Wärme- und Stoffübertragung

Wärme- und Stoffübertragung Hans Dieter Baehr · Karl Stephan Wärme- und Stoffübertragung 7, neu bearbeitete Aufl...

Author: Hans Dieter Baehr | Karl Stephan

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Wärme- und Stoffübertragung

Hans Dieter Baehr · Karl Stephan

Wärme- und Stoffübertragung 7, neu bearbeitete Auflage Mit 343 Abbildungen und zahlreichen Tabellen sowie 62 Beispielen und 94 Aufgaben

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Professor Dr.-Ing. Dr.-Ing. E.h. Hans Dieter Baehr em. o. Professor für Thermodynamik an der Universität Hannover Dürerstr. 9 44795 Bochum Deutschland

Professor Dr.-Ing. Dr.-Ing. E.h. mult. Karl Stephan em. o. Professor für Technische Thermodynamik und Thermische Verfahrenstechnik an der Universität Stuttgart Pfaffenwaldring 9 70569 Stuttgart Deutschland [email protected]

ISBN 978-3-642-05500-3 e-ISBN 978-3-642-10194-6 DOI 10.1007/978-3-642-10194-6 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet u¨ ber http://dnb.d-nb.de abrufbar. c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003, 2006, 2008, 2009 and 2010 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der ¨ Ubersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandentwurf: eStudio Calamar S.L. Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com)

Vorwort zur siebten Auflage

Auch in der siebten Auflage haben wir das bewährte Konzept des Buchs beibehalten: Es soll mit den Grundlagen der W¨ armeund Stoff¨ ubertragung vertraut machen und zugleich aber auch zeigen, wie man damit praktische Probleme lösen kann. ¨ Wie bereits in den fr¨ uheren Auflagen haben wir Anderungen in jenen Kapiteln vorgenommen, die Berechnungsgleichungen und auf Messungen basierende Korrelationen des W¨ armeund Stoff¨ ubergangs enthalten, beispielsweise in den Kapiteln u arme¨ ubergang zweiphasiger Strömungen und in de¨ber den W¨ nen beim Sieden in freier Str¨ omung. Sie geben nun den neuesten Stand unserer ¨ Kenntnisse wieder. Dies erforderte auch eine Anpassung der Ubungsbeispiele und Abbildungen an die neuen Korrelationen. Auch die Stoffwerttabellen haben wir u ¨berarbeitet und dem neuesten ¨ Stand unserer Kenntnisse angepasst. Dadurch ergaben sich auch Anderungen ¨ in den Anwendungsbeispielen und Ubungsaufgaben, in denen man Stoffwerte benötigt. Das Literaturverzeichnis haben wir durch Aufnahme neuer Publikationen aktualisiert. Dank schulden wir vielen Freunden und Kollegen, die uns wertvolle Ratschläge gaben und uns auf Druckfehler aufmerksam machten. Dank geb¨ uhrt auch Frau Annika Zeitz, die uns half, dem Verlag eine reproduktionsfähige Vorlage zu liefern. Möge unser Buch auch weiterhin Wissenschaftlern und Ingenieuren in der Praxis n¨ utzlich sein. Den Studenten m¨ oge es helfen, die Gesetze der Wärmeund Stoff¨ ubertragung zu verstehen und sie befähigen, diese zur Lösung der vielfältigen praktischen Probleme erfolgreich anzuwenden.

Bochum und Stuttgart, im Herbst 2010

H.D. Baehr K. Stephan

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Vorwort

Vorwort zur ersten Auflage Dieses Buch ist aus Vorlesungen u armeund Stoff¨ ubertragung entstan¨ber W¨ den, die wir seit vielen Jahren an den Universitäten Hannover bzw. Stuttgart gehalten haben. Es wendet sich an Studenten des Maschinenbaus und der Verfahrenstechnik an Universit¨ aten und Fachhochschulen, aber auch an Studierende verwandter Fachrichtungen wie Elektrotechnik, Physik und Chemie. Unser Buch ist einerseits als Lehrbuch zum Gebrauch neben den Vorlesungen konzipiert; es soll den Studenten mit den Grundlagen der Wärmeund Stoff¨ ubertragung vertraut machen und ihn befähigen, dieses Wissen zur L¨ osung technischer Probleme einzusetzen. Andererseits haben wir das Buch breiter angelegt, die Theorie der W¨ armeund Stoff¨ ubertragung systematisch entwickelt und die L¨ osungsmethoden wichtiger Wärme- und Stoff¨ ubertragungsprobleme ausf¨ uhrlich dargestellt. Daher d¨ urfte es auch Wissenschaftlern und Ingenieuren in der Praxis bei der Weiterbildung und als Nachschlagewerk bei der Lösung ihrer Aufgaben gute Dienste leisten. Wir haben den Stoff durch ausf¨ uhrliche Rechenbeispiele erl¨ autert und am Ende eines jeden Kapitels eine ¨ Reihe von Ubungsaufgaben zusammengestellt. Dies soll auch das Selbststudium erleichtern. Viele Vorgänge der W¨ armeund Stoff¨ ubertragung und die zugehörigen Apparate lassen sich bereits mit Hilfe der Bilanzgleichungen unter Verwendung von Wärme- und Stoff¨ ubertragungskoeffizienten quantitativ erfassen, ohne dass ein tieferes Eindringen in die Theorie der Wärme- und Stoff¨ ubertragung erforderlich ist. Solche Vorg¨ ange haben wir im ersten Kapitel behandelt, das auch die grundlegenden Begriffe und die Grundgesetze der Wärme¨ und Stoff¨ ubertragung enth¨ alt. Der Student erhält einen Uberblick u ¨ber die verschiedenartigen Vorg¨ ange der W¨ armeund Stoff¨ ubertragung und lernt zu uhen Zeitpunkt, praktische Probleme zu lösen und die Apparate zur einem fr¨ Wärme- und Stoff¨ ubertragung zu berechnen. Dadurch wird auch die Motivation erhöht, sich eingehender mit der Theorie zu befassen, die Gegenstand der folgenden Kapitel ist. Im zweiten Kapitel behandeln wir die stationäre und instationäre Wärmeleitung und die Diffusion in ruhenden Medien. Es werden die grundlegenden Differentialgleichungen zur Berechnung von Temperaturfeldern hergeleitet. Wir zeigen, wie man sie in praktischen Fällen unter Anwendung analytischer und numerischer Methoden l¨ ost. Neben den analytischen Verfahren der Laplace-Transformation und des klassischen Separationsansatzes stellen wir die f¨ ur die Praxis wichtigen Differenzenverfahren ausf¨ uhrlich dar. Viele der f¨ ur die Wärmeleitung gewonnenen Ergebnisse lassen sich wegen der hier bestehenden Analogie auf die Diffusion u ¨bertragen, und die mathematischen L¨ osungsansätze sind f¨ ur beide Gebiete gleich. Das dritte Kapitel ist der konvektiven W¨ armeund Stoff¨ ubertragung gewidmet. Hier steht die Herleitung der Bilanzgleichungen f¨ ur Masse, Impuls und Energie strömender reiner Fluide und Mehrstoffgemische im Vordergrund,

Vorwort

vii

ehe die Materialgesetze eingef¨ uhrt und die maßgebenden Differentialgleichungen f¨ ur Geschwindigkeits-, Temperatur- und Konzentrationsfelder hergeleitet werden. Als typische Anwendungen behandeln wir Wärme- und Stoff¨ ubergang an u orpern und in durchstr¨ omten Kanälen, in Haufwerken und ¨berströmten K¨ ¨ Wirbelschichten, ebenso die freie Konvektion und die Uberlagerung von freier und erzwungener Str¨ omung. Eine Einf¨ uhrung in den Wärme¨ ubergang bei kompressibler Str¨ omung beschließt dieses Kapitel. Im vierten Kapitel wird die W¨ armeund Stoff¨ ubertragung beim Kondensieren und beim Sieden in freier und erzwungener Strömung behandelt. Die Darstellung lehnt sich an das Buch W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren und ” beim Sieden“ (Berlin: Springer-Verlag 1988) von K. Stephan an. Dabei werden nicht nur reine Stoffe betrachtet; auch die Kondensation und das Sieden von Stoffgemischen wird in angemessenem Umfang erörtert. Die Wärmestrahlung ist Gegenstand des f¨ unften Kapitels. Es unterscheidet sich von vielen anderen Darstellungen dadurch, dass zuerst die strahlungsphysikalischen Gr¨ oßen zur quantitativen Beschreibung der Richtungsund Wellenlängenabh¨ angigkeit der Strahlung umfassend und eingehend behandelt werden. Erst nach einer strengen Formulierung des Kirchhoffschen Gesetzes wird der ideale Strahler, der Schwarze Körper, eingef¨ uhrt. Danach werden die Materialgesetze realer Strahler besprochen. Als Anwendungen werden die Solarstrahlung und die W¨ arme¨ ubertragung durch Strahlung eingehend behandelt. Eine Einf¨ uhrung in die Gasstrahlung, technisch wichtig f¨ ur Brennkammern und Feuerungen, schließt das Kapitel ab. Die Wärme- und Stoff¨ ubertragung geh¨ ort an Universitäten und Fachhochschulen in der Regel zum Hauptstudium. Wir haben daher Kenntnisse in H¨ oherer Mathematik vorausgesetzt, wie sie bis zur Diplom-Vorpr¨ ufung gelehrt werden. F¨ ur den, der sich nur mit den Grundbegriffen und einfacheren technischen Anwendungen der W¨ armeund Stoff¨ ubertragung vertraut machen möchte, d¨ urfte bereits das Studium des ersten Kapitels ausreichen. Von Diplomingenieuren des Maschinenbaus und der Verfahrenstechnik werden weitergehende Kenntnisse erwartet. Der Maschineningenieur sollte mit den Grundlagen der W¨ armeleitung, der konvektiven Wärme¨ ubertragung und der Strahlung vertraut sein, und er sollte u ¨ber Grundkenntnisse der Stoffu ugen. Der Verfahrensingenieur benötigt neben einem ver¨bertragung verf¨ tieften Wissen auf diesen Gebieten auch gute Kenntnisse der Wärme- und Stoff¨ ubertragung in mehrphasigen Str¨ omungen. Die zur Verf¨ ugung stehende Vorlesungszeit wird in der Regel nicht ausreichen, um den gesamten Stoff dieses Buches zu behandeln. Es ist aber wichtig, dass der Student ein breites Wissen der Grundlagen und Methoden erwirbt. Es gen¨ ugt dann, dieses an ausgewählten Beispielen zu vertiefen und so die Lösung von Problemen zu u ¨ben. Beim Abfassen des Manuskripts haben wir uns die Arbeit geteilt. H.D. Baehr hat die Erstschrift der Abschnitte 1.1 bis 1.3, des Kapitels 2 (außer 2.5) und des Kapitels 5 besorgt, K. Stephan die der Abschnitte 1.4 bis 1.7 und 2.5 sowie der Kapitel 3 und 4. Gleichwohl hat durch gegenseitige Korrektur jedes

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Vorwort

¨ Kapitel Anderungen erfahren, so dass jeder von uns in gleicher Weise f¨ ur das ganze Buch verantwortlich ist. Bei der Anfertigung des Manuskripts und der zahlreichen Abbildungen haben uns einige unserer Mitarbeiter, vor allem die Herren Dipl.-Ing. F. Harms-Watzenberg, Hannover, und S. Winkler, Stuttgart, geholfen. Ihnen allen danken wir auch an dieser Stelle. Die hervorragende Beherrschung des elektronischen Textsatzsystems LATEX durch Herrn Harms-Watzenberg hat es uns ermöglicht, dem Verlag eine reproduktionsfähige Druckvorlage zu liefern. Auch dadurch war es m¨ oglich, trotz des erheblichen Umfangs unseres Buches einen f¨ ur ein Lehrbuch noch akzeptablen Preis zu erreichen.

Hannover und Stuttgart, im Herbst 1993

H.D. Baehr K. Stephan

Inhaltsverzeichnis

Formelzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv 1

Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ arme¨ ubertragung . . . . . . . . . . . . 1.1.1 W¨ armeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Station¨ are, geometrisch eindimensionale Wärmeleitung . 1.1.3 Konvektiver W¨ arme¨ ubergang, Wärme¨ ubergangskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Die Bestimmung von W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten. Dimensionslose Kennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 W¨ armestrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.6 Strahlungsaustausch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Wärmedurchgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Der W¨ armedurchgangskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Mehrschichtige W¨ ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 W¨ armedurchgang durch W¨ ande mit vergrößerter Oberfl¨ ache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Abk¨ uhlung und Erw¨ armung d¨ unnwandiger Behälter . . . 1.3 Wärme¨ ubertrager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Bauarten und Stromf¨ uhrungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Allgemeine Berechnungsgleichungen. Dimensionslose Kennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Gegenstrom- und Gleichstrom-Wärme¨ ubertrager . . . . . . 1.3.4 Kreuzstrom-W¨ arme¨ ubertrager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5 Betriebscharakteristiken f¨ ur weitere Stromf¨ uhrungen. Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Die verschiedenen Arten der Stoff¨ ubertragung . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Einseitige Diffusion, a¨quimolare Diffusion . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Konvektiver Stoff¨ ubergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Stoff¨ ubergangstheorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 2 5 11 18 28 31 34 35 37 38 43 45 46 51 56 64 71 72 75 82 85 89

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Inhaltsverzeichnis

1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.5.4

Die Filmtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Die Grenzschichttheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Die Penetrations- und die Oberflächenerneuerungstheorie 96 Anwendung der Filmtheorie auf die Verdunstungsk¨ uhlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 1.6 Stoffdurchgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 1.7 Stoff¨ ubertrager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 1.7.1 Die Mengenbilanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 1.7.2 Konzentrationsverlauf und Höhe von Stoffaustauschkolonnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 1.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 2

W¨ armeleitung und Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 2.1 Die Wärmeleitungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 2.1.1 Die Herleitung der Differentialgleichung f¨ ur das Temperaturfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 2.1.2 Die W¨ armeleitungsgleichung f¨ ur einen Körper mit konstanten Stoffwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 2.1.3 Die Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 2.1.4 Temperaturabh¨ angige Stoffwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 ¨ 2.1.5 Ahnliche Temperaturfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 2.2 Station¨ are W¨ armeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 2.2.1 Geometrisch eindimensionale Wärmeleitung mit W¨ armequellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 2.2.2 W¨ armeleitung in L¨ angsrichtung eines Stabes . . . . . . . . . . 136 2.2.3 Der Temperaturverlauf in Rippen und Nadeln . . . . . . . . . 141 2.2.4 Der Rippenwirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 2.2.5 Geometrisch mehrdimensionaler Wärmefluss . . . . . . . . . . 149 2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 2.3.1 L¨ osungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 2.3.2 Die Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 2.3.3 Der einseitig unendlich ausgedehnte Körper . . . . . . . . . . . 165 2.3.4 Abk¨ uhlung und Erw¨ armung einfacher Körper bei eindimensionalem W¨ armefluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 2.3.5 Abk¨ uhlung und Erw¨ armung bei mehrdimensionalem W¨ armefluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 2.3.6 Erstarren geometrisch einfacher Körper . . . . . . . . . . . . . . 196 2.3.7 W¨ armequellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 osung von W¨ armeleitproblemen mit 2.4 Numerische L¨ Differenzenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 2.4.1 Das einfache explizite Differenzenverfahren f¨ ur instation¨ are W¨ armeleitprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 2.4.2 Die Diskretisierung der Randbedingungen . . . . . . . . . . . . 217 2.4.3 Das implizite Differenzenverfahren von J. Crank und P. Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

Inhaltsverzeichnis

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2.4.4 Nichtkartesische Koordinaten. Temperaturabhängige Stoffwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 2.4.5 Instation¨ are ebene und r¨ aumliche Temperaturfelder . . . . 232 2.4.6 Station¨ are Temperaturfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 2.5 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit der Finite-Element-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 2.5.1 Die Finite-Element-Methode f¨ ur stationäre, geometrisch eindimensionale Temperaturfelder . . . . . . . . 246 2.5.2 Die Finite-Element-Methode f¨ ur ebene stationäre Temperaturfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 2.5.3 Die Finite-Element-Methode f¨ ur instationäre, geometrisch eindimensionale Wärmeleitprobleme . . . . . . 258 2.5.4 Erweiterung auf instation¨ are, geometrisch zweidimensionale W¨ armeleitprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . 263 2.6 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 2.6.1 Bemerkungen u ¨ber ruhende Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 2.6.2 Die Herleitung der Differentialgleichung f¨ ur das Konzentrationsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 2.6.3 Vereinfachungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 2.6.4 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 2.6.5 Station¨ are Diffusion mit katalytischer Oberfl¨ achenreaktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 2.6.6 Station¨ are Diffusion mit homogener chemischer Reaktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 2.6.7 Instation¨ are Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 2.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 3

Konvektiver W¨ armeund Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 3.1 Vorbemerkungen: Die l¨ angsangestr¨ omte ebene Platte bei reibungsfreier Str¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 3.2 Die Bilanzgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 3.2.1 Das Reynoldssche Transporttheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 3.2.2 Die Massenbilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 3.2.3 Die Impulsbilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 3.2.4 Die Energiebilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 3.2.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 3.3 Einfluss der Reynolds-Zahl auf die Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . 337 3.4 Vereinfachungen der Navier-Stokes-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . 339 3.4.1 Schleichende Str¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 3.4.2 Reibungsfreie Str¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 3.4.3 Grenzschichtströmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 3.5 Die Grenzschichtgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 3.5.1 Die Str¨ omungsgrenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 3.5.2 Die Temperaturgrenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

xii

Inhaltsverzeichnis

3.6 3.7

3.8

3.9

3.10 3.11

3.12 4

3.5.3 Die Konzentrationsgrenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 3.5.4 Allgemeine Bemerkungen zur Lösung der Grenzschichtgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 Einfluss der Turbulenz auf den W¨ armeund Stoff¨ ubergang . . . . 354 3.6.1 Turbulente Str¨ omungen an festen Wänden . . . . . . . . . . . . 359 ¨ Uberstr¨ omte K¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 3.7.1 Die parallel angestr¨ omte ebene Platte . . . . . . . . . . . . . . . . 364 3.7.2 Der quer angestr¨ omte Zylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 3.7.3 Quer angestr¨ omte Rohrb¨ undel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 3.7.4 Einige empirische Gleichungen f¨ ur den Wärme- und Stoff¨ ubergang an u omten Körpern . . . . . . . . . . . . . . 390 ¨berstr¨ Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten . . . . . . . . . . . 394 3.8.1 Die laminare Rohrstr¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 3.8.2 Die turbulente Rohrstr¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 3.8.3 Haufwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 3.8.4 Por¨ ose K¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 3.8.5 Wirbelschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 3.8.6 Einige empirische Gleichungen f¨ ur den Wärme- und Stoff¨ ubergang in durchstr¨ omten Kanälen, Haufwerken und Wirbelschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440 Freie Str¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 3.9.1 Die Impulsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 3.9.2 W¨ arme¨ ubergang an einer senkrechten Wand bei laminarer Str¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 3.9.3 Einige empirische Gleichungen f¨ ur den Wärme¨ ubergang bei freier Str¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 ubergang bei freier Str¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 3.9.4 Stoff¨ ¨ Uberlagerung von freier und erzwungener Strömung . . . . . . . . . . 458 Kompressible Str¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 3.11.1 Das Temperaturfeld in einer kompressiblen Strömung . . 461 3.11.2 Berechnung des W¨ arme¨ ubergangs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

Konvektiver W¨ armeund Stoff¨ ubergang. Str¨ omungen mit Phasenumwandlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 4.1 Wärme¨ ubergang beim Kondensieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 4.1.1 Die verschiedenen Arten der Kondensation . . . . . . . . . . . 478 4.1.2 Die Nußeltsche Wasserhauttheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 4.1.3 Abweichungen von der Nußeltschen Wasserhauttheorie . 485 4.1.4 Einfluss nicht kondensierbarer Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489 4.1.5 Filmkondensation mit turbulenter Wasserhaut . . . . . . . . 496 4.1.6 Kondensation str¨ omender D¨ ampfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500 4.1.7 Tropfenkondensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 4.1.8 Kondensation von Dampfgemischen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510 4.1.9 Einige empirische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522

Inhaltsverzeichnis

xiii

4.2 Wärme¨ ubergang beim Sieden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524 4.2.1 Die verschiedenen Arten der Wärme¨ ubertragung . . . . . . 525 4.2.2 Die Entstehung von Dampfblasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 4.2.3 Mechanismen der W¨ arme¨ ubertragung beim Sieden in freier Str¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533 4.2.4 Blasenfrequenz und Abreißdurchmesser . . . . . . . . . . . . . . . 537 4.2.5 Die Nukijama-Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540 4.2.6 Stabilit¨ at beim Sieden in freier Strömung . . . . . . . . . . . . . 542 4.2.7 Berechnung von W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten beim Sieden in freier Str¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545 4.2.8 Einige empirische Gleichungen zum Wärme¨ ubergang beim Blasensieden in freier Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . 549 4.2.9 Zweiphasige Str¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554 4.2.10 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden von Gemischen . . . . . . . . . 580 4.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586 5

W¨ armestrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589 5.1 Grundlagen. Strahlungsphysikalische Größen . . . . . . . . . . . . . . . . 590 5.1.1 Temperaturstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590 5.1.2 Ausstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592 5.1.3 Bestrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602 5.1.4 Absorption von Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605 5.1.5 Reflexion von Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610 5.1.6 Hohlraumstrahlung. Gesetz von Kirchhoff . . . . . . . . . . . . 612 5.2 Die Strahlung des Schwarzen K¨ orpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616 5.2.1 Definition und Realisierung des Schwarzen Körpers . . . . 616 5.2.2 Die spektrale Strahldichte und die spektrale spezifische Ausstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618 5.2.3 Die spezifische Ausstrahlung und die Ausstrahlung in einem Wellenl¨ angenbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624 5.3 Strahlungseigenschaften realer K¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627 5.3.1 Emissionsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627 5.3.2 Die Beziehungen zwischen Emissions-, Absorptionsund Reflexionsgraden. Der graue Lambert-Strahler . . . . 630 5.3.3 Emissionsgrade realer K¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635 5.3.4 Strahlungsdurchl¨ assige K¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642 5.4 Solarstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647 5.4.1 Extraterrestrische Solarstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648 5.4.2 Die Schw¨ achung der Solarstrahlung in der Erdatmosph¨ are . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650 5.4.3 Direkte Solarstrahlung am Erdboden . . . . . . . . . . . . . . . . 657 5.4.4 Diffuse Solarstrahlung und Globalstrahlung . . . . . . . . . . . 659 5.4.5 Absorptionsgrade f¨ ur Solarstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . 662 5.5 Strahlungsaustausch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664 5.5.1 Sichtfaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664

xiv

Inhaltsverzeichnis

5.5.2 Strahlungsaustausch zwischen Schwarzen Körpern . . . . . 670 5.5.3 Strahlungsaustausch zwischen grauen Lambert-Strahlern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674 5.5.4 Strahlungsschutzschirme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686 5.6 Gasstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691 5.6.1 Absorptionskoeffizient und optische Dicke . . . . . . . . . . . . 692 5.6.2 Absorptions- und Emissionsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694 5.6.3 Ergebnisse f¨ ur den Emissionsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697 5.6.4 Emissionsgrade und gleichwertige Schichtdicken von Gasr¨ aumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700 5.6.5 Strahlungsaustausch in einem gasgef¨ ullten Hohlraum . . . 706 5.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710 Anhang A: Erg¨ anzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715 A.1 Einf¨ uhrung in die Tensornotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715 A.2 Zusammenhang zwischen mittlerem und thermodynamischem Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717 A.3 Navier-Stokes-Gleichungen eines inkompressiblen Fluids konstanter Viskosit¨ at in kartesischen Koordinaten . . . . . . . . . . . 719 A.4 Navier-Stokes-Gleichungen eines inkompressiblen Fluids konstanter Viskosit¨ at in Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . 719 A.5 Entropiebilanz f¨ ur Gemische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720 A.6 Zusammenhang zwischen partieller und spezifischer Enthalpie . 722 A.7 Berechnung der Konstanten an des Graetz-Nußelt-Problems (3.245) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723 Anhang B: Stoffwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725 Anhang C: L¨ osungen der Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779

Formelzeichen

Lateinische Buchstaben Zeichen

Bedeutung

SI-Einheit

A Am Aq AR a a aλ aλ at a∗ b b C c c c

Fläche mittlere Fl¨ ache Querschnittsfl¨ ache Rippen-Oberfl¨ ache Temperaturleitf¨ ahigkeit hemisph¨ arischer Gesamt-Absorptionsgrad spektraler Absorptionsgrad gerichteter spektraler Absorptionsgrad turbulente Temperaturleitf¨ ahigkeit volumenbezogene Oberfl¨ ache √ Wärmeeindringkoeffizient, b = λc W Laplace-Konstante, b = 2σ/g (L − G ) Verhältnis der W¨ armekapazit¨ atsstr¨ ome spez. W¨ armekapazit¨ at Stoffmengenkonzentration Fortpflanzungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen Vakuum-Lichtgeschwindigkeit Reibungsbeiwert spez. isobare W¨ armekapazit¨ at Widerstandsbeiwert

m2 m2 m2 m2 m2 /s — — — m2 /s m2 /m3 s1/2 /(m2 K) m — J/(kg K) mol/m3 m/s

c0 cf cp cW

m/s — J/(kg K) —

xvi

Formelzeichen

D Dt d dA dh E E0 Eλ e F FA FW Fij F (0, λT ) f fj g H H H H˙ h h hg hi Δhv ˜v Δh I I j j∗ uj K K Kλ

binärer Diffusionskoeffizient turbulenter Diffusionskoeffizient Durchmesser Abreißdurchmesser von Dampfblasen hydraulischer Durchmesser Bestrahlungsst¨ arke Solarkonstante spektrale Bestrahlungsst¨ arke Einheitsvektor Kraft Auftriebskraft Widerstandskraft Sichtfaktor zwischen den Fl¨ achen i und j Anteilsfunktion der schwarzen Strahlung Frequenz von Dampfblasen volumenbezogene Kraft Fallbeschleunigung Höhe Helligkeit Enthalpie Enthalpiestrom Planck-Konstante spez. Enthalpie spez. Gesamtenthalpie, hg = h + w2 /2 partielle spez. Enthalpie spez. Verdampfungsenthalpie molare Verdampfungsenthalpie Impuls Strahlst¨ arke Diffusionsstromdichte Diffusionsstromdichte im Schwerpunktssystem Diffusionsstromdichte im Teilchenbezugssystem Bestrahlungsdichte Permeabilit¨ at spektrale Bestrahlungsdichte

m2 /s m2 /s m m m W/m2 W/m2 W/(m2 μm) — N N N — — 1/s N/m3 m/s2 m W/m2 J J/s Js J/kg J/kg J/kg J/kg J/mol kg m/s W/(m2 sr) mol/(m2 s) kg/(m2 s) mol/(m2 s) W/(m2 sr) m2 W/(m2 μm)

Formelzeichen

k k k kG kH kj k1 k1 , k1 kn L L Lλ L0 LS l M M M Mλ M˙ ˜ M m mr m ˙ N Ni N˙ n n n˙ P

Wärmedurchgangskoeffizient Absorptionszahl Boltzmann-Konstante spektraler Absorptionskoeffizient Henry-Koeffizient massebezogene Kraft Geschwindigkeitskonstante einer homogenen Reaktion erster Ordnung Geschwindigkeitskonstante einer homogenen (heterogenen) Reaktion erster Ordnung Geschwindigkeitskonstante einer heterogenen Reaktion n-ter Ordnung Länge Strahldichte spektrale Strahldichte Bezugslänge Löslichkeit Länge, Mischungsweg Masse Modul, M = aΔt/Δx2 spez. Ausstrahlung spektrale spez. Ausstrahlung Massenstrom molare Masse, Molmasse optische Masse relative optische Masse Massenstromdichte Stoffmenge ¨ dimensionslose Ubertragungsf¨ ahigkeit (number of transfer units) des Stoffstroms i Stoffmengenstrom Brechzahl Normalenvektor Stoffmengenstromdichte Leistung

xvii

W/(m2 K) — J/K 1/m N/m2 N/kg 1/s m/s mol/(m2 s) (mol/m3 )n m W/(m2 sr) W/(m2 μm sr) m mol/(m3 Pa) m kg — W/m2 W/(m2 μm) kg/s kg/mol kg/m2 — kg/(m2 s) mol — mol/s — — mol/(m2 s) W

xviii

Formelzeichen

Pdiss p p+ Q Q˙

dissipierte Leistung Druck dimensionsloser Druck Wärme Wärmestrom Wärmestromdichte Radius Wärmeleitwiderstand molare (universelle) Gaskonstante radiale Koordinate hemisphärischer Gesamt-Reflexionsgrad spektraler Reflexionsgrad gerichteter spektraler Reflexionsgrad spez. elektrischer Widerstand dimensionslose radiale Koordinate Reaktionsrate Abschwächungsfaktor beim Str¨ omungssieden Entropie spez. Entropie Parameter der Laplace-Transformation Schichtdicke Schlupf-Faktor, s = wG /wL Längsteilung Querteilung thermodynamische Temperatur Eigentemperatur Staupunktstemperatur Zeit dimensionslose Zeit Abk¨ uhlzeit, K¨ uhldauer Spannungsvektor Relaxationszeit, tR = 1/k1 Relaxationszeit der Diffusion, tD = L2 /D Umfang innere Energie

q˙ R RL Rm r r rλ rλ re r+ r˙ S S s s s s sl sq T Te TSt t t+ tk tj tR tD U U

W Pa — J W W/m2 m K/W J/(mol K) m — — — Ωm — mol/(m3 s) — J/K J/(kg K) 1/s m — m m K K K s — s N/m2 s s m J

Formelzeichen

u u u V VA v W ˙ W ˙i W w w0 wS wτ w w+ X ˜ X x x ˜ x+ x∗ x∗th Y˜ y y˜ y+ z z z+ zR

mittlere molare Geschwindigkeit spez. innere Energie Laplace-Transformierte der Temperatur Volumen Abreißvolumen von Dampfblasen spez. Volumen Arbeit Leistungsdichte W¨ armekapazit¨ atsstrom des Fluids i Geschwindigkeit Bezugsgeschwindigkeit Schallgeschwindigkeit Schubspannungsgeschwindigkeit, wτ = τ0 / Schwankungsgeschwindigkeit dimensionslose Geschwindigkeit Beladung; Lockhart-Martinelli-Parameter molare Beladung in der Fl¨ ussigphase Koordinate Molanteil in der Fl¨ ussigkeit dimensionslose x-Koordinate Str¨ omungsdampfgehalt, x∗ = M˙ G /M˙ L thermodynamischer Dampfgehalt molare Beladung in der Gasphase Koordinate Molanteil in der Gasphase dimensionslose y-Koordinate Anzahl axiale Koordinate dimensionslose z-Koordinate Rohrreihenzahl

xix

m/s J/kg K m3 m3 m3 /kg J W/m3 W/K m/s m/s m/s m/s m/s — — — m — — — — — m — — — m — —

Griechische Buchstaben Zeichen

Bedeutung

SI-Einheit

α αm

W¨ arme¨ ubergangskoeffizient mittlerer W¨ arme¨ ubergangskoeffizient

W/(m2 K) W/(m2 K)

xx

β β β β0 Γ˙ γ˙ Δ δ δij ε ε ε∗ ε ελ ελ εD εi ε˙ii ε˙ji εp εt ζ ζ η ηR Θ ϑ ϑ+ κ κG Λ λ λ λt

Formelzeichen

Stoff¨ ubergangskoeffizient thermischer Ausdehnungskoeffizient Polarwinkel, Zenitwinkel Randwinkel Massen-Produktionsrate molare Produktionsrate Differenz Dicke; Grenzschichtdicke Kronecker-Symbol Hohlraumanteil volumetrischer Dampfgehalt volumetrischer Str¨ omungsdampfgehalt hemisph¨ arischer Gesamt-Emissionsgrad hemisph¨ arischer spektraler Emissionsgrad gerichteter spektraler Emissionsgrad turbulenter Diffusionskoeffizient dimensionslose Temperatur¨ anderung des Stoffstroms i Dilatation Verzerrungstensor L¨ uckengrad turbulente Viskosit¨ at Widerstandsbeiwert Volumenviskosit¨ at dynamische Viskosit¨ at Rippenwirkungsgrad ¨ Ubertemperatur Temperatur dimensionslose Temperatur Isentropenexponent optische Dicke einer Gasschicht Wellenl¨ ange einer Schwingung Wellenl¨ ange Wärmeleitf¨ ahigkeit turbulente W¨ armeleitf¨ ahigkeit

m/s 1/K rad rad kg/(m3 s) mol/(m3 s) — m — — — — — — — m2 /s — 1/s 1/s — m2 /s — kg/(m s) kg/(m s) — K K — — — m m W/(K m) W/(K m)

Formelzeichen

μ ν ν σ σ ξ τ τλ τ τji Φ Φ ϕ Ψ ω ω ω˙

Diffusionswiderstandsfaktor kinematische Viskosit¨ at Frequenz Dichte Stefan-Boltzmann-Konstante Grenzfl¨ achenspannung Massenanteil Transmissionsgrad spektraler Transmissionsgrad Schubspannung Schubspannungstensor Strahlungsleistung, Strahlungsfluss Dissipationsleistung Winkel, Azimutwinkel Stromfunktion Raumwinkel Bezugsgeschwindigkeit Leistungsdichte

Indizes Zeichen

Bedeutung

A a abs B b dgl diss E e eff eq F G g I

Stoff A außen, Austrittquerschnitt absorbiert Stoff B Bestrahlung durchgelassen dissipiert ¨ Exzess, Uberschuss, Erzeugnis, Erstarrung Eintrittquerschnitt effektiv Gleichgewicht Fluid, Feed Gas geodätisch an der Phasengrenze

— m2 /s 1/s kg/m3 W/(m2 K4 ) N/m — — — N/m2 N/m2 W W/m3 rad m2 /s sr m/s W/m2

xxi

xxii

Formelzeichen

i id K L lam m max min n P r ref S s tot turb U u V W α δ λ ω 0 ∞

innen ideal Stoff K, K¨ uhlmittel, Kondensator Fl¨ ussigkeit, Luft laminar mittel, molar (stoffmengenbezogen) Maximum Minimum Normalrichtung Partikel Reibung reflektiert, Referenzzustand Festkörper, Sumpfprodukt, Sonne Schwarzer K¨ orper, S¨ attigung total turbulent Umgebung im Teilchenbezugssystem Verdampfer Wand, Wasser Anfang an der Stelle y = δ spektral Ende hervorgehobener Zustand; an der Stelle y = 0 in sehr großem Abstand; im Unendlichen

Dimensionslose Kennzahlen Ar = [(S − F )/F ] d3P g/ν 2 Bi = αL/λ BiD = βL/D Bo = q/ ˙ (mΔh ˙ v) Da = k1 L/D Ec = w2 / (cp Δϑ) F o = at/L2

Archimedes-Zahl Biot-Zahl Biot-Zahl f¨ ur die Stoff¨ ubertragung Siedekennzahl (boiling number) Damk¨ ohler-Zahl (f¨ ur heterogene Reaktion 1. Ordnung) Eckert-Zahl Fourier-Zahl

Formelzeichen

F r = w2 / (gx) Ga = gL3 /ν 2 Gr = gβΔϑL3 /ν 2 2 Ha = k1 L2 /D Le = a/D M a = w/wS N u = αL/λ P e = wL/a P h = hE / [c (ϑE − ϑ0 )] P r = ν/a Ra = GrP r Re = wL/ν Sc = ν/D Sh = βL/D St = α/ (wcp ) St = 1/P h

Froude-Zahl Galilei-Zahl Grashof-Zahl Hatta-Zahl Lewis-Zahl Mach-Zahl Nußelt-Zahl Péclet-Zahl Phasen¨ ubergangszahl Prandtl-Zahl Rayleigh-Zahl Reynolds-Zahl Schmidt-Zahl Sherwood-Zahl Stanton-Zahl Stefan-Zahl

xxiii

1 Einfu ¨ hrung. Technische Anwendungen

In diesem Kapitel werden grundlegende Begriffe und physikalische Größen zur Beschreibung von W¨ armeund Stoff¨ ubertragungsvorgängen eingef¨ uhrt sowie Grundgesetze der W¨ armeund Stoff¨ ubertragung behandelt. Mit ihrer Hilfe lassen sich bereits technisch wichtige Aufgaben lösen wie die Berechnung des W¨ armedurchgangs zwischen zwei Fluiden, die durch eine Wand getrennt sind, oder die Dimensionierung von Apparaten zur Wärme- und Stoff¨ ubertragung. Wir behandeln daher solche relativ einfachen Berechnungsverfahren in diesem einf¨ uhrenden Kapitel, w¨ ahrend die eingehende Darstellung komplexer Wärmeund Stoff¨ ubertragungsprobleme den folgenden Kapiteln u ¨berlassen bleibt.

1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ armeu ¨ bertragung In der Thermodynamik bezeichnet man Energie, welche die Grenze eines Systems u arme, wenn der Energietransport allein durch ¨berschreitet, dann als W¨ einen Temperaturunterschied zwischen dem System und seiner Umgebung bewirkt wird, vgl. [1.1], [1.2]. Nach dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik fließt dabei Wärme stets in Richtung fallender thermodynamischer Temperatur u ¨ber die Systemgrenze. Die Thermodynamik macht keine Aussage dar¨ uber, in welcher Weise der u ¨bertragene Wärmestrom vom treibenden Temperaturgefälle abhängt und wie schnell oder intensiv der irreversible Prozess Wärme¨ ubertragung abläuft. Diese Gesetzmäßigkeiten zu kl¨ aren, ist Aufgabe der Lehre von der Wärme¨ ubertragung. Dabei unterscheidet man drei Arten des Wärmetransports: Wärmeleitung, konvektiven W¨ arme¨ ubergang und W¨ armestrahlung. In den folgenden Abschnitten werden ihre Grundgesetze einf¨ uhrend behandelt, auf denen die ausf¨ uhrlichen Darstellungen der W¨ armeleitung in Kapitel 2, des Wärme¨ ubergangs in den Kapiteln 3 und 4 sowie der W¨ armestrahlung in Kapitel 5 aufbauen. Wir beschr¨ anken uns dabei auf eine phänomenologische Erfassung H.D. Baehr, K. Stephan, W¨ armeund Stoff¨ ubertragung, 7th ed., DOI 10.1007/978-3-642-10194-6 1, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

2

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

der Transportvorg¨ ange und benutzen die aus der Thermodynamik bekannten Größen Temperatur, W¨ arme, W¨ armestrom und Wärmestromdichte. Im Gegensatz zur Thermodynamik, die vorzugsweise mit ausgedehnten homogenen Systemen, den Phasen operiert, ist die W¨ arme¨ ubertragung eine Kontinuumstheorie, in der räumlich ausgedehnte Felder auftreten, die zudem von der Zeit abhängen können. Dies hat auch Konsequenzen f¨ ur den W¨ armebegriff, mit dem in der Ther¨ modynamik nur Energie beim Ubergang u ¨ber eine Systemgrenze bezeichnet wird. In der W¨ arme¨ ubertragung spricht man dagegen auch von einem W¨ armestrom innerhalb eines K¨ orpers. Dieser Widerspruch zur Terminologie der Thermodynamik l¨ ost sich auf, wenn man beachtet, dass in einer Kontinuumstheorie die Volumen- oder Massenelemente eines Körpers als kleine Systeme betrachtet werden, zwischen denen auch Energie als Wärme u ¨bergehen kann. Es ist deshalb kein Verstoß gegen die Thermodynamik, wenn man von Wärmeströmen innerhalb eines festen K¨ orpers oder eines Fluids spricht oder vom Vektorfeld der W¨ armestromdichte, das neben dem Temperaturfeld auftritt. Wie in der Thermodynamik verwendet man in der Lehre von der Wärme¨ ubertragung die thermodynamische Temperatur T . Dabei kommt es mit Ausnahme der W¨ armestrahlung jedoch nicht auf den Nullpunkt der thermodynamischen Temperatur an; meistens spielen nur Temperaturdifferenzen eine Rolle. Man verwendet daher thermodynamische Temperaturen mit verschobenem Nullpunkt, wie es zum Beispiel die (thermodynamische) Celsiustemperatur ist. Derartige besondere Differenzen thermodynamischer Temperaturen bezeichnen wir mit ϑ, und es gilt ϑ := T − T0

(1.1)

ahlbaren, meistens der vorliegenden Problemstellung mit T0 als einer frei w¨ angepassten (thermodynamischen) Bezugstemperatur. F¨ ur T0 = 273,15 K stimmt ϑ mit der Celsiustemperatur u berein. In der Regel braucht man die ¨ Bezugstemperatur T0 nicht zu spezifizieren, weil Temperaturdifferenzen von T0 unabhängig sind.

1.1.1 W¨ armeleitung Wärmeleitung ist ein Energietransport zwischen benachbarten Molek¨ ulen aufgrund eines im Material vorhandenen Temperaturgradienten. In Metallen u ¨bertragen auch die freien Elektronen Energie. In strahlungsundurchlässigen Festkörpern wird Energie allein durch W¨ armeleitung transportiert, in Gasen und Fl¨ ussigkeiten u armeleitvorgang ein Energietransport ¨berlagert sich dem W¨ durch die strömende Bewegung (Konvektion) und durch Wärmestrahlung. Der Mechanismus der W¨ armeleitung in Festkörpern und Fluiden ist theoretisch schwierig zu erfassen. Wir verzichten darauf, diese Theorien näher zu

1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ arme¨ ubertragung

3

behandeln; denn sie haben vornehmlich f¨ ur die Berechnung der Materialeigenschaft Wärmeleitf¨ ahigkeit Bedeutung. Wir beschränken uns auf die phänomenologische Erfassung der W¨ armeleitung durch die aus der Thermodynamik bekannten Größen Temperatur, W¨ armestrom und Wärmestromdichte, was f¨ ur die Behandlung technisch interessanter W¨ armeleitprobleme völlig ausreicht. Man beschreibt den Energietransport in einem wärmeleitenden Material durch das Vektorfeld der W¨ armestromdichte ˙ q˙ = q(x, t) .

(1.2)

Im Sinne einer Kontinuumstheorie erfasst der Vektor Wärmestromdichte an einem durch den Vektor x gekennzeichneten Ort Stärke und Richtung des Energiestroms, der auch von der Zeit t abh¨ angen kann. Die Wärmestromdichte q˙ ist so definiert, dass f¨ ur den W¨ armestrom dQ˙ durch ein beliebig orientiertes Fl¨ achenelement dA ˙ ˙ cos β dA . dQ˙ = q(x, t)n dA = |q|

(1.3)

gilt. Hierbei ist n der Einheitsvektor in Richtung der (äußeren) Flächennormale; er bildet mit q˙ den Winkel β, Abb. 1.1. Steht q˙ senkrecht auf dA (β = 0), so wird der Wärmestrom dQ˙ am gr¨ oßten. Der Wärmestrom hat die Dimension einer auf die Zeit bezogenen Energie (W¨ armeleistung); seine SI-Einheit ist daher J/s = W. Die W¨ armestromdichte hat die Dimension eines auf die Fläche bezogenen W¨ armestroms; ihre Einheit ist J/s m2 = W/m2 .

Abb. 1.1: Fl¨ achenelement mit Normalenvektor n und dem Vektor der W¨ arme˙ stromdichte q.

Ursache des Energietransports durch W¨ armeleitung sind Temperaturgradienten im Material. Die Temperatur ϑ ¨ andert sich von Ort zu Ort und auch mit der Zeit. Die Gesamtheit der Temperaturen bildet das Temperaturfeld ϑ = ϑ(x, t) . Stationäre Temperaturfelder h¨ angen von der Zeit t nicht ab; spielt die Zeit eine Rolle, so spricht man von einem instation¨ aren oder nichtstationären Temperaturfeld. Alle Punkte des K¨ orpers, die zu einer bestimmten Zeit dieselbe Temperatur ϑ besitzen, kann man sich durch eine Fläche verbunden denken. Diese isotherme Fl¨ ache oder kurz Isotherme trennt die Teile des Körpers mit höheren Temperaturen als ϑ von denen, deren Temperatur niedriger als ϑ ist.

4


Die stärkste Temperatur¨ anderung erfolgt normal zu den Isothermen und ist durch den Temperaturgradienten grad ϑ =

∂ϑ ∂ϑ ∂ϑ ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z

(1.4)

gegeben, wobei ex , ey und ez die Einheitsvektoren der drei Koordinatenrichtungen bedeuten. Der Gradienten-Vektor steht senkrecht auf der durch den betrachteten Punkt verlaufenden Isotherme und zeigt in Richtung des stärksten Temperaturanstiegs. Sieht man nun Temperaturgradienten als Ursache

Abb. 1.2: Punkt P auf der Isotherme ϑ = const mit dem Temperaturgradienten grad ϑ nach (1.4) und dem Vektor q˙ der W¨ armestromdichte nach (1.5).

der Wärmeströme in einem w¨ armeleitenden Material an, so liegt es nahe, eine einfache Proportionalit¨ at zwischen Ursache und Wirkung anzunehmen und f¨ ur die Wärmestromdichte q˙ = −λ grad ϑ (1.5) zu setzen. Dies ist das 1822 von J. B. Fourier1 angegebene Grundgesetz der Wärmeleitung. Das in dieser Gleichung auftretende Minuszeichen ber¨ ucksichtigt den 2. Hauptsatz der Thermodynamik: Wärme strömt in Richtung des Temperaturgef¨ alles, Abb. 1.2. Die in (1.5) auftretende Proportionalitätskonstante ist eine Materialeigenschaft, die W¨ armeleitfähigkeit λ = λ(ϑ, p) . Sie hängt von der Temperatur ϑ und vom Druck p ab. In Gemischen ist sie zusätzlich von deren Zusammensetzung abh¨ angig. Die Wärmeleitfähigkeit λ ist ein Skalar, sofern das Material isotrop ist, sein Wärmeleitvermögen zwar vom Ort, aber an einem festen Ort nicht von der Richtung abhängt. Isotrope Materialien werden wir, abgesehen von einigen speziellen Beispielen in 1

´ Jean Baptiste Fourier (1768–1830) war Professor f¨ ur Analysis an der Ecole Polytechnique in Paris und seit 1807 Mitglied der franz¨ osischen Akademie der Wissenschaften. 1822 erschien sein wichtigstes Werk, die Théorie analytique de la ” chaleur“. Sie ist die erste umfassende mathematische Theorie der W¨ armeleitung und enth¨ alt auch die Fourier-Reihen“ zur L¨ osung der Randwertaufgaben der ” instation¨ aren W¨ armeleitung.


5

Tabelle 1.1: W¨ armeleitf¨ ahigkeit ausgew¨ ahlter Stoffe bei 20 ℃ und 100 kPa

Stoff λ in W/K m Silber 427 Kupfer 399 Aluminium 99,2 % 209 Eisen 81 Legierte St¨ ahle 13 . . . 48 Mauerwerk 0,5 . . . 1,3 Schaumstoffplatten 0,02 . . . 0,09

Stoff λ in W/K m Wasser 0,598 Kohlenwasserstoffe 0,10 . . . 0,15 CO2 0,0162 Luft 0,0257 Wasserstoff 0,179 Krypton 0,0093 R 123 0,0090

Kapitel 3, stets voraussetzen, obwohl einige Stoffe eine richtungsabhängige Wärmeleitfähigkeit haben. So leitet Holz die Wärme in Faserrichtung wesentlich besser als quer dazu. In solchen nichtisotropen Medien ist λ ein Tensor 2. Stufe, die Vektoren q˙ und grad ϑ bilden dann, anders als in Abb. 1.2, einen Winkel. In einem isotropen Material steht der Vektor der Wärmestromdichte stets senkrecht auf den isothermen Fl¨ achen. F¨ ur den Wärmestrom dQ˙ durch ein beliebig orientiertes Fl¨ achenelement dA erhält man aus (1.3) und (1.5) ∂ϑ dA . dQ˙ = −λ ( grad ϑ) n dA = −λ ∂n

(1.6)

Dabei bedeutet ∂ ϑ/∂n die Ableitung von ϑ in Richtung der (äußeren) Normale des Flächenelements. Die Wärmeleitf¨ ahigkeit, deren SI-Einheit W/K m ist, gehört zu den wichtigsten Materialeigenschaften der W¨ arme¨ ubertragung. Ihre Druckabhängigkeit braucht nur bei Gasen und Fl¨ ussigkeiten beachtet zu werden. Die Temperaturabhängigkeit ist h¨ aufig nicht stark ausgeprägt, so dass sie vernachlässigt werden kann. Ausf¨ uhrlichere Tabellen von λ sind in Anhang B, Tabellen B.1 bis B.8, B.10 und B.11, zu finden. Wie aus der kurzen Tabelle 1.1 hervorgeht, haben Metalle sehr hohe W¨ armeleitf¨ ahigkeiten, feste elektrische Nichtleiter erheblich kleinere, w¨ ahrend Fl¨ ussigkeiten und vor allem Gase besonders kleine Werte von λ aufweisen. Hierauf beruht beispielsweise das geringe Wärmeleitvermögen schaumartiger Isolierstoffe; sie enthalten eine Vielzahl kleiner gasgef¨ ullter Hohlr¨ aume, und auch der diese Hohlräume umgebende Feststoff hat eine geringe W¨ armeleitf¨ ahigkeit.

1.1.2 Station¨ are, geometrisch eindimensionale W¨ armeleitung Als einfachen, aber praktisch wichtigen Anwendungsfall behandeln wir die von der Zeit unabhängige (= station¨ are) W¨ armeleitung in einer ebenen Wand, einem Hohlzylinder und einer Hohlkugel. Wir nehmen dabei an, Wärme ströme nur in eine Richtung, n¨ amlich senkrecht zu den beiden Oberflächen der ebenen Wand, beim Hohlzylinder und bei der Hohlkugel nur in radialer Richtung,

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Abb. 1.3. Das Temperaturfeld h¨ angt dann nur von einer Ortskoordinate ab; man spricht von geometrisch eindimensionaler Wärmeleitung.

Abb. 1.3: Station¨ are, geometrisch eindimensionale W¨ armeleitung. a Temperaturverlauf in einer ebenen Wand der Dicke δ = r2 − r1 , b Temperaturverlauf in einem Hohlzylinder (Rohrwand) oder einer Hohlkugel mit dem Innenradius r1 und dem Außenradius r2 .

Wir bezeichnen die Ortskoordinate in allen drei Fällen, auch bei der ebenen Wand, mit r. Die Koordinatenfl¨ achen r = const sind isotherme Flächen; es gilt also ϑ = ϑ(r). Insbesondere nehme ϑ f¨ ur r = r1 den konstanten Wert ϑ = ϑW1 , f¨ ur r = r2 den Wert ϑ = ϑW2 an. Diese beiden Oberflächentemperaturen seien gegeben. Gesucht ist der Zusammenhang zwischen dem ˙ der durch die ebene oder gekr¨ Wärmestrom Q, ummte Wand fließt, und der Temperaturdifferenz ϑW1 − ϑW2 . Zur Veranschaulichung nehmen wir ohne Einschränkung der Allgemeing¨ ultigkeit ϑW1 > ϑW2 an. Wärme fließt dann in Richtung wachsender Werte von r. Der W¨ armestrom Q˙ hat einen bestimmten Wert, der an der inneren und ¨ außeren Oberfläche und auf jeder Isotherme r = const gleich groß ist, weil im zeitlich stationären Zustand keine Energie in der Wand gespeichert werden kann. Nach dem Gesetz von Fourier erh¨ alt man f¨ ur den Wärmestrom dϑ Q˙ = q(r)A(r) ˙ = −λ(ϑ) A(r) . dr

(1.7)

F¨ ur die ebene Wand h¨ angt A nicht von r ab: A = A1 = A2 . Ist die Wärmeleitfähigkeit konstant, so wird auch der Temperaturgradient dϑ/dr konstant: Der stationäre Temperaturverlauf in einer ebenen Wand mit konstantem λ ist linear. Dies trifft aber nicht auf den Hohlzylinder und die Hohlkugel zu und gilt auch f¨ ur die ebene Wand nicht, wenn λ von der Temperatur abhängt. In diesen allgemeinen F¨ allen ergibt sich aus (1.7) dr −λ(ϑ) dϑ = Q˙ A(r) und nach Integration u ¨ber die Wanddicke δ = r2 − r1


r2

ϑW2

λ(ϑ) dϑ = Q˙

− ϑW1

7

dr . A(r)

r1

Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung kann man hierf¨ ur δ −λm (ϑW2 − ϑW1 ) = Q˙ Am oder

λm Q˙ = Am (ϑW1 − ϑW2 ) (1.8) δ setzen. Der Wärmestrom ist der Temperaturdifferenz zwischen den beiden Oberflächen direkt proportional. Fasst man die treibende“ Temperaturdiffe” renz in Analogie zur elektrischen Leitung als Potentialdifferenz (Spannung) auf, so entspricht λm Am /δ dem W¨ armeleitwert und sein Kehrwert RL :=

δ λm Am

(1.9)

dem Wärmeleitwiderstand. In Analogie zur Elektrizitätsleitung gilt dann Q˙ = (ϑW1 − ϑW2 ) /RL .

(1.10)

Die durch

ϑW2

1 λm := (ϑW2 − ϑW1 )

λ(ϑ) dϑ

(1.11)

ϑW1

eingef¨ uhrte mittlere W¨ armeleitf¨ ahigkeit des Wandmaterials lässt sich leicht berechnen. In vielen F¨ allen kann man die Temperaturabhängigkeit von λ vernachlässigen; dann ist λm = λ. H¨ angt λ linear von ϑ ab, so ergibt sich λm =

1 [λ (ϑW1 ) + λ (ϑW2 )] . 2

(1.12)

Diese Annahme einer linearen Temperaturabhängigkeit von λ f¨ ur den Bereich ϑW1 ≤ ϑ ≤ ϑW2 ist in der Regel ausreichend, wenn man bedenkt, dass λ selten mit einer kleineren relativen Unsicherheit als 1 bis 2 % gemessen werden kann. Die mittlere Fl¨ ache Am in (1.8) ist durch 1 1 := Am r2 − r1

r2 r1

definiert. Nun gilt

dr A(r)

(1.13)

8


⎧ A1 = A2 f¨ ur die ebene Wand ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ f¨ ur den Hohlzylinder der Länge L A(r) = 2πLr ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ f¨ ur die Hohlkugel . 4πr2 Aus (1.13) erhalten wir damit ⎧ ⎪ A1 = A2 = 21 (A1 + A2 ) ebene Wand ⎪ ⎪ ⎨ Am = (A2 − A1 ) / ln (A2 /A1 ) Hohlzylinder ⎪ ⎪ ⎪ ⎩√ A1 A2 Hohlkugel .

(1.14)

(1.15)

Die mittlere Fläche Am ergibt sich als ein Mittelwert der beiden Oberflächen A1 = A(r1 ) und A2 = A(r2 ). Wir erhalten das arithmetische Mittel bei der ebenen Wand, das logarithmische Mittel beim Hohlzylinder und das geometrische Mittel bei der Hohlkugel. Dabei gilt bekanntlich 1 A2 − A1 ≤ (A1 + A2 ) . A1 A2 ≤ ln (A2 /A1 ) 2 F¨ ur den Wärmeleitwiderstand der drei W¨ ande erhält man ⎧ δ ebene Wand ⎪ ⎪ λm A ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ln (d2 /d1 ) Hohlzylinder RL = 2πLλm ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (d2 /d1 ) − 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 2πd2 λm Hohlkugel .

(1.16)

Beim Hohlzylinder (Rohrwand) und bei der Hohlkugel wurde f¨ ur die Wanddicke 1 δ = r2 − r1 = (d2 − d1 ) 2 ucken gesetzt, so dass sich RL durch die beiden Durchmesser d1 und d2 ausdr¨ lässt. Wir bestimmen nun noch den Temperaturverlauf in den drei Wänden. Dabei beschränken wir uns auf den Fall λ = const. Mit A(r) nach (1.14) erhält man durch Integration von Q˙ dr − dϑ = λ A(r) f¨ ur das dimensionslose Temperaturverh¨ altnis ⎧ r −r 2 ebene Wand ⎪ ⎪ r − r1 ⎪ ⎪ 2 ⎪ ϑ(r) − ϑW2 ⎨ ln (r2 /r) = ln (r /r ) Hohlzylinder 2 1 ⎪ ϑW1 − ϑW2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1/r − 1/r2 ⎩ Hohlkugel . 1/r1 − 1/r2

(1.17)


9

Wie schon erwähnt, ist der station¨ are Temperaturverlauf in der ebenen Wand linear. Im Hohlzylinder besteht eine logarithmische, in der Hohlkugel eine hyperbolische Abh¨ angigkeit der Temperatur von der radialen Koordinate.

Abb. 1.4: Station¨ arer Temperaturverlauf nach (1.17) in einer ebenen, zylinderf¨ ormigen und kugelf¨ ormigen Wand mit gleicher Dicke δ und dem Verh¨ altnis r2 /r1 = 3.

Abb. 1.4 zeigt den Temperaturverlauf nach (1.17) in Wänden gleicher Dicke. Die größte Abweichung des logarithmischen und hyperbolischen Temperaturverlaufs von der geraden Linie tritt u ¨brigens an der Stelle r = rm auf, an der die Querschnittsfl¨ ache A(r) den Wert A (rm ) = Am nach (1.15) annimmt. Beispiel 1.1: Eine ebene Wand mit der Dicke δ = 0,48 m besteht aus feuerfesten Steinen, deren W¨ armeleitf¨ ahigkeit von der Temperatur abh¨ angt. Mit ϑ als Celsiustemperatur gilt zwischen 0 ℃ und 800 ℃ λ(ϑ) =

λ0 1 − bϑ

(1.18)

achentemperaturen mit λ0 = 0,237 W/K m und b = 4,41 · 10−4 K−1 . Die Oberfl¨ sind ϑW1 = 750 ℃ und ϑW2 = 150 ℃. Man berechne die W¨ armestromdichte ˙ q˙ = Q/A und den Temperaturverlauf in der Wand. Nach (1.8) erh¨ alt man f¨ ur die W¨ armestromdichte q˙ =

λm (ϑW1 − ϑW2 ) δ

mit der mittleren W¨ armeleitf¨ ahigkeit ϑW2

λm

1 = ϑW2 − ϑW1

λ(ϑ) dϑ = ϑW1

λ0 1 − bϑW2 . ln b (ϑW1 − ϑW2 ) 1 − bϑW1

(1.19)

10

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen Wir setzen zur Abk¨ urzung λ(ϑWi ) = λi (i = 1, 2) und erhalten ln(λ1 /λ2 ) ln(λ1 /λ2 ) = λ1 λ2 . 1 1 λ 1 − λ2 − λ2 λ1

λm =

(1.20)

asst sich aus den Werten von λ an den Die mittlere W¨ armeleitf¨ ahigkeit λm l¨ beiden Oberfl¨ achen berechnen; sie ist gleich dem Quadrat des geometrischen Mittels, dividiert durch das logarithmische Mittel aus λ1 und λ2 . Aus (1.18) ergibt sich λ1 = λ(ϑW1 ) = 0,354 W/K m ,

λ2 = λ(ϑW2 ) = 0,254 W/K m ,

ur die W¨ armestromdichte folgt aus (1.19) und damit wird λm = 0,298 W/K m. F¨ q˙ = 373 W/m2 . Unter der nicht zutreffenden Annahme einer linearen Temperaturabh¨ angigkeit von λ h¨ atte man 1 λm = (λ1 + λ2 ) = 0,304 W/K m 2 erhalten. Dieser um 1,9% zu große Wert ist aber eine noch brauchbare N¨ aherung, denn seine Abweichung vom genauen Wert liegt im Bereich der Unsicherheit, mit der die W¨ armeleitf¨ ahigkeit gemessen werden kann. Zur Berechnung des Temperaturverlaufs gehen wir von (1.7), also von −λ(ϑ) dϑ = q˙ dr aus und erhalten mit x := r − r1 ϑ

dϑ λ0 1 − bϑ = qx ˙ = ln 1 − bϑ b 1 − bϑW1

−λ0 ϑW1

Mit q˙ nach (1.19) und λm nach (1.20) folgt daraus ln

x 1 − bϑW2 1 − bϑ = ln 1 − bϑW1 δ 1 − bϑW1

oder

x/δ 1 − bϑW2 1 − bϑ = . 1 − bϑW1 1 − bϑW1 Schließlich erhalten wir mit (1.18)

x/δ 1 λ0 λ1 ϑ(x) = 1− b λ1 λ2

(1.21)

als Gleichung zur Berechnung des Temperaturverlaufs in der Wand. Abb. 1.5 zeigt ϑ(x) und die Abweichung Δϑ(x) vom linearen Temperaturverlauf armeleitf¨ ahigkeit zwischen ϑW1 und ϑW2 . Bei hohen Temperaturen, wo die W¨ groß ist, verl¨ auft die Temperatur flacher als bei niedrigen Temperaturen, wo λ(ϑ) kleiner ist. An jeder Stelle der Wand muss n¨ amlich das Produkt dϑ dx gleich groß sein. Kleinere W¨ armeleitf¨ ahigkeiten werden durch gr¨ oßere Temperaturgradienten kompensiert“. ” q˙ = −λ(ϑ)


11

Abb. 1.5: Station¨ arer Temperaturverlauf ϑ = ϑ (x/δ) nach (1.21) in einer ebenen Wand mit temperaturabh¨ angiger W¨ armeleitf¨ ahigkeit nach (1.18). Δϑ ist die Abweichung des Temperaturverlaufs von der Geraden, die sich bei konstantem λ ergibt, rechte Skala.

1.1.3 Konvektiver W¨ armeu ¨ bergang, W¨ armeu ¨ bergangskoeffizient In einem strömenden Fluid wird Energie nicht nur durch Wärmeleitung, sondern auch durch die makroskopische Bewegung des Fluids transportiert. Durch eine im Fluid ortsfest aufgespannte (gedachte) Fläche fließt somit Wärme durch Leitung aufgrund eines Temperaturgradienten und außerdem Energie als Enthalpie und kinetische Energie des Fluids, das diese Fläche durchströmt. ¨ Man spricht von konvektivem W¨ arme¨ ubergang und meint damit die Uberlagerung von Wärmeleitung und Energietransport durch das strömende Fluid. Von besonderem technischem Interesse ist der Wärme¨ ubergang zwischen einem strömenden Fluid und einer festen Wand, z.B. zwischen einer beheizten Rohrwand und dem im Rohr str¨ omenden kalten Gas. F¨ ur die Stärke dieses konvektiven Wärme¨ ubergangs ist die Fluidschicht in Wandnähe von Bedeuundetung; man nennt sie die Grenzschicht, und die von L. Prandtl2 1904 begr¨ te Grenzschichttheorie ist der Zweig der Str¨ omungslehre, der f¨ ur die Wärmeund Stoff¨ ubertragung besonders wichtig ist. In der Grenzschicht ändert sich 2

Ludwig Prandtl (1875–1953) war von 1904 bis zu seinem Tode Professor f¨ ur Angewandte Mechanik an der Universit¨ at G¨ ottingen und seit 1925 Direktor des KaiserWilhelm-Instituts f¨ ur Str¨ omungsforschung. Die von ihm entwickelte Grenzschichttheorie sowie seine Arbeiten u omungen, zur Tragfl¨ ugeltheorie ¨ber turbulente Str¨ ¨ und zur Theorie der Uberschallstr¨ omung sind grundlegende Beitr¨ age zur modernen Str¨ omungslehre.

12


Abb. 1.6: Verlauf der Str¨ omungsgeschwindigkeit w (linkes Bild) und der Temperatur ϑ (rechtes Bild) eines str¨ omenden Fluids als Funktionen des Wandabstands y. δ und δt kennzeichnen die Dicke der Geschwindigkeits- bzw. Temperaturgrenzschicht.

die parallel zur Wand gerichtete Komponente der Strömungsgeschwindigkeit vom Wert null an der Wand u ¨ber eine kurze Entfernung bis fast zum Maximalwert in der Kernstr¨ omung, Abb. 1.6. Auch die Temperatur des Fluids ändert sich vor allem in der Grenzschicht von der Wandtemperatur ϑW zum Wert ϑF in einigem Abstand von der Wand. Als Folge des Temperaturunterarme von der Wand in das strömende Fluid u schieds ϑW − ϑF geht W¨ ¨ber; ist ϑF > ϑW , so kehrt sich die Richtung des Wärmetransports um, das Fluid wird gek¨ uhlt. Die an der Wand auftretende Wärmestromdichte q˙W hängt in komplizierter Weise vom Temperatur- und Geschwindigkeitsfeld im Fluid ab, deren Berechnung auf erhebliche Schwierigkeiten stößt. Man hat daher q˙W = α (ϑW − ϑF )

(1.22)

gesetzt und damit eine neue Gr¨ oße, den ¨ ortlichen W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten q˙W α := (1.23) ϑW − ϑ F definiert. Durch diese Definition f¨ uhrt man die unbekannte Wärmestromubergangskoefdichte q˙W auf den allerdings genauso unbekannten Wärme¨ fizienten α zur¨ uck. Es hat daher immer wieder Forscher gegeben, die die Einf¨ uhrung von α als u ussig und entbehrlich angesehen haben. Die Benut¨berfl¨ zung von Wärme¨ ubergangskoeffizienten d¨ urfte trotz dieser Bedenken sinnvoll sein, denn bei bekanntem α lassen sich die beiden Grundfragen des konvektivem Wärme¨ ubergangs leicht beantworten: Wie groß ist q˙W , wenn die Temperaturdifferenz ϑW − ϑF gegeben ist, und welcher Temperaturunterschied ϑW − ϑF stellt sich ein,wenn eine bestimmte Wärmestromdichte q˙W zwischen Wand und Fluid u ¨bergeht? Um den Wärme¨ ubergangskoeffizienten mit dem Temperaturfeld im Fluid zu verkn¨ upfen und ihn damit berechenbar zu machen, betrachten wir die unmittelbare Wandn¨ ahe (Wandabstand y → 0). Außer bei extrem verd¨ unnten Gasen haftet das Fluid an der Wand, seine Geschwindigkeit ist hier gleich null, und Energie kann nur durch W¨ armeleitung transportiert werden. Es gilt


13

daher anstelle von (1.22) die physikalisch begr¨ undete Beziehung (Gesetz von Fourier)

∂ϑ q˙W = −λ . (1.24) ∂y W armeleitf¨ ahigkeit des Fluids bei der WandHierin ist λ, genauer λ(ϑW ), die W¨

Abb. 1.7: Temperaturverlauf ϑ = ϑ (y) im str¨ omenden Fluid als Funktion des Wandabstands y und Veranschaulichung des Quotienten λ/α als Subtangente.

temperatur. Die W¨ armestromdichte q˙W ergibt sich aus der Steigung des Temperaturprofils im Fluid an der Wand, Abb. 1.7. Aus der Definitionsgleichung (1.23) folgt f¨ ur den W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten

∂ϑ ∂y W α = −λ . (1.25) ϑW − ϑF Danach wird α durch die Steigung des Temperaturprofils an der Wand und durch die Differenz zwischen Wand- und Fluidtemperatur bestimmt. Zur Berechnung des Wärme¨ ubergangskoeffizienten ist somit die Kenntnis des Temperaturfelds im Fluid erforderlich. Dieses wird durch das Geschwindigkeitsfeld beeinflusst. Daher liefert neben den Energiebilanzen der Thermodynamik die Strömungslehre die grundlegenden Beziehungen zur theoretischen Erfassung des konvektiven W¨ arme¨ ubergangs. Aus (1.25) folgt eine einfache graphische Veranschaulichung von α. Wie Abb. 1.7 zeigt, bedeutet das Verh¨ altnis λ/α eine Strecke, und zwar die in der Höhe ϑ = ϑF liegende Subtangente des Temperaturprofils an der Wand. Die Länge der Strecke λ/α hat die Gr¨ oßenordnung der (thermischen) Grenzschichtdicke, auf deren Berechnung wir in den Abschnitten 3.5 und 3.7.1 eingehen werden und die in der Regel etwas gr¨ oßer als λ/α ist. Eine d¨ unne Grenzschicht bedeutet demnach g¨ unstige W¨ arme¨ ubergangsverhältnisse, während umgekehrt eine dicke Grenzschicht kleine Werte von α zur Folge hat. In der Definition des ¨ ortlichen W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten nach (1.23) tritt die Temperatur ϑF des Fluids in einem größeren Abstand von der Wand auf. Umströmt das Fluid einen K¨ orper (external flow), so versteht man unter

14


Abb. 1.8: Temperaturverlauf in einem Kanalquerschnitt. Wandtemperatur ϑW und mittlere Fluidtemperatur ϑF .

ϑF die Temperatur in einem so großen Abstand von der Körperoberfläche, dass sie durch den W¨ arme¨ ubergang kaum beeinflusst ist. Man nennt ϑF die Freistromtemperatur und bezeichnet sie oft mit ϑ∞ . Strömt dagegen das Fluid in einem Kanal (internal flow), z.B. in einem beheizten Rohr, so wird die Fluidtemperatur an allen Stellen des Kanalquerschnitts durch den Wärme¨ ubergang an der Kanalwand beeinflusst, und es stellt sich ein Temperaturprofil ein, wie es Abbildung 1.8 zeigt. Hier definiert man ϑF als einen Querschnittsmittelwert der Temperatur, und zwar so, dass ϑF auch f¨ ur den Energietransport des strömenden Fluids in Richtung der Kanalachse charakteristisch ist. Diese upft den von der Kanalwand u Definition von ϑF verkn¨ ¨bergehenden und durch α charakterisierten W¨ armestrom mit dem Energietransportstrom durch das strömende Fluid. Zur sinnvollen Definition von ϑF betrachten wir einen kleinen Abschnitt des Kanals, Abb. 1.9. Der von der Kanalwand mit der Fl¨ ache dA an das Fluid u ¨bergehende W¨ armestrom ist dQ˙ = α (ϑW − ϑF ) dA . (1.26) Nach dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik gilt unter Vernachl¨ assigung der ¨ Anderung der kinetischen Energie dQ˙ = H˙ + dH˙ − H˙ = dH˙ . (1.27) ¨ Der u armestrom bewirkt die Anderung des Enthalpiestroms H˙ des ¨bergehende W¨ str¨ omenden Fluids. Der Querschnittsmittelwert ϑF der Fluidtemperatur ist nun so definiert, dass sich der Enthalpiestrom w h(ϑ) dAq = M˙ h(ϑF )

H˙ = (Aq )

als Produkt aus dem Massenstrom M˙ =

w dAq (Aq )

und der spez. Enthalpie h(ϑF ) bei der Mitteltemperatur ϑF schreiben l¨ asst.

(1.28)


15

Abb. 1.9: Energiebilanz f¨ ur einen Kanalabschnitt (linkes Bild); Verlauf der Str¨ omungsgeschwindigkeit w und der Temperatur ϑ im Kanalquerschnitt (rechtes Bild).

Man bezeichnet ϑF auch als adiabate Mischungstemperatur. Darunter versteht man jene Mitteltemperatur, die sich beim adiabaten Vermischen aller Fluidelemente eines Querschnitts in einem Beh¨ alter einstellt, so dass sie diesen mit der konstanten Temperatur ϑF verlassen. Nach dem ersten Hauptsatz muss dann der Enthalpiestrom ˙ mit dem der Stoffstrom unvermischt in den adiabaten Beh¨ H, alter eintritt, gleich alter verl¨ asst. dem Enthalpiestrom M˙ h (ϑF ) sein, mit dem das Fluid den Mischbeh¨ Dies entspricht Gl. (1.28), mit der wir ϑF implizit definiert haben. Zur Berechnung der adiabaten Mischungstemperatur ϑF vernachl¨ assigt man die geringe Druckabh¨ angigkeit der spez. Enthalpie und setzt h(ϑ) = h0 + [cp ]ϑ ϑ0 (ϑ − ϑ0 ) und

F h(ϑF ) = h0 + [cp ]ϑ ϑ0 (ϑF − ϑ0 )

armekapazit¨ at des Fluids zwischen ϑ und der Bemit [cp ]ϑ ϑ0 als mittlerer spez. W¨ zugstemperatur ϑ0 , bei der h(ϑ0 ) = h0 ist. Damit erh¨ alt man aus (1.28)

ϑ F = ϑ0 +

1

F M˙ [cp ]ϑ ϑ0 (Aq )

w [cp ]ϑ ϑ0 (ϑ − ϑ0 ) dAq .

(1.29)

F¨ ur die praktische Rechnung nimmt man eine konstante spez. W¨ armekapazit¨ at cp an und erh¨ alt 1 (1.30) ϑF = w ϑ dAq ˙ M (Aq ) sowie dH˙ = M˙ cp dϑF . (1.31) Die nach (1.30) gebildete adiabate Mischungstemperatur stellt somit f¨ ur jeden Kanalquerschnitt eine Verbindung zwischen dem ¨ ortlichen W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten α nach (1.23) und dem Enthalpiestrom her, denn aus (1.26), (1.27) und (1.31) folgt dQ˙ = α (ϑW − ϑF ) dA = M˙ cp dϑF . (1.32) Die adiabate Mischungstemperatur ϑF ist vom integralen Querschnittsmittelwert

16


ϑm =

1 ϑ dAq Aq (Aq )

der Temperatur verschieden; sie stimmt mit diesem nur u ¨berein, wenn die Geschwindigkeit an jeder Stelle des Querschnitts gleich ist, also eine Kolbenstr¨ omung mit w = const vorliegt.

Abb. 1.10: Verlauf der mittleren Fluidtemperatur ϑF , der Wandtemortlichen W¨ armeperatur ϑW und des ¨ u ¨bergangskoeffizienten α als Funktionen der axialen Koordinate z bei Erw¨ armung eines Fluids in einem Rohr der L¨ ange L.

Wir haben bisher den o arme¨ ubergangskoeffizienten betrachtet, ¨rtlichen W¨ der an jeder Stelle der Wand verschieden sein kann. In der Praxis benötigt man h¨ aufig nur einen mittleren W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten αm , um den gesamten von einer Fläche A an das Fluid u ¨bergehenden Wärmestrom Q˙ zu berechnen: Q˙ = αm AΔϑ oder

Q˙ . (1.33) AΔϑ In dieser Definitionsgleichung ist Δϑ eine beliebige Temperaturdifferenz, auf deren sinnvolle Wahl wir noch eingehen werden. Ist der örtliche W¨ arme¨ ubergangskoeffizient α bekannt, so kann man αm durch Integration finden. F¨ ur den u ¨bertragenen Wärmestrom erhält man αm :=

Q˙ =

α (ϑW − ϑF ) dA .

q(A) ˙ dA = (A)

(1.34)

(A)

Im Integranden variieren alle drei Gr¨ oßen — α, ϑW und ϑF — u ¨ber der Fläche. Dies zeigt Abb. 1.10 f¨ ur das Beispiel eines Rohres, in dem sich ein Fluid erwärmt. Dabei sollen die drei Gr¨ oßen von der axialen Koordinate z, nicht aber vom Umfangswinkel abh¨ angen. F¨ ur den mittleren Wärme¨ ubergangskoeffizienten erhält man aus (1.33) und (1.34)


1 αm = AΔϑ

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α (ϑW − ϑF ) dA .

(A)

Bei umstr¨ omten K¨ orpern ist die Freistromtemperatur ϑF = ϑ∞ meistens konstant. Man wird daher Δϑ mit ϑ∞ und einer charakteristischen Wandtemperatur ϑW definieren: Δϑ = ϑW − ϑ∞ . Ist außerdem die Wandtemperatur ur den des umströmten K¨ orpers konstant, so erh¨ alt man mit Δϑ = ϑW − ϑ∞ f¨ mittleren Wärme¨ ubergangskoeffizienten

αm =

1 A

α dA .

(A)

Liegt eine Kanalstr¨ omung vor, so kann man Q˙ entweder durch Integration u ubertragende Kanalfl¨ ache A oder einfacher nach (1.32) ¨ber die wärme¨ berechnen: Q˙ = M˙ cp (ϑFa − ϑFe ) . Daraus folgt mit (1.33) αm =

M˙ cp (ϑFa − ϑFe ) , AΔϑ

wobei ϑFa und ϑFe die mittleren Fluidtemperaturen am Eintritt und am Austritt des Kanals bedeuten. F¨ ur Δϑ benutzt man nun bestimmte Mittelwerte der Temperaturdifferenzen ϑW − ϑF am Eintritt und am Austritt des Kanals, insbesondere das logarithmische Mittel Δϑlog =

(ϑW − ϑF )e − (ϑW − ϑF )a ϑFa − ϑFe = (ϑW − ϑF )e (ϑ − ϑF )e ln ln W (ϑW − ϑF )a (ϑW − ϑF )a

(1.35)

Bezieht man αm auf das logarithmische Mittel, so erhält man αm =

(ϑW − ϑF )e M˙ cp ln . A (ϑW − ϑF )a

(1.36)

Um αm experimentell zu bestimmen, m¨ ussen neben M˙ nur die Wandtemperaturen und die mittleren Fluidtemperaturen im Eintritts- und Austrittsquerschnitt des Kanals gemessen werden. Der Bezug von αm auf den logarithmischen Mittelwert nach (1.35) wird auch durch folgendes Ergebnis nahegelegt: Sind die Wandtemperatur ϑW und der ¨ ortliche W¨ arme¨ ubergangskoeffizient α konstant, so erh¨ alt man nur dann das naheliegende Resultat αm = α, wenn Δϑlog zur Definition von αm verwendet wird. Aus (1.32) folgt n¨ amlich α dA dϑF = . ϑ W − ϑF M˙ cp

18


Integration bei konstantem α und konstanter Wandtemperatur ϑW liefert ln

(ϑW − ϑF )e αA = . (ϑW − ϑF )a M˙ cp

Setzt man dies in (1.36) ein, so folgt αm = α.

1.1.4 Die Bestimmung von W¨ armeu ¨ bergangskoeffizienten. Dimensionslose Kennzahlen Die Berechnung von W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten nach (1.25) setzt die Kenntnis des Temperaturfelds im str¨ omenden Fluid voraus. Das Temperaturfeld wiederum lässt sich erst dann bestimmen, wenn man das Geschwindigkeitsfeld kennt. Nur in relativ einfachen F¨ allen kann man durch Lösen der grundlegenden partiellen Differentialgleichungen f¨ ur das Geschwindigkeitsund Temperaturfeld W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten exakt berechnen. Beispiele hierf¨ ur sind der W¨ arme¨ ubergang bei ausgebildeter laminarer Rohrströmung und bei der längs angestr¨ omten ebenen Platte mit laminarer Grenzschicht. Schon bei turbulenter Str¨ omung muss man auf vereinfachte Modellvorstellungen zur¨ uckgreifen, und noch kompliziertere W¨ arme¨ ubergangsprobleme wie die der Blasenverdampfung entziehen sich bisher weitgehend einer theoretischen Behandlung. Eine wichtige Methode zur Gewinnung von Wärme¨ ubergangskoeffizienten war und ist daher das Experiment. Aus gemessenen Wärmeströmen oder W¨ armestromdichten und gemessenen Wand- und Fluidtemperaturen wird ein arme¨ ubergangskoeffizient nach (1.25) und (1.33) örtlicher oder mittlerer W¨ bestimmt. Um das W¨ arme¨ ubergangsproblem umfassend zu lösen, m¨ ussen bei derartigen Messungen alle Gr¨ oßen variiert werden, die den Wärme¨ ubergang beeinflussen. Zu diesen Einflussgr¨ oßen geh¨ oren neben den geometrischen Abmessungen (z.B. Durchmesser und L¨ ange eines durchströmten Rohres) eine charakteristische Str¨ omungsgeschwindigkeit und die Materialeigenschaften des Fluids, nämlich seine Dichte, Viskosit¨ at, Wärmeleitfähigkeit und spez. W¨ armekapazität. Die Zahl der zu variierenden Einflussgr¨ oßen liegt in der Regel zwischen f¨ unf und zehn. Um den Einfluss einer bestimmten Größe zu quantifizieren, wird man Versuche mit mindestens n (z.B. n = 5) verschiedenen Werten dieser Größe ausf¨ uhren m¨ ussen, wobei alle anderen Einflussgrößen konstant gehalten werden. Will man insgesamt m Einflussgrößen auf diese Weise ber¨ ucksichtigen so sind nm Einzelversuche erforderlich. Bei sechs Einflussgrößen und uhren. Sie verlangen einen n = 5 wären bereits 56 = 15625 Versuche auszuf¨ erheblichen Zeit- und Mittelaufwand. Eine wirksame Verringerung des Versuchsaufwands erreicht man durch An¨ wenden der Ahnlichkeitsoder Modelltheorie, vgl. hierzu [1.19], [1.20]. Hierbei


19

geht man von dem Grundsatz aus, dass sich die Geschwindigkeits- und Temperaturfelder (ebenso wie andere physikalische Zusammenhänge) durch dimensionslose Kenngr¨ oßen oder Kennzahlen beschreiben lassen. Dieser Sachverhalt ist Ausdruck des allgemeinen Prinzips, dass die Lösung eines physikalischen Problems unabh¨ angig von dem zuf¨ allig gew¨ ahlten Maßsystem sein muss und sich daher durch dimensionslose Variable darstellen lassen muss. Um diese zu bilden, werden die Ortskoordinaten durch Division mit einer charakteristischen Länge, die Geschwindigkeitskomponenten mit einer konstanten Bezugsgeschwindigkeit und die Temperatur durch Bezug auf eine charakteristische Temperaturdifferenz dimensionslos gemacht. Temperatur- und Geschwindigkeitsfelder, die in dimensionslosen Koordinaten u ¨bereinstimmen, bezeichnet man als ähnliche Felder. Sie lassen sich allein durch Maßstabsänderung, ¨ n¨ amlich durch Andern der Bezugsgr¨ oßen ineinander u uhren. ¨berf¨ Geschwindigkeits- und Temperaturfelder sind jedoch nur dann ähnlich, wenn auch die dimensionslosen Kennzahlen, von denen die Felder abhängen, u ¨bereinstimmen. Diese Kennzahlen enthalten geometrische Größen, maßgebende Geschwindigkeiten und Temperaturdifferenzen sowie Materialeigenschaften des wärme¨ ubertragenden Fluids. Die Zahl der dimensionslosen Kenngrößen ist merklich geringer als die Zahl der insgesamt vorhandenen Einflussgrößen. Der experimentelle Aufwand wird erheblich verringert, denn man braucht nur noch den f¨ ur das W¨ arme¨ ubergangsproblem maßgebenden funktionalen Zusammenhang zwischen den dimensionslosen Kennzahlen durch gezielte Experimente zu ermitteln. Dabei werden primär die Werte der Kennzahlen variiert und nicht die Werte der weit zahlreicheren Einzelgrößen, aus denen sich die Kennzahlen zusammensetzen. Auch die theoretische L¨ osung eines W¨ arme¨ ubergangsproblems wird klarer strukturiert, wenn man mit dimensionslosen Variablen und Kennzahlen arbeitet. Es empfiehlt sich daher, zu Beginn der theoretisch-rechnerischen Behandlung eines Problems, dimensionslose Gr¨ oßen einzuf¨ uhren. Auch Auswertung und Darstellung der gefundenen L¨ osung werden vereinfacht, wenn man die oßen dadurch möglichst klein hält, Zahl der unabhängig zu variierenden Gr¨ dass man mit dimensionslosen Ver¨ anderlichen und Kenngrößen arbeitet. Um die f¨ ur den W¨ arme¨ ubergang maßgebenden Kenngrößen zu finden, geht man von den partiellen Differentialgleichungen f¨ ur das Geschwindigkeits- und Temperaturfeld aus. Die dort auftretenden Variablen, nämlich die Ortskoordinaten, die Geschwindigkeitskomponenten und die Temperatur, werden durch Division mit einer charakteristischen L¨ ange, Geschwindigkeit bzw. Temperatur dimensionslos gemacht. Die das Problem beschreibenden Gleichungen bringt man ebenfalls in dimensionslose Form, wobei dimensionslose Potenzprodukte aus den gew¨ ahlten charakteristischen Größen (Länge, Geschwindigkeit und Temperatur) und aus den Fluideigenschaften wie Dichte, Viskosität und Wärmeleitfähigkeit entstehen: dies sind die gesuchten Kennzahlen. Wir zeigen dieses Vorgehen beispielhaft an der Beziehung (1.25), die den ubergangskoeffizienten α mit dem Temperaturfeld verkn¨ upft. örtliche Wärme¨ ange des Problems, z.B. dem DurchmesMit L0 als einer charakteristischen L¨

20


ser eines vom Fluid durchstr¨ omten Rohres, bildet man den dimensionslosen Wandabstand y + := y/L0 . Die Temperatur ϑ kann durch eine charakteristische Temperaturdifferenz Δϑ0 und, da nur Temperaturdifferenzen und Temperaturableitungen auftreten, durch Subtrahieren einer Bezugstemperatur ϑ0 dimensionslos gemacht werden: ϑ − ϑ0 ϑ+ := . (1.37) Δϑ0 Durch eine dem W¨ arme¨ ubergangsproblem angepasste Wahl von ϑ0 wird der Nullpunkt der dimensionslosen Temperatur ϑ+ festgelegt. Damit erhält man aus (1.25) λ (∂ϑ+ /∂y + )W α=− + L0 ϑ+ W − ϑF oder

(∂ϑ+ /∂y + )W αL0 =− + λ ϑ+ W − ϑF

(1.38)

Da auf der rechten Seite von (1.38) ein dimensionsloser Ausdruck steht, gilt dies auch f¨ ur die linke Seite. Das hier auftretende Potenzprodukt aus dem Wärme¨ ubergangskoeffizienten α, einer charakteristischen Länge L0 des Wärme¨ ubergangsproblems und der W¨ armeleitfähigkeit λ des Fluids wird als Nußelt-Zahl (1.39) N u := αL0 /λ bezeichnet. Diese Kennzahl und die im Folgenden hergeleiteten Kennzahlen werden nach bedeutenden Forschern — hier nach W. Nußelt3 — benannt und durch die ersten beiden Buchstaben ihres Namens im Sinne eines Formelzeichens abgek¨ urzt. Die Bestimmung von α ist damit auf die Berechnung der Nußelt-Zahl zur¨ uckgef¨ uhrt. Nach (1.38) h¨ angt N u vom dimensionslosen Temperaturfeld ab, und wir m¨ ussen kl¨ aren, welche Kennzahlen die dimensionslose Temperauhrenden Kapitel nicht von tur ϑ+ bestimmen. Dazu gehen wir in diesem einf¨ den maßgebenden Differentialgleichungen aus — dies wird in Kapitel 3 geschehen —, sondern stellen eine Liste der physikalischen Einflussgrößen auf und ermitteln die aus diesen Gr¨ oßen zu bildenden dimensionslosen Kenngrößen. 3

Wilhelm Nußelt (1882–1957) wurde 1920 als Professor f¨ ur Theoretische Maschinenlehre an die Technische Hochschule Karlsruhe berufen; von 1925 bis 1952 lehrte er an der Technischen Hochschule M¨ unchen. 1915 ver¨ offentlichte er die grundlegende Arbeit Die Grundgesetze des W¨ arme¨ ubergangs“, in der er erstmals die ” dimensionslosen Kenngr¨ oßen einf¨ uhrte. Weitere wichtige Untersuchungen betrafen den W¨ arme¨ ubergang bei der Filmkondensation, die W¨ arme¨ ubertragung bei Kreuzstrom und die Analogie zwischen W¨ armeund Stoff¨ ubertragung bei der Verdunstung.


21

Die dimensionslose Temperatur ϑ+ nach (1.37) hängt von den dimensionslosen Ortskoordinaten x+ := x/L0 ,

y + := y/L0 ,

z + := z/L0

und einer Reihe von Kennzahlen Ki ab: ϑ+ = ϑ+ x+ , y + , z + , K1 , K2 , . . . .

(1.40)

Einige dieser Kennzahlen sind rein geometrische Parameter. Beim Wärme¨ ubergang an der Wand eines durchstr¨ omten Rohres mit dem Durchmesser d und der Länge L ist eine solche Kennzahl das Verhältnis L/d (oder sein Kehrwert d/L). Nur Rohre mit gleichen Werten von L/d sind geometrisch ähnlich. Diese geometrischen Kennzahlen wollen wir hier nicht explizit betrachten, sondern diejenigen Kennzahlen herleiten, die unabhängig von der Geometrie das Strömungs- und Temperaturfeld bestimmen. Neben einer charakteristischen L¨ ange L0 und einer charakteristischen Geschwindigkeit w0 , z.B. die Eintrittsgeschwindigkeit in ein Rohr oder die Anstr¨ omgeschwindigkeit bei einem umstr¨ omten Körper, bestimmen zwei Stoffwerte, die Dichte und die Viskosit¨ at η des Fluids, das Geschwindigkeitsfeld. W¨ ahrend die Dichte bereits bei reibungsfreier Strömung eine Rolle spielt, ist die Viskosität jene Fluideigenschaft, die f¨ ur Reibungsvorgänge und die Ausbildung der Grenzschicht charakteristisch ist. F¨ ur das Temperaturfeld sind neben einer charakteristischen Temperaturdifferenz Δϑ0 zwei weitere Materialeigenschaften von Bedeutung: die W¨ armeleitfähigkeit λ und die spez. Wäroße verkn¨ upft die Enthalpie des Fluids mekapazität cp des Fluids. Diese Gr¨ mit seiner Temperatur. Wir haben damit insgesamt sieben Einflussgrößen, nämlich L0 , w0 , , η, Δϑ0 , λ

und cp ,

von denen das Temperaturfeld und damit u ubergangs¨ber (1.38) der Wärme¨ koeffizient und sein dimensionsloses Gegenst¨ uck, die Nußelt-Zahl abhängen. Aus den sieben Gr¨ oßen werden nun die dimensionslosen Kennzahlen Ki als Potenzprodukte gebildet. Mit passend gew¨ ahlten Exponenten a bis g gilt dann Ki = La0 · w0b · c · η d · Δϑe0 · λf · cgp ,

i = 1, 2, . . .

(1.41)

Die Dimension einer jeden der sieben Einflussgrößen lässt sich als Potenzprodukt der vier Grunddimensionen L¨ ange L, Zeit Z, Masse M und Temperatur T schreiben, die ausreichen, um das Gebiet der Thermodynamik und Wärme¨ ubertragung zu erfassen. So ist zum Beispiel die Dichte als Quotient aus Masse und Volumen definiert; sie hat damit die Dimension Masse, dividiert durch die Dimension L¨ ange hoch drei: dim = M/L3 .

22


Tabelle 1.2: Werte der Exponenten a, e und f in (1.41) und (1.42) und die sich daraus ergebenden Kennzahlen Ki . i 1 2 3

a 1 0 0

e 0 0 −1

f 0 −1 0

Ki w0 L0 η −1 ηcp λ−1 2 −1 w0 cp Δϑ−1 0

Dr¨ uckt man in gleicher Weise die Dimensionen der anderen sechs Einflussgrößen durch L, Z, M und T aus, so erh¨ alt man aus (1.41) f¨ ur die Dimension von Ki dim Ki = La Lb Z−b Mc L−3c Md L−d Z−d Te Mf Lf Z−3f T−f L2g Z−2g T−g . Soll nun Ki eine dimensionslose Kennzahl sein, so muss dim Ki = 1 gelten. Damit diese Bedingung erf¨ ullt ist, m¨ ussen die Exponenten der vier Grunddimensionen L, Z, M und T null sein. Wir erhalten daraus vier homogene Gleichungen f¨ ur die sieben Exponenten, n¨ amlich dim L dim Z dim M dim T

=1: =1: =1: =1:

a + b − 3c − d −b −d c +d

+ f + 2g = 0 − 3f − 2g = 0 + f =0 e− f − g =0 .

(1.42)

Da vier homogene Gleichungen zwischen den Exponenten der sieben Einflussgrößen bestehen, kann man 7 − 4 = 3 unabh¨ angige dimensionslose Kennzahlen bilden. Man erh¨ alt sie, indem man drei Exponenten willk¨ urlich vorgibt. Dies ist auf unendlich viele Arten m¨ oglich, so dass man beliebig viele Kennzahlen erhält; aber nur drei Kennzahlen sind voneinander unabhängig, alle weiteren ergeben sich als Potenzprodukte dieser drei Kennzahlen und liefern somit keine inhaltlich neue Beschreibung des dimensionslosen Temperaturfeldes. Wir erhalten die drei am h¨ aufigsten benutzten Kennzahlen, indem wir in ur die Exponenten a, e und f die in Tabelle 1.2 den vier Gleichungen (1.42) f¨ angegebenen Werte einsetzen und die Werte f¨ ur b, c, d und g aus (1.42) berechnen. Damit erhält man aus (1.41) die in Tabelle 1.2 verzeichneten Kennzahlen K1 , K2 , K3 . omungslehre bekannt und wird als ReynoldsDie Kennzahl K1 ist in der Str¨ Zahl4 4

Osborne Reynolds (1842–1912) war von 1868 bis 1905 Professor f¨ ur Ingenieurwissenschaften in Manchester, England. Er wurde durch seine grundlegenden Arbei¨ ten zur Str¨ omungsmechanik bekannt. Er untersuchte insbesondere den Ubergang von der laminaren in die turbulente Str¨ omung und entwickelte die mathematischen Grundlagen zur Beschreibung turbulenter Str¨ omungen.


Re :=

w 0 L0 w0 L0 = η ν

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(1.43)

bezeichnet. Anstelle von η f¨ uhrt man dabei die kinematische Viskosität ν := η/ mit der SI-Einheit m2 /s ein. Die Reynolds-Zahl kennzeichnet den Einfluss der Reibungs- und Tr¨ agheitskr¨ afte auf das Str¨ omungsfeld. Die zweite Kennzahl K2 enthält nur Stoffwerte des Fluids. Man nennt sie Prandtl-Zahl P r :=

ηcp ν = , λ a

(1.44)

wobei a := λ/cp die Temperaturleitf¨ ahigkeit des Fluids bedeutet. Die Prandtl-Zahl verkn¨ upft das Temperaturfeld mit dem Geschwindigkeitsfeld. Die dritte Kennzahl K3 wird als Eckert-Zahl5 bezeichnet: Ec :=

w02 . cp Δϑ0

(1.45)

Sie beeinflusst allein das Temperaturfeld und muss nur dann beachtet werden, wenn durch Reibung im Fluid eine nennenswerte Erwärmung hervorgerufen wird. Dies ist nur bei sehr großen Geschwindigkeiten in der Größenordnung der Schallgeschwindigkeit der Fall und bei sehr starken Geschwindigkeitsgradienten, wie sie bei der Str¨ omung durch enge Spalten auftreten können. Das dimensionslose Temperaturfeld h¨ angt von den dimensionslosen Koordinaten und den drei Kennzahlen Re, P r und Ec ab sowie von den geometrischen Kenngrößen, die zur Beschreibung der Geometrie des Wärme¨ ubergangsproblems erforderlich sind. Wir fassen diese geometrischen Kennzahlen abk¨ urzend in der Bezeichnung Kgeom zusammen und erhalten ϑ+ = ϑ+ x+ , y + , z + , Re, P r, Ec, Kgeom . Die örtliche Nußelt-Zahl ergibt sich aus ϑ+ nach (1.38). Sie hängt nicht von y + ab, wenn wir y + als dimensionslosen Wandabstand interpretieren, so dass der Temperaturgradient an der Wand f¨ ur y + = 0 zu berechnen ist. Somit wird N u = f x+ , z + , Re, P r, Ec, Kgeom . (1.46) 5

Ernst Rudolph Georg Eckert (1904–2004) untersuchte zwischen 1935 und 1938 die Strahlungseigenschaften fester K¨ orper und die Gasstrahlung von CO2 und H2 O. 1938 wurde er Dozent an der Technischen Hochschule Braunschweig und arbeitete an der dortigen Luftfahrt-Forschungs-Anstalt u arme¨ ubergang bei ¨ber W¨ hohen Geschwindigkeiten. Er ging 1945 in die USA, wo er 1951 Professor an der Universit¨ at von Minnesota wurde. Mit seinen Sch¨ ulern behandelte er zahlreiche Probleme der W¨ arme¨ ubertragung.

24


Der mittlere Wärme¨ ubergangskoeffizient αm nach (1.33) hängt auch von x+ + und z nicht ab. Die mit αm gebildete mittlere Nußelt-Zahl N um ist nur eine Funktion von Kennzahlen: N um :=

αm L0 = F (Re, P r, Ec, Kgeom ) . λ

(1.47)

Wie schon erwähnt, muss der Einfluss der Eckert-Zahl nur in Ausnahmefällen ber¨ ucksichtigt werden. Man kann daher in der Regel Ec in (1.46) und (1.47) fortlassen. Bei den folgenden Ausf¨ uhrungen werden wir dies tun. Die Art der Abh¨ angigkeit zwischen der Nußelt-Zahl und den anderen Kennzahlen, also die Gestalt der Funktionen in (1.46) und (1.47), muss durch die Theorie, eine geeignete Modellbildung oder auf der Grundlage von Experimenten bestimmt werden. Die Art dieser Abhängigkeit der Kennzahlen ist nat¨ urlich von Problem zu Problem verschieden. F¨ ur den Fall der Rohrströmung erhält man mit L0 = d, dem Rohrdurchmesser,

αm d w0 d ν L = FRohr , , λ ν a d oder N um = FRohr (Re, P r, L/d) . F¨ ur den Wärme¨ ubergang zwischen einer Kugel und dem Fluid, das sie umströmt, gilt

w0 d ν αm d = FKugel , λ ν a oder N um = FKugel (Re, P r) . Eine geometrische Kennzahl tritt hier nicht auf, denn eine Kugel ist bereits durch ihren Durchmesser d geometrisch vollst¨ andig gekennzeichnet. Die Funktionen FRohr und FKugel haben eine unterschiedliche Gestalt, da unterschiedliche Strömungsfelder und verschiedene W¨ arme¨ ubergangsbedingungen bei der Durchströmung eines Rohres und bei der Umströmung einer Kugel vorliegen. Nicht nur die geometrischen Verh¨ altnisse und die Strömungsbedingungen haben erheblichen Einfluss auf den Zusammenhang zwischen der Nußelt-Zahl und den u ¨brigen Kennzahlen. Auch die thermischen Randbedingungen beeinflussen den Wärme¨ ubergang. So ergeben sich z.B. bei gleichen Werten von Re und P r verschiedene Nußelt-Zahlen f¨ ur eine l¨ angs angeströmte Platte, wenn einmal die Platte eine konstante Wandtemperatur ϑW hat und zum anderen eine konstante W¨ armestromdichte q˙W vorgegeben ist, so dass sich die Oberflächentemperatur ϑW von selbst einstellt. Wie schon erw¨ ahnt, kann man statt der bisher eingef¨ uhrten Kennzahlen N u, Re, P r und Ec auch andere benutzen, die sich aus ihnen als Potenzprodukte ergeben.


25

So verwendet man anstelle der Reynolds-Zahl auch die Péclet-Zahl6 Pe =

w0 L0 w0 cp L0 = = Re P r , a λ

(1.48)

die als Produkt aus Reynolds- und Prandtl-Zahl geschrieben werden kann. In der amerikanischen Literatur wird die Nußelt-Zahl h¨ aufig durch die Stanton-Zahl7 St :=

α Nu = w0 cp Re P r

(1.49)

ersetzt. Die Stanton-Zahl eignet sich zur Beschreibung des W¨ arme¨ ubergangs in Kan¨ alen und l¨ asst sich hierbei anschaulich deuten. Wir zeigen dies f¨ ur die mit einem mittleren W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten αm gebildete Stanton-Zahl Stm := αm /w0 cp , in der w0 = M˙ /Aq die mittlere Str¨ omungsgeschwindigkeit im Kanal mit der konstanten Querschnittsur den W¨ armestrom, der zwischen Kanalwand (Fl¨ ache A) und fl¨ ache Aq bedeutet. F¨ dem Fluid u ¨bertragen wird, gilt ˙ cp (ϑFa − ϑFe ) , Q˙ = αm AΔϑ = M woraus man f¨ ur die Stanton-Zahl Stm =

Aq ϑFa − ϑFe A Δϑ

¨ erh¨ alt. Sie gibt also die mit dem Fl¨ achenverh¨ altnis Aq /A multiplizierte Anderung der Fluidtemperatur zwischen Eintritts- und Austrittsquerschnitt an, bezogen auf ahlt man die zur Definition von αm benutzte treibende“ Temperaturdifferenz Δϑ. W¨ ” hierf¨ ur die logarithmische Temperaturdifferenz Δϑlog nach (1.35), so wird Stm =

(ϑW − ϑF )e Aq . ln A (ϑW − ϑF )a

Das Fl¨ achenverh¨ altnis ergibt sich f¨ ur ein Rohr mit kreisf¨ ormigem Querschnitt (Durchmesser d) zu Aq /A = d/4L . Man erkennt aus diesen Beziehungen, dass Stm unmittelbar mit den Auslegungsdaten eines W¨ arme¨ ubertragers verkn¨ upft ist. 6

7

Jean Claude Eugene Péclet (1793–1857) wurde 1816 Professor f¨ ur Physik in Marseille; seit 1827 lehrte er in Paris. Sein ber¨ uhmtes Buch Traité de la chaleur et de ” ses applications aux arts et aux manufactures“ (1829) behandelte auch Probleme der W¨ arme¨ ubertragung und wurde in mehrere Sprachen u ¨bersetzt. Thomas Edward Stanton (1865–1931) war Sch¨ uler von O. Reynolds in Manchester. 1899 wurde er Professor f¨ ur Ingenieurwissenschaften an der Universit¨ at Bristol, England. Stanton forschte auf dem Gebiet des Impuls- und W¨ armetransports von Str¨ omungen mit Reibung. Er besch¨ aftigte sich auch mit Problemen der Aerodynamik und der Flugzeugkonstruktion.

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Bei den bisherigen Betrachtungen wurden die Stoffwerte , η, λ und cp als konstant angesehen. Dies trifft nur n¨ aherungsweise und nur bei nicht zu großen Temperaturunterschieden im Fluid zu, denn die genannten Stoffwerte zeigen in der Regel eine zwar oft zu vernachl¨ assigende Druckabhängigkeit, variieren jedoch merklich mit der Temperatur. Um die Temperaturabhängigkeit der Stoffwerte zu ber¨ ucksichtigen, m¨ usste man weitere Kennzahlen einf¨ uhren, was oft in Gestalt von Stoffwertverh¨ altnissen geschieht, z.B. η(ϑF )/η(ϑW ). Man versucht, die Einf¨ uhrung solcher Kennzahlen zu umgehen, indem man die Stoffwerte bei geeigneten Mitteltemperaturen einsetzt. Die Temperaturabh¨ angigkeit der Fluiddichte spielt eine besondere Rolle beim Wärme¨ ubergang, der durch nat¨ urliche oder freie Konvektion bewirkt wird. Im Gegensatz zu dem bisher behandelten Fall der erzwungenen Konvektion, bei dem der Str¨ omung durch ein Gebläse oder eine Pumpe eine Geschwindigkeit aufgezwungen wird, entsteht die Strömung bei freier Konvektion durch den Auftrieb, n¨ amlich durch Dichteunterschiede im Schwerefeld der Erde, die ihrerseits von Temperaturunterschieden herr¨ uhren. So erwärmt sich beispielsweise ein ruhendes Fluid an einer beheizten Wand. In Wandnähe verringert sich die Dichte des Fluids, wodurch im Schwerefeld eine nach oben gerichtete Auftriebsstr¨ omung zustande kommt. Bei freier Konvektion entf¨ allt die charakteristische (aufgezwungene) Geoße. Als neue Einflussgröße tritt die Fallbeschwindigkeit w0 als Einflussgr¨ schleunigung g auf. An die Stelle der Reynolds-Zahl Re — sie enthält ja die Bezugsgeschwindigkeit w0 — tritt nun eine neue Kennzahl, die dimensionslos gemachte Fallbeschleunigung Ga :=

g20 L30 gL30 , 2 = ν0 η02

(1.50)

die als Galilei-Zahl bezeichnet wird. Da die Dichte von der Temperatur abhängt — die anderen Stoffwerte werden als konstant angenommen —, muss ν = η/ mit einer konstanten Dichte 0 = (ϑ0 ) bei einer festen Bezugstemperatur ϑ0 berechnet werden. Um die Temperaturabh¨ angigkeit der Dichte zu beschreiben, benötigt man ur die mittlere Nußeltmindestens eine weitere Kennzahl K , so dass man f¨ Zahl bei freier Konvektion den Zusammenhang N um = f (Ga, K , P r, Kgeom )

(1.51)

erhält. Die Dichtekennzahl K bzw. mehrere solcher Kennzahlen K1 , K2 , . . . charakterisieren die dimensionslose Beziehung f¨ ur die Temperaturabhängigkeit der Dichte: (ϑ+ )/0 = f ϑ+ , K1 , K2 , . . . . Hierin ist ϑ+ die dimensionslose Temperatur nach (1.37). Bei nicht zu großen Temperaturunterschieden kann man die Taylor-Entwicklung

1 ∂ (ϑ) = 0 1 + (ϑ − ϑ0 ) + . . . (1.52) 0 ∂ϑ ϑ0


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benutzen und sich auf das lineare Glied mit dem Ausdehnungskoeffizienten

1 ∂ β0 = β(ϑ0 ) := − (1.53) 0 ∂ϑ ϑ0 beschränken. Man erh¨ alt dann mit ϑ+ nach (1.37) ϑ+ /0 = 1 − β0 Δϑ0 ϑ+ .

(1.54)

Bei nicht zu großen Temperaturdifferenzen wird also die Temperaturabhängigkeit der Dichte durch das Produkt aus dem Ausdehnungskoeffizienten β0 und einer charakteristischen Temperaturdifferenz Δϑ0 erfasst. Es gen¨ ugt eine Dichtekennzahl, n¨ amlich K = β0 Δϑ0 . Bei größeren Temperaturunterschieden m¨ ussten weitere Terme in (1.52) ber¨ ucksichtigt werden. Statt einer Kennzahl K werden dann zwei oder mehrere Kennzahlen benötigt. Die Temperaturabh¨ angigkeit der Dichte erzeugt im Schwerefeld eine Auftriebskraft; sie hat aber nur einen geringen Einfluss auf die anderen Kräfte, die an einem Fluidteilchen angreifen, wie die Trägheits- oder die Reibungskräfte. In guter N¨ aherung gen¨ ugt es daher, die Temperaturabhängigkeit der Dichte nur beim Auftrieb zu ber¨ ucksichtigen. Man bezeichnet diese Annahme als Boussinesq-Approximation8 . Eine charakteristische (volumenbezogene) Auftriebskraft ist g [ (ϑW ) − (ϑF )] = g (W − F ) . Wir teilen diesen Ausdruck durch F und f¨ uhren ihn anstelle von g in die Galilei-Zahl ein. Dies ergibt die neue Kennzahl Gr :=

gL30 W − F , νF2 F

(1.55)

ur die die Grashof-Zahl9 genannt wird. Sie fasst die Galilei-Zahl und die f¨ Temperaturabhängigkeit der Dichte charakteristische Größe (W − F ) /F zu 8

9

Joseph Valentin Boussinesq (1842–1929) promovierte 1867 mit einer Untersuchung u arme, obwohl er nicht studiert hatte und ¨ber die Ausbreitung der W¨ wissenschaftlich Autodidakt war. Boussinesq wurde 1873 Professor in Lille und sp¨ ater in Paris. Er ver¨ offentlichte u ¨ber 100 wissenschaftliche Arbeiten, darunter das zweib¨ andige Werk Théorie analytique de la chaleur“, das 1901 und 1903 in ” Paris erschien. Franz Grashof (1826–1893) lehrte von 1863 bis 1891 als Professor f¨ ur Theoretische Maschinenlehre an der Technischen Hochschule Karlsruhe. Seine mit mathematischer Strenge verfassten Arbeiten betrafen vor allem die Festigkeitslehre und die Technische Thermodynamik. Sein Hauptwerk, die aus drei B¨ anden bestehende Theoretische Maschinenlehre“ erschien zwischen 1875 und 1890 und ist eine ” umfassende, wissenschaftlich fundierte Darstellung des Maschinenbaus. Grashof

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einer Kennzahl zusammen. Somit erh¨ alt man bei G¨ ultigkeit der BoussinesqApproximation f¨ ur die Nußelt-Zahl N um = f (Gr, P r, Kgeom ) .

(1.56)

Bei nicht zu großen Temperaturdifferenzen zwischen Wand und Fluid in weiter Entfernung von der Wand kann man (1.54) f¨ ur die Temperaturabhängigkeit der Dichte verwenden. Mit ϑ0 = ϑF und Δϑ0 = (ϑW − ϑF ) erhält man W − F = βF (ϑW − ϑF ) . F Die Grashof-Zahl wird dann Gr = Ga βF (ϑW − ϑF ) =

g βF (ϑW − ϑF ) L30 . ν2

(1.57)

Der Ausdehnungskoeffizient β ist bei der Fluidtemperatur ϑF zu berechnen; um die Temperaturabh¨ angigkeit von ν zu ber¨ ucksichtigen, bestimmt man ν f¨ ur eine Mitteltemperatur zwischen ϑW und ϑF . Nach (1.56) und (1.57) hängt die Nußelt-Zahl von der Temperaturdifferenz (ϑW − ϑF ) ab. Obwohl der Wärme¨ ubergangskoeffizient α aus der W¨ armestromdichte q˙W durch Division mit dieser Temperaturdifferenz erhalten wird, vgl. (1.24), ist α bei freier Konvektion nicht unabh¨ angig von (ϑW − ϑF ). Die u ¨bertragene Wärmestromdichte q˙W wächst also nicht proportional zu ϑW − ϑF . Dies ist darauf zur¨ uckur den Wärmestrom zuf¨ uhren, dass ϑW − ϑF nicht nur die treibende Kraft“ f¨ ” ist, sondern auch f¨ ur den Auftrieb, also f¨ ur das Geschwindigkeitsfeld bei freier Konvektion. Bei erzwungener Konvektion ist dagegen keine Abhängigkeit des Wärme¨ ubergangskoeffizienten von der Temperaturdifferenz zu erwarten.

1.1.5 W¨ armestrahlung Jeder Körper gibt Energie durch elektromagnetische Wellen an seine Umgebung ab. Dies geschieht bereits deswegen, weil der Körper eine positive thermodynamische Temperatur hat. Man nennt daher diese Art der Energieabgabe Temperaturstrahlung, thermische Strahlung oder Wärmestrahlung. Emission oder Aussendung von Strahlung bedeutet Umwandlung der inneren Energie des Körpers in Energie, die durch elektromagnetische Wellen forttransportiert wird. Treffen dagegen elektromagnetische Wellen auf Materie, so absorbiert diese einen Teil der mit ihnen transportierten Energie, während der Rest reflektiert oder durchgelassen wird. Die von einem Körper absorbierte Strahlungsenergie wird in innere Energie des Körpers umgewandelt. gr¨ undete 1856 mit weiteren 22 jungen Ingenieuren den Verein Deutscher Inge” nieure“ (VDI); er war der erste Direktor des VDI und viele Jahre Schriftleiter der technisch-wissenschaftlichen Zeitschrift des Vereins, in der er 42 Aufs¨ atze ver¨ offentlichte.


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Wärmestrahlung bewirkt somit eine besondere Art der Wärme¨ ubertragung, die als Strahlungsaustausch bezeichnet wird. Zum Strahlungstransport selbst ist keine Materie erforderlich, elektromagnetische Wellen pflanzen sich auch im leeren Raum fort. Somit kann W¨ arme auch u ¨ber große Entfernungen zwischen zwei Körpern u ¨bertragen werden. Auf diese Weise erhält z.B. die Erde einen großen Energiestrom von der Sonne. Gase und Fl¨ ussigkeiten lassen W¨ armestrahlung teilweise hindurch. Daher finden auch Emission und Absorption von Strahlung im Inneren von Gas- oder Fl¨ ussigkeitsräumen statt. Emission und Absorption von Strahlung sind hier volumetrische Effekte. Dagegen wird in einem Festkörper Strahlung bereits nach Durchlaufen sehr d¨ unner Schichten (wenige Mikrometer) vollständig absorbiert. Strahlung aus dem Inneren eines Festkörpers kann somit nicht nach außen dringen, die Emission ist auf eine d¨ unne oberflächennahe Schicht begrenzt. Emission und Absorption von W¨ armestrahlung durch feste Körper sind daher Oberfl¨ acheneffekte, und es ist zul¨ assig, von strahlenden und absorbierenden Flächen statt richtiger von strahlenden Festkörpern zu sprechen. F¨ ur die Emission von W¨ armestrahlung gibt es eine obere Grenze, die nur von der thermodynamischen Temperatur T des strahlenden Körpers abhängt. Die maximal m¨ ogliche W¨ armestromdichte der von der Oberfläche eines Körpers ausgesandte W¨ armestrahlung ist durch q˙s = σT 4

(1.58)

gegeben. Dieses Naturgesetz wurde 1879 von J. Stefan10 aufgrund von Experimenten angegeben und 1884 von L. Boltzmann11 aus der elektromagnetischen Theorie der Strahlung mit Hilfe des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik hergeleitet. Es enth¨ alt eine universelle Konstante, die Stefan-BoltzmannKonstante σ, deren Bestwert σ = (5,670400 ± 0,00004)10−8 W/m2 K4 beträgt. Ein Strahler, dessen spez. Ausstrahlung, n¨ amlich die durch Strahlung abgegebene Wärmestromdichte, den Maximalwert q˙s nach (1.58) erreicht, heißt 10

11

Josef Stefan (1835–1893) wurde 1863 Professor f¨ ur Physik an der Universit¨ at Wien. Er war ein hervorragender Experimentator und ver¨ offentlichte zahlreiche Arbeiten u armeleitung und Diffusion in Fluiden, u ¨ber W¨ ¨ber Eisbildung und den Zusammenhang zwischen Oberfl¨ achenspannung und Verdampfung. Das T 4 Gesetz der W¨ armestrahlung schlug er aufgrund einer sorgf¨ altigen Auswertung alterer Experimente u armeabgabe heißer K¨ orper vor. ¨ ¨ber die W¨ Ludwig Boltzmann (1844–1906) promovierte 1867 bei J. Stefan in Wien. Er war Professor f¨ ur Physik in Graz, M¨ unchen, Leipzig und Wien. Sein Hauptarbeitsgebiet war die kinetische Gastheorie und ihre Beziehung zum zweiten Hauptsatz der Thermodynamik. Er fand 1877 den grundlegenden Zusammenhang zwischen der Entropie eines Systems und dem Logarithmus der Anzahl der m¨ oglichen molekularen Verteilungen (Mikrozust¨ ande), die zu einem makroskopischen Zustand des Systems geh¨ oren.

30


Schwarzer K¨ orper. Er ist ein idealer Strahler, dessen spez. Ausstrahlung von keinem anderen K¨ orper gleicher Temperatur u ¨bertroffen werden kann. Andererseits absorbiert der Schwarze K¨ orper alle auftreffende Strahlung, er ist auch ein idealer Absorber. Die spezifische Ausstrahlung wirklicher Strahler wird mit Hilfe eines verkleinernden Korrekturfaktors in (1.58) beschrieben. Man setzt (1.59) q˙ = ε(T )σT 4 und definiert damit eine Materialeigenschaft, den Emissionsgrad ε(T ) ≤ 1 des Strahlers. Der Emissionsgrad h¨ angt nicht nur vom Material, sondern auch vom Zustand der Oberfl¨ ache, z.B. von ihrer Rauhigkeit ab. Einige Werte von ε sind in Tabelle 1.3 zusammengestellt. Tabelle 1.3: Emissionsgrade ε(T ) einiger Materialien

Stoff T in K Beton, rauh 293 Holz, Eiche 293 Ziegelstein, rot 293 Aluminium, walzblank 443

ε 0,94 0,90 0,93 0,049

Stoff T in K ε Nickel, poliert 373 0,053 Eisen, blank ge¨ atzt 423 0,158 Kupfer, oxidiert 403 0,725

Trifft Strahlung auf einen K¨ orper, so wird ein Teil reflektiert, ein Teil absorbiert, und ein Teil durchgelassen. Man kennzeichnet diese Anteile durch den Reflektionsgrad r, den Absorptionsgrad a und den Transmissionsgrad τ . Diese drei Verhältnisgr¨ oßen (Zahlen) sind keine reinen Materialeigenschaften des bestrahlten K¨ orpers, sondern h¨ angen auch von der Art der auftreffenden Strahlung ab, insbesondere davon, wie die Strahlungsenergie auf das Wellenlängen-Spektrum der auftreffenden elektromagnetischen Wellen verteilt ist. Es gilt jedoch stets r+a+τ =1 . (1.60) Die meisten Festk¨ orper sind f¨ ur Strahlung undurchlässig. Dann folgt mit τ = 0 f¨ ur den Absorptionsgrad aus (1.60) a = 1 − r. In Kapitel 5 werden wir die Absorption von Wärmestrahlung ausf¨ uhrlicher behandeln. Dabei werden wir auch auf einen Zusammenhang zwischen Emission und Absorption eingehen, der als Gesetz von G. Kirchhoff bezeichnet wird, vgl. Abschnitt 5.1.6. Danach ist, grob gesprochen, ein guter Sender (Emitter) von Strahlung auch ein guter Absorber. Dies äußert sich beim idealen Strahler, dem Schwarzen K¨ orper, darin, dass sowohl sein Absorptionsgrad a als auch sein Emissionsgrad ε den H¨ ochstwert eins haben. Der Schwarze Körper, der alle auftreffende Strahlung absorbiert (a = 1), strahlt auch am meisten von allen Strahlern, n¨ amlich nach dem Gesetz (1.58) von Stefan und Boltzmann.


31

1.1.6 Strahlungsaustausch F¨ ur die Wärme¨ ubertragung ist der durch Strahlung zwischen Körpern mit verschiedenen Temperaturen u armestrom wichtig. Dabei strahlt ¨bertragene W¨ nicht nur der Körper mit der h¨ oheren Temperatur und gibt so Wärme an den kälteren ab. Auch der k¨ altere K¨ orper sendet elektromagnetische Wellen aus, die den wärmeren Strahler treffen und an ihn Energie u ¨bertragen. Es ist hier also zutreffend, von einem Strahlungsaustausch zu sprechen. Letztlich interessiert der Wärmestrom, der netto vom K¨ orper mit der höheren Temperatur auf den Körper mit der niedrigeren Temperatur u ¨bergeht. Die Berechnung dieses Wärmestroms ist schwierig. Im Allgemeinen werden nämlich noch weitere Körper am Strahlungsaustausch beteiligt sein. Außerdem absorbiert ein Körper nicht alle auftreffende Strahlung; ein Teil wird reflektiert und kann auch den urspr¨ unglichen Strahlungssender treffen. Dieses verwickelte Wechselspiel zwischen zwei Strahlern kann dadurch weiter kompliziert werden, dass das Medium zwischen den Strahlern einen Teil der durchtretenden Strahlung absorbiert und auch selbst Strahlung emittiert. Dies ist bei der sog. Gasstrahlung der Fall, die z.B. bei der W¨ arme¨ ubertragung in Feuerungen ber¨ ucksichtigt werden muss.

Abb. 1.11: Strahlungsaustausch zwischen einem K¨ orper mit der Temperatur T und einer schwarzen Umgebung mit der Temperatur TU .

Zur Einf¨ uhrung behandeln wir einen einfachen Sonderfall des Strahlungsaustausches. Ein Strahler mit der Fl¨ ache A und der Temperatur T befindet sich in einer Umgebung mit der Temperatur TU , vgl. Abb. 1.11. Der Strahlungsaustausch soll durch das Zwischenmedium nicht beeinflusst werden; es sei völlig durchlässig f¨ ur Strahlung, was z.B. in sehr guter Näherung auf die atmosphärische Luft zutrifft. Die Umgebung m¨ oge sich wie ein Schwarzer Körper verhalten: die auf sie treffende Strahlung wird vollständig absorbiert, aU = 1. Der von dem Strahler emittierte W¨ armestrom Q˙ em = A ε σ T 4 trifft auf die schwarze Umgebung und wird von ihr vollständig absorbiert. Die von der Umgebung ausgehende schwarze Strahlung wird vom Strahler mit der Temperatur T nur zum Teil absorbiert; der reflektierte Teil fällt auf die Umgebung zur¨ uck und wird dort absorbiert. Der vom Strahler absorbierte Wärmestrom ist

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Q˙ ab = A a σ TU4 , wobei a der Absorptionsgrad des Strahlers mit der Temperatur T f¨ ur auftreffende schwarze Strahlung der Temperatur TU ist. Der Absorptionsgrad a ist keine Materialeigenschaft, denn er h¨ angt nicht nur von den Eigenschaften der absorbierenden Oberfl¨ ache ab, sondern auch von der Art und der Quelle der auftreffenden Strahlung. In unserem Beispiel ist dies die schwarze Strahlung aus der Umgebung, die durch die Temperatur TU vollständig charakterisiert ist. ˙ der netto vom Strahler an die ihn umschließende Der Wärmestrom Q, Umgebung abgegeben wird, ist (1.61) Q˙ = Q˙ em − Q˙ ab = Aσ εT 4 − aTU4 . In vielen Fällen nimmt man f¨ ur den Strahler ein besonders einfaches und daher nur näherungsweise g¨ ultiges Materialgesetz an: Man behandelt ihn als grauen Strahler. Der Absorptionsgrad eines grauen Strahlers ist unabhängig von der Art der auftreffenden Strahlung und stimmt mit dem Emissionsgrad u ¨berein: a = ε. F¨ ur einen grauen Strahler in einer schwarzen Umgebung vereinfacht sich damit (1.61) zu (1.62) Q˙ = Aσε T 4 − TU4 . Charakteristisch f¨ ur den Strahlungsaustausch ist hier die Differenz der vierten Potenzen der thermodynamischen Temperaturen von Strahlungsquelle und Strahlungsempfänger. Diese Temperaturabh¨ angigkeit trifft man bei zahlreichen Problemen des Strahlungsaustausches an, wenn graue Strahler vorausgesetzt werden. In vielen Anwendungsf¨ allen muss neben dem Wärme¨ ubergang durch Strahlung auch der W¨ arme¨ ubergang durch Konvektion ber¨ ucksichtigt werden. Dies ist beispielsweise bei einem Heizk¨ orper der Fall, der Wärme an einen Raum mit niedrigerer Temperatur abgibt. Der Heizkörper steht im Strahlungsaustausch mit den W¨ anden des Raumes und gibt zugleich Wärme an die Luft durch Konvektion ab. Da diese beiden Arten der Wärme¨ ubertragung parallel verlaufen, sind die durch Konvektion und durch Strahlung abgegebenen Wärmeströme zu addieren, um den Gesamtw¨ armestrom zu erhalten. F¨ ur die Wärmestromdichte gilt daher q˙ = q˙Konv + q˙Str oder

q˙ = α(T − TL ) + εσ T 4 − TU4 .

(1.63)

Dabei bedeutet α den W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten f¨ ur den konvektiven ur die Berechnung Wärme¨ ubergang an die Luft mit der Temperatur TL . F¨ von q˙Str haben wir die G¨ ultigkeit von (1.62) angenommen. Da meistens TL ≈ TU ist, fasst man den konvektiven Anteil und den Strahlungsanteil des W¨ arme¨ ubergangs zusammen und setzt


q˙ = (α + αStr ) (T − TU ) .

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(1.64)

Der damit definierte W¨ arme¨ ubergangskoeffizient der Strahlung ergibt sich nach (1.63) zu αStr = ε σ

T 4 − TU4 = ε σ T 2 + TU2 T + TU . T − TU

(1.65)

Diese Rechengröße h¨ angt vom Emissionsgrad ε und von den beiden Temperaturen T und TU ab. Die Einf¨ uhrung von αStr gestattet es, den Einfluss der Strahlung im Vergleich zur Konvektion abzuschätzen. Da stets ε ≤ 1 ist, lässt sich sofort eine Obergrenze f¨ ur den Strahlungsanteil angeben. Beispiel 1.2: Eine mangelhaft isolierte Rohrleitung (Außendurchmesser d = 0,100 m), deren Oberfl¨ achentemperatur ϑW = 44 ◦ C ist, verl¨ auft horizontal durch einen gr¨ oßeren Raum mit ruhender Luft der Temperatur ϑL = 18 ◦ C. Man be˙ stimme den auf die L¨ ange L der Rohrleitung bezogenen W¨ armeverluststrom Q/L. Dabei kann angenommen werden, dass sich die Rohrleitung wie ein grauer Strahler mit dem Emissionsgrad ε = 0,87 verh¨ alt und die Umschließungsw¨ ande des Raums eine schwarze Umgebung mit der Temperatur ϑU = ϑL = 18 ◦ C bilden. Die Rohrleitung gibt W¨ arme durch freie Konvektion an die Luft und durch Strahlung an die Umschließungsw¨ ande ab. Daher gilt nach (1.64) mit ϑU = ϑL ˙ Q/L = πd (q˙Konv + q˙Str ) = πd (αm + αStr ) (ϑW − ϑL ) ,

(1.66)

arme¨ ubergangskoeffizient der freien Konvektion ist. wobei αm der mittlere W¨ Der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient der Strahlung ergibt sich nach (1.65) mit den gegebenen Daten zu αStr = ε σ

4 − TL4 W 3174 − 2914 3 TW W = 0,87 · 5,67 · 10−8 2 4 K = 5,55 2 . TW − TL m K 317 − 291 m K

F¨ ur den W¨ arme¨ ubergang durch freie Konvektion am horizontalen Rohr geben S.W. Churchill und H.H.S. Chu [1.3] die dimensionslose Beziehung 2 0,387(GrP r)1/6 αm d = 0,60 + N um = (1.67) 8/27 λ [1 + (0,559/P r)9/16 ] an, welche die Form von Gl. (1.56), n¨ amlich N um = f (Gr, P r) hat. Nach (1.57) ist die Grashof-Zahl gβ (ϑW − ϑL ) d3 . Gr = ν2 Der Ausdehnungskoeffizient β ist dabei f¨ ur die Lufttemperatur ϑL zu berechnen. Da Luft als ideales Gas behandelt werden kann, wird β = 1/TL = 0,00344 K−1 . Um die Temperaturabh¨ angigkeit der Stoffwerte n¨ aherungsweise zu ber¨ ucksichtigen, sollen ν, λ und P r bei der Mitteltemperatur ϑm = 12 (ϑW + ϑL ) bealt man ν = 16,40 · 10−6 m2 /s, rechnet werden. F¨ ur Luft bei ϑm = 31 ◦ C erh¨ λ = 0,0265 W/Km und P r = 0,713. Damit wird 9,81 m/s2 0,00344 K−1 (44 − 18) K · 0,1003 m3 Gr = = 3,26 · 106 . 16,402 · 10−12 m4 /s2

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1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen arme¨ uberDies ergibt nach (1.67) die Nußelt-Zahl N um = 18,48, woraus der W¨ gangskoeffizient αm = N um

λ 0,0265 W/Km W = 18,48 = 4,90 2 d 0,100 m m K

˙ folgt. F¨ ur den W¨ armeverluststrom erh¨ alt man aus (1.66) Q/L = 85,4 W/m. Die W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten αm und αStr sind etwa gleich groß; die freie Konvektion der Luft und der Strahlungsaustausch transportieren etwa gleich viel oße W¨ arme. Dies gilt nicht bei erzwungener Konvektion, wo αm je nach der Gr¨ der Str¨ omungsgeschwindigkeit um ein bis zwei Zehnerpotenzen gr¨ oßer ist als der uber αm in hier berechnete Wert, αStr aber unbeeinflusst bleibt und damit gegen¨ der Regel vernachl¨ assigt werden kann. Beispiel 1.3: Von der Sonne aus gesehen erscheint die Erde samt ihrer ¨ außeren Atmosph¨ are wie eine normal zur Sonne gerichtete Scheibe vom Radius R = D/2, wobei D der Erddurchmesser ist. Auf diese Scheibe strahlt die Sonne mit einer W¨ armestromdichte E0 = 1367 W/m2 , der so genannten Solarkonstante. Ein Teil des eingestrahlten W¨ armestroms wird von der Erdoberfl¨ ache reflektiert, der Rest absorbiert. Ein mittlerer Reflexionsgrad, Albedo genannt, ist rS = 0, 3, der mittlere Absorptionsgrad somit aS = 1 − rS = 0, 7. Aufgrund ihrer Eigentemperatur T strahlt die Erde u ache W¨ arme in Form langwelliger Strah¨ber ihre ganze Oberfl¨ lung in das Weltall mit einem mittleren Reflexionsgrad r = 1 − a, wobei a = 0, 39 der mittlere Absorptionsgrad f¨ ur langwellige Strahlung ist. Man berechne die mittlere Temperatur der Erdoberfl¨ ache im station¨ aren Zustand. Welche mittlere Temperatur w¨ urde sich einstellen, wenn keine Erdatmosph¨ are vorhanden w¨ are? Von dem eingestrahlten W¨ armestrom wird der Anteil Q˙ 0 = R2 π E0 aS absorbiert. Er ist im station¨ aren Zustand genau so groß wie der durch Reflexion u ache abgegebene W¨ armestrom Q˙ 1 = 4 R2 π σ T 4 r = ¨ber die ganze Erdoberfl¨ 2 4 armestr¨ ome ergibt die mittlere Tem4 R π σ T (1 − a). Gleichsetzen beider W¨ peratur der Erdoberfl¨ ache 1/4

1/4 1367 W/m2 · 0, 7 aS E0 aS = = 288, 4 K , T = 4 σ (1 − a) 4 · 5, 67 · 10−8 W/ m2 K4 · (1− 0, 39) also die Celsiustemperatur ϑ = 15, 2 ℃. G¨ abe es keine Erdatmosph¨ are, so w¨ aren a = 0 und die mittlere Temperatur der Erdoberfl¨ ache T = 254, 9 K und somit nur ϑ = −18, 3 ℃.

1.2 W¨ armedurchgang Bei vielen Anwendungen der W¨ arme¨ ubertragung sind zwei Fluide mit unterschiedlichen Temperaturen durch eine feste Wand getrennt. Wärme geht von dem Fluid mit der h¨ oheren Temperatur an die Wand u ¨ber, wird in der Wand weitergeleitet und geht von der k¨ alteren Wandseite an das Fluid mit der niedrigeren Temperatur u ubergangs¨ber. Diese Hintereinanderschaltung von Wärme¨ und Wärmeleitungsvorg¨ angen bezeichnet man als W¨ armedurchgang.

1.2 W¨ armedurchgang

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Wärmedurchgang findet vor allem in den Apparaten zur Wärme¨ ubertragung, den Wärme¨ ubertragern statt, deren Berechnung wir in Abschnitt 1.3 behandeln. Hier str¨ omt das heiße Fluid beispielsweise in einem Rohr und gibt Wärme durch die Rohrwand an das kalte Fluid ab, welches um das Rohr strömt. Auch jede Hauswand kann als Beispiel f¨ ur den Wärmedurchgang dienen. Sie trennt die warme Luft im Inneren des Hauses von der kalten Luft der Umgebung und soll dem W¨ armedurchgang einen möglichst großen Widerstand entgegensetzen, damit trotz des Temperaturgefälles zwischen Innen und Außen nur ein kleiner W¨ armestrom durch die Wand fließt. Im Gegensatz dazu soll der W¨ armedurchgangswiderstand zwischen den Fluiden eines Wärme¨ ubertragers m¨ oglichst klein sein; denn hier möchte man einen möglichst großen Wärmestrom u ¨bertragen, wobei die Temperaturdifferenz zwischen den Fluiden aus thermodynamischen Gr¨ unden (geringer Exergieverlust) klein sein soll. Wie diese beiden Beispiele zeigen, kommt der Berechnung des Wärmedurchgangs erhebliche technische Bedeutung zu. Wir behandeln daher diese Aufgabe in den n¨ achsten Abschnitten ausf¨ uhrlich.

1.2.1 Der W¨ armedurchgangskoeffizient Wir legen den folgenden Betrachtungen die in Abb. 1.12 dargestellte Situation zugrunde: Eine ebene oder gekr¨ ummte Wand trennt das Fluid mit der Temperatur ϑ1 vom Fluid mit der Temperatur ϑ2 < ϑ1 . Im stationären Zustand fließt ein Wärmestrom Q˙ aufgrund des Temperaturunterschieds ϑ1 − ϑ2 vom Fluid 1 durch die Wand zum Fluid 2. Der W¨ armestrom Q˙ geht zunächst vom Fluid 1 an die Wand u ache A1 und deren Temperatur ϑW1 ist. ¨ber, deren Fl¨ arme¨ ubergangskoeffizienten nach Abschnitt 1.1.3 gilt Mit α1 als dem W¨ Q˙ = α1 A1 (ϑ1 − ϑW1 ) .

(1.68)

F¨ ur die Wärmeleitung in der Wand erhalten wir nach Abschnitt 1.1.2 λm Am (ϑW1 − ϑW2 ) . Q˙ = δ

(1.69)

Darin bedeuten λm die mittlere W¨ armeleitf¨ ahigkeit der Wand nach (1.11), ache, die nach (1.15) zu berechnen ist. δ ihre Dicke und Am die mittlere Fl¨ Schließlich erhalten wir f¨ ur den W¨ arme¨ ubergang von der Wand an das Fluid 2 die zu (1.68) analoge Beziehung Q˙ = α2 A2 (ϑW2 − ϑ2 ) .

(1.70)

Aus den drei Gleichungen f¨ ur Q˙ lassen sich die unbekannten Wandtemperaturen ϑW1 und ϑW2 eliminieren, so dass man Q˙ allein bei Kenntnis der

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Abb. 1.12: Temperaturverlauf beim W¨ armedurchgang durch eine Rohrwand, an die zwei Fluide mit den Temperaturen ϑ1 und ϑ2 < ϑ1 grenzen.

Fluidtemperaturen ϑ1 und ϑ2 berechnen kann. Das Ergebnis lässt sich in der Form (1.71) Q˙ = kA (ϑ1 − ϑ2 ) schreiben, wobei 1 1 δ 1 = + + kA α1 A1 λm Am α2 A2

(1.72)

gilt. Durch (1.71) wird der auf die Fl¨ ache A bezogene W¨ armedurchgangskoeffizient k definiert. Dabei ist A die Gr¨ oße einer beliebigen Bezugsfläche. Gleichung (1.72) erlaubt die Berechnung von kA aus den f¨ ur den Wärme¨ ubergang und die Wärmeleitung wichtigen Gr¨ oßen. Wie (1.71) und (1.72) zeigen, kommt es nur auf das Produkt kA an; eine Angabe von k allein ohne eine Aussage u oße der Bezugsfl¨ ache ist bedeutungslos; da ¨ber die Gr¨ A beliebig gew¨ ahlt werden kann, nimmt auch k einen der Wahl von A entsprechenden Wert an. In der Praxis werden h¨ aufig Einzelwerte des W¨ armedurchgangskoeffizienten k angegeben und benutzt. So findet man beispielsweise in der Norm DIN 4108 Mindestwerte von k f¨ ur Geb¨ audew¨ ande, die nicht unterschritten werden d¨ urfen, um einen ausreichenden W¨ armeschutz zu gew¨ ahrleisten. Bei derartigen Angaben ist k stillschweigend auf eine bestimmte Fl¨ ache bezogen. Bei ebenen W¨ anden ist dies die ache A2 , die sich oft Wandfl¨ ache A1 = A2 = Am ; bei Rohren meistens die Außenfl¨ nur wenig von A1 oder Am unterscheidet. Wir werden im Folgenden in der Regel nur das Produkt kA benutzen, wobei dann A nicht spezifiziert zu werden braucht. In Ausnahmef¨ allen wird ein Wert von k unter Nennung der Bezugsfl¨ ache angegeben.

Nach (1.72) l¨ asst sich (1/kA) als W¨ armedurchgangswiderstand deuten. Er setzt sich additiv aus den Einzelwiderst¨ anden der hintereinander geschalte¨ ten Ubertragungsvorg¨ ange zusammen: W¨ arme¨ ubergang vom Fluid 1 an die Wand mit dem W¨ arme¨ ubergangswiderstand (1/α1 A1 ), Wärmeleitung in der ubergang von der Wand mit dem W¨ armeleitwiderstand (δ/λm Am ) und Wärme¨ Wand an das Fluid 2 mit dem W¨ arme¨ ubergangswiderstand (1/α2 A2 ). Der Wärmedurchgang l¨ asst sich somit in Analogie zum elektrischen Stromdurchgang durch hintereinander geschaltete elektrische Leiter setzen, deren elektrische Widerstände sich ebenso addieren wie die drei Wärmewiderstände, die


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¨ der Wärmestrom Q˙ passieren muss: Ubergangswiderstand der Grenzschicht ¨ des Fluids 1, Leitwiderstand der Wand und Ubergangswiderstand der Grenzschicht des Fluids 2. Der Temperaturabfall u armewiderstände verhält sich ge¨ber einem der W¨ nauso wie der Spannungsabfall u ¨ber einem elektrischen Widerstand: er ist um so größer, je größer der Widerstand und je stärker der fließende Strom ist. Aus (1.68) bis (1.72) folgt ϑ1 − ϑW1 ϑW1 − ϑW2 ϑW2 − ϑ2 ϑ1 − ϑ2 Q˙ = = = = . 1 1 1 δ α1 A1 α2 A2 kA λm Am

(1.73)

Daraus lassen sich die Temperaturabf¨ alle in der Wand und in den Grenzschichten zu beiden Seiten der Wand bestimmen. Zur Berechnung der Wandtemperaturen folgen daraus die Gleichungen Q˙ kA (ϑ1 − ϑ2 ) = ϑ1 − α1 A1 α1 A1

(1.74)

Q˙ kA (ϑ1 − ϑ2 ) = ϑ2 + . α2 A2 α2 A2

(1.75)

ϑW1 = ϑ1 − und ϑW2 = ϑ2 +

F¨ ur den W¨ armedurchgang durch Rohre erhält man aus (1.72) eine auf die Anwendung zugeschnittene Beziehung, wenn man beachtet, dass die Oberfläche eines Rohres mit dem Durchmesser d und der Länge L die Größe A = πdL hat. Aus (1.72) folgt dann mit Am nach (1.15)

1 1 1 ln d2 /d1 1 (1.76) = + + kA πL α1 d1 2λm α2 d2 mit d1 als Innen- und d2 als Außendurchmesser des Rohres.

1.2.2 Mehrschichtige W¨ ande Die Analogie zur elektrischen Leitung benutzt man, um die in Abschnitt 1.2.1 hergeleiteten Beziehungen auf den W¨ armedurchgang durch mehrschichtige Wände zu erweitern. W¨ ande mit zwei oder mehr Schichten aus unterschiedlichem Material treten in der Praxis h¨ aufig auf. Es sei z.B. an das Anbringen einer zusätzlichen Isolierschicht aus einem Material mit niedriger Wärmeleitfähigkeit λis erinnert. Abb. 1.13 zeigt den Temperaturverlauf in einer Wand, die aus mehreren Schichten zusammengesetzt ist. Hier addieren sich die Wärmeleitwiderst¨ ande der einzelnen in Serie geschalteten“ Wandschichten. ” Somit erhalten wir f¨ ur den W¨ armedurchgangswiderstand 1 1 1 δi = + + . kA α1 A1 λ A α mi mi 2 A2 i

(1.77)

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Abb. 1.13: Temperaturverlauf beim W¨ armedurchgang durch eine ebene Wand aus drei Schichten unterschiedlichen Materials.

Bei gekr¨ ummten W¨ anden ist die mittlere Fläche Ami einer Schicht aus den beiden Begrenzungsfl¨ achen dieser Schicht nach (1.15) zu berechnen. Gleichung (1.76) f¨ ur den W¨ armedurchgangswiderstand setzt voraus, dass sich zwei Schichten so eng ber¨ uhren, dass kein nennenswerter Temperaturunterschied zwischen den Schichten auftritt. Sonst muss ein thermischer Kontaktwiderstand (in Analogie zum elektrischen Kontaktwiderstand) ber¨ ucksichtigt werden. Der Temperaturabfall ϑi − ϑi+1 in der i-ten Schicht ist (in Analogie zum Spannungsabfall) proportional zum W¨ armestrom und zum Wärmeleitwiderstand der Schicht. Es gilt ϑi − ϑi+1 = RLi Q˙ =

δi Q˙ . λmi Ami

(1.78)

Mit Q˙ nach (1.71) und (1.77) l¨ asst sich nach dieser Beziehung ϑi − ϑi+1 leicht berechnen. F¨ ur die Oberfl¨ achentemperaturen ϑW1 und ϑW2 gelten (1.74) und (1.75) unverändert. F¨ ur Rohre, die aus mehreren Schichten, z.B. aus dem eigentlichen Rohr und einer Isolierung bestehen, l¨ asst sich (1.77) erweitern zu n 1 1 1 1 1 di+1 1 = + ln + . (1.79) kA πL α1 d1 2 i=1 λmi di α2 dn+1 Die i-te Schicht wird von den Durchmessern di und di+1 begrenzt. Dabei können die erste und die letzte Schicht, die an die Fluide grenzen, auch Schmutzschichten sein, die sich bei l¨ angerem Betrieb bilden und zusätzliche Wärmeleitwiderst¨ ande darstellen.

