Zahlentheorie fuer Einsteiger

Andreas Bartholomé | Josef Rung | Hans Kern Zahlentheorie für Einsteiger

Aus dem Programm

Mathematik für Einsteiger

Algebra für Einsteiger von Jörg Bewersdorff Algorithmik für Einsteiger von Armin P. Barth Diskrete Mathematik für Einsteiger von Albrecht Beutelspacher und Marc-Alexander Zschiegner Finanzmathematik für Einsteiger von Moritz Adelmeyer und Elke Warmuth Graphen für Einsteiger von Manfred Nitzsche Knotentheorie für Einsteiger von Charles Livingston Stochastik für Einsteiger von Norbert Henze Strategische Spiele für Einsteiger von Alexander Mehlmann Zahlen für Einsteiger von Jürg Kramer Zahlentheorie für Einsteiger von Andreas Bartholomé, Josef Rung und Hans Kern

www.viewegteubner.de

Andreas Bartholomé | Josef Rung | Hans Kern

Zahlentheorie für Einsteiger Eine Einführung für Schüler, Lehrer, Studierende und andere Interessierte Mit einem Geleitwort von Jürgen Neukirch 6., überarbeitete und erweiterte Auflage STUDIUM

Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

Dr. Andreas Bartholomé und Josef Rung unterrichten am Hans-Leinberger-Gymnasium in Landshut. Anschrift: Jürgen-Schumann-Straße 20, 84034 Landshut Dr. Hans Kern unterrichtet am Schyren-Gymnasium in Pfaffenhofen/Ilm. Anschrift: Niederscheyerer Straße 4, 85276 Pfaffenhofen Online-Service: http://www.andreasbartholome.de

1. Auflage 1995 2., überarbeitete Auflage 1996 3., verbesserte Auflage 2001 4., durchgesehene Auflage 2003 5., verbesserte Auflage 2006 6., überarbeitete und erweiterte Auflage 2008 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg+Teubner Verlag |GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008 Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch | Susanne Jahnel Der Vieweg+Teubner Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0440-2

    

                 

    

          

    

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    (x, y) y2 = xy + x2    y > x   (y − x, x)          x2 + xy − y 2 = 0

(y − x)2 + x(y − x) − x2 = (−1)(x2 + xy − y 2 ) = 0.

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G(x) = ±1 2

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xm ym

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2 x2m ± 1 = ym − xm ym

x2m ± 1 = ym (ym − xm ) ym > xm

 



ym − xm xm



             

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0 !   ( *   /   √ √ √  3  5  a  a  1      

    2 3   -  x2 + xy − y 2 = 2   N2  45    -  x2 + xy − y 2 = 3   N2  45    -  x2 + xy − y 2 = 5   N2  * 45  6    $ 7   /   , $        45        3  -  x2 + xy − y 2 = d  d ∈ N   * 45      

   45 % 8  !        x   7+ 9  y      !( 03 /    ) +     !   $) !      

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 /       , $     x  45   -  x2 −2y 2 = 7 y        

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* 45    N2   - 3 x2 − 2y 2 = 2%

: -   ;  H(x, y) = x2 − 2 · x · y − y 2 



           H(x, y) = 1   N2                            H(x, y) = d  d ∈ N               x2 − axy − y 2 = 1          a ∈ N

        

                          !       "     #$   % prod x y prod + x · y  &   &     0 13 21 ? '     13 · 21 (   13 13 20 ?   )       *+ 13 26 10 ?  ,    !  * ! 13 52 5 ? ,  &    !  65 52 4 ?  &   "     ' 65 104 2 ?          + 65 208 1 ?       "      273 208 0 ?          + 273    ( ( -  . 21 · 13 /    . 0 -&     "  x, y   1    2  "  prod       - 0 3 2 y   !     prod  %  , x     %  , y  1     x    4 2 y  !    x  2     y   2 ,  5            6 !   y = 0   2  "  prod     '    %   !         '  7  6  8   )  9   "    1   &:   prod+x·y    . 0+13·21 = 13+13·20 = 13+26·10 = 13 + 52 · 5 . . . = 273 + 208 · 0!  '  16  &     ;<        )&  6      ,    !        !

                                     !  "  # $ %      !  "   &   '(

  ) "  &   * !        + aemul(a, b) ) +

• aemul(a, 0) = 0   a ∈ N •   b   ,    aemul(a, b) := aemul(a, b − 1) + a •   b   ,    aemul(a, b) := aemul(a · 2, b/2)  )      b ∈ N aemul(a, b) !& "     a ∈ N aemul(a, 1) = a·1 = a   &     , b    -    * !      )      !  , b > 0 . /+ b    )   aemul(a, b) = aemul(a, b − 1) + a = a · (b − 1) + a = a · b "   0 (b − 1) < b 1 /+ b    )   aemul(a, b) = aemul(a · 2, b/2) = a · 2 · (b/2) = a · b %   b/2 < b     -    ,    "   2  !+                                       2, 3                    !    "  #       $              1, 2, 3       % &      F : R2 → R2     ' %  (      

              

        )   "        )  )"      "   )   )         ) *      "    +      

,  )            +



     

         

 

                                                               

  

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53 52 26 13 12 6 3 2 1 0

              

                  

+ ,    -#$  &   . /0 32 · 31' /0 31 · 32' /0 172' / 0 111 · 1231 1     2 '  3     4  3   a, b, c  %  a+ b ·c 5     &      6       7   4    #$  &      5    8  ' %   &     0  1'          &*  '      ,    &  0 xy = 37  ,  73  418  0     2     0 ,   9     53



    

                              

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                                   50

                        !"      #$%&'%# (   )               )      *          +   !, - *  a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ e > 0 

 ,    (a, b, c)  (c, d, e)  +       .  /0 1 a ≥ b + c    2 +  

2

2

2

      

                                 1 = 12 ;

1 + 3 = 22 ;

1 + 3 + 5 = 32 .

         (∗) 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 .

      n       n2                   !"   #         $!   

% U = {n ∈ N|1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 }.

