Elementare Zahlentheorie

Rei n h o Id Re m m e rt Peter U IIrich

El~rn~n rc Zahl~nth~ori~ Dritte

Auflage

Birkh~user Basel. Boston 9 Berlin

Autoren: Reinhold Remmert Westf~lische Wilhelms-Universit~t Mathematisches Institut Einsteinstral3e 62 D-48149 MOnster

Peter Ulldch Universit~t Koblenz-Landau Campus I 1 2. Quadratische Reste m o d u l o Prirnzahlpotenzen 3. Quadratische Reste m o d u l o einer ungeraden Primzahl 4. Legendresches Restsymbol 5. Gaul3sches L e m m a

237

w2

Quadratisches Reziprozitfitsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Formulierung des Reziprozitfitsgesetzes. Beispiele - 2. Beweis des Reziprozitfitsgesetzes 3*. Analytischer Beweis des Reziprozit/itsgesetzes nach EISENSTEIN 4. Das Reziprozitiitsgesetz ffir das Jacobische Restsymbol 5. Anwendungen des allgemeinen Reziprozitfitsgesetzes

248

Literatur

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Namenverzeichnis Sachverzeichnis Symbolverzeichnis

266

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

267

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

269

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

274

13

Kapitel 1 Primzerlegung in Z und Q In diesem Kapitel wird Stoff dargestellt, der zum Teil aus dem Schulunterricht bekannt ist. Insbesondere stellt der Paragraph 0 die dem Leser wohlvertrauten Eigenschaften der natiirlichen, ganzen und rationalen Zahlen zusammen, die wir im weiteren unbewiesen voraussetzen. Den Schwerpunkt des Kapitels bildet der Paragraph 2, wo der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie behandelt wird, d.h. der Satz v o n d e r eindeutigen Darstellbarkeit jeder natfirlichen Zahl 4:0 als Produkt von Primzahlen. Dieser Satz wird im elementaren Rechenunterricht stillschweigend als richtig unterstellt, da aufjener Stufe ja fiberhaupt noch nicht von mathematischer Strenge die Rede sein kann. Leider wird dadurch, wie die Erfahrung immer aufs neue lehrt, bei manchem Leser der ganz unberechtigte Eindruck entstanden sein, dab dieser Darstellungssatz unmittelbar einsichtig sei und keiner Begrfindung bediirfe. Es ist ein Hauptanliegen des ersten Kapitels, diesen irrigen Eindruck, der sich bei vielen ffir immer festgesetzt hat, zu korrigieren. Die Anwendungen des Hauptsatzes der elementaren Zahlentheorie, die in den letzten beiden Paragraphen besprochen werden, demonstrieren dessen mathematische Kraft. Die getroffene Auswahl ist naturgem~iB willkiirlich: Der Leser sollte vor allem ein Geffihl daffir bekommen, wie hfiufig der Hauptsatz bei der L6sung von Fragen, die auch einem mathematischen Laien nahegebracht werden k6nnen, verwendet werden mug.

w0

Natiirliche, ganze und rationale Zahlen

In diesem Paragraphen stellen wir ffir uns wichtige Tatsachen fiber natfirliche, ganze und rationale Zahlen zusammen. Da unser Thema ,,Zahlentheorie" und nicht ,,Aufbau des Zahlensystems" heil3t, sind wir nicht an einer streng logischen Begrfindung des Zahlenbegriffs ab ovo interessiert. Vielmehr soll dieser Paragraph dem Leser all jene Dinge in Erinnerung bringen, die er schon von der Schule her kennt und die zu den allgemeinen mathematischen Grundkenntnissen geh6ren.

1. Der Ring Z der ganzen und der Kfrper Q der rationalen Zahlen. Die Zahlen 1, 2, 3,... heiBen seit altersher natiirliche Zahlen. Wir vcreinbaren, dab auch die Null eine natiirliche Zahl ist, und bezeichnen die so erweitcrte Menge mit N, also

Der Ring 7/der ganzen und der K6rper II) der rationalen Zahlen

14 N'=

!.0.!

{0,1,2,3 . . . . . 1001,1002 . . . . }.

Da h/iufig die Menge {1,2, 3 . . . . ] aller yon 0 verschiedenen natfirlichen Zahlen betrachtet wird, ist es zweckm/iBig, auch ffir diese Menge ein Symbol einzuffihten. Wir verabreden folgende Bezeichnung: N•

{1,2,3 . . . . }.

Es gilt also: N = {0} w N • . Die Menge N ist eine echte Teilmenge der Menge ) 7 ' = { .... - 3, -- 2, -- 1,0, 1,2,3 . . . . } aller g a n z e n Zahlen. Es gibt gute Griinde daffir, die zahlentheoretischen Untersuchungen sofort in 7/, (und nicht in N ) durchzufiihren: Z u m einen 1/iBt sich in )7 uneingeschr/inkt subtrahieren und daher einfacher rechnen als in N ; zum anderen ist ffir spfitere Verallgemeinerungen )7 und nicht N der richtige Ausgangsbereich. Wir setzen das Rechnen mit ganzen Zahlen als bekannt voraus, stellen aber die grundlegenden Rechenregeln in zwei Aussagen zusammen:

Additionsregeln: In 27 gibt es eine Addition + , d. h. j e z w e i E l e m e n t e n a, b 9 27 ist ein (drittes) E l e m e n t a + b 9 27, zugeordnet. Fiir alle a, b, c 9 7Z gilt." 1) (a + b) + c = a + (b + c) 2) a + b = b + a

(Assoziativgesetz). (Kommutativgesetz).

3) Z u j e d e m P a a r a , b ~ )7 gibt es genau ein x 9 7Z mit x + b = a, m a n schreibt x = a

b.

Der Leser beachte, dab die Aussage 3) i.a. nicht in N gilt, da a - b nicht notwendig eine natfirliche Zahl ist: So gibt es z.B. kein x in N mit x + 4 = 3. Man faBt die Additionsregeln zusammen, indem man sagt: Die M e n g e )7 ist bzgl. der Addition + eine k o m m u t a t i v e Gruppe. Start k o m m u t a t i v e G r u p p e sagt man auch abelsche G r u p p e (zu Ehren des norwegischen M a t h e m a t i k e r s Niels Henrik ABEL, 1802 1829).

Multiplikationsregeln:

In )7 gibt es eine M u l t i p I i k a t i o n ., d.h. j e z w e i E l e m e n t e n a, b 9 27 ist ein (drittes) E l e m e n t a 9b ~ 27 zugeordnet. Fiir alle a, b, c 9 )7 gilt."

1) 2) 3) 4)

(a.b).c=a.(b-c)

(Assoziativgesetz) .

a.b=b.a

(K o m m u t a t i v g e s e t z ) .

(a+b)-c=(a'c)+(b'c) 1 .a=a.

(Distributivgesetz).

Statt a 9b schreibt man auch einfach ab. M a n faf3t die Additionsregeln und die Multiplikationsregeln dahin zusammen, dab m a n sagt: Die M e n g e Z ist bzgl. der Addition + und der M u l t i p l i k a t i o n . ein k o m m u t a t i v e r R i n g mit E i n s e l e m e n t .

Eine wichtige Eigenschaft von Z ist die Nullteilerfreiheit." A u s a b = 0 mit a, b 9 )7 f o l g t a = 0 oder b = 0 (in Worten." ein P r o d u k t ist nur dann null, wenn w e n i g s t e n s ein F a k t o r null ist). Die Nullteilerfreiheit impliziert die

1.0.1 Der Ring 7/der ganzen und der K6rper Q der rationalen Zahlen

15

Kiirzungsregel: Seien a, b, c ~ 7/.; es gelte ab = ac und a + O. Dann gilt. b = c. Beweis." Aus ab = ac folgt a (b - c) = 0. Wegen a 4= 0 m u g gelten b - c = 0, d. h. b=c.

Der Ring 77 1/il3t sich erweitern zum Bereich Q der rationalen Z a h l e n

{0,+1

_+2,+ 89

2 _

5,+4,+3

}

Jede rationale Zahl 7 gestattet (auf mannigfache Weise) eine Bruchdarstellung 7

a

b mit einem Zgihler a ~ 77 und einem N e n n e r b ~ 7Z, b 4= 0;

dabei gilt: Z w e i rationale Z a h l e n 7 = b' 7' = ~a' mit a , a ' , b , b ' e T Z , b + O, b'-~ O, sind genau dann gleich, wenn gilt ab' = a'b.

Statt ,, rationale Z a h l " sagen wir auch ,,Bruch". Wir bezeichnen im folgenden rationale Zahlen i.a. mit kleinen lateinischen Buchstaben und benutzen den griechischen Buchstaben 7 vorwiegend dann, wenn die Zahl in einer Bruchdara stellung 7 = ~ mit a, b e 77 gegeben wird. Die Additionsregeln und die Multiplikationsregeln ffir 77 gelten unver/indert for den Bereich Q ; fiberdies gilt ffir (I~ auch die

Divisionsregel: Z u j e d e m P a a r a, b ~ q) mit b ~ 0 gibt es genau ein x ~ ~ mit b x = a; man schreibt x = b

l a oder auch x - a b"

Beispiel." Ffir a = 2, b = ~s ist x - ~14.

Die Additionsregeln, Multiplikationsregeln und die Divisionsregel beschreiben ersch6pfend die Rechengesetze f/.ir die vier elementaren R e c h e n o p e r a t i o n e n der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division im Zahlensystem @. M a n faBt sie wie folgt zusammen: Die M e n g e ~ ist beziiglich der A d d i t i o n + und der Multiplikation 9 ein K6rper.

Wir werden im Ring 7/ und im K 6 r p e r Q u n b e k i i m m e r t und wie seit frfiher Jugend gewohnt rechnen. Wir schreiben durchweg ab + c d statt (ab) + (cd). Auch verwenden wit die gebr/iuchlichen Redeweisen wie S u m m e bzw. Differenz bzw. P r o d u k t bzw. Quotient ffir a + b bzw. a - b bzw. ab bzw. a b" Sind die rationalen Zahlen 71 = ~al, 72 = ~a2 in Bruchdarstellung vorgegeben, so sind 71 ~

72 --

a l b 2 + a2b I

,

7172

--

ala2

blb2 bib 2 Bruchdarstellungen ffir Summe, Differenz und P r o d u k t . Falls ba 7~ =I=0, so gilt a 14=0, und 71 1 al

ist eine Bruchdarstellung des ,,Inversen" von 7~ (Kehrwert).

16

Anordnung von 7/und Q

1.0.2

Sind a l , . . . , a, endlich viele Elemente aus Q, so sind (auf G r u n d der Assoziativgesetze) die endliche S u m m e a I + a 2 + ... + a, und das endliche P r o d u k t al a 2 ' . . . . a , in Q wohldefiniert. Wir v e r w e n d e n die b e k a n n t e Schreibweise

v:l

a v =

a 1 q-

...

-k a n,

|l v:l

av

ftir S u m m e und P r o d u k t . Falls al = a2 tl

H

a,, = aL wobei a ~

=

=

al

. . -

" ...

=

"an

a, = a , s o g i l t

I gesetzt wird.

~ a,.=naund "~'=1

"r

Wir erinnern an die

Summenformel der endlichen geometrischen Reihe: Fi~r alle x ~ ~ und alle nati~rlichen Z a h l e n n > 1 gilt:

(1 + x + x

2+--.+x"-l)(1-x)=l-x".

D e r Beweis ergibt sich durch Ausmultiplizieren der linken Seite.

[7~

Wir m a c h e n stillschweigend G e b r a u c h von den I n k l u s i o n e n N• cNcTZcQ. 2. Anordnung von 7/und Q. Die M e n g e 7Z,ist in natiirlicher Weise angeordnet:

... bo} C B. Das Prinzip vom kleinsten Element l~iBtsich einfach formulieren und sofort nachvollziehen; vom Induktionsprinzip l~iBtsich dies nicht ohne weiteres behaupten. Wir wollen uns plausibel machen, dab das Prinzip der vollst~indigen Induktion eine Konsequenz aus dem Prinzip vom kleinsten Element ist (wobei allerdings an entscheidender Stelle eingeht, dab ftir ao, bo E IN mitao > bo gilt ao - 1 __>bo). Man argumentiert wie folgt: Es sei irgendeine Menge B C IN mit den Eigenschaften a) und b) gegeben. Die Inklusion {x E IN : x __>bo} C B besteht genau dann, wenn die Menge

A:

{xEIN:x>=boundx~B}

leer ist. Wfire nun A nicht leer, so h~itte A als Teilmenge von IN ein kleinstes Element ao. Da bo~A aufGrundvona),sogiltao>bo undalson: ao-l_->bo. Wegennbo} C B. [] Es ist eine echte Uberraschung zu sehen, dab das Prinzip vom kleinsten Element keineswegs logisch einfacher als das Induktionsprinzip ist. Beide Prinzipien sind vielmehr logisch iiquivalent. Wir wollen noch kurz darlegen, wie man das Prinzip vom kleinsten Element aus dem Induktionsprinzip deduzieren kann: Es sei A C IN irgendeine nichtleere Menge. Wenn 0 E A gilt, so ist 0 ein kleinstes Element. Sei also 0 ~ A. Wir nennen b E IN eine (echte) untere Schranke von A, wenn far alle x E A gilt: x > b. Wir bezeichnen mit B die Menge aller echten unteren Schranken von A, nach Annahme gilt 0 E B. Wir ftihren nun die Annahme, dab A kein kleinstes Element hat, mit Hilfe der Menge B

1.0.3

Prinzip vom kleinsten Element und Induktionsprinzip

19

zum Widerspruch. Sei n ~ B, also x > n ffir alle x e A. Es folgt x > n + 1 ffir alle x ~ A. Es mug gelten n + 1 ~ A, denn sonst wiire n + 1 ein kleinstes Element von A. Aus n + I r A folgt x > n + I ffir alle x e A. Dies besagt, dag auch n + 1 eine echte untere Schranke von A ist, d.h. n + 1 e B. Damit hat B die Eigenschaft b). Wegen 0 ~ B folgt N c B. Dann mfiBte A aber leer gewesen sein, da es keine Zahl a ~ N gibt, die gr6ger als jede Zahl b E N ist. Widerspruch ! [] Als nfitzliche Anwendung des Induktionsprinzips beweisen wir den binomischen L e h r s a t z . F f i r alle v, n ~ N d e f i n i e r e n w i r d i e Fakultdten n! u n d d i e Binomial-

koeffizienten(n) wieiiblichdurchdieGleichungen n!:=l.2.3.....(n-1).ns]N

0!'=1, =

vi

•

r

ffir h e n

ffir v > l ,

• :=1.

Es gilt d a n n n ,

v!(n - v)!

ffir v < n,

Die wichtige Identit/it

(*)

v-I

+

v

=

v

verifizieren wir durch Nachrechnen +

(~)

=

wie folgt:

.(.-1)....-(.-(v-l)+1) (v--~ n(n-1)....

=

nr

f/,ir v e N •

-~

+

. ( n - v + 2) [ 1)!

.(.-1).....(.-~+1) v! n - v + l]

1 +

=n(n--1)'""(n--v+2)'(n+l)v,

v =(n+l)v

"

Wir behaupten nun

Binomischer Lehrsatz: Fiir alle a, b ~ ~ und allen ~ N • gilt: + v=O

n--1

"

Beweis: Es sei B d i e M e n g e a l l e r nati.irlichen Z a h l e n n > 1, so d a b fi.ir alle a, b r Q d i e b e h a u p t e t e F o r m e l ffir (a + b)" r i c h t i g ist. Es gilt o f f e n s i c h t l i c h :

20

Prinzip vom kleinsten Element und Induktionsprinzip

1.0.3

1 e B. Sei n e B. U m n + 1 e B zu verifizieren, rechnen wir wie folgt" (a + b)"~ l = (a v=O

=a"+l+

~ V =

\~/

a ' + l - V b V + Y", 1

an-Vb v a" V b " + l + b " + l .

v=0

In der zweiten Summe r e c h t s / i n d e r n wir den Summationsindex: Y~ v=0

a"

Vbv+l

=

a "+1 ~"b'.

n

V-

v=l

1

D a n n erhalten wir unter Verwendung der Gleichung (*) ffir Binomialkoeffizienten:

,()

= a"~l+ Z

n+l

v=l

a,,+ 1 " b " + b,+ 1 = 52

1'

v=O

Y/+ 1 a "+l

*'bL

V

Damit sehen wir: n + i e B. Auf G r u n d des Induktionsprinzips folgt B = {n e N : n > 1 }, womit der binomische Lehrsatz bewiesen ist. Bemerkung: Die Zahlen ( n ) s i n d /

\

x

/

,. ,diesk,ar dadann(0

als Brfiche definiert. Es gilt aber:

0 Im a,,v

,ie tmand .ehaup.

unmittelbar aus der binomischen Formel ab, denn ( n ) miBt gerade die Anzahl, wie oft das P r o d u k t a~-~'b " als S u m m a n d beim Ausrechnen des ,,Binoms" (a + b)" v o r k o m m t . Wenn man anspruchsvoller argumentieren will, kann m a n h-~1 wieder das Induktionsprinzip heranziehen. Das induktionsprinzip wird in vielen Varianten benutzt. M a n kann es auch so aussprechen" Es sei E eine Eigenschqft, die auf natiirliche Zahlen zutreffen kann, d.h. .f~r jedes x c]N gilt entweder E(x) oder nicht E(x). Es sei folgendes richtig: a) Es gibt ein b o e N, so daft gilt E(bo). b) Fiir allen >=bo hat E(n) zur Folge: E(n + 1). Dann trifft die Eigenschaft E fiir alle x e N , x >=b o, zu.

(lnduktionsanjang) (I nduktionsschritO

1.0.4 Division mit Rest

21

In Anwendungen ist h~iufig der Induktionsschritt ,,von E(n) nach E ( n + 1)" nur dann durchftihrbax, wenn man nicht nur E ( n ) , sondern sogax die Gtiltigkeit aller Aussagen E(0), E(1) . . . . . E ( n - 1), E ( n ) benutzen daxf. Das ist nat0rlich vom anschaulichen Standpunkt aus gesehen klax, denn hat man E(n) induktiv sichergestellt, so hat man ja bereits in allen Schritten vorher E(1), E(2) . . . . . E ( n - 1) ebenfalls abgehandelt. Wir formulieren dieses erweiterte Induktionsprinzip der Vollst~indigkeit halber als

Prinzip der vollstfindigen Induktion mit erweiterter Induktionsvoraussetzung: Es sei E eine Eigenschaft, die auf natiirliche Zahlen zutreffen kann oder nicht, d. h. fiir jedes x E IN gilt entweder E(x) oder nicht E(x). Es sei folgendes richtig: a) Es gilt E (0). b) a u s E(O), E(1) . . . . . E(n) folgt E ( n + 1).

(Induktionsanfang) (Induktionsschritt)

Dann gilt E(x) fiir alle x E IN. 4. Division mit Rest. Als elementare Anwendung des Prinzips vom kleinsten Element beweisen wit die aus dem Schulunterricht wohlbekannte Division mit Rest, die beim Beweis grundlegender Resultate der Zahlentheorie in Z eine entscheidende Rolle spielt.

Division mit Rest: Es seien a, b E Z zwei Zahlen, es gelte b >= 1. Dann gibt es eindeutig bestimmte Zahlen q, r E Z zu a, b, so daJ3 gilt." a

qb+r

mit

O O. Beweis." Existenz yon q und r." Die Menge A:

{x E iN" x

a-zbmitzEZ}CiN

istnichtleer:Fallsa>=O, s o g i l t a E A ; f a l l s a < O , sogilta-ab a(1-b) EA, da a < 0 und 1 - b =< 0 die Ungleichung a(1 - b) => 0 zur Folge hat. Nach dem Prinzip yore kleinsten Element besitzt A ein kleinstes Element r. Es gilt also r a-qb > 0 mit q E Z. Es gilt notwendig r < b, da sonst die Zahl a - (q + 1)b r - b ebenfalls nicht negativ, abet kleiner als r w~ire. Mithin ist a q b + r eine gesuchte Gleichung. Falls a => 0, so mul3 q => 0 gelten, denn q = l f~hrt zu r a - qb >=b. q b + r eine weitere Gleichung Eindeutigkeit yon q und r: Es sei neben a a q'b + r' gegeben, wobei q',r' E Z und 0 =< r' < b. Dann gilt r - r ' (q'-q)b,

also q ' - q

F -b

i.t

Wegen 0 _< r < b und 0 _< r' < b gilt --

r - - fl -b < r-r' < b, also - 1 < - < 1. Da q ' - q b q'-q O,d.h.q' qunddamitauchr' r.

--

E Z, ist also notwendig []

22

Teilbarkeitsbegriff 1.1.1

Beispiele: 1) a : = 531, b : = 93, 531 = 5 -93 + 66 mit q : = 5 und r : = 66 < 93. 2) a : = 617, b : = 758, 617 = 0 . 758 + 617 mit q : = 0 und r : = 617 < 758. 3) a : = - 5 , b:=2, -5=(-3).2+ 1 mitq:=-3 undr:= 1 l . b) Ist p = ab mit a, b e N eine P r o d u k t d a r s t e l l u n g v o n p, so gilt a = 1 o d e r b = 1. Die M e n g e aller P r i m z a h l e n wird mit IP bezeichnet. Gem/il3 dieser Definition ist die Z a h l 1 keine P r i m z a h l : 1 ~ IP. Die ersten P r i m zahlen sind: 2, 3, 5, 7, 11 . . . . . Der Begriff der P r i m z a h l 1/if3t sich a u c h n o c h a n d e r s fassen. L e m m a : Folgende Aussagen i~ber eine natiirliche Zahl p > 1 sind dquivalent: i) ii) iii)

peIP. 1 und p sind die einzigen positiven Teiler yon p.

p hat keine echten Teiler.

Beweis: i ) ~ ii}: G/ibe es einen Teiler a v o n p mit 1 < a < p, so wtirde eine G l e i c h u n g p = ab mit b e ]N gelten, w o w e d e r a = 1 n o c h b = 1 gilt. ii) ~ iii): W/ire d ein echter Teiler v o n p, so a u c h Idq, im W i d e r s p r u c h zu ii). iii) ~ i): Sei p = ah mit a, b e N . N a c h V o r a u s s e t z u n g h a t p n u t triviale Teiler, d.h. es gilt e n t w e d e r a = 1 o d e r a = p u n d d a n n b = 1. !

1.1.3

Existenz unendlich vieler Primzahlen

25

Aufgrund der Eigenschaft iii) nennt man Primzahlen hfiufig auch unzerlegbar. Wir haben die Existenz von Primzmhlen durch Probieren sichergestellt. Ohne Probieren ergibt sich das Vorhandensein von Primzmhlen aus folgendem

Existenzsatz: Jede natiirliche Zahl a > 1 besitzt einen kleinsten (positiven) Teiler t > 1; dieser Teiler t ist eine Primzahl. Beweis: Die Menge T a l l e r positiven Teiler /~ 1 von a ist nicht leer, da a E T. Nach dem Prinzip vom kleinsten Element enthfilt T ein kleinstes Element t. Diese Zmhl ist der kleinste positive Teiler > 1 von a. WSxe t nicht Primzahl, so gfibe es einen Teiler t / v o n t mit 1 < t / < t. Aus t~l t und t la folgt wegen der Transitivitfit der Teilbaxkeit, dag t ~ ein Teiler von a wSxe. Wegen t ~ > 1 wfirde t ~ also zur Menge T geh6ren. Wegen t' < t ist das ein Widerspruch zur minimalen Wahl von t.

3. Existenz unendlich vieler Primzahlen. Durch den Existenzsatz 2 wird fiber die Anzmhl aller Primzmhlen noch nichts gesagt. Es wfire denkbax, dab es nur endlich viele Primzahlen giN. Aus der Unendlichkeit yon IN allein kann man nicht die Unendlichkeit der Menge P deduzieren: Auch mit endlich vielen Primzmhlen (sogax schon mit einer einzigen) lassen sich unendlich viele natfirliche Zahlen gewinnen, z. B. 2, 4, 8, 16 . . . . . 512, 1024 . . . . . 2" . . . . . In den Elementen yon EUKLID (Buch IX, Satz 20) * findet sich bereits der Satz yon EUKLID: Es gibt unendlich viele Primzahlen. Im Text von EUKLID k o m m t das Wort ,,unendlich" nicht vor; er formuliert seinen Satz wie folgt: Die Primzahlen sind mehr als jede vorgegebene Menge yon Primzahlen. Wie oft in der Mathematik werden wir mehr beweisen als behauptet wird. Der Beweis y o n E U K L I D , den wir wiedergeben, liefert n~imlich ein Verfahren, immer neue Primzahlen zu konstruieren. Wir werden zeigen:

Satz: Es seien ql, q 2 , . . . , qn endlich viele Primzahlen (die irgendwie vorgegeben sind). Dann ist der kleinste (positive) Teiler t > 1 der natiirlichen Zahl a:

ql q2 " . . . " qn + l

eine Primzahl, die yon allen Primzahlen ql, q 2 , . . . , q~ verschieden ist. Es ist Max, dag der Satz von EUKLID in dieser Aussage als Spezialfall enthalten ist. Die Elemente bestehen aus 13 Btichern und entstanden um 300 vor Christi Geburt; sie bilden die grol3e Enzyklopfidie der griechischen Mathematik und sind neben der Bibel das am hfiufigsten verlegte Werk der Weltliteratur.

26

Unzerlegbarkeit und Primeigenschaft

1.1.4

Beweis des Satzes: D a a > 1, existiert t, u n d z w a r ist t eine P r i m z a h l ( E x i s t e n z s a t z 2). W f i r d e t m i t e i n e r der Z a h l e n q~, q2 . . . . . q, f i b e r e i n s t i m m e n , so w/ire t e i n Teiler des P r o d u k t e s q i q 2 "... " G . A u s t t a u n d t ] ( q l q 2 . . . . . q,) u n d 1 = a - ql q2 " .-. ' qn folgt t I I aus der R e c h e n r e g e l 1,4). D a I n u t die Teiler 1 u n d - 1 hat, w/ire t = I im W i d e r s p r u c h zu t > 1. Bemerkung: Es ist interessant, die euklidische Konstruktion sukzessiv durchzufiihren. Ausgehend von n = I und der kleinsten Primzahl q~ : = 2 erhiilt man im ersten Schritt a = 2 + 1 = 3 und damit fiir t die zweitkleinste Primzahl q2:= 3. Im zweiten Schriu gewinnt man a - 2 93 + I - 7 und damit ftir t nicht die drittkleinste Primzahl 5, sondern q3 : - 7. Im dritten Schritt entsteht a - 2 93 97 + 1 = 43 mit q4:= 43. So fortfahrend gewinnt man eine Folge von Primzahlen q,, die aber nicht monoton wachsend ist, da die auftretenden Zahlen a nicht immer, wie in den ersten Schritten, selbst Primzahlen sind. So ist bereits im vierten Schritt a = 2 93 ' 7 9 43 + 1 = 1807 - 13 - 139 keine Primzahl; als kleinster Primteiler t ergibt sich q s : = 13. also qs 1 sind dquivalent: i) ii)

p ist eine Primzahl. A u s p l(ab), a, b ~ 27, f o l g t p la oder p lb.

Beweis: i) ~ ii): Falls a = 0 o d e r b = 0, so ist nichts zu zeigen. S o n s t k a n n m a n d u r c h f,)bergang z u m N e g a t i v e n o h n e E i n s c h r / i n k u n g a u n d b als positiv a n n e h m e n u n d hat somit die V o r a u s s e t z u n g e n des F u n d a m e n t a l l e m m a s erffillt. ii) ~ i): W i t zeigen, d a b A u s s a g e ii) v o n L e m m a 2 zutrifft. Sei also d irgendein positiver Teiler y o n p. D a n n gilt eine G l e i c h u n g p = d d ' mit d ' e N . Dies b e d e u tet p l d d ' . N a c h V o r a u s s e t z u n g folgt p l d o d e r p l d ' . D a 1 < d < p und 1 < d ' < p, so folgt d = p o d e r d ' = p, d.h. d = p o d e r d = 1. M i t h i n hat p n u r die positiven Teiler 1 u n d p, ist also eine P r i m z a h l . [] Die E i g e n s c h a f t ii) des Satzes n e n n t m a n (im U n t e r s c h i e d z u r U n z e r l e g b a r k e i t s eigenschaft) Primeigenschaft. W i r k 6 n n e n den Satz also so f o r m u l i e r e n : Eine natiirliche Z a h l p > 1 ist genau dann unzerlegbar, wenn sie die Primeigenschafi besitzt. Wir werden diese beiden Eigenschaften in Kapitel 3 ffir Elemente beliebiger Ringe noch ausffihrlich studieren; im Vorgriff sei hier bereits angemerkt, dab sich dabei die Primeigenschaft als eine im allgemeinen echt st/irkere Bedingung als die Unzerlegbarkeitseigenschaft herausstellt.

28

Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie

1.2

Aufgaben: 1) Seien a,b,c Ziffern aus der M e n g e {0, 1 , 2 , . . . ,9} und a r 0. Zeigen Sie: 13 teilt die nattirliche Zahl

abcabc

(Zifferndarstellung).

2) Sei n e i n e nattirliche Zahl, n > 1. Beweisen Sie: Aus n I((n - 1 ) ! + 1) folgt n E P . 3) Sei p~, die n-te Primzahl, d.h. Pl

2, P2

3 usw. Zeigen Sie: p~, __ 2 eine nattMiche Zahl. Zeigen Sie: n 4 + 4 ~' ist keine Primzahl.

w2

Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie

Wir beweisen in diesem Paragraphen den Hauptsatz der elementaxen Zahlentheorie. Dazu pr~izisieren wit zun~ichst die dutch Probieren gewonnene Einsicht, daB man jede nattirliche Zahl so lange in Faktoren zerlegen kann, bis man bei lauter unzerlegbaren Faktoren, bei ,,Primfaktoren", angelangt ist. Der Weg, auf dem man solche ,,Primzerlegungen" herstellt, ist nicht kanonisch, so kann man z. B. ftir die Zmhl 60 wie folgt vorgehen 60

6.10

2.3.2.5

oder

60

4.15

2.2.3.5.

In beiden Fallen ergeben sich bis auf die (willktirliche) Reihenfolge der Primfaktoren dieselben Zerlegungen. Wit sind v o n d e r Schule her gewohnt, dies als etwas ganz Selbstverst~indliches zu betrachten: B u m multiplikativen Abbau einer Zahl ergeben sich am SchluB als letzte Bausteine stets dieselben Primfaktoren. Es ist Max, dab diese Eindeutigkeit der Primzerlegung bewiesen werden muB. Bei gr6Beren Zmhlen verschwindet auch bald das Geftihl der Sicherheit: Hat man etwa 30031 glticklich in die beiden Primfaktoren 59.509 zerlegt, so kann man die bohrende Frage eines Skeptikers, ob es nicht doch noch andere Primzahlen auBer 59 und 509 giN, die in 30031 aufgehen, nut mit einem vagen ,,es muB so s u n " beantworten. Es ist eine wundersame Ftigung, dab die griechischen Mathematiker die Notwendigkeit versptirt haben, die in Rede stehende Eindeutigkeit der Primzerlegung nachzuweisen. Bereits EUKLID bewies urn 300 v. Chr. korrekt die notwendigen Schritte! Unser Beweis der Eindeutigkeit in Abschnitt 2 basiert auf dem Korollax zum Fundamentallemma 1.4, also letztlich auf der Division mit Rest. Daneben ftihren wit in Abschnitt 3 eine von Ernst ZERMELO herrtihrende kunstvolle, indirekte SchluBweise an, die nut ganz einfache Eigenschaften der nattirlichen Zahlen heranzieht. Im Kapitel 3 werden wit einen weiteren, mehr begrifflichen Beweis geben, der auch ftir allgemeinere Ringe als Z funktioniert.

1.2.1 Existenz einer Primzerlegung

29

1. Existenz einer Primzerlegung. Ist a > 1 eine natfirliche Zahl, so heil3t jede P r i m z a h l p, die a teilt, ein P r i m t e i l e r o d e r auch ein P r i m f a k t o r yon a. Jede Darstellung a = P i P 2 9 ... " P ,

von a als P r o d u k t v o n endlich vielen P r i m z a h l e n P l, P2, .-., P,, heiBt eine P r i m z e r l e g u n g yon a (genauer w~re: P r i m f a k t o r z e r l e g u n g

yon a).

Es erweist sich als zweckm~il3ig, auch P r o d u k t e mit null F a k t o r e n zuzulassen (leere Produkte). D a z u treffen wit folgende formale K o n v e n t i o n : Ein P r o d u k t P x P 2 " . . . "Pn aus n F a k t o r e n hat im Spezialfall n = 0

den Weft 1. Diese K o n v e n t i o n ist in Analogie zur V e r a b r e d u n g bei S u m m e n zu sehen, wo m a n unter einer S u m m e cl + ... + c, von n S u m m a n d e n im Spezialfall n = 0 fiblicherweise den Wert 0 versteht (leere Summe). Gem/ii3 unserer K o n v e n t i o n besitzt auch die Z a h l 1 eine P r i m z e r l e g u n g mit 0 P r i m f a k t o r e n . Wir zeigen nun die

Existenz einer Primzerlegung:

J e d e natiirliche Z a h l a >= 1 b e s i t z t eine P r i m z e r l e -

gung a = PlP2 " ... "P,. D a b e i k a n n m a n f f i r P l s p e z i e l l den k l e i n s t e n P r i m t e i l e r t yon a wdhlen.

Wir schlieBen induktiv. Ffir a : = 1 trifft die B e h a u p t u n g zu (leeres Produkt). Sei a > 1, und sei vorausgesetzt, d a b die B e h a u p t u n g fiir alle natfirlichen Zahlen a' mit 1 = a' < a richtig ist. N a c h Satz 1.2 besitzt a einen kleinsten Primteiler t. Es besteht d a n n eine G l e i c h u n g Beweis:

a=tb

mit

1 1. Sind d a n n a = Pl ' -.. "P, und a = q~ . . . . . qm zwei P r i m z e r l e g u n g e n von a, so besagt die G l e i c h u n g P l 9 . . . " P , = q l " . . . 9 qm speziell Pl J q~ " ... ' qm" Mit dem K o r o l l a r zum F u n d a m e n t a l l e m m a 1.4 folgt d a r a u s P l l q j for einen Index j, 1 < j < m, wobei m a n nach U m n u m e r i e r e n von q~ . . . . . q,~ ohne Einschrfinkung j = i a n n e h m e n kann. D a ql eine P r i m z a h l ist, ergibt sich nun t)~ = q~ aus L e m m a 1.2 wegen p l > 1. Aufgrund der K 0 r z u n g s r e g e l 0.i besitzt die Zahl a' : = P 2 " . . - ' P , also die beiden P r i m z e r l e g u n g e n P 2 ' . . . " P , und q 2 " . . . " q , , , wobei erstere aus n 1 P r i m f a k t o r e n besteht. N a c h der I n d u k t i o n s v o r a u s s e t z u n g folgt d a n n n - 1 = m - 1 und, nach geeignetem U m n u m e rieren, P2 = q2 . . . . . Pn = q,' Somit ist die Eindeutigkeit der Primzerlegung bewiesen.

B e m e r k u n g : Der soeben gef6hrte Eindeutigkeitsbeweis benutzt versteckt (beim Verwenden der Division mit Rest im Beweis des F u n d a m e n t a l l e m m a s t.4), a b e t entscheidend die additive S t r u k t u r yon N . I m Beweis der Existenz einer P r i m zerlegung wird die additive S t r u k t u r von N nicht herangezogen. D a Primzerlegungen n u t die multiplikative S t r u k t u r von N betreffen, wird m a n fragen, ob auch ein Eindeutigkeitsbeweis m6glich ist, der n u t die multiplikative S t r u k t u r verwendet. Die Antwort ist n e i n . Wit geben dazu ein ebenso einfaches wie eindrucksvolles Beispiel, welches zugleich iiberzeugend darlegt, d a b der G l a u b e an die logische Selbstverstfindlichkeit der Eindeutigkeit der Primzerlegung ein I r r g l a u b e ist. Wir betrachten die Menge D aller nat6rlichen Zahlen, die , b e i Division d u t c h 3 den Rest I h a b e n " , d.h. D : = {3k + 1 : k e N } . Wir b e m e r k e n als erstes: D ist m u l t i p l i k a t i v a b g e s c h l o s s e n , d. h. mit endlich vielen Elementen a 1 . . . . . a, e D liegt auch a t 9 ... 9a,, in D. Dies ist klar ftir n = 0 und n = 1. F i i r n = 2 ist dies richtig, da stets gilt: (3k~ + 1)(3k 2 + 1) = 3 ( 3 k l k 2 + k 1 q- k2) q- 1; fiir beliebige n > 2 folgt die B e h a u p t u n g nun induktiv. Wie in ~ nennen wir in D eine Z a h l c c D u n z e r l e g b a r (wir vermeiden aber das Wort ,,Primzahl"), wenn c > 1 und wenn aus c = a b mit a, b e D folgt: a = 1 oder b = 1. Die ersten unzerlegbaren Zahlen aus D sind 4, 7, 10, 13, 19,22, 25, 31; wegen 16 = 4 . 4 und 28 = 4 . 7 sind 16 und 28 nicht unzerlegbar. M a n zeigt leicht durch I n d u k t i o n (analog wie im Beweis der Existenz einer Primzerlegung): J e d e Z a h l a 9 D ist a l s e n d l i c h e s P r o d u k t a = c 1 9 . . . 9G yon in D unzerlegbaren

Zahlen

c l , . . . , c. 9 D

darsrellbar.

Die vielleicht erwartete Eindeutigkeit der D a r s t e l l u n g gilt aber nicht mehr; so hat die Zahl 100 9 D die beiden Zerlegungen 100 = 4 9 25 und 100 = 10 - 10 in unzerlegbare F a k t o r e n , die sich nicht nur in der Reihenfolge der F a k t o ren v o n e i n a n d e r unterscheiden! Definiert m a n in D Teilbarkeit und Primeigenschaft a n a l o g wie in 27, so gilt in D, d a b 4110- 10, aber 4 X 1 0 , d.h., die in D unzerlegbare Zahl 4 besitzt nicht die Primeigenschaft (vergleiche hierzu auch Kapitel 3).

!.2.2 Eindeutigkeit der Primzerlegung

31

Man sieht an diesem Beispiel, dab in jedem Beweis der Eindeutigkeit der Primzerlegung notwendig fiber die multiplikative Struktur von N hinausgehende Eigenschaften der natfirlichen Zahlen herangezogen werden mfissen, die die Menge D nicht besitzt, wie etwa die additive Abgeschlossenheit von N, die ffir D nicht richtig ist: 4 ~ D, aber 8 = 4 + 4 ~ D, oder allgemeiner: Mit 3ba + I ~ D und 3b2 + 1 ~ D gilt stets: (3b I + 1) + (3b 2 + 1) = 3(b 1 + b2) + 2 ~ D. Die Primfaktoren in der Primzerlegung einer natfirlichen Zahl sind i.a. nicht paarweise voneinander verschieden. Wir treffen folgende

Vereinbarung: 1) Gleiche P r i m f a k t o r e n p,. in einer P r i m z e r l e g u n g a = P l P 2 " . . . "P, werden zu P o t e n z e n p~v zusammengefaflt (dabei miflt m v die VielJachheit des Vorkommens von p~ als F a k t o r in der Primzerlegung). 2) Die ReihenJolge der P r i m z a h l p o t e n z f a k t o r e n pray in einer P r i m z e r l e g u n g yon a wird gemd/3 der natiirlichen A n o r d n u n g 2 < 3 < 5 < 7 < 11 < ... der P r i m z a h l e n normiert (also Pl < P2 < ...). Korollar: J e d e natfirliche Z a h l a :# 0 besitzt genau eine P r i m z e r l e g u n g ml

m2

a = p l P2 " . . . " P7~ mit P r i m z a h l e n p~ < P2 < ... < P~ und E x p o n e n t e n ml > 1. . . . . m r > 1. Beweis. Klar auf Grund der vorangegangenen S/itze und der soeben getroffenen

Vereinbarung. Wir haben in der Formulierung des Korollars bewul3t die Primzahlen von 1 bis r u n d nicht mehr von 1 bis n numeriert, da die Zahl n der Faktoren aus dem Existenzsatz bei Faktorenzusammenfassung i.a. verkleinert wird. ~.311,531 = 3 2 . 5 9 1 , 1 0 0 0 = 2 3 . 5 3 .

Beispiele:372=22.3

Es lassen sich nun sofort alle ganzen Zahlen in die Betrachtungen einbeziehen im

Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie: J e d e g a n z e Z a h l a ~ 0 besitzt genau eine Darstellung a = e,p lml P2m2

.

. . . . pmrr = e -f i- p o ~ Q=I

m i t e = +_ 1, P r i m z a h l e n P l < P2 < ... < Pr und E x p o n e n t e n m~ > 1 . . . . . m r > 1. Beweis: Klar auf Grund des Korollars, da ffir jede negative ganze Zahl a + 0 gilt:

a=(--1).(--a)mit

-a~N.

D

Es sei wiederholt, dal3 auch der Fall r -- 0 des leeren Produktes 1 zugelassen ist, also a = _+ 1. Man nennt die durch den Hauptsatz gegebene Zerlegung von a die kanonische P r i m z e r l e g u n g yon a.

32

Kritische Bemerkungen

1.2.4

3*. Der Eindeutigkeitsbeweis von ZERMELO. Wir geben eine auf Ernst ZERMELO ( / 8 7 1 - 1953) zurOckgehende Beweisversion ffir die Eindeutigkeit der Primzerlegung an, die nur die Rechen- und A n o r d n u n g s r e g e l n ffir natOrliche Zahlen und das Prinzip der vollstfindigen I n d u k t i o n verwendet, nicht abet die Division mit Rest: In der Situation des Eindeutigkeitssatzes von Abschnitt 2 f0hren wit diesmal I n d u k t i o n nach a. Ffir a = 1 ist die B e h a u p t u n g richtig (leere P r o d u k t e mit re=n=0). Sei a > 1 und die B e h a u p t u n g ffir alle a' mit 1 < a ' < a bewiesen. Sei ohne Einschrfinkung p : = p t die kleinste unter allen Primzahlen P x , . . . , P , , q l . . . . . % . Wit setzen b ' = P2 ' ' . - ' Pn, also a = p b . Wir ffihren zunfichst folgende A n n a h m e zum W i d e r s p r u c h : Es giltp 4= q , ffir alle l~ = 1. . . . . m. Dazu setzen wit q ' = ql, c ' = q2 " ..- ' qm, also a = q c . N a c h Ann a h m e fiber p gilt p < q. Definieren wir a " = a - pc:, so gilt 1 < a' < a wegen p c < q c = a. Die Zahl a' gestattet wegen a = p b = q c Faktorisierungen d = p ( b - c) = (q - p ) c dabei sind auch die F a k t o r e n q - p, b - c u n d c natfirliche Zahlen > 1 und < a. N a c h I n d u k t i o n s v o r a u s s e t z u n g haben also a', q - p, b - c, b und c sfimtlich eindeutige Primzerlegungen. Die Gleichung a' = p ( b - c) zeigt, dab p in d e r Primzerlegung yon a' v o r k o m m t . Wegen der Eindeutigkeit folgt daher aus der Gleichung a' = (q - p) c, dab p in d e r Primzcrlegung yon q - p oder c v o r k o m m e n muB. D a c = q 2 . . . " q,, d i e Primzerlegung von c ist und da p nach A n n a h m e von allen q2 . . . . . q,, verschieden ist, tritt p in d e r Primzerlegung yon q - p a u f . Es gibt also eine natfirliche Zahlkmitq-p=pk, d . h . q = p ( k + 1),d.h. p l q , u n d d i e s i s t w e g e n l < p < q ein Widerspruch zur Primzahleigenschaft von q. Dieser Widerspruch zeigt, dab es einen Index.j, 1 < j < m, geben muB m i t p = q,i" Wir numerieren die q, so, dab gilt: p~ = p = ql. Aus der Kfirzungsregel folgt nun: b = P2 9 -.. "P,, = q 2 " . . . " qm" Da auch, wie oben bemerkt, die Primzerlegung von b eindeutig ist, so gilt n - 1 = m - 1 und q2 = P 2 . . . . . qm =Pm (bei geeigneter N u m e r i e r u n g der q2 . . . . , qm). D a auch pl = q~, ist der Eindeutigkeitssatz bewiesen. Der obige Beweis ist nicht nur vom F u n d a m e n t a l l e m m a 1.4 unabhS, ngig, sondern m a n k a n n dieses sogar umgekehrt aus der Eindeutigkeit der Primzerlegung folgern. Der Leser lege sich dazu selbst einen Beweis zurecht.