1.2.3 W¨ armedurchgang durch W¨ ande mit vergro ¨ßerter Oberfl¨ ache Der Wärmedurchgangswiderstand (1/kA) setzt sich nach (1.72) additiv aus den Einzelwiderst¨ anden des W¨ arme¨ ubergangs und der Wärmeleitung zusammen. Dabei bestimmt stets der gr¨ oßte Einzelwiderstand den Wert von (1/kA),


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und dies besonders ausgepr¨ agt, wenn die anderen Wärmewiderstände viel kleiner sind. So kann man die Isolierwirkung einer Wand durch Anbringen einer Schicht mit deutlich h¨ oherem W¨ armeleitwiderstand δ/λm Am , also durch eine dicke Schicht aus einem Material mit kleiner Wärmeleitfähigkeit, erheblich verbessern. Soll dagegen, z.B. in einem W¨ arme¨ ubertrager, der Wärmedurchgang möglichst gut sein, so verhindert dies oft ein großer Wärme¨ ubergangswiderstand (1/αA). Der große W¨ arme¨ ubergangswiderstand hat seine Ursache in einem kleinen Wärme¨ ubergangskoeffizienten α, der sich, etwa durch Erhöhen der Strömungsgeschwindigkeit, nur schwer oder gar nicht vergrößern lässt. Hier liegt es nun nahe, (1/αA) durch Vergr¨ oßern der Fläche A zu verringern und so den Wärmedurchgang zu verbessern. Eine solche Flächenvergrößerung auf der Seite des schlechten“ W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten lässt sich durch das ” Anbringen von Rippen, Nadeln oder stabartigen Gebilden erreichen. Abb. 1.14 zeigt Beispiele derartig vergr¨ oßerter W¨ arme¨ ubertragungsflächen, die im englischen Schriftum unter der Bezeichnung extended surfaces zusammengefasst werden. Man kann so die urspr¨ unglich vorhandene Fläche erheblich, sogar um das 10- bis 100-fache vergr¨ oßern.

Abb. 1.14: Beispiele vergr¨ oßerter Oberfl¨ achen, a gerade L¨ angsrippen, b stumpfe und spitze Nadelrippen, c Kreisrippen.

Der Wärme¨ ubergangswiderstand verringert sich aber nicht in gleichem Maße. Die vergrößerte W¨ arme¨ ubergangsfl¨ ache wird nämlich durch einen zus¨ atzlichen Wärmeleitwiderstand erkauft. Die Wärme, die z.B. von der nahe der Spitze einer Rippe gelegenen Fl¨ ache an das Fluid abgegeben werden soll, muss in der Rippe durch W¨ armeleitung in die Nähe der Spitze transportiert werden. Hierzu ist ein Temperaturgef¨ alle zwischen Rippenfuß und Rippenspitze erforderlich, so dass die Rippe (oder eine andere Form einer vergrößerten Oberfläche) im Mittel eine niedrigere Temperatur aufweist als das von den Rippen freie Grundmaterial. Die aufgesetzten Rippen sind also nicht voll wirksam, denn sie bieten dem W¨ arme¨ ubergang an das Fluid eine kleinere Temperaturdifferenz als das Grundmaterial. Um die Wirksamkeit berippter Fl¨ achen zu berechnen, betrachten wir die in Abb. 1.15 dargestellten Verh¨ altnisse. Der an das Fluid 2 abgegebene Wärmestrom Q˙ besteht aus zwei Teilen: Q˙ = Q˙ G + Q˙ R .

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Abb. 1.15: Temperaturverlauf in einer berippten Wand auf der Linie AB. ϑR ist die mittlere Temperatur der Rippe.

Der von der Fläche AG des von Rippen freien Grundmaterials abgegebene Wärmestrom Q˙ G ist Q˙ G = αG AG (ϑW2 − ϑ2 ) , (1.80) wobei αG den hier maßgebenden W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten bedeutet. In der Rippe fällt die Temperatur vom Wert ϑ0 am Rippenfuß (x = 0) bis zum Wert ϑh an der Rippenspitze (x = h) ab. Mit ϑR als dem Mittelwert der Rippentemperatur gilt dann f¨ ur den W¨ armestrom Q˙ R , der von den Rippen mit der Fläche AR an das Fluid abgegeben wird, Q˙ R = αR AR (ϑR − ϑ2 ) . Dabei ist αR der (mittlere) W¨ arme¨ ubergangskoeffizient zwischen Rippe und Fluid. Hätte die Rippe u ¨berall die Temperatur ϑ0 des Rippenfußes, so könnte sie den größeren Wärmestrom Q˙ R0 = αR AR (ϑ0 − ϑ2 ) , abgeben. Man kennzeichnet nun die Wirksamkeit der Rippe durch den Rippenwirkungsgrad Q˙ R ϑR − ϑ 2 = (1.81) ηR := ˙ ϑ0 − ϑ 2 QR0 und erhält Q˙ R = αR ηR AR (ϑ0 − ϑ2 ) .

(1.82)

Der Rippenwirkungsgrad ist stets kleiner als eins. Er hängt vom Wärmeleitvorgang in der Rippe und vom W¨ arme¨ ubergang ab; denn beide Transportvorgänge beeinflussen sich gegenseitig. Neben der Rippengeometrie spielen daher die Wärmeleitf¨ ahigkeit λR des Rippenmaterials und der Wärme¨ ubergangskoeffizient αR eine Rolle bei der Berechnung des Rippenwirkungsgrads, auf die wir in 2.2.4 eingehen.


41

Abb. 1.16: Periodische Temperaturverteilung auf der Linie CD. ϑ0 mittlere Temperatur des Rippenfußes, ϑW2 mittlere Temperatur der Oberfl¨ ache des Grundmaterials zwischen den Rippen.

Die Temperatur ϑ0 des Rippenfußes hat einen anderen Wert als die Temperatur ϑW2 des von Rippen freien Grundmaterials. Durch den Rippenfuß fließt nämlich eine wesentlich h¨ ohere W¨ armestromdichte in die Rippe als vom Grundmaterial an das Fluid u ¨bergeht. Es tritt also eine Temperaturabsenkung unter der Rippe auf, so dass sich im Grundmaterial eine periodische Temperaturverteilung einstellt, wie sie Abb. 1.16 schematisch zeigt. Zur Vereinfachung vernachlässigt man diesen komplizierten Temperaturverlauf und setzt ϑ0 = ϑW2 ,

(1.83)

nimmt also eine isotherme Temperaturverteilung unter den Rippen und an der Oberfläche des Grundmaterials zwischen den Rippen an. Diese Vereinfachung ¨ f¨ uhrt zu einer Ubersch¨ atzung des u ¨bertragenen Wärmestroms. Wie zuerst O. Krischer und W. Kast [1.4], sp¨ ater E.M. Sparrow und D.K. Hennecke [1.5] sowie E.M. Sparrow und L. Lee [1.6] zeigten, kann der Wärmestrom bis zu 25 % zu groß berechnet werden. In vielen F¨ allen, besonders bei dickeren und enger stehenden Rippen, liegt der Fehler unter 5 %. Wir nehmen daher (1.83) als g¨ ultig an und erhalten mit dieser Vereinfachung aus (1.80) und (1.82) Q˙ = Q˙ R + Q˙ G = (αG AG + αR ηR AR ) (ϑ0 − ϑ2 ) .

(1.84)

Die Rippenoberfl¨ ache ist nicht mit ihrer vollen Größe AR , sondern nur mit dem durch den Rippenwirkungsgrad verminderten Anteil ηR AR wirksam. Meistens ist AR AG , und in der ersten Klammer von (1.84) u ¨berwiegt der zweite Summand trotz ηR < 1. Man kann daher ohne großen Fehler αG ≈ αR setzen und erhält (1.85) Q˙ = αR (AG + ηR AR ) (ϑ0 − ϑ2 ) . F¨ ur den Wärmedurchgangswiderstand einer berippten Wand findet man nun, da außerdem die Beziehungen (1.68), (1.69) und (1.71) gelten, δ 1 1 1 + + = . kA α1 A1 λm Am αR (AG + ηR AR )

(1.86)

armeleitfähigkeit und Am die mittHierin sind δ die Dicke, λm die mittlere W¨ lere Fläche der unberippten Wand. Der W¨ armedurchgang berippter Wände

42


l¨ asst sich also nach den gleichen Beziehungen berechnen wie bei unberippten Wänden; man hat nur statt der Rippenoberfläche die mit dem Rippenwirkungsgrad multiplizierte Fl¨ ache einzusetzen. Beispiel 1.4: Ein Rohr aus einer Aluminiumlegierung (λm = 205 W/K m) hat den Innendurchmesser d1 = 22 mm und den Außendurchmesser d2 = 25 mm. Es wird innen von Wasser mit ϑ1 = 60 ◦ C durchstr¨ omt, w¨ ahrend Luft mit omt. Typische W¨ arme¨ ubergangskoefϑ2 = 25 ◦ C senkrecht zu seiner Achse str¨ fizienten sind α1 = 6150 W/m2 K und α2 = 95 W/m2 K. Man berechne den auf ˙ die Rohrl¨ ange L bezogenen W¨ armestrom Q/L. Aus (1.76) erh¨ alt man

1 d2 1 1 1 1 + ln + = kA πL α1 d1 2λm d1 α2 d2 =

Km 0,1365 K m 1 (0,0074 + 0,0003 + 0,4211) = πL W L W

und aus (1.71) ˙ Q/L = (kA/L) (ϑ1 − ϑ2 ) = 256 W/m . Der W¨ armedurchgangswiderstand (1/kA) wird durch den großen W¨ arme¨ ubergangswiderstand an der Rohraußenseite bestimmt, der durch das Anbringen von Rippen verkleinert werden soll. Hierzu werden kreisringf¨ ormige Scheiben-Rippen mit dem Außendurchmesser dR = 60 mm, der Dicke δR = 1 mm und der Teilung tR = 6 mm gew¨ ahlt. Die ur die von Rippen freie Außenfl¨ ache des Zahl der Rippen ist dann n = L/tR . F¨ Rohres gilt AG = π d2 (L − n δR ) = π d2 L (1 − δR /tR ) und f¨ ur die Rippenoberfl¨ ache AR = 2n

π 2 π L 2 dR − d22 = dR − d22 . 4 2 tR

Die schmale Fl¨ ache mit der Breite δR an der Rippenspitze ist hierbei ver¨ nachl¨ assigt worden; denn sie tr¨ agt wegen ihrer niedrigen Ubertemperatur nur wenig zum W¨ arme¨ ubergang an die Luft bei. Gegen¨ uber der Fl¨ ache A0 = πd2 L des unberippten Rohres erh¨ alt man eine Fl¨ achenvergr¨ oßerung um den Faktor (AG + AR )/A0 = 10,75. F¨ ur den W¨ arme¨ ubergang ist die Rippenfl¨ ache jedoch nicht voll wirksam. Wir nehmen αR = α2 und einen Rippenwirkungsgrad ηR = 0,55 an und erhalten nach (1.86)

1 1 d2 πL 1 1 + ln + = kA πL α1 d1 2λm d1 αR (AG + ηR AR ) 1 Km 0,0238 K m (0,0074 + 0,0003 + 0,0670) = . πL W L W Der W¨ arme¨ ubergangswiderstand auf der Rohraußenseite ist zwar immer noch der gr¨ oßte W¨ armewiderstand, doch der W¨ armedurchgangswiderstand hat sich durch das Anbringen der Rippen erheblich verkleinert. Dementsprechend erh¨ alt ˙ man den gr¨ oßeren W¨ armestrom Q/L = 1472 W/m. Die Fl¨ achenvergr¨ oßerung um den Faktor 10,75 hat zu einer Erh¨ ohung der W¨ armeleistung um den Faktor 5,75 gef¨ uhrt. =


43

1.2.4 Abku armung du ¨ hlung und Erw¨ ¨ nnwandiger Beh¨ alter Die Beziehungen f¨ ur den station¨ aren W¨ armedurchgang lassen sich auch auf die L¨ osung eines instation¨ aren W¨ arme¨ ubergangsproblems anwenden, nämlich zur Berechnung des zeitlichen Temperaturverlaufs beim Aufheizen und Abk¨ uhlen d¨ unnwandiger Beh¨ alter, die mit einer Fl¨ ussigkeit gef¨ ullt sind. Hierzu muss man zwei vereinfachende Annahmen machen: 1. Die Temperatur der Fl¨ ussigkeit im Inneren des Behälters ist räumlich ausgeglichen; sie ¨ andert sich nur mit der Zeit, ϑF = ϑF (t). ¨ 2. Die Wärmespeicherung der Beh¨ alterwand, genauer die Anderung ihrer inneren Energie, kann vernachl¨ assigt werden. Die erste Annahme wird h¨ aufig zutreffen, weil freie oder durch ein R¨ uhrwerk erzwungene Konvektionsstr¨ ome einen r¨ aumlichen Temperaturausgleich im Inneren des Beh¨ alters herbeif¨ uhren. Die zweite Annahme ist nur dann berechtigt, wenn die W¨ armekapazit¨ at des Beh¨ alterinhalts die Wärmekapazität der Wände weit u uhlung oder Erwärmung ¨berwiegt. Dies trifft auf die Abk¨ von Fl¨ ussigkeiten in d¨ unnwandigen Beh¨ altern zu, jedoch nicht auf gasgef¨ ullte Behälter mit dicken oder stark isolierten W¨ anden. Bei G¨ ultigkeit der beiden Annahmen herrscht zu jeder Zeit im Behälterinneren eine räumlich ausgeglichene Temperatur, und in den Wänden verläuft die Temperatur nach den Gleichungen, die f¨ ur den stationären Zustand gelten. In einer ebenen Beh¨ alterwand f¨ allt die Temperatur also linear ab, diese Gerade verlagert sich jedoch im Laufe der Zeit.

Abb. 1.17: Temperaturverlauf bei der Abk¨ uhlung eines d¨ unnwandigen Beh¨ alters.

Wir betrachten zun¨ achst den Abk¨ uhlvorgang, Abb. 1.17. Der Wärmestrom ˙ Q(t), der von der Fl¨ ussigkeit mit der Temperatur ϑF (t) durch die Behälterwand an die Umgebung mit der konstanten Temperatur ϑU u ¨bertragen wird, ist durch ˙ (1.87) Q(t) = kA [ϑF (t) − ϑU ]

44


gegeben. Dabei kann der W¨ armedurchgangskoeffizient k nach (1.72) berechnet werden. Nach dem ersten Hauptsatz bewirkt der abfließende Wärmestrom Q˙ ussigeine Abnahme der inneren Energie UF der im Behälter befindlichen Fl¨ keit: dUF dϑF ˙ = −MF cF . (1.88) Q(t) =− dt dt Hierin bedeutet MF die Masse und cF die als konstant angenommene spez. Wärmekapazität der Fl¨ ussigkeit. Aus (1.87) und (1.88) folgt die gew¨ ohnliche Differentialgleichung kA dϑF + (ϑF − ϑU ) = 0 dt MF cF f¨ ur die Fl¨ ussigkeitstemperatur. Ihre L¨ osung unter der Anfangsbedingung ϑF = ϑF0

zur Zeit

t=0

lautet in dimensionsloser Form ϑ+ F :=

ϑF − ϑU kA = exp − t . ϑF0 − ϑU MF cF

(1.89)

Die Fl¨ ussigkeitstemperatur sinkt also exponentiell von ihrem Anfangswert ϑF0 auf die Umgebungstemperatur ϑU . Abb. 1.18 zeigt den Temperaturverlauf f¨ ur verschiedene Werte der Abklingzeit t0 := MF cF /kA .

(1.90)

Sie erscheint in Abb. 1.18 als Subtangente der Abk¨ uhlkurve zu einem beliebigen Zeitpunkt, insbesondere auch zur Zeit t = 0. Die Erw¨ armung des Beh¨ alterinhalts m¨ oge zur Zeit t = 0 beginnen, bei der der ganze Behälter die Umgebungstemperatur hat: ϑF = ϑU

f¨ ur

t=0 .

(1.91)

uhrt, die Der Fl¨ ussigkeit werde f¨ ur t ≥ 0 die Heizleistung Q˙ H = Q˙ H (t) zugef¨ eine beliebige Funktion der Zeit sein kann. Da die Fl¨ ussigkeit den Wärmestrom ˙ Q(t) nach (1.87) durch die d¨ unne Beh¨ alterwand an die Umgebung verliert, liefert der erste Hauptsatz die Bilanzgleichung dUF ˙ = −Q(t) + Q˙ H (t) , dt woraus die Differentialgleichung kA dϑF Q˙ H (t) + (ϑF − ϑU ) = dt MF cF MF cF folgt. Ihre allgemeine L¨ osung unter Beachtung der Anfangsbedingung (1.91) lautet

1.3 W¨ arme¨ ubertrager

45

¨ Abb. 1.18: Zeitliche Anderung der Fl¨ ussigkeitstemperatur ϑ+ F nach (1.89) mit t0 nach (1.90) bei der Abk¨ uhlung eines Beh¨ alters.

t ˙ QH (t) ϑF = ϑU + exp (−t/t0 ) exp (t/t0 ) dt MF cF

(1.92)

0

mit t0 nach (1.90). Nimmt man eine konstante Heizleistung Q˙ H an, so folgt aus (1.92) ϑF = ϑU +

Q˙ H [1 − exp (−t/t0 )] . kA

Nach sehr langer Zeit (t → ∞) erreicht die Temperatur der Fl¨ ussigkeit den Wert Q˙ H ϑF∞ = ϑU + . kA Die zugef¨ uhrte Heizleistung reicht dann gerade aus, um den Verlustwärmestrom Q˙ nach (1.87) zu decken; es stellt sich ein stationärer Zustand ein.

1.3 W¨ armeu ¨ bertrager Soll Energie als W¨ arme von einem Fluidstrom auf einen anderen u ¨bertragen werden, so f¨ uhrt man die beiden Fluide durch einen Apparat, der Wärme¨ ubertrager (fr¨ uher auch W¨ armetauscher oder Wärmeaustauscher) genannt wird. Die Fluidstr¨ ome sind dabei durch eine materielle Wand, meist eine Rohrwand, getrennt, durch die W¨ arme vom Fluid mit der höheren Temperatur auf das kältere Fluid u ur die Berechnung von Wärme¨ uber¨bertragen wird. F¨ tragern verwendet man daher die in Abschnitt 1.2 hergeleiteten Beziehungen

46


f¨ ur den Wärmedurchgang. Außerdem verkn¨ upfen die Energiebilanzen des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik den u ¨bertragenen Wärmestrom mit den Enthalpieänderungen der beiden Fluide und damit mit ihren Temperaturänderungen. Wärme¨ ubertrager kommen in verschiedenen Bauarten vor, die sich insbesondere durch die Stromf¨ uhrung der beiden Fluide unterscheiden. Hier¨ uber wird im ersten Abschnitt berichtet. Danach gehen wir auf die Berechnungsgleichungen ein, die vorteilhaft mit dimensionslosen Kenngrößen formuliert werden. In den dann folgenden Abschnitten behandeln wir die Berechnung der Gegenstrom-, Gleichstrom- und Kreuzstromwärme¨ ubertrager. Im letzten Abschnitt wird auf weitere praktisch wichtige Stromf¨ uhrungen hingewiesen, die sich aus den drei genannten Grundformen kombinieren lassen. Berechnung, Gestaltung und Anwendung von Wärme¨ ubertragern werden ausf¨ uhrlich in verschiedenen B¨ uchern behandelt. Es sei insbesondere auf die Veröffentlichungen von H. Hausen [1.7], H. Martin [1.8] sowie W. Roetzel u.a. [1.9] hingewiesen. Die folgenden Abschnitte geben nur eine Einf¨ uhrung in dieses umfangreiche Gebiet unter Betonung der wärmetechnischen Berechnungsverfahren.

1.3.1 Bauarten und Stromfu ¨ hrungen Zu den einfachen Bauformen eines W¨ arme¨ ubertragers gehört der in Abb. 1.19 schematisch dargestellte Doppelrohr-W¨ arme¨ ubertrager. Hier werden zwei Rohre in der Regel konzentrisch angeordnet. Das eine Fluid, Index 1, strömt im Innenrohr, das andere, dessen Eigenschaften durch den Index 2 gekennzeichnet werden, strömt im ringf¨ ormigen Raum zwischen dem Innen- und dem Mantelrohr. Offensichtlich sind zwei Stromf¨ uhrungen möglich: der Gegenstrom, bei dem die beiden Fluide in verschiedenen Richtungen strömen, Abb. 1.19a, und der Gleichstrom nach Abb. 1.19b. In Abb. 1.19 sind auch die Verl¨ aufe der u ¨ber den Querschnitt gemittelten Temperaturen ϑ1 und ϑ2 der beiden Fluide dargestellt. Die Eintrittstemperaturen werden mit einem Strich, die Austrittstemperaturen mit zwei Strichen gekennzeichnet. In jedem Querschnitt ist ϑ1 > ϑ2 , wenn wir mit dem Index 1 das heißere Fluid bezeichnen. Bei Gegenstromf¨ uhrung treten die beiden Fluide an verschiedenen Enden des W¨ arme¨ ubertragers aus. Deswegen kann die Austrittstemperatur ϑ1 des warmen Stromes unter der des kalten Stromes liegen (ϑ1 < ϑ2 ); denn es m¨ ussen nur die Bedingungen ϑ1 > ϑ2 und ϑ1 > ϑ2 eingehalten werden. Eine derartige starke Abk¨ uhlung des warmen Fluids 1 bzw. die große Erw¨ armung des kalten Fluids 2 ist mit der Gleichstromf¨ uhrung nicht zu erreichen. Hier treten die Austrittstemperaturen beider Fluide im selben Querschnitt des Doppelrohr-Wärme¨ ubertragers auf, und es gilt daher ϑ1 > ϑ2 selbst bei beliebiger Verlängerung des Apparates. Dies ist ein erstes Anzeichen daf¨ ur, dass die Gegenstromf¨ uhrung der Gleichstromf¨ uhrung u arme¨ ubertragungsaufgaben, die bei ¨berlegen ist: Nicht alle W¨


47

Abb. 1.19: Fluidtemperaturen ϑ1 und ϑ2 in einem Doppelrohr-W¨ arme¨ ubertrager. a Gegenstromf¨ uhrung, b Gleichstromf¨ uhrung.

Gegenstrom realisiert werden k¨ onnen, lassen sich mit Gleichstrom verwirklichen. Außerdem werden wir in 1.3.3 herleiten, dass bei gleicher u ¨bertragener Wärmeleistung ein Gegenstrom-W¨ arme¨ ubertrager stets eine kleinere Fläche hat als ein Gleichstrom-W¨ arme¨ ubertrager, sofern die gestellte Aufgabe u ¨berhaupt mit beiden Stromf¨ uhrungen l¨ osbar ist. Aus diesen Gr¨ unden wird die Gleichstromf¨ uhrung selten angewendet. Die in der Praxis am h¨ aufigsten angewandte Bauform ist der Rohrb¨ undelW¨ arme¨ ubertrager nach Abb. 1.20. Das eine der beiden Fluide strömt dabei in den parallelen Rohren eines B¨ undels, das sehr viele Rohre enthalten kann. Das B¨ undel ist von einem Mantelrohr umgeben, in dessen Innerem das an-

Abb. 1.20: Rohrb¨ undel-W¨ arme¨ ubertrager (schematisch)

dere Fluid an der Außenseite der Rohre des B¨ undels strömt. Auch hier lässt sich Gegenstrom verwirklichen, wenn man von den Enden des Wärme¨ ubertragers absieht, wo das im Außenraum str¨ omende Fluid ein- bzw. austritt.

48


Häufig erzwingt man jedoch durch Umlenk- oder Schikanebleche nach Abb. 1.21, dass das Fluid im Außenraum im Wesentlichen quer zu den Rohren des B¨ undels strömt, was zu einem h¨ oheren W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten als bei Längsströmung f¨ uhrt. In diesen Abschnitten zwischen den Umlenkblechen liegt nicht Gleich- oder Gegenstrom vor, sondern Kreuzstrom. Reiner Kreuz-

Abb. 1.21: Rohrb¨ undelW¨ arme¨ ubertrager mit Umlenkblechen

Abb. 1.22: Schema eines Plattenw¨ arme¨ ubertragers mit KreuzstromF¨ uhrung

strom wird bei den Plattenw¨ arme¨ ubertragern nach Abb. 1.22 verwirklicht. Hier a¨ndern sich die Temperaturen der beiden Fluide auch quer zur jeweiligen Strömungsrichtung. Dies ist in Abb. 1.23 schematisch wiedergegeben. Jedes Fluidteilchen, das einen W¨ arme¨ ubertrager mit Kreuzstrom-F¨ uhrung durchströmt, erf¨ ahrt eine eigene Temperatur¨ anderung zwischen der f¨ ur alle Teilchen gleichen Eintrittstemperatur ϑi und dem individuellen Wert seiner Austrittstemperatur. Kreuzstrom wird auch bei Rohrb¨ undel-Wärme¨ ubertragern angewendet, bei denen eines der Fluide gasförmig ist. Das Gas strömt quer zu den Rohrachsen u ¨ber die Rohre, die in Reihen angeordnet sind und in denen das andere Fluid, oft eine Fl¨ ussigkeit, strömt. Durch Berippung der Rohre, vgl. Abschnitt 1.2.3 und 2.2.3, l¨ asst sich die Wärme¨ ubertragungsfläche auf der Gasseite vergr¨ oßern, wodurch der niedrige Wärme¨ ubergangskoeffizient kompensiert wird. Abb. 1.24 zeigt eine besonders einfache Bauart eines Wärme¨ ubertragers, eine Rohrschlange, die in einem Beh¨ alter (Kessel) untergebracht ist. Das eine Fluid strömt durch das Rohr, das andere befindet sich im Kessel. Es kann diesen stationär durchstr¨ omen oder, im Kessel ruhend, erwärmt oder abgek¨ uhlt werden. Häufig wird das im Kessel befindliche Fluid durch ein R¨ uhrwerk bewegt, um es zu durchmischen und den W¨ arme¨ ubergang an die Rohrschlange zu verbessern.


49

Abb. 1.23: Fluidtemperaturen ϑ1 = ϑ1 (x, y) und ϑ2 = ϑ2 (x, y) bei Kreuzstrom

Abb. 1.24: W¨ arme¨ ubertrager mit Rohrschlange (schematisch)

Neben den genannten Bauarten gibt es zahlreiche Sonderformen von Wärme¨ ubertragern, auf die wir nicht eingehen. Dabei ist eine Vielzahl von Kombinationen der grundlegenden Stromf¨ uhrungen Gegenstrom, Gleichstrom und Kreuzstrom möglich, was zu komplizierten Berechnungsverfahren f¨ uhrt.

50


Bei den bisher behandelten W¨ arme¨ ubertragern str¨ omen zwei Fluide station¨ ar und gleichzeitig durch den Apparat. Sie sind stets durch eine Wand getrennt, durch die W¨ arme vom heißen zum kalten Fluid fließt (W¨ armedurchgang). Diese W¨ arme¨ ubertrager werden auch als Rekuperatoren bezeichnet im Gegensatz zu den Regeneratoren. Sie enthalten eine f¨ ur Gase durchl¨ assige F¨ ullmasse, z.B. gitterartige Anordnungen von Formsteinen mit Kan¨ alen f¨ ur das Gas oder eine Sch¨ uttung aus Steinen oder Metallstreifen. Die beiden Gase durchstr¨ omen den Regenerator in zeitlichem Wechsel. Das heiße Gas gibt W¨ arme an die F¨ ullk¨ orper ab, in denen sie als innere Energie gespeichert wird. Das anschließend durch die Speichermasse str¨ omende kalte Gas nimmt Energie als W¨ arme auf und verl¨ asst den Regenerator mit h¨ oherer Temperatur. Ein kontinuierlicher Betrieb erfordert wenigstens zwei Regeneratoren, damit gleichzeitig das eine Gas erw¨ armt und das andere abgek¨ uhlt werden kann, Abb. 1.25. Durch Umschalten der Gasstr¨ ome wird jeder der beiden Regeneratoren im periodischen Wechsel aufgeheizt und gek¨ uhlt. Die Austrittstemperaturen der Gase f¨ uhren dabei zeitliche Schwingungen aus.

Abb. 1.25: Regeneratoren f¨ ur die periodische W¨ arme¨ ubertragung zwischen den Gasen Luft und Stickstoff (schematisch)

Regeneratoren werden als Winderhitzer der Hoch¨ ofen und als W¨ arme¨ ubertrager in Tieftemperaturanlagen zur Gasverfl¨ ussigung eingesetzt. Eine besondere Bauart, der Ljungstr¨ om-Vorw¨ armer mit rotierender Speichermasse, dient als Luftvorw¨ armer f¨ ur Feuerungen und in Gasturbinenanlagen; das warme Gas ist dabei das Verbrennungsgas (Abgas), das m¨ oglichst weit abgek¨ uhlt werden soll, um seinen Energieinhalt zu nutzen. Die Theorie der Regeneratoren hat vor allem H. Hausen [1.10] entwickelt. Da es sich um die Berechnung recht komplizierter zeitabh¨ angiger Vorg¨ ange handelt, gehen wir auf die Regenerator-Theorie in den folgenden Abschnitten nicht ein. Es sei auf die zusammenfassenden Darstellungen von H. Hausen [1.7] und im VDI-W¨ armeatlas [1.11] verwiesen.


51

1.3.2 Allgemeine Berechnungsgleichungen. Dimensionslose Kennzahlen Abb. 1.26 zeigt das Schema eines W¨ arme¨ ubertragers. Die Temperaturen der beiden Fluide werden wie in Abschnitt 1.3.1 mit ϑ1 und ϑ2 bezeichnet, wobei wir ϑ1 > ϑ2 annehmen. W¨ arme soll also vom Fluid 1 auf das Fluid 2 u ¨bertragen werden. Die Eintrittstemperaturen werden durch einen Strich, die Austrittstemperaturen durch zwei Striche gekennzeichnet.

Abb. 1.26: Schema eines W¨ arme¨ ubertragers mit Massenstr¨ omen M˙ i , Eintrittstemperaturen ϑi , Austrittstemperaturen ϑi , Eintrittsenthalpien hi und Austrittsome (i = enthalpien hi der beiden Fluidstr¨ 1, 2).

Wir wenden zun¨ achst den ersten Hauptsatz der Thermodynamik auf jedes der beiden Fluide an. Der u armestrom bewirkt eine Enthalpie¨bertragene W¨ erhöhung des kalten Fluids 2 und eine Enthalpieabnahme des warmen Fluids 1. Es gilt (1.93) Q˙ = M˙ 1 (h1 − h1 ) = M˙ 2 (h2 − h2 ) , wobei M˙ i den Massenstrom des Fluids i bedeutet. Die hier auftretenden spez. Enthalpien sind bei den Eintritts- und Austrittstemperaturen ϑi bzw. ϑi zu berechnen, die als Querschnittsmittelwerte, n¨ amlich als adiabate Mischungstemperaturen im Sinne der Ausf¨ uhrungen von Abschnitt 1.1.3 zu bestimmen sind. Gleichung (1.93) gilt nur f¨ ur einen bez¨ uglich der Umgebung adiabaten Wärme¨ ubertrager, was wir im Folgenden stets voraussetzen. Die beiden Fluide sollen den W¨ arme¨ ubertrager ohne Phasenänderung durchströmen, also nicht kondensieren oder verdampfen. Wir vernachlässigen die sehr geringe Druckabh¨ angigkeit der spez. Enthalpie. Sie hängt dann nur von der Temperatur ab, und wir erhalten mit cpi :=

hi − hi ϑi − ϑi

,

i = 1, 2

als mittlerer spez. W¨ armekapazit¨ at zwischen ϑi und ϑi aus (1.93) Q˙ = M˙ 1 cp1 (ϑ1 − ϑ1 ) = M˙ 2 cp2 (ϑ2 − ϑ2 ) .

(1.94)

52


Zur Abk¨ urzung f¨ uhrt man den W¨ armekapazit¨ atsstrom ˙ i := M˙ i cpi W ein und erhält

,

i = 1, 2

(1.95)

˙ 1 (ϑ − ϑ ) = W ˙ 2 (ϑ − ϑ ) . Q˙ = W 1 1 2 2

(1.96)

Die Temperatur¨ anderungen der beiden Fluidströme sind durch den ersten Hauptsatz miteinander verkn¨ upft; sie verhalten sich reziprok zum Verhältnis ihrer Wärmekapazit¨ atsstr¨ ome. Der Wärmestrom Q˙ wird durch die Temperaturdifferenz ϑ1 − ϑ2 im Inneren des Wärme¨ ubertragers vom Fluid 1 auf das Fluid 2 u ¨bertragen. Dabei hat Q˙ den Wärmedurchgangswiderstand 1/kA nach Abschnitt 1.2.1 zu u ¨ber¨ winden. Die Größe kA, die wir im Folgenden die Ubertragungsf¨ ahigkeit des Wärme¨ ubertragers nennen, ist die f¨ ur den Apparat typische Größe. Sie lässt sich nach (1.72) aus den W¨ arme¨ ubergangswiderständen und dem Wärmeleitwiderstand der Trennwand zwischen den beiden Fluiden berechnen. In der Regel sieht man kA als eine Apparate-Konstante an und nimmt an, der Wärmedurchgangskoeffizient k solle an jeder Stelle des Wärme¨ ubertragers den gleichen Wert haben. Dies muss jedoch nicht zutreffen; denn die Wärme¨ ubergangskoeffizienten der Fluide k¨ onnen sich l¨ angs ihrer Strömungswege als Folge ¨ der Temperaturabh¨ angigkeit der Stoffwerte oder wegen einer Anderung der Strömungsverhältnisse ¨ andern. In solchen F¨ allen kann man k bzw. kA an mehreren Punkten des W¨ arme¨ ubertragers berechnen und einen geeigneten Mittelur den ganzen wert bilden, vgl. W. Roetzel u. B. Spang [1.12], der dann die f¨ ¨ Wärme¨ ubertrager charakteristische Ubertragungsf¨ ahigkeit kA darstellt. Bevor wir die Berechnung eines W¨ arme¨ ubertragers beginnen, verschaffen ¨ wir uns einen Uberblick u ¨ber die maßgebenden Einflussgrößen, verringern ihre Zahl durch Einf¨ uhren dimensionsloser Kennzahlen und ermitteln schließlich, welche Beziehungen zur Berechnung des W¨ arme¨ ubertragers benötigt werden. In Abb. 1.27 sind die sieben bisher behandelten Einflussgrößen eingetragen. ¨ Die Wirksamkeit des W¨ arme¨ ubertragers ist durch seine Ubertragungsf¨ ahigkeit kA gegeben; jeder der beiden Stoffstr¨ ome wird durch den Wärmekapazitäts˙ i , die Eintrittstemperatur ϑ und die Austritts- oder Ablauftemperastrom W i tur ϑi gekennzeichnet. Da es auf die absolute Größe der Temperaturen nicht ankommt, spielen nur die drei Differenzen (ϑ1 − ϑ1 ), (ϑ2 − ϑ2 ) und (ϑ1 − ϑ2 ) eine Rolle, vgl. Abb. 1.28. Somit verringert sich die Zahl der Einflussgrößen um eins. Es verbleiben sechs Gr¨ oßen ˙ 1 , (ϑ − ϑ ), W ˙2 kA, (ϑ1 − ϑ1 ), W 2 2

und

(ϑ1 − ϑ2 ) .

Sie gehören zu nur zwei verschiedenen Gr¨ oßenarten; es sind Temperaturen (Einheit K) oder W¨ armekapazit¨ atsstr¨ ome (Einheit W/K). Nach Abschnitt 1.1.4 lassen sich daher vier (= 6 − 2) Kenngrößen bilden, nämlich die dimensionslosen Temperatur¨ anderungen der beiden Fluide, ε1 :=

ϑ1 − ϑ1 ϑ1 − ϑ2

und ε2 :=

ϑ2 − ϑ2 , ϑ1 − ϑ2

(1.97)


Abb. 1.27: W¨ arme¨ ubertrager mit den sieben Einflussgr¨ oßen

53

Abb. 1.28: Die drei maßgebenden Temperaturdifferenzen (Pfeile) in einem W¨ arme¨ ubertrager

vgl. Abb. 1.29, und die Verh¨ altnisse N1 :=

kA ˙1 W

und N2 :=

kA . ˙2 W

(1.98)

Sie werden in der amerikanischen Literatur als Number of Transfer-Units ¨ (N T U ) bezeichnet. Im deutschen Schrifttum findet man die direkte Uberset¨ zung Zahl der Ubertragungseinheiten“; wir schlagen vor, Ni als dimensions” ¨ lose oder bezogene Ubertragungsf¨ ahigkeit zu bezeichnen. Anstelle von N2 wird oft das Verhältnis der W¨ armekapazit¨ atsstr¨ ome C1 :=

˙1 W N2 = ˙ N W2 1

(1.99)

C2 :=

˙2 W 1 = ˙ C1 W1

(1.100)

oder sein Kehrwert

verwendet. Die vier Kenngr¨ oßen nach (1.97) und (1.98) sind nicht unabhängig voneinander, denn aus der Bilanzgleichung (1.96) des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik erhält man ε1 ε2 = N1 N2

oder

Abb. 1.29: Verlauf der dimensionslosen Fluidtemperaturen ϑ+ i = (ϑi −ϑ2 ) / (ϑ1 −ϑ2 ) u ache und Veranschaulichung von ¨ber der Fl¨ ε1 und ε2 nach (1.97)

ε2 = C1 ε1 .

(1.101)

54


Die zwischen den drei verbleibenden Kenngr¨ oßen bestehende Relation F (ε1 , N1 , N2 ) = 0

oder F (ε1 , N1 , C1 ) = 0

(1.102)

ist die Betriebscharakteristik des W¨ arme¨ ubertragers. Sie hängt von der Stromf¨ uhrung ab und muss durch eine Berechnung des Temperaturverlaufs der beiden Fluidströme gewonnen werden, worauf wir in den folgenden Abschnitten eingehen. Bei der Berechnung von W¨ arme¨ ubertragern treten zwei Gruppen von Aufgaben auf: 1. Nachrechnung eines gegebenen W¨ arme¨ ubertragers, 2. Auslegung des W¨ arme¨ ubertragers f¨ ur eine vorgeschriebene Leistung. ˙ 1 und W ˙2 armekapazitätsströme W Im ersten Fall sind neben (ϑ1 − ϑ2 ) die W¨ sowie kA gegeben. Gesucht sind die Temperaturänderungen der beiden Fluidströme, aus denen sich nach (1.96) die W¨ armeleistung Q˙ ergibt. Da die Kennzahlen N1 und N2 bzw. das Paar N1 und C1 gegeben sind, lässt sich diese Aufgabe sofort lösen, wenn die Betriebscharakteristik (1.102) explizit nach ε1 aufgelöst werden kann: ε1 = ε1 (N1 , C1 ) . Die dimensionslose Temperatur¨ anderung ε2 des anderen Fluids folgt aus (1.101). Bei der Auslegungsrechnung wird kA gesucht; die Temperaturänderungen beider Ströme sind gegeben, oder es sind beide Wärmekapazitätsströme und die Temperatur¨ anderung eines Stromes bekannt. In diesem Fall ist eine Betriebscharakteristik erw¨ unscht, die explizit nach N1 oder N2 auflösbar ist: N1 = N1 (ε1 , C1 ) . ¨ Daraus erhält man die erforderliche Ubertragungsf¨ ahigkeit ˙ 1 = N2 W ˙2 . kA = N1 W In Abb. 1.30 ist die Betriebscharakteristik eines Wärme¨ ubertragers mit gegebener Stromf¨ uhrung schematisch dargestellt. Die Lösung der beiden Aufgaben, Nachrechnung und Auslegung, ist angedeutet. In vielen Fällen ist die hier vorausgesetzte explizite Aufl¨ osung der Betriebscharakteristik nach ε1 und N1 nicht möglich, selbst wenn man u ur die ¨ber einen analytischen Ausdruck f¨ Betriebscharakteristik verf¨ ugt. In solchen F¨ allen kann man Diagramme nach Art der Abb. 1.30 benutzen, auf die wir in Abschnitt 1.3.5 eingehen. ˙ i nach (1.95) hatten Bei der Einf¨ uhrung des W¨ armekapazit¨ atsstroms W wir die Kondensation oder Verdampfung eines der Fluide ausgeschlossen. Bei der isobaren Verdampfung oder Kondensation eines reinen Stoffes ändert sich seine Temperatur nicht, es geht aber cpi → ∞. Daraus folgt εi = 0, während ˙ i → ∞ strebt, was Ni = 0 und Ci → ∞ zur Folge hat. Die Berechnung W


55

Abb. 1.30: Schematische Darstellung der Betriebscharakteristik eines W¨ arme¨ uberur die Nachrechnung: εi = tragers f¨ ur Ci = const. N angenommener Betriebspunkt f¨ εi (Ni , Ci ), A angenommener Betriebspunkt f¨ ur die Auslegung: Ni = Ni (εi , Ci ). Außerdem ist die Bestimmung der bezogenen mittleren Temperaturdifferenz Θ f¨ ur den Betriebspunkt A dargestellt.

des Wärme¨ ubertragers vereinfacht sich in diesen Fällen, denn die Betriebscharakteristik ist nur noch der Zusammenhang zwischen zwei (und nicht drei) Kennzahlen, nämlich zwischen ε und N des anderen, nicht kondensierenden bzw. verdampfenden Fluids. Zur Berechnung von W¨ arme¨ ubertragern benutzt man neben den bereits eingef¨ uhrten Gr¨ oßen und Kennzahlen eine weitere Gr¨ oße, die mittlere Temperaturdifalt sie durch Integration der o ferenz Δϑm . Man erh¨ ¨rtlichen Differenz (ϑ1 − ϑ2 ) der ¨ beiden Fluidtemperaturen u ache: ¨ber die gesamte Ubertragungsfl¨

Δϑm :=

1 A

(ϑ1 − ϑ2 ) dA .

(1.103)

(A)

Analog zu (1.71) erh¨ alt man dann f¨ ur den u armestrom ¨bertragenen W¨ Q˙ = kAΔϑm .

(1.104)

Diese Gleichung gilt streng genommen nur, wenn der W¨ armedurchgangskoeffizient k an jeder Stelle von A gleich groß ist. Trifft dies nicht zu, so kann man (1.104) als Definitionsgleichung eines Mittelwertes von k ansehen. Durch Einf¨ uhren von Δϑm erh¨ alt man mit (1.104) eine Beziehung, die den u ¨ber¨ tragenen W¨ armestrom unmittelbar mit der Ubertragungsf¨ ahigkeit kA, also mit der Fl¨ ache des W¨ arme¨ ubertragers verkn¨ upft. Es gelten nun die Gleichungen ˙ 1 (ϑ1 − ϑ1 ) = W ˙ 2 (ϑ2 − ϑ2 ) . Q˙ = kAΔϑm = W Mit der dimensionslosen mittleren Temperaturdifferenz Θ :=

Δϑm ϑ1 − ϑ2

erh¨ alt man daraus die folgenden Beziehungen zwischen Kennzahlen:

(1.105)

56

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen Θ=

ε2 ε1 = . N1 N2

(1.106)

Die mittlere Temperaturdifferenz Δϑm bzw. die mit ihr gebildete Kennzahl Θ l¨ asst sich also aus den vorher behandelten Kennzahlen berechnen. Die aus der Betriebscharakteristik folgenden Zusammenh¨ ange lassen sich auf Θ u atz¨bertragen. Grunds¨ lich liefert die Einf¨ uhrung der mittleren Temperaturdifferenz keine Erkenntnisse, die sich nicht auch aus der Betriebscharakteristik ablesen ließen. Dies veranschaulicht auch Abb. 1.30, in der Θ als Anstieg der Verbindungsgeraden zwischen dem Betriebspunkt des W¨ arme¨ ubertragers und dem Nullpunkt des Diagramms erscheint.

1.3.3 Gegenstrom- und Gleichstrom-W¨ armeu ¨ bertrager Wir berechnen nun die Betriebscharakteristik F (εi , Ni , Ci ) = 0, f¨ ur einen Gegenstrom-Wärme¨ ubertrager durch eine Analyse des Temperaturverlaufs der beiden Fluide. Die so gewonnenen Ergebnisse lassen sich leicht auf den praktisch weniger wichtigen Fall des Gleichstroms u ¨bertragen.

Abb. 1.31: Temperaturverlauf in einem Gegenstrom-W¨ armeu ¨bertrager

Wir betrachten den in Abb. 1.31 dargestellten Temperaturverlauf in einem Gegenstrom-Apparat. Die Temperaturen ϑ1 und ϑ2 der beiden Fluide hängen von der Koordinate z in Str¨ omungsrichtung des Fluids 1 ab. Auf einen Abschnitt mit der L¨ ange dz wenden wir den ersten Hauptsatz an und erhalten ˙ der vom Fluid 1 durch das Flächenelement dA auf f¨ ur den Wärmestrom dQ, das Fluid 2 u ¨bertragen wird, ˙ 1 dϑ1 dQ˙ = −M˙ 1 cp1 dϑ1 = −W

(1.107)

˙ 2 dϑ2 . dQ˙ = −M˙ 2 cp2 dϑ2 = −W

(1.108)

und Nun eliminieren wir dQ˙ mit dem f¨ ur den W¨ armedurchgang g¨ ultigen Ansatz


dz dQ˙ = k(ϑ1 − ϑ2 ) dA = kA(ϑ1 − ϑ2 ) L

57

(1.109)

¨ aus (1.107) und (1.108) und erhalten f¨ ur die Anderung der Fluidtemperaturen kA dz dz = −(ϑ1 − ϑ2 )N1 ˙ L W1 L

(1.110)

kA dz dz = −(ϑ1 − ϑ2 )N2 . ˙ L L W2

(1.111)

dϑ1 = −(ϑ1 − ϑ2 ) und dϑ2 = −(ϑ1 − ϑ2 )

Wir verzichten darauf, die Temperaturverl¨ aufe ϑ1 = ϑ1 (z) und ϑ2 = ϑ2 (z) aus diesen beiden Differentialgleichungen zu berechnen, sondern bestimmen ¨ die Anderung der Differenz ϑ1 −ϑ2 . Dazu subtrahieren wir (1.111) von (1.110) und erhalten nach Division mit (ϑ1 − ϑ2 ) d(ϑ1 − ϑ2 ) dz . = (N2 − N1 ) ϑ1 − ϑ2 L

(1.112)

Integration dieser Differentialgleichung zwischen z = 0 und z = L liefert die Beziehung ϑ − ϑ2 (ϑ1 − ϑ2 )L = ln 1 = N2 − N1 . (1.113) ln (ϑ1 − ϑ2 )0 ϑ1 − ϑ2 Nun gilt

ϑ1 − ϑ2 − (ϑ1 − ϑ1 ) ϑ1 − ϑ2 1 − ε1 , = = ϑ1 − ϑ2 ϑ1 − ϑ2 − (ϑ2 − ϑ2 ) 1 − ε2

und wir erhalten ln

1 − ε1 = N2 − N1 1 − ε2

(1.114)

als Betriebscharakteristik des Gegenstrom-Wärme¨ ubertragers in impliziter Form. Sie ist invariant gegen¨ uber dem Vertauschen der Indizes 1 und 2. Unter Verwendung der Verh¨ altnisse C1 und C2 = 1/C1 nach (1.99) bzw. (1.100) ergeben sich explizite Gleichungen der Form εi = f (Ni , Ci ) und Ni = f (εi , Ci )

,

i = 1, 2

die f¨ ur jeden der beiden Fluidstr¨ ome dieselbe Gestalt haben. Diese expliziten Formen der Betriebscharakteristik sind in Tabelle 1.4 verzeichnet. Sind die ˙ 2 , so gilt wegen C1 = C2 = 1 ˙1 =W Wärmekapazitätsstr¨ ome gleich, W ε1 = ε2 = ε

und N1 = N2 = N ,

und man erhält nach Reihenentwicklung der f¨ ur Ci = 1 geltenden Gleichungen durch den Grenz¨ ubergang Ci → 1 die ebenfalls in Tabelle 1.4 angegebenen einfachen Beziehungen.

58


Tabelle 1.4: Gleichungen zur Berechnung der normierten Temperatur¨ anderung εi , ¨ der dimensionslosen Ubertragungsf¨ ahigkeit Ni und der mittleren Temperaturdifferenz Θ bei Gegenstrom- und Gleichstrom-W¨ arme¨ ubertragern Stromf¨ uhrung

εi = εi (Ni , Ci )

Ni = Ni (εi , Ci )

Θ = Θ (ε1 , ε2 )

Gegenstrom 1 − exp [(Ci − 1) Ni ] 1 1 − C i εi Ci = 1 εi = Ni = ln i = 1, 2 1 − Ci exp [(Ci − 1) Ni ] 1 − Ci 1 − εi

C=1

Gleichstrom i = 1, 2

ε=

N 1+N

N=

εi = 1 − exp [− (1 + Ci ) Ni ] 1 + Ci

˙i , Ni = kA/W

Θ=

ε1 =

ϑ1 − ϑ1 , ϑ 1 − ϑ2

Δϑm εi , = Ni ϑ1 − ϑ2

C1 =

ε2 =

ε1 − ε2 1 − ε2 ln 1 − ε1

Θ =1−ε

Ni = ln [1 − εi (1 + Ci )] − 1 + Ci

Bedeutung der Kennzahlen:

ε 1−ε

Θ=

Θ= − (ε1 + ε2 ) ln [1 − (ε1 + ε2 )]

ϑ2 − ϑ2 ϑ1 − ϑ2

˙1 W ε2 N2 = = , ˙ ε1 N1 W2

C2 =

1 C1

Abb. 1.32 zeigt die Betriebscharakteristik εi = f (Ni , Ci ) als Funktion von aß nimmt die normierte TemperaNi mit Ci als Parameter. Erwartungsgem¨ ¨ turänderung εi mit wachsendem Ni , also mit wachsender Ubertragungsf¨ ahigalt man den Grenzwert keit kA monoton zu. F¨ ur Ni → ∞ erh¨ 1 f¨ ur Ci ≤ 1 lim εi = . 1/Ci f¨ ur Ci > 1 Ni →∞ Ist Ci ≤ 1, so hat εi den Charakter eines Wirkungsgrades; die normierte Temperaturänderung des Fluids, das den kleineren Wärmekapazitätsstrom hat, bezeichnet man daher auch als Wirkungsgrad oder Effektivit¨ at des W¨ arme¨ ubertragers. Durch immer weiteres Vergrößern der Wärme u ¨bertragenden Fläche A kann man die Temperaturdifferenz zwischen den beiden Fluiden nur an einem Ende des Gegenstromapparates beliebig klein machen. Allein ˙ 2 , also f¨ ˙1 =W ur C1 = C2 = 1 ließen sich an beiden Enden (und damit f¨ ur W in jedem Querschnitt) des W¨ arme¨ ubertragers beliebig kleine Temperaturdifferenzen durch Fl¨ achenvergr¨ oßerung erreichen. Der in der Thermodynamik


59

Abb. 1.32: Betriebscharakteristik εi = εi (Ni , Ci ) f¨ ur Gegenstrom nach Tab. 1.4

h¨ aufig betrachtete Idealfall der reversiblen W¨ arme¨ ubertragung zwischen zwei ˙ 2 mit einem Wärme¨ ˙1 = W ubertrager sehr Fluiden lässt sich also nur bei W ¨ großer Ubertragungsf¨ ahigkeit ann¨ ahernd erreichen. Wie schon in Abschnitt 1.3.2 erw¨ ahnt, dient die Funktion εi = f (Ni , Ci ) ¨ zur Berechnung der Ablauftemperaturen und der Ubertragungsleistung, wenn der Wärme¨ ubertrager gegeben ist. Zur Dimensionierung des Apparats f¨ ur eine geforderte Temperatur¨ anderung der Fluide benutzt man die andere Form der Betriebscharakteristik, Ni = Ni (εi , Ci ). Sie ist ebenfalls in Tabelle 1.4 verzeichnet. Bei einem Gleichstrom-W¨ arme¨ ubertrager kehrt sich die Richtung des Fluidstromes 2 gegen¨ uber Abb. 1.31 um, vgl. auch Abb. 1.20b. An die Stelle von (1.108) tritt die Energiebilanzgleichung ˙ 2 dϑ2 , dQ˙ = M˙ 2 cp2 dϑ2 = W so dass man statt (1.112) die Beziehung d(ϑ1 − ϑ2 ) dz = −(N1 + N2 ) ϑ1 − ϑ 2 L

(1.115)

erhält. Danach nimmt die Temperaturdifferenz zwischen den beiden Fluiden in Strömungsrichtung stets ab. Integration von (1.115) zwischen z = 0 und z = L ergibt ϑ − ϑ2 = −(N1 + N2 ) , ln 1 ϑ1 − ϑ2 woraus ε1 + ε 2 (1.116) ln [1 − (ε1 + ε2 )] = −(N1 + N2 ) = − Θ als implizite Form der Betriebscharakteristik folgt. Auch sie lässt sich nach εi und nach Ni aufl¨ osen, wodurch man die in Tabelle 1.4 verzeichneten Funktionen erhält. F¨ ur Ni → ∞ erreichen die normierten Temperaturänderungen den Grenzwert

60


lim εi =

Ni →∞

1 1 + Ci

,

i = 1, 2 .

Bei Gleichstromf¨ uhrung l¨ asst sich außer f¨ ur Ci = 0, worauf wir gleich eingehen werden, niemals der Grenzwert εi = 1 erreichen. Die Berechnung der W¨ armeleistung und die Dimensionierung eines W¨ arme¨ ubertragers kann man nach Abschnitt 1.3.2 auch mit der mittleren Temperaturdifferenz Θ nach (1.106) ausf¨ uhren. Ersetzt man bei Gegenstrom in (1.114) die Differenz alt man den in Tabelle 1.4 eingetragenen Ausdruck N2 −N1 durch Θ, ε1 und ε2 , so erh¨ f¨ ur Θ = Θ(ε1 , ε2 ). F¨ uhrt man dagegen N2 − N1 =

ϑ − ϑ2 − (ϑ1 − ϑ2 ) ε2 − ε 1 ϑ − ϑ2 − (ϑ1 − ϑ1 ) = 1 = 2 Θ Δϑm Δϑm

in (1.113) ein, so erh¨ alt man f¨ ur die mittlere Temperaturdifferenz eines GegenstromW¨ arme¨ ubertragers ϑ − ϑ2 − (ϑ1 − ϑ2 ) Δϑm = 1 . (1.117) ϑ − ϑ2 ln 1 ϑ1 − ϑ2 Sie ist der logarithmische Mittelwert der an den beiden Enden des Apparats auftretenden Temperaturdifferenzen zwischen den Fluiden. F¨ ur die normierte mittlere Temperaturdifferenz Θ bei Gleichstrom erh¨ alt man den in Tabelle 1.4 verzeichneten Ausdruck aus (1.116). Setzt man hierin die Definitionsgleichungen von ε1 und ε2 ein, so ergibt sich Δϑm =

ϑ1 − ϑ2 − (ϑ1 − ϑ2 ) . ϑ − ϑ2 ln 1 ϑ1 − ϑ2

(1.118)

Auch bei Gleichstromf¨ uhrung ist Δϑm das logarithmische Mittel der Temperaturdifferenzen an den beiden Enden des W¨ arme¨ ubertragers.

Wir vergleichen nun die beiden Stromf¨ uhrungen. F¨ ur Ci = 0 erhält man nach Tabelle 1.4 die normierte Temperatur¨ anderung εi = 1 − exp(−Ni ) ¨ bzw. die dimensionslose Ubertragungsf¨ ahigkeit zu Ni = − ln(1 − εi ) unabhängig davon, ob Gegenstrom oder Gleichstrom vorliegt. Wenn also einer der beiden Stoffstr¨ ome kondensiert oder verdampft, ist es gleichg¨ ultig, ob Gegenstrom oder Gleichstrom gew¨ ahlt wird. Wird jedoch in einem Kondensator u achst von ϑ1 auf die Kondensationstemperatur ϑ1s ¨berhitzter Dampf zun¨ abgek¨ uhlt, dann vollst¨ andig kondensiert und das Kondensat von ϑ1s auf ϑ1 abgek¨ uhlt, so liegen kompliziertere Verh¨ altnisse vor, und es ist nicht zulässig, den Apparat nach den bisher abgeleiteten Gleichungen als einen Wärme¨ ubertrager zu berechnen, f¨ ur den nur die Ein- und Austrittstemperaturen ϑi und ϑi (i = 1, 2) maßgebend sind, vgl. Abb. 1.33. Da sich der Wärmekapazitäts-


61

Abb. 1.33: Temperaturverlauf in einem Kondensator mit Abk¨ uhlung des u ¨berhitzten Dampfes, Kondensation und Unterk¨ uhlung des Kondensats (Fluidstrom 1) durch K¨ uhlwasser (Fluidstrom 2).

˙ 1 erheblich ¨ ˙ 1 ist bei der Abk¨ strom W andert, — W uhlung des Dampfes und des Kondensats endlich, bei der Kondensation jedoch unendlich groß — muss der Wärme¨ ubertrager gedanklich geteilt und wie drei hintereinander geschaltete Apparate berechnet werden. Aus Energiebilanzen erhält man zunächst die beiden unbekannten Temperaturen ϑ2a zwischen Enthitzer und Kondensationsteil und ϑ2b zwischen Kondensations- und Unterk¨ uhlungsteil. Daraus ur ergeben sich die dimensionslosen Temperatur¨ anderungen εia , εib und εic f¨ die drei Teilapparate Enthitzer a, Kondensator b und K¨ uhler c (i = 1, 2). F¨ ur jeden Teilapparat k¨ onnen dann mit den Beziehungen nach Tabelle 1.4 ¨ die dimensionslosen Ubertragungsf¨ ahigkeitenNia , Nib und Nic berechnet werden. Aus Nij erh¨ alt man (kA)j und mit den jeweils g¨ ultigen Wärmedurchachen Aj (j = a, b, c), die zusammen die gangskoeffizienten kj die drei Teilfl¨ Gesamtfläche des Apparates ergeben. uhrung der Gleichstromf¨ uhrung stets F¨ ur Ci > 0 zeigt sich die Gegenstromf¨ u uhrung besteht darin, dass mit ihr ¨berlegen. Ein Nachteil der Gleichstromf¨ nicht alle Wärme¨ ubertragungsaufgaben gel¨ ost werden können. Eine vorgegebene Temperatur¨ anderung εi ist n¨ amlich nur dann realisierbar, wenn in NiGl = −

1 ln [1 − εi (1 + Ci )] 1 + Ci

das Argument des Logarithmus positiv ist. Das ist aber nur f¨ ur εi
1 , Ni →∞ die mit denen des Gegenstroms u ur Ci = 0 erhält man den ¨bereinstimmen. F¨ Grenzwert εi = 1 − e−Ni , (Ci = 0) (1.140) der ebenfalls mit dem in Abschnitt 1.3.3 hergeleiteten Ergebnis u ¨bereinstimmt. Das bedeutet: Wenn eines der beiden Fluide kondensiert oder verdampft, hängt die Temperatur¨ anderung des anderen Fluids nicht von der Stromf¨ uhrung (Gegenstrom, Gleichstrom oder Kreuzstrom) ab. F¨ ur Ci = 0 und endliche Werte von Ni bleiben die bei Kreuzstrom erreichbaren Temperatur¨ anderungen merklich hinter den mit Gegenstrom erreichbaren Temperatur¨ anderungen zur¨ uck. Sie sind jedoch g¨ unstiger als im Fall der Gleichstromf¨ uhrung. Der Vergleich der bisher behandelten einfachen Stromf¨ uhrungen ist beispielhaft in Abb. 1.39 ausgef¨ uhrt. Dort ist die dimen-

Abb. 1.39: Vergleich verschiedener Stromf¨ uhrungen im ε1 , Θ-Diagramm. a Gegenstrom, b reiner Kreuzstrom, c einseitig quervermischter Kreuzstrom, d Gleichstrom

sionslose Temperatur¨ anderung ε1 u ¨ber der dimensionslosen mittleren Tempeur das konstante Verhältnis C1 = 0,5 dargestellt. raturdifferenz Θ = ε1 /N1 f¨

70


Linien N1 = const erscheinen als ein Geradenb¨ uschel, das durch den Koordinatennullpunkt geht. Eine vorgeschriebene Temperaturänderung ε1 , z.B. ¨ ε1 = 0,65, erfordert die folgenden Werte der dimensionslosen Ubertragungsf¨ ahigkeit: Gegenstrom (Kurve a) N1 = 1,30, Kreuzstrom (Kurve b) N1 = 1,50, ur einen Wärme¨ ubertrager mit N1 = 3,0 Gleichstrom (Kurve c) N1 = 2,44. F¨ erreicht man eine dimensionslose Temperatur¨ anderung ε1 , die bei Gegenstrom den hohen Wert 0,874 hat, bei Kreuzstrom auf 0,816 und bei Gleichstrom auf 0,660 zur¨ uckgeht. Beispiel 1.6: Der K¨ uhler eines Kraftfahrzeugs ist ein Kreuzstrom-W¨ arme¨ ubertrager, in dem das fl¨ ussige Motork¨ uhlmittel durch eine Reihe paralleler Rohre str¨ omt, die an ihrer Außenseite mit Rippen versehen sind. Quer zu den Rohren str¨ omt die Luft. In einem bestimmten Fahrzustand ist der Volumenstrom des K¨ uhlmittels V˙ 1 = 1,25 dm3 /s; seine Dichte ist 1 = 1,015 kg/dm3 und seine mittlere spezifische W¨ armekapazit¨ at cp1 = 3,80 kJ/kgK. Die Luft str¨ omt mit uhler, und es sind V˙ 2 = 1,100 m3 /s, 2 = 1,188 kg/m3 ϑ2 = 20,0 ℃ in den K¨ ¨ und cp2 = 1,007 kJ/kgK gegeben. Der K¨ uhler hat die Ubertragungsf¨ ahigkeit kA = 0,550 kW/K; er soll den W¨ armestrom Q˙ = 28,5 kW an die Luft u ¨bertragen. uhlmittels stellen sich ein, und wie Welche Temperaturen ϑ1 und ϑ1 des Motork¨ groß ist die Temperatur ϑ2 der abstr¨ omenden Luft? Aus der Energiebilanzgleichung (1.96), n¨ amlich aus ˙ 2 ϑ2 − ϑ2 ˙ 1 ϑ1 − ϑ1 = W Q˙ = W erh¨ alt man f¨ ur die Temperatur der abstr¨ omenden Luft ˙ W ˙2 ϑ2 = ϑ2 + Q/

(1.141)

und f¨ ur die Temperatur¨ anderung des K¨ uhlmittels ˙ W ˙1 . ϑ1 − ϑ1 = Q/ Damit ergibt sich aus der Definitionsgleichung (1.97) f¨ ur die normierte Tempeuhlmittels zu ratur¨ anderung ε1 die gesuchte Eintrittstemperatur des K¨ ϑ1 = ϑ2 +

Q˙ ϑ1 − ϑ1 = ϑ2 + , ˙ 1 ε1 ε1 W

(1.142)

woraus f¨ ur die K¨ uhlmittel-Austrittstemperatur ˙ W ˙1 ϑ1 = ϑ1 − Q/

(1.143)

folgt. F¨ ur den hier vorliegenden Kreuzstrom mit einer Rohrreihe (einseitig quervermischter Kreuzstrom) liefert die Betriebscharakteristik (1.131) den in (1.142) ben¨ otigten Wert 1 . (1.144) 1 − e−C1 N1 ε1 = 1 − exp − C1 Um die Gleichungen auszuwerten, berechnen wir aus den gegebenen Daten die W¨ armekapazit¨ atsstr¨ ome des K¨ uhlmittels, 3 ˙ 1 = V˙ 1 1 cp1 = 1,25 dm · 1,015 kg · 3,80 kJ = 4,821 kW , W s dm3 kgK K


71

und der Luft, 3 ˙ 2 = V˙ 2 2 cp2 = 1,100 m · 1,188 kg · 1,007 kJ = 1,316 kW . W s m3 kgK K

Daraus erh¨ alt man die Kennzahlen ˙ 1 /W ˙ 2 = 3,664 C1 = W und ˙ 2 = 0,418 . C1 N1 = N2 = kA/W Aus der Betriebscharakteristik (1.144) folgt ε1 = 0,0890. Damit ergeben sich die gesuchten K¨ uhlmitteltemperaturen aus (1.142) und (1.143) zu ϑ1 = 86,4 ℃

und

ϑ1 = 80,5 ℃ .

Es stellt sich das f¨ ur den Betrieb des Motors g¨ unstige, relativ hohe Temperaturniveau des K¨ uhlmittels ein. Die Luftaustrittstemperatur erh¨ alt man aus (1.141) zu ϑ2 = 41,7 ℃.

1.3.5 Betriebscharakteristiken fu ¨ r weitere Stromfu ¨ hrungen. Diagramme Außer den bisher behandelten F¨ allen der Gegenstrom-, Gleichstrom- und Kreuzstrom-F¨ uhrung der beiden Fluide sind viele weitere Stromf¨ uhrungen m¨ oglich. Sie werden auch in der Praxis angewendet und sind von verschiedenen Autoren untersucht worden, vgl. die Zusammenstellung von W. Roetzel u. B. Spang [1.16]. F¨ ur die Betriebscharakteristik F (εi , Ni , Ci ) = 0 ergeben sich dabei meistens komplizierte mathematische Ausdr¨ ucke, so dass es naheliegt, die Ergebnisse graphisch darzustellen. W. Roetzel und B. Spang [1.18] haben die bekannten Möglichkeiten, die Betriebscharakteristik in Diagrammen darzustellen, diskutiert und ein u ¨bersichtliches Diagramm vorgeschlagen, das in den VDI-Wärmeatlas [1.16] Eingang gefunden hat. Dieses quadratische Diagramm besteht aus zwei Teilen, die durch die Diagonale des Quadrats getrennt sind, Abb. 1.40. Die Koordinaten des Diagramms sind die beiden dimensionslosen Temperaturänderungen ε1 und ε2 nach (1.97). Der Bereich oberhalb der Diagonale enthält Kurven kon˙ 1 = const sowie ¨ stanter dimensionsloser Ubertragungsf¨ ahigkeit N1 = kA/W die durch den Nullpunkt verlaufende Schar der Geraden C1 =

˙1 W ε2 N2 = = = const . ˙2 ε1 N1 W

(1.145)

Um das Diagramm nicht zu u ¨berladen, werden diese Geraden nicht eingezeichnet; nur ihr zweiter Endpunkt ist als Randmaßstab markiert. Jeder Punkt im Dreieck oberhalb der Diagonale entspricht einem Betriebszustand, dessen zusammengehörige Gr¨ oßen ε1 , N1 und C1 abgelesen werden können. Außerdem kann man an der Abszisse den zugeh¨ origen Wert von ε2 finden.

72


Abb. 1.40: Schema des ε1 , ε2 Diagramms nach W. Roetzel und B. Spang [1.16] mit Kurven N1 = const

Im Dreieck unterhalb der Diagonale ist die Betriebscharakteristik in der Form F (ε2 , N2 , C2 ) = 0 wiedergegeben. Wegen (1.145) treffen sich die Kurven ¨ gleichgroßer dimensionsloser Ubertragungsf¨ ahigkeit N1 = N2 auf der Diagonale C1 = C2 = 1 mit einem Knick. Nur die Kurve N1 = N2 → ∞ hat hier keinen Knick. Bei symmetrischer Stromf¨ uhrung, z.B. bei Gegenstrom oder reinem Kreuzstrom, stimmen die Betriebscharakteristiken f¨ ur i = 1 und i = 2 u alften sind dann spiegelsymmetrisch bez¨ uglich ¨berein; die beiden Diagrammh¨ der Diagonalen. Bei asymmetrischer Stromf¨ uhrung, z.B. beim einseitig quervermischten Kreuzstrom, ist dies nicht der Fall, und man muss genau darauf achten, wie die beiden Indizes 1 und 2 den Fluidströmen zugeordnet sind. Eine umfassende Zusammenstellung dieser f¨ ur Auslegung und Nachrechnung von Wärme¨ ubertragern gleichermaßen verwendbaren Diagramme findet man im VDI-Wärmeatlas [1.16].

1.4 Die verschiedenen Arten der Stoffu ¨ bertragung Unter Stoff¨ ubertragung versteht man den Transport einer oder mehrerer Komponenten eines Gemisches fluider oder fester Stoffe innerhalb einer Phase12 oder u achen hinweg. Die Stoff¨ ubertragung innerhalb einer ¨ber Phasengrenzfl¨ Phase bis an die Phasengrenzfl¨ ache bezeichnet man als Stoff¨ ubergang, die u ¨ber 12

Unter Phase wird hier der Bereich eines Systems verstanden, in dem man jedem Volumenelement eindeutige Werte der thermodynamischen Variablen Druck, Temperatur, Konzentration u.a. zuordnen kann. In einer Phase sind keine sprung¨ haften, sondern nur stetige Anderungen dieser Gr¨ oßen erlaubt. In der Thermodynamik versteht man dagegen unter einer Phase einen homogenen Bereich eines Systems. In einer Phase im thermodynamischen Sinn sind alle intensiven Zustandsgr¨ oßen r¨ aumlich konstant.

1.4 Die verschiedenen Arten der Stoff¨ ubertragung

73

die Phasengrenze hinweg in eine andere Phase als Stoffdurchgang. Diese Begriffe entsprechen denen der W¨ arme¨ ubertragung. Treibende Kraft f¨ ur den Stoff¨ ubergang sind Konzentrations-, Temperaturund Druckgradienten. Wir befassen uns hier nur mit dem am häufigsten vorkommenden Stoff¨ ubergang durch Konzentrationsgradienten. Wie die Erfahrung lehrt, bewegen sich die Komponenten eines Gemisches von Bereichen höherer zu denen niederer Konzentration. Gleichgewicht hinsichtlich des Stoff¨ ubergangs ist dann erreicht, wenn die treibenden Kräfte, in unserem Fall die Konzentrationsunterschiede verschwunden sind. Vorgänge der Stoff¨ ubertragung kommen in Natur und Technik in vielfältiger Weise vor. H¨ oher entwickelte Pflanzen und Tiere besitzen Leitungssysteme, die der Versorgung mit Nahrung und Energie dienen, wobei Vorgänge der Stoff¨ ubertragung entscheidend sind. In der Pflanze belädt sich das dem Erdreich entzogene Wasser mit den Produkten der Photosynthese, vor allem der Glucose, und transportiert diese zu den Orten des Verbrauchs und der Speicherung. Die roten Blutk¨ orperchen geben in der menschlichen Lunge Kohlendioxid ab und beladen sich mit Sauerstoff, mit dem die Zellen versorgt werden. Trennprozesse der Verfahrenstechnik wie die Trocknung fester Stoffe, die Destillation, Extraktion und Sorption beruhen auf Vorgängen der Stoff¨ ubertragung. Diese spielen ebenso eine Rolle bei der Herstellung von Werkstoffen, um gew¨ unschte Eigenschaften zu erzielen. Der Ablauf chemischer Reaktionen, wozu auch die Verbrennungsvorg¨ ange geh¨ oren, wird oft entscheidend durch die Stoff¨ ubertragung bestimmt. Als einfaches Beispiel des Stoff¨ ubergangs betrachten wir ein mit Wasser gef¨ ulltes Glas, das sich in einem Raum mit trockener Luft befindet. Unmittelbar u ussigkeitsoberfl¨ ache ist viel, in größerer Entfernung nur wenig ¨ber der Fl¨ Wasserdampf vorhanden. Infolge des Konzentrationsgefälles reichert sich die Luft mit Wasserdampf an. Dieser str¨ omt in Richtung des Konzentrations- bzw. Partialdruckgefälles. In einem Volumenelement oberhalb der Wasseroberfläche ist die senkrecht zur Fl¨ ussigkeitsoberfl¨ ache gerichtete Geschwindigkeit der ule gr¨ oßer als die der Luftmolek¨ ule. Es kommt zu einer makroWassermolek¨ skopisch wahrnehmbaren Relativbewegung zwischen Wasserdampf und Luft. Eine solche makroskopisch wahrnehmbare Relativbewegung einzelner Stoffe in einer Phase bezeichnet man allgemein als Diffusion. Sie kann auf zwei Arten zustandekommen. In ruhenden Fluiden oder Festkörpern, die aus verschiedenen Komponenten bestehen, kann ein Stoff nur dadurch u ¨bergehen, dass die mittleren Molek¨ ulgeschwindigkeiten der einzelnen Komponenten voneinander verschieden sind. Man spricht auch von molekularer Diffusion. Sie tritt auch in laminaren Str¨ omungen auf, weil sich dort die Volumenelemente eines Fluids auf bestimmten Strombahnen bewegen und ein Stoff¨ ubergang zwischen einzelnen Volumenelementen nur erfolgen kann, wenn die Komponenten verschiedene mittlere Molek¨ ulgeschwindigkeiten aufweisen. Eine turbulente Strömung ist hingegen durch eine stark unregelmäßige, zufallsbedingte Schwankungsbewegung der Fluidteilchen gekennzeichnet, die f¨ ur die einzelnen Komponenten verschieden sein kann. Sie u ¨berlagert sich der Gesamtströmung

74


und somit auch dem Stofftransport durch molekulare Diffusion und ist häufig um ein Vielfaches gr¨ oßer als diese. Man bezeichnet den Stoff¨ ubergang durch die unregelmäßige Schwankungsbewegung als turbulente Diffusion. Sie kann in dem geschilderten Beispiel des Stoff¨ ubergangs von einer Wasseroberfläche an die trockene Luft dadurch herbeigef¨ uhrt werden, dass man u ¨ber der Wasseroberfläche eine ausreichend hohe Str¨ omungsgeschwindigkeit durch Anblasen oder R¨ uhren erzeugt. Die in einem Zeitintervall von der Luft aufgenommene Menge an Wasserdampf ist dann viel gr¨ oßer, als wenn die Luft ruhen w¨ urde. Um den Stoff¨ ubergang durch molekulare Diffusion zu verstehen, betrachten wir ein Gefäß mit einer farbigen L¨ osung, beispielsweise mit Jodlösung ¨ gef¨ ullt. Uber die Jodl¨ osung werde Wasser so eingegossen, dass Konvektionsstr¨ omungen möglichst vermieden werden und die farbige Lösung anfänglich scharf von der Wasserschicht getrennt ist. Nach einiger Zeit färbt sich die obere Schicht mehr und mehr, w¨ ahrend die untere Schicht durchsichtiger wird. Nach hinreichend langer Zeit ist die gesamte L¨ osung gleichmäßig gefärbt. Offensichtlich werden während des Vorgangs trotz fehlender Konvektion Jodmolek¨ ule aus dem unteren in den oberen Teil des Gef¨ aßes transportiert. Man spricht von einer Diffusion der Jodmolek¨ ule in das Wasser. Die einzelnen Jodmolek¨ ule dringen teils in Bereiche höherer, teils in Bereiche geringerer Jodkonzentration vor, ohne dass eine Richtung bevorzugt ist. Trotzdem findet ein Transport von Jodmolek¨ ulen aus dem Gebiet höherer in das Gebiet geringerer Konzentration statt. Um dies zu verstehen, denke man unne sich beiderseits eines horizontalen Querschnitts in dem Behälter zwei d¨ und gleich große Volumenelemente herausgeschnitten. Obwohl man nicht voraussagen kann, in welcher Richtung sich ein einzelnes Jodmolek¨ ul in einem dieser Volumenelemente w¨ ahrend einer vorgegebenen Zeit bewegen wird, so wird doch während eines Zeitintervalls im Mittel ein endlicher Anteil von Molek¨ ulen aus dem unteren Volumenelement den gedachten Querschnitt passieren und in das obere Volumenelement eindringen, und umgekehrt wird ein endlicher Anteil von Molek¨ ulen aus dem oberen Volumenelement in das untere eindringen. Da in dem unteren Volumenelement aber mehr Jodmolek¨ ule vorhanden sind, werden allein aufgrund der zuf¨ alligen Molekularbewegung auch mehr Jodmolek¨ ule von der unteren in die obere Schicht eindringen. Es findet also ein Ausgleich der Konzentrationen statt, bis nach einiger Zeit alle Konzentrationsunterschiede abgebaut sind. Vom makroskopischen Standpunkt aus ist die molekulare Diffusion ein Stoff¨ ubergang aufgrund von Konzentrationsunterschieden. Mit anderen Arten der Diffusion, nämlich der Diffusion durch Druckunterschiede (Druckdiffusion) und der Diffusion durch Temperaturunterschiede (Thermodiffusion) wollen wir uns nicht befassen. Der Mechanismus der molekularen Diffusion entspricht dem der Wärmeleitung, w¨ ahrend der Stoff¨ ubergang in einem strömenden Fluid, kurz konvektiver Stoff¨ ubergang genannt, dem konvektiven Wärme¨ ubergang entspricht. Stoff¨ ubergang durch Diffusion und Konvektion sind die einzigen Arten des Stoff¨ ubergangs. Der W¨ arme¨ ubertragung durch Strahlung kann kein entsprechender Vorgang der Stoff¨ ubertragung zugeordnet werden.


75

1.4.1 Diffusion Zur Berechnung des Stoff¨ ubergangs durch Diffusion sind einige Definitionen und Zusammenh¨ ange erforderlich, die im Folgenden erörtert werden. 1.4.1.1 Zusammensetzung von Gemischen Die Zusammensetzung von Gemischen kann in verschiedener Weise charakterisiert werden. Zur quantitativen Beschreibung f¨ uhrt man folgende Größen ein, vgl. DIN 1310. Der Massenanteil ξA ist die Masse MA einer Komponente A bezogen auf die gesamte Masse M in einem Volumenelement einer Phase13 : ξA =

MA MA . =' M MK

(1.146)

K

Die Summe aller Massenanteile ist

ξK = 1 .

(1.146a)

K

Der Molanteil oder Stoffmengenanteil x Ã ist die Stoffmenge NA der Komponente A bezogen auf die gesamte Stoffmenge N in der betreffenden Phase: x Ã =

NA NA =' . N NK

(1.147)

K

Die Summe aller Molanteile ist

x ˜K = 1 .

(1.147a)

K

Die Stoffmengenkonzentration oder molare Konzentration des Stoffes A ist definiert durch (1.148) cA = NA /V . Die Konzentration des Gemisches ist c = N/V =

cK ,

K

Damit erhält man f¨ ur den Molanteil der Komponente A x Ã = cA /c . 13

Der Buchstabe K unter dem Summenzeichen bedeutet, dass u ¨ber alle Komponenten K zu summieren ist.

76


F¨ ur ideale Gase gilt cA = pA /Rm T und c = p/Rm T , wobei pA = x Ã p der Partialdruck der Komponente A ist und Rm = 8,31451 J/(mol K) die molare Gaskonstante bedeutet. Die einzelnen Maße f¨ ur die Zusammensetzung sind nicht unabhängig voneinander. Um einen Zusammenhang zwischen Mol- und Massenanteilen zu ˜ A = MA /NA der Komfinden, multiplizieren wir (1.147) mit der Molmasse M ponente A. Man erh¨ alt ˜ A = MA /N . x Ã M ˜ = M/N : Summation u ¨ber alle Komponenten ergibt die mittlere Molmasse M

˜K = x ˜K M

K

˜ . MK /N = M/N = M

(1.149)

K

Mit ihr ergibt sich folgender Zusammenhang zwischen Mol- und Massenanteilen Ã M MA NA N MA x ˜ . ξA = = = (1.150) ˜ A M NA N M M Im umgekehrten Fall, wenn die Massenanteile bekannt sind, ergeben sich die Molanteile aus ˜ M ξ , (1.151) x Ã = Ã A M worin man die mittlere Molmasse aus den Molmassen und den Massenanteilen erhält, da NK MK NK 1 N = = = ˜ M M M MK M K K oder

1 1 = ξK ˜ ˜ M MK K

(1.152)

ist. 1.4.1.2 Diffusionsstr¨ ome In jedem Volumenelement k¨ onnen die mittleren Teilchengeschwindigkeiten der einzelnen Stoffe verschieden sein, so dass sich der Konvektion des Volumenelements noch die Relativbewegung der Teilchenarten u ¨berlagert. Man bezeichnet diese makroskopisch wahrnehmbare Relativbewegung bekanntlich als Diffusion. Die mittlere Geschwindigkeit der Teilchen des Stoffes A sei durch uhren wir die den Vektor wA gekennzeichnet. Zur Beschreibung der Diffusion f¨ Relativgeschwindigkeit wA −ω ein, worin ω eine noch zu definierende Bezugsgeschwindigkeit bedeutet. Als Diffusionsstromdichte (SI-Einheit mol/m2 s) des Stoffes A definiert man die Gr¨ oße j A := cA (wA − ω) .

(1.153)


77

Als Bezugsgeschwindigkeit ω kann man die Schwerpunktsgeschwindigkeit w wählen. Darunter versteht man die mittlere Geschwindigkeit der Masse eines Volumenelements: w := K w K bzw. w := ξK w K . (1.154) K

K

Die zugehörige Diffusionsstromdichte ist dann j A = cA (w A − w) . ˜ A = A ˜ A ergibt mit cA M Multiplikation mit der Molmasse M ˜ A = j ∗A = A (wA − w) , jAM

(1.155)

worin j ∗A die mit der Masse gebildete Diffusionsstromdichte des Stoffes A (SIEinheit kg/m2 s) ist. Aus (1.154) und (1.155) ergibt sich

j ∗K = 0 .

(1.156)

K

Das mit der Schwerpunktsgeschwindigkeit w nach (1.154) definierte Bezugssystem nennt man Schwerpunktssystem. In ihm lassen sich die Impuls- und die Energiebilanz besonders einfach formulieren. Als weitere Bezugsgeschwindigkeit verwenden wir die mittlere molare Geschwindigkeit u. Sie ist definiert durch u :=

x ˜K w K .

(1.157)

K

Die zugehörige Diffusionsstromdichte (SI-Einheit mol/m2 s) ist ujA

= cA (w A − u) .

Ã c und Unter Beachtung von cA = x

'

(1.158)

cK = c folgt aus (1.157) und (1.158)

K

ujK

=0 .

K

Ein mit der mittleren molaren Geschwindigkeit u definiertes Bezugssystem nennt man Teilchenbezugssystem. Wegen anderer Definitionen der Bezugsgeschwindigkeit sei auf die Literatur verwiesen [1.21]. Die Diffusionsstromdichten eines Bezugssystems lassen sich in die eines beliebigen anderen u uhren, ¨berf¨ wie das folgende Beispiel zeigt. Beispiel 1.7: Gegeben sei die Diffusionsstromdichte einer Komponente A in einem -Bezugssystem j A = cA (w A − ω ) mit der Bezugsgeschwindigkeit ω = ' ' ζK w K , wobei f¨ ur die Gewichtsfaktoren“ ζK gilt ζK = 1. ” K K

78


Man berechne die Diffusionsstromdichte j A = cA (w A − ω ) im -Bezugssystem mit der Bezugsgeschwindigkeit

ω =

ζK w K

mit

K

ζK = 1 .

K

Man leite daraus den allgemeinen Zusammenhang zwischen den Diffusionsstromdichten j A und u j A ab. ' Es ist j A − j A = cA (ω − ω ) = cA (ζK − ζK ) w K . Weiter folgt aus j A = K

cA (w A − ω ) die Geschwindigkeit w A = j A /cA + ω . Es ist also

' jK − ζK ) + ω j A − j A = cA (ζK cK K j ' j K ζK + cA ω ζK − cA ζK K − cA ω ζK , = cA cK cK K K K K ' ' woraus sich unter Beachtung von ζK = 1 und ζK = 1 und wegen K K ' ζK j K /cK = 0 der Zusammenhang K

j A − j A = −cA

ζK

K

j K cK

ergibt. F¨ ur die Umrechnung vom Teilchenbezugssystem in das Schwerpunktssys = ξA und j A = u j A setzen: tem folgt, wenn wir j A = j A , ζA j A − u j A = −cA

ξK

K

uj K

cK

.

¨ Entsprechend findet man f¨ ur die Uberf¨ uhrung einer Diffusionsstromdichte vom Schwerpunktssystem in die des Teilchenbezugssystems uj A

− j A = −cA

x ˜K

K

jK . cK

F¨ ur ein Zweistoffgemisch mit den Komponenten A und B gehen diese Beziehungen u ¨ber in

ξB ξA j A − u j A = −cA j + j . u u cA A cB B Ã − M ˜ B ) folgt Mit u j A = −u j B und ξA /cA − ξB /cB = (V /M )(M j A − u j A = −cA

V ˜ ˜ u j A (MA − MB ) M

˜ Ã /M und daher mit cA V /M = x ˜ Ã + x ˜B Ã M Ã M x Ã ˜ ˜ B) = uj A M − x jA = ujA 1 − (MA − M . ˜ ˜ M M ˜ =x Ã + x ˜B Daraus ergibt sich wegen M Ã M ˜B M


79

˜B M . ˜ M

jA = ujA Entsprechend folgt f¨ ur die Komponente B j B = uj B

Ã M . ˜ M

1.4.1.3 Ficksches Gesetz Die Diffusionsstromdichte einer Komponente A ist proportional dem Konzenanken unsere Betrachtungen zunächst trationsgradienten grad cA· . Wir beschr¨ auf ein Zweistoffgemisch aus den Komponenten A und B und nehmen an, Diffusion finde nur in Richtung einer Koordinatenachse, beispielsweise der yAchse statt. Die Diffusionsstromdichte l¨ asst sich dann durch einen dem Fourierschen Gesetz entsprechenden empirischen Ansatz beschreiben, = −DAB

u jA

dcA , dy

(1.159)

der in dieser Form von A. Fick14 aufgestellt wurde und nach ihm als erstes Ficksches Gesetz bezeichnet wird. Der Proportionalitätsfaktor DAB (SIEinheit m2 /s) ist der Diffusionskoeffizient in einem Zweistoffgemisch aus den Komponenten A und B. Gl. (1.159) gilt unter der Voraussetzung konstanter molarer Konzentration c des Gemisches, was in isobar-isothermen Gemischen ullt ist. Lässt man die Voraussetidealer Gase wegen c = N/V = p/Rm T erf¨ zung c = const fallen, so gilt allgemein f¨ ur Zweistoffgemische u jA

= −cDAB

d˜ xA , dy

(1.160)

wie de Groot [1.22] nachwies. Im Schwerpunktssystem lautet die der Gl. (1.160) äquivalente Beziehung f¨ ur die Diffusionsstromdichte in Richtung der y-Achse dξA ∗ jA . (1.161) = −DAB dy In einem Vielstoffgemisch aus N Komponenten ist die Diffusionsstromdichte j ∗A der Komponente A gegeben durch [1.23] j ∗A =

N ˜ AM ˜K M DAK grad x ˜K . ˜2 M

(1.162)

K=1 K=A

Die Gl. (1.161) ist hierin als Sonderfall N = 2 enthalten. 14

Adolph Fick (1829–1901), Professor f¨ ur Physiologie in Z¨ urich und W¨ urzburg, hat die Grundgesetze der Diffusion entdeckt.

80

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen Beispiel 1.8: Man zeige, dass Gl. (1.161) der Gl. (1.160) ¨ aquivalent ist. ∗ Die Diffusionsstromdichten u jA und jA in y-Richtung sind verkn¨ upft durch ˜ ˜ ∗ ˜ A = u j MB MA = jA M jA A ˜ M (siehe L¨ osung des Beispiels 1.7). Damit wird ∗ = −c DAB jA

Ã ˜B M ∂x Ã M . ˜ ∂y M

˜ , und wie durch Differentiation von x ˜ ξA /M Ã Hierin ist c = N/V = /M Ã = M ˜ =x ˜ B folgt, ist ˜ A + (1 − x mit M Ã M Ã ) M d˜ xA =

˜2 M dξ . ˜ ˜B A MA M

Damit erh¨ alt man aus der obigen Gleichung ∗ jA = − DAB

∂ξA . ∂y

Durch Vertauschen der Indizes A und B erhält man aus (1.161) die Diffusionsstromdichte der Komponente B im Zweistoffgemisch. Da nach (1.156) die Summe der beiden Diffusionsstromdichten verschwindet, gilt ∗ ∗ + jB = −DAB jA

dξA dξB − DBA =0 . dy dy

Hierin ist dξA /dy = −dξB /dy, denn es gilt ξA + ξB = 1, und daher ist DAB = DBA . Der Diffusionskoeffizient der Komponente A durch die Komponente B ist genau so groß wie der Diffusionskoeffizient der Komponente B durch die Komponente A. Wir lassen daher die Indizes weg und schreiben einfach D statt DAB = DBA . Typische Zahlenwerte von Diffusionskoeffizienten sind 5 · 10−6 bis 10−5 2 m /s bei Gasen, 10−10 bis 10−9 m2 /s bei Fl¨ ussigkeiten und 10−14 bis 10−10 2 m /s bei Festkörpern. In Gasen sind die freie Beweglichkeit der Molek¨ ule und daher auch die Diffusionskoeffizienten gr¨ oßer als in Fl¨ ussigkeiten und in diesen größer als in Festk¨ orpern. Die Diffusion in Festkörpern läuft um mehrere Größenordnungen langsamer ab als in Fl¨ ussigkeiten und ist in Gasen am schnellsten. Mit Hilfe des Fickschen Gesetzes lassen sich bei bekannten Konzentrationen die Diffusionsstromdichten berechnen. Ist umgekehrt die Diffusionsstromdichte bekannt, so erh¨ alt man durch Integration das Konzentrationsfeld. Als einfaches Beispiel hierf¨ ur betrachten wir einen Feststoff, aus dem eine Komponente A durch ein fl¨ ussiges L¨ osungsmittel B entfernt werden soll, Abb. 1.41. An der dem Feststoff zugekehrten Oberfl¨ ache des Fl¨ ussigkeitsfilms sei cA0 die Konzentration der Komponente A, die in der Kernströmung sei cAδ . Wir setzen c = N/V = const voraus. Da Stoff nur in Richtung der y-Achse


81

Abb. 1.41: Diffusion durch einen ruhenden Fl¨ ussigkeitsfilm

u ussig, die Richtung des Stofftransports durch die ¨bertragen wird, ist es u ¨berfl¨ Vektorschreibweise zu kennzeichnen. Die vom Feststoff in den Film u ¨bergehende Stoffmengenstromdichte ist dann nach (1.158) n˙ A = cA wA = u jA + cA u mit u jA = −D dcA /dy und u = xA wA + xB wB . Die Geschwindigkeit wB des Lösungsmittels in Richtung der y-Achse ist null. Ist die Konzentration osungsmittel sehr klein, so ist bei nicht allzu großer cA des Stoffes A im L¨ Bezugsgeschwindigkeit u der Term cA u verschwindend gering und somit n˙ A = u jA = −D

dcA . dy

(1.163)

Da im stationären Fall die in jede Fl¨ ussigkeitsschicht einströmende Menge des Stoffes A wieder ausstr¨ omt, ist n˙ A = const. Unter der Annahme eines konstanten Diffusionskoeffizienten D folgt daher durch Integration aus obiger Gleichung cA0 − cAδ n˙ A = −D . δ F¨ ur eine Feststoffkugel vom Radius r0 , die von einem Fl¨ ussigkeitsfilm der Dicke δ umgeben ist, erh¨ alt man aus (1.163) die Diffusionsstromdichte in radialer Richtung r zu dcA . (1.164) n˙ A = u jA = −D dr Im stationären Fall ist der durch eine kugelf¨ ormige Fl¨ ussigkeitsschale diffundierende Stoffmengenstrom konstant, dcA 4πr2 , N˙ A = n˙ A 4πr2 = −D dr und damit wird

d dN˙ A =0= dr dr

dcA 2 −D r dr

(1.165)

.

Durch Integration findet man hieraus unter der Annahme D = const und unter Beachtung der Randbedingungen cA (r = r0 ) = cA0 und cA (r = r0 + δ) = cAδ das Konzentrationsprofil

82


1/r − 1/r0 cA − cA0 = . cAδ − cA0 1/(r0 + δ) − 1/r0

(1.166)

Es entspricht dem Temperaturprofil bei stationärer Wärmeleitung in einer Hohlkugel nach (1.17). Der Diffusionsstrom, Gl. (1.165), ergibt sich durch Differentiation zu cA0 − cAδ 4π . (1.167) N˙ A = D 1/r0 − 1/(r0 + δ)

1.4.2 Einseitige Diffusion, ¨ aquimolare Diffusion Im vorigen Beispiel der Diffusion einer Komponente A aus einem Feststoff in ein Lösungsmittel hatten wir eine nicht allzu große Konvektionsgeschwindigkeit u und eine sehr geringe Konzentration cA des Stoffes A im Lösungsmittel vorausgesetzt. Als Folge ergab sich ein verschwindender Konvektionsstrom ullt. Als typisches Beispiel becA u. Häufig ist diese Voraussetzung nicht erf¨ trachten wir eine Fl¨ ussigkeit A in einem zylindrischen Gefäß, die in ein ruhendes Gas B hinein verdunstet, Abb. 1.42. Der Fl¨ ussigkeitsspiegel werde bei

Abb. 1.42: Diffusion der Komponente A in ein Gasgemisch aus den Komponenten A und B

y = y1 festgehalten oder ver¨ andere sich so langsam, dass wir ihn als ruhend ansehen können. An der Fl¨ ussigkeitsoberfl¨ ache sei cA (y = y1 ) = cA1 . Bei mäßigem Gesamtdruck erhalten wir cA1 aus der thermischen Zustandsgleichung idealer Gase zu cA1 = pA1 /Rm T , worin pA1 der Sättigungspartialdruck von A bei der Temperatur T der Fl¨ ussigkeit ist. Die Löslichkeit des Gases B in der Fl¨ ussigkeit A sei vernachl¨ assigbar, was gut zutrifft, wenn beispielsweise ¨ die Fl¨ ussigkeit A aus Wasser, das Gas B aus Luft besteht. Uber das obere ome ein Gasgemisch aus den Stoffen A und B Ende y = y2 des Zylinders str¨ mit der Konzentration cA (y = y2 ) = cA2 . Die Stoffmengenstromdichte der Komponente A in Richtung der y-Achse ist wie zuvor n˙ A = cA wA = u jA + cA u ˜B wB . Da das Gas B im Zylinder ruht, ist wB = 0 und daher mit u = x Ã wA + x u=x Ã wA . Man bezeichnet dies als einseitige Diffusion. Damit ergibt sich die Beziehung


n˙ A = cA wA =

1 1−x Ã

u jA

,

83

(1.168)

die f¨ ur kleine Molanteile x Ã des gel¨ osten Stoffes in die vorige Gl. (1.163) u aren Fall ist dn˙ A /dy = 0, und mit dem Fickschen Gesetz, ¨bergeht. Im station¨ Gl. (1.160), folgt

d xA cD d˜ =0 . (1.169) dy 1 − x Ã dy are Diffusionskoeffizient. F¨ ur Gemische idealer GaHierin ist D = DAB der bin¨ se ist bei konstantem Druck und konstanter Temperatur c = N/V = p/Rm T konstant. Der Diffusionskoeffizient D a ¨ndert sich nur wenig mit der Zusammensetzung und kann daher ebenfalls als konstant vorausgesetzt werden. Dann gilt f¨ ur das Konzentrationsprofil die Differentialgleichung

xA 1 d˜ d =0 , dy 1 − x Ã dy die man wegen x ˜B = 1 − x Ã auch als

d xB 1 d˜ =0 dy x ˜B dy oder

xB d2 ln˜ xB d dln˜ =0 = dy dy dy 2

(1.170)

schreiben kann. Sie ist unter den Randbedingungen x ˜B (y = y1 ) = x ˜B1 = 1 − x Ã1 ˜B2 = 1 − x Ã2 x ˜B (y = y2 ) = x Die Lösung lautet x ˜B = x ˜B1

x ˜B2 x ˜B1

y − y1 y2 − y1

und zu lösen.

.

(1.171)

Man u ¨berzeugt sich leicht von der Richtigkeit der Lösung. Logarithmiert man nämlich (1.171), so folgt der Ausdruck ln

y − y1 x ˜B2 x ˜B = ln , x ˜B1 y2 − y1 x ˜B1

der bei zweimaliger Differentiation nach y verschwindet. Durch Differentiation von (1.171) erhält man die Diffusionsstromdichte u jA

= −cD

d˜ xB x ˜B d˜ xA x ˜B2 = cD = cD ln . dy dy y2 − y1 x ˜B1

Die u alt man damit aus (1.168), ¨bergehende Mengenstromdichte erh¨

84


n˙ A = zu n˙ A =

1 1 u jA = u jA 1−x Ã x ˜B

cD x ˜B2 cD 1−x Ã2 ln = ln . y2 − y 1 x ˜B1 y2 − y1 1 − x Ã1

(1.172)

Der mittlere Molanteil der Komponente B zwischen y = y1 und y = y2 ist x ˜Bm

1 = y2 − y 1

y2 x ˜B dy . y1

Nach Einsetzen von x ˜B aus (1.171) und Integration ergibt sich x ˜Bm =

˜B1 x ˜B2 − x . ln(˜ xB2 /˜ xB1 )

(1.173)

Der mittlere Molanteil ist das logarithmische Mittel aus den Werten x ˜B1 und x ˜B2 . Man kann damit (1.172) auch schreiben: n˙ A =

˜B2 − x ˜B1 Ã2 x Ã1 − x cD x cD = . x ˜Bm y2 − y1 (1 − x Ãm ) y2 − y1

(1.174)

F¨ ur ideale Gase lassen sich (1.173) und (1.174) noch mit Partialdr¨ ucken pB und dem Gesamtdruck p schreiben, n˙ A =

pD/Rm T pB2 pD/Rm T ln = (pB2 − pB1 ) , y2 − y1 pB1 (y2 − y1 )pBm

(1.175)

worin pBm der logarithmisch gemittelte Partialdruck pBm =

pB2 − pB1 ln(pB2 /pB1 )

ist.

¨ Aquimolare Gegendiffusion tritt in recht guter Näherung bei der Destillation von Zweistoffgemischen auf. In einer Destillationkolonne rieselt eine Fl¨ ussigkeit herab, ein Dampf str¨ omt in der Kolonne nach oben, Abb. 1.43. Da die herabrieselnde Fl¨ ussigkeit k¨ alter ist als der aufsteigende Dampf, wird vorzugsweise die Komponente mit dem h¨ oheren Siedepunkt, die sogenannte schwerer fl¨ uchtige Komponente kondensieren, während aus der Fl¨ ussigkeit ein Gemisch verdampft, das vorzugsweise niedriger siedende, sogenannte leichter fl¨ uchtige Komponenten enth¨ alt. Die molaren Verdampfungsenthalpien sind nach der Troutonschen Regel in guter N¨ aherung f¨ ur alle Komponenten konstant. Kondensiert eine bestimmte Stoffmenge der schwerer fl¨ uchtigen Komponente aus dem Dampf, so wird demnach die gleiche Stoffmenge der leichter fl¨ uchtigen aus der Fl¨ ussigkeit verdampft. An der Phasengrenze zwischen Fl¨ ussigkeit und Dampf ist cA wA = −cB wB . Somit ist die Bezugsgeschwindigkeit u wegen cu = cA wA + cB wB gleich null, und es ist nach (1.158) und (1.160) die zur Phasengrenze transportierte Stoffmengenstromdichte


Abb. 1.43: Zum Stoff¨ ubergang bei der Destillation

85

¨ Abb. 1.44: Aquimolare Diffusion zwischen zwei Beh¨ altern

n˙ A = cA wA = u jA = −cD

d˜ xA . dy

(1.176)

Konvektions- und Diffusionsstrom stimmen u ¨berein. Verbindet man zwei Beh¨ alter, von denen jeder ein anderes Gas enthält, durch eine d¨ unne Leitung, Abb. 1.44, so stellt sich in dieser ebenfalls äquimolare Gegendiffusion ein, wenn Druck und Temperatur der beiden Gase gleich sind und diese der thermischen Zustandsgleichung idealer Gase gehorchen. Wir betrachten dazu ein Gasvolumen V in der Verbindungsleitung. F¨ ur dieses gilt die thermische Zustandsgleichung p = (NA + NB )Rm T /V . Im stationären Fall bleibt der Gesamtdruck zeitlich unveränderlich. Es ist daher dp = (N˙ A + N˙ B )Rm T /V = 0 dt und daher N˙ A = −N˙ B .

1.4.3 Konvektiver Stoffu ¨bergang Der Stoff¨ ubergang von einem str¨ omenden Fluid an die Oberfläche eines anderen Stoffes oder zwischen zwei wenig mischbaren strömenden Fluiden hängt von Stoffeigenschaften der Fluide und der Art der Strömung ab. Wie im Fall des konvektiven W¨ arme¨ ubergangs kann die Strömung von außen, z.B. durch Pumpen, Verdichter u.a. aufgepr¨ agt werden — man spricht dann von Stoff¨ ubergang bei erzwungener Konvektion —, oder sie kann durch Dichteunterschiede hervorgerufen werden, die ihrerseits eine Folge von Temperaturoder Konzentrationsunterschieden sind. Man hat es dann mit einem Stoff¨ ubergang bei freier Konvektion zu tun. In Anlehnung an die Definitionsgleichung (1.23) des Wärme¨ ubergangskoeffizienten, beschreibt man den an einer Oberfläche (Index 0) u ¨bertragenen Stoffmengenstrom durch

86


N˙ A0 = βc AΔcA

(1.177)

und die Stoffmengenstromdichte durch n˙ A0 = N˙ A0 /A = βc ΔcA .

(1.178)

Durch diese Gleichung ist der Stoff¨ ubergangskoeffizient βc mit der SI-Einheit m/s oder m3 /(s m2 ) definiert. Er ist ein Maß f¨ ur den je Fläche u ¨bertragenen Volumenstrom. Der Konzentrationsunterschied ΔcA definiert den Stoff¨ ubergangskoeffizienten. Hierf¨ ur wird man zweckm¨ aßigerweise den f¨ ur den Stoffaustausch maßgebenden Konzentrationsunterschied wählen, also beispielsweise beim Stoff¨ ubergang durch einen Fl¨ ussigkeitsfilm nach Abb. 1.41 den Konzentrationsunterschied cA0 − cAδ zwischen Wand und Filmoberfläche. Der Stoff¨ ubergangskoeffizient ist im Allgemeinen von der Art der Strömung, ob laminar oder turbulent, von Stoffeigenschaften, von der geometrischen Form des Systems und oft auch vom Konzentrationsunterschied ΔcA selbst abhängig. Strömt ein Fluid u ache, mit der ein Stoff ausge¨ber eine ruhende Oberfl¨ tauscht wird, so bildet sich eine d¨ unne oberflächennahe Schicht aus, in der die Strömungsgeschwindigkeit klein ist und auf den Wert null an der ruhenden Oberfläche abf¨ allt. In Oberfl¨ achenn¨ ahe ist daher der konvektive Anteil der Stoff¨ ubertragung gering, und der diffusive Anteil u ¨berwiegt. Er ist häufig f¨ ur den Stoff¨ ubergang entscheidend. Da der diffusive Anteil nach dem Fickschen Gesetz (1.159) proportional dem Konzentrationsgradienten an der ruhenden Oberfläche und somit näherungsweise proportional einer Konzentrationsdifferenz ΔcA ist, definiert man zweckmäßigerweise den Stoff¨ ubergangskoeffizienten durch

d˜ xA j = − cD = βΔcA . (1.179) u A0 dy 0 Die Diffusionsstromdichte u jA0 ist die an der Oberfläche (Index 0). Es ist also β=

−(cDd˜ xA /dy)0 . ΔcA

(1.180)

Der Zusammenhang zwischen Stoffmengenstromdichte nach (1.178) und Diffusionsstromdichte nach (1.179) ist definitionsgemäß durch cA0 wA0 = n˙ A0 =

u jA0

+ cA0 u0 =

u jA0

+x Ã0 n˙ 0

gegeben. F¨ ur verschwindenden Konvektionsstrom n˙ 0 → 0 ist cA0 wA0 = n˙ A0 = u j A0 ,

(g¨ ultig f¨ ur n˙ 0 → 0)

so dass dann mit Hilfe des Stoff¨ ubergangskoeffizienten nach (1.179) auch die Stoffmengenstromdichte n˙ A0 = βΔcA

(g¨ ultig f¨ ur n˙ 0 → 0)

(1.181)


87

berechnet werden kann. Tatsächlich werden Konzentrationsprofil und auch Stoffmengenstromdichte von den f¨ ur n˙ 0 → 0 berechneten Werten abweichen. Als Beispiel betrachten wir dazu nach Abb. 1.45 einen mit einer Fl¨ ussigkeit A, z.B. Wasser, getränkten porösen K¨ orper, u ¨ber den ein Gas B, z.B. ein Alkohol, strömt. Die Fl¨ ussigkeit A verdunstet in das Gas B, und umgekehrt belädt sich die Fl¨ ussigkeit A in dem por¨ osen K¨ orper mit dem Gas B. Der Konvektionsstrom cA0 wA0 + cB0 wB0 = c0 u0 = n˙ 0 wird an der Oberfläche des porösen Körpers nicht vollständig verschwinden, so dass die an der Oberfläche u ¨bergehende Stoffmengenstromdichte von A gegeben ist durch die bekannte Gleichung n˙ A0 =

u jA0

+ cA0 u0 =

u jA0

+x Ã0 n˙ 0 ,

(1.182)

Ã0 c0 u0 = x Ã0 n˙ 0 ist. da cA0 u0 = x

Abb. 1.45: Stoff¨ ubergang von einem por¨ osen K¨ orper an ein str¨ omendes Gas

Infolge des endlichen Konvektionsstromes ist auch das Konzentrationsprofil verschieden von dem bei verschwindendem Konvektionsstrom n˙ 0 → 0. Es weicht von diesem umso mehr ab, je gr¨ oßer der Konvektionsstrom ist. Ist der Konvektionsstrom zur Wand gerichtet, n˙ 0 < 0, wie bei der Kondensation eines Dampfes aus einem Gemisch, so wird das Konzentrationsprofil infolge des Konvektionsstroms steiler, Abb. 1.47. Damit wird auch der diffusive Anteil der u ¨bergehenden Stoffmenge durch den Konvektionsstrom im Fall des Stofftransports aus der betrachteten Phase vergrößert, während er im Fall des Stofftransports in die betrachtete Phase, Abb. 1.46, verringert wird. Der durch (1.180) definierte Stoff¨ ubergangskoeffizient ist somit f¨ ur verur endlichen schwindenden Konvektionsstrom (n˙ 0 → 0) verschieden von dem f¨ Konvektionsstrom, und zwar gilt β(n˙ 0 > 0) < β(n˙ 0 → 0) , wie man aus Abb. 1.46 erkennt, und β(n˙ 0 < 0) > β(n˙ 0 → 0) , was aus Abb. 1.47 hervorgeht. Abk¨ urzend schreibt man β(n˙ 0 = 0) = β •

und β(n˙ 0 = 0) = β .

Der hochgestellte Punkt im Stoff¨ ubergangskoeffizienten soll anzeigen, dass der Konvektionsstrom n˙ 0 von null verschieden ist. Damit lässt sich die Stoffmengenstromdichte nach (1.182) berechnen zu

88


Abb. 1.46: Konzentrationsprofil cA (y) bei Stoff¨ ubergang f¨ ur verschwindenden Konvektionsstrom und f¨ ur endlichen (n˙ → 0) Konvektionsstrom (n˙ > 0) . Stoff¨ ubergang in die betrachtete Phase

Abb. 1.47: Konzentrationsprofil ur verschwindenden KoncA (y) f¨ vektionsstrom (n˙ → 0) und f¨ ur endlichen Konvektionsstrom . Stoff¨ ubergang aus (n˙ < 0) der betrachteten Phase

n˙ A0 = β • ΔcA + x Ã0 n˙ 0 .

(1.183)

Im Grenz¨ ubergang n˙ 0 → 0 des verschwindenden Konvektionsstroms oder bei a¨quimolarer Diffusion wird β • = β = βc wie der Vergleich mit (1.181) und (1.178) zeigt. Von den verschiedenen Stoff¨ ubergangskoeffizienten ist derjenige bei verschwindendem Konvektionsstrom am leichtesten zu ermitteln. Er hängt von der Strömungsgeschwindigkeit ab, mit der beispielsweise das Gas B in Abb. 1.45 den porösen K¨ orper u omt, von Stoffeigenschaften des Gases und ¨berstr¨ der geometrischen Gestalt des por¨ osen K¨ orpers. Diese Größen lassen sich f¨ ur einen Körper bestimmter geometrischer Gestalt, wie später noch gezeigt wird, zu dimensionslosen Kenngr¨ oßen

βL wL ν (1.184) =f , D ν D oder Sh = f (Re, Sc) .

(1.185)

zusammenfassen. Die Gr¨ oße βL/D ist die mit dem Stoff¨ ubergangskoeffizienten β, einer charakteristischen L¨ ange L, beispielsweise der u ¨berströmten Plattenlänge in Abb. 1.45, und dem Diffusionskoeffizienten D gebildete SherwoodZahl15 Sh; wL/ν ist die mit der mittleren Geschwindigkeit w und der kine15

Thomas Kilgore Sherwood (1903–1976) promovierte 1929 bei Warren K. Lewis, nach dem die Lewis-Zahl benannt wurde, am Massachussetts Institute of Technology (MIT) in Boston, Mass., USA, mit einer Arbeit u ¨ber The Mechanism of the ” Drying of Solids“. Er war von 1930 bis 1969 Professor am MIT. Seine grundlegenden Arbeiten u omender Fluide und sein 1937 erschienenes ¨ber Stofftransport str¨ Buch Absorption and Extraction“ haben ihn weltweit bekannt gemacht. ”

1.5 Stoff¨ ubergangstheorien

89

matischen Viskosit¨ at ν des Gases gebildete Reynolds-Zahl Re und ν/D die Schmidt-Zahl16 Sc. Beziehungen nach Art der Gleichung (1.185) erhält man aus Experimenten oder in einfachen F¨ allen durch Lösen der zugehörigen partiellen Differentialgleichungen. Dies ist im Wesentlichen Gegenstand der noch zu erörternden Theorie der Stoff¨ ubertragung. F¨ ur viele praktisch wichtige geometrische Anordnungen und Str¨ omungsf¨ uhrungen findet man Beziehungen nach Art von (1.185) in der einschl¨ agigen Literatur [1.23] bis [1.26]. Da der Konvektionsstrom h¨ aufig nicht allzu groß ist, berechnet man den Stoff¨ ubergangskoeffizienten β • durch Multiplikation von β mit einem Korrekturfaktor ζ = β • /β, der in praktischen F¨ allen oft nur wenig von 1 verschieden ist.

1.5 Stoffu ¨ bergangstheorien Die Berechnung von Stoff¨ ubergangskoeffizienten β kann in verschiedener Weise geschehen, wobei man nach der Art des jeweiligen Problems dar¨ uber entscheiden muss, nach welcher Theorie man die Stoff¨ ubergangskoeffizienten am besten bestimmt. Die wichtigsten Theorien sind die Film-, die Grenzschichtund die Penetrationstheorie, die hier in ihren Grundz¨ ugen vorgestellt werden sollen.

1.5.1 Die Filmtheorie Die Filmtheorie geht auf eine Arbeit von Lewis und Whitman [1.27] aus dem Jahre 1924 zur¨ uck. Um sie zu erl¨ autern, nehmen wir an, von einer festen oder fl¨ ussigen ruhenden Oberfl¨ ache, in Abb. 1.48 als ebene Platte gezeichnet, werde ein Stoff A an ein str¨ omendes Fluid B u ¨bertragen. Die Konzentration des Stoffes A fällt vom Wert cA0 an der Plattenoberfläche auf den Wert cAδ im Innern des Fluids. Die Filmtheorie geht nun von der häufig zutreffenden Annahme aus, dass der Stoff¨ ubergang in einem d¨ unnen wandnahen Fluidfilm der Dicke δ stattfindet, daher der Name Filmtheorie. Konzentrationen und Geschwindigkeiten sollen sich nur in Richtung der y-Achse, nicht aber, so wird 16

Ernst Schmidt (1892–1975) studierte an den Technischen Hochschulen in Dresden und M¨ unchen Bauingenieurwesen, wechselte dann aber zur Elektrotechnik. Nach einer T¨ atigkeit als Assistent von O. Knoblauch am Laboratorium f¨ ur Angewandte Physik der Technischen Hochschule M¨ unchen wurde er 1925 Professor an der Technischen Hochschule Danzig, 1937 Leiter des Instituts f¨ ur Motorenforschung der Luftfahrtforschungsanstalt in Braunschweig, dann Professor an der Technischen Hochschule Braunschweig. 1952 u ¨bernahm er als Nachfolger von W. Nußelt den Lehrstuhl f¨ ur Thermodynamik der Technischen Hochschule M¨ unchen. Auf ihn gehen grundlegende Arbeiten u.a. zur L¨ osung der instation¨ aren W¨ armeleitungsgleichung, zur Sichtbarmachung thermischer Grenzschichten und zur Ermittlung der Temperaturfelder bei nat¨ urlicher Konvektion zur¨ uck. In einer Arbeit zur Analogie zwischen W¨ armeund Stoff¨ ubertragung verwendete er erstmals die heute nach ihm benannte Schmidt-Zahl.

90


weiter angenommen, mit der Zeit oder in Richtung der anderen Koordinatenachsen ändern. Das hat zur Folge, dass bei stationärer Strömung die in Richtung der y-Achse u ¨bertragene Stoffmengenstromdichte n˙ A = cA wA konstant bleibt. Wäre dies nicht der Fall, w¨ urde also in ein Volumenelement des

Abb. 1.48: Konzentrationsprofil an u omter Oberfl¨ ache ¨berstr¨

Fluids beispielsweise mehr Stoff A ein- als ausströmen, so w¨ urde sich in dem Volumenelement die Konzentration des Stoffes A mit der Zeit ändern, oder es m¨ usste in x-Richtung Stoff A abfließen, damit sich die Konzentration nicht mit der Zeit a¨ndert. Beides ist aber voraussetzungsgemäß nicht zulässig. Nach der Filmtheorie ist somit dn˙ A =0 . (1.186) dy Daraus ergibt sich f¨ ur verschwindenden Konvektionsstrom n˙ = n˙ A + n˙ B = 0 in Richtung der y-Achse, wegen n˙ A =

u jA

+x Ã n˙ =

auch

u jA

= −cD d˜ xA /dy

Ã d2 x =0 , dy 2

wenn man konstante Werte von cD voraussetzt. Das Konzentrationsprofil im Film ist eine Gerade: Ã0 y x Ã − x . (1.187) = x Ãδ − x Ã0 δ Andererseits galt f¨ ur verschwindenden Konvektionsstrom an der Wand, n˙ 0 → 0, nach (1.181)

d˜ xA n˙ A0 = β(cA0 − cAδ ) = −cD . (1.188) dy 0 Nach (1.187) ist

−cD

d˜ xA dy

= −c 0

D D (˜ xAδ − x (cA0 − cAδ ) Ã0 ) = δ δ

und daher β=

D . δ

(1.189)


91

Da die Filmdicke δ meistens nicht bekannt ist, kann man aus dieser Gleichung zwar keine Stoff¨ ubergangskoeffizienten β berechnen. Man kann sich diese jedoch f¨ ur die in der Praxis h¨ aufig vorkommenden Fälle aus der einschlägigen Literatur (z.B. [1.23] bis [1.26]) verschaffen und dann mit (1.189) die Filmdicke absch¨ atzen. Der Stoff¨ ubergangskoeffizient β f¨ ur verschwindenden Konvektionsstrom n˙ 0 → 0 ist nach der Filmtheorie proportional dem Diffusionskoeffizienten. Zu einem anderen Ergebnis kommt man, wenn man einen endlichen Konvektionsstrom n˙ zul¨ asst. Dann ist weiterhin dn˙ A =0 . dy Einsetzen der Stoffstromdichte n˙ A =

u jA

+x Ã n˙ = −cDd˜ xA /dy + x Ã n˙

ergibt nun unter der Annahme cD = const die Differentialgleichung zweiter Ordnung d˜ xA Ã d2 x + n˙ =0 , −cD 2 dy dy die unter den Randbedingungen x Ã (y = 0) = x Ã0 und x Ã (y = δ) = x Ãδ zu lösen ist. Hierzu formen wir die Gleichung um in n˙ dln˜ xA = dy cD mit x Ã = d˜ xA /dy. Die Integration ergibt unter Beachtung der Randbedingungen das Konzentrationsprofil x Ã (y) zu n˙ y) − 1 exp( Ã0 x Ã − x cD . = n˙ x Ãδ − x Ã0 δ) − 1 exp( cD

(1.190)

F¨ ur verschwindenden Konvektionsstrom n˙ → 0 folgt daraus das zuvor berechnete Konzentrationsprofil nach (1.187). Um dies zu zeigen, hat man lediglich die Taylorreihe der Exponentialfunktion an der Stelle n˙ = 0 zu bilden. Die an der Oberfl¨ ache y = 0 (Index 0 = Wand) in Richtung der y-Achse u ¨bertragene Stoffstromdichte ist

d˜ xA +x Ã0 n˙ . (1.191) n˙ A = − cD dy 0 Sie ist nach der Filmtheorie konstant und gleich dem Wert an der Wand. Dort ist n˙ A = n˙ A0 und n˙ = n˙ 0 . Differentiation von (1.190) und Einsetzen in (1.191) ergibt

92


n˙ +x Ã0 n˙ . nδ ˙ )−1 exp( cD Wie der Vergleich mit (1.183) zeigt, ist n˙ A = −(˜ xAδ − x Ã0 )

β• =

n/c ˙ . nδ ˙ )−1 exp( cD

(1.192)

(1.193)

Setzt man noch gem¨ aß (1.189) den Stoff¨ ubergangskoeffizienten β = D/δ f¨ ur verschwindenden Konvektionsstrom ein, so findet man nach der Filmtheorie folgenden Zusammenhang zwischen den Stoff¨ ubergangskoeffizienten β • und β, der in Abb. 1.49 dargestellt ist: β• =ζ= β

n/cβ ˙ . n˙ exp( ) − 1 cβ

(1.194)

Den Faktor ζ bezeichnet man als Stefan-Korrektur“ [1.28]. Um die ausge”

Abb. 1.49: Stefan-Korrektur ζ = β • /β nach der Filmtheorie

tauschte Stoffmenge nach der Filmtheorie zu berechnen, wird man sich also zuerst den Stoff¨ ubergangskoeffizienten β beschaffen. F¨ ur verschwindenden Konvektionsstrom ist die u ur endlichen ¨bertragene Stoffmenge durch (1.181), f¨ Konvektionsstrom durch (1.183) gegeben. Als Sonderfall enth¨ alt (1.192) auch den Fall des einseitigen Stoff¨ ubergangs mit n˙ A = n˙ und n˙ B = 0. Aus (1.192) folgt dann

x Ã0 − x n˙ A δ Ãδ −1 = exp 1−x Ã0 cD oder, aufgelöst nach n˙ A ,


n˙ A =

Ãδ ˜Bδ cD 1 − x cD x x ˜Bδ ln ln = = cβln δ 1−x Ã0 δ x ˜B0 x ˜B0

93

(1.195)

¨ in Ubereinstimmung mit der schon fr¨ uher gefundenen Gl. (1.172). Bei der Trocknung feuchter G¨ uter durch Luft rechnet man nicht mit Molanteilen, sondern mit Beladungen. Wir betrachten als Beispiel ein feuchtes Gut, das Wasser enth¨ alt und durch Luft getrocknet wird. Um die bisherigen Bezeichungen beibehalten zu k¨ onnen, kennzeichnen wir den einen Stoff, das Wasser, durch den Index A und den anderen, die Luft, durch den Index B. Da der Wassergehalt der feuchten Luft gering ist, kann man (1.195) wegen xA auch ln(1 − x Ã ) ≈ −˜ xA0 − x Ãδ ) n˙ A = cβ(˜ schreiben. Hierin wollen wir die Beladung einf¨ uhren. Sie ist bekanntlich definiert durch XA = MA /MB , ur wobei MA die Masse des Wassers und MB die der trockenen Luft ist, wof¨ ˜ = M/N auch man mit der Molmasse M XA =

˜ A NA Ã x Ã x M M M Ã Ã = = ˜ ˜ ˜ ˜B Ã MB NB MB x MB 1 − x

schreiben kann. Aufl¨ osen nach dem Molanteil des Wassers ergibt x Ã =

Ã ˜ B /M XA M . Ã ˜ 1 + XA MB /M

Wassergehalte sind bei Umgebungsdruck von der Größenordnung 20 · 10−3 ˜ A ≈ 0,03 1. Es gilt daher in ˜ B /M kg/kg, und daher ist der Term XA M guter Näherung Ã . ˜ B /M x ˜ A = XA M Die ausgetauschte Stoffmengenstromdichte des Wassers wird damit n˙ A = cβ

˜B M (XA0 − XAδ ) ˜ MA

und die Massenstromdichte ˜ B (XA0 − XAδ ) . ˜ A = cβ M m ˙ A = n˙ A M ˜ B . Damit erhält Es ist c = p/Rm T und die Gaskonstante der Luft RB = Rm /M man f¨ ur die u ¨bergehende Massenstromdichte des Wassers m ˙A=

p β(XA0 − XAδ ) . RB T

(1.195a)

94


1.5.2 Die Grenzschichttheorie Der Grenzschichttheorie liegt ebenso wie der Filmtheorie die Vorstellung zugrunde, dass der Stoff¨ ubergang, wie in Abb. 1.48 skizziert, in einer d¨ unnen wandnahen Schicht erfolgt. Konzentrationen und Geschwindigkeiten d¨ urfen sich nun aber nicht nur in Richtung der y-Achse, sondern im Unterschied zur Filmtheorie auch in Richtung der anderen Koordinatenachsen ändern. ¨ Da jedoch die Anderung des Konzentrationsprofils in der d¨ unnen wandnahen ¨ Grenzschicht groß im Vergleich zur Anderung in Richtung der u ¨brigen Koordinatenachsen ist, gen¨ ugt es, nur die Diffusion in Richtung der y-Achse zu ber¨ ucksichtigen. Dadurch vereinfachen sich, wie noch gezeigt wird, die Differentialgleichungen f¨ ur das Konzentrationsfeld erheblich. Als Ergebnis erhält man Konzentrationsprofile, aus denen man Stoff¨ ubergangskoeffizienten β entsprechend der Definition (1.179) berechnen kann. In der Technik gen¨ ugt es meistens, mit mittleren Stoff¨ ubergangskoeffizienten 1 βm = L

L β dx x=0

zu rechnen. Man erh¨ alt sie f¨ ur erzwungene Strömung aus Gleichungen der Form Shm = f (Re, Sc) mit der mittleren Sherwood-Zahl Shm = βm L/D. Die Funktionen f¨ ur die mittlere Sherwood-Zahl sind praktisch identisch mit denen f¨ ur die mittlere Nußelt-Zahl N um = f (Re, P r) und f¨ ur u achen gut bekannt. Man kann sie beispielswei¨berströmte Oberfl¨ se dem VDI-Wärmeatlas [1.29] entnehmen, indem man dort die Nußelt-Zahl durch die Sherwood-Zahl und die Prandtl-Zahl durch die Schmidt-Zahl ersetzt. Wie man Wärme¨ ubergangskoeffizienten ermittelt und sie mit Hilfe dimensionsloser Kennzahlen darstellt, war bereits in Kapitel 1.1.4 erörtert worden. So lässt sich beispielsweise die mittlere Nußelt-Zahl N um = αm L/λ bei erzwungener Strömung durch Ausdr¨ ucke der Form N um = c Ren P r m

(1.196)

darstellen. In (1.196) sind die Gr¨ oßen c, n, m noch von der Art der Strömung, laminar oder turbulent, und der Gestalt des umströmten Körpers oder durchströmten Kanals abh¨ angig. Entsprechend gilt f¨ ur die mittlere Sherwood-Zahl Shm = c Ren Scm .

(1.197)

Aus (1.197) kann man den mittleren Stoff¨ ubergangskoeffizienten berechnen. Man kann ihn aber auch auf den mittleren Wärme¨ ubergangskoeffizienten


95

zur¨ uckf¨ uhren, indem man (1.197) durch (1.196) dividiert. Man erhält dann einen Zusammenhang zwischen dem W¨ armeund dem Stoff¨ ubergangskoeffizienten, die sogenannte Lewissche Beziehung m

βm λ Sc a m Shm = = = = Lem N um D αm Pr D oder βm =

αm = Lem−1 . cp

(1.198)

Hierin ist m ≈ 1/3 und die dimensionslose Gr¨ oße Le = a/D die Lewis-Zahl.17 Sie ist f¨ ur ideale Gase von der Gr¨ oßenordnung 1, so dass f¨ ur diese in grober Näherung (1.199) βm = αm /cp gilt. Einige Werte der Lewis-Zahl sind in Tabelle 1.5 angegeben. Tabelle 1.5: Lewis-Zahlen einiger Gasgemische bei 0 ℃ und 1 bar in Luft Wasserdampf Kohlendioxid Methanol Ethanol Benzol

0,87 1,33 1,41 1,79 2,40

in Wasserstoff 1,84 2,34 2,68 3,57 4,24

in Kohlendioxid 0,627 — 1,03 1,33 1,74

Die Gl. (1.198) und (1.199) werden auch Lewissches Gesetz genannt. Die so bestimmten Stoff¨ ubergangskoeffizienten βm gelten definitionsgemäß nur f¨ ur verschwindenden Konvektionsstrom und m¨ ussen im Fall eines endlichen Kon• /βm , die man vektionsstroms korrigiert werden. Korrekturfaktoren ζ = βm mit den Annahmen der Grenzschichttheorie f¨ ur eine laminar längsangeströmte ebene Platte berechnet, zeigt Abb. 1.50. Sie sind größer als die Korrekturfaktoren nach der Filmtheorie f¨ ur einen Konvektionsstrom aus der Phase und kleiner f¨ ur einen Konvektionsstrom in die Phase. 17

Warren Kendall Lewis (1882–1978) studierte am Massachussetts Institute of Technology (MIT) Chemieingenieurwesen und promovierte 1908 an der Universit¨ at Breslau in Chemie. Von 1910 bis 1948 war er Professor am MIT. Seine Hauptt¨ atigkeitsgebiete waren die Filtration, Destillation und Absorption. In seiner Arbeit The evaporation of a liquid into a gas“, Mech. Engineering 44 (1922) ” 445–448, behandelte er den gleichzeitigen W¨ armeund Stoffaustausch bei der Verdunstung und zeigte, wie sich W¨ armeund Stoffaustausch gegenseitig beeinflussen.

96


Abb. 1.50: Stefan-Korrektur • /βm nach der Film-, der ζ = βm Grenzschicht- und nach der Penetrationstheorie, nach [1.30]

1.5.3 Die Penetrations- und die Oberfl¨ achenerneuerungstheorie Die Film- und die Grenzschichttheorie setzen einen stationären Stofftransport voraus, gelten also nicht mehr, wenn sich in einem Volumenelement Material ansammelt, so dass sich die Konzentration mit der Zeit ändert. In vielen Stoffaustauschapparaten werden jedoch Fluide miteinander oder Fluide mit Feststoffen während so kurzer Zeiten in Kontakt gebracht, dass sich kein station¨ arer Zustand einstellen kann. Steigt beispielsweise eine Luftblase in Wasser auf, so wird nur an den Stellen Wasser in die Luftblase verdunsten, an denen sich die Blase gerade befindet. Die Kontaktzeit mit der Wassermenge, welche die Luftblase umgibt, ist etwa gleich der Zeit, die erforderlich ist, damit sich die Luftblase um einen Durchmesser weiter bewegt. An einem festen Ort wird daher nur kurzzeitig Stoff u ¨bertragen. Die Penetrationstheorie wurde von Higbie 1935 [1.31] f¨ ur den hier geschilderten kurzzeitigen Stoffaustausch zwischen Dampfblasen und Fl¨ ussigkeiten entwickelt. Wie Higbie zeigte, ist der Stoff¨ ubergangskoeffizient umgekehrt proportional der Wurzel aus der Kontaktzeit und gegeben durch ( 2 D . (1.200) βm = √ π t ubergangskoeffizient von der Zeit t = 0 bis zur Hierin ist βm der mittlere Stoff¨ Zeit t. Wie die Erfahrung zeigt, erh¨ alt man brauchbare Werte des Stoff¨ ubergangskoeffizienten, wenn man die Kontaktzeit aus der mittleren Steig- oder Sinkgeschwindigkeit w von Blasen oder Tropfen und ihrem Durchmesser d berechnet: t = d/w. Schwieriger ist es, die Kontaktzeit in gasdurchströmten F¨ ullkörpersch¨ uttungen zu bestimmen, in denen eine Fl¨ ussigkeit herabrieselt.


97

Abb. 1.51: Zur Oberfl¨ achenerneuerungstheorie. M¨ oglicher Verlauf der Stromlinien beim Kontakt zwischen zwei Fl¨ ussigkeiten oder einer Fl¨ ussigkeit und einem Gas

Die von Dankwerts 1951 [1.32] entwickelte Oberfl¨ achenerneuerungstheorie stellt eine Erweiterung der Penetrationstheorie dar. Während Higbie stets an allen Orten eines Apparates gleiche Kontaktzeiten zwischen den Phasen voraussetzte, nahm Dankwerts an, dass Fluidelemente, die miteinander in Kontakt geraten, verschiedene Verweilzeiten haben, die durch ein Verweilzeitspektrum beschrieben werden. Man hat sich dies so vorzustellen, dass der Stoffaustausch zwischen zwei fluiden Phasen verschiedener miteinander in Kontakt gebrachter Stoffe, in einzelnen Strömungszellen gemäß Abb. 1.51 abläuft. Die Kontaktzeit zwischen den einzelnen Fluidelementen gehorcht einer Verteilungsfunktion, und nach einer gewissen Zeit kann ein Fluidelement wieder von der Kontaktfl¨ ache verdr¨ angt und durch ein anderes ersetzt werden. Aus diesem Grund spricht man von Oberflächenerneuerungstheorie. Sie ist mit Erfolg auf die Absorption von Gasen in ger¨ uhrten Fl¨ ussigkeiten angewandt worden. Meistens sind jedoch die Zeitanteile bis zur Oberflächenerneuerung ebenso wenig bekannt wie die Kontaktzeiten der Penetrationstheorie, so dass beide Theorien zwar f¨ ur das Verst¨ andnis von Stoffaustauschvorgängen n¨ utzlich, zu deren Berechnung oft jedoch nicht anwendbar sind.

1.5.4 Anwendung der Filmtheorie auf die Verdunstungsku ¨ hlung Als eine Anwendung der Filmtheorie untersuchen wir die Verdunstungsk¨ uhlung. Eine feste, adiabat isolierte Wand sei nach Abb. 1.52 von einem Wasserfilm bedeckt, u attigte feuchte Luft hinwegströmt. ¨ber den unges¨

Abb. 1.52: Adiabate Verdunstungsk¨ uhlung. Temperaturen ϑ und Partialdr¨ ucke pA des Wassers in der Luft

98


Die feuchte Luft nimmt dann Wasserdampf aus dem Wasserfilm auf. Dadurch k¨ uhlen sich Wasserfilm und Luft ab, bis sich nach einiger Zeit eine zeitlich und örtlich konstante Beharrungstemperatur im Wasserfilm einstellt. Sie ist u ¨ber den ganzen Wasserfilm konstant, weil der Wasserfilm an eine adiabate Wand angrenzt und ihm daher keine Wärme zugef¨ uhrt wird. Die adiabate Beharrungstemperatur nennt man auch K¨ uhlgrenztemperatur. Der Stoffaustauschwiderstand liegt allein auf der Gasseite. Nach Einstellen der Beharrungstemperatur verdunstet weiterhin Wasser in die vorbeiströmende ungesättigte Luft. Da die Temperatur des Wasserfilms konstant ist, wird die zur Verdunstung erforderliche Verdampfungsenthalpie von der vorbeiströmenden Luft als Wärme zugef¨ uhrt. Abb. 1.52 zeigt, wie im Beharrungszustand das Temperaturprofil und der Partialdruck des Wasserdampfes in der Luft verlaufen. K¨ uhlgrenztemperaturen liegen unterhalb der Temperatur der vorbeistreichenden feuchten Luft. Man kann somit ein feuchtes Gut durch Verdunstung bis auf die K¨ uhlgrenztemperatur abk¨ uhlen. Wir stellen uns die Frage, wie groß die K¨ uhlgrenztemperatur ist. Sie wird durch die Wassermenge bestimmt, die infolge Stoff¨ ubertragung von der Wasseroberfläche an die feuchte Luft u ¨bergeht. Da einseitige Diffusion vorliegt, ist die u ¨bergehende Wassermenge (Stoff A) nach (1.195) an der Phasengrenze I zwischen Wasser und Luft gegeben durch Ãδ ˜ A cβ ln 1 − x , m ˙A=M 1−x ÃI

(1.201)

wenn x ÃI der Molanteil des Wasserdampfes in der Luft an der Wasseroberfläche und x Ãδ der Molanteil in großer Entfernung von der Wasseroberfläche ist. Da sich die Menge der trockenen Luft (Stoff B) nicht ändert, ist es zweckmäßig, mit Beladungen XA = MA /MB zu rechnen. Es ist x Ã =

Ã ˜ B /M NA NA XA M = = . Ã ˜ N NA + NB 1 + XA MB /M

Damit kann man (1.201) auch schreiben ˜ ˜ ˜ A cβ ln 1 + XAI MB /MA . m ˙A=M Ã ˜ B /M 1 + XAδ M

(1.202)

Hierin sind die Beladung XAI an der Wasseroberfläche und die u ¨bergehende Massenstromdichte m ˙ A noch unbekannt. Da an der Wasseroberfläche Sättigung herrscht, ist die Beladung XAI , wie die Thermodynamik lehrt [1.33], durch ps (ϑI ) (1.203) XAI = 0,622 p − ps (ϑI ) attigungsdruck des Wasserdampfes bei der Temperatur gegeben, wobei ps der S¨ ache ist. ϑI der Wasseroberfl¨


99

Als weitere Gleichung steht noch die Energiebilanz zur Verf¨ ugung. Um sie aufzustellen, betrachten wir ein Bilanzgebiet im Gas, das gemäß den gestrichelten Linien in Abb. 1.53 vom Gas an der Wasseroberfläche bis zu einer beliebigen Stelle y reicht.

Abb. 1.53: Zur Energiebilanz bei Verdunstungsk¨ uhlung

Die Energiebilanz f¨ ur eine station¨ are ebene Strömung lautet dann ˙ A hI = q˙ + m ˙ A h = const . q˙I + m Darin sind die W¨ armestromdichten q˙I und q˙ entgegen der y-Achse gerichtet und somit negativ. Durch Differentiation folgt d (q˙ + m ˙ A h) = 0 . dy Daraus erhält man mit q˙ = −λdϑ/dy und dh = cpA dϑ f¨ ur den Temperaturverlauf ϑ(y) die gew¨ ohnliche Differentialgleichung −λ

dϑ d2 ϑ =0 , +m ˙ A cpA dy 2 dy

(1.204)

die wir f¨ ur die Randbedingungen

ϑ(y = 0) = ϑI

und

q˙I = −λ

dϑ dy y =0

l¨ osen. Man erhält

q˙I m ˙ A cpA ϑ − ϑI = − exp y −1 . m ˙ A cpA λ

(1.205)

oßerer Entfernung y = δ von der Wasseroberfläche Die Temperatur ϑδ in gr¨ ist somit

m ˙ A cpA q˙I exp δ −1 . (1.206) ϑδ − ϑI = − m ˙ A cpA λ Wenn der Verdunstungsstrom sehr klein wird, m ˙ A → 0, wird Wärme nur durch Leitung quer zur Str¨ omungsrichtung der feuchten Luft u ¨bertragen. Der Wasseroberfläche wird dann eine W¨ armestromdichte

100


q˙I = α(ϑI − ϑδ )

(m ˙ A → 0)

(1.207)

zugef¨ uhrt. Durch diese Gleichung ist, wie in Abschnitt 1.1.3 gezeigt wurde, der Wärme¨ ubergangskoeffizient α definiert. Durch Grenz¨ ubergang m ˙A → 0 erhält man andererseits aus (1.206): q˙I m ˙ A cpA 1+ δ + ··· − 1 (1.208) ϑδ − ϑI = − m ˙ A cpA λ oder

λ (ϑI − ϑδ ) (m ˙ A → 0) . δ Wie der Vergleich mit (1.207) zeigt, ist α = λ/δ. Wir setzen dies in (1.206) ein und beachten weiter, dass die der Wasseroberfläche zugef¨ uhrte Wärme zur Verdunstung dient. Dann gilt q˙I =

˙ A Δhv , q˙I = −m wenn Δhv die Verdampfungsenthalpie des Wassers bei der Temperatur ϑI ist. Damit lässt sich (1.206) umformen in cpA m ˙ A cpA = ln 1 + (ϑδ − ϑI ) . (1.209) α Δhv In dieser Gleichung sind ebenfalls die Gr¨ oßen m ˙ A und ϑI unbekannt, so dass nun mit der aus der Mengenbilanz folgenden Gl. (1.202) eine zweite Gleichung f¨ ur die beiden Unbekannten zur Verf¨ ugung steht. Mit Hilfe von (1.202) eliminieren wir die Massenstromdichte m ˙ A aus (1.209) und erhalten zur Berechnung der K¨ uhlgrenztemperatur ϑI die Beziehung ⎡ ⎤ ˜ A cβcpA /α) (M ˜ ˜ Δhv ⎢ 1 + XAI MB /MA ⎥ ϑδ − ϑ I = − 1⎦ . (1.210) ⎣ ˜ ˜ cpA 1 + XAδ MB /MA Diese lässt sich f¨ ur kleine Verdunstungsraten m ˙ A → 0 noch vereinfachen. Dazu schreiben wir (1.202) Ã ˜ B /M m ˙A m ˙A 1 + XAI M = exp =1+ + ... ˜ ˜ ˜ ˜ 1 + XAδ MB /MA MA cβ MA cβ

.

F¨ ur kleine Verdunstungsraten ist somit ˜ B cβ m ˙A=M

XAI − XAδ . Ã ˜ B /M 1 + XAδ M

Hieraus folgt mit (1.208) und mit q˙I = −m ˙ A Δhv die f¨ ur kleine Verdunstungsultige Beziehung raten m ˙ A → 0 g¨

1.6 Stoffdurchgang

˜ B cβ Δhv XAI − XAδ ϑδ − ϑI = M . ˜ B /M Ã α 1 + XAδ M

101

(1.211)

Aus (1.210) bzw. (1.211) erh¨ alt man die K¨ uhlgrenztemperatur ϑI , da nach (1.203) auch die Beladung XAI durch die Temperatur ϑI festliegt. Man kann umgekehrt aus beiden Gleichungen durch Messen der K¨ uhlgrenztemperatur den Wassergehalt XAδ von feuchter Luft berechnen. Nach diesem Verfahren arbeitet das Assmannsche Aspirationspsychrometer. Es besteht aus zwei Thermometern, von denen das eine, das sogenannte Feuchtthermometer, mit einem in Wasser getr¨ ankten Gewebestrumpf u ¨berzogen ist, der den F¨ uhler dieses Thermometers st¨ andig feucht hält. Es wird durch einen Ventilator mit Luft u uhlgrenz¨berblasen und erreicht nach einiger Zeit die K¨ ahrend das zweite Thermometer, das sogenannte Trockentemperatur ϑI , w¨ thermometer, die Temperatur ϑδ der vorbeistreichenden Luft anzeigt. Aus diesen Messwerten ergibt sich dann mit Hilfe von (1.210) bzw. (1.211) der Wassergehalt XAδ der feuchten Luft. Beispiel 1.9: Das Trockenthermometer eines Assmannschen Aspirationspsyahrend das Feuchtthermomechrometer zeigt eine Temperatur ϑδ von 30 ℃ an, w¨ ter die Temperatur ϑI = 15 ℃ anzeigt. Der Gesamtdruck sei p = 1000 mbar. Man berechne die Wasserbeladung XAδ und die relative Feuchte der Luft. F¨ ur feuchte ˜ A cβm cpA /αm = Luft ergibt sich aus dem Lewisschen Gesetz (1.198) der Wert M 1,30, die Verdampfungsenthalpie des Wassers bei 15 ℃ ist Δhv = 2465,4 kJ/kg, die spez. W¨ armekapazit¨ at cpA = 1,900 kJ/kgK und die Molmasse des Wassers ˜ A = 18,015 kg/kmol, die der trockenen Luft M ˜ B = 28,953 kg/kmol. M Nach (1.203) ist mit pS (15 ℃) = 17,058 mbar: XAI = 0,622 · 17,058/(1000 − 17,058) = 1,079 · 10−2 . Aus (1.210) folgt dann

1,3 2465,4 · 103 1 + 1,079 · 10−2 · 28,953/18,015 (30 − 15) ℃ = −1 ℃ . 1900 1 + XAδ · 28,953/18,015 Man erh¨ alt XAδ = 5,217 · 10−3 . Mit (1.211) findet man praktisch denselben Wert XAδ = 5,211 · 10−3 . Die relative Feuchte ist ϕ=

5,217 · 10−3 pA p 1000 XAδ = = 0,196 = 19,6% . = pAs 0,622+XAδ ps (30 ℃) 0,622+5,217 · 10−3 42,46

(Diesen Wert findet man auch aus dem Mollierschen h1+X , X-Diagramm).