&    ' (        '   U     ) " U        m   m > 1   * m − 1   *  ) 1 + 3 + . . . + (2 · (m − 1) − 1) = (m − 1)2  | + (2m − 1) 1 + 3 . . . + (2m − 1) = (m − 1)2 + 2m − 1 = m2 

            m         U              N              !     "        G   #       $   %       &       '     %    0         

 %       0 = 02   ( )      * 1, 2, 3, 4         )   +   ,  -   * +    %               ! .   5 /      0   #    1              /   " " 2 3 4 5 ) 4678   1  # %   # )

* ,/ 9 120    1, 2, 3, 4  5: $ #      120    %     ;        20  24 . . .   $ # ! .      * "     120   %                  '     ?)     #   +      @     ##  g > A    %      (  ?    ?> %       '             ' 

  +   @        g     + 

1 + 3 + . . . + (2 · g − 1) 1 + 3 + . . . + [2 · (g + 1) − 1]

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g2 (g + 1)2 .

| + (2g + 1)

'      #   %       *      "           ) #    %  g ∈ G      g + 1 ∈ G  ?   #  G    +>  0 ∈ G      0    "  #           )   N       ,# - %  "    G = N       !#  +B      

 #  #   5n + 10   &  n ∈ N  2n > n2    &  n ∈ N  2n > n2 + n   &  n ∈ N  2n > n3    &  n ∈ N  2n > n4 . &  k  &    ! "   2n > nk & &  n ∈ N ,   n (  -   '  + 

n(n+1) 2

+ 1 .



    

 2        3  4          3 4, 5, 6                  n          !   "#   $  !   % &  n  '( ) *  +  %$$   n   ,      -   1  # 

 x $  0 < x < 1  

 n  1 + x + x2 + ... + xn < 1−x  '. % * n    /0        !"  !  

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b  (  

a  ! )    c ∈ N  b = c · a

                

 1            0               a|b  b|c 

 a|c     r, a, b ∈ N  r|a  r|b 

r|(a + b)     r, a, c ∈ N  r|a 

 r|(ac)

  *               +    , $ Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . } *   , $ )    

  2    

 

   2 · j  -   $  

   2 · k + 1 (j, k ∈ N)   .

      



       x  (1+x+x2 +x3 +. . . xn )·(x−1) = xn+1 −1 

          1  1000   1  n

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0     q   r  N   a = qb + r  r < b    q  r   

*  Vb = {s · b|sb ≤ a# s ∈ N} =   + 

 %   " b ≤ a Vb

   #  0 ∈ Vb   Vb  # ,      - *  qb  ) qb ≤ a < (q + 1)b   0 ≤ r := a − qb < (q + 1)b − qb = b.

 ! *   ) a = qb + r = q1b + r1  . r1 = r#   q1b = qb    q1 = q      

    r1 > r  )



    

b > r1 − r = (q − q1 )b > 0    q > q1    (q − q1 )b > 1b    2                             a = bq + r r < b  12121212 : 11 

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     n       n = 11q + r  0 ≤ r < 11   n2 = (11q + r)2 = 121q2 + 22q · r + r2 = 11m + r2 = 11k + s   s     r2     11                 0, 1, 4, 9, . . . , 81, 100     11    !  "#     $ 0, 1, 3, 4, 5, 9. %        &'     (   

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a = qb + r ⇐⇒ r = a − q · b

()*+

  ,  )*  ggT(a, b)      !  b  r  -  ggT(a, b) ≤ ggT(b, r)    ggT(b, r)     !  a  b   ggT(b, r) ≤ ggT(a, b) '    ggT(a, b) ≤ ggT(b, r) ≤ ggT(a, b) -  ggT(a, b) = ggT(b, r)    .    %/ 0%  0  &  ggT(b, r) 1        2 b = 0   ggT(a, b) = a  0  !            0 0 -   = 0      "#     '  3    4

     '   !  0    3 4 r(0) := a, r(1) := b 2 r(n) = 0   r(n−1)    "#      0   3   r(n + 1)      4 r(n − 1) = q(n − 1) · r(n) + r(n + 1) - 0      %    {r(n) = 0|n ∈ N} &     '  r(n + 1)     0  &4

r(0) = a = q(0) · r(1) + r(2) = q(0) · b + r(2) r(1) = q(1) · r(2) + r(3)   = r(n) = q(n) · r(n + 1) 5%   i ∈ {0, 1 . . . , n}  ggT(r(i), r(i + 1)) = ggT(a, b)   r(n + 1) = ggT(a, b). 6  4                                            •    •    

         •

¿

    

                                         a  b  



                    ! " #          

 ! "##$#%&'( $$)%$# &($ (*"( #'%# %("

ggT(955354721, 330435) = 2891 · 330435 + 67136 = 4 · 67136 + 61891 = 1 · 61891 + 5245 = 11 · 5245 + 4196 = 1 · 4196 + 1049 = 4 · 1049 + 0

  1049 = ggT(955354721, 330435)     a     b = 0             b  a mod b        ! "   #    $     % &  $' ($ )* + , % - )  " % - . /0 $ 1    2       3    4   5!  $     4   1! !      ! !    64 7     8   % 1 9 %   "      !     4  ! !   5. :      ; &)

   +   ,   ggT  -      . ! /0 10081 8401

/ 0 4811 17551

/0 29401 1617

         -   2         &( 34        . ! 3381821 48529591 /0 / 0 17759 6186818 &'

  x ∈ Z (x = 3) 1  (x − 3)|(x3 − 3)

&$

 -  n ∈ N /   -   5    0 /0 ggT(n, 2n − 1)1

/ 0 ggT(2n − 1, 2n2 − 1).

