕ max jeder Periode aus gezählt wird. Die Relaxation wird durch die zeitabhängige Funktion K(t) erfaßt, die von den Parametern a und b abhängt, welche man aus der Sprungantwort bestimmen kann: K(t ∗ ) = (1 + at ∗ · s−1 )b

(3.62)

Die Zeit t ∗ wird ab jedem Umkehrpunkt gemessen und ist in Gl. (3.62) in Sekunden einzusetzen. Der Parametervektor dieses Modells besitzt also fünf Komponenten: pT = (kT , Rk , k , a, b)

(3.63)

In [121] und [306] wird beschrieben, wie diese Parameterwerte aus der Hysteresekurve und einer Sprungantwort bestimmt werden können. Für eine in Bild 3.13 dargestellte hochelastische Scheibenkupplung (Nennmoment Mn = 160 N · m) wurden folgende Parameterwerte ermittelt: kT = 1 115 N · m Rk = 105 . . . 85,38 N · m

k = 30 . . . 39,58

(3.64)

a = 25,78 b = 0,107 Bild 3.14 zeigt die Hysteresekurven, die sich als Kennlinien dieser Kupplung bei harmonischer Erregung rechnerisch ergeben (Programm ITI -SIM). Die geringe Abhängigkeit von der Frequenz geht aus den in Bild 3.14a dargestellten drei Kurven hervor. Die dynamische Steifigkeit nimmt etwas mit der Frequenz zu. Bild 3.14b stellt die mit den Parameterwerten von Gl. (3.64) berechneten Hysteresekurven bei verschiedenen Winkelamplituden dar, die sich für eine harmonische Erregung mit der Frequenz von 5 Hz ergeben. Es ist deutlich zu sehen, daß die mittlere Steifigkeit der Kupplung bei kleinen relativen Verdrehwinkeln größer ist als bei großen Verdrehwinkeln: sie beträgt bei ϕ rel = 0,05 rad etwa 2,5 N · m/rad und bei ϕ rel = 0,2 rad nur etwa 1,8 N · m/rad. Bild 3.15 zeigt das Ergebnis eines Ausschwingversuchs für die Scheibenkupplung HE 16. Die Gegenüberstellung der berechneten und gemessenen Kurven¨ verläufe zeigt eine gute Ubereinstimmung. Die berechneten Verläufe sind an den Umkehrstellen etwas zu eckig“ im Vergleich zum realen Vorgang, was durch die ” Modellierung von harten“ Umschaltbedingungen an den Umkehrstellen bedingt ” ist, vgl. Gl. (3.61).

400

400

300

300

200

200 Drehmoment in N . m

Drehmoment in N . m


100 0

−100 3

−200

2 1

−300

100

1 2

0

3

−100

4

−200 −300

−400 −0,15 −0,1 −0,05 0 0,05 0,1 0,15 Verdrehwinkel in rad a)

−400 −0,3 −0,2 −0,1 0 0,1 0,2 0,3 b) Verdrehwinkel in rad

Bild 3.14 Simulationsergebnis an einer Scheibenkupplung bei harmonischer Erregung a) Amplitude 0,1 rad mit verschiedenen Frequenzen (Kurve 1: 10 Hz; Kurve 2: 1 Hz; Kurve 3: 0,1 Hz) b) Erregung mit 5 Hz und verschiedenen Amplituden (Kurve 1: 0,01 rad; Kurve 2: 0,05 rad; Kurve 3: 0,1 rad; Kurve 4: 0,2 rad)

200

inneres Moment in N . m

150 100 50 0

2

−50 1

−100 −150 −3

−2

203

−1

0

1

2

3

4

relativer Verdrehwinkel in °

Bild 3.15 Ausschwingversuch der elastischen Kupplung Kurve 1: gemessen, Kurve 2: berechnet

204


3.4.2.3 Nichtlineare Effekte bei biharmonischer Erregung Bei den meisten experimentellen Untersuchungen werden dynamische Materialeigenschaften lediglich bei harmonischen Belastungen ermittelt. Es ist sehr gewagt, solche Ergebnisse auf beliebige zeitliche Verläufe zu u¨ bertragen. Eine positive Ausnahme bildet die Arbeit [20], in welcher experimentelle Untersuchungen mit Scheibenkupplungen beschrieben werden, bei denen sowohl harmonische als auch biharmonische Erregungen und deren Antworten gemessen wurden. Bild 3.16 und Bild 3.17 zeigen exemplarisch Ergebnisse aus dieser Dissertation. Das in Bild 3.16 zeigt zwei Hysteresekurven als Folge einer periodischen Belastung, die zwei harmonische Komponenten besitzt, die sich um ganzzahlige Frequenzverhältnisse unterscheiden.

Bild 3.16 Gemessene Hysteresekurven bei periodischer Belastung (ϕ 1 = 1◦ ) [20] a) Winkelerregung ϕ = ϕ 1 [sin Ω t + sin(2Ω t + π /2)] b) Winkelerregung ϕ = ϕ 1 (sin Ω t + 1/2 sin 4Ω t)


205

Bei einer biharmonischen Belastung kommen in der Hysteresekurve zusätzliche Schleifen vor, vgl. Bild 3.16. Die Anzahl der Schleifen entspricht der Differenz der Ordnungszahlen der beiden Schwingungskomponenten. Die von der Hysteresekurve umschlossene Fläche, die ein Maß für die mechanische Verlustarbeit ist, wird durch die Zusatzschwingung im Vergleich zur Grundschwingung durch diese Schleifen vermindert. Damit wird eine in [20] beobachtete Erscheinung erklärlich: Bei allen Messungen mit Zusatzschwingung reagierten die Kupplungen weicher als bei der Erregung mit der harmonischen Grundschwingung. Eine größere Erregeramplitude der hochfrequenten Zusatzschwingung führte zu einer Verringerung der AntwortAmplitude der Grundschwingung. Die periodischen Zeitverläufe für das gemessene stationäre Schwingungsverhalten sind für drei Fälle dargestellt. Die Grundfrequenz der Schwingungserregung lag bei 10 Hz und die Schwingwinkelamplitude bei 1◦ . Bild 3.17a und Bild 3.17b zeigen (mono)harmonische Verläufe des Drehwinkels, die in beiden Fällen der Erregerfrequenz folgen. Ein genaueres Hinsehen zeigt, daß im Fall a die Amplituden gleichsinnig und im Fall b gegensinnig zum Moment verlaufen, d. h., im ersten Fall lag die Erregerfrequenz unterkritisch und im zweiten Fall u¨ ber der Eigenfrequenz dieses Versuchsstandes, die etwa 15 Hz betrug.

Bild 3.17 Meßergebnisse an Scheibenkupplungen [20] a) Harmonische Erregung mit der Frequenz f1 = 10 Hz b) Harmonische Erregung mit der Frequenz f2 = 30 Hz c) Biharmonische Erregung mit den Frequenzen f1 und f2 (Kurve links: Winkelerregung; Kurve rechts: Schwingwinkelantwort)

206


Die Summe der beiden Erregungen (Fall c, Kurve 1) aus Fall a und Fall b ist als Kurve 1 in Bild c erkennbar. Sie bewirkt eine Antwort (Fall c, Kurve 2), die sich nicht(!) aus der Summe der beiden Antworten (Fall a und b, Kurve 2) ergibt. Offenbar ist das Superpositionsprinzip verletzt, vgl. Abschn. 2.1.2.2. Die Berechnung des in Bild 3.17 erkennbaren nichtlinearen Effekts kann also nicht durch ein lineares Kupplungsmodell erfolgen. Nun soll geprüft werden, ob das in Abschn. 3.4.2.2 vorgestellte nichtlineare Materialmodell vergleichbare Rechenergebnisse liefert. Als ein Beispiel dafür, wie sich die Nichtlinearität des durch die Gln. (3.60) bis (3.62) beschriebenen Modells der Gummikupplung auswirkt, wird eine Kupplung periodisch als ein einseitig eingespannter Torsionsschwinger mit einem Moment M(t) = 150(sin Ω t + sin 3Ω t) N · m

(3.65)

berechnet (Ω = 2π f1 ), das zwei verschiedene Erregerfrequenzen ( f1 und f2 = 3 f1 ) enthält, also eine biharmonische Erregung ausübt. Folgende Parameter liegen dieser Simulation zu Grunde: J = 2 kg · m2 kT = 1 182 N · m Rk = 52,44 N · m k = 131,3 a = 44,36 b = −0,117

⎫ ⎪ ⎪ ⎬

Trägheitsmoment Torsionsfederkonstante

Parameter des nichtlinearen Kupplungsmodells ⎪ ⎪ ⎭

(3.66)

In Bild 3.18 sind die Ergebnisse der Simulation mit dem Programm ITI -SIM für drei verschiedene Grundfrequenzen angegeben (man beachte die unterschiedlichen Zeitmaßstäbe). Die Ergebnisse unterscheiden sich wesentlich voneinander. Bei der niedrigen Erregergrundfrequenz (Bild 3.18a) a¨ hneln sich die Zeitverläufe von Erregermoment und Kupplungsmoment, d. h., die Kupplung deformiert sich etwa proportional zu dem eingeleiteten Moment. Bei f1 = 5 Hz sieht man in Bild 3.18b zwar denselben Zeitverlauf des Erregermoments, aber das Kupplungsmoment weicht davon beträchtlich ab. Das Kupplungsmoment besitzt dabei nur geringe Komponenten der dritten Harmonischen von 3 f1 = 15 Hz, obwohl diese mit der Eigenfrequenz nahezu u¨ bereinstimmt. Es wird erstaunlicherweise nicht die Amplitude der dritten Harmonischen, sondern die Amplitude der Grundfrequenz besonders groß, so daß Spitzenwerte von mehr als 300 N · m erreicht werden, vgl. dazu Bild 3.18a. Dies ist ein typischer nichtlinearer Effekt: Energieanteile der zweiten Erregerfrequenz haben zur Erhöhung der Amplitude der Grundfrequenz geführt, d. h., es wandert Energie aus der Schwingform mit der höheren Frequenz in die Schwingform mit der niederen Frequenz, vgl. auch Abschn. 2.1.2.2. Bei noch höherer Erregerfrequenz, wenn die dritte Harmonische im u¨ berkritischen Bereich ist, (Bild 3.18c) werden die Amplituden wie beim linearen System ¨ mit zunehmender Erregerfrequenz immer kleiner. Erst bei der Ubereinstimmung der Grunderregerfrequenz mit der Eigenfrequenz treten dann wieder große Amplituden auf, allerdings mit der Grundfrequenz. Die in diesem Abschnitt beschriebenen Erscheinungen lassen sich nicht mit einem linearen Berechnungsmodell deuten. Die experimentell nachweisbaren nichtli-


207

nearen Effekte können aber mit einem nichtlinearen Modell der Materialdämpfung qualitativ und quantitativ rechnerisch erklärt werden, vgl. Abschn. 3.5. Auch das in Abschn. 2.4.7.2 behandelte Beispiel der Reibungsschwingung, bei dem sich die effektive Reibungszahl mit der Zusatzschwingung a¨ ndert, beruht auf einem nichtlinearen Effekt.

Bild 3.18 Berechnete Verläufe der Drehwinkel (dünne Linien) und Momente (dicke Linien) in dem Kupplungsmodell gemäß Gl. (3.65) und Gl. (3.66) mit f2 = 3 f1 a) f1 = 1 Hz; b) f1 = 5 Hz, c) f1 = 10 Hz

208


3.4.3 Asynchronmotor Jeder Schaltvorgang am Asynchronmotor, der zur Beschleunigung oder Verzögerung eines Antriebssystems führt, bedeutet eine vom elektrischen Netz vorgenommene Energieänderung und wird von elektromagnetischen Ausgleichsvorgängen innerhalb des Asynchronmotors begleitet. Die genauere Analyse dieser Vorgänge kann mit den in der Literatur der elektromotorischen Antriebe genannten Gleichungen [200] erfolgen, wenn die entsprechenden Parameter des Motors zur Verfügung stehen. Der Asynchronmotor ist ein elektromagnetisches System, das eine charakteri¨ stische Ubertragungsfunktion besitzt, die sich aus solchen Parametern wie Polpaarzahl, Ständerspannung, Läuferinduktivität, Ständerinduktivität, Läuferwiderstand, synchrone Drehzahl u. a. berechnen läßt. Damit ist es möglich, Differentialgleichungen für die gekoppelten elektromechanischen Schwingungen aufzustellen und zu lösen. Ein Beispiel für eine solche detaillierte Modellierung der Asynchronmaschine wurde in [294] zur Berechnung der Anlaufvorgänge von Gurtförderern, vgl. auch [360] und Abschn. 4.1, und in [120] für einen Straßenbahnantrieb in Verbindung mit dem Programm DRESP, vgl. Tabelle 2.1. Diese allgemeine Berechnung des gekoppelten Schwingungssystems ist mit spezieller Software möglich, z. B. mit dem Programm TUTSIM [153]. Häufig fehlen allerdings die Eingabedaten für solche Berechnungen. Bei Vernachlässigung des Ständerwiderstands und unter der Annahme, daß der Leerlaufschlupf Null ist, können die Differentialgleichungen des Asynchronmotors durch die stationären Werte der Parameter Kippschlupf sK und Kippmoment MK ausgedrückt werden. Für den Fall, daß bei einem Antrieb nur kleine Schwingungen um ein mittleres Moment (und entsprechend um eine mittlere Winkelgeschwindigkeit) stattfinden, wurde in [348] eine Beziehung für die statische dynamische Motorkennlinie hergeleitet, die mit diesen beiden Parametern auskommt. Sie lautet in dimensionsloser Form ϕ¨ ϕ¨ sK 2 2 2 ˙ ¨ (3.67) M Ω + (sK + s )Ω + M = 2MK sK sΩ 2 M + 2sK + sΩ 2 s Dabei bedeuten ⎛ ⎞ M ⎜ Ω ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ϕ˙ ⎟ x=⎜ ⎟ ⎜ s ⎟ ⎝ s ⎠ K MK

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

Motormoment synchrone Winkelgeschwindigkeit Winkelgeschwindigkeit des Motors Schlupf (s = 1 − ϕ˙ /Ω ) Kippschlupf Kippmoment des Motors

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

(3.68)

Der Kippschlupf sK und das Kippmoment MK sind die beiden Parameter, die in diese nichtlineare Differentialgleichung eingehen und den Momentenverlauf bestimmen. Linearisiert man Gl. (3.67) bezüglich der Winkelgeschwindigkeit des Rotors, ergibt sich (3.69) M¨ + 2sK M˙ Ω + Ω 2 sK M = 2MK sK sΩ 2 Für den statischen Fall“ (ϕ¨ = 0, M˙ = 0, M¨ = 0) folgt aus Gl. (3.67) ” sK s M = 2MK 2 sK + s2

(3.70)


209

Dies ist die bekannte Gleichung von K LOSS. Sie gilt bei annähernd konstanter Drehgeschwindigkeit ϕ˙ , also im stationären Betriebszustand, wenn die Winkelbeschleunigung ϕ¨ Ω 2 ist. Gl. (3.70) kann linearisiert werden, wenn s/sK 1 ist. Dann verbleibt folgende Gleichung für die Motorkennlinie: s ϕ˙ M = 2MK = M0 1 − (3.71) sK Ω Sie entsteht auch aus Gl. (3.69) für M˙ = 0 und M¨ = 0. Diese lineare Form wird häufig benutzt, um kleine Schwingungen in Antriebssystemen unter Berücksichtigung der elektromagnetischen Vorgänge im Antriebsmotor zu berechnen. Für die Schwingungsberechnung eines mit einem Asynchronmotor angetriebenen Antriebssystems kann auch die Differentialgleichung (3.67) angewendet werden, in der dieselben Parameter vorkommen. Mit dem in Bild 3.19 dargestellten Schema wird auf eine Modellierung u¨ bergegangen, welche die ursprünglichen elektrischen Motorparameter benutzt. Mit Hilfe dieses Modells für den Asynchronmotor lassen sich typische Effekte simulieren. In dem Modell gemäß Bild 3.19 sind die mit Gl. (3.69) beschriebenen Zusammenhänge als Sonderfall enthalten. Es zeigt sich, daß bei niederen Eigenfrequenzen des mechanischen Antriebssystems (bis etwa 10 Hz) der dynamische Einfluß des Asynchronmotors vernachlässigbar klein ist. Darüber hinaus ist die Wechselwirkung des elektromagnetischen Systems des Asynchronmotors und des mechanischen Schwingungssystems des Antriebssystems von Bedeutung, z. B. auch für die Berechnung der Eigenfrequenzen des Gesamtsystems. Besonders groß ist der Einfluß des Asynchronmotors bei Netzspeisung im Bereich der Netzfrequenz (z. B. 50 Hz, 60 Hz (USA), 16 2/3 Hz (Bahn)). Bei Umrichter-Speisung gibt es ein breites Erregerfrequenz-Spektrum, da die Speisefrequenz variabel ist und hochfrequente Oberwellen vorhanden sind. Man sollte die mechanischen Teile des Antriebssystems möglichst so gestalten, daß keine Eigenfrequenzen in diese Erregerfrequenzbereiche des Asynchronmotors fallen. US - Speisespannung RS

US

XSσ

XR´σ XH

R´R s

RS - Statorwiderstand R´R - Rotorwiderstand (auf Statorseite bezogen) XSσ - Streureaktanz Stator XR´σ - Streureaktanz Rotor (auf Statorseite bezogen) XH - Hauptreaktanz s

- Schlupf

Bild 3.19 Ersatzschaltbild für Asynchronmotoren mit Kurzschlußläufer

Das Motormodell gemäß Bild 3.19 beruht auf dem T-Ersatzschaltbild für Asynchronmotoren mit Kurzschlußläufer [239], [292]. Das entsprechende Differential-

210


b)

c) Bild 3.20 Zur Simulation eines Versuchslaufs a) Modellbild gemäß ITI -SIM [302], b) Drehmoment und Drehgeschwindigkeit als Funktion der Zeit, c) dynamische Drehzahl-Drehmoment-Kennlinie

¨ 3.5 Dampfungskennwerte

211

gleichungssystem ist in netzsynchron umlaufenden Koordinaten aufgestellt und wird für jeden Zeitschritt numerisch gelöst. Die Berücksichtigung der Stromverdrängung erfolgt durch eine Nachführung der Rotorparameter. Die Parameter des in Bild 3.19 gezeigten Ersatzschaltbildes können direkt eingegeben werden. Wenn sie nicht gegeben sind, können sie aus den Katalogparametern (MK , sK , Ω ) entsprechend der theoretischen Beziehungen ermittelt werden, die z. B. in [129] beschrieben sind, vgl. auch [172], [239]. Als Beispiel wird der Anlauf- und Bremsvorgang eines Asynchronmotors auf einem Prüfstand berechnet. Bei der Anwendung des Programms ITI -SIM ist keine Kenntnis der Differentialgleichung erforderlich, und es werden lediglich folgende Parameterwerte eingegeben: Motor: P = 4 kW n = 2 910 min−1 MK /Mn = 3,2 MA /Mn = 2,7 J = 0,022 kg · m2

Nennleistung Nenndrehzahl relatives Kippmoment relatives Anlaufmoment Trägheitsmoment des Rotors

Bremse: Bremsvorgang beginnt nach der Hochlaufzeit von ta = 1 s: t M= − 1 · 50 N · m Bremsmoment (1 s t 3 s) ta Aus dem Bild 3.20b geht hervor, daß sofort nach dem Einschalten ein Spitzenwert des dynamischen Antriebsmoments von etwa 100 N · m entsteht, der das Anfahrmoment von etwa 35 N · m also etwa um das Dreifache u¨ bersteigt. Die dabei auftretenden Schwingungen haben eine Frequenz der Speisespannung von 50 Hz und klingen bereits nach etwa 0,25 s ab. Der weitere Beschleunigungsvorgang, bei dem der Motor die Nenngeschwindigkeit etwa innerhalb von 0,7 s erreicht, verläuft ebenso wie der sich anschließende Bremsvorgang auf der statischen (Kloss’schen) Motorkennlinie. Bild 3.20b zeigt, wie wesentlich die Schwingungen sind, wenn sich das Antriebsmoment des Asynchronmotors beim Einschalten entwickelt.

3.5 ¨ Dampfungskennwerte Mechanische Energieverluste treten bei allen mechanischen Bewegungen auf, d. h., Dämpfung ist zwar bei allen Schwingungen stets vorhanden, aber bei der dynamischen Analyse eines Antriebssystems muß entschieden werden, ob sie von Bedeutung ist und in welcher Form sie im Berechnungsmodell u¨ berhaupt erfaßt werden soll. Dazu kann man sich an folgende Regeln halten: 1. Auf die Berücksichtigung der Dämpfung kann man meist verzichten, wenn bloß folgende Größen interessieren:

212


• niedere Eigenfrequenzen (und Resonanzgebiete) eines Antriebssystems, • die Spitzenwerte nach Stoßvorgängen (Bilder 2.7, 2.9, 2.25, 4.15, 4.14, 4.16 und 2.50), • Schwingungszustände außerhalb der Resonanzgebiete (Bilder 5.32, 5.33, 5.51 und 5.57). 2. Dämpfungskräfte haben merklichen Einfluß und sollten zumindest durch die modale oder viskose Dämpfung einbezogen werden, wenn folgende Größen interessieren: • Resonanzamplituden linearer Systeme bei periodischer Belastung (Bilder 4.6, 5.46 und 5.57), • die Lastwechselzahl bei Ausschwingvorgängen (Bilder 2.7, 4.13 und 4.14), • höhere Eigenfrequenzen und höhere Eigenformen, • Aussagen zum Stabilitätsverhalten parametererregter Schwinger, vgl. Gln. (4.8) bis (4.11) in Abschn. 4.4.3 und Bild 4.3. 3. Genauere Dämpfungsansätze sind dann zu empfehlen, wenn folgende Größen interessieren • die Temperatur des Materials, z. B. von Gummifedern, • das Verhalten absichtlich eingebauter dämpfender Baugruppen, z. B. Viskositäts- Drehschwingungsdämpfer [204] und gedämpfte Tilger, • das dynamische Verhalten nichtmetallischer Werkstoffe, z. B. bei Kupplungen, vgl. Abschn. 3.4.2.2. In Antriebssystemen entstehen Dämpfungskräfte an der Oberfläche der sich bewegenden Festkörper, wie z. B. Reibung in Führungen und Lagern oder bei Relativbewegungen im Innern der Festkörperwerkstoffe. Die Dämpfungskräfte an den Fugen und Kontaktstellen werden für die jeweilige Baugruppe mit experimentell ermittelten Dämpfungskoeffizienten berechnet, vgl. z. B. die in Abschn. 3.2.4 und 3.3.3 angegebenen Werte. Die inneren Dämpfungskräfte infolge der Werkstoffdeformationen lassen sich theoretisch aus den Werkstoffparametern und dem Deformationsfeld im Innern des belasteten Bauteils berechnen. Infolge der nichtlinearen Stoffgesetze sind aber kontinuumsmechanische Berechnungsmodelle zu verwenden, deren Auswertung aufwendig ist, weil Systeme von partiellen Differentialgleichungen zu lösen sind. Meist muß auch die Wechselwirkung der mechanischen und thermodynamischen Prozesse berücksichtigt werden, weil sich das Material infolge der Dämpfungsarbeit aufheizt und sich dabei die Werkstoffparameter a¨ ndern. Vielfach hat sich gezeigt, das man allein etwa fünf bis zehn Parameter braucht, um das Werkstoffverhalten zu erfassen. Für viele Bauteile werden deshalb Parameterwerte zur Erfassung der Dämpfung für das komplette Bauteil ermittelt, vgl. z. B. [204], [235], [252] und die Ausführungen zu Kupplungen in Abschn. 3.4.2.2. Es besteht in der Berechnungspraxis der Wunsch, mit wenigen (und nach Möglichkeit experimentell einfach zu bestimmenden Parameterwerten) eine möglichst gute Approximation der Dämpfungskräfte bei beliebigen Zeitverläufen der Belastungen zu erhalten. Jeder Dämpfungsansatz muß mathematisch ausdrücken, daß die Dämpfungskraft entgegengesetzt zur momentanen Geschwindigkeitsrichtung wirkt, weil nur


213

dann dem mechanischen System bei der Bewegung mechanische Energie entzogen wird. Im allgemeinen sind Dämpfungskräfte bei den verschiedenen Werkstoffen auf verschiedene Weise von den Kräften, Deformationen und deren Zeitableitungen abhängig, so daß ein funktioneller Zusammenhang ˙ . . .) = 0 f (. . . , q, ¨ q, ˙ q, F, F,

(3.72)

besteht. Falls Dämpfungskräfte nur von der Koordinate und deren Ableitungen abhängen, kann man sie in folgender Weise beschreiben: ˙ sign (q) ˙ FD = |F(q, q)|

(3.73)

Dabei ist q die Koordinate, an welcher infolge der Relativbewegung die Dämpfungskraft FD wirkt. Der Betrag kann gemäß Gl. (3.73) eine nichtlineare Funktion der Koordinate und/oder der Geschwindigkeit sein. Der lineare Ansatz für die viskose Dämpferkraft mit der Dämpferkonstante d müßte eigentlich in der Form ˙ sign (q) ˙ geschrieben werden, aber da sich die Kraftrichtung bereits mit q˙ FD = |d q| a¨ ndert, wird die Signumfunktion stets weggelassen und für die viskose Dämpfung FD = d q˙

(3.74)

geschrieben, vgl. auch Tabelle 3.9, Gl. (1). Die Parameterwerte des Modells für eine gedämpfte Schwingung lassen sich auf verschiedene Weise ermitteln. In Tabelle 3.7 sind als die beiden gebräuchlichsten experimentellen Verfahren zur Bestimmung von Dämpfungsparametern linearer Schwinger, der Ausschwingversuch und die erzwungene harmonische Bewegung, genannt. Mit den Gln. (1) bis (4) ist angegeben, welche Beziehung zwischen den jeweiligen Daten der Versuchsergebnisse und den Parametern des linearen Berechnungsmodells bestehen. Die Beziehungen zwischen diesen Parametern sind in Tabelle 3.8 angegeben. Bei komplizierteren Dämpfungsansätzen werden oft ebenfalls diese Versuche benutzt, vgl. Abschn. 3.4.2.2. Das logarithmische Dämpfungsdekrement Λ kann man aus dem Ausschwingvorgang ermitteln, wenn man mehrere Meßwerte zur Verfügung hat, die sich um ganzzahlige (n) Vielfache der Eigenschwingungsdauer T unterscheiden. Es genügen zwei Werte, aber man kann auch mehr als zwei Amplituden auswerten und dann prüfen, wie genau die Hypothese u¨ ber die viskose Dämpfung erfüllt ist. Die relative Dämpfung ψ gibt den relativen mechanischen Energieverlust pro Schwingungsperiode an. Sie ist proportional der von der Hysteresekurve während eines vollen Zyklus umschlossenen Fläche und folgt direkt aus der Auswertung der Hysteresekurve, wenn diese bei harmonischer Wegerregung q = qˆ sin Ω t aufgenommen wird. Infolge eines nichtlinearen Material- oder Bauteilverhaltens führt eine harmonische Bewegung bereits zu einer nichtharmonischen Belastung. Noch kompliziertere Zusammenhänge existieren bei nichtharmonischer (z. B. periodischer) Wegerregung, vgl. z. B. die Hysteresekurven in Abschn. 3.4.2.3. Die Messung des Verlustwinkels δ ist relativ schwierig und liefert meist ungenaue Werte, da dieser Winkel klein und nicht auf mehrere Ziffern genau bestimmbar ist. Die Auswertung erzwungener Schwingungen liefert in Resonanznähe relativ genaue Aussagen für den Dämpfungsgrad D. Um möglichst genaue Werte zu erhalten, wurde schon in [219] vorgeschlagen, nicht die Höhe der Resonanzspitze (die umgekehrt proportional zu 2D ist) auszumessen, sondern die Breite der Resonanzkurve bei den angegebenen Frequenzen.

214


Ausschwingversuch

Tabelle 3.7 Elementare Methoden zur Ermittlung der Dämpfungsparameter Kenngröße

Herkunft, geometrische Größe

Logarithmisches Dämpfungsdekrement 1 q(t0 ) Λ = ln n q(t0 + nT )

Abklingkurve

q (1)

t0 t 0 + 2T

t 0 +T

Zeit t Relative Dämpfung ψ =

Erzwungene harmonische Schwingung

T = 2π / ω

T

q0

∆W W

Hysteresekurve

F F$ F sin δ

(2)

kq 1 W = kq$ 2 2

q$

∆W

Verlustwinkel d Ω qˆ ≈δ sin δ = Fˆ

Weg q

Zeitverlauf (3)

F$ sin Ω t q$ sin(Ω t −δ)

F, q

Zeit t δ/Ω

Dämpfungsgrad aus Halbwertsbreite f − f1 D= 2 2 f0

(4)

Resonanzkurve q$ q$ max

q$ max 2

f1 f 2 Frequenz f f

Parameterwerte

0

Dämpfungsgrad d D= √ 2 km

Berechnungsmodell

m

(5)

q

k d

215


Die beim Ansatz in Gl. (3.74) getroffenen Voraussetzungen und die in Tabelle 3.8 genannten Beziehungen sind selten genau erfüllt, weil die reale Dämpfung kaum der Gl. (3.74) gehorcht. Die Linearität der entstehenden Differentialgleichungen erlaubt eine bequeme mathematische Behandlung, so daß man diese Näherung oft bevorzugt, obwohl man seit langem weiß, daß sich viele Materialien anders verhalten. Tabelle 3.8 Beziehungen zwischen Dämpfungskennwerten δ

kψ 2π Ω

kδ Ω

ωΛ 2π

kψ 4π mΩ

kδ 2mΩ

D

Λ 2π

4π η

2η

2π D

Λ

ψ

πδ

β

D

Dämpfungskonstante d

d

2mβ

2mω D

Abklingkonstante β

d 2m

β

ωD

Dämpfungsgrad D (Lehrsches Dämpfungsmaß) Logarithmisches Dämpfungsdekrement Λ

d √ 2 km

ω

πd

2π β

mω

ω

β

Λ

ψ

d

mω Λ π

ψ

2η

Relative Dämpfung ψ

2π Ω d k

4π mΩ β k

4π η D

2η Λ

ψ

Verlustwinkel δ

Ωd k

2mΩ β k

2η D

ηΛ π

2π

ψ

δ

η

2π δ δ

Für den Schwinger mit einem Freiheitsgrad ist in Lehrbüchern beschrieben, welcher Zusammenhang zwischen der Koordinate q und der Erregerkraft F bei harmonischer Belastung besteht, vgl. z. B. [101], [150], [191], [202], [231], [232], [344], [349]. Es haben sich mehrere Parameter zur Beschreibung der Dämpfung eingebürgert. Unter der Annahme, daß das Berechnungsmodell ein linearer Schwinger mit einem Freiheitsgrad ist, gelten die in Tabelle 3.8 angegebenen Zusammenhänge zwischen logarithmischem Dämpfungsdekrement Λ , Dämpfungsgrad D, relativer Dämpfung ψ und Dämpferkonstante d [315]. Einige häufig benutzte Ansätze zur Erfassung der Dämpfungskraft, die nur einen einzigen oder zwei Parameter berücksichtigen, sind in Tabelle 3.9 angegeben. Diese Ansätze sind für beliebige stationäre Bewegungen brauchbar, d. h. auch zur Berechnung der Dämpfungskräfte, die bei periodischen (nichtharmonischen) Bewegungen auftreten. Die gezeigten Hysteresekurven ergeben sich bei der stationären Erregung gemäß q = qˆ sin Ω t, aber bei anderen Zeitverläufen ergebe sich andere Hysteresekurven, andere Hystereseflächen und ein anderes Dämpfungsvermögen. Innerhalb der vertikalen Geraden, die bei einigen Hysteresekurven auftreten, in denen q˙ = 0 ist, stellt die Kraft FD eine Reaktionskraft dar. Man beachte die unterschiedlichen Abhängigkeiten des relativen Energieverlustes pro Periode (der relativen Dämpfung) von den Parametern – dies liefert einen Anhaltspunkt zur Auswahl des zweckmäßigen Berechnungsmodells.

216


Tabelle 3.9 Beispiele für ein- und zweiparametrige Dämpfungsansätze


217

Die relative Dämpfung ψ ergibt sich bei harmonischer Wegerregung eines Bauteils im stationären Zustand aus der Hysteresekurve, vgl. die Gln. in Tabelle 3.9. Aus den angegebenen Dämpfungsansätzen (1), (3), (5) bis (13) folgen die Formen der dazu gezeichneten Hysteresekurven und die Ausdrücke in den Gln. (2), (4), (6) bis (14), die für die relative Dämpfung gelten. Man kann unter Beachtung des a¨ quivalenten Dämpfungsvermögens die Dämpfungsparameter aller Ansätze ineinander umrechnen, wenn man die relative Dämpfung ψ gleichsetzt, also auch in die Parameter eines linearen Schwingers, vgl. Tabelle 3.8. In manchen Publikationen (z. B. [197], [238]) wird der Ansatz mit der komplexen Dämpfung empfohlen, weil er gegenüber der viskosen Dämpfung angeblich den Vorteil hat, daß er nicht nur bei harmonischen, sondern auch √ bei periodischen Schwingungen anwendbar ist. Man kann zeigen, daß (mit j = −1) der Ansatz F = (k + jk∗ )q

(3.75)

eine von der Geschwindigkeit unabhängige Hysteresekurve liefert, die dem Ansatz d∗ q˙ (3.76) Ω bei harmonischer Erregung mit der Kreisfrequenz Ω entspricht, wenn k∗ = d ∗ ist, vgl. auch Abschn. 6.6 in [150]. Damit entsteht eine elliptische Hysteresekurve, und man kann mit Gl. (2) in Tabelle 3.9 mit d = d ∗ /Ω die Umrechnung in die relative Dämpfung vornehmen, die dann nicht mehr frequenzabhängig wird. Der Unterschied zum Ansatz von S OROKIN, der auch zu einer elliptischen Hysteresekurve führt, vgl. Gl. (7) und Gl. (8) in Tabelle 3.9, besteht darin, daß bei dem linearen Ansatz von Gl. (3.75) oder (3.76) die Resonanzamplitude bei erzwungenen harmonischen Schwingungen der Erregerkraftamplitude proportional ist, während sie bei dem nichtlinearen Ansatz von Gl. (7) die Resonanzamplitude nur mit der Wurzel aus der Kraftamplitude zunimmt. Der Ansatz (3.75) ist ebenso wie der Ansatz (3.76) nur für harmonische Belastungen brauchbar. Von S. C RANDALL wurde bereits im Jahre 1962 bewiesen [241], daß der komplexen Dämpfung gemäß Gl. (3.75) kein kausales Verhalten des Werkstoffs entspricht, also z. B. mit diesem Ansatz zwar mathematische Lösungen gewonnen werden, die aber physikalisch uninteressant sind, weil die Wirkung (Schwingantwort) zeitlich vor(!) der Ursache (Schwingungserregung) auftritt. Berechnungsmodelle mit linearen und nichtlinearen Kraftgesetzen, die mehrere Parameter enthalten, sind z. B. in [16], [268] und für das Verhalten elastischer Kupplungen in [20], [235] veröffentlicht. Die Beachtung des nichtlinearen Verhaltens der realen Dämpfung wird vor allem in den Arbeiten [84] und [252] betont, vgl. auch [246]. F = kq +

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

4.1 Anlaufvorgang eines Antriebs mit Asynchronmotor Bei der Auslegung von Antriebssystemen mit Asynchronmotoren ist die dynamische Analyse mit spezifischen Programmen für die Simulation zu empfehlen, vgl. Tabelle 2.1. Derartige Software stützt sich u. a. auf mathematische Modelle, die das dynamische Verhalten der Asynchronmotoren beschreiben. Die Dimensionierung der Motoren, Getriebe, Wellen und Kupplungen kann damit unter Berücksichtigung sowohl der technologischen Belastungen als auch der aus den mechanisch-elektrischen Wechselwirkungen innerhalb des Asynchronmotors entstehenden Antriebsmomente ermittelt werden, zu denen die Lastfälle Anlassen, Bremsen, Fehlsynchronisation oder Kurzschluß (2- oder 3-polig) gehören.

a)

b) Bild 4.1 Antriebsstrang eines Lüfterantriebs a) Simulationsmodell von ITI -SIM [302] b) Kupplungsmoment beim ungesteuerten Hochlauf

220


Im folgenden wird der Hochlauf eines Lüfterantriebs analysiert, wobei für den Asynchronmotor auf das in Abschn. 3.4.3 behandelte Motormodell und die Ausführungen in [292] zurückgegriffen wird. Bild 4.1 zeigt den Antriebsstrang eines Lüfterantriebs, dessen Minimalmodell für die Torsionsschwingung aus einer starren Drehmasse für Motor und Lüfter, einer masselosen nichtlinearen Torsionsfeder für die Kupplung und der dynamischen Kennlinie des Asynchronmotors besteht. Als Parameterwerte sind bekannt: • Motor: P = 2 260 kW n = 1 480 U/min MA /Mn = 1,7 MK /Mn = 2,1 JR = 64,7 kg · m2

Nennleistung Nenndrehzahl relatives Anlaufmoment relatives Kippmoment Trägheitsmoment des Rotors

• Kupplung: M = 39 kN · m Nennmoment kT = 20 . . . 35 MN · m/rad Drehfedersteifigkeit (Nichtlinearität gemäß internem Modell) ψ =1 relative Dämpfung • Lüfter: ML = 0,5(Ω /s−1 )2 N · m Lastmoment JL = 990 kg · m2 Trägheitsmoment Aus den Katalogdaten des Motorherstellers werden aufgrund der in [129] beschriebenen Zusammenhänge die Parameterwerte des elektrischen Motormodells programmintern bestimmt [302]. Die Eigenfrequenz dieses Torsionsschwingers ist infolge der nichtlinearen Torsionsfeder belastungsabhängig und liegt im Bereich von f = 100 . . . 160 Hz, also weit oberhalb der Netzfrequenz von 50 Hz, so daß das Resonanzgebiet nicht durchlaufen wird und (bei dem aus rein mechanischer Sicht dynamisch unterkritischem Belastungsfall) nichts Gefährliches“ passieren dürfte. ” Es soll geprüft werden, ob infolge der beim Anlauf auftretenden Wechselwirkung des elektromagnetischen Systems mit dem mechanischen Antriebssystem das zulässige Moment der Kupplung u¨ berschritten wird. Die Simulation des ungesteuerten Hochlaufs liefert den Verlauf des Kupplungsmoments entsprechend Bild 4.1b. Dabei treten gleich zu Beginn intensive Schwingungen mit der Netzfrequenz von 50 Hz auf, und die Spitzenwerte des Moments in der Kupplung betragen mehr als 120 kN · m. Die infolge der elektrischen Ausgleichsvorgänge nach dem Einschalten des Motors entstehenden Schwingungen klingen etwa nach zwei Sekunden ab. Man erkennt in diesem Bild, daß der weitere Hochlauf auf der statischen Motorkennlinie stattfindet. Die elektrische Hochlaufsteuerung ist in Bild 4.2a links im Bild angedeutet. Sie besteht aus einer U- f -Steuerung, bei der die elektrische Spannung U und die Frequenz f proportional geändert werden, infolge dessen sich die Motorkennlinie proportional verschiebt. Bei diesem gesteuerten Hochlauf beträgt die Speisefrequenz des

4.2 Fahrzeug-Antriebsstrang

221

¨ Motors beim Einschalten 5 Hz. Sie nimmt mit einer Anderungsgeschwindigkeit von 5 Hz/s bis auf 50 Hz zu. Die Speisespannung steigt bei dem Beispiel proportional zur Frequenz an, so daß die Nennspannung bei Nennfrequenz erreicht wird.

a)

b) Bild 4.2 Antriebsstrang des Lüfterantriebs a) Simulationsmodell von ITI -SIM [302] b) Kupplungsmoment beim gesteuerten Hochlauf

An dem Momentenverlauf in Bild 4.2b sieht man, daß während des Hochlaufvorganges innerhalb der ersten zwei Sekunden das Spitzenmoment unter 25 kN · m verbleibt, also wesentlich unter demjenigen des ungesteuerten Hochlaufs und unter dem Nennmoment der Kupplung, das hier bei etwa 30 kN · m liegt, vgl. Bild 4.1b. Dieses Beispiel lehrt, daß man derartige Antriebe nicht ungesteuert anlaufen las¨ sen darf, wenn man Uberlastungen der mechanischen Baugruppen des Antriebsstranges vermeiden will.

4.2 Fahrzeug-Antriebsstrang Ein typisches Beispiel für ein komplexes Antriebssystem ist der FahrzeugAntriebsstrang mit Berücksichtigung des Motors als elastisches Teilsystem sowie des weiteren Strangs mit Kupplung, Getriebe, Gelenkwelle, Differentialgetriebe, Seitenwellen und Rad/Reifen. Die Entwicklung eines Simulationsmodells wird in

222


[290] beschrieben, wobei auch auf die vielfältige Literatur dazu eingegangen wird. Aus der Sicht der Regelungstechnik wird diese Problematik in Verbindung mit einem Motorenprüfstand in [264] behandelt. Zur Minimierung von Schwingungen (und damit auch zur Reduzierung von Lärm) werden in Fahrzeugen mit mechanischen Schaltgetrieben so genannte Zwei” Massen-Schwungräder“ (ZMS) eingesetzt, die einen wesentlichen positiven Einfluß auf das Gesamt-Eigenverhalten des Antriebssystems haben, vgl. [288], [337].

Bild 4.3 Fahrzeug-Antriebsstrang, Simulationsmodell von ARLA -SIMUL [213], [301] a) ohne Zwei-Massen-Schwungrad (ZMS), b) mit Zwei-Massen-Schwungrad

Bild 4.3a zeigt ein entsprechendes Schwingungsmodell mit allen Drehmassen und Drehsteifigkeiten als unverzweigtes-unvermaschtes System (hinterachsgetriebenes Fahrzeug mit durchgeschaltetem 4. Gang). Mit den in Tabelle 4.1 angegebenen Parameterwerten erfolgte die modale Analyse [213], deren Ergebnisse in Bild 4.4 dargestellt sind. Anhand der ersten Eigenfrequenzen und Schwingungsformen lassen sich die typischen maschinendynamischen Eigenschaften erkennen. Durch Vergleich der Amplituden-Verteilung der Eigenformen (ϕ ki ) mit den Parameterwerten multiplizierten Sensitivitätskoeffizienten kann man die physikalischen Ursachen deuten.


223

Tabelle 4.1 Parameterwerte des Antriebsstranges von Bild 4.3 k

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Drehmasse Jk in 10−3 kg · m2 a) b) 4 1 10 10 10 10 215 115 0,28 115 4,25 2,5 6,5 2,4 32,5 2,37 1 700 124,1 65 000 4 748

Drehfederkonstante kTk in 104 N · m/rad a) b) 2 9 45 45 45 50 0,16 0,06 0,90 6 0,9 0,9 0,75 5,48 1 0,07 4 0,29 — —

Gesamtübersetzung u a), b) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3,7 3,7 3,7

auf Hauptwelle reduzierte Werte

Es ist deutlich erkennbar, daß das Subsystem Motor“ vom restlichen Schwin” gungssystem zwischen Schwungrad und Fahrzeug-Ersatzmasse dynamisch entkoppelt ist. Hieraus läßt sich beispielsweise auch die Reduktion der elastischen Substruktur Motor“ auf eine einzige Masse als starre“ Substruktur rechtfertigen, wenn das ” ” Antriebssystem selbst nicht analysiert werden soll, denn der Motor verhält sich bei den niederen Formen wie ein rotierender starrer Körper. Weiterhin ist vom Standpunkt der Modellbildung interessant und aus Bild 4.4b ersichtlich, daß • die Fahrzeugmasse (J15 ) infolge ihrer großen Trägheit nicht an den Schwingungen beteiligt ist und wie eine Einspannstelle wirkt, • vor allem die zweite Eigenform durch das Zwei-Massen-Schwungrad (ZMS) stark beeinflußt wird (Relativdrehung zwischen Scheibe 7 und 8), • sich alle Eigenfrequenzen infolge des ZMS (Zusatzmasse, kleinere Drehfeder) partiell abgesenkt haben, vgl. fi des Systems a mit fi+1 des Systems b • die höheren Eigenformen durch das ZMS wenig beeinflußt werden, vgl. die Formen ϕ i des Systems a mit ϕ i+1 des Systems b, • die erste Eigenform durch die weichsten Federn (k7 , k13 ) und die große Schwungmasse (J7 ) bedingt ist, • daß erst ab etwa 290 Hz das Eigenverhalten des Vierzylindermotors von Bedeutung ist In Bild 4.4 wurde die (theoretisch erste Eigenform, die) Starrkörperdrehung nicht mit dargestellt. Das Bild zeigt auch, daß die grafische Darstellung von der Normierungsbedingung abhängt, denn nur weil deren Vorzeichen vertauscht wurden, sieht z. B. ϕ k1 in Bild 4.4a und 4.4b anders aus.

224


Bild 4.4 Eigenfrequenzen fi , Eigenformen ϕ ki und Produkte von Parameterwerten mit Sensitivitätskoeffizienten der kinetischen (µ ik ) und potentiellen Energie (γ ik ) zu Bild 4.3 a) ohne Zwei-Massen-Schwungrad, b) mit Zwei-Massen-Schwungrad [213], [301]


225

Es interessiert das dynamische Verhalten eines verzweigten Fahrzeugantriebs mit Berücksichtigung einer spielbehafteten Getriebestufe (im unbelasteten Antriebszweig). Der im Bild 4.5 vorgestellte Torsionsschwinger läßt sich aufgrund der Komplexität (verzweigte Struktur, Spiele in den beiden Getriebestufen) bevorzugt mit Hilfe moderner Simulationsprogramme berechnen [215], [264], [337]. Das Berechnungsmodell von Bild 4.3 wurde um periodische Erregermomente an den vier Zylindern und um die spielbehaftete Vorgelegewelle erweitert.

Bild 4.5 Fahrzeug-Antriebsstrang mit Vorgelegewelle, belastet durch periodische Motormomente, vgl. Bild 4.3 [213], [301] a) ohne Zwei-Massen-Schwungrad, b) mit Zwei-Massen-Schwungrad

In den beiden Versionen ohne bzw. mit ZMS wurde das dynamische Verhalten im Zeitbereich mit der Simulationssoftware ARLA -SIMUL [213] analysiert. Da die Drehzahl proportional mit der Zeit monoton ansteigt, ist die Zeitabhängigkeit auch gleichzeitig die Drehzahlabhängigkeit. Die Ergebnisse (Zeitverläufe sowie Amplituden im Frequenzbereich) sind Bild 4.6 und Bild 4.7 zu entnehmen. Es erfolgte die Simulation eines Hochlaufs von der Drehzahl Null bis zu 1 200 min−1 innerhalb von 7 Sekunden. Bild 4.6 zeigt, daß der Fahrzeugantriebs-

226


Bild 4.6 Mit ARLA -SIMUL berechnete Zeitverläufe des Moments M16 (Vorgelegewelle) gemäß Bild 4.5 [213] a) ohne Zwei-Massen-Schwungrad, b) mit Zwei-Massen-Schwungrad

strang im Drehzahlbereich unterhalb der Leerlaufdrehzahl resonanzfähig ist (besonders das System mit ZMS). Erst oberhalb der Leerlaufdrehzahl wirkt das ZMS vorteilhaft (Minimierung und Quasi-Abkopplung“ der Motorzwangsanregung, ” ¨ keine Resonanzen). Das System ohne ZMS zeigt deutlich eine Uberh¨ ohung im Momentenverlauf aufgrund der Motorzwangsanregung bei der Grundfrequenz von etwa 6 Hz. Bei dem System mit ZMS zeigt sich auch bei der zweiten Eigenfrequenz von 16 Hz eine Resonanzspitze, vgl. Bild 4.4 und Bild 4.6b. Außerdem ist in den Plots ein anderes Phänomen erkennbar: Im tiefen Drehzahlbereich (normalerweise immer unterhalb der Leerlaufdrehzahl) ist die ZMS-Version sogar stärker resonanzgefährdet als der konventionelle Strang; jedoch werden die Amplituden in höheren Drehzahlregionen erheblich geringer (d. h. akustisch günstig abgestimmtes System). Ein besonders u¨ bersichtliches Ergebnis, quasi eine Kombination der Ergebnisse im Zeit- und Frequenzbereich, ist in Bild 4.7 dargestellt. Die DrehmomentAmplituden werden vergleichbar mit der Darstellung von geographischen Höhen auf Landkarten in Abhängigkeit von der Zeit sowie der Frequenz aufgetragen. Die maximale Amplitude der ZMS-Antriebsstrang-Konfiguration ist oberhalb der Leerlaufdrehzahl nur ca. 20 % von der Amplitude für die Konfiguration ohne ZMS. Darüber hinaus ist dieses Maximum“ bei erheblich kleineren Drehzahlen vorzufin” den, was wiederum für die Praxis ein Vorteil bezüglich der Entwicklung des Lärms bedeutet.


227

Bild 4.7 Amplitudenkarte des Campbell-Diagramms für das Moment M16 im Fahrzeugmodell nach Bild 4.5; Rechenergebnisse mit ARLA -SIMUL [213] a) ohne Zwei-Massen-Schwungrad, b) mit Zwei-Massen-Schwungrad

Solche numerischen Simulationen können erheblich zur rechnergestützten, praxisrelevanten Optimierung von komplexen Antriebssystemen beitragen. Die Ordnungsgeraden des Campbell-Diagramms und die Resonanzkurve sind hierbei in einem Diagramm zusammengefaßt. Je tiefer die Schwärzung der Fläche ist, desto größer sind die Amplituden. Hier in Bild 4.7 dominiert die zweite ErregerHarmonische, aber auch die Ausläufer der ersten und vierten Erregerharmonischen sind erkennbar. Weitergehende Systembetrachtungen von Fahrzeugantriebssträngen – auch im Hinblick einer akustischen Optimierung des dynamischen Gesamtverhaltens – werden in der Literatur eingehend vorgestellt [217].

228


4.3 Kupplungen im Antriebsstrang 4.3.1 Allgemeine Problemstellung Kupplungen sind oft die wesentlichen Teile eines Antriebsstranges, die dessen dynamisches Verhalten entscheidend bestimmen. Genau genommen müßte man entsprechend der Vielfalt der Bauarten, die aus den verschiedenen Aufgabenstellungen (z. B. Ausgleich von radialem, axialem oder Winkelversatz, linear oder nichtlinear ¨ jede Kupplungsbauart ein spezifisches maschinendynaelastisch u. a.) folgt, fur misches Berechnungsmodell verwenden, vgl. z. B. [20], [216], [238], [240], [256], [306], [337]. Tabelle 3.2 charakterisiert einige Beispiele lediglich mit eindimensionalen“ ” Kennlinien, welche das Torsionsmoment betreffen. Es müssen in Wirklichkeit aber oft ebene oder sogar räumliche Modelle berücksichtigt werden, um das wesentliche Verhalten zu erfassen. Hier fehlt für so eine detailliertere Erläuterung der Raum, aber an einigen Beispielen soll auf die Modelltiefe“ hingewiesen werden, die ” gelegentlich erforderlich ist. Eine Kupplung ist oft nicht nur das weichste Element innerhalb eines Antriebsstranges, welches die tiefsten Torsionseigenfrequenzen bestimmt, sondern auch die Ursache einer Schwingungserregung. Ist die Kupplung das einzige weiche“ Element ” im Antriebsstrang, so ist für die Berechnung im niederen Frequenzbereich oft das Zweimassensystem als Minimalmodell geeignet. Dynamische Belastungen in einem Antriebssystem kann man durch den Einbau einer Kupplung vermindern, wenn eine Abkopplung der a¨ ußeren Erregung erreicht wird, vgl. auch Abschn. 4.3.3. Dies ist durch eine Abänderung der Eigenformen möglich, z. B. mit den Methoden der in Abschn. 2.5.1 beschriebenen Sensitivitätsanalyse oder im Hinblick auf die Erregungen mit der Analyse der Anregbarkeit gemäß Abschn. 5.2. Dazu ermittelt man die Sensitivitätskoeffizienten, vgl. auch Gl. (2.370): • µ ik – Einfluß der k-ten Drehmasse auf die i-te Eigenfrequenz, • γ ik – Einfluß der k-ten Drehfeder auf die i-te Eigenfrequenz und • die Matrix, die in Abschn. 2.5.1.2 für einen Torsionsschwinger erläutert wurde. Die µ ik definieren die spezifische kinetische Energie der k-ten Drehmasse und geben durch ihre Größe zu erkennen, welche Drehmasse welche Eigenfrequenz wie beeinflußt, vgl. Bild 4.4. Analog kennzeichnen die γ ik die spezifische potentielle Energie der Wellenabschnitte und weisen durch ihre Größen darauf hin, wie sich die Modifikation der Drehfedersteifigkeiten auf die Verschiebung der Eigenfrequenzen auswirkt. Zur Bewertung der Eigenformen kann man die Matrizen R berechnen, deren Elemente den Einfluß des k-ten Parameters auf die i-te Eigenform erfassen, vgl. Gl. (2.364). Kennt man den Zeitverlauf der Erregermomente, so kann man auch die modalen Anregungsfaktoren wi berechnen, die den spezifischen Anteil der in die i-te Eigenform fließende Erregerarbeit abhängig vom Zeitverlauf der Erregerkräfte quantitativ bewerten, vgl. Gl. (5.8) und Abschn. 5.2.1.

4.3 Kupplungen im Antriebsstrang

229

Praktische Problemlösungen in Verbindung mit der Auslegung von Kupplungen bei großen Anlagen behandeln z. B. die Arbeiten [56], [216], [352] und [360]. In [56] wird empfohlen, die Torsionsgrundschwingung von Mahlanlagen (Kugelmühlen, Rollenpressen, Vertikalmühlen) durch den Einsatz drehelastischer Wellen und Kupplungen in den Bereich zwischen 5 bis 10 Hz zu legen, da die Frequenzspektren ” des Mahlvorganges die stärksten Amplituden zwischen 10 und 30 Hz aufweisen“. Aus der modalen Anregbarkeitsanalyse würde sich nach längerer Rechnung dieselbe Schlußfolgerung ergeben, vgl. Abschn. 5.2. Die Beurteilung des dynamischen Verhaltens eines Antriebsstranges erfordert oft eine genaue Modellierung des Steifigkeits- und Dämpfungsverhaltens der nachgiebigen Kupplungen. In der DIN 740-2 (Nachgiebige Wellenkupplungen. Begriffe und Berechnungsgrundlagen, August 1986) werden am Betriebspunkt linearisierte Berechnungsmodelle empfohlen. Für viele Kupplungen sind aber nichtlineare Berechnungsmodelle erforderlich, d. h., man erhält qualitativ und quantitativ falsche Ergebnisse, wenn man bloß mit linearen Kupplungsmodellen rechnet. Dies gilt besonders für Einsatzfälle, wo eine Kupplung nach der ertragbaren Verlustleistung in der Resonanzstelle ausgelegt werden muß und die Dämpfungsleistung das wesentliche Auslegungskriterium ist, vgl. [360]. 4.3.2 Lufterantrieb ¨ An einem Lüfter, der durch einen frequenzgeregelten Asynchronmotor mit Umrichterbetrieb (VSD/AC-Motor, Leistung 2,2 MW) angetrieben wird, gab es Schadensfälle [216]. Ursprünglich war der Motor u¨ ber eine Ganzstahlkupplung (System ARPEX) mit dem Antrieb verbunden. Diese Kupplung ist drehsteif und kann den Axial-, Winkel- und Radialversatz ausgleichen. Bild 4.8 zeigt das Berechnungsmodell des Lüfterantriebs, das zur Simulation dieses Antriebssystems verwendet wurde. Es besteht aus sechs Drehmassen und fünf Torsionsfedern. Die Kupplung wurde als Torsionsschwinger modelliert und der Lüfter als starre Drehmasse, da die Eigenfrequenzen der Flügelblätter im Vergleich zu denen des Torsionsschwingers sehr groß waren. Gemäß den Hinweisen in Tabelle 3.1 muß man bei diesem Antriebssystem mit periodischen Torsionsmomenten rechnen, deren Spektrum vor allem Harmonische mit einfacher, doppelter, 12- oder 24-facher Drehfrequenz (je nach Anzahl der Pole und Pulse des Elektromotors) enthält. Hinzu kommen noch Einflüsse der Regelung und des Lüfters, der in diesem Fall 10 Flügelblätter hatte. Zur Problemgeschichte: 1. Bei der Inbetriebnahme dieses Antriebssystems brach die Hülse der ursprünglichen Kupplung ( K1“). Die Messung zeigte unzulässig große Torsionsschwin” gungen, in dem relativ breiten Drehzahlbereich von 300 bis 1 500 min−1 . 2. Nach dem Auswechseln der bisherigen Kupplung und dem Einbau einer steiferen Kupplung derselben Bauart ( K2“), die auch ein größeres Nennmoment u¨ bertra” gen konnte, brach infolge starker Schwingungen die Motorwelle. 3. Aufgrund dieser Erfahrungen wurde eine RUPEX-ARPEX-Kupplungskombination ( K3“) eingesetzt, die eine geringere Torsionssteifigkeit und eine wesentlich ” stärkere Dämpfung besaß. Danach traten im Betrieb keine wesentlichen Schwingungen mehr auf.

230


Motor

Lamelle kT1

M

kT2

J2 J1

a)

Hülse

Lamelle

Welle

kT4

kT5

kT3

J3

J4

Lüfter

J5 J6

Ganzstahl-Kupplung

b)

µik J k

γ ik kTk

c) Bild 4.8 Lüfterantrieb a) Berechnungsmodell, b) ARPEX-Kupplung (Kupplung K1“ [14]), c) Eigenformen ” und Eigenfrequenzen des Lüfterantriebs mit Kupplung K1“ [216] ”


231

Die modale Analyse des Antriebssystems mit der ursprünglich eingebauten Kupplung K1“ lieferte die in Bild 4.9 dargestellten Eigenformen. Nach dem ” Einbau der zweiten Kupplung zeigte sich, daß sich die Eigenfrequenzen und Eigenformen fast nicht von denen der ursprünglichen Variante unterschieden. Die größere Kupplung K2“ a¨ nderte am ungünstigen Schwingungsverhalten wenig. ”

a)

b) Bild 4.9 Drehmoment in der Hülse beim Hochlaufvorgang [216] a) ursprünglicher Einbauzustand mit Kupplung K1“ ” b) verändertes Antriebssystem mit Kupplung K3“ ”

Die Simulation des Hochlaufvorganges (Hochlaufzeit 10 s) im Drehzahlbereich von 500 bis 1 400 min−1 erfolgte unter Berücksichtigung der höheren (2., 10., 12., 24.) Erregerharmonischen. Es zeigte sich im Drehzahlbereich von 200 min−1 bis ¨ der ersten 400 min−1 ein erstes Resonanzgebiet, welches durch die Ubereinstimmung Eigenfrequenz mit der 10. und 12. Erregerharmonischen erklärlich war (ω 1 ≈ kΩ ), vgl. Bild 4.9a. Dem Mittelwert des Drehmoments von etwa 15 kN · m waren in diesem Resonanzgebiet Schwingungen mit ca. 30 Hz mit einer Amplitude von etwa

232


15 kN · m u¨ berlagert. Die vom Lüfter stammende 10. Harmonische verursacht Erregerfrequenzen im Bereich von 83 Hz bis 233 Hz, aber die zugehörige Eigenform besitzt eine geringe modale Anregbarkeit. Dies erkennt man daran, daß dieser Torsionsschwinger an der Stelle des Lüfters nur eine geringe Amplitude hat (vgl. Bild 4.8c), d. h., die vom Lüfter kommenden Erregermomente verrichten keine große Erregerarbeit, vgl. Abschn. 5.2. Vermutlich war die 12. Harmonische des Motormoments dominierend. Im Bereich von 600 min−1 bis 1 100 min−1 gab es ein zweites Resonanzgebiet mit intensiveren Schwingungen, vgl. Bild 4.9. Es traten Momentenamplituden von etwa 53 kN · m auf, die zu Spitzenwerten bis etwa 68 kN · m führten. Diese zweite ¨ Resonanzstelle entsprach der Ubereinstimmung der zweiten Erregerharmonischen −1 (850 min = 2 · 14,2 Hz = 28,4 Hz) mit der unteren Eigenfrequenz des Torsionsschwingers, vgl. Bild 4.9a. Nach dem Durchfahren des Resonanzgebietes oberhalb von etwa 1 150 min−1 verschwanden die intensiven Schwingungen wieder. Für die Festigkeit der Kupplung waren diese Schwingungen deshalb besonders schädigend, da sie eine hochfrequente Wechselbelastung in der Kupplung hervorriefen. Die Lösung des Schwingungsproblems gelang durch den Einsatz einer elastischen stark dämpfenden Kupplungskombination RAK (RUPEX-ARPEX), vgl. Bild 4.10. Die erste Eigenfrequenz verringerte sich nur unwesentlich, und die Eigenformen a¨ nderten sich auch nicht wesentlich. Die Schwingungsanalyse mit dem in Bild 4.8a dargestellten Berechnungsmodell lieferte die in Bild 4.9b dargestellten Drehmomente beim Hochlauf, deren Spitzenwert nur noch etwa 25 kN · m beträgt. Dabei traten nur noch schwellende Belastungen und keine Wechselbelastungen mehr auf.

Bild 4.10 RUPEX-ARPEX-Kupplung (Kupplung K3“ [280]) ”

Bei den erzwungenen Schwingungen waren die Resonanzspitzen kleiner. Dies lag einerseits an der starken Dämpfung der Kupplung K3“, die einen modalen ” Dämpfungsgrad bei der ersten Eigenfrequenz von D1 = 0,088 zeigte, während die Kupplungen K1 und K2 nur etwa den Dämpfungsgrad D1 = 0,010 besaßen. Da die Resonanzamplituden umgekehrt proportional zum Dämpfungsgrad sind, ist deren Verminderung damit erklärlich.


233

Mit dem erwähnten in [216] beschriebenen Berechnungsmodell wurden mehrere ¨ Varianten berechnet und eine Ubereinstimmung von Rechen- und Meßergebnissen erzielt. Die Autoren dieser Untersuchung vermuteten, daß bei den Kupplungsvarianten K1 und K2 der Regler und das mechanische System nicht gut aufeinander abgestimmt waren. Durch die Berücksichtigung der Wechselwirkung zwischen elektrischen und mechanischen Schwingungen konnte das Antriebssystem des Lüfters umfassender beurteilt werden. Es kann aber auch sein, daß infolge der u¨ berlagerten hochfrequenten Schwingungen, die beim Hochlauf auftreten, der (selten beachtete) nichtlineare Effekt die Amplituden vergrößerte, der in Abschn. 3.4.2.3 beschrieben ist [84]. 4.3.3 Druckmaschine Die Beherrschung des Schwingungsverhaltens der Antriebssysteme von Druckmaschinen hat mit den Anforderungen an Druckqualität und Produktivität in den vergangenen Jahren immer mehr an Bedeutung gewonnen. Die Ausführungen in diesem Abschnitt stützen sich auf die Darstellung und das Bildmaterial aus [352], bei der es um eine Druckmaschine geht, die bis etwa 18 000 Bogen pro Stunde (Grunderregerfrequenz ist 5 Hz) arbeitet. Bild 4.11 zeigt das Schema einer Bogenoffsetdruckmaschine. Der Druckbogen wird am Anlegetisch vom Vorgreifer erfaßt und aus der Ruhelage auf die Umfangsgeschwindigkeit der Druckwerkzylinder beschleunigt. Danach durchläuft der Bogen alle Druckwerke, wo der Aufdruck der verschiedenen Farben nacheinander erfolgt. ¨ Das mehrfarbige Druckbild entsteht also durch den möglichst paßgenauen Ubereinanderdruck der einzelnen Farbdrucke bei hoher Maschinengeschwindigkeit.

Anleger

Vorgreifer

Druckwerke

Ausleger

Druckzylinder

Bild 4.11 Bogenoffsetdruckmaschine

Die verschiedenen Zylinder einer Bogendruckmaschine müssen sehr genau synchron rotieren, da bereits Reproduzier-Ungenauigkeiten von etwa 0,01 mm zu wahrnehmbaren Beeinträchtigungen der Druckqualität führen. Bedenkt man, daß eine Bogendruckmaschine eine Länge bis zu 20 m haben kann und der Druckbogen sich infolge der Zugspannung und der feuchten Farbe dehnt, so ahnt man, wie schwierig es ist, eine so hohe Paßgenauigkeit zu erreichen. Außerdem ist dieses Antriebssystem mit den vielen rotierenden Zylindern, die durch Zahnräder zwangläufig gekoppelt sind, ein Torsionsschwinger mit vielen Freiheitsgraden. Er wird durch mehrere Mechanismen, die technologisch bedingte ungleichmäßige Bewegungen ausführen

234


(z. B. durch das am Anfang befindliche Vorgreifergetriebe) periodisch erregt, so daß auch infolge von Schwingungen Winkeldifferenzen zwischen den Druckzylindern entstehen. Es hat sich herausgestellt, daß die klassische Forderung, daß die Schwingungs” amplituden stets kleiner sein müssen als der Grenzwert der Reproduziergenauigkeit“, nicht erfüllbar ist. Man muß sich auf die minimale verarbeitungstechnische Anforderung beschränken: die Wiederholgenauigkeit des sogenannten Passers. Aus der Sicht der Dynamik bestehen folgende Anforderungen an das Antriebssystem: • Minimierung der Winkeldifferenzen in solchen Zylindern des Antriebssystems, die das Druckbild tragen, ¨ • Vermeidung von solchen Anderungen des Drehmoments, die an spielbehafteten Stellen im Antriebssystem einen Vorzeichenwechsel aufweisen. Als Berechnungsmodell wird ein diskretes verzweigtes System mit 11 Freiheitsgraden benutzt, vgl. Bild 4.12. Es besteht aus einem Räderzug, von dem aus die Druckwerke DW 1 bis DW 6 und der Ausleger synchron angetrieben werden, sowie aus einer Längswelle, die an der Stelle KRS (Keilriemenscheibe) des Antriebsstranges verzweigt und in die Druckwerke DW 1 und DW 4 ein Antriebsmoment einleitet, um die freie Torsionslänge des Antriebsstranges zu verkürzen. Die Eigenfrequenzen des Systems mit Längswelle liegen oberhalb desjenigen ohne Längswelle. Der Antrieb am Wellenende beim Druckwerk DW 1 würde die niedrigsten Eigenfrequenzen und die höchste Anregbarkeit der Torsionsschwingungen bedeuten. In [352] wird auch ein Antrieb nur u¨ ber das Druckwerk DW 3 diskutiert. Es zeigt sich, daß die zusätzliche Einspeisung eines Drehmoments am Druckwerk DW 4 eine wesentliche Versteifung bedeutet. Wie problematisch die Bestimmung der Modellparameter ist, wird in [352] am Beispiel der Drehsteifigkeit eines Stirnradpaares erläutert, vgl. auch Abschn. 3.4.1. Nach DIN 3990, Teil 1 ergibt sich eine theoretische Zahnsteifigkeit von kT = 11,0 · 107 N · m/rad, aber der richtige Wert lag bei kT = 1,4 · 107 N · m/rad! Dies hat wesentliche Auswirkungen auf die Vorausberechnung der Eigenfrequenzen. Der Unterschied kommt dadurch zu Stande, daß in Wirklichkeit die Biegung der Zylinderzapfen und die Plattenbiegung der Stirnräder eine nicht vernachlässigbare Nachgiebigkeit bedeutet. Bei der Simulation werden die Eigenfrequenzen (zu erwartende Resonanzdrehzahlen), die Eigenformen (Bewertung der Anregbarkeit und Sensitivität) und auch die erzwungenen Schwingungen berechnet. Die Aufgabe bestand darin, zu prüfen, wie eine elastische Kupplung zwischen dem Motor des Hauptantriebs und der Druckmaschine das Schwingungsverhalten beeinflußt. Es erfolgte eine rechnerische Modalanalyse für das gedämpfte Schwingungssystem. Die erste Eigenfrequenz ist Null, da sich das Antriebssystem dabei wie ein Starrkörpersystem dreht. Bild 4.12 zeigt Eigenschwingformen einer 6-FarbenBogenoffsetdruckmaschine, für welche die Eigenfrequenzen fi und die modalen Dämpfungsgrade Di angegeben sind. Man sieht in Bild 4.12a, daß der Schwingungsknoten der zweiten Eigenform zwischen den Druckwerken DW 3 und DW 4 und bei der dritten Eigenform (Bild 4.12b) zwischen DW 4 und DW 5 liegt, d. h., die Druckwerke schwingen vor und hinter dem Knoten in verschiedenen Phasenlagen, also gegensinnig zueinander. Für die Farbübertragung ist das ungünstig, da die Relativwege dann groß sind. Mit dem


235

Räderzug DW_1

a) KRS

DW_2

DW_3

Getr_1

DW_4

DW_5

DW_6

Ausl

DW_5

DW_6

Ausl

DW_5

DW_6

Ausl

DW_5

DW_6

Ausl

Getr_4

Längswelle Motor

Räderzug DW_1

b) KRS

DW_2

DW_3

DW_4

Getr_4

Getr_1

Längswelle Motor

Räderzug DW_1

c) KRS

DW_2

DW_3

DW_4

Getr_4

Getr_1

Längswelle Motor

Räderzug DW_1

d) KRS

DW_2

DW_3

DW_4

Getr_4

Getr_1

Längswelle Motor

Bild 4.12 Eigenformen der 6-Farben-Druckmaschine [352] a) mit starrer Kupplung, zweite Eigenschwingform ( f2 = 18,88 Hz; D2 = 0,041 6) b) mit starrer Kupplung, dritte Eigenschwingform ( f3 = 26,93 Hz; D3 = 0,035 7) c) mit elastischer Kupplung, zweite Eigenschwingform ( f2 = 11,76 Hz; D2 = 0,022 2) d) mit elastischer Kupplung, dritte Eigenschwingform ( f3 = 21,64 Hz; D3 = 0,052 9)

Einbau einer elastischen Kupplung zwischen Motor und Antriebsstrang ergeben sich die in Bild 4.12c und d dargestellten Eigenformen und Eigenfrequenzen. Die Eigenfrequenzen des Antriebssystems werden durch die elastische Kupplung abgesenkt, und die Eigenformen a¨ ndern sich ebenfalls. An der zweiten Eigenform kann man erkennen, daß an der Stelle KRS, wo die elastische Kupplung eingebaut wurde, ein Schwingungsknoten entsteht. Der Motor schwingt dabei in Gegenphase zum gesamten anderen Teil des Antriebssystems. Die zweite Eigenschwingungsform ist im Bereich jenseits der elastischen Kupplung quasi die Starrkörperform aller u¨ ber den Räderzug miteinander gekoppelten Druckwerke, d. h., es treten nur geringe Relativwege zwischen den Druckwerken auf. Die störenden Relativwege der Druckwerke sind deutlich kleiner als bei den Eigenformen in Bild 4.12a. Durch eine günstige Wahl der Drehsteifigkeit der elastischen Kupplung läßt sich dieses dynamisch

236


günstige Verhalten erreichen. Die dritte Eigenform (Bild 4.12d) hat zwar auch wieder einen Schwingungsknoten in der Nähe des Druckwerkes DW 4, aber in diesem Falle sind die Amplituden an der Stelle des Motors sehr gering. Die Anregung dieser Eigenform ist durch die dynamischen Momentenkomponenten des Motors wesentlich kleiner als bei der dritten Eigenform mit starrer Kupplung, vgl. Bild 4.12b und 4.12d. Die in [352] dargestellten Berechnungsergebnisse für die erzwungenen Schwingungen zeigen, daß bei der Konstruktion mit Längswelle wesentlich kleinere Schwingungsamplituden auftraten als bei dem Antriebssystem ohne Längswelle. Mit Hilfe des Längswellenkonzepts gelang es unter Benutzung der elastischen Kupplung, den Spitze-Spitze-Wert des aus den erzwungenen Schwingungen resultierenden dynamischen Torsionsmomentes von 217 N · m auf 79 N · m bei der Betriebsdrehzahl von 13 000 Bogen/Stunde zu senken. Damit war die Gefahr des Abhebens der Zahnflanken gebannt und die geforderte Passergenauigkeit auch bei hohen Druckgeschwindigkeiten erreichbar, da die technologischen Momente, bedingt durch die rheologischen Eigenschaften der Druckfarben im Farbwerk, eine ständige Vorspannung sichern.