1.6 Stoffdurchgang Während Wärme h¨ aufig von einem Fluid durch eine feste Wand an ein anderes Fluid u ubertragung meistens eine oder ¨bertragen wird, werden bei der Stoff¨ mehrere Komponenten aus einer Phase in eine andere u uhrt, die sich di¨berf¨ rekt ber¨ uhren und nicht durch eine feste Wand getrennt sind. In strömenden Fluiden wird die Phasengrenze durch die zwischen den Fluiden ausge¨ ubten

102


¨ Kr¨ aften unregelm¨ aßig verformt. Als Beispiel betrachten wir die Ubertragung einer Komponente A aus einem gasf¨ ormigen Zweistoffgemisch der Komponenten A und B an eine Fl¨ ussigkeit C, in der sich nur Stoff A löst. Den Verlauf des Molanteils yÃ in der gasf¨ ormigen und x Ã in der fl¨ ussigen Phase zeigt Abb. Ãm sind die integralen Mittelwerte des Molanteils in jeder 1.54. Mit yÃm und x Phase bezeichnet. Die Komponente A hat auf ihrem Weg von der gasförmigen in die fl¨ ussige Phase drei Stoff¨ ubergangswiderstände zu u ¨berwinden: Den der ¨ gasförmigen Phase, einen Widerstand beim Ubergang von der gasförmigen in die fl¨ ussige Phase und einen Widerstand bei der Wanderung in die fl¨ ussige Phase hinein. Der Stoff¨ ubergang der Komponente A von der gasförmigen in die fl¨ ussige Phase an der Phasengrenze l¨ auft jedoch sehr schnell ab verglichen mit der viel langsameren Wanderung durch die gasförmige und die fl¨ ussige Phase. Man kann daher den Stoff¨ ubergangswiderstand an der Phasengrenze vernachlässigen und annehmen, an der Phasengrenze herrsche Gleichgewicht hinsichtlich des Stoffaustausches. Da der Stoff¨ ubergang durch die Diffusion an der Grenze zwischen den beiden Phasen bestimmt wird, spricht man von der Zweifilmtheorie des Stoffaustausches. Die ihr zugrunde liegende Annahme des Gleichgewichts an der Phasengrenze ist nicht mehr g¨ ultig, wenn dort chemische Reaktionen ablaufen oder wenn sich Spuren von oberflächenaktiven Komponenten an der Phasengrenze ansammeln und die Stoff¨ ubertragung behindern; ebensowenig kann man Gleichgewicht an der Phasengrenze voraussetzen, wenn sehr große Stoffmengenstr¨ ome u ¨bertragen werden, der Stoffaustausch in den Phasen also sehr rasch abl¨ auft.

Abb. 1.54: Molanteile beim Stoff¨ ubergang von einer Gasin eine Fl¨ ussigphase

Im Fall des Gleichgewichts an der Phasengrenze, den wir hier betrachten wollen, sind bei vorgegebenen Werten von Druck oder Temperatur die MolanÃI an der Phasengrenze, wie die Gleichgewichtsthermodynamik teile yÃI und x lehrt, durch eine Beziehung pAI = yÃI p = f (˜ xAI )

(1.212)

miteinander verkn¨ upft. Wir wollen im Folgenden voraussetzen, dass der Stoffu ahe der Phasengrenze hauptsächlich durch Diffusion be¨bergang in der N¨ stimmt wird und der Konvektionsstrom zur Phasengrenze gering ist. Dann gilt f¨ ur den Stoff¨ ubergang an der Phasengrenze Gl. (1.181), die wir f¨ ur jede der beiden Phasen anschreiben k¨ onnen. Beachtet man den Zusammenhang

1.6 Stoffdurchgang

103

zwischen Molanteil und molarer Volumenkonzentration, (cA /c)G = yÃ und Ã (G = Gas, L = Fl¨ ussigkeit), so gilt f¨ ur die Stoffstromdichte in (cA /c)L = x der Gasphase n˙ AI = (βc)G (˜ yAm − yÃI ) (1.213) und f¨ ur die in der Fl¨ ussigphase xAI − x Ãm ) . n˙ AI = (βc)L (˜

(1.214)

Daraus folgt yÃm − yÃI = und Ãm = x ÃI − x

n˙ AI (βc)G

(1.215)

n˙ AI . (βc)L

(1.216)

ÃI an der Phasengrenze sind hierin durch eine thermoDie Molanteile yÃI und x dynamische Beziehung (1.212) voneinander abhängig. Da Gase nur schwach in Fl¨ ussigkeiten löslich sind, ist der Molanteil x ÃI meistens sehr klein. Gl. (1.212) kann daher durch den als Henrysches Gesetz18 bekannten linearen Ansatz der Form ÃI /p (1.217) yÃI = kH x angenähert werden, in dem der Henrysche Koeffizient f¨ ur Zweistoffgemische Ãm nur von der Temperatur abh¨ angt, kH (ϑ). Wir ordnen nun dem Molanteil x in der Fl¨ ussigkeit mit Hilfe des Henryschen Gesetzes einen Molanteil yÃeq in der Gasphase zu, Ãm /p , (1.218) yÃeq = kH x ussigkeit vom wobei yÃeq der Molanteil von A in einem Gas ist, das mit der Fl¨ Molanteil x Ãm im Gleichgewicht (lateinisch equilibrium, daher der Index eq) steht. Mit (1.217) und (1.218) geht (1.216) u ¨ber in yÃI − yÃeq =

n˙ AI kH . (βc)L p

(1.219)

Addition von (1.215) und (1.219) ergibt kH 1 . + yÃm − yÃeq = n˙ AI (βc)G (βc)L p Wir schreiben stattdessen n˙ AI = kG (˜ yAm − yÃeq ) ,

(1.220)

mit dem auf den Unterschied der Molanteile in der Gasphase bezogenen Stoffdurchgangskoeffizienten 18

Benannt nach William Henry (1775–1836), Fabrikbesitzer in Manchester, der dieses Gesetz 1803 aufstellte.

104


1 1 kH . = + kG (βc)G (βc)L p

(1.221)

Ãeq und den Eliminiert man in (1.215) den Molanteil yÃm durch yÃm = kH x Molanteil yÃI durch (1.217), so erh¨ alt man mit (1.216) die der Gl. (1.220) aquivalente Beziehung ¨ xAeq − x Ãm ) (1.222) n˙ AI = kL (˜ mit dem auf den Unterschied der Molanteile in der Fl¨ ussigphase bezogenen Stoffdurchgangskoeffizienten 1 p 1 = + . kL kH (βc)G (βc)L

(1.223)

Der Widerstand f¨ ur den Stoffdurchgang nach (1.221) und (1.223) setzt sich aus den Stoff¨ ubergangswiderst¨ anden in der Gas- und in der Fl¨ ussigphase zusammen. Aus beiden Gleichungen erkennt man, wie sich der Stoff¨ ubergangswiderstand auf die Phasen verteilt. Damit l¨ asst sich nachpr¨ ufen, ob einer der Stoff¨ ubergangswiderst¨ ande im Vergleich zum anderen vernachlässigt werden kann, so dass man nur den Stoff¨ ubergang in einer Phase zu untersuchen hat. Stoffdurchgangskoeffizienten lassen sich jedoch nur dann in so einfacher Weise, wie hier gezeigt, aus den Stoff¨ ubergangskoeffizienten bilden, wenn das Phasengleichgewicht durch einen linearen Ansatz nach Art von Gl. (1.217) beschrieben werden kann. Dieses trifft meistens nur auf Vorgänge der Absorption von Gasen in Fl¨ ussigkeiten zu, weil die L¨ oslichkeit von Gasen in Fl¨ ussigkeiten gering ist und daher durch das Henrysche Gesetz (1.217) beschrieben werden kann. Sogenannte ideale Fl¨ ussigkeitsgemische lassen sich ebenfalls durch einen linearen Ansatz beschreiben (Raoultsches Gesetz). Sie kommen in der Technik jedoch nur selten vor. Infolgedessen spielt das Rechnen mit Stoffdurchgangskoeffizienten in der Stoff¨ ubertragung eine geringere Rolle als das Rechnen mit Wärmedurchgangskoeffizienten in der W¨ arme¨ ubertragung.

1.7 Stoffu ¨ bertrager In Apparaten der Stoff¨ ubertragung werden Mehrstoffgemische in einzelne oder mehrere Komponenten zerlegt oder umgekehrt aus einzelnen oder mehreren Komponenten Gemische hergestellt. Man bringt dazu in den Stoff¨ ubertragern verschiedene Komponenten miteinander in Kontakt und nutzt die unterschiedliche Löslichkeit der einzelnen Komponenten in den Phasen aus. Ein Beispiel, das wir schon behandelten, war die Aufnahme einer Komponente aus einem Fl¨ ussigkeitsgemisch durch Verdunsten in ein Gas hinein. Wir beschränken uns im Folgenden auf solche Stoff¨ ubertrager, in denen physikalische Vorgänge ablaufen, lassen also chemische Reaktionen außer acht. Deren Einfluss auf den Stoffaustausch wird in Abschnitt 2.5 behandelt. Der Stoffaustausch soll zwischen Phasen ablaufen, die sich in direktem Kontakt befinden und nicht wie in

1.7 Stoff¨ ubertrager

105

Membranapparaten durch eine nur f¨ ur bestimmte Komponenten durchlässige Wand getrennt sind. Die einzelnen Phasen werden wegen des besseren Stoffaustausches fast immer im Gegenstrom zueinander gef¨ uhrt. Die am häufigsten eingesetzten Stofftrennverfahren sind die Absorption, die Extraktion und die Rektifikation. Bei der Absorption werden aus einem Gasgemisch eine oder mehrere Komponenten von einer Fl¨ ussigkeit oder auch einem Feststoff aufgenommen. Durch Extraktion werden aus Fl¨ ussigkeits- oder Feststoffgemischen einzelne Komponenten mit einer Fl¨ ussigkeit herausgel¨ ost. Die Rektifikation dient zur Trennung von fl¨ ussigen Mehrstoffgemischen in einzelne Komponenten oder Gemische, sogenannte Fraktionen. Dazu werden in einer Kolonne abwärts fließende Fl¨ ussigkeit und aufsteigender Dampf in m¨ oglichst innige Ber¨ uhrung gebracht, so dass einzelne Komponenten zwischen Dampf und Fl¨ ussigkeit ausgetauscht werden können. Stoff¨ ubertrager werden meistens als Kolonnen gebaut, in denen eine Phase, beispielsweise das Gas, am Fuß, die andere Phase, beispielsweise die Fl¨ ussigkeit, am Kopf der Kolonne zugef¨ uhrt wird. Um den Stoffaustausch zu intensivieren, sorgt man f¨ ur eine große innere Oberfl¨ ache in der Kolonne. Das kann dadurch geschehen, dass man die herabrieselnde Fl¨ ussigkeit in der Kolonne auf Böden aufstaut, durch die das aufsteigenden Gas hindurchperlt. Statt dessen kann die Kolonne auch mit Festk¨ orpern gef¨ ullt werden, die so gestaltet sind, dass die Fl¨ ussigkeit aufgestaut und die beiden Phasen gut durchmischt werden. Häufig verwendete F¨ ullk¨ orper sind Kugeln, Ringe mit glatten oder profilierten Oberfl¨ achen, Ringe mit Innenstegen, Sattelkörper, Drahtnetzringe, Drahtwendel oder Drahtgewebe. Angaben u uber¨ber die Bauart von Stoff¨ tragern findet man in der Fachliteratur u.a. in [1.34]. Wir wollen uns hier nicht mit den vielen Arten von Apparaten der Stoff¨ ubertragung und den Kriterien der Auswahl befassen, sondern lediglich untersuchen, wie man die Größe eines ur eine bestimmte Stofftrennung festlegt. Apparates f¨

1.7.1 Die Mengenbilanzen Zur Ermittlung der ¨ außeren Abmessungen eines Stoff¨ ubertragers, gleich welcher Bauart, dienen die Mengenbilanzen. So wie die Energiebilanzen die Temperaturen zweier Fluidstr¨ ome eines W¨ arme¨ ubertragers verkn¨ upfen, bestimmen die Mengenbilanzen die Konzentrationen der Fluidströme. Als typisches Anwendungsbeispiel betrachten wir eine Absorptionskolonne, Abb. 1.55, in der die Komponente A aus einem aufsteigenden Gasgemisch durch eine im Gegenstrom herabrieselnde Fl¨ ussigkeit gelöst wird. Wir setzen lediglich Kontakt zwischen zwei unmischbaren Phasen voraus, so dass die folgende Bilanzgleichungen ganz allgemein gelten, unabhängig davon, ob es sich um eine F¨ ullk¨ orper-, Rieselfilm- oder Bodenkolonne handelt. Das Rohgas besteht aus dem Tr¨ agergas G und der zu absorbierenden Komponente A, die Fl¨ ussigkeit aus dem Waschmittel L und der absorbierten Komponente A. Der Stoffmengenstrom an aufsteigendem Gas in einem Querschnitt ist somit

106


Abb. 1.55: Gegenstromabsorber

ussigkeit N˙ L + N˙ LA . Da sich die StoffN˙ G + N˙ GA , der an herabrieselnder Fl¨ ˙ ˙ mengenströme NG und NL l¨ angs der Kolonne nicht ändern, kennzeichnet man die Zusammensetzungen zweckm¨ aßigerweise durch Beladungen ˜ = N˙ LA /N˙ L und Y˜ = N˙ GA /N˙ G , X ˜ die mittlere Beladung der Fl¨ wobei mit X ussig- und mit Y˜ die der Gasphase mit der Komponente A bezeichnet ist. Die Mengenbilanz u ¨ber die gesamte Kolonne zwischen dem Eintrittsquerschnitt e und dem Austrittsquerschnitt a der Fl¨ ussigkeit lautet dann ˜ e − N˙ G Y˜e − N˙ L X ˜ a + N˙ G Yã = 0 N˙ L X oder

Yã − Y˜e N˙ L = . ˜e ã − X N˙ G X

(1.224)

¨ Die Anderungen in der Gas- und Fl¨ ussigkeitszusammensetzung legen das Verhältnis der Stoffmengenstr¨ ome von Gas und Fl¨ ussigkeit fest. Entsprechend lautet die Mengenbilanz f¨ ur einen Kontrollraum, der durch den Querschnitt e und einen beliebigen Querschnitt b im Inneren der Kolonne begrenzt ist, ˜ e − N˙ G Y˜e − N˙ L X ˜ + N˙ G Y˜ = 0 N˙ L X oder N˙ L ˜ X+ Y˜ = N˙ G

N˙ L ˜ Y˜e − Xe N˙ G

.

(1.225)

˜ eine mittlere GasbelaDadurch ist jeder mittleren Fl¨ ussigkeitsbeladung X ˜ ˜ dung Y im gleichen Querschnitt zugeordnet. Gl. (1.225) stellt in einem Y˜ , XDiagramm eine Gerade dar.


107

In ähnlicher Weise wie f¨ ur die Absorptionskolonne findet man einen linearen Zusammenhang zwischen der Zusammensetzung beider Phasen auch bei der Rektifikation und der Extraktion. Wir betrachten hierzu als Beispiel eine Rektifizierkolonne. Der Grundvorgang des Rektifizierens besteht darin, dass der beim Sieden eines Mehrstoffgemisches erzeugte Dampf in einer Kolonne im Gegenstrom zu herabrieselndem Kondensat aufsteigt. Da das Kondensat kälter ist als der Dampf, kondensieren vorzugsweise die Komponenten mit dem höheren Siedepunkt, die schwerer fl¨ uchtigen Komponenten. Sie geben ihre Kondensationsenthalpie an die Fl¨ ussigkeit ab, aus der vorzugsweise Komponenten mit niedrigerem Siedepunkt, die leichter fl¨ uchtigen Komponenten verdampfen. Dadurch reichert sich der Dampf an leichter fl¨ uchtigen, die Fl¨ ussigkeit an schwerer fl¨ uchtigen Komponenten an. Das prinzipielle Schaltbild zeigt Abb. 1.56. Das zu trennende Fl¨ ussigkeitsgemisch mit dem Stoffmengenstrom N˙ F , Feed genannt, wird einem Verdampfer V — der Destillierblase — zugef¨ uhrt, und der durch W¨ armezufuhr Q˙ V erzeugte Dampf strömt in der Rektifiziersäule R nach oben. Nach Verlassen der Rektifiziersäule gelangt der Dampf in einen K¨ uhler K, in dem er durch W¨ armeentzug Q˙ K vollständig kondensiert. Ein Teil des Kondensates wird der Rektifiziersäule am oberen Ende als R¨ ucklauf wieder zugeleitet und l¨ auft im Gegenstrom unter Wärme- und Stoffaustausch mit dem aufsteigenden Dampf zur¨ uck in die Destillierblase. Der Rest des Kondensats, Destillat genannt, wird als Erzeugnis- oder Produktstrom N˙ E entnommen. Zur Aufrechterhaltung einer konstanten Zusammensetzung der Destillierblase muss st¨ andig ein weiterer Stoffmengenstrom ur N˙ S aus ihrem Sumpf abgezogen werden. Die Stoffmengenstrombilanzen f¨ die gesamte Kolonne lauten

Abb. 1.56: Kontinuierliche Rektifikation. Verst¨ arkungss¨ aule R, Kondensator K und Verdampfer V

108


N˙ F = N˙ E + N˙ S ˜F = N˙ E x ˜E + N˙ S x ˜S . N˙ F x Daraus folgt N˙ E x ˜F − x ˜S = . (1.226) ˙ x ˜ − x ˜S NF E Die Molanteile von Feed, Sumpfprodukt und Destillat legen das Verhältnis von Erzeugnis- und Feedmenge fest. F¨ ur einen Kontrollraum, der den oberen Teil der Kolonne bis zu einem beliebigen Querschnitt b umfasst, wie der rechte Teil von Abb. 1.56 zeigt, lautet die Mengenbilanz, wenn y˜ den Molanteil der fl¨ uchtigen Komponente im Dampf und x˜ den in der Fl¨ ussigkeit bezeichnet, N˙ G = N˙ L + N˙ E und ˜ + N˙ E x ˜E . N˙ G y˜ = N˙ L x Beide Gleichungen zusammen ergeben wie zuvor einen linearen Zusammenhang zwischen y˜ und x ˜: y˜ =

N˙ L N˙ E x ˜+ x ˜E . ˙ ˙ ˙ NL + NE NL + N˙ E

(1.227)

1.7.2 Konzentrationsverlauf und Ho ¨he von Stoffaustauschkolonnen Aufgrund der globalen Mengenbilanzen kann man zwar jeder mittleren Zusammensetzung der einen Phase eine solche der anderen Phase zuordnen, man kennt jedoch nicht den lokalen Verlauf der Zusammensetzung. Dazu muss man ahnlich wie beim W¨ arme¨ ubertrager eine Bilanz in einem differentiell kleinen ¨ Abschnitt aufstellen, in unserem Fall eine Mengenbilanz. Durch Integration ergibt sich der Konzentrationsverlauf u ubertragers. Aus ¨ber die Länge des Stoff¨ dem bekannten Konzentrationsverlauf als Funktion der Länge kann man dann die erforderliche Bauh¨ ohe f¨ ur eine vorgegebene Konzentration bestimmen. Wie man dabei grunds¨ atzlich vorgeht, sei wieder am Beispiel des Absorbers und der als F¨ ullkörperkolonne betriebenen Rektifiziersäule gezeigt. F¨ ur eine Bodenkolonne ist eine derartige Rechnung nicht erforderlich, da die beiden Phasen auf jedem Boden gut durchmischt werden. Auf den einzelnen Böden kann man daher in guter N¨ aherung Gleichgewicht voraussetzen. Ein Volumenelement eines Apparates ist dann identisch mit einer Gleichgewichtsstufe, und die H¨ ohe eines Apparates ergibt sich aus der Zahl der f¨ ur eine bestimmte Trennaufgabe erforderlichen Gleichgewichtsstufen. Diese zu berechnen ist eine Aufgabe der Thermodynamik, nicht aber der Stoff¨ ubertragung. Dies erkl¨ art, warum man die in der thermischen Trenntechnik eingesetzten Stoff¨ ubertrager oft auch ohne Kenntnis der Gesetze des Stoff¨ ubergangs dimensionieren kann.


109

Die F¨ ullkörperkolonne sei mit einer Packung gef¨ ullt. Wegen der komplizierten Gestalt der F¨ ullk¨ orper ist es schwierig, die f¨ ur den Stoffaustausch zwischen den beiden Phasen zur Verf¨ ugung stehende Phasengrenzfläche anzugeben. Man bestimmt daher nur das Produkt aus dem Stoff¨ ubergangskoeffizienten und der Phasengrenzfl¨ ache. Die Phasengrenzfläche AI wird auf das Volumen VK der leeren Kolonne bezogen, und man definiert eine volumenbezogene Phasengrenzfl¨ ache a∗ durch a∗ := AI /VK mit dem Volumen VK = AK Z, wenn AK der Querschnitt der leeren Kolonne und Z ihre Höhe ist. Wir betrachten zuerst einen Kontrollraum zwischen zwei Querschnitten eines Absorbers im Abstand dz, Abb. 1.57. Die an der Phasengrenzfläche dAI

Abb. 1.57: Zum Stoff¨ ubergang im Absorber

an die Fl¨ ussigkeit u ¨bergehende Stoffmenge n˙ AI dAI = n˙ AI a∗ AK dz wird vom Gas abgegeben und bewirkt eine Abnahme des Stoffes A in der Gasoht sich die Stoffmenge A in der Fl¨ ussigkeit phase um N˙ G dY˜ . Gleichzeitig erh¨ ˜ Es gilt somit um −N˙ G dY˜ = N˙ L dX. n˙ AI a∗ AK dz = −N˙ G dY˜ .

(1.228)

Die Stoffmengenstromdichte n˙ AI war durch (1.220) gegeben, in der wir unter der Annahme, dass die Beladung klein ist, die Molanteile yÃm = Y˜ und yÃeq = Y˜eq durch Beladungen ersetzen d¨ urfen. Damit folgt aus (1.228) kG (Y˜ − Y˜eq )a∗ AK dz = −N˙ G dY˜ und dz =

dY˜ −N˙ G (kG a∗ )AK Y˜ − Y˜eq

(1.229)

eine Beziehung, die mit der f¨ ur die W¨ arme¨ ubertragung im Gegenstrom, Gl. (1.112), vergleichbar ist. Zur Integration hat man zu beachten, dass sich die Beladung Y˜eq an der Phasengrenze selbst mit der Lauflänge und damit

110


auch mit der mittleren Beladung Y˜ ¨ andert. Aus der Bilanzgeraden (1.225) erhält man ˙ ˜e . ˜ = NG (Y˜ − Y˜e ) + X X N˙ L + ˜ + X mit kH Daraus folgt mit dem Henryschen Gesetz Y˜eq = kH = kH /p

˙ + NG ˜ + ˜ (Y − Y˜e ) + kH Xe . Y˜eq = kH N˙ L

(1.230)

ucken: Damit lässt sich Y˜ − Y˜eq als lineare Funktion der Beladung Y˜ ausdr¨ ˙ N˙ G ˜ + NG + ˜ ˜ ˜ ˜ Y − kH Xe − Y − Yeq = 1 − kH (1.231) Ye = a0 Y˜ − b0 . N˙ L N˙ L Gl. (1.229) lässt sich damit u uhren in ¨berf¨ dz =

dY˜ −N˙ G . ∗ (kG a )AK a0 Y˜ − b0

(1.232)

Durch Integration erh¨ alt man den Verlauf der Beladung Y˜ (z) u ¨ber die Kolonnenhöhe. Aus (1.225), der Gleichung der Bilanzgeraden, erhält man zu jeder ˜ in der Fl¨ Beladung Y˜ im Gas die Beladung X ussigkeit. Aus (1.232) folgt −N˙ G z= (kG a∗ )AK

Y˜ Yã

−N˙ G a0 Y˜ − b0 dY˜ = ln (kG a∗ )AK a0 a0 Yã − b0 a0 Y˜ − b0

oder mit (1.231) z=

N˙ G

+ ˙ (kG a∗ )AK 1 − kH NG /N˙ L

ln

(Y˜ − Y˜eq )a . Y˜ − Y˜eq

(1.233)

Die erforderliche Kolonnenh¨ ohe Z ergibt sich hieraus, wenn man bis zum Kopf der Kolonne, dem Eintrittsquerschnitt e f¨ ur die Fl¨ ussigkeit, fortschreitet Z=

(kG

a∗ )A

(Y˜ − Y˜eq )a N˙ G ln . + ˙ ˙ (Y˜ − Y˜eq )e K (1 − kH NG /NL )

(1.234)

Die Bedeutung der Beladungsunterschiede (Y˜ − Y˜eq )a und (Y˜ − Y˜eq )e geht aus Abb. 1.58 hervor. Um den Konzentrationsverlauf einer F¨ ullkörperkolonne zur Rektifikation eines Gemisches zu ermitteln, gehen wir wieder von der Mengenbilanz (1.228) aus, verwenden jedoch Molanteile statt der Beladung. Der von der Gasphase an die Fl¨ ussigkeit u y , worin ¨bergehende Stoffmengenstrom ist dann −N˙ G d˜


111

N˙ G jetzt der Mengenstrom des Gasgemisches und nicht wie in (1.228) der Mengenstrom des Tr¨ agergases ist. Gl. (1.228) ist somit zu ersetzen durch n˙ AI a∗ AK dz = −N˙ G d˜ y .

(1.235)

Mit der u ¨bertragenen Stoffmengenstromdichte nach (1.220) erhalten wir, indem wir abk¨ urzend yÃm = y˜ und yÃeq = y˜eq setzen, dz =

−N˙ G d˜ y , ∗ (kG a )AK y˜ − y˜eq

(1.236)

was Gl. (1.229) entspricht. Integration ergibt den Konzentrationsverlauf y˜(z) u ¨ber der Höhe z zu y˜ d˜ y −N˙ G . (1.237) z= ∗ (ka )AK y˜ − y˜eq yã

Die erforderliche Kolonnenh¨ ohe Z erh¨ alt man durch Integration bis zur Stelle y˜ = y˜e . Die Auswertung des Integrals ist oft nur numerisch möglich, da der Molanteil y˜eq meistens eine komplizierte Funktion des Molanteils x ˜ der Fl¨ ussigkeit ist und damit u ¨ber die Bilanzgleichung (1.227) noch vom Molanteil y˜ abhängt. Wie man die Molanteile f¨ ur das Gleichgewicht ermittelt, ist in der Thermodynamik Gegenstand der Lehre von den Phasengleichgewichten.

Abb. 1.58: Bilanz- und Gleichgewichtsgerade eines Absorbers

Beispiel 1.10: Am Kopf einer F¨ ullk¨ orperkolonne wird eine Waschfl¨ ussigkeit, bestehend aus einem Gemisch von hochsiedenden Kohlenwasserstoffen, aufgegeben. Die Waschfl¨ ussigkeit l¨ ost aus aufsteigender benzolhaltiger Luft das Benzol.

112


Die molare Benzolbeladung am Fuß der Kolonne (Querschnitt a) betrage 3 %, und es sollen bis zum Kopf der Kolonne (Querschnitt e) 90 % des Benzols aus der Luft entfernt werden. Das Waschmittel wird am Kopf der Kolonne mit einer molaren Beladung von 0,3 % Benzol zugef¨ uhrt. F¨ ur die L¨ oslichkeit von Benzol (Stoff A) in der Waschfl¨ ussigkeit gelte das RaoultxA , wobei pAs (ϑ) der S¨ attigungsdruck des reinen Bensche Gesetz yÃ = (pAs /p)˜ zols ist. Er betr¨ agt bei der herrschenden Temperatur von 30 ℃: pAs = 159,1 mbar. Der Gesamtdruck ist p = 1 bar. Die zugef¨ uhrte benzolfreie Waschmittelmenge ist N˙ L = 5 mol/s, die benzolfreie Luftmenge N˙ G = 7,5 mol/s; der Innendurchmesser der Kolonne ist dK = 0,5 m, die Stoff¨ ubergangskoeffizienten sind (βc)G a∗ = 139,3 mol/m3 s und (βc)L a∗ = 3,139 mol/m3 s. Wie hoch muss die Kolonne sein, um die gew¨ unschte Reinheit der benzolhaltigen Luft zu erreichen? Da die Beladung mit Benzol gering ist, darf man im Raoultschen Gesetz die + ˜ + Molanteile durch Beladungen ersetzen und YÃ = kH XA schreiben mit kH = pAs /p = 0,1591. Nach (1.221) ist

+ kH 1 1 0,1591 m3 s 1 = + = + kG a ∗ (β c)G a∗ (β c)L a∗ 139,3 3,139 mol kG a∗ = 17,28 mol/(m3 s). Die Beladung des abfließenden Waschmittels mit Benzol folgt aus (1.224) zu ˙ ˜ e = 7,5 (0,03 − 0,003) + 0,003 = 4,35 · 10−2 . ˜ a = NG (Yã − Y˜e ) + X X ˙ 5 NL Weiter ist

+ ˜ Xe = 0,1591 · 0,003 = 4,773 · 10−4 Y˜eqe = kH + ˜ Y˜eqa = kH Xa = 0,1591 · 0,0435 = 6,921 · 10−3 .

Die erforderliche Kolonnenh¨ ohe ergibt sich aus (1.234) zu Z=

7,5 3 · 10−2 − 6,921 · 10−3 m = 6,44 m . ln 17,28 · 0,196 (1 − 0,1591 · 1,5) 3 · 10−3 − 4,773 · 10−4

1.8 Aufgaben 1.1: Die Außenwand eines Raumes besteht aus Ziegelmauerwerk mit λ = 0,75 W/K m; sie hat die Dicke δ = 0,36 m und die Oberfl¨ ache A = 15,0 m2 . Ihre Oberfl¨ achentemperaturen sind ϑ1 = 18,0 ℃ und ϑ2 = 2,5 ℃. Man berechne den ˙ Wie ¨ ˙ wenn die Wand aus Gasbeton-Steinen W¨ armeverluststrom Q. andert sich Q, mit λ = 0,29 W/K m besteht und die Dicke δ = 0,25 m hat? 1.2: Die W¨ armeleitf¨ ahigkeit h¨ ange linear von der Temperatur ab: λ = a + b ϑ. Man beweise Gl. (1.12) f¨ ur die mittlere W¨ armeleitf¨ ahigkeit λm . 1.3: Der station¨ are Temperaturverlauf ϑ = ϑ(x) in einer ebenen Wand hat eine zweite Ableitung d2 ϑ/dx2 > 0. Nimmt die W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ = λ(ϑ) des Wandmaterials mit steigender Temperatur zu oder ab?

1.8 Aufgaben

113

1.4: Ein Kupferdraht mit d = 1,4 mm Durchmesser und dem spezifischen elektrischen Widerstand rel = 0,020 · 10−6 Ω m ist mit einer Kunststoffisolierung von δ = 1,0 mm Dicke umgeben, deren W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ = 0,15 W/K m betr¨ agt. Die ¨ außere Oberfl¨ ache der Isolierung wird auf ϑW2 = 20 ℃ gehalten. Wie groß ist die h¨ ochstzul¨ assige Stromst¨ arke, damit die Innentemperatur der Isolierung 30 ℃ nicht u ¨berschreitet? 1.5: Im Inneren einer Hohlkugel mit den Durchmessern d1 = 0,15 m, d2 = 0,25 m und der W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ = 0,68 W/K m wird der W¨ armestrom Q˙ = 17,5 W erzeugt. Die ¨ außere Kugeloberfl¨ ache hat die Temperatur ϑW2 = 28 ℃. Welche Temperatur ϑW1 nimmt die innere Oberfl¨ ache an? 1.6: Ein flacher K¨ orper mit der Dicke h und der W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten die L¨ angel haben. In diesem K¨ orper ist die ebene Temperaturverteilung ϑ(x, y) = ϑ0 +ϑ1 (y/l)2 − (x/l)2 gegeben; 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ y ≤ x. a) Wo treten die h¨ ochste und die niedrigste Temperatur ϑmax bzw. ϑmin auf? Wie h¨ angen sie mit den gegebenen Temperaturen ϑ0 und ϑ1 zusammen? Es gilt 0 < ϑ1 < ϑ0 . b) Man berechne grad ϑ und den Vektor q˙ der W¨ armestromdichte. An welcher ˙ am gr¨ Stelle ist |q| oßten? c) Man berechne die W¨ armestr¨ ome, die durch die drei Begrenzungsfl¨ achen, gekennzeichnet durch y = 0, x = l und y = x, fließen, und zeige, dass in das Dreieck ebensoviel W¨ arme hinein- wie hinausstr¨ omt. 1.7: Ein Kochtopf enth¨ alt Wasser, das bei ϑs = 100,3 ℃ siedet. Der Boden des Topfes (Durchmesser d = 18 cm) wird elektrisch beheizt. Seine Temperatur erreicht ϑW = 108,8 ℃ bei einer Heizleistung von 1,35 kW. Wie groß ist der mit der Temperaturdifferenz (ϑW − ϑs ) gebildete W¨ arme¨ ubergangskoeffizient des siedenden Wassers? 1.8: Das Temperaturprofil ϑ = ϑ(y) in der thermischen Grenzschicht (0 ≤ y ≤ δt ) soll durch eine Parabel ϑ(y) = a + by + cy 2 approximiert werden, deren Scheitel bei y = δt liegt. Wie groß ist der ¨ ortliche W¨ arme¨ ubergangskoeffizient α, wenn δt = 11 mm und λ = 0,0275 W/K m (Luft) gilt? 1.9: F¨ ur den W¨ arme¨ ubergang bei erzwungener turbulenter Str¨ omung eines Fluids in einem Rohr gilt die N¨ aherungsgleichung N u = C Re4/5 P r 1/3 . Die charakteristische L¨ ange in der N u-Zahl und der Re-Zahl ist dabei der Rohrinnendurchmesser d. Man berechne das Verh¨ altnis αW /αL der W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten von Wasser und Luft bei gleicher Str¨ omungsgeschwindigkeit w, gleichem Rohrdurchmesser d und bei der gleichen mittleren Temperatur ϑ = 40 ℃, bei der die Stoffwerte von Wasser nach Tabelle B.2 des Anhangs und von Luft nach Tabelle B.1 einzusetzen sind.

114


1.10: Im Inneren eines sehr langen Hohlzylinders wird durch radioaktiven Zer˙ fall der auf die Zylinderl¨ ange L bezogene W¨ armestrom Q/L = 550 W/m erzeugt. Der Hohlzylinder besteht aus legiertem Stahl (λ = 15 W/K m); er hat den Inarke δ = 10 mm. An seiner ¨ außeren nendurchmesser di = 20 mm und die Wandst¨ Oberfl¨ ache wird W¨ arme nur durch Strahlung in den Weltraum (T = 0 K) abgegeben. Der Emissionsgrad der Zylinderoberfl¨ ache ist ε = 0,17. Man berechne die außeren Oberfl¨ ache. Wie groß ist Celsiustemperaturen ϑi der inneren und ϑa der ¨ der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient αStr der Strahlung? 1.11: Eine Hauswand besteht aus drei Schichten mit den folgenden Eigenschaften (von innen nach außen): Innenputz δ1 = 1,5 cm, λ1 = 0,87 W/K m; Mauerwerk aus Lochziegeln δ2 = 17,5 cm, λ2 = 0,68 W/K m; Außenputz δ3 = 2,0 cm, λ3 = 0,87 W/K m. Die W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten sind α1 = 7,7 W/m2 K auf der Innenseite und α2 = 25 W/m2 K außen. Man berechne die W¨ armestromdichte q, ˙ die durch die Hauswand vom Innenraum mit ϑ1 = 22,0 ℃ zur Außenluft mit der Temperatur ϑ2 = −12,0 ℃ hindurchgeht. Wie groß sind die Temperaturen ϑW1 und ϑW2 der beiden Wandoberfl¨ achen? 1.12: Um den W¨ armeverlust durch die Hauswand von Aufgabe 1.11 zu verringern, werden anstelle der Außenputzschicht eine Isoliermatte mit δ3 = 6,5 cm und λ3 = 0,040 W/K m sowie ein Verblendmauerwerk mit δ4 = 11,5 cm und λ4 = 0,79 W/K m angebracht. Man berechne die W¨ armestromdichte q˙ und die Temperatur ϑW1 der inneren Wandoberfl¨ ache. 1.13: In einer Rohrleitung mit dem Innendurchmesser d1 = 0,25 m und dem Außendurchmesser d2 = 0,27 m aus legiertem Stahl (λ1 = 16 W/K m) str¨ omt Wasarme¨ ubergangskoeffizient ist αi = 425 W/m2 K. serdampf mit ϑi = 600 ℃. Der W¨ Die Rohrleitung wird mit einer Schicht Steinwolle von δ2 = 0,05 m Dicke isoliert, an deren Außenfl¨ ache Mineralfaser-Formschalen von δ3 = 0,02 m Dicke angebracht sind. Der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient zwischen den Formschalen und der agt αa = 30 W/m2 K. Die W¨ armeLuft mit der Temperatur ϑa = 25 ℃ betr¨ leitf¨ ahigkeit der Steinwolle h¨ angt von der Temperatur ab: 2

ϑ ϑ λ2 (ϑ) = 0,040 − 0,0005 + 0,0025 . W/K m 100 ℃ 100 ℃ F¨ ur die mittlere W¨ armeleitf¨ ahigkeit der Mineralfaser-Formschalen ist λm3 = 0,055 W/K m zu setzen. Man berechne den auf die Rohrl¨ ange L bezoge˙ nen W¨ armeverluststrom Q/L und pr¨ ufe, ob die Temperatur der MineralfaserFormschalen unter dem h¨ ochstzul¨ assigen Wert ϑzul = 250 ℃ liegt. 1.14: Eine zylinderf¨ ormige Getr¨ ankedose (d = 64 mm, h = 103 mm) wird mit der Temperatur ϑF0 = 6 ℃ einem K¨ uhlschrank entnommen und in einen Raum mit der Lufttemperatur ϑU = 24 ℃ gestellt. Man berechne die Temperatur ϑF , welche die Dose nach 2 h annimmt, sowie die Zeit t∗ , nach deren Ablauf ϑF = 20 ℃ erreicht wird. F¨ ur den W¨ armedurchgang zwischen Luft und Doseninhalt arme¨ ubergangswiderstand ist nur der durch αa = 7,5 W/m2 K gekennzeichnete W¨ an der Außenseite der Dose von Bedeutung. Die Stoffwerte des Getr¨ anks sind F = 1,0 · 103 kg/m3 und cF = 4,1 · 103 J/kgK. 1.15: F¨ ur einen Gegenstrom-W¨ arme¨ ubertrager leite man die Gleichungen f¨ ur den Verlauf der Fluidtemperaturen ϑ1 = ϑ1 (z) und ϑ2 = ϑ2 (z) her, vgl. Abschnitt 1.3.3.

1.8 Aufgaben

115

1.16: In einer W¨ armepumpen-Anlage dient Außenluft als W¨ armequelle, die sich von ϑ2 = 10,0 ℃ auf ϑ2 = 5,0 ℃ abk¨ uhlt und dabei W¨ arme an ein Fluid abgibt, ˙1 = armt. Sein Massenstrom ist M das sich von ϑ1 = −5,0 ℃ auf ϑ1 = 3,0 ℃ erw¨ 0,125 kg/s, seine mittlere spezifische W¨ armekapazit¨ at cp1 = 3,56 kJ/kgK. F¨ ur diese W¨ arme¨ ubertragung werden drei Stromf¨ uhrungen verglichen: Gegenstrom, Kreuzstrom mit einer Rohrreihe und Kreuzgegenstrom mit zwei Rohrreihen und zwei Durchg¨ angen (gegensinnig), vgl. Abb. 1.59. F¨ ur die Betriebscharakteristik

Abb. 1.59: Kreuzgegenstrom-W¨ arme¨ ubertrager mit zwei Rohrreihen und zwei Durchg¨ angen dieser Stromf¨ uhrung gilt, vgl. [1.16]

f f 1 = + 1− exp(2f /C1 ) 1 − ε1 2 2

mit

f = 1 − exp(−C1 N1 /2) .

¨ Man bestimme die erforderlichen Ubertragungsf¨ ahigkeiten kA der W¨ arme¨ ubertrager mit den drei Stromf¨ uhrungen. 1.17: Aus einem zylinderf¨ ormigem Stab der L¨ ange L und vom Radius r0 wird eine Komponente A herausgel¨ ost. Diese diffundiert in einen ruhenden Fl¨ ussigkeitsfilm der Dicke δ, der den Stab umgibt. Man zeige, dass der Diffusionsstrom gegeben ist durch cA0 − cAδ 2πL , N˙ A = D ln(r0 + δ)/r0 wenn man D = const und geringe Konzentration der im Fl¨ ussigkeitsfilm gel¨ osten Komponente annimmt. 1.18: In einem Zylinder befindet sich Ethanol (Komponente A, Molmasse ˜ A = 46,07 kg/kmol). Der Fl¨ ussigkeitsspiegel befinde sich gem¨ aß Abb. 1.42 um M ¨ y2 − y1 = δ1 = 1 cm unterhalb des oberen Zylinderrandes. Uber den Zylinder str¨ omt trockene Luft (Komponente B) vom Druck p = 1 bar und der Temperatur T = 298 K. a) Man berechne die Mengenstromdichte n˙ A zu Beginn des Diffusionsvorgangs. b) Nach welcher Zeit hat sich der Fl¨ ussigkeitsspiegel um δ2 = 1 cm abgesenkt? Da die Diffusion sehr langsam abl¨ auft, kann man zur L¨ osung dieser Teilaufgabe in guter N¨ aherung voraussetzen, dass sich zum jeweiligen zeitlich ver¨ anderlichen Fl¨ ussigkeitsspiegel der Diffusionsstrom einstellt, der sich aus der station¨ aren L¨ osung ergibt. Der Diffusionskoeffizient Ethanol-Luft ist D = 1,19 · 10−5 m2 /s, attigungsdruck bei die Dichte des fl¨ ussigen Ethanols L = 786 kg/m3 und der S¨ T = 298 K ist pAs = 0,079 bar.

116


1.19: Durch eine Rohrleitung str¨ omen V˙ = 10 m3 /h Ammoniak von 25 ℃. Um den Druck auf 1 bar zu halten, ist an die Rohrleitung ein R¨ ohrchen von 3 mm Innendurchmesser angeschweißt, durch das eine Verbindung zur Umgebungsluft hergestellt wird, Abb. 1.60. Dieses R¨ ohrchen ist spiralf¨ ormig gewickelt und 20 m

Abb. 1.60: Konstanthalten des Drucks in einer Rohrleitung lang, damit die Verluste an Ammoniak durch Diffusion gering sind. Wie groß sind die Ammoniakverluste in m3 /h und wie groß ist der Molanteil der Luft in der Rohrleitung? Die Dichte des Ammoniaks ist 0,694 kg/m3 , der Diffusionskoeffizient von Ammoniak in Luft bei 25 ℃ ist D = 0,28 · 10−4 m2 /s. 1.20: Feuchtes Holz von 20 ℃ wird durch u omende trockene Luft von ¨berstr¨ 0,1 MPa und der gleichen Temperatur getrocknet. Der Stoff¨ ubergangskoeffizient an der u omten Holzoberfl¨ ache ist β = 2 · 10−3 m/s, und der Molanteil des ¨berstr¨ Wasserdampfes an der Holzoberfl¨ ache ist x Ã0 = 0, 024. Wie groß ist die von der Luft aufgenommene Massenstromdichte des Wassers m ˙ A in kg/m2 s? 1.21: Trockene Luft von 15 ℃ streicht u ache. Man berechne die ¨ber eine Wasserfl¨ K¨ uhlgrenztemperatur. Als Stoffwerte verwende man die des Beispiels 1.8. 1.22: Ein heißes trockenes Brenngas von 600 ℃ und 1 bar str¨ omt u ¨ber die Wand einer Brennkammer. Damit die Wandtemperatur nicht zu sehr ansteigt, bl¨ ast man Wasser durch die por¨ ose Wand der Brennkammer, Abb. 1.61, das verdunstet, so dass die Wandtemperatur sinkt. Wie weit kann man die Wandtemperatur

Abb. 1.61: K¨ uhlen einer heißen, por¨ osen Wand durch Einblasen von Wasser absenken und welche Wassermenge m ˙ A in kg/m2 s muss man dazu zuf¨ uhren? ˜ ˜ B = 28,953 kg/kmol, M ˜ A = 18,015 kg/kmol Gegeben sei: MA cβm cpA /αm = 1,3, M arme¨ ubergangskoeffizient und Δhv = 2346 kJ/kg, cpA = 1,907 kJ/kgK. Der W¨ zwischen Brenngas und Wasseroberfl¨ ache sei αm = 120 W/m2 K. 1.23: Einer Kolonne zur Absorption von Benzol aus Luft werden N˙ G = 250 kmol/h Luft mit einer Molbeladung von Yã = 0,05 zugef¨ uhrt. Das benzolfreie Waschmittel, N˙ L = 55 kmol/h soll 95 % des Benzols aufnehmen. Welches sind Stoffmengenbeladungen des Waschmittels und der Luft am Austritt aus dem Absorber?

2 W¨ armeleitung und Diffusion

In diesem Kapitel behandeln wir die station¨ are und instationäre Wärmeleitung in ruhenden Medien, die vor allem in festen Körpern auftritt. Wir leiten zunächst die grundlegende Differentialgleichung f¨ ur das Temperaturfeld her, indem wir den Energieerhaltungssatz mit dem Gesetz von Fourier verkn¨ upfen. Die dann folgenden Abschnitte behandeln die stationären und instationären Temperaturfelder mit zahlreichen praktischen Anwendungen sowie die numerischen Methoden zur L¨ osung von W¨ armeleitproblemen, deren Anwendung durch elektronische Rechner erleichtert wird und sich zunehmend verbreitet. Im Anschluss an die W¨ armeleitung behandeln wir die Diffusion. Aufgrund der Analogien, die zwischen den beiden molekularen Transportvorgängen bestehen, können viele Ergebnisse, die auf dem Gebiet der Wärmeleitung gewonnen wurden, auf die Diffusion u ¨bertragen werden. Insbesondere stimmen die mathematischen Methoden zur Berechnung von Konzentrationsfeldern mit den Lösungsmethoden von W¨ armeleitproblemen weitgehend u ¨berein.

2.1 Die W¨ armeleitungsgleichung Grundlage der L¨ osung komplizierter W¨ armeleitprobleme, die u ¨ber den einfachen Fall der station¨ aren und geometrisch eindimensionalen Wärmeleitung, Abschnitt 1.1.2, hinausgehen, ist die Differentialgleichung f¨ ur das Temperaturfeld in einem ruhenden Medium. Sie wird Wärmeleitungsgleichung genannt. Wir behandeln im Folgenden Abschnitt zunächst ihre Herleitung unter Ber¨ ucksichtigung temperaturabh¨ angiger Stoffwerte und von Wärmequellen. Die Annahme konstanter Stoffwerte f¨ uhrt zu linearen partiellen Differentialgleichungen, die in ihren verschiedenen Formen f¨ ur unterschiedliche Geometrien vorgestellt werden. Nach einer ausf¨ uhrlichen Diskussion der Randbedingungen, die bei der L¨ osung der W¨ armeleitungsgleichung gestellt und erf¨ ullt werden m¨ ussen, gehen wir auf die L¨ osungsm¨ oglichkeiten bei temperaturab¨ hängigen Stoffwerten ein. Der letzte Abschnitt ist der Ahnlichkeitstheorie ge-

H.D. Baehr, K. Stephan, W¨ armeund Stoff¨ ubertragung, 7th ed., DOI 10.1007/978-3-642-10194-6 2, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

118


widmet; hier werden die Kennzahlen hergeleitet, die f¨ ur Wärmeleitvorgänge maßgebend sind.

2.1.1 Die Herleitung der Differentialgleichung fu ¨ r das Temperaturfeld Ein Wärmeleitproblem zu l¨ osen bedeutet, das Temperaturfeld ϑ = ϑ(x, t) in seiner räumlichen und zeitlichen Abh¨ angigkeit zu bestimmen. Ist es bekannt, so kann man das zugeh¨ orige Feld der Wärmestromdichte q˙ aufgrund des Gesetzes von Fourier, ˙ q(x, t) = −λ grad ϑ(x, t)

(2.1)

berechnen und die durch Leitung transportierten Wärmeströme an beliebigen Stellen des Körpers bestimmen. Man erhält das gesuchte Temperaturfeld durch Lösen einer partiellen Differentialgleichung, der sogenannten W¨ armeleitungsgleichung, die wir im Folgenden herleiten. Dazu wenden wir den ersten Hauptsatz der Thermodynamik auf ein geschlossenes System an, n¨ amlich auf einen zusammenhängenden Bereich beliebiger Gr¨ oße, den wir uns aus dem wärmeleitenden Körper herausgeschnitten denken, Abb. 2.1. Das Volumen des Bereichs sei V , und seine Oberfläche werde mit A bezeichnet. Der erste Hauptsatz liefert f¨ ur den Bereich die Leistungsbilanz dU ˙ = Q(t) + P (t) . (2.2) dt ¨ Sie f¨ uhrt die zeitliche Anderung seiner inneren Energie U auf zwei Ursachen zur¨ uck: auf den W¨ armestrom Q˙ und die (mechanische oder elektrische) Leistung P , welche die Oberfl¨ ache des Bereichs u ¨berqueren.

Abb. 2.1: Bereich mit dem Volumen V im w¨ armeleitenden K¨ orper. Oberfl¨ achenelement dA des Bereichs mit außerer Normale n ¨

Da die Wärmeleitung in einem Festk¨ orper betrachtet wird, vernachlässigt man die geringen Dichte¨ anderungen aufgrund von Temperatur- und Druckänderungen. Man verwendet das Stoffmodell des inkompressiblen Körpers mit = const. Unter dieser Annahme kann

2.1 Die W¨ armeleitungsgleichung

dU d = dt dt

u dV =

(V )

du dV dt

119

(2.3)

(V )

gesetzt werden, wobei sich das Integral u ¨ber das Volumen des Bereichs erstreckt. Die hiermit eingef¨ uhrte spezifische innere Energie u des inkompressiblen Körpers h¨ angt von seiner Temperatur ab. Mit c(ϑ) als spezifischer Wärmekapazität gilt du = c (ϑ) dϑ . ¨ Damit erhalten wir aus (2.3) f¨ ur die zeitliche Anderung der inneren Energie des betrachteten Bereichs dU = dt

c(ϑ)

∂ϑ dV . ∂t

(2.4)

(V )

Um den Wärmestrom Q˙ zu berechnen, der u ¨ber die Oberfläche des Bereichs fließt, betrachten wir zun¨ achst ein Element dA der Oberfläche, dessen Normale n nach außen gerichtet ist, Abb. 2.1. Der durch dA in den Bereich hineinfließende W¨ armestrom ist ˙ dA . dQ˙ = −qn

(2.5)

Das Minuszeichen wurde gesetzt, weil ein W¨ armestrom in (2.2) dann positiv gerechnet wird, wenn er in den Bereich hineinströmt. Der Vektor q˙ der Wärmestromdichte weist dann in das Innere des Bereichs, der Normalenvektor n aber nach außen, so dass ihr Skalarprodukt negativ wird. Durch Integration aller Wärmeströme dQ˙ nach (2.5) erh¨ alt man den Wärmestrom Q˙ zu

Q˙ = − (A)

˙ dA = − qn

div q˙ dV .

(2.6)

(V )

Dabei wurde das u ache des Bereichs zu erstreckende Integral ¨ber die Oberfl¨ nach dem Gaußschen Integralsatz in das Volumenintegral der Divergenz von q˙ umgewandelt. Die dem Bereich zugef¨ uhrte Leistung P besteht aus zwei Teilen, aus der anderung bewirkt, und aus der im Inneren Leistung PV , die eine Volumen¨ des Bereichs dissipierten Leistung Pdiss . Bei einem inkompressiblen Körper ist ort die elektrisch zugef¨ uhrte Leistung, die im Inneren PV ≡ 0. Zu Pdiss geh¨ eines Wärme und Elektrizit¨ at leitenden K¨ orpers als Folge seines elektrischen Widerstandes dissipiert wird. Dies ist die sogenannte Joulesche Wärme. Auch energiereiche Strahlung, z.B. γ-Strahlung, die von außen in einen Festkörper

120


eindringt, wird dort absorbiert; ihre Energie wird dabei dissipiert und trägt zur Erhöhung der inneren Energie bei. F¨ ur die Leistung dieser im Inneren des Bereichs auftretenden dissipativen und somit irreversiblen Energieumwandlungen setzen wir ˙ (ϑ, x, t) dV , W

P = Pdiss =

(2.7)

(V )

˙ die auf das Volumen bezogene Leistung, die sogenannte Leistungswobei W dichte bedeutet. Bei einem stromdurchflossenen Körper mit dem spezifischen alt man als Leistungsdichte elektrischen Widerstand re = re (ϑ) erh¨ ˙ (ϑ, x, t) = re (ϑ) i2e , W wobei ie die elektrische Stromdichte bedeutet. Ihre SI-Einheit ist A/m2 , so ˙ die dass sich mit Ω m als SI-Einheit des spez. elektrischen Widerstands f¨ ur W Einheit ΩmA2 /m4 =VA/m3 =W/m3 ergibt. Die im Inneren eines Festk¨ orpers ablaufenden dissipativen und irreversiblen Energieumwandlungen setzen thermische Energie frei; sie wirken wie innere W¨ armequellen. Wie der von außen zugef¨ uhrte Wärmestrom Q˙ nach (2.6) tragen sie zur Erh¨ ohung der inneren Energie bei. Die gleiche Wirkung haben auch chemische oder nukleare Reaktionen, die im Inneren eines Festkörpers ablaufen. Diese Reaktionen sind von einer W¨ armetönung“ begleitet, nämlich ” von der irreversiblen Umwandlung chemischer oder nuklearer Bindungsenergie in thermische (innere) Energie. Mit Ausnahme der recht seltenen endothermen chemischen Reaktionen wirken sie wie W¨ armequellen im Festkörper. Obwohl sich durch eine Reaktion die chemische Zusammensetzung des Körpers ändert, vernachlässigt man diesen Effekt bei der Berechnung seiner Stoffeigenschaften und erfasst die Wirkung der Reaktion nur als eine innere Wärmequelle, die al˙ liefert. Wir werden daher chemische lein einen Beitrag zur Leistungsdichte W oder nukleare Reaktionen in einem Festk¨ orper nur in (2.7) ber¨ ucksichtigen, ¨ die durch sie bewirkten Anderungen in der Zusammensetzung vernachlässigen und daher annehmen, dass die Stoffwerte λ und c nur von der Temperatur ϑ und nicht von der chemischen Zusammensetzung des Festkörpers abhängen. Wir setzen nun die Ergebnisse f¨ ur dU /dt nach (2.4), f¨ ur Q˙ nach (2.6) und f¨ ur P nach (2.7) in die Leistungsbilanzgleichung (2.2) des ersten Hauptsatzes ein, fassen alle Volumenintegrale zusammen und erhalten ∂ϑ ˙ (ϑ, x, t) dV = 0 . c (ϑ) + div q˙ − W ∂t (V )

Dieses Volumenintegral verschwindet nur dann f¨ ur beliebig gewählte Bilanzbereiche, wenn der Integrand selbst gleich null ist. Damit wird


c(ϑ)

121

∂ϑ ˙ (ϑ, x, t) . = − div q˙ + W ∂t

Im letzten Schritt unserer Herleitung ziehen wir das Gesetz von Fourier heran und verkn¨ upfen die W¨ armestromdichte q˙ nach (2.1) mit dem Temperaturgradienten. Damit erhalten wir c (ϑ)

∂ϑ ˙ (ϑ, x, t) = div [λ(ϑ) grad ϑ] + W ∂t

(2.8)

als die gesuchte Differentialgleichung f¨ ur das Temperaturfeld in einem ruhenden, isotropen und inkompressiblen Material mit temperaturabhängigen Stoffwerten c(ϑ) und λ(ϑ). Dabei wurden W¨ armequellen im Inneren des wärme˙ ber¨ leitenden Körpers durch ihre Leistungsdichte W ucksichtigt. Bei der Anwendung der W¨ armeleitungsgleichung in ihrer allgemeinen Form (2.8) macht man eine Reihe vereinfachender Annahmen, wodurch man spezielle, auf bestimmte Problembereiche zugeschnittene Differentialgleichungen erhält. Eine wesentliche Vereinfachung erh¨ alt man vor allem durch die Annahme konstanter Stoffwerte λ und c. Auf die dadurch entstehende lineare partielle Differentialgleichung gehen wir im nächsten Abschnitt ein. Weitere einfachere Fälle sind ˙ ≡ 0, – das Fehlen von W¨ armequellen: W – stationäre Temperaturfelder: ∂ ϑ/∂t ≡ 0, – geometrisch eindimensionaler W¨ armefluss, z.B. nur in x-Richtung des kartesischen Koordinatensystems oder nur in radialer Richtung bei Zylinderund Kugelgeometrien.

2.1.2 Die W¨ armeleitungsgleichung fu orper mit ¨ r einen K¨ konstanten Stoffwerten Bei der Herleitung der W¨ armeleitungsgleichung (2.8) haben wir einen dichtebeständigen Körper, also = const vorausgesetzt. Wir vernachlässigen nun auch die Temperaturabh¨ angigkeit der W¨ armeleitfähigkeit λ und der spezifischen Wärmekapazit¨ at c. Diese Annahmen muss man in der Regel machen, wenn man eine L¨ osung der W¨ armeleitungsgleichung in mathematisch geschlossener Form erhalten m¨ ochte, die dann meist als exakte“ Lösung bezeichnet ” wird. Auf Lösungsm¨ oglichkeiten bei temperaturabhängigen Stoffwerten gehen wir in 2.1.4 ein. Bei konstanter W¨ armeleitf¨ ahigkeit wird der in (2.8) auftretende Differentialoperator div [λ(ϑ) grad ϑ] zum Laplace-Operator λ div grad ϑ = λ∇2 ϑ , und die Wärmeleitungsgleichung nimmt die Form ˙ ∂ϑ W = a∇2 ϑ + ∂t c

(2.9)

122


an. Die hier auftretende Konstante ist die Temperaturleitfähigkeit a := λ/c

(2.10)

des Materials mit der SI-Einheit m2 /s. F¨ ur die beiden wichtigsten Koordinatensysteme, kartesische Koordinaten x, y, z und Zylinderkoordinaten r, ϕ, z hat die Wärmeleitungsgleichung die Gestalt

2 ˙ W ∂ ϑ ∂2ϑ ∂2ϑ ∂ϑ + =a (2.11) + + ∂t ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 c bzw. ∂ϑ =a ∂t

1 ∂2ϑ ∂2ϑ ∂2ϑ 1 ∂ ϑ + 2 + + 2 2 ∂r r ∂r r ∂ϕ2 ∂z

+

˙ W . c

(2.12)

Bei Kugelkoordinaten beschr¨ anken wir uns auf den Wärmefluss in radialer Richtung. Hierf¨ ur folgt aus (2.9)

2 ˙ W ∂ ϑ 2 ∂ϑ ∂ϑ + =a . (2.13) + ∂t ∂r2 r ∂r c Das einfachste Problem der instation¨ aren Wärmeleitung besteht in der Berechnung eines Temperaturfeldes ϑ = ϑ(x, t), das von der Zeit und nur noch von der x-Koordinate abh¨ angt; außerdem sollen keine Wärmequellen ˙ ≡ 0). Man spricht dann von linearem Wärmefluss, und es gilt auftreten (W die partielle Differentialgleichung ∂ϑ ∂2ϑ =a 2 . ∂t ∂x

(2.14)

Diese Gleichung l¨ asst eine anschauliche Deutung der Temperaturleitfähigkeit a und der Wärmeleitungsgleichung selbst zu. Nach (2.14) ist die zeitliche Temperaturänderung ∂ ϑ/∂t an jeder Stelle des wärmeleitenden Körpers der Temperaturleitfähigkeit proportional. Diese Materialeigenschaft gibt also an, wie schnell sich Temperaturen ¨ andern. Wie Tabelle 2.1 zeigt, haben Metalle nicht nur hohe W¨ armeleitf¨ ahigkeiten, sondern auch hohe Temperaturleitfähigkeiten; sie geben Temperatur¨ anderungen schnell weiter. Die Differentialgleichung (2.14) verkn¨ upft die zeitliche Temperaturänderung an einer Stelle mit der Kr¨ ummung des Temperaturverlaufs in der Umgebung dieser Stelle. Dabei kann man die drei F¨ alle von Abb. 2.2 unterscheiden. Ist ∂ 2 ϑ/∂x2 > 0, so steigt die Temperatur (Erwärmung); denn von rechts“ ” fließt mehr Wärme zu als nach links“ abstr¨ omt. Es muss also Energie ge” speichert werden, weswegen die Temperatur mit der Zeit steigt. Bei entgegengesetztem Vorzeichen der Kr¨ ummung, n¨ amlich f¨ ur ∂ 2 ϑ/∂x2 < 0 sinkt die 2 2 Temperatur mit der Zeit, w¨ ahrend f¨ ur ∂ ϑ/∂x = 0 die Temperatur konstant bleibt (stationärer Grenzfall). ˙ linear von der Hängt die auf das Volumen bezogene W¨ armeleistung W Temperatur ab oder ist sie von ϑ unabh¨ angig, so ist die Wärmeleitungsgleichung (2.9) eine lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung vom


123

Tabelle 2.1: Materialeigenschaften einiger Festk¨ orper bei 20 ℃

Stoff

λ W/K m

Silber Kupfer Aluminium Messing (MS 60) Cr-Ni-Stahl

427 399 237 113 14,7

Granit Kiesbeton Korkplatten Fett

2,9 1,28 0,041 0,17

c kJ/kg K

kg/m3

106 a m2 /s

0,235 0,382 0,888 0,376 0,502

10500 8930 2700 8400 7800

173 117 98,8 35,8 3,75

0,890 0,879 1,880 1,930

2750 2200 190 910

1,2 0,662 0,11 0,097

parabolischen Typ. Die mathematische Theorie dieser Klasse von Differentialgleichungen wurde im 19. und 20. Jahrhundert eingehend und umfassend erforscht. Daher stehen erprobte L¨ osungsmethoden zur Verf¨ ugung, auf die wir in 2.3.1 eingehen, und eine große Zahl geschlossener Lösungen ist bekannt. Man findet sie z.B. in dem mathematisch orientierten Standardwerk von H.S. Carslaw und J.C. Jaeger [2.1].

¨ Abb. 2.2: Bedeutung der Kr¨ ummung f¨ ur die zeitliche Anderung der Temperatur nach (2.14)

Station¨ are Temperaturfelder h¨ angen von der Zeit nicht ab. Sie stellen sich als Endzustand eines instation¨ aren Anheiz- oder Abk¨ uhlvorganges ein. Es gilt nun ∂ ϑ/∂t = 0, und man erh¨ alt ˙ /λ) = 0 ∇2 ϑ + (W

(2.15)

als Differentialgleichung f¨ ur das station¨ are Temperaturfeld mit Wärmequellen. Die Wärmeleitfähigkeit λ ist die einzige Materialeigenschaft, die das Temperaturfeld beeinflusst. Gl. (2.15) ist als Poissonsche Differentialgleichung bekannt; ˙ ≡ 0) in die Potentialgleisie geht f¨ ur alle quellenfreien Temperaturfelder (W chung oder Laplacesche Differentialgleichung

124


∇2 ϑ = 0

(2.16)

u ur die verschiedenen Koordinatensyste¨ber. Der Laplace-Operator ∇2 hat f¨ me die in den Gleichungen (2.11), (2.12) und (2.13) angegebene Gestalt. Die Differentialgleichungen (2.15) und (2.16) f¨ ur stationäre Temperaturfelder sind, ˙ von ϑ nicht oder nur linear abh¨ sofern W angt, linear und vom elliptischen Typ. Dies f¨ uhrt zu anderen L¨ osungsmethoden als bei den Differentialgleichungen f¨ ur die instationäre W¨ armeleitung, die vom parabolischen Typ sind.

2.1.3 Die Randbedingungen Die Wärmeleitungsgleichung bestimmt die Temperaturen nur im Inneren eines Körpers. Damit ist das Temperaturfeld jedoch nicht vollständig festgelegt; denn es m¨ ussen noch mehrere Grenzbedingungen gestellt und von der Lösung der Differentialgleichung erf¨ ullt werden. Diese Grenzbedingungen enthalten eine zeitliche Anfangsbedingung und ¨ ortliche Randbedingungen, die an den Rändern (Oberfl¨ achen) des K¨ orpers vorgeschrieben sind. Erst durch die Differentialgleichung und durch die Randbedingungen ist das Temperaturfeld vollständig bestimmt. Die Anfangsbedingung schreibt zu einem bestimmten Zeitpunkt an jeder Stelle des K¨ orpers eine Temperatur vor. In der Regel beginnt man die Zeitzählung mit diesem Zeitpunkt und hat daher die Bedingung ϑ(x, y, z, t = 0) = ϑ0 (x, y, z)

(2.17)

zu erf¨ ullen. Die durch die Problemstellung gegebene Anfangstemperaturverteilung ϑ0 (x, y, z), etwa die u ¨berall gleiche Anfangstemperatur in einem sich abk¨ uhlendem Körper, ver¨ andert sich im Laufe des nichtstationären Wärmeleitvorganges. Die örtlichen Randbedingungen lassen sich in drei Gruppen einteilen. Es kann an den Körperoberfl¨ achen 1. die Temperatur als Funktion der Zeit und des Ortes auf der Oberfläche vorgeschrieben sein, sogenannte Randbedingung 1. Art, 2. die Wärmestromdichte normal zur Oberfl¨ ache als Funktion der Zeit und des Ortes vorgeschrieben sein, sogenannte Randbedingung 2. Art, oder 3. Ber¨ uhrung mit einem anderen Medium vorliegen. Gegebene Oberfl¨ achentemperaturen sind mathematisch am einfachsten zu ber¨ ucksichtigen, besonders dann, wenn die Oberflächentemperaturen konstant sind. Bei vorgeschriebener W¨ armestromdichte q˙ muss an jeder Stelle der Oberfl¨ ache die Bedingung ∂ϑ (2.18) q˙ = −λ ∂n erf¨ ullt sein, wobei die Ableitung in Richtung der äußeren Flächennormale zu bilden und λ bei der Oberfl¨ achentemperatur einzusetzen ist. Besonders häufig treten adiabate Oberfl¨ achen auf; hier gilt wegen q˙ = 0


∂ ϑ/∂n = 0 .

125

(2.19)

Diese einfache Bedingung muss auch auf den Symmetrieflächen im Inneren des Körpers erf¨ ullt sein. Es ist deshalb bei der Formulierung eines Wärmeleitproblems häufig vorteilhaft, nur den Teil eines Körpers zu betrachten, der durch eine oder mehrere adiabate Symmetrieflächen begrenzt ist. Ber¨ uhrt der betrachtete w¨ armeleitende K¨ orper ein anderes Medium, so sind mehrere unterschiedliche Randbedingungen möglich je nachdem, ob das angrenzende Medium ein anderer fester K¨ orper oder ein Fluid ist und ob diese Medien besondere Materialeigenschaften haben. Grenzt der Körper an einen anderen festen K¨ orper, so ist die W¨ armestromdichte, die an der Grenzfläche vom Körper 1 in den K¨ orper 2 u ur beide Körper gleich. Nach (2.18) ¨bergeht, f¨ gilt daher an der Grenzfl¨ ache, gekennzeichnet durch den Index I (=interface),

(1)

(2) ∂ϑ ∂ϑ = λ(2) (2.20) λ(1) ∂n I ∂n I und außerdem

(1)

ϑI

(2)

= ϑI

.

(2.21)

Abb. 2.3: Temperaturverlauf an der Grenze zweier sich ber¨ uhrender K¨ orper 1 und 2. a kein Kontaktwiderstand, b Kontaktwiderstand nach (2.22)

Der Temperaturverlauf weist also an der Grenzfläche einen Knick auf. Dabei ist der Temperaturgradient in dem K¨ orper größer, der die kleinere Wärmeleitfähigkeit hat, Abb. 2.3 a. Gl. (2.21) gilt allerdings nur, wenn die beiden Körper an der Grenzfl¨ ache fest miteinander verbunden sind. Anderenfalls tritt ein Kontaktwiderstand auf, der einen geringen Temperatursprung zur Folge hat, Abb. 2.3 b. Man kann diesen Widerstand durch einen Kontaktwärme¨ ubergangskoeffizienten αKt beschreiben. Anstelle von Gleichung (2.21) gilt dann

(1) ∂ϑ (1) (2) −λ(1) . (2.22) = αKt ϑI − ϑI ∂n I achst der Temperatursprung an der Grenzfläche proBei konstantem αKt w¨ portional zur Wärmestromdichte.

126


Grenzt der w¨ armeleitende K¨ orper an ein Fluid, so bildet sich im Fluid an der Oberfläche eine Grenzschicht aus. F¨ ur die Wärmestromdichte, die an das Fluid u arme¨ ubergangskoeffizienten ¨bergeht, gilt dann mit α als dem W¨ q˙ = α (ϑW − ϑF ) , vgl. Abb. 2.4 und Abschnitt 1.1.3. Da diese Wärmestromdichte im Körper durch Leitung an die Oberfl¨ ache (Wand) transportiert werden muss, erhält man als Randbedingung

∂ϑ = α (ϑW − ϑF ) . (2.23) −λ ∂n W Hierin bedeutet λ die W¨ armeleitf¨ ahigkeit des Festkörpers (und nicht die des

Abb. 2.4: Temperaturverlauf bei Vorliegen der W¨ arme¨ ubergangsbedingung (2.23). Die Tangente des Temperaturverlaufs im Festk¨ orper an der Oberfl¨ ache trifft den Richtpunkt R auf der H¨ ohe der Fluidtemperatur ϑF im Abstand s = λ/α = L0 /Bi. Die Subtangente des Temperaturverlaufs in der Fluidgrenzschicht ist su¨ = λF /α = L0 /N u.

Fluids!) an der Wand. Gl. (2.23) schreibt einen linearen Zusammenhang zwischen der Temperatur ϑW und der Steigung des Temperaturverlaufs an der Oberfläche vor, sie wird auch als Randbedingung 3. Art bezeichnet. Wie in (2.18) ist ∂ ϑ/∂n die Ableitung in Richtung der äußeren Flächennormale. Die Fluidtemperatur ϑF , die von der Zeit abh¨ angen kann, und der Wärme¨ ubergangskoeffizient α m¨ ussen f¨ ur die L¨ osung des Wärmeleitproblems gegeben sein. Ist α sehr groß, so wird der Temperaturunterschied (ϑW − ϑF ) sehr klein, und man kann die Randbedingung (2.23) durch die einfachere Randbedingung vorgeschriebener Temperatur (ϑW = ϑF ) ersetzen. Die Randbedingung (2.23) ist nur so lange linear — und das ist f¨ ur die mathematische Lösung des Wärmeleitproblems eine wichtige Voraussetzung —, wie α nicht von ϑW bzw. von (ϑW − ϑF ) abh¨ angt. In einer Reihe von Wärme¨ ubergangsproblemen, z.B. bei freier Konvektion, h¨ angt α von (ϑW − ϑF ) ab, so dass die Linearität der Randbedingung zerst¨ ort wird. Gleiches gilt, wenn der Wärme¨ ubergang 4 abhängt, durch Strahlung ber¨ ucksichtigt werden muss, weil dann q˙ von TW vgl. Abschnitt 1.1.5. In diesen F¨ allen ist eine Lösung des Wärmeleitproblems in geschlossener Form meistens nicht m¨ oglich. Man wird dann numerische Methoden anwenden, die wir in 2.4 behandeln. Bei der Abk¨ uhlung oder beim Anheizen von Beh¨ altern, die ein Fluid enthalten, aumlich konstant ansehen, weil sich die kann man die Fluidtemperatur ϑF oft als r¨


127

Temperaturen im Fluid durch Konvektion oder durch R¨ uhren ausgleichen. Die zeit¨ liche Anderung von ϑF = ϑF (t) h¨ angt jedoch davon ab, in welchem Maße W¨ arme von der Beh¨ alterwand (dem w¨ armeleitenden K¨ orper) an das Fluid u ¨bergeht. Sie ¨ bewirkt eine Anderung der inneren Energie des Fluids und eine dem entsprechende ¨ ur die W¨ armestromdichte gilt dann einmal Anderung von ϑF . F¨

∂ϑ q˙ = −λ ∂n W (W¨ armeleitung in der Beh¨ alterwand) und zum anderen q˙ = cF

MF dϑF A dt

armekapazit¨ at des Fluids und mit MF als (Erw¨ armung des Fluids) mit cF als spez. W¨ seiner Masse, die mit der Beh¨ alterwand (Fl¨ ache A) in Ber¨ uhrung steht. Wir haben damit die Randbedingung

MF dϑF ∂ϑ cF =0 . (2.24) +λ A dt ∂n W Sie ist durch eine W¨ arme¨ ubergangsbedingung nach (2.23) oder, falls der W¨ armeu ¨bergangskoeffizient sehr groß ist, durch die einfache Randbedingung ϑW = ϑF zu erg¨ anzen.

2.1.4 Temperaturabh¨ angige Stoffwerte Ist die Temperaturabh¨ angigkeit der Stoffwerte λ = λ(ϑ) und c = c(ϑ) nicht zu vernachlässigen, so muss man von der W¨ armeleitungsgleichung (2.8) ausgehen. Es liegt ein nichtlineares Problem vor, das nur in Ausnahmefällen eine geschlossene mathematische L¨ osung zul¨ asst. Mit div [λ(ϑ) grad ϑ] = λ(ϑ) div grad ϑ +

dλ grad2 ϑ dϑ

erhält man aus (2.8) c(ϑ)

∂ϑ dλ ˙ = λ(ϑ)∇2 ϑ + grad2 ϑ + W ∂t dϑ

(2.25)

als Wärmeleitungsgleichung. Die Nichtlinearit¨ at ist an den beiden ersten Termen der rechten Seite klar zu erkennen. Die Gl. (2.8) und (2.25) nehmen eine einfachere Form an, wenn man eine neue Variable, die transformierte Temperatur 1 Θ = Θ0 + λ0

ϑ λ(ϑ) dϑ ϑ0

(2.26)

128


einf¨ uhrt. Hierin bedeutet λ0 den Wert der W¨ armeleitfähigkeit bei der Bezugsur die temperatur ϑ0 , der die transformierte Temperatur Θ0 zugeordnet ist. F¨ Ableitungen von Θ erh¨ alt man aus (2.26) ∂Θ λ ∂ϑ = ∂t λ0 ∂t

und

grad Θ =

λ grad ϑ . λ0

Damit folgt aus (2.8) c(ϑ) oder

λ0 ∂ Θ ˙ = λ0 ∇2 Θ + W λ(ϑ) ∂t

˙ 1 ∂Θ W = ∇2 Θ + , a(ϑ) ∂t λ0

(2.27)

eine Gleichung, die formal mit der W¨ armeleitungsgleichung (2.9) f¨ ur konstante Stoffwerte u ¨bereinstimmt. Die Temperaturleitfähigkeit a hängt allerdings von ϑ bzw. Θ ab. Erfahrungsgem¨ aß ¨ andert sich a weniger mit der Temperatur als λ, so dass man a(ϑ) in (2.27) n¨ aherungsweise konstant setzen kann. Eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung f¨ ur konstante Stoffwerte lässt sich dann auf den Fall temperaturabh¨ angiger Stoffwerte u ¨bertragen, indem man ϑ durch Θ ersetzt. Dabei besteht jedoch eine wichtige Einschränkung: Nur Randbedingungen mit gegebener Temperatur oder gegebener Wärmestromdichte nach (2.18) d¨ urfen vorgeschrieben sein; denn die W¨ arme¨ ubergangsbedingung (2.23) bleibt bei der Transformation (2.26) nicht erhalten. Die Transformation (2.26) ist besonders bei station¨ aren W¨ armeleitproblemen angebracht, weil der Term mit dem temperaturabh¨ angigen a wegen ∂ Θ/∂t = 0 entfällt. Lösungen der ˙ = 0 der Laplace-Gleichung können dann unPoisson-Gleichung bzw. bei W mittelbar u ¨bernommen werden, sofern nur die Randbedingungen vorgeschriebener Temperatur oder vorgeschriebener W¨ armestromdichte vorliegen, nicht jedoch Wärme¨ ubergangsbedingungen nach (2.23). In den meisten F¨ allen ist bei temperaturabhängigen Stoffwerten eine L¨ osung in geschlossener Form nicht m¨ oglich. Man muss dann auf numerische Lösungsverfahren zur¨ uckgreifen, auf die wir in 2.4 eingehen werden.

¨ 2.1.5 Ahnliche Temperaturfelder In Abschnitt 1.1.4 wurde bereits auf die Vorteile hingewiesen, die durch das Einf¨ uhren dimensionsloser Variablen entstehen. Die sich dabei ergebenden dimensionslosen Kennzahlen erm¨ oglichen eine besonders klare und knappe Darstellung der physikalischen Zusammenh¨ ange, da die Zahl der Einflussgrößen erheblich vermindert wird. Die f¨ ur die Wärmeleitung maßgebenden Kennzahlen lassen sich leicht finden, weil die Differentialgleichungen und ihre Randbedingungen explizit gegeben sind. Um die Kennzahlen der W¨ armeleitung herzuleiten, gehen wir von der Differentialgleichung


129

˙ ∂ϑ ∂2ϑ W =a 2 + ∂t ∂x c ¨ aus, die alle wesentlichen Terme — Zeitabh¨ angigkeit, örtliche Anderung des ˙ von Wärmequellen — enthält. Temperaturfelds sowie die Leistungsdichte W Wir f¨ uhren eine dimensionslose Ortskoordinate und eine dimensionslose Zeit ein: x+ := x/L0 , t+ := t/t0 . ange des wärmeleitenden Körpers und t0 Dabei ist L0 eine charakteristische L¨ eine charakteristische Zeit(spanne), die noch festgelegt wird. Als dimensionslose Temperatur w¨ ahlen wir ϑ+ := (ϑ − ϑ0 ) /Δϑ0 ,

(2.28)

ur das worin ϑ0 eine Bezugstemperatur (Nullpunkt von ϑ+ ) und Δϑ0 eine f¨ Problem charakteristische Temperaturdifferenz bedeuten. Die Wärmeleitungsgleichung nimmt dann die dimensionslose Form ˙ ∂ ϑ+ at0 ∂ 2 ϑ+ t0 W = + ∂t+ L20 ∂x+ 2 Δϑ0 c

(2.29)

an. Hier liegt es nun nahe, als charakteristische Zeit t0 = L20 /a zu wählen. Die dimensionslose Zeit nimmt dann die Form t+ = at/L20

(2.30a)

an. Man bezeichnet t+ h¨ aufig als Fourier-Zahl F o := at/L20 = t+ .

(2.30b)

Die Fourier-Zahl ist jedoch keine Kennzahl im u ur ein ¨blichen Sinne, die f¨ gegebenes Problem einen festen Wert annimmt, sondern eine dimensionslose Zeit-Variable, die nur f¨ ur bestimmte Zeiten feste Werte hat. Wir f¨ uhren nun die charakteristische Leistungsdichte W˙ 0 = Δϑ0 c/t0 = λΔϑ0 /L20

(2.31a)

als Bezugsgröße ein und erhalten mit ˙ +=W ˙ /W˙ 0 = W ˙ L20 /λΔϑ0 W

(2.31b)

als dimensionsloser W¨ armequellenfunktion aus (2.28) ∂ 2 ϑ+ ∂ ϑ+ ˙ + . = +W ∂t+ ∂x+ 2

(2.32)

130


Die Wärmeleitungsgleichung (2.32) enth¨ alt keine von eins verschiedenen Faktoren; sie zwingt also nicht unmittelbar zur Einf¨ uhrung von Kennzahlen, wenn ˙ + nach (2.31b) verwenden. wir die dimensionslose W¨ armequellenfunktion W Erst die in dieser Funktion auftretenden dimensionslosen Parameter, welche ˙ + beschreiben, u die Orts-, Zeit- oder Temperaturabh¨ angigkeit von W ¨bernehmen die Rolle von Kennzahlen. Weitere Kennzahlen sind zu erwarten, wenn man die Randbedingungen dimensionslos macht. Die Anfangsbedingung (2.17) und die Randbedingung vorgeschriebener Temperatur sind homogen in ϑ. Sie f¨ uhren daher nicht unmittelbar zu Kennzahlen. Man wird jedoch diese Grenzbedingungen bei der Wahl von ϑ0 und oglichst g¨ unstige dimensionslose TemperaΔϑ0 in (2.28) beachten, um eine m¨ tur ϑ+ , z.B. im Intervall 0 ≤ ϑ+ ≤ 1, zu erhalten. Ist die Wärmestromdichte q˙W als Randbedingung vorgeschrieben, so folgt aus (2.18) die dimensionslose Beziehung

+ ∂ϑ + (2.33a) q˙W = − ∂x+ W mit + q˙W := q˙W /q˙W0 = q˙W L0 /λΔϑ0 .

(2.33b)

+ q˙W

enth¨ alt einen oder mehrere Parameter, welDie dimensionslose Funktion che die Orts- und Zeitabh¨ angigkeit der aufgeprägten Wärmestromdichte q˙W beschreiben, wenn man vom Sonderfall q˙W = 0 absieht. Diese dimensionslosen ˙ + Parameter gehen ebenso wie die Parameter der Wärmequellenfunktion W nach (2.31b) als Kennzahlen in die L¨ osung des Wärmeleitproblems ein. Macht man schließlich die W¨ arme¨ ubergangsbedingung (2.23) dimensionslos, so erhält man αL0 + ∂ ϑ+ = ϑW − ϑ+ . (2.34) F ∂x+ λ Hier tritt eine Kennzahl auf, die als Biot-Zahl1 Bi := αL0 /λ

(2.35)

bezeichnet wird. Von ihr h¨ angt das Temperaturfeld ab, wenn Wärme¨ ubergang an ein Fluid stattfindet. Die Biot-Zahl ist formal in der gleichen Weise aus physikalischen Einflussgr¨ oßen zusammengesetzt wie die Nußelt-Zahl nach (1.36). Es besteht jedoch ein wesentlicher Unterschied: In der Biot-Zahl bedeutet λ die Wärmeleitf¨ ahigkeit des festen K¨ orpers, während λ in der Nußelt-Zahl die Wärmeleitfähigkeit des Fluids ist. Die Nußelt-Zahl dient zur dimensionslosen Darstellung und Berechnung des W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten α; die Biot-Zahl beschreibt eine Randbedingung des Wärmeleitvorgangs in einem 1

Jean Baptiste Biot (1774–1862) wurde 1800 Professor f¨ ur Physik am Collège de France in Paris. Er untersuchte seit 1804 die Abk¨ uhlung erhitzter St¨ abe in Luft und ver¨ offentlichte 1816 die Differentialgleichung f¨ ur den Temperaturverlauf, ohne jedoch eine klare Herleitung zu geben. 1820 entdeckte er mit F. Savart das BiotSavartsche Gesetz f¨ ur die magnetische Feldst¨ arke stromdurchflossener Leiter.


131

festen Körper. Sie ist das Verh¨ altnis von L0 zur Subtangente an den Temperaturverlauf im festen K¨ orper, vgl. Abb. 2.4, während die Nußelt-Zahl das Verhältnis einer (m¨ oglicherweise anders gew¨ ahlten) charakteristischen Länge L0 zur Subtangente des Temperaturverlaufs in der Grenzschicht des Fluids ist.

Abb. 2.5: Bedeutung der Biot-Zahl Bi = αL0 /λ f¨ ur den Temperaturverlauf in der N¨ ahe der Oberfl¨ ache. a kleine Biot-Zahl, b große Biot-Zahl

Fasst man L0 /λ als spezifischen W¨ armeleitwiderstand des w¨ armeleitenden K¨ orpers und 1/α als spez. W¨ arme¨ ubergangswiderstand an seiner Oberfl¨ ache auf, so l¨ asst sich die Biot-Zahl auch als Verh¨ altnis dieser beiden Widerst¨ ande deuten: Bi =

L0 /λ . 1/α

Eine kleine Bi-Zahl bedeutet, dass der W¨ armeleitwiderstand im K¨ orper, z.B. wegen seiner hohen W¨ armeleitf¨ ahigkeit, wesentlich kleiner ist als der W¨ arme¨ ubergangswiderstand an seiner Berandung. Bei kleinen Biot-Zahlen sind die Temperaturdifferenzen im K¨ orper klein gegen¨ uber der Differenz (ϑW − ϑF ) zwischen Wand- und FluidTemperatur; bei großen Biot-Zahlen gilt das Umgekehrte, was in Abb. 2.5 f¨ ur einen Abk¨ uhlvorgang beispielhaft dargestellt ist. Sehr große Biot-Zahlen f¨ u hren zu sehr + + kleinen Werten von ϑ+ ur Bi → ∞ geht nach (2.34) ϑ+ W − ϑF , und f¨ W − ϑF → 0. Die W¨ arme¨ ubergangsbedingung (2.34) kann durch die einfachere Randbedingung + ϑ+ W = ϑF ersetzt werden.

Temperaturfelder in ruhenden festen K¨ orpern lassen sich in dimensionsloser Form durch ˙ + , q˙+ , Bi, KGeom ϑ+ = ϑ+ x+ , y + , z + , t+ , W (2.36) W darstellen. Dabei wurden die schon behandelten dimensionslosen Variablen und Kenngrößen durch geometrische Kenngr¨ oßen — hier abgek¨ urzt und als anzt. Geometrische Kenngrößen sind zum BeiKGeom zusammengefasst — erg¨ spiel das Verhältnis H/D von H¨ ohe zu Durchmesser eines wärmeleitenden Zylinders oder die Verh¨ altnisse L2 /L1 und L3 /L1 der Kantenlängen L1 bis L3 eines Quaders. Auch die Form der Funktion in (2.36) hängt von der Geometrie

132


und den sonstigen Bedingungen des W¨ armeleitproblems ab. In der Regel werden nicht alle dimensionslosen Variablen in (2.36) gleichzeitig auftreten. Bei ur Körper ohne Wärmequellen stationären Wärmeleitvorg¨ angen entf¨ allt t+ ; f¨ + ˙ ist W ≡ 0; sind nur Temperaturen als Randbedingungen vorgeschrieben, so + und Bi in (2.36) nicht vor. kommen q˙W Schließlich sei darauf hingewiesen, dass bei Wärmeleitproblemen die dimensionslose Darstellung und das Zusammenfassen der Einflussgrößen zu Kennzahlen eine nicht so große Bedeutung haben wie bei der in 1.1.4 behandelten Darstellung und Bestimmung von Wärme¨ ubergangskoeffizienten. Wir werden im Folgenden h¨ aufig darauf verzichten, das Wärmeleitproblem dimensionslos zu machen, und werden nur die gefundene Lösung durch entsprechende Zusammenfassung von Variablen und Einflussgrößen dimensionslos darstellen.

2.2 Station¨ are W¨ armeleitung Hängt die Temperatur an jeder Stelle des w¨ armeleitenden Körpers nicht von der Zeit ab, so spricht man von station¨ arer Wärmeleitung. Einfache, f¨ ur die Praxis wichtige F¨ alle der station¨ aren W¨ armeleitung haben wir bereits im einf¨ uhrenden Kapitel behandelt, n¨ amlich den geometrisch eindimensionalen Wärmefluss in ebenen und gekr¨ ummten W¨ anden, vgl. Abschnitt 1.1.2. In den ¨ folgenden Abschnitten erweitern wir diese Uberlegungen zunächst auf geometrisch eindimensionale Temperaturverteilungen mit inneren Wärmequellen. Es folgt ein Abschnitt u ¨ber Temperaturverlauf und Wärmeabgabe von Rippen, in dem wir auch den in 1.2.3 eingef¨ uhrten Rippenwirkungsgrad bestimmen. Wir behandeln dann ebene und r¨ aumliche Temperaturfelder, deren Berechnung kompliziertere mathematische Methoden erfordert, so dass man häufig gezwungen ist, auf numerische L¨ osungsverfahren zur¨ uckzugreifen, die im Abschnitt 2.4.6 dargestellt werden.

2.2.1 Geometrisch eindimensionale W¨ armeleitung mit W¨ armequellen Im Abschnitt 1.2.1 hatten wir den geometrisch eindimensionalen Wärmefluss ohne innere Wärmequellen behandelt. Die Temperatur hängt dabei nur von einer räumlichen Koordinate ab. Wir erhielten die Gleichungen f¨ ur den stationären Wärmefluss durch die ebene Wand (Platte), durch den Hohlzylinder (Rohrwand) und die Hohlkugel. Wir wollen nun diese Betrachtungen dahingehend erweitern, dass im w¨ armeleitenden Material auch Wärmequellen vorhanden sind. Beispiele hierf¨ ur sind ein stromdurchflossener elektrischer Leiter, in dem elektrische Energie dissipiert wird, und die zylinder- oder kugelförmigen Spaltstoffelemente eines Kernreaktors, in denen die bei der Kernspaltung freigesetzte Energie als W¨ arme an die Oberfl¨ ache des Spaltstoffelements geleitet wird.

2.2 Station¨ are W¨ armeleitung

133

Wie die in 2.1.1 hergeleitete W¨ armeleitungsgleichung zeigt, beeinflusst bei stationärer Wärmeleitung wegen ∂ ϑ/∂t ≡ 0 nur die Wärmeleitfähigkeit λ = λ(ϑ) als einzige Materialeigenschaft das Temperaturfeld. Wir setzen zunächst konstantes λ voraus; dann ist ˙ /λ) = 0 ∇2 ϑ + (W

(2.37)

˙ den die Differentialgleichung f¨ ur das station¨ are Temperaturfeld, in der W Quellterm, nämlich die auf das Volumen bezogene, im Material erzeugte“ ” ˙ von der Temperatur ϑ oder Wärmeleistung bedeutet. Dabei kann W von den Ortskoordinaten abh¨ angen. Wir beschr¨ anken uns nun auf geometrisch eindimensionalen Wärmefluss. Die Temperatur h¨ angt nur von einer Ortskoordinate ab, die wir (auch im Falle kartesischer Koordinaten) mit r bezeichnen. Der Laplace-Operator nimmt f¨ ur kartesische, Zylinder- und Kugelkoordinaten eine unterschiedliche Gestalt an. Man kann diese drei Fälle zusammenfassen und erhält aus (2.37) ˙ (r, ϑ) d2 ϑ n dϑ W + =0 (2.38) + 2 dr r dr λ als maßgebende Differentialgleichung mit n = 0 f¨ ur den linearen Wärmefluss (Platte), n = 1 f¨ ur den Zylinder und n = 2 f¨ ur die Kugel. Wir lösen die gew¨ ohnliche Differentialgleichung (2.38) f¨ ur den Fall kon˙ =W ˙ 0 . Die L¨ stanter Leistungsdichte W osung lautet ⎫ ⎧ ⎬ ⎨ c0 + c1 (r − r0 ) ˙ 0 r2 W − ϑ(r) = c0 + c1 ln (r/r0 ) (2.39) ⎭ 2 (1 + n) λ ⎩ c0 + c1 (1/r − 1/r0 ) f¨ ur die drei Fälle Platte (n = 0), Zylinder (n = 1) und Kugel (n = 2). Dabei sind c0 und c1 Konstanten, die den Randbedingungen anzupassen sind. Als Beispiel betrachten wir den einfachen Fall, dass an der Oberfläche r = ±R Wärme¨ ubergang an ein Fluid mit der Temperatur ϑ = ϑF stattfindet. Es gilt dann

dϑ = α [ϑ(R) − ϑF ] (2.40) −λ dr r=R und aus Symmetriegr¨ unden

dϑ dr

=0 .

(2.41)

r=0

Aus der Bedingung (2.41) folgt c1 = 0. Aus (2.40) ergibt sich die Konstante c0 , so dass die L¨ osung des Randwertproblems ˙ 0 R2

W 2λ r2 1− 2 + ϑ(r) = ϑF + 2λ (1 + n) R αR lautet. Mit der dimensionslosen Temperatur

134


ϑ+ :=

ϑ − ϑF , ˙ 0 R2 /λ W

(2.42)

dem dimensionslosen Abstand r+ = r/R

(2.43)

von der Mittelebene bzw. vom Mittelpunkt und mit der Biot-Zahl Bi := αR/λ erhält man daraus ϑ+ =

1 2 2 1 − r+ + . 2(1 + n) Bi

(2.44)

(2.45)

Im wärmeleitenden K¨ orper stellt sich eine parabelförmige Temperaturverteilung ein mit der h¨ ochsten Temperatur bei r+ = 0, Abb. 2.6.

Abb. 2.6: Verlauf der dimensionslosen Temperatur ϑ+ nach (2.45) in der Platte (n = 0), im Zylinder (n = 1) und in der Kugel (n = 2) f¨ ur Bi = αR/λ = 4,0

˙ 0 die W¨ Ist statt der Leistungsdichte W armestromdichte q˙W an der Oberfläche (r = R) der drei K¨ orper gegeben, so erh¨ alt man aus der Energiebilanzgleichung ˙ 0 V = q˙W A W mit V als dem Volumen und A als der Oberfl¨ ache den einfachen Zusammenhang ˙0 R . ˙ 0V = W (2.46) q˙W = W A 1+n Gleichung (2.45) f¨ ur den Temperaturverlauf nimmt dann die von der Körperform unabhängige Gestalt

q˙W R 2 +2 ϑ(r) = ϑF + 1−r + (2.47) 2λ Bi an.


135

¨ Die vorstehenden Uberlegungen lassen sich auch auf den Fall temperaturabh¨ an˙ 0 und die Form des K¨ giger W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ = λ(ϑ) u orpers ¨bertragen. Sind W gegeben, so berechnet man zun¨ achst die W¨ armestromdichte q˙W an der Wand (r = R) nach (2.46). Aus ϑW = ϑF + q˙W /α erh¨ alt man die Oberfl¨ achentemperatur ϑW . Nach Abschnitt 2.1.4 f¨ uhren wir nun die transformierte Temperatur

Θ = ΘW

1 + λ (ϑW )

ϑ λ (ϑ) dϑ

(2.48)

ϑW

zur Ber¨ ucksichtigung des variablen λ ein. F¨ ur Θ erh¨ alt man aus (2.27) die Differentialgleichung ˙0 n dΘ W d2 Θ + + =0 , 2 dr r dr λ (ϑW ) die formal mit (2.38) u osen sie unter den Randbedingungen ¨bereinstimmt. Wir l¨ r = 0 : dΘ/ dr = 0 , r = R: Θ = ΘW

(entsprechend ϑ = ϑW ) .

Die L¨ osung ist die Parabel Θ − ΘW =

˙ 0 R2 W q˙W R 1 − (r/R)2 = 1 − (r/R)2 . 2(1 + n)λ(ϑW ) 2λ(ϑW )

(2.49)

Zur Berechnung der h¨ ochsten Temperatur ϑmax im Zentrum des K¨ orpers findet man mit r = 0 ˙ 0 R2 W q˙W R = Θmax − ΘW = 2(1 + n)λ(ϑW ) 2λ(ϑW ) und erh¨ alt mit (2.48) f¨ ur ϑmax die Gleichung ϑmax

λ (ϑ) dϑ = λ (ϑW ) (Θmax − ΘW ) =

˙ 0 R2 W . 2 (1 + n)

(2.50)

ϑW

˙ =W ˙ 0 = const fallengelassen und eine mit M. Jakob [2.2] hat die Voraussetzung W der Temperatur linear ansteigende oder linear fallende W¨ armeentwicklung ber¨ ucksichtigt. Der erste Fall tritt bei der Erw¨ armung metallischer elektrischer Leiter auf, deren elektrischer Widerstand ja mit der Temperatur zunimmt. Beispiel 2.1: Ein zylindrisches Spaltstoffelement mit dem Radius r = 0,011 m besteht aus Urandioxid (UO2 ). In einem bestimmten Querschnitt des Elements ˙ 0 = 1,80 · 105 kW/m3 ; die Oberfl¨ achentemperatur hat ist die Leistungsdichte W den Wert ϑW = 340 ℃. Man berechne die h¨ ochste Temperatur ϑmax im Zentrum ochel u.a. [2.3] durch des Elements. Die W¨ armeleitf¨ ahigkeit von UO2 ist nach J. H¨ λ (T ) 3540 K = + 0,0747 W/K m T + 57 K

T 1000 K

3 ,

136


g¨ ultig im Bereich 300 K < T < 3073 K, gegeben. Man erh¨ alt die maximale (thermodynamische) Temperatur Tmax aus (2.50) mit n = 1 und ϑ = T : Tmax

λ (T ) dT =

˙ 0 R2 W = 5445 W/m . 4

TW

Mit der Oberfl¨ achentemperatur TW = ϑW + 273 K = 613 K ergibt sich

Tmax

λ (T ) dT =

Tmax + 57 K 3540 ln + 18,675 670 K

Tmax 1000 K

4 − 0,1412

W . m

TW

Damit erh¨ alt man die transzendente Gleichung

4 Tmax Tmax + 57 K = 1,5381 − 0,005275 ln − 0,1412 670 K 1000 K mit der L¨ osung Tmax = 2491 K, entsprechend ϑmax = 2281 ℃. Diese Temperatur liegt noch merklich unter der Schmelztemperatur von UO2 , die etwa 2800 ℃ betr¨ agt.

2.2.2 W¨ armeleitung in L¨ angsrichtung eines Stabes Wird ein stabförmiges Gebilde, z.B. ein Bolzen oder eine Säule, an einem Ende beheizt, so str¨ omt W¨ arme im Stab in axialer Richtung und geht u ¨ber die Mantelfläche des Stabes an seine Umgebung u ¨ber. Auch die Wärmeabgabe von Rippen ist ein ¨ ahnliches W¨ armeleitproblem, das wir im nächsten Abschnitt behandeln. Schließlich gibt es Messverfahren zur Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit, die auf dem Vergleich des Temperaturabfalls in Stäben unterschiedlichen Materials beruhen, vgl. [2.2]. Wir betrachten einen Stab der L¨ ange L mit konstanter Querschnittsfläche Aq und konstantem Umfang U . Ein Ende des Stabes wird durch Wärmezufuhr auf der konstanten Temperatur ϑ0 gehalten. Wärme strömt dann in Richtung der Stabachse und wird u außere Oberfläche an die Umgebung ab¨ber die ¨ gegeben, Abb. 2.7. Die Querschnittsfl¨ ache des Stabes sei so klein, dass die Temperatur u ¨ber jeden Querschnitt konstant angenommen werden kann; sie hängt dann nur von der axialen Koordinate x ab. Betrachtet man an einer beliebigen Stelle ein Stabelement mit dem Volumen ΔV = Aq Δx, so gibt es u ache den W¨ armestrom ¨ber die Mantelfl¨ ΔQ˙ = α [ϑ (x + εΔx) − ϑU ] U Δx ,

0≤ε≤1 ,

an die Umgebung mit der konstanten Temperatur ϑU ab. Diese Wärmeabgabe wirkt wie eine W¨ armesenke im Stabmaterial mit der Leistungsdichte


137

˙ ˙ = − lim ΔQ = − αU [ϑ(x) − ϑU ] . W Δx→0 ΔV Aq Wir setzen dies in die Differentialgleichung (2.38) f¨ ur den linearen Wärmefluss mit Wärmequellen (n = 0) ein und erhalten mit x anstelle von r d2 ϑ αU − (ϑ − ϑU ) = 0 2 dx λAq

(2.51)

als Differentialgleichung, die den Temperaturverlauf längs des Stabes bestimmt.

Abb. 2.7: Temperaturverlauf in einem Stab mit konstanter Querschnittsfl¨ ache Aq

Wir nehmen nun einen konstanten W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten α an und setzen zur Abk¨ urzung (2.52) m2 := αU/λAq . Dann lautet die allgemeine L¨ osung von (2.51) ϑ(x) = ϑU + c1 exp(−mx) + c2 exp(mx) = ϑU + C1 cosh(mx) + C2 sinh(mx) . Die Integrationskonstanten c1 und c2 bzw. C1 und C2 sind aus den Randbedingungen zu bestimmen. Am linken Ende (x = 0) soll der Stab stets die Temperatur ϑ = ϑ0 annehmen, während wir am anderen Stabende (x = L) verschiedene Randbedingungen betrachten. Die Bedingung ϑ = ϑ0

f¨ ur

x=0

legt es nahe, die dimensionslose Temperatur ϑ+ :=

ϑ − ϑU ϑ0 − ϑ U

zu benutzen. Es gilt dann stets 0 ≤ ϑ+ ≤ 1 .

(2.53)

138


Wir betrachten nun einen Stab, der frei in die Umgebung ragt, Abb. 2.7, und an seiner Stirnfl¨ ache (x = L) W¨ arme abgibt. Hier gilt dϑ = αL Aq (ϑ − ϑU ) Q˙ L = −λAq dx

f¨ ur x = L .

(2.54)

Der Wärme¨ ubergangskoeffizient αL an der Stirnfläche braucht dabei nicht mit dem α an der Mantelfl¨ ache des Stabes u ¨bereinzustimmen. Nach längerer Rechnung erhält man f¨ ur die Temperaturverteilung im Stab ϑ+ (x) =

cosh [m(L − x)] + (αL /mλ) sinh [m(L − x)] . cosh (mL) + (αL /mλ) sinh (mL)

(2.55)

Der an die Umgebung abgegebene W¨ armestrom Q˙ ist gleich dem Wärmestrom, der durch den Stabquerschnitt bei x = 0 fließt:

dϑ . Q˙ = Q˙ 0 = −λAq dx x=0 Durch Differenzieren von (2.55) erh¨ alt man hierf¨ ur Q˙ 0 =

tanh(mL) + (αL /mλ) αλAq U (ϑ0 − ϑU ) . 1 + (αL /mλ) tanh(mL)

(2.56)

Kann man αL = α setzen, so wird αL α = = mλ mλ

(

αAq . λU

Eine merkliche Vereinfachung der Gleichungen erhält man f¨ ur αL = 0. Dies gilt, wenn das Stabende isoliert ist oder wenn man die Wärmeabgabe u ¨ber assigen kann. F¨ ur den Temperaturdie kleine Querschnittsfl¨ ache Aq vernachl¨ verlauf ergibt sich nun ϑ+ (x) =

cosh [m(L − x)] . cosh(mL)

(2.57)

Die Temperatur am freien Stabende ist auf ϑ+ (L) =

ϑL − ϑ U 1 = ϑ0 − ϑU cosh(mL)

gesunken. Der abgegebene W¨ armestrom ergibt sich aus (2.56) zu Q˙ 0 = αU λAq (ϑ0 − ϑU ) tanh(mL) . −1

(2.58)

(2.59)

Die Funktionen (cosh mL) und tanh mL sind in Abb. 2.8 dargestellt. Will man die einfachen Gleichungen (2.57) bis (2.59) auch f¨ ur αL = 0 benutzen, so kann man sich den Stab der Länge L mit Wärmeabgabe bei


139

Abb. 2.8: Charakteristische Funk¨ tionen f¨ ur die Ubertemperatur am freien Stabende nach (2.58) und f¨ ur den abgegebenen W¨ armestrom nach (2.59)

x = L durch einen Stab ersetzt denken, der die größere Länge L + ΔL hat und bei x = L + ΔL isoliert ist. Die zus¨ atzliche Länge ΔL wird so bestimmt, dass der nicht ber¨ ucksichtigte W¨ armestrom Q˙ L u ¨ ber die Stirnfläche von der vergrößerten Umfangsfl¨ ache U ΔL abgegeben wird. F¨ ur kleine Werte ΔL gilt in guter Näherung Q˙ L = αL Aq (ϑL − ϑU ) = αU ΔL (ϑL − ϑU ) . Daraus erhält man die korrigierte L¨ ange LC des Ersatzstabes zu LC = L + ΔL = L +

αL Aq . α U

(2.60)

Sie ist in (2.57) bis (2.59) anstelle von L zu benutzen. Wir betrachten nun den Fall, dass am Stabende x = L die Temperatur ϑL vorgegeben ist, Abb. 2.9. Nach einiger Rechnung erh¨ alt man die Temperaturverteilung ϑ+ (x) =

sinh m(L − x) sinh(mx) + ϑ+ (L) . sinh(mL) sinh(mL)

(2.61)

Um die W¨ armeabgabe des Stabes zwischen x = 0 und x = L zu berechnen, bestimmen wir die W¨ armestr¨ ome, die durch die beiden Querschnitte x = 0 und x = L in x-Richtung fließen. F¨ ur einen beliebigen Querschnitt erh¨ alt man dϑ λAq m (ϑ0 − ϑU ) ˙ Q(x) = −λAq = cosh [m(L − x)] − ϑ+ (L) cosh(mx) . dx sinh(mL) Daraus ergibt sich mit m nach (2.52) Q˙ 0 = und Q˙ L =

αλAq U

αλAq U

(ϑ0 − ϑU ) cosh(mL) − ϑ+ (L) sinh(mL)

(ϑ0 − ϑU ) 1 − ϑ+ (L) cosh(mL) . sinh(mL)

140


Abb. 2.9: Temperaturverlauf in einem Stab, dessen Enden auf den vorgegebenen Temperaturen ϑ0 und ϑL gehalten werden. a bei x = L fließt ein W¨ armestrom ab (Q˙ L > 0), b bei x = L fließt ein W¨ armestrom zu (Q˙ L < 0)

Der zwischen den Endquerschnitten u ache abgegebene W¨ armestrom ¨ber die Mantelfl¨ wird dann Q˙ = Q˙ 0 − Q˙ L =

cosh(mL) − 1 αλAq U (ϑ0 − ϑU ) 1 + ϑ+ (L) . sinh(mL)

(2.62)

Beispiel 2.2: Ein zylinderf¨ ormiger Stahlbolzen (λ = 52,5 W/K m) mit dem Durchmesser d = 0,060 m und der L¨ ange L = 0,200 m ragt aus einer Platte her¨ aus, die die Temperatur ϑ0 = 60,0 ℃ hat. Uber seine Mantelfl¨ ache und die freie Stirnfl¨ ache geht W¨ arme an Luft mit der Temperatur ϑU = 12,5 ℃ u ¨ber, wobei der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient f¨ ur beide Fl¨ achen den Wert α = 8,0 W/m2 K hat. Man berechne den W¨ armestrom Q˙ 0 , der an die Luft u ¨bergeht, und die Temperatur ϑL der freien Stirnfl¨ ache. F¨ ur den W¨ armestrom erh¨ alt man aus (2.56) mit U = πd und Aq = πd2 /4 tanh (mL) + (α/mλ) π √ . Q˙ 0 = d αλd (ϑ0 − ϑU ) 2 1 + (α/mλ) tanh (mL) Dabei ist nach (2.52)

( mL = 2

und α 1 = mλ 2

(

α L = 0,6375 λd αd = 0,0478 . λ

Somit wird Q˙ 0 = 13,3 W. Die Temperatur an der Bolzenstirnfl¨ ache ergibt sich aus (2.55) mit x = L zu ϑ+ =

1 = 0,8047 cosh(mL) + (α/mL) sinh(mL)

und daraus zu ϑL = ϑU + (ϑ0 − ϑU ) ϑ+ L = 50,7 ℃ .


141

Vernachl¨ assigt man die W¨ armeabgabe an der Stirnfl¨ ache des Bolzens, so erh¨ alt man aus (2.59) den zu geringen W¨ armestrom Q˙ 0 = 12,7 W. Die Temperatur ϑL erh¨ alt den zu großen Wert ϑL = 51,8 ℃. Mit der korrigierten Bolzenl¨ ange LC = L +

d = 0,215 m 4

nach (2.60) findet man jedoch aus (2.59) und (2.57) f¨ ur Q˙ 0 und ϑL Werte, die mit mindestens drei geltenden Ziffern mit den exakten Werten u ¨bereinstimmen.

2.2.3 Der Temperaturverlauf in Rippen und Nadeln Wie schon in Abschnitt 1.2.3 dargestellt, l¨ asst sich der Wärmedurchgang zwischen zwei Fluiden dadurch verbessern, dass man die Oberfläche der Wand auf der Seite mit dem kleineren W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten durch das Anbringen von Rippen oder Nadeln vergr¨ oßert. Allerdings ist diese Flächenvergrößerung nur zu einem Teil wirksam, weil in den Rippen ein Temperaturgradient auftritt, ohne den W¨ arme nicht vom Rippenfuß fortgeleitet w¨ urde. Dadurch ¨ ist die f¨ ur die W¨ armeabgabe an das Fluid maßgebende mittlere Ubertem¨ peratur kleiner als die Ubertemperatur am Rippenfuß. Um dies quantitativ zu erfassen, wurde in Abschnitt 1.2.3 der Rippenwirkungsgrad eingef¨ uhrt. Zu seiner Berechnung muss man den Temperaturverlauf in der Rippe kennen, worauf wir im Folgenden eingehen. Ergebnisse f¨ ur den Rippenwirkungsgrad verschiedener Formen von Rippen oder Nadeln werden im nächsten Abschnitt angegeben. Um den Temperaturverlauf zu berechnen, werden einige einschränkende Annahmen gemacht: 1. Die Rippe (oder Nadel) ist so d¨ unn, dass die Temperatur nur von der Koordinate in der Richtung vom Rippenfuß zur Rippenspitze abhängt. 2. Das Rippenmaterial ist homogen mit konstanter Wärmeleitfähigkeit λR . 3. Der Wärme¨ ubergang an der Rippenoberfl¨ ache kann durch einen konstanten Wärme¨ ubergangskoeffizienten αR beschrieben werden. 4. Die Temperatur ϑU des die Rippe umgebenden Fluids ist konstant. 5. Der Wärmestrom an der Rippenspitze wird gegen¨ uber dem Wärmestrom an den Rippenseitenfl¨ achen vernachl¨ assigt. Diese Annahmen treffen in der Regel zu mit Ausnahme eines u ¨ber die ganze Rippenoberfl¨ ache konstanten αR . Der Einfluss eines veränderlichen Wärme¨ ubergangskoeffizienten wurde von S.-Y. Chen und G.L. Zyskowski ¨ [2.4], von L.S. Han und S.G. Lefkowitz [2.5] sowie von H.C. Unal [2.6] untersucht. Der Temperaturverlauf in Rippen wird unter den genannten Annahmen durch eine gew¨ ohnliche lineare Differentialgleichung 2. Ordnung beschrieben, die wir im Folgenden herleiten. Dazu schneiden wir aus der beliebig geformten Rippe oder Nadel nach Abb. 2.10 ein Element der Dicke Δx heraus. Die Energiebilanzgleichung f¨ ur dieses Element lautet

142


Abb. 2.10: Energiebilanz f¨ ur das Volumenelement mit der Dicke Δx und der Oberache fl¨ ache ΔAR einer beliebig geformten Rippe oder Nadel mit der Querschnittsfl¨ Aq (x) ˙ ˙ + Δx) + ΔQ˙ u¨ , Q(x) = Q(x

(2.63)

denn der W¨ armestrom, der durch Leitung an der Stelle x in das Element hineinfließt, muss den bei x + Δx weitergeleiteten W¨ armestrom liefern und den W¨ armestrom ΔQ˙ U ache ΔAR des Elements an das umgebende Fluid mit der ¨ber die Oberfl¨ ¨ , der u ¨ uhren die Ubertemperatur Temperatur ϑU u ¨bergeht. Wir f¨ Θ(x) := ϑ(x) − ϑU

(2.64)

armeabgebenden ¨ außeren Oberfl¨ ache des Ripein und erhalten mit ΔAR als der w¨ penelements f¨ ur ΔQ˙ U ¨ den Ausdruck ΔQ˙ U ¨ = αR ΔAR Θ(x + εΔx)

,

0≤ε≤1 .

armeNach dem Gesetz von Fourier wird durch die Querschnittsfl¨ ache Aq (x) der W¨ strom dΘ Q˙ = −λR Aq (x) (2.65) dx durch W¨ armeleitung transportiert. Daraus erh¨ alt man (Taylor-Entwicklung an der Stelle x) dQ˙ ˙ + Δx) = Q(x) ˙ Δx + O(Δx2 ) Q(x + dx d dΘ ˙ = Q(x) − λR Aq (x) Δx + O(Δx2 ) , dx dx wobei O(Δx2 ) andeutet, dass das Restglied proportional zu Δx2 ist. Wir setzen diese Beziehungen f¨ ur die drei W¨ armestr¨ ome in die Bilanzgleichung (2.63) ein und erhalten dΘ d Aq (x) Δx + O(Δx2 ) + αR ΔAR Θ(x + εΔx) . 0 = −λR dx dx Nach Division durch Δx ergibt der Grenz¨ ubergang Δx → 0


143

dΘ αR dAR d Aq (x) − Θ=0 dx dx λR dx

(2.66)

¨ als die gesuchte Differentialgleichung f¨ ur die Ubertemperatur Θ(x).

Abb. 2.11: Gerade Rippe der Breite b (senkrecht zur Zeichenebene) mit beliebiger Profilfunktion y = y(x)

Abb. 2.12: Kreisf¨ ormige Rippe auf einem Kernrohr (Außenradius r0 ) mit beliebiger Profilfunktion y = y(r)

Diese Differentialgleichung erfasst alle Formen vergr¨ oßerter Oberfl¨ achen, sofern nur die eingangs genannten Annahmen zutreffen. Die verschiedenen Rippen- oder Nadelformen kommen in den beiden Funktionen Aq = Aq (x) f¨ ur die Querschnittsur die w¨ armeabgebende Rippenoberfl¨ ache zum Ausdruck. fl¨ ache und AR = AR (x) f¨ So erh¨ alt man f¨ ur gerade Rippen der Breite b senkrecht zur Zeichenebene der Abb. 2.11 mit der Profilfunktion y = y(x) die Fl¨ achen Aq (x) = 2y(x)b

und

AR (x) = 2bx .

In AR werden dabei die schmalen Seitenfl¨ achen nicht ber¨ ucksichtigt; außerdem wird der Unterschied zwischen AR und ihrer Projektion auf die von der Rippenbreite b und der x-Achse aufgespannte Ebene vernachl¨ assigt. Es wird also eine schlanke Rippe vorausgesetzt. Dies f¨ uhrt zur Differentialgleichung d2 Θ 1 dy dΘ αR + − Θ=0 . dx2 y dx dx λR y

(2.67)

Sie ist f¨ ur ein gegebenes Rippenprofil y = y(x) unter Beachtung der Randbedingungen am Rippenfuß, Θ = Θ0 = ϑ0 − ϑU f¨ ur x = 0 , (2.68) und der Bedingung dΘ = 0 f¨ ur x = h (2.69) dx zu l¨ osen. Dies entspricht der f¨ unften Annahme, der Vernachl¨ assigung der W¨ armeabgabe an der Rippenspitze. F¨ ur schlanke kreisf¨ ormige Rippen nach Abb. 2.12 erh¨ alt man mit r als radialer Koordinate Aq (r) = 4πry(r) und AR (r) = 2π(r 2 − r02 ) , wobei y = y(r) das Rippenprofil beschreibt. Aus (2.66) ergibt sich die f¨ ur Kreisrippen g¨ ultige Differentialgleichung

144


y d2 Θ dy dΘ αR Θ=0 . y 2 + + − dr r dr dr λR

(2.70)

Die L¨ osung muss die Randbedingungen Θ = Θ 0 = ϑ0 − ϑ U

f¨ ur

r = r0

am Rippenfuß und dΘ/dr = 0

f¨ ur

r = r0 + h

an der Rippenspitze erf¨ ullen. L¨ osungen der Differentialgleichungen (2.67) und (2.70) wurden erstmals 1922 von D.R. Harper und W.B. Brown [2.7] sowie 1926 von E. Schmidt [2.8] f¨ ur verschiedene Profilfunktionen y = y(x) bzw. y = y(r) angegeben. In einer umfassenden Untersuchung hat 1945 K.A. Gardner [2.9] alle Profile behandelt, die auf Differentialgleichungen f¨ uhren, deren L¨ osungen verallgemeinerte Bessel-Funktionen sind. Die aus (2.66) herzuleitende Differentialgleichung f¨ ur kegelf¨ ormige Nadeln mit unterschiedlichem Profil hat erstmals R. Focke [2.10] 1942 angegeben und gel¨ ost. Eine eingehende zusammenfassende Behandlung des Temperaturverlaufs in den verschiedenen Elementen vergr¨ oßerter W¨ arme¨ ubertragungsfl¨ achen findet man im Buch von D.Q. Kern und A.D. Kraus [2.11].

Im Folgenden behandeln wir beispielhaft die gerade Rippe mit rechteckiur die Profilfunktion der gem Profil. Ihre Dicke sei mit δR bezeichnet, so dass f¨ Abb. 2.11 y(x) = δR /2 gilt. Aus (2.67) folgt dann die einfache Differentialgleichung 2αR d2 Θ − Θ=0 . 2 dx λR δR Sie stimmt formal mit Gl. (2.51) von Abschnitt 2.2.2 u ur die ¨berein, die f¨ Wärmeleitung in L¨ angsrichtung eines Stabes gilt. Mit der Abk¨ urzung ( 2αR m= (2.71) λR δR erhält man die schon aus Abschnitt 2.2.2 bekannte Lösung Θ = Θ0

cosh [m(h − x)] , cosh(mh)

(2.72)

die den beiden Randbedingungen (2.68) und (2.69) gen¨ ugt. Will man die durch (2.69) vernachl¨ assigte W¨ armeabgabe der Rippenspitze ber¨ ucksichtigen, so kann man entsprechend (2.60) eine korrigierte Rippenhöhe einf¨ uhren und ur eine Nadel h durch hC = h + Δh = h + δR /2 ersetzen. Gl. (2.72) gilt auch f¨ mit konstanter Querschnittsfl¨ ache Aq . Man hat nur in (2.71) δR = Aq /2U mit U als dem Umfang der Querschnittsfl¨ ache zu setzen. Abb. 2.13 zeigt den Temperaturverlauf als Funktion der dimensionslosen Koordinate x/h f¨ ur verschiedene Werte des Parameters mh, in dem die Abmessungen der Rippe, ihre W¨ armeleitf¨ ahigkeit und der Wärme¨ ubergangskoeffizient zusammengefasst sind. F¨ ur praktische Anwendungen sollten Werte


145

Abb. 2.13: Temperaturverlauf in geraden Rippen mit Rechteckprofil (Rippendicke δR ) als Funktion von x/h mit mh als Parameter nach (2.72)

im Bereich 0,7 < mh < 2 gew¨ ahlt werden. In langen Rippen mit mh > 2 fällt die Temperatur sehr rasch ab, und ein erheblicher Teil der Rippe u ¨berträgt ¨ wegen zu geringer Ubertemperatur nur wenig Wärme. Werte von mh < 0,7 weisen darauf hin, dass bei einer Verl¨ angerung der Rippe erheblich größere Wärmeströme hätten u onnen. ¨bertragen werden k¨ Einen Optimalwert von mh kann man aus der Bedingung finden, dass der von der Rippe abgegebene W¨ armestrom Q˙ R möglichst groß sein soll unter der Nebenbedingung, dass der Materialaufwand, also das Rippenvolumen armestrom, der durch den Rippenfuß konstant ist. Wir erhalten Q˙ R als den W¨ (x = 0) geleitet wird:

dΘ Q˙ R = −λR b δR . (2.73) dx x=0 Aus (2.72) ergibt sich hierf¨ ur Q˙ R = 2αR λR δR b Θ0 tanh (mh) .

(2.74)

Mit dem Rippenvolumen VR = δR hb wird dies Q˙ R =

Θ0 2αR λR VR b √ tanh h

(

2αR b 3/2 h λR VR

.

Man kann davon ausgehen, dass die Rippenbreite b durch die Abmessungen des zu k¨ uhlenden Apparates festgelegt ist. Q˙ R hängt dann von h ab, und die Bedingung dQ˙ R /dh = 0 f¨ uhrt auf die Gleichung tanh(mh) =

3mh = 3mh 1 − tanh2 (mh) 2 cosh (mh)

146


mit der Lösung

( mh =

2αR h = 1,4192 . λR δR

Die nach dieser Bedingung gew¨ ahlte Rippenhöhe h gibt den maximalen Wärmestrom bei festgehaltenem Rippenvolumen VR . Eine ähnliche Rechnung f¨ ur kreisförmige Rippen mit verschiedenen Profilfunktionen haben A. Ullmann und H. Kalman [2.12] ausgef¨ uhrt. E. Schmidt [2.8] hat die Rippenform bestimmt, die bei gegebener Wärmeleistung den geringsten Materialaufwand erfordert. Das Profil dieser Rippen ist eine Parabel, deren Scheitel an der Rippenspitze liegt. Solche sehr spitz zulaufenden Rippen lassen sich nur schwer herstellen, weswegen man in der Praxis Rippen mit rechteckigem, trapezf¨ ormigem oder dreieckigem Querschnitt antrifft.

2.2.4 Der Rippenwirkungsgrad In Abschnitt 1.2.3 wurde der Rippenwirkungsgrad ηR :=

Q˙ R ϑR − ϑU ΘR = = ϑ0 − ϑU Θ0 Q˙ R0

(2.75)

eingef¨ uhrt als das Verh¨ altnis des von der Rippe tatsächlich abgegebenen Wärmestroms Q˙ R zum W¨ armestrom Q˙ R0 = αR AR (ϑ0 − ϑU ) = αR AR Θ0 , der von der Rippe abgegeben w¨ urde, wenn sie u ¨berall die Temperatur ϑ0 des Rippenfußes hätte und nicht im Mittel die niedrigere Temperatur ϑR . Dabei bedeutet ϑU die Fluidtemperatur, die in Abschnitt 1.2.3 mit ϑ2 bezeichnet wurde. Der von der Rippe abgegebene W¨ armestrom stimmt mit dem Wärme˙ = 0) u strom Q(x ¨berein, der am Rippenfuß durch Leitung in die Rippe fließt: ˙ = 0) = −λR Aq0 (dΘ/dx) Q˙ R = Q(x x=0 .

(2.76)

Hierbei bezeichnet Aq0 die Rippenquerschnittsfläche am Rippenfuß. F¨ ur die gerade Rippe mit Rechteckprofil haben wir Q˙ R bereits im letzten Abschnitt berechnet. Mit (2.74) und Aq0 = b δR folgt aus (2.76) ηR =

tanh(mh) . mh

(2.77)

Der Wirkungsgrad der geraden Rechteckrippe hängt nur von der Kenngröße ( 2αR h (2.78) mh = λR δR


147

Abb. 2.14: Wirkungsgrad ηR der geraden Rippe mit Rechteckprofil nach (2.77) und mit Dreieckprofil nach (2.79) als Funktion von mh nach (2.78)

ab. Abb. 2.14 zeigt ηR nach (2.77). F¨ ur den in 2.2.3 bestimmten optimalen Wert mh = 1,4192 der Rippe mit der gr¨ oßten Wärmeabgabe bei gegebenem Volumen wird ηR = 0,627. In gleicher Weise l¨ asst sich auch f¨ ur andere Rippenformen der Wirkungsgrad aus dem Temperaturverlauf berechnen. F¨ ur gerade Rippen mit Dreiecksprofil zeigt Abb. 2.14 ηR als Funktion von mh, wobei hier δR die Dicke der Rippe an ihrem Fuß bedeutet. Der Verlauf von ηR ist dem Verlauf des Wirkungsgrades der geraden Rippe mit Rechteckprofil ähnlich. Es liegt daher nahe, den aus Besselfunktionen zusammengesetzten Ausdruck f¨ ur ηR näherungsweise durch die der Gl. (2.77) ¨ ahnliche Funktion ηR =

tanh (ϕmh) ϕmh

(2.79)

zu ersetzen. F¨ ur den Korrekturfaktor ϕ erh¨ alt man tanh (0,74485mh) , (2.80) mh womit man eine Wiedergabe des exakten Ergebnisses erhält, die f¨ ur mh < 5 genauer als 0,05% ist. F¨ ur die häufig verwendeten Kreisrippen konstanter Dicke δR ist in (2.70) f¨ ur die Profilfunktion y(r) = δR /2 zu setzen. Der Wirkungsgrad ηR hängt von zwei Kenngr¨ oßen ab: von mh nach (2.78) und vom Radienverhältnis (r0 + h)/r0 = 1 + h/r0 , vgl. Abb. 2.12. Hier ergibt sich ein komplizierter Ausdruck, der modifizierte Besselfunktionen enthält. F. Brandt [2.13] hat die recht genaue Näherungsgleichung p tanh(mh) 2r0 tanh(mh) [tanh(mh)] ηR = 1+ (2.81) −C n 2r0 + h mh 2mr0 (mr0 ) ϕ = 0,99101 + 0,31484

148


angegeben mit C = 0,071882, p = 3,7482, n = 1,4810. Sie gilt mit einem maximalen Fehler von 0,6% f¨ ur alle Werte von mh und f¨ ur mr0 ≥ 0,2. Eine einfachere Näherungsgleichung hat Th.E. Schmidt [2.14] gefunden: ηR =

tanh (mhϕ) mhϕ

(2.82)

mit ϕ = 1 + 0,35 ln (1 + h/r0 ) .

(2.82a)

F¨ ur ηR > 0,5 weicht sie um nicht mehr als ±1% von den exakten Werten ab.

Abb. 2.15: Scheibenrippen. a rechteckige Scheibenrippe auf einem Rohr, b Rohrregister mit Scheibenrippen (rechteckig und sechseckig)

H¨ aufig werden auf Rohren quadratische, rechteckige oder sechseckige Scheibenrippen angebracht, wobei auch mehrere Rohre durch durchgehende Rippenschichten verbunden sind, Abb. 2.15. In diesen Rippen h¨ angt die Temperatur nicht nur von einer Koordinate ab, vielmehr muss mit ebenen Temperaturfeldern gerechnet werden. In erster N¨ aherung bestimmt man den Wirkungsgrad von Scheibenrippen, indem ur eine kreisf¨ ormige Rippe mit gleicher Oberfl¨ ache man ηR nach (2.81) oder (2.82) f¨ berechnet. Man hat dann f¨ ur die Rechteckrippe nach Abb. 2.15 √ h = s1 s2 /π − r0 = 0,564 s1 s2 − r0 (2.83) und f¨ ur die Sechseck-Rippe mit s als Seitenl¨ ange + √ 3 3 s − r0 = 1,211s − r0 h= 2π zu setzen. Etwas genauere Werte sind nach Th.E. Schmidt [2.14] mit h = 0,64 s2 (s1 − 0,2s2 ) − r0

(2.84)

(2.85)

oßeren Rechteckseite zu erwarten. E.M. Sparf¨ ur die Rechteckrippe mit s1 als der gr¨ row und S.H. Lin [2.15] haben f¨ ur die quadratische Scheibenrippe (s1 = s2 ) und f¨ ur die Sechseckrippe analytische N¨ aherungsl¨ osungen angegeben, die bei vergr¨ oßertem Rechenaufwand beliebig genaue Werte von ηR zu berechnen gestatten. Danach


149

sind die einfachen Gleichungen (2.83) mit s1 = s2 = s hinreichend genau, sofern h/r0 ≥ 0,5 ist. H.D. Baehr u. F. Schubert [2.16] haben den Wirkungsgrad quadratischer Scheibenrippen mit einem elektrischen Analogieverfahren experimentell bestimmt und die N¨ aherungsgleichungen (2.82) und (2.85) im Wesentlichen best¨ atigt.

2.2.5 Geometrisch mehrdimensionaler W¨ armefluss Ebene und räumliche station¨ are Temperaturfelder, wie sie bei geometrisch mehrdimensionalem W¨ armefluss auftreten, sind wesentlich schwieriger zu berechnen als die bisher behandelten F¨ alle, in denen ϑ nur von einer Ortskoordinate abhing. L¨ osungen der Laplace-Gleichung f¨ ur ebene Temperaturfelder ohne Wärmequellen, ∂2ϑ ∂2ϑ + 2 =0 , (2.86) ∇2 ϑ = ∂x2 ∂y kann man durch Anwenden verschiedener mathematischer Methoden erhalten. Es sei der Produkt- oder Separationsansatz ϑ(x, y) = f1 (x) · f2 (y) genannt, durch den sich aus (2.86) zwei gew¨ ohnliche, leicht lösbare Differentialgleichungen ergeben. Die Ber¨ ucksichtigung der Randbedingungen ist nur dann in einfacher Weise m¨ oglich, wenn das Temperaturfeld in einem Rechteck mit parallel zur x- bzw. y-Richtung verlaufenden Rändern gesucht ist. Beispiele findet man im Buch von S. Kaka¸c und Y. Yener [2.17]. Ein weiteres L¨ osungsverfahren ist die konforme Abbildung. Ihre Anwendung wird von H.S. Carslaw und J.C. Jaeger [2.1] sowie von U. Grigull und H. Sandner [2.18] beschrieben. Mit dieser Methode lassen sich auch geometrisch komplizierte Bereiche behandeln. Dabei ergeben sich nur dann einfache Lösungen, wenn als Randbedingungen konstante oder abschnittsweise konstante Temperaturen und adiabate Berandungen vorgeschrieben sind. Eine Wärme¨ ubergangsbedingung l¨ asst sich in der Regel nur näherungsweise ber¨ ucksichtigen. Als Beispiel hierf¨ ur sei die Untersuchung von K. Elgeti [2.19] genannt, der die W¨ armeabgabe eines in einer Wand verlegten Rohres berech¨ net hat. Schließlich sei die Methode der Uberlagerung von W¨ armequellen und -senken genannt. Auch mit dieser Methode lassen sich kompliziertere Temperaturfelder zwischen isotherm berandeten K¨ orpern berechnen. Sie entspricht dem Singularitätenverfahren, das in der Str¨ omungslehre zur Berechnung von Potentialströmungen um beliebig berandete Körper eingesetzt wird, vgl. z.B. [2.20]. Eine Anwendung dieses Verfahrens zeigen wir im nächsten Abschnitt. ¨ 2.2.5.1 Uberlagerung von W¨ armequellen und W¨ armesenken In Abschnitt 1.1.2 hatten wir die Temperaturverteilung ϑ = ϑ(r) in einem Hohlzylinder der L¨ ange L berechnet. Der in radialer Richtung fließende Wärmestrom ist

150


Q˙ = 2πLλ (ϑ − ϑ0 ) / ln (r0 /r) , wobei ϑ die Temperatur im Abstand r von der Achse und ϑ0 die Temperatur auf dem Radius r0 bedeuten. Man kann nun Q˙ als die Ergiebigkeit einer linienförmigen W¨ armequelle bei r = 0 auffassen, die parallel zur z-Achse verläuft. Sie bewirkt das nur von r abh¨ angige Temperaturfeld ϑ(r) = ϑ0 +

Q˙ ln (r0 /r) 2πLλ

(2.87)

mit Temperaturen, die f¨ ur r → 0 gegen unendlich gehen. Eine solche linienf¨ ormige oder zylindrische Wärmequelle möge nun auf der x-Achse im Punkt Q mit dem Abstand h vom Koordinatenursprung liegen, ˙ befinde sich im Punkt S im Abb. 2.16. Eine W¨ armesenke mit der St¨ arke (−Q) Abstand (−h) vom Koordinatenursprung. Wir stellen uns die Aufgabe, das ¨ ebene Temperaturfeld zu bestimmen, welches sich durch die Uberlagerung von Quelle und Senke in dem w¨ armeleitenden Medium ergibt.

¨ Abb. 2.16: Zur Uberlagerung der ebenen Temperaturfelder einer linienf¨ ormigen W¨ armequelle im Punkt Q und einer W¨ armesenke im Punkt S

Ein beliebiger Punkt P in Abb. 2.16 hat die Temperatur ϑ = ϑ0Q +

Q˙ Q˙ r0 r0 + ϑ0S − , ln ln 2πLλ rQ 2πLλ rS

woraus man mit ϑ0 = ϑ0Q + ϑ0S ϑ = ϑ0 +

Q˙ rS ln 2πLλ rQ

(2.88)

erh¨ alt. Darin bedeuten rQ und rS die Abst¨ ande des Punktes P von der Quelle bzw. der Senke. Eine Isotherme ϑ = const ist danach eine Linie, auf der das Abstandsverh¨ altnis (2.89) k := rS /rQ einen konstanten Wert hat. F¨ ur alle Punkte auf der y-Achse gilt rS = rQ ; somit ist die y-Achse die Isotherme mit k = 1, auf ihr ist ϑ = ϑ0 . Alle Punkte rechts von der y-Achse (x > 0) haben ein Abstandsverh¨ altnis k > 1 und Temperaturen ϑ > ϑ0 . F¨ ur die Punkte mit x < 0 gilt 0 ≤ k < 1 und ϑ < ϑ0 .


151

Wir zeigen nun, dass alle Isothermen ϑ = ϑ0 eine Schar von Kreisen bilden, deren Mittelpunkte auf der x-Achse liegen. Nach Abb. 2.16 gilt k2 = und daraus folgt

x−

(x + h)2 + y 2 rS2 = , 2 rQ (x − h)2 + y 2

k2 + 1 h k2 − 1

2 + y2 =

4k2 h2 . − 1)2

(k2

(2.90)

Dies ist die Gleichung eines Kreises mit dem Radius R=

2k h , k2 − 1

(2.91)

dessen Mittelpunkt M auf der x-Achse liegt und den Abstand m=

k2 + 1 h k2 − 1

(2.92)

vom Koordinatenursprung hat. Die Isothermen ϑ > ϑ0 sind wegen k > 1 Kreise, die rechts von der y-Achse liegen. Mit steigender Temperatur (wachsendem k) werden die Kreisradien immer kleiner, und der Kreismittelpunkt r¨ uckt immer n¨ aher an den Quellpunkt Q, Abb. 2.17. Isothermen mit ϑ < ϑ0 sind Kreise, die links von der y-Achse liegen. Mit sinkender Temperatur ziehen sich die Kreise immer enger um die Senke S zusammen.

Abb. 2.17: Isothermennetz nach (2.88) bzw. (2.90) f¨ ur verschiedene Abstandsverh¨ altnisse k nach (2.89); Q W¨ armequelle, S W¨ armesenke

Aus (2.91) und (2.92) erh¨ alt man durch Quadrieren

152

2 W¨ armeleitung und Diffusion h2 = m 2 − R 2 .

(2.93)

Bildet man das Verh¨ altnis m/R, so ergibt sich eine quadratische Gleichung f¨ ur k mit den L¨ osungen ( m 2 m −1 . (2.94) ± k= R R Das Pluszeichen liefert Abstandsverh¨ altnisse k > 1, ist also f¨ ur die Kreise rechts von der y-Achse anzuwenden, w¨ ahrend die andere L¨ osung Werte k < 1 ergibt, die den Kreisen links von der y-Achse entsprechen. Das durch (2.88), (2.89) und (2.90) gegebene und in Abb. 2.17 dargestellte Isothermennetz erlaubt es, die station¨ are W¨ armeleitung in dem Medium zwischen zwei isothermen Kreisen, z.B. zwischen zwei Rohren mit den konstanten Oberfl¨ achentemperaturen ϑ1 und ϑ2 zu berechnen. Hierf¨ ur gilt ϑ1 − ϑ2 =

Q˙ (ln k1 − ln k2 ) 2πLλ

oder

2πLλ ϑ1 − ϑ2 . (2.95) (ϑ1 − ϑ2 ) = ln (k1 /k2 ) RL Dies ist der W¨ armestrom, der zwischen den Isothermen ϑ = ϑ1 und ϑ = ϑ2 fließt. Er ist dem W¨ armeleitwiderstand (vgl. 1.2.2) Q˙ =

RL =

ln (k1 /k2 ) 2πLλ

(2.96)

umgekehrt proportional, der im Wesentlichen von der geometrischen Anordnung der beiden isothermen Kreise (Rohre) abh¨ angt. Dabei sind drei F¨ alle zu unterscheiden: 1. k1 > k2 > 1. Zwei exzentrische Rohre nach Abb. 2.18 a, deren Achsen den Abstand e haben. Das gr¨ oßere Rohr 2 mit der Oberfl¨ achentemperatur ϑ2 umschließt das Rohr 1 mit ϑ1 > ϑ2 . 2. k1 > 1; k2 = 1. Ein Rohr mit dem Radius R, das in der Tiefe m unter einer isothermen Ebene, z.B. unter der Erdoberfl¨ ache, liegt, Abb. 2.18 b. 3. k1 > 1; k2 < 1. Zwei Rohre mit den Radien R1 und R2 , deren Achsen den Abstand s > R1 +R2 haben. Sie liegen in einem sehr weit ausgedehnten Medium, Abb. 2.18 c.

Abb. 2.18: Drei Anordnungen von Rohren mit isothermen Oberfl¨ achen. a zwei exzentrisch ineinanderliegende Rohre, b ein Rohr und eine isotherme Ebene, c zwei Rohre mit dem Mittelpunktsabstand s > R1 + R2


153

Am einfachsten ist der W¨ armeleitwiderstand zwischen dem Rohr und der isothermen Ebene nach Abb. 2.18 b zu berechnen. Mit k2 = 1 und k1 nach (2.94) erh¨ alt man aus (2.96) ( m 2 1 1 m −1 = ln + arcosh (m/R) . (2.97) RL = 2πLλ R R 2πLλ Will man an der ebenen Oberfl¨ ache W¨ arme¨ ubergang an ein Fluid mit der Temperaucksichtigen, so kann dies n¨ aherungsweise dadurch geschehen, dass man tur ϑ2 ber¨ RL mit dem vergr¨ oßerten Abstand m∗ = m + λ/α berechnet. Die wirkliche Oberfl¨ ache in der Tiefe“ λ/α ist dann keine Isotherme, ” sondern zeigt ein schwaches Temperaturmaximum unmittelbar u ¨ber dem Rohr, wie es physikalisch zu erwarten ist. K. Elgeti [2.21] hat f¨ ur dieses Problem eine exakte L¨ osung gefunden. Danach gilt die N¨ aherung u ¨berraschend genau. Merkliche Abweichungen von der exakten L¨ osung treten nur f¨ ur αR/λ < 0,5 auf und nur bei Werten von m/R < 2. Bei der Berechnung des W¨ armeleitwiderstandes zwischen den beiden exzentrisch angeordneten Rohren nach Abb. 2.18 a hat man davon auszugehen, dass die beiden at) Rohrradien R1 und R2 und ihr Mittelpunktsabstand (Exzentrizit¨ e = m2 − m 1

(2.98)

gegeben sind. Die Abst¨ ande m1 und m2 sind durch diese drei Gr¨ oßen auszudr¨ ucken. Nach (2.93) gilt m22 − m21 = R22 − R12 (2.99) und aus (2.98) folgt (m2 − m1 )2 = e2 . Aus diesen beiden Gleichungen erh¨ alt man m1 =

R22 − R12 − e2 2e

und

m2 =

R22 − R12 + e2 . 2e

Damit ergibt sich der W¨ armeleitwiderstand zu 1 1 R2 − R12 + e2 R2 − R12 − e2 − arcosh 2 RL = arcosh 2 (ln k1 − ln k2 ) = 2πLλ 2πLλ 2eR1 2eR2 oder unter Benutzung eines Additionstheorems der Areacosinus hyperbolicus-Funktion 1 R2 + R22 − e2 . (2.100) arcosh 1 RL = 2πLλ 2R1 R2 F¨ ur den Sonderfall der konzentrischen Kreise (e = 0) erh¨ alt man nach kurzer Umformung das von 1.1.2 her bekannte Resultat RL =

1 ln (R2 /R1 ) . 2πLλ

F¨ ur den dritten Fall, zwei Rohre in einem ausgedehnten Medium nach Abb. 2.18 c, dr¨ ucken wir m1 und m2 durch die Rohrradien R1 und R2 sowie durch den Abstand

154

2 W¨ armeleitung und Diffusion s = m1 + m2

aus. Hierf¨ ur erh¨ alt man mit (2.99) s2 − R22 − R12 m1 = 2s

und

m2 =

s2 + R22 − R12 . 2s

Der W¨ armeleitwiderstand ergibt sich mit ⎛ ⎞ +

2 m m2 m 2 2 ln k2 = ln ⎝ − − 1⎠ = −arcosh R2 R2 R2 zu RL =

s2 − R22 − R12 1 s2 + R22 − R12 + arcosh arcosh 2πLλ 2sR1 2sR2

(2.101)

und schließlich zu

1 s2 − R12 − R22 . (2.102) arcosh 2πLλ 2R1 R2 Haben die beiden Rohre den gleichen Radius R1 = R2 = R, so erh¨ alt man aus (2.101) 1 s RL = arcosh . (2.103) πLλ 2R ¨ Durch die Uberlagerung mehrerer W¨ armequellen und -senken lassen sich kompliziertere Temperaturfelder berechnen. W. Nußelt [2.22] hat die Rohre in der Decke einer Strahlungsheizung durch linienf¨ ormige W¨ armequellen ersetzt und so die Temperaturverteilung in der Decke berechnet. RL =

2.2.5.2 Formkoeffizienten ˙ der von einer isothermen Fläche mit der Temperatur ϑ1 Der Wärmestrom Q, zu einer anderen isothermen Fl¨ ache mit der Temperatur ϑ2 strömt, lässt sich bei bekanntem W¨ armeleitwiderstand RL nach der einfachen Beziehung Q˙ = (ϑ1 − ϑ2 ) /RL berechnen. Dabei ist RL umgekehrt proportional zur Wärmeleitfähigkeit λ des Materials zwischen den beiden isothermen Flächen. Es liegt nahe, RL = (λS)−1

(2.104)

Q˙ = λS (ϑ1 − ϑ2 )

(2.105)

oder zu setzen und damit den Formkoeffizienten S (englisch: shape factor) zu definieren. Der Formkoeffizient h¨ angt nur von der geometrischen Anordnung der beiden isothermen Fl¨ achen ab, zwischen denen Q˙ durch Leitung u ¨bertragen wird; er hat die Dimension einer L¨ ange. F¨ ur Körper mit zweidimensionaler (ebener) Temperaturverteilung, die die Länge L senkrecht zur Ebene der Koordinaten haben, von denen ϑ abhängt,


155

l¨ asst sich ein auf L bezogener und damit dimensionsloser Formkoeffizient SL := S/L definieren, der auch Formfaktor genannt wird. Beispiele solcher ebenen Temperaturfelder haben wir im letzten Abschnitt behandelt. So ergibt sich der Formfaktor f¨ ur ein Rohr mit dem Radius R und der Länge L, das nach Abb. 2.18 b in der Tiefe m unter einer isothermen Ebene liegt, nach (2.97) und (2.104) zu 2π S = . L arcosh (m/R)

SL =

(2.106)

In gleicher Weise erh¨ alt man die Formfaktoren f¨ ur die Rohranordnungen nach Abb. 2.18 a und 2.18 c aus den Gl. (2.100) bzw. (2.102). Um den Formkoeffizienten S allgemein zu berechnen, bestimmt man den Wärmestrom Q˙ durch Integration der ¨ ortlichen Wärmestromdichte q˙ = −λ

∂ϑ ∂n

ur den Wärmestrom, der von A1 an den isothermen Fl¨ achen A1 und A2 . F¨ nach A2 fließt, erh¨ alt man

∂ϑ dA1 = λ ∂n1

Q˙ = −λ (A1 )

∂ϑ dA2 . ∂n2

(2.107)

(A2 )

Dabei sind die Fl¨ achennormalen n1 und n2 in das wärmeleitende Medium hinein gerichtet. Mit (2.105) erh¨ alt man f¨ ur den Formkoeffizienten

S=

Q˙ 1 1 ∂ϑ ∂ϑ =− dA1 = dA2 . (2.108) λ (ϑ1 − ϑ2 ) ϑ1 − ϑ2 ∂n1 ϑ1 − ϑ2 ∂n2 (A1 )

(A2 )

Nach dieser Beziehung kann S aus einem bekannten Temperaturfeld berechnet werden. E. Hahne und U. Grigull [2.23] haben Formkoeffizienten und Formfaktoren f¨ ur eine größere Zahl geometrischer Anordnungen zusammengestellt und systematisch eingeteilt. Eine ¨ ahnliche, sehr u ¨bersichtliche Sammlung von Formfaktoren f¨ ur 45 geometrische Anordnungen findet man im VDI-Wärmeatlas [2.24]. Bei der Definition des Formkoeffizienten nach (2.105) und seiner Berechnung nach (2.107) und (2.108) wurde eine konstante W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ vorausgesetzt. Man ber¨ ucksichtigt die Temperaturabh¨ angigkeit von λ = λ(ϑ) durch die in Abschnitt 2.1.4 eingef¨ uhrte transformierte Temperatur Θ nach (2.26) und findet, dass ein f¨ ur konstantes λ berechneter Formkoeffizient S bei temperaturabh¨ angigem λ = λ(ϑ) unver¨ andert benutzt werden kann, um den W¨ armestrom zwischen isothermen Fl¨ achen zu berechnen. Hierf¨ ur gilt (2.105) mit der Maßgabe, dass λ durch den integralen Mittelwert

156


λm

1 = ϑ1 − ϑ2

ϑ1 λ(ϑ) dϑ

(2.109)

ϑ2

ersetzt wird. Dieses Ergebnis ist eine Verallgemeinerung der in Abschnitt 1.1.2 aufgestellten Gl. (1.8) bis (1.11) f¨ ur die geometrisch eindimensionale W¨ armeleitung zwischen den isothermen Oberfl¨ achen ebener und gekr¨ ummter W¨ ande.