&% +        6   7         2     20   8  1    ggT(a, b)    1

¿

    

          r(20) = 1 · 1 + 0

    a, b      ab  20            !"    a, b  # # $    200    %  2  ggT(a, b)   1   a, b      100  #  #    &    #      ggT(a, b)  '  a, b   !( )  ggT   $     # &  # #%  a  b  #   *  *       +  b = 12 +   a &   1, 2, 3 . . . *       &   ggT  #  !! ,- . -   n #  -   an , bn&   n *     &    $     ggT  #                Z             

   a = 15         b = 42    !   "         !      1   #     $ % &     '  $ % 2 · 42 + 15 = 99     (  )       "  #  *  !+  ,# -    *     .      +      * (       #  '( 27 = 42 − 15    42 − 3 · 15 = −3 " % /   0+           "1       !  . x = 42 · a + 15 · b     a, b ∈ Z   1 2 x   )3  ! 3    100             3  3        )3  ! 3       42   15   '         2  $  %     & $  % 3   ggT(15, 42) 4    $      +  $ !      3  %  a, b ∈ Z aZ = {a · x|x ∈ Z}   aZ + bZ := {a · x + b · y|x, y ∈ Z} "3  %

!/  # 10 ##     0 4Z& 7Z& 4Z + 7Z& 4Z + 4Z& 8Z 1   .  $  -      2

        

¿

    d = ggT(a, b)    aZ + bZ = dZ          d = ggT(a, b)        aZ + bZ ⊂ dZ   dZ ⊂ aZ + bZ         a = d · r  b = d · s   r  s  Z   a · x + b · y = d · rx + d · sy = d · (rx + sy) ∈ dZ   x, y ∈ Z 2)                !

 ! !"   #   ggT(a, b)  $   a = b · q1 + r1     %     & ' rk    '   aZ + bZ   ( r1 = a + (−q1 ) · b       ) rn−1 = qn · rn + d.  *  "  ! k   rk−2 = a · x2 + b · y2 , rk−1 = a · x1 + b · y1 .   rk−2 = qk · rk−1 + rk 

rk = (a·x2 + b·y2 )− qk (a·x1 + b·y1 ) = a·(x2 − qk x1 )+ b·(y2 − qk ·y1 ) ∈ aZ + bZ. +       (    '  ggT(a, b)  aZ + bZ  !!     % aZ + bZ = cZ    c = ggT(a, b)   

!    % d = ggT(a, b)   aZ + bZ = dZ ,  cZ = dZ    !  c ∈ dZ  d ∈ cZ + !   e ∈ Z   c = d · e

  e   d = c · e  +  c = d · e = c · e · e    e = ±1 ,   c  d "     e = 1   d = c 2

      

c = ax + by    a, b, c          a  b   c 

, c = a · x + b · y   x, y ∈ Z    d = ggT(a, b)  -  a  b   -  c %    d  -  c  !   s ∈ Z  c := d · s  !  x1 , y1 ∈ Z  d = a · x1 + b · y1     c = d · s = a(x1 s) + b(y1 s) 2

    

  



ggT(a, b) = 1

 

    x, y ∈ Z   ax + by = 1.

d  ggT(a, b) 1 = ggT(x, y).

  

x, y ∈ Z



a = dx



b = dy

  ggT(a, b) = 1   a   b · c   a   c





    

  ggT(a, b) = 1     a  b       a · b   c                       ggT       x, y  Z  1 = a · x + b · y     !  c"    # c = axc + (bc)y  $      a   %   c  a       c = ad = be &' ! d, e ∈ Z %(  1 = ax + by &' ! x   y     !  )     c"     !# c = axc + byc = axbe + byad = ab(xe + yd). 2   a, b"  ggT(a, b) = 1 (     *      x   y "  d = xa+yb + &'  '     "    '  ,   %     ,  - .      &  /   0 &   a   b * '  $ &'  '  .!  %   a   b  a   b     '     x   y  12  # a = 1 · a + 0 · b   b = 0 · a + 1 · b 0 /    &  (   3 x   y    #

Dividend = xalt · a + yalt · b; Divisor = xneu · a + yneu · b Dividend = q · Divisor + Rest. Rest = (xalt − q · xneu) · a + (yalt − q · yneu) · b.  !  .  xneu := xalt − xmitte · q 4 yneu := yalt − ymitte · q; xalt := xmitte4 yalt := ymitte; xmitte := xneu4 ymitte := yneu; aalt := amitte4 amitte := aneu;    !  $ &'    .    &'  $  !   $    #





53 29 24 5 4

29 24 5 4 1

   1 0 1 −1 5

0 1 −1 5 −6

   0 1 −1 2 −9

1 −1 2 −9 11



1 1 4 1 4

   #     %   1 = 53 · (−6) + 11 · 29

24 5 4 1 0

        



                  a, b   ggT(a, b)      x, y    

ggT(a, b) = a · x + b · y                                                !"            

#  $

     % 



 !     &       1   ½ ' (      )      *          +         

 

    ! "# $%   &%'   ( &%'  )   * + )*  ,  - ! .$ ($  "$ $  ,  ) $/# ' '      0 '

 )' 0 )

$ 1 ) ' (%'    0

 1 1 '$ '    '    ' * 1 

)  )' * ) 1

'  )' )   ) ) '   

' ' ' )'

,  ' .    ggT           a  b      x  y  

ax + by = d   /0 60, 35 1

/0 632, 547

/0 455, 247

/0 16065140, 50883872

0   - 2  2    x     g(x) = x4 + 1  f (x) = x2 + x + 1     0 .   ,3  & x a(x)  b(x)   

1 = f (x) · a(x) + g(x) · b(x) 2  x 

½

          



    

   a, b                     a ! b   "#  

a·b .        a  b   kgV (a, b) = ggT(a, b)

 d = ggT(a, b)     x ! y   a = d · x ! b = d · y    x ! y  $  a d· b = d · x · y    a ! b       ! % z = ae = bf = dxe = dyf.

 x ! y    y   e     h   % 

z = (d · x · y) · h =

a·b d



· h.

$  &     a ! b !   a d· b

2

$!% '( ) % * ggT(m, n) = 1   xn + yn = z m +,! x, y, z ∈ N "- % ) !  . m = n + 1 !      / # !0 '1 # )    n ∈ N   (n + 1)|(n2 + 1) #  a ∈ N 2       (n + a)|(n2 + a) #  a ∈ N 2       (n + a)|(n2 + na + a2 ) '3 )     !  "# ggT(2n + 1, 9) "# ggT(2n + 1, 27) "# ggT(2n + 1, 3m) ' % .      ggT(n2 − n + 1, 3n3 + n2 + n + 2) = 1. '4 # )  ggT(X + 1, X n + 1)  $5  X # )  ggT(X 2 + 1, X n + 1)  $5  X ! n # )  ggT(X + 1, X 2n + X n + 1)  $5  X ! n # )  ggT(X 3 + 1, X n + 1)  n ≥ 3   $5  6 '7 ")!   (//( ( 8!#       ! f (n) = g n + 1 (n ∈ N).      & n ∈ N % # f (n)  9  &   f (3n) f (5n) f (7n) . . .

