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= = V-TW = (V, W-) =< V,
. bestimmt.
d2
Entweder schreibt man die Gleichungen in Koordinaten aus und löst das entstehende Gleichungssystem für die x- und y-Koordinaten oder man bringt eine der Gleichungen in Parameterform.
IGeraden im IR3 I • Zweimal Parameterform: wie im IR2 .
Man setzt die erste Gleichung in die zweite ein und bestimmt
>..
Man bringt eine Gleichung in Parameterform und geht wie oben vor.
IGerade und Ebene I
Gerade und Ebene
Günstiger Fall: Ebene in Normalen-, Gerade in Parameterform.
• 9: r = ä + >.b, E: r = c+ J-Ll + ve Gleichsetzen ergibt ein Gleichungssystem mit den drei Unbekannten >., J-L und v. Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, reicht es>. zu bestimmen. Oft ist es einfacher, die Ebene in Normalenform zu bringen .
• 9: r = ä + >.S, E:
r. n =
d
Einsetzen der Geraden- in die Ebenengleichung gibt eine Gleichung für
>..
KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA
40
• g:
r
X
w,
V=
Ebene beliebig
Am einfachsten ist es, die Gerade in Parameterform zu bringen und dann wie oben zu verfahren.
IZwei Ebenen I Zwei Ebenen
Günstiger Fall: Eine Ebene in Normalen-, eine in Parameterform.
E2:r=d+ve+~f Gleichsetzen ergibt ein System mit drei Gleichungen für die vier unbekannten Parameter. Es reicht aus, ein Parameterpaar (>-., p,) oder (v, ~) zu bestimmen. Diese Variablen sind dann noch von einem Parameter abhängend. Einsetzen in die Ebenengleichung ergibt die Schnittgerade. Einfacher ist es meist, eine Ebene in Normalenform zu bringen.
• Et:r=a+>-.b+p,c,
• E1:
r = a + >-.b + Jlz,
E2:
r. ii = d
Einsetzen der ersten in die zweite Gleichung ergibt eine Gleichung zwischen ).. und p,. Löst man z.B. nach).. aufund setzt dann).. in die Ebenengleichung ein, erhält man die Gleichung der Schnittgeraden.
• E1:
r· ii1
= d1,
E2: r· ii2 = d2
Man schreibt die beiden Gleichungen für die Koordinaten aus und ermittelt eine Lösung mit dem Gaußsehen Eliminationsverfahren. Alternativ bringt man eine Gleichung in Normalenform und nimmt das Verfahren von oben.
Bei•piel 6' Schnitte von g• i'
E, i'
~ (D + ,\ ( ~J,
~ ( ~2) + ß
m mund +v
E, i' · (
~~) ~ -2
Will man den Schnittpunkt von g und E 1 berechnen, bekommt man durch Gleichsetzen das Gleichungssystem
1.3. GERADEN UND EBENEN
41
In Matrixschreibweise hat man also
Von der Lösung nach dem Gaußalgorithmus benötigt man nur >. = -2 (es ist außerdem p. = 0, v = 2}. Da das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, erhält man den eindeutigen Schnittpunkt
Einfacher ist der Schnittpunkt zu berechnen, wenn man E1 in Normalenform überführt:
Setzt man jetzt für
r die Geradengleichung ein, erhält man
und man erhält den Schnittpunkt wie oben. Natürlich kann man genauso den Schnittpunkt von g und E2 berechnen:
und der Schnittpunkt ist (3, 2, 3) ~ Die Berechnung der Schnittmenge von E 1 und E 2 geht ganz ähnlich vor sich:
Auflösen nach J.L ergibt J.L = 1 - v und die Schnittgerade ist damit
KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA
42
IAbstand und Lotpunkt I Abstand und Lotpunkt
E
Lotpunkt
Der Abstand d ist die Länge der kürzesten Verbindungsstrecke e. Diese hat die Eigenschaft, auf den Richtungsvektoren der beteiligten Geraden und Ebenen senkrecht zu stehen. Der Lotpunkt (oder Fußpunkt des Lots) Po ist derjenige Punkt auf einer Geraden oder Ebene, der zu einem gegebenen Punkt den kürzesten Abstand hat.
Geht die Gerade oder Ebene durch den Nullpunkt, so ist die Bestimmung des Lotpunkts die in Abschnitt 8 (S. 97) beschriebene orthogonale Projektion auf diesen Unterraum. Im folgenden sind P und Q Punkte mit den Ortsvektoren Po hat den Ortsvektor f!o.
I
p und ij, der Lotpunkt
Abstände im R 2 1
Abstand im m_2
• Punktp-Punkt • Punkt
p- Gerade 9: r = a+ )..b:
·t~ Der Lt p0 o pun kt 1s und d(P, 9) = • Punkt
if: d(P, Q) = lf- Q1
lf1
. araus errechnet man e~ = p~0 - p~ ~ ~ = a~ + (f-a)·bb~D
b. b (vgl. Bsp. 10).
p- Gerade 9: f. ii = d
Der Abstand ist d(P, 9) =
I: 11f· ii- dl, der Lotpunkt f!o = p- P·~n-: d ii.
n Ist die Gerade in HNF, so ist die Berechnung wegen besonders einfach.
lnl
n·n = ii · ii = 1
• Gerade 9 1 - Gerade 92 : Falls die Geraden gleich sind oder sich schneiden, ist der Abstand null. Sind die Geraden parallel, nimmt man einen beliebigen Punkt aus 92 und berechnet den Abstand zu 9 1 •
43
1.3. GERADEN UND EBENEN
Beispiel 7: Abstand und Lotpunkt von P = (0, 4) zu 9: f · ( ~) = 3
Wegen
lnl =I(~)
I=
2 ist d(P,9)
=l~llff· n- dl =~I(~)·(~) -31 =~·
Den Ortsvektor des Lotpunkts erhält man aus
n- d ~ _ ~ _ ~ _ P. ~~nPo-P n·n
(o2) = ( 4/2) (o)4 _~ 4 3
IAbstände im IR3 I • Punktp-Punkt • Punkt
Abstand im JR3
if:
wie im IR2 ist d(P, Q)
= lff- Q1
p- Gerade 9= r= ä+>..b: wie im JR2 oder d(P,9)
Fusspunkt des Lots:
=
l(ä- i!} X bl lbl
Po = ä+ (p-: ä2 · bb (vgl. Beispiel 10). b·b
• Punkt
p- Ebene E:
r= ä + >..b + p,C:
Analog zur Berechnung des Abstands windschiefer Geraden erhält man die >..-und p,-Werte des Lotpunkts aus dem Gleichungssystem
>..(b. b) + p,(b. C) = -(ä- P). "b,
>..(b. C) + p,(c· C) = -(ä- P>. c
Daraus berechnet man den Abstand d(P, E) = • Punkt
p- Ebene E:
f ·
Der Abstand ist d(P, E) =
lff- Pol·
n= d d n. l:llff·n-dl, der Lotpunkt Po= p- p·~n-= n·n
n Auch hier ist die Rechnung einfacher, wenn die Ebene in HNF vorliegt.
• Gerade 91 : f = ä + )..b - Gerade 92: f =
c+ p,d~
l(c- ä.J · (~x d)l siehe Beispielll. Sind die Geraden parallel lb X d (dann ist b x d = Ö), so geht man wie im nächsten Punkt vor:
d(9 1 ,92 ) =
• Gerade - Ebene oder Ebene - Ebene: falls es keinen Schnittpunkt gibt, nimmt man einen Punkt der Geraden oder Ebene und berechnet den Abstand zur anderen Ebene.
KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA
44
Beispiel 8: Abstände und Lotpunkte von P = (3, 4, 0) zu
.,r~ UJ +~
m r~ m+pUJ und&
Schreibt man die Gerade g in der Form d(P,g) =
I(P'- ~)X bl = _1 lbl v'B
(;)
1
+v (
~~)
r = ä + .Ab, so ist
X(~)
=
2
_1 (
v'B
6)
-4
=
J32 = 2 v'8
Berechnung des Fusspunkts des Lots:
Natürlich kann man d(P, g) jetzt auch als
IP'- P'ol
erhalten.
Die Berechnung von d(P, E) ist am einfachsten, wennEin HNF gebracht wird:
ergeben eine Normalenform und die HNF:
Damit berechnet man den Abstand
Beweismethoden
IBeweismethoden I Bei der Berechnung von Abstands- oder Projektionsformeln benutzt man häufig diese Beweismethode:
CD
Aufstellen eines geschlossenen Umlaufs, d.i. eine Summe von Vektoren, die den Nullvektor ergibt. Dabei enthält der Umlauf einen oder mehrere unbekannte Vektoren oder Parameter.
1.3. GERADEN UND EBENEN
®
45
Bestimmung der Unbekannten durch • Ausnutzung von linearer Unabhängigkeit • Skalarmultiplikation • Bildung von Kreuzprodukten
Die Methoden werden an zwei typischen Beispielen erklärt. Beispiel 9: Schnitt von Seitenhalbierenden Bewiesen werden soll, daß sich die Seitenhalbierenden eines Dreiecks im Verhältnis 1 : 2 schneiden. Dazu betrachtet man wie auf Seite 26 das Dreieck mit den Seiten a und b und stellt zunächst die Geradengleichungen der Seitenhalbierenden auf: g1
1 b...) r... = a... + "'( -a... + 2
:
g2
:
... 1 (... b...) r=J.L·2a+
Der Schnittpunkt S liegt auf beiden Geraden und erfüllt daher beide Gleichungen:
®
Sortieren nach
aund bergibt: J.L ... .X (1 - .X - - )a + (2 2
... - -J.L-)b = 0 2
Nun wird ausgenutzt, daß a und b linear unabhängig sind und daß daher beide Vorfaktoren null sein müssen. Daraus ergibt sich ein Gleichungssystem für die beiden Parameter .X und fL 1 1 -.X- -J.L = 0 2 2
Die Lösung ist .X= fL =
~-
Das bedeutet gerade, daß die Strecke AS zwei Drittel der Strecke AT beträgt und daß sich die Seitenhalbierenden wie behauptet im Verhältnis 1 : 2 schneiden.
KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA
46
I Beispiel 10: Abstand Punkt-Gerade Gesucht ist der Abstand des Punktes P mit dem Ortsvektor pzur Geraden 9 mit der Gleichung r = ä + >.b. Zu p und 9 wird der Fußpunkt P0 des Lots von P auf die Gerade berechnet. Die Verbindungsstrecke wird mit e bezeichnet. Es gilt
p
ej_b.
CD
Der ~esu~hte~gesc~lossene Umlauf ergibt sich aus p + e = a + >.b:
@ Skalarmultiplikation mit bentfernt wegen b· e= 0 den unbekannten Vektor
e und ergibt eine Bestimmungsgleichung für >..: ~
~ ~
(p- ä) . b-)., (b. b) = 0 => )., =
(p-ä)·b ~
lW
~- ~+ "'b~- p-a ~- ~- p~+ (p-ä) ·bb~ => e-a ~
Jbj2
Der gesuchte Abstand läßt sich als
®
Je1 berechnen.
Ist nur der Abstand gesucht, hat man im R3 eine zweite Möglichkeit: wegen Üeist jb x e1 = JbJJe1. Bildet man in(*) das Kreuzprodukt mit b, so erhält man
13. Beispiele I Beispiel 11: Formel für Abstandzweier nicht paralleler Geraden Berechnet werden soll der Abstand der Geraden 9 1 und 92 mit den Gleichungen 91:
r= ä + >.b
92:
r= c+ f-ld
~
ö
Bei Abstandsberechnungen benutzt man immer die Tatsache, daß die kürzeste Verbindungsstrecke esenkrecht auf den Richtungsvektoren bund d der beiden Geraden steht.
47
1.3. GERADEN UND EBENEN
CD
Aufstellen eines geschlossenen Umlaufs: ä + )..b + e =
c+ {Ld~ also
@ Daraus kann man nun den unbekannten Vektor e bestimmen, wenn man )..
und 1-L kennt. Da esenkrecht zu bund zu dist, erhält man durch Skalarmultiplikation in (*) mit b und d zwei Gleichungen, aus denen man die Zahlen ).. und 1-L bestimmen kann:
+ >."b -~-Ld+ e1· "b = ö. "b {::} >. (b. "b) -~-L (d· "b) = (c- a). "b C) + )..b- {Ld + e1 d = ö b {::} ).. (b d) - 1-L ( d d) = (c- ä) d
[(ä- C)
[(ä -
°
0
0
0
0
e und der Abstand der beiden Geraden lellassen sich nun durch Einsetzen von ).. und
®
1-L
in (*) bestimmen.
Während die obige Methode in Räumen beliebiger Dimension funktioniert, kann man im JR3 . auch das Kreuzprodukt zu Hilfe nehmen. Dabei benutzt man, daß im Fall nichtparalleler Geraden der Verbindungsvektor, der ja auf beiden Richtungsvektoren senkrecht stehen muß, die Form e = V bX dhaben muß. Dann geht Gleichung (*) über in
Jetzt kann man die Parameter).. und {Laus der Gleichung entfernen, indem man mit bx d skalar multipliziert und dabei ausnutzt, daß bx J sowohl auf b wie auch auf d senkrecht steht:
(a- CJ · (b X
d) +V (b X d) · (b X d) = Q
und damit
_ _ e1 x d- un dlnl_l(c-ä)·(bxd)l _ _ LJ - v (b- x dn_(c-ä)·(bxd)be__ 2 lb X dl lb X dl
Bei,piel 12, Schnitte von E, ' f · (
E,
~2) ~ 3 mit
r~ (~;)+A(Ü+"G) undE, r(~~) ~-4
Beim Schnitt von E 1 und E 2 wird die Darstellung von E 2 in E 1 eingesetzt:
KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA
48
Die beiden .Ebenen haben keinen gemeinsamen Punkt und sind damit parallel. Zur Berechnung ihres Abstands bringt man am einfachsten E 1 in HNF, indem durch Vf7 dividiert wird. Dann wählt man aus E 2 den Punkt P = ( -2, -2, 0) T und berechnet 3) - 2) · - 1 ( -2 - - 3 = 1- _2 - - 3 I = - 5 d(E2 El) = d(P El) = ( -2 Vf7 Vf7 Vf7 Vf7 Vf7 2 0 ' ' Zur Berechnung des Schnittpunkts von E 1 und E 3 schreibt man die Gleichungen aus und verwendet das Gaußsehe Eliminationsverfahren: 3x- 2y + 2z = 3
X-
y
+Z =
-4
(0 1 -1115) -4 {:} 1 0 0 11 121 -43) {:} (01 -11 -11 115) Nimmt man t = z als Parameter, liest man y = 15 + t und x = 11 ab. Die ( 3 -2 1 -1
Schnittgerade ist also
(~1) ii-
c=
(~) 3
und der Abstand ist d(gl,92) = l(c-
ist
iiJ. (~X d)l
lb x d
bx l =
=
~ = 0.
v3
Die Geraden haben den Abstand Null und damit einen Schnittpunkt P. Zur Berechnung von P schreibt man
>.b + Jt( -d) = c- ii und löst das Gleichungssystem für >. und Jt nach dem Gaußalgorithmus: ii + >.b = c+ Jtl
{:}
(!1 ~1 ~3) {:} (~1 .~1 ,=;) 2
-1
-3
0 I -1 '-9
Man hat also>.= 3 (und Jt = 9) und damit deq Schnittpunkt (10, -1, 7)~
49
1.4. MATRIZEN UND DETERMINANTEN
1.4
Matrizen und Determinanten
11. Definitionen I Eine (m, n)-Matrix A ist ein rechteckiges Schema von Zahlen, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. Vorsicht! Die Schreibweise ist nicht einheitlich, machmal sind m und n in ihrer Bedeutung vertauscht .
A
= (a;j)i.=l .. = m
(..,
al2
a21
a22
aml
am2
... ...
Matrix
.) ,.
a2n
J=l..n
amn
Eine Matrix mit gleichvielen Zeilen und Spalten heißt quadratisch. Andere Schreibweisen: In den folgenden Bezeichnungen kann man den allgemeinen Körper lK durch IR oder C ersetzen.
m
X
n-Matrix, M(m, n), Mm,n(IK), .C(!Kn, ocn), JL(!Kn, !Km) und JK(n,m)
Schreibweisen für quadratische Matizen:Qln, GlL(n, IK) und JL(!Kn). Besondere Matrizen: Eine Matrix, die nur Nullen als Einträge hat, heißt Nullmatrix und wird mit 0 bezeichnet.
!) (: : ! !) (~ ;: :) dn
* * *
*
0 0 0
Null-, Einheits-, DiagonalSkalarDreiecksmatrix
*
Obere Untere Diagonalmatrix Einheitsmatrix Dreiecksmatrix Dreiecksmatrix Skalarmatrix En oder In Die n-reihige Einheitsmatrix wird mit En oder In oder einfach mit E oder I bezeichnet. Ist A eine quadratische n x n- Matrix und gibt es eine (quadratische n x n-) Matrix B mit AB= E {dann ist auch BA= E), heißt A regulär oder invertierbar. Bezeichnung: B = A- 1 . Nichtinvertierbare quadratische Matrizen heißen singulär.
regulär singulär
Der Rang einer Matrix wird auf Seite 83 definiert und berechnet. Die Zahlen von links oben bis rechts unten in einer quadratischen Matrix bil.den die Hauptdiagonale. Diagonalmatrizen oder Skalarmatrizen haben also nur Einträge auf der Hauptdiqgonalen. Die Elemente von rechts oben bis links unten bilden die Nebendiagonale.
Haupt-, Nebendiagonale
KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA
50
Transponierte AT
Adjungierte A* symmetrisch hermitesch selbstadjungiert schiefsymmetrisch schiefhermitesch
Die Transponierte AT einer Matrix A erhält man, indem man Zeilen und Spalten vertauscht. Dabei entsteht aus einer m x n-Matrix einen x m-Matrix. Bei quadratischen Matrizen bedeutet Transponieren, daß an der Hauptdiagonalen gespiegelt wird. Die Adjungierte A* einer (komplexen) Matrix A erhält man, wenn man in der Transponierten von A alle Einträge durch ihre komplex Konjugierten ersetzt. Eine quadratische Matrix A heißt symmetrisch, wenn A =AT ist, und hermitesch oder selbstadjungiert, wenn A = A* ist. Für reelle Matrizen fallen diese Begriffe zusammen. Gilt A = -A-r; heißt A schiefsymmetrisch, gilt A = - A *, heißt A schiefhermitesch. Oft ist es sinnvoll, Vektoren des !Rn als Matrizen mit einer Spalte und n Zeilen aufzufassen und Matrizen als nebeneinandergestellte Spaltenvektoren zu betrachten. Den Zahlen des Grundkörpers entsprechen die 1 x 1-Matrizen. Beispiel 1: Transponierte und Adjungierte, symmetrische Matrizen
A
= (
~ ~)
AT=
-2 5
D = F
G= (
= ( 3
2-
2+i
2
i)
i . + i)
-1+z
1
0
c
~2)
c+~ 2-z
2 3i) -i 3
0 3 4
F* =
(~ 2-z
B=
GD
D* =
=BT
c-
2i -3i
2+i) i 3
2 + i) = ( 3 . 2 - i) = F 2 2+z 2
G*=(1:i -1o+i)=C-:i -1o-i)=-G
B ist symmetrisch, C ist schiefsymmetrisch, F ist hermitesch oder selbstadjungiert, G ist schiefhermitesch.
(Reelle) schiefsymmetrische Matrizen haben auf der Hauptdiagonalen stets Nullen. Bei schiefhermiteschen Matrizen ist die Hauptdiagonale rein imaginär. Ist ä =
b=
(~~)
(:~)
ein (Spalten-) Vektor, so ist äT = (a 1 , a 2 ) ein Zeilenvektor. Mit
ist das Matrixprodukt äTb = a 1 b1 + a 2 b2 = ä · b das Skalarprodukt der
beiden Vektoren. Determinante detA, lAI
Determinanten quadratischer Matrizen lassen sich als alternierende Multilinearform auf den Spaltenvektoren definieren, die für die Einheitsmatrix den Wert Eins annimmt. Eine andere Möglichkeit ist es, die Definition über die im nächsten Punkt aufgeführten Rechenregeln vorzunehmen .. Schreibweise: det A oder I A
I·
1.4. MATRIZEN UND DETERMINANTEN
51
j2. Berechnung!
j1.
Rechenregeln für Matrizen
I Rechenregeln für Matrizen
a(A + B) = aA +aB
A+B=B+A
(A + B)C = AC+ BC
(A
+ B) + C =
A(B + C) = AB+ AC
A + (B
+ C)
(AB)C = A(BC)
Achtung! Im allgemeinen ist AB =f. BA. Sind A und B invertierbare n x n-Matrizen so ist AB invertierbar und es ist
(A*)* = A
AE=EA=A (A+B)T=AT+BT (A
+ B)* =
A*
+ B*
(aA)T = aAT
(AB)T =ETAT
(A-1)T = (AT)-1
(aA)* = aA*
(AB)*= B*A*
(A-1)* = (A*)-1
(Ax,y) = (x,ATy)
(Ax, Y')
reelles Skalarprodukt
j2.
= (x, A*Y')
komplexes Skalarprodukt
Addition und Multiplikation von Matrizen I
Matrizen lassen sich addieren, wenn sie jeweils gleiche Zeilen- und Spaltenzahl haben. Die Summe der Matrizen wird dann elementweise gebildet. Eine Matrix wird mit einer Zahl (einem Skalar) multipliziert, indem jedes Element der Matrix mit dem Skalar multipliziert wird.
A
=
a12 a22 a~1
(""
)
... ... ,
A
B
+B =
) c·
= b~1
b12 b22
. .. ,
a12 ("" +bn a22 a21 b21
7
aA
=
(aa"
a~21
aa12 ... aa22 . ..
)
)
+ b12 .. , + b22 ...
Das Matrixprodukt AB läßt sich bilden, wenn die Spaltenzahl der ersten Matrix A mit der Zeilenzahl der zweiten Matrix B übereinstimmt. Das Produkt einer (m, n)-Matrix mit einer (n, p)-Matrix ist eine (m, p)-Matrix.
Addition und Multiplikation
52 Falk-Schema
KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA
Die Berechnung geschieht am besten mit dem Falk-Schema:
B
-+
bl .
* * *
IJ
b2· IJ
b3· IJ
* * * ...· · ] - [ - - C iIj [ a;1-ai2-a;3-· * * * ... A
C=AB
* * *
l
Cij
= =
a;Iblj n
L
+ ai2b2j + · · · a;nbnj
a;kbkj
k=l
Die Matrizen werden über Eck nebeneinander geschrieben. Das Produkt hat in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte das Skalarprodukt des i-ten Zeilenvektors von A und des j-ten Spaltenvektors von B. Gleichzeitig kann man die Größe der Produktmatrix erkennen: sie hat soviele Zeilen wie A und soviele Spalten wie B. Nach demselben Schema werden Matrizen und Vektoren (das sind ja Matrizen mit einer Spalte) multipliziert. Wenn mehrfache Produkte berechnet werden, kann man die Zwischenergebnisse direkt weiterverarbeiten: Z.B. kann das Produkt ABC kann in der Reihenfolge (AB)C oder als A(BC) berechnet werden. Die Schemata sehen dann so aus:
c und
B BC A A(BC)
a= 1·3+3·0=3 b=1·1+3·2=7 c=0·3+4·0=0 d=0·1+4·2=8 e = -2 · 3 + 5 · 0 = -6 f = -2. 1 + 5. 2 = 8
Damit ist C
= AB = (
~ ~).
Das Produkt BA kann man nicht bilden, da die -6 8 Spaltenzahl von B ungleich der Zeilenzahl von A ist. Am letzten Beispiel kann man gut zwei andere Eigenschaften der Matrixmultiplikation erkennen:
53
1.4. MATRIZEN UND DETERMINANTEN
• Die Matrix A wird mit der Matrix B multipliziert, indem A mit den einzelnen Spaltenvektoren von B multipliziert wird. Diese Produkte werden nebeneinandergeschrieben.
(
A
Im Beispiel oben ist die erste Spalte von C das Produkt A b1 , wobei der erste Spaltenvektor von B ist. Genauso ist mit b2 =
b1 =
m
G) die zweite Spalte
von C das Produkt A b2 • Anwendung: Wenn man eine Matrix A mit mehreren Vektoren b1 bis bk multiplizieren will, schreibt man die Vektoren nebeneinander in eine Matrix Bund erhält die Ergebnisse als Spalten des Matrizenprodukts AB. • Das Produkt der Matrix A mit dem Vektor b = (b1, . .. , bk) T ist die Linearkombination der Spaltenvektoren von A mit den Koeffizienten b1 bis bk.
Im Beispiel ist die erste Spalte von C das 3-fache der ersten Spalte von A plus das 0-fache der zweiten Spalte. Die zweite Spalte von C ist die Summe der ersten Spalte von A und der zweifachen zweiten Spalte. Konsequenz: Ist A einem x n-Matrix mit den Spaltenvektoren ä 1 bis än und D eine n x n-Diagonalmatrix mit den Elementen d 1 bis dn auf der Diagonalen, so besteht das Produkt AD aus den Spaltenvektoren d1 ä 1 bis dnih.· Eine Matrix wird mit einem Skalar a multipliziert, indem man die Matrix mit der a-fachen Einheitsmatrix multipliziert.
Beispiel3: Bvfür B
=
(~
n
und v= (
~1 )
Das Produkt ist das Negative des ersten Spaltenvektors von B plus das Doppelte + 2 ( = ( 1) . der zweiten Spalte: Bv = - (
~)
~)
Berechnung mit dem Falk-Schema: ( 3 1) 0 2 .
~
-t ~211~
+--3·(-1)+1·2 +--0·(-1)+2·2
KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA
54
Inverse Matrix
13. Inverse Matrix I Gibt es für einen x n-Matrix A eine Matrix B (die dann auch einen x n-Matrix ist) mit AB= En, heißt B die Inverse zu A. Schreibweise: B = A- 1 .