4.4 Ungleichmäßig ubersetzende ¨ Mechanismen 4.4.1 Schwingungsursachen Typisch für viele Verarbeitungsmaschinen, Landmaschinen und Umformmaschinen ist die zyklische Arbeitsweise der in ihnen eingesetzten ungleichmäßig u¨ bersetzenden Getriebe (Mechanismen). Die Mechanismen erweisen sich oft als die Baugruppen, welche die Drehzahl einer Maschine begrenzen, weil sie zu Lärm, erhöhtem Verschleiß, unzulässigen Antriebs- oder Gestellbelastungen oder Störungen des technologischen Prozesses (Schwingungen am Abtriebsglied) führen. Die Beschleunigungen der Mechanismenglieder, die sich mit handelsüblicher Software für Starrkörper- Mechanismen beliebiger Struktur relativ schnell berechnen lassen, da sie nur von den kinematischen Abmessungen abhängen, erreichen oft ein Vielfaches der Erdbeschleunigung, vgl. Tabelle 4.2. Aus dem Verhältnis der in einem Getriebeglied auftretenden Maximalbeschleunigung amax zur Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s2 geht pauschal das Verhältnis kinetostatischer Massenkräfte zum Eigengewicht hervor und man erkennt die Bedeutung der dynamischen Belastungen. Um die Schwingungserregung beurteilen zu können, benötigt man Aussagen zum Fourierspektrum der Zeitverläufe der ungleichförmigen Abtriebsbewegungen. Entscheidend für die Beurteilung der Schwingungsanregung bei zyklisch arbeitenden Mechanismen sind • • • •

das Erregerspektrum, das Abstimmungsverhältnis η im Betriebsdrehzahlbereich, die Größe der Unstetigkeiten in den Lagefunktionen höherer Ordnung, die Größe des Spiels in den Dreh- und Schubgelenken (Führungsbahnen),

4.4 Ungleichmäßig ubersetzende ¨ Mechanismen

237

Tabelle 4.2 Beschleunigungsverhältnisse bei typischen Mechanismen Maschinenart Schneidemaschinen, Pressen Webmaschinen Verpackungsmaschinen Wirkmaschinen Schiffsdieselmotoren Haushaltnähmaschinen Industrienähmaschinen

Drehzahlbereich in 1/min 30 . . . 150 200 . . . 1 000 100 . . . 300 1 500 . . . 3 000 400 . . . 500 1 000 . . . 2 000 5 000 . . . 10 000

Beschleunigungsverhältnis amax /g 0,3 . . . 10 1,0 . . . 15 5 . . . 50 15 . . . 40 70 . . . 80 50 . . . 100 300 . . . 800

• die Stellungsabhängigkeit der Eigenfrequenzen und • das Verhältnis der Anregungszeit zur Periodendauer der Eigenschwingungen der Mechanismen oder des Gestells. Mechanismen werden meist unter der Annahme entworfen, daß sie sich entsprechend den kinematischen Forderungen ideal zwangläufig bewegen und sich die Getriebeglieder wie starre Körper verhalten. Die Maximalwerte der Massenkräfte bei zyklisch arbeitenden Mechanismen nehmen mit dem Quadrat der Drehzahl zu, solange das Starrkörpermodell gilt, vgl. Abschn. 2.1.2. Bei unterschiedlichen Drehzahlen treten dann geometrisch a¨ hnliche Verläufe als Funktion des Antriebswinkels auf. Man kann diese Gesetzmäßigkeit bei der Berechnung der Massenkräfte ausnutzen, denn sie spart die wiederholte Berechnung bei unterschiedlichen Drehzahlen, aber auch für die Deutung der Oszillogramme gemessener Beschleunigungen oder Kraftgrößen ist dieser Zusammenhang wesentlich, vgl. Bild 4.13 bis Bild 4.14 und Bild 2.7. Infolge der in Wirklichkeit vorhandenen Elastizität der Getriebeglieder und des meist unvermeidlichen Gelenkspiels treten bei realen Mechanismen Abweichungen von den idealen kinematisch geforderten Bewegungen auf. Auch die Lager- und Gelenkkräfte weichen dann von den erwarteten kinetostatischen Kraftverläufen ab und verletzen in höheren Drehzahlbereichen ebenfalls die gestellten Anforderungen. Bis zu welcher Drehzahl man mit dem Modell der starren Maschine (Starrkörpersystem) rechnen darf, kann in erster Näherung durch die in Abschn. 2.1.2 genannten Kriterien entschieden werden, bei denen die erste Eigenfrequenz die wesentliche Rolle spielt, vgl. Gl. (2.6) und Gl. (2.7). Man hat bei Mechanismen, auch wenn sie nur eine einzige wesentliche Eigenfrequenz haben, infolge der periodischen Erregung stets viele kritische Drehzahlen zu erwarten, vgl. Gl. (5.209) und Bild 5.51b. Die kinetostatischen Massenkräfte wirken in jedem Falle als Erregerkräfte auf das reale elastische Antriebssystem, das in einem ebenfalls schwingungsfähigen Gestell gelagert ist. Im konkreten Fall ist jeweils zu klären, welche wesentlichen höheren Harmonischen das Erregerspektrum enthält und welche Eigenschwingform angeregt wird, d. h. ob das Abtriebsglied, die Antriebswelle, ein elastisches Glied innerhalb des Mechanismus oder das Gestell die erste Eigenfrequenz und damit weitere kritischen Drehzahlen höherer Ordnung bestimmen. Wirksame Maßnahmen zur Vermeidung der störenden Schwingungen lassen sich meist erst dann treffen, wenn bekannt ist, welches die wesentlichen Eigenschwin-

238


gungen sind. Große Schwingungsamplituden treten stets mit Eigenfrequenzen auf, deren Eigenschwingform von irgendeiner Erregung (periodisch oder stoßartig) angeregt wird. Es ist schwierig, alle Erreger- und Eigenfrequenzen bei einem neuen Antrieb schon vor dem Musterbau (oder vor der Inbetriebnahme der Maschine) zu ermitteln. Als häufige Ursachen von Mechanismenschwingungen haben sich herausgestellt: • Resonanzen k-ter Ordnung. Sie treten auf, wenn eine k-te Harmonische der periodisch veränderlichen kinetostatischen Massenkräfte mit einer der Eigenfrequenzen des Gestells, des Antriebsstranges oder der elastischen Mechanismenglieder u¨ bereinstimmt, vgl. die Bilder 4.14, 4.15 und das Beispiel in Abschn. 5.5.4. • Parametererregte Schwingungen infolge der stellungsabhängigen Eigenfrequenzen des Mechanismus (kurzzeitige dynamische Instabilität), vgl. Bild 2.17, Abschn. 2.3.2 und 4.4.2. • Knicke und Sprünge (Ruck und höhere Zeitableitungen) in den Lagefunktionen U(ϕ ), vgl. Bild 4.15, Abschn. 4.6.4 und Abschn. 5.5.3.3. • Eigenschwingungen, die durch impulsartige Stöße nach dem Durchlaufen des Gelenkspiels (vgl. Bild 2.7 und Bild 2.12) oder unstetige Reibkräfte (Wechsel vom Haften zum Gleiten, Reibkraftrichtungsumkehr) angeregt werden. • Wechselwirkungen zwischen mehreren Mechanismen, die innerhalb derselben Maschine miteinander u¨ ber das Gestell oder die Hauptwelle verbunden sind, vgl. den Einfluß des Polygoneffekts in Bild 4.13. • Hochfrequente Schwingungen der Lagerbolzen relativ zur Lagerschale (vgl. Bild 2.10) oder der Schubglieder relativ zur Gleitführung [81], vgl. Bild 2.12. • Periodische ( kinetoelastische“) Verspannungen, die bei ebenen Mechanismen ” z. B. durch die Nichtparallelität der Gelenkachsen entstehen, täuschen manchmal dynamische“ Belastungen vor. ” VDI-Richtlinie 2149, Bl. 2, enthält Hinweise zur Interpretation von Mechanismenschwingungen und zur Bildung von Minimalmodellen, die mit wenigen Parametern auskommen. Wenn man das Berechnungsmodell und die Parameterwerte kennt, ist die dynamische Simulation der Mechanismenschwingungen zu empfehlen. Vielfach kann der zur Modellbildung und Parameterermittlung erforderliche hohe Aufwand aus Kostengründen nicht getrieben werden, so daß konstruktive Entscheidungen nur auf Grund qualitativer Erkenntnisse der Schwingungsursachen getroffen werden müssen. Es ist leichter, Schwingungsursachen zu identifizieren, wenn man typische Erscheinungsbilder kennt, vgl. dazu die Bilder 2.7, 2.9, 2.10, 2.12, 2.17, 2.18, 4.13 bis 4.16, 2.50, 5.17, 5.22 bis 5.24 und 5.45. Beispiele zur Modellbildung für ein elastisches Antriebsglied sind in Abschn. 2.1.2 (Tabelle 2.6) und Abschn. 4.4.3 für Schubkurbelgetriebe mit elastischen Gliedern in Abschn. 2.2.3 (Tabelle 2.7) und für den Einfluß eines elastischen Gliedes auf das Antriebsmoment und die Gestellkraft in Abschn. 5.1 (Tabelle 5.1 und Tabelle 5.2) zu finden. Auf die Querbewegung eines Schubgliedes wird in Abschn. 4.9.1 eingegangen, vgl. auch Abschn. 2.2.3.4. Der gegenwärtige Entwicklungsstand erlaubt es, die Kopplung von MKSProgrammen und FEM-Programmen vorzunehmen, um die Wechselwirkung zwi-


239

schen Antriebsmechanismus, Führungsbahn und Gestell genauer zu erfassen. Mit sehr großer Modelltiefe“ (Modellstufe 3 mit Freiheitsgrad 103 und etwa 102 Pa” rametern) erfolgte die Analyse von speziellen Mechanismenschwingungen bei der Analyse der Kolbensekundärbewegung von Verbrennungsmotoren [192], [210], [273], [327] und der Stößelbewegung bei Umformmaschinen [126], [167]. Die Analyse der Zeitverläufe der Mechanismenschwingungen liefert Zeitpunkte und Getriebestellungen, bei denen instationäre Schwingungen beginnen. Zur Identifikation der im konkreten Fall interessierenden Schwingungsursache ist es vorteilhaft, auch geglättete oder gefilterte Signale anzusehen. Die klassische Fourieranalyse kann zur Kontrolle der periodischen kinetostatischen Kräfte dienen, aber bei Unstetigkeiten in den Verläufen liefert sie kein klares Bild, vgl. Bild 2.17. Die ZeitFrequenz-Analyse eines Beschleunigungssignals ist ein Schlüssel zur Bestimmung der Schwingungsursachen. In den Arbeiten [69] und [367] wurden die Merkmale gewisser Schwingungserscheinungen an Mechanismen nach typischen Signalkennzeichen im Zeit-Frequenz-Bereich geordnet dargestellt, vgl. den Auszug in Tabelle 4.3. Die dort angegebenen Zusammenhänge können zur Merkmalssuche dienen. Um die Schwingungsursachen von Mechanismen zu ermitteln, sollte man die Schwingungen bei verschiedenen Drehzahlen messen, möglichst auch in den kritischen Drehzahlbereichen, da sich dabei der Amplituden-Frequenzgang zu erkennen gibt. Auch die Registrierung des Auslaufvorgangs kann wertvolle Hinweise u¨ ber die Lage der kritischen Drehzahlen liefern. Die experimentellen Untersuchungen an Mechanismen in einer Maschine werden oft dadurch erschwert, daß bezüglich der Meßstellenanordnung viele Einschränkungen bestehen. Man kann z. B. die Lagerstellen ¨ oft nur schwierig erreichen und die Ubertragung der Meßwerte von einem schnell bewegten Mechanismenglied ist nicht immer einfach. Die Methoden der experimentellen Modalanalyse sind nur für die Mechanismen im Stillstand anwendbar, da infolge der Bewegungen geometrische Nichtlinearitäten auftreten. Häufig muß man sich darauf beschränken, die Erregerkräfte durch die technologische Belastung und die eigenen Massenkräfte der Mechanismen aufzubringen. Es empfiehlt sich, bei Interpretation der Meßergebnisse folgendes zu beachten: • Die gemessenen Verläufe kann man stets als Superposition der kinetostatischen Verläufe mit denen der u¨ berlagerten Schwingungen interpretieren, vgl. Bild 4.15, Bild 4.16b. • Man kann prüfen, ob die Mittelwerte der gemessenen Verläufe eine quadratische Abhängigkeit (kinetostatische Kraftgrößen!) von der Drehzahl zeigen, vgl. Bild 4.14, Bild 4.15. • Bei den vibrodynamischen Kräften ist deren Abhängigkeit von Drehzahl und Stellung des Antriebsgliedes wesentlich. Man ermittle die drehzahlunabhängigen und die drehzahlabhängigen Frequenzen, z. B. aus dem Wasserfalldiagramm. • Man vergleiche die Zeitverläufe mit denjenigen von Standardfällen“, die ” nach dem Gesichtspunkt Schwingungsursachen geordnet sind, vgl. [68], [84], [367]. • Man vergleiche die experimentell bei variierten Bedingungen ermittelten Amplituden und Frequenzen mit Tendenzen der Parametereinflüsse, die sich aus einem Berechnungsmodell ergeben. • Man entwerfe Minimalmodelle, vergleiche deren theoretische Lösungen und passe die Parameterwerte des Berechnungsmodells an Meßwerte an. Zweck-

plötzlich angeregte Eigenschwingform (ES) um den kinetostatischen Grundverlauf

Seitenbandstruktur um EF

dicht besetzt (viele Harmonische), bis in sehr hohe Frequenzbereiche, keine EF erkennbar

nur Basisharmonische, Anwachsen von Linien um EF Anwachsen von Linien um Kombinationsfrequenzen

plötzlich angeregte ES mit abwechselnden EF-Niveaus, gleiche Stellung

impulsartige Kraft- oder Beschleunigungsspitzen, ¨ Ubergang zu abklingenden ES im kinematischen Zyklus möglich, folgt kaum der Primärbewegung

dominante Schwingungen u¨ ber gesamter Periode, Frequenz konstant

Anfachung bei immer gleicher Stellung innerhalb einer Periode abklingend

Spektrum

Seitenbandstruktur um Eigenfrequenzen (EF)

Zeitverlauf

Anregung nach Beschleunigungs-Nulldurchgängen, wie beim einfachen Spielstoß

viele Basisharmonische

konstante Höhenrücken in Zeitrichtung (bei weiten Fenstern)

an Rastgrenzen oder an Intervallgrenzen kombinierte Bewegungsgesetze

scharfe Höhenrücken in Frequenzrichtung, intervallweise kürzer werdende Abstände bei Verringerung der Intensität

konstante Frequenz

Kinetostatik nach Vorzeichenwechsel der Beschleunigung nach Vorzeichenwechsel der Relativgeschwindigkeit

Zeit-Frequenz-Diagramm Höhenrücken in Zeitrichtung (kurz) abnehmende Intensität entsprechend abklingender Schwingungen Keilform

erzwungene Schwingungen und Resonanzen k-ter Ordnung Kombinationsresonanz

Mehrfachstöße

Strukturänderungen, schnell veränderliche Parameter

technologische Kräfte/Stöße Unstetigkeiten in den Lagefunktionen

Reibung

Spieldurchlauf

Ursache

Tabelle 4.3 Merkmale von Schwingungsursachen bei Mechanismen [69], [367] (ES – Eigenschwingform, EF – Eigenfrequenz)

240 4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen


241

mäßig ist es, mit einem Minimalmodell zu beginnen, welches nur wenige Parameter besitzt, vgl. Abschn. 2.3.1 • Man benutze die aus dem Minimalmodell folgenden Tendenzen von Parametereinflüssen, um das Berechnungsmodell zu verfeinern. • Man begründe Vorschläge für weiterführende Messungen, falls die Schwingungsursache auf Grund der vorliegenden Meßergebnisse nicht identifiziert werden konnte. Eine Vorausberechnung der Schwingungen scheitert selten an der fehlenden Software (vgl. dazu Tabelle 2.1), sondern sie ist oft deshalb unsicher, weil für die ungleichförmig u¨ bersetzende Mechanismen abgesicherte Berechnungsmodelle und genaue Eingabedaten für Steifigkeiten und Dämpfungen fehlen. Für die Massen sind Parameterwerte eher zu ermitteln. Bei einem ersten Entwurf sollte man deshalb zunächst das Starrkörpersystem berechnen und mit einem Minimalmodell die Eigenfrequenzen und Eigenschwingformen abschätzen. Spätere Messungen können zur genaueren Identifikation dienen, wenn dafür ein Exemplar der Maschine zur Verfügung steht. Zur Identifikation von Schwingungsursachen sollte man möglichst eine Modalanalyse durchführen und die Zeitverläufe von Kraft- und Bewegungsgrößen analysieren, da diese mehr Aussagen enthalten als die Fourierspektren. Die folgenden Beispiele bieten einen Einblick in typische Mechanismenschwingungen, wie sie in Maschinenantrieben auftreten. 4.4.2 Schwingungen am Abtriebsglied Das erste Beispiel (Bild 4.13) stammt von der dynamischen Untersuchung des mehrgliedrigen Antriebsmechanismus einer Wollkämmaschine. Die gemessene Beschleunigung in Bild 4.13a scheint nach dem ersten Eindruck regellos zu verlaufen. T0

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2 t in s 1,4

0,8

1,0

1,2 t in s 1,4

5T1

0

0,2

0,4

0,6

Bild 4.13 Beschleunigungen an einer Wollkämmaschine [367]; a) Originalmessung, b) Gefiltertes Signal (40 Hz Tiefpaß) und kinematischer Verlauf als Mittellinie

Die Spitzenbeschleunigungen gehen bis zu 50 m/s2 und werden durch hochfrequente Schwingungen bestimmt. Das gefilterte Signal in Bild 4.13b läßt erkennen,

242


a in m/s

2

daß die kinematischen Beschleunigungen nur etwa die Größe von 5 m/s2 erreichen und daß Eigenschwingungen von etwa 10 Hz auftreten. Die kinematische Periodendauer T0 ist wesentlich größer als die Periodendauer T1 der tiefsten angestoßenen Eigenfrequenz (T1 /T0 0,05). Man sieht, daß diese Eigenschwingungen bei jedem Vorzeichenwechsel der Beschleunigung angestoßen werden, aber mit ihnen sind nur Werte von etwa a = 10 m/s2 erklärbar. Eine weiterführende Analyse zeigte, daß sich die hochfrequenten Schwingungen, die in dem Schrieb im Bereich von etwa 0,2 s bis 0,4 s auftauchen und sich nach einer kinematischen Periode bei etwa 0,9 s bis 1,1 s wiederholen, durch den Polygoneffekt einer Profilwalze erklären ließen, die von derselben Hauptwelle des Antriebsstranges angetrieben wurde [367]. Der Polygoneffekt ist eigentlich für Kettengetriebe charakteristisch, vgl. dazu auch Abschn. 4.6.4. Das zweite Beispiel in Bild 4.14 zeigt gemessene Beschleunigungsverläufe am Abtriebsglied einer Verpackungsmaschine u¨ ber je zwei kinematische Perioden bei zwei verschiedenen Drehzahlen. Die kinematischen Beschleunigungsverläufe, die sich für den starren spielfreien Mechanismus ergeben würden, sind als Mittellinien

a)

a in m/s

2

t in s

b) t in s

Bild 4.14 Gemessene Beschleunigungen an einem Schrittgetriebe a) Drehzahl n = 250 min−1 , b) Drehzahl n = 400 min−1


243

angegeben. Sie sind mit denen in Bild 5.44b vergleichbar, bei denen ebenfalls ein Rastwinkel von 200◦ vorhanden ist, vgl. auch Bild 2.48c. Entsprechend der theoretischen Voraussage nehmen diese kinematischen Beschleunigungen mit dem Quadrat der Drehzahl zu (man beachte die unterschiedlichen Maßstäbe), und sie verlaufen geometrisch a¨ hnlich. In der Getriebestellung, wo ein Knick im kinematischen Beschleunigungsverlauf ist, beginnt die vibrodynamische Beschleunigung, d. h. es wird eine gedämpfte Eigenschwingung von ca. f = 85 Hz angeregt, welche dem kinematischen Beschleunigungsverlauf u¨ berlagert ist. Deren Anfangsamplitude wächst auch etwa quadratisch mit der Drehzahl. Bei genauem Hinsehen nimmt man beim Nulldurchgang der kinematischen Beschleunigung eine kleine Unstetigkeit infolge des Spieldurchlaufs wahr, also eine kleine Stoßanregung. Die Amplituden der angestoßenen Eigenschwingung hängen von der momentanen Phasenlage nach dem Ausschwingen ab, vgl. Bild 4.14a und 4.14b. Am nächsten Knick im Verlauf der kinematischen Beschleunigung beginnt die Rast, und dort werden wieder Eigenschwingungen angestoßen, deren Intensität mit höherer Drehzahl deutlich zunimmt. Das Abstimmungsverhältnis liegt bei der Drehzahl von n = 400 min−1 etwa bei Ω n 400 η = = = = 0,078 (4.1) ω 60 f 60 · 85 Diese Schwingungen können durch ein kleineres Spiel und durch Vermeidung der Unstetigkeiten vermindert werden, z. B. durch Anwendung eines HS-Kurvenprofils, vgl. Abschn. 5.5.3. Im vorliegenden Fall hätten etwa K = 3 Harmonische zur Erfüllung der kinematischen Forderungen gereicht und der Mechanismus könnte mit einem HS-Bewegungsgesetz etwa bis zur doppelten Drehzahl im Vergleich zu einem traditionellen Kurvenprofil schwingungsfrei betrieben werden, vgl. Bild 5.42. Das dritte Beispiel in Bild 4.15 zeigt störende Schwingungen an einem Mechanismus, dessen Stößelbewegung hin und zurück, aber nicht sinusförmig verläuft. Der gemessene Beschleunigungsverlauf enthält Schwingungskomponenten mit einer Frequenz höher als 200 Hz, die im Gegensatz zum Beispiel in Bild 4.13, wo diese hochfrequenten Komponenten den Maximalwert bestimmten, hier unwesentlich ist. Bild 4.15a, b zeigt den kinematischen Verlauf als Mittelwert. Innerhalb einer vollen kinematischen Periode sind in Bild 4.15a etwa K = 9 Schwingungsperioden zu erkennen, während in Bild 4.15b bei der niedrigeren Drehzahl von 138 min−1 dieselbe Eigenschwingung etwa 13 Perioden im kinematischen Zyklus zeigt. Näherungsweise kann man aus diesen beiden Meßwerten die Eigenfrequenz zu 9 · 212 = 1 908 min−1 = 31,8 Hz bzw. 13 · 138 = 1 794 min−1 = 29,9 Hz ermitteln, also rund fG ≈ 31 Hz. Die nähere Analyse zeigte, daß es sich hierbei um eine Gestelleigenfrequenz handelte. Diese Eigenfrequenz von f1 ≈ 31 Hz wird also durch die 9. und 13. Harmonische der Gestellkräfte angeregt, die offenbar große Komponenten im Erregerspektrum besitzen. Kritische Drehzahlen, bei denen große Amplituden dieser Eigenschwingung auftreten, sind gemäß Gl. (5.209) auch bei 60 f1 = 186 min−1 ; 10 60 f1 = 155 min−1 ; = 12

n10 = n12

n11 =

60 f1 = 169 min−1 ; 11 (4.2)

244


Bild 4.15 Gemessene Beschleunigungen einer Stößelbewegung a) Drehzahl n = 212 min−1 , b) Drehzahl n = 138 min−1

zu erwarten, wenn die 10. bis 12. Harmonische der Erregerkräfte hinreichend große Amplituden besitzt. Diese Resonanzstellen lassen sich durch die Kompensation der betreffenden Erregerharmonischen der auf das Gestell wirkenden Kräfte vermeiden, vgl. Abschn. 5.5.3 und 5.5.4. Das vierte Beispiel stammt von einem Berechnungsmodell mit Spiel im Abtrieb, das in [367] analysiert wurde. Das Modell ist durch die in Bild 4.16a angegebenen Parameter charakterisiert und entspricht etwa dem Bild 2.6, aber es berücksichtigt eine andere (aus Bild 4.16b erkennbare) periodische Weg-Erregerfunktion ˆ ϕ ) und viskose Dämpfung (Dämpfungskonstante d). Aus den angegebex(ϕ ) = xU( nen Parametern ergeben sich folgende dimensionslose Kenngrößen: • periodische Lagefunktion: U(ϕ 0 ) = d , • Dämpfungsgrad: D = 2mω 0

x(Ω t) , xˆ


• Abstimmungsverhältnis: η = • bezogenes Spiel: 2π 3 =

δ

l0 • Antriebswinkel: ϕ 0 = Ω t,

Ω ω0

δ

x(ϕ)

a)

x¨2 . Ω2

m

ϕ= Ω t x (ϕ) = x$ ⋅U (ϕ)

d l0

,

,

• bezogene Beschleunigung: ξ = k

245

l0 x2

δ / l0 = 2 π 3 = 2⋅10−5

δ / l0 = 2 π 3 = 6⋅10−5

b) Bild 4.16 Beschleunigungen ξ = x¨2 /(l0 Ω 2 ) bei Spiel im elastischen Abtrieb [367] a) Minimalmodell, b) Berechnete Beschleunigung bei der Variation von bezogenem Spiel und Abstimmungsverhältnis für den Dämpfungsgrad D = 0,06; (dicke Vollinie: U (starr, spielfrei), dünne Vollinie: elastisch mit Spiel)

In allen sechs Bildern, die sich durch die Variation des Spiels und des Abstimmungsverhältnisses unterscheiden, ist der a¨ hnliche Verlauf der Lagefunktion zweiter Ordnung U zu erkennen. Die kinematischen Spitzenwerte nehmen zwar mit dem

246


Quadrat der Drehzahl zu, aber durch die Einführung der bezogenen Beschleunigung und mit dem Drehwinkel als Abszisse stimmen diese Verläufe bei allen Parameterwerten u¨ berein. Die kinematische Beschleunigung des Abtriebsgliedes wird durch die vibrodynamische Beschleunigung u¨ berlagert, die mit der Eigenfrequenz dieses Schwingers auftritt. Aus der Anzahl der Schwingungen pro Periode kann man das angegebene Abstimmungsverhältnis berechnen. Die Eigenschwingungen werden offenbar jedesmal in derselben Getriebestellung angestoßen, wenn die kinematische Beschleunigung Null ist. Die erste Halbschwingung verläuft gleichsinnig wie die kinematische Beschleunigung, aber im nächsten Intervall verläuft sie entgegengesetzt, so daß es zum erneuten Abheben und zu anschließenden mehrfachen Nulldurchgängen kommen kann. Für η = 0,05 und δ /l0 = 0,000 06 (rechts oben im Bild) tritt gerade dieser Fall ein, und das Bild würde bei noch größerem Spiel hochfrequente zweiseitige Mehrfachstöße zeigen, die eine wesentliche Ursache der Erregung von Lärm darstellen. Mit dem Spiel nehmen erwartungsgemäß die Amplituden der vibrodynamischen Beschleunigungen zu, wie man in den Verläufen sieht, wenn man sie in Bild 4.16b von links nach rechts verfolgt. Mit der Drehzahl (bzw. dem Abstimmungsverhältnis η ) scheinen sie abzunehmen. Die Intensität der Stoßanregung ist der Aufprallgeschwindigkeit proportional, d. h., die Amplituden der Zusatzschwingungen wachsen nur linear mit der Drehzahl, vgl. auch Gl. (2.2). Sie nehmen also relativ zur kinematischen Beschleunigung ab, wie man beim Vergleich der Verläufe in Bild 4.16b von oben nach unten sieht, d. h., bei demselben Spiel können durch vibrodynamische Schwingungen bedingte mehrfache Nulldurchgänge vermieden (und die Lärmerregung reduziert) werden, wenn man in solchen Bereichen (wie in Bild 4.16b) rechts die Drehzahl steigert. 4.4.3 Schwingungen infolge elastischer Antriebsglieder Für das in Bild 4.17 dargestellte Berechnungsmodell trifft die Bewegungsgleichung zu, die sich aus Gl. (2) in Tabelle 2.6 ergibt, wenn man noch eine viskose Dämpfung im Antrieb durch eine Dämpfungskonstante dT berücksichtigt. Die Bewegungsgleichung lautet: 2 Ω2 Ω J(Ω t)q¨ + dT + J (Ω t)Ω q˙ + kT + J (4.3) q = −J (Ω t) 2 2 Dabei bedeutet der Strich eine Ableitung nach dem Antriebswinkel ϕ 0 = Ω t. Für das in Bild 4.17b dargestellte Modell gilt ebenfalls Gl. (4.3), aber es sind in den Glei¨ chungen weitere Parameter explizit enthalten: die beiden Ubersetzungsverh¨ altnisse u1 und u2 , das Trägheitsmoment J3 und die Endmasse m. In Gl. (4.3) haben die Terme J und J wegen der anderen Bedeutung der Strich-Ableitung (hier nach dem Winkel u1 ϕ 0 ) eine andere Bedeutung: J = u22 (J3 + mU 2 );

J = 2mu1 u32U U

(4.4)

Bei den u¨ blichen Parameterwerten der meisten Mechanismen gilt kT J Ω 2 /2, d. h., in Gl. (4.3) ist der Einfluß des Terms J vernachlässigbar. Die Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Systems ist wegen

247


m a)

b)

ϕ0 = Ω t

ϕ= Ω t + q1

x = U (ϕ) U (ϕ)

ϕ0 = Ω t

kT , d T

u1 J (ϕ)

kT , d T

ϕ1 = u1ϕ0

u2

J3

ϕ2 = ϕ1 +q ϕ = u2 ϕ2

Bild 4.17 Mechanismus mit elastischer Antriebswelle a) Berechnungsmodell mit reduziertem Trägheitsmoment J(ϕ ) b) Berechnungsmodell mit Lagefunktion U(ϕ )

ω 2 (Ω t) =

kT kT = 2 J(Ω t) u2 (J3 + mU 2 )

(4.5)

von der Stellung des Antriebsgliedes (ϕ 0 = Ω t) und bei dem Antrieb gemäß Bild ¨ 4.17b auch von der Ubersetzung u2 abhängig. Interessant ist der dynamische Effekt, der beim Sonderfall u1 u2 = 1 auftritt. Er entspricht bei starrer Welle (kT → ∞) dem ¨ durch die synchronen Lauf der Drehwinkel ϕ 0 und ϕ , weil die erste Ubersetzung ¨ ¨ zweite Ubersetzung wieder kompensiert wird. Falls die erste Ubersetzung ins Schnelle erfolgt, ist u1 > 1 und demzufolge u2 < 1, d. h., durch den Einbau zusätzlicher Getriebe a¨ ndert sich kinematisch an der Abtriebsbewegung nichts. Es kommt aber eine resultierende Versteifung durch die Reduktion der Federkonstante auf die schnell laufende Zwischenwelle zustande, und sie erhöht die Eigenfrequenz und verbessert somit das Schwingungsverhalten. Wie Gl. (4.5) zeigt, a¨ ndert sich die Ei¨ genfrequenz umgekehrt proportional zum Ubersetzungsverh¨ altnis u2 . Für den Sonderfall u1 = u2 = 1 kann man Gl. (4.3) auch in folgender Form schreiben, wenn man auf den kleinen Einfluß von J verzichtet: (J3 + mU 2 )q¨ + (dT + 2mΩ U U )q˙ + kT q = −mΩ 2U U

(4.6)

Da die Lagefunktion U(ϕ ) eine periodische Funktion ist, stellt Gl. (4.6) ebenso wie die Gln. (4.3) und (4.4) eine Hillsche Differentialgleichung dar, deren Lösungstheorie bekannt ist [38], [81], [113], [231]. Ein Sonderfall der Hillschen Differentialgleichung ist die Mathieusche Differentialgleichung, die lediglich eine harmonische Erregerfunktion enthält. Aus der in [38], [113], [137], [191], [231], [232] angegebenen Stabilitätskarte kann man die stabilen und instabilen Drehzahlbereiche entnehmen. Die Parameterhauptresonanz tritt in der Nähe derjenigen Winkelgeschwindigkeit auf, die der doppelten gemittelten Eigenkreisfrequenz ϖ des Schwingers entspricht, also bei η = Ω /ϖ = 2, vgl. auch Gl. (4.52). Die Abstimmungsverhältnisse, bei denen Nebenresonanzen k-ter Ordnung auftreten (k = 2, 3, . . .), liegen bei den Werten Ω 2 (4.7) η = = ϖ k vgl. auch Abschn. 4.6.3.

248


Die Schwingungsamplituden wachsen bei Parameterresonanz exponentiell mit der Zeit an, und die Zerstörungsgefahr ist größer als bei der bekannten Resonanz erzwungener Schwingungen [150]. Bei der Resonanz erzwungener Schwingungen steigen die Amplituden nur linear mit der Zeit an, so daß ein Durchfahren der Resonanzstelle leichter möglich ist, vgl. Abschn. 5.4.6. Die meisten zyklischen Mechanismen arbeiten aber erfahrungsgemäß in Drehzahlbereichen (η < 0,1), die weit unterhalb der instabilen Gebiete der Parameterresonanz liegen [81]. Eine Besonderheit der parametererregten Schwingungen besteht darin, daß weit entfernt von den durch Gl. (4.7) bestimmbaren Drehzahlbereichen der Parameterresonanz auch dynamische Instabilität in einem endlichen Zeitabschnitt möglich ist. Man kann sich diesen Effekt an Hand von Gl. (4.3) oder (4.6) im Zusammenhang mit der Definition der Abklingkonstanten eines linearen Schwingers klar machen. Die Bewegung verläuft dynamisch stabil, solange δ (Ω t) =

dT + J (Ω t)Ω dT + 2mΩ U U >0 = 2 J(Ω t) u2 (J3 + mU 2 )

(4.8)

gilt. Das trifft dann zu, wenn die Dämpfung groß genug ist, weil dann nach einer Auslenkung aus der Ruhelage die freien Schwingungen gemäß exp (−δ t) abklingen. Aus Gl. (4.8) geht hervor, daß der zweite Summand im Zähler mit zunehmender ¨ Drehgeschwindigkeit Ω zunimmt. Dieser Term entspricht der periodischen Anderung der kinetischen Energie, und die Ableitung des reduzierten Trägheitsmomentes hat stets auch negative Bereiche. Infolge des unvermeidlichen Vorzeichenwechsels kann es bei stark veränderlichem reduzierten Trägheitsmoment dazu kommen, daß δ (Ω t) in Gl. (4.8) negativ wird und damit ein exponentielles Anwachsen mit der Zeit gemäß exp (−δ t) erfolgt. 4

4 3

2

2

1

1

2 2

0 0 −0,5

−2 −4 a)

0

2

4 6 8 Antriebswinkel ϕ

−2 b)

0

2


Bild 4.18 Zur Deutung des Instabilitätsgebiets aus dem Verlauf der Lagefunktionen (ϕ 1 = 2,244) a) Lagefunktionen p-ter Ordnung; Kurve 1: U/UR , Kurve 2: U ϕ 1 /UR , Kurve 3: U ϕ 12 /UR b) Produkte von Lagefunktionen; Kurve 1: U 2 ϕ 12 /UR2 , Kurve 2: U U ϕ 13 /UR2

Bild 4.18 illustriert am Beispiel der Lagefunktion U(ϕ ) eines Rastgetriebes, wo bei ungleichmäßig u¨ bersetzenden Mechanismen der Vorzeichenwechsel bei der Ableitung des reduzierten Trägheitsmomentes auftritt. In Bild 4.18a erkennt man den Zusammenhang zwischen der Lagefunktion U eines Rastgetriebes und deren erster und zweiter Ableitung. Den Verlauf der in Bild 4.18b gezeigten Produkte der Lagefunktionen (U 2 und U U ) steht im Zusammenhang mit dem Verlauf des reduzierten


249

Trägheitsmomentes und seiner Ableitung. Die Ableitung des reduzierten Trägheitsmomentes ist negativ am Ende einer Beschleunigungsphase und zu Beginn einer Bremsphase. In den Bereichen, wo das reduzierte Trägheitsmoment J(Ω t) abfällt und demzufolge seine Ableitung J = 2mU U negativ wird, kann die Summe im Zähler von Gl. (4.8) negativ werden, also die Anfachung von Schwingungen bewirken. Aus Gl. (4.8) folgt, daß die Bewegung stabil ist, solange eine positive Dämpfung vorhanden ist (solange der Zähler positiv bleibt), also wenn die Ungleichungen dT + J (Ω t)Ω > 0

oder

dT + 2mΩ U U > 0

(4.9)

erfüllt sind. Bei kleinem Ω sind diese Ungleichungen immer erfüllt, d. h., bei niederen Drehzahlen ist ein solcher Mechanismus dynamisch stabil. Der zweite Summand in Gl. (4.9) kann in einem begrenzten Winkelbereich der Stellung des Antriebsgliedes negativ werden, vgl. das schraffierte Gebiet unterhalb der horizontal eingezeichneten Linie in Bild 4.18b. Der negative Anteil wächst proportional zu m und Ω , so daß die Instabilitätsgrenze bei Mechanismen mit großer Masse am Abtrieb ab einer bestimmten Winkelgeschwindigkeit erreicht wird. Die kritische Größe ist

Ω >

dT | |Jmin

oder

Ω >

dT |2m(U U )min |

(4.10)

Wenn die Ungleichung (4.10) erfüllt ist, werden Schwingungen angefacht. Die dynamische Instabilität a¨ ußert sich als amplitudenmodulierte Schwingung mit der stellungsabhängigen Eigenfrequenz gemäß Gl. (4.5), die dem kinetostatischen Momentenverlauf u¨ berlagert ist. Da die Bedingung (4.9) nur in einem endlichen Winkelbereich (also kurzzeitig) erfüllt ist, entstehen in solchen Getriebestellungen störende große Ausschläge in jedem kinematischen Zyklus. Die in den Bildern 2.17 bis 2.19 dargestellten Schwingungen sind durch derartige Effekte verursacht worden. Häufig können Parameterwerte für die Dämpferkonstante dT nicht angegeben werden, während der Dämpfungsgrad D abgeschätzt werden kann. Formt man Gl. (4.10) mit D = dT /(2ϖ J) um, so ergeben sich daraus Ungleichungen mit bezogenen Größen: 2JD D(J3 + mU 2 ) bzw. (4.11) η < η < |Jmin | |m(U U )min | Das Abstimmungsverhältnis η = Ω /ϖ bezieht sich auf die gemittelte Eigenkreisfrequenz ϖ . Das Antriebssystem ist stabil, solange Gl. (4.11) erfüllt ist. Der sich aus Gl. (4.11) ergebende η -Bereich liegt meist wesentlich unterhalb der Werte, die aus Gl. (4.7) folgen, d. h., für Mechanismen sind die kurzzeitigen Instabilitäten durch die zeitlich begrenzte Parametererregung eher zu erwarten als das Gebiet der Parameterhauptresonanz. Man kann folgende Gegenmaßnahmen gegen solche Instabilitäten treffen: • Dämpfung vergrößern, z. B. durch stärker dämpfendes Material, • Steifigkeit der Antriebswelle (und damit die Eigenfrequenz) erhöhen, z. B. mit einem größeren Wellendurchmesser, einer kürzeren Welle oder einer härteren Kupplung, • für den fallenden Bereich des Trägheitsmomentes (den negativen Wert seiner Ableitung) einen kleinen Betrag anstreben, d. h., es kommt darauf an, daß das Trägheitsmoment u¨ ber einen möglichst großen Winkelbereich langsam abfällt,

250


während es eher schnell ansteigen kann. Damit im Zusammenhang stehen folgende Maßnahmen: • unsymmetrische Gestaltung der Lagefunktion U(ϕ ) von Kurvengetrieben im ¨ Ubergangsbereich. Es ist dynamisch günstig, wenn das erste Intervall der Beschleunigung oder Verzögerung zeitlich kürzer ist als das zweite Intervall, denn es kommt auf einen möglichst kleinen Betrag des Minimums von U U an. • Ausgleichsgetriebe anordnen, um die Schwankung des Trägheitsmomentes auszugleichen, vgl. Bild 5.7 und Bild 5.37. Das reduzierte Trägheitsmoment ist proportional der kinetischen Energie eines Mechanismus, und es schwankt stets bei ungleichmäßig u¨ bersetzenden Mechanismen. Die eigentliche physikalische Ursache der kurzzeitigen Instabilität ist das Freiwerden kinetischer Energie in den Winkelstellungen, in denen das Trägheitsmoment abzunehmen beginnt. Das ist der Fall am Ende einer Beschleunigungs- oder einer Verzögerungsetappe, vgl. auch Bild 4.17. Die kinetische Energie des Starrkörpersystems wird in diesen Etappen kurzzeitig in Formänderungsenergie des elastischen Systems umgewandelt und erregt damit Schwingungen. Man kann diese Erscheinung mit dem aus dem Physikunterricht bekannten Versuch mit dem Drehstuhl vergleichen. Wenn unterhalb des Drehstuhls eine Torsionsfeder angeordnet wäre, dann wird beim Einziehen durch das veränderliche Trägheitsmoment nicht nur der Drehstuhl schneller, sondern auch eine Schwingung mit veränderlicher Eigenfrequenz angefacht.

4.5 Selbsthemmende Getriebe 4.5.1 Schwingungsursachen Die Richtlinie VDI 2158 ( Selbsthemmende und selbstbremsende Getriebe“) behan” delt, wie die Selbsthemmung bei Umlaufrädergetrieben, Schnecken-, Schraub- und Gelenkgetrieben zu bewerten und vom Konstrukteur zu beeinflussen ist. Ein Getriebe ist selbsthemmend, wenn die Antriebskräfte infolge der geometrischen Verhältnisse solche Reibungskräfte innerhalb des Getriebes hervorrufen, daß keine Bewegung möglich ist. Selbsthemmung kann z. B. bei einer translatorischen Bewegung eines ausgedehnten Körpers beim Verkanten auftreten, vgl. Abschn. 4.9.1. Die Bedingungen für die Selbsthemmung können in einem Antriebssystem bei wechselnden Kraftrichtungen während der Bewegung plötzlich eintreten. Infolge der damit verbundenen Unstetigkeit in der Kennlinie der Widerstandskräfte kommt es plötzlich zu einem Stillstand, d. h. zu einer Geschwindigkeitsänderung, infolgedessen intensive Schwingungen angeregt werden, welche das System stark belasten. Ein Freilauf ist z. B. ein selbsthemmendes Getriebe, das bewußt dazu eingesetzt wird, um die Drehung in nur einer Richtung zuzulassen. ¨ Bei gleichmäßig u¨ bersetzenden Getrieben mit großen Ubersetzungsverh¨ altnissen kann Selbsthemmung beim Wechsel der Drehrichtung eintreten, da sie sich nur durch das Moment am Antriebsglied in Bewegung setzen lassen und bei einem Moment, das am Abtrieb wirkt, unbeweglich bleiben. Bei Schwingungsvorgängen, bei denen

4.5 Selbsthemmende Getriebe

251

Vorzeichenwechsel der dynamischen Momente am An- und Abtriebsglied auftreten, wirkt so ein Getriebe wie ein Bauelement mit einer geknickten Kennlinie, vgl. Tabelle 3.2. 4.5.2 Keilschubgetriebe Da am Keilschubgetriebe manches anschaulicher erklärlich ist als am Schneckengetriebe, sollen zunächst dafür die Bewegungsgleichungen aufgestellt werden, vgl. Bild 4.19a. Das Antriebsglied mit der Masse m1 wird durch die Antriebskraft F1 angetrieben und kann die um den Keilwinkel γ geneigte Kontaktfläche berühren, eine elastische und reibungsbehaftete zweiseitige Gleitführung. Dort schiebt sie das Abtriebsglied mit der Masse m2 in der um den Winkel β geneigten Richtung längs einer reibungsfreien Schubgeraden. Die Gleitführung hat in Normalenrichtung das Spiel δ . Die Masse m2 kann die geneigte gerade Führung oben oder unten berühren. Beim Kontakt tritt Reibung auf. In Bild 4.19 sind die Kraftkomponenten dargestellt, die zwischen beiden Massen wirken. Ihre Komponenten sind die Normalkraft FN und die senkrecht dazu wirkende Reibkraft FR . Wenn kein Kontakt besteht, ist die Normalkraft FN = 0, aber sonst ist FN eine Druckkraft, die sich als Produkt aus der Federkonstante k (der als linear elastisch angenommenen Kontaktstelle) und Eindringtiefe in Normalenrichtung ergibt, vgl. dazu auch Bild 2.6 und Gl. (2.24): ⎧ ⎨k q − sign(q) δ für |q| > δ /2 (4.12) FN = 2 ⎩ 0 für |q| δ /2 Dabei kann man aus Bild 4.19b entnehmen, daß zwischen beiden Massen die relative Verschiebung q in Normalenrichtung zur Kontaktfläche und der Gleitweg r parallel zur Kontaktschicht r = q1 cos γ − q2 cos(β + γ ) (4.13) q = q1 sin γ − q2 sin(β + γ ); beträgt. Die Bewegung dieses nichtlinearen Zweimassenschwingers mit zwei Freiheitsgraden wird durch die Absolutwege q1 und q2 der Massen m1 und m2 beschrieben. In Bild 4.19c sind die an den beiden Massen angreifenden Kraftkomponenten dargestellt, wenn die Kontaktschicht eingedrückt ist. Da zunächst die Normalkräfte FA und FB , die auf die als reibungsfrei angenommenen Führungen A und B der beiden Schubglieder wirken, nicht interessieren, werden nur die beiden dynamischen“ Gleichge” wichtsbedingungen benutzt: − FR cos γ

+ FN sin γ

+ m1 q¨1 = F1

FR cos(β + γ ) − FN sin(β + γ ) + m2 q¨2 = −F2

(4.14) (4.15)

In der Kontaktschicht wirkt die Normalkraft FN und die darauf senkrecht stehende Reibkraft FR , die an beiden Massen entgegengesetzt gerichtet angreifen. Die Reibkraft ist proportional zum Betrag der Normalkraft, und ihre Richtung wechselt mit dem Vorzeichen der Gleitgeschwindigkeit r˙ an der Kontaktstelle P: FR = −µ |FN | sign(˙r) = −µ FN sign(FN ) sign(˙r)

(4.16)

252


y Elastizität, Spiel, Reibung m2 q2 P β

F1

γ

0

F2

A

starr, spielfrei, reibungsfrei m1 x

B

q1

a) y

F2 m2

δ/2 δ/2

µ

A r

q2

q

P 0

m1

γ

β F1

B

b)

x q1

γ FA

F2

β

γ

F1

m2 q&&2

c)

FN m1q&&1 γ

FR

FR FN

FB

Bild 4.19 Berechnungsmodell eines Keilschubgetriebes a) Bezeichnungen am Berechnungsmodell b) geometrische Zusammenhänge an der Kontaktstelle c) Kraftkomponenten an beiden Massen

Die Reibungszahl µ wird hier als unabhängig von der Gleitgeschwindigkeit angenommen (für Haften und Gleiten gelte auch derselbe Wert). Aus den Gln. (4.12) bis (4.16) können bei gegebenen Kräften F1 und F2 die fünf unbekannten Größen FR , FN , q1 , q2 und q berechnet werden. Zunächst lassen sich aus Gl. (4.14) und (4.15) zwei nichtlineare Differentialgleichungen für die Koordi-


253

naten q1 und q2 gewinnen, in welche die aus Gl. (4.12) in Verbindung mit Gl. (4.13) definierte Normalkraft eingeht: m1 q¨1 +

[µ sign(FN ) sign(˙r) cos γ + sin γ ]FN = F1

m2 q¨2 − [µ sign(FN ) sign(˙r) cos(β + γ ) + sin(β + γ )]FN = −F2

(4.17) (4.18)

Dabei ist die Normalkraft FN (q1 , q2 , δ ) von den Koordinaten und dem Spiel abhängig, vgl. Gl. (4.12) und Gl. (4.13). Bei gegebenen Kraftverläufen F1 (q1 q˙1 , t) und F2 (q2 , q˙2 , t) und bei gegebenen Anfangsbedingungen können die Zeitverläufe der Koordinaten q1 und q2 durch numerische Integration der beiden gekoppelten nichtlinearen Differentialgleichungen (4.17) und (4.18) gewonnen werden. Damit sind dann außer den schon in Gl. (4.12) und Gl. (4.16) angegebenen Komponenten der Kontaktkraft auch die Normalkräfte in den Lagern berechenbar, vgl. Bild 4.19c: FA = FR sin(β + γ ) + FN cos(β + γ );

FB = FR sin γ + FN cos γ

(4.19)

Es sei angemerkt, daß die in Abschn. 5.4.3 und Abschn. 5.4.4 aufgestellten und analytisch gelösten Differentialgleichungen der linearen Zweimassenschwinger einen Sonderfall der Gln. (4.17) und (4.18) darstellen, vgl. Gl. (5.78), Gl. (5.112) und Gl. (5.113). Analog zu der Differentialgleichung (5.79) für die Längskraft L oder Gl. (5.115) für das Torsionsmoment TT kann eine einzige Gleichung für den Relativweg q gewonnen werden, indem man aus den Gln. (4.13), (4.17) und (4.18) die Koordinaten q1 und q2 eliminiert. Führt man die Abkürzungen K1 = µ sign(FN ) sign(˙r) cos γ + sin γ

(4.20)

K2 = µ sign(FN ) sign(˙r) cos(β + γ ) + sin(β + γ )

(4.21)

ein, so entsteht schließlich folgende Differentialgleichung für die Relativkoordinate q: ¨ m1 m2 q+[m 1 K2 sin(β + γ )+m2 K1 sin γ ]FN = m1 F2 sin(β + γ )+m2 F1 sin γ (4.22) Die selbsterregten Schwingungen in der elastischen reibungs- und spielbehafteten Kontaktschicht werden damit berechenbar. Allerdings können daraus bereits einige interessante Schlüsse u¨ ber das Schwingungsverhalten gezogen werden, ohne die genauen Zeitverläufe der Absolutweg dieses Antriebssystems zu bestimmen. Zunächst wird das spielfreie (δ = 0), elastische (k = ∞) und reibungsbehaftete (µ = 0) Keilschubgetriebe betrachtet. In diesem Falle ist die Normalkraft entsprechend Gl. (4.12) einfach FN = kq und der Faktor vor FN ist proportional dem Quadrat der Eigenkreisfrequenz dieses Schwingers. Es handelt sich allerdings nur dann um eine Eigenfrequenz“, solange der Ausdruck in der eckigen Klammer positiv ist. Für ” den Fall, daß bei bestimmten Parameterwerten m1 K2 sin(β + γ ) + m2 K1 sin γ 0

(4.23)

ist, tritt eine Ratterschwingung (kurzzeitig exponentiell anwachsende Amplituden) auf, also wird bei Erfüllung von Gl. (4.23) das System instabil. Angenommen die Masse m2 bewege sich vertikal (β = π /2), dann folgt für die speziellen Werte von K1 und K2 aus Gl. (4.23) die Bedingung, unter welcher Instabilität auftritt, je nachdem, in welcher Richtung der Antrieb bewegt wird: ±µ (m2 − m1 ) sin γ cos γ + m1 cos2 γ + m2 sin2 γ 0

(4.24)

254


Bei einem spitzen Winkel γ ergibt sich aus Gl. (4.24) eine stabile Hubbewegung, weil bei positivem Vorzeichen vor der Reibungszahl die Bedingung (4.24) immer verletzt ist, während eine Senkbewegung instabil werden kann, weil bei dem (dann infolge der anderen Richtung der Relativgeschwindigkeit r˙) auftretendem negativem Vorzeichen für eine große Masse m2 eine große Reibungszahl µ und eine kleine Masse m1 die Ungleichung (4.24) erfüllt sein kann. Diese Betrachtung zeigt, daß auch schon bei konstanter Reibungszahl die gefürchteten Ratterschwingungen entstehen können. Sie brauchen also nicht, wie die ebenfalls selbsterregten stick-slip-Schwingungen durch eine mit der Geschwindigkeit fallende Reibungszahl verursacht werden, vgl. auch [49] und [176]. Für den Sonderfall des reibungsfreien (µ = 0), spielbehafteten (δ = 0) und elastischen (k = ∞) Keilschubgetriebes kann die Periodendauer T (Kehrwert der Eigenfrequenz) der freien Schwingungen abhängig von der Amplitude qmax exakt berechnet werden [231], [284]. Sie beträgt für qmax > δ /2: m1 m2 2δ 1 2π =2 π + T = = (4.25) f ω 2qmax − δ k[m1 sin2 (β + γ ) + m2 sin2 γ ] und enthält die Lösung für den Sonderfall des spielfreien Antriebs, vgl. Gl. (5.80) oder Gl. (5.116). Für den Sonderfall des starren (k → ∞) und spielfreien (δ = 0), aber reibungsbehafteten (µ = 0) Keilschubgetriebes folgt aus Gl. (4.13) die Zwangsbedingung und der relative Gleitweg r: q = 0;

q2 sin(β + γ ) = q1 sin γ ;

r = q1

sin β sin β = q2 sin(β + γ ) sin γ

(4.26)

Je nach der Größe der Winkel β und γ , die beide alle Werte im Bereich von null bis 2π annehmen können, haben die Koordinaten q1 und q2 gleiche oder entgegengesetzte Vorzeichen. Die Normalkraft folgt bei einer starren Kontaktschicht aus Gl. (4.22) mit q¨ = 0. Für das zwangläufige Keilschubgetriebe erhält man nach kurzen Umformungen die Beschleunigung des Antriebsgliedes unter Berücksichtigung der Reibung zu q¨1 =

(K2 F1 − K1 F2 ) sin(β + γ ) m1 K2 sin(β + γ ) + m2 K1 sin γ

(4.27)

Aus einer Analyse dieses Ausdrucks kann man Bedingungen zwischen den Parametern herleiten, für die Selbsthemmung auftritt. Die Grenzfälle folgen aus der Bedingung q¨1 = 0. 4.5.3 Schneckengetriebe ¨ Schneckengetriebe werden bei großen Ubersetzungsverh¨ altnissen (5 < u < 70) eingesetzt. Sie sind einerseits bis zu Wirkungsgraden von η > 0,9 optimiert (StirnradGloboid-Schneckengetriebe) und andererseits als selbsthemmende und selbstbremsende Getriebe ausgelegt. Selbsthemmende Schneckengetriebe haben den Vorteil, daß eine Rückdrehung bezüglich der Antriebswinkelgeschwindigkeit verhindert wird und mit ihnen eine Positionierbewegung sowie eine Sperrung unter Belastung erfolgen kann.

255


Neben der Elastizität der Zahnpaarung sind auch die Reibung und das Spiel für ihr dynamisches Verhalten wesentlich. Infolgedessen können unter bestimmten Bedingungen selbsterregte Schwingungen auftreten, die sich durch lautes Rattern bemerkbar machen und zu einem hohen Verschleiß führen. Solche störenden Schwingungen können bei der Senkbewegung von Lasthebeeinrichtungen (z. B. Hebebühnen, Sitzverstellung im PKW) auftreten. Auch bei periodischer Erregung zeigen Schneckengetriebe infolge ihrer stark nichtlinearen Kennlinie einige Besonderheiten. Das dynamische Verhalten wurde von mehreren Autoren untersucht, zuerst in [84] für das kinetostatische Modell und in [204] und [284] für Schwingungsmodelle mit zwei Freiheitsgraden. In [204] wird erstmals u¨ ber dynamische Messungen am Versuchsstand für ein Schneckengetriebe berichtet, die mit theoretischen Untersuchungen verglichen werden. Dort ist z. B. auch die Abhängigkeit des Torsionsmomentes T1 von der Größe des Spiels δ dargestellt und die Bereiche ermittelt worden, wo einfacher oder doppelter Flankenwechsel auftritt. Eine a¨ hnliche umfangreiche theoretische und experimentelle Untersuchung stammt von [175], wobei auch Berechnungsmodelle mit sechs Freiheitsgraden berücksichtigt wurden. Das Berechnungsmodell eines Schneckengetriebes a¨ hnelt dem des Keilschubgetriebes, vgl. Bild 4.19a und Bild 4.20. An die Stelle der Wege x und y treten die beiden Drehwinkel ϕ 1 und ϕ 2 als Koordinaten. Dieses Modell wird durch Parameter gekennzeichnet, deren Bedeutung beim erweiterten Modell ausführlich erklärt sind, ¨ vgl. Gl. (4.46). Das Ubersetzungsverh¨ altnis ist beim starren Getriebe u=

ϕ˙ 1 r2 = ϕ˙ 2 r1 tan γ

(4.28)

γ

M1

a)

Reibung und Spiel Dämpfung J1 µ, δ d

y

k Verzahnung

Antrieb

Getriebe

αn

z

J2 M2

u ϕ1

ϕ1

ϕ2

Kontakt bei B y r 1

Abtrieb und Schneckenrad

B

αn

FN cos α n

A B A

r2 δ

z &2 ϕ

b) Bild 4.20 Berechnungsmodell eines Schneckengetriebes; a) Berechnungsmodell mit gegebenem Antriebsmoment, b) Bezeichnungen an Schnecke und Schneckenrad

256


Die Bewegungsgleichungen des Modells von Bild 4.20a folgen aus dem dynamischen Momentengleichgewicht an beiden Scheiben und lauten, vgl. auch [147]: J1 ϕ¨ 1 + dc1 (ϕ˙ 1 − uϕ˙ 2 ) + kc1 (ϕ 1 − uϕ 2 ) = M1 + sign(∆ ϕ )kc2 J2 ϕ¨ 2 − dc3 (ϕ˙ 1 − uϕ˙ 2 ) − kc3 (ϕ 1 − uϕ 2 ) = M2 − sign(∆ ϕ )kc4

δ

2 δ

2

(4.29) (4.30)

Hierbei ist zusätzlich viskose Dämpfung (Dämpfungskonstante d) berücksichtigt worden. Die ck -Koeffizienten sind vom Relativwinkel r2 ϕ 2 ∆ ϕ = ϕ 1 − uϕ 2 = ϕ 1 − (4.31) r1 tan γ bzw. von der relativen Verschiebung an der Kontaktstelle in Normalenrichtung ∆s = cos α (r1 ϕ 1 sin γ − r2 ϕ 2 cos γ ) = r1 cos α sin γ ∆ ϕ

(4.32)

und dem axialen Spiel δ abhängig, vgl. [176]. Wird das Spiel durchlaufen, dann haben Schnecke und Schneckenrad keinen Kontakt, beide Teilsysteme bewegen sich unabhängig voneinander, und es gilt, falls |∆s| δ /2: c1 = c2 = c3 = c4 = 0

(4.33)

Wenn Schnecke und Schneckenrad miteinander Kontakt haben, also bei linksseitiger oder bei rechtsseitiger Berührung, tritt eine Rückstellkraft auf, und diese Konstanten lauten, falls |∆s| > δ /2: c1 =

r12 cos2 α sin γ sin[γ + sign(∆ ϕ ) sign(ϕ˙ 1 )] cos

(4.34)

c2 =

r1 cos α sin[γ + sign(∆ ϕ ) sign(ϕ˙ 1 )] cos

(4.35)

c3 =

r1 r2 cos2 α sin γ cos[γ + sign(∆ ϕ ) sign(ϕ˙ 1 )] cos

(4.36)

c4 =

r2 cos α cos[γ + sign(∆ ϕ ) sign(ϕ˙ 1 ] cos

(4.37)

Dabei wird die Reibungszahl µ durch den Reibungswinkel ausgedrückt (µ = tan ). Bereichsweise besteht eine lineare (aber insgesamt nichtlineare) Beziehung zwischen dem Torsionsmoment in der Verzahnung und dem Relativwinkel ∆ ϕ . Durch die Funktion sign(∆ ϕ ) wird dabei bewertet, an welcher Seite in der Zahnpaarung Kontakt vorhanden ist, während sign(ϕ˙ 1 ) den Einfluß der Reibrichtung erfaßt. Es existieren fünf verschiedene Bewegungszustände, von denen jeweils zwei der Vorspannung an der Kontaktstelle A und zwei der Vorspannung an der Kontaktstelle B entsprechen, während einer zum Durchlaufen des Spiels gehört. Die Umschaltun” gen“ zwischen diesen Betriebszuständen erfolgen formal durch die Signumfunktionen. Bei der numerischen Integration sind als Umschaltbedingungen sowohl Bedingungen für die Normalkraft als auch für den Relativweg zu prüfen.

257


Schneckenrad Abtrieb Motor a)

Schnecke Motor

Antriebs- Schnecke welle J 1 M1 (t ) kT

Verzahnung Schneckenrad und Abtriebsglied M 2 (t ) 2 k ⋅r2 u

b)

ϕ0 = Ω t

dT

d ⋅r22

ϕ1

J2

δ, µ ϕ2

Bild 4.21 Hubwerk mit Schneckengetriebe [176] a) Skizze des Antriebssystems, b) Berechnungsmodell mit gegebener Antriebsbewegung

Das Berechnungsmodell eines Hubwerks (Bild 4.21b) geht von dem gegebenen Verlauf des Antriebswinkels ϕ 0 (t) aus und berücksichtigt in Ergänzung zum Modell in Bild 4.20a noch eine linear elastische und dämpfende Antriebswelle (kT , dT ). Das Torsionsmoment in der Antriebswelle ist T1 = dT (ϕ˙ 1 − ϕ˙ 0 ) + kT (ϕ 1 − ϕ 0 )

(4.38)

Aus dem Momentengleichgewicht an den beiden Scheiben des in Bild 4.21b dargestellten Berechnungsmodells folgen die Bewegungsgleichungen: J1 ϕ¨ 1 + dT ϕ˙ 1 + kT ϕ 1 +dc1 (ϕ˙ 1 − uϕ˙ 2 ) + kc1 (ϕ 1 − uϕ 2 )

J2 ϕ¨ 2

δ

+ kT ϕ 0 + dT ϕ˙ 0 2 −dc3 (ϕ˙ 1 − uϕ˙ 2 ) − kc3 (ϕ 1 − uϕ 2 ) = M1 + sign(∆ ϕ )kc2

= M2 − sign(∆ ϕ )kc4

(4.39)

δ

(4.40) 2 Sie sind bereichsweise linear, so daß man für den Fall des Kontakts (ck = 0) die Eigenwerte in diesem Bereich mit dem Ansatz ϕ k = ϕˆ k exp(λ t) für das homogene System ermitteln kann, indem man die Nullstellen des Polynoms 4. Grades aus der Determinante J1 λ 2 + dT λ + kT + d λ c1 + kc1 −dc1 uλ − kc1 u (4.41) =0 2 J2 λ + dc3 uλ + kc3 u −dc3 λ − kc3 berechnet. Mit Hilfe des Routh-Hurwitz-Kriteriums kann man folgende Bedingung finden, die ausdrückt, ob einer der vier Eigenwerte λ positiv ist, vgl. [50], [112], [175]:

258


dc1 dT

2 2 2 c1 c1 kT J1 dkT − + γ ist und sign(∆ ϕ ) sign(ϕ˙ 1 ) = −1 ist. Das ist nur der Fall bei der Senkbewegung (ϕ˙ 1 = Ω > 0; sign(ϕ˙ 1 ) = +1) eines selbsthemmenden Getriebes, wenn die Last eine Vorspannung in der Zahnradpaarung bewirkt, weil nur dann sign(∆ ϕ ) = −1 ist. Für den Quotienten J1 /J2 erhält man aus Gl. (4.42) zwei Lösungen, welche eine obere und eine untere Grenze für das instabile Gebiet liefern. In [176] wird gezeigt, daß im ungedämpften Fall das Schneckengetriebe instabil wird, wenn die Bedingung uc3

J1 kT < −c1 + J2 k

ist oder wenn folgende beiden Ungleichungen erfüllt sind: 2 2 kT √ J1 kT √ − −c1 + −c1 < uc3 < k J2 k

(4.43)

(4.44)

Innerhalb der Grenzen, welche aus den Ungleichungen (4.43) und (4.44) folgen, wird die Bewegung des Schneckengetriebes instabil. Solche Instabilitäten können bei der Senkbewegung selbsthemmender Getriebe auftreten. Eine nähere Analyse zeigt, daß der instabile Bereich, in dem Rattern auftritt, desto größer ist, je größer der Reibungswinkel ist. Bereits der einseitige Flankenwechsel an der Zahnflanke B führt zu den störenden Ratterschwingungen, aber beim Anstoßen an beide Seiten der Führung sind die Schwingungen noch intensiver. Für den Konstrukteur sind die Bedingungen (4.43) und (4.44) deshalb von Interesse, da sie (ohne die sonst erforderliche numerische Integration der Differentialgleichungen (4.39) und (4.40) erlaubt, den Einfluß der Parameter auf das Instabilitätsgebiet zu bestimmen. Falls die beiden Ungleichungen (4.43) und (4.44) nicht erfüllt sind, besteht keine Gefahr dafür, daß das gefürchtete Rattern auftritt, denn der Flankenkontakt bleibt erhalten. Man kann aus Gl. (4.43) und Gl. (4.44) erkennen, welchen Einfluß die beiden Federkonstanten kT und k auf das Stabilitätsgebiet haben. Der Konstrukteur kann bei gegebenen Trägheitsmomenten die Grenzen des Stabilitätsgebietes verschieben, z. B. mit der Torsionsfederkonstante kT . Für ein sehr kleines Verhältnis kT /kr22 , d. h. für den Sonderfall kT /kr22 → 0, ergibt sich aus Gl. (4.43) die in [84] erstmals hergeleitete in die VDI-Richtlinie 2158 (Selbsthemmende und selbstbremsende Getriebe) aufgenommene Formel für die Stabilitätsgrenze eines selbsthemmenden Schneckengetriebes: tan( − γ ) J1 < 2 J2 u tan γ

(4.45)

In diese Bedingung gehen keine Feder- und Dämpfungskonstanten ein, d. h. ein star” res“ Schneckengetriebe rattert“, wenn Gl. (4.45) erfüllt ist. ”


259

Aus den Stabilitätsbedingungen geht allerdings nicht der Einfluß des Spiels δ hervor, denn die Ungleichungen (4.42) bis (4.45) wurden gewissermaßen aus den linken Seiten“ der Gln. (4.39) und (4.40) gewonnen. Das Spiel δ bestimmt eben” so wie auch die a¨ ußeren Momente M1 und M2 die Größe der Schwingungsamplituden. Die Verläufe der Winkel, Winkelgeschwindigkeiten, Winkelbeschleunigungen und der Torsionsmomente in beiden Wellen, die bei den Ratterschwingungen entstehen, kann man durch numerische Integration der Differentialgleichungen (4.39) und (4.40) ermitteln. Einzelheiten soll das folgende Beispiel zeigen, das dem Modell gemäß Bild 4.21b entspricht und durch folgenden Parametervektor p charakterisiert wird: p = (Ω , α , γ , r1 , r2 , M1 , M2 , J1 , J2 , µ , kT , k, d, dT , δ )T (4.46) ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ Antriebswinkelgeschwindigkeit (Senkrichtung positiv) 15,7 rad/s ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ◦ ⎟ ⎟ ⎜Richtungswinkel der Zahnflanken-Normalen ⎜20 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ◦ ⎟ ⎟ ⎜Steigungswinkel der Schnecke im Teilkreis ⎜5,322 8 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜Teilkreisradius der Schnecke ⎜3,235 mm ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜Teilkreisradius des Schneckenrades ⎜18,98 mm ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜Moment an der Schneckenwelle ⎜0 N · m ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜Moment an der Abtriebswelle, z. B. infolge Hublast ⎟ ⎜1,0 N · m ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎜Trägheitsmoment, bezogen auf die Schneckenwelle ⎟ =⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜60 kg · mm ⎟ ⎟ ⎜Trägheitsmoment, bezogen auf die Abtriebswelle ⎜0,1 kg · m2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜Reibungszahl an der Zahnflanke ⎜0,141 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜Torsionssteifigkeit der Antriebswelle ⎜0,318 N · m ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 6 ⎟ ⎜1,772 8 · 10 N/m⎟ ⎜Zahnsteifigkeit ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜Dämpfungskonstante der Zahnradpaarung ⎜2 500 N · s/m ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎠ ⎝0,004 N · m · s ⎠ ⎝Dämpfungskonstante der Antriebswelle Flankenspiel in der Zahnpaarung 0,02 mm

Die Parameter xk (k = 1, 2, . . . , 15) wurden in der Reihenfolge geordnet, wie es der in Abschn. 2.1.2 beschriebenen Modellhierarchie entspricht, vgl. Tabelle 2.2 und Tabelle 2.4. Oben sind im Vektor p die Parameter der starren Maschine (kinetostatisches Modell, Modellstufe 1), dann die des linearen Systems (Modellstufe 2) und unten die des nichtlinearen selbsterregten Schwingungssystems aufgeführt. Die Parameterwerte wurden für die Berechnung des Beispiels in Anlehnung an [175] und ¨ [176] für ein relativ kleines Schneckengetriebe gewählt. Das Ubersetzungsverh¨ altnis ergibt sich gemäß Gl. (4.28) aus diesen Daten zu u = 62,973. Die stationären Lösungen der Differentialgleichungen (4.39) und (4.40) wurden für die Parameterwerte von Gl. (4.46) durch numerische Integration mit einem MATHCAD-Programm berechnet. Es treten in dem genannten Parameterbereich erwartungsgemäß selbsterregte Ratterschwingungen auf, deren Verläufe in Bild 4.22 exemplarisch dargestellt sind. Zum Vergleich wurden im linken Teil des Bildes Ergebnisse für das Abtriebsmoment M2 = 1 N · m denen des doppelten Momentes M2 = 2 N · m gegenübergestellt. Außerdem wurde die Torsionsfederkonstante kT variiert, um auch deren Einfluß zu zeigen. In Bild 4.22c ist der Spielbereich eingezeichnet, woraus man erkennt, ob einseitige oder zweiseitige Stöße stattfinden. Der Verlauf der Drehbeschleunigung ϕ¨ 2

260


50 && 2 in s−2 ϕ

&& 2 in s−2 ϕ

50

0

−50

3,1

3,2 t in s

−50

0,05

0,05

T1 in N⋅ m

3

T1 in N⋅ m

a)

0

0

−0,05 3 b)

3,1

3,2 t in s

0,1

3

3,1

3,2 t in s

3

3,1

3,2 t in s

3,1

3,2 t in s

0

−0,05

0,1

∆s in mm

∆s in mm

δ

0

−0,1 −0,2 c)

0

−0,1

3

3,1

M2 = 1 N·m

3,2 t in s

−0,2

3

M2 = 2 N·m

Bild 4.22 Zeitverläufe der Ratterschwingungen eines Schneckengetriebes bei Senkbetrieb a) Drehbeschleunigung ϕ¨ 2 am Abtrieb (zwei verschiedene Werte des Abtriebsmoments M2 ) b) Torsionsmoment T1 in der Antriebswelle, vgl. Gl. (4.38) c) Relativweg ∆s an der Kontaktstelle, vgl. Gl. (4.32) (Vollinie: kT = 0,318 N · m, gestrichelte Linie: kT = 0,663 N · m)


261

(Bild 4.22a) und des Relativweges ∆s (Bild 4.22c) zeigt, wo das Spiel durchlaufen wird. Die Schwingungen verlaufen um den Mittelwert, der sich aus dem Abtriebsmoment und dem statischen Reibmoment ergibt. Die Amplituden nehmen mit der Größe des Abtriebsmoments M2 zu, d. h., das Abtriebsmoment ist für die Intensität der Erregung verantwortlich. Das Torsionsmoment T1 erreicht infolge der Schwingungen Werte, die wesentlich größer sind als das kinetostatische Antriebsmoment und sogar zu einem Vorzeichenwechsel führen.

&& 2|max in s−2 |ϕ

60

a)

40 20 0

0

0,5 0,6

1

1,5

2 103 ⋅( J 1 / J 2 )

2,5

0

0,5 0,6

1

1,5

2 10 ⋅( J 1 / J 2 )

2,5

T1 in N⋅ m

0,15

b)

0,1 0,05 0

3

Bild 4.23 Amplituden der Ratterschwingungen a) Drehbeschleunigung ϕ¨ 2 am Abtrieb, b) Torsionsmoment T1 in der Antriebswelle 1

Die maximalen Werte des Torsionsmomentes T1 und der Drehbeschleunigung

ϕ¨ 2 des Schneckenrades wurden in Bild 4.23 als Funktion des Verhältnisses der

Trägheitsmomente dargestellt. Es ergeben sich in dem stabilen Bereich konstante Torsionsmomente, die durch die Reibung bedingt sind. Da in diesem Bereich keine Schwingungen auftreten, sind die Drehbeschleunigungen Null. Es zeigt sich, daß die Schwingungen innerhalb des Instabilitätsgebiets auftreten, dessen Grenzen sich aus Gl. (4.43) und Gl. (4.44) ergeben. Für die in Gl. (4.46) angegebenen Parameterwerte betragen die Grenzen J1 /J2 = 0,000 1 bis 0,001 4 und für die härtere Federkonstante (kT = 0,663 N · m) legen sie bei J1 /J2 = 0,000 5 bis 0,002 0, vgl. Bild 4.23. Mit der härteren Torsionsfeder wurde das Stabilitätsgebiet verschoben, aber nicht eingeengt. Innerhalb des Instabilitätsbereiches tritt Rattern mit den angegebenen Amplituden auf. Dabei gibt es einen schmalen Bereich, in dem besonders intensive Schwingungen auftreten, vgl. Bild 4.23. Bei 103 J1 /J2 = 0,6 liegen die Parameterwerte, die den Schwingungen in Bild 4.22 entsprechen, wo ein zweiseitiger Flankenwechsel stattfindet.

262


Die Größe des Spiels δ hat auch einen großen Einfluß auf die Schwingungsamplituden im Instabilitätsgebiet. Dies kann aus den Gln. (4.39) und (4.40) ebenfalls berechnet werden und wurde z. B. in [250] für den Wertebereich eines größeren Schneckengetriebes ausführlich analysiert. Auch für eine veränderliche Antriebswinkelgeschwindigkeit ϕ 0 (t), wie sie z. B. bei Anfahr- oder Bremsvorgängen oder bei periodischen Drehzahlschwankungen auftritt, und bei veränderlichen Abtriebsmomenten M2 lassen sich aus dem Berechnungsmodell in Bild 4.21, das den Differentialgleichungen (4.39) und (4.40) entspricht, die interessierenden dynamischen Beanspruchungen und Bewegungen berechnen.