        



 f (n)        f (2n) f (4n) f (6n), . . .      ggT   

                3, 4, 5, . . .                 !   " #           $ %

    & !% '    %  (     )                     & %  A = {an |n ∈ N}  %  )    )       !% A      = {a0 · x0 + . . . + an · xn |n ∈ N, xi ∈ Z}  )    ' * &      ) %    &

  +  ,  '   %

 - * -% . '  ) U ⊂ R  , // !% R      !% Z %   , // !% Z

a, b ∈ U   a − b ∈ U  0 U

 1/  U = {0} U = 2 · Z   U = dZ   d ∈ Z  , / /!% Z       , // !% Q  Q  , // !% R 0 u ∈ U  z ∈ Z %    z · u ∈ U

  

 



Z

Z

   



U

   

U = dZ

    

 

0 U = {0} %  U = 0Z     2      0 = u ∈ U  ' u % −u /%!  ) P = {u|u ∈ U, u > 0}

 %    3   4 / !% )

  '  m & u ∈ P     u = q · m + r  0 ≤ r < m     r = u − q · m ∈ U   q · m ∈ U   m   '    P 

 r = 0    u = q · m 5  %  U = mZ 2 2  * 67     8  /* 0 U  , // !% R u ∈ U  z ∈ Z %  z · u ∈ U  1  66 2  & 99 %  &3     ggT )   %    1 !     4 / !%  '  '      )%   ggT - , :   !%  %   ; 6 0         m       a ≡ b mod m    ! a  " b  m#

$% 19 ≡ 12 mod 7 23103 ≡ 0 mod 453

 

a ≡ b mod m    (a − b)   m    

 &       a = qa ·m+r  b = qb ·m+r

    '  m    "  '      m   a = q · m + r  (b − a) = q  m  b = (b − a) + a = 2 (q + q  )m + r    a ≡ b mod m    $'  ( ) Z 

 * a ≡ b mod m      (a − b)    m 

+  )  "               m > 0   )  ,

Z/mZ := {0, ..., m − 1}.   

r : N  n → n mod m ∈ Z/mZ

-. ./

 0           Z/mZ   1"2           )  " 3  $

   m                r(a) := a mod m   r(a) ∈ Z/mZ 

   a, b ∈ N  r(a + b) = r(r(a) + b) = r(r(a) + r(b)) = r(a + r(b))

   



¾º r(a · b) = r(r(a) · b) = r(r(a) · r(b)) = r(a · r(b))º                                          

  ! 

    "           #       

  $  $   %

 

&  

   

r(a + b) − r(r(a) + r(b))   m   

 !

 a = qa · m + r(a)  b = qb · m + r(b)   $ a + b − (r(a) + r(b)) = (qa + qb ) · m '   

     m    '

 a + b  r(a) + r(b)    '  ( r(a + b) = r(r(a) + r(b)) '            )    '        *   %     

&    +$ !



a · b = (qa m + r(a) · (qb m + r(b)) = qa · qb m2 + qa · m · r(b) + r(a) · qb · m + r(a) · r(b).  $ '  ' , a · b − r(a) · r(b)

   m    '      -  2 . / 

&  



     212066 − 1   7   

   0   1       7   

    2  )     -  3   1& "   4       "       ' ! 



   -     2  5    (    "     

26 = 64  64 ≡ 1 mod 7 5 (

 12066   6   $ 12066 = 2011 · 6 '$ 212066 = (26 )2011    -  /       

  /     '  %  212066 mod 7 ≡ (26 )2011 mod 7 ≡ 12011 mod 7 ≡ 1 mod 7 6 

 212066 − 1   7  2  6  7 .   

         

/  5   %    8      6) 2     '         )  

       Z/mZ    '9   :   -  ) Z/mZ $ m > 0      %  

• a +m b := r(a + b) • a ·m b := r(a · b).



    

          m  

        

         

  a b c ∈ Z/mZ  (a +m b) +m c = a +m (b +m c).   a ∈ Z/mZ  a +m 0 = a.   aZ/mZ    b ∈ Z/mZ  a +m b = 0.   a, b ∈ Z/mZ  a +m b = b +m a.   a ∈ Z/mZ  1 ·m a = a   a b c ∈ Z/mZ  a ·m (b ·m c) = (a ·m b) ·m c   a b c ∈ Z/mZ  a ·m (b +m c) = a ·m b +m a ·m c   a b ∈ Z/mZ a ·m b = b ·m a

           

! " 

a +m (b +m c) = r(a + r(b + c)) = r(a + (b + c)) = r((a + b) + c) = r(r(a + b) + c) = (a +m b) +m c. # a +m 0 = r(a + 0) = r(a).  $% a = 0 ∈ Z/mZ  0 +m 0 = r(0) = 0. $% a ∈ {1, . . . , m − 1} 

m − a ∈ Z/mZ    a +m (m − a) = r(a + m − a) = r(m) = 0 ! "#    & a ∈ Z/mZ  b ∈ Z/mZ  a +m b = 0.    '  a +m b = r(a + b) = r(b + a) = b +m a (  )  #    *   # +"

2

 Z/mZ ,  "   " -      "     ".  /      -  0 1139225 #   7  -  "  # 1    1139225 ≡ 325 = (36 )4 · 3 = 3 mod 7  11392 , ." 0 #   7  - #  1139225 ≡ 3 . . . 2#        Z/mZ  ,.  *   /  " -  ""  , 2  -  %"  3  4 /    !"         -   " Z/mZ   ,

 0"

   

 



  (Z/mZ, +m )  0        

     a ∈ Z/mZ            +m       0  0       a = 0  m − a         −a              Z/mZ     !  a, b ∈ Z/mZ " −(a +m b) = (−a) +m (−b)        a∗    +m  a  a ∈ 1, . . . , m − 1}    a∗ = a∗ +m 0 = a∗ + (a +m (m − a)) = (a∗ +m a) +m (m − a) = (m − a)    (a +m b) +m ((−a) +m (−b)) = 0.        2

