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0 gilt. So bilden el, e2 und e3 ein Rechtssystem, aber el, e3 und e2 nicht. Aus vii) und viii) folgt, dass für je zwei linear
1.1 Begriffe und Ergebnisse
33
unabhängige Vektoren Xl und X2 die Vektoren Xl, X2 und Xl x X2 ein Rechtssystem bilden, denn es gilt: Xl . (X2 X (Xl X X2)) = (Xl X X2) . (Xl X X2) > o. Also: Bilden Xl, x2 und X3 ein Rechtssystem, so ist ~Xl . (X2 x X3) das Volumen des Tetraeders mit den Ecken 0, Xl, X2 und X3 . Zum Schluss dieser geometrischen Betrachtungen wollen wir einige Hinweise geben, wie man gewisse Winkel und Abstände im Raum messen kann. Seien dafür go, gl Geraden mit Richtungen Vo und VI, E o und EI Ebenen mit Normaleneinheitsvektoren no und nl . Der Winkel 'P E [0, ~ 1 zwischen go und E o ist definitionsgemäß der Winkel zwischen go und der Projektion von go auf E o, und dieser Winkel ist komplementär zu demjenigen Winkel zwischen go und no, der in [0, ~lliegt; also: _ • (11" ) _ Ivaxnal cOS'P - sm 2" - 'P Ival . Den Winkel zwischen E o und EI kann man als denjenigen Winkel () E [0, ~ 1 mit der Eigenschaft cos () = Ino . nIl definieren. Geometrisch bedeutet dies, falls E o und EI nicht parallel sind, folgendes: Sei g die Schnittgerade von E o und EI, P E g beliebig aber fest, h o und h l die Geraden durch P in der Ebene E o bzw. EI, die senkrecht zu g sind. Dann bilden ho und hl den Winkel () aus [0, H Sei nun Q ein Punkt im Raum, Po "I Q ein Punkt von go (falls Q f/. g, hat jeder Punkt von g diese Eigenschaft) und Qo die orthogonale Projektion von Q auf go. Der Abstand d(Q,go) von Q zu go ist die Länge der Strecke QQo oder auch 1P0QI sin 'P, wobei 'P der Winkel zwischen Vo und PoQ ist. Wegen . gilt
d(Q,go) =
IPoQ x vol Ivol
.
Sind die Geraden go und gl parallel, d.h. sind Vo und VI proportional, so ist der Abstand d(go, gd zwischen go und gl gleich dem Abstand von einem beliebigen Punkt von go (bzw. gd zu gl (bzw. go); mit Po Ego und PI E gl n ) ) Sons t ha t man d( gO,gl ) = d( .rO,gl = IPol\ Iv,lxv,l = IPol\ Ivalxval = d(P1,gO· (d.h. wenn Vo und VI nicht proportional sind) ist der Abstand d(go, gd der kleinste Abstand zwischen einem Punkt von go und einem Punkt von gl. Die Existenz und die Eindeutigkeit eines Punktepaares (Qo, Ql) mit den Eigenschaften Qo Ego, Ql E gl und d(Qo, Ql) = d(go, gl) kann man elementar geometrisch zeigen. (Komplizierter geht es natürlich auch! Stichwort dazu: Extrema mit Nebenbedingung.) Wir schildern hier nur die Konstruktion dieses Punktepaares. (Überlegen Sie sich den Beweis dazu und verwenden Sie dafür eine Skizze!) Seien EO,l und El,o die Ebenen durch go bzw. gl, die parallel zu gl bzw. go sind. Mit h l und h o bezeichne man die orthogonale Projektion von gl bzw. go auf EO,l bzw. El,o. Dann sind Qo und Ql die
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
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Schnittpunkte von 90 mit h l bzw. 91 mit ho. Der Vektor Vo x VI ist eine Normale sowohl zu EO,l als auch zu El,o. Sind Po E 90 und PI E 91 beliebige Punkte, so ist die Länge der orthogonalen Projektion von POPI auf die Richtung Vo x VI gleich IQoQll; also:
-IR
d( 90, 91 ) -
Pl ' Vo x VI Ivo x VII
0
1_ IPaK· (vQ x vl)1 -
Ivo x VII
.
(1.31)
1.1.11 Lineare Gleichungssysteme, Abbildungen und Matrizen (Aufgabe 42 bis 50) Geometrische, physikalische, chemische, biologische, ökonomische und soziologische Fragestellungen führen zu Gleichungen, in welchen die Unbekannten, also gesuchte Größen Xl, X2, ..• , X n , linear vorkommen, d.h. deren Potenzen, Inversen oder mittelbare Verknüpfungen (wie z.B. 2 x 1, sin X2 oder In X3) treten dabei nicht auf oder werden vernachlässigt. Fasst man diese m Informationen (die z.B. aus Messungen oder Naturgesetzen gewonnen werden) über Xl,X2,'" ,X n zusammen, so erhält man ein System von linearen Gleichungen, das allgemein durch allXl a2lXl
+ a12 x 2 + ... + alnXn + a22 X 2 + ... + a2nXn
= bl = b2
(1.32)
dargestellt wird. Dabei sind die Koeffizienten aij reelle Zahlen; man kann sich aber Koeffizienten auch aus einem anderen Körper vorstellen. Kommen in (1.32) wenige Gleichungen vor (also ist m klein), so kann man elementar zu Werke gehen und durch sukzessive Elimination die Unbekannten bestimmen oder wenigstens versuchen, dies zu tun. Im günstigen Fall bekommt man eine eindeutig bestimmte Lösung. Unangenehm ist der Fall, in welchem eine Vereinfachung nicht mehr möglich ist und man auf Bedingungen wie z.B. Xl + x2 = 1 und X3 + 2X4 - 3X5 = 0 "sitzenbleibt" . Für jede Wahl von X2, X4 und X5 bekommt man hier eindeutig Xl und X3 und damit auch die Werte für die restlichen X6, ••• ,X n (falls vorhanden!). Man spricht in einem solchen Fall von einer dreiparametrigen Lösungsmenge. Auch die Möglichkeit durch solche Eliminationen zu einem Widerspruch zu kommen, wie Xl + X2 = 2 und Xl + X2 = 3, ist denkbar. Dann hat das System keine Lösung. Wenn sehr viele Gleichungen vorkommen oder wenn die Koeffizienten von Parametern abhängen, ist das Problem schwierig. In allen diesen Fällen stellen sich drei Fragen von allgemeinem Charakter: Gibt es überhaupt eine Lösung?
1.1 Begriffe und Ergebnisse
35
Wenn ja, wieviele? Besitzt die Lösungsmenge eine besondere Struktur? Gibt es Lösungswege, die schneller als das Eliminationsverfahren sind? Kann man dabei technische Hilfsmittel (Computer) verwenden? Zur Bewältigung dieser Fragen dient die Theorie der Vektorräume und linearen Abbildungen zwischen Vektorräumen. Dabei erweist es sich als sehr nützlich, den genauen Zusammenhang zwischen linearen Abbildungen und Matrizen zu kennen. Wir führen deshalb nun den Begriff lineare Abbildung (oder auch Homomorphismus von Vektorräumen) ein, erläutern den Zusammenhang zwischen linearen Abbildungen und Matrizen, erklären die Operationen mit Matrizen und geben schließlich die Hauptergebnisse über lineare Gleichungssysteme an. Wenn man Mengen betrachtet, die eine Struktur tragen, wenn z.B. Addition und Multiplikation darauf definiert sind, dann spielen Abbildungen eine besondere Rolle, die mit dieser Struktur" verträglich" sind, die sie "erhalten". Solche Abbildungen nennt man Homomorphismen. Bei K - Vektorräumen sind das diejenigen Abbildungen, die die Summe zweier Vektoren auf die Summe der Bildvektoren abbilden und das skalare Vielfache eines Vektors auf dasselbe Vielfache des Bildvektors. Explizit formuliert: Sind V und W zwei K-Vektorräume, so ist 1 : V -+ Wein K-Vektorraumhomomorphismus oder eine K-lineare Abbildung oder auch ein Klinearer Homomorphismus, falls für alle v, V1, V2 E V und a E K gilt: I(V1
+ V2) = I(V1) + I(V2)
, I(av)
= al(v)
.
(1.33)
Äquivalent dazu: Für alle V1, V2 E V und a1, a2 E K hat man (1.34) l(a1 V1 + a2 v 2) = ad(vd + a21(v2) . Die Menge der K-linearen Homomorphismen wird mit HomK(V, W) bezeichnet. Sie ist nicht leer, da die Nullfunktion, die jedem v E V den Nullvektor von W zuordnet, ein K-linearer Homomorphismus ist. Sind I, h, haus HomK(V, W) und a aus K, so werden h + hund al durch
(h
+ h)(v)
:=
h(v)
+ h(v)
bzw.
(af)(v):= a(J(v))
für
v EV
definiert. h + hund al sind ebenfalls K-linear; durch diese Festlegung von Addition und skalarer Multiplikation ist HomK (V, W) selbst ebenfalls ein K-Vektorraum. HomK(V, V) - wenn also W = V gilt - heißt der Endomorphismenraum von V und wird mit EndK(V) bezeichnet. Sind 1 : V -+ Wund 9 : W -+ T Vektorraumhomomorphismen (über K), so ist auch goi: V -+ Tein K-linearer Homomorphismus. Ist der K-lineare Homomorphismus 1 : V -+ W bijektiv, so ist die inverse Funktion 1- 1 : W -+ V ebenfalls K-linear, da aus
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
36
folgt f-1(a1w1 +a2w2) = ad- 1(wd +a2f- 1(w2). Hier zeigt sich zum ersten Mal die Stärke der K-Linearität. Wir geben nun weitere Ergebnisse an, welche aus der K - Linearität gewonnen werden. Sei f : V -+ Wein K-linearer Homomorphismus; er bildet den Nullvektor aus V auf den Nullvektor aus W ab (j(0) = f(O . 0) = 0 . f(O) = 0). Sind V1, ... ,Vk aus V linear abhängig, so sind f(vd, f(V2), ... ,f(Vk) linear abhängig, weil jede Linearkombination on
2:;=1 ajf(vj)
2:;=1 ajvj
auf die Linearkombinati-
durch f abgebildet wird. Gilt also
mindestens ein aj von Null verschieden ist, so folgt Teilmenge Kern(j) := {v E V I f(v) = O} = f- 1({O})
2:;=1 ajVj = 0, wobei 2:7=1 ajf(vj) = o. Die (1.35)
von V und die Teilmenge Bild(j) := {w E W l:lv E V
f(v) = w} = f(V) (1.36) von W sind Untervektorräume des jeweiligen Raums. Das ist leicht an Hand der Definition für Unterräume nachzurechnen. Wegen der K-Linearität ist f genau dann injektiv, wenn Kern(j) = {O} ist. (j(vd = f(V2) {::::::} f(vd - f(V2) = 0 {::::::} f(V1 - V2) = 0 und V1 = V2 {::::::} V1 - V2 = 0.) In diesem Fall heißt f Monomorphismus. Die surjektiven K-linearen Abbildungen heißen Epimorphismen. Die bijektiven Homomorphismen heißen Isomorphismen. Die bijektiven Endomorphismen werden Automorphismen genannt. Ist fein Monomorphismus, so überträgt f auch die lineare Unabhängigkeit: Sind V1, ..• ,Vk aus V linear unabhängig und sind a1, ... ,ak Elemente mit
2:;=0 ajf(vj) = 0, so folgt f(2:;=o ajvj) = o. Wegen Kern(j) = {O} hat man 2:;=0 ajvj = 0, und die lineare Unabhängigkeit von V1, ... ,Vk impliziert a1 = ... = ak = o. Also sind auch die Bilder der
aus K, so dass gilt
V1, ... ,Vk linear unabhängig. Ohne die Injektivität ist diese Aussage falsch; das einfachste Gegenbeispiel ist die Nullfunktion. Da die Bilder einer Basis ein Erzeugendensystem von Bild(j) sind, ist dirn Bild(j) ::; dirn V, und aus dem obigen Ergebnis für Monomorphismen folgt dirn Bild(j) = dirn V, wenn f injektiv ist. Daraus können wir ablesen: Ist fein Monomorphismus, so ist dirn V ::; dirn W. Ist fein Epimorphismus, so ist dirn V 2 dirn W. Ist f ein Isomorphismus, so ist dirn V = dirn W . Ein K-linearer Homomorphismus f : V -+ W ist vollkommen bekannt, wenn man die Werte von f auf einer Basis von V kennt. Ist nämlich v E V, so existieren endlich viele Basiselemente V1, ... , Vk und dazu Körperelemente a1, ... , ak, so dass v = 2:;=1 ajV j gilt; wir haben deshalb f (v) =
f(2:;=l ajvj) = 2:;=1 ajf(vj) . Leicht nachzuweisen ist auch die umgekehrte Aussage: Sind V und W KVektorräume und ist B eine Basis von V, so kann man jedem Vektor aus
1.1 Begriffe und Ergebnisse
37
ß einen beliebigen Vektor aus W zuordnen (diese Wertemenge muss weder linear unabhängig noch erzeugend sein) und hat damit eindeutig einen K-Homomorphismus festgelegt. Diese Aspekte werden wir jetzt für endlich dimensionale Vektorräume genauer untersuchen. Seien also V, W endlich dimensional, ß:= {VI, ... , v n } eine Basis von V,C := {WI, ... , w m } eine Basis von W und sei f : V --+ W K-linear. Schreibt man jedes f(vj) als Linearkombination L:Z'=I akjWk, so kann man f und den Basen ß und C die Matrix a11 a2I ( MC,B(f):= : amI
aI2 a22
(1.37)
am2
zuordnen mit folgender Konsequenz: Ist V E V und L:j=1 ~jVj die Darstellung von V in der Basis ß, so folgt: f(v)
L:j=1 ~j(L:Z'=1 akjWk)
= f(L:j=1 ~jVj) = L:j=1 ~jf(vj) =
= L:Z'=I(l:j=1 akj~j)wk
. Man erhält also den k-ten Koeffizienten der Darstellung von f(v) in der Basis C als Skalarprodukt der k-ten Zeile von MC,B(f) mit der Koeffizientenzeile (6, ... , ~n) von v bezüglich der Basis ß. Mit den Definitionen von MC,B, den Operationen in HomK(V, W) und den Operationen in Kmxn lässt sich zeigen, dass für alle h, h E HomK (V, W) und al, a2 E K gilt:
Wenn wir also MC,B als Abbildung von HomK(V, W) in Kmxn auffassen, ist damit klar, dass MC,B ein K-linearer Homomorphismus ist. Wir überlegen uns jetzt, dass es sogar ein K - Vektorraumisomorphismus ist. Einer beliebigen Matrix A = (akj) k=l, ...• m aus K mxn ordnet man nämlich den K-linearen HoJ=l, ... ,n
momorphismus h A : V --+ W zu, der durch hA(vj) := l:~1 akjWj eindeutig definiert wird. Wegen h a1 A1+a2 A2 = aIhA 1 + a2hA2 ist hein K-linearer Homomorphismus von Kmxn nach HomK(V, W). Es gilt sogar MC,B(hA) = A und hMc,B(f) = f für alle A aus Kmxn und f aus HomK(V, W). Damit ist MC,B ein K-Vektorraumisomorphismus. Insbesondere hat HomK(V, W) die Dimension m . n, denn K mxn hat die Dimension m . n. Der Matrix ekj aus der kanonischen Basis von K mxn (s. 9) entspricht die K-lineare Abbildung h ekj , welche Vj auf Wk und alle anderen Vi auf 0 abbildet. Damit ist {h ekj I k = 1, ... , m,j = 1, ... , n} eine Basis von HomK(V, W), denn wir hatten ja schon gesehen: Monomorphismen bilden linear-unabhängige Mengen auf linear-unabhängige Mengen ab, Epimorphismen bilden Erzeugendensysteme auf Erzeugendensysteme ab, so dass Isomorphismen Basen auf Basen abbilden.
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
38
Sei nun T ein weiterer K-Vektorraum, D = {tl,"" t p } eine Basis von T, 9 : W -t Tein K-linearer Homomorphismus und Mv,c(g) = (b 1k ) l=l, ... ,p die k=l, ... ,1n
zugeordnete Matrix. Es gilt: g(f(Vj)) = g(2:~l akjWk) = 2:;;'=1 akjg(Wk) = 2:;;'=1 akl(2:f=l blktl) = 2:f=l(2:;;'=l blkakj)tl . Also: Mv,B(g 0 1) = (2:;;'=1 b1kakj) l=l, ... ,p • Dieses Ergebnis rechtfertigt die J=l, ... ,n
Definition der Matrizenmultiplikation. Das Produkt B . A der Matrizen Bund A mit Komponenten aus dem Körper K ist nur dann definiert, wenn die Anzahl der Spalten von B gleich der Anzahl von Zeilen von A ist. Ist B = (b 1k ) l=l, ... ,p und A = (akj) k=l, ... ,m, so ist die (l,j)-Komponente Clj von k=l, ... ,m
o := B . A
J=l •... ,n
definiert durch Clj = 2:;;'=1 b1kakj. Mit dieser Definition hat man:
Mv,e(g) . Me,B(f) = Mv,B(g 0 1) . (1.38) Noch einmal: Wenn man B . A schreibt, bedeutet dies automatisch, dass die Anzahl der Zeilen von A und der Spalten von B gleich sind. Für alle d E K,O E Kqx p, B, BI, B 2 E KPxm,A, Al, A 2 E Kmxn gilt: (BI
+ B 2)A =
O· (B· A)
BI . A
+ B2 . A
= (0· B) . A,
, B· (Al
(dB)· A
+ A 2) =
B . Al
+B
= d(B· A) = B· (dA)
.
. A2 , (
1.39
)
Ist E n E K nxn die Einheitsmatrix, d.h. die n x n-Matrix, deren Hauptdiagonalelemente alle 1 sind, und alle anderen Elemente sind 0, so gilt für A E K mxn : E m . A = A = A· E n . Ist B, A definiert, so ist im Allgemeinen A . B nicht definiert, es sei denn, A E K mxn und B E K nxm . Sind A und B quadratische Matrizen aus K nxn und ist n ~ 2, so gilt im Allgemeinen AB :I BA, wie in dem folgenden einfachen Beispiel: (
~ ~). (~ ~) = (~ ~ )
und
(
~ ~). (~ ~) = (~ ~)
.
Das lineare Gleichungssystem (1.32) lässt sich mit Hilfe der Matrizenmultiplikation als A .x = b (1.40) schreiben; dabei ist A die m x n Matrix (akj) k=l, . . ,m , 1=1, ... ,n
X
ist die n x 1-Matrix
(d.h. ein Spaltenvektor) mit den Komponenten Xj, und b ist die mx 1-Matrix (Spaltenvektor ) mit den Komponenten bk . Sind al, ... , an die Spalten von A, so erhält man für das Gleichungssystem (1.32) die folgende Darstellung: (1.40') Xlal + X2a2 + ... + xnan = b . Betrachtet man auf Km und Kn die kanonischen Basen Em bzw. En , so definiert A E Kmxn eine K-lineare Abbildung hA : Kn -t Km. Das Lösen von Ax = b bedeutet also: Bestimme alle x E Kn, die durch hA auf b abgebildet werden. Das System (1.32) hat genau dann (mindestens) eine Lösung, wenn b im Bild von hA liegt. Wegen der Darstellung (1.40') hat das Glei-
39
1.1 Begriffe und Ergebnisse
chungssystem (1.32) genau dann (mindestens) eine Lösung, wenn b in dem von al, a2, ... ,an erzeugten Untervektorraum von Km liegt. Die Dimension dieses Untervektorraums - die der Rang (Spaltenrang) von A genannt wird - spielt deshalb eine besondere Rolle. Man bezeichnet mit (A, b), die durch b ergänzte Matrix A, d.h. (A, b) ist die m x (n + 1)-Matrix mit den Spalten al, a2, ... ,an, b. Dann gibt es (mindestens) eine Lösung von (1.32), wenn RangA = Rang(A,b) gilt, wenn also al, ... ,an,b nicht mehr linear unabhängige Vektoren enthält als al, ... , an. Den Spaltenrang von A kann man mit Hilfe elementarer Spaltenumformungen berechnen. Das sind die folgenden Operationen: i) ii) iii)
Multiplikation einer Spalte mit einem von Null verschiedenen Element. Addition einer Spalte zu einer anderen Spalte. Vertauschung von Spalten.
Eine Spaltenumformung ist das Ergebnis von hintereinander ausgeführten elementaren Spaltenumformungen. Da der Spaltenrang gleich der maximalen Anzahl linear-unabhängiger Spalten von A ist, ändert eine (statt jede) elementare Spaltenumformung den Spaltenrang von A nicht. Man kann sich leicht klar machen, dass es stets möglich ist, eine Matrix durch elementare Spaltenumformungen auf die Gestalt
(Om~r,r O~~:,~~r)
zu transformie-
ren; dabei ist Op,q die p x q-Nullmatrix. r ist dann der Spaltenrang von A . Analog kann man die Begriffe Zeilenrang, elementare Zeilenumformung und Zeilenumformung definieren. Mit einer etwas mühsamen Argumentation kann man nachweisen, dass für jede Matrix Zeilenrang und Spaltenrang übereinstimmen. Damit ist gerechtfertigt, kurz nur von dem Rang einer Matrix zu sprechen. Um die Transformation von Matrizen auf die soeben angegebene Normalform zu erreichen, definieren wir einige einfache m x m-Matrizen: S~m) und ~)m)
Mi(m) ().,),
.
Mi(m)().,) ist die m x m-Matrix, deren Diagonalelemente bis auf die (i,i)-te Stelle gleich 1 sind; an der Stelle (i, i) steht ).,. Alle anderen Komponenten
von
Mi(m)().,)
sind Null.
S~m) hat auf der Diagonalen und an der (i,j)-ten Stelle die Einträge 1; die restlichen Komponenten sind Null. ~)m) ist die m x m-Matrix, deren Diagonalelemente bis auf die (i, i)-te und die (j,j)-te Stelle gleich 1 sind. An diesen bei den Stellen steht O. An der (i,j)ten und der (j, i)-ten Stelle steht 1; alle anderen Stellen sind mit 0 belegt. Es gilt insbesondere: ~)m) = Vj~m). Z.B. hat man:
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
40
(~ ~) (~ ~) 0
MJ4) (,\)
5(4) 42 -
,\
=
0 0
0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 1 0
5(4) 24 -
V;(4) 23 -
Mi(m) (,\). A
0 0 1 0
V;(4) 32 -
Es lässt sich leicht prüfen, dass:
-+
(~ ~) (~ ~) 0 0 1 0 0 1 0 0
die Multiplikation der i-ten Zeile von
A
0 1 0 0
mit ,\ bewirkt (d.h.
bei Mi(m) (,\) . A steht in der i-ten Zeile das '\-fache der i-ten Zeile von A, alle anderen Zeilen stimmen überein),
-+
5~m). A die Addition der j-ten Zeile zur i-ten Zeile von A bedeutet,
-+
~~m). A die Vertauschung der Zeilen i und j von A bewirkt.
Eine Zeilenumformung von A lässt sich also durch das Produkt einer Matrix (das wiederum ein Produkt von Matrizen der Typen 5, V und Mist) mit A realisieren; insbesondere gibt es deshalb eine Matrix B mit B . A = Er ( Om-r,r
Orn-r)
Om~r,n-r
.. . Analoge Uberlegungen kann man für die Spaltenum-
formungen anstellen; der Unterschied ist nur, dass die Matrix A von rechts mit n x n-Matrizen vom obigen Typ multipliziert wird. Da der Zeilenrang und der Spaltenrang gleich sind, gibt es also auch eine Matrix C mit der . h a ft A . C = (Er Elgensc 0
m-r,r
Or' n-r ) . 0 m-r,n-r
Wegen der Definition des Spalten- und des Zeilenrangs folgt Rang A ::; n und Rang A ::; m und damit Rang A ::; min{ m, n} für alle A aus Kmxn. Man beachte, dass im Allgemeinen gilt Rang(B· A) ::; min{RangB,RangA},
(1.41)
denn Bild(hB.A) = Bild(h B 0 hA) c Bild(h B ), und die Dimension von hB(Bild(hA)) ist höchstens gleich der Dimension von Bild(hA)' Diese letzte Bemerkung ist eine unmittelbare Folgerung der wichtigen Dimensionsformel für lineare Homomorphismen: Ist ! : V -+ Wein K -linearer Homomorphismus und {W I, ... , Wr } eine Basis von Bild(f), so seien VI, ... , Vr aus V mit !(Vi) = Wi für i = 1, ... ,r. Wegen der Linearität von! sind VI, ... , Vr linear unabhängig. Sei {nI, ... , nk} eine Basis von Kern(f). Es lässt sich leicht nachweisen, dass VI, ... , Vr , nl, ... , nk
1.1 Begriffe und Ergebnisse
41
eine Basis von V bildet, und deshalb gilt die sog. Dimensionsformel dimK Kern(f)
+ dimK Bild(f)
= dimK V .
(1.42)
Nun untersuchen wir - unter der Annahme der Existenz einer Lösung (d.h. wenn RangA = Rang(A, b) gilt) -, ob und wann das System (1.40) nur eine Lösung hat, bzw. wie die Lösungsmenge IL beschrieben werden kann. Sind x und x' zwei Lösungen von (1.40), so gilt: A(x-x / ) = Ax-Ax' = b- b = O. D.h., x - x' ist eine Lösung des homogenen Gleichungssystems
Ax=O. (1.43) Im anderen Fall, wenn b =I- 0 ist, nennt man (1.40) inhomogen. Umgekehrt: Ist x irgendeine spezielle (man sagt oft: partikuläre) Lösung des inhomogenen Systems und x* eine beliebige Lösung des homogenen Systems, so ist A(x + x*) = Ax + Ax* = b + 0 = b, d.h. auch x + x* ist eine Lösung des inhomogenen Systems. Mit IL o bezeichnet man die Lösungsmenge des homogenen Systems; offensichtlich ist IL o der Kern von hA, d.h. ein Untervektorraum von Kn. Mit diesen Bemerkungen folgt: IL ist der affine Unterraum IL o + x = {x* + x I x* E ILo }. Wegen der Dimensionsformel gilt (s. die Definition der Dimension eines affinen Raumes am Ende des Paragraphen 1.1.9) dirn IL + Rang A = dirn IL o + Rang A = n . (1.44) Also: Notwendig und hinreichend für die Eindeutigkeit der Lösung ist: RangA = n. Insbesondere ist n :::; m wegen RangA :::; min{m,n}. Sonst (d.h. falls Rang A < n) ist IL ein affiner Raum der Dimension n - Rang A . Man sagt, dass das durch A definierte lineare Gleichungssystem universell lösbar ist, wenn für alle b E Km das lineare Gleichungssystem Ax = b lösbar ist, d.h., wenn für alle b E Km gilt: RangA = Rang(A, b). Ist Rang A = dimK Bild(hA) < m, so gibt es ein b E Km\ Bild(hA), und für dieses bist Ax = b nicht lösbar. Hiermit ist Rang A = m notwendig für die universelle Lösbarkeit. Diese Bedingung ist auch hinreichend, weil aus Rang A = m zuerst m :::; n und wegen m = Rang A :::; Rang(A, b) :::; m auch RangA = Rang(A, b) folgt. Die obigen Überlegungen führen zum folgenden Ergebnis: Das Gleichungssystem Ax = b hat für jedes b E Km genau dann eine eindeutige Lösung, wenn Rang A = n = m gilt. Man sagt in diesem Fall: A definiert ein universell eindeutig lösbares Gleichungssystem. Ist A
= (akj)
k=l, ... ,m J=l, ... ,n
aus Kmxn, so heißt die Matrix AT
= (a[j)
k=l, ... ,n J=l, .... TTl
mit
a[j = ajk die transponierte Matrix von A; es ist diejenige Matrix, die als k-te Zeile die k-te Spalte von A hat für jedes k = 1, ... , n . Z.B. gilt:
= S(m) ( S~~))T 'J J'
.
Die Zuordnung A r-+ AT ist ein K-Isomorphismus von Kmxn auf Knxm, der außer der K-Linearität noch weitere Eigenschaften hat, wie z.B. (AT)T = A
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
42
und Rang AT = RangA für alle A E
Kmxn .
Das schon angesprochene Eliminationsverfahren ist die Grundidee für den sog. Gaußsehen Algorithmus. Mit diesem Rechenschema gelingt es, gleichzeitig den Rang der Matrix A und der ergänzten Matrix (A, b) zu berechnen, und - falls die Lösbarkeitsbedingung Rang A = Rang(A, b) erfüllt ist - ein zu (1.32) äquivalentes System ii1iI XiI
+ ii1i2Xi2 + ... + ii1irXir + ... + ii1in Xi n = ii2i2Xi2 + ... + ii2i r X i r + ... + ii2inXin =
/)1
/)2
(1.45)
zu bekommen; dabei ist (i 1 , ... , in) eine Permutation von (1, ... , n), d.h. die Mengen {i 1 , .•. , in} und {1, ... , n} sind gleich, und alle Diagonalelemente ii1il' ii 2 i2' ... ,iir,i r sind von Null verschieden. Die n - rUnbekannten Xir+l' Xi r +2' ... ,Xi n bleiben frei wählbar und heißen Parameter der Lösungsmenge. Für jedes (n-r)-Tupel (Ar+! , ... , An) aus Kn-r erhält man aus (1.45) sukzessive (von unten nach oben) Xi r , Xir_I" .. ,Xi2' XiI als Polynome ersten Grades in Ar+! , ... ,An. (So gewinnt man zuerst aus der letzten Gleichung von (1.45) den Wert
Xi r
r+ 1 A r +1 + ... + arin An); und damit dann aus = ~ - (a ri a rlr a r1r a rtr
der vorletzten Gleichung von (1.45) Xir_l' usw.) Es wird wie folgt verfahren: Im ersten Schritt betrachtet man eine Tabelle mit n + 1 Spalten; die ersten n Spalten sind die Spalten von A und tragen die Bezeichnungen Xl, •.. ,X n . Die letzte Spalte ist b. Damit entsteht das erste Kästchen der Tabelle. Man wählt einen von Null verschiedenen Koeffizienten aklir (falls möglich 1 oder -1!) und bezeichnet die k 1 -te Zeile mit I. Für jedes [ E {1, ... , m} \ {kd multipliziert man die k 1 -te Zeile mit -~, und das Ergebnis wird zur [-ten Zeile akl '1
addiert. Die neu erhaltenen m - 1 Zeilen bilden - in derselben Reihenfolge das zweite Kästchen der Tabelle; dabei steht in der i 1 -ten Spalte überall die Null, und die k1 -te Zeile ist nicht vorhanden. Die Nummerierung der anderen Zeilen bleibt also unverändert. Man sucht nun in diesem zweiten Kästchen einen von Null verschiedenen Koeffizienten aLi2' (Aus der Konstruktion ergibt sich k 1 :j:. k 2 sowie i 1 :j:. i 2 . Am günstigsten wäre es, für ak2i2 entweder -1 oder 1 wählen zu können.) Die k 2 -te Zeile wird mit II bezeichnet. Für jedes [ E {1, ... , m} \ {k 1 , k2 } multipliziert man lImit - ~ und addiert das ak2t2
Ergebnis zur [-ten Zeile des zweiten Kästchens. Die neu gewonnenen (insgesamt m - 2) Zeilen bilden das dritte Kästchen; jetzt stehen sowohl in der i 1 -ten als auch in der i 2 -ten Spalte nur Nullen. Dies wird nun fortgesetzt, bis entweder nach r Schritten nur noch eine einzige Zeile übrig bleibt und diese
43
1.1 Begriffe und Ergebnisse
Zeile in einer der ersten n Spalten von Null verschiedenes Element hat, oder wir erhalten nach r + 1 Schritten ein Kästchen, das in den ersten n Spalten nur Nullen enthält. Im ersten Fall ist r sowohl der Rang von A als auch von (A, b), und damit ist das System lösbar. Im zweiten Fall ist r der Rang von A; erscheint in diesem (r + 1)-Kästchen in der letzten Spalte ein von Null verschiedenes Element, so ist das System unlösbar. Sonst ist der Rang von (A, b) ebenfalls r, wie im ersten Fall. Die Zeilen k 1 , k2 , ... , kr (die mit I,II, usw. bezeichnet wurden) werden nun zu 1,2, ... , rumnummeriert, und dadurch erhält man (1.45). Wie es weiter geht, haben wir schon erläutert. Die Handhabung dieses Verfahrens ist in der Praxis einfacher; diese "genaue" (aber unangenehme) Beschreibung ist notwendig, wenn man das entsprechende Computerprogramm schreiben möchte (was eigentlich nur zum Üben interessant ist, da inzwischen der Gaußalgorithmus schon in einfachen Softwarepaketen vorhanden ist!). Wir haben festgestellt, dass das durch eine m x n-Matrix A definierte lineare
.. .
Xl
I
11
XiI
...
Xn
b
an
a1iI
akI1
akIil
akIn
bkl
amI
ami}
amn
bm
* an
0
* a1n
bi
* a(k-1)1
0
a(kl -l)n
b kl - 1
a(kl +1)1
0
a(kl +l)n
b kl +1
ak21
0
* ak2n
b k2
* amI
0
* amn
b*m
a1n
0 0
Tabelle 1.1. Der Gaußalgorithmus
b1
44
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
Gleichungssystem universell eindeutig lösbar ist, wenn m = n = Rang A gilt. Hat die Matrix A E Kn x n den maximalen Rang (also Rang A = n), so kann man Matrizen Bund C aus Knxn finden, so dass BA = AC = E n gilt. Es folgt B = B· E n = B· (A· C) = (B· A)· C = E n · C = C. Deshalb ist B die inverse Matrix von A, und wird mit A -1 bezeichnet. Der Rang von A -1 ist ebenfalls n, da n = RangEn:::; min{RangA, RangA-l} :::; n, RangA = n und RangA- l :::; n gilt. Wir erinnern uns daran, dass B ein Produkt von Matrizen der Typen M, V und S ist. Betrachtet man anstelle von A die zusammengesetzte n x 2n- Matrix (A, E n ) und führt man der Reihe nach darauf die Zeilentransformationen aus, welche in der Darstellung von B als Produkt von Matrizen der Typen M, V und S vorkommen, so erhält man anstelle von (A, E n ) die Matrix (En , A -1). Ist nun A E Knxn invertierbar, so folgt - wie oben - Rang A = n, und damit haben wir gezeigt, dass Rang A = n zur Invertierbarkeit von A äquivalent ist, und gleichzeitig ein Verfahren angegeben, wie man A -1 berechnen kann (s. Aufgabe 47,b)). Ein Hilfsmittel von Bedeutung ist die Berechnung von Determinanten. Wir haben schon eine Zahlen-Größe kennengelernt, die jeder Matrix zugeordnet wird: den Rang, der stets eine natürliche Zahl ist. Eine weitere wichtige Kwertige Größe, die nur für quadratische Matrizen definiert werden kann, ist die Determinante. Sie hilft sowohl bei der Berechnung des Ranges einer beliebigen Matrix, als auch beim Lösen von linearen Gleichungssystemen (Stichworte: Cramersche Regel und Berechnung der inversen Matrix). Die Determinante einer 3 x 3-Matrix haben wir kennengelernt, obwohl wir das an der Stelle nicht so genannt haben. Sind al, a2, a3 die Spalten der Matrix A, so ist det(A) das Spatprodukt (al x a2) . a3 . Die Berechnung einer Determinante lässt sich leicht programmieren, und falls die Anzahl n der Spalten und Zeilen nicht allzu groß ist, ist der Rechenaufwand gut zu bewältigen. Ist A eine quadratische Matrix mit n Zeilen und Spalten und bezeichnen al, a2, ... , an die Spalten von A, so kann man A durch (al, a2, ... , an) angeben; diese Schreibweise ist im Folgenden vorteilhaft. Man kann beweisen, dass für jede natürliche Zahl n ~ 1 genau eine Funktion det n : Knxn -7 K oder einfacher det : Knxn -7 K oder auch I I: K nxn -7 K existiert (da aus dem Umfeld klar ist, wieviele Zeilen und Spalten vorhanden sind), so dass gilt: i)
det ist K-linear in jeder Spalte, d.h. für jedes k E {I, 2, ... , n} gilt det(al,"" ak-l, ßb k
+ "ICk, ak+l,""
ßdet(al,'" ,ak-l, bk,ak+l,'" ,an)
+"1 det(al , ... , ak-l, Ck, ak+l,"" an).
an) =
1.1 Begriffe und Ergebnisse ii) iii)
45
det ist spalten-alternierend, d.h. entsteht A' aus A durch Vertauschen zweier Spalten, so gilt det A' = - det A. det E n = 1, wobei E n die n x n-Einheitsmatrix ist.
Man liest det(A) als Determinante von A. Mehr oder weniger leicht kann man weitere Eigenschaften von det nachweisen: iv)
Die Determinante einer Matrix ändert ihren Wert nicht, wenn das Vielfache einer Spalte zu einer anderen Spalte addiert wird. v) Hat eine Matrix eine Nullspalte oder zwei gleiche Spalten, so ist ihre Determinante gleich Null. vi) Die Determinante einer Diagonalmatrix oder einer Dreiecksmatrix (d.h. einer Matrix, die unterhalb oder oberhalb der Diagonalen nur Nulleinträge hat) ist das Produkt der Diagonalelemente. vii) det(AB) = det(A) . det(B) für alle A, BE K nxn . viii) det A = det AT für jede Matrix A E Knxn . ix) det(a· A) = an det(A) für jedes a E K und alle A E Knxn (denn: det(a . A) = det(a . (En . A)) = det((a . En)A) = det(a . E n ) . det A = an det(A)). Aus viii) folgt, dass in i), ii), iv) und v) das Wort Spalte durch das Wort Zeile ersetzt werden kann. Die Funktion detl : K 1 xl = K -+ K ist die Identität, da sie den Bedingungen i), ii) und iii) genügt. Für n = 2 ist sehr einfach zu beweisen, dass die Abbildung
die Eigenschaften i),ii) und iii) besitzt, und deshalb gilt: (1.46) Etwas mühsamer ist festzustellen, dass det3
(:~~ :~~ :~:) = (:~~ :~~ :~:) = det
a31
alla22 a 33
a32
a33
a31
+ a12 a 23 a 31 + a13 a 21 a 32
-
a32
(1.47)
a33
a13 a 22 a 31 -
alla23 a 32 -
a12 a 21 a 33
die richtige Funktion ist. Wie kann man sich diese Formel merken? Sind al, a2, a3 die Spalten von A, so schreibt man die 3 x 5 Matrix (al, a2, a3, al, a2) auf. Man bildet die Summe der drei Produkte der Elemente dieser Matrix, die auf den drei Diagonalen von oben links nach unten rechts liegen, also alla22a33 + a12a23a31 + a13a21a32. Davon subtrahiert man die Summe der
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
46
drei Produkte der Elemente auf den drei Diagonalen von oben rechts nach unten links, d.h. a13a22a31 +aUa23a32+a12a21a33. Die ersten drei Diagonalen stehen senkrecht auf den anderen Diagonalen, was an einen Jägerzaun erinnert; deshalb nennt man diese Gedächtnisstütze Jägerzaun-Regel. Auch der Name Sarrus-Regel wird dafür verwendet. det n wird rekursiv berechnet, d.h. detn-1 wird bei der Berechnung von det n benutzt, indem man den folgenden Entwicklungssatz anwendet. (Leider gibt es für n 2 4 keine leicht zu merkende Regel wie z.B. die Sarrus-Regel.) Sei A E Knxn und (i, j) E {1, ... ,n} x {1, ... ,n}; mit A ij bezeichnet man die (n - 1) x (n - 1)Matrix, die aus A durch Entfernen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht. Der Entwicklungssatz besagt detA
n
n
j=l
j=l
= detnA = 2:(-1)i+jaijdetn-1(Aij) = 2:(-l)i+jaij det(Aij ) ,
wenn man nach der i-ten Zeile entwickelt, und n
n
i=l
i=l
wenn man nach der j-ten Spalte entwickelt. Selbstverständlich ist es vorteilhaft, nach einer Zeile oder Spalte zu entwickeln, die mehrere Nulleinträge vorweist. Praktisch wird zuerst mit Hilfe einiger Operationen gemäß Eigenschaft iv) für Zeilen oder/und Spalten angestrebt, ziemlich viele solche Nulleinträge in einer Zeile oder Spalte zu erreichen, und dann wird nach dieser Zeile oder Spalte entwickelt. Damit ist z.B. klar, wie vi) bewiesen wird. Sei A eine n x n-Matrix mit det A =f 0, deren Spalten a1, a2, ... ,an sind, und bein Spaltenvektor mit n Komponenten (also - wie a1, a2, ... ,an - auch eine n x 1-Matrix). Wir wissen schon (da A eine bijektive Abbildung von K n nach K n durch v I-t A . v definiert), dass das lineare Gleichungssystem Ax = L:~=1 Xi . ai = b eine eindeutige Lösung hat; nennen wir sie 6, ... , ~n' Wegen L:~=1 ai~i = b, i) und v) gilt det(a1,"" ak-1, b, ak+1, ... ,an) = det(a1,"" ak-1, L:~=1 ~iai, akH,'" ,an) L:~=1 ~i det(a1,"" ak-1, ai,ak+1, ... ,an) = ~kdet(a1, ... ,ak-1,ak,ak+1, ... ,an) = ~k' detA, und damit haben wir die Cramersche Regel bewiesen: ~k
=
det(a1,"" ak-1, b, ak+1, ... ,an) det A
für
k
= 1, ... , n .
(1.48)
°
Das Kronecker-Symbol ist die Funktion 8: {1, ... , n} x {1, ... , n} -+ {O, 1}, die jedem Paar (i, i) den Wert 1 und jedem Paar (i, j) mit i =f j den Wert zuordnet. 8(( i, j)) wird mit 8ij bezeichnet. Dieses Symbol hilft uns, gewisse
47
1.1 Begriffe und Ergebnisse
Formeln einheitlich zu schreiben und dabei auf Fallunterscheidungen zu verzichten. Sei nun wieder A eine n x n Matrix mit den Spalten a1, ... , an. Für alle j und k aus {I, ... ,n} gilt n i=1
Die Matrix A#
= (am
mit
i=l""n
J=l, ... ,n
a~:= (-I)i+j det A ji
= (-I)i+ j IA ji l
heißt die Adjunkte von A. Die obige Gleichung läßt sich als
Ojk •
det A =
L~=1 a~aik schreiben; daraus folgt (1.49)
Ist det(A) -:j:. 0 (äquivalent dazu: Existiert die Inverse man daraus E n = (det(A) . A#)A, was A-1
= _1_ . A# = (( -1)i+ j
det A
IA j
lAI
A-1
von
A),
il)
so erhält
(1.50) i=l"",n j=l, ... ,n
bedeutet. Ist insbesondere A eine 2 x 2-Matrix mit lAI -:j:. 0, so gilt: A- 1 = ( a ll a21
Ist die 3 x 3 Matrix B
a12
) -1
a22
-1 = lBf 1
_I bb
21 31
+
a22 -a12
-a 21 ) all
.
= (b ij ) invertierbar, so gilt
b231 22 + 1bb32 b33 B
1 (
= lAf
b21 b31
_I bb12 bb131 + 1bb12 bb131 32 33 22 23
b231 + 1bbl l bb131 31 33
b33
b22 b32
bl l
b31
b12 b32
_I bb
ll
21
b131
b23
+ 1bbl21l bb121 22
Man bemerkt also, dass die Vorzeichen + und - wie die Farben eines Schachbrettes verteilt sind. In den Ecken oben links sowie unten rechts steht +. 1.1.12 Folgen und Reihen reeller und komplexer Zahlen (Aufgabe 51 bis 63)
Der Begriff, der in den letzten 300 Jahren dem mathematischen Fortschritt die wesentlichen Impulse gegeben hat, ist die Konvergenz, die Existenz des
48
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
Grenzwertes. Ohne ihn wären die meisten Teilgebiete der heutigen Mathematik (aber auch die Grundlagen der theoretischen Physik) nicht vorstellbar. Die erste Stufe in der Entwicklung dieses Begriffs ist die Konvergenz von nummerischen Folgen und Reihen. Eine Folge in einer nicht leeren Menge A ist eine Funktion von IN oder IN* nach A. Üblicherweise wird eine solche Folge durch eine Aufzählung (aO,al,a2,a3, ... ) bzw. (al,a2,a3, ... ) oder einfacher (an)n~O bzw. (an)n~l angegeben; dabei ist noch festzulegen, nach welcher Vorschrift an definiert wird. Für uns sind zuerst die Zahlenfolgen (also Folgen in (l), IR oder () interessant. So kann man für jede Zahl a die konstante Folge (a, a, a, a, .. .), die alternierende Folge (a, -a, a, -a, a, ... ) oder die Folge der Potenzen (a, a 2, a3, a4, ... ) betrachten. Eine Folge darf auch "später anfangen", wie z.B. (an)n~4 mit an = (n-3)(n~2)(n-l) für n 2:: 4. Es genügt aber, nur Folgen zu betrachten, die bei 0 oder bei 1 anfangen; denn durch "Umnummerierung" kann jede Folge darauf zurückgeführt werden; so läßt sich die obige Folge als (bn)n~l mit bn = n(n+l)(n+2) darstellen. Man schreibt oft auch nur (an), da es für die Konvergenz - wie wir gleich sehen werden - unwichtig ist, ob die Folge mit ao oder al anfängt. (Hauptsache: an ist durch eine sinnvolle Vorschrift gegeben!). Die Folgen sind also spezielle reellwertige oder komplexwertige Funktionen; insbesondere kann man - wie für alle reell- oder komplexwertigen Funktionen - algebraische Operationen wie die Summe, die Differenz, das Produkt oder den Quotienten betrachten. Beim Quotienten der Folge (an) durch die Folge (b n ) muss man voraussetzen, dass alle bn von Null verschieden sind. Durch Einschränkungen auf unendliche Teilmengen von IN bzw. IN* entstehen Teilfolgen, wie z.B. aus (( _1)n~)n~l die Teilfolgen (- 2Ll h~l und (21kh~1 .
Auch der Begriff der Beschränktheit bei Folgen reeller oder komplexer Zahlen liest sich wie bei Funktionen: Eine Folge reeller oder komplexer Zahlen (an) ist beschränkt, wenn eine reelle Zahl M > 0 existiert, so dass für alle n gilt: lanl ::; M. Für Folgen von reellen Zahlen kann man weitere Eigenschaften betrachten wie z.B. beschränkt nach oben, beschränkt nach unten, monoton, streng monoton; so ist die Folge (n~l )n~l streng monoton wachsend und beschränkt, während die Folge (n2)n~1 streng monoton wachsend, aber nicht beschränkt ist. Was eigentlich neu ist, ist die Idee zu untersuchen, wie sich die Folge "auf Dauer" verhält, ob die Folge bei steigendem Index gegen einen bestimmten Wert strebt; schon in dieser ungenauen Formulierung ist klar, dass die ersten
1.1 Begriffe und Ergebnisse
49
10, 100 oder 100.000 Glieder der Folge für das untersuchte Verhalten keine Rolle spielen! Was man darunter mathematisch genau versteht, hat sich erst zu Anfang des neunzehnten Jahrhunderts in den Arbeiten (und Vorlesungen) von Cauchy herauskristallisiert. Die Folge (an) konvergiert, wenn eine Zahl a existiert, so dass für jedes c > 0 eine natürliche Zahl no mit der folgenden Eigenschaft existiert: Für jedes n 2: no gilt: la n - al < c. In diesem Fall ist a eindeutig bestimmt und heißt der Grenzwert (Limes) von (an). Man schreibt: a = lim an oder n->oo
an -+ a für n -+ 00 und sagt treffend: an konvergiert bzw. strebt gegen a, wenn n gegen Unendlich strebt. Im reellen (komplexen) Fall ist äquivalent dazu: Außerhalb jedes offenen Intervalls (bzw. Kreises), das (der) a enthält, liegen nur endlich viele Glieder der Folge. Ist 0 der Grenzwert von (an), so spricht man von einer Nullfolge. Man hat die Äquivalenz der folgenden Aussagen: i)
lim an = a,
n->oo
ii)
(an - a)
ist eine Nullfolge.
Schränkt man die genannten algebraischen Operationen auf konvergente Folgen ein, so erhält man wieder konvergente Folgen; dabei muss man aber ausschließen, dass bei Quotienten der Grenzwert der Nennerfolge den Wert Null hat. Genauer: Konvergiert (an) gegen a i- 0 und (b n ) gegen 0, so ist die Folge (t) nicht konvergent. Ist a = 0, so kann man keine allgemeingültige Aussage machen. Z.B. für an = ~ , bn = ;'2 , Cn = ~ konvergiert die Folge (abnn ) = (n) nicht, dagegen ist (Cbnn ) = (.1) eine Nullfolge, also konvergent. n Wichtig - vor allem für Anwendungen - ist, dass die Grenzwertbildung und die algebraischen Operationen vertauschbare Prozesse sind; dies wird kurz geschrieben wie folgt: lim (an
n--"oo
+ bn ) = n--too lim an + lim bn , n--+oo
lim (an - bn )
n--+oo
lim an - lim bn ,
n--+oo
n--+oo
( lim a n )( lim bn ) n--+oo
. an 11m n->oo bn
n--+oo
,
(1.51 )
lim an
n->oo
lim bn
n->oo
Diese "Rechenregeln" muss man richtig lesen! Dies tun wir nur für die letzte von ihnen, die ohnehin die komplizierteste ist: Konvergieren die Folgen (an) und (b n ) gegen a bzw. b, und gilt bn i- 0 für alle n sowie b i- 0, so ist die Folge (t) konvergent, und ihr Grenzwert ist %. Eine konvergente Folge ist stets beschränkt; die negative Form dieser Aussage
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
50
ist ebenfalls nützlich: Eine unbeschränkte Folge konvergiert nicht. Sei (c n ) eine Folge komplexer Zahlen und an := Recn und bn := Imcn . Dann gilt: (c n ) konvergiert dann und nur dann, wenn (an) und (b n ) konvergieren. In diesem Fall gilt: lim Cn = lim an
n--+ 0Cl
n--+ 00
+ i n--+ lim
00
bn .
(1.52)
Wir betrachten nun Folgen reeller Zahlen. Eine beschränkte oder eine monotone Folge braucht nicht zu konvergieren; dagegen ist eine beschränkte und monotone Folge konvergent. Klassische Beispiele dazu sind die Folgen )n>l )n+1_ )n>l' Für alle n 2: 1 kann man zeigen: ((1 + l)n n _ und ((1 + 1 n 2< (1 -
+ l)n < (1 + _1_)n+1 < (1 + _1_)n+2 < (1 + 1)n+1 0 rekursiv definierte Folge monoton die durch a1 := a , an+1 := -21 (an + ..J!..) an fallend und wegen a; 2 a muss a:= lim an > 0 gelten. Unter Benutzung n--+oo
+ ..J!..) an die positive Wurzel Va.
der Rechenregeln für konvergente Folgen ergibt sich aus an+1 =
1 -2
(an
zuerst a = ~(a + ~), und daraus a 2 = a. Also ist a Manchmal ist die Entscheidung, ob eine Folge konvergiert, noch schwieriger. Von theoretischer Bedeutung ist das sog. Cauchy-Kriterium: (an) konvergiert genau dann, wenn für jedes E > 0 ein n c E IN existiert, so dass für alle n,m 2 n c gilt: la n - ami< E. Wenn eine Folge (an) keinen Grenzwert hat, dann treten eine oder mehrere der folgenden Situationen auf:
(an) hat mindestens zwei verschiedene Häufungspunkte. (an) besitzt eine streng monoton steigende und nicht nach oben beschränkte Teilfolge. (an) besitzt eine streng monoton fallende und nicht nach unten beschränkte Teilfolge. Zwei Typen von divergenten Folgen verdienen eine besondere Kennzeichnung. Hat die Folge (an) die Eigenschaft, dass für jedes a E IR eine natürliche Zahl n", existiert, so dass an 2 a (bzw. an ~ a) für alle n 2 n"" so sagt man, dass die Folge (an) uneigentlich gegen 00 (bzw. -00) konvergiert oder auch bestimmt gegen 00 (bzw. -00) divergiert. Die Bezeichnung dafür: lim an = 00 (bzw. -00) oder an -+ 00 (bzw. -00) für n -+ 00. Hiermit n--+oo
ist also klar, dass 00 und -00 keine Zahlen sondern Symbole sind. (Die Schreibweise "n -+ 00" erhält hiermit einen Sinn.) lim an = 00 ist äquivalent n--+oo
zu: (an) ist nach unten beschränkt und besitzt keinen Häufungspunkt. Für die Folge (a n )n2:1 hat man:
lim an =
n--+oo
{~ 0
, falls a > 1 , , falls a = 1 , , falls lai< 1 .
Für a ~ -1 ist die Folge (a n )n2:1 divergent. Man kann nun Operationen mit Folgen betrachten, die konvergent oder bestimmt divergent sind; so z.B.: Ist (an) konvergent und (b n ) bestimmt divergent gegen 00 (bzw. -00), so ist (an + bn ) bestimmt divergent gegen 00 (bzw. -00). Ist (an) konvergent gegen a > 0 und (b n ) bestimmt divergent gegen 00 (bzw. -00), so ist (anb n ) bestimmt divergent gegen 00 (bzw. -00), usw. Dagegen kann man keine allgemein gültige Aussage machen über das Verhalten von
52
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
+ b n ), falls
-+
(an
-+
(anbn ),
lim
an
n-+oo
falls lim
n-+oo
=
an
= 00 und n-+oo lim b n = -00 ,
±oo und n-+oo lim bn
°.
=
Formal kann man diese Rechenregeln kurz darstellen wie folgt:
+ 00 = 00 und a - 00 = -00 für a E IR , 00 + 00 = 00 , 00' 00 = 00 , 00' (-00) = -00 ,
a
= 00 und a· (-00) = -00 . 00 = -00 und a· (-00) = 00
> für a < für
a . 00 a
!::. 00
=
° und
-00 =
00
-00 =
-00
a a
~ -00
-00 - = -00 a -00 un d - = 00 a
für die Folgen (n) und n-too
° für
un cl
Aber die "Operationen" 0, lim (n - n 2 )
=
00 -
(n 2 )
= -00,
a E IR , a
> ,
fu"r
a
< .
0, :
gilt: lim n =
lim (n 2
n---too
-
n)
00
= 00,
°, °,
(1.51')
°
fu"r
00 , 00'
n-+oo
a
°
haben keinen Sinn, weil z.B. =
lim n 2
n-+oo
lim ~
n-+oo n
,
= 0,
lim (n - n) =
n-+oo
lim n 2 n---too n
= 00 .
Ein Häufungspunkt einer nichtleeren Teilmenge A von IR oder ([ ist eine Zahl (also geometrisch ein Punkt) p aus IR bzw. ([, so dass eine gegen p konvergente Folge von paarweise verschiedenen Elementen aus A existiert. Eine endliche (evtl.leere) Teilmenge von IR oder ([ hat also keinen Häufungspunkt. Mit H(A) bezeichnen wir die Menge der Häufungspunkte von A; man hat z.B.
H(]O, 1[)
= H(]O, 1]) = H([O, 1]) = H(]O, ~[UH, 1[) = H(CQ n [0, 1]) = [0,1] .
Sind A und B zwei Teilmengen von IR oder ([, so folgt aus A c B stets die Inklusion H(A) c H(B) . Ist a E A\H(A), so heißt a isoliert in A oder ein isolierter Punkt von A; es gibt also ein offenes Intervall bzw. einen offenen Kreis I mit I n A = {a}, d.h. in einer genügend kleinen Umgebung von a liegt kein weiteres Element aus A. Die Menge der ganzen Zahlen 7l.. (als Teilmenge in IR oder ([) besteht nur aus isolierten Punkten. Eine nichtleere Teilmenge A von IR ist nach oben beschränkt, wenn ein a E IR existiert, so dass a :S a für alle a aus A gilt. a heißt eine obere Schranke von A. Es gibt eine kleinste obere Schranke von A; sie heißt das Supremum von A und wird mit sup A oder sup a bezeichnet. Analog aEA
gibt es für eine nach unten beschränkte Teilmenge B von IR eine größte
1.1 Begriffe und Ergebnisse
53
untere Schranke, die Infimum heißt und mit inf B oder inf b bezeichnet bEB
wird. Für eine nach oben (unten) unbeschränkte Teilmenge A von IR wird supA = 00 (bzw. inf A = -(0) gesetzt. Ist A nach oben beschränkt, so liegt genau einer der folgenden Fälle vor: 1) 2)
3)
sup A ist ein isolierter Punkt von A. (Das kommt immer vor, wenn A endlich ist.) sup A ist ein Häufungspunkt von A, der in A liegt. (Z.B. für A = [0,1] gilt supA = 1.) sup A ist ein Häufungspunkt von A, der nicht in A liegt. (Z.B. sup A = ~ für U~=0[2n~2 ' 2n~I]·)
Ist A nach oben unbeschränkt, so gibt es eine streng monoton wachsende Folge (an) in A mit lim an = 00 = supA. Analoge Ergebnisse gelten für das n--+oo
Infimum einer Teilmenge von IR . Sei (an)n~o eine Folge reeller oder komplexer Zahlen. Man definiert rekursiv die Folge der Partialsummen (sn)n~O : So := ao, Sn+l := Sn + a n+l für alle n ~ O. Für eine Folge (an)n~1 definiert man ähnlich: SI := al, Sn+l := Sn + anH für alle n ~ 1. Die Reihe I:~=o an oder I:~=1 an konvergiert gegen a, wenn die Folge der Partialsummen (sn) gegen a konvergiert. a heißt die Summe der Reihe. Sonst divergiert die Reihe. Die Reihe I:~=o an oder I:~=1 an konvergiert absolut, wenn I:~=o lanl bzw. I:~=1 lanl konvergiert. Aus der absoluten Konvergenz folgt die Konvergenz. Konvergiert die Reihe I:~=1 an, so ist (an) eine Nullfolge; das zeigt man mit dem Kriterium von Cauchy für (sn). Ist also (an) keine Nullfolge, so divergiert die Reihe. Ist (an) eine Nullfolge, so ist I:~=1 an nicht unbedingt konvergent, wie die harmonische Reihe I:~=1 ~ zeigt. Diese Reihe ist divergent, weil S2 m + 1
_ -
",2 m
+1
L.m=1
n1 -_
S2 m
+ 2 1+l + ... + 2 1+ > S2 + 2m m
m
1
m
1
_
. 2ffl-FT - S2 m
+ '21
gilt, also lim Sn = 00 . n--+oo
Aus der Konvergenz der beschränkten und monotonen Folgen erhält man sofort: Jede Reihe mit reellen, nichtnegativen Gliedern ist konvergent, falls die Folge der Partialsummen beschränkt ist. Aber gerade dagegen verstößt die harmonische Reihe! Nun geben wir zwei Beispiele von konvergenten Reihen, für welche die Summe leicht zu berechnen ist. Ist a keine negative ganze Zahl, so ist (n+a)(;+a+l) eine reelle Zahl, und die Reihe I:~=1 (n+a)(;+l+a) ist konvergent mit der Sum1 ·1 ",m 1 ",m ( 1 1) 1 1 me l+a' wel L.m=1 (n+a)(n+l+a) = L.m=1 n+a - n+l+a = l+a - m+l+a gegen l~a strebt, wenn m gegen 00 strebt. Insbesondere ist I:~=1 n(n~I) = 1 .
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
54
Das zweite Beispiel ist von besonderer praktischer und theoretischer Bedeutung: Für jedes c E ([ mit Icl < 1 konvergiert die geometrische Reihe I:~=ocn, und die Summe ist wegen I::'=ocn = l-lc:c+ 1 gleich l~C ,also
2.: c 00
n=O
n
1 = 1_ c
für
Icl < 1 .
(1.53)
Reihen als Reihen und nicht als Folgen von Partialsummen zu betrachten, erweist sich als sehr nützlich bei der Formulierung verschiedener Konvergenzkriterien. Das Quotientenkriterium (für Reihen mit reellen oder komplexen Gliedern) lautet: Gibt es ein no E IN und q E]O, 1[ mit der Eigenschaft I a~:l I ~ q für alle n 2:: no oder gilt lim Ia~+l I < 1 , so ist I:~=l an absolut konvergent. n-+oo
n
Gibt es ein no E IN mit der Eigenschaft Ia~n-l I 2:: 1 für alle n 2:: no oder gilt n +l I > 1, so ist I:~=l an divergent. Mit diesem Kriterium kann man lim Ia an
n--+oo
zeigen, dass für alle c E ([ die Reihe I:~=o ~~ absolut konvergent ist; dabei gilt: 00 1 n! = e . (1.54) n=O Das ist allerdings nicht ganz leicht zu zeigen. Für I:~=l ,& kann man mit dem Quotientenkriterium keine Entscheidung treffen. Das Wurzelkriterium (für Reihen mit reellen oder komplexen Gliedern) sichert die absolute Konvergenz von I:~=l an, falls ein no E IN und ein q E]O, 1[
2.:
existieren, so dass Vlanl ~ q für alle n 2:: no gilt. Gibt es ein no E IN mit
Vlanl 2:: 1 für alle n 2:: no oder gilt lim VIani> 1, so ist I:~=l an divern-+oo
gent. Auch mit diesem Kriterium kann man nicht entscheiden, ob I:~=l ,& konvergiert. Die Beweise für die Gültigkeit des Wurzel- und Quotientenkriteriums beruhen auf dem Verhalten der geometrischen Reihen. Das Leibniz-Kriterium gilt nur für Reihen mit reellen Gliedern: Ist (an) eine monotone Nullfolge, so ist I:~l (-1 )nan konvergent. Insbesondere sind 00 l=.!L. konvergent e R' L..m=l l=.!L. n un d "" L..m=l,;n elhen.
" " 00
Das Majoranten-Kriterium vergleicht eine Reihe I:~=l Cn komplexer Zahlen mit einer Reihe I:~=l an positiver Zahlen. Gibt es ein no E IN mit Icnl ~ an für alle n 2:: no und ist I:~=l an konvergent, so ist I:~=l Cn absolut konvergent. Wegen (n~1)2 < n(';+l) für alle n 2:: 1 und I:~=l n(n1+1) = 1 konvergiert die Reihe I:~=2 ,& und damit auch I:~=l ,& . Das Minoranten-Kriterium vergleicht zwei Reihen mit positiven Gliedern. Gibt es ein no E IN mit ~ an ~ bn für alle n 2:: no und divergiert I:~=l an,
°
1.1 Begriffe und Ergebnisse
55
so divergiert auch L~=I bn· Deshalb ist L~=I nIe< für 0 < 0: :::; 1 divergent wegen ~ :::; nIe< für alle n ~ 1 . Aus diesen beiden Kriterien kann man das Vergleichskriterium ableiten. Seien (an) eine Folge reeller Zahlen und (b n ) eine Folge positiver reeller Zahlen. Konvergiert die Quotientenfolge (t) gegen eine von Null verschiedene Zahl, so haben die Reihen L an und L bn dasselbe Konvergenzverhalten. Einen Beweis des folgenden Kriteriums, das den Namen Verdichtungskriterium trägt, kann man durch geschicktes Arbeiten mit Ungleichungen erhalten: Für eine monotone Nullfolge reeller Zahlen (an) sind die Reihen L~=I an und L~=I 2na2n gleichzeitig konvergent oder divergent. Mit Hilfe dieses Kriteriums kann man noch einmal beweisen, dass L~=I ;bkonvergiert. Für an = 2n I _ ",00
",00
L..n=1
22n"" - L..n=1
;b-
I
2n
gilt a2 n = (2~)2 = ~ und damit L~=I 2na2n = _ -
I ",00
"2 L..n=O
I-I
2n
-
•
Nach dem Studium der uneigentlichen Integrale werden wir ein weiteres Konvergenzkriterium für Reihen kennenlernen, das Integralkriterium. 1.1.13 Grenzwerte von Funktionen (Aufgabe 64 bis 65) Wir haben uns gerade mit der Konvergenz (Existenz der Grenzwerte) numerischer Folgen beschäftigt. Hiermit können wir die Existenz der Grenzwerte von Funktionen definieren - also die zweite Stufe dieses zentralen Begriffes kennenlernen. Ich sage noch einmal: Der Begriff Grenzwert ist fundamental für die Mathematik, aber nicht nur für sie. Er ist sehr geeignet für die Untersuchung zeitlich veränderlicher Prozesse. Wie könnte man ohne diesen Begriff definieren und verstehen, was Geschwindigkeit, Beschleunigung oder Stromstärke sind? Auch die Länge beliebiger Kurven und den Flächeninhalt beschränkter Gebiete der Ebene kann man nur mit Hilfe der Grenzwertbetrachtungen definieren. Sei a ein Häufungspunkt von D c IR und f : D -+ IR oder f : D\ {a} -+ IR. Der Punkt b E IR ist Grenzwert von f in a, falls für jedes e > 0 ein b > 0 existiert, so dass für jedes x aus (D\{a}) n Ja - b,a + b[ gilt: If(x) - bl < e. Man schreibt lim f(x) = b oder f(x) -+ b für x -+ a. Ist a ein Häufungspunkt x-ta
von D, so ist lim f(x) = b äquivalent zur folgenden Aussage: Für jede gegen x-ta
a konvergente Folge (Xn)n>1 aus D\ {a} gilt: lim f(x n ) = b. Insbesondere n-too hat
f
keinen Grenzwert in a, wenn eine der bei den Situationen eintritt: Es gibt eine gegen a konvergente Folge (X n )n2:I aus D\{a}, so dass (f(X n ))n2:I nicht konvergiert.
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
56
Es gibt zwei gegen a konvergente Folgen (X~)n~1 und (X~)n~l, so dass die Folgen (f(X~))n~1 und (f(X~))n~1 gegen verschiedene Zahlen konvergieren. Aus der zweiten folgt die erste Situation; dazu betrachtet man z.B. die gemischte Folge x~, x~, x~, x~ , x~, . ... Damit wird auch klar, dass f in a höchstens einen Grenzwert haben kann; deshalb spricht man von dem Grenzwert von f in a, und die Bezeichnung lim f(x) ist gerechtfertigt. Ist a ein x-+a
isolierter Punkt von D, so darf man nicht einmal die Frage stellen, ob einen Grenzwert hat! Die Funktion Sb,c :
IR\{a}
-t
b IR , Sb,c(X) = { c
,fallsx a
hat genau dann einen Grenzwert in a, wenn b = c ist; dann gilt lim
x-+a
b. Sonst besitzt
Sb,c
f in a
Sb,b(X)
=
in a einen Sprung der Breite Ib-cl. Schränkt man Sb,c auf
]-00, a[ (bzw.]a, oo[) ein, so ist b (bzw. c) der Grenzwert dieser eingeschränkten Funktion in a. Man schreibt lim
x-+a-
Sb,c(X)
= bund
lim
x-+a+
Sb,c(X)
=
C.
Allgemeiner: Ist a ein Häufungspunkt von D n ] - 00, a[ und hat die Einschränkung von f auf D n ] - 00, a[ in a den Grenzwert b, so heißt b der linksseitige Grenzwert von f in a; man schreibt lim f(x) = b oder x-+a-
f(x) -t b für x -t a-. Analog definiert man den rechtsseitigen Grenzwert lim f(x) von f in a; das setzt natürlich voraus, dass a ein Häufungspunkt
x-+a+
von D n Ja, oo[ ist. Für die Grenzwerte (und entsprechend für die linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwerte) gelten die folgenden Rechenregeln: lim (J(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x) ,
x-+a
x-+a
x-+a
lim (J(x) . g(x)) = (lim f(X)) . (lim g(X)) ,
x~a
x~a
x~a
(1.55)
f(x) lim f(x) lim __ = "-x-+--,,a_:-:x-+a g(x) lim g(x) x-+a
Diese Regeln sollen richtig "gelesen" werden; so muss man die letzte dieser Formeln wie folgt verstehen: Haben die Funktionen fund 9 in a einen Grenzwert und gilt lim g(x) :j:. 0, so gibt es ein c > 0 mit der Eigenschaft, dass x-+a
für jedes x E]a - c, a + c[, in welchem 9 definiert ist, g(x) :j:. 0 gilt. Für jedes x E]a - c, a
+ c[,
in welchem fund 9 definiert sind, ist der Quotient ~t:?
definiert, und er besitzt in a den Grenzwert
lim f(x)
r-+1m 9 a
x-+a
( )' X
Die anderen Regeln
1.1 Begriffe und Ergebnisse
57
sind leichter zu "lesen". Für die Komposition von Funktionen gilt die (beim ersten Blick recht kompliziert aussehende) Kettenregel für Grenzwerte von Funktionen. Seien h : D 1 -+ IR und 12 : D 2 -+ IR Funktionen und gelte h (Dd C D 2 . Sei a E D 1 ein Häufungspunkt von D 1 und es existiere lim h (x) =: b. Sei bein Häufungspunkt von D 2 und mit der Eigenschaft
so hat
12 h
12
x-+a
habe in b den Grenzwert c. Gibt es ein 8
>0
den Grenzwert c in a. Es gilt also:
0
lim (12
x--+a
0
h)(x) =
lim
y--+hm
ft (::tl)
h(Y).
(1.56)
Die Bedingung (*) kann man äquivalent wie folgt formulieren: Es gibt keine Folge (x n ) C D\{a} mit h(x n ) = b für alle n. (Überlegen Sie sich, dass die Funktion h : IR -+ IR , h(x) = 0 für x :::; 0 und h(x) = x für x > 0 die Eigenschaft (*) für a = 0 , b = 0 nicht besitzt, und dass für h zusammen mit 12 : IR -+ IR , 12(0) = 1 und h(Y) = Y für Y f:- 0 die Formel (1.56) verletzt ist.) Ein interessantes Beispiel liefert die Funktion f : IR\{O} -+ IR, f(x) = sin~. Sie hat in 0 keinen Grenzwert; man kann sogar zeigen: Ist b E [-1, 1) und ß E [-~,~) mit sinß = b, so ist (2n;+ß)n2:: 1 eine Nullfolge und es gilt
f(2n;+ß) = sin(2mf + ß) = sinß = b. Überraschend ist das Grenzwertverhalten der folgenden Funktion: f: IR -+ IR, f(x)
1
={ 0
,falls x E ~ , ,falls x E IR\~ .
Jedes x E IR lässt sich durch eine Folge rationaler Zahlen (qn)nEIN, aber auch durch eine Folge irrationaler Zahlen (Pn)nEIN approximieren, d.h. lim qn =
x
= n-+oo lim Pn.
Wegen f(qn)
= 1 und
f(Pn)
= 0 hat
n-+oo
f in x keinen Grenzwert.
(Und x war beliebig in IR!). Die Grenzbildung erhält die Ordnungsrelation, d.h.: Gibt es ein c > 0, so dass für alle x E D n )a - c,a + c[ die Ungleichung f(x) :::; g(x) gilt, so gilt auch lim f(x) :::; lim g(x). Unter denselben Voraussetzungen folgt aus x--+a
x--+a
f(x) < g(x) für alle x E D n)a - c, a + c[ nur lim f(x) :::; lim g(x). x--+a
x--+a
Nützlich ist das folgende Einschließungskriterium: Ist a ein Häufungspunkt von D und gilt für f, g, h : D -+ IR die Ungleichung f(x) :::; g(x) :::; h(x)
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
58
für alle x E D\{a}, so folgt aus lim f(x) = lim h(x) die Existenz von x--+a
lim g(x) und sogar lim f(x)
x--+a
gen -lxi :s; xsin ~ lim x sin 1 = 0 . x-+o
x--+a
:s;
x--+a
= x--+a lim g(x) = lim h(x). x--+a
Insbesondere folgt we-
lxi für alle x E IR\{O} aus dem obigen Kriterium:
x
Nun beschäftigen wir uns mit Grenzwerten vom Typ lim f(x) = b, in welx-+a
chen für a und b auch die Symbole -00 bzw. 00 zugelassen sind, d.h. mit uneigentlichen Grenzwerten. Sei zuerst wie vorher D C IR, a E IR ein Häufungspunkt von D und f : D -+ IR oder f : D\ {a} -+ IR. Man sagt, dass f gegen 00 strebt, falls x gegen a strebt, wenn für jedes A E IR ein CA > 0 existiert, so dass für alle x aus (D\{a}) n Ja - CA, a + cA[ gilt: f(x) > A. Man schreibt lim f(x) = 00. Analog erklärt man, was lim f(x) = x-+a
x-+a
-00
bedeutet.
Sei nun D nach oben unbeschränkt; das könnten wir auch kurz durch ,,00 ist ein Häufungspunkt von D" ausdrücken. Man sagt, dass f(x) gegen b E IR strebt, falls x gegen 00 strebt, wenn zu jedem C > 0 ein Ac E IR existiert, so dass If(x) - bl < C für alle x E D n JA c , oo[ gilt. Geschrieben wird dann: lim f(x) = b. Analog definiert man lim f(x) = b; das beinhaltet x--+-oo
x--+~
die Annahme, dass D nach unten unbeschränkt ist (oder auch: -00 ist ein Häufungspunkt von D). Nun sei wieder 00 ein Häufungspunkt für D. Man sagt, dass f(x) gegen 00 konvergiert, falls x gegen 00 konvergiert, wenn für jedes A E IR ein BA E IR existiert, so dass f(x) > A für alle x E D n JBA' oo[ gilt. Dazu notiert man: lim f(x) = 00. Es ist eine leichte, aber lohnende Übung zu erläutern, was x-+oo
lim f(x)
x-+oo
= -00,
lim f(x)
x-+-oo
= 00 und x-+-oo lim f(x) = -00 bedeuten.
Wir schließen diese Betrachtungen mit der Bemerkung ab, dass auch für uneigentliche Grenzprozesse Rechenregeln aufgestellt werden können, aber - wie bei den uneigentlich konvergenten Folgen - Fälle existieren, die keine allgemein gültige Antwort zulassen, wie z.B.: Gilt lim f(x) = 00 und x-+a
lim g(x) =
x--+a
-00,
so weiß man LA. nicht, ob lim (J(x) x--+a
+ g(x))
im eigentli-
chen oder uneigentlichen Sinne existiert. (Vgl. dazu auch die Formel (1.51') aus 1.1.12). 1.1.14 Stetige Funktionen (Aufgaben 66 bis 70)
Die meisten Phänomene aus verschiedenen Lebensbereichen verlaufen in der Regel oder wenigstens über längere Intervalle (z.B. Zeitintervalle, aber nicht nur!) ohne "Sprünge", kontinuierlich (um nicht stetig zu sagen). Dies ist z.B.
1.1 Begriffe und Ergebnisse
59
der Fall, wenn man die Dichte des Wassers in Abhängigkeit von seiner Temperatur (zwischen 0° und 100° Celsius) untersucht. Man sagt "die Natur macht keine Sprünge" oder "kleine Ursachen - kleine Wirkungen". Das gilt nur mit Einschränkungen, und vor allem nicht in der Atomphysik. Auch in der Politik sind Wahltage mögliche Stichtage für plötzliche, sprunghafte Veränderungen. Seien D C IR, a E D n H(D) und f : D -+ IR; a ist also kein isolierter Punkt von D. Man sagt, dass f in a stetig ist, wenn der Grenzwert von f in a existiert und gleich dem Funktionswert f(a) ist, d.h. lim f(x) = f(a). Schreibt x-+a
man lim x anstelle von a, so hat man lim f(x) = f(lim x), d.h. die Stetigx-+a
x-+a
x-+a
keit von f in a kann man als Vertauschung von f mit der Grenzwertbildung auffassen. Die Stetigkeit von f in a bedeutet also: Zu jedem € > 0 gibt es ein 8> 0, so dass aus Ix - al < 8 stets If(x) - f(a)1 < € folgt. Äquivalent dazu: Für jede gegen a konvergente Folge (x n ) aus D\{a} konvergiert die Folge (J(x n )) gegen f(a) . f heißt linksseitig oder rechtsseitig stetig in a, falls die Einschränkung fIDnj-oo,aj bzw. fIDn[a,oo[ stetig in a ist, d.h. für jede Folge (x n ) mit X n < a bzw. X n > a für alle n und lim X n = a gilt: lim f(x n ) = f(a) . n-+oo
n-+oo
Hat D keine isolierten Punkte (d.h., ist D eine Vereinigung von nichtausgearteten Intervallen), so heißt f : D -+ IR stetig auf D, falls f in jedem Punkt von D stetig ist. Äquivalent dazu: Zu jedem a E D und jedem € > 0 gibt es eine von € und a abhängige positive Zahl 8, so dass If(x) - f(a)1 < € für alle x E D mit Ix - al < 8 gilt. Entsprechend kann man die Links- bzw. Rechtsseitigstetigkeit einer Funktion auf ihrem Definitionsbereich (ohne isolierte Punkte) definieren. Hängt in der obigen Definition die Zahl 8 nur von € ab, also ist 8 unabhängig von a, so sagt man, dass f gleichmäßig stetig auf D ist. Jede konstante Funktion ist gleichmäßig stetig auf IR. Jedes Polynom vom Grad 1 ist gleichmäßig stetig auf IR. Ein Polynom vom Grad größer oder gleich 2 ist stetig, aber nicht gleichmäßig stetig auf IR. Operationen mit stetigen Funktionen führen wegen (1.55) aus 1.1.13 zu stetigen Funktionen. Die Summe und die Differenz zweier gleichmäßig stetiger Funktionen sind gleichmäßig stetige Funktionen. Für Produkte und Quotienten ist dies im Allgemeinen nicht der Fall; so ist id lR gleichmäßig stetig, aber x 1-7 ~ nur stetig auf IR\ {O}. Ein hinreichendes Kriterium für die gleichmäßige Stetigkeit einer stetigen Funktion f : D -+ IR liefert die Lipschitz-Bedingung, die bedeutet, es existiert eine positive Zahl L - genannt Lipschitz-Konstante - mit der Eigenschaft
If(x l )
-
f(x)1 :S Llx l
-
xl
für alle
x, Xl E D .
Ist a ein Häufungspunkt von D und hat f : D\ {a} -+ IR einen Grenzwert in a, so ist die Fortsetzung j : D -+ IR, j(x) = f(x) für x "I a und
60
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
j(a) = lim J(x), stetig in a. Man hat also J in a stetig fortgesetzt. x-+a
Die Kettenregel für Grenzwerte von Funktionen führt zur Kettenregel für stetige Funktionen (allerdings ist die Formulierung diesmal einfacher). Seien h : D 1 -t D 2 stetig in a und h : D 2 -t IR stetig in h(a); dann ist h o h stetig in a . Ist J : [a, b] -t IR stetig, so nimmt J jeden Wert zwischen J(a) und J(b) mindestens einmal an; dieses Ergebnis - der Zwischenwertsatz - hat als Folgerung, dass das Bild eines Intervalls wieder ein Intervall ist. Dabei wird zurecht nicht spezifiziert, ob es sich um offene, halboffene, abgeschlossene, endliche oder unendliche Intervalle handelt, wie die folgenden Beispiele zeigen: -t
Der Wertebereich von ]0,1] mittels x r-+ ~ ist [1, oo[ .
-t
Das Bild von ]1, 2[ mittels x r-+ ~ ist 1[ . Das Bild von] - 1, 1[ mittels x r-+ x 2 ist [0, 1[ . Der Wertebereich von IR =]- 00, oo[ mittels x r-+
-t -t
H,
l-':x 2
ist [-~,~] .
Der Zwischenwertsatz hat eine äquivalente Formulierung: Ist J : [a, b] -t IR stetig und haben J(a) und J(b) verschiedene Vorzeichen, ist also eine dieser Zahlen positiv, die andere negativ, so hat J mindestens eine Nullstelle im Intervall Ja, b[. Damit kann man die Existenz von Nullstellen einer stetigen Funktion nachweisen und durch Intervallhalbierungsverfahren (s. Aufgabe 67) ein Intervall von vorgegebener Länge bestimmen, in welchem sich mindestens eine dieser Nullstellen befindet. Insbesondere erhält man aus dem Zwischenwertsatz, dass jedes Polynom (mit reellen Koeffizienten) eine reelle Nullstelle besitzt, falls sein Grad ungerade ist. Im Paragraphen 1.1.5 (über komplexe Zahlen) haben wir für jede natürliche Zahl n ~ 2 und jede positive reelle Zahl r die Existenz der positiven n-ten Wurzel y'r als selbstverständlich angesehen. Mit Hilfe des Zwischenwertsatzes kann man leicht beweisen, dass sie tatsächlich existiert und eindeutig bestimmt ist, da x r-+ x n eine streng monotone Funktion von [O,oo[ auf [O,oo[ ist, und damit bildet ihre Inverse vt das Intervall [O,oo[ auch auf [0, oo[ ab. Die Stetigkeit von V' (also der n-ten Wurzelfunktion) ist eine Folgerung des Satzes über die Stetigkeit der Umkehrfunktion. Dafür treffen wir zuerst eine Vorbereitung. Sei J eine stetige Funktion auf dem Intervall I; das Intervall J sei das Bild von J, also J : I -t J ist surjektiv. Wegen des Zwischenwertsatzes sind die Eigenschaften streng monoton und bijektiv für J äquivalent; in diesem Fall hat die Umkehrfunktion J- 1 : J -t I dasselbe Monotonieverhalten wie J, d.h. beide sind streng monoton wachsend, oder beide sind streng monoton fallend. (Die Erhaltung der Monotonieart "sieht"
1.1 Begriffe und Ergebnisse
61
man auch anhand der grafischen Darstellungen von fund f-1; deren Graphen sind bezüglich der ersten Winkelhalbierenden - d.h. der Geraden x = y - spiegelsymmetrisch. ) Mit diesen Bezeichnungen lautet der angekündigte Satz: Ist f stetig und bijektiv, so ist auch f- 1 stetig. Eine Funktion f : D --t IR heißt beschränkt, wenn ihr Wertebereich f(D) eine beschränkte Teilmenge von IR ist. Entsprechend kann man nach oben (unten) beschränkte Funktionen definieren. Ist f stetig auf einem beschränkten und offenen (oder halboffenen) Intervall, so ist f nicht notwendig be~ zeigt; für a > gilt: f(]O, aD (xl[. schränkt, wie das Beispiel f(x) Das kann nicht passieren, falls das Intervall beschränkt und abgeschlossen ist. Es gilt nämlich: Jede stetige Funktion f : [a, b] --t IR ist beschränkt. Außerdem existieren in [a, b] mindestens ein Punkt Xm und ein Punkt XM mit der Eigenschaft f(x m ) = inf f([a, b]) , f(XM) = sup f([a, b]). Man sagt, dass f in Xm (bzw. XM) ihr absolutes Minimum (bzw. Maximum) annimmt. f(x m ) und f(XM) sind die absoluten Extrema von f. Wegen des Zwischenwertsatzes gilt: f([a, b]) = [J(x m ), f(XM)] .
=
°
=H,
Entscheidend ist dabei die Beschränktheit und die Abgeschlossenheit von [a, b]. Allgemeiner nennt man eine Menge M aus IR, die beschränkt und abgeschlossen ist, kompakt. Die Kompaktheit von M kann äquivalent durch die folgende Eigenschaft charakterisiert werden: Ist M in einer beliebigen Vereinigung UAEA]a A, bA [ von offenen Intervallen enthalten, so genügen immer schon endlich viele davon, um M zu überdecken, d.h., es gibt Al, ... ,An E A mit M C U~=l]aAk' bAk [ . Eine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall ist gleichmäßig stetig. Das kann man recht leicht mit der obigen Eigenschaft eines kompakten Intervalls beweisen oder durch einen Widerspruchs beweis unter Verwendung des Satzes von Bolzano-Weierstraß (s. Abschnitt 1.1.12, Folgen und Reihen). Im Vergleich dazu ist der Beweis des folgenden Satzes (Approximationssatz von Weierstraß) sehr anspruchsvoll: Zu jeder stetigen Funktion f : [a, b] --t IR und zu jedem c > gibt es ein Polynom P, so dass If(x) - P(x)1 < c für alle xE [a, b] gilt. Nimmt man für c der Reihe nach die Werte ~, so erhält man eine Folge von
°
Polynomen (Pn), so dass für alle x E [a, b] gilt: If(x) - Pn(x)1 < ~ . Später werden wir sehen, wie man solche Polynomfolgen konstruieren kann. Hiermit haben wir einen nahtlosen Übergang zum nächsten Paragraphen vorbereitet.
62
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
1.1.15 Funktionenfolgen, Funktionenreihen, Potenzreihen (Aufgabe 71 bis 74) Mit IK bezeichnen wir einen der Körper IR oder { und mit Deine Teilmenge von IK. Seien (In : D -+ IK)n eine Folge IK-wertiger Funktionen und a E D. Man sagt, dass (In) im Punkt a E D konvergiert, wenn die nummerische Folge (ln(a)) konvergiert. Die Menge aller Punkte aus D, in welchen (In) konvergiert, heißt die Konvergenzmenge von (In). Ist diese Menge gleich D und bezeichnet f(x) den Grenzwert von (ln(x)) in jedem x aus D, so erhält man eine Funktion f : D -+ IK. Man sagt, die Folge (In) konvergiert punktweise gegen f, und f ist die Grenzfunktion von (In). So konvergiert die Folge nt~:) punktweise auf [0, 1] gegen die Funktion, die im Nullpunkt den Wert 1 hat und sonst (d.h. auf ]0, 1]) verschwindet. Dabei bemerken wir, dass alle Funktionen x 1-+ ~!~: stetig auf [0, 1] sind, aber die Grenzfunktion nicht. Bei punktweiser Konvergenz werden also nicht automatisch Eigenschaften der Funktionen der Funktionenfolge auf die Grenzfunktion übertragen. Dies gilt jedoch bei einer schärferen (stärkeren) Konvergenzart, der gleichmäßigen Konvergenz. Um den Unterschied zwischen den beiden Konvergenzarten deutlich zu sehen, stellen wir fest: (In) konvergiert punktweise auf D gegen f, wenn für jedes c > und jedes x E D eine von c und x abhängige natürliche Zahl N = N(c, x) existiert, so dass für n ~ N gilt: Ifn(x) - f(x)1 < c. Kann man für jedes c > diese natürliche Zahl N unabhängig von x aus D wählen, so heißt die Konvergenz der Folge (In) gegen f gleichmäßig. Aus dem Approximationssatz von Weierstraß haben wir also gefolgert, dass für jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall eine Folge von Polynomen existiert, die gleichmäßig gegen diese Funktion konvergiert. Für jedes a E]O, 1[ konvergiert die Folge (zn) gleichmäßig gegen die Nullfunktion auf der abgeschlossenen Kreisscheibe 6 a := {z E { I Izl :S a}. Dagegen konvergiert (x n ) nur punktweise auf [0,1] gegen die Funktion, die auf [0, 1[ verschwindet und in 1 den Wert 1 annimmt. Die gleichmäßige Konvergenz einer Folge von stetigen Funktionen sichert die Übertragung der Stetigkeit aller Folgenglieder auf die Grenzfunktion. Sei nun D c IR und seien alle Funktionen der Folge (In : D -+ IR) sowie f : D -+ IR stetig auf D. Ist (Jn(x)) eine monoton wachsende Folge mit dem Grenzwert f(x) für alle x E D, so ist (In) gleichmäßig konvergent gegen f. Dasselbe gilt, wenn die Eigenschaft monoton wachsend durch monoton fallend ersetzt wird. Sei a E]O, 1[, dann ist für jedes x E [a,l] die Folge nt~:) monoton fallend
°
°
gegen Null. Die Nullfunktion und jede Funktion x
1-+
~!~: sind stetige Funk-
tionen. Deshalb konvergiert die Funktionenfolge n!~:) auf [a, 1] gleichmäßig gegen die Nullfunktion.
63
1.1 Begriffe und Ergebnisse
Sei nun wieder D c IK. Der Folge (in : D -+ IK) und jedem xE D kann man die Reihe 2:: In(x) zuordnen. Mit Hilfe der Partialsummen kann man also sagen, was es heißt, dass die Reihe 2:: In punktweise oder gleichmäßig gegen I : D -+ IK konvergiert. Für a E]O, 1[ konvergiert z.B. die Reihe 2::::=1 Zn gleichmäßig auf [-a, a] bzw. /:::;a gegen 1-=-z. Die gleichmäßige Konvergenz ist hinreichend für die Übertragung der Stetigkeit aller Reihenglieder In auf die Stetigkeit der Summe 2:: In. Hinreichende Bedingungen für die gleichmäßige Konvergenz einer Reihe 2:: In sind: 1)
2)
Weierstraß-Kriterium. Gibt es eine konvergente Reihe positiver Zahlen 2:: an und gilt tln(x)t ::; an für alle xE D, so ist die IK-wertige Reihe 2:: In gleichmäßig konvergent auf D. Dirichlet-Kriterium. Seien D C IR, M eine positive Zahl,
(in : D -+ IR) mit der Eigenschaft t 2::~=1 In(x)t < M für alle x E D und NEIN und (gn : D -+ IR) eine monoton fallende Funktionenfolge, die gleichmäßig gegen die Nullfunktion konvergiert. Dann ist 2:: Ingn eine gleichmäßig konvergente Reihe. Mit dem Weierstraß-Kriterium kann man sofort zeigen, dass die obige geometrische Reihe 2::::=1 Zn auf /:::;a gleichmäßig konvergiert wegen tznt ::; an für alle z E
/:::;a
und wegen 2::::=1 an = 1~a' Die gleichmäßige Konvergenz der Reihe
2::::=1 nx2n auf [0, ~] ergibt sich als Anwendung des Dirichlet-Kriteriums auf
die Funktionen In(x) = x n und gn(x) = nx n . Auf [O,~] gilt tln(x)t ::; 2~ und gn+1(x) ::; gn(x) (da diese letzte Ungleichung zu x::; n~1 äquivalent ist und
x ::; ~ ::; n~ 1 für alle n 2: 1 gilt). Die Potenzreihen sind spezielle Funktionenreihen, die im reellen Fall die Gestalt 2:: an(x - xo)n und im komplexen Fall die Gestalt 2:: an(z - zo)n haben. Dabei heißt Xo bzw. Zo der Entwicklungspunkt der Potenzreihe. Man spricht von einer Potenzreihe um Xo E IR bzw. Zo E ( mit den Koeffizienten an aus IR bzw. (. Die Konvergenzmenge K(xo) bzw. K(zo) der Potenz reihe ist relativ leicht zu beschreiben. Setzt man R := sup{tx - xot t x E K(xo)} bzw. R:= sup{tz - zot t z E K(zo)}, so ist die Konvergenzmenge
°
die einpunktige Menge {xo} bzw. {zo}, falls R = gilt, ganz IR bzw. (, falls R = 00 ist, das Intervall ]xo - R, Xo + R[ bzw. der Kreis /:::;R(ZO) := {z E ( t tz - zot < R} vereinigt mit einer (evtl. leeren) Teilmenge des Randes {xo - R, Xo + R} bzw. 8/:::;R(ZO) = {z t tz - zot = R}, falls R eine positive Zahl ist. Welche Randpunkte hinzukommen, muss man in jedem einzelnen Fall untersuchen.