4*. Kritische Bemerkungen. Der Zermelosche Z u g a n g zum H a u p t s a t z der elementaren Zahlentheorie ist wohl der eleganteste und ,,6konomischste", aber gewiB nicht unbedingt der didaktisch beste. NatOrlicher scheint der von uns eingeschlagene Weg zu sein, zunfichst das F u n d a m e n t a l l e m m a 1.4 zu beweisen und anschlieBend den H a u p t s a t z zu folgern. ,,In einer Anffingervorlesung wfirde ich es fibrigens doch vorziehen, die Division mit Rest voranzustellen, erstens, weil man sie nachher doch braucht .... zweitens aber vor allem darum, weil die indirekte (Zermelosche) Beweismethode psychologisch nun einmal

1.3.1 Anzahl aller positiven Teiler

33

weniger iiberzeugend ist . . . . AbschlieBend mGchte ich sagen . . . . daB Z e r m e l o s Beweis ... im U n t e r r i c h t woh! erst da a m Platz ist und auch erst da v o m L e r n e n d e n richtig gewfirdigt werden k a n n , wo die A u f m e r k s a m k e i t d a r a u f gerichtet ist, den Satz v o n d e r eindeutigen Zerlegung in P r i m e l e m e n t e von d e m Bereich der natiirlichen Z a h l e n auf andere Bereiche der Z a h l e n t h e o r i e o d e r Algebra zu /.ibertragen." (Aus einem Brief von E. BESSEL-HAGEN an H. ULM, auszugsweise a b g e d r u c k t in den Semesterberichten Mfinster 11 (1937/38), S. 123-126). Schon EUKLID bewies zunfichst das F u n d a m e n t a l l e m m a , wobei er a u f d e m heute nach i h m b e n a n n t e n Euklidischen A l g o r i t h m u s a u f b a u t e (vgl. 2.1.2). D e r in 1.4 gegebene kurze und recht einfache Beweis geht auf GAUSS ( D i s q u i s i t i o n e s A r i t h m e t i c a e , Art. 13, 14) zurfick, fand j e d o c h in der Folgezeit wenig Beachtung. ,,Es ist historisch merkwiirdig, daB dieser einfache Beweis in Vergessenheit geriet. DIRICHI.ET knfipfte in seinen Vorlesungen wieder an EUKLID und den Euklidischen A l g o r i t h m u s an, und so setzte sich die M e i n u n g fest, d a b der Euklidische A l g o r i t h m u s ... die wesentliche G r u n d l a g e ffir a n a l o g e Beweise in hGheren Z a h l e n g e b i e t e n bilden mfisse . . . . So hat in diesem einen P u n k t e ausn a h m s w e i s e DIRICHLET die Z a h l e n t h e o r i e zuri.ickgebracht; hGchst w u n d e r b a r bei allem, was er sonst fiir die Z a h l e n t h e o r i e an unvergleichlich SchGnem geschaffen hat." (Aus d e m schon zitierten Brief von E. BESSEL-HAGEN an H. ULM.) Aufgaben:

1) Folgern Sie aus der Eindeutigkeit der Primzerlegung das Fundamentallemma 1.4. 2) Ffihren Sie ffir die Menge E : = {4k + 1 : k e N } entsprechende Betrachtungen durch wie ffir die Menge D aus der Bemerkung in Abschnitt 2. Zeigen Sie insbesondere, daB in E die Zerlegung in in E unzerlegbare Elemente nicht eindeutig bis auf Reihenfolge ist. 3) Seien a und b positive natfirliche Zahlen mit der Eigenschaft, daB es keine Primzahl gibt, die zugleich a und b teilt. Beweisen Sie: Gibt es ein c ~ N mit ab = c 2, so existieren x, y ~ N mit a = x 2 und b y2. 4) ES seien a, b natfirliche Zahlen, ffir die gilt: a l b 2, b 2 ]a 3, a 31 b4, b41 a 5..... =

Zeigen Sie: a = b.

w3

Anwendungen des Hauptsatzes

Wir geben in diesem P a r a g r a p h e n signifikante A n w e n d u n g e n , die auch in der historischen E n t w i c k l u n g der e l e m e n t a r e n Z a h l e n t h e o r i e eine groBe Rolle gespielt haben. 1. Anzahl aller positiven Teiler. D e r H a u p t s a t z liefert sofort ein wichtiges

Teilbarkeitskriterium:

Es

sei

a > 1

eine

a = p"~' 9p ~ : 9 . . . 9p r~ i h r e k a n o n i s c h e P r i m z e r l e g u n g .

natfirliche

Zahl

und

Dann sind folgende Aussa-

Anzahl aller positiven Teller

34 gen iiber eine natiirliche

i)

Zahl

1.3.1

b > 1 a'quivalent:

bla.

ii)

E s g i l t b = p"~' 9 p ~

9 . . . . p " ~ " m i t 0 2 schreibt sich eindeutig in der F o r m a = 2 ~- 1 b, wo s > 2 und b ungerade ist. Wir zeigen folgende .

Charakterisierung der geraden vollkommenen Zahlen: F o l g e n d e A u s s a g e n fiber eine natfirliche Z a h l a = 2 ~ 1 b, s >= 2, b ungerade, sind dquivalent:

i) ii)

b ist P r i m z a h l , und es gilt: b = 2 ~ - 1. a ist vollkommen.

B e w e i s : i) => ii): N a c h Voraussetzung ist b 4= 2 Primzahl und also a = 2 s ~ 9b die

Primzerlegung von a. N a c h Satz 3 gilt daher: =

2~_1

b2_1

-

1 ) . (b + 1).

D a b + 1 = 2 ~ -- 2 92 ~ 1 nach Voraussetzung gilt, so folgt: a(a)=2.2

~-1.(2 ~_1)=2a.

ii) => i): D a b ungerade ist, k o m m e n in der kanonischen Primzerlegung yon b nur Primzahlen 4= 2 vor. Fiir a = 2 ~- 1. b gilt d a h e r nach Satz 3: 2Sb = 2a = 6(a) = a(2 s - x ) . a(b) = (2 s -

1) a(b).

Hieraus folgt: a(b) *

25 b = b + c 2s - 1

mit

c:---

b >0. 25- 1

PLATON verwendet im S t a a ! den Begriff ,,vollkommene Zahl" anders als oben deft-

niert, ebenso ARISTOTELES(384--322 V.Chr.) in der Metaphysik.

38

Vollkommene Zahlen

1.3.4

Wegen a(b) e N und b c N gilt c e ~, also c ~ N • Die Gleichung b = c(2 s - 1) lehrt, d a b c ein positiver Teiler von b ist. Wegen o ( b ) = b + c sind d a n n b und c die einzigen positiven Teiler v o n b. D a b = (2 s - 1) c > 3 wegen s > 2 und c > 1, m u g b eine P r i m z a h l sein, und es m u g gelten c = 1, d.h. b = 2 ~ - 1 ~IP. Bemerkung: Die V o l l k o m m e n h e i t aller Z a h l e n 2 ~ ~ 9 (2 ~ - 1), wo der zweite F a k tor P r i m z a h l ist, war bereits EUKLID bekannt. Wir wollen prfifen, was sich ffir s = 2, 3, 4 . . . . ergibt:

s=2:b=22-1

=

3elP,

a=

2

s=3:b=23-1

=

7tiP,

a=

4

s=4:b=24-1=

15~IP,

a=

s=5:b=2S-1

=

31elP,

a-16

s=6:b=U'-l= s= 7:b=27-1

63~1P, = 127elP,

a=32 a=64

3 =

6,

vollkommen

7 =

28,

vollkommen

15,

8

31=

unvollkommen 496,

63, 127 = 8128,

vollkommen unvollkommen vollkommen.

Die ersten vier geraden v o l l k o m m e n e n Zahlen sind also 6, 28, 496, 8128; diese waren schon den Griechen vertraut. Die Frage, ob es a u g e r den von EUKHD a n g e g e b e n e n geraden v o l l k o m m e n e n Zahlen noch weitere solche Zahlen gibt, wurde erst 2000 J a h r e nach EUKLID von EULER negativ b e a n t w o r t e t : Er gab den ersten Beweis der I m p l i k a t i o n i i ) ~ i). Wfihrend die F r a g e nach den geraden v o l l k o m m e n e n Zahlen durch das obige Ergebnis grundsfitzlich gcl6st ist, hat m a n n o c h keine u n g e r a d e n v o l l k o m m e n e n Zahlen angeben k6nnen. Der naheliegende Versuch, die Gleichung a(a) = 2 a in der P r o d u k t g e s t a l t

h P o=1

+1-1-2 Hr Po - 1

o=l

,.o

wo also

Po '

2 < Pl < ... < Pr,

zu bezwingen, fiihrt schnell in ein L a b y r i n t h von Teilbarkeitsbedingungen, das zu Depressionen Anlal3 gibt. I m m e r h i n hat m a n folgendes zeigen k6nnen" Eine ungerade vollkommene Z a h l a hat mindestens 8 verschiedene Primteiler (d. 1l. r>8). Es gibt keine ungerade vollkommene Z a h l a m i t a < 10 s~

Als Probe, wie m a n diese Frage anpackt, b e m e r k e n wir, d a b u n g e r a d e v o l l k o m mene Zahlen zwei verschiedene Primteiler h a b e n miissen: Eine Z a h l a = p " ist nfimlich niemals v o l l k o m m e n , da wit wissen (DESCARTES): pm a(a) =

__

I

p -- 1

4- t )m --

a

--

1

p -- 1

+a 1 defizient bzw. abundant, wenn gilt a(a) < 2a, bzw. a(a) > 2a. In den eben formulierten Aussagen wird also behauptet, d a b alle u n g e r a d e n natfirlichen Zahlen, die h 6 c h s t e n s 2 verschiedene Primteiler haben, defizient sind. Die Z a h l 12 ist a b u n d a n t , da wegen 12 = 21 . 3 gilt: i(12)

= (23 - - 1) 94 =

28 > 24.

Wir zeigen n u n noch, d a b es extrem a b u n d a n t e Z a h l e n gibt. S a t z : Sei n ~ N , n > 1, und sei a : =

i(a) a

1

>1+

+

1

+

1

+

=

n!. Dann gilt

+ "'"

1

.

n

Speziell gibt es zu jeder (noch so groflen) natiirlichen Zahl N eine natiirliche Zahl a > 1, so daft gill : a(a) > N ' a. Beweis: Fiir jedes a _> 1 gilt laut Definition: a(a) = Z d, also a(a) a

dla

d

--~. d]a a

.

N u n geh6rt zu jedem Teiler d yon a der s o g e n a n n t e komplementdre Teiler d':

a

~. Durchl/iuft

d alle positiven Teiler von a, so durchl/iufl auch d' alle positiven Teiler yon a. D a h e r folgt: if(a)

a

1

1

Y d'

7'

d'la

wobei wir zuletzt einfach wieder d statt d' geschrieben haben. W/ihlt m a n n u n speziell a = n!, so sind sicher alle Z a h l e n 1, 2, 3 . . . . . n - 1, n positive Teller von a. D a h e r ist in diesem Fall

i(a) a

>1+ =

1 2

+

1 3

+

1 4

+

"'"

+

1 n

.

Hier steht rechts eine P a r t i a l s u m m e der h a r m o n i s c h e n Reihe. Wir fibernehmen n u n aus der Infinitesimalrechnung den Satz, d a b diese P a r t i a l s u m m e d u r c h geeignete Wahl yon n beliebig grol3 gemacht werden k a n n (Divergenz der h a r m o n i s c h e n Reihe). Speziell gibt es d a h e r zu j e d e m N > 1 ein n > 1, so d a b gilt

i(n!) >N. n! 5. M e r s e n n e s c h e P r i m z a h l e n . D u r c h d i e C h a r a k t e r i s i e r u n g gerader vollkommener Zahlen im vorigen Abschnitt wird man automatisch zu folgender F r a g e g e f f i h r t : Fiir w e l c h e E x p o n e n t e n s > 1 ist 2 ~ -- I eine P r i m z a h l ? W i r s e t z e n z u n f i c h s t M s : = 2 s - - 1 e N • f f i r j e d e n a t f i r l i c h e Z a h l s > 1. F a l l s M s ~ IP, s o heil3t M~ eine M e r s e n n e s c h e Primzahl.

40

Mersennesche Primzahlen

1.3.5

Mit dieser Bezeichnung wird der franz6sische F r a n z i s k a n e r m 6 n c h M. MERSENNE (1588 1648) geehrt, der grol3e Anstrengungen unternahm, solche Primzahlen zu finden, und z.B. mit den franz6sischen M a t h e m a t i k e r n P. FERMAT (1601 -1665) und R. DESCARTES (1596 1650) dariiber korrespondierte. Es lfil3t sich sofort zeigen: Satz: Die Zahl M~ = 2 ~ - I ist hdchstens dann eine Mersennesche Primzahl, wenn der Exponent s selbst eine Primzahl ist. Beweis. Ist nfimlich s ein P r o d u k t s = u t~'aus natiirlichen Zahlen u > 1, ~ > 1, so hat man die Faktorisierung (endliche geometrische Reihe!)

2 ~ - 1 = (2u)''

1 = (2 u - 1} (1 + 2" + (2") 2 +

.

.

.

+ (2")~'-1),

in der beide F a k t o r e n rechts > 1 sind. In diesem Fall ist also auch M, zerlegbar. Wir haben in Abschnitt 4 bereits gesehen, dab in den F~illen p = 2, 3, 5, 7 in der Tat die Zahlen Mp = 3, 7, 31,127 Mersennesche Primzahlen sind. Es ist nun aber keineswegs so, dal3 jede Primzahl p zu einer Primzahl 2 p - 1 ftihrt, wie vide Mathematiker, d a r u n t e r kein geringerer als G.W. LEIBN1Z (1646 1716), geglaubt haben. Schon f/Jr p = 11 erhfilt man die zusammengesetzte Zahl M l l =211 - 1

=2047=23-89

Ftir p = 13, 17, 19 ergeben sich wieder Primzahlen; zu p = 23 geh6rt erneut eine zusammengesetzte Z a h l So werden wit in 5.1.1 mittels K o n g r u e n z e n zeigen, dab 47 ein Teiler von Mz3 ist. MERSENNE selbst hat alle Zahlen Mr, wobei p die Primzahlen < 257 durchlfiuft, untersucht; allerdings enthalten seine Rechnungen Fehler. Heute weil3 man: Es sei p < 257 eine Primzahl. Dann ist Mp genau dann eine Mersennesche Primzahl, wenn p eine der folgenden zw6(f Zahlen ist:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127. Es gilt z.B.: 471M23, 2 3 3 t M 2 9 , 2231 M 3 7 , 4 3 1 1 M 4 3 , 1671Ms3. Inzwischen hat man mit Hilfe elektronischer Rechenanlagen noch weitere ,,sehr grol3e" Primzahlen p > 257 gefunden, die Mersennesche Primzahlen liefern; so fand man z.B. 1963 mit dem ILLIAC C o m p u t e r der University of Illinois, dab zu p ' = 11 213 die 23-te Mersennesche Primzahl geh6rt; die zugeh6rige vollkommene Zahl 211212(211213 - - 1 ) besteht aus 6751 Ziffern. Das P o s t a m t in Urbana, 111., tat der Welt dieses Resultat d u t c h einen Poststempel kund:

11213_ l FE,--',,

IS

PRIME

\

J

P.B.'t;21 I NeTIEE

-.0

0 .

I:

]" 1: 9

1.3.6 Fermatsche Primzahlen

41

Mittlerweile kennt man noch gr613ere Mersennesche Primzmhlen, vgl. 2.2.4; dessen ungeachtet ist die prinzipielle Frage, ob unendlich viele Mersennesche Primzmhlen (und entsprechend unendlich viele gerade vollkommene Zahlen) existieren, bis heute unbeantwortet geblieben. 6. F e r m a t s c h e P r i m z a h l e n . In diesem Abschnitt behandeln wir Fermatsche Primzahlen, d.h. Primzahlen der Form 2 S + 1 mit s E IN • . Diese Primzmhlen haben zwax nichts mit vollkommenen Zahlen zu tun, stehen aber in einem engen formalen Zusammenhang mit Mersenneschen Primzmhlen und spielen eine groge Rolle in der Theorie der Kreisteilung; ihr Name ist zu Ehren des grogen franz6sischen Zmhlentheoretikers Pierre de FERMAT gewSahlt. Wir zeigen sofort: Satz: Die Zahl 2 ~ + 1 ist hOchstens dann eine Fermatsche Primzahl, wenn der Exponent s eine Zweierpotenz ist." s U, t E IN. Beweis: Es gilt s k v mit k U, t E IN, und einer ungeraden nattirlichen Zahl v. Wegen ( - 1 ) v - 1 ist dann: 1 + U 1 - ( - 2 ~ f f . Die Summenformel

1-x ~

(l-x)(1 +x+x2+...

+ x ~ 1)

ffir die endliche geometrische Reihe liefert (mit x : 1+2 s

- 2 ~)

(1 +2~)(1 _ 2 ~ + 2 2 ~ _ 23~ + . . . +2(v 1)~).

Im Falle v > 1 gilt k < s und also 1 < 1 + 2 ~ < 1 + 2 s. Dann stehen rechts zwei Faktoren > 1, und man hat eine echte Zerlegung von 2 ~ + 1. Soll 2 S + 1 eine Primzmhl sein, so mug daher notwendig v 1 gelten, d.h. s mug Zweierpotenz sein. [] Man kennt nur ftinf Fermatsche Primzahlen, und zwar 22t + 1

3,5, 17,257, 65537

mit

t

0,1,2,3,4.

FERMAT selbst hat noch vermutet (Sahnlich wie LEIBNIZ von den Mersenneschen Primzmhlen), dab ftir jedes t E IN wirklich eine Primzmhl 22t + 1 entsteht. Doch bereits f i i r t 5 ist 225 + 1 232 + 1 durch 641 teilbax, wie wir in 5.1.1 mittels Kongruenzenrechnung sehen werden. Die Fermatschen Primzmhlen sind von grol3er Bedeutung in der Theorie der Kreisteilung. GAUSS hat n~imlich folgendes bewiesen: Es sei m > 3 eine ungerade natiirliche Zahl. Dann ist das reguldre m-Eck genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar (d. h. die m-Teilung des Kreises ist mOglich), wenn m ein quadratfreies Produkt Fermatscher Primzahlen ist. Die gr613te bisher bekannte solche Zmhl m ist 3 . 5 . 1 7 . 257. 65537 232 - 1. Wir haben in diesem Paragraphen drei Fragen behandelt, die ungel6st sind: 1) Gibt es ungerade vollkommene Zahlen ? 2) Gibt es unendlich viele Mersennesche Primzahlen 2 p - 1, p E P ? 3) Gibt es unendlich viele Fermatsche Primzahlen 22~ + 1, t E IN?

42

Primzerlegung in Q

1.4.1

Wie keine andere m a t h e m a t i s c h e Theorie ist die elementare Z a h l e n t h e o r i e reich an solchen P r o b l e m e n , die einem N i c h t m a t h e m a t i k e r verst/indlich g e m a c h t werden k6nnen, deren L 6 s u n g jedoch bis heute trotz der A n s t r e n g u n g e n vieler ausgezeichneter M a t h e m a t i k e r nicht gelungen ist. AL~aben: 1) Sei a e N ~. Zeigen Sie: a ist genau dann eine Quadratzahl, wenn r(a) ungerade ist. 2) Zeigen Sie fiir eine natfirliche Zahl a > 1: Es gilt P(a) - a 2 genau dann, wenn entweder a = p3 oder a = pq, p, q e P, p 4= q, ist. 3) Sei a > 1 eine ungerade natfirliche Zahl, a - p'~"'p~ ihre kanonische Primzerlegung. Zeigen Sie: a(a) < 2a. ! 4) Sei a _> 1 eine vollkommene Zahl. Zeigen Sie: ~ ~ = 2. dla

5) Sei /:;,:- 22"+ 1 ffir h e N • Zeigen Sie ffir k E N • F,,ist ein Teiler von k;,+k 2. 6) Sei neine gerade vollkommene Zahl. Zeigen Sie: Die letzte Ziffer (der Dezimaldarstellung) von n ist 6 oder 8. w4

Zahlentheorie im K6rper Q

Wir h a b e n im v o r a n g e h e n d e n P a r a g r a p h e n bereits sowohl bei der F o r m u l i e r u n g als auch beim Beweis von S~itzen Bruchdarstellungen verwendet (z.B. im Satz 3.3 und im Beweis yon Satz 3.4). W i t sind also, obwohl wir U n t e r s u c h u n g e n im Ring 7Z der ganzen Zahlen anstellten, in den K 6 r p e r Q der rationalen Zahlen ausgewichen. Es ist d a h e r nicht mfiBig, wenn wir uns nun etwas n/iher mit Bruchdarstellungen an sich besch/iftigen. Unser H a u p t a n l i e g e n hier ist die Erweilerung des F u n d a m e n t a l s a t z e s der e l e m e n t a r e n Zahlentheorie v o n ~ auf Q. Wir d e m o n s t r i e r e n die K r a f t dieses Satzes ffir Q, indem wit einige Irrationalit'/itsbeweise ffir Wurzeln ftihren. Eine besonders elegante F o r m des H a u p t s a t z e s der elementaren Z a h l e n t h e o r i e gewinnt man, wenn m a n die Vielfachheitsfunktion w , ( a ) einffihrt. W i t diskutieten diese Dinge nut soweit, wie sie z u m Verst/indnis der e l e m e n t a r e n Zahlentheorie unbedingt notwendig sind; der ,,h6here S t a n d p u n k t " , der u.a. zur allgemeinen Bewertungstheorie ffihrt, k a n n nur angedeutet werden. W i t beschliel3en diesen P a r a g r a p h e n mit einer kurzen Diskussion der figyptischen Bruchdarstellungen. D a b e i beweisen wir auf gfinzlich elementare Weise die Existenz der s o g e n a n n t e n Fibonaccidarstellung. 1. Primzerlegung in @. Die Tatsache, d a b jede rationale Zahl 7 + 0 ein Bruch mit ganzzahligem Z'/ihler und positivem N e n n e r ist, f~ihrt schnell zu folgender Verallgemeincrung des H a u p t s a t z e s der elementaren Z a h l e n t h e o r i e ffir ~.

Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie fiir @: J e d e r a t i o n a l e Z a h l 7 4= 0 b e s i t z t g e n a u eine D a r s t e l l u n g

1.4.1 Primzerlegung in Q rll I

rtl 2

,

43

mr

Pl P2 "" "Pr ql/11 q2n 2 " ".. " q~s mit f o l g e n d e n Eigenschaften: 1) Es

2)

gilt

e=_+l;

r, s E N ;

Pl,...,Pr,

ql,...,qs~lP;

ml,...,mr,

r/I~...~HsE]N • Pl . . . . , Pr, q l , . . . , qs sind paarweise verschieden; es gilt: Pl < P2 < ... < Pr und ql < q2 < ... < qs. (1

Beweis: E x i s t e n z der Darstellung: Sei 7 = ~ mit a ~ Z, b ~ N ~. D a b 4= 0 und a 4= 0 wegen 7 4: 0, h a b e n a und b Primzerlegungen in 7/. Schreiben wir diese Zerlegungen hin und ktirzen wir nach den Rechenregeln fiir Brtiche die gemeinsamen P r i m f a k t o r e n aus Z/ihler und N e n n e r weg, so gewinnen wit eine Darstellung P 7=e~ ,,2. . . . ' P ~ r , Q = q ] , q ~ 2 . . . . , , wo e = -+ 1 ist und P = Pl,,1 P2 q,,, Primzerlegungen sind mit m 1.... , mr, nl ..... ns ~ N • u n d p~ ..... Pr, qa ..... qs ~ P paarweise verschieden. D u r c h U m n u m e r i e r e n k 6 n n e n wir n o c h erreichen, d a b gilt p~ < P2 < ... < Pr u n d q~ < q2 < ... < qs. Eindeutigkeit der Darstellung: Sei neben der eben gefundenen Darstellung P ~, P ' ;, = t: Q noch eine zweite Darstellung 7 = Q, vorgelegt mit d = _+ 1, wo die P r i m f a k t o r e n von P ' von den P r i m f a k t o r e n von Q' d u r c h w e g verschieden sind. P = r.' P ' Aus ~ Q ~ erhalten wir d u r c h Multiplikation mit Q 9 Q' eine Gleichung im Ring 7 / d e r ganzen Zahlen: ePQ'=e'P'Q. Wegen der Eindeutigkeit der Primzerlegung in 7Z folgt hieraus zun/ichst r. = ~' und weiter, dab die P r i m f a k t o r e n von P, weil sie s/imtlich von denen von Q verschieden sind, unter den P r i m f a k t o r e n von P' (mit mindestens denselben Exponenten) v o r k o m m e n . Ebenso e n t n e h m e n wir obiger Gleichung, dab die P r i m f a k t o r e n von P', da sie alle von denen von Q' verschieden sind, unter den P r i m f a k t o r e n von P (mit mindestens denselben Exponenten) v o r k o m m e n . Dies impliziert die Gleichheit der beiden Darstellungen. []

Beispiel:

594 2 . 3 3 9 11 32 9 1| 2550 - 2 . 3 - 52 9 17 - 52 - 17"

I m soeben bewiesenen Satz ist insbesondere der Satz yon der Existenz und Eindeutigkeit der Darstellung jedes von 0 verschiedenen Bruches als ,,un-

44

Irrationalit~itsaussagen 1.4.2

ktirzbarer Bruch mit teilerfremden Z~ihler und Nenner" enthalten. Der Begriff,,teilerfremd" wird im Kapitel 2 eingeftihrt und ausftihrlich besprochen; wir gehen dann auch auf das Problem der Bruchdarstellung erneut ein. Wir wollen den Hauptsatz eleganter fassen, indem wir die Nennerfaktoren als ZSahlerfaktoren mit negativen Exponenten schreiben. Wir machen hier und auch weiterhin v o n d e r Konvention y n : ( y l ) n ftir alle y/~ 0 aus Q Gebrauch. Wir bezeichnen, um die Konsistenz mit dem Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie for Z zu wahren, die vorkommenden Primzahlen wieder mit P l , . . . , Pr (dies sind also alle pj und q~ aus dem Satz, insbesondere hat r jetzt eine andere Bedeutung).

Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie fiir Q, zweite Fassung: Jede rationale Zahl 7 7~ 0 besitzt genau eine Darstellung 7

ml

m2

ePl P2 . . . . . p ~ r

mit folgenden Eigenschafien: 1) e -t-1;rEIN;pl,...,prEP;ml,...,mrEZ\{O}. 2) Pl < P2 < ... < Pr. Zum Beweis ist nichts zu sagen; wir nennen die Gleichung 7 wieder die (kanonische) Prim(faktor)zerlegung yon 7 (in Q).

Beispiel: Die kanonische Primzerlegung von ~

e P~ 1 "..." P~r

ist 3 2. 5 2.11 917 1.

Der einzige formale Unterschied zwischen den Haupts~itzen der elementaren Zahlentheorie ftir Q und Z besteht darin, dab die Exponenten m l , . . . , mr nicht mehr notwendig positiv sind. Vielmehr gilt ml > 0 . . . . . mr > 0 ersichtlich genau dann, wenn die zugehOrige Zahl 7 zu Z gehOrt. Diese auf der Hand liegende Kennzeichn u n g d e r ganzen Zahlen unter allen rationalen Zahlen soil ihrer grunds~itzlichen Bedeutung wegen hervorgehoben werden als

Ganzheitssatz: Sei 7 E Q, 7 ~ O; sei 7 e pl/7~tl P2/7~t2 "..." P ~ die kanonische Primzerlegung yon 7. Dann sind folgende Aussagen diquivalent: i) 7 E Z . ii) Alle Exponenten ml, .. . ,mr sind positiv. 2. Irrationalitiitsaussagen. In der Schule lernt man, dab die positive reelle ZaJal ~/-2, deren Quadrat 2 ist und die wir auf Grund des Satzes von PYTHAGORAS als L~inge der Diagonale im Einheitsquadrat vor uns sehen, nicht rational ist. Reelle Zmhlen, die nicht dem K6rper Q angeh6ren, heiBen irrational. Die Wahl des Wortes ,,irrational" ist glticklich-unglticklich zugleich: Einerseits weist diese WortwaJal sehr gut auf die Problematik hin, die mit der Einftihrung dieser ZaJalen verbunden ist; andererseits suggeriert diese WortwaJal Vorstellungen, die zu metaphysischen Spekulationen verleiten und zu nichts ftihren*. Die Existenz von Strecken mit irrationalem L~ingenverh~iltnis war bereits den Griechen bekannt; einer vielzitierten - wenn auch unwahrscheinlichen - Geschichte zufolge soil PY-

1.4.2

Irrationalit~itsaussagen

45

THAGORAS im 6. Jahrhundert v. Chr. ihre Entdeckung mit dem Opfer von 100 Ochsen gefeiert haben. Die allgemeine Idee der Irrationalzmhl ist aber erst am Ende des 16. JaJarhunderts im Zusammenhang mit der Einfiihrung von Dezimalbrtichen aufgetreten (vgl. hierzu auch Kapitel 4). Wir werden im folgenden als Anwendung des Satzes von der Primzerlegung rationaler Zmhlen zeigen, dab neben ~ viele weitere reelle Wurzeln notwendig irrational sin& Wir stellen die Frage, wann zu vorgegebenen Zmhlen n E IN • , 7 E Q, 7 > 0, eine rationale und insbesondere eine nattirliche Zmhl x existiert, so dab gilt: x~ 7. Wir beweisen folgendes Rationalitiitskriterium: E s sei n E IN • 7 E Q, 7 > O; es sei 7

ml

m2

P l P2 die P r i m z e r l e g u n g y o n 7. D a n n sind f o l g e n d e A u s s a g e n d q u i v a l e n t :

i) E s g i b t eine p o s i t i v e r a t i o n a l e Z a h l x m i t x n ii) n teilt j e d e n E x p o n e n t e n m o, p 1 , . . . , r.

" """ p~r

7.

I s t 7 ganz, so ist (ira Fall d e r E x i s t e n z ) a u c h x n o t w e n d i g ganz. B e w e i s : i) ~ ii): S e i x

Gleichung x1/

ql1/1q21/2.... 9qs1/s die kanonische Primzerlegung von x. Die 7 schreibt sich wie folgt

1/1/1 1/1/2

1/1/s

ml

m2

ql q2 " ' " ' q s Pl P2 " ' " ' P ~ r " Die Eindeutigkeitsaussage des Hauptsatzes 1 impliziert s r, ql Pl . . . . . qr Pr und n n l m l . . . . . nnr mr. Die letzten Gleichungen besagen zum einen n ] m o ffir 1 __

0, m2 > 0 . . . . . mr > 0 und also auch nl > 0, n2 > 0 . . . . . nr > 0. Daher folgt jetzt xEZ. ii) ~ i): Nach Voraussetzung gelten Gleichungen m o 1o n ffir p 1 , . . . , r mit J1 ~'2 J2 . . . 9p~, so folgt x E Q und 1o E Z. Setzt man x : ~'~ x~

~Ii1/~121/

u~ u2

It1~

" . . . "Pr

ml

m2

P~ P2 " . . . " P ~

7.

[]

B e i s p i e l ( I r r a t i o n a l i t d t y o n W u r z e l n ) : Sei r > 1, seien Pl, P 2 , . . . , Pr verschiedene

Primzahlen, seien, m 2 , . . . , mr beliebige positive ganze Zmhlen. Dann ist ftir jedes n E IN, n > 1 die reelle Zmhl ~/pl p ~ 2 " . . . " p ~ irrational. Insbesondere haben wir damit bewiesen, dab ~ irrational ist. Dies l~iBt sich auch ganz elementar wie folgt einsehen: Es reicht offenbar, durch Induktion nach b E IN • zu zeigen, dab es keine Zahlen a, b E IN • mit 2b 2 a 2 gibt. Aus 2b 2 a 2 mit a , b E IN • folgt jedenfalls notwendig b < a < 2b, so dab b 1 unm/Sglich, der Induktionsanfang also gesichert ist. Das Wort ,,irrational" ist die Ubersetzung des griechischen ,,a)coTo~" ins Lateinische: Das griechische Wort sollte vermutlich ,,nicht aussprechbar" bedeuten; erst das Mil3verstfindnis, dal3 das lateinische ,,ratio" notwendig die Bedeutung yon ,,Vernunft" hat, machte aus Irrationalzahlen ,,unvernt~nftige Zahlen".

46

Zur lrrationalitfit und Transzendenz von e und :z

1.4.3

Sei nun b ~ N • b > I, derart, dab die Behauptung fiir alle b' e N • mit b' < b richtig ist. Aus 2b z = a 2 mit einem a e N • folgt wieder b < a < 2b und damit ffir b ' : = a - b e;g, dab 0 < b' < b. Es gilt dabei (b

b')2=b 2

2bb'+b 'z=a2-bz-2bb'+b

'z

- (b + b') 2 - (b + b') 2 + b '2 + b 'z - 2b '2.

Fiir a ' : - b - b' hat man also 2b 'z - a '2, wobei a', b' ~ N • sind und b' < b ist. Dies steht aber im Widerspruch zur Induktionsannahme, so dab die Behauptung auch f/Jr b folgt. [2! Der eben mitgeteilte Beweis findet sich bei R. DEDEKIND: Vorlesung i~ber Differential- und 1861/62 (Dokumente zur Geschichte der Mathematik, Band 1, ViewegInte,r Verlag Braunschweig 1985) auf den Seiten 24/25; eine Verallgemeinerung dieser Beweismethode, die die irrationalit/it von x//D fiir alle D ~ N\\{n2; n ~ N} liefert, gibt DEDEKIND 1872 in Steti~keit und irrationale Zahlen, S. 12/13. Der Leser beachte, dab der Dedekindsche Beweis der Irrationalitfit yon x//~2 die Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung nicht verwendot.* E i n S p e z i a l f a l l des R a t i o n a l i t / i t s k r i t e r i u m s Korollar:

n c N •

1/iBt s i c h a u c h w i e f o l g t a u s s p r e c h e n :

G e n @ t die r e e l l e Z a h l x > 0 e i n e r G l e i c h u n g x " - 7 = 0 m i t 7 e N , s o ist x e n t w e d e r e i n e n a t i i r l i c h e Z a h l o d e r e i n e l r r a t i o n a l z a h l .

D i e A u s s a g e d i e s e s K o r o l l a r s w u r d e v o n G A u s s w e s e n t l i c h v e r a l l g e m e i n e r t ; er z e i g t e n / i m l i c h : E s sei n ~ N • es s e i e n a 1 , . . . , a,, e ~ . Geni~gt d a n n d i e r e e l l e Z a h l x der Gleichung X"

-r- (.tl X n

1 -t- . . .

-t- (An _ l X -F a n =

O,

s o ist x e n t w e d e r e i n e g a n z e Z a h l o d e r e i n e I r r a t i o n a l z a h l .

3*. Z u r l r r a t i o n a l i t / i t und T r a n s z e n d e n z yon e und n. Im vorangehenden Abschnitt haben wir uns mit der lrrationalit/it von Wurzeln besch/iftigt. Wir wollen jetzt noch zeigen, dab auch die Fundamentalkonstante e der Analysis irrational ist. Dabei m/issen wir allerdings das elementare Rechnen mit unendlichen konvergenten Reihen als bekannt voraussetzen. Wir erkl/iren die reelle Zahl e durch die konvergente Reihe 1

1

c:=l+l!+2!+.

1

~

1

+n! + . . . . ,E,,!>2.

Die auBergew6hnlich gute Konvergenz dieser Reihe ermSglicht ohne Heranziehung des Hauptsatzes der elementaren Zahlentheorie ffir ~ einen eleganten Beweis ffir den S a t z : Die reelle Zahl e ist irrational.

Kfirzer und ebenso elementar ist folgender Beweis (nach T. ESTERMANN: The irratio/ nalitv" o/ .7 ,,/2 Math. Gazette 59 (1975), S. 110): W/ire xfl2 rational, so g/ibe es k e N • mit k ,v;2 e 72. Nach dem Prinzip vom kleinsten Element k6nnte man k minimal l 1, so d a b gilt: P

-1+

Q

1 I!

+

1 2!

+

"'"

1

+

+

Q!

1 (Q + 11!

+

1 (O + 2)!

+ ....

Multipliziert m a n diese G l e i c h u n g mit Q!, so folgt (Q - 1)!. P - Q! + Q! + ... + Q + 1 1 1 + - - + +.. d.h. d i e R e i h e Q+1 (Q+I)(Q+2) "' vz'l= ( Q + 1) (Q + 2) . ... . (Q + v )

0

>

h/itte einen ganzzahligen Wert. N u n gilt aber 1

(Q + 1)(Q + 2 ) . . . . . ( Q

+ v)

1 < - (Q + 1)~

f/Jr a l l e v > 2;

d a h e r folgt n a c h der S u m m e n f o r m e l fiir die unendliche geometrische Reihe cx ~_. v-1

X v _

die fiir alle x mit

X 1 --X

~

Ixl < I gilt

(w

enn m a n x . -

1

Q + 1 < 2 einsetz

< 52~

~=, (Q + I) (Q + 2) . ... . (Q + v)

1

~-,= (Q + 1) ~

_

:

~

Q+

1

1

_

1

1 1, irrational; aber sie sind keineswegs transzendent, d a ffir x : = ~ p gilt x" - p = 0 mit p ~ Q.

48

Die Vielfachheitsfunktion wp(a)

1.4.4

Die ersten t r a n s z e n d e n t e n Z a h l e n hat J. LIOUVIH.E (1809-- 1882) im vorigen J a h r h u n d e r t konstruiert; die Transzendenz yon e wurde 1873 yon C. HERMITE (1822 1901) bewiesen. Im J a h r e 1882 bewies F. LINDEMANN (1852--1939) die Transzendenz yon n; d a m i t wurde das bereits im Altertum diskutierte P r o b l e m der Quadratur des Kreises negativ b e a n t w o r t e t : Es ist nicht

m6glich, allein mit Zirkel und Lineal einen Kreis in ein flfichengleiches Quadrat zu verwandeln.

4. Die Vielfachheitsfunktion w p ( a ) . Wir geben in diesem Abschnitt eine formale A b r u n d u n g des H a u p t s a t z e s der e l e m e n t a r e n Zahlentheorie fiir Q. Wir setzen (I) • : = @\{0} und bezeichnen die Elemente von (I)x wieder mit kleinen lateinischen Buchstaben. . . . . . . . . p m r die k a n o n i s c h e Primzerlegung einer Zahl a e Q • so Ist a = ePl, . .P2 erkltiren wir ffir jede P r i m z a h l p e IP die ganze Zahl wp(a) wie folgt: Wp(a)::

~0, no,

wcnn p yon allen P l , P 2 . . . . . Pr verschieden ist, wenn p = pe fiJr einen Index t? = 1, 2 . . . . . r.

Die Zahl wp(a) heiBt die Vie(fachheit fader auch die Multiplizitgit) v a n a c ~ • bzgl. p. ( D e m Nullelement 0 a ~ wird keine Vielfachheit zugeordnet.) Die Vielfachheit Wp(a) ist eine F u n k t i o n in den zwei Variablen a a ~ • und p c IP. Wir betraehten Wp(a) zun/ichst bei festem a als F u n k t i o n auf der M e n g e IP. Auf G r u n d der Definition v a n wp(a) ist klar:

Endlichkeitseigenschaft: 1st a a if) • vorgegeben, ,so ist Wp(a) h6chstens JFir endlieh viele Primzahlen p van 0 verschieden: Wp(a) = 0

fiir .[hst alle* p ~ IP.

Nattirlich k a n n wp(a) auch ffir a l l c p e IP verschwinden; dies tritt genau d a n n ein, wenn a = 1 oder a - - I. Allgemein gilt folgende

Eindeutigkeitsaussage: Es seien a, b e ~ • vorgegeben, es gelte Wp(a) = wp(b) fiir alle p ~ IP. Dann gilt a = b oder a = - h. D e r Beweis ergibt sich wieder u n m i t t e l b a r aus der Definition v a n Wp(a). Das durch die Endlichkeitseigenschaft beschriebene Verhalten der Vielfachheit wp(a) erm6glicht es, die Primzerlegung eines jeden Elementes a e Q• in der F o r m eines f o r m a l unendlichen P r o d u k t e s a=~

[ I P'"("~ = ~:l-IP ''(~),

p~ ~

P

das fiber alle Primzahlen erstreckt ist, zu schreiben. Wir k 6 n n e n jetzt den H a u p t s a t z I auch wie folgt aussprechen:

Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie fiir ~ , finale Fassung: Jede rationale Z a h l a =4=0 besitzt eine Darstellung a = G " [ l P'~'(~ P

*

,,F/Jr fast alle" bedeutel ,,Ftir alle mit evtl. endlich vielen A u s n a h m e n " .

!.4.4 Die Vielfachheitsfunktion wp(a)

49

mit folgenden Eigenschaften"

1) Die Z a h l go ist durch a eindeutig bestimmt; es gilt e~ = a/[a[, also e~ = 1 oder ~a = - 1. 2) FOr j e d e P r i m z a h l p ist der E x p o n e n t wp(a) ~ 7Z eindeutig dutch a bestimmt; es gilt wv(a) ~: 0 fi~r h6chstens endlich viele p ~ ]P. Jede rationale Zahl a + 0 ist bis auf ihr Vorzeichen eindeutig durch das Exponentensystem wv(a), p e IP, ihrer Vielfachheiten bestimmt (Eindeutigkeitsaussage). M a n hat zu fragen, ob u m g e k e h r t zu jedem gegebenen System {mp}p 9 yon ganzen Zahlen, welches die Endlichkeitseigenschaft hat, eine Zahl a e Q • existiert mit wp(a) = mp ffir alle p e IP. Die A n t w o r t ist positiv. Satz: Es sei g = +_ 1 vorgegeben. Weiter sei j e d e r P r i m z a h l p eine Z a h l m v ~ 2~ zugeordnet, so daft gilt: mp = 0 ffir f a s t alle p E IP. Dann gibt es genau eine rationale Z a h l a + O, so daft gilt: ea =

wp(a) = mp

g,

fiitr alle p c IP.

Beweis: Es seien P l , - - - , P r die endlich vielen Primzahlen, ffir die gilt: mp, :# O, i = 1. . . . . r. D a n n ist

a : = e 1~ P7 ~' i=1

eine rationale Zahl ~ 0 m i t e , = e und wp(a) = mp ffir alle p e IP. Die Eindeutigkeit von a ist klar. [] M a n nennt auch die durch a = e~. [ [ pWp~) gegebene Darstellung von a die p kanonische P r i m z e r l e g u n g yon a. Mit Hilfe dieser Darstellung lfigt sich die Multiplikation rationaler Zahlen besonders elegant beschreiben.

Multiplikationsregel: Es seien a = ~ [ I pWp (a), p

b = e b [ I pW~b) p

die kanonischen Primzerlegungen yon a, b 6 ~ • Dann ist a b = (e, eb) 1-[ pW, ~,) + w, ~b) p

die kanonische Primzerlegung des P r o d u k t e s ab.

D e r Beweis bedarf keiner Erl~uterung. Auch der Ganzheitssatz 1 lfiBt sich eleganter reformulieren:

Ganzheitssatz: Folgende A u s s a g e n fiber eine rationale Z a h l a ~ Q • sind dquivalent:

i) ii)

a~Z. wv(a) >__0 ffir alle p ~ IP.

Agyptische Bruchdarstellungen, Fibonaccimethode

50

1.4.5

Das Teilbarkeitskriterium 3.1 liiBt sich jetzt so aussprechen: Teilbarkeitskriterium:

Folgende Aussagen iiber zwei ganze Zahlen a, b 4:0 sind

:iquivalent:

i) ii)

bla. w p(b) < wp(a) fib" alle p ~ IF'.

W i r wollen abschlieBend die Vielfachheit wv(a ) n o c h bei lest v o r g e g e b e n e r P r i m zahl p a l s F u n k t i o n v o n a e Q * b e t r a c h t e n . Die wichtigsten E i g e n s c h a f t e n dieser F u n k t i o n stellen wir in f o l g e n d e m L e m m a z u s a m m e n : L e m m a : Sei p ~ IP vorgegeben. Dann gilt ,/i'ir alle a, b ~ if) • 9

0) w,,(a) e Z; 1) WpCab) = wp{a) + n,p(b); (Produktregel) 2) w,(a + b) > rain (wp(a), wp(b)), .talls a + b 4= O. In der h 6 h e r e n Z a h l e n t h e o r i e n e n n t m a n eine A b b i l d u n g

die die Eigenschaflen 1) und 2) des L e m m a s hat, eine (additive) Bewertung yon Q ; die Eigenschaft 2) heiBt die (additive) Dreiecksungleichung. M a n k a n n n u n das L e m m a auch so f o r m u l i e r e n : Jede Primzahl p e IP bestimmt eine Bewertung Wp

VOH

{I~.

W i r h a b e n uns im V o r a n g e h e n d e n klar g e m a c h t , d a b sich g r u n d l e g e n d e Teilbark e i t s a u s s a g e n bewertungstheoretisch f o r m u l i e r e n lassen. Diese grundsiitzliche Einsicht ist ffir die E n t w i c k l u n g der h 6 h e r e n (algebraischen) Z a h l e n t h e o r i e fund a m e n t a l ; fiir unseren weiteren AuPoau ist sie a b e r nicht so wichtig. 5*..~gyptische Bruchdarstellungen, Fibonaccimethode. Die Bruchrechnung war schon im alten A,.gypten hoch entwickelt. Das altfigyptische Rechenbuch des AHMES,der sogenannte Papyrus Rhind, aus dem 19. Jahrhundert vor Christus enth~ilt bereits ein vollstfindiges System einer Bruchrechnung, das freilich durch seine merkwfirdigen Stammbruchmethoden fiberrascht: Jeder Bruch wird als Summe yon Stammbriichen geschrieben. Mit Stammbruchsummen werden yon AUMESBeispiele aus allen vier Rechnungsarten vorgefiJhrt. Wit beschfifligen uns in diesem Abschnitt mit solchen iigyptischen Bruchdarstellungen. Unsere 0berlegungen ziehen nirgends den Satz yon der Primzerlegung heran; einziges Hilfsmittel ist das Prinzip yore kleinsten Element. Wir betrachten ausschlieBlich Brfichc 7 6 @ zwischen 0 a und 1, diewir wenn n6tig inder Formschreiben7 bruit a, b 6 N , 1 < e t < h . Eine Gleichung ~' - -

1 II 1

+

1 tl 2

--...--

1 Ilk

, llt,

. . . , llh ~ N ,

1
1. Nach dem Prinzip vom kleinsten Element enth/ilt A ein kleinstes Element n. D a I ~ A wegen ), 1 > 1 , so gilt n > 2 . D a 1 < n - I < n , so folgt: n 1 < 7- ~ < n nach Wahl von n. Obergang zum Reziproken ergibt (vgl. Anordnungsregel 0.2, 5)): 1

1 ~ } , ni+, = min{w E N: w > = (b

3) n 1 > 2 ,

ni+l > n i ( n i -

I)

--i

nl

J~r i =

1 n2

...

! ..... k-

1)

1}

fiir i = l

..... k--l,

l.

B e w e i s : Wir f/ihren Induktion nach dem Z/ihler a des Bruches

a

. b Der Induktionsbeginn a = 1 ist klar. Sei a > 1, und sei die Behauptung bereits ffir alle

Br/iche uU mit 1 _< u < a verifiziert. Nach dem soeben bewiesenen Lemma existiert n ~ : = min{w ~ N: w > : } , und es gilt: ni > 2 ,

1

a

!

< - < - nI = b n1-

1 "

Agyptische Bruchdarstellungen,

52

W i r d e f i n i e r e n n u n : al : = nl e / a

b

-

1

a

n1

+i~

Fibonaccimethode

1.4.5

b, b I : = n 1 b. E s folgt:

mit O < a l < a

und b ~ > a l .

F a l l s al = 0, so s i n d w i t fertig: a n d e r e n f a l l s ist al s e t z u n g zutrifft. Es gilt d a h e r eine G l e i c h u n g b l ein B r u c h , a u f d e n die I n d u k t i o n s v o r a u s ax

1

bl

ml

1 .... + . . . +

+

1

m2

D1l

mit folgenden Eigenschaften: 1') l 1, folgt d a s a u s 2'), w e n n | b e a c h t e t . V o n d e n in 3) b e h a u p t e t e n U n g l e i c h u n g e n s i n d nl > 2 u n d n1 ni+l > ni(ni - l ) f i J r i > 1 k l a r (letztere w e g e n 3')). E s b l e i b t z u z e i g e n : n 2 > nl (nl - 1). D a s ist

man

a I -- a b1 b

aberklar,

danz

=ml

f

=min

1 min (Wp (a), Wp(b)). 2) Ftir x reell bezeichne Ix] die gr/36te ganze Zahl m m i t m __<x. Zeigen Sie, da6 ftir p eine Primzahl und n E IN beliebig gilt

i=1

3) Seien n E IN • a l , . . . ,an E ~ . Die reelle Zahl x erftille x ~' + a l xn 1 @ . . . @art IX + a~, 0. Zeigen Sie: x ist entweder irrational oder ganz. 4) Seien q l , . . . , q s Primzahlen, b : 1 -

1

1

ql

" q2"

...