   

  r : N  n → n mod m ∈ Z/mZ   # 

  # " $ % r(a + b) = r(a) +m r(b) $% r(a · b) = r(a) ·m r(b) #  a, b ∈ N0

 !       "  #  !    $    "    %&    !       2  ' (    ) * + ,(( (  ,     .    !  / m !   0   "  1 2 m > 1  a, b ∈ Z/mZ a +   3       b& ! a · b = 1  Z/mZ   3     ( 4 & a  b           ( +  

      ggT(a, m) = 1         a          &'   Z/mZ 2  ( !  (   2  5   6(                   m                   ! "  # $

             



    

                                  ¾              !        a = b := 214748364 "         #  (a+ b)  $      %   &

  '         ()   * ++   ,  +m  ·m                    

          

      

+- (   %  .  (

  

 m        

 m     &   $   (       /0 ,   +1 &    !    "     

 m       #

       *                                            

+2     *       3  # $   

 #   ab mod c #           +4  (   *  3   !"#  $ $   !*  #   ab mod c ¾



 

   



                                                236   37         !

 "236 )  #  $   

  %&  ! ' n3 + 11n    n    6  $ $' n7 − n          42  $

' 12512 − 1     4147  $ ' 18128 − 1     104975  $ ' 13   270 + 370 . ' ( )      52n + 24n − 1    48  $ ' ( )     56n+1 + 35 · (2n + 1) + 2    14  $ % 

' *    ( 4n2 + 1      3  $+ $' *    ( 4n2 + 3      7  $+ n

' ,

   n -  19|(22 + 3) n

' . Fn = 22 + 1   Fn |(2Fn − 2)   n ∈ N %/ .   01   ! ' 2 Z/7Z- 2 Z/19Z- 2 Z/17Z $' .  $   3

- 4    $  m   $  0 1  2 Z/mZ  

' .  $   3

- 4   $ a, m  ggT(a, m) = 1  $     1   2 #  2 a mod m   ' .   3

 1 5   2$   23- 4- 5- 6- 7- 13- 17- 19- 20   %6

' 7     " 8 '-       #  $      7  $   $' ,

     -     1992 #       7  $  ,   9  

'  ! #      abcdef     7  $  - 4 5a + 4b + 6c + 2d + 3e + f    :  $  ' 0      2 2   $ $  . ' #4    ; $   11, 13, 17, 19, 37.

% |b|    $ a + b(1 − φ) = (a + b) + (−b)φ = φn "  n ∈ N    (a + bφ) · (a + b(1 − φ)) = (a + bφ) · φn = ±1    a + bφ = ±1 · φ−n

    a < 0  b > 0 "    % &'   −1   2         ("'

 $                                 !       "  

   #$% & ' !      (  )     %   *      (+    ,      !  -.   / 0  + 1/   %       !  !        !    2   & 3 4 555 67  / 89:/ #  358; 9

1   < 2   ' R   )  x2 − x − 1 = 0   

(   =  5 1 >  ' R   )  x2 − 3x − 1 = 0    (     = 

3

1     ' Z/11Z  ( φ   )  x2 − x − 1 = 0 1  &  .  $  & φ %   ++   .    $   #% &  -#% :1

? #  p  @ %/  /  5  A  '   Z/pZ  !  f ib(p − 1)  p    !   f ib(p − 1)  (p − 1) 7  

     



  0 −1    1 0 Z[i]        i          a −b  Z[i] =          a, b ∈ Z b a

            Z(2,2)  i  

  ! Z[i]   "   x2 = −1   #$ 

 "    %    & ρ : Z[i] → Z/38Z'

      ( )  * + , Z[i]       ( ) * +- ., Z[i] .  / (   N : Z  a + b · i → a2 + b2 ∈ N  &0 / 1 N (α · β) = N (α) · N (β)  2        Z[i] 3 Z[i]      4,5

 ,       6    "1   %  789   ( :;     ?  @9 A    @

9    4       B C@       !  "  ?   A B A8 D  E  A  ,       E  A A  ?F !   ,   # /:- E  3 A G =   $ H 9  E     E   3  B=8 I4? 9 D 9 E J    E   K   /:@       A@ 



    

                                              !"           



      #  #        $         #   %  & 

      '  &( 

   ) *    +,-. *         )           !      / % %     #   

                             !    "   !      #    " $ %        &   '  #   ( ) *  (  + , $

          -   .  *   / . 1           /

. 12        /    *   T12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} !  .             1 0   ,  '    .  0 1     ,           )  5 = 1 · 5 17 = 1 · 17 1013 = 1 · 1013 / % 23  . p > 1 ∈ N  4 5         *     1        %   .   5  6 7               .   283           7  , 9  / /      &       4 '      :  5         +       0 ;(<    ) " ,     2 8          ="       ;   0(  ,            >    ,    # $   ,  :        5  / :   ?(    <  5 5           @   &    , 9  :     0    7      0  : <      @   A  ,     1  

   " #A  &1 $ 0  '        *     5       + ;   1       &  < 1 >        > "= %    %      : 

  



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   0    "            .     !  0     "    &   

            $ 3         0  6         &    " 1      !  )       "     !               7       !  & !       $ 0          ) "   3  3  "       #   '  /  3 3    40009    "   %" 6 / 3  3  3   p    "   " 3    0  2   p − 1 )        8   p  9  !      √            3   )         p      *     :       /   !   ;    4       n  (n − 1)! $%2 9 p  q    > 3  24  (p2 − q 2 ) $/:

 ; "   235,  p  q        x  y   .   *

  +   "  px q y   ( &     ( %  5    &' A >   :("  p 3  "        2p − 1 )(   *   $ '  5(     >       @          >  &' A 8    ; '  B &' A     + 6 2a − 1 )( '  a )(   (  %   "  '/  :'  ( &   +  8     ; '   &  &'%'((        C      ( + $   &    0:("7  9 # @;  %  :("     0:("   $  )    &'%'((  9  B "  ' %      3  D        )

3 %   (  E   5   )FG >      +  7 '  E 5('    "  + # %    &'%'((   (

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(   8 &     :(7 "     E      ( $ A        &         D    3'    + J

    σ(220)  σ(284) 5 '  