4.6 Schwingungen von Zugmittelgetrieben 4.6.1 Schwingungsursachen Zu den Zugmittelgetrieben gehören die Riemengetriebe, Kettengetriebe, Zahn¨ riemengetriebe mit konstanter Ubersetzung, aber auch die CVT-Getriebe mit va¨ riabler Ubersetzung. Flach- und Keilriemengetriebe sollen eine kraftschlüssige Bewegungsübertragung sichern, während Ketten- und Zahnriemengetriebe eine ¨ formschlüssigen schlupffreie Ubertragung herbeiführen. Für den Konstrukteur ist ein Riemen oder eine Kette im idealen Fall eine starre kinematische Bindung, aber bei hohen Geschwindigkeiten wird der kinematisch gewünschte Bewegungsablauf durch verschiedene Schwingungserscheinungen gestört. Aus der Sicht der Modellbildung lassen sich Zugmittelgetriebe entweder als elastische, dämpfende und massebelegte Kontinua oder als Mehrkörpersysteme modellieren. Ketten und Zahnriemen sind in Verbindung mit ihren Kettenrädern bzw. Zahnscheiben Schwingungserreger von Längs- und Biegeschwingungen. In den folgenden Abschnitten wird auf einige spezifische Schwingungsprobleme und Berechnungsmodelle der Zugmittelgetriebe eingegangen. Riemengetriebe gehören zur Gruppe kraftschlüssiger Zugmittelgetriebe und werden in vielen Bereichen des Maschinen- und Anlagenbaues eingesetzt [90], [109], [264]. Beispielsweise findet man sie in den Antrieben von Werkzeugmaschinen meist in Form eines Keilriemengetriebes zwischen Motor und Hauptspindel zur Drehzahlund Drehmomentwandlung. Auch in Fahrzeugantrieben werden Riemengetriebe zur Verbindung zwischen dem Hauptantrieb und den Nebenantrieben, z. B. Lichtmaschine, Nockenwelle, Lüfter, Kraftstoffpumpe, angewendet. Neben solchen Vorteilen wie einfache Anwendung, geräuscharmer Lauf, hoher Wirkungsgrad und vielseitige Einsetzbarkeit haben Riemengetriebe manchmal den Nachteil, daß die Riementrume bei hohen Geschwindigkeiten aus verschiedenen Ursachen zu Schwingungen neigen, die zu erhöhtem Verschleiß, störendem Lärm und zur Beeinträchtigung der Leistungsübertragung führen. Riemenschwingungen sind schon lange ein Forschungsobjekt, vgl. [1], [90], [95], [100], [283] und die Forschung dazu ist weiterhin im Gange. Vergleiche von theoretischen und experimentellen Ergebnissen zeigen, daß es noch viele ungeklärte Probleme gibt. Die Ursache für die Abweichungen zwischen Rechen- und Meßergebnissen

4.6 Schwingungen von Zugmittelgetrieben

263

sind oft in den noch unvollkommenen Berechnungsmodellen zu suchen. Es treten oft gekoppelte Längs-, Biege- und Torsionsschwingungen des Riemens auf, die mit linearen Theorien nicht erklärlich sind. Man muß zu deren Berechnung Theorien zweiter Ordnung berücksichtigen, wie z. B. die quadratischen Terme in den Gln. (2.274) und (2.275). Damit wird die Veränderung der Längskraft bei großen Biegeschwingungen oder die Anregung der Torsionsschwingungen durch Längskräfte erfaßt. Als Besonderheiten gibt es auch die nichtlineare Abhängigkeit des Schlupfs von der Vorspannung und Belastung [283], die durch die Scheibenradien bedingten nicht¨ linearen mechanischen Bedingungen an der Ubergangsstelle von der Riemenscheibe zum freien Trum und die Materialparameter der Riemenwerkstoffe [90]. Experimentelle Untersuchungen in [242] zeigten, daß auch stick-slip-Schwingungen an Keilriemen auftreten. Im folgenden werden zunächst einzelne Effekte, die am einzelnen Riementrum auftreten können, vorgestellt und analysiert. Infolge der Längselastizität des Riemens können gekoppelte Längs- und Torsionsschwingungen auftreten, wenn z. B. eine Zwangserregung infolge der ungleichmäßigen Winkelgeschwindigkeit erfolgt. Solche Zwangserregungen haben nach [244] bei Serpentinantrieben in Fahrzeugmotoren einen größeren Einfluß als die Parametererregung. Dagegen wurde von [237] festgestellt, daß die durch den Radialschlag der Riemenscheiben erregten Zwangsschwingungen wesentlich kleinere Amplituden der Biegeschwingungen hervorrufen als die durch die zeitlich veränderlichen Riemenkräfte bedingten parametererregten Schwingungen. Infolge der Torsionselastizität des Riemens können aber auch Torsionsschwingungen um dessen Längsachse auftreten, wenn der Riemen sehr flach ist. Das Schwingungsverhalten eines Riemengetriebes kann oft nur geklärt werden, wenn das schwingungsfähige Spannsystem (z. B. Spannrolle) in die Betrachtungen einbezogen wird, vgl. Abschn. 4.6.3. Häufig lassen sich störende Riemenschwingungen schon vermeiden, wenn man die aus der linearen Theorie stammenden einfachen Regeln beachtet, daß man die Nachbarschaft von Erreger- und Eigenfrequenzen vermeiden soll. Infolge des großen Einflusses der Riemenlänge kann man damit die Eigenfrequenz am leichtesten beeinflussen, was aber selten realisierbar ist. Bei flachen Riemen kann man z. B. die Eigenfrequenz der Torsionsschwingungen dadurch erhöhen, indem man die Riemenbreite halbiert. Da auch die Parameterhauptresonanz bei Riemenschwingungen oft eine Rolle spielt, ist es ebenso wichtig darauf zu achten, daß keine Erregerfrequenz mit der doppelten Eigenfrequenz u¨ bereinstimmt, vgl. Gl. (4.52). Es gibt mehrere Erregerfrequenzen bei Riemen- und Kettengetrieben zu beachten, z. B. • • • • • • •

höhere Harmonische der Drehfrequenz (z. B. Zündfolge des Motors), die Scheibendrehfrequenzen (geometrische Exzentrizität) höhere Harmonische der Nebenaggregate (deren periodische Bewegungen), die Riemenumlauffrequenz (Material- oder Fertigungsfehler), die Drehfrequenz der Spannrollen (Unwucht), die Frequenzen einer Trumkraft (periodisches Lastmoment), die Eigenfrequenz der Torsionsschwingung des Gesamtsystems (Parametererregung der Transversalschwingung), • die Frequenzen der Stützenerregung (Erschütterungen des Aufstellorts).

264


4.6.2 Eigenfrequenzen des Zweischeiben-Riemengetriebes Tabelle 4.4 gibt für einige einfache Berechnungsmodelle des Zweischeiben-Riemengetriebes die Eigenfrequenzen an. Diese Eigenfrequenzen ergeben sich für das Modell des beiderseits gelenkig gelagerten Balkens (im Falle 3 beiderseits in Querrichtung eingespannter Rechteckquerschnitt), vgl. [28], [105], [283]. Bei diesen Berechnungsmodellen wird angenommen, daß sich der Riemen nur in einer Ebene (bzw. im Falle 3 nur um eine Achse) bewegt. Im Falle 1 sind die Riemenspannkraft F, die Biegesteifigkeit EI und die Massebelegung A konstant. Die Riemenspannkraft F beeinflußt die Eigenfrequenzen wesentlich, aber der Einfluß der Riemengeschwindigkeit v und der Biegesteifigkeit ist bei den u¨ blichen Antrieben praktisch sehr gering. Durch die bei der Umlenkung der Riemen entstehende Fliehkraft wird die Riemenspannkraft aber selbst geschwindigkeitsabhängig. Fall 2 entspricht einem nichtlinearen Schwinger, bei dem die Eigenfrequenz der Biegeschwingung von der Schwingungsamplitude w (in Riemenmitte) abhängt. Diese Abhängigkeit ergibt sich bei der Berücksichtigung der Längssteifigkeit EA der Saite (und der Zunahme der Trumkraft bei den Schwingungen). Fall 3 bezieht sich auf die Torsionsschwingung des an beiden Enden eingespannten flachen Riemens (hier mit Rechteckquerschnitt angenommen). Ein Rippenriemen kann durch ein mittleres ” Rechteck“ angenähert werden. Der Unterschied zwischen dem für die Torsionsverformung verantwortlichen Torsionsträgheitsmoment It und dem für die Drehträgheit maßgebenden polaren Trägheitsmomentes IP ist wesentlich. Fall 4 bezieht sich auf die Längsschwingungen der Riementrume in Verbindung mit einer Torsionsschwingung des Abtriebs. Hierbei werden nicht Schwingungen der einzelnen Riemenabschnitte, sondern die Schwingungen des Gesamtsystems erfaßt. Es gehen dabei die Steifigkeit kV der Vorspannfeder und die (durch die unterschiedliche Belastung bedingte) Federkonstanten des Zugtrums (kZ ) und des Leertrums (kL ) in die Berechnung ein. Die unterschiedlichen Scheibenradien der Antriebsscheibe (r) und der Abtriebsscheibe (R), die translatorisch bewegte Motormasse m und die Drehmasse J des Abtriebs werden auch erfaßt. Auf die Modellierung dieser wichtigen Einflußgröße wird in [116] näher eingegangen. Der Schlupf zwischen Riemen und Riemenscheibe, der sich als eine wesentliche Dämpfung der Torsionsschwingungen auswirkt, wurde hier nicht erfaßt. Wegen der Annahme einer konstanten Motordrehgeschwindigkeit hat die Drehmasse des Motors auf die Eigenfrequenzen dieses Modells keinen Einfluß. Viele experimentelle Untersuchungen zeigten, daß die Parameterwerte der Riemen nicht nur vom Material, sondern auch von der Riemengeschwindigkeit, dem Schlupf (bzw. dem Drehmoment), der Belastungsfrequenz, der Riemenvorspannung und der Betriebstemperatur abhängen [237]. Die Federkonstante nimmt z. B. nach [237] mit dem Schlupf und der Riemengeschwindigkeit ab, während die Dämpfung mit dem Schlupf und der Riemengeschwindigkeit zunimmt. Die Frequenz- und Temperaturabhängigkeit der Parameter von Gummi spielt hierbei auch eine Rolle. Der wesentliche Parameter ist die Vorspannung, denn von ihm hängen Schlupf, Temperatur, Federkonstante, Dämpferkonstante und auch der Verschleiß ab. Bei genauerer Modellierung müssen neben den hier behandelten Teilmodellen für die Trume auch Teilmodelle für den Kontakt der Riemen mit den Riemenschei-


265

Tabelle 4.4 Eigenfrequenzen des Zweischeiben-Riemengetriebes Fall-Nr. 1

Berechnungsmodell/tiefste Eigenfrequenzen bewegter Balken v EI F F A l 1 fB = 2l

2

⎛ ⎞ F ⎝ π 2 EI Av 2 ⎠ 1+ − A F Fl 2

nichtlineare Saite EA F A 1 fS = 2l

3

F l

w$

F A

1+

3 π 2 wˆ 2 EA 16 Fl 2

(2)

Torsionsstab (Rechteckquerschnitt)

F

b

GIT, IP, A

h

A fT =

1 2l

F

l

F A

A = bh, IT = 4

(1)

1+

GIT A F IP

(3)

A4 A 2 (b + h2 ) , IP = 40IP 12

Längs-Torsions-Schwingungssystem

kZ Zugtrum

Motor kV v Vorspannkraft

f1, 2

α

Abtrieb R

m α kL

Leertrum

J

l . ⎡ ⎤ / 2 / 2 R2 4k12 k11 k11 k22 R2 / 1 ⎣ k22 R2 ⎦ + ∓ − =0 + 4π J m J m mJ

k11 = kV + (kV + kZ ) cos2 α , k12 = (kZ − kL ) cos α R−r , k22 = kL + kZ sin α = l

(4)

266


ben berücksichtigt werden [237], [244]. Die richtige Erfassung der Riemenparameter ist mit erheblichen theoretischen und experimentellen Schwierigkeiten verbunden. Erfahrungsgemäß beträgt allein die Exemplarstreuung mindestens 5 %. Auf Grund der häufig verwendeten Verbundwerkstoffe (z. B. Gummi und PolyestherKord bei Profil-Keilriemen) liegt ein inhomogenes Material vor, bei welchem genaugenommen die Nichtlinearität im Spannungs-Dehnungs-Diagramm und viskose Effekte (Kriechen, Relaxation) berücksichtigt werden müssen. Da bei den u¨ blichen Schwingungen die Frequenzen so hoch sind, daß die Relaxationszeiten des Materials keine Rolle spielen, ist meist die Beschränkung auf linear-elastisches Materialverhalten gerechtfertigt. Bei Verbundwerkstoffen muß man bei der experimentellen Ermittlung die Längs-, Biege- und Torsionssteifigkeit (also EA, EI, GIT ) als voneinander unabhängige Parameter betrachten, die sich nicht aus geometrischen Abmessungen und Materialparametern einfach berechnen lassen. Um eine Vorstellung von den Parameterwerten und ihrem Einfluß auf die Eigenfrequenzen zu erhalten, wird ein Riemengetriebe mit folgenden Parametern, die in Tabelle 4.4 vorkommen, angenommen: ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 0,655 m Länge des Riemens l ⎟ Längssteifigkeit des Riemens ⎜ EA ⎟ ⎜103 kN ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Biegesteifigkeit des Riemens ⎜ EI ⎟ ⎜0,012 N · m2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Torsionssteifigkeit des Riemens ⎜GIT ⎟ ⎜0,461 N · m2 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ (4.47) p =⎜ ⎟=⎜ 3 3⎟ ⎜ ⎟ ⎜1,22 · 10 kg/m ⎟ mittlere Dichte des Riemens ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ polares Trägheitsmoment des Riemenquerschnitts ⎜ IP ⎟ ⎜9 654 mm4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ Torsionsträgheitsmoment des Riemenquerschnitts ⎝ IT ⎠ ⎝860 mm4 A 135 mm2 Fläche des Riemenquerschnitts Bild 4.24 zeigt die Abhängigkeit der Eigenfrequenzen der Biege- und Querschwingungen, die sich gemäß der Gln. (1) und (3) in Tabelle 4.4 mit diesen Zahlenwerten ergeben. 40

Eigenfrequenz f in Hz

Torsionsschwingungen 30 Querschwingungen

20 10 0 0

100

200 300 Längskraft F in N

400

Bild 4.24 Abhängigkeit der Eigenfrequenzen von der Vorspannkraft für den Riemen mit den Parameterwerten von Gl. (4.47)


267

Außer den in Tabelle 4.4 behandelten Modellen soll noch ein Beispiel für einen Zweischeiben-Riemengetriebe mit Spannrolle behandelt werden. Durch eine Spannrolle wird einerseits die freie Länge l der Riemen verkürzt (was deren Eigenfrequenzen erhöht), aber andererseits entstehen weitere System-Eigenfrequenzen, deren Anregung dann ebenfalls vermieden werden muß. Bild 4.25 zeigt das Berechnungsmodell, das die folgenden 17 Parameter erfaßt: ⎛ ⎞ Längssteifigkeit des Riemens EA ⎜ lk ⎟ Längen der Riemenabschnitte (k = 1, 2, 3) ⎜ ⎟ ⎜ lS ⎟ Länge des Spannhebels ⎜ ⎟ ⎜ Jk ⎟ Massenträgheitmomente aller Scheiben (k = 1, 2, 3) ⎜ ⎟ ⎜mR ⎟ Masse der Spannrolle ⎜ ⎟ ⎟ (4.48) p=⎜ ⎜ mS ⎟ Masse des Spannhebels ⎜ Rk ⎟ Scheibenradien (k = 1, 2) ⎜ ⎟ ⎜ R ⎟ Radius der Spannrolle ⎜ ⎟ ⎜ k ⎟ Torsionsfederkonstante am Spannerhebel ⎜ T⎟ ⎝ α ⎠ Winkel des Spannhebels in der statischen Ruhelage Winkel der beiden Riementrume in der Anfangslage (k = 2, 3)

βk

kT

α

ϕR

ϕS ϕ1

R1

β2

ϕ2

β3

l2 , k 2 J1

lS , mS

R

l3 , k 3

R2

mR , J 3 J2

k1 l1

Bild 4.25 Berechnungsmodell des Zweischeiben-Riemengetriebes mit Spannrolle

Im Koordinatenvektor qT = (ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ R , ϕ S ) werden vier Drehwinkel berücksichtigt, vgl. Bild 4.25. In den Bewegungsgleichungen (Mq¨ + Kq = o) dieses linearen Schwingungssystems ist die Massenmatrix M = diag (J1 , J2 , J3 , JS ) + ist ) und die Steifigkeitsmatrix (worin JS = ⎞ ⎛ −k2 R1 R −k2 R1 a R(k1 + k2 ) −k1 R1 R2 ⎟ ⎜ −k R R −k3 R2 R k3 R2 b ⎟ ⎜ 1 1 2 R2 (k1 + k3 ) K=⎜ ⎟ 2 ⎝ −k2 R1 R −k3 R2 R R (k2 + k3 ) R(k2 a − k3 b) ⎠ −k3 R2 b R(k2 a − k3 b) k2 a2 + k3 b2 + kT −k2 R1 a mR lS2

(4.49)

mS lS2 /3

(4.50)

268


Daran, daß die Federmatrix voll besetzt ist, erkennt man, daß hier tatsächlich eine Wechselwirkung zwischen allen Koordinaten stattfindet. Dies liegt an dem Einfluß der Spannrolle, die bei ihrer Bewegung auch die beiden Riemenabschnitte spannt, die wiederum mit den Riemenscheiben verbunden sind. Die drei Federkonstanten der Riemenabschnitte folgen aus kk = EA/lk und die Konstanten a und b aus den geometrischen Verhältnissen des Gesamtsystems: a = lS sin(α + β 2 ) − R

lS cos(α + β 2 ); l2

b=R

lS cos(α − β 3 ) l3

(4.51)

Die vier Eigenfrequenzen fi = ω i /(2π ) und Eigenformen ϕ i dieses Systems kann man aus der Eigenwertgleichung (K − ω i2 M)ϕ i = 0 berechnen. Auch in diesem Falle ergibt sich die erste Eigenfrequenz zu Null, da die erste Eigenform eine Starrkörperbewegung des Riemengetriebes ist (die Steifigkeitsmatrix K ist singulär). 4.6.3 Erzwungene und parametererregte Schwingungen Infolge einer periodisch veränderlichen Längskraft in einem Trum entsteht eine Parametererregung der Transversalschwingungen. Die Parameterhauptresonanz, bei der instabile Schwingungen auftreten, liegt vor, wenn die erregende Frequenz der Längskraft doppelt so groß ist wie die aus Gl. (1) in Tabelle 4.4 bekannte Eigenfrequenz der Biegeschwingung, d. h. bei ferr = 2 · feig

(4.52)

In der Nähe der Frequenzen, welche die Resonanzbedingung (4.52) erfüllen, treten große Schwingungsamplituden auf. Man kann eine Näherungslösung für die Amplituden der parametererregten Schwingungen unter folgenden Voraussetzungen herleiten, vgl. [89], [254], [283]: • geometrisch nichtlinear gekoppelte Längs- und Biegeschwingung, vgl. Gl. (2.269) und Gl. (2.270), • viskose Dämpfung (Dämpfungsfaktor d), vgl. Tabelle 3.9, • Vorspannung des Riemens um den Weg u0 = F0 /(EA), • Exzentrizität e einer der Riemenscheiben (die den Radius Rk besitzt), so daß der Riemen gemäß des Bewegungsgesetzes ∆u = u(L, t)−u(0, t) = u0 +e cos(vt/R) mit einer kinematischen Erregung zwangserregt wird, • die Riemendeformation führt zu einer Längskraft F = EA · ∆u = F0 + F1 cos Ω t mit Ω = v/Rk . Aus der ursprünglichen partiellen Differentialgleichung (2.270) für den nichtlinear gekoppelten Biegeschwinger wird mit dem Näherungsansatz πx (4.53) w(x, t) = q(t) sin l eine gewöhnliche Differentialgleichung gewonnen, die eine kubische Nichtlinearität und eine harmonische Parametererregung enthält, vgl. [183]: vt π 2 q2 π 2 π 2 EI 2 EA + Aq+d ¨ q+ ˙ − Av + +e cos u q=0 (4.54) 0 L2 l2 l R 4l

269


Für die praktisch interessanten Amplituden qˆ der Querschwingung der periodischen Lösungen an der Grenze des Stabilitätsgebietes der Parameterhauptresonanz besteht demnach folgender Zusammenhang π 4 F12 8Ω l 2 L E 4l 2 Ω 2 16 π 2 EI F0 2 2 −R − + Ω −d 2 (4.55) ± qˆ = π 3π 2 3 Al 2 A 3π 2 A Ω 2 l 4 Die beiden Vorzeichen (±) beschreiben die obere und die untere Grenze des Stabilitätsgebietes. Aus den aktuellen Parameterwerten eines Riemenantriebs kann man daraus den Amplituden-Frequenzgang der Riemenschwingungen berechnen, wenn man in Ergänzung zu Gl. (4.47) für F0 = 500 N,

e = 1 mm,

R = 50 mm,

F1 =

EAe l

(4.56)

setzt und die Geschwindigkeit v = Ω R und die Dämpfungskonstante d variiert, vgl. Bild 4.26. Für den Konstrukteur kann die Ermittlung dieser Abhängigkeit von der Antriebswinkelgeschwindigkeit Ω , die in diesem Falle gleichzeitig der Erregerkreisfrequenz entspricht, eine große Hilfe sein. Bei der Auslegung von Riemengetrieben läßt sich mit Gl. (4.55) der Einfluß aller beteiligten Parameter auf die Schwingungsamplituden der Biegeschwingungen des Riemens analysieren. q$ / l

q$ in mm 50

0,07

45

0,06

40

1

35 0,05

30

0,04

25

0,03

20

0,02

2 3

15 4

10 0,01 0

5 0 15 0,7

20 0,8

0,9

30 v in m /s

25 1

1,1

1,2

1,3

1,4

35

1,5 v/vkr

Bild 4.26 Abhängigkeit der Amplituden der Riemenschwingungen von der relativen Riemengeschwindigkeit bei Anregung durch eine exzentrische Riemenscheibe Kurve 1: d = 0; Kurve 2: d = 5,5 N · s/m; Kurve 3: d = 6,5 N · s/m; Kurve 4: d = 7,5 N · s/m

270


Die kritische Geschwindigkeit vkr folgt wegen ferr =

Ω v = (2π ) (2π R)

(4.57)

aus Gl. (1) in Tabelle 4.4 aus der Resonanzbedingung (4.52) nach Lösung einer quadratischen Gleichung zu ⎡ ⎤ 2 l EI 1 F ⎣ l ⎦ 4 1 + π2 2 + − vkr = (4.58) 2 A l FO 2π R 2π R Bild 4.26 gibt z. B. einen Einblick in den Einfluß der Vorspannkraft und der Riemengeschwindigkeit auf die Schwingungsamplitude. Man sieht aus Bild 4.26, daß die Amplituden der Riemenschwingungen unterhalb einer gewissen Geschwindigkeit (dies ist die sich aus Gl. (4.58) ergebende Stabilitätsgrenze) gar keine Rolle spielen. Von dieser Geschwindigkeit an steigen sie allerdings sehr stark an. Man kann die Amplituden wesentlich vermindern, indem man die Dämpfung erhöht, denn im kritischen Gebiet der Parameterresonanz hat die Dämpfung einen wesentlichen Einfluß. Interessant ist die Sensibilität dieser Amplituden gegenüber Parameteränderungen. Sie kann dank dieser geschlossenen analytischen Formel einfach ermittelt werden. 4.6.4 Kettengetriebe Kettengetriebe haben bezüglich ihres Schwingungsverhaltens Gemeinsamkeiten mit den Riemengetrieben, da die Ketten transversal und longitudinal schwingen können. Zu den in Abschn. 4.6.1 genannten Schwingungsursachen kommen solche hinzu, die durch die endliche Länge der Kettenglieder bedingt sind. Die Kette ist ein Mehrkörpersystem (MKS), das zudem laufend seine Struktur a¨ ndert. Kettengetriebe sind damit Objekte, die aus theoretischer Sicht ebenso wie die Zahnradgetriebe den mechanischen Systemen mit Unstetigkeiten zuzuordnen sind, deren Theorie z. B. in [24], [119], [262], [309] und [331] behandelt wird. Die unstetige Strukturänderung findet dann statt, wenn sich Kettenglieder, die Kontakt mit den Kettenrädern haben, mit denen der frei hängenden Trume abwechseln. In Bild 4.27a sind die Parameter angegeben, die für ein Kettengetriebe mit zwei Kettenrädern kennzeichnend sind: ϕ 1 (t), ϕ 2 (t) ϕ 1O , ϕ 2O

p z1 , z2 ∆ ϕ 1, ∆ ϕ 2 r1 , r2 l lT lK

Drehwinkel der Kettenräder Einbauwinkel der Kettenräder Gliedlänge eines Kettengliedes Zähnezahlen der Kettenräder Teilungswinkel der Kettenräder Radien der Kettenräder Abstand der Drehachsen der Kettenräder Abstand der Berührungspunkte der Tangente Trumlänge

271


y Kettenrad 1

Kettenglied 1 ξ

Rolle

Kettenrad 2 2

∆ϕ1

r1

p

ϕ1 + ϕ10

∆ϕ2

ψ

r2

ψ

Tangente ϕ2 + ϕ20 x Polygon Tangente

4 3

Normale

l lT

a) vx ∆ϕ 2

vx

vy

v y

r cos π ∆ϕ x + 2 2

b)

v

∆ϕ 2

Tangente

vy

y

r ∆ϕ

ϕ + ϕ0

x

y y j+1 yj

w

p c)

ψ

L

lk

d)

xj

x j+1 x

Bild 4.27 Bezeichnungen an einem Kettengetriebe a) Zwei Kettenräder mit Kette, b) Kettenrad mit aufliegendem Kettenglied c) Kettenrad in beliebiger Stellung, d) Kettentrum zwischen zwei Führungspunkten der Kette

In Bild 4.27a ist angedeutet, daß ein Längenunterschied zwischen der gekrümmten Kettenlinie und der geraden Strecke der Länge lT besteht, die den theoretischen Grenzfall einer straff gespannten Kette darstellt (lk > lT ). Bei unterschiedlichen Radien r1 und r2 wird der Schnittpunkt der Kette (Tangente) mit den beiden Teilkreisen durch den Winkel ψ beschrieben, der sich aus folgenden Gleichungen berechnen läßt: r1 − r2 lT (4.59) ; sin ψ = ; lT = l 2 + (r1 − r2 )2 cos ψ = l l Die Teilungswinkel betragen ∆ϕ j =

2π zj

(4.60)

Mit der Gliedlänge p stehen die Radien, die Teilungswinkel und die Zähnezahlen der Kettenräder in folgendem Zusammenhang ( j = 1, 2): ∆ϕ j π (4.61) = 2r j sin p = 2r j sin 2 zj

272


Die beiden oberen Führungspunkte der Kette liegen auf dem Kreisbogen jedes Kettenrades und haben folgende kartesische Koordinaten, vgl. Bild 4.27a. Es gilt für j = 1, 2: x j = ( j − 1)l + r j cos(ϕ j + ϕ j0 ) y j = r j sin(ϕ j + ϕ j0 )

(4.62)

Diese Formeln gelten in folgenden Winkelbereichen ( j = 1, 2): ∆ϕ j ∆ϕ j < ϕ j + ϕ j0 < π − ψ + (4.63) 2 2 An den Grenzen der durch die genannten Ungleichungen eingeschlossenen Winkelbereiche findet der Wechsel der Kettenglieder statt. Analoge Beziehungen erhält man für alle Führungspunkte in den jeweiligen Winkelbereichen. Die Zeitableitung liefert die Geschwindigkeitskomponenten eines Führungspunktes, vgl. Bild 4.27b und 4.27c: π−ψ −

vx = x˙ j = −r j ϕ˙ j sin(ϕ j + ϕ j0 ) vy = y˙ j = r j ϕ˙ j cos(ϕ j + ϕ j0 )

(4.64)

Schon aus diesem Zusammenhang kann man schließen, daß die Kettengeschwindigkeit abhängig von den Umfangsgeschwindigkeiten der beiden Kettenräder ist. Die Drehgeschwindigkeit ϕ˙ j (t) jedes Kettenrades kann zeitlich veränderlich sein, z. B. beim Anlaufvorgang oder wenn das Kettenrad als Teil des Antriebssystems selbst schwingt, vgl. Abschn. 4.6.2 und [95]. Eine weitere Zeitableitung liefert die Komponenten der Horizontalbeschleunigung ax = x¨ j = −r j ϕ¨ j sin(ϕ j + ϕ j0 ) − r j ϕ˙ 2j cos(ϕ j + ϕ j0 )

(4.65)

und der Vertikalbeschleunigung ay = y¨ j = r j ϕ¨ j cos(ϕ j + ϕ j0 ) − r j ϕ˙ 2j sin(ϕ j + ϕ j0 )

(4.66)

Die Bewegung der vier Führungspunkte stellt die kinematische Erregung der beiden frei hängenden Kettentrume dar. Bei gleich großen Kettenrädern (r1 = r2 = r) ergibt sich aus Gl. (4.59) ψ = π /2, lT = l und wegen ϕ j = Ω t bei konstanter Winkelgeschwindigkeit ϕ˙ 1 = ϕ˙ 2 = Ω = v/r. Der horizontale Abstand der Führungspunkte 1 und 2 (Spannweite) beträgt (4.67) L = x2 − x1 = l + r [cos(Ω t + ϕ 20 ) − cos(Ω t + ϕ 10 )] ϕ ϕ ϕ ϕ 20 10 10 20 sin Ω t + = l − 2r sin − + 2 2 2 2 Er ist ebenso wie der vertikale Abstand (Höhendifferenz) auch von den Einbauwinkeln (ϕ 10 , ϕ 20 ) und dem Drehwinkel abhängig: y2 − y1 = r [sin(Ω t + ϕ 20 ) − sin(Ω t + ϕ 10 )] ϕ ϕ 10 ϕ 10 ϕ 20 20 − cos Ω t + + = 2r sin 2 2 2 2

(4.68)


273

Man kann dem Bild 4.27b und c entnehmen, daß der vertikale Abstand bei horizontal gestraffter Kette zwischen r j und r j cos(∆ ϕ j /2) schwankt, d. h., es kommt eine Schwingungserregung der beiden Kettentrume durch die mit jedem Zahneingriff wechselnde Veränderung der Absolutwege, der Spannweite und der Höhendifferenz zustande (Polygoneffekt). Aus den Gln. (4.67) und (4.68) geht hervor, daß diese relativen Abstände von der Stellung ϕ und den Phasenwinkeln ϕ j0 abhängen. Mit den Phasenwinkeln kann die Intensität der dynamischen Belastung der Kette beeinflußt werden [87]. x r

0

y r 1

sin(∆ϕ /2)

Ω t + ϕ0 − −sin(∆ϕ /2)

π 2

0 vy rΩ

vx rΩ 0

−1 ax rΩ 2

π ∆ϕ 3∆ϕ ∆ϕ 2∆ϕ Ω t + ϕ0 − 2 2 2

sin(∆ϕ /2)

0 −cos(∆ϕ /2)

−sin(∆ϕ /2)

sin(∆ϕ /2) ay

0

rΩ 2

−sin(∆ϕ /2)

a)

cos(∆ϕ /2)

b)

0

−1

−cos(∆ϕ /2)

Bild 4.28 Verläufe von Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Führungspunktes; a) Horizontalkomponenten, b) Vertikalkomponenten

Die aus den Gln. (4.64) bis (4.66) berechenbaren Geschwindigkeiten und Beschleunigungen der Führungspunkte der Kette zeigen an den Bereichsgrenzen Knicke oder Sprünge im Verlauf der Horizontal- und Vertikalkomponenten, d. h., bei vx und ay treten Knicke und bei ax und vy Sprünge auf. Die einzelnen Komponenten schwanken zwischen den in Bild 4.28 angegebenen Extremwerten. Wie bei allen Bewegungen von Starrkörpersystemen nehmen die Amplituden der Geschwindigkeiten linear und die der Beschleunigungen mit dem Quadrat der Winkelgeschwindigkeit ¨ zu. Die unstetige Anderung der Geschwindigkeiten und Beschleunigungen ist um so ausgeprägter, je kleiner die Zähnezahl z eines Kettenrades ist. Kettenräder sind ab z 10 Zähnen handelsüblich, aber in DIN 8195 wird (vor allem wegen dieses Polygoneffekts) empfohlen, Kettenräder mit mindestens 17 Zähnen zu wählen. Die Grunderregerkreifrequenz zΩ ergibt sich aus der Zähnezahl des Kettenrades und der Drehgeschwindigkeit Ω . Die vertikale Verschiebung ist bezüglich des Winkels ϕ = Ω t eine ungerade periodische Funktion, so daß ihre Fourierreihe folgende

274


Form hat, wenn man den Einbauwinkel Null setzt, vgl. Bild 4.27b und c sowie Gl. (4.62) und Gl. (4.63): ∞

y = p ∑ bk sin kzΩ t

(4.69)

k=1

Die Vertikalgeschwindigkeit vy und der Horizontalweg x sind ebenso wie die Horizontalgeschwindigkeit vx und der Vertikalweg y zueinander proportional, vgl. Gl. (4.62) mit Gl. (4.64) und Bild 4.28. Die Verläufe der letztgenannten Größen sind gerade Funktionen, d. h., ihre Fourierreihen besitzen nur Kosinusglieder: ∞ vy x = = ∑ kbk cos kzΩ t p pzΩ k=1

(4.70)

Horizontalgeschwindigkeit und die Vertikalbeschleunigung haben vergleichbare Verläufe: ∞ ay vx = = − ∑ k2 bk sin kzΩ t (4.71) 2 pzΩ p(zΩ ) k=1 Die Fourierkoeffizienten ergeben sich aus dem Integral 1 bk = ∆ϕ

∆ϕ /2

sin ϕ sin kzϕ d ϕ =

0

kz cos kπ sin(∆ ϕ /2) · (kz)2 − 1 ∆ϕ

(4.72)

Die Fourierkoeffizienten für den periodisch veränderlichen Abstand der ¨ Fuhrungspunkte, der für die Schwingungserregung wesentlich ist, kann man aus Gl. (4.62) und (4.63) berechnen, wenn man noch die Einbauwinkel ϕ 1O und ϕ 2O berücksichtigt, d. h., die Amplituden hängen auch von den Einbauwinkeln ϕ jO ab. Der Polygoneffekt hat zur Folge, daß • die Winkelgeschwindigkeit der Kettenräder schwankt, • Erregerfrequenzen mit ganzzahligen Vielfachen der Gliedeingriffsfrequenz entstehen: ferr =

zkΩ 2π

(4.73)

• die Längskraft und die Geschwindigkeit der Kette periodisch veränderlich ist, • parametererregte Schwingungen der Kette entstehen können, • Torsionsschwingungen in der An- und Abtriebswelle des Kettengetriebes erregt werden. Erzwungene und parametererregte Schwingungen werden von [27], [87] und [258] näher untersucht. Es kommt im Grunde genommen darauf an, zu vermeiden, daß erzwungenen Resonanzen bei den verschiedenen Ordnungen der Eigenfrequenzen (i = 1, 2, . . .) ferr = fi oder Parameterresonanzen bei 2 fi ferr = ; k = 1, 2, 3 k

(4.74)

(4.75)


275

zustandekommen, weil dann große Schwingungsausschläge entstehen. Am gefährlichsten ist die Parameterhauptresonanz (mit k = 1), vgl. auch Gl. (4.52). Es gibt mehrere Eigenfrequenzen der Kettengetriebe. Für die Eigenfrequenzen der transversalen Schwingungen einer Kette (Modell der bewegten Saite) gelten zunächst dieselben Formeln wie für Riemen, vgl. Gl. (4) in Tabelle 2.13 und Tabelle 4.4. Für Schwingungen der Kettenlinie gibt es noch weitere Möglichkeiten, da für sie, wie beim Pendel, noch der Schwerkrafteinfluß wesentlich ist (Erdbeschleunigung g). Für die Kettenlinie besteht zwischen Spannweite l, der gestreckten Trumlänge lK und der horizontalen Lagerkraft FH folgender Zusammenhang, vgl. Bild 4.27d: % & Agl Agl 2 2FH 1 sinh · (4.76) =l 1+ lK = Ag 2FH 24 FH Dabei ist die Massebelegung A die Kettenmasse pro Kettenlänge. Bei kleinem relativen Durchhang w/l unterscheidet sich die Horizontalkraft FH kaum von der Längskraft F in der Kette, vgl. Bild 4.27c. Der Maximalwert des Kettendurchhangs ist bei gleich hohen Aufhängepunkten (y j = y j+1 ) bei w/l 1:

Al 2 g (4.77) 8F Die Trumlänge folgt mit Gl. (4.76) und Gl. (4.77) als Funktion des Durchhangs zu:

8 w 2 lK = l 1 + · (4.78) 3 l w=

In jedem Kettentrum entsteht infolge des Eigengewichts eine Horizontalkraft, die man aus Gl. (4.76) und Gl. (4.77) in folgender Form findet: Al 2 g 1 2l FH ≈ F = = Agl (4.79) 8w 4 3lK − 3l Das Kettengetriebe funktioniert nicht einwandfrei, wenn die Zugbelastung durch die¨ se Horizontalkraft einen Mindestwert unterschreitet, weil dann das Uberspringen der Kette u¨ ber einen Zahn möglich ist. Die Kettenkraft F setzt sich aus der Vorspannkraft und einer zeitabhängigen Erregerkraft zusammen, die aus der a¨ ußeren Belastung und dem wechselnden Ein- und Auslaufen der Kettenglieder in die Kettenräder entsteht. Eine Kette ist bereits schwingungsfähig als Starrkörpersystem“, weil sie infol” ge ihres Eigengewichts wie ein Pendel zwischen den Führungspunkten hängt. Für das Berechnungsmodell der dehnbaren Kette (bzw. der Saite mit Durchhang), bei dem außer der Massebelegung A die Längssteifigkeit EA∗ und das Verhältnis von Durchhang zu Spannweite von Bedeutung ist, wurde erstmals in [171] eine Theorie entwickelt, vgl. auch [135], [323]. Demnach hängen die Eigenfrequenzen der symmetrischen Eigenformen von einer Kettenkennzahl“ ” EA∗ 2 ∗ 2 w Alg EA l F · · = · (4.80) κ 2 = 64 8 w 2 F l lK F 1+ · 3 l

276


ab. Mit ihm lassen sich die Eigenwerte λ i aus der transzendenten Frequenzgleichung tan λ = λ − 4

λ3

(4.81) κ2 berechnen, womit sich die Eigenfrequenzen der symmetrischen Eigenformen zu λi F fi = ; i = 1, 2, . . . (4.82) π l A ergeben, also für den ganzen Parameterbereich von der elastischen Saite (κ 2 = 0; λ i = π (i − 1/2) bis zur starren Kette (κ 2 → ∞; λ 1 = 1,430π ; λ 2 = 2,459π ; λ i = (i + 1/4)π ) für i 3. Reale Ketten unterscheiden sich von Riemen und Kabeln, für die diese Formeln auch gelten, dadurch, daß EA∗ in Gl. (4.78) ein Mittelwert der Längssteifigkeit der Kette ist (Federkonstante k = EA∗ /l) und sich aus den Parametern der einzelnen Kettenglieder (Bolzen, Lasche, Kontaktsteifigkeiten u. a.) ergibt, also eine andere Fläche (EA∗ = kl) repräsentiert als die mittlere Massebelegung (A = m/l). 2. symmetrische

5 κ 2 = 16π 2

4 f f1 3 2

2. antimetrische 1. symmetrische

κ 2 = 4π 2

1. antimetrische

U| || V| || |W

Schwingform

1 0 10−2 10−1

1 101 10 2 103 10 4 Kettenkennzahl κ 2

Bild 4.29 Eigenfrequenzen der elastischen Kette bei Querschwingungen ( f1 =

1 2l

F ) A

Die Auswertung dieser Formeln liefert eine Abhängigkeit der ersten vier Eigenfrequenzen, die in Bild 4.29 im Vergleich zur ersten Eigenfrequenz f1 der Saite dargestellt ist, vgl. auch Tabelle 2.13. Man sieht aus den Verläufen, daß im Bereich 10 < κ 2 < 103 sich die Eigenfrequenzen stark a¨ ndern, während sie außerhalb dieses Bereichs fast unabhängig von κ 2 sind. Mit zunehmendem Verhältnis w/l wachsen die Eigenfrequenzen der symmetrischen Eigenformen im Vergleich zu denen der an¨ timetrischen Eigenformen, so daß es zum Uberkreuzen der Kurven, also dem Wechsel der Ordnungen der Eigenfrequenzen kommt. Bei einem relativ großen Durchhang (w/l > 0,1) hat die Längssteifigkeit EA∗ einer Kette auf die Eigenfrequenz nur geringen Einfluß. Da sich die Längskraft F im Leertrum und im Zugtrum sehr unterscheidet, ergibt sich für ein Kettengetriebe ein großer Bereich, in dem die Eigenfrequenzen liegen.


277

In [3] werden einfache Formeln für die ersten vier Eigenfrequenzen der undehnbaren Kette als Funktion des relativen Durchhangs angegeben, von denen f1 und f3 zu antimetrischen und f2 und f4 zu symmetrischen Eigenformen der Kettenlinie gehören: w 2 w 2 g g f1 = 0,353 6 ; f2 = 0,505 6 1 − 3,00 1 − 1,44 w L w L

g g w 2 w 2 f3 = 0,707 1 ; f4 = 0,866 2 1 − 1,30 1 − 0,90 w L w L (4.83) Die Eigenfrequenzen der Schwingformen innerhalb der Kettenebene stimmen bei w/l 1 nahezu mit denen derjenigen Eigenformen u¨ berein, welche bei Schwingungen quer zur Kettenebene auftreten [3]. Infolge der Nichtlinearität kann es zu inneren Resonanzen des Systems und zum Energietransfer zwischen den ebenen und räumlichen Schwingungsformen kommen [335], [258]. Eine vielseitige theoretische und experimentelle Untersuchung der Schwingungen eines Kettengetriebes erfolgte in [331]. Dabei wurden der Eingriffsstoß, die Kettenelastizität und die Kopplung der transversalen und longitudinalen Kettenschwingungen mit den Bewegungen der Kettenräder im Zusammenhang untersucht, und zwar mit dem Berechnungsmodell des Mehrkörpersystems. Es zeigte sich dabei, das manche Aussagen, die mit einfacheren Berechnungsmodellen gewonnen wurden, nicht zutreffen. So wurden z. B. die in Bild 4.28 dargestellten Unstetigkeiten, die sich rein kinematisch im Beschleunigungsverlauf ergeben, experimentell nicht bestätigt. Die Trägheit der Kettenräder führte auch dazu, daß sich die Kettengeschwindigkeit wesentlich weniger a¨ nderte, als es der Polygoneffekt erwarten ließ. Schwingungen ¨ der Kettenräder führten zu einer Anderung der Phasenwinkel an beiden Kettenrädern, so daß die maximale Beschleunigung neunmal kleiner war, als es die kinematische Theorie voraussagte. 4.6.5 Zahnriemengetriebe Ergebnisse u¨ ber grundlegende Untersuchungen zum Betriebsverhalten der Zahnriemengetriebe sind in einzelnen Publikationen (z. B. [95], [255], [329], [353] und die dort genannte Literatur) und in der Monografie [203] zusammengefaßt. Zahnriemengetriebe haben bezüglich ihres Schwingungsverhaltens viele Gemeinsamkeiten mit Kettengetrieben, aber ihre endliche Breite kann zu spezifischen Schwingungsproblemen führen. Die Forschungsarbeiten der vergangenen Jahre konzentrierten sich auf die Lärmminderung, auf ihren Einsatz bei Linearantrieben zum Einsatz bei schnellen Positionierbewegungen, bei Antriebe von Kranen [160] und Steuerantrieben in Verbrennungsmotoren [95]. Das Schwingungsverhalten wird stark von der Zahneingriffsfrequenz bestimmt. In [41] wurde nachgewiesen, daß die Luftverdrängung beim Zahneingriff sowie die durch den Polygoneffekt bestimmten Trumschwingungen das Getriebegeräusch wesentlich bestimmen. Auch die Fertigungs- und Montagetoleranzen, z. B. die Parallelität der Achsen der Zahnriemenscheiben haben einen großen Einfluß auf die Intensität dieser Schwingungen. Allein ein Schräglauf kann die Amplituden der vom

278


Zahnriemengetriebe verursachten Schwingungen um das Zehnfache verändern. Neben dem auch bei Ketten bekannten Polygoneffekt (vgl. Abschn. 4.6.4), der zu einem schwankenden Riemenradius führt, berichtet [95] u¨ ber einen Polygoneffekt zweiter ” Art“, der darin besteht, daß die unterbrochene Riemenauflage ein Aufschlagen des Riemens auf den als nächstes eingreifenden Scheibenzahn bewirkt. Dieser Schlag erfolgt mit hoher Intensität und hat einen größeren negativen Einfluß als die eigentliche Wegerregung. In den Berechnungsmodellen werden die Steifigkeiten der Zahnriemen, der Riemenzähne, die Lückengeometrie der Scheiben, die Rundlaufabweichungen, sowie das belastungsabhängige Teilungsverhältnis zwischen Riemen und Scheibe berücksichtigt [152], [160]. Hier soll nur ein Berechnungsmodell vorgestellt werden, das zur Bestimmung der Zahnkraftverteilung in [255] vorgeschlagen wurde, vgl. Bild 4.30. Es geht von einem Starrkörpermodell der Zahnstange aus und berücksichtigt folgende Parameter des Zahnriemens, zu denen hier exemplarisch Parameterwerte für das in [160] behandelte Beispiel mit angegeben werden, um eine Vorstellung von den Proportionen zu vermitteln: ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 0,27 µ Reibungszahl zwischen Riemengrund und Zahnkopf ⎜kZ ⎟ ⎜115 000 N/m⎟ Federkonstante eines Riemenzahns ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Federkonstante einer Riementeilung ⎜k ⎟ ⎜920 N/m ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ (4.84) p=⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜kG ⎟ ⎜11 000 N/m ⎟ Federkonstante des Riemengrundes ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ Kraft der Andruckrolle ⎝FA ⎠ ⎝250 N 2 140 N

Fan

Lasttrum

pn+1

k Fn+2

δn+2

FZn+2

Antriebskraft

kZ

k

kG FRn+1

k

δn+1

FAn+1 FZ n+1 pZ

Leertrum

pn

k δn

kG

Fn′−1

Zahnstange

FRn kZ

FAn FZn k Z n pZ

Bild 4.30 Berechnungsmodell eines elastischen Zahnriemens im Kontakt mit einer Zahnstange nach [255]

Der Riemen wird durch in Reihe geschaltete gleich steife Einzelfedern mit der Federkonstante k modelliert (pro Teilung also 2k). An den Verbindungspunkten der Federn greifen die Zahnkräfte FZ an. Der Zahnriemen hat im unbelasteten Zustand eine Riementeilung pN und im belasteten Zustand kann sich diese von Riemenzahn zu Riemenzahn a¨ ndern, so daß sie mit pn bezeichnet wird. n ist die Nummer des Riemenzahns. Die Riemenkraft, die erforderlich ist, um die Riementeilung pN auf die Scheibenteilung pS zu strecken, beträgt FN = k(pS − pN ).

4.7 Planetengetriebe

279

Im allgemeinen wird angestrebt, daß unter der Vorspannkraft Fv die Riemen- und Scheibenteilungen u¨ bereinstimmen, also FN = FV ist. Die durch Schub und Biegung verursachte Verformung eines Riemenzahns wird mit der Zahnsteifigkeit kZ beschrieben. Zwischen den Zähnen des Riemens und der Scheiben kann noch ein Spiel δ vorhanden sein und im Riemengrund kann noch eine Reibkraft FR wirken, die u¨ ber die Reibungszahl mit der Anpreßkraft FA gekoppelt ist. Es ist hier nicht der Raum vorhanden, dieses in [255] ausführlich behandelte Modell weiter zu beschreiben, mit dem die Verläufe folgender Kräfte in den Riemen und längs des Scheibenumfangs berechenbar sind: • die Reibkraft am Riemengrund des n-ten Zahns, • die Kraft in den Riemenabschnitten zwischen den Zähnen ( Teilungsausgleichs” kraft“), • die Andruckkraft am n-ten Riemenzahn, • die Flankenkraft an jedem Riemenzahn.

4.7 Planetengetriebe 4.7.1 Allgemeine Problemstellung Für die Entwicklung betriebssicherer Planetengetriebe mit hoher Laufruhe ist es besonders wichtig, schon in frühen Entwicklungsphasen deren dynamische Eigenschaften zu beurteilen. ¨ Planetengetriebe sind dynamisch hoch belastete Getriebe, deren Ubersetzungsverhältnisse im Bereich von 100 bis 200 (in Extremfällen auch mehr als 10 000) pro Stufe liegen. Sie haben gegenüber anderen Zahnradgetrieben solche Vorteile wie höhere Leistungsdichte, kleineres Gewicht, kleineren Bauraum, kleinere Trägheitsmomente und geringere Kosten. Man wendet sie in Antriebssystemen bevorzugt zur Leistungsverzweigung an. Planetengetriebe werden sowohl für langsame (Drehmomente bis zu 107 N · m) als auch für schnelle Bewegungen (Planetenturbogetriebe mit Drehzahlen bis zu 80 000 min−1 ) eingesetzt, aber es gibt auch Mikrogetriebe, deren Durchmesser kleiner als 1 mm beträgt [269]. Berechnungsmodelle für Planetengetriebe als Schwingungssystem gibt es seit den siebziger Jahren des 20. Jahrhunderts, z. B. [114], [257], vgl. auch u¨ bersichtliche Darstellungen in [85], [333, Band 3], [206]. Hinsichtlich der vielfältigen Fachliteratur, die sich mit aktuellen Fragen der Schwingungen von Planetengetrieben befaßt, sei vor allem auf die Dissertationen an der Ruhr-Universität Bochum [293] und der TU Dresden [156] hingewiesen. Die Berechnung von elastischen und schwingungsfähigen Planetengetrieben erfolgt zu Beginn des 21. Jahrhunderts in der Industrie entweder mit allgemeinen FEM- und/oder MKS Programmen oder auch mit spezifischen Programmen, wie z. B. KISSsoft ([185], [186]), SIMPLEX [267] oder ITI -SIM [51]. Darin werden neben den geometrischen Abmessungen und Zähnezahlen die Massen und Drehmassen der Zahnräder, die relativen Einbauwinkel zwischen den Planetenrädern, die veränderlicher Zahnsteifigkeit, alle wesentlichen

280


¨ Verzahnungsparameter (Zähnezahl, Spiel, Eingriffswinkel, Uberdeckungsgrad, Profilüberdeckung, Teilungsfehler), Torsionssteifigkeiten, Lagerelastizität und -dämpfung u. a. berücksichtigt. Es ist für den Berechnungsingenieur nicht mehr nötig, für sein Berechnungsmodell selbst Gleichungen zu formulieren und zu programmieren. Manche Programme können das Schwingungssystem des Planetengetriebes mit den Schwingungssystemen der angrenzenden Bauteile verbinden, also dem umgebenden Lagerungssystem sowie dem Antriebssystem davor (bis zum Motor) und danach bis zur Arbeitsmaschine. Sie ermöglichen damit, die Wechselwirkungen z. B. mit hydraulischen oder elektromechanischen Komponenten zu beurteilen. Manche Programme lassen sich mit CAD-Systemen koppeln, so daß z. B. Daten der Starrkörper und Kennwerte der Maschinenelemente u¨ bergeben werden. Aus den bisherigen Untersuchungen ist bekannt, daß die elastischen Stellen die Koppelstellen der Zahnräder (Verzahnung und Lager) sind, so daß es also auf deren möglichst genaue Modellierung ankommt. Als Hauptursache der Erregung von ” innen“ ist die Parametererregung durch die veränderliche Zahnsteifigkeit bekannt ([40], [59], [85], [124], [184], [221], [223], [257]). Bei benachbarten Planetenrädern ist auch die relative Phasenlage der Zähne von Einfluß [124]. Die Parametererregung hat oft ein breites Erregerspektrum und verursacht vor allem mit ihren höheren Harmonischen Schwingungen im akustischen Bereich. Von den Lagerstellen und den Zahneingriffsstellen ausgehend wird Körperschall innerhalb des Getriebes auf das Gehäuse u¨ bertragen, dessen Schwingungen wiederum Ursache des störenden Lärms sind. Als Schwingungserreger wirken von außen“ die zeitlich veränderlichen Mo” mente der Motoren und der angetriebenen Maschinen. Wesentliche innere Erregerursachen sind die veränderliche Zahnsteifigkeit, fertigungsbedingte Abweichungen von der idealen Zahnflankengeometrie, Rundlauffehler und Verzahnungsschäden (Flankenschäden, Verschleiß, Anrisse). Das Zahnspiel verursacht beim Anlagewechsel Stöße beim Durchlaufen des Spiels, und auch die Unwuchten und die räumliche Taumelbewegung der Zahnräder können Schwingungen erregen. 4.7.2 Bewegungsgleichungen eines einfachen Berechnungsmodells Für die in Bild 4.31 abgebildeten Berechnungsmodelle sollen hier die Bewegungsgleichungen aufgestellt werden, um einige typische Zusammenhänge zu erläutern. Die Bauformen A und B sind Sonderfälle eines gemeinsamen Basismodells“, das ” als Substruktur dafür geeignet ist, auch komplizierte Strukturen mehrstufiger Planetengetriebe zu erfassen [51]. Die Bauformen A und B enthalten beide folgende Parameter: Radien rZ , rT , rP Masse eines Planetenrades mP Trägheitsmomente der Zahnräder und des Stegs JZ , JT , JP Federkonstante des Planetenlagers kL Federkonstante der Verzahnung kZ Die Federkonstanten werden nur in tangentialer Richtung angenommen, vgl. Bild 4.31.


281

Zur Beschreibung der Lage aller Körper des Schwingungssystems werden die Absolutkoordinaten ϕ Z , ϕ T , ϕ P und ϕ L eingeführt, welche die Winkellage von Zentralrad (Z), Steg (T) und Planetenrad (P) gegenüber dem raumfesten Bezugssystem beschreiben. Der Mittelpunkt des Planetenrades hat den radialen Abstand rT vom Ursprung, und der Winkel ϕ L kennzeichnet seine ausgelenkte Lage in tangentialer Richtung, vgl. Bild 4.31. Der Drehwinkel des Planetenrades relativ zum Steg wird durch die Relativkoordinate ψ P ausgedrückt. Der Deformationsweg der Verzahnung entspricht dem Differenzweg sZ zwischen dem Zentralrad Z und dem Planetenrad P. a)

b)

Bild 4.31 Zwei Varianten von Planetengetrieben a) Bauform A, b) Bauform B

Dieses System hat vier Freiheitsgrade, so daß eine beliebige Lage mit den vier im Koordinatenvektor q = (ϕ Z , ϕ T , ϕ P , ϕ L )T angegebenen Absolutwinkeln erfaßt werden kann. Zwei Freiheitsgrade kennzeichnen die kinematische Beweglichkeit und zwei Freiheitsgrade das elastische System. Die relativen Winkel ψ P und ψ Z , die von den oben genannten Absolutwinkeln abhängen, werden zur Erfassung des Zahnfederwegs gebraucht. Falls mehrere Planetenräder vorkommen, so müssen pro Plane-

282


tenrad zwei weitere Koordinaten eingeführt werden. Der Weg, um den die Feder im Planetenlager (Federkonstante kL ) in tangentialer Richtung deformiert wird, beträgt bei beiden Bauformen A und B sL = rT (ϕ L − ϕ T )

(4.85)

Der Verformungsweg an der Verzahnung ist bei der Bauform A, vgl. Bild 4.31a sZ = rZ (ϕ Z − ϕ L ) + rP (ϕ P − ϕ L )

(4.86)

und bei der Bauform B, vgl. Bild 4.31b: sZ = −rZ (ϕ Z − ϕ L ) + rP (ϕ P − ϕ L )

(4.87)

Man kann diese beiden Formeln zu einer einzigen zusammenfassen, wenn man im Fall A beim außen verzahnten Zentralrad rZ positiv, aber im Fall B (Zentralrad innen verzahnt) den Radius rZ negativ ansetzt. Dann gilt für beide Fälle dieselbe Formel, die man mit χ = rT /rZ − 1 auch so ausdrücken kann: sZ = rZ [ϕ Z + χ ϕ P − (1 + χ )ϕ L ]

(4.88)

Man sagt, daß die Varianten A und B derselben Basisstruktur“ entsprechen, weil sie ” mit identischen Gleichungen beschrieben werden können. Die kinetische Energie der beiden Fälle A und B ist die Summe der Rotationsenergien der Zahnräder und des Steges sowie der Translationsenergie des Planetenrades: 2Wkin = JZ ϕ˙ Z2 + JT ϕ˙ T2 + JP ϕ˙ P2 + mP rT2 ϕ˙ L2

(4.89)

In den Federn des Planetenlagers und der Verzahnung wird potentielle Energie gespeichert, die mit den Absolutkoordinaten des Koordinatenvektors q die Form 2Wpot = kL rT2 (ϕ L − ϕ T )2 + kZ rZ2 [ϕ Z + χ ϕ P − (1 + χ )ϕ L )]2

(4.90)

annimmt. Aus der kinetischen Energie folgt die Massenmatrix M = diag(JZ , JT , JP , mP rT2 ) und aus der potentiellen Energie die Steifigkeitsmatrix mit c = ⎤ ⎡ 1 0 χ −(1 + χ ) ⎥ ⎢ 0 c 0 −c ⎥ ⎢ K = kZ rZ2 ⎢ ⎥ ⎣ χ 0 χ2 −(1 + χ )χ ⎦ −(1 + χ ) −c −(1 + χ )χ (1 + χ )2 + c

(4.91) kL rT2 /(kZ rZ2 )

(4.92)

Erfaßt der Erregervektor die a¨ ußeren Momente mit f (t) = (MZ (t), MT (t), 0, 0)T

(4.93)

dann lauten die Bewegungsgleichungen für beide Fälle (identische Basisstruktur) Mq¨ + Kq = f (t)

(4.94)

Ausgangspunkt für die numerische Integration ist dann die Form q¨ = M−1 ( f (t) − Kq)

(4.95)


283

Die Zahnsteifigkeit kZ ist in Wirklichkeit eine veränderliche Größe, da sich beim Abwälzen der Zähne die Hebelarme und damit die Steifigkeit in Richtung der Zahn¨ normalen sowie sich auch die Anzahl der tragenden Zähne (Uberdeckungsgrad) a¨ ndern, vgl. Bild 3.12. Bei einer Schwingungsanalyse kann man zunächst mit dem Mittelwert der Eingriffsfedersteifigkeit die mittleren Eigenfrequenzen und damit die Mittellagen der Resonanzdrehzahlen und Resonanzgebiete berechnet werden. Aus der Theorie folgt, daß der Hauptinstabilitätsbereich der Parametererregung in einem Gebiet um die Frequenzen f = 2 fi /n für kleine ganze Zahlen (n = 1, 2, 3) liegt und daß Kombinationsresonanzen erster Ordnung bei den Frequenzen ( fi + f j )/n (im vorliegenden Fall für i, j = 2, 3, 4, 5) möglich sind, vgl. Abschn. 3.4.1. Meist werden p Planetenräder mit dem Steg um gleiche Teilungswinkel γ = 2π /p gegeneinander versetzt. Unter der Bedingung, daß sowohl das Sonnenrad als auch das Hohlrad eine durch p teilbare Zähnezahl haben, sind die Eingriffsbedingungen an allen Zahnpaarungen identisch. Das hat die negative Folge, daß die Schwankung der Zahnsteifigkeit sich an allen Paarungen summiert. Den pulsierenden periodischen Anteil, der die Intensität der Parametererregung bestimmt, kann man durch die Montagebedingungen (Einbauwinkel am Steg) der p Planetenräder beeinflussen. Die Pulsationstiefe der modalen Steifigkeitsverläufe und deren Spektrum sind von den mitt” leren Eigenformen“ und der Phasenlage der im Eingriff befindlichen Zähne abhängig. Eine Veränderung der relativen Lage der Eingriffszeitpunkte in den Zahnpaarungen kann z. B. mit der konstruktiv eingesetzten Asymmetrie der Einbauwinkel des Stegs erfolgen, vgl. (4.95). Das vorgestellte Basismodell diente nur als einführendes Beispiel. In den modernen Berechnungsprogrammen werden kompliziertere Basismodelle“ als Sub” strukturen verwendet, die z. B. zwei Lagerelastizitäten in der Ebene, die veränderliche Zahnsteifigkeit, Zahnspiel u. a. enthalten. Die Gleichungen für die verschiedenen Bauformen erhält man mit Verwendung vorzeichenbehafteter Achsabstände z. B. nach [223] automatisch. Die Berechnungsmodelle der Planetengetriebe werden dann mit denen der Baugruppen davor (bis zum Motor) und danach (bis zum Modell der angetriebenen Maschine) baukastenartig für das jeweilige Antriebssystem zusammengestellt [51], [302].

4.7.3 Beispiel: Getriebe mit drei Planeten Das Berechnungsmodell eines Planetengetriebes zeigt Bild 4.32. Es besteht aus dem Sonnenrad, drei starr gelagerten Planetenrädern und veränderlichen Zahnfederkonstanten an jeder Paarung Sonnenrad/Planetenrad. Es wurde mit dem Programm ITI SIM analysiert [302]. Es ist zu empfehlen, zunächst zur Orientierung eine modale Analyse des linearisierten ungedämpften Berechnungsmodells vorzunehmen. In Bild 4.33 sind die Eigenschwingformen des Getriebes dargestellt, die sich für die mittleren Zahnsteifigkeiten ergeben. Man erkennt diese Eigenformen, wenn man im Zentrum auf die Stellung der Planetenräder in Bezug auf das Sonnenrad achtet.

284


Bild 4.32 Aufbau des Berechnungsmodells und seine Modellstruktur in ITI -SIM

Die berechneten Eigenfrequenzen und -formen sind: f1 = 0 Hz: f2 = 1237 Hz: f3 = f4 = 1798 Hz: f5 = 2206 Hz:

Starrkörperdrehungen des Gesamtsystems, nicht dargestellt Planetenträger schwingt mit allen Planeten gegen das Sonnenrad Sonnenrad steht, Planeten schwingen dagegen, zwei Varianten Planeten drehen sich gegen das Sonnenrad, Planetenträger steht still

Wegen des symmetrischen Aufbaus sind zwei Eigenfrequenzen gleich groß.

2. Eigenform

3. und 4. Eigenform

5. Eigenform

Bild 4.33 Eigenschwingformen des Planetengetriebes von Bild 4.32

Die Schwingungsanalyse geschieht mit Berücksichtigung einer veränderlichen Federsteifigkeit der Verzahnung am Sonnenrad im Bereich kZ = (0,8 . . . 1,3)·108 N/m.


285

Gibt man ein konstantes Moment am Sonnenrad vor und simuliert einen Hochlauf, zeigen sich für die Normalkraft an den Zähnen des Planetenrades verschiedene Resonanzgebiete, an denen es zu Amplitudenüberhöhungen kommt. Eine FFT u¨ ber den gesamten Bereich des Hochlaufs bringt Aufschluß u¨ ber die Frequenzanteile in den Signalen, vgl. Bild 4.34. Die in Bild 4.34 bemerkbaren Resonanzstellen entsprechen den theoretischen Voraussagen aus Abschn. 4.7.2 und sind in Tabelle 4.5 angegeben.

Bild 4.34 Frequenzspektrum der Zahnnormalkraft am Planetenrad beim Hochlauf

Tabelle 4.5 Kritische Drehzahlen beim Hochlauf des Planetengetriebes Frequenz in Hz 300 550 900 1320 1650 1880 2200 2640 3250 3450 3550

Deutung f2 /4 ≈ f2 /2 f3 /2 ≈ f2 ≈ ( f2 + f3 )/2 ≈ f3 f5 ≈ 2 f2 f2 + f3 f2 + f5 2 f3

Die beim Hochlauf ermittelten Gebiete maximaler Amplituden liegen etwas oberhalb von denen, die sich aus den Eigenfrequenzen ergeben, da kein stationärer Zustand erreicht wird, vgl. Abschn. 5.4.6. Trotzdem lassen sich die Instabilitätsgebiete aber bereits vorhersagen, ohne daß durch eine numerische Simulation die Zeitverläufe der parametererregten Schwingungen berechnet werden.

286


4.7.4 Vergleich von drei Fällen unterschiedlicher Zahneingriffe Zu den Ergebnissen aus Abschn. 4.7.3 muß ergänzend gesagt werden, daß die Intensität der Parametererregung stark vom Einbauwinkel der Planetenräder abhängt, was in manchen PKW-Getrieben von Toyota und Ford beachtet wurde [124]. Um diese Tatsache zu illustrieren werden nun drei Fälle miteinander verglichen: Fall 1: zS = 33, zH = 114, gleiche Teilungswinkel des Stegs 3 mal 20◦ Fall 2: zS = 34, zH = 116, gleiche Teilungswinkel des Stegs 3 mal 120◦ Fall 3: zS = 33, zH = 114, Teilungswinkel des Stegs δ 1 = 122,45◦ ,

δ 2 = 122,45◦ ,

δ 3 = 115,10◦

Im Fall 1 sind die Planetenräder dreifach symmetrisch montiert. Damit greifen alle drei Planetenräder gleichzeitig innen in das Sonnenrad und außen in das Hohlrad ein. Bei dieser einheitlichen Anordnung der Planetenräder, bei der sich die Zähnezahlen zS = 33 und zH = 114 beide durch drei teilen lassen, sind die liegen Zahneingriffe der drei Planetenräder relativ zueinander so, daß ihre Eingriffstiefen in Phase liegen. Die minimalen und maximalen Steifigkeitswerte werden dann an allen drei Stellen synchron durchlaufen. Im Fall 2 ist zwar die dreifache Symmetrie des Steges vorhanden, aber bei den Zähnezahlen zS = 34 und zH = 116, die bei gleichen Teilungswinkeln von 120◦ auch die Montierbarkeitsbedingung (4.88) erfüllen, sind die Zähne der Planetenräder nicht in derselben Phase im Eingriff. Im Gegensatz zu Fall 1 haben die drei Planetenräder keinen synchronen Steifigkeitsverlauf ihrer Verzahnung gegenüber dem Sonnenrad und dem Hohlrad. Es ist wegen der veränderten Parametererregung deshalb ein anderes Schwingungsverhalten als im Fall 1 zu erwarten. Im Fall 3 werden mit denselben Zähnezahlen wie im Fall 1 die Stege nicht dreifach symmetrisch angeordnet. Man kann bei den Teilungswinkeln des Steges allerdings nur solche vorsehen, bei denen die Montage der Planetenräder möglich ist. Die Zähne dürfen nicht miteinander kollidieren. Es sind dabei nur solche Teilungswinkel δ i möglich, die ganzzahlige Vielfache Ni des minimalen Teilungswinkels [226] von δ min = 360◦ /(zS + zH )

(4.96)

sind. Jeder der p = 3 Teilungswinkel muß also, damit die Zahnräder u¨ berhaupt eingebaut werden können, die Bedingung δ i = Ni δ min erfüllen, sonst ist das Planetengetriebe nicht montierbar [184], [223], [226]. Bei zS = 33 Zähnen am Sonnenrad und zH = 114 am Hohlrad ergibt sich ein minimaler Teilungswinkel von δ min = 360◦ /(33 + 114) = 2,449◦ . Wenn die Planetenträger also nicht mit drei gleichen Winkeln (jeweils N = 49) von 120◦ , sondern mit den oben bei Fall 3 angegebenen Einbauwinkeln versetzt werden, bei denen N1 = N2 = 50 und N3 = 47 ist, kann man die tangentiale Steifigkeit am Sonnenrad spürbar ausgleichen, so daß eine geringere Schwingungserregung zu erwarten ist. Für die drei genannten Fälle wurden Hochläufe mit dem Programm ITI -SIM simuliert. Um die Resonanzüberhöhungen besser den Drehzahlen zuordnen zu können, wurden die Simulationsergebnisse per Ordnungsanalyse ausgewertet. Bild 4.35 zeigt die Ergebnisse.


287

Bild 4.35 Ordnungsanalyse der Normalkräfte am Planetenrad für Fall 1 bis 3

Es besteht folgende Beziehung zwischen der Zahneingriffsfrequenz fEingriff (in Hz), der auf der Ordinate in Bild 4.35 angegebenen Drehzahl nS des Sonnenrades (in U/min) und den Zähnezahlen: ⎞ ⎛ fEingriff =

nS nS ⎜ −zH ⎟ ·⎝ zH ⎠ = 25,6 60 60 1− zS

(4.97)

Die Zähnezahl des Hohlrades erhält wegen der Innenverzahnung ein negatives Vorzeichen, so daß sich für Fall 1 und Fall 3 die angegebene Zahneingriffsfrequenz ergibt. In Bild 4.35 sind die Ordnungsgeraden der periodischen Erregung angedeutet. Die hellen Gebiete sind Instabilitätsgebiete der parametererregten Schwingungen. Man kann erkennen, daß wegen des periodischen Zahneingriffs im Fall 1 die erste bis siebente Erregerordnung Resonanzen bewirken, während in den Fällen 2 und 3 nur die zweite und dritte Ordnung stark hervortreten. Für Fall 1 zeigen sich in Bild 4.35 Resonanzstellen in regelmäßigen Abständen bei ganzzahligen Vielfachen der Frequenzen von etwa 640 Hz, 1130 Hz und 1450 Hz. Sie wurden zum Teil auch mit der FFT-Analyse ermittelt und sind in Tabelle 4.5 genannt und gedeutet. Die bei der Drehzahl des Sonnenrades von 1500 U/min ( fEingriff ≈ 640 Hz) erkennbaren Resonanzstellen entsprechen in den Fällen 1 und 2 sowohl ganzen Vielfachen von f2 /2 ≈ 620 Hz als auch ganzen Vielfachen von f5 /3. Bei etwa 2600 U/min ( fEingriff ≈ 1100 Hz) sind es ganze Vielfache von f5 /2 ≈ 1100 Hz und bei 3200 U/min ( fEingriff ≈ 1400 Hz) solche von ( f2 + f3 )/2. Im Fall 2 gilt wegen der anderen Zähnezahl fEingriff = 26,2nS /60, so daß sich bei derselben Drehzahl des Sonnenrades etwas höhere Erregerfrequenzen ergeben, was auch im Bild 4.35 sichtbar ist, wo den 2100 U/min die Erregerfrequenz von f3 /2 entspricht. Hierbei sind die Planetenräder relativ zueinander so angeordnet, daß die tangentialen Steifigkeiten in Bezug auf das Sonnenrad nicht mehr in Phase liegen. In diesem Fall wird interessanterweise nicht die zweite sondern die dritte und vierte Eigenfrequenz stärker erregt. Die Ursache dafür ist, daß wegen der gezielt veränderten Zähnezahl die veränderliche Zahnsteifigkeit in gewissem Maße ausgeglichen ist. Die

288


Schwingformen, an denen zwei Planetenräder beteiligt sind (also die Eigenformen Nummer 3, 4 und 5) werden intensiver erregt. Im Fall 3 schwankt wegen der durch die veränderten Teilungswinkel verbesserten Eingriffsverhältnisse die tangentiale Steifigkeit bezüglich des Sonnenrades auch wenig. Deshalb sind auch weniger Resonanzgebiete als im Fall 1 und Fall 2 sichtbar. Die dritte und vierte Eigenfrequenz werden stärker erregt. Das Beispiel zeigt, daß die Intensität der Parametererregung (Pulsationstiefe und Spektrum) durch die Phasenlage der Zähne beim Eingriff (also auch durch die Einbauwinkel des Steges) beeinflußbar ist.

4.8 Fahrbewegung eines Regalbediengerätes 4.8.1 Modellbildung Regalbediengeräte sind bezüglich ihrer Schwingungen schon in mehreren Arbeiten untersucht worden, vgl. [13], [60], [295] sowie DIN 15 350 und die Europanorm FEM 9.311. In diesem Abschnitt wird ein einfaches Berechnungsmodell behandelt, welches das dynamische Verhalten eines Regalbediengerätes (RBG) während der Anfahr- und Bremsvorgänge zu erfassen gestattet und auch die Fahrbahnunebenheiten als Schwingungserregung berücksichtigt. Das Berechnungsmodell soll erlauben, • das Antriebsmoment, • die Durchbiegung der Säulenspitze, • den Biegemomentenverlauf in der Säule als Funktion einer gegebenen Erregung zu berechnen, die von den • Antriebs- und Bremsmomenten oder • den Antriebs- und Bremsbewegungen • und den Schienenunebenheiten ausgeht. Das Berechnungsmodell dient vor allem dem Zweck, die dynamische Wechselwirkung des schwingfähigen Tragwerks mit den Parametern der Antriebe, Bremsen und der Fahrwerke zu formulieren. Meßergebnisse hatten gezeigt, daß die wesentlichen Biegeschwingungen in der Grundfrequenz mit der Grundschwingungsform erfolgten und die zweite Eigenschwingung nur sehr kleine Amplituden hatte. Als Berechnungsmodell ist also ein Schwinger mit wenigen Freiheitsgraden ausreichend, vgl. Bild 4.36. Der Parametervektor des Regalbediengeräts umfaßt 14 Einflußgrößen pT = (, A, H, h, E, I, MM, JM , u, r, mB , L, kT m1 )

(4.98)

wozu noch weitere Parameter der Fahrbahn kommen (l, y, ˆ v). Die zur Diskretisierung von Balkenmodellen durch Gl. (2.185) bis Gl. (2.189) genannten Bedingungen werden bei der Reduktion des RBG auf ein System mit wenigen Freiheitsgraden gestellt, vgl. Abschnitt 2.3.5.

289

4.8 Fahrbewegung eines Regalbediengerätes

Hier wird als Reduktionsmethode die Eigenformapproximation, die in Abschnitt 2.6.4 schon beschrieben wurde, in Kombination mit der Berücksichtigung von Einzelmassen gewählt.