"

qs E IN sowie m l , . . . , m k E IN • derart,

1

- - k - - + . . . + - - . Zeigen Sie: Jede Zahl qi, 1 < i < s, teilt wenigm 1 m 2 m k = = da6 gilt: b stens eine der Zahlen m l , . . . , ink. 5) Berechnen Sie die Fibonaccidarstellung des Bruches 21 23" 21 6) Zeigen Sie: Es gibt keine ~igyptische Bruchdarstellung 23 1 < n l < n2
0, so hat d ' l d zur Folge: d' + 0, also d' > 0. Aus d > 0, d' > 0, d i d ' und d ' l d folgt wiederum d ' = d (vgl. Korollar 1.1.1).

Notation: Der gri~/3te gemeinsame Teiler zweier Zahlen a, b e 77 wird (.falls er existiert) mit ggT(a, b) bezeichnet. Es soll nun gezeigt werden, dab zwei Zahlen a, b e )7 stets einen gr6Bten gemeinsamen Teiler haben. Die Zahl ggT(a, b) l/il3t sich sogar explizit angeben mittels der Primzerlegungen von a und b.

Existenz des griigten gemeinsamen Teilers: Zwei Zahlen a, b ~ 27 besitzen stets einen gri~ten gemeinsamen Teiler. Fiir

0=#a=~,l-IP p

'''l"),

ggT (a, b) = ~I

04=b=~bfIp p

p m i n (u,~,(a), u,p (b)~ ~ | .

P

Weiter gilt ggT(a, 0) = lal, ggT(0, b) = Ibl.

w'~b>

gilt:

2.1.1

Gr6Bter gemeinsamer Teiler zweier ganzer Zahlen

57

Beweis" Die G l e i c h u n g e n ffir g g T (a, 0) u n d g g T (0, b) folgen u n m i t t e l b a r aus der Definition. Sei also a 4 : 0 u n d b 4: 0. N a c h d e m T e i l b a r k e i t s k r i t e r i u m 1.3.1 ist eine Z a h l t = e, I ] p wp"} g e n a u d a n n ein g e m e i n s a m e r Teiler v o n a u n d b, P

w e n n fiir alle P r i m z a h l e n p gilt: wp(t) < wp(a) u n d Wp(t) < wp(b), d.h. w e n n w , ( t ) < m i n (Wp(a), wp(b)). D a m i t ist klar, daB a u n d b y o n d : = [ I pmintwp{a},wp{h)) ~ 1 P

geteilt w e r d e n u n d daB j e d e r g e m e i n s a m e Teiler t y o n a u n d b a u c h d teilt. M i t h i n h a t d die E i g e n s c h a f t e n 1) u n d 2) der Definition, d.h. d = g g T ( a , b). [] Beispiele: 1) a " = 531 = 32 9 591, b : = 93 = 31 - 311, g g T ( a , b) = 3. 2) a : = 617 = 6171 , b : = - 758 = ( - 1) - 21 9 379 ~, g g T ( a , b) = 1. 3) a : = 0, b ' = 0, ggT(0, 0) = 0. Bemerkung: Da jeder Teiler einer positiven Zahl t kleiner oder gleich t ist, so ist im Existenzsatz speziell enthalten: Sind a, b ~ 71 nicht beide O, so ist ihr grb'flter gemeinsamer Teiler d > 0 auch bzgl. der Anordnung yon N der ,,grdJ3te" gemeinsame Teiler yon a und b: d > t fiir alle t ~ 71 mit tla und tlb. Man k6nnte meinen, daB es didaktisch besser w/ire, die vorstehende Aussage fiber den gr613ten gemeinsamen Teiler zur Definition zu erheben und den nicht erfal3ten Ausnahmefall a = b = 0 ad hoc dutch ggT(0, 0) : = 0 zu erledigen. Das b6te jedenfalls den Vorteil, daB man die Existenz und Eindeutigkeit der Zahl ggT(a, b) unmittelbar beweisen k6nnte. Indessen wfirde bei solchem Vorgehen die signifikante Eigenschaft des gr6Bten gemeinsamen Teilers, daB er von jedem anderen gemeinsamen Teiler geteilt wird, nicht im Mittelpunkt stehen: Zu ihrem Beweis mfiBte man doch wieder den Existenzsatz heranziehen. W i r n o t i e r e n n o c h einige nfitzliche R e c h e n r e g e l n fiir g g T : Fi~r a, b, c ~ Z gilt: 1) g g T (a, b) = g g T (b, a). 2) g g T ( c a, c b) = ]cl ggY(a, b).

B e w e i s : Die Regel 1) ist trivial. Die Regeln 2) u n d 3) sind klar, w e n n a = 0 o d e r b = 0, e b e n s o Regel 2) ffir c = 0. Seien also a, b u n d c v o n 0 verschieden. W i r k 6 n n e n d a n n schreiben: a = ~,, I ~ pWp ~a},

b=~:bl~lpW,{b),

P

c=ec[~pW, 0 u n d Wp(b) - Wp((') >= O. Existenzsatz u n d M i n i m u m r e g e l e r g e b e n n u n :

P

= [IP

w~(c) . [ I pmi,(~,>l~),,,',,(b)) =

,,

~

1 9 ggT(a, b).

Icl

2. Euklidischer Algorithmus. D a es k e i n effektives Verfahren z u r Bestimm u n g der P r i m z e r l e g u n g g a n z e r Z a h l e n gibt, ist die A n w e n d u n g des Existenzsatzes 1 zur B e s t i m m u n g der Z a h l ggT(a, b) bei grol3en Z a h l e n a, b langwierig u n d mfihsam. Es ist d a h e r y o n B e d e u t u n g , d a b es ein einfaches a l g o r i t h m i s c h e s Verfahren gibt, welches den gr613ten g e m e i n s a m e n Teiler y o n a u n d b zu berechnen gestattet, o h n e dal3 m a n die P r i m z e r l e g u n g e n y o n a o d e r b kennt. Dieses R e c h e n v e r f a h r e n findet sich in EUKLIDS E l e m e n t e n (Buch VII, Satz 2); ibm zu E h r e n heil3t es

Euklidischer Algorithmus: Es al'=

s e i e n a, b ~ N • m i t a > b. M a n s e t z e a o ' = b und bilde sukzessive folgende Kette yon Divisionen mit Rest: ao=qla

~ +a 2

a 1 =qea2+a3 a,,_ 2 = q..- ~ a . w o q ~, q2

....

~ + a.

mit

q l , a 2 r 7'[~,

0 ~ a2 < a 1,

mit

qe, a3cT~,,

0 =< a3 < a 2,

mit

q~

die Q u o t i e n t e n u n d a 2 , a 3 . . . .

t, a . c TZ,

O < a~ < a .

a,

1,

d i e R e s t e s i n d . D a n n g i b t es e i n e n e r s t e n

I n d e x k, I a 2 > a 3 > . . . u n d a 1 > I gibt es einen ersten I n d e x k mit 1 < k < b, so d a b a k > 0, a b e r a k + l = 0. D a n n hat m a n also als k-te Gleic h u n g a k 1 = q k a k . Durchlfiuft m a n die Kette der G l e i c h u n g e n ffir die a,, v o n unten n a c h oben, so erh/ilt m a n n a c h e i n a n d e r : a k l a k _ 1, a k l a k - 2 . . . . . a k l a l , ak I ao"

2.1.2

Euklidischer Algorithmus

59

Durchl/iuft m a n h i n g e g e n die G l e i c h u n g s k e t t e v o n o b e n n a c h unten, so folgt ffir j e d e n g e m e i n s a m e n Teiler c v o n a o u n d a~ n a c h e i n a n d e r : C lao, c lax, c l a 2 , . . . , c la k. S o m i t h a t ak die E i g e n s c h a f t e n 1) u n d 2) der Definition des g r 6 g t e n g e m e i n s a m e n Teilers, d.h., es gilt: a k = g g T ( a o, al) = g g T ( a , b). [] I n diesem Satz gilt k = I g e n a u d a n n , w e n n al [ ao, d. h. b f a. I n R e c h n u n g e n ist k w e i t a u s kleiner als b; wir g e b e n zwei

Beispiele:

a=531, b=93 531=5.93+66 93= 1.66+27 66=2.27+ 12 27=2.12+3 12=4.3 ggT(531, 93) = 3 = a 5

a=61 617= 1 379= 1 238= 1 141= 1 97=2 44 = 4 9 = 1 8=8

7, b = 379 379 + 238 238 + 141 141 + 97 97 + 44 44+9 9+8 8+1 1

ggT(617, 379) = 1

Bemerkung: Der Satz yon der Division mit Rest stfitzt sich lediglich auf das Prinzip vom kleinsten Element. Der Euklidische Algorithmus ist damit unabh/ingig vom Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie (urn den Algorithmus auszufiihren, braucht man nicht einmal zu wissen, was eine Primzahl ist !). Da dutch den Euklidischen Algorithmus die Existenz der Zahl ggT(a, b) garantiert wird (zun/ichst ffir den Fall a > b _> l und dann abet auch, wie man sich leicht iiberlegt, fiir alle Zahlen a + 0, b + 0), so haben wir also insbesondere jetzt einen Beweis ftir die Existenz des gr6gten gemeinsamen Teilers, der (im Gegensatz zum Existenzsatz 1 nebst Beweis) nicht die Kenntnis des Satzes yon der Primzerlegung in 7Zvoraussetzt. Es lfiBt sich auch mittels des Euklidischen A|gorithmus der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie fiir 7Z, beweisen (vgl. 1.2.4). Wir gehen darauf von einem ,,h6heren Standpunkt" im Kapitel 3 ausfiihrlich ein. Historische Bemerkung: I n den Elementen des EUKLID,B u c h VII, Satz 2, wird ein e t w a s a n d e r e s Verfahren n a c h d e m P r i n z i p der , , W e c h s e l w e g n a h m e " beschrieben, das, wie m a n sich leicht fiberlegt, zu d e m o b i g e n / i q u i v a l e n t ist: Seien wieder a, b s N • mit a > b. D a n n definiere m a n i n d u k t i v eine F o l g e b,,, v e N, durch b 0 : = a,

bl'=

b,

b~ + 1 : = m a x (b~._ 1, b~.) - m i n (b,. 1, b,.) = Ib,. 1 - b,. I

fur v@N

x

Ffir das kleinste v e N mit by+ 1 = 0 gilt d a n n b,. = g g T ( b o, bl) = ggT(a, b). I m Z u s a m m e n h a n g mit d e m K f i r z e n v o n Brfichen (vgl. a u c h A b s c h n i t t 6) findet sich diese F o r m des E u k l i d i s c h e n A l g o r i t h m u s fibrigens a u c h in d e m chinesis c h e n Text Chiu-chang suan-shu ( = , , N e u n Bficher fiber die m a t h e m a t i s c h e K u n s t " ) aus der H a n - P e r i o d e (206 v . - 2 2 1 n. Chr.), welcher w a h r s c h e i n l i c h a u f

60

Idealtheoretische Charakterisierung des gr6gten gemeinsamen Teilers 2.1.3

chinesische M a n u s k r i p t e aus dem dritten J a h r h u n d e r t vor Christus zurfickgeht (vgl. B.L. van der WAERDEN: G e o m e t r y and Algebra in A n c i e n t Civilizations, Springer Verlag Berlin/Heidelberg/New Y o r k / T o k y o 1983, S. 36 38). Die aus iterierten Divisionen mit Rest bestehende Version taucht schon auf in dem Werk Aryabhat. iya des indischen A s t r o n o m e n und M a t h e m a t i k e r s I~.RYABHATA(476 nach 510) bei der B e s t i m m u n g ganzzahliger L 6 s u n g e n x, y von Gleichungen der F o r m a x + b y = c mit a, b, c 9 71: Hierbei ist es nicht nur notwendig, den gr6gten gemeinsamen Teller von a und b zu bestimmen, sondern auch, ihn als L i n e a r k o m b i n a t i o n von a und b mit Koeffizienten in 7/darzustellen, woffir sich das Verfahren mittels Division mit Rest bei praktischen R e c h n u n gen besser eignet als die urspriingliche Euklidische Version (vgl. hierzu auch den folgenden Abschnitt und Abschnitt 5.2.1). In jfingster Zeit ist das Verfahren der ,,Wechselwegnahme" in C o m p u t e r p r o g r a m m e n wieder zu Ehren g e k o m m e n , da es weniger Rechenzeit ben6tigt als die Divisionen mit Rest und somit immer dann eingesetzt wird, wenn der gr613te gemeinsame Teiler von a und b nur numerisch zu bestimmen ist.

3. ldealtheoretische Charakterisierung des grfflten gemeinsamen Teilers. Es soll nun gezeigt werden, dab sich der gr613te gemeinsame Teiler zweier ganzer Zahlen a, b stets als L i n e a r k o m b i n a t i o n yon a und b, d.h. in der F o r m ra + sb mit Zahlen r, s c ~ darstellen lfil3t. Diese Aussage ist eigentlich schon im Euklidischen Algorithmus enthalten, wenn m a n in der Algorithmuskette absteigend nacheinander jeweils a 2, a3, ..., a k ganzzahlig linear durch a o und a I ausdrfickt: So gewinnt m a n etwa im ersten Beispiel des letzten Abschnitts mit % : = 531, a l : = 93 die Gleichungen a 2 =66=a

o-5a

a 3 =27=a

l-a

a4=12=a

2-2a

1, 2 = 6 a 1 - a o, 3-a

o-5a

1-2(6a1-ao)=3ao-17al,

a s = 3 = a 3 - 2a 4 = 6a 1 -- a o -- 2 ( 3 a o - 17a1) = 40a 1 -- 7ao, also ggT(531, 93) = 3 = ( - 7) - 531 + 40 - 93. Wit wollen indessen anders vorgehen. Die Einsicht, da[3 ffir alle a, b 9 7 / e i n e Gleichung ggT(a, b) = ra + s b mit r, s 9 7/ besteht, ist nfimlich ein Spezialfall eines Satzes fiber die Struktur der Ideale des Ringes 7/. Dabei heil3t eine nichtleere Teilmenge a v o n 7 / e i n Ideal (in 7/), wenn gilt: 1) Mit a, b 9 t~ gilt stets a - b c tl. 2) Mit a 9 n, x 9 7/gilt stets x a 9 a. Wir k6nnen hier wenig zum Idealbegriff an sich, insbesondere zur Wahl des Wortes ,,Ideal", sagen. Es m u g genfigen zu betonen, dab Ideale in beliebigen Ringen eine fundamentale Rolle in der M a t h e m a t i k spielen und dab sie insbe-

2.1.3

Idealtheoretische Charakterisierung des gr6fSten gemeinsamen Teilers

61

s o n d e r e in d e r h 6 h e r e n , a l g e b r a i s c h e n Z a h l e n t h e o r i e u n e n t b e h r l i c h s i n d (vgl. a u c h K a p i t e l 3, P a r a g r a p h e n 2 u n d 3). Jedes I d e a l a in Z e n t h / i l t die N u l l , d e n n m i t a e a gilt 0 = a - a 6 a w e g e n 1) a u s d e r D e f i n i t i o n . Es ist leicht, I d e a l e in 7Z a n z u g e b e n . S a t z : Es sei n ~ N , und es seien a l , a 2 . . . . . a n ~ 71 irgendwelche Z a h l e n . Dann bildet die M e n g e a : = {z ~ 71: z = x 1 a I + x 2 a 2

~-

...

-~- Xna n mit x1, x 2 . . . .

,

Xn ~

71}

aller L i n e a r k o m b i n a t i o n e n aus a I , a2, . . . , a, mit K o e f f i z i e n t e n in 71 ein 1deal in 71. Beweis: Seien a, b e a, e t w a a = ~ x~av, b = ~ yva~ m i t x 1 . . . . . x , , Y l , . . . , Y, 71. Es folgt ~- ~ ~= 1 a-b=

(x~-y~)a~

und

xa=

v-1

5Z (xxv) a~

ffiralle x~71.

v=l

H i e r a u s lesen wir a b : a - b ~ a u n d x a ~ a ffir alle x ~ 71.

[]

S i n d a l , . . . , a , e Z e n d l i c h viele Z a h l e n , so heil3t das I d e a l

}

d a s yon a I . . . . , a, erzeugte Ideal. M a n s c h r e i b t a -- Z a 1 + Z a 2 + ... + Z a , o d e r k i i r z e r a = ( a l , a2, . . . , a,). Es gilt stets a l , a 2 . . . . , a , s ( a l , a 2 . . . . , a,), d a a 1 -- l a I + 0 a 2 + ... + 0 a , usw. I d e a l e , die v o n e i n e m e i n z i g e n E l e m e n t e r z e u g t w e r d e n , s i n d b e s o n d e r s einfach. So gilt z.B. Z . 0 = (0) = Nullideal, es b e s t e h t n u r a u s d e r N u l l . 7Z. 1 = (1) = Z , es b e s t e h t a u s a l l e n g a n z e n Z a h l e n . 7 1 . 2 = (2) = I d e a l aller g e r a d e n Z a h l e n . M a n h e b t d e r a r t i g e I d e a l e d u r c h eine b e s o n d e r e R e d e w e i s e h e r v o r : E i n I d e a l a in 71 heil3t ein Hauptideal, w e n n a v o n e i n e m E l e m e n t d e 71 e r z e u g t wird, d.h. w e n n gilt: a = 71d = (d) = {. . . . - 3d, - 2d, - d, 0, d, 2d, 3 d , . . . } . W i r stellen n u n e i n e n Z u s a m m e n h a n g her z w i s c h e n d e m gr613ten g e m e i n s a m e n Teiler zweier Z a h l e n u n d d e m v o n i h n e n e r z e u g t e n Ideal. L e m m a : Es seien a, b ~ 7Z zwei Z a h l e n derart, daft das yon ihnen erzeugte Ideal ein yon d ~ N erzeugtes H a u p t i d e a l ist: 71a + 71b = 71d mit d > O. Dann ist d notwendig der grdflte g e m e i n s a m e Teiler yon a und b; speziell gilt eine Gleichung ggT(a,b)=ra+sb

mit

r, s e Z .

62

ldealtheoretische Charakterisierung des grfl3ten gemeinsamen Teilers 2.1.3

Beweis. Wir zeigen, dab d die Bedingungen der Definition des gr6Bten gemeinsamen Teilers erffillt. Da d > 0, so ist nur zu zeigen: 1) d la und d l b sowie 2) aus t l a und t I b folgt rid. Wegen a e ~ d und b e ~ d gilt: a = ud und b = vd mit u, L~e ~. Dies beweist 1). Wegen d e Z a + ~ b gilt: d = ra + sb mit r, s e 77. Hieraus liest man 2) ab.

Unter alleiniger Benutzung des Prinzips vom kleinsten Element und des Satzes yon der Division mit Rest beweisen wir nun den wichtigen

Hauptsatz fiber ldeale in ~: lm Ring ~ ist jedes Ideal a ein Hauptideal. Falls a + (0), so wird a yon der kleinsten positiven Zahl, die zu a gehfirt, erzeugt. Beweis: Da das Nullideal (0) ein Hauptideal ist, dfirfen wir a + (0) annehmen. Da mit c e a auch - c e a gilt, enthfilt a positive Zahlen. Es sei d die kleinste positive Zahl, die in a liegt. Ist d a n a z e a ein beliebiges Element, so liefert Division mit Rest eine Gleichung z = qd + r mit q, r c 7 / u n d 0 < r < d. Mit d e a gilt auch qd e a. Wegen z e a folgt daher r = z - q d e a. Da 0 < r < d und d minimal gewfihlt wurde, folgt r = 0. Also gilt z = qd. Damit ist a c ~ d gezeigt. Da 7Zd c a wegen d e a trivial ist, so sehen wit: a = ~gd. [i~ Bemerkung: Da sich jedcs Ideal in ~ als Hauptideal herausgestellt hat, erweist sich die Einffihrung des Begriffes ,, H a u p t i d e a l " ffir den Ring N im nachhinein als fiberflfissig. Es ist jedoch in der Literatur allgemein fiblich, auch im Falle des Ringes 7Z. diese Redeweise zu verwenden (vgl. hierzu Kapitel 3, P a r a g r a p h 2).

Mit Hilfe des Hauptsatzes fiber ldeale gewinnen wir nun eine idealtheoretische Charakterisierung des grfBten gemeinsamen Teilers.

Hauptsatz fiber den grfJiten gemeinsamen Teiler: Folgende Aussagen i~ber drei ganze Zahlen a, h, d sind iiquivalent:

i) ii)

d_>0und~d=~a+~b. d = ggT(a,b).

Speziell gilt ,stets eine Gleichung: ggT(a, b) = ra + sb mit r, s e ~. Beweis: i ) ~ ii): Das ist die Aussage des Lemmas. ii) ~ i): Aus dem H a u p t s a t z fiber Ideale folgt die Existenz einer Zahl ~t-> 0, so dal3 gilt" ~ a + 7/b = 2~7". Hieraus folgt ~7 = ggT(a, b) auf G r u n d des Lemmas. Wegen der Eindeutigkeit des ggT folgt d = av, also Z a + ~ b = ~ d . Bemerkung: Der H a u p t s a t z fiber die Struktur der ldeale in ~ wird im eben geffihrten Beweis benftigt, um die Implikation i i ) ~ i) zu beweisen; der Beweis der Implikation i) ~ ii) ist dagegen vfllig elementar. F o r m u l i e r u n g und Beweis des Hauptsatzes fiber den g r f g t e n gemeinsamen Teiler benutzen voll die additive und multiplikative Struktur von N, wohingegen der Existenzsatz 1 (zumindest vordergrfindig) mit der multiplikativen Struktur yon 7Z a u s k o m m t .

2.1.4 Gr6gter gemeinsamer Teiler endlich vieler ganzer Zahlen

63

4. Grfiflter gemeinsamer Teiler endlieh vieler ganzer Zahlen. Es macht keinerlei Mfihe, die bisher ffir zwei Zahlen a, b entwickelte Theorie des gr6[3ten gemeinsamen Teilers auf endlich viele Zahlen auszudehnen. So heil3t ffir n e N, n > 2, eine Zahl d e 77 ein griiJ3tergemeinsamer Teiler yon a l , a2 . . . . , a, ~ 77, wenn folgendes gilt: 1) d > O, d l a l , d l a z , . . . , d l a ,. 2) Ffirjedes t ~ 7 7 m i t t j a l , t l a z . . . . . t la , g i l t :

rid.

M a n beweist nun allgemein die

Existenz und Eindeutigkeit des griiBten gemeinsamen Tellers: Z u n Z a h l e n a l , a 2 . . . . , a, ~ Z existiert genau ein gr6flter g e m e i n s a m e r Teiler. Folgende Aussagen fiber d ~ 2g sind iiquivalent: i) ii)

d > 0 und 77d = 7Za 1 + 7 ] a 2 -+- . . . q- 7 ] a n. d ist der grii/3te g e m e i n s a m e Teiler yon a l, a 2 , . . . ,

a n.

Speziell gilt stets eine Gleichung d=r~a~

+ r2az + . . .

+ r,a,

mit

rl,r 2..... r,~77.

Beweis: Es genfigen folgende Hinweise: Die Eindeutigkeitsaussage wird ebenso wie in 1 bewiesen. Die Implikation i) ~ ii) folgt elementar, wenn man bemerkt, dab L e m m a 3 richtig bleibt, wenn m a n a, b durch a~, a 2 . . . . , a, ersetzt. Um die Existenzaussage und die Implikation i i ) ~ i) zu verifizieren, definiere m a n (wie im Beweis des Hauptsatzes 3 fiber den gr6Bten gemeinsamen Teiler) die Zahl J > 0 als ein erzeugendes Element des Ideals 77a 1 q - 77a 2 -k . . . + 7 7 a n. D a n n hat J d i e Eigenschaften 1) und 2) der Definition und ist folglich ein gr613ter gemeinsamer Teiler von a l , a 2 . . . . . a n. Die Eindeutigkeit des ggT erzwingt d = aT. []

Wir schreiben wieder ggT(a~, a 2 . . . . . a,) ffir den gr613ten gemeinsamen Teiler yon al, a 2 . . . . , a,. In Analogie zu frfiher gelten folgende

Reehenregeln: Seien a 1 , a 2 . . . . .

an, c c 77. Dann gilt:

1) ggT(al, a 2 . . . . . a,) ist unabhgingig yon der Reihenfolge der Z a h l e n al,~ 9 ..,

an.

2) ggT(al, a 2 , . . . , a,) = ggT(al, ggT(a2, ... , a,)). 3) ggT(a I c, a z c . . . . . a,c) = 1c[ ggT(al, az . . . . . a,). _/al 4) ggT ~ c ' a2c . . . . . ~n) -- llc' g g T ( a l ' a2 . . . . . a,), falls c * 0 und cial ..... cla..

Der Beweis dieser Regeln macht keine Schwierigkeiten und sei daher dem Leser fiberlassen. Der gr6Bte gemeinsame Teller yon n > 2 Zahlen kann auch multiplikativ charakterisiert werden. So gilt in Verallgemeinerung des Existenzsatzes 1 folgender

64

Teilerfremdheit

2.1.5

Satz: Seien a t , . . . , a, c77\{0}, sei a~ = ,:,, F I p w~("~ die kanonische Primzerlep gung yon a,. in 77, v = 1,2 . . . . , n. Dann gilt: ggY(a 1, a2, . . . , a,) = [ I pmi,~,,,.(,,),,,,(~,~) ....... ,,(,,,)). p Der Beweis wird a n a l o g zu d e m Beweis des Existenzsatzes 1 geffihrt; wit brauchen d a r a u f nicht nfiher einzugehen. 5. Teilerfremdheit. Zwei ganze Zahlen a, b heil3en teilerfremd (oder auch relativ prim), wenn gilt: ggT(a, b) = 1. D a ggT(a, 0) = tal, so sind a und 0 genau d a n n teilerfremd, wenn a = _+ 1. Es gibt gute Kriterien, um die Teilerfremdheit zweier Zahlen zu testen; wir fassen die wichtigsten z u s a m m e n im Teilerfremdheitskriterium: Folgende A u s s a g e n iiber zwei g a n z e Z a h l e n a, b sind dquivalent: i) ii) iii) iv)

a and b sind teilerfremd. Es gibt keine Primzahl, die ein g e m e i n s a m e r Teiler yon a und b ist. 71a+77b=7/,. Es gibt Z a h l e n r, s E 7Z mit ra + sb = 1.

Beweis: i) ~ ii): Trivial. ii) ~ i): Gfibe es einen g e m e i n s a m e n Teiler c > 0, c 4= 1, von a und b, so gfibe es eine P r i m z a h l p, die c teilt. Es wfirde folgen: p e a und p lb. W i d e r s p r u c h ! i) iii): Klar, denn nach d e m H a u p t s a t z 3 fiber den gr6f3ten g e m e i n s a m e n Teiler gilt: 77,a + 77 b = 77 9 ggT (a, b). iii) 2 p a a r w e i s e teilerfremd, w e n n je zwei Z a h l e n aj, ak, j ~ k, teilerfremd sind. Ersichtlich sind p a a r w e i s e teilerfremde Z a h l e n a~, . . . , a, i m m e r teilerfremd; die U m k e h r u n g gilt ab n = 3 nicht m e h r : z.B. ist g g T ( 4 8 1 , 6 2 9 , 6 6 3 ) = 1, aber ggT(481,629) = 37, ggT(481,663) = 13, ggT(629, 663) = 17. . . . . .

Kriterium ffir paarweise Teilerfremdheit: Folgende A u s s a g e n fiber n > 2 Z a h l e n ct1, a 2 . . . . . a, ~ )7\{0} sind dquivalent: i) ii)

a a, a 2 . . . . . a, sind p a a r w e i s e teilerfremd. Die Primteiler yon a l , a 2 . . . . . a n sind lauter untereinander verschiedene Primzahlen.

Beweis: N a c h Definition sind a l , a2, . . . , a, paarweise teilerfremd, w e n n je zwei Z a h l e n aj, ak, j 4= k, teilerfremd sind. Dies trifft auf G r u n d der A q u i v a l e n z von i) und ii) des Teilerfremdheitskriteriums genau d a n n zu, wenn aj, ak, j 4: k, keinen g e m e i n s a m e n Primteiler haben. D a s ist a b e r g e n a u d a n n der Fall, wenn die Primteiler von a l , a 2 . . . . . a, lauter u n t e r e i n a n d e r verschiedene P r i m z a h l e n sind.

6. Reduzierte Bruchdarstellung. In diesem Abschnitt wird gezeigt, d a b jede rationale Z a h l 7 4 : 0 als ,,unki~rzbarer Bruch mit teilerfremdem Ziihler und N e n n e r " darstellbar ist. Dieser Satz yon der reduzierten B r u c h d a r s t e l l u n g ist for das e l e m e n t a r e R e c h n e n mit Brfichen f u n d a m e n t a l ; er w u r d e bereits in 1.4.1 angekfindigt.

66

Kleinstes gemeinsames Vielfaches

2.1.7

Reduzierte Bruchdarstellung: Z u jeder rationalen Zahl 7 4= 0 gibt es zwei ganze Zahlen a, b m i t Jblgenden Eigenschaften: 1) 7 = b 9 2) b > 1,

ggT(a, b) = 1.

Die Zahlen a, b sind durch die Eigenschafien 1) und 2) eindeutig bestimmt. 1st ,,,, _ m irgendeine Bruchdarstellung yon 7 mit ganzen Zahlen m, n, wobei n => 1, so 17

gilt: m = da und n = db mit d ' = ggT(m, n). Beweis: Sei ~,=

m

, m, n e 77, n > 1, v o r g e g e b e n , sei d : = ggT(m, n ) > 1. D a n n n gelten G l e i c h u n g e n m = d a u n d n = db mit e i n d e u t i g b e s t i m m t e n Z a h l e n a, b E 2~, w o b e i b > I w e g e n n > i u n d d > 1. A u f G r u n d der R e c h e n r e g e l 1, 2) m gilt: d = ggT(da, d b ) = d . ggT(a, b), also g g T ( a , b ) = 1. D a ferner ~ , d(3

/7

r

db - b' so ist i n s b e s o n d e r e die E x i s t e n z a u s s a g e bewiesen. Es bleibt die E i n d e u t i g k e i t y o n a, b zu zeigen. Seien a', b' c 7Z so beschaffen, d a b '

a f

ebenfalls gilt o' -. b_ a . . b.' >.

1, g g T ( a ' , b ' ) =

I " Aus b ; = a ~ folgt a'b = ab', also

b ] a b' u n d b' ] a'b. Wegen ggT (a, b) = I u n d g g T (a', b') = I e r h a l t e n wit b ] b' u n d b ' l b a u f G r u n d v o n K o r o l l a r 5. D a b > l, b' > 1, so folgt b' = b u n d d a m i t a u c h O' =

~l.

Die eindeutige B r u c h d a r s t e l l u n g 7 = b ' a, b ~ 7/, b > 1, g g T ( a , bt = 1, der rationalcn Z a h l 7 ~ 0 heil3t die reduzierte (oder a u c h : unkiirzbare) Bruchdarstellung yon 7. Die Z a h l a heiBt der Zdhler, die Z a h l b d e r Nenner yon ~'. Bemerkung: Ist ,' = ~:. ][ [ p~""~') die P r i m z e r l e g u n g der r a t i o n a l e n Z a h l 7 + 0, so p

ist offensichtlich (in verst'/indlicher N o t a t i o n ) 7= b

mit a ' =

~:~,

l-I pw~,,

wp(7) > 0

b'=

[I

wp(7) < 0

p

,,,~t~,~ a

die reduzierte B r u c h d a r s t e l l u n g v o n 7. Falls 7 = 0, so heil3t ~ m i t a : = 0, b : = 1 die reduzierte B r u c h d a r s t e l l u n g v o n 7. 7. Kleinstes gemeinsames Vielfaches. K o m p l e m e n t f i r z u m Begriff des gr6fAten g e m e i n s a m e n Teilers ist der Begriff des kleinsten g e m e i n s a m e n Vielfachen. Sind a, b E 77, so n e n n t m a n jede Z a h l c ~ 7Z, die v o n a u n d b geteilt wird, ein gemeinsames Vielfaches yon a und b. U n t e r allen g e m e i n s a m e n Vielfachen zeichnen wir eines aus:

2.1.7 Kleinstes gemeinsames Vielfaches

67

Sind a, b s Z, so heiBt eine Zahl v E Z ein kleinstes gemeinsames Vielfaches yon a und b, wenn gilt: 1) v>=0, a[v und b[v. 2) F/it jedes gemeinsame Vielfache c von a und b gilt:

v fc.

Diese Definition besagt, daB v das ,,kleinste" gemeinsame Vielfache von a und b im Sinne der Teilbarkeitsrelation sein soll. Die Wortwahl ,,kleinstes" bezieht sich also nicht auf die A n o r d n u n g von N, vgl. hierzu aber die Bemerkung in diesem Abschnitt. Die Entwicklung der Theorie des kleinsten gemeinsamen Vielfachen erfolgt nach dem gleichen Muster wie die Entwicklung der Theorie des gr6Bten gemeinsamen Teilers. Zun/ichst zeigen wir die

Eindeutigkeit des kleinsten gemeinsamen Vielfachen: Zwei Zahlen

a, b ~ 7Z haben

h6chstens ein kleinstes gemeinsames Vielfaches. Beweis: Seien v und v' zwei kleinste gemeinsame Vielfache von a und b. D a n n gilt v lv' und v'[v wegen 2) der Definition. Aus v > 0, v' > 0 folgt nun v = v'. []

Notation: Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen a, b ~ 7Z wird (falls es existiert), mit kgV(a, b) bezeichnet. Wir zeigen als n/ichstes die

Existenz des kleinsten gemeinsamen Vielfachen: Zwei Zahlen a, b ~ Z besitzen stets ein kleinstes gemeinsames Vielfaches. Fi;tr 0 + a = s a I~ PW'(a), 0 +- b = sb I] pW~b) gilt: P P

kgV(a, b)

=

I~pmax(wp(a)'wP(b))~1. P

Weiter gilt: kgV (a, 0) = kgV (0, b) = 0. Beweis: Die Gleichungen ffir kgV(a, 0) und kgV(0, b) folgen direkt aus der Definition, da jedes Vielfache von 0 wieder 0 ist. Sei also a 4 : 0 und b :# 0. Nach dem Teilbarkeitskriterium 1.3.1 ist eine Zahl c = ec [ I pWp(c) genau d a n n ein p

gemeinsames Vielfaches von a und b, wenn fiir alle Primzahlen p gilt: wp(c) > wp(a) und wp(c) > wp(b), d.h. wenn wp(c) > max(wp(a), wr(b)). Damit ist klar, dab U" = ] 7 pmaX(wp(a),wp(b)) P

ein gemeinsames Vielfaches von a und b ist und daB v jedes gemeinsame Vielfache c von a und b teilt. Mithin hat v die Eigenschaften 1) und 2) der Definition, d.h. v = kgV (a, b). []

68

Kleinstes gemeinsames Vielfaches 1) a : = 12 = 22 931, b ' = 45 = 32 951, kgV(a, b) 2) a : = - - 1 8 = ( - - 1 ) ' 2 - 3 2 ,b:=--21=(-1).3.7, kgV(a,b)=2.32-7= 126.

Beispiele:

=

2.1.7

2 2 9 3 2 9 51

=

180.

Bemerkung: Im soeben bewiesenen Existenzsatz ist speziell enthalten: Sind a, b e ~ beide nicht O, so ist ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches v > 0 auch bzgl. der Anordnung yon N das ,, kleinst e'" gemeinsame VielJache yon a und b: v < c Jhr alle c e ~ mit c > 0 und at c und b l c.

Es ist jetzt gewil3 hinreichend klar, dab zu jeder Aussage fiber den gr6[3ten gemeinsamen Teiler eine ,,komplement/ire" Aussage fiber das kleinste gemeinsame Vielfache geh6rt. Das gilt auch ffir die Rechenregeln ffir ggT, die wir in l zusammengestellt haben. Wir werden nun aber nicht die Analoga jener Rechenregeln ffir kgV beweisen, sondern leiten statt dessen eine Aussage her, mit deren Hilfe man die Zahl kgV(a, b) bestimmen kann, wenn m a n die Zahl ggT(a, b) kennt und umgekehrt.

Satz:

Fiir alle Z a h l e n a, b ~ 2g gilt:

ggT(a, b). kgV(a, b) = la 9 b[. B e w e i s : Die Behauptung ist klar, wenn a = 0 oder b = 0. Sei also 0 # a = ~:~ l i p "~("1, 0 :# b = eb l i p w'(b~" U n t e r Verwendung der ,,Minimum - Maxip

p

mumregel" rain (r, s) + max (r, s) = r + s

f/Jr alle r, s e Z

erhalten wir ggT(a, b) 9 kgV(a, b) = [ I

pmin(wp(a),wp(bD+max(wv(a),wv(b))

p

= l i p w'~a)+w'(b' = la 9 bl. P

Mit Hilfe des Begriffes des kleinsten gemeinsamen Vielfachen erweitern wir nun den Satz yon der reduzierten Bruchdarstellung eines Bruches zum Satz v o n d e r H a u p t n e n n e r d a r s t e l l u n g z w e i e r Brfiche, der ffir Addition und S u b t r a k t i o n von Brfichen wichtig ist.

Hauptnennerdarstellung: Z u j e z w e i r a t i o n a l e n Z a h l e n g a n z e Z a h l e n c 1 , c 2, h m i t f o l g e n d e n E i g e n s c h a f t e n :

2)

CI

C2

h -> 1,

ggT(Cl, c2, h) = 1.

}'i # O, }'2 z~ 0 g i b t es

D i e Z a h l e n c 1 , c 2 , h sind d u r c h die E i g e n s c h a f i e n 1) und 2) e i n d e u t i g b e s t i m m t . S i n d fl

--

m

1 n

, }'2

=

m 2 li

irgendwelche Bruchdarstellungen

yon ~/1, }'z m i t g a n z e n Z a h l e n

2.1.7 m l , m2, n,

Kleinstes gemeinsames Vielfaches n >= 1,

wobei

so s

g g T ( m l , m2, r/). S i n d 71 = - - ,

gilt:

72 =

69

m I = t e l , m 2 = tC2, n = t h

a2

t:=

mit

die r e d u z i e r t e n B r u c h d a r s t e l l u n g e n

yon

71, 72, so gilt: h = k g V ( b 1, b2). B e w e i s : W i r definieren als erstes die drei Z a h l e n c I , 02, h. W i r g e h e n aus v o n den

reduzierten

al

Bruchdarstellungen

a 2

71 = ~ ,

72 = b 2

von

71,72

und

setzen:

h ' = k g V ( b z, b2) > 1. Es gelten G l e i c h u n g e n h = b 1 b'1 = b 2 b ' 2 mit b'l, b2 e Z. ! , ! W i r setzen weiter: c 1 "-- al bl, c2 = a z b 2 . D a n n folgt u n m i t t e l b a r : C1

C2

ml

m2

n

n

W i r zeigen zun/ichst: Falls 71 = - - , 72 = - - mit m 1, m2, n ~ Z \ { 0 } , so gilt: h l n. Dies resultiert d a r a u s , d a b n a u f G r u n d v o n Satz 6 ein g e m e i n s a m e s Vielfaches der N e n n e r b 1 , b 2 (aus d e n r e d u z i e r t e n B r u c h d a r s t e l l u n g e n ) u n d d a h e r ein Vielfaches y o n h = k g V ( b l , b2) ist. Es folgt n u n schnell g g T ( c l , c2, h) = 1" Ist n/imlich c > 1 ein g e m e i n s a m e r Teiler v o n Cl, C2, h , e t w a c 1 = t l c, c 2 =- t 2 c , h = s c mit t l , t 2 , S ~ ~Z.\ { O } , S >= 1, SO gilt: ~1-

C1

tlC

tI

h

sc

s'

72

C2

t2c

t2

h

sc

s

N a c h d e m e b e n B e m e r k t e n folgt h Is. D a a u c h s l h w e g e n h = s c, so ergibt sich h=s, alsoh=hc, d.h.c=l. ml W i r zeigen weiter, d a b ffir jede D a r s t e l l u n g 71 = ~ - , 72 m2 mit g e m e i n s a m e m n N e n n e r n > 1 gilt: (*)

m 1 = tCl,

m 2 = tc2,

n = th

mit

t = g g T ( m 1, m 2 , n ) .

N a c h d e m bereits G e z e i g t e n wissen wir h ln, also n = t h mit t ~ 7~, t > 1. A u s cl - tCl m l u n d 72 - C2 - tc2 - mz folgt weiter: m 1 = t c 1, m 2 -~ t c 2. 71- h n n h n n W e g e n g g T ( c l , c2, h) -- 1 ergibt sich n u n a u f G r u n d der R e c h e n r e g e l 4, 3): -

-

g g T ( m 1, m 2, n) = g g T ( t c 1, t c 2 , t h ) = t g g T ( c 1, c 2, h) = t. I n den G l e i c h u n g e n (*) ist a u c h die A u s s a g e e n t h a l t e n , d a b c l , c 2, h d u r c h die E i g e n s c h a f t e n 1) u n d 2) des Satzes e i n d e u t i g b e s t i m m t sind: A u s 71 mit

h'>

h' = h.

1, g g T ( c ] , c '2, h ' ) = 1 folgt

n~imlich

nach

(*):

c~ c~ = -h' 7 2 - h' t c'1 = c 1, c 2 = c 2, []

Uber die Verteilung und Darstellung von Primzahlen

70

M a n n e n n t die o b e n a u f t r e t e n d e Z a h l h d e n H a u p t n e n n e r

2.2

der rationalen

Zahlen

}'~, 7 2 . D e r Satz v o n d e r H a u p t n e n n e r d a r s t e l l u n g gilt n i c h t n u r ffir z w e i

Brfiche, s o n d e r n m u t a t i s m u t a n d i s ffir j e d e s e n d l i c h e S y s t e m v o n r a t i o n a l e n Z a h l e n u n g l e i c h 0. Als H a u p t n e n n e r erh/ilt m a n d a n n das k l e i n s t e g e m e i n s a m e Vielfache der N e n n e r der E i n z e l b r f i c h e ; d a b e i h a t m a n das k l e i n s t e g e m e i n s a m e Vielfache v o n n > 2 Z a h l e n aus 7/, a n a l o g wie ffir n = 2 z u definieren. W i r g e h e n d a r a u f n i c h t welter ein. A u~k abe n : 1) Seien a, m, n 9 N • a > 2. Bestimmen Sie den gr613ten gemeinsamen Teiler von am-I unda"-l.

2) Seien a, b 9 N ~ teilerfremd und c c N so, dab gilt: a l e und b i t . Zeigen Sie: (ab) ]c. 3) Seien a, b E N • Zeigen Sie: ggT(a + b, a - b) > ggT(a, b). 4) Seien a, b, m 9 2~. Zeigen Sie die Aquivalenz folgender Aussagen: i) Es gibt eine ganze Zahl x mitm I ( a x b). ii) ggT(a, re) lb. 5) Seien m, n 9 7/teilerfremd, k : = mn sowie a, b 9Z beliebig. Zeigen Sie (unter Verwendung von Aufgabe 4)): a) Es gibt eine ganze Zahl u mit m l(u - a) und n I(u - b). b) Ffir eine ganze Zahl x sind fiquivalent: i) m L(x - a) und n ](x - b). ii) k [(x - u). 6) a) Seien a, b zwei ldeale in 7/. Zeigen Sie: a c~ b ist wieder ein ideal in 7/. b) Zeigen Sie: Fiir ganze Zahlen a, b, v sind folgende Aussagen/iquivalent: i) r > 0 u n d 2 ~ v = 7 / a m ~ b . ii) c - kgV(a, b). 7) Seien a, b, c 9 N • Zeigen Sie: Es gilt a 2 + b 2 - c 2 genau dann, wenn es s, u, v 9 N ~ mit u > v gibt, so dab entweder a = 2 s u v , b - s ( u 2 - v2), c - s ( u 2 + v 2) oder (./ = S ( U 2 - - 172), b = 2 s u v ,

w2

c - s(u 2

+ u2).

l]ber die Verteilung und Darstellung von Primzahlen

P r i m z a h l e n g e h 6 r e n als die m u l t i p l i k a t i v e n G r u n d b a u s t e i n e der n a t f i r l i c h e n Z a h l e n zu d e n w i c h t i g s t e n u n d i n t e r e s s a n t e s t e n U n t e r s u c h u n g s o b j e k t e n der M a t h e m a t i k . D e r Satz v o n der E x i s t e n z u n e n d l i c h vieler P r i m z a h l e n ffihrt sofort z u m P r o b l e m , g e n a u e r e A u s s a g e n fiber ihre V e r t e i l u n g in der M e n g e der n a t f i r lichen Z a h l e n zu m a c h e n . I n d i e s e m P a r a g r a p h e n d i s k u t i e r e n wir a u s f i i h r l i c h d e n groBen P r i m z a h l s a t z v o n GAUSS u n d d e n Satz v o n DmTCHLET fiber die V e r t e i l u n g v o n P r i m z a h l e n in a r i t h m e t i s c h e n P r o g r e s s i o n e n . W i r k S n n e n a l l e r d i n g s fiber diese t i e f l i e g e n d e n T h e o r e m e lediglich referieren; die Beweise dieser Sfitze s i n d n u r m i t a n a l y t i s c h e n H i l f s m i t t e l n ( i n s b e s o n d e r e aus der F u n k t i o n e n t h e o r i e ) m 6 g l i c h . W i r b e g n f i g e n u n s m i t e i n i g e n Spezialffillen. I m A b s c h n i t t 6 g e h e n wir a u f das P r o b l e m ein, P r i m z a h l e n als W e r t e y o n P o l y n o m e n d a r z u s t e l l e n . H i e r z u leistete bereits EULER Beitr/ige; in j f i n g s t e r Zeit

2.2.1 ElementareVerteilungssfitze

71

fanden die mathematischen Logiker fiberraschende S/itze fiber die Darstellung von Primzahlen durch ganzzahlige Polynome in mehreren Unbestimmten. 1. Elementare Verteilungssiitze. In der folgenden Tabelle sind die Primzahlen von 2 bis 1000 aufgeffihrt: 2, 37, 83, 101, 157, 211, 271, 307, 373, 401, 463, 503, 587, 601, 661, 701, 773, 809, 877, 907, 983,

3, 41, 89, 103, 163, 223, 277, 311, 379, 409, 467, 509, 593, 607, 673, 709, 787, 811, 881, 911, 991,

5, 7, 43, 47, 97, 107, 109, 167, 173, 227, 229, 281, 283, 313, 317, 383, 389, 419, 421, 479, 487, 521, 523, 599, 613, 617, 677, 683, 719, 727, 797, 821, 823, 883, 887, 919, 929, 997.