B = A- 1
{::}
A = B- 1
{::}
AB = BA = En
Betrachtet man die Gleichung AB= En als n Gleichungen für die Spaltenvektoren von B, so erkennt man, daß bi der Lösungsvektor der Gleichung Ax = ei ist. ei ist der i-te Koordinateneinheitsvektor. Darauf beruhen zwei Verfahren zur Bestimmung von B = A- 1 :
bi
• Berechnung mit dem Gauß-Algorithmus Dieses Verfahren empfiehlt sich für Matrizen mit Zahlen ab einer Größe von 3 X 3. • Berechnung mit der Gramersehen Regel Dieses Verfahren empfiehlt sich für Matrizen bis zur Größe 3 x 3 und für Matrizen, in denen die Einträge Funktionen sind.
IInversenberechnung mit
dem Gauß-Algorithmus I
GaußAlgorithmus
CD ® ®
Man schreibt dien x n-Einheitsmatrix rechts neben die Matrix A. Durch Umformungen des Gauß-Verfahrens wird aus der Matrix A die Einheitsmatrix En gemacht. Dabei werden alle Umformungen auch mit der Matrix auf der rechten Seite vorgenommen. Danach steht auf der rechten Seite A - 1 •
Beispiel 4: Die Inversen von A
= (
~ ~)
und B
=
(021 3~ 251)
55
1.4. MATRIZEN UND DETERMINANTEN
Zunächst wird neben A die Einheitsmatrix E geschrie( 1 311 -1 ) 811 0 ) ( 32 5 ben. Dann wird von der er0 1 {::} 2 5 0 1 sten die zweite Zeile und dann von der zweiten zwei( 1 0 1-5 8 ) 1 3 11 -1 ) mal die erste Zeile subtra{::} 0 1 2 -3 {::} ( 0 -1 -2 3 hiert. Danach wird die zweite Zeile dreimal zur ersten addiert und dann mit -1 multipliziert. Jetzt steht links die Einheitsmatrix und rechts A - 1 = ( -;_5 3 ).
!
Analog wird die Inverse von B berechnet: die ersten beiden Zeilen werden vertauscht und dann wird die erste zweimal von der zweiten Zeile subtrahiert. (1 2 2 0 1 0) 2 3 51 0 0) ( 1 2 2 0 1 0 {::} 0 -1 1 1 -2 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
Die zweite Zeile wird zweimal zur ersten addiert und dann mit -1 multipliziert. Zum Schluß werden in der dritten Spalte oben zwei Nullen erzeugt. ( 1 0 0 2 2 -3 0 ) 1 0 4 {::} ( 0 1 -1 -1 2 0 {::} 0 1 0 -1 0010 01 0010
Die Inverse von B ist damit B- 1 =
IInversenberechnung mit
(2 -3 -4) -1 0
2 0
1 1
~3
:4)
.
der Gramersehen Regel I
Am einfachsten ist der Spezialfall einer 2 x 2-Matrix:
Cramersche Regel 2 x 2-Matrix
b) - = ad -1 bc ( -cd -b) a
(a c d
1
Man muß also die Hauptdiagonale vertauschen, in der Nebendiagonalen das Vorzeichen umdrehen und durch die Determinante dividieren. Allgemeiner Fall
Allgemeiner Fall:
CD
Berechne det A. Falls det A
=
0 ist, ist A nicht invertierbar.
@ Berechne die Adjunkte Ad A zu A (vgl. S. 58). @ Es ist A- 1 =
de~A (Ad A)"':
KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA
56
BeispielS: Die lnve<sen von A
WegendetA=-1istA- 1 = Probe
~ G~) nnd B ~ G~ ~)
~ 1 (!2
-;8 ) =
(~5
!3).
Die Probe AA-l = E 2 geht auf. Zur Inversion von B berechnet man die Determinante von B durch Entwicklung nach der Ietzen Zeile: det B = 1
AdB =
I i ~ I= 4 -
3 = 1. Die Adjunkte von B ist
I~ il-1~ il I~ ~I -I~ ~I I~ ~1-1~ ~I (!a -4 I~ ~I-li ~I Ii ~ I
-1 2
1
n
Damit wird B- 1 = - 1 - (Ad B)T detB
~ ( !1 0
-3 2 0
Y)
J4. Rechenregeln für Determinanten J Rechen rege In für Determinanten
Determinanten gibt es nur bei quadratischen Matrizen! • Die Determinante ändert ihren Wert nicht, wenn das Vielfache einer Zeile (Spalte) zu einer anderen Zeile (Spalte) addiert wird. det(· · ·,
v+ a:w, · ··, w, · ··) = det(· · ·, v, · ··, w, ·· ·)
• Die Determinante einer Matrix ist die Determinante ihrer Transponierten. detA = detAT • Die Determinante ändert ihr Vorzeichen, wenn zwei Zeilen oder zwei Spalten vertauscht werden.
w · ··) =
det(· · · ' v' · · · , '
w ·· ·' v' · · ·)
- det(· · · , '
57
1.4. MATRIZEN UND DETERMINANTEN
• Wird aus allen Elementen der Faktor a ausgeklammert, muß insgesamt der Faktor an ausgeklammert werden. det(aA) = andetA • Wird eine Zeile (oder Spalte) in eine Summe aufgespalten, so ist die Determinante die Summe der Determinanten der einzelnen Summanden. det(· · ·, v+ w, · · ·) = det(· · ·, v, · · ·) + det(· · ·, w, · · ·) • Wird eine Zeile (oder Spalte) durch ihr a-faches ersetzt, so ist die Determinante das a-fache der ursprünglichen Determinante. det(···,a'Ü,···) = adet(···,'Ü,···)
•
det(AB) = det A det B
•
A regulär
detA det A
-1
~
1 = detA
0
• Eine einfache Regel für det(A + B) gibt es nicht. Die Determinante der Einheitsmatrix ist eins. Die Determinante von Diagonalund Dreiecksmatrizen ist das Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonalen.
15. Berechnung von Determinanten I Die Determinante einer 2 x 2-Matrix ist das Produkt der Haupdiagonalelemente minus dem Produkt der Nebendiagonale: det (
~ ~)
= ad - bc
Bei einer 3 x 3-Matrix verwendet man die Sarrus-Regel: Die ersten beiden Spalten werden noch einmal rechts neben die Matrix geschrieben. Dann werden für jede der drei von oben links nach unten rechts durchgehende Diagonalen die Produkte addiert und für jede von oben rechts nach unten links verlaufende Diagonale subtrahiert. a
det
(~g h~
!)
d
z
= aei + bfg + cdh- ceg- afh- bdi
Berechnung von Determinanten
g /
b
c
1
e
f
1
h
i
a
b
d
e
g
h
~XX/ /XX~ /
/
"+ "+ "+ I
Achtung! Die Sarrus-Regel gibt es nur bei 3 x 3-Matrizen!
Sarrus-Regel
KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA
58
16. Laplace'scher Entwicklungssatz I Laplace'scher Entwicklungssatz Kofaktor algebraisches Komplement
Determinanten größerer Matrizen werden durch Entwicklung nach einer Spalte oder Zeile berechnet. Dazu müssen für die Elemente einer Zeile oder Spalte die Kofaktoren (andere Bezeichnung: algebraischen Komplemente) berechnet werden. Berechnung des Kofaktor eines Elements a;{
CD
Streiche die Zeile und Spalte, in der das Element a;i steht. Das sind die i-te Zeile und die j-te Spalte.
®
Berechne die Determinante der übrigbleibenden (n- 1) x (n- !)-Matrix.
@ Multipliziere diese Zahl mit ( -1 )i+i. Dieses Vorzeichen kann man nach der Schachbrettregel bestimmen: für das obere linke Feld der Matrix ist das Vorzeichen +1, danach wechseln sich +1 und -1 ständig ab.
Adjunkte
( +~. + ++ :::) ... . ..
..
Bezeichnung: Ist die Ausgangsmatrix A = (a;j), so wird der Kofaktor des Elements a;i mit A;i bezeichnet. Die Matrix der Kofaktoren ist die Adjunkte Ad A oder adjA von A. Achtung! Nicht mit "Adjungierter" verwechseln! n
detA
2:a;iAii
Entwicklung nach der i-ten Zeile
i=l
n
=
LaiiAii
Entwicklung nach der j-ten Spalte
j=l
Das bedeutet, daß man die Determinante einer Matrix dadurch berechnen kann, daß man für alle Elemente einer Zeile (Spalte) die Elemente mit ihren Kofaktoren multipliziert und diese Zahlen aufsummiert. Das läßt sich am Besten anwenden, wenn in der entsprechenden Zeile (Spalte) schon viele Nullen stehen.
Beispiel 6: Entwicklung von D =
1 2 3 4 2 3 4 3 nach der zweiten Zeile 3 4 3 2 4 3 2 1
Zunächst werden die Kofaktoren der Elemente berechnet. Nach der Schachbrett-
1.4. MATRIZEN UND DETERMINANTEN regelsind die Vorzeichen - · + ·-
= - det
A23
· +.
234)
Au~- det (
A"
4 3 2 3 2 1
c2
3 4
4 3
59
;)
A,.
~
3
+det ( ;
~ +det ( ;
3 2 2 3 4 3 3 2
;) )
Mit der Sarrus-Regel berechnet man A21
A22 = -10,
= 0,
A23 = -( -20) = 20 und A24 = -10
und erhält nach dem Entwicklungssatz
D = 2 · A21
+ 3 · A22 + 4 · A23 + 3 · A24 = 2 · 0 -
3 · 10 + 4 · 20 - 3 · 10
= 20.
13. Beispiele I sin
eo.lx(At +A2e(o.2-o.l)x+·. ·+e(o.n-o.l)x) = 0
Nach dem Kürzen durch e01 x hat man, daß die Klammer für alle x E IR Null ist. Daher gilt das auch, wenn man den Grenzwert für x -+ oo nimmt. Weil o:; - O:t stets negativ ist und für o: < 0 der lim eo.x = 0 ist, verschwinden alle Summanden X-100
bis auf den ersten und man erhält At = 0. Übrig bleibt dann eine Summe mit n -1 Summanden, für die nach der Induktionsvoraussetzung gilt: A2 = · · · = An = 0. Mit derselben Methode läßt sich auch die lineare Unabhängigkeit der Monome xk, k = 0, 1, 2, ... beweisen.
1.7. LINEARE ABBILDUNGEN
1. 7
87
Lineare Abbildungen
IL+ 2. Definitionen und Berechnung I Sind V und W Vektorräume, so nennt man eine Abbildung L: falls fiir alle v1 , E V und a E lR gilt
v2
Ist L : V
~
V~
W linear, lineare Abbildung
JR, nennt man V auch Linearform. Weitere Bezeichnungen:
Linearform
• L surjektiv: Epimorphismus
Epi-, lso-, Auto-, Endamorphismus
• L bijektiv: Isomorphismus • L:
V~
• L :V
~
V: Endomorphismus, lineare Selbstabbildung
V bijektiv: Automorphismus
Der Kern oder Nullraum einer linearen Abbildung L : V ~ W ist der Unterraum von V, der alle Elemente enthält, die auf den Nullvektor von W abgebildet werden. Schreibweise: Kern L, N(L), kerLoder I.(ü, V),
aber (ü, >.V)
= X(ü, V)
• Die Polarformel gilt nicht. • Das orthogonale Komplement eines Vektors im C 2 :
(:) R
= (
~b)
• Es ist im (komplexen) Standardskalarprodukt (Ai', Y) = (X', A*Y) (adjungierte Matrix).
13. Beispiele I Beispiel 4: Orthogonale Projektion von aus Beispiel 3
x=
(1, 2, 3) Tauf den Unterraum
Mit der in Beispiel 3 konstuierten Orthonormalbasis
) .. P X.. = (X.... 1 W1 W1
w1 , w2 ist die Projektion
) .. + (X.... W2 W2 = 1
Mit den Methoden aus Abschnitt 7 erhält man, daß P durch Pi' =
~2 (~ ~ ~) x 1 0 1
gegeben ist.
Komplexe Vektorräume
100
KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA
Beispiel 5: Das Skalarprodukt von
v=
G: ;)
und
w=
(2
~ i)
Da es sich um komplexe Vektoren handelt, muß man die komplexe Form des Skalarprodukts verwenden:
(v, w) = w·v = (-2i, 2 + i)
G: n
= (-2i + 2) + (3 + 4i) = 5 + 2i.
Beispiel 6: Gesucht ist eine Orthonormalbasis für den von v1 = (1, i, 0, 0)~ v2 = (0,1,i,O)Tund v3 = (0,0,1,i)Taufgespannten Unterraum des C4 • Es wird das Gram-Schmidt'sche Orthogonalisierungsverfahren verwendet.
CD
Es ist
Ü1
=VI und wegen
lüii = vf2 ist w1 = ~(1,i,O,O)T
(]) Jetzt muß das Skalarprodukt
(v2 , üi) = i1j v2 berechnet werden:
"'v, ~ (I. -i. o. 0) Wegen (i11 , üi)
m~
= ji11 j2 = 2 errechnet sich Ü2
-i
als
@ Verdoppelvon u 2 gibt i12 = (i, 1, 2i, 0)~ li12 12 = 6 und
®
Das Skalarprodukt von
~ ~
WI'
2
v3 mit i11 ist offensichtlich Null.
(v,, a,) u;v, (-i, 1, -2i, o)
@ Es ist
1 w = v'6(i, 1, 2i, 0)~
w3 = y ~(-l,i, 1,3i)~ 12
w2 und Wa sind die gesuchte Orthonormalbasis.
(!) ~ -
2i.
1.9. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN
1. 9
101
Eigenwerte und Eigenvektoren
Alles in diesem Abschnitt bezieht sich auf quadratische reelle oder komplexe n x n-Matrizen. Statt En (n x n-Einheitsmatrix) wird kurz E geschrieben.
11. Definitionen I IEigenwerte und Eigenvektoren I Ist A eine Matrix, so heißt p(>.) = det(A- >.E) charakteristisches Polynom von A. Eine (komplexe) Zahl >. heißt Eigenwert(EW) von A, wenn >. Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist. Ist >. Eigenwert von A und x ein Vektor x Eigenvektor EV von A zum Eigenwert >.. Das bedeutet, daß
=I Ö mit
(A- >.E)x = Ö, so heißt x
x =I Ögenau dann Eigenvektor zum Eigenwert>. ist, wenn gilt
charakteristisches Polynom Eigenwert EW Eigenvektor EV
Ax = >.x Ist>. k-fache Nullstelle von p, so ist o(>.) = k die algebraische Vielfachheit von >.. Die geometrische Vielfachheit oder Vielfachheit v(>.) ist die Dimension des Kerns von A- >.E, also die Dimension des Eigenraums von A zu >..
algebraische und geometrische Vielfachheit Eigenraum
Andere Bezeichnungen: Manchmal sagt man Ordnung statt algebraischer Vielfachheit und Vielfachheit statt geometrischer Vielfachheit. Ist>. Eigenwert von A, so ist 1 ~ v(>.) ~ o(>.) zu >. Hauptvektoren (HV) höherer Stufe. Ein Vektor
~
n. Im Fall!/(>.) < o(>.) existieren
Hauptvektor HV
x heißt Hauptvektor k-ter Stufe zu >., wenn gilt
Wegen (A- >.E) 0 x =Ex= x sind die Eigenvektoren gerade die Hauptvektoren erster Stufe. Ist x Hauptvektor k-ter Stufe, so ist (A- >.E)x Hauptvektor (k -1)ster Stufe. Der Hauptraum ist der Spann aller Hauptvektoren. Seine Dimension ist o(>.), d.h. es gibt insgesamt soviele Lu. Hauptvektoren wie die Nullstellenordnung von >.. Insbesondere gilt bei einer einfachen Nullstelle des charakteristischen Polynoms: Es gibt einen eindimensionalen Eigenraum und keine Hauptvektoren höherer Stufe.
Hauptraum
KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA
102 diagonalisierbar
Eine reelle Matrix heißt (reell) diagonalisierbar, wenn i) das charakteristische Polynom nur reelle Nullstellen hat ii) für jede Nullstelle algebraische und geometrische Vielfachheit übereinstimmen. Das bedeutet, daß der ~" eine Basis aus Eigenvektoren von A hat bzw. daß es keine Hauptvektoren höherer Stufe gibt. Entsprechen heißt eine komplexe Matrix (komplex) diagonalisierbar, wenn für jede Nullstelle die geometrische und algebraische Vielfachheit übereinstimmen.
Spektrum
Das Spektrum von A ist die Menge der Eigenwerte a(A) = {.A 1 , .•. , Ak}, die Resolventenmenge ist p(A) = C\a(A). Ist .A E p(A), so heißt die dann existierende Matrix (A- .AE)- 1 Resolvente.
orthogonal
Eine Matrix heißt orthogonal, wenn ihre Spalten ein .Orthonormalbasis bilden; d.h. die Skalarprodukte verschiedener Spalten sind stets Null und der Betrag jedes Spaltenvektors ist eins. Äquivalent dazu ist oder
unitär
Im komplexen Fall heißt eine Matrix unitär, wenn gilt oder
A* A = A A* = En.
Die Bedeutung orthogonaler und unitärer Matrizen liegt darin, daß für beliebige Vektoren und wund einer orthogonalen oder unitären Matrix A gilt
v
IAvl = lVI
(Av,Aw) = (v,w)
und
Eine orthogonale Transformation ändert also Winkel und Längen nicht.
ISymmetrische Matrizen und quadratische Formen I quadratische Form
Eine quadratische Form auf dem !Rn ist eine Abbildung der Form n
x = (x1, ... ,xn)T ~ Q(x)
=
L
c;i x;xi
iJ=l
Die
C;j
sind dabei reelle Zahlen mit
C;j
=
Cji·
Mit der symmetrischen Matrix
C = (c;j)i,j=l. .. n schreibt sich das als
Andersherum ist Q die zu C gehörende quadratische Form. Die Untersuchung quadratischer Formen ist wichtig bei der Untersuchung von lokalen Extrema von Funktionen auf dem ~n, vgl. Kapitel 4.5. Dort ist die symmetrische Matrix
103
1.9. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN
durch die Hessematrix einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion gegeben. In diesem Abschnitt findet man auch weitere Kriterien und Rechenmethoden zur Untersuchung der Definitheit einer quadratischen Form oder Matrix, z.B. das Hurwitz-Kriterium. Eine symmetrische Matrix heißt genau dann positiv /negativ (semi)definit oder indefinit, falls das für die entsprechende quadratische Form gilt. Definitheit
Die quadratische Form heißt positiv definit , wenn für x -:f 0 stets Q(x) > 0 ist {::} für alle Eigenwerte .A von C ist .A > 0. positiv semidefinit , wenn für stets Q(x) 2:: 0 ist {::} für alle Eigenwerte .A von C ist .A 2:: 0. negativ definit , wenn für x -:f 0 stets Q(x) < 0 ist {::} für alle Eigenwerte .A von C ist .A < 0. negativ semidefinit , wenn für stets Q(x) ::; 0 ist {::} für alle Eigenwerte .A von C ist .A ::; 0. definit , falls Q negativ oder positiv definit ist. indefinit , falls es x und iJ gibt mit Q(x) < 0 < Q(if) {::} die Matrix C hat positive und negative EW. (Gefährliche) Schreibweise: C positiv definit: C > 0, C positiv semidefinit: C 2:: 0, C negativ (semi)definit: C < 0 (C::; 0).
j2.
Berechnung
I
IBerechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren I Grundsätzlich geht man so vor:
CD
Aufstellen des charakteristischen Polynoms p(.A)
®
Ermittlung der Eigenwerte als Nullstellen von p (Hornerschema)
= det(A- .AE)
@ Zu jedem EW werden die zugehörigen EV bestimmt (Gaußalgoritlunus). @ Falls bei einem EW .A die geometrische kleiner als die algebraische Vielfachheit ist, kann man Hauptvektoren bestimmen.
Schreibweise
KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA
104
zu
(!): Aufstellen des charakteristischen Polynoms
Das charakteristische Polynom wird als Determinante derjenigen Matrix berecllnet, die entsteht, wenn in A von den Hauptdiagonalelementen jeweils A abgezogen wird. Im allgemeinen lohnen sich Umformungen mit den Zeilen oder Spalten nur selten: zwar kann man sich kleinere Zahlen beim Rechnen erzeugen, dafür nimmt die Anzahl der A in der Matrix aber zu. Hat man eine Zeile oder Spalte mit vielen Nullen, lohnt sich (wie immer) Entwickeln. Wenn man Produkte nicht sofort ausmultipliziert, kann man manchmal im nächsten Schritt Rechnungen einsparen. Kontrolle
Spur
Als Alternative oder zur Kontrolle kann man benutzen: p hat immer die Form
Die Spur einer Matrix A (spur A) ist die Summe der Elemente auf der Hauptdiagonalen. Für n = 2 und n = 3 ist das ausgeschrieben:
p(A) = A2 p(A) c, "' füd
=
~ (: ~
spur A A + det A
-
-A 3 + spur AA 2
-
D
dcfulle.t alH,
(n = 2)
c2 A + detA
~ I~
(n
= 3)
:H; ;H~ n
23 -23) 5
0
+3 + c = I! ~ I+ I~ ; I+ I~ ! ~ I und damit p(A) = det A
spur A
=1
5 = 9,
=51
2
~2 ~ = -5 +5 +15 = 15,
-A 3 + 9A 2 - 15A- 25.
= -25
Wenn man will, stellt man lieber die Nullstellen von -p fest (da -p(A) mit +A 3 beginnt), rät (da die Summe der Koeffizienten bei den geraden und ungeraden Potenzen beidesmal16 ist) die Nullstelle A1 = -1 und dividiert mit dem Hornerschema: 1 -9 15 25 -1 10 -25 -1 0 1 -10 25 2 Das Restpolynom .A - lO.A + 25 hat die doppelte Nullstelle .A 2,3 = 5. Es ist also A1
= -1,
A2
= A3 = 5.
105
1.9. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN
2 1- .A 3 .A -2 34 Einfacher ist es so: Beim Ausrechnen von p(.A) = 5-.A 0 0 p-q-Formel der mit erhält und Zeile wickelt man nach der letzten
ent-
Izu ® : Ermittlung der Eigenwerte I
CD
p(.A) bestimmt, sucht man wie in Abschnitt 1 beschrieben die Hat man in NullstelleiL Hilfsmittel ist oft das Hornerschema. Bei einigen Matrizen geht es schneller, da man erledigen kann:
CD
und
®
in einem Schritt
Ist A eine Diagonalmatrix oder eine (obere oder untere) Dreiecksmatrix, so stehen die Eigenwerte von A in der Hauptdiagonalen.
Izu @: Bestimmung der Eigenvektoren I Ist A ein EW von A, so sind die EV die Elemente aus dem Kern von A - .AE, die nicht der Nullvektor sind. Gesucht sind also Lösungen des homogenen LGS (A- .AE)x= Ö. Die Bestimmung erfolgt in der Regel mit den Gaußsehen Eliminationsverfahren. Die Dimension des Lösungsraums ist mindestens eins und höchstens so groß wie o(.A), die algebraische Vielfachheit von .\. Zum Abschluß empfiehlt es sich, eine Probe zu machen: Man rechnet die Gleichung Ax = .Ax nach. Dabei kann man so vorgehen: Man schreibt alle gefundenen EV nebeneinander in eine Matrix B und berechnet AB. Die Spalten dieser Produktmatrix müssen dann die Form "Eigenwert * Eigenvektor" haben; d.h. es müssen die entsprechenden Vielfachen der Spalten von B sein.
I Beispiel 1: Fortsetzung Zu A1 = -1 bildet man A - .A 1 E = A
+E
und bestimmt den Kern:
0) 3) {::} (24 42 -23) {::} (24 42 0)0 {::} (01 1 0 0 42 -2 (42OOG 0 0 1 001 001 Daraus liest man einen EV (1, -1,0)T ab.
Probe
106
KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA
Zu .>. 2 ,3 = S rechnet man analog mit A - SE:
(-440 -220 -230 ) {::} (-400 00203)1 {::} (-400 00200)1 Da A-SE der Rang zwei hat, gibt es also nur einen eindimensionalen Eigenraum, obwohl.>.= S doppelter Eigenwert ist. Einen EV liest man als (1, 2, O)T ab. Die Probe macht man für beide EV gleichzeitig mit dem Falk-Schema: 1 1 -1 f-- Eigenvektoren 0 0 -1 s 1 10 f-- Eigenwert * Eigenvektor 0 0
2
1
Matrix A
0
Izu
23 -2 0 s
--+ 4 3
@: Bestimmung von Hauptvektoren I
Diesen Schritt braucht man nur, wenn die algebraische Vielfachheit o(.A), also die Nullstellenordnung von .>., größer ist als die geometrische Vielfachheit v(.A), also die Dimension des Eigenraums zu >.. Man bestimmt nun nacheinander die Hauptvektoren zweiter, dritter usw. Stufe, bis die Dimension des verallgemeinerten Hauptraums o(.A) ist. Hauptvektoren höherer als erster Stufe sind nie eindeutig bestimmt. Das liegt daran, daß für einen HV k-ter Stufe und einen HV kleinerer als k-ter Stufe die Linearkombination + aw ein HV k-ter Stufe ist.
v
CD
v
w
Bilde (A - .AE) 2 und bestimme den Kern. Der besteht genau aus dem Spann der EV (HV 1. Stufe) und der HV 2. Stufe. Man ergänzt nun eine Basis des Eigenraums zu einer Basis des Hauptraums zweiter Stufe. Die ergänzenden Vektoren sind HV 2. Stufe
@ Wenn man noch nicht genug HV hat, bildet man (A- >.E) 3 , bestimmt den Kern und ergänzt eine Basis des Kerns von ( A - >.E)2 zu einer von (A - >.E) 3 . Die ergänzenden Vektoren sind HV 3. Stufe.
@ Nach demselben Verfahren werden sukzessive weiter Hauptvektoren bestimmt. Das Verfahren bricht spätestens nach dem o(>.)-sten Schritt ab. Die Basisergänzung in CD und@ kann man umgehen, indem man HV sucht, die auf den bereits gefundenen HV kleinerer Stufe senkrecht stehen und daher von ihnen I. u. sind:
107
1.9. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN
CD
Bilde B = (A- >.E) 2 und ergänze B um Zeilen, die aus den bereits gefundenen HV 1. Stufe (den EV) besteht. Der Kern der so erweiterten Matrix besteht aus HV 2. Stufe.