A

x( H )

Hubwagen mH

A m1

x1

EI

H

Säule

q2 ⋅ f (ξ)

h

EI H

x( y)

Motor M M , J M Bodentraverse

ϕM

Getriebe u

mB

ϕR

Fahrbahn

ξ

h

Radabstand L

Fahrweg x0

Radradius r 2πx y = y$ sin l x y$

Q0 x0 x0 = q0

kT m0 ψ = q1

x

Schwellenabstand l

a)

b)

Bild 4.36 Regalbediengerät; a) Skizze des Objekts, b) Berechnungsmodell

Die kinetische Energie aller auf die Motorwelle bezogenen Massen und die Masse der Bodentraverse werden durch eine einzige Masse m0 erfaßt, vgl. Bild 4.36. Dahinter steckt die Erfahrung, daß die Eigenfrequenzen des Antriebsstranges (von Motor– Kupplung–Getriebe–Rad-Traverse) etwa eine Zehnerpotenz höher sind als die der biegeweichen Säule, weshalb deren Schwingungen entkoppelt verlaufen. Der Vergleich der kinetischen Energie liefert Wkin =

1 1 1 2 + mB x˙02 = m0 x˙02 JM ϕ˙ M 2 2 2

(4.99)

¨ Wegen der Zwangsbedingung zwischen Motor- und Raddrehwinkel (Ubersetzungsverhältnis u) ϕM = u · ϕR

(4.100)

und der Bedingung des schlupffreien Fahrens x˙0 = r · ϕ˙ R = r ·

ϕ˙ M

u folgt aus Gl. (4.99) die auf den Fahrweg reduzierte Masse m0 = mB +

JM · u2 r2

(4.101)

(4.102)

290


Zunächst wird die Erregerfunktion infolge der Fahrbahnunebenheit formuliert. Bei konstantem Schwellenabstand l wird die Fahrbahn annähernd kosinusförmig durchgebogen, wenn das RBG mit steuerbarer Fahrbewegung x0 (t) darüberfährt, vgl. Bild 4.36a ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ L L x0 − x0 + ⎜ ⎜ 2⎟ 2⎟ y2 = yˆ · sin ⎝2π (4.103) y1 = yˆ · sin ⎝2π ⎠; ⎠ l l da sie sich um den Radstand L voneinander unterscheiden. Der Kippwinkel der Bodentraverse ist dann yˆ π (2x0 + L) π (2x0 − L) y2 − y1 = − sin ψ = sin (4.104) L L l l Zur Vereinheitlichung der Koordinatenbezeichungen wird q0 = x0 und q1 = ψ eingeführt. Nach einer trigonometrischen Umformung gilt also q1 = 2

2π x0 πL yˆ 2π x0 · sin · cos = ψˆ · cos L l l l

(4.105)

Aus dem zeitlichen Verlauf des Fahrweges q0 = x0 (t) folgt (infolge Nachgiebigkeit der Schienen) auch eine Erregung der schwingungsfähigen Säule des RBG infolge q1 (t). Der Kippwinkel q1 ist für L = k · l;

k = 1, 2, 3, . . .

(4.106)

gleich Null, also wenn der Radabstand L das ganzzahlige (k) Vielfache des Schwellenabstandes l ist. Die Fahrbahnunebenheit wirkt also für die Biegeschwingung der Säule dann nicht erregend, wenn die Bedingung (4.106) erfüllt ist, weil dann das ganze RBG nur vertikal auf und nieder bewegt wird und nicht kippt. 4.8.2 Herleitung der Bewegungsgleichungen Nun werden die Ausdrücke für die potentielle und kinetische Energie ermittelt. Dazu wird eine Formfunktion ϕ˜ 1 = f (ξ ) als Näherung für die Grundschwingungsform ϕ 1 der Säule angenommen. Diese Formfunktion wird als Biegelinie infolge einer Streckenlast der kinetostatischen Beschleunigungsverteilung berechnet, die sich ergibt, wenn die Säule wie ein starrer Körper kippt, vgl. die Grundsätze in den Abschnitten 2.3.5 und 2.6.4. Aus der dabei auftretenden, linear vom Säulenfuß zur Säulenspitze ansteigenden Streckenlast gemäß Gl. (2.315) kann man nach bekannten Methoden der Festigkeitslehre die Biegelinie berechnen, auch unter Beachtung einer Einspannfeder mit der Drehfederkonstante kT . Der Ansatz für den Relativweg eines Säulenpunktes (im Abstand ξ vom Säulenfuß), also für die aus Biegung und Drehung an der Einspannstelle folgende Biegelinie lautet w(ξ , t) = f (ξ ) · q2 (t)

(4.107)


291

Es ist u(H) = q2 . Dabei ist q2 der Weg an der Säulenspitze und die dimensionslose Formfunktion, mit dem Abstand ξ ausgedrückt, ist ϕ˜ 1 = f (ξ ) =

ξ 5 − 10H 2 ξ 3 + 20H 3 ξ 2 + 40κH 4 ξ

(11 + 40κ)H 5

Dabei wurde die dimensionslose Größe EI κ= HkT

(4.108)

(4.109)

eingeführt, welche das Verhältnis der Biegesteifigkeit der Säule zur Torsionsfederkonstante kT ausdrückt (die aus der Nachgiebigkeit der Bodentraverse folgt). Bei ideal starrer Bodentraverse ist kT unendlich und κ = 0. Der absolute Weg eines Punktes der Säule (im Abstand ξ ) ist x(ξ , t) = q0 (t) − ξ · q1 (t) + f (ξ )q2 (t)

(4.110)

Der relative Weg der Säulenspitze gegenüber dem Säulenfußpunkt ist w(H) = f (H)q2 = x(H) − q0 + H · q1 vgl. Bild 4.36b. Die potentielle Energie ergibt sich aus der Formänderung des Balkens und der Torsion der Feder zu 1 2 1 EI w d ξ + kT w 2 (0) 2 2 H

Wpot =

(4.111)

0

Dabei bedeutet der Strich die Ableitung nach der Koordinate ξ . Mit dem Einsetzen der aus Gl. (4.107) und (4.108) folgenden Ableitungen w (ξ ) = q2 · f (ξ ) = 5q2

ξ 4 − 6H 2 ξ 2 + 8H 3 ξ + 8κH 4

w (ξ ) = q2 · f (ξ ) = 20q2

(11 + 40κ)H 5 ξ 3 − 3H 2 ξ + 2H 3

(11 + 40κ)H 5

und dem Drehwinkel der Torsionsfeder am Säulenfuß 40q2 κ w (0) = q2 · f (0) = (11 + 40κ)H

(4.112) (4.113)

(4.114)

ergibt sich nach kurzer Rechnung Wpot =

1 EIq22 377,14 + 1600κ 1 · = k22 q22 2 H3 (11 + 40κ)2 2

(4.115)

Damit ist die aus Säulen- und Bodentraverse zusammengefaßte Steifigkeit durch k22 definiert. Die kinetische Energie muß aus den Absolutgeschwindigkeiten berechnet werden. Es gilt: 1 1 1 Ax˙2 d ξ + m1 x˙12 + m0 q˙20 2 2 2 H

Wkin =

0

(4.116)

292


Wegen des aus Gl. (4.105) und Gl. (4.110) bekannten Zusammenhangs für die Wege folgt für die Geschwindigkeiten x˙ = q˙0 − ξ q˙1 + f (ξ )q˙2 = q˙0 (1 − ξ q1,0 ) + f (ξ )q˙2

(4.117)

Dabei wurde berücksichtigt, daß der Kippwinkel q1 von der Fahrbewegung abhängt, vgl. Gl. (4.105). Es gilt also q˙1 =

dq1 dq0 dq1 = = q1,0 · q˙0 dt dq0 dt

(4.118)

Nach dem Einsetzen von x˙ in Gl. (4.116) und anschließender Integration erhält die kinetische Energie die Form 1 1 (m00 −2m01 q1,0 +m11 q21,0 )q˙20 +(m02 −m12 q1,0 )q˙0 q˙2 + m22 q˙22 (4.119) 2 2 Dabei ergeben sich aus einem Koeffizientenvergleich die verallgemeinerten Massen mik mit der Säulenmasse mS und den anderen angegebenen Bedeutungen, vgl. auch die Gleichungen (2.185) bis (2.187). Wkin =

• Gesamtmasse: m00 =

H

A d ξ + m1 + m0 = mS + m1 + m0

(4.120)

0

• Statisches Moment des Starrkörpersystems m01 =

H 0

1 Aξ d ξ + m1 h = mS H + m1 h 2

(4.121)

• Reduzierte Masse des elastischen Systems (mit relativer Hubwagenhöhe ζ = h/H) m02 =

H

A f (ξ ) d ξ + m1 f (h)

0

mS (4,333 3 + 20κ) + m1 ζ ζ 4 − 10ζ 2 + 20ζ + 40κ = 11 + 40κ • Trägheitsmoment des Starrkörpersystems m11 =

H 0

1 Aξ 2 d ξ + m1 h2 = mS H 2 + m1 h2 3

(4.122)

(4.123)

• Statisches Moment des elastischen Systems m12 =

H

Aξ f (ξ ) d ξ + m1 h f (h)

0

=

mS H(3,143+13,333κ) + m1 hζ (ζ 4 −10ζ 2 +20ζ +40κ) 11+40κ

(4.124)

293


•

Drehmasse“ des elastischen Systems ” m22 =

H

A f 2 (ξ ) d ξ + m1 f 2 (h)

(4.125)

0

=

mS (30,49+251,43κ+533,33κ 2) + m1 ζ 2 (ζ 4 −10ζ 2 +20ζ +40κ)2 (11+40κ)2

Die Bewegungsgleichungen ergeben sich aus den Lagrangeschen Gleichungen 2. Art mit der Lagrangefunktion: L = Wkin − Wpot entsprechend der Vorschrift d ∂L ∂L = Qk ; − dt ∂q˙k ∂qk

k = 0, 2

(4.126)

Dabei sind die Qk verallgemeinerte Kräfte, die auf die Koordinaten qk reduziert sind. Die Bewegungsgleichungen folgen mit M00 = m00 − 2m01 q1,0 + m11 q21,0 zu 1 M00 q¨0 + M00,0 q˙20 + (m02 − m12 q1,0 )q¨2 2

= Q0

(4.127)

(m02 − m12 q1,0 )q¨0 + m22 q¨2 − m12 q1,00 q˙20 + k22 q2 = Q2

(4.128)

Es wurde berücksichtigt, daß q1 = q1 (q0 ) und M00,2 = 0 sowie q1,2 = 0 gilt. 4.8.3 ¨ Losung der Bewegungsgleichungen Gl. (4.127) entspricht dem horizontalen Kräftegleichgewicht an der Bodentraverse und Gl. (4.128) dem Momentengleichgewicht am Säulenfußpunkt. Q0 = MM ·

u r

(4.129)

ist das auf den Fahrweg bezogene Motor- bzw. Bremsmoment und das Biegemoment am Säulenfuß ist MB = k22 · q2 · H

(4.130)

Bemerkenswert an den obengenannten Bewegungsgleichungen ist, daß vom Fahrweg q0 abhängige Terme auftreten. Aus Gl. (4.105) folgt: dq1 2π ψˆ 2π q0 =− · sin dq0 l l d 2 q1 2π 2 2π q0 = − ψˆ · cos q1,00 = l l dq20

q1,0 =

(4.131)

294


Die veränderlichen Terme sind also durch die Fahrbahnunebenheit bedingt. Bei ebener Fahrbahn wäre q1 = konst., q1,0 = 0 und die Gleichungen lauteten einfach m00 q¨0 +m02 q¨2

= Q0

(4.132)

m02 q¨0 +m22 q¨2 + k22 q2 = Q2

(4.133)

Man kann die Bewegungen (4.127) und (4.128) auf zweierlei Weise behandeln, je nachdem, ob man die Antriebskraft (oder Bremskraft) Q0 oder den Antriebsweg q0 (t) vorgibt. ˙ gegeben, wären zwei Ist Q0 (t) als Zeitfunktion oder als Antriebskennlinie Q0 (q) gekoppelte, nichtlineare Differentialgleichungen unter vorzugebenden Anfangsbedingungen zu integrieren. Beim Start aus der Ruhelage würden diese z. B. lauten: q0 (0) = 0, q˙0 (0) = 0, q2 (0) = 0, q˙2 (0) = 0

t = 0:

(4.134)

Würde man andererseits den Verlauf der Fahrbewegung q0 (t) vorgeben, würde nur eine einzige lineare Differentialgleichung zu integrieren sein, nämlich m22 q¨2 + k22 q2 = F(t) = −(m02 − m12 q1,0 )q¨0 (t) + m12 q1,00 q˙20 (t)

(4.135)

Diese ist mit Gl. (5.79) a¨ hnlich, d. h., die in Abschn. 5.4.3 getroffenen Aussagen sind hier auch anwendbar. Aus Gl. (4.127) folgt dann der Kraftverlauf Q0 , der diese Antriebsbewegung erzwingt. Das RBG hat entsprechend dieses Modells nur eine einzige Eigenfrequenz. Diese unterscheidet sich allerdings, wie im Abschn. 2.1.2.1 für den allgemeinen Fall bereits erwähnt, während des Stillstandes von derjenigen während des Fahrens. Im Stillstand ist das RGB festgebremst, so daß q0 ≡ 0. Es folgt wegen q˙0 = 0, q¨0 = 0 aus Gl. (4.133) die Eigenfrequenz im Stillstand: 2 ω 1S =

k22 ; m22

f1 =

ω 1S 2π

(4.136)

Beim freien Fahren auf horizontaler Ebene schwingen die Massen des Motors und der Bodentraverse mit, es ist Q0 = 0 und aus den Gleichungen (4.132) und (4.133) ergibt sich die Frequenzdeterminante −m ω 2 −m02 ω 2 00 (4.137) =0 −m02 ω 2 k22 − m22 ω 2 aus welcher neben ω 12 = 0 (Starrkörperbewegung) die mit ω 1S vergleichbare Größe ω 22 =

k22 m00 k22 = m22 m00 m22 − m202

1 2 > ω 1S m202 1− m00 m22

(4.138)

folgt. Die Eigenfrequenz beim Fahren ist also größer als beim Stillstand. Theoretisch betrachtet, ist allerdings die erste Eigenfrequenz auf Null gesunken und die zweite Eigenfrequenz entspricht erst realen Schwingungen, vgl. auch Abschn. 2.3.3. Die Berechnung der Eigenschwingungen auf unebener Fahrbahn erfordert die Lösung der beiden gekoppelten nichtlinearen Differentialgleichungen (4.127) und (4.128), was praktisch nur mit numerischen Methoden möglich ist.


Der Biegemomentverlauf in der Säule kann aus der Streckenlast q(ξ , t) = Ax( ¨ ξ , t) = A q¨0 (1 − ξ q1,0 ) − ξ q1,00 q˙20 + q¨2 f (ξ )

295

(4.139)

berechnet werden. Auch hier ergeben sich infolge der Fahrbahnunebenheit nichtlineare Terme. Der erste Summand folgt aus der Fahrbeschleunigung, der zweite aus der infolge der Fahrbahnunebenheit bedingten Kippschwingung der Säule und der letzte Term erfaßt die aus der Eigenschwingung der Säule stammenden Massenkräfte. 4.8.4 Zahlenbeispiel ¨ In Ubereinstimmung mit den Bezeichnungen in Bild 4.36 ist folgender Parametervektor gegeben: ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 28,34 m H ⎟ ⎜h⎟ ⎜ 1 . . . 26 m ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 8 ⎟ ⎜ EI ⎟ ⎜ 8,366 · 10 N · m ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 8 −1 ⎜ kT ⎟ ⎜7,041 · 10 N · m · rad ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ mS ⎟ ⎜ 6 274 kg ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜m ⎟ ⎜ 3 818 kg ⎟ ⎜ B⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ (4.140) p = ⎜ m1 ⎟ = ⎜ 2 600 kg ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ JM ⎟ ⎜ 0,14 kg · m ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜u⎟ ⎜ 21,08 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ r ⎟ ⎜ 0,2 m ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3,5 m ⎟ ⎜L⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ yˆ ⎠ ⎝ 3 mm l 0,85 m Die Parameter der Fahrbahn (als Teil des Gesamtsystems) wurden mit einbezogen. Die momentane Hubwagenhöhe h wird für die Rechnung zwar als konstant vorausgesetzt (da nicht als zusätzlicher Antrieb modelliert), im Rahmen der folgenden Beispielrechnung soll aber der Einfluß der Hubwagenhöhe auf Frequenz- und Schwingungsverhalten untersucht werden. Tabelle 4.6 Eigenfrequenz in Abhängigkeit von der Hubwagenhöhe h Hubwagenhöhe h in m 1 9 14 26

Eigenfrequenz in Hz, im Stillstand 1,253 1,224 1,143 0,833

Eigenfrequenz in Hz, beim Fahren 1,481 1,544 1,518 1,125

Resonanzfahrgeschwindigkeit in m/s 1,259 1,312 1,291 0,956

296


Die weiteren Untersuchungen betreffen den Hochlauf aus dem Stillstand auf eine vorgegebene Fahrgeschwindigkeit v = 160 m/min = 2,67 m/s. Als Vorgabe wurde eine Hochlaufzeit t0 von ca. 5 s und als Antrieb eine Motorkennlinie nach Gl. (3.70) gewählt. M = 2Mk

s · sk + s2

s2k

(4.141)

vgl. die in Abschn. 3.4.3 eingeführten Bezeichnungen. Dabei ist der Schlupf s=1−

ϕ˙ Ω

(4.142)

und die Leerlaufdrehzahl steht mit der Fahrgeschwindigkeit im Zusammenhang:

Ω =

v·u r

(4.143)

In der Bewegungsgleichung stellt der Antrieb Q0 eine Kraft dar. Diese ergibt sich aus dem Motormoment nach Q0 =

M ·u r

(4.144)

Für einen angenommenen Kippschlupf sk = 0,12 ist ein Kippmoment Mk von ca. 180 N · m nötig, um die angestrebte Hochlaufzeit t0 zu erreichen. Zum Vergleich wird eine Motorkennlinie mit halbem Kippmoment Mk = 90 N · m gegenübergestellt. Für h werden die Varianten mit 9 und 26 m berechnet, d. h. mit Hubwagenposition praktisch an der Säulenspitze und andererseits bei etwa einem Drittel der maximalen Höhe. ¨ Bild 4.37 zeigt im Uberblick Schwingungserscheinungen bei unterschiedlichen Motorkennlinien (konkret: bei verschiedenen Kippmomenten Mk ) sowie bei verschiedenen Hubwagenhöhe h: • Schnelles Hochfahren (durch hohes Kippmoment) bewirkt stärkere Anregung. Die hervorgerufenen Schwingungen klingen schnell ab. • Im Beschleunigungsverlauf ist die Zunahme mit der Erregerfrequenz zu beachten (Wegerregung gleicher Amplitude durch Schienenunebenheit). Dadurch liegen die Beschleunigungsamplituden im stationären (überkritischen) Zustand in der Größenordnung derer bei instationärer Erregung. • Die Absenkung des Hubwagens erhöht die Eigenfrequenz. Im Falle des langsameren Hochfahrens ist das Durchlaufen der Resonanzfrequenz bei unterschiedlichen Fahrgeschwindigkeiten erkennbar. Eine ausgeprägte Resonanz bildet sich allerdings nicht aus. Dazu müßte noch wesentlicher langsamer hochgefahren werden. Es kann festgestellt werden, daß eine Verringerung des Motormoments mit dem Ziel einer weniger starken instationären Anregung des Schwingungssystems nur bedingt Erfolg hat. Da die Resonanzstelle im Erregerfrequenzbereich liegt und beim Hochfahren unbedingt durchfahren wird, führt eine zu langsame Durchfahrt zu erhöhten Schwingungsamplituden.

3

3

2,5

2,5

Horizontalgeschw. in m/s

Horizontalgeschw. in m/s


2 1,5 1 0,5 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8 9 10 t in s

0,02 0 −0,02 −0,04 −0,06 −0,08

2 1,5 1 0,5 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8 9 10 t in s

0

1

2

3

4

5

6

7

8 9 10 t in s

0

1

2

3

4

5

6

7

8 9 10 t in s

0

1

2

3

4

5

6

7

8 9 10 t in s

0,04

0

1

2

3

4

5

6

7

8 9 10 t in s

Relativweg Säulenspitze in m

Relativweg Säulenspitze in m

0,04

297

0,02 0 −0,02 −0,04 −0,06 −0,08

1 0 −1 −2 −3 0

1

2

3

4

5

6

7

8 9 10 t in s

2 1 0 −1 −2 −3

200

200

150

150

100 50

0 −50 −100

a)

Beschl. Säulenspitze in m/s

2

Motormoment in Nm

Motormoment in Nm

Beschl. Säulenspitze in m/s

2

3

2

3

0

1

2

3

4

5

6

7

8 9 10 t in s

100 50

0 −50 −100

b)

Bild 4.37 Rechenergebnisse für die Fahrbewegung eines Regalbediengerätes a) Kippmoment 90 N · m, b) Kippmoment 180 N · m Vollinie: Hubwagenhöhe h = 26 m, gestrichelte Linie: h = 9 m

298


4.9 Irreguläre Belastungen 4.9.1 Querstoß an Fuhrungsbahn ¨ Viele Maschinen oder Baugruppen sind ausgedehnte Körper, die translatorisch angetrieben werden, bei denen aber die Wirkungslinie der Antriebskraft nicht durch den Körperschwerpunkt geht, z. B. Verladebrücken, Brückenkrane, Preßwerkzeuge in Pressen, Schlitten in Werkzeugmaschinen, Kolben in Kolbenmaschinen u. a. Infolge des Abstands der Wirkungslinie der Resultierenden der Antriebskräfte zur Schwerpunktachse dreht ein Moment den Körper um die Schwerpunktachse, insbesondere während der Beschleunigungs- und Bremsetappen. Es treten extreme Belastungen quer zur eigentlichen Bewegungsrichtung auf. Die unerwünschten Bewegungen verursachen bei Kranen Horizontalkräfte auf das Fahrwerk [284], vermindern bei Schlitten in Werkzeugmaschinen die Bearbeitungsgenauigkeit [345] und verursachen bei Kolbenmaschinen die Kolbensekundärbewegung“ ([192], [210], [273]), die für ” den Verschleiß und die Lärmentwicklung verantwortlich ist, vgl. auch Bild 2.12. Es geht hier um ein Minimalmodell für eine Sekundärbewegung, die aus der Sicht der Mechanik durch große Starrkörperbewegungen und kleine dynamische Verformungen an der Kontaktstelle der Einzelkörper charakterisiert ist. Die senkrecht zur Bewegungsrichtung wirkende Querkraft läßt sich in erster Näherung mit einem in Bild 4.38 dargestellten Berechnungsmodell erfassen. Bei der Modellierung wird von der Annahme ausgegangen, daß das Moment den Körper in eine Drehung versetzt, die nach dem Durchlaufen des Spiels zum Anecken führt. Wenn die diagonal gegenüber liegenden Ecken gleichzeitig anstoßen, entsteht an den Kontaktstellen eine Rückstellkraft, die proportional zur Eindringtiefe bzw. zum Drehwinkel des Körpers angenommen wird, d. h., die Verformungen an der Kontaktstelle werden, unabhängig davon, ob sie vom bewegten Körper oder der Führungsbahn stammen, als lineare Feder mit der Federkonstante k modelliert. a)

b)

l

δ 2

F m, J S

L

δ 2

e

ψ

c)

d)

ψ1

k

A M = Fe

ψ1 +∆ψ

A M

M

B

B

S

0=t

0 < t < t1

t = t1

t1 < t < t 2

Bild 4.38 Minimalmodell zur Erfassung dynamischer Querkräfte a) Starrer Körper in elastischer Führungsbahn mit Spiel b) Bewegung in der ersten Etappe vor dem Anecken c) Zeitpunkt des Aufpralls d)Bewegung während des Anstoßens

k

4.9 Irreguläre Belastungen

299

JS ist das Trägheitsmoment des Körpers um den Schwerpunkt und M = F · e das Moment, welches infolge der im senkrechten Abstand e vom Schwerpunkt S angreifenden Kraft F wirkt, vgl. Bild 4.38a. In der ersten Bewegungsetappe vor dem Anecken dreht sich der Körper entsprechend des Drallsatzes gemäß ψ =

1M 2 t ; 2 JS

ψ˙ =

M t JS

(4.145)

Der Drehwinkel ψ1 =

δ

l

1 L + δ2 3 1 2 l

(4.146)

welchen der Körper beim Anstoßen an die Ecken A und B erreicht, ist von der Größe des Spiels δ der Führungsbahn und den Längen l und L abhängig, vgl. Bild 4.38b. Bei kleinem Spiel (δ /l 1) wird dieser Winkel zur Zeit t1 mit der Drehgeschwindigkeit ψ 1 erreicht: JS M (4.147) t1 = 2ψ 1 : ψ˙ 1 = 2ψ 1 M JS Die Drehgeschwindigkeit beim Aufprall stellt eine Anfangsbedingung für die folgende Etappe dar, wobei der Körper in die Führung eindringt, vgl. Bild 4.38d. Die Bewegungsgleichung des Körpers nach dem Anecken lautet bezüglich des Differenzwinkels ∆ ψ : l2 t > t1 : JS ∆ ψ¨ + k ∆ ψ = M 2

(4.148)

Dieser Schwinger“ besitzt während der Schwingung, die er beim Anecken ausführt, ” die Eigenkreisfrequenz k ω =l (4.149) 2JS Die Bewegungsgleichung (4.148) hat in der zweiten Etappe unter den Anfangsbedingungen t = 0: ∆ ψ = 0;

∆ ψ˙ (0) = ψ˙ 1

(4.150)

die Lösung ∆ψ =

ψ1 2M sin[ω (t − t1 )] + 2 {1 − cos[ω (t − t1 )]} ω kl

∆ ψ˙ = ψ 1 cos[ω (t − t1 )] +

2M ω sin[ω (t − t1 )] kl 2

Der Maximalwert tritt dann auf, wenn ∆ ψ˙ = 0 ist und beträgt 2M kl 2 JS ψ 12 ∆ ψ max = 2 1 + 1 + kl 2M 2

(4.151) (4.152)

(4.153)

300


Setzt man noch den Ausdruck für ψ 1 aus Gl. (4.146) und für ψ 1 aus Gl. (4.147) ein, so erhält man die maximale Kraft am Umkehrpunkt des Eindringens: % & 1 2L l 2M 2k δ + δ 3 (4.154) Fmax = k ∆ ψ max = 1+ 1+ 2 l M l 2 l als Funktion der beteiligten Parameter. Dies ist eine für Abschätzungen leicht einsetzbare Formel. Die Stoßkraft beim Kontakt wirkt während einer halben Periodendauer der Schwingung, die dann der Stoßzeit π 2JS =π (4.155) ∆t = ω kl 2 entspricht. Es ist bemerkenswert, daß die maximale Kraft nicht vom Trägheitsmoment JS abhängt, sondern nur von geometrischen Parametern, dem Moment und der Federkonstante. Dies liegt daran, daß hier angenommen wurde, daß das Moment die Aufprallgeschwindigkeit verursacht. Dieses Minimalmodell hat nur eine begrenzte Aussagefähigkeit, da es nur unter folgenden Annahmen behandelt wurde: • symmetrische Startposition und symmetrische Lage des Schwerpunktes im Körper, • symmetrische Lage des Spiels und gleichzeitiges Anecken an beiden Seiten, • Vernachlässigung der Längsbewegung (als Freiheitsgrad) und der Bewegungswiderstände in der ersten Etappe, • konstantes Moment ohne Beziehung zu Exzentrizität und Richtung der Antriebskraft, • Vernachlässigung der Reibung und Dämpfung an der Kontaktstelle, • Vernachlässigung der elastischen Eigenschaften des Körpers, • Nichtbeachtung weiterer Etappen. Die genauere Modellierung der Kontaktvorgänge erfolgte in vielen speziellen Untersuchungen, wovon in [263] eine zusammenfassende Darstellung gegeben wird. In [24] werden Kontakstöße genauer modelliert, wobei Kennwerte aus experimentellen Untersuchungen an Einzelkörpern gewonnen wurden. Bei Kolbenmaschinen [192], [210], [273] und bei Pressen [167] wurden solche Vorgänge theoretisch und experimentell am genauesten modelliert. Bei der numerischen Analyse stört die Unstetigkeit, die bei jedem Aufprallen und bei der Lösung des Kontakts zu berücksichtigen ist. Angenommen, symmetrisch bei |x| = δ /2 sei ein Anschlag mit der Federkonstante k vorhanden, vgl. Bild 4.39. Dann gilt, vgl. Gl. (2.24), Gl. (2.25) und Bild 2.6b. ' 0 für |x| δ /2 F= (4.156) k[x − sign (x)δ /2] für |x| > δ /2 Oft ist die Eindringtiefe im Vergleich zum Spiel klein, so daß die Ungleichung 2x − 1 1 (4.157) δ

4.9 Irreguläre Belastungen

301

erfüllt ist. Man kann näherungsweise Gl. (4.156) unter der Bedingung (4.157) durch einen stetigen Ansatz für eine Federkennlinie ersetzen: x p (4.158) F = α kδ δ

Kraft F / kδ

Dabei ist p ein großer ungerader Exponent (z. B. p = 9), der dafür sorgt, daß ein tieferes Eindringen in die Kontaktstelle nicht möglich ist, weil die stark mit der Eindringtiefe anwachsende Gegenkraft wie eine harte Barriere wirkt, vgl. Bild 4.39.

1

0,06

2

0,04 −0,5

0,02

1 0

2 −0,02

0,2

0,5 Weg x / δ

−0,04 1

−0,06

Bild 4.39 Zur Approximation eines Spielbereichs durch den Ansatz von Gl. (4.158)

Der dimensionslose Zahlenwert von α kann aus der Bedingung bestimmt werden, daß der Näherungsansatz (4.158) bei einer bestimmten Eindringtiefe dieselbe Kraft liefert wie der Ansatz (4.156). Wenn z. B. nach dem Eindringen bei x/δ = 0,51 dieselbe Kraft wie bei dem linearen Ansatz entstehen soll, ergibt sich aus der Bedingung k(x − δ /2) = α δ k(x/δ ) p nach dem Einsetzen 0,02 = α (0,51) p und daraus bei p = 9 der Wert α = 8,568 37. Die Anwendung des Ansatzes (4.158) hat gegenüber Gl. (4.156) den Vorteil, daß keine Nullstellensuche und keine Fallunterscheidung nötig ist. 4.9.2 ¨ Nachlauf nach dem Abschalten (Uberlastsicherung) ¨ Durch Uberlastsicherungen oder Endschalter an Antrieben soll verhindert werden, daß beim unerwarteten Aufprall oder Anstoßen stark beanspruchte Konstruktionsteile beschädigt oder zerstört werden. Je näher Sollbruchstellen an der Krafteinlei¨ tungsstelle liegen, desto kleiner sind die Folgeschäden einer Uberlastung. Ideal wäre ¨ die Unterbrechung der Kraftübertragung an der Stelle, an der die Uberlast entsteht. ¨ Eine spezielle Form des Uberlastungsschutzes sind Kupplungen zwischen Motor und Getriebe, welche die rotierenden Massen des Motors nach einem Signal (Notstopp) von der Last trennen. Damit kann der Abtrieb schneller abgebremst werden, als wenn er mit dem Motor gekoppelt bliebe.

302


¨ Bei Uberlastsicherungen wird meist eine Kraftgröße (Kraft, Moment, Dehnung) ¨ gemessen und mit einem Sollwert verglichen, bei dessen Uberschreitung der Motor abgeschaltet und gleichzeitig gebremst wird. Infolge der Trägheit der bewegten ¨ Massen ist nach dem Abschalten durch die Uberlastsicherung aber kein sofortiger Stillstand zu erwarten, es gibt einen Nachlauf des Antriebs. Von der Erteilung des Schaltbefehls bis zum Stromloswerden des Antriebsmotors vergeht eine kurze Zeitspanne, und vor dem Einfallen der Bremse gibt der Motor noch sein volles Antriebsmoment ab. Der eigentliche Bremsvorgang beginnt erst eine gewisse Zeit ∆t nach dem Erreichen des eingestellten Grenzwertes der Signalkraft. Es soll die extreme Belastung berechnet werden, die bei diesem Vorgang auftritt. m t FS zul wird die Uberlastsicherung ¨ bei großen Seilkräften spielsweise FS < 1,25mg bleibt, muß die Uberlastsicherung bereits bei kleinem Seilkraftanstieg F˙S ansprechen, während sie bei kleinen Werten von FS erst bei großem Seilkraftanstieg F˙S zu reagieren braucht. In [286] werden die Belastungen von Antriebssträngen der Seiltriebe und Bremssysteme bei Hubwerken berechnet, bei denen besonders hohe sicherheitstechnische Anforderungen bestehen.

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

5.1 Regeln zur dynamischen Synthese 5.1.1 Zur Struktursynthese Oft ist es wesentlich, bei der Konzeption eines Antriebssystems von Anfang an ein strukturell günstiges Funktionsprinzip zu finden und die richtige Auswahl unter mehreren geeigneten Baugruppen zu treffen, vgl. dazu Abschn. 5.7. Es sei in diesem Zusammenhang auch erwähnt, daß häufig die wesentlichen konstruktiven Kennzeichen einer antriebstechnischen Lösung durch Patente geschützt sind. So stecken z. B. in der konstruktiven Lösung für schaltbare Kupplungen im Antriebsstrang eines PKW, eines Hybridantriebs oder eines stufenlos verstellbaren Getriebes jeweils hunderte von Patenten! Man kann eigentlich erfinderische Ideen, die definitionsgemäß jedes Patent enthalten muß, nicht ausrechnen“. Oft kann man aber durch die Modellbe” rechnungen die sinnvollen Parametergrenzen des jeweiligen Funktionsprinzips ermitteln und daraufhin sich zu neuen Lösungen inspirieren lassen. Die dynamische Belastung eines Maschinenantriebs setzt sich u¨ blicherweise aus drei Anteilen zusammen: • den zeitlich veränderlichen technologischen Belastungen, • den kinetostatischen Belastungen aus den Starrkörperbewegungen ( Primärbe” wegung“) und den • vibrodynamischen Belastungen aus den Schwingungen der Struktur ( Se” kundärbewegung“). Die klassische Maschinendynamik liefert mit ihren traditionellen Methoden Antworten auf die Frage, wie sich eine gegebene mechanische Struktur bei gegebener Erregung verhält. Bei der Neukonstruktion von Antrieben taucht aber auch die Frage auf, welche Struktur man nehmen soll, die neben den technologischen Anforderungen möglichst lange hohen dynamischen Belastungen standhält. Wird ein Antrieb nicht aus dem Nichts“ geschaffen, sondern eine bereits vorliegende Konstruk” tion vervollkommnet oder neuen Anforderungen angepaßt, dann steht auch die Frage nach einem dynamisch günstigen Verhalten in dem neuen Parameterbereich. Die unerschöpfliche Vielfalt der in der Praxis auftauchenden Aufgabenstellungen kann man auf eine endliche Anzahl von Grundproblemen reduzieren, die sich hinter den scheinbar verschiedenen Aufgaben verbergen. Es gibt vom physikalischen Standpunkt aus betrachtet bestimmte dynamische Effekte und Phänomene, die gewissermaßen nur in verschiedenen konstruktiven Formen ausgenutzt werden.

Bewegliches Gestell m6

Feder-Masse- r Ausgleich

5

m3

Federausgleich

6

r

Ωt

r

r

Ωt

Ωt

Ωt

m3

m

k

m

m

r

α

k

Ωt

k6

k6 τ 1 vermieden werden. 5.4.4 Rechtecksprunge ¨ und Restschwingungen Bei Anfahr- und Bremsvorgängen und manchen technologischen Belastungen kann eine Folge von Momentensprüngen auftreten, deren Größe und zeitliche Reihenfolge vom Konstrukteur in gewissen Grenzen beeinflußt werden kann. Die dynamischen Beanspruchungen im Antriebssystem sind bei mehreren aufeinanderfolgen-

348


den Momentensprüngen von dieser Schaltfolge abhängig. So hat z. B. die zeitliche Reihenfolge der Schaltstufen von Asynchronmotoren auf die Beanspruchungen im Antrieb einer Maschine einen wesentlichen Einfluß. Bei mehrstufigen Bremsen besteht die Frage, wie Größe und Reihenfolge der Bremsmomente zu wählen sind, um trotz schnellen Verzögerns nur geringe Schwingungsbeanspruchungen hervorzurufen. Es geht z. B. um solche Fragen wie: Ist es bei mehrstufiger Bremsung günstig, erst ein großes und danach ein kleines Bremsmoment wirken zu lassen oder ist die umgekehrte Reihenfolge besser, um kleinere dynamische Belastungen zu verursachen? Wie viele Bremsstufen in welcher Höhe und und in welcher zeitlichen Folge rufen die kleinsten Beanspruchungen hervor? Derartige Fragestellungen wurden auch in [13], [284] und [295] behandelt. Im folgenden wird eine Methode beschrieben, die es erlaubt, für eine Folge von Kraft- oder Momentensprüngen die dynamischen Beanspruchungen zu berechnen. Als Berechnungsmodell wird das Minimalmodell eines schwingungsfähigen Antriebssystems gemäß Bild 5.16a gewählt, bei dem im Unterschied zu Abschn. 5.4.3.1 Drehwinkel als Koordinaten benutzt werden, aber entsprechend den Angaben in Tabelle 5.6 sind die Ergebnisse auf vergleichbare Modelle u¨ bertragbar. M

∆M 2 = M 2 − M1

M2 ∆M 3 = M 3 − M 2

M1 τ1 = 0

τ2

τ 3 Zeit τ = ωt

¨ Bild 5.21 Kennzeichnung der Schaltfolge mit Ahnlichkeitskenngr¨ oßen von Gl. (5.117)

Die Bewegungsgleichungen des in Bild 5.16a dargestellten Torsionsschwingers lauten für die beiden Drehwinkel ϕ 1 und ϕ 2 analog zu Gl. (5.78): J1 ϕ¨ 1 + kT (ϕ 1 − ϕ 2 ) = Man (t)

(5.112)

J2 ϕ¨ 2 − kT (ϕ 1 − ϕ 2 ) = 0

(5.113)

Aus ihnen folgt eine Differentialgleichung für das Torsionsmoment TT = kT (ϕ 1 − ϕ 2 )

(5.114)

das zwischen den beiden Scheiben wirkt und als Maß für die innere Beanspruchung angesehen wird, vgl. Gl. (5.102): kT T¨T + ω 02 TT = Man (t) J1 Dabei ist ω0 =

kT (J1 + J2 ) J1 J2

(5.115)

(5.116)

349

5.4 Optimale Bewegungsabläufe

die Eigenkreisfrequenz. Im weiteren wird ein zeitlicher Antriebsmomentenverlauf Man (t) untersucht, der aus einer Folge von Sprungfunktionen ( Momentensprüngen“) ” besteht, vgl. Bild 5.21. Die Schaltzeiten, zu denen sich das Erregermoment M(t) unstetig a¨ ndert, werden mit ti (i = 1, 2, . . . , n) bezeichnet. Es ist zweckmäßig, folgende dimensionslose Größen zu benutzen: Man (τ i ) J2 Man (τ i ) TT = , τ = ω 0t, T = (5.117) Mi = (J1 + J2 )kT kT J1 ω 02 ¨ Dabei sind die Mi Ahnlichkeitskenngr¨ oßen der Momentensprünge zum Zeitpunkt τ i + 0. Die Ableitungen nach der bezogenen Zeit τ werden durch einen Strich gekennzeichnet. Damit erhält Gl. (5.115) die Form T + T = Mi = konst.,

für τ i < τ < τ i+1

(5.118)

Die hier betrachtete Momentenfolge besteht aus insgesamt n Sprungfunktionen des Erregermoments (Antriebsmoment oder Bremsmoment), die jeweils zu den bezogenen Schaltzeiten τ i = ω 0ti beginnen. Die nach der Endzeit τ n auftretenden Schwingungen werden als Restschwingungen bezeichnet. Die Schwingungen während der Zwischenzeiten τ i < τ < τ i+1 und die Restschwingungen sollen nun berechnet werden. Wirkt ab der Zeit τ 1 das bezogene Erregermoment M1 , wobei zu Beginn sich das System in der statischen Ruhelage befindet, dann folgt der Zeitverlauf des bezogenen Torsionsmomentes zu T1 (τ ) = M (1 − cos(τ − τ 1 ))

für τ τ 1

(5.119)

Zur Zeit τ 2 wirkt der zweite Sprung. Das bezogene Torsionsmoment beträgt T2 (τ ) = M1 (1 − cos(τ − τ 1 )) + (M2 − M1 ) (1 − cos(τ − τ 2 )) , τ τ 2 (5.120) Diese Gleichung kann auch in folgender Form angegeben werden: T2 (τ ) = M2 − M1 cos(τ − τ 1 ) − (M2 − M1 ) · cos(τ − τ 2 )

(5.121)

Sie gilt während der zweiten Etappe, d. h. im Bereich τ 1 < τ < τ 2 . Auf die Darstellung der analog verlaufenden weiteren Rechenschritte bei weiteren Etappen wird verzichtet. Es entsteht schließlich folgendes Ergebnis für das Restmoment nach dem n-ten Momentensprung (Mn = konst): n

Tn (τ ) = Mn − ∑ ∆Mi · cos(τ − τ i ) i=1

= Mn −

n

∑ ∆Mi · cos τ i

(5.122)

cos τ −

i=1

n

∑ ∆Mi · sin τ i

sin τ , τ τ n

i=1

Dabei wurde zur Abkürzung die Differenz der bezogenen Erregermomente (M0 = 0) ∆Mi = Mi − Mi−1 ,

i = 1, 2, . . . , n

(5.123)

eingeführt. Nach kurzen Umformungen unter Benutzung von Additionstheoremen für die trigonometrischen Funktionen kann man die Summe in Gl. (5.122) auch mit dem Phasenwinkel β n und der Amplitude des Restmomentes Tˆn folgendermaßen ausdrücken: für τ > τ n (5.124) Tn (τ ) = Mn − Tˆn cos(τ − β n )

350


Dabei gilt für den Phasenwinkel

n

∑ ∆Mi · sin τ i

i=1

sin β n =

Tˆn

,

n

∑ ∆Mi · cos τ i

i=1

cos β n =

(5.125)

Tˆn

und für die Momentenamplitude . 2 2 / n / n 0 ˆ Tn = ∑ ∆Mi · cos τ i + ∑ ∆Mi · sin τ i i=1

(5.126)

i=1

Es ist zu beachten, daß Mn der letzte Wert des Erregermoments für τ > τ n ist. Dies ist ein statisches Endmoment, das auch den Wert Null haben kann. Das maximale Torsionsmoment der Restschwingung folgt aus Gl. (5.127) zu: Tmax = Mn + Tˆn

(5.127) M1 + ∆M 2 (1− cos(τ − τ 2 ))

M, T

T (τ )

∆M i sin τ i

T$2

∆M 2

M2

T$1 ∆M 2 τ 2 − 2π

T$2

M1

β 2 ∆M1 ∆M i cos τ i

a)

∆M1 (1− cos τ )

∆M1

0

4π

6π

τ

M, T T$2

3

∑ ∆M i cos τ i

i=1

∑ ∆Mi sin τ i $β 2 ∆M 1 T i=1

M2

3

−∆M 3 τ 3 − 2π

c)

τ2

b) ∆M i sin τ i

3

2π

τ2

∆M i cos τ i M1 M3 ∆M 2 ∆M1

T (τ )

∆M 2

T$1

0

∆M 3

τ 2 2π

τ 3 4π

d)

Bild 5.22 Beziehung zwischen Zeigerdiagramm und Momentenverlauf a) Zeigerdiagramm, b) Zeitverlauf

T$3

6π

τ


351

Von besonderem Interesse ist die Amplitude Tˆn der Restschwingung, da sie nach dem letzten Sprung die Größe der Schwingungsbelastung bestimmt. Die Gl. (5.126) besitzt eine besondere mathematische Form, die sich geometrisch interpretieren läßt. Für die Momentenverläufe und den Maximalwert kann ein einfaches grafisches Verfahren zur Veranschaulichung angegeben werden. Die einzelnen Summanden in Gl. (5.126) werden maßstabsgerecht als Pfeile in einem Zeigerdiagramm eingetragen und vektoriell addiert, vgl. Bild 5.22. Dabei sind die Momentendifferenzen proportional den Längen der Pfeile, und die Zeitpunkte werden als Winkel τ i zur horizontalen Achse eingetragen. Bei den Momentendifferenzen ∆Mi sind die Vorzeichen zu beachten. Die Winkel sind beliebig, aber stets im Uhrzeigersinn positiv einzutragen. (Es gibt keine Sprünge zu negativen Zeiten.) Es kann bei τ 1 = 0 begonnen werden. Bei der Auslegung von Antrieben kann eine Aufgabe darin bestehen, für einen Anfahr-, Beschleunigungs-, Verzögerungs- oder Bremsvorgang eine optimale Aufteilung in einzelne Schaltzeiten und Momente vorzunehmen. Als Kriterium für die Optimierung kann gefordert werden, daß die Amplitude des Restmomentes, die sich aus Gl. (5.126) bzw. Gl. (5.127) ergibt, zu Null wird: Tˆn = 0

(5.128)

Bei vorgegebenen Werten für die Anzahl der Schaltungen n sind also sowohl die ∆Mi als auch die τ i zu bestimmen. Fordert man, daß auch während des Anfahrvorganges in jeder Etappe die Amplitude des Torsionsmomentes minimal ist, so gilt noch die Bedingung für jedes i < n: Tî = Min!

(5.129) T$2 = 0

2 M1

∆M 2 = M1

T1 M1

τ2 = π

∆M1 = M1

∆M 2 ∆M1

a)

∆M i cos τ i

τ1 = 0

τ2 = π

3π τ

2π

b) T1 = M1 (1− cos τ)

−M1 ∆M1

c)

∆M i cos τ i

∆M 2 =−M1

M1

τ 2 = 2π

d)

τ1 = 0

∆M1 = M1

T$2 = 0

π

3π τ τ 2 = 2π dimensionslose Zeit

Bild 5.23 Zeigerdiagramm und Momentenverlauf für n = 2 a) Zeigerdiagramm mit zwei Vektoren, b) Interpretation als M2 = 2M1 , τ 2 = τ 1 + (2k − 1)π , c) Interpretation als M2 = 0, τ 2 = τ 1 + 2kπ

352


Das Zeigerdiagramm gestattet, auf einfache und u¨ bersichtliche Weise die in Frage kommenden optimalen Werte zu finden. Es seien hier einige Sonderfälle vorgestellt, um die Handhabung der Zeigerdiagramme zu erläutern. Für n = 2 gibt es nur eine optimale Variante im Zeigerdiagramm, die jedoch vier verschiedene Interpretationen zuläßt, vgl. Bild 5.23. Wirken beide Momente antreibend (∆Mi > 0), gilt Bild 5.23b. Ist der zweite Momentensprung negativ, so trifft Bild 5.23c zu, weil das negative ∆Mi für τ i auch im Zeigerdiagramm negativ eingetragen ist. Die Zeitverläufe in Bild 5.23, die den Gln. (5.122) und (5.124) für n = 2 entsprechen, zeigen, daß nach Beendigung des Schaltvorganges für τ > τ 2 ein völliges Auslöschen der Restschwingung möglich ist. Nun wird der Fall n = 3 betrachtet. Im Zeigerdiagramm schließen sich die Dreiecke, wenn Gl. (5.128) für n = 3 erfüllt ist. Dann folgen die Bedingungen für das Verschwinden der Restschwingung aus Gl. (5.126): ∆M1 cos τ 1 + ∆M2 cos τ 2 + ∆M3 cos τ 3 = 0

(5.130)

∆M1 sin τ 1 + ∆M2 sin τ 2 + ∆M3 sin τ 3 = 0

(5.131)

∆M i sin τ i

T$3 = 0

T M3

T2 ∆M 3 Restschwingung 4π ausgelöscht τ3 = ∆M 2 3 T 3 = M 3 = konst. ∆M 2 2π τ2 = ∆M1 T1 3 τ 2π 4π ∆M 3 ∆M1 ∆M i cos τ i 3 3 a)

Restschwingung T T$ = M 3 ∆M i sin τ i

T2 M3

∆M 3

T1 ∆M 2

T$3

∆M1 ∆M1 ∆M 2 ∆M 3 ∆M i cos τ i 0 τ1 b)

2π τ2

4π τ3

6π τ4

τ

Bild 5.24 Zeigerdiagramme und Momentenverläufe bei unterschiedlichen Schaltfolgen bei drei Momentensprüngen a) verschwindende Restschwingung, b) maximale Restschwingung


353

Diese beiden Bedingungen enthalten 5 konstruktiv beeinflußbare Parameter (∆M1 , ∆M2 , ∆M3 , τ 2 , τ 3 ), so daß es viele Möglichkeiten gibt, sie zu erfüllen. Wie groß die Unterschiede sein können, wenn die Schaltzeiten günstig oder ungünstig gewählt werden, illustriert Bild 5.24. Dort wird das selbe Endmoment M3 auf verschiedene Weise mit den selben gleich großen Momentensprüngen ∆Mi = M3 /3 erreicht. Im Fall a treten keine Restschwingungen auf, obwohl der Endzeitpunkt schneller erreicht wird als im Fall b. Im Fall b treten extrem große Schwingungen auf, die so groß sind, als ob anfangs ein einziger großer Sprung erfolgt wäre. Bei n Momentensprüngen verschwindet die Restschwingung, wenn das Zeigerdiagramm ein geschlossenes Polygon (n-Eck) ist, dessen eine Spitze im Koordinatenursprung liegt. Analytisch entspricht dies den Kompensations“-Bedingungen, ” vgl. Gl. (5.126) n

n

∑ ∆Mi cos τ i = 0,

∑ ∆Mi sin τ i = 0

i=1

(5.132)

i=1

Sind die Momentensprünge alle gleich groß, so stellt das Zeigerdiagramm ein regelmäßiges n-Eck dar. Dann vereinfacht sich Gl. (5.132) zu folgenden zwei Kompensationsbedingungen, in denen nur noch die bezogenen Schaltzeiten τ i vorkommen: n

∑ cos τ i = 0,

i=1

n

∑ sin τ i = 0

(5.133)

i=1

Die hergeleiteten Kompensationsbedingungen können nicht nur zur Analyse, sondern auch zur Synthese von Momentenverläufen genutzt werden, wenn die wesentliche Eigenfrequenz eines Antriebssystems bekannt ist. In [65] und [284] wurden analoge Bedingungen für eine Impulsfolge betrachtet. Zur Ermittlung einer dynamisch günstigen Schaltfolge kann das vorgestellte Herangehen auch für beliebige Erregerfunktionen angegeben werden, vgl. auch [197]. Die hier für einen Torsionsschwinger dargestellten Formeln können nicht nur auf die in Bild 5.16 dargestellten Schwinger mit einem Freiheitsgrad, sondern auf alle linearen Schwinger mit beliebig vielen Freiheitsgraden u¨ bertragen werden, indem diese in ihre modalen Schwinger zerlegt“ werden. Dann muß die Superposition der ” wesentlichen Eigenschwingungen beachtet und eine Kompromißlösung für die Kompensation der verschiedenen Eigenschwingungen gesucht werden. Im Grunde genommen wurde in diesem Abschnitt für einen Spezialfall das phasengerechte Abfangen von vorhandenen Schwingungen beschrieben, was dadurch möglich ist, daß zusätzlich Schwingungen im richtigen Augenblick so angestoßen werden, daß sie die bisherigen Schwingungen kompensieren. Dies nutzen z. B. Kranfahrer aus, die den Motor und die Bremse gezielt so beschleunigen und verzögern, daß sich das unvermeidliche Lastpendeln beruhigt, vgl. auch [13]. Die stets vorhandene Dämpfung kann insbesondere bei großem Phasenwinkel von wesentlichem Einfluß sein, so daß er dann berücksichtigt werden muß. Der Grundgedanke des phasengerechten Abfangens läßt sich auf viele andere Schwingungsvorgänge sinngemäß u¨ bertragen. So könnte man z. B. mit Einsatz eines Sensors die momentane Phasenlage der störenden Schwingung ermitteln und durch einen Aktor einen gezielten wohldosierten“ Sprung (oder Impuls) entgegensetzen. ”

354


5.4.5 ¨ Stoße und deren Kompensation 5.4.5.1 Einzelstoß In vielen Maschinenantrieben entstehen kurzzeitige Belastungen, sowohl von Seiten des Antriebs als auch am Abtriebsglied infolge technologisch bedingter Vorgänge (Hammerschlag, Preßstoß). Kurzzeitige Krafteinwirkungen, die als Stoß bezeichnet werden, kann man nicht einfach bezüglich ihrer Dauer in Sekunden oder Millisekunden definieren. Unter Stoß wird ein Kraftverlauf verstanden, dessen Wirkungsdauer klein im Verhältnis zur Periodendauer der angeregten Schwingungen ist (tS T ). Der Extremfall ist der Stoßimpuls des Dirac-Stoßes, der durch I = lim

+t S /2

tS →0 −tS /2

F(t) dt = mv0

(5.134)

beschrieben werden kann. Lineare Schwingungssysteme mit vielen Freiheitsgraden können als eine Superposition vieler modaler Schwinger aufgefaßt werden [70], [150]. Hier wird nur ein einziger modaler Schwinger betrachtet, aus dessen Verhalten sich Schlußfolgerungen für Systeme mit vielen Freiheitsgraden ziehen lassen. Ausgangspunkt ist die Bewegungsgleichung (vgl. auch (5.199), (5.220) und deren Lösung) mq¨ + d q˙ + kq = F(t)

(5.135)

Dabei sind m, d, k und F die auf eine Eigenform bezogene modale Masse, Dämpferkonstante, Federkonstante und Erregerkraft. Mit der Eigenkreisfrequenz ω 0 des ungedämpften Schwingers, dem Dämpfungsgrad D und den anderen Abkürzungen wird weiter gerechnet: ω 02 = k/m;

2Dω 0 = d/m;

ω 2 = ω 02 (1−D2 );

a(t) = F(t)/m(5.136)

Damit lautet die Bewegungsgleichung des modalen Schwingers q¨ + 2Dω 0 q˙ + ω 02 q = a(t)

(5.137)

Wird der Schwinger bei den Anfangsbedingungen t = 0:

q(0) = 0, q(0) ˙ = I/m

(5.138)

durch einen Stoßimpuls (5.134) erregt, so verläuft der Schwingweg gemäß mω q(t) = I exp(−Dω 0t) sin ω t

(5.139)

Daraus können Geschwindigkeit, Beschleunigung und weitere interessierende Größen berechnet werden. 5.4.5.2 ¨ Mehrere Stoße Bei mehreren Stößen nacheinander, bei denen Schwingungen infolge des vorangegangenen Stoßes noch nicht abgeklungen sind, bevor der nächste Stoß auftritt, beeinflussen sich die Schwingungen gegenseitig. Solche Stoßfolgen entstehen z. B. als


355

Einschalt, Umschalt- oder Ausschaltstöße, wenn die Kennlinien eines Asynchronmotors nacheinander einfallen oder bei einem Umformvorgang, der durch mehrere Schläge erfolgt. Manchmal interessiert bei Antrieben, wie man in möglichst kurzer Zeit große Amplituden erreicht, wie z. B. beim Aufschaukeln“ eines unwuchtigen ” Rotors [36]. Hier interessiert die Frage, welchen Einfluß die zeitliche Reihenfolge dieser Stöße auf die entstehenden Schwingungen hat. Es wird deshalb analog zu den Untersuchungen bei der Folge von Kraftsprüngen, bei denen in Abschn. 5.4.4 von Gleichung (5.115) ausgegangen wurde, eine Folge von Stoßimpulsen Ii (i = 1, 2, . . ., n) untersucht, vgl. Bild 5.25.

Bild 5.25 Kennzeichnung einer Stoßfolge

Der erste Stoßimpuls wirkt auf den ruhenden Schwinger. Bei den Anfangsbedingungen (5.138) ist die Lösung während der ersten Etappe (t1 = 0 t < t2 ) aus (5.139) bekannt, wenn man I = I1 setzt. Zum Zeitpunkt t2 wirkt der nächste Impuls I2 . Während der zweiten Etappe (t2 < t < t3 ) gilt die Lösung: mω q(t) = I1 exp(−Dω 0t) sin ω t + I2 exp[−Dω 0 (t − t2 )] sin ω (t − t2 )

(5.140)

Zu Beginn der dritten Etappe (t3 < t < t4 ) folgt der dritte Impuls, so daß (5.140) um einen weiteren Summanden ergänzt wird: mω q(t) = I1 exp(−Dω 0t) sin ω t + I2 exp[−Dω 0 (t − t2 )] sin ω (t − t2 ) +I3 exp[−Dω 0 (t − t3 )] sin ω (t − t3 )

(5.141)

Bei weiteren Stößen gilt nach dem letzten Stoß, also in der n-ten Etappe (tn t): n

mω q(t) = exp(−Dω 0t) ∑[Ii exp(Dω 0ti ) sin ω (t − ti )] i=1

= exp(−Dω 0t)(−an cos ω t + bn sin ω t) = cn exp(−Dω 0t) cos ω (t

(5.142)

− tn∗ )

Die in (5.142) eingeführten Größen findet man aus einem Koeffizientenvergleich nach der Anwendung der Additionstheoreme sin ω (t − ti ) = sin ω t cos ω ti − cos ω t sin ω ti cn sin ω (t + tn∗ ) = cn cos ω tn∗ sin ω t − cn sin ω tn∗ cos ω t = bn sin ω t − an cos ω t

(5.143)

356


Es sind die Koeffizienten n

∑[Ii exp(Dω 0ti ) sin ω ti ];

n

∑[Ii exp(Dω 0ti ) cos ω ti ]

(5.144)

oder Amplitude“ und Phasenwinkel“ ” ” 2 2 cn = an + bn ; ω tn∗ = π /2 + [π /2 − arcsin(an /cn )] sign(bn )

(5.145)

an =

i=1

bn =

i=1

Die Amplitude“ cn kann, abgesehen von den Parametern des Schwingers, wesentlich ” durch die Stoßzeiten ti beeinflußt werden. Analog zur Auswertung von (5.126) für Sprungfolgen kann man zur Ermittlung der Endamplituden aus (5.144) oder auch ein Zeigerdiagramm benutzen, vgl. Bild 5.22 bis Bild 5.24 in Abschn. 5.4.4. Je nach Zielstellung kann die Auswahl der Stoßzeiten ti so erfolgen, daß cn einen großen oder kleinen Wert annimmt. Man kann aus den Bedingungen (5.144) z. B. die Zeitpunkte ermitteln, die zu einer resonanzartige Anfachung der Schwingungen führen. Es läßt sich auch erreichen, daß cn = 0 wird, so daß die sog. Restschwingung nach dem letzten Stoß verschwindet. Dies wurde auch bei der Folge von Rechteckstößen in Abschn. 5.4.4 behandelt, vgl. die Bedingungen (5.132) und (5.133). Die Ausgleichsbedingungen an = 0;

bn = 0

(5.146)

liefern zwei transzendente Gleichungen zur Berechnung der Stoßzeiten ti bei gegebenen Werten für ω 0 und D. Bild 5.26 illustriert am Beispiel einer Stoßfolge, welch großen Einfluß die Stoßzeiten ti auf die Intensität der entstehenden Schwingungen bei einem ungedämpften Schwinger (D = 0) haben. Der u¨ bertragene Gesamtimpuls ist in allen vier Fällen gleich, so daß sich das angetriebene System nach dem letzten Impuls mit derselben Geschwindigkeit bewegt, vgl. z. B. das Minimalmodell gemäß (5.79) und Bild 5.16. Wie man sieht, kann sowohl eine Anfachung als auch eine Tilgung der Schwingungen zustande kommen. Das hängt davon ab, in welcher Phasenlage der vorangehenden Schwingung der nächste Schlag auftrifft. Die dimensionslos dargestellten Wegverläufe q(t) beginnen in allen vier dargestellten Fällen mit der gleichen Sinusschwingung. Sie a¨ ndern sich nach dem zweiten Impuls, der zum Zeitpunkt t2 wirkt. Aus (5.144) folgen zwei Bedingungen dafür, daß die Schwingungen nach vier gleichen Impulsen ausgelöscht sind (D = 0): a4 =

4

∑ sin ω ti = sin ω t1 + sin ω t2 + sin ω t3 + sin ω t4 = 0

(5.147)

i=1

b4 =

4

∑ cos ω ti = cos ω t1 + cos ω t2 + cos ω t3 + cos ω t4 = 0

(5.148)

i=1

Da t1 = 0 gesetzt werden kann, sind dies zwei gekoppelte nichtlineare Gleichungen, für die drei verbleibenden Unbekannten t2 , t3 und t4 . Es gibt mehrere Lösungen, von denen einige in Bild 5.26 angegeben sind, vgl. die Fälle 1, 3 und 4. Man kann nicht einfach sagen, daß es günstig wäre, die Stoßfolge zeitlich auszudehnen, um kleine Schwingungen zu erreichen. Das hätte nur Sinn, wenn man jeweils das Ausklingen der gedämpften Schwingungen abwarten könnte, bevor der neue Stoß


357

erfolgt. Wie Fall 1 zeigt, kann man sogar bei kurzer Aufeinanderfolge der Stöße, wenn sie in günstigen Phasenlagen auftreffen, sehr schnell einen schwingungsfreien Zustand erreichen. Die Aufeinanderfolge von Stößen mit konstanten Zeitabständen stellt eine Resonanzgefahr dar, deshalb ist generell zu empfehlen, die Zeitabstände unregelmäßig zu gestalten, um Periodizität zu vermeiden. In der Praxis kennt man während der Projektierung kaum die genauen Eigenfrequenzen, die angeregt werden. Nur manchmal, z. B. bei der pendelnden Last eines Krans oder bei einer schwappenden Flüssigkeit in einem Behälter ist die Grundfrequenz relativ genau bekannt. Es gibt aber auch die Möglichkeit, mit Sensoren die Schwingungen am realen Objekt zu messen, die Eigenfrequenzen daraus zu ermitteln, günstige Schaltzeiten vor Ort zu berechnen und in der Steuerung zu realisieren. Ein weiteres Problem entsteht, wenn gleichzeitig auf mehrere Eignfrequenzen geachtet werden muß. Ausgehend von den gezeigten Zusammenhängen bei einer einzigen modalen Schwingung kann man aber auch dafür optimale Stoßfolgen ermitteln.

Bild 5.26 Zum Einfluß der Stoßzeiten auf die Anfachung von Schwingungen

358


5.4.5.3 Endlose Stoßfolge Oft treten im Dauerbetrieb bei Antriebssystemen Stöße im regelmäßigen Zeitabstand auf, z. B. beim Eingriff von Kettengliedern (CVT-Kette), von Sägezähnen oder Fräsern in den Werkstoff, beim periodischen Spieldurchlauf in Zahnradpaaren, bei ruckartig bewegten Transportbändern, bei Vibrationshämmern, Vibrationsverdichtern, beim Abstand der Lüfterflügel u. a. Wenn die Stoßzeit nicht klein im Vergleich zur Eigenschwingungsdauer T = 2π /ω ist, muß diese endliche Krafteinwirkungszeit tS in Betracht gezogen werden. Der einfachste Fall ist ein Rechteckstoß, der folgendermaßen definiert ist: ( ' FS für −tS /2 t +tS /2 (5.149) F(t) = 0 für +tS /2 < t < (T0 − tS /2) Man kann die Berechnungen mit einer Folge von Rechteckstößen vornehmen, bei denen immer dieselbe Kraft FS auf den Schwinger im zeitlichen Abstand der Zyklusdauer T0 = 2π /Ω wirkt. Eine endlose Folge solcher Stöße mit aS = FS /m kann in (5.137) als Erregung mit folgender Fourierreihe eingeführt werden: ' ( ∞ aS a(t) = Ω tS + 4 ∑ [(1/k)sin(kΩ tS /2) cos kΩ t] (5.150) 2π k=1 Diese Art der Erregung wird hier nicht weiter verfolgt, vgl. dazu [70]. Es wird eine Folge von Dirac-Stößen (5.134) untersucht, deren Fourierreihe lautet: a(t) =

∞ I (1 + 2 ∑ cos kΩ t) mT0 k=1

(5.151)

Infolge dieser Erregung hat der mit (5.137) definierte Schwinger die stationäre Lösung: & % ∞ (1 − k2 η 2 ) cos kΩ t + 2Dkη sin kΩ t cT0 q(t) = I 1 + 2 ∑ (1 − k2 η 2 )2 + 4D2 k2 η 2 k=1 & % ∞ cos(kΩ t − ϕ k ) (5.152) =I 1+2∑ (1 − k2 η 2 )2 + 4D2 k2 η 2 k=1 Dabei ist das Abstimmungsverhältnis η = Ω /ω 0 . Die untere Form dieser Darstellung gilt mit den Phasenwinkeln ' % &( 2Dkη π π − arcsin ϕk = + sign(1 − k2 η 2 ) (5.153) 2 2 (1 − k2 η 2 )2 + 4D2 k2 η 2 Für den ungedämpften Fall (D = 0) ergibt sich aus (5.152), vgl. [70]: ∞ cos kΩ t cT0 q(t) = I 1 + 2 ∑ 2 2 k=1 1 − k η

(5.154)


359

Eine andere Darstellung, die auch die Periodizitätsbedingung q(t) = q(t +T0 ) erfüllt, beschreibt die Lösung von (5.137) in endlichen Intervallen (n − 1)T0 t nT0 innerhalb der n-ten Periode für n = 1, 2, . . . Mit dem Nenner [70] N = 1 − 2 exp(−Dω 0 T0 ) cos ω T0 + exp(−2Dω 0 T0 ) 2π 4π D 2π D 2 1 − D + exp − cos = 1 − 2 exp − η

η

(5.155)

η

gibt es dieselbe Lösung in jedem Intervall (abgesehen von der Zeitverschiebung um ganzzahlige Vielfache von T0 ). Es genügt, sie hier für das erste Intervall anzugeben [81]: mω q(t) = (I/N) exp(−Dω 0t)[sin ω t + exp(−Dω 0 T0 ) sin ω (T0 − t)]

(5.156)

0 t T0 Es ist in anderer Form dieselbe Schwingungsantwort wie (5.152). Für den ungedämpften Fall (D = 0, ω = ω 0 ) ergibt sich daraus wegen 2π N = 2(1 − cos ω 0 T0 ) = 4 sin2 (ω 0 T0 /2) = 2 1 − cos ; (5.157) η sin ω 0 T0 = 2 sin(ω 0 T0 /2) cos(ω 0 T0 /2) die auch in [70] angegebene Formel 2mω 0 q(t) = I[cot(ω 0 T0 /2) cos ω 0t + sin ω 0t];

0 t T0

(5.158)

als Alternative zu (5.154). Die numerische Berechnung der Verläufe der entstehenden Schwingungen mit Hilfe von (5.158) ist wesentlich kürzer und genauer als mit (5.154). Die Resonanzstellen, bei denen unbegrenzt große Ausschläge auftreten, ergeben sich aus (5.154) bei den Abstimmungsverhältnissen kη = 1, weil dann einer der Nenner in der Summe Null wird. Aus (5.158) ergeben sich dagegen dann unendlich große Werte, wenn 1/ cot(ω 0 T0 /2) = tan(ω 0 T0 /2) = 0 ist. Diese Bedingung ist für ω 0 T0 /2 = π k erfüllt. Da ω 0 T0 = 2π ω 0 /Ω ist, ergibt sich daraus also ω 0 T0 /2 = π /η = kπ , d. h. es sind auf anderem Wege dieselben Resonanzstellen gefunden worden wie aus (5.154). Bei endlosen Stoßfolgen treten Resonanzen unter den Bedingungen kη = 1

bzw.

Ω k = ω 0 /k;

k = 1, 2, . . .

(5.159)

auf. Berücksichtigt man die Dämpfung, bleiben die Resonanzamplituden zwar endlich, aber sie werden oft so groß, daß sie zu Beschädigungen, Zerstörungen oder zu unerträglichem Lärm führen. Man muß z. B. vermeiden, daß die Eingriffsfrequenz der Zähne oder der Kettenglieder mit ganzzahligen Bruchteilen einer Eigenfrequenz des angetriebenen Systems u¨ bereinstimmen, vgl. (5.159). Die bereits in Abschn. 5.4.5.2 erwähnte Möglichkeit, die Zeitabstände unregelmäßig zu gestalten um Periodizität zu vermeiden, läßt sich bei Antrieben, die durch eine Rotationsbewegung angetrieben werden, nicht ohne Weiteres anwenden. Man kann versuchen, die Drehgeschwindigkeit des Motors mit einer Zusatzbewegung zu modulieren, um den genauen periodischen Ablauf zu stören. Manchmal

360


gelingt es, die Stoßreihenfolge zu variieren, z. B. durch den ungleichmäßigen Abstand der Zähne eines Fräsers oder mit unterschiedlicher Länge von Kettenlaschen bei CVT-Getrieben. Bei CVT-Getrieben, die vielfach in PKW-Antrieben eingesetzt werden, wird das akustische Verhalten vor allem durch die Einlaufstöße der Kette in die Scheiben bestimmt. Wie in [96] gezeigt wird, kann man mit unterschiedlich langen Kettenlaschen verhindern, daß die Lascheneingriffsfrequenz als Erregerfrequenz dominiert. Es wurden sogen. Randomketten“ entwickelt und erprobt, bei denen kurze und lange La” schen stochastisch“ aneinander gereiht sind [169]. Damit gelang es, einzelne Töne ” in dem als störend empfundenen Getriebegeräusch weitgehend zu unterdrücken, vgl. Abschn. 5.4.5.4. 5.4.5.4 Beispiel Nun werden die Varianten einer sich wiederholenden Stoßfolge mit zwei unterschiedlich langen Zeitabständen ∆ti = ti −ti−1 betrachtet, die hier exemplarisch durch zwei Laschenlängen einer Kette (K = kurze Laschenlänge, L = lange Laschenlänge) charakterisiert werden. Bei einer Kettengeschwindigkeit v besteht folgender Zusammenhang zwischen den Laschenlängen und deren zeitlichem Abstand beim Durchlauf: K L , ∆tL = (5.160) v v Es sind bei fünf Kettengliedern folgende sechs Varianten möglich, wenn man Varianten ausschließt, die kürzere Sequenzen (z. B. mit drei oder vier Laschen) haben: ∆tK =

1: KKKKL; 2: KKKLL; 3: KKLKL; 4: KKLLL; 5: KLKLL; 6: KLLLL Wegen der periodischen Wiederholung unterscheidet sich z. B. die zweite Variante KKKLL nicht von einer Variante, die man auch mit KLLKK bezeichnen könnte, denn die endlose Laschenfolge ist in diesem Falle ... KKKLLKKKLLKKKLLKKKLLKKKLL... Das Verhältnis der Laschenlängen wird definiert mit λ = K/L. Die Zyklusdauer T0 beschreibt bei mehreren Laschen unterschiedlicher Länge die Zeit beim Durchlauf derselben Laschenfolge. Es ist für eine fünfgliedrige Laschenfolge die Zyklusdauer, die vergeht, bis dieselbe Gliedsequenz der 5 Laschen sich genau wiederholt. Sie ist bei den oben angegebenen Laschenfolgen also wegen (5.160) Variante 1:

T0 = 4∆tK + ∆tL = L(4λ + 1)/v

Variante 2 und 3:

T0 = 3∆tK + 2∆tL = L(3λ + 2)/v

Variante 4 und 5:

T0 = 2∆tK + 3∆tL = L(2λ + 3)/v

Variante 6:

T0 = ∆tK + 4∆tL = L(λ + 4)/v

Die Stoßzeiten ti der Kettenlaschen, die sich mit Vielfachen von T0 wiederholen, ergeben sich aus der Laschenfolge. Gegenüber dem ersten Stoß bei t1 = 0 zu Beginn einer Periode, haben die weiteren vier Stöße den Zeitabstand ti + nT0 (i = 2, 3, 4, 5). Die Erregung durch diese fünf sich endlos wiederholenden Stöße ergibt sich aus (5.151),


361

wenn man die Summe von fünf Fourierreihen bildet, die jeweils um ti zeitlich verschoben sind: ' ( 5

∞

i=1

k=1

mT0 a(t) = 5I ∑ 1 + 2 ∑ cos[kΩ (t − ti )]

(5.161)

Die Antwort des Schwingers – also die Lösung von (5.137) – folgt dann aus (5.152) mit den Phasenwinkeln aus (5.153) mit η = Ω /ω 0 = T /T0 zu ( ' 5 ∞ cos[kΩ (t − ti ) − ϕ k ] cT0 q(t) = 5I 1 + 2 ∑ ∑ (5.162) (1 − k2 η 2 )2 + 4D2 k2 η 2 i=1 k=1 ' ( = 5I

∞

1 + 2 ∑ (Ak cos kΩ t + Bk sin kΩ t) k=1

Sie lässt sich also auch mit den Fourierkoeffizienten % & 5

∑ cos(kΩ ti − ϕ k )

i=1

Ak = (1 − k2 η 2 )2 + 4D2 k2 η 2 % &

und (5.163)

5

∑ sin(kΩ ti − ϕ k )

i=1

Bk = (1 − k2 η 2 )2 + 4D2 k2 η 2 beschreiben. An Hand der Formeln (5.163) kann man Stoßzeiten bestimmen, bei denen gewisse Harmonische zu Null werden. Das ist für die Lärmerregung von Bedeutung, denn wenn man die Eigenfrequenz des angeregten Systems kennt, kann man theoretisch deren Anregung vermeiden. Analog zu den Ausgleichsbedingungen (5.146) findet man für jede Harmonische dann zwei transzendente Gleichungen für die Unbekannten ti . Man kann also vier Stoßzeiten ti (i = 2, 3, 4, 5) so bestimmen, dass zwei Harmonische völlig aus dem Spektrum verschwinden. In der Arbeit [271] wurde ausgewertet, welche maximalen Ausschläge der Verlauf ξ (t) = mω q(t)/I hat, wenn bei einer Kette die Laschenlängen und die Laschenfolge verändert werden. Bilder 5.27 bis 5.31 zeigen Ergebnisse aus dieser Arbeit. Aus Bild 5.27 erkennt man, wie sich die Maximalwerte in Abhängigkeit vom Laschenverhältnis λ und vom Abstimmungsverhältnis η a¨ ndern. Wie erwartet, treten an den Resonanzstellen mit den k-ten Harmonischen entsprechend (5.159) bei η = 1/2, 1/3, 1/4 und 1/5 Spitzenwerte auf, wobei dem zuletzt genannten Wert die Resonanzstelle entspricht, vgl. den Beginn des Verlaufs von Fall 2 in Bild 5.26 (bei λ = 1 sind die Zeitabstände zwischen den Stößen gleich groß). Die ungleichmäßige Stoßfolge führt aber zu einer Reduzierung der Maximalwerte in den kritischen Bereichen. Wenn der Erreger- und Eigenfrequenzbereich etwa bekannt sind, (und damit der interessierende η -Bereich), kann man sagen, welche Varianten der Laschenfolge zu kleinen Schwingungen führen. In einem Bereich 0,35 < η < 0,65 wäre die Variante 2 den anderen vorzuziehen, da es dort im Gebiet um η = 0,5 keine großen Ausschläge gibt. Andererseits wäre die Variante 4 im Gebiet 0,25 < η < 0,4 besser als

362


Variante 1: KKKKL 0,75 0,7

λ

0,65 0,6

Variante 2 : KKKLL 0,75 0,7

λ

0,65 0,6

Variante 3 : KKLKL 0,75 0,7

λ

0,65 0,6

Variante 4: KKLLL 0,75 0,7

λ

0,65 0,6

Variante 5: KLKLL 0,75 0,7

λ

0,65 0,6

Variante 6:KLLLL 0,75 0,7

λ

0,65 0,001

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

η = Ω/ω0

0,6

0,7

ξmax-Werte:

0,8 0-1

0,9 1-2

1 2-3

0,6 1,1 3-4

Bild 5.27 Maximalausschläge ξ max = mω qmax /I als Funktion von Abstimmungsverhältnis η und Laschenverhältnis λ für D = 0,05 (Unten: Zahlenbereiche, die zu den Grautönen im Bild gehören)

363


die anderen Varianten. Große Laschenverhältnisse λ sind außerhalb der Resonanzstelle η = 0,2 vorteilhaft. Nur mit Variante 2 erreicht man bei λ = 0,65 an der Resonanzstelle η = 0,2 beachtlich kleine Ausschläge. Um eine anschauliche Vorstellung von den zeitlichen Verläufen zu gewinnen, die zu denen in Bild 5.27 angegebenen Maximalwerten führen, werden einige Parameterbereiche näher betrachtet. Der Dämpfungsgrad wird in allen Fällen mit D = 0,05 angenommen. Der Maßstab auf der Ordinate entspricht dem von Bild 5.27. x1 x3

2

x2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

Zeit t/T0 2

x1:Variante 1 (KKKKL); x2:Variante 2 (KKKLL); x3:Variante 3 (KKLKL)

2

x4

x6 x5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

Zeit t/T0 2

x4: Variante 4 (KKLLL); x5: Variante 5 (KLKLL); x6: Variante 6 (KLLLL)

Bild 5.28 Wegverläufe ξ (t) = mω q(t)/I bei η = 0,5; λ = 0,6 und allen sechs Laschenfolge-Varianten

In Bild 5.28 sind die Wegverläufe bei demselben Abstimmungsverhältnis und demselben Laschenverhältnis dargestellt, so dass man an diesem Beispiel sehen kann, welchen Einfluß die Reihenfolge der kurzen und langen Laschenlängen auf die stationären Schwingungen hat. Die Wegverläufe zeigen zu den Stoßzeitpunkten Knicke. Auf die Ausschläge hat die Phasenlage der Schwingung in dem Augenblick, in dem der Stoß wirkt, einen maßgeblichen Einfluß. Aus Bild 5.28 geht hervor, dass bei diesem Parameterbereich die Variante 2 die kleinsten und Variante 3 die größten Maximalwerte ergibt, vgl. dazu auch Bild 5.27. In Bild 5.29 sind ebenfalls die sechs möglichen Varianten der Reihenfolge von kurzen und langen Laschen verglichen, aber in bei einem anderen Abstimmungsverhältnis als in Bild 5.29. Die Maximalwerte sind alle kleiner als im Bild 5.28 (man beachte den anderen Maßstab auf der Ordinate), aber der größte Ausschlag ist hier bei Variante 2 am größten und bei Variante 3 am kleinsten. Man kann also nicht sagen, welche der Varianten im ganzen η -Bereich die Beste ist.