11, 53,

13, 59,

17, 61,

19, 67,

23, 71,

29, 73,

31, 79,

113, 179, 233, 293, 331, 397, 431, 491, 541,

127, 181, 239,

131, 191, 241,

137, 193, 251,

139, 197, 257,

149, 199, 263,

151, 269,

337,

347,

349,

353,

359,

367,

433, 499, 547,

439,

443,

449,

457,

461,

557,

563,

569,

571,

577,

619, 691, 733,

631,

641,

643,

647,

653,

659,

739,

743,

751,

757,

761,

769,

827,

829,

839,

853,

857,

859,

863,

937,

941,

947,

953,

967,

971,

977,

Die Primzahlen zwischen 9 999 900 und 10 000 000 sind 9999901, 9999971,

9999907, 9999973,

9999929, 9999991;

9999931,

9999937,

9999943,

zwischen 10 000 000 und 10 000 100 liegen nur 2 Primzahlen: 10 000 019 und 10 000 079. Man entnimmt diesen numerischen Daten, dab die Verteilung der Primzahlen sicher sehr unregelmdflig ist: Einerseits gibt es fiberaus groBe Lficken, so schon von 1327 bis 1361, von 8467 bis 8501, von 9551 bis 9587; andererseits treten bei ,,sehr groBen Zahlen" immer wieder Primzahlzwillinge (n und n + 2 sind Primzahlen) und sogar Drillinge und Vierlinge auf (3 bzw. 4 Primzahlen in einer Dekade). Sehr groBe Vierlinge sind etwa 294311 . . . . 295871 . . . . 299471 . . . .

13. . . . 73 . . . . 73 . . . .

17. . . . 77 . . . . 77 . . . .

19 79 79.

72

Groger Primzahlsatz

2.2.2

Ein 0beraus groger Zwilling ist 697 053 813. 216352_1_1 (gefunden 1995 von KarlHeinz Indlekofer und Antfil JS_rai vonder Universitiit Paderborn). Eine erste einfache Aussage zur Primzahlverteilung ist (vgl. Aufgabe 1.1.3)): F//r die n-te Primzahl gilt." Pn < 2 (2" 1). Eine weitere ganz elementare Aussage macht der Satz: 1) Sei a E IN, a > 3. Dann liegt zwischen a und a! - 1 stets wenigstens eine Primzahl. 2) Zu jeder natiirlichen Zahl n >= 1 gibt es n aufeinanderfolgende natiirliche Zahlen, die keine Primzahlen sind, z.B. (n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3 . . . . . (n + 1)! + n, ( n + 1 ) ! + ( n + 1). Beweis." ad 1): Alle Primzmhlen __ a. ad 2): Keine der n Zahlen av : (n + 1) ! + v, 2 _< v _< n + 1, ist Primzahl, denn es gilt:v]avundvT~avf0rallev 2,...,n+l. [] Die Aussage 1) dieses Satzes liigt sich wesentlich verscNirfen. Im Jahre 1845 zeigte J. BERTRAND (1822-1900) durch Rechnen for Zmhlen < 6000000, dab zu jeder nat0rlichen Zahl a __>4 wenigstens eine Primzahl zwischen l a und a - 2 existiert. Nach BERTRAND ist folgende Aussage benannt: Bertrandsches Postulat: Zu jeder natiirlichen Zahl a > 1 gibt es eine Primzahl p m i t a < p < 2a.

FOr diesen tiefliegenden Satz kennt man heute verschiedene Beweise. Inzwischen wurde auch das Bertrandsche Postulat wesentlich verbessert, so zeigte 1969 H. L. MONTGOMERY:

Sei e > 0 irgendeine reelle Zahl. Dann gibt es eine natiirliche Zahl ao derart, daft zu jeder natiirlichen Zahl a > ao eine Primzahl p existiert mit a < p < a + a3 +q

2. GroBer Primzahlsatz. Es ist einfach festzustellen, dab die Verteilung der Primzahlen immer ,,dOnner" wird: Es es es es es es

gibt gibt gibt gibt gibt gibt

168 135 77 71 54 49

Primzmhlen Primzahlen Primzmhlen Primzahlen Primzahlen Primzahlen

zwischen 1 und 1000; zwischen 1000 und 2 000; zwischen 199 000 und 200000; zwischen 106 und 106 + 1000; zwischen 108 und 10 s + 1000; zwischen 109 und 109 + 1000.

Um allgemeine quantitative Aussagen 0ber die Verteilung der Primza_hlen zu formulieren, definieren wir ~r(x) als die Anzahl der Primzahlen, die kleiner oder gleich x sind: ~r(x) :

Y,

pcP,p<x

1,

2.2.2

Grol3er Primzahlsatz

73

wobei es zweckm/iBig ist, sofort beliebige reelle Zahlen x > 0 als A r g u m e n t der P r i m z a h l v e r t e i l u n g s f u n k t i o n n zuzulassen, da die klassischen ,,Vergleichsfunktion e n " ohne reelle Zahlen nicht definierbar sind. Es gilt also z.B. n(1) = 0, n(2) = 1, n(3) = n(4) = 2 . . . . . K e n n t m a n n(x) ffir alle reellen Zahlen x > 0, so kennt m a n die genaue Verteilung der Primzahlen in Intervalten, denn ffir alle x 1, x 2 E ~ mit 0 < xl < x2 gilt per definitionem: 7~(X2) -- 7r(X1)

=

Anzahl aller P r i m z a h l e n p mit x I < p < x 2.

Eine Zahl a e N • ist ersichtlich genau dann eine Primzahl, wenn gilt: n(a) - n(a - 1) = 1. Die Primzahlverteilungsfunktion n ist eine Treppenfunktion. Es erscheint auf den ersten Blick hoffnungslos, genauere Angaben fiber die G r 6 B e n o r d n u n g von n ( x ) zu machen. U m s o erstaunlicher ist es, dab es 1792 dem 15-j/ihrigen GAUSS durch Studium von numerischen Primzahltabellen, die er in einer geschenkten Logarithmentafel land, gelang, eine Vergleichsfunktion zu entdecken, die wie die F u n k t i o n n ( x ) w/ichst und die viel einfacher zu h a n d h a b e n ist als die Primzahlverteilungsfunktion. Wir bezeichnen mit In x den natfirlichen L o g a r i t h m u s von x (zur Basis e). D a n n gilt:

GroBer Primzahlsatz: lim

~(x)

x-~ ~ x / l n x

-1.

B e m e r k u n g : Der groBe Primzahlsatz besagt, daB die elementar-transzendente 9

X

Funktlon ~

ffir groBe Werte von x die F u n k t i o n n ( x ) so gut approximiert, daB

der Q u o t i e n t von n ( x ) und dieser F u n k t i o n beliebig dicht bei 1 liegt. M a n beschreibt diesen Sachverhalt h/iufig suggestiv durch X

n ( x ) ~ In x"

Es vergingen mehr als 100 Jahre, bis ein erster vollst/indiger Beweis des grol3en Primzahlsatzes gegeben wurde. Erst 1896 gelang dies zwar gleichzeitig, aber unabh~ingig v o n e i n a n d e r dem franz6sischen M a t h e m a t i k e r J. HAOAMARD (1865--1963) und dem belgischen M a t h e m a t i k e r C. DE LA VALL~E-POUSSIN (1866 1962). Der Beweis geh6rt in die analytische Zahlentheorie und k a n n hier nicht erbracht werden: Entscheidendes Hilfsmittel ist die Riemannsche Zetafunktion

~(s)-- - Z n=l

1 /~s~

S>],

74

Grol3er Primzahlsatz

2.2.2

die in folgendem Z u s a m m e n h a n g mit Primzahlen steht: 1 ~(s) = p cl~Ilp _ l-p-"

1 - ~}im ~ : p [~I, l - p

-

.
1.

M i t Hilfe dieser g r o b e n U n g l e i c h u n g (*) zeigen wir n u n folgende r u d i m e n t / i r e C h e b y s h e v s c h e Absch/itzung Satz: M i t c:

24 In 2 ,gilt ,[iir alle reellen Z a h l e n x > 1 : X

7r(x) < c l n x Zu j e d e r Zahl a 9 N, a > 4, existiert eine nattirliche Zahl m > ' l , so d a b gilt: In 2 _ 4 m 1 < a < 4". U b e r g a n g zu L o g a r i t h m e n ergibt: In a < m In 4, also 1 < 2 . l ) a m i t erh/ilt Beweis: -

m

m a n u n t e r V e r w e n d u n g der o b i g e n U n g l e i c h u n g (*), w e n n m a n n o c h 4" ~(a) < 7r(4") < 3 4 " m

N u n ist die F u n k t i o n

X

lnx

12 . I

m

4"

lo, w o b e i gilt: a , = n q + r m i t lest vorgegebenen Zahlen q c N • r E N. In einer solchen Progression liegen ersichtlich h 6 c h s t e n s d a n n u n e n d l i c h viele P r i m z a h l e n , w e n n q u n d r t e i l e r f r e m d sind. S c h o n 1785 b e h a u p t e t e d e r f r a n z 6 s i s c h e M a t h e m a t i k e r A. M. LEGENDRE (1752 1833) die E x i s t e n z y o n u n e n d l i c h v i e l e n P r i m z a h l e n in j e d e r a r i t h m e t i s c h e n P r o g r e s s i o n d e r F o r m 2 h . n + k, n e N , m i t t e i l e r f r e m d e n Z a h l e n 2 h , k. I m J a h r e 1837 b e w i e s d e r d e u t s c h e M a t h e m a t i k e r G . P . L . DIRICHLET (1805 1859) d e n t i e f l i e g e n d e n

Primzahlsatz fiir arithmetische Progressionen: E s seien q c IN • r ~ IN teilerf r e m d e Z a h l e n . D a n n e n t h d l t die a r i t h m e t i s c h e P r o g r e s s i o n q + r, 2 q + r, 3 q + r , . . . , n q + r . . . . u n e n d l i c h viele P r i m z a h l e n . Z u m Beweis d i e s e s S a t z e s b e n 6 t i g t m a n w i e d e r u m f a n g r e i c h e H i l f s m i t t e l a u s d e r Analysis. Die Hauptschwierigkeit im Dirichletschen Beweis besteht darin, dab z(n)

eine u n e n d l i c h e R e i h e , = 1 n '

w o Z ein s o g e n a n n t e r reeller C h a r a k t e r ist, n i c h t

n u l l ist. W i r k 6 n n e n d a z u in d i e s e m R a h m e n n i c h t s N / i h e r e s sagen. D i e M a t h e m a t i k e r h a b e n sich ein V e r g n / i g e n d a r a u s g e m a c h t , ffir Spezialf/ille d e s D i r i c h l e t s c h e n P r i m z a h l s a t z e s e i n f a c h e B e w e i s e zu f i n d e n , so fiir d i e P r o g r e s s i o n e n 3 n + 1, 4 n _+ 1, 5 n +_ 2, 6 n + 1, 8 n -- 1, 8 n + 3, 1 0 n -- 1, 1 2 n -- 1 u n d viele weitere.

6. Primzahlen als Werte von Polynomen. Wir bezeichnen mit 7/[X] die Gesamtheit aller Polynome f ( X ) : ao + a l X + ... + a , X "

mit ganzzahligen Koeffizienten ao, a l , . . . , a,. Wir wollen hier nichts zur exakten Einffihrung von Polynomen sagen, sondern mit ihnen naiv operieren (vgl. auch 3.0.2). Ftir jedes Polynom f ~ 7/IX] sind die Werte

f(a):=ao+ala+a2a2+...+anan~7/

fi,ir alle a ~ 7 /

wohldefiniert. Falls f(a) = 0, so heil3t a eine Nullstelle yon f Fiir jede Zahl a ~ 7/besteht eine Gleichung f ( X ) = (X - a) g(X) + f ( a )

mit (yon a abh~ingendem) g ~ 7/[X],

wie man sofort der Darstellung f ( X ) - f(a) = al (X - a)

+ az(X 2 -

a 2) + . . . + a n ( X n - - a n)

entnimmt, wenn man jede Differenz X ~'- a" in der Form (X a ) ( X ~, 1 + a X ~, 2 + . . . + a ~ 2 X + a V 1)schreibt. Nach dem Primzahlsatz von DIRICHLET nimmt ein lineares Polynom a o + al X mit a 1 4- 0 genau dann unendlich viele Primzahlen als Werte an, wenn ao und a 1 teilerfremd sind. Analoge Aussagen ffir quadratische Polynome (ganz zu schweigen von Polynomen h6heren Grades) sind nicht bekannt, so weig man z.B. nicht einmal, ob unter den Werten des Polynoms X 2 + ] unendlich viele Primzahlen vorkommen.

80

P r i m z a h l e n als Werte v o n P o l y n o m e n

2.2.6

Bereits EULER wugte, d a b die 41 Werte h(0), h(1), h(2), . . . , h(40) des P o l y n o m s h ( X ) : X 2 - X + 41 sfimtlich P r i m z a h l e n sind. LEGENDRE b e m e r k t e , d a b a u c h das P o l y n o m / ( X ) : = X 2 + X + 41 fiir 0, 1 . . . . . 39 n u t P r i m z a h l e n als Werte h a t ; dies ist wenn man die A u s s a g e v o n EULER unterstellt klar, d a h ( X + I ) = ( X + I ) 2-(X+1)+41 = X z + X + 4/ = l(X). M a n h a t sp~iter b e m e r k t , d a b d a s L e g e n d r e s c h e P o l y n o m I(X) a u c h h(X). D a h e r ist I ( X - 4 0 ) = n o c h fiir - 1 , 2 . . . . . - 4 0 P r i m z a h l e n liefert, d a / ( - X ) = (X - 40) 2 + (X - 40) + 41 = X 2 - 7 9 X + 1601 ein P o l y n o m , dessen 80 k o n s e k u t i v e n Werte ftir 0, 1, 2 . . . . . 79 sfimtlich P r i m z a h l e n sind. M a n wird fragen, o b es n i c h t k o n s t a n t e P o l y n o m e f e ~ [ X ] gibt derart, d a b j e d e r Wert f ( n ) , n e N • eine P r i m z a h l ist. W i r wollen zeigen, d a b dies n i c h t d e r Fall sein k a n n . D a z u zeigen wir vorweg: Lemma:

Sei

fe71[X]

f ( a + b 2) - - f ( a )

9

irgendein Polynom, sei a e 7 Z C mit C ~ • und g g T ( f ( a ) , c) = 1.

und

sei

b:=f(a)+O.

Dann

gilt:

Beweis: Es gilt J'(X) - ( X - a) g ( X ) + f ( a ) m i t q E 7Z[X]. H i e r a u s folgt: f ( a + b 2) - (a + b z - a) . q(a + b 2) + f (a) = f ( a ) 2 9 9(a + b 2) + f ( a )

= f ( a ) -(1 + f ( a ) ,q(a + b2)). Die Z a h l c: = 1 + f ( a ) 9(a + b 2) c 7Zist a b e r teilerfremd zu b - f ( a ) , k r i t e r i u m 1.5, iv).

vgl. z. B. Teilerfremdheits-

W i r k 6 n n e n n u n zeigen, d a b die Wertefolge f ( l ) , f ( 2 ) . . . . . . f(n) . . . . eines j e d e n g a n z z a h l i g e n n i c h t k o n s t a n t e n P o l y n o m s u n e n d l i c h viele P r i m t e i l e r hat. S a t z : E s s e i f = a r X r + ar i X r i + ... + al X + a o e ~ [ X ] m i t r >= l , a r ~ O. D a n n g i b t e s e i n e Folge n 1, n2, n3 . . . . . ni . . . . natiirlicher Zahlen, so daft der Wert f (ni) e 71 mindestens i verschiedene Primteiler hat, i ~ N • Beweis: W i r di),rfen ar > 0 a n n e h m e n (sonst gehe m a n z u m P o l y n o m folgende U n g l e i c h u n g fiir die Werte y o n f:

(*) f i x ) > ~ a 1, v Zum aJ

f~iralle x > x o : = 4 m a x { t a o ] , l a l l

~

Beweis gehen wit aus v o n d e r lar , I x ~ 1 . . . - l a t l x - l a o f .g

f tiber). W i r b e n 6 t i g e n

. . . . . la~_l[,la~l} > 4 .

ffir alle x > 0 g e l t e n d e n

Abschfitzung

f(x)>

.,

Ftir alle x > x o gilt - laj[ > - ~ ffir a l l e j = 0 . . . . . r - 1; d a h e r folgt: f(x)>a~x xx~-I

N u n gilt 4 " x

~

.\"

4

(S

l+...+x+l)=a~x

~

X

X r --

1

4

x

1

fiiralle x>xo.

1

i < 2 (xr - 1) fiir alle x > 2. Wegen Xo > 2 folgt d a h e r wie b e h a u p t e t :

,f(x)>a~x~- 89162

~2) x~>_ 89 x ~

fiiralle X>Xo.

N a c h diesen V o r b e r e i t u n g e n definieren wir n u n die g e s u e h t e n Z a h l e n n~, n 2 , . . , i n d u k t i v wie folgt: 1) W i r w~ihlen nx e N, n~ > Xo, beliebig. 2) Sind n~, tl 2 . . . . . rli s c h o n definiert, so setzen wir: hi+ 1. : = n l + f ( n i ) 2 E N . W i t b e h a u p t e n : 1 < 2a~ < f ( n 1) < f ( n 2 ) < ... < f ( n i ) < f ( n i + l ) < . . . . Z u n f i c h s t ist wegen n~ > Xo > 4 u n d r > 1, ar -> 1 a u f G r u n d v o n (*) klar: > ~1 a,.n 1 > J ( n , ) > ~1 a~nlr = = ~1 a,4

2at > t

Sei 2a~ < f ( n l ) < ... < f ( n i ) s c h o n gezeigt, i > 1. W e g e n ni+~ .1"(i~11 ~ 11 >

~, a r n i

~~ 1

89a~(rti +/'(ni)2F > 2 a~.l(ni) 2~. 1

ni + f ( n l ) 2 > xo gilt n a c h (*):

2.3

Zahlentheoretische Funktionen

81

Da ~l a r f (ni) > ~i ar2a ~ arZ => 1 und f (ni) 2"-1 > f (ni) wegen f ( n i + 1) > f(ni). Wir ziehen nun das L e m m a heran. D e m n a c h gilt ffir alle i => 1 : f(ni+l)=f(ni).c

i

mit

ci~Z

und

2r - 1 => 1,

so

folgt

ggT(f(ni),ci)=l.

Da stets ci > 1 wegen f ( n i + l ) > f ( n i ~ , so sehen wir, dab f ( n i + l ) mindestens einen (von c i herrfihrenden) Primteiler besitzt, der nicht f ( n i ) teilt. D a f ( n O > 1 mindestens einen Primteiler hat, so folgt die Behauptung dutch einen trivialen Induktionsschluf3. [] Auch fiir Polynome in mehreren Verfinderlichen stellt sich das Problem, welche Primzahlen unter den Werten vorkommen. Fiir das dutch den pythagorfiischen Lehrsatz ausgezeichnete quadratische Polynom X 2 + y 2 in 2 Verfinderlichen X, Y ist dieses Problem fiquivalent mit der Frage, welche Primzahlen als Summe von 2 Quadraten a z + b 2, a, b ~ N • darstellbar sind. Hier kennt man die genaue Antwort; es gilt der berfihmte Satz (EULER): Eine Primzahl p ist genau dann als Q u a d r a t s u m m e a z + b 2 mit nati~rlichen Z a h l e n a > 1, b > 1 darstellbar, wenn p = 2 oder wenn p yon der F o r m 4 n + 1, n ~ N • ist. Beispiele: 2 = 1z + 12, 5 = 22 + 12, 17 = 42 + 12, 53 = 72 + 22, 113 = 8 2 ~- 72. 7, 11, 19, 107, 991 sind nicht Summe zweier Quadrate, da sie die F o r m 4n + 3 haben.

Ein Beweis dieses Eulerschen Satzes wird im Abschnitt 5.2.3 gegeben.

[]

A u f G r u n d unseres Satzes sind die Werte f(n), n e N, eines nichtkonstanten Polynoms f s 7/[X] in einer Verfinderlichen niemals sfimtlich Primzahlen. Es stellt sich die Frage, ob diese Aussage auch fiir ganzzahlige Polynome in mehreren Verfinderlichen gfiltig bleibt. Es zeigt sich, dab bei mehreren Verfinderlichen die Verhfiltnisse gfinzlich anders liegen. So zeigte kfirzlich der sowjetische mathematische Logiker Yu. MATIJASEVI(~, dab es ein ganzzahliges Polynom g ~ ~ [ X t , X 2 . . . . . Xlo ] in 10 Unbestimmten X1, X2 . . . . . Xlo vom Totalgrad < 120 gibt mit folgenden Eigenschaften: 1) Fi~r jedes S y s t e m a 1, a 2 . . . . . alo ~ N • ist der Wert 9 ( a l , a2 . . . . . alo ) ~ Z entweder negativ oder eine Primzahl. 2) Z u j e d e r P r i m z a h l p gibt es natiitrliche Z a h l e n a l , a 2 . . . . . a i o 6 N • mit g ( a l , a 2 . . . . . alo) = p .

M a n kann solche Polynome 9 sogar explizit angeben! Aufcaben: 1) Zeigen Sie mit Hilfe des Kriteriums von LUCAS-LEHMER, dab die Zahlen M , = 2p - 1 ffir p = 3, p = 5 u n d p = 7 Primzahlen sind. 2) Zeigen Sie direkt: Es gibt unendlich viele Primzahlen der F o r m a) 6k + 5, k ~ N . b) 4 k + 3, k ~ N . 3) Zeigen Sie: Ffir alle natfirlichen Zahlen n > 2 gilt: n < 2 ~(") 9x ~ "

w3

Zahlentheoretische Funktionen

In diesem Paragraphen behandeln wir nach einigen einffihrenden Bemerkungen im Abschnitt 2 die klassische Eulersche ~p-Funktion. In den Abschnitten 3 und 4 entwickeln wir dann die Theorie der DmlcnLEw-Faltung und wenden diese auf das M6biussche Umkehrproblem ffir S u m m a t o r f u n k t i o n e n an.

82

Multiplikative Funktionen

2.3.1

1. Multiplikative Funktionen. Im P a r a g r a p h e n 3 von Kapitel 1 haben wir die Anzahl r(a), das P r o d u k t P(a) und die S u m m e a(a) aller positiven Teiler einer natfirlichen Zahl a > 1 bestimmt. Es handelt sich hierbei um Beispiele zahlentheoretischer Funktionen. Allgemein heiBt jede Abbildung f: IN • --. tI~, a ~--~f (a) eine zahlentheoretische Funktion; wir schreiben kurz f statt f: N • ---, I1~. Von besonderem Interesse sind solche zahlentheoretischen F u n k t i o n e n J~ die die multiplikative Struktur von N • insoweit respektieren, daB f ( a b) = f ( a ) f ( b ) ffir alle a, b e N • mit ggT(a, b) = 1 gilt. Derartige F u n k t i o n e n nennt m a n multiplikativ, bisweilen auch distributiv. Die einfachste zahlentheoretische F u n k t i o n ist die ,,Nullfunktion": Sie wird definiert durch f ( a ) " = 0 ffir alle a e N • Die Nullfunktion ist multiplikativ, aber ohne Bedeutung. L e m m a : 1) Ist f eine multiplikative zahlentheoretische Funktion, die nicht die Nullfunktion ist, so gilt: f ( 1 ) = 1. 2) Sind f und g multiplikative Funktionen, so ist auch die Produktfunktion f . g, die durch ( f . g ) ( a ) : = f ( a ) , g(a), a ~ N • definiert wird, multiplikativ. Beweis. ad 1): Fiir alle a ~ N ~ gilt f ( a ) = f ( a . 1) = f ( a ) . f ( 1 ) wegen ggT(a, 1) = 1. D a nach Voraussetzung eine Zahl a0 e N • mit f ( a o ) + 0 existiert, so folgt f ( i ) = 1. ad 2): Ffir alle a, b E IN • mit ggT(a, b) = I gilt: ( f . g)(ab) - - f ( a b ) . g(ab) = f (a) f (b) g(a) g(b) -- f (a) g(a) . f (b) .q(b)

= i f . g) (a). ( f . g) (b). Wir charakterisieren nun multiplikative F u n k t i o n e n mit Hilfe des Satzes von der Primzerlegung. Satz: Folgende Aussagen fiber eine yon der Nullfunktion verschiedene zahlentheoretische Funktion f sind iiquivalent: i) ii)

f i s t multiplikativ. Ist a ~ N und ist a = p~m l P2 x

m2

so gilt: f (a)

.

...

.

p~r die Primzerlegung yon a,

= f(p~")f(p72).....f(p?r).

Beweis: i ) ~ i i ) : M a n ffihrt I n d u k t i o n nach r durch; der Fall r = 0 ist klar aufgrund des Lemmas, der Fall r = I ist trivial. Sei r > 1. D a p],, und p ~ , 2 . . . . , pro. aufgrund des Teilerfremdheitskriteriums 1.5, ii) teilerfremd sind, so gilt f ( a ) = f ( P l m I ) f ( P 2r n 2 " . . . " P~"). Die I n d u k t i o n s v o r a u s s e t z u n g ergibt nun die Behauptung. ii)=> i): Seien a, b e N • seien a = p,~ p72 . " 9- . p~r, b = ql,1 q2,2. ... . qn, die Primzerlegungen von a, b. N a c h Voraussetzung gilt f(a)-f(pl _

m l

) f(p,~2). ... "J(Prm r ) 9

und

f ( b ) = j "(q~~1) f ( q " 2 ~ ) . . . .f(q~,~).

2.3.2

Eulersche ~0-Funktion

83

. , q2. 2 . . . . . q~s die P r i m Sei n u n g g T ( a , b) = 1. D a n n ist ab =p'~'p'~2 ... P r , , rql z e r l e g u n g v o n a b (bis a u f die evtl. R e i h e n f o l g e der F a k t o r e n ) , d a h e r gilt: 9

f (ab) = f ( p ~ ' ) f (p,~2) . . . . . f (p~,r) f (q],) f (q,22) . . . . . f (q~s) = f ( a ) f (b). [] Aus d i e s e m Satz folgt u n m i t t e l b a r : K o r o l l a r : Z w e i multiplikative Funktionen f l, f2 sind gleich (als Funktionen !), wenn gilt: f l ( p m) = f 2 ( p m) ffir alle p ~ ]P, m c N .

Beispiele zahlentheoretischer Funktionen: 1) Die , , e i n f a c h s t e " z a h l e n t h e o r e t i s c h e F u n k t i o n , die nicht die N u l l f u n k t i o n ist, wird g e g e b e n d u r c h o(1) : = 1, o(a) : = 0 ffir alle a c N • a + 1. Diese F u n k t i o n ist offensichtlich m u l t i p l i k a t i v ; sie wird in den nfichsten A b s c h n i t t e n im Z u s a m m e n h a n g m i t der DIRICHLET-Faltung eine wichtige Rolle spielen. 2) Die d u r c h e(a): = 1 ffir alle a c IN • definierte F u n k t i o n ist die einzige konstante F u n k t i o n , die m u l t i p l i k a t i v , a b e r nicht die N u l l f u n k t i o n ist. 3) D i e d u r c h i(a) : = a, a c IN • definierte F u n k t i o n (identische F u n k t i o n ) ist m u l t i p l i k a t i v . 4) Ffir jede natfirliche Z a h l k ist die d u r c h ik(a) = a k, a ~ IN • definierte F u n k t i o n (k-te P o t e n z f u n k t i o n ) m u l t i p l i k a t i v . Es gilt i o = e u n d i 1 = i. 5) Die T e i l e r a n z a h l f u n k t i o n z ( a ) = Z 1, a c IN• ist m u l t i p l i k a t i v aufg r u n d v o n Satz 1.3.1. el, 6) Die P r o d u k t f u n k t i o n P ( a ) = I ] d, a e N • ist nicht m u l t i p l i k a t i v : ct fa

N a c h Satz 1.3.2 gilt P(a) = a r(a)/2, also z.B. P(6) = 62 = 36, P(2) = 2, P(3) = 3, P ( 2 . 3 ) = 36:4= 6 = P(2) P(3). 7) D i e T e i l e r s u m m e n f u n k t i o n a(a) = Z d, a c IN • ist m u l t i p l i k a t i v aufg r u n d v o n Satz 1.3.3. ala 8) Fiir jede natiirliche Z a h l k ist die d u r c h a k ( a ) : = Z dk ffir a c N • dla

definierte z a h l e n t h e o r e t i s c h e F u n k t i o n m u l t i p l i k a t i v , d e n n es gilt: a o = ~ (vgl. Beispiel 5)) u n d ffir k > 1" ak(a ) =

h '~Q ok(me+l)- 1 q=l

p~ - 1

'

falls a =

z e r l e g u n g v o n a c IN• ist; i n s b e s o n d e r e sehen wir: a t

fi o=1 p

p~'~ die P r i m =

ak(p~,),

~o=1

w o r a u s die M u l t i p l i k a t i v i t f i t y o n ak, k > 1, folgt. O f f e n b a r ist ferner a I -- a (vgl. Beispiel 7)).

2. Eulersche q~-Funktion. D i e d u r c h die F e s t s e t z u n g (p(a): = A n z a h l der zu a c N • t e i l e r f r e m d e n Z a h l e n aus {1, 2 . . . . . a} erkl/irte F u n k t i o n (p: N • -~ IN • heil3t Eulersche ~o-Funktion. Es ist also: ~o(1) = 1, (0(2) = 1, ~o(3) = 2, ~o(4) = 2, ~o(5) = 4, ~o(6) = 2, q~(7) = 6, ~o(8) = 4, ~o(9) = 6, ~o(10) = 4, (p(ll) = 10, ~o(12) = 4.

84

Eulersche ~p-Funktion 2.3.2

Die (p-Funktion wurde 1760 yon Leonhard EULER (geb. 1707 in Basel, gest. 1783 in Petersburg) im Z u s a m m e n h a n g mit seiner Verallgemeinerung des kleinen Fermatschen Satzes eingeffihrt. Z u m Ausgangspunkt unserer fJberlegungen fiber die q>Funktion machen wit die von Carl Friedrich GAUSS (geb. 1777 in Braunschweig, gest. 1855 in GGttingen, princeps mathematicorum) in seinem berfihmten 1801 erschienenen Werk Disquisitiones Arithmeticae angegebene Teilersummenformeh Fiir alle a e N • gilt: ~ ~p(d) = a. dla Beweis: Sei a E N • fixiert, sei d irgendein positiver Teiler von a. Wir bezeichnen mit T(d) diejenigen Zahlen x aus der Menge {1, 2 , . . . , a}, die mit a den grGBten gemeinsamen Teiler d haben, also

T ( d ) = {x c N • x < a und ggT(a, x) = d}. Sind d, d' verschiedene Teiler yon a, so sind die Mengen T(d) und T(d') elementfremd. Da jede Zahl b e N • 1 < b < a, in einer Menge T(d) liegt, n/imlich in T(ggT(a, b)), so sehen wir: Die Menge { 1, 2 . . . . . a} ist die Vereinigung der paarweise elementfremden Mengen T(d), wo d alle positiven Teiler von a durchl/iuft. Hieraus folgt durch Elementez/ihlen, wenn wir mit Anz(T(d)) die Anzahl der Elemente von T(d) bezeichnen: (*)

a = 3= Anz(T(d)). dla

Wit bestimmen nun die Zahl Anz(T(dj) ffir jeden Teiler d > 1 von a. Laut Definition g i l t x e T(d) genau dann, wenn x = q d mit q e N • 1 < qd < a, ggT(a, qd) = d. Es gilt ggT(a, qd) = d aufgrund von Rechenregel 1.1, 3) genau dann, wenn gilt g g T ( d , q ) = 1; daher folgt:

Da es laut Definition der p - F u n k t i o n genau p

zu ~ teilerffemde Zahlen

zwischen I u n d ) gibt, so hat T(d) also genau q~

Elemente. Damit schreibt

sich (*)wie folgt:a = Z q0(a}. N u n erhfilt man alle positiven Teller auch genau \a/ dla einmal (in umgekehrter Reihenfolge) in der F o r m d = d' wenn d alle positiven Teller von a durchl/iuft. Wir sehen dla

alia

Dies ist die Behauptung, wenn man wieder d statt d schreibt,

g~

2.3.2

Eulersche q>Funktion

85

Beispiel: Ffir a : = 12 gilt: Z

d[12

q)(d) = q~(1) + ~o(2) + q9(3) + (p(4) + q9(6) + (o(12) =1

+I

+2+2+2+4=12.

U m die ~o-Funktion in g e s c h l o s s e n e r F o r m a n z u g e b e n , wie es bereits EULER tat, v e r w e n d e n wir folgenden, a u c h im w e i t e r e n nfitzlichen H i i f s s a t z : Sind a, b ~ IN • teilerfremd, so erhdlt man jeden positiven Teiler d von ab

genau einmal, wenn man jeden positiven Teiler d I yon a mit jedem positiven Teiler d 2 yon b multipliziert. Beweis: Sei dl l a, d2 I b, dt >= 1, d2 > 1. Ffir d ' = da d2 gilt d a n n d lab u n d d > 1. Ist u m g e k e h r t d > 1 ein Teiler v o n ab, so verteilen sich w e g e n der Teilerfremdheit v o n a u n d b die P r i m f a k t o r e n v o n d e i n d e u t i g a u f die P r i m f a k t o r e n v o n a einerseits u n d b andererseits, so d a b m a n d u r c h Z u s a m m e n f a s s u n g der v o n a bzw. b h e r r f i h r e n d e n P r i m f a k t o r e n eine Z e r l e g u n g d = d 1 d 2 m i t d 1 > 1, d 2 ~ 1, d, [a, d 2 [b erhfilt, w o b e i d 1 u n d d 2 d u r c h d e i n d e u t i g b e s t i m m t sind. [] W i r zeigen n u n

Satz: 1) Die Eulersche ~o-Funktion ist multiplikativ: ~p(ab) = qg(a) q~(b)

ffir alle a, b ~ N •

mit

g g T ( a , b) = 1.

/

2) Es gilt q ) ( a ) = a I I (1 pla \

l ~ fiir alle a ~ iN • (wobei l~ bedeutet, dafl

F~

pl a

iiber alle Primteiler p yon a multipliziert wird). Beweis: ad 1): W i r zeigen d u r c h I n d u k t i o n n a c h c, d a b ffir alle t e i l e r f r e m d e n m u l t i p l i k a t i v e n Z e r l e g u n g e n y o n c e IN • d.h. for alle t e i l e r f r e m d e n a, b e IN • mit c = ab, gilt: q~(a) ~p(b) = ~p(c) = q~(ab). D a ffir c = I n o t w e n d i g a = b = 1 gilt, ist w e g e n q~(l) = 1 der I n d u k t i o n s a n f a n g klar. Sei n u n c e IN• c > 1, d e r a r t , d a b die B e h a u p t u n g richtig ist for alle c' ~ N • m i t c' < c (erweiterte I n d u k t i o n s v o r a u s s e t z u n g ) . Sind d a n n a, b E IN • i r g e n d w e l c h e t e i l e r f r e m d e n natfirlichen Z a h l e n m i t c = ab, so gilt z u m einen a u f g r u n d der T e i l e r s u m m e n f o r m e l ffir c = ab u n d des Hilfssat-

zes

(+)

ab = Z

d]ab

~o(d)=

Z

dl [a, d2lb

~o(d,d2).

A n d e r e r s e i t s gilt a u f g r u n d der T e i l e r s u m m e n f o r m e l ffir a bzw. b u n d des Distributivgesetzes:

(+ +) ab = ( 5Z (p(dl)) ( Z (P(d2)) = dlla

d2[b

E

dl[a, d2lb

cP(dl) q)(d2).

W i r fixieren n u n ein P a a r d l , d2 ~ N • m i t d 1 [a, d 2 lb. Falls (dl, d2) 4= (a, b), so gilt c ' : = d i d 2 < ab = c. D a m i t a u n d b a u c h d 1 u n d d 2 teilerfremd sind, folgt

86

Eulersche ~0-Funktion 2.3.2

d a n n n a c h der l n d u k t i o n s v o r a u s s e t z u n g (p (dl d2) = (p (dl) (p (d2). Also s t i m m e n im Falle (d~, d2) =# (a, b) die zu d l, d2 g e h 6 r e n d e n S u m m a n d e n der r e c h t e n Seiten y o n ( + ) bzw. ( + + ) iiberein. D a n n miissen a u c h die zu (dl,d2) = (a,b) geh 6 r e n d e n S u m m a n d e n f i b e r e i n s t i m m e n ; also m u g (p (a b) = (p (a) (p (b) sein. ad 2): Seien zun/ichst p e IP u n d m e N • beliebig. D a n n gilt f/Jr x ~ {1 . . . . . p " } g e n a u d a n n ggT(x, pro) + 1, w e n n p ein Teiler v o n x ist, w e n n es also ein y e Z m i t x = p y gibt, w o b e i 3' d a n n n o t w e n d i g e r w e i s e in { 1 , . . . , p r o - ~ } liegt. D e m n a c h ist

(p(pm) = Anz({1 . . . . . p"}) -- A n z ( { p y : y E {i .... ,pro 1}) = p,, _ p , , - l . r

Ist n u n a e N • beliebig m i t P r i m z e r l e g u n g a = 17 PO mr' SO folgt n a c h Satz 1 aus d e m bereits Bewiesenen: 0=

(p(a) = f i (p(po ~) = ~I (Po ~ - Po ~ 1). o=l

D a stets p m

Q=I

/

1\ -pm l=pm[l-~),

so k a n n die hier ffir ( p ( a ) g e w o n n e n e Glei-

\

c h u n g a u c h wie folgt g e s c h r i e b e n w e r d e n :

D a s erste P r o d u k t rechts ist a, das zweite P r o d u k t b e s t e h t aus allen F a k t o r e n

/

N

(1--1],

\

P/

wo p ein P r i m t e i l e r y o n a ist. D a m i t folgt die B e h a u p t u n g 2).

Bemerkung: Die expliziten R e c h n u n g e n des o b i g e n Beweises lassen sich v e r m e i den, w e n n m a n die in den n/ichsten b e i d e n A b s c h n i t t e n e n t w i c k e l t e n R e s u l t a t e aus der a l l g e m e i n e n T h e o r i e z a h l e n t h e o r e t i s c h e r F u n k t i o n e n zur Verffigung hat; wit verweisen d a z u a u f A b s c h n i t t 4. Bei R e c h n u n g e n schreibt m a n (p(a) h/iufig vorteilhaft in der l a n g a t m i g e n Weise (p(a) = f i (p,~o _ poo 1), wie sie im Beweis v o n 2) b e n u t z t wurde. Fi.ir a = Q=I

22.3.52-7=2100giltetwa(p(2100)=(22-21 ) (3 I - 3 o ) ( 5 2 - 5 1 ) ( 7 1 - 7 o ) = 2" 2 . 2 0 - 6 = 480 o d e r a u c h (p(2100) = 2 1 0 0 - ( 1 - 1) (1 - 89 (1 - 89 (1 - v~) .-!- 6 __ 4 8 0 . = 2100 - 51 . 5 2 9 g. 5 Die E u l e r s c h e ( p - F u n k t i o n wird uns im f o l g e n d e n i m m e r wieder begegnen. In der L i t e r a t u r hat es viele Versuche gegeben, d u r c h V e r a t l g e m e i n e r u n g der ( p - F u n k -

2.3.3

DIRICHLET-Faltung

87

tion weitere interessante zahlentheoretische Funktionen zu gewinnen: So hat man z. B. for jede natiirliche Zahl k __>0 durch die Festsetzung q0~(a) :

Summe der k-ten Potenzen der zu a teilerfremden Zahlen aus {1,2,... ,a}

eine zahlentheoretische Funktion eingeffihrt. Es gilt ~ (a) q0(a); weiter 15_gtsich zeigen: q01(a) g1 a q0(a) for alle a > 1. Eine echte Bedeumng haben die Funktionen q0~ aber, wenn man von ihren reizvollen und oft mtihsam zu verifizierenden Eigenschaften absieht, nicht gewonnen. 3. DIRICHLET-Faltung. Sind f : IN• --+ Q und g: IN• --+ Q zahlentheoretische Funktionen, so heil3t die durch

(f.g)(n):

dl.Y~f(d)g(n)~

fiirnEIN •

erkl/~rte zahlentheoretische Funktion f 9 g: IN• ~ Q die DIRICHLET-Faltung Yon

f u n d g. Vereinbaxt man, dab sich eine Summe

Y~ genau tiber diejenigen Paare (a, b) E a.b

n

IN x IN erstreckt, die a. b n erfiillen, so lfil3t sich die DIRICHLET-Faltung von f und g offenbax auch folgendermagen schreiben:

( f * g)(n)

Y~ f(a) g(b) a.b

for n E INx .

n

Bemerkung: Die DIRICHLET-Falmng wurde zuerst von E. T. BELL (1883-1960) in seinem 1915 erschienenen Artikel An arithmetical theory of certain numerical functions, University of Washington Publ. in Math. and Phys. Sci., No. 1, Vol. 1, 1 4 4 , in den Mittelpunkt der Theorie zahlentheoretischer Funktionen gestellt; man vergleiche hierzu und zu der folgenden Darstellung auch das Buch von APOSTOL [1], Chapter 2. Wir stellen wichtige Eigenschaften der DIRICHLET-Faltung zusammen. Satz: Seien f, g und h zahlentheoretische Funktionen. Dann gilt: 1) 2) 3)

f, g g, f ( f , g) 9h f , (g 9h) f ,o o, f f

(Kommutativit~t), (assoziativitiit), (Neutrales Element).

Beweis." ad 1): Aufgrund des oben Bemerkten ergibt sich for n ( f * g)(n)

Y~ f(a) g(b) a.b

n

Y~ g(a) f(b) a.b

n

also die Kommutativitfit der DIRICHLET-Faltung.

r IN •

(g* f)(n),

sofort

88

DIRICHLET-Faltung 2.3.3

ad 2): U n t e r zweifacher Verwendung des oben Bemerkten 1/iBt sich fiir n e N • schreiben

Y~ ( f * g ) ( d ) h ( c ) =

( ( f * g) * h) (n) =

d'c=n

= Analog ergibt sich ( . f , (g 9 h))(m =

X

d'c=n

( Y~ f ( a ) g(b))h(c) a'b-d

Y~ .f(a) g(b) h(c).

a.b,c-n

Z

a'b'c-n

f(a) g(b) h(c),

so dab folgt (f* g) * h = f * (g * h). ad 3): N a c h Definition der F u n k t i o n o ist o(1) = I und o(n) = 0 sonst. Somit gilt ffir n G N • :

(f* o)(n) = d'~l f(d) o

= f ( n ) o(1) = f ( n ) ,

n

also f * o = f . Wegen 1) ist damit die B e h a u p t u n g bewiesen.

~J

Zusammen mit Aufgabe 4), a) besagt der Satz, dab die zahlentheoretischen Funktionen f mit f(1) + 0 bezfiglich der DmWuLEv-Faltung eine abelsche Gruppe mit neutralem Element o bilden (zu den Definitionen vgl. 6.1.1). Die DIRICHL~T-Faltung vertrfigt sich auch gut mit der Multiplikativit/it: Lemma: Seien f u n d

g multiplikative zahlentheoretische Funktionen. Dann ist auch f * g multiplikativ. Beweis: Seien a, b c N • teilerfremd. D a n n folgt aus dem Hilfssatz 2, daB

( i , y)lab)=

,r(d)

=

2

i( 1 die ersten beiden S u m m a n d e n wirklich auftreten. Somit folgt gem/il3 der Definition der g - F u n k t i o n

(l~ * e) (p') = l + ( - 1 ) + 0 + . . . + 0 = 0 , so dab die B e h a u p t u n g bewiesen ist. Die nach der Nullfunktion einfachste zahlentheoretische F u n k t i o n o ist also eine S u m m a t o r f u n k t i o n , n/imlich gerade die der/~-Funktion. Dies mag zun'/ichst nur amiisant und fiir einen mathematischen h o m o ludens von Interesse erscheinen. Mit dem bisher Bereitgestellten k 6 n n e n wit j e d o c h in wenigen Zeilen nicht nur zeigen, dab jede zahlentheoretische F u n k t i o n F als S u m m a t o r f u n k t i o n genau einer zahlentheoretischen F u n k t i o n f auftritt, sondern dieses f auch mittels der # - F u n k t i o n explizit in F o r m einer geschlossenen S u m m e durch die Werte von F ausdrficken. Wir zeigen: M 6 b i u s s c h e r U m k e h r s a t z : Folgende Aussagen iiber zwei zahlentheoretische Funktionen f u n d F sind dquivalent:

i)

F ist die Summatorfunktion yon f, also F(a) = Y~ f ( d ) fiir a e N ~ /\

ii)

dla

Y~ F ( d ) I ~ ( a ) fiir a e N •

Es gilt f = F * #, also f ( a ) =

\-/

d[a

Speziell ist jede zahlentheoretische Funktion F die Summatorfunktion genau einer zahlentheoretischen Funktion f. Beweis: i) ~ ii): Es gilt F = f * e. D a r a u s folgt nach Satz 3 und dem L e m m a f =f*o=f*(e*

#)=(f*e)*

l~= F * li.

ii) ~ i): Es gilt f = F */~. Daraus folgt nach Satz 3 und dem L e m m a F=

F*o=

F*(/~*e)=(F*/l)*e

=f*e.

r-~

2.3.4 Summatorfunktionen

91

Unser Beweis des M6biusschen Umkehrsatzes ist deshalb so kurz und elegant, weil die notwendigen Rechnungen in den Beweisen von Satz 3 und des obigen L e m m a s durchgefiihrt wurden; hier trfigt uns der Kalk/il der DIRICHLETFaltung. Die Darstellung

einer zahlentheoretischen F u n k t i o n f durch ihre S u m m a t o r f u n k t i o n F, die die Implikation i ) ~ ii) liefert, wird auch als Miibiussche Umkehrformel bezeichnet. Aus dem Umkehrsatz ziehen wir einige

Folgerungen: Sei

f eine zahlentheoretische Funktion mit Summatorfunktion F.