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung Zeitabhängige oder instation¨ are Temperaturfelder treten auf, wenn sich die thermischen Bedingungen an der Berandung eines Körpers a¨ndern. Wird z.B. ein Körper mit anf¨ anglich konstanter Temperatur einer Umgebung mit einer davon abweichenden Temperatur ausgesetzt, so fließt Wärme u ¨ber die K¨ orperoberfläche, und die Temperatur im K¨ orper a¨ndert sich mit der Zeit. Am Ende dieses zeitabh¨ angigen Vorgangs stellt sich eine neue stationäre Temperaturverteilung ein. In den folgenden Abschnitten behandeln wir einfache und f¨ ur die Anwendungen wichtige L¨ osungen der instation¨ aren Wärmeleitungsgleichung. Dabei stehen die Probleme im Vordergrund, bei denen das Temperaturfeld von der Zeit und nur einer geometrischen Koordinate abhängt. Wir gehen auf die wichtigsten mathematischen L¨ osungsmethoden ein. Die Lösung instationärer Wärmeleitprobleme durch numerische Verfahren wird Abschnitt 2.4 behandelt.

2.3.1 L¨ osungsmethoden Die Lösung eines instation¨ aren W¨ armeleitproblems kann auf drei Wegen gefunden werden: 1. durch eine geschlossene L¨ osung der W¨ armeleitungsgleichung unter Erf¨ ullung der Randbedingungen, 2. durch eine numerische L¨ osung der Differentialgleichung (mit Randbedingungen) unter Verwendung eines Differenzenverfahrens oder der Methode der finiten Elemente, 3. durch eine experimentelle L¨ osung unter Benutzung eines Analogieverfahrens. Um eine geschlossene L¨ osung durch mathematische Funktionen zu finden, muss man temperaturunabh¨ angige Stoffwerte annehmen, was nach Abschnitt 2.1.2 auf die partielle Differentialgleichung ˙ W ∂ϑ = a∇2 ϑ + ∂t c

(2.110)

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

157

f¨ uhrt. Damit eine lineare Differentialgleichung entsteht, beschränkt man sich ˙ ≡ 0) oder setzt eientweder auf Probleme ohne innere W¨ armequellen (W ne von ϑ unabhängige oder eine nur linear von ϑ abhängige Leistungsdichte ˙ voraus. Außerdem m¨ W ussen die Randbedingungen linear sein, was bei der Wärme¨ ubergangsbedingung (2.23) einen konstanten oder zeitabhängigen, jedoch nicht temperaturabh¨ angigen W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten α verlangt. Die hiermit umrissenen linearen Anfangs-Randwertaufgaben wurden f¨ ur zahlreiche Fälle im 19. und 20. Jahrhundert gelöst. Dabei wurden die klas¨ sischen Lösungsmethoden des Separationsansatzes, der Uberlagerung von W¨ armequellen und W¨ armesenken sowie der Greenschen Funktion verwendet. In neuerer Zeit hat die Laplace-Transformation als Lösungsmethode f¨ ur lineare instationäre W¨ armeleitprobleme an Bedeutung gewonnen. Den klassischen Separationsansatz werden wir in den Abschnitten 2.3.4 bis 2.3.6 anwenden. Da die Laplace-Transformation dem Ingenieur weniger bekannt ist, geben wir im folgenden Abschnitt eine kurze Einf¨ uhrung und zeigen in 2.3.3 ihre Anwendung auf Probleme, die mit dieser Methode besonders einfach lösbar sind. Eine umfassende Darstellung der mathematischen Lösungsmethoden und eine F¨ ulle von Ergebnissen enth¨ alt das Standardwerk von H.S. Carslaw und J.C. Jaeger [2.1]. Die numerische L¨ osung instation¨ arer W¨ armeleitprobleme hat besondere angige Stoffwerte, Körper mit unregelmäßiBedeutung, wenn temperaturabh¨ gen Berandungen oder komplizierte Randbedingungen, z.B. ein temperaturabhängiges α vorliegen. In diesen F¨ allen bieten numerische Verfahren in der Regel die einzige L¨ osungsm¨ oglichkeit. Durch den Einsatz elektronischer Rechner haben sich ihre Anwendungsm¨ oglichkeiten stark erweitert. Wir gehen auf diese Verfahren in Abschnitt 2.4 ausf¨ uhrlich ein. Experimentelle Analogieverfahren beruhen darauf, dass verschiedene nichtstationäre Transportvorg¨ ange, insbesondere die Elektrizitätsleitung, zu partiellen Differentialgleichungen f¨ uhren, die den gleichen Aufbau wie die Wärmeleitungsgleichung haben. Man spricht von analogen Vorgängen und benutzt ein Modell eines solchen zur W¨ armeleitung analogen Vorgangs, um die an diesem Modell gewonnenen Messergebnisse auf den Wärmeleitungsvorgang zu u ¨bertragen. Eine kurze Beschreibung derartiger Analogiemodelle findet man bei U. Grigull und H. Sandner [2.18]. Da sie als Folge der Entwicklung der modernen Rechentechnik kaum noch praktische Bedeutung haben, gehen wir auf die Analogieverfahren nicht weiter ein.

2.3.2 Die Laplace-Transformation Zur Lösung der linearen W¨ armeleitungsgleichung (2.110) bei linearen Randbedingungen hat sich die Laplace-Transformation bewährt. Sie zeichnet sich durch einen eindeutig vorgegebenen L¨ osungsweg aus und ermöglicht es, spezielle Lösungsformen, z.B. L¨ osungen f¨ ur kleine Zeiten oder an einer bestimmten Stelle des wärmeleitenden K¨ orpers, zu erhalten, ohne das gesamte Temperaturfeld in seiner r¨ aumlichen und zeitlichen Abhängigkeit bestimmen zu

158


m¨ ussen. Eine einf¨ uhrende Darstellung der Laplace-Transformation in ihrer Anwendung auf W¨ armeleitprobleme hat H.D. Baehr [2.25] gegeben. Eine ausf¨ uhrliche Darstellung bietet das Buch von H. Tautz [2.26]. Besondere Bedeutung hat die Laplace-Transformation bei geometrisch eindimensionalem Wärmefluss; hier wird die L¨ osung der partiellen Differentialgleichung auf die Lösung einer linearen gew¨ ohnlichen Differentialgleichung zur¨ uckgef¨ uhrt. Bei der folgenden Einf¨ uhrung beschr¨ anken wir uns auf diesen Fall. Es sei ϑ = ϑ (x, t) die gesuchte Temperaturverteilung. Multipliziert man ϑ mit dem Faktor e−st , in dem s eine (komplexe) Größe mit der Dimension einer Frequenz ist, und integriert das Produkt von t = 0 bis t → ∞, so erhält man eine neue Funktion ∞ u (x, s) = L {ϑ (x, t)} =

ϑ (x, t) e−st dt .

(2.111)

0

Sie heißt die Laplace-Transformierte der Temperatur ϑ und hängt von s und x ab2 . Wir benutzen die Bezeichnung L {ϑ}, wenn wir allgemeine Sätze formulieren; die Bezeichnung u ist eine Abk¨ urzung f¨ ur L {ϑ} bei der Lösung konkreter Probleme. Allgemeiner wird ϑ als Oberfunktion oder Objektfunktion und L {ϑ} als Unterfunktion oder Bildfunktion bezeichnet. Da s die Dimension einer Frequenz hat, sagt man auch, durch die Laplace-Transformation werde ϑ vom Zeitbereich in den Frequenzbereich transformiert. Zur Anwendung der Laplace-Transformation benötigt man einige wenige Sätze, die ohne Beweis in Tabelle 2.2 zusammengestellt sind, und eine Tafel von Funktionen ϑ mit ihren Laplace-Transformierten u. Man erzeugt diese Tafel der Korrespondenzen durch Auswerten der Definitionsgleichung (2.111). So erh¨ alt man beispielsweise f¨ ur ϑ (x, t) = f (x) e−ct die Laplace-Transformierte ∞ u (x, s) =

f (x) e 0

−ct −st

e

e−(s+c)t = −f (x) s+c

∞ dt = f (x) ∞ 0

e−(s+c)t dt

0

f (x) . = s+c

Wir haben also allgemein die Entsprechung u (x, s) •−◦ ϑ (x, t) und in unserem Beispiel 2

In manchen Darstellungen wird der Laplace-Parameter s mit p bezeichnet, so bei H.S. Carslaw u. J.C. Jaeger [2.1] und bei H. Tautz [2.26].


159

Tabelle 2.2: Einige allgemeine Beziehungen f¨ ur die Laplace-Transformierte L {ϑ} = u 1. L {ϑ1 + ϑ2 } = L {ϑ1 } + L {ϑ2 } , ∂ϑ = sL {ϑ} − ϑ0 = s u − ϑ0 (x) ∂t mit ϑ0 (x) = lim ϑ (x, t) , ( Anfangstemperaturverteilung )

2. L

t→+0

3. L

∂nϑ ∂xn

t

4. L 0

, =

∂nu ∂xn

ϑ t dt

, =

1 L {ϑ} s

5. Ist L {ϑ (t)} = u (s) und k eine positive Konstante, so gilt 1 s L {ϑ (kt)} = u k k t , t , 6. L f1 (τ ) f2 (t − τ ) dτ = L f2 (τ ) f1 (t − τ ) dτ 0

0

= L {f1 (t)} · L {f2 (t)} , sogenannter Faltungssatz, der insbesondere bei zeitabh¨ angigen Randbedingungen angewendet wird.

f (x) •−◦ f (x) e−ct , s+c wobei als Sonderfall f¨ ur f (x) ≡ 1 und c = 0 1 •−◦ 1 s gilt.

Weitere derartige Korrespondenzen, die f¨ ur die Lösung der Wärmeleitungsgleichung wichtig sind, enth¨ alt Tafel 2.3. Umfangreichere Verzeichnisse findet man in der Literatur, z.B. [2.1], [2.26] bis [2.28]. Um das Lösungsverfahren zu erl¨ autern, beschränken wir uns auf den linearen Wärmefluss in x-Richtung und schreiben die Wärmeleitungsgleichung in der Form ∂2ϑ 1 ∂ ϑ − =0 . (2.112) ∂x2 a ∂t Wir wenden die Laplace-Transformation an und erhalten nach Tabelle 2.2 die gewöhnliche Differentialgleichung

160


d2 u s 1 − u = − ϑ0 (x) , 2 dx a a

(2.113)

in der ϑ0 (x) = ϑ (x, t = 0) die gegebene Anfangstemperaturverteilung zur Zeit t = 0 bedeutet. Ist ϑ0 (x) = 0, so liegt eine homogene lineare Differentialgleichung vor, deren allgemeine L¨ osung sofort angegeben werden kann: - - s u (x, s) = c1 exp − as x + c2 exp ax = C1 cosh

- s x + C sinh s 2 a ax .

(2.114)

Die beiden Integrationskonstanten c1 , c2 bzw. C1 , C2 ergeben sich durch Anpassung von u an die Randbedingungen, die ebenfalls der Laplace-Transformation unterworfen werden m¨ ussen. Muss eine Anfangsbedingung ϑ0 = 0 ber¨ ucksichtigt werden, so hat man die durch (2.114) gegebene Lösung der homogenen Differentialgleichung durch eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung zu erg¨ anzen. Ist die den Anfangs- und Randbedingungen angepasste Laplace-Transformierte u (x, s) der Temperatur ϑ (x, t) gefunden, so muss noch die R¨ ucktransformation vorgenommen werden. Dies geschieht am einfachsten durch Verwenden einer Tafel von Korrespondenzen, z.B. Tabelle 2.3, aus der die gesuchte Temperaturverteilung einfach abgelesen werden kann. Häufig ist jedoch u (x, s) nicht in der Tafel der Korrespondenzen zu finden. F¨ ur diesen Fall stellt die Theorie der Laplace-Transformation eine Umkehrformel zur Verf¨ ugung. Hier erscheint die gesuchte Temperaturverteilung als ein komplexes Integral, das mit dem Cauchyschen Satz der Funktionentheorie ausgewertet werden kann. Die Temperaturverteilung ergibt sich dann als eine unendliche Reihe mit abklingenden Exponentialfunktionen der Zeit. Wir gehen auf die Anwendung der Umkehrformel nicht ein, sondern beschr¨ anken uns auf die Fälle, bei denen die R¨ ucktransformation durch die Tafel der Korrespondenzen ermöglicht wird. Die Anwendung der Umkehrformel ist in [2.1], [2.25] und [2.26] erläutert. Außerdem ist es möglich, die R¨ ucktransformation numerisch vorzunehmen, wozu es verschiedene Algorithmen gibt, [2.29]. Die Lösung eines instation¨ aren W¨ armeleitproblems mit Hilfe der LaplaceTransformation geschieht also in drei Schritten: 1. Transformation der Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung und den Randbedingungen in den Frequenzbereich (ϑ → u, t → s). 2. Lösung der Differentialgleichung f¨ ur die Laplace-Transformierte u unter Ber¨ ucksichtigung der (transformierten) Randbedingungen. 3. R¨ ucktransformation in den Bildbereich (u → ϑ, s → t) unter Benutzung einer Tafel der Korrespondenzen (u •−◦ ϑ) oder der allgemeinen Umkehrformel. Auf zwei vorteilhafte Eigenschaften der Laplace-Transformation sei noch besonders hingewiesen. Interessiert man sich nicht f¨ ur die Temperaturverteilung


161

Tabelle 2.3: Tafel einiger Korrespondenzen.u (s, x) ist die Laplace-Transformierte √ von ϑ (t, x). Es gelten die Abk¨ urzungen p = s/a und ξ = x/2 at .

u (s, x) c s

1.

ϑ (t, x)

c

1

, ν > −1 ν+1

tν , Γ ist die Gammafunktion, s.u. Γ (ν + 1)

3.

1 s+c

e−ct

4.

e−px

5.

e−px p

2 ξ √ e−ξ πt ( a −ξ2 e πt

6.

e−px s

erfc ξ, Komplement¨ are Fehlerfunktion , s.u.

7.

e−px sp

√ 2 at

8.

e−px s2

t

9.

e−px p+h

10.

e−px p (p + h)

√ 2 aehx+ah t erfc ξ + h at

11.

e−px s (p + h)

√ 2 1 erfc ξ − ehx+ah t erfc ξ + h at h

2.

s

(

2

e−ξ √ − ξ erfc ξ π

√ = 2 at ierfc ξ

2 2 1 + 2ξ 2 erfc ξ − √ ξ e−ξ π

√ 2 a −ξ2 − haehx+ah t erfc ξ + h at e πt

Besondere Werte der Gamma-Funktion: Γ (1) = 1 ; Γ (n) = (n − 1)! = 1 · 2 · 3 · . . . (n − 1) , (n = 2, 3, . . .) √ 1 · 3 · 5 · . . . (2n − 1) √ Γ ( 12 ) = π ; Γ (n + 12 ) = π , (n = 1, 2, 3, . . .) 2n Werte der komplement¨ aren Fehlerfunktionen erfc ξ und ierfc ξ findet man in Tabelle 2.5 in Abschnitt 2.3.3.1. Der Verlauf dieser Funktionen ist in Abb. 2.22 dargestellt.

162


in ihrer räumlichen Gesamtheit, sondern nur f¨ ur den zeitlichen Temperaturverlauf an einer bestimmten Stelle des w¨ armeleitenden Körpers, so braucht man nicht die gesamte Laplace-Transformierte u r¨ uckzutransformieren. Es gen¨ ugt vielmehr, in u die Ortsvariablen konstant zu setzen und nur diese vereinfachte Funktion u (s) in ϑ (t) r¨ uckzutransformieren. Neben dieser Vereinfachung, nur den tatsächlich ben¨ otigten Teil der Temperaturverteilung zu berechnen, gibt es die Möglichkeit, L¨ osungen zu erhalten, die f¨ ur kleine Zeiten, also f¨ ur den Anfang eines W¨ armeleitvorganges gelten und hier besonders einfache Formen annehmen. Dazu hat man die Laplace-Transformierte u in eine Reihe zu entwickeln, die f¨ ur große Werte von s konvergiert. Durch gliedweises R¨ ucktransformieren unter Benutzung der Tafel der Korrespondenzen erhält man f¨ ur ϑ eine Reihe, die f¨ ur kleine Werte von t konvergiert. Diese Besonderheiten und eine Veranschaulichung des L¨ osungswegs zeigt das folgende Beispiel. Beispiel 2.3: Eine ebene Wand mit der Dicke δ habe die konstante Temperatur ache x = δ sprungartig auf ϑ0 . Zur Zeit t = 0 werde die Temperatur der Oberfl¨ den Wert ϑU erh¨ oht, w¨ ahrend die andere Oberfl¨ ache x = 0 adiabat sein soll, Abb. 2.19. Von der rechten Oberfl¨ ache her str¨ omt dann W¨ arme in die Wand; die Temperaturen steigen mit der Zeit, wobei sich die Temperatur der linken Wandoberfl¨ ache am langsamsten erh¨ oht. Der hier auftretende Temperaturanstieg, also die Temperatur ϑ(x = 0, t) soll berechnet werden.

Abb. 2.19: Einseitige Erw¨ armung einer ebenen Wand durch sprunghafte Erh¨ ohung der Oberfl¨ achentemperatur bei x = δ von ϑ0 auf ϑU Dieses instation¨ are W¨ armeleitproblem kann als Modell des folgenden realen Vorgangs angesehen werden. Eine feuerhemmende Wand wird auf ihrer Außenseite (x = δ) aufgrund eines Brandes stark erw¨ armt. Es interessiert der zeitliche Temperaturanstieg auf der anderen Wandseite bei x = 0; die Annahme einer adiabaten Oberfl¨ ache bei x = 0 ergibt einen st¨ arkeren Temperaturanstieg, als er in Wirklichkeit zu erwarten ist. Mit dieser Annahme befindet man sich also auf der sicheren Seite“. ” Zur L¨ osung des W¨ armeleitproblems nehmen wir einen W¨ armefluss nur in xRichtung sowie eine konstante Temperaturleitf¨ ahigkeit a der Wand an. Wir ¨ f¨ uhren zun¨ achst nur die Ubertemperatur Θ(x, t) := ϑ(x, t) − ϑ0 ein und verschieben die Benutzung dimensionsloser Gr¨ oßen bis zur Darstellung des Ergebnisses, um eine gr¨ oßere Anschaulichkeit zu erhalten. Die W¨ armeleitungsgleichung (2.112) hat hier die Gestalt


163

1 ∂Θ ∂ 2Θ − =0 ∂x2 a ∂t mit der Anfangsbedingung Θ0 (x) = Θ(x, 0) = 0 . Die Randbedingungen lauten ∂Θ =0 ∂x

bei

x=0

(adiabate Oberfl¨ ache) und Θ(δ, t) = ΘU = ϑU − ϑ0

bei

x=δ .

Anwendung der Laplace-Transformation f¨ uhrt auf die der Gl. (2.113) entsprechende gew¨ ohnliche Differentialgleichung d2 u s − u=0 dx2 a

(2.115)

¨ f¨ ur die Laplace-Transformierte u = u(x, s) der Ubertemperatur Θ(x, t). Dabei ist die Anfangsbedingung bereits ber¨ ucksichtigt. Laplace-Transformation der beiden Randbedingungen ergibt du =0 dx

f¨ ur

x=0

(2.116)

und

ΘU f¨ ur x = δ . s Die allgemeine L¨ osung der Differentialgleichung (2.115) ist u(δ, s) =

(2.117)

u(x, s) = C1 cosh px + C2 sinh px , wobei wir die Abk¨ urzung p = s/a benutzt haben. Aus der Randbedingung (2.116) folgt C2 = 0, und aus (2.117) ergibt sich C1 cosh pδ =

ΘU . s

Somit lautet die gesuchte Unterfunktion u(x, s) =

ΘU cosh px . s cosh pδ

Die R¨ ucktransformation gelingt mit Hilfe der allgemeinen Umkehrformel, worauf wir hier verzichten, denn uns interessiert nur die Temperatur an der Stelle x = 0. Wir finden hierf¨ ur u(0, s) =

2ΘU 2ΘU e−pδ ΘU = = . s cosh pδ s (epδ + e−pδ ) s (1 + e−2pδ )

Um die R¨ ucktransformation mit Hilfe der Tafel der Korrespondenzen ausf¨ uhren zu k¨ onnen, entwickeln wir den Nenner in eine binomische Reihe, erhalten

164

2 W¨ armeleitung und Diffusion u(0, s) =

und schließlich

2ΘU e−pδ 1 − e−2pδ + e−4pδ − e−6pδ + · · · s

−pδ e u(0, s) e−3pδ e−5pδ =2 − + − ··· . ΘU s s s

Dies ist eine Reihenentwicklung, die f¨ ur große Werte von s bzw. p = s/a rasch konvergiert. Ihre R¨ ucktransformation mit Hilfe der Tafel der Korrespondenzen (Nr. 6 von Tabelle 2.3 mit x = δ, 3δ, 5δ, . . . ) ergibt eine Reihe, die f¨ ur kleine Zeiten t besonders gut geeignet ist. Man erh¨ alt Θ(0, t) = 2 [erfc ξ − erfc 3ξ + erfc 5ξ − · · · ] , ΘU wobei zur Abk¨ urzung δ ξ= √ 2 at gesetzt wurde. Die hier auftretende Funktion erfc ξ ist das komplement¨ are Fehlerintegral (errorfunction complement), das in Abschnitt 2.3.3.1 erl¨ autert wird und in Tabelle 2.4 vertafelt ist. Diese transzendente Funktion strebt mit gr¨ oßer werdendem Argument sehr rasch gegen null, so dass die Reihe f¨ ur großes ξ, entsprechend kleinen Zeiten t, sehr gut konvergiert. Wir f¨ uhren die dimensionslose Zeit t+ :=

at = (2ξ)−2 δ2

ein und erhalten f¨ ur die dimensionslose Temperatur bei x = 0 die Reihe ϑ 0, t+ − ϑ0 Θ(0, t) = ϑ+ t+ := ϑ U − ϑ0 ΘU

(2.118) 1 3 5 = 2 erfc √ − erfc √ + erfc √ − · · · . 2 t+ 2 t+ 2 t+ ugen, um die Abb. 2.20 zeigt den Verlauf von ϑ+ (t+ ). Nur wenige Terme gen¨ Temperatur auch bei gr¨ oßeren bezogenen Zeiten t+ genau wiederzugeben. Das wird durch den ersten Term der Verhalten von ϑ+ (t+ ) bei sehr kleinen Zeiten √ asymptotischen Entwicklung von erfc(1/2 t+ ) beschrieben. Nach Gl. (2.127) von Abschnitt 2.3.3.1 erh¨ alt man hierf¨ ur 4 √+ 1 t exp −1/4t+ . ϑ+ t+ ≈ 2 erfc √ √ (2.119) + π 2 t Diese Funktion ist als Kurve a in Abb. 2.20 dargestellt. Als Beispiel werde eine Wand aus Beton mit a = 3,75 · 10−6 m2 /s und der Dicke δ = 0,50 m betrachtet. F¨ ur die reale“ Zeit t erh¨ alt man ” 2 + t = δ /a t = 18,5 h t+ . Nach dieser Beziehung wurde die zus¨ atzliche Skala in Abb. 2.20 gezeichnet. Danach vergehen z.B. 2,41 h bis ϑ+ (t+ ) = 0,1 wird, die Temperatur bei x = 0 also um 10% des an der anderen Wandoberfl¨ ache angenommenen Temperatursprungs (ϑU − ϑ0 ) ansteigt.


165

Abb. 2.20: Zeitlicher Verlauf der dimensionslosen Temperatur ϑ+ (0, t+ ) an der adiabaten Oberfl¨ ache (x = 0) der Wand von Abb. 2.19. Kurve 1: erster Term, Kurve 2: Summe der beiden ersten Terme in (2.118), Kurve a: asymptotische Entwicklung nach (2.119) f¨ ur sehr kleine Zeiten

2.3.3 Der einseitig unendlich ausgedehnte K¨ orper Wir betrachten die instation¨ are W¨ armeleitung in einer sehr dicken Platte, deren freie Oberfl¨ ache x = 0, vgl. Abb. 2.21, an die Umgebung grenzt und die sonst als unendlich ausgedehnt angesehen werden kann. Das an die Erdoberfläche grenzende Erdreich ist ein Beispiel eines solchen einseitig unendlich ausgedehnten Körpers. Auch K¨ orper endlicher Dicke lassen sich bei Beginn eines Abk¨ uhlungs- oder Erw¨ armungsvorgangs, der an der Oberfläche x = 0 einsetzt, als in x-Richtung unendlich weit ausgedehnt behandeln, so dass die folgenden relativ einfachen Ergebnisse auch in solchen Fällen anwendbar sind. 2.3.3.1 Erw¨ armung und Abk¨ uhlung bei verschiedenen Randbedingungen Die gesuchte Temperaturverteilung ϑ = ϑ(x, t) gen¨ ugt der Differentialgleichung ∂2ϑ ∂ϑ = a 2 , t ≥ 0, x ≥ 0, (2.120) ∂t ∂x und soll die einfache Anfangsbedingung ϑ(x, t = 0) = ϑ0 = const erf¨ ullen. Außerdem muss ϑ f¨ ur x → ∞ beschr¨ ankt bleiben. An der Oberfläche x = 0 sollen nun verschiedene Randbedingungen gelten, die in Abb. 2.21 veranschaulicht sind:

166


¨ eine sprunghafte Anderung der Oberfl¨ achentemperatur auf den Wert ϑS , der f¨ ur t > 0 konstant bleiben soll, Abb. 2.21a; – das Einwirken einer konstanten W¨ armestromdichte q˙0 , Abb. 2.21b; ¨ – eine sprunghafte Anderung der Umgebungstemperatur auf den f¨ ur t > 0 arme¨ ubergang mit dem Wärme¨ uberkonstanten Wert ϑU = ϑ0 , so dass W¨ gangskoeffizienten α stattfindet, Abb. 2.21c. –

Abb. 2.21: Erw¨ armung eines halbunendlichen K¨ orpers bei unterschiedlichen Randbedingungen an der Oberfl¨ ache (x = 0). a sprungartige Erh¨ ohung der Oberfl¨ achenarmestromdichte q˙0 , c W¨ arme¨ ubergang von einem temperatur auf ϑS , b konstante W¨ Fluid mit ϑ = ϑU

Zur Berechnung der Temperaturverteilung in allen drei Fällen f¨ uhren wir ¨ zunächst die Ubertemperatur Θ := ϑ − ϑ0 als neue abhängige Variable ein. Dann gilt statt (2.120) 1 ∂Θ ∂2Θ − =0 2 ∂x a ∂t

(2.121)

Θ(x, t = 0) = 0 .

(2.122)

mit der Anfangsbedingung

Wir wenden auf diese Gleichungen die Laplace-Transformation an und erhalten die schon in Abschnitt 2.3.2 besprochene gewöhnliche Differentialgleichung d2 u s − u=0 dx2 a f¨ ur die Laplace-Transformierte u von Θ mit der Lösung

( s x = C exp (−px) . u(x, s) = C exp − a

(2.123)

Da Θ und damit u auch f¨ ur x → ∞ beschr¨ ankt sein m¨ ussen, entfällt in (2.114) die zweite zu exp(+px) proportionale L¨ osung.


167

Tabelle 2.4: Randbedingungen an der freien Oberfl¨ ache x = 0 eines einseitig unendlich ausgedehnten K¨ orpers nach Abb. 2.21 mit ihren Laplace-Transformierten und der sich daraus ergebenden Konstante C von Gl. (2.123)

Fall

Randbedingung bei x = 0

a

Θ = ϑS − ϑ0 = ΘS

b

c −λ

−λ

∂Θ = q˙0 ∂x

Transformierte Randbedingung

u=

−λ

Konstante C in Gl. (2.123)

ΘS s

C=

q˙0 du = dx s

∂Θ du = α(ΘU − Θ) −λ =α ∂x dx

C=

ΘU −u s

C=

ΘS s q˙0 λsp

αΘU λs (p + α/λ)

Tabelle 2.4 enth¨ alt die Randbedingungen bei x = 0 f¨ ur die drei Fälle von Abb. 2.21, die Laplace-Transformierte der Randbedingung und den sich daraus ergebenden Ausdruck f¨ ur die Konstante C. Die R¨ ucktransformation der Unterfunktion u nach (2.123) mit C nach Tabelle 2.4 gelingt ohne Komplikation durch Aufsuchen der entsprechenden Korrespondenzen in Tabelle 2.3. Wir diskutieren nun die so gewonnenen Temperaturverteilungen der Reihe nach. ¨ Bei sprunghafter Anderung der Oberfl¨ achentemperatur von ϑ0 auf ϑS (Fall a) lautet die Temperaturverteilung (Nr. 6 von Tabelle 2.3) Θ ϑ − ϑ0 x = = erfc √ = erfc ξ . ΘS ϑS − ϑ 0 2 at

(2.124)

Sie hängt nur von der dimensionslosen Variablenkombination x ξ := √ 2 at

(2.125)

ab. Hierbei bedeutet 2 erfc ξ = 1 − erf ξ = 1 − √ π

ξ

2

e−w dw

(2.126)

0

das komplementäre Fehlerintegral (error-function complement), während erf ξ als Fehlerintegral (error-function) bezeichnet wird. Tabelle 2.5 gibt Werte von erfc ξ. Ausf¨ uhrliche Tabellen sind in [2.30] bis [2.32] enthalten. Reihenentwicklungen und Berechnungsgleichungen f¨ ur erf ξ und erfc ξ findet man bei

168


J. Spanier und K.B. Oldham [2.28]. F¨ ur gr¨ oßere Argumente (ξ > 2,6) gilt die asymptotische Entwicklung

exp(−ξ 2 ) 3 15 1 erfc ξ = √ . (2.127) 1 − 2 + 4 − 6 + ··· 2ξ 4ξ 8ξ πξ In Abb. 2.22 sind die Funktionen erf ξ und erfc ξ dargestellt. Der Grenzwert erfc(ξ = 0) = 1 entspricht der Temperatur ϑ = ϑS ; er wird f¨ ur x = 0, entsprechend der vorgeschriebenen Randbedingung, und f¨ ur sehr große Zeiten (t → ∞) auch im Inneren des K¨ orpers erreicht. Der Grenzwert erfc(∞) = 0 ur t = 0. entspricht ϑ = ϑ0 , also der Anfangsbedingung f¨

Abb. 2.22: Fehlerintegrale erf ξ und erfc ξ nach (2.126) sowie integriertes Fehlerintegral ierfc ξ nach (2.134)

Aus (2.124) erh¨ alt man die W¨ armestromdichte in der Tiefe x zur Zeit t zu q(x, ˙ t) = −λ

∂ϑ λ(ϑS − ϑ0 ) √ exp −x2 /4at . = ∂x πat

Hier ist es u angigen W¨ armeeindringkoeffizienten ¨blich, den vom Material abh¨ √ b := λc = λ/ a (2.128) einzuf¨ uhren. Damit wird q(x, ˙ t) =

b (ϑS − ϑ0 ) √ exp −x2 /4at . πt

(2.129)

An der Oberfläche x = 0 ist √ ˙ t) = b (ϑS − ϑ0 )/ πt . q˙0 = q(0,

(2.130)


169

Tabelle 2.5: Werte des komplement¨ aren Fehlerintegrals erfc ξ nach (2.126) und des √ √ 2 integrierten Fehlerintegrals ierfc ξ in der Form π ierfc ξ = e−ξ − π ξ erfc ξ ξ

erfc ξ

0 0,05 0,10 0,15 0,20

1,00000 0,94363 0,88754 0,83200 0,77730

0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70

√

π ierfc ξ

ξ

erfc ξ

1,00000 0,91388 0,83274 0,75655 0,68525

0,75 0,80 0,85 0,90 0,95

0,28884 0,25790 0,22933 0,20309 0,17911

0,72367 0,67137 0,62062 0,57161 0,52452

0,61874 0,55694 0,49970 0,44688 0,39833

1,00 1,05 1,10 1,15 1,20

0,47950 0,43668 0,39614 0,35797 0,32220

0,35386 0,31327 0,27639 0,24299 0,21287

1,25 1,30 1,35 1,40 1,45

√

π ierfc ξ

√

ξ

erfc ξ

π ierfc ξ

0,18581 0,16160 0,14003 0,12088 0,10396

1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

0,03389 0,02365 0,01621 0,01091 0,00721

0,01528 0,01023 0,00673 0,00436 0,00277

0,15730 0,13756 0,11980 0,10388 0,08969

0,08907 0,07602 0,06463 0,05474 0,04617

2,0 2,1 2,2 2,3 2,4

0,00468 0,00298 0,00186 0,00114 0,00069

0,00173 0,00107 0,00064 0,00038 0,00022

0,07710 0,06599 0,05624 0,04771 0,04031

0,03879 0,03246 0,02705 0,02246 0,01856

2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

0,00041 0,00024 0,00013 0,00008 0,00004

0,00013 0,00007 0,00004 0,00002 0,00001

Die eindringende W¨ armestromdichte ist also der Materialeigenschaft b proportional und klingt wie t−1/2 mit der Zeit ab. Während der Zeitspanne von arme t = 0 bis t = t∗ fließt die W¨ ∗

Q(t∗ ) = A

t

√ 2 q(0, ˙ t) dt = A √ b(ϑS − ϑ0 ) t∗ π

(2.131)

0

durch die Oberfl¨ ache A. Die hier gewonnenen Gleichungen gelten unverändert f¨ ur die Abk¨ uhlung. Es ist dann ϑS < ϑ0 , und in (2.129) bis (2.131) wechselt das Vorzeichen. Die Temperaturverteilung l¨ asst sich durch Umformen von (2.124) als 2 ϑ − ϑS = erf ξ = √ ϑ0 − ϑ S π

ξ

2

e−w dw

(2.132)

0

schreiben. Wird die Oberfl¨ ache des unendlich ausgedehnten Körpers durch die konarmt (Fall b), so erhält man nach Nr. 7 von stante W¨ armestromdichte q˙0 erw¨ Tabelle 2.3 die Temperaturverteilung q˙0 √ q˙0 √ Θ(x, t) = ϑ(x, t) − ϑ0 = 2 at ierfc ξ = 2 t ierfc ξ . (2.133) λ b

170


Die Funktion

2 1 ierfc ξ = √ e−ξ − ξ erfc ξ π

(2.134)

wird auch als integriertes Fehlerintegral bezeichnet. Sie ist in Abb. 2.22 dargestellt und in Tabelle 2.5 vertafelt. Mit ierfc(0) = π −1/2 erhält man die Oberflächentemperatur ϑ(0, t) = ϑ0 +

q˙0 2 √ √ t . b π

(2.135)

Sie wächst zuerst rasch und dann immer langsamer mit der Zeit t. Bei großem Wärmeeindringkoeffizienten b kann das Material große Wärmeströme schlucken“, so dass die Oberfl¨ achentemperatur langsamer ansteigt als bei ” einem Körper mit kleinem b. Findet bei x = 0 W¨ arme¨ ubergang von einem Fluid mit ϑ = ϑU an die freie Oberfläche statt, Fall c von Tabelle 2.4, so ergibt sich die gesuchte Temperaturverteilung auch hier aus der Tafel der Korrespondenzen (Fall 11 von Tabelle 2.3). Wir schreiben die L¨ osung in dimensionsloser Form mit den Variablen ϑ+ := und x+ :=

x λ/α

,

ϑ − ϑ0 ϑU − ϑ 0 t+ :=

(2.136) at (λ/α)2

(2.137)

und erhalten

+ √ x+ x . ϑ+ (x+ , t+ ) = erfc √ − exp x+ + t+ erfc √ + t+ 2 t+ 2 t+

(2.138)

In Abb. 2.23 ist diese Temperaturverteilung dargestellt. Auch hier lassen sich die Wärmestromdichten an der Oberfl¨ ache und im Inneren des Körpers durch Differenzieren von (2.138) leicht berechnen. Die Temperaturverteilung bei der Abk¨ uhlung, ϑU < ϑ0 , ergibt sich zu ϑ − ϑU = 1 − ϑ+ x+ , t+ , ϑ0 − ϑU wobei ϑ+ (x+ , t+ ) nach (2.138) zu berechnen ist. 2.3.3.2 Zwei sich ber¨ uhrende halbunendliche K¨ orper Wir betrachten die beiden in Abb. 2.24 dargestellten halbunendlichen Körper, die verschiedene, aber konstante Anfangstemperaturen ϑ01 und ϑ02 haben. Auch ihre Stoffwerte λ1 , a1 und λ2 , a2 seien verschieden. Zur Zeit t = 0 werden die beiden K¨ orper in Ber¨ uhrung (thermischen Kontakt) auf der durch x = 0 gekennzeichneten Ebene gebracht. Schon nach sehr kurzer Zeit stellt


171

sich in dieser Ebene eine gemeinsame Mitteltemperatur ϑm ein, und Wärme fließt vom Körper 1 mit der h¨ oheren Anfangstemperatur zum Körper 2 mit der niedrigeren Temperatur. Der hier beschriebene instationäre Wärmeleitvorgang kann als einfaches Modell f¨ ur die Beschreibung eines kurzzeitigen Kontakts zweier (endlicher) K¨ orper unterschiedlicher Temperatur dienen. Beispiele sind die Ber¨ uhrung verschiedener Gegenst¨ ande mit der menschlichen Hand oder dem Fuß und die kurzzeitige Wechselwirkung eines erhitzten metallischen Körpers mit einer gek¨ uhlten Form bei Prozessen der Umformtechnik. In jedem der beiden K¨ orper gilt die W¨ armeleitungsgleichung und zwar ∂ ϑ1 ∂ 2 ϑ1 , = a1 ∂t ∂x2

x≥0 ,

sowie

∂ 2 ϑ2 ∂ ϑ2 , x≤0 . = a2 ∂t ∂x2 An der Grenzfl¨ ache m¨ ussen nach Abschnitt 2.1.3 die Bedingungen (ϑ1 )+0 = (ϑ2 )−0 = ϑm

und λ1

∂ ϑ1 ∂x

= λ2 +0

∂ ϑ2 ∂x

(2.139) −0

erf¨ ullt sein. Außerdem gelten die schon genannten Anfangsbedingungen. Zur L¨ osung nehmen wir an, die sich bei x = 0 einstellende Kontakttemperatur ϑm sei unabh¨ angig von t. Wie sich noch zeigen wird, trifft diese Annahme zu und erlaubt eine einfache L¨ osung des Problems, das in zwei Teilprobleme zerf¨ allt, deren L¨ osung bereits aus Abschnitt 2.3.3.1 bekannt ist: In jedem K¨ orper stellt sich eine Temperaturverteilung ein, die sich aus der konstanten Anfangstemperatur ϑ01 bzw. ϑ02 entwickelt, wenn die Oberfl¨ achentemperatur auf den konstanten Wert ϑm springt.

Abb. 2.23: Temperaturfeld ϑ+ (x+ , t+ ) nach (2.138) im halbunendlichen K¨ orper beim W¨ arme¨ ubergang von einem Fluid an die freie Oberfl¨ ache x+ = 0. a ϑ+ als Funktion von x+ mit t+ als Parameter, b ϑ+ als Funktion von t+ mit x+ als Parameter

172


Abb. 2.24: Temperaturverlauf in zwei halbunendlichen K¨ orpern mit den Anfangstemperaturen ϑ01 und ϑ02 bei Kontakt auf der Ebene x = 0 F¨ ur den K¨ orper 1 erhalten wir aus (2.132) mit der Variablenkombination √ (2.140) ξ1 = x/ 4a1 t die Temperatur ϑ1 = ϑm + (ϑ01 − ϑm ) erf ξ1

x≥0 ,

,

deren Ableitung bei x = +0 den Wert

∂ ϑ1 ϑ01 − ϑm = √ ∂x +0 πa1 t hat. Analog hierzu gilt mit

(2.141)

(2.142)

√ ξ2 = x/ 4a2 t

(2.143)

f¨ ur den K¨ orper 2 nach (2.124) ϑ2 = ϑ02 + (ϑm − ϑ02 ) erfc(−ξ2 ) und an der Grenzfl¨ ache

∂ ϑ2 ∂x

= −0

,

x≤0 ,

ϑm − ϑ02 √ . πa2 t

(2.144)

(2.145)

Setzen wir (2.142) und (2.145) in die Grenzbedingung (2.139) ein, so folgt die von t unabh¨ angige Beziehung λ2 λ1 √ (ϑ01 − ϑm ) = √ (ϑm − ϑ02 ) a1 a2 oder b1 (ϑ01 − ϑm ) = b2 (ϑm − ϑ02 ) .

(2.146)

Die Annahme einer von der Zeit unabh¨ angigen Kontakttemperatur ϑm war also zutreffend. Ihre Lage h¨ angt von den W¨ armeeindringkoeffizienten b1 = λ1 c1 1 und b2 = λ2 c2 2 der beiden K¨ orper ab. Aus (2.146) folgt ϑm = ϑ02 +

b1 (ϑ01 − ϑ02 ) . b1 + b2

(2.147)

Die von der Zeit unabh¨ angige Kontakttemperatur liegt n¨ aher an der Anfangstemperatur des K¨ orpers mit dem gr¨ oßeren W¨ armeeindringkoeffizienten. Gleichung (2.147) erkl¨ art, warum sich verschiedene K¨ orper gleicher Temperatur bei Ber¨ uhrung mit der Hand oder dem Fuß verschieden warm“ anf¨ uhlen. ”


173

2.3.3.3 Periodische Temperatur¨ anderungen Periodische Temperatur¨ anderungen treten in Natur und Technik häufig auf. Es sei an das Eindringen der t¨ aglichen Temperaturschwingungen in Gebäudemauern oder an das Eindringen der t¨ aglichen oder jahreszeitlichen Schwankungen der Temperatur in den Erdboden erinnert. In den Zylindern der Verbrennungsmotoren treten große und hochfrequente Temperaturschwankungen auf, die in die Zylinderwand eindringen und die Festigkeit des Materials beeinflussen können. Im Folgenden behandeln wir ein einfaches Modell, das diese Temperaturschwingungen wenigstens n¨ aherungsweise und in ihren wesentlichen Eigenschaften wiedergibt. Wir betrachten einen einseitig unendlich ausgedehnten Körper mit konstanten Stoffwerten λ und a. An die freie Oberfläche x = 0 grenze ein Fluid, dessen Temperatur ϑF sich nach dem Zeitgesetz

t (2.148) ϑF (t) = ϑm + Δϑ cos ωt = ϑm + Δϑ cos 2π t0 ändern möge. Es wird also eine harmonische Schwingung mit der Amplitude Δϑ und der Schwingungsdauer t0 um den Mittelwert ϑm angenommen. An der Oberfläche x = 0 sei die W¨ arme¨ ubergangsbedingung

∂ϑ = α [ϑF − ϑ (0, t)] (2.149) −λ ∂x x=0 mit konstantem α vorgeschrieben. Wir suchen das Temperaturfeld ϑ = ϑ (x, t), das sich im Körper nach l¨ angerer Zeit als quasistationärer Dauerzustand einstellt, wenn die von der Anfangstemperaturverteilung des Körpers herr¨ uhrende Anfangsstörung abgeklungen ist.

Abb. 2.25: Zeitlicher Verlauf der Fluidtemperatur ϑ F nach (2.148) und der Oberfl¨ achentemperatur ϑ(0, t) nach (2.153) mit k = (b/α) π/t0 = 1,0

Eine Lösung dieses W¨ armeleitproblems ist wieder mit Hilfe der LaplaceTransformation m¨ oglich, vgl. z.B. [2.18], [2.26] oder [2.1], S. 317–319, wo auch

174


der von einer konstanten Anfangstemperatur herr¨ uhrende Anteil berechnet wurde, der nach Ablauf einer gen¨ ugend großen Zeitspanne auf null abklingt. Da dieser Lösungsweg recht kompliziert ist, wählen wir einen anderen Weg. Es ist zu erwarten, dass die Temperaturen im Inneren des Körpers eine harmonische Schwingung ausf¨ uhren, die mit wachsender Tiefe x immer stärker gedämpft wird und außerdem eine Phasenverschiebung zeigt. Ein dementsprechender Ansatz ϑ (x, t) = ϑm + Δϑ η e−mx cos (ωt − mx − ε)

(2.150)

erf¨ ullt die Wärmeleitungsgleichung (2.120), wenn m2 =

ω π = 2a at0

(2.151)

ist. Die Konstanten η und ε ergeben sich aus der Randbedingung (2.149) zu 1 = 1 + 2k + 2k 2 η und ε = arctan mit

mλ λ k= = α α

(

(2.152a)

k 1+k

b π = at0 α

(2.152b) (

π . t0

(2.152c)

Ihre Bedeutung erkennt man, wenn man die Oberflächentemperatur berechnet. Aus (2.150) folgt mit x = 0 ϑ (0, t) = ϑm + Δϑ η cos (ωt − ε) .

(2.153)

Die Amplitude dieser Schwingung ist um den Faktor η < 1 gegen¨ uber der Schwingungsamplitude der Fluidtemperatur verkleinert. Außerdem hinkt die Oberflächentemperatur hinter der Fluidtemperatur um den Winkel ε nach, Abb. 2.25. Auch die Temperatur in einer bestimmten Tiefe x verhält sich wie die Oberflächentemperatur. Sie schwingt harmonisch mit derselben Kreisfrequenz ω, einer mit zunehmender Tiefe stark ged¨ ampften Amplitude und einer mit x wachsenden Phasenverschiebung. Zu jedem Zeitpunkt stellt (2.150) eine in das Innere des Körpers wandernde, mit zunehmender Tiefe rasch abklingende Temperaturwelle dar, Abb. 2.26. Man erh¨ alt ihre Wellenlänge Λ als Abstand zweier Punkte, deren Phasenwinkel sich um 2π unterscheiden. Sind x1 und x2 solche Punkte, so folgt aus ωt − mx1 − ε = ωt − mx2 − ε + 2π die Wellenlänge


175

Abb. 2.26: Temperaturwellen nach (2.155) im halbunendlichen K¨ orper bei einer harmonischen Schwingung der Oberfl¨ achentemperatur mit η = 1 und ε = 0

√ 2π = 2 πat0 . m Damit erhält man f¨ ur die Temperaturverteilung

x t −2πx/Λ −ε . ϑ (x, t) = ϑm + Δϑ η e cos 2π − t0 Λ Λ = x2 − x1 =

(2.154)

(2.155)

Um die Eindringtiefe der Temperaturschwingung zu beurteilen, berechnen wir jene Tiefe xn , in der die Amplitude auf den n-ten Teil ihres Wertes an der Oberfläche x = 0 gesunken ist. Aus e−2πxn /Λ = 1/n ( Λ at0 xn = ln n = ln n . (2.156) 2π π Eindringtiefe und Wellenl¨ ange wachsen mit der Temperaturleitfähigkeit des Körpers und der Schwingungsdauer. Hochfrequente Schwingungen, wie sie in schnell laufenden Verbrennungsmotoren vorkommen, werden eine weit geringere Eindringtiefe in die Zylinderwand haben als die täglichen oder gar die findet man

176


jahreszeitlichen Schwankungen der Lufttemperatur in das Erdreich. Eine Abnahme der Amplitude auf 1% des Wertes an der Oberfläche (n = 100) findet urften nach (2.156) in einer Tiefe x100 = 0,733Λ statt. Schon in dieser Tiefe d¨ die Temperaturschwingungen ohne praktische Bedeutung sein.

2.3.4 Abku armung einfacher K¨ orper bei ¨ hlung und Erw¨ eindimensionalem W¨ armefluss Das zeitabhängige Temperaturfeld ϑ = ϑ(r, t) in einem Körper wird durch die Differentialgleichung

2 ∂ϑ ∂ ϑ n ∂ϑ (2.157) =a + ∂t ∂r2 r ∂r mit n = 0, 1 und 2 f¨ ur die Platte, den Zylinder und die Kugel bestimmt, wenn man geometrisch eindimensionalen W¨ armefluss, nämlich nur in r-Richtung, annimmt. Beim Zylinder und bei der Kugel bedeutet r die radiale Koordinate. Der Zylinder muss dabei sehr lang gegen¨ uber seinem Durchmesser sein, damit der Wärmestrom in axialer Richtung vernachlässigt werden kann, und die Temperatur ϑ darf, ebenso bei der Kugel, nicht von den Winkelkoordinaten abhängen. Bei der Platte soll, wie schon in Abschnitt 1.1.2, die x-Koordinate mit r bezeichnet werden; sie ist die Koordinate senkrecht zu den beiden sehr großen Begrenzungsebenen, wir z¨ ahlen sie von der Plattenmitte aus. 2.3.4.1 Formulierung des Problems Die drei Körper — Platte, sehr langer Zylinder und Kugel — sollen zur Zeit t = 0 die konstante Anfangstemperatur ϑ0 haben. F¨ ur t > 0 werde die Körperoberfl¨ ache mit einem Fluid in Ber¨ uhrung gebracht, dessen Temperatur ϑU = ϑ0 zeitlich konstant ist. Es geht dann Wärme zwischen dem uhlt sich der Körper ab, f¨ ur Körper und dem Fluid u ¨ber. Ist ϑU < ϑ0 , so k¨ ϑU > ϑ0 erwärmt er sich. Diese instation¨ aren Wärmeleitvorgänge laufen so lange ab, bis der K¨ orper die Temperatur ϑU des Fluids angenommen hat; dies ist der stationäre Endzustand. Der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient α sei an den beiden Seiten der Platte gleich groß, und bei Zylinder und Kugel soll er auf der ganzen vom Fluid ber¨ uhrten Oberfl¨ ache konstant sein. In allen drei Fällen hänge er nicht von der Zeit ab. Betrachtet man die Platte halber Dicke, so entspricht das W¨ armeleitproblem der einseitigen Abk¨ uhlung oder Erwärmung einer Platte, deren andere Oberfl¨ ache isoliert (adiabat) ist. Unter den genannten Annahmen erh¨ alt man die Randbedingungen r=0:

∂ϑ =0 ∂r

aus Symmetriegr¨ unden und r=R:

−λ

∂ϑ = α(ϑ − ϑU ) . ∂r


177

Außerdem gilt die Anfangsbedingung t=0:

0≤r≤R ,

ϑ(r) = ϑ0 ,

vgl. Abb. 2.27. Es empfiehlt sich, dimensionslose Variablen einzuf¨ uhren. Wir setzen (2.158) r+ := r/R und t+ := at/R2 mit R als halber Plattendicke bzw. Zylinder- oder Kugelradius, sowie ϑ+ :=

ϑ − ϑU . ϑ0 − ϑU

(2.159)

Mit diesen Größen geht die Differentialgleichung (2.157) in ∂ ϑ+ ∂ 2 ϑ+ n ∂ ϑ+ = + 2 ∂t+ r + ∂r+ ∂r+

(2.160)

u ¨ber. Die Randbedingungen lauten ∂ ϑ+ = 0 f¨ ur ∂r+ und −

∂ ϑ+ = Bi ϑ+ ∂r+

r+ = 0

f¨ ur

r+ = 1

(2.161)

(2.162)

mit der Biot-Zahl Bi = αR/λ , vgl. Abschnitt 2.1.5. Die Anfangsbedingung lautet ϑ+ = 1 f¨ ur

t+ = 0 .

(2.163)

Die gesuchte dimensionslose Temperaturverteilung in den drei Körpern hat die Gestalt ϑ+ = fn (r + , t+ , Bi) ,

Abb. 2.27: Zur Erl¨ auterung der Anfangs- und Randbedingungen bei der Abk¨ uhlung einer Platte der Dicke 2R, eines langen Zylinders und einer Kugel, jeweils mit dem Radius R

178


Abb. 2.28: Temperaturverh¨ altnis ϑ+ = (ϑ − ϑU )/(ϑ0 − ϑU ). a beim Abk¨ uhlen und b beim Erw¨ armen

wobei sich f¨ ur die Platte (n = 0), den Zylinder (n = 1) und die Kugel (n = 2) unterschiedliche Funktionen fn ergeben werden, weil jedesmal eine andere Differentialgleichung gilt. Die dimensionslose Temperatur kann nur Werte zwiur t+ → ∞) und ϑ+ = 1 (f¨ ur t+ = 0) annehmen. Durch ϑ+ schen ϑ+ = 0 (f¨ wird der Temperaturverlauf beim Erw¨ armen und Abk¨ uhlen in gleicher Weise beschrieben, vgl. Abb. 2.28. Beim Abk¨ uhlen (ϑU < ϑ0 ) gilt nach (2.159) ϑ (x, t) = ϑU + (ϑ0 − ϑU ) ϑ+ r+ , t+ und f¨ ur das Erw¨ armen (ϑU > ϑ0 ) folgt daraus ϑ (x, t) = ϑ0 + (ϑU − ϑ0 ) 1 − ϑ+ r+ , t+ . F¨ ur Bi → ∞ erh¨ alt man den Sonderfall, dass die Oberfläche der Körper auf der konstanten Temperatur ϑU des Fluids, entsprechend ϑ+ = 0, gehalten wird. Dies ergibt bei gleicher Temperaturdifferenz ϑ0 − ϑU die raschest mögliche Abk¨ uhlung oder Erw¨ armung (α → ∞). 2.3.4.2 Separationsansatz Um eine Lösung der Differentialgleichung (2.160) unter Beachtung der Anfangs- und Randbedingungen zu finden, macht man den Produkt- oder Separationsansatz3 ϑ+ (r+ , t+ ) = F (r+ ) · G(t+ ) . Man sucht also Funktionen F und G von jeweils nur einer Variablen, welche die aus (2.160) folgende Differentialgleichung

2 dG n dF d F + F (r+ ) + = G(t+ ) dt r + dr+ dr+ 2 3

Die Anwendung der Laplace-Transformation liefert dieselbe L¨ osung. F¨ ur die R¨ ucktransformation vom Frequenz- in den Zeitbereich muss die Umkehrformel, vgl. 2.3.2, angewendet werden. Um dies zu vermeiden, benutzen wir in diesem Falle die einfachere klassische Methode des Produktansatzes.


oder

1 1 dG = G(t+ ) dt+ F (r+ )

n dF d2 F 2 + r+ dr + + dr

179

(2.164)

erf¨ ullen. Die linke Seite von (2.164) h¨ angt nur von der (dimensionslosen) Zeit t+ , die rechte nur von der Ortskoordinate r+ ab: die Variablen sind getrennt (separiert). Die durch (2.164) geforderte Gleichheit ist nur möglich, wenn beide Seiten von (2.164) einer Konstanten −μ2 gleich sind. Man bezeichnet μ als Separationsparameter. Aus (2.164) entstehen damit die beiden gewöhnlichen Differentialgleichungen dG + μ2 G = 0 (2.165) dt+ und d2 F n dF 2 (2.166) 2 + r + dr + + μ F = 0 . + dr Produkte ihrer Lösungen mit demselben Wert des Separationsparameters μ ergeben Lösungen der W¨ armeleitungsgleichung (2.160). Die Lösung der Differentialgleichung (2.165) f¨ ur die Zeitfunktion G(t+ ) ist die abklingende Exponentialfunktion (2.167) G(t+ ) = C exp −μ2 t+ . Dies gilt f¨ ur alle drei K¨ orper. Die Ortsfunktion F ist jedoch f¨ ur Platte, Zylinder und Kugel verschieden. In allen drei F¨ allen m¨ ussen jedoch die Lösungsfunktionen F die gleichen Randbedingungen erf¨ ullen. Es folgt aus (2.161) und (2.162) dF = 0 f¨ ur r+ = 0 (2.168) dr+ und dF − + = Bi F f¨ ur r+ = 1 . (2.169) dr Die durch die Differentialgleichung (2.166) und die beiden Randbedingungen (2.168) und (2.169) gebildete Randwertaufgabe f¨ uhrt zur Klasse der Sturm-Liouvilleschen Eigenwertaufgaben, f¨ ur die eine Reihe allgemeiner Theoreme gilt. Wie wir gleich zeigen werden, erf¨ ullen nur Lösungsfunktionen F mit bestimmten, diskreten Werten μi des Separationsparameters die beiden Randbedingungen. Diese besonderen Werte μi heißen Eigenwerte der Randwertaufgabe, und die zugeh¨ origen L¨ osungsfunktionen Fi werden Eigenfunktionen genannt. Die wichtigsten S¨ atze aus der Theorie der Sturm-Liouvilleschen Eigenwertaufgaben sind, vgl. z.B. K. J¨ anich [2.33]: 1. Alle Eigenwerte sind reell. 2. Die Eigenwerte bilden eine monoton wachsende unendliche Folge μ1 < μ2 < μ3 . . .

mit

lim μi = +∞ .

i→∞

180


3. Die zugehörigen Eigenfunktionen F1 , F2 , . . . sind orthogonal, d.h. es gilt

b Fi Fj dr+ =

0 f¨ ur i = j ur i = j Ai f¨

a

mit Ai als einer positiven Konstante. Dabei sind a und b die beiden Stellen, an denen die Randbedingungen vorgeschrieben sind. Bei unserer Aufgabe ist a = 0 und b = 1. 4. Die zum Eigenwert μi geh¨ orige Eigenfunktion Fi hat zwischen den Rändern, also im offenen Intervall (a, b) genau (i − 1) Nullstellen. Wir werden von diesen Eigenschaften bei der nun folgenden Lösung des Randwertproblems f¨ ur Platte, Zylinder und Kugel Gebrauch machen. 2.3.4.3 Ergebnisse f¨ ur die Platte Die Funktion F (r+ ) gen¨ ugt bei der Platte der Differentialgleichung (2.166) mit n = 0, die als Schwingungs-Differentialgleichung bekannt ist. Sie hat die allgemeine Lösung F = c1 cos μr+ + c2 sin μr + . ubergangsbedingung Aus der Randbedingung (2.168) folgt c2 = 0. Die Wärme¨ (2.169) f¨ uhrt auf eine transzendente Gleichung f¨ ur den Separationsparameter μ, nämlich tan μ = Bi/μ . (2.170) Die Lösungen μ = μi dieser Gleichung sind die Eigenwerte des Problems; sie ¨ hängen von der Biot-Zahl ab. Wie Abb. 2.29 zeigt, gibt es in Ubereinstimmung mit der Sturm-Liouvilleschen Theorie eine unendliche Folge von Eigenwerten μ1 < μ2 < μ3 . . . Nur die zu den Eigenwerten μi gehörenden Eigenfunktionen Fi = cos μi r + erf¨ ullen die beiden Randbedingungen (2.168) und (2.169). Damit ist die mit den unendlich vielen Eigenfunktionen und der zeitabhängigen Funktion G(t+ ) nach (2.167) gebildete unendliche Reihe ϑ+ (r + , t+ ) =

∞

Ci cos μi r + exp(−μ2i t+ )

(2.171)

i=1

die allgemeine Lösung des W¨ armeleitproblems f¨ ur die Platte. Sie ist nur noch der Anfangsbedingung (2.163) anzupassen. Es muss also gelten: 1=

∞ i=1

Ci cos μi r+

,

0 ≤ r+ ≤ 1 .


181

Abb. 2.29: Graphische Bestimmung der Eigenwerte nach (2.170)

Eine gegebene Funktion, hier die Zahl 1, ist durch die unendliche Summe der Eigenfunktionen im Intervall [0, 1] darzustellen. Um die Koeffizienten Ci zu erhalten, multipliziert man mit einer Eigenfunktion cos (μj r + ) und integriert von r+ = 0 bis r+ = 1. Da die Eigenfunktionen orthogonal sind, werden alle Terme, bei denen j = i ist, zu null. Es bleibt nur der Term mit j = i, so dass 1

cos μi r 0

+

1 +

dr = Ci

cos2 μi r + dr+

0

den Koeffizienten Ci liefert mit dem Ergebnis Ci =

1 2 sin μi 2Bi = . μi + sin μi cos μi Bi2 + Bi + μ2i cos μi

(2.172)

Damit ist die gesuchte Temperaturverteilung beim Erwärmen oder Abk¨ uhlen der Platte gefunden. Die Eigenwerte μi und die Entwicklungskoeffizienten Ci hängen von der ur die Biot-Zahl ab. In Tabelle 2.6 findet man Werte von μ1 und C1 . Werte f¨ ersten sechs Eigenwerte sind in [2.1] angegeben. F¨ ur Bi → ∞ erhält man die Randbedingung ϑ+ (1, t+ ) = 0, entsprechend ϑ(R) = ϑU , und die Eigenwerte sind μ1 = π/2, μ2 = 3π/2, μ3 = 5π/2 . . . F¨ ur Bi = 0, den Grenzfall der isolierten Wand mit endlicher W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ, aber mit α = 0, wird μ1 = 0, μ2 = π, μ3 = 2π, . . . ; als Temperaturverteilung ergibt sich ϑ+ = 1 unabhängig von t+ , wie es physikalisch einleuchtend ist.

182


origer Tabelle 2.6: Kleinster Eigenwert μ1 nach (2.170), (2.177) bzw. (2.182), zugeh¨ Entwicklungskoeffizient C1 in der Reihe f¨ ur die Temperaturverteilung ϑ+ (r+ , t+ ) + ur die Mitteltemperatur ϑ+ sowie Koeffizient D1 in der Reihe f¨ m (t ) von Platte, sehr langem Zylinder und Kugel, vgl. auch (2.185) und (2.188) in Abschnitt 2.3.4.5

Bi

μ1

Platte C1

D1

μ1

Zylinder C1

D1

μ1

Kugel C1

D1

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

0,09983 0,14095 0,17234 0,19868 0,22176

1,0017 1,0033 1,0049 1,0066 1,0082

1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999

0,14124 0,19950 0,24403 0,28143 0,31426

1,0025 1,0050 1,0075 1,0099 1,0124

1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999

0,17303 0,24446 0,29910 0,34503 0,38537

1,0030 1,0060 1,0090 1,0120 1,0150

1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,06 0,07 0,08 0,09 0,10

0,24253 0,26153 0,27913 0,29557 0,31105

1,0098 1,0114 1,0130 1,0145 1,0161

0,9999 0,9999 0,9999 0,9998 0,9998

0,34383 0,37092 0,39603 0,41954 0,44168

1,0148 1,0173 1,0197 1,0222 1,0246

0,9999 0,9999 0,9999 0,9998 0,9998

0,42173 0,45506 0,48600 0,51497 0,54228

1,0179 1,0209 1,0239 1,0268 1,0298

0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9998

0,15 0,20 0,25 0,30 0,40

0,37788 0,43284 0,48009 0,52179 0,59324

1,0237 1,0311 1,0382 1,0450 1,0580

0,9995 0,9992 0,9988 0,9983 0,9971

0,53761 0,61697 0,68559 0,74646 0,85158

1,0365 1,0483 1,0598 1,0712 1,0931

0,9995 0,9992 0,9988 0,9983 0,9970

0,66086 0,75931 0,84473 0,92079 1,05279

1,0445 1,0592 1,0737 1,0880 1,1164

0,9996 0,9993 0,9990 0,9985 0,9974

0,50 0,60 0,70 0,80 0,90

0,65327 0,70507 0,75056 0,79103 0,82740

1,0701 1,0814 1,0918 1,1016 1,1107

0,9956 0,9940 0,9922 0,9903 0,9882

0,94077 1,01844 1,08725 1,14897 1,20484

1,1143 1,1345 1,1539 1,1724 1,1902

0,9954 0,9936 0,9916 0,9893 0,9869

1,16556 1,26440 1,35252 1,43203 1,50442

1,1441 1,1713 1,1978 1,2236 1,2488

0,9960 0,9944 0,9925 0,9904 0,9880

1,00 1,10 1,20 1,30 1,40

0,86033 0,89035 0,91785 0,94316 0,96655

1,1191 1,1270 1,1344 1,1412 1,1477

0,9861 0,9839 0,9817 0,9794 0,9771

1,25578 1,30251 1,34558 1,38543 1,42246

1,2071 1,2232 1,2387 1,2533 1,2673

0,9843 0,9815 0,9787 0,9757 0,9727

1,57080 1,63199 1,68868 1,74140 1,79058

1,2732 1,2970 1,3201 1,3424 1,3640

0,9855 0,9828 0,9800 0,9770 0,9739

1,50 1,60 1,70 1,80 1,90

0,98824 1,00842 1,02725 1,04486 1,06136

1,1537 1,1593 1,1645 1,1695 1,1741

0,9748 0,9726 0,9703 0,9680 0,9658

1,45695 1,48917 1,51936 1,54769 1,57434

1,2807 1,2934 1,3055 1,3170 1,3279

0,9696 0,9665 0,9633 0,9601 0,9569

1,83660 1,87976 1,92035 1,95857 1,99465

1,3850 1,4052 1,4247 1,4436 1,4618

0,9707 0,9674 0,9640 0,9605 0,9570

2,00 2,20 2,40 2,60 2,80

1,07687 1,10524 1,13056 1,15330 1,17383

1,1785 1,1864 1,1934 1,1997 1,2052

0,9635 0,9592 0,9549 0,9509 0,9469

1,59945 1,64557 1,68691 1,72418 1,75794

1,3384 1,3578 1,3754 1,3914 1,4059

0,9537 0,9472 0,9408 0,9345 0,9284

2,02876 2,09166 2,14834 2,19967 2,24633

1,4793 1,5125 1,5433 1,5718 1,5982

0,9534 0,9462 0,9389 0,9316 0,9243


183

Tabelle 2.6: Fortsetzung

μ1

Platte C1

D1

μ1

3,00 3,50 4,00 4,50 5,00

1,19246 1,23227 1,26459 1,29134 1,31384

1,2102 1,2206 1,2287 1,2351 1,2402

0,9431 0,9343 0,9264 0,9193 0,9130

1,78866 1,85449 1,90808 1,95248 1,98981

6,00 7,00 8,00 9,00 10,00

1,34955 1,37662 1,39782 1,41487 1,42887

1,2479 1,2532 1,2570 1,2598 1,2620

0,9021 0,8932 0,8858 0,8796 0,8743

12,00 14,00 16,00 18,00 20,00

1,45050 1,46643 1,47864 1,48830 1,49613

1,2650 1,2669 1,2683 1,2692 1,2699

25,00 30,00 35,00 40,00 50,00

1,51045 1,52017 1,52719 1,53250 1,54001

60,00 80,00 100,00 200,00 ∞

1,54505 1,55141 1,55525 1,56298 1,57080

Bi

Zylinder C1

D1

μ1

Kugel C1

D1

1,4191 1,4473 1,4698 1,4880 1,5029

0,9224 0,9081 0,8950 0,8830 0,8721

2,28893 2,38064 2,45564 2,51795 2,57043

1,6227 1,6761 1,7202 1,7567 1,7870

0,9171 0,8995 0,8830 0,8675 0,8533

2,04901 2,09373 2,12864 2,15661 2,17950

1,5253 1,5411 1,5526 1,5611 1,5677

0,8532 0,8375 0,8244 0,8133 0,8039

2,65366 2,71646 2,76536 2,80443 2,83630

1,8338 1,8673 1,8920 1,9106 1,9249

0,8281 0,8069 0,7889 0,7737 0,7607

0,8658 0,8592 0,8541 0,8499 0,8464

2,21468 2,24044 2,26008 2,27555 2,28805

1,5769 1,5828 1,5869 1,5898 1,5919

0,7887 0,7770 0,7678 0,7603 0,7542

2,88509 2,92060 2,94756 2,96871 2,98572

1,9450 1,9581 1,9670 1,9734 1,9781

0,7397 0,7236 0,7109 0,7007 0,6922

1,2710 1,2717 1,2721 1,2723 1,2727

0,8400 0,8355 0,8322 0,8296 0,8260

2,31080 2,32614 2,33719 2,34552 2,35724

1,5954 1,5973 1,5985 1,5993 1,6002

0,7427 0,7348 0,7290 0,7246 0,7183

3,01656 3,03724 3,05207 3,06321 3,07884

1,9856 1,9898 1,9924 1,9942 1,9962

0,6766 0,6658 0,6579 0,6519 0,6434

1,2728 1,2730 1,2731 1,2732 1,2732

0,8235 0,8204 0,8185 0,8146 0,8106

2,36510 2,37496 2,38090 2,39283 2,40483

1,6007 1,6013 1,6015 1,6019 1,6020

0,7140 0,7085 0,7052 0,6985 0,6917

3,08928 3,10234 3,11019 3,12589 3,14159

1,9974 1,9985 1,9990 1,9998 2,0000

0,6376 0,6303 0,6259 0,6170 0,6079

Neben den nach (2.171) zu berechnenden Temperaturen ist oft auch die Energie von Interesse, welche die Platte w¨ ahrend einer bestimmten Zeitspanne als W¨ arme aufgenommen oder abgegeben hat. K¨ uhlt sich die Platte mit dem Volumen V von der Anfangstemperatur ϑ0 auf die Umgebungstemperatur ϑU ab (f¨ ur t → ∞), so gibt sie die Energie Q0 = V c(ϑ0 − ϑU ) als W¨ arme an die Umgebung ab. Nach Ablauf einer endlichen Zeit t hat sie nur die W¨ arme Q(t) = V c [ϑ0 − ϑm (t)] an die Umgebung abgegeben. Dabei bedeutet 1 ϑm (t) = R

R ϑ(r, t) dr 0

die Mitteltemperatur der Platte zur Zeit t. Das Verh¨ altnis

184

2 W¨ armeleitung und Diffusion Q(t) ϑ0 − ϑm (t) + = = 1 − ϑ+ m (t ) Q0 ϑ 0 − ϑU

(2.173)

+ ur erh¨ alt man ist durch die dimensionslose Mitteltemperatur ϑ+ m (t ) gegeben. Hierf¨ durch Integration von (2.171) ∞ ∞ 2 + exp −μ2i t+ sin μi + + 2 Ci exp −μi t = 2Bi . (2.174) ϑm (t ) = μi μ2i (Bi2 + Bi + μ2i ) i=1 i=1

Die Gleichungen (2.171) f¨ ur die Temperaturverteilung in der Platte sowie (2.173) und (2.174) f¨ ur die abgegebene W¨ arme sind wiederholt ausgewertet und in Diagrammen dargestellt worden, vgl. [2.34] und [2.35]. Angesichts der heute verf¨ ugbaren Rechenhilfsmittel ist jedoch die unmittelbare Auswertung der angegebenen Beziehungen vorteilhafter auch im Hinblick auf ihre Verwendung in Simulationsprogrammen, in denen instationäre Wärmeleitvorgänge auftreten. Die rechnerische Anwendung der hier entwickelten Beziehungen wird dadurch erleichtert, dass f¨ ur gr¨ oßere Werte von t+ nur das erste Glied der unendlichen Reihen ben¨ otigt wird, vgl. Abschnitt 2.3.4.5. F¨ ur sehr kleine t+ werden wir in Abschnitt 2.3.4.6 besondere Gleichungen herleiten. Außerdem gibt es Näherungsgleichungen, die numerisch etwas einfacher zu handhaben sind als die hier angegebenen Beziehungen, vgl. z.B. [2.69]. Beispiel 2.4: In Beispiel 2.3 von Abschnitt 2.3.2 wurde die Temperatur ϑ 0, t+ der bei x = adiabaten Oberfl¨ ache einer ebenen Wand (Platte) be 0 gelegenen anderte sich infolge der sprunghaften Erh¨ rechnet; ϑ 0, t+ ¨ ohung der Temperaache. F¨ ur ϑ 0, t+ ergab sich in tur von ϑ0 auf ϑU an der anderen Wandoberfl¨ Beispiel 2.3

ϑ 0, t+ − ϑ0 1 3 5 √ √ √ = 2 erfc − 2 erfc + 2 erfc − ... ϑU − ϑ 0 2 t+ 2 t+ 2 t+ (2.175) Dieser Gleichung soll die aus (2.171) folgende Beziehung gegen¨ ubergestellt werden. ¨ Die sprunghafte Anderung der Oberfl¨ achentemperatur bei r = R (entsprechend x = δ in Beispiel 2.3) bedeutet α → ∞, also Bi → ∞. Damit erh¨ alt man aus (2.170) die Eigenwerte μ1 =

π 2

,

μ2 =

3π 2

,

μ3 =

5π 2

,

...

und aus (2.172) die Koeffizienten C1 =

4 π

,

C2 = −

4 3π

,

C3 =

4 5π

,

...

Aus (2.171) folgt nun ∞ ϑ 0, t+ − ϑU 4 (−1)i+1 π2 = exp − (2i − 1)2 t+ . ϑ0 − ϑU π i=1 2i − 1 4 Die (2.175) entsprechende Gleichung ergibt sich daraus zu


185

+

ϑ 0, t − ϑ0 4 π2 + 9π 2 + 4 + − t exp − t = 1 − exp − ϑU − ϑ0 π 4 3π 4

4 25π 2 + − + ... exp − t 5π 4

(2.176)

Die Gleichungen (2.175) und (2.176) beschreiben denselben Temperaturverlauf. ur große W¨ ahrend (2.175) f¨ ur kleine Zeiten t+ rasch konvergiert, ist (2.176) f¨ + Zeiten t besonders gut geeignet. Dies zeigt die folgende Gegen¨ uberstellung f¨ ur ur t+ = 0,1 erh¨ alt man allein mit dem zwei Zeiten, t+ = 0,1 und t+ = 1,0. F¨ ersten Term von (2.175) auf f¨ unf Nachkommastellen genau den Wert 0,05070. In (2.176) ben¨ otigt man jedoch drei Terme der unendlichen Reihe: 1 − 0,99484 + 0,04607 − 0,00053 + . . . = 0,05070 . F¨ ur die Zeit t+ = 1,0 gen¨ ugt bereits das erste Reihenglied in (2.176), um 1 − 0,10798 + . . . = 0,89202 zu erhalten. F¨ ur dieses Resultat ben¨ otigt man dagegen drei Terme in (2.175): 0,95900 − 0,06779 + 0,00081 − . . . = 0,89202 .

2.3.4.4 Ergebnisse f¨ ur Zylinder und Kugel Beim unendlich langen Zylinder bestimmt (2.166) mit n = 1 die Funktion F (r + ). Dies ist die Besselsche Differentialgleichung nullter Ordnung, und ihre L¨ osungen sind die Bessel-Funktion J0 und die Neumann-Funktion N0 nullter Ordnung: F r+ = c1 J0 μr+ + c2 N0 μr+ . Die Symmetriebedingung (2.168) schließt N0 aus (c2 = 0). Die W¨ arme¨ ubergangsbedingung (2.169) liefert wie bei der Platte eine Bestimmungsgleichung f¨ ur die Eigenwerte μi : dJ0 (μr + ) − = Bi J0 μr+ f¨ ur r + = 1 dr + oder (2.177) μJ1 (μ) = Bi J0 (μ) mit J1 als Bessel-Funktion 1. Ordnung. Tafeln der Besselfunktionen J0 und J1 findet man in [2.30] und [2.32]; u ¨ber ihre Eigenschaften und Berechnungsgleichungen informiert z.B. [2.28]. Man erh¨ alt wieder unendlich viele Eigenwerte μi als L¨ osung von (2.177), zu denen die Eigenfunktionen Fi = J0 (μi r+ ) geh¨ oren. Die Summe ∞ Ci J0 μi r+ exp −μ2i t+ ϑ+ r+ , t+ =

(2.178)

i=1

ist damit eine L¨ osung der W¨ armeleitungsgleichung f¨ ur den Zylinder, die den Randbedingungen gen¨ ugt. Aus der Anfangsbedingung (2.163), n¨ amlich ϑ+ r+ , 0 = 1, erh¨ alt man die Entwicklungskoeffizienten

186

2 W¨ armeleitung und Diffusion Ci =

2Bi 2J1 (μi ) = . μi [J02 (μi ) + J12 (μi )] (Bi2 + μ2i ) J0 (μi )

(2.179)

Tabelle 2.6 gibt den ersten Eigenwert μ1 und das zugeh¨ orige C1 in Abh¨ angigkeit von der Biot-Zahl. Werte der ersten sechs Eigenwerte findet man in [2.1]. Das Verh¨ altnis der in der Zeit t abgegebenen W¨ arme Q(t) zum Maximalwert Q0 f¨ ur t → ∞ ist durch (2.173) gegeben. Die dimensionslose Mitteltemperatur ϑ+ m ist f¨ ur den Zylinder nach 1 ϑ+ m

=2

ϑ+ r+ , t+ r + dr +

0

zu berechnen. Integration von (2.178) ergibt ϑ+ m

+

t

∞ exp −μ2i t+ = 4Bi . μ2i (Bi2 + μ2i ) i=1 2

(2.180)

F¨ ur die Kugel erh¨ alt man in der gleichen Weise die Temperaturverteilung ∞ sin μi r+ + + + Ci exp −μ2i t+ . (2.181) ϑ r ,t = + μ r i i=1 Die Eigenwerte sind die L¨ osungen der transzendenten Gleichung μ cot μ = 1 − Bi .

(2.182)

Die Koeffizienten Ci ergeben sich zu Ci = 2

μ2 + (Bi − 1)2 sin μi sin μi − μi cos μi = 2 Bi 2 i . μi − sin μi cos μi μi + Bi (Bi − 1) μi

(2.183)

Daraus erh¨ alt man f¨ ur die dimensionslose Mitteltemperatur + =3 ϑ+ m t

1

ϑ+ r + , t+ r+2 dr +

0

der Kugel die Reihe ∞ + 2 t = 6 Bi ϑ+ m i=1

exp −μ2i t+ . μ2i [μ2i + Bi (Bi − 1)]

(2.184)

arme Q(t+ ) nach (2.173) berechnen. Damit l¨ asst sich die auf Q0 bezogene W¨ Tabelle 2.6 enth¨ alt den ersten Eigenwert μ1 als L¨ osung von (2.182) und den zugeh¨ origen Koeffizienten C1 nach (2.183) als Funktionen von Bi. Werte der ersten sechs Eigenwerte findet man in [2.1]. Graphische Darstellungen des Temperaturverlaufs im sehr langen Zylinder und in der Kugel findet man in den schon erw¨ ahnten Ver¨ offentlichungen [2.34] und [2.35], N¨ aherungsgleichungen in [2.69]. In Abb. 2.30 ist der zeitliche Verlauf der dimensionslosen Temperatur ϑ+ 0, t+ im Zentrum r+ = 0 der drei K¨ orper Platte (Mittelebene), sehr langer Zylinder (Achse) und Kugel (Mittelpunkt) dargestellt.


187

Abb. 2.30: Zeitlicher Temperaturverlauf ϑ+ (t+ ) im Zentrum (r + = 0) von Platte, sehr langem Zylinder und Kugel f¨ ur Bi = αR/λ = 1,0

2.3.4.5 N¨ aherung f¨ ur große Zeiten: Beschr¨ ankung auf den ersten Term der Reihen F¨ ur gen¨ ugend große Zeiten t+ reicht das erste Glied der Reihen (2.171), (2.178) und (2.181), um die Temperaturverteilung in der Platte, im unendlich langen Zylinder und in der Kugel zu berechnen. Man erhält dann das einfache Resultat ⎧ Platte ⎨ cos (μr+ ) + + + 2 + Zylinder . J0 (μr+ ) ϑ1 r , t = C exp −μ t (2.185) ⎩ sin (μr+ ) / (μr+ ) Kugel Der erste Eigenwert μ = μ1 und der zugeh¨ orige Entwicklungskoeffizient C = C1 hängen von der Biot-Zahl Bi = αR/λ ab. Sie haben außerdem verschiedene Werte f¨ ur die Platte, den Zylinder und die Kugel. In Tabelle 2.6 sind diese Werte zusammengestellt. U. Grigull u.a. [2.36] haben den Fehler berechnet, der bei Vernachlässigung der höheren Reihenglieder entsteht. L¨ asst man eine bestimmte Abweichung + + − ϑ+ r+ , t+ (2.186) Δϑ+ := ϑ+ 1 r ,t + andige Reihe bezu, wobei ϑ+ 1 den ersten Term nach (2.185) und ϑ die vollst¨ + deuten, so kann man eine bezogene Zeit tmin berechnen, f¨ ur die dieser Fehler + ur alle gerade auftritt. Dabei h¨ angt t+ min von r und von der Biot-Zahl ab. F¨ + + Zeiten t > tmin kann man dann mit dem ersten Term ϑ+ 1 nach (2.185) rechnen, ohne dass der Fehler gr¨ oßer als Δϑ+ ist. Abb. 2.31 zeigt das von U. Grigull u.a. [2.36] gefundene Ergebnis f¨ ur r+ = 0 (Mittelebene bzw. Mittelachse oder + Mittelpunkt) und Δϑ = 0,001 als Funktion von Bi. Bei kleinen Bi-Zahlen gen¨ ugt das erste Reihenglied bereits bei recht kleinen Zeiten t+ > t+ min . Gleichung (2.185) erlaubt auch eine explizite Berechnung von Erwärmungsoder Abk¨ uhlzeiten. Wir definieren diese Zeit tk so, dass nach ihrem Ablauf

188


Abb. 2.31: Mindestzeiten t+ ur das Unterschreiten eines Fehlers Δϑ+ = 0,001 min f¨ nach (2.186) durch die Vernachl¨ assigung h¨ oherer Reihenglieder f¨ ur r+ = 0. P Platte, Z sehr langer Zylinder, K Kugel

eine vorgegebene Temperatur ϑk im Zentrum des wärmeleitenden Körpers (r+ = 0) erreicht sein soll. Dieser Temperatur ϑk entspricht ein bestimmter Wert ϑ+ k = (ϑk − ϑU ) / (ϑ0 − ϑU ) . Aus (2.185) erhält man mit r+ = 0 2 + ϑ+ k = C exp −μ tk und daraus t+ k =

atk 1 . = 2 ln C − ln ϑ+ k 2 R μ

(2.187)

+ + Dabei wächst t+ ahlt. Mit k wegen ϑk < 1 umso mehr, je kleiner man ϑk w¨ Hilfe von Tabelle 2.6 l¨ asst sich (2.187) leicht auswerten. Auch die dimensionslose Mitteltemperatur ϑ+ m , die zur Berechnung der zu- oder abgef¨ uhrten W¨ arme nach (2.173) benötigt wird, lässt sich bei Beschränkung auf das erste Reihenglied leicht berechnen. Aus (2.174), (2.180) und (2.184) erhält man 2 + . (2.188) ϑ+ m = D exp −μ t

Der von der Biot-Zahl abh¨ angige Koeffizient D = D1 ist in Tabelle 2.6 verzeichnet. 2.3.4.6 Eine L¨ osung f¨ ur kleine Zeiten Zu Beginn des Abk¨ uhlens oder Erw¨ armens (t+ klein) braucht man mehrere Terme der unendlichen Reihen (2.171), (2.178) bzw. (2.181), um die Tempe-


189

raturverteilung in der Platte, dem Zylinder oder der Kugel genau berechnen zu können. Es empfiehlt sich, eine andere Lösung des Wärmeleitproblems zu suchen, die besonders gut bei kleinen Zeiten konvergiert. Man findet sie durch Anwenden der Laplace-Transformation, wobei man die LaplaceTransformierte der Temperatur in eine Reihe entwickelt, die f¨ ur große Werte von s konvergiert, vgl. Abschnitt 2.3.2. Durch gliedweises R¨ ucktransformieren unter Verwendung der Tafel der Korrespondenzen erhält man Ausdr¨ ucke, die bei kleinen Zeiten zur Berechnung des Temperaturfeldes geeignet sind. Diese Methode hat zuerst S. Goldstein [2.37] angewendet, vgl. auch [2.36]. Wir beschränken uns darauf, das Ergebnis f¨ ur die Platte anzugeben. Die Behandlung von Zylinder und Kugel f¨ uhrt auf kompliziertere Beziehungen, die man in [2.36] und [2.37] findet. F¨ ur die in Abschnitt 2.3.4.3 behandelte Erwärmung oder Abk¨ uhlung einer Platte erhält man mit den dimensionslosen Variablen nach (2.158) und (2.159) ϑ + r + , t+ = ,

√ 1 + r+ 1 + r+ + 2 + + √ 1 − erfc √ − exp Bi 1 + r + Bi t erfc + Bi t 2 t+ 2 t+ ,

√ 1 − r+ 1 − r+ + 2 + + √ − erfc √ + exp Bi 1 − r + Bi t erfc + Bi t 2 t+ 2 t+ + ... (2.189) Diese Lösung lässt eine anschauliche Deutung zu. Die Terme in den geschweiften Klammern entsprechen jeweils dem Temperaturverlauf in einem einseitig unendlich ausgedehnten K¨ orper. Beim ersten Term liegt seine Oberfläche bei r+ = −1, und er erstreckt sich in positiver r+ -Richtung. Der zweite Term gehört zu einem halbunendlichen K¨ orper, der sich, ausgehend von der Oberfläche bei r+ = +1, in negativer r+ -Richtung erstreckt. Die Subtraktion dieser beiden Temperaturverteilungen von der Anfangstemperatur ϑ+ = 1 ergibt die in Abb. 2.32 dargestellte symmetrische Temperaturverteilung in der Platte, ugt. die der Bedingung ∂ϑ+ /∂r+ = 0 bei r+ = 0 gen¨ Die L¨ osung (2.189) ist nur f¨ ur solche Zeiten g¨ ultig, f¨ ur die der Beitrag der ersten geschweiften Klammer zur Oberfl¨ achentemperatur bei r+ = +1 vernachl¨ assigbar klein ist. Es muss also

√ + 1 1 + + 2 + Δϑ r = 1, t = erfc √ − exp 2Bi + Bi t erfc √ + Bi t+ t+ t+ hinreichend klein sein. Eine asymptotische Entwicklung dieses Ausdrucks f¨ ur t+ → 0 ergibt +√ 3 t+ t+ e−1/t √ (1 − y) − 1 − y 3 + t+2 1 − y5 − . . . Δϑ+ 1, t+ = 2 4 π unstigste Fall entspricht Bi → ∞, also y = 0. Dann mit y := (1 + t+ Bi)−1 . Der ung¨ ergeben sich f¨ ur verschiedene dimensionslose Zeiten die folgenden Werte von Δϑ+ :

190


Abb. 2.32: Temperaturverteilung in der Platte nach (2.189) f¨ ur Bi = 2,0 und t+ = 0,25. Die gestrichelt gezeichneten Kurven a und b entsprechen den Termen in den geschweiften Klammern von (2.189) t+ = 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 Δϑ+ = 2,5 · 10−10 7,7 · 10−6 2,6 · 10−4 1,6 · 10−3 4,6 · 10−3 Damit d¨ urfte die durch (2.189) gegebene L¨ osung f¨ ur t+ < 0,2 in der Regel anwendbar sein.

2.3.5 Abku armung bei ¨ hlung und Erw¨ mehrdimensionalem W¨ armefluss Bei geometrisch mehrdimensionalem W¨ armefluss hat man Temperaturfelder zu berechnen, die von zwei oder drei r¨ aumlichen Koordinaten abhängen und der Wärmeleitungsgleichung ∂ϑ = a∇2 ϑ ∂t

(2.190)

ur kartesische und Zylindergen¨ ugen. Dabei hat der Laplace-Operator ∇2 ϑ f¨ Koordinaten die in Abschnitt 2.1.2 angegebene Form. Wir betrachten wieder das in Abschnitt 2.3.4 f¨ ur die Platte, den unendlich langer Zylinder und die Kugel gelöste instation¨ are W¨ armeleitproblem: Ein Körper mit der konstanten Anfangstemperatur ϑ0 wird mit einem Fluid der konstanten Temperatur ϑU = ϑ0 in Ber¨ uhrung gebracht, so dass W¨ arme¨ ubergang zwischen dem Körper und dem Fluid stattfindet, wobei der konstante Wärme¨ ubergangskoeffizient α maßgebend ist. Wir behandeln in den folgenden Abschnitten zwei Lösungsverfahren: –

eine analytische L¨ osung f¨ ur spezielle K¨ orperformen, die sich als Produkt der bereits in Abschnitt 2.3.4 berechneten Temperaturverteilungen ergibt, – ein Näherungsverfahren f¨ ur beliebige K¨ orperformen, das jedoch nur bei kleinen Biot-Zahlen hinreichend genau ist. Besonders das zuletzt genannte Verfahren bietet eine praktisch einfach anwendbare Lösung des instation¨ aren W¨ armeleitproblems; es sollte bei gen¨ ugend kleinen Biot-Zahlen stets angewendet werden.


191

2.3.5.1 Produktl¨ osungen Ein Zylinder endlicher L¨ ange entsteht durch die rechtwinklige Durchdringung eines unendlich langen Zylinders und einer Platte. In gleicher Weise erhält man ein sehr langes Prisma mit Rechteckquerschnitt bei der Durchdringung zweier Platten und ein Rechtkant (Quader), wenn sich drei Platten orthogonal durchdringen. F¨ ur die Erw¨ armung oder Abk¨ uhlung dieser Körper erhält man die räumliche Temperaturverteilung als Produkt der geometrisch eindimensionalen Temperaturverteilungen in den einfachen Körpern, die sich rechtwinklig durchdringen. Somit folgt f¨ ur den Quader mit den Kantenlängen 2X, 2Y und 2Z, vgl. Abb. 2.33,

x at αX y at α Y z at α Z ϑ − ϑU + + + + ·ϑPl ·ϑPl . , , , = ϑPl , , , ϑ = ϑ0 − ϑ U X X2 λ Y Y2 λ Z Z2 λ (2.191) + Die Platten-Lösung ϑ+ ist durch (2.171) gegeben. Dabei ist r durch x/X, Pl y/Y oder z/Z zu ersetzen und ebenso t+ durch at/X 2 , at/Y 2 bzw. at/Z 2 . Die Biot-Zahl αR/λ erh¨ alt jeweils die in (2.191) angegebene Bedeutung. Dabei ist es bemerkenswert, dass der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient nur auf den einander gegen¨ uberliegenden Oberfl¨ achen den gleichen Wert haben muss; er kann jedoch auf den Oberfl¨ achenpaaren senkrecht zur x-, y- oder z-Richtung unterschiedliche Werte α, α und α annehmen. F¨ ur das in z-Richtung sehr lange Prisma entf¨ allt in (2.191) der letzte Faktor. Die Temperaturverteilung f¨ ur den Zylinder der Höhe 2Z ergibt sich als Produkt

Abb. 2.33: Abmessungen eines Quaders und eines Zylinders endlicher L¨ ange sowie Lage des Koordinatensystems f¨ ur die Gleichungen (2.191) und (2.192)

Abb. 2.34: Quader mit adiabater Oberfl¨ ache bei y = 0 (schraffiert). An der gegen¨ uberliegenden Oberfl¨ ache W¨ armeu ¨bergang mit α

192


+

ϑ =

ϑ+ Zy

r at αR , , R R2 λ

·

ϑ+ Pl

z at α Z , , Z Z2 λ

,

(2.192)

wobei die Temperatur ϑ+ Zy des unendlich langen Zylinders durch (2.178) gegeben ist. Auch hier k¨ onnen der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient α auf der Mantelfläche und der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient α auf den beiden Deckflächen verschiedene Werte haben. Ist eine von zwei parallelen ebenen Oberfl¨ achen des Quaders, Prismas oder Zylinders adiabat isoliert, w¨ ahrend an der anderen Wärme u ¨bergeht, so lässt sich auch dieser Fall mit den obigen Gleichungen erfassen. Man hat nur die Abmessung senkrecht zu der adiabaten Fl¨ ache zu halbieren, also den Nullpunkt des Koordinatensystems in die adiabate Oberfläche zulegen. Dies ist beispielhaft f¨ ur einen Quader in Abb. 2.34 dargestellt. Den Beweis f¨ ur die Richtigkeit der Beziehungen (2.191) und (2.192) findet man z.B. im Buch von H.S. Carslaw und J.C. Jaeger [2.1], S. 33–35. Weitere Produktdarstellungen geometrisch mehrdimensionaler Temperaturfelder sind unter Benutzung der L¨ osung f¨ ur den halbunendlichen Körper möglich. Wegen weiterer Einzelheiten sei auf [2.1] und [2.18] verwiesen. Auch die bei mehrdimensionaler W¨ armeleitung abgegebene W¨ arme l¨ asst sich mit Hilfe der Produktl¨ osungen bestimmen. Nach Abschnitt 2.3.4 gilt f¨ ur die bis zur Zeit t abgegebene W¨ arme ϑ0 − ϑm (t) Q(t) + = = 1 − ϑ+ m (t ) , Q0 ϑ 0 − ϑU

(2.193)

vgl. (2.173). Die dimensionslose Mitteltemperatur ϑ+ m ergibt sich nun als Produkt der in Abschnitt 2.3.4.3 berechneten Mitteltemperaturen f¨ ur die Platte und den unendlich langen Zylinder. F¨ ur den Quader wird

at αX at α Y at α Z + + + ϑ+ = ϑ , , , · ϑ · ϑ (2.194) m mPl mPl mPl X2 λ Y2 λ Z2 λ mit ϑ+ alt man f¨ ur den Zylinder endlicher L¨ ange mPl nach (2.174). Ebenso erh¨

at αR at α Z + , , ϑ+ · ϑ+ , (2.195) m = ϑmZy mPl R2 λ Z2 λ wobei ϑ+ mZy durch (2.180) gegeben ist.

Die hier angegebenen Gleichungen f¨ ur die Temperaturverteilung und die Mitteltemperatur lassen sich besonders einfach auswerten, wenn die bezogene Zeit t+ so groß ist, dass man sich auf das erste Glied der unendlichen Reihen + beschränken kann, welche die Temperaturverteilung ϑ+ Pl in der Platte und ϑZy im langen Zylinder darstellen. Man kann dann die in Abschnitt 2.3.4.5 angegebenen Gleichungen benutzen und von Tabelle 2.6 Gebrauch machen. Auch Erwärmungs- oder Abk¨ uhlzeiten f¨ ur das Erreichen einer vorgegebenen Temperatur ϑk im Zentrum der hier behandelten wärmeleitenden Körper lassen sich bei Beschränkung auf die ersten Reihenglieder explizit berechnen. Wegen weiterer Einzelheiten sei auf [2.37] verwiesen.


193

Beispiel 2.5: Zylinder aus Chrom-Nickel-Stahl (λ = 15,0 W/K m , c = 510 J/kgK , = 7800 kg/m3 ) mit dem Durchmesser d = 60 mm und der L¨ ange agt, werden in ein L = 100 mm, deren Anfangstemperatur ϑ0 = 320 ℃ betr¨ ¨ Olbad mit der Temperatur ϑU = 30 ℃ getaucht. Der W¨ arme¨ ubergangskoeffi¨ ussen die Zylinder im Olbad bleiben, zient sei α = 450 W/m2 K. Wie lange m¨ damit die Temperatur in ihrem Zentrum den Wert ϑk = 70 ℃ erreicht? Wie groß ist zu diesem Zeitpunkt ihre h¨ ochste Oberfl¨ achentemperatur? Die Temperaturverteilung in einem Zylinder endlicher L¨ ange ist durch (2.192) gegeben. Um eine explizite Berechnung der Abk¨ uhldauer tk zu erm¨ oglichen, beschr¨ anken wir uns auf den jeweils ersten Term der unendlichen Reihen und u ¨berpr¨ ufen diese Vereinfachung sp¨ ater. Wir setzen also ϑ+ = CZy J0 (μZy r/R) exp −μ2Zy at/R2 · CPl cos (μPl z/Z) exp −μ2Pl at/Z 2 (2.196) mit R = d/2 = 30 mm und Z = L/2 = 50 mm. Die Eigenwerte μZy , μPl und die Koeffizienten CZy , CPl h¨ angen von den Biot-Zahlen ab. F¨ ur den Zylinder gilt BiZy = αR/λ = 0,900 , alt. woraus man aus Tabelle 2.6 (Seite 182) μZy = 1,20484 und CZy = 1,1902 erh¨ F¨ ur die Platte wird BiPl = αZ/λ = 1,500 und damit nach Tabelle 2.6 μPl = 0,98824 und CPl = 1,1537. F¨ ur die Temperatur im Zentrum (r = 0, z = 0) des Zylinders folgt aus (2.196) / . 2 2 atk , (2.197) ϑ+ k = CZy CPl exp − (μZy /R) + (μPl /Z) wobei ϑ+ k aus den gegebenen Temperaturen berechenbar ist: ϑ+ k =

ϑk − ϑU 70 ℃ − 30 ℃ = = 0,1379 . ϑ0 − ϑU 320 ℃ − 30 ℃

alt man aus (2.197) zu Die gesuchte Abk¨ uhldauer tk erh¨ tk =

1 ln CZy + ln CPl − ln ϑ+ k . a (μZy /R)2 + (μPl /Z)2

Mit der Temperaturleitf¨ ahigkeit a = λ/c = 3,77 · 10−6 m2 /s ergibt sich tk = 304 s = 5,07 min . Um zu pr¨ ufen, ob es zul¨ assig ist, die Reihen nach den ersten Gliedern abzubrechen, berechnen wir mit tk die Fourier-Zahlen + tk Zy = atk /R2 = 1,274 und

t+ k

Pl

= atk /Z 2 = 0,459 .

Nach Abb. 2.31 sind diese dimensionslosen Zeiten so groß, dass die Fehler durch Vernachl¨ assigung der h¨ oheren Reihenglieder bedeutungslos sind.

194


Die h¨ ochste Oberfl¨ achentemperatur tritt entweder auf dem Zylindermantel (r = R) f¨ ur z = 0 oder in der Mitte der Deckfl¨ ache, also bei z = Z und r = 0 auf. F¨ ur die Mitte des Zylindermantels erh¨ alt man aus (2.196) und (2.197) ϑ+ (r = R , z = 0 , t = tk ) = J0 (μZy ) ϑ+ k = 0,6687 · 0,1379 = 0,0922 , also ϑ (r = R , z = 0 , t = tk ) = 56,7 ℃. F¨ ur die Mitte der Deckfl¨ ache gilt ϑ+ (r = 0 , z = Z , t = tk ) = cos (μPl ) ϑ+ k = 0,5502 · 0,1379 = 0,0759 , alt. Die h¨ ochste Oberfl¨ achenworaus man ϑ (r = 0 , z = Z , t = tk ) = 52,0 ℃ erh¨ temperatur tritt also auf dem Zylindermantel bei z = 0 (Mitte) auf.

2.3.5.2 N¨ aherung f¨ ur kleine Biot-Zahlen Eine einfach anwendbare Berechnung der Erwärmung oder Abk¨ uhlung beliebig geformter Körper ist f¨ ur den Grenzfall sehr kleiner Biot-Zahlen (Bi → 0) m¨ oglich. Diese Bedingung ist erf¨ ullt, wenn der Wärmeleitwiderstand im Körper sehr viel kleiner ist als der W¨ arme¨ ubergangswiderstand an seiner Oberfläche, vgl. Abschnitt 2.1.5. Im w¨ armeleitenden Körper treten dann zu einem festen Zeitpunkt nur geringe Temperaturunterschiede auf, während zwischen Oberflächentemperatur und Umgebungstemperatur eine weit größere Differenz besteht, vgl. Abb. 2.5. Wir nehmen nun vereinfachend an, die Temperatur des Körpers hänge nur von der Zeit, aber nicht von den r¨ aumlichen Koordinaten ab. Diese Annahme entspricht Bi = 0 und zwar deswegen, weil λ → ∞ geht, während der ¨ W¨ arme¨ ubergangskoeffizient α = 0 ist. Um die zeitliche Anderung der Temperatur zu bestimmen, wenden wir den ersten Hauptsatz der Thermodynamik ¨ auf den betrachteten K¨ orper an. Die Anderung seiner inneren Energie ist gleich dem Wärmestrom, der seine Oberfl¨ ache u ¨berquert: dU = Q˙ . dt

(2.198)

Der Körper mit dem Volumen V habe konstante Stoffwerte und c. Dann gilt du dϑ dU =V = V c . dt dt dt Mit A als Oberfl¨ ache des K¨ orpers erh¨ alt man f¨ ur den Wärmestrom Q˙ = αA(ϑ − ϑU ) . Aus (2.198) folgt nun die Differentialgleichung dϑ αA = (ϑ − ϑU ) , dt cV deren Lösung


ϑ+ =

ϑ − ϑU αA t = exp − ϑ0 − ϑU cV

195

(2.199)

die Anfangsbedingung ϑ(t = 0) = ϑ0 erf¨ ullt. Diese Beziehung f¨ ur den zeitlichen Temperaturverlauf ist erheblich einfacher zu handhaben als die Reihenentwicklungen. Alle Einflussgr¨ oßen wie der Wärme¨ ubergangskoeffizient, die Stoffwerte und die Geometrie des K¨ orpers sind in einer einzigen Größe, der Abklingzeit c V , t0 := α A zusammengefasst. Am Beispiel der Platte zeigen wir, dass (2.199) der exakten Lösung f¨ ur Bi = 0 mit α = 0 entspricht. Wir untersuchen ferner, f¨ ur welche von null verschiedenen Biot-Zahlen die einfache Berechnung des zeitlichen Temperaturverlaufs nach (2.199) mit hinreichender Genauigkeit anwendbar ist. Die Temperaturverteilung in der Platte ist durch (2.171) gegeben. F¨ ur Bi = 0 ur erh¨ alt man aus (2.170) die Eigenwerte μ1 = 0, μ2 = π, μ3 = 2π, . . . Dabei gilt f¨ den ersten Eigenwert (2.200) μ21 = Bi − Bi2 /3 + . . . , was man durch Reihenentwicklung von tan μ leicht best¨ atigt. Nach (2.172) werden alle Entwicklungskoeffizienten Ci mit i ≥ 2 gleich null, und es gilt C1 = 1. Wegen alt man unter Beachtung von (2.200) f¨ ur das einzige von null cos(μ1 r+ ) ≡ 1 erh¨ verschiedene Glied der unendlichen Reihe (2.171)

αt ϑ − ϑU + + ϑ = = exp −Bi t = exp − . ϑ 0 − ϑU cR Dies stimmt mit (2.199) u ur die Platte der Dicke 2R ist V /A = R. In ¨berein, denn f¨ der gleichen Weise l¨ asst sich auch f¨ ur die anderen K¨ orper nachweisen, dass (2.199) mit der geschlossenen L¨ osung f¨ ur Bi = 0, entsprechend λ → ∞, jedoch α = 0, u ¨bereinstimmt. Wird dagegen bei endlichem λ die Biot-Zahl dadurch zu null, dass alt ihre man α = 0 setzt, so folgt aus (2.171) ϑ+ = 1. Die isolierte Platte beh¨ Anfangstemperatur ϑ0 bei; es findet kein Temperaturausgleich zwischen ϑ0 und ϑU statt. Die Genauigkeit der N¨ aherungsgleichung (2.199) l¨ asst sich durch Vergleich mit der geschlossenen L¨ osung f¨ ur Quader und Prismen verschiedener Seitenverh¨ altnisse, f¨ ur den Zylinder mit verschiedenen Verh¨ altnissen von Durchmesser und H¨ ohe sowie f¨ ur die Kugel berechnen. Dabei vergleichen wir die wahre Mitteltemperatur ϑ+ m mit der Temperatur ϑ+ nach (2.199). Die Differenz + Δϑ+ := ϑ+ m −ϑ

(2.201)

h¨ angt noch von der Zeit t bzw. t+ ab. Sie ist jedoch stets positiv, denn durch die alt die f¨ ur den W¨ arme¨ uberAnnahme einer r¨ aumlich konstanten Temperatur ϑ+ erh¨ gang maßgebende Oberfl¨ achentemperatur einen zu hohen Wert. Damit wird der an die Umgebung abgegebene W¨ armestrom zu groß berechnet, und ϑ+ , die Mitteltemperatur der N¨ aherungsl¨ osung (2.199), ist zu jeder Zeit kleiner als die wahre Mitteltemperatur ϑ+ m.

196


ur jeden K¨ orper und f¨ ur Die zeitabh¨ angige Differenz Δϑ+ nach (2.201) nimmt f¨ eine vorgegebene Biot-Zahl einen Maximalwert Δϑ+ max an, der bei einer bestimmten Zeit auftritt. Diese maximalen Abweichungen der N¨ aherungsl¨ osung wurden f¨ ur verschiedene K¨ orperformen berechnet. F¨ ur Bi = 0,1 liegen die maximalen Abweichungen der N¨ aherungsl¨ osung ausnahmslos unter 2% der charakteristischen Temperaturdifferenz ϑ0 − ϑU . Dabei wurde die Biot-Zahl mit dem Kugel- bzw. Zylinder-Radius R als charakteristische L¨ ange gebildet (Bi = αR/λ). Beim Quader und beim Prisma wurde die H¨ alfte X der kleinsten Kantenl¨ ange 2X als charakteristische L¨ ange benutzt. Bei K¨ orpern, deren L¨ angendimensionen X, Y, Z bzw. R und Z sich nicht stark unterscheiden, liegt der maximale Fehler der N¨ aherungsl¨ osung nahe 1% von ϑ0 −ϑU . Der Fehler w¨ achst mit steigender Biot-Zahl rasch an. Die f¨ ur Bi = 0,10 berechneten urften in der Regel toleriert werden k¨ onnen. Fehler unter 2% von ϑ0 − ϑU d¨

Die Näherungsl¨ osung nach (2.199) bietet somit ein einfaches und empfehlenswertes Verfahren zur Berechnung von Abk¨ uhlungs- und Erwärmungsvorgängen beliebig geformter K¨ orper. Es ist jedoch nur f¨ ur Biot-Zahlen Bi < 0,1 hinreichend genau. Man pr¨ ufe diese Bedingung, wobei als charakteristische Länge bei der Bildung der Biot-Zahl die Hälfte der kleinsten Längenabmessung des betrachteten K¨ orpers zu wählen ist.

2.3.6 Erstarren geometrisch einfacher K¨ orper Reine Stoffe und eutektische Gemische erstarren und schmelzen bei bestimmten Temperaturen ϑE , die von Stoff zu Stoff verschieden sind und geringf¨ ugig vom Druck abhängen. Das bekannte Beispiel ist Wasser, das unter Atmosphärendruck bei ϑE = 0 ℃ erstarrt. Dabei wird die Erstarrungsenthalpie hE = 333 kJ/kg frei. Beim Schmelzen eines Festkörpers ist die Schmelzenthalpie, die im Betrag mit der Erstarrungsenthalpie u ¨bereinstimmt, als Wärme zuzuf¨ uhren. Erstarrungsvorg¨ ange haben Bedeutung in der Kältetechnik (Eiserzeugung), in der Lebensmittel- und Verfahrenstechnik und in der Metallurgie. Dabei interessiert besonders die Geschwindigkeit, mit der sich die Grenze zwischen fester und fl¨ ussiger Phase bewegt. Daraus lassen sich die Zeiten berechnen, die zum Erstarren von Materialschichten gegebener Dicke erforderlich sind. Die Modellierung dieser Prozesse geh¨ ort in das Gebiet der instationären W¨ armeleitung, da die an der Phasengrenze frei werdende Erstarrungsenthalpie durch den festen K¨ orper geleitet werden muss. Eine allgemeine mathematische L¨ osung dieses Wärmeleitproblems existiert nicht. Spezielle geschlossene L¨ osungen haben F. Neumann4 um 1865 und J. Stefan 1891 [2.39] angegeben. Im ersten Abschnitt behandeln wir das von J. Stefan gelöste Problem und leiten im darauf folgenden Abschnitt die quasistationären Lösungen her, bei denen die Wärmespeicherung im erstarrten 4

F. Neumann hat diese L¨ osung in seinen Vorlesungen an der Universit¨ at K¨ onigsberg vorgetragen. Eine erste Ver¨ offentlichung findet man in: Die partiellen Differentialgleichungen der Physik, Hrsg.: B. Riemann und H. Weber, Bd. 2, S. 117– 121, Braunschweig: F. Vieweg 1912.


197

Festkörper vernachl¨ assigt wird. Im letzten Abschnitt gehen wir auf Verbesserungen der quasistation¨ aren L¨ osungen ein, bei denen die Wärmespeicherung im Festkörper näherungsweise ber¨ ucksichtigt wird. 2.3.6.1 Das Erstarren ebener Schichten (Stefan-Problem) Ein erstarrter Festk¨ orper werde bei x = 0 durch K¨ uhlung auf der konstanten Temperatur ϑ0 gehalten, die kleiner als die Erstarrungstemperatur ϑE ist, Abb. 2.35. Es soll nur eindimensionale W¨ armeleitung in x-Richtung betrachtet werden. An der nach rechts wandernden ebenen Phasengrenze x = s ber¨ uhrt der Festkörper die Fl¨ ussigkeit, die bereits auf die Erstarrungstemperatur abgek¨ uhlt sein soll. Beim Vorr¨ ucken der Phasengrenze, also beim Erstarren einer Schicht der Dicke ds, wird die Erstarrungsenthalpie frei und muss als Wärme an die gek¨ uhlte Oberfl¨ ache des Festk¨ orpers bei x = 0 geleitet werden.

Abb. 2.35: Temperaturverlauf (f¨ ur t = const) beim Erstarren eines ebenen Festk¨ orpers. s Abstand der Phasengrenze von der gek¨ uhlten Fl¨ ache x = 0

Die Temperatur ϑ = ϑ(x, t) im erstarrten Festkörper gen¨ ugt der Wärmeleitungsgleichung ∂ϑ ∂ 2ϑ (2.202) =a 2 ∂t ∂x mit den Randbedingungen ϑ = ϑ0

f¨ ur

x=0 , t>0 ,

(2.203)

ϑ = ϑE

f¨ ur x = s , t > 0 ,

(2.204)

und sowie der Anfangsbedingung s = 0 f¨ ur

t=0 .

An der Phasengrenze muss die Energiebilanzgleichung

(2.205)

198


λ

∂ϑ dt = hE ds ∂x

erf¨ ullt sein, in der hE die spez. Erstarrungsenthalpie bedeutet. Daraus erhält man f¨ ur das zeitliche Vorr¨ ucken der Phasengrenze (die Erstarrungsgeschwindigkeit)

∂ϑ λ ds = . (2.206) dt hE ∂x x=s Eine Lösung der W¨ armeleitungsgleichung (2.202) ist das Fehlerintegral

x √ ϑ = ϑ0 + C erf , 2 at vgl. 2.3.3.1; es erf¨ ullt die Randbedingung (2.203). Die Bedingung (2.204) verlangt

s √ ϑE = ϑ0 + C erf . 2 at Das Argument des Fehlerintegrals muss danach unabhängig von t gleich einer Konstanten γ sein. Die Dicke der erstarrten Schicht wächst proportional zu √ t, √ (2.207) s = γ 2 at , womit auch die Anfangsbedingung (2.205) erf¨ ullt ist. Aus ϑE − ϑ0 = C erf γ erhalten wir f¨ ur den Temperaturverlauf in der erstarrten Schicht (x ≤ s) √ erf x/ 4at erf (γx/s) ϑ − ϑ0 + = . (2.208) ϑ := = ϑE − ϑ0 erf γ erf γ Die noch unbekannte Konstante γ ergibt sich aus der Bedingung (2.206) f¨ ur die Erstarrungsgeschwindigkeit. Aus (2.207) folgt ( ds a =γ dt t und aus (2.206) und (2.208) 2

ds λ ϑE − ϑ0 e−γ = . √ √ dt hE erf γ π at Daraus erhält man die von t unabh¨ angige transzendente Gleichung √

2

πγeγ erf γ =

c (ϑE − ϑ0 ) 1 = hE Ph

(2.209)

zur Bestimmung von γ. Diese Konstante h¨ angt nur von der Phasen¨ ubergangszahl


199

1 hE = (2.210) c (ϑE − ϑ0 ) St ab, die das Verh¨ altnis zweier spez. Energien ist: der spez. Erstarrungsenthalpie hE und der Differenz der spez. inneren Energien des Festkörpers bei den Temperaturen ϑE und ϑ0 . Das Reziproke von P h wird auch als Stefan-Zahl St bezeichnet. Unter Benutzung der Reihenentwicklung des Fehlerintegrals, vgl. z.B. [2.28], [2.30], lässt sich die linke Seite von (2.209) in eine f¨ ur kleine γ rasch konvergierende Reihe entwickeln: 2 n+1 ∞ 2γ 1 = . (2.211) 1 · 3 · 5 · . . . (2n + 1) P h n=0 P h :=

Daraus erhält man die Reihe 1 1 7 79 γ 2 = P h−1 − P h−2 + P h−3 − P h−4 + . . . , (2.212) 2 6 90 1890 die f¨ ur größere Werte der Phasen¨ ubergangszahl eine direkte Berechnung von γ gestattet. F¨ ur die Zeit t zum Erstarren einer ebenen Schicht der Dicke s ergibt sich schließlich aus (2.207) und (2.212)

1 −1 s2 hE s2 2 16 −2 −3 1 + Ph − Ph + Ph − ... . t= = 4aγ 2 2λ (ϑE − ϑ0 ) 3 45 945 (2.213) Die Erstarrungsdauer w¨ achst quadratisch mit der Schichtdicke und ist umso größer, je kleiner die Phasen¨ ubergangszahl P h ist.

Abb. 2.36: Relativer Fehler der mit der quasistation¨ aren N¨ aherung nach (2.214) berechneten Erstarrungszeit t∗

Vernachlässigt man die W¨ armespeicherung im erstarrten Festkörper, so entspricht dies wegen c = 0 dem Grenzfall P h → ∞. Dies ist die sogenannte

200


quasistationäre N¨ aherung, f¨ ur die sich aus (2.213) die stets zu kleine Erstarrungsdauer hE s2 t∗ = (2.214) 2λ (ϑE − ϑ0 ) ergibt. Der relative Fehler 1 7 79 t − t∗ = 1 − 2P hγ 2 = P h−1 − P h−2 + P h−3 . . . t 3 45 945

(2.215)

ist in Abb. 2.36 dargestellt. F¨ ur P h > 6,2 ist der Fehler kleiner als 5%; er wächst mit kleiner werdender Phasen¨ ubergangszahl stark an. Das hier behandelte Problem hat zuerst J. Stefan [2.39] 1891 gelöst. Die Lösung des allgemeineren Problems von F. Neumann haben U. Grigull und H. Sander [2.18] ausf¨ uhrlich dargestellt. Hier wird in der Fl¨ ussigkeit eine Anfangstemperatur ϑ0F > ϑE angenommen, so dass auch f¨ ur die Fl¨ ussigkeitstemarmeleitungsgleichung gelöst werden muss. Dabei wird peratur ϑF (x, t) die W¨ angenommen, dass keine Konvektion auftritt. Die Lösung enthält wiederum ussigkeit zu Fehlerintegrale, wobei auch die Stoffwerte λF , cF und F der Fl¨ ber¨ ucksichtigen sind. Weitere analytische L¨ osungen von Varianten des StefanNeumann-Problems findet man bei H.S. Carslaw und J.C. Jaeger [2.1]. Verallgemeinerte mathematische Formulierungen und eine Darstellung weiterer Lösungsmethoden enthalten die Beitr¨ age von A.B. Tayler und J.R. Ockendon in [2.40], vgl. auch [2.41]. 2.3.6.2 Die quasistation¨ are N¨ aherung F¨ ur gen¨ ugend große Werte der Phasen¨ ubergangszahl P h nach (2.210), etwa f¨ ur P h > 7, ist es zul¨ assig, die Speicherf¨ ahigkeit der erstarrten Schicht zu vernachlässigen. Man nimmt dann einen Temperaturverlauf an, wie er bei stationärer Wärmeleitung auftreten w¨ urde. Diese quasistationäre Näherung gestattet es, am gek¨ uhlten Ende der erstarrten Schicht andere Randbedingungen als bei den exakten L¨ osungen nach F. Neumann und J. Stefan anzunehmen sowie Erstarrungsvorg¨ ange mit Zylinder- und Kugelgeometrie zu behandeln, f¨ ur die es keine exakten analytischen Lösungen gibt. Die aus der quasistationären N¨ aherung folgenden Gleichungen f¨ ur die Erstarrungszeiten haben vor allem R. Plank [2.42] und K. Nesselmann [2.43], [2.44] hergeleitet. Sie gelten wegen der Bedingung großer Phasen¨ ubergangszahlen f¨ ur das Geur Wasser besonders frieren von Eis und von wasserhaltigen Stoffen, weil hE f¨ groß ist. Wir behandeln zuerst den Erstarrungsvorgang an einer ebenen, gek¨ uhlten Wand nach Abb. 2.37. Die Wand mit der Dicke δW und der Wärmeleitfähigkeit λW wird durch ein Fluid mit der Temperatur ϑ0 gek¨ uhlt, wobei der Wärme¨ ubergangskoeffizient α maßgebend ist. An der anderen Seite der Wand bildet sich die erstarrte Schicht aus, die zur Zeit t die Dicke s hat. Die Fl¨ ussigkeit soll bereits die Erstarrungstemperatur ϑE angenommen haben.


201

Abb. 2.37: Temperaturverlauf beim Erstarren einer ebenen Schicht unter Annahme der quasistation¨ aren N¨ aherung

Während der Zeit dt r¨ uckt die Phasengrenze um die Strecke ds vor. Dabei wird die Erstarrungsenthalpie dQ = hE A ds frei und muss als W¨ arme durch die bereits erstarrte Schicht abgef¨ uhrt werden. Im Sinne der quasistation¨ aren N¨ aherung findet zu jedem Zeitpunkt Wärmedurchgang zwischen der Phasengrenze (ϑ = ϑE ) und dem K¨ uhlmedium (ϑ = ϑ0 ) statt. Nach Abschnitt 1.2.1 gilt dann (ϑE − ϑ0 )A dt , dQ = Q˙ dt = 1 s δW + + λ λW α wobei λ die Wärmeleitf¨ ahigkeit des erstarrten Festkörpers ist. Aus den beiden Gleichungen f¨ ur dQ folgt

λ hE s+ ds (2.216) dt = λ(ϑE − ϑ0 ) k mit

1 1 δW + = . k λW α

(2.217)

Durch Integration von (2.216) erh¨ alt man die Erstarrungszeit f¨ ur eine ebene Schicht der Dicke s zu

λ hE s2 1+2 . (2.218) t= 2λ (ϑE − ϑ0 ) ks F¨ ur k → ∞ hat die Temperatur bei x = 0 den Wert ϑ = ϑ0 . Dies ist die Randbedingung des in 2.3.6.1 behandelten Stefan-Problems. Aus (2.218) erhält man den ersten Term der exakten L¨ osung (2.213), entsprechend P h → ∞, also die Zeit t∗ nach (2.214). Bei endlichem W¨ armedurchgangswiderstand (1/k) vergrößert sich die Erstarrungszeit gegen¨ uber t∗ ; sie wächst nicht mehr proportional zu s2 . In der gleichen Weise kann man die Erstarrungszeiten f¨ ur Schichten an Zylinderfl¨ achen (Rohren) und Kugeln berechnen. Wir leiten das Ergebnis f¨ ur eine Schicht

202


Abb. 2.38: Erstarrung an der Außenseite eines von innen gek¨ uhlten Rohres mit dem Außenradius R (quasistation¨ are N¨ aherung)

her, die sich an der Außenfl¨ ache eines von innen gek¨ uhlten Rohres mit dem Außenradius R bildet, Abb. 2.38. Beim Erstarren einer Schicht der Dicke ds wird die W¨ arme dQ = hE 2π(R + s)Lds frei, wobei L die L¨ ange des Rohres bedeutet. F¨ ur den W¨ armedurchgang gilt ˙ = dQ = Qdt

ϑ E − ϑ0 dt 1 R+s 1 ln + 2πLλ R kA

mit

1 R 1 1 ln = + , kA 2πLλW R − ΔR 2πL(R − ΔR)α wobei ΔR die Dicke der Rohrwand bedeutet. Daraus folgt R+s hE (R + s) ln + (R + s)β ds dt = λ (ϑE − ϑ0 ) R

(2.219)

mit der Abk¨ urzung β=

λ λ R + . ln λW R − ΔR (R − ΔR)α

(2.220)

Integration von (2.219) unter Beachtung der Anfangsbedingung s = 0 f¨ ur t = 0 ergibt mit s+ := s/R die Erstarrungsdauer hE s2 t= 2λ (ϑE − ϑ0 )

1 1+ + s

2

2 ln(1 + s ) − 1 + + s +

1 −β 2

.

(2.221)

In der gleichen Weise erh¨ alt man die in Tabelle 2.7 zusammengestellten Beziehungen. Dabei ist zu beachten, dass R den Radius der Zylinder- oder Kugeloberfl¨ ache bedeutet, an der sich die erstarrende Schicht bildet, vgl. Abb. 2.39. Bei β = 0 nehur s+ → 0 den Grenzwert eins an. men die Funktionen f (s+ , β) von Tabelle 2.7 f¨ Bei kleinen Schichtdicken und β = 0 w¨ achst also die Erstarrungszeit unabh¨ angig von der geometrischen Form proportional zu s2 , was nach (2.218) auch f¨ ur die ebene Schicht gilt.

1 s+ ln(1 − s +

1 −β 2

β=

s+ = s/R

und

λ λ R + ln λW R − ΔR α(R − ΔR)

mit

λ 1 λ 2 R + ΔR +β + )− 1− + ln s 2 λW R α(R + ΔR) +2 s λ ΔR λ R 1 + s+ + + 3 λW R − ΔR α(R − ΔR) R − ΔR +2 λ ΔR λ R s 1 − s+ + + 3 λW R + ΔR α(R + ΔR) R + ΔR

hE s2 f (s+ , β) 2λ(ϑE − ϑ0 )

2 ln(1 + s ) − 1 + + s +

2 2β 1 − s+ + + 3 s

2

2

Kugel innen

1 1− + s

1+

2 2β 1 + s+ + + 3 s

f (s+ , β) =

Kugel außen

Zylinder innen

Zylinder außen

Erstarrende Schicht

Erstarrungsdauer t =

Tabelle 2.7: Gleichungen f¨ ur die Berechnung der Erstarrungsdauer t von zylinderund kugelf¨ ormigen Schichten der Dicke s, vgl. Abb. 2.39. Mit R wird stets der Zylinder- oder Kugelradius der Seite bezeichnet, an der sich die erstarrende Schicht bildet; ΔR bedeutet die Dicke der Zylinder- bzw. Hohlkugelwand.

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung 203

Abb. 2.39: Abmessungen beim Erstarren an der Außenseite (linker Bildteil) bzw. Innenseite (rechter Bildteil) eines Rohres oder einer Hohlkugel

204


2.3.6.3 Verbesserte N¨ aherungen Wie ein Vergleich mit der exakten L¨ osung des Stefan-Problems zeigt, gilt die im letzten Abschnitt behandelte quasistation¨ are Näherung nur f¨ ur gen¨ ugend große Phasen¨ ubergangszahlen, etwa f¨ ur P h > 7. F¨ ur Erstarrungsprobleme mit endlichem W¨ armedurchgangswiderstand zur K¨ uhlfl¨ ussigkeit und f¨ ur Probleme mit Zylinder- oder Kugelgeometrie gibt es keine exakten Lösungen, so dass man zunächst auf die quasistation¨ are N¨ aherung angewiesen ist. Eine Verbesserung dieser N¨ aherung, bei der die W¨ armespeicherung in der erstarrten Schicht wenigstens n¨ aherungsweise ber¨ ucksichtigt wird, ist daher erw¨ unscht und in verschiedenen Untersuchungen angegeben worden. In vielen F¨ allen wird dabei der Temperaturverlauf im erstarrten Festk¨ orper durch eine N¨ aherungsfunktion, z.B. ein Polynom zweiten oder h¨ oheren Grades ersetzt. Die von der Zeit abh¨ angigen Koeffizientenfunktionen eines solchen Ansatzes werden zun¨ achst den Randbedingungen angepasst. Die W¨ armeleitungsgleichung l¨ asst sich dagegen nicht exakt, sondern nur n¨ aherungsweise erf¨ ullen. Dies kann nach T.R. Goodman [2.45] im Mittel durch einen Integralansatz (heat-balance integral) geschehen, vgl. hierzu auch [2.46] und [2.47]. F. Megerlin [2.48] empfiehlt dagegen, die W¨ armeleitungsgleichung punktweise und zwar an der Phasengrenze x = s zu erf¨ ullen. Man erh¨ alt recht verwickelte Gleichungen f¨ ur die Erstarrungsgeschwindigkeit ds/dt, deren Integration die Erstarrungsdauer liefert. Oft l¨ asst sich diese Integration nur numerisch ausf¨ uhren, vgl. [2.48] und [2.49]. Beim Verfahren der asymptotischen N¨ aherungen werden keine willk¨ urlichen N¨ aherungsfunktionen verwendet, sondern eine Funktionenreihe ϑ(x, t) = ϑ0 (x, t) + ϑ1 (x, t)P h−1 + ϑ2 (x, t)P h−2 + . . . f¨ ur die Temperatur in der erstarrten Schicht angesetzt. Diese Reihe konvergiert umso besser, je gr¨ oßer die Phasenumwandlungszahl P h ist. Ein gleicher Ansatz wird f¨ ur die Erstarrungsgeschwindigkeit gemacht: ds = s0 (t) + s1 (t)P h−1 + s2 (t)P h−2 + . . . dt Aus der exakten Formulierung des Problems, der W¨ armeleitungsgleichung mit ihren Randbedingungen, lassen sich die Funktionen ϑi (x, t) und si (t) rekursiv bestimmen. Dabei entsprechen ϑ0 (x, t) und s0 (t) der quasistation¨ aren N¨ aherung, P h → ∞. K. Stephan und B. Holzknecht [2.50] haben auf diese Weise die in 2.3.6.2 behandelten Erstarrungsprobleme gel¨ ost. Leider ergeben sich f¨ ur die Terme mit i ≥ 1 verwickelte Ausdr¨ ucke, die eine explizite Berechnung der Erstarrungsdauer erschweren. K. Stephan und B. Holzknecht haben daher einfachere und recht genaue N¨ aherungsgleichungen f¨ ur die Erstarrungsgeschwindigkeit angegeben. Schließlich sei die numerische L¨ osung des Erstarrungsproblems genannt, die wegen der wandernden Phasengrenze zus¨ atzliche Schwierigkeiten enth¨ alt. Da wir in Abschnitt 2.4 hierauf nicht eingehen, sei an dieser Stelle auf die Arbeit von K. Stephan und B. Holzknecht [2.51] sowie auf Beitr¨ age von D.R. Atthey, J. Crank und von L. Fox in [2.40] hingewiesen.


205

2.3.7 W¨ armequellen Im Inneren eines w¨ armeleitenden K¨ orpers treten Wärmequellen als Folge von dissipativen Prozessen und chemischen oder nuklearen Reaktionen auf. Nach 2.1.2 gilt f¨ ur das Temperaturfeld die Differentialgleichung ˙ (x, t, ϑ) W ∂ϑ = a∇2 ϑ + ∂t c

(2.222)

bei Annahme temperaturund konzentrationsunabhängiger Stoffwerte. Die in ˙ (x, t, ϑ) bedeutet die auf das Volumen Abschnitt 2.1.1 eingef¨ uhrte Funktion W bezogene Wärmeleistung, die aufgrund der genannten Prozesse im Körperinneren entsteht. Die L¨ osung der W¨ armeleitungsgleichung (2.222) ist in der ˙ nicht oder linear von der Temperatur ϑ abhängt. Regel möglich, wenn W Die Laplace-Transformation stellt f¨ ur diese linearen Probleme ein bevorzugtes Lösungsverfahren dar. Andere Methoden werden in [2.1] angegeben, wo man auch eine gr¨ oßere Zahl von L¨ osungen f¨ ur verschiedene Geometrien und unterschiedliche Randbedingungen findet. Das Buch von H. Tautz [2.26] enthält mehrere ausf¨ uhrlich behandelte Fälle, die durch Anwenden der Laplace-Transformation gel¨ ost wurden. Im folgenden Abschnitt behandeln wir beispielhaft ein Problem mit einer homogenen Wärmequelle. Die interne W¨ armeentwicklung ist hier kontinuierlich u ber den ganzen K¨ o rper verteilt. Im darauf folgenden Abschnitt gehen ¨ wir auf lokale Wärmequellen ein, bei denen die Wärmeentwicklung auf einen Punkt oder eine Linie im w¨ armeleitenden Material konzentriert ist. 2.3.7.1 Homogene W¨ armequellen Wir nehmen geometrisch eindimensionalen Wärmefluss in x-Richtung und ˙ an, die nicht von der Temperatur abhängt. Es gilt eine Leistungsdichte W dann die Wärmeleitungsgleichung ˙ (x, t) ∂2ϑ W ∂ϑ =a 2 + . ∂t ∂x c

(2.223)

Diese lineare inhomogene Differentialgleichung lässt sich vorteilhaft mit der Laplace-Transformation l¨ osen. Wir zeigen den Lösungsweg an dem folgenden Beispiel. In einem halbunendlichen K¨ orper (x ≥ 0) sei eine r¨ aumlich konstante, aber von der Zeit abh¨ angige Leistungsdichte ˙ (t) = W ˙ 0 t0 /t , t > 0 , W (2.224) ˙ 0 die Leistungsdichte zur Zeit t0 . Durch (2.224) wird vorhanden. Hierin bedeutet W eine W¨ armeentwicklung modelliert, wie sie z.B. beim Abbinden von Beton vorkommt: eine anf¨ anglich große, mit fortschreitender Zeit rasch abnehmende W¨ arme¨ freisetzung. Der halbunendliche K¨ orper soll anf¨ anglich die konstante (Uber-)Temperatur

206

2 W¨ armeleitung und Diffusion ϑ=0

f¨ ur

t=0

(2.225)

haben, und seine Oberfl¨ ache x = 0 soll stets auf dieser Temperatur gehalten werden: ϑ(0, t) = 0

f¨ ur

x=0 .

(2.226)

Aus (2.223) und (2.224) entsteht durch Anwenden der Laplace-Transformation die inhomogene gew¨ ohnliche Differentialgleichung √ ˙ 0 πt0 d2 u W 2 √ − p u = − dx2 λ s ur x → ∞ bemit p2 = s/a unter Beachten der Anfangsbedingung (2.225). Die f¨ schr¨ ankte L¨ osung der homogenen Differentialgleichung ist uhom = C exp(−px); eine partikul¨ are L¨ osung der inhomogenen Gleichung lautet √ √ ˙ 0 πt0 ˙ 0 πt0 W W √ 2 = . uinh = λ c s3/2 sp Die aus diesen beiden Anteilen zusammengesetzte Unterfunktion √ ˙ 0 πt0 W u(x, s) = Ce−px + cs3/2 ist noch an die Randbedingung (2.226) anzupassen. Man erh¨ alt

˙ 0√ 1 e−px 1 W πt0 −√ . u(x, s) = 3/2 c s a sp Die R¨ ucktransformation mit Hilfe einer Tafel der Korrespondenzen, Tab. 2.3, ergibt

√ ˙ 0 t0 √ √ W x ϑ(x, t) = (2.227) 2 t 1 − π ierfc √ c 2 at mit dem integrierten Fehlerintegral nach Abschnitt 2.3.3.1. Wir f¨ uhren in (2.227) die folgenden dimensionslosen Variablen ein: √ ˙ 0 t0 ) . t+ := t/t0 , x+ := x/ at0 , ϑ+ := ϑc/(W Damit ergibt sich √

√ x+ ϑ+ x+ , t+ = 2 t+ 1 − π ierfc √ . 2 t+

(2.228)

Diese √ Temperaturverteilung ist in Abb. 2.40 dargestellt. F¨ ur sehr kleine Werte von x+ /(2 t+ ) gilt √ √ √ √ π ierfc x+ / 2 t+ = 1 − πx+ / 2 t+ + · · · Man erh¨ alt daher f¨ ur t+ → ∞ die Gerade √ + ϑ+ πx ∞ = als station¨ are Endtemperatur. Diese Gerade ist gleichzeitig Tangente aller Tempeache x+ = 0. Hier muss n¨ amlich die raturkurven t+ = const an der freien Oberfl¨ zeitlich konstante W¨ armestromdichte


207

Abb. 2.40: Temperaturfeld ϑ+ (x+ , t+ ) nach (2.228) im unendlichen Halbraum mit zeitabh¨ angiger homogener W¨ armequelle nach (2.224)

q˙0 = −λ

∂ϑ ∂x

√ ˙ 0 at0 = −W x=0

∂ ϑ+ ∂x+

x+ =0

√ ˙ 0 πat0 = −W

abgef¨ uhrt werden, um die Temperatur auf dem Wert ϑ+ = 0 zu halten.

In der gleichen Weise kann man L¨ osungen von (2.223) f¨ ur andere Leistungs˙ (x, t) und andere Randbedingungen finden. Bei Körpern endlicher dichten W Dicke lässt sich allerdings die R¨ ucktransformation von u(x, s) in der Regel nur mit der in Abschnitt 2.3.2 erw¨ ahnten Umkehrformel vornehmen. Man vgl. hierzu [2.1] und die ausf¨ uhrlich behandelten Beispiele in [2.26]. 2.3.7.2 Punkt- und linienf¨ ormige W¨ armequellen Ist die Wärmeerzeugung in einem K¨ orper auf einen eng begrenzten Raum beschränkt, so spricht man von lokalen W¨ armequellen, die als punktförmige, linienförmige oder fl¨ achenartige Singularit¨ aten idealisiert werden. Ein elektrisch beheizter, d¨ unner Draht kann beispielsweise als eine linienförmige Wärmequelle behandelt werden. Neben solchen technischen Anwendungen haben diese Singularitäten erhebliche theoretische Bedeutung f¨ ur die Berechnung von Temperaturfeldern, vgl. [2.1]. Um das von einer punktf¨ ormigen W¨ armequelle hervorgerufene Temperaturfeld zu berechnen, betrachten wir einen allseitig unendlich ausgedehnten Körper mit einem inneren kugelf¨ ormigen Hohlraum, dessen Radius R ist, Abb. 2.41. Auf der Kugeloberfl¨ ache sei als Randbedingung eine räumlich konstante W¨ armestromdichte q˙0 = q˙0 (t) vorgeschrieben. Dies entspricht einer Wärmequelle im Inneren des Hohlraums, deren Leistung (Ergiebigkeit) Q˙ = 4πR2 q˙0

208


ist. Der Grenz¨ ubergang R → 0 unter Konstanthalten von Q˙ zu einer gegebenen Zeit t f¨ uhrt dann zu einer punktf¨ ormigen Wärmequelle der Ergiebigkeit ˙ Q(t), die sich im Kugelmittelpunkt befindet, den wir als Ursprung r = 0 der radialen (Kugel-)Koordinate ansehen.

Abb. 2.41: Allseitig unendlich ausgedehnter K¨ orper mit kugelf¨ ormigem Hohlraum, an dessen Oberfl¨ ache die W¨ armestromdichte q˙0 aufgepr¨ agt ist

Das Temperaturfeld außerhalb des kugelf¨ ormigen Hohlraums gen¨ ugt der Differentialgleichung

2 ∂ ϑ ∂ϑ 2 ∂ϑ =a + ∂t ∂r2 r ∂r mit den Randbedingungen −λ

˙ ∂ϑ Q(t) = q˙0 = ∂r 4πR2

f¨ ur

r=R

und ϑ=0

f¨ ur

r→∞ ,

wenn wir als Anfangstemperatur ϑ = 0 annehmen. Anwendung der LaplaceTransformation f¨ uhrt auf 2 du d2 u + − p2 u = 0 dr 2 r dr mit p2 = s/a. Die Randbedingungen sind 0 1 du 1 ˙ =− L Q(t) 2 dr 4πR λ

f¨ ur

r=R

(2.229)

und u → 0 f¨ ur r → ∞. Eine der letzten Bedingung gen¨ ugende L¨ osung ist u=

B −pr . e r

Die Konstante B erh¨ alt man aus (2.229), so dass 0 1 ˙ L Q(t) e−p(r−R) u= 4πλr 1 + pR die gesuchte Unterfunktion ist. Wir lassen nun R → 0 gehen und erhalten f¨ ur die punktf¨ ormige W¨ armequelle bei r = 0

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung 1 ˙ L Q(t) e−pr . u= 4πλr

209

0

Nach Nr. 4 von Tabelle 2.3 auf S. 161 ist , r −r2 /4at √ e−pr = L e , 2 aπt3/2 so dass man u als Produkt zweier Laplace-Transformierten erh¨ alt: 2 0 1 e−r /4at 1 ˙ √ . L Q(t) ·L u= 4πλ 2 aπt2/3 Nach dem Faltungssatz, Nr. 6 von Tabelle 2.2 ist dies ⎫ ⎧ ⎪ τ =t ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎬ ⎨ exp −r /4a(t − τ ) 1 ˙ √ u= . dτ L Q(τ ) ⎪ 4πλ ⎪ 2 aπ(t − τ )3/2 ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ τ =0

Somit ergibt sich die gesuchte Temperaturverteilung um eine punktförmi˙ ge Wärmequelle bei r = 0, die zur Zeit t = 0 mit der Ergiebigkeit Q(t) eingeschaltet“ wird, zu ” 1 ϑ(r, t) = (4πa)3/2 c

t ˙ ) exp Q(τ

−r2 4a (t − τ )

dτ . (t − τ )3/2

(2.230)

0

˙ Diese allgemeine L¨ osung f¨ ur beliebige Zeitfunktionen Q(t) enthält einfache ˙ Sonderfälle. So ergibt sich f¨ ur die Quelle konstanter Ergiebigkeit Q(t) = Q˙ 0 das Temperaturfeld Q˙ 0 r ϑ(r, t) = . (2.231) erfc √ 4πλr 4at F¨ ur t → ∞ erhalten wir daraus mit erfc(0) = 1 das stationäre Temperaturfeld um eine punktförmige Quelle zu ϑ(r) =

Q˙ 0 . 4πλr

Eine sehr rasch verlaufende Reaktion oder ein elektrischer Kurzschluss kann zu einer pl¨ otzlichen Freisetzung einer Energie Q0 zur Zeit t = 0 auf kleinstem Raum bei r = 0 f¨ uhren. F¨ ur diese Wärmeexplosion“ f¨ uhrt man ” in (2.230) den Grenz¨ ubergang τ → 0 aus und beachtet, dass die freigesetzte Wärme durch τ ˙ ) dτ Q0 = lim Q(τ τ →0

0

gegeben ist. Damit erh¨ alt man

210


r2 Q0 exp − ϑ(r, t) = 4at (4πat)3/2 c

(2.232)

als Temperaturverteilung. Sie hat den Grenzwert ϑ → ∞ f¨ ur t = 0 und r = 0. An einer festen Stelle r = const, aber r = 0 beginnt die zeitliche Temperaturänderung mit ϑ = 0, durchl¨ auft ein Maximum zur Zeit tmax = r2 /(6a) und klingt wieder auf ϑ = 0 ab. In Abb. 2.42 ist der zeitliche Temperaturverlauf nach (2.232) f¨ ur verschiedene Verh¨ altnisse r/r0 dargestellt.