         ;  3     σ(a) = σ(b) = a + b   ,# (    (   "  $ 3     5 + "       "" @% 4 $   KKK66 L =%'  (          5  3  '  2  3     H   ( &   #        (  (     MA( 220

  



                                             !  "  #   $  

220



284

   

       %   &      '(       !           )   *        & 

#  +    &       

10000

        

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152

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                                                     !  "     2000 #        $          %        "     #  1737   &  '    (    )    &*   +    

    ,-   

        n

1 .      / |n ∈ N    n → ∞   + "  i i=1    !      0         1                 ' &    +       2    3     4"       0  4

1     x → ∞   + "  + 1 p p≤x   4 1

lim

x→∞

p 4 ln(ln(x))

p≤x

p

=1

5    ln(x)  6    7 8   9 )    3"    24     : )  )            $             ;4 2   α  



Z[φ]

   

p

 

   

!   p = N (α) = x2 +xy −y 2   x   p    %  y  p    p  p2 !    Z/pZ  .  x2 + xy − y 2  −x2       y 2  y  − −1=0 x x !   Z/pZ  .  x2 − x − 1 = 0  / α  

(2α − 1)2 = 4(α2 − 4α − 4) + 5 = 5   5 )    *    p      0  1 2   α, β #   p = α · β 

  p2 = N (α) · N (β)   N (α) = p     0     N (α) = 1   

    N (α) = p2     

 α       

 β   2    p       

        

 

!    

                    

          

"      #$  % &    '    #    %  (      !       )   *   

     +$   ,      % -   

 

      '    -     &    a = 0          %   .  ' .      /      a     %  % 0  d(a)  a    .     

#  -  #

    a   . #  π     a = π · b #$ 

b ∈ R   d(b) < d(a)    b   .  ' .     b = π1 · · · πn     % a = π · π1 · · · πn     .     #          

 N 2       , !    1 

  (! 

 -  % ' (% 2(% 3 4  5 67 %          ' -                ,      . #              8  

   % &     % ( ,    % .     0  '      '

   . #      Z[φ]   %  ,

 $ %

)   

       0  '   0%      (     .     Z[φ]

  α := a+ bφ ∈ Z[φ]   a + b(1 − φ)      

    

Z[φ]  ρ(α) =

  1      9  #  #$ % 0%     (    %

    

π ∈ Z[φ]        N (π) = ±1·p  N (π) = ±1·p2   p ∈ N 

  N (π) = p · a  a ∈ N  π  .       π  )  p  a



        p = π · α  α ∈ Z[φ]   N (π) = π · ρ(π) = π · α · a     ρ(π) = α · a ρ(π)     Z[φ]   α  a     a     N (a) = a2 = 1    a = ±1   N (π) = ±p  α    Z[φ]   p2 = N (p) = N (π) · N (α) = ±1 · N (π)

 π     a   π · ρ(π) = p · π · α   α ∈ Z[φ]     ρ(π) = pα   α       N (ρ(π)) = N (π) = p2 · (±1) 2 !"     #   $

 #    %    &   %   Z[φ]   ' "

       n        α ∈ Z[φ]         N    Z[φ]            Z[φ]         "  p "      5 ( )   *  p  +,- #            "   $  5n ± 2  !"    . " /# $ n = ±1   / ,          0  %    / ,  + "       0  (  +  n = N (α)  "   α    (   Z[φ] α = N (π1 · · · πk )   n = p · a    "  p     %  a .   -

n = p · a = N (π1 · · · πk ). 1  -( (2 #    p  %  N (π1 )   p = N (π1 )     a  &     Z[φ] $  (  %  a  3   / ,  + " "    $   p2 = N (π1 )   (2 #  4   p2     + " #0  2                      √ √  Z[i] Z[ 2] Z[ 3] 

 α !"  # x2 +x−3 = 0 $ %&   '()  *+ ,-  .   /  0   1$  2 3  4    56   2     Z[α]

       



                                      

     

√

  Z[φ] = { a2 + 2b 5|a, b ∈ Z !      !    }  x+yφ ∈ √ Z[φ]   " x + yφ = a2 + 2b 5 !   N (x + yφ) = x2 + xy − y 2 = 1 2 5 2 4a − 4b  √

# $%   & Z[ −5]   $ 21     '   ()

  !  ! *    !     +  '   +      

       

         35                         !"           # $ % & ' (  "       ) *  # $ %     

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  3   1     4.     +  6 , !"     19 - !"     9"    . "           :    : ;; 1        0  : + ?      3 + 4 !       x@ • x .      7   5   ? x ≡ 5 mod 7 • 8  2+  3 + + ? 6 x ≡ 4 mod 5 3  x = 4 + a · 5 = 5 + b · 7  +     a   b   a · 5 = 1 + b · 7   +   7"      a · 5 = 1"  a ≡ 3 mod 7   ?"         s"   a = 3 + s · 7  A   6 x = 4 + (3 + s · 7) · 5 = 19 + 35 · s



    

 x ≤ 35    x = 19                    

                                                  a   

  !   b    

  !    "   #    $ %      

    

   &         ' (

%     %     

 35   45                )  *  +   ,-

     ./    +    ./    "0  1 2 x ≡ 2 mod 7   x ≡ 5 mod 93 2 x ≡ −1 mod 3   x ≡ 3 mod 43 2 x ≡ 2 mod 6   x ≡ 5 mod 93 2 x ≡ −1 mod 12   x ≡ 1 mod 14

, 

,9

,=

     4    %   5   0   999 6    8    $    a      125     b (

%  7          5  a   b    %    8     a = 7   b = 5

    6   "      5  : ;  :   7              "   (         88         #  6   "  

  < 2

         (  $ 

  (     #     88   %   $

       (              (              

          5$  &88                   1, 2, 3   4       6   (      < >? 1  %     7      %7 / @2

2    ./   $ %   a1 x ≡ 1 mod 2   x ≡ 2 mod 3   x ≡ 3 mod 4   x ≡ a mod 5 (

  a ∈ {0, . . . , 4}    %   8  ./ 

          ! "    1) x ≡ a mod m 2) x ≡ b mod n (a, b, m, n ∈ Z, m, n = 0) # 

• $         %& ' • $    %&        (  '

       