1) Dann ist f genau dann multiplikativ, wenn F es ist. 2) Es gilt stets f ( p " ) = F(p") -- F ( p m - l ) ffir p 9 IP, m 9 N • Ist f multiplikativ und nicht die NullJimktion, so gilt r

f ( a ) = [ I (F(p"~o) _ F(p~Q- 1))

ffir jedes a 9 N • mit Primzerlegung

Or1

a = I~ p"~~. Q-1

Beweis: ad 1): Da e und IX multiplikativ sind, folgt mittels L e m m a 3 zum einen aus der Multiplikativitfit von f die von F = f * e und zum anderen aus der Multiplikativitfit von F die von f = F * IX. ad 2): N a c h der M6biusschen Umkehrformel gilt ffir p 9 IP, m 9 N • stets f ( p " ) = (F 9 IX) (pm) = ~ F ( p " - ' ) Ix(p') = F(pm) 91 + F ( p " - l ) 9 ( - 1) i=0

__ F(pm) _ F(pm-1).

Ist f zusfitzlich multiplikativ und nicht die Nullfunktion, so folgt daraus fiir jedes a c N • mit Primzerlegung a = f i p~'Q nach Satz 1: Q=I r

f ( a ) = [ I U(P'~) = f i (F(p'~ ~ -- F ( p ~ 0--1

0--1

1)).

[]

Hinweis: Ein Spezialfall der Aussage, dab mit F auch f multiplikativ ist, wurde bereits in Abschnitt 2 beim Nachweis der Multiplikativit~it der ~o-Funktion gezeigt. Der interessierte Leser fiberlegt sich leicht, dab man den dort gegebenen Beweis aufden Allgemeinfall ausdehnen und somit den Kalkfil der DmlcHLET-Faltung umgehen kann.

W~ihrend nach der M6biusschen Umkehrformel sich jede zahlentheoretische F u n k t i o n f als Summe mittels ihrer S u m m a t o r f u n k t i o n F ausdrficken l~iBt, liefert die Folgerung ffir multiplikatives f eine explizite Darstellung in F o r m eines Produktes yon Werten yon F.

92

Summatorfunktionen

2.3.4

B e m e r k u n g : Die F o l g e r u n g erschlieBt den in B e m e r k u n g 2 a n g e k f i n d i g t e n altern a t i v e n Z u g a n g zur E u l e r s c h e n ~9-Funktion: M a n zeigt wieder zun~ichst die T e i l e r s u m m e n f o r m e l ffir die ( p - F u n k t i o n u n d h a t s o m i t e r k a n n t , d a b die identische F u n k t i o n i mit i(a) = a ffir a c N • die S u m m a t o r f u n k t i o n v o n ~o ist. N a c h A u s s a g e 1) der F o l g e r u n g ist m i t i d a n n a u c h q~ m u l t i p l i k a t i v ; weiter impliziert

2), d a b ffir a ~ N • mit P r i m z e r l e g u n g a = h

p~0 gilt:

co--I

-po

i=IIp;

Q= 1

~

0= I

-

=~.II

1-

,

Pla

so d a b die A u s s a g e n y o n Satz 2 verifiziert sind. Speziell folgt aus diesen f S b e r l e g u n g e n (oder a u c h direkt aus d e m M 6 b i u s s c h e n U m k e h r s a t z ) , dal3 die T e i l e r s u m m e n f o r m e l die q~-Funktion c h a r a k t e r i s i e r t : 1st f: N • ~ irgendeine z a h l e n t h e o r e t i s c h e F u n k t i o n mit a = Z f ( d ) fiir alle a e N • so gilt n o t w e n d i g : f = ~p. dl W e n d e t m a n die M 6 b i u s s c h e U m k e h r f o r m e l a u f die E u l e r s c h e ( p - F u n k t i o n an, so erhfilt m a n ) = e I , Z / t ( d ) ' ~a ~p(a) = el, ~, l~(d) i (_a_d

fi.iralle a ~ N • .

Diese G l e i c h u n g schreibt m a n hfiufig a u c h in der geffilligeren F o r m a

-

5Z

al,

ffir nile

d

a ~ N

• ;

in W o r t e n b e s a g e n diese F o r m e l n : Die z a h l e n t h e o r e t i s c h e

Funktion N • -,Q,

a H q)(a) ist die Summatot21unktion der z a h l e n t h e o r e t i s c h e n

F u n k t i o n N • ---, I~,

a

~la) a

in der folgenden Tabelle sind ffir wichtige z a h l e n t h e o r e t i s c h e F u n k t i o n e n f die Summatorfunktionen F angegeben: f=

It

o

e

~p

i

F=

o

e

r

i

c;

q3 ~

AL~Jgaben: 11 Zeigen Sie: FOr jedes n e N • gibt es unendlich viele a e N • mit n l~p(a). 2} Bestimmen Sie allen E N ~, ffir die q~(n) eine Potenz yon 2 ist. 3} Beweisen Sie fiir n >_ 2: a) ~pl(n) = ~1 nq~(n),

b) (pz(n) = ~ nZq~(n)+ ~' l~ (1 --p). pl n

2.3.4

Summatorfunktionen

93

4) Sei J! N • -* II~ eine zahlentheoretische Funktion mit f(1) 4= 0. Zeigen Sie: a) Es gibt genau eine zahlentheoretische Funktion f: N • --, I1~mit f , f = f , f = o. b) Mit f i s t auch f multiplikativ. 5) Seien f und 9 zahlentheoretische Funktionen und F bzw. G ihre Summatorfunktionen. Zeigen Sie fiir a e N •

6) Sei J! N • --, Q multiplikativ und nicht die Nullfunktion. a) Zeigen Sie: 52 f(d) u(d) = FI (1 -f(p)). din

pin

b) Berechnen Sie: 5~ (/~(d)) 2. aln

7) Wir definieren die Liouvillesche 2-Funktion durch 2(1):= 1, ..~.(fl):= (-- l) . . . . . .

+mr

falls n = f i p~'o > 1. 0--1

a) Zeigen Sie: )o ist multiplikativ, u n d e s gilt 52 2(d) = {1, al, 0,

falls t/ = 12, l ~ N • sonst.

b) Zeigen Sie: 2(n) = Z ~ ~ d2ln

9

95

Kapitel 3 Zahlentheorie in allgemeinen Integritfitsringen In diesem Kapitel werden Begriffe und Resultate, die in den ersten Kapiteln ffir den Integrit/itsring 7/, der ganzen Zahlen gewonnen wurden, auf allgemeinere Integrit/itsringe fibertragen. Dazu miissen zunfichst in Paragraph 0 die grundlegenden Begriffe der Ringtheorie und der Teilbarkeitstheorie abstrakt gefal3t werden. Wir erl/iutern diese Begriffe an klassischen Beispielen: Als neue Integritfitsringe lernen wir u.a. Polynomringe K[X] in einer Unbestimmten X fiber K6rpern und quadratische Zahlbereiche 7/[xfm ] kennen. Die zentralen Begriffe der Teilbarkeitstheorie sind die Begriffe des unzerlegbaren Elements und des Primelements. Es wird eine wesentliche Erkenntnis unserer Uberlegungen sein, dab diese beiden Begriffe, die ffir Z gleichbedeutend sind, in allgemeinen Integrit/itsringen nicht mehr inhaltsgleich sind. Wir zeigen dies am klassischen Beispiel des Dedekindschen Zahlbereichs 2 g [ x / - 5]. Auch die Theorie des gr613ten gemeinsamen Teilers zeigt sich hier in einem gfinzlich anderen Licht. Es ist unvermeidbar, dab im Verlauf der Untersuchungen weitere Begriffe wie faktorieller Ring, Hauptidealring und euklidischer Ring eine grol3e Rolle spielen. Unsere Ausffihrungen sind dabei unter dem Aspekt zu sehen, m6glichst grol3e Klassen von Integrit/itsringen zu finden, in denen die Gesetze der elementaren Zahlentheorie, wie sie ffir 2g erarbeitet wurden, weitgehend ihre Gfiltigkeit behalten. Bei den S/itzen fiber die Zerlegung von Primzahlen in quadratischen Zahlbereichen in Abschnitt 6 von Paragraph 2 stehen wir an einem Punkt, wo sich elementare und h6here Zahlentheorie begegnen; allerdings wird hier nur die Spitze eines Eisbergs sichtbar. Eine Stoffauswahl ist immer subjektiv; wir meinen aber, dab die Zerlegungsgesetze von Primzahlen im Ring ~[i] der Gaul3schen Zahlen in einem Text zur elementaren Zahlentheorie nicht fehlen dfirfen. Wir beschliegen dieses Kapitel mit dem Zerlegungssatz f/Jr noethersche Integrit/itsringe und stellen damit den Anschlul3 an Begriffsbildungen und Denkweisen der modernen Algebra her.

w0

lntegrit~itsringe

Dieser Paragraph enth/ilt in seinem ersten Abschnitt elementare Definitionen und Eigenschaften in der heute allgemein fiblichen Terminologie; im zweiten und dritten Abschnitt werden wichtige klassische Beispiele von Integrit/itsringen besprochen.

96

Allgemeine Begriffe der Ringtheorie 3.0.1

I. Allgemeine Begriffe der Ringtheorie. Die Rechenregeln f/.ir die Operationen der Addition, Subtraktion und Multiplikation im Bereich ~ der ganzen Zahlen haben wir in 1.0.1 auf wenige einfache ,, P o s t u l a t e " zuriickgef/.ihrt. Wir stellen jetzt allgemein solche Postulate fiir das Rechnen in abstrakten Bereichen auf. Es sei R irgendeine Menge; wir bezeichnen die Elemente yon R mit a, b, c . . . . . Wir diskutieren das folgende System yon Postulaten.

Addition +

Multiplikation. 1. Eindeutige Ausj~thrbarkeit

Zu je zwei Elementen a, b e R existiert eindeutig in R eine Summe a + h I ein P r o d u k t a 9b

2. Assoziativgesetze Eiir alle Elemente a, b, c e R gilt: (a + b) + c = a + (b + c)

]

(a. b). c = a . ( b .

c)

3. Kommutativgesetze Ffir alle Elemente a, b e R gilt:

a+b=b+a

[

a.b=b.a

4. Existenz neutraler Elemente Es gibt ein Element n e R mit der Eigenschaft, dal3 ffir jedes Element a c R gilt: a + n = a .

Es gibt ein Element e e R mit der Eigenschaft, dal3 ffir jedes Element a e R gilt: a . e = a . Es gilt n =4=e.

Schreibweise:

I

0:= n

Schreibweise:

1:= e

5 a. Umkehrbarkeit:

5 b. Nullteilerfreiheit:

Zu jedem Element a e R gibt es ein Element ( - a) e R, so daf3 gilt: a+(-a)=0.

Ausa.b=0mita, beR folgt: a=0 oder b = 0 .

6. Distributivgesetz: F i i r a l l e E l e m e n t e e l , b, c e R g i l t :

(el+b)-c=(a.c)+(b-c).

Eine Menge R, ftir deren Elemente eine Addition + und eine Multiplikation 9 so erkl/irt sind, dab die Postulate 1. 4., 5 a. und 6. erffillt sind, heigt ein kommutativer Ring mit Einselement 1 (im folgenden kurz: Rink). Ein Ring R, fiir den auch das Postulat 5 b. erf/.illt ist, heil3t nullteilerfi'ei oder auch lntegritdtsring oder auch Integritdtsbereich. Diese Definition ist so gefaf3t, dab sie mit den Redeweisen aus 1.0.1 konsistent ist: 2g ist ein Integritdtsring. Man schreibt ab statt a . b und fibertrfigt alle

3.0.1 Allgemeine Begriffe der Ringtheorie

97

K o n v e n t i o n e n von 7/ auf allgemeine Ringe R, so schreibt m a n ab + c d statt (ab) + (cd) sowie a - b statt a + ( - b) usw.

Wir werden bald (im Abschnitt 3 und dann im Paragraph 3 von Kapitel 5) Beispiele von Ringen kennenlernen, die keine Integritfitsringe sind. Im Hinblick auf solche Ringe ftihren wir bereits hier die Redeweise ein, daf3 ein Element a eines Ringes R e i n Nullteiler heil3t, wenn es ein Element b + 0 in R gibt, so dab gilt: ab = O. Das Element a = 0 ist stets ein Nullteiler (der sogenannte triviale Nullteiler); ein Ring R ist genau dann ein Integritdtsring, wenn 0 der einzige Nullteiler ist. Es gibt wichtige Ringe, die statt des Postulats 5 b. das folgende anspruchsvollere Postulat 5 b'. erffillen. 5b'. Umkehrbarkeit der Multiplikation: Z u j e d e m Element a E R, a + 0, gibt es ein Element a - 1 ~ R, so daft gilt: a ( a - ~) = 1.

Ein Ring R, ffir den das Postulat 5 b'. erftillt ist, heiBt ein K6rper. Die Definition ist, wie der Leser sich sofort tiberlegt, konsistent mit der Redeweise aus 1.0.! : Die M e n g e Q der rationalen Zahlen ist ein Kdrper. Wir geben, ohne Anspruch auf Vollstfindigkeit zu erheben, einige Folgerungen aus den Postulaten 1.-6. an. Fo|gerungen: Es sei R e i n Ring, es seien a, b, c ~ R. Dann gilt: 1) Es gibt genau ein Element x c R mit x + b = a, ndmlich x : = a + ( - b) (M6glichkeit und Eindeutigkeit der Subtraktion). 2) Das neutrale Element 0 der Addition (Null) und das neutrale Element 1 der Multiplikation (Eins) sind eindeutig bestimmt.

3) a . 0 = 0 , -(-a)=a,(-a)b=-(ab). 4) Ist R ein Integritdtsring, so hat a b = a c und a ~: 0 zur Folge b = c (Ki~rzungsregel). 5) Ist R e i n KOrper, und gilt b #: O, so gibt es zu jedem a E R genau ein Element x ~ R mit x . b = a, ndmlich x : = b - l a (M6glichkeit und Eindeutigkeit der Division). 6) Jeder Kiirper ist ein lntegritgitsring. Die einfachen Verifikationen k6nnen dem Leser iiberlassen werden. Die in diesem Abschnitt aufgestellten Postulate ffir einen Ring sind nicht minimal. So ist z.B. das Kommutativgesetz der Addition eine logische Folge aus den fibrigen Postulaten: Ist R eine Menge, f/Jr deren Elemente eine Addition + und eine Multiplikation - so erklfirt sind, dab die Postulate 1., 2, 4., 5 a. und 6. erffillt sind und a 9b = b 9a ffir alle a, b ~ R gilt, so ist R bereits ein Ring (Hinweis zum Beweis: M a n berechne (1 + 1)(a + b) auf zweierlei Art).

98

Polynomringe 3.0.2

2. P o l y n o m r i n g e . Bisher h a b e n wir ausschlieBlich im I n t e g r i t / i t s r i n g 2~ u n d im K 6 r p e r Q gearbeitet. W i r w e r d e n n u n wichtige Beispiele y o n Integrit/itsr i n g e n k e n n e n l e r n e n , in d e n e n sich e b e n s o wie in 7A eine e i n f a c h e Z a h l e n t h e o r i e e n t w i c k e l n 1/iBt. G e g e b e n seien ein R i n g R u n d eine U n b e s t i m m t e X. U n t e r e i n e m P o l y n o m f in X iiber dem Grundring R v e r s t e h t m a n e i n e n A u s d r u c k v o n der F o r m f = (.I0 4- a I X + el2 X 2

m @ . . . + am X m = ~ . (.t,,X t`, w o b e i #=o

m eine natfirliche

Zahl

und

die Koe[fizienten ao, a~ . . . . . am E l e m e n t e a u s R sind. S t a t t f s c h r e i b t m a n a u c h f ( X ) , start 1 . X s c h r e i b t m a n X. Ist n e b e n f e i n zweites solches P o l y n o m ,q = bo + bl X + b2 X 2 + ... + b,,X" gegeben, so w e r d e n die R e c h e n o p e r a t i o nen folgendermagen erkl~rt:

Gleichheit: Addition:

f= f+

Muhiplikation:

,q g e n a u d a n n , w e n n a o = bo, a 1 = b 1. . . . . g ' = (% + b o) + (a I + bl) X + ... (koeffizientenweise A d d i t i o n ) . j ' . g ' = 5[ % X ~ m i t c o ' = Y~ a,b,.. l~t+v=O

Es ist also z.B. ffir R -- 2g: (1 + 2 X ) + (1 -- 2 X + X 2) = 2 + X 2, (1 + 2 X ) - ( 1 + 4 X + X 2) =1

+11.4+2.1)X+(1-1

+2.4)X

2+2.1X

3

= I + 6 X + 9 X 2 + 2 X 3. W i r b e z e i c h n e n m i t R [ X ] die M e n g e aller P o l y n o m e fiber R. M a n r e c h n e t unmittelbar nach: Die M e n g e R [ X ] ist ein Ring. Das ,,Nullpolynom'" f : = a o : = 0 ist die Null, das , , E i n s p o l y n o m " f : = a o : = 1 ist das E i n s e l e m e n t yon R [ X ] . M a n identifiziert in der Regel ein E l e m e n t a o ~ R m i t d e m , , k o n s t a n t e n " P o l y n o m f : = a o, d a d u r c h w i r d R zu e i n e r T e i l m e n g e y o n R[X]. Wit haben im vorangchendcn den Polynomring R IX] naiv eingeffihrt. Kritiker wenden gern zu Recht ein, dab nicht klar ist, was eine Unbestimmte ist. Wenn man solche Einw~nde entkrfiften m6chte, kann man wie folgt vorgehen: Man verstehe unter einem Polynom f eine Folge (el,.),.> o yon Elementen a~ ~ R derart, da/.] fast alle a,. null sin& Gleichheit von Folgen und Addition zweier Folgen werden kanonisch definiert. Ffir zwei Polynome f - (a~),.>o, ,q = (b,.),.>o deftniert man das Produkl f - ,q als die Folge 1%)e>o mit c~ = 5" a,b,.. Dann gelten alle Rechent~ " v--Q

regeln, die ffir cincu Ring zu gelten habcn, die Folge (0, 0. . . . . 0,...) ist die Null, die Folge tl,0, O. . . . . 0.... ) ist die Eins des Ringes. Identifiziert man nun a ~ R mit der Volge ta, 0, 0. . . . . 0 .... ), und definiert man X : = (0, 1,0, ..., 0.... ), so verifiziert man unmittelbar X 2 = (0, 0, 1, 0. . . . . 0.... ) und allgemeiner a,,X" = {0. . . . . O, a,,, 0 . . . . . 0. . . . ). Hieraus erhfilt man die fiblichc Darstellung yon Polynomen: (a~.)~>o = ao + a~ X + ... + a,,,X', wobei man rechts aufh6rt zu summieren, sobald alle auf a m folgenden a,. verschwinden. F i i r P o l y n o m e definiert m a n d e n G r a d wie folgt: Ist f = a o + a ~ X + ... + a , , X m u n d gilt am 4= 0, so heiBt m der Grad des P o l y noms j; in Z e i c h e n : m = g r a d f ~ N .

3.0.3 Quadratische Zahlbereiche

99

Auf G r u n d dieser Definition haben alle P o l y n o m e mit Ausnahme des Nullpolynoms einen wohldefinierten Grad; genau die konstanten P o l y n o m e f = a, a c R mit a 4= 0, haben den G r a d 0. Offensichtlich gilt: Ist f + 0, g + 0, f + g + 0, so ist stets: g r a d ( f + g) < max(grad.s grad g). Wichtiger ist folgende

Gradregeh Ist R e i n Integritdtsring, und sind f, g E R [ X ] zwei Polynome, von denen keines das Nullpolynom ist, so gilt:

grad (f. g) = g r a d f + grad g. Speziell ist mit R auch R[X] ein lntegritdtsring. Beweis: Sei m ' = g r a d f ,

n'=gradg,

etwa f =

~

a,X",

g=

#=0

a,, 4= 0, b, + 0. D a n n gilt auf G r u n d der Produktdefinition f . g = c o + c a X + ... + cm+nX "+n

mit

Z

b ~ X ~ mit

v=O

Cm+. = a , . b " .

Wegen der Nullteilerfreiheit yon R gilt a,,b, + O. D a n n sehen wit m + n = grad ( f . g), womit die Gradregel bewiesen ist. Wit haben speziell gesehen: Aus f 4= 0, g 4= 0 folgt f . g :~ 0. Daher ist R [X] ein Integritfitsring. [] Insbesondere ist ffir jeden K6rper K der P o l y n o m r i n g K [ X ] nullteilerffei. Indessen ist K[X] niemals wieder ein K6rper, denn zum P o l y n o m X gibt es kein P o l y n o m h E K [ X ] mit X . h = 1, da die Gradregel den Widerspruch I + grad h = 0, also g r a d h = - 1 liefern wfirde. 3. Quadratische Zahlbereiche. Es bezeichne m eine fest vorgegebene ganze Zahl ungleich 0, es bezeichne R den Integritfitsring ~ bzw. den K6rper @. Wir betrachten die Menge aller geordneten Paare (ao, a~), wo a o, a~ ~ R. Wir schreiben abkfirzend ~ : = (ao, al) , f i : = (bo, bl) fiir solche Paare. Wir definieren wie folgt Rechenoperationen: Gleichheit: ~ =/3 genau dann, wenn a o = bo und a~ = bl, Addition: ~ + f l : = (a 0 + bo, a 1 + bm), Multiplikation: ~ 9 fl : = (a o b o + al bl m, a o bl + al bo).

Die vorgegebene Zahl m c Z, m 4= 0, spielt also erst bei der Definition der Multiplikation eine Rolle. M a n rechnet unmittelbar (aber mfihsam z.B. beim Assoziativgesetz der Multiplikation) nach: Die M e n g e aller Paare {(a, b): a, b ~ R} bildet beziiglich der Addition und Multiplikation einen Ring. Das Element (0, O) ist die Null, das Element (1, 0) ist die Eins dieses Ringes.

100

Quadratische Zahlbereiche

3.0.3

Die obige Definition der Multiplikation sieht gekfinstelt aus. Sie wird aber sofort verst/indlich, wenn man folgende Verabredungen trifft: Man identifiziere a e R mit (a, 0) und schreibe x/m: = (0, .1); letzteres wird nahegelegt, wenn man beachtet: (0, 1)-(0, 1) = (m, 0). D a n n schreibe man mutig = (ao, al) = (ao, 0) + (0, al) = ao + (al, 0) 9 (0, 1) = ao + al x / m . Ohne dies als reelle oder komplexe Zahl aufzufassen (!), hat man jetzt eine suggestive Schreibweise ffir die Elemente des eingefiihrten Ringes, insbesondere kann man sich beim Multiplizieren kaum noch verrechnen: :~ . fi = (a o + a 1 x/'m) . (b o + b, x/'m) = (aob o + a l b x m )

+ (aobl + a l b o ) x / m .

Nach diesen Bemerkungen ist es auch naheliegend, den eingeffihrten Ring selbst mit R[v/m] zu bezeichnen. Wir haben somit zu jeder ganzen Zahl m ungleich 0 zwei Ringe 2g[\/~] und II~[x/m ] konstruiert. Es bestehen die Inklusionen: / ~, = 7~,[~/In] = ~[.Ni,l'tli], 77,, = ~ = I[~ [~,,/"l]. Es erhebt sich die Prage, unter welchen Voraussetzungen fiber m die Ringe 7l[xflm ] und tI~ [ x ~ ] nullteilerfrei sind. M a n verifiziert unmittelbar: I s t m:4 = 0 eine Q u a d r a t z a h l

in 2g, e t w a m = r

2 mit r e Z ,

so gilt: ~ o [ 3 o = 0

f~r '~o:= r + ,~m, [3o: = r - x/m e 2g [ x ~ ] " D a s E l e m e n t ~o 4= 0 ist also ein N u l l t e i l e r ; speziell sind die R i n g e 7Z[jm] und ~ [ x / m ] im F a l l einer Q u a d r a t z a h l m keine Integritdtsbereiche.

U m weitere Aussagen zu machen, ffihren wit zun/ichst zwei neue Begriffe ein: Ist = a o + a~ ,jmm e R [x/m], so heigt ~ : = a o - a 1 ~ ff R [ ~ m ] das zu ~ k o n j u g i e r t e E l e m e n t . Das Element N(~)'= o~=

a 2 - aZ m ~ R

heil3t die N o r m yon ~. Aus diesen Definitionen folgert man sofort: F ~ r alle ct, [3 ~ R [x/m] gilt

[3 =

= c B,

N (:~[3) = N (~) N([3)

(Normenproduktsatz).

B e w e i s : Sei ~ = a o + a I x / m , [3 = b o + bl x / m . D a n n gilt: ~z +_ [7 = (a o +_ b o) - (a, +_ b , ) x//m = (ao - a, x / m ) 4- (bo - b I x / m )

/

~[3 = (aob o + a t b l m) - (aob 1 + al bo) v i m = (ao -

a, v/m)(bo

-- b , , f r o )

=

fi,

3.1

Teilbarkeitstheorie in Integrit~itsringen

101

Nach dem oben Bemerkten sind die Ringe Z [ x / ~ und Q[xffh~ h6chstens dann nullteilerfrei, wenn m keine Quadratzmhl ist. Wir behaupten: Folgende Aussagen iiber eine ganze Zahl m sind dquivalent." i) m i s t keine Quadratzahl. ii) In Q[@-h-] gilt N ( a )

0 genau dann, wenn a

O.

iii) Q [-~-n] ist ein KOrper. iv) Z [@-h~ ist ein Integritdtsring. Beweis." i) ~ ii): Sei a a l / ~ 0, so ware m

a o + a l ~ i - n E Q[-~-h~ m i t 0

N(a)

a 2 - a 2 m . W~ire

(ao ~2 Die Zahl m ware also ein Quadrat in Q und folglich \all

"

auch (vgl. Rationalit~itskriterium 1.4.2) ein Quadrat in Z im Widerspruch zur Annmhme. Es mug folglich gelten: al 0. Aus 0 a 2 ergibt sich dann ao 0 und insgesamt a 0. ii) ~ iii): Wir haben das Postulat 5 b'. der Umkehrbarkeit der Multiplikation zu verifizieren. Sei a ao + a l ~ - n E Q [@-~, a / ~ 0. Dann ist das Element a 1 : a N(a) aa

U(a)

ao N(a)

al ~-n E Q[-~-n] wohldefiniert. Es gilt a ( a N(a)

1)

a

a.N(a____~

1.

iii) ~ iv): Da Z[@-h~ in Q[@-h~ enthalten ist und da in Z[@-h~ genau so wie in Q [@-h~ gerechnet wird, so ist mit Q [@-h~ auch Z [-~-h~ nullteilerfrei. iv) ~ i): Dies wurde bereits oben bemerkt.

[]

In allen sp~iteren Anwendungen betrachten wir nur noch die Ringe Z[@-n-] und Q [@-~ ftir quadratfreie Zahlen m / ~ 1. Wir benutzen folgende klassische Redeweise: Ist m E Z keine Quadratzahl, so heiJ3t Z [ ~ Q [-~i-~ der quadratische ZahlkOrper zu m.

der quadratische Zahlbereich und

Ftir m : - 1 hat man die bertihmten, bereits von GAUSS studierten Ringe vor sich. Man schreibt traditionsbewugt i anstelle von ~ und nennt Z[i] bzw. Q[i] den Ring bzw. KOrper der Gaufischen Zahlen.

w1

Teilbarkeitstheorie in Integritiitsringen

Der Fundamentalbegriff der Teilbarkeit 15J3tsich in jedem Ring R definieren (w6rtlich so wie in 1.1.1). Da in allen Anwendungen der Ring R stets nullteilerfrei

102

Grundbegriffe der Teilbarkeitstheorie 3.1.1

sein wird, setzen wir in diesem ganzen P a r a g r a p h e n R als Integritfitsbereich voraus. 1. Grundbegriffe der Teilbarkeitstheorie. Wie in 7/heif3t ein Element d e R ein Teller des Elementes a ~ R, in Zeichen: d la, wenn es ein Element v e R gibt, so dab gilt: a = dr. M a n sagt dann auch, dab a durch d teilbar ist (in R). Wie frfiher ist das Element v e R in der Gleichung a = dv auf G r u n d der Kfirzungsregel eindeutig bestimmt, falls d + 0. In einem K 6 r p e r K ist die Gleichung d x = a stets 16sbar, wenn d + 0. D a h e r ist in K 6 r p e r n die Teilbarkeitstheorie trivial: Jedes Element a e K besitzt s~imtliche von 0 verschiedenen Elemente d e K als Teller. Foigerungen: Seien a, b, c, d ~ R. Dann gilt: lj 2) 3) 4)

a la. (R~qlexivitdt) A u s a l b und b i t f o l g t Aus a lb u n d c t d Jblgt Aus a [ b und a l e fi)lgt

a lc. (Transitivitdt) aclbd. a [ (x b + y c) fiir alle x, y ~ R .

Der Beweis verlfiuft w6rtlich so wie der Beweis der Rechenregeln 1.1.1; es k o m m t nicht d a r a u f an, was die Elemente a, b . . . . sind, lediglich die Rechenregeln eines Ringes spielen eine Rolle. Ein Element e e R heil3t eine Einheit, wenn e ein Teiler der Eins 1 e R ist. Beispiele: 1) Der Ring 7] hat genau die beiden Einheiten 1 und - 1.

2) In jedem K 6 r p e r K sind alle Elemente ungleich 0 Einheiten. 3) I n j e d e m P o l y n o m r i n g K [X] fiber einem K 6 r p e r K sind a u f G r u n d der Gradregel genau alle P o l y n o m e 0-ten Grades, d.h. die k o n s t a n t e n P o l y n o m e ungleich 0, d.h. die Elemente aus K'~{0}, Einheiten.

Foigerungen: 5) In j e d e m Ring R sind die EIemente + 1 und - I Einheiten. 6) Sind e 1 und e 2 Einheiten in R, so ist auch e~ e 2 eine Einheit in R. 7) 1st e eine Einheit in R, so teilt e j e d e s Element a ~ R. Beweis: Die Behauptung 5) ist klar, da 1 9I = ( - 1 ) - ( - l) = I in jedem Ring gilt. Die B e h a u p t u n g 6) folgt aus Folgerung 3): Aus e I I1 und e211 folgt ele211 "1. Die B e h a u p t u n g 7) ist klar wegen der Transitivit/it: Da stets 1 [a, so hat el 1 zur Folge: e la. U

Auf G r u n d von Folgerung 7) sind Einheiten bei Teilbarkeitsuntersuchungen uninteressante Elemente.

3.1.1

Grundbegriffe der Teilbarkeitstheorie

103

Z w e i E l e m e n t e a, b eines Ringes R h e i g e n assoziiert, in Z e i c h e n a ~ b, w e n n gilt: alb und bla.

Die zu 1 assoziierten E l e m e n t e sind also g e n a u die E i n h e i t e n v o n R; zur Null ist n u r die Null assoziiert. F o l g e r u n g e n : 8) A s s o z i i e r t s e i n ist eine ft'quivalenzrelation: Fiir alle a, b, c ~ R gilt: a~a.

A u s a ~ b f o l g t b ~ a. A u s a ~ b und b ~ c f o l g t a ~ c.

(Reflexivitdt) (Symmetrie) ( Transitivitgit)

9) Seien a, b assoziiert. Dann gilt a [c g e n a u dann, wenn gilt b [ c. 10) Die E l e m e n t e a, b sind g e n a u dann assoziiert, wenn es eine E i n h e i t e ~ R gibt, so daJ3 gilt:

b = ae.

Beweis: Die B e h a u p t u n g e n aus 8) e r g e b e n sich alle u n m i t t e l b a r aus der Definition. Die B e h a u p t u n g 9) folgt aus der Transitivit/it der Teilbarkeit: Aus b [a u n d a [c folgt b l c ; aus a ib u n d b lc folgt a ic. Die B e h a u p t u n g 10) ergibt sich wie folgt: Sei zun/ichst a ~ b, also a [b u n d b I a, d.h. b = e a u n d a = db m i t e, d 6 R. Falls a = 0, so gilt b = 0, u n d die B e h a u p t u n g ist w e g e n 0 = 0 9I richtig. Falls a + 0, so folgt aus a = d(e a) = (d e) a n a c h der K f i r z u n g s r e g e l : 1 = de, d.h. el 1. M i t h i n ist in der G l e i c h u n g b = a e das E l e m e n t e eine Einheit in R. Sei u m g e k e h r t b = a e m i t einer Einheit e e R. D a n n gilt also e d = 1 m i t d e R. Es folgt: d b = a. W i r sehen: a lb u n d b la, also a --~ b. []

A u f G r u n d v o n F o l g e r u n g 9) b r a u c h t m a n bei T e i l b a r k e i t s u n t e r s u c h u n g e n assoziierte E l e m e n t e nicht zu u n t e r s c h e i d e n . W i r h a b e n dies ffir Z bereits h/iufig d a h i n g e h e n d a u s g e n u t z t , d a b wit n u r p o s i t i v e Z a h l e n b e t r a c h t e t h a b e n (denn - a ist zu a assoziiert). Teller eines E l e m e n t e s a e R sind alle E i n h e i t e n aus R u n d alle zu a assoziierten E l e m e n t e . Diese Teiler gelten als u n i n t e r e s s a n t u n d langweilig; m a n n e n n t d a h e r einen Teiler b v o n a einen trivialen Teller yon a, w e n n b e i n e Einheit ist o d e r w e n n b zu a assoziiert ist. Ein Teiler b y o n a heil3t ein e c h t e r Teiler von a, in Z e i c h e n b II a, w e n n b kein trivialer Teiler v o n a ist. E i n h e i t e n besitzen d e m n a c h keine e c h t e n Teiler; echte Teiler der 0 sind alle N i c h t e i n h e i t e n =# 0. F o l g e r u n g : 11) Es seien a, b, c ~ R, es gelte a =4=0 und a = bc. D a n n gilt b [I a g e n a u dann, wenn gilt c I1a.

B e w e i s : Es genfigt zu zeigen, d a b b II a z u r F o l g e h a t c I] a. A n g e n o m m e n , c w/ire ein trivialer Teller v o n a. D a n n ist c e n t w e d e r eine Einheit o d e r zu a assoziiert.

104

Grundbegriffe der Teilbarkeitstheorie 3.1.!

Im ersten Fall w~ire dann a zu b assoziiert, im zweiten Fall w~ire b eine Einheit (beides auf G r u n d von Folgerung 10)). Beides ist wegen b II a unm6glich. Primzahlen in 77 sind genau die Elemente > 1, die keine echten Teiler haben (gem~13 L e m m a 1.1.2). Diese Eigenschaft verallgemeinernd nennt man ein Element u eines Integrit~tsringes R unzerlegbar oder auch irreduzibel (in R), wenn gilt: 0) u + 0, u ist keine Einheit in R. 1) u hat keine echten Teiler in R. Folgerung: 12) Es sei u e R unzerlegbar, und es sei a e R keine Einheit in R. Dann gilt a lu genau dann, wenn gilt a ~ u. Der Beweis kann dem Leser fiberlassen werden. Primzahlen in 7Z sind genau die Elemente > 1, die folgende Eigenschaft haben (vgl. F u n d a m e n t a l l e m m a 1.1.4): Aus p l(ab), a, b e 77, folgt p la oder p [ b. Diese Eigenschaft verallgemeinernd nennt man ein Element p eines Integrit/itsringes R ein Primelement in R, wenn gilt:

0) p + 0, p ist keine Einheit in R. 1) Aus p I (a b), a, b 6 R, folgt p I a oder p I b. N a c h dieser Definition ist im Fall R = 77 eine Zahl p e 7/. genau dann ein Primelement in 77, wenn p oder - p eine Primzahl in 77 ist.

Folgerungen: Fib" jedes Primelement p ~ R gilt: 13) A u s p [ ( a 1 C/2 9 . . . " t/,z), a t , ~ / 2 . . . . . a,, ~ R, folgt: p la I oder p la 2 o d e r . . . oder p [ a,. 14) p ist unzerlegbar in R. 15) Jedes zu p assoziierte Element p' ~ R ist ein Primelement in R. Beweis: ad 13): M a n fiJhrt I n d u k t i o n nach n (w6rtlich wie im Beweis yon K o r o l l a r 1.1.4), der Induktionsbeginn n = 2 ist klar per definitionem. ad 14): Es ist nut zu zeigen, dab die Eigenschaft 1) der Definition von Unzerlegbarkeit erffillt ist. Sei also a e R e i n Teiler von p, etwa p = ab mit b e R. Hieraus folgt p la oder p I b, da p Primelement ist. Da auf3erdem a LP und b IP, so sehen wit: p ~ a oder p ~ b. Im crsten Fall ist a ein trivialer Teiler yon p. Im zweiten Fall ist a eine Einheit, also wiederum ein trivialer Teiler yon p. Mithin besitzt p keine echten Teiler in R. ad 15): Da assoziierte Elemente die gleichen Elemente teilen (Folgerung9)), fibertragen sich die Primelementeigenschaften yon p auf p'. -2

Der Leser wird sich fragen, warum wir die zwei signifikanten Eigenschaften yon Primzahlen zur Einf~hrung von zwei verschiedenen Begriffen benutzt haben.

3.1.2 Normfunktionen

105

Die Antwort ist, dab diese beiden Eigenschaften, die im Ring Z dasselbe bedeuten, in allgemeinen Integritfitsringen R nicht mehr fiquivalent sind. Zwar sind, wie wir eben sahen, Primelemente stets unzerlegbar, doch gilt die Umkehrung i.a. nicht !Im Zahlbereich 77 [ x f - 5] ist 2 unzerlegbar, aber kein Primelement, wie wir im Abschnitt 3 dieses Paragraphen zeigen werden. Wir werden im Paragraphen 2 dieses Kapitels sehen, dab die Primelemente und nicht die unzerlegbaren Elemente die eigentlichen Bausteine sind, aus denen sich die allgemeinen Elemente multiplikativ zusammensetzen. Wir werden dann auch gut verstehen lernen, warum im Ring Z unzerlegbare Elemente und Primelemente ,,zuffillig" dasselbe sind. 2. Normfnnktionen. Zwischen den Teilbarkeitseigenschaften eines allgemeinen Integrit/itsringes R und der Anordnung in N besteht - rein formal folgende Analogie: Teilbarkeit in R alb

ala und b l c = ~ a l c alb~acJbc

AnordnunginN a~b

ailb

aNa und b ~ c ~ a ~ c aNb~acNbc a R b c R a und R a c R b (nach l))Ra = R b . ad3): a ist Einheit in R a ~ 1 R a = R1 = R (nach 2)). ad 4): a ][ b r a l b, a keine Einheit, a nicht assoziiert zu b R b ~ R a , R a 4: R, R a q= R b (nach 1), 2) und 3)).

Wir k o m m e n zum Hauptresultat dieses Abschnittes, das for die allgemeine Teilbarkeitstheorie fundamental ist. Satz: Es sei R e i n Integrit(itsring, der zugleich H a u p t i d e a M n g ist. Dann ist jedes unzerlegbare Element u r R e i n Primelement in R. Beweis: Seien a, b e R, es gelte u I (ab). Falls u I a, so ist nichts zu zeigen. Gelte also u X a . D a n n ist das yon u und a erzeugte Ideal a ' = R u + R a vom Ideal Ru verschieden, da a #: R u wegen u,~a. Da R e i n Hauptidealring ist, gibt es ein Element c e R, so da[3 g i l t a = Re. Da u e a, so folgt c lu. Da u unzerlegbar ist, mul3 c eine Einheit oder zu u assoziiert sein. Letzteres ist aber nicht m6glich. denn dann w'are (nach Aussage 2) des Lemmas) a = R c = R u im Widerspruch zur Ausgangssituation. Also ist c eine Einheit, d.h. Ru + R a = a = R e ' = R nach Aussage 3) des Lemmas. Es gibt folglich Elemente x, y e R, so dal3 gilt: 1 = x u + ya. Hieraus erhalten wir: b = (xb) u + y(ah). Da u I(xb) u und u I(ab), so ergibt sich u jh. Eolglich ist u ein Primelement in R.

Der Leser vergegenw'artige sich, dab wir im Beweis des Korollars 2.1.5 analog argumentiert haben wie eben zum Beweisende. Die H a u p t i d e a l b e d i n g u n g nutzt sowohl die additive als auch die multiplikative Struktur des Ringes aus. K o m b i n i e r e n wir unseren Satz mit Satz 1, ii) und dem Zerlegungssatz 1.3, so erhalten wir als Korollar: Jeder lntegritiitsring R mit monotoner N o r m l h n k t i o n , der ein H a u p t idealring ist, ist laktoriell. Der Integrit/itsring ~ [ , ~ / - 5] hat eine m o n o t o n e Norrnfunktion, ist abet nicht faktoriell (vgl. Abschnitt 1.3). D a h e r kann ~ [ x / - - 5 ] kein Hauptidealring sein! Es k o m m t jetzt d a r a u f an, Kriterien zu entwickeln, mit deren Hilfe sich in praktischen F'allen entscheiden l/if3t, ob ein vorgelegter IntegritS, tsring ein Hauptidealring ist. Ein solches Kriterium wird im nfichsten Abschnitt angegeben.

3.2.3

Euklidische Ringe

115

3. Euklidische Ringe. W i r k e n n e n bisher aul3er K 6 r p e r n n u r einen einzigen H a u p t i d e a l r i n g , nfimlich den R i n g Z der g a n z e n Z a h l e n . U m im nfichsten A b s c h n i t t /.iberzeugende Beispiele v o n H a u p t i d e a l r i n g e n a n g e b e n zu k 6 n n e n , ffihren wir die s o g e n a n n t e n e u k l i d i s c h e n R i n g e ein. Solche R i n g e sind nicht n u r H a u p t i d e a l r i n g e , v i e l m e h r ist die E i g e n s c h a f t der Euklidizitfit, wie wir im nfichsten A b s c h n i t t sehen w e r d e n , a u c h in k o n k r e t e n Ffillen relativ leicht verifizierbar (was v o n d e r H a u p t i d e a l e i g e n s c h a f t nicht gesagt w e r d e n kann). U n s e r e A b s i c h t ist, den Beweis des H a u p t s a t z e s fiber Ideale in Z im Fall allgem e i n e r e r R i n g e zu imitieren. J e n e r Beweis arbeitet mit d e m P r i n z i p des kleinsten Elementes, also speziell mit der A n o r d n u n g in N , u n d mit der D i v i s i o n mit Rest in Z. Es wird sich zeigen, daf3 m a n o p t i m a l a r b e i t e n k a n n , w e n n m a n als E r s a t z ffir die D i v i s i o n mit Rest f o l g e n d e n Begriff einffihrt: Es sei R e i n Integritfitsring, es sei R • : = R \ { 0 } . Eine A b b i l d u n g q: R • --*IN • a~--,q(a) v o n R • in die M e n g e IN• der positiven natfirlichen Z a h l e n heil3t euklidisch, w e n n folgendes gilt: Z u je zwei E l e m e n t e n a, b 9 R • mit b X a u n d q(a) > q(b) gibt es zwei E l e m e n t e q 9 R, r 9 R • so d a b gilt:

a=qb+r Ein q: R Der tion

und

q(r) q(b), so k 6 n n t e m a n , da a u c h b X r wegen b X a, auf G r u n d der Definition v o n euklidischen A b b i l d u n g e n (mit r anstelle v o n a) ein E l e m e n t t e R finden, so d a b gilt: rl(r - tb) < r/(r). Setzt m a n hier r = a - qb ein, so folgt r/(a - (q + t) b) < q(a - qb) im W i d e r s p r u c h zur W a h l y o n q. Also gilt n o t w e n d i g : t/(r) < ~l(b).

Es folgt n u n (v611ig a n a l o g wie frfiher ffir ;g) der S a t z : Jeder euklidische Ring R ist ein Hauptidealring. Beweis: Sei a irgendein Ideal in R. D a das Nullideal (0) ein H a u p t i d e a l ist, di.irfen wir n + (0) a n n e h m e n . D a n n ist die M e n g e {q(x): x e a u n d x 4= 0} c N • nicht leer. N a c h d e m Prinzip des kleinsten Elementes gibt es ein d =# 0 in a, so da[3 gilt iT(d) < r/(x) ffir alle x e a, x + 0. Es gilt R d c n. Sei u m g e k e h r t z e a irgendein Element. Die Division mit Rest liefert eine G l e i c h u n g z = qd + r mit q, r e R, w o b c i r = 0 o d e r r 4= 0 u n d q(r) < r/(d). D a r = z - qd ~ a, so ist der Fall r + 0 nicht m6glich, da t/(r) < r/(d) im W i d e r s p r u c h zur Wahl y o n d stehen wtirde. Es folgt r = 0, d.h. z ~ Rd. D a m i t ist gezeigt, d a b a u c h a c R d gilt. I n s g e s a m t folgt a=Rd.

4. Beispiele. W i r wollen wichtige Beispiele ffir die in den A b s c h n i t t e n 1 3 eingefiihrten T y p e n v o n lntegritfitsringen a n g e b e n , die fiber K 6 r p e r u n d den R i n g 9 h i n a u s g e h e n . Es ist b e q u e m , dabei die Redeweise zu v e r w e n d e n , d a b eine N o r m f u n k t i o n , t ' : R ~ ]i'4 eines Integritfitsringes R euklidisch heiBt, w e n n die induzierte A b b i l d u n g , / : R • --+ 1N • euklidisch ist. W i r n o t i e r e n sogleich: Jede euklidische N o r m l u n k t i o n . : R -+ ]N ist monoton. Beweis: Sei e e R und ,l e = 1. Wfire e keine Einheit in R, so gfibe es wegen 9! '1 > . t e zu 1, e ~ R • E l e m e n t e q e R, r E R • so d a b gilt: 1 = qe + r mit , l r < , 1 1 = 1. Dies w i d e r s p r i c h t , l ' r ~ N •

A u f G r u n d v o n Satz 3 u n d K o r o l l a r 2 ist n u n klar: Jeder Integritdtsring mit einer euklidischen N o r m f i m k t i o n ist ein Hauptideah'ing und jaktoriell.