364


1.5

x1 1

x2

x3

0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

x1: Variante 1 (KKKKL); x2: Variante 2 (KKKLL); x3: Variante 3 (KKLKL)

0.5

1.2

Zeit t/T0

1.5

x4

1

x6

x5 0.5

0

0.5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x4: Variante 4 (KKLLL); x5: Variante 5 (KLLKL); x6: Variante 6 (KLLLL)

1.1

1.2

Zeit t/T0

Bild 5.29 Wegverläufe ξ (t) = mω q(t)/I bei η = 0,8; λ = 0,7 und allen sechs Laschenfolge-Varianten

Im Bild 5.30 kann man vergleichen, wie sich das Verhältnis der Laschenlängen auswirkt. Es wird der ungünstige Resonanzfall (η = 0,2) betrachtet, der bei λ = 1 mit einer Kette mit gleich langen Laschen auftreten würde. Es werden gewissermaßen vertikale Schnitte bei den Varianten 1 und 2 in Bild 5.27 betrachtet. Offensichtlich ist es hierbei vorteilhaft, große Laschenverhältnisse zu vermeiden. Im unteren Teil von Bild 5.30 sieht man, dass die Amplituden etwa auf die Hälfte reduziert werden, wenn man die Variante 2 mit einem Laschenverhältnis λ = 0,6 wählt. An Hand der Verläufe, die in Bild 5.31 gezeigt werden, ist ein Vergleich der stationären Schwingungen bei verschiedenen Abstimmungsverhältnissen η möglich. Dies entspricht entweder einem gewissen Bereich unterschiedlicher Kettengeschwindigkeiten (wenn man die angeregte Eigenfrequenz kennt) oder einem Bereich, in dem man die Eigenfrequenz vermutet, wenn die Zyklusdauer T0 (also die Kettengeschwindigkeit) bekannt ist. Daraus wird ersichtlich, wie problematisch es ist, sich für eine günstige Variante zu entscheiden, wenn man im gesamten Bereich eine Lösung bestimmen muß. Im vorliegenden Bild 5.31 ist offenbar die Variante 3 etwas ungünstiger, da deren Maximalwerte bis etwa ξ max = mω qmax /I = 2,8 ansteigen, während Variante 4 nur einen Wert ξ max = 2,5 erreicht. Die Untersuchungen in [271] zeigten auch, dass der Dämpfungsgrad D keinen großen Einfluss darauf hat, welche Gebiete in der λ -η -Ebene große oder kleine Werte haben. Naturgemäß senkt eine höhere Dämpfung die Absolutwerte in allen Gebieten.

5.4 Optimale Bewegungsabläufe 4

365

x1 x2

2

x3 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

2

Variante 1 (KKKKL): x1: λ = 0,8; x2: λ = 0,7; x3: λ = 0,6 4

Zeit t/T0

x4 x5

2

x6 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

2

Variante 2 (KKKLL): x4: λ = 1; x5: λ = 0,8; x6: λ = 0,6

Zeit t/T0

Bild 5.30 Wegverläufe ξ (t) für Laschenfolge-Varianten 1 und 2 bei η = 0,2 und verschiedenen λ -Werten x2

x1

2

x3 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

2

Variante 3 (KKKKL): x1: η = 0,15; x2: η = 0,2; x3: λ = 0,25 x5

x4

2

Zeit t/T0

x6 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

2

Variante 4 (KKLLL): x4: η = 0,15; x5: η = 0,2; x6: η = 0,25

Bild 5.31 Wegverläufe ξ (t) für Laschenfolge-Varianten 3 und 4 mit λ = 0,7 und verschiedenen η -Werten

Zeit t/T0

366


5.4.6 Resonanzdurchlauf Viele Antriebe werden u¨ berkritisch betrieben, d. h. die Rotoren müssen beim Hochlaufen bis zum Erreichen ihrer Betriebsdrehzahl eine oder mehrere Resonanzstellen durchlaufen, und ebenso beim Auslaufen oder Bremsen. Dies trifft auf die Biegeschwingungen von Rotoren (z. B. Turbomaschinen, Textilspindeln, Wäscheschleudern, Zentrifugen) zu, aber auch auf Maschinenfundamente, Torsionsschwinger (z. B. Fahrzeug-Antriebsstränge, Lüfter), und gekoppelte Schwinger (z. B. Siebe, Riemengetriebe). Während dieses Resonanzdurchlaufs werden extreme Belastungen erreicht. Um die Funktion solcher Antriebe zu gewährleisten, muß das dynamische Verhalten während der Resonanzdurchfahrt bekannt sein. Es interessiert vor allem das Verhalten des Rotors in Resonanznähe, da dort die größten dynamischen Ausschläge auftreten. Zum Resonanzdurchlauf gibt es viele Einzelpublikationen, wobei hier nur auf die zusammenfassenden Darstellungen in [31], [122], [191], [233], [253], [349] verwiesen sei. Während in [122], [191] und [349] der Resonanzdurchlauf mit konstanter ¨ der Erregerfrequenz) berechnet wird, Winkelbeschleunigung α (lineare Anderung geht die Arbeit [233] auf den Fall der Beschleunigung durch ein konstantes Moment bzw. auf die Berücksichtigung einer Motorkennlinie ([31], [253]) ein. In [233] werden die Einflüsse verschiedener Rotorparameter, wie innere und a¨ ußere Dämpfung, Eigengewicht des Rotors und Unrundheit der Welle bei der Resonanzdurchfahrt mit konstantem Motormoment untersucht. Maßnahmen zur Verminderung dynamischer Belastungen beim Resonanzdurchlauf von Rotoren mit großen Unwuchten werden in [36] behandelt. Das prinzipielle Verhalten bei einem solchen Resonanzdurchlauf soll zunächst an einen unwuchterregten Schwinger untersucht werden, der so gelagert ist, daß er nur mit einem Freiheitsgrad schwingen kann, vgl. Tabelle 2.8. Die Bewegungsgleichungen folgen aus den Gln. (10) und (11) in Tabelle 2.8, wenn die Dämpfungskraft d y˙ und das Moment J ϕ¨ ergänzt wird (die in den Gln. (18) und (19) in dieser Tabelle auch enthalten sind) und das Antriebsmoment als konstant angenommen wird: (5.164) (m + m1 )y¨ + d y˙ + ky = m1 e(ϕ˙ 2 sin ϕ − ϕ¨ cos ϕ ) = −m1 e(sin ϕ ) ¨ m1 ey¨ cos ϕ + (J + m1 e2 )ϕ¨ = M

(5.165)

Die Koordinaten y und ϕ hängen hierbei von den K = 7 Parametern m, m1 , d, k, e, J und M ab. Um die Lösungen u¨ bersichtlich darstellen zu können, ist es zweckmäßig, dimensionslose Kenngrößen einzuführen, vgl. Abschn. 2.2.2. Mit der Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Fundaments k ω 02 = (5.166) m + m1 und der relativen Exzentrizität m1 e ε = (5.167) m + m1 können folgende dimensionslose Kennzahlen definiert werden: bezogene Zeit τ = ω 0t

(5.168)


367

bezogene Zeitableitungen ω 0 dy dy = = ω 0y; y¨ = ω 02 y ; ϕ¨ = ω 02 ϕ dt dτ bezogene Winkelbeschleunigung bei gegebenen konstanten α :

y˙ =

α 1∗ =

α ω 02

(5.169)

(5.170)

bezogenes Moment M: α 2∗ =

M (J + m1 e2 )ω 02

(5.171)

bezogene Massen γ =

m + m1 J + m1 e2 · m1 m1 e2

(5.172)

Lehrsches Dämpfungsmaß 2D =

d (m + m1 )ω 0

(5.173)

bezogene Koordinate y ξ =

(5.174)

ε

Damit lassen sich die Differentialgleichungen (5.164) und (5.165) so umformen, daß die zeitvariablen Größen ξ und ϕ nur noch von drei Kennzahlen abhängen, die man ¨ auch als Ahnlichkeitskennzahlen auffassen kann: ξ + 2Dξ + ξ = −(sin ϕ )

ξ cos ϕ + γ ϕ =

(5.175)

α 2∗ γ

(5.176)

Es sollen nun mit demselben Berechnungsmodell zwei Bewegungsvorgänge verglichen werden, die Bewegung mit konstanter Winkelbeschleunigung (Fall 1: ϕ = α 1∗ = konst.) und die Bewegung mit konstantem Antriebsmoment (Fall 2: α 2∗ = konst.): Die Anfangsbedingungen lauten im Fall 1: α 1∗ τ = −2:

ξ = 0,17;

ξ = 2,61;

ϕ = 0;

ϕ = −2

(5.177)

wobei die Anfangsbedingungen der Fundamentbewegung entsprechend dem stationären Zustand gewählt wurden. Bei Fall 1 wird angenommen, daß die positive konstante Winkelbeschleunigung ϕ¨ = α gegeben ist und der Rotor sich anfangs in negativer Richtung dreht. Er wird entgegengesetzt zu dieser anfänglichen Drehrichtung beschleunigt (also bis zum Stillstand verzögert) und dann weiter beschleunigt, bis er wieder denselben Betrag der Drehgeschwindigkeit in positiver Richtung erreicht hat. Bei diesem Bewegungsablauf a¨ ndert sich der Winkel folgendermaßen: 2 1 2 2 ϕ = α 1∗ τ + ∗ −2 τ + ∗ (5.178) 2 α1 α1

368


In die Gl. (5.175) sind dann außer dem durch Gl. (5.178) gegebenen Winkel auch dessen erste und zweite Ableitung einzusetzen ϕ = α 1∗ τ ;

ϕ = α 1∗

(5.179)

so daß sie dann lautet: ξ + 2Dξ + ξ = −(sin ϕ ) = ϕ 2 sin ϕ − ϕ cos ϕ

=

(α 1∗ τ )2

sin ϕ −

α 1∗

(5.180)

cos ϕ

Durch numerische Integration von Gl. (5.180) wird die Fundamentbewegung erhalten. Bei diesem Fall 1 wird die Rückwirkung der Fundamentbewegung auf die Drehbeschleunigung nicht beachtet, d. h., es wird Gl. (5.176) ignoriert. Das Ergebnis dieser numerischen Integration ist in Bild 5.32 dargestellt. Bremsen

Hochlauf

ξ

10 5 0 −5 −10

−2 −1,5 −1 −0,5

0

0,5

1

1,5 α1∗ ⋅ τ

2

Bild 5.32 Wegverlauf des Fundaments beim Resonanzdurchlauf mit konstanter Drehbeschleunigung (α 1∗ = 0,008; D = 0,05)

Der lineare Drehzahlverlauf, der sich bei Fall 1 ergibt, ist in Bild 5.33b (Kurve 1) erkennbar. Wie in Bild 5.32 zu sehen, durchläuft der Rotor dabei die Resonanzstelle von der hohen Drehzahl kommend, erreicht dann die Drehzahl Null und wird in derselben Richtung weiter beschleunigt, so daß er nochmals die Resonanzstelle (aber von unten“) durchfährt. Der Maximalwert der Schwingwege ist in beiden Richtun” gen etwa gleich, aber stets kleiner als die Resonanzspitze, die sich bei stationären Schwingungen ergeben würde. Der Maximalwert tritt nicht auf, wenn Erregerfrequenz und Eigenfrequenz u¨ bereinstimmen, denn er verschiebt sich bei der Drehzahlsenkung in Richtung niederer Drehzahlen und beim Hochlauf in Richtung höherer Drehzahlen. Je größer die Winkelbeschleunigung ist, desto kleiner sind die Maximalwerte ξ max . Nun soll der analoge Vorgang mit konstantem Antriebsmoment (Fall 2) analysiert werden. Dazu wurde mit den Anfangsbedingungen gemäß Gl. (5.177) gestartet, aber entgegengesetzt zur anfänglichen negativen Drehrichtung mit einem konstanten Moment entgegengewirkt. Es werden die beiden gekoppelten Differentialglei-


369

chungen (5.175) und (5.176) numerisch integriert. Ergebnisse sind in Bild 5.33 im gleichen Maßstab wie in Bild 5.32 dargestellt. Bremsen

Hochlauf

ξ

10 5 0 −5

a)

−10

−2 −1,5 −1 −0,5

0

0,5

1

1,5 α ∗2 ⋅ τ

2

ϕ′

2 2

1

1

0 −1

b)

−2

−2 −1,5 −1 −0,5

0

0,5

1

1,5 α ∗2 ⋅ τ

2

Bild 5.33 Resonanzdurchlauf a) Wegverlauf des Fundaments mit konstantem Moment (α 2∗ = 0,008; γ = 600; D = 0,05), b) Winkelgeschwindigkeit des Rotors (Kurve 1, konstante Winkelbeschleunigung: α 1∗ = 0,008; Kurve 2, konstantes Moment: α 2∗ = 0,008)

Die Ergebnisse unterscheiden sich wesentlich. Die Drehzahländerung verläuft im zweiten Fall nicht linear, wie der Vergleich mit der Geraden zeigt. In der Nähe der Resonanzstelle (α 2∗ τ ≈ −1) kommt es bei fallender Drehzahl zu einer kurzzeitigen Winkelbeschleunigung. Danach a¨ ndert sich die Drehzahl linear bis sie sich nach der Vorzeichenumkehr wieder dem Resonanzgebiet nähert. Während des Durchlaufens der Resonanzstelle α 2∗ τ ≈ +1 beim Hochlauf kommt es zu einer Verzögerung des Drehzahlanstiegs, und außerhalb des Resonanzgebietes setzt sich der lineare Anstieg weiter fort. Bei diesem Modell 2 tritt ein Effekt auf, der bereits im Jahre 1902 von A. S OM MERFELD bemerkt wurde [304]. Dieser Sommerfeld-Effekt“ ist auch in [29], [31] ” und [35] beschrieben. Die Drehzahl nimmt beim Hochlauf in Resonanznähe langsa-

370


mer zu, weil das Antriebsmoment dort Energie zur Bewegung des mitschwingenden Fundaments aufbringen muß. Der Rotor setzt dem Durchfahren der Resonanzstelle also einen größeren Widerstand entgegen, als es nur seiner eigenen Drehträgheit entspricht. Andererseits tritt beim Verzögern, also bei sinkender Drehzahl in der Nähe der kritischen Drehzahl der umgekehrte Effekt auf: ein Rüttelrichtmoment wirkt vom Fundament auf den Rotor so, daß sich dieser mehr beschleunigt als es dem Antriebsmoment entspricht [231]. Es wird dann u¨ berschüssige Energie des schwingenden Fundaments auf den Rotor u¨ bertragen, vgl. Bild 5.33 im Bereich α 2∗ τ ≈ −1. Man kann diesen Effekt, daß das schwingende Fundament wie ein zusätzlicher Antrieb wirkt, praktisch ausnutzen, d. h. beim Abtouren länger im Resonanzbereich bleiben, um als Schwingungserreger effektiv zu arbeiten. Es kann dann passieren, daß der Rotor beim Hochlaufen im Resonanzgebiet hängenbleibt“. Diesen Fall illustriert Bild 5.34. Es wurde dabei mit derselben Kenn” zahl α 2∗ wie in Bild 5.33, aber mit einem zehnfach kleinerem Wert für γ gerechnet, d. h., das Motormoment war relativ zum Trägheitsmoment kleiner.

ξ

4 2 0 −2

a)

−4

0

0,5

1

1,5

2 α ∗2 ⋅ τ

2 ϕ′

α ∗2 ⋅ τ

1,5

ϕ′(τ )

1 0,5 0 b)

0

0,5

1

1,5

2 α ∗2 ⋅ τ

Bild 5.34 Beispiel für das Hängenbleiben“ eines Rotors beim Hochlauf ” a) Wegverlauf des Fundaments, b) Winkelgeschwindigkeit des Rotors ∗ (α 2 = 0,008; γ = 60; D = 0,05)


371

In [253] wird zur Lösung der gekoppelten nichtlinearen Differentialgleichungen (5.164) unf (5.165) der Ansatz y = [A(t) sin ϕ ] ¨

(5.181)

gemacht, mit der langsam veränderlichen Amplitude ε

A≈

1−

Ω2

ϕ¨ A˙ = −A 2ϕ˙

;

(5.182)

ω 02

Für den ersten Term in Gl. (5.165), welcher das infolge der Vertikalbeschleunigung y¨ und der Unwucht m1 e auf die Antriebswelle wirkende Drehmoment beschreibt, wird damit in [253] folgende Näherungsformel hergeleitet: m1 ey¨ cos ϕ ≈

−2m21 e2 Ω 2 (m1 + m)(Ω 2 − ω 02 )

(5.183)

Setzt man diesen Ausdruck in Gl. (5.165) ein, ergibt sich für das Momentengleichgewicht

2(m1 eΩ )2 J+ ϕ¨ = M (5.184) k − (m1 + m)Ω 2 Der Ausdruck in der eckigen Klammer von Gl. (5.184) stellt ein fiktives reduziertes Trägheitsmoment dar. Der Quotient ist im Vergleich zum Trägheitsmoment im Resonanzgebiet (Ω 2 ≈ ω 02 ) relativ groß. Er wächst im hier analysierten ungedämpften Fall sogar unbegrenzt an. Dieser Quotient drückt aus, wie die Federkraft und die Massenkraft des Fundaments sich auf das Antriebsmoment auswirken. Im unterkritischen Gebiet (Ω 2 < ω 02 ) stellen die Federkraft und die Trägheitskraft der Fundamentmasse zusätzliche Belastungen für den Motor dar. Bemerkenswert ist aber, daß im u¨ berkritischen Gebiet (Ω 2 > ω 02 ) das fiktive Trägheitsmoment verkleinert wird. Es kommt oberhalb der Drehgeschwindigkeit

Ω >

ω0

(5.185)

2(m1 e)2 1− Jm sogar zu negativen Werten des fiktiven Trägheitsmomentes, d. h., deshalb treibt in diesem Drehzahlbereich gewissermaßen das schwingende Fundament den Motor an. Um die Schwierigkeiten des Resonanzdurchlaufs zu umgehen, können mit entsprechendem konstruktiven Aufwand Lager so gestaltet werden, daß man ihre Steifigkeit von steif“ auf weich“ plötzlich umschalten kann. Dies kann rein ” ” mechanisch, elektromagnetisch oder durch elektrorheologisch gesteuerte Lagersteifigkeiten erreicht werden. Durch die plötzliche Veränderung der Lagersteifigkeit eines Rotors, die während des Hochlaufs vorgenommen wird, kann man diesen um seine kritischen Drehzahlen betrügen“, d. h. Resonanzspitzen völlig vermeiden. In ” Bild 5.35 ist dieser Zusammenhang für einen Schwinger mit drei Freiheitsgraden veranschaulicht.

372


Frequenz f

f3

Hochlauf f2

f1

steif

weich Nachgiebigkeit 1 / k

Bild 5.35 Hochlauf eines Rotors mit umschaltbarer Lagernachgiebigkeit [222] Volle Linien: Eigenfrequenzen als Funktion der Lagernachgiebigkeit Gestrichelte Linie: Hochlaufen bei umschaltbarer Lagernachgiebigkeit

Man sieht in Bild 5.35, wie alle drei Eigenfrequenzen mit zunehmender Nachgiebigkeit (Kehrwert der Lagersteifigkeit) einer Lagerfeder abnehmen, vgl. dazu auch die Bilder 2.21, 2.33 und 2.34. Der Hochlauf längs der dick gezeichneten Pfeile erfolgt mit konstanter Drehbeschleunigung, aber vor dem Erreichen des Resonanzgebietes wird entsprechend der gestrichelt eingezeichneten Pfeile von steif“ zu ” weich“ und umgekehrt umgeschaltet. Die entsprechenden Resonanzkurven werden ” abschnittsweise nur in den Bereichen durchlaufen, in denen die Amplituden klein sind.

5.5 Zum Entwurf schwingungsarmer Mechanismen 5.5.1 Gestellschwingungen und Massenausgleich Der Massenausgleich wird bei Mechanismen mit dem Ziel durchgeführt, die auf das Gestell wirkenden Erregerkräfte zu minimieren. Massenkräfte können reduziert werden, indem die Massen der bewegten Getriebeglieder verringert, die auftretenden Beschleunigungen herabgesetzt oder die Massen und Schwerpunktlagen der einzelnen Getriebeglieder durch Hinzufügen von Ausgleichsmassen oder Eliminieren von Massen (z. B. Ausbohrungen) verändert werden. Bei der Synthese lautet die Frage: An welchen Gliedern sind welche Veränderungen vorzunehmen? Eine weitere Möglichkeit des Massenausgleichs von Mechanismen besteht in der Anwendung selbstsynchronisierter Pendel und Rotoren. Die resultierenden Massenkräfte Fx und Fy eines beliebigen Mechanismus ergeben sich als Summe von Produkten aus verallgemeinerten Unwuchten und kinematischen Funktionen [81]. Die VDI-Richtlinie 2149, Bl. 1 gibt für sechsgliedrige Koppelgetriebe die verallgemeinerten Unwuchten Ui und Vi an. Sie gelten auch für die oft als Kurbelschwinge oder Doppelkurbel verwendeten viergliedrigen Getriebe [150], die darin als Sonderfall (m5 = m6 = 0) enthalten sind. Mit ihnen lassen sich

5.5 Zum Entwurf schwingungsarmer Mechanismen

373

für das in Bild 5.36 dargestellte sechsgliedrige Koppelgetriebe die Komponenten der Massenkräfte, die vom Mechanismus auf das Gestell wirken, berechnen: Fx = ∑ −Ui (cos ϕ i ) ¨ + Vi (sin ϕ i ) ¨ i=2, 4, 6

Fy =

∑

−Vi (cos ϕ i ) ¨ − Ui (sin ϕ i ) ¨

(5.186)

i=2, 4, 6

Man kann mit bekannter Software (vgl. Tabelle 2.1) für beliebige n-gliedrige Mechanismen eine kinematische und kinetostatische Analyse vornehmen, ohne Gleichungen formulieren zu müssen. Die Darstellung mit Gl. (5.186) ist insofern aufschlußreich, als sie eine Trennung aller Parameter in die 11 kinematischen Abmessungen (li ,li jk ), von denen die Winkel ϕ i abhängen, von den 3 × 5 = 15 Masseparametern (mi , si , α i ) erlaubt, welche die verallgemeinerten Unwuchten Ui und Vi beeinflussen. Damit kann man die insgesamt 26 Parameter aufteilen, was die Lösung der bei Syntheseaufgaben entstehenden nichtlinearen Optimierungsprobleme wesentlich erleichtert. y

m3 ξS3

ηS2 m2

ηS4

m5

ηS5 ηS6

l5

m4

l3 l2

ξS2

ξS5

ηS3

l4

ξS4

l145

m6

β4

ξS6

ϕ4

ϕ2 l1

l6

ϕ6 l7

x

Bild 5.36 Sechsgliedriges Koppelgetriebe

Für den in Bild 5.36 skizzierten Mechanismus lauten die verallgemeinerten Unwuchten: U2 = m2 ξ S2 + m3 l2 1 − V2 = m2 η S2 − m3 η S3

ξ S3

l3

l2 l3

(5.187) (5.188)

U4 = m3 ξ S3

l4 l145 + m4 ξ S4 + m5 (l5 cos β 4 − ξ S5 cos β 4 + η S5 sin β 4 ) l3 l5

(5.189)

V4 = m3 η S3

l4 l145 + m4 η S4 + m5 (l5 sin β 4 − ξ S5 sin β 4 − η S5 cos β 4 ) l3 l5

(5.190)

U6 = m5 ξ S5

l6 + m6 ξ S6 l5

(5.191)

V6 = m5 η S5

l6 + m6 η S6 l5

(5.192)

374


Es ist zunächst erstaunlich, daß die Koordinaten des Gestellpunktes des Abtriebsgliedes (x16 , y16 ) in diesen Gleichungen nicht vorkommen. Die Ui und Vi sind außer von den Masseparametern nur von den Längenverhältnissen abhängig, weil die Winkelfunktionen ϕ 5 und ϕ 6 , abgesehen von einer Verschiebung des Nullpunktes, von der Lage dieses Gestellpunktes unabhängig sind. Aus den verallgemeinerten Unwuchten in den Gln. (5.187) bis (5.192) geht hervor, daß die Massen mi und die statischen Momente (Sξ = mi ξ Si und Sη = mi η Si ) linear in den Ausdrücken enthalten sind und lediglich mit Längen multipliziert werden, die bekannt sind. Das erleichtert sowohl die Sensitivitätsanalyse als auch die Lösung der entstehenden Gleichungen. Die Masseparameter, welche die Gestellkraft-Komponenten Fx und Fy minimieren, kann man aus Ausgleichbedingungen berechnen. Im Extremfall, wenn ein vollständiger Massenausgleich gefordert wird, lauten die Ausgleichsbedingungen Ui = 0 und Vi = 0, [81]. Normalerweise wird aber eine Kompromißlösung gesucht, da konstruktive Nebenbedingungen (Bauraum, Kollision, Grenzen für Abmessungen und Masseparameter) zu berücksichtigen sind. Dann findet man die möglichen Parameteränderungen dadurch, daß man sich die kinematischen Funktionen in Gl. (5.186) berechnet, die unveränderlichen Parameterwerte von den variablen Parametern unterscheidet und ermittelt, welche der variablen Parameter welche der verallgemeinerten Unwuchten stark beeinflussen. Nach dieser Analyse kann man zulässige Werte für die Ui und Vi in den Gln. (5.187) bis (5.192) vorgeben. Man erhält damit sechs lineare Gleichungen. Sind darin weniger als sechs Unbekannte enthalten, findet man eine Lösung mit Hilfe der Normalgleichungen der Ausgleichsrechnung, sind mehr als sechs Unbekannte enthalten, ergibt sich daraus ein lineares Optimierungsproblem [50]. Es kann zweckmäßig sein, die Sinus und Kosinus der Winkel in Fourierreihen cos ϕ i = sin ϕ i =

∞

∑ (ccki cos kΩ t + cski sin kΩ t)

k=1 ∞

(5.193)

∑ (scki cos kΩ t + sski sin kΩ t)

k=1

(i = 2, 4, 6) zu entwickeln. Wenn die kinematischen Abmessungen festliegen, sind die Fourierkoeffizienten (ccki , cski , scki , sski ) der kinematischen Größen als Zahlenwerte bekannt, z. B. aus dem Programm WINDAM [270]. Aus ihnen ergeben sich nach zweifacher Differentiation nach der Zeit, wobei der Faktor (Ω k)2 zustande kommt, in Verbindung mit Gl. (5.186) die Fourierkoeffizienten der Gestellkräfte: Fx = Ω 2

∞

∑ ∑ k2 [(Ui ccki − Vi scki ) cos kΩ t + (Ui cski − Vi sski ) sin kΩ t]

(5.194)

k=1 i

Fy = Ω 2

∞

∑ ∑ k2 [(Vi ccki + Ui scki ) cos kΩ t + (Vi cski + Ui sski ) sin kΩ t]

(5.195)

k=1 i

Aus den Ausdrücken in den runden Klammern in Gl. (5.194) und (5.195), den Fourierkoeffizienten der k-ten Erregerharmonischen, kann man Bedingungen gewinnen, aus denen die Masseparameter berechenbar sind. Um eine k-te Harmonische völlig auszugleichen, wären die betreffenden Klammerausdrücke Null zu setzen. Analoge Aufgaben entstehen, wenn bestimmte Gestellkräfte erzeugt werden sollen, z. B. mit


375

einem Vibrationserreger für polyharmonische Erregerkräfte. Dann sind die Fourierkoeffizienten von Fx (ϕ ) und Fy (ϕ ) gegeben und aus den Klammerausdrücken folgen Gleichungen zur Berechnung der gesuchten Parameterwerte. Die Schwingungserregung des Gestells, in dem sich die Glieder des Mechanismus abstützen, ist von der räumlichen Verteilung der Lagerkräfte abhängig. Die Kenntnis der Eigenformen des Maschinengestells erlaubt eine Bewertung der modalen Erregerkräfte und damit Lösungsansätze zur Vermeidung störender Resonanzen. In [73] und [314] wurde der modale Massenausgleich zur Verminderung Gestellschwingungen vorgeschlagen und detailliert ausgearbeitet. Die modalen Eigenschaften des schwingungsfähigen Gestells lassen sich durch Masse- und/oder Steifigkeitsänderungen beeinflussen. Der Erfolg derartiger Parameteränderungen kann mit einem durch experimentelle Untersuchungen abgesichertem Modell oder durch eine FEM- oder MKS-Analyse gut abgeschätzt werden. Neben der Anwendung traditioneller Methoden der experimentellen Modalanalyse (Shaker, Impulshammer u. a.) ist bei vielen Maschinen, die im wesentlichen durch Massenkräfte der Mechanismen erregt werden, die Auswertung von Messungen der Betriebsschwingungen empfehlenswert. Man erkennt dabei, welche Eigenformen tatsächlich angeregt werden und ob die (meist an den Abtriebsgliedern der Mechanismen) störenden Schwingungen möglicherweise durch Gestellschwingungen bedingt sind. Meist sind Messungen bei verschiedenen Maschinendrehzahlen notwendig, um aus Betrag und Phasenlage einzelner Frequenzanteile der Antwortsignale sowie aus Resonanzüberhöhungen in den Amplitudenfrequenzgängen auf Eigenfrequenzen und -formen schließen zu können. In [73] und [367] sind Beispiele für den erfolgreich angewandten modalen Massenausgleich der Gestellschwingungen von Verarbeitungsmaschinen beschrieben.

5.5.2 Torsionsschwingungen und Leistungsausgleich Beim Leistungsausgleich wird u¨ blicherweise das benötigte Antriebsmoment des Motors beeinflußt, jedoch spielt die Erregung von Torsionsschwingungen der Antriebswelle durch höhere Harmonische des periodischen Antriebsmoments die wesentliche Rolle. Bekanntlich dominiert bei konstanter Antriebswinkelgeschwindigkeit Ω vielfach die zweite Harmonische des Antriebsmomentes, denn wenn das Abtriebsglied zwei Umkehrlagen hat, gibt es pro Periode zwei Minima in der kinetischen Energie, vgl. dazu die Gleichungen in Tabelle 5.1 und die Kurvenverläufe in Tabelle 5.2. Bei umlaufenden Abtriebsgliedern, wie z. B. bei Doppelkurbeln oder einem Schrittgetriebe, ist meist die erste Harmonische die größte, vgl. auch die Zahlenwerte in Gl. (5.236) und Gl. (5.238). Möglichkeiten des harmonischen Ausgleichs sind in [81] und VDI-Richtlinie 2149 beschrieben. Hier soll nur der einfachste Fall eines Ausgleichsgetriebes genannt werden, vgl. Bild 5.37. Die Harmonischen des Antriebsmomentes lassen sich in geschlossener analytischer Form angeben, vgl. die Ausdrücke in den eckigen Klammern von Gl. (5.196). Der zweite Fourierkoeffizient ist unabhängig vom Kurbelverhältnis (λ 1, λ ∗ 1). Die erste und dritte Harmonische sind linear von λ und λ ∗ abhängig und die höheren Fourierkoeffizienten werden wegen der höheren λ -Potenzen immer kleiner. Die

376


Reihenentwicklung beginnt folgendermaßen: 1 1# $ 2 Man = Ω 2 − m∗4 l2∗ λ ∗ sin(γ − δ ) cos ϕ 4 $ 1# 2 − m4 l22 λ + m∗4 l2∗ λ ∗ cos(γ − δ ) sin ϕ 4 $ 1# 2 + m∗4 l2∗ sin 2(γ − δ ) cos 2ϕ 2 $ 1# 2 + m4 l22 + m∗4 l2∗ cos 2(γ − δ ) sin 2ϕ 2 $ 3 # ∗ ∗2 ∗ + m4 l2 λ sin 3(γ − δ ) cos 3ϕ 4 $ 2 3# 2 2 + m4 l2 λ + m∗4 l2∗ λ ∗ cos 3(γ − δ ) sin 3ϕ + 0(λ 2 ) 4

(5.196)

y λ= m4*

l3*

l2*

γ

l2 ϕ

l2 l* ; λ* = 2* l3 l3

δ

l3

x m4

Bild 5.37 Schubkurbelgetriebe mit angekoppeltem Ausgleichsgetriebe (gestrichelt)

Man erhält aus Gl. (5.196) durch Minimierung der Quadratsumme (Grenzfall gleich Null) der eckigen Klammerausdrücke, die zu bestimmten Harmonischen gehören, die Ausgleichsbedingungen, d. h. Gleichungen zur Bestimmung von Parameterwerten, welche diese Harmonischen minimieren. Diese analytische Methode zum Ausgleich einzelner Harmonischer läßt sich allerdings nur für einfache Mechanismen effektiv anwenden, denn schon für exzentrische Schubkurbelgetriebe und Viergelenkgetriebe werden die analytischen Formeln sehr kompliziert [81], so daß man eine kombinierte analytisch- numerische Methode anwenden muß. Bei komplizierteren Mechanismen kann man analog zu der für Gestellkräfte in Abschn. 5.5.1 beschriebenen Methode vorgehen. In der Praxis werden zum Ausgleich der Torsionsmomente in manchen Maschinen auch zusätzliche Kurvenscheiben angebracht und so dimensioniert, daß die Momentensumme verschwindet [249]. Wenn man Freiheiten bei der Typauswahl eines Mechanismus hat, sollte man diese im Hinblick auf die zu erwartenden höheren Erregerharmonischen nutzen. Um


377

diesen Gesichtspunkt zu erläutern, ist in Bild 5.38a eine geforderte Lagefunktion U(ϕ ) = ψ (ϕ )/ψ H skizziert, die eine Drehschwingbewegung mit einem großen Abtriebswinkel ψ H = 200◦ beschreibt. ψ ψH 1

a)

0

π

2π

ϕ

M kin M$

M kin M$ 2 1,0

2

ϕ

ψ

+1 0 0 −1

k 12345678

M kin M$ 2 1,0

M kin M$ 2

ϕ

J

c)

2π 0,5

1,44

J

b)

π ϕ

+1 ψ 0 0 −1

π ϕ

2π 0,5 12345678

Bild 5.38 Typ und Maßvarianten von zwei Mechanismen zur Erzeugung eines großen Schwingwinkels mit Erregerspektrum des kinetostatischen Antriebsmoments a) Verlauf des Abtriebswinkels, b) Räderkoppelgetriebe, c) Sechsgliedriges Koppelgetriebe (Quelle: VDI-Richtlinie 2149, Bl. 1)

Diese Bewegungsaufgabe läßt sich mit verschiedenen Mechanismen lösen, wovon Bild 5.38 zwei der in der VDI-Richtlinie 2149 angegebenen Varianten zeigt. Zum Vergleich wurden bei allen Varianten die mittleren Getriebeglieder als masselos angenommen und dem Abtriebsglied ein Trägheitsmoment J zugeordnet. In Bild 5.38b und 5.38c sind für jede Variante das maßstäbliche Getriebeschema, das bezogene kinetische Antriebsmoment Mkin , sowie in linearer Skalierung die Amplituden der ersten acht Harmonischen dargestellt. Da sich die zweite Harmonische relativ leicht ausgleichen läßt, vgl. Tabelle 5.1, sind die Amplituden der höheren Harmonischen bei solchen Antrieben von Bedeutung. Variante b hat einen kleineren Spitzenwert des Antriebsmomentes und geringere Amplituden der höheren Harmonischen als Variante c. Das Spektrum des Antriebsmomentes von Variante c zeigt ein deutliches Hervortreten der sechsten Harmonischen, aber eine kleinere dritte bis fünfte Harmonische als Variante b. Es hängt also vom η -Wert des Betriebsdrehzahlbereiches ab, welche Variante zu bevorzugen ist.

378


5.5.3 HS-Profile bei Kurvengetrieben 5.5.3.1 Theoretische Grundlagen Es kommt insbesondere bei schnell laufenden Getrieben darauf an, Resonanzgebiete erzwungener Schwingungen durch die Wahl einer günstigen kinematischen ¨ Ubertragungsfunktion (Lagefunktion) zu vermeiden. Ein wesentliches Kennzeichen zur Beurteilung eines konkreten Antriebs ist seine niedrigste Eigenfrequenz. Oft kann man das in Bild 5.39 abgebildete Minimalmodell benutzen, das diese Eigenfrequenz berücksichtigt. Der Weg y des Abtriebsgliedes unterscheidet sich von der auf dem Kurvenprofil vorgegebenen Lagefunktion U(ϕ ) um einen Relativweg. Aus dem Kräftegleichgewicht folgt die Bewegungsgleichung: ˙ Ω t)) + k(y − U(Ω t)) = 0 my¨ + d(y˙ − U(

ϕ= Ω t

(5.197)

d m k

U (ϕ)

y = U (ϕ) + q

Bild 5.39 Minimalmodell eines Kurvengetriebes mit elastischem Abtrieb

Mit ω 02 = k/m läßt sie sich mit den Kenngrößen ϕ = Ω t;

η =

Ω ω0

;

2D =

d mω 0

(5.198)

in die Form η 2 y + 2Dη y + y = U(ϕ ) + 2Dη U (ϕ )

(5.199)

bringen. Dabei bedeutet der Strich die Ableitung nach dem Drehwinkel ϕ . In Gl. (5.199) kommen nur noch drei Einflußgrößen vor, die Lagefunktion U(ϕ ), das Abstimmungsverhältnis η und der Dämpfungsgrad D. Daraus folgt, daß das wesentliche dynamische Verhalten des Kurvengetriebes allein durch diese Größen bestimmt wird, und es nicht auf die Bestimmung der einzelnen dimensionsbehafteten Parameterwerte von m, d und k ankommt. Man kann also die Synthese unter dynamischen Aspekten vornehmen, ohne z. B. die konkrete Größe der Eigenfrequenz zu kennen. Große Mechanismen arbeiten meist bei niedrigeren Drehzahlen als kleine, aber sie haben auch ¨ entsprechend niedrige Eigenfrequenzen, d. h. bezuglich des Abstimmungsverhält¨ nisses η sind Antriebe miteinander vergleichbar, denn η ist eine Ahnlichkeitskennzahl, vgl. Abschn. 2.2.2.


379

Ein periodischer Verlauf der Lagefunktion, die durch ein beliebiges Profil der Kurvenscheibe bestimmt wird, läßt sich mit den Fourierkoeffizienten ak und bk der Lagefunktion beschreiben: U(ϕ ) =

∞

∑ (ak cos kϕ + bk sin kϕ ) =

k=1

Es gilt

a2k + b2k ,

∞

∑ ck cos(kϕ − β k )

(5.200)

k=1

bk ak , cos β k = (5.201) ck ck Die Phasenwinkel ergeben sich aus π π − arcsin(bk /ck ) sign(ak ) βk = + (5.202) 2 2 Die Anzahl der Summanden kann endlich oder unbegrenzt groß sein, aber praktisch werden die Fourierkoeffizienten höherer Ordnungen mit zunehmendem k meist immer kleiner, bis zu Ordnungen, welche durch die Fertigungstoleranz der Kurvenscheiben bestimmt werden [44]. Als Lagefunktionen p-ter Ordnung werden die p-ten Ableitungen bezeichnet: # ∞ π π $ + bk sin kϕ + p (5.203) U (p) (ϕ ) = ∑ k p ak cos kϕ + p 2 2 k=1 ck =

sin β k =

Die Abtriebsbewegung als Absolutweg erhält man aus der Lösung von Gl. (5.199) zu ∞ ∞ (5.204) y(ϕ ) = ∑ a∗k cos kϕ + b∗k sin kϕ = ∑ c∗k cos(kϕ − β k − γ k ) k=1

k=1

und die Relativbewegung beschreibt den Unterschied zum gewählten Kurvenprofil: q = y−U =

∞

∞

k=1

k=1

∑ (Ak cos kϕ + Bk sin kϕ ) = ∑ Ck cos(kϕ + δ k )

Die Beträge der Fourierkoeffizienten des Absolutweges sind c∗k = a∗k 2 + b∗k 2

(5.205)

(5.206)

während deren Komponenten berechenbar sind aus 1 − k2 η 2 + (2Dkη )2 ak − 2Dkη (kη )2 bk ∗ ak = = Ak + ak (5.207) (1 − k2 η 2 )2 + (2Dkη )2 2Dkη (kη )2 ak + 1 − k2 η 2 + (2Dkη )2 bk ∗ bk = = Bk + bk (5.208) (1 − k2 η 2 )2 + (2Dkη )2 Eine typische Drehzahlabhängigkeit der Schwingungsamplituden zeigt das Beispiel für das Schrittgetriebe in Abschn. 5.5.3.3, vgl. Bild 5.46. Es kann viele Resonanzen k-ter Ordnung geben, und zwar jeweils bei 60 f /Hz ; k = 1, 2, . . . (5.209) k also wenn eine der vielen Erregerfrequenzen (die in der periodischen Erregung stecken“) mit der Eigenfrequenz f u¨ bereinstimmt, vgl. dazu auch Gl. (4.2). Die ” kη = 1 bzw. kΩ = ω bzw. nk /min−1 =

380


Amplituden an der k-ten Resonanzstelle (bei jedem Wert η = 1/k) betragen für die Absolut- und die Relativwege: bk ak bk ak , b∗k = + bk , Ak = − , Bk = (5.210) 2D 2D 2D 2D Sie hängen also von der Größe der Fourierkoeffizienten der betreffenden k-ten Ordnung und der Dämpfung ab. Wenn die entsprechenden Fourierkoeffizienten sehr klein sind, treten keine großen Resonanzausschläge auf, obwohl die Bedingung (5.209) erfüllt ist. Infolge der meist kleinen Dämpfung (D ≈ 0,03 . . . 0,05 bei Mechanismen) werden die Amplituden in der Resonanzstelle sehr vergrößert. Bei der Synthese von Mechanismen sollte man darauf achten, daß im Betriebsdrehzahlbereich kein ganzzahliges Vielfaches der Winkelgeschwindigkeit Ω in der Nähe einer Eigenkreisfrequenz ω liegt, da ein Mechanismus bei einer kritischen Drehzahl Ω ≈ ω /k sich nicht mit dem gewünschten Bewegungsgesetz bewegt, vgl. auch Bild 5.51. In der Resonanz k-ter Ordnung wird die Relativbewegung hauptsächlich durch die Schwingung mit der Kreisfrequenz kΩ bestimmt, d. h. die gewünschte Abtriebsbewegung wird durch störende Schwingungen mit dieser Kreisfrequenz u¨ berlagert. Bei der Auswertung von Meßergebnissen kann man aus der Anzahl der Maxima oder Minima, die innerhalb eines kinematischen Zyklus abzählbar sind, die kritische Ordnungszahl K ∗ dieser Resonanz ermitteln. In Resonanznähe können auch benachbarte Harmonische von Einfluß sein, aber die weiter entfernten sind oft vernachlässigbar, so daß aus Gl. (5.205) folgende Näherung folgt: a∗k = ak −

q ≈ Ak−1 cos[(k − 1)ϕ ] + Bk−1 sin[(k − 1)ϕ ] + Ak cos kϕ + Bk sin kϕ +Ak+1 cos[(k + 1)ϕ ] + Bk+1 sin[(k + 1)ϕ ]

(5.211)

wobei die Terme k-ter Ordnung dominieren, wenn nicht die benachbarten Fourierkoeffizienten außergewöhnlich groß sind. Die Resonanzamplitude wird im wesentlichen vom Dämpfungsgrad D und dem Fourierkoeffizienten ck bestimmt. Sie besitzt gemäß Gl. (5.206) und (5.210) den Mindestwert ck (5.212) Ck > 2D Wenn sich ein Resonanzgebiet nicht vermeiden läßt, sollte man dafür sorgen, daß im Erregerspektrum diejenigen Fourierkoeffizienten ck möglichst klein sind, die Resonanzen k-ter Ordnung im Betriebsdrehzahlbereich verursachen können. Die kritische“ Ordnungszahl K ∗ findet man, wenn man die Eigenfrequenz f (in Hz) des ” Mechanismus und die Drehzahl n (in min−1 ) der Maschine kennt: 1 ω 60 · f = K∗ = = (5.213) Ω n η Die meisten Mechanismen arbeiten etwa im Bereich 0,03 < η < 0,3, also in einem Drehzahlbereich, der den Resonanzordnungen k = 3 . . . 30 entspricht. Da beim Hochlaufen auf die Betriebsdrehzahl alle höheren Resonanzordnungen k > K ∗ durchfahren werden, sollten auch alle Fourierkoeffizienten ck für k > K ∗ möglichst klein sein, da in diesem Gebiet keine großen Abweichungen von der geforderten Abtriebsbewegung zulässig sind, vgl. Bild 5.46. Die traditionelle Methode der Getriebetechnik setzt Lagefunktionen aus katalogisierten Abschnitten – sogenann¨ ten normierten Ubertragungsfunktionen – zusammen, vgl. VDI-Richtlinie 2143.


381

Dabei bedingen sowohl die Unstetigkeiten in den höheren Ableitungen als auch die Forderung nach idealen Stillständen in Rastbereichen höhere Harmonische in den Lagefunktionen. Resonanzen höherer Ordnung lassen sich mit HS-Lagefunktionen (HS-Profilen) vermeiden, die nur eine endliche Anzahl K von relevanten Harmonischen besitzen. Für sie gilt im Unterschied zu Gl. (5.200): K

K

k=1

k=1

U(ϕ ) = ∑ (ak cos kϕ + bk sin kϕ ) + O(ε ) = ∑ ck cos(kϕ − β k ) + O(ε ) (5.214) d. h., die Anzahl der Harmonischen wird auf eine Zahl K < K ∗ begrenzt, und die Fourierkoeffizienten ak und bk der Lagefunktion U(ϕ ) oberhalb der Ordnung K sind Null (oder vernachlässigbar klein). Die Fourierkoeffizienten der HS-Lagefunktionen erhält man aber nicht einfach dadurch, daß man die höheren Harmonischen im Erregerspektrum der traditionellen Profile abschneidet“. HS-Kurvenprofile werden nach ” einer besonderen Methode berechnet, die in [227] beschrieben ist, vgl. auch [77], [81] und [278]. Ein Grundgedanke bei der Synthese besteht darin, daß man im Bewegungsplan für die Lagefunktionen p-ter Ordnung (p = 0, 1, 2) Toleranzgrenzen für bestimmte Winkel ϕ i oder Winkelbereiche vorgibt, und zwar einzig an solchen Stellen, an denen es auf die Einhaltung der Abtriebsbewegung ankommt. Für diskrete Stützstellen“ ϕ i ” werden die Forderungen dann mit Ungleichungen der Form U (p) (ϕ i )min U (p) (ϕ i ) U (p) (ϕ i )max

(5.215)

formuliert. Damit können auch einseitige Schranken und genaue Punktforderungen ausgedrückt werden. Für die p-te Ableitung der Lagefunktion gilt, vgl. Gl. (5.203) # K π π $ + bk sin kϕ i + p (5.216) U (p) (ϕ i ) = ∑ k p ak cos kϕ i + p 2 2 k=1 Man erhält auf diese Weise ein System von Ungleichungen zur Berechnung der Koeffizienten ak und bk . Die zur Synthese von HS-Profilen ursprünglich benutzten Approximationsmethoden [81], die eine minimale Abweichung von den gegebenen Bewegungen forderten, wurden durch dieses Syntheseverfahren verbessert, welches zur Lösung des Systems von Ungleichungen Algorithmen zur linearen Optimierung benutzt. Damit können zulässige Toleranzen in den technologischen Forderungen berücksichtigt werden. Der Begriff HS-Profil“ ( Harmonische Synthese“ oder high speed“) wurde im ” ” ” Jahre 1984 eingeführt, als Kurvenscheiben für Kettenwirkmaschinen (Patent DD 220 633) und ein Auswerfersystem für Kurbelpressen (Patent DD 222 798) nach dieser Methode ausgelegt wurden. Das Programm mHSL [270] wurde auf Grund von Anforderungen entwickelt, die von Konstrukteuren an schnell laufende Kurvengetriebe gestellt wurden, vgl. [64], [77]. Inzwischen wurde es zur Lösung von Aufgaben aus der Industrie vielfach angewendet. Firmen, welche Kurvenscheiben für Antriebe in Verarbeitungsmaschinen herstellen, nutzen die dazu entwickelte Software. Der Einsatz von Kurvengetrieben mit HS-Profilen hat sich in Verpackungsmaschinen, polygrafischen Maschinen und Textilmaschinen, bei denen störende Schwingungen am Abtriebsglied infolge Resonanzen k-ter Ordnung entstanden, vielfach in der Praxis bewährt [44], [68], [227], [313].

382


Typisch für viele Verarbeitungsmaschinen ist, daß mehrere Mechanismen syn¨ chron in zueinander genau koordinierten Bewegungen arbeiten müssen. Ublicherweise sind j = 2 . . . 8 zyklische Abtriebsbewegungen zu koordinieren, die durch Lagefunktionen U j (ϕ ) beschrieben werden. Diese gegenseitige Abhängigkeit wird in Form von Zyklogrammen als Funktion des Drehwinkels ϕ 0 der Hauptwelle ( Ma” schinenwinkel“) beschrieben, vgl. z. B. Bild 5.40. Relative Forderungen zwischen den Lagefunktionen U j (ϕ ) sind zu berücksichtigen, um den korrekten technologischen Ablauf zu sichern und um Kollision zwischen den Gliedern unterschiedlicher Mechanismen zu vermeiden.

Bild 5.40 Typisches Zyklogramm einer Verarbeitungsmaschine (Schraubenstauchautomat)

Die simultane Optimierung der zu koordinierenden Bewegungsabläufe im Hinblick auf die Resonanzen k-ter Ordnung bringt Vorteile. Bei der Optimierungsrechnung werden entsprechend der in [227] beschriebenen Methode die Forderungen an jedes einzelne Bewegungsgesetz ebenso wie die Relativforderungen berücksichtigt. Die simultane Optimierung koordinierter Bewegungsabläufe liefert naturgemäß wesentlich bessere Ergebnisse, als wenn jede einzelne Lagefunktion für sich erfolgt. Mit der Implementierung dieses Verfahrens zur Synthese bis zu fünf HS-Profilen im Programm mHSL [270] gelang es, dessen Anwendungsgebiet wesentlich zu erweitern [227], [313]. Bei herkömmlichen Lagefunktionen werden im Langsamlauf der Maschine die technologischen Forderungen im Rahmen der Fertigungstoleranz exakt eingehalten. Reale Antriebe weisen jedoch Elastizitäten und Spiel auf, so daß bei höheren Drehzahlen die wirkliche Bewegung des Abtriebsgliedes infolge störender Schwingungen von der geometrischen Lagefunktion abweicht. Bei der Anwendung von HS-Profilen wird ein Toleranzbereich für die Einhaltung der idealen“ Bewegung vorgesehen. ” 5.5.3.2 Rastgetriebe Bild 5.41 zeigt das Beispiel eines Rastgetriebes, bei dem ein HS-Profil mit einer ¨ traditionellen normierten Ubertragungsfunktion, der geneigten Sinoide nach VDIRichtlinie 2143 verglichen wird, vgl. auch [64], [72], [81]. HS-Profile erfüllen eine


Bild 5.41 Verlauf der Lagefunktion U und Abtriebsweg y bei symmetrischer Rast-in-Rast-Bewegung im Rastbereich

Bild 5.42 Erreichbares Abstimmungsverhältnis in Abhängigkeit von Rastbreite und Toleranzgrenze [227]

383

384


Rast nicht exakt, wohl aber die vorgebende Toleranzgrenze, die in Bild 5.41 und Bild 5.42 mit ∆R/H angegeben ist. Das Bewegungsgesetz der geneigten Sinoide regt bereits ab η 0,090 9 Eigenschwingungen an, die innerhalb des Rastbereiches den Toleranzbereich ausfüllen, während das HS-Profil erst bei η 0,142 7 an die untere Grenzen stößt, vgl. Bild 5.41. Die zulässige Toleranz im Rastbereich wurde bei der Synthese des HS-Profils ausgenutzt, um die zulässige Betriebsdrehzahl (das Abstimmungsverhältnis η in Gl. (5.198)) zu maximieren. Bild 5.42 zeigt den Zusammenhang zwischen Rastbreite ϕ R , Anzahl K der Harmonischen und erreichbarem Abstimmungsverhältnis im Vergleich zur geneigten Sinoide. Das HS-Profil erlaubt erfahrungsgemäß etwa das 1,3 bis 1,6-fache Abstimmungsverhältnis gegenüber traditionellen Kurvenprofilen zu erreichen. Dies bedeutet in der Praxis eine entsprechend höhere Betriebsdrehzahl, ohne daß störende Schwingungen am Abtriebsglied auftreten.

5.5.3.3 Schrittgetriebe Für das Berechnungsmodell eines Schrittgetriebes nach Bild 5.43b ist das dynami¨ sche Verhalten zum einen für eine Lagefunktion in Form der normierten Ubertragungsfunktion Bestehorn-Sinoide“ nach VDI-Richtlinie 2143 und zum anderen für ” ein HS-Profil mit drei Harmonischen zu untersuchen. Es soll ermittelt werden, bis zu welcher Drehzahl ein Betrieb möglich ist, wenn der zulässige Toleranzbereich ausgenutzt wird.

Bild 5.43 Kurvenschrittgetriebe; a) Struktur, b) Minimalmodell


385

Gegeben sind die Parameterwerte ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ◦ US 30 Schwenkwinkel, vgl. Bild 5.44a ⎟ Antriebsdrehwinkel pro Schritt, vgl. Bild 5.44 ⎜ ϕ ∗ ⎟ ⎜ 200◦ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ n ⎟ ⎜ 300 min−1 ⎟ Betriebsdrehzahl ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ p = ⎜ J ⎟ = ⎜ 0,22 kg · m2 ⎟ Trägheitmoment des Abtriebgsliedes (5.217) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ kT ⎟ ⎜ 5 400 N · m ⎟ Drehfederkonstante der Abtriebswelle ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ Dämpfungsgrad des Torsionsschwingers ⎝ D ⎠ ⎝ 0,02 ◦ 0,3 ∆U zulässige Rastabweichung ( Toleranzbereich“) ”

US

ϕ 2π

Antriebswinkel

a) 8

U ′, U ′′

U ′′ U′ 0

b)

−8 −2

0


8

Bild 5.44 Lagefunktionen des Schrittgetriebes a) nullte Ordnung, b) erste und zweite Ordnung

Die Bewegungsgleichung des kinematisch erregten Einfachschwingers nach Bild 5.43b ergibt sich aus dem Momentengleichgewicht an der Abtriebsdrehmasse J, an dem das elastische Rückstellmoment, das Dämpfungsmoment und das Massenmo” ment“ infolge der Trägheit der Drehmasse angreifen. Es gilt: (5.218) J ϕ¨ 1 + dT · ϕ˙ 1 − U˙ + kT · (ϕ 1 − U) = 0

386


Benutzt man den Relativwinkel der Abtriebswelle als verallgemeinerte Koordinate q mit d( ) q¨ = ϕ¨ 1 − U¨ = ϕ¨ 1 − Ω 2U ; ( ) = (5.219) q = ϕ 1 − U; dϕ so erhält man dafür die Bewegungsgleichung: J q¨ + dT q˙ + kT q = −J Ω 2U (ϕ )

(5.220) ¨ Die Lagefunktion nullter Ordnung bei einem Schrittgetriebe kann als Uberlagerung einer gleichförmigen mit einer periodischen Bewegung interpretiert werden. Geschwindigkeits- und Beschleunigungsverlauf sind dann periodische Funktionen des Antriebswinkels ϕ , vgl. Bild 5.44. Es gilt für die Lagefunktionen: U (ϕ ) =

∞ US ϕ + ∑ bk sin kϕ 2π k=1

U (ϕ ) =

US 2π

(5.221)

∞

+ ∑ kbk cos kϕ

(5.222)

k=1 ∞

− ∑ k2 bk sin kϕ

U (ϕ ) =

(5.223)

k=1

vgl. auch Gl. (5.200) und Gl. (5.203). Der Kosinusanteil entfällt in Gl. (5.221), da der periodische Anteil eine antimetrische Funktion ist, vgl. Bild 5.44 und Gl. (1.78) in [77]. Die Bewegungsgleichung (5.218) erhält damit die Form analog zu (5.137): q¨ + 2Dω 0 q˙ + ω 02 q = −Ω 2U = Ω 2 Dabei ist ω 0 =

∞

∑ k2 bk sin kΩ t

kT die Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Schwingers und J

dT D= √ 2 kT J dessen Dämpfungsgrad. Setzt man den Lösungsansatz q=

∞

(5.224)

k=1

(5.225)

∞

∑ (Ak cos kΩ t + Bk sin kΩ t) = ∑ Ck cos (kΩ t + δ k )

k=1

k=1

∞

∞

k=1

k=1

q˙ = Ω ∑ (−kAk sin kΩ t + kBk cos kΩ t) = −Ω ∑ kCk sin (kΩ t + δ k )

(5.226)

∞ ∞ q¨ = −Ω 2 ∑ k2 Ak cos kΩ t + k2 Bk sin kΩ t = −Ω 2 ∑ k2Ck cos (kΩ t + δ k ) k=1

k=1

in Gl. (5.220) ein, so führt der Koeffizientenvergleich für jeden der in der Summe enthaltenen Kosinus- und Sinusanteile auf: 1 − k2 η 2 Ak + 2Dkη Bk = 0 cos kΩ t : (5.227) sin kΩ t : −2Dkη Ak + 1 − k2 η 2 Bk = +k2 η 2 bk


387

Die Lösung dieser zwei Gleichungen mit den Unbekannten Ak und Bk führt auf: k2 η 2 1 − k2 η 2 −k2 η 2 (2Dkη ) Ak = bk , Bk = bk (5.228) 2 2 1 − k2 η 2 + (2Dkη )2 1 − k2 η 2 + (2Dkη )2 vgl. auch Gl. (5.207) und Gl. (5.209). Für die Amplitude der k-ten Harmonischen der Relativkoordinate gilt dann, vgl. Gl. (5.206): k2 η 2 · |bk | (5.229) Ck = A2k + B2k = 2 1 − k2 η 2 + (2Dkη )2 Es gibt mehrere Resonanzstellen, also Drehzahlen mit extremen Amplituden. Eine Resonanz k-ter Ordnung liegt vor, wenn die Erregerkreisfrequenz kΩ der k-ten Harmonischen mit der Eigenkreisfrequenz zusammenfällt. Dann gilt wegen Gl. (5.209) kΩ = ω 0

oder

kη = 1

(5.230)

und die Abschätzung für die Resonanzamplitude, vgl. Gl. (5.210) und Gl. (5.212): |q|max > Ckmax =

|bk | , 2D

k = 1, 2, . . .

(5.231)

Die Eigenkreisfrequenz ω = ω 0 · 1 − D2 weicht bei einem schwach gedämpften System nur wenig von der des ungedämpften Systems ab. Die Eigenfrequenz als Kenngröße eines schwingungsfähigen Systems erhält man aus den Parameterwerten: ω kT 5 400 1 1 = f = (5.232) 1−D2 = 1−0,022 = 24,93 Hz 2π 2π J 2π 0,22 Vergleicht man diese Eigenfrequenz mit der Grund-Erregerfrequenz ferr = Ω /(2π ) = n/60 = 5 Hz (Betriebsdrehzahl), so ergibt sich ein Abstimmungsverhältnis von η ≈ 0,2. Somit besteht die Gefahr der Resonanz mit der fünften Harmonischen (K ∗ = 5) der Lagefunktion, vgl. auch Bild 5.46. Da die Resonanzamplituden Ck nach Gl. (5.231) linear von den bk abhängen, ist ¨ bei Ubereinstimmung von kΩ mit ω die jeweilige Amplitude dem Fourierkoeffizienten |bk | proportional, d. h., im vorliegenden Fall sollte |b5 | möglichst klein sein. Für die Bestehorn-Sinoide“ gilt mit dem Schwenkwinkel US : ” ⎧ ϕ∗ ϕ∗ ϕ ϕ 1 ⎪ für − ϕ + ⎪ ⎨US · ϕ ∗ + 2π sin 2π ϕ ∗ 2 2 U (ϕ ) = ∗ ⎪ ϕ ϕ∗ ⎪ ⎩ US ϕ 2π − für 2 2 2 ⎧ ϕ∗ ϕ∗ 1 ϕ 1 ϕ + f¨ u r − ⎪ ⎨US · + ∗ cos 2π ∗ 2 2 ϕ∗ ϕ ϕ U (ϕ ) = (5.233) ⎪ ϕ∗ ϕ∗ ⎩ ϕ 2π − für 0 2 2

388


U (ϕ ) =

⎧ 2π ϕ ⎪ ⎨−US 2 sin 2π ∗ ϕ

ϕ∗

⎪ ⎩ 0

für − für

ϕ∗

2

ϕ +

ϕ∗

2 ϕ∗ ϕ∗ ϕ 2π − 2 2

vgl. VDI-Richtlinie 2143 und Bild 5.44. Im mittleren Bereich ist eine exakte Rast vorgesehen. Für den Fourierreihenansatz nach Gl. (5.221) kann man dann unter Verwendung der Fourierschen Formel die Fourierkoeffizienten von U ermitteln, indem man das Integral u¨ ber die volle Periode aufteilt. Weil U (ϕ ) eine ungerade Funktion ist, genügt es, u¨ ber den Bereich 0 < ϕ < ϕ ∗ /2 zu integrieren. Es gilt 2π

1 π

( )dϕ =

0

ϕ∗ /2

1

( )dϕ +

π

0

1 π

∗ 2π − ϕ /2

0 · dϕ +

ϕ ∗ /2

2π

1 π

( )dϕ =

2π −ϕ ∗ /2

2 π

ϕ∗ /2

( )dϕ

(5.234)

0

und ausführlich mit Benutzung von Additionstheoremen k bk = − 2

=

1 π

4US ϕ

2π

U (ϕ ) sin kϕ dϕ = −

0

2 π

ϕ∗ /2

U (ϕ ) sin kϕ dϕ

ϕ∗ /2

sin 2π ϕ /ϕ ∗ sin kϕ dϕ =

∗2

% ϕ∗

3

0

(5.235)

0

8πUS 2π 2 ϕ∗

& · sin − k2

kϕ ∗ 2

Es ergibt sich daraus für k = 1, . . . , 6 mit ϕ ∗ = 200◦ = 10π /9: b1 b2 b3 b4

= 0,259 789 · US ; = 0,066 481 · US ; = 0,009 872 · US ; = −0,001 860 · US

b5 b6 b7 b8

= −0,000 698 · US = 0,000 434 · US = 9,013 · 10−5US = −1,497 · 10−4US

(5.236)

Damit entstehen Resonanzspitzen für den Relativwinkel gemäß Gl. (5.231) von 1 : |q|max = 0,004 08US > C7 max = 0,002 25US ; 7 1 η = : |q|max = 0,012 76US > C6 max = 0,010 9US ; 6 1 η = : |q|max = 0,022 16US > C5 max = 0,017 5US 5 η =

(5.237)

Unter Benutzung von HS-Profilen lassen sich diese Resonanzen 5. und 6. Ordnung vermeiden. Die Anwendung des Abschneide-Verfahrens“ ergibt ein Pseudo-HS-Profil“ ” ” und führt bei Verwendung von K = 4 Harmonischen auf die Verläufe nach Bild 5.45 und Bild 5.46.

389


U, ϕ1

2π − ϕ∗

Schwenkwinkel

ϕ∗

US

Ausschnitt, vgl. Bild b

ϕ1

U

ϕ1

U

Bild 5.45 Verlauf der Schrittbewegung bei Benutzung verschiedener Lagefunktionen a) Gesamtbild, b) Ausschnitt (Vollinie: Bestehorn-Sinoide, gestrichelt: HS-Profil)

Es fällt auf, daß mit einem HS-Profil die Rast nicht exakt eingehalten wird. Dies ist durchaus zulässig, wenn die Abweichungen innerhalb des Toleranzbereichs bleiben (∆U = ±0,01 · US ). Die Fourierkoeffizienten, welche das echte“ HS-Profil bestimmen, lauten im Ge” gensatz zu Gl. (5.236) b1 = 0,249 04 · US ; b3 = 0,006 88 · US

b2 = 0,054 63 · US bk = 0 für k 4

(5.238)

Bild 5.45 zeigt die Bewegungsverläufe, die sich bei den zur Auswahl stehenden Lagefunktionen am Abtriebsglied einstellen, im Vergleich zu den Lagefunktionen selbst. Dabei wird sichtbar, daß bei der Bestehorn-Sinoide der Abtriebsbewegung starke Schwingungen u¨ berlagert sind, während beim HS-Profil wesentlich geringere Abweichungen auftreten. Bild 5.46 zeigt die maximale relative Rastabweichung in

390


Abhängigkeit vom Abstimmungsverhältnis, das der Maschinendrehzahl proportional ist. Die Resonanzstellen bei η =

1 , k

k = 4, 5, 6 7 8

(5.239)

sind für die Bestehorn-Sinoide und die ab k = 5 beschnittene“ Bestehorn-Sinoide ” deutlich zu erkennen.

1

3 2 0 0

Bild 5.46 Abhängigkeit der Maximalausschläge im Rastbereich Kurve 1: Bestehorn-Sinoide, vgl. Gl. (5.236), Kurve 2: beschnittene“ Bestehorn-Sinoide, vgl. Gl. (5.236) mit b5 = b6 = 0, ” Kurve 3: HS-Profil, vgl. Gl. (5.238)

Die Höhe dieser Resonanzspitzen entspricht Gl. (5.237) und u¨ bersteigt schon für die 5. bis 6. Harmonische das zulässige Maß. Die Resonanz mit der vierten Harmonischen tritt bei beiden Lagefunktionen auf und ist bei der beschnittenen“ Bestehorn” Sinoide von gleicher Größe wie bei der echten“ Bestehorn-Sinoide. ” Durch ein echtes“ HS-Profil mit K = 3 Harmonischen kann man das maximal ” erreichbare Abstimmungsverhältnis erhöhen, da es bei η = 1/4 gar keine Resonanzstelle hat, vgl. Kurve 3 in Bild 5.46. Für das HS-Profil entfallen im unteren Bereich der Betriebsdrehzahl die resonanzbedingten starken Schwingungen. Neben der positiven Wirkung hinsichtlich der Geräuschemission und des Verschleißverhaltens ist es damit möglich, die größte erreichbare Drehzahl um ca. 80 % zu erhöhen, ohne die Toleranzgrenzen für die Abtriebsbewegung zu verletzen.


391

5.5.4 Beeinflussung des Erregerspektrums mehrgliedriger Koppelgetriebe Neben Kurvengetrieben werden in den Antrieben von Verarbeitungsmaschinen mehrgliedrige Koppelgetriebe eingesetzt. Die Synthese solcher Koppelrastgetriebe erfolgt gewöhnlich unter Berücksichtigung der kinematischen Anforderungen, während dynamische Kriterien oft erst nachträglich beachtet werden. Es gibt meist viele Lösungen, welche die kinematischen Anforderungen und die zusätzlichen konstruktiven und technologischen Bedingungen erfüllen, z. B. begrenzte Baumaße, Längenbereiche der Gliedabmessungen u. a. In der Getriebetechnik wird oft ¨ als Bewertungskriterium zur Auswahl möglicher Varianten der minimale Ubertragungswinkel benutzt, aber es ist aus schwingungstechnischer Sicht wichtiger, die Fourierkoeffizienten k-ter Ordnung der Abtriebskoordinate als Bewertungskriterium zu benutzen [74].

ψ

ϕR

∆ψ

l3

ψm

a) 0

360o ϕ

l 2 2ϕ

b)

3 l4 ϕ

l6 ψ β0 6 l5 5 Umkehrlage 4 l 145 θ 4 = 2π − β 4

1

Bild 5.47 Sechsgliedriges Koppelrastgetriebe a) Kenngrößen der Rast-Umkehr-Bewegung, b) kinematisches Schema

Als Beispiel wird ein Koppelrastgetriebe betrachtet, bei dem die technologischen Forderungen für die Rastbewegung durch die in Bild 5.47a angegebenen drei Parameter beschrieben werden können. Diese Aufgabe läßt sich durch 16 verschiedene Getriebemodifikationen lösen [74], von denen in Tabelle 5.7 für fünf davon Parameterwerte angegeben sind. Neben den in den ersten sieben Spalten angegebenen kinematischen Abmessungen, mit deren Hilfe man die betreffenden Koppelrastge¨ triebe zeichnen oder nachrechnen könnte, sind die Extremwerte der Ubertragungswinkel der beiden Dyaden angegeben, vgl. auch Bild 5.47b. Die verschiedenen Modifikationen,welchen unterschiedliche Montagevarianten [81] entsprechen, erfüllen alle die kinematischen Anforderungen an die Abtriebsbewegung, aber sie zeigen ein sehr unterschiedliches Erregerspektrum und damit ein unterschiedliches dynamisches Verhalten. Für jedes der ermittelten Koppelrastgetriebe wurde eine kinematische Analyse und die harmonische Analyse des Abtriebswinkels ψ mit Hilfe des Programms WinDAM [270] vorgenommen. Es gilt gemäß Gl. (5.200) ψ (ϕ ) = U(ϕ ) =

∞

∑ ck cos(kϕ − β k )

(5.240)

k=1

Die Fourierkoeffizienten ck sind in Tabelle 5.8 für k = 1 bis 6 zusammengestellt. Die höheren Fourierkoeffizienten ck (für k > 7) sind vernachlässigbar klein.