•    

      x = a + r · m = b + s · n    b − a = m · r + n · (−s)                   r, s!   "# $  %  !  ggT(m, n) &  '" b − a ( r, s )      )  * "  +(  ,  "

  - m  n     '" ( .  +  /   )  * " !   0 1      r, s! "  

m · r + n · s = 1, m · r · (a − b) + n · s · (a − b) = a − b, x := a + m · r · (b − a) = b + n · s(a − b). .   x = a mod m  x = b mod n( .  2!      x (  ) "    3  4     

   

                     m, n     a, b     x ∈ N x < m · n  x ≡ a mod m  x ≡ b mod n

  

     

x  

x ≡ 1 mod m  x ≡ 0 mod n  

         x      x              !  m · n"          #    "  0 ≤ x < mn   x         x   $    1

x1 = a + r1 m = b + s1 n x = a + rm = b + sn

  (r − r)m = (s − s)n = x − x       $ x − x  m  n   "  mn %  (x − x)   x = x .    &    #   '" (   &    "    )   2 1

1

1

1

1

1



    

           a, b, m, n   ggT(m, n) = 1      x                            

   (a, b)   0 ≤ a < m  0 ≤ b < n           x     x ≡ a mod m  x ≡ b mod n. !  "          #

   Z/mZ × Z/nZ       $% 

f : Z/mZ × Z/nZ → Z/mnZ   f (a, b) ≡= a mod m  f (a, b) ≡ b mod n          $%        

f (a, b) : = a + m · r · (b − a) = b + n · s(a − b).

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!   r  s   #  1 = mr + ns * mr = 1 mod n  ns = 1 mod m "           +        ,     $%              $%                 m = 5  n = 7   -  ' . 

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    $      -  5  Z/mnZ

   % 6    6              6#       7             -   5  8 3    -   7  8 4 #           + 

       



    

                 

   chines : Z/mZ×Z/nZ → Z/mnZ         chines                     Z/mnZ      chines       n  m      ! " #! f (a, b)   chines(a, b, m, n). $ a, a ∈ Z/mZ = {0, 1, 2, . . . , (m−1)}  b, b ∈ Z/nZ  f (a, b) = f (a , b ) " b+n·s·(a−b) = b +n·r·(a −b )    b ≡ b mod m %    a ≡ a mod n $    x ∈ Z/mnZ a :≡ x mod m  b :≡ x mod n    x = f (a, b) "                                      !  " #      $%   &  '  ( $     r, s   n · r ≡ 1 mod m m · s ≡ 1 mod n    x ≡ a · n · r + b · m · s. )  

    )      chines      &  *  

 +  ,!(

+ x ≡ 20 mod 35 x ≡ 28 mod 36+ x ≡ 10 mod 19 x ≡ −2 mod 28 + x ≡ 4421 mod 5891 x ≡ 11800 mod 16200+ 3x ≡ 5 mod 77 x ≡ −6 mod 12 + 5x ≡ −3 mod 11 −3x ≡ 5 mod 13+ x ≡ a mod m x ≡ b mod (m + 1)- '     .

       /  0   1        !2  3  99999        0  1  

0      9 3             0   1  49375   0  5   4

5

+   ,!   6 ' [−1000, +1000]( x = 2 mod 12 x = −1 mod 21 +   ,!   6 ' [−200000, 200000]( x = 51 mod 255 x = 120 mod 247

+   ,!   6 ' [−900, 900]( 3x = 2 mod 5  11x = −3 mod 14



    

            x = a mod n  x = b mod m      [c, d]      ! "   # $     % &   $    '   ( ) *    "   m((n(+   $  m, n ,    -  m, n > 1)     $     (  "      . 53747712 = 6561 · 8192 = 38 · 213 "  ,        /  0    +   6561 1.     8192 1. 

    /      2  $  + a     2  $  + b  3  2  4   "  1   53747712( +   17432577 · b − 17432576 · a 2 5   ,6     " .$       $ 6    "  

 #  .. #  5 /    7 .   (    #    *    8  5   "   5     &$   $5     m  n  $   5  6 $   m  n     $   '5       '   7 +  )  x ≡ a mod m  x ≡ b mod n    x + kgV (m, n) · k     "  9  x ≡ a mod m x ≡ b mod n  :        x ≡ 17 mod 40  x ≡ 7 mod 25 ,2       1  ;<  $ 1   / ' ? /  5   4  0  $  *  !   5    +-     /   4  17 ,   +   

       



     11                      ! "  !   #      54 "$ # %   !  21& '          $ !  !         ( )  *  +,-&  .  #        #     # % #  # #  $     & '     # 

52 : 21   54 : 21 # #  " *   

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 9# .   m (0 < x < m)&     m = 2, . . . , 50   9 .   m& '   9 .  # !# 2 #   1  $ #       m      *   9 .%    m #& ' )      # *  " #      ' !   #  )     # m !% #$  ## !  #  1  # & '  ! ! #   !#  # m  &  # x2 = x mod 11  0 : x·(x− 1) = 0 mod 11     $ ##    x2 = x mod p  ! #  

  p$ ! p  1   #&  # x2 = x mod 81      * ##     1  % 9 &



    

    21 x2 = x mod 21    x2 = x mod 21   x·(x−1) = 0 mod 21   x · (x − 1) = 0 mod 3  x · (x − 1) = 0 mod 7       (x = 0 mod 3  x = 0 mod 7   (x = 0 mod 3  x = 1 mod 7)   (x = 1 mod 3  x = 0 mod 7)   (x = 1 mod 3  x = 1 mod 7).                              1) x2 = x mod 77! 2) x2 = x mod 77! " x2 = x mod 675     #  p, q   $   %  &       pr · q s  $  $   ' (  )*+ ,    -   $   )*"         ./'0   5678·5678=444445678  123·123=4444123 )*9  x2 = 1 mod 10! x2 = 1 mod 100! x2 = 1 mod 1000 )*: ;  #     '  &              5     ?   ,      @(     0 = ; $         A   &         &    B A &    $  &    &    $      ;   C #  1    

 

        

 