64
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
Für die Reihe L:~=1 Jnzn gilt z.B. R = 1: Zunächst weiß man R 2': 1, weil auch L:~=1 Jnzn Folge ( yn hz n ) für für
Izl >
L: an
:S an für Izl :S a konvergiert (Kriterium von Weierstraß). R :S 1 gilt, da die Izl > 1 keine Nullfolge ist. Es gilt sogar lim hlzl n = 00
für jedes a E)O, 1[ die Reihe
und damit wegen IJnznl
n~ooyn
1. Für z = 1 ist die Reihe divergent (beachte Jn
Divergenz der harmonischen Reihe!). Für
Izl =
2':
~ und die
1 und z::f 1 gilt
Da (Jn) eine monoton fallende Nullfolge ist, ergibt sich mit dem DirichletKriterium die Konvergenz von
Izl:S 1 und z ::f I} Ist R
>
°
L: Jnzn,
und damit ist ~1 \{1} = {z E
die Konvergenzmenge von L:~=1 Jnzn .
und gilt r
< R,
so konvergiert die Potenzreihe
«: I
L: an(x -
xo)n Iz - zol :S r}
bzw. L:an(z - zo)n auf [xo - r,xo + r) bzw. ~r(ZO) := {z I gleichmäßig, was man aus dem Vergleich der Potenzreihe mit einer numerischen geometrischen Reihe schließt. Insbesondere ist die Potenzreihe stetig für jedes Intervall [xo - r, Xo + r] bzw. jeder Kreisscheibe ~r(ZO) und damit auch auf )xo - R, Xo + R[= Ur IR eine beliebige Funktion und Ai,A ,Bi und B seien beliebige Teilmengen von IR. Mit f{A\) und f~ (Bi) bezeichnet man (wie üblich) das Bild bzw. das Urbild der Teilmenge A± bzw. Bi unter / , d.h.: 2
2
l
f(Ai) f- (B ) 1
1
— {bi E IR | 3ai E Ai =
mit
{a e\R\f(a )eB }, 1
1
1
Welche der folgenden Gleichheiten gelten immer:
f(a )=b }, 1
1
92
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
= f-l(B l ) U r l (B 2 ) f-l(B l n B 2 ) = f-l(B l ) n f- l (B 2 ) f(A l U A 2 ) = f(A l ) U f(A 2 ) .
n A 2 ) = f(Ad n f(A 2 )
a) f-l(B l U B 2 )
.
d) f(A l
b)
.
e) f- l (J(A l )) = Al .
c)
f) f (rl(Bd)
= BI
.
.
Ihre Antwort ist vollständig, wenn Sie entweder die Gleichheit (indem Sie beide Inklusionen zeigen) beweisen, oder ein Gegenbeispiel dazu bieten. Lösung:
Ist Al C A 2 , so gilt f(Ad C f(A 2 ). Aus BI C B 2 folgt (laut Definition der Urbildmenge) f-l(Bd C f- l (B 2 ). Daraus ergeben sich sofort die folgenden Inklusionen:
f-l(B l ) U f-l(B 2 ) C rl(B l U B 2 ), f-l(B l n B 2 ) C f-l(B l ) n f-l(B 2 ) f(A l ) U f(A 2 ) C f(A l U A 2 ), f(A l
n A2 )
C
f(Ad
n f(A 2 )
,
•
a) Sei a aus f-l(B l U B 2), dann ist f(a) E BI U B 2. Ist f(a) aus BI oder B 2, so ist a aus f-l(Bd bzw. f- l (B 2 ), also: a E f-l(Bd U f- l (B2), und damit f-l(B l U B 2 ) C f-l(Bd U f- l (B2). Hiermit gilt stets die Gleichung f-l(B l U B 2) = f-l(B l ) U f- l (B 2). b) Ist a aus f- l (Bdnf- l (B 2), so gilt a E f-l(B l ) und a E f-l(B 2). Es folgt f(a) E BI und f(a) E B 2, also: f(a) E BI nB2. Damit ist a aus f-l(B l nB2) und insgesamt: f-l(B l n B 2) = f-l(Bd n f-l(B 2) . c) Sei b E f(A l U A2). Es gibt ein a E Al U A2 mit der Eigenschaft f(a) = b. Ist a aus Al bzw. A 2, so ist b = f(a) aus f(A l ) bzw. f(A 2), und damit ist in jedem Fall bE f(A l )Uf(A2). Es gilt also immer f(A l UA 2 ) = f(A l )uf(A 2) . d) Ist bE f(Ad n f(A2), so gilt b E f(A l ) und b E f(A 2). Es gibt al E Al und a2 E A 2 mit f(ad = b = f(a2). Hiermit ist aber noch nicht gesagt, dass es ein gemeinsames a aus Al und A 2 gibt, so dass f(a) = b gilt. Dies führt zur Vermutung, dass es Fälle gibt, in welchen f(A l n A 2) :I f(A l ) n f(A 2 ) gilt. Schon aus der obigen Überlegung sieht man, dass in einem solchen Fall f nicht injektiv sein darf. Ist f die Abbildung f(x) = x 2 und nimmt man für Al das Intervall [-2, -1] und A 2 = [1,2], so gilt Al nA2 = cP, f(A l nA 2) = cP, aber f(Ad = f(A 2) = [1,4], und damit auch f(A l ) n f(A 2) = [1,4]. e) Ist a aus Al, so ist f(a) aus f(A l ) und damit ist a aus f- l (J(Ad). Ist f nicht injektiv, so könnte es sein, dass die Gleichung aus e) nicht gilt. Das trifft z.B. für die Funktion f mit f(x) = x 2 zu. Man hat:
f- l (J([l,2])) = r l ([l,4]) = [-2,-1]U [1,2]:1 [1,2]. Die Antwort lautet: Im Allgemeinen gilt nur Al C f- l (J(Ad) . f) Ist baus f(f-l(B l )), so gibt es ein a E f-l(Bd mit f(a) = b. Aber
1.2 Aufgaben für das erste Kapitel
93
a E f-I(Br) bedeutet, f(a) liegt in BI. Man hat also f(f-I(Br)) C BI. Ist BI nicht leer, aber f-I(B I ) leer, so ist auch f(f-I(Br)) leer und damit f(f-I(Br)) "I BI. Dass dies möglich ist, zeigt uns die Funktion f(x) := x 2 mit BI = [-5, -3]. Also: Im Allgemeinen gilt nur f(f-I(B I )) C BI. Aufgabe 26
Untersuchen Sie, ob jeweils die folgende Teilmenge von IR 2 der Graph einer Funktion y = f(x) oder/und x = g(y) ist. Geben Sie, falls das zutrifft, Definitions- und Wertebereich sowie eine Funktionsgleichung für f bzw. g an. Fertigen Sie eine Skizze an. i) iii) iv) v)
{(x,y) E IR 2 1x 2 +y2 > 6x}. ii) {(x,y) E IR21 x 2 +y2 = 6x}. 2 {(x,y) E IR21 x +y2 = 6x, y ~ O}. {(x,Y)EIR 2 Ix 2 +y2=6x,x2':a} für aE]-00,6]. {(x,y) E IR 2 1 x 2 +y2 = 6x, x+y 2': a} für a E]- 00,3+3V2].
Lösung: i) Die angegebene Menge ist das Äußere des Kreises mit dem Mittelpunkt (0,3) und Radius 3, da x 2 + y2 > 6x auch als (x - 3)2 + y2 > 32 geschrieben werden kann. Daher liegen z.B. alle Punkte (-l,y) mit y E IR in der Menge, d.h., dass -1 unendlich oft als erste Koordinate vorkommt. Deshalb ist diese Menge nicht der Graph einer Funktion von x. Aus ähnlichem Grund (z.B. für alle x E IR liegen die Punkte (x, -4) in der Menge) ist diese Menge nicht der Graph einer Funktion von y . ii) Auch diesmal handelt es sich nicht um den Graphen einer Funktion von x bzw. y, denn die Punkte (3,3) und (3, -3) bzw. (0,0) und (6,0) liegen auf dem Kreis. iii) Diese Menge ist der untere Halbkreis und somit der Graph der Funktion [0,6]--+ [-3,0], x t--t y(x) := -V6x - x 2 . Sie ist aber nicht der Graph einer Funktion von y, weil (0,0) und (6,0) in der Menge liegen. iv) Für a E] - 00,0] ist die Menge der ganze Kreis und somit (s. ii)) weder der Graph einer Funktion von x noch der Graph einer Funktion von y . Für a E]O, 3[ ist der Kreisbogen weder der Graph einer Funktion von x noch der Graph einer Funktion von y, wie Abb. 1.8 zeigt. Für a E [3, 6[ ist der Kreisbogen nur der Graph einer Funktion von y, nämlich
[-v6a - a2, v6a - a2] --+ [a,3], y t--t 3 + ~. Für a = 6 besteht die betrachtete Menge aus dem Punkt (6,0) und ist damit der Graph der Funktion 6 t--t 0 aber auch der Funktion 0 t--t 6 . v) Für a E]- 00,3 - 3V2] ist die Menge der ganze Kreis, für a E]3 - 3V2, 6[ ist die Menge ein Kreisbogen. In diesen Fällen (also bei a E ] - 00, 6[) ist die Menge weder der Graph einer Funktion von x noch der Graph einer Funktion
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
94
3
x
Abbildung 1.8. Der Fall 0 < a < 3
-3 ............ ,,~=.--4
von y . Für a E [6,3
+ 3V2]
ist die Menge - also der Kreisbogen mit einem
3
"
" "~x+y=3+3V2 "
x+y:;::::6"" "
x
3
x+y=" "
3
6 "
3-3V2
" x
-3
"
+ y = 4.5
Abbildung 1.9. Der Fall 3 - 30
-3
< a < 6 und
der Fall 6
f(O) = -1 und f(O) = -1 < f(2) = 5. Deshalb ist f auf ihrem Definitionsbereich weder monoton fallend noch monoton steigend. d) Wegen lim h(x) = 2, lim h(x) = -00 und lim 12 (x) = 00, x-t-oo x-t1x-t1+ lim h(x) = 2 sowie der Monotonieeigenschaften von hund 12 ist]- 00, 2[ x-t+oo bzw. ]2, oo[ der Wertebereich von h bzw. h. Also: b) Es gilt: f(x 1 ) - f(x 2 )
=
2xI+1 XI -1
W 1 =]- 00, 2[ und e) Da aus 2::S = y mit y
'I-
W 2 =]2, oo[ .
2 sofort x = ~ folgt, ergibt sich für f1- 1 und
f:;l derselbe Ausdruck; die Funktionen ordnen jedem y aus ihrem Definitionsbereich den Wert ~ zu. f) h (-5) = ___lt~ll = =~ = ~. Da h in ~ nicht definiert ist, ist h 0 hauch nicht definiert. (Der Grund ist also: h bildet] - 00, 1[ auf] - 00, 2[ ab, und ]- 00, 2[ ist nicht in ]- 00, 1[ enthalten!). Wegen h(]I, oo[) =]2, oo[ C ]1, oo[ ist h o 12 definiert. Man hat für jedes x aus ]1, oo[ :
2h(x)
+1
(12 0 h)(x) = 12 (h(x)) = h(x) _ 1 =
22:!/+1 atll _ 1
x-1
=
5x+l x +2
y
f(x) 2
,
----------------r--------------,, x
. 2x + 1 AbbIldung 1.10. fex) = x-I
1.2 Aufgaben für das erste Kapitel
97
Da /2 streng monton fallend ist, ist /2 012 streng monoton wachsend, wie die folgende Überlegung zeigt: 1 < x' < x" ~ 2 < /2(x") < /2(x' ) ~ 12 (/2(x' )) < /2 (/2(x")) . Aus dieser Monotonieeigenschaft, aus dem Zwischenwertsatz und aus . 11m (/2 x-tI+
0 /2)(x) = 5·1 + 1 = 2 1+2
. SOWIe
lim (12 x-too
0 h)(x) = 5
folgt, dass ]2, 5[ der Wertebereich von /2 0/2 ist. Die Funktion also ]1, oo[ bijektiv und strikt monoton steigend auf ]2, 5[ ab. g) Die Abbildung 1.10 zeigt den Graphen von f.
/2 0/2
bildet
Aufgabe 30
Untersuchen Sie, ob die folgenden Funktionen surjektiv, injektiv oder bijektiv sind: i) f: IR -+ IR, f(x) = x2~1 . iii) h: [1, oo[-+]O,~] , h(x) = x2~1 . ii) g: [1,00[-+ IR, g(x) = X2~I . iv) k: [-1,1]-+ [- ~,~] , k(x) Bestimmen Sie für die bijektiven Funktionen die Inverse.
= x2~1
.
Hinweis: Zeigen Sie zuerst, dass f in -1 (bzw. +1) und nur in diesem Punkt das Minimum (bzw. Maximum) annimmt. Lösung: Wir zeigen zuerst, dass für jedes x E IR\ {I, -I} gilt: - ~ = f( -1) - 2I
< f(x) < f(l)
°
.. . Ient zu < < f()· x ISt aqmva
°< l(J'~:). < °< 2((X-;~:)
x x2+1
= ~ .
° "# °
'1 + 3>'2 - 2>'3 = 0 J3>'1 + 2J3>'2 - J3>'3 = 0 >'1 + >'3 = 0 . Aus den letzten bei den Gleichungen ergibt sich durch Elimination >'3 = >'2 = ->'1. Setzt man >'3 = ->'1 und >'2 = ->'1 in die erste Gleichung ein, so erhält man eine Identität, nämlich 0 = o. >'1 ist damit frei wählbar. Die nichttriviale Lösung >'1 = 1, >'2 = -1, >'3 = -1 des obigen Systems zeigt, dass
(1),(2{a) --f) (~) (!) (~) und (
iii)
>'1
+ >'2
lineac
abhän~g
lässt sich als
sind
>'1 + 2>'2 = 0 2>'1 + 3>'2 = 0 3>'1 + 4>.2 = 0
schreiben.
101
1.2 Aufgaben für das erste Kapitel
Aus den e<sten beiden Gleichungen folgt ,I,
(!)
~ ~ O. Damit sind (~) und ,I,
line", unabhängig, abc, sie bilden keine B",is. (Z.B. 11lBst sich
0)
m ~1 m~s
(~)
nicht als lineare Kombination der angegebenen Vektoren schreiben.) iv),\,
+ ,I,
+ ,13
(
hat
)
Lösung ,I, = 11, ,I, =
-7 und A3 = 1. Deshalb sind diese drei Vektoren linear abhängig; insbesondere können sie keine Basis bilden. Aufgabe 34 Untersuchen Sie, ob die Vektoren
a) b) c)
linear unabhängig sind, ein Erzeugendensystem von IR4 bilden, eine Basis von IR4 bilden.
Lösung: a) Aus ülbl
+ Ü2b2 + Ü3b3 + Ü4b4 = 0,
d.h. aus
+ Ü2 + Ü3 + Ü4 = ÜI + Ü3 + Ü4 = ÜI + Ü2 + Ü4 = ÜI + Ü2 + Ü3 = ÜI
0 0 0 0
erhält man, indem man von der ersten Gleichung des Systems jede der anderen Gleichungen abzieht, sofort Ü2 = 0, Ü3 = 0 und Ü4 = o. Aus der ersten Gleichung (oder aus jeder anderen) ergibt sich dann ÜI = 0, und dies zeigt die lineare Unabhängigkeit der Vektoren b l , b 2, b 3 und b 4 . b) Ist a = (al a2 a3 a4)T ein beliebiger Vektor aus IR4, so muss man feststellen, ob das Gleichungssystem (das zu ßlb l + ß2b2 + ß3b3 + ß4b4 = a äquivalent ist)
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
102
ßI + ß2 + ß3 + ß4 = ßI + ß3 + ß4 = ßI + ß2 + ß4 = ßI + ß2 + ß3 =
al a2 a3 a4
eine Lösung besitzt. Zieht man von der ersten Gleichung die zweite, dritte bzw. vierte Gleichung ab, so erhält man
Aus jeder der 4 Gleichungen des Systems bekommt man deshalb ßI = a2 + a3 + a4 - 2al, und damit hat das Gleichungssystem genau eine Lösung, was die gestellte Frage, ob b l , b 2 , b 3 und b 4 ein Erzeugendensystem bilden, positiv beantwortet. c) In der Lösung von b) wurde gezeigt, dass jeder Vektor a aus IR4 sich auf genau eine Weise als lineare Kombination von bl, b 2 , b 3 und b 4 darstellen lässt, nämlich a = (a2 + a3 + a4 - 2al)bl + (al - a2)b 2 + (al - a3)b 3 + (al - a4)b 4 . Deshalb bilden die vier Vektoren eine Basis von IR4 . Eine andere Begründung: In a) und b) wurde gezeigt, dass b l , b 2 , b 3 und b 4 ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von IR 4 ist, und dies ist äquivalent zu der Aussage, dass diese vier Vektoren eine Basis bilden, weil die Dimension von IR 4 gleich 4 ist. Aufgabe 35 Untersuchen Sie, ob a) b) c) d)
der offene Einheitskreis IE := {(x, y) T E IR 2 I Ix 2 + y2 < I} , der abgeschlossene Einheitskreis IE:= {(x,y)T E IR2 IIx2 + y2 :S I} , der Kreis OIE:= IE\IE = {(x,y)T E IR 2 I x 2 + y2 = I} , die abgeschlossene obere Halbebene IH+ := {(x, y)T E IR2 I y ~ O} Unterräume von IR2 sind.
Lösung: Die Antwort ist in jedem Fall: nein! Man kann dafür in den Fällen a) und d) sowie für b) und c) jeweils eine gemeinsame Begründung angeben: Der
Vektoc (:;;) (bzw.
(:j~)) liegt in der cntsp,echenden Menge, abec
dec Vekto, (-10) . (:;;)
~ ( =~) (bzw. v'2 ( :j ~) ~ (:)) nicht.
1.2 Aufgaben für das erste Kapitel
103
Für b) und c) kann man auch folgendermaßen argumentieren: liegen in der Menge, aber nicht deren Summe folgende Argumentation möglich: Ist
(~)
aus IH+ und a
(~)
(~).
(~)
(~)
und
Im Fall c) ist auch die
(j. OIE. Für IH+ kann man sogar sagen:
< 0, so ist a ( ~ )
= (
~~ )
aus IH+ genau dann,
wenn Y = 0 gilt. Aufgabe 36
Untersuchen Sie, welche der angegebenen Mengen Unterräume der jeweiligen Vektorräume sind, und berechnen Sie die Dimension, falls es sich um einen Untervektorraum handelt.
i) ii) iii)
Ua :=
{(Xl,X2)T
I Xl -
3X2
= a} C IR2
V:= {(Xl, X2, X3)T 12xl - 3X2 W:= {(Xl,X2,X3)T I Xl + X~ -
,
+ X3 = 0, 3X3
a E IR. X2 - X3
= O} C IR3
= O} C IR3 .
.
Lösung:
i) Ist a :j:. 0, so ist Ua kein Untervektorraum von IR2 , weil
(~)
nicht zu Ua
gehört. Ist a = 0, so ist Ua ein Untervektorraum von IR 2 , weil mit
Yl) für alle ( Y2
a,ß
aus IR auch a (Xl)
liegt. Aus Xl -
3X2
= 0 = Yl -
Ist {
(~~)
(~) }
X2
aus Uo, so gilt Xl =
3Y2
3X2
+ ß (Yl) Y2
=
(aXl aX2
(~~)
+ ßß Y1 ) + Y2
und
in Uo
folgt nämlich
und damit
(~~)
=
X2
(~).
eine Basis des eindimensionalen Unterraums Uo von IR2
Somit ist •
Geometrische Interpretation: Jede Menge Ua ist eine Gerade in IR2 . Nur diejenigen Geraden aus IR 2 sind auch Untervektorräume, die durch den Nullpunkt gehen. In unserem Fall ist dies nur Uo . ii) Aus 2Xl - 3X2 + X3 = 0 und X2 - X3 = 0 folgt X2 = X3 und damit Xl = X3. Deshalb hat jeder Vektor aus V die Gestalt x3(1, 1, l)T. Umgekehrt liegt jeder Vektor von dieser Gestalt in V. Damit sieht man, dass V ein Untervektorraum der Dimension 1 von IR 3 ist; {(I, 1, l)T} ist eine Basis von V .
104
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
Aus allgemeinen Gründen kann man ebenfalls behaupten, dass V ein Untervektorraum von IR3 ist: V ist die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems. Geometrisch entsteht V als Schnitt zweier nichtparallelen Ebenen 2X1 - 3X2 + X3 = 0 und X2 - X3 = O. Deshalb ist V eine durch den Nullpunkt gehende Gerade, und damit ein eindimensionaler Untervektorraum. iii) Man ahnt, dass die zweite Potenz der zweiten Koordinate die Linearität stört. Dass es tatsächlich so ist, ergibt sich z.B. aus: (-1,2,1)T E W (da -1 + 22 - 3 = 0), aber 2· (-1,2, l)T = (-2,4, 2)T rt W (da -2 + 42 - 3·2 = 8 f. 0) . Aufgabe 37 Sei n 2: 3 eine natürliche Zahl. a und b seien zwei linear unabhängige Vektoren aus IR n . V und U bezeichnen die folgenden Teilmengen von IR n :
V := {o:a + ßb I 0:, ß E IR} a) b) c) d) e) f)
und
U:= {c E IR n
IC. a =
0 = C . b} .
Zeigen Sie, dass V und U Unterräume von IR n sind. Welche Dimension hat V ? Bestimmen Sie die Schnittmenge Unv. Benutzen Sie dabei die Aussage der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung (und zwar in vollem Umfang!). Zeigen Sie, dass jeder Vektor aus IR n als Summe eines Vektors aus U und eines Vektors aus V darstellbar ist. Folgern Sie aus c) und d), dass die Vereinigung einer Basis von V mit einer Basis von U eine Basis von IR n ist. Welche Dimension hat U ?
Lösung: a) Mit o:a + ßb und 0:1 a + ß1 b liegt auch (0: + O:l)a + (ß + ßdb in V. Ist A eine beliebige reelle Zahl, so ist A(o:a + ßb) = (Ao:)a + (Aß)b aus V . Gilt Cl . a = 0 = Cl . bund C2 . a = 0 = C2 . b und sind /1, /2 beliebige reelle Zahlen, so gilt auch (')'1 Cl + /2C2) . a = /1 (Cl· a) + /2 (C2 . a) = 0 = /1(C1 . b) + /2(C2 . b) = (')'lC1 + /2C2) . b . b) Da a und b linear unabhängig sind, bilden sie nicht nur ein Erzeugendensystem von V, sondern eine Basis. Deshalb ist die Dimension von V gleich 2. c) Sei C aus U n V. Es gibt also 0:, ß aus IR mit C = o:a + ßb. Außerdem gilt: o:a . a o:b . a
+ ßb . a = 0 + ßb . b = 0 .
Multipliziert man die erste Gleichung mit b· b und die zweite Gleichung mit b . a und subtrahiert, so erhält man 0: ((a. a)(b· b) - (b· a)(b· a)) = 0
1.2 Aufgaben für das erste Kapitel
105
oder auch
Wegen der linearen Unabhängigkeit von a und b folgt aus (dem zweiten Teil) der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung a = o. Analog, d.h. durch Multiplikation der ersten Zeile mit b . a und der zweiten Zeile von a . a, erhält man ß = o. Also: U n V = {O} . d) Wir müssen also für jedes x aus IRn Zahlen a und ß finden, so dass x - aa - ßb in U liegt, d.h., dass gilt:
(x - aa - ßb) . a = 0 = (x - aa - ßb) . b . a und
ß müssen also Lösung des linearen Gleichungssystems (a . a)a + (b . a)ß = x . a
(a· b)a + (b· b)ß = x· b sein. Mit dem Trick, den wir in der Lösung von c) schon benutzt haben (d.h. Multiplikation der ersten Zeile mit b . b, der zweiten Zeile mit b . a und Subtraktion) erhalten wir
((a. a)(b . b) - (a . b)2) a = (x· a)(b . b) - (x· b)(a . b) und damit (wieder kommt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung ins Spiel!)
a = Analog errechnet sich für
(x· a)(b· b) - (x· b)(a· b) IIal1 211bl1 2 _ (a. b)2
ß der Wert
(x· b)(a· a) - (x· a)(a· b) IIal1 211bl1 2 - (a· b)2 Damit ist die Behauptung bewiesen. e) Ist x aus IRn , so haben wir gezeigt, dass u EU und v E V mit u + v = x existieren. Ist {VI, V2} eine Basis von V und {U1, ... , ud eine Basis von U, so lässt sich u als lineare Kombination von U1, ... ,Uk und v als lineare Kombination von VI und V2 schreiben. Damit ist x eine lineare Kombination von VI, V2, U1,.··, Uk, d.h. {VI, V2, U1, ... , ud ist ein Erzeugendensystem von IR n . Aus ')'lV1 +')'2V2 + 61U1 + ... + 6kuk = 0 folgt ')'1 VI +')'2V2 = -(61U1 + .. .+6kuk) E VnU und damit ')'1 VI +')'2V2 = 0 = 61 U1 + .. .+6kuk (siehe c)). Da {VI, V2} eine Basis von V und {U1, ... , ud eine Basis von U ist, folgt ')'1 = ')'2 = 0 = 61 = ... = 6k, d.h. {VI, V2, U1, ... , ud ist
106
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
ein System von linear unabhängigen Vektoren. Damit ist eine Basis von IR n . f) Aus 2 + k = n folgt dirn U = k = n - 2 .
{VI, V2, Ul,···,
ud
Aufgabe 38
Betrachten Sie die folgenden drei Geraden in der Ebene: gl := {(Xl,X2? E IE 2 12xl - 3X2 - 6 = O},
+ 3X2 - 6 = O}, 12xl - X2 + 2 = O} .
g2 := {(Xl, X2)T E IE 2 12xl g3 := {(Xl,X2? E IE 2
a) b) c)
d) e) f) g) h)
Zeigen Sie, dass keine zwei dieser Geraden parallel sind. Bestätigen Sie das Ergebnis aus a) indem Sie die Schnittpunkte C von gl und g2, A von g2 und g3 sowie B von g3 und gl berechnen. h 1 sei die Gerade durch A senkrecht zur Geraden durch Bund C, h 2 sei die Gerade durch B senkrecht zur Geraden durch A und C und h 3 sei die Gerade durch C senkrecht zur Geraden durch A und B. Bestimmen Sie je eine Parametergleichung von h 1 , h 2 und h3 . Bestimmen Sie die Hessesche Normalform der Geraden gl, g2, g3, h1 , h2 und h 3 . Welche davon liegt dem Nullpunkt am nächsten? Berechnen Sie den Schnittpunkt der Höhen des Dreiecks ABC. Bestimmen Sie den Mittelpunkt und den Radius des Kreises, der dem Dreieck umschrieben ist. Berechnen Sie die Längen der Seiten und Höhen des Dreiecks sowie den Flächeninhalt. Fertigen Sie eine Skizze an.
Lösuog: a) Eine Möglichkeit zwei Geraden in Koordinantenform auf Parallelität zu prüfen, besteht darin, die Normalenvektoren auf lineare Abhängigkeit zu prüfen. i)glllg2? Der Normalenvektor von gl ist 01 = (!3) und der von g2 02 = (;). Offensichtlich ist aber 01 kein Vielfaches von 02, also sind 01 und 02 linear unabhängig. Damit sind gl und g2 nicht parallel. ii) g211g3 ? Wie bei i) ist 02 = (;) und für den Normalenvektor von g3 ergibt sich = (-;.2). Auch hier ist offensichtlich 02 kein Vielfaches von 03, also sind auch 02 und 03 linear unabhängig und damit g2 und g3 nicht parallel. iii) gl11g3 ? Aus i) ,ii) ist bekannt: 01 = (!3) und 03 = (-;.2). Wie man leicht sieht, sind 01
03
1.2 Aufgaben für das erste Kapitel
107
und 03 linear unabhängig, also auch gl und g3 nicht parallel. b)i) Berechnung des Schnittpunktes C von gl und g2. gl : 2Xl - 3X2 - 6 = 0 und g2 : 2Xl + 3X2 - 6 = O. Zunächst wird die erste Geradengleichung nach Xl aufgelöst: Xl = ~X2 + 3. Setzt man nun dies in g2 ein, so erhält man 2( ~X2 + 3) + 3X2 - 6 = O. Das ist aber äquivalent zu 6X2 = 0 und hiermit gilt X2 = O. Setzt man nun noch X2 in gl ein, so ergibt sich Xl = 3, und damit ist der Schnittpunkt C = (3,0) . ii) Der Schnittpunkt A von g2 und g3 habe die Koordinaten Xl und X2. Sie erfüllen die Gleichungen 2Xl + 3X2 - 6 = 0 von g2 und 2Xl - X2 + 2 = 0 von g3. Hier löst man zuerst g2 nach Xl auf: Xl = - ~X2 + 3. Wie bei i) setzt man Xl nun in g3 ein und erhält für X2 den Wert 2. Setzt man X2 in g2 ein, so ergibt sich Xl = o. Also ist A = (0,2) der Schnittpunkt. iii) Der Schnittpunkt B von g3 : 2Xl-X2+2 = 0 und von gl : 2Xl-3x2-6 = 0 lautet B = (-3, -4) . c)i) h l sei die Gerade durch A = (0,2) senkrecht zur Geraden gB,C durch B und C; die letztere wird mit Hilfe der Zweipunkteform geschrieben. Man hat für gB,C (d.h. für gl):
m
Deshalb ergibt sich für h l die Gleichung x = + A(6) . ii) h 2 sei die Gerade durch B = (-3, -4) senkrecht zur Geraden A und C. Wie bei i) erhält man für gA,C (d.h. für g2):
Entsprechend lautet die Gleichung von h2 : x = (~) + J1(~2) iii) Analog hat man für gA,B (d.h. für g3) die Gleichung
gA,C
durch
.
te'
Für h 3 erhält man x = (~) + 3) . d)i) Die Hessesche Normalform von gl,g2 bzw. g3 wird zuerst berechnet. Dafür benötigt man den Normaleneinheitsvektor 01 zu gl, der durch Nore3)· Der Abstand dl vom mieren von C'6) gewonnen wird, also 01 =
vh-
Nullpunkt zu
gl
ist die Länge der Projektion des Vektors OC auf 01, also:
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
108
Analog erhält man den Einheitsvektor ll2 zu g2 und den Abstand d 2 vom Nullpunkt zu g2 als Projektion des Vektors OC auf ll2 :
Entsprechend lautet der Einheitsvektor Nullpunkt zu g3 :
ll3
1 (-2)
v'5
=
1
d3
Die Hessesche Normalform von
gi
=
ll3
zu
Js I( ~
lautet
g3
~2 ) I = ~ . = d für i = 1,2,3. Es folgt:
1
lli . X
) .( i
1 (2) -3 .(Xl) = v'136 vb (~) (Xl) = v'136 1 (-2) v'5 1 .(Xl ) = v'52 v'13
X2
.
und der Abstand d 3 vom
X2
X2
für
gl ,
für
g2 ,
für
g3 .
ii) Die Einheitsnormalenvektoren zu h l , h 2 und h3 lauten
Jg G). Die Abstände vom Nullpunkt lvb-m . (~)l = vh ' lvb-e2)· (:=~)l = vb-
bzw.
zu h l , h2 und h3 sind
IJgm . @l = Jg.
bzw. Damit erhalten wir die Hessesche Normalform von h . _1 1 .
v'13
bzw. von
(3). (Xl) v'13 ' 1 (1) (Xl) v'53 . v'5 2
h3
= _4
X2
2
:
.
X2
von
h . _1 . ( 2 .
vb- m ' vb- e2)
v'13
3) .(Xl) _~V3
-2
X2
-
=
e) Den Schnittpunkt von h l und h2 erhält man, indem man (~)
t'
k
+ .x (!6)
und
@ + J.L e2) gleichsetzt. Es ergibt sich J.L = .x = und damit (~, ~) für den Schnittpunkt. Dieser Punkt liegt auch auf h 3 , weil (~) + (-
152) .
C'3) = (1) gilt. 4
f) Um den Mittelpunkt M des Kreises, der dem Dreieck umschrieben ist, zu bestimmen, berechnet man den Schnitt von zwei der drei Seitenhalbierenden des Dreiecks ABC. Ein Punkt X2) liegt auf der Seitenhalbierenden von AB, wenn er von A und B gleich weit entfernt ist, d.h., wenn gilt:
(Xl,
lOg
1.2 Aufgaben für das erste Kapitel
Durch Quadrieren und Vereinfachen ergibt sich daraus die Gleichung der Seitenhalbierenden xi + x~ - 4X2 + 4 = xi + 6X1 + 9 + x~ + 8X2 + 16 , -6X1 - 12x2 - 21 = 0 . Analog für die Seitenhalbierende von AC
J(X1 - 0)2
+ (X2
- 2)2
= J(X1
xi + x~ -
4X2 + 4 = xi 6X1 - 4X2 - 5 = 0 .
+ (X2 6X1 + 9 + x~ , - 3)2
0)2 ,
Die Koordinaten des Schnittpunktes erhält man als Lösung des folgenden Gleichungssystems:
-6X1 - 12x2 - 21 = 0 6X1 - 4X2 - 5 = 0 . Addiert man die zweite Gleichung zur ersten Gleichung, so erhält man -16x2 - 26 = 0, d.h. X2 = - 183. Daraus folgt Xl = ~(- 183) + ~ = Der Mittelpunkt ist also M = (183). Der Abstand von diesem Punkt zu A, d.h. der Radius des dem Dreieck ABC umschriebenen Kreises, ist
t.
t'-
J(-~r + (_1; -2r
4 64
841
+ 64
y!845
= -8-·
= (::::1::::~) = (::::~)AC = (~::::~) = (!2) und BC = (~!D = Längen IABI = v'45 = 3)5, IAC! = V13 und IBCI =
g) Die Vektoren AB (~) haben die
J52 = 2V13. Wir berechnen nun die Längen der Höhen des Dreiecks ABC. Die Projektion Al von A auf gl erhält man aus dem linearen Gleichungssystern Setzt man Xl = 4>. und X2 man 2(4).) - 3(2 - 6>') - 6
= 2 - 6>' in die = 0, d.h. >. =
1. Gleichung ein, so erhält ~~ = 163 • Damit ergeben
sich Xl = ~ , X2 = - ~~ und die Länge der Höhe AAl : IAA 1 = 1
_/(24)2+(-36)2 -- .l..Y!9.208 V1(24_0)2+(_10_2)2 13 13 V 13 13 13
M· Analog berechnet man die Koordinaten der Projektion BI von B auf g2. Aus 2X1 + 3 X2 - 6 = 0 und (:~) = (::::1) + folgt BI = (!3, ~). Deshalb -.fl... -
t-tm
ist die Länge der Höhe BB1 gleich IBB 1
1
= )(193 + 3)2 + (i~ + 4)2 = Jh.
Wiederum analog berechnet man die Koordinaten der Projektion Cl von C
110
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
auf g3. Aus 2Xl -
X2
und damit ICCll =
+2 =
0 und (~~) = (~)
J(-t I IBGI
3)2
+ (~)2
=
+
J
ve'3) ergibt sich Cl = (-t, ~)
3i50
=
285'
Der Flächeninhalt des
~.2v'l3
Dreiecks ABC ist I \ = m 2 = 12 . h) Abbildung 1.11 zeigt eine zugehörige Skizze. AA
Abbildung 1.11. Das Dreieck ABC und seine Höhen
Aufgabe 39
Man betrachte die Vektoren a = (1,0, l)T , b = (2,3, -l)T , e = (-1,1,2)T, d = b x e sowie die Vektorenschar {CA = (-1,A 2 , l-23A )T I A E IR} aus IE 3 . Seien Al = 1 und A2, A3 E IR, A3 < A2, die beiden eindeutig bestimmten reellen Zahlen, für welche C A2 und C A3 senkrecht zu d sind. Sei E die Ebene mit der Parametergleichung x = a + vb + PC A2 , v, P E IR . a) b) c) d) e) f) g)
Berechnen Sie den Flächeninhalt des von den Vektoren CA! und C A2 aufgespannten Parallelogramms. Berechnen Sie das Volumen des von den Vektoren CA!' C A2 und C A3 aufgespannten Spats. Stellen Sie E in der Form aXl + bX2 + CX3 = e dar. Leiten Sie die Hessesche Normalform von Eher. Bestimmen Sie den Abstand von (-1, -3,0) zur Ebene E. Berechnen Sie den Schnittpunkt A von E mit der Geraden g durch den Punkt (-1, -3,0), die parallel zu a ist. Wie lautet eine Gleichung der Projektion von g auf E ?
1.2 Aufgaben für das erste Kapitel
111
Lösung:
-7 - 3,\2
+ 5-15>' 2
=
-14-6>.2+ 5 - 15 >, -
-
-
+ 5,\ + 3)
!!(2,\2 2
!:) T) m, 2
-- -(,\
+ 1)('\ + !!) 2·
Also: '\3 = - ~ , '\2 = -1 , '\1 = 1 .
a) e" xe" = (
x (
h, x e" I =
v9+ 9 + 0 = 312 .
Der Flächeninhalt des von C>'l und C>'2 aufgespannten Parallelogramms ist also 3..)2 . b) Das Volumen des von C>'l' C>'2 und C>'3 aufgespannten Spats ist
Ih,
c) x = a
(
m0')
x e,,)e,,1 =
+ vb + J.lC>'2
=
=
(~) + ~ 1
v (
-1
)
1-3+ ~ + 01 = ':
+ J.l
(~1) 2
=
(1
~
2 ;v : J.l) I-v+2J.l
~: ). Aus den Gleichungen 1 + 2v - M = x, und 3v +
ß = x, folgt
1 + 5v = Xl + X2, während aus 1 + 2v - J.l = Xl und 1 - v + 2J.l = X3 sich 3 + 3v = 2X1 + X3 ergibt. Die gesuchte Darstellung der Gleichung von E erhält man aus v = Xl +~2-1 = 2Xl +3X3 -3; sie lautet: 7X1 - 3X2 + 5X3 = 12 . Ein Nmmalenelnheltsvektm 'u E Ist also },. (
~3 ) ,da .)7' + (-3)' + 5'
v'83 gilt. Der Abstand vom Nullpunkt Eist 1~I
=
jh. Damit ist die Hes-
sesche Normalform von E : 12
v'83 . e) Der gesuchte Abstand ist 17· (-1) - 3· (-3)
v'83
+ 5·0 -121
1- 7 + 9 - 121
v'83
=
10
- v'83 .
112
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
f) Die Gerade g hat eine Gleichung der Gestalt
Setzt man Xl = >. - 1, X2 = -3 und X3 = >. in die Gleichung von E ein, so folgt aus 7(>. - 1) - 3( -3) + 5>. = 12 zuerst 7>. - 7 + 9 + 5>. = 12, und damit >. = = ~. Der Schnittpunkt von E und g ist also (-3,~) =: A . g) Die Projektion B von (-1, -3,0) auf E bekommt man als Schnitt von
i,
ig
x= (
~~) + >. ( ~3 )
mi'
E.
Set"
mM
x,
= 7>. - 1,
x, = -3>' - 3 und
= 5>. in E ein, so folgt aus 7(7). - 1) - 3( -3>' - 3) + 5(5)') = 12 für>. den 10 Dam1t . gl·1 t B = ( - 83' 13 83' 279 50) D· P . ktlOn . von gauf E 1st . Wert A\ = 83. 83· 1e rOJe durch A und B bestimmt. Sie hat eine Gleichung der Form
X3
x
=
(
- 1)
-3 §. 6
- 83 6 (13 + >. - 2;39 ++ 13 ) 50 5 83 - 6
=
-1 ( ) ~ -18 6 5
1 ( ) + ~ -36 498 - 23
Aufgabe 40
Durch die Punkte Al = (1,2,3), A 2 = (-2,1,2), A 3 = (-1,3,4) bzw. BI = (-3,7, -1), B 2 = (1,3,1), B 3 = (2,11,5) werden zwei Ebenen EA und EB eindeutig bestimmt. Sei g die Schnittgerade EA n EB . a) b) c)
d) e)
Geben Sie je eine Gleichung dieser Ebenen an. Berechnen Sie eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden g . Entscheiden Sie, welcher der Punkte Al, A 2 , A 3 am nächsten und welcher am weitesten von E B entfernt ist. Welche von diesen drei Punkten (d.h. A 1 ,A 2 und A 3 ) liegen in demselben von E B berandeten Halbraum wie der Nullpunkt? Seien B~, B;, B~ die Projektionen von BI, B 2 , B 3 auf EA. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks B~, B;, B~ . Unter welchem Winkel 0: E [0, ~l schneiden sich die Ebenen EA und EB ?
Lösung:
a) EA hat cinc GlckJmng dcc G",ru' x =
(i)
+ >. (:) + ß
(
:2) .
1.2 Aufgaben für das erste Kapitel Xl
113
= 1 + 3A -
2/-1
Eliminiert man A und /-1 aus X2 = 2 + A + /-1
, so erhält man eine weitere
X3 = 3 + A + /-1 Gleichung von EA : X3 - X2 = 1 .
EB hat eine Glekhung dedb,m x Xl
~ (~) +
A
m ~4)+ M(
Dmch die
= 1 + A + 4/-1
Elimination von ,\ und /-1 aus X2 = 3 + 8'\ - 4/-1 bekommt man die folgende
X3 = 1 + 4A + 2/-1 Gleichung von EB : 16xI + 7X2 - 18x3 = 19 . b) Setzt man in 16xI + 7X2 - 18x3 = 19 für X3 den Wert X2 + 1 ein, so ergibt sich 16xI + 7X2 - 18(x2 + 1) = 19 und damit 16xI - 11x2 = 37. Aus Xl = ~~ X2 + i~ und X3 = X2 + 1 erhält man die folgende Parameterdarstellung
vongx~ (~:) (~) +{:)
c) Der Abstand eines Punktes P = (PI,P2,P3) von einer Ebene E, die durch eine Gleichung der Form alxl +a2x2 +a3x3 +a4 = 0 angegeben werden kann, ist d(P, E) := lalPI + a2P2 + a3P3 + a41 . Jai + a~ + a~ Zwei Punkte P und Q = (QI,Q2,q3) liegen in demselben von E berandeten Halbraum, falls alPI + a2P2 + a3P3 + a4 und alQI + a2Q2 + a3Q3 + a4 dasselbe Vorzeichen haben. In unserer Situation hat man mit der Bezeichnung
fB(P) := fB(PI,P2,P3) := 16pI (für welche gilt
+ 7P2
- 18p3 - 19
d(P E B ) = IfB(P)1 = IfB(P)1 ) : , J16 2 + 72 + (-18)2 v'629
43 /CM' y629 80 fB(A 2) = 16· (-2) + 7 ·1-18·2 -19 = -80, d(A2,EB ) = v'629 ' fB(Ad
= 16·1 + 7·2 -18·3 -19 = -43,
fB(A 3) = 16· (-1)
d(AI,EB ) =
+ 7·3 -18·4 -19 = -86,
und schließlich für den Nullpunkt 0 = (0,0,0)
d(A 3,EB)
=
86 y629
/CM
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
114
IB(O)
° °- °-
= 16· + 7·
18·
19 = -19,
deO, E B ) =
19 v629
/CiOr\'
Daraus folgt d(A 1 ,EB) < d(A 2,EB) < d(A 3,E3) , d.h. Al liegt näher bei EB als A 2, A 2 liegt näher bei E B als A 3 und Al, A 2, A 3 befinden sich in demselben von EB berandeten Halbraum wie der Nullpunkt. d) Der Vektor (0,1, _l)T ist senkrecht zu EA. Um die Projektion von B 3 auf
EA zu bekommen, ,chneidet mon die Gecade x
~ (1:1) + >. ( J1)
mit
der Ebene EA. Aus Xl = 2, X2 = 11 + >.., X3 = 5 - >.. und X3 - X2 = 1 folgt 15 17) /\\ -- -27 un d d amI't B'3 -- (2 '2'"2' Analog "hält ffion B; als Schnitt d" Gecaden x
~ (~) + >. ( J 1
) und
EA. Aus (1- >..) - (3+>") = 1 ergibt sich>" = -~, und daraus B~ = (1,~,~) . Den Punkt B~ als Projektion von BI auf EA kann man genauso berechnen; man erhält B~ = (-3, ~, ~). Der Flächeninhalt des Dreiecks B~ B~B~ ist
e) Der Winkel
0:
E [0, ~l zwischen EA und EB ist der Winkel zwischen
0
und
25 arccos V'Zv'629 '
,..., 0: ,...,
den Normaleneinheitsvektoren zu EA und zu EB, d.h. zwischen 1 (16 7 I · cos 0: -- 1-7-181 25 v'629 " - 18)T , aso. V'Zv'629 -- V'Zv'629 '
0: -
45°10'55" .
Aufgabe 41 Seien A = (1,2,0), B = (2,0,1) und C = (0,1,2) drei Punkte aus IR3 • Mit E bezeichne man die Ebene, welche durch A, Bund C geht. Sei g die Gerade rrrit de, Gleichung x a) b) c)
~
(
=0
+ >.
0) ,
AElR
Berechnen Sie die Seitenlängen des Dreiecks ABC. Ermitteln Sie eine Gleichung von E in Parameterform. Geben Sie die Hessesche Normalform von E an.
1.2 Aufgaben für das erste Kapitel
115
Geben Sie Gleichungen der Geraden aus E an, welche die Winkel des Dreiecks ABC halbieren, und berechnen Sie dann deren Schnittpunkt S. Wie hätten Sie unter Verwendung von a) und Schulkenntnissen (aus der Mittelstufe!) den Punkt S sofort angeben können? Zeigen Sie, dass jeder Punkt von 9 gleich weit von A, Bund C entfernt ist. Berechnen Sie den Punkt D auf g, der den Abstand 2\1'3 zur Ebene E hat und so gewählt ist, dass S zwischen dem Nullpunkt G und D liegt. Berechnen Sie das Spatprodukt der Vektoren DA , DB und DC . Welche geometrische Deutung hat dieses Spatprodukt aus g)?
d)
e) f) g) h)
Lösung:
+ (0 2)2 + (1 0)2 + (2 -
IABI = )(2 - 1)2
a)
IBOI = ICAI =
~
b) x
DA
)(0 -
m~
)(1 -
+ AAB + MAC
~
+ (1 0)2 + (2 1)2 + (0 2)2
+A (
2)
0)2 = 1)2 = 2)2 =
.J6 , .J6 , .J6 .
~ ~:) ; ~
+ (
A,
E IR .
c) n erhält man durch Normieren von AB x AC = (-3, -3, -3)T, und dabei soll das Vorzeichen so gewählt werden, dass z.B. n· GA positiv ist. Deshalb gilt n = ~(1, 1, l)T und n· GA = ~(1 + 2 + 0) = \1'3. Also: n· x - \1'3 = 0 ist die Hessesche Normalform der Ebene E. d) Da AB = AC gilt, geht die Winkelhalbierende des Winkels in A durch den Mittelpunkt A' der Strecke BC, d.h. durch A' = (1,~, ~). Deshalb ist x = GA + AAA eine Gleichung dieser Winkelhalbierenden, also: -
-I
A E IR.
Setzt man
0:
anstelle von ~A, so erhält man die folgende Gestalt einer Glei-
chung d", Winkelhalbiffenden x
~ (~) +a ( ~1)
,a E
man für die Winkelhalbierenden der Winkel in Bund C
IR. Analog ",hält
116
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
Als Schnittpunkt ergibt sich für 0: = ß = 'Y = 1 : S = (1,1,1) . Da das Dreieck ABC gleichseitig ist (s. a)), ist S nicht nur der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden (also der Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises in diesem Dreieck) sondern auch der Schwerpunkt des Dreiecks, und deshalb gilt OS = ~(OA + OB + OC), was zum selben Wert (1,1,1) für S führt. e) Die Gerade 9 geht durch S (diesen Punkt erhält man für A = 3) und ist senkrecht auf E. Aus der Gleichheit der rechtwinkligen Dreiecke ASP, BSP, CSP (P E 9 beliebig) ergibt sich die Behauptung. Dasselbe Ergebnis kann man auch rechnerisch erhalten, indem man die Abstände zwischen P = (A - 2, A - 2, A - 2) und A, B bzw. C bestimmt. f) Wenn man die konkrete geometrische Vorstellung außer acht lässt und für 9 die Darstellung x = ft(l, 1, l)T , ft E IR, nimmt, so bekommt man für den Abstand eines Punktes (ft, ft, ft) von E den Wert I~(ft + ft + ft) - V31. Aus lV3ft - V31 = 2V3 folgt 1ft - 11 = 2 und damit ft = 3 oder ft = -1, d.h. der gesuchte Punkt ist entweder (3,3,3) oder (-1, -1, -1). Da S = (1,1,1) zwischen (0,0,0) und D liegt, muß D = (3,3,3) gelten. Wenn man bedenkt, dass 9 senkrecht zu E in S ist, ist der Abstand eines Punktes P = (ft, ft, ft) von 9 zu E die Länge der Strecke PS, d.h.
J(ft - 1)2 + (ft - 1)2 oder ft = -l.
g) DA=
+ (ft -
1)2. Aus V3lft - 11 = 2V3 folgt wieder ft = 3
UO ' (=0 (=n DB=
(DA x DB)· DC
= 21 + 2 -
DC=
5
DA xDB=
(~l
= 18.
h) 18 ist das Volumen des Parallelotops, das durch die Kanten DA, DB und DC definiert wird. Aufgabe 42
Sei {VI, V2, V3} eine Basis eines dreidimensionalen Vektorraums V über einem Körper K, der ~ enthält, und f : V -t V ein Endomorphismus von V, der durch f(Vl) = VI - 2V2 + 3V3, f(V2) = 2Vl + 3V2 - 4V3, f(V3) = -V2 definiert ist. a) b) c)
Bestimmen Sie den Kern und das Bild von f . Wie operiert f 0 f auf der angegebenen Basis von V ? Ist f oder f 0 f ein Isomorphismus? Gegebenenfalls bestimmen Sie den inversen Isomorphismus.
Lösung: a) Sei V E V mit der Eigenschaft f(v) = O. Es gibt al, a2, a3 aus K mit
1.2 Aufgaben für das erste Kapitel
117
I(v) = l(a1 V1 + a2V2 = =
+ a3V3) = a2/(V2) + a3/(V3) a1 (VI - 2V2 + 3V3) + a2(2v1 + 3V2 - 4V3) - a3V2 (al + 2a2)V1 + (-2a1 + 3a2 - a3)V2 + (3a1 - 4a2)V3
.
Deshalb ist I(v) = 0 äquivalent zum linearen Gleichungssystem
a1
+ 2a2 = 0,
-2a1
+ 3a2 -
a3
= 0,
3a1 - 4a2
=
°.
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt 2(a1 +2a2)+(3a1 -4a2) = 5a1 = 0, d.h. a1 = 0, und damit a2 = 0. Aus der zweiten Gleichung erhält man dann a3 = 0. Hiermit ist V der Nullvektor, d.h. I ist ein Monomorphismus. Wegen der Dimensionsformel dimK Kern(f)
+ dimK Bild(f)
= dimK V
folgt Bild(f) = V, d.h. I ist auch ein Epimorphismus. b) (f 0 f)(vd = 1(f(V1)) = I(V1 - 2V2 + 3V3) = I(vd - 2/(V2) + 3/(V3) = VI - 2V2 + 3V3 - 2(2v1 + 3V2 - 4V3) + 3( -V2) = -3V1 - 11v2 + 11v3 . Analog erhält man (f 0 f)(V2) = 8V1 + 9V2 - 6V3 und (f 0 f)(V3) = -2V1 - 3V2 + 4V3 . c) I ist sowohl injektiv als auch surjektiv, also ein Isomorphismus. Als Komposition von Isomorphismen ist I 0 I ebenfalls ein Isomorphismus. Man sucht für i = 1,2,3 die Elemente Ail, Ai2, Ai3 aus K mit der Eigenschaft I(Ail VI + Ai2 V2 + Ai3V3) = Vi· Dann ist 1-1 (Vi) = Ail VI + Ai2V2 + Ai3V3 . Wie in a) hat man I(Ail VI + Ai2V2 + Ai3V3) = (Ai1 + 2Ai2)V1 + ( - 2Ail + 3Ai2 - Ai3 )V2 + (3Ail - 4Ai2 )V3. Daraus folgt für i = 1 All + 2A12 = 1, -2All + 3A12 - A13 = 0, 3All - 4A12 = und damit All = ~ , A12 = 130 ' A13 = 110 . Analog berechnet man A21 = A22 = 0, A23 = -1 und A31 = t ' A32 = - 110 ' A33 = - 170 .
°
= 1-1 01- 1, und deshalb hat man (f f)-l(vd = 1-1 (f-1 (vd) = 1-1 (~V1 + 130 V2 + 110 V3) = ~(~V1 + 130 V2 + 110 V3) + 130 (-V3) + 110(tV1 - 110V2 - 170V3) = ;oV1 + 11010V2 - 1303oV3 , (f f)-1(V2) = ... =
Es gilt (f
0
f)-1
0
0
-tV1
+ /OV2 + 170V3'
(fof)-1(V3) = ... = -53oV1
+ 11030V2 + 16010V3.
Aufgabe 43 Berechnen Sie sämtliche Lösungen der folgenden linearen Gleichungssysteme durch Zeilenumformungen:
i)
+ 5X3 - X4 = 7 4X1 - 2X2 + 7X3 - 4X4 =-2 2X1 + 3X2 + 2X3 + 2X4 = 7 . 3X1 - 4X2
118
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra 3ixl
ii)
-4(1+i)x2 -X3
=-1-4i
(1 + i)Xl + 2(1 - 2i)X2 + (1 - i)X3 = -5 + 3i . Lösung: i) Addiert man das 2-fache der ersten Zeile zur dritten Zeile und das (-4)fache der ersten Zeile zur zweiten Zeile, so folgt 8Xl -8Xl
5X2
+ 12x3 =
+ 14x2 -
21
13x3 = -30 .
Addiert man nun diese beiden Zeilen, so erhält man 9X2 + X3 = 9, d.h. X3 = 9 - 9X2, woraus sich dann für Xl und X4 folgende Lösungen ergeben: Xl = - 887 + 1~3 X2 und X4 = ~3 - 583 X2. Damit ist die Lösungsmenge die folgende Gerade aus IR 4
:
87 43)T (113 53)T } IL= { ( -8,0,9'8 +,,\ 8,1,-9'-8 I"\EIR ii) Addiert man das (1 - i)-fache der ersten Zeile zur zweiten Zeile, so folgt 3i(1-i)Xl +(l+i)Xl -4(1+i)(1-i)x2+2(1-2i)x2 = (l-i)( -1-4i)( -5+3i) ,
was äquivalent ist zu xd 4i + 4) - X2( -4i + 10) = 34. Daher ergibt sich für Xl 17 -4i+1017-17i 3-7i Xl = 2i + 2 + X2 4i + 4 = 4 + X2 - 4 - , und für X3 _ 4' 51i + 51 21 + 9i 4(1 ') _ 55 + 67i 5 - 7i X3 - 1 + z + 4 + X2 --4- + Z X2 4 + X2 - 4 - . Daraus ergibt sich als Lösungsmenge:
°
IL = { (17 -17i 55 + 67i 4 "4
)T +p (3 -4" 7i 1 5 - 7i )T I ( }. 4 pE
Aufgabe 44 Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichungssysteme:
i) 5Xl - 2X2 + 7X3 + 3X4 + 2X5 =-1 5Xl + X3 + 5X3 + 3X4 + X5 = 1.
1.2 Aufgaben für das erste Kapitel
119
+ X2 + 7X3 + 3X4 = 0 4Xl + 2X2 + 6X3 + 2X4 = 1 Xl + 2X3 + X4 = 3 .
ii)
4Xl
Lösung: i) Subtrahiert man von der zweiten Gleichung die dritte Gleichung und von dem 3-fachen der dritten Gleichung die erste Gleichung, so folgt -3X2
+ 2X3 + X5 =
3X2 - 2X3 - X5
-2
= 3.
Addiert man nun wieder diese beiden Gleichungen, so erhält man 0 = 1, woraus folgt, dass das System keine Lösung hat. ii) Addiert man das (-2)-fache der ersten Gleichung zur zweiten Gleichung und multipliziert man die dritte Gleichung mit -4, so erhält man -4Xl - 8X3 - 4X4
= 1
-4Xl - 8X3 - 4X4
= -12.
Das System hat also keine Lösung. Aufgabe 45
Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus und - falls möglich - mit der Cramerschen Regel. i)
2x+ y - 3z=6
2x - 3y+ z =2
ii)
3x - 2y - 4z = 3
3x -4y+5z=4
2x + Y + 3z = 1.
-x + y - 3z = -2 .
Lösung:
i) I
II
x
y
z
b
2
1
-3
6
3
-2
-4
3
2
1
3
1
7
0
-10
15
0
0
6
-5
Aus II ergibt sich gleich z = -65 und damit x =
20 21 '
aus I folgt y =
67 42·
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
120
Man hat mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus die Lösung x = ~~ , y = ~; und z = - ~ gefunden. Da die Determinante der Koeffizienten des Gleichungssystems den Wert 42 hat, d.h. von Null verschieden ist, kann man die Cramersche Regel anwenden und erhält mit
det
Y
(2 1 -3) = 3 2
-2 1
-4 3
42
2 = 1 ( 6 -3) = 67 42 det
42 ' z
3 3 -4 2 1 3
x
die Werte
1 (6
= 42 det
= 1
42 det
C 3 2
1 -2 1
3 1
-3) -4 3
0
1 -2 1
20 21 '
35 42
5 6
ii) Den zugehörigen Gauß-Algorithmus zeigt Tabelle 1.4. Aus III erhält man
I
11 III
x
y
z
b
2
-3
1
2 4
3
-4
5
-1
1
-3
-2
-7
11
0
-6
5
-8
0
4
1
11
-7
0
6
5
-8
0
7 4
0
-7
1
0
-7
2
Tabelle 1.4. Der Gauß-Algorithmus zu Aufgabe 45 ii)
y = 2, hiermit ergibt sich aus II x = 4 und dann aus I der Wert 0 für z .
Die Koeffizientenmatrix des Systems ist
(~-1 =!1 -3~) ,ihre Determinan-
te hat den Wert -1, d.h. sie ist von Null verschieden. Deshalb ist die Cramersche Regel anwendbar. Sie führt zu derselben Lösung x = 4, Y = 2, z = 0 wegen det
(!
-2
=! ~) = 1
-3
-4, det
(~
-1
! ~)
-2
-3
= -2 ,
1.2 Aufgaben für das erste Kapitel
det (
~
-1
-3
-4 1
~
-2
) =
121
o.
Aufgabe 46 Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem
+ X2 + X3 = 3 2XI - X2 + 3X3 = 4 3XI + 2X2 + 4X3 = 9 4XI + 7X2 + 5X3 = 0 . Xl
a) b)
c)
Lösen Sie dieses System mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus, indem Sie elementare Umformungen durchführen. Lösen Sie die 4 linearen Gleichungssysteme, die aus je drei Gleichungen des obigen Systems entstehen. Benutzen Sie dabei für zwei von diesen Systemen die tabellarische Form des Gaußschen Algorithmus und für die anderen zwei die Cramersche Regel. Interpretieren Sie die erzielten Ergebnisse geometrisch.
Lösung: a) Wir formen das gegebene Gleichungssystem um. Zuerst wird die erste Gleichung mit 2,3 bzw. 4 multipliziert und von der zweiten, dritten bzw. vierten Gleichung abgezogen. Man erhält: Xl + X2 + X3 = 3 , -3X2 + X3 = -2 , -X2 + X3 = 0 , 3X2 + X3 = -12. Multipliziert man die dritte Gleichung mit -1 und vertauscht die Gleichungen 2 und 3, so folgt Xl + X2 + X3 = 3 , X2 - X3 = 0 , -3X2 + X3 = -2 , 3X2 + X3 = -12. Nun wird die zweite Gleichung mit 3 multipliziert und zur dritten Gleichung addiert bzw. von der vierten Gleichung abgezogen. Es folgt Xl + X2 + X3 = 3 , X2 - X3 = 0, -2X3 = -2 , 4X3 = -12. Multipliziert man die dritte Gleichung mit 2, addiert man sie zur vierten Gleichung und teilt man danach die dritte Gleichung durch -2, so erhält man das (zum ursprünglichen System äquivalente) System: Xl + X2 + X3 = 3 , X2 - X3 = 0 , X3 = 1 , 0 = -16. Das Gleichungssystem hat also keine Lösung. (Das hätten wir auch früher sehen können, aber dadurch ist das Verfahren vollständig durchgeführt.) b) Wir lösen das Gleichungssystem, das aus den ersten 3 Gleichungen des angegebenen Systems besteht; dabei benutzen wir den Gaußschen Algorithmus in tabellarischer Form (vgl. Tabelle 1.5). Aus III folgt X2 = 1, und damit ergibt sich aus II der Wert 1 für X3. Schließlich folgt aus I: Xl = 1. Also ist (1,1,1) die Lösung dieses Systems. Nun lösen wir mit derselben Methode auch das System, das aus den Gleichungen 1,2 und 4 des angegebenen Systems gebildet wird (vgl. Tabelle 1.6). Man erhält nacheinander aus III, II
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
122 X2
Xl
I
II III
b
X3
X3
b
1
1
3
1
1
1
3
2
-1
3
4
2
-1
3
4
3
2
4
9
4
7
5
0
0
-3
1
-2
0
-3
1
-2
0
-1
1
0
II
0
3
1
-12
0
2
0
2
III
0
-6
0
10
I
1.5. Der GaußAlgorithmus für die ersten drei Gleichungen
X2
X2
1
Tabelle
und I:
Xl
=-i
Tabelle
1.6. Der GaußAlgorithmus für die Gleichungen 1, 2 und 4
' = - 7 und Xl = 335 • X3
+ X2 + X3 = 3XI + 2X2 + 4X3 = 4XI + 7X2 + 5X3 = Xl
Die Lösung des Systems
3 9
wird mit der Cramerschen
0
111 Regel gesucht, was wegen d:= 3 2 4 = -4 i- 0 möglich ist. Weiterhin
475
ist 3 d l := 9
1 2
1 4 = -36 ,
075
Die Lösung ist deshalb
Xl
131 d2 := 3
9
= '1 = 9 ,
X2
4 = 12 ,
405
+ 3X3 = 4 3XI + 2X2 + 4X3 = 9 4XI + 7X2 + 5X3 = 0 2XI -
Auch das Gleichungssystem
= ~ = -3 ,
2 -1 sehen Regel gelöst. Wegen 3 2
113 2 9 = 12 .
d 3 := 3
470
X3
= ~ = -3 .
X2
wird mit der Cramer-
3 4
475
= 2 setzt man das Verfahren fort.
Mit 4 9
-1 2
3 4 = 162
075
,
243 3 9 4 = -14
405
und
2 3
-1 2
4 9 = -110
470
1.2 Aufgaben für das erste Kapitel
123
erhält man die Lösung (81, -7, -55) . c) Bezeichnet man mit Ei die Ebene, welche durch die i-te Gleichung des Systems beschrieben wird, so besagt das Ergebnis aus a), dass die Ebenen E 1 , E 2 , E 3 und E 4 keinen gemeinsamen Punkt besitzen. Aus b) folgt: Je drei dieser 4 Ebenen schneiden sich in genau einem Punkt, d.h. sie bestimmen ein Tetraeder mit den Ecken (1,1,1), (- -7, 335 ), (9, -3, -3) und (81, -7, -55) .
i,
Aufgabe 47
Betrachten Sie die Matrizenschar
{Ac", 0:
E IR} ,
Ac"
Mat3(IR) . a) b) c)
Berechnen Sie in Abhängigkeit von 0: den Rang von Ac" Berechnen Sie A~l falls der Rang maximal (d.h. 3) ist. Berechnen Sie A~ und A~ .
.
Lösung:
a) Um den Rang von An
( 1~
= 0::) :
L
1 -
gen e konvergenten Folge ((1
1_1 )2n-l )n>1 eine Teilfolge der gen_
ist, und lim 23~1 = lim 2~l = 2.2 n~oo
n
n-+oo
n
gilt, folgt (weil die Voraussetzungen für die Gültigkeit der Rechenregel lim
n-+oo
(b~n)
lim
= ( lim bn)n--+oo n--+oo
lim an n--+oo
=
Cn
erfüllt sind):
[ lim (1 n--+oo
lim ~ =
1
+~ )2n-l]n--+oo 2n-l 2n 1
e}/2 .
Aufgabe 55
an =
a)
2·6·10 ... (4n 5 . 9 . 13 ... (4n
+ 2) + 5)
= 6·10·14 ... (4n + 2)
bn
5·9·13 ... (4n+l)
d) e)
Zeigen Sie, dass die Folge (an)n~1 konvergiert. Ist a:= lim an, so zeigen Sie: 0 a < 389 • n--+oo Begründen Sie die Aussage: (bn)n~1 ist streng monoton wachsend. Beweisen Sie, dass anb n 285 für alle n ?: 1 gilt. Berechnen Sie den Grenzwert lim!!:a b .
f)
Zeigen Sie, dass aus der Annahme a
g)
folgt. Folgern Sie aus e) und f), dass a
b)
c)
:s
:s
n--+oo
n
> 0 die Ungleichung n--+oo lim bn
:s
2 85
a
= 0 gilt.
Lösung: a) Wegen 0 < an+l = an . :~t~ < an ist (an)n~1 eine streng monoton fallende, nach unten beschränkte Folge, und damit konvergent. b) Wegen an > 0 folgt a ?: O. Für jedes n ?: 1 hat man a < an und insbeson8 d ere a < a2 = 2·6·10 5.9.13 = 39 .
c) Für jedes n ?: 1 gilt bnH = bn . :~t~ > bn (da :~!~ > 1). d) an . bn = ~. (~ . ~) . n~ 190) ••. (:~t~ :~ti), (4n
.
.
+
2)2
16n 2 + 16n + 4 < 16n 2 + 24n + 5 = (4n + 5)(4n + 1) . Die Zahl in jeder der n Klammern ist also kleiner eins. Damit ist an . bn ~ (~ ~) = 285 für alle n ?: 1 . e) 0 :S!!:a zeigt, dass n-+oo lim!!:a bn = 0 gilt. bn = 4 n2+ 5 < 1. n
:s . .
:s
:s
f) Gelte a > 0, so gelte abn < anbn 285 und damit bn 2~a' Da (bn)n~1 eine streng monoton wachsende Folge ist, folgte daraus, dass der Grenzwert
137
1.2 Aufgaben für das erste Kapitel der Folge
(bn)n~l
o < b ::;
eine reelle Zahl - sagen wir b - ist. Für diese Zahl gelte
2~a . g) Die Annahme a (bn)n~l
>
0 führt zur Existenz von b
und damit zum Widerspruch: 0
muss a = 0 gelten.
=
lim n--?oo
>
!!.n. bn
0 als Grenzwert von lim an = n--?oo = Q.b. Also lim bn n--?oo
Aufgabe 56
Seien a und b zwei reelle Zahlen mit a < b. Die Folgen . rek · d efi mer . t d urch al = a, bI = b un d an selen urslv 2an- l +3bn - l f·· >2 5 urn_.
a) b)
(an)n~l
=
und
(bn)n~l
an-l+b 2 n- 1
Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle n 2: 1 gilt: an < an+I < bn+I < bn . Zeigen Sie, dass diese zwei Folgen konvergieren, und dass 0::= lim an n--?oo und ß:= lim bn gleich sind. n--?oo
Lösung: a) Man hat al
=
a , a2 = ~ , bl = bund b2 = 2at3b. Wegen a < b a folgt al = a = at < at b = a2 , b2 = 2at3b < 2bt3b = b = bl und aus 5a+5b = 4a+a+5b < 4a+6b auch a2 = ~ = 5aj;5b < 4alt6b = 2at3b = b2. Das ist der Nachweis für den Induktionsanfang al < a2 < b2 < bl . Die Induktionsannahme ist: Für ein n 2: 2 gelte an-I< an < bn < bn - l . Daraus n > .S!n..±!!.n. n < 2b n+3b n -- bn· Colgt a n+l -- an +b -- a n und bn+l -- 2a n+3b l' 2 2 5 5 Die Ungleichung an+l < bnH , d.h. 5anlt5bn < 4anlt6bn, ist zu an < bn äquivalent, und dies ist aufgrund der Annahme richtig. Hiermit ist der Induktionsschritt vollzogen: Aus der Annahme an-l < an < bn < bn - l folgt an < an+I < bn+I < bn . b) Die Folge (an)nEIN ist streng monoton wachsend und nach oben beschränkt durch bl . Die Folge (bn)nEIN ist streng monoton fallend und nach unten beschränkt durch al. Deshalb sind beide Folgen konvergent und wegen an < bn ß für alle n folgt: 0: = lim an::; lim bn = ß. Aus anH = ant bn folgt 0: = und damit
0:
=
ß.
n-too
n-too
"'t
Aufgabe 57
Untersuchen Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren oder divergieren. Begründen Sie Ihre Antworten.
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
138 00
i)
J
L ( n=l
00
n 4 + 2n 2 + 7 - n 2)
ii)
L(-1)nn-1 n+1 . n=2
iv)
L 2n42 +1 n +1 . n=O
vi)
L
00
00
iii)
L( _1)n nr:1 . n=l 00
v)
00
L 2n32 +1 n +1 . n=O
n=O
2.6.1O ... (4n+2)
5·9·13 ... (4n+5)
Lösung: Wir benutzen die Lösung der Aufgabe 54, das Leibnizkriterium, das notwendige Kriterium "L~=l an konvergiert ==> lim an = 0" (in seiner negativen n--+oo
Form, d.h.: Konvergiert (an)n::~l nicht gegen Null, so divergiert die Reihe L~l an), das Majorantenkriterium, die Konvergenz von L~=l und die
.b-
Divergenz von L~=l ~ . i) Da lim
n--+oo
(Jn 4 + 2n 2 + 7 -
n 2) = 1 =f. 0 gilt, konvergiert die Reihe nicht.
ii) Da die Folge ((-1)n~+i)n~2 nicht gegen Null konvergiert, divergiert die angegebene Reihe. 3 iii) Die Folge ((-l)n n~+l)n~l ist eine alternierende Folge, welche gegen Null konvergiert. Wir zeigen nun, dass (n~:l )n~l eine monoton fallende Folge ist, und damit ergibt sich aus dem Leibnizkriterium die Konvergenz der angegebenen Reihe. Man hat die äquivalenten Ungleichungen: n3 n4+1
(n+1)3 (n+1)4+1
n 7 +3n6+3n5+n4+n3+3n2+3n+1 n 6 + 3n 5 + 3n 4 + n 3 > 3n 2 + 3n + 1 .
Diese letzte Ungleichung ist offensichtlich und damit auch die erste aus dieser Kette, was
3
(n~+l )n~l
•
als monoton fallende Folge nachwe1st.
2 iv) Man hat 2n +1 < 112 3 für alle n > 1 da 2n 4 + n 2 < 3n 4 + 3 n 4 +1 , = 2n 4 + n 4 + 3 gilt. Deshalb ist die angegebene Reihe nach dem Majorantenkriterium konvergent.
v) Wegen 2:32: / > ~ für alle n 2: 1 ist die Reihe L~=o 2:32: 11 divergent. vi) Man hat 2·6 ·10 ·14 ... (4n + 6) > 5·9 ·13 ... (4n + 5) und damit 2.6.1O ... ... (4n+5) (4n+2) > 4n1+6 (> 111 n ) für alle n 2: 1. Also divergiert die angegebene 5·9·13 Reihe.
139
1.2 Aufgaben für das erste Kapitel Aufgabe 58
Zeigen Sie, dass die Reihe L~=1 die Summe.
3'5'7 .. ~2k+1)
konvergiert, und berechnen Sie
Hinweis: Beachten Sie, dass für alle k 2: 1 gilt: k
3·5·7 ... (2k
+ 1)
1(
2
=
1 1) 3·5·7 ... (2k - 1) - 3·5·7 ... (2k + 1)
Lösung: Mit Hilfe des Hinweises erhalten wir die folgenden (für Aufgaben von diesem Typ üblichen) Umformungen: ~n k L.."k=1 3·5·7 ... (2k+1)
= ~
= 1. 3
+ l3·5 + _3_ + ... + 3·5·7 ...n(2n+1) 3·5·7
+ ~(~ - 3~5) + ~(3\
~ (3'5 ... (~n-3) -
3'5 ... (~n 1))
-
3.~.7)
+ ~(3.~.7
+ ~ (3-5 ... (~n-1)
- 3.5\.9)
+ ... +
3'5 ... (~n+1))
-
= ~ (1 - 3.5.7 ...(2n+1)) .
Wegen J~~
3.5.7...(2n+1)
= 0 existiert der Grenzwert nl~~ L~=1 3.5.7 ...(2k+1) ,
d.h. die angegebene Reihe konvergiert, und es gilt
L%:1 3'5'7 .. ~2k+1) -
~
.
Aufgabe 59
Zeigen Sie, dass die Reihen i) L~=1 n(n1+4) und ii) L~=o (n~~)2 konvergieren und berechnen Sie jeweils die Summe. Lösung: .
.
1) Es gIlt
-1n - -.L n+4
1
n(n+4) -
und deshalb
k
1
(1 + 2'1 + 3'1 + 41) - 41 (k+1 1 1 1 1) + k+2 + k+3 + k+4 Wegen lim k+1 = 0 für p = 1,2,3,4 folgt, dass 1
= 4
k-too
_
Ln=1 n(n+4) -
k
! - -.L n+4)
Ln=1 (n
.
P
1
k
1
L .- lim L----:-------"'" n=1 n(n + 4) .- k-too n=1 n(n + 1) 00
t
t)
existiert, und ist gleich (1 + ~ + ~ + = ;~ . ii) Für n 2: 5 gilt n 3 2: 5n 2 = 4n 2 + n 2 > 4n 2 + 1. Die Ungleichung (n - 2)(n - l)n > (n + 1)2 ist äquivalent zu n 3 > 4n 2 + 1, und damit gilt sie für n 2: 5. Deshalb hat man für n 2: 5 :
140
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
+ 1)2
2 mit an := nl~n konvergiert monoton fallend gegen
Null. Für n ~ 1 gilt a2 n = 2nl~2n = 2n ;ln2. Die Reihe 2:~=22na2n = 2:~=2 2n 2n;ln 2 = 1~2 2:~=2 ~ ist divergent. Deshalb ist auch die Reihe 2:~=2
n
l~ n divergent.
Aufgabe 64
Bestimmen Sie (falls vorhanden) die folgenden Grenzwerte:
x-I lim - x--+oo X + 1
i) iv)
ii) v)
lim Vx2+1sinx
x--+oo
Lösung:
> 0 hat man xX+-11 = lim (1 + 1) und damit x--+oo x
i) Für x 1=
11+-
_1 +1
x--+oo X
iii)
x2 + 1 lim - - - . x--+oo x 3 + 2
lim xcosx
vi)
lim x--+oo
x--+-oo
1.Da ;c
lim
lim _x__ =
x2 + 1 lim - - x--+-oo x-I
x--+oo
lim
x--+oo
lim 1 = 0 gilt, hat man lim (1- 1) =
x-too x
x
x
-00
während der Nenner gegen 1 geht. Deshalb gilt
geht der Zähler gegen lim x2~11 =
x-t-oo x
~:$:. Da 2~n~/~ + x\-) lim (1 + :?:r) = 1 gelten, hat man lim x~++21 = 0 . x--+oo x x--+oo x
iii) Für x (j {O,-{I2} gilt
~~t~
x
x--+oo
(1 - 1) (1 + 1)
ii) Ist x (j {I, O}, so gilt xX2~11 = ~~!. Für x --+ -00,
sinx
v'XTI. X + 1
=
-00 .
= 0 und
iv) Die Funktion f : IR --+ IR, f(x) = vx 2 + 1 sinx soll für x --+ 00 untersucht werden. Die drei Folgen (2mr)n2:o , ((2n+~)7rk::o und ((2n+~)7r)n2:o haben 00 als Grenzwert. Es gilt
f(2n7r) = 0, f ((2n +
~)7r)
= J(2n +
~)27r2 + 1> (2n + ~)7r
und
143
1.2 Aufgaben für das erste Kapitel
Deshalb existiert lim f(x) nicht! x--+oo
v) Analog wie bei iv) wird das Verhalten der Funktion g : IR -+ IR, g(x) = xcosx für x-+-oo untersucht. Betrachtet man die Werte g(-2mr)=-2mr, g( -(2n + 1)7r) = (2n + 1)7r und g( -(2n + ~)7r) = 0, so sieht man, dass lim g(x) nicht existiert.
x--+-oo
vi) Da Isin xl :S 1 für alle x E IR und x--+oo lim yXT.L d,.,+l
= 0 gilt, folgt x--+oo lim
= O.
s~+xl
yXT.L
Wir zeigen nun exemplarisch - ohne Verwendung der Rechenregeln für Grenzwerte, warum lim ~in+xl = 0 gilt. Dafür gehen wir von der Definition aus. Sei x--+oo
x
> 0; zu zeigen ist: Es gibt Ac 2: 0, so dass für alle x > Ac gilt: I~~:l -01 < c. Wegen I sinx I < _1_ < c und _1_ < c 1 < x + 1 1 - 1 < x VX+I - VX+I VX+I c c
C
genügt es Ac gleich max{O, ~ - I} zu wählen. Aufgabe 65
Bestimmen Sie die Grenzwerte folgender Funktionen für x -+ ±oo: x2 2x 2
i)
+X +1 + 3x + 7
Ix2 +x - 51 x 2 + Ix - 11
ii)
.
Lösung: Es wird benutzt: lim
-A =
x--+oo x
.
1)
Wegen
x 2 +x+1 2x 2+3x+7
für x -+ -
l+~+::':r
lim
-A
x--+-oo x
x 3 + X - 17 x2 + x + 1 .
x m -1 --xn + 1
iv)
für jede natürliche Zahl k 2: 1 .
.
..
= 2+!+~ 1st sowohl der Grenzwert fur x
-+
als auch
00
gleich ~ .
00
") ur x 11 vvegen x
0=
iii)
11+~-~1 10 e gt, I dass b'd . d ++x-51 x-li = l+!h'll::"fl el e G renzwer t e gl' elch 1 sm.
2
iii) Die Umformung lim x3lx-17 x--+oo x +x+l
=
x
3
+x-17 =
x(1+~-.g.)
x 2 +x+l
1+ 1 + f •
;2
zeigt:
lim
x
3
x--+-oo x
fX-17 = +x+l
-00
und
00 .
. )I tel t xm-l xm-l l-d,,c l' xm_l - 1 S m = n, so 10 gaus xn+l = xm+l = l+~ S010rt xJ~oo xn+l - .
IV
Falls m lim
> n,
x:+-t
x--+oo x
= 00
so hat man m - n 2: 1 und und
lim
x:+-t
x--+-oo x
1n
%n-tt
=
xm-n_~
1+ iwn ; .n
= (_l)m-n oo . Schließlich gilt für
n
also:
> m,
144
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
Aufgabe 66
Betrachten Sie die folgenden Funktionen: i) f: IR ---+ IR
f(x) = {2X x2
,
iii) f: IR\{-2} ---+ IR,f(x)
=
v) f : IR ---+ IR , f(x) = x4~3 a)
b) c) d) e)
, falls x < 0, ii)f: IR ---+ IR, f(x) = , falls x 2: 0 .
Ix+21.
iv)f: IR\{-2} ---+ IR,f(x)
= X~2'
IX~21' •
Berechnen Sie jeweils lim f(x), X-tOO
lim f(x) und gegebenenfalls zu
X-+-CX)
Punkten aus IR, die nicht in dem angegebenen Definitionsbereich liegen, sondern auf dessen Rand, die Grenzwerte von f . Begründen Sie, warum jede der angegebenen Funktionen stetig ist. Bestimmen Sie die Bildmengen dieser Funktionen. Untersuchen Sie, ob die Funktionen umkehrbar (invertierbar) sind, und bestimmen Sie gegebenenfalls die Umkehrfunktion. Für jede der obigen Funktionen, die nicht (global!) invertierbar ist, stellen Sie den Definitionsbereich als (nicht notwendig disjunkte) Vereinigung von Intervallen dar, auf welchen die Einschränkungen der betreffenden Funktion invertierbar sind. Geben Sie dann für jede dieser Einschränkungen jeweils die Umkehrfunktion an.
Lösung: i) lim f(x) = lim x 2 = x--+oo
lim f(x) =
und
00
x-+oo
x--+-oo
lim 2x =
x--+-oo
-00 .
f ist definiert auf IR, deshalb hat man keine weiteren Grenzwerte zu berech-
nen. Als Polynome sind 2x auf 1-
00,
O[ und x 2 auf [0, oo[ stetig. Wegen
lim f(x) = lim 2x = 0 = lim x 2 = lim f(x)
x-tO-
x-tO-
x-tO+
x-tO+
ist f auch im Nullpunkt stetig und damit auf IR . Ist y < 0, so ist ~ < 0 und f(~) = 2· ~ = y, ist Y 2: 0, so ist f(..jY) = (..jY)2 = y. Damit ist IR das Bild von f. Außerdem werden durch die Zuordnungen x t--+ 2x und x t--+ x 2 die Intervalle 1- 00, O[ bzw. [0, oo[ jeweils bijektiv auf sich selbst abgebildet. Hiermit ist f umkehrbar, und es gilt:
f-l( ) = { y
, falls y
0 zwei verschiedene Ur-
-+ -+
bilder hat. Die Einschränkungen h : [-2,00[-+ IR und 12 :]- 00, -2]-+ IR sind injektiv. Sie bilden deren Definitionsbereiche bijektiv auf [0, oo[ ab. Man hat für f1- 1 : [0,00[-+ [-2, oo[ und f2- 1 : [0,00[-+] - 00, -2] die Zuordnungsvorschriften fl 1 (y) = y - 2 bzw. f.;l(y) = -y - 2.
-+
iii) lim f(x) = 0 = x--+oo
lim f(x). Schreibt man den Definitionsbereich von
x-t-oo
f als] - 00, -2[ U ]2,00[, so sieht man besser, dass auch lim
x-t-2+
lim
x-t-2-
f(x) und
f(x) berechnet werden sollten. Beide dieser Grenzwerte sind 00, da
man" 1 durch eine immer kleiner werdende positive Zahl teilt". Sowohl auf ] - 00, -2[ als auch auf] - 2, oo[ ist f stetig, da gilt:
f(x) = {
~~\
x+2
für für
x> x
0, so folgt aus IX~21 = y zuerst ~ = Ix + 21, und daraus x = ~ - 2 oder x = - ~ - 2. Dabei liegt ~ - 2 in] - 2,00[, während - ~ - 2 in ] - 00, -2[ liegt. Es wurde also gezeigt:
-+ -+ -+
]0, oo[ ist das Bild von f . f ist nicht injektiv. Die Einschränkungen h : ] - 2,00[-+ IR und 12 : ] - 00, -2[-+ IR von f bilden deren Definitionsbereich jeweils bijektiv auf ]0, oo[ ab. Deren Inversen sind fl 1 (y) = ~ - 2 bzw. f.;l(y) = - ~ - 2.
iv) Die Grenzwerte der FUnktion am Rande des Definitionsbereich lauten: lim f(x)
x-t-oo
= 0 = x-too lim f(x), lim f(x) = -00 und x-t-2-
lim
x-t-2+
f(x)
= 00 .
Als Quotient von stetigen FUnktionen (nämlich einer konstanten FUnktion durch ein Polynom) ist f auf dem Definitionsbereich IR\ {-2} stetig.
146
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
f hat keine Nullstelle, ansonsten wird jeder Wert genau einmal angenommen, da aus X~2 = Y i- 0 folgt x + 2 = und damit x = 2. Also ist IR\ {O} das
i
Bild von
i-
f und die Zuordnung IR\{ -2} -+ IR\{O}, x
i-
M
X~2 ist bijektiv. Die
2. inverse Zuordnung lautet Y M v) lim f(x) = 0 = lim f(x). Wie bei iv) ist f als Quotient einer konstanx-+oo
x--+-oo
ten Funktion durch ein Polynom (ohne Nullstellen) auf IR stetig. f hat nur positive Werte, genauer: es ist X4~3 ~ O~3 = ~. Wir zeigen, dass jeder Wert Y aus ]O,~] angenommen wird: y = x4
~3 ~
x4
+3 =
t ~ tx4 =
3
~
x =
±«t-
3.
Daraus folgt: -+ -+ -+
Bildf=]O,~].
f ist nicht injektiv und damit nicht bijektiv. h: [0, oo[-+]O,~] und 12:]- 00,0] -+]O,~] als Einschränkungen von f sind bijektiv. Die Umkehrabbildungen sind gegeben durch f 1 1 (y) =
1i -
3 bzw. f;l(y) =
-1i -
3.
Aufgabe 67
[ ] bezeichne die Gaußsche Klammer, d.h. [x] ist die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist.
a) b)
c) d)
e)
Berechnen Sie die Werte dieser Funktion in - ~ , V3 , 1T , 1T 2 , e , e2 • Bestimmen Sie die Menge U aller Punkte u aus IR, in welchen die funktion g: IR -+ IR,g(x) := [x 2 ] nicht stetig ist. Gehört 0 zu U? Berechnen Sie in jedem u E U die Grenzwerte lim [x 2 ] und lim [x 2 ] . x--+u+
x--+u-
In welchen Punkten aus U ist 9 linksseitig bzw. rechtsseitig stetig? Wie groß ist die Sprunghöhe in diesen Punkten? Stellen Sie die Funktion 9 graphisch dar.
Lösung: a) -~ = -2,666... ,
V3
= 1,73205... , 1T = 3,14159 ... 9,8696. .. , e = 2,71828... , e2 = 7,389056 .... Deshalb gilt: [-~l -3, [V3] = 1 , [1T] = 3, [1T 2 ] = 9, [e] = 2, [e 2 ] = 7 . b) Für jede natürliche Zahl n ~ 1 und jedes q E]O, 1[ gilt:
+ q) = [n + q] = n , g( Jn - q) = [n - q] = n - 1 , g( -Jn + q) = [n + q] = n , g( -Jn - q) = [n - q] = n g( Jn
1,
147
1.2 Aufgaben für das erste Kapitel
g(±.fij)
= [q] = 0 = g(O) .
Daraus folgt die Stetigkeit der Funktion 9 auf]- 1,1[, auf ]yn, Vn+1"[ und Hiermit ist U = {yn I nEIN} U {-yn I nEIN} und o ~ U. c) Aus b) folgt insbesondere:
] - Vn+1", -yn[.
lim g(x)=n=g(yn),
h,m+
x .....
lim
x-t ..... y/n.....
d)
lim
x-ty/n+
g(x) -
g(x)
lim
x-ty/n.....
lim g(x)=n-l,
x -t y/n .....
= n = g(-yn), g(x)
=1,
lim
lim
x-t ..... y/n+
x-t ..... y/n+
g(x) -
g(x)
= n -1.
lim
x-t ..... y/n .....
g(x)
= -1.
Die
Sprunghöhe in yn ist 1 und in -yn hat sie den Wert -1. Außerdem folgt aus c), dass 9 in yn rechtsseitig stetig und in -yn linksseitig stetig ist. e) Die obigen Ergebnisse werden auch durch die folgende Bemerkung bestätigt: Die Funktion 9 ist eine gerade Funktion, d.h. g(x) = g( -x) für alle x E IR.
-.-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
.
-
-~----------..-;r
-
,-~
e, ,
- .....0 I
I
_I
I
_.....- - ' _'
--15 -V3
-1
l_
I
I
Abbildung 1.12. g(x) = [x 2 ]
Das bedeutet geometrisch: Der Graph von 9 ist symmetrisch bzgl. der yAchse. Eine Skizze zeigt uns die Abbildung 1.12. Aufgabe 68
Gegeben sei das Polynom P : IR -+ IR durch P(x) := x 3 a) b)
+x +1 .
Zeigen Sie, dass P eine streng monoton steigende Funktion ist. Wieviele Nullstellen hat P? (Warum?)
148 c)
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra Bestimmen Sie die Nullstellen mit Hilfe des Intervallhalbierungsverfahrens auf zwei Stellen nach dem Komma genau.
Lösung: a) Ist Xl < X2, so auch
xr < x~ und damit
b) Da P eine injektive Funktion ist, gibt es höchstens ein x E IR mit P(X) = 0. Wegen P( -1) = -1 und P(l) = 3 folgt (s. Zwischenwertsatz), dass eine (und nur eine!) Nullstelle von P existiert. c) Man hat P( -0,9) < und P( -0,5) > 0, genauer: P( -0,9) = -0,629 und P( -0,5) = 0,375. Deshalb ist es sinnvoll, das Intervallhalbierungsverfahren mit Xo = -0,9 und Yo = -0,5 anzufangen. Wir führen die Rechnungen durch und erhalten dabei die folgende Tabelle:
°
= -0,9 Xl = -0,7 X2 = -0,7 X3 = -0,7 X4 = -0,7 X5 = -0,6875 X6 = -0,6875 Xo
= -0,043 P( -0,6) = 0, 184 P( -0,65) = 0,075375 P( -0,675) = 0,01745 ... P( -0,6875) = -0,01245 ... P( -0,68125) = 0,00258 P( -0,7)
Deshalb ist die gesuchte Nullstelle
x=
= -0,5 YI = -0,5 Y2 = -0,6 Y3 = -0,65 Y4 = -0,675 Y5 = -0,675 Y6 = -0,68125 . Yo
-0,68 ...... .