392


¨ Tabelle 5.7 Kinematische Abmessungen und minimale Ubertragungswinkel der Koppelrastgetriebe von MOD1 bis MOD5 für ∆ ψ = 0,4◦ (Maßeinheit der Längen ist beliebig) Variante

l2

l3

l4

θ 4 in ◦

a4

MOD1

22,32

213,8

53,79

−115,4

110

86,75

MOD2

20,07

218,0

31,30

−203,6

60

59,48

MOD3

48,17

212,0

73,96

23,32

110

MOD4

20,19

218,9

23,95

− 47,21

MOD5

20,76

217,1

37,23

−367,7

(µ 1 )ext in ◦

(µ 2 )ext in ◦

117,1

64,8

36,7

316,2

49,8

55,2

144,8

144,8

47,6

48,1

50

375,5

313,4

32,4

55,4

80

142,5

121,9

55,7

54,0

l5

α0

in ◦

Tabelle 5.8 Fourierkoeffizienten c1 bis c6 (in rad) der Mechanismen-Varianten von Bild 5.47b Variante

c1

c2

c3

c4

c5

c6

MOD1

0,119 46

0,037 01

0,001 17

0,001 63

0,000 142

0,000 103

MOD2

0,122 96

0,035 71

0,004 14

0,000 63

0,000 267

0,000 057

MOD3

0,118 38

0,037 99

0,002 46

0,002 41

0,000 153

0,000 204

MOD4

0,114 60

0,039 85

0,003 90

0,003 39

0,000 296

0,000 508

MOD5

0,122 43

0,035 61

0,003 78

0,000 58

0,000 092

0,000 028

Interessant sind die Unterschiede zwischen den k-ten Harmonischen der verschiedenen Getriebearten. Während sich die ersten beiden Fourierkoeffizienten von ihren Mittelwerten c1 = 0,111 und c2 = 0,039 maximal nur um etwa 10 % unterscheiden, gibt es bei c3 bis c6 bedeutende Unterschiede. Der Fourierkoeffizient c3 ist bei der Modifikation MOD1 besonders klein. Bei den höheren Fourierkoeffizienten sind die Unterschiede noch größer. Man kann voraussagen, daß jede der Modifikationen in anderen Drehzahlbereichen besonders schwingungsarm laufen wird. Angenommen, es liegt ein Drehzahlbereich in der Nähe von η = 0,26, dann ist gemäß Gl. (5.213) die kritische Ordnung K ∗ ≈ 4. Deshalb wird diejenige Variante die niedrigsten Schwingungsamplituden haben, bei welcher c4 am kleinsten ist. Unter den gefundenen Mechanismen ist dies gemäß Tabelle 5.8 die Modifikation MOD5, aber auch MOD2 wäre günstig. Dieses Beispiel zeigt, daß vor allem im Bereich der dritten bis sechsten Harmonischen große Unterschiede zwischen den verschiedenen Modifikationen hinsichtlich des dynamischen Kriteriums Erregerharmonische“ bestehen, die alle dieselben ” kinematischen Anforderungen erfüllen. Bei der Synthese von Koppelgetrieben sollte man aus dynamischer Sicht auf die Fourierkoeffizienten derjenigen Ordnungen k achten, die in den Bereich der vorgesehenen Betriebdrehzahl fallen, vgl. Gl. (5.213). Oft gibt es mehrere alternative Mechanismen, welche alle die kinematischen Forderungen erfüllen. Günstige Modifikationen der Koppelgetriebe haben im kritischen η Bereich kleine Fourierkoeffizienten, so daß bei deren Wahl minimale Schwingungen im Betriebsdrehzahlbereich zu erwarten sind.

5.6 Optimale Stutzenabst¨ ¨ ande angetriebener Balken

393

5.6 Optimale Stutzenabst¨ ¨ ande angetriebener Balken 5.6.1 Aufgabenstellung Gerade Balken konstanten Querschnitts, die quer zur Balkenachse periodisch bei hohen Arbeitsgeschwindigkeiten bewegt werden, kommen bei verschiedenen Maschinenarten vor. Die Grundfrequenz solcher Balken soll möglichst groß sein, um sie möglichst unterkritisch, also mit einer Erregerfrequenz weit unterhalb der Grundfrequenz, zu betreiben. Wenn die Anforderungen so hoch sind, daß eine unterkritische Betriebsdrehzahl nicht realisierbar ist, muß die Forderung erfüllt werden, daß die (oft durch Harmonische mit höherer als 5. Ordnung) angeregten Schwingungsamplituden hinreichend klein bleiben. Derartige Antriebsaufgaben gibt es z. B. bei Webmaschinen, bei denen die Weblade anzutreiben ist oder bei Wirkmaschinen, wo sogenannte Barren tausende von Nadeln tragen und relativ zueinander bewegt werden müssen. Bei Kettenwirkmaschinen, Kämmaschinen und Nähwirkmaschinen kommen manchmal mehrere sol¨ cher Barren innerhalb einer Maschine vor. Ahnliche Aufgaben gibt es bei Sieben und Schwingförderern, die quer zur Balkenachse vibrieren, um das Schüttgut zu bewegen. Dabei dürfen innerhalb der Rinne keine Schwingungsknoten entstehen, weil das Schüttgut sonst stehen bleibt ([35], [320]) oder das Sieb nicht siebt. Auch bei Rüttelverdichtern muß der Antrieb so erfolgen, daß die Verdichtung längs des Balkens möglichst gleichmäßig ist. In einfachen Fällen werden balkenförmige Abtriebsglieder u¨ ber zwei Stützen angetrieben, aber oft werden viele (vier bis zehn) Stützen eingesetzt [279], um die Grundfrequenz zu erhöhen. Bei solchen Antriebssystemen kann oft nicht vermieden werden, daß eine der (durch die periodische Bewegung bedingten) vielen Erregerharmonischen mit einer der vielen Eigenfrequenzen im Betriebsdrehzahlbereich u¨ bereinstimmt. Glücklicherweise bedeutet allein die Tatsache, daß ein ganzzahliges Vielfaches der Drehfrequenz mit einer der Eigenfrequenzen zusammenfällt, nicht unbedingt eine große Gefahr. Hohe dynamische Belastungen oder störende Schwingungsknoten längs der Balkenachse treten nur dann auf, wenn außer der Resonanzbedingung kΩ = ω i

(5.241)

auch die Bedingung erfüllt wird, daß die angreifenden k-ten Harmonischen vorhanden und hinreichend groß sind. Außerdem müssen sie räumlich verteilt so angreifen, daß sie mechanische Arbeit in die betreffende i-te Eigenform einspeisen, vgl. Abschn. 5.2. Konstruktiv kann man die Resonanzgefahr hierbei durch folgende Maßnahmen vermindern: • • • • •

Erhöhung der Anzahl der Stützen, Verbesserung der Anordnung der Stützstellen, Versteifung jeder einzelnen Stütze, Vermeidung von Spiel und Lagerelastizitäten an den Kontaktstellen, Verminderung der betreffenden Erregerharmonischen.

394


5.6.2 Gekoppelte Biege- und Torsionsschwinger In [276] wurde der Antrieb einer Weblade mit dem Ziel untersucht, eine möglichst hohe Eigenfrequenz und damit möglichst geringe Schwingungsamplituden bei Betriebsdrehzahl zu ermitteln. Es wurden dabei die Biegesteifigkeit EI der Weblade, die Torsionssteifigkeit GIT der Zwischenwellen und der Einfluß der Länge l1 (Stützweite des Balkens und der Länge der konstruktiv erforderlichen Zwischenwellen) berücksichtigt, vgl. Bild 5.48. Das Antriebssystem ließ sich im stationären Betrieb (RastUmkehr-Bewegung) mit zwei modalen Koordinaten hinreichend genau beschreiben, da die dritte Eigenfrequenz weit oberhalb der ersten beiden lag. Es wurde nachgewiesen, daß die Schwingungsamplituden der Weblade minimal sind, wenn das Antriebssystem mit folgenden Kenngrößen ausgelegt wird: l1 EI · R2 = 0,03, = 0,15 (5.242) 2 GIT · l l Sie lagen in der Nähe des Parameterbereiches, in dem die erste Eigenfrequenz maximal ist. Die in [276] berechneten erzwungenen Schwingungsausschläge während der Rastphase blieben in der Balkenmitte bei diesen Parameterwerten bei der Betriebsdrehzahl von 80 bis 100 min−1 hinreichend klein.

l1

l

Weblade l1

l1

ψ(ϕ)

EI, A

k=

l EI, A

l1

GI T l1R 2 s = R⋅ψ(t )

ψ(ϕ)

a)

b)

GI T

R

ϕ0 = Ω t GI T

Bild 5.48 Webladenantrieb einer Webmaschine; a) Prinzipskizze, b) Berechnungsmodell

Kompliziertere Berechnungsmodelle gekoppelter Biege-Torsionsschwinger müssen oft bei Verarbeitungsmaschinen angewendet werden, wenn von einer Hauptwelle aus mehrere Mechanismen angetrieben werden, die koordinierte Arbeitsbewegungen ausführen, vgl. auch Abschn. 4.4.2. Grundsätzlich sollte man solche Parameterwerte konstruktiv umsetzen, welche die Wechselwirkungen zwischen den Schwingungen der verschiedenen Mechanismen vermeiden und bei jedem einzelnen Antrieb die Torsions- und Biegeschwingungen entkoppeln. Hinreichend


395

steife Hauptwellen, deren Grundfrequenz weit oberhalb der Biegeeigenfrequenzen des Balkens liegt, lassen sich oft durch einen entsprechend großen Durchmesser erreichen, denn die Torsionssteifigkeit GIT a¨ ndert sich mit der vierten Potenz des Durchmessers.

l k q1 +U

EI k A

k

q2 +U

k l/3

ϕ0

l/3 l/3 l0 kT J kT ϕ1 = q3 + ϕ0

ϕ 0= Ω t

U

J

kT

J

kT

J

Bild 5.49 Antriebssystem der Nadelbarre einer Kettenwirkmaschine [81]

f1 = 187 Hz

f 3 = 258 Hz

f 2 = 217 Hz

q2

q1

f 4 = 342 Hz

q3 f 5 = 534 Hz

f 6 = 595 Hz

Bild 5.50 Eigenschwingformen des Antriebssystems von Bild 5.49

Das in Bild 5.49 gezeigte Antriebssystem hat die Aufgabe, die Nadelbarre bei möglichst hoher Betriebsdrehzahl nach einem technologisch bedingten periodischen Bewegungsgesetz, das z. B. in [227] und [279] analysiert wird, zu bewegen. Das

396


Ordnung k 14

Eigenfrquenz fi in Hz

400

13

12

11

10

9

8 7

f 4 = 339 Hz

300

6

200

f = 258 Hz 5 3 f 4 2 = 217 Hz f = 190 Hz 3 1

100

2 1

0

a)

1600

1800

2000

2200

2400

2600

2800

Drehzal n in min

3000

−1

5

relative Verformung

4

1

3 2 2 1 3

0 b)

1600

1800

2000

2200

2400

2600

2800

Drehzal n in min

3000

−1

Bild 5.51 Rechenergebnisse von [279] a) Campbell-Diagramm, b) Maximalwerte der Koordinaten q1 , q2 und q3 Kurve 1: 100 · q1 in mm, Kurve 2: 10 · q2 in mm, Kurve 3: 1 000 · q3 in rad

Antriebssystem besteht aus vier Wellenabschnitten, die als Torsionsfedern wirken, von denen aus u¨ ber vier mehrgliedrige Koppelgetriebe die Nadelbarre angetrieben wird. Die Schwingungsamplituden der Nadelbarre müssen nicht nur bei der Betriebsdrehzahl klein sein, die zwischen 2 500 und 3 000 min−1 liegt, sondern auch im ganzen Drehzahlbereich darunter, da beim Hochlauf und beim Bremsen ebenfalls Wirkware fehlerfrei hergestellt werden muß. Eine Schwingungsanalyse sollte zeigen, wo die kritischen Drehzahlen der vorhandenen Konstruktion liegen und durch welche Maßnahmen eine Verbesserung des dynamischen Verhaltens möglich ist. Es sind folgende Parameterwerte bekannt:


⎞ ⎛ 7,2 · 104 N · m kT ⎜ EI ⎟ ⎜ 2,75 · 104 N · m ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ k ⎟ ⎜ 3,0 · 107 N · m−1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ p = ⎜ J ⎟ = ⎜6,0 · 10−3 kg · m2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜A⎟ ⎜ 8,1 kg · m−1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ l0 ⎠ ⎝ 0,675 m 2,025 m l ⎛

⎞ Torsionsfederkonstante ⎟ Biegesteifigkeit ⎟ ⎟ Federkonstante ⎟ ⎟ Trägheitsmoment ⎟ ⎟ ⎟ Masse pro Länge ⎟ ⎠ Abschnittlänge

397

(5.243)

Balkenlänge

Die veränderliche Lagefunktion U(ϕ ) der Mechanismen, mit welcher die Hauptwelle die Nadelbarre in der technologisch geforderten Bewegung steuert, wirkt sich nur wenig auf die Eigenfrequenzen aus. Bei den wichtigen niederen Eigenformen ist die Kopplung der Schwingungen der Antriebswelle und der Nadelbarre gering, vgl. Bild 5.50. Die erzwungenen Schwingungen werden also durch die periodische Lagefunktion U(ϕ ) bestimmt. Die Schwingungsanalyse in [279] ergab für die Extremwerte der Verformungen am Ende der Nadelbarre (q1 ), an der dritten Stütze der Nadelbarre (q2 ) und am Anfang der Antriebswelle (q3 ) die in Bild 5.51b gezeigten Amplituden-Frequenzgänge. Man erkennt durch den Vergleich mit dem CampbellDiagramm, welche Erregerharmonischen mit welchen Eigenformen große Schwingungsausschläge hervorrufen. Im Bild 5.51a zeigen die Schnittpunkte der Ordnungsgeraden der vierten bis 13. Harmonischen mit den parallelen Geraden, bei welchen Drehzahlen die Resonanzbedingung Gl. (5.241) erfüllt ist. Nicht alle Schnittpunkte ergeben große Resonanzamplituden, denn bezüglich der modalen Erregung bestehen große Unterschiede, vgl. auch Abschn. 5.2. Verfolgt man die Spitzenwerte der Verläufe von Bild 5.51b bis hinauf zu Bild 5.51a, so sieht man die kritischen“ ” Schnittpunkte. Im wesentlichen führt nur die erste (eine Torsionsschwingung) und die vierte (eine Biegung) Eigenschwingform zu Resonanzen und mit den Erregerharmonischen. An den in Bild 5.50 sichtbaren relativen Verschiebungen zwischen Nadelbarre und Stützen wird verständlich, warum die Anregung der vierten Eigenform so stark ist: die Erregerkräfte an den Stützen verrichten mechanische Arbeit besonders mit dieser Eigenform, während dies bei den anderen Eigenformen weniger der Fall ist. 5.6.3 Balken auf mehreren Stutzen ¨ Das bei vielen Maschinen auftretende Problem des Antriebs langer Balken soll mit dem in Bild 5.52 gezeigten Berechnungsmodell behandelt werden. Das einfachste Modell für solche Objekte ist der Kontinuum-Balken konstanten Querschnitts, der auf mehreren Stützen elastisch gelagert ist, vgl. auch Abschn. 2.4.4. Die Parameter, von denen die Eigenkreisfrequenzen ω i abhängen, sind die Balkenlänge l, die Lagerabstände lk , die Anzahl K der Lager, die Biegesteifigkeit EI, die Masse pro Längeneinheit m/l = A und die Federkonstante k, die hier bei allen Stützen als gleich groß angenommen wird, vgl. auch Bild 2.33 und Bild 2.34. Bevor der Einfluß der Federkonstante k der Lager berücksichtigt wird, soll zunächst auf die Eigenfrequenzen und Eigenformen von mehrfach starr gelagerten Balken (k → ∞) eingegangen werden.

398


Im weiteren wird mit den dimensionslosen Eigenwerten λ i2 gerechnet, die mit den Eigenfrequenzen fi und den anderen Parametern in folgendem Zusammenhang stehen, vgl. auch Abschn. 2.3.5: EI 2 , i = 1, 2, . . . (5.244) 2π fi = ω 1 = λ i Al 4 Die Eigenwerte hängen im allgemeinen von den Randbedingungen eines Balkens und hier speziell von den relativen Lagerabständen lk /l ab. Gl. (5.244) läßt erkennen, ¨ für die Eigenfrequenzen sind. Es geht aus daß die λ i2 -Werte Ahnlichkeitskennzahlen Gl. (5.244) hervor, in welcher Kombination die beteiligten Parameter stets auftreten und wie sich deren Einfluß auf die Eigenfrequenzen unterscheidet. Bei gleichen Lagerbedingungen a¨ ndern sich alle Eigenfrequenzen umgekehrt zum Quadrat der Balkenlänge l, d. h., man kann mit der Länge eines Balkens seine Eigenfrequenzen stark beeinflussen. Da das Verhältnis I/A beim Kreisquerschnitt proportional dem Durchmesser ist, kann man auch sehen, daß die Eigenfrequenzen dem Durchmesser proportional ansteigen. Die anderen Parameter beeinflussen die Eigenfrequenzen proportional zur Wurzel und sind damit weniger sensitiv, also weniger geeignet, die Eigenfrequenzen zu beeinflussen. l l1 l1

EI, A k

k

lj

k

k

l2

l2

k

k

lj

Bild 5.52 Symmetrisch abgestützter Balken auf K elastischen Stützen

Tabelle 5.9 zeigt die ersten drei Eigenwerte des an beiden Rändern freien mehrfach starr abgestützten Balkens in Abhängigkeit von der Anzahl K der Lager und den relativen Abständen zwischen den Lagern. Aus der Strukturdynamik ist bekannt, daß symmetrische Strukturen entweder symmetrische oder antimetrische Eigenformen haben [113]. Im vorliegenden Beispiel entsprechen den Werten λ 1 und λ 3 symmetrische Eigenformen und den Werten λ 2 antimetrische Eigenformen, wenn sich in der Symmetrieachse keine Stütze befindet (Fall 2 bis 5, 10 bis 12 und 14 in Tabelle 5.9). Ist in der Mitte eine Stütze, wie in den Fällen 1, 6 bis 9, 13 und 15, dann ist jede erste und dritte Eigenform antimetrisch (im Fall 1 eine Starrkörperdrehung) und die zu λ 2 gehörende symmetrisch, vgl. auch Bild 5.53 und Bild 5.54. Man kann aus dieser Tabelle ablesen, wie sich die Eigenfrequenzen mit zunehmender Anzahl der Stützen erhöhen. Es zeigt sich, daß eine Aufteilung des Balkens in gleich große Abschnitte (Fälle 3, 6, 7 und 10) nicht zweckmäßig ist, wenn man bei gleicher Anzahl der Stützen eine große Grundfrequenz anstrebt. So ist z. B. die erste Eigenfrequenz bei drei Stützen bei optimaler Stützenverteilung (Fall 9) gegenüber derjenigen bei drei a¨ quidistanten Stützen (Fall 6) um den Faktor (61,67/39,48) ≈ 1,6

399


Tabelle 5.9 Eigenwerte des massebelegten Balkens mit als Funktion der Anzahl (K = 1, . . . , 7) und der relativen Abstände der symmetrisch angeordneten starren Stützen Fall

K

relative Abstände

Eigenwertquadrate λ 12

1

0,500

1

1,000

2 0,333

3 2

4 5

11

4

12

9,870

39,48

88,83

0,250

0,500

21,93

36,52

75,37

0,224

0,552

22,37

41,84

71,96

39,48

61,68

157,9

36,22

39,40

186,6

0,333

56,96

68,22

135,0

0,368

61,67

83,92

145,4

58,42

59,81

276,4

0,167

0,200

10

61,67

115,26

0,132

9

14,08

24,52

0,250

3

0

18,04

0,500

8

λ 32

0,333

6 7

λ 22

0,125

0,250

0,200

0,200

0,250

0,250

106,4

113,9

206,5

0,094 0,262

0,288

120,9

145,6

202,7

199,9

225,6

289,2

298,6

325,5

393,2

417,0

445,0

517,7

13

5

0,073 0,204

14

6

0,060 0,166 0,183

15

7

0,050 0,141 0,155 0,154

0,223 0,182

mal größer. Mit optimalen Stützenabständen kann man die Eigenfrequenz bei gleicher Stützenanzahl gegenüber anderen Stützstellenanordnungen wesentlich erhöhen, vgl. die Fälle 5 (mit 2 bis 4), 9 (mit 6 bis 8), 12 (mit 10 und 11) und 13 bis 15. Ein an K Stellen gestützter Balken hat dann die höchste Grundfrequenz, wenn die Stützstellen die Schwingungsknoten der i-ten Eigenform des frei-freien Balkens sind. Dann gilt K = i − 1. Bei derart gestützten Balken entstehen bei den Eigenschwingungen keine Lagerkräfte. Diese Abstände sind die für die Fälle 5, 9 und 12 bis 15 in Tabelle 5.9 angegebenen. Alle Eigenwerte eines beiderseits freien Balkens folgen aus der transzendenten Frequenzgleichung [113], [137], [150], [197], [232]: (cos λ · cos hλ − 1)λ 2 = 0

(5.245)

400


Das Berechnungsmodell eines Balkens, der symmetrisch auf K elastischen Lagern abgestützt ist, die alle dieselbe Federkonstante k haben, zeigt Bild 5.52. Bei ihm hängen alle Eigenwerte außer von den relativen Lagerabständen lk /l auch von der re¨ lativen Biegesteifigkeit ab, die bereits in Abschn. 2.3.5 durch die Ahnlichkeitskennzahl kl 3 (5.246) EI erfaßt wurde, vgl. Bild 2.33 und Bild 2.34. Ist dieser Balken sehr steif (EI → ∞),so verhält er sich wie ein starrer Körper, und es existieren bei symmetrischer Stützung zwei Eigenfrequenzen. Für die translatorische Schubschwingung ergibt sich aus dem Quotienten von Federkonstante und Masse bekanntlich √ Kk ω S2 = (5.247) , λ S2 = π 2 K Al π2 =

Dabei wurde der Eigenwert λ S2 unter Benutzung von Gl. (5.245) eingeführt, um die Werte vergleichen zu können. Für die Drehschwingung des starren Körpers ergibt sich analog aus dem Quotienten von Drehfederkonstante (kT = 2k ∑ lk2 ) und Trägheitsmoment um die Symmetrieachse (JS = Al 3 /12) die Eigenkreisfrequenz ω D und der Eigenwert λ D2 aus kT 2 ωD = = JS

24k · ∑ lk2 k Al 3

,

λ D2

=

2 lk 24π 2 ∑ l k

(5.248)

Dabei sind die lk /l < 0,5 die Abstände der Lagerfedern vom Zentrum. Die Summation erstreckt sich auf alle K Federn. Bei zwei Stützen (K = 2) ist λ S = λ D , wenn 24(l1 /l)2 = 2 bzw. l1 /l = 0,288 7 ist. Je nach dem, ob der relative Stützenabstand größer oder kleiner als dieser Wert ist, ist λ S oder λ D der kleinste Eigenwert λ 1 . Bild 5.53 zeigt die Abhängigkeit der ersten sechs Eigenwerte von der relativen Steifigkeit π 2 . Außerdem wurde die Abhängigkeit der Eigenwerte der beiden Starrkörperschwingformen gemäß Gl. (5.247) und (5.248) zum Vergleich mit eingezeichnet. Die Stützenabstände haben die Werte, für welche sich bei starren Lagern die höchste erste Eigenfrequenz ergibt, vgl. Tabelle 5.9, Fall 5 und Fall 9. Genau genommen verändern sich diese noch in Abhängigkeit von der relativen Steifigkeit π 2 . Da diese Abhängigkeit klein ist, wurde sie hier nicht berücksichtigt. Bei π 2 > π ∗2 (Lager sind steif gegenüber dem Balken) ist der erste Eigenwert genau so groß, als ob die Lager starr wären, d. h., dann hat die Lagerfederkonstante gar keinen Einfluß. Die Eigenwerte nähern sich denjenigen Werten von λ 12 , die in Tabelle 5.9 angegeben sind. Für Werte von π 2 < π 2∗ ist der Balken steif gegenüber den Lagern, d. h., die Eigenfrequenzen konvergieren asymptotisch gegen diejenigen eines starren Körpers, der sich auf K elastische Lager stützt, also wird die tiefste Eigenfrequenz dann durch die Gln. (5.247) oder (5.248) bestimmt. Wie aus Bild 5.53 hervorgeht, ist die Grenze zwischen weichen“ und steifen“ Balken bei einem Grenzwert ” ” π 2∗ erreicht. Dieser beträgt K = 2:

π 2∗ = 337;

lg π 2∗ = 2,528

K = 3:

π 2∗ = 2 049;

lg π 2∗ = 3,312

(5.249)

401


λ2i

400 350

λ26

300

λ25

250

λD

200

λS

150

λ24

100

λ23

50

λ22

0 a)

λ21

π*2

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

λ2i

lg π 2

400

λ26

350

λ25

300 π2 =

250 200

λ24

150

λ23

λS , λ D

100

λ22 λ21

50 0 b)

kl 3 EI

π*2

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

lg π 2 Bild 5.53 Tiefste sechs Eigenwerte eines Balkens auf elastischen Stützen a) zwei Stützen mit l1 /l = 0,226, b) drei Stützen mit l1 /l = 0; l2 /l = 0,368

Wenn die Balken eine Mindeststeifigkeit haben, die diesen Grenzwert π 2∗ u¨ bersteigt, dann wird die erste Eigenfrequenz von den Stützfedern mit der Federkonstante k bestimmt. Oder anders ausgedrückt: Wenn die Federsteifigkeiten der Stützen relativ klein sind (was klein ist, bestimmt π 2∗ ), dann werden die ersten beiden Eigenwerte durch die Starrkörperschwingformen bestimmt, vgl. Gl. (5.247) und Gl. (5.248). In dem Bereich π 2 < π 2∗ hat eine Versteifung des Balkens fast keine Sensitivität ¨ bezuglich der ersten beiden Eigenwerte. Umgekehrt ergibt sich, daß in dem Bereich π 2 > π 2∗ eine Versteifung der Stützen am ersten Eigenwert nichts a¨ ndert. Diese

402


Grenzwerte π 2∗ sind für die Konstruktion solcher Antriebe von Bedeutung. Sie sind in den Gln. (5.249) und (5.251) für einige Fälle angegeben und lassen sich in erster Näherung aus der Bedingung ermitteln, daß der höchste mit K Stützen erreichbare Eigenwert demjenigen aus Gl. (5.245) entspricht. Der Grenzwert ist ungefähr π 2∗ ≈

(λ 12max )2 K

(5.250)

λ2i

600

λ26

500 400 λS , λ D

λ25

300

λ24

200

λ23 λ22

100

λ21

0 a)

π*2

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5 5,5 lg π 2

6

600 λ2i

λ26

500

λ25

400

λS , λ D

λ24 λ23

300

λ22

200

λ21

100 0 b)

1

1,5

2

2,5

3

3,5

π*2 4 4,5

5

5,5

6

lg π 2 Bild 5.54 Tiefste sechs Eigenwerte eines Balkens auf elastischen Stützen a) vier Stützen mit l1 /l = 0,144; l2 /l = 0,406 b) fünf Stützen mit l1 /l = 0; l2 /l = 0,223; l3 /l = 0,427

π2 =

kl 3 EI


403

In Bild 5.53 und Bild 5.54 sind die Eigenformen, die zu den jeweiligen Eigenwerten gehören, mit eingezeichnet. Am linken Rand der Diagramme ergeben sich Eigenwerte und Eigenformen des frei schwebenden Balkens, da in diesem Bereich keine Abhängigkeit von der Federkonstante der Stützen besteht, obwohl die Stützen vorhanden sind. Im rechten Bereich nähern sich die ersten vier Eigenwerte bei zunehmender Stützensteifigkeit (abnehmender Biegesteifigkeit) asymptotisch an horizontale Geraden an, die zu den ersten vier Eigenfrequenzen des starr gelagerten Balkens konvergieren, während sich der fünfte und sechste Eigenwert asymptotisch den Verläufen annähern, die sich aus den Gl. (5.247) und (5.248) ergeben. Bild 5.54 zeigt analog zu Bild 5.53 die Abhängigkeit der ersten sechs Eigenwerte von der relativen Biegesteifigkeit bei einem festen relativen Stützenabstand, wenn vier oder fünf Stützen angewendet werden. Interessant ist, wie sich die Grenzwerte der relativen Biegesteifigkeit verändern. Es gilt K = 4:

π 2∗ = 5 805;

lg π 2∗ = 3,764

K = 5:

π 2∗ = 11 620;

lg π 2∗ = 4,065

(5.251)

Wird die Anzahl der Stützen von zwei auf fünf erhöht, dann kann bei gleicher Biegesteifigkeit bei dem Wert π 2 > 10 000 bzw. lg π 2 > 4 die erste Eigenfrequenz auf fast das Neunfache erhöht werden, vgl. die Werte in den Bildern 5.53 und 5.54. Diese Erhöhung ist aber nur bei sehr großen π 2 -Werten, also bei sehr steifen Stützen möglich. Es haben mehrere Stützen also nur dann Sinn, wenn sie auch entsprechend steif ausgebildet werden. Liegt die Kennzahl aus Gl. (5.246) bei π 2 < 1 000 bzw. lg π 2 < 3, dann a¨ ndert sich der erste Eigenwert nur wenig, wenn statt zwei Stützen drei oder mehr Stützen angewendet werden, d. h., die vielen Stützen sind dynamisch praktisch wirkungslos, wenn der Balken relativ weich ist (Sensitivität!). Um eine anschauliche Vorstellung von der Größenordnung der π 2 -Werte zu erhalten, sollen einige Zahlenwerte der realen Parameter zum Vergleich herangezogen werden. In Gl. (5.243) sind für eine Kettenwirkmaschine die Parameterwerte ange¨ π 2 = 9 059 geben. Aus ihnen ergibt sich aus Gl. (5.246) die Ahnlichkeitskennzahl und lg π 2 = 3,957. Für die in Bild 5.49 gezeigte gleichmäßige Stützenverteilung ergibt sich dafür λ 12 = 86,9, während bei ideal starren Stützen (π 2 → ∞) auch nur der Wert λ 12 = 88,83 erreichbar würde. Eine konstruktiv schwierig realisierbare Versteifung der Stützung würde keinen wesentlichen Effekt bringen, aber mit vier optimal verteilten Stützen wäre λ 12 = 120,9 (vgl. Tabelle 5.9, Fall 12) zu erreichen, also eine wesentliche Verbesserung. Andererseits wären drei Stützen in diesem Fall zu wenig, weil damit höchstens λ 12 = 61,67 (Fall 9 in Tabelle 5.9) ist. Die Konstrukteure dieser Maschine, die keine derartigen Rechnungen ausführten, hatten auf Grund ihrer Erfahrung die notwendige Anzahl der Stützen richtig erkannt.

404


5.7 Antriebe von Vibrationsmaschinen 5.7.1 Aufgabenstellung Bei vielen Maschinen kommt es darauf an, periodische Schwingungen zu erregen. Zu solchen Maschinen, die hier unter dem Oberbegriff Vibrationsmaschinen“ zusam” mengefaßt werden, gehören Siebe, Rütteltische und -verdichter, Schwingmühlen, Schwingförderer, Prüfmaschinen, Vibrationspumpen, Schüttelrutschen, Schlagbohrmaschinen, Dosierförderer u. a. Zur Erzeugung der Schwingbewegungen werden Schubkurbelgetriebe, Unwuchterreger, elektromagnetische Schwingungserreger, hydraulische oder pneumatische Antriebe eingesetzt. Am meisten werden harmonische Schwingungen angewendet, da sich diese relativ leicht erregen lassen. Bild 5.55 zeigt skizzenhaft einige solcher Vibrationsmaschinen. Ω

a)

b)

Ω

c)

Bild 5.55 Typische Maschinen, welche Schwingungen anwenden a) Schwingförderer [320], b) Taumelbrecher [35], c) Betonverdichter [205]

¨ Tabelle 5.10 gibt einen Uberblick u¨ ber die Größenbereiche von Amplituden und Frequenzen der gegenwärtig u¨ blicherweise für die Generierung harmonischer Schwingungen eingesetzten Antriebe, vgl. [33], [219], [320] und Firmenprospekte. Von Seiten der Technologie besteht stets die Frage, welche Schwingungen zweckmäßig oder optimal für den jeweiligen Prozeß sind, während von der Maschinendynamik gezeigt werden muß, wie man die gewünschten Schwingungen am besten erregt. Es sind also Antriebssysteme zu entwerfen, welche die Schwingungen der Erreger verstärken und einen stabilen (robusten) Betrieb sichern. Die Tragsysteme müssen so ausgelegt werden, daß die Umgebung vor den entstehenden Schwingungen geschützt (isoliert) wird. Weiterhin kommt es darauf an, das dynamische Verhalten der angetriebenen Körper zu berücksichtigen, also das der Stäbe,

5.7 Antriebe von Vibrationsmaschinen

405

Balken, Töpfe, Rinnen, Behälter, Platten u. a. Tiefergehende Untersuchungen zu Schwingförderern findet man z. B. in [207] und [321]. Tabelle 5.10 Parameterbereiche von Schwingantrieben Anwendungsfall Siebe Schüttelrutschen Schwingförderer

Backenbrecher Schwingmühlen Bohrhämmer

Amplituden in mm 0,3 . . . 10 100 . . . 300 0 . . . 2,5 3 . . . 15 0,5 . . . 6 10 . . . 70 1...5 1 . . . 10

Frequenzen in Hz 10 . . . 60 5 . . . 16 25 oder 50 5 . . . 15 10 . . . 25 5 . . . 30 20 . . . 60 25 . . . 120

Antriebsart Elektromagnet, Unwucht, Schubkurbel Druckluft, Schubkurbel Elektromagnet Schubkurbel Unwucht Unwucht, Schubkurbel Unwucht, Elektromagnet Unwucht, Schubkurbel

5.7.2 Schubkurbelgetriebe als Schwingungserreger Schubkurbelgetriebe mit einem kleinen Kurbelverhältnis r/l 1 erzeugen annähernd harmonische Bewegungen, vgl. die genauen Formeln in Abschn. 2.2.3. Sie werden bei vielen Maschinen als Antriebe eingesetzt und wurden schon in [219] behandelt. Eine kleine Fundamentbelastung wird bei entgegengesetzt gerichteten Bewegungen zweier Massen erreicht, und die Amplituden werden durch das Betreiben in Resonanznähe verstärkt. Bild 5.56 zeigt die Struktur eines zweckmäßigen und häufig eingesetzten Schwingungssystems [18].

Man x m

r

Ωt

Fk

l k0, d0 k1, d1

x m

Bild 5.56 Berechnungsmodell von Vibrationsmaschinen (System Binder)

Das in Bild 5.56 gezeigte Schwingungssystem besteht zwar aus zwei Massen, die sich infolge der kinematischen Kopplung entgegengesetzt gerichtet (gegensinnig) bewegen, aber dieses Antriebssystem besitzt nur einen einzigen Freiheitsgrad. Man kann damit mit relativ kleinen Antriebsmomenten große Schwingungsamplituden der Massen m erzeugen. Die Bewegungsgleichung lautet mit k = 2(k0 + k1 ); d = 2(d0 + d1 ) für das in Bild 5.56 dargestellte Schwingungssystem: mx¨ + d x˙ + kx = r(−k0 cos Ω t + d0 Ω sin Ω t)

(5.252)

406


Das zur Erzeugung der konstanten Antriebswinkelgeschwindigkeit Ω erforderliche Antriebsmoment ergibt sich aus dem Produkt der Koppelkraft und dem Hebelarm r sin Ω t: r rΩ (5.253) Man = −2 k0 x + cos Ω t + d0 x˙ − sin Ω t r sin Ω t 2 2 Die stationäre Lösung der Gl. (5.252) lautet mit den Ausdrücken d0 k Ω k d κ= η = ; 2D = √ ; ; ω0 = ω0 dk0 m km N = (1 − η 2 )2 + (2Dη )2 A1 = −

[1 − η 2 + κ(2Dη )2 ]k0 Nk

2Dη [κ(1 − η 2 ) − 1]k0 Nk für den Weg

(5.254) (5.255) (5.256)

B1 =

(5.257)

x = r(A1 cos Ω t + B1 sin Ω t) = xˆ sin(Ω t − ϕ ∗ )

(5.258)

mit der Amplitude xˆ = r A21 + B21

(5.259)

Auf die Angabe der Phasenwinkel ϕ ∗ und ϕ ∗∗ in den Gln. (5.258) und (5.260) wird verzichtet, da hauptsächlich die Amplituden interessieren. Das Antriebsmoment ergibt sich nach dem Einsetzen der Lösung (5.258) in Gl. (5.253) zu Man = Mm + Mˆ sin 2(Ω t − ϕ ∗∗ )

(5.260)

Es besitzt den Mittelwert Mm = −k0 r2 [B1 − 2Dη κ(A1 + 0,5)] und die Momentenamplitude Mˆ = k0 r2 [B1 − 2Dη κ(A1 + 0,5)]2 + [A1 + 0,5 + 2Dη κB1 ]2

(5.261)

(5.262)

Falls alle Dämpferkonstanten proportional zu den jeweiligen Federkonstanten sind, ergibt sich aus Gl. (5.254) κ = 1. Für diesen Fall wurden die Formeln (5.259), (5.261) und (5.262) ausgewertet, vgl. die Darstellung der Amplituden-Frequenzgänge in Bild 5.57. Man kann den Verläufen in Bild 5.57 entnehmen, daß eine zweckmäßige Betriebsweise im Bereich des Abstimmungsverhältnisses η = 0,8 bis 0,9 möglich ist, denn dort treten bei relativ kleinem Antriebsmoment große Schwingwege auf. Man beachte, daß bei der Darstellung der Amplituden der Faktor (k/k0 ) vorkommt, d. h., die Amplitude ist in diesem Bereich wesentlich größer als der Kurbelradius r. Direkt im Resonanzgebiet (η ≈ 1) ist es nicht ratsam zu arbeiten, da dort kleine Parameterschwankungen zu großen Amplitudenänderungen führen (zu große Sensitivität). Das Antriebsmoment wird durch den technologischen Prozeß oft maßgeblich beeinflußt,


10 k x$ rk0

D = 0,05 D = 0,075

5

0

a)

407

D = 0,1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8 η

2

1,8 η

2

2

D = 0,1

k0 r 2

Mm

1,5

k0 = 0,3 k k0 = 0,2 k k0 = 0,1 k

1

0,5 0

b)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

D = 0,1

1,5

k0 = 0,3 k k0 = 0,2 k

k0 r

M$

2

2

1

k0 = 0,1 k

0,5

c)

0

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8 η

2

Bild 5.57 Amplituden-Frequenzgänge bezogener Größen für das Schwingungssystem von Bild 5.56 a) Wegamplitude, b) Betrag des mittleren Antriebsmoments, c) Momentenamplitude

besonders bei Sieben und Brechern hat das Material den wesentlichen Einfluß. Die technologischen Kräfte kann man bei solch einfachen Modellen durch entsprechende Werte der Massen und Dämpfungsparameter näherungsweise erfassen. Das Zweimassensystem in Bild 5.58 entspricht ebenfalls einem Schwinger mit einem Freiheitsgrad und ist als zweckmäßige Struktur für Resonanzschwingsiebe bekannt geworden [18]. Seine Bewegungsgleichungen lauten mit der zunächst noch unbekannten Koppelkraft Fk :

408


m1 x¨1 + d1 (x˙1 − x˙2 ) + k1 (x1 − x2 ) = Fk

(5.263)

m2 x¨2 − d1 (x˙1 − x˙2 ) − k1 (x1 − x2 ) + d2 x˙2 + k2 x2 = −Fk

(5.264)

Durch das Schubkurbelgetriebe wird der Relativweg erzwungen, der bei r/l 1 annähernd harmonisch verläuft: x1 − x2 = r cos Ω t

(5.265)

Das Antriebsmoment ergibt sich aus der Koppelkraft Fk und dem stellungsabhängigen Hebelarm der Kurbel analog zu Gl. (5.253): Man = Fk r sin Ω t = [m1 x¨1 + d1 (x˙1 − x˙2 ) + k1 (x1 − x2 )]r sin Ω t

(5.266)

x1 Man x2

r

Ωt

l

Fk

k1

k2

d1

d2

m1

m2

Bild 5.58 Berechnungsmodell für Resonanzschwingsieb, vgl. Fall 6 in Tabelle 5.1

Die Amplituden der beiden Koordinaten ergeben sich im stationären Zustand aus der Lösung der Gln. (5.263) bis (5.265) zu xk = xˆk cos(Ω t − ϕ k );

k = 1, 2

(5.267)

und das Antriebsmoment folgt daraus wegen Gl. (5.266) zu Man = Mm + Mˆ sin[2(Ω t − ϕ ∗ )] Dabei betragen die Amplituden der Schwingwege xˆ2 = r (A2 − 1)2 + B22 xˆ1 = r A22 + B22 ;

(5.268)

(5.269) Hierbei ist mit m = m1 + m2 ; 2D = d2 /(mω 0 ); ω 0 = k2 /m; η = Ω /ω 0 und N gemäß Gl. (5.255) $ # m2 m2 + (2Dη )2 (1− η 2 ) 1− η 2 2Dη 3 1− m m ; B2 = (5.270) A2 = N N und der Mittelwert sowie die Amplitude des Antriebsmomentes sind k1 r2 m1 k2 2 η B2 + 2Dη Mm = (5.271) 2 m k1 2 2 2 m1 k2 2 m1 k2 2 r k 1 η A2 − 1 + η B2 + 2Dη (5.272) Mˆ = 2 m k1 m k1

409


Man vergleiche dazu die für das ungedämpfte System in Tabelle 5.1 und Tabelle 5.2 angegebenen Ergebnisse. Die Massen m1 und m2 (z. B. Sieb und Gegenmasse) werden zwangläufig relativ zueinander gegensinnig bewegt, aber im raumfesten System schwingen sie bis zum Erreichen der Eigenfrequenz (Ω < ω 1 ) gleichsinnig. Der Mittelwert Mm ist der Dämpfung proportional. Es gibt zwei Tilgungsfrequenzen der Momentenamplitude, die sich im ungedämpften Fall aus 2 m1 k1 m m1 k1 m2 k1 m2 η T1, 2 = − (5.273) ∓ + + 2m1 m2 m k2 2m1 m2 m k2 k2 m1 m2 ¨ ergeben. Nach dem Uberschreiten der ersten Tilgungsfrequenz schwingen die beiden Massen im raumfesten System gegensinnig zueinander. Die Horizontalkraft Fx auf den Aufstellort läßt sich aus der Beschleunigung der Massen oder aus der Summe der Massenkräfte berechnen, d. h., nach der Elimination von Fk folgt aus den Gln. (5.263) und (5.264): Fx = d2 x˙2 + k2 x2 = −m1 x¨1 − m2 x¨2

(5.274)

x$ 1 x$ 2 , r r

4 3 2 x$1

1

x$ 2

a)

0 0

1

2

FG H

2 2 M$ ⋅ 2 , M m ⋅ 2 k1r k1r

1,5

3 4 5 Abstimmungsverhältnis η

IJ K

k M$ 2 = 0,4 k1

FG H

6

IJ K

k M$ 2 = 0,2 k1

1

FG k = 0,4IJ Hk K Fk I M G = 0,2J Hk K 2

Mm

0,5

1

2

m

1

0 b)

0

1

2

3 4 5 Abstimmungsverhältnis η

6

Bild 5.59 Amplituden-Frequenzgänge bezogener Größen für das Schwingungssystem von Bild 5.58; a) Wegamplituden, b) Mittelwert des Betrages des Antriebsmoments; Momentenamplitude

410


Solche Zweimassenschwinger werden zweckmäßig im Bereich der größeren Tilgungsfrequenz betrieben (η ≈ η T2 ). Die Federkonstante k2 ist meist wesentlich kleiner als k1 , damit möglichst kleine Kräfte Fx entstehen, die in das Gestell eingeleitet werden und dann auf die Umgebung wirken. Für Vibrationsmaschinen werden die Parameter meist in den Bereichen k2 /k1 < 0,25 (d. h. relativ harte Federkonstanten k1 ) und m2 /m1 ≈ 3 gewählt, so daß das Antriebsmoment klein ist. In Bild 5.59 sind als Beispiel für die Kennwerte k2 /k1 = 0,2 und k2 /k1 = 0,4 sowie m2 /m1 = 3; D = 0,02 die aus den Formeln (5.269) bis (5.272) berechenbaren Frequenzgänge des Schwingweges und des Antriebsmomentes ausgewertet worden. Sie sind als Funktion des Abstimmungsverhältnisses η = Ω /ω 0 und der weiteren Parameter dargestellt. Man sieht, daß der Mittelwert Mm , welcher der Dämpfung proportional ist, langsam mit dem Abstimmungsverhältnis η ansteigt. Um den Betriebsbereich zu erreichen, muß ein relativ kleines Resonanzgebiet bei niederen Drehzahlen (schnell) durchfahren werden. Die stationären Amplituden der Wege stellen sich im u¨ berkritischen Gebiet auf ein Verhältnis ein, welches dem Kehrwert des Massenverhältnisses entspricht. Die Schwingungen erfolgen gewissermaßen um den in Ruhe bleibenden Schwerpunkt der beiden Massen. Diese Schwingsiebe werden zweckmäßig in einem Bereich des Abstimmungsverhältnisses η T2 = 3,5 bis 6 betrieben, da dort das Antriebsmoment ein Minimum hat, vgl. Bild 5.59b. Dort sind die Amplituden nicht mehr von der Erregerfrequenz abhängig, also ist wegen der geringen Sensitivität ein robuster“ Betrieb möglich, ” vgl. Bild 5.59a. Die Dämpfung ist für den Minimalwert des Antriebsmomentes bestimmend. 5.7.3 Unwuchterreger und Selbstsynchronisation 5.7.3.1 Zur historischen Entwicklung dieser Antriebsart Schon H UYGENS war es am Ende des 17. Jahrhunderts bekannt, daß sich zwei oder mehr Pendel gegenseitig beeinflussen, wenn sie auf dem selben beweglichen Brett stehen. Am Ende der Vierziger Jahre des 20. Jahrhunderts wurde beobachtet, daß sich die Drehbewegungen unwuchtiger Rotoren, die gemeinsam in einem beweglichen Tragsystem angeordnet sind, wechselseitig beeinflussen. Unter bestimmten Bedingungen kann die sogenannte Selbstsynchronisation stattfinden, infolge dessen die Rotoren entweder die selbe mittlere Drehgeschwindigkeit Ω annehmen oder ganzzahlige Vielfache davon (und bestimmte Phasendifferenzen). Die Tendenz zur synchronen Rotation kann so stark sein, daß sie sogar nach dem Abschalten von einem oder mehreren Motoren erhalten bleibt. Die zur Aufrechterhaltung der Rotation erforderliche Energie wird von den Motoren u¨ ber die vibrierende Unterlage auf die anderen Rotoren u¨ bertragen. Es war von P LISS und A BRAMOVIC im Jahre 1948 zufällig beobachtet worden, daß ein elektrischer Motor seine Rotation fortsetzte, obwohl sein Netzanschluß unterbrochen war, vgl. die Bemerkungen zur Geschichte dieses Problems in [35]. Dies gab den Anstoß dafür, die Selbstsynchronisation unwuchtiger Rotoren theoretisch zu untersuchen und sich mit deren praktischer Anwendung zu befassen. Die erste theoretische Untersuchung stammt von B LEKHMAN [30], vgl.


411

auch sein Patent der UdSSR, Nr. 112 448 vom 13.03.1957. In den Publikationen [31], [33], [34], [35], [218], [307], [308] wurden weitergehende Probleme behandelt. Bei vielen Vibrationsmaschinen werden für die Schwingungserregung mehrere Unwuchterreger benutzt, welche mit derselben Winkelgeschwindigkeit und definierten Phasendifferenzen rotieren. Eine gerichtete Erregerkraft wird oft durch zwei Unwuchtrotoren erzeugt, deren gegensinnige gleichphasige synchrone Bewegung durch ein Zahnradpaar erzwungen wird, vgl. Bild 5.60a. Der Nachteil einer solchen Anordnung besteht darin, daß Verschleiß in der Verzahnung eintritt und Lärm entsteht, weil die Belastungsrichtung wechselt. So eine Anordnung kann nicht angewendet werden, wenn die Schwingungserreger große Abstände haben, was bei einigen Vibrationsmaschinen notwendig ist, speziell bei Sieben für heiße Materialien und bei Schwingförderern. Mit Antrieben, die sich selbst synchronisieren, können diese Unzulänglichkeiten vermieden werden, vgl. Bild 5.60b. Ω

a)

Ω

Ω

Ω

b)

Bild 5.60 Unwuchterreger auf einem Vibratorkörper a) Erzwungene Synchronisation durch ein Zahnradpaar b) Selbstsynchronisation von zwei unabhängigen Rotoren

Eine wichtige Anwendung der Selbstsynchronisation besteht darin, gemeinsam mit motorgetriebenen Unwuchtrotoren zusätzlich frei umlaufende Rotoren an dem Vibratorkörper anzuordnen, der bewegt werden soll. Die Theorie prophezeit, daß die nicht von Motoren direkt angetriebenen Rotoren, die als Rollen, Scheiben, Walzen oder Ringe gestaltet sind, im Betriebszustand synchron mit derselben Drehgeschwindigkeit wie der angetriebene Erreger rotieren. Meßergebnisse [19], [31], [308] haben die Voraussagen dieser Theorie bestätigt. Gegenwärtig gibt es für Maschinen und Anlagen mit Schwingungserregern, welche die Selbstsynchronisation ausnutzen, mehr als 300 Patente, davon die meisten in Rußland. Die Gesetzmäßigkeiten der Selbstsynchronisation können nicht einfach auf Grund intuitiver Vorstellungen vorausgesagt oder nur durch experimentelles Probieren geklärt werden, d. h., sie müssen durch gründliche theoretische Untersuchungen an zweckmäßigen Berechnungsmodellen analysiert werden. Es sind viele Maschinen im Einsatz, die nach diesem Erregerprinzip arbeiten, und sie haben sich in der Industriepraxis bewährt, insbesondere bei solchen für das Brechen und Zerkleinern fester Materialien [19], [31], [35]. Vibrationsmaschinen mit selbstsynchronisierenden Schwingungserregern werden serienmäßig in Russland, Deutschland, Japan und in anderen Ländern produziert. Man kann die Selbstsynchronisation auch für den gegenseitigen Massenausgleich mehrerer Maschinen nutzen, die auf demselben Fundament stehen. Bei einer regellosen Anordnung können mehrere Maschinen sich so ungünstig mit gleichen Phasenwinkeln synchronisieren, daß sich die resultierenden Massenkräfte vervielfachen. So etwas trat in der Praxis auf und führte zu Havariefällen, z. B. in Webereien, wo viele

412


Maschinen auf derselben Gebäudedecke stehen. Werden dagegen solche Maschinenanordnungen richtig projektiert, ist es möglich, eine Kompensation der Massenkräfte zu bewirken. 5.7.3.2 Bedingungen fur ¨ stabile Betriebszustände von Unwuchtrotoren Das allgemeine Berechnungsmodell für Maschinen mit selbstsynchronisierenden Schwingungserregern ist ein Mehrkörpersystem, das aus einem Tragsystem besteht, in dem mehrere mechanische Schwingungserreger gelagert sind. Das sind unwuchtige Rotoren oder Planeten“-Erreger (konstruktiv als exzentrische Massen, Rollen, ” Ringe oder andere Rotationskörper gestaltet), die durch Motoren angetrieben werden und auf Achsen umlaufen, vgl. auch Abschn. 5.3.1. Auch ungleichförmig u¨ bersetzende Mechanismen, deren Massen eine zwangläufige Bewegung ausführen, kommen als Erreger in Betracht. Allgemeine Berechnungsmodelle, die auch Effekte der Kreiselwirkung berücksichtigen, wurden in [31], [35] und [308] behandelt. Sie führen auf ein kompliziertes System nichtlinearer Differentialgleichungen, die meist zwar keine genaue Lösung in analytischer Form zulassen, aber näherungsweise lösbar sind. Im einfachsten Fall, wenn auf einer elastisch abgestützten Masse (Schwinger mit einem Freiheitsgrad) mehrere Unwuchterreger (s = 1, 2, . . . S) angeordnet sind, entsteht folgendes Differentialgleichungssystem, vgl. Bild 5.61: Js ϕ¨ s = Ms (ϕ˙ s ) − Rs (ϕ˙ s ) + ms es (x¨ sin ϕ s + g cos ϕ s ) ; S mx¨ + d x˙ + kx = ∑ ms es ϕ¨s sin ϕ s + ϕ˙ s2 cos ϕ s

s = 1, 2, . . . S (5.275) (5.276)

s=1

x Es entspricht den Gln. (10) und (11) in Tabelle 2.8, wenn ϕ s = π /2 − ϕ und y = gesetzt wird. Man vergleiche dazu auch Abschn. 2.2.4 und die Gleichungen (18) und (19) in Tabelle 2.8. Hier sind ϕs

Js ms es Ms Rs x m d k

Drehwinkel des s-ten Rotors Trägheitsmomente statische Unwuchten Motorkennlinien Belastungsmomente horizontale Verschiebung Masse des Vibratorkörpers Dämpfungskonstante Federkonstante

Mathematisch betrachtet, besteht bei der Selbstsynchronisation die Aufgabe, Bedingungen für die Existenz und die Stabilität der Lösungen eines Differentialgleichungssystems zu ermitteln, welche die Form ϕ s = σ s · (Ω t + α s + ψ s (Ω t)) ;

q = q(t) = (q1 , q2 , . . . , qn )T

(5.277)

haben. An Stelle der linken Seite von Gl. (5.276) steht in allgemeinen Fall für das Tragsystem eine Matrizengleichung, vgl. Tabelle 2.3. Ω > 0 ist eine zunächst unbekannte synchrone Rotationsfrequenz, α s sind (über T0 = 2π /Ω ) gemittelte Phasenwinkel, ψ s und qk (k = 1, 2, . . . , n) periodische Funktionen der Zeit. Die schnell


ϕ2 ϕ1

m1 e1

mS

m2

...

e2

x

413

ϕS

eS

k

m d

Bild 5.61 Mehrere Unwuchterreger auf einem Vibratorkörper

veränderlichen Winkel ψ s und die verallgemeinerten Koordinaten qk des Tragsystems sind im Sinne der linearen Schwingungstheorie hinreichend klein. Die Zahl σ s kann +1 oder −1 sein, je nach der Drehrichtung des betrachteten Rotors. Das größte Interesse für die praktische Anwendung der Selbstsynchronisation besteht in der Ermittlung der Phasenwinkel α s der Rotoren bei stabilen synchronen Bewegungen. Genauer gesagt interessieren die Phasendifferenzen ∆ α sS = α s − α S , weil diese den Charakter der Schwingungen des Tragsystems bei diesen Bewegungen bestimmen. Für eine große Anzahl praktisch interessierender Systeme sind bekanntgewordene Lösungen in [31] und [334] zusammenfassend dargestellt. Einen Auszug daraus stellt Tabelle 5.11 dar. Tabelle 5.11 Beispiele für Systeme mit Unwuchterregern und deren Stabilitätsbedingungen Fall Modell

Koordinaten, Stabilitätsbedingung

1

y1 =

M2 y2

k2 m1

e

e

m1 M1

k1→ 0 ϕ1 = Ω t

2

y1

m1 ϕ1

e ϕ1 = Ω t

2m1 e ω T2 sin Ω t Ω 2 − ω 22 M1 ∆ α = 0 für k2 k k ω T2 = < Ω 2 < ω 22 ≈ 2 + 2 M2 M1 M2 y2 =

(1) (2)

(3)

ϕ2 = Ω t+∆α ζ z m1, J ξS , J ηS , J ζS

γ

2m1 e ω T2 − Ω 2 sin Ω t M1 Ω 2 − ω 22

ψz ξ, x η, y S ζ

ξ

ϕ2 γ

e m1 ξ ϕ2 = Ω t+∆α

2m1 e cos γ sin Ω t m 2m1 eξ sin γ ψz = sin Ω t JζS z=

∆ α = 0 für mξ 2 mζ 2 m(ζ 2 + ξ 2 cos2 γ ) < 2 + + Jξ2 JζS JηS sin2 γ

(4) (5)

(6)

414


In Tabelle 5.11 sind beim Fall 1 (im Unterschied zu dem in Bild 5.60 skizzierten Schwinger) die beiden Rotoren, die eine gerichtete Erregerkraft erzeugen können, wenn sie synchron und gleichphasig umlaufen, nicht in einem eben beweglichen starren Körper, sondern in einer parallel geführten Masse M1 angeordnet. Die zweite Masse M2 hat ebenfalls nur einen Freiheitsgrad. Beim Antrieb eines der Rotoren wird der andere unter der Bedingung (3) so synchronisiert, daß Schwingungen gemäß der angegebenen Gln. (1) und (2) erfolgen. Im Fall 2 sind zwei Unwuchtrotoren mit einem räumlich beweglichen Starrkörper verbunden, der so weich gelagert ist, daß die unteren sechs Eigenfrequenzen, die zu den Starrkörperschwingformen gehören, unterhalb der Erregerfrequenz liegen. Die Trägheitsmomente JξS , JηS und JζS beziehen sich auf die zentralen Hauptträgheitsachsen, die in der Ruhelage mit dem eingezeichneten raumfesten x, y, z-System u¨ bereinstimmen. Die Rotorebenen stehen senkrecht auf der η , ζ -Ebene und schließen mit der ξ , ζ -Ebene jeweils den Winkel γ ein. Der Körper führt dann, wenn die Bedingung (6) erfüllt ist, Drehschwingungen mit dem Winkel ψ z um die z-Achse und synchron dazu translatorische Schwingungen in zRichtung aus, vgl. die Gln. (4) und (5). Die entstehende räumliche Bewegung wird bei Wendelschwingförderern genutzt, wobei schraubenförmige Rinnen am Umfang des zylindrischen vertikalen Rohres angeordnet sind, um das Fördergut zu transportieren. Zur Lösung weiterer neuer“ Aufgaben kann man eine der folgenden drei Me” thoden anwenden, um die Gleichungen für die Bestimmung der Phasendifferenzen ∆ α sS = α s − α S möglicher synchroner Bewegungen zu finden: 1. Unmittelbare Mittelung der Bewegungsgleichungen der Rotoren innerhalb der Periode T0 = 2π /Ω Dies bezieht sich auf Gl. (5.275) unter der Voraussetzung, daß sich die Rotoren gleichmäßig nach dem Gesetz ϕ s = ϕ s0 = σ s (Ω t + α s )

(5.278)

bewegen. Das Tragsystem führt dabei infolge der Erregerkräfte aus der Rotorbewegung stationäre erzwungene Schwingungen aus, die sogenannte Primärbewegung q = q0 (t). 2. Anwendung harmonischer Einflußkoeffizienten [307], [308] Nachdem man die Lösungen der aufgestellten Gleichungen gefunden hat, muß man ermitteln, welche davon stabilen Synchronbewegungen entsprechen. 3. Anwendung des sogenannten Integralkriteriums der Stabilität auf die Synchronbewegungen, vgl. [31] und [334] Diese Methode beruht auf folgenden Annahmen: Die stabile synchrone Bewegung entspricht solchen Werten der Phasendifferenzen ∆ α sS = α s − α S der Rotoren, für welche der Mittelwert L der Lagrange-Funktion L des Tragsystems in der Periode T0 = 2π /Ω ein Minimum besitzt. Die Lagrange-Funktion ist dabei die Differenz aus kinetischer Energie Wkin und potentieller Energie Wpot . Das Integralkriterium für

415


stabile Bewegungen besagt, daß eine Schwingbewegung stabil ist, wenn für nominal ” gleiche“ Rotoren 0 0 L = L0 = Wkin − Wpot = Min.

(5.279)

gilt. Dabei werden als Symbol für die Mittelung die angegebenen spitzen Klammern eingeführt, vgl. auch Abschn. 2.4.6: . . . =

1 T0

T0

(. . .) dt

(5.280)

0

0 = (1/2)˙qT0 Mq˙ 0 und der potentiellen Energie Die Werte der kinetischen Energie Wkin 0 = (1/2)qT0 Kq0 sind dabei diejenigen der Primärbewegung q0 , vgl. auch TabelWpot le 2.1. In [19] wird fälschlicherweise behauptet, daß das Integralkriterium (5.279) aus den klassischen Variationsprinzipien der Mechanik folgt, aber das ist falsch. Es steht mit den Stabilitätsbedingungen von L AGRANGE -D IRICHLET im Zusammenhang, vgl. z. B. [31].

Man kann diese Methode in folgenden Schritten benutzen: 1. Aufstellung der Ausdrücke für die kinetische und potentielle Energie des Tragsystems 2. Aufstellung der Differentialgleichungen für kleine Schwingungen des Tragsystems unter der Wirkung der Kräfte, welche die Rotoren bei ihrer Rotation gemäß Gl. (5.278) abgeben 3. Lösung dieser Differentialgleichungen, d. h. Berechnung der stationären erzwungenen Schwingungen q0 (t) der Primärbewegung 4. Einsetzen der gewonnenen Lösungen in Gl. (5.279), woraus man Gleichungen für die Funktion L erhält, die von den Phasendifferenzen ∆ α = α s − α k abhängen 5. Ermittlung der Werte dieser Phasendifferenzen, welche sich aus der Forderung nach dem Minimum der Funktion L ergeben 6. Ermittlung der Bewegungen aller Koordinaten q(t) des Tragsystems, die den ermittelten Werten der Phasendifferenzen entsprechen. Bei den weiteren Berechnungen sind die folgenden mathematischen Zusammenhänge zu beachten: σ s2 = 1;

sin σ s Ω t = σ s sin Ω t;

cos σ s Ω t = cos Ω t

(5.281)

Die Mittelung gemäß Gl. (5.280) führt dabei zu folgenden Beziehungen: sin2 Ω t = cos2 Ω t =

1 2

1 1 sin(α 1 − α 2 ) = sin(∆ α ) 2 2 1 1 sin(Ω t + α 1 ) sin(Ω t + α 2 ) = cos(α 1 − α 2 ) = cos(∆ α ) 2 2 1 1 cos(Ω t + α 1 ) cos(Ω t + α 2 ) = cos(α 1 − α 2 ) = cos(∆ α ) 2 2 sin(Ω t + α 1 ) cos(Ω t + α 2 ) =

(5.282)

416


5.7.3.3 Beispiele fur ¨ Vibrationsantriebe mit Selbstsynchronisation An Stelle der Erregung durch zwangläufig gekoppelte Zahnräder ist eine gerichtete Schwingungserregung durch zwei und mehr Unwuchterreger möglich, die nicht miteinander zwangläufig verbunden sind. Die dynamische Kopplung erfolgt indirekt u¨ ber die Translationsbewegung des Vibratorkörpers, in dem sich die Drehachsen abstützen. Solche Erregersysteme wurden in den vergangenen Jahrzehnten immer mehr zur Schwingungserregung bei Siebmaschinen, Schwingförderern, Rüttelverdichtern und anderen Maschinen angewendet, da sie konstruktiv einfach zu realisieren sind und ohne mechanische oder elektrische Wellen auskommen. Die Bedingungen für stabile Betriebszustände bei der Selbstsynchronisation sollen für zwei Beispiele (zur Illustration der dritten Methode) hergeleitet werden. Als erstes Beispiel wird als Tragsystem ein weich aufgestellter Vibratorkörper betrachtet, der mit hohen Erregerfrequenzen (Ω ω i ) u¨ berkritisch erregt wird, so daß die Trägheitskräfte dominieren und die Rückstellkräfte vernachlässigbar sind (k → 0). Die Rotoren müssen also zur Erreichung des Betriebszustandes die tiefen kritischen Drehzahlen durchlaufen. Die Drehachsen der zwei gleichen Schwingungserreger liegen parallel zu einer zentralen Hauptträgheitsachse des Vibratorkörpers und sind im Abstand ξ gleich weit vom Schwerpunkt S des Körpers entfernt, vgl. Bild 5.62a bis 5.62e. Es handelt sich um ein ebenes Problem, d. h., die Schwerpunkte der Unwuchtmassen bewegen sich in der gleichen Ebene. Bei dem Fall gemäß Bild 5.62e befindet sich der Schwerpunkt S nicht auf der Verbindungsgeraden der beiden Drehachsen der Rotoren. Aus der Theorie folgt, daß sich in diesem Fall die Synchronisation schneller und stabiler einstellt, je größer der Ausdruck mr2 /J ist, d. h., die Entfernung der Drehpunkte der Unwuchterreger vom Schwerpunkt S hat großen Einfluß. Bewegen sich die Rotoren in Bild 5.62a entsprechend Gl. (5.278), so lauten die Differentialgleichungen der Bewegung für die beiden translatorischen Koordinaten q1 = x, q2 = y und den Kippwinkel q3 = ψ : mx¨ = F [cos(Ω t + α 1 ) + cos(Ω t + α 2 )] my¨ = −F [σ 1 sin(Ω t + α 1 ) + σ 2 sin(Ω t + α 2 )]

(5.283)

J ψ¨ = F ξ [σ 1 sin(Ω t + α 1 ) − σ 2 sin(Ω t + α 2 )] Dabei sind m die Masse des Vibratorkörpers und J sein Trägheitsmoment um die Schwerpunktachse. Die Amplitude der Erregerkraft an jedem der beiden Rotoren ist F = m1 eΩ 2 . Die stationären erzwungenen Schwingungen verlaufen gemäß F q10 = x0 = − [cos(Ω t + α 1 ) + cos(Ω t + α 2 )] mΩ 2 F (5.284) q20 = y0 = + [σ 1 sin(Ω t + α 1 ) + σ 2 sin(Ω t + α 2 )] mΩ 2 Fξ q30 = ψ 0 = − [σ 1 sin(Ω t + α 1 ) − σ 2 sin(Ω t + α 2 )] JΩ 2 In den Gleichungen (5.283) und (5.284) haben entsprechend der getroffenen Voraussetzungen (Ω ω i ; ω i sind die tiefen Eigenkreisfrequenzen des Tragsystems) die


ξ

ξ

ϕ1 S

e

y e ϕ2 m1

m1

417

ψ x

k ≈0

a) ξ

ξ

ξ

ξ

S ϕ1 = Ω t

S ϕ1 = Ω t

ϕ2 = ϕ1 = Ω t

b)

ϕ2 = Ω t +π

c) ξ

ξ

Ωt r S

S ϕ1 = Ω t

r

m1 m1

ϕ2 =−(Ω t + π)

−Ω t d)

e)

Bild 5.62 Vibratorkörper mit zwei Unwuchterregern a) b) c) d) e)

allgemeine Bezeichnungen σ 1 σ 2 = +1; mξ 2 /J > 2; ∆ α = α 1 − α 2 = 0; Kreisschiebung σ 1 σ 2 = +1; mξ 2 /J < 2; ∆ α = α 1 − α 2 = π ; Drehschwingung um S σ 1 σ 2 = −1; ∆ α = α 1 − α 2 = 0; parallele Schubschwingung σ 1 σ 2 = −1; ∆ α = α 1 − α 2 = 0; parallele Schubschwingung in Richtung des Schwerpunktes S

elastischen Eigenschaften des Tragsystems keinen Einfluß, d. h., man kann die potentielle Energie des Tragsystems vernachlässigen und auf Grund des Integralkriteriums von Gl. (5.279)schreiben: 1 1 0 L = Wkin = q˙ T0 Mq˙ 0 = m (x˙0 )2 + (y˙0 )2 + J(ψ˙0 )2 (5.285) 2 2 F2 mξ 2 = (5.286) 1 + σ1σ2 − σ1σ2 cos(∆ α ) + C = Min.! 2mΩ 2 J Hier ist C unabhängig von den Phasenwinkeln. Wird die Bedingung 1 + σ1σ2 − σ1σ2

mξ 2 2 (5.288) J entsteht, wie aus Gl. (5.284) berechenbar ist, eine kreisförmige translatorische Bewegung ( Kreisschiebung“) des Vibratorkörpers, vgl. Bild 5.62b. Die Amplituden ” sind 2m1 e xˆ = yˆ = (5.289) m Wird die entgegengesetzte Ungleichung (mξ 2 /J < 2) erfüllt, dann ist diejenige Bewegung stabil, bei der die Phasendifferenz der Rotoren ∆ α = α 1 − α 2 = π beträgt. Dies führt zu Drehschwingungen des Vibratorkörpers (vgl. Bild 5.62c) mit der Winkelamplitude 2m1 eξ ψˆ = (5.290) J Rotieren die Rotoren in entgegengesetzter Richtung, gilt σ 1 σ 2 = −1, wenn die Bedingung (5.287) verletzt ist, ist die gegensinnige Rotation mit der Phasendifferenz ∆ α = α 1 − α 2 = π stabil. Entsprechend Gl. (5.284) werden geradlinige translatorische Schubschwingungen des Vibratorkörpers verursacht, vgl. Bild 5.62d. Die Amplituden betragen 2m1 e (5.291) xˆ = 0; yˆ = m ψy

ψz

z

y e η

ϕ2

S

η

m1

e

ψx

x

ϕ1 m1

Bild 5.63 Vibratorkörper mit zwei Unwuchterregern in parallelen Ebenen

Als zweites Beispiel wird wiederum ein Vibratorkörper mit zwei gleichen Schwingungserregern betrachtet, deren Drehachsen mit einer der zentralen Hauptträgheitsachsen des Vibrationskörpers zusammenfallen. Die Abstützung dieses

419


¨ Vibrationskörpers sei so weich, daß die Schwingungserreger uberkritisch arbeiten, d. h., die Stützkräfte der Federn und Dämpfer sind vernachlässigbar klein gegenüber den Massenkräften. Die Rotationsebenen der Unwuchten der Rotoren sind parallel und haben den gleichen Abstand η vom Körperschwerpunkt S, vgl. Bild 5.63. Aus den Bewegungsgleichungen, welche analog zu den Gln. (5.283) aufgebaut sind, folgen als Lösungen analog zu Gl. (5.284) die stationären erzwungenen Schwingungen des Körpers: F [cos(Ω t + α 1 ) + cos(Ω t + α 2 )] = x∗ cos Ω t mΩ 2 F z0 = [σ 1 sin(Ω t + α 1 ) + σ 2 sin(Ω t + α 2 )] = z∗ sin Ω t mΩ 2 Fη ψ x0 = − [σ 1 sin(Ω t + α 1 ) − σ 2 sin(Ω t + α 2 )] = ψ x∗ sin Ω t Jx Ω 2 x0 = −

ψ z0 = −

(5.292)

Fη [cos(Ω t + α 1 ) − cos(Ω t + α 2 )] = ψ z∗ sin Ω t Jz Ω 2

Hierbei sind ψ x0 und ψ z0 kleine Drehwinkel des Vibrationskörpers, Jx und Jz seine Hauptträgheitsmomente bezüglich der betreffenden Achsen. Die u¨ brigen Bezeichnungen entsprechen denen des ersten Beispiels. Wie vorher, kann man auch hier Wpot vernachlässigen. Beachtet man Gl. (5.282), folgt aus dem Integralkriterium (5.279): 1 1 0 2 ∗2 ˙ x0 L = Wkin = q˙ T0 Mq˙ 0 = m x˙0∗2 + z˙∗2 + Jz ψ˙ z0 0 + Jx ψ 2 2 F2 2 Jx + σ 1 σ 2 Jz = σ σ − m η 1 + cos(∆ α ) + C = Min.! 1 2 2mΩ 2 Jx Jz

(5.293)

Aus dieser Forderung kann man nach dem Einsetzen der Ausdrücke aus Gl. (5.292) die Amplituden und die Stabilitätsbedingungen gewinnen, die in Tabelle 5.12 zusammengestellt sind. Die Bewegungen der vier Koordinaten des Vektors q0 (t) verlaufen dabei harmonisch gemäß Gl. (5.292). Für die Amplituden der Koordinaten wurde an Stelle des u¨ blichen Dach“ ein Stern“ angegeben, um auf das hier wichtige Vorzei” ” chen hinzuweisen, vgl. Tabelle 5.12. Tabelle 5.12 Stabile Betriebszustände des Berechnungsmodells von Bild 5.63 mit J ∗ = Jx Jz /(Jx + Jz ) x∗ −2m1 e m

z∗ 2σ 1 m1 e m

π

0

−1

0

−1

π

σ1σ2

∆α

1

+1

0

2

+1

3 4

Fall

ψ x∗

ψ z∗

0

0

0

−2σ 1 m1 eη Jx

2m1 eη Jz

mη 2 Jz

0

2σ 1 m1 e m

0

2m1 eη Jz

Jz > Jx

Bedingung mη 2 >2 J∗

420


Den einzelnen Fällen entsprechen folgende Bewegungsformen des Vibratorkörpers: • • • •

Fall 1: Translatorische Kreisbewegung in der x, z-Ebene, Kreisschiebung“, ” Fall 2: Taumelschwingung um die x- und z-Achse, Fall 3: Ellipsenförmige Schwingung um x-Achse, Fall 4: Ellipsenförmige Schwingung um z-Achse.