3.2.4 Beispiele

117

Wir demonstrieren die Kraft der M e t h o d e der euklidischen N o r m f u n k t i o n an k o n k r e t e n Beispielen. Natfirlich ist ffir 77 die N o r m f u n k t i o n J V a = l al euklidisch. Als n~ichstes betrachten wir P o l y n o m r i n g e K [X] fiber K 6 r p e r n K. N a c h 1.2 ist A/: K [X] ~ IN, ~ f : = 2 graaf, falls f 4= 0, JV'0" = 0, eine m o n o t o n e N o r m funktion. Wir behaupten: I s t K ein K 6 r p e r , so ist ~,~t/':K [ X ] --+ IN eine euklidische N o r m f u n k t i o n . Beweis: Es ist nur die Euklidizitiit von ~4": K [ X ] x - , ]N* zu verifizieren. Seien g , h ~ K [ X ] x mit h~/(4 und ,A,~g > A/h. Sei m ' = g r a d g , n ' = grad h, also g = a o + a~ X + . . . + am Xm, h = b o + b 1X + ... + b,X" mit a,, b,. E K,

a" 4= 0, b, 4= 0. N a c h Voraussetzung gilt 2 m ~ 2 n, also m > n. M a n setze: q" = a"b,7 1 X m ,, r: = g - qh; die Definition von q ist m6glich, da K ein K 6 r p e r ist. Es gilt r 4= 0 wegen h , g g. Aus der Gleichung r = (4 - q h = a o + a, X + . . . q- a m X m t l m b n l X m n(b o q- b l X + . . . + b n X n) e n t n i m m t man, dab sich die h6chsten Terme a " X " wegheben. Es folgt grad r < m, d.h. A " r = 2gradr < 2" = 2 gradg ...... t~(4. D a auch g = q h + r, so ist die Bedingung der Definition (mit a = g, b = h) ffir die Abbildung A j" verifiziert. -

-

Es folgt nun unmittelbar: J e d e r P o l y n o m r i n g K [X] fiber einem K 6 r p e r ist f a k t o r i e l l und ein H a u p t i d e a l r i n g .

Die Faktorialit/it von Polynomringen ist keineswegs trivial: lm Ring der trigonometrischen Polynome fiber den reellen Zahlen ist die multiplikative Zerlegung in unzerlegbare Elemente nicht eindeutig; siehe H. E TROTTER:An Overlooked Example of Nonunique Factorization, Amer. Math. Monthly 95 (1988), 339 342. Wir betrachten als weiteres Beispiel quadratische Zahlbereiche ~ [ ~ ] . N a c h 1.2 ist .....l.':2g[x/m]--+N, a~--,,V'e:= 1 ~ [ eine m o n o t o n e N o r m f u n k t i o n . Diese N o r m f u n k t i o n ist aber nicht s t e t s euklidisch, z.B. gewiB nicht fiir das bereits mehrfach diskutierte Dedekindsche Beispiel Z [ x / ~ 5]. Wir geben zunfichst eine hinreichende Bedingung ffir Euklidizit/it an. L e m m a : Die A b b i l d u n g A.': Z [ x / m ] • ~ N • ~ = a o + a I x/nl~--~ ~;o~ =

I~l

=

la2o - a2m[ ist sicher dann euklidisch, wenn die (quadratfreie) Z a h l m e Z\{1} f o l g e n d e r B e d i n g u n g genfigt: (*)

1 [d~ - d2m[ < 1 Jhr alle rationalen Z a h l e n d o , d , m i t Id01 _- | keine Einheit ist, gibt es ein P r i m e l e m e n t e Z [ x ~ ] mit ~zlp. D a m i t ist m a n in der S i t u a t i o n des Satzes. D e r d o r t i g e Fall b) ist jetzt der Fall 1). D e r dortige Fall a) ffihrt zu den Ffillen 2) u n d 3), je n a c h d e m , ob 7~ zu ff assoziiert ist o d e r nicht. [] In der S i t u a t i o n des K o r o l l a r s , d. h., w e n n Z [ x / m ] faktoriell ist, n e n n t m a n eine P r i m z a h l p aus 7 / t r 6 g e bzw. verzweigt bzw. unverzweigt in 7 / [ x ~ ] , w e n n der Fall I) bzw. der Fall 2) bzw. der Fall 3) des K o r o l l a r s vorliegt. A m Beispiel m = - 1 des Ringes Z[i] sieht m a n sogleich, d a b es s o w o h l trfige als a u c h verzweigte als auch unverzweigte P r i m z a h l e n gibt: 1) 3 ~ IP ist trdge in ~[i]. 2) 2 e IF' ist verzweigt in ~[i]: 2 = i(1 -- i)2 ~ (1 -- i)2, wobei 1 - i P r i m element ist. 3) 5 ~ IP ist unverzweigt in 7/[i]: 5 = (2 + i) (2 - i), wobei 2 + i Primelem e n t ist mit 2 + i + 2 + i = 2 - i. (In der Tat ist 2 + i nicht assoziiert zu 2 - i, d e n n d a n n mfit3te, da 7/[i] g e n a u die vier E i n h e i t e n _ 1, _+ i hat, vgl. Satz 1.2, eine G l e i c h u n g 2 - i = e(2 + i) m i t e = _+ 1 o d e r e, = _+ i bestehen, was nicht der Fall ist.)

7. Charakterisierung von Primzahlen in quadratischen Zahlbereichen. M a n wird fragen, welche P r i m z a h l e n aus 7 / i n einer faktoriellen q u a d r a t i s c h e n E r w e i t e r u n g 2~ [x/m] von 7/trfige sind, welche verzweigt u n d welche unverzweigt. Das mul3 grunds/itzlich d u r c h die alleinige K e n n t n i s der q u a d r a t f r e i e n g a n z e n Z a h l m ~ 1 e n t s c h e i d b a r sein. Wir beweisen als erstes den

Verzweigungssatz fiir Z [ ~ / m l : Es sei ~ [ x ~ ] faktoriell (mit quadratfreiem m ~ 1). Dann sind fi~lgende Aussagen i~ber eine Primzahl p ~ IP dquivalent: i)

pl2m.

ii) p verzweigt in ~ [ x / m ] : p ~ ~z2, n Primelement in Z [ x / m ]. Beweis: i ) ~ i i ) : W i r zeigen zun/ichst, dal3 p kein P r i m e l e m e n t in Z [ x / m ] ist. A n g e n o m m e n , das wfirde d o c h so sein. D a n n k a n n jedenfalls nicht gelten p] m, da sonst aus m = x ~ " x / m folgen wfirde p2lm, was der Q u a d r a t f r e i h e i t v o n m widerspricht. Es bliebe also, da p f 2 m v o r a u s g e s e t z t wird, n u t der Fall p = 2 iibrig. Das geht a b e t a u c h nicht wegen Satz 4. M i t h i n ist p kein P r i m e l e m e n t in 2~ [x/m]. N a c h K o r o l l a r 6 folgt d a h e r p ~ ~zff mit einem P r i m e l e m e n t g ~ 77 [ x ~ ] " Es bleibt zu zeigen: ~z ~ ft. W i t k 6 n n e n schreiben: ~z = a + b x / m mit a, b c 7/. D a n n gilt 7~ = a - b ~ / m u n d also ~z - 7~ = 2b x/m. Wegen p l2m u n d ~ [p gilt a u c h ~z[2m. D a 7~ P r i m e l e m e n t ist, so folgt aus 2m = 2 x / - m . x ~ weiter: ~1 2 x/m. D a r a u s ergibt sich n I(~z - 2) u n d hieraus ~ 17~ wegen 7r = 7~ - (Tr - if). Die Aussage n lT~ ist gleichwertig mit 7r ~ 7~, da 7~, ff P r i m e l e m e n t e sind.

124

Charakterisierung von Primzahlen in quadratischen Zahlbereichen

3.2.7

ii)~i): D a p wegen p ~ re2 kein P r i m e l e m e n t in 7/[,,/"m] ist, so gilt n a c h K o r o l l a r 6 n o t w e n d i g r e - ~. Dies impliziert r c [ ( r c - ~). Schreibt m a n wieder rt = a + b y ~ m , so gilt re - fi = 2 b x / / m u n d es folgt r e ] 2 b x / m , also p ] 4 b 2 m wegen p ~ rc2. Wir b e h a u p t e n p X b in ;g. D a n/imlich +_ p = rere = a 2 - b2m, so wiirde im Fall p }b a u c h gelten p ]a. Schreibt m a n a = p a ' , b = p b ' mit a', b' e 77, so w/ire _+ p = p2 (a' 2 _ b' 2 m), also 1 = + p (a' 2 _ b' 2 m), was u n s i n n i g ist. Also gilt p X b . Aus p l 4 b Z m folgt nun p t 4 m , also a u c h P l 2m.

D a die M e n g e aller Primteiler v o n 2m endlich ist u n d 2 enth/ilt, so ergibt sich aus d e m V e r z w e i g u n g s s a t z sofort das K o r o l l a r : F i i r , / e d e n f i t k t o r i e l l e n R i n g 7/[,,/'m] ist die M e n g e der in 7/[v/m] verz w e i g t e n P r i m z a h l e n aus ~ endlich, die P r i m z a h l 2 ist stets v e r z w e i g t .

Ffir die laut K o r o l l a r 4 faktoriellen Ringe 7/[v/m], m = - 2, - 1, 2, 3, ergibt sich a u f G r u n d des Verzweigungssatzes folgende explizite V e r z w e i g u n g s a u s s a g e : /

7

In den f a k t o r i e l l e n R i n g e n 7/[x/" - 2], 7/[i] und 7Z[x/2 ] ist 2 die e i n z i g e P r i m z a h l , die v e r z w e i g t ; im j a k t o r i e l l e n R i n g ~[x//3] v e r z w e i g e n g e n a u die P r i m z a h l e n 2 und

3.

Es

gilt j e w e i l s :

2 =(-l)(v/----2)

2, 2 = i ( 1 -

i)2, 2 =(w./2)z;

2 =

(2 - ~,/3~) (1 + \ / 3 ) 2, 3 = (\/'3) 2 ( w o b e i 2 - v."'3 eine E i n h e i t in 7/[x//3] ist). Die Aussage des Verzweigungssatzes ist leer, falls m v o n d e r Form 4k + 1 ist, da alsdann 71[v m] niemals faktoriell ist (Satz 4). Ffir solche m haben wir im Abschnitt 5 die gr6Beren Ringe I,,, - {~2(a0 + ~l~ .,/m): ~lo. a~ ~ ZZ. 21 (ao

a~)l

eingeffihrt, yon denen viele faktoriell sind (Siilze C, D und E aus Abschnitt 5). Die im vorigen Abschnitt bewiesenen Aussagen fiber das Verhalten von Primzahlen p ~ 71 bei Ubergang zu ~[\/"m] gelten mutatis mutandis auch, wenn man zu I,, fibergeht. Es gibt im Fall eines faktoriellen Ringes Im ZUjedem Primelement rc e I,,, wieder genau eine Primzahl p in 7Z, so dab gilt 7r IP in l,,,: dann sind wiederum die zwei F/ille ~ - + p oder rc ~ p m6glich. Ebenso ergeben sich ffir die Zerlegung einer Primzahl p aus Y in l,, wieder drei M6glichkeiten: 1) p ist Primeleme,l in Im. 2) Es gilt: p ~ =2 mit einem Primelement 7t ~ I,,,, wobei ~ ~ ~. 3) Es ,gilt: p ~ ~Y mit einem Primelement ~ c I m, wobei 7~ 4- ~. Man kann also auch jetzt yon tr/igen bzw. verzweigten bzw. unverzweigten Primzahlen (bezfiglich I,,,) sprechen. Der Verzweigungssatz lautet nun fast w6rtlich wie oben (es fehlt lediglich der Faktor 2): Verzweigungssatz fiir Ira; Es sei m -- 4k + 1, k c g'. {0}, quadrat.lbei, und es sei I ,, Jaktoriell. Dam1 verzweigt eine Primzahl p aus 71 genau dann in Ira, wenn gilt: p I m. lnsbesondere ist die Menge der in I,, verzweigenden Primzahlen aus 71 stets nicht leer und endlich.

W i r w e n d e n uns n u n wieder den faktoriellen Z a h l b e r e i c h e n 7/[v,/m] zu. Als n/ichstes w/iren jetzt die tr/igen u n d die u n v e r z w e i g t e n P r i m z a h l e n zu c h a r a k t e r i sieren. W i r wollen dies n u r im b e s o n d e r s wichtigen Fall der Gauf3schen Z a h l e n g e n a u e r d u r c h f i i h r e n : wit verweisen den a m Allgemeinfall interessierten Leser wieder a u f das H a s s e s c h e B u c h [7]. Z u n / i c h s t ergibt sich n o c h leicht:

3.2.7

Charakterisierung von Primzahlen in quadratischen Zahlbereichen

125

Satz: 1st Z [ x / m ] faktoriell, so sind folgende Aussagen fiber eine Primzahl p E Z dquivalent: i) ii)

p ist nicht tra'ge in Z [ x / m ]. Es gibt ganze Zahlen x, y ~ 2~, so dafl gilt:

x 2 - y 2 m = +_ p.

Beweis: i ) ~ i i ) : L a u t D e f i n i t i o n gilt p = + ~zff. S c h r e i b t m a n ~ = x + y x / m , w o b e i x, y e 7Z., so folgt _+p = ~ -- x 2 - y Z m . ii) =>i): Sind x, y e 7/, so beschaffen, d a b gilt: x 2 - y Z m = • p, so setze m a n 7z:= x + y x / m e Z [ X / m ] . D a n n gilt offensichtlich p = _+ ~ u n d ~.~;~ = p. D a n a c h L e m m a 6 ein P r i m e l e m e n t ist, so ist p also nicht trfige in Z [ x / m ] . [] W i r n o t i e r e n eine einfache, a b e r wichtige

Folgerung: Jede Primzahl p ~ ~ der Form 4 k + 3, k e ~ , ist tra'ge in ~[i]. D e r Beweis sei d e m L e s e r als A u f g a b e gestellt. W i r zeigen n u n den

Zerlegungssatz fiir Primzahlen in 7Z[i]: Folgende Aussagen #ber eine ungerade Primzahl p ~ IP sind dquivalent: i) ii)

p ist unverzweigt in Z[i], d.h. p = ~ , Es gibt eine Z a h l u ~ 77., so daft gilt:

~ + ~.

p](u 2 + 1).

Beweis: i ) ~ i i ) : M i t ~ = a + ib, a, b ~ ~ , g i l t : p = ~ = a 2 + b 2. A u s p l b wfirde folgen p I a u n d d a n n w e g e n p2 [ b 2, p21 a2 der W i d e r s p r u c h p2 ]p. M i t h i n sind p u n d b teilerfremd in 2~, u n d m a n k a n n s c h r e i b e n : 1 = rp + sb m i t r, s ~ Z. Es folgt s2b 2 = (1 - rp) 2 = 1 - 2 r p + r2p 2 u n d also sZp = s Z a 2 ~- s2b 2 = s2a 2 + 1 -- p ( 2 r -- rZp). Setzt m a n u : = s a c 7Z., so sieht m a n : p l(u 2 + 1). ii) ~ i): Ffir ~ = u + i gilt ~(~ -- u 2 + 1 u n d also: p ] ~ . N u n gilt w e d e r p [ e n o c h p ] ~ in Z[i], d e n n eine G l e i c h u n g u _+ i = p(r + is) m i t Z a h l e n r, s e Z ist u n m 6 g lich, d a _+ 1 = p s folgen wfirde. M i t h i n ist p kein P r i m e l e m e n t in 2~[i]. D a p w e g e n p + 2 nicht v e r z w e i g t ist, so ist p also u n v e r z w e i g t in ~[i]. [] Bemerkung: D e r L e s e r m a c h e sich klar, d a b in d e n v o r a n g e h e n d e n A u s s a g e n fiber Z [ i ] f o l g e n d e r Satz fiber die D a r s t e l l b a r k e i t v o n P r i m z a h l e n aus 2~ als S u m m e y o n zwei Q u a d r a t e n e n t h a l t e n ist: 1) Eine Primzahl der Form 4 k + 3, k ~ N , ist nicht als Summe zweier (ganzzahliger) Quadrate darstellbar. 2) Jede Primzahl, die eine Z a h l der Form u 2 + 1, u ~ ~, teilt, ist die Summe zweier (ganzzahliger) Quadrate. W i r w e r d e n in 5.2.3 m i t Hilfe des W i l s o n s c h e n Satzes u n d der B e d i n g u n g 2) sehen, dal3 alle P r i m z a h l e n der F o r m 4 k + 1 als S u m m e v o n zwei Q u a d r a t e n d a r s t e l l b a r sind.

126

Zahlentheorie in faktoriellen Ringen

3.3.1

Auf~,,aben: 1) Geben Sie ein Ideal in g [ , v / - 5] an, das kein Hauptideal ist. 2) Geben Sie einen faktoriellen Ring an, der kein Hauptidealring ist. 3) Sei q e P eine vorgegebene Primzahl, es bezeichne +%: Q • --, N die zu q geh6rige Vielfachheitsfunktion. Man definiere R c ~) dutch R : = {0} w {7 e ~ • : w,,(',,) > 0]. a) Zeigen Sic: R ist ein Integrit~itsring, aber kein K6rper. b) Geben Sie alle Einheiten yon R an. c) Zeigen Sie: R ist ein Hauptidealring. d) Geben Sie alle Primelemente von R an. 4) Geben Sie jeweils drei unverzweigte Primzahlen in 77[\/"- 2], 71[\/-2], 2~[\.."3] und Y[\/23] an. 5) Beweisen Sie. da[3 jede Primzahl der Form 4k + 3. k ~ N, sich nicht als Summe zweier ganzzahliger Quadrate darstellen liil3t, und folgern Sie, dab eine solche Primzahl tr~ige in 2~[i] ist.

w3

Zahlentheorie in faktoriellen Ringen und in Hauptidealringen

Wir formulieren zuniichst f/Jr beliebige faktorielle Ringe den H a u p t s a t z der e l e m e n t a r e n Z a h l e n t h e o r i e . D a s T e i l b a r k e i t s k r i t e r i u m wird divisorentheoretisch a u s g e s p r o c h e n . Die T h e o r i e des g r 6 6 t e n g e m e i n s a m e n Teilers wird ftir beliebige (nicht n o t w e n d i g f a k t o r i e l l e ) I n t e g r i t / i t s r i n g e entwickelt; speziell w e r d e n solche Integritiitsringe n~iher untersucht, in d e n e n je zwei E l e m e n t e einen gr613ten g e m e i n s a m e n Teiler h a b e n . Des weiteren c h a r a k t e r i s i e r e n wir faktorielle Ringe d u r c h ,,innere" E i g e n s c h a f t e n ; schliel31ich zeigen wir, d a b ffir j e d e n n o e t h e r s c h e n Integrit~itsring der Satz v o n der (nicht n o t w e n d i g eindeutigen) Z e r l e g u n g in u n z e r l e g b a r e E l e m e n t e gilt. 1. Zahlentheorie in faktorieilen Ringen. W i r wollen in diesem A b s c h n i u skizzieren, wie m a n in a l l g e m e i n e n faktoriellen Integrit/itsringen die e l e m e n t a r e Z a h l e n t h e o r i e aufbaut. Z u n / i c h s t wird m a n (wie im R i n g ~ ) in einer Primelem e n t z e r l e g u n g a = ] ) l P 2 " . . . "Pn einer N i c h t e i n h e i t a =~ 0 aus R assoziierte P r i m f a k t o r e n zu P o t e n z e n z u s a m m e n f a s s e n . M a n n u m e r i e r e die Pl . . . . . p,, e t w a so, dal3 die ersten r P r i m f a k t o r e n p~, p , . . . . , Pr u n t e r e i n a n d e r nicht assoziiert sind, d a b aber jeder weitere P r i m f a k t o r zu einem der ersten r F a k t o r e n assoziiert ist. F a g t m a n n u n alle zu p~, P2 Pr assoziierten F a k t o r e n jeweils zu einem P r o d u k t z u s a m m e n , so erh'alt m a n eine G l e i c h u n g a = etp]'~e2p'~ . . . . ~p~ mit E x p o n e n t e n m t , m 2, . . . , m,. e N • w o b e i e~, e 2 . . . . . e~ E i n h e i t e n in R sind. D a deren P r o d u k t wieder eine Einheit e e R ist, erh~lt m a n schlieBlich die Z e r l e g u n g a = e p'l" 9p ~ , 2 . . . . , p,,r in P r i m e l e m e n t p o t e n z e n , w o b e i e Einheit und p~,p, for i + ] nicht assoziiert sind. M a n schreibt a u c h a ~ Plm t P2m 2 ' " " " P ~ m r , Pi + Pj ffir i +.]. Ist a q ~ q 2 e . . . . . q~, "~ qi + qj fiir i q=j eine weitere solche D a r s t e l l u n g , die aus einer a n d e r e n P r i m e l e m e n t z e r l e g u n g y o n a h e r v o r g e g a n g e n ist, so gilt a u f G r u n d der E i n d e u t i g k e i t der P r i m e l e m e n t z e r l e g u n g bei entsprec h e n d e r N u m e r i e r u n g : r = s, Pi ~ qi, mi = n~ fiir i = 1 . . . . . r. Dies bedeutet, d a b . . . . .

.+o

~

mr

3.3.1 Zahlentheorie in faktoriellen Ringen

127

die Zerlegung in Primelementpotenzen bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmt ist. M a n lfil3t auch (wie ffir 71) den Fall r = 0 zu, dadurch werden gerade die Einheiten a ~ 1 erfaBt. Damit k6nnen wir den Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie ffir beliebige faktorielle Ringe wie folgt aussprechen:

Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie fiir faktorielle Ringe: Es sei R ein faktorieller Ring. Dann besitzt j e d e s E l e m e n t a ~= 0 aus R eine Darstellung a=epl

ml

P2m 2 " . . . ' P ~

mit

rcN

und

mx,m2,...,mr6N

•

wobei e eine Einheit in R ist und Pl , P2, . . . , Pr P r i m e l e m e n t e in R sind derart, daft Pi, Pj fi~r i ~ j nieht assoziiert sind. 1st a = e'q]l q~ 2 . . . . . q~ eine zweite solche Darstellung yon a, so gilt s = r, und man kann so numerieren, daft gilt: qi Pi und n i = m i fiir i = 1, 2 . . . . . r. ~

Um die schwerffillige Formulierung ,,bis auf Assoziiertheit" zu vermeiden, faBt man die Primelemente mittels der Aquivalenzrelation ,,assoziiert" in Klassen zusammen und nennt die Menge aller zu einem fixierten Primelement p ~ R assoziierten Primelemente aus R einen Primdivisor yon R. Der Primdivisor, der p enthfilt, wird mit/~ bezeichnet; p ~ .fi heiBt ein R e p r d s e n t a n t yon /~. Jedem Element a e R\{0} wird nun bezfiglich eines jeden Primdivisors /e ein Exponentenwert w/,(a) ~ 1N zugeordnet: Ist m > 0 der Exponent, mit dem ein Reprfisentant von fi. in einer Zerlegung von a als Primelementpotenz auftritt, so setzen wir w/,(a):= m. Da die Exponenten in Primelementpotenzzerlegungen eindeutig sind, so ist m vom speziell gewfihlten Reprfisentanten von/~ und yon der speziell gewfihlten Zerlegung unabhfingig; es gilt w / , ( a ) = 0 genau dann, wenn kein Repr~isentant yon ~ in einer Zerlegung yon a vorkommt. Analog zu 1.4.4 heiBt die natfirliche Zahl w/,(a) die Vielfachheit (Multiplizitdt) yon a + 0 beziiglich des P r i m d i v i s o r s / : (dem Nullelement wird keine Vielfachheit zugeordnet). r Von einer Primelementpotenzzerlegung a = e [ I P~" oder a ,-~ [][ p~'~ geht m a n Q=I

Q:I

nun (analog wie frfiher ffir ~) zur formalen Darstellung a ~ IF[ fiw/,(,) fiber, wobei jetzt das P r o d u k t fiber alle Primdivisoren fi yon R erstrec~t wird (wobei aber ebenso wie frfiher bei ~ fast alle Faktoren den Wert fi~J'(") = rio = 1 haben). M a n nennt [ I fiw/,(~) den Divisor yon a. Durch die Divisorenschreibweise wird die lfistige, durch Assoziiertheit bedingte Mehrdeutigkeit vermieden und die Invarianz der Primelementzerlegung sehr gut zum Ausdruck gebracht: Aus dem Divisor yon a gewinnt m a n bis auf Einheiten die Primelementpotenzzerlegung yon a zurfick, indem m a n ffir jeden Primdivisor/~ einen Repr~isentanten p ~ fi einsetzt. Die Vielfachheit w:(a) ist in bezug auf den Primdivisor fi eine in R\{0} erklfirte F u n k t i o n mit Werten in N. Die wichtigsten Eigenschaften dieser Vielfachheitsfunktion stellen wit im folgenden L e m m a zusammen (vgl. hiermit L e m m a 1.4.4):

128

Theorie des gr6Bten gemeinsamen Teilers 3.3.2

Lemma: Es sei R ein faktorieller Ring, es sei R • := R"\{O}. Dann ist fi'tr jeden Primdivisor ;/~ yon R die Abbildung w?" R • ~ N , a ~ w?(a) eine additive Bewertung yon R, d.h., es gilt .[~ir alle a, b c R •

1) w?(ab) = w~(a) + w,+(b); 2) w;(a + b) >= min(w/,(a), w/,(b)),

Jails a 4: - b.

I/Veiter sind die jolgenden Eigenschaften eJfiillt:

3) Fiir Jestes a 4= 0 gilt w/,(a) ~ 0 j'iir nut" endlich viele Primdivisoren /~ yon R.

(Endlichkeitseigenschaft)

4) Gilt w/(a) = w~(b)./~'ir alle Primdivisoren /~, so J~)lgt a ~ b. Der Beweis verl/iuft vSllig analog wie im Fall des Ringes 77, und sei daher dem Leser fiberlassen. Die Teilbarkeitsverh/iltnisse in faktoriellen Ringen lassen sich bequem mit Hilfe der Exponentenwerte beschreiben. In v611iger Analogie zum Teilbarkeitskriterium 1.3.1 gilt folgendes

Teilbarkeitskriterium: Fol,gende Aussagen iiber zwei Elemente a 4: O, b 4 : 0 eines jaktoriellen Ringes R sind dquivalent: i) ii)

bla. w/~(b) < w :(a) fiir alle Primdivisoren /~ yon R.

Mit diesem Tcilbarkeitskritcrium ist die Hauptaufgabc dcr clementarcn Zahlenthcorie, einen Oberblick fiber die Teilbarkeitsverh/iltnisse in R zu gewinnen, gel6st. Man kann jetzt u.a. die Anzahl aller paarweise nicht assoziierten Teiler (analog wie in )7) bestimmen; wir gehen darauf hier nicht weiter ein.

2. Theorie des gr61~ten gemeinsamen Teilers. Es sei R ein (nicht notwendig faktorieller) Integritfitsring, es seien a, b ~ R. Ein Element d ~ R heiBt ein gri~f~ter gemeinsamer Teiler yon a und b, wenn gilt: 1) d l a u n d d J b . 2) Aus t la und t l b folgt t ld. Der Leser bemerkt, dab wir nahezu w6rtlich die Definition aus 2.1.1 i,ibertragen haben. Man versteht jetzt auch, warum wir damals als MaBstab fiir die Gr613e eines Teilers diese Definition gew/ihlt haben; nur in dieser Fassung (ohne Bezugnahme aufdie Anordnung yon 7/) ist die Verallgemeinerung auf beliebige lntegrit/itsbereiche m6glich. Es stellt sich wie im Fall )7 die Frage nach der Existenz und Eindeutigkeit von gr6Bten gemeinsamen Teilern. Ganz trivial ist die

Eindeutigkeit des gr6Bten gemeinsamen Teilers: Es ~sei d ein gri~J]ter gemein,samer Teiler yon a, b ~ R. Dann ist d' ~ R genau dann ein gri~/3ter gemeinsamer Teiler yon a, b, wenn d' zu d assoziiert ist: d' ~ d.

3.3.2 Theorie des gr6Bten gemeinsamen Teilers

129

Beweis: Sei d' ein gr613ter gemeinsamer Teiler von a, b. Dann gilt did' nach Definition, da d Ia und d lb. Es gilt aber auch d'ld nach Definition wegen d'] a und d'lb. Also folgt: d ' ~ d. Sei umgekehrt d ' ~ d. Dann gilt d'la und d'Ib (Transitivitfit, da d'l d); aus t la und t I b folgt t ] d und also t Id' (Transitivitfit, da did'); mithin ist d' ein gr613ter gemeinsamer Teiler von a, b. [] Wie im Falle der ganzen Zahlen benutzt man auch bei allgemeinen Integritfitsringen gern die Schreibweise d = ggT (a, b), falls a, b ~ R den gr6i3ten gemeinsamen Teiler d ~ R haben. Die Notation ist in beliebigen Integritfitsringen jedoch nicht ganz unproblematisch, da der gr613te gemeinsame Teiler auf Grund des Eindeutigkeitssatzes nur bis auf Assoziiertheit festgelegt ist (im Gegensatz zu 7/, wo er durch die Forderung d > 0 ,,normiert" werden konnte). Konsequenter ist daher die Schreibweise d ~ ggT(a, b), die wir im folgenden durchweg benutzen. Wir wenden uns nun dem Existenzproblem ffir gr613te gemeinsame Teiler zu. Wir zeigen, dal3 in beliebigen Integritfitsbereichen i.a. zu zwei Elementen kein gr6Bter gemeinsamer Teiler existiert: Satz: Im Integritgitsbereich Z [ x / - 5 ] haben die fl:= 2(1 + x~--5) keinen gr6flten gemeinsamen Teiler.

Elemente

~'=6

und

Beweis: Wir schlieBen indirekt durch elegantes Rechnen mit der Normfunktion J~. Angenommen, 3 ~ Z [x~--5] w/ire ein ggT von ~ und ft. Dann mfiBte gelten 6I~ und 6[fl in 2 ~ [ x / - 5], also .,~'6 1~U~ und ~4/'6[~"fl in Z. Nun ist ~ = 36, ~JUfl= ~4~2 9~.ff(1 + x f - 5 ) = 4- 6 = 24; unsere erste Information fiber ~U6 ist daher: (1) ~ 6 t 36 und ~ff6 124, also ~U6112 wegen ggT(36, 24) = 12 (Teilbarkeit bier in Z). Da 2I~ und 2]fl in Z [ ~ - - 5], so folgt 2[6 in 7/.Ix/- 5], also ,~.V21,~/t~6 in Z, d.h.: (2) 41J~6 in Z. Da (1 + ~ 5)] ~ und (1 + ~ 5)] fl in Z [ x / - - 5 ] , so folgt ebenso (1 + x / - 5 ) 1 6 in Z [ x ~ - 5 ] und also ~r + x / - - 5) I ~U6 in Z, d. h.: (3) 6]~4/6 in 7Z. Aus den Informationen (1), (2) und (3) folgern wir nun, da jedenfalls 6 + 0 und also ,/v~6 > 1 gilt: (4) Jff6 = 12. Da 6 in 7Z[x/- 5] von 1 + x f - - 5 geteilt wird, besteht eine Gleichung 6 = (1 + x / - 5 ) z und folglich ~4~'6 = JV(1 + x / - 5 ) ~ z mit einem Element z = t o + t~ xfl-- 5 ~ 7Z[x/- 5]. Wegen ~ ( 1 + x ~ - 5) = 6 und ~4'~6 = 12 folgt 2 = ~Ji.~~= t 2 + 5t 2 mit to, t~ ~ 7/.. Diese Gleichung ist aber unm6glich. Die Elemente 6 und 2(1 + x ~ - 5) haben also in Z[x ~ - 5] keinen ggT. [] Wir haben soeben an Hand des Dedekindschen Beispiels gesehen, dab die Existenz eines gr613ten gemeinsamen Teilers keineswegs etwas Selbstverstfindliches ist. In faktoriellen Ringen wird diese Existenz garantiert durch den folgenden Satz:

Existenz des griiBten gemeinsamen Teilers: In einem faktoriellen Integritdtsbereich R existiert zu je zwei Elementen a, b ~ R stets ein gr6J3ter gemeinsamer Teiler.

130

Integrit/itsringe mit ggT 3.3.3

Falls a ~ I~ ~w/,(,~ und b ~ I~ /w/~b), so gilt: ggT(a, b) ~ [ I /,

ter ist: a ~ ggTIa, 0), b ~ ggT(0, b).

/,

){?min(w/,(a),w/~(b)).Wei-

B e w e i s : Analog wie der Beweis des entsprechenden Satzes aus 2.1.1. B e m e r k u n g : Entsprechend wie in 2.1.7 definiert m a n auch das kleinste g e m e i n s a m e Vielfache zweier Elemente a, b ~ R in beliebigen Integrit/itsringen. M a n hat

wiederum eine Eindeutigkeitsaussage bis auf Assoziiertheit; i.a. existiert abet kein kleinstes gemeinsames Vielfaches: Als Beispiel kann wieder der Dedekindsche Ring ~ [,c/x- 5] dienen. In faktoriellen Ringen ist die Existenz wieder gesichert; die Essenz liegt dann in folgender Aussage: Falls a ~ 1~ ~'~/'~") und b ~ 1~ /w/,(b), ,so gilt: kgV(a, b) ~ l ~ /,

/,

/,

/ 4max(w/'la)"w/,(b)).

Es lfil3t sich dann auch (analog zum Satz 2.1.7) zeigen: ggT(a, b). kgV(a, b) a 9b fi~r alle a, b e R. Wir gehen auf diese einfachen Dinge nicht n/iher ein. 3. Integritiitsringe mit ggT. Es sollen nun Integrit/itsringe betrachtet werden, die nicht notwendig faktoriell sind, in denen aber nichtsdestoweniger je zwei Elemente einen gr6Bten gemeinsamen Teiler haben. Wir werden sehen, dab man ffir solche Ringe eine elegante Theorie entwickeln kann, die fiberraschende Aussagen bringt. Um bequem formulieren zu k6nnen, nennen wir einen Integrit/itsring R einen lntegritiitsring mit ggT, wenn je zwei Elemente aus R einen gr613ten gemeinsamen Teiler in R haben. Alle faktoriellen Integrit/itsringe sind auf G r u n d des Existenzsatzes 2 lntegritfitsringe mit ggT*. Hingegen ist 2g[,,/- 5] kein Integrit/itsring mit ggT (vgl. Satz 2). Ist d c R e i n gr613ter gemeinsamer Teiler von a, b ~ R, so schreiben wir (motiviert durch den Eindeutigkeitssatz 2) konsequent: d ~ ggT(a, b). Wit beweisen als erstes grundlegende

Rechenregeln fiir lntegritiitsringe mit ggT: Es sei R e i n Integritiitsring mit ggT; es seien a, b, c c R. D a n n gilt:

1) 2) 3) 4) 5)

ggY(a, a) ~ a. alb~ggT(a,b)~a. ggT(ggT(a, b), c) ~ ggT(a, ggT(b, c)). (Assoziativitiit) ggT(ca, cb) ~ c . ggT(a, b). (Distributivita't) ggT(ab, c) ~ ggT(ggT(a, c). b, c). (Produktformel) Vorbemerkung: Ftir faktorielle Ringe lassen sich diese Behauptungen s/imtlich, wie der Leser sich klar machen m6ge, direkt aus dem Existenzsatz 2 herleiten, wie wir es fiir den Ring 7Zin * Es scheint kein naheliegendes Beispiel aus Zahlentheorie und Algebra zu geben fiir einen lntegrit~itsring mit ggT, der nicht faktoriell ist; der Leser vergleiche dazu auch die Bemerkung und die Charakterisierung faktorieller Ringe im folgenden Abschnitt. Hingegen ist in der Funktionentheorie einer komplexen Ver/inderlichen z. B. der Ring der auf der ganzen komplexen Zahlenebene holomorphen Funktionen ein nicht faktorieller Integrit'/itsring mit ggT.

3.3.3

Integritfitsringe mit ggT

131

2.1.1 getan haben. Der hier zu ffihrende Beweis darf natiirlich keine ZPE-Eigenschaft verwenden, er hat sich ausschlieBlich auf die charakteristischen Eigenschaften eines ggT zu stfitzen. Beweis: Die Verifikation der R e g e l n 1) u n d 2) ist k a n o n i s c h u n d sei d e m L e s e r fiberlassen. ad 3): Sei d ~ g g T ( a , b), v ~ ggT(d, c), u ~ ggT(b, c), w ~ g g T ( a , u). W i r mfissen zeigen: v ~ w, d.h. v [ w u n d w [ v. N a c h V o r a u s s e t z u n g gilt: v [ d u n d v [ c. D a d [ a u n d d [ b , so folgt: v[ a u n d v[ b u n d v[c. W e g e n u ~ ggT(b, c) ergibt sich hieraus: v [ a u n d v[u; w e g e n w ~ g g T ( a , u) folgt weiter v l w. E b e n s o ergibt sich: w[ v. ad 4): Sei d --~ g g T ( a , b), w ~ g g T ( c a , cb). D a n n ist zu zeigen: w ~ cd, d.h. c d [ w u n d w[ cd. Dies ist trivial fiir c = 0, d a ggT(0, 0) = 0. Sei c + 0. Aus d [ a u n d d [ b folgt c d ] c a u n d cd[ cb, also cd[ w. U m w [ c d zu zeigen, g e h e n wir aus (auf G r u n d des s o e b e n G e z e i g t e n ) v o n d e r G l e i c h u n g (*) w = ( c d ) f m i t f ~ R. W e g e n w [ c a u n d w [ c b b e s t e h e n weiter G l e i c h u n g e n ca = w r = c d f r u n d cb = ws = c d f s m i t r, s ~ R. D a c + 0, so folgt a u f G r u n d der K f i r z u n g s r e g e l : a = d f r u n d b = d f s , also d f [ a u n d d f [ b . Dies impliziert: d f [ d , also w e g e n (*): w [ c d . a d 5 ) : N a c h 4) gilt: g g T ( a , c ) . b ~ g g T ( a b , cb). D a m i t folgt a u f G r u n d v o n 3), d a g g T ( c b , c) ~ c n a c h 2): g g T ( g g T ( a , c)- b, c) ~ g g T ( g g T ( a b , cb), c) g g T (a b, g g T (c b, c)) ~ g g T (a b, c). [] Bemerkung: Die vorangehenden Rechnungen sind elementar, machen aber einen schwerf/illigen Eindruck. Daffir ist nicht zuletzt die klassische Notation ggT mitverantwortlich. Man kann diese ffir Rechnungen unhandliche Bezeichnung durch ein eleganteres Symbol ersetzen. So wurde u.a. vorgeschlagen, a ~b anstelle von ggT(a, b) zu schreiben. Auger evidenten typographischen Grfinden werden damit die Rechenregeln 1) 5) suggestiver; sie lesen sich dann wie folgt: 1) a~a ~ a. 2) a[b~=~azb~a. 3) (a ~b)~ c ~ a ~(b ~c). (Assoziativitdt) 4) ca ~c b ~ c(a ~b). (Distributivitdt) 5) abzc ~ ((a~c). b)~c. (Produktformel)

Jetzt werden die Redeweisen ,,Assoziativit/it" und ,,Distributivitfit" unmittelbar verst/indlich. Man sieht an diesem Beispiel, wie wichtig gute Notationen sind; leider schreibt man auch heute noch in der Literatur traditionsbewuBt ggT(a, b). Die Assoziativit/itsregel 3) e r m 6 g l i c h t es, in R i n g e n m i t g g T zu j e d e r e n d l i c h e n M e n g e v o n R i n g e l e m e n t e n einen g r 6 g t e n g e m e i n s a m e n Teiler zu bilden. Es lfiBt sich zeigen: In einem Integritiitsring R mit g g T gibt es zu j e d e r endlichen M e n g e al , a2, . . . , a, R e i n E l e m e n t d ~ R mit f o l g e n d e n Eigenschaften: 1) d ] a l , d [ a 2 . . . . , d [ a , . 2) A u s t l a a , t [ a 2 , . . . , t [ a ,

f o l g t t[d.

Das E l e m e n t d ist bis a u f Assoziiertheit eindeutig durch aa, a 2 . . . . . a, bestimmt; man nennt d wieder einen gr6flten g e m e i n s a m e n Teiler yon a l , a2, . . . , a n in R und schreibt: d ~ g g T ( a l , a 2 , . . . , a,).

132

Integrit/itsringe mit ggT 3.3.3

Es gilt dann stets ggT(al, ggT(a z . . . . . a,)) ~ ggT(al, az, . . . , a,); wir k6nnen aus Platzgr/inden auf diese Dinge nicht n/iher eingehen. Wie fiir Z nennt m a n zwei Elemente a, b eines Integritfitsringes R teilerJi'emd, wenn ihr gr6f3ter gemeinsamer Teiler existiert und eine Einheit in R ist: ggT(a, b) ~ 1. Aus den Rechenregeln f/Jr Integritfitsringe mit ggT ergibt sich nun folgendes L e m m a : Es sei R ein lntegritdtsring mit ggT. Es seien a, b , c ~ R, es gelte: ggT(a, b) ~ 1. Dann f o l g t aus a l(bc) stets a lc. Beweis: Wegen a l(bc) gilt ggT(bc, a ) ~ a nach Rechenregel 2). Mittels der Produktformel ergibt sich dann wegen g g T ( b , a ) ~ ] : a~ggT(bc, a)~ ggT(ggT(b, a) - c, a) ~ ggT(c, a). Mithin ist a ein Teiler von c. []

Der eben geffihrte Beweis ist nicht analog zum Beweis des entsprechenden Korollars 2.1.5. Damals wurde idealtheoretisch argumentiert und eine Darstellung i = ra + sb wesentlich verwendet; hier spielen Ideale im Beweis keine Rolle. Aus dem Lemma erhalten wir folgendes Koroilar: In einem lntegritdtsring R mit ggT ist j e d e s unzerlegbare E l e m e n t u ~ R ein Primelement in R. Beweis: Es ist zu zeigen: Aus u lbc mit b, c c R folgt u lb oder u lc. M a n nehme an u,~ b. D a n n gilt ggT(u, b) + u nach Rechenregel 2). Da u unzerlegbar ist und da ggT(u, b) ein Teiler von u ist, folgt: ggT(u, b) ~ 1. Aus dem L e m m a ergibt sich nun: ulc.

In einem Integritfitsring R mit ggT k a n n m a n auch wie friiher in 7l Systeme yon paarweise teilerfremden E l e m e n t e n betrachten, d.h. endliche Systeme al, a 2 a n ~ R, so dal3 gilt: ggT(a/, aj) ~ 1 ffir alle i 4=j. Solche Systeme werden in 5.2.4 beim Chinesischen Restsatz eine wichtige RoUe spielen. Wir haben bisher die Theorie des ggT ausschlieglich multiplikativ entwickelt. Um Kriterien ffir die Existenz eines ggT zu erhalten, ziehen wir nun auch die additive Struktur heran. Ausgangspunkt ist der . . . . .

Hilfssatz: Es sei R e i n Integritiitsring. Es seien a, b ~ R zwei E l e m e n t e derart, daft R a + R b ein Hauptideal R d ist. Dann ist d ein gr6J3ter gemeinsamer Teiler yon a und b. Beweis : Da a ~ R d und b ~ R d, so gilt d la und d [ b. Da aber wegen d ~ R a + R b auch eine Gleichung d = ra + sb mit Elementen r, s ~ R besteht, so hat t la und t lb stets t ld zur Folge. Damit ist d ~ ggT(a, b) gezeigt.

Wit haben gesehen, dab in Z [ x / 2 5] die Elemente 6 und 2(1 + w / ' - 5 ) keinen ggT besitzen. Auf G r u n d des Hilfssatzes ist damit (6, 2(1 + x / - 5)) ein Beispiel eines Nichthauptideals in •[x/---5].

3.3.3 Integrit/itsringe mit ggT

133

Aus dem Hilfssatz folgt unmittelbar:

Satz: J e d e r nullteilerfreie H a u p t i d e a l r i n g R ist ein lntegritdtsring mit ggT. Folg e n d e A u s s a g e n fiber drei E l e m e n t e a, b, d ~ R sind dquivalent: i) ii)

d ~ ggT(a, b). R a + R b = R d oder kfirzer:

(a, b) = (d).

Speziell ist ein gr6flter g e m e i n s a m e r Teiler d yon a und b stets linear aus a und b kombinierbar: d = ra + sb mit r, s ~ R. Beweis: Da fiir je zwei Elemente a, b ~ R das Ideal R a + R b stets wieder ein Hauptideal R d ist, so ist R auf G r u n d des Hilfssatzes ein Integrit~itsring mit ggT; weiter ist die Implikation ii) ~ i) klar. Es bleibt die Implikation i) ~ ii) zu verifizieren. Da R Hauptidealring ist, gibt es jedenfalls ein Element c E R, so dab gilt: R a + R b = R c . Mit dem Hilfssatz folgt hieraus: c ~ ggT(a, b). D a d ~ ggT(a, b) nach Voraussetzung, so sind c und d assoziiert in R. N a c h L e m m a 2.2, 2) folgt: Rc = Rd.

[]

Wir haben soeben gesehen, dab neben faktoriellen Ringen auch alle nullteilerfreien Hauptidealringe Integritfitsringe mit ggT sind. Solche Ringe k6nnen also als Verallgemeinerung sowohl von faktoriellen Ringen als auch von nullteilerfreien Hauptidealringen aufgefal3t werden; in diesem Sinne ist das oben bewiesene Korollar eine natiirliche Verallgemeinerung von Satz 2.2. Euklidische Ringe sind als Hauptidealringe Integritfitsringe mit ggT. In solchen Ringen lassen sich wie im Ring 77 mittels des Euklidischen Algorithmus gr613te gemeinsame Teiler ausrechnen, ohne dab m a n auf Primelementzerlegungen zur/ickgreifen muB. Es gilt (mit N o t a t i o n e n wie im Abschnitt 2.3):

Euklidischer Algorithmus: Es sei R e i n euklidischer R i n g und ~1: R • ~ N • eine euklidische Abbildung. Es seien a, b ~ R • zwei R i n g e l e m e n t e mit b X a. M a n setze a 0 : = a, a 1 : = b. Dann bricht die iterierte Division mit R e s t a 0 = q l a l + a 2 mit q l , a 2 ~ R ,

q ( a 2 ) < q(al) , wobei a l ~ / a o ,

al = q2a2 + a3 mit q 2 , a 3 ~ R , q(a3) < ~/(a2), falls

a2.~al,

q(a~) < ~/(a3), falls

a3.~a2,

a 2 = q3a3 + a 4 mit q 3 , a 4 ~ R ,

nach endlich vielen Schritten ab: Es gibt einen ersten l n d e x k, 1 < k < q(b), so daft gilt: aj ~: 0 ffir j =o ist jeweils ~,+ , ein echter Teller yon g,, (es gilt: g.z+, = ~,,).

Die exakten Beweise dieser Aussagen seien dem Leser fiberlassen. Wir k6nnen nun faktorielle Ringe in zufriedenstellender Weise charakterisieren.

Charakterisierung faktorieller Ringe: Folgende A u s s a g e n iiber einen Integritiitsring R sind giquivalent:

i) ii)

R ist faktoriell. R ist ein R i n g mit ggT, und R geniigt der Teilerkettenbedingung.