Aufgabe 69
Zeigen Sie, dass die Funktion f : IR -+ IR , f(x) := l;x 2 gleichmäßig stetig auf IR ist, indem Sie zeigen, dass feiner Lipschitz-Bedingung genügt. Lösung: Für alle x, Xl aus IR gilt X
Xl
- -2- - - /2 1+x
=
Ix -
1+X
I
X I(1
11- xxii
X + XX /2 - Xl - Xl X2 (1 + x 2)(1 + X/2 )
+ x2)(1 + X/2) ~ Ix -
I
X I(1
I(x - x l )(l - xxl)1 (1 + x 2)(1 + X/2 )
1 + lxiixii + x2)(1 + X/2)
Für nichtnegative Zahlen a und b gilt 1 + ab ~ (1 + a2 )(1 + b2 ), denn das ist äquivalent zu ab ~ a2 + b2 + a2 b2 , was offensichtlich richtig ist wegen
1.2 Aufgaben für das erste Kapitel
2ab :S a2
+ b2 .
149
(Für unsere Aufgabe wählt man a
Lipschitz-Konstante ist also 1, d.h.: I H~x2
-
= lxi
1:~'21 :S Ix -
und b
xii·
= Ix'!-)
Die
Aufgabe 70
Sei I: IR -+ IR, I(x) =
1';x4 .
Zeigen Sie, dass I eine Lipschitz-Bedingung erfüllt. Was folgt insbesondere daraus?
a) b)
Lösung: a) Sind x und t verschiedene reelle Zahlen, so ist I/(x) - l(t)1 < Ix4_t41 0, so
Aufgabe 71
a) b)
Untersuchen Sie die Funktionenfolge (fn)nEIN auf IR auf Konvergenz und gleichmäßige Konvergenz. Dabei gilt In(x) := H~x2 . Untersuchen Sie mit Hilfe des Cauchyschen Konvergenzkriteriums für gleichmäßige Konvergenz die Funktionenfolge (fn)nEIN auf IR. Diesmal ist In(x) := H~x2 .
Lösung: a) Ist x i 0, so hat man lim (1 n--+oo
+ nx 2 )
=
00
und deshalb !im In(x) = O. n--+oo
= 0 gilt In(O) = 1 für alle n aus IN. Deshalb ist I : IR -+ IR , = {01 ,fallstx = 0, die Grenzfunktion der Folge (fn)n>l. Die Funkoom -
Für x I(x)
tionen In sind alle stetig auf IR, aber I nicht. Deshalb kann die Konvergenz der Folge (fn)n?l gegen die Funktion I nicht gleichmäßig sein. b) Die gegebene Funktionenfolge konvergiert gegen die Nullfunktion. Die einzige (allerdings anspruchsvolle) Frage ist, ob diese Konvergenz gleichmäßig ist: Sei € > 0 fest; es genügt € < 1 anzunehmen. Sei x E IR mit lxi ~ 1. Es gibt ein nl = nd€) aus IN mit nl > ~. Für alle n ~ nl und alle m > n gilt:
150
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
3 Im-nllxl IIm (x) - f n (x)1 -- (1+mx 2)(1+nx 2)
3 < < Im-nllxl mnx 4
-
Im-ni . .!. m n
c < ...!... nl < .
lxi< 1. Es gibt ein n2 = n2(c) aus IN mit n2 > ~. Für alle n 2 n2 gilt n > ~ 2 ~ und damit nlxl > :' was zu I~~ > : äquivalent ist. Es folgt 1+nx 2 = 1 + nx 2 > nx 2 > 1. und damit ~ < c. Daraus ergibt JXI TXT Txf Txf c l+nx Sei x E IR mit c :::;
sich für alle mEIN :
Ifm(x) - fn(x)1 =
1 2 lxi I1 +mx
-
1 1
+nx
2
I < lxiI
1 2 +nx
< c.
Sei schließlich x E IR mit lxi< c. Aus 1J~lx2 < c für alle nEIN folgt wie zuletzt: Ifm(x) - fn(x)1 < c für alle m, nEIN. Insgesamt haben wir gezeigt: Für alle m, nEIN mit m > n > max( n1, n2) = n2 und alle x E IR gilt: Ifm(x) - fn(x)1 < c. Die Funktionenfolge (fn)nEIN ist nach dem Cauchyschen Kriterium gleichmäßig konvergent. Aufgabe 72
Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen mit Hilfe des Quotientenkriteriums: 00
'"'"
~ ((n
n
2n n
+ I)!)2x .
Lösung: ( 3n) . an n 1)-a-=(3 n+1 n+
3)=
n+l
~ n!(2n)!
(3n+3)!
(n+l)!(2n+2)!
(n
+ I)!(2n + 2)! n!(2n)!
(3n)! (3n + 3)!
(n + I)(2n + 2)(2n + 1) 4n 2 + 6n + 2 4 --t2 - (3n + 3)(3n + 2)(3n + 1) - 3(9n + 9n + 2) n--+oo 27 . Es folgt für den Konvergenzradius: r = 2~ • -
") ~ _
11
an+l
-
n 2n
~
(n+l)2n+2 «n+2)!)2
(n+2)2 . ((1 (n+1)2
((n+2)!)2 . (( n+1 )n)-2 . 1 _ ((n+1)!)2 n (n+1)2 -
+ .!.n )n)-2 = (1 + _1_)2 . ((1 + .!. )n)-2 n+1 n
--t
n--+oo
e- 2 .
Der Konvergenzradius ist gemäß dem Quotientenkriterium gleich e- 2
•
Aufgabe 73
Bestimmen Sie für die folgenden Potenzreihen die Konvergenzmengen:
1.2 Aufgaben für das erste Kapitel
151
f
00
ii)
i)
n: n=O n
n=O iii)
L oo
(3n)! n
--x n 2n n=l
L oo
iv)
n=l
+ 21 (x +
(3n)! n
-3- X n n
3)n .
.
Lösung: i) Mit an := 3n + 4n lässt sich die Reihe in der Form L~=o anx n schreiben. a 3 n ±4 n · U c M an h at d1e mlormungen -""'= 3n+l+4nfi = a n +l
Daraus ergibt sich lim ~ n n--+oo a +l
=
-41, da lim (~4)n n--+oo
1 (if+ (3)n +4 .
3 4
= 0 gilt.
Dieser Grenzwert
ist der Konvergenzradius. Wegen an· (~)n = (~)n + 1 und an. (_ ~)n = (_1)n[(~)n + 1] sind die Reihen L~=o an(~)n und L~=o a n ( - ~)n divergent, und damit ist] - ~,~ [ die gesuchte Konvergenzmenge . .. ) S .- n 2 +1 ·1 ~ _ n2H . (nH)2+1 _ (n 2H)[(nH)3+2] 11 etzt man an .- na+2' so gl t a n +l - n3+2 . (nH)3+2 - (n3+2)[(nH)2H]
= (1+~)[(1+~)3+~1 : (1+~)[(1+~)2+~]. Daraus folgt J~~ a~:l = 1,
und deshalb ist 1 der Konvergenzradius der angegebenen Reihe. Zu untersuchen ist nun das Verhalten der Reihen in den Punkten x = 4 und x = 2, d.h. der Reihen L~=o an und L~=o( -1)nan . Wegen an = ~~t~ > ~ für alle n ~ 1 und nach dem Majorantenkriterium ist L~=o an divergent. Es gilt lim an = 0 und für jedes n ~ 1 gilt a n+1 < an, weil diese Ungleichung n-too
wie folgt zu einer offensichtlich geltenden Ungleichung äquivalent umgeformt werden kann: an+1
< an
{=}
(n + 1)2 + 1 n 2 + 1 0 gilt, d.h. wenn 2sin 2 x - sinx -1< 0 gilt. Das ist zu -~ < sinx < 1 äquivalent. Also ist
u (] -i +
2mf,
nEZ
~ + 2mf [ U]~ + 2mf, 7; + 2mf [)
der maximale Definitionsbereich von
f .
Aufgabe 81
Zeigen Sie, dass für alle x E IR\{O} gilt: 1 + sinh x
+ sinh 2x + ... + sinh nx =
sinh(n + 1.)x . h x2 sm 2"
Lösung: Man hat (s. geometrische Reihe):
+ sinh 2x + ... + sinh nx = e' -2e -' + e2 , -2e - 2Z + ... + eU e2' [1 + e X + ... + e(n-l)x] - e;' [1 + e- x + ... + e-(n-l)x] = e; [1 + e X + ... + (ex)n-l]_ e;z [1 + e- x + ... + (e-X)n-l] =
sinh x
c(en.c-1) _ 2
eZ-l
~(e-na:_l)
2
e-z-l
== 1 2
e(n+l)al_ e Oll+ e -nz_l
e'-l
-2e - nz
==
1. e(n+!)z±e-(n+!)z_e~ -e-~ _ cosh(n±!)x-cosh t 2
e!-e!
(Man beachte, dass sinh
~
2sinh~
so wie auch e X
-
1 nur x
= 0 als Nullstelle hat.)
1.3 Erster Test für das erste Kapitel
Aufgabe 1
Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n gilt:
:t
k(k + l)(k + 5) = n(n + l)(n 4+ 2)(n + 7) .
k=l Lösung: (lA) Induktionsanfang: Für n = 1 gilt die angegebene Identität, weil die linke
+ l)(k + 5) = 1 ·2·6 = 12 mit der rechten Seite 1.243.8 = 12 übereinstimmt. (IS) Induktionsschritt von n auf n + 1 : Annahme: L:Z=l k(k + l)(k + 5) = n(n+1)(n4+2)(n+7) gilt. Zu zeigen ist: L:Z~i k(k+1)(k+5) = (n+1)(n+2~n+3)(n+8). Es gelten die folgenden Umformungen: SeiteL:~=l k(k
n+1
n
k=l
k=l
L k(k + l)(k + 5) = L k(k + l)(k + 5) + (n + l)(n + 2)(n + 6) (*)
=
=
n(n + l)(n + 2)(n + 7) 4 (n+1)(n+2)
4
+ (n+ 1)(n+ 2)( n+ 6)
[n 2 + 7n + 4n + 24] =
(n+1)(n+2)
4
(n 2 + lln+ 24);
dabei hat man an der Stelle (*) die Induktionsannahme benutzt. Da offensichtlich n 2 + lln + 24 = (n + 3)(n + 8) gilt, wurde gezeigt, dass aus der Annahme der Identität für n die Identität für n + 1 folgt. Aufgabe 2
a)
Bestimmen Sie die Polarkoordinaten von Zl
= -1
+ iv3,
Z2
= V2 - iV2,
Z3
= 2v3 - 2i .
Z5 Z5
b)
Berechnen Sie
c)
Bestimmen Sie die drei Wurzeln wo, W1 , W2 der Gleichung w 3 = der Form ak + ib k mit ak, bk E IR, k = 1,2,3.
Z4
= ~ . Z3
Benutzen Sie dabei die Werte cos 2!:.. 12
=~ 4'
sin 2!:.. 12
=~ 4·
Z4
in
160
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
Lösung:
a) Zuerst berechnen wir die Beträge der drei komplexen Zahlen:
Die trigonometrischen Gleichungen cos a1 = - ~ , sin a1 = V; , cos a2 = O 1 ' sm ° 1 ' cos a3 --.Y'1 ° ° [0 ,7r 2 [ d1e V2 a2 -- - V2 2 ' sm a3 -- - 21 h a b en m 27r ' a2 = "4 77r ' a3 = -6-' 117r un d m ° 1- 7r, 7r1d leO LOOosungen a1 = Losungen a1 = "3 oo
237r , a2 = - i ' a3 = - i ° Damit ergeben sich die folgenden Darstellungen: 27r ° ° 27r ) Z1 = 2 (COS "3 + z sm""3 ' Z2
= 2( cos 7: + i sin 7;) = 2( cos( - i) + i sin( - i)) ,
Z3
= 4(cos 1~7r + i sin 1~7r) = 4(cos( -i) + i sin( -i))
107r +zsmT ° ° 107r) b) Wegen Z15 = 25 ( cosT
°
25 ( cos 47r +zsm 3 ° ° 347r)
357r 357r ) 25 ( cos-+z-
37r +zsm4" ° ° 37r) 25 ( cos4"
° ° 447r) 44 ( cos 447r +zsm 6 6
28 ( cos 47r +zsm 3 ° ° 347r)
°
4
4
folgt:
Z4
5+5-8 [cos (47r 37r - 3 47r) + z sm (47r 37r - 3 47r) 3 + 4" 3 + 4"
= 2
0
0
= 4 (cos 3: + isin 3:) = 2V2(-1 + i)
c) Für die drei Wurzeln Wk
= -V4 ( cos
V3r; 4 [ cos
also
Wo, W1
und
W2
1
°
erhalten wir
37r + 2k7r 37r + 2k7r) 4 3 + i sin 4 3
(7r 4" + T2k7r) + z° sm° (7r4" + T2k7r)] '
Wo
= ?'4(cos i
+ i sin i)
W1
117r + z sm 12 1h) = V3r;4 ( cos 12 °
°
= ?'4( ~ + i ~) = V"2(1 + i) , ,W2
197r + z sm 12 197r) = V3r;4 ( cos 12 °
°
1.3 Erster Test für das erste Kapitel
161
Es gilt·. cos 1l7r sin 1l7r 12 = - COS.!!.... 12 -- - 0}+V2 4' 12 -- sin .!!.... 12 -- 0}-V2 4 sin 1"; = 0}4 V2 , sin 1;; = - cos 1"; = -~. Damit hat man:
'
COS
1971" 12-
2~ [ ( -v'6 - h) + i (v'6 - h)] ,
W1
=
W2
= 2
~ [ ( v'6 - h) - i ( v'6 + h)] .
Aufgabe 3 Untersuchen Sie für alle reellen Zahlen>. die Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems =>'+3 3X1
-
X2
-3X1
+ >'X2
+ (>' -
1)x3 = >. - 3 = 2.
Bestimmen Sie jeweils alle Lösungen. Lösung: Esgilt:det
(~-3 ~1>.
>':1) =-3>'+3+6>'-6->.3+>.2 = 0
>.2(>. _ 1) + 3(>' - 1) = (>' - 1)(3 - >.2) . Für>. (j. {I, -V3, V3} ist das lineare Gleichungssystem eindeutig lösbar. Nach der Cramerschen Regel gilt:
det Xl
=
C+
>.; 33
-3
=
AH
(>' - 1)(3 - >,2)
det ( ; X2
1 -1 >.
>'+3 >'-3 2
'H
(>' - 1)(3 - >,2)
2 - >. - >.3 (>' - 1)(3 - >,2)
>.2 + >. + 2 >.2 - 3
3 + 2>' - 5>.2 (>' - 1)(3 - >,2)
5>.+ 3 >.2 - 3 '
162
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
Ist A = 1, so erhält unser System die Gestalt: Xl + X2 + 2X3 = 4 , 3Xl - X2 = -2, -3Xl +X2 = 2. Die letzten zwei Gleichungen sind bis auf das Vorzeichen gleich. Ist X2 = t (beliebig aus IR), so folgt Xl = t;2 aus der zweiten Gleichung, und damit X3 = 7 32t aus der ersten Gleichung. Die Lösungsmenge ist also für A = 1 die folgende Gerade in IR3
:
Durch Zeilenumformungen erhalten wir für die (um die rechten Seite des Systems) erweiterte Koeffizentenmatrix, falls A -I 1 (das wird an der Stelle (*) benutzt): 1 -1
(Ja
(~ (~
A
A-1
>.
3
>.
A-1 0
""3 -1 1
0
>.2
Fü' A =
,;13 )
2
-"3
±v'3 ist
A
A 3
(*) 1----+
A-1
(~
A-}3) ~
0
3
1 -1
2
A-1 >.
-"3 >.2 3
+1
1
A-3
0 2
1
';;3 )
1----+
':-; 1)
1
1 0 Rang von ( 0 0 o 1
1----+
2
0
+1
A-1
A- 3
0
-"3 >.2
H3) (1
2
2 dre Rang d" Matdx
(~
y-;
1 ;), wM,end cle,
-~) ~ 1 gleich 3 ist, weil die Determinante (also -
53>'
1
nicht verschwindet. Deshalb ist für A =
±J3 das System nicht lösbar.
53>'
-1)
1.3 Erster Test für das erste Kapitel
163
Aufgabe 4
Betrachten Sie die Ebene E, welche die Punkte A = (1,0, -1) und B = (0, -1, 1) enthält und parallel zum Vektor c = (2, -1, O)T ist. Sei C der Punkt auf der Xl-x2-Ebene, dessen orthogonale (senkrechte) Projektion auf E der Punkt A ist. Bestimmen Sie a) b) c) d) e)
die Koeffizienten a, b, C, d mit a ~ 0 der Gleichung von E, die Hessesche Normalform von E , den Punkt C , eine Gleichung der Geraden durch Bund C , den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
aXl
+ bX2 + CX3
= d
Lösung: a) Die erste Möglichkeit: Setzt man in die Gleichung aXl + bX2 + CX3 = d die Koordinaten von A und B ein, so ergeben sich a - C = d und -b + C = d. Außerdem müssen (a, b, c)T und (2, -1, O)T senkrecht zueinander sein. Es gilt also 2a - b = O. Aus diesen drei Gleichungen, die a, b, c, d erfüllen, folgt, dass jede Lösung von der Form (a, b, c, d) = A(2, 4, 3, -1) mit A E IR ist. Eine Gleichung der Ebene ist also 2Xl + 4X2 + 3X3 = -1 . Die zweite Möglichkeit: Die Vektoren c und AB = (-1,-1,2)T spannen die Ebene E auf, sie geht außerdem durch A. Also ist
eine Parameterdarstellung der Ebene E. Durch Elimination von A aus Xl = 1 + 2A - J-L und X2 = -A - J-L hat man Xl + 2X2 = 1 - 3J-L. Daraus und aus X3 = -1 + 2J-L eliminiert man J-L, und erhält (wie erwartet!) die Gleichung 2Xl + 4X2 + 3X3 = -1, die von allen (und nur von diesen!) Punkten von E erfüllt wird.
b) me Länge d" Vckto<s (:) i,t ,,14 + 16 + 9
~ V29. Mit n ~ - }" (:)
lässt sich die Hessesche Normalform der Ebene E angeben: n· x -
vk = O.
c) Die Gerade, die senkrecht zu Ein A ist, wird dargestellt in der Form Xl -1 2
Für X3 = 0 bekommt man Xl Ortsvektor des Punktes C.
X2 - 0 4
=~
und
X3
+1 3
X2
= ~,
und damit ist (~, ~,O)T der
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
164
d) Man hat ~~-t = ~i~l = '''l~ol ,d.h. die Gerade durch Bund G wird durch 3
3
~ = ':1' = "3-'
bc,clITicbcn. Altemativ (::)
(
~l
+A(
)
~~)
mit A E IR ist eine Parameterdarstellung dieser Geraden. e) Der Flächeninhalt F des Dreiecks ABG ist die Hälfte der Länge des Vektors BA x BG, weilllBA x BGII = IIBAII·IIBClI sinß gilt; dabei ist ß der Winkel zwischen beiden Vektoren BA und BG. Es gilt
F = V174 . 6
Aufgabe 5
a) b)
3n-l d ") ",00 3n-l k · b d'le R'h Unt ersuch en Sle,O el en 1') ",00 L.m=O n3+2n+l un 11 un=O n2 +1 onvergieren. 2 +3n-l k . S·le, d ass d'1e R'h . ZeIgen el e ",00 un=O n (n+l)! onverglert, un d b erech nen Sie ihre Summe.
Lösung: Die Reihe L:~=l ~ ist divergent, dagegen ist L:~=l ~2 konvergent. Diese Reihen werden nun für a) bzw. b) bei der Anwendung des Majorantenkriteriums benutzt. 3n 3 1 . t d'le R'h 3n-l k t a ) 1') UT vvegen n 33n-l +2n+l < n3 = 112 IS el e ",00 un=l n 3 +2n+l onvergen.
ii) Mit ~'J+~ ~ ~ ergibt sich die Divergenz der Reihe L:~=l ~'J+~
> 1. {:::::} 3n 2 (Man beachte: 3n-l n 2 +1 - n b) Für n
~
-
n >_ n 2
+1
{:::::} 2n 2
>_ n + 1)
6 gilt:
Deshalb ist die angegebene Reihe konvergent. Mit den Identitäten 00
1
L,=e, n=O n.
00
1
'"' - =e ~n!
n=l
L 00
1 und
führen wir die folgenden Umformungen für n
1 n! =e-2
n=2
~
1 durch:
.
.
1.3 Erster Test für das erste Kapitel
+ 3n -1 (n + I)!
n2
165
n(n + 1) + 2n - 1 (n + I)!
+ 2~
1
(n-1)!
n!
_ 3
2n + 2 - 3 (n+1)!
1 (n-1)!
---+---1
(n+1)!
Daraus folgt: 00
Ln
1 +3 n(n + I)!
2
n=O
n=1
1
00
= -1
1 +3 n(n + I)!
002
=-l+L n 00
1
1
00
+ ~(n-1)! " + 2 ~n! " - - 3 " -:------:-:~(n+1)! 1 n!
00
= -1 + L
+ 2(e -
00
1) - 3 L
n=O
1 n!
= -1 + e + 2e -
2 - 3(e - 2)
=3 .
n=2
Aufgabe 6
Bestimmen Sie die Konvergenzmenge (nicht nur den Konvergenzradius!) der Potenz reihe
Lösung: · an = M1t
lim ....!!.n....-
n--+oo a n +l
. 1S . t r -un d d am1t der Konvergenzradius dieser Reihe. Für x = - -21 und x = -21 er-
~·l....!!.n....n+2 g1 t a n +l
= -21
~.
n+2·
2n +1 n+3
-
-
n+3 1 n+2 . 2'
halten die angegebenen Reihen die Gestalt L:~=1(-1)n n~2 bzw. L:~=1 n~2· Während die erste Reihe nach dem Leibniz-Kriterium konvergiert, ist die zweite bekanntlich divergent. Also ist [- ~, ~ [ die Konvergenzmenge. Aufgabe 7
Berechnen Sie den Grenzwert lim sin ;~.:;:j. Begründen Sie dabei Ihre Vorx-+oo
gehensweise. Lösung:
Es gilt lim
x--+oo
;x=j = x
lim
;= j
1
x--+oo:z:
folgt: 7rX -
= ~.
1 (
lim sin - 2 3 = sin
n-+oo
X -
Wegen der Stetigkeit der Sinusfunktion 7rX -
1) =
lim -2-X - 3
n-+oo
.
sm
7r
"2 = 1.
1.4 Zweiter Test für das erste Kapitel
Aufgabe 1
Beweisen Sie durch vollständige Induktion für alle n
~
1
n
2:)2k - 1)3 = n 2(2n 2 - 1) . k=l
Lösung: Induktionsanfang: Für n = 1 ist die linke Seite der zu beweisenden Identität gleich 13. Die rechte Seite ist 12(2 . 12 - 1), d.h. ebenfalls 1. Induktionsschritt: Aus der Induktionsannahme 2:~=1 (2k -1)3 = n 2(2n 2 -1) soll gefolgert werden: n+l
2:)2k - 1)3
= (n + 1)2(2(n + 1)2 -
1) .
k=l
Die Umformung der linken Seite unter Verwendung der Induktionsannhme ergibt: n+l
n
'L)2k - 1)3 = 2:)2k - 1)3 k=l
+ (2n + 1)3
= n 2(2n 2 - 1)
+ (2n + 1)3
k=l
+ 12n 2 + 6n + 1 2n 4 + 8n 3 + lln 2 + 6n + 1 .
= 2n 4 =
-
n 2 + 8n 3
Dasselbe Polynom erhält man auf der rechten Seite:
(n
+ 1)2(2(n + 1)2 -
1) = (n 2 + 2n + 1)(2n 2 + 4n + 1) = 2n 4 =
2n 4
+ 4n 3 + n 2 + 4n 3 + 8n 2 + 2n + 2n 2 + 4n + 1 + 8n 3 + lln 2 + 6n + 1 .
Hiermit ist der Induktionsschritt durchgeführt. Aufgabe 2
Bestimmen Sie die Menge aller x E IR mit
Ix2 -
4x - 51 ::; 2x
+ 5.
Lösung: Das Polynom x 2 - 4x - 5 hat die Nullstellen -1 und 5. Damit gilt
167
1.4 Zweiter Test für das erste Kapitel
Ix2 -
4x - 51 =
{
4x - 5 falls XE] - 00, 1[ U ]5, +oo[
X2 -
5+4x-x 2
falls xE [-1,5].
Deshalb muss man die folgenden Ungleichungen lösen: x2
-
4x - 5 ~ 2x + 5 für
xE]- 00, -1[ U
5 + 4x - x 2 ~ 2x + 5 für x
und
E [-1,
°
]5, +oo[
5] .
Die erste davon läßt sich auch als x 2 - 6x - 10 ~ schreiben. Da x 2 - 6x-1O die Nullstellen 3±Ji9 hat und 3-Ji9 < -1 sowie 5< 3+Ji9 gelten, ergibt sich [3 - Ji9, -1[ U ]5,3 + Ji9] als Lösungsmenge der ersten Ungleichung. Die zweite Ungleichung lautet äquivalent umgeformt ~ x 2 - 2x = x(x - 2), sie hat die Lösungsmenge [-1,0] U [2,5]. Die Menge aller x E IR mit der Eigenschaft Ix 2 - 4x - 51 ~ 2x + 5 ist also: [3 - Ji9,0] U [2,3+ Ji9].
°
f(x) 1 25 ,/
20
x=
11 15 10
'/
/
-4 -5,,
-10
-15
-20
/ /
:/ /:,
/
5
1
~=
x-I
10
15
20
x
-5 -8
-10
/. /.
a
a
/.
-15 -20
d d
?
-25
Abbildung 1.13. "Graphische Lösung" von Aufgabe 2
168
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
Ergänzende Bemerkung (welche nicht verlangt wurde) Man kann geometrisch die gefundene Lösung in einer Skizze veranschaulichen, wie Abbildung 1.13 sie zeigt. Aufgabe 3 Betrachten Sie die Mengen von Vektoren
a) b) c) d) e)
f)
Gibt es Paare (A, {t) aus IR 2 , so dass a A und bJL linear abhängig sind? Wieviele? Zeigen Sie, dass nur ein v in IR existiert, so daß a v und b v senkrecht zueinander sind. Diese Vektoren a v und b v werden mit a bzw. b bezeichnet. Bestimmen Sie die Menge P aller Vektoren paus IR3 , so dass a, bund p einen Spat mit dem Volumen aufspannen. Erklären Sie das erzielte Ergebnis elementargeometrisch. Bestimmen Sie diejenigen Punkte PI und P2 aus P, deren Abstände minimal sind, d.h. !OPI ! und !OP2 ! sind minimal in vom Nullpunkt der Menge {!OP!! PEP}. Berechnen Sie die Flächeninhalte der Dreiecke PI P2 A und PI P2 B .
i-
°
Lösung: a) Sind a A und bJL linear abhängig, so gibt es a, ß E IR, so dass (a, ß) i:- (0,0) und aaA + ßbJL = 0, d. h. a + ß(1 + 4{t) = 0, aA + ß . 4{t = 0, ß(1 - {t) = o. Aus der letzten Gleichung folgt ß = 0 oder {t = 1. Ist ß = 0, so folgt aus der ersten Gleichung a = 0, was ausgeschlossen wurde (durch (a, ß) i:- (0,0)). Deshalb gilt {t = 1 und damit a + 5ß = 0, aA + 4ß = O. Der Wert a = -5ß wird in die zweite Gleichung eingesetzt. Es folgt -5ßA+4ß = ß( -5A+4) = O. Da - wie schon gesehen - die Zahl ß von Null verschieden sein muss, folgt A = t. Damit ist (t,1) das einzige Paar (A, {t) mit der Eigenschaft, dass a A und bJL linear abhängig sind. Man bestätigt dies leicht, da a! ein Fünftel des Vektors b l ist. b) a A und b A stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt verschwindet, d.h. wenn
o = a A • b A = 1· (1 + 4A) + 4· 4A + 0 . (1 gilt. Das trifft also genau für A b = b_!.
= -~
A)
= 1 + 4A + 4A2 = (1 + 2A?
zu. Hiermit hat man a
= a_!
und
169
1.4 Zweiter Test für das erste Kapitel
c) Sei p = (x , y , z)T, so dass der von a, bund p aufgespannte Spat den Volumen inhalt hat. Das ist genau dann der Fall, wenn der Betrag von
t
t ist. Mit axb = (-~ ,-~ ,_~)T erhält man also die Bedinh - ~ z I = t, d.h. 3x + 6y + 10z = 1 oder 3x + 6y + lOz = -l.
(axb)·p gleich
gung I - ~x d) Sei E die Ebene durch den Nullpunkt, die von den Vektoren a und b aufgespannt wird. Der Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms ist la x bl =
J1 + t + 96
245
= tv'9
+ 36 + 100 =
tv145. Deshalb
besteht P geometrisch betrachtet aus allen Punkten des Raums, die den Abstand zur Ebene E haben. P ist also die Vereinigung der bei den zu
k
k
E parallelen Ebenen, die den Abstand
zu E haben, nämlich E 1 , ge-
geben durch die Gleichung 3x + 6y + lOz = 1, und E 2 , beschrieben durch 3x + 6y + 10z = -l. e) Für j = 1,2 ist Pj derjenige Punkt von E j , in welchem die Gerade 9 durch 0 und mit der Richtung a x b die Ebene trifft. Eine Darstellung von 9 ist ~ = = to. Setzt man x = 3t, Y = 6t und z = lOt in die Gleichung
*
3x+6y+ lOz = 1 bzw. 3x+6y+ 10z = -1 ein, so folgt t = 1~5 bzw. t = -1~5'
und damit gilt P1 = (1~5' 1~5' 229 ) und P2 = (- 1~5 ' - 1~5 ' - 1~5 . f) P1 P2 (als Strecke auf g) ist senkrecht auf E und damit insbesondere auf a und auf b. Es handelt sich jedesmal um ein gleichschenkliges Dreieck mit
PP von der Länge k und Höhe lai = J1 + t + 0 = Yf bzw. Ibl = J1 + 4 + t = ~ . Deshalb sind die Flächeninhalte der Dreiecke
Basis
1 2
P1p.2 A un d P1P.2 BgIe1c · h !.2 . _2_ v'i45
. ~ 2 -
_1_
2V29
b zw. !.2 . _2_ v'i45
.
m2 -__2y15· 1_
Aufgabe 4 Lösen Sie in Abhängigkeit von a E IR das folgende lineare Gleichungssystem:
+ aX2 + 2X3 = a 2 - 5 aX1 + X2 - X3 = 2a + 3 Xl + 2X2 - aX3 = 5a + 1 . Xl
Lösung: Man hat
~1)
-a
= -a - a
+ 4a -
2 + 2 + a 3 = a 3 + 2a = a(a2 + 2).
170 Für a
aiO
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
i
0 kann man die Cramersche Regel verwenden. Es gilt deshalb für
det
x=
("'-5+ ~l) a 2a 3 1 5a+ 1 2 a(a 2
det
+ 2)
5 ~, )
a(a 2
deI (;
z=
a3 + 2a = 1 a(a 2 + 2)
('a a' 2a + 3
1 5a+ 1
y=
-a
+ 2)
-a
5)
a a' 1 2a+3 2 5a+ 1
a(a 2
+ 2)
a4 + 2a 2 -a - a(a 2 + 2) - ,
-3a3 - 6a = -3. a(a 2 + 2)
Die Probe bestätigt unser Ergebnis:
1 + a2
-
6
= a2 -
5 , a + a + 3 = 2a + 3 , 1 + 2a + 3a
= 5a + 1 .
Für a = 0 erhält das System die folgende Gestalt
Die dritte Gleichung erhält man durch Addition der verdoppelten zweiten Zeile zur ersten Zeile, also kann sie weggelassen werden. Sei t eine beliebige reelle Zahl. Setzt man X3 = t, so folgt aus der ersten Gleichung Xl = -2t - 5 und aus der zweiten Gleichung X2 = t + 3. Die Lösungsmenge des Systems für a = 0 ist hiermit die folgende Gerade:
1.5 Dritter Test für das erste Kapitel
Aufgabe 1
Beweisen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen nEIN gilt:
t
n(lln 2 + 48n + 49) k(k + 3) = 18(n + l)(n + 2)(n + 3)
1
k=l
Lösung: Der Beweis wird durch vollständige Induktion geführt:
Induktionsanfang: Für n 11±48±49 = ~ = 1 gilt 18·2·3·4
108·4
4
. h'· I n d u ktlOnssc ntt.
= 1 gilt die
Gleichung, weil L~=l k(k~3)
=t
und
.
N' d Immt man an, ass
",n 1 _ L.Jk=l k(k±3) -
n(l1n 2 ±48 n ±49) 18(n±1)(n±2)(n±3)
gilt, so folgt: 1
ntl
t;
k(k
+ 3)
(n 2
n(lln2 + 48n + 49) 18(n + l)(n + 2)(n + 3)
+
1
(n
+ l)(n + 4)
+ 4n)(lln 2 + 48n + 49) + 18(n 2 + 5n + 6) 18(n + l)(n + 2)(n + 3)(n + 4)
lln 4 + 92n 3 + 259n 2 + 286n + 108 18(n + l)(n + 2)(n + 3)(n + 4) (n
+ 1)(lln3 + 81n 2 + 178n + 108) 18(n + l)(n + 2)(n + 3)(n + 4)
(n + 1)(lln + 70n + 108) = -'---,-.:....:.....-:-:----:-:---.,.-'-
2
18(n + 2)(n + 3)(n + 4) (n
(n
+ 1) [ll(n + 1)2 + 48(n + 1) + 49] 18(n + 2)(n + 3)(n + 4)
+ 1) [ll(n + 1)2 + 48(n + 1) + 49]
- 18((n+1)+1) ((n+2)+1) ((n+3)+1)
Damit ist der Induktionsschritt durchgeführt, und die angegebene Gleichung gilt für alle nEIN.
1 Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra
172
Aufgabe 2
a) b) c)
Bestimmen Sie die Polarkoordinaten der bei den komplexen Zahlen Zl = -1 - iV3 und Z2 = 2 + 2i. Berechnen Sie zp . z~o. Bestimmen Sie alle w E (: mit der Eigenschaft w 4 =
zr.
Lösung: a) Die Beträge von Zl und Z2 sind Tl = VI+3 M2 A US COS
lxi eingeschränkt auf IR* = IR\{O} ,
, falls x
oo
vrn
Daraus ergeben sich leicht die Ableitungen einiger durch konvergente Potenzreihen definierter Funktionen:
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
184
= e X , (sinx)' = cosx , (cosx)' = (sinhx)' = coshx, (coshx)' = sinhx .
(eX)'
sinx ,
(2.9)
Exemplarisch zeigen wir das für die Cosinusfunktion; der Schlüssel dafür ist eine einfache Indexverschiebung:
x 2k + 1
= 2) _1)kH (2k + I)! = 00
k=O
x 2k + 1
z) _1)k (2k + I)! = - sinx . 00
k=O
Die Formel (ex)' = e X zeigt, dass die Exponentialfunktion auf IR der Differenzialgleichung f'(x) = f(x) genügt. Sie ist - wie wir später sehen werden - bis auf Multiplikation mit einer Konstanten die einzige differenzierbare Funktion mit dieser Eigenschaft. Aus (2.9) folgt mit Hilfe der Quotientenregel (tanx)'
1
= -cos - 2 - = 1 + tan 2 x, x
(tanhx)' =
12
cosh x
(cotx)'
1
= - -sm . - 2 - = -(1 + cot 2 x) x
,
(2.10)
= 1- tanh 2 x.
Benutzt man (2.5), so erhält man aus (2.9) und (2.10) die Ableitungen von In, arcsin, arccos, area sinh, area cosh, arctan, arccot, area tanh : (Inx )'
1 = -,
x (area sinh x ) '
(arCSlnx .)'
=
1 ~,
v 1 - x2
(arccosx )'
=-
V
1 ~,
1 - x2
=
1 1 ( area cosh x )' = ~, ~, vI + x 2 vx 2 -1 1 1 (arctanx)' = - - 2 ' (arccot x)' = - - - 2 ' (area tanh x)' l+x l+x
(2.11) 1
= -I-x -2 .
Selbstverständlich muss man beachten, in welchen Punkten aus dem jeweiligen Definitionsbereich diese Ableitungen existieren. Z.B. für arccos: Es werden diejenige Punkte x aus [-1,1] entfernt, in welchen die Ableitung cos'(arccosx) = -sin(arccosx) = -Vl-x2 verschwindet, d.h. 1 und -1. Sind u und v differenzierbare Funktionen auf I und nimmt u nur positive Werte an, so ist die Funktion u V, (UV)(x) = u(x)v(x) durch ev(x)Inu(x) definiert. Benutzt man (2.4), (2.9) und (2.11), so erhält man die Differenzierbarkeit von U V auf I und
(UV)'(x) = u(x)v(x) (v' (x) In u(x)
+ v(x) u'(x) ) u(x)
(2.12)
185
2.1 Begriffe und Ergebnisse Man erhält daraus für 1 =]0, oo[ die folgenden Spezialfälle:
(2.13) Für die reelle Zahl b macht man dabei keine Einschränkung; dagegen muss a positiv sein. Ist zusätzlich a ungleich 1, so ist bekanntlich x r-+ a X invertierbar und a log ist ihre Inverse. Mit (2.5) ergibt sich dann aus (2.13): (alog x)'
= -11 . x na
(2.14)
°
Mit Hilfe von (2.1) erhält man aus f'(xo) > (bzw. f'(xo) < 0) unter Verwendung der Stetigkeit von rl, dass eine Umgebung von Xo in 1 existiert, in welcher I monoton zunimmt (bzw. abnimmt). Die Ableitung von I (es genügt die Existenz der Ableitung von 1110 anzunehmen) liefert mehr Informationen über das Verhalten von I auf 1 . I habe in Xo E 10 ein lokales Extremum, das heißt, es existiert e > 0, so dass ]xo - e,Xo + e[C 1 und I(xo) 2: I(x) bzw. I(xo) ::; I(x) für alle x E]xo - e,Xo + e[ gilt. (Im Fall I(xo) ::; I(x) handelt es sich um ein lokales Minimum, in dem anderen Fall, also I(xo) 2: I(x), um ein lokales Maximum.) Dann verschwindet l' in Xo. Die Voraussetzung Xo E 10 ist notwendig, wie die Funktion I : [1,2] -+ IR, I(x) = x 2 zeigt; in 1 bzw. in 2 liegt ein lokales (sogar globales) Minimum bzw. Maximum vor, aber f'(x) = 2x verschwindet nirgendwo auf [1,2] . Eine stetige Funktion I : [a, b] -+ IR mit der Eigenschaft I(a) = I(b) erreicht in mindestens einem Punkt Xo E]a, b[ ein absolutes (globales) Extremum. Ist I differenzierbar auf Ja, b[, so ist f'(xo) gleich Null. Aus diesem Ergebnis, das als Satz von Rolle bekannt ist, bekommt man mit einem einfachen Trick den Mittelwertsatz der Differenzialrechnung: Ist I : [a, b] -+ IR stetig und auf Ja, b[ differenzierbar, so gibt es ein Xo E]a, b[ mit der Eigenschaft
f'(xo) Die Tangente zu
= I(b) -
I(a) . b-a
(2.15)
I in Xo ist also parallel zur Sekante durch (a,/(a)) und
(b,/(b)) . Daraus ergibt sich unmittelbar ein wichtiges Ergebnis für viele Eindeutigkeitsfragen: Eine stetige Funktion auf I, die auf 10 die Ableitung Null hat, ist eine konstante Funktion (auf I). Äquivalente Formulierung: Zwei stetige Funktionen auf I, deren Ableitungen auf 10 existieren und gleich sind, unterscheiden sich nur um eine additive Konstante, d.h. deren Differenz ist eine Konstante.
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
186
Eine weitere Folgerung des Mittelwertsatzes der Differenzialrechnung für eine stetige Funktion I : I -+ IR, welche auf 10 differenzierbar ist, besteht in der Äquivalenz zwischen den Eigenschaften "I' 2: 0 auf 10 " und "I ist monoton wachsend auf I" (bzw. I' ~ 0 auf 10 und I ist monoton fallend auf 1). Verschwindet l' in Xo E 10 , so heißt Xo stationär für I. Das Vorzeichen von l' in einer "genügend kleinen" Umgebung eines solchen Punktes gibt eine klare Antwort, was in diesem Punkt passiert. Gibt es ein c > 0 mit ]xo - c, Xo + c[c I und
-+ -+ -+
- c, xo[ und l' < 0 auf ]xo, Xo + cl, so ist Xo ein lokales Maximum von I , l' < 0 auf ]xo - c, xo[ und I' > 0 auf ]xo, Xo + c[, so ist Xo ein lokales Minimum von I , Hat l' auf ]xo - c, xo[ und ]xo, Xo +c[ dasselbe Vorzeichen, so ist Xo kein lokales Extremum von f. (Dies ist z.B. der Fall für In : IR -+ IR, In(x) = X 2n+ 1 im Nullpunkt, wenn n 2: 1 eine natürliche Zahl ist.)
l' > 0 auf ]xo
Ist Xo ein lokales Extremum, so ist Xo stationär, aber falls Xo stationär ist, ist im Allgemeinen Xo kein lokales Extremum. Eine weitere Möglichkeit, über das Verhalten von I in einem stationären Punkt zu entscheiden, werden wir in Kürze erörtern. Ist I eine stetige Funktion auf einem Intervall I und gibt es eine diskrete Punktmenge (also ohne Häufungspunkte) P c I, so dass I\P die Menge aller Punkte aus I ist, in welchen I differenzierbar ist, so besteht I\P aus einer Vereinigung von Intervallen 10/, a E A, mit 10/ nIß = cp, falls a i- ß gilt. Ist x* ein absolutes Extremum von I, so ist x* entweder ein Endpunkt von I oder ein Punkt aus P oder ein stationärer Punkt von I. Diese Gedanken werden Ihnen klarer, wenn Sie die folgenden Beispiele auf lokale und absolute Extrema untersuchen:
I: IR -+ IR, I(x) Ist
= 1sinxl , g: [-5,5]-+ IR,
g(x)
= l(x 2 -
9)(x 2 - 16)1.
I differenzierbar und l' ebenfalls, so heißt (I')' die zweite Ableitung
von I und wird mit I" oder auch ~ bezeichnet. So ist - kurz gesagt die zweite Ableitung die Beschleunigung der Funktion, welche die Bewegung beschreibt. Analog werden die dritte, vierte, fünfte, ... Ableitung von I definiert und mit 1"',/(4),/(5), ... bezeichnet. Existiert I(k) und ist diese Funktion stetig auf I, so sagt man, dass I k-mal stetig differenzierbar auf I ist. (I, 1',1", ... ,/(k-l) sind dann automatisch stetig.) Existiert I(k) für jede natürliche Zahl k 2: 1, so heißt I unendlich oft differenzierbar. So sind Polynome, rationale Funktionen, reelle Potenzreihen mit einem von Null verschiedenen Konvergenzradius unendlich oft differenzierbar. Z.B. gilt (eX)(n) = eX, (sin x)(2n) = (_l)n sin x, (sin x)(2n+l) = (_l)n cosx .
2.1 Begriffe und Ergebnisse
187
Zu jeder natürlichen Zahl n 2: 1 gibt es Funktionen, die n- aber nicht (n + 1)mal stetig differenzierbar sind; Beispiel: gn : IR -+ IR, gn(x) = xnlxl. Es gilt: g~k)(x) = (n + l)n(n - 1) ... (n - k + 2)x n- k lxl für alle x E IR und k E {I, ... , n}. g~n) = (n + 1)!lxl ist im Nullpunkt nicht differenzierbar. Jeder n-mal stetig differenzierbare Funktion j auf I wird für jedes Xo E I zu Approximationszwecken ein Polynom vom Grad ~ n zugeordnet. Genauer: Es gibt ein Polynom P vom Grad ~ n und eine stetige Funktion r n auf I mit rn(xo) = 0, so dass für alle x E I gilt:
j(x) = P(x)
+ rn(x)(x - xo)n .
(2.16)
P ist eindeutig bestimmt, hat die Gestalt L~=o fkk~o) (x - xO)k und heißt das n-te Taylor-Polynom von j in xo. Ist die Funktion j (n + 1)-mal stetig differenzierbar, so lässt sich rn(x) in der Form rn(x)
= f(n(:~\e)\x)) (x -
xo)
darstellen; dabei ist ~(x) ein geeigneter Punkt aus I, der zwischen Xo und x liegt; manchmal ist es nützlich, ~(x) als Xo + O(x - xo) darzustellen, wobei o eine von x und Xo abhängige reelle Zahl aus ]0, 1[ ist. Man hat also die sogenannte Taylor-Entwicklung von j in Xo :
j( ) = ~ j(k)(xo) (x _ X )k X ~ k! 0 k=O
+ j(k+1)(~(x)) (x _ )n+1 (n + I)! Xo .
(2.17)
Der letzte Summand in der Formel heißt das n-te Lagrangesehe Restglied von j in xo; er misst den Fehler, der entsteht, wenn man die Zahl
°
j(x) durch L~=o f(k~\XO) (x - xo)k ersetzt. Sind c > und M > 0, so dass Ij(n+1)(x)1 ~ M für alle x E In [xo - c,Xo +c] gilt, so wird j durch das n-te Taylor-Polynom von j auf In [xo -c, Xo +c] mit einer Toleranz approximiert, die kleiner oder gleich (n::!)! c n +1 ist. Betrachtet man für ein reelles a die Funktion ]- 1,00[-+ IR, x I-t (1 + x)'''', so ist ihr n-tes Taylor-Polynom in Xo = gegeben durch L~=o (~)xk und ihr n-tes Lagrangesche Restglied ist (n~l) (1 + Bx )",-n-1 x n+1; dabei gilt
°
(~)
=
"'("'-1).~\",-n+1) und B E]O, 1[. So hat man insbesondere für a
=
~
und a = -~ die folgenden n-ten Taylor-Polynome für ..jf+X bzw.
Ax-
im Entwicklungspunkt Null: 1 + ~ -
bzw.
1-
:E.
2
+
3x 2 8
_
5x 3 16
+
35x 4 128
+
+ ...
8 + ~: - ~~; + ... + e~2)xn
X
2
(-1/2)X n n
.
Ist z.B. x E [0,1] und nEIN mit a - n - 1 < 0, so gilt (1 + Bx)",-n-1 < 1 für jedes B E]O, 1[, und deshalb approximiert L~=o (~)xk den Wert (1 + x)'" mit
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
188
einem Fehler, der höchstens I(n~l) Ix n +1 beträgt. Aus der Taylor-Entwicklung ergibt sich für eine (n + l)-mal stetig differenzierbare Funktion f : 1 -+ IR eine nützliche Information zum Verhalten von f in einem stationären Punkt Xo E 10 . Ist k :S n mit der Eigenschaft
f'(xo) = f"(xo) = ... = f(k)(xo) =
°
und
f(k+l) (xo)
f:-
0,
so gilt: Für gerades k hat f kein lokales Extremum in Xo . Für ungerades kund f(k+l)(xO) > (bzw. < 0) liegt in Xo ein lokales Minimum (bzw. Maximum) von f .
-+ -+
°
Dieses Kriterium wird vor allem in den Fällen k = 1 und k
= 2 benutzt.
f unendlich oft differenzierbar auf 1, so kann man die Taylor-Reihe von f um Xo bilden: L~=o ~(x - xo)n. Auch wenn diese Reihe einen
Ist
von Null verschiedenen Konvergenzradius hat, ist es nicht immer gesagt, dass sie in irgendeiner Umgebung von Xo mit f übereinstimmt. Für die Funktionen exp, sin, cos, sinh und cosh ist dies der Fall. Für die Funktion
x
1--4
°,
{° , 1
e-~
falls x < ,fallsx>O
verschwinden alle Ableitungen im Nullpunkt,
°
d.h. ihre Taylor-Reihe um den Nullpunkt ist die Nullfunktion, und damit stimmt sie mit der gegebenen Funktion auf keiner Umgebung von überein. Die Logarithmusfunktion und ihre Taylor-Reihe um 1 sind auf ]0,2] gleich, d.h. für jedes x E]O, 2] gilt: 00 ( l)n-l Inx=2:: (x-1)n. n=l n
(2.18)
Oft schreibt man diese Formel als In(l
+ x)
00 ( l)n-l = 2:: xn n n=l
(2.18')
für alle x aus ]-1, 1]. Wir erwähnen zwei weitere Ergebnisse dieser Art. Auf [-1,1] gilt 00 ( l)n arctanx = '"' _-__ X 2n +1 ~ 2n+1 '
n=O
(2.19)
und auf] - 1, 1[
(1
+ x)Q
=
~ (~) x n .
(2.20)
189
2.1 Begriffe und Ergebnisse 2.1.2 Die Regeln von de l'Hospital (Aufgabe 15)
Die Ableitung einer Funktion ist als Grenzwert definiert. Nun beschreiben wir, wie mit Hilfe von Ableitungen gewisse Grenzwerte berechnet werden können, die bei den Rechenregeln für Grenzwerte ausgespart wurden, da mit den bis dahin vorhandenen Mitteln - keine allgemeine Antwort möglich war. Es waren die folgenden Ausnahmefälle:
-+
lim (f(x) - g(x)), wenn lim f(x) und lim g(x) beide
x-tXQ
X--+Xo
00
X--+Xo
oder beide
sind, lim f(x)· g(x), wenn lim f(x) = 0 und lim g(x) E {oo, -oo} gelten, x-txo x-txo x-txo lim !((x)) , wenn lim f(x) und lim g(x) beide Null oder beide unendx-txo 9 x x-txo x-txo lich sind (dabei sind alle vier Möglichkeiten (00, 00 ), (00, - 00 ), ( - 00, 00 ) und (-00,-00) erlaubt), lim f(x)g(x), wenn lim f(x) = 1 und lim g(x) = 00, oder lim f(x) = x-txo x-txo x-txo x-txo 00 und lim g(x) = 0, oder auch lim f(xo) = 0 = lim g(xo) gelten. -00
-+ -+
-+
x-tXQ
x-txo
x-txo
Wir sprechen in diesen Fällen von Grenzwerten vom Typ 00 O . 00 , 00 ' 00 ' 100 , 00 0 b zw. 00 .
00 -
00
,
In den nun folgenden Regeln von de l'Hospital bezeichnen fund 9 differenzierbare Funktionen auf ihrem (gemeinsamen) Definitionsbereich D, welcher eine nichtleere offene Menge aus IR ist. Für D und für den "Punkt" Xo aus IR U {oo, -oo} =: IR, in welchem der Grenzwert berechnet wird, gehen wir von einer der folgenden Situationen aus:
-+ -+
D =]a, xo[ oder ]xo, a[, wobei a aus IR und Xo aus IR U {oo} bzw. IR U {-oo} sind, D =]a,xo[ U ]xo,b[ mit a,b aus IR.
Die Regel von de l'Hospital für den Grenzwert vom Typ § lautet: Existiert ein e E IR mit a ::; e < Xo bzw. Xo < e ::; a, so dass g' auf ]e, Xo [ bzw.]xo,e[ keine Nullstelle hat, gilt lim f(x) = 0 = lim g(x) und existiert x-tXQ
x-txo
in IR der Grenzwert lim !:((x)) , so existiert auch lim !((x)) in IR, und es gilt x-txo 9 x x-txo 9 x lim f(x) = lim f'(x) . x-txo g(x) x-txo g'(x)
(2.21)
Die Regel von de I'Hospital für den Grenzwert vom Typ ~ ist leichter zu formulieren (da die Existenz einer Zahl e wie oben in diesem Fall automatisch aus lim g(x) = 00 oder lim g(x) = -00 folgt): Liegen die x-txo x-txo
190
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
Grenzwerte lim f(x) und lim g(x) in {oo, -oo} und existiert der Grenzx-txo
wert von lim
x-tXQ
!;((x))
x-txo g x
in IR, so existiert auch lim
!((x))
x-txo g x
in IR, und es gilt wieder
die Formel (2.21) . Die Berechnung von Grenzwerte der Typen 00 - 00, 0·00, 100 , 00 0 und 0 0 kann auf eine dieser zwei Regeln zurückgeführt werden (dabei muss man im konkreten Fall darauf achten, dass die Voraussetzungen erfüllt sind): Der Typ
00 -
00
kann mittels
f -
9
= 'Clf 1
1
mit der Regel für den Typ
9
g
behandelt werden. (Die Zahl c bei dieser Regel existiert wegen der Voraussetzung, dass der Fall 00 - 00 vorliegt.) auf den Typ oder - falls f > 0 oder Der Typ 0 . 00 kann mittels f . 9 =
g
f
f
0 in einer Umgebung von xo gilt; in den ersten bei den Fällen ist dies klar (wegen existiert. der Stetigkeit von f), im dritten Fall muss es so sein, damit Durch Logarithmieren von h := Im Fall 1
00
liegt für
!;l 9
r
der Fall
r
erhält man deshalb In h = gIn f =
g vor. In den Fällen
00 0
und
00
!;l. 9
hat man
für gIn f den schon behandelten Fall 0 . 00. Hat In h in xo den Grenzwert d E IR oder 00 oder -00, so hat in xo den Grenzwert ed , 00 bzw. 0, da die Exponential- und Logarithmusfunktion stetig sind. (Also: lim h(x) = lim exp(lnh(x)) = exp( lim lnh(x)) = exp(ln lim h(x)) .
r
x-txo
x-txo
x-txo
X-+Xo
Wir beenden diese Zusammenfassung über die Regeln von de l'Hospital mit zwei Bemerkungen. Manchmal kommt man zum Ziel, wenn man die Regeln mehrmals hintereinander anwenden (und dabei nicht vergisst, bei jedem Schritt die Voraus setzungen nachzuprüfen). So z.B. muss für lim ~ und lim x-tO
x
g
x-tO
~3
.
x-T;smx x
die
Regel von de l'Hospital für den Grenzwert vom Typ zwei- bzw. fünfmal angewandt werden. eingeführt. Dass n----tOCl lim (1 + 1..)n ebenfalls den Die Zahl e wurde als Z::~=O 1, n. n Wert e hat, erhält man nun aus den folgenden Überlegungen (unter Einbeziehung der Regeln von de l'Hospital und der Stetigkeit der Exponentialfunktion): lim
X-tOO
191
2.1 Begriffe und Ergebnisse = exp
(}~~ x In
( 1+
= exp
( lim (
~~ x - X21)) = exp (
x--+oo
1+
~)
)
= exp
(}~~ In(l; ~)
)
1x ) = exp(l) = e.
lim _1_
x--+oo
1+
2.1.3 Iterationsverfahren (Aufgabe 16 bis 18) In vielen praktischen Problemen ist es nicht möglich, exakte Zahlen für die Lösung zu bestimmen. Den Praktikern genügt die Feststellung "Es gibt genau eine Lösung" nicht; es ist nicht einmal befriedigend, wenn sich obere und untere Schranken für die Lösung angeben lassen. Gesucht wird in solchen Fällen ein Verfahren für die Berechnung eines Näherungswertes, der das genaue Ergebnis um weniger als eine vorgegebene Toleranz approximiert; dabei ist es wünschenswert, angeben zu können, wie lange man arbeiten muss, um diese vorgegebene Güte der Abweichung zu unterbieten. Heute ist es wichtig, solche Verfahren zu kennen, die sich leicht programmieren lassen und keine allzu große Speicherkapazität benötigen. Am besten dazu geeignet sind die sog. Iterationsverfahren. Ein erstes Näherungsverfahren für die Berechnung der Nullstellen einer stetigen Funktion ist das Intervallhalbierungsverfahren; dabei geht man aus von einer stetigen Funktion f : [a, b] -+ IR, die in a und b Werte mit verschiedenen Vorzeichen (also: f(a) . f(b) < 0) hat; nach n Schritten wird der Näherungswert einer Nullstelle von f in diesem Intervall mit einer Abweichung um weniger als b;;;.a berechnet. Dieses Verfahren ist iterativ, da bei der Berechnung des (n + l)-ten Näherungswertes nur die letzten zwei Näherungswerte benötigt werden (und die anderen darf der Computer vergessen!). Diese Methode war schon Newton vor 300 Jahren zu langsam (die Schnelligkeit ist keine moderne Erfindung, nur die Hektik!) und aufgrund der folgenden geometrischen Betrachtung hat er für differenzierbare Funktionen ein schnelleres Verfahren entwickelt. Hat f in [a, b] genau eine Nullstelle x* und ist Xo ein Näherungswert dafür, so kann die Tangente in Xo zum Graphen von f in Xo die x-Achse in einem Punkt Xl aus [a, b] schneiden, der näher an x* liegt als Xo . (Es kann auch schief gehen, wenn man z.B. in Abb. 2.2 mit Po statt mit Xo anfängt!) Im günstigen Fall (also Xl E [a, b]) ist dieser Schritt fortgesetzt zu wiederholen, also zu iterieren. (Für die Berechnung von X n braucht man nur Xn-l.) Liegen alle Iterierten Xl, X2, X3,' .. von Xo in [a, b], so muss man hinreichende Bedingungen dafür finden, dass lim X n = x* gilt; außerdem ist n--+oo
noch \x* - x n \ abzuschätzen. Das Newton-Verfahren wird im folgenden Satz zusammengefasst: Sei f : [a, b] -+ IR eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, so dass
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
192
Po
b
- - - - - - - j{xo}
Abbildung 2.2. Das Newtonverfahren
f(a) . f(b)
q E ]0,1[,
< 0 und f' > 0 oder f' < 0 auf [a, b] gilt. Außerdem gibt es ein so dass If . 1"1 ~ qlf'1 2 auf [a, b]. Gibt es Xo E [a, b], so dass die
durch
f(Xn-l) Xn = Xn-I - f'( Xn-I )
(2.22)
rekursiv definierte Folge (x n ) in [a, b]liegt, so konvergiert diese Folge gegen x*. Außerdem gilt für alle n 2:: 1 die Fehlerabschätzung qn
(2.23)
Ix* - xnl ~ -I-lxI - xol . -q
Sind a > 0 eine reelle Zahl und k 2:: 2 eine natürliche Zahl, so kann man die positive k-te Wurzel aus a mit dem Newton-Verfahren berechnen. Ist Xo > 0 mit x~ > a, so liegt die Iterationsfolge (x n ) für f: [O,xo]-+ IR, f(x) = xk-a in [0, xo], und die Iterationsvorschrift lautet
Xn =
(1 - ~ ) Xn-I + kX~-I
n_1
n>
1.
(2.22')
Man kann für q die Zahl k:;1 nehmen. Insbesondere erhält man für k das sog. Heron-Verfahren mit der Iterationsvorschrift
Xn =
1 -2
(Xn-I
+ _a_) Xn-I
n 2:: 1.
=2
(2.22")
Ist f dreimal stetig differenzierbar (wie z.B. im obigen Beispiel), so ist die Konvergenzgeschwindigkeit des Newton-Verfahrens "quadratisch", d.h.
193
2.1 Begriffe und Ergebnisse
grob gesagt, bei jedem Schritt verdoppelt sich die Anzahl der genauen Nachkommastellen. Das ist erheblich schneller als beim Intervallhalbierungsverfahren; dort braucht man im Durchschnitt mehr als drei Schritte um eine weitere genaue Nachkommastelle zu bekommen. Beim Newton-Verfahren haben wir eine Nullstelle oder Funktion J approximiert. Ist d aus dem Wertebereich von J, so kann das Newton-Verfahren eine Näherung einer d-Stelle liefern, d.h. die Näherung einer Zahl aus dem Definitionsbereich von J, für die J den Wert d annimmt. Ersetzt man J durch J - id, d.h. betrachtet man x t-+ J(x) - x, so kann man mit dem NewtonVerfahren versuchen, einen Fixpunkt von J zu approximieren, d.h. eine Zahl c mit der Eigenschaft J(c) = c. Geometrisch bedeutet dies, den Schnittpunkt oder die Schnittpunkte der ersten Winkelhalbierenden (also x = y) mit dem Graphen von J zu bestimmen. Diese simple Beobachtung führt zur folgenden Idee: Man beginnt mit einem Xo und bildet iterativ die Folge (x n ) nach der Vorschrift X n = J(xn-d , n 2: 1. Hat man dabei Erfolg (Glück), d.h. liegen y
y=x
f(xo} x
Abbildung 2.3. Fixpunkt bestimmung
mit Xo auch alle Glieder der Folge (x n ) in dem Definitionsbereich von J und konvergiert diese Folge, so hat man einen Fixpunkt von J (vgl. Abb. 2.3). Die markierte eckige Spirale (korrekt wäre Polygonzug) macht den Eindruck, gegen den Punkt (c, c) = (c, J(c)) zu konvergieren, und sie tut es! In diesem Beispiel hatten wir "Glück". In vielen anderen Fällen tritt das nicht ein. Seien a, b reelle Zahlen mit 0 < a < 1 < b; die Funktion [a, b] -+ IR, x t-+ x 2 hat genau einen Fixpunkt, nämlich 1. Fängt man nicht mit Xo = 1 an, so führt Xo < 1 (bzw. Xo > 1) nach einigen Schritten zu Iterierten, die außerhalb [a, b] liegen, da lim x~n = 0 (bzw. lim x~n = (0) gilt. (Man könnte - was der Inn-+oo
n-+oo
tuition entspricht - sagen, dass 1 kein stabiler Fixpunkt ist; damit begnügen wir uns an dieser Stelle.)
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
194
Der folgende Satz (den wir als Fixpunktsatz zitieren werden) gibt eine hinreichende Bedingung für die Existenz und Eindeutigkeit eines Fixpunktes und gleichzeitig eine Fehlerabschätzung: Ist f : [a, b] -+ [a, b] differenzierbar und gibt es ein q E]O, 1[ mit 11'1 ~ q auf [a, b], so hat f gen au einen Fixpunkt c. Unabhängig von der Wahl von Xo aus [a, b] konvergiert die rekursiv definierte Folge (x n ), die gemäß der Iterationsvorschrift Xn = f(xn-l) gebildet wird, gegen c, und für jedes n ~ 1 gilt (2.24) Diese einfache Idee, dieser erste Fixpunktsatz, wurde mit viel Erfolg verallgemeinert und vertieft. Untersuchungen von Iterationsprozessen haben gerade in den letzten Jahrzehnten zu einer hoch interessanten und anwendungsreichen mathematischen Theorie geführt: der Chaostheorie. 2.1.4 Kurvendiskussion (Aufgabe 19 bis 22) Die graphische Darstellung (selbst eine ungenaue Skizze) einer reellwertigen Funktion, die auf einer Teilmenge von IR definiert ist, dient zum besseren Verständnis des Prozesses, der durch die Funktion beschrieben wird. Auf einen Blick erkennt man, in welchen Intervallen die Entwicklung günstig ist, welche Bereiche vermieden werden sollten, wie schnell eine Veränderung verläuft, usw. Das erste, worüber man sich klar werden muss, ist der (maximale) Definitionsbereich, auf welchem die Funktion definiert ist. Der Definitionsbereich ist im Allgemeinen eine Vereinigung von paarweise disjunkten Intervallen (verschiedener Art), wobei isolierte Punkte auch als (entartete) Intervalle angesehen werden. Ist Xo E IR der Anfangs- oder Endpunkt eines solchen Intervalls, so sollte das Verhalten der Funktion dort näher untersucht werden, um festzustellen, ob bzw. warum man die Funktion in Xo nicht "sinnvoll" (z.B. stetig) fortsetzen kann. Es kann z.B. der Fall eintreten, dass die Funktion in der Nähe von Xo "immer schneller" schwingt. Das ist der Fall bei der Funktion IR\{O} -+ IR, x 1-+ sin ~ im Nullpunkt. Für jeden Wert a E [-1,1] und jedes c > gibt es unendlich viele x E ]- c, c[ mit sin ~ = a. Es kann aber auch passieren, dass lim fex) E {oo, -oo} (oder wenigstens lim fex) E {oo, -oo}
°
X-+Xo
bzw.
X-+Xo+
lim fex) E {oo, -oo}) gilt. In diesem Fall heißt Xo eine Polst elle
x--+xo -
von f; so sind z.B. 0, -1 und 1 die Polst ellen von x(xLl). Man nennt dann die Gerade x = Xo eine senkrechte Asymptote, und man sagt, dass der Graph der Funktion sich asymptotisch dieser Geraden nähert. Ist Ja, oo[ oder] - 00, b[ in D enthalten, und ist auf diesem unbeschränkten
195
2.1 Begriffe und Ergebnisse
°
°
Intervall eine Funktion 9 definiert, so sagt man, dass 9 eine Asymptote zu f ist, falls lim (f(x) - g(x)) = bzw. lim (f(x) - g(x)) = gilt. Es x~oo
x~-oo
ist sinnvoll, davon zu sprechen, dass Polynome Asymptoten von rationalen Funktionen sind. So ist das Polynom A eine Asymptote (sowohl für x --+ 00 als auch für x --+ -(0) zur rationalen Funktion falls A = ~ mit Grad von B < Grad von Q gilt. Dann ist das Polynom A eindeutig bestimmt, und deshalb spricht man von der polynomialen Asymptote von Auch für beliebige Funktionen gibt es höchstens eine polynomiale Asymptote für x --+ 00 (bzw. für x --+ -(0). Als Beispiel: Das Polynom x 3 + x nähert sich
G,
G
G.
asymptotisch der rationalen Funktion auch für x --+ -00, da: x 3
x
5
3
±2,~tt{X+5 sowohl für x
--+ 00 als
+x -
X5±2:23t12X+5 = ~t;:. Insbesondere ist die Gerade y = mx + n Asymptote zu f für x --+ 00 (bzw. für x --+ -(0) genau dann, wenn gilt: m = lim f(x) x
n = lim (f(x) - mx)
und
x~oo
(bzw.
m=
lim x~-oo
x~oo
f(x) x
und
n=
lim (f(x) - mx)) .
x--+-oo
Wichtige Informationen über die Funktion erhält man, wenn man die Punkte aus D bestimmt, in welchen die Funktion stetig bzw. differenzierbar (einschließlich der Differenzierbarkeitsordnung) ist. Die Punkte, in welchen die Funktion f differenzierbar ist, sind diejenigen, in welchen der Graph von f eine Tangente besitzt, die nicht zur y-Achse parallel ist. Falls die Grenzwerte lim f(x)-f(xo) und lim f(x)-f(xo) existieren aber ungleich sind hat x--+xo-
x-+xo+
X-Xo
X-Xo
'
,
der Graph von f in Xo einen Knickpunkt. Auf den Intervallen, auf welchen f' nicht negativ bzw. positiv ist, ist f monoton steigend bzw. streng monoton steigend. f' :S bzw. f' < auf einem Teilintervall aus D bedeutet, dass f auf diesem Teilintervall monoton bzw. streng monoton fallend ist. Ist f'(xo) = und wechselt f' dort das Vorzeichen, so hat f bei Xo ein lokales Maximum, falls f zunächst wächst, und dann fällt, oder ein lokales Minimum im umgekehrten Fall. Ist f" 2: bzw. f" :S auf einem offenen Intervall Ja, b[ aus D, so liegt der Graph von f in jedem Punkt aus Ja, b[ oberhalb bzw. unterhalb der Tangente an f. Man nennt f konvex bzw. konkav auf Ja, b[. Gilt f"(XO) = und wechselt f" das Vorzeichen in Xo, so hat f einen Wendepunkt in xo. Geometrisch gesehen durchquert der Graph von f die Tangente in xo. So ist z.B. x I-t x 2k ±1 für k 2: 1 konvex auf ]0,00[, konkav auf]- 00, o[ und besitzt im Nullpunkt einen Wendepunkt. Allgemeiner: Gilt f'(xo) = f"(xo) = ... = f(k-l)(XO) = und f(k)(xo) "# 0, so hat f in Xo einen Wendepunkt, falls k ungerade ist, bzw. ein lokales Extremum, falls k
°
°
°
°
°
°
°
196
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
gerade ist. Für die Anfertigung einer Skizze ist es außerdem nützlich, die Funktion in einzelnen Punkten auszuwerten; oft bietet es sich an 1(0) (falls 0 E D) zu bestimmen, und man interessiert sich für Nullstellen von I, d.h. für den Schnitt des Graphen von 1 mit der y-Achse bzw. die Schnittpunkte des Graphen von 1 mit der x-Achse. Noch eine letzte Bemerkung: Falls man beim Zeichnen mit Schwierigkeiten zu kämpfen hat, kann dies auf einen Rechenfehler hinweisen! Und nun wird ein Programm für die Kurvendiskussion (mit Ziel: Skizze des Graphen) knapp dargestellt. 1. Schritt Bestimmung des maximalen Definitionsbereichs DU) von f. Berechnung von Nullstellen von 1 und von Funktionswerten, insbesondere von 1(0), falls o E DU). Untersuchung auf senkrechte und schräge (insb. waagerechte) Asymptoten. 2. Schritt Bestimmung aller Punkte aus dem Definitionsbereich DU), in welchen 1 stetig, rechts- oder linksseitig stetig ist. 3. Schritt Bestimmung aller Punkte aus DU), in welchen 1 differenzierbar ist (oder andernfalls wenigstens eine Knickstelle hat). Berechnung von /' und ihrer Nullstellen. (Hiermit werden die möglichen lokalen Extrema ausfindig gemacht.) Angabe des Vorzeichens von /', und damit der Monotonieintervalle von I. Feststellung, welche der Nullstellen von /' lokale Maxima bzw. Minima sind. Untersuchung, ob der größte (bzw. kleinste) Wert unter den lokalen Maxima (bzw. Minima) sogar das globale Maximum (bzw. Minimum) ist. 4. Schritt Bestimmung aller Punkte aus DU), in welchen /' differenzierbar ist, und Berechnung von /,1 und deren Nullstellen (die, soweit sie keine lokale Extrema sind, Wendepunkte von 1 sind). Angabe der Intervalle, auf welchen /,1 positiv (und damit 1 konvex) bzw. negativ (und damit 1 konkav) ist. 5. Schritt Anfertigen einer Skizze unter Verwendung der bereits gewonnenen Informationen über die Funktion 1 . 2.1.5 Interpolationspolynome und Spline-Interpolation (Aufgabe 23 bis 26) Kennt man für einen bestimmten Vorgang keine beschreibende Funktion 1 sondern nur eine endliche Anzahl von Messwerten 1(xo) = Yo, 1(Xl) = Yl, ... ,/(xn) = Yn in den Stützstellen (Knoten) XO,Xl,""X n , so ist es naheliegend, 1 durch ein Polynom P kleinsten Grades anzunähern (approximieren, ersetzen), das an den StützsteIlen die Werte Yo, Yl, ... ,Yn annimmt.
197
2.1 Begriffe und Ergebnisse
Ist f unbekannt oder sehr kompliziert, dafür aber f(n+l) oder wenigstens eine Majorante M n+1 E IR von f(n+1) bekannt, so kann man den Fehler abschätzen, der auftritt, wenn man den Wert f(x) durch die Zahl P(x) ersetzt. Zu diesem Zweck betrachtet man die n + 1 Polynome n-ten Grades
Lk(X):=
(x - xo) ... (x - Xk-I)(X - xk+d··· (x - x n) (Xk - xo) ... (Xk - Xk-I)(Xk - Xk+l) ... (x - x n )
(2.25)
Es ist einfach zu zeigen, dass das Polynom Pn(x) := l:~=o YkLk(X) für jedes Xk den Wert Yk annimmt. Außerdem ist Pn das einzige Polynom, dessen Grad höchstens n ist und diese Eigenschaft hat. Pn heißt das Lagrangesehe Interpolationspolynom zu den Stützstellen Xo, Xl, ... , Xn und den Werten Yo, YI , ... , Yn . Ist nun feine (n + l)-mal differenzierbare Funktion auf Ja, b[, ist f stetig auf [a, b] und ist Pn das Lagrangesche Interpolationspolynom zu den Stützstellen Xo, Xl, ... , Xn aus [a, b] mit den Werten f(xo), f(xd, ... , f(x n ), so gibt es zu jedem x E [a, b] ein ~ mit den Eigenschaften min{XO,XI, ... ,xn,x}
f(x) - Pn(X)
=
< ~ < max{xo, Xl, ... , Xn , X} ,
f(n+1)(~)
(n
+ I)!
(x - XO)(X - xd ... (x - Xn) .
(2.26)
Gilt insbesondere Ifn+1(~)1 :S M n +1 für alle ~ E]a, b[, so hat man für jedes x E [a, b] die Fehlerabschätzung (2.27) Hat man weitere Messdaten in weiteren Knoten, und möchte man diese neuen Informationen berücksichtigen, so lassen sich die bisherigen Berechnungen nicht verwenden; man muss alles neu berechnen. Um diesen Nachteil zu vermeiden, führt man die sog. dividierten Differenzen ein:
(2.28)
Man kann beweisen, dass mit diesen Bezeichnungen die sog. Newtonsehe Interpolationsformel für die Darstellung des Lagrangeschen Interpolati-
198
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
onspolynom Pn zu den Stützstellen Xo, ... , Xn und Werten f(xo), ... , f(x n ) gilt:
+ f[xo, Xl](X - xo) + j[xo, Xl, X2](X - xo)(X - Xl) + ... + j[XO,Xl, ... ,Xn](X - XO)(X - xd··· (X - xn-d .
Pn(X) = j[xo]
(2.29)
Es ist praktisch, die dividierten Differenzen mit Hilfe des folgenden Schemas Spalte für Spalte zu berechnen:
f[xo] f(xo, Xl] f( XO,Xl,X2]
f(Xl] f(Xl, X2]
f(Xl, X2, X3]
f( X2] f(X2, X3] f[X3]
f[xo, ... ,X n] f[Xn-l] f[Xn-l,X n] f[x n] Wenn in einer weiteren Stützstelle Xn +1 der Wert f(x n +1) bekannt ist und wenn man dies zur Verfeinerung der Ergebnisse benutzen will, so ist das obige Schema einfach mit der folgenden Diagonale (von links unten nach rechts aufsteigend) fortzusetzen
Das erklärt die Stärke der Newtonschen Interpolationsformel für die Rechenpraxis. Mit der Vergrößerung der Anzahl der Stützstellen erhöht sich auch der Grad des Interpolationspolynoms, und damit werden die Berechnungen umfangreicher. Die Rundungsfehler beeinflussen verstärkt die Ergebnisse. Deshalb erwies sich die Idee, die (unbekannte oder sehr komplizierte) Funktion auf Teilintervallen durch Polynome höchstens dritten Grades zu approximieren, als fruchtbar. Ein kubischer Spline mit den Stützstellen a = Xo < Xl < ... < Xn = bist eine zweimal stetig differenzierbare Funktion s : [a, b] -+ IR mit der Eigen-
2.1 Begriffe und Ergebnisse
199
schaft, dass die Einschränkung von 8 auf jedem Teilintervall [Xk-1, Xk] der Länge hk := Xk -Xk-1 ein Polynom höchstens dritten Grades ist. Diese n - in der Regel verschiedenen - Polynome höchstens dritten Grades sollen in den Punkten Xl, ... ,Xn -1 gut zusammen passen, so dass insgesamt eine zweimal stetig differenzierbare Funktion entsteht. Sind Yo, Y1, ... ,Yn die Werte einer Funktion f in Xo, Xl, ... ,Xn und ist 8 ein kubischer Spline mit der Eigenschaft 8(Xk) = Yk für alle k = 0,1, ... ,n, so hat 8 auf [Xk-1, Xk] die Gestalt
Dabei sind die
8~, ... ,8~
"h 2 "(h 8k-1 k + 8k k
eine Lösung des linearen Gleichungssystems
"h + h k+1 ) + 8k+! k+! =
6 (Yk+1 - Yk Yk - Yk-1 ) h h ' k+1 k k = 1,2, ... , n - 1 .
(*)
Die Bezeichnung erweist sich als sinnvoll, da 8" (Xk) = 8k für alle k = 0, ... ,n gilt. Das System (*), bestehend aus n + 1 Gleichungen mit n - 1 Unbekannten, ist (wegen seiner Gestalt) stets lösbar, und dabei sind zwei der Unbekannten 8~, 8~, ... ,8~ frei wählbar. Verlangt man z.B., dass die ersten Ableitungen von 8 mit den von f in a und b übereinstimmen, so müssen zusätzlich die Bedingungen "h 1
6 Y1 h- Yo + 2"h 81 1 = 1 " h n + 2 8n "h n -- 6 Yn-1h 8n-1
80
n
Yo, , Yn
+ Yn'
gelten; dabei bezeichnen Yb und y~ die Werte f'(xo) bzw. f'(x n ) . Das aus (*) und (**) gebildete System hat eine eindeutige Lösung (da die Koeffizientenmatrix der Unbekannten 8~, 8~, ... ,8~ invertierbar ist). Die Approximationstheorie ist ein - für die Anwendungen - wichtiges Kapitel aus der numerischen Mathematik; an dieser Stelle haben wir einen ersten Eindruck davon erhalten. 2.1.6 Integralrechnung (Aufgabe 27 bis 39)
Der Integralbegriff ist von zentraler Bedeutung in der Mathematik, nicht zuletzt wegen der zahlreichen Anwendungen auch in der Physik und Technik. Es gibt zwei verschiedene Zugänge zu diesem Thema. Daraus ergeben
200
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
sich sowohl für die theoretischen als auch für die anwendungsorientierten Ergebnisse viele Möglichkeiten, die zum Reichtum dieses Themas beitragen. Die Frage, welchen Zugang man wählen sollte, ist schwer zu beantworten. Einer (Stichwort: Stammfunktion) führt die Integration als inverse Operation zur Differenziation ein; deshalb kann man viele bekannte Ergebnisse aus der Differenzialrechnung sofort anwenden, und damit kommt man schnell zu Ergebnissen, ohne aber eine klare Vorstellung zu haben, was dies praktisch bedeutet und für welche Klasse von Funktionen Stammfunktionen existieren. Der andere Zugang (Stichwort: Treppenfunktionen) gibt vom Anfang an eine geometrische Motivation für die Einführung dieses Begriffes, allerdings muss man eine gewisse Durststrecke überstehen, bis man den Begriff richtig eingeführt hat und in der Lage ist, mit ihm etwas anzufangen! Dieser Zugang hat die Vorteile, dass diese Betrachtungen auf den höher dimensionalen Fall leicht übertragbar sind, eine Erweiterung (Stichwort: Lebesgue-Integral) erlaubt, die für anspruchsvolle theoretische Betrachtungen sinnvoll ist, hiermit Lösungen von Differenzialgleichungen berechnet werden können. Ich habe den Zugang über Treppenfunktionen gewählt. Eine Funktion rp heißt eine Treppenfunktion, wenn eine Kette aa ... < an und Zahlen Cl, C2, ... , Cn in IR existieren, so dass gilt
rp(x) = { 0
Ck
< a1
0 oder 9 < 0 auf 1), so ist (laut Quotientenregel für die Ableitung) feine Stammfunktion von
~. Für alle a, b aus I hat man also
f
b
a
f'g - fg' (x)dx = L g2 9
I
f(b) f(a) g(b) - g(a) .
b
a
(2.36)
Sind fund 9 außerdem strikt positiv auf I, so ist In feine Stammfunktion von ~ fg . Für alle a, b aus I gilt also
f
b
Ll b =1
f'9-f9'()d =1 fg x x n 9
a
n
f(b)g(a) f(a)g(b) .
(2.37)
a
Die Regel über die Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion und die Kettenregel haben als Folgerung die sog. Substitutionsregel: Seien I, J Intervalle aus IR, h : J --7 I eine bijektive und differenzierbare Funktion, Feine Stammfunktion von f : I --7 IR und a, ß beliebige Punkte aus J. Dann ist F 0 h eine Stammfunktion von (J 0 h) . h', und es gilt:
f
h(ß)
f
ß
f(x)dx =
h(a)
f
ß
(J
0
h)(t)h'(t)dt =
a
f(h(t))h'(t)dt .
(2.38)
a
Ist h- 1 auch differenzierbar (dafür genügt zu verlangen: h' stetig und h' nullstellenfrei auf J), so gilt für alle a, b aus I
f
b
a
f
h- 1 (b)
f(x)dx =
h- 1 (a)
(J 0 h)(t)h'(t)dt =
f
h- 1 (b)
f(h(t))h'(t)dt.
(2.38')
h- 1 (a)
Beim Integrieren muss man gelegentlich verschiedene Regeln nacheinander oder dieselbe Regel mehrmals anwenden. Unter Verwendung verschiedener Formeln und mit geschickten Umformungen kann man für Funktionen, die von einer natürlichen Zahl abhängig sind, oft eine Rekursionsformel aufstel-
2.1 Begriffe und Ergebnisse
207
len. Werden eine oder mehrere Substitutionen x = x(y), y = y(z), z = z(t), ... benutzt, so ist es meistens praktisch die Integrationsgrenzen zuerst zu vernachlässigen, und erst zum Schluß durch Rücksubstituieren das Ergebnis als Funktion von x darzustellen, und erst an dieser Stelle die Integrationsgrenzen zu berücksichtigen. Die folgenden Beispiele ergänzen und verdeutlichen das eben Gesagte. Für alle a, bE ]0, oo[ wird J:(2x+ 1) ln(x 2 +x)dx zunächst mit Hilfe der Substitution x 2 + x = y behandelt und dann wird eine Stammfunktion für In y mittels partieller Integration berechnet. Schließlich erhält man das Ergebnis mit der Rücksubstitution. j(2x+1)ln(x 2 +x)dX= jlnydy=yln y - j ylny - y = y(lny -1) = (x 2
+ x)[ln(x 2 + x)
y~dY=
- 1] =: F(x) ,
b
j (2x
+ 1) ln(x 2 + x)dx =
F(b) - F(a) .
a
Zum Berechnen von J: e~dx verwenden wir die Substitution {IX = t, und danach wird zweimal partiell integriert. Abschließend wird rücksubstituiert. j e ~ dx = j e t . 3t2 dt = 3 [t 2 et = 3t 2 et - 6te t
+ 6e t =
-
2 j tet dt ] = 3t 2 e t
-
6 ( tet - j e t dt )
3(?'x2 - 2ijX" + 2)e~ =: F(x) .
Das Integrationsergebnis lautet deshalb F(b) - F(a) . Die Integrale J: e ßx sin axdx und J: e ßx cos axdx werden mit Hilfe zweimaliger partieller Integration berechnet. So ergibt sich z.B. aus b
b
j e ßx sinaxdx =
_~eßx cosax la + ~ j
a
b
e ßx cosaxdx =
a
1
- ~eßx cos ax
Iab + ~ß
[1
~eßx sin ax
Iab - ~ß jb e ßx sin axdx ] a
(:2
e ßx sin ax -
das Ergebnis
~eßx cos ax )
I: -!: j a
e ßx sin axdx
208
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
(0: 2 ! ß2 eßx sin o:x -
J b
eßx sin o:xdx =
a
0: 2 :
ß2 eßx cos o:x )
I: .
J: cosn = J: cos
Wir bezeichnen für jede natürliche Zahl n ~ 1 das Integral
J:
=
mit Cn. Dann ist Cl
=
cosxdx
b+ sin2x) Ia4
sinb - sina , C2
2
x dx
xdx
=
l(b - a) + 1(sin2b - sin2a) . 2 4 Für n ~ 3 wird eine Rekursionsformel gesucht; dafür wird geschickt umgeformt und partiell integriert:
r b 1+cos2xdx -Ja 2
("'-2
J
J
b
Cn =
b
cos n xdx =
a
(1 - sin 2 x) cosn- 2 xdx
a
J b
= Cn - 2 -
sin x cos n- l
X
sin xdx
a
=Cn - 2-
[- n
~
I: + n ~ 1 Jcosn XdX] , b
1 cos n- l X sin x
a
C (1+ _1_) n-1
n
= Cn -
2
+
_1_ cos nn-1
n-1 n
C n = - - Cn -
2
l
xsinx
1 n- l + _(cos
n
Ib
,
a
bsinb - cos n- l asina) .
Für die meisten Funktionen kann man leider keine Stammfunktion tatsächlich bestimmen. In solchen Fällen bleibt nur die Möglichkeit die Funktion geschickt durch eine andere zu approximieren, von der man eine Stammfunktion kennt. (Darüber gibt es eine Fülle von interessanten und sehr nützlichen Ergebnissen.) Und dabei machen nicht nur komplizierte Funktionen (wie z.B. ln(x 2 + x 4 + sin( {Ix + ~)) + esinx ) Schwierigkeiten, sondern auch ziemlich einfache Funktionen, wie z.B. Funktion xl--t
{
vx + x+ 1 oder e3
sinx x 1
, falls x
x2
oder auch die stetige
=I 0
, falls x = 0
Für jede rationale Funktion kann - wenigstens theoretisch! - eine Stammfunktion gefunden werden, obwohl manchmal umfangreiche Rechnungen notwendig sind. Dazu spielt der Fundamentalsatz der Algebra eine entscheidende Rolle. Ist f eine beliebige rationale Funktion, so wird zunächst eine Poly-
2.1 Begriffe und Ergebnisse
209
f in der Gestalt
nomdivision durchgeführt, also Zähler durch Nenner, um f = S + darzustellen, wobei gilt:
G
~ ~ ~
~
S, P, Q sind Polynome, Der Grad von Q ist größer als der Grad von P , P und Q haben keinen gemeinsamen Faktor vom Grad 2:: 1 , Q(x) = (x - a1)m t ... (x - ar )m r (x 2 + b1x + C1)n t ••• (x 2 + bsx + cs)n. ,
wobei die reellen Zahlen a1, ... ,ar und die Paare reeller Zahlen (bI, cd, ... , (b s , cs) paarweise verschieden sind und 4C1 - bi =: k 1 > 0, ... , 4c s - b; =: k s > 0 gilt. Hier liegt die technische Schwierigkeit; man kann im Allgemeinen a1, . .. ,ar, (bI, cd, ... , (b s , cs) nicht genau bestimmen. (Wenn Sie sich ärgern wollen, versuchen Sie eine Produkt darstellung von p(x) := (x 2 + x + 1)(x 2 + X + 2)(x 2 + X + 3) + 1 mit Faktoren vom Grad höchstens 2 zu finden!) Mit Hilfe der Ergebnisse über lineare Gleichungssysteme kann man zeigen, dass eindeutig bestimmte reelle Zahlen All, ... ,Almt' ... ,Ar1 , ... ,Arm. und eindeutig bestimmte Paare reeller Zahlen (Bll , Cl l ), ... , (B1nt,C1nt),···, (B s1 ,Csd, ... , (B sn ., CsnJ existieren, so dass für alle x E IR\{a1"'" ar } gilt: r mi A () P X '"' '"' ij Q(x) = ~ ~ (x - ai)j ,=1)=1
Eine Stammfunktion für
(x!a)'
C Bkl X + kl + k=ll=l ~ ~ (x 2 + bkx + Ck)l . s
nk
(2.39)
'"' '"'
ist In Ix -
al
falls i = 1 und -
falls i 2:: 2. Die Funktion xf;i!x~c lässt sich, falls c - ~
+ bx + c) + 2CÜbB arctan( x~~) Bx+C . d a b e1. wur d e Vc-b2 . h ne t . x2+bx+c' c - "4 m1't u1: b ezelC
Deshalb ist llln(x 2
(i-1)(La)'
> 0 gilt, schreiben als
eine Stammfunktion von
Für die Berechnung einer Stammfunktion von (x2!~t-fc)n mit k := 4c- b2 benutzt man die Formeln
f f
ß
dx 2x + b Iß 1 2 2 (x + bx + c)n+ = kn(x + bx + c)n Cl:
+
Cl:
ß
2(2n - 1) kn
f f ß
(x 2
>0
dx
+ bx + c)n '
Cl:
xdx (x 2 + bx + c)n+1
=
bx + 2c Iß kn(x 2 + bx + c)n Cl:
(2n - 1)b kn
ß
Cl:
(x 2
dx
+ bx + c)n
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
210
welche durch partielle Integration gewonnen werden. Bis auf die Berechnung der Zerlegung des Nenners in Faktoren ersten und zweiten Grades ist das Integrieren einer rationalen Funktion durchführbar, wenn auch mühsam; deshalb versucht man Integrale komplizierter Funktionen (falls uns sonst nichts gelingt) durch geeignete Substitutionen in Integrale rationaler Funktionen zu transformieren. Kurz gesagt: Man versucht zu rationalisieren! Es werden nun einige Klassen von Funktionen angegeben, für welche dieser Weg erfolgreich ist. Eine rationale Funktion in sin x und cos x kann integriert werden, indem man die Substitution t = tan ~ benutzt; unter Berücksichtigung von x(t) = 2 1_t 2 und' 2t h a t man eme . rat'102 arc t an t ,x'(t) = 1+t2 sm x = 1+t2 , cos x = 1+t2 nale Funktion in t zu integrieren. Manchmal kann man bereits mit der Substitution tan x = u schneller zum Ziel kommen; die Berechnung ist in diesem Fall leichter, weil der Grad des Nenners in u kleiner als der Grad des Nenners in t 2 .t S ' d J.ß cos 4sin x+2x+1 dx wegen u '( x ) = cos2 1 x = l+t an 2 x = 1+ u 2 1S. 0 Z.B . W1r x+sin4 2 2 . r tan ß u +2{1+u ) d C m Jtan 1+u4+{1+u2)2 U umgelormt. Q
Q
Das Integral einer rationalen Funktion in x und f;/ ax + b wird durch die Substitution t = f;/ ax + b in das Integral einer rationalen Funktion in t transformiert. Allgemeiner: Für eine rationale Funktion in x, kVax + b, ... , kf/ax + b betrachtet man das kleinste gemeinsame Vielfache k von k1 , ••• ,ks ; f;/ ax + b wird durch t substituiert. Dann wird Vax + b durch t ni mit ni . k i = k ersetzt und anstelle von dx wird ~tk-1dt geschrieben. Auch rationale Funktionen in x und vax 2 + bx + c, a -:j:. 0 und b2 -:j:. 4ac (falls b2 = 4ac gilt, so muss a positiv sein, und es gilt vax 2 + bx + c =
Va Ix + Ja I)
können rationalisiert werden. Seien
Cl:
< ß die
Integrations-
grenzen. Die folgende Fallunterscheidung ist notwendig:
1)
b2 - 4ac > O. Seien Xl < X2 die reellen Nullstellen von ax 2 + bx + c . i) Falls a > 0 und X2 < Cl: gelten, so führen die Substitution t = Ja X-X2 und die Rücksubstitution x = XI t 2-aX2 zum Ziel' X-Xl
vax 2 + bx
+ c wird durch
t2- a '
x dt und dx durch 2a{x2- x I)t dt era{x2t 2 -a {t 2 _a)2
- X2 . setzt. Die neuen Integrationsgrenzen sind Ja Q-X2 und J a ßß -Xl Q-Xl
2.1 Begriffe und Ergebnisse ii)
Falls a
>
0 und ß
211
0 (sonst gilt ax 2 + bx + c < 0 für alle x). Diesmal führt die Substitution t = vax 2 + bx + c + Va x zum Ziel. x, vax 2 + bx + c und dx werden durch 2~~~b ' fot2i~tcfo
iii)
2)
bzw. 2~~21atb!t)22cfo dt ersetzt; die neuen Integrationsgrenzen sind dann
vaa 2 + ba + c + Va a und vaß2
+ bß + c + Va ß .