Für die normalen Betriebszustände von Vibrationsmaschinen, die selbstsynchronisierende Erreger anwenden, ist die Aussage, daß die Phasenwinkel stabil sind, noch unzureichend. Es ist auch notwendig, daß diese Phasenwinkel (und diese bestimmen den Schwingungscharakter des Arbeitsorgans) auch eine geringe Sensitivität gegenüber allen möglichen Toleranzen besitzen. Dazu gehören sowohl zufällige Streuungen der Parameter der Erreger gegenüber ihren nominalen Werten, die durch Fertigungsungenauigkeiten bedingt sind, als auch die schwankenden Einflüsse technologischer Belastungen. Um die Eigenschaften der Vibrationsmaschinen innerhalb gewisser Grenzen von Phasenabweichungen der Rotoren unter realen Einflüssen zu erhalten, müssen die Phasenlagen gegenüber Störungen möglichst stabil sein. Methoden zur Bewertung dieser Sensitivität der Stabilität sind z. B. in [31], [218] und [334] beschrieben. Eine Näherungsmethode für die Bewertung der Sensitivität, die in [218] vorgeschlagen wurde, benutzt das Verhältnis des Rüttelrichtmomentes V , welches die dynamische Kopplung der Rotoren bewirkt, zu dem Motormoment M, das proportional zu den destabilisierenden Faktoren ist: V (5.294) k= M Man kann k als Koeffizienten der Vibrationskopplung zwischen den Rotoren bezeichnen. Hierbei ist V der Maximalwert des Betrages des sogenannten Rüttelrichtmomentes [231], welcher sich näherungsweise zu V = meΩ 2 sˆ

(5.295)

ergibt, d. h. als das Produkt aus der Erregerkraft und der Wegamplitude sˆ des Erregers. M ist das Nennmoment des Motors, vgl. die ausführlichen Darstellungen in [31] und [334]. Für das erste Beispiel (Bild 5.62) ergibt sich als genaue Formel dL 1 (m1 e)2 Ω 2 ξ 2 = (5.296) V = d(∆ α ) 2 J und für das zweite Beispiel (Bild 5.63) mη 2 2 2 −2 dL 1 (m1 e) Ω · J∗ = V = d(∆ α ) 2 m

(5.297)

Für die Robustheit ist es notwendig, daß k kzul ist. Für die verschiedenen Klassen von Vibrationsmaschinen wird in [218] empfohlen, für diesen Koeffizienten etwa kzul = 0,5 bis 4 zu fordern, abhängig von der Bedeutung der Maschine. Bei den betrachteten Beispielen entspricht das etwa einer maximalen Abweichung der Phasenwinkel im Bereich |∆ α |max ≈ 3 . . . 16◦ . Dies ist eine vorsichtige Empfehlung, denn


421

es sind auch praktische Fälle bei Vibrationssieben bekannt geworden, bei denen zwei Vibratoren erfolgreich arbeiteten, obwohl |∆ α |max ≈ 30◦ und k ≈ 0,3 betrug. Die für schwer belastete Maschinen wichtige Frage, wie sich die technologischen Belastungen auf die Stabilität auswirken, wird in [330] behandelt. Mit Rechenprogrammen für räumliche Mehrkörpersysteme (MKS) können gegenwärtig derartige Fragestellungen auch durch numerische Simulation behandelt werden. Es ist aus Experimenten und Publikationen bekannt, daß polyharmonische Bewegungen gegenüber einfachen harmonischen Bewegungen Vorteile besitzen, z. B. kann damit bei gleichen Beschleunigungsamplituden die Fördergeschwindigkeit bei Schüttelrutschen und Schwingförderern erhöht werden [320]. Optimale Bewegungsabläufe für Schüttelrutschen wurden in [325] berechnet. Es werden vielfach auch Stoßeffekte mit Schwingungen kombiniert, um bessere technologische Effekte, z. B. beim Zerkleinern oder Verdichten von Material, zu erreichen, wobei auch unregelmäßige und chaotische Bewegungen ausgenutzt werden [15], [17], [46].

5.7.4 Vibrationshammer 5.7.4.1 Minimale konstante Handkraft Handgeführte pneumatische Vibrationshämmer werden millionenfach angewendet. Eine spezifische Unzulänglichkeit vieler solcher Schlagmaschinen sind die intensiven Schwingungen, die der Bediener ertragen muß. Die Verminderung der Vibrationsbelastungen und die Vermeidung von Berufskrankheiten sind ein wichtiges aktuelles Problem. Die neuen europäischen Normen stellen verschärfte Bedingungen an den Arbeitsschutz. Zur Verminderung der Vibrationsbelastungen von Vibrationshämmern sind international viele Patente erteilt worden. Wesentliche Verminderungen der Vibrationen kann man durch elastische und dämpfende Elemente erreichen, die zwischen dem Gehäuse des Hammers und dem Werkzeug angeordnet werden, wie es den 50er Jahren des 20. Jahrhunderts z. B. die deutschen Patentschriften N 801 565, N 805 268, N 805 749, N 860 630, N 894 530 vorschlagen. Am Handgriff können auch Elemente zur Schwingungsisolierung angebracht werden (Patente N 1 027 600, N 1 000 750). Es würde hier zu weit führen, den aktuellen internationalen Stand vollständig zu beschreiben Im folgenden wird zunächst ein elementarer Zusammenhang an Hand von Bild 5.64 erläutert, der zwischen der Wirkungsdauer einer Kraft, einer Masse und deren Bewegungsgrößen besteht, der für Vibrationshämmer Bedeutung hat. Die beiden Kraftverläufe in Bild 5.64 besitzen denselben Maximalwert Fmax und wirken während derselben Zeit t1 Sie beinhalten den gleichen Impuls, welcher der schraffierten Fläche entspricht: I=

t1 0

F(t) dt =

1 Fmaxt1 2

(5.298)

422


Bild 5.64 Lineare Verläufe einer Antriebskraft a) Modell, b) Fall a: steigende Kraft, c) Fall b: fallende Kraft

Die Weg-Zeit-Verläufe einer durch diese Verläufe angetriebenen Masse m sind, ausgehend von der Ruhelage (t = 0: s = 0; v = 0), unterschiedlich: Fmaxt 3 Fmaxt 2 (3t1 − t) ; Fall b: sb = (5.299) Fall a: sa = 6mt1 6mt1 Die Geschwindigkeiten sind Fmaxt 2 Fmaxt(2t1 − t) Fall a: va = ; Fall b: vb = (5.300) 2mt1 2mt1 Die Endgeschwindigkeit ist nur vom Impuls abhängig und beträgt nach der Zeit t1 in beiden Fällen I 1 Fmaxt1 = (5.301) va (t1 ) = vb (t1 ) = v1 = m 2 m Der Weg, den eine Masse bis zum Zeitpunkt t1 zurücklegt, ist verschieden groß und beträgt im 1 Fmaxt12 1 Fmaxt12 ; Fall b: sb (t1 ) = (5.302) Fall a: sa (t1 ) = 6 m 3 m Man beachte den Unterschied: Der Beschleunigungsweg ist im Fall b doppelt so groß wie im Fall a! Die Masse m steht hier stellvertretend für eine Kolbenmasse oder die Gehäusemasse eines Schlaghammers. Diese bewegt sich bei einem Kraftverlauf der Form a also halb so weit wie im Fall b, und die dynamische Belastung des Bedieners am Handgriff des Hammers ist – wenn man den Gehäuseweg als Kriterium betrachtet – im Fall a halb so groß wie im Fall b. Was hier für den linearen Kraftverlauf gezeigt wurde, kann man für beliebige Verläufe auch allgemeiner formulieren, z. B. für solche, die sich durch Druckluft erzeugen lassen. Der Endweg nach der Wirkungsdauer einer veränderlichen Kraft F(t) auf eine Masse m ist allgemein: t1 τ t1 1 1 F(t) dt d τ = (t1 − t)F(t) dt (5.303) s(t1 ) = m m 0

0

0

Die zweite Form entsteht aus der Formel von C AUCHY zur Umformung eines mehrfachen Integrals in ein einfaches Integral.


423

Für den realisierbaren Kraftverlauf F(t) sind die konkreten technologischen und physikalischen Nebenbedingungen zu berücksichtigen. Aber es gilt auch dann: Man kann schon durch einen verbesserten Kraft-Zeit-Verlauf beim Antrieb eines Schlagbolzens dessen Weg und damit den Rückwärtsweg des Gehäusekörpers vermindern ohne dabei Impuls und kinetische Schlagenergie (Preßdruck und Leistung“ eines Vi” brationshammers) zu a¨ ndern. Dies ist eine effektive Methode, um die Schwingungen von pneumatischen Schlagmaschinen zu vermindern. Es gibt dazu mehrere Patente der UdSSR aus den 60er Jahren des 20. Jahrhunderts (Nr. 196 015, 169 474, 247 179, 247 180, 276 855, 246 442). Beim idealen Vibrationshammer wäre die Schwingungsursache vollständig beseitigt, wenn die Reaktionskraft am Gehäuse konstant ist. Wie groß u¨ berhaupt diese Reaktionskraft am Gehäuse sein muß, um einen Impuls der Intensität I = mv vom Schlaghammer auf die Wirkstelle zu u¨ bertragen, ergibt sich aus dem Impulssatz. Er besagt, daß die Summe der n Impulse so groß sein muß, wie das Produkt aus einer konstanten Kraft (Minimalkraft Fmin ) und der Zyklusdauer T0 während der diese Einzelimpulse wirken: Iges = nI = Fmin T0 = mv (5.304) Die kinetische Energie einer Masse m, die mit der Kraft Fmin angetrieben wird, kann mit dem Impuls ausgedrückt werden und beträgt nach der Zeit T0 1 1 W = mv 2 = m(Fmin T0 /m)2 (5.305) 2 2 Daraus folgt der Zusammenhang zwischen der theoretisch minimalen Anpreßkraft des Vibrationshammers und der u¨ bertragbaren Energie bei n Schlägen zu n√ 2W m (5.306) Fmin = T0 Für die normale Arbeit eines Schlaghammers ist die durch (5.306) berechenbare kleinstmögliche Anpreßkraft theoretisch (ohne Berücksichtigung der Stoßzahl) ausreichend. Dann treten keine Bewegungen des als starr angenommenen Gehäusekörpers bei unbeweglichem Werkzeug auf. Der Hammer schlägt auf die Wirkstelle, und der Handgriff kann mit der konstanten Kraft Fmin angedrückt werden. Dieser ideale Fall des Vibrationsschutzes durch einen dynamisch ausgeglichenen Vibrationshammer mit der minimalen Kraft gemäß (5.306) wird in der Praxis nicht erreicht, weil auch die Stoßzahl k beim Abprall der Schlagbolzen von Einfluß ist. Die Bewertung ist realistischer, wenn man eine weniger harte Bedingung mit Berücksichtigung der Stoßzahl k formuliert, also z. B. [317] ∗ = (1 + k)Fmin = konst. (5.307) Fmin Diese Beziehungen können dazu dienen, die Vollkommenheit“ realer Schlaghäm” mer zu bewerten. 5.7.4.2 Dynamisch ausgeglichener pneumatischer Schlaghammer Einen dynamisch ausgeglichenen Vibrationshammer, dessen Arbeitszyklus die oben genannten Bedingungen erfüllt, kann man sich beispielsweise vorstellen in Form von zwei pneumatisch angetriebenen Schlagbolzen, die in einem gemeinsamen Gehäuse 3 angeordnet sind, vgl. Bild 5.65. Die Zwischenwand 4 teilt das Gehäuse 3 in zwei

424


Hohlräume, in denen sich unter der Wirkung der Druckkraft der komprimierten Luft die Schlagbolzen 1 und 2 bewegen. Diese Schlagbolzen haben beide die gleiche Masse m und gleichgroße Kolbenflächen. Sie bewegen sich gegenläufig und u¨ bertragen abwechselnd die Stöße auf das Werkzeug 5.

Bild 5.65 Schlagwerkzeug und Zeitverläufe [317] a) Skizze des Schlagwerkzeugs, b) Kraftverläufe bezüglich der beiden Massen, c) Verläufe der Wege der Massen 1 und 2

Für die Kraft F1 , die auf den beweglichen Schlagbolzen 1 wirkt und für die Kraft F2 die auf den Schlagbolzen 2 wirkt, werden der Einfachheit halber rechteckige Verläufe angenommen, obwohl sie auch andere Formen haben können. Die Verläufe F1 (t) und F2 (t) sind gleich, aber gegenseitig auf der Zeitachse um die halbe Zyklusdauer T0 /2 verschoben. Die resultierende Kraft, die auf das Gehäuse wirkt, ist die (im idealen Fall konstante) Summe F1 (t) + F2 (t) = F = ma = konst.

(5.308)

Obwohl der Hammer zweimal während der Zyklusdauer T0 auf die Wirkstelle schlägt, ist die summarische Kraft auf das Gehäuse konstant. Die theoretische minimale Handkraft ergibt sich aus (5.306). Die Wege si , die Geschwindigkeiten vi und die Beschleunigungen ai der beiden Massen der Schlagbolzen (i = 1, 2) werden in zwei Etappen berechnet. Erste Etappe (0 < t < T0 /2): s1 (t) = (a/4)(3t 2 − T0t − T02 /4);

s2 (t) = −(a/4)t 2

v1 (t) = (a/4)(6t − T0 );

v2 (t) = −(a/2)t

a1 (t) = 3a/2;

a2 (t) = −a/2

(5.309)


425

Zweite Etappe (T0 /2 < t < T0 ): s1 (t) = −(a/4)(t − T0 /2)2 ;

s2 (t) = (a/4)[(t − T0 /2)2 − T0 (t − T0 /2) − T02 /4]

v1 (t) = −(a/2)(t − T0 /2);

v2 (t) = (a/4)[6(t − T0 /2) − T0 ]

a1 (t) = −a/2;

a2 (t) = 3a/2

(5.310)

Die Wege s1 (t) und s2 (t) der Schlagbolzen, die sich entsprechend (5.309) und (5.310) infolge der Kräfte ergeben, sind neben der Skizze des Schlaghammers eingezeichnet. Der Weg s(t) des gemeinsamen Schwerpunktes der Schlagbolzen 1 und 2 besteht in jeder Etappe aus einer Parabel. Bei einer geeigneten Wahl des Ursprungs kann man schreiben: 0 < t < T0 /2:

s = s1 (t) + s2 (t) = (a/2)[(t − T0 /4)2 − T02 /16]

T0 /2 < t < T0 :

s = s1 (t) + s2 (t) = (a/2)[(t − 3T0 /4)2 − T02 /16]

(5.311)

Der Schwerpunkt verschiebt sich also maximal um den Weg smax = −aT02 /32. Das ist nur 3/8 des Weges, den jede einzelne Masse zurücklegt. Der Geschwindigkeitssprung beim Aufprall auf den Stößel beträgt zu den Zeiten t = 0 und t = T0 /2 bei jeder dieser Massen (0 < ε T0 /2) ∆v = v1 (T0 /2 − ε ) − v1 (T0 /2 + ε ) = v2 (0 + ε ) − v2 (T0 − ε ) = aT0 /2 (5.312) Hierbei soll ε den Zeitpunkt kurz davor und kurz danach beschreiben. Bei n = 2 Stößen pro Periode wird also der Impuls I = 2m ∆v = maT0 u¨ bertragen. ∗ auf das Gehäuse (ebenfalls unter In diesem Falle wirkt die konstante Kraft Fmin der Annahme, daß keine Schwingungen am unbeweglichen Werkzeug auftreten). Die Bedingung (5.307) kann im Unterschied zu (5.308) bei einem realen Arbeitszyklus in der Praxis erfüllt werden [317]. Die Patente der UdSSR aus den 70er und 80er Jahren (560 979, 831 953, 907 230, 926 267) enthalten dafür Vorschläge zur praktischen Steuerung der Luftdrücke.

Bild 5.66 Dynamisch ausgeglichener pneumatischer Vibrationshammer [317] a) Beginn des Vorwärtshubes, b) Stellung beim Schlag

Im folgenden wird die Wirkungsweise eines dynamisch ausgeglichenen pneumatischen Schlaghammers beschrieben, der eine andere Struktur als der in Bild 5.65

426


dargestellte hat und nur einen Schlag pro Periode ausübt. In ihm gibt es auch zwei relativ gegeneinander bewegte Massen. In Bild 5.66 ist dieser Schlagmechanismus dargestellt, der in [317] beschrieben ist. Der Schlagbolzen 2 bewegt sich innerhalb des Kolbens 3, welcher sich seinerseits im Gehäuse 1 bewegt. Die a¨ ußere Oberfläche des Kolbens 3 hat zwei verschiedene Durchmesser. Der gesamte Hammer hat vier Kammern. Die Kammer E ist immer mit der Lufthauptleitung verbunden, in welcher der Druck p0 herrscht. In den Kammern A und D, die miteinander durch einen Längskanal im Gehäuse verbunden sind, wird die Luft in der Periode des Vorwärtshubes des Schlagbolzens komprimiert und beim Rückhub dehnt sie sich aus. Im Bild 5.66a ist oben die Lage des Mechanismus zu Beginn des Vorwärtshubes des Schlagbolzens gezeigt und darunter am Ende des Vorwärtshubes, wenn der Schlagbolzen den Schlag auf das Werkzeug 4 u¨ berträgt. Das Gehäuse hat ein Auslaßfenster B. Der Einlaß der komprimierten Luft und der Auslaß aus der Kammer B wird bestimmt durch die Lage des Kolbens 3 relativ zum Gehäuse. Die Hin- und Herbewegung des Schlagbolzens und des Kolbens erfolgt in umgekehrten Richtungen ohne gegenseitige Stöße. Das beschriebene Antriebssystem des Zweimassen-Vibrationshammers wurde praktisch beim serienmäßig produzierten russischen Hammer GD1 mit folgenden Parametern realisiert [317]: Schlagenergie W = 93 N · m Schlagfrequenz n = 630 · min−1 = 10,5 Hz Luftverbrauch Q = 1,35 m3 /min Hammermasse m = 18,5 kg Bei bedeutend verbesserten Vibrationskennwerten ist die Produktivität dieses Hammers etwa 40 bis 50 % größer als die des serienmäßig produzierten russischen Hammers IP4604. In [317] ist u. a. auch die Konstruktion eines Bohrhammers dargestellt, bei dem außer dem Impuls auch der Drehimpuls dynamisch ausgeglichen ist.

¨ Haufig benutzte Formelzeichen

Lateinische Buchstaben a A b c d

Beschleunigung Querschnittsfläche Breite Schallgeschwindigkeit; mit Index k: k-ter Fourierkoeffizient Durchmesser; Dämpfungskonstante, Element der Dämpfungsmatrix (mit zwei Indizes) D Dämpfungsgrad (Lehrsches Dämpfungsmaß) D Dämpfungsmatrix e Exzentrizität e Einheitsvektor E Elastizitätsmodul E Einheitsmatrix f Frequenz; dimensionslose Kraft F, F Kraft, Kraftvektor g Erdbeschleunigung G Gleitmodul, Schubmodul H( jΩ ) Komplexer Frequenzgang I Flächenträgheitsmoment; Anzahl der Getriebeglieder √ j imaginäre Einheit −1 J Trägheitsmoment, Drehmasse k Federkonstante, Element der Steifigkeitsmatrix (mit zwei Indizes); Ordnung der Harmonischen; Stoßzahl K Krümmung; Anzahl der Komponenten eines Parametervektors; höchste Ordnung der Harmonischen K Steifigkeitsmatrix l Länge m Masse; Element der Massenmatrix (mit zwei Indizes) M Moment (bei Antrieb oder Abtrieb oder Biegung) M Massenmatrix n Anzahl der Freiheitsgrade; Einflußzahl, Element der Nachgiebigkeitsmatrix (mit zwei Indizes) N Nachgiebigkeitsmatrix

428

p P q r r s t T T u U v w W x, y, z z


= (p1 , p2 , . . . , pK )T Parametervektor mit seinen K Komponenten Leistung = (q1 , q2 , . . . , qn )T Koordinatenvektor mit n verallgemeinerten Koordinaten Radius Ortsvektor Weg, Bogenkoordinate; Schlupf Zeit Periodendauer; Torsionsmoment; Zyklusdauer (T0 ) Transformationsmatrix ¨ Ubersetzungsverh¨ altnis; Verschiebung ¨ Lagefunktion (kinematische Ubertragungsfunktion) Geschwindigkeit Durchbiegung Arbeit, Energie; Windung raumfeste Koordinaten Anzahl der Zähne; Anzahl der Wälzkörper

Griechische Buchstaben α β

δ

∆ γ

ε η

κ λ λ µ π ξ

τ ϕ ϕk ϕ ik ϕ

Richtungswinkel der Zahnflanken-Normalen; Winkelbeschleunigung; Phasenwinkel Schrägungswinkel des Zahns eines Zahnrades; Kontaktwinkel im Drehgelenk Abklingkonstante; Spiel Differenz Steifigkeitsverhältnis; Keilwinkel; mit Index i: modale Steifigkeit bezüglich der i-ten modalen Koordinate kleiner Parameter Wirkungsgrad; Abstimmungsverhältnis; körperfeste Koordinate Amplitudenverhältnis Eigenwert; Kurbelverhältnis beim Schubkurbelgetriebe Vektor der Eigenwerte oder der Quadrate der Eigenkreisfrequenzen Reibungszahl; Massenverhältnis; mit Index i: modale Masse bezüglich der i-ten modalen Koordinate ¨ mit Index i: Ahnlichkeitskennzahl dimensionsloser Weg; körperfeste Koordinate Dichte; Reibwinkel dimensionslose Zeit (τ = ω t) Antriebswinkel (ϕ 0 = Ω t) Drehwinkel um Achse mit dem jeweils angegebenen Index Element der Modalmatrix mit Index i: i-ter Eigenvektor (Eigenschwingform)


429

Φ

Modalmatrix Eigenkreisfrequenz (ω = 2π f ) Ψ Nenndämpfung, verhältnismäßige Dämpfung; Winkel Ω Erregerkreisfrequenz; Antriebswinkelgeschwindigkeit Ω Matrix der Eigenkreisfrequenzen; Spektralmatrix ξ , η , ζ körperfeste Koordinaten; dimensionslose Wege ω

Indizes a an ab dyn e eff exp i i j k

kin l L max min M N na ne n1 o p pot r R red rot S

Anlauf-, AnfahrAntriebsAbtriebsdynamisch extern Effektivexperimentell intern Zählindex für Nummer der Eigenfrequenz; Nummer des Getriebegliedes (i = 1, 2, . . . , I) bei mehrgliedrigen Mechanismen Nummer der Eigenfrequenz oder Koordinate ( j = 1, 2, . . . , n), falls weiterer Index außer k benötigt wird Zählindex für Koordinaten (k = 1, 2, . . . , n); Harmonische (k = 1, 2, . . . , K); Nummer der Komponente des Parametervektors x kinetisch Zählindex für eine Koordinate, wenn außer k weiterer Index benötigt wird Last maximal minimal Motornormal Zählindex für Koordinaten (na < n) Zählindex für externe Koordinaten (ne < n) Zählindex für Koordinaten (n1 < n) Anfangs-, UrsprungsZählindex für Ordnung der Harmonischen, falls weiterer Index außer k benötigt wird; Ordnung einer höheren Ableitung potentiell radial Reibreduziert Rotation Schwerpunkt

430

st t th T x, y, z zul ξ ,η,ζ


statisch tangential theoretisch Torsions-; DrehRichtungen raumfester Koordinaten zulässig Richtungen körperfester Koordinaten

Exponenten und Hochzeichen ˆ ∗ ˙

˜ T , ( ),k

Dach – Amplitude Stern – Besonderheit, z. B. nach einem Reduktionsschritt Punkt – Ableitung nach der Zeit Strich – Ableitung nach der Bogenlänge s, nach der dimensionslosen Zeit τ = ω 0t oder nach dem Kurbelwinkel ϕ 0 = Ω t Tilde – abgewandelte Größe, Näherung Querstrich – dimensionslose Größe; verändertes Argument transponiert Komma-, partielle Ableitung ∂( )/∂qk partielle Ableitung nach der Koordinate qk

Literaturverzeichnis

[1] [2] [3] [4] [5] [6]

[7]

[8]

[9] [10] [11] [12] [13]

[14] [15] [16] [17] [18]

Abrate, S.: Vibrations of belts and belt drives. Mech. Mach. Theory, Oxford. Vol. 27, No. 6, pp. 645–659, 1992 Ahlers, H.; Schwarz, B.; Waldmann, J.: Optimierung technischer Prozesse. – Berlin: Verlag Technik, 1981 Ahmadi-Kashan, K.: Vibration of hanging cables. Computers and Structures 31 (1989)5, S. 699–715 Ahrens, R.: Innere Variable in linear-viskoelastischen Schwingungssystemen. VDIFortschrittberichte, R. 11, Nr. 181. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1993 Ahrens, R.; Ottl, D.: Modalanalyse trotz frequenzabhängiger Steifigkeiten und Dämpfungen. VDI-Berichte Nr. 1550, S.151–167. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 2000 Airapetov, E. L.; Genkin, M. D.: Dinamiceskije prozessy v mechanismach s subcatymi peredacami. (Dynamische Prozesse in Zahnradgetrieben). – Moskau: Verlag Nauka, 1976 Airapetov, E. L.; Goldfarb, V. I.; Novosydov, V. Yu.: Analytical and experimental assessment of spiroid gear tooth deflection. Tenth World Congresson TMM. Oulu/Finland, 1999, Proc., Vol. 6, S. 2257–2262 Al-jawi, A. A. N.; Ulsoy, A. G.; Pierre, C: Vibration localization in band/wheel systems: Theory and Experiment, ASME, Design Engineering Division, DE 59 (1993), S. 119– 130 Altschuller, G. S.: Erfinden. Wege zur Lösung technischer Probleme. – Berlin: Verlag Technik, 1984 CAD-FEM User’s Meeting. Vortragssammelbände. 17. Meeting, Okt. 1999, Sonthofen; 18. Meeting, Sept. 2000, Friedrichshafen (www.cadfem.de) Anderegg, R.: Nichtlineare Schwingungen bei dynamischen Bodenverdichtern. Fortschritt-Berichte VDI, Reihe 4, Nr. 146, – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1998 Argyris, J.; Mlejnek, H.-P.: Die Methode der Finiten Elemente. – Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg Verlag, 1987 Arnold, D.: Möglichkeiten der Beeinflussung des Schwingungsverhaltens von Regalbediengeräten. Fördertechnik-Tagung Dresden, Okt. 1999, Vortragssammelband, S. 123– 135. ARPEX Ganzstahlkupplungen. Katalog. Bocholt: A. Friedr. Flender AG, 1997 ¨ Babitsky, V. I.: Teorija vibroudarnych sistem (Russ.), Engl. Ubersetzung: Theory of Vibro-Impact Systems and Applications. – Berlin: Springer-Verlag, 1998 Backhaus, E.: Bestimmung von Feder-Dämpfer-Kennlinien aus Schwingungsmessungen. Dissertation, TU Dresden, 1972 Baker, G. L.; Gollub; J. P.: Chaotic Dynamics. – 2. Auflage. – Cambridge University Press, 1996 Banaszewski, T.; Molerus, O.: Dynamik der Resonanzschwingsiebe. Aufbereitungstechnik 14 (1974) T. 1: H. 7, S. 351–357; T. 2: H. 9, S. 512–552

432


[19] Banaszewski, T.; Schollbach, A. E.: Schwingungsanalyse von Maschinen mit selbstsynchronisierenden Unwuchterregern. Aufbereitungstechnik 39 (1998) 8, S. 383–393 ¨ [20] Barutzki, F.: Ermittlung des Ubertragungsund Temperaturverhaltens von Elastomerkupplungen bei Schwingungsanregung mit mehreren Frequenzen. Dissertation, TU Berlin, 1992 [21] Baumgarte, J.: Zeittransformation zur analytischen Schrittregulierung bei der numerischen Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen. ZAMM 54 (1974), S. 126– 127 [22] Beck, H. P.; Türschner, D.: Parameteridentifikation mit evolutionären Algorithmen für Walzantriebe mit Zustandsregler. VDI-Berichte Nr. 1550, S. 743–757. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 2000 [23] Behrens, H.: Nichtlineare Modellierung und Identifikation hydrodynamischer Kupplungen mit allgemeinen diskreten Modellansätzen. Dissertation, Mitteilungen aus dem Inst. für Mechanik der Ruhr-Universität Bochum, 1997 [24] Beitelschmidt, M.: Reibstöße in Mehrkörpersystemen. Fortschrittberichte VDI, R. 11, Nr. 275. – Düsseldorf: VDI-Verlag 1999 [25] Bengisu, T.; Hidayetoglu, T.; Akay, A.: A Theoretical and Experimental Investigation of Contact Loss in the Clearances of a Four-Bar-Mechanism. Transact. ASME, Journal of Mechanisms, Transm. and Automation in Design. 108 (1986), S. 237–244 [26] Bendsoe, M. P.: Optimization of Structural Topology, Shape and Material. – Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1995 [27] Benedettini, F.; Rega, G.: Planar non-linear oscillations of elastic cables under superharmonic resonance conditions. Journal od Sound and Vibration 132 (1989)3, S. 353–366 + S. 367–381 [28] Berger, R.: Instationäre Bewegung und Stabilitätsverhalten eindimensionaler Kontinua. Fortschr.-Ber. VDI-Reihe 18 Nr. 189. – Düsseldorf: VDI Verlag, 1996. [29] Biezeno, C. B.; Grammel, R.: Technische Dynamik. – 2. Aufl., 2. Band. – Berlin; Göttingen; Heidelberg: Springer-Verlag, 1953 [30] Blechman, I. I.: Samosinchronisacija vibratorov v nekotorych vibrazionnych masinach (Selbstsynchronisation von Vibratoren in einigen Vibrationsmaschinen), Inzenernyj sbornik 16 (1953) S. (Russ.) [31] Blechman, I. I.: Synchronisazija dinamiceskich sistem (Synchronisation dynamischer Systeme, russ.). – Moskau: Verlag Nauka, 1971 [32] Blechmann, I. I.; Myskis, A. D.; Panovko, J.: Angewandte Mathematik (Gegenstand, Logik, Besonderheiten). – Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wiss., 1984 [33] Blechman, I. I.: Selbstsynchronisation in Natur und Technik. – Leipzig; Jena; Berlin: Urania-Verlag, 1989 [34] Blekhman, I. I. (Editor): Selected Topics in Vibrational Mechanics. – Singapore: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2004 [35] Blekhman, I. I.: Vibrazionnaja mechanika (Russ.), Verlag Fismatgis, Moskau 1994 ¨ (Russ.), Engl. Ubersetzung: Vibrational Mechanics. World Scientific Publ. Co., Singapore; New Jersey; London; Hong Kong (2000) [36] Blekhman, I. I. ; Dresig, H.: Zur Dynamik unwuchterregter Maschinen, insbesondere beim Resonanzdurchlauf. VDI-Berichte Nr. 1603, S. 151–166. – Düsseldorf: VDIVerlag, 2001 [37] Bogoljubow, N. N.; Mitropolski, J. A.: Asymptotische Methoden in der Theorie der nichtlinearen Schwingungen. – Berlin: Akademie-Verlag, 1965. [38] Bolza, D.: Vorlesungen u¨ ber Variationsrechnung. – Leipzig: Verlag Köhler und Amelang, 1949


433

[39] Born, M.: Simulation von Synchronriemengetrieben – Modellbildung, Kennwertermittlung, Anwendung. VDI-Fortschrittberichte, R. 1, Nr. 278. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1997 [40] Börner, J.: LVR, Beanspruchungsverteilung an evolventischen Verzahnungen. Programm, Maschinenelemente, TU Dresden 2004 [41] Böttger, A.: Lärmminderung von Polyurethanzahnriemen-Getrieben. Dissertation TU Dresden, 1995 [42] Bossel, H.: Simulation dynamischer Systeme. – 2. Auflage. – Braunschweig: ViewegVerlag, 1992 [43] Brändlein, J.: Die radiale Federsteifigkeit von Wälzlagern: Linearisierung der Kennlinien. Maschinenmarkt, Würzburg 83 (1977) 61, S. 1182–1186 [44] Braune R.: HS-Profile mit vielen Harmonischen – Wirkungsvolle Schwingungsreduzierung in Kurvengetrieben bei extremen Bewegungsanforderungen. VDI-Berichte 1111 (1994), S. 127–154 [45] Braune, R.; Wyrwa, R.: Elektronische Kurvenscheiben als Antrieb von Koppelgetrieben. VDI-Berichte 1423, S. 107–129. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1998 [46] Bremer, H.: Dynamik und Regelung mechanischer Systeme. – Stuttgart: TeubnerVerlag, 1988 [47] Breuer, M.: Theoretische und experimentelle Bestimmung der Wälzlagersteifigkeit. VDI-Fortschrittberichte, R. 1, Nr. 241. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1994 [48] Brommundt, E.: Scaling the equations of motion for rolling wheel-rail contact. Im Sammelband Dynamical Problems in Mechanical Systems“. Polska Akademia Nauk, Her” ausgeber: R. Bogacz, K. Popp, Madralin/Warsaw (1989) Proceedings of the PolishGerman Workshop, S. 51–62 [49] Brommundt, E.: Ein Reibschwinger mit Selbsterregung ohne fallende Kennlinie. Zeitschr. Angew. Math. Mech. 75 (1995)11, S. 811–820 [50] Bronstein, I. N.; Semendjajew, K. A.: Taschenbuch der Mathematik. – Stuttgart: Teubner Verlag, 1991. [51] Butter, J.; Schreiber, U.: Modellierung von Planetengetriebestrukturen. 7. ITI Simulation Workshop. – Dresden: 2004 [52] Christ, M; Predki, W.; Jarchow, F.: Rechnersoftware für die integrierte Gestaltung und Berechnung von Planetengetrieben. VDI-Berichte 1460, S. 37–54. – Düsseldorf: VDIVerlag, 1999 [53] Constant, H.: Brit. Aero. Res. Comm. R and M, No. 1201, 1928 [54] Corbo M. A.; Malanoski, S. B.: Practical Design against Torsional Vibration. 25. Turbomachinery Symposium, S. 189–222. College Station: Turbomachinery Laboratory, The Texas A&M University System, 1996 [55] Deierlein, U.: Bewertungskriterien für Eigenschwingformen und deren Anwendung auf Textilmaschinen. Dissertation, TU Karl-Marx-Stadt 1989 [56] Demus, N.; Troeder, Ch.: Probleme bei Abkopplungsmaßnahmen in Mahlanlagen. Vortragssammelband der Tagung SIRM, Wien 1993 [57] Deutscher, O.: Der echtzeitsimulierte Bewegungs- und Beanspruchungsprozeß zur Analyse von Kranführer-Fahrwerk-Systemen. Dissertation, TH Darmstadt, 1980 [58] Di, Phong Nguyen: Beitrag zur Reduktion diskreter Schwingungsketten auf ein Minimalmodell. Dissertation, TU Dresden, 1973 [59] Diekhans, G.: Numerische Simulation von parametererregten Getriebeschwingungen. RWTH Aachen: Dissertation 1981 [60] Dietzel, M.: Beeinflussung des Schwingungsverhaltens von Regalbediengeräten durch Regelung des Fahrantriebs. Dissertation, Univ. Karlsruhe, 1999

434


[61] Dimarogonas, A.: Vibrations for Engineers. – New Jersey: Prentice Hall, 1996 [62] Dittrich, O.: Wirkung der Kupplung beim Anfahren mit Elektromotoren. Antriebstechnik 12(1973) Nr. 4, S. 133–141 [63] Döring, B.: Anwendung der Konstruktionsmethodik am Beispiel der Radialgleitlager großer Turbomaschinen. Dissertation, Ruhr-Universität Bochum, 1985 [64] Dresig, H.: Bewegungsgesetze schwingungsarmer Rastgetriebe. Berichte der HFR Festkörpermechanik, Band A. – Leipzig: Fachbuchverlag, 1985, S. XX/1–14 [65] Dresig, H.: Einfluß der Schaltfolge auf die dynamischen Beanspruchungen in Maschinen. TU Dresden, Studientexte Antriebsdynamik II (1983) 6, S. 94–108 [66] Dresig, H.: Ermittlung dynamischer Belastungen an Wippdrehkranen. Dissertation, TU Dresden, 1965 [67] Dresig, H.: Massenkräfte in Kranen beim Anheben der Last. Hebezeuge und Fördermittel 7(1967)1 S. 13–16; 2 S. 38–42 [68] Dresig, H.: Schwingungen in Antrieben von Verarbeitungsmaschinen. VDI-Berichte, Nr. 1220, S. 33–51. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1995 [69] Dresig, H.; Fiedler, L.; Zschieschang, T.: Aspekte der Schwingungsdiagnose bei Mechanismen. VDI-Berichte Nr. 1466, S. 477–492. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1999 [70] Dresig, H.; Holzweißig, F.: Maschinendynamik – 6. Auflage. – Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2005 [71] Dresig, H.; Komarow, S. M.: Optimale Konturen für Unwuchtmassen. Maschinenbautechnik, Berlin 34(1983) 6, S. 266–270. [72] Dresig H.; Naake, St.; Rößler, J.: Katalog der HS-Kurven-Profile für Rastbewegungen. Wiss. Schriftenreihe der TH Karl-Marx-Stadt. Heft 9/1986, S. 3–64 [73] Dresig, H.; Naake, St.; Rockhausen, L.: Vollständiger und harmonischer Ausgleich ebener Mechanismen. Fortschrittber. VDI, R. 18, Nr. 155. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1994 [74] Dresig, H.; Peisach, E. E.; Kikin, A.: Synthese von Koppelrastgetrieben unter Berücksichtigung dynamischer Kriterien. Vortragssammelband der 7. Chemnitzer Textilmaschinen-Tagung. TU Chemnitz, Okt. 1999, S. 163–170 [75] Dresig, H.; Rieger, U.: Berücksichtigung von Massenkräften bei der Konstruktion von ¨ Uberlastsicherungen. Wiss. Zeitschr. der TU Dresden, 18 (1969)1, S. 227–232 [76] Dresig, H., Rockhausen, L.: Aufgabensammlung Maschinendynamik. – Leipzig-Köln: Fachbuchverlag, 1994 [77] Dresig H.; Rößler J.: Bewegungsgesetze schwingungsarmer Kurvengetriebe. Maschinenbautechnik. – 33(1984) 5, S. 201–204 [78] Dresig, H.; Schönitz, J.; Weiß, J.: Kontaktschwingungen radial gekoppelter Rotoren. Beitrag in [170], Band V, 12 S. [79] Dresig, H.; Schuster, G.: Näherungsformeln zur Erfassung von Parametereinflüssen am Beispiel von Biegeeigenfrequenzen. Technische Mechanik, Magdeburg 2(1981)1, S. 35–40 [80] Dresig, H.; Stelzmann, U.: Zur Theorie des Kontaktverlustes in spielbehafteten Drehgelenken. Techn. Mech., Magdeburg, 8(1987) H.1, S. 40–45 [81] Dresig, H.; Vulfson, I. I.: Dynamik der Mechanismen. – Berlin: Deutscher Verlag der Wiss., – Wien: Springer-Verlag, 1989 [82] Dresig, H.; Vulfson, I. I.: Kriterien zur Bewertung des dynamischen Einflusses von Spiel in zyklischen Mechanismen. Konstruktion, Berlin, 45(1993) S. 351–357 [83] Dresig, H.; Vulfson, I. I.: Maßnahmen und Beispiele zur Lösung dynamischer Probleme bei Verarbeitungsmaschinen. Konstruktion 42 (1990), S. 369–376 [84] Dresig, H.; Vulfson, I. I.: Zur Dämpfungstheorie bei nichtharmonischer Belastung. VDIBerichte Nr. 1082, S. 141–156. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1993


435

[85] Dussac, M; Play, D.; Bard, D. R.: Design of Advanced Mechanical Systems, realistic Gear Dynamic Modelisation. VDI-Berichte 1230, S. 115–128. – Düsseldorf: VDIVerlag, 1996 [86] Earles, S. W.; C.L.S. Wu: Motion analysis of rigid-link mechanism with clearance. Mechanisms, London (1973) S. 83–89 [87] Eglseer, R.; Belyaev, A. K.: Instabilitätsbereiche eines Kettentriebs. Antriebstechnik 36 (1997)11, S. 61–63 [88] Ehmann, C.; Schönhoff, U.; Nordmann, R.: Aktive Schwingungsdämpfung bei Portalfräsmaschinen. VDI-Berichte Nr. 1606, S.163–181. – Düsseldorf, VDI-Verlag, 2001 [89] Eicher, N.: Zur Berechnung der stationären Lösungen von rheonichtlinearen Schwingungssystemen. VDI-Zeitschrift 124 (1982), 22, S. 860–862 [90] Erxleben, S.: Untersuchungen zum Betriebsverhalten von Riemengetrieben unter Berücksichtigung des elastischen Materialverhaltens. Dissertation, RWTH Aachen 1984 [91] Eschenauer, H.; Koski, J.; Osyczka, A.: Multicriteria Design Optimization. Procedures and Applications. – Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1990 [92] Eschmann, P.: Das Leistungsvermögen der Wälzlager. – Berlin; Göttingen; Heidelberg: Springer-Verlag, 1964 [93] Eschmann, P.; Hasbargen, L.; Weigand, K.: Die Wälzlagerpraxis. – München; Wien: R. Oldenbourg Verlag, 1978 [94] Ewins, D.: Modal Testing: Theory and Practice. – Taunton, Somerset: Research Studies Press Ltd., 1995 [95] Faust, H.: Schwingungsuntersuchungen am Synchronriementrieb eines direkteinspritzenden Pkw-Dieselmotors. VDI-Fortschrittberichte R. 12, Nr. 260. Düsseldorf: VDIVerlag, 1995. [96] Faust,H.; Linnenbrügger, A.: CVT-Entwicklung bei LuK. Bericht zum 6. LuKKolloquium, S. 159–181. – Bühl, März 1998. [97] Fidlin, A.: On the Oscillations in Discontinous and Unconventionally Strong Excited Systems:Asymptotic Approaches and Dynamic Effects. Habilitationsschrift, Universität Karlsruhe, 2002 [98] Fidlin, A.; Tomsen, J. J.: Predicting vibration-induced displacement for a resonant friction slider. Danish center for applied math. ans mech., TU of Denmark, Lungby, Report No. 643, 2000 [99] Filippov, A. P.: Kolebanija deformirujemych sistem. (Schwingungen deformierbarer Systeme.) – Moskau: Verlag Maˇsinostroenije, 1970 (russ.) [100] Fischer, F.: Betriebsverhalten von Mehrstrang-Keilriemengetrieben. VDI-Berichte Nr. 1467, S. 41–60. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1999 [101] Fischer, U.; Stephan, W.: Mechanische Schwingungen. – 3. Auflage. – Leipzig-Köln: Fachbuchverlag, 1993 [102] Föllinger, O.: Optimale Regelung und Steuerung. – 3. Aufl. – München; Wien: R. Oldenbourg Verlag, 1994 [103] Formanski, T.: Numerische Untersuchung von dynamischen Betriebszuständen hydrodynamischer Kupplungen. Dissertation. – Göttingen: Cuvillier-Verlag, 1996 [104] Fox, R.; Kapoor, M. P.: Rates of change at eigenvalues and eigenvectors. AIAA-Journal 6(1968)12, S. 2426–2429 [105] Franke, W.: Ein Beitrag zur dynamischen räumlichen Elastizitätstheorie II. Ordnung eines geraden Stabes unter dem besonderen Aspekt transienter axialer Einwirkung. – Aachen: Shaker-Verlag, 1997

436


[106] Fricke, A.: Stoffpaariges Gelenk für Drehbewegungen mit kleiner Amplitude. Dissertation, TH Karl-Marx-Stadt, 1986 [107] Fritzemeier, E.: Langzeitverhalten von druckbelasteten Elastomerelementen. VDIBerichte 1323, S. 161–176. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1997 [108] Funk, P.: Variationsrechnung und ihre Anwendung in Physik und Technik. – Berlin; Göttingen; Heidelberg: Springer-Verlag, 1962 [109] Funk, W.: Zugmittelgetriebe. – Berlin: Springer-Verlag, 1995 [110] Füsgen, P.: Untersuchungen u¨ ber das Auftreten des Ratterns bei selbsthemmenden Schneckengetrieben und seine Verhütung. Forschungsberichte des Landes NordrheinWestfalen, 1954, Nr.66 [111] Gärtner, P.; Herrwig, D.: Projektierung leichter Zahnradgroßgetriebe. Vortragssammelband der 2. Fachtagung Rechnergestützte Optimierung“, KDT Bezirk Karl-Marx” Stadt, Juni 1974, Bd. 2, S. 149–158 [112] Gasch, R.; Knothe, K.: Strukturdynamik. Bd. 1: Systeme und ihre Diskretisierung. – Berlin: Springer-Verlag, 1987 [113] Gasch, R.; Knothe, K.: Strukturdynamik. Bd. 2: Kontinua und ihre Diskretisierung. – Berlin: Springer-Verlag 1989 [114] Genkin, M. D.; Airapetow, E. L.: Vibrazii mechanismov s subèatymi peredaèami. (Schwingungen der Zahnradgetriebe). – Moskau: Verlag Nauka, 1978 (Russ.) [115] GERB homepage: http://www.gerb.com [116] Gerbert, G.: Belt Slip – A Unified Approach. Transactions of the ASME, Vol. 118, Sept. 1996, S. 432–438 [117] Germanischer Lloyd: Richtlinien für die Berechnung von Kurbelwellen für Verbrennungsmotoren (Ergänzende Vorschriften, Teil 4: Dieselmotoren, Nr. 91 D/E). – Hamburg: Germanischer Lloyd, 1995 [118] Giese, H.: Ein Beitrag zur Optimierung des Eigenschwingungsverhaltens von Balken und Platten mit Hilfe des Pontrjaginschen Maximumprinzips. Dissertation Univ. Dortmund. – Göttingen: Cuvillier-Verlag, 1997 [119] Glocker, Ch.: Dynamik von Starrkörpersystemen mit Reibung und Stößen. VDIFortschrittberichte, R. 18, Nr. 182. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1995 [120] Gold, P. W.; Schelenz, R.; Bühren, M.; Holzapfel, M.: Einsatz eines erweiterten Motormodells im simulationsunterstützten Antriebsentwurfs für Straßenbahnen. VDIBerichte Nr. 1630, S. 229–253. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 2001 [121] Gold, G. W.; Schelenz, R.; Holzapfel, M.; Koenen, H.: Ein neues Materialmodell zur Berechnung elastischer Kupplungen in Antrieben, VDI-Berichte Nr. 1285, S. 457–471. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1996 [122] Goloskokow, E. G.; Filippow, A. P.: Instationäre Schwingungen mechanischer Systeme. – Berlin: Akademie-Verlag, 1971 [123] Görtler, H.: Dimensionsanalyse. Theorie der physikalischen Dimensionen mit Anwendungen. – Berlin: Springer-Verlag, 1975 [124] Gradu, M.; Langenbeck, K.; Breunig, R.: Planetary Gears with Improved Vibrational Behaviour in Automatic Transmissions. VDI-Berichte 1230, S. 861–879. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1996 [125] Grinev, V .B.; Filippov, A. P.: Optimisazija sterˇznei po spektru sobstvennych snaˇcenii (Optimierung von Trägern hinsichtlich der Eigenwerte) Kiev, Verlag Naukova Dumka, 1979 (russ.) [126] Großmann, K; Wiemer, H.: Anforderungen an die Simulation des Systems Maschine – ” Werkzeug – Prozess“ in der Umformtechnik. Dresdner Tagung Simulation im Maschinenbau, Tagungsband 2, S. 775–793


437

[127] Grudzinski, K; Kissing, W.; Zaplata, M.: Numerische Untersuchungen von Parametereinflüssen des dynamischen Systems auf selbsterregte Reibungsschwingungen. – Magdeburg: Techn. Mechanik, 19 (1999) 1, S. 29–44 [128] Grudzinski, K; Kissing, W.; Zaplata, M.: Untersuchung selbsterregter Reibungsschwingungen mit Hilfe eines numerischen Simulationsverfahrens. – Magdeburg: Techn. Mechanik, 13 (1992) 2, S. 7–14 [129] Grzesiak, L. M.; Reichert, K.: Equivalent circuit determination of an AC-machine based on catalogue data and values of no-load current and stator resistance. Bericht der Tagung ICEM, Manchester, UK (1992), S. 303–306 [130] Guyan, R. J.: Reduction of stiffness and mass matrices. AIAA-Journal, 3(1965) 2, S. 380 [131] Haberl, R.; Blümel, K.: Betriebsmäßige Prüfung der Spannkraft von Keilriemen. Maschinenwelt und Elektrotechnik 40 (1985)9, S. 186–188 [132] Hafner, K. E.; Maass, H.: Theorie der Triebwerksschwingungen der Verbrennungskraftmaschine. – Wien; New York: Springer-Verlag, 1984 [133] Hafner, K. E.; Maass, H.: Torsionsschwingungen in der Verbrennungskraftmaschine. – Wien: Springer-Verlag, 1985 [134] Hagedorn, P.: Technische Schwingungslehre. Bd. 2: Lineare Schwingungen kontinuierlicher mechanischer Systeme. – Berlin: Springer-Verlag, 1989. [135] Hagedorn, P.; Schäfer, G.: On non-linear free vibrations of an elastic cable. International Journal of Non-Linear Mechanics 15 (1980)1, S. 333–340 [136] Hanl, K.: Eigenschaften von Brummerschwingungen“ an schnell laufenden Kaltwalz” anlagen und Maßnahmen zu ihrer Verminderung. VDI-Berichte, Nr. 957, S. 203–217. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1992 [137] Harris, C. M.; Crede, C. E.: Shock and Vibration Handbook, Vol. 1. – New York; Toronto; London: Mc Graw-Hill Book Company, 1961 [138] Harris, C. M.: Shock and Vibration Handbook, 4th edition. – New York: McGraw Hill, 1996 [139] Hasse, T.: Auslegung ungleichförmiger Bewegungsgetriebe mit unrunden Zahnrädern und steuerbaren Antrieben. VDI-Berichte 1423, S. 171–191. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1998 [140] Haug, K.: Die Drehschwingungen in Kolbenmaschinen. – Berlin: Springer-Verlag, 1952 [141] Hwang, S.-J., Perkins, N. C.: Supercritical stability of an axially moving beam. Part 1: Model and equilibrium analysis, Part 2: Vibration and stability analysis. Journal of Sound and Vibration, 154 (1992) 3, p. 381–396 and p. 397–409. [142] Heimann, B.; Gerth, W.; Popp, K.: Mechatronik (Komponenten – Methoden – Beispiele). – Leipzig: Fachbuchverlag, 1998 ¨ [143] Herrmann, W.: Die Anwendung des Ahnlichkeitsprinzips der Mechanik auf zeitlich beliebig veränderliche Vorgänge. Jahrbuch der Schiffbautechn. Gesellschaft, 31. Bd. (1930), S. 355–388 [144] Herrmann, R.-J.: Ein anwenderorientiertes Simulationsmodell für dynamisch beanspruchte Riemengetriebe. Dissertation, TU Berlin, 1991 [145] Heymann, J.; Lingener, A.: Experimentelle Festkörpermechanik. – Leipzig: Fachbuchverlag, 1986 [146] Hinrichs, N.: Reibungsschwingungen mit Selbst- und Fremderregung: Experiment, Modellierung und Berechnung. Fortschr.-Ber. VDI, Reihe 11, Nr. 240. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1997 [147] Hirmann, K; Belyaev, A. K.: Stabilitätsverhalten eines schnellaufenden Synchronriemens. Antriebstechnik 36, (1997) Nr. 6, S. 64–66.

438


[148] Höhn, B.-R.: Räderkurbelgetriebe als Massenausgleichsgetriebe für einen Querschneider, Antriebstechnik 18 (1979) 11, S. 544–548. [149] Holzweißig, F. (Hrsg.): Arbeitsbuch Maschinendynamik-Schwingungslehre. – 2. Auflage. – Leipzig: Fachbuchverlag, 1987 [150] Holzweißig, F.; Dresig, H.: Lehrbuch der Maschinendynamik. – 4. Auflage. – Leipzig: Fachbuchverlag, 1994. [151] Hrones,J.; Nelson, G.: Analysis of the four bar linkage. – New York: John Wiley, 1951. [152] http://efwtdog.1.et.tu-dresden.de/ifwtwww/forschun/schwerpu/zahnriem/semi99.html [153] http://www.el.utwente.nl/20sim/clp main software.htm [154] http://www.ina.de/ oder http://www.ina.com/ [155] http://www.KISSsoft.ch/ [156] http://www.me.tu-dresden.de/publika/dissertation.shtml [157] http://www.neuer-adler.nuernberg.de/ina.html [158] http://www.rand.de/files/produkte/software3.html [159] http://www.skf.de/ [160] http://www.tu-bs.de/institute/imf/fordert/forsch/htm [161] http://www.tu-chemnitz.de/mbv/GetrLehre/ [162] http://www.wifi.at/tub/mut/techoptimizer/to-screenshow6-2.htm [163] http://www.xtab.se/tips innovation/tips.html [164] Hua Yuan: Optimierung des dynamischen Verhaltens von Spindeleinheiten. Dissertation, Universität Stuttgart, 1997 [165] Huitenga, H.: Verbesserung des Anlaufverhaltens hydrodynamischer Kupplungen durch Modifikation der Kreislaufgeometrie. VDI-Fortschrittberichte, R. 7, Nr. 322. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1997 [166] Hupfer, P.: Optimierung des dynamischen Verhaltens mechanischer Pressen. Dissertation (B), TH Karl-Marx-Stadt, 1985 [167] Hupfer, P.; Schmidt, C.-D.: Simulation der Dynamik von Umformmaschinen. Dresdner Tagung Simulation im Maschinenbau, Februar 2000, Tagungsband 2, S. 795–803 [168] Ibrayev, S.; Peisach, E.; Schönherr, J.: Synthese von höhergliedrigen Koppelgetrieben Tagung VVD 2000, TU Dresden, März 2000, Vortragssammelband, S. 269–280 [169] Indlekofer, N.; Wagner, U.; Fidlin, A.; Teubert, A.: Neueste Ergebnisse der CVTEntwicklung. Bericht zum 7. LuK-Kolloquium, S. 63–69. – Bühl, April 2002 [170] Irretier, H.; Nordmann, R.; Springer, H.: Schwingungen in rotierenden Maschinen. Referate zur Tagung, Bd. I 1991, Bd. II 1993, Bd. III 1995, Bd. IV 1997, Bd. V 2001. Bd. VI 2003.– Braunschweig: Vieweg-Verlag [171] Irvine, H. M.; Caughey, T. K.: The linear theory of free vibrations of a suspended cable. Proc. Royal Soc. London, A341 (1974), S. 299–315 [172] Jäckel, A.: Aktive Schwingungsdämpfung im Antriebsstrang von Triebfahrzeugen auf der Grundlage von Systemmodellierung und Betriebsmessungen. Dissertation, TU Darmstadt, Shaker-Verlag, 1999 [173] Jäger, B.: Die angenäherte Berücksichtigung von Kugel- und Rollenlagern bei der Berechnung der biegekritischen Drehzahl. Konstruktion 10 (1958) 3, S. 87–92 [174] Jarausch, R.; Mader, H.: Berechnung erzwungener gedämpfter Drehschwingungen von Getrieben mit Hilfe elektronischer Rechenmaschinen. Industrie-Anzeiger 84 (1962) Nr. 63, S. 253–262 [175] Jiang, F.: Ratterschwingungen in selbsthemmenden Schneckengetrieben. Dissertation, Univ. Kaiserslautern, 1989


439

[176] Jiang, F.; Steinhilper, W.: Das Schwingungsverhalten von selbsthemmenden Schneckengetrieben und Maßnahmen zur Vermeidung von Ratterschwingungen. VDI-Berichte 905, S. 165–184. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1991 [177] Jöckel, A.: Aktive Schwingungsdämpfung im Antriebsstrang von Triebfahrzeugen auf der Grundlage von Systemmodellierung und Betriebsmessungen. Dissertation, TU Darmstadt, Shaker-Verlag, 1999 [178] John, T.: Systematische Entwicklung von homokinetischen Wellenkupplungen. Dissertation, TU München, 1987 [179] Kämmel, G.; Franeck, H.: Einführung in die Methode der finiten Elemente. – Leipzig: Fachbuchverlag, 1980 [180] Kasak, S. A.: Dinamika mostovych kranov (Dynamik der Brückenkrane). – Moskau: Verlag Maˇsinostroenije, 1968 (russ.) [181] Käsler, R.: Standartisiertes Prüfverfahren zur Kennwertermittlung und Dimensionierung von Elastomerelementen in nachgiebigen Verbindungen. VDI-Fortschritterichte, R. 1, Nr. 288. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1997 [182] Katalog 307, INA Wälzlager Schaeffler KG, Herzogenaurach, 1997 [183] Kauderer, H.: Nichtlineare Mechanik. – Berlin; Göttingen; Heidelberg: SpringerVerlag, 1958 [184] Kissling, U.: Konzept für die effiziente Auslegung und Optimierung von Planetengetrieben nach verschiedenen Kriterien. VDI-Berichte Nr. 1460, S. 55–76. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1999 [185] Kissling, U. L.: Berechnung und Optimierung von Zahnrädern mit moderner Software. VDI-Zeitschrift 142 (2000), Special Antriebstechnik, S. 24–29 [186] KISSsoft, Calculation Programs for Machine Design, www.KISSsoft.ch [187] Kleiber, M. u. a.: Parameter sensitivity in nonlinear mechanics. Theory and finite element computation, – New York: John Wiley & Sons, 1997 [188] Klein, U.: Schwingungsdiagnostische Beurteilung von Maschinen und Anlagen. – Düsseldorf: Verlag Stahleisen GmbH, 1998. [189] Klement, H.-D.: Programm zur Berechnung von Drehschwingungen. Konstruktion 31 (1979) Heft 2, S. 79–83 [190] Klepacki, W.; Serafin, A.: Modelowanie dynamiczne zˇ urawi wieˇzowych. (Dynamische Modellierung von Turmkranen.) – Warschau: Arch. Bud. Maszyn, Nr. 4(1968), S. 561–570 (Poln.) [191] Klotter, K.: Technische Schwingungslehre. – 2. Auflage. – Berlin; Göttingen; Heidelberg: Springer-Verlag, 1960 [192] Knoll, G.; Lechtape-Grüter, R.; Schönen, R.; Träbing, C.; Lang, J.: Simulationstools für strukturdynamisch/elastohydrodynamisch gekoppelte Motorkomponenten. Dresdner Tagung Simulation im Maschinenbau, Februar 2000, Sonderdruck IMK der Uni Gh Kassel, S. 1–20, 46 Literaturstellen [193] Kobayashi, A. S.: Handbook on Experimental Mechanics. – 2. Auflage. – Weinheim: VCH Verlagsgesellschaft, 1993 [194] Kogan, I. J.: Turmdrehkrane für das Bauwesen. – Leipzig: Fachbuchverlag, 1960 [195] Kolerus, J.: Zustandsüberwachung von Maschinen. Expert-Verlag, Kontakt und Studium, Bd. 187, Techn. Akad. Esslingen, 1995 [196] Komarow, M. S.: Dinamika grusopodjemnych masin (Dynamik der Lasthebemaschinen). – Moskau; Kiew: Masgis-Verlag 1962 (russ.) [197] Korenev, B. G.; Rabinoviˇc, I. M.: Baudynamik. Handbuch. – Berlin: Verlag für Bauwesen, 1980

440


[198] Korn, G. A.; Korn, T. M.: Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. – New York: Mc Graw-Hill Book Company, 1968 [199] Kota, S.: Design of compliant mechanisms with applications to MEMS and smart structures. 10. IFToMM- Weltkongreß Oulu/Finnland,(1999) Band 7, S. 2722–2728 [200] Kovacs, K. P.; Racz, I.: Transiente Vorgänge in Wechselstrommaschinen, Bd. I und II. – Budapest: Verlag der Ungarischen Akademie der Wiss., 1959 [201] Krämer, E.: Dynamics of Rotors and Foundations. – Berlin; Heidelberg: SpringerVerlag, 1993 [202] Krämer, E.: Maschinendynamik. – Berlin: Springer-Verlag, 1984 [203] Krause, W.; Metzner, D.: Zahnriemengetriebe. – Berlin: Verlag Technik und – Heidelberg: Dr. Alfred Hüthig Verlag, 1988 [204] Krogmann, P.; Mehner, R.: Fertigung, Einsatz und Auslegung von ViskositätsDrehschwingungsdämpfern. Vortragssammelband Problemseminar Antriebstechnik, TU Dresden, Heft 5/1976, S. 152–165 [205] Kuch, H.: Modellbildung bei der Vibrationsverdichtung von Beton. (Model Formation in Vibratory Compaction of Concrete.) Betonwerk und Fertigteil-Technik (1992)2, S. 101–106 [206] Kücükay, F.: Dynamik der Zahnradgetriebe. – Berlin; Heidelberg; New York: SpringerVerlag, 1987 [207] Kühlert, H.: Experimentelle und numerische Untersuchungen zum dynamischen Verhalten von Schwingförderrinnen. Dissertation, Uni BW Hamburg, 1992 [208] Kulitzscher, P.: Leistungsausgleich von Koppelgetrieben durch Veränderung der Massenverteilung oder Zusatzkoppelgetriebe. Maschinenbautechnik, Berlin, 19 (1970) 11, S. 562–568. [209] Lampertz, S.: Nichtlineares Materialgesetz für technische Gummiwerkstoffe. Dissertation, RWTH Aachen, 1993. [210] Lang, J. R.: Kolben-Zylinder-Dynamik. Dissertation, RWTH Aachen, 1997 [211] Langer, P.: Dynamische Wechselwirkungen der Teilsysteme einer Digitaldruckmaschine. Diss. TU Dresden 2004 [212] Laschet, A.: Computer simulation of vibration in rotating machinery. Machine Vibration, Vol. 1, No. 1, S. 42-51. – London: Springer-Verlag, 1992 [213] Laschet, A.: Dokumentation zur Schwingungssimulations-Software ARLA SIMUL, Version 6.86. – Kürten: ARLA Maschinentechnik GmbH, 1999 [214] Laschet, A.: Simulation and Modelling of Drivetrains to Determine Nonlinear Effects. 17th IASTED International Symposium Simulation and Modelling“. Paper No. 144” 135-1, S. 363–366. – Calgary: Acta Press, 1989 [215] Laschet, A.: Simulation von Antriebssystemen. – Berlin: Springer-Verlag, 1988 [216] Laschet, A.; Schreiber, U.: Systemanalyse eines Lüfterantriebs mit Hilfe der ComputerSimulation. Berichte der Tagung Systemanalyse in der Antriebstechnik“, Haus der ” Technik Essen. Nov. 1998 [217] Laschet, A. et. al.: Systemanalyse in der Kfz-Antriebstechnik. – Renningen: ExpertVerlag, Bd. 1 (2001), Bd. 2 (2003), Bd. 3 (2005) [218] Lavrov, B. P.: Vibrazionnye maˇsini s samosinchronisirujuˇscˇ imisja vibratorami (Vibrationsmaschinen mit sich selbt synchronisierenden Vibratoren) Trudy po teorii i prilozeniju lavlenija samosinchronisazii v masinach i ustroistvach. Verlag Mintis, Vilnius, 1966 (Russ.) [219] Lehr, E.: Schwingungstechnik. – Berlin: Springer-Verlag, Bd. 1 (1931), Bd. 2 (1934)


441

[220] Li Zhe; Bai Shixian: A new method of predicting of the occurence of contact loss between pairing elements in planar linkages with clearances. Mech. Mach. Theory, Oxford, vol. 27(1992) Nr. 3, S. 295–301 [221] Lin, J.; Parker, R. G.: Planetary Gear Parametric Instability Caused by Mesh Stiffness Variation. Journal of Sound and Vibration (2002) 249(1), p. 129–145 [222] Lingener, A.: Auswuchten-Theorie und Praxis. – Berlin; München: Verlag Technik GmbH, 1992 [223] Linke, H.: Stirnradverzahnung. – München; Wien: Carl Hanser Verlag, 1996 [224] Lloyd’s Register of Shipping: Rules and Regulations for the Classification of Ships, Part 5: Main and Auxiliary Machinery. – London: Lloyd’s Register, 1999 [225] Lohse, P.: Getriebesynthese – Bewegungsabläufe ebener Koppelmechanismen. – Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1983 [226] Looman, J.: Zahnradgetriebe. Konstruktionsbücher, Bd. 26. – 2. Auflage. – Berlin: Springer-Verlag, 1988. [227] Lüder, R.: Zur Synthese periodischer Bewegungsgesetze von Mechanismen unter Berücksichtigung von Elastizität und Spiel. Fortschritt-Berichte VDI Reihe 11, Nr. 225. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1995 ¨ ¨ [228] Maˇcikin, V. I.: Uber die Auswahl des optimalen Ubersetzungsverh¨ altnisses des Getriebes und der Motorleistung für Maschinen mit Aussetzbetrieb. Wiss. Zeitschr. der TH Otto von Guericke“ Magdeburg, 19 (1975) Heft 7/8, S. 813–815. ” [229] Malkin, J. G.: Theorie der Stabilität einer Bewegung. – Berlin: Akademie-Verlag, 1959 [230] Magnus, K.: Zur Geschichte der Anwendung von Kreiseln in Deutschland. Sammelband Rasvitije mechaniki giroskopiˇceskich i inerzialnych sistem (Entwicklung der Mechanik von Kreisel- und Trägheitssystemen). – Moskau: Verlag Nauka, 1973, S. 285– 306 [231] Magnus, K.; Popp, K.: Schwingungen. Teubner Studienbücher. – 5. Auflage. – Stuttgart: B. G. Teubner Verlag, 1997 [232] Marguerre, K.; Wölfel, H.: Technische Schwingungslehre. – Mannheim; Wien; Zürich: B. I. Wissenschaftsverlag, 1979 [233] Markert, R.; Pfützner, H.; Gasch, R.: Mindestantriebsmoment zur Resonanzdurchfahrt von unwuchtigen elastischen Rotoren. Forsch. Ing.-Wes., Bd. 46, 1980, Nr. 2, S. 33–48 [234] Maslow, G. S.: Berechnung von Wellenschwingungen. – Moskau: Verlag Maschinenbau, 1968 [235] Mehner, R.; Peschel, D.: Experimentelle Kennwertermittlung an rotierenden Keilriemen und Kupplungen. Dissertation, TU Dresden, 1973 [236] Merhar, G.: Lösungsfindung mit getriebetechnischen Konstruktionskatalogen. VDIBerichte 576, S. 111–125. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1985 [237] Mertens, H., Sauer, B.: Schwingungen von Keilriementrieben. Antriebstechnik 30 12 (1991), S. 68–72 ¨ [238] Mertens, H.; Ziegenhagen, S.: Ubertragungsverhalten von Elastometer-Kupplungen – Messung, Masterkurven, Modellbildung. VDI-Berichte 1323, S. 23–42. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1997 [239] Milde, F.: Dynamisches Verhalten von Drehfeldmaschinen.– Berlin; Offenbach: vdeverlag gmbh, 1993 [240] Millet; P.; Mertens, H.: Statisches und dynamisches Verhalten von Ringscheiben- und Laschenkupplungen. Konstruktion 52 (2000)3, S. 43–47 [241] Minquan Zhang: Zur Beschreibung und Identifikation von mechanischen Schwingungssystemen mit nichtlinearen Strukturdämpfungen. Fortschrittbericht VDI, R. 11, Nr. 139. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1990

442


[242] Moon, J.; Wickert, J. A.: Radial Boundary Vibration of Misaligned V-Belt Drives. Journal of Sound and Vibration 225 (1999) 3, S. 527–541 [243] Müller, J.: Arbeitsmethoden der Technikwissenschaften (Systematik, Heuristik, Kreativität). – Berlin: Springer-Verlag, 1990 [244] Müller-Slany, H. H.: Transversale Riemenschwingungen (Beltflutter) in Serpentinantrieben von Fahrzeugen – Theoretische Modellbildung und experimentelle Verifikation. VDI-Berichte Nr. 1220, S. 145–158, – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1995 [245] Müller-Slany, H. H.; Brunzel, F.: Generierung und Anwendung realitätsnaher, dynamisch hochgenauer Rechenmodelle in der modellgestützten Schadensdiagnose. VDIBerichte 1550, S. 631–650. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 2000 [246] Nashiv, A. D.; Jones, D. I. G.; Henderson, J. P.: Vibration Damping. – New York: John Wiley & Sons, 1985 [247] Nestorides, E. J.: A Handbook on Torsional Vibration. – Cambridge: Cambridge University Press, 1958 [248] Niordsen, F. I.: On the optimal Design of a vibrating Beam. Quart. Appl. Mathematics, 23(1965), S. 47–53 [249] Nolte, R.: Optimierungsläufe. Ausgleich von Spitzenlasten bei Kurvengetrieben u¨ ber federbelasteten Momentenverlauf. Maschinenmarkt, Würzburg 97(1991)14, S. 164–167 [250] Oledzki, A.: Dynamics of Permanent Self-locking Systems. Inl. Mechanisms, Vol 4, pp. 105–138, Pergamon Press, 1969 [251] Olhoff, N.: Optimization of vibrating beams with respect to higher order natural frequencies. J. Struct. Mech. (1976) 4 Nr.1, p. 87–122. [252] Ottl, D.: Nichtlineare Dämpfung in Raumfahrtstrukturen. Sammlung und Auswertung von experimentelle Ergebnissen. Fortschrittberichte VDI, R. 11, Nr. 73. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1985 [253] Panowko, Ja. G.; Gubanova, I. I.: Ustoiˇcivost i kolebanija uprigich sistem (Stabilität und Schwingungen elastischer Systeme). – Moskau: Verlag Nauka, 1967 (russ.) [254] Patko, G.; Kollanyi, T.: Non-linear parametrically vibrations in belt drives of machine tools. Tenth World Congress on TMM. Oulu/Finnland. Proceedings, Vol.4, P. 1619– 1624 [255] Peeken,F.; Fischer, F.; Frenken, E.: Kraftübertragung in Zahnriemengetrieben. Konstruktion 41 (1989), S.183–190 [256] Peeken, H.; Troeder, Ch.: Elastische Kupplungen. Konstruktionsbücher, Bd. 33. – Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1986 [257] Peeken, H.; Troeder, Ch.; Diekhans, G.: Parametererregte Getriebeschwingungen. Teil 1 bis 4. VDI-Zeitschr. 122 (1980), Nr. 20–23/24, S. 869–877, S. 967–977, S. 1029– 1043, S. 1101–1113 [258] Perkins, N. V.: Modal interactions in the non-linear response of elastic cables under parametric/external excitation. Int. Journ. of Non-Linear Mechanics 27 (1992) 2, S. 233– 250 [259] Perkins, N. V.; Mote, C. D.: Three dimensional vibration of travelling elastic cables. Journ. of Sound and Vibration 114 (1987) 7, S. 325–340 [260] Petersen, C.: Schwingungsdämpfer im Ingenieurbau. München, Maurer & Söhne GmbH, 2001 [261] Petuelli, G.: Theoretische und experimentelle Bestimmung der Steifigkeits- und Dämpfungseigenschaften normalbelasteter Fügestellen. Dissertation, RWTH Aachen, 1983 [262] Pfeiffer, F.: Rattling in Gears – A Review. VDI-Berichte Nr. 1230, S. 719–737. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1996


443

[263] Pfeiffer, F.; Glocker, C.: Multibody Dynamics with Unilateral Contacts. – New York; Chichester: John Wiley & Sons, 1996 [264] Pfeiffer, K.: Fahrsimulation eines Kraftfahrzeuges mit einem dynamischen Motorenprüfstand. Fortschritt-Berichte R. 12, Nr. 326. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1997 [265] Phong Dien Nguyen: Beitrag zu Diagnostik der Verzahnungen in Getrieben mittels Zeit-Frequenz-Analyse. Diss. TU Chemnitz. Fortschr.-Ber. VDI, Reihe 11, Nr. 315. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 2002 [266] Pietruszka, W. D.: MATLAB in der Ingenieurpraxis. Modellbildung, Berechnung und Simulation. B.G. Teubner Verlag/GWV Fachverlage GmbH Wiesbaden 2005 [267] Polifke, G.; Predki, W.; Jarchow, F.: Simulation des dynamischen Schwingungsverhaltens mehrstufiger Planetengetriebe. VDI-Berichte 1460, S.297–316. – Düsseldorf: VDIVerlag, 1999 [268] Popp, K.; Schiehlen, W.: Fahrzeugdynamik. – Stuttgart: Teubner-Verlag, 1993 [269] Predki, W.: Stand der Planetengetriebe-Entwicklung. VDI-Berichte 1460, S. 1–21. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1999 [270] Programme WinDAM und mHSL: http://www.mb1.tu-chemnitz.de/Madyn/Geraete [271] Regel, J.: Optimale Stoßfolge bei linearen Schwingern. Projektarbeit. TU Chemnitz, Fakultät Maschinenbau, 2005 [272] Reichelt, M.: Anwendung neuer Methoden zum Vergleich der Ergebnisse aus rechnerischen und experimentellen Modalanalyseuntersuchungen. VDI-Berichte 1550, S. 481– 495. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 2000 [273] Reipert, P.; Voigt, M.: Körperschallanregung des Kurbelgehäuses durch die Kolbenbewegung. VDI-Berichte Nr. 1491, S. 401–414. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1999 [274] Richter, E.; Caquelin, P.; Käschel, R.: Technologie Kammgarnspinner. – Leipzig: Fachbuchverlag 1968. [275] Rivin, E. I.: Metod umenˆsenija stepenej svobody v rasˆcetnych schemach zepnych i rasvetvlennych sistem. (Methode zur Verminderung der Freiheitsgrade in Berechnungsmodellen verketteter und verzweigter Systeme.) (Russ.) – Vestnik Maˇsinostroenija 46(1966)5, S. 38–41 [276] Rockhausen, L.: Minderung der stationären Schwingungen einer Weblade. VDIBerichte Nr. 1220, S. 441–452. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1995. [277] Rohrbach, C.: Handbuch für experimentelle Spannungsanalyse. – Düsseldorf: VDIVerlag, 1989 [278] Röhrle, H.: Reduktion von Freiheitsgraden bei Strukturdynamik-Aufgaben. VDIFortschritt-Berichte R. 1, Nr. 72. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1980 [279] Rößler, J.: Grundlagen der Dynamik von Antriebssystemen im Textil- und Verarbeitungsmaschinenbau. Dissertation (B), TH Karl-Marx-Stadt, 1985 [280] RUPEX Elastische durchschlagsichere Kupplungen. Katalog. Bocholt: A. Friedr. Flender AG, 1995 [281] Sähn, S.: Torsionsfederzahlen abgesetzter Wellen mit Kreisquerschnitt und Folgerungen für die Gestaltung von Schrumpfverbindungen. Konstruktion 19 (1967) Heft 1, S. 12–19 [282] Salewski, K. D.; Marzok, U.: Eine Bedingung zur Erhaltung des Eigenfrequenzspektrums schwingungsfähiger Systeme bei Parameteränderung. Maschinenbautechnik, Berlin, 30(1981)2, S. 88–90 [283] Sauer, B.: Stationäre Schwingungen von Keilriementrieben im Frequenzbereich bis 240 Hz. VDI-Fortschrittberichte, R. 1, Nr. 160. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1988. [284] Scheffler, M.; Dresig, H.; Kurth, F.: Unstetigförderer 2. – Berlin: VEB Verlag Technik, 1985