             > 100 $  ( !    3      =?2 !!> @! ! !  ( A 3 .  & 2 !! !   B      .  R   .  S  ϕ : R → S   ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y)   ϕ(x · y) = ϕ(x) · ϕ(y) "* 

 x, y ∈ R @   % " Z/mZ × Z/nZ = {(a, b)|a ∈ Z/mZ, b ∈ Z/nZ} 2   ( !   B     C  2   $ (a, b) + (c, d) := ((a + c) mod m, (b + d) mod n) (a, b) · (c, d) := ((a · c) mod m, (b · d) mod n)

      



     

     

R := Z/mZ × Z/nZ              !      "  #  R$ "    

  f : Z/mnZ ∈ x → (x mod m, x mod n) ∈ R   %       chines ◦f = IdR  f    " 

%   &        e     Z/mZ   " &  f (e)  R   "

 '       () *      +"      * " 

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  /)

 ,  0-   60    * " (1  x2 = x mod 602  x2 = 1 mod 60 3  * " " !    700  x2 − x = 0 mod 7002

 x2 − 1 = 0  700

 ,   210  4    5! 6  1

 #  78  9  2   "  -   : ;  " 9      *< =   78        m$ /> ,  ?     * " (1 4 m = pr11 · . . . · prnn  7 ; *      m&  "   2n   0-    m

      

                          ! "#  $      %  &       '          &   () *  )  + n  n        

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       n          

   n                ! "   #  ax + b (a = 0, x = 0, 1, 2, . . .)  $      

      %   2n 

  !  p1,1  . . . p2,n        a  # &   '            !   a         !  # & (   ) 

a · x + b ≡ 0 mod p1,1 · p2,1 a · (x + 1) + b ≡ 0 mod p1,2 · p2,2 ... ≡ ... a · (x + n − 1) + b ≡ 0 mod p1,n · p2,n  

x ≡ −a1 · b mod p1,1 · p1,2 x ≡ −a2 b − 1 mod p2,1 · p2,2 ... ≡ ... x ≡ −an b − (n − 1) mod p1,n · p2,n

  %*   #  i ∈ {1, . . . , n}    ai · a ≡ 1 mod p1,i · p2,i +$  ggT(a, p1,i · p2,i ) = 1., &  - "          .)       

 /      0'   x          1    p1,1 · . . . · p2,n "  %    # &

2  

 n         x, . . . , x + (n − 1)           !  

  !     # (   n       ! " # &     # 2   

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"   !     +            ,!!- . /   x = ((n + 1)!)2 + 1.  $  x + 1, . . . , x + n  %  &

"  !    01 " !  !     *  * 2   3

      



                        x, x + 1, x + 2, . . . , x + (n − 1)                    x + 1, x + 2, . . . , x + n                x = (n + 1)! + 1    !     "         #  "    "           $            $    %&     '

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 =$       "0 n = 3 n = 4  n = 5           "0 $  $         1 <        0   ?  "    π62  0 x > 25 $     0, 1 · x ?  "     $ x "        ( k  n  0     $  n "    "   0        k    > 1       $ 7  $           " " $  $     7    %

"0   4"0   $   2  n          n =       =$    2  n    

     n =        $  "   k > 1A

 (  "    "0 k = 3  n = 4  k = 10 n = 2 *      $          899 d    #   #    # 2, 5, 13  =    d > 1   "0 2   #       a, b   B  {2, 5, 13, d}  15   a · b − 1   ?  "   <  $     #      dA

½¾¼

    

     {2, 5, 13, d}         

a, b   a · b − 1                         ! "#$%  &''

  ( )   *     +  ,   

 - + +   . -    (     *    )                  )    +   /     0   (    *    1 +  2   3          a < b       )    4      ) 5     a + n   b + n  +  ,  a < b < c < d       )    4     

)      a + n, b + n, c + n, d + n 6   +   ,   7  n   2 + n, 4 + n, 24 + n 6   +    8   a < b < c      )         )   n      a + n, b + n, c + n 6 5   +      ggT(a + n, b + n) = ggT(b − a, b + n)   ggT(a + n, c + n), ggT(b + n, c + n) p1 , . . . , pr    5   1 +  b − a q1 , . . . , qs      1 +  c − a   r1 , . . . , rt      1 +  c − b 9   +    .      :   5 ;+ b + n = 1 mod p . . .   

&'" 4 6    1  +    :    2    5      4 6    8    8+   Z2  8 1  P >   + 4 6  Q      +  

  ?  [P Q] > P   Q     4 6  + 

 A(0, 0) B(1, 0) C(0, 1) D(1, 1)    4 6  3 +       A B  C  D    4 6  E         4 6     ,     4 6  Q(q, kq + 1) ) k, q ∈ Z + 2 6   (0, 0)       ?  A B  C   4 6           4 6  D      1  A B  C      @ A  5      +    x5:      1  A B  C    y 5:      

+ 

 3  

   "B#     >         "$'   + +   .@

      



        Zn            !  "# $  "   % &  '(   #

         Z/12Z      0      12    2         0 → 2 → 4 → 6 → 8 → 10 → 0     {0, 2, . . . , 10} = 2 · Z       Z/12Z      U   !"   # u ∈ U   U   

 

uZ = U 

 

 0 < m ∈ N   a ∈ Z/mZ    Z/mZ    a  m     

  a, m  $   %  x, y ∈ Z   1 = ax + my &  b = axb + myb   '   ( b ∈ Z/mZ   % b = abx )  "  a   !"   # Z/mZ 

 %   x ∈ Z   1 = a · x mod m &  %   y    1 = a · x + m · y      a   m  $ 2   )$ "  ϕ(m)  %    &    )    Z/mZ 

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))# *   !+  $ ,(  Z[φ]#    %-  #

         

                                         

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p    !   "

    "#   Z/nZ    #   # !

     

      



n>1∈N



a

 

n



aϕ(n) = 1 mod n

   $ a      n     {a · x | x ∈ Z/nZ}  %   

 ! &'      a·x      #  Z/nZ  (    #  Z/nZ ! )*#    #  + !, &  

+     #       a · x!     a1 . . . aϕ(n)

+     #    Z/nZ    a · a1 , . . . a · aϕ(n)

+     #  !     

a1 · . . . · aϕ(n) = a · a1 · . . . · a · aϕ(n) a1 · . . . · aϕ(n) = aϕ(n) · a1 · . . . · aϕ(n) 1 = aϕ(n) mod n &#  7  2    )