Beweis: i)=~ii): Auf G r u n d des Existenzsatzes 2 ist R e i n

Ring mit ggT. Ferner geniigt R der Teilerkettenbedingung; denn ist a ~ p , m l P2m 2 "---.p~r eine Primelementpotenzdarstellung eines Elementes ungleich 0, so sind die (m 1 + l ) - ( m z + 1 ) . . . . - ( m r + l ) - 2 Elemente p ~ l p ~ 2 . . . . . p U r , 0 < # 1 < m l , . . . . 0 0 geben. ii) =~ i): Jedes unzerlegbare Element von R ist ein Primelement in R, weil R Ring mit ggT ist (Korollar 3); da R die Teilerkettenbedingung erffillt, ist jede Nichteinheit ungleich 0 von R P r o d u k t unzerlegbarer Elemente. Nach Satz 2.1 ist R d a n n faktoriell. [] Es stellt sich zwangslfiufig die Frage, ob es auBer Ringen mit m o n o t o n e r Normfunktion noch weitere interessante Integritfitsringe gibt, die der Teilerkettenbedingung genfigen. Wir fibersetzen diese Bedingung zun/ichst in die Sprache der Idealtheorie: Aus L e m m a 2.2 erhalten wir unmittelbar, dab folgende Aussagen fiber einen Integrit/itsring R / i q u i v a l e n t sind: i) ii)

R geni~gt der Teilerkettenbedingung. J e d e aufsteigende K e t t e a o C a 1 ~ l1 2 ~ . . . ~ I1 n ~ I l n + 1 ~ " ' " v o n H a u p t i d e a l e n a, aus R ist stationiir, d.h. es gibt einen I n d e x m ~ N , so daft gilt: a, = a,~ fiir a l l e n > m.

Es ist nun verblfiffend einfach, Ringe anzugeben, in denen jede aufsteigende Idealkette (nicht nur jede aufsteigende Hauptidealkette) station/ir wird. Dazu zeigen wir zun/ichst einen einfachen, aber grundlegenden

Hilfssatz: 1st R irgendein R i n g und a o c a I c

...

C a n C an+ 1 C

...

irgendeine oo

aufsteigende K e t t e yon Idealen in R, so ist die Vereinigungsmenge a "= Q) a, wieder ein Ideal in R. ,=o

136

Charakterisierung faktorieller Ringe

3.3.4

B e w e i s : Seien a, b c a. Es gibt Indices j, k, so d a b gilt: a c aj, b c a k. Setzt m a n

l:--max(j,k),sogilta~a~undb~az, da a j = c t ~ u n d a k ~ a l w e g e n a , ~ a n+l fi.ir n e ]N. D a a/ ein Ideal in R ist, folgt a - b e a t u n d x a ~ a z ffir alle x e R. W e g e n a~ = a ist gezeigt: a -- b ~ a u n d x a ~ a f/_ir alle x ~ R, d.h. a ist ein Ideal in R. M a n beachte, d a b im Beweis des Hilfssatzes die I n k l u s i o n e n c,n c a,+ 1, n 6 N , wesentlich b e n u t z t w u r d e n . Die m e n g e n t h e o r e t i s c h e Vereinigung v o n zwei beliebigen I d e a l e n ist i.a. kein Ideal. Es folgt n u n schnell der

Satz:

E s sei R ein (nicht n o t w e n d i g nullteilerfreier) R i n g derart, daJ3 j e d e s I d e a l in R yon endlich vielen E l e m e n t e n e r z e u g t wird. D a n n g i b t es zu j e d e r a u f s t e i g e n d e n K e t t e ao C a I ~ a 2 ~ C (In C fin+ 1 C von I d e a l e n a, in R einen I n d e x m ~ N , so da/3 gilt: a n = a m fiir alle n > m. .

.

.

.

.

.

B e w e i s : A u f G r u n d des Hilfssatzes ist a ' =

~J ctn ein Ideal in R. N a c h Vorn:0

a u s s e t z u n g gibt es endlich viele E l e m e n t e a l , a 2 . . . . . a r e a , so d a b gilt: a : ( a l , a 2 , . . . , at). Jedes E l e m e n t aQ liegt in e i n e m Ideal a,,Q, @ = 1 . . . . , r. W i r setzen m : = m a x ( m 1 , m 2 . . . . . mr) e N . D a n n liegen die E l e m e n t e a l , az, . . . , a~ in allen I d e a l e n a, mit n > m, d e n n wegen m~ < m < n gilt stets: a o ~ a,~, ~ a,~ ~ a,. W i t sehen s o m i t ~l = ( a , , az . . . . . ar) = a n ffir a l l e n > m. D a stets a n = a laut Definition des Ideals a, so folgt: ctn = a = a,, ffir a l l e n > m. Ringe, in d e n e n jedes Ideal endlich e r z e u g b a r ist, spielen in der M a t h e m a t i k eine g a n z wichtige Rolle, sie w e r d e n d u t c h eine Definition a u s g e z e i c h n e t : Ein R i n g R heil3t n o e t h e r s c h , w e n n jedes I d e a l a in R endlich e r z e u g b a r ist, d.h. w e n n es zu j e d e m Ideal a in R endlich viele E l e m e n t e a l , a 2 . . . . . an ~ a gibt, so d a b gilt: tl = R a 1 + R a 2 + ... + R a n (dabei hfingt die A n z a h l n v o m Ideal n ab). Die B e z e i c h n u n g , , n o e t h e r s c h " ist gewfihlt zu E h r e n der d e u t s c h e n M a t h e m a t i kerin E m m y NOETHER (1882 1935, G 6 t t i n g e n u n d B r y n M a w r , Pa.), die die B e d e u t u n g solcher Ringe ffir die h 6 h e r e Z a h l e n t h e o r i e u n d A l g e b r a erstmals klar sah u n d herausstellte. E m m y NOETHER wuf3te a u c h bereits, d a b die A u s s a g e des Satzes u m k e h r b a r ist: E i n R i n g ist g e n a u d a n n n o e t h e r s c h , w e n n j e d e aufsteig e n d e I d e a l k e t t e stationgir ist.

Es folgt n u n u n m i t t e l b a r der ffir die allgemeine Teilbarkeitstheorie wichtige

Zerlegungssatz fiir noethersche lntegrit{itsringe:

In einem noetherschen Integrit 6 t s r i n g R ist j e d e N i c h t e i n h e i t ungleich 0 ein P r o d u k t yon endlich vielen u n z e r l e g baren E l e m e n t e n . B e w e i s : A u f G r u n d des Satzes sind in n o e t h e r s c h e n R i n g e n aufsteigende Idealketten stets stationfir. Integritfitsringe dieser Art geniigen der T e i l e r k e t t e n b e d i n gung. D a h e r folgt die B e h a u p t u n g aus d e m Teilerkettenkriterium.

3.3.4 Charakterisierung faktorieller Ringe

137

Die meisten der in der M a t h e m a t i k v o r k o m m e n d e n Ringe sind nicht noethersch. Die einfachsten noetherschen Ringe sind die Hauptidealringe (jedes Ideal wird bereits von einem einzigen Element, also gewiB von endlich vielen Elementen, erzeugt). Aus Satz 2.2 und dem Zerlegungssatz ffir noethersche Integrit/itsringe ergibt sich nun unmittelbar: Koro|lar: Jeder nullteilerfreie Hauptidealring ist faktoriell. Wir sehen jetzt von unserem ,,h6heren S t a n d p u n k t " , dab die U b e r l e g u n g e n im Abschnitt 1.3, in deren M i t t e l p u n k t die m o n o t o n e n N o r m f u n k t i o n e n standen, nicht notwendig sind, um die Resultate des Abschnittes 2.4 zu gewinnen, dab alle P o l y n o m r i n g e K[X] fiber K 6 r p e r n K sowie die vier quadratischen Zahlbereiche ~[x/-m], m = - 2, - 1, 2, 3, faktoriell sind. Diese Ringe sind faktoriell, weil sie Hauptidealringe sind ! Indessen muB einschr/inkend hier sofort hinzugeffigt werden, dab wir die ,, Hauptidealringeigenschaft" i m m e r nur mit Hilfe einer euklidischen Abbildung verifiziert haben, und dazu muBten wir in unseren Beispielen d a n n doch wieder die N o r m f u n k t i o n e n verwenden. Im nachstehenden Diag r a m m sind die Typen von Integritfitsringen, die wir in diesem Kapitel zahlentheoretisch betrachtet haben, schematisch zusammengestellt; Pfeile bedeuten logische Implikationen.

Ringe mit mono, toner Normfunktion

Euk|idische Ringe [ le R i n g e ~

Hauptidealringe Ringe mit Teilerkettenbedingung

1

~ ---

Ringe mit Zerlegung aller Nichteinheiten ungleich 0 in Produkte unzerlegbarer Elemente

Faktorielle Ringe

, Ringe mit ggT

1

Ringe, in denen alle unzerlegbaren Elemente Primelemente sind

Aufgaben: 1) Zeigen Sie, dab in ~[x/10] die Elemente ~:= 10 und fl:= 2x/~0 keinen gr6Bten gemeinsamen Teiler besitzen. 2) Geben Sie einen gr6Bten gemeinsamen Teiler der Polynome f: = X 3 + 5X 2 + 8 X + 4 undg:=X 5 +X 4+3X 2-X+2ausQ[X]an. 3) Beweisen Sie: Ist Rein Ring derart, dab jede aufsteigende Kette von Idealen in R stationfir ist, so ist R noethersch. 4) Sei Rein Integritfitsring mit ggT. Zeigen Sie, dab zu zwei Elementen a, b ~ R stets ein kleinstes gemeinsames Vielfaches existiert.

139

Kapitel 4 Der 9-adische Algorithmus Wir beginnen etwas sprit vielleicht in Paragraph 1 mit den einfachsten Dingen aus der Theorie des ,,bfirgerlichen Rechnens"; wir befinden uns wieder in der Menge N und ben6tigen von der gesamten bisher kennengelernten Theorie eigentlich nur den Satz v o n d e r Division mit Rest. Bereits im Elementarunterricht werden Schiller nicht nur mit der Dezimaldarstellung, sondern auch mit allgemeinen 9-adischen Darstellungen natfirlicher Zahlen vertraut gemacht, wobei insbesondere die 2-adische Darstellung Aufmerksamkeit geniei3t wegen ihrer fundamentalen Bedeutung filr die elektronische Datenverarbeitung. Cantorschen Darstellungen natfirlicher Zahlen hingegen fehlt jede vermeintliche Lebensnrihe, und dennoch weisen erst diese Darstellungen in letzter Klarheit auf das Wesentliche hin, das alle Zifferndarstellungen verbindet. Beliebige nichtnegative rationale Zahlen lassen sich ebenfalls 9-adisch darstellen unter Zuhilfenahme des 9-adischen Algorithmus, den wir in den Paragraphen 2 und 3 als eine Verfeinerung der Division mit Rest behandeln. Einen breiten Raum in der Theorie der 9-adischen Bruchentwicklungen nehmen naturgemfil3 die Periodizitritskriterien ein. Sie ffihren zu nichttrivialen Einsichten, die in dem Satz von FERMAT-EULERund dem kleinen Fermatschen Satz gipfeln, Resultaten, die in den folgenden Kapiteln in anderem Zusammenhang noch intensiv studiert werden. In einem Anhang betrachten wir den g-adischen Algorithmus unter einem etwas anderen Gesichtspunkt als Approximationsalgorithmus. Unter Einsatz elementarer Resultate fiber konvergente reelle Reihen lassen sich dann auch beliebige positive reelle Zahlen in den Kalkfil der g-adischen Darstellung einordnen.

w1

g-adische und Cantorsche Darstellung natiirlicher Zahlen

Wir rechnen im t/iglichen Leben im Dezimalsystem, d.h. wir zeichnen die Grundzahl 10 aus und stellen jede natfirliche Zahl a > 1 unter Benutzung der zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 als Summe von Potenzen der Zahl 10 dar, z.B. a = 3452 = 3 - 1 0 3 -k- 4 - 102 + 5 9 101 + 2 9 10 ~ Die Wahl des Zehnersystems ist in der Anatomie des menschlichen K6rpers, nicht in der Mathematik begrfindet. Prinzipiell kann man die Zerlegung der natfirlichen Zahlen nach Potenzen irgendeiner vorgegebenen natfirlichen Zahl 9 > 2 betrachten. Man gewinnt alsdann allgemeine Aussagen, die im Spezialfall 9 : = 10 des Dezimalsystems hinlringlich bekannt sind.

140

Historisches Pr/iludium 4.1.0

0. Historisches Priiludium. Die Entwicklung der Zahlzeichen und der Zahlschrift ist ein wesentlicher Teil der Kulturgeschichte. Schon bei einer noch recht primitiven Staats- und Gesellschaftsordnung ist das Rechnen mit ,,gr6Beren" Zahlen wenigstens an einzelnen zentralen Stellen erforderlich. Sobald Handel und Wirtschaft anwachsen, wird die Beherrschung des elementaren Rechnens mit grol3en Zahlen an vielen Stellen im Staate notwendig. AuBerdem ftihren z.B. astronomische Beobachtungen zum Verlangen, Rechnungen gr6Beren AusmaBes durchzuRihren. Die M6glichkeit, solche Rechnungen vorzunehmen, h/ingt maBgeblich von der Entwicklung der Zahlschrift ab. Die ersten Zahlzeichen entstanden aus der Biindelung von Marken, die beim Abz/ihlen gesetzt werden. So notiert man heute noch bei Abstimmungen vielfach

III,

drei ~

ffinf ~ 21~.

Es ist nicht ausgeschlossen, dab die r6mische Ziffer V als Abktirzung ftir entstanden ist. Die r6mische Ziffer X f~r ,,zehn" ist ebenfalls ein typisches Bfindelungszeichen. Auch die anderen gebr/iuchlichen r6mischen Ziffern V, L, C, D, M sowie die filteren r6mischen Zeichen (I) f/,ir ,,tausend" und ((I)) fiir ,,zehntausend" sind aus solchen Biindelungszeichen entstanden. Ein systematisches einfaches Rechnen ist mit der r6mischen Zahlschrift nicht m6glich. Man denke nur an die Schreibweise von Jahreszahlen, z.B. MDCCCLXXXVIII fiir 1888. So kam schon bei den R6mern das Rechenbrett auf, an dem mit Rechenmfinzen gerechnet wurde. In vielerlei Gestalt ist das Rechenbrett noch bis welt in die Neuzeit hinein benutzt worden. In Deutschland wie in Rom Abakus genannt, war es bis in die Mitre des 16. Jahrhunderts hinein bei den vereidigten Rechenmeistern in den Stfidten allgemein in Gebrauch, erst um 1700 verschwindet in Deutschland das Rechenbrett vollst/indig. Das Rechenbrett ist durch eine Reihe 'aquidistanter, horizontaler Linien aufgeteilt, welche die verschiedenen Zehnerpotenzen charakterisieren. Eine Miinze in der Mitre zwischen 2 Linien vertritt 5 Miinzen der vorangehenden Linie; so wird die Zahl 2763 wie folgt gegeben: o o -

o

Tausender

o o o--

Hunderter

o

oo o

Zehner Einer

Bei dieser Darstellung der Zahlen sind offenbar Addition und Subtraktion recht bequem durchfiihrbar. Kompliziert wird dagegen schon das Multiplizieren. Es gibt naheliegende Verfahren zur Verzehnfachung, Verfiinffachung und Halbierung; mit solchen Hilfsoperationen wird eine Multiplikation kunstvoll auf eine Serie yon Additionen zuriickgefiihrt. Unser heutiges algorithmisches Rechnen kam in einzelnen Schriften im 12. Jahrhundert von den Arabern nach Europa. Um 820 nach Christus hatte ein Perser,

4.1.1 Existenzund Eindeutigkeit der g-adischen Darstellung

141

ALCHWARIZMIMUHAMMED(Astronom in Bagdad), nach indischer Uberlieferung ein Rechenbuch geschrieben, yon dem sich alle diese Schriften ableiten. Dieser Muhammed leiht der neuen Rechenkunst auch seinen Namen. So beginnt eine der fiberlieferten Schriften (Codex des Klosters Salem): ,,Incipit liber algorizmi ...". Durch das neue Stellenrechnen wird der Rechenvorgang ,,algorithmiert"; er wird auf einfach/iberschaubare Einzelschritte yon Rechnungen mit Zahlen unter 10 reduziert. Dazu war ein Zeichen f/Jr die Null notwendig. ,,Es mul3 etwas da sein, das anzeigt, dab nichts da ist!" Um 1500 erscheinen in Deutschland die ersten Rechenb/icher, die das algorithmische Verfahren auseinandersetzen. Adam RIESE gab 1518, 1525 und 1550 in drei Auflagen die bekannten Rechenbficher heraus, in denen neben dem Rechnen auf dem Rechenbrett unser heutiges (Stellen-)Rechnen erklfirt wird. Die 2. Auflage hat auf der Vorderseite das Bild einer Rechenstube, in der sich ein Rechenmeister mit einem Verfechter des neuen Rechnens strcitet. Die erste bekannte Kultur, in der das Stellenrechnen mit Nullsymbol weit entwickelt war, soil die Kultur der Mayas gewesen sein. Man benutzte (vor gut zweitausend Jahren) ein System, das auf der Grundzahl 20 basierte. Die Babylonier verwendeten bereits im zweiten Jahrtausend vor Christus das Sexagesimalsystem (zur Grundzahl 60), allerdings ohne ein Zeichen ffir die Null zu kennen. Eine wirkliche Null und damit ein echtes Stellenrechnen findet sich in Eurasien erst im indischen Rechnen im 6. Jahrhundert nach Christi Geburt. Die Babylonier kannten auch das Duodezimalsystem (mit der Grundzahl 12). Vom friiheren Rechnen in diesem System zeugen heute noch die Einteilung der Uhr in 12 Stunden und die Einteilung des Jahres in 12 Monate sowie die Worte ,,Dutzend" und ,,Gros" (ffir 12 Dutzend). Beziiglich weiterer Details der Entwicklung des Ziffernsystems verweisen wir den Leser auf das zweib/indige Werk von K. MENNINGER [9].

1. Existenz und Eindeutigkeit der y-adischen Darstellung. Mit g wird in diesem Abschnitt stets eine lest gewfihlte natfirliche Zahl, die gr6Ber als 1 ist, bezeichnet. Wir nennen g G r u n d z a h l . Ist dann a # 0 eine natfirliche Zahl, so heiBt eine Gleichung a = q , gn + q , ~ g , 1 + . . . + q ~ g + qo eine g - a d i s c h e D a r s t e l l u n g y o n a, wenn folgendes gilt: 1) n e N , q o , q , . . . . ,q. elN; 2) q, 4 = 0 , 0 < q , < g 1 f i i r a l l e v = O, 1 . . . . . n . a = 4 - 5 3 + 2 . 5 2 + 3 ist eine 5-adische Darstellung; im Zehnersystem ist dies die Zahl 5 5 3 - - 5 . 1 0 2 + 5 - 1 0 + 3. Die Darstellung a = 6 . 8 2 + 4 98 + 6 ist 8-adisch; im Zehnersystem handelt es sich um die Zahl 422 = 4 - l 0 2 + 2 9 10 + 2. Beispiele:

142

Existenz und Eindeutigkeit der g-adischen Darstellung

4.1.1

Als A n w e n d u n g des Satzes y o n der D i v i s i o n mit Rest 1.0.4 zeigen wir die

Existenz einer g-adischen Darstellung:

Jede natiirliche Zahl

a # 0 besitzt eine

g-adische Darstellung. B e w e i s : W i r ffihren den Beweis d u r c h vollst/indige I n d u k t i o n ; der I n d u k t i o n s b e ginn a : = 1 ist trivial: Es gilt 1 = q , g " + . . . + q ~ g + qo mit n ' = 0, q o : = 1, die B e d i n g u n g qo < g i s t erffillt w e g e n g > 2. Sei n u n a > 1, u n d sei die B e h a u p t u n g ffir alle natfirlichen Z a h l e n b mit 1 < b < a bereits bewiesen (erweiterte I n d u k t i o n s v o r a u s s e t z u n g ) . N a c h d e m Satz v o n d e r D i v i s i o n mit Rest 1.0.4 gilt eine G l e i c h u n g a = q g + r mit q, r e N , 0 < r < g, q > 0. W i r setzen q o ' = r. Falls q = 0, so ist a = qo die g e s u c h t e g - a d i s c h e D a r s t e l l u n g v o n a. Falls q > 0, so gilt jedenfalls q < a, d e n n im Fall q > a erg/ibe sich w e g e n g > 2 der W i d e r s p r u c h : a = q g + r > a g > a. D a 1 < q < a, so besitzt q n a c h I n d u k t i o n s v o r a u s s e t z u n g eine g-adische D a r s t e l l u n g , e t w a q = t m g m + . . . + t l g + t o , w o b e i also gilt m e N , t o . . . . . t,, e N , t m ~ 0, 0 ~ t, < g ffir alle p = 0, 1 . . . . . m. Ffir a = q g + r folgt n u n : a = tmg " + 1 + t m 1 g " + . . . + tl g2 q_ t o g + r. Dies ist eine g - a d i s c h e D a r s t e l l u n g y o n a mit n ' = m + 1, % ' = r , q~'=to,...,q~:=t v 1,...,q,'=

B e m e r k u n g : D e r Beweis dieses Existenzsatzes liefert sogleich a u c h ein b e q u e m e s Verfahren, zu v o r g e g e b e n e r Z a h l a =# 0 eine g-adische D a r s t e l l u n g zu finden. M a n w e n d e t sukzessive die D i v i s i o n mit Rest an:

a =a lg+qo,

0 a};

2) qo : qo, q'l : ql . . . . . q'n : qn" !

B e w e i s : W e g e n q, > 1, q~, > I folgt, d a alle qv u n d alle qu nicht n e g a t i v sind:

a > gn, a > gin. A u f G r u n d y o n q~ =< g - 1 ffir alle v = 0, 1 . . . . . n folgt weiter ( S u m m e n f o r m e l der e n d l i c h e n g e o m e t r i s c h e n Reihe 1.0.1): a=qngn+qn_ag

~ 1+...+qxg+q

=< (g -- l ) g " + = (g--1)(l

o

(g -- l ) g n-1 + ... -[- (g -- ] ) g -[- (g -- l) g,+l _ 1

+g+g2+...+g")=(g--l)

g--1

_g.+a

1 a}, also die B e h a u p t u n g 1) verifiziert ist. U m die B e h a u p t u n g 2) zu beweisen, sei k, 0 _< k _< n, der gr6Bte Index, ffir den q', = q~ n o c h fraglich ist (es gelte also q~, + i = qk + 1 . . . . . q', = q,, d a b e i ist diese Pr~imisse im Fall k = n leer). D u r c h S u b t r a k t i o n der b e i d e n G l e i c h u n g e n a=q~g"

+ .

a = q, gn +

9

+ q.k + l g . k+l .+ q k g k + q k

lgk

+ q k + l g k+l d- qkg k -~- q k - 1 ,

,

gk-

l +... 1

+qag+qo

d- ... + q l, g + qo,

v o n e i n a n d e r erh/ilt m a n : (qk -- q'k) gk = (q'k-1 -- q k - ,) gk

1 + . . . + (q,l __ q l ) g + (qo __ qo).

Wegen O 2 eine fest gew/ihlte Grundzahl. Ist a = q , g " + q , _ l g ~-1 + . . . + q l g + qo die g-adische Darstellung yon a, so kann m a n in Analogie zu der im Dezimalsystem v611ig vertrauten Schreibweise diese Gleichung abkfirzend wie folgt schreiben: a = ( q , q , 1 . . . q~qo)g. Wir nennen diese Gleichung die g - a d i s c h e Z ! f f e r n d a r s t e l l u n g und die Elemente qo, ql . . . . . q, die (g-adischen) Z i f f e r n pon a.

Beispiel: Die Zahl a = (5926)~o hat im Achtersystem die Zifferndarstellung a = (13446)s.

Sobald die G r u n d z a h l g gr6Ber als zehn ist, ergibt sich eine technische Schwierigkeit in der Schreibweise. So hat die Zahl elf im Zw61fersystem die Darstellung 0 . 1 2 1 + 11 und in abgek/frzter Schreibweise also (11)12. Diese Abkfirzung ist j e d o c h mil3verst~indlich, weil man sie auch auffassen kann als 12-adische Schreibweise ffir 1 - 121 + I = (13)1 o. Die Ziffernschreibweise wird nur dann unmiBverstiindlich, wenn m a n verabredet, dab Ziffern stets eingliedrig sein sollen. N u t dann kann man feststellen, dab in der Zifferndarstellung jedes Symbol f/fr genau eine Ziffer q,. steht. M a n ben6tigt also bei der g-adischen Ziffernschreibweise ffir jede der g Zahlen O, 1, 2 , . . . , g - I ein eingliedriges Symbol. Im Zw61fersystem muB man d e m e n t s p r e c h e n d neben 0, 1, 2 . . . . . 9 zwei weitere Ziffern einffihren. Wir verabreden etwa ,,x fiir z e h n " und ,,y f/fr elf". D a n n gilt z.B.

(5)12 + (7)12 = (10)12, (X)12 + (Y)12 = (19)12, (X)12" (X)12 = (84)12'

(3)12 @ (8)i2 ---'~(Y)12, (5)12" (7)12 = (2y)12, (1X)12:(2)12 = (Y)12"

M a n iiberlegt sich m/fhelos auf G r u n d der expliziten g-adischen Darstellungen a = q, g" + . . . + qo, at = q,, g m + ... + qo zweier Zahlen a, a , dab sich die elementaren R e c h e n o p e r a t i o n e n a + a t, a - a', a . a', a" a' in jedem g-adischen

System ebenso durchffihren lassen wie im Zehnersystem. So beherrscht m a n die Multiplikation, wenn man das ,,kleine Einmaleins" des g-adischen Systems, d. h. die Multiplikation a 9a' aller Zahlen mit 1 2 wird eine Folge go, g~, g2 ..... g ..... von natfirlichen Zahlen g,. vorgegeben. Wir schreiben abkiirzend (gvL>o fiir diese Folge und setzen ein ffir allemal voraus: go - 1, gv > 2 fiir allev > I. Wit nennen jede solche Folge eine (Cantorsche) Grund.fblge.

Ist dann a + 0 eine natiirliche Zahl und (g~L>_oeine Grundfolge, so heiBt eine Gleichung a=c.(g.g._

1 .....g2gl)

+ c._l(g._l

"... "g2gl) + ... + c 2 ( g 2 g l )

+ cl gl + Co

eine Cantorsche Darstellung yon a zur Grundfolge (gv)~>_o, wenn folgendes gilt: 1) n ~ N , co, c I . . . . . c , ~ N ; 2) c, 4 = 0 , 0 < c , < g , + ~ - i

f f i r a l l e v = 0 , 1 ..... n.

Wir bemerken sofort: Fiir j e d e nati~rliche Z a h l g > 2 ist die Folge (g~)v >_o m i t go : = 1, g~ : = g. f ~ r alle v > l, eine Cantorsche Grundfolge. Cantorsche Darstellungen zu dieser GrundJblge sind gerade die g-adischen Darstellungen. Wir formulieren nun die Cantorsche Verallgemeinerung der Sfitze vonder Existenz und Eindeutigkeit g-adischer Darstellungen:

146

C a n t o r s c h e D a r s t e l l u n g natfirlicher Z a h l e n

4.1.3

Existenz und Eindeutigkeit der Cantorschen Darstellung: Es sei (9v),.>o irgendeine Cantorsche Grundfolge. Dann besitzt jede natiMiche Zahl a d= 0 genau eine Cantorsche Darstellung n

a= ~

v=O

c,.(g,,g~

l'...glgo).

Vorbemerkung zum Beweis: W i t w e r d e n die Beweise der Sfitze aus A b s c h n i t t 1 simulieren, d a d u r c h g e w i n n e n wit zugleich ein besseres Verstfindnis ftir j e n e Beweise. W i t h a l t e n u n s e r e A u s f f i h r u n g e n k n a p p ; der Leser vergleiche jeweils die hier d u r c h g e f f i h r t e n Schlfisse mit d e n frfiheren A r g u m e n t e n . Es ist ffir d e n E i n d e u t i g k e i t s b e w e i s b e q u e m , folgende a b k f i r z e n d e Schreibweise zu b e n u t z e n : ho:=l, Dann

gilt

h 2 = g 2 g 1 . . . . . h~.: g,,g,, l . . . ' g 2 g l , . . . .

hl:=gl,

offensichtlich

0 < ho < hi < h2 < ... < h,, < h,.+l < ...

(strenge

Monotonie),

h,. ~ 1 = g,.+ 1 h, fiir alle v => 0, ~ (gv+ 1 - 1) h,. = h,+ ~ - 1 ftir alle n ~ N. N u r zur letzten Gleic h u n g ist e t w a s zu sagen, sie ergibt sich wie folgt:

v=O

(,q,.~

l)h,. = Y" (,qv+~h~ v=O

= (h~ - ho) + (h2

h,,) =

v=O

(h,.+~ - h ~ )

h~) + ... + ( h , - h, O + (h,+ ~ - h,)

= h,+ 1 - h o = h,+x - 1.

Beweis des Satzes: Existenz einer Cantorschen Darstellung: Wir fiihren l n d u k t i o n n a c h a; d e r Fall a : = I ist trivial: Mit n: O, c o : = l g i l t ] = c o g o , wobeico~g~-lwegeng~.>=2. Sei a > 1, u n d sei die B e h a u p t u n g ffir alle b ~ N mit 1 < b < a u n d alle C a n t o r s c h e n G r u n d f o l g e n s c h o n b e w i e s e n . D i v i s i o n m i t R e s t l i e f e r t a = q g ~ + r m i t q , r ~ N , O < = r < = g ~ - 1. S e i c o : r. Im Falle q = 0 ist a = co go die gesuchte C a n t o r s c h e D a r s t e l l u n g y o n a. Falls q > 0, so gilt q a folgt w e g e n ,ql > 2 der W i d e r s p r u c h a = q g l +r>-ag 1 >a. Da 1 < q < a, so besitzt q nach l n d u k t i o n s a n n a h m e eine C a n t o r s c h e D a r s t e l l u n g zur G r u n d f o l g e (,q,),.>_o, w o b e i 0 o : = 1, 0, : = ,q~+ 1 ffir v => 1 (dieser U b e r g a n g zu einer n e u e n G r u n d f o l g e ist ein Witz des Beweises, der im Beweis des E x i s t e n z s a t z e s 1 u n s i c h t b a r blieb: gl wird ausgelassen). m

Seietwaq

to . . . . . t m e N , t , , + O , O < t u
_o zu n e n n e n . Hier ist j e d o c h V o r s i c h t g e b o t e n ! D a die E l e m e n t e g~ d e r G r u n d f o l g e i.a. beliebig grol3 w e r d e n k 6 n n e n (im U n t e r s c h i e d zur g - a d i s c h e n D a r s t e l l u n g , w o stets g~ = g for v > 1 gilt), so b e n 6 t i g t m a n i. a. unendlich viele v e r s c h i e d e n e Ziffern. A u s d i e s e m G r u n d e sind C a n t o r s c h e D a r s t e l l u n g e n for p r a k t i s c h e R e c h n u n g e n ungeeignet.

Aufgaben:

1)

Z e i g e n Sie, dal3 j e d e Z a h l a 9 N • g e n a u eine D a r s t e l l u n g d e r G e s t a l t a = ~

bu 9

besitzt, w o b e i m 9 N • bl . . . . . b,, 9 N , b,, # 0 u n d 0 < b , 2, so d a b die Z a h l c : = (1111119 eine Q u a d r a t zahl ist. 3) Sei a eine dreistellige Z a h l im 10-adischen System. Z e i g e n Sie: K e n n t m a n v o n a . 143 die letzten drei Ziffern, so ist a b e k a n n t . 4) Sei a ~ N • m i t 2 - a d i s c h e r D a r s t e l l u n g a = ( q , q , 1 ... q~ qo)2. FOr b 9 7 / d e f i n i e r e m a n rekursiv g a n z e Z a h l e n b,, b . _ ~. . . . . b o d u r c h b. : = b, 2

[by+l, b~ : = (b2+ 1 " b,

falls q v = 0 falls q~ = 1

fiir v 9

n-l} . . . . .

Beweisen Sie, d a b bo = b" gilt u n d d a b m a n bei d i e s e m Verfahren zur B e r e c h n u n g v o n b ~ h 6 c h s t e n s 2 n M u l t i p l i k a t i o n e n d u r c h z u f 0 h r e n hat, w f i h r e n d bei d e r B e r e c h n u n g gem/ig d e r i n d u k t i v e n D e f i n i t i o n b " : = b(b ~- 1) g e n a u a - 1, also m i n d e s t e n s 2" - 1 M u l t i p l i k a t i o n e n n o t w e n d i g sind. 5) M a n definiere die G r u n d f o l g e (gv)~>_~ d u r c h g o : = 1, g ~ : = (v + 1)! fiir v > 1. G e ben Sie die C a n t o r s c h e D a r s t e l l u n g d e r Z a h l (10 000 000)1 o zur G r u n d f o l g e (gv)~o an.

148

w2

g-adischer Algorithmus

4.2.1

y-adische Darstellung rationaler Zahlen

Wir erinnern zuniichst an die D a r s t e l l u n g yon Br/ichen im Z e h n e r s y s t e m und ftihren drei signifikante Beispiele an: 1. Es gibt endliche Dezimalbrfiche, etwa: ' = 0,5,

43 = 1,075. 40

2

2. Es gibt rein-periodische Dezimalbrfiche, etwa: ~=4 0,4 = 0,444 . . . ,

~+.s= 2,1-42857.

3. Es gibt gemischt-periodische Dezimalbrfiche, etwa: '69 = 3,16 = 3,1666 . . . ,

134 = 0,2142857.

Es soll nun allgemein die Darstellung yon nichtnegativen Briichen 7 e ~ in einem g-adischen System untersucht werden (9-adische Bruchrechnung). D a b e i bezeichnet g e N wieder eine lest v o r g e g e b e n e G r u n d z a h l > 2. Vom Standp u n k t der B r u c h r e c h n u n g wfire es ffir A n w e n d u n g e n bequem, ein 9 mit vielen Teilern zu wfihlen, etwa g : = 60 = 22 93 95 mit v(60) = 3 - 2 - 2 = 12 und nicht g : = 10 = 2 . 5 , wo nur v(10) = 2 - 2 = 4. Ein Nachteil von G r u n d z a h l e n mit vielen Teilern ist allerdings, d a b das kleine Einmaleins sehr umfangreich wird (die Babylonier benutzten Tabellen fiir das kleine Einmaleins). Wir schreiben einen vorgelegten Bruch 7 > 0 d u r c h w e g in seiner reduzierten Bruchdarstellung, also (vgl. 2.1.6): 7

tl

bmit

a, b e N

•

ggT(a,b)=

1, falls 7 > 0 ,

0

7= 1

"

falls 7 = 0 .

I. g-adischer Algorithmus. U m zur g-adischen Darstellung v o n 7

a =t>0

zu gelangen, bedienen wit uns des s o g e n a n n t e n g-adischen Algorithmus. Wir dividieren zun/ichst a durch b mit Rest"

a = c o b + r 0 mit

co , r o e N ,

0 o die g - a d i s c h e Z i f f e r n f o l g e von 7. B e m e r k u n g : Wir haben verabredet, 7 stets in reduzierter Bruchdarstellung a mit

a, b e N, ggT(a, b ) = I anzugeben. Geht m a n statt dessen von irgendeiner Bruchdarstellung ?' = g mit Zahlen ci, b e N aus, so gilt c~ = d a und/~ = d b mit d ' = ggT(& b) > 1 auf G r u n d von 2.1.6. Fiihrt man den Algorithmus (*) mit ti, als Ausgangszahlen anstelle von a, b aus, so erMlt m a n Gleichungen, die aus den alten Gleichungen durch Multiplikation mit d hervorgehen: mit

O < fo = dro < [~,

gro=clb+fl

mit

0_o fiberall durch den F a k t o r d. Wir zeigen nun, daft g-adische Ziffernfolgen die zugeh6rigen Brfiche eindeutig bestimmen.

Eindeutigkeit der g-adischen Darstellung: nale Z a h l e n mit g l e i c h e r g - a d i s c h e r (Co, c l c 2 " " ) o " D a n n gilt: 7 = 7'.

E s seien 7, ~''~ n i c h t n e g a t i v e ratioD a r s t e l l u n g : ~,~= (Co, C l C 2 . . . ) g und ~,'~-, _

V o r b e m e r k u n g z u m B e w e i s : Wir benutzen folgendes F a k t u m : Es seien 6 > O, M > 0 r a t i o n a l e (oder auch reelle) Z a h l e n , so daft gilt" g I 9 c5 < M fiir u n e n d l i c h viele l ~ N . D a n n gilt: b = O.

Das folgt letztlich aus dem Satz von ARCHIMEDES (der Infinitesimalrechnung): Da y~ wegen 9 > 2 mit wachsendem l beliebig groB wird, die rechte Seite aber von l unabh/ingig ist, folgt notwendig 6 = 0.

4.2.1 g-adischer Algorithmus

151

B e w e i s des Eindeutigkeitssatzes: Sei 7 = b' y ' = ~; a' mit b, b'~ N x, seien (r,),~o,

(r~),~ o die zu 7, 7' geh6renden g-adischen Restefolgen. Auf G r u n d des Lemmas gilt: 7=

~

c~

,,=o~

+

r,

9

1

b g"'

7,

=

~

c~

~=o~+b

r"

9

1

' g"

ffiralle n > 0 ; =

daher folgt: ffir a l l e n _> 0.

b'J g"

Da stets 0 < r , < b und 0 < r ' < b ' , so sehen wir: g" '17'.- 7'1 < 1 ffir alle n > 0. Dies ist aber, wie oben bemerkt, nur m6glich, falls ]7 - 7'] = 0, d.h. falls 7 = 7'. [] Ffir jede natfirliche Zahl ? = c o gilt offensichtlich 7 ~- (Co, 00...)0. Durch den Eindeutigkeitssatz wird insbesondere sichergestellt, dab auch die U m k e h r u n g richtig ist: H a t ein Bruch 7 > 0 die g-adische Darstellung ? ~- (Co, 0 0 . . ")o, so gilt: ~, = Co ~IN. Die Aussage des Eindeutigkeitssatzes 1/iBt sich wie folgt versch/irfen:

Vergleichssatz: Es seien 7,7' nichtnegative rationale Z a h l e n ; es gelte: 7 (Co, Cl c2"" ")o, '/' ~- (Co, c'1 #2...)g. Dann gilt 7 < 7' genau dann, wenn es einen I n d e x m 6 N gibt, so daft gilt: c o = Co, C1 = c'1 . . . . . c,, 1 = Cm- a, C,, < c m. t

t

Die D u r c h f f h r u n g des Beweises sei als Aufgabe gestellt. Anhand dieses Vergleichssatzes wird sogleich evident, w a r u m man sich im t~iglichen Leben (etwa bei Weitenangaben in der Leichtathletik) und bei Messungen in der Physik in der Regel der Dezimaldarstellung rationaler Zahlen bedient: Es k o m m t hierbei eben nicht darauf an, solche Zahlen zu addieren o. ~i., sondern in erster Linie zu vergleichen, und darin liegt der Vorteil von Dezimaldarstellungen gegenfiber Bruchdarstellungen; w/ihrend sich n/imlich bei zwei rationalen Zahlen in Dezimaldarstellung auf den ersten Blick entscheiden 1/iBt, welche dieser Zahlen die gr6Bere ist, ist dies bei den entsprechenden Brfichen nicht immer der Fall. Im folgenden Satz sind die grundlegenden Eigenschaften der g-adischen Ziffern zusammengestellt; nicht trivial und fiberraschend ist dabei die Eigenschaft b).

Satz: Es sei 7 ~ tl~, 7 > O. Dann haben die g-adischen Ziffern c,, n >= O, yon 7 f o l g e n d e Eigenschaften: a) Fiir alle n ~ N • gilt: O < c, < g - - 1 . b) Fiir unendlich viele n E lN • gilt: O < c, < g -- 2. c) Falls 7 > O, so gibt es einen I n d e x m ~ ]N mit c,, oe O.

152

g-adischer Algorithmus 4.2.1

Beweis: Die Eigenschaft a) ist bereits im g-adischen Algorithmus (*) enthalten; die Eigenschaft c) ist Spezialfall des Eindeutigkeitssatzes, da 0 ~ (0, 0 . . . 0)g. Die Eigenschaft b) beweisen wir indirekt: A n g e n o m m e n , es gibt einen Index j > 1, so dab ffir alle k > j gilt: Ck = g -- 1. Bezeichnet (r,),=>o die g-adische Restefolge von 7, so gilt g r k = (g - 1) b + rk+ 1 fiir alle k > j nach dem Algorithmus (*). Wit schreiben diese Gleichungen in der F o r m : g ( b - r k ) = b - rk+ ~ fiir alle k =>j. Hieraus erhalten wir sukzessive ffir a l l e l e N : gt(b

-- rj) = ,ql

1(b _ r j + l ) _-- gt

2(b _ r j + 2 ) .....

b -- rj+ I.

Da stets 0 < r~+ ~< b, so gilt Ib - rj + ~l < b und also: g~ Ib - rjl < b ffir alle I e N. Dies impliziert (vgl. Vorbemerkung zum Beweis des Eindeutigkeitssatzes): Ib - r~l = 0, d.h. rj = b im Widerspruch zu r j < b. Es kann also keinen solchen Index j geben. Mithin gilt die Ungleichung c, < g - 2 unendlich oft. [] Beispiel: Es gibt keine rationale Zahl mit der dekadischen Darstellung (2, 17999...)1o, wo also c,. = 9 fiir a l l e v > 3 w/ire. Es gibt aber ein 7 mit 7 -~ (2, 18000...)1o, wo c~ = 0 ffir alle v > 3, n/imlich 7 - lo9 5o 9

Ffir Dezimalbriiche ist uns die ,, K o m m a v e r s c h i e b u n g s r e g e l " gel/iufig' M a n multipliziert mit 10 bzw. dividiert durch 10, indem m a n das K o m m a u m eine Stelle nach rechts bzw. nach links schiebt. Diese Regel gilt mutatis mutandis ffir beliebige 9-adische Darstellungen.

KommaverschiebungsregehEs sei 7 e @, 7 > 0; es gelte 7 ~ (Co, c1C2"" ")#" I s t dann s E N irgendeine natfirliche Z a h l , so gilt: gS3'~-(g, Cs+lCs+2...)g mit ( . = C o g ~ + c l g s-1 + . . . + c s ~ N . B e w e i s : Falls 7 = ~, so gilt nach dem L e m m a die Gleichung g~7 = Co gS + c l g~-

+ "'" + cs + r~ b ' d.h. f a = ( b + r~. Da 0 =< rs < b, so beschreibt die letzte Gleichung gerade die Division von f a mus, angewendet auf

gS gl

durch b mit Rest. Der g-adische Algorith-

b ' liefert also die Gleichungskette g~a = ( b + G,

g G = c~ + 1b + G + 1, g G + ~ = c~+ 2 b + r, + 2 . . . . . Die zweite Gleichung hier ist die a (s + 1)-re Gleichung, die der g-adische Algorithmus ffir ~ liefert; die folgenden O

Gleichungen setzen diesen Algorithmus ffir ~ fort. D a m i t gewinnt/man sukzessive c~ + 1, c~ +2-.. als l-te, 2-te . . . . g-adische Ziffer yon g~7. ( M a n hat die obige \

B e m c r k u n g zu beachten, da g~a nicht notwendig die reduzierte Bruchdarstellung \

von f 7 ist!)

[Z

Es gibt keine einfachen Regeln ffir die Addition und Multiplikation yon g-adisch dargestellten Brfichen. Wir werden aber sehen, dab die g-adische Darstellung

4.2.2

Endliche g-adische Darstellungen

153

eines Bruches wichtige a r i t h m e t i s c h e I n f o r m a t i o n e n fiber den Bruch enthfilt. Es sei nachdrficklich hervorgehoben, dab wir bei allen Oberlegungen die g-adische Entwicklung stets als den durch die Gleichungen (*) beschriebenen Algorithmus auffassen: Ftir zahlentheoretische Belange ist es mtiBig zu wissen, dab die endlichen S u m m e n 7=

c~ v=o 9~

+

rn bg"'

n>0, =

_ cv fiihren, wobei die hier stehende unendliche

schlieBlich zur Gleichung 7 -

Reihe im Sinne der Analysis gegen 7 konvergiert (vgl. hierzu aber Abschnitt 3 in P a r a g r a p h 4).

2. Endliche g-adische Darstellungen. Die g-adische Darstellung a a

(Co, Cl c2"" ")o eines reduzierten Bruches ~ heiBt endlich, wenn es ein m 6 N gibt, so dab gilt: c i = 0 f/Jr alle j > m. Die kleinste solche Zahl m heiBt die g - a d i s c h e L d n g e der D a r s t e l l u n g .

Die eingangs angegebenen Dezimalbrfiche i ~ (0,500...)1o, 40 43 ~- (1,07500...)1o sind nach dieser Definition endlich, ihre L/inge ist 1 bzw. 3. a Wir wollen zeigen, dab ~ genau d a n n eine endliche g-adische Darstellung besitzt, wenn b eine P o t e n z von g teilt. G e n a u e r zeigen wir zunfichst: a

Satz: E s sei ~ ~ @ m i t a, b ~ N , b > 1, und t e i l e r f r e m d e n Z a h l e n a, b; es sei m ~ N . D a n n sind f o l g e n d e A u s s a g e n d q u i v a l e n t :

i) ii) iii)

b i g m.

a

D e r m - t e R e s t von ~ ist null: E s gilt ~a ~. ( c o , . ClC2. .

. m i t cj ),

rm = O. O f i i r alle j > m .

B e w e i s : i ) ~ i i ) : Wegen 0 < G < b gilt rm = 0 genau dann, wenn b l r , , . N a c h L e m m a 1 gilt: r,, = a g m - b ( c o g " + . . . + Cm). Hieraus lesen wir ab, dab b genau d a n n rm teilt, wenn gilt: b l a g m. D a a und b teilerfremd sind, so gilt b ] a g m genau d a n n (man hat K o r o l l a r 2.1.5 zu benutzen!), wenn gilt b i g m. Insgesamt haben wir gezeigt: rm = 0 ~ b I rm m. iii) ~ ii): Aus c~ = 0 ffir a l l e j > m erh/ilt m a n auf G r u n d yon (*) die Gleichungskette: g r m = rm+l, grin+ 1 = r~+ e . . . . . grin+ k t = rm+k, also gkr~ = g k - l r m + 1

154

Periodische #-adische Darstellungen

4.2.3

= g k - 2 r ~ + 2 = ... = car,,+k_ a = r,,+k ffir alle k = 1. D a stets r m + k < b, so folgt cakr,, < b ffir alle k = 1, 2 . . . . . was wegen r,, __>0 n u r ffir r,, = 0 m 6 g l i c h ist. []

a Die 9-adische Darstellung ~ ~- (Co, c 1 C2.. ")0 des reduzierten Bruches a b ist genau dann endlich, wenn b eine Potenz g m, m e N , yon ca teilt. Fiir die La'nge 1 dieser Darstellung gilt dann: Korollar:

1 = m i n { m e N : b Ig"} = m i n { m ~ N ' G

= 0}.