Wir erwähnen noch eine Klasse von Funktionen, die sich rationalisieren lassen: Die rationalen Funktionen in x, vax + b , vcx + d. (Dabei müssen die Integrationsgrenzen a < ß in einem Intervall liegen, in welchem ax + bund cx+d positiv sind.) Setzt man t = vcx + d, so folgt x = ~(t2 -d), dx = %tdt und vax in t und
+ b = V%(t2 - d) + b. Damit gewinnt man eine rationale Funktion J %t 2 + bc--;,ad, die sich (wie gerade gesehen) rationalisieren lässt.
Eine erste Anwendung der Integralrechnung haben wir schon kennengelernt: Sind fund 9 zwei integrierbare Funktionen auf [a, b] mit der Eigenschaft
:s
f(x) g(x) für alle x aus [a,b], so ist J:(g(x) - f(x))dx der Flächeninhalt zwischen den Graphen von fund 9 (der als ein Grenzprozess von Flächen, die Vereinigungen von Rechtecken innerhalb dieser Fläche sind, definiert werden kann). Nun eine weitere Anwendung: Ist diese Fläche mit einer konstanten Massendichte versehen, so hat der Schwerpunkt S der Fläche (der auch als der Grenzpunkt der Schwerpunkte der Flächen, die Vereinigungen von darin enthaltenen Rechtecken sind, definiert werden kann) die Koordinaten
J J b
(g(x) - f(x))xdx
Xs =
a
b
(g(x) - f(x))dx
a
J J b
(g2(X) - f2(X))dx
1 a Ys = -. 2 b
(2.40)
(g(x) - f(x))dx
a
Wenn die Massendichte nicht konstant ist, wird der Schwerpunkt mit komplizierten Formeln berechnet, die wir später kennenlernen werden.
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
212
2.1. 7 Uneigentliche Integrale (Aufgabe 40 bis 43)
Bis jetzt haben wir auf kompakten (also beschränkten und abgeschlossenen) Intervallen Integrale von Funktionen behandelt; die integrierbaren Funktionen haben sich als beschränkt erwiesen, da sie Grenzwerte von gleichmäßig konvergierenden Folgen von Treppenfunktionen sind. Verzichtet man auf die Kompaktheit der Intervalle, so kann man diesen Begriff auf gewisse Funktionen erweitern, die auf offenen oder halboffenen (aber beschränkten) Intervallen oder auf unbeschränkten Intervallen definiert sind. Damit für beschränkte Intervalle etwas Neues untersucht wird, muss man unbeschränkte Funktionen betrachten. Die Strategie ist in bei den Fällen dieselbe: Man führt ein Grenzprozess durch! Ist die Funktion I : [a,oo[-+ IR integrierbar über jedes abgeschlossene Intervall [a, b] und existiert lim
t I(x)dx in IR, so heißt I uneigentlich inte-
b->oo a
grierbar von abis 00, und dieser Grenzwert, der mit Jaoo I(x)dx bezeichnet wird, heißt das uneigentliche Integral von I von abis 00. Analog definiert man das uneigentliche Integral von -00 bis a für Funktionen, die auf ] - 00, a] definiert sind. Ist I : IR -+ IR für ein a aus IR sowohl von abis 00 als auch von -00 bis a uneigentlich integrierbar, so ist I für jedes b E IR von b bis 00 und von -00 bis b uneigentlich integrierbar, und es gilt:
f
b
f
I(x)dx
+
I(x)dx =
b
-00
f
a
00
f
00
I(x)dx
-00
+
I(x)dx .
a
Diese Zahl heißt das uneigentliche Integral von
I
und wird mit J~00 I(x)dx bezeichnet. Also: J~00 I(x)dx
von
=
-00
lim
a--+-oo b--+oo
bis
00,
t I(x)dx. a
Wichtig ist dabei, dass a gegen -00 und b gegen 00 unabhängig voneinander konvergieren. Die Existenz des sog. Cauchyschen Hauptwertes von I
f
C
-00
f
b
00
I(x)dx:= lim
b->oo
I(x)dx
(2.41)
-b
bedeutet bei weitem nicht, dass auch J~oo I(x)dx existiert. So ist für jede ungerade, stetige Funktion I auf IR das Integral J~b I(x)dx gleich Null für alle b> 0, und damit gilt C J~oo I(x)dx = 0, aber J~oo I(x)dx braucht nicht zu existieren; Beispiel: die Sinusfunktion oder jedes Polynom, das nur ungerade Potenzen von x enthält (z.B. x + 2x 3 - 5x 5 ). I heißt absolut uneigentlich integrierbar, wenn III uneigentlich integrierbar ist. Einige Beispiele:
2.1 Begriffe und Ergebnisse
J J J
J
213
J+ J
a
00
e-XdX =
e- a ,
a
00
eXdx =
ea ,
a
-00
a
_ l _ dx = ~ - arctana 1 x2 2 '
00
1 l+x
- - - 2 dx
= arctan a + -27f
1 dx -1-+x 2
'
= 7f ,
-00
-00 00
xne-xdx = [an
+ nan - I + n(n -
1)a n - 2
+ ... + n(n - 1) ... 2a + n!]e- a
.
a
Die Funktion wenn a
< -1
X
U
.
ist uneigentlich integrierbar von a .
gIlt; dann gIlt:
J:OO a
xUdx = -
.,+1
~+I
> 0 bis
00
genau dann,
.
Sei I stetig oder monoton auf [a, 00[. Ist I uneigentlich integrierbar von abis 00, so gilt lim I(x) = O. Insbesondere sind sin und cos nicht uneigentlich x-too
integrierbar. Allerdings - wie X U mit -1 ~ a < 0 zeigt - ist die Bedingung lim I(x) = 0 nicht hinreichend für die uneigentliche Integrierbarkeit von I x-too
von abis 00 . Das Majorantenkriterium (für uneigentliche Integrale) besagt, dass aus 1I1 ~ g auf [a, oo[ und der uneigentlichen Integrierbarkeit von g von abis 00 die uneigentliche Integrierbarkeit von I folgt. Insbesondere ist I uneigentlich integrierbar von abis 00, falls I absolut uneigentlich integrierbar von abis 00 ist. Entsprechende Ergebnisse können für uneigentliche Integrale von -00 bis a bzw. von -00 bis 00 formuliert und bewiesen werden. Die negative Form des obigen Kriteriums ist das Minorantenkriterium (für uneigentliche Integrale): Die Funktionen I, g : [a,oo[-+ IR seien für jedes b > a über [a, b] integrierbar und es gelte 0 ~ g(x) ~ I(x) für alle x 2: a. Falls g nicht uneigentlich integrierbar von abis 00 ist, ist es I auch nicht. Da das Verhalten von X U bzgl. uneigentlicher Integrierbarkeit bekannt ist, wird diese Funktion (evtl. multipliziert mit einer positiven Konstante) als Testfunktion genommen, und zwar mit a < -1 für das Majorantenkriterium und mit a 2: 1 für das Minorantenkriterium. Mit Hilfe der uneigentlichen Integrale kann man ein nützliches Konvergenzkriterium für (nummerische) Reihen angeben. Das Integralkriterium für Reihen lautet: Sei I : [a,oo[-+ [O,oo[ eine monoton fallende Funktion und no 2: a eine natürliche Zahl. Die Reihe L:::'=no I(n) ist genau dann konvergent, wenn I von abis 00 uneigentlich integrierbar ist. Außerdem gilt für jede natürliche Zahl m 2: no :
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
214
J
00
L
00
f(n) 2:
n=m
00
f(x)dx 2:
f(n) 2:
n=m+1
m
J 00
L
f(x)dx.
m+1
Als Folgerung erhält man die Konvergenz von L:~=1 n1a für 0: > 1 und nur dafür. Ebenfalls nur für 0: > 1 konvergieren die Reihen L:~=2 n(1n1n)a ,
L:~=3 ee
n In n(I~(1n n))a
< 16.)
Sei nun
und L:~=16
(Beachten Sie: 15
0,
o
1
1- x 2
a
=
~2
arcsina
für
~
für
b
-1
1- x 2
Jh dX
= arcsinb +
2
a
E ]-1, 1[,
bE ]-1, 1[,
1
-1
1- x 2
=7r.
Für b > a ist (x - a)Ct integrierbar von abis b genau dann, wenn man hat in diesem Fall
0:
> -1 gilt;
2.1 Begriffe und Ergebnisse
215
a
Wir formulieren nun das Majoranten- und das Minorantenkriterium für Funktionen I, g : Ja, b[-+ IR. Analoge Ergebnisse können für auf [a, b[ und Ja, b[ definierte Funktionen angegeben werden. Gilt III :S g auf Ja, bJ und ist guneigentlich integrierbar von abis b, so auch I. Gilt :S g :S I auf Ja, bJ und ist g nicht uneigentlich integrierbar von abis b, so ist auch I nicht uneigentlich integrierbar von abis b. Die Testfunktion g ist in der Regel C(x - a)G: mit a > -1 für das Majorantenkriterium bzw. a :S -1 für das Minorantenkriterium; in beiden Fällen ist C reell positiv. Diese zwei Arten von uneigentlichen Integralen (d.h. für unbeschränkte Funktionen auf beschränkten, aber nicht abgeschlossenen Intervallen und für Funktionen auf unbeschränkten Intervallen) können gleichzeitig auftreten für eine
°
Funktion I : Ja,oo[-+ IR; es wird untersucht, ob c--+a+ lim Dafür wählt man ein d
J:
Jt'
>
t I(x)dx existiert. C
b-+oo
a und prüft, ob die beiden uneigentlichen Inte-
grale I(x)dx und I(x)dx existieren. Ein interessantes Beispiel dazu: Für jedes t > ist die Funktion JO, 00[-+ IR, x I-t x t - 1 e- x uneigentlich integrierbar sowohl auf [0,1], da darauf < x t - 1e- x < x t - 1 gilt und Jo1 x t - 1dx
°
°
existiert, als auch auf [1,00[, da für jedes nEIN mit t :S n die Ungleichung auf [1,00[ gilt und JtO xne-xdx existiert. Deshalb wird durch die Zuordnung t I-t Jooo x t - 1e- xdx eine Funktion r : JO, 00[-+ IR
°< x t- 1e- x :S xne- x
definiert, welche die Gamma-Funktion heißt. Sie kommt in der Mathematik häufig vor. Bemerkenswert ist die folgende Funktionalgleichung der Gamma-Funktion:
r(t + 1) = tr(t)
für alle
t>
°.
(2.42)
Insbesondere gilt für jede natürliche Zahl n die Gleichung r(n + 1) = n! Am Ende von Abschnitt 3.1.5 zeigen wir, dass Jooo e- x2 dx = gilt. Mit der Substitution t = x 2 folgt r( ~) = Jooo r ~ e-tdt = 2 Jooo e- x2 dx = .j7r. Daraus
:!f
und aus (2.42) erhalten wir r( 2ni1) = 1.3.5 ..~~2n-1).j7r. Wir werden später weitere Eigenschaften dieser Funktion kennenlernen. 2.1.8 Quadraturformeln (Aufgabe 44 und 45)
J:
Die Grundidee für die Approximation von I(x)dx fußt auf der geometrischen Bedeutung dieser Zahl: der Flächeninhalt des Gebietes zwischen dem
216
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
Graphen von f und der x-Achse, falls f nur nichtnegative Werte hat, was man immer durch die Addition einer Konstante erreichen kann, da f beschränkt auf [a, b] ist. Deshalb wird eine möglichst feine Zerlegung a = Xo < Xl < ... < Xn = b betrachtet, die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse über jedem der Teilintervalle [Xk-l, Xk] durch jeweils eine Fläche approximiert, deren Inhalt leicht zu berechnen ist, die Summe über diese n approximierenden Flächeninhalte gebildet.
-+ -+ -+
f:
Von der einsichtigen Idee geleitet, dass das Verhalten von
f in jedem Teil-
intervall von [a, b] für die Berechnung von f(x)dx dieselbe Rolle spielt, werden gleichlange Teilintervalle [Xk-l, Xk] betrachtet. Der zweite Grund für diese Wahl der Zerlegung ist rein technischer Art; die Rechnungen werden vom Anfang an vereinfacht. Je nachdem wie für fXk Xk-l f(x)dx eine Näherung
f:
berechnet wird, bekommt man eine Berechnungsformel für f(x)dx; solche Formeln heißen Quadraturformeln. Inzwischen gibt es viele SoftwareProgramme für die nummerische Berechnung von Integralen und für die Abschätzung der Näherungsfehler, die auf solchen Formeln beruhen. Es ist wichtig, zu wissen, welches Programm wir für eine konkrete Aufgabe benutzen sollen und dürfen. Das Integral der Funktion f über [a, b] soll abgeschätzt werden. Sei n ~ 1 eine natürliche Zahl, h := b~a und Xk = a + hk, k = 0, 1, ... ,n. Die einfachste k f(x)dx ist der Flächeninhalt des Rechtecks mit der Basis Näherung für
r
Xk-l
und der Höhe f(Xk-~+Xk) = f(a+ die Mittelpunktsformel [Xk-l, Xk]
Jf(x)dx~hLJ b
n
a
2k:;1
n
h). Dadurch bekommt man
(a+ 2k ; l h ) =hLf
k=l
k=l
(X k- 12+x k )
Ist f zweimal stetig differenzierbar auf Ja, b[, so gibt es ein Eigenschaft
'""' ( + 1) +
J
n
b
f(x)dx = h ~/
a
f:
Ib-a)3
2k -2-h
(b - a)3 24n 2 1"(~).
Ja, b[ mit
der
(2.43')
-
Ist sogar man
a
~ E
(2.43)
11"1
~
M 2 auf
Ja, b[,
so ist der Fehler, den man begeht, wenn
f(x)dx mit dieser Mittelpunktsformel berechnet, nicht größer als
~M2.
2.1 Begriffe und Ergebnisse
J:
Nimmt man für
217
f(x)dx den Wert ~(f(xk-d+ f(Xk)) des Flächeninhalts
k k_ 1
des Trapezes mit der Höhe h und der Basis f(Xk-l) und f(Xk), so bekommt als Quadraturformel die Sehnen-Trapezformel
J b
n
1
f(x)dx = h (f(a) + 2 ~ f(a + kh) + f(b) )
a
= h (f(a)
(2.44)
+ 2 ~ f(Xk) + f(b) ) .
Unter denselben Voraussetzungen wie im obigen Fall gilt für ein geeignetes 7] E Ja, b[
J b
f(x)dx = h
(
f(a) + 2
t; f(a +
n-l
a
kh) + f(b)
)
-
(b
l;n~
)3
1"(7]),
(2.44')
-
und der entsprechende Fehler ist höchstens (~;~r M 2 . Wird nun anstelle der Einschränkung von f auf [Xk-l, XkJ das Interpolationspolynom zweiten Grades für die Knoten Xk-l, ~ (Xk-l + Xk) und Xk sowie für die Werte f(Xk-l), f(~(Xk-l +Xk)) und f(Xk) gewählt, so erhält man die sog. Simpson-Formel (oder auch die Keplersche Faßregel)
J
J(x)dx'"
~ (J(a) +4 EJ (a+ 2k; 1 h )
a
+2 =
~
I:
f(a + kh) + f(b) )
k=l
(f(a) + 4
~f
(2.45)
( Xk-1 2+ Xk ) + 2
~ f(Xk) + f(b) )
Ist f viermal stetig differenzierbar auf Ja, b[, so gibt es ein ( E Ja, b[, so dass gilt:
J b
~
f(x)dx =
t; f ( Xk-12+ Xk ) n
(f(a)
+4
a
(2.45')
-
+2
L
n-l
f(Xk)
+ f(b)
)
( b-a) 5
- 2880n 2 f
(4)
(().
k=l
Ist außerdem If(4) 1
::;
M 4 auf Ja, b[, so ist der Fehler, den man begeht,
218 wenn man für 2 L~;;;;i f(a
f:
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
f(x)dx mit dem Wert ~(f(a)
+ kh) + f(b))
arbeitet, höchstens
+ 4 L~=l f(a + 2k:;1 h) +
~~;;l~ M 4
•
2.1.9 Gewöhnliche Differenzialgleichungen (Aufgabe 46 bis 58)
Die Untersuchungen verschiedener physikalischer, biologischer, chemischer, wirtschaftlicher, demographischer u.v.a. Phänomene und das Erfordernis, sie quantitativ zu beschreiben, führen häufig zu Gleichungen, in welchen neben der gesuchten FUnktion auch deren Ableitungen vorkommen. Eine solche Gleichung heißt Differenzialgleichung. Ist die FUnktion nur von einer Variablen abhängig, so heißt die Differenzialgleichung gewöhnlich; sonst - d.h. wenn die FUnktion von mehreren Variablen abhängt - heißt sie partiell. Einige Beispiele von Differenzialgleichungen:
--+
--+
--+
Beim freien, reibungslosen Fall bewegt sich ein Körper aufgrund der Erdanziehungskraft mit konstanter Beschleunigung 9 >:;j 9, 81mj 8 2 . Bezeichnet man mit 8(t) die Fallstrecke zum Zeitpunkt t, so liefert die Differenzialgleichung s(t) = 9 durch zweimaliges Integrieren 8(t) = ~gt2 +at+b, wobei die Konstanten a und b ermittelt werden können, wenn man weitere Informationen über den Vorgang hat. Wenn man z.B. weiß, dass zum Zeitpunkt t = 0 der Körper im Nullpunkt der Messskala liegt und die Geschwindigkeit für t = 0 ebenfalls den Wert Null hat, so ist 8(t) = ~gt2 die Lösung; die Konstanten haben also beide den Wert O. Die beiden Bedingungen 8(0) = 8(0) = 0 nennt man Anfangsbedingungen. Wird ein Körper mit der Anfangsgeschwindigkeit Vo senkrecht nach oben geworfen, so ist es naheliegend, die Höhe in Abhängigkeit von der Zeit, h(t), zu untersuchen und für die Höhe eine Messskala zu wählen, die die umgekehrte Richtung wie die Erdbeschleunigung hat. Deshalb kommt man zu der Differenzialgleichung h(t) = -go Hier sind die Anfangsbedingungen h(O) = 0, h(O) = Vo. Die Lösung lautet h(t) = vot - ~gt2 . Die Stromstärke I(t) zum Zeitpunkt t in einem RL-Stromkreis erfüllt die Differenzialgleichung
LI' (t)
--+
+ RI(t)
= U(t) ,
wobei L die Induktivität, R den Ohmschen Widerstand und U(t) die Spannung zum Zeitpunkt t bezeichnet. Die einfachste Form, in der Wachstumsprozesse beschrieben werden, ist die Gleichung j(t) = af(t); das ist so zu interpretieren: Ist f(t) die Mengenangabe für ein sich vergrößerndes System, so geht man davon aus, dass die Wachstumsrate, j(t), zu jedem Zeitpunkt proportional zur jeweiligen Menge ist. Sind zusätzlich abschwächende Einflüsse
2.1 Begriffe und Ergebnisse
--7
--7
--7
zu berücksichtigen - z.B. wegen räumlicher Begrenztheit, gegenseitiger Zerstörung o.ä. - so kann man Korrekturglieder anbringen, um die Realität besser zu beschreiben und kommt z.B. zu einer Gleichung der Gestalt jet) = af(t) - bj2(t) mit a > 0, b> 0 . Die Lage eines freihängenden, homogenen, biegsamen Seils mit q als Eigengewicht pro Längeeinheit, das unter konstanter, waagerechter Spannungskraft H steht, erfüllt in einem kartesischen Koordinatensystem (in welchem die Achse y gegen Mittelpunkt der Erde gewichtet ist) die Differenzialgleichung y"(x) = -'kv1 + Y'(X)2 . Alle parametrisierten Kurven x I-t (x, y (x)), die eine Funktion ,." als Krümmung haben, genügen der Differenzialgleichung y" (x) ,.,,(x) (1 + Y'(X)2)3/2 . Sucht man eine Kurve x I-t y(x), so dass eine Lichtquelle im Ursprung parallele Strahlen in Richtung der positiven x-Achse reflektiert, so erhält man mit einer geometrischen Überlegung die Differenzialgleichungy'= ~. 2 x+
--7 --7
219
x +y2
Auch die "optimale" Gestalt von Werkzeugen und von aerodynamischen Profilen können mittels Differenzialgleichungen untersucht werden. Die Berechnung des "fairen" Preises einer Option an der Börse führt zu einer Differenzialgleichung. (Solche Forschungsergebnisse wurden mit einem Nobel-Preis belohnt!)
Die Ordnung einer Differenzialgleichung ist die Ordnung der höchsten Ableitung, die in der Gleichung auftritt. In den obigen Beispielen haben wir Differenzialgleichungen erster und zweiter Ordnung kennengelernt. Eine Differenzialgleichung n-ter Ordnung kann in expliziter Form
y(n) = f(x,y,y', ... ,y(n-l))
(2.46)
(man schreibt auch y(n) (x) = fex, y(x), y' (x), ... , y(n-l) (x))) oder in impliziter Form F(x,y(x),y'(x), ... ,y(n-l)(x),y(n)(x)) = 0 angegeben werden. Eine Lösung einer Differenzialgleichung n-ter Ordnung
F(x, y, y', ... , y(n-l), y(n)) = 0
(2.46')
auf einem Intervall I ist eine Funktion f : I --7 IR, die auf I n-mal differenzierbar ist und so dass für jedes x E I der Punkt (x,y(x), ... ,y(n)(x)) im Definitionsbereich von F liegt und F(x,y(x), ... , y(n) (x)) = 0 gilt. Dabei muss I nicht offen sein. Wenn Randpunkte dazugehören, wird die Ableitung im Sinne einseitiger Differenziation verstanden. Es wird aber vorausgesetzt, dass I nichttrivial ist, d.h. aus mehr als einem Punkt besteht. Allgemeiner versteht man unter einer Lösung eine Funktion auf einer Menge D, die sich als höchstens abzählbarer Vereinigung von Intervallen darstellen lässt, wobei die Einschränkung auf jedes dieser Intervalle eine Lösung im obigen Sinn ist. Die
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
220
allgemeine Lösung einer Differenzialgleichung ist die Menge aller Lösungen. Oft wird damit auch eine Gleichung der Gestalt G(x, I(x), Cl, ... , Cn ) = 0 bezeichnet (wobei Cl, ... , Cn Parameter in eventuell eingeschränkten Bereichen sind), wenn jede Lösung diese Gleichung für jeweils ein festes Parametertupel (Cl, ... , cn ) erfüllt, und wenn umgekehrt jede n-mal differenzierbare Funktion, die für zulässige Parametertupel diese Gleichung erfüllt, gleichzeitig Lösung der Differenzialgleichung ist. Als Anfangswertproblem (kurz: AWP) wird die Aufgabe bezeichnet, Lösungen einer Differenzialgleichung zu finden, für die der Funktionswert und der Wert der Ableitungen in einem festen Punkt - die Anfangswertbedingungen - vorgegeben sind. Von einem Randwertproblem spricht man, wenn Lösungen einer Differenzialgleichung in einem Intervall [a, b) gesucht sind, die zusätzliche Randbedingungen erfüllen, d.h. Beziehungen, die die Funktionswerte und Werte der Ableitungen in den Punkten a und b betreffen. Konkrete Fragen können auch zu Systemen von Differenzialgleichungen führen. Die explizite Gestalt eines Differenzialgleichungssystems erster Ordnung mit n unbekannten Funktionen, die alle auf einem Intervall J aus IR definiert sind, wird durch y~(x)
=h(X,YI(X), ... ,Yn(x)),
y~(x)
=h(X,YI(X), ... ,Yn(x)),
(2.47)
gegeben. (Kurz geschrieben: y = f(x,y(x)).) Eine Lösung y : I -+ IRn auf einem Intervall I c J ist ein n- 'lUpel von n differenzierbaren Funktionen YI, Y2,···, Yn mit den Eigenschaften -+ die h, ... , In sind definiert auf {(x, YI (x), ... , Yn(X)) I x EI}, -+ yj(x) = 1i(x, YI (x), ... , Yn(x)) für alle x E I und j = 1, ... , n . Für das AWP, bestehend aus (2.47) und aus der Anfangswertbedingung
YI(XO) = YI,O,··· ,Yn(XO) = Yn,O ,
(2.48)
zitieren wir den folgenden wichtigen Existenz- und Eindeutigkeitssatz für Differenzialgleichungssysteme: Seien a, b, L und M positive Zahlen und K := { ( ; ) E IR n+! IIX - xol :::; a, IYj - Yj,ol :::; b Vj = 1, ... , n } . Mit C bezeichnet man min( a, t). Sind h,···, In stetig auf K, ist Meine gemeinsame obere Schranke für alle Ihl, ... ,l/nl auf K (d.h. I/j(x,y)1 < M Vj = 1, ... ,n) und erfüllen alle 1i die Lipschitz-Bedingung bzgl. y
2.1 Begriffe und Ergebnisse
221
so gibt es genau eine Lösung y : [xo der Anfangsbedingung (2.48) genügt.
C,
Xo
+ c] -+
IR n von (2.47), welche
Sei y(n) = l(x, y, yl, ... , y(n-2), y(n-l)) eine gewöhnliche Differenzialgleichung n-ter Ordnung; setzt man yt(x) := y(x), Y2(X) := yl(X), ... ,Yn-l (x) := y(n-2)(x) , Yn(x) := y(n-l)(x), so erhält man das Differenzialgleichungssystem y~ (x) = Y2(X) , y~(x) = Y3(X), ... , y~-l (x) = Yn(x) , y~(x) = l(x,Yl(x), ... ,Yn(x)) . Zwischen den Anfangsbedingungen der gegebenen Differenzialgleichung und denen des gewonnenen Differenzialgleichungssystems besteht eine bijektive Beziehung. Ist (Yl, ... ,Yn) Lösung des Differenzialgleichungssystems oder eines AWP für dieses System, so ist Yl Lösung der ursprünglichen Differenzialgleichung bzw. des zugeordneten AWP für diese Differenzialgleichung. Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz für Differenzialgleichungssysteme hat als Folgerung den folgenden Existenz- und Eindeutigkeitssatz für gewöhnliche Differenzialgleichungen: Seien a, b, L und M positive reelle Zahlen und K := { ( ; ) E IRn+l Ilx - xol
~ a,
IYj - Yj,ol
~ b Vj = 1, ... , n } .
t).
Sei c := min(a, Ist 1 stetig auf K, M eine obere Schranke für 111 auf K und erfüllt 1 die Lipschitz-Bedingung
so gibt es genau eine Lösung Y : [XO - C,Xo + c] -+ IR des AWP y(n)(x) = l(x, y(x), y l (x), ... ,y(n-l) (x) y(xo) = Yl,O yl(xo) = Y2,O,···, y(n-l) (xo) = Yn,O . Dass die Lipschitz-Bedingung eine wesentliche Voraussetzung dieses Satzes ist, wird uns an folgendem Beispiel klar. Für das AWP
yl(x)
= 2Jy(x)
,
Y(O)
=
°
(2.49)
°
sind - bis auf die Lipschitz-Bedingung in Y - alle Voraussetzungen aus dem obigen Satz erfüllt. Für kein d> kann es eine Konstante L mit der Eigenschaft 12JY - 2v'z1 ~ Lly - zl für alle y, z E [0, d] geben, da die äquivalente Ungleichung 2 ~ LIJY + v'zl für alle Y und z aus ]0, min(:rb, d)] nicht erfüllt ist. Jede Funktion der Gestalt
l(x) := {
-(x -
°
0:)2
(x - ß)2
für x
< 0: ,
füro:~x~ß,
fürß<x
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
222
bei beliebigen 0:, ß E IR mit 0: ~ ß ist Lösung der Differenzialgleichung in (2.49). Die Anfangsbedingung y(O) = 0 ist immer dann erfüllt, wenn 0: ~ 0 ~ ß gilt. D.h. es gibt unendlich viele Lösungen des AWP(2.49). Das liegt daran, dass die Lipschitz-Bedingung in y = 0 nicht erfüllt ist. Die einfachsten Differenzialgleichungen erster und zweiter Ordnung können in verschiedene Klassen eingeteilt werden; wir geben dazu einige Beispiele und jeweils den Lösungsweg an. Die Differenzialgleichung 1. Ordnung mit getrennten Veränderlichen hat die Gestalt
y'
= g(x)h(y)
oder
y'(x)
= g(x)h(y(x))
,
wobei 9 und h stetige Funktionen auf den Intervallen I bzw. J sind. Ist (xo, Yo) ein Punkt aus I x J, so genügt die Lösung des AWP y' =g(x)h(y) , y(xo) =Yo, der Gleichung
Jh~:) J Y
x
Yo
(2.50)
g(t)dt .
=
Xo
Es gelingt nicht immer (eher selten!), y daraus zu explizitieren. Ist 9 konstant, so spricht man von einer autonomen Gleichung. Ein Beispiel dazu: Aus zwei Stoffen A und B, die in einem Verhältnis 0: : ß stehen, entsteht durch eine chemische Reaktion ein Stoff y. (Also: Für 1 Gramm von y benötigt man 0: Gramm von A und ß Gramm von B.) Die Reaktionsgeschwindigkeit iJ sei proportional zu den noch vorhandenen Massen beider Stoffe. Die autonome Differenzialgleichung iJ = A(A - o:y)(B - ßy) beschreibt dieses Verfahren. (A ge negative reelle Zahl.)
< 0 ist eine von der Natur der Stoffe abhängi-
Eine Differenzialgleichung vom Typ y' = f(ax + by + c) mit a, b, c aus IR lässt sich in eine Differenzialgleichung mit getrennten Veränderlichen z'(x) = a + bf(z(x)) umformen, indem man die Substitution z(x) = ax + by(x) + c durchführt. Auch eine Differenzialgleichung vom Typ y' =
z(x) =
f(~)
kann man mittels
1LiF in eine Differenzialgleichung mit getrennten Variablen, nämlich in
2-
z'(x) = !(z( xl z (x l äquivalent umformen. (In der Literatur wird in diesem Fall oft von einer homogenen Differenzialgleichung gesprochen; in Hinblick auf den nächsten Typ von Differenzialgleichungen ist hier Vorsicht geboten.) Die homogene lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung
2.1 Begriffe und Ergebnisse
223
y'(x)
+ p(x)y(x)
= 0,
wobei p eine auf einem Intervall I stetige Funktion ist, hat ebenfalls getrennte Veränderliche. Für Xo E I und die Anfangsbedingung y(xo) = Yo ist die Lösung gegeben durch x
(2.51)
Yh(X) = Yo exp ( - / p(t)dt ) xo
(Der Index algleichung "homogen" Lösung der
"h" deutet an, dass es sich hier um eine homogene Differenzihandelt, d.h. die rechte Seite ist Null. In diesem Sinne wurde auch für lineare Gleichungssysteme benutzt.) Eine partikuläre inhomogenen linearen Differenzialgleichung
y'(x) wobei
f
+ p(x)y(x)
= f(x) ,
ebenfalls eine auf I stetige Funktion ist, ist x
x
t
Yp(x) = [ / f(t) exp ( / p(r)dr ) dt ] exp ( - / p(t)dt ) xo
(2.52)
xo
xo
Damit ist y(x) = Yp(x) + CYh(X) die allgemeine Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung; der Parameter C muss den Wert 1 haben, falls verlangt wird, dass y(xo) = Yo gilt. Also ist x
x
t
y(x) = [ / f(t)exp ( / p(r)dr ) dt+ Yo ] exp ( - / P(t)dt) Xo
xo
Xo
die Lösung des AWP
y'(x)
(2.53)
+ p(x)y(x)
= f(x)
y(xo) = Yo .
Eine Differenzialgleichung vom Typ Bernoulli hat die Gestalt
y'(x)
+ p(x)y(x) + q(x)y(xY'
= 0;
(2.54)
dabei sind p und q stetige Funktionen auf einem Intervall I und 0: ist aus IR\ {O, I}. Für 0: = 0 und 0: = 1 hat man getrennte Veränderliche bzw. eine lineare Differenzialgleichung. Gesucht wird eine Lösung, die nur positive Werte hat. (Für 0: = ~ aus ~ mit 0 < P < q und ungerades q braucht man allerdings diese Einschränkung nicht zu machen.) Mit dem Ansatz z(x) := y(x)l-a ergibt sich äquivalent zur gegebenen Differenzialgleichung die lineare Differenzialgleichung
z'(x)
+ (1- o:)p(x)z(x) + (1 - o:)q(x) = 0 .
Ist eine Anfangsbedingung vorgegeben, so kann man entweder mit der entsprechenden Anfangsbedingung für z arbeiten und dann das erzielte Ergebnis
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
224
für Z zurücktransformieren, um die Lösung des ursprünglichen Problems zu erhalten, oder zuerst die allgemeine Lösung zurücktransformieren, und dann erst die gegebene Anfangsbedingung benutzen. Sind p, q, f stetige Funktionen auf einem Intervall I, so ist
L(y) := y//(x)
+ p(x)y'(x) + q(x)y(x)
= f(x)
(2.55)
eine lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung. Die Linearität (also die Tatsache, dass y, y' und y// nur in der ersten Potenz vorkommen) hat als Folgerung das Superpositions-Prinzip: Ist Yj eine Lösung von Ly = /j, j = 1,2, so ist YI + Y2 eine Lösung von Ly = h + 12; dabei müssen h, 12 ebenfalls stetig auf I sein. Schreibt man die Gleichung als y//(x) = g(x, y(x), y'(x)) := f(x) - p(x)y'(x) - q(x)y(x), so folgt aus
Ig(X,YI,Y2) - g(X,ZI,Z2)1 :S Ip(x)ll z 2 - Y21
+ Iq(x)llzl
- YII
und der Stetigkeit von p und q, dass 9 einer Lipschitz-Bedingung bzgl. (YI, Y2) genügt. Nach dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz für gewöhnliche Differenzialgleichungen gibt es zu jedem inneren Punkt Xo von I und jeder Anfangsbedingung y(xo) = Yo, y'(xo) = YI ein offenes Intervall J mit Xo E J C I und darauf eine Lösung des AWP
y//(x)
+ p(x)y'(x) + q(x)y(x) = f(x) , y(xo) = Yo
und y'(xo)
= YI.
(2.55')
Sind p und q konstant, so hat man eine Schwingungsgleichung (oder auch eine lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten) zu lösen. Ist f die Nullfunktion, so liegt der homogene Fall vor. Um nichttriviale Lösungen der homogenen Schwingungsgleichung mit konstanten Koeffizienten
y//(x)
+ py'(x) + qy(x) = 0, p, q E IR ,
(2.55//)
zu erhalten, machen wir den Ansatz y(x) = e AX ; eingesetzt in die Differenzialgleichung führt das auf die Bedingung (>.2+pA+q)eAX = 0. P(A) := A2+PA+q heißt das charakteristische (oder determinierende) Polynom der Differenzialgleichung; P (A) = ist die charakteristische (oder determinierende) Gleichung.
°
Ist p2 - 4q > 0, so sind Al = -P+~ und A2 = -P-~ die Nullstellen von p. e A1X und e A2X sind zwei linear unabhängige Lösungen von (2.55//). Ist p2 _ 4q = 0, so ist e-h x eine Lösung von (2.55//); xe-!px ist eine weitere, von e- !px linear unabhängige Lösung der homogenen Schwingungsgleichung. (Bitte nachprüfen!) Ist p2 - 4q < 0, so sei w die positive reelle Zahl ~ 4q - p2. Es lässt sich ebenfalls durch Einsetzen bestätigen, dass e-!px coswx und e-h x sinwx zwei (li-
J
2.1 Begriffe und Ergebnisse
225
near unabhängige) Lösungen von (2.55/1) sind. Dass auch dieses Ergebnis aus dem Ansatz y(x) = eAX folgt, sieht man, wenn man die Exponentialfunktion e AX komplex auffasst. Die Funktion
C~lX + C2eA2X { Yh(X) = cle-!Px + C2xe-!PX cle-!Px coswx + C2e-!PX sinwx
, falls p2 - 4q > 0 , , falls p2 - 4q = 0 , , falls p2 - 4q < 0
ist aufgrund des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes die allgemeine Lösung der homogenen Schwingungsgleichung, da für jedes Xo E I und alle ao, al E IR gen au ein Paar (CI,C2) E IR2 mit der Eigenschaft existiert, dass für die entsprechende Lösung Yh gilt: Diese Werte Cl und C2 erhält man aus (*) mit Hilfe der Cramerschen Regel (und das ist immer möglich, weil e A1X und e A2X , e-!px und xe-!px bzw. e-!px coswx und e-!px sinwx linear unabhängig sind!). Mit denselben Bezeichnungen ist
Yp(x) =
J t)e~t ~e-~x Je~t
e-~x
x
(x -
f(t)dt,
falls
p2 - 4q = 0,
Xo
x
Yp(x) =
sinw(t - x)dt,
falls
p2 - 4q
'2h(x))
=
>'1 X--+Xo lim h(x) + >'2 lim h(x) X-+Xo
bedeutet genau die IR-Linearität dieser Zuordnung (Abbildung). Auch Ableiten und Integrieren können als IR-lineare Abbildung gedeutet werden:
J
(>'1/1 + >'212)' = >'1/{ + >'21~ ,
b
(>'1/1 + >'2h)(x) = >'1
J b
h (x)dx
+ >'2
a
a
J b
h(x)dx .
a
Natürlich dürfen wir dabei die zugehörigen Vektorräume nicht vergessen. Im ersten Fall ist (zum Beispiel) 1 I-t l' ein Endomorphismus des Vektorraums aller unendlich differenzierbaren Funktionen auf IR; im zweiten ist
1 I-t
J: l(x)dx ein Homomorphismus auf dem Vektorraum aller integrierba-
ren Funktionen auf [a, b] mit Werten in IR . Nicht jede Operation mit Funktionen führt zu einem Vektorraumhomomorphismus, wie z.B. für stetige Funktionen auf einem Intervall die Operation Betrag 1 I-t 111 oder das Quadrieren 1 I-t P . Was uns besonders interessiert, sind die linearen Abbildungen zwischen endlich dimensionalen Vektorräumen, weil eine unmittelbare Verbindung zur Theorie der linearen Gleichungssysteme besteht, wie wir erläutern werden. Wir nehmen von nun an an, dass V und W endlich dimensionale Vektorräume sind; es seien n := dimK V und m := dimK W. (Es hilft Ihnen vielleicht, wenn Sie bei der ersten Lektüre der nächsten Seiten K = IR, V = IR n und W = IR m als Modell vor Augen haben.) Für eine K-lineare Abbildung 1 : V -+ W gilt die Dimensionsformel dimK V = dimK Ker(f)
+ dimK Bild(f)
.
Daraus ergibt sich die Äquivalenz der folgenden Eigenschaften:
-+
1 ist ein Isomorphismus,
(2.57)
2.1 Begriffe und Ergebnisse -t -t
n = mund n = mund
229
f ist injektiv, f ist surjektiv.
B := {bi, ... , b n } und C := {Cl,'" ,c m } bezeichnen eine Basis von V bzw. W. Eine lineare Abbildung f : V -t W ist vollständig bekannt, wenn die Bilder Wl = f(bd, ... , Wn = f(b n ) bekannt sind, da für jedes v E V eine eindeutige Darstellung v = 'L.'j=l Aj b j existiert, und wegen der K-
Linearität von f gilt: f(v) = f('L.'j=l Ajbj ) = 'L.'j=l Ajf(bj ) = 'L.'j=l AjWj. Schreibt man f(b j ) als (eindeutige) Linearkombination 'L.:l aijCi für alle j = 1, ... ,n, so erhält man eine m x n-Matrix
MC,B(f) :=
Das Bild eines beliebigen Elementes v E V (und damit 1) ist durch diese Matrix eindeutig bestimmt n
f(v)
=L
j=l
n
Ajf(bj )
=L
(2.58)
Aj
j=l
Die Zuordnung f I-t MC,B(f) ist eine K-lineare Abbildung von HomK(V, W) nach Kmxn, dem K- Vektorraum aller m x n-Matrizen mit Komponenten aus K, weil für alle h,h aus HomK(V, W) und Al,A2 E K gilt:
Der K-Homomorphismus MC,B ist sogar ein Isomorphismus. Die inverse Abbildung ordnet jeder Matrix A E Kmxn eine mittels (2.58) definierte Abbildung V -t W zu; sie ist offensichtlich K-linear. Dieser Vektorraumisomorphismus MC,B hängt wesentlich von den Basen Bund C ab. Sind B' und C' weitere Basen von V bzw. W, so gilt (2.59)
Die m x m-Matrix MC',c(id w ) =
(
C~:l Cml
m)
Cl. .
heißt die Über-
Cmm
gangs matrix von der Basis C zur Basis C'; für alle i = 1, ... , m gilt: Ci = 'L.:=l CkiC~, Analog ist MB,B' (idv ) die Übergangsmatrix von B' zu B .
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
230
Sind J : V -+ Wund 9 : W -+ U K-lineare Abbildungen sowie ß,C und D Basen von V, W bzw. U, so gilt:
Mv,a(g Ist insbesondere
0
J) = Mv,c(g) . Me,a(f) .
(2.60)
J ein Isomorphismus, so gilt Me,a(f)-l = Ma,e(f-1) .
Wir betrachten jetzt ein lineares Gleichungssystem Ax = b mit A E Kmxn und b E Km. Die Abbildung JA : Kn -+ Km , V r-+ Av hat die Eigenschaft, dass M E (",) ,E(n) (fA) = A gilt; dabei sind [(m) und [(n) die kanonischen Basen von Km bzw. Kn. Entscheidend sind die Beziehung Rang A = dimK Bild(fA) und die Dimensionsformel n = dimK Ker(fA)+Bild(fA). Daraus ergeben sich die folgenden Äquivalenzen:
-+ -+ -+ -+ -+
Ax = b hat eine Lösung {::::::} b E Bild(fA) . Ax = b hat für jedes b eine Lösung {::::::} JA surjektiv. Ax = b hat höchstens eine Lösung {::::::} JA injektiv. Ax = b hat genau eine Lösung {::::::} JA injektiv und b E Bild(fA) . Ax = b hat für jedes b genau eine Lösung {::::::} JA bijektiv.
Sei nun A eine n x n-Matrix mit Koeffizienten aus dem Körper Kund A E K. Die Menge EA(A) := {v E K n I Av = AV} ist ein Untervektorraum von Kn. Gibt es ein v -I 0 aus EA(A), so heißt A ein Eigenwert von A, v ein Eigenvektor zum Eigenwert A und EA(A) der Eigenraum von A zum Eigenwert A. EA(A) besteht in diesem Fall aus Eigenvektoren (die sämtlich von 0 verschieden sind) und aus O. Schreibt man Ax = AX als (AEn - A)x = 0, so ist A ein Eigenwert von A genau dann, wenn das homogene lineare Gleichungssystem (AEn - A)x = 0 eine nichttriviale Lösung hat, was bekanntlich zu det(AEn - A) = 0 äquivalent ist. Diese Gleichung n-ter Ordnung
det(AEn - A)
= An -
(all + a22 + ... + ann )A n- 1 + ... + (_1)n det A
=0
heißt die charakteristische Gleichung von A. Sind Al, ... , Ak paarweise verschiedene Eigenwerte von A und ist v j ein Eigenvektor von A zu Aj für j = 1, ... , k, so sind VI, ... , vk linear unabhängig. (Der Beweis ergibt sich aus (A1En - A) ... (Ai-1En - A)(AH1En - A) ... (AkEn - A)Vi = (Al - Ai) ... (Ai-1 - Ai)(AH1 - Ai) ... (Ak - Ai)Vi .) Entscheidend für die Theorie ist der folgende Satz: Genau dann gibt es eine invertierbare Matrix S E Kn,n, so dass S-l AS eine Diagonalmatrix ist, wenn paarweise verschiedene Elemente Al, ... ,AI aus K und natürliche Zahlen k1 , ... ,kl existieren, so dass gilt: I
det(AEn - A)
= II (A i=l
Ai)k i
und
Rang(AiE - A)
=n -
ki
für alle
i.
2.1 Begriffe und Ergebnisse
231
Man beachte: I:~=1 k i = n und dimK EA (Ai) = k i für alle i = 1, ... , l. Die Zahl k i heißt die Vielfachheit des Eigenwertes Ai von A . (i) ... , Vki (i). ' von E A (\) . t B1'lden VI' eme B aS1s I\i , so 1S
eine Basis von K n . Bezeichnet S die n x n-Matrix mit diesen Spalten I). S - lAS d'1e D'mgonaImatnx ' mIt . d er D'mgonaIe 1\1, \ •.. ,1\1, \ vI(1) , ... , v ( k / ' so 1st
A2, ... , A2, ... Al, ... ,Al. Man sagt in diesem Fall, dass A diagonalisierbar ist oder dass A zu einer Diagonalmatrix ähnlich ist. Bezeichnet JA : Kn -+ Kn die mittels A definierte Abbildung (also v f-7 Av), so gilt:
Deshalb ist A genau dann diagonalisierbar, wenn eine Basis S von Kn existiert, so dass MS,S(fA) eine Diagonalmatrix ist. Nicht jede Matrix ist diagonalisierbar. Z.B. für c E K\ {O} ist die Matrix (~n =: A nicht diagonalisierbar. Es gilt: det(AE2 - A) = (A - 1)2, Al =
A2 = 1, Rang(l· E 2 - A) = Rang (g -~) = 1. Wäre A diagonalisierbar, so müsste Rang(l . E 2 - A) = 2 - 2 = 0 gelten. Ein weiterer Grund für die Existenz nicht diagonalisierbarer Matrizen ist: Das charakteristische Polynom det(AEn - A) könnte keine Darstellung als Produkt von Linearfaktoren besitzen. Im Fall K = IR liefert die Matrix (~-~) ein Beispiel dafür. Um diese Ursache auszuschließen, wird von nun an K = ([ angenommen; es werden aber auch Ergebnisse für K = IR erläutert. Bevor wir uns näher mit der Diagonalisierungsfrage in diesem Fall beschäftigen, schildern wir einige Tatsachen über ([m,n; wir betrachten also komplexe m x n-Matrizen. Für A
= (aij)l$i$m l~j$n
bezeichnen AT,A und AT die zu
A transponierte, konjugierte" bzw. konjugiert-transponierte Matrix, also _
--T
Es gilt A = A, AT = AT und AT = A. Die Abbildung ([m,n -+ AT, ist ein ([-Vektorraumisomorphismus. Dagegen sind ([m,n -+ -
-T
([n,m,
A
f-7
([m,n,
A
f-7
A und ([m,n -+ ([n,m, A f-7 A nur IR- Vektorraumisomorphismen. A E ([m,n ist reell (d.h. A E IRm,n) genau dann, wenn A = A gilt. Eine quadratische Matrix A E ([n,n heißt
-+
unitär, falls AT A
= En
gilt.
232 -7 -7 -7
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
orthogonal, falls sie reell ist und AT A = E n gilt.
hermitesch, falls AT = A gilt. symmetrisch, falls A reell ist und AT = A gilt.
Das (kanonische) Skalarprodukt von IR n (zur Erinnerung: X·Y :=
2:1=1 XjYj,
xT
also: das Produkt der "Matrizen" und y) lässt sich auf ([n erweitern: ([n x ([n -7 ([, x· y = 2: =n XjYj. X· Y ist das Produkt der "Matrizen" x.T und y. Dieses Skalarprodukt ist
1
-7 -7 -7 -7
antilinear im ersten Argument: Für alle Xl, X2 und y aus ([n sowie Al und A2 aus ([ gilt (AlXl + A2X2) . y = XlXl . Y + X2X2 . Y linear im zweiten Argument: Für alle Yl und Y2 aus ([n sowie Al und A2 aus ([ gilt x· (AlYl + A2Y2) = AlX . Yl + A2 X . Y2 . hermitesch: Für alle x, Y aus ([n gilt x . Y = Y . x . positiv definit: Für alle x E ([n\{O} ist x· x reell, positiv.
Außerdem gilt für jedes A aus
([n,n
und alle x, Y aus
(Ax) . Y =
X·
([n :
-T
(A y).
Mit Hilfe des Skalarproduktes kann man die Begriffe orthogonal und Norm für die Vektoren aus ([n definieren. x ist orthogonal zu y, falls x . Y = 0 gilt. Die Norm des Vektors x ist Ilxll =
.JX-X .
Die Funktion II . II : ([ -7 IR hat die Eigenschaften: i) Ilxll 2: 0, ii) Ilxll = 0 ~ x = 0, iii) IIAxl1 = IAI·llxll , iv) Ilx + yll ::; Ilxll + Ilyll . Die Vektoren Xl, ... ,Xk bilden ein Orthonormalsystem, wenn Ilxill = 1 für alle i = 1, ... , k und Xi . Xj = 0 für alle i -:j:. j aus {I, ... , k} gilt. Ist k = n, so spricht man von einer Orthonormalbasis. Damit ist die Matrix A genau dann unitär, wenn ihre Spalten eine Orthonormalbasis bilden. Aus k linear unabhängigen Vektoren Xl, ... ,Xk aus ([n kann man mit Hilfe des sog. Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahrens ein Orthonormalsystem VI, ... , Vk konstruieren, so dass für jedes r = 1,2, ... , k der von Xl, ... ,X r aufgespannte Untervektorraum von ([n mit dem von VI, ... , V r aufgespannten Untervektorraum übereinstimmt (vgl. die Aufgaben 63 und 64). Sei nun A eine quadratische komplexe Matrix mit n Zeilen und Spalten; Eigenvektoren von A zu verschiedenen Eigenwerten sind im Allgemeinen nicht orthogonal zueinander; betrachten wir z.B. die Matrix (~~). Zu ihren Eigenwerten 2 und -2 gehören die Eigenvektoren sind nicht orthogonal zueinander:
(i) . el)
mbzw.
C~l). Diese Vektoren
= 4 - 1 = 3 -:j:. 0 .
233
2.1 Begriffe und Ergebnisse
Dagegen hat eine hermitesche (und insbesondere eine symmetrische) Matrix nicht nur genau n reelle (aber im Allgemeinen nicht notwendig paarweise verschiedene) Eigenwerte, sondern die bemerkenswerte Eigenschaft, dass die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind. Entscheidend ist für eine hermitesche Matrix A, dass die Vielfachheit jedes Eigenwertes .\ von A gleich der Dimension des Eigenraumes EA (.\) ist. Nach dem zitierten Satz über die Diagonalisierbarkeit quadratischer Matrizen über einem beliebigen Körper folgt daraus, dass jede hermitesche Matrix diagonalisierbar ist. Wählt man für jeden Eigenraum eine Orthonormalbasis, so bildet die Vereinigung dieser Basen eine Orthonormalbasis von ([n. Die aus diesen Eigenvektoren (als Spalten) gebildete Matrix S ist unitär und deshalb kann man den folgenden Satz über die Hauptachsentransformation formulieren: Ist A E ([nxn eine hermitesche Matrix, so gibt es eine unitäre Matrix S derart, dass ST AS eine Diagonalmatrix ist. Auf der Diagonalen befinden sich die Eigenwerte von A, und zwar jeder so oft wie es seiner Vielfachheit entspricht. Dieses Ergebnis gilt auch für eine symmetrische Matrix A E IR nxn . In diesem Fall sind nicht nur die Eigenwerte sondern auch die Eigenvektoren und damit auch die Matrix S reell; sie ist also orthogonal. Was bedeutet eigentlich dieser Satz für die Abbildung I = IA? Die Matrix S liefert eine Koordinatentransformation x = Sx', so dass bezüglich der neuen Koordinaten die Achsen bei der Wirkung von I invariant bleiben. Sind die Eigenwerte paarweise verschieden, so sind diese Achsen die einzigen invarianten Geraden bezüglich I. (Das bedeutet nicht, dass jeder Punkt dieser Geraden festbleibt, sondern dass die Gerade als Gesamtheit festbleibt!). In diesem Sinne sind die neuen Achsen die Hauptrichtungen (Hauptachsen) von I. Ist .\ eine vielfache Nullstelle von .\En - A (d.h. ein vielfacher Eigenwert) von Ordnung k, so ist EA(.\) ein invarianter k-dimensionaler Untervektorraum, und jede durch 0 gehende Gerade in ihm ist I-invariant, und könnte als neue Achse gewählt werden. Dass diese Methode auch im Fall einer nicht hermiteschen Matrix zum Ziel (Diagonalisierung) führen kann, zeigt uns das Beispiel der Matrix A = (~~). Bildet man mit den Eigenvektoren
-2 die Matrix B
(i)
und
(.:1)
= (i -i), so gilt B- 1 = (1 J) 4
2
zu ihren Eigenwerten 2 bzw. und B- 1 AB
= (; _~) .
Allgemeiner: Die n x n-Matrizen mit n verschiedenen Eigenwerten lassen sich mit der obigen Methode diagonalisieren. 2.1.11 Kurven und Flächen zweiter Ordnung (Aufgabe 71 bis 74) Schneidet man einen Kreiskegel mit Ebenen, so sind die Schnittkurven Kreise, Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln; deshalb heißen diese Kurven auch Ke-
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
234
gelschnitte. Geht eine Ebene durch die Spitze des Kegels, so erhält man zwei Schnitthalbgeraden oder eine Halbgerade - falls die Ebene den Kegel tangential trifft - oder auch nur einen Punkt (die Spitze). Durch Drehung eines Kreises, einer Ellipse, einer Hyperbel oder einer Parabel um eine der Symmetrieachsen entsteht eine Kugel, ein Drehellipsoid, ein Drehhyperboloid oder ein Drehparaboloid. Wenn man den Maßstab in einer Richtung verändert, entstehen daraus Ellipsoide, Hyperboloide oder Paraboloide, die nicht durch eine Drehung erzeugt werden können, d.h. keine Rotationsflächen sind. Was haben diese Kurven und Flächen vom analytischen Standpunkt aus gesehen gemeinsam? Sie sind Nullstellenmengen im IR2 bzw. im IR 3 eines Polynoms 2. Grades in x und y, bzw. in x, y und z. Deshalb tragen diese Kurven (bzw. Flächen) den Namen Kurven (bzw. Flächen) zweiter Ordnung. Sie können also durch Gleichungen vom Typ
(2.6b) bzw.
+ a02oy2 + a002z2 + 2allOXY + 2alOlXZ + 2aOllYZ+ 2b lOO x + 2bolOY + 2boOl z + C = 0
a200x2
dorgestcllt we<den. Set,t man x
bzw. A
=
(~~~~ ~~~~ ~~~~) alOl
aOll
a002
~ ( ; ) b,w. x ~ (~) ,A ~ (::: und b
=
(~~~)
bzw. b
=
(~~~~), bOOl
(2.61 3 )
:: )
so kann
man die obigen Gleichungen einheitlich, d.h. sowohl für den IR2 als auch für den IR 3 , in der Form x T Ax + b T X
+C =0
(2.61)
schreiben; dabei ist A eine symmetrische, von der Nullmatrix verschiedene Matrix. Als Folgerung ergibt sich, dass eine (nichttriviale) Schnittkurve einer der betrachteten Flächen mit einer Ebene eine der eingangs genannten Kurven ist. (Eliminiert man eine der Variablen x, y oder z aus (2.61 3 ) und aus ax + ßy + "(Z + J = 0, so erhält man eine Gleichung der Form (2.61 2 ), wobei eventuell x oder y durch z zu ersetzen ist.) Aus der Schulmathematik sind uns die Gleichungen des Kreises, der Ellipse, der Hyperbel und der Parabel in der Gestalt 2
X
2
+Y =R
2
x2 , a2
+
y2 b2
= 1,
x 2 y2 a 2 - b2
=1
bzw.
y2
= 2px
235
2.1 Begriffe und Ergebnisse
(hoffentlich) bekannt und vertraut. Diese Darstellung heißt auch Normalform der Kegelschnitte; das beinhaltet, dass der Mittelpunkt des Kreises im Nullpunkt liegt, dass für Ellipse und Hyperbel die Symmetrieachsen als Koordinatenachsen gewählt sind und dass bei der Parabel der Scheitelpunkt als Nullpunkt und die Symmetrieachse als x-Achse genommen wird. Die nicht ausgearteten Flächen zweiter Ordnung (auch Quadriken genannt) und deren Gleichungen bei geeigneter Wahl der Koordinaten sind: die Kugel, das Ellipsoid, das einschalige Hyperboloid, das zweischalige Hyperboloid, der elliptische Kegel, das elliptische Paraboloid, der elliptische Zylinder, das hyperbolische Paraboloid, der parabolische Zylinder. Dabei sind a, b, c und R positive Zahlen und p =j:. o. Die obigen Darstellungen der Quadriken werden Normalformen genannt. An der Formel (2.6b) oder (2.61 3 ) können wir nicht sofort erkennen, von welchem Typ die dadurch beschriebene Kurve oder Fläche ist. Auch ist unklar, ob (2.61 2 ) oder (2.61 3 ) überhaupt Lösungen besitzt (d.h., ob (2.61 2 ) oder (2.6b) nicht vielleicht die leere Menge "beschreibt".) Zur Beantwortung dieser Fragen benutzen wir eine Hauptachsentransformation. Sind AI,A2 bzw. AI,A2,A3 die (reellen, da A symmetrisch ist) Eigenwerte von A und VI, V2 bzw. VI, V2, V3 Eigenvektoren zu diesen Eigenwerten, die eine Orthonormalbasis bilden, so bezeichne S die Matrix mit den Spalten VI, V2 bzw. VI, V2, V3. Wegen A =j:. 0 kann man o.E. (eventuell muss man eine Variablenvertauschung vornehmen) Al > 0 anneh-
men E, gilt ST AS =
(~ ~,) ode,
so folgt aus x T Ax + 2b T X und damit
0' ~ ~J
Set,t man x = Sx',
+ c = 0 zuerst x'T (ST AS)x' + 2(bT S)x' + c = 0,
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
236
(2.62 2 ) bzw.
AlX,2
+ A2y,2 + A3Z,2 + 2b~oox' + 2b~lOY' + 2b~01Z' + e =
(2.63 3 )
0,
wobei b,T := b T S gesetzt wurde. Für Kurven zweiter Ordnung betrachten wir die Fälle A2 =j:. 0 und A2 = 0 . Ist A2 =j:. 0, so führt die Transformation x" b,2
= x' + ~ ,
r
y"
= y' + ~
zu
b,2
AlX" 2 + A2y"2 + eil = 0, wobei eil = e - ~ gilt. Diese Gleichung stellt einen Kreis, eine Ellipse, eine Hyperbel, einen Punkt oder die leere Menge dar, je nachdem, ob Al = A2 und eil < 0 , Al =j:. A2 > 0 und eil < 0 , A2 < 0 und eil =j:. 0 , eil = 0, bzw. A2 > 0 und eil > 0 . Ist A2 = 0 und b~l =j:. 0, so führt die Transformation x" = x'
y'
+ 2bt
+~ ,
y"
=
b,2
- ~ zu AlX" 2 + 2b~lY" = 0, was eine Parabel darstellt.
Ist A2 = 0 und b~l = 0, so liefert die Gleichung (2.62 2 ) zwei parallele Geraden, einen Punkt oder die leere Menge, je nachdem ob b?o - Ale positiv, Null oder negativ ist. Für Flächen zweiter Ordnung genügt es, die Fälle A2 =j:. 0 =j:. A3, A2 =j:. 0 und A3 = 0 sowie A2 = 0 = A3 zu betrachten, da der Fall A2 = 0 und A3 =j:. 0 mittels Vertauschung von y und z auf den Fall A2 =j:. 0 und A3 = 0 zurückgeführt wird. --I. 0 --I. A3 so erhält man mit x" = x' + ~ Ist A2 -r -r , Al ' y" = y' + ~ A2 ' Zll = Z' + b'
::l!O.l.. A3 und eil
b,2 b,2 b,2 2 2 2 2 2 2 = e-=-=-::l!O.l.. Al A2 A3 die Gleichung A1 x" +A 2 y" +A 3 Zll +e" = o·,
sie beschreibt (zur Erinnerung: Al
> 0)
eine Kugel, falls Al = A2 = A3, eil < 0 gilt, ein Ellipsoid, falls Al, A2, A3 positiv und eil negativ sind, iii) ein zweischaliges Hyperboloid, falls genau zwei der Eigenwerte und eil dasselbe Vorzeichen haben, iv) ein einschaliges Hyperboloid, falls zwei der Zahlen Al, A2, A3 und eil positiv und die anderen negativ sind, v) einen elliptischen Kegel, falls eil = 0 und mindestens einer der Eigenwerte negativ ist, vi) einen Punkt, falls Al, A2, A3 positiv sind und eil = 0 gilt, vii) die leere Menge, falls Al, A2, A3 positiv sind und eil > 0 gilt. i)
ii)
Ist A2 =j:. 0 und A3
= 0, so erhält man mit x" = x' + ~ , y" = y' + ~
und
237
2.1 Begriffe und Ergebnisse
a)
b)
b/ 2
+e-
b/ 2
=f. 0 gilt, die Gleichung A1X"2 + A2y"2 + Zll = O. Sie stellt ein elliptisches - falls A2 > 0 - oder ein hyperbolisches - falls A2 < 0 - Paraboloid dar; eil = e- ~ -~, falls b~Ol = 0 gilt, die Gleichung A1X"2 +A2y" 2+ eil = O. Sie beschreibt im Fall A2 > 0 einen elliptischen Zylinder, eine Gerade Zll = b~OlZ'
~ - ~, falls b~01
oder die leere Menge, je nachdem ob eil negativ, Null oder positiv ist. Dagegen erhalten wir im Fall A2 < 0 einen hyperbolischen Zylinder oder ein sich schneidendes Ebenenpaar falls eil =f. 0 bzw. eil = 0 . Ist Ist
),2
=
),3
(b~lO' b~Ol)
=
0, so verwenden wir die Transformation x" = x' + ~. =f. (0,0), so erhalten wir die Gleichung eines parabolischen
Zylinders A1 X" 2
+ Zll
-- 0 , wobei Zll -- 2b'010 y'
wurde. Falls (b~lO' b~Ol)
+ 2b'001 z' + e - ~ Al
gesetzt
= (0,0) gilt, ergibt sich mit eil = e-~ die Gleichung
A1X"2 + eil = 0, welche ein Paar paralleler Ebenen, eine Ebene oder die leere Menge beschreibt, je nachdem ob eil negativ, Null oder positiv ist.
In all diesen Fällen hat man es mit einer Drehfläche zu tun, falls die Fläche nicht ausgeartet ist (d.h. wenn keine Ebene, kein Punkt, keine Gerade und nicht die leere Menge vorliegt) und zwei der Eigenwerte gleich sind. 2.1.12 Funktionen mehrerer Veränderlicher (Aufgabe 75 bis 100) Ist eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge von IRn(n ~ 2) definiert, so spricht man von einer Funktion mehrerer Veränderlicher. Die meisten Begriffe und Ergebnisse sowie die Beweise lassen sich wortwörtlich von einer auf mehrere Veränderliche übertragen. Oft ist dabei nur anstelle des Betrags lxi der reellen Zahl die Norm Ilxll = JL:~=1 des Vektors x = (Xl"", xn)T zu betrachten. Die geometrische Vorstellung in IR n ist zweifelsohne schwierig; Sie sollten versuchen, diese Begriffe und Ergebnisse zuerst in der Ebene und im dreidimensionalen Raum "zu sehen". In den folgenden Betrachtungen wird konsequent ausgenutzt, dass die Norm die gleichen Eigenschaften wie der Betrag hat, nämlich:
x
x;
Homogenität: alixii = Ilaxll 'Va E IR und x E IR n , Positivität: Ilxll ~ 0 'Vx E IR n und Ilxll = 0 {::::::} x = 0 , Dreiecksungleichung: Ilx + yll ~ Ilxll + Ilyll 'Vx,y E IR n . Außerdem sind das Skalarprodukt und die Cauchy-Schwarsche Ungleichung (1Ix· yll ~ Ilxllllyll 'Vx,y E IRn ) für die Winkelmessung wichtig. Mit Hilfe der Norm kann man festlegen, was es heißt, dass eine Teilmenge D von IR n beschränkt ist: Es gibt eine positive reelle Zahl M mit Ilxll ~ M für alle x E D .
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
238
Wir verzichten darauf, die Normen in IRn und IRm unterschiedlich zu bezeichnen, schreiben also nicht 1IIIn bzw. II 11m. Aus dem Umfeld ist klar, um welche Norm es sich jeweils handelt. Der allgemeine Begriff einer Vektorfunktion oder vektorwertigen Funktion, also einer Funktion f von einer Teilmenge D von IR n in IR m , erscheint in vielen Fragen sehr natürlich. Wegen der Darstellung von f als Spaltenvektor von m Funktionen mehrerer Veränderlicher ist es für viele theoretische und praktische Aspekte der Theorie ausreichend, sich mit reellwertigen Funktionen zu beschäftigen, d.h. sich auf den Fall m = 1 zu spezialisieren. Es gibt aber auch Situationen (vor allem mit "globalen Charakter"), welche nach der tatsächlichen gleichzeitigen Behandlung aller Komponenten der vektoriellen Funktion verlangen (z.B. der Satz über Umkehrfunktion oder der Satz über implizite Funktionen). Spezielle Vektorfunktionen (die besonders "gutartig" sind) haben wir schon früher kennengelernt: lineare Abbildungen von IR n nach IR m . Eine besondere Schwierigkeit der folgenden Betrachtungen liegt in der fehlenden einfachen geometrischen Vorstellung; der Graph von
f 'D
-+ IR b,w. von f,
Gr
,~ { (f~) ) Ix E D }
D-+ IRm, also GJ ,~ { (f~)) Ix E D} h,w. ist dne Teilmenge ;0 IR"+' b,w. IR"+m. Led;gHch
für n = 2 ist G f eine Fläche (falls f "gute" Eigenschaften hat) in IR3 , die wie ein Dach über der Menge D aus IR2 ausgebreitet ist. In diesem Fall kann man versuchen, die Höhenlinien HeU) := {x E D I f(x) = c} für verschiedene Werte c E IR zu zeichnen, um eine bessere Vorstellung über f zu bekommen. Diese Höhenlinien sind nicht immer Kurven; sie können Bereiche aus D - wie z.B. Kreisscheiben, Kreisringe oder Rechtecke - enthalten (wenn nämlich die Funktion dort konstant ist). Die allereinfachsten Beispiele von Funktionen oder Vektorfunktionen haben wir schon kennengelernt: lineare Abbildungen (IR n -+ IRm , x r-t Ax für eine m x n-Matrix) und Translationen (t y : IR n -+ IR n , x r-t x + y) sowie deren Kompositionen, mit den Spezialfällen der konstanten Funktionen, der Projektionen (z.B. für m ~ n und 1 ~ jl < ... < jm ~ n : PiI ,... ,j", : IRn -+ IR m , (Xl,'''' xn)T r-t (Xii,"" Xj", )T) und der Einbettungen (z.B. i l ,3,5 : IR 3 -+ IR5 , (Xl,X2,X3)T r-t (Xl,Ü,X2,Ü,X3)T). Weitere einfache Funktionen sind die Polynome und die rationalen Funktionen mehrerer Veränderlicher (z.B. (Xl,X2,X3)T r-t xi + 3X1X2 - 7Xlxg, bzw. "'1"'3+"'2"'4) . ( Xl, X2, X3, X4 ) T r-t l+"'?+"'~+"'! Ähnlich wie für Funktionen einer Veränderlicher führen Operationen verschiedener Art mit Funktionen mehrerer Veränderlicher wieder zu solchen
2.1 Begriffe und Ergebnisse
239
Funktionen; darunter versteht man algebraische Operationen, Kompositionen und insbesondere Iterationen, Maximum- oder Minimumabbildung ((I, g) I-t max{j,g} oder min{j,g} für j,g: D -+ IR), u.v.a. Eine weitere, diesmal kompliziertere Frage als im Fall einer Veränderlicher, ist die Bestimmung des maximalen Definitionsbereich einer Vektorfunktion mehrerer Veränderlicher. Das verlangt oft Ungleichungen mit mehreren Veränderlichen zu lösen. Schauen Sie z.B. die Zuordnung
an. (Sie können leicht zu schlimmeren Beispielen kommen!) Man definiert: Die Folge (ak) aus IR n konvergiert gegen a, wenn lim Ilak - all = 0 gilt. Dafür benutzt man die Schreibweise lim ak = a, k-+oo
k-+oo
weil im Fall der Existenz der Grenzwert eindeutig bestimmt ist. Hat man ak = (alk, ... , ank)T und a = (al, ... , an), SO gilt lim ak = a genau dann, wenn lim ajk k-+oo
= aj für jedes j
k-+oo
E {I, ...
,n} gilt. Das ergibt sich aus n
lajk - ajl :S Ilak - all :S
L
j=l
lajk - ajl .
Für die Konvergenz von (ak) hat man also die Konvergenz jeder Komponentenfolge (ajkh zu überprüfen, und nur wenn alle n Komponentenfolgen konvergieren, konvergiert auch die Vektorenfolge (ak); halten wir fest: lim ak
k-+oo
= k-+oo lim (alk, ... , ank)T = ( lim alk, ... , lim ankf k-+oo k-+oo
.
(2.63)
Daraus erhalten wir - analog zu den Rechenregeln für Folgen reeller Zahlen (s. Formel (1.51) aus dem Paragraphen 1.1.12) - die Rechenregeln für Vektorenfolgen. Die Menge 6 r (x) := {y E IRn I IIY - xii< r} heißt die offene Kugel mit Mittelpunkt x und Radius r. Der Punkt x ist ein innerer Punkt von U c IR n , und U ist eine Umgebung von x, wenn ein r > 0 mit 6 r (x) C U existiert. Wenn U nur solche Punkte enthält, d.h. wenn U eine Umgebung jedes ihrer Punkte ist, dann heißt U offen. Sonst ist die Meno
ge U der inneren Punkte von U eine echte (evtl. leere) Teilmenge von U. Eine Menge A C IRn heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement IRn\A offen ist. 6 r (x) trägt zu Recht den Namen offene Kugel, weil sie eine offene Teilmenge von IRn ist; auch der offene Kreisring 6 r ,R(X) := {y E IR n I r< Ily-xll < R} ist eine offene Teilmenge von IRn . (Warum?) Dagegen sind
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
240
die abgeschlossene Kugel ßr(x) := {y E IR n Illy - xii :S r} und der abgeschlossene Kreisring ßr,R(X) := {y E IR n I r :S IIY - xii :S R} abgeschlossene Teilmengen und nicht offen. Natürlich gibt es Teilmengen von IR n , die weder abgeschlossen noch offen sind, wie z.B. {y E IR n I r :S IIY - xii< R} und {y E IR n Ir< IIY - xii :S R}. (Warum?) Ein Punkt a E IR n ist ein Häufungspunkt der Teilmenge D von IR n , falls jede Umgebung von a unendlich viele Punkte aus D enthält, oder äquivalent dazu (warum?): Es gibt eine Folge (ak) von paarweise verschiedenen Elementen aus D mit lim ak = a. Die Menge H(D) der Häufungspunkte von D k--+oo
liegt in D genau dann, wenn D abgeschlossen ist. Eine abgeschlossene und beschränkte Teilmenge von IR n heißt kompakt oder ein Kompaktum. IRn\ßr(x) ist zwar abgeschlossen, aber nicht beschränkt, also kein Kompaktum. Dagegen sind ßr(x) und ßr,R(X) Kompakta. Konvergenzkriterien für Folgen reeller Zahlen lassen sich auf Vektorenfolgen übertragen; einige Beispiele dazu: --+ --+ --+ --+
(ak) konvergiert genau dann, wenn jede Teilfolge von (ak) konvergiert. Konvergieren zwei Teilfolgen von (ak) gegen verschiedene Grenzwerte, so konvergiert (ak) nicht. Cauchy-Kriterium: (ak) konvergiert genau dann, wenn zu jedem c > o ein kc E IN existiert, so dass für alle m, n 2 kc gilt: Ilam - anll < c . Satz von Bolzano-Weierstraß: Jede beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge.
Den Grenzwert einer Funktion f : D --+ IRm in einem Häufungspunkt XO von D kann man mit dem (c,8)-Kriterium oder (äquivalent) mit Hilfe von Folgen definieren. lim f(x) = yO bedeutet, dass für jedes c > 0 ein 8 > 0 x~xo
existiert, so dass aus xE D und Ilx - x011 < 8 immer Ilf(x) - y011 < c folgt. Äquivalent dazu: Für jede gegen xO konvergierende Folge (Xk) aus D\{xO} gilt: lim f(Xk) = yO . k--+oo
Die Rechenregeln mit Grenzwerten lassen sich analog zum eindimensionalen Fall (d.h. n = m = l)(s. Formel (1.55) aus dem Paragraphen 1.1.13) formulieren. Der Stetigkeitsbegriff für f : D --+ IR m wird ebenfalls wie für reellwertige Funktionen einer Veränderlichen definiert: --+
f ist stetig in XO E D : {=} lim f(x) = f(xO) .
--+
f ist stetig in D : {=} f ist stetig in jedem Punkt von D .
X-rX O
Sind JI, ... , fm die Komponenten von f, d.h. gilt f(x) = (JI (x), ... , fm(x))T für alle x E D, so ist f genau dann stetig in XO oder in D, wenn alle Komponentenfunktionen JI, ... , fm es sind. Ein Beispiel: Die Funktion
2.1 Begriffe und Ergebnisse f : D := {
(~~) E IR
2 \
241 Xl
+ X2 =J O} -+ IR,
f(X1, X2) := Xl
~ X2
ist stetig auf ihrem Definitionsbereich D, aber sie ist in keinen Punkt xO = (x~, xg)T der Geraden Xl + X2 = 0 hinein stetig fortsetzbar. Der Grund dafür ist die Unbeschränktheit von f auf 6 r (x O )nD für jedes r > 0; im Punkt o sieht man das ein, wenn man z.B. die Punktefolge (~ , ,&: - ~)T betrachtet, die gegen 0 konvergiert. Dafür ist ja lim f(.!. , ~ - .!.) = lim lim n
n-+oo
= 00.
n-+oo
n
n
n
1
1
n-too -;;:-
+ 'i
1
~-~
=
Algebraische Operationen mit stetigen Funktionen und Kom-
positionen von stetigen Funktionen führen zu stetigen Funktionen. Wichtig ist es zu bemerken, dass jede auf einem Kompakturn K C IR n definierte, stetige Funktion f : K -+ IR ihr globales Maximum und ihr globales Minimum annimmt, d.h. es gibt Xm und XM aus K mit der Eigenschaft f(x m ) ::; f(x) ::; f(XM) für alle x aus K. Was entspricht dem Zwischenwertsatz im höher dimensionalen Fall? Ist f : D -+ IR stetig, a, b E D und w : [0,1] -+ D eine (beliebige) stetig parametrisierte Kurve in D, welche a und b verbindet (also: w stetig, f(O) = a und f(l) = b), so gibt es zu jeder Zahl d zwischen f(a) und f(b) einen Punkt x auf dem Weg {w(t) I t E [0, I]} mit f(x) = d. Das ergibt sich sofort aus dem Zwischenwertsatz angewandt auf die stetige Funktion f 0 w : [0, 1] -+ IR. Gibt es solche stetigen Wege in D für je zwei Punkte aus D, so heißt D wegzusammenhängend. Man beachte, dass aus dem obigen Ergebnis folgt, dass das Bild f(D) einer wegzusammenhängenden Teilmenge von IRn unter einer stetigen Funktion f : D -+ IR ein Intervall aus IR ist. Für eine wegzusammenhängende Teilmenge D von IR n , ist es nicht immer möglich, den Weg w so zu wählen, dass w([O, 1]) ein Polygonzug ist (z.B. wenn D der Einheitskreis 861 (0) in IR2 ist). Ist aber D offen, dann ist dies stets möglich. Eine offene, wegzusammenhängende Teilmenge G von IRn heißt Gebiet. Offene Kugeln und offene Kugelringe sind Gebiete (und zwar beschränkte Gebiete). Die höhere Dimension erfordert größere Anstrengungen erst, wenn man den Begriff der Differenzierbarkeit von einer auf mehrere Veränderliche übertraund die Grenzwertbestimgen möchte. Eine Quotientenbildung f(x)-f(xo) X-Xo mung lim
x-+xo
f(x)-f(xo) x-xo
ist diesmal nicht möglich. Deshalb erinnert man sich
an die äquivalente Definition über die lineare Approximierbarkeit von f in Xo, und das führt zur sinnvollen Verallgemeinerung des Differenzierbarkeitsbegriffs. Eine Funktion f : D -+ IR heißt total differenzierbar oder einfach differenzierbar in einem inneren Punkt XO E D, falls ein Zeilenvektor (also eine 1 x n- Matrix) a = (al, ... , an) und eine Funktion 'P : D -+ IR existieren, so
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
242
dass für jedes x = ( # i , . . . , x )
T
n
aus D gilt:
- x°j) + m natürliche Zahlen, D C IRn sei offen, f = (!I, ... , fm)T : D -+ IR m sei stetig differenzierbar und xO sei ein Punkt aus der Nullstellenmenge N(f) := {x E D I f(x) = O}. (Anders gesagt: (x~, ... ,x~) ist eine Lösung des Gleichungssystems h(XI, ... , x n ) = 0 , 1 ~ j ~ m .) Gilt det
d(ft,···,fm) d(Xl,""X m )
(xO) :j:. 0, so gibt es ein r
>
°
mit .6. r (XO) C D, eine
offene Teilmenge V C IR n- m mit yO := (X~+l"'" x~) E V und eine eindeutig bestimmte stetig differenzierbare Funktion g : V -+ IR m , so dass xO := (x~, .. . ,x~)T = g(yO) und N(f) n .6. r (XO) = {(g~)) Iy E V} gilt. Das für j = 1, ... , m gilt und dass jeder m n Punkt x = (;) mit x E IR , y E IR - m aus .6. r (xO) genau dann in N(f)
bedeutet, dass x~
= 9j (x~H' ... ,x~)
liegt, also f(x) = 0, wenn x = g(y) gilt. Man kann also lokal diejenigen m Koordinaten als Funktionen von den restlichen Koordinaten ausdrücken, für welche die entsprechenden m Spal-
249
2.1 Begriffe und Ergebnisse
ten aus fl(xO) eine Matrix vom maximalen Rang bilden; dabei ist diese Lösung des Gleichungssystems f(x) = 0 durch die Anfangsbedingung :i{0 = g(yO) eindeutig bestimmt. Sei j E {m + 1, ... ,n} beliebig, aber fest. Für jedes x = (g~)) mit y = (X m+l,'" ,xn)T E V folgt aus !i(x)
=
!i (91 (Xm+l, ... ,Xn ), ... ,9m(Xm+l, ... ,Xn ), Xm+l, ... Xn ) = 0 durch Ableiten nach
Xj
~ o!i (x) 09k (y) + o!i (x) ~ OXk
k=1
oX·J
oX·J
= 0
i = 1, ... ,m.
Aus diesem linearen Gleichungssystem mit m Gleichungen und m Unbekannten ~(y) xn) ergeben sich wegen det(~ki (x)) , = ~(Xm+l"'" ,
f:.
0 mit der
Cramerschen Regel explizit die Werte ~(Xm+l"'" Xn ), k = 1, ... , m, auch ,
dann, wenn man 91, ... ,9m nicht explizit kennt. Für (m, n) = (1,2), (1,3), bzw. (2,3) kann man mit diesem Satz feststellen, ob die Nullstellenmenge einer Funktion von zwei oder drei Veränderlichen, bzw. zweier Funktionen von drei Veränderlichen lokal eine ebene Kurve oder eine Fläche, bzw. eine Raumkurve definiert. Man kann diesen Satz, der als Satz über implizite Funktionen in der mathematischen Literatur bekannt ist, als Ausgangspunkt für viele interessante Fragestellungen in der Theorie der differenzierbaren Abbildungen, in der Algebraischen Geometrie, in der Theorie der komplexen Räume usw. ansehen. Gerade die Punkte aus der Nullstellenmenge von f, in welchen der Rang von f' nicht maximal ist, sind besonders interessant. (Stichwort: Singularitäten. ) Wir untersuchen mit Hilfe des Satzes über implizierte Funktionen, ob der Schnitt der Einheitskugel x 2 + y2 + Z2 = 1 mit dem elliptischen Kegel x 2 + yz = 0 lokal als parametrisierte Kurve darstellbar ist. Es geht dabei um das Gleichungssystem X2
+ yz =
O.
Deshalb betrachten wir die stetig differenzierbare Funktion
f:IR3-tIR2, f(x,y,z) = (!I(X,y,Z)) = (x 2 +y2+ Z2- 1 ) h(x, y, z) x 2 + yz Sie hat die Funktionalmatrix
88((h ,12)) x,y,z
= (22Xx 2yz 2Z). Die drei 2 x 2-Matrizen, y
welche daraus gebildet werden können, sind
250
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
ä(h,fz) ä(x,y)
= (2X
2x
=
2Y ) ä(h,fz) Z 'ä(y,z)
(2Y 2Z) ä(h,fz) z y 'ä(x,z)
=
(2X 2x
2Z) y .
Deren Determinanten haben die Werte 2x(z - 2y), 2(y2 - Z2) und 2x(y - 2z). In keinem Punkt von N(f) verschwinden alle drei Determinanten, d.h. in jedem Punkt von N(f) ist N(f) lokal als (stetig differenzierbar) parametrisierte Kurve darstellbar. In den vier Punkten (0,0, ±l)T , (0, ±1, O)T von N(f) verschwinden gleichzeitig 8(/1,12) und 8(/1,h) aber 8(/1'/2) nicht. Deshalb kann man in J'edem 8(x,y) 8(x,z) , 8(y,z) dieser Punkte N(f) lokal als (stetig differenzierbar) parametrisierte Kurve y = y(x), z = z(x) schreiben. In den vier Punkten Js(±l, 1, -l)T , Js(±l, -1, l)T verschwindet die Determinante von 8M~:;)), aber die anderen zwei Determinanten nicht. Deshalb gibt es in genügend kleinen Umgebungen dieser Punkte stetig differenzierbare Parametrisierungen von N(f) sowohl von der Form x = x(z), y = y(z) als auch von der Form x = x(y), z = z(y) . In jedem anderen Punkt von N(f) kann man lokal je zwei der Koordinaten als stetig differenzierbare Funktionen von der dritten Koordinate darstellen. In diesem konkreten Fall gelingt es uns (ausnahmsweise!) eine globale Parametrisierung von N(f) anzugeben; aus f(x,y,z) = 0 folgt (h + 2fz)(x,y,z) = 0, d.h. 3x2 + (y + Z)2 -1 = 0. Man setzt x = cost, Y + z = sinti für
7s
_ . t 1 2 t . t _ sin t+y'l+t cos 2 t _ sin t-y'l+t cos 2 t Y + z - sm , yz - -3 cos 1S Y 2 ' Z 2 eine Lösung. Damit gewinnt man die folgende globale stetig differenzierbare Parametrisierung von N(f)
3
IR -t IR ,t I-t
(
1
v'3 cos t ,
sin t
+
J12+ ~ cos
2
t
'
Seien D eine offene Teilmenge von IRn und f : D -t IR stetig differenzierbar auf D. Sind alle partiell differenzierbar (und stetig) auf D, so heißt f
if ]
2-mal partiell differenzierbar (bzw. 2-mal stetig partiell differenzierbar) auf D. Die Ableitung von = 1i nach Xk wird mit a:k2 =: fXjXk
if ]
Jx. J
bezeichnet. Also: UXkUXj " a21 = .jL(p-) und (fX')Xk = fX'Xk' Rekursiv werden UXk UXj J ] die Begriffe k-mal partiell differenzierbar und k-mal stetig partiell differenzierbar eingeführt. Ist f für jedes k 2': 1 eine k-mal partiell differenzierbare Funktion, so heißt f unendlich oft stetig partiell differenzierbar auf D. (Beachten Sie: Ist f (k + l)-mal partiell differenzierbar, so
2.1 Begriffe und Ergebnisse ist
f
251
automatisch k-mal stetig partiell differenzierbar.) Die Bezeichnungen ßkf
•
ß. ß· ßx·J1 und fx)· 1 x)· 2 ... x·J k bedeuten dasselbe: f wIrd zuerst nach Xj1' x 3 k ••. X 32 dann fXi} nach xh, ... , und schließlich fXi} X;2 "'X;k_1 nach Xjk abgeleitet. Die weiteren Überlegungen werden durch den Satz von H.A. Schwarz vereinfacht. Ist f in xO E D k-mal partiell differenzierbar, existiert für jl, ... , jk+l aus {I, ... , n} (Wiederholungen sind nicht ausgeschlossen!) die Ableitung ß . ßk+ 1~ . (xO) und ist sie stetig, so existiert für jede PermutatiX'k+l'"
X'l
. . . . h d'le AbI' onZl,···,zk+lvonJl,···,Jk+lauc eltung
1
f . ßk+ß. ß X tt ... X'k+l
(0) x un d d'lese
Ableitungen sind gleich. Die uns am besten bekannten Funktionen, welche gleichzeitig die bequemste Auswertung (mit und ohne Computer) erlauben, sind - egal ob ein- oder höherdimensional - die Polynome. Deshalb stellt sich auch im höherdimensionalen Fall die Frage nach einer guten (der besten!) Approximation einer Funktion durch Polynome (aus einer sinnvoll eingeschränkten Menge von Polynomen). Je höher die Ordnung der partiellen Differenzierbarkeit der gegebenen Funktionen ist, desto besser (würden wir spontan vermuten, und dies ist auch der Fall!) kann man sie approximieren. Dafür benötigen wir die Erweiterung des Begriffs Taylor-Polynom für eine k-mal stetig differenzierbare Funktion f : D -+ IR n in XO E D. Das Taylor-Polynom k-ten Grades von f in xO ist
T k (f, x, xo) = Tk (x) = k
f(xo)
n
+L ~ L j=l
n
J. i1=1
... L
fXi1···Xi; (XO)( Xi 1 - X?1) ... (Xi; - x?;).
(2.70)
i;=l
Mit der Bezeichnung 1
Sj(f,x,xO) = Sj(x) =
]f
n
n
i1=1
i;=l
L ... L
fXi1···Xi; (XO)( Xi 1 - x?J ... (Xi; - x?J
und wegen To(x) = f(xO) hat man für alle laus 1, ... , k
ll(x)
= TI- 1 (x) + SI (x)
I
und
Tl(x)
= f(xO) + L
Sj(x) .
j=l
Mit den obigen Voraussetzungen sagt der Satz von Taylor, dass für jedes x E D mit der Eigenschaft, dass die Strecke [XO, x] in D liegt, ein x* E]XO, x[ existiert, so dass gilt:
f(x) = Tk-l(X)
+ Sk(X*)
.
Außerdem ergibt sich aus der Stetigkeit der partiellen Ableitungen k-ter Ord-
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
252 nung von 1 :
lim 1(x) - Tk(X) = 0 . Ilx - XO W
x--+x o
Tk ist das einzige Polynom, dessen Grad höchstens k ist, mit der Eigenschaft (*), d.h. kein anderes Polynom, dessen Grad höchstens k ist, approximiert 1 so gut wie Tk . Der Satz von H.A. Schwarz hilft uns, die Anzahl der Ableitungen, die für berechnet werden müssen, zu verkleinern. So hat man z.B. für eine 4-mal partiell differenzierbare Funktion 1 : IR 2 -t IR im Nullpunkt das folgende vierte Taylor-Polynom: T 4 (f, x, xO) = T 4 (x, y) = 1(0) + 1x(0)x + 1y(0)y + :h(fxx(0)x 2 + 21xy(0)xy + 1yy (0)y2) + ~(fxxx(0)x3 + 31xxy(0)x 2y + 31xyy(0) xy2 + 1yyy (0)y3) + ;fi(fxxxx(0)x 4 + 41xxxy(0)x 3y + 61xxyy(0)X 2y 2 + 41xyyy(0) xy3 + 1yyyy (0)y4) .
n
Die Begriffe lokales (oder relatives) und globales (oder absolutes) Maximum bzw. Minimum einer Funktion 1 : D -t IR , D c IR n werden wie für eine Funktion einer Veränderlichen eingeführt; dabei ist - wie dort auch - D nicht notwendig offen. Ist XO ein innerer Punkt von D, ist 1 differenzierbar in xO und hat 1 in xO ein lokales Extremum, so hat für jedes j = 1, ... , n die Einschränkung gJ von 1 auf I(j, xO) auch ein lokales Extremum in x~, und deshalb gilt
*h (XO) =
(gJ)' (x~) = O. So wie im eindi-
mensionalen Fall genügt das Verschwinden von grad 1 = l' in einem inneren Punkt von D nicht für die Existenz eines lokalen Extremums. So hat z.B. 1 : IRn -t IR , 1(XI, ... , x n ) = "L7=1 X~i+l in 0 einen stationären Punkt (d.h. grad1(0) = 0), aber kein lokales Extremum, da in jeder Kugel um 01 sowohl positive als auch negative Werte annimmt. Entscheidungshilfe, ob in einem stationären Punkt ein lokales Extremum vorliegt und von welcher Art es ist, gibt im eindimensionalen Fall die zweite Ableitung. Im höherdimensionalen Fall betrachtet man dafür die Hessesche Matrix von 1 in xO
H(f,xO) := (8::tX i (X O))
i=l •...• n
= (fij(XO)) .