@ Bilde B
= (A- >.E) 3 und ergänze B um Zeilen, die aus den bereits gefundenen HV 1. und 2. Stufe besteht.
Der Kern der so erweiterten Matrix besteht aus HV 3. Stufe.
Beispiel 1: Fortsetzung Da v(5} = 1 und o(5) = 2 ist, braucht man nur einen HV zweiter Stufe.
CD
Zunächst bildet man B
= (A- 5E? =
24 -12 -16) ( -24 12 16 . 0 0 0
Da der Rang von B offensichtlich eins ist, hat der Kern nach der Dimesionsformel (S. 65} die Dimension zwei. Wenn man jetzt den Kern von B bestimmt, benutzt man clevererweise, daß man schon weiß, daß der EV v 1 = (1,2,0}Tim Kern liegt. Ein zweiter davon linear unabhängiger Vektor im Kern ist z.B. 2 = (2, 0, 3}, und das ist der gesuchte Hauptvektor.
v
Bei der alternativen Methode muß man mehr rechnen und weniger denken:
CD
In der Matrix B oben läßt man die zweite und dritte Zeile weg und ergänzt um die Zeile (1, 2, 0}.
Daraus liest man (B/J 5, -4/! 5, 1}T oder (8, -4, 15} als HV ab.
IBesonderheiten bei reellen Matrizen I • Da auch reelle Polynome nichtreelle Nullstellen haben können, kann eine reelle Matrix A auch nichtreelle komplexe EW haben. In diesem Fall kann man zu A komplexe EV bestimmen. • Ist ).. = a + ib einen nichtreeller EW, so ist auch X= a- ib EW, und zwar mit derselben algebraischen und geometrischen Vielfachheit wie >.. • Ist
x EV zum nichtreellen EW ).. = a + ib, so ist I! Ev zu EW X=
a - ib.
KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA
108
Beispiel 2: Eigenwerte und -vektoren von A
CD
=(
!2
;)
4-). _ 2 2 _1 >. ) = (4- >.)(2- >.) Es ist p(>.) = det
(
+2 =
>. 2
-
6>.
+ 10.
Alternativ: spur A = 6,
®
det A = 10
=>
p(.A)
= >. 2 -
6>.
+ 10
Die p-q-Formel gibt >. 1,2 = 3 ± i.
@ Da A eine reelle Matrix ist, braucht man nur zu einem der EW einen EV zu bestimmen, da man den anderen durch komplexes Konjugieren erhält. Da A- >.E gebildet wird und man mit positivem Realteil meist leichter rechnet, wird ein EV zu >. 2 = 3 - i bestimmt. A->.2E=A-(3-i)E=
c~i
_/+i)
Die zweite Zeile ist das ( -1 + i)-fache der ersten Zeile und kann weggelassen werden. Aus der ersten Zeile liest man einen Eigenvektor 2 = ( 1, -1 - i) T ab.
v
Damit ist
v= 1
(1, -1 + i)TEV zum EW >. 1 = 3 + i.
Besonderheiten bei symmetrischen und hermiteschen Matrizen • Symmetrische und hermitesche Matrizen haben stets nur reelle Eigenwerte. • Für jeden EW stimmen algebraische und geometrische Vielfachheit iiberein. • Eigenvektoren zu verschiedenen EW stehen senkrecht aufeinander. • Es gibt eine Orthonormalbasis des !Rn bzw. cn aus Eigenvektoren. Das bedeutet, daß diese Matrizen immer diagonalisierbar sind und daß sich jeder Vektor in der Basis der EW entwickeln läßt. • Schiefsymmetrische und schiefhermitesche Matrizen haben stets rein imaginäre EW, d.h. der Realteil ist immer null. Ist die Raumdimension ungerade, so haben (reelle) schiefsymmetrische Matrizen immer null als EW und sind damit nicht invertierbar. • Ist A eine symmetrische [hermitesche] Matrix, so gibt es eine ONB aus Eigenvektoren. Faßt man diese zu einer Matrix C zusammen, so ist C eine orthogonale [unitäre] Matrix, d.h. es ist CCT = En [CC* = En]· Es ist CT AC=
c- 1 AC= D,
[C* AC=
c- 1 AC= D]
wobei D eine Diagonalmatrix ist, die auf der Hauptdiagonale die EW von A enthält.
109
1.9. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN
IEigenschaften des Spektrums I Ist A eine Matrix mit den Eigenwerten A1 , A2 ••• , so gilt: • Die Eigenwerte von A
+ ttE sind ..\1 + JL, A2 + fL ••••
• Die Eigenwerte von aA sind aA 1 , aA 2,... • Die Eigenwerte von Ak, k E N sind At, A~, ...
• A invertierbar
{::}
0 ist kein Eigenwert von A.
In diesem Fall gilt die letzte Aussage auch für k E Z. Insbesondere hat 1 1 ... A -1 d'1e E'1genwert e r;-, x;-, • Weder für die Eigenwerte von A + B noch für die von AB gibt es einfache Regeln.
Beispiel 3: Eigenwerte und -vektoren von A = ( ~
CD
und
~)
@ Es ist p(A)
und damit A1
@ Zu A1
=13; A
6
~ A I= A2- 9A + 14 =(A- 2)(A- 7)
= 2 und A2 = 7.
=2 bildet man A- 2E =(~
~)
und liest einen EV
v
1
=(~2 ) ab.
Einen EV zu A2 = 7 kann man analog berechnen. Alternativ kann mau auch die Tatsache benutzen, daß bei symmetrischen Matrizen die EV zu verschiedenen EW senkrecht zueinander stehen. Man erhält einen EV zu
A2
=7 als orthogonales Komplement zu v als v2 =vf =(=~) .
Normiert man
1
v1 und 'Ü2 und schreibt sie dann in eine Matrix C, erhält man
Da die Spalten von C ein ONS bilden, ist C eine orthogonale Matrix, also CT =
c- 1. Mit D = ( ~ ~)
hat man die Gleichung
AC=CD.
KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA
110
Diese Gleichung liest man so, wie in Abschnitt 4 beschrieben ist. In C stehen die EV von A. Das Produkt AC ist also spaltenweise das Produkt von A mit seinen EV. Auf der anderen Seite steht das Produkt der Eigenvektormatrix C mit der Diagonalmatrix D. Das ist in Abschnitt 4 bereits als eine Matrix bestimmt worden, deren Spalten aus Vielfachen der Spalten von C besteht, wobei die Faktoren die Diagonalelemente von D sind. Insgesamt bedeutet die Gleichung also "Matrix mal EV = EW mal EV". Aus der Orthogonalität von C erhält man nun
Die vorletzte Gleichung bedeutet nach den in Abschnitt 7 über Basiswechsel gemachten Aussagen, daß die zu A gehörende Abbildung in der Basis, die aus den ortbonarmierten EW von A besteht, eine besonders einfache Gestalt hat, nämlich durch die Diagonalmatrix D gegeben wird. Nach all den theoretischen Erklärungen kann man das auch ausrechnen:
_1J5 (-2 1) (3 2) _1J5 (-2 -1) 1(-4 2) (-2 -1)
CTAC =
5
~
5
-1 -2 1
-7 -14
2 6
-2
1
-2
(100 350) (20 0)7 =
13. Beispiele I Weitere Beispiele zu Definitheit finden sich in Kapitel 4.4, weitere Beispiele zu Eigenwerten und -vektoren in Kapitel 6.12
A läßt sich zerlegen in
A= B
+ 2E =
(
~
-2
-1 2) + (1 00) 0 2
-2 0
2 0 1 0 0 0 1
0
Der schiefsymmetrische Teil B hat rein imaginäre EW ±J.li, und, da die Raumdimension ungerade ist, den EW Null. A hat daher EW der Form ..\ 1,2
= 2 ± J.l
und ..\ 3
= 2.
Diese Vorbemerkung soll als Beispiel für die Verwendung der Rechenregeln für das Spektrum dienen und wird in der folgenden Rechnung nicht benutzt.
111
1.9. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN
CD
Das charakteristische Polynom wird nach der Sarrus-Regel berechnet. 2->.
p(>.) = =
1 -2
-1 2 2- >. -2 2 2- >.
(2 - >.) 3 - 4 + 4 + 4(2- .>.) + (2 - .>.) + 4(2- >.)
(2 - >.? + 9(2- >.) Alternativ ist
=2+2+2 =6, c2 =I ; ~2 1+1 !2 ; 1+1 ~ ~1 I= 8+8+5 =21 detA =8-4+4+8+2+8 =26 und damit p(>.) =-.>. 3 +6>. 2 -21.>.+26
spur A
®
Die EW erhält man durch Faktorisieren von p:
p(>.)
=(2- .>.)((2- >.? + 9)
@ Der EV zu >.3
~ ~1
=
!2).
=>
AI,2
=2 ± 3i, >.3 =2.
2 ist ein nichttrivialer Vektor im Kern von A - 2E =
Statt des Gauß'schen Eliminationsverfahrens benutzen -2 2 0 wir hier den in Abschnitt 5 auf Seite 76 beschriebenen Trick: Der Eigenraum eines einfachen Eigenwerts ist immer eindimensional. Daher hat A- 2E nach der Dimensionsformel (S. 65) den Rang zwei und man erhält eine Basis des Kerns als Kreuzprodukt der (offensichtlich linear unabhängigen) ersten beiden Zeilen: (
Bei der Bestimmung der Eigenvektoren zu den komplexen Eigenwerten spart der Trick noch mehr Rechenarbeit: einen Eigenvektor zu >.I = 2 + 3i erhält man so als
V,~ (~~i) ~~) ~ (~~8~:). X (
Einen Eigenvektor zu >. 2 = >.I = 2 - 3i erhält man, da A eine reelle Matrix ist, durch Konjugieren von VI, also
Bei der Verwendung dieses Tricks wird dringend zu einer Probe geraten!
112
KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA
Beispiel 5: Eigenwerte und-vektorenvon A = (
! 3)
~3
Da es sich um eine obere Dreiecksmatrix handelt, sind die Diagonalelemente die Eigenwerte und es ist >. 1 = >. 2 = -3. ·Die EV erhält man als nichttriviale Lösungen von (A+3E)x = Ö. Wegen A+3E = (
~ ~)
sind alle EV Vielfache von (
~) .
Es ist also v( -3) = 1 und o( -3) = 2 und es gibt HV 2. Stufe. Da der verallgemeinerte Hauptraum die Dimension 2 haben muß, kann es nur der ganze IR2 sein und man wählt als HV irgendeinen
von(~)
Lu. Vektor, z.B. e2 =
Bei,piel 6: Eigenwecte und -vektocen von A
(~)·
~ (~ ~ ~ ~) 0 0 0 1 0 0
Da A symmetrisch ist, sind sicher alle EW reell.
CD
A - >.E wird nach der ersten Spalte entwickelt, die entstehenden Determinanten nach der zweiten Spalte: p(>.)
->.
0
0 1 0
->.
=
->.
= >.21 1
0 1
1 0
->.
0 1 0
0
->.
1 1-1->. 1
->.
@ Es ist also >. 1,2 = 1 und >.3,4 = @ EV
zu>.,,,~
=
1 ->.
->.
->.
0
0 1
->.
1 0
0
->.
I= (>.2 -
1) 1->. 1
0
+ ->. 1
1 0 0
0 1
->.
1 1=(>.2-1)2
->.
-1.
hind Elemente d"' Kem.von A-E
~
(I
il
~I
JJ
Man erkennt, daß die erste und dritte und daß die zweite und vierte Zeile linear abhängig sind und man daher nur die ersten beiden Zeilen betrachten muß. Man kann direkt die EV v1 = (1, 0, 1, O)T und ih = (0, 1, 0, 1)T ablesen. Analog erhält man zwei Lu. EV zu >. 3,4 = -1 als Basis des Kerns von
A+E=
(~
~ ~ ~)
1010 0 1 0 1
alsv3=(1,0,-l,O)Tundv4 =(0,1,0,-1)~
Kapitel 2 Differentialrechnung 2.1
Aussagenlogik
lt. Definitionen I In der Mathematik ist- anders als im richtigen Leben- jede Aussage wahr oder falsch. Dafür verwendet man dieSymbolewund f. Sind zwei Aussagen a und b stets gleichzeitig wahr oder falsch, so heißen sie äquivalent, a {::} b (Bijunktion). Wegen der Verwechselungsgefahr mit Konvergenz und Abbildung werden hier die Schreibweisen {::} und => den alternativen Bezeichnungen +-+ und ~ vorgezogen.
wahr, falsch
Achtung: Aussagen werden durch Folgepfeile oder Äquivalenzzeichen miteinander verbunden, nicht durch Gleichheitszeichen! Eine Aussageform ist eine Aussage, die eine Variable enthält und je nach dem, was für diese Variable eingesetzt wird, wahr oder falsch ist, z.B. ist x > 7 für x = 8 wahr und für x = 7 falsch.
Aussageform
Die Aussage •a (nicht a), ist genau dann wahr, wenn a falsch ist und umgekehrt (Negation, Verneinung). a 1\ b (a und b) ist wahr, wenn beide Aussagen a und b wahr sind (Konjunktion), a V b (a oder b) ist wahr, wenn mindestens eine der Aussagen a und b wahr ist (Disjunktion).
Verknüpfung von Aussagen
Die Folgerung oder Subjunktion a => b (oder a aus einer wahren eine falsche Aussage folgt.
~
b) ist nur dann falsch, wenn
Folgt aus der Aussage a die Aussage b, d.h. gilt a => b, so heißt b notwendig für a und a hinreichend für b. Diese (und andere) Verknüpfungen von Aussagen lassen sich durch Wahrheitswerttabellen definieren, die alle möglichen Kombinationen der Wahrheitswerte enthalten. 113
notwendig, hinreichend
114
KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG
•a al\b avb a=?b a{::}b w w w w f w f f f f w w w f f w w w f f
a b w w w f f w
f f
·b a 1\ •b •(a=?b)
f
f
f
w
w
w
f
f f
f f
w
Mit solchen Tabellen lassen sich auch die Rechenregeln beweisen: z.B. wird in den letzten drei Spalten •( a =? b) {::} (a 1\ •b) bewiesen. Quanteren
3, V
Schreibweisen
Der Quantor 3 bedeutet "es existiert (mindestens) ein", 3x E M: x > 2 bedeutet also, daß die Menge M mindestens ein Element x mit x > 2 enthält. Der Quantor 3! bedeutet "es existiert genau ein". Der Quantor V bedeutet "für alle". Vx E M: x > 2 heißt demnach, daß die Ungleichung x > 2 für alle Elemente x der Menge M gilt. Andere Schreibweisen: \;lx E M ""
V
xEM
Der Zusammenhang zwischen diesen Quantoren ist so gegeben: für eine Aussageform P(x) gilt 3 P(x) {::}--, V •P(x)
xEM
xEM
und
V P(x) {::}--, 3 •P(x)
xEM
xEM
Bei nebeneinanderstehenden gleichen Quantoren darf man die Reihenfolge vertauschen, bei verschiedenen Quantoren nicht.
j2. Widerspruchsbeweis
Berechnungj
Um die Aussage a =? b zu beweisen, kann auch die dazu äquivalente Aussage ·b =? •a gezeigt werden. Dieses Verfahren heißt Widerspruchsbeweis.
IKlammersetzung I Klammersetzung
Am stärksten bindet die Negation •, danach Konjunktion 1\ und Disjunktion V, die untereinander gleichstark sind. Danach kommen Implikation =? und Äquivalenz {::}, die untereinander wiederum gleichstark sind. Als Beispiel derselbe Ausdruck einmal voll geklammert und einmal nur, wo es absolut nötig ist: (•(a {::} b)) {::} ((a 1\ (•b)) V (b 1\ (•a))) •(a {::} b) {::} (a 1\ •b) V (b 1\ •a)
115
2.1. AUSSAGENLOGIK
IRechenregeln I
Rechenregeln
Zur Verdeutlichung werden einige eigentlich unnötige Klammern gesetzt. Absorbtion
al\w{::}a
al\j{::}j
aVw{::}w
aVj{::}a
Kommutativität a 1\ (b 1\ c) {::} (a 1\ b) 1\ c Assoziativität a V (b 1\ c) {::} (a V b) 1\ (a V c) Distributivität a 1\ (b V c) {::} (a 1\ b) V (a 1\ c) Negation de Morgansche Regeln al\b{::}bl\a
IVerneinung von Aussagen mit
aVb{::}bVa
a V (b V c) {::} (a V b) V c
...,(a => b) {::} a 1\ -,b -,(a V b) {::} (...,a) 1\ (-,b)
Quantoren I
@ Sicherheitshalber kann man die Schreibweisen V und 3 verwenden. xEM
CD
xEM
Vor die Aussage wird eine Verneinung ..., gesetzt, hinter jeden Quantor wird eine doppelte Verneinung ...,..., gesetzt.
@ Gemäß den Regeln wird ...,v..., durch 3 und ...,:J..., durch V ersetzt. Die übrigbleibende Verneinung wird gemäß den Logikregeln verarbeitet. Schritt @ hat folgenden Sinn: Bei der Negation der falschen Aussage 3x > 0: x 2 = -1
entsteht ...,3 x
> 0 : ...,..., x 2
= -1,
und nicht ...,3 ...,...,x
> 0 : x 2 = -1.
Die erste (richtige) Form wird zu Vx > 0 : ..., x 2 = -1, ergibt also die wahre Aussage Vx > 0 : x 2 =1- -1. Die zweite (falsche) Form ergibt V x : 0 36 > 0 Vx E M: (lx- al < 6:::} lf(x)- f(a)l
0 xEM
CD
(lx- al < 6:::} lf(x)- f(a)l
0
xEM
6>0
Für die Verneinung von a :::} b gilt: -,( a :::} b) {::} (a 1\ -,b). Damit ergibt sich als Verneinung der Stetigkeit (-, V -,) (..., 3 ...,) (..., V ...,) ..., (lx- al < 6:::} lf(x)- f(a)l < E), also •>0
xEM
6>0
3E > 0 V6 > 0 3x E M: lx- al < 61\ lf(x)- f(a)l 2:: Beispiel 2: Negation von:
CD
f
ist das Supremum der Menge A.
8
Die zu verneinende Aussage ist nach Abschnitt 2 8
{::}
= supA
@ Bei der Negation dieser Aussage wird zunächst die Regel-,(a/\b) {::} -,av-,b benutzt: 8
{::}
=f supA
Jetzt werden die zusätzlichen Negationszeichen eingesetzt: {::}
(..., V ...,..., x :::; xEA
V ...,..., 3 ...,..., x > 8- f) 8) V (..., 0 xEA
@ Die Regeln ..., V..., B 3 und ..., 3..., B V werden angewendet: {::}
( 3 ..., x :::; xEA
3 V ..., x > 8- f) 8) V ( •>OxEA
Die restlichen Negationen werden in den Ungleichheitszeichen verarbeitet: {::}
( 3 x > xEA
3 V x :::; 8- f) 8) V ( •>OxEA
Wenn also 8 nicht das Supremum von A ist, dann ist entweder 8 keine obere Schranke von A (der erste Term) oder 8 ist nicht die kleinste obere Schranke (der zweite Term).
117
2.2. MENGEN
2.2
Mengen
Definitionen I
lt.
• Sind A und B Mengen, so ist die Vereinigung A U B diejenige Menge, die alle Elemente enthält, die entweder in A oder in B (oder in beiden Mengen) liegen.
Vereinigung
• Der Durchschnitt A n B besteht aus denjenigen Elementen, die in beiden Mengen gleichzeitig liegen.
Durchschnitt
• Das Komplement von A wird mit Ac oder CA bezeichnet und enthält alle Elemente der Grundmenge, die nicht in A liege11. Diese Grundmenge muß aus dem Zusammenhang klar sein, z.B. bei Intervallen ist die Grundmenge IR. Oft wird auch das Symbol A verwendet, das aber leicht mit dem Abschluß einer Menge (siehe Kapitel 4.1) verwechselt werden kann.
Komplement
• Das relative Komplement A \B besteht aus allen Elementen von A, die nicht in B liegen. Eine andere übliche Schreibweise ist A - B, eine andere Bezeichnung ist Differenz oder Differenzmenge.
relatives Komplement
• Das Kreuzprodukt A x B ist die Menge aller Paare von Elementen (a, b), wobei a aus A und b aus Bist.
Kreuzprodukt
• Die leere Menge
0 enthält keine Elemente.
leere Menge
• Ist jedes Element von A auch in B, so nennt man A Teilmenge von B,
Teilmenge
A~B.
Das Zeichen A C B wird in verschiedenen Bedeutungen benutzt: manchmal bedeutet es dasselbe wie A ~ B, manchmal daß A eine echte Teilmenge von B ist, d.h. A ist Teilmenge von B, aber von B verschieden. Dafür wird i.a. das Symbol A ~ B benutzt. Zwei Mengen A und B sind gleich, wenn A ~ B und B ~ A ist.
echte Teilmenge
12. Berechnung I Durch formale Definitionen lassen sich Aussagen über Mengen in Begriffe der Aussagenlogik übersetzen: AU
B={xi x E A V x E B}
Ac ={xix Ii A}
AnB={xix E Al\x E B} A\B ={xix
E
Al\x Ii B}
A x B={(x,y)ix E Al\y E B} Der leeren Menge entspricht die falsche, der Grundmenge die wahre Aussage. A ~ B wird übersetzt mit x E A => x E B. Der Gleichheit A = B entspricht XE
A {:}XE B.
Übersetzungstabelle
118
KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG
j Rechenregeln j
AUB=BUA
AnB=BnA
AU (B u C) = (Au B) u C
An (B n C) = (An B) n C
n C) = (Au B) n (Au C) (Au BY = Ac n ßC (A\B) U C = (Au C) n (Be U C)
An (B u C) = (An B) u (An C) (A\B) n C = A\(B U cc)
(A\B)\C = A\(B U C)
A\B =An Be
AU (B
(An
BY =
Ac u
ßC
Die Bezeichnungen sind (zeilenweise) Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz. Die vierte Zeile heißt wieder de Morgansche Regeln. Beweis von Rechen rege In für Mengen
Der Beweis von Rechenregeln für Mengen geht in drei Schritten vor sich:
CD
Übersetzung in Begriffe der Aussagenlogik mit Hilfe der Tabelle
@ Anwendung der Rechenregeln der Aussagenlogik
®
Rückübersetzung
Beispiel 1: (Au B) n C = (An C) U (B n C) Das Distributivgesetz der Mengenlehre wird in @ mit Hilfe des Distributivgesetzes der Aussagenlogik bewiesen.
CD
x E (Au B) nc
{::}
xEAUBAxEC (x E A V x E B) A x E C
@
{::}
(x E A A x E C) V (x E BA x E C)
®
{::}
xEAnCVxEBnC x E (An C) u (B n C)
{::}
{::}
Intervalle
IIntervalle I Intervalle sind Teilmengen von IR, die mit je zwei Zahlen auch alle dazwischenliegenden enthalten.
119
2.2. MENGEN
Schreibweisen ]a, b[ oder (a, b)
[a, b[ oder [a, b) ]a, b] oder (a, b] [a, b]
Definition {x E IR a < x < b} {x E IR a~x a}
Für diese vier Intervalle sind auch (der Reihe nach) folgende Schreibweisen üblich: IR:;;a, IR~a, IRa· Gelegentlich benutzt: IR+ =]0, oo[, IR- =]- oo, 0[. Der Durchschnitt zweier offener Intervalle ist leer oder ein offenes Intervall. Für Ja- 6, a + 6[.
a EIRund 6 > 0 ist die 6-Umgebung U,s(a) das Intervall
6-Umgebung
ITeilmengen von IR I Im folgenden sei M stets eine nichtleere Teilmenge der reellen Zahlen. Viele topalogische Eigenschaften von Mengen wie Rand, Offenheit u. ä. sind auch in Kapitel 4.1 erklärt. Hier sind nur die besonderen Eigenschaften von Mengen in IR erklärt. Eine Menge M c IR ist beschränkt , wenn es zwei Zahlen C 1 und C2 gibt, so daß für jedes X E M die Ungleichung Ct ~ X ~ c2 gilt. Äquivalent damit ist die Existenz einer Zahl C mit lxl ~ C für alle x E M. Diese Formulierung definiert auch Beschänktheit in C. Gilt für alle x E Mx 2:: C 1 bwz. x ~ C2 , so nennt man lvf nach unten bzw. nach oben beschränkt. Ist M C IR nach oben beschränkt, so nennt man jede Zahl C mit x ~ C für alle x E M eine obere Schranke von M. Die kleinste obere Schranke (die in IR stets existiert), heißt sup M, Supremum von M. Analog ist inf M, das Infimum von M als größte untere Schranke einer nach unten beschränkten Menge erklärt. Falls die Menge M ein größtes Element besitzt, so nennt man es Maximum max M, ein kleinstes heißt Minimum min M. Es gilt: • Ist M C IR abgeschlossen und beschränkt, so existieren Maximum und Minimum von M. • Wenn max./11 existiert, dann ist supM • Ist supM E M, so ist maxM
maxM.
= supJ\.1.
• Wenn minM existiert, dann ist inf M • Ist inf M E M, so ist min M
=
= inf M.
=
minM.
beschränkt
Supremum lnfimum Maximum Minimum
KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG
120
•
inf(-A) = -supA
sup( -A) = - inf A
min(-A) = -maxA
max( -A) = - minA Dabei ist -A = {xl - x E A}. • a = sup A gilt genau dann, wenn
i) Vx E A : x :::; a, d.h. a ist obere Schranke von A ii) Vf. > 0 3x E A x > a- f., d.h. a- f. ist keine obere Schranke mehr, egal wie klein man f. auch wählt. • Beim Infimum ist entsprechend: a = inf A genau wenn V x E A : x ;::: a und V f. > 0 3 x E A x < a + f. Der wesentliche Unterschied zwischen den Begriffen Maximum und Minimum einerseits und Supremum und Infimum andererseits ist, daß Maxima und Minima immer zur Menge gehören, Suprema und lnfima i.allg. nicht. Andererseits existieren bei beschränkten Mengen Supremum und Infimum immer, Minimum und Maximum aber nicht.