D e r Beweis ergibt sich u n m i t t e l b a r aus der Definition u n d d e m Satz. W i r sehen insbesondere, d a b die L/inge 1 der D a r s t e l l u n g n u r v o n d e r G r u n d z a h l ca u n d d e m N e n n e r b des Bruches, nicht a b e r v o n seinem Zfihler a abh/ingt.

Bemerkung: Die L/inge l l/il3t sich explizit a n g e b e n , w e n n m a n die P r i m z e r l e g u n gen v o n g u n d b kennt. Sei b > 1. D a n n gibt es g e n a u d a n n ein m s N • mit big", w e n n in der P r i m z e r l e g u n g b = ~ t , , & " . . . "Pr~r mit 11 > 0, l 2 > 0, . . . , Ir > 0 v o n ,,11"2 b n u r solche P r i m z a h l e n v o r k o m m e n , die a u c h in der P r i m z e r l e g u n g v o n ca v o r k o m m e n (d. h., w e n n wp(b) = 0 ffir alle P r i m z a h l e n p mit wp(ca) = 0): A l s d a n n ist b i g m mit den r U n g l e i c h u n g e n 1i < mwpj(#), j = 1 , 2 . . . . . r, /iquivalent. In dieser S i t u a t i o n gilt also a u f G r u n d des K o r o l l a r s : l = min { m ~ N• " m > lj ' j = 1,2 . . . . . r} . = wpj(9) Ist insbesondere g ein Produkt aus lauter verschiedenen Primzahlen, et.h., gilt stets wp(ca)= 0 oder wp(#)= 1, so haben wir die handliche Formel l = m a x { / ~ , l 2 . . . . . It}, wobei b = p ] ~ p ~ . . . . . p ~ , zur Bestimmung der 9-adischen Ldnge yon

(d

b

.

Die letzte F o r m e l ist z. B. im D e z i m a l s y s t e m , w o g = 1 0 = 2 - 5, a n w e n d b a r . Ffir 4 0 = 23 9 5 folgt hier l = m a x { 3 , 1} = 3; in der Tat gilt:

b:=

1 o -~ ( 0 , 0 2 5 0 0 . . - h o ,

4Vo _~ (0,17500...)~o-

3. Periodische y-adische Darstellungen. Die g - a d i s c h e D a r s t e l l u n g ? (c o, c I c 2 ...) eines B r u c h e s ), => 0 heiBtperiodisch, w e n n es natfirliche Z a h l e n s, t m i t t > I gibt, so d a b gilt: G+,. = G+,.+, ffir a l l e v a N • A l s d a n n heiBt s eine (g-adische) Vorperiode u n d t eine zugehiirige (g-adische) Periode von ?. Die zu Beginn dieses P a r a g r a p h e n a n g e g e b e n e n D e z i m a l b r f i c h e sind sfimtlich periodisch. Jede endliche ca-adische D a r s t e l l u n g ist p e r i o d i s c h mit ihrer L/inge als kleinster V o r p e r i o d e u n d 1 als z u g e h 6 r i g e r Periode. Die V e r w e n d u n g der W 6 r t e r , , V o r p e r i o d e " u n d ,, P e r i o d e " wird d u r c h folgende A u s s a g e gut verstS, ndlich.

4.2.3 Periodische g-adische Darstellungen

155

Hilfssatz: Besitzt der Bruch 7 eine periodische g-adische Darstellung (c o, c 1 c2...)0 und ist s e i n e g-adische Vorperiode und t eine zugeh6rige g-adische Periode von 7, so gilt: c~+, = c~+~+,t ffir alle v, n ~ N , v >= 1. Dies bedeutet, daft sich von der Z ~ ' e r c~ an der Ziffernkomplex c~+ ~ ... c~+, ad infinitum wiederholt: 7 ~CsCs+ l ''" Cs+tCs+ t ''" Cs+tCs+ l ''')O"

(C0, CI''"

Beweis: Die Gleichung Cs+ ~ = c~ + ~+,t gilt nach Voraussetzung fiir allev > 1 und n = 0 sowie n = 1. Hieraus erh/ilt m a n den Allgemeinfall durch I n d u k t i o n nach n. Die so gewonnenen Gleichungen besagen aber gerade, daB der K o m p l e x der t Zahlen Cs+x... Cs+t d a u e r n d wiederkehrt. [~

Ist 7 ein Bruch mit einer periodischen g-adischen Darstellung (Co, cl c2.. ')o, so bezeichnen wir mit l > 0 die kleinste g-adische Vorperiode von 7 und mit rc > 1 die kleinste zu l geh6rende g-adische Periode von 7- Die Zahl zc heiBt die g-adische Grundperiode von 7. Die Existenz von l und zc ergibt sich aus dem Prinzip des kleinsten Elementes. Die eben eingeffihrten N o t a t i o n e n erm6glichen die Einffihrung einer b e q u e m e n und eindeutigen Kurzschrift ffir periodische g-adische Darstellungen. Schreibweise" Die g-adische Darstellung (Co, Cl c2.. ")o des Bruches 7 sei periodisch. Ist dann I die kleinste g-adische Vorperiode und 7r die g-adische G r u n d p e riode von 7, so schreibt m a n 7 ~- (Co, cl ...c~c~+l ... ct+~)o; diese Darstellung heiBt die g-adische Normalform yon 7.

Der Querstrich besagt also, dab sich de_r Ziffernkomplex ct + 1 ... c~+ ~ unaufh6rlich wiederholt, z.B. ist 7 ~ (Co, C l . . . qO)o mit c~ + 0 die g-adische N o r m a l f o r m eines Bruches 7 mit endlicher g-adischer Darstellung der L/inge 1 > 1. Im Dezimalsystem ist uns die Schreibweise in der N o r m a l f o r m wohlvertraut; in der folgenden Tabelle findet der Leser die g-adischen N o r m a l f o r m e n der Stammbrfi1 1 che ~, ~ . . . . , ~3 in den Systemen zu g = 7, 10, 12, wobei ffir g = 12 wieder die Ziffernsymbole ,,x" (ffir zehn) und ,,y" (ffir elf) verwendet werden, vgl. 1.2. O

b

g = 10

g= 7

g = 12

1

0,5

0,3

0,6

-'3

0,5

0,5

0,4

0,25 0,2 0,16 0,142857 0,125 0,7 0,1 0,09 0,083 0,076923

0,15 0,1254 0,i 0,1 0,06 0,053 0,0462 0,0431162355 0,04 0,035245631421

0,3 0,2497 0,2 0,186x35 0,16 0,14 0,12497 0,1 0,1 0,0y

1 5l

g1 51

81 g1 I 10 11

1 12 !13

156

Periodische g-adische Darstellungen

4.2.3

Die G r u n d p e r i o d e n ist laut Definition die kleinste Periode, die z u r kleinsten Vorperiode 1 geh6rt. Es ist nicht o h n e weiteres klar, d a b n die kleinste P e r i o d e f i b e r h a u p t ist (es w/ire d e n k b a r , d a b es P e r i o d e n t < n gibt, die zu V o r p e r i o d e n s > l geh6renI). W i r w e r d e n im n/ichsten P a r a g r a p h e n sehen, d a b g e n a u die natfirlichen Vielfachen n, 2n, 3 n , . . . v o n n a l l e P e r i o d e n v o n 7 sind. G r u n d l e g e n d ffir die weitere E n t w i c k l u n g der T h e o r i e der g - a d i s c h e n B r u c h d a r stellungen ist folgendes Periodizifiitskriterium: Folgende Aussagen fiber einen Bruch 7 > 0 und Zahlen s, t c N , t >= 1, sind dquivalent: i) ii)

r~ = i ; + t f i i r die zu ), gehdrenden g-adischen Reste. ), hat eine periodische g-adische Darstellung mit g-adischer Vorperiode s und zugehdriger g-adischer Periode t.

Beweis: i ) ~ ii): A u f G r u n d des g - a d i s c h e n A l g o r i t h m u s (*) aus A b s c h n i t t 1 bestehen die G l e i c h u n g e n gr~ = c~+lb + rs+ 1 u n d gr,+, = c ~ + l + t b + i s + l + t. W e g e n der E i n d e u t i g k e i t der D i v i s i o n mit Rest h a t r ~ = r~+, z u r F o l g e : Cs+ t = c s+ 1 +, u n d rs+ 1 I]s+ 1 +t' H i e r a u s g e w i n n t m a n i n d u k t i v cs+ ~ = c~+,.+, u n d r~+~ = r~+,.+, ffir alle v e N • ii) ~ i): N a c h d e m g - a d i s c h e n A l g o r i t h m u s gilt: grj_ ~ = c~b + r i u n d gJ) 1 +, = ca ~,b + rj+, ffir alle j > 1. D a cj = ca+ ' ffir alle j > s v o r a u s g e s e t z t wird, so folgt: r~ - ~j.., = g(ri i - rj 1 +,) ffir j e d e n I n d e x j > s. H i e r a u s erh/ilt m a n sukzessiv ( d u t c h I n d e x a b s t i e g ) ffir alle j > s: r~ - rj+, = g2(rj_~ - r~ 2+,) = ..=.q~ ~ ( q - r ~ + , ) . W e g e n I r j - 7 ) + , [ < b sehen wir: g ~ l r ~ - r ~ + , l = g S l r a _ r j + , ] < bg s ffir alle j > s. D a die S c h r a n k e rechts nicht y o n j abh/ingt, so folgt: Ir~ - q+tl - O, d.h. r~ = q+,. =

Bemerkung: Die B e d i n g u n g i) des Periodizit/itskriteriums besteht aus einer einzigen G l e i c h u n g r,. = J; +,, w/ihrend die P e r i o d i z i t / i t s b e d i n g u n g der Definition aus den unendlich vielen G l e i c h u n g e n c~+,. = Cs+,.+, for alle v > 1 besteht. M a n wird d a h e r bei P e r i o d i z i t f i t s b e t r a c h t u n g e n b e q u e m e r mit den Resten r, als mit den Ziffern c, rechnen. Natfirlich impliziert r~ = r~ +, a u f G r u n d des 9 - a d i s c h e n A l g o r i t h m u s l; + ,. = ~;. ,, ~, ffir alle v e N . A u s der G l e i c h h e i t zweier Zi(fern h i n g e g e n folgt nichts fiber die Gleichheit der anschliel3enden Ziffern, wie z.B. die D a r s t e l lung ~oVo ~_ ( 0 , 0 2 5 4 0 0 . . . 0 . . . ) ~ o zeigt, w o c~ = c s, a b e t c 2 =# c6, c 3 4= c 7. W i r fragen, welche Brfiche eine p e r i o d i s c h e g - a d i s c h e D a r s t e l l u n g besitzen. Die a u f den ersten Blick verblfiffende A n t w o r t ist: alle. W i r zeigen als A n w e n d u n g des Periodizit/itskriteriums f o l g e n d e n (t

Satz: deder Bruch ?, = ~ >=0 hat eine periodische g-adische Darstellung, genauer:

Es gibt eine g-adische 88 t e N ~ mit s + t = 0 sind iiquivalent: i) ii)

b und g sind teilerfremd. Die 9-adische Darstellung yon 7 ist rein-periodisch.

Beweis: i) ~ ii): Es gibt in j e d e m Fall Z a h l e n m, n ~ N m i t m < n, so daB gilt: r,, = t~. Falls m = 0, so ist 0 V o r p e r i o d e (nach P e r i o d i z i t / i t s k r i t e r i u m 2.3), u n d wir sind fertig. Sei m > 1. W i r b e t r a c h t e n die G l e i c h u n g e n 9 " r m 1 = c,,,b + r,,, g . r, 1 = c , b + r,. W e g e n r m = r , f o l g t : g ( r m 1 - r~ ~) = b(c,, - cn), d.h. b lg(r~_l - r,_ l). D a ggT(b, g) = 1, so mul3 gelten: b l(r m_ ~ - r,_ O. W e g e n Irm 1 - J ; - ~ l < b b e d e u t e t dies: rm_ 1 = r,_ 1. W i e d e r h o l t e A n w e n d u n g dieses Schlusses ffihrt zu r o = ~,_,,. A u f G r u n d des P e r i o d i z i t / i t s k r i t e r i u m s 2.3 ist d a h e r die g - a d i s c h e D a r s t e l l u n g v o n 7 r e i n - p e r i o d i s c h . i i ) ~ i ) Sei t ~ N • eine P e r i o d e v o n ?, zu s = 0 . Aus d e m L e m m a folgt: 9 ~= 1 - v b m i t v ~ 2 g . DieGleichungvb+9 t ~g= 1 besagtdannwegent> 1 (vgl. T e i l e r f r e m d h e i t s k r i t e r i u m 2.1.5): ggT(b, g) = 1. [] Beispieh Die d e k a d i s c h e E n t w i c k l u n g eines S t a m m b r u c h e s

1 ~ ist g e n a u d a n n

r e i n - p e r i o d i s c h , w e n n b w e d e r d u r c h 2 n o c h d u t c h 5 teilbar ist. Die B e d i n g u n g ,,ggT(b, g) = 1" des Satzes hat inhaltlich nichts mit # - a d i s c h e n D a r s t e l l u n g e n zu tun. M a n k a n n sie u n d die B e d i n g u n g ,,b ](gt _ 1)" des L e m m a s b e n u t z e n , u m f o l g e n d e rein z a h l e n t h e o r e t i s c h e A u s s a g e zu beweisen:

Korollar: Z u j e zwei teilerfremden natiirlichen Z a h l e n b > 1, g > 1 existiert eine nat#Niche Z a h l t ~ N • so daft gilt: b l(9 t - 1); fiir t kann man insbesondere die 1

g-adische Grundperiode rc des S t a m m b r u c h e s ~ wiihlen. Beweis: Die g - a d i s c h e D a r s t e l l u n g

I

.

v o n b 1st r e i n - p e r i o d i s c h a u f G r u n d

des

Satzes. D a h e r k a n n m a n a u f G r u n d des L e m m a s ffir t j e d e g - a d i s c h e P e r i o d e v o n 1 b zur V o r p e r i o d e s = 0, i n s b e s o n d e r e also die G r u n d p e r i o d e 7r w/ihlen. []

160

Charakterisierung yon Vorperioden und Perioden 4.3.2

Die Existenzaussage dieses Korollars ist unabh/ingig von der Theorie der g-adischen Bruchdarstellung; sie ist ein Vorl/iufer des Satzes von FERMAT-EULER, der im Abschnitt 4 dieses P a r a g r a p h e n hergeleitet wird.

2. Charakterisierung von Vorperioden und Perioden. Die Periodizit/itsbedingung ,,ggT(b, g) = 1" des Satzes 1 und die Endlichkeitsbedingung ,,b teilt eine Potenz g", m 9 N " des Satzes 2.2 beschreiben extreme Situationen des Teilbarkeitsverhaltens von b und g. Im Allgemeinfall ist keine dieser Bedingungen erffillt, d. h. im allgemeinen ist eine #-adische Bruchdarstellung nicht endlich und nicht rein-periodisch, sondern gemischt-periodisch. So m u g z. B. die dekadische Entwicklung von ~? notwendig nicht endlich und gemischt-periodisch sein, da 12 keine Potenz von 10 teilt und auch nicht teilerfremd zu 10 ist; in der Tat gilt: 15 ~ (0,416)1 o. Es erhebt sich die Frage, ob es allgemein m6glich ist, die minimal 9 Vorperiode a l und die G r u n d p e r i o d e 7~ eines reduzierten Bruches 7 = b zu bestimmen, ohne dab man die Ziffern cl, c 2 . . . . explizit ausrechnet. Wir werden im folgenden 9 Verfahren zur Bestimmung von l und ~ angeben. U m b e q u e m formulieren zu k6nnen, zeigen wir zun/ichst:

Lemma (und Definition): dede Zahl b e n

•

ist Produkt

zweier Zahlen

hi, b 2 9 N x, so daft gilt: 1) Es gibt ein m e N , 2) ggT(b 2, ,q} = 1.

so daJd gilt b t ]#m.

Die Zahlen bl, b z 9 N • sind durch 1) und 2) eindeutig bestimmt. Wir b = b~ b 2 die g-Faktorisierung yon b.

nennen

Beweis: Sei b = Plm. P2 . . . . . . . . p 2 ' die Primzerlegung von b. Die Bedingung ,,ggT(b2, O) = 1" fordert, dab kein Primteiler von (j ein Teiler von b 2 sein soll, daher kann b2 nur P r i m f a k t o r e n p~ mit p~ ~/g haben. Da b~ wegen b 1 I g" solche P r i m f a k t o r e n nicht haben daft, so ist b = b~ b2 h6chstens dann m6glich, wenn gesetzt wird:

b , : = [1 D0'~ , Pvlg

b 2 : = [ I Pore~ PoXg

Es ist klar, dab ftir die so definierten Zahlen b l , b 2 gilt: b = b i b 2 und ggT(b 2, g) - 1; weiter ist klar: b l I g m m i t m: = max(m1, m 2. . . . . mr). Bemerkung: Ist b = b 1 b 2 die g-Faktorisierung von b, so sind natfirlich die F/ille b~ = 1 bzw. b 2 = I m6glich. Der erste Fall charakterisiert die rein-periodischen g-adischen Entwicklungen; der zweite Fall ist ffir die endlichen g-adischen Entwicklungen charakteristisch. Der Allgemeinfall wird im folgenden auf diese bei-

4.3.2

Charakterisierung von Vorperioden und Perioden

161

d e n Spezialf/ille zurfickgefiihrt. Ffir die G r u n d z a h l g = 10 ist b I stets v o n d e r F o r m 2 " - 5" m i t m, n e N . W i t k o m m e n n u n z u m H a u p t s a t z dieses A b s c h n i t t e s . W i r n e n n e n eine Z a h l t e N • eine g-adische Periode (schlechthin) von 7, w e n n es eine g - a d i s c h e Vorp e r i o d e v o n ? , gibt, zu der t geh6rt. W i r b e h a u p t e n : a Satz: Es sei 7 = b > 0 ein reduzierter Bruch, und es sei b = b 1 b z die g-Faktorisierung yon b. Dann gilt:

1) Genau dann ist s ~ N eine g-adische Vorperiode von ~), wenn gilt b 1 ]g s. Die Z a h l l: = m i n {s e N : b l l g ~} ist die minimale g-adische Vorperiode yon 7. 2) Genau dann ist t ~ N • eine g-adische P e r i o d e yon 7, wenn gilt b 2 [(g t - 1). Die Z a h l rain {t e N • : b e I(g t - 1)} ist die minimale g-adische Periode yon 7. Beweis: Sei 7 ~- (Co, cl c2 ...). D a n n gilt ( K o m m a v e r s c h i e b u n g s r e g e l 2.1): g~7 ((, c~+ lc~+ e ...)g m i t ( : = Cog ~ + ... + cs e N f f i r j e d e s s e N . H i e r a u s folgt: Genau dann ist s ~ N eine g-adische Vorperiode und t ~ 1N • eine z u g e h f r i g e P e r i o d e von 7, wenn t eine g-adische Periode yon g~7 zur Vorperiode 0 ist. D a g g T ( a , b ) = ggT(g, b 2 ) = 1, so h a t die r e d u z i e r t e B r u c h d a r s t e l l u n g v o n gS7

_

g'a w o ~7 g' die r e d u z i e r t e D a r s t e l l u n g v o n bl g~ bg~a l b 2 n o t w e n d i g die F o r m b'b~2'

ist. N a c h Satz 1 u n d L e m m a I ist also t e N • g e n a u d a n n eine g - a d i s c h e P e r i o d e v o n gS 7 zur V o r p e r i o d e 0, w e n n gilt: g g T ( b ' b 2 , g) = I u n d b'b 2 I(g t - 1). D a b ' als Teiler v o n b l n u r P r i m f a k t o r e n enth/ilt, die a u c h P r i m f a k t o r e n v o n g sind, gS = g' s o g i l t g g T ( b ' b z , g ) = I g e n a u d a n n , w e n n b ' = 1, d.h. w e n n b , e N • InsgeJ .

saint ist d a m i t gezeigt: Genau dann ist s ~ N eine g-adische Vorperiode und t ~ N • eine zugehgrige Periode yon ? = h ' wenn gilt: b I I g ~ und

b 2 I(g t --

|).

H i e r a u s folgt i n s b e s o n d e r e , d a b l : = m i n {s ~ N : b ~ l g s} die m i n i m a l e g - a d i s c h e V o r p e r i o d e v o n 7 u n d m i n {t e N • : b 2 I ( g t - 1)} die m i n i m a l e g - a d i s c h e P e r i o d e v o n 7 ist. [] Eine u n m i t t e l b a r e F o l g e r u n g aus d i e s e m Satz ist f o l g e n d e r

Periodensatz: Es sei 7 > 0 ein Bruch. Dann gilt: 1) J e d e g-adische P e r i o d e t yon y geh6rt zu j e d e r g-adischen Vorperiode s von 7, insbesondere ist die g-adische Grundperiode rc yon , / d i e kleinste g-adische Periode von ?. 2) Genau dann ist t ~ N • eine g-adische P e r i o d e yon 7, wenn gilt t = nTz mit n ~ N •

162

Charakterisierung von Vorperioden und Perioden

4.3.2

Beweis: ad 1): In der C h a r a k t e r i s i e r u n g v o n V o r p e r i o d e n s und P e r i o d e n t d u r c h den Satz gibt es keine B i n d u n g e n m e h r zwischen s u n d t, d a h e r g e h 6 r t jede P e r i o d e zu j e d e r V o r p e r i o d e . I n s b e s o n d e r e g e h 6 r t die kleinste P e r i o d e v o n ;, zur kleinsten V o r p e r i o d e y o n 3', d.h., die kleinste P e r i o d e ist die G r u n d p e r i o d e ~z. ad 2): A u f G r u n d der D e f i n i t i o n ist klar, dal3 m i t ~r a u c h alle Z a h l e n 2~z, 3re . . . . . nn . . . . P e r i o d e n v o n 7 sind. Sei u m g e k e h r t t > 1 i r g e n d e i n e P e r i o d e v o n ~,. W i r schreiben (Division mit Rest): t=q~+r

mit

q,r+N,

0 0 ein reduzierter Bruch, b = b 1 b 2 die g-Faktorisierung Hilfssatz: Es sei 7 = b = yon b und b~ = p~lp9 . . . . . P~r" die Primzerlegung yon b 1 (wobei stets pjIg). Dann ist l : = m i n { s ~ N : s ->-

w p jlj (g)'

j =

1 .....

r}

die minimale g-adische Vorperiode yon ?,. Speziell gilt: l = max{/1,12 . . . . . /r}, wenn g ein P r o d u k t aus lauter verschiedenen Primzahlen ist. a

Beweis: D e r B r u c h b~ hat, da b 1 eine P o t e n z v o n g teilt, a u f G r u n d

yon

K o r o l l a r 2.2 eine endliche g-adische E n t w i c k l u n g der L/inge m i n {s ~ N : b~tgS}. Diese Z a h l ist a b e r a u f G r u n d des Satzes die m i n i m a l e g - a d i s c h e V o r p e r i o d e l y o n 7. Die U b e r l e g u n g e n aus der B e m e r k u n g 2.2 zeigen, d a b im Falle b I > 1 die ffir 1 b e h a u p t e t e n G l e i c h u n g e n bestehen. Diese G l e i c h u n g e n gelten s e l b s t r e d e n d a u c h ffir b 1 = 1, da d a n n alle lj null sind. []

4.3.3

Zyklische Ziffernverschiebung

163

Beispiel: Sei g : = 10, sei 7 : = 1@2" D a n n ist 112 = 24 97 die 1 0 - F a k t o r i s i e r u n g v o n b, also bl = 24, b2 = 7. D a h e r ist l = 4 die m i n i m a l e d e k a d i s c h e V o r p e r i o d e v o n 11195.D a ferner m i n {t e IN • 7 ](10' - 1)} = 6, so ist 6 die G r u n d p e r i o d e v o n 19 I n der Tat gilt: 112" _~9 ~ (0,1696428571)~ o. 112 -Man mag fragen, ob zu beliebig vorgegebenen Zahlen l a N, 7t ~ N • stets Briiche 7 existieren, die l als minimale g-adische Vorperiode und 7t als g-adische Grundperiode haben. Man ist geneigt, solche Brtiche ,, einfach hinzuschreiben", z. B. ffir 1: = 5, ~z: = 8 im dekadischen System (0,1234598765431)1 o oder

(0,0000101001011)10.

Dann fehlt aber noch der Nachweis, dab die hingeschriebenen Darstellungen wirklich die g-adischen Darstellungen von Brfichen sind. Dieser Existenzsatz wird im Abschnitt 2 yon Paragraph 4 hergeleitet. 3. Z y k l i s c h e Ziffernverschiebung. W i r h a b e n ( v e r m 6 g e Hilfssatz 2) ein einfaches Verfahren, u m m i n i m a l e V o r p e r i o d e n zu b e s t i m m e n . Z u r B e r e c h n u n g v o n G r u n d p e r i o d e n gibt es keine so einfache M e t h o d e : Die B e s t i m m u n g der Z a h l m i n {t ~ IN • " b 2 ] (gt _ 1)} ist v o n N a t u r aus m i i h s a m , d a die P r i m z e r l e g u n g v o n Differenzen g" - 1 n i c h t mit Hilfe der P r i m z e r l e g u n g v o n g g e f u n d e n werd e n k a n n . So wird m a n bereits bei der B e r e c h n u n g der G r u n d p e r i o d e n der erratischen Dezimalbrfiche 7 ,,~ (0 ' 2 4 1 3 7 9 3 1 0 3 4 4 8 2 7 5 8 6 2 0 6 8 9 6 5 5 1 7 ~

29

"'"

) 10

bZW.

g3o] - ~= ( 0 , 4 9 1 8 0 3 2 7 8 6 8 8 5 2 4 5 9 0 1 6 3 9 3 4 4 4 2 6 2 9 5 0 8 . . . )1o, die 28 bzw. 60 sind, verzweifeln (vgl. hierzu a u c h 6.2.2). G e w f i n s c h t sind A b s c h / i t z u n g e n bzw. T e i l b a r k e i t s b e d i n g u n g e n ffir die G r u n d p e r i o d e re. U n m i t t e l b a r klar ist hier: a

L e m m a : Es sei 7 = ~ > 0 ein reduzierter Bruch; es sei b = b I b 2 die g - F a k t o -

risierung yon b. Dann hat der Bruch a eine rein-periodische g-adische Darstellung; b2 a die Grundperiode ~z yon b2 ist die Grundperiode yon 7. Es gilt: 1 < ~ < b 2. a

Beweis: D e r B r u c h b2 hat, da g g T ( a , b2) = g g T ( b 2 , g) = 1, a u f G r u n d der S/itze 1 u n d 2 eine r e i n - p e r i o d i s c h e g - a d i s c h e E n t w i c k l u n g mit der G r u n d p e r i o d e m i n {t E N • " b 21 (g t - 1)}. Diese Z a h l ist a b e r die G r u n d p e r i o d e rc v o n 7. A u s [] Satz 2.3 folgt n u n u n m i t t e l b a r : 1 < n _< b 2. Die A b s c h / i t z u n g rc < b 2 ist sehr g r o b ; sie k a n n wesentlich verbessert werden. W i r w e r d e n im f o l g e n d e n sehen, daB stets gilt rc[~o(b2), w o b e i hier u n d im

164

Zyklische Ziffernverschiebung

4.3.3

f o l g e n d e n m i t q~ i m m e r die in 2.3.2 eingeRihrte E u l e r s c h e q > F u n k t i o n b e z e i c h n e t wird. A u f G r u n d des L e m m a s dfirfen wir uns a u f die D i s k u s s i o n des Falles b 2 = b, d.h. r e i n - p e r i o d i s c h e r D a r s t e l l u n g e n , beschr/inken. W i r w e r d e n die T e i l b a r k e i t s a u s s a g e 7r [ ~o(b) mittels der M e t h o d e der zyklischen Ziffernverschieb u n g gewinnen.

Ziffernverschiebungssatz:

Sei ab ein reduzierter B r u c h mit der g-adischen N o r m a l -

f o r m (0, CLC2... U~),. Dann gilt: (1

1) J e d e r 9-adische R e s t r,. yon ~ ist teilerjremd zu b. Die rr BriOche ~'-, U

rI r~_ 1 sind p a a r w e i s e verschieden, sie haben siimtlich die g-adische b ..... b Grundperiode ~z. ?'v

rv

I

2) Die g-adische D a r s t e l l u n g yon ~ e n t s t e h t aus der yon ~

durch z y k l i -

sche Verschiebung der Z i f f e r n des P e r i o d e n k o m p l e x e s um eine Stelle , i"2 r1 nach links: ~ ~ ( 0 , c 2 c 3 . . . c ~ c l ) o, ~ - ( 0 ,

c 3 . . . c ~ c l c 2 ) 0. . . . .

r=

b

1

-

(0, c ~ ; c 2 : - , c~ 1).. 0

a

.

Beweis: ad 1)" W e g e n b ~ (0, c1 ... G).o gilt Co = 0, also a = r o. D a ~ r e d u z m r t ist,

gilt ggT(ro, b) = 1. Sei ggT(r, 1, b) = 1 ffir den I n d e x n > I bereits verifiziert, sei d: = ggT(r,, b). D a ,qr, i = cab + r, n a c h d e m g - a d i s c h e n A l g o r i t h m u s , so folgt d l,qr,_ 1. D a ggT(b, g) = 1 a u f G r u n d v o n Satz 1, so gilt a u c h ggT(d, g) = 1 wegen d I b. D a h e r h a t d I g r, 1 zur F o l g e d [ r,_ 1. W i r sehen d I g g T ( r , 1, b), d. h. d I l, d.h. d = 1. D a m i t ist g g T ( r , , b) = 1 k l a r ffir alle n ~ N . D a alle Brfiche ~ reduziert sind, h a b e n sie (auf G r u n d v o n Satz 2 m i t b 2 = b) alle dieselbe g-adische G r u n d p e r i o d e

~. Die ~z R e s t e r o, r 1 . . . . . r~_ 1 sind p a a r w e i s e

verschieden, da a sonst (auf G r u n d des P e r i o d i z i t f i t s k r i t e r i u m s 2.3) eine P e r i o d e U

h/itte, die kleiner als ~ w/ire. M i t h i n sind die 7r Brfiche r~ rx r~_ 1 p a a r w e i s e verschieden, b' b ..... b ad 2): W e n d e t m a n den 9g - a d i s c h e n A l g o r i t h m u s a u f q); an, so erh/ilt m a n f/,ir die '9 ' z u g e h 6 r i g e n F o l g e n (cv),,> o u n d (r0,,> o die G l e i c h u n g e n (beachte, d a b c o = 0): .t

t

r1 =c o-b +1 o,gr o =c lb+r

t

t

I . . . . . gr~_ 1 = c , b + r ~ a

t

.....

Vergleich mit den zur g - a d i s c h e n E n t w i c k l u n g v o n ~ g e h 6 r e n d e n G l e i c h u n g e n g r I = c2b + r 2 . . . . . gr, = cn+ l b + r,+ a . . . .

4.3.3 ZyklischeZiffernverschiebung

165

ergibt sukzessive wegen der Eindeutigkeit des Algorithmus t

CO ~

!

r

O~ ro ~ rl~ Cl ~- C2, r

t1

~

r2~...,

t

rn_l

~

t

rn~ Cn ~- C n + l ~ . . . ~

d.h. rA ~- (0, c 2ca... c~c7)o b-

wegen c=+1 = Cl.

Wiederholung dieses Schlusses liefert die Behauptung ffir die restlichen Briiche r- -2 r=_ 1 [] b ..... b Ffir jede natfirliche Zahl b > 1 hat die Menge Lb:={b:C~N•

ggT(c,b)=l }

aller reduzierten Brfiche 7 mit 0 < 7 < 1 und Nenner b genau q)(b) Elemente. Falls ggT(b, g) = 1, so haben diese Brfiche alle eine rein-periodische g-adische Darstellung mit gleicher Grundperiode rr; auf Grund des Ziffernverschiebungssatzes ist alsdann ffir jeden Bruch b ~ Lb die Menge

Ma'=

' b'""

b

' a

a

wobei r, den n-ten g-adischen Rest von ~ bezeichnet, eine ~ enthaltende Teilmenge yon L b m i t genau rc verschiedenen Elementen. Damit haben wir im Fall ggT(b, g) = 1 bereits die Absch/itzung g < ~o(b), welche offensichtlich schfirfer ist als die dutch das Lemma gewonnene Absch/itzung g < b. Durch ein genaueres Eingehen auf die Lage der eben eingeffihrten Mengen M~ in L b 1/iBt sich die Ungleichung 7r < ~o(b) wesentlich versch/irfen. Die Mengen M, haben n/imlich folgende Zykluseigenschaft: Es sei b c N, b > 1, ggT(b, g) = 1 ; es sei M , c L b. Dann gilt: Mc= Ma

c

fiir jeden Bruch ~ ~ Ma.

Speziell gilt: u

v

Sind ~ , ~ ~ L b zwei Briiche mit M u c~ M v .# O, so folgt bereits: M . = M v. Beweis: Nach Definition von M. erh/ilt man die g-adische Darstellung jedes Bruches b ~ Ma durch wiederholte zyklische Yerschiebung der Ziffern des Perioa denkomplexes yon ~. Da sich die g-adische Darstellung aller Briiche aus M c

166

Zyklische Ziffernverschiebung 4.3.3

wiederum durch wiederholte zyklische Verschiebung der Ziffern des Periodenc komplexes von ~ ergibt, so fo|gt, dab alle Briiche aus M~ und M , durch zyklische Verschiebung der Elemente desselben Ziffernkomplexes entstehen. Dies bedeuC

IA

/)

tet: M~ = M~ fiir alle ~ e M~. Seien nun ~, ~ e L b und sei M~ c~ M,, =# 0, etwa C

b e M , c~ M~,. Nach dem eben Bewiesenen folgt: M , = M~ = M~,.

2~

Die Tatsache, dab die Mengen M~ ,,zyklisch geschlossene Systeme" sind, liefert nun schnell: Satz" Es sei b ~ N, b > 1, ggT(b, #) = 1. Dann ist die g-adische Grundperiode n W

eines j e d e n reduzierten Bruches ~ > 0 ein Teiler von q0(b); speziell ist qo(b) eine 9-adische Periode yon

W

b

.

Beweis: Wit diirfen w = I annehmen. Wir betrachten (unter Beibehaltung der

oben eingeffihrten Bezeichnungen) alle Mengen M , ~ L b, wo ~ e L b. Wegen der

(n a )

Zykluseigenschaft sind zwei solche Mengen M,,, M~ entweder elementfremd oder gleich. Da jeder Bruch aus L h in einer Menge M~, liegt so k6nnen wir also Zahlen al . . . . . ak SO w/ihlen, dab gilt: L b =

/imlich: ~ e M , ,

M ~ w M ~ w ... w Mo~,

wobei die rechts stehenden Mengen paarweise disjunkt sind. Da L b genau q)(b) Elemente hat und da jede Menge M~ jeweils genau ~z Briiche enthfilt, so folgt q)(b) = kzk

also ~[(p(b).

Da k ~ N • so ist (p(b) nach dem Periodensatz 2 auch eine g-adische Periode 1

yon ~. Zahlenbeispiel: Sei O ' = 10, b ' = 13. D a n n gilt ~o(b) = 12. M a n g e w i n n t

113 ~_ 0,076923,

3 =~ 0,230769, 13

143 =~ 0,307692,

i95 -~ 0,692307,

10

i5 ~ 0,769230,

i3 12 ~- 0,923076,

~3 ~ 0,153846,

r _~ 0,384615,

~3 -~ 0,461538,

]3 ~ 0,538461,

~s3 ~_ 0,615384,

11 ~- 0,846153. 13

In diesem Fall gilt also ~ = 6, die Menge L13 hat 12 Elemente und ist die Vereinigung der beiden disjunkten Mengen M a und M z. In Kenntnis des Satzes ist jetzt fiir die zu Anfang dieses Abschnittes diskutierten erratischen Brfiche 279 bzw. 613~klar, dab die dekadischen Grundperioden dieser

4.3.4

Satz von FERMAT-EULER

167

Brfiche Teiler von ~0(29) = 28 bzw. (p(61) = 60 sein mfissen; in beiden F/illen sind die Maximalwerte 28 bzw. 60 die G r u n d p e r i o d e n . D u r c h den Satz wird m a n zwangslfiufig zu der Frage geffihrt, wann q~(b) selbst 1. die g-adische G r u n d p e r i o d e von ~ 1st, d.h., wann q)(b) die kleinste natfirliche Zahl t ~ N • mit b l(g t - 1) ist. Wir haben gesehen, dab dies im Fall g = 10 ffir 7'1 )9' 11 zutrifft, dagegen nicht ffir 13, wo gilt: 13 [(10 6 - 1). ES gibt keine allgemeine Antwort auf die hier gestellte Frage; wir werden d a r a u f in 6.2.2 zurfickkommen.

4. Satz yon FERMAT-EULER. Wir haben bereits gezeigt (Korollar 1), dab zu je zwei teilerfremden natfirlichen Zahlen b > 1, g > I natfirliche Zahlen t 6 N • existieren, so dal3 gilt: b l(g t - 1). Wir wissen, dab m a n ffir t jede 1 g-adische Periode des S t a m m b r u c h e s ~ w~ihlen kann. D a nach Satz 3 die Zahl 1. ~o(b) stets eine g-adische Periode von g 1st, so ist in all unseren I n f o r m a t i o n e n speziell enthalten (die Ffille b = 1 oder g -- 1 sind trivial!):

Satz (FERMAT-EULER): F ~ r j e z w e i teilerfremde n a t i M i c h e Z a h l e n b, g ~ IN • gilt: b l(g ~r

- 1).

D a ~p(p) = p - I flit jede Primzahl p, so folgt hieraus

Koroilar (Kieiner Fermatseher Satz): I s t g ~ N • eine natiirliche Z a h l , so gilt: P I (gP - 1 _ 1)

f u r alle P r i m z a h l e n p m i t p ~/g.

H i s t o r i s c h e B e m e r k u n g : Bereits um 500 v. Chr. war den Chinesen bekannt, dab eine Primzahl p stets 2 p - 2 teilt (das ist wegen 2 p - 2 = 2(2 p- 1 _ 1) gerade der kleine F e r m a t s c h e Satz ffir g = 2). FERMAT hat seinen Satz 1640 beim Studium v o l l k o m m e n e r Zahlen entdeckt, LEIBNIZ k a n n t e einen Beweis. Der erste publizierte Beweis des kleinen F e r m a t s c h e n Satzes erschien 1736 yon EULER. 1760 formulierte und bewies EULER seine fundamentale Verallgemeinerung unter Verwendung seiner ~p-Funktion; diese A u s d e h n u n g vom Fall einer Primzahl auf beliebige zusammengesetzte Zahlen b ist ffir die Entwicklung der Zahlentheorie yon gr6Bter Bedeutung gewesen. D e r Satz yon FERMAT-EULER hat sich hier anl~iBlich unserer U n t e r s u c h u n g e n fiber rein-periodische g-adische Darstellungen nebenbei ergeben. M a n darf ohne U b e r t r e i b u n g sagen, dab m a n nicht recht versteht, wieso dieser Satz hier pl6tzlich auftaucht (die essentiellen Schlfisse sind in den Beweisen des L e m m a s 1, des Ziffernverschiebungssatzes 3 sowie der S~itze 1 und 3 enthalten); insbesondere wird hier nicht klar, w a r u m der Satz yon FERMAT-EULER SO wichtig sein soll. Wir werden in 5.1.4 mittels K o n g r u e n z r e c h n u n g zwei weitere Beweise kennen-

168

Approximationskriterium

4.4.1

lernen. Weiter werden wir dann in 6.1.3 und 6.1.4 diesen Satz unter einem g/inzlich anderen Gesichtspunkt noch einmal interpretieren und dabei Einsichten gewinnen, aus denen die Bedeutung des Satzes besser hervorgeht. A uJ)aben:

1) Bestimmen Sie im Zehnersystem die minimale Vorperiode und die Grundperiode der Bruche " 13 und logo, 19 ohne die Ziffern zu berechnen. 88

2) Es seien b, g e N, b > 1, g > 1, ggT(b, g) = 1. Zeigen Sie: Hat der Stammbruch ~1 die g-adische Grundperiode b - 1, so ist b notwendig eine Primzahl.

3) Sei p eine Primzahl und seien p und g teilerfremd. Zeigen Sie: Ffir jeden Bruch a

P

- (Co, cL... cog, ffir den die g-adische Grundperiode n gerade ist, gilt:

(C1 "'" Cn/2){/ -Jr (CIn/2}+ 1 ' ' '

w4*

Cn)g = ((g -- 1 ) . . .

(g -- l))g.

(Anhang) g-adische Entwicklung als Approximationsverfahren

Das Thema dieses Anhangs geh6rt nicht zur elementaren Zahlentheorie. Wir machen uns hier klar, dab der g-adische Algorithmus auch als ein Verfahren aufgefagt werden kann, rationale n

Zahlen durch Summen der Form ,= 52o g" c,, zu approximieren. Diese Deutung f/ihrt zwangsl/iufig zur g-adischen Reihenentwicklung )'

~

c,,

~=o ,q"'

wobei die auftretende Reihe im Sinne der lnfinitesimalrechnung gegen 7 konvergiert. Die algebraische Theorie des g-adischen Algorithmus ordnet sich so als Spezialfall in die analytische Theorie der konvergenten unendlichen Reihen ein. Die nichtnegativen rationalen Zahlen wetden unter den nichtnegativen reellen Zahlen dadurch charakterisiert, dab sie eine periodische g-adische Darstellung haben. 1". Approximationskriterium. Wir haben in Abschnitt 1 yon Paragraph 2 die g-adische Darstellung 7 ~- (Co, cl c2...)g eines Bruches y >= 0 durch den g-adischen Algorithmus definiert; bei allen f]berlegungen haben wir ausschliel31ich diesen Algorithmus herangezogen. Die im Lemma 2.1 bewiesenen Gleichungen ?=Co+

Cl

g

C2

+'"+

cn

rn.

1

g" - + b- g,,

n ~ N,

legen es nahe, die g-adische Darstellung als ein Approximationsverfahren aufzufassen: Gilt doch wegen 0 < r, < b stets 0= 0 n a c h I n d u k t i o n s v o r a u s s e t z u n g u n d d a c, ~ 0, so folgt 0 =< 7 -

S._ 1. D a

S. < g1n n a c h I n d u k t i o n s v o r a u s s e t z u n g u n d d a c. < ~ g - 1 w e g e n n > 1, so folgt weiter ~' - - Sn

1 g-I l < gn -I- gn

1 - - gn

1"

1 iii) ~ i): W i r setzen ~. : = g" b(y - S.) c Q, n = O, 1, . . . , k. D a n n gelten w e g e n 0 < y - S. < g" die U n g l e i c h u n g e n

O o als g-adische Z~]er~jblge. Beweis: W i r setzen P : - c~ + i g~ t __ Cs 4 2 g t 2 q_ . . . q_ cs+~" D a c,+ 2 < g -- 1 ffir a l l e j > I u n d d a wenigstens eine der t Z a h l e n c , . ~. . . . . c,+~ kleiner als y - 1 ist, so gilt die wichtige Ungleichung P < (,q

l ) (g'

~ +...+

1) - g' - 1.

W i r bilden n u n die P a r t i a l s u m m e n n oN.

S,,:= -~o ('' ,

A u f G r u n d v o n Satz 1, ii) wird die B e h a u p t u n g unseres Satzes bewiesen sein, w e n n wir zeigen 0 0 gilt: i=.,~ t g'

: o ,.:1 ,

, = o g " ~=1 g~]~"

4.4.3 Da

171

g-adische Entwicklungen und unendliche Reihen

~ c~+,. P nach Definition von P und da ,,=1 g~+~ -- gS+t

1

1-

g~,t

u=o

-

- g,~

1

1-

gt

1

I -

,

so s e h e n wir s+mt

Ci

2 y,= g-~+'

i=s+l

g'--I

1-g~,

=g~(g7-1

) 9 l-

.

W e g e n T = ,=o Z g~ c,. + g~(g ~P - 1~ folgt s o m i t : 7 - - S,.,,,t - g~(g,P _ 1)

Z g~ - g~(g' -- 1) ,=~+,

g,(gt- - _ l)

1 --

- g~+"(g'-

1)

for alle m = 1, 2 . . . . . D a m i t ist 7 - S~+,,, > 0 klar, d a P > 0 u n d t > 1, Die o b e n n o t i e r t e U n g l e i c h u n g P < g' - 1 liefert n u n a u c h die g e w f i n s c h t e A b s c h / i t z u n g 7 -- Ss+~t < gS+~,

ftir m = I, 2, . . . .

Aus d e m Satz folgt speziell, daB es z u j e zwei beliebig v o r g e g e b e n e n Z a h l e n l ~ N, n ~ N • e i n e n B r u c h gibt, d e s s e n m i n i m a l e g - a d i s c h e V o r p e r i o d e I u n d d e s s e n g - a d i s c h e G r u n d p e r i o d e n i s t . 3*. g-adische Entwicklungen und unendliche Reihen. In d e r I n f i n i t e s i m a l r e c h n u n g o r d n

net m a n j e d e r F o l g e (a~)v > o reeller Z a h l e n av die F o l g e ( s , ) , > o ihrer P a r t i a l s u m m e n s, : = Z _

_

a~

v= O

zu. M a n sagt b e k a n n t l i c h , d a b die u n e n d l i c h e Reihe Z a, g e g e n die reelle Z a h l s k o n v e r g i e r t , und schreibt ,.=o s

Z

a ~ : = lira s,,

v=O

n~z~

w e n n es zu j e d e r ( n o c h so kleinen) p o s i t i v e n reellen Z a h l s > 0 einen I n d e x n o ~ N gibt, so d a b gilt - ~ < s - s, < ~ ffir a l l e n > n o. D a n n folgt sofort: Hilfssatz: Es sei ), 6 Q , 7 >= O, und es sei y ~ (c o, c l c 2 "")o die g-adische Darstellung yon 7 zur Cv Grundzahl g = > 2. D a n n konvergiert die R e i h e ,.=0 g~ gegen 7: ~t~ Cv 7=~-.g~ v=O

Beweis: Sei c. > 0 v o r g e g e b e n . W e g e n g >_ 2 gibt es ein no E N , so d a b ffir alle n __> no gilt: g " < ~. D a m i t folgt fiir die P a r t i a l s u m m e n s, = 0