444


[285] Schindler, J; Uhlig, A.: Simulation von antriebs- und fluidtechnischen Komponenten und Systemen. – Dresden: ITI-SIM Workshop, 2000 [286] Schlecht, B.; Wünsch, D.; Matta, F. u. a.: Simulation von redundanten Notaus-StopBremssystemen in Haupthubwerkantrieben von Gießkranen, Tagebaugroßgeräten und Umschlaganlagen. VDI-Berichte Nr. 1630, S. 291–316. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 2001 [287] Schmidt, F. J.; Stange, H.; Grützner, T.: Ein verarbeitungstechnischer Zugang zur Mechatronik. Tagungsband der Fachtagung Verarbeitungsmaschinen und Verpackungstechnik, VVD 2003, S. 351–365. – Dresden, April 2003 [288] Schmidt, M.: Einflüsse auf das Schwingungsverhalten von Maschinenstrukturen durch Rollenumlaufschuh-Führungen. Fortschritt-Berichte R. 11, Nr. 220. – Düsseldorf: VDIVerlag, 1995 [289] Schmidt, P.; Peltzer, P.: Das Synchronisieren zweier Unwuchtrüttler an Schwingmaschinen. Aufbereitungstechnik 17 (1976) 3, S. 108–114 [290] Schmitz, T.: Modellbildung und Simulation der Antriebsdynamik von Personenwagen. Fortschritt-Berichte R. 12, Nr. 224. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1994 [291] Schneider, J.: Konstruktionskataloge in der Antriebstechnik. Dissertation, TH Darmstadt, 1987 [292] Schreiber, U.; Blochwitz, T.: Lehrgang Elektrische Antriebstechnik. Simulation ITI SIM-Applikation. Dresden 2005. [293] Schriftenreihe des Instituts für Konstruktionstechnik, vgl. www.ruhr-unibochum.de/lmgk/veroff/reihe.html [294] Schulz, G.: Verfahren zur Berechnung der Dynamik von Gurtförderern in instationären Betriebszuständen. VDI-Berichte, VDI-Verlag GmbH Düsseldorf, (1998) Nr. 1389, S. 37–61 [295] Schumacher, M.: Untersuchungen des Schwingungsverhaltens von Einmast-Regalbediengeräten. Dissertation, Univ. Karlsruhe, 1994 [296] Schumann, K.: Rechnerische Ermittlung der technologischen Belastung von Zweiständer-Kurbelpressen. Dissertation, TH Karl-Marx-Stadt, 1983 ¨ [297] Sedov, A. I.: Methoden der Ahnlichkeit und Dimensionen in der Mechanik. – Moskau: Verlag Nauka, 1967 (Russ.) [298] Sergejev, V. I.; Judin, K. M.: Issledovanije dinamiki ploskich mechanismov s sasorami (Untersuchung der Dynamik ebener Mechanismen mit Spielen). – Moskau: Verlag Nauka, 1974 (Russ.) [299] Sextro, W.: Dynamical Contact Problems with Friction. (Models, Methods, Experiments and Applications). – Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2002 [300] Simo, J. C.: A Finite Strain Beam Formulation. Part I. Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. 49 (1985), 55–70. [301] Simulationsprogramm ARLA -SIMSTAT. Vers. 2.57, Manual. – Kürten: ARLA Maschinentechnik GmbH, 1997–2000 (www.arla.de) [302] Simulationsprogramm ITI -SIM 3.7. Dresden: ITI GmbH 1998–2005 (www.iti.de) [303] SIMULINK, Users Guide. The Mathworks, Inc. 1995 [304] Sommerfeld, A.: Beiträge zum dynamischen Ausbau der Festigkeitslehre. VDIZeitschrift 46 (1902) 11, S. 391–394 [305] Speer: Experimentelle Spannungsanalyse. – Leipzig: B. G. Teubner, 1971 [306] Spensberger, C.: Simulationsmodell für eine elastische Kupplung. Vortragssammelband der Tagung SIM 2000, TU Dresden, Febr. 2000, S.651–665


445

[307] Sperling, L.: Beitrag zur allgemeinen Theorie der Selbstsynchronisation umlaufender Unwuchtmassen im Nichtresonanzfall. Wiss. Zeitschrift der TH Magdeburg. 11 (1967) 1, S. 63–87 [308] Sperling, L.: Selbstsynchronisation statisch und dynamisch unwuchtiger Vibratoren. Technische Mechanik, Magdeburg 14 (1994) Nr. 1, S. 61–76 und Nr. 2, S. 85–96 [309] Srnik, J.; Pfeiffer, F.: Dynamik von CVT-Kettengetrieben: Modellbildung und -verifikation. VDI-Berichte 1285, S.441–455. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1996 [310] Stacke, L.-E.; Fritzson, D.; Nordling, P.: BEAST – a rolling bearing simulation tool. Proc. Instn. Mech. Engrs. Vol. 213, Part K (1999), S. 63–71 [311] Steinhausen, J.: Die Beschreibung der Dynamik von Antriebssträngen durch BlackBox-Modelle hydrodynamischer Kupplungen. Dissertation, Mitteilungen aus dem Inst. für Mechanik der Ruhr- Universität Bochum, 1998 [312] Stelzmann, U.; Groth, C.; Müller, G.: FEM für Praktiker, Bd. 2: Strukturdynamik. – Expert-Verlag, 2000 (CD-ROM und zahlreiche Beispiele) [313] Stoermer, U.; Pasche, O.: Erfahrungen bei der Anwendung von HSBewegungsgesetzen. VDI-Berichte Nr. 1423, S. 53–72. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1998 [314] Stoermer, U.; Waldeck, D.; Xingliang Gao: Verwendung der Modalanalyse zur Verbesserung des dynamischen Verhaltens von schnell laufenden Verarbeitungsmaschinen, VDI-Berichte Nr. 1550, S. 397–412. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 2000 [315] Stühler, W.: Dämpfung-Entstehung, Beschreibungsformen, Auswirkungen und Abhängigkeiten. VDI-Berichte Nr. 1082, S. 85–106. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1993 [316] Sturm, A.: Wälzlagerdiagnostik für Maschinen und Anlagen. – Berlin: Verlag Technik, 1985 [317] Sudniˇsnikov, B. V; Esin, N. N.; Tupizyn, K. K.: Issledovanije i konstruirovanije pnevmatiˇceskich maˇsin udarnogo deistvija. (Untersuchung und Konstruktion pneumatischer Maschinen mit Schlagwirkung.) – Novosibirsk: Verlag Nauka, 1985 (Russ.) [318] Szczygielski, M.: Dynamisches Verhalten eines schnell drehenden Rotors bei Anstreifvorgängen. Dissertation, ETH Zürich, 1986 [319] Terens, L.; Grgic, A.: Applying Variable Speed Drives with Static Frequency Converters to Turbomachinery. 25. Turbomachinery Symposium, S. 35–46. College Station: Turbomachinery Laboratory, The Texas A&M University System, 1996 [320] Thelen, G.: Schwingförderer. Abschn. 1.7.2. im Buch von Pajer, J.; Kurth, F.; Scheffler, M.: Stetigförderer. – 4. Auflage. – Berlin: Verlag Technik, 1983 [321] Tian, W.: Theoretische Untersuchungen der Schwingungseigenschaften von Schwingrinnen. VDI-Fortschritt-Ber., R. 13, Nr. 42, Düsseldorf, VDI-Verlag, 1994 [322] Tondl, A.; Springer, H.: Ein Beitrag zur Klassifizierung von Rotorschwingungen und deren Ursachen, Beitrag in [170], Bd. III, S. 257–267 [323] Tonis, D.: Zum dynamischen Verhalten von Abspannseilen. Dissertation, Univ. der Bundeswehr München, 1989 [324] Troeder, Ch.; Peeken, H.; Diekhaus, G.: Schwingungsverhalten von Zahnradgetrieben, VDI-Berichte Nr. 320, S. 273–288. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1978 [325] Troizkij, V. A.: Optimalnye prozessy kolebanij mechaniˇceskich sistem (Optimale Schwingungsprozesse mechanischer Systeme) – Leningrad: Verlag Maˇsinostroenije, 1976 [326] Truesdell, C.; Noll, W.: The Nonlinear Field Theories of Mechanics. – Berlin: Springer Verlag, 1992. [327] Tschöke, E.: Beitrag zur Berechnung der Kolbensekundärbewegung in Verbrennungsmotoren. Dissertation, Uni Stuttgart, 1981

446


[328] Tupizyn, K. K.: Voprosy dinamiki pnevmatiˇceskich maˇsin s uravnoveˇsennym udarnym mechanismom (Fragen der Dynamik pneumatischer Maschinen mit ausgeglichenen Stoßmechanismen). – Novosibirsk: Verlag Nauka, 1974 (Russ.) [329] Uchida, T.; Hanada, N.; Furukawa, Y.; Tomono, K.: Development of Simulation Model for Calculating Loads to Synchronous Drive Belt. Intern. Congr. and Expos. Detroit: New Engine Design and Engine Component Technology. – Warrendale, PA USA: SAE Special Publ. 972 (1993), S. 49–58 [330] Vaisberg, L. A.: Proektirovanie i rasˇcet vibrazionnych grochotov. (Projektierung und Berechnung von Vibrationssieben.) – Moskau: Verlag Nedra, 1986 (Russ.) [331] Veikos; N. M.; Freudenstein, F.: On the Dynamic Analysis of Roller Chain Drives. DEVol. 46, Mechanical Design and Synthesis, ASME 1992, Part 1: Theory, S. 431–439; Part 2: Case Study, S. 441–450 [332] Veiz, V. L.: Dinamika maˇsinnych agregatov (Dynamik von Maschinenbaugruppen). – Leningrad: Verlag Maˇsinostroenie, 1969 [333] Vibrazii v technike (Schwingungen in der Technik). Handbuch in 6 Bänden (Russ.). – Leningrad: Verlag Maˇsinostroenie, 1978–1981 [334] Vibrazionnye prozessy i maˇsiny (Vibrationsprozesse und Maschinen) Bd. 4 von [333] (Redaktion: Lavendel, E. E.). – Moskau: Verlag Maˇsinostroenie, 1981 (Russ.) [335] Visweswara Rao, G.; Iyengar, R. N.: Internal resonance and non-linear of a cable under periodic excitation. Journal of Sound and Vibration 149 (1991) 1, S. 25–41 [336] Volmer, J. (Hrsg.): Lehrbuch der Getriebetechnik. – 4. Auflage. – Berlin: Verlag Technik: 1980 [337] Vortragssammelband: Torsionsschwingungen im Antriebsstrang. 4. Internationales Kolloquium Baden-Baden. April 1990. 5. Kolloquium, Mai 1994, 6. Kolloquium: LuK for the best connection in comfort and economy. März 1998 [338] Vulfson, J. I.; Preobrazhenskaya; M. V.: Dynamic accuracy and vibration activity of spatial linkages with allowance for clearances. Allerton Press Inc., Journal of Machinery, Manufacture and Reliability. Nr.4 (1997), S. 27–33 [339] Wachel, J. C.; Szenasi, F. R.: Analysis of Torsional Vibrations in Rotating Machinery. 22. Turbomachinery Symposium, S. 127–151. College Station: Turbomachinery Laboratory, The Texas A&M University System, 1993 [340] Wahl, F.; Jungbluth, R.: Zur Lösung eines inversen Problems der Strukturmodifikation auf der Grundlage gemessener Frequenzgänge. Tech. Mechanik, Magdeburg, Bd. 14 (1994) H. 1 [341] Waldeck, D.: Selbsterregte Schwingungen gekoppelter Rotoren. Beitrag in [170], Bd. III, S. 306–314 [342] Weck, M.; Herberg, F.: Steifigkeit und Dämpfung geklebter Fügestellen. VDI-Z. 130 (1988)5, S. 74–77 [343] Weck, M.; Petuelli, G.: Steifigkeits- und Dämpfungskennwerte verschraubter Fügestellen. Konstruktion 33 (1981) 6, S. 241–245 [344] Weigand, A.: Einführung in die Berechnung mechanischer Schwingungen. – Berlin: VEB Verlag Technik, Bd. II. 1958, Bd. III. 1962 [345] Weikert, S.; Knapp, W.: Anwendung integrierter Modelle zur Beurteilung von Maschinenkonfigurationen für die Hochgeschwindikeitsbearbeitung. Dresdner Tagung Simulation im Maschinenbau. Tagungsband SIM 2000, Bd. 2, S. 763–774 [346] Weiß, H.: Instationäre Bewegung von Fäden unter Berücksichtigung von Biege- und Torsionssteifigkeit. Abschlußbericht zum DFG-Thema Dr 234/4-1, 1998. [347] Weiß, H.: Zur Dynamik geometrisch nichtlinearer Balken. Dissertation, TU Chemnitz, 2000 (http://archiv.tu-chemnitz.de/pub/2000/0001/)


447

[348] Wenzke, W.: Zur Ableitung der dynamischen Kennlinie des Asynchronmotors im Hinblick auf die Berechnung von Schwingungserscheinungen in Antriebsanlagen. Wiss. Zeitschrift der TU Magdeburg, (1970) S. 517–523 [349] Werner, D.: Baudynamik. – Berlin: VEB Verlag für Bauwesen, 1989 [350] Weyh, B.: Schwingungserscheinungen durch Zusammenwirken von Verarbeitungsgut und Arbeitsorgan am Beispiel Flachwalzen VDI-Berichte 1887, S. 3–23. – Düsseldorf: VDI-Verlag, 2005 [351] Wiche, E.: Die radiale Federung von Wälzlagern bei beliebiger Lagerluft. Konstruktion 19 (1967)5, S. 184–192 [352] Wiese, H.: Der Beitrag antriebsdynamischer Untersuchungen im Entwicklungsprozeß von Bogenoffsetdruckmaschinen. Tagungsband VVD 2000, TU Dresden, April 2000, S. 66–79 [353] Willenbockel, O.: Konstruktion und Entwicklung einer automatischen Riemenspannvorrichtung für die 1,2- bis 1,6-l-Opel-Motoren. 3. Aachener Kolloquium Fahrzeugund Motorentechnik (1991), S. 383–398 [354] Willumeit, H.-P.: Modelle und Modellierungsverfahren in der Fahrzeugdynamik. – Stuttgart: B. G. Teubner Verlag, 1998 [355] Wittenburg, J.: Schwingungslehre. Lineare Schwingungen, Theorie und Anwendungen. – Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1996 [356] Wittrick, W. H.: On elastic wave propagation in helical springs. Int. J. Mech. Sci. 8 (1966), 127. [357] Wolkow, D. P.: Dinamika i proˇcnost odnokovˇsovych ekskavatorov (Dynamik und Festigkeit von Löffelbaggern). – Moskau: Verlag Maˇsinostroenie, 1965 (russ.) [358] Wolkow, D. P.: Schwingungen und dynamische Beanspruchung von Schaufelradbaggern und deren Verminderung. Leipzig: Hebezeuge und Fördermittel 12 (1972) H. 6, S. 164–169 und H. 7: S. 208–212 [359] Wünsch, D.; Käsler, R.; Matta, F.: Sonderlastfälle in Kranhubwerksantrieben und ihre schwingungstechnische Behandlung. VDI-Berichte Nr. 1220, S. 159–176, – Düsseldorf: VDI-Verlag, 1995 [360] Wünsch, D.; Liesenfeld, G.: Wechselwirkungen von Frequenzumrichtern mit dem Antriebsstrang am Beispiel eines Großgebläses. Dresdner Tagung Simulation im Maschinenbau. Tagungsband SIM 2000, Bd. 2, S. 631–650 [361] Wünsch, D.; Seeliger, A.: Drehschwingungen in Hubwerks-Antriebswellen beim Anfahren zum Heben. Antriebstechnik, 12(1973)2, S. 28–34 [362] Zehn, M.; Wahl, F.; Schmidt, G.: Möglichkeiten der Modellkontrolle und Modellreduzierung bei strukturdynamischen Untersuchungen mittels FEM unter Einbeziehung von Meßwerten. VDI-Berichte 1145 (1994), S. 91–108 [363] Zeillinger, R.; Köttritsch, H; Springer, H.: Identifikation von Dämpfungskoeffizienten für Wälzlager. SIRM 86 (1995), S. 225–234 [364] Ziegler, H.: Messung der Verzahnungssteifigkeit schrägverzahnter Stirnräder. IndustrieAnzeiger 94 (1972) 16, S. 330–335 [365] Zienkiewicz, O. C.: Methode der finiten Elemente. – München: Carl Hanser Verlag, 1984 [366] Zima, S.: Kurbelgetriebe: Konstruktionen, Berechnungen und Erprobung von den Anfängen bis heute. – Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg Verlag, 1998 [367] Zschieschang, T.: Schwingungsanalyse an Maschinen mit ungleichförmig u¨ bersetzenden Getrieben. Dissertation, TU Chemnitz, 2000 [368] Zschieschang, T.; Dresig, H.: Zeit-Frequenz-Analyse von Schwingungen in Antrieben von Verarbeitungsmaschinen. VDI-Berichte Nr. 1416, S. 489–505. – Düsseldorf: VDIVerlag, 1998

Sachverzeichnis

A Abfangen 353 –, phasengerechtes 353 abgesetzte Welle 179 ff. abgestufte Welle 184 Abklingkonstante 215, 248 Abklingkurve 214 Abkopplung 228 Ableitung, partielle 95 Abmessung, kinematische 373, 391 Abschalten 301 f. Abschätzung 85, 300 Absolutbewegung 379 Absolutgeschwindigkeit 111 Absolutkoordinate 35, 281 Absolutweg 251, 253 Abspannseil 112 Abstimmungsverhältnis 30, 243, 378 Abtrieb, elastischer 378 –, Spiel 34 Abtriebsbewegung 308, 379 Abtriebsglied 241 –, elastisches 33 –, spielbehaftetes 33 Abtriebsmoment 261 Abtriebswinkel 391 ¨ Ahnlichkeit, geometrische 37 –, mechanische 37 ¨ Ahnlichkeitskenngr¨ oße 36 f., 348 f. ¨ Ahnlichkeitskennzahl 29 ff., 127, 200, 367, 398, 400, 403 ¨ Ahnlichkeitsmechanik 29 Aktor 310, 353 Amplituden-Frequenzgang 269, 397, 406 f., 409 Amplitudenverhältnis 100, 152 analytische Lösung 2, 27, 29, 50 Anfachung 60, 249, 357

Anfahrvorgang 288 Anfahrzeit 346 Anfangsbedingung 17, 72 f., 75 f., 82, 136, 294 Anforderung, kinematische 391 Angriffspunkt 322 Anhubgeschwindigkeit 80 Anhubvorgang 68 Anlauffunktion 339 Anlaufvorgang 211 Anlaufzeit 19, 342, 345, 347 Anpreßkraft 423 Anregbarkeit 56, 129, 159, 234 –, modale 19, 318, 321 Anregbarkeitsanalyse 229 Anregung 296, 397 Anregungsfaktor 323 –, modaler 320, 322 Anregungszeit 15, 127, 129 f., 323 –, relative 322 f. Ansatz 215 Anstoßen 299 Anstoßvorgang 301 ANSYS 7, 122 antimetrische Eigenform 276, 398 antimetrische Erregerkraft 316 Antrieb, gesteuerter 347 Antriebsaufgabe 309 Antriebsbewegung 18, 257 Antriebsdynamik 1 Antriebsenergie 323, 338 Antriebsglied, elastisches 246 Antriebskraft 294, 298, 343, 422 Antriebskraftverlauf 341 f., 344, 346 Antriebsleistung 308, 337, 339 –, minimale 338 Antriebsmechanismus 58

450

Sachverzeichnis

Antriebsmoment 35, 79, 83 f., 126, 128, 308 f., 322, 337, 339, 375, 377, 405–408 –, kinetostatisches 261 –, Maximalwert 129 –, Spitzenwert 211 Antriebsmotor 209 Antriebsstrang 143, 221, 228 f., 289 –, Fahrzeug- 222, 225 –, Parameterwerte 223 Antriebssystem 7, 33, 68, 189 f., 234, 253, 348, 395 –, schwingungsfähiges 336, 348 Antriebswelle 48 f., 82, 121, 257 –, elastische 247 Approximation 301 Arbeit, virtuelle 155 Arbeitssatz 28 ARLA -SIMUL 7, 143, 145, 222, 225 ff. asymptotische Methode 131 Asynchronmotor 48, 208 f., 219, 229 Aufprall 298 f., 301, 317 Aufprallgeschwindigkeit 300 Aufprallstelle 303 Aufstellort 309 Außenringschaden 191 Ausgleich, modaler 375 Ausgleichsbedingung 361, 374, 376 Ausgleichsgetriebe 375 f. Ausgleichsmasse 308, 372 Ausgleichsrechnung 150, 152, 374 Auslaufvorgang 337 Auslegerarm 124, 127, 130 Auslöschen der Restschwingung 352 Ausschwingversuch 202 f., 213 f.

B Bagger 317 Bahnkurve 62, 64 Balken 264, 397 –, Euler-Bernoulli- 110, 112 ff. –, massebelegter 399 –, Rayleigh- 114 –, Timoshenko- 106, 108, 110, 114 Balkenmodell 86, 105 f., 124 – als Starrkörper 92 – als Torsionsfeder 92 –, diskretes 89 – mit Einzelfedern 93 – mit Einzelmassen 93 Balkentheorie 115 Bandstruktur 142

Barre 393 Baugruppe 20 Belastung, biharmonische 205 –, dynamische 323, 344 –, extreme 366 –, kurzzeitige 16 –, schwellende 232 Berechnung, numerische 359 Berechnungsmodell 8, 11 f., 14, 17 f., 33, 46, 52, 68, 75, 85, 233, 265, 411 – des Zweischeiben-Riemengetriebes 267 – einer Getriebewelle 121 – einer Schleifspindel 98 – einer Wickel- und Reibwalze 62 – eines Brückenkrans 73, 103 – eines Schneckengetriebes 255 – eines Turmkrans 75 –, Verfeinerung 72 –, zweckmäßiges 215 Berechnungsvorschrift 67 Bernoulli-Hypothese 106 Beschleunigung 241 –, gemessene 242 f. –, kinematische 243, 246 –, maximale 277 –, niederfrequente Komponente 136 –, vibrodynamische 243, 246 Beschleunigungsverhältnis 237 Beschleunigungsverlauf, gemessener 243 –, kinematischer 243 Bestehorn-Sinoide 389 f. Betonverdichter 404 Betriebsdrehzahl, zulässige 384 Betriebsdrehzahlbereich 394, 396 Betriebspunkt 200 Betriebsschwingung 375 Betriebszustand, stabiler 416, 419 Bewegung, chaotische 16, 22 –, gemittelte 136 –, instationäre 339 –, langsame 132, 137, 139 –, stick-slip- 134 –, synchrone 414 Bewegungsablauf, optimaler 332 Bewegungsgesetz 14, 332, 336 –, optimales 332 Bewegungsgleichung 25, 46, 84, 105, 246, 256 f., 293, 330, 407 –, Mittelung 414 Bewertungskriterium 391 Bezugsgröße 30, 117

Sachverzeichnis

Bezugssystem, raumfestes 14 –, rotierendes 14 Biegelinie 290 –, dynamische 115 Biegemoment 75, 77, 293 Biegemomentverlauf 295 Biegeschwinger 86, 113, 117 f., 268, 340 Biegeschwingung 55, 104, 113, 123, 127, 290 Biegeschwingungsform 122 Biegesteifigkeit 88, 107, 125, 264, 403 – einer Säule 291 biharmonische Belastung 205 biharmonische Erregung 204 ff. Bildwelle 162, 176 Blindleistung 337, 339 Bogenkoordinate 106, 111 Bogenoffsetdruckmaschine 233 Brechen 411 Brecher 310, 407 Bremsen 368 Bremskraft 294, 302 f. Bremsstufe 348 Bremsung, mehrstufige 348 Bremsvorgang 72, 211, 288, 302 Brückenkran 67, 101 f., 298 –, Berechnungsmodell 73 –, Zweimassenmodell 73 Buchschneidemaschine 58 f., 61 B UCKINGHAM, Gesetz von 29

C Campbell-Diagramm 227, 396 f. C AUCHY 422 chaotische Bewegung 16, 22 Choi-Williams-Verteilung 61 Container 72 CVT-Getriebe 262, 360 CVT-Kette 316, 358

D Dämpferkonstante 52, 215 Dämpfung 187, 211, 215, 270 –, komplexe 217 –, relative 213 ff., 217 –, viskose 137, 213 Dämpfungsansatz 212 Dämpfungsarbeit 212 Dämpfungsdekrement, logarithmisches 213 f.

451

Dämpfungsgrad 30, 52, 187 f., 213 ff., 234, 244, 249, 354, 386 Dämpfungskennwert 211, 215 Dämpfungskonstante 187, 195, 215, 259 Dämpfungskraft 212 f. Dämpfungsparameter 214, 217 Deduktion 94 deduktive Modellbildung 94, 105 Dehnsteifigkeit 107 Des-achsierung 44 Dieselmotor 187 Differentialgleichung, Hillsche 247 –, nichtlineare 294, 371 –, partielle 96, 107 f., 110, 127 –, steife 22 f. Dimensionierung 83 dimensionslose Kenngröße 28, 30, 38, 47, 50, 82 dimensionslose Kennzahl 366 Dirac-Stoß 354, 358 diskretes Balkenmodell 89 Diskretisierung 88, 91 Doppelkurbel 375 Drallsatz 28, 66, 299 Drehgelenk 42 Drehschwingbewegung 377 Drehschwingung 400, 417 f. Drehsteifigkeit 102, 107, 122, 184, 235 Drehstuhl 250 Drehzahl, kritische 243, 309 –, Quadrat 19, 27, 237, 326 Drehzahl-Drehmoment-Kennlinie 210 Drehzahlerhöhung 308 dreistufiges Getriebe 327 DRESP 7, 201, 208 Druckluft 422 Druckmaschine 233 ff. Druckwerk 234 Duhamel-Integral 15, 320 Durchbiegung 91 f. Durchhang 275 ff. dynamisch stabil 249 dynamische Belastung 72, 323, 344 dynamische Biegelinie 115 dynamische Instabilität 248 f., 258 dynamische Kondensation 163 dynamische Kopplung 416, 420 dynamische Motorkennlinie 71 dynamische Steifigkeit 200 dynamischer Beiwert 67 f., 71 dynamischer Effekt 305

452

Sachverzeichnis

dynamisches Kriterium 391 –, Erregerharmonische 392 dynamisches Phänomen 305 dynamisches Verhalten 311

E Echtzeitberechnung 93 Effekt, nichtlinearer 206 f. Eigenbewegung 336–339 Eigenform 143, 147, 160, 168, 224, 235, 315, 403 –, antimetrische 276, 398 –, berechnete 148 –, gemessene 148 –, niedere 86 –, symmetrische 275 f., 398 Eigenformapproximation 159 f., 164, 289 Eigenfrequenz 75, 97, 114, 125, 144, 147, 190, 253, 277, 315 f., 396, 414 – beim Fahren 14, 294 –, berechnete 147 – des Berechnungsmodells 21 –, extreme 329 –, gemessene 147, 151 –, höchste 159 –, höhere 171 – im Stillstand 14 –, maximale 165, 329 –, niedere 93, 104, 155 –, stellungsabhängige 249 –, tiefe 86 –, tiefste 122 f. –, untere 166 Eigenfrequenzänderung 148 Eigenfrequenzbereich 19 Eigenfrequenzspektrum 165, 199, 330 Eigengewicht 275 Eigenkreisfrequenz 147, 253 Eigenschwingform, siehe Eigenform, 115 f., 147, 235, 284, 395 Eigenschwingung 144 Eigenvektor 142 Eigenwert 120, 162, 276, 403 Eigenwertproblem 147, 151, 155, 159 Einbauwinkel 270, 272 Eindringtiefe 300 f. Einflußzahl 75, 89, 98, 126 Eingabedaten 56, 241 eingeprägte Kraftgröße 166 Einspannung 27, 89 elastische Kette 276

elastische Kopplung 63 elastische Kupplung 234 f., 315 elastische Saite 276 elastische Stütze 398, 401 elastischer Abtrieb 378 elastisches Abtriebsglied 33 elastisches Getriebeglied 59 Elastizität 34 Elastomerkupplung 200 f. elektrische Welle 416 elektromechanische Schwingung 208 Element, Hexaeder- 123 –, Tetraeder- 123 Elemente-Anzahl 122 Empfindlichkeitsanalyse 95 Endschalter 301 Energie, kinetische 86, 143, 228, 289, 292, 303, 308, 327 –, mechanische 319 f. –, potentielle 87, 91, 144, 188, 291, 303, 308 Energieäquivalenz 155 Energiequelle 13, 17, 26, 56, 65, 69 Energiesatz 28 Energieverlust, relativer 215 Entlastung 309 Entstehungsursache 14 Erdbeschleunigung 236 Erfahrungsregel 88, 122, 159, 165, 310 f., 313, 315 Erfahrungswert 188 Ergebniskontrolle 26 Erhaltungssatz der Mechanik 28 Erregerarbeit, modale 320 f. Erregerelement 175 Erregerfrequenz 175, 191, 198 f., 205, 263, 274, 296, 316 –, höchste 18 Erregerfrequenzbereich 86, 153, 162 f. Erregerfunktion 33, 290 –, zeitabhängige 198 Erregerharmonische 374 Erregerkraft 237, 319 –, antimetrische 316 –, modale 320, 375 –, symmetrische 315 Erregerkraftvektor 81, 165 –, modaler 322 –, reduzierter 156 Erregermoment 174, 232, 349 Erregerspektrum 237, 243, 380, 391

Sachverzeichnis

Erregung 57, 173 –, biharmonische 204, 206 –, kinematische 26, 48, 63, 86, 268, 272 –, Zwangs- 268 erzwungene Resonanz 274 erzwungene Schwingung 419 Etappe 73 f., 76, 135 f. Euler-Bernoulli-Balken 110, 112 ff. experimentelle Modalanalyse 146, 239 experimentelle Untersuchung 200, 204, 263 f., 300 exzentrische Riemenscheibe 269 Exzentrizität 268 –, geometrische 263

F Faden 105, 111 Fadenballon 112 Fadenbewegung 111 Fahrbahn 289 f., 294, 319 Fahrbahnunebenheit 288, 290, 294 f. Fahrbewegung 101, 104, 290, 292, 294, 297 Fahrgeschwindigkeit 296 Fahrwerk 72, 288, 298 Fahrzeugantrieb 319 Fahrzeug-Antriebsstrang 222, 225 Fahrzeugmotor 263 Feder, nichtlineare 140 Federkennlinie 34 Federkonstante 196 Federmatrix 268 Federparameter 107 Federsteifigkeit 102, 193 FEM 184 FE-Modell 12, 86, 93, 121, 123, 153 – einer Spindeleinheit 100 FEM-Programm 122, 127, 238 Fertigungsgenauigkeit 379 Fertigungstoleranz 140 FFT-Analyse 287 fiktives Trägheitsmoment 371 Flächenträgheitsmoment 119, 179 f. Flankenspiel 259 Flankenwechsel 255, 261 Fliehkraft 45, 125 f. Flugmotor 186 Formfunktion 160, 290 f. Formleichtbau 316 Formoptimierung 309

453

Fourierkoeffizient 197, 274, 374, 379 f., 388, 391 f. Fourierreihe 51, 274, 374 Fräser 316, 360 Freiheitsgrad, Anzahl 19 Freiheitsgradreduktion 24, 44, 96, 153, 156 f., 159 ff., 164 –, Methoden 153 Freilauf 250 Frequenz, drehzahlabhängige 239 –, drehzahlunabhängige 239 Frequenzänderung 141 Frequenzdeterminante 294 Frequenzgleichung 115, 117 f., 120 –, transzendente 120, 276, 331, 399 Fuge 194 Fügestelle, geklebte 195 –, verschraubte 195 Führungsbahn 298 f. Führungspunkt 271–275 Fundament 41, 48, 51 Fundamentbewegung 47, 53 f., 368 Fundamentblock 40 Fundamentierung 45 Fundamentschwingung 41, 50, 53

G Gegenbewegung 314 Gegenlauf 63 gekoppeltes System 167 Gelenkkraft 42 Gelenkkraftrichtung 42 Gelenkspiel 238 –, radiales 42 Geltungsbereich 10 gemittelte Bewegung 136 Genauigkeit 10 Genauigkeitsverlust 136 geneigte Sinoide 383 ¨ geometrische Ahnlichkeit 37 geometrische Exzentrizität 263 geometrische Nichtlinearität 53 Gesamtsystem 165 ff., 169, 264 geschichtliche Entwicklung 56 Geschwindigkeit, kritische 270 Gesetz von Buckingham 29 Gestell 373 Gestellbewegung 14 Gestelleigenfrequenz 243 Gestellkraft 309, 374 Gestellschwingung 372, 375

454

Sachverzeichnis

gesteuerter Antrieb 347 Getriebe 79 –, dreistufiges 327 Getriebegeräusch 277 Getriebeglied, elastisches 59 Getriebeschwingung 84 Getriebewelle 102, 121, 123 Gewichtung 147 Gleichgewicht 107 Gleichgewichtsbedingung 109 Gleichlauf 63, 65 Gleichung, transzendente 346 Gleichungssystem, u¨ berbestimmtes 148 Gleiten 252 Gleitführung 195 Gleitgeschwindigkeit 251 Gleitlager 189 Gleitreibungskraft 135 Gleitreibungszahl 134 Gliedlänge 316 grafisches Verfahren 351 Greifer 72, 130 Grenzwert 400–403 Grundfrequenz 19, 96, 99, 101, 357, 393 Grundschwingungsform 97–100 Gummifeder 52, 201, 212 Gummikupplung 206 Gurtförderer 208 G UYAN 155 f., 162

H Haften 252 Haftreibungszahl 135 Halbraum 89 Hammer 312, 426 Hängenbleiben, eines Rotors 370 Harmonische 324 –, dritte 206, 375 –, erste 375 –, höhere 263 –, k-te 374 –, zweite 375 harmonische Parametererregung 268 Hauptträgheitsachse, zentrale 414, 416 Hauptträgheitsmoment 419 Hauptwelle 238, 337, 394 f., 397 Haushaltnähmaschine 237 Hexaeder-Element 123 Hillsche Differentialgleichung 247 hochfrequente Komponente 132

Hochlauf 220, 225, 232, 285 f., 296, 366, 368 f., 371, 380 – eines Rotors 370, 372 Hochlaufsteuerung 220 Hochlaufzeit 211, 231, 296 höhere Harmonische 263 Horizontalbeschleunigung 272 Horizontalkraft 298 HS-Bewegungsgesetz 243 HS-Lagefunktion 381 HS-Profil 378, 381, 383 f., 388 ff. –, Synthese 381 Hubgeschwindigkeit 68–71, 79, 303 Hubmotor 303 Hubseil 73 Hubwagen 289, 295 Hubwerk 72, 76, 79, 257, 304 Hubzapfen 186 Hypothese 55 f., 58, 60, 62 –, Bernoulli- 106 Hysteresekurve 202, 204 f., 213 ff., 217 –, gemessene 204

I Identifikation 148, 150 f. – der Parameterwerte 150 Impuls 421 Impulsfolge 353 Impulssatz 16, 28 induktive Strategie 65 Industrienähmaschine 237 Innenringschaden 191 innere Kraftgröße 340 innere Resonanz 277 Instabilität 249 f., 253, 258 –, dynamische 248 f., 258 Instabilitätsgebiet 199, 248, 258, 261 f., 285 Instabilitätsgrenze 249 instationäre Bewegung 67, 72, 111, 339 Integralkriterium 414 f., 419 Integration, numerische 133, 282 Intensität, der dynamischen Belastung 273 Interpretation 41, 53, 63, 83, 97, 122 ITI -SIM 7, 219, 279, 283 f.

K Kabel 111, 276 Käfigschaden 191 Keilschubgetriebe 251 f.

Sachverzeichnis

Kenngröße 79 –, dimensionslose 28, 30, 38, 47, 50, 82 Kennlinie 177 Kennwert 394 Kennzahl, dimensionslose 366 Kette 105, 111, 271 ff., 360 –, elastische 276 –, starre 276 Kettengeschwindigkeit 272 Kettengetriebe 262, 270 f., 275 ff. Kettenglied 270, 275 f. Kettenkennzahl 276 Kettenlasche 360 Kettenlinie 271, 275, 277 Kettenrad 270–273 –, Einbauwinkel 270 Kettenschwingung 277 Kettentrum 271 ff., 275 Kettenwirkmaschine 381, 393, 395, 403 kinematische Abmessung 373, 391 f. kinematische Anforderung 391 kinematische Beschleunigung 243, 246 kinematische Erregung 26, 48, 63, 69, 86, 268, 272 kinematische Kopplung 405 kinematische Periode 50 kinematische Periodendauer 339 kinematischer Beschleunigungsverlauf 243 kinematischer Zyklus 380 kinematisches Schema 59 kinetische Energie 86, 143, 228, 289, 292, 303, 308, 327 kinetostatische Kraft 19, 314 kinetostatische Kraftgröße 239 kinetostatische Massenkraft 237, 341 kinetostatisches Antriebsmoment 261 Kippmoment 208, 296 Kippschlupf 208, 296 Kippwinkel 290 KISSsoft 279 Knick 129, 243, 273, 363 Knickstab 113 Kolben 298 Kolbenbewegung 44 Kolbenmaschine 300 Kolbensekundärbewegung 43 f., 239, 298 Kollision 337, 382 Kombinationsresonanz 16, 199, 240, 283 Kompensation, der Massenkräfte 412 Kompensationsbedingung 353 Kompensator 326 f., 338

455

komplexe Dämpfung 217 Kompromißlösung 150 Kondensation 155 f. –, dynamische 163 –, statische 156 Konstruieren 8 konstruktive Lösung 317 Kontakt 264, 270, 300 Kontaktfläche, Reibung an 134 Kontaktschicht 251, 253 Kontaktsteifigkeit 195, 276 Kontaktstelle 14, 62, 121, 189, 194, 212, 251, 256, 298, 301 –, Reibung an 134 Kontinuum 86, 88, 96, 105 f., 120, 126, 128, 160 –, eindimensionales 111 Kontinuum-Balken 90, 116, 397 Kontinuum-Modell 93, 119 Kontrolle 29 f., 37, 152 Konturform 325 Koordinate, externe 155 –, interne 155 –, master- 162 –, modale 159, 165, 319 Koordinatenvektor 81 Koppelfeder 168 Koppelgetriebe, mehrgliedriges 391, 396 –, sechsgliedriges 372 f., 377 –, Synthese 392 Koppelrastgetriebe 391 f. –, sechsgliedriges 391 Koppelstruktur 166 Kopplung 22, 121, 168 –, dynamische 416, 420 –, elastische 63 –, kinematische 405 Kopplungsmatrix 169 Körperschall 119, 280 Korrelation 149 Kraft 70 –, kinetostatische 19, 314 –, modale 319 –, vibrodynamische 13, 19 Kraftangriffspunkt 315 Kraftfahrzeugmotor 187 Kraftgröße, eingeprägte 166 –, innere 340 –, kinetostatische 239 Kraftrichtungswechsel 313 Kraftrichtungswinkel 42 Kraftspitze 38 f.

456

Sachverzeichnis

Kraftsprung 343, 355 Kraftverlauf 79 –, optimaler 345 f. Kragträger 115, 119 Kran 67, 277, 298 –, Berechnungsvorschriften 67 –, Drehen 67 –, Fahren 67 –, Heben 67, 71 – mit Lastpendel 340 –, Normen 67 –, Senken 67, 71 Kranbelastung 79 Kranbrücke 73 f., 78, 80 Krantragwerk 317 Kreisbahn 313 Kreisel 18, 27, 317 Kreiselgerät 55 Kreiselmoment 312 Kreiselpumpe 48 Kreiseltechnik 55 Kreiselverdichter 187 Kreiselwirkung 27, 63–66, 108, 412 Kreissegment 325 Kriterium 19 –, dynamisches 391 f. –, grobes 18 kritische Drehzahl 243, 309 kritische Geschwindigkeit 270 Krümmung 110 Kugellager 96 f., 190, 193 Kupplung 79, 121, 169, 200, 202, 205, 220, 228 f., 231 f. –, elastische 177, 234 f., 315 –, Elastomer- 200 f. –, Gummi- 206 –, hydrodynamische 200 –, nachgiebige 199 –, Scheiben- 201, 203 ff. –, starre 236 –, Wellen- 229 Kupplungsberechnung 201 Kupplungsmodell 201, 207 –, nichtlineares 206 Kupplungsmoment 206, 220 Kupplungsvorgang 341 Kurbelgelenk 42 Kurbelpresse 381 Kurbelverhältnis 308 Kurbelwelle 184 Kurbelwinkel 59 Kurvengetriebe 378

Kurvenprofil, HS- 243 Kurzschlußläufer 209 kurzzeitige Belastung 16

L Lagefunktion 7, 35, 84, 247 f., 250, 327, 377 f., 385 – erster Ordnung 35 –, HS- 381 – p-ter Ordnung 248, 379 – zweiter Ordnung 35 Lagerabstand 398 –, relativer 400 Lagerbedingung 89, 93 Lagerbolzen 238 Lagerfeder 372 Lagerfederkonstante 89, 400 Lagerkraft 45, 310 Lagernachgiebigkeit 372 Lagerschaden 190 Lagerschale 42 Lagersteifigkeit 89 f., 193 –, elektrorheologisch gesteuerte 371 –, radiale 193 Lagrange-Funktion 414 Lagrangesche Gleichung, 2. Art 293 Länge, reduzierte 184 langsame Bewegung 132, 137, 139 Längskraft 127, 275, 340, 342 Längsschwinger 329 f. Längsschwingung 93, 112, 119 f. Längssteifigkeit 276 Längswelle 234 ff. Lärm 280, 359, 411 Lärmentwicklung 298 Lärmminderung 277 Laschenlänge 360, 364 Lastangriffspunkt 76 Lastpendel 84, 344, 353 Lastwechselzahl 200 Laufgrad 18 Laufkatze 73 Leertrum 276 Leichtmetall 316 Leistung 335 Leistungsausgleich 308, 375 lineare Optimierung 150, 374 lineares System 344 Linearisierung 48 L JAPUNOV 21 logarithmisches Dämpfungsdekrement 213 f.

Sachverzeichnis

Lösung, analytische 2, 27, 29, 50 Lüfterantrieb 219 f., 229 f.

M MAC-Matrix 147, 149, 172 Maschine, starre 237 Maschinenaufstellung 309 Masse, minimale 324, 329 –, modale 140, 142, 144, 160, 319 –, reduzierte 289, 292 –, verallgemeinerte 292 massebelegter Balken 399 Massebelegung 275 Massenausgleich 308, 372, 411 –, vollständiger 374 Massenkraft 12, 310 –, kinetostatische 13, 237, 341 –, Kompensation 412 –, Maximalwert 237 Massenmatrix 140, 147, 163, 267, 321 Masseparameter 66, 107, 373 master-degree 156 master-Koordinate 162 Materialdämpfung 207 Materialkennwert 263 Materialparameter 31 MATLAB 22 Matrizenelement 81 Matrizenschreibweise 81 Maximalbeschleunigung 236 Maximaldrehzahl 18 maximale Beschleunigung 277 maximale Eigenfrequenz 329 Maximalkraft 302 f. –, minimale 332, 334 Maximalleistung, minimale 334 Maximalwert 70, 361 Maximumprinzip 329, 333 mechanisch a¨ hnliches System 38 ¨ mechanische Ahnlichkeit 37 mechanische Energie 319 f. Mechanismenschwingung 238 Mechanismus 58, 236 f., 240, 326, 336, 412 –, Typauswahl 376 –, ungleichmäßig u¨ bersetzender 25, 236 Mehrfachstoß 240, 246 mehrgliedriges Koppelgetriebe 391, 396 Mehrkörpersystem 84, 270, 277, 412 mehrstufige Bremsung 348 Meßergebnis 123

457

Meßgenauigkeit 152 Meßgerät 130 Meßgröße 148 Meßstrategie 12 Methode, asymptotische 131 minimale Masse 324, 329 minimale Maximalkraft 332, 334 minimale Maximalleistung 334 minimales Trägheitsmoment 324 Minimalmodell 33, 43, 55, 65, 68 f., 85 f., 93, 127 f., 130, 139, 241 – einer Spindel 101 – eines Antriebssystems 348 – eines Balkens 88 – eines Brückenkrans 105 – für ein schwingungsfähiges Antriebssystem 340 – für Torsionsstäbe 94 – für Zug-Druck-Stäbe 94 – von Balken 93 Mittelung 132, 415 – der Bewegungsgleichung 414 Mittelungsmethode 21, 131, 135 f. Mittelwert 132 MKS 12, 84, 421 MKS-Programm 93, 238 Modalanalyse 7, 57 –, experimentelle 146, 239 –, rechnerische 63 modale Anregbarkeit 19, 318, 321 modale Erregerarbeit 320 f. modale Erregerkraft 320, 375 modale Größe 87 modale Koordinate 159, 165, 319 modale Kraft 319 modale Masse 140, 142, 144, 160, 319 modale Reduktion 159 f. modale Steifigkeit 140, 144, 160, 319 modale Synthese 164, 169 modaler Anregungsfaktor 320, 322 modaler Ausgleich 375 modaler Erregerkraftvektor 322 modaler Parameter 152 modaler Schwinger 319, 341, 354 Modalmatrix 154, 165 f., 171, 319 –, reduzierte 154 Modaltransformation 165 Mode 159 f. Modell, adäquates 96 –, nichtlineares 207 Modellabgleich 146 Modellanpassung 139

458

Sachverzeichnis

Modellberechnung 66 Modellbildung 6, 9 ff., 15, 21 f., 56, 87 –, deduktive 94, 105 –, induktive 55 Modellbildungsstrategie 101 Modellelement 122 Modellerweiterung 55, 58, 79 Modellgleichung 17, 26 f., 31, 95 Modellreduktion 124, 131, 153 Modellstruktur 284 Modellstufe 17–20, 24 ff., 45 f., 48, 68, 107 Modellzerlegung 85 Moment, statisches 87, 374 Momentanpol 312 Momentenamplitude 350, 407 Momentensprung 50, 348 f., 353 Momentenverlauf 93 Montagevariante 391 Motor 220, 265 Motordrehzahl 47 Motorkennlinie 50, 209, 211, 220, 296, 366 –, dynamische 71, 208 –, lineare 33 –, statische 220 Motormodell 209 Motormoment 80, 297 Motorwelle 229 Mühle 310

N Nachlauf 302 f. Nadelbarre 121, 396 f. Näherung 87, 142, 380 Näherungsansatz 268, 301 Näherungsformel 38, 90, 98, 371 Näherungslösung 50, 53 Nähwirkmaschine 393 Nebenlinie 199 Nebenresonanz 247 nichtlineare Differentialgleichung 294, 371 nichtlineare Feder 140 nichtlineare Schwingung 318 nichtlinearer Effekt 206 f., 318 nichtlinearer Schwinger 264 nichtlinearer Term 112 nichtlineares Bauteilverhalten 213 nichtlineares Materialverhalten 213 nichtlineares Optimierungsproblem 373

nichtlineares Schwingungsmodell 49 nichtlineares Schwingungssystem 16, 318 nichtlineares Verhalten 18 Nichtlinearität 28, 112, 192, 266 –, geometrische 53 –, kubische 268 Norm, siehe VDI-Richtlinie, 67, 421 Normalkraft 251, 253 Normierung 150, 166, 320 numerische Berechnung 359 numerische Integration 133, 282 numerische Simulation 60

O optimaler Bewegungsablauf 332 optimaler Kraftverlauf 345 f. Optimierung 30, 93, 99, 146, 329 –, lineare 150, 374 Optimierungskriterium 332 f., 335 Optimierungsproblem, nichtlineares 373 Optimierungsverfahren 153

P Parameter 20 –, modaler 152 –, optimaler 13 –, Werkstoff- 121 Parameteränderung 140 ff., 144 f., 148 –, relative 145, 148 Parameterbereich 405 Parameterdifferenz 148 Parametereinfluß 31, 79, 99 parametererregte Schwingung 58, 113, 193, 195, 238, 268, 274 parametererregter Schwinger 21, 199 Parametererregung 60, 249, 263, 268, 280, 283 –, harmonische 268 –, periodische 199 Parameterhauptresonanz 247, 249, 263, 268 f., 275 Parameterresonanz 199, 248, 270, 274 Parameterschwankung 140 Parametervektor 8, 12, 38, 46, 80, 83, 116, 139 ff., 144, 147 f., 152, 259, 288 –, mechanisch a¨ hnlicher 28 Parameterwert 11, 27, 38, 56, 58, 78, 81, 99, 104, 122, 144, 153, 178, 200, 202, 212, 223 – einer Schleifspindel 100 – eines Brückenkrans 101

Sachverzeichnis

–, elastostatischer 57 –, Identifikation 150 –, massegeometrischer 57 partielle Ableitung 95 partielle Differentialgleichung 96, 107 f., 110, 127 Partitionierung 155 Paßfeder 183 Paßgenauigkeit 233 Patent 304 f., 312, 338, 411, 421, 423, 425 Pendel 27, 275 –, selbstsynchronisiertes 372 Pendelschwingung 83 ff. Periode, kinematische 50 Periodendauer 129 –, kinematische, siehe Zyklusdauer, 339 Phasenwinkel 273, 277, 379, 413 Pilgerschrittwalzwerk 338 PKW 255, 305, 311 PKW-Antrieb 360 PKW-Getriebe 286 Planetengetriebe 279, 281, 283, 286 Planetenrad 286 Plausibilitätskontrolle 10 Pleuelstange 113 polares Trägheitsmoment 264 Polygoneffekt 238, 242, 273 f., 277 – zweiter Art 278 Positionierbewegung 134, 277, 332, 334 f., 345, 347 potentielle Energie 87, 91, 144, 188, 291, 303, 308 Potenzprodukt 95 Prellbewegung 311 Presse 40, 237, 300 Primärbewegung 13, 18, 35, 47 f., 85, 305, 341, 414 f. –, kinematische 35 Profilform 331 – von Stäben 331 Profilverschiebung 198 Programmsystem 7 Propeller 316 Prüfmaschine 404 Pseudo-Inverse 148, 150 Pumpenantrieb 49 Pumpenwelle 51

Q Quadrat der Drehzahl 237, 326 Querkraftverlauf 93, 127

Querschnittskenngröße 107 Querschwingung 108, 112 ff., 269, 276

R Radabstand 290 Räderkoppelgetriebe 377 radiale Lagersteifigkeit 193 radiale Steifigkeit 192 radiales Gelenkspiel 42 Radial-Rillenkugellager 192 Radialverschiebung 194 Radial-Zylinderrollenlager 192 Randbedingung 17, 89, 91, 127 Rast 243 Rastbewegung 391 Rastgetriebe 248 Rast-Umkehr-Bewegung 391, 394 Rattern 255, 258, 261 Ratterschwingung 259 ff. raumfestes Bezugssystem 14 Rayleigh-Balken 114 Rayleigh-Quotient 87, 330 Rechenaufwand 10, 136 Rechenergebnis 60, 79, 123 Rechengenauigkeit 123 Rechengröße 148 Rechteckstoß 358 Reduktion 153 f., 156, 158 f. –, modale 159 f. – nach G UYAN 162 f. – nach R IVIN 163 ¨ 163 – nach R OHRLE Reduktionsmethode 160, 163, 289 –, Vergleich 160 Reduktionsschritt 157 ff., 161 f. Reduktionsverfahren 158 reduzierte Länge 184 reduzierte Masse 289, 292 reduzierter Erregerkraftvektor 156 reduziertes System 154, 171 reduziertes Trägheitsmoment 60 f., 84, 247–250, 326–329, 371 Regalbediengerät 288 f., 297 Regel 263, 310 f., 313, 315 Regelung 7, 124 Regler 86, 124, 233, 310 Reibkraft 66, 135, 137, 139 Reibung 132, 240 – an Kontaktstellen 134 –, trockene 137 Reibungsschwingung 134 Reibungswinkel 258

459

460

Sachverzeichnis

Reibungszahl 133 f., 137, 252, 259 –, effektive 137 Reibwalze 61 Reifen 319 Relativbewegung 213, 313 f., 379 relative Anregungszeit 322 f. relative Dämpfung 213 ff., 217 relativer Energieverlust 215 Relativgeschwindigkeit 64 f., 135 Relativkoordinate 36 Relativweg 36, 126, 128, 234 f., 297 Relaxation 202 Relaxationszeit 266 Resonanz 194, 199, 359 –, erzwungene 274 –, innere 277 –, Kombinations- 199, 240 – k-ter Ordnung 51, 199, 238, 240, 379 f., 387 –, Parameter- 199 –, subharmonische 53 –, superharmonische 53 Resonanzamplitude 58, 217, 380, 387 Resonanzbedingung 268, 393 Resonanzbereich 380 Resonanzdurchlauf 48, 366, 368, 371 Resonanzfrequenz 296, 308 Resonanzgebiet 231 f., 369, 372, 406 Resonanzgefahr 21, 357 Resonanzkurve 214, 372 Resonanznähe 380 Resonanzordnung 380 Resonanzschwingsieb 407 f. Resonanzspitze 140, 226, 318, 368, 371, 390 Resonanzstelle 55, 58, 232, 285, 296, 359, 366, 368 f., 380 Restmoment 349, 351 Restschwingung 129, 342–345, 349, 352 f. Richtlinie 184, 238 Riemen 105, 111 ff., 266 ff., 276 Riemengeschwindigkeit 264, 269 f. Riemengetriebe 262–266 –, Zweischeiben- 267 Riemenkraft 278 Riemenparameter 266 Riemenquerschnitt 266 Riemenscheibe 96 f., 113, 263 –, exzentrische 269 Riemenschwingung 262 f., 269 f. Riemenspannkraft 264 Riementeilung 278

Riemenumlauffrequenz 263 Riemenzahn 278 f. Ringspinnen 112 Ritzsches Verfahren 160 R IVIN 157 Roboterarm 130 Robustheit 420 Rollenlager 190, 193 Rotationsmatrix 106 Rotationsträgheit 114 rotierendes Bezugssystem 14 Rotor 62, 65 f., 312, 366 f., 370, 410, 413 –, gekoppelter starrer 63 –, scheibenförmiger 45 –, unwuchtiger 46 Rotorbewegung 47 Rotorparameter 366 Rotorsystem 64 Rotorunwucht 45, 49 Routh-Hurwitz-Kriterium 257 Ruck 238 Rückwirkung 17, 47, 84, 368 Rundlaufabweichung 278 Runge-Kutta-Verfahren 22, 126 Rutschkupplung 177 Rüttelmoment 420 Rüttelrichtmoment 47 Rütteltisch 404 Rüttelverdichter 404, 416 Rüttler 310

S Saite 113 f., 265, 275 f. Schadensart 196 Schadensfall 48, 68 Schallgeschwindigkeit 119 Schaltfolge 348 Schaltzeit 351, 353 Scheibenkupplung 201–205 Schiene 290 Schienenunebenheit 296 Schiffsdieselmotor 237 Schiffsmotor 186 Schiffsschraube 187, 319 Schlaffseil 303 Schlagbolzen 423–426 Schlagenergie 426 Schlaghammer 422 f., 425 Schlagwerkzeug 424 Schleifscheibe 97 Schleifspindel 96 ff. –, Parameterwerte 100

Sachverzeichnis

Schlitten 298 Schlupf 64, 66, 263 f., 296, 319 Schmierfilm 44 Schnecke 255 Schneckengetriebe 254 f., 257, 259 f. –, Berechnungsmodell 255 –, Instabilität 258 –, selbsthemmendes 254 Schneckenrad 255 ff., 261 Schneidemaschine 237 Schneidkraft 40 Schneidvorgang 40 f., 58 Schnittkraft 107 Schnittmoment 107 Schnittschlag 58 Schräglauf 277 Schrägverzahnung 196 Schraubenfeder 108 f. Schraubenlinie 109 Schrittgetriebe 242, 375, 385 Schubkurbelgetriebe 31 f., 34, 40, 42, 187, 308, 376, 404 f. Schubschwingung 400, 417 f. Schubsteifigkeit 107 Schubverformung 114 f. Schubverteilungszahl 108 Schwellenabstand 289 f. schwellende Belastung 232 Schwenkbewegung 124, 126 Schwenkwinkel 124, 127 Schwerkrafteinfluß 53 Schwerpunkt 425 Schwerpunktachse 298 Schwingantrieb 309, 405 Schwingbeiwert 71 Schwinger, modaler 319, 341, 354 –, nichtlinearer 264 –, parametererregter 21, 199 –, selbsterregter 15, 21 –, unwuchterregter 366 Schwingerkette 143, 167 f. Schwingförderer 134, 393, 404, 411, 416 Schwingmühle 404 Schwingsieb 310, 410 Schwingung, Anfachung 357 –, Biege- 113, 123 –, Dreh- 400, 417 f. –, elektromechanische 208 –, erzwungene 419 –, Längs- 112, 119 f. –, nichtlineare 318

461

–, parametererregte 58, 113, 193, 195, 238, 268, 274 –, Quer- 112 f. –, Ratter- 259 ff. –, Riemen- 263 –, Schub- 400, 417 f. –, selbsterregte 48, 61, 65, 132, 255 –, stationäre erzwungene 416 –, störende 378 –, Torsions- 119 f., 123, 274 –, transversale 275 –, Ursachen 17 Schwingungsamplitude 269 f. Schwingungsanregung 236 Schwingungsdiagnose 199 Schwingungserreger 370, 405, 412, 418 –, Ultraschall- 331 Schwingungserregung 205, 273 f., 288, 375, 411, 416 Schwingungsform, berechnete 172 –, gemessene 172 Schwingungsisolator 53 Schwingungsisolierung 45, 309, 421 Schwingungsknoten 97, 160, 164, 234 ff., 317, 323, 399 Schwingungsmessung 63 Schwingungsmodell 68 –, nichtlineares 49 Schwingungssystem, nichtlineares 16, 318 –, ungefesseltes 162 Schwingungsursache 238 f., 241, 250, 270 – von Mechanismen 239 f. Schwingungsverhalten 194, 247, 322 Schwingungszustand 310 Schwingwinkel 377 Schwungrad 223, 338 sechsgliedriges Koppelgetriebe 372 f., 377 sechsgliedriges Koppelrastgetriebe 391 Seil 105 Seilbewegung 69 Seilkraft 68 ff., 73 f., 76, 78 f., 304 –, dynamische 71 –, Verlauf 70 Seiltrommel 79 Seitenbandstruktur 199, 240 Sekundärbewegung 13, 36, 43, 47, 298, 305, 323, 342 selbsterregte Schwingung 48, 61, 65, 255 selbsterregter Schwinger 15, 21 selbsterregtes System 14, 17 Selbsterregung 63, 65 selbsthemmendes Getriebe 254

462

Sachverzeichnis

Selbsthemmung 250 Selbstsynchronisation 410–413, 416 Senkbewegung 72, 255, 258 Sensitivität 140, 346, 401, 403, 406, 420 – der Stabilität 420 Sensitivitätsanalyse 79, 95, 117, 139, 228, 374 Sensitivitätskoeffizient 141, 143 f., 222, 224, 228, 316 Sensitivitätsmatrix 141, 143, 145, 147 Sensor 310, 353 Sieb 134, 309, 393, 404, 407, 409, 411 Siebmaschine 416 Signalkraft 302 ff. Signumfunktion 133, 135 f., 256 SIMPLEX 279 Simulation 6 f., 24, 101, 206, 210, 219 f., 225, 285 –, numerische 60 Simulationsrechnung 105 Simulationssoftware 24, 225 Sinoide, geneigte 383 slave-degree 156 slave-Koordinate 162 Sollbruchstelle 301 Sollwert 338 Sommerfeld-Effekt 48, 369 Spannrolle 263, 267 Spannweite 275 Spektralmatrix 165, 167 Spektrum 199, 361, 377 Sperrung 254 Spiel 34, 41, 256, 259, 261 f., 279, 298 f., 317 – im Abtrieb 34, 244 spielbehaftetes Abtriebsglied 33 Spieldurchlauf 243 Spitzenkraft 212 Spitzenwert 38, 79, 83, 129, 206, 211, 220, 232, 245, 397 Sprung 273, 349, 353 Sprungantwort 202 Sprungfunktion 129, 349 Spule 111 f. Spulgeschwindigkeit 61 Stab 329 f. stabil 249 stabiler Bereich 261 stabiler Betriebszustand 416, 419 Stabilität 412, 414 Stabilitätsbedingung 413, 415, 419 Stabilitätsgebiet 258, 261, 269

Stabilitätsgrenze 258, 270 Stabilitätskarte 247 Stabkraft 330 Stabmodell 105 Stahltragwerk 68 Standsicherheit 303 starre Kette 276 starre Maschine 13, 17 f., 237, 259 –, Modell 18 starre Stütze 399 Starrkörper 92, 311 Starrkörperbewegung 82, 126, 268 Starrkörpermechanismus 8, 33 Starrkörpermodell 237 Starrkörpersystem 18, 27, 84, 234 Startmodell 55, 94 f., 97, 101, 103, 153 – einer Schleifspindel 97 – eines Brückenkrans 102 f. –, Vereinfachung 95 stationäre erzwungene Schwingung 416 statische Durchsenkung 71 statische Kondensation 156 statische Motorkennlinie 220 statisches Moment 87, 374 Steifigkeit 191, 193 –, berechnete 197 –, dynamische 200, 202 –, modale 140, 144, 160, 319 –, radiale 192 –, stellungsabhängige 195 f. –, winkelabhängige 193 Steifigkeitsänderung, periodische 193 Steifigkeitsmatrix 57, 140, 147, 191, 267, 282, 321 –, singuläre 268 Steifigkeitssprung 196 Steifigkeitsverlauf 196 f. stellungsabhängige Eigenfrequenz 249 Steuerkabel 111 Steuerung 344 stick-slip-Bewegung 134 stick-slip-Effekt 132 stick-slip-Schwingung 254, 263 störende Schwingung 378 Stoß 15, 238, 354 –, zweiseitiger 259 Stoßbelastung 15, 317 Stößel 40 Stößelbewegung 41, 239 Stößelkraft 41 Stoßfolge 38, 316, 354 f. Stoßimpuls 354

Sachverzeichnis

Stoßmittelpunkt 311 f. Stoßrichtung 317 Stoßstelle 317 Stoßzahl 423 Stoßzeit 39, 300, 357 Stoßzeitverhältnis 322 Strategie 10 Streckenlast 127, 290, 295 Struktur, topologische 312 Strukturänderung 270 Struktursynthese 308 Stütze 397 –, elastische 398, 401 –, starre 399 Stützenabstand 400, 403 –, optimaler 399 Stützenverteilung 398 Subharmonische 16 Substruktur 164 f., 283 Superposition 239, 344 Superpositionsprinzip 16, 27, 206 Symmetrieachse 398, 400 Symmetriebedingung 28 f. symmetrische Eigenform 275 f., 398 symmetrische Erregerkraft 315 synchrone Bewegung 414 Synchronisation 416 Synthese 118, 309, 353, 378 –, modale 164, 169 – von HS-Profilen 381 – von Koppelgetrieben 392 Synthesemethode 309 System, gekoppeltes 167 –, lineares 344 –, mechanisch a¨ hnliches 38 –, reduziertes 154, 171 –, selbsterregtes 14, 17 –, ungefesseltes 82, 122, 144 –, zwangläufiges 16 ff. –, zwangserregtes 17 Systemanalyse 7 Systemgleichung 36

T Tagebaugroßgerät 130 Taumelbrecher 404 technologische Forderung 337 Teilkreis 271 Teilmodell 164 Teilsystem 84, 157, 165 ff., 169 Teilungswinkel 286

463

Temperatur 200, 212, 264 Term, nichtlinearer 112 Tetraeder-Element 123 Textilmaschine 121, 381 theoretische Untersuchung 411 Theorie zweiter Ordnung 263 Tilger 317 Tilgungsfrequenz 409 Timoshenko-Balken 106, 108, 110, 114 ff. –, Gleichungen 110 Toleranzbereich 384 Toleranzgrenze 381 topologische Struktur 312 Torsionseigenfrequenz 228 Torsionsfeder 92 Torsionsfederkonstante 142, 202 Torsionsmoment 80, 261 Torsionsschwinger 48, 50, 121, 157, 161, 173, 225, 329 f., 340 Torsionsschwingerkette 142 ff., 321 f. Torsionsschwingung 7, 50, 93, 104, 119 f., 123, 229, 274, 375 Torsionsstab 94, 120, 265 Torsionssteifigkeit 197 Torsionsträgheitsmoment 264 Totzeit 302 f. Trägheitsmoment 87, 122, 142, 249, 279, 325 –, fiktives 371 –, minimales 324 –, polares 179, 264 –, reduziertes 60 f., 84, 247–250, 326–329, 371 –, veränderliches 326 Trägheitstensor 57 Tragkraft 303 Tragsystem 416 f. Tragwerk 68, 72 f., 75, 288 Transformationsmatrix 154–157, 159 f. transversale Schwingung 275 transzendente Frequenzgleichung 120, 276, 331, 399 transzendente Gleichung 346 trockene Reibung 137 Trumlänge 270, 275 Turmkran 67, 75, 77, 130 –, Berechnungsmodell 75

U u¨ berbestimmtes Gleichungssystem 148 ¨ Uberdeckungsgrad 196 f. ¨ Ubereinstimmung 124

464

Sachverzeichnis

¨ Ubergangsbedingung 49 f., 136 ¨ Ubergangsstelle 181 ¨ Uberlagerung 83 ¨ Uberlastsicherung 301–304 ¨ Uberlastung 221, 301 ¨ Uberlastungsschutz 301 ¨ Ubersetzung 176, 247, 327 f. –, veränderliche 327 ¨ Ubersetzungsverh¨ altnis 84, 176, 246, 279 ¨ Ubertragungselement 175, 178, 188 –, Kennlinie 177 ¨ Ubertragungsmatrix 86, 117 ¨ Ubertragungsmoment 175 f. ¨ Ubertragungswinkel 391 f. Ultraschall-Schwingungserreger 331 Umformmaschine 239 Umformvorgang 40 Umkehrlage 41 ungefesseltes Schwingungssystem 162 ungefesseltes System 82, 122, 144 ungleichmäßig u¨ bersetzender Mechanismus 25 Ungleichung 381 Unrundzahnrad 326 f. Unstetigkeit 13, 129, 131, 240, 243, 270, 277 unterkritisch 393 unterkritisches Gebiet 371 Untersuchung, theoretische 411 Unterwassersonde 111 Unwucht 45, 325 –, verallgemeinerte 372, 374 Unwuchterreger 52, 404, 410–413, 416, 418 unwuchterregter Schwinger 366 Unwuchterregung 62 Unwuchtmasse 324 f. Unwuchtrotor 411 f., 414 Ursachen einer Schwingung 17

V Variantenberechnung 93 Variationsrechnung 329, 333 f., 344 VDI-Richtlinie 238, 250, 258, 314, 326, 372, 377, 388 Ventilator 187 verallgemeinerte Masse 292 verallgemeinerte Unwucht 372, 374 Verarbeitungsmaschine 31, 375, 381 f., 391 Verbrennungsmotor 43, 239, 277

Verbundwerkstoff 266 Vergleichswert 170 Verlustarbeit 205 Verlustwinkel 213 ff. Vernetzung 122 Verpackungsmaschine 237, 242, 381 Verschleiß 298, 411 Verspannung 238 Versteifung 247 Versuchsstand 52, 205, 255 Vertikalbeschleunigung 272 Verzahnung 197, 255 ff., 280 ff., 284, 286 Verzahnungsfehler 196, 199 Vibrationsantrieb 416 Vibrationsförderer 404 Vibrationshammer 421, 423, 425 f. Vibrationskopplung 420 Vibrationskraft 13, 38 Vibrationsmaschine 309, 404 f., 411, 420 Vibrationspumpe 404 Vibrationsschutz 423 Vibrationssieb 421 Vibratorkörper 411 ff., 416 ff., 420 vibrierende Unterlage 134, 137 f. vibrodynamische Beschleunigung 243, 246 vibrodynamische Kraft 13, 19 Vibrotransport 134 Viergelenkgetriebe 83 Vierzylindermotor 223 virtuelle Arbeit 155 viskose Dämpfung 137, 213 vollständiger Massenausgleich 374 Vorspannfeder 264 Vorspannkraft 112, 265, 270, 275, 279 Vorspannung 236, 256, 263 f., 268 Vorzeichenwechsel 234, 261

W Wälzkörper 190, 193 Wälzlager 190 f., 194 –, Außenringschaden 191 –, Innenringschaden 191 –, Käfigschaden 191 –, Wälzkörperschaden 191 Wälzlagerfrequenz 190 Wälzlagerhersteller 194 Walzwerkantrieb 310 Wange 186 Wäscheschleuder 48 Wasserfalldiagramm 239 Webmaschine 237, 393 f.

Sachverzeichnis

Wechselbelastung 232 Wechselwirkung V, 13 ff., 21, 57, 84, 212, 233, 238, 268, 280, 288, 394 Welle, abgesetzte 179 ff. –, abgestufte 184 –, elektrische 416 Wellenabsatz 181 Wellenabschnitt 180 f., 188 Wellenkupplung 229 Wellenmittelpunkt 62 f. Wellen-Naben-Verbindung 183 Wellenzapfen 186 Werkstoffparameter 121 Wickeldurchmesser 62 Wickelwalze 61, 63 ff. Wickler 61 Windung 110 Wippkran 83, 85 Wirkmaschine 237 Wirkstelle 313 Wirkungsgrad 254 Wirkungslinie 298 Wollkämmaschine 241

Z Zahneingriff 196 f., 273, 277 Zahneingriffsfrequenz 83, 178, 196, 198, 277, 287, 316 Zähnezahl 176, 198, 271, 327 – eines Kettenrades 273 Zahnflanke 236 Zahnkraft 278 Zahnkranz 196 Zahnpaarung 256 Zahnrad 195 f., 198 Zahnradgetriebe 83, 85, 177 f., 195, 199, 327 –, dreistufiges 328 Zahnradpaar 258, 411

465

Zahnradstufe 327 Zahnriemen 278 Zahnriemengetriebe 262, 277 f. Zahnstange 278 Zahnsteifigkeit 196 ff., 234, 259, 280, 283, 287 Zangenkran 317 Zeiger 130 Zeigerdiagramm 350 ff. zeitabhängige Erregerfunktion 198 Zeit-Frequenz-Analyse 61, 239 Zeitfunktion 57 zentrale Hauptträgheitsachse 414, 416 Zentrifuge 48 Zerkleinern 411 Zerlegung in Teilsysteme 84 Zerstörung 50 ZMS 222, 226 Zug-Druck-Stab 94, 110, 120 Zugmittelgetriebe 262 Zugtrum 276 Zündzeitpunkt 13 Zuordnung 147–150 Zuordnungsmatrix 147, 149 Zusatzbewegung 126, 339 Zusatzlänge 181 Zustandsregelung 124 Zwang 123, 160 zwangläufiges System 16 ff. Zwangsbedingung 66 zwangserregtes System 17 Zwangserregung 263, 268 Zwangskraft 315 Zweimassenschwinger 74, 251, 309 Zwei-Massen-Schwungrad 222 ff., 227 Zweimassensystem 125, 129, 200, 339, 407 Zyklogramm 57, 382 Zyklus, kinematischer 380 Zyklusdauer 358, 364, 423 f.

Schwingungen mechanischer Antriebssysteme: Modellbildung, Berechnung, Analyse, Synthese

Schwingungen mechanischer Antriebssysteme: Modellbildung, Berechnung, Analyse, Synthese

Einführung in die Getriebelehre: Analyse und Synthese ungleichmäßig übersetzender Getriebe

Analyse

Analyse

Maschinenelemente. Gestaltung, Berechnung, Anwendung

Schweigen aus Berechnung

Schweigen aus Berechnung

Schweigen aus Berechnung

Berechnung von Drehstromnetzen

Maschinenelemente: Gestaltung, Berechnung, Anwendung

Maschinenelemente: Gestaltung, Berechnung, Anwendung

Grammaire et analyse : Analyse grammaticale et analyse logique

Synthese d'image: Algorithmes elementaires

Kunststoffe: Synthese, Herstellungsverfahren, Apparaturen

Analyse Complexe

Analyse fonctionnelle

Analyse stratégique

Analyse numerique

Analyse Strategique

Analyse algébrique

Modellbildung in der Informatik (Xpert.press)

Fahrdynamik-Regelung - Modellbildung, Fahrerassistenzsysteme, Mechatronik

Analyse Differentielle

Analyse Combinatoire

Analyse Complexe

Modellbildung und Simulation der Dynamik von Kraftfahrzeugen

Handbuch Zahnriementechnik: Grundlagen, Berechnung, Anwendungen

Synthese et catalyse asymetriques French

(Over)Interpreting Wittgenstein (Synthese Library)

Tense Logic (Synthese Library, 111)

Schwingungen mechanischer Antriebssysteme: Modellbildung, Berechnung, Analyse, Synthese