(2.71)
)=1 •... ,n
Ihr Verhalten liefert uns ein hinreichendes Kriterium für die Existenz eines lokalen Extremums in xO, und über seine Art. Dazu benötigen wir aus der Linearen Algebra die folgende Definition und äquivalente Charakterisierung. Sei A eine n x n-Matrix und QA : IRn -t IR die zugeordnete quadratische Form QA(X) := x T Ax = "L7,j=1 aijXiXj' Die Matrix A heißt
2.1 Begriffe und Ergebnisse -+
-+
-+
253
positiv definit (negativ definit), wenn QA(X) > 0 (bzw. QA(X) < 0) für alle x E IRn\{O} gilt. Das ist genau dann erfüllt, wenn alle Eigenwerte von A positiv (bzw. negativ) sind. positiv semidefinit (negativ semidefinit), wenn QA(X) 2 0 (bzw. QA(X) ~ 0) für alle x E IR n . Das ist genau dann der Fall, wenn alle Eigenwerte von A größer gleich (bzw. kleiner gleich) Null sind. indefinit, wenn QA sowohl positive als auch negative Werte annimmt. Äquivalent dazu ist die Existenz sowohl von positiven als auch von negativen Eigenwerten von A .
Das angekündigte hinreichende Existenzkriterium für die lokalen Extrema lautet: Eine zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion f : D -+ IRn hat in einem inneren Punkt XO von D, in dem ihr Gradient verschwindet, ein lokales Maximum bzw. Minimum, falls H(f, xO) negativ bzw. positiv definit ist. Sie hat kein lokales Extremum in xO, falls f indefinit ist. Sonst - also f ist positiv oder negativ se mi definit - ist keine allgemeingültige Aussage möglich; es muss im konkreten Fall genauer untersucht werden. Im Fall n = 2 ist .x 2 - (fxx(XO) + fyy(xO)).x - l;y(xO) das charakteristische Polynom von H (f, XO). Die zwei Eigenwerte sind von Null verschieden und haben dasselbe Vorzeichen (also xO ist ein lokales Extremum) dann und nur dann, wenn die Funktionaldeterminante (fxxfyy - l;y)(xO) positiv ist. Ist dann fxx(xO) positiv (äquivalent dazu: fyy(xO) ist positiv), so sind beide Eigenwerte positiv, und f hat ein lokales Minimum in xO. Ist fxx(xO) negativ, so hat f ein lokales Maximum in xO. Falls die Funktionaldeterminante negativ ist, haben die Eigenwerte verschiedene Vorzeichen, und f besitzt in xO kein lokales Extremum (anders gesagt: xO ist ein Sattelpunkt für 1). Verschwindet die Funktionaldeterminante in xO, so kann man noch keine Aussage über das Verhalten von f im Punkt xO machen. Eine Fülle von geometrischen, physikalischen, technischen, chemischen, medizinischen, biologischen u.v.a. Phänomenen führen zu Fragen, deren Lösungen auf die Bestimmung von lokalen bzw. globalen Extrema reduziert werden (oder dies als Zwischenergebnis benötigen). Die globalen Extrema werden dann mit Hilfe verschiedener Überlegungen unter den lokalen Extrema - falls möglich - gesucht. Ein typisches Beispiel dazu möchten wir nun erörtern. Messungen in verschiedenen Punkten (oder zu verschiedenen Zeiten) Xl, X2, ... ,X n liefern Messwerte YI, Y2, ... , Yn, die aufgrund theoretischer Erkenntnisse durch eine Funktion der Gestalt f(x) = L;;'=o akxk gegeben sein müssen; nicht ausgeschlossen ist, dass alle oder mehrere Messungen denselben Wert ergeben. Diese unbekannten Koeffizienten ao, al, ... ,am sollen "optimal" bestimmt werden; das setzt voraus, dass die Anzahl n der Messungen größer als m ist. Was man unter optimal zu verstehen hat, ist nicht allgemein
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
254
festgelegt; es zeigt sich, dass die Rechnungen besonders einfach werden, wenn man verlangt, dass die Summe der Fehlerquadrate 2::1 (f(Xi) -Yi)2 minimal ist. Dann kann man diese Summe als eine Funktion F = F(a) in den Unbekannten ao, al, ... , a m ansehen. Um unser Ziel zu erreichen, muss also grad F = g~, für die optimalen Koeffizienten verschwinden. Wegen
(gt'a '
8F 8a. =
... ,::.. )
n
2: 2(f(Xi) -
.
Yi)X~,
d.h.
i=l
J
muss (ao, al , ... , a m ) Lösung des linearen Gleichungssystems n
n
i=l
ao
ao
n
n
i=l
i=l
n
n
n
+ ... +a m 2: xi
+ al 2: Xi
=
i=l
n
2: Xi + al 2: xr
" Xim+l -_ + ... + am L.. i=l
i=l
n " L.. i=l
n
2: xi + al 2: xr+1 + ... + am 2: xr m
i=l
2: Yi
i=l
i=l
,
YiXi ,
(2.72)
n
=
2: Yixi
i=l
sein. Ist die Determinante dieses Systems von Null verschieden (was für n = m + 1 immer der Fall ist), so nimmt F in der (mittels Cramerscher Regel berechneten) Lösung dieses Systems das absolute Minimum an, da F(a) 2 0 für alle a und lim F(a) = 00 gilt. Die so errechnete FunktiIlall--+oo on f(x) = ao + alx + ... + amx m heißt das Ausgleichspolynom zu den Messdaten (Xl, Yl), ... , (X n , Yn). Ist m = 1, so spricht man von der A usgleichsgeraden. Sie hat die Gleichung f(x) = ao + alX, wobei gilt do ao = d
al =
dl
(2.73t)
d'
n
n d
2: Xi i=l
n
n
2: Xi 2: X; i=l
i=l
n
n dl =
n
2:Yi i=l
n
n
i=l
i=l
2: Xi 2: YiXi
2:Yi , do =
i=l
n
n
2: Xi i=l
n
2: YiXi 2: X; i=l
i=l
2.1 Begriffe und Ergebnisse
255
Da n größer gleich 2 ist und Xl, ... ,X n paarweise verschieden sind, folgt aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung do = n L::~=l x; - (L::~=l Xi)2 > 0 . Außerdem folgt aus F aoao = 2n, F aoal = 2 L::~=l Xi , F alal = 2 L::~l x; sowohl FaoaoFalal -F;oal = 4(n L::~=l x; - (L::~=l Xi)2) > 0 als auch F aoao > 0, was noch einmal (diesmal aber wegen der uns schon bekannten Begründung) die Minimalität der Summe der Fehlerquadrate für die Lösung (2.73d zeigt. Im Fall m = 0 ist ao = ~ L::~=l Yi der Mittelwert der Messergebnisse, was plausibel ist. Schließlich erwähnen wir, dass für n > m + 1 die Zahl
J
F(ao,al, ... ,a~) n-m-l
=
J~ n-m-l' wo b' el a = (ao, al, ... ,am ) d'le L"osung von (272) .
ist, der mittlere Fehler heißt. (Die obigen Anstrengungen hatten das Ziel, diese Zahl zu minimieren.) Zahlreiche Beispiele aus verschiedenen Anwendungsbereichen führen zu Problemen von folgender Art: Sei f : D -+ IR, D C IR n , wobei D nicht unbedingt offen ist, und N c D sei eine Teilmenge von Punkten aus D, die gewissen Bedingungen genügen. Man sagt, dass f an der Stelle xo E N unter gegebenen Nebenbedingungen ein lokales Maximum (Minimum) hat, falls ein r > 0 existiert, so dass für jedes x E N n 6 r (xO) gilt: f(x) ~ f(xO) (bzw. f(x) ~ f(xO)). Das bedeutet aber nicht unbedingt, dass f in xO ein lokales Extremum in D hat. Die Nebenbedingungen können durch Gleichungen und/oder Ungleichungen gegeben sein. Wir begnügen uns mit Nebenbedingungen, die nur aus Gleichungen bestehen; genauer: Es gibt differenzierbare Funktionen gl, ... , gm : D -+ IR, m < n, so dass N = {x E D I gl (x) = ... = gm(x) = O} gilt. Wir geben zwei einfache Beispiele an. Im ersten soll das Rechteck maximalen Flächeninhalts bestimmt werden, welches den Umfang p hat; im zweiten soll der Quader maximalen Volumens gefunden werden, für welchen die Oberfläche den Wert s hat. Im ersten Beispiel wird D = D 2 = {(x,y) I x ~ O,y ~ O} betrachtet; zu maximieren ist f = h : D 2 -+ IR, h(x, y) := xy unter der Nebenbedingung g2(X) := 2x + 2y - p = O. Im zweiten Beispiel hat man es mit der Teilmenge D = D 3 = {(x,y,Z)T I x ~ O,y ~ O,z ~ O} der Funktion f = h : D 3 -+ IR, h(x, y, z) = xyz und der Nebenbedingung g3(X, y, z) = 2(xy + yz + zx) - s = 0 zu tun. Die Antworten lauten: Unter allen Rechtecken vom Umfang p ist das Quadrat mit der Seitenlänge ~ dasjenige und das einzige - mit maximalem Flächeninhalt, .. I'lCh ~ nam 16' Unter allen Quadern mit der Oberfläche s ist der Würfel mit der Seitenlänge derjenige - und der einzige - mit maximalem Volumen, .. r h sVs nam lC 6V6'
/f
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
256
°
Die inneren Punkte aus D, in welchen f unter den Nebenbedingungen gl = ... = gm = lokale Extrema besitzt und in welchen die Funktionalmatrix (~) i.=l, ... ,m den maximalen Rang m hat, kann man bestimmen, indem man ]
]=l •...• n
lokal m der Variablen - z.B. Xl, ... , X m (sonst wird umnummeriert) - als Funktionen von den restlichen schreibt - also Xi = Xi(Xm+l,oo.,X n ), i = 1, ... , m - und dann werden die lokalen Extrema von
gesucht. Ist (x:nH"'" x~)T ein solcher Punkt, so ist
ein lokales Extremum für f unter den Nebenbedingungen gl = ... = gm = 0. Die Durchführung dieser Idee ist meistens sehr mühsam oder undurchführbar, weil die Auflösung nach Xl, ... ,X m nicht gelingt. (Allerdings hat man im Falle des Erfolgs tatsächlich ein lokales Extremum unter den Nebenbedingungen gefunden, und Klarheit über seine Art gewonnen.) Wesentlich einfacher ist es in vielen Fällen, die sog. Methode der Multiplikatoren von Lagrange zu benutzen. Sie beruht auf der Tatsache, dass in den inneren Punkten aus D, in welchen f unter den Nebenbedingungen gl = ... = gm = lokale Extrema hat und in welchen (~) i.=l, ... ,m den maximalen Rang hat, gilt: Es
°
J
gibt
Al, ...
J=l, ... ,n
,Am aus IR, so dass für alle i = 1, ... ,n gilt
Man erhält ein Gleichungssystem bestehend aus diesen m Gleichungen und aus den n Nebenbedingungen. Nur solche Punkte (Xl,"" xn)T kommen als Stellen für die lokalen Extrema von f unter den Nebenbedingungen gl = ... = gm = in Betracht, für welche Al, ... , An existieren, so dass Al, ... , Am , Xl, ... , x n eine Lösung des obigen Systems mit m + n Gleichungen ist. Dieser meist einfachere Lösungsweg ist aber mit dem Nachteil behaftet, dass die Überprüfung der Extremalität noch ansteht. Dass die Überprüfung sehr unangenehm ist und Geschicklichkeit und Übung verlangt, illustrieren wir anhand des obigen Beispiels h : D 3 -t IR, h(x, y, z) = xyz und g3(X, y, z) := 2(xy + yz + zx) - 8 = 0. Der Rand von D 3 , d.h. die Menge der Punkte für die mindestens eine Koordinate ist, kommt für ein Maximum nicht in Frage, da dort h verschwindet. Sei (Xl,Yl,zd T E D 3 mit g3(Xl,Yl,zd = 2(XlYl + YlZl + zlxd - 28 = und außerhalb des Würfels K := [0,5JS] x [0,5JS] x [0,5JS]. Dann ist mindestens eine Koordinate dieses Punktes > 5JS; sei z.B. Zl > 5JS. Aus XlYl + YlZl + ZlXl = ~ folgt XlZl ~ ~ und YlZl ~ ~; deshalb gilt
°
° °
2.1 Begriffe und Ergebnisse
257 s
S
2Z1
• 2Z1
•
~ 0,
kennt man keine Stammfunktion. Sind a, b :]a, ß[-+]O, oo[
und c : IR -+]O,oo[ stetig differenzierbar, so ist das Parameterintegral
F(x)
:=
J:«:1 e 0 so klein, dass [x -c, x+c] im Definitionsbereich von tan liegt. Für h E IR, h =I- 0 und Ihl :::; c gilt:
tan(x
+ h) -
tan h
h
-h- (1
tanx
=
tan(x
+h-
+ tan x tan(x + h))
h
eos
h--+O
sinhh
(h))
+ tan x tan x +
1 sin h = cos h -h-
Man hat lim ~h = ~o = 1, lim h--+O eos
x) (1
=
(1 + tan x tan(x + h))
= 1 und lim (1 h--+O
+ tanxtan(x + h))
=
1 + tan 2 x; dabei wurde für die erste und die dritte Gleichung die Stetigkeit von cos bzw. tan benutzt. Es folgt:
1· tan(x+h) -tanx = 1 + tan 2 x = 1 + sin 2 x (tan )'() x = Im - = -12- . h--+O h cos 2 X cos X Aufgabe 3
Differenzieren Sie die folgenden Funktionen auf deren maximalen Definitionsbereichen unter Verwendung der Ableitungsregeln.
i)
x-I x2 + 1
ii)
3x
(x 2
+2 -
4)3 .
iii)
2x -1 (x 2
-
4x + 3)2
Lösung: i) Die Funktion ist auf IR definiert; in jedem Punkt aus IR gilt
(X-I)' + x2
1
(x 2
+ 1) -
2x(x - 1)
(x 2 +1)2
1 + 2x - x 2 (x 2 + 1)2
ii) Der maximale Definitionsbereich ist IR\{2, -2}. In jedem Punkt x dieses Definitionsbereichs gilt:
262
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
3(x 2
3x + 2 )' (x 2 - 4)3
(
-
4) - 3 . 2x(3x
(x 2 -
+ 2)
15x 2 + 12x + 12 (x 2 - 4)4
4)4
iii) x 2 - 4x + 3 hat 1 und 3 als Nullstellen; mit f(x) := (X2:'~;~3)2 gilt für xE IR\{1,3} f'(x)
= 2(x 2 -
4x
+ 3) (x 2 -
2(2x - 4)(2x - 1) 4x + 3)3
= _ 2(3x 2 (x 2
6x + 1) 4x + 3)3
-
Aufgabe 4
Bestimmen Sie für jede der folgenden Funktionen den maximalen Definitionsbereich und dann in jedem Punkt, in welchem die Funktion differenzierbar ist, die Ableitung.
Lösung: i) Die Funktion ist definiert auf IR. Wegen x 3 + 4x - 5 = (x - 1)( x 2 + X + 5) ist x = 1 die einzige Nullstelle der gegebenen Funktion; in jedem x aus IR\{l} gilt:
(Vx
3
+ 4x -
ii) Die Funktion ist für jedes x
5)' = ~
3 (.vx
~
+ 4 2' + 4x - 5)
3x 2 3
0 definiert. Ist x
> 0, so gilt:
11+~+~ 2
Jx+~+.yx
< x ~ 1 gilt x ~ ~ ~ .yx und damit J x + ~ +.yx > Ix· es folgt yx+~+~ .j3 und weil y'x + x + x = J3 Vw, x -> .j3xVx = Vx
Für 0
lim ~ =
x-tO+
yX
00
gilt, ist die gegebene Funktion im Nullpunkt nicht differen-
zierbar. iii) Die Funktion ist definiert auf IR; für x =P 0 hat man x und deshalb gilt:
+ Vx + .yx =P
0
2.2 Aufgaben für das zweite Kapitel
lfi und damit folgt
Für 0 < x ~ 1 gilt x ~ {/X ~
v {j x
+
x
263
+ lf;i 2:
{jx+{!x+lfi- O
für 0 < x ~ ~ :
{jx + .yx + x 2: -Yx + x = \I'2X , .y2
-'-------- > - - . x-O
Da lim
x-tO+
~/) {IX
=
00
-
(0 3 .
Daraus ergibt sich: -t -t -t -t -t -t -t -t
Auf] - 00, xIJ fällt h von 0 bis 13(x1) streng monoton. Auf [Xl, 1[ wächst 13 von 13(xd bis 00 streng monoton. Auf ]1, X2] fällt 13 von 00 bis 13(x2) streng monoton. Auf [X2' 3[ wächst 13 von h(X2) bis 00 streng monoton. Auf ]3, oo[ fällt 13 von 00 bis 0 streng monoton. In Xl und X2 hat 13 lokale Minima. In Xl hat 13 das absolute Minimum. 13 hat kein absolutes Maximum.
Aufgabe 7 Bestimmen Sie die größten Intervalle, auf welchen die folgenden Funktionen differenzierbar sind und darauf die jeweiligen Ableitungen i) f(x)
= In
Lösung: i) Es ist Df := ( UnEIN]2mf, (2n Für jedes X E D f gilt:
f'(x) =
ii) g(x)
(Si:X ) .
Si:X. (Si:X )' x
X
sinx
+ 1)1f[)
g' (x)
U ( UnEIN]( -2n - 1)1f, -2n1f[ ) .
xcosx - sinx x2
ii) 9 ist definiert auf IR. Für jedes
X
= cos(x 3 sinx).
X cos X - sin X xsinx
aus IR gilt
= - x 2(3 sin X + X cos x) sin (x 3 sin x) .
1 = cot x-- . X
266
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
Aufgabe 8 3
Untersuchen Sie, ob die Funktion I, I(x) := sinx-x+ x6 im Nullpunkt ein relatives Extremum besitzt, und bestimmen Sie gegebenenfalls dessen Art. Lösung: 2
•
Wegen I'(x) = cosx - 1 + x2 ' 1'(0) = 0, I"(x) = - smx + x, 1"(0) = 0, I"'(x) = - cosx + 1, 1"'(0) = 0, 1(4)(x) = sinx, 1(4)(0) = 0, 1(5)(x) = cosx , 1(5)(0) = 1 > 0 hat I im Nullpunkt kein relatives Extremum (5 ist eine ungerade Zahl!). Aufgabe 9 Zeigen Sie - unter Verwendung höherer Ableitungen - dass die Funktion sin kein Polynom ist. Könnten Sie diese Aussage auch anders beweisen? Lösung Wäre sin ein Polynom n-ten Grades, so wäre die (n + l)-te Ableitung von sin die Nullfunktion, was keineswegs richtig ist, weil die (n + l)-te Ableitung von sin entweder ± sin oder ± cos ist. Eine andere Begründung: sin ist eine beschränkte Funktion (mit [-1,1] als Wertebereich). Jedes Polynom vom Grad ~ 1 wächst im Betrag für x -+ 00 ebenfalls gegen 00 . Eine Variante dazu: sin ist eine periodische Funktion. Ein nicht konstantes Polynom ist nicht periodisch, weil sonst sein Wertebereich das Bild eines abgeschlossen Intervalls der Periodenlänge wäre, und damit beschränkt. Noch eine Begründung: Ein Polynom hat nur endlich viele Nullstellen; sin hat aber unendlich viele. Aufgabe 10 a) b)
Zeigen Sie, dass die Funktion I : IR -+ IR, I(x) := x + 2x 3 , streng monoton ist. Berechnen Sie, ohne 1-1 explizit anzugeben, (1-1 )'(0) und (1-1 )'(3) unter Verwendung der Differentiationsregel der Umkehrfunktion.
Lösung: a) Aus Xl < X2 folgt xr < x~, damit Xl + 2xr < X2 + 2x~, d.h. I(X1) < I(X2). b) I'(xo) = 1+6x6· Da I'(xo) > 0 für alle Xo E IR gilt, ist hiermit die Aussage aus a) noch einmal gezeigt. Es gilt 1(0) = 0 und 1(1) = 3, d.h. 1- 1(0) = 0 und 1-1 (3) = 1. Nach der Differentiationsregel für die Umkehrfunktion gilt: 1 1 (/- 1 )'( ) 1 1 ( -1)'( ) I 0=1'(0)=1+6.02=1, 3=/'(1)=1+6.12
1 -"7.
2.2 Aufgaben für das zweite Kapitel
267
Aufgabe 11
I : IR -+
a)
Zeigen Sie, dass die Funktion
IR ,
b)
streng monoton steigend ist. Bestimmen Sie die Werte der ersten Ableitung der zu I inversen Funktion I-I in 0 und in 8 (obwohl sich I-I explizit nicht angeben lässt!)
Lösung: a) Auf [0, oo[ ist die Funktion offensichtlich streng monoton wachsend. Um dies für ganz IR zu beweisen, betrachten wir die Ableitung von I :
Nun gilt eine leichte (aber doch trickreiche) Umformung von f'(x) :
+ 3x 6 + 6x 5 + 3x 4 + 2x4 + 4x 3 + 2x 2 + x 2 + 2x + 1 4x 6 + 3x4 (x + 1)2 + 2x 2(x + 1)2 + (x + 1)2 .
j'(x) = 4x 6 =
Daraus folgt sofort f'(x) ~ 0; es gilt sogar I'(x) > 0, da der erste Summand nur in 0 und der letzte Summand nur in -1 verschwindet. b) Man hat 1(-1) = 0 und 1(1) = 8. Deshalb gilt: 1 1 1 ) (0) = 1'(-1) = 7 - 6 + 5 - 4 + 3 - 2 + 1 - 4 '
-1 ,
(j
1
28 .
Aufgabe 12
a) b) c)
Berechnen Sie die lokalen Extrema von I : IR -+ IR, I(x) := ~~:;:i Zeigen Sie, dass I in Xo = 0 ein absolutes Minimum besitzt. Zeigen Sie, dass I kein absolutes Maximum besitzt.
Hinweis zu c): Berechnen Sie lim
x-+oo
.
I (x) und lim I (x) . X-t-OQ
Lösung: a) Man hat
j'(x)
= 2x(x 2 + 1) (x 2
2x(x 2 - 2)
+ 1)2
(x 2 + 1)2 - 2x . 2x(x 2 I (x) = 6 (x 2 + 1)4 "
=
+ 1)
6x
+ 1)2 , x 2 + 1 - 4x 2 1 - 3x 2 2 = 6 (x + 1)3 = 6 (x2 + 1)3
(x 2
.
268
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
Wegen f'(X) = 0 {:::=} x = 0 und 1"(0) > 0 (oder 1'(x) > 0 für x > 0 und 1'(x) < 0 für x < 0) ist 0 das einzige lokale Extremum, nämlich ein lokales Minimum. b) Das Vorzeichen von l' zeigt, dass in 0 sogar ein absolutes Minimum von f vorliegt. c) Wegen f(x) = ",2 t +1 -13 = 1 - 23+1 < 1 und lim f(x) = lim f(x) = 1 x
besitzt
x
x--+oo
f kein absolutes Maximum auf IR .
x--+-oo
Aufgabe 13
Sei f: IR -+ IR, f(x) := 3x5 - 25x 3
+ 60x -
30 .
Bestimmen Sie die lokalen Maxima und Minima von f . Bestimmen Sie die Wendepunkte von f . Bestimmen Sie die größten Intervalle, auf welchen f streng monoton ist. Fertigen Sie eine einfache Skizze von fan. Wieviele Lösungen hat die Gleichung f(x) = a in Abhängigkeit von a ? Geben Sie die Taylor-Reihe von f in -1 an. Wie lässt sich die Teilaufgabe f) "elementar" formulieren? Wie sieht eine "elementare" Lösung aus?
a) b) c) d) e) f) g)
Lösung:
a) Es gilt 1'(x) = 15x4 -75x 2 + 60 = 15(x4 - 5x 2 +4) = 15(x 2 -1)(x 2 - 4) = 15(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2) . Für lokale Extrema kommen also nur die x-Werte 1, -1, 2 und -2 in Frage. 1"(x) = 15(4x 3
-
lOx) = 30x(2x 2
-
5) .
Man hat: 1"(1) = -90, 1"(-1) = 90 , 1"(2) = 180 , 1"(-2) = -180. Deshalb liegen in -1 und +2 lokale Minima und in 1 und -2 lokale Maxima. b) 1" hat nur in 0 und
±/i Nullstellen. Es genügt sicherzustellen, dass
flll
in diesen Punkten nicht verschwindet, um behaupten zu können, dass diese Punkte die Wendepunkte von f sind. Es gilt: flll(X) = 30(60x 2 -5) , 1'"(0) =
-150 0,
=I
0 , 1'" (/i) = 1'" (-
vi)
= 30(150 - 5) = 4350
=I
0 . Deshalb sind
/i und -vi die Wendestellen von f. Es ergeben sich wegen f(O)
f(/i) -3 .
25
= 3. 245 /i-25.~/i+60/i-30 = 645 /i-30 !§.
4V 2
+
25 .
§.
!§. - 60 !§. - 30 = -
2V2
V2
65
';:::j
-4,31, f(-/i)
!§. - 30
4V2
= 0 und
';:::j
=
-55 69 die '
folgenden Wendepunkte: W 1 = (0,30) , W 2 = (/i, 645/i - 30) und W3
= (-/i, _645
/i - 30) .
2.2 Aufgaben für das zweite Kapitel
269
c) Auf]- 00, -2], auf [-1,1] und auf [2, oo[ ist f streng monoton steigend, da f'(x) > für x E]- 00, -2[ U ]-1, 1[ U ]2,00[. Auf [-2, -1] und auf [1,2] ist f streng monoton fallend, weil l' < sowohl auf] - 2, -1 [ als auch auf ]1, 2[ gilt. d) Man hat: f(O) = -30 , f( -2) = -46 , f( -1) = -68 , f(l) = 8 und f(2) = -14. Wenn man die obigen Ergebnisse berücksichtigt und dazu noch lim f(x) = 00 sowie lim f(x) = -00, ergibt sich der Verlauf des Graphen
°
x-+oo
von
°
X-+-(X)
f wie in Abbildung 2.6. y
100 50 2
x
Abbildung 2.6. Skizze von f(x) = 3x 5
-
25x 3
+ 60x -
30
e) Die Anzahl der reellen Lösungen der Gleichung f(x) = a ist die Anzahl der Punkte, in welchen der Graph von f und die Gerade y = a sich schneiden. Auf jedem abgeschlossenen Intervall I, auf welchem f streng monoton ist, gibt es höchstens einen solchen Schnittpunkt. Wegen des Zwischenwertsatzes gibt es einen Schnittpunkt (dessen erste Koordinate in I liegt) genau dann, wenn min f(x) :S a :S max f(x) xE!
xE!
gilt. Deshalb (vgl. Abbildung 2.6, aus welcher die Monotonieintervalle leicht abzulesen sind) folgt, dass die Gleichung f(x) = a für
-+ -+ -+ -+
a
< -68 eine reelle Nullstelle im Intervall]- 00, -2[ hat;
a = -68 eine reelle Nullstelle im Intervall] - 00, -2[ und eine doppelte
Nullstelle in -1 hat; -68 < a < -46 drei verschiedene reelle Nullstellen hat, und zwar je einein]-00,-2[, ]-2,-1[ und ]-1,0[; a = -46 eine reelle Nullstelle im Intervall] - 1,0[ und eine doppelte Nullstelle in -2 hat;
270
-+ -+ -+ -+ -+
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül -46 < a < -14 eine reelle Nullstelle im Intervall] - 1, 1 [ hat; -14 eine reelle Nullstelle in ]0, 1[ und eine doppelte Nullstelle in 2 hat; -14 < a < 8 drei verschiedene reelle Nullstellen hat, und zwar je eine in ]0, 1[, ]1,2[ und ]2, i~[; a = 8 eine reelle Nullstelle im Intervall]2, i~ und eine doppelte Nullstelle in 1 hat; a > 8 eine reelle Nullstelle im Intervall [i~, oo[ hat.
a =
[
°
Dabei wurde berücksichtigt, dass f(2, 3) < und f(2, 5) > 22 gilt. f) Wegen f(x) = 3x 5 - 25x 3 + 60x - 30, 1'(x) = 15x 4 -75x 2 + 60, 1"(x) = 60x 3 - 150x , flll(X) = 180x 2 - 150 , f(4)(x) = 360x , f(5)(X) =
°
°,
360 und f(6)(x) = folgt f( -1) = -68 , 1'(-1) = 1"(-1) = 90, 1"'(-1) = 30 , f(4)( -1) = -360 , f(5)( -1) = 360, und nach dem Satz von Taylor gilt
f(x) =
f(k)( 1) k!- (x+l)k = -68+45(x+l)2+5(x+l)3-15(x+l)4+3(x+l)5 .
L 5
k=O
g) Man könnte die vorige Teilaufgabe (da f ein Polynom ist) elementar so formulieren: Man schreibe f als Polynom in x + 1 . Das lässt sich mit elementaren Umformungen leicht bewältigen:
f(x) = 3[(x + 1) - 1]5 - 25[(x + 1) -
IP + 60[(x + 1) -
1]- 30
= 3[(x + 1)5 - 5(x + 1)4 + lO(x + 1)3 - 10(x + 1)2 + 5(x + 1) - 1] -25[(x + 1)3 - 3(x + 1)2 = 3(x + 1)5 -
+ 3(x + 1) - 1] + 60(x + 1) 15(x + 1)4 + 5(x + 1)3 + 45(x + 1)2 - 68 .
90
Aufgabe 14
Es sei f: IR -+ IR, f(x):= (x -1)2cos(~x). a) b)
Bestimmen Sie die ersten fünf Summanden der Taylor-Reihe von Xo = 1. Berechnen Sie die Taylor-Reihe von f in Xo = 1 .
Lösung: a) Man hat f(xo) weil:
= 1'(xo) = 1"(xo) = 0,
flll(XO)
= -37r und
f(4)(XO)
f in
= 0,
2.2 Aufgaben für das zweite Kapitel
271
Damit sind die ersten fünf Koeffizienten der Taylor-Reihe von j in
Xo =
1:
Die Summe der ersten fünf Summanden ist also 2:!=0 an(x - xo)n = - ~(x - 1)3 . b) Es gilt j(n)(x) =
2:J=o (])[(x
- 1)2](j) [cosGx)](n- j ) und deshalb auch
j(n)(l) = (~) ·2· [cos(~x)](n-2) Ix=l für alle n 2:: 2. Ist n gerade, so gilt j(n)(l) = O. Sei n = 2k + 1 mit k 2:: 1. Dann gilt [cosGx)](2k-1)(1) = (-l)k . G)2k-1 und damit ( _l)k
(-l)k (2k+1) (7r)2k-1 an = a2k+l = (2k + I)! . 2 .2'"2
(2k - I)!
Aufgabe 15
Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte mit der Regel von de l'Hospital: i)
lim
sm5x iv) lim sin(sin x) x--+o
ii)
s~n 3x .
x--+o
x
.
vii) x--+1 lim ~. sm 211"X
v)
r
x~
r
x~
,2
cos x-1+ 2
iii) lim (sin 3x )sin 5x
x4
x--+o+
sin(sinx)-x x3
VI')
.
viii) lim cosx ·ln(x -~).
l'1m -'-45'-1 sm x
x--+o
.
.
ix) lim (tan2x)sin3x .
x--+ ~ +
x--+o+
Lösung: i) Da lim sin 3x = 0 = lim sin 5x gilt, untersucht man die Existenz von x--+o
x--+o
lim (s~n3x):. Es gilt lim (s~n3x): x--+o (sm5x) x--+o (sm5x)
= x--+o lim 3cos3x = ~ und damit lim s~n3x = ~ . 5cos5x 5 x--+o sm5x 5
ii) Es gilt: lim (COs x-I + X22 ) = 0 = lim x 4. Deshalb soll festgestellt werden, x--+o
(
,2),
r cos x-1+2 ob x~ (x 4 )'
x--+o
existiert. Wegen (cos x-I
+ 2 X
2
),
= - sin x
+ x, (x 4 )' =
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
272
°
+ x) = =
4x 3 und lim ( - sin x x~o
lim 4x 3 folgt, dass man es erneut mit der
x~o
Regel von de l'Hospital versucht. Es gilt lim ( - sin x+x)' = lim ( - cos x+ 1) =
°
x~o
x~o
und lim (4x 3 )' = lim 12x 2 = 0. Deshalb wird untersucht, ob lim (-t102s~tl)l x~o
x~o
existiert. Man erhält lim (- cos x x~o
+ I)'
°
= lim sin x =
x
x~o
und lim (12x 2 )' =
x~o
x~o
lim 24x = 0. Durch nochmalige Anwendung der Regel von de l'Hospital
x~o
ergibt sich ~~ w~:r
= ~~ c~~ x =
existiert und ist gleich 214 iii) Es gilt lim sin 3x =
°=
x~o
214
.
Also: Der gesuchte Grenzwert
.
lim sin 5x und sin 3x
x~o
alle x aus )0, ~l Deshalb wird die Funktion h :)0,
h(x):= In [(sin3x)Sin5x]
>
°
sowie sin 5x
>
H--+ IR,
°
für
= sin5xln(sin3x) = ln~x) sin 5x
betrachtet. Da lim In(sin3x) = x~o+
-00
und lim ~ = x~o+
x
m
00
gilt, untersucht
man, ob lim [l(~):]' existiert. Es gilt x --+0+
sin 5:1:
. 3 x ))' [1 n (sm · 11m = l'1m
x~o+
(
1)' sin5x
3 cos 3x sin3x
x~o+ _
3 cos3x lim - - . (sin 5x)2 = 5 x~o+ cos5x sin3x
5.cos5x
~
weil: lim cos 3x = 1 = lim cos 5x, lim sin 5x =
° '
°
und lim s!n 5x = lim 5 cos 5x x~O sm 3x x~O 3 cos 3x = ~. Damit hat man lim h(x) = 0; wegen der Stetigkeit der Exponentialx~o
x~o
x~o
x~o+
funktion ergibt sich lim sin 3xsin 5x x~o+
iv) Es liegt der Typ
=
1.
gvor. Der Grenzwert
lim (sin(sinx))' = lim cos(sinx)· cosx = ~ = 1 (x)' x~o 1 1
x~o
existiert, und deshalb gilt auch lim sin(sin x) = 1. x~o
v) Es liegt wieder der Typ
gvor. Da
x
lim[sin(sinx) - x)' = lim[cos(sinx)· cosx -1) =
x~o
und lim (x 3 )' = lim 3x 2 = x~o
x~o
°
x~o
gelten, versuchen wir noch einmal mit der Regel
von de I'Hospital; es gilt: lim (3x 2 )' x~o
= lim (6x) = 0 und x~o
lim [cos(sin x) . cos x-I)' = lim [- sin(sin x) . cos 2 X
x~o
°
x~o
-
cos(sin x) . sin x) = 0 .
273
2.2 Aufgaben für das zweite Kapitel
Deshalb wenden wir noch einmal diese Regel, und diesmal haben wir Erfolg: lim(6x)' 6 und -lim[sin(sinx) . cos 2 x + cos(sinx) . sinxl' x~o
x~o
- lim [cos(sin x) . cos 3 X - sin(sin x) . 2 sin x cos x - sin(sin x) . sin x cos x x~o
+
= -2 . Es folgt lim sin(sin3x)-x = lim [sin(sin3xl;;-xl'" = - 1 . x~o x x~o (x ) 3 vi) Es liegt der Fall § vor. Wegen (5 -1)' = 5x ln5 und (sin4x)' = 4cos4x folgt lim (5. _1( = In5 und damit auch lim 5. _1 = In5 . x~o (sm4x) 4 x~O sm4x 4 vii) Es gilt lim Inx = = lim sin271"x. Da (lnx)' = 1 und (sin271"x)' = x 1 • 271" cos 271"x sowie lim 1 = 1 und lim cos 271"X = 1 gelten, folgt lim .ln2x = -2 x sm 7rX cos(sinx) . cosx]
X
z
°
x~1
z
x~1
°
x~1
x~1
x~1
viii) Man hat lim cos x = und lim (x- ~) = x-+t+ x-+~+ die Regel von de l'Hospital (beachten Sie: lim
x-+~+
Umformungen [In(x-"')]' I 2, ['C"O'ä"i"]
sowie lim c~;: x-+t
x
2
-00.
Für In(x; ~) kann man ~
_1_
cosx
= -(0) anwenden. Die
~ =...::;:::.L = x-~ cos x • C?S x die Grenzwerte lim C~;20ll3l Slnx' x-+t
= x-+~ lim
t~~ ~ X
2
r=
lim ( - sin x)
x-+~
7r
= -1
C?S x
Slnx
=
°
und (die nochmalige)
Anwendung der Regel von de l'Hospital führen zum Ergebnis: 71") lim cos x . In ( x - = 2
x~~+
lim
x~~+
In(x1
cosx
ZC ) 2
=
°.
ix) Die FUnktion g(x) := (tan 2x)sin3x hat nur positive Werte auf ]0, ~l Es genügt deshalb, lim Ing(x) zu berechnen und dann (falls dieser GrenzX~O+
wert im IR existiert!) die "Rechenregel" lim g(x) = exp( lim Ing(x)) zu X~O+
X~O+
benutzen. In g(x) = (sin 3x) In tan 2x wird in In t'in 2x umgeformt, und darsin 3a:
2
auf wird die Regel von de l'Hospital angewandt. Mit [ln tan 2x l' = ia~ q; = 2 _ _4_ und (_1_)' - _3cos3x _ 3 sowie wegen sin 2x cos 2x - sin 4x sin 3x sin 2 3x sin 3x tan 3x lim tan 3x = und lim s~n 34 X = -43 (z.B. mit Hilfe der Regel von de l'Hospital: x~o x~o sm x lim s~n 3x = lim 3cos 3x = l ) erhält man: x~O sm 4x x~O 4cos 4x 4
°
· 1n g () 2x = l'1m ~ 11m x = l'1m In tan 1 -3 x~O+ sin 3x x~O+ sin 3x tan 3x
x~O+
°
l'1m --4-' sin 3x l'1m tan 3x = . = - -34 X~O+ sin x X~O+ Deshalb ist: lim (tan 2x )sin 3x = eO = 1 . X~O+
274
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
Aufgabe 16
Es sei k 2: 2 eine natürliche Zahl, a > 1 eine reelle Zahl und !k : [ qa, 00[-+ IR die durch !k(x) = x k - a definierte Funktion. a)
Zeigen Sie, dass für jedes x 2:
'ljJ(x) b) c)
qa gilt:
fk(X) kC x - fk(x) 2: ta und
:=
k- 1 2 l!k(x)· fk'(x) I < -k- fk(x) .
Geben Sie die Iterationsvorschrift nach Newton zur Berechnung von ~ an. Berechnen Sie soviele Iterationsschritte bis sich die ersten 7 Stellen nach dem Komma nicht mehr ändern. (Wegen 1,45 > 3 dürfen Sie mit Xl := 1, 4 anfangen).
Lösung:
- (::~:)I = x - ::k~~ = (1 - i)x + kx L1 , 'ljJ'(x) = 1 - i - (k - l)W = kk l (1 - -? für alle x > qa. Deshalb liegt in qa das absolute Minimum von 'ljJ auf [ qa, 00[. Für x > qa hat man a) Es gilt 'ljJ(x)
=x
'ljJ(x)
°
> 'ljJ( (ja) =
(1 - ~) {ja + k( ~)k-l = {ja .
Wegen Ifk(X)fk'(x)1 = (x k - a) . k(k - 1)x k- 2 = (k - 1)k[x 2k - 2 - ax k- 2] und kk l . fk(x)2 = kk l . k 2x 2k - 2 = (k _1)kx 2k - 2 ist die zweite Ungleichung offensichtlich. b) Die Rekursionsformel
Xn+l
= Xn -
fk(X n) - (f ') k Xn
= Xn -
x~-a kX n
~
=
(1)-k Xn + 1-
a kX n
~
ergibt für a = 3 und k = 5 :
c) Es gilt Xl = 1,4, X2 = 1,276184923 ... , X3 = 1,247150131 ... , X4 = 1,245734166 ... , X5 1,24573094 ... , X6 1,245730939 ... , X7 = 1,245730939 .... Also ist ~ ~ 1,24573094 die gesuchte Annäherung. Aufgabe 17
Sei f :]0,00[-+ IR durch f(x) := ~ -lnx gegeben. a)
Berechnen Sie mit einem einfachen Taschenrechner f(l, 8) und f(l, 7) .
2.2 Aufgaben für das zweite Kapitel b) c)
275
°
Zeigen Sie, dass l' < auf ]0, oo[ gilt. Zeigen Sie, dass auf [g , ~~] gilt: I/(x)1 < 0,0577, 11'(x)1 > 0,864, 1f"(x)1 < 0,7532.
d)
Folgern Sie daraus, dass für q = 0,058 die Bedingung (aus dem NewtonVerfahren)
I/(x)f"(x)1 ~ ql!,(x)1 2 e) f)
g)
für
x
E [~~ , ~~]
erfüllt ist. Berechnen Sie für 1 und Xo = 1,7 die ersten zwei Glieder Xl und X2 der Folge (X n )n::::1, die gemäß dem Newton-Verfahren bestimmt wird. Zeigen Sie, dass für x* = lim X n gilt: n-too
Wieviele Stellen hinter dem Komma haben gemeinsam?
x*
und
X2
(mindestens)
Lösung:
1(1, 8) ~ 0,5555555 - 0, 5877867 ~ -0,0322311 , 1(1, 7) ~ 0,588235294 - 0, 530628251 ~ 0,057607042. b) I' (x) = - -f.s - ~ ist offensichtlich negativ für alle x > c) 1 nimmt ab auf ]0, oo[ und ist dort negativ. Deshalb gilt für x E [~~, ~~] a)
°.
= max{O, 0322311 ... ,0,05760 ...} < 0,0577 .
°
Da f"(x) = ~ + -f.s positiv für alle x > ist, wächst l' auf ]0, 00[. Für alle x aus [g, ~~] folgt 1'(x) ~ 1'(1,8) = -~ - 1~8 = -0,86419753< -0,864, und damit 11'(x)1 > 0,864. Man hat f"(x) = ~ + -f.s. Deshalb nimmt f" auf [g, ~~] ab; es gilt also für 17 18]. a 11ex E [ 10' 10 • f" (x) ~ f" (1,7) = 0,4070832 ... + 0,3460207 ... = 0,7531040 ... < 0,7532 . d) Aus c) folgt für alle x E [g, ~~]
:
I/(x) . f"(x)1 < 0,0577·0,7532 = 0,04345964< 0,043296768
= 0,058.0,8642
0 für x e] - A/2,2[ und für die Ränder gilt lim f'(x) = - o o , lim f'(x) = oo. Die Funktion / hat also in — y/2 z—>• —2+
x->2 —
nicht nur ein lokales Minimum, sondern das absolute Minimum; es gilt f(-y/2) = - 2 A / 2 . Wegen / ( - 2 ) = - 2 und f{2) = 2 ist 2 das absolute Maximum von / . / " ist positiv auf ] - 2,2[, und damit ist / konvex auf [-2,2] .
280
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
Unter Benutzung dieser Erkenntnisse sowie unter Verwendung der berechneten Werte und Grenzwerte kann man Abbildung 2.8 anfertigen. Aufgabe 21
Diskutieren Sie - unter Verwendung des Kurvendiskussionsprogramms - den Verlauf des Graphen der durch J(x) = x + ~ gegebene Funktion. Fertigen Sie eine Skizze an. Lösung: 1. Schritt (Definitionsbereich, Randverhalten)
Der maximale Definitionsbereich D(f) ist]- 00, -1] U [1, 00[. In hat man die Grenzwerte lim J(x) =
x-+-oo
lim
x-+-oo
und
-00
2 (x+~) = x-+-oo lim x - ~ X x2 - 1
=lim
1
x-+-oox-~
=0
lim J(x) = lim (x+~) =
x--+oo
00
x--+oo
00.
In den Randpunkten hat man das folgende Verhalten: lim J(x)=J(-I)=-I+O=-I, lim J(x)=J(I)=I+O=l. x-+-1x-+1+
J, wenn x gegen -00 = lim x+v'X2=T = lim (1 + VI - ~) = 2 und x--+oo x x--+oo x
Die negative Halbgerade y = 0 ist die Asymptote für strebt. Wegen lim iJ:j x--+oo
x
lim (f(x) - 2x = lim (~ - x) = lim x2_1_x 2 = lim -1 = 0 x-+oo x-+oo Vx2=1+x x-+oo v'x 2-1+x ist Y = 2x die Asymptote von J, wenn x gegen 00 strebt. x-+oo
2. Schritt (Stetigkeitsverhalten) J ist stetig auf D(f) . 3. Schritt (Monotonie-Verhalten) f'(x) = 1+ v' ~ 1 ist stetig auf]-oo, -I[U]I, 00[. Es gilt lim f'(x) = -00 xx-+-1-0 und lim f'(x) = 00. f'(x) > 1 für x E]I,oo[, und J ist streng monoton x-+1+0 steigend auf [1,00[. Ist x < -1, so ist 1 + v'x~-1 < 0, und damit ist J streng monoton fallend auf]- 00, -1]. Insbesondere hat
J keine relativen Extrema.
4. Schritt (Konvexitäts-Verhalten) v'x 2-1-x·_2-"2_1_x 2 1 . d es x E D(J). J "( x ) -x2-12~ -- (xx 2_1)3/2 - - (x2-1)3/2 < 0 f"ur Je Damit ist J sowohl auf]- 00, -1] als auch auf [1, oo[ konkav.
281
2.2 Aufgaben für das zweite Kapitel 5. Schritt (Skizze) y
-1
Abbildung 2.9.
/(x)
=x -
";x 2
-
1
Aufgabe 22 3
Diskutieren Sie den Verlauf des Graphen der Funktion f , f(x) = :l}-1 . Lösung: Der maximale Definitionsbereich von fist
IR\{I, -I} =]- 00, -1[ U]- 1, 1[ U ]1, 00[. Es gilt: f( -x) = - f(x) (d.h. f ist ungerade), lim f(x) = x-too lim f(x) x-t-l+
00,
limx-t-oo f(x)
= 00,
lim x-tl- f(x)
= -00, = -00,
= -00 , = 00 .
lim f(x) x-t-llim f(x) x-tl+
= -1 und x = 1 sind senkrechte Asymptoten. = 1 = x-t-oo lim iM, lim (f(x) - x) = x-too lim x LI = Wegen x-too lim iM x x x-too Also: x
+1 °
°
und
lim (J(x) - x) = lim = folgt, dass y = x sowohl in Richtung x-t-oo x-t-oo x 00 als auch in Richtung -00 eine Asymptote von fist. Die Funktion f ist differenzierbar auf ihrem Definitionsbereich. Die Nullstel3 • d x 4 _3x 2 sm M3 un d -YoJ. M3 E s gl·lt Ien von f '( x ) -- 3x 2 (x(x2 -1)-2x.x - ~ ,YoJ 2 _1)2
°
f(O)
= 0,
f ( -v'3)
= 3~1 = -
° j'(x) < °
j'(x) >
{:=? {:=?
2# und f (v'3) = 2#. Man hat
-v'3[ U ]v'3, oo[ , x E]- v'3, -1[ U]- 1, O[ U ]0, 1[ U ]1, v'3[ .
x E]-
00,
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
282
Insbesondere hat f' im Nullpunkt kein lokales Extremum. Nun berechnen wir die zweite Ableitung von f, sie lautet 2x(x 2 + 3) (x 2 - 1)3
Die einzige Nullstelle von
1" ist
0; es gilt:
reX) > °{: : : } x E]-I,O[ U ]1,00[, rex) < °{: : : } xE]- 00, -1[ U ]0, 1[.
Daraus ergibt sich eine Skizze gemäß Abbildung 2.10. f(x)
,
"
,
'..
-3
-5
:
,
"
,:'-1 ,
-3
-5
Abbildung 2.10. Skizze von fex) = :z:f~l
Aufgabe 23
Berechnen Sie das Newtonsche Interpolationspolynom für die Stützstellen · f"ur d'1e Wer t e Yo = Xo = , Xl = 61 ' X2 = :31 , X3 = 1 2" SOW1e , Y1 = .1... 12
'
°- f l
Y2 -
6
°
un d Y3 -1 - 2
.
Lösung:
Wir werden zuerst die Koeffizienten (die dividierten Differenzen!) f(xo], f[xo, Xl], f(xo, Xl, X2] und f[xo, Xl, X2, X3] berechnen. Dies tut man am besten mit dem bekannten Schema, wie in der folgenden Tabelle:
2.2 Aufgaben für das zweite Kapitel
o 0 1
1
6 12
283
1
-
2
3V3 - 3
1 V3 - -
27 - 18V3
2
1 V3 21 _ 6V3 362 3 - V3 1 1 - 2 2 Nun stellen wir das Interpolationspolynom in der Newtonschen Form dar:
P3(X) =
~x + (3V3 -
3)x ( x -
~)
~)
+ (27 - 18V3)x ( x -
(x -
~)
Wenn man ausmultipliziert, bekommt man dass folgende Polynom
P3(x) =
~x + (3V3 - 3)x 2 - ~(V3 - 3)x + ~(3 - 2V3)x - ~(27 - 18V3)x2 2 2 2 2
+(27 - 18V3)x 3 = (27 - 18V3)x 3 + ( 12V3 - 323 ) x 2 +
(~- ~V3 )
x .
Aufgabe 24
a)
b)
Bestimmen Sie das Lagrangesche Interpolationspolynom P4 für die Funktion f, f(x) = sin 11"6X mit den Stütz stellen Xo = 0, Xl = -1, X2 = 1, X3 = -2 und X4 = 2 . Schätzen Sie den Fehler f(x) - P4(x) für x E [-3,3] .
Lösung: Das Interpolationspolynom P4 von fist P4 (x) := L:!=o YkLk(X), wobei gilt: Yo
.00 . ('Ir) . "6'Ir = 21' = sm = , YI = Sln -"6 = - 21 ' Y2 = sm
Y3
. = sm
( - 62'Ir) = -""2 Y3
und
Y4
. 62'Ir = ""2' Y3 = sm
sowie
Lo(x) = (x + l)(x - l)(x + 2)(x - 2) = x 4 - 5x 2 + 4 1·(-1)·2·(-2) 4' LI(x) = L ( ) 2
X
x(x - l)(x + 2)(x - 2) (-1)(-1-1)(-1+2)(-1-2)
= x(x +
l)(x + 2)(x - 2) 1(1+1)(1+2)(1-2)
x 4 - x 3 - 4x 2 + 4x 6
= _ x4 + x 3 -
4x 2 - 4x 6'
284
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
L 3(x) =
x(x + l)(x - l)(x - 2) (-2)( -2 + 1)( -2 - 1)(-2 - 2)
x 4 - 2x 3 - x 2 + 2x 24
L ( ) = x (x + 1) (x - 1) (x + 2) = x 4 + 2x 3 - x 2 - 2x 4 X 2(2+1)(2-1)(2+2) 24 . Damit erhält man: 1
P4(x) = 12 [x 4 - x 3 - 4x 2 + 4x - x 4 - x 3 + 4x 2 + 4x]
V3 4 + 2x 3 + x 2 - 2x + x 4 + 2x 3 - x 2 - 2x] + _[_x 48 1 3 V3 3 V3-2 3 =6(-X +4x)+12(x -x)=~x
b) Wegen f(5)(x) = (1'-)5 cos 6
If(x) - P4(x)1 =
+
8-V3 12
x.
und max If(5)(x)1 = (1'-)5 gilt:
TrX
6
xE[-3,3]
6
7rX 2 - V3 8 - V3 x ) I . (5 + ( -1-2 -x 3 - -1-2Ism 7r 5
7r 5
7r 5
< -lx(x 2 -1)(x 2 -4)1< -3·8·5= - 5 < 003935. - 5!6 5 ' - 5!6 5 6 Man beachte, dass auf [-3,3] gilt:
lxi :S 3, Ix2 -
11 :S 8, Ix 2
-
41 :S 5 .
Aufgabe 25
Betrachten Sie die Funktion f, f (x) := (x a) b)
c)
i) sin x
.
°.
Bestimmen Sie das Taylor-Polynom T 4 von f im Punkt Xo = Seien Xo = 0, Xl = % ' X2 = i ' X3 = ~ und X4 = 2;. Für j E {O, ... ,4} sei Yj der Wert f(xj). Berechnen Sie das Lagrangesche Interpolationspolynom P4 zu den Stützstellen Xo, ... ,X4 und den Werten Yo,···, Y4 . Geben Sie für x E [0, 2;] die Fehlerabschätzung des Fehlers f (x) - P4(x) an.
Lösung: r' x a) u vvegen sm x = x - "6 3
T4(x)
=
(
x + 120
x - -7r) 3
b) Es gilt Yo = 0, Yl = -
5
(
-
3 x - -x 6
;2 ' Y2
rr n
ergeben die Formeln Lk(x) :=
i=O
i#
+ ... r10Igt
X7
5040
)
=-
= 0, Y3 =
::k__x;i
7r + x 2 -x 3
7r 3 --x 1 4 + -x 18 6'
%, Y4 =
und Pn(x) :=
Tr?
In unserem Fall
2::Z=0 YkLdx)
(L o und
2.2 Aufgaben für das zweite Kapitel
°
= = Y2
L 2 braucht man wegen Yo
L 4(x) = X (x -
!
gar nicht zu berechnen):
~ ~: ~Ki K(x - ~) 3
2
3
285
= 3x(6x -
1f)(~:: 1f)(2x -
1f) ,
6
P ( ) = x(3x - 1f)(2x - 1f)(3x - 21f) _ 2x(6x - 1f)(3x - 1f)(3x - 21f) 4 X 3 31f 3 1f
+
V3x(6x -1f)(3x -1f)(2x -1f) 41f 3 = ....
c) f(5)(X) = [(x - i) sinxl(5) = 5(x - i)' . (sinx)(4) + (x - i)(sinx)(5) 5 sin x + (x - i) cos x . Deshalb folgt für alle x E [0, 2n die (ziemlich grobe!) Abschätzung If(5)(x)1 ~ 5+ i
< 6,05 und damit (wegen
~,gg
< 0,0505)
Das Produkt zweier positiver Zahlen, deren Summe s ist, ist kleiner gleich
(~)2. Ist x E [j~, (j + 1)~], so ist deshalb I(x - j~)(x - (j + 1)~)1 ~ Schreibt man x(x- ~)(x- i)(x- ~)(x- 2;)
-&.
= (x-H)(x-(j+1H)(x-k~)(x-l~)(x-m~)
mit {0,1,2,3,4} = {j,j + 1,k,l,m} - also entsteht j,j + 1,k,l,m aus 0,1,2,3,4 durch eine Permutation -, so hat man für x E [j~,(j + 1Hl die Abschätzung
Insgesamt erhält man für x E [0, 2;] die keineswegs optimale, aber brauchbare Abschätzung Ix(x - ~)(x - i)(x - ~)(x - 2;)1 ~ wird der Fehler abgeschätzt:
If(x) - P4(x)1
~
-& . "g3
0,0505·0,24 = 0,01212.
< 0,24 . Damit
286
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
Aufgabe 26
Bestimmen Sie den kubischen Spline, der die Funktion 1, 1(x) = x cos 7r4X auf {I, 3, 5} interpoliert und die Bedingungen s'(l) = 1'(1) sowie s'(5) = 1'(5) erfüllt. Lösung:
Es soll also gelten (wegen 1'(x) = cos
-3f,s(5)
=
=
-5f sowie s'(l)
7r4X
-
7r4X
sin
,s(l) = ~, s(3) =
7r4X )
=
1(1- ~),s'(3)
-1(1
+ 3n,
s'(5) = -~(1- 5n. Der gesuchte Spline s wird auf [1,3] durch s(x)
1\ = ~(x-1)3-i?2(x-3)3+(~-s~.~)(x-1)-(~-s~.~)(x-3), 11
11
01
013\
und auf [3,5] durch
s(x) = ß.(x - 3)3 - -h(x - 5)3 + (~- s~· ~)(x - 3) - (S~3) - s~· ~)(x - 5) angegeben. Dabei werden s~, s~ und ren Gleichungen gewonnen: 11
So .
11
So
2
11
4
2
11
2
11 •
~ 6
2
11
s~
6 + Sl . 3" + S2 . 6 =
+ S2
11 •
2s~
+ s~
+ s~ s~
2
-
~ _ _ s(5) - s(3) 32
d.h. aus s~ +4s~
s(5) - s(3)
s(3) - s(l) 2
= s(3) - s(l) _ s'(l) 2
.3" + Sl ·6 Sl
aus dem folgenden System von linea-
+s
'(5)
=
23 (s(5)
- s(l)) - 3s(3)
=
23 (s(3)
- s(l)) - 3s'(1)
,
3
+ 2s~ = 2 (s(3) - s(5)) + 3s'(5) .
Es folgt:
331
s~
= 4 (s(5) + s(l)) - 2s(3) + 2 (s'(l) -
s~
= -
~s(l) + ~s(3) - ~s(5) - ~s'(l) + !s'(5)
s~
= -
~s(l) + ~s(3) - ~s(5) -
8 8
2 2
8 8
4
!s'(l) 4
s'(5)) 4
+ ~s'(5) . 4
2.2 Aufgaben für das zweite Kapitel
287
Mit den Werten von 8(1),8(3),8(5),8'(1) und 8'(5) erhält man 8" = _ 23 h 08
+ 37rV2
8'1'
8'
= 5V2 _ 4
37rV2 8'2' 8'
= _ 5V2 + 97rV2 8
8
.
Hiermit ist der Spline 8 vollständig berechnet. Aufgabe 27 Berechen Sie die folgenden Integrale durch Angabe einer Stammfunktion: 1
2
i)
J J .J+
J J J+ J o
ii)
3 +\x 2dX .
-8
vii)
o
iii)
1 2 4x - 5x
v)
2 1 dx. x - 2x - 15
2
J J
+ 1 dx
.
. VI)
viii)
o
J ~
ix)
cos4x d sin x cos x cos 2x x.
sinx dx. cosx
~
*
~
12
x)
8x - 5 2 dx . 4x - 5x + 1
"3
cosx 4' dx . smx
3
2~ _15 dx .
3
2
~
"6
sinx 2 3 dx. cosx
x2 _
6
3
2~
""3
4 +19x2dX.
o
-4
iv)
11
V3
v'7
Lösung:
i) Wegen
1 ~ 3+7x
und (arctant)' =
vh arctan( VIx)
_13
1 ~ 2 1+]jx
_13
-
.1f3-JI 1+(JIx)2 7 -
Izx ))' = 1+(JIx)2 JI V"3 eine Stammfunktion von 3+~X2' Also: 1
l+t 2
folgt (arctan(
~
( arctan
~-
arctan 0 )
ii) Analog zu i) erhält man
1
In
7r
= 6(arctan v 3-arctanO) = 18'
1 JI v'21 1+(VkX)2 und deshalb ist
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
288
iii) Es gilt x 2 - 2x -15 = (x + 3)(x - 5) und damit
xL21X_15
= k( X~5
-
X~3).
Deshalb ist k(ln(x - 5) -ln(x + 3)) eine Stammfunktion von Beide Funktionen, also ln(x - 5) und ln(x + 3) sind auf [6,11] definiert. Es folgt x L 21X_15.
11
1 1 1 54 2 dx = -[ln 6 -ln 14 -ln 1 + In 9] = -lnx - 2x - 15 8 8 14
/ 6
1 27 1 = sln 7 = S(ln 27 -ln 7) ~ 0,169. iv) Weder ln(x - 5) noch ln(x + 3) sind auf [-8, -4] definiert. Deshalb betrachtet man die Stammfunktion k In ~+~, da ~+~ positiv auf [-8, -4] ist. Es folgt: /
-4
-8
1 1 x - 51- 4 1 ( 13 ) 1 45 ---,,--,,---cc-cdx = -ln - = - In 9-ln = -ln x 2 - 2x - 15 8 x + 3 -8 8 5 8 13
~
0,155.
v) Die Lösung von iii) ist hier Vorbild: 3
3
/ 4x 2 2
-
3
1 dX=/ 1 dX=/ 5x + 1 (4x - 1) (x - 1) 2
=
2
[~ln( x-I) - ~ ln( 4x -
[JE...-~]dX x-I 4x - 1
1) ]
I:
1 4 1 4 7 = 3" In 2 - 3" (ln 11 - In 7) = 3" In 2 + 3" In 11
.
vi) Wegen (4x 2 - 5x + 1)' = 8x - 5 ist In(4x 2 - 5x + 1) eine Stammfunktion der zu integrierenden Funktion. 4x 2 - 5x + 1 hat die Nullstellen 1 und deshalb ist 4x 2 - 5x + 1 strikt positiv auf dem Integrationsintervall. Es gilt:
:t;
/
2
3
4
8x _ 5 dx=ln(4x 2 -5x+l) x - 5x + 1 2
3
1
2
=ln22-ln7~1,1451.
vii) Die Ableitung von 2 + 3cosx ist -3sinx. Deshalb schreiben wir anstelle von 2+s~~~sx das Produkt !3 . 2+33s~~Sxx und wir erkennen sofort, dass die Funktion - ~ In(2 + 3 cos x) eine Stammfunktion von 2;~~~S x ist. Da 2 + 3 cos x auf [0, 2;] von 5 bis ~ monoton abnimmt, ist In(2 + 3 cos x) auf [0, 2;] wohldefiniert, und es folgt: 2"
/
3 __ si_n_x_dX
o
2 + 3cosx
=
-~ In(2+3cosx) I~ 3
0
In 5 - In 1 In 10 = --ln 10 3 3
_ _-=-2
~
0,7675 .
2.2 Aufgaben für das zweite Kapitel viii) Mit (3
+ 4sinx)'
289
= 4cosx erhält man
J ~
6
o
1 . - -cosx . - d x = -[ln(3 + 4smx)] 3 + 4smx 4
~
1
6
0
1 = -4(ln5 -ln3)
~
0,1277.
ix) Wegen [(COSX)2/31' = - ~ ~~~:x folgt:
J.y i
~
sinx 3 2 3 3"~ 3 - - d x = - -[(cosx) /]1 = - ( cos x 2 1C 2
~3 3
6
"6
1 - - -) 4 W
~ 0,4179.
x) Wegen sin 2a 2 sin a cos a folgt sin x cos x cos 2x = ~ sin 2x cos 2x sin 4x. Die Funktion sin 4x ist positiv auf ]0, H; deshalb erhält man
i
J ~
il
1T
J ~
cos 4x . 2 dx=4 sm x cos x cos x
il
~
cos 4x . -·-4- dx =ln(sm4x) sm x
1 12
~
24
11'
24
1
=-2ln3~0,5493.
24
Aufgabe 28
Berechnen Sie die folgenden Integrale und stellen Sie fest, welchen Bedingungen die Integrationsgrenzen a und ß genügen müssen.
J ß
i)
x2
'"
dx
+ 4x -
J
ii)
5
vx 2
'"
J '"
Lösung: Es gilt x 2
+ 4x -
x2+!x
J ß
dx
+ 4x -
iv)
5
'"
ß
v)
dx x 2 +4x+ 5
'"
ß
iii)
J ß
dx V5 - 4x - x 2
J ß
vx 2
dx
vi)
+ 4x + 5 + 5)(x ~
5 = (x
'" 1) und x 2
-lh·
(x 2
+ 4x + 5 =
dx
+ 4x -
(x
5)2
+ 2)2 + 1.
i) Man hat 5 = Deshalb dürfen 1 und -5 nicht in [a, ß] liegen, d.h. a, ß liegen entweder beide in ]- 00, -5[, oder in ]- 5, 1[, oder in ]1,00[. Es gilt:
290
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
1 +d: ß
x2
I:
(~ln Ix - 11 - ~ In Ix + 51 )
x_ 5-
a
= ~ In 1 (ß -
1)(a + 5) (a - 1) (ß + 5)
6
1
= ~ In (ß -
1)(a + 5) (a - 1) (ß + 5)
6
ii) Da x 2 + 4x + 5 ~ 1 für alle x E IR gilt, unterliegen a und ß keiner Einschränkung. Mit der Substitution y = x + 2 gilt:
I ß
a
dx 4 x + x+5 2
1
ß+2
=
dy
-2--
a+2
y + 1
= arctany
I
ß+ 2 a+2
= arctan(ß+2)-arctan(a+2) .
iii) a und ß liegen entweder beide in ] - 00, -5[ oder beide in ]1,00[, da x 2 + 4x - 5 :S 0 genau für alle x E [-5,1] gilt. Mit der Substitution y = X!2 gilt für 1 < a :S ß :
1 ß
vx 2
a
1
~
+ 4x -
1 ß
5=
J(x
a
13+2 -3-
0+2 -3-
11 ~ 3"/(tll)2 ß
~
+ 2)2 -
1-
9=
13+2
dy ~ = areacosh y Vy2 -1
V
a
x3
-1
ß+ 2
3
a
+2
= areacosh -3- - areacosh - - .
3
~ 3
Dagegen ergibt sich für a :S ß < -5 das Ergebnis
I
ß
a
--;::.::::;;==d=x;====;:: = areacosh (_ _a_+_2 ) _ areacosh (_ ß+2) 3 . vx 2 + 4x - 5 3
iv) 5 - 4x - x 2 > 0 genau dann, wenn x E]- 5, 1[ gilt. Deshalb müssen a und ß in ] - 5, 1[ liegen. Mit derselben Substitution wie in iii), d.h. mit y = ~ folgt:
1v5 ß
a
1J ( )2= 1 ßt 2
ß
dx 4x - x 2
1
= 3"
dx
a
1-
. ß+2
x+2 3
~
113+2
dy
~
3
.
= arCSln y
3
a+2 3
. a+2
= arcsm -3- - arcsm -3- .
v) Wegen x 2 + 4x + 5 ~ 1 für alle x aus IR kann man a und ß beliebig wählen. Wieder mit y = x + 2 ergibt sich
2.2 Aufgaben für das zweite Kapitel j
ß
dx v'X2 + 4x + 5
a
jß
=
dx J(x + 2)2 + 1
a
291
=
ß+2 j a+2
dy
JY2+1 = areasinhy
Iß+2 0+2
= areasinh(ß + 2) - areasinh(a + 2) .
vi) Diesmal wird die Methode der Partialbruchzerlegung angewandt. Aus 1
-;-:::------:--~
(x 2 + 4x - 5)2
Al x+ 5
A2 BI B2 + - - + -:-----=.....,...". (x + 5)2 x-I (x - 1)2 3 2 2 A 1 (x +3x -9x + 5)+A 2(x -2x + 1) (x 2 + 4x - 5)2
= -- +
BI (x 3 +9x 2+ 15x - 25) + B 2(X 2+ 10x+ 25) (x 2 + 4x - 5)2
+-~---~-~-~~---~
erhält man:
A1 +
0
BI
B2= 0
3A1 + 9B 1 + A 2 +
-9A 1 +15B l -2A2 +10B2 = 0 5A 1
25B 1 + A 2 + 25B2 = 1 .
-
· em . d eu t·1ge L··osung 1S . tA D 1e 1 =l 108' B 1
1 A B2 = 36· 1 108' 2 =l 36' a und ß müssen entweder beide in ] - 00, -5[, oder beide in ] - 5,1[, oder beide in ]1, oo[ liegen. Es folgt:
ß
=-
ß ß ß dx IjdX dx IjdX j (x 2 + 4x - 5)2 = 108 x + 5 + 36 (x + 5)2 - 108 x-I
Ij
a
a
a
a
ß
+~j dx _ 36 (x-l)2a
ß
(_1 lnlx+51_ 1 _ 1 ) 108 x-I 36(x+5) 36(x-l)
1
1 1 (ß + 5) (a - 1) 1 [1 1 1 1 108 n (a + 5) (ß - 1) + 36 a + 5 + a - 1 - ß + 5 - ß - 1
Bemerkung: Wir könnten die Aufgabestellung wie folgt erweitern: Bei eigentlichen Integralen dürfen die auftretenden Nenner keine Nullstellen haben. Mit der Theorie der uneigentlichen Integrale lässt sich in bestimmten Fällen auch bei Nullstellen des Nenners noch integrieren. Durch Vergleichskriterien kann man das zurückführen auf die Betrachtung der folgenden Fälle.
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
292
a > 0, so sind Joa ~dx und Joa ~dx divergent; dagegen ist Joa Jxdx konvergent, und es gilt Joa Jxdx = 2JXIg = 2va . Deshalb bleiben die Ein-
Ist
schränkungen für a und ß in den Fällen i) und vi) erhalten. Dagegen existieren die Integrale im Fall iii) falls a und ß beide in ] - 00, -5] oder beide in [1,00[ liegen; im Fall iv) muss a,ß E [-5,1] gelten. Aus den obigen Resultaten ergeben sich unter Beachtung von areacosh 1 = 0, arcsin( -1) = - ~ und arcsin 1 = ~ die folgenden Werte für die uneigentlichen Integrale: iii)
l
ß
1
l 1 1 a
ß
-5
1
a
1
-5
ß+2
für
ß>I,
dx a +2 --;=:;;;=====:: = areacosh( - -3-)
für
a< -1 .
dx . ß+ 2 --r,:==:==='i' - 1)
= (>.2
- 1)(>' - 1)
lineare Gleichungssystem
°
= (>' + 1)(>' -
(~ >. ~ 1 ~1)
°
= >.2(>. -1)-
-1 >. 1)2 . Zum Eigenvektor -1 ist das
(~1 ~2 ~1) (~~) (~) zu betrachten;
°
°
-1 -1 X3 es folgt X2 = und Xl + X3 = 0, d.h. der entsprechende Eigenraum wird von (1,0, _l)T aufgespannt. Für den Eigenwert 1 erhält man das lineare Glei-
chun~system
U~ T) (::) 0),
was,"
x,
~ x,
äqliment
ist. Deshalb ist der Eigenraum zum Eigenwert 1 eine Ebene, die z.B. von (O,l,O)T und (1,0, l)T aufgespannt wird. Durch Normieren von (1,0, _l)T erhält man 0(1,0, _l)T. Die Vektoren (O,l,O)T und (1,0, l)T sind schon orthogonal zueinander, und der erste hat
(!) , ~) (0 °°.f0)
die Länge 1. Es genügt also (1,0, 1f zu normieren, und damit erhalten wir
J, (
eine O,thono,malhasis
Die Matrix Q:=
_~
v'2
ist es auch, da
1
des Eigemaums ,um Eigenwe
1, eine Ellipse
Aufgabe 72
Zeigen Sie, dass die folgende Gleichung ein elliptisches Paraboloid definiert: 3x 2 + 2y2 + 4z 2 + 4xy + 4xz
+ 2x + 4y -
6z
44
+9
= 0.
Bestimmen Sie die Symmetrieachse dieses Paraboloids und dessen Scheitelpunkt. Lösung:
Mit A
~ (~ ~ ~) ~ ,b
( !3) und x
~ (~
) läss"kUe Gleichung
in der Form x T Ax + b T X + ~4 = 0 schreiben. Die Matrix A hat die charakteristische Gleichung det(AE3 - A) = A3 - 9A + 18A = A(A - 3)(A - 6), und damit die Eigenwerte Al = 6, A2 = 3 und A3 = O. V1 = ~(2, 1, 2)T , V2 = ~(1, 2, -2)T , V3 = ~(-2, 2, I)T sind Eigenvektoren von A zu Al, A2, bzw. A3. Sie bilden eine Orthonormalbasis von IR 3 ; mit der daraus gebildeten Matrix 5 :=
~ (~2
-;2)
;
-2
1
führen wir die Koordinatentransformation x = 5x'
durch. Wegen b T ·5 = ~(-2, 11, -1) erhält man aus der gegebenen Gleichung 6X /2 + 3y/2 - i3 X' + 22 + 449- -o·' anders geschrieben·. 3 y' - ~z' 3
6
(
X
I
-
9) 2+ 3 (y + 9 )2 1
I
11
1 I 3(2z - 1) = 0 .
345
2.2 Aufgaben für das zweite Kapitel
Das ist die Gleichung eines elliptischen Paraboloides mit der Symmetrieachse x' = y' = und dem Scheitelpunkt 191 , ~). In den ursprünglichen
!'
1i
Koonlinaten ist {
(!, -
~ ~~) + &( ~2) (
tE IR} die Symmetdeachse und
(-~, -t, ~~) der Scheitelpunkt. Aufgabe 73 Welche Art von Quadrik wird durch die Gleichung
7x 2 + 6y2 + 5z 2 - 4xy - 4yz - 6x - 24y + 18z + 30 = 0 beschrieben? Lösung: Die Gleichung kann auch in der folgenden Gestalt geschrieben werden:
7 (x,y,z) ( -2
o
-2 6 -2
~2)
(0
+ 2(-3,-12,9)
Die ehacakted,U,che Gleichung d., Matd" A
(~) +30 ~ 0
,~ (~2 ~: ~2)
ist
det(>.E3 - A) = >.3 - 18>.2 + 99>' - 162 = O. Die Nullstellen dieser Gleichung, also die Eigenwerte von A sind >'1 = 9, >'2 = 6, >'3 = 3. Hieraus können wir bereits ablesen, dass es sich um ein Ellipsoid, um einen Punkt oder um die leere Menge handelt. Die Vektoren k(2, -2, l)T , k(2, 1, _2)T und k(1,2,2)T sind Eigenvektoren von A zu den Eigenwerten >'1,>'2, bzw. >'3. Sie bilden eine Orthonormalbasis von IR3, und die orthogonale Matrix
S :=
k (~2 1
i ~)
-2
2
hat die Eigenschaft: S-l AS =
(~0 0~ 3~). We-
gen (-3, -12,9) . S = (9, -12, -3) erhält man aus der gegebenen Gleichung mittels der Koordinatentransformation x = Sx' die Gleichung
9X,2 und daraus
+ 6y,2 + 3Z,2 + 18x' -
24y' - 6z'
+ 30 =
0
346
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül 9(x'
+ 1)2 + 6(y' -
2)2
+ 3(z' -
1)2 = 6 .
Mit einer weiteren Koordinatentransformation (nämlich einer Translation der Gestalt x" = x' + 1, y" = y' - 2 und z" = z' = 1) erhält man die Normalform
f2
T +~+T
M
"2
eines Ellipsoides mit den Halbachsen V~, 1, v 2 :
112
112
Insgesamt hat man die Koordinatentransformation
x) ( y z
= x = Sx" + S
-1 ) ~ (
( 2 1
=
3
+ 2z" z") + -2x" 2x"++2y" y" + x" - 2y" + 2z"
= 1.
(1) 2
.
-1
In den alten Koordinaten ist (1,2, -1) der Mittelpunkt des Ellipsoides, und die Achsen des Ellipsoides liegen auf den Geraden
x-1 y-2 --=--=z+l 2 -2
x-1 z+l y-2 z+l - - =y-2= - - , bzw. x-1 = - - = - 2 -2 2 2
weil sie den x"-,y"-, bzw. z"-Achsen bezüglich der Koordinatentransformation x = Sx" + (1,2, -l)T entsprechen. Aufgabe 74
Bestimmen Sie den Typ der folgenden Fläche zweiter Ordnung in Abhängigkeit von der reellen Zahl a :
ax 2 + y2
+ az 2 + 2xz + 2x + 2y + 2az + 1 + 2a =
Lösung:
D;e Gleichung wi,d mit den Be,eichnungen A
~ (~
und x = (x, y, z)T wie folgt geschrieben: x T Ax charakteristische Polynom
°.
! ~), ~ (i) b
+ xTb + 1 + 2a
0. Das
det(AE3 - A) = (A - a)2(A - 1) - (A - 1) = (A - l)[(A - a)2 - 1] hat die Nullstellen Al = 1, A2 = a + 1 und A3 = a - 1. Für a E IR\ {O, 2} sind diese drei Eigenwerte paarweise verschieden. Vl = (0,1, O)T , V2 = (1,0, l)T und V3 = (1,0, _l)T sind Eigenvektoren zu Al, A2, bzw. A3. Für a = gilt Al = A2 = 1 und A3 = -1. Die Vektoren Vl und V2 bilden eine Basis des Eigenraumes zum Eigenvektor 1, während V3 ein Eigenvektor zu -1 ist. Für a = 2 bilden Vl und V3 eine Basis des Eigenraumes zu 1 = Al = A3;
°
V2 ist ein Eigenvektor zu A2
= 3.
Setzt man S
=
~ (~ ~ ~) , so
°
1
-1
347
2.2 Aufgaben für das zweite Kapitel 1
° ~ °
vI2
Substitution x = X,2
° ° Sx'
a+l
erhält man
+ (a + l)y'2 + (a -
l)z'2
+ 2x' + V2(a + l)y' + V2(1 -
a-l
a)z'
). Mit der
+ 1 + 2a =
°.
Äquivalent dazu ist (x' + 1)2 + (a+ l)(y' + ~)2 + (a -1)(z' - ~)2 = a. Diese Gleichung (und damit auch die ursprüngliche Gleichung) definiert für a < -1 ein zweischaliges Hyperboloid, für a = 1 einen hyperbolischen Zylinder, für a E] - 1, o[ ein einschaliges Hyperboloid, für a = einen elliptischen Kegel und für a E]O, 1[ ein zweischaliges Hyperboloid. Für a ~ 1 erhält man die leere Menge. (Das sieht man sofort für a = 1, da die ursprüngliche Gleichung in der Form (x + z + 1)2 + (y + 1)2 + 2 = geschrieben werden kann!)
°
°
Aufgabe 75
Untersuchen Sie die Konvergenz der folgenden Folgen und geben Sie gegebenenfalls den Grenzwert an.
i) ii) iii) iv) v) vi)
a n .= cosn . (1. n ' log(2 _ .!.))T n· Sin.!. )T b n := ( ~,cosn7r . . _ (n 2 +n+l 1 . 7r)T en ·- n4+n2+1' Ti cos n, n sm Ti . dn:=((I+~)n,nsinn;,~lnn)T.
._ (~n ( l)k 1 ~n 1 ~n l)T e n ·- L..,k=l k' L..,k=l k2 ' L..,k=l"f":2k . .- (n 2 +2n-l.!. _ t 1. ~n (1 _ ..!...))T f n·n2+n+l' n cosn an n' L..,k=O 3k 5k
•
Hinweis: Es gilt: 2:~1 -& = ~2 • Dies kann man als Nebenprodukt von Beispielen über Fourierreihen gewinnen (siehe Kapitel 3). 2:~1 (-I)k und 2:~1 ~ können Sie aus der Taylor-Reihe von In(1 + x) erhalten.
i
Lösung: i) Es gilt I.!. n cos nl
::;
1. und deshalb ist lim 1. cos n = 0. Wegen der Stetigkeit
n n-+oo n von In folgt lim In(2 - 1.) = In 2. Also: lim an = (0, In 2)T . n-+oo n n-+oo
ii) lim sin ~ = 0, da 1 sin.!.l ::; 1 gilt. Dagegen hat die Folge (cos n7r )n>l n-+oo n n keinen Grenzwert, da diese Folge die alternierende Folge (-1,1, -1, 1, ... ) ist. Deshalb konvergiert die Folge (b n )n2:1 nicht. iii) Es gilt:
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
348
=
n-+oo
lim
x--+O
co:x
sin .rr..
lim
7r --,,-n-
n-+oo;:-
iv) Bekanntlich gilt
lim (1
n--+oo
=
sin .rr..
sin x
hm n --+ oo --,,-n- = 7r, weIl hm = n x-+O x = 1 nach der Regel von de l'Hospital. Also: lim C n = (0 , 0, 7r)T .
und lim n sin;
7r
•
•
•
n--+oo
+ .l)n = e. n
Für n
= 4k + 1 gilt
n sin n21l" =
(4k + l)sin(2k7r +~) = 4k + 1. Die Folge (nsin nnn:;:::1 enthält also eine divergente Teilfolge. Sie ist also divergent, und damit ist die gegebene Folge in IR3 auch divergent. (Die dritte Komponente braucht man gar nicht mehr zu untersuchen!). v) Die Reihe L~1 (-I)ki ist bekanntlich konvergent. (Dies zeigt man z.B. mit Hilfe des Leibnitzschen Kriteriums). Die Reihe L~=1 ist konvergent. Auch die Reihe L~1 k.1k ist (wegen ~ ~ :j,; und der Konvergenz der geometrischen Reihe) konvergent. Aus
b
ln(1 + x) ergibt sich für x ln2
=
x2 -
=x -
2
x4
x3
= 1 und x = -~ : = - L~I(-I)ki n--+oo
r
n~~
.
t
' -ln2
L~I(-I)k+li
Wegen hm n --+ oo an Ti1
=
°
n 2 +2n-l 2+ +1
n
,",00
,wk=O
_ -
n
1 3k
=
x6
345
- L~1 ~. Also: lim e n = (-ln2, ~2 . VI)
x5
+ - - - + - - - + ...
,
=
=
ln(~)
ln(1 - ~)
ln2)T.
_
. l+!-~ hm 1+1.+ 1 n--+oo n ~ 1 I-i
6
23 un d
-
1,
,",00
1 5k
wk=O
.
hm - cosn -
1
_
0,
. t IS
d·le
n--+(X) n
1 = l-k =
45
Folge (fn ) konvergent und ihr Grenzwert gleich (1,0, t)T . Aufgabe 76
Sei f : IR 2
--t
IR die durch f(xl, X2):=
2/2+9
Xl
X2
definierte Funktion. Bestim-
men Sie für alle natürlichen Zahlen n 2: 1 die Höhenlinien
Lösung: Die Gleichung f(xl,x2)
lässt sich zu xi + x~ = n 2 - 9 umformen. Für n = 1 und n = 2 gibt es keine Lösung (in IR2 ) dieser Gleichung. Für n = 3 erfüllt nur der Nullpunkt 0 die obige Gleichung. Also: H:l(f) = {O}. 9
= ,&
Schließlich ist H ~ (f) für n 2: 4 die Kreislinie mit dem Mittelpunkt 0 und dem Radius
vn
2 -
9.
2.2 Aufgaben für das zweite Kapitel
349
Aufgabe 77 Es sei I : IR 2\ {O} -+ IR, I(Xl, X2)
.-
Xf+X2 sin Xl. x~+x~
I
Kann man
in (0 o)T ,
stetig fortsetzen? Lösung: Nein! Man kann I in 0 durch den Wert a E IR genau dann stetig fortsetzen, wenn I in 0 einen Grenzwert a besitzt. Die folgenden Betrachtungen zeigen, lim x~++~
dass es ein solches a hier nicht gibt. Es gilt lim f(Xl, 0) XI--+O
lim Xl = 0, lim 1(0, X2) = lim
Xl --+0
X2--+0
X2--+0
= 0, aber
00++02
X2
+ t sin t =lm l' (t-+-sin t ) + t2 t--+O 2 2t 3 . . t + 3t sin t 3 hm I(t, 3t) = hm 2 9 2 = -0 . t--+O t--+O t + t 1 · I( tt=lm ) l' t 3 11m
t--+O
'
t--+O
XI--+O Xl
t2
-1
2 '
Aufgabe 78 Sei 0 der Nullpunkt in IR2. Für jede natürliche Zahl n 2: 1 betrachte man die Funktion In : IR2\{0} -+ IR , In(Xl,X2):= Xl4X+2X 24' Bestimmen Sie alle
n 2: 1, für welche In in 0 stetig fortsetzbar ist, d.h.: Für welche n 2: 1 existiert lim In(Xl,X2)? (XI,X2)T --+0
Lösung: Für n = 1,2,3 und 4 und alle k 2: 1 gilt: In(-l,O) = 0 und In(O, = k 4 - n. Deshalb existiert der Grenzwert von In für n :::; 4 im Nullpunkt nicht. Für n 2: 5 hat man
i)
I/n(Xl,X2)1 =
IX+21 n 4
4
Xl
X2
=
x4
4:
Xl
4
x2
·I X2I n- 4
:::;
IX2I n- 4
,
und deshalb ist der Grenzwert von In in 0 gleich Null. Durch die Hinzunahme des Wertes 0 für den Punkt 0 lässt sich also In für n 2: 5 zu einer stetigen Funktion auf IR 2 fortsetzen. Aufgabe 79 Seien nl und n2 mit nl 2: n2 2: 1 natürliche Zahlen. Seien Inl,n2 und gnl,n2 die durch und
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
350
auf IR 2\{0} definierten Funktionen. Für welche (nI, n2) ist fnl,n2 bzw. gnl,n2 in 0 zu einer stetigen Funktion auf IR 2 fortsetzbar? Hinweis: Betrachten Sie die folgenden Spezialfälle: i) nl = n2 = 1,ii) nl > 2, n2 = 1, iv) nl 2': 3, n2 = 2, v) n2 2': 3.
iii)
nl
Lösung: Als rationale Funktionen sind f n l,n2 und gnl,n2 stetig auf IR 2\{0}. i) Sei mE IR und (Xl,X2)T = (t,mt)T. Geht man auf der Geraden X2
2,
= mXl
2
gegen 0, so gilt: limhl(t,mt) = limt2;t2t2 = 1+m 2 , limgll(t,mt) = t-+O ' t-+O m m t-+O' lim tl: m2tt2 . Beide Grenzwerte existieren also in 0 nicht; im ersten Fall, weil t-+O m das Ergebnis von m abhängig ist, im zweiten, weil für m = -1 der Grenzwert o ist, während für m > -1 gilt: t + mt . 11m = t-+O+ t 2 + m 2t 2
00
1. t + mt 1m = ' t-+O- t 2 + m 2t 2
-00 .
Ix2x21 ::; IX2 I folgt lxiI x~1 < IXllnl -21 x21 und damit gilt für ii ) Wegen ~+ Xl X 2 Xl +X 2 nl 2': 2: lim fnl,I(Xl,X2) = O. f nl,l ist durch den Wert 0 in 0 fort(XI,X2)-+O setzbar. lim g2,1 (Xl, 0) = 1, lim g2,1 (0, X2) = 00, und für nl 2': 3 XI-+O X2-+0+ lim gnl,l(Xl,O) = 0, lim gnl,1(0,X2) = 00 zeigen, dass gnl,l für nl 2': 2 XI-+O X2-+0+ in 0 nicht stetig fortgesetzt werden kann. iii) g2,2(Xl,X2) = 1 für alle (Xl,X2)T E IR 2\{0}. Deshalb ist g2,2 durch 1 in 0 2
2
stetig fortsetzbar. Wegen 0 ::; X~)+X;2 ::; min(xr, x~) folgt, dass h2 in 0 durch I
2
den Wert 0 stetig fortgesetzt werden kann. iv) Für nl 2': 3 gilt lim fnl,2(Xl,0) = 0
lim f n l,2(0,X2) = 1 und X2-+0 o ::; gnl,2(Xl,X2) ::; min(x~1,x~) . Deshalb ist fnl,2 nicht stetig fortsetzbar in 0, während gnl,2 durch den Wert 0 stetig fortsetzbar in 0 ist. XI-+O
n1+
n2
v) Wegen IX~2+:~ I ::; 2max(lxll,lx21) für n2 2': 3 und IXll,lx21 ::; 1 sol 2 nl
n2
X;2 I ::; min(lxll nl , I X21 n2 ) für n2 2': 3 und lXII, IX21 ::; 1 wie I XX)2+ I 2 f nl,n2 und gnl,n2 in 0 durch den Wert 0 stetig fortsetzbar.
sind
Aufgabe 80
Bestimmen Sie die größte offene Teilmenge D von IR 2, auf welcher durch fex, y) := (xy)XY eine Funktion definiert ist. Berechnen Sie die partiellen Ableitungen von f .
2.2 Aufgaben für das zweite Kapitel
351
Lösung:
l(xo, Yo) ist wohl definiert, wenn xoYo > 0 gilt. Ist xoYo = 0, so ist 1 in (xO,yo)T nicht definiert. Ist xoYo < 0, so kann es manchmal sein, dass (XOyo)XOYO sinnvoll ist, nämlich wenn xoYo eine negative ganze Zahl oder ein negativer Bruch mit ungeradem Nenner ist. In jeder Umgebung von (xo, yo)T liegen aber Punkte, in welchen 1 nicht definiert ist. Ist nämlich xoYo ganzzahlig und negativ oder ein negativer Bruch mit ungeradem Nenner, so gibt es ein no E IN, so dass der Bruch xoYo + 2~ negativ für alle n 2: no ist. (Im Falle xoYo ganzzahlig negativ gilt sogar no = 1.) Für alle n 2: no ist (xoYo + 2~ ) 2nx OYo+1 definiert, aber die 2n-te Wurzel daraus nicht. Die Folge (xo + 2nlYo ,YO)nT>n _ 0 konvergiert gegen (xo,yo)T, aber 1 ist darauf nicht definiert. Deshalb ist die größte offene Menge D C IR 2 , auf welcher 1 definiert ist, die Vereinigung des offenen, ersten Quadranten mit dem offenen, dritten Quadranten, d.h. D:= {(x,y)T E IR 2 1x
> O,y > O} U {(x,yf E IR21 x < O,y < O}.
Es gilt in jedem (x,y)T aus D
+ xy . ;Y] (xy)X Y . x[ln(xy) + 1] .
exp(xyln(xy)) . [yln(xy) U(xy) =
man:
tx
~(x,y) = (exp(xyln(xy))) Y = (xy)X . y[ln(xy) + 1] . Analog zeigt :
Aufgabe 81
Es sei
a) b)
1 : IR 2 --+ IR ,
Ist Ist
1 partiell differenzierbar in 0 ? 1 differenzierbar in 0 ?
Lösung:
a)
lim l(xI,O) - 1(0,0) = lim Xl Xl - 0 Xl ...... O Xl
Xl ...... O
lim 1(0, X2) X2 ...... 0
-
X2 -
-
0 = 1. 0
1(0,0) = lim 0 - 0 = 0 . 0
X2 ...... 0
X2 -
0
1 ist deshalb partiell differenzierbar in 0 . b) 1 ist (laut Aufgabe 77) nicht stetig in 0, zierbar in 0 .