I
Beispiel 2: M =
{~~ n E N}
Die Menge M besteht aus allen Kehrwerten natürlicher Zahlen, also 1 1 1 1
M
= {1, 2' 3' 4' 5' ... }
Daraus erkennt man max M = sup M = 1 und inf M = 0. Ein Minimum hat M nicht, da das Infimum nicht zur Menge gehört (Null ist ja kein Kehrwert einer natürlichen Zahl).
13. Beispiele I I
Beispiel 3: Beweis von (A\B)\C = A\(B U C)
1. Möglichkeit: Rechenregeln für Mengen
Benutzt werden die Definition und die de Morganschen Regeln:
(A\B)\C = (A\B)ncc = (AnBc)ncc = An(Bcncc) = An(BUC)c = A\(BUC) 2. Möglichkeit: Zurückführung auf Aussagenlogik Hier wird benutzt, daß A = B genau dann gilt, wenn x E A {::} x E B gilt.
x E (A\B)\C {::}
x E (A\B)
{::}
xEA {::}
1\
-,x E B
1\
1\
-,x E C
-,x E C
{::}
XE A 1\ XE (B U C)c
{::}
(x E A 1\ -,x E B)
xEA {::}
1\
1\
-,x E C
-,(x E B V x E C)
XE A\(B U C)
121
2.3. FUNKTIONEN
Funktionen
2.3
IL+2. Definitionen+ Berechnung!
IGrundsätzliches I Eine Funktion f mit Definitionsbereich D (oder !I))) und Wertebereich W (oder W) ist eine Vorschrift, die jedem Element des Definitionsbereichs ein Element des Wertebereichs zuordnet. Wenn man es gerrau nimmt, besteht die Funktion aus den drei TeilenD, Wund f, und zwei Funktionen stimmen nur dann überein, wenn alle drei Teile gleich sind. Ist f(x) = y, so heißt y Wert von f an der Stelle x. Ist C C W, so ist die Menge aller x E D mit f(x) E C das Urbild von C unterfundwird mit f- 1 (C) bezeichnet. Ist f : M --+ N, so gilt f(A
r
1 (A
n B)
n B) =
r
~
f(A)
1 (A)
n f(B)
n j- 1 (B)
j(A U B)
= f(A) U j(B)
f- 1 (A U B)
=
r
1 (A)
U
r
1 (B)
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Funktionen zu beschreiben. Üblich ist die Angabe von Definitions- und Wertebereich und der Abbildungsvorschrift. Oft wird auch nur diese angegeben und der Definitionsbereich ist die größte Teilmenge von IR oder C, auf der dies sinnvoll ist. Eine andere Möglichkeit ist die Beschreibung durch Tabellen, was sinnvoll ist, wenn der Definitionsbereich nur endlich viele Elemente hat. Der Graph der Funktion f : D --+ W ist eine Teilmenge von D x W und besteht aus allen Paaren (x, y) mit x E D und y = f(x). Andere Bezeichnungen: Statt Definitionsbereich sagt man auch Urbildbereich, statt Wertebereich die Bezeichnung Wertevorrat. Gelegentlich versteht man unter Wertebereich auch die Teilmenge von W, die wirklich als Bild eines x E D vorkommt. Andere Bezeichnung dafür: Bild von f oder Bild von D unter f. Manchmal ist der Ausdruck Funktion für reell- oder komplexwertige F\mktionen reserviert und sonst wird Abbildung verwendet (z.B. für vektorwertige F\mktionen). Nimmt man statt des Definitionsbereichs D eine Teilmenge D 1 C D und erklärt man eine Funktion fi : D 1 --+ W so, daß sie für x E D 1 dieselben Werte wie f hat, so nennt man !I Einschränkung von f und f Fortsetzung von !I. Genauso kann man auch den Wertebereich oder beides einschränken. Benutzt werden diese Begriffe bei der Konstruktion und Beschreibung von Umkehrfunktionen (s.u.). z.B. ist f(x) = x 2 als Funktion von IR nach IR weder injektiv noch surjektiv. Schränkt man f auf den Definitionsbereich [0, oo[ und den Wertebereich [0, oo[ ein, so ist die diese Einschränkung bijektiv und hat daher eine Umkehrfunktion
andere Bezeichnungen
KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG
122
. (nämlich yx). Schränkt man f auf den Definitionsbereich ]-oo, 0] ein, erhält man eine andere Umkehrfunktion, nämlich -yx. Bei verschiedenen Einschränkungen des Sinus erhält man die verschiedenen Zweige des Arcussinus. Eigenschaften von Funktionen, die mit Stetigkeit oder Differenzierbarkeit zu tun haben, findet man in den entsprechenden Abschnitten, besondere Eigenschaften komplexer Funktionen im Kapitel über Funktionentheorie (Kap. 7).
IInjektiv, surjektiv, bijektiv I Verknüpfung
injektiv, surjektiv, bijektiv
Ist f : M ~ N und g : N ~ P, so heißt die Funktion g o f : M ~ P mit der Abbildungsvorschrift (g o f)(x) = g(f(x)) Verknüpfung, Komposition, Verkettung oder Hintereinanderausführung von f und g. g o f wird als "g nach f" gelesen und bedeutet eben, daß zuerst f und danach g angewandt wird. Eine Funktion
f :M
~
N heißt
• injektiv, falls für x 1 =I x 2 stets f(xt)
=I f(x 2 )
ist
• surjektiv, falls es für jedes y E N (mindestens) ein x E M gibt mit f(x) = y • bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist. Die Funktion f : M ~ M, die jedes Element von M auf sich selbst abbildet, heißt identische Abbildung oder Identität und wird mit IdM bezeichnet. Inverse
f:
M
~
N sei eine Funktion. Dann heißt eine Funktion g: N
~
M
• Linksinverse zu /, falls g o f = IdM ist, • Rechtsinverse zu • Inverse zu
J, falls f o g = IdN ist,
f, falls g Links- und Rechtsinverse ist.
f heißt dann linksinvertierbar, rechtsinvertierbar oder invertierbar. Die Inverse oder Umkehrfunktion zu
f
wird mit
f- 1 bezeichnet.
Achtung: Bei bekannten Funktionen wie trigonometrischen oder hyperbolischen Funktionen oder deren Umkehrfunktionen bedeuten Exponenten oft etwas ande1- statt arcsinx. res: man schreibt sin 2 x statt (sinx) 2 und sin- 1 x bedeutet -. sm:t Eine Funktion f ist genau dann linksinvertierbar, wenn f injektiv ist, genau dann rechtsinvertierbar, wenn f surjektiv ist, und Invertierbarkeit ist äquivalent zur Bijektivität.
2.3. FUNKTIONEN
123
Diese Eigenschaften lassen sich durch die Anzahl der Lösungen der Gleichung f(x) = y für eine vorgegebenes y beschreiben: Eigenschaften von
f
Lösungen der Gleichung f(x)
f injektiv f linksinvertierbar f surjektiv f rechtsinvertierbar f bijektiv f invertierbar
=
y
eine oder keine eine oder mehrere genau eine
Das bedeutet für eine injektive/ surjektive/ bijektive Funktion von IR nach IR, daß jede Parallele zur x-Achse den Graphen höchstens einmal/ mindestens einmal/ genau einmal schneidet.
h ist injektiv, da kein Element von N Bildzweier Elemente von Mist, aber nicht surjektiv, da y E N nicht Bild eines Elements von M ist. h
ist nicht injektiv, da w E N Bild von a und b ist, aber surjektiv, da jedes Element von N Bild eines Elements von M ist.
Ja ist injektiv (keine zwei Elemente von
M haben dasselbe Bild) und surjektiv (jedes Element von N kommt als Bild vor). h ist damit bijektiv.
!4
ist weder injektiv (w E N ist Bild von a und b) noch surjektiv (x E N kommt nicht als Bild vor).
f 5 ist keine Funktion, da c E
M zwei Bilder hat.
IBerechnung der Inversen I f : M-+ J-l so: Ist
N eine invertierbare Funktion, so berechnet man die Umkehrfunktion
Berechnung der Inversen
KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG
124
CD
Vertausche in y
= f(x)
die Variablen x und y: x
= f(y).
@ Man löst diese Gleichung nach y auf und erhält y = 9(x). Dann ist 9 = f- 1, der Definitionsbereich von 9 ist das Bild von fundder Definitionsbereich von f ist das Bild von 9·
Dem Verfahren zur Inversion reeller Funktionen entspricht die Konstruktion des Graphen der Umkehrfunktion: Der Graph der Umkehrfunktion zu f entsteht aus dem Graphen von f durch Spiegeln an der 1. Winkelhalbierenden.
Beispiel 2: f(x)
=
x- 32 X-
Der Definitions hereich von
CD
f ist IR\ { 3}.
y - -2 . . t a lso x = .. Au f zu1osen 1s y- 3
@ Multiplikation mit dem Nenner gibt xy- 3x = y- 2, also y(x -1) = 3x- 2. Damit hat die Umkehrfunktion die Gestalt 9(x)
=
f- 1 (x)
=
Definitionsbereich IR\ { 1} ist gleichzeitig der Wertebereich von
Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems
3x- 2 . Der
x-1
f.
Bei mehreren Variablen x 1 bis Xk und y 1 bis Yk geht man analog vor. Dabei ist in der Regel ein (nichtlineares) Gleichungssystem mit n Gleichungen für die n Unbekannten y 1 bis Yn zu lösen. Die folgende Anleitung kann nur als Richtschnur dienen, da es kein allgemeines Verfahren zur Auflösung nichtlinearer Gleichungen gibt. Wenn das gegebene Gleichungssystem linear ist, löst man es leichter mit den in Kapitel 1.5 angegebenen Rechen verfahren.
CD
In den Gleichungen Yl = xk und Yk vertauscht.
h (x1, ... , Xn)
bis Yn = fn(xl, ... , Xn) werden die
@ Man nimmt eine Gleichung heraus und löst sie nach einem Yi auf. @ Man setzt diese
Yi in die restlichen Gleichungen ein und erhält n - 1 Gleichungen für die restlichen n- 1 Unbekannten Yk·
125
2.3. FUNKTIONEN
G) Schritte ® und @ werden wiederholt, bis nur noch eine Gleichung übrig ist, die nach dem letzten Yk aufgelöst wird.
@ Jetzt werden die Lösungen rückwärts in die aufgelösten Gleichungen eingesetzt, bis man alle Lösungen erhält.
In Koordinaten heißt die FUnktion also
CD
Nachdem man die Xk und die Yk vertauscht hat, bleibt folgendes Gleichungssystem nach y 1 bis y 3 aufzulösen: Y1 X2 = - , Y2
® ®
Die zweite Gleichung läßt sich gut nach y1 auflösen:
Y1 = x 2 y2 .
Wenn man dies in die erste und dritte Gleichung einsetzt, erhält man zwei Gleichungen, die nur noch y 2 und y 3 enthalten: Xl
X2
Y~
= --, Y3
®
Die zweite dieser Gleichungen wird nach
®
x2 y4 In der ersten Gleichung steht dann nur noch y 2 : x 1 = ...1.....1..
aufgelöst:
Y3
=
x32. X2 Y2
X3
Diese Gleichung wird nach Y2 aufgelöst: des Definitionsbereichs von Wurzeln zu nehmen.
®
Y3
f sind hier (und im weiteren) nur die positiven
• (t\l\ In v er häl· t man y3: Y3 emgesetzt
In
Yi = xx21 ~3 , also Y2 = 1xx21 ~3 . Wegen
X3- = =2 X X2 Y2
® erhält man schließlich Y1: Y1 =
x2 Y2 =
-.
2
ff;3 X3 ~::::;: Xl Xt :Z:l :Z:2
\jx1 x~ x3.
Damit ist die Umkehrfunktion f- 1 (x 1 , x 2 , x 3 ) = ( \jx 1 x~ x 3 , 1x1 ~ 3 , x2
{§,). VX1
Gleichzeitig haben wir ausgerechnet, daß der Bildbereich von f ganz JR+ x JR+ x JR+ ist, da dies offensichtlich der Definitionsbereich der Umkehrung ist.
126
Monotonie
KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG
IMonotonie I Sind M und N Teilmengen von IR, so heißt
f :M
-t
N
• monoton steigend, falls aus x 1 < x 2 immer f(xl) ~ j(x2) folgt, • streng monoton steigend, falls aus x 1 < x2 immer j(x1)
< j(x2)
folgt,
• monoton fallend, falls aus x 1 < x 2 immer f(xl) ~ j(x2) folgt, • streng monoton fallend, falls aus x 1 < x2 immer f(x 1) > j(x2) folgt. Statt monoton steigend sagt man auch nichtfallend, statt monoton fallend auch nichtsteigend, statt steigend auch wachsend. Streng monotone Funktionen sind injektiv. Ist I C IR ein Intervall und f : I -t IR stetig und injektiv, so ist f streng monoton. Zusammenhang mit der Ableitung: Ist f eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall I, so gilt
• • • •
f'(x) > 0 für alle f' (x) ~ 0 für alle f'(x) < 0 für alle f'(x) ~ 0 für alle
x x x x
=> f streng monoton steigend E I {:> f monoton steigend E I => f streng monoton fallend E I
EI
{:>
f monoton fallend
13. Beispiele I Beispiel 4: Eine Linksinverse zu 1 auf Seite 123 Berechnung einer Linksinversen
11 und eine Rechtsinverse zu h aus Beispiel
Bei der Berechnung einer Linksinversen geht man so vor: Eine Linksinverse 9 einer injektiven Funktion 9
f :M
-t
N ist gegeben durch
(x) = { y falls f(y) = x ist Yo sonst
y0 ist dabei ein beliebiges Element von M. Die Injektivität von f sichert dabei gerade, daß die Gleichung f(y) x höchstens eine Lösung y hat.
=
x für jedes
Anschaulich bedeutet das, daß man alle Zuordnungspfeile umdreht und die übrigbleibenden Elemente von N auf irgendein Element von M abbildet.
II: I!
11 wird durch folgende Tabelle beschrieben: 11 I~ Eine Linksinverse 9 1 von 11 läßt sich also durch die folgende Tabelle beschreiben
(u)
(mit Yo = a):
u
91 (u)
I wa I xb I ay I zc
2.3. FUNKTIONEN
127
Bei der Berechnung einer Rechtsinversen geht man so vor: Eine Rechtsinverse g einer surjektiven Funktion f : M -+ N ist so gegeben: zu x E N nimmt man irgendein y E M mit f(y) = x und definiert g(x) := y. Die Surjektivität von f sichert dabei gerade, daß die Gleichung f(y) = x für jedes x immer mindestens eine Lösung y hat. Anschaulich bedeutet das, daß man von jedem Element von N aus irgendeinen dort ankommenden Pfeil umdreht.
h wird durch folgende Tabelle beschrieben: -...,..u("')--it----+-+-+-91
Eine Rechtsinverse 92 von
h
U
2
/ X
X
y
enthält man also z.B. durch die Tabelle
Beöspiel 5, Bestimmung d"' lnve<sen von f(x)
y
W
~
X X< -1 2x 2 -1 ~ x < 0 { -x 4 0 ~ x ~ 1 x+1 x>1
Hier ist man ohne eine Skizze verloren. Man erkennt, daß jede Parallele zur x-Achse den Graphen der Funktion in genau einem Punkt schneidet. Daher ist f bijektiv und man kann direkt die Umkehrfunktion angeben. Dazu notiert man in einer Tabelle die verschiedenen Definitionsbereiche der Teile von f und kontrolliert gleichzeitig, daß sich der Wertevorrat IR aus den einzelnen Wertebereichen zusammensetzt. J-1
li»
f
w
JI»1 =]- oo, -1[
X
w1 =l- oo, -1[
X
JI»2 = [-1,0[
2x 2
w2 =J0,2J
-~
ll»a = [0, 1]
-x4
Wa = [-1,0]
Fx
Jl»4 =]1, oo[
x-1
x+1 w4 =]2,oo[
Daraus liest man die Form von f- 1 ab: f- 1 (x) =
{
X
X
A(n + 2). Dann hat man im Induktionsanfang zwei Aussagen direkt zu beweisen, also z.B. A(1) und A(2), um die Aussage für alle n E N zu beweisen. Diesen Induktionstyp findet man in Beispiel 4 und in Kapitel 6.10 in Beispiel 5.
vollständige Induktion
KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG
130
IRechenschema I Rechenschema
Als Hilfe kann man folgendes Rechenschema verwenden, das für den Standardfall aufgeschrieben und in anderen Fällen entsprechend abzuändern ist: 1. Induktionsanfang n = 1 zu zeigen: < hier steht A(1) > Beweis: < hier steht der Beweis von A(1) >
2. Induktionsschritt A(n) => A(n + 1) Voraussetzung: < hier steht A(n) > zu zeigen: < hier steht A(n + 1) > Beweis: < hier wird A(n + 1) unter Verwendung von A(n) bewiesen> Dabei erhält man A(1), indem man in der allgemeinen Aussage A(n) jedes n durch 1 ersetzt, A(n + 1) durch Ersatz von n durch n + 1. Im Zweifelsfall nimmt man lieber (n + 1) statt n + 1. Strategie
Oft ist es eine gute Strategie, die Aussage A(n + 1) umzuformen, bis man A(n) erhält. Wenn dann alle Umformungen Äquivalenzumformungen waren, hat man den Beweis erbracht. Das Beweisende kann man durch ein Symbol wie \\ oder 0 kennzeichnen.
I Beispiel 1: L k = 3 L k 2n
n
k=n
k=1
Im ersten Schritt, dem lnduktionsanfang, werden einfach beide Seiten der zu beweisenden Gleichung ausgewertet. 1. Induktionsanfang n = 1
Beweis:
2
1
k=1
k=1
L k = 3L k
zu zeigen: 2
1
k=1
k=1
L k = 1+ 2= 3 = 3L k
0
Im Induktionsschritt kann man ohne Probleme nach der "Grundtaktik" rechnen: 2. Induktionsschritt A(n) => A(n + 1) 2n
Voraussetzung:
L
n
k= 3
k=n
2n+2
zu zeigen:
L
k=n+1
L k=l
n+1
k= 3
L
k=1
k
k
131
2.4. VOLLSTÄNDIGE INDUKTION n+l
2n+2
Beweis:
I:
3I:k
=
k
k=l
k=n+l
(Bekannte Teile werden abgespalten)
E,
k- n + (2n + 1) + (2n + 2)
3
(~ k + (n + 1))
(Die Induktionsvoraussetzung wird benutzt) -n + (2n + 1) + (2n + 2)
3n+3
3(n + 1) 3n+3
=
0
Bei dieser Rechnung ist es leicht: A(n + 1) wird äquivalent umgeformt, bis man A(n) benutzen kann. Im nächsten Beispiel sind die Aussagen nicht äquivalent, sondern es ist nur die Schlußrichtung A(n) => A(n + 1) möglich. Das ist oft bei Beweisen von Ungleichungen der Fall.
t:
A(n + 1) 1 n 1 k2 < 2 Voraussetzung:
n
L
n+l
zu zeigen:
1
k=l
1
L- < 2 -n-+-1 k=l k2 n+l
L
Beweis:
1 k2
k=l
1
< 2- n+ 1
Man versucht, auf beiden Seiten etwas Bekanntes zu erzeugen: n
1
~-+ (n k2
ti
1
+ 1)2
1
1
1
0 I. und IV. Quadrant a
cp=
2 b arctan- + 7r a
1r
a
positive imaginäre Achse
a < 0, b ~ 0
II. Quadrant
a = O,b
2
b arctan--
a = 0, b > 0
1r
a
O,b
~
0
I. Quadrant
a = O,b > 0
positive imaginäre Achse
a O,b < 0
IV. Quadrant
= 1,
e(2k+1)11"i
= _ 1,
Das sind gleichzeitig alle Möglichkeiten, 1 und -1 in Eulerform zu schreiben. Rein imaginäre Zahlen (Zahlen mit Realteil Null) haben die Form z = re(k+lf2)".; mit k E Z.
2.5. KOMPLEXE ZAHLEN
137
Beispiel!: Trigonometrische und Eulerform von z1 = v'3+i, z2 = Z3 = -/3- i und Z4 = v'3- i,. I. Quadrant II. Quadrant
Z3
=
-/3- i
-/3+i,
Zt
=
/3 + i
Z4
=
/3- i
IV. Quadrant
III. Quadrant
Als erstes wird Zt = v'3 + i in der Form Zt = r 1ei'Pt = r 1 ( cos cp 1 + i sin cpt) geschrieben: es ist r 1 = J3+1 = 2. Der Winkelläßt sich auf mehrere Arten aus der Gleichung v'3 + i = 2( cos cp + i sin cp) bestimmen: • Aus der Tabelle: da z1 im ersten Quadranten liegt, ist 1P1
= arctan ~ = ~ v3
6
• Der Vergleich der Realteile ergibt v'3 = r cos cp 1 = 2 cos cp 1. Daher ist und für cp 1 kommen die beiden Werte ±~ in Frage. Da z 1 cos cp 1 = im ersten Quadranten liegt, muß IPt = ~ sein.
Yf
Das geht mit dem Imaginärteil natürlich analog.
!.
• Man vergleicht außer den Real- auch die Imaginärteile und erhält sin cp = Daher kommen hier die Winkel ~ und 5; in Frage. Der einzige gemeinsame Winkel für Real- und Imaginärteil ist cp 1 = ~. Das geht immer: Für z =F 0 legen die Gleichungen Re z = r cos cp und Im z = r sin cp den Winkel eindeutig fest. Damit hat man die Darstellung z1 =
v'3 + i = 2( cos ~ + i sin ~) = 2ei"/s.
Für die anderen drei Zahlen erhält man genauso r 2 = r 3
cp 2
-1
arctan -
v'3 1
cp3
arctan -
cp4 =
-1 arctan-
v'3 /3
+ 1r = -
7r
--
6
+ 1r =
= - -
6
7r
= --
6
57r
-
6
57r
7r
1r
= r4 = 2 und
1r
= --
6
KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG
138
Grundrechenarten
12. Grundrechenarten I Bei den Grundrechenarten wird i wie eine Konstante behandelt. Beim Dividieren wird der Bruch zunächst mit der konjugierten Zahl des Nenners erweitert. Dann ist der Nenner reell, und man kann Real- und Imaginärteil des Zählers einzeln dividieren.
(a+ib)
+ (c+id) =
(a+c)+i(b+d),
(a + ib) · (c + id)
=
(a+ib)- (c+id) = (a-c)+i(b-d)
ac + i(bc + ad) + i 2 bd
=
(ac- bd)
(ac + bd) + i(bc- ad)
(a + ib)(c- id) a+ib = (c + id)(c- id) c+ id
+ i(bc + ad)
ac + bd
= c2+d2
. bc - ad
+ zc2+d2
Sind die Zahlen in Eulerform gegeben, lassen sie sich i.allg. nur nach Umwandlung in die kartesische Form addieren oder subtrahieren. Für die Multiplikation und Division verwendet man ganz formal die Rechenregeln für Potenzen:
Danach muß man eventuell den Winkel um ±2?T verändern, damit er wieder im Bereich) - ?T, 1r)liegt. Beispiel 2: Für z = -5 + 10i und w = 1 + 2i berechne man z zw und.:_,
+ w,
z - w,
w
z+w z-w zw z w
Kontrolle
( -5 + 10i) + (1 + 2i) = -4 + 12i ( -5 + 10i) - (1 + 2i) = -6 +Bi ( -5 + lOi) · (1 + 2i) = -5- 20 + i( -10 + 10) = -25 + Oi = -25 -5 + 10i ( -5 + 10i)(1- 2i) -5 + 20 + i(lO + 10) . 1 + 2i = (1 + 2i)(1- 2i) = 1+4 = 3 + 4z.
Kontrolle: Wenn beim Dividieren der Nenner nach dem Erweitern mit reell und positiv ist, hat man sich sicher verrechnet. Beispiel 3: Berechnen Sie für z 1 = J3 + i und z2 = Quotient in der Eulerform.
-J3 + i
Nach I3eispiel1 ist z1 = 2eifi und z2 = 2e~i. Damit ist 'Ir.
571'.
.
z 1 z 2 = 2 e6' 2 es'= 4e".. = -4 und
'iiJ
nicht
Produkt und
2.5. KOMPLEXE ZAHLEN
z
2eii 2 eT'
- 1 = ----s;;-: = e Z2
139
_2"i T
-21r 3
.. -21r 3
1 2
.J3.
= cos - - + zsm-- = --- -z. 2
13. Konjugation, Real- und Imaginärteil I Ist z
= a + ib = rei'P = r( cos
0 stets positiv und für a < 0 stets negativ. • Im Fall reeller Nullstellen x 1 ~ x 2 ist dann ax 2 + bx + c = a(x- xt)(x- x2).
+
+ Xt
X2
Vorzeichenverteilung für a > 0. Für x 1 = x 2 wird das mittlere Intervall zu einem Punkt.
• Aus der Skizze liest man die Lösungsmenge ab. Für"~" und "2':" gehören die Randpunkte dazu, für"" nicht.
13. Quadrieren I BeiBeträgen hat man auch die Möglichkeit, diese durch Quadrieren zu entfernen (wegen lxl 2 = x 2 ). Das ist nur in wenigen Fällen günstig, da dabei der Grad der vorkommenden Polynome schnell ansteigt, vgl. Beispiel 7.
Quadrieren
152
KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG
13. Beispiele I Beispiel 3: lx 2
3x + 21 < 2
-
y
y=2
.....................
1
2
3
X
Die Skizze zeigt den Graphen von f(x) = lx 2 - 3x + 21. Aufgabe ist es, diejenigen x zu bestimmen, für die der Graph von f unter der Geraden y = 2 liegt.