Abb. 2.42: Temperaturfeld nach (2.232) in einem allseitig unendlich ausgedehnten K¨ orper nach einer W¨ armeexplosion“ bei r = 0. Die Bezugstemperatur ist ϑ0 = ” Q0 /(cr03 ) mit r0 als einem willk¨ urlich w¨ ahlbaren Abstand von r = 0

Um das Temperaturfeld um eine linienf¨ ormige W¨ armequelle bei r = 0 zu berechnen, gehen wir von der W¨ armeexplosion“ aus: Zur Zeit t = 0 werde ” durch eine linienförmige W¨ armequelle der L¨ ange L (senkrecht zur r, ϕ–Ebene des Polarkoordinatensystems) die W¨ arme Q0 freigesetzt. Da keine weiteren Wärmequellen vorhanden sein sollen, muss sich zu jedem späteren Zeitpunkt die Wärme Q0 als innere Energie der Umgebung der Wärmequelle wiederfinden. Es muss also die Bilanz ∞ Q0 =

∞ 2πrLc ϑ(r, t) dr = 2πLc

0

rϑ(r, t) dr 0

unabhängig von t gelten. Dieser Gleichung hat die gesuchte Temperaturverteilung ϑ(r, t) zu gen¨ ugen. In Analogie zur punktf¨ ormigen W¨ armeexplosion“ machen wir den (2.232) ” entsprechenden Ansatz


ϑ(r, t) = f (t) exp −

r2 4at

211

und erhalten ∞ Q0 = 2πLcf (t) √ Mit ξ = r/ 4at wird daraus

r2 r exp − 4at

dr .

0

∞ Q0 = 2πLcf (t)4at

2

ξe−ξ dξ .

0

Das hier auftretende bestimmte Integral hat den Wert 1/2, so dass sich die Zeitfunktion f (t) zu Q0 /L Q0 /L = f (t) = 4πcat 4πλt ergibt. Damit erhalten wir die gesuchte Temperaturverteilung

r2 Q0 /L . (2.233) exp − ϑ(r, t) = 4πλt 4at Man kann leicht nachweisen, dass sie der W¨ armeleitungsgleichung (2.157) mit n = 1 (Zylinderkoordinaten) gen¨ ugt. Wir verallgemeinern nun dieses Ergebnis auf eine bei r = 0 wirkende Li˙ nienquelle mit zeitabh¨ angiger W¨ armeleistung Q(t). Während der Zeit von ˙ t = τ bis t = τ + dτ gibt sie die W¨ arme Q(τ ) dτ ab und erzeugt ein Tempera¨ turfeld entsprechend (2.233). Durch zeitliche Uberlagerung derartiger kleiner Wärmeexplosionen“ erh¨ alt man das folgende zu (2.230) analoge Tempera” turfeld 1 ϑ(r, t) = 4πλL

τ =t

˙ ) exp − Q(τ

r2 4a(t − τ )

dτ . t−τ

(2.234)

τ =0

F¨ ur den Sonderfall konstanter W¨ armeleistung Q˙ 0 wird hieraus

Q˙ 0 r2 ϑ(r, t) = − . Ei − 4πλL 4at Die hier auftretende Funktion ist das Exponentialintegral ∞ Ei(−ξ) = ξ

e−u du u

(2.235)

212

2 W¨ armeleitung und Diffusion Tabelle 2.8: Werte des Exponentialintegrals Ei(−ξ)

ξ −Ei(−ξ) 0 0,01 0,02 0,05 0,10

∞ 4,0379 3,3547 2,4679 1,8229

ξ

−Ei(−ξ)

0,15 0,20 0,25 0,30 0,35

1,4645 1,2227 1,0443 0,9057 0,7942

ξ −Ei(−ξ) 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

ξ −Ei(−ξ)

0,7024 0,5598 0,4544 0,3738 0,3106

0,9 1,0 1,5 2,0 2,5

0,2602 0,2194 0,1000 0,0489 0,0249

ξ −Ei(−ξ) 3,0 3,5 4,0 5,0 6,0

0,01305 0,00697 0,00378 0,00115 0,00036

mit der Reihenentwicklung Ei(−ξ) = 0,577216 + ln ξ +

∞

(−1)n

n=1

ξn n · n!

und der asymptotischen Entwicklung (ξ 1)

1! 2! 3! e−ξ 1 − + 2 − 3 + ··· , Ei(−ξ) = −ξ ξ ξ ξ vgl. [2.28] und [2.30]. Einige Werte von Ei(−ξ), die stets negativ sind, enthält Tabelle 2.8.

2.4 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit Differenzenverfahren Komplizierte Wärmeleitprobleme, f¨ ur die keine geschlossenen Lösungen vorhanden oder nur unter großem Aufwand zu erhalten sind, lassen sich vorteilhaft numerisch l¨ osen. Hierzu geh¨ oren Probleme mit temperaturabhängigen Stoffwerten, mit komplizierter geometrischer Gestalt und mit besonderen Randbedingungen, z.B. temperaturabhängige Wärme¨ ubergangskoeffizienten. Trotz Computereinsatz erfordert die numerische Lösung komplizierter Wärmeleitprobleme einen nicht zu unterschätzenden Programmier-, Speicherplatz- und Rechenzeitaufwand. Man sollte daher vor der Entscheidung, ein numerisches Verfahren einzusetzen, sorgfältig u ¨berlegen, ob nicht Vereinfachungen in der Problemstellung akzeptabel sind, die zu einer analytischen (geschlossenen) L¨ osung f¨ uhren. Zur numerischen Behandlung von Anfangsrandwertaufgaben stehen zwei Verfahren zur Verf¨ ugung, das Differenzenverfahren und die Methode der finiten Elemente. Differenzenverfahren sind einfach zu handhaben und erfordern einen geringen mathematische Aufwand. Die Methode der finiten Elemente, deren Hauptanwendungsgebiet die Festk¨ orper- und Strukturmechanik ist,

2.4 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit Differenzenverfahren

213

stellt zwar höhere mathematische Anforderungen, ist jedoch sehr flexibel. Besonders bei komplizierten geometrischen Verhältnissen lässt sie sich der Aufgabenstellung gut anpassen und ist hier den Differenzenverfahren vorzuziehen. An eine einf¨ uhrende Darstellung des Differenzenverfahrens, das auch dem Anfänger als rasch einzusetzendes Werkzeug empfohlen werden kann, schließt sich daher eine Einf¨ uhrung in die Methode der finiten Elemente an. Sie soll den Anfänger so weit mit der Methode vertraut machen, dass er imstande ist, einfachere Probleme selbst zu l¨ osen. F¨ ur kompliziertere Aufgabenstellungen ist es ratsam, sich eines der vielen kommerziellen oder im Internet vorhandenen Programme zu bedienen. Die in Abschnitt 2.5 u ¨ber finite Elemente erworbenen Kenntnisse, d¨ urften es dem Anwender leicht machen, sich in diese Programme einzuarbeiten und sie zu nutzen.

2.4.1 Das einfache explizite Differenzenverfahren fu ¨r instation¨ are W¨ armeleitprobleme Bei den Differenzenverfahren werden die Ableitungen ∂ ϑ/∂t, ∂ ϑ/∂x und armeleitungsgleichung und in den Randbedingungen ∂ 2 ϑ/∂x2 , die in der W¨ auftreten, durch Differenzenquotienten ersetzt. Durch diese Diskretisierung geht die Differentialgleichung in eine Differenzengleichung u ¨ber; ihre Lösung approximiert die L¨ osung der Differentialgleichung an diskreten Stellen, die ein Gitternetz in Raum und Zeit bilden. Verkleinerung der Maschenweite erhöht die Zahl der Gitterpunkte und die G¨ ute der Approximation, allerdings unter Vergrößerung des Rechenaufwands. Bei der Anwendung eines Differenzenverfahrens muss man daher einen Kompromiss zwischen Genauigkeit und Rechenaufwand eingehen. 2.4.1.1 Die Differenzengleichung Zur Einf¨ uhrung und Erl¨ auterung der Methode behandeln wir die instationäre, geometrisch eindimensionale W¨ armeleitung bei konstanten Stoffwerten. Im armeleitungsgleichung Bereich x0 ≤ x ≤ xn sei die W¨ ∂ 2ϑ ∂ϑ =a 2 ∂t ∂x

(2.236)

osen unter Beachtung von Randbedingungen bei x0 und f¨ ur Zeiten t ≥ t0 zu l¨ xn . Die Anfangstemperaturverteilung ϑ0 (x) f¨ ur t = t0 sei gegeben. Wir legen auf dem Streifen x0 ≤ x ≤ xn , t ≥ t0 , ein Gitter mit den Maschenweiten Δx in x-Richtung und Δt in t-Richtung fest, Abb. 2.43. Ein Gitterpunkt (i, k) hat dann die Koordinaten xi = x0 + iΔx mit und

i = 0, 1, 2, . . .

214


tk = t0 + kΔt

mit

k = 0, 1, 2, . . .

Der Näherungswert von ϑ am Gitterpunkt (i, k) werde mit ϑki = ϑ (xi , tk )

(2.237)

bezeichnet. Wir verzichten darauf, die N¨ aherungswerte der Temperatur mit einem anderen Formelzeichen zu bezeichnen als die exakten Temperaturen, z.B. Θ statt ϑ, wie es in der mathematischen Literatur u ¨blich ist. Zur Bezeichnung der Zeitebene tk benutzen wir den hochgestellten Index k ohne Klammern, weil keine Gefahr der Verwechslung mit der k-ten Potenz von ϑ besteht. Die in (2.236) auftretenden Ableitungen ersetzt man durch Differenzenquotienten, wobei ein Diskretisierungsfehler in Kauf genommen werden muss: Ableitung = Differenzenquotient + Diskretisierungsfehler . Der Diskretisierungsfehler soll mit Verkleinern der Maschenweite Δx bzw. Δt gegen null gehen. Die zweite Ableitung in x-Richtung an der Stelle xi zur Zeit tk wird durch den zentralen zweiten Differenzenquotienten

k

ϑki−1 − 2ϑki + ϑki+1 (2.238) + O Δx2 2 Δx i ersetzt. Die Schreibweise O Δx2 weist darauf hin, dass der Diskretisierungsfehler proportional zu Δx2 ist und damit bei Verkleinern der Maschenweite quadratisch gegen null geht. Die erste Ableitung nach der Zeit wird durch den relativ ungenauen vorderen Differenzenquotienten ∂ 2ϑ ∂x2

=

∂ϑ ∂t

k = i

ϑk+1 − ϑki i + O(Δt) Δt

(2.239)

ersetzt. Sein Diskretisierungsfehler geht nur proportional Δt gegen null. Man erhält jedoch mit (2.239) ein numerisch einfach zu handhabendes explizites

Abb. 2.43: Gitternetz zur Diskretisierung der W¨ armeleitungsgleichung (2.236) und zur Veranschaulichung der Differenzengleichung (2.240)


215

Differenzenverfahren. Wir setzen (2.238) und (2.239) in die Differentialgleichung (2.236) ein und erhalten nach einfacher Umformung die Differenzengleichung ϑk+1 = M ϑki−1 + (1 − 2M ) ϑki + M ϑki+1 (2.240) i mit M := aΔt/Δx2

(2.241)

als Modul oder Fourier-Zahl des Differenzenverfahrens. Der Diskretisierungs2 fehler 2der Differenzengleichung hat wegen Δt = M Δx /a die Ordnung O Δx . Gleichung (2.240) ist eine explizite Differenzengleichung; sie gestattet es, aus jeweils drei Temperaturen der Zeitebene t = tk explizit die Temperaturen der nächsten Zeitebene tk+1 = tk + Δt zu berechnen, vgl. Abb. 2.43. ϑk+1 i F¨ ur k = 0, also f¨ ur t = t0 , sind alle Temperaturen ϑ0i aus der gegebenen Anfangstemperaturverteilung bekannt. Mit (2.240) lassen sich daraus alle ϑ1i zur Zeit t1 berechnen und aus ihnen die ϑ2i zur Zeit t2 usw. Die Gleichungen (2.238) und (2.239) f¨ ur den Ersatz der Ableitungen durch Differenzenquotienten k¨ onnen mit Hilfe der Taylor-Entwicklung des Temperaturfeldes um oglich, den Punkt (xi , tk ) gewonnen werden, vgl. z.B. [2.72] und [2.52]. Es ist auch m¨ die Differenzengleichung (2.240) aus einer Energiebilanz in Verbindung mit dem Gesetz von Fourier herzuleiten, vgl. [2.53]. Dazu f¨ uhrt man W¨ armeleitwiderst¨ ande Δx/λ zwischen den Gitterpunkten ein und ber¨ ucksichtigt die Energiespeicherung eines Blocks“ um die Stelle xi . Eine Weiterentwicklung dieses Verfahrens ist die ” Volumen-Integral-Methode, mit der unterschiedliche Differenzengleichungen hergeleitet werden k¨ onnen, vgl. hierzu [2.54].

2.4.1.2 Die Stabilit¨ atsbedingung Viele Differenzengleichungen haben die unerw¨ unschte Eigenschaft, dass sich auch sehr kleine Anfangs- und Rundungsfehler beim Fortschreiten der Rechnung mit wachsendem Betrag fortpflanzen und schließlich das Ergebnis völlig verfälschen. Man nennt diese Erscheinung (numerische) Instabilität. Dagegen ist ein Differenzenverfahren stabil, wenn Fehler im Verlauf der Rechnung kleiner werden und ihr Einfluss abklingt. Die meisten expliziten Differenzenverfahren sind nur bedingt stabil, n¨ amlich nur f¨ ur bestimmte Schritt- oder Maschenweiten. Die explizite Gleichung (2.240) gehört zu dieser Gruppe; sie ist nur dann stabil, wenn der Modul M der Bedingung M = aΔt/Δx2 ≤

1 2

(2.242)

gen¨ ugt. F¨ ur gegebenes Δx darf man die Zeit-Schrittweite Δt nicht beliebig groß wählen, weil beim Verletzen von (2.242) das Verfahren nicht nur ungenau, sondern völlig unbrauchbar wird. Die Stabilit¨ atsbedingung (2.242) l¨ asst sich auf verschiedenen Wegen herleiten; man vgl. die ausf¨ uhrliche Diskussion in [2.52]. Eine allgemeine Bedingung f¨ ur die

216


Stabilit¨ at von expliziten Differenzengleichungen ist die Forderung, dass kein Koeffizient einer solchen Gleichung negativ sein darf, vgl. [2.55]. F¨ ur (2.240) bedeutet dies 1 − 2M ≥ 0 , woraus unmittelbar (2.242) folgt. Zur Verdeutlichung des Stabilit¨ atsverhaltens benutzt man das sogenannte ε-Schema. Man setzt f¨ ur t = t0 alle ϑ0i = 0 bis auf einen Wert ε = 0. Mit der Differenzengleichung verfolgt man die Fortpflanzung dieses Fehlers f¨ ur die weiteren Zeitschritte mit k = 1, 2, . . . Das ε-Schema der Differenzengleichung (2.240) hat f¨ ur M = 1/2 (Stabilit¨ atsgrenze) folgendes Aussehen: ε-Schema f¨ ur M = 1/2 k k k k k

=0: 0 0 0 0 ε 0 0 0 0 =1: 0 0 0 0,5ε 0 0,5ε 0 0 0 =2: 0 0 0,25ε 0 0,5ε 0 0,25ε 0 0 =3: 0 0,125ε 0 0,375ε 0 0,375ε 0 0,125ε 0 = 4 : 0,0625ε 0 0,25ε 0 0,375ε 0 0,25ε 0 0,0625ε

Das Differenzenverfahren mit M = 1/2 ist gerade noch stabil; der Fehler wird auf die Nachbarpunkte verteilt und klingt dabei langsam ab. Außerdem zerf¨ allt das Gitter in zwei nicht zusammenh¨ angende Teilgitter, weil nach der Differenzenformel

1 k 1 k = + ϑ ϑ , (2.243) ϑk+1 , M = i−1 i+1 i 2 2 nur zwei Temperaturen zur Zeit tk die neue Temperatur ϑk+1 bestimmen; ϑki hat i . Eine lose Verkn¨ u pfung der beiden Teilgitter findet nur keinen Einfluss auf ϑk+1 i u andern vorgegebenen Temperaturverteilungen statt. Es ist da¨ber die an den R¨ her nicht zu empfehlen, Gl. (2.240) mit M = 1/2 zu verwenden, obwohl dies den gr¨ oßten Zeitschritt Δt erlaubt. Die Differenzengleichung (2.243) liegt dem fr¨ uher h¨ aufig verwendeten graphischen Verfahren von L. Binder [2.56] und E. Schmidt [2.57] zugrunde. Durch die Fortschritte in der Rechentechnik haben die zwar anschaulichen, aber ungenauen und m¨ uhsam zu handhabenden graphischen Verfahren ihre fr¨ uhere Bedeutung verloren. Wir gehen hierauf nicht mehr ein, vgl. hierzu [2.58], [2.59]. Um die Instabilit¨ at der Differenzengleichung (2.240) f¨ ur M > 1/2 zu veranschaulichen, zeigen wir das ε-Schema f¨ ur M = 1: ε-Schema f¨ ur M = 1 k k k k k

=0: =1: =2: =3: =4:

0 0 0 0 ε 0 0 0 0 0 0 ε −ε ε 0 0 0 0 ε −2ε 3ε −2ε ε 0 0 ε −3ε 6ε −7ε 6ε −3ε ε ε −4ε 7ε −16ε 19ε −16ε 7ε −4ε

0 0 0 0 ε


217

Ein Fehler wird mit jedem Zeitschritt immer st¨ arker vergr¨ oßert, so dass die L¨ osung der Differenzengleichung bei Verletzung der Stabilit¨ atsbedingung nicht der L¨ osung der Differentialgleichung entspricht.

2.4.1.3 W¨ armequellen Die Differenzengleichung (2.240) l¨ asst sich leicht f¨ ur den Fall erweitern, dass W¨ armequellen auftreten. Nach 2.1.2 gilt die Differentialgleichung ˙ (x, t, ϑ) ∂ϑ ∂ 2ϑ W =a 2 + . ∂t ∂x c

(2.244)

Ihre Diskretisierung mit den Differenzenquotienten nach (2.238) und (2.239) f¨ uhrt auf die explizite Differenzengleichung k ˙i . = M ϑki−1 + (1 − 2M ) ϑki + M ϑki+1 + M Δx2 /λ W (2.245) ϑk+1 i Dabei bezeichnet

˙ xi , tk , ϑk ˙ ik = W W i

(2.246)

den Wert der Leistungsdichte bei xi zur Zeit tk . Gl. (2.245) kann offenbar auch dann benutzt werden, wenn die Leistungsdichte von der Temperatur abh¨ angt. Die in (2.246) auftretende Temperatur ϑki ist ja durch die Berechnung des Temperaturfeldes f¨ ur die Zeit tk bekannt. Ei˙ kann grundsätzlich das Stabilitätsne starke Temperaturabh¨ angigkeit von W verhalten beeinflussen. In [2.52] wurde gezeigt, dass die Stabilitätsbedingung ˙ linear von ϑ abhängt. (2.242) unverändert gilt, wenn W

2.4.2 Die Diskretisierung der Randbedingungen Bei der Erfassung der Randbedingungen im Differenzenverfahren unterscheiden wir drei Fälle: – – –

vorgeschriebene Randtemperaturen, vorgegebene W¨ armestromdichte auf dem Rand und die Wärme¨ ubergangsbedingung, vgl. Abschnitt 2.1.3.

Ist die Temperatur auf dem Rand x = xR gegeben, so wähle man die Gittereinteilung so, dass der Rand mit einer Gitterlinie xi = const zusammenfällt. Am linken Rand setze man also xR = x0 und am rechten Rand xR = xn+1 = x0 + (n + 1) Δx. Die gegebenen Temperaturen ϑ (xR , tk ) werden als Temperaturwerte ϑk0 bzw. ϑkn+1 in der Differenzengleichung (2.240) verwendet. Bei gegebener W¨ armestromdichte q(t) ˙ muss am Rand die Bedingung

∂ϑ −λ = q(t) ˙ (2.247) ∂n x=xR

218


erf¨ ullt werden. Die Ableitung ist dabei in Richtung der äußeren Flächennormale zu bilden, und die W¨ armestromdichte q˙ ist dann positiv, wenn sie in diese Richtung fließt. Das Gitter wird nun so gelegt, dass der Rand in der Mitte zwischen zwei Gitterlinien liegt. Am linken Rand gilt also xR = x0 + Δx/2, vgl. Abb. 2.44. Man f¨ uhrt damit Gitterpunkte (0, k) außerhalb des wärmeleitenden Körpers ein. Die hier auftretenden Temperaturen ϑk0 dienen nur als Rechenwerte bei der Erf¨ ullung der Randbedingung (2.247).

Abb. 2.44: Zur Ber¨ ucksichtigung der Randbedingungen (2.247) bei xR = x0 + Δx/2 durch Einf¨ uhren von Temperaturen ϑk0 außerhalb des K¨ orpers

Die in (2.247) auftretende Ortsableitung wird durch den genaueren zentralen Differenzenquotienten ersetzt. Am linken Rand gilt dann

−

∂ϑ ∂n

= x0 +Δx/2

∂ϑ ∂x

k = 1 2

ϑk1 − ϑk0 + O Δx2 . Δx

(2.248)

Aus (2.247) erhält man damit ϑk0 = ϑk1 −

Δx q˙ (tk ) . λ

(2.249)

An der Stelle x1 gilt die Differenzengleichung (2.240) mit i = 1: ϑk+1 = M ϑk0 + (1 − 2M ) ϑk1 + M ϑk2 . 1

(2.250)

Eliminiation von ϑk0 aus diesen beiden Gleichungen ergibt ϑk+1 = (1 − M ) ϑk1 + M ϑk2 − M 1

Δx q˙ (tk ) . λ

(2.251)

Diese Gleichung ersetzt (2.250), wenn die Randbedingung (2.247) am linken Rand zu ber¨ ucksichtigen ist. Ist (2.247) am rechten Rand zu erf¨ ullen, so wähle man das Gitter so, dass ur xn geltenden xR = xn + Δx/2 gilt. Die Elimination von ϑkn+1 aus der f¨ Differenzengleichung mit Hilfe der Randbedingung ergibt ϑk+1 = M ϑkn−1 + (1 − M ) ϑkn + M n

Δx q˙ (tk ) . λ

(2.252)

Wie in (2.251) ist auch hier q(t ˙ k ) dann positiv, wenn die Wärmestromdichte aus dem Körper heraus fließt.


219

Die Differenzengleichungen (2.251) und (2.252) gelten mit q˙ ≡ 0 f¨ ur einen adiabaten Rand. Adiabate R¨ ander sind auch die Symmetrieebenen im Körperinneren. Man w¨ ahle in solch einem Fall das Gitter so, dass die adiabate Symmetrieebene in der Mitte zwischen zwei aufeinander folgenden Gitterlinien liegt, und beschr¨ anke sich auf die Berechnung der Temperaturen in einer der Körperhälften. Geht am Rand W¨ arme an ein Fluid mit der Temperatur ϑU u ¨ber, wobei der Wärme¨ ubergangskoeffizient α gegeben ist, so gilt die W¨ arme¨ ubergangsbedingung ∂ϑ ur x = xR . (2.253) = α (ϑ − ϑU ) f¨ −λ ∂n Die Ableitung ist in Richtung der ¨ außeren Fl¨ achennormale zu bilden; α und ϑU können von der Zeit abh¨ angen. Zur Diskretisierung von (2.253) ist es am g¨ unstigsten, den Rand mit einer Gitterlinie zusammenfallen zu lassen, Abb. 2.45, weil dann die in (2.253) auftretende Randtemperatur unmittelbar im Differenzenverfahren benutzt wird. Beim Ersatz der Ableitung ∂ ϑ/∂n durch den zentralen Differenzenquotienten ben¨ otigt man Gitterpunkte außerhalb des Körpers, nämlich die Temperaturen ϑk0 bzw. ϑkn+1 , die mittels der Randbedingung aus den Differenzengleichungen eliminiert werden.

Abb. 2.45: Zur Ber¨ ucksichtigung der W¨ arme¨ ubergangsbedingung (2.253), a am linken Rand xR = x1 , b am rechten Rand xR = xn

Am linken Rand (xR = x1 ) zeigt die ¨ außere Flächennormale in die negative x-Richtung; aus (2.253) folgt daher ∂ϑ α = (ϑ − ϑU ) ∂x λ

f¨ ur

x = x1 .

Ersatz durch den zentralen Differenzenquotienten,

ergibt mit

∂ϑ ∂x

k = 1

ϑk2 − ϑk0 + O Δx2 , 2Δx

ϑk0 = ϑk2 − 2Bi∗ ϑk1 − ϑkU

(2.254)

Bi∗ := αΔx/λ

(2.255)

220


als der Biot-Zahl des Differenzenverfahrens. Die Temperatur ϑk0 wird nun mit (2.254) aus der Differenzengleichung (2.250) eliminiert, die die Gestalt = [1 − 2M (1 + Bi∗ )] ϑk1 + 2M ϑk2 + 2M Bi∗ ϑkU ϑk+1 1

(2.256)

annimmt. Am rechten Rand (xR = xn ) folgt aus (2.253) die Randbedingung −

∂ϑ α = (ϑ − ϑU ) . ∂x λ

Ihre Diskretisierung f¨ uhrt auf die zu (2.254) analoge Gleichung ϑkn+1 = ϑkn−1 − 2Bi∗ ϑkn − ϑkU .

(2.257)

ur xn geltenden Differenzengleichung, Mit ihr eliminiert man ϑkn+1 aus der f¨ die damit die Gestalt = 2M ϑkn−1 + [1 − 2M (1 + Bi∗ )] ϑkn + 2M Bi∗ ϑkU ϑk+1 n

(2.258)

erhält. Die Ber¨ ucksichtigung der W¨ arme¨ ubergangsbedingung (2.253) verschlechtert das Stabilit¨ atsverhalten des expliziten Differenzenverfahrens. Da die Koeffizienten der expliziten Differenzengleichungen (2.256) und (2.258) positiv sein m¨ ussen, um Stabilit¨ at zu gew¨ ahrleisten, erh¨ alt man die Stabilitätsbedingung M≤

1 . 2 (1 + Bi∗ )

(2.259)

Sie verschärft die Bedingung (2.242) und f¨ uhrt zu noch kleineren Zeitschritten Δt. Zur Ber¨ ucksichtigung der W¨ arme¨ ubergangsbedingung (2.253) wird h¨ aufig eine von Abb. 2.45 abweichende Wahl des Gitters in Randn¨ ahe getroffen. Man legt das Gitter nach Abb. 2.44 und ersetzt die Ableitung ∂ ϑ/∂x bei xR = x0 + Δx/2 durch den zentralen Differenzenquotienten nach (2.248). F¨ ur die Randtemperatur aherung ϑ (xR , tk ) verwendet man die grobe N¨ 1 k ϑ (xR , tk ) = ϑk1/2 = ϑ0 + ϑk1 . (2.260) 2 Damit erh¨ alt man aus (2.253) die Beziehung ϑk0 =

2 − Bi∗ k 2Bi∗ k ϑ1 + ϑU , ∗ 2 + Bi 2 + Bi∗

die mit (2.250) zur Differenzengleichung

2 + 3Bi∗ 2M Bi∗ k k k = 1−M + M ϑ + ϑU ϑ ϑk+1 1 2 1 2 + Bi∗ 2 + Bi∗

(2.261)

(2.262)

f¨ uhrt. Der Diskretisierungsfehler dieser Gleichung ist O(Δx) und nicht O(Δx2 ) wie f¨ ur (2.256), weil die N¨ aherung (2.260) benutzt wurde. Bei Verwendung von (2.262)


221

sind daher gr¨ oßere Fehler zu erwarten als bei (2.256). Daf¨ ur ist das Stabilit¨ atsverhalten g¨ unstiger, denn anstelle von (2.259) gilt die Bedingung 2 + Bi∗ , 2 + 3Bi∗

M≤

(2.263)

die f¨ ur große Werte von Bi∗ den Grenzwert M = 1/3 liefert, wogegen aus (2.259) M → 0 folgt. Will man den gr¨ oßeren Diskretisierungsfehler von (2.262) vermeiden, so muss man die Randtemperatur ϑk1/2 durch einen genaueren Ausdruck als das einfache arithmetische Mittel nach (2.260) ersetzen. Eine Parabel durch die drei Temperaturen ϑk0 , ϑk1 und ϑk2 liefert 1 k ϑk1/2 = 3ϑ0 + 6ϑk1 − ϑk2 . 8 Damit erh¨ alt man anstelle von (2.261) ϑk0 =

8 − 6Bi∗ k Bi∗ 8Bi∗ ϑ1 + ϑk2 + ϑkU ∗ ∗ 8 + 3Bi 8 + 3Bi 8 + 3Bi∗

und aus (2.250) die Differenzengleichung

2 + 3Bi∗ 8 + 4Bi∗ k 8M Bi∗ k ϑk+1 = 1 − 4M ϑ2 + ϑU . ϑk1 + M 1 ∗ ∗ 8 + 3Bi 8 + 3Bi 8 + 3Bi∗

(2.264)

Diese Gleichung f¨ ur die Erfassung der Randbedingung (2.250) ist zwar numerisch komplizierter, aber genauer als (2.262), n¨ amlich mit einem Diskretisierungsfehler atsbedingung resultiert O(Δx2 ). Als Stabilit¨ M≤

1 8 + 3Bi∗ . 4 2 + 3Bi∗

(2.265)

Sie f¨ uhrt nur f¨ ur Bi∗ ≥ 4/3 zur Versch¨ arfung der Stabilit¨ atsbedingung (2.242) und ergibt f¨ ur sehr große Bi∗ den Grenzwert M ≤ 1/4. urfte die einfache Beziehung (2.256) mit einem Bei kleinen Werten von Bi∗ d¨ Gitternetz nach Abb. 2.45 a sehr genaue Resultate liefern. Bei gr¨ oßeren Bi∗ -Werten sollte man (2.264) mit einem Gitter nach Abb. 2.44 verwenden, wobei die Stabilit¨ atsbedingung (2.265) zu beachten ist. Beispiel 2.6: Eine Stahlplatte mit den Stoffwerten λ = 15,0 W/K m und a = 3,75 · 10−6 m2 /s hat die Dicke 2δ = 270 mm und eine konstante Anfangstemperatur ϑ0 . Zur Zeit t0 wird die Platte mit einem Fluid in Kontakt gebracht, dessen Temperatur ϑU < ϑ0 zeitlich konstant ist. Der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient an den beiden Plattenoberfl¨ achen betrage α = 75 W/m2 K. Es sollen die Temperaturen bei der Abk¨ uhlung der Platte numerisch bestimmt werden. Die Anfangs- und Randbedingungen wurden absichtlich einfach gew¨ ahlt, um die Genauigkeit des Differenzenverfahrens durch Vergleich mit der in Abschnitt 2.3.3 behandelten geschlossenen L¨ osung zu u ufen. ¨berpr¨ Wegen der Symmetrie gen¨ ugt es, nur eine Plattenh¨ alfte der Dicke δ = 135 mm zu betrachten. Ihre linke Oberfl¨ ache kann als adiabat angesehen werden, w¨ ahrend an der rechten Oberfl¨ ache W¨ arme an das Fluid u ahlen das Gitter ¨bergeht. Wir w¨ von Abb. 2.46 mit der Maschenweite Δx = 30 mm. Der linke Rand der Platte

222


Abb. 2.46: Gittereinteilung f¨ ur die Berechnung der Abk¨ uhlung einer Platte der Dicke 2δ

liegt in der Mitte zwischen den Gitterlinien x0 und x1 = x0 + Δx; der rechte Rand f¨ allt mit x5 zusammen. Die Biot-Zahl des Differenzenverfahrens ist 75 W/m2 K 0,030 m αΔx Bi∗ = = = 0,15 . λ 15,0 W/K m F¨ ur den Modul w¨ ahlen wir M = aΔt/Δx2 = 1/3 , womit die Stabilit¨ atsbedingung (2.259) erf¨ ullt ist. Der Zeitschritt wird Δt =

Δx2 M = 80 s . a

Wir setzen ϑU = 0 und ϑ0 = 1,0000. Die damit berechneten Temperaturen ϑki stimmen mit den dimensionslosen Temperaturen ϑ+ (xi , tk ) der geschlossenen L¨ osung nach (2.171) u ¨berein.

Tabelle 2.9: Temperaturen bei der Abk¨ uhlung einer Stahlplatte, berechnet mit dem expliziten Differenzenverfahren.

k

tk /s

ϑk1

ϑk2

ϑk3

ϑk4

ϑk5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0 80 160 240 320 400 480 560 640 720 800 880 960

1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9988 0,9964 0,9930 0,9887 0,9836 0,9779 0,9717 0,9651

1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9963 0,9917 0,9861 0,9800 0,9734 0,9664 0,9592 0,9518 0,9442

1,0000 1,0000 1,0000 0,9889 0,9789 0,9679 0,9574 0,9471 0,9372 0,9276 0,9182 0,9091 0,9003

1,0000 1,0000 0,9667 0,9478 0,9286 0,9125 0,8977 0,8844 0,8721 0,8607 0,8500 0,8399 0,8303

1,0000 0,9000 0,8767 0,8490 0,8300 0,8127 0,7980 0,7847 0,7727 0,7617 0,7515 0,7420 0,7331


223

Mit diesen Festsetzungen gelten die folgenden f¨ unf Differenzengleichungen: = ϑk+1 1

2 k 1 k ϑ1 + ϑ2 3 3

nach (2.251) mit q(t ˙ k ) = 0, 1 k ϑi−1 + ϑki + ϑki+1 3

ϑk+1 = i f¨ ur i = 2, 3, 4 nach (2.240) sowie

ϑk+1 = 5

2 k ϑ4 + 0,2333 ϑk5 3

nach (2.258). Die Ergebnisse f¨ ur die ersten 12 Zeitschritte zeigt Tabelle 2.9. In Tabelle 2.10 werden die Oberfl¨ achentemperaturen ϑk5 und die Temperaturverteilung zur Zeit t12 = 960 s mit der exakten L¨ osung verglichen. Obwohl ein ¨ recht grobes Gitter gew¨ ahlt wurde, ist die Ubereinstimmung mit der geschlossenen L¨ osung nach (2.171) befriedigend. Allerdings erfasst man mit den ersten 12 Zeitschritten nur einen kleinen Teil des Abk¨ uhlvorgangs. Dies liegt an der Begrenzung des Zeitschritts Δt durch die Stabilit¨ atsbedingung. Um sie zu u ¨berwinden, muss man zu einem impliziten Differenzenverfahren u ¨bergehen.

Tabelle 2.10: Vergleich der mit dem Differenzenverfahren berechneten Oberfl¨ achentemperaturen ϑk5 und der Temperaturen ϑ12 mit den Werten ϑ+ der i geschlossenen L¨ osung nach (2.171).

k

ϑk5

ϑ+ (x5 , tk )

k

ϑk5

ϑ+ (x5 , tk )

k

ϑk5

ϑ+ (x5 , tk )

1 2 3 4

0,9000 0,8767 0,8490 0,8300

0,9093 0,8755 0,8509 0,8311

5 6 7 8

0,8127 0,7980 0,7847 0,7727

0,8142 0,7994 0,7861 0,7741

9 10 11 12

0,7617 0,7515 0,7420 0,7331

0,7631 0,7529 0,7433 0,7343

1

2

i ϑ12 i ϑ+ (xi , t12 )

3

4

5

0,9651 0,9442 0,9003 0,8303 0,7331 0,9629 0,9427 0,8998 0,8309 0,7343

2.4.3 Das implizite Differenzenverfahren von J. Crank und P. Nicolson Das in 2.4.1 behandelte einfache explizite Differenzenverfahren hat den Nachteil, dass der Zeitschritt Δt durch die Stabilitätsbedingungen (2.242) und

224


(2.259) beschränkt ist. Um die Temperaturverteilung zu einer vorgegebenen Zeit zu erhalten, sind meistens sehr viele Zeitschritte auszuf¨ uhren. Man umgeht diese Schrittweitenbegrenzung durch Wahl eines impliziten Differenzenverfahrens. Dabei muss bei jedem Zeitschritt ein lineares Gleichungssystem gelöst werden, das allerdings eine besonders einfache Gestalt hat: Es ist ein Tridiagonalsystem, dessen Koeffizientenmatrix nur in der Hauptdiagonale und ihren beiden Nachbarn besetzt ist. Einfache L¨ osungsalgorithmen f¨ ur Tridiagonalsysteme findet man bei D. Marsal [2.72] und in Standardwerken u ¨ber numerische Mathematik, z.B. [2.61] und [2.62]. Ein besonders genaues implizites Differenzenverfahren, das stets stabil ist, haben J. Crank und P. Nicolson [2.60] angegeben. Bei diesem Verfahren benutzt man Temperaturen der Zeitebenen tk und tk+1 ; die Differentialgleichung (2.236) wird jedoch zur dazwischen liegenden Zeit tk + Δt/2 diskretisiert. Dak+1/2 durch den genauen zentralen durch ist es möglich, die Ableitung (∂ ϑ/∂t)i Differenzenquotienten

k+ 12 ∂ϑ ϑk+1 − ϑki + O Δt2 (2.266) = i ∂t i Δt zu approximieren. Dies ist deswegen vorteilhaft, weil man bei der Wahl eines impliziten Differenzenverfahrens gr¨ oßere Zeitschritte Δt verwenden möchte und daher eine genauere Approximation der zeitlichen Ableitung benötigt. k+1/2 zur Zeit tk + Δt/2 wird durch das Die zweite Ableitung (∂ 2 ϑ/∂x2 )i arithmetische Mittel der zweiten zentralen Differenzenquotienten zu den Zeialt so ten tk und tk+1 ersetzt. Man erh¨

2 k+ 12 k+1 k+1 k+1 ϑki−1 − 2ϑki + ϑki+1 ∂ ϑ 1 ϑi−1 − 2ϑi + ϑi+1 + O Δx2 . = + 2 2 2 ∂x i 2 Δx Δx (2.267) Mit (2.266) und (2.267) ergibt sich die implizite Differenzengleichung k+1 k k k − M ϑk+1 −M ϑk+1 i−1 + (2 + 2M )ϑi i+1 = M ϑi−1 + (2 − 2M )ϑi + M ϑi+1 (2.268)

mit M = aΔt/Δx2 . Die Temperaturen zur Zeit tk auf der rechten Seite von (2.268) sind bekannt; die drei unbekannten Temperaturen zur Zeit tk+1 auf der linken Seite m¨ ussen berechnet werden. Die Differenzengleichung (2.268) ergibt mit i = 1, 2, . . . n ein lineares Gleichungssystem. Die Hauptdiagonale der Koeffizientenmatrix enth¨ alt die Elemente (2 + 2M ); die Sub- und die Superdiagonale werden von den Elementen (−M ) gebildet; alle anderen Koeffizienten sind null. In diesem Tridiagonalsystem darf in der ersten Gleichung (i = 1) der und in der letzten Gleichung (i = n) der Term −M ϑk+1 Term −M ϑk+1 0 n+1 nicht auftreten. Man eliminiert diese Terme durch Ber¨ ucksichtigung der Randbedingungen. Sind die Temperaturen auf den R¨ andern vorgegeben, so wähle man das Gitter so, dass x = x0 und x = xn+1 mit den beiden Rändern zusammenfallen.


225

Damit sind ϑk0 , ϑk+1 und ϑkn+1 , ϑk+1 0 n+1 stets bekannt, und die erste Gleichung des Tridiagonalsystems lautet + (2 − 2M )ϑk1 + M ϑk2 , (2.269) (2 + 2M )ϑk+1 − M ϑk+1 = M ϑk0 + ϑk+1 1 2 0 während die letzte Gleichung k+1 = M ϑkn−1 +(2−2M )ϑkn +M ϑkn+1 + ϑk+1 −M ϑk+1 n−1 +(2+2M )ϑn n+1 (2.270) wird. Ist die W¨ armestromdichte q(t) ˙ am linken Rand gegeben, vgl. (2.247), so wähle man das Gitter wie in Abb. 2.44 so, dass der Rand in der Mitte zwischen x0 und x1 liegt. Mit (2.249) werden ϑk0 und ϑk+1 eliminiert. Die erste 0 Gleichung lautet dann Δx [q˙ (tk ) + q˙ (tk+1 )] . λ (2.271) Die adiabate Wand ist der Sonderfall mit q˙ ≡ 0. In der gleichen Weise eliarmestromdichte miniert man ϑkn+1 und ϑk+1 n+1 , wenn am rechten Rand die W¨ gegeben ist. Zur Ber¨ ucksichtigung der W¨ arme¨ ubergangsbedingung (2.253) legen wir das Gitter wie in Abb. 2.45, n¨ amlich so, dass der Rand mit x1 bzw. xn zusammenfällt, wenn am linken bzw. rechten Rand (2.253) vorgeschrieben ist. Mit aus der ersten Gleichung des Tridiagonalsystems (2.254) werden ϑk0 und ϑk+1 0 (2.268) eliminiert. Dies ergibt (2 + M )ϑk+1 − M ϑk+1 = (2 − M )ϑk1 + M ϑk2 + M 1 2

k − M ϑk+1 = [1 − M (1 + Bi∗ )] [1 + M (1 + Bi∗ )] ϑk+1 1 2 ϑk1 k ∗ +M ϑ2 + M Bi ϑU + ϑk+1 U

(2.272)

alt f¨ ur die erste Gleichung. Mit (2.257) eliminiert man ϑkn+1 und ϑk+1 n+1 und erh¨ als letzte Gleichung ∗ k+1 −M ϑk+1 = M ϑkn−1 + − M (1 + Bi∗ )] ϑkn n−1 + [1 + M (1 + Bi )] ϑn [1 ∗ k . +M Bi ϑU + ϑk+1 U (2.273) Das Differenzenverfahren von Crank-Nicolson ist stabil f¨ ur alle M . Die Größe des Zeitschritts wird daher durch Genauigkeitsforderungen begrenzt. Sehr große Werte von M f¨ uhren zu endlichen Schwingungen in der numerischen Lösung, die nur langsam mit fortschreitendem k abklingen, vgl. [2.52].

Beispiel 2.7: Das in Beispiel 2.6 behandelte Abk¨ uhlungsproblem soll mit dem impliziten Differenzenverfahren nach Crank-Nicolson gel¨ ost werden. Dabei wird die Gittereinteilung nach Abb. 2.46 beibehalten. Das bei jedem Zeitschritt zu l¨ osende Tridiagonalsystem besteht aus f¨ unf Gleichungen und hat die Gestalt A ϑk+1 = b

226


mit der Koeffizientenmatrix ⎡ ⎤ 2 + M −M 0 0 0 ⎢ −M 2 + 2 M −M ⎥ 0 0 ⎢ ⎥ ⎥ , 0 −M 2 + 2 M −M 0 A=⎢ ⎢ ⎥ ⎣ 0 ⎦ 0 −M 2 + 2 M −M 0 0 0 −M 1 + 1,15 M dem L¨ osungsvektor

T , ϑk+1 , ϑk+1 , ϑk+1 , ϑk+1 ϑk+1 = ϑk+1 1 2 3 4 5

und den rechten Seiten

⎡

⎤

(2 − M )ϑk1 + M ϑk2

⎢ M ϑk + (2 − 2M )ϑk + M ϑk ⎥ ⎢ 1 2 3 ⎥ ⎢ ⎥ k k ⎢ b = ⎢ M ϑ2 + (2 − 2M )ϑ3 + M ϑk4 ⎥ ⎥ . ⎢ ⎥ ⎣ M ϑk3 + (2 − 2M )ϑk4 + M ϑk5 ⎦ M ϑk4 + (1 − 1,15M )ϑk5 F¨ ur den ersten Schritt des Verfahrens (k = 0) sind alle Temperaturen ϑ0i = 1,000 zu setzen, entsprechend der Anfangsbedingung ϑ(xi , t0 ) = 1. Wir w¨ ahlen M = 1, also einen dreimal so großen Zeitschritt wie beim expliziten Verfahren von Beispiel 2.6, n¨ amlich Δt = 240 s = 4,0 min. Die Temperaturen f¨ ur die ersten 10 Zeitebenen enth¨ alt Tabelle 2.11. Wie ein Vergleich der Temperaturen zur Zeit t4 = 960 s mit den Werten von Tabelle 2.10 zeigt, liefert das CrankNicolson-Verfahren trotz des dreimal gr¨ oßeren Zeitschritts bessere Resultate als das explizite Differenzenverfahren. Tabelle 2.11: Temperaturen bei der Abk¨ uhlung einer Stahlplatte, berechnet nach dem Verfahren von Crank-Nicolson mit M = aΔt/Δx2 = 1.

tk /s

ϑk1

ϑk2

ϑk3

ϑk4

ϑk5

240 480 720 960 1200

0,9990 0,9937 0,9815 0,9636 0,9427

0,9969 0,9851 0,9657 0,9437 0,9208

0,9885 0,9594 0,9282 0,9013 0,8756

0,9573 0,8982 0,8639 0,8322 0,8058

0,8406 0,8044 0,7635 0,7356 0,7105

1440 1680 1920 2160 2400

0,9203 0,8974 0,8744 0,8516 0,8292

0,8975 0,8743 0,8514 0,8289 0,8070

0,8514 0,8282 0,8058 0,7841 0,7630

0,7816 0,7592 0,7381 0,7179 0,6984

0,6887 0,6686 0,6498 0,6318 0,6146

Um den Einfluss der Zeitschrittweite auf die Genauigkeit zu untersuchen, haben wir neben M = 1 auch M = 2, 5 und 10 verwendet. In Tabelle 2.12 sind die


227

Temperaturverteilungen gezeigt, die sich f¨ ur t = 9600 s = 160 min ergeben. Diese Zeit wird mit M = 1 in 40 Schritten, mit M = 2 in 20 Schritten, mit M = 5 in 8 Schritten und in nur 4 Schritten mit M = 10 erreicht. Die Temperaturen f¨ ur M = 1 und M = 2 stimmen untereinander und mit der analytischen L¨ osung sehr gut u oßere Abweichungen, w¨ ahrend das ¨berein. Mit M = 5 ergeben sich etwas gr¨ Ergebnis mit M = 10 nicht brauchbar ist. Bei dieser großen Schrittweite treten Oszillationen der Temperaturen auf, die physikalisch nicht m¨ oglich sind. In [2.52], S. 122, findet man f¨ ur ein instation¨ ares W¨ armeleitproblem mit anderen Randbedingungen eine notwendige Bedingung f¨ ur die Begrenzung der Zeitschrittweite, ¨ damit Oszillationen vermieden werden. Die Ubertragung dieser Bedingung auf Tabelle 2.12: Vergleich der Temperaturen f¨ ur t = 9600 s, berechnet mit verschiedenen Modulwerten M . M

ϑ1

ϑ2

ϑ3

ϑ4

ϑ5

1 2 5 10

0,3684 0,3683 0,3677 0,3683

0,3584 0,3584 0,3584 0,3532

0,3388 0,3387 0,3386 0,3259

0,3099 0,3099 0,3051 0,2995

0,2727 0,2727 0,2801 0,3180

Analyt. L¨ osung

0,3684 0,3584 0,3389 0,3101 0,2730

die vorliegende Aufgabe liefert die Grenze 2 δ = 5,7 . π Δx Sie best¨ atigt das Ergebnis unserer numerischen Testrechnungen. M
0 (2.297) Δx2 1 + λki /λki+1 1 + λki /λki−1 sein. Da a und λ sich bei jedem Zeitschritt ändern, wird man in den Programmablauf eine Kontrolle dieser Ungleichung einbauen und Δt gegebenenfalls schrittweise verkleinern. Die Temperaturabh¨ angigkeit von λ muss auch bei der Wärme¨ ubergangsbedingung (2.253) und bei der Randbedingung vorgeschriebener Wärmestromdichte ber¨ ucksichtigt werden. Die Biotzahl Bi∗ wird temperaturabhängig, was bei der Elimination der Temperaturen ϑk0 und ϑkn+1 aus (2.254) bzw. (2.257) und (2.297) mit i = 1 bzw. i = n zu beachten ist.

2.4.5 Instation¨ are ebene und r¨ aumliche Temperaturfelder Sind ebene oder r¨ aumliche Temperaturfelder numerisch zu bestimmen, wachsen Rechenzeit und Speicherplatzbedarf gegen¨ uber den geometrisch eindimensionalen Problemen erheblich. Wir beschr¨ anken uns im Folgenden auf Rechteckbereiche (kartesische Koordinaten); Zylinder- und Kugelprobleme lassen sich durch Diskretisieren der entsprechenden Differentialgleichungen lösen. F¨ ur kompliziertere Geometrien ist das Differenzenverfahren weniger gut geeignet, besonders dann nicht, wenn auf beliebig geformten Rändern Randbedingungen zweiter oder dritter Art vorgeschrieben sind. In diesen Fällen ist es g¨ unstiger, Finite-Elemente-Verfahren zu verwenden. Wir nehmen konstante Stoffwerte an. Die Wärmeleitungsgleichung f¨ ur ebene instationäre Temperaturfelder mit W¨ armequellen hat die Gestalt

2 ˙ (x, y, t, ϑ) W ∂ ϑ ∂2ϑ ∂ϑ + 2 + =a . (2.298) 2 ∂t ∂x ∂y c Die Temperatur ϑ = ϑ(x, y, t) soll auf einem zu den x- und y-Achsen parallelen Rechteck bestimmt werden. Wir diskretisieren die Koordinaten durch


xi = x0 + iΔx

,

yj = y0 + jΔy

233

und tk = t0 + kΔt .

Die Temperatur an einem Schnittpunkt des ebenen Gitters von Abb. 2.48 werde mit ϑki,j = ϑ (xi , yj , tk ) bezeichnet. F¨ ur die Leistungsdichte gilt das Entsprechende: k ˙ (xi , yj , tk ) bzw. W ˙ k =W ˙ ϑk ˙ i,j =W , W i,j i,j ˙ allein von der Temperatur abh¨ falls W angt.

Abb. 2.48: Ebenes Gitter zur Diskretisierung der W¨ armeleitungsgleichung (2.298) auf dem Rechteckbereich x0 ≤ x ≤ xn , y0 ≤ y ≤ yl

Die beiden zweiten Ableitungen in x- bzw. y-Richtung werden durch zentrale Differenzenquotienten approximiert, so dass

2 k 1 k ∂ ϑ ϑ (2.299) = − 2ϑki,j + ϑi+1,j + O Δx2 ∂x2 i,j Δx2 i−1,j und

∂2ϑ ∂y 2

k = i,j

1 k ϑi,j−1 − 2ϑi,j + ϑi,j+1 + O Δy 2 2 Δy

(2.300)

gilt. Um eine explizite Differenzengleichung zu erhalten, verwenden wir f¨ ur die Zeitableitung den vorderen Differenzenquotienten:

k ∂ϑ 1 k+1 ϑi,j − ϑki,j + O(Δt) (2.301) = ∂t i,j Δt Mit diesen Differenzenquotienten erh¨ alt man aus (2.298) die explizite Differenzengleichung

234


k k k ϑk+1 i,j = (1 − 2Mx − 2My ) ϑi,j + Mx ϑi−1,j + ϑi+1,j Δt k ˙ . W +My ϑki,j−1 + ϑki,j+1 + c i,j

(2.302)

Hier treten zwei Module, Mx :=

aΔt Δx2

und My :=

aΔt , Δy 2

auf. F¨ ur ein quadratisches Gitter (Δx = Δy) erhält man Mx = My = M = aΔt/Δx2 , und (2.302) vereinfacht sich zu k Δt k k k k k ˙ . ϑk+1 W i,j = (1 − 4M ) ϑi,j + M ϑi−1,j + ϑi+1,j + ϑi,j−1 + ϑi,j+1 + c i,j (2.303) Mit (2.302) und (2.303) k¨ onnen aus der gegebenen Anfangstemperaturverteilung ϑ0i,j die Temperaturen ϑ1i,j zur Zeit t1 = t0 + Δt, aus diesen die Temperaturen ϑ2i,j der n¨ achsten Zeitebene usw. explizit berechnet werden. Dieses Differenzenschema ist leicht zu programmieren. Es eignet sich auch ˙ (ϑ), weil W ˙ k f¨ f¨ ur eine temperaturabh¨ angige Leistungsdichte W i,j ur die bereits k bekannte Temperatur ϑi,j zu berechnen ist. Der Nachteil des expliziten Differenzenverfahrens liegt in seiner eingeschr¨ ankten Stabilität, vgl. 2.4.1.2. Die Stabilit¨ atsbedingung, wonach kein Koeffizient der rechten Seite von (2.302) negativ sein darf, begrenzt den Zeitschritt: Δt ≤

Δx2

2a 1 + (Δx/Δy)

2

.

(2.304)

Dies f¨ uhrt zu noch kleineren Zeitschritten als die Bedingung (2.242) der geometrisch eindimensionalen W¨ armeleitung. Um die aus Stabilit¨ atsgr¨ unden erforderliche Schrittweitenbegrenzung (2.304) des expliziten Differenzenverfahrens zu umgehen, benutzt man ein implizites ur die ZeitabVerfahren. Dabei wird (2.298) zur Zeit tk+1 diskretisiert und f¨ leitung der hintere Differenzenquotient benutzt. Mit

k+1 ∂ϑ 1 k+1 ϑi,j − ϑki,j + O(Δt) = ∂t i,j Δt und den f¨ ur tk+1 angeschriebenen Differenzenquotienten (2.299) und (2.300) ˙ ≡ 0 gesetzt — die erhält man aus (2.298) — zur Vereinfachung wurde W implizite Differenzengleichung a k+1 a k+1 k+1 k+1 ϑ ϑ − 2ϑk+1 − 2ϑk+1 i,j + ϑi+1,j + i,j + ϑi,j+1 = Δx2 i−1,j Δy 2 i,j−1 1 k+1 ϑi,j − ϑki,j . (2.305) Δt


235

Diese Gleichung ist f¨ ur jeden Gitterpunkt (i, j) anzusetzen. Man erhält ein lineares Gleichungssystem f¨ ur die unbekannten Temperaturen zur Zeit tk+1 , das f¨ ur jeden Zeitschritt zu l¨ osen ist. Jede Gleichung enthält f¨ unf Unbekannte; nur die Temperatur ϑki,j zum vorangegangenen Zeitpunkt tk ist bekannt. Ein vorteilhaftes L¨ osungsverfahren haben P.W. Peaceman und H.H. Rachford [2.64] angegeben; es ist unter der Bezeichnung alternating-direction implicit ” procedure“ (ADIP) bekannt. Hierbei werden anstelle des Gleichungssystems (2.305) zwei tridiagonale Systeme gel¨ ost, wodurch sich der Rechenaufwand verringert, vgl. auch [2.72]. Die Randbedingungen lassen sich bei geometrisch zweidimensionalen Temperaturfeldern leicht erf¨ ullen, sofern die R¨ ander parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Zu den im Inneren des Bereichs liegenden Gitterpunkten f¨ ugt man je eine Reihe Gitterpunkte außerhalb des Bereichs hinzu. Mit diesen zus¨ atzlichen Gitterpunkten lassen sich wie in Abschnitt 2.4.2 die drei Arten von Randbedingungen ohne Schwierigkeiten ber¨ ucksichtigen. Bei R¨ andern, die nicht parallel zu den Koordinatenrichtungen verlaufen, k¨ onnen erhebliche Komplikationen eintreten. Am einfachsten ist die Bedingung vorgegebener Randtemperaturen zu erf¨ ullen. Hier gen¨ ugt es, den krummlinigen Rand durch x- und y- parallele Geradenst¨ ucke zu approximieren, wobei hinreichend kleine Gitterabst¨ ande Δx und Δy zu w¨ ahlen sind. Die Diskretisierung der Ableitung ∂ϑ/∂n in Richtung der Normalen der Berandung f¨ uhrt jedoch auf komplizierte und schwer zu handhabende Ausdr¨ ucke. Die Diskretisierung der W¨ armeleitungsgleichung l¨ asst sich auf r¨ aumliche Temperaturfelder u ¨bertragen; dies bleibe dem Leser u ¨berlassen. Bei der expliziten Differenzengleichung versch¨ arft sich dabei die Stabilit¨ atsbedingung (2.304), so dass noch kleinere Zeitschritte als bei den ebenen Problemen gew¨ ahlt werden m¨ ussen. Zur L¨ osung des Gleichungssystems des impliziten Differenzenverfahrens kann man das ADIP-Verfahren nicht anwenden, weil es in drei Dimensionen instabil ist. Man verwendet stattdessen ein ¨ ahnliches Verfahren nach J. Douglas und H.H. Rachford [2.66], [2.67], das stabil ist und auch auf Tridiagonalsysteme f¨ uhrt, aber einen etwas gr¨ oßeren Diskretisierungsfehler als ADIP hat, vgl. auch [2.72].

2.4.6 Station¨ are Temperaturfelder Zur Anwendung des Differenzenverfahrens auf stationäre Wärmeleitprobleme hat man den ebenen oder r¨ aumlichen Bereich, in dem das Temperaturfeld zu bestimmen ist, durch Wahl eines Gitternetzes zu diskretisieren. Die Temperaturen in den Gitterpunkten werden durch Differenzengleichungen bestimmt, die jede Temperatur mit den Temperaturen an benachbarten Gitterpunkten verkn¨ upfen. Die Differenzengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem, das die Wärmeleitungsgleichung mit ihren Randbedingungen ersetzt und dessen Lösung Näherungswerte f¨ ur die Temperaturen an den Gitterpunkten liefert. Durch Verkleinern der Gitterabst¨ ande (Maschenweiten) erhöht sich die Zahl der Gitterpunkte und der linearen Differenzengleichungen; die aus ihnen berechneten Temperaturen sind genauere N¨ aherungen an die wahren Werte. Wir beschränken uns auf ebene Temperaturfelder; räumliche Temperaturfelder lassen sich in ¨ ahnlicher Weise berechnen. Hierf¨ ur geeignete Verfahren und

236


ausgearbeitete Algorithmen findet man insbesondere bei D. Marsal [2.72]. Dort werden auch Verfahren besprochen, die u ¨ber das einfache Differenzenverfahren hinausgehen, das wir im Folgenden behandeln. 2.4.6.1 Ein einfaches Differenzenverfahren f¨ ur ebene station¨ are Temperaturfelder Ebene stationäre Temperaturfelder ϑ = ϑ(x, y) mit Wärmequellen der Leis˙ werden durch die Differentialgleichung tungsdichte W ˙ (x, y, ϑ) ∂2ϑ ∂2ϑ W + + =0 ∂x2 ∂y 2 λ

(2.306)

beschrieben. Zu ihrer Diskretisierung w¨ ahlen wir ein quadratisches Gitter mit der Maschenweite Δx = Δy, so dass xi = x0 + iΔx

,

i = 0, 1, 2, . . .

yj = y0 + jΔx

,

j = 0, 1, 2, . . .

und gilt. Die Temperatur am Gitterpunkt (xi , yj ) wird mit ϑi,j = ϑ(xi , yj ) be˙ (xi , yj , ϑi,j ). ˙ i,j = W zeichnet und ebenso die Leistungsdichte W Wir leiten nun, anders als in den vorhergehenden Abschnitten, die zu (2.306) gehörende Differenzengleichung durch eine Energiebilanz in anschaulicher Weise her. Wir fassen dazu jeden Gitterpunkt als den Mittelpunkt eines kleinen Blocks auf, der aus dem w¨ armeleitenden Material herausgeschnitten ist, Abb. 2.49. Der Block hat einen quadratischen Grundriss mit der Kantenlänge Δx und die H¨ ohe b senkrecht zur x,y-Ebene. Die Temperatur ϑi,j im Gitterpunkt (i, j) wird als charakteristische Mitteltemperatur des ganzen Blocks angesehen. Von den vier unmittelbar benachbarten Blöcken mit den Mitteltemperaturen ϑi+1,j , ϑi,j+1 , ϑi−1,j und ϑi,j−1 wird Wärme zum betrachteten Block (i, j) geleitet. Die Energiebilanz f¨ ur diesen Block enthält daher die vier W¨ armestr¨ ome von Abb. 2.49 und die durch innere Wärmequel˙ i,j ΔV , wobei ΔV = Δx2 b das Volumen des len hervorgerufene Leistung W Blocks bedeutet: ˙ i,j ΔV = 0 . Q˙ i+1 + Q˙ j+1 + Q˙ i−1 + Q˙ j−1 + W

(2.307)

F¨ ur den Wärmestrom Q˙ i+1 , der vom Block (i + 1, j), zum Block (i, j) fließt, gilt λ (ϑi+1,j − ϑi,j ) Δx b = λ (ϑi+1,j − ϑi,j ) b . Q˙ i+1 = q˙i+1 Δx b = Δx Dementsprechend wird


237

Q˙ j+1 = λ (ϑi,j+1 − ϑi,j ) b , Q˙ i−1 = λ (ϑi−1,j − ϑi,j ) b und Q˙ j−1 = λ (ϑi,j−1 − ϑi,j ) b . Im Sinne der Vorzeichenvereinbarung der Thermodynamik wurden die vier Wärmeströme als positive Gr¨ oßen angesetzt, wenn sie dem Block (i, j) zufließen. Damit erhält man aus der Energiebilanzgleichung (2.307) die gesuchte Differenzengleichung ˙ i,j Δx2 /λ . ϑi+1,j + ϑi,j+1 + ϑi−1,j + ϑi,j−1 − 4 ϑi,j = −W

(2.308)

Dies ist eine N¨ aherungsgleichung, weil jedem kleinen, aber endlich großen Block nur eine diskrete Temperatur zugeordnet ist und weil Wärmeleitung nur zwischen unmittelbar benachbarten Bl¨ ocken ber¨ ucksichtigt wird. Wie man unter Verwendung der Diskretisierungsgleichungen (2.299) und (2.300) f¨ ur die zweiten Ableitungen zeigen kann, erh¨ alt man (2.308) auch durch die u ¨bliche Diskretisierung der Differentialgleichung (2.306). Der Diskretisierungsfehler ist daher O Δx2 ; er geht mit Verkleinern der Maschenweite (= Blockbreite) quadratisch gegen null. Die Differenzengleichung (2.308) ist f¨ ur jeden Gitterpunkt im Inneren des ebenen Bereichs anzusetzen. Entsprechende Differenzengleichungen f¨ ur die Randpunkte leiten wir im n¨ achsten Abschnitt her. Man erhält ein lineares Gleichungssystem mit — bei feiner Gittereinteilung — sehr vielen Gleichungen. Die numerische Mathematik stellt Verfahren zur Lösung solcher großen Gleichungssysteme zur Verf¨ ugung [2.61], [2.62]. Vor- und Nachteile der Lösungsverfahren diskutieren z.B. D. Marsal [2.72] und G.D. Smith [2.52]. In der Regel verwendet man Iterationsverfahren, die ausf¨ uhrlich von D.M. Young [2.68] beschrieben werden, insbesondere das Gauß-Seidel-Verfahren und die Methode der successive over-relaxation (SOR-Verfahren).

Abb. 2.49: Block mit quadratischem Querschnitt um den Gitterpunkt (i, j) zur Herleitung der Energiebilanzgleichung (2.307)

238


Beispiel 2.8: Eine Wand mit der Dicke δ umschließt einen Raum mit quadratischem Grundriss; die L¨ ange der inneren Quadratseite ist 2,5 δ. Die Wand hat die armekonstanten Oberfl¨ achentemperaturen ϑi und ϑa < ϑi . Man berechne den W¨ strom, der aufgrund der Temperaturdifferenz ϑi − ϑa aus dem Raum abstr¨ omt.

Abb. 2.50: Wand eines Raumes mit quadratischem Grundriss. a Abmessungen, b grobes Gitter (Δx = δ/2) mit vier unbekannten (normierten) Tempe+ raturen ϑ+ 1 bis ϑ4 Aus Symmetriegr¨ unden gen¨ ugt es, ein Achtel des Grundrisses zu betrachten, Abb. 2.50a. Der gesuchte W¨ armestrom liegt zwischen zwei Grenzen: Man kann ihn mit der inneren Wandoberfl¨ ache zu λ Q˙ i = 8 · 1,25 · δ · b (ϑi − ϑa ) = 10 bλ (ϑi − ϑa ) δ und mit der ¨ außeren Wandoberfl¨ ache zu λ Q˙ a = 8 · 2,25 · δ · b (ϑi − ϑa ) = 18 bλ (ϑi − ϑa ) δ berechnen, wobei b die Abmessung der Wand senkrecht zur Zeichenebene von Abb. 2.50a bedeutet. Man erh¨ alt den richtigen Wert des zwischen 10 und 18 liegenden Formfaktors Q˙ , Sb = λb (ϑi − ϑa ) vgl. Abschnitt 2.2.5.2, durch Berechnen des Temperaturfeldes in der Wand. Wir verwenden die dimensionslose Temperatur ϑ+ := (ϑ − ϑa )/(ϑi − ϑa ), die im Bereich 0 ≤ ϑ+ ≤ 1 liegt. Ein sehr grobes Gitter mit Δx = δ/2 liefert + vier Gitterpunkte mit den unbekannten Temperaturen ϑ+ 1 bis ϑ4 , vgl. Abb. ˙ i,j ≡ 0 aufgestellten 2.50b. Zu ihrer Berechnung dienen die nach (2.308) mit W Differenzengleichungen + + ϑ+ 2 + 0 + ϑ1 + 1 − 4 ϑ1 = 0 , + + ϑ+ 3 + 0 + ϑ1 + 1 − 4 ϑ2 = 0 , + + ϑ+ 4 + 0 + ϑ2 + 1 − 4 ϑ3 = 0 , + + 0 + 0 + ϑ+ 3 + ϑ3 − 4 ϑ4 = 0 .


239

Bei der ersten und vierten Gleichung wurde die Symmetrie (Spiegelung) des Temperaturfeldes an den in Abb. 2.50b strichpunktierten Symmetrielinien ber¨ ucksichtigt. Die L¨ osung der vier linearen Gleichungen ergibt die Temperaturen ϑ+ 1 = 0,4930,

ϑ+ 2 = 0,4789,

ϑ+ 3 = 0,4225,

ϑ+ 4 = 0,2113 .

Damit kann man den W¨ armestrom, der zur ¨ außeren Wandoberfl¨ ache geleitet wird, zu + + + Q˙ = 8 bλ (ϑi − ϑa ) ϑ+ = 12,85 bλ (ϑi − ϑa ) 1 + ϑ2 + ϑ 3 + ϑ4 bestimmen. Der Formfaktor hat den Wert Sb = 12,85. Die Ecken erh¨ ohen somit den W¨ armestrom um 28,5 % gegen¨ uber Q˙ i , dem mit der inneren Wandfl¨ ache berechneten W¨ armestrom. Wegen des groben Gitters sind dies ungenaue N¨ aherungswerte. Gitterverfeinerung liefert genauere Temperaturen, doch steigt dabei die Zahl der Differenzengleichungen: Eine Halbierung der Maschenweite (Δx = δ/4) f¨ uhrt bereits zu einem System aus 24 linearen Gleichungen.

2.4.6.2 Die Ber¨ ucksichtigung der Randbedingungen Das aus der Differenzengleichung (2.308) hervorgehende lineare Gleichungssystem muss durch die Differenzengleichungen f¨ ur die Randpunkte ergänzt werden, mit denen die dort maßgebenden Randbedingungen ber¨ ucksichtigt werden. Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass die Ränder parallel zu den x- und y-Richtungen verlaufen. Krummlinige Ränder kann man durch einen Linienzug aus zur x- bzw. y-Richtung parallelen Geradenst¨ ucken ersetzen. Hinreichende Genauigkeit wird man dabei jedoch nur bei sehr kleiner Maschenweite Δx erreichen. Sind die R¨ ander Koordinatenlinien eines Polarkoordinatensystems (r, ϕ), so empfiehlt es sich, die Differentialgleichung mit ihren Randbedingungen in Polarkoordinaten zu formulieren und daraus die entsprechenden Differenzengleichungen herzuleiten. Am einfachsten l¨ asst sich die Randbedingung erster Art ber¨ ucksichtigen. Man muss hierzu wie in Beispiel 2.8 Gitterlinien mit den Rändern zusammenfallen lassen und in den auf den R¨ andern liegenden Gitterpunkten die dort vorgeschriebenen Temperaturen in der Differenzengleichung (2.308) verwenden. Dies ist f¨ ur R¨ ander, die parallel zur x- und y-Richtung verlaufen, durch geeignete Wahl der Maschenweite Δx zu erreichen. Gegebenenfalls muss man das bisher verwendete quadratische Gitter durch ein Rechteckgitter mit unterschiedlichen Abst¨ anden Δx und Δy ersetzen. Die Differenzengleichung (2.308) ist dann abzuändern, was nach den Ausf¨ uhrungen von 2.4.6.1 ohne Schwierigkeiten ausf¨ uhrbar ist. Die Randbedingung vorgegebener Temperaturen lässt sich auch bei gekr¨ ummten Rändern in guter N¨ aherung erf¨ ullen. Abb. 2.51 zeigt einen randnahen Gitterpunkt (i, j). Die durch ihn laufenden Gittergeraden x = xi und y = yj schneiden die Randkurve R, wobei die Temperaturen ϑR,n und ϑR,n+1 in den Schnittpunkten gegeben sind. F¨ ur Gitterpunkte (i, j) gilt anstelle von (2.308) die Differenzengleichung

240


2 2 2 ϑR,n + ϑR,n+1 + ϑi−1,j εn (1 + εn ) εn+1 (1 + εn+1 ) 1 + εn

2 1 Δx2 ˙ 1 + ϑi,j−1 − 2 + ϑi,j = − Wi,j . (2.309) 1 + εn+1 εn εn+1 λ Ihre Herleitung findet man bei G.D. Smith [2.52].

Abb. 2.51: Gitterpunkt (i, j) in der N¨ ahe der Randkurve R, auf der die Temperatur ϑR vorgegeben ist

Abb. 2.52: Zur Herleitung der Differenzengleichung f¨ ur den Randarme¨ ubergang punkt (xi , yj ) bei W¨ an ein Fluid mit der Temperatur ϑU

Die W¨ arme¨ ubergangsbedingung l¨ asst sich nur dann einfach erf¨ ullen, wenn der Rand aus Geradenst¨ ucken besteht, die parallel zur x- oder y-Achse verlaufen. Man lässt den Rand mit einer Gitterlinie zusammenfallen, und die Differenzengleichung f¨ ur einen solchen Randpunkt lässt sich wieder durch eine Energiebilanz gewinnen. Wir zeigen dies f¨ ur einen Gitterpunkt auf einem Rand, der mit der Gitterlinie y = yj zusammenfällt, Abb. 2.52. In den schraffierten Block werden von den benachbarten Blöcken die Wärmeströme λ λ Δx (ϑi−1,j − ϑi,j ) b = (ϑi−1,j − ϑi,j ) b , Q˙ i−1 = Δx 2 2


241

λ (ϑi,j−1 − ϑi,j ) Δxb = λ (ϑi,j−1 − ϑi,j ) b Q˙ j−1 = Δx und

λ λ Δx (ϑi+1,j − ϑi,j ) b = (ϑi+1,j − ϑi,j ) b Q˙ i+1 = Δx 2 2 durch Leitung u bertragen. Vom Fluid mit der Temperatur ϑU geht der ¨ Wärmestrom Q˙ U = αi (ϑU − ϑi,j ) Δx b u ortlichen W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten an der Stelle xi ¨ber, wobei αi den ¨ bedeutet. Setzt man die vier W¨ armestr¨ ome in die Bilanzgleichung ˙ i,j Δx2 b/2 = 0 Q˙ i−1 + Q˙ j−1 + Q˙ i+1 + Q˙ U + W ein, so erhält man die Differenzengleichung 1 ˙ i,j Δx2 /2λ (2.310) ϑi,j−1 + (ϑi−1,j + ϑi+1,j )+Bi∗i ϑU −(2 + Bi∗i ) ϑi,j = −W 2 mit Bi∗i = αi Δx/λ als der ¨ ortlichen Biot-Zahl. Durch sie lässt sich eine Ver-

Abb. 2.53: Zur Erl¨ auterung der Differenzengleichungen f¨ ur den Randpunkt a in der einspringenden Ecke, b an der ¨ außeren Ecke bei W¨ arme¨ ubergang an ein Fluid mit der Temperatur ϑU

anderung des W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten l¨ angs des Randes leicht ber¨ uck¨ sichtigen. In der gleichen Weise gewinnt man die folgenden Differenzengleichungen, die f¨ ur den Wärme¨ ubergang an einer inneren (einspringenden) Ecke nach Abb. 2.53a und an einer ¨ außeren Ecke nach Abb. 2.53b gelten. F¨ ur die innere Ecke erhält man 1 ˙ i,j Δx2 /4λ (ϑi,j−1 + ϑi+1,j )+Bi∗i ϑU −(3 + Bi∗i ) ϑi,j = −3W 2 (2.311) und f¨ ur die Ecke nach Abb. 2.53b

ϑi,j+1 +ϑi−1,j +

1 ˙ i,j Δx2 /4λ . (ϑi−1,j + ϑi,j−1 ) + Bi∗i ϑU − (1 + Bi∗i ) ϑi,j = −W 2

(2.312)

242


Treten keine inneren W¨ armequellen auf, so ist in den Beziehungen (2.309) bis ˙ i,j = 0 zu setzen. (2.312) W Setzt man in (2.310) bis (2.312) Bi∗i = 0, also αi = 0, so gelten diese Beziehungen f¨ ur eine adiabate Oberfl¨ ache. Dies entspricht dem Sonderfall q˙ = 0 der Randbedingung vorgeschriebener W¨ armestromdichte q. ˙ Nach Abschnitt 2.4.2 wird diese Randbedingung genauer erfasst, wenn man das Gitter so legt, dass der Rand mit vorgeschriebener W¨ armestromdichte den Abstand Δx/2 von der Gittergeraden hat, vgl. Abb. 2.54. Die Energiebilanz f¨ ur den in Abb. 2.54 hervorgehobenen Block mit der Temperatur ϑi,j lautet

Abb. 2.54: Zur Herleitung der Differenzengleichung (2.313) bei vorgeschriebener W¨ armestromdichte q˙i auf dem Rand

˙ i,j Δx2 b = 0 , Q˙ i+1 + Q˙ i−1 + Q˙ j−1 + q˙i Δx b + W ˙ i ) die bei x = xi vorgegebene Wärmestromdichte bedeutet. wobei q˙i = q(x Aus der Energiebilanz folgt die Differenzengleichung ϑi+1,j + ϑi−1,j + ϑi,j−1 − 3ϑi,j = −q˙i

2 Δx ˙ i,j Δx . −W λ λ

(2.313)

Man erhält a¨hnlich aufgebaute Differenzengleichungen, wenn die Wärmestromdichte auf einem parallel zur y-Achse verlaufenden Rand vorgeschrieben ist. Beispiel 2.9: Der in Abb. 2.55a dargestellte Formstein einer Ofenwand (λ = 0,80 W/K m) mit trapezf¨ ormigem Querschnitt (δ = 0,30 m) ist an den senkrechten Fl¨ achen isoliert. An der oberen Begrenzungsfl¨ ache geht W¨ arme an Luft arme¨ ubergangskoeffizient ist mit der konstanten Temperatur ϑU u ¨ber; der W¨ α = 10 W/m2 K. Die untere Begrenzungsfl¨ ache habe die konstante Temperatur armestrom, der durch den Formstein an die Luft ϑR > ϑU . Man berechne den W¨ u arme abgebenden Oberfl¨ ache. ¨bertragen wird, und die Temperaturen an der W¨ Um das Temperaturfeld n¨ aherungsweise zu bestimmen, benutzen wir das in Abb. 2.55b eingezeichnete Gitternetz mit der recht groben Maschenweite Δx = Δy = δ/3 = 0,10 m. Wir f¨ uhren wie im letzten Beispiel eine dimensionslose Temperatur ϑ+ =

ϑ − ϑU ϑR − ϑU

,

0 ≤ ϑ+ ≤ 1


243

ein und stellen die Differenzengleichungen f¨ ur die acht unbekannten Temperatu+ ˙ i,j ≡ 0 ren ϑ+ ur die drei Oberfl¨ achentemperaturen ist (2.310) mit W 1 bis ϑ8 auf. F¨ maßgebend, woraus die drei Gleichungen

Abb. 2.55: W¨ armeleitung in einem Formstein. a Abmessungen und gegebene Temperaturen, b quadratisches Gitternetz mit der Maschenweite Δx = δ/3 + zur Berechnung der Temperaturen ϑ+ 1 bis ϑ8

ϑ+ 4 +

1 2

ϑ+ 5 +

1 2

ϑ+ 6 +

1 2

+ + ∗ ϑ+ 1 + ϑ2 − (2 + Bi ) ϑ1 = 0 , + + ∗ ϑ1 + ϑ+ 3 − (2 + Bi ) ϑ2 = 0 , + + ∗ ϑ2 + ϑ+ 3 − (2 + Bi ) ϑ3 = 0

resultieren. Dabei ist zu beachten, dass ϑ+ U = 0 ist. Die adiabaten senkrechten W¨ ande wurden als Symmetriefl¨ achen mit einer Spiegelung der Temperaturen ϑ+ 1 bzw. ϑ+ ucksichtigt. 3 in der ersten und letzten Gleichung ber¨ + F¨ ur die beiden innen liegenden Gitterpunkte mit den Temperaturen ϑ+ 4 und ϑ5 kommt die Differenzengleichung (2.308) zur Anwendung: + + + + ϑ+ 5 + ϑ1 + ϑ4 + ϑ7 − 4 ϑ4 = 0 , + + + + ϑ+ 6 + ϑ2 + ϑ4 + ϑ8 − 4 ϑ5 = 0 . + Die in der N¨ ahe des unteren Randes liegenden Gitterpunkte mit ϑ+ 6 bis ϑ8 haben Arme“, die von der schr¨ ag laufenden Randgeraden geschnitten werden, auf der ”+ ϑR = 1 ist. Hier verwenden wir (2.309) und denken uns dabei Abb. 2.55b um ¨ mit Abb. 2.51 90◦ entgegen dem Uhrzeigersinn gedreht, damit Ubereinstimmung entsteht. F¨ ur den Punkt 6 mit εn = 0,75 und εn+1 = 1 sowie mit ϑR,n = ϑ+ R und ϑR,n+1 = ϑ+

6 folgt 2 2 1 ϑ+ + ϑ+ ϑ+ + ϑ+ + 1 ϑ+ 6 + 5 −2 6 = 0 . 0,75 (1 + 0,75) R 1 + 0,75 3 0,75 + + F¨ ur den Gitterpunkt mit ϑ+ 7 gilt analog mit ϑR,n = ϑR und ϑR,n+1 = ϑ8

2 2 1 ϑ+ + ϑ+ ϑ+ + ϑ+ + 1 ϑ+ 8 + 7 −2 7 = 0 . 0,75 (1 + 0,75) R 1 + 0,75 4 0,75

Die Differenzengleichung f¨ ur den letzten, randn¨ achsten Gitterpunkt 8 mit εn = + 0,25, εn+1 = 0,50, ϑR,n = ϑ+ R und ϑR,n+1 = ϑR lautet

244

2 W¨ armeleitung und Diffusion 2 2 2 ϑ+ + ϑ+ + ϑ+ 0,25 (1 + 0,25) R 0,50 (1 + 0,50) R 1 + 0,25 5

2 1 1 + − 2 ϑ+ ϑ+ + 8 = 0 . 1 + 0,50 7 0,25 0,50

Mit Bi∗ = αΔx/λ = 10 (W/m2 K) 0,10 m/0,80 (W/Km) = 1,25 und ϑ+ R = 1 erh¨ alt man aus diesen Gleichungen das lineare Gleichungssystem + + + + + + ϑ+ , ϑ+ 1 = 0,1818 ϑ2 + 0,3636 ϑ4 , 5 = 0,2500 ϑ2 + ϑ4 + ϑ6 + ϑ8 + + + + + + ϑ+ 2 = 0,1538 ϑ1 + ϑ3 + 0,3077 ϑ5 , ϑ6 = 0,3117 ϑ3 + 0,2727 ϑ5 + 0,4156 , + + + + ϑ+ ϑ+ 3 = 0,1818 ϑ2 + 0,3636 ϑ6 , 7 = 0,3117 ϑ4 + 0,2727 ϑ8 + 0,4156 , + + + + + + ϑ+ , ϑ+ 4 = 0,2500 ϑ1 + ϑ4 + ϑ5 + ϑ7 8 = 0,1333 ϑ5 + 0,1111 ϑ7 + 0,7556 .

Seine L¨ osung, etwa nach dem Iterationsverfahren von Gauß-Seidel, liefert die Temperaturen + + + ϑ+ 1 = 0,258 , ϑ2 = 0,274 , ϑ3 = 0,295 , ϑ4 = 0,573 , + + + ϑ+ 5 = 0,613 , ϑ6 = 0,675 , ϑ7 = 0,848 , ϑ8 = 0,932 .

Die Temperatur der an die Luft grenzenden Oberfl¨ ache ist nicht konstant; sie nimmt von der linken Ecke, wo der Formstein am dicksten ist, bis zur rechten Ecke zu. Ihr Mittelwert ist 1 + + ϑ + ϑ+ = 0,276 . ϑ+ m = 2 + ϑ3 3 1 Damit l¨ asst sich der an die Luft u armestrom ¨bergehende W¨ Q˙ = α δb (ϑm − ϑU ) = αδbϑ+ m (ϑR − ϑU ) berechnen, wobei b die Abmessung des Formsteins senkrecht zur Zeichenebene von Abb. 2.55a bedeutet. Man erh¨ alt ˙ (ϑR − ϑU ) = 0,828 W/K m . Q/b

2.5 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit der Finite-Element-Methode Wie wir sahen, ersetzt man bei den Differenzenverfahren die Differentialquotienten durch Differenzenquotienten und wandelt so die Differentialgleichung einschließlich ihrer Randbedingungen in ein System algebraischer Gleichungen um. Mit der Methode der finiten Elemente, abk¨ urzend oft als FEM bezeichnet, ersetzt man hingegen die Differentialgleichung mit den zugehörigen Randbedingungen durch eine ¨ aquivalente Variationsaufgabe, was im folgenden Abschnitt gezeigt wird. Man zerlegt dazu das L¨ osungsgebiet in Unterbereiche, die

2.5 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit der FEM-Methode

245

finiten Elemente, welche das L¨ osungsgebiet m¨ oglichst vollständig abdecken. Als Beispiel zeigt Abb. 2.56 die Zerlegung einer innen runden, außen rechteckigen Wand in Dreieckselemente. Manchmal werden anstelle der Dreiecke auch Vierecke verwendet. Ebenso ist es m¨ oglich, innerhalb eines Lösungsgebiets verschiedene Elementtypen zu verwenden, wenn dadurch die geometrische Gestalt besser angen¨ ahert werden kann. Geometrisch dreidimensionale Körper zerlegt man durch Tetraeder.

Abb. 2.56: Diskretisierung einer Wand mit finiten Elementen

Zur Lösung der Variationsaufgabe werden die Temperaturen in jedem Element approximiert, indem man zwischen den zunächst noch unbekannten Temperaturen der Knotenpunkte linear oder durch andere Funktionen, z.B. durch Splinefunktionen, so genannte Ansatzfunktionen, interpoliert. Diese Näherungen setzt man in die Formulierung der Variationsrechnung ein. Man erhält dann wie bei den Differenzenverfahren ein System algebraischer Gleichungen f¨ ur die noch unbekannten Temperaturen an den Knotenpunkten. Verzichtet man darauf, die zeitlichen Ableitungen in der Wärmeleitungsgleichung durch Ansatzfunktionen zu approximieren, so erhält man ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen anstelle der partiellen und als deren Lösung die zeitlich ver¨ anderlichen Temperaturen an den Knotenpunkten. Anders als mit Differenzenverfahren kann man durch das Verfahren der finiten Elemente K¨ orper von unregelm¨ aßiger Gestalt leicht nachbilden. Ein grobes Gitter gen¨ ugt in den Bereichen, in denen sich die geometrische Gestalt und die Temperaturen nur wenig ¨ andern; dort wo sie sich stark ändern, wird man ein feineres Gitter w¨ ahlen. Die Anwendung der Methode der finiten Elemente auf Probleme der Wärme¨ ubertragung wird u.a. in den B¨ uchern von R.W. Lewis [2.70], J.N. Reddy und D.K. Gartling [2.71] behandelt. Weitere Informationen findet man bei D. Marsal [2.72], sowie in Standardwerken u ¨ber finite Elemente, z.B. [2.73] und [2.74].

246


Bekannte kommerzielle Programme, mit denen man auch Probleme der W¨ armeund Stoff¨ ubertragung bearbeiten kann, sind: – Abaqus von ABAQUS, Inc., jetzt Dassault Systèmes, Frankreich – ADINA von ADINA Research and Development, Inc., U.S.A. – ANSYS von Swanson Analysis Systems Inc., U.S.A. – COMSOL Multiphysics GmbH – COSMOS von Structural Research and Analysis Corp., U.S.A. – FIDAP, Fluid Dynamic Analysis Package von Fluent, Lebanon, U.S.A. – FLUENT von Fluent, Lebanon, U.S.A. – MARC von Marc Analysis Research Corp., U.S.A. – NASTRAN, ein von der NASA entwickeltes Programm – SEPRAN, ein von der Technischen Universität Delft entwickeltes Programm.

2.5.1 Die Finite-Element-Methode fu are, ¨ r station¨ geometrisch eindimensionale Temperaturfelder Zur Einf¨ uhrung in die Finite-Element-Methode (FEM) behandeln wir zuerst die stationäre, geometrisch eindimensionale Wärmeleitung in Längsrichtung eines Stabes. An diesem einfachen Beispiel lassen sich die Grundz¨ uge des Verfahrens verständlich machen, und wir k¨ onnen die mit der Finite-ElementMethode gewonnenen Ergebnisse mit denen der analytischen Lösung vergleichen, die wir aus Abschnitt 2.2.2 bereits kennen. Gesucht ist der Temperaturverlauf in einem Stab konstanten Querschnitts wie in Abb. 2.7 skizziert. Es gilt die W¨ armeleitungsgleichung (2.51) oder d2 ϑ+ − m2 h ϑ+ = 0 , dx+2

(2.314)

in die wir die dimensionslose Temperatur nach (2.53) ϑ+ :=

ϑ − ϑU ϑ0 − ϑ U

eingef¨ uhrt und die dimensionslose L¨ ange mit x+ := x/h bezeichnet haben, wobei L = h die L¨ ange des Stabes ist. Der gesuchte Temperaturverlauf im Bereich 0 ≤ x+ ≤ 1 soll die Randbedingungen ϑ+ x+ = 0 = 1 und

∂ϑ+ (x+ = 1) =0 ∂x+

erf¨ ullen. Wie man in der Variationsrechnung zeigt, gen¨ ugt die gesuchte Lösung ϑ+ (x+ ) der Integralbedingung


1 I= 2

1

x+ =0

∂ϑ+ ∂x+

2

247

2 2 +2

+m h ϑ

dx+ = Minimum .

(2.315)

Statt die Differentialgleichung (2.314) unter den angegebenen Randbedingungen zu lösen, kann man daher auch diejenige Funktion ϑ+ (x+ ) suchen, welche das Integral zum Minimum macht. Um dies zu zeigen, betrachten wir die unbekannte exakte Lösung ϑ+ (x+ ) als eingebettet in eine Familie von Funktionen ϑˆ+ x+ , ε = ϑ+ x+ + ε η x+ . Die Größe ε ≥ 0 hat hierin f¨ ur jede Kurve einen konstanten, aber jeweils anderen Wert. Wie in Abb. 2.57 dargestellt, sollen die Funktionen ϑˆ+ (x+, ε) und ϑ+ (x+ ) an den R¨ andern x+ = 0 und x+ = 1 u ¨bereinstimmen. Es ist daher dort η (0) = η (1) = 0 und somit ϑˆ+ (0, ε) = ϑ+ (0) und ϑˆ+ (1, ε) = ϑ+ (1). Voraussetzungsgem¨ aß ist ϑˆ+ (x+, ε = 0) = ϑ+ (x+ ).

Abb. 2.57: Abweichung des Temperaturverlaufs ϑˆ+ x+, ε von dem Temperaturverlauf ϑ+ x+ der exakten L¨ osung

Da das Integral I (ϑ+ ) ein Minimum annehmen soll, gilt f¨ ur alle Werte ε + + I ϑˆ ≥ I ϑ und an jeder Stelle x+ I (ε) ≥ I (ε = 0) . Wie aus (2.315) folgt, nimmt I ϑˆ+ an der Stelle ε = 0 ein Minimum an. Damit gilt bei ε = 0

dI ϑˆ+ =0 . dε

248


Wir wenden dies auf (2.315) an und erhalten: 1 ˆ+ dI ϑˆ+ dϑˆ+ d 1 dϑˆ 2 2 ˆ+ dϑ h ϑ + 2 m 2 + dx+ = 0 . = dε 2 dx dε dx+ dε x+ =0

Darin ist f¨ ur ε = 0: dϑˆ+ dϑ+ = ; + dx dx+

d dε

dϑˆ dx+

=

dη ; dx+

ϑˆ+ = ϑ+

und

dϑˆ+ =η dε

und somit f¨ ur ε = 0: 1 + dI ϑˆ+ dϑ dη 2 2 + = + m h ϑ η dx+ = 0 . dε dx+ dx+ x+ =0

Wegen 1 x+ =0

dϑ+ dη = dx+ dx+

1 x+ =0

d dx+

dϑ+ η + dx

1 dx − +

x+ =0

η

d2 ϑ + + dx dx+2

kann man daf¨ ur auch schreiben 21

1 2 + dI ϑˆ+ dϑ+ 22 d ϑ 2 2 + dx+ = 0 . (2.316) = η + 2 − η −m h ϑ dε dx dx+2 x+ =0 x+ =0

Der erste Term verschwindet, wenn man gemäß Abb. 2.57 an den Rändern η (0) = η (1) = 0 vorgibt. Er w¨ urde auch verschwinden, wenn man nicht u ¨ber ugte und dort dϑ+/dx+ = 0 ist, also keine Wärme η (x+) an den Rändern verf¨ u allen gilt ¨bertragen wird. In beiden F¨

1 d2 ϑ+ dI ϑˆ+ 2 2 + = η x+ − m h ϑ dx+ = 0 . dε dx+2

(2.317)

x+ =0

ullen, wenn das Diese Gleichung ist f¨ ur beliebige Funktionen η (x+ ) nur zu erf¨ gesuchte Temperaturprofil gerade (2.314) gen¨ ugt unter den Randbedingungen konstanter Temperatur an den R¨ andern x+ = 0 und x+ = 1, oder wenn an einem Rand die Temperatur vorgegeben ist und am anderen keine Wärme u ¨bertragen wird. Um zu zeigen, wie man den Temperaturverlauf ϑ+ (x+ ) bestimmt, welcher das Integral (2.315) zu einem Minimum macht, behandeln wir beispielhaft die gerade Rippe mit rechteckigem Profil. F¨ ur deren Temperaturverlauf ist uns die analytische L¨ osung (2.72) bereits bekannt ist, so dass wir mit ihr die Genauigkeit der FEM-L¨ osung u ufen k¨ onnen. ¨berpr¨


249

Abb. 2.58: Ann¨ aherung des Temperaturprofils in einer Rippe durch Geraden

Den gesuchten Temperaturverlauf n¨ ahern wir nach Abb. 2.58 durch einen Polygonzug an, der aus geraden Teilst¨ ucken besteht. In jedem Intervall + + ≤ x ≤ x gilt dann x+ i−1 i + ϑ+ i −ϑi−1 + x −x+ . ϑ+ x+ = ϑ+(i) x+ ∼ = ϑ+ i−1 + i−1 + Δxi

Der Beitrag des Teilintervalls i zum Integral I beträgt daher I (i)

1 = 2

+⎧ xi ⎨

x+ i−1

+ ϑ+ i −ϑi−1

⎩

Δx+ i

2

+ m2 h2 ϑ+ i−1 +

+ ϑ+ i −ϑi−1

Δx+ i

x+ −x+ i−1

2 ⎫ ⎬

⎭

dx+ , (2.318)

der des Teilintervalls i + 1 ist dementsprechend

I (i+1)

1 = 2

⎧ x+ i+1

2

2 ⎫ ⎨ + + + ⎬ −ϑ ϑ ϑi+1 −ϑ+ i i+1 i + m2 h2 ϑ+ dx+ . x+ −x+ i + i + + ⎩ ⎭ Δxi Δxi+1

x+ i

(2.319) Die Summe aller Teilintegrale ergibt das Integral I=

n

+ + + + . I (k) = I ϑ+ 0 , ϑ1 , . . . , ϑi , ϑi+1 , . . . , ϑn

k=1

Notwendige Bedingung f¨ ur das Minimum sind die n + 1 Gleichungen ∂I = 0; ∂ϑ+ i Ausgeschrieben bedeutet dies:

i = 0, 1, 2, . . . , n .

(2.320)

250


∂I (1) ∂I (2) ∂I (i) ∂I (i+1) ∂I (n) ∂I = 0 ; i = 0, 1, 2, . . . , n . + = + + + +. . .+ + + + +. . .+ ∂ϑi ∂ϑi ∂ϑi ∂ϑi ∂ϑi ∂ϑ+ i Hierin verschwinden alle Terme, in denen ϑ+ i nicht vorkommt. Es verbleiben (i+1) somit nur die beiden Ausdr¨ ucke ∂I (i) / ∂ϑ+ / ∂ϑ+ i und ∂I i , und es gilt daher ∂I (i) ∂I (i+1) ∂I = + =0 . (2.321) ∂ϑ+ ∂ϑ+ ∂ϑ+ i i i Die Differentiation von I (i) und I (i+1) nach ϑ+ i liefert nach wenigen Umformungen, wenn wir ¨ aquidistante Schrittweiten Δx+ wählen + + ϑ+ i−1 + ϑi d + ϑi+1 = 0 ,

mit der Abk¨ urzung

+ ϑ+ n−1 + ϑn d/2 = 0

(2.322)

2 1 + 2 m2 h2 Δx+2 /6 . d= −1 + m2 h2 Δx+2 /6

ur die n unbekannten TemperatuVorgegeben war die Temperatur ϑ+ 0 = 1. F¨ + + ren ϑ+ , ϑ , . . . , ϑ hat man mit (2.322) n lineare Gleichungen. n 1 2 Als Zahlenbeispiel berechnen wir das Temperaturprofil einer rechteckigen Rippe. Die Schrittweite w¨ ahlen wir Δx+ = 0, 25. Zu ermitteln sind + + + somit vier unbekannte Temperaturen ϑ+ 1 (Δx = 0, 25), ϑ2 (2Δx = 0, 5), + + + + ϑ3 (3Δx = 0, 75) und ϑ4 (4Δx = 1). Aus (2.322) erhalten wir folgende Gleichungen: + 1 + ϑ+ 1 d + ϑ2 = 0 , + + ϑ+ 2 + ϑ3 d + ϑ4 = 0 ,

+ + ϑ+ 1 + ϑ2 d + ϑ3 = 0 + ϑ+ 3 + ϑ4 d/2 = 0 .

Auflösung der Gleichungen ergibt die Temperaturen: d 3 − d2 d2 − 2 + + , ϑ = ϑ1 = 2 2 − 4 d2 + d 4 2 − 4 d2 + d4 ϑ+ 3 =

−d , 2 − 4 d2 + d 4

ϑ+ 4 =

2 . 2 − 4 d2 + d4

In Tabelle 2.13 findet man Zahlenwerte f¨ ur Rippen mit mh = 1 und mh = 2 verglichen mit den Werten der analytischen Lösungen nach (2.72).

2.5.2 Die Finite-Element-Methode fu are ¨ r ebene station¨ Temperaturfelder Wie in Abschnitt 2.4.6.1 gezeigt wurde, werden ebene stationäre Tempe˙ (x, y) durch die Differentialgleiraturfelder ϑ (x, y) mit W¨ armequellen W chung (2.306)


251

Tabelle 2.13: Vergleich von Temperaturen in einer geraden rechteckigen Rippe berechnet mit der Finite-Element-Methode (FEM) mit den Werten der analytischen L¨ osung nach (2.72) ϑ+ 0 FEM Analyt. L¨ osung

ϑ+ 2

ϑ+ 3

ϑ+ 4

1

0,8384 0,7297 0,6672 0,6468

1

0,8390 0,7308 0,6684 0,6480

1

0,6215 0,4051 0,2943 0,2604

1

0,6253 0,4102 0,2997 0,2658

mh = 1

FEM Analyt. L¨ osung

ϑ+ 1

mh = 2

˙ ∂2ϑ ∂2ϑ W + 2 + =0 (2.323) 2 ∂x ∂y λ beschrieben. Als Randbedingungen sei endlicher Wärme¨ ubergang auf dem Rand Γ zugelassen Q˙ = αA (ϑ − ϑU ) , wobei der Wärme¨ ubergangskoeffizient l¨ angs des Randes Γ veränderlich sein kann. Statt die Differentialgleichung mit den zugehörigen Randbedingungen zu lösen, kann man das Temperaturfeld ϑ (x, y) bestimmen, welches das Integral ⎧ ⎫ 2 2 ⎬ ˙ α ∂ϑ W ∂ϑ 1⎨ 2 ϑ dx dy + (ϑ − ϑU ) ds + −2 I= ⎭ 2⎩ ∂x ∂y λ λ Ω

Γ

(2.324) zum Minimum macht. Mit ds ist hierin ein Linienelement auf dem Rand Γ bezeichnet, Ω ist der ebene Bereich, in dem das Temperaturfeld zu bestimmen ist. Der Beweis f¨ ur diese Behauptung ist ¨ ahnlich dem von Abschnitt 2.5.1; wir verzichten darauf, ihn hier darzustellen, und verweisen auf [2.71]. Wird nur auf einem Teilst¨ uck Γ1 des Randes Wärme durch Konvektion u uck Γ2 die Wärmestromdichte q˙ ¨bertragen, und ist auf einem anderen Teilst¨ vorgegeben, so treten in (2.324) an Stelle von α (ϑ − ϑU )2 ds λ Γ

die beiden Ausdr¨ ucke

Γ1

α 2 (ϑ − ϑU ) ds + λ

Γ2

q˙ ϑ ds . λ

252


Ist das Teilst¨ uck Γ2 des Randes adiabat oder sind dort die Temperaturen vorgegeben, so entf¨ allt der zweite Term. Ebenso entfällt der erste Term, wenn statt endlichem W¨ arme¨ ubergang auf dem Teilst¨ uck Γ1 die Temperaturen vorgegeben sind. Beispiel 2.10: Mit Hilfe der Finite-Element-Methode behandeln wir die station¨ are W¨ armeleitung in einer Wand der Dicke δ, die einen Raum mit quadratischem Grundriss nach Abb. 2.50 des Beispiels 2.8 umschließt. Die mit der FiniteElement-Methode berechneten Temperaturen und der W¨ armestrom, der aus der Wand abfließt, sollen mit den Ergebnissen des finiten Differenzenverfahrens des Beispiels 2.8 verglichen werden. Im Unterschied zu Beispiel 2.8 berechnen wir nun auch die Temperatur ϑ+ 0 an der strichpunktierten linken Symmetrielinie, Abb. 2.59.

Abb. 2.59: Wand eines Raumes mit quadratischem Grundriss wie in Abb. 2.50, hier mit FEM-Gitternetz

+ + + Die Temperaturen ϑ+ 1 , ϑ2 , ϑ3 und ϑ4 liegen an den gleichen Stellen wie in Abb. 2.50. Das Rechengebiet zwischen den beiden strichpunktierten Symmetrielinien enth¨ alt die Dreieck-Elemente 1, 2, . . . , 16. Jede der Temperaturen ϑ+ , j = 0, 1, . . . , 4 liegt auf der Ecke mehrerer Dreiecke gem¨ aß der Tabelle 2.14. j Gesucht ist das Minimum des Integrals (2.324). In diesem entf¨ allt nun die ˙ und das Integral u W¨ armequelle W arme durch ¨ber den Rand Γ , da dort keine W¨ Konvektion u ¨bertragen wird, sondern die Temperaturen gegeben sind. Mit den dimensionslosen Temperaturen ϑ+ = (ϑ − ϑa ) / (ϑi − ϑa ) und den dimensionslosen L¨ angen x+ = x / δ sowie y + = y / δ geht dann (2.324) u ¨ber in

I=

1 2

Ω+

∂ϑ+ ∂x+

2 +

∂ϑ+ ∂y +

2 dx+ dy + .

(2.325)


253

Tabelle 2.14: Den Temperaturen ϑ+ j , j = 0, 1, . . . , 4 nach Abb. 2.59 zugeordnete Dreiecke k = 1, 2, . . . , 16 ϑ+ j

ϑ+ j ist Eckpunkt der Dreiecke k

j= 0 1 2 3 4

k = 1, 1, 2, 3, 4,

13, 5, 6, 7, 12,

8 2, 3, 4, 16

14, 15, 16,

9, 10, 11,

13 14 15

Mit Ω + ist hierin das L¨ osungsgebiet in den dimensionslosen L¨ angen x+ und + y bezeichnet. F¨ ur jedes Dreieck-Element der Abb. 2.59 kann man ein solches Integral I (k) bilden, und es ist I=

16

I (k) .

(2.326)

k=1

otigt man Zur Berechnung der Integrale I (k) eines jeden Dreieck-Elements ben¨ die Ableitungen ∂ϑ+ / ∂x+ und ∂ϑ+ / ∂y + , die wir n¨ aherungsweise durch ihre Differenzenquotienten ersetzen. Diese sind in Tabelle 2.15 aufgef¨ uhrt.

Tabelle 2.15: Den Dreiecken k zugeordnete Ableitungen der Temperaturen

Dreiecke k

∼ ∂ϑ+ / ∂x+ =

∼ ∂ϑ+ / ∂y + =

+ ϑ+ k − ϑk−1

ϑ+ k−1 − 1

Δx+ k

Δyk+

5, 6, 7

0

ϑ+ k −1 Δyk+

8, 9, 10, 11, 12

0

k = 1, 2, 3, 4

13, 14, 15, 16

0 − ϑ+ k−8 Δyk+

+ ϑ+ k−12 − ϑk−13

0 − ϑ+ k−12

Δx+ k

Δyk+

Wie aus Tabelle 2.15 und auch aus Abb. 2.59 hervorgeht, kommt die Temperatur ϑ+ 0 nur als Knotenpunkt der Dreiecke 1, 13 und 8 vor. Daher ist ∂I (1) ∂I (13) ∂I (8) ∂I =0 . + = + + + + ∂ϑ0 ∂ϑ0 ∂ϑ0 ∂ϑ+ 0

254


Um die hierin vorkommenden Ableitungen zu bilden, ersetzen wir in (2.325) die Differentialquotienten durch die Differenzenquotienten der Tabelle 2.15 und erhalten 2 + 2 + ϑ0 − 1 ϑ1 − ϑ + 1 0 + dx+ dy + , I (1) = 2 Δx+ Δy1+ 1 + Ω1

I (13) =

I (8) =

1 2 1 2

+ Ω13

+ Ω8

+ ϑ+ 1 − ϑ0 + Δx13

ϑ+ 0 Δy8+

2 +

ϑ+ 1 + Δy13

2 dx+ dy + ,

2 dx+ dy + .

+ + + + + + Nach Abb. 2.59 ist Δx+ 1 = Δx13 = Δx /2 und Δy1 = Δy13 = Δy8 = Δx . Die Dreiecksfl¨ achen 1, 13 und 8 sind gleich groß. Wir erhalten daher

∂I ∂I (1) ∂I (13) ∂I (8) + = + + + + ∂ϑ0 ∂ϑ0 ∂ϑ0 ∂ϑ+ 0 =

+ ϑ+ ϑ+ − ϑ+ ϑ+ ϑ+ 1 − ϑ0 0 −1 0 0 + 1 2 (−1) + 2 + +2 + + Δx Δx+2 (Δx /2) (Δx /2)

Δx+2 4

=0 .

(2.327)

Daraus folgt + 10 ϑ+ 0 − 8 ϑ1 − 1 = 0

(2.328)

ϑ+ 1

Die Temperatur ist nach Tabelle 2.14 Knotenpunkt der Dreiecke 1, 5, 2, 14, 9 und 13. Es ist somit ∂I ∂I (1) ∂I (5) ∂I (2) ∂I (14) ∂I (9) ∂I (13) =0 . + = + + + + + + + + + + ∂ϑ1 ∂ϑ1 ∂ϑ1 ∂ϑ1 ∂ϑ1 ∂ϑ1 ∂ϑ+ 1 Eine entsprechende Rechnung wie zuvor f¨ uhrt auf + + −2 ϑ+ 0 + 10 ϑ1 − 2 ϑ2 − 3 = 0 .

Die Bildung von

∂I/∂3+ und

∂I/∂ϑ+ 2

(2.329)

= 0 liefert

+ + −2 ϑ+ 1 + 8 ϑ2 − 2 ϑ3 − 2 = 0 ,

(2.330)

+ + −2 ϑ+ 2 + 8 ϑ3 − 2 ϑ4 − 2 = 0

(2.331)

+ −2 ϑ+ 3 + ϑ4 = 0 .

(2.332)

= 0 f¨ uhrt auf

∂I/∂4+

= 0 ergibt

Als L¨ osung von (2.328) bis (2.332) findet man die Temperaturen ϑ+ 0 = 0, 4961

ϑ+ 1 = 0, 4951

ϑ+ 2 = 0, 4795

ϑ+ 3 = 0, 4227

ϑ+ 4 = 0, 2114 .

Sie unterscheiden sich nur wenig von den mit finiten Differenzen ermittelten Werten des Beispiels 2.8:

2.5 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit der FEM-Methode ϑ+ 1 = 0, 4930

ϑ+ 2 = 0, 4789

ϑ+ 3 = 0, 4225

255

ϑ+ 4 = 0, 2113 .

andert sich nur Auch der Formfaktor, in Beispiel 2.8 zu Sb = 12, 85 berechnet, ¨ wenig. Er wird jetzt Sb = 12, 87. Beispiel 2.11: Die Innenwand eines aus Schamottesteinen gemauerten Industrieofens ist st¨ uckweise schlecht verfugt, so dass die 500 ℃ heißen Gase in die Spalten zwischen den Steinen eindringen k¨ onnen. Um wie viel erh¨ ohen sich die dadurch entstehenden W¨ armeverluste?

Abb. 2.60: Wand eines Industrieofens mit offener Fuge. Grobes Gitter f¨ ur das FEM-Verfahren Dem Rechenverfahren werde das in Abb. 2.60 dargestellte Gitter zugrunde gelegt. Aus Symmetriegr¨ unden gen¨ ugt es, wie die Abbildung zeigt, nur die eine H¨ alfte der Wand zu betrachten. Deren Seitenl¨ ange ist δ = 1 m. Die W¨ armeleitf¨ ahigkeit der Schamottesteine ist λ = 10 W/Km. Auf der Außenseite des Ofens wird W¨ arme konvektiv an Luft der Umgebungstemperatur ϑU = 20 ℃ u ¨bertragen mit dem W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten α = 10 W/m2 K. Die Spaltbreite kann man als vernachl¨ assigbar gering im Vergleich zur Seitenl¨ ange δ ansehen. Es ist zweckm¨ aßig in (2.324), folgende dimensionslose Gr¨ oßen einzuf¨ uhren: ϑ+ = (ϑ − ϑU ) / (ϑi − ϑU ), ϑU = 20 ℃ ist die Umgebungstemperatur der Luft, ϑi = 500 ℃ die Temperatur der heißen Gase im Ofen. Weiter ist x+ = x/δ und + + y + = y/δ. Gesucht sind nach Abb. 2.60 die f¨ unf Temperaturen ϑ+ 5 , ϑ6 , . . ., ϑ9 , + + + = ϑ = ϑ = 1 und die Temperatur ϑ = 1 w¨ ahrend die Innentemperaturen ϑ+ 1 2 3 4 in der Fuge bekannt sind. F¨ ur die Elemente (Dreiecke) k = 1, 2, 3, 4, 6 und 8 gilt: + 2 + 2 ∂ϑ 1 ∂ϑ I +(k) = dx+ dy + . + 2 ∂x+ ∂y + + Ωk

256


¨ Uber die Elemente 5 und 7 wird W¨ arme an die umgebende Luft abgef¨ uhrt. F¨ ur sie ist + 2 + 2 1 ∂ϑ ∂ϑ + , k = 5, 7 . dx+ dy+ + Bi ϑ+2 I +(k) = y + =1 2 ∂x+ ∂y + + Ωk

Den Temperaturen ϑ+ i sind folgende Dreieckselemente zugeordnet: ϑ+ i

i =1

ϑ+ i

ist Eckpunkt der k =1,2 Dreiecke k

2

3

4

5

6

7

8

9

2,3,4

4

5,6,1

6,7,8,3,2,1

8,4,3

5

5,6,7

7,8

Es ist I +(1) =

1 2

I +(2) =

1 2

.. . I

+(5)

1 = 2

+ ϑ+ 5 −ϑ4 + Δx + ϑ+ 2 −ϑ5 + Δx

2 2

Δx+2 2 Δx+2 2

+ Δx 2 2

+ 2 + + ϑ+ ϑ8 −ϑ+ ϑ+ Δx+2 + + 4 −ϑ7 7 8 −ϑ7 + + x dx+ . ϑ + Bi 7 Δx+ Δx+ 2 Δx+

x+ =0

Daraus folgt nach Integration

2 + 2 + ϑ8 −ϑ+ ϑ+ 1 Δx+2 Δx+ +2 + + +2 4 −ϑ7 7 + +ϑ ϑ +ϑ ϑ +Bi I +(5) = 7 7 8 8 2 Δx+ Δx+ 2 3 .. . I

+(8)

1 = 2

2 + 2 + ϑ8 −ϑ+ ϑ+ Δx+2 6 −ϑ5 9 + . Δx+ Δx+ 2

Es ist Bi =

αδ 10 W/m2 K · 1m = = 10 λ 1 W/ Km

und Δx+ = 0, 5 . Zur Berechnung der unbekannten Temperatur ϑ+ 5 bildet man nun die Summe aller Integrale I +(k) , in denen ϑ+ vorkommt. Nach der vorigen Tabelle sind dies 5 die Integrale I +(6) , I +(7) , I +(8) , I +(3) , I +(2) , und I +(1) . Es ist ∂I +(6) ∂I +(7) ∂I +(8) ∂I +(3) ∂I +(2) ∂I +(1) ∂I + = + + + + + =0 . + + + + + + ∂ϑ5 ∂ϑ5 ∂ϑ5 ∂ϑ5 ∂ϑ5 ∂ϑ5 ∂ϑ+ 5 Man erh¨ alt ϑ+ 5 −

1 + 1 + 1 ϑ − ϑ8 = . 4 6 4 2

(2.333)


257

In entsprechender Weise bildet man: ∂I +(8) ∂I +(4) ∂I +(3) ∂I + =0 . + = + + + + ∂ϑ6 ∂ϑ6 ∂ϑ6 ∂ϑ+ 6 Daraus folgt: 1 + 1 ϑ = . 2 9 2 + + + +(5) /∂ϑ7 = 0 erh¨ alt man: Aus ∂I /∂ϑ7 = ∂I + ϑ+ 5 − 2 ϑ6 +

ϑ+ 7 −

(2.334)

1 + ϑ = 0, 1875 . 8 8

(2.335)

+(5) +(6) +(7) /∂ϑ+ /∂ϑ+ /∂ϑ+ Aus ∂I + /∂ϑ+ 8 = ∂I 8 + ∂I 8 + ∂I 8 = 0 ergibt sich

ϑ+ 5 −

1 + 16 + 1 + ϑ − ϑ − ϑ9 = 0 . 3 7 3 8 3

(2.336)

+(7) +(8) ∂I + /∂ϑ+ /∂ϑ+ /∂ϑ+ 9 = ∂I 9 + ∂I 9 = 0 liefert:

ϑ+ 6 −

2 + 16 + ϑ − ϑ =0 . 3 8 3 9

(2.337)

Die L¨ osung des linearen Gleichungssystems (2.333) bis (2.337) ergibt die Temperaturen: + + + + ϑ+ 5 = 0, 6817, ϑ6 = 0, 6163, ϑ7 = 0, 1737, ϑ8 = 0, 1106, ϑ9 = 0, 1017 .

Als Celsius-Temperaturen: ϑ5 = 347, 2 ℃, ϑ6 = 315, 8 ℃, ϑ7 = 103, 4 ℃, ϑ8 = 73, 09 ℃, ϑ9 = 68, 82 ℃ . Der an die Luft u armestrom ist ¨bertragene W¨

ϑ8 + ϑ9 ϑ 7 + ϑ8 δ ˙ . − ϑU + 2 − ϑU Q=α b 2 2 2 2 Daraus folgt: + + ˙ = α δ (ϑi − ϑU ) ϑ+ Q/b = 1192 W/m . 7 + 2 ϑ8 + ϑ9 2 Bei vollst¨ andig geschlossener Fuge w¨ are ein W¨ armestrom

−1 1 W ˙ = k 2 δ (ϑi − ϑU ) , k = δ + 1 = , Q/b λ δ 1, 1 m2 K

˙ = 872 W/m Q/b

u andiges Verfugen entsteht somit ein W¨ arme¨bertragen worden. Durch unvollst¨ verlust von ˙ ≈ (1192 − 872) W/m = 320 W/m Q/b V

Anmerkung: Da wir ein grobes Gitter gew¨ ahlt haben, um das Rechenverfahren u atte ¨bersichtlich zu gestalten, ist bei diesem Ergebnis Vorsicht angebracht. H¨ ˙ = 1192 W/m den man ein viel feineres Gitter gew¨ ahlt, so h¨ atte man statt Q/b ˙ = 1062 W/m erhalten. Der tats¨ Wert Q/b achliche W¨ armeverlust betr¨ agt somit ˙ (Q/b) achtlich. V = (1062 − 872) W/m = 190 W/m, ist aber immer noch betr¨

258


2.5.3 Die Finite-Element-Methode fu are, ¨ r instation¨ geometrisch eindimensionale W¨ armeleitprobleme Wir behandeln die Finite-Element-Methode zur Lösung instationärer Wärmeleitprobleme bei konstanten Stoffwerten. Zwar ist der Rechenaufwand meist größer als der mit den in Kapitel 2.4.1.1 er¨ orterten Differenzenverfahren. Daf¨ ur lassen sich im Unterschied zu diesen geometrisch komplexen Strukturen leichter untersuchen. Es sei wie in Kapitel 2.4.1.1 die Wärmeleitungsgleichung ∂ 2ϑ ∂ϑ =a 2 ∂t ∂x

(2.338)

ur Zeiten t ≥ 0 zu l¨ osen. Anfangs- und Randbedinim Bereich x0 ≤ x ≤ xn f¨ gungen seien die f¨ ur die Abk¨ uhlung einer ebenen Platte nach Abb. 2.27: t = 0 : ϑ (t, x) = ϑ0 x = 0 : ∂ϑ/∂x = 0 x = δ : −λ (∂ϑ/∂x) = α (ϑ − ϑU ) ,

(2.339)

wobei wir jetzt die halbe Plattendicke mit δ und die Koordinate r durch x ersetzt haben. Gesucht ist das Temperaturprofil ϑ (t, x), das (2.338) und den Randbedingungen (2.339) gen¨ ugt. Wie man mit Hilfe der Variationsrechnung nachweist, macht dieses Temperaturprofil das Integral ⎧ δ ⎫ 2 ⎬ ∂ϑ α 1 ∂ϑ2 1⎨ dx + (ϑ − ϑU )2x=δ + (2.340) I= ⎭ 2⎩ ∂x a ∂t λ x=0

zum Minimum. Statt (2.338) unter Beachtung der Randbedingung (2.339) zu lösen, kann man daher auch das Temperaturprofil ϑ (t, x) suchen, welches das Integral (2.340) zum Minimum macht. ¨ Andern sich die Randbedingungen, so gilt wieder – wie in Abschnitt 2.5.2 dargelegt – das Folgende: Wird an einem Rand konstante W¨ armestromdichte vorgegeben, so ist in (2.340) der Term α (ϑ − ϑU )2x=δ λ zu ersetzen durch q˙ ϑ . λ Beide Terme entfallen, falls an den R¨ andern konstante Temperatur vorge˙ (x) vorhanden, so kommt in der schrieben ist. Sind noch W¨ armequellen W eckigen Klammer unter dem Integral (2.340) noch der Term


259

˙ W ϑ λ hinzu. Beispiel 2.12: Um die Anwendung der Methode auf instation¨ are W¨ armeleitprobleme zu erl¨ autern, behandeln wir die Abk¨ uhlung einer Stahlplatte konstanter Anfangstemperatur ϑ0 , die zur Zeit t0 mit einem Fluid der Temperatur ϑU ≺ ϑ0 in Kontakt gebracht wird. Die Stoffwerte und der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient seien dieselben wie in Beispiel 2.6. Es sollen dann die dort mit dem Differenzenverfahren gewonnenen Ergebnisse mit denen der Finite-Element-Methode verglichen werden. Anders als beim Differenzenverfahren brauchen wir aber jetzt den linken Rand nicht an eine Stelle x0 = x1 − Δ x zu legen wie die Abb. 2.46 des Beispiels 2.6 zeigt, sondern k¨ onnen ihn nach Abb. 2.61 mit der gestrichelten Symmetrielinie zusammen fallen lassen, an der die Randbedingung ∂ϑ /∂x = 0 erf¨ ullt ist. Wir w¨ ahlen daher ein Gitter nach Abb. 2.61 mit der Maschenweite Δx/2 = 15 mm im ersten Abschnitt und Δx = 30 mm in den folgenden Abschnitten.

Abb. 2.61: Abk¨ uhlung einer Platte der Dicke 2δ. FEM-Gitternetz

In (2.340) f¨ uhren wir dimensionslose Gr¨ oßen ein: ϑ+ =

ϑ − ϑU ; ϑ0 − ϑ U

t+ =

at ; δ2

x+ =

x ; δ

I+ = I

δ und (ϑ0 − ϑU )2

Bi =

αδ . λ

Nach Einf¨ uhrung dieser Gr¨ oßen geht (2.340) u ¨ber in I

+

1 = 2

2 1 ∂ ϑ+2 ∂ϑ+ 1 1 + dx + dx+ + Bi ϑ+2 . x+ =1 ∂x+ 2 ∂t+ 2 x+ =0 45 6 3 45 6 +(α) +(β) I I

1

x+ =0

3

(2.341)

260


onnen wir die Ableitung nach der Zeit vor das Integral In dem Teilintegral I +(β) k¨ ziehen und schreiben I

1 = 2

+(β)

1 x+ =0

1 ∂ ϑ+2 1 d + dx = ϑ+2 dx+ . ∂t+ 2 dt+ x+ =0

¨ Der Ubergang vom partiellen Differential ∂/∂t+ zum totalen Differential d/dt+ 71 +2 + ist erlaubt, denn nach Integration h¨ angt das Integral ϑ dx nicht mehr x+ =0

von der Ortskoordinate x+ ab. Man kann daher (2.341) auch schreiben I+ =

1 2

1

x+ =0

∂ϑ+ ∂x+

2 dx+ +

1 d 2 dt+

1 ϑ+2 dx+ + x+ =0

1 . Bi ϑ+2 x+ =1 2

(2.342)

Wir spalten nun dieses Integral auf in die Beitr¨ age der einzelnen Abschnitte k = 1, 2, . . . , 5 gem¨ aß Abb. 2.61 I+ =

5

I +(k) .

k=1

F¨ ur den ersten Abschnitt nach Abb. 2.61 gilt, wenn wir das x-abh¨ angige Temperaturprofil linearisieren

I

+(1)

1 = 2

+ Δx /2

x+ =0

+ ϑ+ 1 − ϑ0 + Δx /2

2

1 d dx + 2 dx+

+ Δx /2

+

ϑ+ 0 + x+ =0

+ ϑ+ 1 − ϑ0 x+ + Δx /2

2 dx+

und nach Integration + + 1 ϑ1 − ϑ0 1 Δx+ + ˙ + +(1) + + ˙+ + ˙+ I = 2 ϑ0 ϑ0 + ϑ˙ + + . 0 ϑ1 + ϑ0 ϑ1 + 2 ϑ1 ϑ1 + 2 Δx /2 2 6 ¨ Mit dem Uberpunkt sind Ableitungen nach der Zeit bezeichnet. Differentiation nach der unbekannten Temperatur ϑ+ 0 ergibt + ϑ+ 1 Δx+ ˙ + ∂I +(1) 0 − ϑ1 2 ϑ0 + ϑ˙ + + . 1 + = + Δx /2 2 6 ∂ϑ0 Wie Abb. 2.61 zeigt, kommt ϑ+ 0 nur im ersten Abschnitt vor. Daher ist ∂I + ∂I +(1) =0 . + = ∂ϑ0 ∂ϑ+ 0 Wir erhalten

Δx+2 ˙ + 2 ϑ0 + ϑ˙ + =0 . (2.343) 1 6 F¨ ur die folgenden Abschnitte i = 2, 3 und 4 gilt analog, jetzt mit der Schrittweite Δx+ : + ϑ+ 0 − ϑ1 +


I

+(i)

1 = 2

Δx +

x+ =0

+ ϑ+ i − ϑi−1 + Δx

2

1 d dx + 2 dt+

Δx +

+

ϑ+ i−1 + x+ =0

+ ϑ+ i − ϑi−1 + x + Δx

261

dx+ .

Es ist

∂I +(1) ∂I +(2) ∂I + =0 . + = + + ∂ϑ1 ∂ϑ1 ∂ϑ+ 1 Daraus folgt nach einigen Zwischenrechnungen

2 3 + 1 + 1 Δx+ ˙+ ˙+ = 0 . ϑ1 − ϑ2 + ϑ˙ + −ϑ+ 0 + 0 + 6 ϑ1 + 2 ϑ2 2 2 6 2 Aus

(2.344)

∂I + ∂I +(2) ∂I +(3) =0 + = + + ∂ϑ2 ∂ϑ2 ∂ϑ+ 2

folgt

1 ˙+ ˙+ = 0 . Δx+2 ϑ˙ + 1 + 4 ϑ 2 + ϑ3 6 Entsprechend erh¨ alt man wegen + + −ϑ+ 1 + 2 ϑ2 − ϑ3 +

(2.345)

∂I + ∂I +(3) ∂I +(4) =0 + = + + ∂ϑ3 ∂ϑ3 ∂ϑ+ 3 + + −ϑ+ 2 + 2 ϑ3 − ϑ4 +

und aus

1 ˙+ ˙+ = 0 Δx+2 ϑ˙ + 2 + 4 ϑ3 + ϑ4 6

(2.346)

∂I +(4) ∂I +(5) ∂I + =0 + = + + ∂ϑ4 ∂ϑ4 ∂ϑ+ 4

1 ˙+ ˙+ = 0 . Δx+2 ϑ˙ + (2.347) 3 + 4 ϑ 4 + ϑ5 6 + Die Temperatur ϑ5 kommt nur im 5-ten Abschnitt vor. F¨ ur diesen folgt aus (2.342), wenn wir das Temperaturprofil linearisieren: + + −ϑ+ 3 + 2 ϑ4 − ϑ5 +

I

+(5)

1 = 2

Δx +

x+ =0

+

+ ϑ+ 5 − ϑ4 Δx+

2

1 d dx + 2 dt+

Δx +

+

ϑ+ 4 + x+ =0

+ ϑ+ 5 − ϑ4 Δx+ Δx+

2 dx+ +

1 Bi ϑ+2 x+ =1 . 2

Differentiation nach ϑ+ 5 liefert wegen ∂I +(5) ∂I + =0 + = ∂ϑ5 ∂ϑ+ 5 die Gleichung 1 + + ˙+ = 0 . ϑ5 + Δx+2 ϑ˙ + −ϑ+ 4 + 1 + Bi Δx 4 + 2 ϑ5 6

(2.348)

262


Mit (2.343) bis (2.348) stehen uns sechs gew¨ ohnliche Differentialgleichungen zur + + Bestimmung der sechs unbekannten Temperaturen ϑ+ 0 , ϑ1 , . . . , ϑ5 als Funktionen der Zeit zur Verf¨ ugung. Mit Hilfe der Laplace-Transformation entsteht aus dem System der gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen ein System linearer algebraischer Gleichungen. Deren osung liefert nach R¨ ucktransformation der L¨ Laplace-Transformierten L ϑ+ i , i = 0, 1, . . . , 5 die gesuchten Temperaturen + + ϑ+ 0 , ϑ1 , . . . , ϑ5 als Funktion der Zeit. Die nicht schwierige, aber aufw¨ andige Rechnung wird man mit Hilfe eines Rechenprogramms bew¨ altigen, zum Beispiel mit Mathematica oder MathCad. Es sei hier nur das Ergebnis mitgeteilt, das man f¨ ur eine Schrittweite Δx+ = 30 mm/135 mm = 6/27 und die Biot-Zahl 75 W/m2 K · 135 · 10−3 m αδ = = 0, 675 λ 15 W/Km + + + + erh¨ alt. An den diskreten Stellen x+ = 0, x+ 1 = Δx /2, xi+1 = Δx /2 +i Δx , i = 1, 2, 3, 4 ergeben sich Ausdr¨ ucke der Form Bi =

5 aj x+ ϑ+ t+ , x+ = exp −αj t+ i

(2.349)

j=0

deren Koeffizienten in der Tabelle 2.16 angegeben sind.

Tabelle 2.16: Koeffizienten von Gleichung (2.349))

α0

α1

α2

α3

α4

α5

0,5733 12,4277 49,3350 120,0466 222,2537 715,6565 aj aj x+ 0 aj x+ 1 aj x+ 2 aj x+ 3 + aj x4 aj x+ 5

j=0

j=1

j=2

j=3

j=4

j=5

1,0910

-0,1177

0,0400

-0,0197

0,0070

-0,0005

1,0872

-0,1089

0,0289

-0,0080

0,0004

0,0004

1,0616

-0,0572

-0,0177

0,0206

-0,0073

-0,00015

1,0061

0,0264

-0,0336

-0,0122

0,0132

0,00005

0,9223

0,0953

0,0086

-0,0086

-0,0176

-0,00002

0,8124

0,1111

0,0359

0,0206

0,0199

0,00001

In Tabelle 2.17 sind die mit der Finite-Element-Methode berechneten Temperaturen f¨ ur verschiedene Zeiten mit den Temperaturen nach dem Crank-NicolsonVerfahren (Tabelle 2.11) und mit den Werten der analytischen L¨ osung verglichen.


263

Tabelle 2.17: Vergleich von Temperaturen berechnet mit der Finite-Element-Methode (erste Zeile), mit denen des Beispiels 2.7 nach dem Verfahren von Crank-Nicolson (zweite Zeile) und den Werten der analytischen L¨ osung (dritte Zeile).

t/s

ϑ+ 0

ϑ+ 1

ϑ+ 2

ϑ+ 3

ϑ+ 4

ϑ+ 5

240

1,0000 1,0000 0,9995 0,9894 0,9489 0,8531 0,9990 0,9990 0,9969 0,9885 0,9573 0,8406 0,9998 0,9997 0,9976 0,9861 0,9459 0,8510

960

0,9641 0,9614 0,9430 0,9007 0,8317 0,7350 0,9636 0,9636 0,9437 0,9013 0,8322 0,7356 0,9654 0,9629 0,9427 0,8998 0,8309 0,7343

9600

0,3516 0,3503 0,3421 0,3242 0,2972 0,2618 0,3683 0,3683 0,3584 0,3387 0,3099 0,2727 0,3696 0,3684 0,3584 0,3389 0,3101 0,2730

2.5.4 Erweiterung auf instation¨ are, geometrisch zweidimensionale W¨ armeleitprobleme Bei instationärer, geometrisch zweidimensionaler Wärmeleitung tritt in der eckigen Klammer unter dem Integralzeichen in (2.340) noch der Term (∂ϑ/∂y)2 ˙ (x, y) vorhanden, so ist (2.340) noch um −W ˙ /λ ϑ hinzu. Sind Wärmequellen W zu erweitern. Zu integrieren ist jetzt u ¨ber die geometrisch zweidimensionale Fläche Ω mit dΩ = dx dy. Die Umrandung der Fläche sei Γ , ein Linienelement ¨ des Randes sei ds. Uber den Rand fließt ein Wärmestrom Q˙ = α (ϑ − ϑU ) b ds . Γ

Gesucht ist nun das Temperaturprofil ϑ (t, x, y), welches das Integral 2 2 ˙ α ∂ϑ 1 W 1 ∂ ϑ2 ∂ϑ 2 I= − ϑ dx dy + (ϑ − ϑU ) ds + + 2 ∂x ∂y a δt λ λ Ω

Γ

(2.350) zum Minimum macht. Auf den Beweis k¨ onnen wir verzichten, denn er verläuft nach dem gleichen Schema wie im vorigen Kapitel. Wird nur auf einem Teilst¨ uck Γ1 des Randes Wärme durch Konvektion u uck Γ2 die Wärmestromdichte q˙ ¨bertragen, und ist auf einem anderen Teilst¨ vorgegeben, so gelten wieder die Ausf¨ uhrungen am Ende von Kapitel 2.5.3. Das Lösungsgebiet zerlegt man in Dreiecks- oder Viereckselemente. Das Rechenverfahren gleicht dem des vorigen Kapitels.

264


2.6 Diffusion Grundlage der L¨ osung von Diffusionsproblemen, die u ¨ber den einfachen Fall der stationären und geometrisch eindimensionalen Diffusion, Abschnitte 1.4.1 und 1.4.2, hinausgehen, ist die Differentialgleichung f¨ ur das Konzentrationsfeld in einem ruhenden Medium. Sie wird Diffusionsgleichung genannt. Da Diffusion Teilchenbewegung bedeutet, darf ein ruhendes Medium nur in Sonderfällen vorausgesetzt werden, die im Folgenden zuerst besprochen werden ¨ sollen. Ahnlich dem Vorgehen bei der W¨ armeleitung, Abschnitt 2.1, behandeln wir dann die Herleitung der Diffusionsgleichung in allgemeiner Weise, wobei wir konzentrationsabh¨ angige Stoffwerte und chemische Reaktionen ber¨ ucksichtigen. Dabei zeigt sich, dass eine große Zahl von Diffusionsproblemen durch Differentialgleichungen und Randbedingungen gleicher Art wie die von W¨ armeleitproblemen beschrieben werden. Wir brauchen somit viele Diffusionsprobleme nicht neu zu l¨ osen, sondern k¨ onnen Lösungen aus der Wärmeleitung auf das analoge Diffusionsproblem u ¨bertragen. Dadurch lässt sich die L¨ osung von Diffusionsproblemen recht kurz darstellen. Etwas ausf¨ uhrlicher behandeln wir abschließend die station¨ are und die instationäre Diffusion mit chemischer Reaktion.

2.6.1 Bemerkungen u ¨ ber ruhende Systeme Die folgenden Betrachtungen zeigen, dass man es bei Diffusionsvorgängen im Gegensatz zur W¨ armeleitung nur selten mit ruhenden Systemen zu tun hat. Die Diffusion in ruhenden Systemen ist daher von geringerer Bedeutung f¨ ur die technische Praxis als die W¨ armeleitung. Unter Diffusion verstanden wir einen Stofftransport aufgrund der nat¨ urlichen Bewegung der Molek¨ ule von einem Bereich eines Systems in einen anderen. Entsprechend kann man Wärmeleitung als Energietransport aufgrund der statistischen Bewegung von Elementarteilchen infolge einer ungleichf¨ ormigen Temperaturverteilung beschreiben. Insofern besteht eine enge Verwandtschaft zwischen Diffusion und Wärmeleitung. Im Gegensatz zur W¨ armeleitung k¨ onnen bei der Diffusion die mittleren Geschwindigkeiten der Teilchen der einzelnen Stoffe eines Volumenelements voneinander verschieden sein, so dass eine Relativbewegung der einzelnen Teilchenarten zueinander makroskopisch wahrnehmbar ist. Dies hat im Allgemeinen auch eine makroskopische Bewegung sämtlicher Teilchen eines Volu¨ menelements und somit eine Konvektion zur Folge. Wie diese Uberlegungen zeigen, darf man bei der Diffusion, anders als bei der Wärmeleitung, nicht ohne weiteres ruhende Systeme annehmen. Diese wird man nur unter bestimmten Bedingungen antreffen, die wir zun¨ achst diskutieren. Wir beschränken dabei unsere Betrachtungen auf solche Systeme, bei denen die Bezugsgeschwindigkeit zur Bestimmung der Diffusionsstromdichte, vgl. (1.153), verschwindet. Als Bezugsgeschwindigkeiten hatten wir die Schwerpunktsgeschwindigkeit nach (1.154),

2.6 Diffusion

w =

K w K ,

265

(2.351)

K

und die mittlere molare Geschwindigkeit u nach (1.157) gewählt, die wir nun in folgender Form schreiben: cK wK . (2.352) cu = K

Verschwindende Schwerpunktsgeschwindigkeit w = 0 an jedem Ort hat K w K = 0 (2.353) K

u ¨berall im betrachteten System zur Folge. Die einem Volumenelement zugef¨ uhrten Massenstr¨ ome m¨ ussen genau so groß wie die abgef¨ uhrten sein, damit (2.353) erf¨ ullt ist. Die Masse im Volumenelement bleibt daher unverändert; die Dichte des an einem festen Ort befindlichen Volumenelements ist konstant. Sie kann jedoch f¨ ur ein Volumenelement an einem anderen Ort x verschieden sein. Es darf also ∂/∂x = 0 sein, aber es ist ∂/∂t = 0. Verschwindende Schwerpunktsgeschwindigkeit w = 0 hat demnach lediglich ∂/∂t = 0, nicht aber ∂/∂x = 0 zur Folge. Das hier betrachtete Modell ist das eines inkompressiblen Körpers, denn dieser ist dadurch definiert, dass sich die Dichte eines materiellen Volumenelements im Laufe seiner Bewegung nicht ¨ andert; f¨ ur ihn ist = (x, t) = const und daher d/dt = 0, was in unserem Fall erf¨ ullt ist, da wegen w = 0 und ∂/∂t = 0 ∂ ∂ d = +w =0 dt ∂t ∂x ist. Als Beispiel betrachten wir einen por¨ osen K¨ orper, in den Wasserstoff hineindiffundiert. Ein Volumenelement des por¨ osen K¨ orpers besitzt eine bestimmte Masse und hat somit eine bestimmte Dichte, z.B. = 7,8 · 103 kg/m3 . Ein Volumenelement von 1 mm3 hat demnach eine Masse von 7,8 · 10−3 g. Wir nehmen an, dieses Volumenelement belade sich bei Umgebungstemperatur 298 K mit Wasserstoff vom Partialdruck p = 1 hPa. Aus der Zustandsgleichung idealer Gase errechnet man dann eine Wasserstoffaufnahme in dem Volumenelement von MH2 =

pH2 V 102 Pa · 10−9 m3 = RH2 T 4,1245 (J/gK) · 298 K MH2 = 8,136 · 10−11 g .

Die Masse des Volumenelements wird durch die Zufuhr des Wasserstoffs vernachl¨ assigbar wenig ge¨ andert. Der Massenmittelpunkt beh¨ alt seine Lage im Raum bei; es ist in sehr guter N¨ aherung dx/dt = w = 0. Zu ¨ ahnlichen Ergebnissen kommt man auch, wenn man die Diffusion in stark verd¨ unnten L¨ osungen betrachtet, also beispielsweise die Aufnahme eines Gases in eine Fl¨ ussigkeit. Die Dichte der Fl¨ ussigkeit ist fernab vom kritischen Gebiet viel

266


gr¨ oßer als die des Gases und die aufgenommene Gasmasse außerordentlich gering, so dass sich die Masse eines Volumenelements durch Gasaufnahme praktisch nicht andert. In guter N¨ aherung ist wieder dx/dt = w = 0. ¨

Verschwindende Schwerpunktsgeschwindigkeit und damit ein in Bezug auf die Schwerpunktsgeschwindigkeit ruhendes Medium d¨ urfen wir somit bei der Diffusion von Gasen in Festk¨ orpern oder der Diffusion in stark verd¨ unnten Lösungen voraussetzen. Wir betrachten nun ein System, bei dem die mittlere molare Geschwindigkeit u nach (2.352) verschwindet. Dann wird cK w K = 0 . (2.354) K

Die Summe aller einem Volumenelement zugef¨ uhrten Stoffmengenströme ist genau so groß wie die Summe aller abgef¨ uhrten Stoffmengenströme. Die Diffusion ist äquimolar. Die Stoffmenge N im Volumenelement bleibt unverändert; es ist also die molare Dichte lim N/V = c an einem festen Ort konstant. Sie V →0

kann sich mit dem Ort x ¨ andern, aber es ist ∂c/∂t = 0.

Abb. 2.62: Zur ¨ aquimolaren Diffusion zweier Gase, a Massenmittelpunkt vor, b nach der Mischung ˜ =4 Als Beispiel betrachten wir einen Beh¨ alter, Abb. 2.62, mit 0,5 mol He (M ˜ = 40 kg/kmol) in der rechten H¨ kg/kmol) in der linken und 0,5 mol Ar (M alfte bei p = 0,1 MPa und T = 298 K. Nach Entfernen der Trennwand diffundieren die Gase ineinander. Dabei bleiben Druck und Temperatur konstant. F¨ ur jedes Volumenelement gilt die Zustandsgleichung idealer Gase, p N = = c = const . Rm T V Es ist daher

∂c =0 , ∂t was nur m¨ oglich ist, wenn in jedem Volumenelement die zustr¨ omende Stoffmenge des einen Stoffs genau so groß wie die abstr¨ omende des anderen ist: (cw)He = −(cw)Ar . Die mittlere molare Geschwindigkeit nach (2.352) ist u = 0. Da Druck, Temperatur und Stoffmengen beider Gase vor der Mischung gleich waren, nahmen beide Gase auch das gleiche Volumen ein. Der Massenmittelpunkt lag vor der Mischung auf der Seite des schwereren Argons, Punkt a in Abb. 2.62. Nach der Mischung bildet

2.6 Diffusion

267

sich eine homogene Verteilung, der Massenmittelpunkt ist in die Mitte des Gef¨ aßes gewandert, Punkt b in Abb. 2.62, und die Schwerpunktsgeschwindigkeit somit von null verschieden. Im betrachteten Beispiel ist die mittlere molare Geschwindigkeit u = 0, hingegen die Schwerpunktsgeschwindigkeit w = 0.

Verschwindende mittlere molare Geschwindigkeit und damit ein in Bezug auf die mittlere molare Geschwindigkeit ruhendes System d¨ urfen wir, wie das Beispiel zeigt, somit bei der Diffusion idealer Gase bei konstantem Druck und konstanter Temperatur voraussetzen.

2.6.2 Die Herleitung der Differentialgleichung fu ¨ r das Konzentrationsfeld Ein Diffusionsproblem zu l¨ osen bedeutet, die Zusammensetzung eines Körpers in ihrer räumlichen und zeitlichen Abh¨ angigkeit zu bestimmen. Kennzeichnet man die Zusammensetzung durch Massenanteile und will man den Massenanteil ξA = MA /M eines Stoffes A ermitteln, so ist ξA = ξA (x, t) gesucht. Daraus kann man mit Hilfe des Fickschen Gesetzes die Diffusionsstromdichte ermitteln. Diese ist f¨ ur ein Zweistoffgemisch aus den Komponenten A und B, (1.161): (2.355) j ∗A = − D grad ξA und f¨ ur ein Vielstoffgemisch, (1.162): j ∗A =

N ˜ AM ˜K M DAK grad x ˜K ˜2 M

(2.356)

K=1 K=A

˜ ξA /M ˜ A nach (1.151) und der mittleren Molmasse mit dem Molanteil x Ã = M ˜ M nach (1.154). osung einer partiellen DifferentialMan erhält den Massenanteil ξA als L¨ gleichung, die aus einer Massenbilanz hervorgeht. Um diese herzuleiten, betrachten wir einen zusammenh¨ angenden Bereich beliebiger Größe, den wir aus einem Körper herausgeschnitten denken, in dem Diffusion stattfindet, Abb. 2.63a. Das Volumen des Bereichs sei V , und seine Oberfläche sei A. Einem Oberflächenelement dA, dessen Normale n nach Abb. 2.63a nach außen gerichtet ist, wird ein Massenstrom dM˙ A = −A wA n dA

(2.357)

zugef¨ uhrt. Das Minuszeichen wurde gesetzt, weil ein Stoffstrom positiv gerechnet wird, wenn er in den Bereich einstr¨ omt. Der Geschwindigkeitsvektor wA des Stoffes A weist dann in das Innere des Bereiches, während der Normalenvektor n nach außen weist, so dass das Skalarprodukt negativ wird. Die Diffusionsstromdichte ist nach (1.155) definiert durch:

268


Abb. 2.63: Zufuhr von Stoff A durch Diffusion und Erzeugung durch chemische Reaktion im Volumen V . a zur Massenbilanz, b zur Stoffbilanz

j ∗A = A (wA − w) . Wir behandeln nun ein in Bezug auf die Schwerpunktsgeschwindigkeit ruhendes Medium, w = 0, so dass f¨ ur die Diffusionsstromdichte j ∗A = A wA

(2.358)

gilt. Aus (2.357) und (2.358) folgt dM˙ A = −j ∗A n dA . Durch Integration erh¨ alt man den insgesamt zugef¨ uhrten Massenstrom der Komponente A M˙ A = −

j ∗A n dA = −

(A)

div j ∗A dV .