'
'
81
= 1.
also:
-8 (0,0)
also:
-8 (0,0) =
Xl
81
X2
o.
und damit auch nicht differen-
352
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
Aufgabe 82
a)
Bestimmen Sie für f(x, y, z) := x2~i;2~z2 den maximalen Definitionsbe-
b) c)
reich D f in IR3 . Ist f: D f -+ IR 3 in (O,O,O)T = 0 stetig fortsetzbar? Berechnen Sie die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung der Funktion f .
Hinweis: Die neun Ableitungen zweiter Ordnung von finiert:
~ = :x(~)'
::ty
= :x(~)'
::tx
f werden wie folgt de-
= :y(~)'
usw.
Lösung: a) Df ist IR 3 \{O} .
b) Es gilt lim f(x,O,O)
lim ~ =
x-tO+ x
x-tO+
00,
stetig fortsetzbar. c) Die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung von
!ll 8y (X, y, Z ) --
f Y (x, y, Z ) --
-
2y sin x (X2+y2+Z2)2 ,
!ll 8z (X, y, Z ) --
f z (x, y, z ) -- -
2z sin x (x2+y2+Z2)2 ,
f i (X, y, Z ) = f yz (x, y, z ) = 8y8z
8yz sin x2J3 (X 2+y2+ Z
f in 0 nicht
und deshalb ist
f sind:
= f zy (x, y, z ) .
Bemerkung: 82
~
82
~
Der Satz von Schwarz zeigt, dass die Gleichungen ifxIfy = if:;j-§x , und ~
::tz
=
2 :z t y
2
2
kein Zufall sind! Sie gelten wegen der Stetigkeit von
f i und f i 8z8x
8x8y , 8y8z
8 ~ _ 8 ~ ifxtiz - ifzIix
.
2.2 Aufgaben für das zweite Kapitel
353
Aufgabe 83
Bestimmen Sie die größte offene Teilmenge D von IR2, auf welcher die Zuordnung (x,y)T r-t f(x,y) := (e Y + arcsin(~),eX + arctan(~))T definiert ist. Berechnen Sie die (totale) Ableitung von f : D -7 IR2 . Lösung: Man hat
f'(x,y) =
D = {(x, y)T E IR2 Ilxl
;x (e ( ;x(e
Y
+ arcsin(~))
X
+arctan(~))
eY
-
l+~
1 •• 1
Y
{
;y(e X
~l-~ :7x
-:-:-5+1 -1
Es gilt
;Y (e Y+ arcsin( ~)) )
----11..:....-~
Dabei ist .t1LJ. = sgn y =
< lyl}.
+arctan(~))
1
, falls y , falls y
=
(VY
sgn Y
e
x+
Y
2 _X 2
Y
~
x
e - IYIVy 2 -x 2 x - x 2 +y 2
)
•
>0, 0 existiert, so dass auf der Umgebung ]xo - c, Xo + c[ (bzw.]yo - c, Yo + cD von Xo (bzw. Yo) eine differenzierbare Funktion
g: ]xo - c,XO
+ c[-+
IR
(bzw.
h: ]yO - c,yo
+ c[-+
IR)
mit g(xo) = Yo (bzw. h(yo) = xo) definiert ist, so dass auf ]xo - c, Xo + c[ (bzw. ]yO - c, Yo + cD gilt: F (x, g(x)) = 0 (bzw. F (h(y), Y) = 0). Berechnen Sie gegebenenfalls g'(xo) (bzw. h'(yo)). Lösung: Es gilt: Fx(x, y)
= 2x -
3x 2y und Fy(x, y)
= 8y3 -
x 3. Das Gleichungssystem
hat offensichtlich (xI,Yd = (0,2) und (X2,Y2) = (0,-2) als Lösungen. Die weiteren Lösungen bekommt man aus xoYo = ~ , x6 + 2Y6 - ~ x6 - 32 = O. Dies führt zu ~ . ~ + 2Y6 - 32 = 0, und damit zu Yo
+2 = 0 . Die Gleichung 27z 3 - 432z + 2 = 0 hat eine negative und 27yg - 432Y6
zwei positive Nullstellen. (Begründung: Die Funktion h, h(z) := 27z 3 - 432z + 2 hat wegen h'(z) = 81z 2 - 432 = 27(3z 2 - 16) lokale Extrema in ~ und - ~. Die Behauptung ergibt sich mit Hilfe des Zwischenwertsatzes aus: -00,
h(- ~)
> 0, h(O) > 0,
h(~)
< 0 und
lim h(z) =
z-t-oo
}~~h(z) = (0). Deshalb hat
(**) 4 reelle Nullstellen Y3,Y4,Y5,Y6, die durch Approximationsmethoden ermittelt werden können (aber das ist hier nicht unser Lernziel!). Insgesamt hat 23 , k = 3,4,5,6 die 6 Nullstellen (Xi,Yi), i = 1,2,3,4,5,6. (*) mit Xk = -Yk Für Xo
rt {Xl, ... , X6}
gibt es nach dem Satz über implizite Funktionen ein
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
358
offenes Intervall]xo - c:, Xo + c:[, das keinen der Punkte Xl, X2, ... ,X6 enthält, und eine differenzierbare Funktion g :]xo -c:, Xo +c:[-+ IR, welche die folgenden Eigenschaftenhat:g(xo)=Yo, F(x,g(x)) =0 füralle XE]xo-c:,xo+c:[. Die Ableitung g' wird dann wie folgt berechnet:
g'(x)
= _ Fy (x,g(x)) = Fx (x,g(x))
x 3 - 8g(x)3 2x - 3x 2g(x)
Das Gleichungssystem F(xo,yo) = 0, Fy(xo,yo) = 0 ist wegen F(O,O) i= 0 und 4Y5 + 2yoxo + x6 ~ 0 äquivalent zu F(xo, Yo) = 0 , 2yo - Xo = O. Das führt zu 3Y6 - 2Y5 + 16 = O. Diese Gleichung hat nur komplexe Nullstellen. Deshalb gibt es zu jedem (xo, Yo) mit F(xo, Yo) = 0 ein c: = C:(Yo) > 0, so dass auf ]yO - c:, Yo + c:[ eine differenzierbare Funktion h mit den folgenden Eigenschaften existiert: h(yo) = Xo , F (h(y), y) = 0 für alle y E]yo-C:, yo+c:[. Die Ableitung h' wird dann wie folgt berechnet:
h'(y) = _ Fx (h(y),y) Fy (h(y), Y)
2h(y) - 3h(y)2 y h(y)3 - 8y3
Aufgabe 88
Zeigen Sie, dass die Gleichung xr + x~ - 4XIX~ - X3 = 0 in einer geeigneten offenen Umgebung von (1,2, 1f nach X3 als differenzierbare Funktion von Xl und X2 auflösbar ist, dass es also eine offene Umgebung U von (1,2)T in IR2 und eine differenzierbare Funktion g : U -+ IR gibt mit den Eigenschaften g(1,2) = 1 und xr + x~ - 4XIg(XI, X2)3 - g(XIX2) = 0 für alle (Xl, X2)T EU. Berechnen Sie die partiellen Ableitungen von g in (1, 2)T . Lösung: Die Funktion F : IR 3 -+ IR, F(XI,X2,X3) := xr + x~ - 4XIX~ - X3 ist stetig differenzierbar auf IR 3 (d.h., F hat stetige partielle Ableitungen - nämlich Polynome), und es gilt F(l, 2,1) = 1 + 4 - 4 - 1 = 0 sowie g~ (1, 2,1) = (-12xIX~ - 1)(1,2,1) = -13 i= O. Deshalb gibt es nach dem Satz über implizite Funktionen eine offene Umgebung U von (1,2f und eine offene Umgebung V von 1 sowie eine stetige differenzierbare Funktion g : U -+ V mit g(1,2) = 1 und F(XI,X2,g(XI,X2)) = 0 für alle (XI,X2)T aus U. Diese letzte Gleichung lässt sich auch als
schreiben. Es gilt (ebenfalls gemäß dem zitierten Satz) für alle (Xl, X2) T EU:
359
2.2 Aufgaben für das zweite Kapitel , g (Xl,X2) = -
Wegen
g:, (Xl, X2, X3)
aF ) aX3
[( -
-1
.
(
aF aF aXl aX2
- , -)]
= 3XI - 4x~ und g~ (Xl, X2, X3) = 2X2 ergibt sich
in (1,2)T die folgende Ableitung für g : g'(1,2) = -(-13)-1(-1,4) = (-113 ,
l~)
.
Aufgabe 89 Gegeben sei die Abbildung f : IR 2 -t IR2 a)
b) c)
Berechnen Sie die Ableitung und die Funktionaldeterminante von f. Bestimmen Sie die Menge aller Punkte, in welchen f lokal umkehrbar (also regulär) ist. Zeigen Sie, dass f global umkehrbar ist und geben Sie die explizite Gestalt von f- l an. Berechnen Sie die Ableitung von f- l und die Funktionaldeterminante von f- l auf zwei verschiedene Arten: Einmal unter Verwendung des Satzes über die lokale Umkehrbarkeit von Abbildungen und zum anderen unter Verwendung der angegebenen Gestalt von f- l .
Lösung: a)Esgilt:
, (ex1-x2 f(Xl,X2)= 1
_e X1 - X2 ) 1
detf'(xl,x2)=2e x1 -
x2 .
f ist also in jedem Punkt lokal umkehrbar. (Das bedeutet noch nicht, dass f global umkehrbar ist, da wir noch nicht wissen, ob f injektiv ist!) b) Sei (Yl,Y2)T E IR2 mit Yl > O. Wir zeigen, dass es genau einen Punkt (Xl, X2)T in IR 2 mit f(Xl, X2) = (Yl, Y2) gibt. Aus eX1 - X2 = Yl und Xl +X2 = Y2 folgt Xl - X2 = In Yl und Xl + X2 = Y2, und damit Xl = ~ (Y2 + In Yl) sowie X2 = ~ (Y2 -ln Yl). Da außerdem die e-Funktion nur positive Werte annimmt, haben wir gezeigt: -t
Das Bild von fist B = {(Yl, Y2)T E IR2 I Yl
> O} .
f : IR2 -t B hat eine Inverse, die durch f- l (Yl, Y2) = gegeben ist.
360
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül eXl-X2 )
= f(X1, X2) = (
Xl +X2
, so gilt nach dem Satz über die
lokale Umkehrbarkeit von Ableitungen: (f- 1 )'(Y1, Y2) (
eXl -X2
1
_eX1 -X2
1
)
-1
=
(~eX2-Xl
_1.ex2-xl 2
~)
1. 2
=
=
(f'(X1, X2)) -1
(2~1 ~ ) __ 1 1. 2Yl
2
=
. Auch aus
der Gestalt von f- 1(Y1,Y2) ergibt sich dasselbe Ergebnis, denn es gilt:
ä~l (~(Y2 + In Y1)) -
2~1
'
=
2~1
'
ä~2 ( ~ (Y2 + In Y1))
=
~
,
ä~l (~(Y2 - In Y1)) =
ä~2 ( ~ (Y2 - In Y1)) = ~ .
Aufgabe 90
Geben Sie für jedes n ~ 1 das Taylor-Polynom T n der Funktion (des Polynoms) f,f: IR3 --+ IR,f(x,y,z) = x 2y + y 2z + Z2 X in a = (1, -l,O)T an. Lösung: Da alle partiellen Ableitungen vierten Grades von f verschwinden, gilt T3 = T4 = T5 = T6 = ... = T n für alle n ~ 3. Deshalb genügt es alle partiellen Ableitungen von f bis zur Ordnung 3 in a zu berechnen, und sie in die bekannte Formel
T 3 (x, y, z) = f(a)
+ fx(a)(x -
1
+2 fxx (a)(x - 1)
1) 2
+ fy(a)(y + 1) + fAa)z
+ fxy(a)(x - l)(y + 1) + ... + "61 fzzz (a)z 3
einzusetzen. Wesentlich einfacher ist in unserem Fall die folgende algebraische Umformung:
+ 1]2[(y + 1) -1] + [(y + 1) -1]2 z + Z2[(X - 1) + 1] = (x - 1)2(y + 1) + (y + 1)2 z + Z2(X - 1) + 2(x - l)(y + 1) - 2(y + l)z + Z2 - 2(x - 1) + (y + 1) + z - 1 .
T3(x,y,z) = f(x,y,z) = [(x -1)
Daraus erhält man sofort:
To(x,y,z) = -1,
+ (y + 1) + z -1, 2(x - 1) (y + 1) - 2(y + 1) z + Z2 - 2(x - 1) + (y + 1) + z - 1 .
T 1(x,y,z) = -2(x -1) T 2(x, y, z) = Aufgabe 91
Bestimmen Sie die Menge aller lokalen Extrema der Funktion
2.2 Aufgaben für das zweite Kapitel
Lösung:
Die Funktion
361
f ist unendlich oft stetig differenzierbar. Es gilt:
fx(x, y) = 2xe x2 +y sin(x + 3y - 1) + ex2 +y cos(x + 3y - 1) , fy(x, y) = ex2 +y sin(x + 3y - 1) + 3e x2 +y cos(x + 3y - 1) . Da ex2 + y stets positiv ist, hat man das Gleichungssystem 2xsin(x + 3y -1) + cos(x + 3y - 1) = 0 sin( x + 3y - 1) + 3 cos( x + 3y - 1) = 0 zu lösen. Von der zweiten Gleichung subtrahiert man die mit 3 multiplizierte erste Gleichung; es folgt: (1 - 6x) sin(x + 3y - 1) = 0 . Aus sin(x + 3y - 1) = 0 folgt cos(x + 3y - 1) = ±1, und damit keine Lösung des Systems. Es bleibt die Möglichkeit 1 - 6x = 0 zu untersuchen. Für x = i ergibt sich aus der zweiten Gleichung die äquivalenten Umformungen sin ( 3y 3y -
~ ) + 3 cos
( 3y -
~)
= 0 , tan ( 3y -
~)
5 5 1
"6
= - arctan3
Also ist {(
+ mf
und Yn:= 18 -
= - 3, n
3 arctan3 + n"'3
mit
nE 71..
i, Yn) I n E 71.} die Menge aller möglichen lokalen Extrema von f.
Wir müssen nun 6.(i,Yn) := (fxxfYY - J';y) (i,Yn) berechnen. Es gilt: fxx(x, y) = (4x 2 + l)e x2 +y sin(x + 3y - 1) + 4xe x2 +y cos(x + 3y - 1) , fxy(x, y) = (2x - 3)e x2 +y sin(x + 3y - 1) + (6x + l)e x2 +y cos(x + 3y - 1) , fyy(x, y) = _8e x2 +y sin(x + 3y - 1) + 6e x2 +y cos(x + 3y - 1) , 6.(x, y) = e2(x2+ y) [( -32x 2 +(24x - 36x 2
-
-
8 - 4x 2
+ 12x -
9) sin 2 (x
+ 3y -
1)
12x - 1) cos 2 (x + 3y - 1)
+(24x 2 + 6 - 32x - 24x 2 + 32x + 6) . sin(x + 3y - 1) cos(x + 3y - I)J = e2(x2+ y) [( -36x 2
+ 12x -
17) sin 2 (x
+ 3y -
1)
+( -36x 2 + 12x - 1) cos 2 (x + 3y - 1) + 12 sin(x + 3y - 1) cos(x + 3y - 1)] Für x = i und y = Yn haben -3x 2 + 12x - 17, -36x 2 + 12x - 1 und x + 3y - 1 die Werte -16,0 bzw. nn - arctan3. Man hat 12sin(x + 3y-
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
362
1) cos(x + 3y - 1) 6sin(2x + 6y - 2). Da die Exponentialfunktion nur positive Werte annimmt, hat die Zahl LJ.(i,Yn) dasselbe Vorzeichen wie -16sin2(mf - arctan3) + 6sin(2mf - 2arctan3) . Man beachte die folgenden elementaren Umformungen: 1-cos(2mr-2 arctan 3) 1-cos(2 arctan 3) 2 sin (mf - arctan 3) 2 2 1-
I-tan 2 (arctan 3) 1+tan 2 (arctan 3)
2
=
1
-
1-9 1+9
4
_
1+ 5
_
JL
2 - 2 -10' . (2 2 t 3) . (2 arc t an 3) -- - 1+tan2(arctan3) 2tan(arctan3) -- - 1+9 2·3 -- - 5"3 • sm n7r - arc an -- - sm Damit folgt: -16sin2(n7r-arctan3)+6sin(2n7r-2arctan3) = -16'190 +6'(-~) = -18. Das bedeutet, dass die Funktion
I keine lokale Extrema besitzt.
Aufgabe 92
Bestimmen Sie die relativen Extrema der Funktion
Lösung: Die relativen Extrema von chungssystems:
I,
I liegen in der Lösungsmenge des folgenden Glei-
öl
öx (x, y) = 4x 3 - 2x - y = 0
öl( öy x,y)=4y 3 -x-2y=0. Die Summe der Ableitungen (~ + U)(x,y)
= 4(x 3 +
y3) - 3(x + y)
=0
lässt sich als (x + y)(4x 2 + 4y 2 - 4xy - 3) = 0 schreiben. Man hat also die folgenden Systeme zu lösen: {
x+y=O 4x 3 - 2x - y = 0
und
{
4X2 4x 3
+ 4y2 -
4xy - 3 = 0 2x - y = 0 .
Das erste System hat die Lösungsmenge {(O, O)T, (~, - ~)T, (- ~, ~)T}, da aus den bei den Gleichungen folgt 4x 3 - x = 0 . Mit Y = 4x 3 - 2x erhält die erste Gleichung des zweiten Systems die folgende Gestalt: 64x 6 - 80x 4 + 28x 2 - 3 = O. Mit 4x 2 = t erhält man die Gleichung t 3 -5t2+ 7t-3 = 0, welche die doppelte Nullstelle 1 und die einfache Nullstelle 3 hat. (t 3 - 5t 2 + 7t - 3 = (t - 1)2(t - 3)). Damit hat man die Nullstellen 1. - 1. v'3 und - v'3 für die Gleichung 64x 6
2' 2' 2 2 Lösungsmenge des zweiten System ist also
-
80x 4 + 28x 2 - 3 = O. Die
2.2 Aufgaben für das zweite Kapitel
363
{( !_!)T (_!!)T (V3V3)T (_V3_V3)T}. 2'
2
'
2' 2
= 12x 2 -
Wegen ~(x, y) 6.( x,y ) -- d et
'
2' 2
2, fy?(x, y)
= 12y 2 -
'
2 und
2'
::t
2
y (x, y)
= -1 folgt
(~(X,y) ..E:L
8x8y(x,y)
> 0 , ~(O,O) = -2 < 0 , 6.(~,-~) 6.(- 1 1) = 0 6.(.fl.fl) = 48 > 0 8 2 f (.fl .fl) = 7 > 0 2' 2 ' 2' 2 ' ~ 2' 2 ' 6.(- V3 V3) = 48 > 0 P!.1.(_ V3 V3) = 7 > 0 Also' 1 hat in (0 O)T 2 2' 2 ' 8x 2' 2 .. ,
und damit gilt: 6.(0,0) = 3
ein relatives Maximum, nämlich 1(0,0) = 0; 1 hat sowohl in (':(, ';;)T als auch in (-
4-, - 4-)
T
ein relatives Minimum, nämlich
1(4-, ,;;)
=
I( -.fl 2' _.fl) 2 = - l).8' In den Punkten (12' - 1)T 2 und (- 12'21)T ist die Untersuchung mühsam. Um das Verhalten von 1 im Punkt (~, -~) zu studieren, formen wir zuerst um, d.h. wir schreiben die Taylor-Entwicklung von 1 in (~,_ ~)T auf: I(x,y) = (x - ~)4 + (y + ~)4 + 2(x _ ~)3 _ 2(y + ~)3 + ~(x - ~)2 + ~(y + ~)2 - (x - ~)(y + ~) - i. Für die gegen (~, - ~)T konver>1 gilt: 1(12 + 1n' - 12 + 1) gente Folge ((12 + 1n' - 12 + l)T) n n_ n = .1.n 4 - 1. 8 Danach
i·
konvergiert (f(~ +~, - ~ + ~)T)n:~:l monoton fallend gegen I(~, -~) = Hätte 1 in (~, - ~) T ein lokales Extremum, so müsste dies ein lokales Minimum sein. Für die Folge ((~ + ~ - .,&, - ~ + ~)T)n?l' die ebenfalls gegen (~, _ ~)T konvergiert , hat man 1(12 + 1_..l,.. - 12 + 1) = - _7_ +4 +~ -.3,.. +..l,.. _1. n n< , n 2n 4 n' n° n' n° 8
*
"*
Da für alle großen n, z.B. für n ~ 10, die Zahl - 2~4 + + ,ta - ';7 + negativ ist, könnte 1 in (~, - ~) T nur ein lokales Maximum besitzen. Da 1 in keiner Umgebung von (~, - ~) T konstant ist, hat 1 in (~, - ~) T kein lokales Extremum. Analog zeigt man, dass 1 in (- ~, ~)T kein lokales Extremum besitzt. Oder man schließt direkt mit dem obigen Resultat unter Ausnutzung der Symmetrieeigenschaft 1(x, y) = 1(y, x) . Aufgabe 93
a)
b)
Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich D" auf welchem durch die Zuordnung (X1,X2)T r--+ In(sinx1 + sinx2) eine Funktion 1 definiert ist. Skizzieren Sie den Definitionsbereich D f .
364 c) d) e) f) g) h)
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül Berechnen Sie alle Ableitungen dritter Ordnung von / . Bestimmen Sie die Taylor-Polynome Ti,T und T3 von / in ( § , § ) . Geben Sie den Fehler R = f - T in ( f , § ) an. Schätzen Sie R (xi,x ) für xi,x G [ f , ^ ] ab. Bestimmen Sie die lokalen Extrema von / . Zeigen Sie, dass jedes solche Extremum ein globales Maximum von / ist. T
2
T
2
2
2
2
2
Lösung: a) Df besteht aus allen (xi X2) G IR mit sinxi + sinx > 0. Schreibt man sinx\ -f sinx mittels Additionstheorem als 2 sin i+ i cos i~ z so müssen die Zahlen sin i+ z und cos i~ 2 gleichzeitig positiv oder negativ sein, d.h.: Entweder 2nn < < (2n + 1)TT und 2m7r - § < < 2ra7r + f oder 2
T
2
1
x
x
x
x
2
5
x
x
x
x
(2n - 1)TT < < + I < ^T - < + T" geeigneten ganzen Zahlen n und m. Df ist also die Vereinigung nach allen (n,m) aus 2 x 2 folgender Teilmengen von IR : 2 n 7 r
u
n
d
2
2 m 7 r
2 m 7 r
m
i
t
2
{(#i, # ) | 4n7r < a?i + x < (An + 2)7r, (4m - l)7r < xi - x < (4m + l ) 7 r } , T
2
{(XI , x ) 2
2
T
| (4ra - 2)7r < xi + x
2
2
< 4n7r, (4m + l)ir < x\ - x
2
< (4m + 3)TT}.
Man betrachte in der Ebene zwei Scharen von parallelen und äquidistanten Geraden, die parallel zur zweiten bzw. ersten Winkelhalbierenden (d.h. zu x4-y = 0 bzw. x — y — 0) sind, und durch die Punkte (2n7r,0, ) , n G 2 bzw. T
(2m + l ) 7 r , 0 ) , m G 2 gehen. T
b) Abbildung 2.14 zeigt den Definitionsbereich von / . Eingefärbt sind die Quadrate, die zu Df gehören, und zwar hell und dunkel, je nachdem, ob in
Abbildung 2.14. Der Definitionsbereich von /
einem solchen Quadrat beide Faktoren (d.h. sin i + * und cos oder negativ sind. x
x
X l
X 2 2
) positiv
2.2 Aufgaben für das zweite Kapitel
f X2X2X2 (Xl, X2 ) --
365
cosx2[2+sinX l SinX2-sin2 Xl] (sin Xl +sin X2)3
. d) Die Taylor-Polynome T l ,T2 und T3 von f(Xl,X2) = ln(sinxl + sinx2) in (~, ~)T sind: Tl (Xl, X2) = In 2 + fXl (~, ~) (Xl - ~) + fX2 G, ~) (X2 - ~) = In 2 , T 2(Xl, X2) = T l (XI,X2) + fX1Xl(~' ~)(XI - ~)2 + 2fxlX2(~' ~)(XI - ~)(X2 -~) + f X2X2G, ~)(X2 - ~)2 = In2 - ~(Xl - ~)2 - ~(X2 - ~)2 , T3(XI,X2) = T 2(Xl,X2)+ fX1X1Xl (~, ~)(Xl - ~)3+3fxlX1X2(~' ~)(XI - ~)2(X2 - ~) + 3fxlX2X2(~' ~)(XI - ~)(X2 - ~)2 + fX2X2X2(~' ~)(X2 - ~)3 In2 -~(Xl - ~)2 - ~(X2 - ~)2 = T 2(X2,X3) , weil cos ~ = und sin ~ = 1 gilt. e) Wir berechnen den Fehler R 2 .
°
(Xl -
~
( Xl ( Xl (X2 -
wobei C~) =
(I) + 7(:::::1)
abschätzen:
~
~)
(X2 -
(X2 -
~)
~
~
mit 7 E]O, I[ gilt. (7 hängt von (~~) ab!)
f) Zuerst bemerken wir, dass das Quadrat [~, 2;] t E [~, 2311"] gilt sin t ~
r r r r'
4- und Icos tl
:::;
X
[~, 2;] in Df liegt. Für
~. Deshalb kann man wie folgt
~(2+I'I-(4-)2)
(4- + ~)3
366
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
= ~(3- ~) = ~ = V3 ~O 216506. 3V3 3V3 8 ' sin2 Zl] b . d cos z2[2+sin sin z2Ana1og WIr (sin ZlZl+sin Z2)3 a gesch··atzt. M an kann d en A us d ruck 2 + sin Zl sin Z2 - sin 2 Z2 noch schärfer abschätzen:
2 + sinzl sinz2 - sin2 Z2
::;
2 + sinz2 - sin 2 Z2
(* ) ::;
2+
und damit I
COS Zl
1- (4)2 =
~ + 4,
[2+· . Z2- sm ·2 JI < 1("-+-.13) .sm Zl s~n Z2 2 4 2 ~ 0 203614< 0 203615. (sm Zl +sm Z2)3 3V3' ,
(2+u-u 2 hat sein Maximum in ~. Wenn u auf [~, 1) wächst, nimmt 2+u-u 2 monoton ab, und damit ergibt sich (*), wenn Z2 aus [~, 2;) ist). Deshalb gilt für (Xl) aus [1I 211") X [1I 211"): X2 3' 3 3' 3 IR(XI,X2)1
31 Xl -
< 0,034 [lXI _ 2
%13 +3I XI _ %12 ·I X 2 - %1+
%1·1 X2 - %1 + I X2 -
i1
3 ]
=
%I+ I X2 - %I
0, 034 [ I Xl -
r
g) Die Nullstellenmenge von Cosinus ist H + p7r I p E ~}. Aus COSXI = 0 = COSX2 und 4n7r < Xl + X2 < (4n + 2)7r sowie (4m -1)7r < Xl - X2 < (4m + 1)7r folgt deshalb Xl + X2 = (4n + 1)7r sowie Xl - X2 = 4m7r. Damit ergeben sich "die Hälfte" der Nullstellen von f' (die in Df liegen müssen!):
{( 2(n+m)7r+~) 2(n-m)7r+~
n,mE~
}
.
Die andere "Hälfte" der Nullstellen ergibt sich aus cos Xl = 0 = COS X2, (4n - 2)7r < Xl + X2 < 4n7r und (4m + 1)7r < Xl - X2 < (4m + 3)7r; zuerst hat man Xl + X2 = (4n - 1)7r, Xl - X2 = (4m + 2)7r, und daraus
2(n+m)7r+~
{( 2(n _ m _ 1)7r + ~ )
n, m E ~
}
.
In jedem dieser Punkte hat die Hessesche Matrix die Gestalt ( Das zeigt, dass in allen obigen Punkten lokale Maxima von
f
_1.
2
o
0)
I.
-2"
vorliegen. Der
2.2 Aufgaben für das zweite Kapitel
367
Wert von f in diesen lokalen Maxima ist derselbe, nämlich In 2 . h) Aus sinxl ::; 1, sinx2 ::; 1 folgt sinxl + sinx2 ::; 2, und damit ist In2 sogar das globale Maximum von f . Aufgabe 94 a) b) c)
Untersuchen Sie, wo die Funktion f : IR2 -+ IR, f(x, y) := 3x 2 + 7y 2 3x 2 y lokale Extrema hat. Untersuchen Sie, ob f ein globales Maximum und/oder ein globales Minimum besitzt. Untersuchen Sie, wo die Einschränkung von f auf K := {(x, y) E IR 2 I x 2 + y2 ::; 4 2} das absolute Maximum bzw. Minimum annimmt.
Lösung: a) Es gilt fx(x,y) = 6x - 6xy, fy(x,y) = 14y - 3x 2 und damit fxx(x, y) = 6 - 6y, fxy(x, y) = -6x, fyy(x, y) = 14. Deshalb verschwindet f'(x, y) = (6x(1 - y)
14y - 3x 2 ) genau dann, wenn
der Punkt (x,y)T in der Menge {(O,O)T, (jii,l)T, (-jii,l)T} liegt. Die Hessesche Matrix in jedem dieser Punkte ist:
H(O,O)
H
(6 140) ,H (f14) V3,1 = (0 -6jii
=
0
(- V(14) (0 6jii 3,1
-6jii) 14 '
6jii) 14 .
=
Die Matrix H(O,O) hat die Eigenwerte 6 und 14, und damit ist sie positiv definit. f hat also in (O,O)T ein lokales Minimum; es gilt: f(O,O) = O. Die Matrizen H( jii, 1) und H( -jii, 1) haben als Eigenwerte die Nullstellen von).2 -14>.-168, d.h. = 7±v'49 + 168; eine davon ist positiv, die andere negativ. Deshalb sind diese zwei Matrizen indefinit, und in diesen Punkten, d.h. in (±jii, l)T, hat f kein lokales Extremum. b) Wegen jeder der 4 Gleichungen lim f(x,O) x--+oo
lim f(O, y) =
00
y~oo
und
lim f(O, y) =
y~-oo
00
= 00,
lim f(x,O)
x--+-oo
= 00,
ist f nicht nach oben beschränkt,
und deshalb hat f auf IR2 kein globales Maximum. Aus lim f(t, t) = lim t 2(10 - 3t)
t~oo
= -00
t~oo
folgt, dass
f auf IR 2 auch kein globales Minimum
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
368
hat. c) 1 eingeschränkt auf den abgeschlossenen (und damit kompakten) Kreis K besitzt (wie jede stetige Funktion) ein globales Maximum und ein globales Minimum. Würde dieses Maximum (bzw. Minimum) in einem inneren Punkt (xO,yo)T des Kreises (d.h. x5 + Y5 < 42 ) angenommen, so wäre (xO,yo)T insbesondere ein lokales Maximum (bzw. lokales Minimum) von 1 auf IR 2 • Also: Die Einschränkung von 1 auf K erreicht ihr globales Maximum (bzw. globales Minimum) auf dem Rand von K oder in (O,O)T . Ein beliebiger Punkt des Randes von K ist durch (4 cos t, 4 sin t)T mit t E [0, 27r[ darstellbar. Es gilt: g(t) := 1(4 cos t, 4 sin t) = 48 cos2 t = 48 + 64 sin2 t - 192 sin t
+ 112 sin2 t -
+ 192 sin3 t
192 cos 2 t sin t
.
Die Funktion h, heu) = 192u 3 + 64u 2 -192u + 48, hat die Ableitung h'(u) = 576u 2 + 128u -192 = 64(9u 2 + 2u - 3); die Nullstellen von l' sind -1±'(GP. Für Ul = -lgv'28 ~ -0,69905 und U2 = -l1gffi ~ 0,47683 gilt: heUl) ~ 99,9043 und h( U2) ~ -8,18414. Da 1(0,0) = gilt, ergibt sich daraus:
°
-+ -+
Das globale Minimum von 1 auf K ist etwa -8,18414; es wird in den Punkten (±J4 2 - u~ , 4U2)T angenommen. Das globale Maximum von 1 auf K ist etwa 99,9043 und es wird in (± 42 4ud T angenommen.
J
ur ,
Aufgabe 95
Es liegen die folgenden vier Messpunkte (Xi,Yi)T, i E {1,2,3,4}, vor: 1
2
3
4
Xi
-1
1
2
3
Yi
-1
2
3
4,5
i
Bestimmen Sie a) b) c) d)
die Ausgleichsgerade, den mittleren Fehler zu dieser Geraden, die Ausgleichsparabel 2. Grades, den mittleren Fehler zu dieser Parabel.
Lösung: Mit Hilfe der Messpunkte erhält man die folgende Tabelle:
2.2 Aufgaben für das zweite Kapitel
369
i
Xi
Yi
X2
XiYi
XiYi
2
X~
x1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
2
1
2
1
2
2
1
1
3
2
3
4
6
12
8
16
4
3
4,5
9
13,5
40,5
27
81
L
5
8,5
15
22,5
53,5
35
99
•
•
•
a) Daraus erhalten wir:
= det
D
(:
155)
Da
= det
(282,55
Db
= det
(:
= 60 155)
283,55)
25
= 35 ,
= 127,5- 112,5 = 15 ,
= 90 -
_ Da _ 15 _ ~ D - 35 - 7
= 47,5,
42,5
b _ D b _ 47,5 _ 9,5 _ 19 - D - 35 - 7 - 14 .
a-
Die gesuchte Ausgleichsgerade ist gegeben durch Y = a auch 7y = 3x + 9,5. b) Der mittlere Fehler ist m a -
=
)Q(a,b)
9,5 + 1 bXl - Y1 -- '73 - '7 3 14 ' a + bX3 - Y3 = ~ + 1.(
4-2
+
1 14
-
'
+ bx =
~x
=V . /E;_J(a+bx;-Yi)2 = 2 a ~
+
+
~~ oder
_1_
2..;7"
weil'
bX2 - Y2 -- '73 + '7 9,5 - 2a + bX4 - Y4 = ~ + 2~,5 -
= , Yi)2 = (114 )2 + (-134)2 + (~)2 + 02 = l4 3
4,5 = 0 , Q(a, b) = 2::=1 (a + bXi . c) Die 3 Koeffizienten der Ausgleichsparabel erfüllen das lineare Gleichungssystem
+ 5a1 + 15a2 = 5ao + 15a1 + 35a2 = 15ao + 35a1 + 99a2 = 4ao
8,5 22,5 53, 5 .
'
Mit der Cramerschen Regel erhält man ao = ~! a1 = 18285 , a2 = Die Ausgleichsparabel 2. Grades ist deshalb Y = ~! + 18285 X - 838x2 . d) Der mittlere Fehler ist m =
Q( ao, a1, a2 ) -_ ",4 L..1i=1 ( ao
Q(ao,al,a2) 4-2-1
_3_ 4;/U'
-
+ a1 x i + a2 x 2 i - )Yi2
-_
(42 88 -
weil'. 125
3
88 - 88
+ 1)2
838 •
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
370
_ -
( 1)2 44
+ (-
+ (8)2 44 + (-
5)2 44
3)2 _ 44 -
99 _ 9 W - 42.ff .
Aufgabe 96
Es liegen die folgenden 7 Messpunkte {(Xi, Yi)T E IR 2 I i = 1, ... , 7} vor: i
1
2
3
4
5
6
7
Xi
0
1
3
5
6
8
9
Yi
13
12
8
5
3
0
-4
Bestimmen Sie die Ausgleichsgerade und die Ausgleichsparabel 2. Grades durch diese sieben Punkte. Lösung: Die Ausgleichsgerade hat die Gleichung Y = a + bx; dabei werden die Koeffizienten a und b wie folgt berechnet: det (
2i:~' y; E:d X;)
2:i=l
a= det
XiYi
( 7Xi 7 2:i=l
7 2: i=l
( 7Xi (7 det
det
Xi2
E~, X;)
b=
7 2:i=l
7 2: i =l
2:;=1 X;
Xi
E:~, y; 2:;=1 XiYi
7
+ a1 2:>i + a2 i=l
7
ao LXi
7
7
i=l
i=l
7
+ a1 LX; + a2 Lxr
7
= LXiYi,
i=l
i=l
7
7
7
7
i=l
i=l
+ a1 L i=l
+ a1X + a2x2
7
i=l
i=l
Xi2
2:.:>; = LYi ,
i=l
ao LX;
E:~, x; )
7 2: i=l
Die Koeffizienten ao, a1 und a2 der Ausgleichsparabel Y = ao werden aus dem folgenden Gleichungssystem gewonnen:
7ao
)
xr + a2 Lxi = L
X;Yi .
Für die Bestimmen von a, b, ao, a1 und a2 stellen wir die folgende Tabelle auf:
2.2 Aufgaben für das zweite Kapitel
371 2
i
Xi
Yi
X2
X3
XiYi
Xi Yi
13
0
0
0
2
0 1
•
X4
1
•
12
1
1
1
0 12
0 12
3
3
8
27
81
24
72
4
5
5
9 25
125
625
25
125
5
6
3
36
216
1296
18
108
6
8
0
64
512
4096
0
0
7
9
-4
81
729
6561
-36
-324
L
32
37
216
1610
12660
43
-7
b-
37 43 32 216
•
Man erhält:
37 32 43 216 a= 7 32 32 216
-
7992-1376 _ 1512-1024 -
216 37 32 43 216 1610 -7 1610 12660 ao = 32 216 7 32 216 1610 216 1610 12660
_ -
-287362 _ 212324 -
-143681 _ 106162 ' a2 -
_ -
827
61'
-
2770492 _ 212324 -
7 32 216 7 32 216
692623 53081 '
32 216 1610 32 216 1610
_ -
_
a1 -
37 43 -7 216 1610 12660
_ -
301-1184 _ 1512-1024 -
883 488 '
216 7 37 32 43 1610 216 -7 12660 32 216 7 32 216 1610 216 1610 12660
-10842 _ 212324
-5421 106162'
Die Gleichung der Ausgleichsgeraden ist also Y = 86217 + ~~~ x, während die Gleichung der Ausgleichsparabel für dieselben Messpunkte lautet: _
Y-
692623 53081 -
143681 106162 X -
5421 2 106162 X •
Aufgabe 97 Bestimmen Sie mit Hilfe der Methode des Lagrange-Multiplikators alle Stellen möglicher lokaler Extrema der durch f(x,y) = 6 - 4x - 3y gegebenen Funktion f : IR 2 -+ IR unter der Nebenbedingung x 2 + y2 = 1. Kann man darüber mehr sagen?
372
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
Lösung: Man sucht auf dem Kreis K := {(x, y)T E IR2; x 2 +y2 = I} diejenigen Punkte (x, y)T, in welchen grad f(x, y) proportional zu grad(x 2 + y2 - 1) ist. Also: -4 Es folgt: x
=-
= >. . 2x,
f' y =-
-3
= >. . 2y
und
x 2 + y2
23>. und damit :&(4 +
=1.
t) = 1, d.h.
>.2
=
245. Zu
t, - ~)T, und entsprechend f( - t, -~) = 6 + 5 + t = 11. Dagegen erhält man für>. = - ~ erhält man den Punkt (t, ~)T und den Wert f(t, ~t) = 6 - 5 t = 1. Da K kompakt ist, hat >.
=
~ ergibt sich der Punkt (-
16
16 -
die Einschränkung von f auf K sowohl ein absolutes Maximum als auch ein absolutes Minimum. Sie müssen 11 bzw. 1 sein!
Aufgabe 98 a)
Bestimmen Sie mit Hilfe der Methode des Lagrange-Multiplikators alle Stellen möglicher lokaler Extrema der durch f(x,y) := X2y3 gegebenen Funktion f : IR2 --t IR unter der folgenden Nebenbedingung g(x,y) := x 2 + 3y2 -1 = O.
b)
Wie könnten Sie diese Aufgabe mit Hilfe der Kenntnisse aus der Differenzialrechnung für Funktionen einer Veränderlichen lösen? Entscheiden Sie, ob die errechneten Punkte tatsächlich lokale Extrema sind und bestimmen Sie deren Art.
Hinweis zu b): Betrachten Sie für die Punkte der Ellipse x 2 Darstellung x = cos t, Y = ~ sin t .
Lösung: a) Aus §1. äx
= >.!!.9.. äy
und §1. äy
= >.!!.9.. äy
folgt 2xy3
= 2>'x
+ 3 y 2 -1 =
und 3X 2y2
= 6>'y ,
0 die
und
damit erhält man, dass für>. = 0 lokale Extrema von f unter der Nebenbedingung 9 = 0 höchstens in den vier Punkten (± 1, 0) T, (0, ± ~ ) Tauftreten
= >. und x 2y = 2>'. Mit y = ~ ergibt sich x 2 = 2 ( ~) 2, und damit x = ±J2 ~. Setzt man x = ±J2 ~ und y = ~ in 9 ein, so folgt: 2W + 3W - 1 = 0, d.h.
können. Für>.
:I 0 ergibt
>. = ± 5~' Es folgt: (±
sich x
:I
0, y
:I
O. Es folgt y3
1, ± Jg)T sind weitere 4 Punkte, in welchen f unter
der Nebenbedingung 9 = 0 lokale Extrema haben kann. Es gilt:
f(±
1, Jg) = 25~' f(±~, -
Jg) = - 25~
und f(O,± ~)
= f(±l, 0) = 0 .
b) Setzt man in f(x, y) die Werte x = cos t, Y = ~ sin t ein, so erhält man die Funktion h : [0, 27f[-+ IR , h(t) = 3~ sin3 t cos 2 t. Die lokalen Extrema
2.2 Aufgaben für das zweite Kapitel
373
°
von f unter der Nebenbedingung g = entsprechen den lokalen Extrema von h. Es gilt h'(t) = 3~ sin 2 t cos t[3 cos 2 t - 2 sin 2 t) . Die lokalen Extrema von h können nur in den Punkten der Menge
{o,~, 7r, 3; ,arctan~, 7r + arctan ~,7r - arctan~, 27r - arctan~} angenommen werden. Es gilt: hl/(t) = 3~ sin t(6 cos 4 t - 17 sin 2 t cos 2 t 3~[6 cos5 t + sin 2 t( .. .)) , hl/(O)
= 0,
+ 2 sin4 t) , hl/, (t) = h/l/(O) = 0 "I- 0, hl/(7r) =
- 0 "I- 0, hl/ G) = 3~ > °und hl/ (3n = - 3~ < °.
°
Deshalb hat h in und 7r zwei Wendepunkte; h besitzt in ~ und Minimum bzw. Maximum. Für t = arctan ~ ,
7r
+ arctan ~ ,
sin t und cos t die Werte -
~
~
7r -
arctan
/f '
V "2
3-/3
und analog hl/(7r -
27r 0,
arctan
27r -
ein lokales
/f
haben
j"j. Deshalb gilt
und
+ arctan V"2 fi)
arctan
3211"
j"j , - ~ und - j"j, ~ und - j"j bzw.
und
hl/(arctan fi) = _1_[6. -.L . -±.. _ 17 . _1_ . ~
hl/(7r
°,hl/'(7r) =
/f
und
arctan
7r -
/f
v5
25
arctan~)
5v5
=
-
75~.
5
+
2 . _1_) _ _ _ 8_ 25v5
-
75V15
Entsprechend erhält man
= hl/(27r - arctan fi) =
V"2
_8_.
75V15
arctan ~ lokale Maxima, während in
Also besitzt h in 7r
+arctan
/f
und
lokale Minima liegen. Man beachte, dass den Punkten t =
~, 7r, 3; ,arctan
/f '
7r -
arctan ~ ,
7r
+ arctan
die folgenden Punkte aus IR2 entsprechen:
/f
(l,O)T,
und (0,
27r -
arctan
/f
0)T, (-l,O)T,
(0,- 0)T,(j"j, ~)T, (_j"j, ~)T, (_j"j,_ ~)T und (j"j,_ ~)T .
°
Damit nimmt an:
g =
f
die folgenden lokalen Extrema unter der Nebenbedingung
-t
lokale Maxima in (0, -
-t
lokale Minima in (0,
0)T, (±j"j, ~)T ,
0)T, (±j"j, _ ~)T .
In den Punkten (1, 0) T und (-1, 0) T liegen also keine lokale Extrema für unter der gegebenen Nebenbedingung vor.
f
Aufgabe 99 Bestimmen Sie den kleinsten und den größten Abstand des Punktes (xo, 0, 0)
374
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
zur Schnittkurve C des Kreiszylinders x 2 Zylinder x 2 - Z2 = 16 .
+ y 2 = 25 mit dem
hyperbolischen
Lösung: Man bezeichne mit gl und g2 die Funktionen gl(X,y, z) = x 2 + y2 - 25 und g2(X, y, z) = x 2 - Z2 - 16. Der Abstand zwischen (xo, 0, O)T und einem be-
liebigen Punkt von C ist J(x - xo)2 + y2 + Z2; es ist genau dann maximal oder minimal, wenn f(x, y, z) := (x - XO)2 + y2 + z2 maximal bzw. minimal ist. Man sucht die Lösungen (X,y,Z,A1,A2) von grad f(x, y, z) = (Al grad gl
+ A2 gradg2 )(x, y, z)
mit der Eigenschaft gl(X,y,Z) = 0 = g2(X,y,Z). Schreibt man (*) in der Gestalt
Ogl Al ox (x,y,z)
+ A2
Og2 of ox (x,y,z) - ox (x,y,z) = 0,
Ogl Og2 of A10 y (x,y,Z)+A20xy (x,y,z)--oy (x,y,z)=O, Ogl Og2 of A1a;(X,y,z) + A2a;(X,y,z) - oz (x,y,z) = 0, so sieht man, dass (x, y, Z, Al, A2) nur dann eine Lösung ist, wenn die Determinante des homogenen Systems mit der Koeffizientenmatrix Q.9J.. &x
( Q.9J.. &y
Q.9J.. 8z
~ !li) ~ U (x,y,z) &x
~ 8z
8x
!li 8z
verschwindet, denn dieses System hat ja wegen (**) die nichttriviale Lösung (Al, A2, -1); d.h.
2x 2y
o
2x
2(x - xo) 2y -2z 2z 0
= -8(x -
xo)Yz
=0 .
Ist y = 0, so ergeben sich die 4 Punkte (±5, 0, ±3) von C; ist z = 0, so erhält man 4 weitere Punkte (±4, ±3, O)T von C. Ist x - Xo = 0, also Xo = x, so folgt Ixol E [4,5] wegen gl(X,y,Z) = 0 und g2(X,y,Z) = 0, und als weitere Punkte von C, die für die Extremstellen in Frage kommen haben wir: (xo, ±J25 - x5, JX5 - 16). Die Kurve C ist kompakt, da sie abgeschlossen - als Nullstellenmenge von Polynomen - und beschränkt - wegen C C [-5,5] x [-5,5] x [-3,3]- ist. Deshalb muss flc als stetige Funktion auf
2.2 Aufgaben für das zweite Kapitel
375
einem Kompakturn sowohl ein absolutes Maximum M als auch ein absolutes Minimum m besitzen. Diese Extremwerte können von Xo abhängig sein und liegen nur in der ermittelten Menge der Kandidaten für Extrema; in diesen Punkten berechnen wir deshalb die Werte der Funktion f :
= (4-XO)2 +9, f(5, 0, ±3) = (5 - XO)2 + 9 , f(4,±3,0)
= (4+XO)2 +9, f( -5,0, ±3) = (5 + XO)2 + 9 , f(-4,±3,0)
f(xo,±J25 - X6,±JX6 -16)
= 25 -
x6 +x6 -16
= 9.
Deshalb unterscheiden wir die folgenden Fälle: i) Xo < -5 : M = f(5, 0, ±3) , m = f( -5,0, ±3) . ii) Xo = -5 : M = f(5, 0, ±3) = 109 , m = f( -5, 0, ±3) = 9 . iii) Xo E ]-5, -4[: M = f(5, 0, ±3) , m = f(xo, ±J25 - X6, ±V"X6;-----=1:-7 6·) = 9 . iv) Xo = -4: M = f(5,0,±3) = 90, m = f(-4,0,±3) = 9. v) -4< Xo ~ 0: M = f(5,0,±3), m = f(-4,0,±3). vi) ~ Xo < 4: M = f(-5,0,±3), m = (4,0,±3). vii) Xo = 4: M = f(-5,0,±3) = 90, m = f(4,0,±3) = 9. viii) Xo E]4,5[: M=f(-5,0,±3), m = f(xo,±J25 - X6,±JX6 -16) = 9. ix) Xo = 5: M = f(-5,0,±3) = 109, m = f(5,0,±3) = 9. x) Xo > 5: M = f(-5,0,±3), m = f(5,0,±3).
°
Aufgabe 100 Die Winkel eines Trapezes sind a1, a2, a3 und a4; dabei bezeichnen a1 und die Winkel zwischen der kleineren der bei den parallelen Seiten und einer der nichtparallelen Seiten. a1 und a2 sind die Winkel zwischen dieser nichtparallelen Seite und den beiden parallelen Seiten. Beim Messen der Winkel haben sich kleine Fehler ergeben, so dass a1 + a2 + a3 + a4 nicht 27r sondern 27r - 'P und a1 + a4 nicht 7r sondern 7r - 'ljJ sind. Addieren Sie zu a1,a2,a3 und a4 Ausgleichssummanden X1,X2,X3, bzw. X4, so dass (al +xd+(a2+x2)+(a3+x3)+(a4+x4) = 27r und (al +xd+(a4+x4) = 7r gelten, und so dass die Fehlerquadratsumme xi + x~ + x~ + x~ möglichst klein ist. a4
Lösung: Gesucht wird also das Minimum der Funktion f,f(x) = f(X1,X2,X3,X4) = xi + x~ + x~ + x~ unter den Nebenbedingungen
gl(X) = (al + xd + (a2 + X2) + (a3 + X3) + (a4 + X4) - 27r = g2(X)
= (al
+ xd + (a4 + X4)
= 7r .
°,
Die Koordinaten eines Punktes, in welchem ein solches Minimum erreicht wird, besteht aus den ersten 4 Komponenten einer Lösung des folgenden
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
376
Gleichungssystems mit den Unbekannten Xl, X2, X3, X4, Al und A2 : grad f(x) = Al grad gl (x)
+ A2 grad g2 (x),
gl (x) = 0, g2(X) =
°.
Wegen grad f(x) = (2Xl, 2X2, 2X3, 2X4) T, und grad gl (x) = (1,1,1, l)T und gradg 2 (x) = (1,0,0, l)T hat man das folgende System zu lösen:
+ A2, 2X2 = Al, 2X3 = Al, 2X4 = Al + A2 , + X3 + X4 = 21f - ((Xl + (X2 + (X3 + (X4) = rp , + X4 = 1f - ((Xl + (X4) = 'lj; .
2Xl = Al Xl
+ X2
Xl
Es folgt X2 = X3 = ~ , Xl = X4 =
)'1
t'\2 , Al + A2 + Al = rp und Al + A2 = 'lj; .
Daraus ergibt sich Al = rp-'lj;, A2 = 2'lj;-rp, und damit X2 = X3 = X4 =
*.
Das Minimum kann also nur in
men werden; sein Wert wäre dann f(*,
'f -
(*, 9, 9, *) 9, 9, *) 'f -
9 ' Xl =
T =: Xo angenom-
=
rp'lj;
+ 'lj;2
°
.
Dazu bemerke man, dass rp'lj; + 'lj;2 = ~(rp - 'lj;)2 + ~'lj;2 ~ gilt. Dieser Wert ist das gesuchte Minimum; das zeigt man wie folgt: Als Definitionsbereich für f genügt es, die kompakte Menge K := {(Xl,X2,X3,X4)T E IR4 I -(Xi ~ Xi ~ 1f - (Xi für i = 1,2,3,4, gl (x) = g2(X) = o} zu nehmen. (Man bedenke, dass (Xi + Xi die Größe eines Trapezwinkels ist; deshalb muss gelten ~ (Xi + Xi ~ 1f.) Wegen seiner Stetigkeit hat f darauf sowohl ein globales Minimum als auch ein globales Maximum. Es genügt zu zeigen, dass in Xo ein lokales Minimum von f auf K angenommen wird. Die Gleichungen gl (x) = und g2(X) = erlauben, X2 und X4 als Funktionen von Xl =: X und X3 =: y darzustellen: X4 = 'lj; - Xl = 'lj; - X, X2 = rp - 'lj; - X3 = rp - 'lj; - y. Damit hat man die Funktion
°
°
°
h(x, y) := f(x, rp - 'lj; - y, y, 'lj; - x) = x 2 + (rp _ 'lj; _ y)2 = 2x 2 + 2y2 _ 2'lj;x _ 2(rp _ 'lj;)y
+ (rp _
'lj;)2
+ y2 + ('lj; _
X)2
+ 'lj;2
zu untersuchen. Ihr Gradient hat die Komponenten 4x-2'lj; und 4y-2(rp-'lj;), und deshalb kommt (erwartungsgemäß!) nur der Punkt (*, 9)T für das Eintreten eines lokalen Extremums von h in Frage. Die Hessesche Matrix
(~:: ~::) ist in jedem Punkt gleich (~ ~ ) , also positiv definit. Deshalb
(*, 9f ein lokales Minimum. f hat also auf K nur in
besitzt hin lokales Minimum.
Xo ein
Aufgabe 101 Differenzieren Sie das folgende Parameterintegral mit Hilfe der Leibnizschen Regel:
377
2.2 Aufgaben für das zweite Kapitel 1
F(x) = / In(x 2 o
+ y2 + l)dy
.
Lösung: 1
1
x2+2~+ldY=2X / (X2+1)[I!(~)2]dY
F'(x) = / o
~
0
=
2x vx 2 +1
=
2x vx 2 + 1
/1 0
v'x;+1
d
1+(~)2
~arctan
Y=
Y=l 2x y arctan ----===== 2 2 vx +1 vx +1 y=o I
1
~.
vx
2
+1
Aufgabe 102
) .E s se1. F( x.a) b) c)
Jv'f=X2 ln(x 2+y 3+4) dy. 1
r:;T
x
Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich von F. Bestimmen Sie die Nullstellen von F. Bestimmen Sie für jedes offene Intervall aus dem Definitionsbereich von F die Ableitung von F.
Lösung:
a) Für F(x) := J~1-X2 I~I
ln(x 2+ y3 +4)dy x
ist DF := [-1,0 [U] 0,1] der maxi-
male Definitionsbereich von F. Auf dem Integrationsintervall ist y positiv; deshalb macht die dritte Potenz von y keine Schwierigkeit! b) Für x E DF ist VI - x 2 < 1 und 1;1 2: 1; also sind die beiden Integrationsgrenzen immer verschieden voneinander, und zwar ist die untere Grenze größer als die obere Grenze. Für x
>
°
ist die zu integrierende (stetige) Funktion y
°
I-t
ln(x2~y3+4) positiv,
und deshalb gilt F(x) < 0; dagegen ist für x < die durch y I-t ln(x2~y3+4) angegebene Funktion negativ, und damit F(x) > 0. Fazit: F hat keine Nullstellen. c) Mit der Leibnizschen Regel bekommt man falls x E]O, 1[ für F die Ableitung F'( ) - Jv'f=X2 x~-ln(x2+y3+4) d x - ~ x2 Y
+
ln[x 2+(1_x 2)3/2+4] . ~ _ ln(x2+~+4) (_ 1 ) x 2 v'f=X2 x X2
=
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
378
J~~(
X2
2
+y3+4
_
ln(x 2 +y3 +4))d + ln( x2+;!s-+4) _ x2 Y x3
Analog wird für x E ]- 1,
°[
ln[x 2 +(1_x 2 )312+4] ~.
die Ableitung von F(x) = J::;-x 2 ln(x2~y3+4) dy
berechnet. Aufgabe 103
a)
Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich D F der durch die Zufl+x2
b)
~y2
ordnung x r-+ F(x) := Jsinx Tdy definierten Funktion F . Begründen Sie, warum F auf D F stetig differenzierbar ist, und berechnen Sie die Ableitung von F; geben Sie dabei den Wert von F I in xE DF an, ohne das Integralzeichen zu verwenden.
Lösung: a) Da 1 + x 2 stets positiv ist, muss auch sin x positiv sein, damit
°
Integrationsintervall liegt. (Man bemerke, dass die Funktion y r-+ jedes x und jedes a gilt:
>
°
nicht im
e~:2 für
auf ]0, a] nicht uneigentlich integrierbar ist!) Also
DF =
U]2mr, (2n + l)7r[ . nEZ
b) Die partielle Ableitung nach x der Funktion
e~:2 existiert und ist stetig
differenzierbar auf DFx]O, 00[. Die Funktionen x r-+ 1+x 2 und x r-+ sinx sind stetig differenzierbar auf IR, und insbesondere auf DF. Nach der Leibnizschen Regel ist F stetig differenzierbar auf DF, und für jedes x aus DF gilt:
sinx
2.3 Erster Test für das zweite Kapitel Aufgabe 1
Führen Sie für die Funktion f, f(x) = xlx 2 - 3xl das Kurvendiskussionsprogramm durcho Untersuchen Sie insbesondere die Existenz der ersten und der zweiten Ableitung von f in den Punkten und 3
°
0
Lösung: a) Die Funktion ist auf IR definiert; es gilt:
3x 2
X3 -
f(x) =
3x 2 lim f(x)
Man hat:
x--+-oo
falls xE] - 00,0] U [3,oo[
{
x3
-
= -00,
sonsto
lim f(x)
x--+oo
= 00
0
f hat keine Asymptote, weil
sie auf IR definiert ist und weil gilt:
x3 - 3x 2 110m f(x) __ 110m - = lim (x 2
x--+oo
110m
x--+-oo
X
x--+oo
x--+oo
X
f(x) __ 110m x3 - 3x 2 - = X
x--+-oo
X
3 = 00, 3x) = lim x 2 (1- -)
-
lim (x 2
x--+-oo
x--+oo
-
3x) =
X
3 = 00 lim x 2 (1- -)
x--+-oo
0
X
b) Die Funktion f ist stetig auf] - 00, o[ U ]0, 3[ U ]3,00[, da auf diesen drei Intervallen f jeweils ein Polynom isto In den Punkten und 3 ist f ebenfalls stetig (und damit auf IR), weil:
°
lim f(x) = lim (x 3
x--+o-
x--+o-
-
lim f(x) = lim (3x 3
x--+3-
x--+3-
3x 2 ) = -
x2 ) =
° f(O) ° f(3)
c) Auf] - 00, O[ U ]0, 3[ U ]3, oo[ ist
° f(x) - f(O) °
=
= lim (3x 2
=
= lim (x 3 x--+3+
lim x--+o+
X -
X -
x--+o-
X
= lim 3x 2 x--+o+
-
x--+o+
3x 2 ) = lim f(x) x--+3+
lim f(x) - f(3) = lim 3x x- 3 x--+3X
-
-
= x--+olim (x 2 -
3x)
=
x 3 = lim (3x _ x 2 ) =
X 2
x--+3-
-
3x 3 ) = lim f(x) , 0
f unendlich oft differenzierbar. Man hat:
x 3 - 3x 2 110m f(x) - f(O) __ 110m --
x--+o-
-
x--+o+
x--+o+ 3
°, °,
x = lim (_x 2 ) = -9, 3 x--+3-
lim f(x) - f(3) = lim x 3 - 3x 2 = lim (x 2 ) = 90 x--+3+ X - 3 x--+3+ X - 3 x--+3+
380 Also:
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
°
f ist in differenzierbar, in 3 nicht. Es gilt I
f (x)
=
3x2
{
6x -
6x
-
3x2
,falls xE) - 00,0) U )3, oo[ , ,falls x E )0, 3[ .
°
°
°
°
Die Nullstellen von l' sind und 2. Da f(x) < für x< und f(x) > für x > gelten, hat f im Nullpunkt kein lokales Extremum. d) l' ist in nicht differenzierbar (in 3 wird gar nicht untersucht, da l' (3) nicht existiert!), weil: lim !,(x)-!,(O) = lim 3x 2 -6x =-6, lim !,(x)-f'(O) =
° °
x--+O-
lim
x--+O+
6x-3x x
2
x-O
x--+O-
x
x--+O+
x-O
= 6. Damit hat man: 11
f (x)
=
{
6x - 6 ,falls XE) - 00, o[ U ]3, oo[ , 6 - 6x ,falls x E ]0, 3[ .
Insbesondere ist 1"(2) = 6 - 6 . 2 = -6 < 0, und damit besitzt f in 2 ein lokales Maximum, nämlich f(2) = 4. Die einzige Nullstelle von 1" liegt in 1. Da 1"(x) > für x E]O,I[ und 1"(x) < für x E)I,3[ gilt, ist 1 ein Wendepunkt für f. e) Die folgende Tabelle hilft uns bei der graphischen Darstellung von f:
°
°
x
1'(x)
-1
+ + +
° °
1
+ 3 +
2
°°/'
I(x) -00 /' -4/,O /' 2 /' 4 ':. 1"(x)
-
-
3
4
1+ + + 16 /' 00
-1+0---1+++
Danach wächst die FUnktion 1 auf dem Intervall] - 00,0] von -00 bis 0, und ist dabei konkav. Im Nullpunkt hat 1 einen Wendepunkt, und dabei ist die Tangente zum Graphen von 1 die x-Achse. Auf dem Intervall [0,1] wächst 1 weiter, von Obis 2, und ist dabei konvex. Im Punkt 1 gibt es einen Wendepunkt; die Tangente in diesem Punkt hat die Steigung 3. Auf [1,2] wächst 1 von 2 bis 4. In 2 gibt es ein lokales Maximum; danach auf [2,3) nimmt 1 von 4 bis auf ab. Dabei ist 1 auf [1,3) konkav. Schließlich wächst 1 auf [3,00] vom relativen Minimum Obis 00, und dabei ist 1 konvex. Man beachte, dass die FUnktion 1 weder gerade noch ungerade ist, weil 1(1) = 2 und 1(-1) = -4 gilt. Mit diesen Daten erhalten wir die folgende Skizze der FUnktion 1 gemäß Abbildung 2.15; diese Funktion ist weder ein Polynom, noch eine rationale FUnktion. (Für Polynome und rationale FUnktionen kommt ein Verhalten wie in der Umgebung von 3 nicht vor! Diese Aussage möchten wir an dieser Stelle nicht vertiefen!)
°
2.3 Erster Test für das zweite Kapitel
381
f(x)
Abbildung 2.15. Skizze der Funktion f(x) = xlx 2 - 3xl
f,
Aufgabe 2
Sei P eine Platte mit konstanter Dichte, die wie folgt beschrieben wird:
Bestimmen Sie den Flächeninhalt und den Schwerpunkt von P . Lösung: Für x E]O, 3[ gilt 3x 2 - x 3 = x 2(3 - x)
Platte P : ( x3
_
> 0. x4 4
)
Deshalb ist der Flächeninhalt der
[3
= 27 _ 81
= 27
4
4
°
.
Die Koordinaten Xs und Ys des Schwerpunktes S von P werden berechnet mittels
f -=-=3,------° f 3
Xs =
(3x 2 - x 3 )dx
°
f --C:° f
3
~
x(3x 2 - x 3 )dx
und
Ys =
(3x 2 -
X 3 )2dx
= -----3
(3x 2 - x 3 )dx
°
382
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
Es gilt
243
20'
! 3
(3x 2 -
X3
o
U nd
damit x S =
6 9 5 )2dx = ( Sx -x
=
243 , 27 20' 4
j! 5'
X
+ 7"7 )
y S = (12 ,
729
3 0
1
729) , 27 35 '4
35 =
54 35 '
Aufgabe 3
Seien a < b reelle Zahlen,
J: (x2+i~~~+16) dx ,
a)
Berechnen Sie das Integral
b) c)
Zeigen Sie, dass Jooo (x2+i~~~H6) dx existiert. Berechnen Sie das uneigentliehe Integral aus b),
Lösung: a) Wie immer für solche rationalen Funktionen führt man eine Partial4_x2 - Ax+B + Cx+D f"h t h Der Ansat z (x2+1)(x2+16) b ruch zer1egung d ure, - X2+1 x 2+16 U r zu 4 - x 2 = 16B + D + (16A + C)x + (B + D)x 2 + (A + C)x 3 und damit zu A + C = 0, 16A + C = 0 sowie zu 16B + D = 4 , B + D = -1. Die Lösung des ersten Systems ist die triviale Lösung A = C = 0; dagegen hat das zweite System die Lösung B = ~ , D = -~, Deshalb hat man
(x 2 + 1)(x 2 + 16) Da [arctan(cx)Y =
gilt, ist
c2x%+1
1
1
4
1
3' ' x 2 + 1 - 3' ' x 2 + 16
'
i arctan(~) eine Stammfunktion für
x2~16
und arctanx eine Stammfunktion für x2~l' Man hat also
! b
(x2
4-
x
2
+ 1)(x2 + 16) dx
=
3'1
[
b arctanb - arctana - arctan 4'
a]
+ arctan 4'
a
J4-x2J 4+x 2 1 f IR d d b ) Wegen (x 2+1)(x2+16) < (x 2+1)(x 2+16) < x 2+1 ür x E un a oo Jo x2~1 dx = ~ gilt, ist nach dem Majorantenkriterium die rationale Funk-
tion (x2+i~~~H6) uneigentlich integrierbar auf [0, oo[ ,
roo
c ) Jo
4_x 2
d -
(x2H)(x2H6) X -
I'
b-!~oo
rb (x2H)(x2+16) 4_x 2 d x -
Jo
0
'I' , wel ,
2.3 Erster Test für das zweite Kapitel
+ arctanO] = t(~
lim Harctanb - arctanO - arctan(~)
b--+oo
-
°- + ~
383 0)
= 0.
Aufgabe 4
Bestimmen Sie die Eigenwerte und dazu jeweils einen Eigenvektor für die Matrix
Lösung:
Die Matrix
(~ ~ ~) - A (~ ~ ~) 7 °3 ° °1
=
(3 ~ ~ ~) A 5
A
°
hat die
7 3-A Determinante (3 - A)(5 - A)(3 - A) - 49(5 - A) = (5 - A)[(A - 3)2 - 72] = (5 - A)(A - 3 - 7)(A - 3 + 7) = (5 - A)(A - 10)(A + 4). Die Eigenwerte der Matrix sind also 5, 10 und -4. Ein Eigenvektor zum Eigenwert A ist eine nichttriviale Lösung von (3 - A)XI d.h. von
(5 - A)X2 = 7XI
+ (3 -
° ° °.
+ 7X3
=
A)X3 =
Für A = 5 erhält das lineare Gleichungssystem die Form -2XI + 7X3 = 0, 7XI - 2X3 = 0, was zu Xl = X3 = führt. Damit ist Xl = 0, X2 = 1, X3 = eine nichttriviale Lösung des Systems. Für A = 10 hat das System die Gestalt -7XI + 7X3 = 0, -5X2 = 0; Xl = 1, X2 = 0, X3 = 1 ist eine nichttriviale Lösung dafür. Schließlich bekommt man für A = -4 das System 7XI + 7X3 = 0, -9X2 = 0; eine nichttriviale Lösung ist nun Xl = 1, X2 = 0, X3 = -1 . Damit sind (0,1, O)T, (1,0, I)T und (1,0, _1)T Eigenvektoren der angegebenen Matrix zu den Eigenvektoren 5,10, bzw. -4.
°
°
Aufgabe 5
Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme: a) b)
y'(x) +y(x)lnx = x-x, y(l) = 1. 2y'(x) - y(x) In X + y(x)3 x -x = y(l)
°,
=1.
Lösung: a) Setzt man p(x) := lnx , fex) := x-x, Xo = 1 und Yo = 1 in die Formel
384
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
1 x
y(x) = exp ( -
x
t
P(t)dt). [I f(t)exp ( I p(T)dT ) dt+yo ] ,
Xo
Xo
Xo
ein, so erhält man diejenige Lösung der gegebenen inhomogenen linearen Differenzialgleichung, welche der Anfangsbedingung genügt. Man erhält durch partielle Integration x
x
x
Ip(t)dt= Ilntdt=tlntl: -
It'~dt=l-x+xlnx.
1
1
1
Daraus folgt
1 x
1
1
1
x
=e
1 x
t
f(t) exp ( I p(T)dT ) dt
=
=e
1
+ tIn t)dt = e
1
1
e-tdt
Cte-tetlntdt
1
x
Cte-tttdt
1 x
C t exp(l - t
= -e· e- t
I: = -e(e- X - e- 1) = 1- e1- x
1
und damit
Die Lösung des Anfangswertproblems lautet y(x)
= (2e x- 1 -
l)x-X
für alle
x> 0 .
Probe: Es gilt y(l) = (2e 1 - 1 - 1)1- 1 = 1. Wegen y'(x) = 2e x - 1x- x + (2e X- 1 - 1) . [-x· X-x-1 + x-x. (-1) . lnx] = 2e x - 1x- x + (1 - 2e x - 1)x-x(1 + lnx) ergibt sich y'(x) + p(x)y(x) = 2e x - 1x- x + (1- 2e X- 1)x-x(1 + lnx) + (2e x - 1 -l)x-X lnx = x-x = f(x) . b) Die vorliegende Differenzialgleichung ist vom Typ Bernoulli; für diese Bernoullische Differenzialgleichung machen wir den Ansatz z(x) = y-2(x). Es ergibt sich 2z'(x) - (1- 3)z(x) lnx + (1- 3)x-X
= 0,
d.h.
z'(x)
+ z(x) lnx = x-x.
Dies ist genau die in a) gelöste Differenzialgleichung; auch die Anfangsbedingung ist dieselbe: z(l) = y-2(1) = 1. Da y(l) = 1 gelten muss, folgt aus z(x) = y-2 nur y(x) = Damit lautet die gesuchte Lösung
b.
V z(x)
y(x)
= v(2e x- 11-
l)x-x
füralle
x>O.
2.3 Erster Test für das zweite Kapitel
385
Aufgabe 6
Sei f: IR 2 -+ IR, f(x,y) := x 2 + y2 - 2x + 3. a) b) c) d) e)
Berechnen Sie alle partiellen Ableitungen von f . Was folgern Sie daraus über das Taylor-Polynom von f von der Ordnung n ~ 2 in einem festen Entwicklungspunkt? Geben Sie das Taylor-Polynom von f zweiter Ordnung im Punkt (3, _l)T an. Bestimmen Sie die lokalen Extrema von f . Bestimmen Sie alle Punkte (xo, YO)T der Ebene, so dass ein c = c(xo, Yo) und entweder eine differenzierbare Funktion g : ]xo - c, Xo + c[ -+ IR mit g(xo) = Yo und {(x,y)T I f(x,y) = f(xo,yo),xo - c < x < Xo + c} = { (x, g (x)) T I Xo - c < x < Xo + c} oder wenigstens eine differenzierbare Funktion h : lyo -c, Yo +c[ -+ IR mit h(yo) = Xo und {(x, y)T I f(x, y) = f(xo,yo),yo - c < Y < Yo + c} = {(h(y),y)T I Yo - c < Y < Yo + c} existieren.
Lösung: a) Es gilt für einen beliebigen Punkt (x, y) Taus IR 2 : ~ (x, y) = 2f 82 f 2x - 2, fll. 8Y(x,y) -_ 2y, 8ßx'2(x,y) -_ 2, ~ 8x8y(x,y) -_ 0, e:;s(x,y) -_ 2. Da jede partielle Ableitung einer konstanten Funktion die Nullfunktion ist,
folgt daraus, dass alle weiteren partiellen Ableitungen
::7;;J
für alle (i, j)
mit i + j ~ 3 auf IR 2 verschwinden. b) Da alle partiellen Ableitungen von f der Ordnung ~ 3 identisch verschwinden, sind alle Taylor-Polynome von f der Ordnung ~ 2 in einem festen Entwicklungs punkt (xo, yo)T gleich, d.h. sie sind von der Gestalt
of of 0 2f 2 f(xo, Yo) + ox (xo, yo)(x - xo) + oy (xo, yo)(y - Yo) + ox 2 (xo, yo)(x - xo) 02f
02f
+ 2 oxoy (xo, yo)(x - xo)(y - Yo) + oy2 (xo, yo)(y - YO)2 = f(xo, Yo)
=
+ (2xo - 2) + (2yo)(Y - Yo) + 2(x - XO)2 + 2(y - YO)2 .
c) Für (xo, yo)T = (3, _l)T ist f(xo, Yo) = 7 und damit sind alle TaylorPolynome von f der Ordnung ~ 2 im Entwicklungspunkt (3, -l)T gleich
7 + 4(x - 3) - 2(y + 1) + 2(x - 3)2 + 2(y + 1)2 . Bemerkung: Dieses Ergebnis kann man natürlich auch elementar erhalten; die folgende Umformung führt also zum Taylor-Polynom von f der Ordnung 2 :
386 f(x,y)
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
= [3 + (x -
3)]2 + [-1 + (y + 1)]2 - 2[3 + (x - 3)] + 3
= 9 + 6(x - 3)+(x - 3)2 +1- 2(y + 1) + (y + 1)2 - 6 - 2(x - 3) + 3
= 7 + 4(x d) Aus ~(x, y) in welchem
~ :~f ( oxoy
3) - 2(y + 1) + (x - 3)2 + (y + 1)2 .
= 2x -
2 und U(x, y)
= 2y folgt,
f ein lokales Extremum haben könnte,
~) o;2 (1,0) = (~ 0Y
~
~)
dass der einzige Punkt,
(1, O)T ist. Da die Matrix
positiv definit ist, und
~(1, 0) = 2 > 0
gilt, hat f in (l,O)T ein lokales Maximum. Bemerkung: Das (und sogar mehr!) ergibt sich auch durch die folgende elementare Umformung: f(x, y) = (x - 1)2 + y2 + 2. Hieraus sieht man, dass f in (l,O)T sogar ein absolutes Minimum hat. e) Kurz gesagt, sollen wir alle Punkte (xo, yo)T der Ebene bestimmen, in welchen aus der Gleichung f(x,y) = f(xo,yo) entweder x sich als Funktion von y oder y sich als Funktion von x in einer Umgebung von Yo bzw. Xo "explizitieren" lässt. Gilt (~(xo,Yo), U(xo,Yo)) :f. (0,0), so kann man gemäß dem Satz über implizite Funktionen entweder x als Funktion von y oder y als Funktion von x "lokal" explizitieren. Ist (xo,yo)T eine Nullstelle des Gradienten von f, so hat man zu untersuchen, ob um Xo oder um Yo eine "Explizitierung" möglich ist. Der einzige Punkt, der in unserem Fall in Frage kommt, ist (l,O)T. f(x,y) = f(l,O) führt zu x 2 + y2 _ 2y + 3 = 2 und damit zu x 2 + y2 - 2x + 1 = O. Die einzige Lösung der Gleichung (x - 1)2 + y2 = 0 ist x = 1, y = o. Deshalb kann man weder x als differenzierbare Funktion von y auf einem Intervall] - c, c[ noch y als differenzierbare Funktion von x auf einem Intervall ]1 - c, 1 + c[ schreiben. Der einzige Punkt, der nicht zur gesuchten Menge gehört, ist also (l,O)T .
2.4 Zweiter Test für das zweite Kapitel Aufgabe 1
"'::18 die Kurvendiskussion nach dem
Führen Sie für die Funktion f(x) folgenden Programm durch: i)
Bestimmung des maximalen Definitionsbereichs, Untersuchung der Stetigkeit und Differenzierbarkeit. ii) Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs (einschließlich ±oo). iii) Bestimmung aller Asymptoten. iv) Berechnung von /' und f". v) Berechnung der Nullstellen von f, /', 1". vi) Bestimmung der relativen Extrema und deren Art. vii) Bestimmung der Bereiche, in denen f monoton, konkav oder konvex ist. viii) Anfertigung einer Skizze. Lösung: i) Der maximale Definitionsbereich von fist Df := IR\{ -I} =)-
Als rationale Funktion ist stetig differenzierbar. ii) Wegen f(x)
= ~:t
= 00.
Da x 2
lim f(x)
"'--+00
lim
",--+-1-
00,
-1[ U)- I, 00[.
f auf Df stetig differenzierbar, sogar unendlich oft
für alle x E IR\{O, -I} gilt
",.!i~oo f(x) =
f(x)
= -00 =
lim fi:El . Wegen f(x) - x x
und
lim
",--+-1+
f(x)
= 00 .
8-+"'1
x
folgt
lim fi:El = 1
x-+-oo
lim (J(x) - x)
x-+-oo
x
=
lim (J(x) - x) . Die Gerade y = x -1 ist Asymptote sowohl für x -+
"'--+00
auch für x -+
iv)
-1 00
als
-00 .
f'(x) = 2x(x + 1) - (x 2 (x + 1)2 f"(x)
und
+ 8 den Wert 9 in x = -1 hat, folgt:
iii) x = -1 ist eine senkrechte Asymptote. Man hat x-+oo
-00
+ 8)
= (2x + 2)(x + 1) (x
2(x 2
+ 1)3
x 2 + 2x - 8 (x + 1)2
+ 2x -
8)
=
(x
18
+ 1)3
v) Da x 2 + 8 2: 8 hat f keine Nullstelle; dasselbe gilt für 1". Die Nullstellen von /' ergeben sich aus x 2 + 2x - 8 = (x + 1)2 - 9 = 0; sie sind -4 und 2.
2 Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
388
vi) Lokale Extrema können nur in -4 und 2 vorliegen. Da 1"( -4) = .!~7 =
- ~ < 0 und 1"(2) = ~~ = ~ > 0 gelten, liegt in -4 ein lokales Maximum 16+8 = -8 und in 2 ein lokales Minimum 1(2) -- 2+1 4+8 = 4 . 1( -4) -- -4+1 vii) Wegen f'(x) =
(x
(X4-til)22)
1 strikt
ist
monoton steigend auf] - 00, -4]
und auf [2,00[. Auf [-4, -1[ und auf ]-1, 2] ist 1 strikt monoton fallend. Der Ausdruck für 1" zeigt, dass 1 konkavauf]- 00, -1[ und konvex auf]- 1, oo[ ist. viii) Die Skizze zeigt Abbildung 2.16. f(x) 1 25 ,/
20 x = 11
15 10 1
1
4
-20
-15
-10
1
-4
-5:
,/
:,/
/: ,/ ,/
/'
,
,/
~=x-1
:,/
2
5
10
15
20
x
1
1
- -I
-5 -8
-10
/.
-15 -20 -25
Abbildung 2.16. Skizze der Funktion f(x) =
Aufgabe 2
I:
2 xx t18
Berechnen Sie das Integral (xL~)(~2+4). In welchen Intervallen müssen die Integrationsgrenzen 0: und ß liegen?
389
2.4 Zweiter Test für das zweite Kapitel
Lösung:
= x 2 hat man J (xL~)(~2+4) = ~ J (Y-1)rY+4) = In Iy - 11 - 110 In Iy + 41 = 110 In I~I = 110 In I~~+!I .
Mit der Substitution y
~ J[~ - Ykldy =
Weil der Integrand stetig in IR\ { -1,1} ist, ist die einzige Einschränkung für 0: und ß die folgende: Die Punkte 1 und -1 dürfen nicht in [0:, ßlliegen. Also: Entweder 0:, ß El- 00, -1[, oder 0:, ß El- 1,1[, oder 0:, ß Ell, 00[. In jedem dieser drei Fälle hat man
J ß
'"
-~lnl~I-~lnl~lß2 +4 10 0: 2 +4 -
xdx (x 2 -1)(x 2 +4) - 10
~ In I (0: 2 + 4)(ß2 10
1) I = ~ In (0: 2 + 4) (ß2 - 1) (0: 2 - I)(ß2 + 4) 10 (0: 2 - 1)(ß2 + 4) .
Etwas mehr Arbeit hat man, wenn man sofort mit der Partialbruchzerlegung anfängt. Aus (X2-1)(X2+4) = X~l + X!l + ~~tf folgt für alle x E IR
x = A(x + 1)(x 2 + 4) + B(x - 1)(x 2 + 4) + (Cx + D)(x 2 - 1) = x 3 (A + B + C) + x 2(A - B + D) + x( 4A + 4B - C) + 4A - 4B - D . und daraus ergibt sich ein Gleichungssystem, das aus folgenden linearen Gleichungen besteht: A + B + C = 0 , A - B + D = 0 , 4A + 4B - C = 1 , 4A - 4B - D = 0 . Seine Lösung lautet A = 110 ' B = 110 ' C = D = O. ·t B h 1 .J:ß dx l.J:ß dx l.J:ß dx 1·· . · D 1e wel ere erec nung von 10 '" x-I + 10 '" x+1 - [; '" x2+4 ver au ft WIe
i,
im ersten Lösungsweg. Aufgabe 3
i)
ii) iii)
Bestimmen Sie 0: E IR, so dass A = (
~1
_211
-~3 ) L
., J-L) den Krümmungsradius dieses Normalschnitts in xo, so hat man nach dem Satz von Meusnier 1
p(>',J-L)
L(XO)>.2 + 2M(xo)>'J-L + N(xO)J-L2 E(XO)>,2 + 2F(xo)>'J-L + G(XO)J-L2
Wegen (EG - F 2)(uo, vo) > 0 und E(uo, vo) > 0 ist E(xo)>.2 + 2F(xo)>'J-L + G(XO)J-L2 stets positiv. Ist die Funktion (>', J-L) f-t P (,/l;) konstant (d.h. stimmen die bei den Fundamentalformen in Xo bis auf eine multiplikative Konstante überein), so haben alle Normalschnitte durch Xo dieselbe Krümmung. Ein
412
3 Ausgewählte Themen aus der Analysis
solcher Punkt Xo heißt Nabelpunkt. Ist die FUnktion ()." /-1)
1-7
-(i ) nicht P ,1'
konstant, so gibt es genau zwei Richtungen ().,1, /-1d und ().,2, /-12) mit 1
_
p(Al,l'l) -
1).,2 + 2 - I} max{1 p(A,I') /-1 ,
1
_. {
p(A2,1'2) -
mm
1
p(Al,l')
I ).,2 + /-1 2 --
I} ,
und ).,1).,2 + /-11/-12 = o. Diese letzte Gleichung bedeutet, dass die den Paaren ().,1, /-11) und ().,2, /-12) entsprechenden Richtungen in der Tangentialebene senkrecht zueinander sind. Sie heißen die Hauptrichtungen des Flächenstücks und \ 1() heißen die Hauptin Xo. Die zugehörigen Krümmungen ~ P\/\l,l'lj P /\2,1'2 krümmungen. Die Hauptkrümmungsradien P().,l, /-1d und P().,2, /-12) sind die Nullstellen der Gleichung zweiter Ordnung 1
p2 -
NE - 2M F + LG 1 EG _ F2 (xo)p
+
LN - M 2 EG _ F2 (xo) = 0 .
Die Werte 1 1 LN - M 2 K(xo):= PI, ()., /-11 ) P()., 2, /-12 ) = EG - F2 (xo) ,
H(xo) :=
1 (1 P().,1, /-1d
2
1
+ p().,2, /-12)
)
=
NE - 2M F + LG 2(EG _ F2) (xo)
(3.13)
(3.14)
heißen die Gaußsche bzw. mittlere Krümmung von F in Xo . Gauß hat bemerkt, dass bei einer zulässigen Parametertransformation die Krümmungen K(xo) und H(xo) invariant (unverändert) bleiben. Damit ist die folgende Definition sinnvoll. Ein Punkt Xo E F heißt
-+ -+ -+ -+
elliptisch, falls K(xo) > 0 gilt, hyperbolisch, falls K(xo) < 0 gilt, parabolisch, falls K(xo) = 0 und H(xo) eben, falls K(xo) = 0 = H(xo) gilt.
"I 0 gilt,
Diese Namensgebung stammt von den entsprechenden Flächen zweiter Ordnung. Zu jedem Punkt eines Ellipsoides bzw. Hyperboloides gibt es eine offene Umgebung, die über einem Gebiet aus IR2 parametrisierbar ist, und jeder Punkt dieses Flächenstücks ist elliptisch bzw. hyperelliptisch. Ein Paraboloid und eine Ebene lassen sich (global) über IR2 parametrisieren, und jeder Punkt des Flächenstücks ist parabolisch bzw. eben. Man kann beweisen, dass ein Ellipsoid über keinem Gebiet aus IR2 parametrisierbar ist. Eine Drehfläche können wir als Bild eines Flächenstücks darstellen, wenn man aus ihr einen Meridian entfernt. Diese Beispiele motivieren die nachstehende Definition. Sei r 2: 2. Die Teilmenge F C IR 3 heißt eine er -Fläche, wenn es zu jedem Punkt von F eine Umgebung U in IR 3 gibt, so dass F n U als reguläres
3.1 Begriffe und Ergebnisse
413
er -Flächenstück parametrisiert werden kann. Die Ellipsoide und die Hyperboloide sowie die Drehflächen von glatt parametrisierten eoo-Kurven sind eoo-Flächen; man kann sie jeweils als Vereinigung von zwei Flächenstücken darstellen. Jede Eigenschaft eines Punktes (z.B. diejenige, dass der Punkt elliptisch ist), die für ein Flächenstück gilt und bezüglich zulässiger Parametertransformationen erhalten bleibt (man sagt: invariant ist), kann auf Flächen eingeführt werden. Ob sie in einem Punkt gilt, muss dann nur auf einem Flächenstück nachgeprüft werden, das diesen Punkt enthält. Es gibt aber auch Eigenschaften und Fragestellungen, wie die nun definierte Orientierbarkeit, die "globalen" Charakter haben. Eine Fläche F heißt orientierbar, wenn eine Menge (Ui)iEI von offenen Teilmengen von IR3 mit folgenden Eigenschaften existiert:
a) b) c)
F C UiEI Ui ,
F n Ui ist mittels Xi : D i -+ F n Ui regulär parametrisiert für alle i E 1 , für jedes Paar (i,j) E 12 mit F n Ui n Uj i:-
0 eine Periode ist, bilden einen IR- Vektorraum. Darin enthalten sind alle konstanten Funktionen und die trigonometrischen Funktionen sin 2;k x sowie cos 2;k x für alle kEIN und damit auch die Menge (besser: der Untervektorraum) aller Funktionen I, die eine Darstellung der Form I(x) = T + 2:~=1 (ak cos 2~11" X+bk sin 2~11" x) mit n aus IN und aO,a1, ... ,an , b1, ... ,bn aus IR besitzen. Das konstante Glied von 1 wird in der Form T geschrieben, und zwar nicht nur wegen der Tradition sondern, weil sich damit die Berechnungsformeln für die Koeffizienten einheitlich darstellen lassen. Wegen der Orthogonalitätsrelationen
J J p
o
2rrk 2rrl cos --xcos -xdx = p
p
r ~
p
fürk;il, für k = l > 0 , fürk=l=O,
p
2rrk sm . -xdx 2rrl = 0, cos --x p
0
J p
gilt
. 2rrk . 2rrl sm --x sm -xdx =
P
°
(3.19)
p
{
P
J ° J .
0
E. 2
fürk;il, fürk=l>O,
p
ak = -2
P
2rrk I(x) cos -xdx
P
für
k = O,l, ... ,n, (3.20)
p
bk = -2
P
2rrk I(x) sm -xdx
0
P
für
k = 1, ... ,n.
Nicht jede p-periodische Funktion ist als trigonometrisches Polynom darstellbar, denn trigonometrische Polynome sind (unendlich oft) differenzierbar, was für p-periodische Funktionen i.A. nicht gilt. Dieser Gedanke wirft die Frage auf, ob man alle p-periodischen Funktionen (oder wenigstens alle p-periodischen und stetig differenzierbaren Funktionen) als konvergente Funktionenreihe vom Typ T + 2:%:1 (ak cos 2;k x + bk sin 2;k x) darstellen kann.
417
3.1 Begriffe und Ergebnisse
Eine Reihe dieser Gestalt heißt Fourierreihe. (Man beachte, dass wegen Isin xl ::; 1 und Icos xl ::; 1 die Konvergenz von L~l (Iak I + Ib k I) für die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenreihe genügen würde.) Für die Untersuchung und die Darstellung periodischer Funktionen sind die Fourierreihen, wie wir im Folgenden sehen werden, das geeignete Instrument. Sei p
> 0 eine reelle Zahl. Falls die Reihe
2ao + ~ ~
(
k=l
27rk . 27rk ) ak cos --x + bk sm --x p P
(3.21)
gleichmäßig auf [0, p] konvergiert, definiert sie eine stetig differenzierbare Funktion f : IR -+ IR, welche p-periodisch ist, und die Koeffizienten ak und bk sind wegen der gleichmäßigen Konvergenz (was die gliedweise Integration erlaubt) und der Orthogonalitätsrelationen von f durch (3.20) eindeutig bestimmt. Ist nun f : IR -+ IR eine p-periodische Funktion, die über [0, p] integrierbar ist, so sind die Funktionen f(x) sin 2;k x und f(x) cos 2;k x ebenfalls integrierbar über [O,p]. Die Zahlen ak und bk, die mittels (3.20) definiert werden, heißen die Fourierkoeffizienten von f und die mittels (3.21) definierte Reihe die f zugeordnete Fourierreihe. Ist f eine gerade Funktion, so ist f(x) sin 2~11" ungerade, und damit gilt
J .
J . ~
p
bk = -2
P
2k7r f(x) sm -xdx = -2
o
P
P
2k7r f(x) sm -xdx = O.
-~
P
Die einer geraden Funktion zugeordnete Fourierreihe ist also eine reine "Cosinus-Reihe". Analog ist die einer ungeraden Funktion f zugeordnete Fourierreihe eine reine "Sinus-Reihe", denn f(x) cos 2;k x ist eine ungerade Funktion, und damit gilt:
J
P
2k7r f(x) cos -xdx = -2
o
J ~
p
ak = -2
P
P
2k7r f(x) cos -xdx = O.