Zur Fallunterscheidung benutzt man x 2 - 3x + 2 = (x- 1)(x- 2). In ID>1 = IR\]1, 2(=]-oo, 1] U (2, oo( wird also der Betrag einfach weggelassen, in ID>2 =]1, 2( kommt ein Minuszeichen dazu. In ID>1 ist lx 2 - 3x + 21 < 2 ist IL1 =]0, 3(.
{::}
x 2 - 3x + 2 < 2
{::}
x(x - 3) < 0. Damit
In ID>2 ist lx 2 - 3x + 21 < 2 {::} -(x 2 - 3x + 2) < 2 {::} Da x 2 - 3x + 4 keine reellen Nullstellen hat, ist IL2 = IR.
x 2 - 3x + 4 > 0.
Insgesamt ist
lL
(1-oo, 1] n ]0, 3[) u (11, 2( n IR) u ([2, oo( n ]0, 3[) = ]O,l]U]1,2(U(2,3( = ]0,3(.
Beispiel 4: Gesucht ist {z E C jlz- 11 < lz + il}.
JL Möglichkeit: Zerlegung in x + iy J
lz -11 < lz+il
{::} {::} {::}
{::}
l(x+iy) -11 < l(x+iy) +il
j(x-1)2+y2<Jx2+(y+1) 2 x 2 - 2x + 1 + y2 < x 2 + y2 + 2y + 1 -x < y {::} y > -x.
Es handelt sich also um den Teil der komplexen Ebene, der oberhalb der Geraden y = -x liegt.
153
2.6. UNGLEICHUNGEN UND BETRAG
j2. Möglichkeit: Geometrische Überlegung
I
Bei so einfach gebauten Aufgaben läßt sich die Lösung auch geometrisch ermitteln: Die Lösungsmenge besteht aus allen z E C, die näher an 1 als an -i liegen. Die Punkte, die von beiden denselben Abstand haben, liegen auf der Mittelsenkrechten der Verbindungsstrecke. Der Skizze entnimmt man, daß es sich dabei um die Ge1 rade y = -x handelt. Die gesuchte Menge ist also ll II die Hälfte der Ebene oberhalb dieser Geraden. Beispiel 5: lx - 11 + lx- 21 + lx - 31
< 12
Die kritischen Punkte sind x = 1, x = 2 und x = 3. Daher wird IR in vier Teile geteilt:
2
1
0
3
Dabei ist ID>1 =] - oo, 1], ID>2 = (1, 2], ID>3 = (2, 3] und ID>4 = (3, oo(. Die Punkte x 1 = 1, x 2 = 2 und x 3 = 3 sind doppelt definiert. Das macht nichts aus, da der Betrag sich auch als lxl
={
~x ~ ~ ~
definieren läßt. In der nachfolgenden
Rechnung hat man den Vorteil, daß man nicht mehr darauf achtgeben muß, ob die Intervallgrenzen zur Menge gehören oder nicht. Mit A(x) := lx- 11 + lx- 21 + lx- 31 berechnet man
I
lx- 11
I
lx- 21
I lx- 31 I
A(x)
I
IL; n ID>; I
L;
ID>1 =]-oo, 1( -(x- 1) -(x- 2) -(x- 3)
-3x+6
X~
-2
(-2, 1]
-(x- 2) -(x- 3)
-x+4
X~
-8
(1, 2]
X :::;
12
(2, 3]
x::;6
(3, 6]
ß))2 = (1, 2]
x-1
ß))3 = (2, 3]
x-1
x-2
-(x- 3)
X
ID>4 = (3, oo(
x-1
x-2
x-3
3x- 6
Die Gesamtlösungsmenge ist die Vereinigung von L 1n ID>1 bis L4 n ID>4: L
I Beispiel 6: {(x, I(x + y)
2
y2
-
= (- 2, 6].
4)(x- y) < 0}
Die linke Seite dieser Ungleichung ist das Produkt zweier Faktoren. Ein Punkt (x, y) E IR2 gehört zur Lösung, wenn genau ein Faktor negativ ist, oder einer der Faktoren Null ist.
KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG
154
Der Faktor x 2 + y 2 - 4 wird Null auf einem Kreis mit Radius 2 um den Ursprung und ist negativ im Inneren. Der Faktor x- y ist Null auf der ersten Winkelhalbierenden und negativ darüber.
Die Lösungsmenge entnimmt man der Skizze, sie besteht aus den Gebieten I und IV inklusiv Rand.
Beispiel 7:
l~l
> v'4- x 2
Die Ungleichung ist definiert für x sind, darf man Quadrieren:
=f. 0 und 4
x E (-2, 2]. Da beide Seiten positiv 2
2X >4-x. Mit z = x 2 > 0 rechnet man weiter:
4 > 4z - z2 Diese Gleichung ist für z Lösungsmenge
z 2 - 4z + 4 > 0
{::}
=f.
2
{::}
x
{::}
=f. ±J2
(z - 2) 2 > 0. stets erfüllt. Damit ist die
n:.. = (-2, 2]\{-V2,o, V2} = (-2,-v'2(u]-V2,o(u]o, V2(u]V2, 2].
Beispiel 8: Nachzuweisen ist: für
X
> 0 ist
ex
> 1 +X
Für x = 0 ist ex = 1 = 1 + x. Die Differenz ex - (1 + x) hat die Ableitung ex - 1 ~ 0 für x ~ 0 und steigt daher monoton. Daher ist die Differenz stets positiv, und die Ungleichung ist für x
~
0 erfüllt.
2.7. FOLGEN
2.7
155
Folgen
11. Definitionen I Gibt es zu einer {reellen) Folge (an) eine Zahl a, so daß sich die Zahlen an dieser Zahl immer mehr annähern, so schreibt man lim an = a. n-+oo a heißt Grenzwert oder Limes der Folge . Mathematisch exakter ist diese Formulierung: zu jeder positiven (noch so kleinen) Zahl f findet man ein no {das i.allg. von f abhängt), so daß für allen~ n 0 stets der Abstand von an zu a kleiner als dieses f ist, oder, was in IR dasselbe ist, daß an zwischen a- f und a +fliegt. Mit Quantaren aufgeschrieben heißt das lim an= a an -t a n-+oo Eine reelle Folge (an) heißt
Limes Grenzwert f-n 0 -Kriterium
'r/f > 0 3no E N Vn ~ no: lan- al < f
• konvergent, wenn lim an existiert, n-+oo • divergent, wenn n-+oo lim an nicht existiert, • Nullfolge, wenn n-+oo lim an= 0 ist, • beschränkt, wenn es Zahlen Ct und C2 gibt, so daß stets C1 ::; an ::; C 2 ist, oder gleichbedeutend damit: Es gibt eine (positive) Zahl C, so daß immer I an 1::; C ist. Konvergente Folgen sind stets beschränkt. • unbeschränkt, falls (an) nicht beschränkt ist. Unbeschränkte Folgen sind stets divergent. • monoton wachsend, wenn stets an ::; an+t ist, • streng monoton wachsend, wenn stets an < an+t ist, • monoton fallend, wenn stets an
Folgen Sie mir unauffällig!
~
an+l ist,
• streng monoton fallend, wenn stets an > an+l ist, • monoton, wenn die Folge monoton wachsend oder monoton fallend ist, • alternierend, wenn die Vorzeichen der Folgenglieder abwechseln. • bestimmt divergent oder uneigentlich konvergent, wenn lim an = oo oder n-+oo lim an = -oo ist. Dabei bedeutet lim an = oo, daß die Werte der Folge n-+oo n-+oo "immer größer" werden, d.h. es gibt zu jeder (noch so großen) reellen Zahl !11 ein no, so daß für allen ~ n 0 stets an größer als M ist. Mit Quantaren aufgeschrieben: liman=OO {::> an-tOO {::> n-+oo lim an = -oo ist analog definiert. n-+oo
VMEIR3noENVn~no: an~M
Eigenschaften von Folgen
KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG
156 komplexe Folgen
Für komplexe Folgen werden die Begriffe konvergent, divergent und Nullfolge genauso erklärt. Eine komplexe Folge ist beschränkt, falls die (reelle) Folge der Beträge beschränkt ist, oder äquivalent dazu, daß die Folge der Realteile und die der Imaginärteile beschränkt ist. Werden von einer Folge beliebig viele Glieder weggelassen (aber nur so viele, daß noch unendlich viele übrigbleiben), so erhält man eine Teilfolge.
Häufungspunkt
Limes superior Limes inferior
Landausehen Symbole 0 und o
a ist Häufungspunkt der Folge (an), wenn in jeder Umgebung von a unendlich viele Folgenglieder liegen. Das ist äquivalent damit, daß a Limes einer Teilfolge (ank) von (an) ist. Ist (an) eine beschränkte Folge, so heißt der größte Häufungspunkt Limes Superior oder oberer Limes, lim sup an oder lim an. Der kleinste Häufungspunkt ist der n-too n--too Limes inferior oder unterer Limes lim inf an oder lim an. n-too
n--too
Um das Verhalten einer Folge (an) durch eine Vergleichsfolge (bn) zu charakterisieren, benutzt man die Landausehen Symbole 0 und o.
b:
a
ist beschränkt für n ~ oo
b: ~ 0 für
a
n ~ oo
(lies: groß-oh bzw. klein-oh). Anschaulich bedeutet das, daß im 0-Falllanlnicht schneller wächst als lbnl bzw., falls bn Nullfolge ist, daß an mindestens so schnell gegen null geht wie bn. Z.B. ist 2n3 + n = O(n 3 ). Im o-Fall wächst Ian I langsamer als lbnl bzw. geht schneller gegen null. Insbesondere ist beim Vergleich mit der konstanten Folge bn = 1
an= 0(1) an= o(1)
(an) ist beschränkte Folge, (an) ist Nullfolge.
Der Vorteil der Landausehen Symbole ist, daß man genausogut mit jeder anderen konstanten Folge bn = c, c ~ 0, vergleichen könnte, da es nicht auf den genauen Wert, sondern nur auf die Wachstumsordnung ankommt. In dieser Schreibweise liest man den Vergleich der Folgen auf Seite 159 als 1 = o(ln n),
ln n = o(n"),
n" = o(qn),
qn = o(nn)
12. Berechnung I Rechenregeln
11. Rechnen mit Grenzwerten I Ist lim an n-too
=
a, lim bn n-+oo
=
lim (an± bn) = a ± b,
n-+oo
b, so ist lim (can) = ca,
n-+oo
lim (anbn) = ab,
n-+oo
lim an = ~. bn b
n-+oo
2.7. FOLGEN
157
Die letzte Gleichung gilt natürlich nur für b =/; 0. Ist f eine Funktion und an ---+ a, so gilt Ihn f(an) = f(a) genau dann, wenn f n-+oo bei a stetig ist. Achtung! Die Regeln für die Summe und das Produkt von Folgen gelten für eine feste endliche Anzahl von Summanden bzw. Faktoren. Folgende Rechnungen sind falsch! 1 1 1 1=-+-+···+----+0+0+···+0=0 n n n ......______.,_ n Summanden n Summanden
Typische Fehler
Der Fehler liegt darin, daß man in einem Grenzwert alle n gleichzeitig gegen unendlich gehen lassen muß. lim (1 + ..!:.) lim (1 + ..!:.) lim (1 + ..!:.) n n = n-+oo n ·n-+oo n
n-+oo
· · · n-+oo Ihn (1 + ..!:.) n = 1·1·1 · · · 1 = 1
Die hier im ersten Schritt verwendete Regel, eine beliebige (von n abhängende) Anzahl von Limiten auseinanderzuziehen, gibt es nicht. Der richtige Grenzwert ist e = 2.71 ... Beispiel 1: lim
n-+oo
lim
n-+oo
(..!:. + 4 cos _!_2 ) n
n
(..!:. + 4cos _!_2 ) = Ihn . !:. + 4 lim cos _!_2 = 0 + 4cos lim _!_2 = 4cos0 = 4 n
n
n-+oo
n
n-+oo
n
n-+oo
n
Dabei wurde benutzt, daß alle einzelnen Limiten existieren, und daß Cosinus bei 0 = n~oo lim ~ stetig ist. In der Regel wird eine Grenzwertberechnung nicht in so n kleine Schritte aufgespalten. Es ist aber wichtig, daß man sich im Zweifelsfall über die verwendeten Methoden im Klaren ist.
IEigenschaften der Summe der Folgen (an) und (bn) • (an), (bn) konvergent :::} (an+ bn) konvergent. • (an) konvergent, (bn) divergent :::} (an+ bn) divergent. • (an) beschränkt, (bn) beschränkt :::} (an+ bn) beschränkt. • (an) beschränkt, (bn) unbeschränkt :::} (an+ bn) unbeschränkt. Man beachte dabei, daß konvergente Folgen beschränkt sind. Über andere Summen kann man keine Aussage machen, z.B. kann die Summezweier unbeschränkter Folgen konvergent (und damit beschränkt) sein.
FALSCH!!
KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG
158
I Beispiel 2: Die Summen von (an)= (e-n), (bn) = (( -1)n) und (cn) = {en). I (an) ist konvergent und damit beschränkt, (bn) ist beschränkt und divergent, (cn) ist unbeschränkt. Damit ist (an+ bn) = (e-n + ( -1)n) beschränkt und divergent, (an+ Cn) = (e-n + en) und (bn + Cn) = (( -1)n + en) sind unbeschränkt.
IEigenschaften des Produkts der Folgen (an) und (bn) I Produkte von Folgen
• (an) Nullfolge, (bn) beschränkt =? (anbn) Nullfolge. • (an) konvergent, (bn) beschränkt =? (anbn) beschränkt. • (an) konvergent, (bn) konvergent =? (anbn) konvergent. • (an) konvergent gegen a =f 0, (bn) divergent =? (anbn) divergent.
Man beachte, daß konvergente Folgen stets beschränkt sind. Über die restlichen Produkte lassen sich keine Aussagen machen, vgl. das folgende Beispiel.
I Beispiel 3: an=~~ bn = cos ~~ Cn = cosmr. (an) ist Nullfolge, (bn) hat den Grenzwert 1 und (cn) ist divergent, aber beschränkt, da die Werte von Cn = ( -1)n sind. Damit sind (an· bn) = (~ cos ~)und (an · cn) = ( (-~ln) Nullfolgen und (bn · Cn) = ( -1 )n cos ~ divergiert. Das Produkt (cn · cn) ist ein Beispiel dafür, daß das Produkt divergenter Folgen auch konvergieren kann: Cn · Cn = (-1) 2n = 1. Cn • Cn hat also stets den Wert 1, und damit ist auch der Grenzwert 1.
Uneigentliche Grenzwerte
12. Uneigentliche Grenzwerte j Für reelle Folgen (an) gilt:
an
~
-oo
an < 0 für n
~
1 n 0 und an
~
0
Für komplexe Folgen (zn) gilt: 1
.
-~OmC Zn
1
jZJ ~ 0
Bei der Addition reeller Folgen mit uneigentlichen Grenzwerten ±oo gelten diese Regeln:
2.7. FOLGEN
159
IEigenschaften der Summe der Folgen (an)
und (bn)
I
• (an) beschränkt, (bn) beschränkt ::} (an+ bn) beschränkt.
• (an) beschränkt, (bn) -+ -oo ::} (an+ bn) -+ -oo.
Für komplexe Folgen kann man über die Summe zweier Folgen mit Grenzwert oo nichts aussagen. Man kann aber versuchen, die Real- und Imaginärteile getrennt zu untersuchen.
I Beispiel 4: an = in, bn = -in+ ~, Cn = -in + in Alle drei Folgen sind unbeschränkt und in C gegen oo uneigentlich konvergent. (an+bn) =(~)konvergiert gegen null, (an+cn) =in ist beschränkt und divergent, (bn + cn) = ( -2in +in+~) ist gegen oo (uneigentlich) konvergent.
3. Hilfsmittel Bernoullische Ungleichung: Für x
~
-1 und n E N ist
I(1 + x)n ~ 1 + nx.l Vergleich von Folgen In der Tabelle gehen weiter rechts stehende Folgen schneller gegen oo:
1
In n
n 01 (a>O)
qn (q > 1)
Bernoullische Ungleichung Vergleich von Folgen
n!
Das bedeutet, daß z.B. lim In n = 0 ist. n-too
Bekannte Grenzwerte
ifä-+ 1 (a > 0)
nOt
Bekannte Grenzwerte
KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG
160
Stirlingformel
Stirlingformel:
n!~~(~f Das bedeutet, daß der Quotient der beiden Terme gegen eins geht. Die Differenz geht gegen oo. Genauer gilt .-----------------~-------.
(~f ~ ~n! ~ (~)n ~·e~
14. Rekursive Folgen I Rekursive Folgen
Von einer rekursiv definierten Folge spricht man, wenn sich jedes Folgenglied durch die davorliegenden Glieder berechnen läßt: (Rekursionsformel) In der Regel sind die ersten Glieder vorgegeben. Oft ist es günstig, zunächst nachzuweisen, daß die Folge überhaupt einen Grenzwert besitzt. Häufig läßt sich das Kriterium "an monoton und beschränkt" verwenden. Kommt in der Rekursionsformel kein n vor, so läßt sich der Grenzwert g (bei stetigem f) aus der Fixpunktgleichung
g
= f (g, g, ... , g)
berechnen. Natürlich ist es vorteilhaft, mit dieser Gleichung die möglichen Grenzwerte schon vorher zu bestimmen, vgl. Beispiel 14.
15. Konvergenzkriterien I Kriterien
• Beispiel 5: Die Aussageny'n ~ 1, sind gleichwertig.
•
y'n- 1 ~ 0 und I y'n- 11 ~ 0
Ist tim an = a, so ist der Limes a einziger Rätdungspunkt der Folge (an) n-+oo und jede Teilfolge konvergiert auch gegen a.
Beispiel 6: Wegen
(1 + ;;:1)
n
~
1)
e ist auch ( 1 + 2n
2n
~
e.
Die zweite Folge ist diejenige Teilfolge der ersten, die aus den Gliedern mit geradem Index besteht.
2.7. FOLGEN
161
Hat (an) zwei verschiedene Häufungspunkte, so ist die Folge sicher divergent.
•
I Beispiel 7: an= (-1tn: 1 Der Term n + 1 hat den Grenzwert 1, der Term ( -1)n sorgt für ein wechn seindes Vorzeichen: Die Werte sind -2, ~, -~, ~, -~, ~, ... und haben die Häufungspunkte 1 und -1. Für die Teilfolge mit den geraden Indices gilt: a 2n = ( -1) 2n 2 ~! 1 = 2 ~;t 1 ~ 1. Genauso erhält man a 2n_ 1 ~ -1. Es gibt also zwei konvergente Teilfolgen mit verschiedenen Grenzwerten. Daher divergiert die Folge. •
Ist (an) monoton steigend und nach oben beschränkt, so existiert lim an. -00 Ist (an) monoton fallend und nach unten beschränkt, so existiert n-too lim an. Dieses Kriterium ist oft bei rekursiven Folgen hilfreich (vgl. Beispiel 14.) Einfacher zu merken ist die Formulierung
IMonoton und beschränkt gibt konvergent. 00
• Konvergiert "' an, so ist Ihn an = 0. LJ n-+oo n=O
Dieses Kriterium eignet sich nur für relativ schnell gegen null konvergente Folgen. Es ermöglicht, einige der Konvergenzkriterien für Reihen auch für Folgen zu benutzen. Insbesondere kommen Quotienten-, Wurzel- und Integralkriterium dafür in Betracht.
I Beispiel 8: an= ne-n Mit dem Quotientenkriterium aus dem nächsten Abschnitt erhält man
+1~ ~ ~ an n e e und an= ne-n ~ 0. I
an+ 1 1 = n
< 1. Daher konvergiert die Reihe
f: an f: ne-n =
n=1
n=1
• Manchmalläßt sich eine F\mktion f "durch die Folge legen": lim an = a. Gibt es ein f mit f(n) = an und lim f(x) = a, so gilt auch n-+oo x~oo
Damit kann man möglicherweise die Regel von l' Hospital oder andere Methoden der Differentialrechnung verwenden. Dieser Trick hilft auch bei der Untersuchung auf Monotonie und Beschränktheit. Warnung! Auch wenn vergierml.
f keinen Grenzwert hat, kann (an) trotzdem kon-
162
KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG Beispiel 9: an= ne-n Man nimmt f(x)
= xe-x = .::_ ex
und der Grenzwert für x ~ oo ist nach der
Regel von l' Hospital lim ..!.._ = 0. Damit ist auch an
Einschließungskriterium
X-+00 eX
~ 0.
Einschließungskriterium • Sind (an), (bn) und (cn) Folgen mit an ~ bn ~ Cn und haben (an) und (cn) den gemeinsamen Grenzwert a, so konvergiert auch (bn) gegen a.
I Beispiel 10: an = V'n +sinn Wenn n groß wird, wird der Sinusterm keine Rolle mehr spielen und an sich wie .::fti verhalten und damit den Grenzwert eins haben. In der Einschliessung V'n- 1 ~ an ~ .::/n + 1 hat man die äußeren Terme nicht gut genug im Griff. Da man aber aus Produkten gut die Wurzel ziehen kann, benutzt man, daß für n
~ 2 gilt:
i~
n - 1 und n + 1 ~
~n:
Wegen Isin nl ~ 1 ist für n ~ 2 nh
~ n- 1 ~ n +sinn ~ n +
Wegen
1~
3/2 n,
also
~ ~ an ~ ~
r;v;;" = fl.::;n ~ 1 (beide Faktoren gehen gegen 1) und genauso
~ ~ 1 geht auch an gegen
1.
13. Beispiele I . . 1 11 : Berechnen s·1e r·1m n 2 +In n . B msp1e n-+oo vn4 - n3
Standardverfahren bei Brüchen
Standardverfahren bei Brüchen: durch den am stärksten wachsenden Teil des Nenners kürzen. Hier muß zunächst das n 4 aus der Wurzel herausgeholt werden: n 2 +lnn
--r==;====:;;: vn 4 - n 3 -
n 2 +lnn
n2
J1 -
1/n -
1+lnnJn2
J1 -
1/n
1+0
~ -- -
1
-
.
~
Beispiel 12: Berechnen Sie lim ln 2n. n-+oo n Hier leiht man sich die Methoden der Differentialrechnung aus: für die Funktion f(x) = 1~;' ist ja f(n) = 1 ~;'. Für n ~ oo haben Zähler und Nenner den Grenzwert
2.7. FOLGEN
163
oo; der Nenner hat für große x keine Nullstellen mehr. Also wendet man die Regel von !'Hospital an: . (ln X)' . I /x . 1 = 0. hm - = x-+oo hm - = hm (x2) 1 2x x-+oo 2x2
x-+oo
Daher ist auch lim j(x) = 0 und damit lim f(n) = lim In;' = 0. x-+oo n-+oo n-+oo n
Beispiel 13: Berechnen Sie lim (Jn 2 +an+ 1- Jn 2 + 1) für festes a > 0. n-+oo Sowohl Jn 2 +an+ 1 wie auch Jn 2 + 1 haben den (uneigentlichen) Grenzwert oo. Da sich ein Ausdmck wie oo - oo nicht auswerten läßt, wird die Differenz mit Hilfe der dritten binomischen Formel umgeformt: lim (Jn 2 +an+ 1- Jn 2 + 1) = n-+oo = lim n-+oo
n 2 +an+ 1 - (n 2 + 1) Jn 2 +an+ 1 + Jn 2 + 1
. Jn 2 + an + 12 - Jn2 + 12 lIm -:;::::::;;====;:---,=:;;::====7" n-+oo Jn 2 +an+ 1 + ../n 2 + 1
lim n-+oo
Standardtrick bei Wurzeln
an Jn2 +an+ 1 + Jn 2 + 1
(Im Zähler bleibt an stehen. Daher wird durch n gekürzt. In den Wurzeln wird der Faktor 1/n zu ljn2.) = lim n-+oo
J1 +
a
!!.
n
+ ...!_ n + 2
J1 +
I n2
(Jetzt existieren alle einzelnen Grenzwerte:) =
a 1+1
a 2
-
Beispiel 14: Untersuchen Sie die rekursive Folge a1 = 2, an+!
= a; + 1 . 2an
Um mögliche Grenzwerte herauszufinden und so einen Anhaltspunkt für weitere Rechnungen zu haben, wird auf beiden Seiten von an+! = a; + 1 der Grenzwert 2an
für n --+ oo genommen (ohne zu wissen, ob er überhaupt existiert). Falls (an) einen Limes a hat, hat natürlich (an+I) denselben Grenzwert: a
a2
+1
= - - {:} 2a2 = a2 + 1 {:} a2 = 1 {:} a = ±1 2a
Wegen des Startwerts a 1 = 2 folgt direkt aus der Rekursionsfonnel, daß an ~ 0 für allen gilt. Damit kommt als Grenzwert nur noch a = 1 in Frage. Jetzt bleibt nachzuweisen, daß (an) überhaupt konvergiert. In der Hoffnung, daß (an) monoton
rekursive Folge
KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG
164
vom Startwert 2 zum Grenzwert 1 geht, verwenden wir das Kriterium "monoton fallend und nach unten beschränkt => konvergent".
IMonotonie: I Vorüberlegung: Zu zeigen ist an+l :::; an. Dazu bildet man -a~ + 1 2an
Ist an 2:: 1, so ist dieser Ausdruck sicher kleiner oder gleich null (Zähler kleiner gleich und Nenner größer null). Daß das stimmt, rechnet man so nach:
Jetzt wird das mal sauber aufgeschrieben: Behauptung 1: Für alle n gilt 1 :::; an. Beweis über vollständige Induktion. 1. Induktionsanfang n = 1: klar! 2. Induktionsschritt: Voraussetzung: es gelte 1 :::; an. zu zeigen: 1 :::; an+! ( 0 gibt es ein n 0 , so daß für m ~ n 0 stets ~n~t an- sl < t: ist. 00
Häufig benutzte (obwohl nicht ganz korrekte) Schreibweise:
I: a" < oo. n=l
00
Wenn sogar die Reihe der Absolutbeträge E lanl konvergiert, heißt die Reihe n=l
absolut konvergent. Andere Sprechweisen: kommutativ konvergent, summierbar.
=> I= Konvergenz
absolute Konvergenz
j2.
absolut konvergent
Berechnung!