(2.359)

(V )

Dabei wurde das u ache des Bereiches zu erstreckende Integral ¨ber die Oberfl¨ nach dem Gaußschen Integralsatz in das Volumenintegral der Divergenz j ∗A umgewandelt. Gleichzeitig soll noch im Inneren des Bereiches eine gewisse Menge des Stoffes A durch chemische Reaktionen erzeugt oder verbraucht werden. Die Produktionsrate in einem Volumenelement bezeichnen wir mit Γ˙A (SI-Einheit kg/m3 s). Sie sei positiv, wenn Stoff A erzeugt und negativ, wenn er verbraucht wird. Von dem Stoff A wird daher im Inneren des Bereiches der Massenstrom Γ˙A dV

(2.360)

(V )

erzeugt. Der u ache dem Bereich durch Diffusion zugef¨ uhrte und ¨ber die Oberfl¨ der im Inneren durch chemische Reaktion erzeugte Massenstrom bewirken eine zeitliche Zunahme der im Inneren des Bereiches gespeicherten Masse um

2.6 Diffusion

d dt

A dV =

(V )

∂A dV . ∂t

269

(2.361)

(V )

Die Massenbilanz f¨ ur den Stoff A lautet daher unter Beachtung von (2.359) und (2.360):

∂A dV = − ∂t

(V )

div j ∗A

Γ˙A dV .

dV +

(V )

(V )

Da man den Bilanzbereich beliebig klein w¨ ahlen kann, gilt ∂A = − div j ∗A + Γ˙A . ∂t

(2.362)

Eine solche Massenbilanz gilt f¨ ur jede Komponente des Gemisches. Es gibt daher genau so viele Massenbilanzen wie Stoffe. Addition u ¨ber alle Komponenten f¨ uhrt zu N N N ∂K = − div j ∗K + Γ˙K . ∂t

K=1

Hierin ist

N '

K=1

(2.363)

K=1

K = die Dichte der aus N Stoffen bestehenden Gemisches.

K=1

F¨ ur die Summe aller Diffusionsstromdichten gilt noch (1.156), also

N ' K=1

j ∗K =

0. Da im Inneren des Bereiches durch chemische Reaktion nur soviel Masse je Zeiteinheit von bestimmten Stoffen erzeugt werden kann wie von anderen verschwindet, muss N Γ˙K = 0 K=1

sein. Die Summation u uhrt daher zu ¨ber alle Stoffe nach (2.363) f¨ ∂ =0 . ∂t Die Dichte an einem vorgegebenen Ort ¨ andert sich nicht mit der Zeit. Dies ist dadurch bedingt, dass wir ein ruhendes Medium mit w = 0 voraussetzten. Es ist aber die Dichte nur an einem festen Ort konstant. Sie kann sich wegen der unterschiedlichen Zusammensetzung noch örtlich ändern, = (x). Da die Dichte nicht von der Zeit abh¨ angt, darf man (2.362) wegen A = ξA auch als ∂ξA = − div j ∗A + Γ˙A (2.364) ∂t

270


schreiben. Nach Einsetzen des Fickschen Gesetzes (2.355) erhält man

∂ξA = div( D grad ξA ) + Γ˙A ∂t

(2.365)

als die gesuchte Differentialgleichung f¨ ur den Massenanteil ξA (x, t) in einem bez¨ uglich der Schwerpunktsgeschwindigkeit ruhenden, isotropen Zweistoffgemisch aus den Stoffen A und B. Eine entsprechende Gleichung gilt auch f¨ ur den Stoff B. Man braucht sie jedoch nicht zu lösen, wenn man den Massenanteil ξA ermittelt hat, denn in einem Zweistoffgemisch ist ξB = 1 − ξA . Durch Einsetzen des Fickschen Gesetzes nach (2.356) in (2.364) erhält man die (2.365) entsprechende Gleichung f¨ ur ein Gemisch aus N Komponenten:

N ˜ AM ˜K ∂ξA M = − div( DAK grad x ˜K ) + Γ˙A . ˜2 ∂t M K=1

(2.366)

K=A

Da wir das Stoffmodell eines bez¨ uglich der Schwerpunktsgeschwindigkeit ruhenden Körpers voraussetzten, w = 0 und daher ∂/∂t = 0, hängen die Größen D und Γ˙A in (2.365) von der Dichte (x), der Temperatur ϑ und angen diese Größen nicht nur vom der Zusammensetzung ξA ab. In (2.366) h¨ Massenanteil ξA der Komponente A, sondern auch von den Massenanteilen der Massenu angt auch grad x Ã vom Gradienten der ¨brigen Stoffe ab. Außerdem h¨ ˜ ξA /M ˜ A mit 1/M ˜ = ' ξK /M ˜K anteile der u Ã = M ¨brigen Stoffe ab, was aus x K

folgt. Die Diffusionsgleichungen (2.365) und (2.366) sind daher im Allgemeinen nicht linear. In der allgemeinen Gleichung (2.366) ist (2.365) als Sonderfall mit N = 2 enthalten, was man leicht nachpr¨ uft. Wir setzen nun ein in Bezug auf die mittlere molare Geschwindigkeit u ruhendes System von konstanter Temperatur und konstantem Druck voraus und leiten hierf¨ ur die Diffusionsgleichung ab. Der einem Oberflächenelement dA zugef¨ uhrte Stoffmengenstrom der Komponente A nach Abb. 2.63b ist dN˙ A = −cA w A n dA .

(2.367)

Das Minuszeichen r¨ uhrt wieder daher, dass der Normalenvektor n der Fläche dA nach außen weist, der zugef¨ uhrte Stoffstrom positiv gerechnet wird. Die Diffusionsstromdichte ist definiert durch (1.158) ujA

= cA (wA − u)

und gleich der Stoffmengenstromdichte ujA

= cA w A ,

(2.368)

da wir verschwindende mittlere molare Geschwindigkeit u voraussetzten. Der u ache zugef¨ uhrte Stoffmengenstrom ist somit ¨ber die gesamte Oberfl¨

2.6 Diffusion

N˙ A = −

cA w A n dA = −

(A)

271

ujA

n dA = −

(A)

div u j A dV .

(2.369)

(V )

Die im Inneren des Bereiches durch chemische Reaktion erzeugte Stoffmenge des Stoffes A kennzeichnen wir durch die molare Produktionsdichte γ˙ A (SIEinheit mol/m3 s). Sie ist γ˙ A dV .

(2.370)

(V )

Durch Diffusion zugef¨ uhrter und im Inneren durch chemische Reaktion erzeugter Stoffmengenstrom bewirken eine zeitliche Zunahme der im Inneren des Bereichs gespeicherten Stoffmenge um d dt

∂cA dV . ∂t

cA dV =

(V )

(2.371)

(V )

Die Stoffmengenbilanz f¨ ur den Stoff A lautet daher

∂cA dV = − ∂t

(V )

div u j A dV +

(V )

γ˙ A dV . (V )

Da man das Bilanzgebiet beliebig klein w¨ ahlen kann, gilt ∂cA = − div u j A + γ˙ A . ∂t

(2.372)

Da eine solche Bilanz f¨ ur alle an der Diffusion beteiligten Stoffe gilt, kann man u alt ¨ber alle Stoffe addieren. Man erh¨ N N ∂cK = − div ∂t

K=1

Hierin ist

N '

ujK

K=1

+

N

γ˙ K .

(2.373)

K=1

cK = c die molare Dichte des aus N Stoffen bestehenden Gemi-

K=1

sches. Weiter ist

N '

uj K

= 0, vgl. Abschnitt 1.4.1, Seite 77, womit (2.373)

K=1

u ur die Summe aller Komponenten g¨ ultige Gleichung ¨bergeht in die f¨ N ∂c = γ˙ K . ∂t K=1

(2.374)

272


Da die Summe der Stoffmengen bei einer chemischen Reaktion im Allgemeinen nicht erhalten bleibt, verschwindet die rechte Seite von (2.374) nicht, es sei denn, es w¨ urden genau so viele Mole erzeugt wie verschwinden. Durch Einsetzen des Fickschen Gesetzes (1.160), worin wir DAB durch D ersetzen, erhält man aus (2.372) ∂cA = div(c D grad x Ã ) + γ˙ A ∂t

(2.375)

als die Differentialgleichung f¨ ur die molare Konzentration cA (x, t) in einem bez¨ uglich der mittleren molaren Geschwindigkeit u ruhenden Zweistoffgemisch aus den Stoffen A und B. Eine entsprechende Gleichung gilt auch f¨ ur den Stoff B. Stattdessen kann man auch (2.375) l¨ osen und daraus cB bestimmen, denn es ist cB = c − cA . F¨ ur ein Vielstoffgemisch idealer Gase mit konstanter Temperatur und konstantem Druck lautet das Ficksche Gesetz im Teilchenbezugssystem [2.75] ujA

=

N

DAK grad cK .

(2.376)

K=1 K=A

Nach Einsetzen in (2.372) erh¨ alt man die f¨ ur Vielstoffgemische idealer Gase bei konstanter Temperatur und konstantem Druck g¨ ultige Diffusionsgleichung ∂cA = − div( DAK grad cK ) + γ˙ A . ∂t N

(2.377)

K=1 K=A

ur die moIn (2.375) gilt f¨ ur den Diffusionskoeffizienten D = D(p, ϑ, x Ã ) und f¨ lare Produktionsdichte γ˙ A = γ˙ A (p, ϑ, x Ã ) mit x Ã = cA /c. In (2.377) hängen diese Größen nicht nur vom Stoffmengenanteil x Ã , sondern auch von den Stoffmengenanteilen der anderen Stoffe ab.

2.6.3 Vereinfachungen Im Folgenden behandeln wir nur noch Zweistoffgemische, da die Diffusionskoeffizienten DAK von Gemischen mit mehr als zwei Komponenten meistens unbekannt und daher die Diffusion in diesen Gemischen nicht zahlenmäßig berechnet werden kann. Die f¨ ur Zweistoffgemische g¨ ultigen Diffusionsgleichungen (2.365) und (2.375) lassen sich oft noch erheblich vereinfachen. Wir hatten bereits festgestellt, dass sich bei der Diffusion eines Gases A in einen Feststoff oder eine Fl¨ ussigkeit B die Dichte eines Volumenelements praktisch nicht ändert, ∂/∂t = 0, weil die Masse des aufgenommenen Gases gering ist im Vergleich zur Masse des Volumenelements. War der Stoff B anfänglich homogen, = (x) = const, so wird durch den Diffusionsvorgang die Dichte auch lokal kaum ge¨ andert; die Dichte ist somit in guter Näherung

2.6 Diffusion

273

unabhängig von Ort und Zeit konstant. Messungen [2.76] haben weiter gezeigt, dass der Diffusionskoeffizient in verd¨ unnten fl¨ ussigen Lösungen bei konstanter Temperatur ann¨ ahernd konstant gesetzt werden darf. Ebenso ist der Diffusionskoeffizient bei der Diffusion eines Gases in einen homogenen, porösen Feststoff konstanter Temperatur ann¨ ahernd konstant, da sich die Konzentration nur in engen Grenzen ¨ andert. In solchen F¨ allen, in denen man = const und DAB = D = const setzen darf, vereinfacht sich (2.365) zu ∂ξA = D∇2 ξA + Γ˙A / ∂t

(2.378)

mit Γ˙A = Γ˙A (ϑ, ξA ). Auch die f¨ ur verschwindende mittlere molare Geschwindigkeit u = 0 g¨ ultige Gleichung (2.375) l¨ asst sich noch vereinfachen, wenn wir sie auf binäre Gemische idealer Gase anwenden. Die Diffusionskoeffizienten binärer Gasgemische sind bei niedrigen Dr¨ ucken — im Allgemeinen bis zum Druck von 10 bar — in guter N¨ aherung unabh¨ angig von der Zusammensetzung. Sie nehmen mit der Temperatur zu und sind umgekehrt proportional dem Druck. F¨ ur isobar-isotherme Gemische sind die Diffusionskoeffizienten konstant. F¨ ur sie geht (2.375) u ur c = const g¨ ultige Gleichung ¨ber in die f¨ ∂cA = D∇2 cA + γ˙ A ∂t

(2.379)

Ã ). mit γ˙ A = γ˙ A (ϑ, x Die Gleichungen (2.378) und (2.379) sind einander äquivalent, denn setzt ˜ A , so folgt man in (2.379) cA = A /M ∂A Ã . = D∇2 A + γ˙ A M ∂t Andererseits kann man (2.378) wegen = const auch schreiben ∂A = D∇2 A + Γ˙A . ∂t ˜ A = Γ˙A , womit gezeigt ist, dass beide Gleichungen Definitionsgemäß ist γ˙ A M ur den Fall, dass keine chemischen Reaktionen äquivalent sind. Gl. (2.379) ist f¨ vorkommen, γ˙ A = 0, zuerst von A. Fick 1855 [2.76] gefunden worden, und man bezeichnet daher ∂cA (2.380) = D∇2 cA ∂t als zweites Ficksches Gesetz.

2.6.4 Randbedingungen Die Gleichungen (2.379) bzw. (2.378) sind von gleicher Art wie die Wärmeleitungsgleichung (2.11). Es gelten folgende Entsprechungen:

274


cA =ϑ 8

,

˙ /c . D=a 8 und γ˙ A = 8W

Aus diesem Grund lassen sich viele L¨ osungen der Wärmeleitungsgleichung auf das analoge Diffusionsproblem u ¨bertragen, vorausgesetzt, dass nicht nur die Differentialgleichungen, sondern auch die Anfangs- und Randbedingungen u osungen der Differentialgleichung (2.379) findet ¨bereinstimmen. Zahlreiche L¨ man in dem Buch von Crank [2.78]. Analog zur Wärmeleitung schreibt die Anfangsbedingung zu einer bestimmten Zeit an jeder Stelle des Körpers eine Konzentration vor, und man beginnt die Zeitzählung mit dieser Zeit cA (x, y, z, t = 0) = cAα (x, y, z) .

(2.381)

Die o¨rtlichen Randbedingungen lassen sich ebenso wie bei Wärmeleitvorgängen in drei Gruppen einteilen. 1. Es kann die Konzentration als Funktion der Zeit und des Ortes x0 , y0 , z0 auf der Oberfl¨ ache eines K¨ orpers vorgeschrieben sein (Randbedingung 1. Art) cA (x0 , y0 , z0 , t) = cA0 (t) . (2.382) Beispiele hierf¨ ur sind die Trocknung por¨ oser Stoffe in der ersten Trocknungsphase, wenn die Oberfl¨ ache von einem Fl¨ ussigkeitsfilm bedeckt ist, oder die Verdunstung von Wasser in trockene Luft. In beiden Fällen stellt sich an der Phasengrenze zwischen Fl¨ ussigkeit und Gas der zur dort herrschenden Temperatur ϑ geh¨ orende S¨ attigungsdruck pAS (ϑ) ein, und es ist cA0 = pAS (ϑ)/Rm T . Oft interessiert auch die L¨ oslichkeit des Gases A in einer angrenzenden Fl¨ ussigkeit oder einem angrenzenden Feststoff B. Falls das Gas in der Fl¨ ussigkeit nur schwach l¨ oslich ist, erh¨ alt man den Stoffmengenanteil x Ã des gelösten Gases aus dem Henryschen Gesetz (1.217) zu x Ã0 = pAS (ϑ)/kH , worin kH der Henrysche Koeffizient ist. Er ist bei Zweistoffgemischen eine Funktion von Temperatur und Druck. Die Druckabhängigkeit kann man jedoch vernachl¨ assigen, falls der Gesamtdruck der Gasphase so gering ist, dass man diese als ideal betrachten darf. Zahlenwerte kH (ϑ) f¨ ur diesen Fall findet man u.a. im Tabellenwerk von Landolt-Börnstein [2.79]. 2. Es kann die Diffusionsstromdichte normal zur Oberfläche als Funktion der Zeit und des Ortes vorgeschrieben sein (Randbedingung 2. Art) u jA

= −c D

∂x Ã , ∂n

(2.383)

wobei f¨ ur stoffundurchl¨ assige Oberfl¨ achen ∂x Ã /∂n = 0 ist.

(2.384)

2.6 Diffusion

275

3. Es kann Ber¨ uhrung zwischen zwei ruhenden Körpern (1) und (2) an der Grenzfläche vorliegen (Randbedingung 3. Art) (1)

(c D)0

∂x ˜ (1) A

∂n

0

(2)

= (c D)0

∂x ˜ (2) A

∂n

0

.

(2.385)

Grenzt ein ruhender K¨ orper (1) an ein bewegtes Fluid (2), so bildet sich in diesem eine Diffusionsgrenzschicht aus. An die Stelle von (2.385) tritt dann die Randbedingung ˜ (1) A (1) ∂ x (2) = β Δ cA (2.386) −(c D)0 ∂n 0 (2)

(2)

(2)

mit dem Konzentrationsunterschied im Fluid ΔcA = cA0 − cAδ zwischen Grenzfläche 0 und dem Rand δ der Grenzschicht des Fluids. Stoffmengenuhrbar anteil x Ã und Konzentration cA sind bekanntlich ineinander u ¨berf¨ Ã c. Die Konzentration c = N/V ist f¨ ur ideale Gase gegeben durch cA = x durch c = p/Rm T und ist f¨ ur reale Gase aus der thermischen Zustandsgleichung zu ermitteln. Wird zwischen zwei sich ber¨ uhrenden K¨ orpern (1) und (2) Wärme durch Leitung u ¨bertragen (Randbedingung 3. Art), so sind bekanntlich nicht nur (1) die u armestromdichten, sondern auch die Temperaturen ϑ0 = ¨bertragenen W¨ (2) ϑ0 gleich. Im Gegensatz dazu stellt sich bei der Diffusion an Phasengrenzflächen fast immer ein Konzentrationssprung ein, der sich aus den Bedingungen f¨ ur das Gleichgewicht hinsichtlich des Stoffaustausches (Gleichheit der chemischen Potentiale jeder Komponente in jeder Phase) ergibt. F¨ ur vorgegebene Werte von Druck und Temperatur gilt dann eine Beziehung der Form (1)

(2)

x Ã0 = f (˜ xA0 ) ,

(2.387)

die durch die Thermodynamik der Phasengleichgewichte bereitgestellt wird. Eine Gleichung dieser Art ist die Definitionsgleichung f¨ ur den Gleichgewichtswert (1) (2) xA0 . (2.388) K := x Ã0 /˜ F¨ ur die Löslichkeit von Gasen in Fl¨ ussigkeiten ist K = kH (ϑ)/p , ahere Angaben u wobei kH (ϑ) der Henrysche Koeffizient ist. N¨ ¨ber den Gleichgewichtswert und den Henryschen Koeffizienten findet man, wie bereits in Kapitel 1 erwähnt, in Lehrb¨ uchern der Gemischthermodynamik u.a. [1.1]. Die Löslichkeit eines Gases A in einer festen Phase berechnet man aus cA0 = LS pA0

(2.389)

ur findet mit der Löslichkeit LS (SI-Einheit mol/m3 bar). Zahlenwerte hierf¨ man u.a. im Tabellenwerk von Landolt-B¨ ornstein [2.79].

276


Beispiel 2.13: In einem kugelf¨ ormigen Beh¨ alter von 1450 mm Innendurchmesser und 4 mm Wanddicke aus Chrom-Nickel-Stahl ist ein wasserstoffhaltiges Gas bei 85 ℃ unter hohem Druck gespeichert. Der Wasserstoff hat anf¨ anglich einen Partialdruck von 1 MPa. Infolge Diffusion durch die Beh¨ alterwand geht ein Teil des Wasserstoffs an die umgebende Luft verloren, so dass der Druck im Beh¨ alter im Lauf der Zeit sinkt. Man berechne, nach welcher Zeit der Druck im Beh¨ alter um 10−3 MPa gesunken ist und wie groß bis dahin der Verlust an Wasserstoff ist. Angaben zur L¨ osung: Da der Druck im Beh¨ alter sehr langsam abnimmt, kann ¨ man die zeitliche Anderung des Wasserstoffgehalts in der Wand vernachl¨ assigen, dort also station¨ are Diffusion annehmen. F¨ ur die an der Wandoberfl¨ ache gel¨ oste Wasserstoffmenge gilt (2.389) mit dem aus Messungen ermittelten L¨ oslichkeitskoeffizienten LS = 9,01 mol/m3 bar. Der Diffusionskoeffizient von Wasserstoff in der Beh¨ alterwand ist bei 85 ℃: D = 1,05 · 10−13 m2 /s. Das Gasgemisch im Beh¨ alter erf¨ ullt die thermische Zustandsgleichung idealer Gase. Der Wasserstoffgehalt der umgebenden Luft sei vernachl¨ assigbar. Die durch die Beh¨ alterwand diffundierende Wasserstoffmenge (Stoff A sei der Wasserstoff) ist gleich der Abnahme der gespeicherten Menge: jA A = −

dNA dN =− . dt dt

Weiter ist

D Am (cAi − cAa ) δ √ mit der Wanddicke δ und dem geometrischen Mittel Am = Ai Aa ∼ = Ai von alt man innerer und a ache. Mit cAa = 0 und cAi = LS pA erh¨ üßerer Kugeloberfl¨ jA A =

jA A =

D Am LS pA . δ

Andererseits gilt f¨ ur die Wasserstoffmenge im Inneren des Beh¨ alters NA = pA V /Rm T . Damit ist −

dpA D V = Am LS pA Rm T dt δ

oder d ln pA = −

Rm T D Am L S dt . δ V

Die Integration ergibt D Rm T t pA (t) = pA (t = 0) exp − Am LS δ V Man erh¨ alt nach Einsetzen der Gr¨ oßen pA (t1 ) = 1 MPa · exp (−2,915 · 10−11 t1 /s) und daraus t1 =

(1 − 10−3 ) MPa 1 ln s = 3,432 · 107 s = 9534 h = 397 Tage . −11 −2,915 · 10 1 MPa

Der Verlust an Wasserstoff folgt aus der Zustandsgleichung idealer Gase

2.6 Diffusion

277

MA ΔpA 10−3 MPa = = . MA (t = 0) pA (t = 0) 1 MPa Das sind 0,1 % der anf¨ anglich vorhandenen Wasserstoffmenge von ˜ A NA (t = 0) = M ˜ A pA (t = 0) V /Rm T = 1,072 kg . MA (t = 0) = M

2.6.5 Station¨ are Diffusion mit katalytischer Oberfl¨ achenreaktion In den einf¨ uhrenden Kapiteln 1.4.1 und 1.4.2 hatten wir bereits die eindimensionale stationäre Diffusion behandelt. Chemische Reaktionen waren dabei ausgeschlossen worden. Wir wollen nun chemische Reaktionen zulassen und zuerst solche Reaktionen behandeln, wie sie in einem katalytischen Reaktor vorkommen. Hierbei treten heterogene Reaktionen auf, worunter man Reaktionen an der Kontaktfl¨ ache zwischen einem reagierenden Medium und dem Katalysator versteht. Sie laufen an Oberfl¨ achen ab, können daher als Randbedingung f¨ ur das Stoffaustauschproblem formuliert werden. Im Unterschied dazu spielen sich homogene Reaktionen innerhalb des Mediums ab; es werden innerhalb eines jeden Volumenelements je nach der dort herrschenden Temperatur und Zusammensetzung und je nach dem Druck neue chemische Verbindungen aus vorhandenen erzeugt. Man kann also jedem Volumenelement eine Stoffquelle f¨ ur die Produktion von Materie zuordnen, entsprechend einer Wärmequelle bei W¨ armeleitvorg¨ angen. Als Beispiel betrachten wir einen katalytischen Reaktor, Abb. 2.64, in dem durch eine chemische Reaktion aus einem Gas A und seinen Reaktionspartnern R neue Reaktionsprodukte P gebildet werden. Dem Reaktor werden die Reaktionspartner R und das Gas A zugef¨ uhrt, ihn verlassen das u ussige ¨bersch¨ Gas A und die Reaktionsprodukte P. Der Reaktor sei mit Kugeln gef¨ ullt, deren Oberfläche mit einem katalytisch wirkenden Material u ¨berzogen ist. Die Reaktion zwischen dem Gas A und den Reaktionspartnern R läuft an der Katalysatoroberfläche ab und wird durch den Katalysator beschleunigt. In den meisten Fällen kennt man die verwickelten Reaktionsmechanismen an Katalysatoroberflächen nicht in allen Einzelheiten und ist daher zur Beschreibung auf grob vereinfachende Modelle angewiesen. Wir betrachten hierzu einen Abschnitt der Katalysatoroberfl¨ ache, Abb. 2.65. Im stationären Zustand wird an der Katalysatoroberfl¨ ache x = 0 genau soviel Gas A erzeugt, wie durch Diffusion abtransportiert wird: Die Reaktionsrate ist gleich der Diffusionsstromdichte. Bei katalytischen Reaktionen h¨ angt die Reaktionsrate n˙ A0 im Allgemeinen von den Konzentrationen der Reaktionspartner ab. Im vorliegenden Fall nehmen wir an, die Reaktionsrate werde u ¨berwiegend von der Konzentration cA (x = 0) = cA0 des Gases A an der Oberfläche bestimmt. Sie ist f¨ ur eine Reaktion erster Ordnung gegeben durch n˙ A0 = −k1 cA0 .

(2.390)

278


Abb. 2.64: Katalytischer Reaktor

Abb. 2.65: Eindimensionale Diffusion mit Reaktion an der Katalysatoroberfl¨ ache

F¨ ur eine Reaktion n-ter Ordnung ist n˙ A0 = −kn cnA0 .

(2.391)

Hierin ist kn die Geschwindigkeitskonstante mit der SI-Einheit (mol / m2 s) / (mol / m3 )n . Die Geschwindigkeitskonstante k1 einer Reaktion erster Ordnung hat die SI-Einheit m/s. Die hochgestellten Indizes sollen darauf hinweisen, dass die Reaktion an einer Oberfl¨ ache abl¨ auft. Durch das Minuszeichen wird n˙ A0 negativ, denn der Stoff A wird durch chemische Reaktion aufgezehrt. W¨ urde Stoff A erzeugt, so m¨ usste in (2.390) ein positives Vorzeichen stehen. An der Katalysatoroberfl¨ ache gilt somit, falls wir eine Reaktion erster Ordnung voraussetzen, ∂x Ã n˙ A0 = − c D = −k1 cA0 . (2.392) ∂x x=0 Oberhalb der Katalysatoroberfl¨ ache wird der Stoff A durch Diffusion hauptsächlich in Richtung der x-Achse transportiert. In einer d¨ unnen wandnahen Schicht, der Diffusionsgrenzschicht, ist der Stofftransport durch Konvektion vernachlässigbar, und es folgt aus (2.375) die f¨ ur stationäre, eindimensionale Diffusion ohne chemische Reaktion g¨ ultige Diffusionsgleichung d˜ xA d cD =0 . (2.393) dx dx Ihre Lösung muss außer der Randbedingung (2.392) noch die Bedingung x Ã (x = L) = x ÃL

(2.394)

erf¨ ullen, wenn L die Dicke der Diffusionsgrenzschicht ist. Als Lösung erhält man unter der Voraussetzung c D = const:

2.6 Diffusion

x Ã − x ÃL =

k1 cA0 (x − L) . cD

279

(2.395)

Daraus ergibt sich der Stoffmengenanteil an der Wand x = 0 zu: x Ã0 = −

k1 cA0 k x Ã0 L L+x ÃL = − 1 +x ÃL cD D

oder x Ã0 =

x ÃL . 1 + k1 L/D

(2.396)

Setzt man weiterhin c = const voraus, so wird hieraus wegen cA = x Ã c cA0 =

cAL 1 + k1 L/D

(2.397)

und damit die Reaktionsrate mit (2.392) n˙ A0 = −

k1 cAL . 1 + (k1 L/D)

(2.398)

Im Fall eines konvektiven Stoff¨ ubergangs an der Katalysatoroberfläche tritt in dieser Gleichung der Stoff¨ ubergangskoeffizient β anstelle von D/L auf, β = D/L, wie man leicht nachpr¨ uft, weil (2.392) dann zu ersetzen ist durch n˙ A0 = −k1 cA0 = β(cA0 − cAL ) , woraus nach Elimination von cA0 die Beziehung n˙ A0 = −

k1 cAL 1 + (k1 /β)

(2.399)

folgt. Das negative Vorzeichen in (2.398) bzw. (2.399) besagt, dass der Stoffstrom A zur Katalysatoroberfl¨ ache hingerichtet ist. Man nennt die dimensionslose Gr¨ oße Da1 := k1 L/D

(2.400)

ur eine heterogene Reaktion erster Ordnung (es gibt die Damk¨ ohler-Zahl 5 f¨ noch weitere Damk¨ ohler-Zahlen). Sie l¨ asst sich als Verhältnis von Reaktionsgeschwindigkeit k1 zur Diffusionsgeschwindigkeit D/L deuten. In (2.398) bzw. (2.399) sind zwei Grenzf¨ alle interessant: 5

¨ Gerhard Damk¨ ohler (1908–1944) hat als erster eine Ahnlichkeitstheorie f¨ ur chemische Prozesse unter Ber¨ ucksichtigung des W¨ armeund Stoffaustausches entwickelt. Er wurde mit seiner Arbeit Einfluß von Diffusion, Str¨ omung und W¨ arme” transport auf die Ausbeute von chemischen Reaktionen“ (Der Chemie-Ingenieur, Leipzig, 1937, 359–485) zu einem der Wegbereiter der chemischen Reaktionstechnik.

280


a) Es sei Da1 = k1 L/D bzw. k1 /β sehr klein, weil k1 D/L bzw. k1 β. Dann wird (2.401) n˙ A0 = −k1 cAL . Der Stoffumsatz wird durch die Reaktionsgeschwindigkeit bestimmt. Er ist reaktionskontrolliert“. Nach (2.397) ist die Konzentration des Stoffes ” A senkrecht zur Katalysatoroberfl¨ ache konstant; es ist cA0 = cAL . b) Es sei Da1 = k1 L/D bzw. k1 /β sehr groß, weil k1 D/L bzw. k1 β. Dann wird D (2.402) n˙ A0 = − cAL bzw. n˙ A0 = −β cAL . L Der Stoffumsatz wird durch die Diffusion bestimmt. Er ist diffusionskon” trolliert“. Nach (2.397) ist cA0 = 0. Der Stoff A wird durch die rasche Reaktion an der Katalysatoroberfl¨ ache vollständig umgesetzt. Beispiel 2.14: Im Katalysator eines Personenkraftwagens werden Stickoxide an der Katalysatoroberfl¨ ache nach folgender Reaktion reduziert: NO + CO →

1 N2 + CO2 . 2

Die NO-Reduktion (Stoff A) folgt n¨ aherungsweise einer Reaktion 1. Ordnung ˙ = 350 kg/h, n˙ A0 = −k1 cA0 . Der Abgasstrom eines 75-kW-Motors betrage M ˜ = 32 kg/kmol und darf in guter N¨ die Molmasse der Abgase sei M aherung als konstant angenommen werden. Die Abgase von 480 ℃ und 0,12 MPa enthalten NO mit einem Stoffmengenanteil x ÃL = 10−3 , das zu 80 % entfernt werden soll. Gegeben seien der Stoff¨ ubergangskoeffizient β = 0,1 m/s und die Geschwindigache ist erforderlich? keitskonstante k1 = 0,05 m/s. Welche Katalysatoroberfl¨ Der Stoffmengenstrom an Abgas ist ˙ /M ˜ = N˙ = M

350 kg/h = 3,038 · 10−3 kmol/s . 3600 s/h · 32 kg/kmol

Abb. 2.66: Zur Mengenbilanz eines Abgaskatalysators Die Mengenbilanz u ¨ber den gestrichelten Bilanzraum, Abb. 2.66, ergibt ÃL )z+dz + n˙ AL dA (N˙ x ÃL )z = (N˙ x oder, da N˙ = const:

2.6 Diffusion

281

N˙ d˜ xAL = −n˙ AL dA . xAL − x Ã0 ), wenn wir einen geringen wandnormalen StoffHierin ist n˙ AL = β c (˜ strom voraussetzen und die Stefan-Korrektur f¨ ur den Stoff¨ ubergangskoeffizienten vernachl¨ assigen. Mit c = N/V = p/Rm T wird −βp x Ã0 x ÃL 1 − dA . N˙ d˜ xAL = Rm T x ÃL Einsetzen von (2.396) ergibt unter Beachtung von β = D/L: −p k1 N˙ d˜ xAL = x ÃL dA Rm T 1 + k1 /β oder

k1 −p dA . x ÃL N˙ Rm T 1 + k1 /β Integration zwischen Eintrittsquerschnitt e und Austrittsquerschnitt a des Katalysators der Fl¨ ache A ergibt 1

ln

k1 p (˜ xAL )a =− A , ˙ (˜ xAL )e N Rm T 1 + k1 /β

also A= Es ist A=

d˜ xAL =

xAL )e N˙ Rm T (1 + k1 /β) (˜ ln . p k1 (˜ xAL )a

9 3,038 mol/s · 8,31451 Nm/molK · 753,15 K(1 + 0,05 m/s 0,1 m/s) 0,12 · 106 N/m2 · 0,05 m/s

·

· ln(10−3 /2 · 10−4 ) A = 7,65 m2 .

2.6.6 Station¨ are Diffusion mit homogener chemischer Reaktion Wir betrachten einen Stoff A, der, wie in Abb. 2.67 gezeigt, in einen anderen porösen oder pastenartigen Feststoff B oder in ein ruhendes Fluid B diffundiert und dort mit anderen Reaktionspartnern chemisch reagiert. Beispielsweise diffundiert bei der biologischen Abwasserreinigung Sauerstoff aus dem Inneren von Luft- oder Sauerstoffblasen in das umgebende Abwasser und wird dort zusammen mit organischen Schadstoffen, z.B. Kohlenwasserstoffen, von Mikroorganismen in Kohlendioxid und Wasser umgewandelt. Der Stoff B kann auch ein Katalysator sein. Katalysatoren bestehen häufig aus Formkörpern wie Kugeln oder Zylindern, die von feinen Kapillaren durchzogen sind. Die poröse innere Oberfl¨ ache wird vor allem durch die feinen Kapillaren bestimmt und betr¨ agt ein Vielfaches der ¨ außeren Oberfläche. Chemische Umsetzungen können sowohl an der ¨ außeren als auch an der inneren Oberfläche beschleunigt werden.

282


Abb. 2.67: Eindimensionale Diffusion mit homogener Reaktion

Nach (2.375) gilt f¨ ur die station¨ are, geometrisch eindimensionale Diffusion mit chemischer Reaktion d d˜ xA cD + γ˙ A = 0 . (2.403) dx dx Wir nehmen nun an, der Stoff A und die durch chemische Reaktion entstandenen Produkte seien nur in kleiner Menge im Stoff B vorhanden. Dann ist in guter Näherung c = N/V = const. Außerdem setzen wir D = const. Ist der Stoff B ein por¨ oser Festk¨ orper, so muss man den molekularen Diffusionskoeffizienten D durch den effektiven Diffusionskoeffizienten Deff ersetzen. Dieser ist kleiner als der molekulare Diffusionskoeffizient, weil die Beweglichkeit der Molek¨ ule durch die engen Poren behindert wird. Es ist u ¨blich, einen Diffusionswiderstandsfaktor zu definieren: μ :=

D . Deff

Ein poröser Festk¨ orper vom Volumen V besteht aus dem Volumen VS Feststoff und dem von Feststoff freien Volumen VG = V − VS . Man bezeichnet uckengrad. Der Widerstandsfaktor hängt vom L¨ uckengrad εp = VG /V als L¨ des porösen Körpers und von einem Umweg- oder Windungsfaktor μp ab, so dass die Relationen μ := μp /εp , und Deff =

1 εp D . D= μ μp

gelten. Die folgende Tabelle enth¨ alt einige Zahlenangaben f¨ ur L¨ uckengrad und Umwegfaktor. Der Stoff A werde nach einer Reaktion erster Ordnung umgesetzt: γ˙ A = −k1 cA .

(2.404)

Hierin ist k1 die Geschwindigkeitskonstante der chemischen Reaktion (SIEinheit s−1 ). Der tiefgestellte Index 1 zeigt an, dass es sich um eine Reaktion erster Ordnung handelt. Die Reaktionsrate γ˙ A ist negativ, weil Stoff A durch die Reaktion verschwindet. W¨ urde Stoff A erzeugt, so st¨ unde in (2.404) ein positives Vorzeichen. In por¨ osen K¨ orpern l¨ auft die Reaktion umso schneller

2.6 Diffusion

283

Tabelle 2.18: L¨ uckengrad εp und Umwegfaktor μp einiger trockener Stoffe

Stoff

Dichte kg/m3 L¨ uckengrad εp Umwegfaktor μp

Mauerziegel Klinker Kalksandstein Naturbimsbeton Holzwolle Molekularsieb 4 ˚ A Molekularsieb 10 ˚ A

1360 2050 900 840 300 1100 1180

0,49 0,19 0,63 0,62 0,81 0,45 0,57

Silikagel

1090

0,46

3,6

760

0,56

7,0

Aktivkohle

3,3 73,0 5,4 4,3 2,0

bis 3,4 bis 89,0 bis 5,9 bis 5,5 bis 2,6 10,3 8,0

ab, je größer die innere und a ache ist. Man spaltet daher die üßere Oberfl¨ Geschwindigkeitskonstante k1 in zwei Faktoren auf: k1 = aP k1 ,

(2.405)

ache (SI-Einheit m2 /m3 ) ist; das ist die f¨ ur die worin aP die spezifische Oberfl¨ Reaktion wirksame Oberfl¨ ache bezogen auf das Volumen des porösen Körpers. Die Geschwindigkeitskonstante k1 hat die SI-Einheit m/s. Mit x Ã = cA /c geht (2.403) mit (2.404) unter den genannten Voraussetzungen u ¨ber in d2 cA k1 − cA = 0 . (2.406) 2 dx D Sie ist unter den in Abb. 2.67 eingezeichneten Randbedingungen cA (x = 0) = cA0 und

(2.407)

d c A

=0 (2.408) dx x=L zu lösen. F¨ ur por¨ ose K¨ orper ist D durch Deff zu ersetzen. Gleichung (2.406) stimmt formal mit (2.51) f¨ ur die W¨ armeleitung in einem Stab u ur ¨berein. F¨ sie war der Temperaturverlauf unter den Randbedingungen konstanter Temperatur am Stabanfang und verschwindender Wärmeabgabe am Stabende bereits berechnet worden, was im vorliegenden Problem den Randbedingungen (2.407) und (2.408) entspricht. Die L¨ osung von (2.406) bis (2.408) entspricht daher der bereits fr¨ uher f¨ ur die W¨ armeleitung in Stäben gefundenen Beziehung (2.57). Die L¨ osung lautet cosh [m(L − x)] cA = cA0 cosh(mL)

(2.409)

284


mit m=

k1 /D .

Der u ¨bergehende Stoffmengenstrom ist dc A N˙ A0 = A n˙ A0 = −A D = A D cA0 m tanh(mL) . dx x=0 Die dimensionslose Gr¨ oße mL =

k1 L2 /D := Ha

(2.410)

(2.411)

(2.412)

bezeichnet man hierin auch als Hatta-Zahl 6 Ha. Ihr Quadrat ist gleich dem Verhältnis aus der sogenannten Relaxationszeit der Reaktion tR = 1/k1 und der Relaxationszeit der Diffusion tD = L2 /D , denn es ist Ha2 = tD /tR . Ein großer Wert der Hatta-Zahl bedeutet einen im Vergleich zur Diffusion raschen Ablauf der chemischen Reaktion. Der Stoff A kann durch Diffusion nicht weit in das Innere von Stoff B eindringen, sondern wird durch chemische Reaktion in einer oberfl¨ achennahen Schicht umgesetzt. F¨ ur poröse K¨ orper f¨ uhrt man noch einen Porennutzungsgrad ηP ein. Darunter versteht man das Verh¨ altnis aus tats¨ achlich u ¨bergehendem Stoffmengenstrom N˙ A0 zum Stoffmengenstrom N˙ A , der u ¨berginge, wenn im porösen urde, d.h. wenn der effektive Körper u ¨berall die Konzentration cA0 herrschen w¨ Diffusionskoeffizient Deff , der an die Stelle des molekularen Diffusionskoeffiurde zienten D tritt, sehr groß w¨ are, Deff → ∞ oder Ha → 0. Von Stoff A w¨ dann nach (2.404) die Reaktionsrate γ˙ A = −k1 cA0 verschwinden und der insgesamt nachgelieferte Stoffmengenstrom wäre N˙ A = k1 cA0 A L .

(2.413)

Der Porennutzungsgrad wird damit ηP = 6

N˙ A0 Deff = m tanh (mL) k1 L N˙ A

Shironji Hatta (1895–1973) war Professor an der Tohoku Imperial Universit¨ at, der jetzigen Tohoku Universit¨ at, in Tokio, Japan. Auf ihn gehen grundlegende Arbeiten u ussigkeiten, insbesondere der Absorption ¨ber die Absorption von Gasen in Fl¨ mit gleichzeitiger chemischer Reaktion zur¨ uck.

2.6 Diffusion

oder

285

tanh (mL) mL

(2.414) mit m = k1 /Deff = k1 ap /Deff . Der Porennutzungsgrad gilt f¨ ur eine Pore von konstantem Querschnitt. Er stimmt formal mit dem Wirkungsgrad der geraden Rechteckrippe, Gl. (2.79), u ¨berein. Der Porennutzungsgrad von Poren beliebiger Querschnittsform lässt sich, wie Aris [2.81] zeigte, in guter N¨ aherung ebenfalls aus (2.414) berechnen, wenn man als Länge L eine charakteristische Länge ηP =

L = V /A

(2.415)

bildet mit dem Volumen V des por¨ osen K¨ orpers und seiner äußeren Oberfläche A. F¨ ur ein kugelf¨ ormiges Pellet vom Radius R wird beispielsweise L = (4/3)πR3 / 4πR2 = R/3. F¨ ur kleine Werte mL < 0,3 in (2.414) wird ηp > 0,97, liegt also nahe bei 1; die Zusammensetzung des Reaktionspartners A ändert sich kaum u ¨ber die Porenlänge. Der Diffusionswiderstand ist im Vergleich zu den u brigen Wi¨ derständen vernachl¨ assigbar. Ein kleiner Wert mL = k1 /Deff L bedeutet entweder eine kurze Pore, eine langsame chemische Reaktion oder eine rasche Diffusion. Beispiel 2.15: Um den CO-Gehalt im Abgas einer Feuerung zu vermindern, leitet man das Abgas u osen Partikel (sog. Pellets) aus CuO eines ka¨ber die por¨ talytischen Reaktors in der Abgasleitung. In den Pellets und an ihrer Oberfl¨ ache wird CO (Stoff A) mit O2 zu CO2 oxidiert gem¨ aß CO +

1 O2 = CO2 . 2

Es handelt sich in guter N¨ aherung um eine Reaktion erster Ordnung gem¨ aß n˙ A = −k1 aP cA . a) Man berechne den Porennutzungsgrad. b) Wieviel kg CuO ben¨ otigt man, wenn der Molanteil des CO auf 1/10 des Anfangswerts x Ã = 0,04 abgebaut werden soll? Der Stoffmengenstrom N˙ des Abgases kann in guter N¨ aherung konstant gesetzt werden. Gegeben sind: Stoffmengenstrom des Abgases N˙ = 3 mol/s, Stoffmengenanteil des CO im Abgas x Ã = 0,04, Abgastemperatur 480℃, Druck 0,12 MPa, Durchmesser der kugelf¨ ormigen Pellets 5 mm, volumenbezogene Oberfl¨ ache aP = 5·106 m2 /m3 , effektiver Diffusionskoeffizient Deff = 5 · 10−5 m2 /s, Geschwindigkeitskonstante der Reaktion k1 = 10−3 m/s, Dichte von CuO: CuO = 8,9·103 kg/m3 . a) Es ist mL = (k1 aP /Deff )1/2 L mit L = R/3. Somit wird mL = (10−3 m/s · 5 · 106 m2 /m3 /5 · 10−5 m2 /s)1/2 (2,5 · 10−3 m/3) = 8,33 und damit ηp = tanh(mL)/(mL) = 0,12 .

286


b) Das außerhalb der Poren im Gasraum str¨ omende CO wird durch chemische Reaktion abgebaut. L¨ angs eines Wegelements dz a ¨ndert sich die CO-Menge um d(N˙ x Ã0 ). Diese Menge wird durch chemische Reaktion in den Poren umgesetzt xA0 ηp dVP . dN˙ A0 = γ˙ A dVP = −k1 aP cA0 ηp dVP = −k1 aP c˜ VP ist hierin das Volumen der Pellets. Somit ist Ã0 ηp dVP . d(N˙ x Ã0 ) = −k1 ap c x Daraus folgt mit N˙ = const und c = p/Rm T d˜ xA0 k ap pηp dVP . =− 1 x Ã0 N˙ Rm T Ãa bei Nach Integration zwischen den Stoffmengenanteilen x Ãe bei Eintritt und x Austritt aus dem Katalysator erh¨ alt man das Volumen VP der Pellets VP =

N˙ Rm T x Ãe ln , k1 aP p ηp x Ãa

3 mol/s · 8,31451 Nm/mol K · 753,15 K ln 10 = 6,008 · 10−4 m3 . m/s · 5 · 106 m2 /m3 · 1,2 · 105 N/m2 · 0,12 Man ben¨ otigt VP =

10−3

M = VP = 8,9 · 103 kg/m3 · 6,008 · 10−4 m3 = 5,35 kg CuO .

2.6.7 Instation¨ are Diffusion In Abschnitt 2.6.3 war gezeigt worden, dass die Differentialgleichung der instationären Diffusion von gleicher Art wie die Wärmeleitungsgleichung ist und dass sich infolgedessen viele Diffusionsprobleme auf entsprechende Wärmeleitprobleme zur¨ uckf¨ uhren lassen. Wir wollen dies im Folgenden an der instation¨ aren Diffusion in einem einseitig unendlich ausgedehnten Körper und in den einfachen Körpern Platte, Zylinder und Kugel erörtern. 2.6.7.1 Instation¨ are Diffusion in einem einseitig unendlich ausgedehnten K¨ orper Wir behandeln die instation¨ are Diffusion eines Stoffes in einem einseitig unendlich ausgedehnten K¨ orper B. In diesem sei der Stoff A zur Zeit t = 0 mit der Konzentration cAα gespeichert. Die gesuchte Konzentrationsverteilung ugt unter der Annahme cD = const der Differentialgleichung cA ≡ cA (x, t) gen¨ ∂ 2 cA ∂cA =D , ∂t ∂x2 und soll die Anfangsbedingung

t ≥ 0,

x≥0

(2.416)

cA (t = 0, x) = cAα = const erf¨ ullen. An der Oberfl¨ ache des K¨ orpers kommen analog zum Wärmeleitproblem folgende Bedingungen in Frage:

2.6 Diffusion

287

¨ eine sprunghafte Anderung der Oberfl¨ achenkonzentration auf den Wert ur t > 0 konstant bleiben soll, cA0 , der f¨ – Zufuhr einer konstanten Stoffmengenstromdichte n˙ A0 , ¨ – eine sprunghafte Anderung der Umgebungskonzentration auf den Wert ubergang mit dem Stoff¨ ubergangskoeffizienten β cAU = cA0 , so dass Stoff¨ stattfindet. –

Wie man erkennt, kann man wegen der Gleichartigkeit der Differentialgleichungen, der Anfangs- und der Randbedingungen die Lösung der Wärmeleitprobleme von Abschnitt 2.3.3 sinngem¨ aß auf die der Diffusionsprobleme u ¨bertragen. Es gelten die Entsprechungen der folgenden Tabelle. Tabelle 2.19: Entsprechungen zwischen Gr¨ oßen der W¨ armeleitung und der Diffusion W¨ armeleitung

Diffusion

ϑ

cA

a +

t = at/L

D 2

Bi = αL/λ √ x/2 at √ b = λc

t+ D

= Dt/L2

BiD = βL/D √ x/2 Dt √ bD = D

Mit diesen Entsprechungen lassen sich aus den bereits behandelten Lösungen von Wärmeleitproblemen die L¨ osungen der entsprechenden Diffusionsprobleme anschreiben. F¨ ur instation¨ are Diffusion in einem einseitig unendlich ausgedehnten Kör¨ per bei sprunghafter Anderung der Oberfl¨ achenkonzentration findet man aus (2.126) cA − cAα x (2.417) = erfc √ cA0 − cAα 2 Dt und mit (2.131) die u ¨bergehende Stoffmengenstromdichte √ x2 D . n˙ A (t, x) = √ (cA0 − cAα )exp − 4Dt πt

(2.418)

Die an der Oberfl¨ ache x = 0 u ¨bergehende Stoffmengenstromdichte ist √ D n˙ A (t, x = 0) = √ (cA0 − cAα ) . (2.419) πt

288


Entsprechende L¨ osungen erh¨ alt man aus (2.135), wenn der Oberfläche eine uhrt wird, und aus (2.140), wenn konstante Stoffmengenstromdichte n˙ A0 zugef¨ ein Stoff¨ ubergang von der Oberfl¨ ache an ein anderes Fluid stattfindet. 2.6.7.2 Instation¨ are Diffusion in einfachen K¨ orpern bei eindimensionalem Stofffluss Das zeitabhängige Konzentrationsfeld cA (x, t) in einem Körper wird durch die der Wärmeleitungsgleichung (2.157) entsprechende, f¨ ur cD = const g¨ ultige Diffusionsgleichung ∂2c ∂cA n ∂cA A (2.420) =D + ∂t ∂r2 r ∂r mit n = 0 f¨ ur die Platte, n = 1 f¨ ur den Zylinder und n = 2 f¨ ur die Kugel bestimmt, wenn man geometrisch eindimensionale Diffusion in r-Richtung annimmt. Wie bei der W¨ armeleitung bedeutet r die radiale Koordinate f¨ ur Zylinder und Kugel. Der Zylinder soll sehr lang im Vergleich zu seinem Durchurfen nicht von messer sein. Die Konzentrationen cA in Zylinder und Kugel d¨ der Winkelkoordinate abh¨ angen. Bei der Platte soll die x-Koordinate vor¨ ubergehend mit r bezeichnet werden. Sie zählt von der Plattenmitte aus. Mit der Anfangsbedingung t=0:

cA (r) = cAα ,

0≤r≤R

und den Randbedingungen r = 0 : ∂cA /∂r = 0 r = R : −D∂cA /∂r = β(cA − cAU ) ergeben sich durch sinngem¨ aße Anwendung der Lösungen der entsprechenden Wärmeleitprobleme folgende Ergebnisse. Wir setzen dabei c+ A =

cA − cAU . cAα − cAU

F¨ ur die ebene Platte folgt aus (2.171) und (2.172) sowie mit BiD und t+ D nach Tab. 2.19 und r + = r/R: + + c+ A (r , tD ) =

∞ i=1

2 BiD 1 cos(μi r+ )exp(−μ2i t+ D) Bi2D + BiD + μ2i cos μi

(2.421)

mit den Eigenwerten μi aus tan μ = BiD /μ .

(2.422)

2.7 Aufgaben

289

Die mittlere Konzentration c+ Am folgt aus (2.174) + 2 c+ Am (tD ) = 2BiD

∞ i=1

exp(−μ2iD t+ D) . 2 2 μi (BiD + BiD + μ2i )

(2.423)

Analoge Ergebnisse erh¨ alt man mit den Gleichungen von Kapitel 2.3.4.4 f¨ ur den Zylinder und die Kugel. + Beispiel 2.16: Wie lautet die Gleichung f¨ ur die mittlere Konzentration c+ Am (tD ) einer Kugel, wenn die Konzentration vom Anfangswert cA (r, t = 0) = cAα sprunghaft auf den Wert cA (r = R, t) = cA0 anstieg? ¨ Die sprunghafte Anderung der Oberfl¨ achenkonzentration bei r = R ist nur m¨ oglich, wenn der Stoff¨ ubergangswiderstand 1/βA zwischen Oberfl¨ ache A und Umgebung vernachl¨ assigbar gering wird. Dann wird β → ∞ und somit BiD = 9 βR/DAB → ∞ und cA0 = cAU , und es wird c+ = (c − c ) (c − c ). F¨ ur Am A0 Aα A0 Am die Kugel erh¨ alt man aus (2.183) und (2.185)

+ + c+ A (r , tD ) =

∞

2 BiD

i=1

μ2i + (BiD − 1)2 sin μi sin(μi r+ ) exp(−μ2i t+ D ) (2.424) + BiD (BiD − 1) μi μi r +

μ2i

mit den Eigenwerten μi aus μ cot μ = 1 − BiD .

(2.425)

Die mittlere Konzentration ist gem¨ aß (2.184) + 2 c+ Am (tD ) = 6 BiD

∞

μ2i [μ2i i=1

exp(−μ2i t+ D) . + BiD (BiD − 1)]

(2.426)

F¨ ur BiD → ∞ erh¨ alt man aus (2.425) die Eigenwerte μ1 = π, μ2 = 2π, μ3 = 3π . . . und als mittlere Konzentration aus (2.426) + c+ Am (tD ) = 6

∞ exp(−μ2i t+ D) . 2 μ i i=1

Mit den Eigenwerten μi = iπ, i = 1, 2, 3 . . . kann man daf¨ ur auch schreiben + c+ Am (tD ) =

∞ 6 exp(−i2 π 2 t+ D) . 2 π i=1 i2

(2.427)

2.7 Aufgaben 2.1: Man leite die Differentialgleichung f¨ ur das Temperaturfeld ϑ = ϑ(r, t) her, das sich in einem Zylinder bei instation¨ arer, geometrisch eindimensionaler W¨ armeleitung in radialer Richtung einstellt. Dazu gehe man von der Energiebilanz f¨ ur einen Hohlzylinder mit dem Innenradius r und der Dicke Δr aus und vollziehe den Grenz¨ ubergang Δr → 0. Die Stoffwerte λ und c sollen von ϑ abh¨ angen; innere W¨ armequellen treten nicht auf.

290


2.2: Eine Oberfl¨ ache (x = 0) einer sich abk¨ uhlenden Platte der Dicke δ ist isoliert, w¨ ahrend u ache W¨ arme an ein Fluid mit der Temperatur ¨ber die andere Oberfl¨ ur ϑF u ¨bergeht. Man skizziere den Temperaturverlauf ϑ = ϑ(x, t∗ ) in der Platte f¨ eine feste Zeit t∗ . Welchen Bedingungen muss diese Kurve in der N¨ ahe der beiden Oberfl¨ achen x = 0 und x = δ gen¨ ugen, wenn die Biot-Zahl Bi = αδ/λ = 1,5 ist? Man skizziere außerdem den Verlauf der Fluidtemperatur in der Grenzschicht an der Plattenoberfl¨ ache unter Ber¨ ucksichtigung der Bedingung N u = αδ/λF = 10; λF ist die W¨ armeleitf¨ ahigkeit des Fluids. 2.3: Das Temperaturprofil in einer Stahlplatte mit der Dicke δ = 60 mm und der konstanten Temperaturleitf¨ ahigkeit a = 12,6 · 10−6 m2 /s ist zu einer festen Zeit t0 durch

ϑ − ϑ1 1 ϑ+ := = x+ − B(t0 ) cos π(x+ − ) , 0 ≤ x+ ≤ 1 , ϑ2 − ϑ1 2 mit B(t0 ) = 0,850 gegeben. Dabei ist x+ := x/δ; ϑ1 = 100 ℃ und ϑ2 = 250 ℃ sind die konstanten Oberfl¨ achentemperaturen der Platte bei x+ = 0 und x+ = 1. a) Man zeichne den Temperaturverlauf ϑ = ϑ(x, t0 ). Erw¨ armt sich die Platte oder k¨ uhlt sie sich ab? andert sich die Temperatur am schnellsten mit der Zeit? b) An welcher Stelle x+ T ¨ Wie groß ist dort ∂ϑ/∂t? + c) Stimmt x+ ¨berein, an der das Temperaturprofil zur Zeit T mit der Stelle xmin u t0 sein Minimum hat? d) Man bestimme die Zeitfunktion B(t) unter Ber¨ ucksichtigung der Anfangsbeare Temperaturverlauf ergibt sich f¨ ur dingung B(t0 ) = 0,850. Welcher station¨ t → ∞? 2.4: In einem sehr langen Zylinder mit dem Radius R wird durch eine Reaktion W¨ arme freigesetzt. Die Leistungsdichte nimmt mit dem Abstand r von der Zylinderachse zu: ˙ (r) = W ˙ R (r/R)m W

,

m≥0 .

a) Wie groß ist die vom Zylinder abgegebene W¨ armestromdichte q(R)? ˙ Wie groß ˙ R sein, damit q(R) ˙ mit der W¨ armestromdichte u muss W ¨bereinstimmt, die ein ˙ 0 abgibt? gleichgroßer Zylinder mit r¨ aumlich konstanter Leistungsdichte W ¨ b) F¨ ur einen Zylinder mit konstantem λ berechne man die Ubertemperatur Θ(r) = ϑ(r) − ϑ(R) unter Benutzung des Ansatzes Θ(r) = A 1 − (r/R)k , der den Randbedingungen r = 0 : dΘ/ dr = 0

und

r=R: Θ=0

gen¨ ugt. ¨ ¨ c) Man vergleiche die maximale Ubertemperatur Θmax mit der maximalen Uber0 ˙ 0 . Wie temperatur Θmax eines Zylinders mit der konstanten Leistungsdichte W 0 , wenn beide Zylinder gleich viel W¨ arme groß ist das Verh¨ altnis Θmax /Θmax 0 f¨ ur m = 0, 1, 2 und 3. abgeben? Man berechne Θmax /Θmax

2.7 Aufgaben

291

2.5: Aus einer Isolierschicht ragt ein st¨ ahlerner Bolzen (d = 20 mm, λ = 52,0 W/K m) heraus, vgl. Abb. 2.68. Sein linkes Ende wird auf der konstanten Temperatur ϑ∗ = 75,0 ℃ gehalten. Der Bolzen ist u ¨ber die Strecke Lis = 100 mm vollkommen isoliert; das um L = 200 mm herausragende St¨ uck gibt W¨ arme arme¨ ubergangskoeffizient an die Umgebung mit ϑU = 15,0 ℃ ab, wobei der W¨ α = 8,85 W/m2 K am Bolzenumfang und an der freien Stirnfl¨ ache maßgebend ist.

Abb. 2.68: Stahlbolzen, der aus einer Isolierschicht ragt a) Man berechne die Temperaturen ϑ0 und ϑL . b) Wie groß ist der W¨ armestrom, den der Bolzen an die Umgebung abgibt? ache? Welcher W¨ armestrom Q˙ L fließt durch die freie Stirnfl¨ c) Man vergleiche die Ergebnisse, die aus der Temperaturverteilung nach (2.55) folgen, mit den Werten, die sich f¨ ur den an der Stirnfl¨ ache adiabaten Ersatzbolzen mit der L¨ ange LC nach (2.60) ergeben. 2.6: Der Wirkungsgrad ηR gerader Rippen mit rechteckigem Querschnitt l¨ asst sich durch Messen von drei Temperaturen bestimmen: der Temperatur ϑ0 am Rippenfuß, der Temperatur ϑh an der Rippenspitze und der Temperatur ϑU des Fluids, das die Rippe umgibt. Man bestimme ηR f¨ ur ϑ0 = 75,0 ℃, ϑh = 40,5 ℃ und ϑU = 15,0 ℃. 2.7: Ein Messingrohr mit dem Außendurchmesser d = 25 mm wird von Luft quer zu seiner Achse angestr¨ omt; der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient sei α = 90 W/m2 K. Das Rohr wird mit Kreisrippen aus Messing (λR = 126 W/K m) versehen, deren Dicke δR = 1,5 mm und deren H¨ ohe h = 20 mm betr¨ agt. Die Oberfl¨ achentemperatur des Rohres und die Lufttemperatur seien konstant. a) Wie viele Rippen m¨ ussen je Meter Rohrl¨ ange angebracht werden, damit sich der an die Luft abgegebene W¨ armestrom versechsfacht? Es kann αR = α gesetzt werden. b) Die Rippenh¨ ohe wird auf h = 30 mm vergr¨ oßert. Um welchen Faktor vergr¨ oßert sich der W¨ armestrom gegen¨ uber dem berippten Rohr nach a)? 2.8: Ein Rohr mit dem Durchmesser d = 0,30 m und der Oberfl¨ achentemperatur ϑR = 60 ℃ ist im Erdboden (λ = 1,20 W/K m) so verlegt, dass seine Achse 0,80 m unter der Oberfl¨ ache liegt. Die Lufttemperatur ist ϑL = 10 ℃; der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient zwischen Luft und Erdoberfl¨ ache sei α = 8,5 W/m2 K. Wie groß ˙ ist der auf die Rohrl¨ ange L bezogene Verlustw¨ armestrom Q/L des Rohres? 2.9: Ein Straßenbelag aus Asphalt (λ = 0,65 W/K m, = 2120 kg/m3 , c = 920 J/kg K) habe durch l¨ angere Sonneneinstrahlung die Temperatur ϑ0 = 55 ℃ nicht nur an seiner Oberfl¨ ache, sondern auch in den Schichten mehrere Zentimeter unter der Oberfl¨ ache erreicht. Pl¨ otzlich einsetzender Regen senkt die Oberfl¨ achentemperatur 10 min lang auf ϑS = 22 ℃. Man berechne

292


a) die auf die Oberfl¨ ache bezogene W¨ arme, die der Asphalt w¨ ahrend des Regens abgibt, und b) die Temperatur, die sich in 3,0 cm Tiefe am Ende des Regenschauers einstellt. 2.10: Eine sehr dicke Betonwand (λ = 0,80 W/K m, = 1950 kg/m3 , c = 880 J/kg K) hat anf¨ anglich die gleichf¨ ormige Temperatur ϑ0 = 20 ℃. Sie wird an ihrer Oberfl¨ ache mit der konstanten W¨ armestromdichte q˙0 = 650 W/m2 (Sonneneinstrahlung) aufgeheizt. Welche Temperatur erreicht die Oberfl¨ ache nach 2,0 h? Wie hoch ist zu dieser Zeit die Temperatur in 10 cm Tiefe? 2.11: Man l¨ ose Aufgabe 2.10 unter der zus¨ atzlichen Bedingung, dass die Betonwand W¨ arme an Luft mit der Temperatur ϑU = ϑ0 = 20 ℃ abgibt, wobei der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient α = 15,0 W/m2 K maßgebend ist. 2.12: Es soll das Eindringen der t¨ aglichen und jahreszeitlichen Temperaturschwankungen in das Erdreich (a = 0,35 · 10−6 m2 /s) untersucht werden. Dazu wird f¨ ur die Oberfl¨ achentemperatur die harmonische Schwingung ϑ0 (t) = 10,0 ℃ + Δϑ cos(2π t/t0 ) mit der Schwingungsdauer t0 angenommen. a) Man zeige, dass die Amplitude der t¨ aglichen Temperaturschwankungen assigbar klein ist. (Δϑ = 10 ℃, t0 = 24 h) bereits in 1 m Tiefe vernachl¨ b) F¨ ur die jahreszeitlichen Temperaturschwankungen (Δϑ = 25 ℃, t0 = 365 d) berechne man den Temperaturverlauf in 2 m Tiefe. Wie groß sind dort die h¨ ochste und die niedrigste Temperatur, und an welchem Tag des Jahres treten sie jeweils auf unter der Annahme, dass das Maximum der Oberfl¨ achentemperatur am 1. August erreicht wird. 2.13: Eine ebene Wand aus Schamottesteinen hat die Dicke δ = 0,325 m und die Stoffwerte λ = 1,15 W/K m, a = 0,613 · 10−6 m2 /s. Eine ihrer Oberfl¨ achen ist isoliert, u arme an die Umgebung (ϑU = 20,0 ℃) u ¨ber die andere geht W¨ ¨ber. Die Wand hatte anf¨ anglich die Temperatur ϑ0 = 180,0 ℃. Zur Zeit t1 ist die Temperatur ihrer nicht isolierten Oberfl¨ ache ϑW1 = 50,0 ℃; zur Zeit t2 = t1 + 8,50 h ist die Oberfl¨ achentemperatur auf ϑW2 = 41,9 ℃ gesunken. a) Wie groß ist der f¨ ur die Abk¨ uhlung maßgebende W¨ arme¨ ubergangskoeffizient α? b) Man berechne die Temperaturen der isolierten Wandoberfl¨ ache f¨ ur die Zeiten t1 und t2 . 2.14: Eine Kugel aus Kunststoff (λ = 0,35 W/K m, c = 2300 J/kg K, = 950 kg/m3 ) mit dem Durchmesser d = 20 mm, die auf ϑ0 = 110,0 ℃ erhitzt wurde, k¨ uhlt sich in Luft von ϑU = 15,0 ℃ ab; der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient ist α = 8,75 W/m2 K . a) Welche Temperatur erreicht die Kugel nach 20 min? Man verwende die N¨ aherungsgleichung f¨ ur kleine Biot-Zahlen, vgl. Abschnitt 2.3.5.2. b) Man vergleiche das Ergebnis von a) mit der exakten L¨ osung durch Berechnen ache und im der Mitteltemperatur ϑm und der Temperaturen an der Oberfl¨ Kugelmittelpunkt.

2.7 Aufgaben

293

2.15: Ein sehr langes Stahlband mit rechteckigem Querschnitt (h = 15 mm, b = 50 mm) und der Temperaturleitf¨ ahigkeit a = 3,8 · 10−6 m2 /s wird durch ein ¨ ¨ Olbad von L = 4,0 m L¨ ange gezogen. Das Olbad hat die konstante Temperatur ¨ die Temperatur ϑ0 = ϑF = 50 ℃; das Stahlband hat beim Eintritt in das Ol ¨ sei so groß, 375 ℃. Der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient zwischen Stahlband und Ol dass die Oberfl¨ ache des Stahlbands die Temperatur ϑF annimmt. Mit welcher ¨ gezogen werden, damit es Geschwindigkeit w muss das Stahlband durch das Ol ¨ beim Verlassen des Olbads in seiner Mittelachse die Temperatur ϑk = 65 ℃ erreicht? Die axiale W¨ armeleitung im Stahlband ist zu vernachl¨ assigen. 2.16: Ein gusseisernes Rohr (λ = 51,0 W/K m) mit dem Innendurchmesser arke δ = 7,5 mm ist mit Wasser gef¨ ullt, das die Temdi = 40 mm und der Wandst¨ peratur ϑE = 0,0 ℃ hat. Die Außenluft habe die Temperatur ϑ0 = −8,0 ℃; der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient zwischen Rohr und Luft sei α = 25 W/m2 K. Nach welcher Zeit hat sich im Rohr eine Eisschicht der Dicke s = 15 mm gebildet, so dass wegen der Volumenvergr¨ oßerung des Eises gegen¨ uber dem Wasser mit dem Platzen des Rohres gerechnet werden muss? Wie lange w¨ urde es dauern, bis der Rohrinhalt vollst¨ andig gefroren ist? Stoffwerte von Eis bei 0 ℃: = 917 kg/m3 , λ = 2,25 W/K m, hE = 333 kJ/kg. 2.17: Zur Messung der W¨ armeleitf¨ ahigkeit wird in einer gr¨ oßeren, meist zylinderf¨ ormigen Probe des zu untersuchenden Materials ein sehr d¨ unner Platindraht der L¨ ange L zentrisch so angebracht, dass sehr guter Kontakt zwischen dem Draht und dem ihn umgebenden Material besteht. Bis zur Zeit t = 0 befindet sich diese Anordnung auf einer konstanten Temperatur ϑ0 . Dann wird der Draht elektrisch mit der konstanten Leistung Q˙ 0 beheizt. Zu den Zeiten t1 und t2 werden die Temperaturen ϑ1 und ϑ2 des Platindrahtes (z.B. aus seiner Widerstands¨ anderung) bestimmt. Nach [2.82], S. 442, erh¨ alt man die W¨ armeleitf¨ ahigkeit des Materials, das den Draht umgibt, aus λ=

t2 Q˙ 0 /L ln . 4π(ϑ2 − ϑ1 ) t1

Man leite diese Beziehung aus Gl. (2.235) von Abschnitt 2.3.7.2 her. 2.18: Eine sehr dicke Wand mit konstanter Temperaturleitf¨ ahigkeit a und der konstanten Anfangstemperatur ϑ0 wird von ihrer Oberfl¨ ache her aufgeheizt. Dort steigt die Temperatur zwischen t = 0 und t = t∗ linear mit der Zeit t auf den ur t > t∗ konstant bleibt. Es soll der Temperaturverlauf Wert ϑ1 > ϑ0 , der f¨ in der Wand zu den Zeiten t = t∗ und t = 2 t∗ numerisch berechnet werden. Man benutze das einfache explizite Differenzenverfahren, w¨ ahle Δt = t∗ /6 und + M = 1/3, und rechne mit der normierten Temperatur ϑ = (ϑ − ϑ0 )/(ϑ1 − ϑ0 ). Man vergleiche die numerisch berechneten Werte mit der geschlossenen L¨ osung ⎧

t x ⎪ ⎪ f¨ ur 0 ≤ t ≤ t ∗ , ⎪ ⎨ t∗ F 2√at +

ϑ (x, t) = t − t∗ x x t ⎪ ⎪ √ − f¨ ur t ≥ t ∗ , F F ⎪ ⎩ t∗ t∗ 2 at 2 a(t − t∗ ) wobei

bedeutet.

2 F (ξ) = (1 + 2 ξ 2 ) erfc ξ − √ ξ exp(−ξ 2 ) π

294


2.19: Ein langer Hohlzylinder aus Kunststoff (λ = 0,23 W/K m, c = 1045 J/kg K, = 2200 kg/m3 ) mit den Durchmessern di = 60 mm und da = 100 mm hat anf¨ anglich die Temperatur ϑ0 = 20 ℃, die mit der Umgebungs-(Luft-)Temperatur u ¨bereinstimmt. Zur Zeit t = 0 wird der Hohlzylinder mit einer heißen Fl¨ ussigkeit gef¨ ullt und so beheizt, dass seine Innenwandtemperatur f¨ ur t ≥ 0 den Wert ϑi = 80 ℃ annimmt. An der Außenwand des Zylinders geht W¨ arme an die Luft u arme¨ ubergangskoeffizienten α = 12,0 W/m2 K. ¨ber mit dem W¨ a) Man wende das explizite Differenzenverfahren mit Δr = 4,0 mm an, zeige, dass die Schrittweite Δt = 60 s zul¨ assig ist, und berechne damit den Temperaturverlauf im Hohlzylinder zur Zeit t∗ = 15 min. b) Wie groß ist der Unterschied zwischen der station¨ aren Temperaturverteilung und den f¨ ur die Zeit t∗ berechneten Temperaturen? 2.20: Der Wirkungsgrad einer quadratischen Scheibenrippe, die auf einem Rohr mit dem Radius r0 sitzt, soll mit einem Differenzenverfahren n¨ aherungsweise bestimmt werden. Die Rippe hat die Seitenl¨ ange s = 4 r0 , die konstante Dicke δR und die W¨ armeleitf¨ ahigkeit λR . Der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient αR sei auf der Rippenoberfl¨ ache konstant. Die Temperatur am Rippenfuß sei ϑ0 , die Umgebungstemperatur ϑU . Dem Differenzenverfahren zur Berechnung des dimensionslosen Temperaturfelds ϑ+ = (ϑ − ϑU )/(ϑ0 − ϑU ) wird das in Abb. 2.69 dargestellte quadratische Gitter mit Δx = 0,40 r0 zugrundegelegt. Wegen der + Symmetrie gen¨ ugt es, die 12 Temperaturen ϑ+ 1 bis ϑ12 zu bestimmen.

Abb. 2.69: Quadratische Scheibenrippe auf einem Kreisrohr mit quadratischem Gitter der Maschenweite Δx = 0,40 r0 . Die gestrichelten Linien achen. begrenzen die den Temperaturen ϑ+ i zugeordneten Fl¨

2.7 Aufgaben

295

+ a) Man stelle die linearen Gleichungen f¨ ur die Temperaturen ϑ+ 1 bis ϑ12 auf. Da bei verwende man zur Abk¨ urzung die Gr¨ oße m = 2αR /λR δR nach (2.71). Man beachte, dass den Gitterpunkten 5, 9 und 12 nur die Fl¨ ache Δx2 /2 und den Punkten 10 und 11 ein noch zu berechnender Teil der Fl¨ ache Δx2 f¨ ur den W¨ arme¨ ubergang zugeordnet ist. + b) F¨ ur mΔx = 0,40 berechne man ϑ+ 1 bis ϑ12 und bestimme daraus einen N¨ aherungwert f¨ ur ηR . Man vergleiche diesen Wert mit dem, der sich aus den N¨ aherungsgleichungen (2.82) und (2.83) ergibt.

2.21: Die in Abb. 2.70 dargestellte Wand ist Ecke eines Industrieofens aus Silikasteinen. Auf der Außenseite wird der Ofen von Luft gek¨ uhlt, w¨ ahrend die Tempeagt. Der W¨ arme¨ uberratur der Innenwand weiterhin konstant ist und 500◦ C betr¨ gangskoeffizient an die Außenluft ist α = 10 W/m2 K, ihre Umgebungstemperatur armeleitf¨ ahigkeit der Silikasteine betr¨ agt λ = 0, 8 W/Km, die ϑU = 20◦ C. Die W¨ Wanddicke ist δ = 0, 25 m. Man berechne mit Hilfe der Finite-Element-Methode die Temperaturen ϑ0 , . . . , ϑ4 sowie die Außentemperaturen ϑ5 , . . . , ϑ10 . Um wieviel verringert sich die an die Luft abgef¨ uhrte W¨ arme verglichen mit der bei konstanter Außentemperatur des Beispiels 2.8?

Abb. 2.70: Wand eines Raumes mit quadratischem Grundriss. W¨ arme¨ ubertragung an die umgebende Luft. FEM-Gitternetz

2.22: Zur K¨ uhlung eines elektrisch beheizten Bauelements dient die in Abb. 2.71 dargestellte Grundplatte mit dem darauf befindlichen Gitter aus 60 Rundst¨ aben. omt mit Die St¨ abe werden von Luft der Temperatur ϑU = 20 ℃ quer angestr¨ einem W¨ arme¨ ubergangskoeffizient von α = 20 W/m2 K. Sie bestehen aus Aluminium der W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ = 200 W/Km, der spez. W¨ armekapazit¨ at c = 900 J/kg K und der Dichte = 2700 kg/m3 . Jeder Stab hat einen Durchmesser von d = 0, 01 m und eine L¨ ange von L = 0, 1 m. Die Anfangstemperatur aben der St¨ abe ist ϑ0 = ϑU = 20 ℃. Bei Einschalten der Heizung wird den 60 St¨ ein W¨ armestrom von 600 W zugef¨ uhrt. Gleichzeitig wird die Luftk¨ uhlung eingeschaltet.

296


Abb. 2.71: Querangestr¨ omte Gitterst¨ abe auf einer Grundplatte zur K¨ uhlung elektronischer Bauelemente

Man berechne mit der Finite-Element-Methode den zeitlichen und ¨ ortlichen Temperaturverlauf in den St¨ aben unter der Annahme, dass jedem Stab der gleiche W¨ armestrom zugef¨ uhrt wird, und dass man den W¨ armestrom, der von der freien Fl¨ ache der Grundplatte an die Luft abgef¨ uhrt wird, vernachl¨ assigen kann. Die Lufttemperatur in einigem Abstand von der Staboberfl¨ ache ¨ andert sich beim Durchstr¨ omen des Stabb¨ undels nur wenig und betr¨ agt dort unver¨ andert 20 ℃. 2.23: Eine 75 mm dicke Holzplatte enth¨ alt 2,8 Massen-% Wasser bezogen auf das trockene Holz, entsprechend einem Massenanteil von ξAα = 0,218. Im Gleichgewicht mit der Umgebung w¨ urde sich der Massenanteil auf ξAU = 0,065 verringern. Wie lange dauert es, bis der Massenanteil des Wassers in der Plattenmitte auf ξA (x = 0) = 0,08 gesunken ist? Der Diffusionskoeffizient von Wasser in Holz ist D = 1,2 · 10−9 m2 /s. 2.24: Statt der 75 mm dicken Holzplatte der vorigen Aufgabe soll ein sehr langer Holzstamm mit quadratischem Querschnitt von 75 mm Kantenl¨ ange getrocknet werden. Die Massenanteile des Wassers und der Diffusionskoeffizient seien dieselben wie in der vorigen Aufgabe: ξAα = 0,218, ξAU = 0,065, D = 1,2 · 10−9 m2 /s. Wie lange dauert es, bis der Wasseranteil im Kern des Stammes auf den Wert ξA (x = 0, y = 0) = 0,08 gesunken ist? 2.25: In einem Spr¨ uhabsorber wird ammoniakhaltiges Abgas durch Wasser gereinigt. Das Abgas und die Wassertropfen werden nach Abb. 2.72 im Gegenstrom gef¨ uhrt. An der Oberfl¨ ache der herabfallenden Wassertropfen stellt sich die zur Temperatur von 10 ℃ des eingespr¨ uhten Wassers und zum Druck von 0,11 MPa geh¨ orende S¨ attigungskonzentration an Ammoniak (Stoff A) ein. Der Massenanteil Ammoniak bei S¨ attigung betr¨ agt ξA0 = 0,4. Gegeben sind folgende Massenstr¨ ome und Massenanteile: zugef¨ uhrter Wassermengenstrom M˙ W = 2,3 kg/s, zugef¨ uhrter Abgasmengenstrom M˙ Ge = 4,4 kg/s, Massenanteil Ammoniak G G im zugef¨ uhrten Abgas ξAe = 0,12; er soll auf ξAa = 0,006 im abstr¨ omenden AbL = 0,24 gas verringert werden; der Massenanteil Ammoniak im Abwasser darf ξAa betragen. Der Wasseranteil im Abgas sei vernachl¨ assigbar.

2.7 Aufgaben

297

Abb. 2.72: Reinigung von Gasen in einem Spr¨ uhabsorber ˙ Ga von Abgas, M ˙ La von Abwasser und a) Wie groß sind die Massenstr¨ ome M uhren? welchen Massenstrom M˙ W Wasser muss man dem Absorber zuf¨ L b) Nach welcher Zeit ist der mittlere Massenanteil NH3 im Abwasser auf ξAa = 0,24 angewachsen? Der Durchmesser der Wassertropfen betrage 3 mm und der Diffusionskoeffizient von NH3 in H2 O ist D = 1,5 · 10−9 m2 /s. c) Wie hoch wird der Spr¨ uhabsorber, wenn die Wassertropfen in dem nach oben str¨ omenden Abgas mit einer Geschwindigkeit w = 0,1 m/s nach unten fallen? 2.26: Trockene Styroporkugeln von 60 mm Durchmesser werden 1 h lang mit Wasser berieselt. Wieviel Wasser nimmt jede Kugel auf, wenn der Diffusionskoagt? effizient von Wasser (Stoff A) in Styropor (Stoff B) D = 1,8 · 10−8 m2 /s betr¨

3 Konvektiver W¨ armeund Stoffu omungen ¨ bergang. Einphasige Str¨

Im ersten Kapitel waren der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient durch q˙ = αΔϑ und der Stoff¨ ubergangskoeffizient f¨ ur einen Stoff A durch n˙ A = βΔcA definiert worden. Der so eingef¨ uhrte Stoff¨ ubergangskoeffizient galt f¨ ur verschwindenden Konvektionsstrom und musste f¨ ur endlichen Konvektionsstrom noch korrigiert werden. Diese Gleichungen beschreiben zwar den konvektiven Wärme- und Stoff¨ ubergang, sie sind jedoch weiter nichts als Definitionsgleichungen f¨ ur den W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten α und den Stoff¨ ubergangskoeffizienten β, keinesfalls aber als Gesetze des Wärme- oder Stoff¨ ubergangs anzusehen. Der naturgesetzliche Ablauf des Vorgangs der Wärme- und Stoff¨ ubertragung ist vielmehr in dem W¨ armeund Stoff¨ ubergangskoeffizienten verborgen. Beide sind im Allgemeinen nicht konstant, sondern lokal und bei instationären Vorg¨ angen auch zeitlich ver¨ anderlich. Sie hängen außerdem von der Strömung, von Stoffeigenschaften des Fluids und der geometrischen Gestalt der Wärme oder Stoff u ¨bertragenden Oberflächen ab. Die obigen Definitionsgleichungen f¨ ur den W¨ armeund Stoff¨ ubergangskoeffizienten sind somit nicht geeignet, den Mechanismus der W¨ armeund Stoff¨ ubertragung zu beschreiben. Das ist nur u ¨ber ein eingehendes Studium der Strömung möglich und soll Gegenstand der folgenden Ausf¨ uhrungen sein. Grundsätzlich unterscheidet man zwischen erzwungener und freier Strömung. Eine erzwungene Str¨ omung wird durch äußere Kräfte hervorgerufen, beispielsweise dadurch, dass die Str¨ omung durch eine Pumpe oder ein Gebläse zustande kommt. Eine freie Str¨ omung wird durch Dichteunterschiede angefacht, die ihrerseits auf Temperatur-, Druck- oder Konzentrationsunterschiede zur¨ uckzuf¨ uhren sind. Im Folgenden soll zuerst der Wärme- und Stoff¨ ubergang bei erzwungener, anschließend der bei freier Strömung behandelt werden.


300

3 Konvektiver W¨ armeund Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

3.1 Vorbemerkungen: Die l¨ angsangestr¨ omte ebene Platte bei reibungsfreier Str¨ omung Um zu erkennen, wie sich W¨ armeund Stoff¨ ubergangskoeffizienten mit dem Strömungsweg ändern, betrachten wir eine l¨ angsangeströmte ebene Platte und nehmen dabei an, die Platte werde mit der konstanten mittleren Geschwinomt. Gleichbedeutend damit ist die Annahme, die Viskodigkeit wm u ¨berstr¨ sität des Fluids sei verschwindend gering. Wirkliche Strömungen haften an der Wand, so dass die Str¨ omungsgeschwindigkeit vom Wert null an der Wand asymptotisch in die Geschwindigkeit der Außenströmung u ¨bergeht. Ein Fluid mit verschwindender Viskosit¨ at w¨ urde an der Wand nicht haften. Solche Fluide kommen zwar in der Praxis nicht vor, ihre Einf¨ uhrung ermöglicht es uns jedoch, lokale Temperatur- und Konzentrationsfelder und daraus auch lokale Wärme- und Stoff¨ ubergangskoeffizienten mit den bereits bekannten Methoden wenigstens in grober N¨ aherung zu berechnen. Dadurch wird das Verständnis der später folgenden allgemeinen Betrachtungen mit Hilfe der maßgebenden partiellen Differentialgleichungen erleichtert. Eine ebene Platte werde von einem Fluid der Temperatur ϑα mit der konstanten mittleren Geschwindigkeit wm angestr¨ omt, Abb. 3.1. Die Oberflächentemperatur der Platte sei konstant und gleich ϑ0 . Falls die Platte heißer ist als das ankommende Fluid ϑ0 > ϑα bildet sich ein Temperaturprofil aus, wie links in Abb. 3.1a eingezeichnet; ist die Platte k¨ alter als das ankommende Fluid, ϑ0 < ϑα , so erhält man das rechts in Abb. 3.1a eingezeichnete Temperaturprofil. Die Temperatur¨ anderungen sind auf eine d¨ unne wandnahe Schicht begrenzt, die stromabw¨ arts anw¨ achst, weil sich die Temperaturänderung immer weiter in das Fluid fortpflanzt. Die wandnahe Schicht mit der Dicke δT (x), in der die Temperatur¨ anderungen auftreten, heißt Temperaturgrenzschicht, Abb. 3.1b. Sie erstreckt sich asymptotisch in den Außenraum; ihre Dicke muss also durch eine Definition festgelegt werden, beispielsweise dadurch, dass man die Grenze an eine Stelle legt, wo die Temperatur nur noch vernachlässigbar wenig — etwa um 1 % — von derjenigen der Außenströmung abweicht. In der Temperaturgrenzschicht wird die einem Fluidelement durch Leitung zugef¨ uhrte W¨ arme in Form von innerer Energie gespeichert und mit dem Fluidelement abgef¨ uhrt. Es ist ϑ = ϑ(x, y). Außerhalb der Temperaturgrenzschicht herrscht mit guter Genauigkeit die konstante Temperatur ϑα der Außenströmung. Ein im Abstand y von der Wand mit einem Fluidelement mitbewegter Beobachter befindet sich nach der Zeit t am Ort x = wm t. F¨ ur ihn ist die Temperatur ϑ(x, y) = ϑ(wm t, y) nur eine Funktion der Zeit und des Wandabstands y, da die Geschwindigkeit wm konstant sein soll. F¨ ur den mitbewegten Beobachter wird daher die Temperatur ϑ(t, y) durch die bereits bekannte Fouriersche Gleichung (2.14) f¨ ur die instationäre Wärmeleitung beschrieben, ∂ 2ϑ ∂ϑ =a 2 , (3.1) ∂t ∂y

3.1 Die l¨ angsangestr¨ omte ebene Platte bei reibungsfreier Str¨ omung

301

Abb. 3.1: a Temperaturprofile und b Temperaturgrenzschicht an einer l¨ angsangestr¨ omten ebenen Platte

wenn wir eine temperaturunabh¨ angige W¨ armeleitfähigkeit λ voraussetzen. Am Ort x = 0 oder zur Zeit t = 0 herrscht die Anfangstemperatur ϑα ; an der Wand ist die Temperatur ϑ0 vorgegeben. Randbedingungen sind somit ϑ(t = 0, y) = ϑα

(3.2)

ϑ(t, y = 0) = ϑ0 .

(3.3)

Zusammen mit (3.1) beschreiben diese Randbedingungen auch das Temperaturfeld in einem einseitig unendlich ausgedehnten Körper mit der Anfangstemperatur ϑα , wenn die Oberfl¨ achentemperatur plötzlich den konstanten Wert ϑ0 = ϑα annimmt. Dieses Problem war schon in Abschnitt 2.3.3.1 behandelt worden. Die Lösung lautete, vgl. (2.124), y ϑ − ϑα = (ϑ0 − ϑα ) erfc √ . 2 at

(3.4)

Den o¨rtlichen W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten α erhält man aus der Energiebilanz an der Wand

∂ϑ . (3.5) q˙ = α(ϑ0 − ϑα ) = −λ ∂y y=0 Die hierin vorkommende Steigung an der Wand ergibt sich durch Differentiation von (3.4) zu

1 ∂ϑ = −(ϑ0 − ϑα ) √ . ∂y y=0 πat Damit wird der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient α= √ oder mit t = x/wm 1 α= √ λ π

λ πat

(

wm . ax

(3.6)

302


Der mittlere Wärme¨ ubergangskoeffizient αm ist der integrale Mittelwert u ¨ber die Plattenlänge L 1 αm = L

L

1 α dx = 2 √ λ π

(

wm = 2α(x = L) . aL

(3.7)

x=0

Er ist zweimal so groß wie der ¨ ortliche W¨ arme¨ ubergangskoeffizient an der Stelle L. Wie aus (3.6) folgt, f¨ allt der ¨ ortliche W¨ arme¨ ubergangskoeffizient mit der Lauflänge gemäß α ∼ x−1/2 . Am Plattenanfang x → 0 wird der Wärme¨ ubergangskoeffizient extrem groß, α → ∞, und demnach auch die u ¨bertragene Wärmestromdichte sehr groß, q˙ → ∞. Nach sehr großen Lauflängen, x → ∞, wird der Wärme¨ ubergangskoeffizient verschwindend klein, α → 0. Eine Abschätzung der Dicke δT der Temperaturgrenzschicht erhält man durch Linearisieren des Temperaturanstiegs

ϑα − ϑ0 ∂ϑ ≈ . ∂y y=0 δT Damit folgt aus (3.5) α≈

λ . δT

Der Wärme¨ ubergangskoeffizient ist umgekehrt proportional zur Dicke der Temperaturgrenzschicht. Der W¨ armewiderstand δT 1 ≈ α λ ist proportional zur Dicke der Temperaturgrenzschicht. Er ist verschwindend klein am Plattenanfang (δT → 0, α → ∞) und wächst u ¨ber alle Maßen, wenn die Platte unendlich lang wird (δT → ∞, α → 0). Mit Hilfe von (3.6) findet man, dass die Temperaturgrenzschicht ( ax λ √ δT ≈ = π (3.8) α wm mit der Quadratwurzel aus der Laufl¨ ange x anwächst. Um das analoge Problem der Stoff¨ ubertragung zu untersuchen, nehmen wir an, eine ebene Platte sei mit einem Stoff A u ¨berzogen, beispielsweise Naphthalin, der in das l¨ angs der Platte str¨ omende Fluid, beispielsweise Luft, diffundiert. Damit unserer Voraussetzung entsprechend sich die Strömungsgeschwinangs des Str¨ omungsweges nicht ändert, m¨ ussen wir andigkeit wm des Fluids l¨ nehmen, dass die durch Diffusion u ¨bergehende Stoffmenge vernachlässigbar klein im Vergleich zur vorbeistr¨ omenden Stoffmenge ist. Die wandnormale Konvektion soll also keine Rolle spielen. Die Konzentration cA0 des Stoffes A an der Plattenoberfl¨ ache ist konstant, die Konzentration des ankommenden Fluids sei cAα < cA0 . Im Fall des idealen Gases ist cA = NA /V = pA /Rm T ,

3.1 Die l¨ angsangestr¨ omte ebene Platte bei reibungsfreier Str¨ omung

303

wobei cA0 mit dem S¨ attigungsdruck pA (ϑ0 ) an der Plattenoberfläche und cAα mit dem Partialdruck des Stoffes A im ankommenden Gas zu bilden ist. Es bildet sich ein Konzentrationsprofil aus. Die Konzentrationsänderungen sind genau wie zuvor die Temperatur¨ anderungen auf eine d¨ unne stromabwärts anwachsende Schicht der Dicke δc (x) begrenzt, die man Konzentrationsgrenzschicht nennt. Sie ist f¨ ur den bewegten Beobachter eine Funktion von Zeit und Ort, die durch die bereits bekannte Gleichung (2.380) f¨ ur die instationäre Diffusion beschrieben wird, in der wir einen konzentrationsunabhängigen Diffusionskoeffizienten voraussetzen: ∂ cA ∂ 2 cA . =D ∂t ∂y 2

(3.9)

cA (t = 0, y) = cAα

(3.10)

cA (t, y = 0) = cA0 .

(3.11)

Randbedingungen sind

Das analoge Problem der instation¨ aren W¨ armeleitung war durch (3.1) bis (3.3) gegeben. Entsprechend erh¨ alt man die der Gl. (3.4) verwandte Lösung y . cA − cAα = (cA0 − cAα ) erfc √ 2 Dt

(3.12)

Wegen cA = x Ã c darf man hierin auch die Konzentration cA durch den Molanteil x Ã ersetzen. Den ¨ ortlichen Stoff¨ ubergangskoeffizienten erhält man aus der Stoffbilanz an der Wand

∂x Ã . (3.13) n˙ A0 = β(cA0 − cAα ) = −cD ∂y y=0 Die Steigung an der Wand ergibt sich durch Differentiation von (3.12) zu

1 ∂ cA = −(cA0 − cAα ) √ . ∂y y=0 πDt Damit wird der Stoff¨ ubergangskoeffizient β=√ oder mit t = x/wm 1 β=√ π

D πDt

(

Dwm . x

Der mittlere Stoff¨ ubergangskoeffizient βm u ¨ber die Plattenlänge L 1 βm = L

L β dx = 2β(x = L) x=0

(3.14)

304


ist genau wie der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient zweimal so groß wie der atzung der Dicke δc der Konzentraörtliche Wert an der Stelle L. Eine Absch¨ tionsgrenzschicht folgt aus (3.13) durch Linearisieren des Konzentrationsprofils, ∂x Ã Ã0 x Ãα − x cAα − cA0 c ≈c = , ∂y δc δc und f¨ uhrt zu dem (3.8) entsprechenden Ausdruck ( D √ Dx , = π δc ≈ β wm

(3.15)

wonach die Dicke der Konzentrationsgrenzschicht ebenfalls mit der Wurzel aus der Lauflänge x anw¨ achst. Wie aus (3.8) und (3.15) folgt, ist das Verh¨ altnis der Dicken von Temperatur- und Konzentrationsgrenzschicht n¨ aherungsweise durch die schon bekannte Lewis-Zahl Le = a/D, siehe Tabelle 1.5, gegeben: √ δT ≈ Le . δc Wärme- und Stoff¨ ubergangskoeffizienten sind wegen (3.6) und (3.14) ebenfalls durch die Lewis-Zahl miteinander verkn¨ upft ( √ a α = = Le . cp β D Da f¨ ur ideale Gasgemische Lewis-Zahlen von der Größenordnung eins sind, gilt die schon fr¨ uher mitgeteilte Beziehung (1.199): β = α/ cp .

3.2 Die Bilanzgleichungen Wirkliche Strömungen sind nicht reibungsfrei. Es bildet sich vielmehr infolge der Reibung ein Str¨ omungsfeld aus mit im Allgemeinen o¨rtlich und zeitlich veränderlichen Geschwindigkeiten. Das Temperatur- und das Konzentrationsfeld werden nicht nur durch Leitung und Diffusion, sondern auch durch die Strömung bestimmt. Gestalt und Verlauf von Strömungs-, Temperatur- und Konzentrationsfeld ergeben sich als L¨ osungen der Bilanzgleichungen f¨ ur Masse, Impuls und Energie, die Gegenstand der folgenden Abschnitte sind.

3.2.1 Das Reynoldssche Transporttheorem Die Herleitung der Bilanzgleichungen wird durch das Reynoldssche Transporttheorem vereinfacht. Um es aufzustellen, betrachten wir eine bestimmte infinitesimal kleine Fluidmasse dM und verfolgen deren Bewegung in einem

3.2 Die Bilanzgleichungen

305

Strömungsfeld. Die Fluidmasse soll immer aus denselben Teilen bestehen; sie besitzt ein bestimmtes Volumen und eine bestimmte Oberfläche. Da sich im Laufe der Bewegung die Gestalt des Fluidvolumens im Allgemeinen ändert, können auch Volumen und Oberfl¨ ache mit der Zeit veränderlich sein. Die Masse M des abgegrenzten Fluidvolumens ergibt sich als Summe u ¨ber alle Massenelemente dM dM , M= (M )

wof¨ ur man mit der Dichte = lim

ΔV →0

ΔM dM = , ΔV dV

die in einem Kontinuum eine stetige Funktion der Zeit und der Ortskoordinaten ist, auch dV

M= V (t)

schreiben kann. Entsprechend l¨ asst sich jede andere extensive Zustandsgröße Z, wie innere Energie, Enthalpie, Entropie u.a. durch Integration aus den zugehörigen spezifischen Zustandsgr¨ oßen bilden. F¨ ur die spezifische Zustandsgröße z gilt ΔZ dZ = , ΔM dM z dV Z = z dM = z = lim

ΔM →0

woraus

M

V (t)

folgt. Hierin kann die spez. Zustandsgr¨ oße z ein Skalar, ein Vektor oder auch ein Tensor beliebiger Stufe sein. Sie ist wie die Dichte vom Ort und der Zeit abhängig, während die extensive Zustandsgr¨ oße Z nur zeitabhängig ist. Es soll nun die zeitliche Ableitung von Z gebildet werden d dZ = z dV . dt dt V (t)

Wir schreiben zur Abk¨ urzung f¨ ur die auf das Volumen bezogene Zustandsgröße vor¨ ubergehend z = ZV , die ihrerseits von der Zeit und vom Ort abhängt. Definitionsgemäß ist dann Z(t + Δt) − Z(t) dZ = lim Δt→0 dt Δt ⎤ ⎡ 1 ⎢ ⎥ ZV (t + Δt) dV − ZV (t) dV ⎦ , = lim ⎣ Δt→0 Δt V (t+Δt)

V (t)

306


¨ worin die Ortsabh¨ angigkeit von ZV der Ubersichtlichkeit wegen nicht mitgeschrieben ist. F¨ ur die Ableitung kann man auch schreiben ⎤ ⎡ 1 ⎢ dZ ⎥ (ZV (t +Δt) − ZV (t)) dV + ZV (t) dV − ZV (t) dV ⎦ = lim ⎣ dt Δt→0 Δt V (t+Δt)

oder dZ = dt

V (t+Δt)

ZV (t + Δt) − ZV (t) 1 lim dV + lim Δt→0 Δt→0 Δt Δt

V (t)

V (t)

ZV (t) dV . (3.16) ΔV (t)

Abb. 3.2: Deformation eines geschlossenen Systems mit dem Volumen V (t) in einer Str¨ omung

Mit ΔV (t) = V (t + Δt) − V (t) ist hierin der Volumenzuwachs während der Zeit Δt bezeichnet. Nach Abb. 3.2 ist das Volumenelement gegeben durch dV = wi dAi Δt.1 Damit geht das zweite Integral in ein Oberflächenintegral u ¨ber, 1 ZV (t)wi dAi Δt = ZV (t)wi dAi , Δt A(t)

A(t)

und die Grenzwertbildung ist u ussig, da das Zeitintervall Δt nicht mehr ¨berfl¨ vorkommt. Der Integrand des ersten Integrals geht nach der Grenzwertbildung gegen ∂ ZV /∂t. Damit erh¨ alt man aus (3.16) das Reynoldssche Transporttheorem f¨ ur Volumina, indem man wieder ZV = z setzt dZ ∂ (z) zwi dAi . (3.17) = dV + dt ∂t V (t)

A(t)

In dieser Gleichung gibt der erste Term auf der rechten Seite an, um wieviel die betrachtete Zustandsgr¨ oße Z im Innern des Volumens V zur Zeit t zunimmt; der zweite Term gibt an, welcher Anteil der Zustandsgröße mit der 1

Wir bedienen uns in diesem und den beiden folgenden Abschnitt 3.3 und 3.4 sowie in den Abschnitt 3.6 und 3.9 der Tensornotation, weil sich mit ihr die ¨ Bilanzgleichungen besonders u u ¨bersichtlich schreiben lassen. Einen Uberblick ¨ber die Vereinbarungen der Tensornotation findet man im Anhang A1.


307

Materie abfließt, denn das Oberfl¨ achenelement dAi ist, wie Abb. 3.2 zeigt, definitionsgemäß nach außen gerichtet, so dass positives wi dAi einen Abfluss aus dem Volumen heraus bedeutet. Anschaulich besagt demnach (3.17), ¨ dass die Anderung der extensiven Zustandsgröße Z einer Materiemenge M mit zeitlich veränderlichem Volumen V (t) gleich der Zunahme der extensiven Zustandsgröße im Innern des Volumens V zur Zeit t ist und dem Anteil der Zustandsgröße, der zur gleichen Zeit mit der Materie aus dem Volumen abfließt. Mit Hilfe des Gaußschen Satzes kann man das Oberflächenintegral noch in ein Volumenintegral umwandeln, und man erhält dZ ∂ (z) ∂ (zwi ) = dV + dV . (3.18) dt ∂t ∂xi V (t)

V (t)

3.2.2 Die Massenbilanz 3.2.2.1 Reine Stoffe Wir wenden nun (3.18) auf die Masse als extensive Zustandsgröße an, setzen also Z = M und z = M/M = 1. Gleichung (3.18) lautet damit ∂ ∂ wi dM dV . (3.19) = dV + dt ∂t ∂xi V (t)

V (t)

Da voraussetzungsgem¨ aß die Masse dM der betrachteten infinitesimal kleinen Untersysteme konstant ist, bleibt auch die Masse des Gesamtsystems konstant: Sie befindet sich innerhalb des zeitlich veränderlichen Volumens V (t). Wir betrachten also ein geschlossenes System, und es ist somit dM /dt = 0. Da auch die inifinitesimal kleinen Untersysteme voraussetzungsgemäß eine konstante Masse besitzen, gilt (3.19) auch f¨ ur V (t) → 0; es muss also auch die Summe der beiden Integranden verschwinden. Damit erhalten wir ∂ ∂ (wi ) + =0 . ∂t ∂xi

(3.20)

Durch Differentiation ∂ ∂ wi ∂ + wi + =0 ∂t ∂xi ∂xi findet man die der Gleichung (3.20) a ¨quivalente Beziehung ∂ wi d + =0 , dt ∂xi denn es ist

(3.21)

308


d ∂ ∂ = + wi . dt ∂t ∂xi Die Gleichung (3.20) bzw. (3.21) besagt, dass die Masse in einem infinitesimal kleinen Volumenelement erhalten bleibt; sie wird Kontinuit¨ atsgleichung genannt. In einem inkompressiblen Fluid ist die Dichte konstant, = const. Die Kontinuitätsgleichung vereinfacht sich zu ∂ wi =0 . ∂xi Beispiel 3.1: Man zeige mit Hilfe von (3.18) und (3.20), dass folgende Beziehung gilt: dz dZ d z dV = = dV . dt dt dt V (t)

V (t)

(3.18) kann man nach Differentiation der Integranden auf der rechten Seite auch schreiben

∂ ( wi ) ∂ dZ ∂z d ∂z z z dV z dV = + wi dV + = + dt dt ∂t ∂t ∂xi ∂xi V (t)

V (t)

V (t)

=

z V (t)

∂ ∂ ( wi ) + ∂t ∂xi

dV + V (t)

∂z ∂z + wi ∂t ∂xi

dV .

Wegen der Kontinuit¨ atsgleichung (3.20) verschwindet das erste Integral auf der rechten Seite. Der Integrand in der Klammer des zweiten Integrals ist gleich dem totalen Differential ∂z dz ∂z . = + wi dt ∂t ∂xi Damit ist die Beziehung d dZ dz = dV z dV = dt dt dt V (t)

V (t)

bewiesen.

3.2.2.2 Mehrstoffgemische Es soll nun die Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur eine beliebige Komponente A eines aus N Komponenten bestehenden Gemisches aufgestellt werden. Wir betrachten den Stoff A allein. Er soll zur Zeit t das Volumen V (t) einnehmen und die Oberfläche A(t) besitzen. Durch Abfluss des Stoffes A vergrößert sich das in Abb. 3.2 dargestellte Volumen um dV = wAi dAi Δt, wenn wAi die ¨ Strömungsgeschwindigkeit des Stoffes A ist. Beim Ubergang von (3.16) auf (3.17) und (3.18) ist daher die Schwerpunktsgeschwindigkeit wi durch die Geschwindigkeit wAi des Stoffes A zu ersetzen. Weiterhin setzen wir in (3.17)


309

f¨ ur die extensive Zustandsgr¨ oße Z die Masse MA , z = MA /M = ξA und z = MA /V = A und erhalten damit dMA ∂ A = dV + A wAi dAi . (3.22) dt ∂t V (t)

A(t)

Nach dieser Gleichung setzt sich die Zunahme einer Stoffmenge A aus zwei Anteilen zusammen: aus der Zunahme im Inneren des Systems und aus der Menge des Stoffes A, die aus dem System abfließt. Bezeichnet man mit Γ˙A die Produktionsrate (SI-Einheit kg/m3 s) der Komponente A in einem Volumenelement, so ist dMA Γ˙A dV . = dt V (t)

Die Produktionsdichte Γ˙A ist im Allgemeinen zeitlich und örtlich veränderlich. Sie wird durch den Ablauf von chemischen Reaktionen im Innern des Systems bestimmt, und es ist Aufgabe der Reaktionskinetik, sie zu ermitteln. Wandelt man in (3.22) das Oberfl¨ achenintegral mittels des Gaußschen Satzes noch in ein Volumenintegral um, so erh¨ alt man ∂ A ∂ A wAi dV . Γ˙A dV = dV + ∂t ∂xi V (t)

V (t)

V (t)

Da diese Beziehung auch f¨ ur V (t) → 0 gilt, m¨ ussen die Integranden u ¨bereinstimmen. Es ist daher ∂ (A wAi ) ∂ A Γ˙A = + . ∂t ∂xi

(3.23)

Eine derartige Massenbilanz wird Komponenten-Kontinuit¨ atsgleichung genannt. Sie lässt sich f¨ ur jede Komponente aufstellen. Es gibt daher genau so viele solcher Gleichungen wie Komponenten. Die Summation u ¨ber alle Komponenten f¨ u hrt wieder zur Kontinuit¨ a tsgleichung f¨ u r die Gesamtmas' ' ' ˙ K = und K wKi = wi ist. Anstelle der N se, weil ΓK = 0, Komponenten-Kontinuit¨ atsgleichungen f¨ ur ein aus N Komponenten bestehendes System kann man daher auch N − 1 Komponenten-Kontinuitätsgleichungen und zusätzlich die Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur die Gesamtmasse verwenden. asst sich auf die DiffusionsstromDie Stoffstromdichte A wAi in (3.23) l¨ ∗ dichte jAi zur¨ uckf¨ uhren ∗ A wAi = jAi + A wi .

Damit geht (3.23) u ¨ber in ∂ ∂ A + (j ∗ + A wi ) Γ˙A = ∂t ∂xi Ai

(3.24)

310

oder


∂ j∗ ∂ A ∂ (A wi ) = − Ai + Γ˙A . + ∂t ∂xi ∂xi

Hierin lässt sich die Partialdichte A durch den Massenanteil ξA und die Dichte A = ξA ausdr¨ ucken, so dass man die linke Seite der Gleichung auch umformen kann in ∂ ∂ ξA ∂ ξA ∂ ∂ (wi ) ∂ (ξA ) + + + wi (ξA wi ) = ξA . + ∂t ∂xi ∂t ∂xi ∂t ∂xi Der Term in der eckigen Klammer verschwindet wegen der Kontinuitätsgleichung (3.20) f¨ ur die Gesamtmasse. Die Komponenten-Kontinuitätsgleichung lautet damit ∂ j∗ ∂ ξA ∂ ξA + wi = − Ai + Γ˙A ∂t ∂xi ∂xi oder

dξA ∂ j∗ = − Ai + Γ˙A . dt ∂xi

(3.25)

∗ F¨ ur ein Zweistoffgemisch geht sie nach Einsetzen des Diffusionsstroms jAi nach (1.161) mit DAB = DBA = D u ber in ¨

∂ ξA ∂ ξA ∂ ξA ∂ D + Γ˙A . + wi = (3.26) ∂t ∂xi ∂xi ∂xi

Im Fall des ruhenden Systems, wi = 0, ergibt sich die bereits bekannte Beziehung f¨ ur die instation¨ are Diffusion, (2.378). Setzt man konstante Dichte voraus, so folgt aus (3.26):

∂ ξA ∂ ∂ ξA ∂ ξA + wi = (3.27) D + Γ˙A / ∂t ∂xi ∂xi ∂xi ˜ A cA /, worin cA die molare Konzentration cA = NA /V ist, oder mit ξA = M

∂ cA ∂ cA ∂ cA ∂ D + r˙A + wi = (3.28) ∂t ∂xi ∂xi ∂xi ˜ A (SI-Einheit kmol/m3 s) der durch chemimit der Reaktionsrate r˙A = Γ˙A /M sche Reaktion erzeugten Stoffmenge A. Beispiel 3.2: Man zeige, dass unter den Voraussetzungen der Filmtheorie — station¨ arer Stoff¨ ubergang nur in Richtung der wandnahen Koordinatenachse, verschwindende Produktionsdichte — die Komponenten-Kontinuit¨ atsgleichung (3.25) in (1.186) der Filmtheorie u ¨bergeht. Bezeichnet man die wandnormale Koordinate mit y so geht (3.25) unter den angegebenen Voraussetzungen u ¨ber in w

∂ j∗ ∂ ξA =− A , ∂y ∂y


311

∗ der Diffusionsstrom und w die Geschwindigkeit in Richtung der y-Achse worin jA sind. Andererseits gilt aufgrund der Kontinuit¨ atsgleichung (3.20)

∂ ( w) =0 . ∂y Es ist somit w = const, und man kann (3.25) auch schreiben ∂ ∗ ∂ ∗ (jA + w ξA ) = (jA + A w) = 0 . ∂y ∂y ∗ ∗ = A (wA − w), somit jA + A w = Nun ist aber definitionsgem¨ aß nach (1.155) jA ˙ A /dy = 0, woraus aber wegen M ˙A = A wA und daher ∂(A wA )/∂y = 0 oder dM ˜ A N˙ A , die Gl. (1.186) dN˙ A /dy = 0 folgt. Dieses Ergebnis findet man auch M direkt aus Gl. (3.23), wenn man Γ˙A = 0, dA /dt = 0 setzt und eindimensionalen Stoffstrom voraussetzt.

3.2.3 Die Impulsbilanz Die Massenelemente eines str¨ omenden Fluids u ¨bertragen einen Impuls. Darunter versteht man das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit. Ein Massenelement dM , das mit der Geschwindigkeit wj strömt, transportiert den Impuls wj dM = wj dV . Der von einem Fluidvolumen mit dem Volumen V (t) insgesamt transportierte Impuls Ij ist somit Ij = wj dV . (3.29) V (t)

Nach dem zweiten Newtonschen Axiom der Mechanik ist die zeitliche Impulsänderung eines K¨ orpers gleich der Resultierenden aller auf diesen Körper wirkenden Kräfte dIj = Fj (3.30) dt und daher d wj dV = Fj . (3.31) dt V (t)

Anwendung des Transporttheorems ergibt, wenn wir in (3.17) z = wj setzen, ∂ (wj ) wj wi dAi = Fj (3.32) dV + ∂t V (t)

A(t)

oder unter Beachtung der Kontinuit¨ atsgleichung (3.20) (vgl. auch Beispiel 3.1) dwj dV = Fj (3.33) dt V (t)

312

mit


∂ wj dwj ∂ wj . = + wi dt ∂t ∂xi

(3.34)

Die an einem Körper angreifenden Kr¨ afte Fj lassen sich in zwei Klassen einteilen: in Massen- bzw. Volumenkr¨ afte und in Oberflächenkräfte. Die Massenkr¨ afte wirken auf alle materiellen Teilchen eines Körpers. Sie sind Kräfte mit großer Reichweite und haben ihre Ursache in Kraftfeldern. Ein Beispiel ist das Erdschwerefeld. Die Fallbeschleunigung gj wirkt auf jedes Molek¨ ul, so dass auf ein Fluidelement der Masse ΔM die Schwerkraft ΔFj = gj ΔM wirkt. Sie ist proportional der Masse des Fluidelements. Die Massenkraft definiert man durch dFj ΔFj = (3.35) kj = lim ΔM →0 ΔM dM und die Volumenkraft durch ΔFj dFj = . ΔV →0 ΔV dV

fj = lim

(3.36)

Im Fall der Schwerkraft ist somit kj = gj und fj = gj , allgemein gilt fj = kj . Andere Massen- oder Volumenkr¨ afte sind Zentrifugalkräfte oder durch elektromagnetische Felder hervorgerufene Kr¨ afte. Im Fall eines Mehrstoffgemisches hat man noch zu beachten, dass die Massenoder Volumenkr¨ afte auf die einzelnen Komponenten verschieden einwirken k¨ onnen. Es sei kAj die auf die Komponente A wirkende Massenkraft, definiert durch ΔFAj dFAj = . ΔMA dM A ' ' dFKj = dV kKj K , Dann ist dFAj = kAj dMA = kAj A dV und dFj = wobei die Summation u ¨ber alle Stoffe K zu bilden ist. Andererseits gilt wegen (3.35) dFj = kj dM = kj dV und somit kj = kKj K . (3.37) kAj =

lim

ΔMA →0

Greift als Massenkraft nur die Schwerkraft an, so ist gj = kj = kKj und =

'

K .

Die Oberfl¨ achenkr¨ afte sind Nahkr¨ afte und werden von der unmittelbar benachbarten Umgebung auf die Oberfl¨ ache des betrachteten Fluids ausge¨ ubt. Ist ΔA das Oberfl¨ achenelement eines K¨ orpers und greift an diesem eine Kraft ΔFj an, Abb. 3.3, so bezeichnet man tj = lim

ΔA→0

ΔFj dFj = ΔA dA

(3.38)

als den Spannungsvektor. Er ist nicht nur vom Ort und der Zeit, sondern


Abb. 3.3: Oberfl¨ achenkraft ΔFj an einem Fl¨ achenelement ΔA

313

Abb. 3.4: Zur Abh¨ angigkeit der Oberfl¨ achenkr¨ afte von der Orientierung des Fl¨ achenelements ΔA

auch von der Orientierung des Fl¨ achenelements und somit vom Normalenvektor des Flächenelements abh¨ angig. Um dies einzusehen, betrachten wir die Strömung entlang einer ebenen Platte, Abb. 3.4. Auf ein Flächenelement ΔA senkrecht zur Platte wirken im Wesentlichen Normalkräfte. Denkt man sich das Flächenelement am gleichen Ort in eine wandparallele Lage gedreht, so wirken an diesem nur noch Schubspannungen. Beide sind im Allgemeinen von verschiedener Gr¨ oße. Die gesamte Kraft, die zur Zeit t an dem betrachteten Fluid vom Volumen V (t) und der Oberfl¨ ache A(t) angreift, erhalten wir durch Integration der Volumen- und der Oberfl¨ achenkr¨ afte zu kj dV + tj dA . (3.39) Fj = V (t)

A(t)

Damit lautet die Impulsgleichung (3.33) dwj dV = kj dV + tj dA . dt V (t)

V (t)

(3.40)

A(t)

¨ Sie besagt, dass die zeitliche Anderung des Impulses eines Fluidvolumens V zur Zeit t durch Volumen- und durch Oberfl¨ achenkräfte bewirkt wird. 3.2.3.1 Der Spannungstensor Zur Berechnung des Spannungsvektors tj begrenzen wir ein Fluidelement durch ein infinitesimal kleines Tetraeder, Abb. 3.5, dessen eine Fläche eine beliebige Richtung hat, w¨ ahrend die u ¨brigen durch die Koordinatenachsen aufgespannt sind. Die schr¨ age Fl¨ ache habe den nach außen gerichteten Noroße dA. An der Fläche greife der Spanmaleneinheitsvektor ni und die Gr¨ nungsvektor t an. Entsprechend sollen an der Fläche dA1 , senkrecht zur xAchse, der Spannungsvektor t1 wirken und an den beiden u ¨brigen Flächen

314


Abb. 3.5: Zum Gleichgewicht der Oberfl¨ achenkr¨ afte

dA2 und dA3 die Spannungsvektoren t2 und t3 . Die an den vier Flächenelementen wirkenden Kr¨ afte m¨ ussen nun unabhängig von der augenblicklichen Bewegung des Fluidelements miteinander im Gleichgewicht stehen. Dies folgt unmittelbar aus der Impulsgleichung (3.40), wenn man sie auf ein infinitesimal kleines Volumenelement anwendet. Beim Grenz¨ ubergang V → 0 verschwinden die Volumenintegrale rascher als das Oberflächenintegral, so dass also die Oberflächenkräfte lokal im Gleichgewicht sind. Angewandt auf das Tetraeder gilt demnach t dA = t1 dA1 + t2 dA2 + t3 dA3 . Hierin kann man noch die Fl¨ achenelemente eliminieren, denn mit den Beziehungen von Abb. 3.6 ist dA =

1 AD · BC 2

,

dA1 =

1 OD · BC 2

und daher OD = dA cos α . AD Daf¨ ur kann man wegen cos α = n1 /n = n1 auch dA1 = dA n1 schreiben. Entsprechend gilt dA2 = dA n2 , dA3 = dA n3 . Zwischen den Spannungsvektoren besteht daher der Zusammenhang dA1 = dA

t = t1 n1 + t2 n2 + t3 n3 .

(3.41)

Jeden der Spannungsvektoren t1 , t2 und t3 kann man nun durch drei Komponenten der Spannung darstellen, die ebenfalls auf die Flächeneinheit bezogene Kräfte sind. Zur Kennzeichnung der Spannungskomponenten sind zwei Indizes erforderlich. Vereinbarungsgem¨ aß kennzeichnet der erste Index die Fläche, an der die Spannung angreift, und ist identisch mit dem Index der Koordinatenachse normal zu dieser Fl¨ ache, w¨ ahrend der zweite Index angibt, in welcher Richtung die Spannungskomponente wirkt. Als Beispiel zeigt Abb. 3.7 die drei Spannungskomponenten an einer Fläche dA1 senkrecht zur xAchse. Es ist


Abb. 3.6: Zum Zusammenhang zwischen den Fl¨ achen

315

Abb. 3.7: Spannungskomponenten an der Fl¨ ache dA1

t1 = τ11 e1 + τ12 e2 + τ13 e3 und entsprechend t2 = τ21 e1 + τ22 e2 + τ23 e3 ,

(3.42)

t3 = τ31 e1 + τ32 e2 + τ33 e3 . Die Spannungskomponenten bilden einen Tensor, der aus neun Komponenten besteht: ⎛ ⎞ τ11 τ12 τ13 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ τij = ⎜ τ21 τ22 τ23 ⎟ . ⎝ ⎠ τ31 τ32 τ33 Die normal zur Oberfl¨ ache wirkenden Spannungen τ11 , τ22 , τ33 oder τij mit i = j bezeichnet man als Normalspannungen, die tangential angreifenden Spannungen τij mit i = j heißen Tangential- oder Schubspannungen. Wegen des Satzes von der Gleichheit einander zugeordneter Schubspannungen ist τij = τji : Der Spannungstensor ist symmetrisch. Setzt man die Spannungsvektoren nach (3.42) in (3.41) ein, so erh¨ alt man t = (τ11 e1 + τ12 e2 + τ13 e3 ) n1 + (τ21 e1 + τ22 e2 + τ23 e3 ) n2 + (τ31 e1 + τ32 e2 + τ33 e3 ) n3 . Andererseits kann man den an der schr¨ agen Tetraederfläche, Abb. 3.5, angreifenden Spannungsvektor t in seine drei Komponenten t1 , t2 , t3 in Richtung der drei Koordinatenachsen zerlegen t = t1 e1 + t2 e2 + t3 e3 .

316


Wie der Vergleich mit der vorigen Beziehung zeigt, gilt f¨ ur die Komponenten des Spannungsvektors t1 = τ11 n1 + τ21 n2 + τ31 n3 t2 = τ12 n1 + τ22 n2 + τ32 n3 t3 = τ13 n1 + τ23 n2 + τ33 n3 oder tj = τji ni

(i, j = 1, 2, 3) .

(3.43)

Formal lässt sich der Spannungstensor τji als Summe zweier Tensoren schreiben ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 1 1 − τ τ 0 0 τ τ τ 11 kk 12 13 kk ⎟ ⎜3 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ τji = ⎜ ⎟+⎜ 0 τkk 0 ⎟ τ21 τ22 − τkk τ23 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 3 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1 1 τkk τ31 τ32 τ33 − τkk 0 0 3 3 oder

1 δji τkk 3 mit dem Einheitstensor δji , auch Kronecker-δ genannt, ⎛ ⎞ 1 0 0 1 fu ¨r i = j ⎜ ⎟ 0 1 0⎟ δji = d.h. δji = ⎜ ⎝ ⎠ . 0 fu ¨r i = j 0 0 1 τji = τˆji +

(3.44)

(3.45)

Aus der Definition folgt unmittelbar δji = δ11 + δ22 + δ33 = 3. Man nennt τˆji den Deviator des Tensors τji . Er ist dadurch gekennzeichnet, dass die Summe der Diagonalelemente, die sogenannte Spur des Tensors, verschwindet, denn es ist (τ11 −

1 1 1 1 τkk ) + (τ22 − τkk ) + (τ33 − τkk ) = τkk − 3 · τkk = 0 . 3 3 3 3

Allgemein ist ein Deviator ein Tensor mit der Spur null. Da die Diagonalelemente eine Normalspannung charakterisieren und sich gerade aufheben, ist der Deviator f¨ ur die Scherung des Fluidelements maßgebend, während der Term 1/3 δij τkk allseitig gleiche Normalspannungen, sogenannte hydrostatische Spannungen, enth¨ alt. Man bezeichnet den arithmetischen Mittelwert der drei Normalspannungen τkk als den mittleren Druck −¯ p=

1 τkk . 3


317

Das Minuszeichen r¨ uhrt daher, dass Fl¨ ussigkeiten praktisch keine Zugspannungen aufnehmen k¨ onnen und daher τkk im Allgemeinen negativ, der mittlere Druck hingegen positiv ist. (3.44) l¨ asst sich daher auch schreiben τji = τˆji − δji p¯ .

(3.46)

Der mittlere Druck p¯ ist nicht identisch mit dem thermodynamischen Druck, den man aus der f¨ ur ruhende Fluide aufgestellten thermischen Zustandsgleichung p = p(v, T ) erh¨ alt. Man kann jedoch zeigen, s. hierzu Anhang A2, dass f¨ ur nicht allzu rasche Volumen¨ anderungen mittlerer Druck und thermodynamischer Druck miteinander verkn¨ upft sind durch p¯ − p = −ζ

∂ wk , ∂xk

(3.47)

worin der durch diese Gleichung definierte Faktor ζ > 0 die sogenannte Volumenviskosit¨ at ist (SI-Einheit kg/sm; 0,1 kg/sm = 1 Poise). Methoden der statistischen Mechanik haben gezeigt, dass die Volumenviskosität von Gasen geringer Dichte verschwindet, und dass sie in dichten Gasen und Fl¨ ussigkeiten sehr klein ist. In der Str¨ omungsmechanik und in der Wärme- und Stoff¨ ubertragung setzt man daher ζ = 0 voraus, setzt also den mittleren Druck gleich dem thermodynamischen Druck. Weiterhin ist in einem inkompressiblen Fluid wegen ∂ wk /∂xk = 0 der mittlere Druck stets gleich dem thermodynamischen. 3.2.3.2 Die Cauchysche Bewegungsgleichung Durch Einsetzen des Spannungsvektors tj nach (3.43) in die Impulsgleichung (3.40) erhält man dwj kj dV + τji ni dA . dV = dt V (t)

V (t)

A(t)

Mit Hilfe des Gaußschen Satzes formen wir das Oberflächenintegral um, ∂ τji τji ni dA = dV , ∂xi A(t)

und erhalten

V (t)

dwj dV = dt

V (t)

kj dV +

V (t)

∂ τji dV . ∂xi

V (t)

Diese Gleichung gilt f¨ ur ein beliebiges Volumen V (t) und daher auch im Grenzfall V (t) → 0. Aus ihr folgt die Cauchysche Bewegungsgleichung 2 : 2

Auguste-Louis Cauchy (1789–1857) war als Zeitgenosse von Leonhard Euler und Carl-Friedrich Gauß einer der bedeutendsten Mathematiker der ersten H¨ alfte des

318


dwj ∂ τji = kj + dt ∂xi

(i, j = 1, 2, 3) .

(3.48)

Sie gilt f¨ ur jedes Kontinuum unabh¨ angig von den jeweiligen Materialeigenschaften und ist daher eine der grundlegenden Gleichungen der Strömungsmechanik und somit auch der W¨ armeund Stoff¨ ubertragung. Erst durch Einf¨ uhrung einer Materialgleichung, die den Spannungstensor mit der Bewegung eines Stoffes verkn¨ upft, wird die Bewegung eines speziellen Stoffes beschrieben. Zur Herleitung solcher Materialgesetze ist der Begriff des Verzerrungstensors n¨ utzlich, der im Folgenden eingef¨ uhrt wird. 3.2.3.3 Der Verzerrungstensor In einem strömenden Fluid werden die einzelnen Fluidelemente nicht nur in ihrer Lage verschoben, sondern unter dem Einfluss der Normalspannungen τii und der Schubspannungen τij (i = j) auch verformt. Die Verformungsgeschwindigkeit hängt von der Relativbewegung der einzelnen Massenpunkte zueinander ab. Nur falls sich die einzelnen Massenpunkte eines Fluidelements nicht relativ zueinander bewegen, verh¨ alt sich das Fluidelement wie ein starrer Festkörper und wird nicht verformt. Es muss daher ein Zusammenhang zwischen dem Geschwindigkeitsfeld und der Verformung und damit auch zwischen Geschwindigkeitsfeld und Spannungstensor τij existieren. Diesen Zusammenhang benötigt man, wenn man in der Cauchyschen Bewegungsgleichung den Spannungstensor durch Geschwindigkeiten ausdr¨ ucken will. Normalspannungen ¨ andern die Gr¨ oße eines Fluidelements vorgegebener Masse. Falls sie von verschiedener Gr¨ oße sind, beispielsweise τ11 = τ22 , ändert sich auch die Gestalt des Fluidelements. Wie in Abb. 3.8 angedeutet, w¨ urde ein Rechteck in ein Prisma u urde ¨bergehen, ein kugelförmiges Fluidelement w¨ zu einem Ellipsoid verformt. Abb. 3.9 zeigt die Vorderansicht eines W¨ urfels, der durch eine Normalspannung τ11 gedehnt wird. Man erkennt, dass das Volumen um ∂ w1 ∂ w1 dx1 dt dx2 dx3 = dt dV ∂x1 ∂x1 zunimmt. Entsprechende Ausdr¨ ucke erh¨ alt man f¨ ur die Volumenzunahme durch die Normalspannungen τ22 und τ33 , so dass die gesamte Volumenzunahme gegeben ist durch

∂ w2 ∂ w3 ∂ w1 + + dt dV . ∂x1 ∂x2 ∂x3 19. Jahrhunderts. Seine bekanntesten Werke sind die Traité des Fonctions“ und ” die Méchanique Analytique“. Da er sich nach der Revolution von 1830 weigerte, ” ¨ den Eid auf das neue Regime zu leisten, wurde er seiner Amter als Professor an der Ecole Polytechnique und am Collège de France enthoben und aus der Académie Fran¸caise entlassen. Er verbrachte mehrere Jahre im Exil in der Schweiz, in Turin und in Prag, durfte 1838 nach Frankreich zur¨ uckkehren, wo er aber erst nach der Revolution von 1848 wieder seine Professur an der Sorbonne erhielt.


Abb. 3.8: Verformung eines Fluidelements durch Normalspannungen

319

Abb. 3.9: Zum Zusammenhang zwischen Verformung und Geschwindigkeit

Die Volumenzunahme je Zeiteinheit bezogen auf das urspr¨ ungliche Volumen bezeichnet man als Dilatation. Sie ist ∂ w1 ∂ w2 ∂ w3 ∂ wi + + = = ε˙ii . ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂xi

(3.49)

In einem inkompressiblen Fluid, = const, gibt es keine Dilatation, wie man aus der Kontinuit¨ atsgleichung (3.20) erkennt. Das Volumen eines Fluidelements vorgegebener Masse bleibt dann konstant. Durch die Schubspannungen τij (i = j) wird ein urspr¨ ungliches w¨ urfelförmiges Volumenelement zu einem Rhomboid verformt, wie die Flächenansicht in Abb. 3.10 zeigt. Der urspr¨ unglich rechte Winkel bei A ändert sich um die

Abb. 3.10: Zur Verformung eines w¨ urfelf¨ ormigen Volumenelements zu einem Rhomboid

Winkel dγ12 =

∂ w1 dt ∂x2

und

dγ21 =

∂ w2 dt . ∂x1

Man bezeichnet den arithmetischen Mittelwert der beiden Winkelgeschwindigkeiten als Verzerrungstensor, oft auch als Dehnungs- oder Deformationsgeschwindigkeitstensor

1 ∂ w1 ∂ w2 ε˙12 = + 2 ∂x2 ∂x1

320


oder allgemein ε˙ji =

1 2

∂ wj ∂ wi + ∂xi ∂xj

.

(3.50)

ur i = j wieder in Er ist ein symmetrischer Tensor, da ε˙ji = ε˙ij ist, und geht f¨ die Dilatation u ¨ber. Die Elemente ε˙ii bilden hierbei die Diagonale des Verzerrungstensors. Falls ihre Summe verschwindet, a¨ndert sich wie zuvor gezeigt, das Volumen eines Fluidelements vorgegebener Masse nicht. Spaltet man daher den Verzerrungstensor in zwei Anteile auf, von denen die Summe der Diagonalelemente des einen, des Deviators, verschwindet, so beschreibt dieser die Gestaltänderung bei konstantem Volumen. Die Gestaltänderung bei konstantem Volumen wird somit durch den Deviator des Verzerrungstensors beschrieben. Um den Deviator abzuspalten, bilden wir formal ε˙ji = εˆ˙ji +

1 δji ε˙kk . 3

Wie mit (3.49) und (3.50) folgt, ist

∂ wj 1 ∂ wi ∂ wk 2 ˆ ε˙ji = + − δji . 2 ∂xi ∂xj 3 ∂xk

(3.51)

(3.52)

Ausgeschrieben bedeutet (3.51) ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 1 1 − ε ˙ ε ˙ 0 0 ε ˙ ε ˙ ε ˙ 12 13 ⎟ ⎜ 3 kk ⎟ ⎜ 11 3 kk ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 1 ⎜ ⎟ ⎟ . + ε˙ji = ⎜ 0 ε ˙ ε ˙ − ε ˙ 0 ε ˙ ε ˙ 21 22 kk 23 kk ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 3 3 ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ 1 1 ε˙kk 0 0 ε˙31 ε˙32 ε˙33 − ε˙kk 3 3 Der erste Term ist bereits der gesuchte Deviator, da seine Spur verschwindet, denn sie ist

1 1 1 1 ε˙11 − ε˙kk + ε˙22 − ε˙kk + ε˙33 − ε˙kk = ε˙kk − 3 ε˙kk = 0 . 3 3 3 3 Während der Deviator die Gestalt¨ anderung bei konstantem Volumen beschreibt, ist der (isotrope) Tensor 1/3 δij ε˙kk = 1/3 δij ∂ wk /∂xk f¨ ur die Volumenänderung bei konstanter Gestalt maßgebend. Dies folgt daraus, dass er nur gleich große Diagonalelemente enth¨ alt, so dass die Verformungen in allen Koordinatenrichtungen gleich sind. 3.2.3.4 Materialgesetze zur L¨ osung der Impulsgleichung Zur Lösung der allgemein f¨ ur jeden Stoff g¨ ultigen Cauchyschen Bewegungsgleichung benötigt man noch einen Zusammenhang zwischen dem Spannungs-


321

und dem Verzerrungstensor, bzw. zwischen Spannungstensor und Geschwindigkeitsfeld. Eine solche Gleichung ist stoffspezifisch und ähnlich wie die Zustandsgleichungen der Thermodynamik charakteristisch f¨ ur einen bestimmten Stoff. Aufgrund von (3.46) und (3.47) gilt noch allgemein

∂ wk . (3.53) τji = τˆji − δji p − ζ ∂xk Die im Deviator τˆji des Spannungstensors vorkommenden Elemente bewirken nun genau die Dehnungen, die durch die Elemente im Deviator εˆ˙ji des Verzerrungstensors beschrieben werden, wie man aus einem Vergleich der beiden Deviatoren erkennt. Es muss daher ein stoffspezifischer Zusammenhang τˆji = f (εˆ˙ji ) existieren. F¨ ur kleine Verzerrungsgeschwindigkeiten ist ein linearer Ansatz naheliegend: (3.54) τˆji = η 2εˆ˙ji . Den Faktor 2 f¨ uhrt man ein, damit man f¨ ur die eindimensionale inkompressible Strömung (j = 1, i = 2; ∂ wk /∂xk = 0) mit εˆ˙ = (1/2) ∂ w1 /∂x2 aus (3.52) gerade den Newtonschen Ansatz τ12 = η∂ w1 /∂x2 erhält. Ein Fluid, in dem die Schubspannungen entsprechend diesem Ansatz proportional der Schergeschwindigkeit sind, heißt ideal viskos oder Newtonsches Fluid. Viele Fl¨ ussigkeiten und Gase folgen dem Ansatz so genau, dass man sie als Newtonsche Fluide bezeichnen kann. Ihnen entspricht in der Elastomechanik der ideal Hookesche K¨ orper, bei dem die Schubspannungen proportional der Scherung sind. Eine Reihe von Stoffen k¨ onnen jedoch weder durch Newtonsches noch durch Hookesches Verhalten gen¨ ugend genau beschrieben werden. Der Zusammenhang zwischen Schubspannungen und Dehnungen kann dann nicht mehr durch den obigen einfachen linearen Ansatz beschrieben werden. Mit den Materialgesetzen dieser Stoffe besch¨ aftigt sich die Rheologie. Nach Einsetzen von εˆ˙ji nach (3.52) geht (3.54) u ¨ber in

∂ wi ∂ wj ∂ wk 2 + − δji . (3.55) τˆji = η ∂xi ∂xj 3 ∂xk Der durch (3.54) bzw. (3.55) definierte Faktor η ist die dynamische Viskosität (SI-Einheit kg/sm = 1 Pa · s; 0,1 kg/sm = 1 Poise). Mit Hilfe von (3.53) erhält man f¨ ur den Spannungstensor

∂ wi ∂ wj ∂ wk 2 ∂ wk + τji = η − δji − δji p − ζ . (3.56) ∂xi ∂xj 3 ∂xk ∂xk

322


3.2.3.5 Die Navier-Stokesschen Gleichungen Wir setzen Newtonsche Fluide voraus und vernachlässigen die meist sehr kleine Volumenviskosit¨ at. Dann geht der Ansatz (3.56) f¨ ur den Spannungstensor in den Stokesschen Ansatz u ¨ber:

∂ wi ∂ wj 2 ∂ wk + (3.57) τji = η − δji − δji p . ∂xi ∂xj 3 ∂xk Einsetzen dieses Ausdrucks in die Cauchysche Bewegungsgleichung, (3.48), ergibt die sogenannte Navier-Stokessche Gleichung

dwj ∂p ∂ ∂ wi ∂ wj 2 ∂ wk = kj − + η + − δji . (3.58) dt ∂xj ∂xi ∂xi ∂xj 3 ∂xk F¨ ur ein inkompressibles Fluid ist ∂ wk /∂xk = ∂ wi /∂xi = 0. Setzt man weiter konstante Viskosit¨ at voraus, so vereinfacht sich die Gleichung zu

dwj ∂p ∂ 2 wj = kj − +η . dt ∂xj ∂xi 2

(3.59)

Anschaulich besagt die Gleichung: Die auf ein bewegtes Fluidelement ausge¨ ubte Kraft setzt sich aus den Volumen-, den Druck- und den Viskositätskräften zusammen. F¨ ur jede der drei Koordinatenrichtungen j = 1, 2, 3 gilt eine Impulsbilanz, so dass (3.58) und (3.59) jeweils drei voneinander unabhängige Gleichungen repr¨ asentieren. Ausgeschrieben findet man (3.59) im Anhang A3. Dort ist ebenfalls ihre Schreibweise in Zylinderkoordinaten angegeben.

3.2.4 Die Energiebilanz Reine Stoffe Nach dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik ändert sich die innere Energie U eines geschlossenen Systems durch Zufuhr von Wärme Q12 und Arbeit W12 : U2 − U1 = Q12 + W12 oder in differentieller Form dU = dQ + dW oder

(3.60)

dU dQ dW = + = Q˙ + P . (3.61) dt dt dt Wir wenden diese Gleichung auf ein Fluidelement vorgegebener Masse an. Da dieses als geschlossenes System betrachtet wird, schließen wir einen Stofftransport u ¨ber die Systemgrenze und damit Diffusion zunächst aus. Mit Hilfe des Transporttheorems (3.17) ergibt sich durch Einsetzen von ¨ z = u f¨ ur die zeitliche Anderung der inneren Energie des strömenden Fluids


dU d = dt dt

u dV =

V (t)

∂ u dV + ∂t

V (t)

323

uwi dAi .

(3.62)

A(t)

¨ Danach ist die zeitliche Anderung der inneren Energie eines strömenden Fluids gleich der im Innern des Fluidvolumens V (t) zur Zeit t gespeicherten inneren Energie und der mit der Materie u ¨ber die Oberfläche A(t) abfließenden inneren Energie. Wärme wird definitionsgem¨ aß zwischen einem System und seiner Umgebung u uhrt ¨bertragen und daher dem System u ¨ber seine Oberfläche zugef¨ Q˙ = q˙ dA , (3.63) A(t)

worin q˙ die Wärmestromdichte ist. Sie ist ein Skalar. (3.63) kann man auch mit dem Normalvektor n, der die Orientierung eines Oberflächenelements im Raum kennzeichnet, als ˙ (q˙ ni )( dA ni ) Q= A(t)

schreiben, da ni ni = 1 ist. Die hierin vorkommenden Produkte dA ni = dAi

(i = 1, 2, 3)

sind, wie in Abschnitt 3.2.3.1 gezeigt wurde, die Projektionen der Fläche dA auf die von den Koordinatenachsen ausgespannten Ebenen. Sie sind bekanntlich die Komponenten des Fl¨ achenvektors n dA. Entsprechend kann man q˙ ni = −q˙i

(3.64)

als die Komponenten eines Vektors q˙ der W¨ armestromdichte deuten; q˙1 ist die Wärmestromdichte durch die Fl¨ ache dA1 , q˙2 die durch dA2 und q˙3 die uhrt daher, dass man eine zugef¨ uhrdurch dA3 . Das Minuszeichen in (3.64) r¨ te Wärmestromdichte positiv z¨ ahlt, der Normalvektor ni einer geschlossenen Fläche aber nach außen zeigt. Damit wird q˙i ni dA . (3.65) Q˙ = − A(t)

¨ Die Arbeit zur Anderung der inneren Energie wird zwischen dem System und seiner Umgebung ausgetauscht und fließt“ u ¨ber die Oberfläche in das ” System. Die Massen- oder Volumenkr¨ afte verschieben jedes Fluidelement als ¨ Ganzes, tragen also zur Anderung der kinetischen und potentiellen, nicht aber ¨ zur Anderung der inneren Energie bei, sofern das Fluidelement seine Masse nicht durch Stoffaustausch mit seinen Nachbarn ändert. Dann bewegen sich

324


die einzelnen Teilchenarten mit unterschiedlicher Geschwindigkeit und die an ihnen angreifenden Massenkr¨ afte liefern einen Beitrag zur Gesamtleistung. Dieser Anteil spielt bei Mehrstoffgemischen eine Rolle und muss dort ber¨ ucksichtigt werden. ¨ Die Oberflächenkr¨ afte enthalten somit Anteile, die eine Anderung der inneren Energie bewirken und solche, die das Fluidelement als Ganzes verschieben, ohne dessen innere Energie zu ¨ andern. Da der Anteil der Leistung, der ¨ zur Anderung der inneren Energie beitr¨ agt, dem System u ¨ber die Oberfläche zugef¨ uhrt wird, k¨ onnen wir hierf¨ ur auch schreiben ω˙ dA . (3.66) P = A(t)

Durch diese Gleichung wird die Leistungsdichte ω˙ (SI-Einheit W/m2 ) definiert. Wir wählen f¨ ur die Leistungsdichte den Buchstaben ω˙ und nicht w, ˙ weil sonst zu leicht eine Verwechslung mit der Geschwindigkeit w möglich wäre. ¨ In Anlehnung an die Uberlegungen zur W¨ armestromdichte kann man (3.66) auch umformen in (ωn ˙ i )( dAni ) P = A(t)

und darin die Gr¨ oßen ωn ˙ i = −ω˙ i

(3.67)

als die Komponenten des Vektors ω˙ der Leistungsdichte deuten; ω˙ 1 ist die Leistungsdichte durch die Fl¨ ache dA1 , ω˙ 2 die durch dA2 und ω˙ 3 die durch uhrte dA3 . Das Minuszeichen kommt wieder dadurch zustande, dass eine zugef¨ Leistung positiv gez¨ ahlt wird. Es gilt daher P =− ω˙ i ni dA . (3.68) A(t)

Der erste Hauptsatz (3.61) l¨ asst sich mit den Ausdr¨ ucken f¨ ur die innere Energie (3.62), den W¨ armestrom (3.65) und die Leistung (3.68) auch schreiben ∂ (u) dV + uwi dAi = − q˙i ni dA − ω˙ i ni dA . ∂t V (t)

A(t)

A(t)

A(t)

Umwandlung der Oberfl¨ achen- in Volumenintegrale mit Hilfe des Gaußschen ¨ Satzes und Ubergang auf ein kleines Volumenelement V (t) → 0 ergibt dann ∂ q˙i ∂ ω˙ i ∂ (u) ∂ (uwi ) =− − . + ∂t ∂xi ∂xi ∂xi Die linke Seite kann man auch schreiben


325

∂u ∂u ∂ ∂ (wi ) + wi . +u +u ∂t ∂t ∂xi ∂xi

Sie vereinfacht sich unter Ber¨ ucksichtigung der Kontinuitätsgleichung (3.20) zu ∂u du ∂u + wi . = ∂t ∂xi dt Damit lautet die Energiegleichung

du ∂ q˙i ∂ ω˙ i =− − . dt ∂xi ∂xi

(3.69)

Um die Leistungsdichte ω˙ i zu berechnen, betrachten wir zunächst die gesamte durch die Oberfl¨ achenkr¨ afte zugef¨ uhrte Leistung Ptot und trennen davon den als Schleppleistung bezeichneten Anteil ab, der eine Verschiebung des Fluidelements bewirkt, so dass nur noch die Leistung u ¨brig bleibt, die zur ¨ Anderung der inneren Energie beitr¨ agt. Mit Hilfe des Spannungstensors ti = τji nj erhält man die gesamte durch die Oberflächenkr¨ afte zugef¨ uhrte Leistung zu ∂ (wi τji ) wi ti dA = wi τji nj dA = dV . Ptot = ∂xj A(t)

A(t)

V (t)

Die an dem Fluidvolumen wirkenden Oberfl¨ achenkräfte ∂ τji Fi = ti dA = τji nj dA = dV ∂xj A(t)

A(t)

V (t)

bewirken andererseits auch eine Verschiebung des Systems. Die an einem Volumenelement dV angreifende Kraft dFi =

∂ τji dV ∂xj

verschiebt dieses w¨ ahrend einer kleinen Zeit dt um den Weg dxi , so dass die Schleppleistung dxi ∂ τji ∂ τji dxi dFi = = dV dV wi dt ∂xj dt ∂xj ist. Die gesamte Schleppleistung ist daher ∂ τji PS = wi dV , ∂xj V (t)

¨ und der zur Anderung der inneren Energie beitragende Anteil der Oberflächenkräfte wird

326


P = Ptot − PS =

∂ (wi τji ) ∂ τji − wi ∂xj ∂xj

dV ,

V (t)

woraus P =

τji

∂ wi dV ∂xj

V (t)

folgt. Da man (3.68) auch mittels des Gaußschen Satzes in ∂ ω˙ i dV P =− ∂xi V (t)

umformen kann, ist also −

∂ ω˙ i ∂ wi = τji . ∂xi ∂xj

(3.70)

Die Energiebilanz (3.69) lautet damit

du ∂ wi ∂ q˙i =− + τji . dt ∂xi ∂xj

(3.71)

Da wir die Fluidelemente als geschlossene Systeme voraussetzten, ist diese Gleichung nicht f¨ ur Mehrstoffgemische und Diffusion g¨ ultig. Mehrstoffgemische In Mehrstoffgemischen tritt im Ungleichgewicht Diffusion auf. Einzelne Stoffstr¨ ome u ¨berqueren die Systemgrenzen. Man kann daher kein geschlossenes System voraussetzen. Der erste Hauptsatz lautet nun [3.1] hK d(a MK ) dU = dQ + dW + K

oder

dU = Q˙ + P + hKa M˙ K . dt

(3.72)

K

Hierin ist f¨ ur einen bestimmten Stoff A die Gr¨ oße hA = (∂H/∂MA )T, p, MK=A die ˙ A der dem System von außen zugef¨ uhrte Massenpartielle spez. Enthalpie und a M strom der Komponente A. Die Summe ist u uhrten Stoffstr¨ ome zu ¨ber alle zugef¨ erstrecken. W¨ armestrom Q˙ und Leistung P berechnen sich hierin wie zuvor aus ∂ q˙i q˙i ni dA = − dV Q˙ = − ∂xi und

A(t)

V (t)

P =− A(t)

ω˙ i ni dA = − V (t)

∂ ω˙ i dV . ∂xi


327

omende Der durch ein Oberfl¨ achenelement mit der Geschwindigkeit wAi einstr¨ Stoff A ist Tr¨ ager von Energie und erh¨ oht die innere Energie eines mit der Schwerpunktsgeschwindigkeit wi bewegten Fluidelements um ∗ −hA A (wAi − wi )ni dA = −hA jAi ni dA .