-~
P
Sei nun wieder f p-periodisch und integrierbar über [O,p] und ak , k = 0,1,2, ... sowie bk , k = 1,2, ... seien die Fourierkoeffizienten von f. Die damit gebildete Fourierreihe braucht nicht gleichmäßig (nicht einmal punktweise) zu konvergieren und i.A. konvergiert sie auch nicht in jedem Punkt x E IR gegen f(x). Die Partialsummen T + L~=l (ak cos 2;k x + bk sin 2;k x), erfüllen die bemerkenswerte Minimalitätseigenschaft: Sei n 2: 0 fest. Unter allen trigonometrischen Polynomen der Gestalt
418
3 Ausgewählte Themen aus der Analysis
Co Pn(CO, Cl,···, Cn; dl , ... ,dn)(x) = "2
+~ ~
(
Ck
COS
k=l
ist Pn(ao, al,···, an; bl
, ... ,
27rk . 27rk ) --x + dk sm --x P
P
bn ) das einzige, welches
p
J[f(X) - Pn(CO,Cl, ... ,cn;dl , ... ,dn )(X)]2dx o minimiert. Aus der Definition der Fourierkoeffizienten von f und wegen der Orthogonalitätsrelationen ergibt sich nach einer Umformung die Relation
Da das Integral einer nicht negativen Funktion nicht negativ ist (Monotonieeigenschaft des Integrals), folgt daraus für alle n
2J f(x) dx
n
P
21 ao2 + ,", ~(ak2 + b2k ) ~ p k=l
2
0
und damit die Konvergenz der Reihen 2:%:1 a% sowie 2:%:1 b%. Man erhält insbesondere lim ak = = lim bk sowie die Besselsche Ungleichung k-1-OO
°
k-1-OO
(3.22)
Der folgende Konvergenzsatz gibt eine allgemeine Antwort auf die Frage, ob die einer p-periodischen Funktion f : IR -+ IR zugeordnete Fourierreihe punktweise gegen f konvergiert: Ist f integrierbar über [0, p] , Xo E IR und existieren die links- und rechtsseitigen Grenzwerte f(xo-):= lim f(x) x--txo-
und f(xo+):=
lim f(x) sowie positive Zahlen c, Kund a mit
X-1-Xo+
If(xo - t) - f(xo-)I
~
Kt(", If(xo für alle
+ t) -
f(xo+)1
t E ]0, c[ ,
~
KtO:
(3.23)
so konvergiert die f zugeordnete Fourierreihe in Xo gegen f(xo-)~f(xo+). Ist darüber hinaus f stetig, so konvergiert die f zugeordnete Fourierreihe in Xo gegen f(xo). Die Konstanten c, Kund a mit der obigen Eigenschaft existieren (und zwar mit a = 1), falls f links- und rechtsseitig differenzierbar in Xo ist, und damit auch, falls f differenzierbar in Xo ist. Ist f sogar stetig differenzierbar auf IR, so konvergiert die f zugeordnete Fourierreihe gleichmäßig auf IR gegen f. Dann konvergieren auch die Reihen 2:%"=1 ak und 2:%"=1 bk .
419
3.1 Begriffe und Ergebnisse
Wir schließen nun diese Zusammenfassung wichtigster Fakten über die Fourierreihen mit dem Hinweis, dass man entsprechende Überlegungen für kom'27fk
plexe Fourierreihen (der Gestalt 2:~-oo ake'-p-Z) und periodische Funktionen von IR nach ([ anstellen kann. 3.1.5 Integrale von Funktionen mehrerer Veränderlicher (Aufgabe 20 bis 26) Die Einführung des Integralbegriffs über Treppenfunktionen hat den Vorteil, dass der Übergang zu höheren Dimensionen leicht ist. Man geht vor wie im eindimensionalen Fall. Neue Aspekte treten erst bei den iterierten Integralen und bei der Integration über beliebigen Gebieten auf. Wenn man von dem Integral JG!(x,y)dO'(x,y) einer auf einem Gebiet G C IR 2 definierten Funktion ! : G -t [O,oo[ spricht, ist es nützlich, den Graphen G f := {(x,y,!(x,y))T E IR3 I (x,y) E G} vor Augen zu haben und unter dem Integral das Volumen des Körpers zwischen G und G f (der ein Teil des Zylinders über G ist) zu verstehen. Ein Intervall J aus IR n (manchmal auch Quader genannt) ist das Produkt Ir x h x ... x In von Intervallen (gleichgültig welcher Art) aus IR. Genau dann ist J eine offene, abgeschlossene oder beschränkte Teilmenge aus IR n , wenn alle Ir, h, ... ,In diese Eigenschaft haben. Der Abschluss J bzw. der o
offene Kern J (d.h. die kleinste abgeschlossene Teilmenge von IRn , die J enthält bzw. die größte offene Teilmenge von IRn , die in J enthalten ist) ist das Intervall
o
11 x 12 x ... x In bzw. Ir
0
X
12
0
X ... X
In .
Ist A eine beliebige Teilmenge von IR n , so bezeichnet XA : IRn -t IR die charakteristische Funktion von A; sie ist definiert durch
x A
(x) = {I ,falls x E A , 0 sonst.
Sei J = Ir x h x ... x In ein beschränktes Intervall aus IRn und für jedes j aus {I, 2, ... ,n} seien aj < bj die Randpunkte von I j (wobei es gleichgültig ist, ob beide, einer oder keiner davon zu I j gehört). Man definiert das Integral von X J als Volumen des Intervalls Ir x h x ... x In X [0,1] aus IR n +1 , d.h.
f
XJ :=
fr
(bk - ak) = (bI - ad(b2 - a2) ... (bn - an) .
k=l
Eine Treppenfunktion cp ist eine Funktion cp : IR n -t IR, die als Linearkombination 2:;;'=1 AkX Jk mit reellen Koeffizienten Al, A2, ... ,Am der charakteristischen Funktionen von beschränkten Intervallen J 1 , h, ... , Jm aus IR n
3 Ausgewählte Themen aus der Analysis
420
darstellbar ist. Dabei wird nicht verlangt, dass die Intervalle J 1 , J 2 , ..• , J m paarweise disjunkt sind. (Auch in diesem Fall wäre die Darstellung nicht eindeutig, da z.B. ein Intervall als endliche Vereinigung von paarweise disjunkten Intervallen darstellbar ist.) Die Treppenfunktionen bilden einen unendlich dimensionalen IR-Vektorraum T. Auch das Produkt, das Maximum und das Minimum zweier Treppenfunktionen ist eine Treppenfunktion. Da die Nullfunktion eine Treppenfunktion ist, sind zu jeder Treppenfunktion 'P die Funktionen 'P+ = max(O, 'P) und 'P- = min(O, 'P) sowie I'PI = 'P+ - 'P- Treppenfunktionen. Hat eine Treppenfunktion 'P zwei Darstellungen L:~1 AkXJk und L:~=1 J-tIXK/' so gilt L:;:'=1 Ak f XJ k = L:~=IJ-t1 f XK/· Deshalb kann das Integral von 'P mit einer beliebigen Darstellung 'P = L:;:'=1 AkXJk definiert werden durch: f'P := f (L:~1 AkXJk) := L:;:'=1 Ak f XJk . Aus der Definition des Integrals und wegen der Unabhängigkeit des Integrals von der Darstellung der Treppenfunktion ergeben sich folgende Eigenschaften des Integrals: Die IR-Linearität bedeutet, dass für alle reellen Zahlen 0:1 und 0:2 sowie alle Treppenfunktionen 'PI und 'P2 gilt: f(O:I'Pl + 0:2'P2) = 0:1 f 'PI + 0:2 f 'P2 . Die Positivität des Integrals besagt, dass das Integral einer nicht negativen Treppenfunktion nicht negativ ist, d.h. 'P ~ 0 ::} f 'P ~ 0 . Daraus und aus der Linearität folgt die Monotonie des Integrals; diese Eigenschaft lautet: 'P :::; 'I/J ::} f'P :::; f'I/J . Insbesondere gilt I f 'PI :::; f I'PI für 'P E T. Mit Hilfe der bekannten Cauchy(L:~=1 aibi)2 < Schwarzsehen Ungleichung für reelle Zahlen (L:~=1 ar)(L:~=1 bn beweist man die Schwarzsehe Ungleichung
( / 'P'I/J )
2 :::; /
'P 2 . /
'l/J2
für alle 'P, 'I/J E T .
(3.24)
Für die Erweiterung des Integrals auf Funktionen, die keine Treppenfunktionen sind, benötigt man die gleichmäßige Konvergenz. (Wir haben wiederholt gesehen, dass sie die "richtige" Konvergenzart beim Übertragen der Eigenschaften der Folgenglieder auf die Grenzfunktion ist.) Sei nun J ein kompaktes (also beschränktes und abgeschlossenes) Intervall aus IRn , f : J -+ IR und ('Pn)n2:1 eine Folge von Treppenfunktionen, die gleichmäßig gegen f auf J konvergiert. Gilt 'Pn(x) = 0 für alle n ~ 1 und alle x f/. J, so konvergiert die Zahlenfolge (f 'Pn) n2:1· Ist ('l/Jn)n2:1 eine weitere Folge von Treppenfunktionen mit denselben Eigenschaften wie ('Pn)n>l, so hat man lim f 'Pn = lim f 'l/Jn. -
n-+oo
n-+oo
Diese Ergebnisse legen es nahe zu definieren, dass f : J -+ IR integrierbar ist, falls eine Treppenfunktionenfolge ('Pn)n2: 1 existiert, die gleichmäßig auf J gegen f konvergiert und bei der jede der Treppenfunktionen 'Pn außerhalb
421
3.1 Begriffe und Ergebnisse
von J verschwindet. Der (existierende und von der speziellen Wahl von ( IR stetig, so gilt die Transformationsformel n
n
n
426
3 Ausgewählte Themen aus der Analysis ! f(y)da(y) = !Uoh)(x)ldet h'(x)lda(x). U
(3.29)
G
Dazu geben wir drei Beispiele an, die in Anwendungen oft benutzt werden. Die ebenen Polarkoordinaten: D = {(r, 0, -'Ir<
0 und x(t) = X*(T(t)) für alle t E [a, b]. Dann gilt
f
b
a
f
b*
f(x(t))llx'(t)lldt =
a*
f(x*(t))II(x*)'(t*)lldt*
428
3 Ausgewählte Themen aus der Analysis
für jede stetige Funktion f auf x([a, bJ) = x* ([a*, b*J). Bezeichnet man mit C die Äquivalenzklasse von x bzgl. zulässiger Parametertransformationen, so ist Je fds durch J: f(x(t))llx'(t)lldt unabhängig vom Repräsentanten x von C definiert, und diese Zahl heißt das Kurvenintegral von f längs C. Dieses Integral hat ähnliche Eigenschaften wie das Integral im eindimensionalen Fall:
-+ -+
-+
-+
Es ist IR-linear, also Je (o:d1 + 0:2h)ds = 0:1 Je h + 0:2 Je hds für alle 0:1,0:2 E IR und alle stetigen Funktionen h,h auf x([a,bJ), wobei x : [a, b] -+ IRn ein Repräsentant von C ist. Es ist additiv bezüglich des Weges, d.h. sind x : [a, b] -+ IR n , y : [b, c] -+ IR n und z : [a, c] -+ IR n stückweise glatt parametrisierte Kurven mit x(b) = y(b) und z(t) = x(t) falls t E [a, b] und z(t) = y(t) falls t E [b, c] und ist f stetig auf z([a, cJ), so gilt: Je , fds + Je2 fds = Je fds, wobei C1 ,C2 und C die Äquivalenzklassen von x,y bzw. z sind. Der Wert des Integrals Je fds ist unabhängig von der Orientierung von C. Das bedeutet: Ist x : [a, b] -+ IR n ein Repräsentant von C, x- : [a, b] -+ IRn die zu x entgegengesetzt durchlaufene parametrisierte Kurve (also x- (t) = x(a + b - t) für alle t E [a, bJ) und Cdie Äquivalenzklasse von x-, so gilt Je fds = Je- fds für jede stetige Funktion f auf x([a, bJ) . Es gilt die Abschätzung I Je fdsl :S M(f) . L(C). Dabei bezeichnet
L(C) = J: IIx'(t)lIdt die Länge von C und M(f) das Maximum des Betrags der Werte der stetigen Funktion f : x([a, bJ) -+ IR ist. Sind wieder x : [a, b] -+ IRn und x* : [a*, b*] -+ IR n stückweise glatt parametrisierte Kurven, die bezüglich einer zulässigen Parametertransformation äquivalent sind, so gilt für jede stetige Funktion f = (h, ... , fn)T : x([a, bJ) -+ IR n
f
b
a
f
b*
f(x(t)) . x'(t)dt =
f(x*(t*)) . (x*)'(t*)dt* .
a*
Ist C die Äquivalenzklasse von x, so heißt J: f(x(t))· x' (t)dt das Kurvenintegral von f längs C und wird mit Je f· dx oder auch mit Je(h(X)dx1 + ... +
fn(x)dx n ) bezeichnet; dabei gilt Je fi(X)dxi = J: fi(X(t))xW)dt. Auch dieses Integral ist IR-linear und additiv bzgl. des Weges. Allerdings ist es abhängig von der Orientierung von C, da Je- f·dx = - Je f·dx für jede stetige Funktion f : x([a, bJ) -+ IRn . Deshalb spricht man von einem orientierten Kurvenintegral. Ist L(C) die Länge von C und M(f) das Maximum der Norm von f auf x([a, bJ), so gilt I Je f· dxl :S M(f) . L(C) .
429
3.1 Begriffe und Ergebnisse
Gibt es für f = (h, ... , fn)T : G ~ IRn eine Stammfunktion F : G ~ IR, d.h. existiert eine stetig differenzierbare Funktion F mit (grad F) T = f oder äquivalent g~ = fi für alle i aus {I, ... , n}, so heißt f ein Potenzialfeld oder ein Gradientenfeld oder auch konservativ. F heißt dann das Potenzial von f. Der Name Stammfunktion ist dadurch gerechtfertigt, dass für jede Kurve C in G mit Anfangspunkt a und Endpunkt b gilt
J
f· dx = F(b) - F(a) . (3.33) c Dieses Ergebnis zeigt die Wegunabhängigkeit des Kurvenintegrals für Potenzialfelder. Ein stetig differenzierbares Potenzialfeld = (h, ... , fn)T genügt den Integrabilitätsbedingungen äfi _ äh äXj äXi
für alle
i, j
aus
{I, ... , n} ,
(3.34)
weil die Stammfunktion F in diesem Fall zweimal stetig differenzierbar ist und damit der Satz von H.A. Schwarz über die Vertauschbarkeit der Ableitungen zur Anwendung kommt. Man beachte, dass zwei Stammfunktionen F 1 und F 2 von f sich nur durch eine additive Konstante unterscheiden. (Also: grad F 1 = gradF2 ~ :Je E IR mit F 1 = F 2 + e auf G.) Genügt f: G ~ IR n den Integrabilitätsbedingungen, so ist i.A. f kein Potenzialfeld, wie das folgende Beispiel zeigt. g: IR 2 \{O} ~ IR 2 , (x,y)T t-+ (-x2~y2' X2~y2)T genügt der einzigen Integrabilitätsbedingung
aber das Kurvenintegral von g längs des Einheitskreises (einmal gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen) ist gleich 211" (und nicht Null, wie es sein müsste, falls g ein Potenzialfeld wäre). Der Grund dafür ist das "Loch" im Nullpunkt. Die Beschaffenheit von G spielt also eine entscheidende Rolle für die Äquivalenz der Eigenschaften Potenzialfeld und den Integrabilitätsbedingungen. Ein Gebiet G heißt sternförmig, wenn ein Xo E G existiert, so dass für jedes x E G die ganze Strecke zwischen Xo und x in G liegt. Ist G sternförmig, so ist jedes Vektorfeld f : G ~ IR n , das den Integrabilitätsbedingungen genügt, ein Potenzialfeld. Eine Stammfunktion F für f erhält man, indem jedem x E G der Wert des Integrals von f entlang der Strecke von Xo nach x zugeordnet wird. Als Anwendung dazu betrachtet man für ein Gebiet G C IR 2 und zwei stetige Funktionen P, Q : G ~ IR das Vektorfeld (~) G ~ IR 2 und die Differenzialgleichung
P(x,y)+Q(x,y)y'(x) =0.
(3.35)
Diese Differenzialgleichung heißt exakt, wenn das Vektorfeld (~) ein Poten-
3 Ausgewählte Themen aus der Analysis
430
zialfeld ist. Das ist z.B. der Fall, wenn G sternförmig ist und Py = Qx gilt. Seien F : G -+ IR eine Stammfunktion von (~) , I c IR ein Intervall und
f : I -+
IR stetig differenzierbar. fist genau dann eine Lösung von (3.35), wenn der Graph {(!(xl) I x E I} von f in G enthalten ist und die Funktion
x r-+ F(x, fex)) konstant auf I ist. Um aus F(x, y) = F(xo, Yo) die Existenz einer (auf einer Umgehung von Xo definierten) Lösung y = y(x) mit der Eigenschaft y(xo) = Yo nachzuweisen, benötigt man den Satz über implizite Funktionen. Manchmal kann man nur umgekehrt x lokal als Funktion von y darstellen. Um beide Möglichkeiten offen zu halten, schreibt man symbolisch (3.35) um in P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 . (3.35') Ist die Differenzialgleichung nicht exakt, so kann man versuchen, einen integrierenden Faktor f.L : G -+ IR zu finden, für welchen (~~) ein Potenzial-
feld ist. Das bedeutet für ein sternförmiges Gebiet G : (Pf.L)y = (Qf.L)x. Jede Lösung der exakten Gleichung (Pf.L)dx + (Qf.L)dy = 0 ist auch eine Lösung von (3.35') . Ein Gebiet Ge IR 2 heißt schlicht über der x-Achse, falls es in der Form G = {(x,y)T E IR2 la
< x < b,
91(X)
< Y < 92 (x)}
darstellbar ist; dabei sind 91 und 92 stetige Funktionen auf [a, b]. Insbesondere ist G beschränkt. Analog definiert man den Begriff "schlicht über der y-Achse". Für Gebiete G, die in endlich viele Teilgebiete zerlegbar sind, die sowohl über der x- als auch über der y-Achse schlicht sind, gilt der sog. Satz von Green, der vor allem für die physikalischen Anwendungen wichtig ist. Seien P und Q stetig differenzierbare Funktionen auf einer offenen Umgebung D von G und 8G der positiv orientierte Rand von G. Jede Komponente von 8G sei eine stückweise glatt parametrisierte Kurve, die positiv orientiert ist, was bedeutet, dass G beim Durchlaufen immer links liegt. Die Aussage des Satzes von Green lautet
J
(Pdx
+ Qdy)
8G
=
J
(Qx - Py)dO"(x, y) .
(3.36)
G
Insbesondere kann man den Flächeninhalt von G mit Hilfe der folgenden Integrale berechnen: Vol(G) =
J
xdy = -
8G
J
ydx =
8G
~
J
(xdy - ydx) .
(3.37)
8G
Sei f = (~), div f = ~~ + ~ (Divergenz von 1) und n die äußere Normale zum Rand 8G (n ist also eventuell auf einer endlichen Teilmenge von Punkten nicht definiert, aber dies spielt für die Integration keine Rolle). Damit
3.1 Begriffe und Ergebnisse
431
kann man (3.36) wie folgt formulieren:
f
f·nds=
8G
f
(3.38)
divfd17(x,y).
G
In der Literatur ist diese Formulierung unter dem Namen Divergenzsatz von Gauß in der Ebene zu finden. 3.1.7 Oberflächenintegrale, Divergenzsatz von Gauß, Satz von Stokes (Aufgabe 36 bis 50) Seien D und D* Gebiete in IR 2 , x : D --+ IR 3 und x* : D* --+ IR 3 glatt parametrisierte Flächenstücke, die mittels einer orientierungstreuen zulässigen Parametertransformation äquivalent sind, und F die Äquivalenzklasse von x und x* . Ist Ilxu x Xv 11 integrierbar über D, so ist auch Ilx~* x x~* 11 integrierbar über D*, und wegen des Transformationsformel für Integrale (s. (3.29) in Paragraph 3.1.5) gilt
f
f
Ilxu x xv(u,v)lld17(u,v) = Ilx~* x x~*(u*,v*)lldl7(u*,v*). (3.39) D D* In diesem Fall sagt man, dass F einen endlichen Flächeninhalt hat; man bezeichnet ihn mit I (F) oder I.r do oder I:F do( x); also: I(F) :=
f f do:=
:F
do(x) :=
:F
f Ilx
u
x xv(u, v)lld17(u, v)
.
D
Man nennt do(x) = Ilxu x Xv (u, v) Ild17( U, v) das skalare Oberflächenelement. Sind E, F, G die Koeffizienten der ersten Fundamentalform von x, also E = Xu . Xu , F = Xu . Xv und G = Xv . Xv, so gilt Ilxu x xvii = VEG - F2 und damit I(F) = ID J(EG - F2)(u, v)d17(u, v). Ist f : x(D) --+ IR stetig und existiert IDf(x(u,v))llx u x x v(u,v)lld17(u,v), so auch ID* f(x*(u* ,v*))llx~* xx~* (u*, v*)lld17(u* ,v*), und beide Integrale sind gleich. Ihren gemeinsamen Wert bezeichnen wir mit I:F fdo oder I:F f(x)do(x) und nennen ihn das Flächen- oder Oberflächenintegral von f über F. Für eine integrierbare Funktion f über der Fläche F hat man also:
f
f
f
fdo:= f(x)do(x) := f(x(u,v))llx u x xv(u,v)lld17(u,v) . :F:F D Das Flächenintegral ist IR-linear. Wird D in zwei Gebiete D 1 und D 2 zerlegt, deren gemeinsamer Rand ßD 1 n ßD 2 eine stückweise glatt parametrisierte Kurve ist, und bezeichnen F 1 und F 2 die Äquivalenzklassen der Einschränkungen von x auf D 1 bzw. D 2 , so ist jede integrierbare Funktion f über Fauch integrierbar über F1 und F 2 , und es gilt:
432
! ! +! Ido =
:F
Ido
:F1
3 Ausgewählte Themen aus der Analysis
Ido
(Additivität bezüglich der Fläche).
:F2
Ist M(f) das Maximum von III auf x(D) und hat F einen endlichen Flächeninhalt, so gilt die Abschätzung I J:F Idol ~ I(F)M(f) . So wie das Kurvenintegral von skalaren Feldern von der Orientierung der Kurve unabhängig ist, ist auch das Oberflächenintegral von skalaren Feldern von der Orientierung der Fläche unabhängig. Konkret bedeutet dies Folgendes. Seien s(D) das bezüglich der Geraden x = y gespiegelte Gebiet D, also s(D) = {(u,v)T I (v,u)T E D} , x- = x 0 s : s(D) --+ IR 3 und Fdie Äquivalenzklasse von x-. In jedem Punkt Xo E x(D) = x-(s(D)) sind die Flächennormalen zu Fund F- in Xo entgegengesetzt, d.h. Fund Fsind entgegengesetzt orientiert. Aus der Existenz von J:F Ido folgt diejenige von J:F- Ido, und es gilt J:F Ido = J:F- Ido. Deshalb spricht man von einem nichtorientierten Flächenintegral. Ist nun f : x(D) --+ IR 3 ein Vektorfeld, so können wir für Xo E x(D) den Vektor f(xo) als Geschwindigkeitsvektor einer Flüssigkeit ansehen, die x(D) in Xo passiert. Ist N(xo) die Flächennormale zu x(D) in xo, so interpretiert man f(xo)· N(xo) als Geschwindigkeit dieser Flüssigkeit in Richtung der Normalen, f(xo) ·N(xo) Ilx u xXv (u, v)11 als "infinitesimale" Menge an Flüssigkeit, die pro Sekunde durch Xo fließt - und falls das Integral existiert !(f(X). N(x))(u,v)ll(x u x xv)(u,v)lldu(u,v) D
=
!
(f(x) . (x u x xv))(u, v)du(u, v)
D
als Flüssigkeitsmenge, die durch x(D) pro Sekunde fließt. Da diese Integration für zwei orientierungsäquivalente Parametrisierungen x und x* der Fläche F denselben Wert ergibt, spricht man (unabhängig von der speziellen Parametrisierung) von dem Flächenintegral bzw. dem Oberflächenintegral von f über F. Man nennt diese Zahl den Fluss von f durch x(D). Dieses bezeichnet man mit J:Ff. do oder J:Ff(x) . do(x); dabei heißt do(x) := (x u x xv(u, v))du(u, v) das vektorielle Oberflächenelement. Auch dieses Integral ist IR-linear und additiv bzgl. der Fläche, aber man hat es mit einem orientierten Flächenintegral zu tun, d.h., falls f über F integrierbar ist, so ist f auch über F- integrierbar, und es gilt
!
f . do
=-
!
f· do .
3.1 Begriffe und Ergebnisse
433
Ein Gebiet G C IR 3 heißt schlicht über der (x, y)-Ebene, wenn ein beschränktes Gebiet D C IR 2 mit stückweise glattem Rand und zwei stetige Funktionen gl, g2 : fJ -+ IR existieren, mit denen man folgende Darstellung von Gerhält: G = {(x,y,z)T E IR3 1 (x,y)T E D, gl(X,y) < z < g2(X,y)}. Analog definiert man Schlichtheit über der (x, z)- bzw. über der (y, z)-Ebene. Schlichte Gebiete über einer Ebene sind beschränkt. Für beschränkte Gebiete aus IR 3 , die in endlich viele Gebiete zerlegbar sind, deren Ränder aus endlich vielen glatten Flächen bestehen, kann man - analog zum ebenen Fall - den Gaußschen Divergenzsatz im Raum formulieren: Sei f = (!I, h, h) T stetig differenzierbar in einem Gebiet U, das G enthält. Die Divergenz von f ist definiert durch d · f.- 8!I IV
.-
8x
+
812 8y
+
8h
(3.40)
8z .
Sei 8G so parametrisiert, dass die Flächennormale N von G aus betrachtet nach außen zeigt. Dann gilt
j f·do
= j(divf)da(x,y,z)
8G G Speziell ergibt sich bei der Wahl f(x) des Gebiets die Formel
V(G)
= Vol(G) = ~
=x
(Satz von Gauß). wegen div f
= 1 für
j x· do(x) .
(3.41)
das Volumen (3.42)
8G Unter den Voraussetzungen und mit den Bezeichnungen des Gaußschen Satzes gelten für die zweimal stetig differenzierbare Funktionen f, h : G -+ IR die sog. Greenschen Formeln
j [(grad !)(grad h)T G
+ f 6h]da(x)
= j f
8G
:~dO(X)
,
(3.43) j(h6 f - f6h)da(x) = j (h - f do(x) . G 8G A d L I 82 + 8iJ2 82 + 7fZ'2' 82 S'10 d nl, n2, n3 . . h DabeI bezeic net L..:J. en ap ace- 0 perator 7fX2
:~
:~)
die Komponenten von N, so ist die Richtungsableitung ~ definiert durch
~nI
+ Un2 + Un3'
d.h. es gilt ~
= (grad!)· N
.
Für Anwendungen in der Physik ist der Satz von Stokes wichtig. Sei dafür G ein Gebiet in der Ebene, für welches der Satz von Green gilt, und Dein ebenes Gebiet, das G enthält. Sei x : D -+ IR 3 ein glatt parametrisiertes Flächenstück, :F die Äquivalenzklasse von xlG und 8:F = x(8G) das x-Bild des Randes von G, also eine stückweise glatt parametrisierte Kurve. Für je-
3 Ausgewählte Themen aus der Analysis
434
des stetig differenzierbare Vektorfeld f = (!l, 12, fa)T, das auf einem Gebiet U C IR 3 , welches x( G) enthält, definiert ist, gilt
J
(rot f) . do =
:F
J
f· dx
(Satz von Stokes)
(3.44)
8:F
Dabei bezeichnet das Vektorfeld rot(f) := (fJ.h - fJ.h ?h. _ fJ.h fJ.h _ ?h.)T 8y 8z '8z 8x '8x 8y
V/x' //y' //z)
die Rotation von f. (Bezeichnet \l den Operator T, so ist rot f gleich \l x f.) Erfüllt f die Integrabilitätsbedingung, d.h. gilt rotf = 0, so nennt man fauch wirbelfrei. Die im vorigen Paragraphen behandelten Beziehungen zwischen der Existenz einer Stammfunktion und den Integrabilitätsbedingungen kann man damit auch wie folgt formulieren:
-+ -+
Ist f ein Potenzialfeld, so ist f wirbelfrei. Ist U sternförmig und f wirbelfrei, so ist f ein Potenzialfeld.
Ein stetig differenzierbares Vektorfeld f : U -+ IR3 heißt Wirbelfeld, falls ein zweimal stetig differenzierbares Vektorfeld h auf U existiert, so dass gilt: f = rot h. quellenfrei, falls gilt: div f = 0. Leicht zeigt man, dass ein Wirbelfeld quellenfrei ist; es gilt nämlich div 0 rot = 0. Wesentlich komplizierter ist das Ergebnis nachzuweisen, dass ein quellenfreies Vektorfeld auf einem sternförmigen Gebiet ein Wirbelfeld ist. 3.1.8 Einführung in die Funktionentheorie (Aufgabe 51 bis 77) Viele Begriffe und Ergebnisse über differenzierbare Abbildungen von G C IR 2 nach IR2 lassen sich problemlos und fast wörtlich auf komplexwertige Funktionen von G C ([ in ([ übertragen, da ([ mit IR2 identifiziert werden kann, wobei dem Betrag I I: ([ -+ [0, oo[ der euklidische Abstand zum Nullpunkt im IR 2 entspricht. Es gibt aber auch Ergebnisse, die völlig neu und überraschend sind. Diese Unterschiede werden kleiner, wenn man die komplex differenzierbaren Funktionen nicht mit den unendlich oft reell differenzierbaren sondern mit den reell analytischen Funktionen vergleicht, also die lokal durch konvergente Potenzreihen darstellbar sind. Das liegt daran, dass man jede Potenzreihe L:~=o an(x - xo)n mit positivem Konvergenzradius r =. 1 ~ auch als komplexe Potenzreihe L:~=o an(z - xo)n schreiben hmsup
n
JanJ
kann. Sie konvergiert in der Kreisscheibe {z E ([ I Iz - Xo I < r}. Leicht einzusehen ist, dass eine durch eine derartige Potenzreihe definierte Funktion komplex differenzierbar ist, wenn man den Begriff der Ableitung in naheliegender Weise vom Reellen ins Komplexe überträgt; und eines der zentralen
3.1 Begriffe und Ergebnisse
435
Ergebnisse in der Funktionentheorie ist, dass aus der (einmaligen!) komplexen Differenzierbarkeit bereits die Entwickelbarkeit in eine Potenz reihe folgt - ganz im Gegensatz zur reellen Differenzierbarkeit. Da ist es dann auch nicht mehr ganz so überraschend, dass bei Fortsetzung vom Reellen ins Komplexe Funktionen ganz neue Eigenschaften bekommen können. Z.B. ist die Sinusfunktion im Reellen beschränkt, die Fortsetzung ihrer Potenzreihe ins Komplexe ist unbeschränkt; oder: die reelle Exponentialfunktion ist injektiv und nimmt nur positive Werte an, die komplexe Exponentialfunktion nimmt bis auf die Null alle (komplexen) Zahlen als Werte an und zwar alle unendlich oft. Vor der Lektüre der folgenden Seiten empfiehlt es sich, den Paragraphen 1.1.5 noch einmal anzuschauen. Der Punkt z = x + iy aus { wird mit dem Punkt (~) aus IR2 identifiziert, und entsprechend lässt sich jede auf einer Teilmenge A aus { definierte Funktion f eindeutig als Summe u + iv schreiben, wobei f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) gilt. Dabei sind u und v reellwertige Funktionen, die auf einer mit A identifizierten Teilmenge von IR2 definiert sind. u und v heißen Real- bzw. Imaginärteil von f. Der Graph einer solchen Funktion f in {2 = { X { ist mit der Teilmenge {(x,y,u(x,y),v(X,y))T I x + iy E A} von IR4 identifizierbar und deshalb schwer vorstellbar. Um das Verhalten einer solchen Funktion in einer Umgebung eines Punktes Zo aber auch global besser zu verstehen, greift man auf die Bilder von Scharen von Geraden durch Zo und von Kreisen mit Zo als Mittelpunkt zurück, oder man stellt die Funktion als Komposition einfacher Funktionen dar, deren Verhalten bekannt (oder leichter zu untersuchen) ist. So besteht eine sogenannte lineare Funktion z t-+ re iO z + a mit r > 0 , () E [0,27f[ und a E { aus einer Streckung um den Faktor r, einer Drehung um den Nullpunkt um den Winkel () und einer Verschiebung um den Vektor a. (Diese Funktion ist natürlich nicht linear im Sinne der Linearen Algebra, wenn a -:f 0.) Die Quadratfunktion q : { -+ { , z t-+ Z2 (s. dazu auch Aufgabe 77) bildet folgendermaßen ab:
-+ -+ -+
die negative und die positive reelle Halbachse jeweils bijektiv auf die positive reelle Halbachse, die negative und die positive imaginäre Halbachse jeweils bijektiv auf die negative reelle Halbachse, die zur y-Achse parallele Gerade x = Xo bijektiv auf die Parabel u
-+ -+
= x5 -
2 , falls Xo pv Xo
-:f 0 ,
die zur x-Achse parallele Gerade y = Yo bijektiv auf die Parabel 2 - Y5, falls Yo -:f 0 , u = ?v Yo den Kreis mit dem Mittelpunkt 0 und dem Radius r auf den Kreis mit dem Mittelpunkt 0 und dem Radius r 2 , wobei die Winkelgeschwindigkeit beim Durchlaufen verdoppelt wird und damit das Bild zweimal durchlaufen wird.
436
3 Ausgewählte Themen aus der Analysis
Die Inversion inv : {* -+ {* , z maßen ab:
-+ -+
t-t ~
(oder re iIJ
t-t ~e-iIJ)
bildet folgender-
den Kreis mit dem Mittelpunkt 0 und dem Radius r auf den Kreis mit dem Mittelpunkt 0 und dem Radius ~,wobei der Umlaufsinn umgekehrt wird, die vom Nullpunkt ausgehende offene Halbgerade, welche einen Winkel e mit der reellen Achse bildet, auf die "von Unendlich kommende und zum Nullpunkt gehende" offene Halbgerade, die den Winkel 27f - e mit der reellen Achse bildet.
Die allgemeine quadratische Funktion { -+ { , z t-t az 2 a E {* und b, cE { ist wegen az 2 + bz + c = a(z + 2bJ2 + (c tereinanderausführung der Verschiebung z
t-t
z+
2ba'
+ bz + c mit 4bJ
die Hin-
der Quadratfunktion q
und der linearen Funktion ~ t-t a~ + (c - ~:) . Für solche Untersuchungen ist es nützlich zu wissen, wie bestimmte geometrische Figuren im Komplexen beschrieben werden können. So ist z.B. für A = 0, BE {* und CE IR durch {z E { I Azz+Bz+Bz+C = O} eine Gerade gegeben. Es gilt auch umgekehrt: Jede Gerade lässt sich so darstellen. Dagegen wird durch die obige Menge ein Kreis beschrieben, falls A > 0 , B E { und C E IR mit AC < IBI 2 gilt. Auch hier gilt: Jeder Kreis lässt sich so darstellen. Zur Erinnerung: Die Folge (x n +iYn)n~l konvergiert genau dann gegen ~+i'T}, wenn (Xn)n~l und (Yn)n~l gegen ~ bzw. 'T} konvergieren. Die Begriffe Grenzwert und Stetigkeit einer komplexen Funktion I : A -+ ( kann man also sofort aus dem Reellen übertragen. Kurz geschrieben gilt für den Grenzwert: lim I(z)
z-tzo
=w
-{=}
Ve: > 0 36 > OVz E A
mit
Iz - zol < 6 : II(z) - l(zo)1 < e: . Dabei braucht Zo nur ein Häufungspunkt von A zu sein. Für die Stetigkeit von I in Xo verlangt man zusätzlich Zo E A und I(zo) = w. Ist jetzt Zo E A beliebig und kann man für jedes e: > 0 die Zahl 6 > 0 unabhängig von Zo wählen, so erhält man in diesem Fall den Begriff gleichmäßig stetig. Fast alles, was über Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit reeller Funktionen bekannt ist, lässt sich problemlos ins Komplexe übertragen, denn es gilt:
-+ -+
I I
= u
+ iv
stetig
(gleichmäßig) stetig
=> 1I1 stetig.
-{=}
u und v (gleichmäßig) stetig,
Aufpassen muss man nur dort, wo die Ordnungsrelation von IR ins Spiel kommt, da auf { keine mit den algebraischen Operationen verträgliche Ordnungsrelation existiert. Deshalb gibt es im Komplexen keinen dem Zwischenwertsatz entsprechenden Satz. Auch vom Maximum und Minimum einer komplexwertigen Funktion kann man nicht sprechen.
437
3.1 Begriffe und Ergebnisse
Um bestimmte Betrachtungen einheitlich darzustellen, aber auch um das Verhalten einer Funktion in der Umgebung eines Punktes, in welchem sie nicht mehr im gewöhnlichen Sinne stetig fortsetzbar ist, zu untersuchen, erweist es sich als hilfreich die komplexe Ebene «: durch einen zusätzlichen Punkt zu erweitern; dieser Punkt soll unendlich fern liegen. Was nach Science-fiction klingt, ist mathematisch klar zu definieren. Im IR 3 identifiziert man «: mit der Ebene X3 = 0, also: x + iy t+ (x, y, O)T. Jeder Punkt der Einheitskugel 8 2 := {(X1,X2,X3)T I xi +x~ +x~ = 1} außer dem Nordpol N = (O,O,l)T selbst wird vom Nordpol aus auf die Ebene X3 = projiziert, d.h. jedem 2 (X1,X2,X3)T aus 8 mit X3 i- 1 wird (1:~3 ' 1:;3 ' O)T oder auch Xi~!~2 zugeordnet. Dadurch erhält man eine bijektive und stetige Abbildung von 8 2 \ {N} auf die Ebene X3 = 0, die mit «: identifiziert wird. Man führt ein Symbol 00 ein, das Unendlich genannt wird, und die Vereinigung «: U {oo}, die mit ([ bezeichnet wird. (Deshalb werden in diesem Rahmen die unendlich fernen Punkte von IR mit -00 und +00 bezeichnet; wenn keine Verwechslung möglich ist, schreiben wir wie bisher 00 statt +00). Man sagt, dass die Folge (Zn)n>l aus «: gegen 00 konvergiert, wenn lim IZnl = +00 gilt. In diesem
°
-
n~oo
Sinne ist die Fortsetzung der obigen Projektion mittels N = (0,0, l)T H 00 eine stetige Abbildung von 8 2 auf ([, deren Inverse ebenfalls stetig ist, weil für die Folge ((X1,n,X2,n,X3,n)T)n?:1 von 8 2 die Konvergenz gegen N zu lim X3,n = 1 (und damit auch lim X1,n = = lim X2,n) äquivalent ist n--+ (Xl
n--+ (Xl
°
n--+ (Xl
und weil die folgende Umformung gilt:
X1,n 1
+ iX2,n
2
1
1 - X3,n
1 - x~,n _ xi,n + X~,n _ - (1 - x3,n)2 - (1 - x3,n)2
1 + X3,n 1- X3,n
Für die erweiterte komplexe Ebene ([ kann man die Fortsetzungen ([ -t ([ -t -t -t
° °
von inv mittels 00 H und H 00 , von q mittels 00 H 00 , von jedem Polynom vom Grad ~ 1 mittels 00 H 00
betrachten und zeigen, dass sie auch dort stetig sind. Seien P(z) = aoz n + a1zn-1 + ... + an und Q(z) = boz m + b1z m- 1 + ... + bm zwei Polynome vom Grad n bzw. m (d.h. ao i- i- bo) ohne gemeinsame Nullstellen und Zl, ... , Zk (k :s; m) die paarweise verschiedenen Nullstellen
°
von Q. Man setze G(z) := ~t~~, falls z E «:\{Zl, ... , Zk} , G(Zj) := 00, falls j E {I, ... , k},
G(00) :=
{° , oo~
falls n < m , , falls n = m , , falls n > m .
Dadurch wird die rationale Funktion
G: ([ -t ([ definiert, welche stetig auf
438
3 Ausgewählte Themen aus der Analysis
( ist. Die Möbius-Transformationen sind spezielle rationale Funktionen. Sei A = (~~) eine invertierbare 2 x 2-Matrix mit komplexen Koeffizienten, also ad - bc f:- o. Die der Matrix A zugeordnete Möbius-Transformation TA ist die rationale Funktion ~;t~. Mit Hilfe des Fundamentalsatzes der Algebra kann man zeigen, dass die Möbius-Transformationen die einzigen rationalen Funktionen sind, welche ( bijektiv auf sich abbilden. Die Inverse der A zugeordneten Möbius-Transformation ist die A -1 zugeordnete MöbiusTransformation, also TA-l = (TA)-l. Man kann leicht zeigen, dass die den invertierbaren Matrizen A und B zugeordneten Möbius-Transformationen genau dann gleich sind, wenn ein A E ([* mit A = AB existiert. Dem Produkt AB entspricht die Komposition der den Matrizen A und B zugeordneten Möbius-Transformationen, also TAB = TA 0 TB . Die Möbius-Transformationen bilden also eine Gruppe bzgl. Komposition von Funktionen. Die Zuordnung A r--+ TA definiert einen surjektiven (aber nicht injektiven) Gruppenhomomorphismus von der multiplikativen Gruppe der invertierbaren 2 x 2-Matrizen mit komplexen Komponenten auf die Gruppe der Möbius-Transformationen. Die linearen Abbildungen und die Inversion inv sind spezielle Möbius-Transformationen. Es gilt sogar: Für c = 0 ist jede Möbius-Transformation ~;:~ eine lineare Abbildung und für c f:- 0 eine Komposition einer linearen Funktion mit inv und einer weiteren linearen Funktion: ~;:~ = ~ . b~z--:f + %. Kurz ausgedrückt: Die linearen Funktionen und die Inversion sind Erzeugende der Gruppe der Möbius-Transformationen. Hiermit kann man die MöbiusTransformationen geometrisch besser verstehen. Außerdem hilft uns diese Darstellung zu beweisen, dass jede Möbius-Transformation die Menge der Kreise und Geraden aus ( bijektiv auf sich abbildet. Dabei ist ein Kreis aus ( lediglich ein Kreis aus ([, während eine Gerade aus ( eine Gerade aus ([ vereinigt mit 00 ist. Sei n 2 2 eine natürliche Zahl. Für jedes z = re iIJ
f:-
0 , () E )-7r, 7r) gibt es ge-
v
nau n verschiedene n-te Wurzeln von z, nämlich r e' n ,k = 0,1, ... , n. Es gibt aber keine stetige Funktion w : ([ -7 ([ mit w(z)n = z für alle z aus ([. Entfernt man aus ([ die abgeschlossene negative reelle Halbgerade ) - 00,0), nr,;:
. 9±2k~
vr
so ist ([\)- 00,0) -7 {z = pei
0, -~ <
0 für alle t E [a, b], und I : r --+ ([ stetig, wobei r := ("((t) E ([ I t E [a, b]} das Bild von "( ist. Dann wird das komplexe Kurvenintegral von I über (längs) "( definiert durch
3 Ausgewählte Themen aus der Analysis
442
!
!
j(-y(t))'y' (t)dt
+i
!
b
j(z)dz:=
b
, a
= ![u(a(t),ß(t))a'(t) -v(a(t),ß(t))ß'(t)]dt a
b
[u(a(t), ß(t))ß' (t)
+ v(a(t), ß(t))a' (t)]dt.
a
Der so definierte Wert des Integrals ist invariant bei einer zulässigen Parametertransformation 7 : [a*, b*] -+ [a, b], da j(z)dz = j(z)dz aus der
I,or
I::
I,
I:
j(7(t*)) . (-y 0 7)'(t*)dt* = j(t)'y(t)dt folgt. Substitutionsformel Schreibt man IöD.r(zo) j(z)dz, so ist damit immer gemeint, dass der Kreis einmal im positiven Sinne durchlaufen wird, d.h. dass die Parametrisierung [0,21f] -+ ([ , () I-t Zo + re ilJ oder eine zu ihr orientierungsäquivalente Parametrisierung genommen wird. Ist "( : [a, b] -+ G eine stückweise glatt parametrisierte Kurve, d.h. gibt es eine Partition a = Co < Cl < ... < Cn -1 < Cn = b von [a, b], so dass "(1[cj_1,Cj] für jedes j = 1, ... , n glatt parametrisiert ist, bezeichnet r das Bild (die Spur) von ,,(, d.h. r = "(([a, b]), und ist j : r -+ ([ stetig, so wird
I:
I!
j(z)dz als 2:/;=112_1 j(-y(t))'y'(t)dt definiert. Es gilt
b
I: ; !
b
j(z)dz
a
(3.47)
Ij(-y(t))II"('(t)ldt .
a
Ist Ijl :::; M auf r und bezeichnet L(r) die Bogenlänge von ,,(, so folgt aus (3.47) die Abschätzung
I!
j(z)dz
I: ;
M . L(r) .
(3.48)
Sei (fn : r -+ ([)n:2:1 eine Folge von stetigen Funktionen. Konvergiert (fn) n:2: 1 oder L:~=1 jn gleichmäßig auf r gegen j bzw. gegen g, so gilt jn(z)dz = j(z)dz bzw. L:~=1 jn(z)dz) = g(z)dz . lim n--+oo
Ir
Ir
Ur
Ir
Besitzt j : G -+ ([ eine Stammfunktion F : G -+ ([, ist also F komplex differenzierbar mit F' = j, so gilt für jede stückweise glatt parametrisierte Kurve "( : [a, b] -+ G
!,
j(z)dz = F(-y(b)) - F(-y(a)) .
Aus der Existenz einer Stammfunktion für j folgt also die Wegunabhängigkeit des Integrals von j längs jeder stückweise glatt parametrisierten Kurve in G. Auch die umgekehrte Aussage ist richtig. Es gilt also: I, j(z)dz = 0 für
3.1 Begriffe und Ergebnisse
443
jede geschlossene stückweise glatt parametrisierte Kurve in G ~ J besitzt eine Stammfunktion F : G -+ 4: . Sei nun eine geschlossene stückweise glatt parametrisierte Jordankurve '"'( : [a, b] -+ G (also '"'((a) = '"'((b) und '"'(I [a,b[ ist injektiv) gegeben, die positiv orientiert ist. Man nimmt an, dass das von '"'( berandete, beschränkte Gebiet (das sog. Innere von '"'() den Voraussetzungen des Greenschen Satzes genügt. Dann kann man aus dem Greenschen Satz sofort folgern, dass für jede komplex differenzierbare Funktion J auf G gilt: J(z)dz = o. Insbesondere
Ir
gilt diese Aussage für jeden geschlossenen Polygon zug ohne Selbstschnitte und jeden Kreis, der zusammen mit seinem Inneren in G liegt. Bekanntlich hat jeder solche geschlossene Polygon zug ohne Selbstschnitte und jeder Kreis diese Eigenschaft genau dann, wenn das Gebiet G einfach zusammenhängend ist. Hiermit erhält man den Beweis des Cauchyschen Integralsatzes für Polygone oder Kreise: Ist J stetig komplex differenzierbar auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet G und r c G ein geschlossener Polygonzug ohne Selbstschnitte oder ein Kreis, so gilt J(z)dz = 0 . Man kann für r anstelle eines geschlossenen Polygonzuges ohne Selbstschnitte eine beliebige geschlossene stückweise glatt parametrisierte (sogar nur rektifizierbare - aber für die Rechenpraxis ist dies wenig realistisch) Kurve in G nehmen, da für jede komplex differenzierbare Funktion J : G -+ 4: und jedes c > 0 eine von J und c abhängige endliche Vereinigung von geschlossenen Polygon zügen ohne Selbstschnitte U~=l r k existiert, so dass I J(z)dz - L:~=1 J(z)dzl < c gilt. Dadurch haben wir den Beweis des Cauchyschen Integralsatzes skizziert: Ist G ein einfach zusammenhängendes Gebiet, '"'( : [a, b] -+ G eine geschlossene stückweise glatt parametrisierte J(z)dz = O. Kurve und J : G -+ 4: stetig komplex differenzierbar, so gilt Man kann bei den Voraussetzungen sogar auf die Stetigkeit der Ableitung f' verzichten. Dafür ist aber ein anderer Beweis notwendig; ein solcher Beweis wurde von dem französischen Mathematiker Goursat gegeben. Eine für die Anwendungen nützliche Verallgemeinerung lautet: Seien ,",(, '"'(1, ... ,'"'(k geschlossene, positiv orientierte, stückweise glatt parametrisierte Jordankurven, so dass für ihre Bilder r, r1 , ••• ,rk und die von ihnen berandeten beschränkten Gebiete D, D 1 , ••• , D k gilt 15j := r j UD j cD für alle j und 15j nD/ = cP
Ir
Ir
Irk
Ir
für alle j :j:. I und sei G ein Gebiet, das 15\ U;=l D j enthält (vgl. Abb. 3.3). Dann gilt für jede komplex differenzierbare Funktion J : G -+ 4:
J
J(z)dz =
r
2: JJ(z)dz . k
(3.49)
3=1 rj
Aus der Definition des komplexen Integrals ergibt sich (z.B. bei Verwendung der Parametrisierung [0,21l"] -+ 4: , B f-+ Zo + reiB)
3 Ausgewählte Themen aus der Analysis
444
/ J
—^— dz = 2m . z- z
(3.50)
0
dA (zo) r
Die obige Verallgemeinerung zeigt, dass man dA (zo) durch eine beliebige geschlossene, positiv orientierte, glatt parametrisierte Jordankurve, die zo in ihrem Inneren enthält, ersetzen kann. Diese Bemerkung zusammen mit der obigen Verallgemeinerung führt zur Integralformel von Cauchy: Ist / eine komplex differenzierbare Funktion auf einem Gebiet G und 7 eine beliebige geschlossene, positiv orientierte stückweise glatt parametrisierte Jordankurve, deren Bild r zusammen mit dem von ihr berandeten beschränkten Gebiet D in G liegt, so hat man für jedes z € D : r
dw .
W
(3.51 ) 0
Der Vollständigkeit wegen sei erwähnt, dass für z $ D das Integral
^^dw
verschwindet. (Begründung: w h-* ist komplex differenzierbar auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet, das D - aber nicht z - enthält.) Durch J IMdw ist auf C \ r eine Funktion definiert (die für z £ D verschwindet und für z G D mit 2mf(z) übereinstimmt). Man kann beweisen, dass diese Funktion unendlich oft komplex differenzierbar ist und ihre Ableitung n-ter Ordnung in z G D gleich n\ ( L^l+i dw ist. Daraus folgt, dass / auf w
D und damit auf G, weil 7 beliebig war, unendlich oft differenzierbar ist, und dass die n-te Ableitung in allen Punkten z des von r berandeten beschränkten Teilgebiets D von G mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel /(->(.)=^ r
/
(
t
t
?
+
1
^
(3.5i ) n
2m J (w - z) 7 berechnet wird. Wir staunen also erneut: Jede komplex differenzierbare FunkJ
w
n+1
v
;
3.1 Begriffe und Ergebnisse
445
tion auf einer offenen Menge ist unendlich oft komplex differenzierbar auf dieser Menge! Aus (3.51 0 ) erhalten wir, wiederum überraschend, das sog. Maximumprinzip: Der Betrag 111 einer nicht konstanten komplex differenzierbaren Funktion 1 auf einem Gebiet G besitzt in keinem Punkt von G ein lokales Maximum. Ist G beschränkt und 1 stetig fortsetzbar auf fJG, so nimmt 111 sein Maximum auf dem Kompaktum G in Punkten aus fJG an. Aus (3.51 2 ) erhält man einen Beweis des Satzes von Liouville: Eine auf ganz ([ komplex differenzierbare Funktion ist entweder konstant, oder ihr Betrag ist nicht beschränkt. Daraus bekommt man leicht einen Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra. (Zur Erinnerung: Er besagt, dass jedes Polynom n-ten Grades mit komplexen Koeffizienten genau n Nullstellen besitzt. Dabei wird jede Nullstelle mit ihrer Vielfachheit gezählt.) Ist 1 = u + iv komplex differenzierbar, so ist 1 unendlich oft komplex differenzierbar, und damit sind u und v unendlich oft reell differenzierbar. Insbesondere sind u und v zweimal stetig differenzierbar; da wegen (3.46) sowohl 6u als auch 6v verschwinden, sind u und v harmonisch. Nun zur umgekehrten Frage: Gibt es zu einer reellwertigen harmonischen Funktion u auf einem Gebiet G eine harmonische Funktion v, so dass u + iv komplex differenzierbar ist? (Falls eine solche existiert, heißt sie eine zu u harmonisch konjugierte Funktion, und jede weitere solche Funktion wird daraus durch Addition einer reellen Zahl gewonnen.) Die Antwort, auf deren anspruchsvollen Beweis wir hier verzichten, lautet: G ist einfach zusammenhängend genau dann, wenn jede auf G harmonische Funktion eine zu ihr harmonisch konjugierte Funktion hat. Insbesondere folgt daraus, dass zu jeder harmonischen Funktion lokal eine zu ihr komplex konjugierte Funktion vorhanden ist, da jeder Punkt aus G in einer in G enthaltenen offenen Kreisscheibe liegt. (Für Kreisscheiben und für ganz ([ - oder IR2 - kann man eine solche komplex konjugierte Funktion explizit angeben.) Aus der Cauchyschen Integralformel kann man die folgende Mittelwertgleichung für harmonische Funktionen ableiten. Sei u eine auf einer offenen Teilmenge U C IR 2 harmonische Funktion, (xo, yo)T ein Punkt aus U und r > 0 so klein, dass die abgeschlossene Kreisscheibe mit Radius r um (xO,yo)T in U liegt. Dann gilt:
J 211"
u(xo,yo) =
2~
u(xo +rcosB,yo +rsinB)dB.
(3.52)
o Daraus folgert man das Maximum- und Minimumprinzip für harmonische Funktionen. Eine nicht konstante harmonische Funktion auf einer offenen Menge besitzt weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum. Physikalische Phänomene wie die stationäre Temperaturverteilung innerhalb eines homogenen, vollen Zylinders, das elektrostatische Potenzial im (ungeladenen) Inneren des Hohlzylinders oder die stationäre Strömung einer inkom-
3 Ausgewählte Themen aus der Analysis
446
pressiblen Flüssigkeit in einem Zylinder führen bei entsprechender Modellierung zum folgenden Dirichlet-Problem (in welchem G jeweils ein Schnitt senkrecht zur Zylinder achse ist): Sei G ein Gebiet aus IR2 und Uo : 8G -+ IR eine stetige Funktion. Gesucht wird eine stetige Fortsetzung u : 8G u G -+ IR von Uo (also ulaG = uo), deren Einschränkung auf G harmonisch ist. Ist G ein beschränktes Gebiet, so gibt es zu jeder gegebenen RandwertFunktion Uo höchstens eine Lösung u. Gibt es zu jedem stetigen Uo : 8G -+ IR eine Lösung, so heißt G ein Dirichlet-Gebiet. Ein wichtiges Ergebnis ist, dass die Einheitskreisscheibe D. diese Eigenschaft hat. Die Lösung für das zu Uo gehörige Problem ist explizit durch die Poisson-Formel für den Kreis gegeben:
u(rei'P) = u(r cos ip, r sin ip)
f
11"
1 = -2 7r
2
1- r 2 ( B)
1- rcosip-
+r
2uo(cosB,sinB)dB.
(3.53)
-11"
Dabei ist raus [0, 1[ beliebig. Aus dem Beweis dieses Ergebnisses kann man auch ableiten, dass u durch die folgende auf jedem D.R mit R < 1 gleichmäßig konvergente Reihe darstellbar ist: 00
u(rcosip,rsinip)
= ~o + 2:)ancosnip + bnsinnip)r n ,
(3.54)
n=l
wobei für n = 0,1,2, ... und n = 1,2,3, ... gilt:
f
an
=~
f
11"
11"
u (cos B, sin B) cos nBdB
bzw.
bn =
-11"
~
u(cosB,sinB)sinnBdB.
-11"
Eine reell analytische Funktion auf einer offenen Teilmenge aus IR ist eine Funktion, die in einer Umgebung jedes Punktes durch eine konvergente Potenzreihe mit reellen Koeffizienten dargestellt werden kann. Analog wird der Begriff komplex analytische (oder einfach: analytische) Funktion auf einer offenen Teilmenge aus (: definiert, wobei komplexe Koeffizienten für die Potenzreihen zugelassen sind. Während eine unendlich oft reell differenzierbare Funktion nicht notwendig reell analytisch ist (z.B. ist
f : IR -+
IR , x
I-t
{Oexp ( -a;2 1)
,falls x:=:; 0 , sonst
unendlich oft differenzierbar, aber alle Ableitungen verschwinden im Nullpunkt; deswegen ist f um 0 in einer Potenzreihe entwickelbar, aber die Taylorentwicklung stimmt nicht mit f überein), sind die Begriffe komplex differenzierbar und komplex analytisch äquivalent. Hat die Funktion
447
3.1 Begriffe und Ergebnisse
j auf
A (Zo ) die
Ur
I f 27ri Jß6 p (zo)
f(n)(zo) Darstellung "",00 L..m=0 an ( Z-) Zo n, so gilt an = -n-!f(w) d f·· . d JO [ (w-zo)nf! w ur Je es pE, r .
Definieren die Potenz reihen 2:~=0 an(z - zo)n und 2:~=0 bn(z - zo)n zwei komplex differenzierbare Funktionen j bzw. g und ist 2:~=0 cn(z - zo)n die dem komplex differenzierbaren Produkt j . g zugeordnete Potenzreihe auf einer Umgebung von Zo, so gilt:
~
1
~ k!(n-k)!j k=O
(k)
. (n-k) _ ~ j(k) (zo) g(n-k) (zo) _ ~ (zo) g (zo) - ~ k! (n-k)! - ~akbn-k. k=O k=O
Dieses Ergebnis wurde für reelle Potenz reihen am Ende von Abschnitt 1.1.15 angekündigt. Aus der Äquivalenz der Begriffe komplex differenzierbar und analytisch folgt auch der Identitätssatz für komplex differenzierbare Funktionen, der beinhaltet, dass für zwei komplex differenzierbare Funktionen j und g auf einem Gebiet G folgende Aussagen äquivalent sind: i)
ii) iii)
j = g auf G , {z E G I j(z) = g(z)} hat einen Häufungspunkt in G, :3zo E G mit j(n) (zo) = g(n) (zo) für alle n 2 0 .
Eine andere gleichwertige Formulierung dieses Satzes ist: Ist die komplex differenzierbare Funktion j auf dem Gebiet G nicht konstant, so ist die Urbildmenge j-I(a) = {z E G I j(z) = a} für jedes a E ([ entweder leer oder diskret in G (d.h. ohne Häufungspunkt in G). Diese Formulierung des Identitätssatzes und das Maximumprinzip werden entscheidend im Beweis des Offenheitssatzes benutzt: Ist j eine nicht konstante komplex differenzierbare Funktion auf dem Gebiet G, so ist für jede offene Teilmenge U von G das Bild j(U) wiederum offen. Eine weitere Folgerung des Identitätssatzes besagt, dass für zwei komplex differenzierbare Funktionen h : GI -7 ([ und fz : G 2 -7 ([ genau eine gemeinsame komplex differenzierbare Fortsetzung auf GI U G 2 existiert, falls h IG 1 nG2 = fzlGlnG2 gilt. (Man beachte, dass von den offenen Mengen GI und G2 nichts verlangt wird.) Ist der Konvergenzradius der Potenz reihe 2:~=0 bn(z - zo)n eine Zahl p > 0 oder +00, so konvergiert die Funktionenreihe 2:~=0
(z!';o)n
auf
([\.6.; (zo)
bzw. ([\ {zo} und definiert darauf eine komplex differenzierbare Funktion. Man schreibt auch 2:~=-00 Ln(z - zo)n anstelle von
2:;:0 (z!';o)n . Konver-
giert 2:~=0 an(z - zo)n auf .6. R(zo) und 2:;:;-~-00 an(z - zo)n auf ([\.6. r(zo) , und ist 0 :S r
< R, so definiert 2:~=-00 an(z - zo)n
= 2:;:;-~-00 an(z - zo)n
+
448
3 Ausgewählte Themen aus der Analysis
l:~=o an(z - zo)n eine komplex differenzierbare Funktion auf dem offenen Kreisring 6 r,R(ZO) := {z E ( Ir< Iz - zol < R}. Umgekehrt ist auch richtig: Jede komplex differenzierbare Funktion I auf dem offenen Kreisring .0. r,R(ZO) lässt sich darauf als konvergente Funktionenreihe l:~=-(X) an(z - zo)n darstellen. Für jedes p E Jr, R[ gilt:
an =
2~i
!
(w
!~:~n+1 dw .
(3.55)
8L;.p(zo)
Diese Funktionenreihe heißt die Laurentreihe von I . Sei U C ( offen, Zo E U und r > 0 mit .0. r (zo) C U. Man sagt, dass die komplex differenzierbare Funktion I : U\ {zo} ~ ( eine isolierte Singularität in Zo hat. Auf der in Zo punktierten Kreisscheibe 60,r(zo) sei l:~=-(X) an(z - zo)n die Laurent-Reihe von I. Man nennt Zo eine hebbare Singularität, wenn an = 0 für alle n < 0 gilt, Polstelle (oder Pol) k-ter Ordnung, falls a-k -10 und an = 0 für alle n< -k gilt, wesentliche Singularität, falls unendlich viele n < 0 mit an -I 0 existieren.
~
~ ~
Nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz ist eine isolierte Singularität Zo von I hebbar, wenn ein c > 0 existiert, so dass I (d.h. liD auf .0.o,f:(zo) beschränkt ist. Eine weitere Aussage dieses Satzes ist, dass dann lim I(z) z-tzo
existiert und dass die dadurch fortgesetzte Funktion nicht nur stetig sondern sogar komplex differenzierbar ist. I hat einen Pol in Zo, wenn lim I(z) = 00 oder äquivalent, wenn lim I/(z)1 = z-tzo
z-tzo
gilt. Die Polstellenordnung von I in Zo ist genau dann gleich k, wenn lim (z-zO)k I(z) in (existiert und von Null verschieden ist. Äquivalent dazu:
+00
z--+zo
Es gibt ein c
> 0, so dass die auf 6f:(zo) durch z
r--t
{
0 _1_
fez)
, falls z = Zo , sonst
definierte Funktion komplex differenzierbar ist und in Zo eine Nullstelle k-ter Ordnung hat. Einige Beispiele: Der Nullpunkt ist eine hebbare Singularität für e%;l , si~ z %2
l-,--cosz Z4
und
z-sinz. ---zr-
Die Funktionen
_.1_ Sill
z
und
_z_ 1-cos z
haben im Null-
punkt eine einfache Polstelle. Die anderen Pole von l-~os z bilden die Menge {2m!' I n E ~\{O}}, und die Polstellenordnung ist in jedem dieser Punkte gleich zwei. Die Funktion sin ~ hat eine einzige isolierte Singularität; sie liegt im Nullpunkt und ist weder hebbar noch ein Pol, also eine wesentliche Singularität. Übrigens ist der Nullpunkt eine Singularität für die Funktion h, Sin z
449
3.1 Begriffe und Ergebnisse
aber, da jedes Glied der gegen Null konvergierenden Folge (';71" )n~l eine Polstelle dieser Funktion ist, keine isolierte Singularität! Wir werden uns aber nur mit isolierten Singularitäten beschäftigen. Eine Überraschung liefern die folgenden zwei Ergebnisse über wesentliche Singularitäten. Es sei f eine komplex differenzierbare Funktion, Zo eine wesentliche Singularität von fund c: > 0 so gewählt, dass ~c(zo)\{zo} = ~o,c(zo) im Definitionsbereich von f liegt. Dann
-+ -+
ist die Bildmenge f(~o,c(zo)) dicht in ([ (Satz von CasoratiWeierstraß), und es gilt sogar f(~O,E(ZO)) = ([ oder f(~o,c(zo)) = ([\{wo}, wobei Wo ein von c: unabhängiger Ausnahmewert von f ist (Satz von Picard).
Das zweite Ergebnis ist viel stärker als das erste und erheblich mühsamer zu beweisen. Sei I:~=-oo an(z - zo)n die Laurent-Reihe von f um die isolierte Singularität
2;i
zo° Die Zahl a-l = Iß6 r (zo) f(z)dz heißt das Residuum von f in Zo und wird mit Resflzo (oder auch mit Res(f;zo) oder Resf(zo)) bezeichnet. Wir geben nun einige Regeln für die Berechnung von Residuen an. Ist Zo eine Polst elle n-ter Ordnung von f, so gilt Resflzo = (
1 )' lim [f(z)· (z - zo)n](n-l) . (3.56 n ) n - 1 . Z-+Zo Insbesondere gilt für n = 1, d.h. für den Fall, dass Zo eine einfache Polst elle ist (3.56t) Res flzo = lim f(z) . (z - zo) . Z-+zo Lässt sich f auf einer Kreisscheibe um Zo als darstellen, wobei 9 und h auf dieser Kreisscheibe komplex differenzierbar sind und Zo keine Nullstelle von 9 aber eine einfache Nullstelle von h ist, so gilt g(zo) Res flzo = h'(zo) . (3.57)
*
Das Bilden des Residuums ist ein linearer Prozess, d.h. für alle al, a2 E ([ und komplex differenzierbare Funktionen h, fz auf einer in Zo punktierten Kreisscheibe um Zo gilt:
Unser Interesse an Residuen ist durch den folgenden Residuensatz begründet: Sei G ein Gebiet aus ([ und 'Y : [a, b] -+ G eine geschlossene, positiv orientierte, stückweise glatt parametrisierte Jordankurve. Sind Zl, ... , Zn Punkte aus dem Inneren von 'Y und ist f : G\ {Zl, ... , zn} -+ ([ komplex differenzierbar, so gilt
3 Ausgewählte Themen aus der Analysis
450
(3.58)
Damit kann man also komplexe Integrale berechnen, aber auch uneigentliche (reelle) Integrale wie das folgende Beispiel zeigt: Seien P und Q reelle Polynome mit gradP+2 ~ gradQ. Q habe keine reelle Nullstellen. Daraus folgt, dass der Grad von Q gerade ist und dass genau die Hälfte der Nullstellen, sagen wir Zl, ... ,Zn in der oberen Halbebene liegen. (x + iy ist eine Nullstelle von Q {:=::} x - iy ist eine Nullstelle von Q). Integriert man j auf dem geschlossenen Halbkreis mit dem Mittelpunkt Null und dem Radius rund
berücksichtigt, dass J01l" ~t~:::l rie ilJ d(} für r -+ folgt aus dem Residuensatz: 00 /
P(x) . Q(x) dx = 27rZ
t; Res QP I
00
gegen Null konvergiert, so
n
Zk
(3.59)
•
-00
Sollte der Nenner Q nur negative reelle Nullstellen aber keine weiteren reellen Nullstellen haben, so kann man Jooo ~t:l dx in bestimmten Fällen durch geschickte Wahl einer geschlossenen Jordankurve mit Hilfe des Residuensatzes berechnen und danach eine Grenzwertbetrachtung anstellen. Im Fall Jooo x2n~"i+l ' n ~ 1, integriert man z.B. mit Hilfe des Residuensatzes die komplex differenzierbare Funktion Z t-+ z2nJl+1 auf dem Weg, der aus der Strecke [0, R] , R > 1, dem Kreisbogen mit Mittelpunkt 0 und Radius R 2~i
2~i
von R bis Re 2n + 1 und schließlich aus der Strecke von Re 2n + 1 zum Nullpunkt besteht, und führt dann den Limes R -+ 00 durch.
Auch Integrale vom Typ J0211" ~t~~:~:::~~ld(}, wobei der Nenner keine Nullstelle auf [0,27r] hat, werden mit Hilfe des Residuensatzes berechnet. Für Z = cos(}+isin(} aus 86. = 86. 1 = {z E ([ Ilzl = 1} folgt z-l = cos(}-isin(} und damit cos(} = z+r 1 , sin(} = z_~-l und d(} = tzdz. Aus dem gegebenen Integral erhält man mit diesem Ansatz ein komplexes Integral längs 86. 1 , das mit dem Residuensatz ausgewertet werden kann. Eine weitere (auf den ersten Blick nur theoretisch interessante) Folgerung des Residuensatzes ist das sog. Prinzip des Argumentes. Es seien n(f; ,) die Anzahl der Nullstellen und p(f; ,) die Anzahl der Polstellen Zl, Z2, ••• , Zn (beide mit Vielfachheiten gezählt) einer komplex differenzierbaren Funktion j : G\{Zl, ... , zn} -+ ([, die innerhalb einer geschlossenen, positiv orientierten, stückweise glatt parametrisierten Jordankurve , liegen. Dann gilt die folgende Formel:
n(f; ,) - p(f; ,)
1 / = 27ri
j'(z) j(z) dz .
(3.60)
3.1 Begriffe und Ergebnisse
451
Daraus ergibt sich der Satz von Rouche: Seien I und 9 zwei komplex differenzierbare Funktionen auf einem Gebiet G und 1 eine geschlossene, positiv orientierte, glatt parametrisierte Jordankurve in G, so dass Ig(z)1 < I/(z)1 für alle z aus dem Bild von 1 gilt. Dann haben I und I + 9 innerhalb 1 gleich viele Nullstellen. Der Satz von Rouche liefert sofort einen weiteren Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra. (Hinweis dazu: Für 2:Z=o akz n- k mit ao f. gibt es ein R > 0, so dass I2:Z=l akZn-kl < laoznl für alle z E 86R. Dann gibt es in 6R für aoz n und aoz n + 2:Z=l akZn-k gleich viele, nämlich n Nullstellen.) Außerdem hilft der Satz von Rouche beim Lokalisieren von Nullstellen komplex differenzierbarer Funktionen (s. Aufgabe 76). Wir schließen das Thema Residuensatz mit dem Hinweis, dass mit seiner Hilfe Anfangswertprobleme für Systeme von linearen Differenzialgleichungen gelöst werden können (s. Aufgabe 73).
°
Eine bijektive, komplex differenzierbare Funktion I : G -+ G* zwischen zwei Gebieten G und G* von «: heißt konform oder analytischer Isomorphismus, falls 1-1 ebenfalls komplex differenzierbar ist. Insbesondere ist I ein Homöomorphismus (oder topologischer Isomorphismus), d.h. I ist bijektiv, stetig, und 1-1 ist ebenfalls stetig. So sind z.B. die lineare Funktion z r+ az + b für a f. und die Möbius-Transformation z r+ ~:t~ für c f.
°
°
konform von «: auf «: bzw. «:\{-~} auf «:\{%}. Zwei Gebiete G und G* heißen topologisch äquivalent, falls ein Homöomorphismus I : G -+ G* existiert. Ist I zusätzlich konform, so heißen G und G* konform äquivalent. Z.B. sind «: und 6 nicht konform äquivalent, was aus dem Satz von Liouville folgt. «: und sowie 6R und 6 r ,R , ~ r < R, sind nicht einmal topologisch äquivalent, da nur jeweils eins der Gebiete einfach zusammenhängend ist. Eine komplex differenzierbare Funktion I : G -+ G* heißt lokal konform, wenn jeder Punkt z aus G eine offene Umgebung U besitzt, so dass Ilu : U -+ I(U) konform ist. (Man beachte, dass I nicht konstant und deshalb I(U) eine offene Umgebung von I(z) ist.) So sind z.B. -+ «:* , z r+ Z2 und «: -+ «:* , z r+ eZ lokal konform aber nicht konform, da beide nicht injektiv sind. Ist I lokal konform und bijektiv, so ist I konform, was z.B. für q : {z E «: I Re z > o} -+ «:\] - 00,0] , z r+ Z2 und für exp : {z = x + iy I -'Ir < Y < 'Ir} -+ «:\]- 00,0] der Fall ist. Das folgende Ergebnis liefert eine nachprüfbare Charakterisierung für die lokale Konformität einer komplex differenzierbaren Abbildung I : G -+ G*. I ist genau dann lokal konform, wenn j'(z) f. für alle z E G gilt, d.h., wenn j' nullstellenfrei ist. Es folgt: I konform {::::::} I bijektiv und j' nullstellenfrei. Eine weitere, diesmal geometrische Charakterisierung ist: I ist dann und nur dann lokal konform, wenn I in jedem Punkt winkeltreu ist. Das bedeutet, dass für jeden Punkt zO E G und für je zwei glatt parametrisierte Kurven 11: [a1,b1]-+ «: und 12: [a2,b2]-+ «: mit 11(t~) = 12(tg) = ZO der Winkel
°
e
e
°
452
3 Ausgewählte Themen aus der Analysis
zwischen den Tangenten zu /'1 und /'2 in t~ bzw. tg gleich dem Winkel zwischen den Tangenten zu 1 0 /'1 und 1 0 /'2 in t~ und tg ist. Wird ein Gebiet G auf die Einheitskreisscheibe 6. = 6. 1 = {z E ([ I Izl < I} konform abgebildet, so ist G einfach zusammenhängend und nach dem Satz von Liouville ist G =1= ([. Ein eindrucksvolles Resultat, dessen Beweis höchst anspruchsvoll ist, sagt aus, dass die Umkehrung gilt. Dieser Riemannsche Abbildungssatz lautet: Ist G =1= ([ ein einfach zusammenhängendes Gebiet aus ([ und Zo E G, so gibt es genau eine konforme Funktion I : G -+ 6. mit I(zo) = 0 und so dass I'(zo) reell positiv ist. Ein Beispiel dazu: Für die obere Halbebene H = {z E ([ I Imz > O} und Zo = i ist I : H -+ 6 , I(z) = i~+~ die konforme Funktion aus dem Abbildungssatz. Für ein beliebiges, einfach zusammenhängendes Gebiet G =1= ([ kann man eine solche Funktion LA. nicht explizit angeben. Es gibt aber eine Fülle von Beispielen konkreter Gebiete, in welchen dies möglich ist. Die Untersuchungen dazu stoßen auf großes Interesse, da unter zusätzlichen Voraussetzungen an G die Angabe der expliziten Lösung des Dirichlet-Problems für G möglich ist - wenn das Dirichlet-Problem für die Einheitskreisscheibe konkret lösbar ist -, und damit wird die Tür zu den Anwendungen in der Aero- und Hydrodynamik aber auch in der Elektrotechnik geöffnet. Man nimmt an, dass G ein beschränktes, einfach zusammenhängendes Gebiet ist und dass eine bijektive, stetige Funktion I : G -+ 1::, bekannt ist, deren Inverse auch stetig ist, und so dass 1(8G) = 86. und Ila konform ist. Ist Uo : 8G -+ IR stetig, so ist Vo := 1-1 0 Uo stetig auf 86.. Ist v : 1::, = 86. U 6. -+ IR die Lösung des von Vo gestellten Dirichlet-Problems für 6., so ist u := I 0 v : G -+ IR die Lösung des zu Uo gehörigen Dirichlet-Problems für G. Dies liegt daran, dass
(~+ ~ )(z) = (~+ ~ )(f(z)) ·1f'(z)1 2 gilt; dabei bezeichnet z = x + iy
die Koordinate in G und ~ + i'TJ diejenige in 6 . Wir schließen diese Einführung in die Funktionentheorie mit einigen Ergebnissen über eine nach dem russischen Aerodynamiker Joukowski benannte Funktion. Die J oukowski-Funktion j : «: -+ «: mit j (z) = Hz + ~) für z E ([* und j(O) = j(oo) = 00 bildet folgende Gebiete konform ab:
-+ -+ -+ -+
das Äußere der in der oberen Halbebene gelegenen abgeschlossenen Einheitskreishalbscheibe, also {z = x + iy E ([ I y > 0 und Izl > I} auf die obere Halbebene, die untere offene Einheitskreishalbscheibe {z E ([ I y < 0 und Izl < I} auf die untere Halbebene, das Äußere der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe {z E ([ I Izl > I} auf ([\[-1, 1] , die obere Halbebene auf ([\([-00, -1] U [1, +oo[).
3.1 Begriffe und Ergebnisse
453
Für die gewünschten Profile von Flugzeugflügein hat Joukowski Bilder von Kreisen mittels j untersucht. Dafür hat er wegen j (z) = tion j als Komposition der Möbius-Transformation z
~=i!!t ~: z+l
I-t ~:;:i
die Funk-
mit der Qua-
dratfunktion q und mit einer weiteren Möbius-Transformation z gestellt.
I-t ~~i
dar-
3.1.9 Laplacetransformation und ihre Anwendungen (Aufgabe 78 bis 87) Eine Funktion f : [O,oo[-t ([ heißt eine Zeitfunktion, wenn sie auf jedem endlichen Intervall [0, A] stetig bis auf endlich viele Ausnahmepunkte und absolut integrierbar ist. Um bestimmte Ergebnisse und Formeln einheitlich anzugeben, wird jede Zeit funktion auf]- 00, O[ durch den Wert 0 fortgesetzt. So entsteht aus der konstanten Funktion [O,oo[-t IR, t I-t 1 die Heavisidesche Sprungfunktion u : IR -t IR mit u(t) := 0 für t < 0 und u(t) := 1 für t ~ O. Sei a > 0; aus einer Zeitfunktion f entsteht bei der Rechtsverschiebung t I-t f(t - a) die Zeitfunktion, welche denselben Prozess wie f beschreibt aber erst a Zeiteinheiten später. Dagegen ist bei der Linksverschiebung t I-t f(t+a) das Verhalten in den ersten a Zeiteinheiten "vergessen". Das Laplaceintegral der Zeitfunktion f in sE ([ ist Jooo f(t)e-stdt. Die Menge {s E ([ I Jooo f(t)e-stdt konvergiert} ist die Konvergenzmenge
oder die Menge der einfachen Konvergenz des Laplaceintegrals von f. Ist diese Menge nicht leer, so heißt f zulässig für die Laplacetransformation und die Funktion K(f) -t ([ , S I-t Jooo f(t)e-stdt =: L[f](s) die Laplacetransformierte von f. Sei Z die Menge der zulässigen Funktionen für die Laplacetransformation. Eine Zeitfunktion, die "zu schnell gegen 00 wächst", ist keine zulässige Funktion für die Laplacetransformation. Das ist z.B. der Fall für [O,oo[-t IR, t I-t exp(t 2 ) oder t I-t exp(expt). Manchmal ist es bequemer - wenn auch formal nicht ganz korrekt -, L[f(t)] und entsprechend K(f(t)) anstelle von L[j] bzw. K(f) zu schreiben. So ist es z.B. einfacher, L[t] statt L[id[o,oorl zu schreiben. Auch für die Rechts- und Linksverschiebung von fEZ ist es vernünftig, L[j(t - a)] und K(f(t - a)) bzw. L[f(t + a)] und K(f(t + a)) zu schreiben. Für die Funktion t I-t f(at) (mit a> 0) ist die Bezeichnung L[f(at)] und K(f(at)) einleuchtend. Für die Anwendungen ist es sehr nützlich, die Laplacetransformierten und deren einfache Konvergenzmengen von möglichst vielen Zeitfunktionen zu kennen. Dafür gibt es Tabellen in Formelsammlungen, aber auch gewisse Regeln, welche die Berechnungen erleichtern. Die Heavisidesche Sprungfunktion u hat die einfache Konvergenzmenge K (u) = {s E ([ I Re s > O} und die (darauf definierte) Laplacetransformierte L[u](s) = ~. Für a > 0 gilt K(u) = K(u(t - a)) = K(u(t + a)) ,
3 Ausgewählte Themen aus der Analysis
454
L[u(t - a)](s)
e-ssa
+ a)](s) = ~. Für die Identität und ihre = K(t n ) = {s E ( I Res> O} und L[t](s) = ~
und L[u(t
n-te Potenz hat man K(t)
sowie L[tn](s) = S~~l' Seien I, T und T positive Zahlen mit T < T und !T,I,T die Zeitfunktion, die auf U~=o[nT, nT + T] den Wert I und sonst den Wert hat. Ist T viel kleiner als T, so ist anhand der graphischen Darstellung dieser Funktion einleuchtend, warum sie Impulsfunktion heißt. Man hat
°
K(fT,I,T) = {s E ( I Res> o} und L[!T,I,T](S) = s' 1=e-s1 . Ist a: E (, so gilt K(e at ) = K(te at ) = {s E ( I Re(s - a:) > o} und L[eat](s) = s~a sowie L[te at ] = (slaJ2' Die folgenden Regeln sind ziemlich einfach zu beweisen. I
1
e-s-r
Seien f, 9 E Z, a, b E ]0, oo[ und a:, ß E (. Für M C ( und 'Y E ( benutzt man die Bezeichnungen 'Y + M = {"I + mim E M} und 'Y' M = {"Im I m E M}. Hiermit gilt: Additionsregel: a:f + ßg E Z , K(a:f + ßg) :J K(f) n K(g) und L[a:f + ßg](s)
a:L(f](s)
+ ßL[g](s) .
Ähnlichkeitsregel:
t t-+ f(at) ist aus Z , K(f(at))
= a· K(f(t))
und L(f(at)](s)
= ~L(f](~)
.
Verschiebungsregel:
t t-+ f(t - b) und t t-+ f(t + b) sind aus Z , K(f(t - b)) = K(f(t)) = K(f(t + b)) und L(f(t - b)](s) = e- sb L(f](s) , L[f(t + b)](s) = esb L[f](s) esb J~ f(t)e-stdt. Regel für eine allgemeine lineare Substitution:
t t-+ f(at - b) ist aus Z , K(f(at - b)) = a· K(f) und L(f(at - b)](s) = ~e-!s L[f](~) . Dämpfungsregel:
t t-+ eat f(t) ist aus Z , K(e at f(t)) = a: L[f](s - a) .
+ K(f)
und L[e at f(t)](s)
=
Regel für eine periodische Funktion fEZ mit der Periode T: (1 - e-ST)L(f](s) = JOT f(t)e-stdt . Bevor wir weitere (weniger leicht zu beweisende) Regeln für die Laplacetransformation angeben, beschäftigen wir uns mit der Konvergenzmenge K (f) des Laplaceintegrals einer Funktion fEZ. Entscheidend ist die Existenz und Eindeutigkeit der Konvergenzabszisse kl' Nun ist kl entweder -00 oder diejenige reelle Zahl, für die gilt:
{s E (
I Re s >
k I}
c K (f) c {s
E (
I Re s ~ k I}
.
Das bedeutet, dass K(f) für kl = -00 ganz ( für kl E IR aus der Konvergenzhalbebene {z E ( I Re z > k I} besteht, vereinigt mit Punkten und Intervallen der Konvergenzgeraden {z E ( I Rez = kl}' So gilt z.B.
3.1 Begriffe und Ergebnisse
455
K(1~t2) = {S E ([ I Res 2 O} und K(1~t2) = {s E ([ I Res 2 O}\{O}. Für bestimmte Aussagen genügt es nicht, dass das Laplaceintegral von 1 E Z in einem Punkt s (oder in einem Gebiet) konvergiert; man benötigt zusätzlich die absolute Konvergenz des Laplaceintegrals, d.h. die Existenz (Konvergenz) des uneigentlichen Integrals Jooo I/(t)e-stldt. Es gibt ein eindeutig bestimmtes af E IRu {oo,-oo}, so dass die Menge aller s E ([, für welche Jooo I(t)e-stdt absolut konvergiert, entweder {s E ([ I Re s > a f } oder {s E ([ I Re s 2 a f } ist. af heißt dann die Abszisse absoluter Konvergenz, und die offene oder abgeschlossene Halbebene, worauf das Laplaceintegral absolut konvergiert, heißt die Halbebene absoluter Konvergenz des Laplaceintegrals von I. Es gilt offensichtlich k f :S af· Aber sowohl kf = af ist möglich als auch k f E IRU {-oo} und af = 00. Nun kommen wir - wie angekündigt - zu weiteren Regeln für die Laplacetransformation. Multiplikationsregel: Für 1 E Z ist L(f] komplex differenzierbar auf {s E ([ I Re s > kf } , t r-+ t n I(t) ist aus Z und es gilt
(L[/])(n)(s) = (-l)nL[tn/](s)
für alle s E ([ mit Res> kf.
(3.61)
Um die Stärke dieser Regel deutlich zu machen, betrachten wir 1 : [0,00[-+ IR mit 1(0) := 0 und I(t) := für t > O. Man kann ausgehend von der
Jt
Definition zeigen, dass die einfache Konvergenzmenge K (f) die Menge {s E ([ I Re s 2 O} \ {O} ist. Für x> 0 führt die Substitution xt = v 2 zu
[]() J 00
LI x =
o
J 00
-1e -xt dt = - 2 Vi Vi
0
e _v dv = - 2 . -Vii = -Vii . 2
Vi
2
Vi
L(f] ist auf {s E ([ I Re s > O} komplex differenzierbar nach der obigen Regel. Der Hauptwert s r-+ VB der Wurzelfunktion (in Polarkoordinaten
re ilJ r-+ Vrei~ für r > 0 und -7r
< B < 7r) ist auf derselben Menge ebenfalls
komplex differenzierbar. Da L[/] und s r-+ ~ auf ]0, oo[ gleich sind, folgt aus dem Identitätssatz für komplex differenzierbare Funktionen L[fl(s) =
-$ auf
{s E ([ I Res> O}. Weiter folgt aus der Multiplikationsregel L[Vi](s) =
2'f1
für alle s E ([ mit Re s > O. (Entsprechend kann man L[t n +!] für jede natürliche Zahl n berechnen.) Integrationsregel: Für 1 E Z und xo > 0 aus K(f) ist t r-+ J~ I(T)dT aus Z, und das Laplaceintegral dieser Funktion konvergiert auf {xo} U {s E ([ I Re s > xo}. Darauf
3 Ausgewählte Themen aus der Analysis
456
hat man t
L [ / I(T)dT ] (S) =
~L(f)(s) .
(3.62)
o
Außerdem wächst die Funktion t d.h. es gibt ein C >
I-t
IJ;(T)dTllangsamer als exot für t --+ +00, mit I J; I(T)dTI ~ Ce xot für alle t ~ to,
°und ein to > °
und die Abszisse absoluter Konvergenz von t
Xo·
I-t
J; I(T)dT ist kleiner gleich
°
Differenziationsregel: Sei I E Z auf )0, oo[ differenzierbar und Xo > aus K(f'). Dann existiert 1(0+):= lim I(x) und Xo liegt in K(f). Für sE {xo}U{s E ([ I Res> xo} x--+O+
hat man
L[I')(s) = sL(f)(s) - 1(0+) .
(3.63)
Außerdem wächst 1I1 langsamer als exot für t --+ 00 und es gilt af ~ Xo . Als Folgerung erhält man die n-te Differenziationsregel: Sei I E Z auf )O,oo[ n-mal differenzierbar und Xo > aus K(f(n)). Dann existiert l(k)(O+):= lim I(k)(t) für k = 0,1, ... ,n -1, und Xo liegt in K(f(k)) für
°
t--+O+
k
= 0,1, ... ,n -
1. Es gilt
L(f(n))(s) = sn L(f)(s) - 1(0+ )sn-l_ I' (0+ )sn-2 - ... - I(n-l) (0+) für alle
s E {xo} U {s E ([ I Re s > xo} .
(3.64)
Die Funktionen 1/1,11'1, ... , I/(n-l)1 wachsen langsamer als exot für t --+ +00, und man hat af(k) ~ Xo für k = 0,1, ... , n - 1 . Mit Zo bezeichnet man den ([-Untervektorraum von Z, der alle Funktio< A < B beschränkt nen enthält, die auf jedem Intervall [A, B) mit sind. Man sagt, dass die Faltung der Funktionen h, haus Z existiert, falls h(T)h(t - T)dT für alle t ~ existiert. Diese auf [0, oo[ definierte Funk-
J;
tion wird mit h
*h
°
bezeichnet, also: h
°
* h(t)
=
J; h(T)h(t -
T)dT. So
gilt für die Heavisidesche Funktion u * u(t) = t und (u * u) * u(t) = t;. Die Integrationsregel besagt genau, dass die Faltung jeder Funktion I aus Z mit der Heavisideschen Sprungfunktion u existiert, und die Formel (3.62) lässt sich als L[u * I)(s) = ~L(f)(s) schreiben. Sind hund haus Zo, so ist h * h definiert und sogar stetig auf [0, 00[. Das folgende Ergebnis ist eine erhebliche Verallgemeinerung der Integrationsregel. Faltungsregel: Seien h, haus Zo. In einem So E ([ konvergiere eine der beiden Laplacetransformierten L[h) und L[h) absolut und die andere wenigstens einfach. Dann konvergiert L[h * h) in So einfach, und für alle
3.1 Begriffe und Ergebnisse
457
sE {so} U {s E (I Res> Reso} gilt
L[h](s) . L[h](s) = L[h
* h](s) .
(3.65)
Ins besondere folgt daraus k ft • h ~ min {max( a lu k h)' max( k lu a h)} . Für die Anwendungen der Laplacetransformation ist es wichtig zu wissen, was aus L[fd = L[h] folgt. Der Eindeutigkeitssatz sagt aus, dass in diesem Fall
°
h - h eine Nullfunktion ist, d.h. JoA(h - h)(t)dt = für alle A > 0. Umgekehrt gilt trivialerweise: Ist h - h eine Nullfunktion, so gilt L[h] = L[h] . (Beachten Sie: Eine Nullfunktion ist nicht die Nullfunktion. Hat f in jedem Intervall [a, A] nur in endlich vielen Punkten von Null verschiedene Werte, so ist feine Nullfunktion.) Sind hund h stetig, so folgt aus L[Jd = L[h] und aus dem Eindeutigkeitssatz h = h. Wir erwähnen in diesem Zusammenhang das von Doetsch eingeführte Korrespondenzzeichen: f(t) o---e L[J](s)
bzw.
L[J](s) __ 0 f(t) .