11. Rechenregeln I Für konvergente Reihen gilt: 00
00
00
Lan=A, Lbn=B => L(aan+ßbn)=aA+ßB. n=l
n=l
n=l
12. Bekannte Reihen I . ~ L....- -1 d"tvergtert
L q" = 1-q
n "harmonische Reihe" 00
L-
n=l n"' m
L
n=l
m(m+ 1) n = --'----,------'-
2
lql < 1
"geometrische Reihe" 1!"2 1 00
1
(-1)"
für
n=O
n=l
L--=ln2 n n=t 1 00 konvergiert für
1
00
Ln2 =G
n=l
a >1
00
1
L-
divergiert für
L q" =
1 _ qm+l ___:=-----
n=l n"' m n=o
a:::; 1
1-q
Weitere Reihen treten als Potenz- und Taylorreihen elementarer Funktionen auf. Beispiele für Funktionenreihen finden sich in Abschnitt 10 bis 12.
harmonische Reihe, geometrische Reihe
KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG
168
13. Konvergenzkriterien I Erstes Kriterium ist stets: ()()
Konvergiert L...J ~ an, so ist lim an = 0. n-tco n=l
Ist also nicht lim an = 0, so konvergiert die Reihe sicher nicht. n-too
Zur Orientierung dienen zwei Übersichten: • Auf der nächsten Seite wird versucht, Beispielreihen so anzuordnen, daß ein geeignetes Kriterium ausgewählt werden kann. • In der Tabelle auf der übernächsten Seite werden die Konvergenzkriterien in zwei Gruppen eingeteilt: Die Kriterien der ersten Gruppe machen direkt Aussagen über die Konvergenz oder Divergenz einer gegebenen Reihe "direkte Kriterien". In der zweiten Gruppe sind Kriterien der Art: Eine gegebene Reihe konvergiert, falls eine andere (einfachere) Reihe konvergiert "indirekte Kriterien". Diese andere Reihe ist dann entweder bekannt oder muß mit einem Kriterium der ersten Gruppe untersucht werden. In Ausnahmefällen wird auch ein Kriterium der zweiten Gruppe noch einmal angewandt. Wichtig ist es auf alle Fälle, in einer Reihe die bestimmenden Terme zu finden (das sind in der Regel die am schnellsten wachsenden Teile von Zählern und Nennern) und zu entscheiden, wie schnell (wenn überhaupt) die Glieder der Reihe gegen null gehen. Wichtigste Unterscheidung: • Die Glieder gehen polynominal gegen null: an verhält sich wie eine Potenz n- n 2 n2 1 von n, z.B. an= 3 = - -2 (oder an= 0(::\)). 4 ~ -n +n n4 n n • Die Glieder gehen exponentiell gegen null: mindestens wie qn mit z.b. auch Kehrwerte von Fakultäten.
lql
n 1 an= (n+lnn) 2' 20 an= n2- 33 Integral- und Verdichtungskriterium
polynominal wie n-a, a > 1
Konvergenz
absolute Konvergenz
Vergleich mit qn
Vergleichskriterium, Majoranten-, Minorantenkriterien
Konvergenzverhalten
Wurzel- und Quotientenkriterium
an= ( y'n- 1)n, 1 an= I' n. -1 an= (-)n 4
nlj an= 2n'
exponentiell wie qn, lql < 1
passende Konvergenzkriterien
Beispiele
Wie schnell gehen die an gegen Null?
schnelles Fallen
keine absolute Konvergenz
kein Vergleich möglich!
Lei bniz-Kriterium
_1_-1)n an- lnn , (-1)n an=-n
an-/+ 0
an= (-1t, an= sinn, an= n 2
gar nicht
Divergenz
Vergleich mit _: n
1 an= lnn' 1 an= n+lnn ' 1 an=n
höchstens wie 1/n
langsames Fallen
t-.:1
......
1
=}
00
L: an konvergiert absolut
n=1
Quotientenkriterium Limesversion
keine Aussage
00
L: an divergiert
n=1
Dieses Kriterium ist sehr einfach. Dafür läßt es sich nur bei Reihen verwenden, in denen die Beträge der Glieder monoton und mindestens exponentiell gegen null gehen.
I
Beispiel 1•
f: ~·
n=1 n.
1 . also an = -1 und Ian+11 n! 1 Es 1st - = - /(n+l)! - - = -,---.,...,....,. = -+ 0 < 1. Damit 11 n.1 an tn! (n + 1)! n +1 konvergiert die Reihe.
IQuotientenkriterium -
allgemeine Version
I
Gilt für n
~ n 0 stets Ian+ 11 ~ q mit q < 1, so konvergiert
Gilt für n
~ n 0 stets
an
lan+ 1 1 ~ 1, so divergiert. an
.
f
n=1
E an absolut.
n=1
an.
Dabei ist unbedingt zu beachten, daß q von n unabhängig sein muß.
E
I
an+ll < 1 (wie z.B. in ..!:_) allein reicht nicht . . an n=1 n Diese Version des Quotientenkriteriums wird nur selten benötigt. Der Anwendungsbereich ist derselbe wie bei der Limesversion.
I Beispiel 2: Gegeben sei a1 = 1, a2 = ~, a3 = 2~3 . a3 = 2 .~. 2 , a4 = 2 . 3~2 . 3 ... , also an= 1/2 an-1 00 wenn n gerade und an = 1/3 an-l wenn n ungerade ist. Dann konvergiert E an, n=l da a:;:- 1 den Wert ~ oder hat, aber immer kleiner oder gleich ~ < 1 ist.
I I
i
Quotientenkriterium allgemeine Version
172 Wurzelkriterium Limesversion
KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG
IWurzelkriterium Sei~-+
Limesversion
Dann gilt
q.
I 00
{ ::~=> q>1
L: an konvergiert absolut n=l
keine Aussage
=>
00
L: an divergiert n=l
Das Wurzelkriterium ist etwas schärfer als das Quotientenkriterium. Hat man allerdings dort als Limes der Quotienten 1 erhalten, so liefert es auch keinen anderen Wert. Auch hier müssen die an mindestens exponentiell gegen Null gehen.
I Beispiel 3: L n22 oo
n.
n=l
Wegen
W
-+ 1 ist
yfa:l = ~ -+ ~ < 1 und daher konvergiert die Reihe.
IWurzelkriterium Wurzelkriterium allgemeine Version
allgemeine Version
Gilt für n ~ no stets ~ ~ q mit q Gilt für n
~ n 0 stets
I
< 1, so konvergiert
E an absolut.
n=l
y'i;,J ~ 1, so divergiert n=l E an.
.
Dabei ist wie oben zu beachten, daß q von n unabhängig sein muß und daß
y'i;,J < 1 alleine nicht ausreicht. 00
Beispiel 4:
L an mit an =
2-n für n gerade und
an =
a-n für n ungerade.
n=O
Dann ist stets
Leibnizkriterium
y'i;,J ~ ~ < 1 und n=O Ean konvergiert.
ILeibnizkriterium I i)
(an)
ii)
an -+ 0
ist alternierende Folge, d.h. die Vorzeichen wechseln jedes Mal bzw.
iani
-+ 0
iii) lanl ist monoton fallend Dann konvergiert
~
an,
n-1
{Fehlerabschätzung)
und es ist
lf an-{: anl =I f n=l
n=l
n=k+l
anl
~ iak+d·
173
2.8. REIHEN Eine andere Formulierung: 00
Ist (an) eine monotone Nullfolge, so konvergiert 2:::(-1tan. n=l
Das Leibnizkriterium ist das einzige der hier aufgeführten, das sich für konvergente, aber nicht absolut konvergente Reihen eignet.
I
Beispiel 5,
f: (-!)•. n
n=l
Da
~ n
monoton fallend gegen Null geht, konvergiert die Reihe.
IIntegralkriterium I
Integralkriterium
Ist f : JR+ -+ IR eine monotone Funktion mit f(n) =an, so gilt: 00
00
L an konvergiert{::} das uneigentliche Integral J f(x) dx ~1
(c
> 0 bei.)
ex.
c
Dieses Kriterium hat seine Stärken bei Reihen, die soeben noch absolut konvergiereiL Natürlich läßt es sich nur auf Reihen mit monotonen Gliedern anwenden.
Wähle f(x) =
1 (I )2 und die untere Integrationsgrenze c = e x nx
Dann fällt f monoton, da ver Funktionen ist.
!
1
00
e
x(ln x )2
f
Kehrwert eines Produkts monoton steigender positi-
1
d
dx= limj d-+oo
e
x(ln x )2
dx= lim
d-+oo
--1 1
d
In x
e
1
1
= lim(--+-)=1. In d In e d-+oo
Damit konvergiert die Reihe.
IVergleichskriterium I Hat die Folge (bn) für n Ist Ist
2:: n 0 stets dasselbe Vorzeichen, so gilt:
Ji!~ ~:
= c mit c =/:- 0, so konvergiert
n~l
f
an.
n~l
bn konvergent und gilt
f
bn divergent und gilt !im abn = c mit c =/:- 0, so divergiert
n=l
Vergleichskriterium
n-+oo
n
n=l
an.
KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG
174
Dieses recht effektive Kriterium ist eine Variante des Majoranten-IMinorantenkriteriums und wird in Verbindung mit anderen Kriterien benutzt. Man kann damit oft die Konvergenzuntersuchung auf die einfacherer Reihen zurückführen.
I Beispiel . . 7: L
n 2 - 4cosn 3 + lnn _ • 4 3 n=l n - e n - 8n 00
Dieser scheußliche Bruch enthält als bestimmende (d.h. am schnellsten wachsende) Glieder in Zähler und Nenner n 2 und -8 n 4 • Daher wird an für große n wie n~ = - 8"1 2 ausse l1en. M"1t bn = n12 wir · d -sn4 n 2 (n 2 - 4cosn 3 + lnn) n 3 - e-n- 8n 4
1 -4cosn 3 +Inn
--,;r-
n2
l-~-8 n.
-+
n.4
Damit konvergiert die gegebene Reihe, da bn > 0 ist.
00
00
E
bn
n=l
E bn
Natürlich hätte man in der Vergleichsreihe können.
= E
n=l
1
-
0+0
0-0-8
1
= -- =/:- 0. 8
~ konvergiert und stets
auch gleich bn
= - 8~ 2
nehmen
IVerdichtungskriterium Verdichtungskriterium
Ist (an) monotone Folge, so gilt: 00
00
n=l
n=l
2::: an konvergiert 2::: 2na2· konvergiert.
Der Anwendungsbereich ist ähnlich wie beim Integralkriterium.
I
Bei,piel
Es ist an
f: - 1-.
s,
=-
n= 2 n ln n 1-
n ln n
monoton fallend und a 2•
= - -1-
2n ln 2n
=
1
.
2"n ln 2 1 00 1 1 Die "verdichtete Reihe" ist 2na 2• = 2n Da diese ln2; ;· n=2 n=2 2nn ln 2 Reihe divergiert, divergiert auch die Ausgangsreihe.
f
IMajorantenMajorantenund Minorantenkriterium
f
und Minorantenkriterium I 00
00
Ist lanl ::S: b,. und E bn konvergent, so konvergiert E an absolut. n=l
n=l 00
00
n=l
n=l
Ist an 2: bn 2: 0 und L bn divergent, so divergiert E an.
2.8. REIHEN
175
00
Die Reihe L bn heißt konvergente Majorante bzw. divergente Minorante. In vien=1
len Fällen läßt sich einfacher das Vergleichskriterium anwenden.
Wegen 3n +sinn
f
n=1
~= ~
4
4n
f
2:: 2n ist (
~
n=1
n
1. ) 3n + sm n 2
~ -2n1( ) 2 = 4 1 2 . Aus der Konvergenz von n
folgt, daß auch die zu untersuchende Reihe konvergiert.
I B ~1sp1e . . 1 10: ~ ~lnn. n=1
Für n
n
2:: 3 ist ln n > 1 und damit
1';,"
2::
~- Da
00
1
n=1
n
L-
divergiert, divergiert auch
lnn L:-. n=1 n 00
13. Beispiele I
E
2"nn (n!)2 auf Konvergenz.
oo
Beispiel 11: Untersuchen Sie
Bei Fakultäten bietet sich immer das Quotientenkriterium an:
la::11
2"+1 (n + 1)"+ 1 (n + 1)! (n + 1)! 2 n+1)" (n n+1
n! n! 2"n"
2 (n + 1)" (n + 1) n" (n + 1) (n + 1)
_ -2- ( 1+1)n -t O. n+ 1 n ............... .....__....... -tO -te
Die Reihe konvergiert also. Beispiel 12: Untersuchen Sie die Konvergenz von
f
n=1
dichtungskri teri ums. Mit
an= ~ n
ist
a2n
= 2- 2n
00
und L
n=1
Teil der geometrischen Reihe mit q 001
n"f1
Ii!.
00
2"a2n
= L
n=1
~
n
mit Hilfe des Ver-
00
2"2- 2 "
=L
n=1
= 1/2 und konvergiert.
2-n.
Diese Reihe ist
Also konvergiert auch
KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG
176
n - ln n L 3 n=l 4n - n 00
Beispiel 13: Konvergiert
2
?
Da der Nenner den exponentiell wachsenden Teil 4n enthält, kann man es mit dem Quotientenkriterium versuchen:
l
aan+nll
=
-t
((n + 1) 2 -ln(n + 1)) (4n- n3 ) _ (4n+ 1 -(n+1) 3 ) (n 2 -lnn)-
(~- ~) (4-(n~!l 3 )
(1- ~) (1- ~)
(1- 0)(1- 0) -! 1 (4-0)(1-0)- 4 < '
da 1 ~;' -t 0 und
;= -t 0 ist (vgl. S. 159).
Die Reihe konvergiert also. Der Trick bei dieser Rechnung liegt im geschickten Kürzen des ersten Bruchs durch den am stärksten wachsenden Faktor des Nenners 4nn2. alternative Rechnung Wenn man die Rechnung zu unübersichtlich findet, kann man sie durch Anwendung des Vergleichskriteriums vereinfachen (natürlich wird sie dadurch auch länger): Die am stärksten wachsenden Glieder in Zähler und Nenner sind n 2 und 4n. Die rfr verhalten, und diese Reihe sollte sich in Bezug auf Konvergenz also so wie n=l Reihe kann man mit Wurzel- oder Quotientenkriterium untersuchen.
f
Zuerst also das Vergleichskriterium: Mit an
und bn
= rfr > 0 ist
00
00
Damit konvergiert
= ~~~~::'
L: an genau dann, wenn L: bn konvergiert.
n=l n=l Jetzt lassen sich Wurzel- oder Quotientenkriterium anwenden. Quotientenkriterium:
2 1 - - --t- C => lf(x) - bl < f.
0 CEIR
(punktierte) 8-Umgebung
KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG
180
Analog ist lim f(x) = b erklärt. Man muß nur in der obigen Definition x > C x-+-oo durch x < C ersetzen.
IUneigentliche
Grenzwerte I
Wachsen die Werte von f bei der Annäherung an die Stelle a über alle Grenzen, so schreibt man lim f(x) = oo: x->a
V 3 : 0
O
lx- al < 6 =>
f(x) > C
Bei lim f(x) = -oo ersetzt man in der Definition f(x) > C durch f(x) x->a Fall lim f (x) = oo definiert man als
< C. Den
x->oo
3 : x >M
V
CER MEIR
=> f(x) > C.
Die anderen Fälle von lim f(x) = ±oo werden analog erklärt. x->±oo
12. Stetigkeit I Stetigkeit Die Funktion f ist an der Stelle a stetig, falls !im f(x) = f(a). Wenn man f(a) -x->a schreibt als f (!im x), sieht man, daß Stetigkeit bedeutet, daß man die Bildung des x->a Grenzwerts und die Anwendung der Funktion f in der Reihenfolge vertauschen darf; man darf also den Limes "in die Funktion ziehen". f heißt in einer Menge M stetig, wenn f in jedem Punkt von M stetig ist. Entsprechen heißt f bei a links- bzw. rechtsseitig stetig, falls lim f(x) = f(a) x-->a-0
bzw. !im f(x) = f(a) ist. x->a+O
Zwischenwertsatz
Ist f auf [a, b] stetig, so nimmt f jeden Wert zwischen f(a) und f(b) und sein Maximum bzw. sein Minimum an einer Stelle in [a, b] an. Das Bild von [a, b] ist abgeschlossen und beschränkt.
12. Berechnung I lL Grenzwertel
lim f(x) = b
x--+a
a
!im f(x) g(x)
x->a
= au
= ~ (v V
(a E IR)
-1- 0)
= 0
181
2.9. STETIGKEIT UND LIMES VON FUNKTIONEN
Grenzwerte mit ±oo lassen sich auf eigenliehe Grenzwerte zurückführen:
lim f(x) =
x-too
lim f( "!:_)
x-tO+O
lim f(x) = oo
x-ta
lim f(x)
x-ta
= -oo
X
lim f(x)
x-t-oo
lim !(1x )
x-ta
1 ) f( lim X x-ta
lim f( "!:_) = x-t0-0 X
= 0 und f(x) > 0 bei a = 0 und f(x) < 0 bei
a
Das Einschließungskriterium gilt auch für Funktionen:
Einschliessungskriterium
lim f(x) = b. lim g(x) = lim h(x) = b, so ist auch x-+a Ist g(x) ::; f(x) ::; h(x) und x-+a x-+a
. -1 . . I 1 : 1·Im X Sill B e1sp1e x-tO
X
Der Term sin ~ hat bei null keinen Grenzwert, da ~ nach unendlich wächst und der Sinus daher unendlich oft alle Werte zwischen -1 und 1 annimmt. Die Beschränktheit des Sinus rettet allerdings die Situation: Wegen -1 ::; sin Ij" ::; 1 ist -x ::; x sin ~ ::; x. Da beide äußeren Terme für x -t 0 den Grenzwert null haben, hat auch x sin ~ denselben Grenzwert.
ISummen und Produkte von Funktionen I Die Zusammenstellungen auf Seite 157, 158 und 159 gelten analog, wenn man überall das Wort "Folge" durch "Funktion" ersetzt. "konvergent" bedeutet dann, daß ein Limes für x -t a existiert. "Beschränkt" heißt jetzt "beschränkt in der Nähe von a".
I Beispiel 2: lim x sin ]:_ x-tO
X
Der Term sin ~ ist beschränkt, x geht für x --+ 0 gegen null. Damit geht das Produkt nach der Aufzählung auf Seite 158 gegen null. j Regel von de l'Hospitalj Die Regel von de !'Hospital gestattet es, in bestimmten Fällen Limiten von Quotienten auszuwerten, wenn Zähler und Nennerbeide den Grenzwert null oder beide den Grenzwert oo habe11.
Regel von de !'Hospital
KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG
182
Sei a E IR U { oo, -oo }. Es gelte i) !im f(x) = !im 9(x) x-+a
x-+a
=0
ii) In der Nähe von a ist 9'(x) =F 0. iii) !im f'((x)) existiert (eventuell uneigentlich) x-+a
.
9'
.
X
f(x)
.
f'(x)
Dann ISt x-+a hm () = x-+a luu (-) . 9 x 9' X Dasselbe gilt, wenn der erste Punkt durch !im f(x) = !im 9(x) = ±oo ersetzt x-+a x-+a wird. Die Regel von de !'Hospital gilt auch für einseitige Grenzwerte.
o-
In ii) bedeutet "in der Nähe von a" für reelles a, daß es eine punktierte Umgebung von a gibt, in der 9'(x) =F 0 ist. Für a = oo (a = -oo) heißt das, daß es ein reelles C gibt, so daß 9'(x) =F 0 für x > C (x < C) ist.
Für a E IR ist die Bedingung ii) automatisch erfüllt, falls 9 bei a eine analytische Funktion (S. 207) ist.
I Beispiel 3: lim ex x 2
-2
1
x-+0
Hier hat man den Fall § vorliegen. Mit f(x) = ex 2 - 1 und 9(x) = x 2 ist Voraussetzung i) erfüllt. Wegen f'(x) = 2xex 2 und 9'(x) = 2x gilt auch ii). Die dritte Voraussetzung rechnet man so nach:
f'(x) 1' 2xex2 1' x2 I .un-= Im--= Ime 9' ( x) x-+0 2x x-+0
x-+0
= e0 =
1.
Damit hat auch der Limes von ~ den Wert 1.
ISchreibweise I Schreibweise
Hier kann man die ganze Rechnung so aufschreiben:
Das Symbol l'J;,I. bedeutet dann, daß die Terme gleich sind, falls der rechte Limes existiert und daß Voraussetzungen i) und ii) überprüft worden ist. Wenn man es noch deutlicher mag, läßt sich auch das kleine "l'H" durch den entsprechenden Quotienten "§" oder "~" ersetzen.
183
2.9. STETIGKEIT UND LIMES VON FUNKTIONEN
Achtung! Wenn der Limes von f'((x)) nicht existiert, bedeutet das nur, daß man 9'
X
die Regel von de l'Hospital nicht anwenden kann. Der Limes von
~~;~
kann
trotzdem existieren, vgl. Beispiel 8. Manchmal muß man die Regel von de l'Hospital mehrmals nacheinander anwenden, um einen Grenzwert zu bestimmen.
. I Beispiel 4: hm -.•
.
•
Slll X 2 -
x-+0
sm 2 x
Mit f(x) = sinx 2 , f'(x) = 2x cosx 2 und 9(x) = sin 2 x, 9'(x) = 2sinx cosx sind die erste und zweite Voraussetzung erfüllt. Zu untersuchen bleibt, ob der Quotient
f'(x) 9
1
(X)
2x cosx 2 2 sin X COS X
einen Grenzwert hat. Dazu untersucht man mit fi(x) = f'(x) und 91 (x) = 9'(x), ft((x)) existiert. Mit f{ = 2 cos x 2 - 4x 2 sin x 2 und 9\ = 2( cos 2 x - sin 2 x) li111 91 ob x-+0 x sind die Voraussetzungen i) und ii} erfüllt. Da !I und 9 1 bei x = 0 stetig sind, ist f(x} = 1. f 1 (x) = 1 un dd anacl1 auc11· · · tl·1111 -(-) · ex1stler f{(x)) = -2 = 1. Danut . -,--( l1111 1 1111 -(-) 2 x-tO 9 X x-+0 9 1 X :z:-tO 9 1 X Insgesamt: 2 2xcosx 2 l'H. 1. 2cosx 2 -4x 2 sinx 2 . sinx 2 l'H. 1. lnn = - = 1 1m nn -2 x-+0 2( cos 2 x - sin 2 x) x-+0 2 sin x cos x sin 2 x
x-+0
Noch einfacher wird die Rechnung, wenn man Grenzwerte ungleich null oder unendlich abspaltet und die Regel von de l'Hopital nur auf den Rest anwendet: 1 l'H. 1 1. x . cos x 2 . 2x cos x 2 . sin x 2 l'H. 1. ln - · nn-- = 1 = 1n n - - · 1n n - 1m n-2 X COS x-tO 1 X sin x-+0 X COS x-+0 X COS x-+0 2 sin X :z:-tO sin X
IAlternative I Im Fall a E IR ersetzt man im Bruch f((x)) die Funktionen f und 9 durch genügend 9X weit entwickelte Taylorreihen und kürzt dann. Diese Methode ist vor allem dann von Vorteil, wenn für die beteiligten Funktionen Potenzreihenentwicklungen (oder Anfänge davon) im Limespunkt bekannt sind. 1 . -e"'2. . 5: hm I Beispiel x-+O
X
2-
Die Zählerfunktion wird entwickelt, indem man x 2 statt x in die e"'-Reihe einsetzt: e"' 2 = 1 + x 2 + O(x 4 ). Nun läßt sich e"' 2 - 1 schreiben als x 2 + O(x 4 ) und der zu x 2 + O(x 4 ) e"' 2 - 1 = 1 + O(x 2 )-+ 1. x2 • untersuchende Bruch wird zu~=
Wichtige Rechentechnik
Reihenentwicklung statt de !'Hospital
KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG
184
12. Stetigkeit I Charakterisierungen der Stetigkeit von • lim f(x) x-+a
f im Punkt a:
= f(a).
Das ist die Definition. • Wenn man f(a) schreibt als J(lim x), sieht man, daß Stetigkeit bedeutet, x-+a daß man die Bildung des Grenzwerts und die Anwendung der Funktion f in der Reihenfolge vertauschen darf. Diese Regel benutzt man oft unbewußt: wenn man lim sin l = sin 0 = 0 n---+oo n berechnet, hat man dabei im ersten Schritt die Stetigkeit des Sinus bei null benutzt. • Es ist lim f(x) x-+a-0
= f(a) = x-+a+O lim f(x).
Die Charakterisierung "linker Grenzwert = Funktionswert = rechter Grenzwert" ist hilfreich bei der Untersuchung von Funktionen, die abschnittweise definiert sind, vgl Beispiel 7. • Für jede Folge Xn mit Xn-+ a ist f(xn)-+ f(a). Das ist oft passend, um nachzuweisen, daß eine Funktion an einer Stelle nicht stetig ist: Die Funktion f ist bei x = a unstetig, wenn es auch nur eine Folge von Zahlen Xn mit Xn -+ a gibt, für die f(xn) nicht gegen f(a) konvergiert.
•
V
3 :
0 6>0
lx- al < 6 =>
IJ(x)- f(a)l
0 enthält eine 8-Umgebung um a für ein geeignetes (hinreichend kleines) 6 > 0. Das ist im wesentlichen dasselbe wie davor und hat Anwendungen in der Theorie, wenn man Eigenschaften stetiger Funktionen beweisen will.
IBeispiele stetiger Funktionen Polynome, rationale Funktionen, trigonometrische und Hyperbelfunktionen und ihre Umkehrfunktionen, Exponential- und Logarithmusfunktionen, Betrags- und Wurzelfunktionen und alle daraus durch Grundrechenarten und Komposition zusammengesetzten Funktionen sind in ihrem Definitionsbereich stetig. Differenzierbare Funktionen sind stetig.