Das Minuszeichen erkl¨ art sich wieder dadurch, dass eine zugef¨ uhrte Energie positiv ¨ gez¨ ahlt wird, der Fl¨ achenvektor aber entgegengesetztes Vorzeichen hat. Uber die gesamte Oberfl¨ ache wird von allen einstr¨ omenden Stoffen die Energie ∂ (hK j ∗ ) ∗ Ki hKa M˙ K = − hK jKi ni dA = − dV ∂xi K K K A(t)

V (t)

zugef¨ uhrt. Angewandt auf ein Fluidelement lautet daher die Energiegleichung (3.72) eines Mehrstoffgemisches

∗ ) ∂ ω˙ i ∂ (hK jKi du ∂ q˙i − − . =− dt ∂xi ∂xi ∂x i K

(3.73)

Die hierin vorkommende Leistungsdichte ω˙ i besteht nun wieder aus der Leistung der Oberfl¨ achenkr¨ afte abz¨ uglich der Schleppleistung, die das Fluidelement als Ganzes verschiebt und daher keinen Beitrag zu dessen innerer Energie leistet. Sie enth¨ alt aber im Unterschied zu den reinen Stoffen noch zus¨ atzlich einen Anteil, der dadurch zustande kommt, dass sich die einzelnen Teilchensorten mit unterschiedlicher Georigen Massenkr¨ afte kAi am Stoff A schwindigkeit wAi bewegen, so dass die zugeh¨ in einem Volumenelement dV zur Leistung den Beitrag ∗ kAi dV A (wAi − wi )kAi dV = jAi

liefern. F¨ ur s¨ amtliche Stoffe wird am System vom Volumen V (t) der Beitrag ∗ jKi kKi dV K

V (t)

¨ verrichtet. Die gesamte Leistung P zur Anderung der inneren Energie setzt sich nun aus der Leistung der Oberfl¨ achenkr¨ afte ∂ (wi τji ) wi ti dA = wi τji nj dA = dV ∂xi A(t)

A(t)

V (t)

und der Massenkr¨ afte

K

abz¨ uglich der Schleppleistung

V (t)

V (t)

zusammen: P =

V (t)

∗ jKi kKi dV

∂ τji wi dV ∂xj

∂ wi ∗ τji + jKi kKi ∂xj K

dV .

328


F¨ ur die Leistungsdichte folgt dann wegen ω˙ i ni dA = − P =− A(t)

−

V (t)

∂ ω˙ i dV ∂xi

∂ ω˙ i ∂ wi ∗ = τji + jKi kKi . ∂xi ∂xj

(3.74)

K

Sie unterscheidet sich von der Leistungsdichte (3.70) f¨ ur reine Stoffe um den Term ' ∗ jKi kKi f¨ ur die an den einzelnen Stoffen von den Massenkr¨ aften verrichtete LeisK

tung. F¨ ur Mehrstoffgemische geht daher die Energiegleichung (3.73) u ¨ber in

∂ q˙ du ∂ wi ∗ + jKi kKi = − i + τji dt ∂xi ∂xj

(3.75)

K

mit

q˙i = q˙i +

∗ hK jKi ,

(3.76)

K ∗ = 0 in die Energiebilanz (3.71) der die f¨ ur verschwindenden Diffusionsstrom jKi reinen Stoffe u ¨bergeht.

3.2.4.1 Dissipierte Energie und Entropie Anschaulich besagt die Energiegleichung (3.71), dass sich die innere Energie eines Fluidelements durch W¨ armezufuhr und Verrichten von Arbeit ¨ andert. In Mehrstoffgemischen kommt, wie (3.75) zeigt, noch ein Term f¨ ur die mit der Materie zugef¨ uhrte Energie hinzu. Die verrichtete Arbeit besteht aus einem reversiblen Anteil und der dissipierten Arbeit. Wir wollen diese Anteile noch einzeln mit Hilfe der Entropiebilanz berechnen und betrachten der Einfachheit halber nur reine Stoffe. Nach der Gibbsschen Fundamentalgleichung gilt hierf¨ ur T

du dv du p d ds = +p = − 2 . dt dt dt dt dt

(3.77)

Einsetzen der Energiegleichung (3.71) und der Kontinuit¨ atsgleichung (3.21) ergibt T Nun ist

oder

1 ∂ q˙i ds 1 ∂ wi p ∂ wi =− + τji + . dt ∂xi ∂xj ∂xi 1 ∂ q˙i q˙i ∂ T ∂ (q˙i /T ) = − 2 ∂xi T ∂xi T ∂xi ∂ q˙i ∂ (q˙i /T ) q˙i ∂ T =T + ∂xi ∂xi T ∂xi

und nach (3.53) τji = τˆji − δji p , wenn man verschwindende Volumenviskosit¨ at voraussetzt. Damit l¨ asst sich die Entropiebilanz (3.77) auch schreiben


q˙i ∂ T 1 1 ∂ wi ∂ wi ∂ (q˙i /T ) p ∂ wi ds − 2 + τˆji + . −δji p + =− dt ∂xi T ∂xi T ∂xj T ∂xj T ∂xi

329

Wegen δji ∂ wi /∂xj = ∂ wj /∂xj = ∂ wi /∂xi vereinfacht sich diese Gleichung zu

∂ (q˙i /T ) ds ∂ wi q˙i ∂ T 1 =− − 2 + τˆji . dt ∂xi T ∂xi T ∂xj

(3.78)

Der erste Term auf der rechten Seite von (3.78) kennzeichnet die mit der W¨ arme zugef¨ uhrte Entropie. Man bezeichnet ihn als Entropiestromdichte. Die beiden u ¨brigen Terme stellen die Entropieproduktion dar. Der zweite Term r¨ uhrt von den endlichen Temperaturunterschieden bei der W¨ armeleitung, der dritte von der mechanischen Energie her. Man nennt ∂ wi =φ (3.79) τˆji ∂xj auch mechanische Dissipationsleistung. Sie ist die auf die Volumeneinheit bezogene dissipierte mechanische Energie (SI-Einheit W/m3 ). Unter Beachtung von (3.53) τji = τˆji − pδji kann man damit den ersten Hauptsatz (3.71) auch schreiben:

∂ wi ∂ q˙i du −p +φ . =− dt ∂xi ∂xi

(3.80)

Hierbei ist verschwindende Volumenviskosit¨ at vorausgesetzt. F¨ uhrt man die mechanische Dissipationsleistung in die Energiegleichung (3.75) f¨ ur Mehrstoffgemische ein, so lautet diese ∗ ∂ wi ∂ q˙ du +φ+ jKi kKi . (3.81) =− i −p dt ∂xi ∂xi K Gl. (3.81) setzt ebenfalls verschwindende Volumenviskosit¨ at voraus. Die Ableitung der Entropiebilanz f¨ ur Gemische findet man im Anhang A 5. Beispiel 3.3: Man berechne die mechanische Dissipationsleistung f¨ ur ein Newtonsches Fluid. Wie groß ist die Dissipationsleistung im Sonderfall einer eindimensionalen Str¨ omung w1 = w1 (x2 )? F¨ ur ein Newtonsches Fluid ist nach (3.55)

∂ wk ∂ wi ∂ wj 2 τˆji = η + − δji ∂xi ∂xj 3 ∂xk und daher φ = τˆji

∂ wi ∂ wi =η ∂xj ∂xj


−

2 ∂ wk δji 3 ∂xk

Falls w1 = w1 (x2 ) ist, reduziert sich der Ausdruck auf 2

∂ w1 ∂ w1 ∂ w1 φ=η =η . ∂x2 ∂x2 ∂x2

.

330


3.2.4.2 Materialgesetze zur L¨ osung der Energiegleichung Um die Energiegleichung (3.71) bzw. (3.75) l¨ osen zu können, sind noch Materialgesetze erforderlich. Wir betrachten zun¨ achst die Gl. (3.71) f¨ ur reine Stoffe. Man benötigt die kalorische Zustandsgleichung u = u(ϑ, v). Durch Differentiation erhält man

∂u ∂u ∂u du = dϑ + dv = cv dϑ + dv ∂ϑ v ∂v ϑ ∂v ϑ Wie man in der Thermodynamik zeigt [3.2], ist

∂p ∂u =T −p . ∂v ϑ ∂ϑ v Weiter ist dv = − d/2 . Damit wird 1 d du dϑ ∂p −p = cv − T . dt dt ∂ϑ v dt

(3.82)

Mit der Kontinuit¨ atsgleichung (3.21) erh¨ alt man hierf¨ ur dϑ ∂p ∂ wi du = cv + T −p . dt dt ∂ϑ v ∂xi F¨ ur ideale Gase verschwindet der Ausdruck in der eckigen Klammer. F¨ ur ein inkompressibles Fluid, = const, ist d/dt = 0 und ∂ wi /∂xi = 0. Der Ausdruck vereinfacht sich in beiden F¨ allen zu

du dϑ = cv . dt dt

Bei inkompressiblen Fluiden braucht man nicht mehr zwischen cp und cv zu ahrend in einem isotropen Körper die unterscheiden. Es ist cp = cv = c. W¨ Wärmestromdichte durch das Fouriersche Gesetz q˙i = −λ

∂ϑ ∂xi

gegeben ist, gibt es in anisotropen Materialien, beispielsweise in Kristallen, bevorzugte Richtungen f¨ ur den W¨ armestrom. Die Wärmestromdichte q˙i hängt nicht mehr allein vom Gradienten ∂ ϑ/∂xi , sondern im allgemeinsten Fall von allen drei Komponenten des Temperaturgradienten ab. So gilt beispielsweise f¨ ur die Wärmestromdichte q˙1 in Richtung der x1 -Achse −q˙1 = λ11

∂ϑ ∂ϑ ∂ϑ ∂ϑ + λ21 + λ31 = λi1 . ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂xi

Entsprechendes gilt auch f¨ ur die beiden anderen Wärmestromdichten, so dass man allgemein schreiben kann


q˙i = −λji

∂ϑ ∂xi

331

(i, j = 1, 2, 3)

Die Wärmestromdichte in Richtung einer Koordinatenachse hängt von den Temperaturgradienten in Richtung aller Koordinatenachsen ab. Die Wärmeleitfähigkeit λji im Fourierschen Gesetz ist ein Tensor. Wie man mit den Methoden der Thermodynamik irreversibler Prozesse nachweist [3.3], ist der W¨ armeleitfähigkeitstensor symmetrisch λij = λji . Er besteht somit aus sechs Komponenten. Davon k¨ onnen bei bestimmten Kristallen einige oder mehrere Komponenten u ¨bereinstimmen oder auch verschwinden. Beispiel 3.4: Quarzkristall besitzt in Richtung der einzelnen Koordinatenachsen unterschiedliche W¨ armeleitf¨ ahigkeiten. Der W¨ armeleitf¨ ahigkeitstensor ist gegeben durch ⎞ ⎛ λ11 0 0 λji = ⎝ 0 λ22 0 ⎠ . 0 0 λ33 Wie lautet die Differentialgleichung der station¨ aren W¨ armeleitung, wenn man temperaturunabh¨ angige Werte λii voraussetzt? In welchem Verh¨ altnis stehen die W¨ armestr¨ ome durch Leitung in einem W¨ urfel der Kantenl¨ ange a in Richtung der drei Koordinaten? Zur n¨ aherungsweisen L¨ osung dieser Teilaufgabe setze man voraus, dass die W¨ armestr¨ ome in Richtung der drei Koordinatenachsen unabh¨ angig voneinander sind. Da keine Str¨ omung vorliegt, verschwindet der Term τji ∂ wi /∂xj in der Energiegleichung, (3.71). Es wird station¨ are W¨ armeleitung vorausgesetzt, du/dt = 0, so dass sich die Energiegleichung vereinfacht zu ∂ q˙1 ∂ q˙2 ∂ q˙3 ∂ q˙i =0= + + . ∂xi ∂x1 ∂x2 ∂x3 F¨ ur den Quarzkristall ist q˙1 = −λ11 ∂ ϑ/∂x1 , q˙2 = −λ22 ∂ ϑ/∂x2 , q˙3 = −λ33 ∂ ϑ/∂x3 . Die Energiegleichung geht damit u ¨ber in 0 = λ11

∂2ϑ ∂2ϑ ∂2ϑ + λ22 + λ33 . 2 2 ∂x1 ∂x2 ∂x3 2

Unter der Annahme, dass die W¨ armestr¨ ome in Richtung der drei Koordinaten unabh¨ angig voneinander sind, ist 0 = λ11

∂ 2 ϑ1 ∂ 2 ϑ2 ∂ 2 ϑ3 = λ22 = λ33 . 2 2 ∂x1 ∂x2 ∂x3 2

Der Temperaturverlauf einander gegen¨ uberliegender W¨ urfeloberfl¨ achen ist linear. Die W¨ armestromdichten sind dann q˙1 = λ11 Δϑ1 /a, q˙2 = λ22 Δϑ2 /a, q˙3 = λ33 Δϑ3 /a, und es ist q˙1 : q˙2 : q˙3 = λ11 Δϑ1 : λ22 Δϑ2 : λ33 Δϑ3 . Falls die Temperaturdifferenzen gleich sind, ist q˙1 : q˙2 : q˙3 = λ11 : λ22 : λ33 .

332


3.2.4.3 Einige andere Formulierungen der Energiegleichung F¨ ur praktische Rechnungen ist es oft vorteilhaft, statt der inneren Energie andere abhängige Variablen in der Energiegleichung zu verwenden. Besonders n¨ utzlich sind die Enthalpie-“ und die Temperaturform“ der Energie” ” gleichung. Die Enthalpieform erh¨ alt man wegen h = u + pv durch Addition von d(pv)/dt auf beiden Seiten der Energiegleichung (3.80) zu

∂ q˙i ∂ wi d(pv) dh =− +φ . −p + dt ∂xi ∂xi dt

F¨ ur den dritten Term auf der rechten Seite ist

d(pv) dp dv dp 1 d = v + p = − p , dt dt dt dt dt

woraus man mit Hilfe der Kontinuit¨ atsgleichung (3.21)

dp ∂ wi d(pv) = +p dt dt ∂xi

erhält. Damit ergibt sich die f¨ ur kompressible und inkompressible Strömungen g¨ ultige Form der Energiegleichung

∂ q˙i dh dp =− +φ . + dt ∂xi dt

(3.83)

Entsprechend findet man aus (3.81) f¨ ur Mehrstoffgemische

dh ∂ q˙ dp ∗ =− i + + jKi kKi + φ dt ∂xi dt

(3.84)

K

mit q˙i = q˙i +

' K

∗ hK jKi .

Besonders wichtig ist die Temperaturform der Energiegleichung, deren Lösung das Temperaturfeld in seinem zeitlichen und räumlichen Verlauf beschreibt. F¨ ur reine Stoffe erhalten wir diese Gleichung, wenn wir von dem aus der Thermodynamik bekannten Zusammenhang [3.2]

∂v dh = cp dϑ − T − v dp ∂ϑ p Gebrauch machen und damit das Enthalpiedifferential in (3.83) eliminieren. Außerdem ist q˙i = −λ∂ ϑ/∂xi . Daraus ergibt sich

dϑ dp ∂ϑ T ∂v ∂ λ + = +φ . (3.85) cp dt ∂xi ∂xi v ∂ϑ p dt


333

F¨ ur ideale Gase wird wegen pv = RT der Ausdruck

T ∂v T ∂v = =1 . v ∂ϑ p v ∂T p Die Enthalpie von Gemischen ist von Temperatur, Druck und Zusammensetzung abh¨ angig. Ihr Differential ist gegeben durch

∂v − v dp + hK dξK , (3.86) dh = cp dϑ − T ∂ϑ p K

wenn hA die partielle spezifische Enthalpie des Stoffes A ist, definiert durch

∂H hA = . ∂MA T,p,MK=A Es ist daher unter Beachtung der Kontinuit¨ atsgleichung (3.25)

dϑ ∂ j∗ dp T ∂v dh hK Ki + hK Γ˙K . = cp + 1− − dt dt v ∂ϑ p dt ∂xi K

K

Nach Einsetzen dieses Ausdrucks in die Energiegleichung (3.84) ergibt sich nach wenigen Umformungen

dϑ dp ∂ϑ T ∂v ∂ cp λ + = +φ dt ∂xi ∂xi v ∂T p dt

' ' ∗ ∂ hK kKi − − hK Γ˙K + jKi ∂x i K K Wie im Anhang A5 gezeigt wird, kann man die partielle spezifische Enthalpie hK in der vorletzten Summe eliminieren und durch die spez. Enthalpie h des Gemisches ersetzen, da

N N −1 ∂ ∂h ∗ ∂ hK ∗ jKi = jKi ∂xi ∂xi ∂ξK K=1 K=1 gilt, wobei die Ableitung ∂ h/∂ξK bei festen Werten von Temperaturen, Druck und allen Massenanteilen außer ξK zu bilden ist. Die Temperaturform der Energiegleichung f¨ ur Gemische lautet damit

∂ϑ T ∂v dϑ dp ∂ λ + cp = +φ dt ∂xi ∂xi v ∂ϑ p dt

N −1 ∂h ∂ ∗ kKi − − jKi hK Γ˙K . (3.87) + ∂xi ∂ξK K=1

K

Die Gl. (3.85) und (3.87) gelten unabh¨ angig davon, ob das Fluid kompressibel oder inkompressibel ist.

Inkompressible Fluide stellen in der Str¨ omungslehre und der Wärme- und Stoff¨ ubertragung bekanntlich ein brauchbares Modell f¨ ur die wirklichen Fluide ur reine Stoffe dar. Ihre thermische Zustandsgleichung lautet v = v0 = const. F¨

334


und auch f¨ ur Gemische stimmen isobare und isochore spez. Wärmekapazitäten u ¨berein, cp = cv = c. Die Temperaturform der Energiegleichung f¨ ur inkompressible reine Stoffe ergibt sich aus (3.85) unter der Annahme einer konstanten Wärmeleitfähigkeit c

dϑ ∂2ϑ =λ +φ . dt ∂xi 2

(3.88)

Ist die Strömung isobar, so verschwindet der zweite Term auf der rechten Seite von (3.85). F¨ ur ideale Gase ist in (3.85) (T /v)(∂ v/∂ϑ)p = 1 zu setzen. F¨ ur inkompressible Gemische findet man aus (3.87), wenn man konstante W¨ armeleitf¨ ahigkeit voraussetzt

∗ dϑ ∂ ∂2ϑ ∂h c + φ + j − hK Γ˙K . (3.89) =λ k − Ki Ki dt ∂xi 2 ∂xi ∂ξK K K Die Energiebilanz f¨ ur Gemische unterscheidet sich von der f¨ ur reine Stoffe um zwei zus¨ atzliche Ausdr¨ ucke, den f¨ ur den Energietransport durch Diffusion und den f¨ ur die durch chemische Reaktion hervorgerufene Enthalpie- bzw. Temperatur¨ anderung.

3.2.5 Zusammenfassung Die wichtigsten der in diesem Kapitel hergeleiteten Bilanzgleichungen sollen noch einmal zusammenfassend dargestellt werden. Wir ben¨ utzen dabei die Abk¨ urzung ∂ d ∂ = + wi . dt ∂t ∂xi Es gelten folgende Bilanzgleichungen f¨ ur reine Stoffe: ∂ wi d = − , dt ∂xi

(3.90)

∂ τji dwj , = kj + dt ∂xi

(3.91)

du ∂ wi ∂ q˙i + τji . =− dt ∂xi ∂xj

(3.92)

Gl. (3.90) ist die Massenbilanz oder Kontinuit¨ atsgleichung, (3.91) die Impulsbilanz oder Cauchysche Bewegungsgleichung und (3.92) die Energiebilanz. Da f¨ ur jede der drei Koordinatenrichtungen eine Impulsbilanz gilt, j = 1, 2, 3 hat man insgesamt f¨ unf Bilanzgleichungen. Gleichwertig mit der Energiegleichung ist deren Enthalpieform (3.83). In Mehrstoffgemischen muss man zur Kontinuitätsgleichung noch N − 1 Massenbilanzen f¨ ur die Komponenten hinzuf¨ ugen, (3.25), während die Energiebilanz durch (3.81) bzw. (3.87) zu ersetzen ist.


335

Das Gleichungssystem ist noch durch die sogenannten konstitutiven Gleichungen oder Materialgesetze zu erg¨ anzen, welche die Eigenschaften der zu untersuchenden Stoffe beschreiben. Setzt man den h¨ aufig vorkommenden Fall eines inkompressiblen Newtonschen Fluids, = const, d/dt = 0, konstanter Viskosität voraus, so gehen die Kontinuitätsgleichung, die Impuls- und die Energiebilanz u ¨ber in

∂ wi =0 , ∂xi

(3.93)

dwj ∂p ∂ 2 wj +η , = kj − dt ∂xj ∂xi 2

(3.94)

dϑ ∂2ϑ =λ +φ dt ∂xi 2

(3.95)

c mit

∂ wi φ=η ∂xj


Die Gl. (3.94) ist die Navier-Stokes-Gleichung f¨ ur ein inkompressibles Fluid. F¨ ur Mehrstoffgemische aus N Komponenten hat man neben der Kontinuitätsgleichungen f¨ ur die Gesamtmasse, (3.93), noch die Kontinuitätsgleichungen f¨ ur N − 1 Komponenten dA ∂ j∗ = − Ai + Γ˙A . dt ∂xi

(3.96)

Die Impulsbilanz (3.94) bleibt unver¨ andert, w¨ ahrend man als Energiegleichung die Gl. (3.89) erh¨ alt: c

N −1 ∂ dϑ ∂h ∂2ϑ ∗ + φ + j − hK Γ˙K . k − =λ Ki Ki dt ∂xi 2 ∂xi ∂ξK K=1

(3.97)

K

Beispiel 3.5: Eine sogenannte Couette-Str¨ omung entsteht in einem Fluid zwischen zwei planparallelen unendlich ausgedehnten Platten, wenn man die eine Platte — in Abb. 3.11 die obere — mit konstanter Geschwindigkeit wL bewegt, w¨ ahrend die andere Platte festgehalten wird. ¨ eines Gleitlagers zustande. Man Solche Str¨ omungen kommen beispielsweise im Ol bezeichnet sie auch als Schichten- oder Parallelstr¨ omung. Wir betrachten hier die inkompressible station¨ are Str¨ omung, deren Geschwindigkeitsprofil durch w1 (x2 ) gekennzeichnet ist. Ferner ist ∂ /∂t = 0, w2 = w3 = 0. Man berechne das Geschwindigkeitsprofil w1 (x2 ). Die Temperatur der oberen Platte sei ϑL , die der unteren ϑ0 < ϑL . Man berechne und diskutiere den Verlauf des Temperaturprofils ϑ(x2 ) unter der Annahme, dass die mechanische Dissipationsleistung nicht vernachl¨ assigbar ist. Es kommen nur Geschwindigkeiten in Richtung der x1 -Achse vor. Man braucht somit nur die Impulsgleichung (3.94), f¨ ur j = 1 zu betrachten. In dieser verschwindet die linke Seite, denn es ist ∂ /∂t = 0, ∂ w/∂x1 = 0, w2 = w3 = 0.

336


Abb. 3.11: Zur Couette-Str¨ omung Ferner ist die Massenkraft k1 = 0, und es ist ∂ p/∂x1 = 0, da die Str¨ omung durch die Bewegung der oberen Platte, nicht aber durch Druckunterschiede zustande kommt. Die Impulsgleichung verk¨ urzt sich auf 0=η

∂ 2 w1 , ∂x2 2

und es ist daher

w1 =

x2 wL . L

In der Energiegleichung (3.95) verschwinden ebenfalls alle Glieder auf der linken urzt sich auf Seite, denn es ist ∂ /∂t = 0, ∂ ϑ/∂x1 = 0, w2 = 0. Sie verk¨

2 w 2 ∂2ϑ ∂ w1 L λ + φ = mit φ = η =η . 2 ∂x2 ∂x2 L Integration der Energiegleichung ergibt das in x2 parabolische Temperaturprofil η wL 2 2 ϑ(x2 ) = − x2 + a1 x2 + a0 . 2λ L Die Konstanten a0 und a1 folgen aus den Randbedingungen ϑ(x2 = 0) = ϑ0

und

ϑ(x2 = L) = ϑL .

Als Temperaturprofil erh¨ alt man damit η wL2 x2 x2 2 x2 ϑ = ϑ0 + + (ϑL − ϑ0 ) − . 2λ L L L Den Verlauf des Temperaturprofils u ¨ber x2 zeigt die Abb. 3.11 rechts. Falls die obere Platte ruht, wL = 0, hat man das lineare Temperaturprofil der reinen W¨ armeleitung zwischen zwei ebenen Platten. F¨ ur hinreichend große Werte wL hat das Temperaturprofil ein Maximum, dessen Lage man aus dϑ/dx2 = 0 berechnet zu 1 λ (ϑ − ϑ ) + L . (x2 )max = L 0 η wL2 2 Es muss (x2 )max ≤ L sein. Das trifft dann zu, wenn 1/2 2λ (ϑL − ϑ0 ) wL ≥ = wL∗ η ist: Bei kleineren Geschwindigkeiten als wL∗ wird nur wenig Energie dissipiert; das Maximum der Temperatur f¨ allt mit der Temperatur der oberen Platte zusammen. Bei gr¨ oßeren Geschwindigkeiten als wL∗ wird soviel Energie dissipiert, dass sich das Fluid in einem gewissen Bereich zwischen den Platten u ¨ber die Temperatur der oberen Platte aufheizt.

3.3 Einfluss der Reynolds-Zahl auf die Str¨ omung

337

3.3 Einfluss der Reynolds-Zahl auf die Str¨ omung Eine allgemeine L¨ osung der Navier-Stokes-Gleichungen ist bisher nicht gelungen. Hauptursache f¨ ur die Schwierigkeiten ist der nichtlineare Charakter der Differentialgleichungen durch die Produkte in den Trägheitsgliedern

∂ wj dwj ∂ wj = + wi dt ∂t ∂xi

auf der linken Seite der Navier-Stokes-Gleichung. Es sind nur f¨ ur bestimmte Grenzfälle Lösungen bekannt. Sie ergeben sich dadurch, dass man feststellt, unter welchen Bedingungen man einzelne Terme der Gleichung gegen¨ uber anderen vernachl¨ assigen und so die Gleichung vereinfachen kann. Zur Abschätzung der Gr¨ oßenordnung der einzelnen Terme formt man die Differentialgleichung zweckm¨ aßigerweise so um, dass sie nur dimensionslose Größen enthält. Dadurch wird die Gr¨ oßenordnung der Terme unabhängig von dem zufällig gewählten Maßsystem. Eine solche Darstellung der Gleichung durch dimensionslose Gr¨ oßen ist stets m¨ oglich und Ausdruck des allgemeinen Prinzips, dass die Beschreibung und L¨ osung eines physikalischen Problems unabhängig von Maßsystemen sein muss. Gleichbedeutend mit der Einf¨ uhrung dimensionsloser Gr¨ oßen ist die Verwendung problemorientierter Maßeinheiten. Wir betrachten die Navier-Stokes-Gleichung der inkompressiblen Strömung (3.94) ohne Massenkr¨ afte

∂p ∂ 2 wj ∂ wj ∂ wj dwj =− +η . = + wi dt ∂t ∂xi ∂xj ∂xi 2

(3.98)

Man bezieht nun alle Geschwindigkeiten auf eine durch das Problem gegebene charakteristische Geschwindigkeit wα , beispielsweise die Anströmgeschwindigkeit bei einem querangestr¨ omten K¨ orper. Ebenso bezieht man alle Längen auf eine durch das Problem gegebene charakteristische Länge L, beispielsweise die u omte L¨ ange eines quer angeströmten Körpers. Damit ¨berstr¨ bilden wir die dimensionslosen Gr¨ oßen wi+ = wi /wα x+ i = xi /L

, ,

p+ = p/wα2 t+ = t wα /L

und f¨ uhren diese in die Navier-Stokes-Gleichung (3.98) ein. Dabei ersetzen wir noch die Viskosit¨ at η durch die kinematische Viskosität ν gemäß η = ν. Man erhält dann + ∂ wj+ ∂ wj+ ∂ p+ 1 ∂ 2 wj + + w = − + (3.99) i ∂t+ Re ∂x+ 2 ∂x+ ∂x+ i j i

mit der bereits bekannten Reynolds-Zahl

338


Re =

wα L . ν

Zusammen mit der dimensionslosen Form der Kontinuitätsgleichung f¨ ur die inkompressible Str¨ omung ∂ wi+ =0 , (3.100) ∂x+ i die nach Einf¨ uhren der dimensionslosen Gr¨ oßen aus (3.93) hervorgeht, und den Randbedingungen beschreiben (3.99) und (3.100) die Strömung vollständig. Als Lösung erh¨ alt man das Geschwindigkeitsfeld wj+ (t+ , x+ i ) und das + Druckfeld p+ (t+ , xi ). Die Lösung h¨ angt offenbar noch von der Reynolds-Zahl ab. Diese lässt sich als Verhältnis von einer f¨ ur das Problem charakteristischen Trägheits- zur Reibungskraft deuten. Die Tr¨ agheitskraft dw1 /dt ist von der Größenordnung wα /t, worin die Zeit t von der Gr¨ oßenordnung L/wα und die Trägheitskraft somit von der Gr¨ oßenordnung wα2 /L ist. Die Reibungskraft η∂ 2 w1 /∂x21 ist von der Größenordnung ηwα /L2 . Das Verhältnis beider Terme ist von der Gr¨ oßenordnung wα L wα2 /L wα L = = = Re ηwα /L2 η ν und wird gerade durch die Reynolds-Zahl Re beschrieben. Wie man erkennt, wachsen die Tr¨ agheitskräfte quadratisch mit der Geschwindigkeit, nehmen also viel rascher mit der Geschwindigkeit zu als die linear mit dieser anwachsenden Reibungskr¨ afte. Bei großen Reynolds-Zahlen können daher die stets vorhandenen St¨ orungen der Geschwindigkeit nicht mehr durch die vergleichsweise kleinen Reibungskräfte gedämpft werden. Dies omungen von einer gewissen Größe der Reynoldsäußert sich darin, dass Str¨ Zahl an, der sogenannten kritischen Reynolds-Zahl, ihre Form ändern. Während sich unterhalb der kritischen Reynolds-Zahl die Fluidteilchen auf vorgegebenen Strombahnen bewegen und Geschwindigkeitsstörungen rasch wieder abklingen, werden oberhalb der kritischen Reynolds-Zahl Schwankungsbewegungen nicht mehr ged¨ ampft sondern weiter verstärkt. Man bezeichnet eine solche Str¨ omung als turbulent. Die Strömung auf vorgegebenen Teilchenbahnen nennt man laminar. Die turbulente Strömung ist immer dreidimensional, instation¨ ar und rotationsbehaftet. Die Geschwindigkeit an einem festen Ort schwankt unregelm¨ aßig um einen Mittelwert. Die momentanen Werte von Geschwindigkeit, Druck, Temperatur und Konzentration sind Zufallsgrößen. Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen f¨ ur laminare Strömungen beschreiben bei großen Reynolds-Zahlen daher nur dann wirkliche Strömungen,

3.4 Vereinfachungen der Navier-Stokes-Gleichungen

339

wenn die Lösungen gegen kleine St¨ orungen stabil sind: Eine vor¨ ubergehende kleine Störung muss wieder abklingen. Oberhalb der kritischen Reynolds-Zahl ist dies nicht mehr der Fall. Eine vor¨ ubergehende kleine Störung klingt nicht mehr ab, sondern wird verst¨ arkt. Die Str¨ omungsform schlägt von der laminaren in die turbulente Str¨ omung um. Diese Erscheinungen hat Osborne Reynolds (1842–1912) erstmalig beobachtet, indem er der Str¨ omung durch ein Glasrohr in der Rohrachse einen Farbstoff zusetzte. In laminarer Str¨ omung bildete sich in der Rohrachse ein d¨ unner Farbfaden, der sich durch die geringe molekulare Diffusion stromabwärts nur wenig verbreiterte. Erh¨ ohte man die Geschwindigkeit, so dass die kritische Reynolds-Zahl gen¨ ugend weit u ¨berschritten wurde, so schwankte der Faden, löste sich stromabw¨ arts rasch auf und vermischte sich mit der Strömung. Bei der Rohrstr¨ omung zeigt sich, dass sie bei Reynolds-Zahlen Rekrit = wm d/ν ≤ 2300 , gebildet mit der u ¨ber den Querschnitt gemittelten Geschwindigkeit wm und dem Rohrdurchmesser d, auch bei stark gest¨ ortem Zulauf stets laminar bleibt. F¨ ur besonders st¨ orungsfreie Zustr¨ omungen hat man zwar kritische ReynoldsZahlen bis 40 000 gemessen, bei den in den technischen Anwendungen nie völlig störungsfreien Zul¨ aufen ist die Str¨ omung jedoch nur unterhalb Rekrit = 2 300 laminar. Bei Reynolds-Zahlen bis etwa 2 600 hat die Strömung zunächst intermittierenden Charakter. Sie ist zeitweise laminar, zeitweise turbulent und wird oberhalb von Re = 2 600 voll turbulent. ¨ An einer längsangestr¨ omten ebenen Platte liegt der Ubergang von der laminaren zur turbulenten Str¨ omung bei Reynolds-Zahlen wα L/ν zwischen omgeschwindigkeit, L die u 3 · 105 und 5 · 105 ; wα ist die Anstr¨ ¨berströmte Plattenlänge. Der W¨ armeund Stoffaustausch in turbulenten Strömungen ist viel intensiver als in laminaren. Gleichzeitig steigt allerdings im Allgemeinen auch der Druckabfall.

3.4 Vereinfachungen der Navier-StokesGleichungen Vereinfachungen der Navier-Stokes-Gleichungen ergeben sich, wenn die Reynolds-Zahlen sehr klein oder sehr groß sind, Re → 0 oder Re → ∞. Diese Grenzfälle werden zwar in Wirklichkeit nicht erreicht werden, sie stellen aber asymptotische L¨ osungen dar und sind umso bessere Näherungen, je größer bzw. kleiner die Reynolds-Zahl ist. Wir wollen diese Grenzfälle im Folgenden untersuchen.

3.4.1 Schleichende Str¨ omungen Den Grenzfall Re → 0 bezeichnet man als schleichende Strömungen. Er kann dadurch verwirklicht werden, dass die Geschwindigkeit wα sehr klein, die

340


Dichte sehr gering, zum Beispiel in stark verd¨ unnten Gasen, und die Viskosität η sehr groß ist, also bei Str¨ omungen hochviskoser Fluide, oder dass typische Körperabmessungen L sehr klein sind wie bei der Umströmung von Staubkörnern oder Nebeltr¨ opfchen. Die Reibungskräfte u uber ¨berwiegen gegen¨ den Trägheitskräften, so dass die linke Seite von (3.99) im Vergleich zum Term (1/Re)(∂ 2 wj+ /∂x+2 assigt werden kann. Der Druckgradient i ) vernachl¨ kann hingegen nicht ohne weiteres vernachlässigt werden, denn er ∂p+ /∂x+ j ist von der Größenordnung Δp/L Δp , = 2 wα wα2 /L enthält also die Tr¨ agheitskr¨ afte als kleine Gr¨ oße im Nenner. Nur wenn der Druckabfall deutlich kleiner als die Tr¨ agheitskräfte ist, kann man auch den Druckterm weglassen. Ob dies zutrifft, kann man erst anhand der Lösung der Impuls- und der Kontinuit¨ atsgleichung entscheiden. Durch Vernachlässigung der Trägheitskr¨ afte in (3.99) entfallen die nichtlinearen Terme, und es ¨ verbleibt nach Ubergang zu dimensionsbehafteten Größen die lineare Differentialgleichung ∂ 2 wj ∂p =η . (3.101) ∂xj ∂xi 2 Nochmalige Differentiation ergibt ∂ ∂ 2 wj ∂2 ∂2p = η = η ∂xj 2 ∂xj ∂xi 2 ∂xi 2

∂ wj ∂xj

=0 .

(3.102)

Da die Strömung als inkompressibel vorausgesetzt wurde, ist aufgrund der ullt die Potentialgleichung. Kontinuitätsgleichung ∂ wj /∂xj = 0. Der Druck erf¨ Die Gl. (3.101) und (3.102) sind Grundlage der hydrodynamischen Schmie¨ rungstheorie, die sich unter anderem mit der Olstr¨ omung in Gleitlagern befasst.

3.4.2 Reibungsfreie Stro ¨mungen Setzt man eine Str¨ omung als v¨ ollig reibungsfrei voraus, η = 0, so wird 1/Re = 0. Der Reibungsterm auf der rechten Seite von (3.99) verschwindet, und man ¨ erhält nach Ubergang zu dimensionsbehafteten Größen

∂p ∂ wj ∂ wj =− . + wi ∂t ∂xi ∂xj

(3.103)

Dies ist die Eulersche Gleichung. Sie enth¨ alt im Sonderfall der eindimensionalen stationären Str¨ omung die Beziehung w1

dp dw1 =− dx1 dx1

3.4 Vereinfachungen der Navier-Stokes-Gleichungen

341

oder integriert w12 + p = const 2 die als Bernoullische Gleichung bekannt ist. Der Einfluss der Schwerkraft ist hierin vernachlässigt. Während die Navier-Stokes-Gleichung (3.98) von zweiter Ordnung ist, enthält die Eulersche Gleichung (3.103) nur noch Terme erster Ordnung. Da ihre Ordnung um eins niedriger ist als die der Navier-Stokes-Gleichung, kann man nach der Integration eine Randbedingung weniger erf¨ ullen. Als Folge davon kann man die Haftbedingung an der Wand nicht erf¨ ullen. Man erhält vielmehr an der Wand endliche Geschwindigkeiten, da im ganzen Strömungsraum und somit auch an der Wand Reibungsfreiheit vorausgesetzt wurde, während wirkliche Strömungen an festen W¨ anden haften.

3.4.3 Grenzschichtstr¨ omungen ¨ Wie die vorstehenden Uberlegungen zeigen, darf man bei großen ReynoldsZahlen Re → ∞ den Reibungsterm in der Navier-Stokes-Gleichung (3.98) nicht vernachlässigen, wenn man Str¨ omungen in der Nähe fester Wände richtig beschreiben und die Haftbedingung erf¨ ullen will. Der Bereich, in dem man die Reibungskräfte gegen¨ uber den Tr¨ agheitskr¨ aften nicht vernachlässigen darf, ist im Allgemeinen auf eine d¨ unne wandnahe Zone begrenzt, da der Geschwin-

Abb. 3.12: Geschwindigkeiten in einer Grenzschicht

digkeitsanstieg in Wandn¨ ahe und somit auch die Schubspannung groß ist, wie es in Abb. 3.12 anschaulich dargestellt ist. In Wandnähe ist die Schubspannung ∂ w1 τ21 = η ∂x2 besonders groß, in gr¨ oßerer Entfernung von der Wand hingegen vernachlässigbar. Die wandnahe Schicht, in der Reibungs- und Trägheitskräfte von gleicher Gr¨ oßenordnung sind, nennt man Str¨ omungsgrenzschicht oder einfach Grenzschicht. Die Berechnung des Impuls-, W¨ armeund Stoffaustausches in solchen Strömungen ist Gegenstand der Grenzschichttheorie und wird im folgenden Abschnitt behandelt. Es soll hier lediglich noch die Grenzschichtdicke δ(x1 ) abgeschätzt werden. Wir betrachten dazu nur die in Richtung der x1 -Achse wirkenden Trägheits- und Reibungskr¨ afte. Das charakteristische Trägheitsglied war von der Gr¨ oßenordnung

342


wα2 /x1 , wenn wir die charakteristische L¨ ange durch den jeweiligen Abstand von der Vorderkante ersetzen. In x1 -Richtung treten in (3.98) f¨ ur die hier betrachtete Strömung mit der Geschwindigkeit w1 (x1 , x2 ) folgende Reibungsterme auf: η

∂ 2 w1 ∂ 2 w1 ∂ 2 w1 =η +η . 2 2 ∂xi ∂x1 ∂x2 2

Während der erste Term auf der rechten Seite von der Größenordnung ηwα /x21 ist, ergibt sich als Gr¨ oßenordnung f¨ ur den zweiten Term ηwα /δ 2 . Da die Grenzschicht in einem ausreichend großen Abstand von der Plattenvorderkante sehr viel d¨ unner als die Plattenlänge ist, δ x1 , ist der zweite Term f¨ ur die Reibung innerhalb der Grenzschicht entscheidend. Gleichsetzen der Gr¨ oßenordnungen von Trägheits- und Reibungskräften ergibt ηwα wα2 ≈ 2 x1 δ oder

δ ≈ x1 / Rex1

√

(3.104)

achst mit x1 . Sie ist umso d¨ unner, mit Rex1 = wα x1 /ν. Die Grenzschicht w¨ je größer die Reynolds-Zahl ist. Innerhalb des schmalen Bereiches der Grenzschicht kann man offenbar die Reibungskr¨ afte nicht vernachlässigen, während diese außerhalb der Grenzschicht praktisch keine Rolle spielen, so dass f¨ ur die Strömung im Außenbereich die einfachere Eulersche Gleichung gilt.

3.5 Die Grenzschichtgleichungen 3.5.1 Die Stro ¨mungsgrenzschicht F¨ ur große Reynolds-Zahlen l¨ asst sich, wie zuvor erörtert, der Strömungsraum in zwei Bereiche unterteilen, die ¨ außere reibungsfreie Strömung, die durch die Eulersche Gleichung beschrieben wird, und die Strömung innerhalb der Grenzschicht, die dadurch gekennzeichnet ist, dass man die Reibungskräfte nicht mehr gegen¨ uber den Tr¨ agheitskr¨ aften vernachlässigen kann. Aus der Eulerschen Gleichung erh¨ alt man f¨ ur ein bekanntes Druckfeld die Geschwindigkeitsverteilung im Außenraum. Man ist aber nicht in der Lage, den Strömungswiderstand zu ermitteln. Dazu muss die Geschwindigkeitsverteilung in der Grenzschicht bekannt sein. In ihr geht das Geschwindigkeitsprofil vom Wert null an der Wand asymptotisch in das der reibungsfreien Außenströmung u ¨ber. In gleicher Weise n¨ ahern sich auch Temperaturen und Konzentrationen von den Werten an der Wand asymptotisch denen der Außenströmung.

3.5 Die Grenzschichtgleichungen

343

Wir nehmen im Folgenden an, dass Geschwindigkeiten, Temperaturen und Konzentrationen der Außenstr¨ omung bekannt sind, und betrachten eine stationäre, ebene Str¨ omung. Die Massenkr¨ afte seien vernachlässigbar. Die Strömung längs einer gekr¨ ummten Wand kann man ebenfalls als eben ansehen, solange der Kr¨ ummungsradius der Wand groß ist im Vergleich zur Grenzschichtdicke. Dann spielt die Kr¨ ummung keine Rolle f¨ ur die d¨ unne Grenzschicht, und sie entwickelt sich so wie an einer ebenen Wand. Die Wandkr¨ ummung ist lediglich von Einfluss auf die Außenströmung und deren Druckverteilung. Wir f¨ uhren sogenannte Grenzschichtkoordinaten ein, Abb. 3.13, indem die orperoberfl¨ ache und x2 = y senkrecht daKoordinate x1 = x entlang der K¨ zu gewählt wird. Wir setzen eine Anfangsgeschwindigkeit wα (y) voraus; ihr integraler Mittelwert sei wm .

Abb. 3.13: Grenzschicht an einem l¨ angsangestr¨ omten K¨ orper

Dichteänderungen in str¨ omenden Fl¨ ussigkeiten sind sehr gering, wenn man von Extremfällen absieht, beispielsweise Dichteänderungen, die durch sehr ¨ schnelles Schließen oder Offnen der Absperrorgane von Rohrleitungen hervorgerufen werden. Im Allgemeinen ist somit in strömenden Fl¨ ussigkeiten d/dt → 0, und wir d¨ urfen die Kontinuit¨ ats- und die Impulsgleichung f¨ ur inkompressible Str¨ omung anschreiben. Aber auch in Gasen sind Dichteänderungen gering, wenn die Geschwindigkeiten so klein sind, dass die mit der Schallgeschwindigkeit gebildete Mach-Zahl Ma = wm /wS 1 ist. Wir zeigen dies am Beispiel einer reversibel adiabaten Strömung. Aus der Zustandsgleichung p = p(, s) folgt

∂p d . dp = ∂ s Hierin bezeichnet man die Ableitung

∂p := wS2 ∂ s und nennt wS die Schallgeschwindigkeit. Es gilt somit f¨ ur eine reversibel adiabate Strömung dp = wS2 d . Da keine technische Arbeit verrichtet werden soll, ist

344


dwt = 0 = v dp + d

w2 2

,

¨ wenn wir Anderungen der potentiellen Energie vernachlässigen. Damit folgt v dp = vwS2 d = wS2 d/ und

1 d 1 = 2 v dp = − 2 d wS wS

oder

w2 2

=−

w dw wS2

d dw = −Ma2 . w

F¨ ur die relative Geschwindigkeits¨ anderung gilt dw/w ≤ 1. Die relative Dichteänderung d/ ist somit klein f¨ ur Ma < 1, z.B. erhält man f¨ ur Ma = 0,3, was einer Geschwindigkeit von 100 m/s der Luft im Umgebungszustand entspricht, d ≤ 0,09 . Man darf daher Gase m¨ aßiger Geschwindigkeit bei nicht allzu großen Temperaturänderungen n¨ aherungsweise als inkompressibel ansehen, d/dt → 0, und ihre Strömung n¨ aherungsweise durch die Kontinuitäts- und die Impulsgleichung einer inkompressiblen Str¨ omung beschreiben. Die Kontinuitäts- und die Navier-Stokes-Gleichung (3.93) und (3.94) lauten unter den angegebenen Voraussetzungen, wenn wir w1 = wx und w2 = wy setzen, also die Tensorschreibweise wieder verlassen: ∂ wx ∂ wy + =0 ∂x ∂y

2 ∂p ∂ wx ∂ 2 wx ∂ wx ∂ wx + wy =− +η + ∂x ∂y ∂x ∂x2 ∂y 2

2 ∂p ∂ wy ∂ 2 wy ∂ wy ∂ wy . + wy =− +η + wx ∂y ∂y ∂y ∂x2 ∂y 2 wx

(3.105)

(3.106) (3.107)

Um die Größenordnung der einzelnen Terme in diesen Gleichungen abzuschätzen, f¨ uhren wir dimensionslose Gr¨ oßen ein. Es bietet sich an, den Wandabstand y auf eine mittlere Grenzschichtdicke“ ” δm ∼ L/Re1/2 zu beziehen mit Re = wm L/ν, w¨ ahrend man die Länge L zweckmäßigerweise als Längenmaßstab f¨ ur die Str¨ omungsrichtung x wählt und die Geschwindigomgeschwindigkeit wm bezieht. Aus der Kontikeit wx auf die mittlere Anstr¨ nuitätsgleichung folgt


wy ∼

345

wm δm L

und daher wy ∼ wm /Re1/2 . Als Maßstab f¨ ur die Geschwindigkeit wy f¨ uhrt man daher zweckmäßigerweise wm /Re1/2 ein. Auf diese Weise ergeben sich die folgenden dimensionslosen Gr¨ oßen: wx + =

wx wy x y y p , wy + = Re1/2 , x+ = , y + = = Re1/2 , p+ = . 2 wm wm L δm L wm

Mit diesen Größen nehmen (3.105) bis (3.107) die folgende Form an: ∂ wy+ ∂ wx+ + =0 , + ∂x ∂y+ + ∂ p+ 1 ∂ 2 wx+ ∂ 2 wx+ ∂ wx+ + ∂ wx + w = − + + , y ∂x+ ∂y + ∂x+ Re ∂x+ 2 ∂y + 2

∂ wy+ ∂ wy+ 1 ∂ 2 wy+ 1 ∂ 2 wy+ ∂ p+ 1 + . wx+ + + wy+ + = − + + Re ∂x ∂y ∂y Re2 ∂x+ 2 Re ∂y + 2

wx+

F¨ ur große Reynolds-Zahlen Re → ∞ werden alle Glieder mit dem Faktor 1/Re und erst recht die mit 1/Re2 verschwindend klein. Kehrt man nach Vernachlässigung dieser Glieder wieder zu dimensionsbehafteten Gleichungen zur¨ uck, so erhält man die Grenzschichtgleichungen, die in dieser Form im Jahre 1904 erstmalig von L. Prandtl (1875–1953) [3.4] angegeben wurden: ∂ wy ∂ wx + =0 , ∂x ∂y wx

∂p ∂ 2 wx ∂ wx ∂ wx + wy =− +η , ∂x ∂y ∂x ∂y 2 ∂p =0 . ∂y

(3.108)

(3.109) (3.110)

Aus (3.108) und (3.109) erh¨ alt man die beiden unbekannten Geschwindigkeiten wx und wy . Der Druck ist keine Unbekannte mehr, denn nach (3.110) ist der Druck p = p(x) keine Funktion der wandnormalen Koordinate y. Er wird durch die Außenstr¨ omung, also letztlich durch die Gestalt des umströmten K¨ orpers oder durchstr¨ omten Kanals bestimmt. Der Druck hat in der Grenzschicht an jeder Stelle x den gleichen Wert wie außerhalb und kann mittels der Eulerschen Gleichung (3.103) durch die Geschwindigkeit wδ (x) der Außenströmung ersetzt werden: wδ

dp ∂ wδ =− . ∂x dx

(3.111)

346


Folgende Randbedingungen stehen zur L¨ osung des Gleichungssystems zur Verf¨ ugung: Die Haftbedingung an der Wand y=0:

wx = wy = 0 ,

(3.112)

die Bedingung am Außenrand der Grenzschicht, wonach die Geschwindigkeit wy asymptotisch in die Geschwindigkeit der Außenströmung u ¨bergehen soll, y→∞:

wx = wδ

(3.113)

wx = wα (y) .

(3.114)

und die Anfangsbedingung x=0:

Die Grenzschichtgleichungen sind nichtlinear und abgesehen von einigen Spezialfällen nicht streng analytisch l¨ osbar.

3.5.2 Die Temperaturgrenzschicht ¨ Ahnlich wie man zur Berechnung der Geschwindigkeiten in einer Strömungsgrenzschicht die Navier-Stokes-Gleichungen erheblich vereinfachen konnte, l¨ asst sich auch die Energiegleichung zur Berechnung der Temperaturen in einer Temperaturgrenzschicht vereinfachen. Wir betrachten dazu wieder einen K¨ orper gemäß Abb. 3.12, dessen Oberfl¨ ache eine bestimmte Wandtemperatur ϑ0 hat, die von der Temperatur ϑα der Anströmung verschieden ist. Wir setzen wie zuvor eine station¨ are, ebene Str¨ omung voraus. Große Temperaturund Druckänderungen wollen wir ausschließen, so dass man konstante Wärmeleitfähigkeit annehmen darf. Fl¨ ussigkeiten sind, wie schon zuvor erörtert, weitgehend inkompressibel, d/dt = 0, w¨ ahrend f¨ ur Gase der Beitrag der, wenn auch geringen, Dichte¨ anderung zur Energiebilanz noch abzuschätzen ist. Wir verwenden daher die f¨ ur kompressible und inkompressible Strömung g¨ ultige Temperaturform (3.85) der Energiegleichung

2

∂ϑ ∂ϑ dp T ∂v ∂ ϑ ∂2ϑ =λ + wy +φ (3.115) + 2 + cp wx ∂x ∂y ∂x2 ∂y v ∂ϑ p dt und schätzen wie zuvor die Gr¨ oßenordnung der einzelnen Terme ab, indem wir einige der zuvor bereits definierten dimensionslosen Größen weiter verwenden: wx+ =

wx ; wm

wy+ =

wy Re1/2 ; wm

x+ =

x ; L

p+ =

p . 2 wm

Als Maßstab f¨ ur die Koordinate y f¨ uhrt man zweckmäßigerweise eine mittlere Dicke der Temperaturgrenzschicht ein. Eine Abschätzung der Temperaturgrenzschicht hatte bereits (3.8) ergeben,


δT ∼ x

a

347

1/2 ,

wm x

wobei wm die als konstant vorausgesetzte Geschwindigkeit war. Hierin ist jetzt die Temperaturleitf¨ ahigkeit definiert durch a = λ/cp . Wir bilden eine mittlere Dicke δT m der Temperaturgrenzschicht 1/2

a δT m ∼ L , wm L die durch diese Gleichung bis auf einen noch unbekannten Proportionalitätsfaktor bestimmt ist. Die hierin vorkommende Größe wm L a ist die bereits bekannte Péclet-Zahl P e. Sie ist mit der Reynolds-Zahl verkn¨ upft durch wm L wm L ν Pe = = = Re P r . a ν a P r = ν/a ist die Prandtl-Zahl. Mit δT m bilden wir die dimensionslose Koordinate y y = P e1/2 . y+ = δT m L Außerdem f¨ uhren wir noch eine dimensionslose Zeit t+ =

t wm L

und als dimensionslose Temperatur ϑ+ =

ϑ − ϑ0 ϑα − ϑ0

ein. Durch diese Normierung verl¨ auft die Temperatur in der Grenzschicht zwischen den Werten 0 ≤ ϑ+ ≤ 1. Mit den so definierten dimensionslosen Größen lässt sich die Energiegleichung (3.115) umformen in wx+

+ 1 ∂ 2 ϑ+ ∂ 2 ϑ+ ∂ ϑ+ 1/2 + ∂ ϑ + P r w = + y ∂x+ ∂y + P e ∂x+ 2 ∂y + 2 2 T wm + cp Δϑ v

∂v ∂ϑ

p

dp+ φL + dt+ wm cp Δϑ

(3.116)

mit Δϑ = ϑα − ϑ0 . Die hierin vorkommende Dissipationsleistung φ ist von der Größenordnung (s. hierzu auch das Beispiel 3.3)

2 ∂ wx w2 φ∼η ∼ η 2m oder mit δm ∼ L/Re1/2 ∂y δm

348


φ∼η

2 2 3 wm L wm wm wm = . Re = η 2 2 L L η L

Damit ist die Gr¨ oßenordnung des letzten Terms in (3.116) 2 wm φL ∼ . wm cp Δϑ cp Δϑ

Die Größe

2 wm = Ec cp Δϑ

ist die bereits bekannte Eckert-Zahl. Sie ist das Verhältnis der (doppelten) mittleren kinetischen Energie und der mittleren inneren Energie der Grenzschicht. Bei Wärme- und Stoffaustauschproblemen ist sie sehr klein, abgesehen von Strömungen mit hohen Geschwindigkeiten nahe oder u ¨ber der Schallgeschwindigkeit. Derartige Str¨ omungen waren jedoch ausgeschlossen. Man kann somit den Beitrag der mechanischen Dissipationsleistung in der Energiegleichung vernachlässigen. In dem vorletzten Ausdruck von (3.116)

2 dp+ dp+ T ∂v T ∂v wm = Ec + cp Δϑ v ∂ϑ p dt v ∂ϑ p dt+ ist f¨ ur ideale Gase: T v

∂v ∂ϑ

=1 , p

während f¨ ur Fl¨ ussigkeiten wegen v = v0 =const der Ausdruck sogar verschwindet. Da die Eckert-Zahl Ec sehr klein ist, kann man den vorletzten Ausdruck auch f¨ ur Gase vernachl¨ assigen. Da wir große Reynolds-Zahlen Re → ∞ voraussetzten, die Prandtl-Zahl aber von der Gr¨ oßenordnung 1 ist, kann man auch das erste Glied auf der rechten Seite von (3.116) vernachlässigen: Die Wärmeleitung in Str¨ omungsrichtung x ist vernachlässigbar im Vergleich zu derjenigen durch die d¨ unne Grenzschicht. Nach R¨ ucktransformation in dimensionsbehaftete Koordinaten erh¨ alt man als Gleichung der Temperaturgrenzschicht ∂2ϑ ∂ϑ ∂ϑ + cp wy =λ 2 . (3.117) cp wx ∂x ∂y ∂y ¨ Entsprechende Uberlegungen gelten auch f¨ ur die Temperaturgrenzschicht von Mehrstoffgemischen. Der Energietransport durch Leitung und durch Diffusion in Richtung der L¨ angskoordinate x ist vernachl¨ assigbar im Vergleich zu dem durch die Grenzschicht. Die Energiegleichung der Grenzschicht folgt aus (3.97), in der wir verschwindende Massenkr¨ afte kKi voraussetzen:

N −1 ∂h ∂2ϑ ∂ϑ ∂ϑ ∂ ∗ − + cp wy =λ 2 − cp wx jKy hK Γ˙K . (3.118) ∂x ∂y ∂y ∂y ∂ξK K=1 K Die Gl. (3.118) gilt in dieser Form auch f¨ ur Vielstoffgemische mit mehr als zwei Komponenten.


349

F¨ ur ein Zweistoffgemisch aus den Komponenten A und B ist die Enthalpie des Gemisches h = h0A ξA + h0B (1 − ξA ) + Δh , wenn Δh die Mischungsenthalpie ist und h0A , h0B die Enthalpien der reinen Stoffe A und B sind. Die Mischungsenthalpie kann f¨ ur Gase in einiger Entfernung vom kritischen Zustand vernachl¨ assigt werden und verschwindet definitionsgem¨ aß f¨ ur ideale Fl¨ ussigkeitsgemische. Dann ist ∂h = h0A − h0B . ∂ξA Weiter ist f¨ ur ein inkompressibles reines Fluid wegen v = v0 =const dh = cp dϑ + v0 dp und

∂ϑ ∂h = cp ∂y ∂y da ∂ p/∂y = 0 in der Grenzschicht ist. Somit ist ∂ ∂h ∂ϑ = (cpA − cpB ) ∂y ∂ξA ∂y armekapazit¨ aten der reinen Stoffe A und B sind. Die worin cpA und cpB die spez. W¨ Energiegleichung der Grenzschicht eines inkompressiblen Zweistoffgemisches lautet damit cp wx

∂ϑ ∂ϑ ∂ϑ ∂2ϑ ∗ (cpA − cpB ) + cp wy = λ 2 − jAy − (hA − hB )Γ˙A ∂x ∂y ∂y ∂y

(3.119)

mit

∂ ξA . ∂y Falls die beiden Stoffe gleiche spez. W¨ armekapazit¨ aten besitzen, entf¨ allt der Term f¨ ur den Stoffaustausch. In allen anderen F¨ allen kann er jedoch nicht mehr vernachl¨ assigbare Werte annehmen. Selbst f¨ ur Stoffe wie Wasserdampf und Luft unterscheiden sich die spez. W¨ armekapazit¨ aten schon so deutlich, dass man den Term f¨ ur den Stoffaustausch nicht mehr weglassen kann. Man erkennt außerdem, dass die Energiegleichung mit der f¨ ur reine Stoffe u armekapazit¨ aten ¨bereinstimmt, wenn die spez. W¨ der beiden Komponenten gleich sind und wenn keine chemischen Reaktionen vorkommen. ∗ = −D jAy

Beispiel 3.6: In der Energiegleichung f¨ ur ein Zweistoffgemisch (3.119) bestehend aus Wasserdampf und Luft von 100 ℃ sch¨ atze man die Gr¨ oßenordnung der einzelnen Terme ab. Chemische Reaktionen seien ausgeschlossen. Es ist die spez. W¨ armekapazit¨ at des Wasserdampfes cpA = 1,996 kJ/kgK, die der Luft cpB = 1,011 kJ/kgK. Ferner sei die Lewis-Zahl Le = a/D = 1. Man f¨ uhrt die gleichen dimensionslosen Gr¨ oßen ein, die zur Herleitung der Energiegleichung f¨ ur die Grenzschicht reiner Stoffe verwendet wurden, wx+ =

wx ; wm

wy+ =

wy Re1/2 ; wm

x+ =

x ; L

y+ =

y P e1/2 ; L

350


ϑ − ϑ0 ϑα − ϑ0 Damit geht (3.119) u ¨ber in ϑ+ =

wx+

und zus¨ atzlich

+ ξA =

ξA − ξA0 . ξAα − ξA0

∂ ξ + ∂ ϑ+ (ξAα −ξA0 ) D (cpA −cpB ) L ∂2ϑ ∂ϑ ∂ϑ +P r 1/2 wy+ = Pe A . 2+ + + 2 + ∂x ∂y wm cp L ∂y + ∂y + ∂y

ur schreiben: Wegen P e = wm L/a kann man hierf¨ wx+

+ (ξAα −ξA0 ) (cpA −cpB ) D ∂ ξA ∂ ϑ+ ∂ ϑ+ ∂ ϑ+ ∂ 2 ϑ+ + P r1/2 wy+ = . 2 + + + + + ∂x ∂y cp a ∂y ∂y + ∂y

Die Gr¨ oßenordnung des letzten Terms wird durch dessen Vorfaktor bestimmt. Dieser ergibt sich, wenn wir f¨ ur cp einen Mittelwert (cpA + cpB )/2 = 1,5035 kJ/kgK setzen und ξAα − ξA0 = 1 setzen, d.h. annehmen, in der Kernstr¨ omung sei der Massenanteil des Wasserdampfes gering ξAα = 0, an der Wand sei er groß ξA0 = 1, wenn dort Wasserdampf kondensiert. Mit a/D = 1 ergibt sich dann die Gr¨ oßenordnung des Vorfaktors zu 0,655. Da alle u ucke ¨brigen Ausdr¨ von der Gr¨ oßenordnung eins sind, kann man den Term f¨ ur den Stofftransport nicht vernachl¨ assigen. Dies w¨ are nur dann zul¨ assig, wenn ξAα − ξA0 sehr klein are. und etwa von der Gr¨ oßenordnung 10−2 w¨

3.5.3 Die Konzentrationsgrenzschicht Die gleiche Begr¨ undung wie zuvor, wonach Stoffströme in Strömungsrichtung im Vergleich zu denen durch die Konzentrationsgrenzschicht quer zur Strömung vernachl¨ assigbar sind, f¨ uhrt zu den Gleichungen f¨ ur die Konzentrationsgrenzschicht. Wir erhalten sie aus den Komponenten-Kontinuitätsgleichungen (3.25) durch Vernachl¨ assigung der entsprechenden Ausdr¨ ucke zu wx

∗ ∂ jAy ∂ ξA ∂ ξA + wy =− + Γ˙A , ∂x ∂y ∂y

(3.120)

∗ = −D∂ ξA /∂y f¨ ur ein Zweistoffgemisch. mit jAy

3.5.4 Allgemeine Bemerkungen zur L¨ osung der Grenzschichtgleichungen Die Gleichungen (3.109), (3.117) bzw. (3.118) und (3.120) f¨ ur die Strömungs-, Temperatur- und Konzentrationsgrenzschicht weisen einige bemerkenswerte ¨ Ahnlichkeiten auf. Sie enthalten auf der linken Seite konvektive Terme“, ” die den Impuls-, W¨ arme- oder Stoffaustausch durch Konvektion beschreiben, w¨ ahrend auf der rechten Seite jeweils ein diffusiver Term“ f¨ ur den Impuls-, ” Wärme- oder Stoffaustausch vorkommt. Zusätzlich enthalten die Energiegleichung f¨ ur Mehrstoffgemische (3.118) und die Komponenten-Kontinuitätsgleichung (3.25) noch Glieder f¨ ur den Einfluss chemischer Reaktionen. Die dar¨ uber hinaus noch auftretenden Ausdr¨ ucke f¨ ur Druckabfall in der Impulsgleichung und Stofftransport in der Energiegleichung f¨ ur Mehrstoffgemische


351

lassen sich nicht ohne weiteres miteinander vergleichen, da sie verschiedene physikalische Ph¨ anomene beschreiben. Die Gleichungen sind Grundlage f¨ ur viele Anwendungen in der Technik. Bevor wir jedoch spezielle L¨ osungen untersuchen, scheint es angebracht, zunächst einige allgemeine Bemerkungen zur Lösung der Gleichungen voranzuschicken. Zu diesem Zweck sollen die Gleichungen erneut in eine dimensionslose Form gebracht werden. Da es nur auf Aussagen zur Lösung des Gleichungssystems ankommt und nicht wie bei der Herleitung der Grenzschichtgleichungen auf eine Abschätzung der Gr¨ oßenordnung der einzelnen Terme in einer bestimmten Gleichung, werden alle Gr¨ oßen in allen Gleichungen in gleicher Weise dimensionslos gemacht. Wir f¨ uhren jetzt folgende dimensionslose Größen ein x+ =

x ; L

ϑ+ =

ϑ − ϑ0 ; ϑα − ϑ0

y+ =

y ; L + ξA =

wx+ =

wx ; wm

ξA − ξA0 ; ξAα − ξA0

wy+ = p+ =

wy ; wm

p . 2 wm

Chemische Reaktionen sollen keine Rolle spielen. Wir beschränken die Betrachtung auf reine Stoffe oder auf Zweistoffgemische, deren Komponenten annähernd gleiche spezifische W¨ armekapazit¨ aten haben. Die Energiegleichung (3.119) stimmt dann mit der f¨ ur reine Stoffe (3.117) u uhren ¨berein. Nach Einf¨ der dimensionslosen Gr¨ oßen lautet die Kontinuitätsgleichung ∂ wy+ ∂ wx+ + =0 , ∂x+ ∂y+

(3.121)

die Impulsgleichung wx+

∂ p+ 1 ∂ 2 wx+ ∂ wx+ ∂ w+ + wy+ +x = − + + , + ∂x ∂y ∂x Re ∂y+ 2

(3.122)

die Energiegleichung wx+

1 ∂ 2 ϑ+ ∂ ϑ+ ∂ ϑ+ + wy+ + = + ∂x ∂y ReP r ∂y+ 2

(3.123)

und die Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur die Komponente A wx+

+ + + ∂ ξA 1 ∂ 2 ξA + ∂ ξA + w = y ∂x+ ∂y + ReSc ∂y+ 2

(3.124)

mit der Reynolds-Zahl Re = wm L/ν, der Prandtl-Zahl P r = ν/a und der Schmidt-Zahl Sc = ν/D. Als Lösung der Kontinuit¨ ats- und der Impulsgleichung erhält man f¨ ur eine vorgegebene Außenstr¨ omung und damit vorgegebenen Druckabfall ∂p+ /∂x+ :

352


wx+ = f (x+ , y + , Re)

und wy+ = f (x+ , y + , Re) .

Daraus folgt die Schubspannung an der Wand

+ ∂ wx ∂ wx wm =η τ0 = η ∂y y=0 ∂y+ y+ =0 L und der Reibungsbeiwert cf =

2 τ0 = 2 /2 wm Re

∂ wx+ ∂y +

= y + =0

2 f (x+ , Re) . Re

(3.125)

F¨ ur eine vorgegebene Kontur des umstr¨ omten Körpers hängt der Reibungsbeiwert nur von der Koordinate x+ und der Reynolds-Zahl ab, nicht aber von der Art des Fluids. Die Lösung der Energiegleichung ist von der Form ϑ+ = f (x+ , y+ , Re, P r) . Damit ergibt sich die u armestromdichte zu ¨bertragene W¨

+

ϑα − ϑ0 ∂ϑ ∂ϑ . = −λ q˙ = −λ ∂y y=0 ∂y + y+ =0 L Andererseits ist der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient definiert durch q˙ = α(ϑ0 − ϑα ) . Nach Gleichsetzen beider Ausdr¨ ucke erh¨ alt man

+ αL ∂ϑ = f (x+ , Re, P r) . = Nu = λ ∂y + y+ =0

(3.126)

Die Nußelt-Zahl ist gleich der dimensionslosen Steigung des Temperaturprofils an der Wand. Sie ist f¨ ur einen K¨ orper von vorgegebener Gestalt f¨ ur jedes Fluid eine universelle Funktion von x+ , Re und P r. Die mittlere Nußelt-Zahl ist als integraler Mittelwert u armeaustauschende Oberfläche unabhängig ¨ber die w¨ von x+ : αm L N um = = f (Re, P r) . (3.127) λ Aus der Komponenten-Kontinuit¨ atsgleichung (3.124) erhält man unter Beachtung des Geschwindigkeitsfelds wx+ (x+ , Re) und wy+ (y + , Re) als allgemeine Lösung + = f (x+ , y + , Re, Sc) . ξA Die u ¨bertragene Stoffstromdichte ist

+ ∂ ξA ξAα − ξA0 ∂ ξA ∗ jA = −D = −D . + ∂y y=0 ∂y L y + =0


353

Bei verschwindendem Konvektionsstrom ist der Stoffaustauschkoeffizient durch ∗ = β(ξA0 − ξAα ) jA definiert. Aus beiden Gleichungen folgt

+ ∂ ξA βL = Sh = = f (x+ , Re, Sc) . D ∂y + y+ =0

(3.128)

Die Sherwood-Zahl ist gleich der dimensionslosen Steigung des Konzentrationsprofils an der Wand. Sie ist f¨ ur einen K¨ orper von vorgegebener Gestalt unabhängig von der Art des Fluids eine universelle Funktion von x+ , Re und Sc. Die mittlere Sherwood-Zahl als integraler Mittelwert u ¨ber die Stoff austauschende Oberfl¨ ache ist unabh¨ angig von x+ : Shm =

βm L = f (Re, Sc) . D

(3.129)

Sobald man den funktionellen Zusammenhang zwischen Nußelt-, Reynoldsund Prandtl-Zahl oder Sherwood-, Reynolds- und Schmidt-Zahl gefunden hat, sei es durch Messungen oder durch Rechnung, gilt das so gefundene Wärmeoder Stoff¨ ubergangsgesetz f¨ ur alle Fluide, Geschwindigkeiten und auch alle Längenmaßstäbe. Es gilt also auch f¨ ur alle geometrisch a¨hnliche Körper. Voraussetzung ist dabei, dass die Annahmen zutreffen, die zu den Grenzschichtgleichungen f¨ uhrten, n¨ amlich vernachl¨ assigbare Dissipations- und Massenkräfte und keine chemischen Reaktionen. Da die Differentialgleichungen (3.123) und (3.124) formal u ¨bereinstimmen, stimmen auch die Lösungen u ¨berein, vorausgesetzt, dass die Randbedingungen ebenfalls formal gleich sind. Die Funktionen (3.126) und (3.128) sowie (3.127) und (3.129) sind daher von gleicher Art. Es gilt somit f (Re, Sc) Shm = . N um f (Re, P r) Wie schon erörtert, Abschnitt 1.5, kann man derartige Funktionen häufig u ¨ber weite Zustandsbereiche durch Potenzprodukte annähern N um = c Ren P r m

und Shm = c Ren Scm .

Daraus folgt die schon bekannte Beziehung (1.198)

m Shm βm λ Sc a m = = = = Lem N um D αm Pr D oder βm =

αm Lem−1 cp

die schon bekannte Lewissche Beziehung mit der Lewis-Zahl Le = a/D, aus der man den Stoff¨ ubergangskoeffizienten βm berechnen kann, wenn der Wärme¨ ubergangskoeffizient bekannt ist. In guter Näherung ist m = 1/3.

354


Die Gleichungen (3.123) und (3.124) stimmen f¨ ur P r = Sc = 1 außerdem mit der Impulsgleichung (3.122) u ¨berein, wenn man verschwindenden Druckabfall voraussetzt. Unter der Annahme gleicher Randbedingungen stimmt dann auch das Geschwindigkeitsprofil mit dem Temperatur- und dem Konzentrationsprofil u ¨berein. Es ist daher

+

+

+ ∂ ξA τ0 ∂ϑ ∂ wx = = = Nu = = Sh ∂y + y+ =0 ηwm ∂y+ y+ =0 ∂y + y+ =0 2 oder nach Einf¨ uhren des Reibungsbeiwertes cf = τ0 /(wm /2) und der Reynolds-Zahl Re = wm L/ν:

Sh cf Nu = = Re Re 2

f¨ ur

P r = Sc = 1 .

(3.130)

Hierin sind die Nußelt-Zahl N u = αL/λ und die Sherwood-Zahl Sh = βL/D mit den ¨ ortlichen W¨ armeund Stoff¨ ubergangskoeffizienten gebildet. Das Verhältnis N u/Re und Sh/Re ist unabhängig von der charakteristischen Länge, da diese auch in der Reynolds-Zahl Re = wm L/ν enthalten ist. Die Gleichung (3.130) ist als Reynolds-Analogie bekannt. Man kann mit ihr Wärme- oder Stoff¨ ubergangskoeffizienten berechnen, wenn der Reibungsbeiwert bekannt ist.

3.6 Einfluss der Turbulenz auf den W¨ armeund Stoffu ¨ bergang Die turbulente Str¨ omung ist durch Schwankungsbewegungen gekennzeichnet, die sich der Hauptstr¨ omung u ¨berlagern. Sie ist grundsätzlich dreidimensional und instationär. Auch die Str¨ omung in Grenzschichten ist bei hinreichend großer Reynolds-Zahl nicht mehr laminar, sondern turbulent, so dass Geschwindigkeiten, Temperaturen und Konzentrationen an einem festen Ort lokal schwanken, wie dies Abb. 3.14 f¨ ur eine Geschwindigkeitskomponente wi an einem festen Ort zeigt. Sie kann an jedem Ort als Summe aus einem Mittelwert (T ist hier Integrationszeit) 1 w ¯i = lim T →∞ T

T wi (xj , t) dt = w ¯i (xj )

(3.131)

0

und einem Schwankungswert wi gebildet werden: ¯i + wi . wi = w Die Abb. 3.14 zeigt eine im statistischen Mittel stationäre Strömung, denn die Geschwindigkeit an einem festen Ort ist u ¨ber eine hinreichend lange Zeit im

3.6 Einfluss der Turbulenz auf den W¨ armeund Stoff¨ ubergang

355

Abb. 3.14: Geschwindigkeitsschwankungen an einem festen Ort bei im Mittel station¨ arer Str¨ omung

Mittel konstant. Man erh¨ alt sie durch eine Mittelwertbildung gemäß (3.131). Eine Strömung kann im statistischen Mittel auch instationär sein, beispielsweise wenn eine im Querschnitt pulsierende Kunststoffleitung von einem Fluid durchströmt wird. Es ist dann w ¯i (xj , t), und die Mittelkurve in Abb. 3.14 w¨ urde sich noch mit der Zeit a ndern. ¨ Es sollen hier nur im Mittel station¨ are Str¨ omungen betrachtet werden. F¨ ur sie ist definitionsgem¨ aß der zeitliche Mittelwert der Schwankungsgeschwindigkeiten gleich null, w ¯i = 0. Entsprechend kann man auch Druck, Temperatur und Konzentration in Mittelwert und Schwankungsgröße aufspalten p = p¯ + p ,

ϑ = ϑ¯ + ϑ ,

ξA = ξ¯A + ξA .

Es werde eine inkompressible Str¨ omung vorausgesetzt, so dass eine Aufspaltung der Dichte nicht erforderlich ist. Messungen haben gezeigt, dass Fluidteilchen verschiedener Größe turbulente Schwankungen ausf¨ uhren und sich dabei gleichzeitig noch um ihre Achse drehen. Man hat demnach ein Spektrum von Wirbeln verschiedener Größe und Frequenz. Die kleinsten Wirbel sind von der Größenordnung 0,1 bis 1 mm, also immer noch viel gr¨ oßer als die bei 10−14 mm liegende mittlere freie Weglänge der Molek¨ ule. Die Wirbel bestehen somit aus hinreichend vielen Molek¨ ulen, so dass die Bilanzgleichungen weiterhin gelten. Geschwindigkeit, Druck, Temperatur und Konzentration sind Momentanwerte an jedem Ort und können grundsätzlich mit numerischen Verfahren aus den Gleichungen f¨ ur die dreidimensionale instation¨ are Str¨ omung berechnet werden. Dazu m¨ usste man aber die Zeitschritte wegen der hohen Frequenz der turbulenten Schwankungen von ahlen, was zu einem derzeit selbst 104 s−1 bis 1 s−1 außerordentlich klein w¨ mit Großrechnern nicht bew¨ altigbarem Aufwand f¨ uhrt. In der Wärme- und Stoff¨ ubertragung ist man auch nicht an den zeitlich veränderlichen Schwankungswerten, sondern nur an den Mittelwerten interessiert. Allerdings sind auch diese nicht einfach zu bestimmen, denn als Folge der Nichtlinearität der konvektiven Glieder in den Bilanzgleichungen haben Geschwindigkeits-, Temperatur- und Konzentrationsschwankungen auch einen Einfluss auf die Mittelwerte. Die mit diesen gebildeten Bilanzgleichungen enthalten zusätzliche Ausdr¨ ucke, die sich nicht aus den Gleichungen selbst ergeben. F¨ ur sie muss man phänomenologische Ans¨ atze oder statistische Turbulenzmodelle entwickeln. Um dies zu zeigen, betrachten wir eine Grenzschichtströmung. Chemische Reaktionen sollen keine Rolle spielen. Außerdem setzen wir reine Stoffe oder ein Zweistoffgemisch mit ann¨ ahernd gleichen spez. Wärmekapazitäten der beiden

356


Komponenten voraus, so dass die Energiegleichung mit der f¨ ur reine Stoffe u ¨bereinstimmt. Aufspalten der Geschwindigkeit in Mittelwert und Schwankungsgeschwindigkeit, wi = w ¯i + wi , in der Kontinuit¨ atsgleichung (3.93) f¨ uhrt zu ∂w ¯i ∂ wi ∂ (w ¯i + wi ) = + =0 . ∂xi ∂xi ∂xi Nach zeitlicher Mittelung verbleibt ∂w ¯i =0 . ∂xi

(3.132)

F¨ ur die konvektiven Terme in der Impulsgleichung (3.94) kann man unter der Beachtung der Kontinuit¨ atsgleichung ∂ wi /∂xi = 0 auch schreiben wi

∂ ∂ wj = (wi wj ) . ∂xi ∂xi

Daraus wird ∂ ∂ [(w ¯i + wi )(w ¯j + wj )] = ¯j + w ¯i wj + w ¯i w ¯j + wi wj . w ¯i w ∂xi ∂xi Nach zeitlicher Mittelung verschwinden alle in wj und wi linearen Glieder, und es bleibt ∂ wj ∂w ¯j ∂ wi =w ¯i + (w w ) . ∂xi ∂xi ∂xi i j Entsprechend erh¨ alt man f¨ ur den konvektiven Term in der Energiegleichung (3.95) ∂ϑ ∂ ϑ¯ ∂ wi =w ¯i + (w ϑ ) ∂xi ∂xi ∂xi i und f¨ ur den konvektiven Term in der Komponenten-Kontinuitätsgleichung wi

∂ ∂ ξA ∂ ξ¯A =w ¯i + (w ϑ ) . ∂xi ∂xi ∂xi i

Die Grenzschichtgleichungen (3.108), (3.109), (3.117) und (3.120) haben daher f¨ ur die turbulente Str¨ omung unter den genannten Voraussetzungen folgende Form, wenn wir die Tensorschreibweise verlassen und f¨ ur w1 = wx , w2 = wy , x1 = y und x2 = y setzen: ∂w ¯y ∂w ¯x + =0 ∂x ∂y

∂ p¯ ∂w ¯x ∂ ∂w ¯x ∂w ¯x =− η +w ¯y + − wx wy w ¯x ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y

(3.133)

(3.134)


¯ ∂ ϑ¯ ∂ ϑ¯ ∂ ∂ϑ ¯x = λ +w ¯y − cp wy ϑ cp w ∂x ∂y ∂y ∂y

∂ ∂ ξ¯A ∂ ξ¯A ∂ ξ¯A = D +w ¯y − wy ξA w ¯x . ∂x ∂y ∂y ∂y

357

(3.135) (3.136)

Die Gleichungen stimmen mit denen f¨ ur die laminare Strömung bis auf die Glieder der Form a b u ¨berein. Diese beschreiben den Einfluss der turbulenten Schwankungsbewegung auf den Impuls-, W¨ armeund Stoffaustausch. Der Ausdruck −wx wy (SI-Einheit N/m2 ) ist ein gemittelter Impulsfluss je Flächeneinheit, also vergleichbar mit einer Schubspannung: An einer Fläche senkrecht zur Achse x wird eine Kraft in Richtung der Achse y hervorgerufen. Man nennt allgemein Terme der Form −wi wj Reynoldssche Spannungen oder turbulente Scheinspannungen. Sie sind symmetrische Tensoren. Entsprechend tritt in der Energiegleichung (3.135) eine turbulente Wärmestromdichte“ von ” der Form q˙i = −cp wi ϑ und in der Komponenten-Kontinuit¨ atsgleichung eine turbulente Diffusions” stromdichte“ der Form ∗ jAi = −wi ξA auf. Aufgrund dieser Gleichungen kann man auch eine Gesamtschubspannung definieren ∂ wx − wx wy (τxy )tot = η (3.137) ∂y und entsprechend eine Gesamtw¨ armestromdichte

∂ϑ ∂ϑ − cp wy ϑ = −cp a − wy ϑ (q˙y )tot = − λ ∂y ∂y und eine Gesamtdiffusionsstromdichte

∂ ξA ∗ (jAy − wy ξA )tot = − D . ∂y

(3.138)

(3.139)

Sie bestehen jeweils aus einem molekularen und einem turbulenten Beitrag. Impuls-, Wärme- und Stoffaustausch werden durch die turbulenten Anteile erhöht. Die Gleichungen sagen nichts dar¨ uber aus, wie die turbulenten Beiträge zu berechnen sind. Hierf¨ ur sind zus¨ atzliche Annahmen erforderlich. Besonders einfach ist der Ansatz, den J.V. Boussinesq (1842–1929) f¨ ur die Reynoldssche Spannung vorschlug: ∂w ¯x . (3.140) − wx wy = εt ∂y Darin ist εt die turbulente Viskosit¨ at“ (SI-Einheit m2 /s). Damit lässt sich ” die Gesamtschubspannung ausdr¨ ucken durch

358


(τxy )tot = (ν + εt )

∂w ¯x . ∂y

(3.141)

Da die Reynoldssche Spannung bei Ann¨ aherung an die Wand verschwinden muss, kann die turbulente Viskosit¨ at nicht konstant sein. Mit dem BoussinesqAnsatz kann man daher wandnahe Str¨ omungen nicht beschreiben, wenn man εt = const voraussetzt. F¨ ur Str¨ omungen, wie sie in turbulenten Freistrahlen auftreten, ist jedoch die Annahme einer konstanten turbulenten Viskosität recht gut zutreffend. Entsprechend dem Boussinesq-Ansatz f¨ uhrt man auch eine turbulente Temperaturleitf¨ ahigkeit“ at ein (SI-Einheit m2 /s) durch ” ∂ ϑ¯ at = −wy ϑ . (3.142) ∂y Es ist at = λt /cp mit der turbulenten W¨ armeleitf¨ ahigkeit“ λt (SI-Einheit ” W/K m). Die Gesamtw¨ armestromdichte wird (q˙y )tot = −cp (a + at )

∂ ϑ¯ . ∂y

(3.143)

Außerdem definiert man einen turbulenten Diffusionskoeffizienten“ Dt (SI” Einheit m2 /s) durch ∂ ξ¯A . (3.144) Dt = wy ξA ∂y Damit wird die Gesamtdiffusionsstromdichte ∗ (jAy )tot = −(D + Dt )

∂ ξ¯A . ∂y

(3.145)

Ebenso wie die turbulente Viskosit¨ at m¨ ussen die turbulenten Anteile von Temperaturleitfähigkeit, W¨ armeleitf¨ ahigkeit und Diffusionskoeffizient an festen Wänden verschwinden. In einiger Entfernung von einer festen Wand ist hingegen der turbulente Austausch viel intensiver als der durch Molekularbewegung. Es kommt zu einer guten Durchmischung der Fluidteilchen. Das hat zur Folge, dass Geschwindigkeits-, Temperatur- und Konzentrationsprofile in turbulenter Str¨ omung ausgeglichener sind als in laminarer Strömung, wie Abb. 3.15 f¨ ur das Geschwindigkeitsprofil eines u ¨berströmten Körpers zeigt.

Abb. 3.15: Laminares und turbulentes Geschwindigkeitsprofil an einem u omten K¨ orper ¨berstr¨

Die Geschwindigkeit an der Wand steigt in einer turbulenten Strömung steiler an als in einer laminaren. Die Wandschubspannungen und damit der


359

Strömungswiderstand sind in turbulenter Str¨ omung größer als in laminarer. Die Temperatur- und das Konzentrationsprofile sind ebenfalls völliger, so dass die je Flächeneinheit u armeund Stoffströme in turbulenter ¨bertragenen W¨ Strömung größer als in laminarer Str¨ omung sind. Turbulente Strömungen sind daher in der W¨ armeund Stoff¨ ubertragung erstrebenswert und kommen in der Technik auch meistens vor. Der bessere Wärme- und Stoffaustausch muss allerdings mit einem h¨ oheren Str¨ omungswiderstand und damit größerer Pumpen- oder Gebl¨ aseleistung erkauft werden.

3.6.1 Turbulente Str¨ omungen an festen W¨ anden In vielen technischen Anwendungen, beispielsweise der Strömung in Kanälen, ist das wandnahe Geschwindigkeitsprofil nur vom Wandabstand abhängig. Bezeichnet man mit wx die zur Wand parallele Geschwindigkeit und mit y ahrend die u die wandnormale Koordinate, so ist wx (y), w¨ ¨brigen Geschwindigkeitskomponenten verschwinden, wy = wz = 0. Man bezeichnet eine solche Strömung als Schichtenstr¨ omung. In station¨ aren, laminaren Strömungen mit verschwindendem Druckgradienten vereinfacht sich die Impulsgleichung (3.98) zu

∂ wx ∂ τxy ∂ η = 0 oder =0 , ∂y ∂y ∂y woraus sich ein lineares Geschwindigkeitsprofil wx (y) und eine konstante Schubspannung τxy ergeben. Es ist also τxy = τ0 = const. Im Fall der station¨ aren turbulenten Schichtenströmungen mit verschwindendem Druckgradienten ist nach (3.134)

∂ ∂w ¯x η − wx wy = 0 , ∂y ∂y woraus durch Integration η

∂w ¯x − wx wy = const = τ0 ∂xy

(3.146)

folgt. Die Integrationskonstante ist gleich der Wandschubspannung, denn an der Wand y = 0 verschwinden die Reynoldsschen Spannungen, wx wy = 0. Im Gegensatz zur laminaren Str¨ omung ist nun die Geschwindigkeit w ¯x (y) keine lineare Funktion von y. Gleichung (3.146) kann man umformen in ∂w ¯x τ0 =ν − wx wy . ∂y

(3.147)

Wie man daraus erkennt, hat die Gr¨ oße τ0 / die Dimension eines Quadrats einer Geschwindigkeit. Man bezeichnet daher wτ = τ0 / (3.148)

360


als Schubspannungsgeschwindigkeit. Mir ihr l¨ asst sich (3.147) auch als Differentialgleichung d(w ¯x /wτ ) wx wy 1= − (3.149) d(wτ y/ν) wτ2 schreiben. Offenbar gehorcht das Geschwindigkeitsprofil einer Funktion der Form w y w ¯x τ =w ¯x+ = f = f (y + ) , (3.150) wτ ν und es ist

w y wx wy τ = g = g(y + ) . wτ2 ν

(3.151)

Gl. (3.150) stellt das von Prandtl (1925) erstmalig formulierte Wandgesetz der turbulenten Str¨ omung dar. Die Funktionen f (y + ) und g(y + ) sind universeller Natur, da sie unabh¨ angig von ¨ außeren Abmessungen wie der Höhe eines Kanals sind und auch unabh¨ angig von der Grenzschichtdicke f¨ ur alle Schichtenströmungen gelten. Um w ¯x /wτ durch L¨ osen der Differentialgleichung (3.149) zu berechnen, muss man die Reynoldsschen Spannungen wx wy kennen. Der von Boussinesq eingef¨ uhrte Ansatz (3.140) ist hierf¨ ur ungeeignet, da nach ihm die Reynoldsschen Spannungen an der Wand nicht verschwinden. Die Bedingung wx wy = 0 an der Wand wird aber durch die im Folgenden zu erörternde Prandtlsche Mischungsweghypothese erf¨ ullt. Um sie zu erklären, betrachten wir ein Fluidelement in einer turbulenten Grenzschicht im Abstand y von der Wand, Abb. 3.16. Dieses besitze im Abstand y die mittlere Geschwindigkeit w ¯x (y)

Abb. 3.16: Zur Prandtlschen Mischungsweghypothese

und möge sich mit der Geschwindigkeit wy < 0 der Wand um eine kleine Strecke l nähern. Falls das Fluidelement dabei seine urspr¨ ungliche mittlere Geschwindigkeit beibeh¨ alt, besitzt es am neuen Ort eine um Δw ¯x größere Geschwindigkeit als seine Umgebung. Der Geschwindigkeitsunterschied Δw ¯x = w ¯x (y) − w ¯x (y − l ) = l

∂w ¯x ∂y


361

ist ein Maß f¨ ur die Schwankungsgeschwindigkeit wx . Das Fluidelement verdrängt am neuen Ort andere und erzeugt so eine Quergeschwindigkeit wy , die unter der Annahme kleiner Schwankungsgeschwindigkeiten proportional zur Schwankungsgeschwindigkeit ist. Es sind daher wx und wy proportional zu ¯x /∂y und somit l ∂ w 2 2 2∂w ¯x 22 ∂ w ¯x τt = −wx wy = kl2 22 2 ∂y ∂y oder mit kl2 = l2 τt =

−wx wy

2 2 2 2 = l 2 ∂y 2 ∂y

¯x 2 ∂ w ¯x 22 ∂ w

.

(3.152)

Durch die Schreibweise mit den Betragsstrichen wird sichergestellt, dass entsprechend dem Newtonschen Ansatz f¨ ur die laminare Strömung τxy = η

∂ wx ∂y

auch die turbulente Schubspannung τt das gleiche Vorzeichen wie der Geschwindigkeitsgradient ∂ w ¯x /∂y hat. Nach (3.152) ist die turbulente Viskosität 2 2 2 ¯x 2 22 ∂ w 2 . (3.153) εt = l 2 ∂y 2 Man bezeichnet die Gr¨ oße l als Mischungsweg. Da die Reynoldsschen Spannungen an der Wand verschwinden, hat Prandtl hierf¨ ur den einfachen Ansatz l = κy gewählt. Damit wird τt =

−wx wy

(3.154)

2 2 2 2 = κ y 2 ∂y 2 ∂y

¯x 2 ∂ wx 2 22 ∂ w

.

Gl. (3.149) f¨ ur die Schichtenstr¨ omung geht u ¨ber in

2 dw ¯x d(w ¯x /wτ ) 1 + κ2 y 2 . 1= d(wτ y/ν) dy wτ2

(3.155)

(3.156)

¯x /dy|(dw ¯x /dy) zu (dwx /dy)2 Da (dw ¯x /dy) > 0 sein soll, haben wir hierin |dw vereinfacht. Mit den Abk¨ urzungen w ¯x+ =

w ¯x wτ

und y + =

erhalten wir 1=

dw ¯x+ + κ2 y +2 dy+

dw ¯x+ dy +

wτ y ν 2

Durch Integration ergeben sich folgende L¨ osungen:

.

(3.157)

362


a) In der laminaren Unterschicht, y → 0 und damit y + → 0, ist der zweite Term vernachl¨ assigbar und damit w ¯x+ = y +

(3.158)

oder unter Beachtung der Definitionen f¨ ur w ¯x+ , y + und wτ τ0 = η

τ0 /:

w ¯x . y

Das Geschwindigkeitsprofil wird in der laminaren Unterschicht durch eine Gerade ersetzt. b) Im vollturbulenten Bereich in großer Entfernung von der Wand, y → ∞ und damit y + → ∞, u ¨berwiegt der zweite Term, und es gilt

1 = κ2 y +2 oder dw ¯x+ =

dw ¯x+ dy +

2

1 dy+ . κ y+

Die Integration ergibt ein logarithmisches Geschwindigkeitsprofil w ¯x+ =

w ¯x 1 = ln y + + c . wτ κ

(3.159)

Die Konstanten κ und c m¨ ussen aus Experimenten ermittelt werden. Man findet κ ≈ 0,4 und c ≈ 5. Tatsächlich geht die laminare Unterschicht kontinuierlich in den volltur¨ bulenten Bereich u so dass ¨ber. Zwischen beiden liegt ein Ubergangsbereich, man das Wandgesetz der Geschwindigkeit in drei Bereiche unterteilen kann, deren Grenzen aufgrund von Experimenten festgelegt wurden. Die laminare Unterschicht erstreckt sich u ¨ber den Bereich 0 < y+ < 5 , ¨ der Ubergangsbereich u ¨ber 5 < y + < 60 und der vollturbulente Bereich u ¨ber y + > 60 . Abb. 3.17 zeigt den vollst¨ andigen Verlauf des Geschwindigkeitsprofils w ¯x+ als + Funktion von y .

¨ 3.7 Uberstr¨ omte K¨ orper

363

Abb. 3.17: Universelles Geschwindigkeitsverteilungsgesetz der turbulenten Grenzschicht a: Gl. (3.158) b: Gl. (3.159). Die Abszisse ist logarithmisch geteilt

¨ 3.7 Uberstr omte K¨ orper ¨ Es soll der Wärme- und Stoff¨ ubergang von der Oberfläche eines Körpers an die Außenströmung untersucht werden. Benachbarte Körper sollen entweder nicht vorhanden oder soweit entfernt sein, dass sich Grenzschichten um den u onnen. Geschwindigkeiten, Tempera¨berströmten Körper frei entwickeln k¨ turen und Konzentrationen sollen sich nur in der Grenzschicht ändern, und in der Strömung außerhalb der Grenzschicht konstant sein. Eine erzwungene Strömung, die wir hier betrachten wollen, wird durch ein Gebläse oder eine ¨ Pumpe aufrecht erhalten. Ortliche W¨ armeund Stoff¨ ubergangskoeffizienten ergeben sich dann aus Gleichungen der Form N u = f (x+ , Re, P r)

Sh = f (x+ , Re, Sc) ,

,

während ihre Mittelwerte durch N um = f (Re, P r)

,

Shm = f (Re, Sc)

gegeben sind. In vielen F¨ allen sind die Gestalt des u ¨berströmten Körpers und damit auch der Str¨ omungsverlauf so verwickelt, dass man den funktionellen Zusammenhang zwischen diesen Gr¨ oßen nur experimentell ermitteln kann. Man misst dazu die an dem u omten Körper oder an einem ihm geo¨berstr¨ metrisch ähnlichen Modell u armeund Stoffströme sowie die ¨bertragenen W¨ zugehörigen Temperatur- und Konzentrationsunterschiede. Daraus berechnet man Wärme- und Stoff¨ ubergangskoeffizienten gemäß α=

Q˙ AΔϑ

und β =

M˙ AΔξ

bildet damit die Nußelt- und Sherwood-Zahl und stellt diese als Funktionen der u oßen Re, P r bzw. Re, Sc dar. Zu ihrer Darstellung als ¨brigen Kenngr¨ Gleichung eignen sich die schon besprochenen Potenzproduktansätze. F¨ ur einige einfache Körper kann man W¨ armeund Stoff¨ ubergangskoeffizienten durch

364


L¨ osen der Grenzschichtgleichungen berechnen. Dies soll in den folgenden Abschnitten an einigen charakteristischen Beispielen erörtert werden.

3.7.1 Die parallel angestr¨ omte ebene Platte Parallel angeströmte ebene Platten kommen beispielsweise in Plattenwärmetauschern vor. Die Rippen eines Rippenrohres sind oft parallel angeströmt. Auch gekr¨ ummte Oberfl¨ achen wie Tragfl¨ ugel oder Turbinenschaufeln verhalten sich im Hinblick auf die Grenzschicht h¨ aufig wie ebene Platten, da ihre Grenzschichtdicken fast immer klein im Vergleich zum Kr¨ ummungsradius sind. Von der Plattenvorderkante an bildet sich zunächst eine laminare Grenzschicht, Abb. 3.18. Sie wird von einer bestimmten Lauflänge, ge-

Abb. 3.18: Parallel angestr¨ omte ebene Platte

nauer von einer bestimmten, mit der Laufl¨ ange xl gebildeten Reynolds-Zahl > Re = wm xl /ν ∼ 6 · 104 instabil. W¨ ahrend unterhalb dieser Reynolds-Zahl — man spricht vom Indifferenzpunkt der Str¨ omung — die Strömung immer laminar ist, klingen oberhalb der genannten Reynolds-Zahl kleine Störungen nicht mehr ab. Störungen von sehr großer und auch solche von sehr kleiner Wellenlänge werden jedoch, wie Tollmien [3.5] erstmalig nachwies, nach wie vor gedämpft. Die Str¨ omung wird also noch nicht vollständig turbulent, sondern ¨ auf den laminaren Bereich folgt vom Indifferenzpunkt an ein Ubergangsbereich mit teils laminarer, teils turbulenter Str¨ omung, und erst von einer hinreichend großen Reynolds-Zahl Recr = wm xcr /ν von Recr = 3 · 105

bis

5 · 105

wird die Strömung voll turbulent. Der Umschlag hängt stark von der Rauhigkeit der Platte und dem Zulauf an ihrer Vorderkante ab. Unter extrem st¨ orungsfreien Bedingungen hat man die Str¨ omung noch bei Reynolds-Zahlen bis 106 laminar halten k¨ onnen; ihr Zustand ist dann in hohem Maße metastabil, und die kleinste St¨ orung gen¨ ugt bereits, um den Umschlag in die turbulente Strömungsform auszul¨ osen. In unmittelbar N¨ ahe einer festen Wand werden auch in einer vollturbulenten Strömung die turbulenten Schwankungsbewegungen gedämpft. In einer


365

d¨ unnen wandnahen Schicht, auch viskose Unterschicht genannt, u ¨berwiegt daher die Wirkung der Viskosit¨ at gegen¨ uber der scheinbaren turbulenten Viskosität. 3.7.1.1 Laminare Grenzschicht Wir behandeln zun¨ achst den W¨ armeund Stoff¨ ubergang der parallel angeströmten ebenen Platte in der laminaren Grenzschicht. Die Strömung sei stationär, Dissipation sei vernachl¨ assigbar, und es werden konstante Stoffwerte vorausgesetzt. Chemische Reaktionen sollen nicht vorkommen. Die Grenzschichtgleichungen bestehen dann aus der Kontinuitätsgleichung ∂ wy ∂ wx + =0 , ∂x ∂y

(3.160)

der Impulsgleichung wx

∂ wx ∂ wx ∂ 2 wx + wy =ν ∂x ∂y ∂y 2

(3.161)

∂2ϑ ∂ϑ ∂ϑ + wy =a 2 . ∂x ∂y ∂y

(3.162)

und der Energiegleichung wx

Hinsichtlich des Stoffaustausches beschr¨ anken wir uns auf ein Zweistoffgemisch, dessen Komponenten ann¨ ahernd gleiche spezifische Wärmekapazitäten haben sollen, so dass die Energiegleichung in der angeschriebenen Form weiterhin g¨ ultig bleibt. Es gilt dann zus¨ atzlich noch die Kontinuitätsgleichung f¨ ur eine Komponente wx

∂ 2 ξA ∂ ξA ∂ ξA + wy =D . ∂x ∂y ∂y2

(3.163)

Da die Stoffwerte als unabh¨ angig von der Temperatur und der Zusammensetzung vorausgesetzt wurden, ist das Geschwindigkeitsfeld unabhängig vom Temperatur- und vom Konzentrationsfeld, und man kann die Kontinuitätsund die Impulsgleichung unabh¨ angig von der Energie- und der KomponentenKontinuitätsgleichung l¨ osen. Integralmethoden Wir behandeln zuerst eine L¨ osung des Gleichungssystems mit Hilfe einer Integralmethode, die zu einer einfachen und geschlossenen Näherungslösung f¨ uhrt. Integralmethoden sind auf viele andere Grenzschichtprobleme, insbesondere solche bei kompressibler Str¨ omung angewandt worden. Sie haben jedoch mit dem Aufkommen der elektronischen Rechner an Bedeutung verloren. Der Grundgedanke der Integralmethoden besteht darin, dass man auf eine vollständige Lösung der Grenzschichtgleichung verzichtet und diese statt dessen nur im integralen Mittel u ullt. ¨ber die Grenzschichtdicke erf¨

366


Durch Integration der Kontinuit¨ atsgleichung (3.160) u ¨ber die Grenzschichtdicke δ erhält man δ δ ∂ wx ∂ wy dy + dy = 0 ∂x ∂y 0

0

oder mit wy (y = 0) = 0: δ wy (δ) = −

∂ wx dy . ∂x

(3.164)

0

Die Impulsgleichung (3.161) l¨ asst sich unter Beachtung der Kontinuitätsgleichung (3.160) auch in folgender Form schreiben ∂ (wx wy ) ∂ 2 wx ∂ wx2 + =ν . ∂x ∂y ∂y 2 Integration zwischen den Grenzen y = 0 und y = δ ergibt unter Beachtung von δ δ ∂ (wx wy ) ∂ wx dy = wx (δ)wy (δ) = −wδ dy ∂y ∂x 0

0

die Integralbedingung f¨ ur den Impuls: d dx

δ wx (wδ − wx ) dy = ν

∂ wx ∂y

.

(3.165)

y=0

0

Die Energiegleichung (3.162) l¨ asst sich mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung (3.160) auf folgende Form bringen: ∂2ϑ ∂ (wx ϑ) ∂ (wy ϑ) + =a 2 . ∂x ∂y ∂y Die Integration zwischen den Grenzen y = 0 und y = δT ergibt unter Beachtung von δT

δT

∂ (wy ϑ) dy = wy (δT )ϑ(δT ) = −ϑ(δT ) ∂y

∂ wx dy ∂x

0

δ

die Integralbedingung f¨ ur die Energie d dx

δT wx (ϑ(δT ) − ϑ) dy = a 0

∂ϑ ∂y

. y=0

(3.166)


367

Nach einer entsprechenden Integration zwischen den Grenzen y = 0 und y = δc geht die Kontinuit¨ atsgleichung (3.162) f¨ ur eine Komponente A u ¨ber in die Integralbedingung f¨ ur den Stoffaustausch d dx

δc wx (ξAδc − ξA ) dy = D

∂ ξA ∂y

0

.

(3.167)

y=0

In der Integralbedingung (3.165) f¨ ur den Impuls nähert man nach dem Vorschlag von Pohlhausen [3.6] das Geschwindigkeitsprofil durch ein Polynom an: y y 2 y 3 wx + a2 = a0 + a1 + a3 , (3.168) wδ δ δ δ indem man die freien Koeffizienten so bestimmt, dass die Randbedingungen

∂ wx wx (y = δ) = wδ , =0 wx (y = 0) = 0 , ∂y y=δ und die aus der Impulsgleichung (3.161) folgende sogenannte Wandbindung

2 ∂ wx =0 ∂y 2 y=0 erf¨ ullt werden. Man findet a0 = a2 = 0, a1 = 3/2 und a2 = −1/2 und somit wx 3 y 1 y 3 − = . wδ 2δ 2 δ

(3.169)

Mit diesem Geschwindigkeitsprofil geht die Integralbedingung (3.165) f¨ ur den Impuls in eine gew¨ ohnliche Differentialgleichung f¨ ur die noch unbekannte Grenzschichtdicke δ u ¨ber:

39 2 3 wδ d w δ =ν dx 280 δ 2 δ oder

d(δ 2 /2) 140 ν = . dx 13 wδ

Durch Integration folgt mit δ(x = 0) = 0

δ = 4,64

νx wδ

1/2 = 4,64

x 1/2

(3.170)

Rex

achst mit der Wurzel aus der Lauflänge mit Rex = wδ x/ν. Die Grenzschicht w¨ x. Der Anstieg des Geschwindigkeitsprofils an der Wand ist nach (3.169)

368


∂ wx ∂y

= y=0

3 wδ . 2 δ

Daraus ergibt sich nach Einsetzen der Grenzschichtdicke die Wandschubspannung zu

∂ wx 0,323 = wδ2 . τ0 = η 1/2 ∂y y=0 (wδ x/ν) Der Widerstandsbeiwert ist τ0 0,646 = . 2 1/2 wδ /2 Rex

(3.171)

F¨ ur das Temperaturprofil f¨ uhrt man ebenfalls einen Polynomansatz ein: ϑ+ =

y ϑ − ϑ0 = b0 + b1 + b2 ϑδT − ϑ0 δT

y δT

2

+ b3

y δT

3 ,

der den Randbedingungen ϑ+ (y = 0) = 0

;

ϑ+ (y = δT ) = 1 ;

∂ ϑ+ ∂y

=0 y=δT

und der aus der Energiegleichung (3.162) folgenden Wandbindung

2 + ∂ ϑ =0 ∂y 2 y=0 gen¨ ugen soll. Man erh¨ alt damit die gleichen Werte der Konstanten wie f¨ ur Geschwindigkeitsprofil (3.169). Es wird ϑ+ =

2 y 1 − 3 δT 2

y δT

3 .

(3.172)

Nach Einsetzen des Temperaturprofils und des Geschwindigkeitsprofils (3.169) in die Integralbedingung f¨ ur die Energie (3.166) und Integration ergibt sich eine Differentialgleichung f¨ ur die Grenzschichtdicke δT

d a 1 1 δT2 1 δT4 = δ − . dx 10 δ 2 140 δ 4 wδ δT Wir betrachten nun nur solche Str¨ omungen, bei denen δT /δ < 1 ist. Dann kann man den zweiten Term in der eckigen Klammer gegen¨ uber dem ersten vernachlässigen, so dass sich die Gleichung vereinfacht zu

10a 1 d δT2 = . dx δ wδ δT


369

Wir setzen abk¨ urzend k = δT /δ und schreiben (3.170) als δ = c0 x1/2 mit 1/2 1/2 c0 = (280/13) (ν/wδ ) . Damit geht die obige Differentialgleichung u ¨ber in 10a 13 d kx1/2 (k 2 x1/2 ) = . 2 = dx wδ c0 28 P r uhrt man diese Gleichung in die Durch die Substitution von z = k 3 u ¨berf¨ gewöhnliche Differentialgleichung z 1/3 x1/2

13 d 2/3 1/2 (z x ) = dx 28 P r

oder ausdifferenziert

4 dz 13 x +z = . 3 dx 14 P r Eine Partikulärlösung lautet z=

(3.173)

13 , 14 P r

und als Lösung der homogenen Gleichung findet man mit dem Ansatz z = xm den Wert m = −3/4. Damit lautet die vollst¨ andige Lösung z=

13 + cx−3/4 . 14 P r

Die noch freie Konstante c ergibt sich aus der Bedingung, dass die Platte erst von einer Stelle x0 an beheizt wird; dann ist z(x0 ) = 0 und c=−

13 x0 3/4 . 14 P r

Daraus folgt k=

√ 3

z=

δT = δ

13 14 P r

1/3 x 3/4 1/3 0 . 1− x

(3.174)

Ist die Platte u ange beheizt, so ist x0 = 0 und das Verhältnis ¨ber ihre ganze L¨ von Temperatur- zur Str¨ omungsgrenzschicht nur eine Funktion der PrandtlZahl: 1/3

13 0,976 δT = = . (3.175) δ 14 P r P r 1/3 Die Prandtl-Zahlen idealer Gase liegen zwischen etwa 0,6 und 0,9, so dass ihre Temperaturgrenzschicht nur wenig dicker als die Strömungsgrenz¨ sogar schicht ist. Fl¨ ussigkeiten haben Prandtl-Zahlen u ¨ber eins, zähe Ole Prandtl-Zahlen u unner als ¨ber 1000. Ihre Temperaturgrenzschicht ist daher d¨ die Strömungsgrenzschicht. Voraussetzungsgemäß gilt die Lösung nur, wenn ussigkeiten, näherungsweise auf Gase, aber δT /δ < 1 ist; sie ist also gut auf Fl¨

370


nicht mehr auf Fluide mit Prandtl-Zahlen P r 1 anwendbar, wie sie bei fl¨ ussigen Metallen vorkommen. Den Wärme¨ ubergangskoeffizienten berechnet man aus der u ¨bertragenen Wärmestromdichte zu

∂ϑ = α(ϑ0 − ϑ(δT )) . q˙ = −λ ∂y y=0 Hierin ist nach (3.172)

∂ϑ ∂y

= y=0

und somit α=

3 (ϑ(δT ) − ϑ0 ) 2δT 3 λ . 2 δT

Der Wärme¨ ubergangskoeffizient ist umgekehrt proportional der Dicke der Temperaturgrenzschicht. Da diese mit x1/2 anwächst, ist α ∼ x−1/2 . Einsetzen der Dicke der Temperaturgrenzschicht nach (3.175) ergibt mit der Strömungsgrenzschicht (3.170) nach wenigen Umformungen die Nußelt-Zahl N ux =

αx 1/3 = 0,331 Re1/2 . x Pr λ

(3.176)

Ersetzt man 0,331 durch 0,332, so stimmt diese Gleichung mit der genaueren Lösung der Grenzschichtgleichungen f¨ ur 0,6 < P r < 10 u ¨berein. Die Konzentrationsgrenzschicht und den Stoff¨ ubergangskoeffizienten kann man unmittelbar aus den vorigen Gleichungen ermitteln, da die Integralbedingung (3.167) f¨ ur den Stoffaustausch der f¨ ur den Wärmeaustausch entspricht. Man hat nur die Temperatur ϑ durch den Massenanteil ξA , die Temperaturleitfähigkeit a durch den Diffusionskoeffizienten D zu ersetzen, und anstelle der Temperaturgrenzschicht δT tritt die Konzentrationsgrenzschicht δc . Damit erhält man f¨ ur das Konzentrationsprofil entsprechend (3.172): 3 y 1 ξA − ξA0 = − ξAδ − ξA0 2 δc 2

y δc

3 .

(3.177)

Die Dicke der Konzentrationsgrenzschicht wird entsprechend (3.175) unter der Voraussetzung, dass Str¨ omungs- und Konzentrationsgrenzschicht an der gleichen Stelle beginnen, 0,976 δc = 1/3 , (3.178) δ Sc g¨ ultig f¨ ur Sc ≥ 0,6, und anstelle von (3.176) tritt die Gleichung f¨ ur das Stoff¨ ubergangsgesetz Shx =

βx 1/3 = 0,331 Re1/2 . x Sc D

(3.179)


371

Beispiel 3.7: Aufgrund der L¨ osung (3.174) berechne man die Nußelt-Zahl einer parallel angestr¨ omten ebenen Platte, wenn Temperatur- und Str¨ omungsgrenzschicht um x0 , s. Abb. 3.19, voneinander entfernt sind. Man ermittle auch die Sherwood-Zahl f¨ ur den Fall x0 = 0. Es ist α = (3/2) λ/δT . Einsetzen von δT nach (3.174) ergibt unter Beachtung des Ausdrucks (3.170) f¨ ur die Str¨ omungsgrenzschicht x 3/4 −1/3 αx 0 1/2 1/3 , = 0,331 Rex P r 1− N ux = λ x woraus f¨ ur x0 = 0 wieder die bekannte Gl. (3.176) folgt. Entsprechend erh¨ alt man f¨ ur die Sherwood-Zahl x 3/4 −1/3 βx 0 = 0,331 Rex1/2 Sc1/3 1 − Sh = . D x

Abb. 3.19: Str¨ omungs- und Temperaturgrenzschicht an einer laminar angestr¨ omten ebenen Platte

Exakte L¨ osung der Grenzschichtgleichungen Als Außenstr¨ omung setzen wir eine ungest¨ orte Parallelstr¨ omung der Geschwindigkeit w∞ voraus. Zur Berechnung der Geschwindigkeiten wx und wy sind dann die Kontinuit¨ atsgleichung (3.160) und die Impulsgleichung (3.161) zu l¨ osen unter den Randbedingungen y = 0 , x > 0 : wx = wy = 0 y → ∞ : wx = w∞ und der Anfangsbedingung x = 0,

y>0:

wx = w∞ .

Zur L¨ osung f¨ uhrte Blasius [3.6] in seiner G¨ ottinger Dissertation 1908 eine Stromfunktion ψ(x, y) ein, welche die Eigenschaft besitzen soll, dass wx =

∂ψ ∂y

und

wy = −

∂ψ ∂x

(3.180)

ist. Durch sie wird die Kontinuit¨ atsgleichung identisch erf¨ ullt. Die Impulsgleichung geht in eine partielle Differentialgleichung u ¨ber ∂3ψ ∂ ψ ∂2ψ ∂ ψ ∂2ψ =ν 3 . − 2 ∂y ∂y∂x ∂x ∂y ∂y

(3.181)

Da f¨ ur die Grenzschichttheorie nach (3.170) δ ∼ (νx/w∞ )1/2 gilt, bezieht man zweckm¨ aßigerweise den Wandabstand y auf die jeweilige Grenzschichtdicke δ und f¨ uhrt die dimensionslose Variable

372

3 Konvektiver W¨ armeund Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen η+ = y

w 1/2 ∞

= g(x, y) νx ein. Die vorigen Betrachtungen hatten bereits gezeigt, dass man das Geschwindigkeitsprofil durch Ans¨ atze der Form y wx =ϕ wδ δ n¨ aherungsweise darstellen kann. Es ist daher naheliegend zu vermuten, dass sich das Geschwindigkeitsprofil allein durch die Variable η+ darstellen l¨ asst. Wir w¨ ahlen daher den Ansatz wx = ϕ(η + ) . w∞ Er ist dann eine L¨ osung, wenn sich mit ihm die Differentialgleichung (3.181) und die zugeh¨ origen Randbedingungen erf¨ ullen lassen. Um zu zeigen, dass dies zutrifft, bilden wir zun¨ achst die Stromfunktion y

y wx dy = w∞ δ

ψ= 0

+

1/2 η y νx ϕ(η ) d ϕ(η + ) dη+ = w∞ δ w∞ +

0

0

oder ψ = (w∞ νx)1/2 f (η + ) . Die Normierung der Stromfunktion und der wandnormalen Koordinate y folgt streng genommen daraus, dass (3.181) invariant ist bei einer Transformation ˜ x, y˜) = cψ(x, y) ψ(˜ mit x ˜ = c2 x und y˜ = cy, was man durch Einsetzen in (3.181) u ufen kann. ¨berpr¨ In der L¨ osung k¨ onnen die Variablen ψ, x, y daher nur in solchen Kombinationen vorkommen, die den Faktor c nicht enthalten. Solche Kombinationen sind

ψ ψ˜ x x ˜ , denn daraus folgt =f = f y y2 y˜ y˜2 oder

ψ˜ y ψ y˜ √ =f √ , denn daraus folgt √ = f √ . x x x ˜ x ˜ √ √ Die oben angegebene Stromfunktion ist gerade von der Form ψ/ x = f (y/ x). Man erh¨ alt mit der Stromfunktion die in (3.181) vorkommenden Ableitungen ( ∂ψ 1 w∞ ν ∂ψ = wx = w∞ f ; = −wy = (f − η + f ) ; ∂y ∂x 2 x ( 1 w∞ + ∂2ψ ∂3ψ w2 ∂2ψ w∞ f =− η f . = w ; = ∞ f und ∞ 2 3 ∂y νx ∂y νx ∂y∂x 2 x (3.182) Setzt man diese Ableitungen in (3.181) ein, so bleibt die gew¨ ohnliche nichtlineare Differentialgleichung 1 (3.183) f + f f = 0 2 + f¨ ur die Funktion f (η ). Die Randbedingungen lauten

¨ 3.7 Uberstr¨ omte K¨ orper y=0

bzw.

η+ = 0 :

y→∞

bzw.

η+ → ∞ :

373

f = f = 0 f = 1 .

(3.184)

Die Anfangsbedingung x = 0, y > 0 : wx = w∞ ist bereits in der Randbedingung f (η + → ∞) = 1 enthalten. Gl. (3.183) wurde zuerst von Blasius [3.6] durch Potenzreihenans¨ atze und sp¨ ater von vielen anderen Autoren (z.B. [3.7], [3.8]) numerisch gel¨ ost. Zur numerischen Integration k¨ onnte man statt der Randbedingung f (η + → uhren. Dies ∞) = 1 als weitere Anfangsbedingung f (η + = 0) = const = c0 einf¨ w¨ urde jedoch mehrfach Absch¨ atzungen von c0 erfordern, bis die Bedingung f (η + → ∞) = 1 erf¨ ullt ist. Die mehrfache numerische L¨ osung wird vermieden, wenn man das Randwert- auf ein Anfangswertproblem zur¨ uckf¨ uhrt. Dies ist in einfacher Weise m¨ oglich, da (3.183) durch die Transformation f˜(˜ η + ) = cf (η + ) mit η˜+ = η + /c invariant bleibt, d.h. in die von der Konstanten c unabh¨ angige Gleichung 1 f˜ + f˜f˜ = 0 2 u ¨bergeht. Auch die Randbedingungen f (η + = 0) = f (η + = 0) = 0 bleiben unabh¨ angig von der Wahl von c f˜(˜ η + = 0) = f˜ (˜ η + = 0) = 0 . Man l¨ ost daher die obige Gleichung mit den Anfangsbedingungen f˜(˜ η + = 0) = + + ˜ ˜ η = 0) = 0 und f (˜ η = 0) = 1 und bestimmt dann die Konstante c aus f (˜ f˜ (˜ η + → ∞) = c2 f (η + → ∞) = c2 . ahe gilt Abb. 3.20 zeigt das Geschwindigkeitsprofil wx /w∞ = f (η + ). In Wandn¨ f (η+ ) = 0,332 057η +2 /2 + O(η +5 ). Durch die Koordinatentransformation fallen alle Geschwindigkeitsprofile zusammen. Die Grenzschicht geht asymptotisch in die Außenstr¨ omung u atzlich bis ins Unendliche. Tats¨ achlich ist die ¨ber und reicht grunds¨ Abweichung der Geschwindigkeit wx von derjenigen der Außenstr¨ omung schon bei endlichem Wandabstand vernachl¨ assigbar gering. Man kann daher auch als Grenzschichtdicke denjenigen Wandabstand definieren, bei dem wx /w∞ sich nur noch wenig vom Wert eins unterscheidet. W¨ ahlt man f¨ ur wx /w∞ den Wert 0,99, so ergibt die numerische Rechnung, dass dieser Wert an der Stelle η + ≈ 4,910 erreicht wird. Die damit definierte Grenzschichtdicke ist x δ = 4,910 1/2 (3.185) Rex ¨ in recht guter Ubereinstimmung mit der N¨ aherung (3.170). Die Wandschubspannung ist

+ ∂ wx ∂ wx ∂η =η τ0 = η ∂y y=0 ∂η + η+ =0 ∂y y=0 w 1/2 ∞ = ηw∞ f (η + = 0) . νx Die numerische L¨ osung liefert f (η + = 0) = 0,3321. Damit findet man den Widerstandsbeiwert

374


Abb. 3.20: Geschwindigkeitsprofil an der ebenen Platte 0,664 τ0 = , (3.186) 2 /2 1/2 w∞ Rex der sich ebenfalls nur wenig von dem N¨ aherungswert (3.171) unterscheidet.

Zur Berechnung des Temperatur- und Konzentrationsfeldes ersetzt man in der Energiegleichung (3.162) und der Komponenten-Kontinuitätsgleichung (3.163) die Geschwindigkeiten durch die Stromfunktion und f¨ uhrt als dimensionslose Temperatur ϑ − ϑ0 ϑ+ = ϑ∞ − ϑ0 und als dimensionslosen Massenbruch + = ξA

ξA − ξA0 ξA∞ − ξA0

ein. Die Temperatur sei durch ϑ(η + ) und das Konzentrationsprofil durch ϕ(η + ) darstellbar. Damit geht die Energiegleichung (3.162) unter Beachtung von (3.180) u ¨ber in ∂ ψ ∂ ϑ+ ∂ η + ∂ ψ ∂ ϑ+ ∂ η + ∂ 2 ϑ+ − =a + + ∂y ∂η ∂x ∂x ∂η ∂y ∂η + 2

∂ η+ ∂y

2 (3.187)

und die Kontinuit¨ atsgleichung (3.163) in + + + ∂ 2 ξA ∂ η+ ∂ η+ ∂ ψ ∂ ξA ∂ ψ ∂ ξA − = D ∂y ∂η + ∂x ∂x ∂η + ∂y ∂η + 2

∂ η+ ∂y

2 .

(3.188)

Mit Hilfe der Ableitungen (3.182) der Stromfunktion lassen sich diese Gleichungen umformen in die gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen 1 P r f ϑ+ = 0 2

(3.189)

1 + Sc f ξA =0 . 2

(3.190)

ϑ+ + + ξA +

Die Randbedingungen lauten


375

+ η + = 0 : ϑ+ = ξ A =0 + =1 . η + → ∞ : ϑ + = ξA

Einmalige Integration von (3.189) ergibt + η

+

ϑ

+

+

= ϑ (η = 0) exp

1 − Pr f 2

dη + .

(3.191)

0

Nun kann man andererseits (3.183) auch schreiben d ln f 1 =− f , dη + 2 woraus

+ η

+

f = f (η = 0) exp

1 − f dη + 2

0

folgt. Damit kann man die Exponentialfunktion in (3.191) eliminieren und erh¨ alt Pr f ϑ+ = ϑ+ (η + = 0) + . f (η = 0)

Nach Integration folgt das Temperaturprofil unter Beachtung der Randbedingungen ϑ+ (η + = 0) = 0 und ϑ+ (η + → ∞) = 1 zu < 7∞ η7 ϑ − ϑ0 = (f )P r dη + (f )P r dη + . ϑ∞ − ϑ 0 0 0 +

ϑ+ =

(3.192)

Entsprechend ergibt sich das Konzentrationsprofil zu < 7∞ η7 ξA − ξA0 = (f )Sc dη + (f )Sc dη + . ξA∞ − ξA0 0 0 +

+ ξA =

(3.193)

Die u armestromdichte ist ¨bertragene W¨

+

∂ η+ ∂ϑ ∂ϑ (ϑ∞ − ϑ0 ) = −λ q˙ = −λ ∂y y=0 ∂η + η+ =0 ∂y mit

w 1/2 ∂ η+ ∞ . = ∂y νx

Andererseits ist der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient α definiert durch q˙ = α(ϑ0 − ϑ∞ ) und somit < 7∞ αx w∞ x 1/2 + [f (η = 0)]P r (f )P r dη + = λ ν 0 mit f (η + = 0) = 0,332. Daf¨ ur kann man auch schreiben

376


N ux =

αx = Re1/2 x F (P r) . λ

(3.194)

Entsprechend ergibt sich f¨ ur den Stoff¨ ubergang Shx =

βx = Re1/2 x F (Sc) . D

(3.195)

Die Funktionen F (P r) bzw. F (Sc) sind identisch und ergeben sich aus einer numerischen Lösung. In guter N¨ aherung gilt f¨ ur alle Prandtl-Zahlen 0 ≤ P r ≤ ∞ die Beziehung 1 N ux = √ Re1/2 ϕ1 (P r) (3.196a) π x mit ϕ1 (P r) =

P r1/2 . (1 + 1,973 P r 0,272 + 21,29 P r)1/6

Im Bereich 0,3 ≤ P r ≤ ∞ ist der Fehler in N ux kleiner als 0,15 % und im Bereich 0 ≤ P r < 0,3 kleiner als 1,5 %. Eine ähnliche Gleichung gilt f¨ ur konstante Wärmestromdichte q˙ = const an der Wand: √ π 1/2 Rex ϕ2 (P r) N ux = (3.196b) 2 mit P r1/2 . ϕ2 (P r) = 1/4 (1 + 2,55 P r + 48,66 P r)1/6 Im Bereich 0,2 ≤ P r ≤ ∞ ist der Fehler in N ux kleiner als 0,13 % und im Bereich 0 ≤ P r < 0,2 kleiner als 2,4 %. Entsprechende Gleichungen gelten auch f¨ ur den Stoff¨ ubergang. An die Stelle der Nußelt-Zahl N ux tritt dann die Sherwood-Zahl Shx und an die Stelle der Prandtl-Zahl P r die Schmidt-Zahl Sc. Im Bereich 0,6 < P r < 10 ist die ¨ Ubereinstimmung mit der N¨ aherungsgleichung (3.176) vorz¨ uglich. Beispiel 3.8: Man leite aus den ¨ ortlichen Nußelt-Zahlen (3.196) Gleichungen arme¨ uberf¨ ur die mittleren Nußelt-Zahlen N um = αm L/λ ab. Der mittlere W¨ gangskoeffizient ist αm

1 = L

L 0

1 α(x) dx = c L

L

x−1/2 dx = 2 c L−1/2 = 2 α(x = L) ,

0

weil f¨ ur eine vorgegebene Prandtl-Zahl nach (3.196) α = c x−1/2 ist. Somit gilt auch αm L = 2 N u(x = L) . N um = λ Damit folgt mit Re = (w∞ L)/ν aus Gl. (3.196a) 2 N um = √ Re1/2 ϕ1 (P r) π


377

f¨ ur konstante Wandtemperatur und aus Gl. (3.196b) N um =

√ πRe1/2 ϕ2 (P r)

f¨ ur den Fall konstanter W¨ armestromdichte q˙ an der Wand.

3.7.1.2 Turbulente Str¨ omung Die Reynoldssche Analogie, wonach W¨ armeund Stoff¨ ubergangskoeffizienten mit dem Reibungsbeiwert verkn¨ upft sind gemäß Shx cf N ux = = Rex Rex 2

f¨ ur

P r = Sc = 1 ,

liefert bereits eine einfache Beziehung f¨ ur den Wärme- und den Stoff¨ ubergangskoeffizienten, da der Reibungsbeiwert aus Messungen bekannt ist [3.9]: cf = 0,0592 Re−1/5 x

f¨ ur

5 · 105 < Re < 107

mit Rex = wm x/ν. Damit wird Shx N ux = = 0,0296 Re−1/5 x Rex Rex

f¨ ur

P r = Sc = 1

in dem genannten Bereich der Reynolds-Zahl. Nach Chilton und Colburn [3.10], [3.11] kann man den Einfluss der Prandtl-Zahl auf den W¨ arme¨ ubergang durch den empirischen Ansatz 1/3 N ux = 0,0296 Re4/5 x Pr

(3.197)

beschreiben, g¨ ultig f¨ ur 0,6 < P r < 60 und 5 · 105 < Rex < 107 . Entsprechend gilt f¨ ur den Stoff¨ ubergangskoeffizienten 1/3 Shx = 0,0296 Re4/5 , x Sc

(3.198)

g¨ ultig f¨ ur 0,6 < Sc < 3 000 und 5 · 105 < Rex < 107 . Statt der Nußelt-Zahl hatte Colburn in (3.197) die Stanton-Zahl St =

cf N ux P r −2/3 = P r −2/3 = 0,0296 Re−1/5 x Rex P r 2

(3.199)

eingef¨ uhrt, vgl. Abschnitt 1.1.4. Eine analytisch besser begr¨ undete und in einem größeren Bereich der Prandtl- bzw. Schmidt-Zahl g¨ ultige Gleichung erhält man, wenn man eine turbulente Schichtenstr¨ omung voraussetzt, also eine stationäre turbulente Strömung annimmt mit verschwindendem Druckgradient und einem Geschwindigkeits-, Temperatur- und Konzentrationsprofil, das nur von der wandnormalen Koordinate y abh¨ angt. Dann ist, wie aus (3.134) bis (3.139) folgt,

378

3 Konvektiver W¨ armeund Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen ∗ ∂ (jAy )tot ∂ (τxy )tot ∂ (q˙y )tot = = =0 . ∂y ∂y ∂y

Die Gesamtwerte von Schubspannung, W¨ armeund Diffusionsstromdichte sind unabhängig von der wandnormalen Koordinate und somit gleich den Werten an der Wand. In der laminaren Unterschicht ist τxy = ν

∂ wx = τ0 ∂y

q˙y = −cp a

,

und ∗ = −D jAy

∂ϑ = q˙0 ∂y

∂ ξA ∗ = jA0 . ∂y

Daraus folgt τ0 1 ∂ wx = − Pr q˙0 cp ∂ϑ und nach Integration von der Wand bis zum Rand (Index r) der laminaren Unterschicht, Abb. 3.21

Abb. 3.21: Zum Zweischichtenmodell der Prandtl-Analogie

q˙0 P r wr . τ0 c p

(3.200)

∗ jA0 Sc wr . τ0

(3.201)

ϑr − ϑ0 = − Entsprechend gilt ξr − ξ0 = −

Wir nehmen nun an, die vollturbulente Kernströmung schließe sich gemäß Abb. 3.21 direkt an die laminare Unterschicht an, und es gelten die BoussinesqAnsätze (3.141), (3.143) und (3.145), wonach ∂w ¯x , ∂y ∂ ϑ¯ und = −cp (a + at ) ∂y ∂ ξ¯A = − (D + Dt ) ∂y

(τxy )tot = (ν + εt ) (q˙y )tot ∗ (jAy )tot


379

ist. In der turbulenten Kernstr¨ omung ist ν εt , a at und D Dt . Es ist daher ∂w ¯x (τxy )tot τ0 1 = = P rt ¯ (q˙y )tot q˙0 cp ∂ϑ mit der turbulenten Prandtl-Zahl“ P rt = εt /at . Die Integration vom Rand ” r der laminaren Unterschicht bis in die turbulente Kernströmung (Index ∞) ergibt unter der Annahme einer konstanten turbulenten Prandtl-Zahl P rt q˙0 P rt (w ¯ ∞ − wr ) . ϑ¯∞ − ϑr = − τ0 c p

(3.202)

Entsprechend gilt ∗

j ¯ ∞ − wr ) . ξ¯A∞ − ξAr = − A0 Sct (w τ0

(3.203)

Durch Addition von (3.200) mit (3.202) erh¨ alt man mit der Annahme P rt = 1: q˙0 [w ¯∞ + (P r − 1)wr ] . ϑ¯∞ − ϑ0 = − τ0 cp Hieraus ergibt sich wegen q˙0 = α(ϑ0 − ϑ∞ ) f¨ ur den Wärme¨ ubergangskoeffizienten α die Beziehung α=

1 τ0 cp . w ¯∞ 1 + (P r − 1)wr /w ¯∞

2 Daf¨ ur kann man mit dem Widerstandsbeiwert cf = τ0 /(w ¯∞ /2) auch schreiben 1 cf α = Stx = . (3.204) cp w ¯∞ 2 1 + (P r − 1)wr /w ¯∞

¯∞ ) ist gleich der Stanton-Zahl, denn es ist Der Ausdruck α/(cp w St =

N ux αx/λ α . = w ¯∞ νcp = cp w Rex P r ¯∞ ν λ

In (3.204) kann man noch das Geschwindigkeitsverhältnis wr /w ¯∞ eliminieren, denn in der laminaren Unterschicht gilt τ0 =

η δr , wr

wenn δr ihre Dicke ist. Wie in 3.6.1 dargelegt, erstreckt sich diese bis zur Stelle y + = wτ δr /ν ≈ 5. Wegen wτ = τ0 / ist daher τ0 / δr ≈5 . ν

380


Eliminiert man damit δr aus der vorigen Gleichung, so erhält man unter Beachtung von η = ν τ0 w2 = x . 25 Daraus folgt w2 2 τ0 = cf = 2r 2 w ¯∞ /2 w ¯∞ 25 ( cf wr . =5 w ¯∞ 2

oder

Die Beziehung (3.204) geht damit u ¨ber in St =

cf 1 . 2 1 + (P r − 1)5 cf /2

(3.205)

Eine entsprechende Rechnung f¨ ur den Stoffaustausch f¨ uhrt unter der Annahme einer turbulenten Schmidt-Zahl“ Sct = εt /Dt = 1 auf den analogen ” Ausdruck 1 cf StSt = (3.206) 2 1 + (Sc − 1)5 cf /2 mit der Stanton-Zahl StSt f¨ ur den Stoffaustausch StSt = Shx /Rex Sc. Die Gln. (3.205) und (3.206) f¨ ur den ¨ ortlichen W¨ armeund Stoff¨ ubergangskoeffizienten stellen die Prandtl-Analogie dar. Im Grenzfall P r = Sc = 1 gehen sie in die Reynolds-Analogie (3.130) u ¨ber. F¨ ur praktische Rechnungen interessiert vor allem die mittlere StantonZahl. Man erhält sie nach Einsetzen des Reibungsbeiwertes cf (Rex ) durch ¨ Integration von (3.205) bzw. (3.206). Die Ubereinstimmung mit Messwerten ist dann immer noch unbefriedigend, weil die der Prandtl-Analogie zugrunde liegende Unterteilung der Grenzschicht in eine laminare Unterschicht und eine daran angrenzende voll turbulente Schicht zu grob und auch die Festlegung der Dicke der laminaren Unterschicht durch y+ = 5 nur eine Näherung ist. Die Prandtl-Analogie war jedoch Grundlage f¨ ur die Aufstellung von empirischen Gleichungen, die Messwerte genauer wiedergeben. Als Beispiel hierf¨ ur sei die aus einer Beziehung von Petukhov und Popov [3.12] hergeleitete Gleichung von Gnielinski [3.13] f¨ ur die mittlere Nußelt-Zahl mitgeteilt N um =

0,037 Re0,8 P r 1 + 2, 443 Re−0,1 (P r2/3 − 1)

(3.207)

mit N um = αm L/λ, Re = w ¯∞ L/ν. Sie gilt f¨ ur 5 · 105 < Re < 107 und 0,6 < P r < 2 000. Die Stoffwerte sind bei der Temperatur ϑm = (ϑe + ϑa )/2, dem arithmetischen Mittel zwischen Ein- und Austrittstemperatur, zu berechnen. ¨ Im Ubergangsbereich zwischen laminarer und turbulenter Strömung erhält ¨ ¨ man gute Ubereinstimmung durch eine quadratische Uberlagerung


N um =

N u2m, lam + N u2m, turb ,

381

(3.208)

worin N um, lam die mittlere Nußelt-Zahl der laminaren Strömung N um, lam = 2N ux mit N ux nach (3.196) und N um, turb die der turbulenten Strömung nach (3.207) ist. In (3.208) wird bei kleinen Reynolds-Zahlen der turbulente und bei großen Reynolds-Zahlen der laminare Anteil klein. Sie kann daher im gesamten Bereich der Reynolds-Zahlen 10 < Re < 107 verwendet werden. Eine entsprechende Beziehung gilt auch f¨ ur den Stoff¨ ubergang im gleichen Bereich der Reynolds-Zahlen und f¨ ur 0,7 < Sc < 70 000. Man hat dazu nur die Nußelt- durch die Sherwood-Zahl und die Prandtl- durch die Schmidt-Zahl zu ersetzen. Beispiel 3.9: Man leite aus den Gleichungen (3.176) f¨ ur 0,6 < P r < 10 und (3.197) f¨ ur den ¨ ortlichen W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten eine Beziehung f¨ ur den mittleren W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten der ebenen l¨ angsangestr¨ omten Platte ab; man beachte dabei, dass die Grenzschicht zun¨ achst laminar und ab einer kritischen Reynolds-Zahl (Rex )cr = 5 · 105 turbulent wird. Es ist ⎡ x ⎤ cr L 1 ⎣ αm = αlam dx + αturb dx⎦ . L x=0

x=xcr

Mit (3.176) und (3.197) wird ⎡ w 4/5 w 1/2 xcr dx λ ⎣ ∞ ∞ + 0,0296 0,332 αm = 1/2 L ν x ν x=0

L x=xcr

⎤ dx ⎦ P r1/3 x1/5

αm L + 0,037 Re4/5 − Rex 4/5 = 0,664 Rex 1/2 P r1/3 . λ cr cr Daraus folgt mit (Rex )cr = 5 · 105 N um =

N um = (0,037 Re4/5 − 871) P r1/3 , g¨ ultig f¨ ur Re = w0 L/ν ≥ 5 · 105 .

3.7.2 Der quer angestr¨ omte Zylinder Die Grenzschicht eines quer angestr¨ omten Zylinders hat am vorderen Staupunkt, x = 0 in Abb. 3.22, bereits eine endliche Dicke, während sie an der längsangeströmten ebenen Platte mit der Dicke null beginnt. Am vorderen Staupunkt wird die kinetische Energie bei adiabater Strömung des Fluids vollständig in Enthalpie umgesetzt. Es ist h + w 2 /2 = h0 . Ein Fluidelement besitzt im Staupunkt eine h¨ ohere Enthalpie als vor Erreichen des Staupunkts. Betrachtet man die Str¨ omung als reversibel, so f¨ uhrt dies wegen h = h(s, p)

382


mit s = const zu einem Druckanstieg am Staupunkt. Auf einer Stromlinie nahe der Körperoberfl¨ ache wird das Fluidelement wieder beschleunigt und bewegt sich daher in ein Gebiet abnehmenden Drucks. Hinter der dicksten Stelle des K¨ orpers wird das Fluidelement anschließend verzögert, und der Druck steigt wieder an. Die wirkliche Str¨ omung ist nicht reversibel, sondern es wird infolge der Reibung in der Grenzschicht kinetische Energie dissipiert und in innere Energie umgewandelt. Die w¨ ahrend der Beschleunigungsphase gewonnene kinetische Energie ist daher geringer als in einer reversiblen Strömung. Das Fluidelement hat infolgedessen bereits seine gesamte kinetische Energie in Enthalpie umgesetzt, wenn es sich noch im Bereich des Druckanstiegs befindet. Unter dem Einfluss des Druckanstiegs beginnt es weiter stromab in Gegenrichtung zu strömen. Es entsteht ein R¨ uckstr¨ omgebiet, durch welches die Außenströmung von der Oberfläche abgedr¨ angt wird. Hinter dem Ablösepunkt ist der Druck praktisch konstant. Dort herrscht keine geordnete Strömung mehr. Wärmeund Stoff¨ ubergang kommen in diesem als Totwasser bezeichneten Gebiet praktisch zum Erliegen. In Grenzschichten mit Druckanstieg in Str¨ omungsrichtung kann somit die Strömung ablösen. Man erkennt dies auch aus der Impulsgleichung (3.109), die an der Wand wegen wx = wy = 0 in die sogenannte Wandbindungsgleichung

2 ∂ wx dp η (3.209) = 2 ∂y dx y=0 u um¨bergeht. Danach bestimmt der Druckabfall der Außenströmung die Kr¨ mung des Geschwindigkeitsprofils an der Wand. F¨ ur konstanten Druck in der Außenströmung ist die Kr¨ ummung null, das Geschwindigkeitsprofil in Wandnähe kann in guter N¨ aherung durch eine Gerade ersetzt werden. In einem Gebiet mit Druckanstieg ist dp/dx > 0 und η(∂ 2 wx /∂y 2 )y=0 > 0. Dem entspricht ein Geschwindigkeitsprofil, wie es rechts in Abb. 3.22 gezeichnet ist. Nach der Bernoulli-Gleichung wδ

dp dwδ =− dx dx

ist hier die Außenstr¨ omung verz¨ ogert. Eine Grenzschichtablösung ist daher nur bei verzögerter Außenstr¨ omung m¨ oglich.