So hat man z.B. sin at ~ s2~a2 , cos at o---e s2~a2 , t n o---e s.:"-I-I , usw. (Dass man nicht eine Bezeichnung vom Typ ~ oder ++ benutzt, liegt an der Tatsache, dass allen Funktionen aus Z, die sich additiv nur um eine Nullfunktion unterscheiden, dieselbe Laplacetransformierte entspricht.) Die Laplacetransformation wird meist beim Lösen von Anfangswertproblemen für lineare Differenzialgleichungen und Differenzialgleichungsprobleme mit konstanten Koeffizienten benutzt. Ist y(n)(t) + aly(n-l)(t) + ... + an-ly'(t) + any(t) = f(t) eine Differenzialgleichung mit al, ... ,an aus
IR, f aus Z und sind die reellen Zahlen (Anfangsbedingungen) y~O) = Yo, y~, ... ,y~n-l) gegeben, so wird eine Funktion y E Z gesucht, die auf ]0, oo[ n-mal differenzierbar ist, so dass für jedes k E {O, 1, ... , n-1} der rechtsseitige Grenzwert lim y(k) (t) existiert und gleich y~k) ist. Wendet man die Laplat-.o+ cetransformation auf beide Seiten der Differenzialgleichung an und berücksichtigt man die Differenziationsregel sowie die Anfangsbedingungen, so hat man wegen L[y(k)](s) = sk L[y](s) - yosk-l _ y~sk-2 _ ... _ y~k-2) S _ y~k-l) in der offenen Halbebene {s E ( I Re s > b}, in der L[J] definiert ist und Q(s) := sn + als n- l + ... + an-lS + an keine Nullstelle hat, die Gleichung Q(s)L[y](s) = L[J](s) + Yo(sn-l + als n- 2 + ... + an-2S + an-d + Yo(n-2) (+ s al ) + Yo(n-l) .
+ ...
Bezeichnet man mit P das Polynom Yosn-l +(yoal +y~)sn-2+ ... +(yoan-2+ (n-3) (n-2)) (n-2) (n-l) ·1· d b .. ·+Yo al +Yo s+Yoan-l + .. ·+Yo al +Yo , so gl t m er 0 eren
3 Ausgewählte Themen aus der Analysis
458
LWii)
+ ~I:~. Die Lösung des Anfangswertproblems Halbebene L[y](s) = ist also die eindeutig bestimmte, n-mal differenzierbare Funktion Y E Z, deren Laplacetransformierte
LJf(lX) + ~i:j
ist. (Natürlich ist diese Aufgabe - so
°
wie auch die Berechnung von L[f] - nicht immer leicht zu bewältigen.) Im Spezialfall y 2+ay = f(x) mit a > ist diese Methode sehr eindrucksvoll. Aus
L[y](s) = s2~a2 • (L[f](s)+Yb+Yos) = ~L[sinat](s).L(f](s)+~L[sinat](s)+ yoL[cos t](s) = L[~ I~ f(T) sin a(t - T)dT dem Eindeutigkeitssatz die Lösung
~a
+ ~ sin at + Yo cos at](s)
folgt nach
J t
f(T) sin a(t - T)dT + Yb sinat + Yo cosat . a o Man betrachtet nun das Anfangswertproblem, bestehend aus dem linearen System von Differenzialgleichungen y' = Ay + f. Dabei ist A eine n x nMatrix mit reellen Koeffizienten, y = (Yl,Y2, ... ,Yn)T ist die gesuchte Vektorfunktion mit Komponenten aus Z, welche auf ]0, oo[ differenzierbar sind, und f = (h, 12, ... , fn)T ist eine Vektorfunktion mit Komponenten aus Z; die Anfangswerte sind durch den Vektor Yo = (YlO, Y20, ... , YnO)T gegeben. Wendet man die Laplacetransformation auf das System an, so ergibt sich y(t) =
yr
sL[y](s) - Yo = s(L[yI](s), L[Y2](S), ... , L[Yn](S))T = AL[y](s) + L[f](s) = AL[y](s) + (L[h](s), L[h](s), ... , L(fn] (s))T und damit (sEn - A)L[y](s) = Yo + L[f](s). Ist Res größer als die Realteile aller Eigenwerte von A, so ist sEn - A invertierbar, und damit hat man für alle s aus einer Halbebene (auf welcher auch L[f] definiert ist)
Das Lösen des Anfangswertproblems hat sich auf die Bestimmung der Funktionen Yl,Y2, ... ,Yn mit L[Yk](S) = Fk(s) für alle k = 1,2, ... ,n reduziert. Wir erwähnen an dieser Stelle, dass die Laplacetransformation auch beim Lösen der inhomogenen Wellengleichung, also einer partiellen Differenzialgleichung der Gestalt uxx(x, t) - Utt(x, t) = f(x, y) gebraucht werden kann und dass die Faltungsregel sowie der Eindeutigkeitssatz beim Berechnen von Integralen manchmal schnell zum Erfolg führen können. So lässt sich z.B. das Integral I~ xm(t - x)ndx für m,n E IN als Faltung von t I-t t m und t I-t t n interpretieren und damit wie folgt berechnen. Aus L[f~ xm(t - x)ndx](s) =
L[tm * tn](s)
= L[tm](s) . L[tn](s) =
L[ (m+n+1)! mini tm+n+1](s) folgt m, nEIN und t
>
°.
ft Jo
mini . (m+n+l)! - (m+n+l)! sm+n+:fxm(t - x)ndx = (m+n+l)! mini t m+n- 1 für alle smm+!r . snnJ-r -
3.1 Begriffe und Ergebnisse
459
Auch das (konvergente!) uneigentliche Integral Faltung der Funktion t
L[Jt](s) =
$
I--t
f; ~ für t > 0 ist die x(t-x)
Jt mit sich. Für s E (: ,
zuerst L[f; ~dx](s) = L[Jt
(~)2 = zr. = 7rL[u](s) und damit VB s
=
ft dx Jo Jx(t-x)
7r
Re s > 0 folgt wegen
* Jt](s)
= (L[Jt](S))2 =
> o.
für alle t
3.1.10 Fouriertransformation und ihre Anwendungen (Aufgaben 88 und 89) Die Fouriertransformation ist vor allem wegen ihrer Anwendungen von Interesse. Sie ermöglicht es, gewöhnliche und partielle Differenzialgleichungen in einfachere Gleichungen umzuwandeln. Gerade für die Behandlung von Fragen aus der Elektrotechnik ist die Fouriertransformation sehr geeignet. Sei f : IR --+ (: eine absolut integrierbare Funktion auf IR, d.h. f~oo If(t)ldt konvergiert. Für jedes w E IR ist dann das sog. Fourierintegral konvergent, und die Funktion F(f) = ] : IR --+ (: , F(f)(w) = ](w) := f~oo f(t)e-iwtdt heißt die Fouriertransformierte von f. (Von der Technik her sind die Bezeichnungen Originalfunktion oder eingegebenes Signal für f und empfangenes Signal für] üblich. t und w werden als Zeit bzw. Frequenz interpretiert.) Man beachte, dass für alle w E IR gilt: 1](w)1 ::; f~oo If(t)ldt. Insbesondere gilt für eine reellwertige, nicht negative Funktion f : IR --+ IR, die über IR integrierbar ist, die Ungleichung 1](w)1 ::; ](0) für alle w aus IR. Schwierig zu beweisen ist die gleichmäßige Stetigkeit von ] und lim ](w) = 0 = lim ](w).
w-+-oo
w-+oo
Ähnlich wie bei der Laplacetransformation wird die Berechnung von Fouriertransformierten durch Tabellen bekannter und oft benutzter Funktionen sowie durch verschiedene Regeln für die Fouriertransformation sehr erleichtert. In den folgenden Beispielen und Regeln seien a und T positive reelle Zahlen, b E IR\{O} = IR* , cE IR, a,ß E (: , "( E (: mit Re"( > 0 , Wo E IR und u die Heavisidesche Funktion. Die Fouriertransformierte der Funktion t I--t {1
o
,falls sonst
Itl ::; T ' falls sonst
t I--t
{
-1
~
ist w
Itl
0 eine Materialkonstante ist. Ist zum Zeitpunkt t = 0 die Temperatur f(x) in jedem Beobachtungspunkt x bekannt, d.h. hat man die Anfangsbedingung u(x, 0) = f(x), und ist feine fouriertransformierbare Funktion, so kann man unter Verwendung der Fouriertransformation die folgende Gestalt für u nachweisen:
463
3.1 Begriffe und Ergebnisse
U(X, t) =
1C ; /
2cY1ft
00
-00
f(s)e- ("2 4c t ds 8
für alle
)
>0.
t
Eine rechteckige Platte, deren Länge viel größer als ihre Breite a ist, wird in unseren Überlegungen als ein Streifen {(x, y) T E IR 2 I 0 ::; y ::; o} angesehen, also unendlich lang. Die Temperaturverteilung darauf sei zeitunabhängig (man sagt auch stationär). Bezeichnet u(x,y) die zeitlich konstante Temperatur im Punkt (X,y)T dieses Streifens, so ist U (unter bestimmten Annahmen über die Beschaffenheit der Platte) eine harmonische Funktion, d.h. sie erfüllt die Potenzialgleichung U xx + U yy = o. An den Rändern der Platte werden in den Punkten (x, O)T und (x, a)T die Temperaturen f(x) bzw. g(x) gemessen, d.h. u genügt den Randbedingungen u(x,O) = f(x) und u(x, a) = g(x) für alle x E IR. Sind die Funktionen fund 9 stetig und absolut integrierbar über IR, so kann man unter Einbeziehung der Fouriertransformation nach komplizierten Überlegungen die folgende Temperaturverteilung auf der Platte nachweisen: 1
ux -( ,y) - 2a
/00 [ -00
f(s) sin 7r(a-y) a cosh ~ + cos ~ a
a
+
g(s) sin ~ cosh
a
~ + cos ~ a a
1ds
.
Eine unendlich lange, elastische Saite (in Wirklichkeit genügt "sehr lang") habe im Punkt x zum Zeitpunkt teine Auslenkung u(x, t) (im Vergleich zur Ruhestellung). Unter bestimmten Voraussetzungen ist die Funktion (x, t) f-t u(x, t) mindestens zweimal stetig differenzierbar und genügt der Schwingungsgleichung (auch Wellengleichung genannt) Utt - c2 u xx = 0, wobei c > 0 wieder eine Materialkonstante ist. Ist zum Zeitpunkt Null die Auslenkung der Saite im Punkt x gleich f(x) und ihre senkrechte Geschwindigkeit gleich g(x), d.h. gelten die Anfangsbedingungen u(x, 0) = f(x) und Ut(x, 0) = g(x), und sind fund g zweimal bzw. einmal stetig differenzierbar sowie absolut uneigentlich integrierbar über IR, so wird die Bewegung (Aus lenkung) der Saite wie folgt beschrieben:
x+ct 1 u(x, t) = 2(f(x
+ ct) + f(x - ct)) +
1 / 2c
g(~)d~
.
(3.72)
x-ct Diese Formel kann man auch mit Hilfe der Fouriertransformation herleiten. Auch die Bewegung der Saite unter Berücksichtigung äußerer Einflüsse, d.h. die inhomogene Schwingungsgleichung (Utt - cUxx)(x, t) = h(x, t), kann man mit Hilfe der Fouriertransformation untersuchen.
3.2 Aufgaben für das dritte Kapitel Aufgabe 1
x: [O,21r] -+ IR 2 , x(t) = (cos 3 t, sin 3 t)T parametrisiert die sog. Astroide. a)
Zeigen Sie: i) Diese parametrisierte Kurve ist geschlossen. ii) Die Einschränkung XI[O,2rr[ ist eine injektive Abbildung von [O,27r[ in IR2 . Das Bild x([O,27r[) dieser Kurve liegt im Kreisring mit dem Mittelpunkt (0,0) und den Radien ~ und 1 . iv) Das Bild x([O, 27r() berührt jeden der beiden Randkreise in genau vier verschiedenen Punkten. v) Es existieren genau vier Punkte tl, t2, t3 und t4 in [O,27r[, in welchen x nicht glatt ist, d.h. in welchen x' verschwindet. Berechnen Sie i) die Bogenlänge der parametrisierten Kurve zwischen zwei beliebigen Werten t' und t" mit 0 :::; t' < t" :::; 27r , ii) die Bogenlänge der Astroide, iii) das begleitende Zweibein und die Krümmung der Kurve im Punkt x(to) mit to E]tl, t2[, wobei tl und t2 die beiden kleineren Parameterwerte aus a)v) sind. Seien t', t" mit tr < t' < t" < t2, wobei tl und t2 wie in b )iii) gewählt sind. Bestimmen Sie die Evolute der glatt parametrisierten Kurve [t', t"] -+ IR2 , t t-+ x(t) . Skizzieren Sie die Astroide. iii)
b)
c)
d)
Lösung: a)i) x(O) = (0, l)T = x(27r) . ii) x(t) = X(T) mit t,T E [O,27r[ ist äquivalent zu cos 3 t = COS 3 T und sin 3 t = sin 3 T, d.h. zu cost = COST und sint = sinTo Die erste Gleichung (also cos t = COS T) gilt genau dann, wenn t = T oder t + T = 27r gilt, während die zweite Gleichung genau für t = T oder t + T = 7r oder t + T = 37r erfüllt ist. Deshalb gilt x(t) = X(T) nur, wenn t und T gleich sind, d.h. x eingeschränkt auf [O,27r[ ist injektiv. Der folgende Weg führt ebenfalls zu diesem Ergebnis: Aus cos t = COS T und sin t = sin T folgt cos(t - T) = cos t cos T + sin t sin T = cos2 t+sin 2 t = 1 und daraus t - T = 2k7r mit k E 7l.. Da t und T in [0, 27r[ liegen, muss k gleich Null sein, d.h. t = T . iii) Ilx(t)W = cos6 t + sin6 t = (cos 2 t + sin 2 t)(cos 4 t + sin 4 t - cos 2 tsin 2 t)
= (cos2 t + sin2 t)2 -
3cos2 tsin 2 t
= 1- ~ sin 2 2t.
3.2 Aufgaben für das dritte Kapitel
465
Es folgt ~ :::; Ilx(t)11 :::; 1 für alle t, da 0:::; sin 2 t :::; 1 gilt. iv) Insbesondere ergibt sich aus der Lösung von iii), dass für t E [0,211"[ der Abstand vom Nullpunkt zu x(t) genau dann maximal (minimal) ist, wenn sin2t = (sin2t = ±1) gilt. Für tE {O, ~,11", 3211"} hat man sin2t = 0, d.h. die Astroide berührt den Kreis mit dem Radius 1 in x(O) = (l,O)T, x(~) = (O,l)T , x(11") = (-1, O)T und x( 3;) = (0, -l)T. Dagegen hat man sin2 2t = 1
°
1
fürt E {Z!:4' 311" 511" 711"}. deshalb sind x(Z!:) 4' 4' 4 ' 4 -
C 2f2) 1
und x( 7:) =
2,;2
C2'1 ) die 1
1
- (-_1_' 2,;2) X(511")_1_' X(311") 4 4-
(2,;2) 2,;2
2,;2
Berührungspunkte der Astroide mit dem
°
2,;2
kleineren Kreis. Für alle anderen taus [0,211"[ gilt < sin 2 2t < 1, d.h. die entsprechenden Punkte x(t) liegen im Inneren des Kreisringes mit dem Mittelpunkt (O,O)T und den Radien ~ und l. v) Man hat x' (t) = (-3 cos 2 t sin t, 3 sin 2 t cos t)T und damit Ilx'(t)11 2 = 9cos 4 tsin 2 t
+ 9sin4 tcos 2 t = 9sin2 tcos 2 t = ~ sin 2 2t.
x'(t) verschwindet genau dann, wenn Ilx'(t)11 verschwindet, d.h. wenn tE {O, ~,11", 3;} gilt. Wir setzen tl = 0, t2 = ~ , t3 = 11", t4 = 3211" . b)i) x ist stückweise glatt; die Bogenlänge zwischen x(t') und x(t") berechnet
I t"
h't"
sich wie folgt: L(t',t") = t , Ilx'(t)lldt = ~lsin2tldt. Wegen des Betrages im Integranden muss man Fallunterscheidungen für t' und t" machen. Ist t' :::; t" :::; ~, so gilt
°: :;
L( t', t")
=~
J t"
t"
sin 2t dt
= - ~ cos 2t It' = ~ (cos 2t' -
cos 2t") ,
t'
und dieses Ergebnis ist auch für 11" :::; t' :::; t" :::; 3; richtig. Für ~ :::; t' :::; t" :::; 11" und 311" < t' -< t" -< 211" ergibt sich L(t' 't")4 = l (cos 2t" - cos 2t'). 2 Im allgemeinen Fall, d.h. wenn t' und t" in verschiedenen Intervallen [0,
~],
... , [3;, 211"] liegen, berechnet man L(t', t") stückweise über die Additivität der Kurvenlänge. So hat man z.B. für t' E [O,~], t" E [3;,211"] :
L( t' ,t")
= L (t', %) + L (%' 11" ) + L (11", 3;) + L (3;, t") =
~(cos 2t' + 1) + 2L (0, %) + L (0, t" _ 3
= 4" cos2t'
15
3
+ 4 + 4" (1- cos(2t" -
311")) =
3;) 9
3
"2 + 4"(cos2t' + cos2t") .
3 Ausgewählte Themen aus der Analysis
466
ii) Aus diesem letzten Ergebnis erhält man für t = 0 und t" = 21f die Bogenlänge der Astroide: L(O,21f) = 6 . iii) Sei also to E]O, ~[. Es gilt x' (to) = (-3 cos 2 to sin to, 3 sin2 to cos tO)T , und damit Ilx'(to)11 = 3sintocosto. Daraus ergeben sich t(to
)
1
= Ilx'(to)ll x
'()
to
=
(-costo ) sinto
und
n(to) = ( - sin to ) - cos to
Die Krümmung im Punkt x(to) wird mit der Formel (cos 3 t)' (sin 3 t)" - (sin 3 t)' (cos 3 t)" K,(to) = Ilx'(t)11 3 t=to
berechnet. Wegen (cos 3 t)' = -3cos2 tsint , (cos 3 t)" = 6costsin2 t 3 cos 3 t, (sin 3 t)' = 3 sin2 t cos t, (sin 3 t)" = 6 sin t cos 2 t - 3 sin3 t folgt 1
K,(to) = - - - - 3 sin to cos to c) Sei t E [t', t"] C]O,
H
Für die Evolute der Kurve x ergibt sich die
parametrisierte Kurve a mit a(t)
=
x(t)
+
~n(t)
=
(cos 3 t, sin3 tf -
3 sin t cos t( - sin t, - cos t)T = (cos 3 t + 3 sin 2 t cos t, sin3 t + 3 sin t cos 2 t)T = (cost(l + 2sin2 t),sint(l + 2cos2 t)T = 3(cost,sint)T - 2(cos 3 t,sin 3 t)T . d) Die Abbildung 3.4 zeigt die Asteroide.
Abbildung 3.4. Die Asteroide
Aufgabe 2 Betrachten Sie die parametrisierte Kurve x : [-2,3] -+ IR 2
(t 2 a) b)
+ 2t, t 2 - 2t)T.
,
x(t)
Zeigen Sie, dass diese Kurve glatt parametrisiert ist. Besitzt diese Kurve Doppelpunkte, d.h. gibt es zwei verschiedene t und raus [-2,3] mit x(t) = x(r)?
3.2 Aufgaben für das dritte Kapitel c) d)
e) f)
467
Berechnen Sie die Bogenlänge dieser parametrisierten Kurve. Bestimmen Sie das begleitende Zweibein, die Krümmung, den Krümmungsradius und den Krümmungsmittelpunkt a(t) in einem beliebigen Punkt x(t) der Kurve. Wann ist der Krümmungsradius minimal, wann maximal? Seien x(t) = t 2 + 2t und y(t) = t 2 - 2t. Bestimmen Sie ein Polynom P(x,y), so dass P (x(t),y(t)) = 0 für alle tE [-2,3] gilt. (Damit zeigen Sie, dass x eine algebraische Kurve ist.)
Lösung: a) x' (t) = (2t + 2, 2t - 2)T f= (0, O)T für alle t E [-2,3], weil die erste Komponente x'(t) = 2t + 2 nur in t = -1 und die zweite Komponente y'(t) = 2t - 2 nur in t = 1 verschwindet. b) Aus x(t) = X(T), d.h. aus t 2 + 2t = T2 + 2T und t 2 - 2t = T2 - 2T folgt 4t = 4T und damit t = T. Die Kurve hat also keine Doppelpunkte.
c) Ilx'(t)11 = J(2t
+ 2)2 + (2t -
2V2J~2 02+1 dt
=
2V2(~ t02+1 + ~areasinht)I~2
V2(areasinh3 + areasinh2) =
d) t(t) = Ilx'(t)llx'(t) =
r.(t) -
2)2 = 2V2 02+1. Es folgt: J~21Ix'(t)lldt =
+ 2VfQ + 6V5 + 2VfQ + V2ln(6 + 5V2 + 2VfQ + 3V5).
C: ~) ,
Jz . vt;+!
X'(t)yl(t)---x"~t)Y'(t)
= x(t)+p(t)n(t) = (!~
6V5
Jz . vt;+l (~~
n(t) =
_ (2t+2)·2-2(2t-2) _ Ilx'(t)11 - 16v'2J(t 2 +1)3 p(t) = 2V2J(t2 + 1)3 , a(t)
=
1
n'
2v'2J(t 2 +1}3 ,
:;! )
+2V2J(t2 + 1)3.
Jz . vt;+l (! ~ ~)
= (t 2 +2t)+2(t 2 +1) (1-t)=(-2t 3 +3t2 +2) . t 2 - 2t t +1 2t 3 + 3t 2 + 2 e) Für t = 0 ist der Krümmungsradius minimal; p(O) = 2V2. Für t = 3 ist der Krümmungsradius maximal; p(3) = 2V2 . 10VfQ = 40V5 . f) Aus x(t) = t 2 + 2t und y(t) = t 2 - 2tfolgt x(t) +y(t) = 2t 2, x(t) - y(t) = 4t
+ y(t)) = (x(t) - y(t))2 = 16t2. Das Polynom P(x, y) := 2 x + y2 - 2xy - 8x - 8y erfüllt die Bedingung P (x(t),y(t)) = 0 für alle tE [-2,3]. und damit 8 (x(t)
Aufgabe 3
Seien a und b reelle Zahlen, a < b, und tM (t sin t, t cos t)T parametrisierte Kurve.
Xa,b
[a, b] -+ IR 2 die mittels
468
3 Ausgewählte Themen aus der Analysis
f)
Zeigen Sie, dass für alle a und b diese parametrisierte Kurve glatt (regulär) ist. Ist Xa,b nach der Bogenlänge parametrisiert? (Anders gefragt: Ist die angegebene Parametrisierung ausgezeichnet?) Berechnen Sie die Bogenlänge L von Xa,b' Berechnen Sie den Tangenten- und den Normalenvektor sowie die Krümmung der Kurve Xa,b in einem beliebigen Punkt. Wann ist Xa,b eine geschlossene Kurve? (Anders gefragt: Für welche a und b, a< b, gilt xa,b(a) = xa,b(b)?) Wann ist Xa,b eine geschlossene Jordankurve? (Anders gefragt: Für wel-
g)
che a und b, a < b, ist Xa,b geschlossen und Xa,b : [a, b[-t IR 2 injektiv?) Bestimmen Sie die Evolute von Xa,b.
a) b) c) d) e)
Lösung:
a) Aus Xa,b(t) =
(tsint,tcost)T ergibt sich x~,b(t) = (sint + tcost,
cos t - t sin t)T und damit Ilx~,b(t)11 = y'f+t2, denn es gilt: (sin t + t cos t)2 + (cos t-t sin t)2 = sin 2 t+t 2 cos 2 t+2t sin t cos t+cos2 t+t 2 sin 2 t- 2t sin t cos t = (1 + t 2 )(sin 2 t + cos t 2) = 1 + t 2 . Deshalb gilt x~,b(t) f- (O,O)T für alle t, d.h. Xa,b ist überall glatt. b) Nein! Ilx~,b(t)11 = 1 gilt nur für t = 0 . c) L =
J: Ilx~,b(t)lldt = J: y'f+t2dt = ~(ty'f+t2 + In(y'f+t2 + t)) I~=
-21 [bv1 + b2 - avl + a2 + ln( ~tb)] . Anstelle von ln( J'1+t2 + t) kann l+a +a man auch areasinh t schreiben, und damit lautet das Ergebnis ~ [bVl + b2 avl + a2 + areasinh b - areasinh a] . d) Der Tangentenvektor von Xa,b im Punkt Xa,b(tO) ist t t
(0)
=
1
Ilx~,b(to)11
x' (t) = 1 ( sin to + to cos to ) a,b 0 }1+tÖ costo-tosinto
Deshalb ist n(t ) = o
1
( to sin to - cos to )
}1 + tö to cos to +
sin to
der Normalenvektor der Kurve im Punkt Xa,b(tO). Die Krümmung im Punkt Xa,b (to) ist
2 + tö (1 + tÖ)3/2 '
469
3.2 Aufgaben für das dritte Kapitel d enn x 11 b(t) a, 0 1
=
(2 cossintoto -- totosincostoto )
und
-2
sin to + to cos to 2 cos to - to sin to cos to - to sin to -2 sin to - to cos to
1
d et (, 11 ( xa,b (to ) ,xa,b to ) ) = 2
- 2 sin to - 2to sin to cos to
to sin to cos to - t6 cos 2 to - 2 cos 2 to + 2to sin to cos to + to sin to cos to - t6 sin 2 to = -2 - t6 . e) Aus asina = bsinb und acosa = bcosb folgt a 2 (sin 2 a + cos 2 a) = b2 (sin 2 b+cos 2 b), und damit a2 = b2. Wegen a < b muss gelten a < < bund damit a = -b. Aus acosa = bcosb = (-a)cos(-a) = -acosa erhält man 2acosa = 0, d.h. a E {-~ -mr I nEIN} = {-~, _3; , _5211" , . . . }. Also: Die einzigen geschlossenen Kurven der Kurvenschar {Xa,b I (a, b) E IR2 , a < b}
°
sind diejenigen der Gestalt X-~-n11",~+n11" mit nEIN. f) Die Zuordnung t t--+ (t sin t, t cos t) T ist injektiv auf [- ~, ~ [, aber für jedes n 2: 1 ist sie auf [- ~ - mr , ~ + mr[ nicht injektiv. Deshalb ist x_ ~, ~ die einzige geschlossene Jordankurve in der obigen Kurvenschar. g) Die Evolute von Xa,b ist die parametrisierte Kurve [a, b) -+ IR2 , die jedem taus [a, b) den folgenden Punkt zuordnet:
Xa,b(t)
+ K(Xa\(t))n(t)
= (tsint,tcost)T -
~!~~(tsint-cost,tcost+sint)T.
Aufgabe 4
Die Koordinaten eines Teilchens, das sich im Raum bewegt, sind als Funktionen der Zeit durch x(t) = at, y(t) = v'3abt 2, z(t) = 2bt 3 gegeben; dabei sind a und b positive Konstanten. Welche Strecke legt das Teilchen vom Zeitpunkt t = bis zum Zeitpunkt t = 3 zurück?
°
Lösung:
Die Länge der zurückgelegten Strecke ist S := J~ Jx'(t)2 + y'(t)2 + z'(t)2 dt. Mit x'(t)
= a,
y'(t)
= 2v'3libt und z'(t) = 6bt 2 erhält man:
J 3
S
=
J 3
J a2 + 12abt 2 + 36b2t 4 dt
o
=
(a+6bt 2 )dt
3
=
(at+2bt 3 )
10 = 3a+54b.
0
Aufgabe 5
Betrachten Sie die durch t t--+ (1 + t - t 2 , 1 + t + t 2 , ~tv't)T parametrisierte Kurve x : [1,4) -+ IR 3 a)
.
Zeigen Sie, dass diese Parametrisierung glatt ist.
470 b) c)
3 Ausgewählte Themen aus der Analysis Berechnen Sie die Bogenlänge dieser Kurve. Berechnen Sie in einem beliebigen Punkt der Kurve das begleitende Dreibein, die Krümmung und die Torsion.
Lösung: a) Wegen
)(1 - 2t)2
x'(t)
(1 -
2t,1
+ (1 + 2t)2 + (VSt)2
+ 2t, VSt)T gilt Ilx'(t)11 ';1 - 4t + 4t 2 + 1 + 4t + 4t 2 + St
= J2(1 + 2t) 2: 3J2 und damit x'(t) i:- 0 für alle tE [1,4] . Einfacher argumentiert man hier, wie folgt: Aus x'(t) = 0 folgt t = 0 (dritte Komponente), für t = 0 ist aber die erste Komponente von x'(t) ungleich Null.
b) ft Ilx'(t)lldt = f14J2(1 + 2t)dt = J2(t + t 2)lt = 18J2 . c) Wir verwenden die üblichen Formeln. Für die Vektoren t(t), n(t) und b(t) des Dreibeins der Kurve in x(t) ergibt sich
t(t) = 11
x
'~)llx'(t) = t
J2 1 (1- 2t, 1 + 2t,2v'2v'tf , 2(1 + 2t)
'() (-2J2 0 1 - 2t )T 11'( )11 1 t t = (1 + 2t)2' , v't(1 + 2t)2 ' t t = v't(1 + 2t) , 1, -2J2v't 1 - 2t T n(t) = Ilt(t)llt(t)=( 1+2t ,0'1+2t) , 1 - 2t 1 2v't T b(t) = t(t) x n(t) = (J2(1 + 2t)' - J2' 1 + 2t) . Die Krümmung wird mit der Formel K,(t) = "x"\~'(ti;;~t)" berechnet. Wegen
x' (t) = (1 - 2t,1
+
2t,2J2v't)T , x" (t) = (-2, 2, ~)T erhalten wir
x'(t) x x"(t) = (0(~2t),_ 0(7t 2t ),4)T und damit Ilx'(t) x x"(t)11 = 3t(1
+ 2t).
Deshalb gilt:
?t(1 + 2t)
K,(t) = 2J2(1 · ".,. h 1 . . D1e J..orSlOn er a ten WIr mIt
T
+ 2t)3
()
t =
1
= J2v't(1
+ 2t)2 .
det(x'(t),x"(t),x"'(t)) F·· . d [1 4] Ilx'(t)xx"(t)11 2 • ur Je es t E ,
hat man xll/(t) = (0,0,- V2#)T, und damit folgt
1- 2t det ( 1 + 2t 2J2v't
-2 2 0 Vi
0 ) 0 __ 2J2 __ 1_ tv't' 0Vt3
3.2 Aufgaben für das dritte Kapitel
W
r(t) - _ t,fi t(l + 2t)2
471
=
1
V2i (1 + 2t)2
.
Aufgabe 6 Seien a und b reelle Zahlen, a < b, und Ya,b : [a, b] -+ IR3 die durch t t-+ (2t sin t, tt 3 , 2t cos t)T parametrisierte Raumkurve. a) b) c) d) e)
Zeigen Sie, dass diese Raumkurve für alle a und b glatt ist. Ist Ya,b nach der Bogenlänge parametrisiert? Berechnen Sie die Bogenlänge L von Ya,b. Berechnen Sie das begleitende Dreibein der Kurve in einem beliebigen Punkt. Bestimmen Sie die Krümmung und die Windung (Torsion) der Kurve Ya,b in einem beliebigen Punkt.
Lösung: a) Y~,b (t) = (2 sin t + 2t cos t, t 2 , 2 cos t - 2t sin t)T ist nie der Nullvektor, da IIY~,b(t)112 = 4 + 4t 2 + t 4 gilt. Deshalb ist Ya,b eine reguläre Kurve im IR3 .
b) Nein! IIY~,b(t)11 = 2 + t 2 hat nie den Wert l. c) L = J: IIY~,b(t)lldt = J:(2 + t 2 )dt = 2(b - a) + t(b3 d) Der Tangentenvektor in Ya,b(t) ist t (t )
1 = Ily~,b(t)IIYa,b I
Wegen t'(t)
t
a3 ).
1 ( . 2 • )T = 2+t . 2 2smt+2tcost,t ,2cost-2tsmt
= (2+~2)2 (4 cos t-4t sin t-t 3 sin t, 2t, -4 sin t -4t cos t- t 3 cos t)T
und 1it'(t)11 = n( t) =
()
-
21! t
2 4 t
ist
1
v0+4 (4 cos t-4t sin t-t 3 sin t, 2t, -4 sin t-4t cos t-t 3 cos tf
(t 2 +2) t 2 +4
der Hauptnormalenvektor in Ya,b(t). Da
(
2 sin t + 2t cos t ) t2 x 2 cos t - 2t sin t
(4
cos t - 4t sin t - t 3 sin t ) 2t -4 sin t - 4t cos t - t 3 cos t
gilt, erhält man den folgenden Binormalenvektor in Ya,b(t) zu Ya,b : b(t) = t(t) x n(t) = k(-tcost,2,tsint f t2 + 4
.
472
3 Ausgewählte Themen aus der Analysis
e) Mit Y~b(t) = (4cost-2tsint,2t,-4sint-2tcost)T, , Y~'b(t) = (-6sint-2tcost,2,-6cost+2tsint?, ,
Y~,b(t) x Y~,b(t) = 2(2 + t 2 )( -t cos t, 2, t sin t? ,
IIY~,b(t) x Y~,b(t)11 = 2(2 + t 2 )J4+t2
ergeben sich für die Krümmung und Windung in Ya,b(t)
bzw. 4(2 + t 2)2 4(2 + t 2 )2(4 + t 2 )
1 4 + t2
•
Aufgabe 7 Die Temperaturverteilung im Inneren eines Sterns, der die Gestalt eines Rotationsellipsoids hat, ist gegeben durch
An der Oberfläche ist die Temperatur konstant, nämlich 7.000oC. Dabei wird als Maß für eine Längeneinheit 10.000 km genommen. (Der Mittelpunkt des Sterns befindet sich also im Ursprung 0 des Koordinatensystems; dort beträgt die Temperatur 12.000oC.) a)
b) c) d) e)
Geben Sie eine Gleichung der Oberfläche F des Sterns an. Entfernen Sie aus Feine Teilmenge A, so dass F' := F\A eine reguläre Parameterdarstellung x : D -t F' zulässt. Durch die Drehung welcher Ellipse E in der x-z-Ebene um die z-Achse entsteht diese Oberfläche F ? Wie groß ist der Durchmesser des Sterns? (Begründen Sie Ihre Antwort elementar geometrisch!) Bestimmen Sie die Tangentialebene an x in einem beliebigen Punkt von F'. Geben Sie die Parameterlinien von x durch einen beliebigen Punkt von F' an. Bestimmen Sie den Winkel zwischen diesen Linien. Können Sie das erzielte Ergebnis erklären?
3.2 Aufgaben für das dritte Kapitel f) g) h) i)
j) k) 1)
473
Berechnen Sie die erste Fundamentalform des Flächenstücks (D, x) . Mit Hilfe welchen Integrals wird der Flächeninhalt von F' berechnet? Bestimmen Sie die zweite Fundamentalform von x . Es sei u = (u,v)T: [a,b]-+ D eine glatt parametrisierte, zweimal stetig differenzierbare Kurve und w = x 0 u : [a, b] -+ IR3 die entsprechende glatt, zweimal stetig differenzierbare Raumkurve auf F'. Berechnen Sie die Normalkrümmung von w in einem beliebigen Punkt t E]a, b[ . Berechnen Sie die Gaußsche und die mittlere Krümmung der Fläche in einem beliebigen Punkt. Warum ist Feine orientierbare Coo-Fläche? Gibt es Nabelpunkte auf der Fläche F?
Lösung: a) Aus 12.000-40x 2-40y2-50z 2 = 7000 ergibt sich 40x 2+40y2+50z 2 = 5000 und damit eine Gleichung von F : x2 y2 z2 J(x,y,z) := 125 + 125 + 100 -1 = O.
Es handelt sich also um einen Rotationsellipsoid mit den Halbachsen 5V5, 5V5 und 10. Durch ( 0 enthalten. Deshalb genügt es, die Konvergenz von 2:::=1 fn auf einem solchen Intervall zu untersuchen.
Wegenl sin n:lnl :S ~Jn :S nfo für alle x E [-a, a] und der Konvergenz von
2:::=1 nfo folgt die gleichmäßige Konvergenz von 2:::=1 f n auf [-a, a]. Deshalb definiert diese Reihe eine auf IR stetige Funktion f. b) Wegen f~(x) = nfo cos n:ln und If~(x)1 :S nfo für alle x E IR konvergiert 2:::=1 f~ gleichmäßig auf IR. Da 2:::=1 fn ebenfalls konvergiert (es genügt, die Konvergenz in einem einzigen Punkt zu wissen!) ist f nach dem Satz über die Differenzierbarkeit von Funktionenreihen differenzierbar auf IR, und es gilt: f'(x)
= ~ fn(x) 00
(
)'
1
= ~ f~(x) = ~ n"fii cos nfo 00
00
.
Man bemerke, dass für alle k ~ 1 und n ~ 1 gilt: If~kl(x)1 :S n1\k für alle x E IR. Deshalb kann man mit Hilfe des eben zitierten Satzes zeigen, dass f
unendlich oft differenzierbar ist und f(kl(x) = 2:::=lf~kl(x) für alle kEIN gilt. c) Ist Cn E IR, so ist Cn -n"fiicos n:ln eine Stammfunktion von fn. Die Frage,
für welche Folge (C n )n2':l die Reihe 2:::=l(Cn - n"fiicos n:ln) auf IR konvergiert, ist direkt nicht sehr leicht zu beantworten. Deshalb benutzt man (dies ist erlaubt, weil 2:::=1 fn gleichmäßig gegen f konvergiert) den Satz über die Integrierbarkeit von Funktionenreihen und erhält
f
x
o
f (L x
f(t)dt =
0
00
n=l
=~ ( weswegen die Reihe
L f fn(t)dt 00
fn(t) ) dt =
x
n=lo
nvncos n:rn
1:) = ~ ( nvn -
nvncos nfo )
2:::=1 n"fii(l-cos n:ln) konvergiert. Diese letzte Aussage
kann man auch aus der folgenden Abschätzung mit dem Majorantenkriterium
481
3.2 Aufgaben für das dritte Kapitel folgern, denn für alle x E [-a, a] gilt
x~ I :::; nVii . 2 sin2 2nyn
Ixl 2
Ixl 2
lal 2
_ 1
~ It cos n1 x dx
+
sin mrxdx) + ~sin mrxlL = _ L sin 2 L 2nrr L ft ~
mr.
4
=
Also
, falls n = 4k + 1 , , falls n = 4k + 2 , , falls n = 4k + 3 , , falls n
= 4k + 4 .
L
L
Weiterhin gilt bn -- lL Jo n xsin !EI'!!.dx+ 1.2 I ft sin nrrxdx rrn L L -- l[_..Lxcos L rrn Lx +..L
L
rrnxdx) _ ~ COS nrrx L 2nrr L . rrn L ( l)n d h sm """2 - 2nrr ,.. f2 COS
rrn JO
L
~
L
rr 2 (4k+1p
L 2( 4k+2)rr -L
rr 2 ( 4k+3)2
It2 =
+ rrfn2 sin rr~x
L
+ 2(4k+1)rr + 2( 4k+3)rr L
L 2( 4kH)rr
L
16" - 2*rr (cos mf)
L
12
0
=
, falls n = 4k + 1, , falls n = 4k + 2, , falls n
= 4k + 3,
, falls n = 4k + 4.
Die Reihe lässt sich mathematisch leicht, aber mühsam aufschreiben. c) In jedem Punkt x E)- L,O[ U )0, U )t,L[ ist f differenzierbar. In den
°
t
t[
Punkten und ist die Funktion stetig und links- sowie rechtsseitig differenzierbar. In - L gilt: fist links- und rechtsseitig differenzierbar. Außerdem gilt: lim fex) + lim fex) 0+1:. L x-t-L+ x-t-L= __2 = _ = f( -L) . 2 2 4 Deshalb konvergiert die Fourierreihe von f in jedem Punkt x E IR gegen f (x). Aufgabe 19
Sei f eine periodische Funktion mit Periode 2, die jedem x aus [-1, 1[ den Wert e- 2x zuordnet. a) b) c)
Skizzieren Sie diese Funktion. Bestimmen Sie die Fourierreihe von f . Gegen welche periodische Funktion g mit Periode 2 konvergiert diese Fourierreihe?
3.2 Aufgaben für das dritte Kapitel d)
497
· S··""OO !-ll k _1(1 1) Zetgen 1e. uk=l ~ - 4" sinh2 - 2" •
Hinweise: 1) 2)
e ~ 2,718 , e2 ~ 7,389 , e- 2 ~ 0,135. J eax sin bxdx = ai :"b2 (a sin bx - b cos bx) , J eax cos bxdx = ai:"b2 (a cos bx + b sin bx) .
Lösung: a) Abbildung 3.14 zeigt eine Skizze der Funktion
-1
+ L:~1 (ak cos7rkt + bk sin 7rkt) , wobei
b) f(x) '" ~
für k = 0,1,2, ... und bk zweiten Hinweis folgt:
ao
Abbildung 3.14. Skizze der Funktion f (x)
5
3
f.
ak = J~l f(t) cos7rktdt
= J~l f(t) sin 7rktdt für k = 1,2,3, ... gilt.
= / 1 e- 2t dt = -"21 e- 2t
11
-1
1 2 = "2(e -
e- 2 )
Mit dem
= sinh2,
-1 -2t
1
ak = /
e- 2 tcos7rktdt
= 4: 7r2k2 (-2cos7rkt
+ 7rksin7rkt)
1
1-1
-1
2e- 2 ()k+1 4 + 7r 2 k 2
-----,:--::- - 1
+
2e 2 ( )k_4(-1)ksinh2 -1 - ---'-----'----:::--:-::-4 + 7r 2 k2 4 + 7r 2 k2
'
1 -2t 1 bk = / e- 2t sin7rktdt= 4:7r 2 p(-2Sin7rkt-7rkcos7rkt) 1-1 -1
3 Ausgewählte Themen aus der Analysis
498
Die Fourierreihe ist ~ sinh 2 + 2 sinh 2 2:~1 4c;:d~2 (2 cos 7rkt + 7rk sin 7rkt) . c) In jedem Punkt x E UnEZl2n - 1, 2n + 1[ ist differenzierbar, und damit konvergiert die Fourierreihe gegen f(x). In jedem Punkt 2n + 1, nE 71. ist die Funktion links- und rechtsseitig differenzierbar. Deshalb konvergiert die Fouf(x) + lim f(x) lim . . x-t(2n+1)+ x-t(2n+1)-2+ 2 nerre1he von f gegen 2 = ~ = cosh 2. Die Funktion g ist also auf [-1, 1[ durch g(x) = {e- 2hx 2 cos
' ffalills x El- l, 1[, ,asx=- 1
definiert, und mit Periode 2 auf ganz IR fortgesetzt. d) Für x = 0 gilt f(O) = 1 und aus der Fourierreihe erhält man
+ 4 2:~1 4c;:J~2). Aus 1 i = 2:%"=1 j~;~kk~ und damit
sinh 2( ~ 4
si~h 2
-
sinh 2( ~
=
+ 4 2:~1 4c;:d~2)
folgt
die Behauptung.
Aufgabe 20
Berechnen Sie das Integral
JI(sinx+cos(y-z))dCT(X,y,Z) auf 1= {(x,y,z)T I O:S x:S 7r,
i)
o :s y :s ~ , -~ :s z :s H·
ii)
iii)
Ja(x 2 y- xy3)dCT(X) aufG = {(x,y)T E IR 2 I-y < x < y2 ,0< y < I}. JaXYZdCT(X) auf G = {(x,y,z)T E IR3 I 1 < x < 3 , x < Y < 2x , 0< z < xy2} .
Lösung: i) Die Reihenfolge der Integrationen in diesem dreifachen Integral ist gleichgültig. Deshalb darf man wie folgt berechnen: " "2
1T
" "3
j (sinx + cos(y - z)) dCT(X, y, z) = j (j (j (sinx + cos(y - z))dz)dy)dx 0 0 -;r
I
~
7r
= j(j((zsinx o
z=~
sin(y - z))
z=-;r
0
" "2
7r
= j (j (~; sinx - sin(y -
o
0
)dy)dx
i) +
sin(y
+ ~ ))dy)dx
499
3.2 Aufgaben für das dritte Kapitel \v=i
7T
,77T
/ 0
.
,
7I\
,
7T
(—y S i n z + cos(y - - ) - cos(y + TT
v
)dx
- ) LY=0
/
-/£
7T
7T
37T
7T \
6
3
4
4 /
sin x + c o s — — cos — — cos — + cos —
I E cosa:
24
y/S
1
2
2
x/2
(-
2
h
>/§
,
dx
7tt
—
X/3 +
2
2 ^ - 1
12+
2
2
*
ü)
Abbildung 3.15. Darstellung des Gebietes G
L /
J(x y-xy )da(x)=
j
G
0
2
3
2/"
j (x y — xy )dx 2
I dy
3
\-y
1 I"
1
2
1 1
o
L
J
- / (l*
4 +
! » • - 5»*
7
4
1
7
1
1
5
dy
o
y
1
15*
12*
31 240
48*
iii) Fertigen Sie eine Skizze von G an; man hat ^ xyzda(x) G
3
r
3
f [ f y^ Ix \ o r 2x /
—j
2x
/
x?T x
1
-l 1
/fr
La;
z
j dy
z
3
0
dx = \j
r
2s
j 1
Ix
x y dy ö
ö
dx
3 Ausgewählte Themen aus der Analysis
500
Aufgabe 2 1 Man betrachte die „volle" Ellipse {(#, 0, z) G IR | Sx + z < 4} in der x-zEbene; mit E bezeichne man das Rotationsellipsoid, das durch Drehung der Ellipse um die z-Achse entsteht. Sei K die Vollkugel mit dem Mittelpunkt (0,0,0) und dem Radius y/2, also K = {(x,y,z) G IR | x + y + z < 2}. Berechnen Sie das Volumen des Schnittkörpers K fi E . T
3
2
T
2
3
2
2
2
Lösung: Das Ellipsoid ist gegeben durch E = {{x,y,z) G IR | Sx + 3y + z < y}. In der x-z- bzw. x-y-Ebene ergeben sich die Projektionen gemäß Abbildung 3.16. Die Halbachsen der Ellipse in der x-z-Ebene haben die Längen -j= und 2. Die T
3
2
2
2
Abbildung 3.16. Die Projektionen von E und K
4 Schnittepunkte dieser Ellipse mit dem Kreis sind (dbl,±l). Für (x,y) aus Gl := {(x,y) G IR | x + y < 1} ist (x,y,z) eKDE genau dann, wenn die Ungleichung -y/2 - x - y < z < y/2 - x - y gilt. Ist (x,y) aus G := {(x,y) G IR | 1 < x + y < 4/3}, so ist (x,y,z) aus KDE dann und nur dann, wenn -y/4S(x + y ) < z < y/4 - 3(x + y ) gilt. Deshalb hat man T
T
2
2
2
T
2
T
2
2
2
2
2
T
2
T
2
2
V -^ -2/ 2
Vol(KHE) = j
|
2
j
2
2
v
2
dz j da(x,y) + ^
2
/ _3( 4
a ;
/
2
+ y
2)
dcr(x,y)
3.2 Aufgaben für das dritte Kapitel = 2
f
";2 - x 2 - y2 da(x,y)
GI
f
";4 - 3(x 2 + y2)da(x,y)
G2
1
= 2[
+2
501
v'3
211" (
[";2 - p2 d 0, z > 0, x 2 +y2 +z2 < I} . Die Massendichte p von G nimmt linear mit der Höhe z ab, und zwar von 7g/cm 3 (für z = 0) bis 3g/cm 3 (für z = 1). a) b)
c) d) e)
Geben Sie die explizite Formel für die Berechnung von pan. Berechnen Sie das Integral Ja yzda(x, y, z) sowohl mit Hilfe des Satzes von Fubini als auch mit der Transformationsformel für Kugelkoordinaten. Bestimmen Sie die Masse von G . Berechnen Sie den Schwerpunkt S von G . Bestimmen Sie das Trägheitsmoment von G bezüglich der Achse g, die durch (0, ~,O) geht und parallel zur z-Achse ist.
Lösung: a) Die Funktion p(x, y, z) = p(z) hat die Gestalt a + bz. Wegen p(O) = 7 und p(l) = 3 folgt p(z) = 7 - 4z . b) Sei H der offene Halbkreis {(x,y)T E IR2 I y > 0,x 2 + y2 < I}. G ist schlicht über der x-y-Ebene, weil H beschränkt ist, die Nullfunktion und (x, y)T t-+ yfl- x 2 - y2 stetig auf H = {(x, y)T E IR 2 I y ~ 0, x 2 + y2 ~ I} sind und weil gilt:
G = {(x,y,z)T E IR3 1 (x,yf E H,O
< z < yfl- x 2 - y2}.
H ist schlicht über der x-Achse, weil die Nullfunktion sowie x t-+ stetig auf dem beschränkten Intervall [-1,1] sind und weil gilt:
VI -
x2
H = {(x,yf E IR2 1-1 < x < 1,0< Y a - b ~ 0 für alle taus ]0,27r[ gilt, folgt, dass die erste Komponente von x streng monoton wachsend ist. Insbesondere bildet sie [0,27r] bijektiv auf [0, 27ra] ab, d.h. zu
521
3.2 Aufgaben für das dritte Kapitel
°
jedem x E [0,2na] gibt es genau ein t x E [0,2n] mit at x - b sin t x = x. Deshalb liegt (x,y)T in G genau dann, wenn x E]0,2na[ und < Y < 1- cost x gilt, was die Schlichtheit von G über der x-Achse nachweist. Ist nun y aus ]0,2[, so hat die Gleichung y = 1 - cos t, also 1 - y = cos t für t gen au zwei Lösungen in ]0,2n[, nämlich h(y) E ]O,n[ und t2(Y) in]n, 2n[. Man hat atl (y) - b sin tl (y) < at2(Y) - b sin t2(y), denn:
b (. t () . t ()) 2b· t2 (y) -2 h (y) cos t2 (y) -2 tl (y) < sm 2 y - sm 1 y = sm 2bl sin t2 (y) ; tl (y)
I < 2b t2 (y) ;
tl (y) :S a (t2 (y) - tdY)) .
°
Also gilt G = {(x, y)T E IR 2 I < Y < 2, tl (y) < X < t2(y)}, was die Schlichtheit von G über der y-Achse zeigt. b) Der positiv orientierte Rand von G ist die Vereinigung von S und der Kurve, die aus C entsteht, wenn man die Orientierung umkehrt. Nun wird der Satz von Green angewandt: Vol( G) = J xdy = J xdy - J xdy . S
8G
C
Da die zweite Komponente jedes Punktes von S Null ist, gilt weiter
Vol(G) = - Icxdy = - g"(at-bsint)sintdt = -aI;7r tsint+bIo27r sin 2 tdt = -a[-tcost
lö + I;7r costdt] + b(~ 7r
c) Wegen div(~) = ~~
+~
si~2t)
7r
= 2na
+ nb = n(2a + b) .
= 1 + 1 = 2 gilt
J div r da(x, y) = J 2da(x, y) G
lö
= 2Vol(G) = 2n(2a + b)
.
G
Die Parametrisierung von S ist [0, 1]-t IR2 , t t-+ (2nat,0)T; es folgt: 1
J
r . n ds = J
S
0
(2~t)
Der Tangentialvektor zu C in x(t) ist
n(t) =
1
(Sin t
v(a-b cos t)2+ s in 2 t -a+b cos t
)
.(
~1) 27radt = °.
V(a-bcos1 t)2+sin 2 t (a-~cotst). Deshalb ist sm
und damit:
v(a-bcost)2+sin2t( sint )dt J r.nds=J27r(at-bsint) 1- cost -a + bcost c 0
522
3 Ausgewählte Themen aus der Analysis
! ! 271"
=
(at sin t - b sin 2 t - a
o
271"
= a
+ a cos t + b cos t -
!
271"
t sin tdt - (a
+ b)
!
b cos 2 t) dt
271"
dt
+ (a + b)
-1ca,' d' ]-2«a
cos tdt
0 0 0
=-a
[,c,,,, :"
+b)
= -27ra - 27f(a + b) = -27f(2a + b) .
Also: J eG f· nds - J 5 f· nds - Je f· nds = 27f(2a + b) . Insgesamt haben wir mit JG div f da(x, y) = 27f(2a + b) = JeG f . n ds gezeigt, dass für f der Divergenzsatz von Gauß gilt. Aufgabe 37
Gegeben sei G das Gebiet G:= {(x,y)T I y
> 0,
x 2 +f
< 1,
X 2 +y2
> I}
.
b)
Zeichnen Sie dieses Gebiet und stellen Sie fest, dass G und sein Rand 8G die Voraussetzung für den Greenschen Satz erfüllen. Berechnen Sie die Integrale JeG(x 2ydx + y 2dy) und JG x 2da(x, y) .
c)
Erklären Sie, warum die Gleichung gilt:
a)
!
eG
(x 2ydx
+ y 2dy) +
!
x 2 da(x, y) = 0 .
G
Lösung: a) G besteht aus allen Punkten der oberen Halbebene, die außerhalb des
f
Einheitskreises x 2 + y2 = 1 und innerhalb der Ellipse x 2 + = 1 liegen. G ist schlicht über der x-Achse, da der Rand von G stückweise glatt ist und G = {(x,y)T E IR 2 I -1 < x < 1 , Vl- x 2 < y < 3";1- x 2 } gilt. (Die Funktionen] - 1,1[ -+ IR, x 1-+ Jf=X2 bzw. x 1-+ 3";1 - x 2 sind differenzierbar und deren Ableitungen verschwinden nirgendwo auf ]-1,1[.) G lässt sich in drei Gebieten zerlegen, die schlicht über der y-Achse sind (aber auch über der x-Achse!), nämlich
Gi
:= { (x,y?
E IR 2 11 < Y < 3, -)1- y; < x < )1- y; } ,
G2 := { (x,y? E IR 2 1 0 < y < 1, -)1- y; < x
— A / 1 — 2 / sind stetig auf [1,3] bzw. [0,1] . b) Wir berechnen die zwei Integrale zuerst: 2
/ Z^fl^x
1
j x da(x,y) G
= j x -L
2
\
1
1
= 2 j x \J\-L
| ^ dy\dx VvTZ^r /
2
2
--
J
= 2 ^ sin £cos tdt=^ 2
x dx
2
2
COS 4t
2
2
. 7T dt — — . 4
An der Stelle (*) wurde die Substitution x — sin£ durchgeführt. Der Rand von G besteht aus einem Halbkreis F und aus einer Halbellipse F . Es gilt c
j[x ydx 2
+ ?/ Gfr/) = 2
dG
j(x ydx 2
e
+ 2/ d?/) 2
r
^(z 2/dx 2
r
e
+ y */) , 2
c
wenn man sowohl F als auch F gegen den Uhrzeigersinn durchläuft. Mit den e
c
Parametrisierungen [0,tt] 3 (
c 3
^)
g T und [0,tt]
(™ *) G T s
e
folgt y (x yda; + 0, Y > 0, z > O}, und f sei das Skalarfeld auf F, das jedem (x, y, z)T E F den Wert x 2 + y2 + Z3 - 2 zuordnet. Integrieren Sie f auf F . Lösung: Wir haben also fdo zu berechnen. Dafür betrachten wir (wegen der Kugelsymmetrie) Kugelkoordinaten, d.h. die folgende Parameterdarstellung D :=]0, Hx]O, ~[3 ( 1 gilt. Deshalb
~I
l,
Izl < 3 ,
00 3k -1 1 _1_ = _ _ 1_ = ~ "(_l)k_ = "(_3)1-k z k f z + 3 z 1 + ;! z L... zk L... ür Z k=O k=-oo
11 3 z > .
Daraus erhalten wir: a) j(z) = ~ L::;:o(-l)k zk - ~ L:;:'=o(- ~)kzk = L::;:o(-l)k(~ - ~)zk für z E G1 . b) j(z) = ~ L:k~_oo(-l)l-kzk - ~ L::;:o(- ~)kzk für z E G 2 . c) Für z E G 3 ist j(z) = ~ L:k~-oo (_l)l-k zk - ~ L:k~-oo (_3)1-k zk 1) k L..k=-oo (l)l-k(l "2 - 2.3k-1 Z . d) Wir setzen z + 2 = w; für z E G 4 , d.h. für Iwl < 1 folgt ",-1
3.2 Aufgaben für das dritte Kapitel
j(z) = j(w-2) =
557
1
1
00
00
= - - -2 = - ' " W 2k = - "'(Z+2)2k . (W - 1) (w + 1) 1- w ~ ~ k=O k=O
e) Mit z + 1 = wergibt sich für z E G, d.h. für 0
< Iwl < 2 :
1111 1111 j(z) = j(w - 1) = - - - - - - = - - - - - 2w 2w+2 2w 41+* 1 1 1~ k1 k 1 1 ~ k+l 1 k ='2;-4~(-1) 2kw ='2 z+l +~(-1) 2k+2(z+1). k=O k=O Aufgabe 67
Betrachten Sie die Funktion j : (\{O, I} --+ ( , j(z) = :22(~:t)I, a)
Bestimmen Sie die Laurent-Reihe von j um den Nullpunkt auf
Go := {z b)
E (
°
1 < Izl < I}
GI
und
:=
{z
E (
11 < Izl}·
Bestimmen Sie die Laurent-Reihe von j um 1 auf
°
G 2 := {z E ( 1 < Iz - 11< I}
G 3 := {z E ( 11 < Iz - 11} .
und
Lösung:
Aus zz22Czt)12 = A.z + ~ + ~l + ~l) erhält man durch Koeffizientenvergleich zz z,Z-.1.Jdie Partialbruchzerlegung
Z2 - Z + 1 z2(z-1)2
1 1 +Z Z2
----:-,-------:--::- = -
1 z-l
1 (z-1)2
- - - + ..,-----,--,-
< 1 hat man I~Z = L:~=o zn; daraus folgt durch Differenzieren (l!z)2 = L:~=l nzn-l = L:~=o(n+ l)zn. Es ergibt sich die folgende LaurentReihenentwicklung von j um den Nullpunkt auf Go:
Für Izl
1 1 00 00 1 1 00 j(z) = - + 2" + L zn + L(n + l)zn = - + 2" + L(n + 2)zn . z z z Z n=O n=O n=O Für Izl
> 1 gilt z~l = ~. l~f = ~ L:~=o zln = L:~=l z~ und durch Differen-
zieren
1 (z _ 1)2
00
1
00
= Ln zn+! = L(n n=l
n=2
1
1) zn .
Die Laurent-Reihe von j um den Nullpunkt auf GI ist gegeben durch
3 Ausgewählte Themen aus der Analysis
558
+ -Z21 -
j(z) = -z1 1 z2
= -
Für
--b
Iz -
11
(1- + -1 Z z2
00
00
n=3
n=3
1) 1)zn
1 2)zn .
00
+ ""'(n ~ n=3
< 1 gilt
+ "'" -1) + ( -Z21 + ""'(n ~ zn ~
~ = l-(-tZ-l)) = L~=o( -l)n(z - l)n j es folgt daraus
-b
= L~=l(-l)nn(z -l)n-l, also = L~=o(-l)n(n + l)(z _l)n. Die Laurent-Reihe von j um 1 auf G2 ist deshalb 1 j(z) = - z -1
Ist nun
Iz -11>
00
1
+ (z -1)2 + L(-l)n(n + 2)(z _l)n. n=O
1, so hat man ~ = Z~l
1+ 1j
%-1
= Z~l L~=o(-l)n(z_\)n =
L~=l (-1 )nH (z!1)n. Wieder durch Differenzieren erhält man 00
00
1 _ ""'()n 1 _ ""'( )n+1( ) 1 - Z2 - ~ -1 n (z _ 1)n+1 - ~ -1 n - 1 (z _ l)n '
d.h.
1 00 1 z2 = ~(_1)n(n -1) (z -l)n .
Die Laurent-Reihenentwicklung von j um 1 auf G 3 ist _ 1 1 j(z) - - z _ 1 + (z - 1)2 1
+ (z _
1
+ z -1
1 - (z - 1)2
1 = (z -1)2
+ ~(-l)n(n -
-1
1 (z - l)n
1
00
1)2
~()n+1
+~
1) (z
+ l)n
1
00
+ ~(-l)n(n - 2) (z -l)n'
Aufgabe 68
a)
Bestimmen Sie die Polstellen und die zugehörigen Residuen der Funktionen
z j(z):= ~4 z + b)
und
1 g(z) .- - : : - - .- z2 + z + 1
Berechnen Sie die Integrale von j und 9 entlang der Kurven C und V aus Abbildung 3.25 mit den eingezeichneten Orientierungen.
3.2 Aufgaben für das dritte Kapitel
559
3i C
"' 1, so liegen Zl, Z2, Z3 und Z4 in L.R(O), und nach dem Residuensatz gilt:
J
f(z)dz = 271" (Res flzl + Res flz2 + Res flz3 + Res flz4) = 0 .
8Ll.R(O)
d) Ebenfalls nach dem Residuensatz gilt
J
.
)
f(z)dz=271"z(Resflzl+Resflz2 =2m.(3-iV3 12 - 3+iV3) 12
WR
Das Ergebnis ist unabhängig von R . e) Für R > 2 gilt R 4 - R2 - 1 > 0 .
3 Ausgewählte Themen aus der Analysis
568 f) Da l~oo RL~Ll gilt, existiert lim
R-+oo
fs
= 0 und R
die Gleichung IrR j(z)dz
+ IS R j(z)dz = ~
j(z)dz, und dieser Grenzwert ist ~. Schreibt man v3
IS R j(z)dz als I!!'R x4+x;2 +1 dx (wegen der gewählten Parameterdarstellung [-R, R) -+ ([, x I-t x von SR), so erhalten wir:
f
00
X2
1f
--:---::--dx - x 4 + x 2 + 1 - J3
.
-00
Aufgabe 76
Sei p,p(x) = x 5 a)
b)
-
3x - 1 ein Polynom mit reellen Koeffizienten.
Beweisen Sie, ohne Kenntnisse aus der Funktionentheorie zu verwenden, dass p drei reelle Nullstellen hat und geben Sie drei Intervalle der Länge kleiner gleich ~, in welchen sich diese Nullstellen befinden. Dafür berechnen Sie p( -1,4) und p(l, 4) . Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes von Rouche, dass die nichtreellen Nullliegen. stellen von p im Kreisring 6 q := {z E ([ 11 < Izl
0 und q: ([ --+ ([, q(z) = Z2. a) b) c)
d)
Bestimmen Sie die Menge D := {z E ([ I q ist lokal konform in z} . Ist q : D --+ q(D) konform? Bestimmen Sie das q- Bild --+ jeder Geraden, die durch den Nullpunkt geht, --+ jedes Kreises mit Null als Mittelpunkt, --+ jeder Geraden, die parallel zu einer der Koordinatenachsen ist, --+ jeder Halbebene Ra := {z E ([ I Re z > a} , --+ jeder Halbebene Ua := {z E ([ I Im z > a} . Wie erklären Sie die Tatsache, dass die Geraden x = bund y = c sich in einem Punkt, aber deren q-Bilder sich in zwei Punkten schneiden?
Lösung: a) Bekanntlich gilt D = {z E ([ I q'(z) i:- O}. Da q'(z) = 2z gilt, hat man D = ([* = ([\{O} . b) Nein, weil jedes w E ([* = q(([*) zwei q-Urbilder besitzt. Ist w = rei
a. Dann ist q(Ua ) die Vereinigung aller Parabeln 2
2
u = ~ - b2 • Damit vermeidet man die obigen mühsamen Rechnungen.
d) Die Parabeln u = b2 - ~ und u = :i'? - c2 schneiden sich in zwei Punkten, nämlich (b 2 - c2, 2bc) und (b 2 - c2, - 2bc). Der erste Punkt ist das q- Bild des Schnittpunktes (b, c) der beiden Geraden. Der andere Punkt ist das q-Bild von (b, -c) und (-b, c), die jeweils auf den Geraden x = bund y = c liegen. 2
2
v
u
Abbildung 3.26.
Die Parabeln u = ~~ - 4 und u = 1 -
2 v4
Erklärung zu Abbildung 3.26, die für b = 1 und c = 2 angefertigt wurde: Da die Geraden x = 1 und y = 2 zueinander senkrecht sind und q in 1 + 2i lokal konform ist, sind auch die Parabeln in (-3,4) und aus Gründen der Symmetrie auch in (-3, -4) senkrecht zueinander. Aufgabe 78
a)
Begründen Sie die Existenz der Laplacetransformierten der Funktion f: [0,00[-+ IR, mit f(t) = (-l)n+I, falls t E [n -l,n[, nEIN.
572
3 Ausgewählte Themen aus der Analysis
b) c)
Bestimmen Sie die Konvergenzhalbebene dieser Transformierten. Berechnen Sie L[j] (s) für Re s > k f .
Lösung: a) Sei s E ([ mit (J = Re s > O. Dann gilt If(t)e-stl = e-a-t für jedes t ~ O. Da I ooo e-a-tdt existiert, existiert auch L[f](s) für Res> O. Insbesondere gilt k f :S 0 . b) oo f(t)dt existiert nicht, da für ~ 1 gilt:
Io
n
f
n
f (t )dt
= 1 - 1 + 1 - 1 + ... + (-1) n+ 1 = { ~
o
, falls n gerade, , falls nungerade.
Deshalb ist k f = 0 und {s E ([ I Re s > O} die Konvergenzhalbebene. c) Sei n ~ 1. Dann gilt für jedes s E ([ mit Re s > 0 :
· ",n-2 D a 11m L.Jk=O ( - l)k e -sk -- 1+1 n-+oo e
-8
f
00
L[j](s)
=
f(t)e-stdt
o
= ~s
un d 1·Im n -+ oo e -sn -- 0 ge lt en,
t1-
c101gt·.
s = s +e) e-
(1 - 2e- s 1 1 ) + e- S
S
.
Eine weitere Möglichkeit, L[f] zu berechnen, ergibt sich aus der Periodizität von f. Da 2 die (kleinste) Periode von f ist, gilt für s mit Re s > 0 :
f
f
f
2 1 2
(1 - e- 2S )L[f](s)
=
f(t)e-stdt
o
1 = -(1 s
=
0
e-stdt -
e-stdt
1
1 -s - e -2s ) e -s ) - -(e s
1 = -(1 s
e -s ) 2 .
3.2 Aufgaben für das dritte Kapitel Daraus folgt (wie erwartet) L[f)(8)
573
= s(1-~
28)
(1 - e- S )2
= sh+ee-
8s )
•
Aufgabe 79
Bestimmen Sie eine für die Laplacetransformation zulässige Funktion der Eigenschaft
L[f)(8) = 28 4 + 82
-
8 3 (8 2
f mit
98 + 9 .
+ 9)
Lösung: Man sucht reelle Zahlen A, B, C, D, E mit der Eigenschaft
A B C D8 + E -+-+-+ 83 82 8 82 +9
28 4 + 82 - 98 + 9 =----;:--;-::---,-83 (8 2 +9)
Es folgt
A(8 2 + 9) + B8(8 2 + 9) + C8 2(8 2 + 9) + D8 4 + E8 3 = 28 4 + 82 (C + D)8 4 + (B + E)8 3 + (A + 9C)8 2 + 9B8 + 9A = 28 4 + 82
-
98 + 9,
-
98 + 9.
Die gesuchten Zahlen müssen dem folgenden linearen Gleichungssystem genügen: C+ D
=2,
B+E
=0 ,
A + 9C
=1,
= -9 ,
9B
Es ergibt sich die eindeutige Lösung A = 1 , B = -1 , C E = 1. Man hat also für alle 8 E ([ mit Re 8 > 0
L[f)(8) = ~ _ ~ 83 82
Dt2 -
=9.
=0,
D
= 2 und
+ 28 + 1 82 + 9
= ~L[t2)(8) = L
9A
L[t)(8) + 2L[cos3t)(8) +
t + 2 cos 3t +
~ sin 3t]
~L[sin3t)(8)
(8) .
Die Funktion ~t2 - t + 2 cos 3t + ~ sin 3t ist also die einzige stetige Funktion, deren Laplacetransformierte 2S)ts22+9~+9 ist. Aufgabe 80
Bestimmen Sie die stetigen Funktionen fund 9 und die entsprechenden Konvergenzhalbebenen, so dass gilt:
L[f)(8) = 38 + 5 (8 + 1)3
L[g)(8)
48 2
-
138 + 13
= (8 _ 3)(82 + 1)
.
574
3 Ausgewählte Themen aus der Analysis
Lösung:
38+5 3(8+1)+2 3 2 Wegen L[te -t]() 1 E S gl·1t (S+i)3 (8+1)3 (8+1)2 + (8+1)3. 8 = (8+1)2 und L[t 2 e- t ](8) = (8;1)' ist die Funktion (3t 2 + t)e- t die stetige Funktion
f mit L[f](8) = (;~1)3
. Mit Hilfe der Partialbruchzerlegung
S~3
+ ~g!f
=
t:~3)\~~t;) wird die Funktion g gesucht. Aus A(8 2 + 1) + (B8 + C)(8 - 3) = 48 2 - 138 + 13, d.h. aus (A + B)8 2 + 8(C - 3B) + A - 3C = 48 2 - 138 + 13
folgt
= 13,
A + B = 4, C - 3B
A - 3C = 13 .
Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems lautet A Man hat
L[e 3t ](8)
= ~3 8-
' L[cost](8)
= ~1 8 +
= 1,
B
L[sint](8)
und
= 3,
C
= -4.
= ~1 8 +
.
Damit ist L[e 3t + 3 cos t - 4 sin t]( 8) = t:~3)\~~tll). Die gesuchte stetige Funk-
tion ist g(t) = e3t + 3cost - 4sint. Für die Funktion fist {8 E ([ I Re 8 > -I} die Konvergenzhalbebene, weil sie die Konvergenzebene für te- t und t 2 e- t ist. {8 E ([ I Re 8 > O} und {8 E ([ I Re 8 > 3} sind die Konvergenzebenen für sin t und cos t bzw. e 3t . Deren Durchschnitt, also {8 E ([ I Re 8 > 3} ist die Konvergenzebene von g . Aufgabe 81
Lösen Sie das Anfangswertproblem
y" - 7y'
+ 6y = 24e 3t
,
y(O)
=1
,
y'(O)
=8
mit Hilfe der Laplacetransformation. Lösung: Wenden wir die Laplacetransformation auf beide Seiten der Differenzialgleichung an, so erhalten wir mit der Bezeichnung Y = L[y] und unter Benutzung der Beziehungen
L[Y'](8) = 8L[Y](8) - y(O)
und
L[Y"](8) = 82 L[Y](8) - y(O)8 - y'(O)
die Gleichung 82 Y(8) - y(O)8 - y'(O) - 78Y(8) äquivalent dazu
Y(8)
(8 2 -
=
78 + 6)Y(8) = 8~3
82 - 28 + 21 (8-1)(8-3)(8-6)
+ 7y(O) + 6Y(8)
=
+ 8 + 1, d.h.
= _2_ _ _4_ + _3_ 8-18-38-6
.
/:'3
und
3.2 Aufgaben für das dritte Kapitel
575
Man kann deshalb schreiben L[y](s) = L[2e t - 4e 3t + 3e 6t ](s). Wegen des Eindeutigkeitssatzes ergibt sich daraus die Lösung des AWP:
y(t) = 2e t - 4e 3t
+ 3e 6t .
Aufgabe 82
Lösen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation die Anfangswertaufgabe
y(4)
+ lOy" + 9y = sin2t -
3cos4t
,
y(O)
= y'(O) = y"(O) = y'"(O) = O.
Lösung: Mit der Differenziationsregel erhalten wir für die gesuchte Lösung y der Anfangswertaufgabe
= S2 L[y](s) - sy(O) - y'(O) = S2 L[y](s) , L[y(4)](S) = s4L[y](s) - S3 y(0) - S2 y'(0) - sy"(O) -
L[y"](S)
Mit L[sin2t](s)
= s4~4
ylll(O)
= s4L[y](s)
.
und L[cos4t](s) = s2~16 erhält man aus der gestellten + lOs 2 + 9)L[y](s) = 82~4 - s2~16 und damit
Anfangswertaufgabe (S4
+ 10s 2 + 9
weil s4
(uH)(utl)(U+9) = führen zu
L[Y] () s = = L
[112
1 12
1
(S2
+ 16)(s2 + 1)(s2 + 9)
115
2 15
,
+ 1)(s2 + 9) gilt. Die Partialbruchzerlegungen
= (S2
~~1 +:!IT + ~ und (U+16)(U~1)(U+9)
8 2 +1
sin t -
3s
2
+ 4)(S2 + 1)(s2 + 9)
L[y](s) = (S2
1
8 2 +4
sin 2t +
+ 201
1
8 2 +9
lo sin 3t -
-
1 40
410
cos t +
8 8 2 +1
+ 563 536
=
U~~6 + i7h + ~-t8
8 8 2 +9
cos 3t -
-
1 35
315
cos 4t] (s).
s2+16 8
Nach dem Eindeutigkeitssatz erhalten wir die Lösung
y (t)
= -121 sin t -
1. 1. 1 3 1 - sm 2t + - sm 3t - - cos t + - cos 3t - - cos 4t . 15 60 40 56 35
Führen Sie zur Bestätigung die Probe durch! Aufgabe 83
Lösen Sie mit und ohne Hilfe der Laplacetransformation das folgende Anfangswertproblem:
ylll-2y"+y
= sint-7cost,
y(O)
= Yo = -2,
y'(O)
= Yb = 1,
y"(O)
= y~ = 2.
3 Ausgewählte Themen aus der Analysis
576 Lösung:
Aus der allgemeinen Formel L[y(k)](s) = sk L[y](s) - yosk-1 - ybsk-2 - ... y~k-1) ergibt sich in unserem Fall
+ 2, S2 L[y](s) + 2s - 1 , s3 L[y](s) + 2s 2 - S -
L[y'](s) = sL[y](s) L[y"](s) = L[y"'](s) =
2.
Deshalb erhält man durch Anwendung der Laplacetransformation auf die gegebene Differenzialgleichung s3L[y](s)+2s 2 -s-2-2s 2L[y](s)-4s+2+L[y](s) = 82~1 -782~1; daraus folgt L[y] (s) = _2834 +5823 -28 2 -28+1. Da s3 - 2s 2 + 1 = (s -1) (S2 - s -1) 2 (8 -28 +1)(8 +1)
und -2s 4 + 5s 3 - 2s 2 - 2s + 1 = (-2s + l)(s - 1)(s2 - S - 1) gelten, hat man L[y](s) = ~S~V = L[sint](s) - 2L[cost](s) . Die gesuchte Lösung ist also y (t) = sin t - 2 cos t . Die charakteristische Gleichung der linearen, homogenen Differenzialgleichung ylll - 2y" + Y = 0 ist A3 - 3A2 + 1 = O. Die Nullstellen dazu sind Al = 1 , A2 = 1±2V5 ,A3 = 1-2V5. Sucht man eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung mit dem Ansatz 0: sin t + ß cos t, so erhält man aus -0: cos t + ß sin t - 2( -0: sin t - ß cos t) + 0: sin t + ß cos t
d.h. aus (3ß - 0:) COS t+ (ß +30:) sin t Verlangt man, dass die Funktion
= sin t -
= sin t-7 cos t die Werte 0: = 1,
7 cos t ,
ß
= -2.
den Anfangsbedingungen genügt, so erhält man aus
das homogene Gleichungssystem
1 1 Wegen det ( 1 A2 1
A~
1) A3 = (1 - A2)(1 - A3)(A3 - A2) :j:. 0 hat man nur die A~
triviale Lösung a = b = c = O. Deshalb hat man (erwartungsgemäß) wieder y( t) = sin t - 2 cos t als Lösung des gestellten Anfangswertproblems.
3.2 Aufgaben für das dritte Kapitel
577
Aufgabe 84
Ist a > 0 und ist f eine für die Laplacetransformation zulässige Funktion, so ist die Lösung des Anfangswertproblems
+ a2 y = f(t) , y(O) = Yo , y'(O) = Yb
y" gegeben durch
J t
y(t) = -1 a
y' sin at + Yo cos at . f( r) sin[a(t - r)]dr + ~ a
o
Verwenden Sie dieses Ergebnis und die Formeln
( (
a
b
at.
at
a2 + b2 e sm bt - a2 + b2 e cos bt a at b at· a2 + b2 e cos bt + a2 + b2 e sm bt
) ) '
= e
'
= e
at .
sm bt ,
at
cos bt ,
um das folgende Anfangswertproblem zu lösen: y"
, 3 Yo = 5".
1 5
+ Y = e3t
Yo =-
Lösung: Unter Benutzung des Additionstheorems für die Sinusfunktion ergibt sich aus dem zitierten Ergebnis
! t
y(t) =
e3T sin(t - r)dr +
o
!
~ sint + ~ cost
t
= sin t
e3t cos rdr - cos t
o
I0 + t
-cost ( -e 3 3T sinr 10
.
et sin rdr +
~ sin t + ~ cos t
0
3 e3T cos r = sin t ( 10
= sm t
! t
(3
3t
It
0
3
1 e3T sin r 10
I0 t
--Oe 1 3 Tcosr 1
1
3t.
10 e cos t - 10 + 10 e sm t
)
3 sin t + 5"
)
It ) 0
+
+-cost 1 5
5"3.sm t
3 Ausgewählte Themen aus der Analysis
578
- cos t ( -3e 3t sin t - -1e3t cos t 10 10 1 3t = -e
10
+ -1) + -1 cos t 10
5
3. 1 + -smt + -cost.
10
10
Aufgabe 85
Seien a E IR* und nEIN. Stellen Sie mit Hilfe der Faltungsregel die Funktion F, F(t) := ear(t - T)ndT explizit, d.h. ohne das Integralzeichen dar.
J;
Lösung: Für s E [ mit Re s
L[F(t)](s)
> 0 und Re(s - a) > 0 gilt
1 n = L[e at * tn](s) = L[eat](s) . L[tn](s) = . -+·1 S - a sn l
.
Man bestimmt nun die Koeffizienten A, BI, B 2, ... ,Bn+1 der Partialbruchzerlegung (S
-
1 A BI B2 = - - + - + -2 a ) Sn +1 S - ass
Bn
B n+1
+ ... + -Sn + -+1 Sn
.
Aus 1 = A sn+l+B 1(s-a)sn+B 2 (s-a)sn-l+ ... +Bn (s-a)s+B n+1(s-a) folgt A + BI = 0 , -aBI + B 2 = 0, ... , -aBn + B n+! = 0 , -aBn+1 = 1 BI = - o}+l , A = a n\l. Es gilt und daraus B n+1 = -~ , B n =
--b, ... ,
n+l 1 1 1 1 LFt s -nI. [ - . s-a - - - t;ak - . sn-H2 [ ()]()aMI
1 1
_ I _1_ at _ n+l ~ . 1 n-k+l -no [ a n+1L[e ](s) t;a k (n_k+l)!L[t ](s)
t;
[ at n+l a n-k+l n-k+l _ n.I - an+! L e (n _ k + I)! t
1(s) .
Der Eindeutigkeitssatz ergibt F(t) = a~:Ll (e at - L~=o (~"--k;! t n - k ). Aufgabe 86
Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem mit Hilfe der Laplacetransformation: Y~
= -6Y2
, y~
= -Yl + Y2
, Yl(O)
= YI0 = 5,
Y2(0)
= Y20 = 0 .
3.2 Aufgaben für das dritte Kapitel
579
Lösung: Durch die Anwendung der Laplacetransformation erhalten wir für Y1 = L[Y1] und Y2 = L[Y2] das lineare Gleichungssystem
Y2 (s) = - 8,-58 _ 6 . Aus den Partialmit der Lösung Y 1 (s) = 3~~~6 5(8-1) 3 2 Y; ( ) _ -5 b ruch zer Iegungen Y;1 ( s ) -- (8+2)(8-3) - 8+2 + 8-3' 2 S - (8+2){8-3) 8!2 - 8~3 erhält man Y 1(s) = L[3e- 2t + 2e 3t ](s), Y 2(s) = L[e- 2t - e 3t ](s) und daraus wegen des Eindeutigkeitssatzes Y1(t) = 3e- 2t + 2e 3t , Y2(t) = e- 2t - e3t . Führen Sie die leichte Probe durch! Aufgabe 87 Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem mit Hilfe der Laplacetransformation: Y2 - 3Y3 Y~ = y~
,
Y3
= =
-Y1
+
2Y2
- Y3
Y2
+4Y3
Y1
YlO = 1 , Y20 = 2 , Y30 = 0 .
Lösung: Mit Yj(s) = L[Yj(t)](s), j = 1,2,3 ergibt sich aus dem homogenen System von linearen Differenzialgleichungen das lineare System
sY1(s) Y 1(s)
+ (s -
Y2(s) +
3Y3 (s) = 1
2)Y2(s) +
Y3 (s) = 2
Um die Cramersche Regel anzuwenden, berechnen wir die Determinanten
s 1 -1
-1 s-2 1
3 1 s-4
= s(s -
2)(s - 4)
= (s -l)(s 1 2 0
-1 s-2 1
3 1 s-4
= (s -
+ 4 + 3(s -
2) - s + s - 4
2)(s - 3) ,
2)(s - 4)
+6 -
1 + 2(s - 4) = S2 - 4s
+5 ,
580
3 Ausgewählte Themen aus der Analysis 8
1 -1 8
1 -1
1 2 0
3 1 8 -
4
= 28(8 - 4) - 1 + 6 - (8 - 4) = 28 2
-1 1 8 - 2 2 = 2 + 1 + 8 - 2 + 28 = 1 - 8 . 1 0
Deshalb hat man für alle
Yl(8)
98 + 9 ,
-
=
E ([ mit Re 8
82 - 48 + 5 (8-1)(8-2)(8-3)
= L[e t - e2t y;2 (8 ) -_
8
>3
= _1_ _ _1_ + _1_
8-18-28-3
+ e3t ](8) , 98 + 9
28 2 _ 28 - 3 _ 1 1 ---+-(8-1)(8-2)(8-3) (8-1)(8-2) 8-18-2
= L[e t + e2t ](8) , 1- 8 ( ) Y3 8 = (8 _ 1)(8 _ 2)(8 _ 3)
1
= 8_
1 2 - 8_ 3
= L[e
2t
3t - e ](8).
Die Lösung des Anfangswertproblems ist also
Yl(t)
= et -
e2t
+ e3t
, Y2(t)
= et + e2t
, Y3(t)
= e2t _
e3t .
Aufgabe 88 Bestimmen Sie jeweils die Fouriertransformierten von i)
f :
f ist durch Abbildung 3.27 gegeben.
-5 -4 -3 -2 -1
1 2
3
4
5
Abbildung 3.27. Gesucht ist die Fouriertransformierte von
ii)
sin 3t + ~ f : IR -+ IR , f(t):= { sin 3t + ~
o
- t +t
f
für 0 :S t :S ~ , für - ~ :S t :S 0 , sonst.
Lösung: i) Wir gehen von der Definition der Fouriertransformierten aus; danach hat man
581
3.2 Aufgaben für das dritte Kapitel
J
j(W) =
f(t)e-iwtdt =
J
1 = -iw
-1
e-iwtdt + 2
-5
-00
=
J -3
00
[1e- iwt
3 -5
iw [COS 3w + i sin 3w -
e-iwtdt + 2
-2
+ 2e- iwt
J
J
1
3
2
5
e-iwtdt +
e-iwtdt
1-1 + 2e- iwt 1 + e- iwt 1 2 1
-2
5 3 ]
(cos 5w + i sin 5w) + 2 (cos w + i sin w)
- 2 (cos 2w + i sin 2w) + 2 (cos 2w - i sin 2w) - 2 (cos w - i sin w) + (cos 5w - i sin 5w) - (cos 3w - i sin 3w )] 2
= - [sin 5w - sin 3w + 2 sin 2w - 2 sin w1. w ii) Mit den Funktionen g, h : IR -+ IR,
g(t) = {sin3t falls Itl ~ j , o sonst
h(t) = { 1 -
und
~Itl falls Itl ~ j ,
o
sonst
lässt sich f als Summe von g und j. h darstellen, d.h. f(t) = g(t) + jh(t) für alle t E IR. Dabei ist h der Dreieckimpuls der Breite 231f (d.h. T = j ). Nach den Regeln über Addition und Ähnlichkeit folgt für w =J 0
F(f)(w) = F(g)(w) +
'37r F (h)(w)
1 F (sint) = 3
(w) '3 + '3 F (h)(w) 7r
(7rw) +-sm 4 . (7rW) -
6is i n =-w2 - 9 3
Für w = 0 hat man F(f)(w) = ~2
2
w2
,
da
6
J!1!. g(t)dt = 3
0 und
J!1!. h(t)dt = 3
j
gilt. Aufgabe 89
Bestimmen Sie mit Hilfe der Fouriertransformation die stetige, ungerade und über IR absolut integrierbare Funktion f : IR -+ IR mit der Eigenschaft
J 00
f(x)
o
sin(~x)dx = {~+O
e
für 0 ~ ~ ~ 1 , für ~ > 1.
582
3 Ausgewählte Themen aus der Analysis
Lösung:
Mit
f ist auch
i
ungerade, und es gilt 00
i(~) = /
00
f(x)e-ieXdx
= -2i / 0
-00
= {
i
-2i(~ + e)
o
für 0 für ~
~~~
00
= 2~
3. 7r
=
iw sin(x~)d~
= ~ / (~+ e) sin(x~)d~ 0
[_(~ + e) cos(x~) je=1 + /1 (1 + 2~) cos(x~) d~l e=o
X
3.
[-2 cos x 7r x
2 7r
1
0
-00
=
"# 0
00
i(~)eixed~ = ~ /
/
1,
> 1.
ist absolut integrierbar über IR. Es folgt für x fex)
sin(~x)dx
fex)
+ (1 +
2~) sin(x~)
3x sin x - 2x2 cos X
Den Grenzwert von l'Hospital:
x
o
~
je=1 _ 2/1sin(x~) d~l e=o o ~
+ 2 cos x -
2
f im Nullpunkt berechnet man mit der Regel von de
· f() 2 1· 3xsinx - 2x 2 cosx + 2cosx - 2 11m x = - 1m - - - - - - - ; , - - - - - -
x~
7rX~
~
2 1. 3 sin x + 3x cos x - 4x cos x + 2x 2 sin x - 2 sin x = - 1m - - - - - - - - " . . . - - 0 , - - - - - - - - - - 7r x-tO 3x 2 = ~ lim sin x - x cos x 37r x-tO x2
+ 2x 2 sin x
2 cosx - cosx + xsinx + 2x cosx + 4xsinx = -lim ---------------37r x-tO 2x 2
1 lim (5 sin x - 2x cos x) = 0 . 37r x-tO
= -
Deshalb ist die gesuchte Funktion
3.2 Aufgaben für das dritte Kapitel
583
~ . 3x sin x - 2x 2 co: x + 2 cos x - 2 f~)=
{ w
x
o und ist sowohl stetig als auch ungerade.
, falls x
i- 0 ,
, falls x = 0 ,
3.3 Erster Test für das dritte Kapitel Aufgabe 1
Betrachten Sie die Raumkurve x : IR -+ IR 3 , x (t) = (t 2 - 1, t 2 + 1, ~t3)T. Berechnen Sie a) b) c) d)
die Bogenlänge zwischen (0, 2, _~)T und (0, 2, ~)T, das begleitende Dreibein in x (t), die Krümmung und die Torsion im Punkt x (t), falls x' (t) Ist diese Kurve eine ebene Kurve?
i- 0 gilt.
Lösung:
a) Man hat x(t) =
(~~ ~~) t 1. 3
, x'(t) =
3
(;~) t 2
, Ilx'(t)11 =
Itlv't2 + 8.
Die Zuordnung t r-+ ~ t 3 definiert eine streng monotone Funktion; deshalb ist die dritte Komponente von x und damit x selbst injektiv. Insbesondere sind -1 und 1 eindeutig bestimmt mit x(-l) = (0,2,_~)T, bzw. x(l) = (0, 2, ~)T. Die gesuchte Bogenlänge wird deshalb wie folgt berechnet:
J~lltlv't2 + 8 dt = - J~1 tv't 2 + 8 dt + Ja1 tv't 2 + 8 dt = _~(t2 + 8)3/2 1~1 +~(t2 + 8)3/216= -~(16)2-27)+ ~(27-16)2)=18 - 332)2 .
>
b) Die weiteren Rechnungen werden für t fen sie entsprechend. Man hat:
t(t) =
IIx'~t)II
x'(t) =
°durchgeführt; für < °verlaut
~(2, 2, t)T ,
l' (t) = (-2t(t 2 + 8) -3/2, -2t(t2 + 8) -3/2, 8(t 2 + 8) -3/2f =
n(t)
1
(v't 2 +
= 1Jt'~t)II
T
8)
3(-2t,-2t,8) ,
1'(t)
= )2~(-t,-t,4)T, 1 2 t2
2
2
T
1 y2
T
b(t) = t(t) x n(t) = )2Jt2+8(8 + t , -8 - t ,0) = 1 IR , t H> (t, 0) , C : [0, *f] -> IR , 6 H> 2
2
x
2
(cos0,sin IR , t H> ( - ^ ( 1 - *)> 75(1 ~ *))• 2
M
a
n
h a t :
3
y(x + y)dx + xy dy
= Jtdt
1 = 2 1
+ f ^fitt" ) 1
sin 0 0 — -2 2
+
1_
3TT
1
_
2~4~T~4
+
sin 20 \ —
1 3
+
+
J
2 dt +
1 " 3 J
67i
+
_
d0 (cos0 + sin0)(-sin0) + cos 0sin0 2
C
0
3
.
S
Ö
+
0 _
6\/2~3
1 +
1
6>/2
(* " l )
3
3TT
3\/2
c) Das beschränkte Gebiet G, das von C berandet ist, lässt sich in zwei Gebiete G\ und G zerlegen. G\ ist der Durchschnitt von G mit dem ersten Quadranten, G ist der Durchschnitt von G mit dem zweiten Quadranten. Beide sind schlicht über der x-Achse, weil gilt: 2
2
Gi = {(x,y)
G IR | 0 < x < 1,0 < y < \ / l - x } ,
T
2
G = { ( x , y ) G IR | - 4 = < * < 0, V2 T
2
2
2
< y < y/l-x }
Gi und G2 sind auch über der y-Achse schlicht, da
2
.
3.3 Erster Test für das dritte Kapitel Gi = {{x,y)
T
e IR | 0 < y < 1, 0 < x