185
2.9. STETIGKEIT UND LIMES VON FUNKTIONEN
• . 1 sin(e"'- 4x 2 ) Beispiel 6: Stetigkeit von ft(x) =-und h(x) = ~4 x v3 + x· + 22ecosz
ft ist als gebrochen rationale Funktion auf ihrem ganzen Definitionsbereich IR.\ {0} stetig. Achtung! 0 ist keine Unstetigkeitsstelle von ft, da ft bei x = 0 nicht definiert ist. Da lim ft(x) = oo ist, kann man aber !I nicht stetig nach x = 0 fortsetzen. z-+0+0
h
ist als Zusammensetzung stetiger Funktionen auf ihrem gesamten Definitionsbereich stetig. Man sieht, daß h für alle reellen Zahlen definiert ist, da unter der Wurzel stets eine positive Zahl steht und der Nenner ebenso immer positiv und damit ungleich null ist.
IBeispiele unstetiger Funktionen -1 X< 0 Die Signumfunktion sgn x = { 0 x = 0 und die Heavisidefunktion H(x) = 1 x>O {
~
:
~~
Signumfunktion Heavisidefunktion
sind Beispiele unstetiger Funktionen (jeweils in x = 0).
Die Signumfunktion ist bei x = 0 unstetig, da Ihn sgn x = 1 ist, aber sgn 0 = 0 z-+0+0 ist. Alternativ kann man argumentieren, daß der Limes bei null nicht existiert, da der linke Limes den Wert -1 und der rechte den Wert eins hat. Bei der Heavisidefunktion argumentiert man genauso. Außerhalb von null sind beide Funktionen stetig, da sie dort mit konstanten Funktionen übereinstimmen. Die Gaußklammerfunktion[x] einer reellen Zahl x ist die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist: [x] = n E Z mit n ~ x < n + 1. [x] hat bei den ganzen Zahlen Unstetigkeitsstellen. y y y 1
1
-+----
X
1 X
-1
1
sgn x
1
2
X
-1
[x]
H(x)
x+ 1 X< -2 { Beispiel 7: Stetigkeit von f(x) = si~~x -2 ~X< 1 x=1 x 2 -1 X> 1
Außerhalb der Punkte x 1 = -2 und x 2 = 1 ist die Funktion als Zusammensetzung
Gaußklammer
[x]
KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG
186 stetiger Funktionen stetig. Im Punkt x = -2 ist lim f(x) = lim (x + 1) x-+-2-0
lim
x-+-2+0
x-+-2-0
= -1, und
lim sin 1rx = 0. = x-+-2+0 f(-2) = 0 ist f bei x =
f(x)
-2 von rechts Wegen stetig und von links unstetig. Im Punkt x = 1 ist lim f(x) = lim sin 1rx = 0, und x-+1-0
x--tl-0
lim f(x)
x-+1+0
X
lim (x 2 = x-+1+0
1)
= 0.
Wegen j(1) = -1 ist f bei x = 1 unstetig. Ändert man die Definition so ab, daß man f(1) = 0 fordert, ist f dort stetig (hebbare Unstetigkeit).
13. Beispiele I I
Beispiel 8: lim
x-+oo
x . 2x + sm X
Zunächst versucht man natürlich, die Regel von de !'Hospital zu benutzen. 1 • vor. Der Quotient der Ableitungen hat die Form -2+cosx Hier liegt der Fall 22 00 Damit ist auch Voraussetzung ii) erfüllt. Allerdings existiert der Limes von nicht.
n:J
Das bedeutet, daß die Regel von de !'Hospital nicht anwendbar ist. Der Limes läßt sich aber leicht nach der Taktik "durch den am stärksten wachsenden Term des Nenners kürzen" berechnen: 1 1 1 . X . = 11m lim 2· 2+0 x-+oo 2 + 81 ~x x-+oo 2x + sin X 7x 4 + 2x - 1 . . . 1 B CISpie 9: 11111 4 3 x-+-oo 3x + x - 17
Bei gebrochen rationalen Funktionen wird bei Limiten gegen ±oo immer durch die höchste Potenz des Nenners gekürzt: 7 + :X - ~ . 7x 4 + 2x- 1 . l1m = 11m - !l 3x4 + x 3 - 17 x-+-oo 3 + l x4 x
x-+-oo
7 3
Beispiel 10: lim (ln(ax) -lnx), a > 0 X-+00
Hier hat man den Fall oo - oo vorliegen. Mit etwas Pfiffigkeit faßt man aber zunächst die Terme zusammen: lim lna = lna lim (lna + lnx -lnx) = x-+oo lim (ln(ax) -lnx) = x-+oo
x-+oo
187
2.9. STETIGKEIT UND LIMES VON FUNKTIONEN
I Beispiel 11:
lim x sin .!. x
x-+oo
Geht x gegen unendlich, so geht der Kehrwert ~ gegen null und damit hat auch sin lX den Limes null. Ehe man die Regel von de !'Hospital anwenden kann, muß man den Ausdruck der Form "0 · oo" als Quotienten schreiben: - 1 cos l sin l I'H. 1 X = lim lim X 2 lim XSin- = lim __X
x-+oo
x-+oo
X
lX
x-+oo
1
-~
x-+oo
1
COSX
=
Umformung in Quotienten
0.
1.
00
cosx) . . 1 1. (sinx - 7 12: xi!Ri I B e1sp1e 7
Hier soll der Limes einer Differenz berechnet werden, worin beide Terme keinen endlichen Grenzwert haben. Daher wird zunächst zusammengefaßt: . sinx- xcosx cosx) . (sinx Ilm - - - - - = 1lm ------:--x3 x-+0 x2 x3
Umformung in Quotienten 00-00
x-+0
Jetzt wird entweder die Regel von de !'Hospital angewandt
. sin·x-xcosx l'H. 1. cosx-cosx+xsinx Ilm lm - - - - - - , - - - - = 3x2 x-+0 x3 = lim sin x l'!,I. lim cos x = .!. 3 3 x-+0 x-+0 3x
x-+0
oder der Zähler als Potenzreihenanfang geschrieben x2 x3 . 1 ( . sin x - x cos x 4 ) 5 = hm- x - - + O(x ) - x(1-- + O(x )) hm 2 6 x-+0 x3 x3 x-+0
= lim _!_ (- x 3 + x3 + O(x 5 )) = lim x-+0
x3
6
2
x-+0
(.!.3 + O(x 2 )) = .!.. 3
Beispiel13: lim x(ln(x + a) -lnx), a E IR x-+oo
Wenn man den Faktor ln(x + a)- In x in der Form In x + a schreibt, sieht man X daß im Grenzwert das Produkt die Form 0 · oo hat. Das läßt sich nun auf die Form § oder auf ~ bringen. Da der Logarithmus beim Ableiten einfacher wird, wenn er im Zähler steht (ein In im Nenner gibt ja beim Ableiten weitere In-Terme), wird so umgeformt: . hm x(ln(x + a) -lnx)
x~oo
.
= hm
ln(x+a)-lnx l'H. 1 -
x~oo
X
x-(x+a) lim x(xia) x-+oo -~
x2 = lim a x-+oo
x(x+a)
= a
lim x-4-oo
_1_ _
l
x+a
x 1
-~
Umformung in Quotienten
0.
00
KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG
188
x2 - 4 x2 - 4 Beispiel 14: lim - -2- und lim - :z:-+±oo X
+
:t-+±2 X
+2
Zunächst werden die Limiten für x -t ±oo berechnet, indem durch x, die höchste Potenz des Nenners gekürzt, wird: lim
x2
:z:-+±oo X
-
4
+2
x-! ±oo = lim --"' = - - = ±oo :t-+±oo 1 + 1 1 :t
Der Limes für x -t 2 läßt sich durch Einsetzen von x = 2 in die Funktionsgleichung bestimmen, da diese Stelle zum Definitionsbereich der Funktion gehört und gebrochen rationale Funktionen im Definitionsbereich stetig sind. lim x2 - 4 = 22 - 4 = ~ = 0. + 2 2+2 4
:t-+2 X
Der Limes für x -t -2 ist von der Form 1~nd läßt sich mit der Regel von de !'Hospital berechnen: . x 2 - 4 l'IJ. . 2x -4 hm - - = hm - = - = - 4 . :t-'-+-2 X + 2 :t-+-2 1 1 Alternativ kann man auch die dritte binomische Formel verwenden, um den Zähler zu faktorisieren und zu kürzen: x2 - 4 x+2 Damit ist lim x 2 :t-+-2 X
-
= (x + 2)(x- 2) = x- 2
für x
=I -2
x+2
4 = lim (x- 2) = -2- 2 = -4.
+2
:t-+-2
Beispiel 15: Der Grenzwert von e"' - 11 für x
e"'-
-t
0 und x
-t
oo
~ 1 • Da 0 im Definitionsbereich der stetigen Funke"'e tion f liegt, erhält man den Grenzwert duch Einsetzen: lim e"' - 11 = 1 - 11 = 0. :z:-+0 e:z:eFür x -t oo kann man mit de !'Hospital rechnen: Für x = 0 hat e"' - 11 die Form
e"' - 1 l'H e"' 1 1 lim - - = · lim - - = lim - = = e.
:z:-+oo
e:z:-1
:z:-+oo e:z:-1
:z:-+oo e-1
e-1
Man kommt aber auch ohne aus:
e"' - 1 e - e 1-"' e- 0 lim - - = lim = - 1- = e. e:z:-1 :z:-+oo 1
:z:-+oo
189
2.10. DIFFERENZIERBARKElT
2.10
Differenzierbarkeit
11. Definitionen I Differenzierbarkeit erklärt man für eine auf einem offenen Intervall I definierte F\mktion f : I -+ IR so:
f ist in a EI differenzierbar mit der Ableitung
f'(a), wenn
lim f(x)- f(a) =: J'(a) existiert. x-+a
X-
a
Alternative Definitionen: Es ist
f(x) = f(a)
+ J'(a)(x- a) + r(x) · (x-
oder f(x) = f(a)
lim r(x) = 0 a) mit x-+a
+ J'(a)(x- a) + o(lx- al).
Diese beiden Schreibweisen lassen sich gut auf F\mktionen von mehreren Variablen übertragen, da sie mehr den Aspekt der linearen Approximierbarkeit betonen. Das lange Wort "differenzierbar" wird beim Schreiben oft als diff'bar abgekürzt.
diff'bar
Die Ableitung der Funktion f an der Stelle x ist die Steigung der Tangente an den Graphen von f im Punkt (x, f(x)). Statt f' schreibt man auch
dx (Differentialquotient).
IEinseitige Differenzierbarkeit I Läßt man in der Definition nur Werte von x mit x > a zu, erhält man die rechtsseitige Ableitung der Funktion f an der Stelle a als
lim f(x) - f(a). Die x-+a+O
X-
a
linksseitige Ableitung erhält man analog als lim f(x)- f(a). x-+a-0
X-
a
rechtsseitige, linksseitige Ableitung
IHöhere Ableitungen I Ist f in jedem Punkt des offenen Intervalls I differenzierbar, so nennt man die F\mktion, die jeder Stelle x die Zahl f'(x) zuordnet, Ableitungsfunktion oder kurz (erste) Ableitung f'. Ist die F\mktion f' stetig in I, heißt f stetig differenzierbar. Schreibweise: f E C 1 (J). Die Ableitung der Ableitungsfunktion heißt zweite Ableitung f". Induktiv definiert man dann weitere Ableitungen durch f(n) = (f(n-ll)'. Ist f n-mal stetig diff'bar, schreibt man f E cn(I). Die Menge der unendlich oft differenzierbaren F\mktionen auf I wird mit 0 00 (!), die der stetigen F\mktionen mit C(I) bezeichnet.
C(I), cn(I), coo(I)
KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG
190
IKonvexität konvex konkav
und Extrema I
. Fun kt10n · f 1st · konvex, wenn f··ur a lle a, b E I 1mmer · J(a- +-b) _< f(a) + f(b) E me 2 2
.
.
.
a
a+b 2
b
konvexe Funktion
Wendepunkt Sattelpunkt
stationärer Punkt
f(a)
+ f(b) .
.
a
a+b 2
b
konkave Funktion
Ist f in ]x0 - t:, x 0 ] konvex und in [x0 , Xo + t:[ konkav (oder umgekehrt), hat f in x 0 einen Wendepunkt. Einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente nennt man Sattelpunkt.
Wendepunkt bei x 0 rel. Maximum bei Xt rel. Minimum bei x2
rel. Maximum rel. Minimum
a+b
1st. f 1st konkav, wenn 1mmer f ( g1lt. Anschauheb bedeu2 2 -) ;::: tet das, daß bei einer konvexen Funktion der Graph immer unter und bei einer konkaven stets über der Sekante liegt. Der Graph konvexer Funktionen ist links-, der konkaver Funktionen rechtsgekrümmt.
Sattelpunkt bei x 0
Eine Funktion f mit Definitionsbereich D hat in x 0 E D ein relatives Maximum, falls es eine Umgebung U von x 0 gibt mit f(x) :::; f(x 0 ) für alle x E UnD. Gilt sogar f(x) < f(xo) für x =F x 0 , spricht man von einem strikten rel. Maximum. Ein (striktes) rel. Minimum erhält man, wenn man in der Definition :::; bzw. < durch ;::: bzw. > ersetzt. Istfeine differenzierbare Funktion, so nennt man jeden Punkt x 0 mit f'(x 0 ) einen stationären Punkt.
=0
IWichtige Eigenschaften differenzierbarer Funktionen I Ist f auf dem Intervall I differenzierbar, so gilt: fistkonstant {::} f'(x) = 0 in/.
Mittelwertsatz
f auf [a, b] stetig und in Ja, b[ differenzierbar, so gibt es ein c E]a, b[ mit f(b) - f(a) = f'(c) · (b- a). (Mittelwertsatz)
Ist
2.10. DIFFERENZIERBARKElT
191
j2. Berechnungj Beispiele differenzierbarer und nicht differenzierbarer Funktionen Polynome, rationale Funktionen, trigonometrische und Hyperbelfunktionen und ihre Umkehrfunktionen, Exponential- und Logarithmusfunktionen und Wurzelfunktionen (auf JR+) sind in offenen Teilmengen ihres Definitionsbereichs unendlich oft differenzierbar. Die Zusammensetzung durch Grundrechenarten und Komposition differenzierbarer Funktionen ist differenzierbar. Die Betragsfunktion ist im Nullpunkt nicht differenzierbar, aber links- und rechtsseitig differenzierbar mit der Ableitung -1 bzw. 1. Unstetige Funktionen sind nicht differenzierbar. .jX ist bei x = 0 nicht (einseitig) diff'bar. arcsin x und arccos x sind an den Rändern ihres Definitionsbereiches nicht differenzierbar. Beispiel!: Differenzierbarkeit von f(x) = {
xs~n ~ ~ ~ ~
im Nullpunkt
fistim Nullpunkt differenzierbar, wenn der Differenzenquotient f(x;
x
-t
=~(O) für
0 einen Grenzwert hat:
. f(x) - f(O) 1Im X - 0
x--+0
. x sin 1Im = x--+0 X -
Da dieser Grenzwert nicht existiert, ist
~- 0 0
. . 1Imsm= x--+0 X
1
f im Nullpunkt nicht differenzierbar.
IRechenregeln I
Rechenregeln
Summenregel
(f+g)'=f'+g'
Vielfache
(af)' = af'
Produktregel
(fg)' = f'g
+ fg'
verallgemeinerte Produktregel
UI/2 · · · fn)' = f{h · · · fn + JIJ~ · · · fn + · · · + JI/2 · · · f~ Leibniz'sche Regel
(fg)(n) =
E(~)f(k)g(n-k)
Quotientenregel
(-!g)'
f'gg-2 fg'
Kettenregel
f(g(x))' = f'(g(x))g'(x)
Ableitung der Umkehrfunktion
u-I)'(x) = f'(J!I(x))
KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG
192 Spezialfälle
Als Spezialfälle erhält man daraus diese Regeln:
f
!' Ableitungstabeile
1 f
lnf
!'
r
j2
el
f(x 2 )
f(ax)
f(ax
+ ß)
!' 2f'f af'r-l f'el 2xf'(x2 ) af'(ax) af'(ax+ ß)
-J2
f
Ableitungen einiger wichtiger Funktionen
f
const.
!'
0
x"
sinx
COSX
tanx
cotx
e"x
ax-l cosx -sinx 1 + tan 2 x -1- cot 2 x ae"x
lnx 1
-
X
a und ß sind dabei reelle Zahlen. Eine ausführlichere Tabelle findet man im FormelteiL
IBeispiele Summenregel
• (3x 3 + 4cosx)'
= 9x2 -
4sinx
{Summenregel und Vielfache) Produktregel
• (sin 2
x)' =
(sinx · sinx)' = cosxsinx + sinxcosx = 2sinxcosx
{Produktregel mit f(x) = g(x) = sinx) Kettenregel
• ( sin 2 x )' = 2 sin x cos x (Kettenregel mit f (x)
= x 2 und g( x) = sin x).
verallg. Produktregel
• ( x sin x e2x) 1 = sin x e2x + x cos x e2x + x sin x 2e 2x
Leibniz-Regel
• (xsinx)( 4 )
(verallgemeinerte Produktregel)
Nach der Leibniz-Regel {fg)(4) = f( 4>g + 4f111 g' + 6f"g" + 4f'g111 + fg( 4 ) ergibt sich mit f(x) = x und g(x) = sinx, daß man wegen f'(x) = 1 und f" = / 111 = f( 4) = 0 nur die letzten Terme der Summe benötigt. Aus g111 (x) = - cosx und g( 4>(x) = sinx erhält man (xsinx)( 4) = -4cosx + xsinx. Quotientenregel
•
2x · (x - 4) 2
(x 2 + 3) · 2{x - 4) (x- 4) 4 -
_ 2x · (x - 4) - (x 2 + 3) · 2 _ 2x 2 - Bx - 2x 2 (x - 4) 3 (x - 4) 3
-
6 _ -Bx- 6 - (x- 4)3
193
2.10. DIFFERENZIERBARKElT
Bei der Anwendung der Quotientenregel auf gebrochen rationale F\mktionen läßt man Zähler und Nenner so lange wie möglich in faktorisierter Form stehen, da man immer kürzen kann, wenn ein Faktor in höherer als erster Potenz im Nenner auftritt. Alternative: statt der Quotienten- die Produktregel benutzen: 2 ( (xx _+43)2)' = ( (x 2 + 3)(x- 4)- 2)' = 2x(x- 4)- 2 + (x 2 + 3)( -2)(x- 4)- 3
Produkt- statt Quotientenregel
Jetzt wird der Term mit dem kleinsten Exponenten ausgeklammert:
= (2x(x- 4) + (x 2 + 3)( -2)) (x- 4t 3 = (-8x- 6)(x- 4)- 3 Kettenregel
• (sin x 4 )' Mit der äußeren F\mktion f(x) = sinx und der inneren F\mktion g(x) = erhält man mit der Eselsbrücke "äußere Ableitung mal innere Ableitung" (sin x 4 )' = cos x 4 • 4x 3 = 4x 3 cos x 4 •
x4
• (arctanx)' Die Regel über die Ableitung der Umkehrfunktion f- 1 läßt sich dann gut verwenden, wenn man die Ableitung f' der F\mktion f durch f ausdrücken kann. In diesem Beispiel ist j(x) = tanx und f'(x) = 1 + tan 2 x = 1 + (f(x))2. 1
1
arctan' (x) = ---:-:------:tan' (aretau x)
(1
1 1 + (tan(arctanx))2
+ tan 2)(arctanx) 1 1 +x 2 '
IMonotonie, Konvexität und Extrema I f sei eine im offenen Intervall I so oft wie nötig stetig differenzierbare Funktion. Zur Vereinfachung schreiben wir" f' > 0" statt "für alle x E I ist f'(x) > 0" usw. • f hat im Punkt x 0 ein relatives Maximum, wenn f in einem Intervall ]x0
-
f, x 0 ] monoton steigt und in [x0 , x 0 + f[ monoton fällt.
• f
hat im Punkt x 0 ein relatives Maximum, wenn chenwechsel von plus nach minus hat.
f'
in x 0 einen Vorzei-
• f hat im Punkt x 0 ein relatives Minimum, wenn f in einem Intervall ]x0
-
f,
x0 ] monoton fällt und in [x 0 , x 0 + €[ monoton steigt.
• f hat im Punkt x 0 ein relatives Minimum, wenn f' in x 0 einen Vorzeichenwechsel von minus nach plus hat.
Ableitung der Umkehrfunktion
Monotonie Konvexität Extrema
KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG
194
::}
f streng monoton steigend
!'?. 0
f monoton steigend
!' < 0
::}
f streng monoton fallend
!' '5. 0
f monoton fallend
!" ?. 0
f konvex
!" '5. 0
f konkav
f'(xo)
= 0, f"(xo) > 0
::}
Minimum bei Xo
f'(xo)
= 0, f"(xo) < 0
::}
Maximum bei xo
= 0, /
::}
Wendepunkt in x0
::}
Sattelpunkt in xo
::}
f'(xo)
f"(xo) f'(xo)
!' > 0
111
(xo)
= 0, f"(xo) = 0, /
=f 0, 111
(xo)
Extremum bei Xo
=f 0
=0
Man beachte dabei, daß sich keiner der =?-Pfeile umkehren läßt. Allgemein: Ist f'(xo) = 0 und f"(xo) = · · · = J(k)(x 0) = 0, aber J(k+l)(x0 ) =f 0, so hat f in Xo einen Sattelpunkt, falls k gerade ist und ein Extremum, falls k ungerade ist. In diesem Fall handelt es sich bei J(k+l)(x 0 ) > 0 um ein Minimum und bei J(k+l)(x0 ) < 0 um ein Maximum.
J(k+l)(x 0 ) < 0: Maximum
f'(xo)
J(k+ll(x 0 ) > 0: Minimum
= · · · = J(k)(xo) = 0 J(k+ll(xo)
=f 0 k gerade
Abschnittweise definierte Funktionen
Sattelpunkt
IDifferenzierbarkeit abschnittweise definierter Funktionen I Oft hat man folgende Situation: gegeben ist ein Intervall I und x0 ist ein innerer Punkt von I. Es ist f(x) = { g(x) x '5. Xo . Dabei sind g und h auf ganz I h(x) x > xo definierte differenzierbare FUnktionen.
2.10. DIFFERENZIERBARKElT
y
195 Wenn die beiden Voraussetzungen gelten
I
I
g(x) = ex
i) Es ist g(x 0 ) = h(xo) (d.h.
f ist stetig).
ii) Es ist g'(x 0 ) = h'(xo). so ist die zusammengesetzte Funktion f differenzierbar mit f'(x 0 ) = g'(x 0 ) =
X
h(x) =
COSX +X
h'(xa).
Sind g und h sogar stetig differenzierbar, hat auch f diese Eigenschaft. Gilt ii) nicht, so ist f nicht differenzierbar in x 0 (wohl aber rechts- und linksseitig diff'bar).
Beispiel 2: Wie oft ist f(x) = {
°
ex x ~ differenzierbar? cosx+x x > 0
Außerhalb der Stelle x 0 = 0 ist funendlich oft differenzierbar. Überprüfung der beiden Bedingungen: mit g(x) = ex und h(x) = cosx + x ist
i) g(O) = 1 = h(O) ii) g'(x) = ex, h'(x) =- sinx + 1, also g'(O) = 1 = h'(O). Damit ist f bei x 0
= 0 stetig differenzierbar mit
f'(x)
={
x ~0 . ex x >0 -smx+ 1
Bei der Untersuchung von f' auf Differenzierbarkeit ist g(x) = ex und h(x) = - sin x + 1. Die erste Bedingung ist wegen der stetigen Diff'barkeit von f schon erfüllt. Bleibt Bedingung ii) zu überprüfen: g'(x) = ex, g'(O) = 1, h'(x) =- cosx, h'(O) = -1. Damit istfeinmal stetig differenzierbar, aber nicht zweimal. Diese Tatsache läßt sich auch an den Taylor- bzw. Potenzreihen der beiden Teilfunktionen von f erkennen: Es ist ~
g(x) = ex = 1 + x + 2
+ O(x3 ),
und
h(x) = cosx + x = 1 + x-
~ 2 + O(x 3 ).
Die Übereinstimmung des absoluten Glieds bedeutet die Stetigkeit von f bei x = 0, die des x- Terms die stetige Differenzierbarkeit. Da die quadratischen Terme verschieden sind, ist f nicht zweimal differenzierbar.
13. Beispiele I Beispiel 3: Die ersten beiden Ableitungen von f(x) =
e•inx
Es ist f'(x) = e•inx cos x (5. Spezialfall). Dann geht es mit der Produktregel weiter: f" = e•inx(- sinx) + e•inx cos 2 x = e•inx(cos 2 x- sin x).
KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG
196
Beispiel 4: Ableitung der Umkehrfunktion von f(x)
= x3
1 Die Regel besagt (f- 1 )' = f'(f- 1 (x))· Dazu berechnet man f'(x) = 3x2 und
drückt wieder f' durch f aus. Dazu ersetzt man beim Rechnen f(x) durch y und erhält y = x 3 => x = y 1h, also f'(x) = 3x 2 = 3y% = 3(f(x))2h.
(f -1)'
1
= f'(f- 1 (x))
1 = 1 - _1_-! -% 3f2h(J- 1 (x)) 3(f(f- 1 (x)))%- 3x% - 3x
Dasselbe Ergebnis erhält man natürlich auch durch direkte Ableitung der Umkehrfunktion f- 1 (x) = x 1h. Beispiel 5: Untersuchung der Funktion f(x)
=
(: 2_-1~ 2
• Der Definitionsbereich von f ist IR\ {1}. Da der Nenner dort eine doppelte Nullstelle hat und der Zähler von null verschieden ist, liegt ein doppelter Pol (also ohne Vorzeichenwechsel) vor. • Die Nullstellen von f sind ±2. • Geht man nach der Grundtaktik "durch die höchste Potenz des Nenners kürzen" vor, sieht man sofort, daß lim f(x) = 1 ist. Das bedeutet, daß x-t±oo die Gerade y = 1 im Unendlichen Asymptote an den Graphen von f ist.
• f' wird nach der Quotientenregel berechnet: f'(x) =
2x(x- 1) 2 - (x 2 - 4) · 2(:X- 1) (x- 1) 4 2x(x- 1)- (x 2 - 4) · 2 = 2 -x + 4 (x-1)3 (x-1) 3
1
• Da (x _ 1)3 für x > 1 positiv und für x < 1 negativ ist, ist f'(x) > 0 für x E)1, 4[. In diesem Intervall ist f also streng monoton steigend. Im restlichen Definitionsbereich]- oo, 1[U)4, oo[ ist f'(x) < 0 und f fällt streng monoton. Damit liegt ein relatives Maximum in (4, f(4)) = (4, vor, da f' einen Vorzeichenwechsel von plus nach minus hat.
V
• Zur Berechnung der zweiten Ableitung nimmt man noch einmal die Quotientenregel:
f"(x)
=
-x + 4) · 3(x- 1) 2 (x- 1) 6 -(x-1)-3(-x+4) = 2 2x-11 2 3 2 -(x- 1)
-
(x-
(
1) 4
(x-
1) 4
197
2.10. DIFFERENZIERBARKElT
Daß bei x = 4 ein Maximum vorliegt, kann man jetzt auch durch t'(4) = 2 8 3]1 < 0 nachrechnen. Die einzige Nnilstelle von
r ist
X
=
1f.
Jt
• Für x < ist t'(x) < 0 und der Graph von f ist rechtsgekrümmt; d.h. f ist konkav. Für x > konvex.
Jt ist t'(x)
> 0 und der Graph von
f ist linksgekrümmt; f ist
Jt, f (Jt)) = ( Jt, ~) einen Wendepunkt. Jt) =F 0 nachweisen.
Daher hat f bei ( alternativ durch / 111 (
• Daraus ergibt sich diese Skizze des Graphen von f. Die Asymptoten y = 1 und x = 1 sind gestrichelt eingezeichnet. Der Rechnung und der Skizze entnimmt man weiterhin, daß der Wertebereich von f das Intervall]-oo, ~] ist.
Das läßt sich
:X= 1
y
Beispiel 6: Welche Tangente an den Graphen von f(x) Punkt (1, -8) ?
= x 2 geht durch den
Die Gleichung einer Tangente im Punkt (a, f(a)) an den Graphen der Funktion f lautet y = f(a) + (x- a)f(a). Hier müssen also die Koordinaten des Punktes x = 1 und y = -8 der Tangentengleichung y = a2 + (x- a) · 2a genügen. Einsetzen: -8
= a2 + (1- a) · 2a
0 'Vx E I 3no E N:
n ~ no
=> lf(x)- fn(x)l < f
Konvergenzbegriffe bei Folgen
( E-n0- Kriterium)
Die Folge konvergiert gleichmäßig auf I gegen /, wenn sup l/n(x) - f(x)l --+ 0 xel
gilt. Das bedeutet, daß das f-n 0 -Kriterium für alle x mit demselben n 0 erfüllbar ist: 'VE > 0 3no E N 'Vx EI: n ~ no => lf(x)- fn(x)l < f gleichmäßige Konvergenz :
(punktweise) Konvergenz
IFunktionenreihen I 00
Eine Funktionenreihe
L fn(x) heißt
Konvergenzbegriffe bei Reihen
n=l
• (punktweise) konvergent im Intervall I, falls die Reihe für jedes feste x E I konvergiert, d.h. für jedes feste x konvergiert die Folge der Partialsummen. • gleichmäßig konvergent im Intervall I, wenn die Folge der Partialsummen in I gleichmäßig konvergiert. 00
• absolut konvergent im Intervall I, wenn die Reihe
L lfn(x)l (punktweise) n=l
konvergiert. 00
• absolut und gleichmäßig konvergent im Intervall I, wenn
L lfn(x)l gleichn=l
mäßig konvergiert. Kurz: Die Reihe ist absolut gleichmäßig konvergent.
200
KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG =}
absolut gleichmäßig konvergent
f=
gleichmäßig konvergent
.tJ. tY
.tJ. tY =}
absolut konvergent
f=
(punktweise) konvergent
lokal gleichmäßige Konvergenz, kompakte Konvergenz kompakte Konvergenz, lokal gleichmäßige Konvergenz
Der Begriff der kompakten Konvergenz oder lokal gleichmäßigen Konvergenz ist wichtig bei der Beschreibung der Konvergenz von Potenzreihen. Eine Teilmenge von IR oder C ist kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist. Ein Intervall ist also kompakt, wenn es von der Form I= [a, b] mit endlichen Grenzen a und b ist. Eine Folge Un) konvergiert auf M lokal gleichmäßig oder kompakt gegen eine Funktion f, wenn die Folge auf jeder ganz in M enthaltenen kompakten Menge M' gleichmäßig gegen f konvergiert. Lokal gleichmäßige Konvergenz von Reihen ist analog definiert. Typische Situation: Potenzreihen 00
Die Potenzreihe
E
an(x - x 0 )n habe den positiven Konvergenzradius r. Dann
n=O
konvergiert die Reihe sicher im offenen Intervall I :=]x0 - r, x0 + r[. In den Randpunkten kann die Reihe divergieren. Daher ist die Konvergenz i.allg. nicht gleichmäßig in I, sondern nur lokal gleichmäßig. Das heißt, daß die Reihe in jedem ganz in I enthaltenen abgeschlossenen Intervall [a, b] C I gleichmäßig konvergiert. Typische Schlußweise: Stetigkeit von Potenzreihen Dazu benutzt man, daß der gleichmäßige Grenzwert stetiger Funktionen stetig ist, s.u.
[
Xo
I
a x
3 b xo +r
Jeder Punkt x E I liegt in einem abgeschlossenen ganz in I enthaltenen Intervall [a, b] mit a < x < b. Da hier die Konvergenz gleichmäßig ist, ist die Potenzreihe bei x stetig. Da x beliebig war, ist die Reihe in ganz I stetig.
Mit ähnlichen Schlüssen zeigt man die Differenzierbarkeit von Potenzreihen. Der springende Punkt dabei ist, daß diese Eigenschaften nicht mit einem Schritt für ganz I gezeigt werden können, sondern daß man das offene Intervall I aus unendlich vielen kompakten Intervallen zusammensetzen muß. gleichmäßige Konvergenz
=?
f=
lokal gleichmäßige Konvergenz
=?
f=
(punktweise) Konvergenz
201
2.11. FUNKTIONENFOLGEN UND -REIHEN
12. Berechnung! IVergleichskriterium von Weierstraß I Ist lfn(x)- f(x)l ~ an (von x unabhängig!) und an -+ 0, so konvergiert die Folge fn gleichmäßig gegen f.
Vergleichskriterium
00
bn (von x unabhängig!) und E bn konvergent, so konvergiert n=l 00 E fn(x) absolut und gleichmäßig. n=l
Ist lfn(x)l
~
00
•
nx sm"he "'"""' . . . 1 1: K onvergenz der vrounerre1 B e1sp1e L... 2n=l n 00 1 1 Wegen Isinxl ~ 1 läßt sich bn = 2 wählen. Da die Reihe 2 konvergiert, n=ln n konvergiert die Reihe absolut und gleichmäßig.
L
IEigenschaften der
Grenzfunktion I
Konvergiert eine Folge stetiger Funktionen gleichmäßig oder lokal gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion f, so ist auch f stetig. Konvergiert eine Folge beschränkter Funktionen gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion j, so ist auch f beschränkt. 00
.
nx sm"""' "11e "'L... . . . 1 2 : Konvergenz der vrounerre1 B e1sp1e 2n=l n Da die Reihe nach Beispiel1 gleichmäßig konvergiert, ist die Grenzfunktion stetig. Aus dem obigen Satz erhält man diese Kriterien für nicht-gleichmäßige Konvergenz: • Konvergiert eine Folge oder Reihe stetiger Funktionen punktweise gegen eine unstetige Grenzfunktion f, so ist die Konvergenz nicht gleichmäßig. • Konvergiert eine Folge oder Reihe beschränkter Funktionen punktweise gegen eine unbeschränkte Grenzfunktion f, so ist die Konvergenz nicht gleichmäßig.
Eigenschaften der Grenzfunktion
202
KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG
Konvergiert eine Folge oder Reihe gleichmäßig auf h und auf h, so konvergiert sie auch gleichmäßig auf I 1 U I 2 • Beispiel 3: Untersuchen Sie die Folge Un) mit fn(x) = xn auf den Intervallen (0, I/2], (0, 1] und (0, 2] auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz.
Es ist x•--> {
l
o:::;x
1
Die Folge Un) divergiert auf (0, 2], da xn für x > 1 keinen Grenzwert hat. Auf (0, 1] konvergiert Un) punktweise gegen die Funktion
f(x) = {
~ ~: ~
f
mit
< 1 . Da alle fn stetig sind, die Grenzfunktion aber unstetig
ist, ist die Konvergenz nicht gleichmäßig. Auf (0, 1/2] gilt lfn(x)l = lxnl ::; (~f -+ 0. Daher konvergiert hier Un) gleichmäßig gegen die Grenzfunktion f(x) 0. Alternativ ließe sich das auch aus dem folgenden Satz von Dini folgern.
=
ISatz
von Dini I
Voraussetzungen: i) I = [a, b] ist ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall (d.h. I ist kompakt). ii) Un) ist eine Folge stetiger Funktionen, die (punktweise) gegen die Funktion f konvergiert. iii)
f ist stetig.
iv) Für jedes x EI ist die Folge Un(x)) monoton. Dann konvergiert Un) gleichmäßig gegen
f.
Dieser Satz läßt sich nur sehr selten verwenden, da man in der Regel eher daran interessiert ist, die Stetigkeit der Grenzfunktion aus der gleichmäßigen Konvergenz herzuleiten. Hier muß man sie schon vorher haben.
IAbleiten und Integrieren I Zu einer halbwegs befriedigenden Klärung der Frage, wann man Integration und Grenzwertbildung vertauschen darf, bedarf es der Integrationstheorie, die in diesem Buch nicht besprochen wird. Die nächsten Sätze sind daher nur für stetige Funktionen formuliert, gelten aber für größere Funktionenklassen.
2.11. FUNKTIONENFOLGEN UND -REIHEN
203
Ist Un) eine Folge stetiger F\mktionen, die auf einem Intervall [a, b] gleichmäßig gegen eine F\mktion f konvergiert, so ist b
b
lim jfn(x) dx =
n-+oo
a
Jf(x) dx a
00
Ist f(x) = ist
L
fn(x) mit stetigen fn und die Reihe gleichmäßig konvergent, so
n=l
{ f: fn(x) dx f: t fn(x) dx =
a n=l
n=l
a
Wenn man die erste Aussage mit Ableitungen formuliert, heißt sie Ist Un) eine F\mktionenfolge auf (a, b), so daß i) die Folge der Ableitungen giert
(!~)
gleichmäßig gegen eine F\mktion g konver-
ii) die Folge der funktionswerte an einer Stelle x0 E (a, b) konvergiert. Dann konvergiert Un) gegen eine F\tnktion leitung f'(x) = g(x).
f und f ist differenzierbar mit Ab-
Die Besonderheiten der Konvergenz von Potenzreihen sind in Abschnitt 12 beschrieben.
13. Beispiele I Beispiel 4: Für welche x E IR konvergiert
f: (1 +X xn )n?
n=l
Berechnen Sie ggf. den Wert der Reihe.
Der Trick besteht hierbei darin, die Reihe als Teil der geometrischen Reihe zu oo oo ( )n erkennen: L: (I~:ln = L: 1 ~x . Die Reihe konvergiert also für n=l
n=l
Denselben Konvergenzbereich kann man auch mit dem Wurzel- oder Quotientenkriterium erhalten. Zur Bestimmung des Reihenwerts zieht man die Summenformel der geometrischen Reihe heran: qn = ~. Hier ist q = x+x 1 . Allerdings beginnt die Reihe mit
E
n=O
q
wichtiger Trick
204
KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG
n = 1. Also muß man das Glied mit n = 0 noch ergänzen. Wegen q0 = 1 ist
f (-X )n - 1 = +
n=O
=
X
1
x+ 1 --..,.--- - 1 = x+1-x
X
1 1-
+1-
x -1
x+l
1=X
.. fur
X
oo
Läßt man für x auch komplexe Werte zu, erhält man analog:
1
> - -2 · Zn
L (1 +Zn) = z für
n=l
Rez
I
1
> - 2.
Beispiel 5:
.
oo
xn
n=l
n
L -.
Es handelt sich um eine Potenzreihe und einige der hier nachgerechneten Eigenschaften gelten für Potenzreihen allgemein. In diesem Beispiel soll nicht auf die Methoden aus Abschnitt 12 zurückgegriffen werden, sondern es wird alles "zu Fuß" ausgerechnet und nur auf entsprechende Ergebnisse dort verwiesen. Bestimmung des Konvergenzbereichs Mit an = xn liefert das Quotientenkriterium für Reihen n
Die Reihe konvergiert also für JxJ < 1 (sogar absolut) und divergiert für JxJ
> 1.
Die Punktex = ±1 müssen gesondert untersucht werden. Man erhält durch Einsetzen der beiden Werte zwei bekannte Reihen: für x = 1 hat man die divergente harmonische Reihe, für x = -1 die konvergente alternierende harmonische Reihe. Die Reihe konvergiert also (punktweise) auf [-1, 1[. (Mit den Methoden aus 2.12:) Der Konvergenzradius ist 1 (mit Quotientenkriterium oder dem Satz v. Cauchy-Hadamard). Untersuchung auf gleichmäßige Konvergenz Auf dem Intervall [-1,0] kann man die Konvergenz der Reihe auch mit dem Leibniz-Kriterium nachweisen: • das Vorzeichen von xn wechselt jedesmal, xn
1
• 1-1::::;---+ 0 n n
2.11. FUNKTIONENFOLGEN UND -REIHEN
205
I
I n: 11xl I(nxn+ln + 1)xn
• Die Monotonie von Ian I folgt aus aan+nll = wegen Ix I ::; 1.
< 1
Aus der Fehlerabschätzung des Leibnizkriteriums erhält man dann, daß die Differenz zwischen der n-ten Teilsumme der Reihe und der Grenzfunktion höchstens so groß ist wie I~ also kleiner als ~. Damit konvergiert die Reihe nach dem Vergleichskriterium vom Weierstraß gleichmäßig auf [-1, 0].
I,
In der positiven Hälfte des Intervalls erhält man gleichmäßige Konvergenz nur in Intervallen (0, a] mit a < 1. Dazu schätzt man den Reihenrest direkt ab: oo n oo k xn I oo xn IL--L- - I L ~~ ::; L
n=1 n
n=1 n
oo
= lxlk+l L
lxln n=O n=k+1 n=k+1 n ak+1 lxlk+l - - - < - - --+ 0 wegen a < 1. 1-lxl - 1- a lxln
Genauso erhält man die gleichmäßige Konvergenz auf Intervallen der Form [-a, a], nicht aber aus Intervallen, die den Punkt -1 enthalten. Der Grund dafür ist, daß man mit der Abschätzung sogar die absolut gleichmäßige Konvergenz erhält, die bei -1 nicht gegeben ist. Daß die Reihe bei x = 1 nicht gleichmäßig konvergiert, ist relativ schwer direkt nachzuweisen. Man erhält es aber daraus, daß die Reihe auf dem offenen Intervall ]- 1, 1( die Funktion f(x) = -ln(1- x) darstellt und diese Funktion bei x = 1 unbeschränkt ist. Da die Reiheglieder beschränkte Funktionen sind, kann die Konvergenz nicht gleichmäßig sein. Insgesamt hat man gleichmäßige Konvergenz in jedem Intervall der Form [-1, a] mit a E (-1, 1(. (Mit Methoden aus 2.12:) Die Potenzreihe konvergiert lokal gleichmäßig, also gleichmäßig auf jedem abgeschlossenen Teilintervall von ] - 1, 1(. Aus dem Abelschen Satz folgt: Da die Reihe bei x = -1 konvergiert, konvergiert sie im Intervall [-1, 0] gleichmäßig und stellt eine stetige Funktion da. Zusammenfassung des Konvergenzverhaltens
Insgesamt hat man folgendes Konvergenzverhalten: Mit -1 < a < b < 1 konvergiert die Reihe
f
n=l
xn n
• in (-1, 1] nicht, da sie für x = 1 divergiert • in (-1, 1( punktweise, aber weder absolut (für x = -1 hätte man wie bei x = 1 die divergente harmonische Reihe) noch gleichmäßig
KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG
206
• in [-1, b] gleichmäßig, aber nicht absolut • in]- 1, 1[ absolut, aber nicht gleichmäßig • in [a, b] absolut und gleichmäßig Bestimmung der dargestellten Funktion
f
xn konvergiert sicher für x = 0 (gegen null). n Die Form der Reihe legt es nahe, die abgeleitete Reihe zu untersuchen:
Die Reihe
n=1
xn-1
00
L:n- =
f'(x) =
n
n=1
00
L"::xn-1 n=1
1
00
LXn = - .
=
1-
n=O
X
Genau wie oben kann man beweisen, daß diese Reihe auf Intervallen der Form [-a, a] gleichmäßig konvergiert. Da die Reihe zu f für x = 0 konvergiert, gilt f(x) = -In 11 - xl + C, und aus dem Vergleich mit der Reihe bei x = 0 folgt C = 0 und damit f(x) = -ln(1 - x) auf]- 1, 1[. Da die Reihe auch bei x = -1 noch konvergiert, gilt diese Darstellung auch bei x = -1 und man erhält nach Multiplikation mit -1 1-
1
1
1
2 + 3 + 4 - ·· · =
ln2.
Beispiel 6: Der laufende Buckel: fn(x) = { 01 n-1~x~n sonst y
y
y
1 X
1
1 2
X
n n+ 1
Für jedes x E IR ist für n ~ x+ 1 stets fn(x) = 0, die Folge konvergiert also punktweise gegen die Nullfunktion f(x) = 0. Diese Konvergenz ist nicht gleichmäßig, da immer sup lfn(x) - f(x)l = sup lfn(x)l = 1 ist. xER
xER
2.12. POTENZREIHEN
2.12
207
Potenzreihen
11. Definitionen I Der wichtigste Spezialfall von F\mktionenreihen sind Potenzreihen. 00
Eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt x 0 ist eine Reihe
L an(x- x t. 0
n=O
Es gilt: es gibt eine Zahl r, der Konvergenzradius, mit 0 ~ r ~ oo, so daß für lx- x 0 1 < r die Reihe konvergiert und für lx- x 0 1 > r die Reihe divergiert. Das Intervall)x0 - r, x0 + r[ heißt Konvergenzintervall, im komplexen Fall heißt der durch lz- x 0 1 < r beschriebene Kreis um x 0 mit Radius r Konvergenzkreis.
Entwicklungspunkt
Auf dem Rand des Konvergenzintervalls muß man für die Zahlen mit lx- x 0 1 = r besondere Untersuchungen anstellen.
Konvergenzradius Konvergenzintervall Konvergenzkreis
Eine FUnktion heißt (reell) analytisch in einem offenen Intervall I, falls man sie in jedem Punkt von I in eine konvergente Potenzreihe entwickeln kann.
(reell} analytisch
Dazu gehören alle FUnktionen, die man aus Polynomen, trigonometrischen, Exponential- und hyperbolischen F\mktionen und deren Umkehrfunktionen durch die Grundrechenarten und Einsetzen erzeugen kann (genauer: in offenen Teilintervallen des jeweiligen Definitionsbereichs), z.B. ist e•inln(x 2 +l) reell analytisch. Natürlich können nur unendlich oft differenzierbare FUnktionen analytisch sein. In analytischen F\mktionen kann man die reelle Variable x durch die komplexe Variablezersetzen und erhält eine holamorphe FUnktion, vgl. Kapitel 7. Analytische FUnktionen lassen sich stets in Taylorreihen entwickeln und werden im Konvergenzbereich der Taylorreihe durch diese dargestellt.
12. Berechnung! 11. Konvergenz von Potenzreihen I Konvergenz Potenzreihen konvergieren lokal gleichmäßig im Inneren ihres Konvergenzintervalls , d.h. gleichmäßig auf Intervallen (x 0 - a, x 0 + a], a < r. Die Konvergenz in den Randpunkten muß gesondert untersucht werden. Im Falle der Konvergenz in einem Randpunkt gilt der Abelsche Stetigkeitssatz, der besagt, daß die Konvergenz in einer Intervallhälfte gleichmäßig ist, wenn die Reihe auch im Randpunkt konvergiert:
Abelscher Stetigkeitssatz
KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG
208
00
Sei r der Konvergenzradius der Reihe f(x) =
L an(x- xot. Konvergiert die n=O
Reihe im Randpunkt x 0 + r bzw Xo - r des Konvergenzintervalls, so gilt: • Die Reihe konvergiert in (x 0 , x0 + r] bzw. (x 0
-
r, xo] gleichmäßig und
• f ist in diesem Intervall stetig. Quotientenkriterium
Oft läßt sich der Konvergenzradius mit dem Quotientenkriterium berechnen: Existiert r = lim
n-too
~~~, so ist r E (0, oo] der Konvergenzradius. an+1
Achtung! Hier steht der Kehrwert des Bruchs, der im Quotientenkriterium für Reihen auftritt. 00
xn
I Beispiel 1: Konvergenz von ]; n 2
n.
Mit an = - 12 berechnet man n n (n + 1)2n+1 = 2n + 1 --t 2. I ~~= an+1 n2n n
Damit ist r = 2, und die Reihe konvergiert für lxl < 2 und divergiert für lxl > 2. Für x = -2 ist es die alternierende harmonische Reihe, die nach dem LeibnizKriterium konvergiert, für x = 2 ist es die divergente harmonische Reihe. Formel von CauchyHadamard
Immer läßt sich die Formel von Cauchy-Hadamard anwenden: Es ist r = _ 1~. Dabei wird -01 = oo lim n lanl n-too
und~= 0 gesetzt. 00
lim bn ist dabei der obere Limes oder Limessuperior der Folge (bn), der größte n-too Häufungspunkt. Für konvergente Folgen stimmt der obere Limes mit dem Limes überein. 00
Beispiel2: Konvergenzradius von
L(2+ (-1)ntxn n=O
n gerade h d Q . a,.- a bwccl1seln d"1e Werte 1 un d M1·t an = { 3n 3 1 n ungerade at er uotlent an+I 3". Damit ist das Quotientenkriterium nicht anwendbar. ~hat die Werte 1 n
2.12. POTENZREIHEN
20!)
und 3, und somit ist der Limessuperior (der größte Häufungswert) 3. Damit ist der Konvergenzradius r =
!·
Dabei gilt die allgemeine Regel: An den Rändern des Konvergenzintervalls liefern die Limesversionen von Wurzelund Quotientenkriterium keine Aussage. Man kann höchstens mit den allgemeinen Versionen dieser Kriterien auf Divergenz schließen. Ist f auf I analytisch, so läßt sich der Konvergenzradius bei der Entwicklung um Xo E I auch so bestimmen: Man betrachtet f als holomorphe F\mktion (vgl. Kapitel 7). Der Konvergenzradius ist die Entfernung von x 0 bis zur nächsten Singularität in C.
12. Rechnen mit Potenzreihen I Potenzreihen dürfen gliedweise beliebig oft integriert und differenziert werden. Die integrierten und abgeleiteten Reihen haben denselben Konvergenzradius. Potenzreihen mit demselben Entwicklungspunkt werden gliedweise addiert. Für das Produkt gilt die Cauchysche Produktformel:
Rechnen mit Potenzreihen
Das bedeutet, daß die Reihen ausmultipliziert und nach Potenzen sortiert werden. Der Konvergenzradius ist mindestens so groß wie der kleinere Konvergenzradius der beiden Faktoren. Potenzreihen darf man ineinander einsetzen.
13. Konstruktion von Potenzreihen I Es werden mehrere Möglichkeiten vorgestellt, Potenzreihen zu konstruieren. Ein allgemeines Verfahren dazu gibt es nicht, oft ist es aber durch Kombination der einzelnen Verfahren möglich. !3.1 Potenzreihe als Taylorreihe I Ist die zu entwickelnde Funktion analytisch, so stimmen Potenzreihe und Taylorreihe überein und die Entwicklung kann durch die im nächsten Abschnitt beschriebene Taylorentwicklung vorgenommen werden.
Konstruktion von Potenzreihen
KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG
210
13.2 Einsetzen von Reihen! Da man Potenzreihen ineinander einsetzen darf, ist es in einfachen Fällen möglich, dadurch die Reihe einer zusammengesetzten Funktion zu bestimmen. oo
Beispiel 3: e" 2
=L
(x2)n
- 1n=O n.
oo
=L
x2n
-1 n=O n.
13.3 Differentiation und Integration I Hier nutzt man aus, daß man Potenzreihen gliedweise integrieren und differenzieren darf.
CD
Ermittlung der Reihe zu f'(x).
®
Gliedweise Integration des Ergebnisses. Dabei muß (durch Einsetzen von x = x 0 ) das absolute Glied bestimmt werden.
Beispiel 4: Reihenentwicklung von f(x)
CD
= ln(1- V um x0 = 0.
Die Ableitung vonfisteine gebrochen rationale Funktion: f'(x)
= -1/2/:
1- X Jetzt verwendet man die geometrische Summenformel (s.u.) und erhält
.
2
1 00 (x)n oo xn =n+l 2n=O 2 n=02
f'(x) = --
®
L -
L
Um die Reihe zu f zu bestimmen, wird gliedweise integriert: oo xn+l X ln(1- 2) = f(x) =- L (n + 1)2n+l n=O
oo
+ C =- L
n=l
Xn 2n n
+ C.
Um die Konstante zu bestimmen, wird x = 0 eingesetzt: Aus ln(1- 0) = 0 folgt C = 0. 13.4 Reihen gebrochen rationaler Funktionen I Wichtigstes Hilfsmittel ist die Summenformel der geometrischen Reihe: 1 -
1-q
00
=
L qn n=O
für
lql < 1
2.12. POTENZREIHEN
211
Daraus leitet man die für jx- xol