Abb. 3.22: Str¨ omungsgrenzschicht um einen zylindrischen K¨ orper. S Staupunkt, A Abl¨ osepunkt der Grenzschicht


Abb. 3.23: Str¨ omung um einen quer angestr¨ omten Kreiszylinder bei verschiedenen Reynolds-Zahlen

383

¨ Abb. 3.24: Ortliche W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten um einen quer angestr¨ omten Kreiszylinder, nach Giedt [3.14]

In einer turbulenten Str¨ omung wird der wandnahen Schicht durch den Impulsaustausch zwischen Schichten verschiedener Geschwindigkeit ständig Impuls zugef¨ uhrt. Die kinetische Energie der wandnahen Fluidelemente nimmt nicht so rasch ab wie bei laminarer Str¨ omung. Turbulente Grenzschichten lösen daher sp¨ ater ab als laminare. Der Wärme- und Stoffaustausch in Wandnähe wird nicht nur durch die Turbulenz gefördert, es wird auch eine gr¨ oßere Fläche ohne Abl¨ osung u omt. Gleichzeitig wird der Druckwider¨berstr¨ stand geringer, wenn die Str¨ omung l¨ anger anliegt. Das Strömungsbild um einen quer angestr¨ omten Zylinder hängt stark von der Reynolds-Zahl ab, wie es Abb. 3.23 f¨ ur den Kreiszylinder zeigt. Bei kleinen Reynolds-Zahlen Re = w∞ d/ν < 5, Abb. 3.23a, umschließt die Strömung den Zylinder; zwischen 5 bis 15 ≤ Re ≤ 40, Abb. 3.23b, reißt sie bereits ab, und es bilden sich stehende Abl¨ osewirbel. Bei h¨ oheren Reynolds-Zahlen 40 ≤ Re ≤ 150, Abb. 3.23c, werden die Wirbel periodisch mitgerissen und bilden eine Wirbelstraße, in der die Str¨ omung noch laminar ist. Sie geht bei ReynoldsZahlen 150 ≤ Re ≤ 300 in Turbulenz u ¨ber und wird im Bereich 300 < Re < 3 · 105 , Abb. 3.23d, voll turbulent. Oberhalb von Re = 3 · 105 ist auch die Grenzschicht stromabw¨ arts um den Zylinder turbulent. Die Nachlaufströmung konzentriert sich auf einen schmalen Bereich und ist voll turbulent, Abb. 3.23e, und enthält keine gr¨ oßeren Wirbel. Erst oberhalb Re ≈ 3,5 · 106 bildet sich wieder eine schmale voll turbulente Wirbelstraße, Abb. 3.23 f.

384


Die Strömung beeinflusst den W¨ armeund Stoff¨ ubergang in verwickelter Weise, wie man aus Abb. 3.24 erkennt, in der ¨ ortliche Nußelt-Zahlen u ¨ber den vom vorderen Staupunkt an gez¨ ahlten Umfangswinkel aufgetragen sind. Die Nußelt-Zahl nimmt vom Staupunkt an in dem Maß ab, wie sich die Grenzschicht entwickelt. Sie erreicht ein Minimum bei einem Umfangswinkel von rund 80◦ . Dort beginnt sich die Str¨ omung abzulösen, und der Wärme¨ ubergang nimmt dann wieder l¨ angs des Umfangs zu, weil das Fluid durch die Ablösewirbel durchmischt wird. Bei großen Reynolds-Zahlen u ¨ber 105 treten sogar zwei Minima der lokalen Nußelt-Zahl auf. Ihr starker Anstieg zwischen 80◦ und 100◦ Umfangswinkel kommt durch den Umschlag der anfänglich laminaren in eine turbulente Grenzschicht zustande. Diese wächst stromabwärts an, so dass der W¨ arme¨ ubergang gehemmt wird, bis etwa ab einem Umfangswinkel von 140◦ der W¨ arme¨ ubergang infolge der besseren Durchmischung des Fluids im Nachlauf wieder zunimmt. In der Praxis interessiert vor allem der mittlere Wärme¨ ubergangskoeffizient. Er lässt sich durch empirische Ans¨ atze der Form

p Pr m n (3.210) N um = c Re P r P r0 beschreiben, in dem die mittlere Nußelt- und die Reynolds-Zahl mit dem Rohrdurchmesser gebildet sind. Alle Stoffwerte sollen bei der mittleren Fluidtemperatur ϑ = (ϑ0 + ϑ∞ )/2 gebildet werden außer der Prandtl-Zahl P r0 , die bei Wandtemperatur ϑ0 einzusetzen ist. Die Koeffizienten c, m, n, und p sind ˇ einer Arbeit von Zukauskas [3.15] entnommen und in Tabelle 3.1 aufgef¨ uhrt. Tabelle 3.1: Konstante und Exponenten der Gl. (3.210)

Re

c

m

n

0,76

0,4

0,37

0,52

0,5

0,37

10 bis 2 · 10 0,26

0,6

0,37

0,8

0,4

1 bis 40 40 bis 10

3

3

2 · 10 bis 10 5

5

7

0,023

Heizung des Fluids: K¨ uhlung des Fluids:

p=0,25 p=0,20

Eine einheitliche empirische Gleichung f¨ ur alle Reynolds-Zahlen 1 ≤ Re ≤ ur Prandtl-Zahlen 0,7 < P r < 600 hat Gnielinski [3.13] mitgeteilt. 106 und f¨ Sie lautet (3.211) N um = 0,3 + N u2m, lam + N u2m, turb


385

mit N um, lam = 2 N ux (x = L) nach (3.196a) und N um, turb nach (3.207). Als Länge L ist in diese Gleichungen der u omte Umfang L = dπ/2 einzu¨berstr¨ setzen. Im Fall des Stoffaustausches hat man die Nußelt- durch die SherwoodZahl und die Prandtl- durch die Schmidt-Zahl zu ersetzen. Die Gleichung gilt ur 0,7 < Sc < 7 · 104 . dann f¨ ur 1 ≤ Re ≤ 106 und f¨ Eine vor allem f¨ ur Gase mit Prandtl-Zahlen von der Größenordnung 1 ultige empirische Gleichung haben und f¨ ur Reynolds-Zahlen 1 ≤ Re ≤ 105 g¨ Sparrow et al. [3.16] mitgeteilt. Sie lautet 1/4 (3.211a) N um = 0,25 + 0, 4 Re1/2 + 0, 06 Re2/3 P r0,37 (η/ηw ) Darin sind die mittlere Nußelt-Zahl und die Reynolds-Zahl mit dem Rohrdurchmesser gebildet. Alle Stoffeigenschaften ausgenommen ηw sind mit der Freistromtemperatur ϑ∞ gebildet; ηw ist bei Wandtemperatur einzusetzen. In der Arbeit von Sparrow et al. [3.16] findet man auch Korrelationen f¨ ur die Wärme¨ ubertragung von Luft an quer angestr¨ omte nicht-kreisförmige Zylinder und Kugeln. Beispiel 3.10: Ein Kupferzylinder von 10 mm Durchmesser und 1 m L¨ ange hat anf¨ anglich eine Temperatur von ϑα = 423,15 K = 150 ℃. Der Zylinder wird dann omt. Nach von Luft von ϑL = 298,15 K = 25 ℃ mit w∞ = 10 m/s quer angestr¨ welcher Zeit ist der Zylinder auf ϑω = 308,15 K = 35 ℃ abgek¨ uhlt? Gegebene Stoffwerte: W¨ armeleitf¨ ahigkeit des Zylinders λz = 399 W/Km, Dichte = 8933 kg/m3 , spez. W¨ armekapazit¨ at c = 0,387 kJ/kgK, W¨ armeleitf¨ ahigkeit der Luft λL = 26,25 · 10−3 W/Km, Prandtl-Zahl P rL (25 ℃) = 0,707, P rL (35 ℃) = 0,706, P rL (92,5 ℃) = 0,701, kinematische Viskosit¨ at νL (25 ℃) = 157,9 · 10−7 m2 /s. Zur L¨ osung der Aufgabe zeige man zun¨ achst, dass der W¨ armewiderstand des Zylinders gegen¨ uber dem der Luft vernachl¨ assigbar und daher die Temperatur des Zylinders nur eine Funktion der Zeit ist. Der W¨ armewiderstand der Luft ergibt sich aus dem W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten. Wir berechnen diesen aus (3.210). Die mittlere Wandtemperatur ist ϑ0 = (150 + 35)/2 ℃ = 92,5 ℃, die mittlere Fluidtemperatur ϑ = (25 + 92,5)/2 ℃ = 58,7 ℃; hierf¨ ur ist nach Tabelle B.1 νL (58,7 ℃) = 191·10−7 m2 /s und P r = 0,703. Die Reynolds-Zahl der anstr¨ omenden Luft ist Re =

10 m/s · 10 · 10−3 m w∞ d = = 5236 . ν 191 · 10−7 m2 /s

Damit wird mit den Werten von Tabelle 3.1

N um = 0,26 Re

0,6

Pr

0,37

Pr P r0

0,25

mit P r0 = P r(92,5 ℃) = 0,701 . Es wird

N um = 0,26 · 52360,6 · 0,7030,37

0,703 0,701

0,25 = 38,91

386


λ 26,25 · 10−3 W/Km = 38,91 = 102,1 W/m2 K d 10 · 10−3 m F¨ ur das Verh¨ altnis der W¨ armewiderst¨ ande von Zylinder und Luft ist die BiotZahl maßgebend: αm = N u m

Bi =

αm d 102,1 W/m2 K · 10 · 10−3 m = = 2,56 · 10−3 . λz 399 W/Km

Sie liegt weit unter der in Abschnitt 2.3.5.2 angegebenen Grenze Bi = 0,1. Der W¨ armewiderstand des Zylinders ist somit vernachl¨ assigbar gegen¨ uber dem der Luft, so dass man dem Zylinder eine einheitliche, nur mit der Zeit ver¨ anderliche Temperatur zuordnen kann. Die Zeit zur Abk¨ uhlung des Zylinders ergibt sich aus (2.199) zu t= t=

ϑα − ϑL cV ln αm A ϑ ω − ϑL

mit

V d2 π 1 d = L = A 4 dπL 4

150 − 25 8933 kg/m3 · 387 J/kgK · 10 · 10−3 m ln = 213,8 s = 3,56 min . 102,1 W/m2 K · 4 35 − 25

Mit (3.211) findet man αm = 128 W/m2 K und t = 2,84 min; (3.211a) ergibt αm = 126,7 W/m2 K und t = 2,87 min..

3.7.3 Quer angestr¨ omte Rohrbu ¨ ndel Im Folgenden sollen der W¨ arme¨ ubergang und der Druckabfall in einem quer angeströmten Rohrb¨ undel untersucht werden, dessen Einzelrohre nach Abb. 3.25 fluchtend oder versetzt zueinander angeordnet sind.

Abb. 3.25: Quer angestr¨ omte Rohrb¨ undel. a fluchtende Rohranordnung; b versetzte Rohranordnung mit engstem Querschnitt quer zur Anstr¨ omrichtung; c versetzte Rohranordnung mit engstem Querschnitt in den Diagonalen

Bei versetzter Anordnung ist der W¨ arme¨ ubergang bei gleicher ReynoldsZahl größer. Dies wird jedoch durch einen h¨ oheren Druckabfall erkauft. Entsprechend Abb. 3.25a bis c bezeichnet man den senkrecht zur Strömungsrichtung gemessenen Rohrabstand als Querteilung sq , den Rohrabstand in Strömungsrichtung als L¨ angsteilung sl und den Rohrabstand in Richtung der Diagonalen als Versetzung sv . Den Quotienten sq /d nennt man Querteilungsangsteilungsverh¨ altnis und sv /d Versetzungsverhältnis. verhältnis, sl /d L¨


387

Die Umströmung und damit auch der W¨ arme¨ ubergang am Einzelrohr innerhalb des B¨ undels wird durch die Grenzschichtablösung und die Verwirbelungen beeinflusst, wie sie sich bereits an den vorangehenden Rohren entwickelt hat. Der W¨ arme¨ ubergang an einem Rohr der ersten Reihe ist etwa gleich dem des einzelnen quer angestr¨ omten Zylinders, wenn man keine allzu enge Querteilung voraussetzt. Weiter stromab nimmt der Wärme¨ ubergangskoeffizient jedoch zu, weil die vorangehenden Rohrreihen als Turbulenzerzeuger f¨ ur die folgenden wirken. Von der vierten bis f¨ unften Rohrreihe an ändert sich der Strömungsverlauf praktisch nicht mehr, und der mittlere Wärme¨ ubergangskoeffizient der Rohre erreicht einen konstanten Endwert. Als Folge davon strebt auch der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient u ¨ber alle Rohre einem von der Reihenzahl unabh¨ angigen Endwert zu. Er ist etwa von der zehnten Reihe an konstant, wie dies Abb. 3.26 zeigt, in welcher das Verhältnis F von mittlerem Wärme¨ ubergangskoeffizienten αm (zR ) bis zur Reihe zR mit dem Endwert αm (zR → ∞) = αm∞ u ¨ber der Reihenzahl zR aufgetragen ist.

Abb. 3.26: Einfluss der Rohrreihenzahl zR auf den W¨ arme¨ ubergang in Glattrohrb¨ undeln nach [3.16]. a) fluchtende, b) versetzte Rohranordnung. Gestrichelte Kurven f¨ ur Re > 103 , voll ausgezogene f¨ ur 102 < Re < 103

Bisher veröffentlichte Messergebnisse des mittleren Wärme¨ ubergangskoeffizienten sind von verschiedenen Autoren [3.17] bis [3.21] durch Korrelationen beschrieben worden. Eine Gleichung, die bisherige Messungen f¨ ur eine einzelne Rohrreihe und f¨ ur B¨ undel mit mehreren Rohrebenen gut wiedergibt, stammt von Gnielinski [3.18]. Hiernach berechnet man zur Ermittlung des W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten eines Rohrb¨ undels zunächst den Wärme¨ ubergangskoeffizienten am quer angestr¨ omten Einzelrohr nach (3.211) und den zugehörigen Gln. (3.196a) und (3.207). In diesen ist die Reynolds-Zahl mit der mittleren Geschwindigkeit wm = w/ε, Re = wm l/ν, l = dπ/2 zu bilden. w ist die auf den ganzen Querschnitt bezogene Anströmgeschwindigkeit. Die Größe ε ist der Hohlraumanteil. Er h¨ angt vom Querteilungsverhältnis a = sq /d und vom Längsteilungsverh¨ altnis b = sl /d ab gem¨ aß ε = 1 − π/(4a) f¨ ur b ≥ 1 und ε = 1 − π/(4ab) f¨ ur b < 1 . Die so nach (3.211) berechnete Nußelt-Zahl N um hat man noch mit einem Anordnungsfaktor fA zu multiplizieren. Man erhält dann die Nußelt-Zahl N uB = αB l/λ = fA N um

mit l = dπ/2

(3.212)

388


Die Gleichung gilt im Bereich 10 < Re < 106 und 0,6 < P r < 103 . Bei fluchtender Anordnung ist (3.212a) fA = 1 + 0,7(b/a − 0,3)/ ε3/2 (b/a + 0,7)2 und bei versetzter Anordnung fA = 1 + 2/3 b

(3.212b)

Der Gleichung (3.212a) lagen Experimente mit b ≥ 1,2 zugrunde; f¨ ur b < 1,2 war in den Experimenten b/a ≥ 1. Enthält das B¨ undel weniger als zehn Rohrreihen, so ist die mittlere NußeltZahl N uB noch mit einem Faktor 1 + (zR − 1)fA zR zu multiplizieren, durch den in etwa der Anstieg der Wärme¨ ubergangskoeffiucksichtigt zienten mit der Reihenzahl zR der Rohre nach Abbildung 3.26 ber¨ wird. Der Wärme¨ ubergang am Rippenrohrb¨ undel wird durch ähnliche Gleichungen berechnet. Es sei hierzu auf die Literatur verwiesen [3.22]. Zur Berechnung des in einem Rohrb¨ undel u ¨bertragenen Wärmestromes hat man zu beachten, dass sich die Fluidtemperatur zwischen Ein- und Austrittsquerschnitt erheblich ¨ andern kann. Der von einer Rohroberfläche dA an das Fluid u armestrom betr¨ agt ¨bertragene W¨ dQ˙ = α dA(ϑ0 − ϑF ) = M˙ cp dϑF , wenn ϑF die mittlere Fluidtemperatur in einem Kanalquerschnitt ist. Es ist daher dϑF α dA = . ˙ ϑ0 − ϑF M cp Durch Integration zwischen Eintrittsquerschnitt e, in dem die mittlere Fluidtemperatur ϑe herrscht, und Austrittsquerschnitt a mit der mittleren Fluidtemperatur ϑa erh¨ alt man 1 ˙ M cp

a α dA = e

αB A0 ϑ0 − ϑ e = ln . c˙p ϑ0 − ϑ a

Hierin sind αB der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient des Rohrb¨ undels und ache. Damit betr¨ agt der u A0 die gesamte Rohroberfl¨ ¨bertragene Wärmestrom ϑ0 − ϑe Q˙ = M˙ cp (ϑa − ϑe ) = αB A0 (ϑa − ϑe )/ ln ϑ0 − ϑ a oder


Q˙ = αB A0 Δϑlog

389

(3.213)

mit der mittleren logarithmischen Temperaturdifferenz Δϑlog = (ϑa − ϑe )/ ln

ϑ0 − ϑe . ϑ0 − ϑ a

(3.214)

Beispiel 3.11: Atmosph¨ arische Luft (p = 0,1 MPa) soll in einem Rohrb¨ undel-W¨ arme¨ ubertrager von 10 ℃ auf 30 ℃ erw¨ armt werden. Der Apparat beomungsrichtung hintereinander liegenden steht aus 4 nebeneinander und zR in Str¨ fluchtenden Rohrreihen. Der Außendurchmesser der Rohre betr¨ agt 25 mm, ihre L¨ ange 1,5 m, das L¨ angsteilungsverh¨ altnis sei gleich dem Querteilungsverh¨ altnis: sl /d = sq /d = 2. Die Wandtemperatur der Rohre betrage 80 ℃ die Anstr¨ omgeschwindigkeit der Luft 4 m/s. Man berechne die erforderliche Zahl zR der Rohrreihen. Gegeben seien folgende Stoffwerte f¨ ur Luft bei ϑm = 20 ℃: Viskosit¨ at ν = 15,32 · armeleitf¨ ahigkeit λ = 0,0259 W/Km, Dichte = 1,189 kg/m3 , spez. 10−6 m2 /s, W¨ W¨ armekapazit¨ at cp = 1,006 kJ/kgK, Prandtl-Zahl P r = 0,708. Den Hohlraumanteil ε berechnet man wegen a = b = 2 zu ε = 1−π/(4·2) = 0,607 und die mittlere Geschwindigkeit zu wm = w/ε = 4(m/s)/0,607 = 6,587m/s . Damit erh¨ alt man die Reynolds/Zahl zu Re = wm (dπ/2)/ν = 6,587(m/s)·(25·10−3 m·π/2)/15,32·10−6 m2 /s = 1,69·104 . Die mittlere Nußelt-Zahl N um,lam folgt aus (3.196a) zu N um,lam = 76,34 , die der turbulenten Str¨ omung aus (3.207) zu N um,turb = 77,97 . Nach (3.211) ist daher die mittlere Nußelt-Zahl N u = 109,4. Den Anordnungsfaktor ermittelt man nach (3.212a) zu fA = 1 +

0, 7 · (1 − 0, 3) = 1, 359 . 0, 6073/2 (1 + 0, 7)2

Die Nußelt-Zahl des Rohrb¨ undels folgt damit aus (3.212) zu N uB = 1,359 · 109, 4 = 148, 7 , und der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient des Rohrb¨ undels ist αB = N uB λ/(dπ/2) = 148,7 · 0,0259 W/Km/(25 · 10−3 m · π/2) = 98,1 W/(m2 K) Der zu u armestrom ist ¨bertragende W¨ Q˙ = M˙ cp (ϑe − ϑa ) = w∞ 4 sq d L cp (ϑe − ϑa ) = 1,189 kg/m3 · 4 m/s · 4 · 2 · 25 · 10−3 m · 1,5 m · 1,006 kJ/kg · 20 K = 28,7 kW .

390


Andererseits ist nach (3.213) Q˙ = αB 4 zR d π L Δϑm . Mit Δϑm nach (3.214), also Δϑm = (ϑa − ϑe )/ ln

ϑ0 − ϑ e 80 − 10 = (30 K − 10 K)/ ln = 59,44 K ϑ 0 − ϑa 80 − 30

wird Q˙ = 28,7 · 103 W = 98,1 W/(m2 K) · 4 · zR · 25 · 10−3 m · π · 1,5 m · 59,44 K . ahlte Zahl der Rohrreihen ist zR = 11. Daraus ergibt sich zR = 10,4. Die gew¨

3.7.4 Einige empirische Gleichungen fu arme¨ r den W¨ und Stoffu omten K¨ orpern ¨ bergang an u ¨ berstr¨ Wie die bisherige Darstellung zeigte, lassen sich Wärme- und Stoff¨ ubergangskoeffizienten u omter K¨ orper f¨ ur einfache Strömungen, wie sie beispiels¨berstr¨ weise an der ebenen oder leicht gew¨ olbten Platte auftreten, mit Hilfe der Grenzschichtgleichungen exakt berechnen. Die Strömung mit Ablösung wie sie sich bei umstr¨ omten Zylindern, Kugeln und anderen Körpern einstellt, ist jedoch nur schwer oder gar nicht berechenbar, so dass man Wärme- und Stoff¨ ubergangskoeffizienten durch Versuche bestimmen muss. F¨ ur die praktische Anwendung hat man die Rechen- oder Versuchsergebnisse in empirischen Korrelationen der Form N u = f (Re, P r) zusammengefasst, von denen einige schon erörtert wurden. Sie sind im Folgenden zusammenfassend mit einigen weiteren häufiger ben¨ otigten Korrelationen dargestellt. Alle Korrelationen gelten in gleicher Weise auch f¨ ur den Stoffaustausch. Man hat dazu lediglich die Nußelt- durch die Sherwood- und die Prandtl- durch die Schmidt-Zahl zu ersetzen. Die Stoffwerte sind bei mittlerer Fluidtemperatur ϑm = (ϑe + ϑa )/2 zu bilden.


391

1. L¨ angsangestr¨ omte ebene Platte, von der Vorderkante an beheizt oder gek¨ uhlt Korrelation

G¨ ultigkeitsbereich

1/2 N ux = √1 Rex ϕ1 (P r) mit π

ϕ1 (P r) =

P r1/2 0 ≤ Pr ≤ ∞ (1 + 1, 973P r0,272 + 21, 29P r)1/6

Rex ≤ 5 · 105

1/2 N um = √2 Rex ϕ1 (P r) π 1/2

N ux = 0,332 Rex P r1/3

0,5 ≤ P r ≤ 1000

N um = 0,664 Re1/2 P r1/3

0,5 ≤ P r ≤ 1000

N um =

0,037 Re0,8 P r 1+2,443 Re−0,1 (P r 2/3 −1)

0,6 ≤ P r ≤ 2000

Rex ≤ 5 · 105

turb. Strömung: 5 · 105 < Re < 107

Abb. 3.27: L¨ angsangestr¨ omte ebene Platte, von der Vorderkante an beheizt

2. L¨ angsangestr¨ omte ebene Platte, ab der Stelle x0 beheizt oder gek¨ uhlt 1/2

N ux =

Rex

1/3 ϕ1 (P r) , √ 3/4 π 1 − (x0 /x)

mit ϕ1 (P r) wie unter 1.

Abb. 3.28: L¨ angsangestr¨ omte ebene Platte, ab der Stelle x0 beheizt oder gek¨ uhlt

0 ≤ P r ≤ 1000 ,

Rex ≤ 5·105

392


3. Querangestr¨ omter Zylinder N um = 0,3 + (N um, lam 2 + N um, turb 2 )1/2 mit

2 N um, lam = 2N u(x = L) = √ Re1/2 ϕ1 (P r) π x

mit ϕ1 (P r) wie unter 1 und N um, turb =

0,037 Re0,8 P r 1 + 2,443 Re−0,1 (P r2/3 − 1)

10 < Re < 107 ,

0,6 < P r < 1 000 .

Die Nußelt- und die Reynolds-Zahl werden mit der u ¨berströmten Länge L = dπ/2 gebildet.

Abb. 3.29: Querangestr¨ omter Zylinder

4. Beliebige querangestr¨ omte Profilzylinder Gleichung wie f¨ ur querangestr¨ omte Zylinder, die Nußelt- und ReynoldsZahl werden mit der u omten L¨ ange gebildet, im Beispiel der Abb. ¨berstr¨ 3.30 ist L = a + b.

Abb. 3.30: Querangestr¨ omter Profilzylinder

¨ 5. Uberstr¨ omte Kugel Bezeichnungen wie beim quer angestr¨ omten Zylinder 1/2 N um = 2 + N u2m, lam + N u2m, turb N um, lam = 0,664 Re1/2 P r1/3


N um, turb = N um =

393

0,037Re0,8 P r 1 + 2,443Re−0,1 (P r 2/3 − 1) αm d ; λ

0,7 < P r < 600

Re =

w∞ d ν

1 ≤ Re ≤ 106

Im Fall des Stoffaustausches ist N um durch Shm und P r durch Sc zu ersetzen, g¨ ultig im Bereich 0,7 < Sc < 70000. 6. Frei fallender Fl¨ ussigkeitstropfen x −0,7 . N um = 2 + 0,6 Re1/2 P r1/3 25 d Die Nußelt- und die Reynolds-Zahl werden mit dem Tropfendurchmesser d gebildet; x ist die Fallh¨ ohe. Es ist 10 ≤ x/d ≤ 600 und 3 mm ≤ d ≤ 6 mm. 7. Rohrb¨ undel aus Glattrohren Man berechne zun¨ achst aus (3.211) unter Beachtung von (3.196a) f¨ ur N um,lam und (3.207) f¨ ur N um,turb die mittlere Nußelt-Zahl N um des quer angeströmten Einzelrohres, in dem man die Reynolds-Zahl Re = wm l/ν, l = dπ/2 mit der mittleren Geschwindigkeit wm = w/ε bildet. Darin sind w die Anfangsgeschwindigkeit und ε der Hohlraumanteil. ε = 1 − π/4 a f¨ ur b ≥ 1 und ε = 1 − π/4 ab f¨ ur b < 1 . Hierin sind a = sq /d das Querteilungsverhältnis und b = sl /d das Längsteilungsverhältnis. Die mittlere Nußelt-Zahl des Rohrb¨ undels ist N uB =

αB l = f A N um λ

mit dem Anordnungsfaktor bei fluchtender Anordnung fA = 1 + 0,7(b/a − 0,3)/ ε3/2 (b/a + 0,7)2 und fA = 1 + 2/3 b bei versetzter Anordnung. Die Gleichung f¨ ur N uB ist g¨ ultig im Bereich ur B¨ undel mit weniger als zehn 10 < Re < 106 und 0, 6 < P r < 103 . F¨ Rohrreihen ist die mittlere Nußelt-Zahl N uB noch mit einem Faktor (1 + (zR − 1)fA )/zR zu multiplizieren. Hierin ist zR die Zahl der hintereinander liegenden Rohrreihen.

394


3.8 Durchstro ale, Haufwerke, ¨mte Kan¨ Wirbelschichten Wärme- und Stoff¨ ubertragungsapparate bestehen meistens aus durchströmten Kanälen, häufig aus Rohren, in denen ein Fluid erwärmt, gek¨ uhlt oder in seiner stofflichen Zusammensetzung ge¨ andert wird. Während sich die Grenzschichten um einen u omten K¨ orper, beispielsweise die an einer längsan¨berstr¨ geströmten ebenen Platte, unbeeinflusst von benachbarten Begrenzungen entwickeln können, sind sie in durchstr¨ omten Kanälen vollständig eingeschlossen und können sich daher nicht frei entwickeln. Im Folgenden werden zunächst die Strömung, dann der W¨ armeund Stoff¨ ubergang in Rohren behandelt, ehe dann andere durchstr¨ omte Kan¨ ale wie poröse Körper, Haufwerke und Sch¨ uttungen betrachtet werden.

3.8.1 Die laminare Rohrstr¨ omung Wir betrachten die laminare Str¨ omung eines Fluids, das mit konstanter Geschwindigkeit in ein Kreisrohr eintritt, Abb. 3.31. Infolge Wandreibung wird die wandnahe Fl¨ ussigkeit verz¨ ogert. Es bildet sich eine stromabwärts anwachsende Grenzschicht aus. Damit durch jeden Querschnitt der gleiche Mengenstrom fließt, muss die Kernstr¨ omung auf Kosten des Druckabfalls in Strömungsrichtung beschleunigt werden. W¨ ahrend die Grenzschicht asymptotisch bis zur Rohrachse anw¨ achst, n¨ ahert sich das Geschwindigkeitsprofil asymptotisch einem parabelf¨ ormigen Endprofil, der sogenannten PoiseuilleParabel. Die Abweichung von dieser ist schon nach endlicher Lauflänge vernachlässigbar gering. Man bezeichnet eine solche Strömung, deren Geschwindigkeitsprofil sich nicht mehr a ¨ndert, als hydrodynamisch ausgebildet und nennt die vom Eintrittsquerschnitt an gerechnete Strecke, bis sich das Endprofil bis auf eine vernachl¨ assigbare Abweichung vom asymptotischen Endwert eingestellt hat, die hydrodynamische Einlaufl¨ ange. Sie lässt sich f¨ ur die in Abb. 3.31 skizzierte laminare Rohrstr¨ omung exakt berechnen [3.23] und beträgt xe ≈ 0,056 Re d ,

(3.215)

wenn sich die Geschwindigkeit in der Rohrachse bis auf eine Abweichung von 1 % dem Wert der Poiseuille-Str¨ omung gen¨ ahert hat. Ob die Strömung laminar oder turbulent ist, hängt ebenso wie bei der ebenen Platte von der Reynolds-Zahl ab. Wie bereits dargelegt, ist eine Strömung unterhalb von Re = wm d/ν = 2300 stets laminar und oberhalb von Re = 4000 turbulent. Eine turbulente Str¨ omung ist schon nach kurzer Strecke hydrodynamisch ausgebildet. Die Einlaufl¨ ange liegt im Bereich [3.24] < xe < ∼ 60 . (3.216) 10 ∼ d F¨ ur Berechnungen des W¨ armeund Stoff¨ ubergangs gen¨ ugt es, die turbulente Strömung schon nach einer Einlaufl¨ ange von xe /d ≈ 10 als hydrodynamisch

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

395

Abb. 3.31: Geschwindigkeitsprofile und Grenzschicht der laminaren Rohrstr¨ omung

ausgebildet anzusehen, da dann noch vorhandene Abweichungen von den Endwerten des Geschwindigkeitsprofils den W¨ armeund Stoff¨ ubergangskoeffizienten kaum noch beeinflussen. 3.8.1.1 Die hydrodynamisch ausgebildete Laminarstr¨ omung Zur Berechnung des Geschwindigkeitsprofils einer hydrodynamisch ausgebildeten Laminarstr¨ omung setzen wir ein inkompressibles Fluid voraus, alle Stoffwerte seien konstant. Das Geschwindigkeitsprofil einer ausgebildeten Rohrströmung ist nur vom Radius r abh¨ angig, wx = wx (r) und wy = 0. In der Navier-Stokes-Gl. (3.59) verschwindet daher der Beschleunigungsterm afte sollen nicht vorhanden sein, kj = 0. Es herrscht daher dwj /dt; Massenkr¨ Gleichgewicht zwischen Druck- und Reibungskr¨ aften. Das Kräftegleichgewicht

Abb. 3.32: Zur Kr¨ aftebilanz an einem Ringelement bei hydrodynamisch ausgebildeter Laminarstr¨ omung

an einem ringförmigen Fluidelement, Abb. 3.32, lautet

dp 2rπ dr = 0 . −τr 2rπ dx + τr+ dr 2(r + dr)π dx + p 2rπ dr − p + dx Sie vereinfacht sich mit τr+dr = τr + ( dτr / dr) dr zu

396


τr + r

dp dτr −r =0 dr dx

oder

1 d dp (rτr ) = . r dr dx Mit dem Newtonschen Ansatz τr = η

dwx dr

erhält man hieraus unter der Annahme konstanter Viskosität

η d dwx dp r = . r dr dr dx

(3.217)

Der axiale Druckabfall dp/dx ist unabh¨ angig von der radialen Koordinate r; er kann auch keine Funktion der Laufl¨ ange x sein, da die linke Seite von (3.217) nur von der Koordinate r abh¨ angt. Damit beide Seiten u ¨bereinstimmen, muss jede f¨ ur sich konstant sein. Der Druck kann sich somit nur proportional zur Laufl¨ ange x ¨ andern. Die Integration ergibt unter Beachtung von (dwx /dr)r=0 = 0: dwx 1 dp r2 r = , dr η dx 2 woraus man nach weiterer Integration unter Ber¨ ucksichtigung von wx (r = R) = 0 das Geschwindigkeitsprofil erh¨ alt: r 2 1 dp 2 R 1− . (3.218) wx (r) = − 4η dx R Die mittlere Geschwindigkeit u ¨ber einen Querschnitt ergibt sich hieraus zu 1 wm = 2 R π

R wx (r)2rπ dr = −

R2 dp . 8η dx

(3.219)

0

Das Geschwindigkeitsprofil der ausgebildeten Strömung ist daher r 2 wx (r) . =2 1− wm R

(3.220)

Hydrodynamisch ausgebildete Rohrstr¨ omungen sind zuerst von Hagen und Poiseuille erforscht worden. Die Str¨ omung wird daher auch Hagen-PoiseuilleStrömung genannt. Man erkennt aus (3.220), dass die Geschwindigkeit in der Rohrachse gleich der doppelten mittleren Geschwindigkeit ist, wx (r = 0) = 2wm . Aus (3.219) folgt f¨ ur den Druckabfall −

8ηwm dp = , dx R2


397

woraus man nach Einf¨ uhren der Reynolds-Zahl Re = wm d/ν und mit −dp/dx = const = Δp/L den Widerstandsbeiwert ζ=

64 Δp = 2 /2 (L/d)wm Re

(3.221)

erhält. 3.8.1.2 Die thermisch ausgebildete Laminarstr¨ omung Tritt ein Fluid mit konstanter Temperatur ϑα beispielsweise in ein Kreisrohr ein, dessen Innenwandtemperatur ϑ0 = ϑα ist, so wird das Fluid erwärmt oder abgek¨ uhlt. Es bildet sich eine Temperaturgrenzschicht, die stromabwärts anwächst und höchstens bis zur Rohrachse vordringen kann. Die Dicke der Temperaturgrenzschicht w¨ achst dann auf d/2 an. Der Wärme¨ ubergangskoeffizient erreicht somit seinen kleinsten Wert α ∼ λ/(d/2), oder es wird N u = αd/λ ∼ 2: Die Nußelt-Zahl n¨ ahert sich stromabwärts einem Endwert, der nach unserer groben Absch¨ atzung von der Größenordnung 2 ist. Entsprechendes gilt auch f¨ ur die Sherwood-Zahl beim Stoff¨ ubergang. Die folgenden Ausf¨ uhrungen f¨ ur den W¨ arme¨ ubergang sind daher in entsprechender Weise auf den Stoff¨ ubergang u ¨bertragbar. Man bezeichnet eine Strömung dann als thermisch ausgebildet, wenn der Endwert der Nußelt-Zahl bis auf eine kleine Abweichung, z.B. 1 % des Endwerts, erreicht ist. Den örtlichen W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten definiert man durch α :=

q˙0 , ϑ0 − ϑ F

(3.222)

worin ϑF die adiabate Mischtemperatur nach (1.30) ist, im vorliegenden Fall 1 ϑF = wx ϑ dAq . M˙ Aq

F¨ ur eine Rohrstr¨ omung ist M˙ = wm R2 π, dAq = 2rπ dr und daher die adiabate Mischtemperatur unter der Annahme = const: 2 ϑF = wm R 2

R wx ϑ dr .

(3.223)

0

F¨ ur das Temperaturprofil der thermisch ausgebildeten Rohrströmung folgt aus q˙0 −λ(∂ ϑ/∂r)R d αd d = = N u = const = λ ϑ0 − ϑ F λ ϑ0 − ϑF λ die Beziehung (∂ ϑ/∂r)R = const . (3.224) ϑ0 − ϑF

398


Sie besagt, dass sich in einer thermisch ausgebildeten Strömung der Temperaturanstieg an der Wand in gleicher Weise mit der Lauflänge x ändert wie der Unterschied zwischen Wand- und adiabater Mischtemperatur. Das Temperaturprofil, das diese Bedingung erf¨ ullt, ist von der allgemeinen Form ϑ(x, r/R) = (ϑ0 − ϑF )f1 (r/R) + f2 (x) , wie man durch Einsetzen in (3.224) feststellt. An der Wand ist ϑ(x, 1) = ϑ0 = (ϑ0 − ϑF )f1 (1) + f2 (x) . Subtraktion beider Gleichungen ergibt mit der Abk¨ urzung r+ = r/R: ϑ0 − ϑ(x, r+ ) = (ϑ0 − ϑF )[f1 (1) − f1 (r+ )] oder ϑ0 − ϑ(x, r+ ) = (ϑ0 − ϑF )f (r + ) .

(3.225)

Diese Beziehung dient im Schrifttum meistens zur Definition der thermisch ausgebildeten Str¨ omung. Sie ist, wie zuvor gezeigt wurde, eine Folge davon, dass der Wärme¨ ubergangskoeffizient stromabwärts asymptotisch einen konstanten Endwert erreicht. Wir betrachten nun als Beispiel zwei besonders ausgezeichnete thermisch ausgebildete Strömungen, n¨ amlich die bei konstanter Wärmestromdichte q˙0 = const an der Wand und anschließend die bei konstanter Wandtemperatur ϑ0 = const. a) Im Fall konstanter W¨ armestromdichte folgt mit ϑ0 − ϑF =

q˙0 α

aus (3.225): q˙0 f (r + ) . α Hierin ist die rechte Seite unabh¨ angig von der Lauflänge x, und daher gilt ϑ0 − ϑ(x, r+ ) =

∂ ϑ(x, r+ ) dϑ0 = . dx ∂x Die Temperatur an einer beliebigen Stelle r+ a¨ndert sich in gleicher Weise mit der Laufl¨ ange x wie die Wandtemperatur. Weiter ist in (3.224) wegen q˙0 = const auch (∂ ϑ/∂r)R = const und daher ϑ0 −ϑF = const. Daraus folgt, dass sich auch die adiabate Mischtemperatur in gleicher Weise mit der Laufl¨ ange a ¨ndert wie die Wandtemperatur dϑF dϑ0 = . dx dx Es ist daher


dϑ0 dϑF q˙0 2Rπ ∂ ϑ(x, r+ ) = = = = const . ∂x dx dx M˙ cp

399

(3.226)

Hinreichend weit stromabw¨ arts ¨ andern sich alle Temperaturen linear mit der Lauflänge, Abb. 3.33a.

Abb. 3.33: Wandtemperatur T0 (x1 ) und adiabate Mischtemperatur TF (x1 ) in Abh¨ angigkeit der Laufl¨ ange x bei laminarer Rohrstr¨ omung, a q˙0 = const; b ϑ0 = const

b) Im Fall konstanter Wandtemperatur kann man die aus der Energiebilanz α2Rπ dx[ϑ0 − ϑF (x)] = M˙ cp dϑF folgende Beziehung dϑF αdπ dx = ϑ0 − ϑF (x) M˙ cp integrieren, da die Wandtemperatur ϑ0 konstant ist. Man erhält mit ϑF (x = 0) = ϑα αm dπ ϑ0 − ϑF (x) = exp − x , ϑ0 − ϑα M˙ cp

(3.227)

wenn αm der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient u ¨ber die Länge x ist. Der Unterschied zwischen Wandtemperatur und adiabater Mischtemperatur nimmt exponentiell mit der Laufl¨ ange x ab, Abb. 3.33b. Nach (3.225) ist dϑF ∂ ϑ(x, r+ ) = f (r + ) ∂x dx mit f (r + ) =

(3.228)

ϑ0 − ϑ . ϑ0 − ϑ F

Die Temperatur¨ anderung in Str¨ omungsrichtung hängt nun auch von der radialen Koordinate ab. 3.8.1.3 W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten bei thermisch ausgebildeter Laminarstr¨ omung Im Folgenden wird gezeigt, wie man W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten bei thermisch ausgebildeter Str¨ omung berechnet. In entsprechender Weise erhält man

400


die Stoff¨ ubergangskoeffizienten der hinsichtlich des Konzentrationsprofils ausgebildeten Strömungen. Um das Grunds¨ atzliche zu zeigen, betrachten wir eine ¨ Rohrströmung. Die Uberlegungen lassen sich dann leicht auf andere Kanäle u ¨bertragen. Unter Vernachl¨ assigung der Dissipation und der Wärmeleitung in Strömungsrichtung x und unter der Annahme temperaturunabhängiger Stoffwerte lautet die Energiegleichung in Zylinderkoordinaten x, r:

∂ϑ ∂ϑ ∂ϑ 1 ∂ r . (3.229) + wr =a wx ∂x ∂r r ∂r ∂r In einer ausgebildeten Str¨ omung ist wr = 0, so dass der zweite Term auf der linken Seite entfällt. Das Geschwindigkeitsprofil wx (r) ist durch die HagenPoiseuille-Parabel (3.220) gegeben. a) Wir betrachten zuerst den Fall konstanter W¨ armestromdichte an der Wand. Dann ist nach (3.226) ∂ ϑF ∂ϑ = = const , ∂x ∂x und die Energiegleichung geht u ¨ber in

r 2 dϑ dϑ 1 d F 2wm 1 − r . =a R dx r dr dr Durch Trennen der Ver¨ anderlichen erh¨ alt man nach Integration als allgemeine Lösung der Differentalgleichung

r4 2wm dϑF r2 − ϑ(x, r) = + c1 ln r + c2 . a dx 4 16 R2 Diese muss noch der Randbedingung ϑ(x, r = R) = ϑ0 (x) gen¨ ugen. Außerdem muss die Temperatur in der Rohrachse ϑ(x, r = 0) endlich sein, was nur m¨ oglich ist, wenn c1 = 0 wird. Damit erhält man als Temperaturprofil 1 r 4 1 r 2 2wm R2 dϑF 3 . (3.230) + − ϑ(x, r) = ϑ0 (x) − a dx 16 16 R 4 R Die adiabate Mischtemperatur (3.223) findet man nach Einsetzen des Temperaturprofils in 2 ϑF (x) = wm R 2

R r=0

r 2 2wm 1 − ϑ(x, r)r dr R


zu ϑF (x) = ϑ0 (x) −

401

11 wm R2 dϑF . 48 a dx

Mit (3.226) ist daher ϑ0 (x) − ϑF (x) =

11 q˙0 d . 48 λ

Andererseits ist der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient definiert durch q˙0 = α(ϑ0 (x) −ϑF (x)) und daher 48 αd = Nu = = 4,3636 . λ 11

(3.231)

b) Im Fall konstanter Wandtemperatur gilt ebenfalls die Energiebilanz (3.229), in der f¨ ur voll ausgebildete Str¨ omung wr = 0 zu setzen ist. Mit dem Geschwindigkeitsprofil (3.220) der Hagen-Poiseuille-Strömung erhält man unter Beachtung von (3.228)

r 2 dϑ ϑ − ϑ 1 ∂ ∂ϑ F 0 =a 2wm 1 − r . (3.232) R dx ϑ0 − ϑF r ∂r ∂r Die Gleichung l¨ asst sich noch vereinfachen mit der dimensionslosen Temperatur ∂ϑ 1 ϑ0 − ϑ dϑ+ =− ϑ+ = , ϑ0 − ϑ F dr ϑ0 − ϑF ∂r und mit dem aus der Energiebilanz αdπ dx(ϑ0 − ϑF ) = M˙ cp dϑF folgenden Zusammenhang dϑF αdπ 4α 1 . = = ˙ wm dcp ϑ0 − ϑF dx M cp Damit geht (3.232) u ¨ber in −2N u(1 − r

+2

1 d )ϑ = + + r dr

+

dϑ+ r+ + dr

(3.233)

mit der Nußelt-Zahl N u = αd/λ und r+ = r/R. Die Lösung muss den ugen. Die Gleichung (3.233) lässt Randbedingungen ϑ+ (r+ = 1) = 0 gen¨ sich nicht analytisch l¨ osen. Zur L¨ osung macht man einen Reihenansatz ϑ+ =

∞

C2n r +2n .

n=0

Durch Einsetzen in (3.233) und Vergleich gleich hoher Potenzen in r+ findet man, dass die Koeffizienten gegeben sind durch

402


C2 Nu =− C0 2

und

C2n Nu = C0 2n2

C2n−4 C2n−2 − C0 C0

n≥2 .

Es lassen sich somit alle Koeffizienten durch die Nußelt-Zahl ausdr¨ ucken. ullen, muss Um die Randbedingung ϑ+ (r+ = 1) = 0 zu erf¨ ∞ C2n =0 C0 n=0

(3.234)

sein, was nur f¨ ur einen bestimmten Wert der Nußelt-Zahl möglich ist. Um diesen zu finden, sch¨ atzt man zweckm¨ aßigerweise die Nußelt-Zahl ab, berechnet dann die Koeffizienten mit obiger Rekursionsformel und pr¨ uft, ob die Bedingung (3.234) erf¨ ullt ist. Man findet auf diese Weise N u = 3,6568 . Eine entsprechende Rechnung f¨ ur Kan¨ ale von anderem Querschnitt f¨ uhrt auf die in Tabelle 3.2 angegebenen Werte. Diese stellen untere Grenzwerte der Nußelt-Zahl dar und k¨ onnen auch von einer thermisch nicht ausgebildeten Strömung nicht unterschritten werden. In Tabelle 3.2 sind auch die jeweiligen Widerstandszahlen

2 L wm (3.235) ζ = Δp/ dh 2 aufgef¨ uhrt, die mit dem hydraulischen Durchmesser dh = 4A/U

(3.236)

gebildet sind, wenn A der durchstr¨ omte Kanalquerschnitt und U dessen Umfang ist. Weitere Endwerte der Nußelt-Zahl findet man u.a. bei Kakaˇc [3.25].

3.8.1.4 Die thermische Einlaufstr¨ omung mit ausgebildetem Geschwindigkeitsprofil In einer laminaren Rohrstr¨ omung sei das Geschwindigkeitsprofil voll ausgebildet und somit durch das Hagen-Poiseuillesche Gesetz (3.220) beschrieben. Das Temperaturprofil sei hingegen noch nicht ausgebildet. Man denke sich hierzu einem beheizten Rohr eine hinreichend lange unbeheizte Strecke vorgeschaltet, in der sich das Geschwindigkeitsprofil ausbilden kann, ehe das Fluid in die beheizte Rohrstrecke eintritt. Das Geschwindigkeitsprofil bildet sich auch dann viel schneller aus als das Temperaturprofil, wenn die Prandtl-Zahl des ¨ Fluids sehr groß ist, P r → ∞, wie das beispielsweise bei hochviskosen Olen der Fall ist: Wegen der großen Viskosit¨ at pflanzt sich die Reibung im Fluid schnell fort, während die geringe Temperaturleitfähigkeit nur eine langsame Temperaturänderung zul¨ asst, so dass das Geschwindigkeitsprofil seinen Endwert rasch erreicht im Gegensatz zum Temperaturprofil, das sich mit dem Strömungsweg nur langsam ¨ andert.


403

LaminarTabelle 3.2: Nußelt-Zahlen N u = αdh /λ bei thermisch ausgebildeter 2 str¨ omung und Widerstandszahlen ζ = Δp/ (L/dh ) ( wm /2) in Kan¨ alen verschiedenen Querschnitts. N uT ist die Nußelt-Zahl bei konstanter Wandtemperatur, N uq die bei konstanter W¨ armestromdichte an der Wand und Re = wm dh /ν die ReynoldsZahl. Kanal

dh

N uT

N uq

ζRe

Kreisrohr Durchmesser d

d

3,657

4,364

64

Ebener Spalt Plattenabstand 2b

4b

7,541

8,235

96

Quadrat Kantenl¨ ange a

a

2,976

3,09

56,91

Rechteck Seitenverh¨ altnis b/a = 1/2

4b/3

3,391

3,017

62,19

Gleichseitiges Dreieck Seitenl¨ ange a

√ a/ 3

2,49

1,892

53,33

Ellipse große Halbachse a kleine Halbachse b b/a = 1/2

πb/1,2111

3,742

3,804

84,11

Wir setzen vernachl¨ assigbare axiale W¨ armeleitung, konstante Wandtemperatur ϑ0 und konstante Temperatur ϑα des Fluids im Eintrittsquerschnitt des Rohres voraus. Alle Stoffwerte seien temperaturunabhängig. Dieses Problem wurde zuerst von Graetz (1850–1891) im Jahre 1883 [3.26], später im Jahre 1910 von Nußelt (1882–1957) [3.27] und vielen anderen Autoren behandelt. Man bezeichnet es auch als Graetz- oder als Graetz-NußeltProblem. Es wird durch die Energiegleichung (3.229) beschrieben, in der voraussetzungsgem¨ aß die radiale Geschwindigkeitskomponente verschwindet, wr = 0, und die axiale Geschwindigkeit die einer Hagen-Poiseuille-Strömung (3.220) ist. Die Energiegleichung lautet damit

r 2 ∂ ϑ ∂ϑ 1 ∂ 2wm 1 − r (3.237) =a R ∂x r ∂r ∂r oder nach Einf¨ uhren dimensionsloser Gr¨ oßen r+ = und

r R

,

x+ =

x dPe

mit

P e = ReP r =

wm d a

404


ϑ+ =

ϑ − ϑ0 ϑα − ϑ0

∂ ϑ+ 1 1 ∂ 1 − r +2 = + + + 2 ∂x r ∂r

:

r+

∂ ϑ+ ∂r+

.

(3.238)

Das Temperaturprofil soll den folgenden Randbedingungen gen¨ ugen ϑ+ (x+ , r+ = 1) = 0

(3.239)

ϑ+ (x+ = 0, r+ ) = 1 .

(3.240)

und +

+

+

Zur Lösung wird das Temperaturprofil ϑ (x , r ) als Produkt aus zwei Funktionen angesetzt, ϑ+ (x+ , r+ ) = ϕ(x+ )ψ(r+ ) , von denen die eine nur von der Laufl¨ ange x+ und die andere nur von der radialen Koordinate r+ abh¨ angt. Mit diesem Ansatz kann man die partielle Differentialgleichung (3.238) in zwei gew¨ ohnliche u uhren: ¨berf¨ ϕ + 2β 2 ϕ = 0

(3.241)

und

1 2 ψ + β 2 (1 − r+ )ψ = 0 . r+ Die allgemeine L¨ osung von (3.241) lautet ψ +

(3.242)

ϕ = c exp{−2β 2 x+ } , urliche Konstanten sind. Die Gleichung (3.242) ist worin c und β 2 noch willk¨ nicht geschlossen l¨ osbar. Eine Partikul¨ arl¨ osung findet man mit dem Reihenansatz ∞ 2n ψ= C2n r + . n=0

Einsetzen in (3.242) und Vergleich der Koeffizienten gleich hoher Potenzen in r+ ergibt C2 β2 =− 2 C0 2 und f¨ ur n ≥ 2 die Rekursionsformel f¨ ur die Koeffizienten

β2 C2n−2 C2n C2n−4 = − . C0 (2n)2 C0 C0 Die Koeffizienten C2n /C0 sind demnach noch von der Größe β abhängig. Diese muss so bestimmt werden, dass die Randbedingungung ψ(r + = 1) = 0


oder 1+

405

∞ C2n =0 C0 n=1

erf¨ ullt ist. Man erh¨ alt auf diese Weise eine Potenzreihe f¨ ur β deren Lösung unendlich viele Werte, die sogenannten Eigenwerte βi , i = 1, 2, . . . ∞ liefert. Es gibt daher auch unendlich viele Partikul¨ arl¨ osungen ψi (r + ) = f (βi , r+ ) =

∞

C2n (βi )r+

2n

,

n=0

und die allgemeine L¨ osung ist von der Form ∞

ϑ+ =

an exp{−2βn2 x+ }ψn (r+ ) .

(3.243)

n=0

Sie muss noch der Randbedingung ϑ+ (x+ = 0, r+ ) = 1 gen¨ ugen 1=

∞

an ψn (r + ) .

(3.244)

n=0

Daraus erhält man die Konstanten an , siehe hierzu Anhang A 7, zu 1

2

ψn (r + )(1 − r + )r+ dr+ an =

0

.

1 ψn2 (r + )(1 − r

+2

(3.245)

)r+ dr+

0

Die adiabate Mischtemperatur folgt aus ϑF − ϑ0 = ϑ+ F =2 ϑα − ϑ 0

1

wx + + + ϑ r dr = 4 wm

0

1

2

(1 − r+ )ϑ+ r+ dr+ , 0

woraus man nach Einsetzen des Temperaturprofils (3.243) und Integration ϑ+ F =

∞

Bn exp{−2βn2 x+ }

(3.246)

n=0

erhält. Die Konstanten Bn , die Eigenwerte βn , sowie die Konstanten der Gleichung (3.245) der ersten f¨ unf Reihenglieder nach Rechnungen von Brown [3.28] sind in der folgenden Tabelle 3.3 aufgef¨ uhrt. Die örtliche Nußelt-Zahl erh¨ alt man aus der adiabaten Mischtemperatur mit Hilfe der Energiebilanz

406


Tabelle 3.3: Konstanten Bn , Eigenwerte βn und Konstanten an nach Brown [3.28] n

Bn

βn

an

0

0,81905

2,70436

1,04400

1

0,09753

6,67903

−0,57002

2

0,03250

10,67338

0,41632

3

0,01544

14,67108

−0,33648

4

0,00879

18,66987

0,28639

α2Rπ dx(ϑ0 − ϑF ) = M˙ cp dϑF = wm R2 πcp dϑF zu α=

dϑF wm dcp 1 4 ϑ0 − ϑF dx

oder

1 d ln ϑ+ αd F =− . (3.247) λ 4 dx+ Die mittlere Nußelt-Zahl folgt aus dem mittleren Wärme¨ ubergangskoeffizienten L 1 α dx αm = L Nu =

0

zu 1 αm d = + N um = λ X

X

+

N u dx+ 0

und mit X

+

= L/(d P e) N um = −

1 + ln ϑ+ F (X ) . 4X +

(3.248)

Der Verlauf der mittleren Nußelt-Zahl ist in Abb. 3.35 gezeigt; er ist dort identisch mit der Kurve f¨ ur P r → ∞ ugt es, mit dem F¨ ur hinreichend große Werte der Laufl¨ ange x+ → ∞ gen¨ ersten Reihenglied der adiabaten Mischtemperatur (3.246) zu rechnen. Die mittlere Nußelt-Zahl nach (3.248) geht dann u ¨ber in N um = − =

1 ln B0 exp{−2β02 X + } + 4X

1 2β02 − ln B0 . 4 4X +


407

Mit den Werten der Tabelle 3.3 erh¨ alt man N um = 3,6568 +

0,0499 X+

,

g¨ ultig f¨ ur X + ≥ 0,05 .

(3.249)

F¨ ur X + → ∞ ergibt sich der schon bekannte Endwert 3,6568 der NußeltZahl der thermisch ausgebildeten Str¨ omung. Zur Berechnung der Nußelt-Zahl f¨ ur kleine Werte der Laufl¨ ange X + = L/(d P e) benötigt man sehr viele Reihenglieder der adiabaten Mischtemperatur (3.246). Man hat daher die exakte Lösung durch empirische Gleichungen approximiert. Nach Stephan [3.29] werden durch N um =

3,657 tanh(2,264 X + 1/3

+

1,7 X + 2/3 )

+

0,0499 tanh X + X+

(3.250)

die exakten Werte im gesamten Bereich 0 ≤ X + ≤ ∞ mit einem größten Fehler von 1 % wiedergegeben. F¨ ur große Werte X + ≥ 0,05 geht die Gleichung in die asymptotische L¨ osung (3.249) u ur kleine Werte ¨ber, während man f¨ ur kurze Laufl¨ angen g¨ ultige sogenannte Lévêque-Lösung X + ≤ 5 · 10−6 die f¨ [3.30] erhält: (3.251) N um = 1,615 (X + )−1/3 . Wie schon fr¨ uher ausgef¨ uhrt, hat man zur Berechnung des u ¨bertragenen Wärmestroms zu beachten, dass sich die Fluidtemperaturen zwischen Einund Austrittsquerschnitt ¨ andern. Gem¨ aß den fr¨ uheren Ausf¨ uhrungen, Gleichung (3.213) ist der u armestrom ¨bertragene W¨ Q˙ = αm A0 Δϑlog ,

(3.252)

ache und Δϑlog die mittlere logawenn A0 die wärmeabgebende Rohroberfl¨ rithmische Temperaturdifferenz, vgl. hierzu (3.214), Δϑlog = (ϑF − ϑα )/ ln

ϑ0 − ϑα ϑ0 − ϑ F

(3.253)

ist. 3.8.1.5 Die hydrodynamisch und thermisch nicht ausgebildete Str¨ omung In einer hydrodynamisch und thermisch nicht ausgebildeten Strömung ändern sich das Geschwindigkeits- und das Temperaturprofil mit dem Strömungsweg. Abb. 3.34 zeigt qualitativ einige Geschwindigkeits- und Temperaturprofile unter der Annahme, dass das Fluid mit u ¨ber den Querschnitt konstanter Geschwindigkeit und Temperatur in ein Rohr einströmt, dessen Wandtemperatur geringer ist als die Eintrittstemperatur des Fluids. Zur Berechnung der Geschwindigkeiten und Temperaturen muss man die Kontinuitäts- , die Impuls- und die Energiegleichung lösen. Eine geschlossene

408


Abb. 3.34: Geschwindigkeits- und Temperaturprofile einer hydrodynamisch und thermisch nicht ausgebildeten Rohrstr¨ omung

L¨ osung des Gleichungssystems ist dann nicht mehr möglich. Eine numerische Lösung haben Stephan [3.23] und sp¨ ater einige andere Autoren, siehe hierzu [3.25] mitgeteilt. Als Ergebnis erh¨ alt man aus den berechneten Geschwindigkeitsprofilen den Druckabfall Δp = pe − p zwischen dem Druck pe im Eintrittsquerschnitt und dem Druck p in einem beliebigen Rohrquerschnitt. Er lässt sich durch eine empirische Korrelation annähern: Δp = (1,25 + 64X) tanh(11,016X 1/2 ) 2 /2 wm

(3.254)

mit X = L/(d Re) und Re = wm d/ν. Hieraus berechnete Druckabfälle weichen im gesamten Bereich 0 ≤ X ≤ ∞ um weniger als 1,65 % von den Werten der numerischen Lösung ab. Aus den numerisch berechneten Temperaturprofilen findet man in gleicher Weise, wie es im vorigen Abschnitt gezeigt wurde, die Wärme¨ ubergangskoeffizienten und daraus die mittlere Nußelt-Zahl N um = αm d/λ. Sie lässt sich durch eine empirische Gleichung der Form 1 N um = N uma tanh(2,432 P r1/6 X + 1/6 )

(3.255)

berechnen, wobei hier N uma die mittlere Nußelt-Zahl nach (3.250) der hydrodynamisch ausgebildeten Str¨ omung sei. Die Gleichung (3.255) gilt f¨ ur 0,1 ≤ P r ≤ ∞ und 0 ≤ X + ≤ ∞. Die Abweichung von den numerisch berechneten mittleren Nußelt-Zahlen betr¨ agt f¨ ur 1 ≤ P r ≤ ∞ weniger als 5 % und wächst f¨ ur kleine Prandtl-Zahlen 0,1 ≤ P r < 1 bis zu 10 % an. Abb. 3.35 zeigt den Verlauf der mittleren Nußelt-Zahl u ¨ber der dimensionslosen Lauflänge X + = L/(d P e). Alle Kurven lassen sich zwischen die f¨ ur P r = 0 und die f¨ ur P r → ∞ einordnen. P r = 0 bedeutet in diesem Fall, dass die Viskosit¨ at verschwindet, die W¨ armeleitfähigkeit aber endlich ist. Da in dem Fluid keine Reibungskr¨ afte wirken, bleibt die im Eintrittsquerschnitt konstante Geschwindigkeit erhalten. Man bezeichnet eine solche Strömung als Kolbenströmung. Im Grenzfall P r → ∞ ist wegen der im Vergleich zur Temperaturleitfähigkeit großen Viskosit¨ at die Str¨ omung hydrodynamisch, aber noch


409

Abb. 3.35: Mittlere Nußelt-Zahlen bei laminarer Rohrstr¨ omung

nicht thermisch ausgebildet. Im Grenz¨ ubergang P r → ∞ ergibt sich dementsprechend aus (3.255) N um /N uma = 1. Verschwindende Prandtl-Zahl P r = 0 kann auch bedeuten, dass die Temperaturleitfähigkeit gegen unendlich geht, während die Viskosität endlich bleibt. Dann ist die Str¨ omung bereits im Eintrittsquerschnitt thermisch, aber noch nicht hydrodynamisch ausgebildet. Da die Péclet-Zahl verschwindet, P e = wm d/a = 0, ist X + = L/(d P e) = ∞. Die Nußelt-Zahl ist gleich derjenigen der thermisch ausgebildeten Str¨ omung N um = 3,6568.

3.8.2 Die turbulente Rohrstr¨ omung Eine ausschließlich analytische Behandlung des Wärme- und Stoff¨ ubergangs einer turbulenten Rohrstr¨ omung scheiterte bisher daran, dass man die turbulenten Schubspannungen τij = −wi wj die turbulente Wärmestromdichte ∗ q˙i = −cp wi T und auch auch die turbulente Diffusionsstromdichte jAi = −wi ξA nicht auf rein theoretischem Weg ermitteln kann. Man ist vielmehr auf Experimente angewiesen. Im Gegensatz zur laminaren ist jedoch die turbulente Rohrströmung wegen des intensiveren Impulsaustauschs schon nach kurzer Lauflänge x/d ≥ 10 bis 60 hydrodynamisch und thermisch voll ausgebildet. Dies vereinfacht die Darstellung der Wärme- und Stoff¨ ubergangskoeffizienten durch Gleichungen. Zu einfachen, aber f¨ ur die voll ausgebildete turbulente Strömung ausreichend genauen Korrelationen kommt man bereits, wenn man von der Analogie zwischen Impuls- und Wärme- bzw. Stoffaustausch, Gl. (3.199), Gebrauch macht: cf (3.256) StP r 2/3 = 2

410


mit St = α/(cp wm ). Der Reibungsbeiwert cf ist mit dem Widerstandsbeiwert verkn¨ upft wegen τ0 dπL = Δp (d2 π/4) , woraus τ0 = Δp (d/4L) folgt und cf =

Δp ζ 1 τ0 = = . 2 2 (wm /2) (L/d) (wm /2) 4 4

Es ist daher StP r2/3 =

ζ . 8

(3.257)

(3.258)

Mit dem Widerstandsbeiwert [3.32] ζ = 0,184 Re−1/5

g¨ ultig f¨ ur Re ≥ 104

der turbulenten Rohrstr¨ omung erh¨ alt man hieraus die Nußelt-Zahl N u = 0,023 Re4/5 P r 1/3 .

(3.259)

Eine mit Gleichung (3.259) n¨ aherungsweise u ¨bereinstimmende Beziehung hatte Kraussold [3.33] bereits 1933 aufgrund von eigenen und den Experimenten anderer empfohlen. Die Gleichung wurde in dieser Form jedoch zuerst von McAdams [3.34] 1942 mitgeteilt. Sie setzt kleine Temperaturunterschiede zwischen Wand und Fluid voraus und gilt in dem Bereich 0,7 ≤ P r ≤ 160

,

Re = wm d/ν ≥ 104

und L/d ≥ 100 .

Alle Stoffwerte sind bei der adiabaten Mischtemperatur einzusetzen. Bei größeren Unterschieden zwischen Wand- und Fluidtemperatur hat man vor allem den Einfluss der meistens stark mit der Temperatur veränderlichen Viskosität zu ber¨ ucksichtigen. Wie Hufschmidt und Burck [3.35] aufgrund der Experimente von Sieder und Tate [3.36] fanden, gen¨ ugt es, die rechte Seite von (3.259) mit dem Faktor (P r/P r0 )0,11 zu multiplizieren, worin die Prandtl-Zahl P r bei der Mitteltemperatur ϑm = (ϑe + ϑa )/2 und P r0 bei der Wandtemperatur ϑ0 zu bilden sind. Eine Gleichung, die auch f¨ ur gr¨ oßere Reynolds-Zahlen gilt, haben Petukhov und Kirilov [3.37] entwickelt. Sie ist von Gnielinski [3.38] so abgewandelt worden, dass zus¨ atzlich der Bereich der Reynolds-Zahlen nahe Re = 104 richtig beschrieben wird. Sie lautet

2/3 (ζ/8) Re P r d Nu = 1+ (3.260) 2/3 L 1 + 12,7 ζ/8(P r − 1)


411

mit dem Widerstandsbeiwert ζ=

1 Δp = . 2 (L/d) (wm /2) (0,78 ln Re − 1,5)2

(3.261)

Sie gilt im Bereich 104 ≤ Re ≤ 106

,

0,1 ≤ P r ≤ 1000

und L/d > 1 .

Alle Stoffwerte sind bei der Mitteltemperatur ϑm = (ϑe + ϑa )/2 zu bilden. Den Einfluss einer stark mit der Temperatur veränderlichen Viskosität erfasst man wieder durch den Faktor (P r/P r0 )0,11 auf der rechten Seite von (3.260), wobei P r bei der Mitteltemperatur ϑm , und P r0 bei Wandtemperatur zu bilden sind. Die vorstehenden Gleichungen (3.259) und (3.260) können auch zur Berechnung von Stoff¨ ubergangskoeffizienten verwendet werden. Man hat dazu, wie schon erörtert, lediglich die Nußelt- durch die Sherwood-Zahl und die Prandtl- durch die Schmidt-Zahl zu ersetzen.

3.8.3 Haufwerke Unter einem Haufwerk versteht man die geordnete oder regellose Anordnung von Einzelkörpern verschiedener Form. Als Beispiel zeigt Abb. 3.36 ein Haufwerk aus Partikeln verschiedener Gr¨ oße. Auch ein Rohrregister ist im Sinne dieser Definition ein Haufwerk. Technisch bedeutsam sind Haufwerke in Form von Fließ- oder von Festbetten. In Fließbetten werden die Partikel durch ein strömendes Fluid aufgewirbelt und in der Schwebe gehalten. Sie haben dann ihrerseits fluidähnliche Eigenschaften. Man spricht von Wirbelschichten oder Fluidatbetten (engl. fluidised beds). In ihnen laufen chemische Reaktionen, Trocknung oder andere Stoffaustauschvorgänge infolge der lebhaften Bewegung der Partikel rasch ab.

Abb. 3.36: Haufwerk aus Partikeln verschiedener Gr¨ oße

Abb. 3.37: F¨ ullk¨ orperkolonne im Gegenstrombetrieb

412


Festbetten dienen mit ihren F¨ ull- und Speichermassen zur Wärme¨ ubertragung in Regeneratoren. Als sogenannte F¨ ullk¨ orperkolonnen werden sie häufig als Stoffaustauschapparate eingesetzt. Dabei wird, wie Abb. 3.37 zeigt, im Allgemeinen am Kopf der Kolonne ein Fl¨ ussigkeitsgemisch aufgegeben, dem ein Gas anderer Zusammensetzung entgegenstr¨ omt. Durch Stoffaustausch gehen eine oder mehrere Komponenten von der Gas- in die Fl¨ ussigphase u ¨ber und umgekehrt. Auf diese Weise k¨ onnen beispielsweise Schadstoffe aus einem Gas durch eine herabrieselnde Waschfl¨ ussigkeit aufgenommen werden. Die Bemessung derartiger Apparate ist Gegenstand der thermischen Verfahrenstechnik. Dazu benötigt man jedoch Grundlagen des W¨ armeund Stoffaustausches, die im Folgenden erörtert werden sollen. Zur Charakterisierung des Str¨ omungsraumes innerhalb einer Sch¨ uttung betrachten wir zun¨ achst eine Packung aus gleich großen Kugeln vom Durchaßiger Parameter zur Beschreibung der Packung ist messer dP . Ein zweckm¨ der Hohlraumvolumenanteil oder L¨ uckengrad ε = VG /V ,

(3.262)

gebildet mit dem von Gas gef¨ ullten Hohlraumvolumen VG und dem Gesamtvolumen V = VG + VS . Darin berechnet sich das Festk¨ orpervolumen VS aus dem Volumen VP der Einzelpartikel und deren Anzahl n, VS = nVP . Es ist daher auch nVP VS = =1−ε V V oder die Zahl der Partikel je Volumeneinheit nV =

1−ε n = . V VP

(3.263)

Sie liegt demnach fest, wenn man den L¨ uckengrad und das Volumen eines Partikels kennt. Die beiden Gr¨ oßen L¨ uckengrad ε und Partikeldurchmesser dP reichen jedoch nicht aus, um die Str¨ omung und damit auch den Wärme- und Stoff¨ ubergang eindeutig zu beschreiben; denn stellt man sich beispielsweise gemäß Abb. 3.38a eine kubische Packung aus hintereinander liegenden gleich großen Kugeln vor, so kann das Fluid durch die Gassen zwischen den Kugeln strömen. In einer ungeordneten Sch¨ uttung gleichen L¨ uckengrades und aus Kugeln gleichen Durchmessers k¨ onnen die Gassen, wie Abb. 3.38b zeigt, jedoch teilweise blockiert und die Durchstr¨ omung an einigen Stellen stärker behindert sein als an anderen. Trotz gleicher Werte von L¨ uckengrad und Partikeldurchmesser ergeben sich also verschiedene Str¨ omungsbilder. Wenn man dennoch Strömung, Wärme- und Stoff¨ ubergang durch die beiden Parameter ε und dP recht gut beschreiben kann, so wohl nur deshalb, weil sich in hinreichend großen Sch¨ uttungen im statistischen Mittel ein Ausgleich einstellt.


413

Abb. 3.38: Sch¨ uttungen aus Kugeln gleicher Gr¨ oße und von gleichem L¨ uckengrad a kubische Packung b ungeordnete Packung

Die spezifische Oberfl¨ ache aP von Partikeln beliebiger Gestalt ist definiert durch (3.264) aP = nAP /V (SI-Einheit m2 /m3 ), worin AP die Oberfl¨ ache eines einzelnen Partikels ist. Die spezifische Oberfl¨ ache aP ist eine charakteristische Eigenschaft des Sch¨ uttguts. F¨ ur F¨ ullkörper verschiedener Form und Gestalt ist f¨ ur nAP die Summe der einzelnen Partikeloberfl¨ achen im Volumen V einzusetzen. Weiter ist mit (3.263) AP nAP aP = = (1 − ε) , (3.265) V VP ache eines Einzelpartikels ist. Sie ist f¨ ur worin AP /VP die spezifische Oberfl¨ kugelförmige Partikel gleich 6/d, so dass hierf¨ ur aP =

6 (1 − ε) d

(3.266)

gilt. Hierzu ein Beispiel: Eine kubische Kugelpackung, Abb. 3.38a, mit z Kugeln je Reihe und r Reihen hinter- und u ¨bereinander besitzt das Volumen V = (zd)(rd)(rd) = uckengrad zr2 d3 . Das Volumen aller Kugeln ist VS = nd3 π/6 = zr 2 d3 π/6, und der L¨ ε=1−

π VS = 1 − = 0,476 . V 6

Eine regellose Kugelsch¨ uttung hat einen L¨ uckengrad ε ≈ 0,4. Ihre spezifische Oberfl¨ ache ist nach (3.266) daher aP ≈ 3,6/d. Kugeln von 1 cm Durchmesser in unregelm¨ aßiger Anordnung haben somit bereits eine spezifische Oberfl¨ ache aP ≈ ur die Zahl der Partikeln je Volumenein360m2 /m3 . Nach (3.263) ergibt sich hierf¨ heit zu nV ≈ 1,15 · 106 /m3 . Ein Pulver aus kugelf¨ ormigen Partikeln von 100 μm ergibt bereits aP ≈ 3,6 · 104 m2 /m3 und nV ≈ 1,15 · 1012 /m3 . Diese Zahlen belegen eindrucksvoll, dass die f¨ ur den W¨ armeund Stoffaustausch zur Verf¨ ugung stehende Oberfl¨ ache in Sch¨ uttungen ungew¨ ohnlich groß sein kann.

In einer durchstr¨ omenden Sch¨ uttung wachsen Wärme¨ ubergangskoeffizienten in den ersten Reihen der Packung rasch an und erreichen dann feste Endwerte wie Gillespie et al. [3.39] am Beispiel des Wärme¨ ubergangs an eine ungeordnete Kugelsch¨ uttung zeigten. Die Endwerte der Nußelt-Zahl sind infolge der häufigen Umlenkungen und Verwirbelungen der Strömung in einer Sch¨ uttung deutlich gr¨ oßer als die einer umstr¨ omten Einzelkugel. Entsprechendes w¨ urde man auch f¨ ur den Stoff¨ ubergang finden. Der Endwert der mittleren

414


Nußelt-Zahl N um in einer Kugelsch¨ uttung und die mittlere Nußelt-Zahl N umK der umströmten Einzelkugel stehen jedoch, wie die Versuche zeigten, in einem bestimmten nur vom L¨ uckengrad abh¨ angigen Verhältnis zueinander. Es ist N um = fε N umK ,

(3.267)

uckengrad abh¨ angiger Anordnungsfaktor ist. Die mittworin fε ein nur vom L¨ lere Nußelt-Zahl f¨ ur eine u omte Kugel ist in 3.7.4, Nr.5, mitgeteilt. In ¨berstr¨ ihr ist nun die Reynolds-Zahl mit der effektiven mittleren Geschwindigkeit weff = wm /ε zu bilden. Sie ergibt sich aus der Mengenbilanz wm A0 = weff AG zu weff = wm A0 /AG = wm /ε, worin A0 der Querschnitt der leeren Kolonne und AG der vom Gas durchstr¨ omte Querschnitt ist. Der Faktor fε l¨ asst sich im Bereich 0,26 < ε < 1 nach Schl¨ under [3.40] aus dem einfachen Ansatz (3.268) fε = 1 + 1,5(1 − ε) mit ausreichender Genauigkeit berechnen. Gl. (3.267) gilt auch f¨ ur Sch¨ uttungen aus nichtkugelf¨ ormigen Partikeln. Einige Anhaltswerte f¨ ur den Anordalt Tabelle 3.4. Die Werte gelten im Bereich 102 < Re < nungsfaktor fε enth¨ 4 10 , wenn man die Reynolds-Zahl mit der effektiven mittleren Geschwindigaquivalenten Kugeldurchmesser dP bildet. Dieser keit weff = wm /ε und einem ¨ berechnet sich aus der mittleren Partikeloberfl¨ ache AmP = aP /nV

(3.269)

mit der spezifischen Oberfl¨ ache aP nach (3.264) und der Zahl nV der Partikel je Volumeneinheit nach (3.263) durch Vergleich mit einer Kugel gleicher Oberfläche zu dP = AmP /π . (3.270) Den Wärmestrom berechnet man in bekannter Weise aus Q˙ = αm nAP Δϑlog und der mittleren logarithmischen Temperaturdifferenz (3.214) Δϑlog = (ϑa − ϑe )/ ln

ϑ0 − ϑe , ϑ0 − ϑ a

wenn ϑe die Eintritts-, ϑa die Austrittstemperatur des Fluids und ϑ0 die Oberflächentemperatur der Partikel ist. Die Gleichungen gelten in entsprechender Weise auch f¨ ur den Stoffaustausch. Man hat dann lediglich die Nußelt- durch die Sherwood-Zahl und die Prandtl- durch die Schmidt-Zahl zu ersetzen. Voraussetzung f¨ ur die G¨ ultigkeit der Gleichungen sind jedoch hinreichend große Werte der Péclet-Zahl > P e = ReP r ∼ 500 bis 1000, weil sonst die Strömung und damit auch der Wärme- und Stoff¨ ubergang ungleichm¨ aßig u ¨ber den Querschnitt verteilt sind; es kann sogar R¨ uckstr¨ omung einsetzen, so dass mittlere Wärme- und Stoff¨ ubergangskoeffizienten kleiner sein k¨ onnen als die am u ¨berströmten Einzelkörper.


415

3.8.4 Por¨ ose K¨ orper Im Unterschied zum Haufwerk, das aus einer geordneten oder regellosen Anordnung von Einzelk¨ orpern verschiedener Form besteht, besitzen poröse Körper einen festen Grundk¨ orper, der von Hohlräumen, den sogenannten Poren durchsetzt ist. In nat¨ urlichen por¨ osen K¨ orpern sind die Poren von unterschiedlicher Gr¨ oße und Gestalt und ungleichmäßig verteilt. Beispiele sind die menschliche Lunge, Holz, Kalkstein und anderes poröses Gestein. Wie im Haufwerk ist die Str¨ omung durch die Hohlr¨ aume sehr ungleichförmig. Dennoch kann man wie beim Haufwerk die einzelnen Volumenelemente, die zwar klein im Vergleich zum gesamten Volumen des betrachteten Körpers sind, aber dennoch eine große Zahl von Poren enthalten, als Kontinuum behandeln. Jedes Volumenelement besteht dann aus hinreichend vielen Poren und einem Teilvolumen des festen Grundk¨ orpers. Jedem von beiden kann man dann einheitliche Mittelwerte der Zustandsgr¨ oßen zuordnen. Dadurch lassen sich Strömung und W¨ arme¨ ubertragung, wie das schon bei der Behandlung des Haufwerks geschah, und ebenso auch die Stoff¨ ubertragung mit den bekannten Gleichungen der Impuls- W¨ armeund Stoff¨ ubertragung eines Kontinuums behandeln. Haufwerke und por¨ ose K¨ orper lassen sich somit hinsichtlich der Wärme- und Stoff¨ ubertragung auf dieselben Grundgleichungen der Kontinuumstheorie zur¨ uckf¨ uhren. Eine genauere Betrachtung von Strömung, Wärmeund Stoff¨ ubertragung in den einzelnen Poren wäre nur mit statistischen Methoden möglich und wird durch die Annahme eines Kontinuums vermieden. 3.8.4.1 Str¨ omung und Impulsbilanz Die Impuls- oder Kr¨ aftebilanz durchstr¨ omter poröser Körper kann man durch das experimentell gut abgesicherte Gesetz von Darcy [3.41] ersetzen, das dieser bereits 1856 bei seinen Untersuchungen u ¨ber die Wasserversorgung der Stadt Dijon durch Experimente ermittelte. Danach ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit u ¨ber den Austrittsquerschnitt eines porösen Körpers proportioTabelle 3.4: Anordnungsfaktor fε f¨ ur Sch¨ uttungen mit nichtkugelf¨ ormigen Partikeln Partikel

fε

u uft f¨ ur ¨berpr¨

Zylinder, L¨ ange L, Durchmesser d

1,6

0,24 < L/d < 1,2

W¨ urfel

1,6

0,6 ≤ P r, Sc ≤ 1300

Raschigringe

2,1

P r = 0,7, Sc = 0,6

Berls¨ attel

2,3

Sc = 2,5

416


nal dem Druckabfall, den man dem K¨ orper aufprägt. Spätere Versuche zeigten, dass die mittlere Str¨ omungsgeschwindigkeit außerdem umgekehrt proportional zur dynamischen Viskosit¨ at η des Fluids ist. Nach Darcy gilt

K ∂p wi = , (3.271) − η ∂xi wobei wi die mittlere Geschwindigkeit in Richtung der Achse i (x-, y- oder z-Achse) u omungsquerschnitt Ai des porösen Körpers ist. Sie ist ¨ber einen Str¨ definiert durch 1 wpi dApi , (3.272) wi := Ai Api

wpi ist hierin die ¨ ortlich ver¨ anderliche Geschwindigkeit in den einzelnen Poren und Api deren Querschnitt in Richtung der Achse i. Bei geometrisch eindimensionaler Strömung in Richtung der x-Achse gilt somit K wx = η

dp − dx

1 = Ax

wpx dApx .

(3.273)

Apx

Die Größe K in (3.271) ist eine empirische Konstante und wird Permeabilität genannt. Ihre SI-Einheit ist m2 . Einige Zahlenwerte findet man in der folgenden Tabelle 3.5. F¨ ur Kolonnen, gepackt mit Kugeln vom Durchmesser d und dem L¨ uckengrad ε ist nach Ergun [3.46] K=

d2 ε3 150 (1 − ε)

2

.

(3.274)

Tabelle 3.5: Permeabilit¨ at, L¨ uckengrad und Korngr¨ oße por¨ oser Stoffe nach [3.42– 3.45]

Stoff

Permeabilit¨ at K m2

Kalkstein

2 · 10−15 − 4,5 · 10−14

Sand ¨ Sandstein (Olsand) Ton Schwemmsand (Schlick) Leder

2 · 10

−11 −16

5 · 10 10 10

−18 −16

L¨ uckengrad ε

− 1,8 · 10 − 3 · 10

−10

−12

− 10

−12

− 10

9,5 · 10

− 1,2 · 10

0,04 − 0,1 0,37 − 0,5

0,05 − 2

0,08 − 0,38

−15

−14

Korngr¨ oße mm

−13

0,4 − 0,7

< 0,002

0,35 − 0,5

0,002 − 0,05

0,56 − 0,59


417

Wie Versuche zeigten [3.47], gilt das Darcysche Gesetz solange die mit K 1/2 gebildete Reynolds-Zahl ReK = wi K 1/2 /ν kleiner als etwa 1 ist. Eine Erweiterung des Darcyschen Gesetzes, die u ¨ber einen weiten Bereich der Reynolds-Zahlen, n¨ amlich 0,1 ≤ ReK ≤ 100, experimentell u uft wurde [3.47], ist das Gesetz von Forchheimer [3.48] ¨berpr¨ −

dp η c∗F = wi + 1/2 F wi |wi | dxi K K

(3.275)

uttungen wird der Wert c∗F auch von den äußeren Abmesmit c∗F = 0,55. In Sch¨ sungen der Sch¨ uttung beeinflusst. Nach Versuchen von Beavers et al. [3.48] wird dies ber¨ ucksichtigt durch c∗F = 0,55 (l − 5,5 d/deq ), worin d der Durchmesser der Kugeln in einer Sch¨ uttung und deq der a¨quivalente Durchmesser des Sch¨ uttbetts ist: deq =

2 dB H . dB + H

Hierin sind dB der Durchmesser und H die H¨ ohe des Sch¨ uttbetts. Das Gesetz von Forchheimer (3.273) l¨ asst sich f¨ ur eine Strömung in Richtung der x-Achse auch darstellen durch den Widerstandsbeiwert

1 K 1/2 dp = ζK := + 0,55 (3.276) − F wx2 dx ReK mit der Reynolds-Zahl ReK = wx K 1/2 /ν, w¨ ahrend sich das Darcysche Gesetz (3.271) auf die Form

dp 1 K 1/2 − = ζK := (3.277) 2 F wx dx ReK bringen lässt. Abb. 3.39 zeigt den Verlauf des Widerstandsbeiwerts ζK u ¨ber der Reynoldsomung durch einen isothermen gesättigten Zahl ReK bei eindimensionaler Str¨ porösen Körper. Eingetragen sind die Messwerte aus einer Arbeit von Ward [3.47]. Man erkennt, dass das Darcysche Gesetz nur bei kleinen ReynoldsZahlen gilt und dass bei großen Reynolds-Zahlen der quadratische Term in der Forchheimer-Gleichung (3.275) u ¨berwiegt. Die Strömung ist bei großen Reynolds-Zahlen in den Poren zwar immer noch laminar. Es u ¨berwiegt jedoch der Formwiderstand, den die Str¨ omung auf ihrem Weg durch die verwinkelten Poren u ¨berwinden muss.

418


Abb. 3.39: Widerstandsbeiwert bei eindimensionaler Str¨ omung durch einen isothermen, ges¨ attigten por¨ osen K¨ orper nach Ward [3.47]

Beispiel 3.12: Einem Sandbeh¨ alter von d = 0,35 m Durchmesser wird von oben st¨ andig Wasser von 10 ℃ zugef¨ uhrt. Wieviel Wasser verl¨ asst den nach unten offenen Beh¨ alter? Die Permeabilit¨ at der Sandschicht sei K = 10−10 m2 , die dynamische Viskosit¨ at des Wassers ist η = 1, 3·10−3 Pa·s, die Dichte F = 103 kg/m3 . Da das Druckgef¨ alle nur durch die Schwerkraft zustande kommt, ist dp = −F g . dx Mit (3.271) erh¨ alt man

dp K K 10−10 0,352 π m3 − A= F g A = , V˙ = wx A = · 103 · 9,81 · −3 η dx η 1,3 · 10 4 s also

V˙ = 7,26 · 10−5 m3 /s = 4,36 dm3 /min .

Anmerkung: Mit der Forchheimer-Gleichung (3.275) erh¨ alt man fast denselben Volumenstrom V˙ = 7,23 · 10−5 m3 /s = 4,34 dm3 /min.

3.8.4.2 Energiebilanz Wir betrachten einen por¨ osen K¨ orper, durch dessen Poren ein Fluid in Richtung der x-Achse str¨ omt, w¨ ahrend W¨ armeleitung nur in y-Richtung stattfin-


419

den soll. Das Fluid sei inkompressibel und habe die konstante Wärmeleitfähigkeit λF . Aus der Energiegleichung (3.95) folgt dann F cF

dϑF ∂ 2 ϑF +φ = λF dt ∂y 2

mit

dϑF ∂ ϑF ∂ ϑF = + wpx . dt ∂t ∂x

Integration u ¨ber einen Porenquerschnitt Apx ergibt unter der Annahme, dass die Temperatur sich u ¨ber den Querschnitt so wenig a¨ndert, dass wir sie als konstant ansehen k¨ onnen,

F cF

∂ ϑF ∂ ϑF Apx + F cF ∂t ∂x

wpx dApx = λF

∂ 2 ϑF Apx + ∂y2

Apx

φ dApx . (3.278)

Apx

An dem Volumenelement ΔV greife eine Volumenkraft fx , SI-Einheit N/m3 , an. W¨ urde nur die Schwerkraft angreifen, so wäre fx = gx = 0, wenn die yAchse senkrecht nach oben zeigt. Da keine technische Arbeit verrichtet wird, ist 2 dwpx /2 dx ˙ diss + F ΔV ˙ t = 0 = ΔV dp + W − F ΔV fx . W dt dt dt In den engen Poren-Kan¨ alen ist die Str¨ omung hydrodynamisch ausgebildet, 2 d wpx /2 /dt = 0. Man erh¨ alt daher die dissipierte Leistung je Volumeneinheit zu ˙ diss W dp φ= =− + F fx wx . ΔV dt Einsetzen in (3.278) ergibt unter Beachtung von (3.272) und mit dp/dt = wx ∂ p/∂x F cF

∂ ϑF ∂ ϑF ∂ 2 ϑF dp Apx + F cF wx Ax = λF Apx − wx Ax + F fx wx Ax . 2 ∂t ∂x ∂y dx

F¨ ur einen porösen K¨ orper ist der L¨ uckengrad definiert durch ε=

Apx Δx Apx VP = = , V Ax Δx Ax

wobei VP das Porenvolumen bedeutet. Damit lautet die Energiebilanz des durch die Poren str¨ omenden Fluids εF cF

∂ ϑF ∂ ϑF ∂ 2 ϑF dp + F cF wx = ελF + F fx w x . − wx ∂t ∂x ∂y 2 dx

(3.279)

Entsprechend erh¨ alt man f¨ ur die geometrisch dreidimensionale Strömung εF cF

∂ ϑF ∂ ϑF ∂ 2 ϑF dp + F cF wi = ελF − wi + F fi wi . 2 ∂t ∂xi ∂xi dxi

(3.280)

420


Wirkt als Volumenkraft nur die Schwerkraft, so ist fi = gi mit den Komponenten (0, -g, 0), wenn die y-Achse senkrecht nach oben zeigt. Der poröse Feststoff nimmt den Volumenanteil 1 − ε ein. F¨ ur ihn gilt bei geometrisch eindimensionaler W¨ armeleitung in y-Richtung (1 − ε)S cS

∂ ϑS ∂ 2 ϑS = (1 − ε)λS + (1 − ε)φS . ∂t ∂y 2

(3.281)

armequellen im porösen Feststoff. φS ist hierin die Leistungsdichte von W¨ Addition von (3.279) und (3.281) unter der Annahme, dass in einem Volumenelement des por¨ osen K¨ orpers die Temperaturen in Feststoff und Fluid gleich sind, ϑS = ϑF = ϑ, ergibt ∂ϑ ∂ϑ + F cF wx = ∂t ∂x

dp ∂ 2ϑ . + F fx [ελF + (1 − ε)λS ] 2 + (1 − ε)φS + wx − ∂y dx

[εF cF + (1 − ε)S cS ]

Mit den Abk¨ urzungen σ ∗ :=

εF cF + (1 − ε)S cS εF cF

und λeff := ελF + (1 − ε)λS sowie φ∗S := (1 − ε)φS erhält man als Energiebilanz

∂ϑ ∂2ϑ dp ∗ ∂ϑ ∗ F cF σ . (3.282) = λeff 2 + φS + wx − + wx + F fx ∂t ∂x ∂y dx F¨ ur ein Fluid, auf das außer dem aufgeprägten Druckgefälle zusätzlich noch eine Volumenkraft fx wirkt, gilt anstelle von (3.271)

K dp wx = . (3.283) − + F fx η dx F¨ ur dieses Fluid lautet daher (3.282)

w2 η ∂ϑ ∂ϑ ∂2ϑ = λeff 2 + φ∗S + x . + wx F cF σ∗ ∂t ∂x ∂y K

(3.284)

Eine entsprechende Ableitung f¨ ur die geometrisch dreidimensionale Strömung ergibt

wi2 η ∂ϑ ∂2ϑ ∗ ∂ϑ ∗ F cF σ + φ + = λeff + wi . (3.285) S ∂t ∂xi ∂xi 2 K Im stationären Fall, ∂ ϑ/∂t = 0 und bei geometrisch eindimensionaler Strömung konstanter Geschwindigkeit wx vereinfacht sich (3.284), wenn wir darin τ := x/wx setzen, zu


F cF

∂ϑ ∂ 2ϑ w2 η = λeff 2 + φ∗S + x . ∂τ ∂y K

421

(3.284a)

Diese parabolische Differentialgleichung hat die Form der bekannten Wärmeleitungsgleichung mit W¨ armequellen f¨ ur geometrisch eindimensionalen Wärmefluss in y-Richtung, vgl. (2.11). Dabei entspricht die transformierte x-Koordinate τ := x/wx der Zeit t in (2.11). Zahlreiche Lösungen dieser Gleichung, besonders f¨ ur φ∗S = 0 und wx2 η/K = 0, findet man bei Nield und Bejan [3.49, 3.50]. Beispiel 3.13: Wir behandeln den station¨ aren W¨ arme¨ ubergang von einer beheizten ebenen Platte an einen por¨ osen K¨ orper, der sich von y=0 bis y → ∞ erstreckt und der von einem Fluid mit konstanter Geschwindigkeit wx = w∞ durchstr¨ omt wird, Abb. 3.40. Am Plattenanfang habe das Fluid die Temperatur ϑ∞ < ϑ0 , wenn ϑ0 die konstante Temperatur der an den por¨ osen K¨ orper grenzenden Plattenoberfl¨ ache ist. Da es sich um eine station¨ ares Problem handelt, ∂ ϑ/∂t = 0, und keine W¨ armequellen im Festk¨ orper vorhanden sein sollen, φ∗S = 0, vereinfacht sich (3.284) zu w2 η ∂ϑ ∂2ϑ F cF w∞ = λeff 2 + ∞ ∂x ∂y K

Abb. 3.40: W¨ arme¨ ubertragung von einer ebenen Wand an einen parallel zur Wand durchstr¨ omten por¨ osen K¨ orper mit den Randbedingungen ϑ(x = 0, y) = ϑ∞ ,

ϑ(x, y = 0) = ϑ0

und

∂ ϑ(x, y → ∞) =0 ∂y

Die Randbedingung ∂ ϑ(x, y → ∞)/∂y = 0 besagt, dass sich in hinreichend großem Wandabstand die W¨ armezufuhr von der Wand nicht mehr bemerkbar

422


macht. Dennoch steigt die Temperatur infolge der Reibung mit dem Str¨ omungsweg noch weiter an. Wir f¨ uhren dimensionslose Gr¨ oßen ein: ϑ − ϑ∞ , ϑ0 − ϑ∞

ϑ+ :=

y + :=

y , L

x+ :=

aF x L2 w∞

worin aF = λeff /F cF die Temperaturleitf¨ ahigkeit und L eine charakteristische L¨ ange ist. W¨ ahlt man

L :=

λeff (ϑ0 − ϑ∞ ) K 2 η w∞

1/2 ,

so erh¨ alt man die einfache partielle Differentialgleichung ∂ ϑ+ ∂ 2 ϑ+ = +1 . ∂x+ ∂y + 2

(3.286)

Die Randbedingungen sind ϑ+ x+ = 0, y + = 0,

ϑ+ x + , y + = 0 = 1

und

∂ ϑ+ x+ , y + → ∞ =0 . ∂y +

Die L¨ osung von (3.286), welche den Randbedingungen gen¨ ugt, lautet: (

2 y+ −y + y+ x+ + + + + erfc √ exp +y ϑ =x + 1−x − . 2 π 4x+ 2 x+

(3.287)

Aus der Definition des W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten ergibt sich die ¨ ortliche Nußelt-Zahl zu

+ αx x ∂ϑ N ux = =− . λeff L ∂y + y+ =0 Den Temperaturanstieg ∂ϑ+ /∂y+ y+ =0 an der Wand findet man aus (3.287) und damit die ¨ ortliche Nußelt-Zahl zu

√ αx 1 x 1 √ N ux = = √ − 2 x+ . λeff πL x+ Hierin ist x x √ = L L x+ und

x√ + x x = L L

w∞ L 2 aF x

aF x w∞ L2

1/2

1/2 = x2 = 2 L

w∞ x aF

aF w∞ x

1/2 = P ex1/2

1/2 =

x2 P e−1/2 . L2 x

Nach Einsetzen der charakteristischen L¨ ange L erh¨ alt man hieraus mit νF = η/F x√ + ν F aF x = P ex3/2 . L cF (ϑ0 − ϑ∞ ) K Somit wird die ¨ ortliche Nußelt-Zahl

αx 1 νaF 1/2 3/2 N ux = P ex − 2 = √ . P ex λeff cF (ϑ0 − ϑ∞ ) K π

(3.288)


423

√ 1/2 ortlichen Nußelt-Zahl Der erste Term (1/ π) P ex = (N ux )konv ist gleich der ¨ einer reibungsfrei l¨ angs angestr¨ omten ebenen Platte, siehe auch (3.196a) f¨ ur P r → 0. Der zweite Term gibt den Einfluss der Reibung auf die Nußelt-Zahl wieder. Er verschwindet bei reibungsfreier Str¨ omung, denn dann geht K → ∞, siehe hierzu auch (3.284). Wie man aus (3.288) findet, ist der Reibungs- gegen¨ uber den Konvektionsanteil vernachl¨ assigbar, wenn P ex

1 cF |ϑ0 − ϑ∞ | K 2 νaF

ist. Dass dies nur bei sehr kleinen Geschwindigkeiten w∞ der Fall sein kann, zeigt das folgende Beispiel. Eine Tonschicht werde von Wasser von 20 ℃ durchstr¨ omt. Ihr L¨ uckengrad sei ε = 0,3, die Permeabilit¨ at K = 6,6 · 10−12 m2 . Die Stoffwerte des Wassers sind F = 998 kg/m3 , cF = 4, 181 · 103 J/kg K, λF = 0,598 W/K m und ν = alt man λeff = 1,089 W/K m 1,004 · 10−6 m2 /s. Mit λS = 1,3 W/K m erh¨ und aF = λeff /F cF = 2,61 · 10−7 m2 /s. Somit kann man den Reibungsanteil gegen¨ uber dem Konvektionsanteil vernachl¨ assigen, wenn P ex 5,265 · 104 |ϑ0 − ϑ∞ | ist. Wie man hieraus erkennt, spielt die Reibung nur bei kleinen Temperaturdifferenzen ϑ0 − ϑ∞ eine Rolle. Bei verschwindender Temperaturdifferenz ϑ0 − ϑ∞ sorgt allein der Reibungsanteil f¨ ur eine W¨ arme¨ ubertragung. Die Aufheizung ist jedoch gering wegen der kleinen Geschwindigkeiten in por¨ osen K¨ orpern. Die u armestromdichte erh¨ alt man aus (3.288) zu ¨bertragene W¨

λeff νaF P ex1/2 (ϑ0 − ϑ∞ ) − 2 . (3.289) q˙ = α (ϑ0 − ϑ∞ ) = √ P ex3/2 cF K x π Man kann drei F¨ alle unterscheiden: a) Ist ϑ0 = ϑ∞ , so wird die u armestromdichte ¨bertragene W¨ q˙ = −

λeff 2 νaF √ P ex3/2 . x π cF K

Sie ist zur Wand hin gerichtet, daher das negative Vorzeichen. arme durch Konvektion und Leitung von der Wand b) Ist ϑ0 > ϑ∞ , so wird W¨ an den por¨ osen K¨ orper u armt sich dieser durch Dis¨bertragen, gleichzeitig w¨ sipation im Fluid auf, was einen W¨ armefluss vom por¨ osen K¨ orper zur Wand zur Folge hat. Bei kleinen Péclet-Zahlen u armestrom von der ¨berwiegt der W¨ Wand an den por¨ osen K¨ orper, bei großen Péclet-Zahlen dagegen der vom por¨ osen K¨ orper zur Wand. Bei der Péclet-Zahl P ex =

cF (ϑ0 − ϑ∞ ) K 2 ν aF

heben sich die beiden W¨ armestr¨ ome gerade auf. Es wird keine W¨ arme u ¨bertragen. c) Ist ϑ0 < ϑ∞ , so wird W¨ arme durch Konvektion und Leitung an die Wand u armestrom fließt zur ¨bertragen. Auch der durch Dissipation erzeugte W¨ Wand hin.

424


3.8.4.3 W¨ arme¨ ubertragung in durchstr¨ omten Kan¨ alen Wir behandeln die W¨ arme¨ ubertragung bei erzwungener Strömung in Kanälen, die mit einem por¨ osen Stoff gef¨ ullt sind. Als einfachsten Fall untersuchen wir zuerst die Wärme¨ ubertragung in einem Kanal, der von zwei planparallelen unendlich ausgedehnten Platten begrenzt wird. Anschließend untersuchen wir die Wärme¨ ubertragung in einem zylindrischen Kanal. In beiden Fällen gelte das Darcysche Gesetz, wonach die Geschwindigkeit wx u ¨ber den Kanalquerschnitt konstant ist. Wie in Abb. 3.41 dargestellt, habe das Fluid im Eintrittsquerschnitt des Kanals die Temperatur ϑα . An die Umgebung der Temperatur werde Wärme durch Konvektion mit dem Wärme¨ ubergangskoeffizienten α u ar, ∂ϑ/∂t = 0. Durch Reibung in den en¨bertragen. Das Problem ist station¨ gen Poren wird Energie dissipiert, die wir als Quellterm in der Energiebilanz ber¨ ucksichtigen. In diesem Fall geht (3.285) u ¨ber in

2 w2 η ∂ϑ ∂ ϑ n ∂ϑ + x = λeff (3.290) + F cF wx 2 ∂x ∂r r ∂r K mit n = 0 f¨ ur den durchstr¨ omten Kanal und n = 1 f¨ ur das durchströmte Rohr. Die Randbedingungen lauten x = 0 : ϑ (r) = ϑα r = 0 : ∂ϑ/∂r = 0 r = R : −λ

∂ϑ = α (ϑ − ϑU ) . ∂r

(3.291)

Man kann sich hier die Frage stellen, ob man angesichts der geringen Strömungsgeschwindigkeiten in den engen Poren u ¨berhaupt die dissipierte Energie ber¨ ucksichtigen muss. Dass sie besonders dann nicht vernachlässigbar ist, wenn Gase durch den por¨ osen K¨ orper str¨ omen, sieht man ein, wenn man abschätzt, wie groß der Temperaturanstieg ∂ϑD /∂x mit der Lauflänge infolge Dissipation ist. Nach (3.290) ist F cF wx

∂ϑD w2 η ≈ x ∂x K

oder umgeformt mit (3.273) ∂ϑD ∂p 1 . ≈− ∂x ∂x F cF ¨ Presst man beispielsweise atmosph¨ arische Luft von 20 ℃mit einem Uberdruck von 0, 02 MPa durch eine 1 m dicke poröse Schicht, so erhält man ∂ϑD N 1 ≈ 0, 02 · 106 2 = 15, 7 K/m . ∂x m 1 m · 1, 27 kg/m3 · 103 J/kg K


425

Abb. 3.41: W¨ arme¨ ubertragung an einen por¨ osen K¨ orper in einem zylindrischen Kanal

Einen solchen Temperaturanstieg wird man nicht vernachlässigen. W¨ urde man hingegen Wasser unter gleichen Bedingungen durch die poröse Schicht pressen, so erhielte man wegen dessen sehr viel größerer Dichte und Wärmekapazit¨ at nur einen vernachl¨ assigbar geringen Temperaturanstieg durch Dissipation ∂ϑD N 1 ≈ 0, 02 · 106 2 = 5 · 10−3 K/m . ∂x m 1 m · 103 kg/m3 · 4 · 103 J/kg K ¨ Wie diese Uberlegungen jedoch zeigen, kann Dissipation besonders bei Gasen durchaus von Bedeutung sein. Wir wollen sie daher im Folgenden nicht vernachlässigen. In die Wärmeleitungsgleichung (3.290) f¨ uhren wir dimensionslose Größen ein: ϑ+ :=

ϑ − ϑU ; ϑα − ϑ U

P reff :=

x+ :=

ν ; aeff

x aeff λeff mit aeff = ; wx R 2 F cF

Φ+ =

wx2 R2 P reff ; cF K (ϑα − ϑU )

Bi =

r + :=

r ; R

αR . λeff

Damit geht (3.290) u ¨ber in ∂ 2 ϑ+ n ∂ϑ+ ∂ϑ+ = + + Φ+ . ∂x+ ∂r+2 r + ∂r+

(3.292)

Die Randbedingungen lauten x+ = 0 : ϑ+ r+ = 1 r+ = 0 : ∂ϑ+ /∂r+ = 0 r+ = 1 : −

∂ϑ+ = Bi ϑ+ . ∂r+

(3.293)

Wir behandeln zuerst den ebenen Kanal, n = 0. Zur Lösung von (3.292) w¨ ahlen wir wie schon in Kapitel 3.2.4.2 einen Produktansatz, hier in der Form

426


ϑ

+

+

r ,x

+

=F r

+

G x

+

+Φ

+

1−r +2 + const , 2

(3.294)

worin const eine noch offene Konstante ist, die sich durch Anpassen an die Randbedingungen noch ergeben wird. Mit Hilfe des Produktansatzes wird (3.292) u uhrt in ¨berf¨ dG d2 F F r+ = G x+ + +2 dx dr oder

1 dG d2 F 1 = . + + + G (x ) dx F (r ) dr+2

Die Gleichheit beider Seiten ist nur m¨ oglich, wenn jede der Seiten gleich einer Konstanten μ2 ist. Dadurch entstehen in bekannter Weise, s. Kap. 3.2.4.2, zwei gewöhnliche Differentialgleichungen 1 dG d2 F 1 = −μ2 und = −μ2 . + + + G (x ) dx F (r ) dr+2 Die Lösung der ersten Gleichung lautet G x+ = C0 exp −μ2 x+ , die der zweiten

F r+ = C1 cos μ r+ .

Man erhält damit einen Temperaturverlauf +

ϑ

+

+

r ,x

= C cos μ r

+

exp −μ x

2 +

+

+Φ

1−r+2 + const . (3.295) 2

Dieser erf¨ ullt bereits die Randbedingung f¨ ur r+ = 0: ∂ϑ+ /∂r+ = 0. Anpassen + + an die Randbedingung −∂ϑ /∂r = Bi ϑ+ an der Stelle r + = 1 ergibt C μ sin (μ) exp −μ2 x+ + Φ+ = Bi C cos (μ) exp −μ2 x+ + Φ const . Da wir u ugen können, setzen wir const = ¨ber die Konstante const noch frei verf¨ 1/Bi. Die Eigenwerte μ m¨ ussen dann noch der Bestimmungsgleichung tan μ = Bi/μ

(3.296)

gen¨ ugen, die identisch mit der schon in Kapitel 2.3.4.3 gefundenen Gl. (2.170) ist. Als Lösung von (3.296) erh¨ alt man unendlich viele Eigenwerte. Die Summe +

ϑ

+

+

r ,x

=

∞ i=1

Ci cos μi r

+

exp

−μ2i x+

+Φ

+

1 1−r+2 + 2 Bi

(3.297)


427

ist somit allgemeine L¨ osung der W¨ armeleitungsgleichung (3.292). Sie gen¨ ugt allen Randbedingungen, außer der Anfangsbedingung ϑ+ (r+, x+ = 0) = 1. Um diese zu erf¨ ullen, muss gelten 1=

∞

Ci cos μi r

+

+Φ

i=1

+

1−r +2 1 + 2 Bi

.

Multiplikation dieser Gleichung mit cos (μj r + ) und Integration zwischen den Grenzen r + = 0 und r + = 1 ergibt dann unter Beachtung von (3.296) und der Orthogonalit¨ atsbedingung 1

cos μi r + cos μj r + dr+ = 0 f¨ ur alle i = j ,

0

die noch unbekannten Konstanten Ci zu Ci =

2 sin μi 2 sin μi − Φ+ 2 . μi + sin μi cos μi μi (μi + sin μi cos μi )

Mit (3.296) lässt sich dies noch vereinfachen zu Ci = ci + Φ+ di .

(3.298)

Es bedeutet ci =

1 2 sin μi 2 Bi = ; μi + sin μi cos μi Bi2 + Bi + μ2i cos μi

di = −

ci . μ2i

(3.299)

Damit lässt sich die Temperaturverteilung ϑ+ (r+, x+ ) nach (3.297) in zwei Terme aufspalten ∞ ϑ+ r+, x+ = ci cos μi r + exp −μ2i x+ + i=1

3

45

6

+ + ϑ+ I (r , x )

+Φ 3

+

∞ 2 + 1−r+2 1 + . (3.300) + + di cos μi r exp −μi x 2 Bi i=1 45 6 + + (r , x ) ϑ+ II

+ + Der erste Term ϑ+ I (r , x ) beschreibt den Temperaturverlauf bei verschwindender Dissipation, und ist identisch mit (2.171), wenn man dort die dimensionslose Zeit t+ = a t/R2 durch die dimensionslose Ortskoordinate + + x+ = x aeff / wx R2 ersetzt. Der zweite Term ϑ+ II (r , x ) gibt den Einfluss der Dissipation auf den Temperaturverlauf wieder.

428


Die dimensionslose Mitteltemperatur 1 ϑ+ m

ϑ+ dr+

= 0

erhält man durch die Integration von (3.300) zu ϑ+ m =

∞

ci

i=1

sin μi exp −μ2i x+ + μi

+Φ

+

∞

sin μi 1 1 + + di exp −μ2 x+ 4 Bi i=1 μi

.

(3.301)

F¨ ur gen¨ ugend große Werte x+ gen¨ ugt das erste Glied der Reihen von (3.300) zur Berechnung des Temperaturverlaufs. Man erhält + + = c cos μ r+ exp −μ2 x+ + ϑ+ 1 r ,x 1−r +2 1 + Φ+ + + d cos μ r + exp −μ2 x+ . (3.302) 2 Bi Der erste Eigenwert μ = μ1 h¨ angt ebenso wie die Größen c = c1 und d = d1 von der Biot-Zahl Bi = α R/λ ab. Tabelle 2.6 enthält bereits μ1 als Lösung von (3.296) und c1 als L¨ osung von (3.299). Werte f¨ ur d1 = d findet man, indem man nach (3.299) die Werte c1 der Tabelle 2.6 mit −1/μ2 multipliziert. F¨ ur das durchstr¨ omte Rohr gilt Gl. (3.292) mit n = 1. Der Produktansatz (3.294) f¨ uhrt nun auf einen Temperaturverlauf

2 + 1−r+2 + + + + + + const , (3.303) ϑ r , x = C J0 μi r exp −μi x + Φ 2 mit der Besselfunktion J0 . Der Ansatz erf¨ ullt bereits die Randbedingung (∂ϑ+ /∂r+ ) = 0 an der Stelle r+ = 0. Anpassen an die Randbedingung − (∂ϑ+ /∂r+ ) = Bi ϑ+ an der Stelle r+ = 1 ergibt C μ J1 (μ) exp −μ2 x+ + Φ+ = Bi C J0 (μ) exp −μ2 x+ + Φ+ const . Setzt man const = 1/Bi, so erh¨ alt man die Bestimmungsgleichung f¨ ur die Eigenwerte (3.304) μ J1 (μ) = Bi J0 (μ) , die mit (2.177) u osung erh¨ alt man wieder unendlich viele ¨bereinstimmt. Als L¨ Eigenwerte. Die Summe

∞ 2 + 1 1−r+2 + + + + + (3.305) + Ci J0 μi r exp −μi x + Φ ϑ r ,x = 2 Bi i=1


429

ist daher allgemeine L¨ osung der W¨ armeleitungsgleichung (3.292) f¨ ur n = 1. Die Konstanten Ci findet man durch Anpassen an die Anfangsbedingung ϑ+ (r+, x+ = 0) = 1 zu Ci = ci + Φ+ di . (3.306) Es bedeuten 2 J1 (μi ) 2 2 Bi und di = −ci 2 . 2 2 = 2 2 μi Bi + μi J0 (μi ) μi J0 (μi ) + J1 (μi ) (3.307) Wir spalten damit die Temperaturverteilung nach (3.305) in zwei Terme auf ci =

∞ ϑ+ r+, x+ = ci J0 μi r + exp −μ2i x+ + i=1

45 + + (r ,x ) ϑ+ I

3

+Φ 3

+

6

∞ 2 + 1 1−r+2 + + + di J0 μi r exp −μi x . (3.308) 2 Bi i=1 45 6 + + ϑ+ (r , x ) II

+ + Der erste Term ϑ+ I (r , x ) beschreibt wie in (3.300) den Temperaturverlauf ohne Dissipation und ist identisch mit (2.178), wenn man dort die + 2 dimensionslose t = a t/R durch die dimensionslose Ortskoordinate Zeit + 2 x = x aeff / wx R ersetzt, siehe hierzu auch die Abb. 2.30. Der zweite Term + + ϑ+ II (r , x ) beschreibt den Einfluss der Dissipation. Die dimensionslose Mitteltemperatur folgt aus

1 ϑ+ m =2

ϑ+ r +, x+ r+ dr+

0

zu 2 ϑ+ m = 4 Bi

∞ exp −μ2i x+ + μ2 (Bi2 + μ2i ) i=1 i

+ Φ+

2 + ∞ exp −μi x 1 1 . + − 8 Bi2 4 (Bi2 + μ2 ) 4 Bi μ i i=1 i

(3.309)

ugt das erste Glied der Reihen aus (3.308) F¨ ur große Werte x+ gen¨ + + ϑ+ = c exp −μ2 x+ J0 μ r+ 1 r ,x +2 2 + + 1 + 1−r + + d exp −μ x J0 μ r (3.310) . +Φ 2 Bi

430


Den ersten Eigenwert μ1 = μ sowie die Gr¨ oßen c1 = c als Funktion der BiotZahl Bi = α R/λ findet man in Tabelle 2.6, die Größen d1 = d nach (3.307). + + + In Abb. 3.42 ist ϑ+ u ¨ber x+ dargestellt. Wie das Bild II (r = 0, x ) /Φ zeigt, ist im vorderen Teil des por¨ osen K¨ orpers der Reibungsanteil gering. Er nimmt mit der Laufl¨ ange zu und n¨ ahert sich f¨ ur das durchströmte Rohr ebenso wie f¨ ur den durchstr¨ omten ebenen Kanal asymptotisch dem Wert + + ϑ+ 1 1 II (r = 0, x → ∞) = + Φ+ 2 Bi

f¨ ur Bi = 1 somit dem Wert 1,5, wie auch Abb. 3.42 zeigt.

+ + Abb. 3.42: Temperaturanstieg ϑ+ infolge Dissipation entlang der Achse II (x )/Φ osen Zylinders f¨ ur Bi = αR/λ = 1, 0 r+ = 0 eines por¨

3.8.5 Wirbelschichten Wirbelschichten bestehen aus Feststoffpartikeln, die durch ein aufwärts strömendes Fluid im zeitlichen Mittel im Schwebezustand gehalten werden. Sie sind erstmalig im Winkler-Verfahren (DRP 437 970 vom 28. Sept. 1922) zur Kohlevergasung eingesetzt worden. Heute werden Wirbelschichtverfahren in vielfältiger Weise genutzt: F¨ ur chemische Reaktionen, u.a. zum Mischen, Agglomerieren oder Trocknen von Feststoffen. Abb. 3.43 zeigt schematisch eine Gas-Feststoff-Wirbelschicht. Um eine Wirbelschicht zu erzeugen, muss die Geschwindigkeit des aufwärts str¨ omenden Fluids gerade so groß sein, dass Kräftegleichgewicht zwischen den von der Strömung ausge¨ ubten Kr¨ aften und dem Gewicht der Feststoffpartikel herrscht. Dann ist


431

Abb. 3.43: Wirbelschicht

Δp = gH = [S (1 − ε) + F ε]gH ,

(3.311)

wenn H die Höhe ist, welche die Feststoffpartikel in der Säule ausf¨ ullen; S ist die Dichte des Feststoffs, F die des Fluids und = V − VS /V = VF /V der L¨ uckengrad. Da die Masse des Feststoffs konstant bleibt, unabhängig davon, wie hoch die Feststoffpartikel aufgewirbelt werden, gilt MS = S (1 − ε)A0 H = const und in einer Säule konstanten Querschnitts S (1 − ε)H = const . Der L¨ uckengrad nimmt mit der H¨ ohe der Wirbelschicht zu. Andererseits ist in Gas-Feststoff-Wirbelschichten fast immer F S und daher auch Δp ∼ = S (1 − ε)gH = const . Der Druckabfall einer Wirbelschicht ist unabhängig von ihrer Höhe in guter Näherung konstant. Um die Feststoffpartikel zum Schweben zu bringen, muss das Fluid eine bestimmte Mindestgeschwindigkeit, die sogenannte Lockerungsgeschwindigkeit wL , u ¨berschreiten, wG ≥ wL . Diese ergibt sich mit Hilfe der im VDIWärmeatlas [3.51] mitgeteilten N¨ aherungsgleichung aus ϕ3S ε3L (1 − εL ) wL d P ∼ −4 1/2 (1 + 3,11 · 10 ReL = Ar) − 1 (3.312) = 42,9 ν ϕS (1 − εL )2 mit der Archimedes-Zahl Ar als Verh¨ altnis von Auftriebs- zu Reibungskräften Ar =

S − F d3P g F ν2

432


und der Sph¨ arizit¨ at definiert als ϕS =

Oberfl¨ ache einer Kugel gleichen Volumens wie die Partikel . Partikeloberfl¨ ache

Zahlenwerte f¨ ur die Sph¨ arizit¨ at enth¨ alt der VDI-Wärmeatlas [3.51]; f¨ ur abgerundeten Sand beispielsweise ist ϕS = 0,86. εL in (3.312) ist der L¨ uckengrad am Lockerungspunkt. Bei Geschwindigkeiten oberhalb der Lockerungsgeschwindigkeit dehnt sich die Wirbelschicht aus. Ihre H¨ ohe und ihr L¨ uckengrad nehmen zu. FeststoffFl¨ ussigkeitssysteme dehnen sich mit zunehmender Fl¨ ussigkeitsgeschwindigkeit kontinuierlich aus, und die Feststoffpartikel sind homogen verteilt. In FeststoffGassystemen bilden sich innerhalb der Wirbelschicht Gasblasen, so dass ein heterogenes System entsteht. Die Fluidgeschwindigkeit bzw. die Reynolds-Zahl des Fluids und der L¨ uckengrad sind daher in Wirbelschichten im Gegensatz zu Festbetten nicht unabhängig voneinander. Vielmehr nimmt der L¨ uckengrad vom Wert ε ∼ = 0,4 des Festbetts mit der Reynolds-Zahl bis zu einem Wert ε → 1 zu, der dann näherungsweise erreicht wird, wenn sich nur noch ein Einzelpartikel in einem großen Volumen befindet. Wärme- und Stoff¨ ubergangskoeffizienten in einer Wirbelschicht liegen somit zwischen den Werten f¨ ur das Festbett und denen f¨ ur die Einzelpartikel. Den grundsätzlichen Verlauf der Nußelt- bzw. der Sherwood-Zahl als Funktion der Reynolds-Zahl zeigt Abb. 3.44. Dort sind die Nußelt-Zahl N u = αdP /λ bzw. die Sherwood-Zahl Sh = βdP /D sowie die Reynolds-Zahl Re = wm dP /ν mit dem Partikeldurchmesser gebildet, der f¨ ur nichtkugelförmige Partikel gleich dem äquivalenten Kugeldurchmesser nach (3.270) ist. In der Reynoldsuttung. Zahl ist wm die mittlere Geschwindigkeit in der leer gedachten Sch¨ Erhöht man in einem Festbett die Reynolds-Zahl, so nehmen Nußelt- und Sherwood-Zahl entsprechend dem linken Ast der Kurve in Abb. 3.44 zu. Erreicht das aufw¨ arts str¨ omende Fluid die Lockerungsgeschwindigkeit wL und somit die Reynolds-Zahl den Wert ReL = wL dP /ν, Punkt a in Abb. 3.44, so bildet sich eine Wirbelschicht. Mit zunehmender Fluidgeschwindigkeit ubergangskoeffizienten nur wenig: Die Nußeltändern sich Wärme und Stoff¨ und die Sherwood-Zahl sind nur schwach von der Reynolds-Zahl abhängig, entsprechend der leicht nach oben gew¨ olbten Kurve a b in Abb. 3.44. Nach Erreichen einer bestimmten Fluidgeschwindigkeit, gekennzeichnet durch Punkt b in Abb. 3.44, werden die Partikel nach oben ausgetragen. In Punkt b sind Wärme- und Stoff¨ ubergangkoeffizienten etwa gleich denen der umströmten Einzelkugel vom Durchmesser dP . In einer homogenen (blasenfreien) Wirbelschicht ist die Geschwindigkeit, mit der die Partikel in Punkt b gerade ausgetragen werden, gleich der Fluidgeschwindigkeit. Punkte auf dem ansteigenden Ast der Kurve f¨ ur die umströmte Einzelkugel rechts von Punkt b sind solche, bei denen die Fluidgeschwindigkeit größer als die Partikelgeschwindigkeit ist. Sie liegen im Bereich der pneumatischen Förderung.


433

Abb. 3.44: W¨ armeund Stoff¨ ubertragung ¨ beim Ubergang vom Festbett zur Wirbelschicht

Ein mit dem Fluid mitbewegter Beobachter hat bei Erreichen von Punkt b den Eindruck, als w¨ urden die Partikel zu sinken beginnen. Die Austragsgeschwindigkeit im Punkt b ist daher bei einer homogenen Wirbelschicht gleich der Sinkgeschwindigkeit wS eines Partikels in einem ruhenden Fluid. Diese berechnet sich aus der Gleichheit von Auftriebskraft FA und Widerstandskraft FW . Es ist d3 π d2 π w 2 (3.313) FA = (S − F ) P g = FW = cw P F S . 6 4 2 Hieraus folgt der Widerstandsbeiwert zu cw =

4 (S − F )dP g . 3 F wS2

(3.314)

Mit der Reynolds-Zahl ReS = wS dP /ν und der zuvor definierten ArchimedesZahl kann man f¨ ur den Widerstandsbeiwert auch schreiben cw =

4 Ar . 3 Re2S

(3.315)

Da der Widerstandsbeiwert cw einer umstr¨ omten Kugel von der ReynoldsZahl abhängt, lässt sich nach (3.315) ein Zusammenhang zwischen der mit der Sinkgeschwindigkeit wS gebildeten Reynolds-Zahl und der ArchimedesZahl herleiten, ReS = f (Ar). F¨ ur die meisten Belange der Verfahrenstechnik interessiert der Bereich ReS ≤ 104 . Das Gebiet oberhalb ReS = 105 , in dem die laminare in die turbulente Grenzschicht umschl¨ agt, kann f¨ ur Aufgaben der Verfahrenstechnik meistens außer acht bleiben. Durch L¨ osen der Navier-Stokes-Gleichung bis Re = 80 und Vergleich mit Experimenten haben Brauer und Mitarbeiter [3.52] ur den Widerstandsbeiwert das bis Re = 104 sehr genaue empirische Gesetz f¨ gefunden 24 5,48 + 0,36 . (3.316) + cw = Re Re0,573 In dieses ist in unserem Fall Re = wS dP /ν = ReS einzusetzen. Es enthält das f¨ ur kleine Reynolds-Zahlen 0 ≤ Re ≤ 1 g¨ ultige Stokessche Gesetz cw = 24/Re

434


und erreicht an der Grenze des G¨ ultigkeitsbereichs Re = 104 den Wert cw = 0,39. Setzt man nun (3.316) in (3.315) ein, so erhält man eine transzendente Gleichung der Form Ar (ReS ), aus der man bei vorgegebener ArchimedesZahl Ar die Reynolds-Zahl ReS durch Iteration entwickeln kann. Um den Rechenaufwand ohne nennenswerten Verlust an Genauigkeit zu vermindern, ultige Näherung ersetzt man (3.316) durch die im Bereich 0 ≤ Re ≤ 104 g¨

1/1,8 1,8

24 ∼ . (3.317) cw = 0,36 1 + 0,36Re Setzt man dies unter Beachtung von Re = ReS in (3.315) ein, so erhält man einen expliziten Ausdruck f¨ ur die Reynolds-Zahl, ReS ∼ = 19,14

Ar1/1,8 1+ 12,84

1/2

1,8 −1

,

(3.318)

g¨ ultig f¨ ur homogene Wirbelschichten im Bereich 0 ≤ ReS ≤ 104 oder 0 ≤ Ar ≤ 3,0 · 107 . F¨ ur heterogene Wirbelschichten, wie sie bei Durchströmung mit Gasen auftreten, gilt ebenfalls (3.318) f¨ ur 0 ≤ ReS ≤ 1,2 · 102 oder 0 ≤ Ar ≤ 104 . Im dar¨ uber hinausgehenden Bereich ReS ≥ 1,2 · 102 oder Ar ≥ 104 gilt nach Reh [3.54] f¨ ur heterogene Wirbelschichten ReS ∼ =

4 Ar 3

1/2 .

(3.319)

Die nach (3.318) berechneten Reynolds-Zahlen weichen geringf¨ ugig von denen einer anderen, von Martin [3.53] mitgeteilten Gleichung ab, geben aber den Zusammenhang ReS (Ar), den man nach Einsetzen des genaueren Widerstandsgesetzes (3.316) von Brauer in die Gleichung (3.315) erhält, etwas besser wieder. Der maximale Fehler in der Reynolds-Zahl nach der Näherungsgleichung (3.318) betr¨ agt rund 3,5 %. Mit Hilfe von (3.318) bzw. (3.319) kann man f¨ ur vorgegebene Archimedes-Zahlen die Reynolds-Zahl ReS im Austragspunkt b berechnen. Abb. 3.45 zeigt den Verlauf der Wärme- und Stoff¨ ubergangskoeffizienten in Wirbelschichten f¨ ur verschiedene Archimedes-Zahlen. Nach dem Vorschlag von Martin [3.53] ersetzt man nun die schwach gekr¨ ummte Kurve f¨ ur den Wärme- und Stoff¨ ubergang in einer Wirbelschicht durch die gestrichelte Waagerechte, Abb. 3.44 und 3.45. W¨ armeund Stoff¨ ubergangskoeffizienten sind dort gleich denen der umstr¨ omten Einzelkugel, Punkt b in Abb. 3.44. Die hierf¨ ur g¨ ultige Gleichung entnimmt man nach Kapitel 3.7.4, Nr.5, worin als Reynolds-Zahl ReS = wS dp /ν einzusetzen ist. Abschließend noch einige Bemerkungen zur Energiebilanz f¨ ur einen Wirbelschichtreaktor. Der Temperaturverlauf in den Feststoffpartikeln wird, wie im Abschnitt u are W¨ armeleitung in Festkörpern dargelegt, maß¨ber instation¨ geblich durch die Biot-Zahl Bi = αdP /λs bestimmt. Sie ist das Verhältnis von


435

Wärmewiderstand im Feststoff zum W¨ armewiderstand im Gas. Wegen der kleinen Partikelabmessungen und der im Vergleich zum Gas guten Wärmeleitfähigkeit des Feststoffs kann man den W¨ armewiderstand der Partikel gegen¨ uber dem des Gases meistens vernachl¨ assigen, denn die Biot-Zahlen in ¨ Wirbelschichten sind sehr klein. Ortliche Temperaturveränderungen in den Partikeln sind daher vernachl¨ assigbar. Andererseits werden die Partikel in einer Wirbelschicht gut durchmischt, etwaige anfänglich vorhandene Temperaturunterschiede werden rasch abgebaut. Man kann daher den Partikeln einer Wirbelschicht eine einheitliche Temperatur zuordnen, wodurch sich die Energiebilanz erheblich vereinfacht.

Abb. 3.45: W¨ armeund Stoff¨ ubergang Fluid/Partikel in der Wirbelschicht, nach Martin [3.53]

Betrachtet man ein Volumenelement dV = A0 dx, der Höhe dx, wenn A0 der freie Querschnitt einer Wirbelschicht ist, siehe hierzu Abb. 3.43, so ändert sich die Fluidtemperatur in dem Volumenelement durch die vom Fluid an die n Partikel des Feststoffs u arme ¨bergehende W¨ −M˙ F cpF dϑF = α n dAp (ϑF − ϑS ) .

(3.320)

ache der Partikel in einer Schicht der Höhe dx, Hier ist n dAP die Oberfl¨ n dAP = aP A0 dx, wobei AP die spezifische Oberfläche nach (3.264) ist. Wegen M˙ F = wm A0 F ist − dϑF αap = dx . ϑF − ϑ S F wm cpF Integration zwischen dem Eintrittsquerschnitt e und dem Austrittsquerschnitt a einer Wirbelschicht der H¨ ohe H ergibt

436


ln

ϑFe − ϑS αm ap = H ϑFa − ϑS F wm cpF

oder mit (3.266), wenn man dort den ¨ aquivalenten Kugeldurchmesser dP nach (3.270) verwendet, und der mittleren Nußelt-Zahl N um = αm dP /λ, der Reynolds-Zahl Re = wm dP /λ und der Prandtl-Zahl P r = ν/a des Fluids ln

ϑFe − ϑS N um 6(1 − ε)H = . ϑFa − ϑS ReP r dP

(3.321)

¨ Entsprechende Uberlegungen gelten auch f¨ ur den Stoffaustausch: Der Diffusionswiderstand der Partikel kann gegen¨ uber dem im Gas vernachlässigt werden, und man kann den Partikeln stets eine einheitliche Zusammensetzung zuordnen. Wenn nur eine Komponente A zwischen einem aus den Komponenten A und B bestehenden Fluid und dem Feststoff ausgetauscht wird, rechnet man zweckmäßigerweise mit Beladungen des Fluids XF = (M˙ A /M˙ B )F . Die Mengenbilanz lautet dann unter der Annahme nicht allzu großer Beladungen des Feststoffs mit der Komponente A, siehe Gleichung (1.195a) −M˙ B dXF = β

p dAp (XF − XS ) = βB aP A0 dx(XF − XS ) . RB T

Hierin bezeichnet XS = (M˙ A /M˙ B )S die Beladung des Fluids an der Feststoffoberfläche. Nach Integration zwischen Eintrittsquerschnitt e und Austrittsquerschnitt a einer Wirbelschicht der Höhe H erhält man mit M˙ B = wm A0 B , unter Beachtung von (3.266) und der Definitionen Shm = βm dP /D, Re = wm dP /ν, Sc = ν/D: ln

Shm 6(1 − ε)H XFe − XS = . XFa − XS ReSc dP

(3.322)

Beispiel 3.14: In einer Wirbelschicht wird nasser Sand durch Luft geringer Feuchte aber gleicher Temperatur wie der Sand getrocknet. Dabei bel¨ adt sich die Luft mit Wasserdampf von der anf¨ anglichen Beladung XFe bis auf den Wert ache sei die Luft mit Wasserdampf ges¨ attigt. Ihre BelaXFa . An der Sandoberfl¨ dung dort sei XS , so dass der treibende Beladungsunterschied von XS − XFe im Eintrittsquerschnitt auf den Endwert XS − XFa im Austrittsquerschnitt sinkt. Wie hoch muss die Wirbelschicht mindestens sein, damit das treibende Gef¨ alle alles XS −XFe XS −XFa im Austrittsquerschnitt nur noch 5 % des treibenden Gef¨ im Eintrittsquerschnitt betr¨ agt? Die Geschwindigkeit wm im freien Querschnitt betrage das 10-fache der Lockerungsgeschwindigkeit wL . Gegeben sind: Partikeldurchmesser dP = 0,5 mm, Dichte des Sandes S = 1500 kg/m3 , Dichte der Luft F = 0,8 kg/m3 , kinematische Viskosit¨ at der Luft ν = 3 · 10−5 m2 /s, Schmidt-Zahl Sc = 0,7, Sph¨ arizit¨ at des Sandes ϕS = 0,86, L¨ uckengrad εS = 0,73, L¨ uckengrad am Lockerungspunkt εL = 0,4. Es ist XS − XFa = 0,05 (XS − XFe ) und daher in (3.324) ln

Shm 6 (1 − ε) H XFe − XS = ln 20 = 2,996 = . XFa − XS Re Sc dP

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten F¨ ur alle Werte

437

Re Sc H ≈ 0,5 dP Shm (1 − ε)

ist das treibende Gef¨ alle im Austrittsquerschnitt auf weniger als 5 % des Wertes im Eintrittsquerschnitt abgebaut. Zur Berechnung der Sherwood-Zahl ist zuerst die Archimedes-Zahl zu ermitteln Ar =

(1500 − 0,8) kg/m3 · (0,5 · 10−3 )3 m · 9,81 m/s2 (S − F ) d3P g = = 2 553 . F ν 2 0,8 kg/m3 (3 · 10−5 )2 m4 /s2

Nach (3.318) ist

ReS ≈ 19,14

1+Ar 1/1,8 12,84

1/2 1,8 1/2 1,8 1+25531/1,8 − 1 = 19,14 − 1 = 47,75 . 12,84

Nach Abschnitt 3.7.4, Nr. 5 wird 1/2

Shm, lam = 0,664 ReS

Sc1/3 = 0,664 · 47,751/2 · 0,71/3 = 4,07

0,037 Re0,8 0,037 · 47,750,8 · 0,7 S Sc = = 0,88 1+2,443·47,75−0,1 ·(0,72/3 −1) 1+2,443 ReS−0,1 (Sc2/3 −1) 1/2 = 2 + Sh2m, lam + Sh2m, turb = 2 + (4,072 + 0,882 )1/2 = 6,16 .

Shm, turb = Shm

Die Lockerungsgeschwindigkeit folgt nach (3.312) aus

1/2 ϕ3s ε3L wL dP 1 − εL ReL = Ar − 1 1 + 3,11 · 10−4 = 42,9 ν ϕS (1 − εL )2

1/2 3 3 1 − 0,4 −4 0,86 · 0,4 2553 − 1 = 1,31 . 1 + 3,11 · 10 ReL = 42,9 0,86 (1 − 0,4)2 Wegen Re = 10 ReL = 13,1 wird wm = Re

3 · 10−5 m2 /s ν = 13,1 = 0,786 m/s . dP 0,5 · 10−3 m

Damit wird 13,1 · 0,7 H ≈ 0,5 = 2,73 dP 6,16 (1 − 0,73)

und

H ≈ 1,38 · 10−3 m .

Man erkennt, dass das treibende Beladungsgef¨ alle sehr stark abgebaut wird. Die erforderliche Mindesth¨ ohe der Wirbelschicht ist demnach sehr klein. Beispiel 3.15: Man berechne die tats¨ achliche H¨ ohe der Wirbelschicht nach Beispiel 3.14, wenn die F¨ ullh¨ ohe 1 m betr¨ agt und gebe an, wie weit das treibende Beladungsgef¨ alle zwischen Ein- und Austrittsquerschnitt wirklich abgebaut wird. Die Feststoffmasse ist am Lockerungspunkt dieselbe wie am Betriebspunkt. Daraus folgt A0 HL S (1 − εL ) = A0 H S (1 − εS )

438


oder

1 − εL 1 − 0,4 H = = = 2,22 . HL 1 − εS 1 − 0,73 Die F¨ ullh¨ ohe ist gleich der H¨ ohe am Lockerungspunkt HL = 1 m, daraus H = 2,22 m. Mit (3.324) wird dann ln

6,16 6 (1 − 0,73) · 2,22 m XFe − XS = = 4 831 XFa − XS 13,1 · 0,7 0,5 · 10−3 m XFa − XS ≈ 0

oder

XFa ≈ XS .

Bis zum Austrittsquerschnitt sind die Beladungsunterschiede v¨ ollig abgebaut. Beispiel 3.16: Durch R¨ osten auf 300 ℃ erhitzte Kaffeebohnen sollen in einer Wirbelschicht durch atmosph¨ arische Luft der Temperatur 20 ℃ auf eine Temperatur von 30 ℃ abgek¨ uhlt werden. Man berechne die hierf¨ ur erforderliche Zeit. Gegeben seien folgende Werte: F¨ ur die Kaffeebohnen: Dichte S = 630 kg/m3 , spez. W¨ armekapazit¨ at cS = 1,70 kJ/kgK, ¨ aquivalenter Partikeldurchmesser dP = 6 mm, W¨ armeleitf¨ ahigkeit λS = 0,6 W/Km, Masse der Bohnen MS = 100 kg, L¨ uckengrad der Wirbelschicht ε = 0,7. F¨ ur die Luft sei gegeben: Massenarmekapazit¨ at cpG = strom M˙ G = 5 kg/s, Dichte G = 1,188 kg/m3 , spez. W¨ 1,006 kJ/kgK, W¨ armeleitf¨ ahigkeit λG = 0,0257 W/Km, kinematische Viskosit¨ at νG = 15,3 · 10−6 m2 /s, Prandtl-Zahl P r = 0,708, Querschnitt der S¨ aule 1,4 m2 . Anmerkung zur L¨ osung: Man beachte, dass die Temperaturen ϑFa = ϑGa des Gases und ϑS der Partikeloberfl¨ ache in (3.321) nun Funktionen der Zeit sind, und dass als weitere Gleichung f¨ ur diese beiden Temperaturen noch die Energiebilanz MS cS

dϑmS = M˙ G cpG (ϑGe − ϑG ) dt

zur Verf¨ ugung steht. Wegen der Durchwirbelung des Feststoffs ist dessen mittlere Temperatur ϑmS nur eine Zeit-, aber keine Ortsfunktion, damit sind linke und auch rechte Seite unabh¨ angig vom Ort, so dass man rechts f¨ ur die Gastemperatur ϑG auch deren Wert ϑGa im Austrittsquerschnitt setzen darf. MS ist die gesamte Menge des Feststoffs. Zur Berechnung der Nußelt-Zahl N um in (3.321) ist zuerst die Archimedes-Zahl zu ermitteln: S − F d3P g . Ar = F ν2 Hierin ist F = G und ν = νG . Damit wird Ar =

(630 − 1,188) kg/m3 (6 · 10−3 )3 m3 · 9,81 m/s2 = 4,79 · 106 . 1,188 kg/m3 (15,3 · 10−6 )2 m4 /s2

Aus (3.319) folgt damit 4 4 ReS = ( Ar)1/2 = ( · 4,79 · 106 )1/2 = 2,527 · 103 . 3 3 Nach Abschnitt 3.7.4, Nr. 5 wird

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten 1/2

N um, lam = 0,664 ReS

N um, turb =

=

439

P r 1/3 = 0,664 (2,527 · 103 )1/2 (0, 708)1/3 = 29,74

0,037 Re0,8 S Pr 1 + 2,443 Re−0,1 (P r2/3 − 1) S 0,037 · (2,527 · 103 )0,8 · 0,708 = 17,93 1 + 2,443 · (2,527 · 103 )−0,1 · (0,7082/3 − 1)

1/2 1/2 = 2 + 29,742 + 17,932 = 36,73 . N um = 2 + N u2m, lam + N u2m, turb Die Geschwindigkeit in der leeren S¨ aule folgt aus wm = Damit ist Re =

5 kg/s M˙ G = = 3 m/s . G A 0 1,188 kg/m3 · 1,4 m2

3 m/s · 6 · 10−3 m wm dP = = 1,176 · 103 . νG 15,3 · 10−6 m/s2

In (3.321) wird mit ϑF = ϑG ln

ϑGe − ϑS 36,73 6(1 − 0,7)H = . ϑGa − ϑS 1,176 · 103 · 0,715 6 · 10−3 m

Die H¨ ohe H der Wirbelschicht ergibt sich aus der Masse der Kaffeebohnen MS = (1 − ε) A0 S H zu H=

MS 100 kg = = 0,378 m . (1 − ε) A0 S (1 − 0,7) · 1,4 m2 · 630 kg/m3

Es ist somit

ϑGe − ϑS = 141,7 = c0 (3.323) ϑGa − ϑS alt als Unbekannte noch die Temperamit ϑGe = 293,15 K. Die Gleichung enth¨ tur ϑGa (t) im Austrittsquerschnitt und die Temperatur ϑS (t) des Feststoffs. Als weitere Bilanzgleichung steht noch MS cS

dϑmS = M˙ G cpG (ϑGe − ϑGa ) dt

(3.324)

angt zur Verf¨ ugung. ϑmS (t) ist hierin die mittlere Temperatur des Feststoffs. Sie h¨ mit seiner Oberfl¨ achentemperatur ϑS (t) zusammen, gem¨ aß αmS (ϑmS − ϑS ) = αmG (ϑS − ϑGa ) ϑmS =

αmG (ϑS − ϑGa ) + ϑS . αmS

Mit αmS ≈ λS /(dP /2) und Bi = αmG dP /λS wird ϑmS ≈

Bi (ϑS − ϑGa ) + ϑS . 2

Aus (3.323) und (3.325) erh¨ alt man durch Elimination von ϑS

(3.325)

440

3 Konvektiver W¨ armeund Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen ϑGe − ϑGa =

(ϑGe − ϑmS ) (c0 − 1) . c0 + Bi/2

Gl. (3.325) geht damit u ¨ber in 1 dϑmS M˙ G cpG c0 − 1 = . ϑGe − ϑmS dt MS cS c0 + Bi/2 Integration zwischen t = 0 und t = t1 ergibt ln

˙ G cpG c0 − 1 ϑGe − ϑmS (t = 0) M = t1 . ϑGa − ϑmS (t = t1 ) MS cS c0 + Bi/2

Hierin ist Bi =

0,0257 W/Km λG αmG dP λG αmG dP = = N um = 36,73 = 1,57 . λS λG λS λS 0,6 W/Km

Damit wird 5 kg/s · 1,007 kJ/kgK · (141,7 − 1) 293,15 − 673,15 = t1 , ln 293,15 − 303,15 100 kg · 1,70 kJ/kgK · (141,7 + 1,57/2) also t1 = 124,4 s ≈ 2,1 min .

3.8.6 Einige empirische Gleichungen fu arme¨ r den W¨ und Stoffu omten Kan¨ alen, ¨ bergang in durchstr¨ Haufwerken und Wirbelschichten Im Folgenden werden die bisherigen Gleichungen zusammenfassend dargestellt und um einige weitere erg¨ anzt. 1. Durchstr¨ omtes Rohr a) Turbulente Str¨ omung: 0,14

N um = 0,023Re0,8 P r0,4 (η/η0 )

,

g¨ ultig f¨ ur 0,5 < P r < 120, 104 < Re < 105 , L/d ≥ 10. In einem weiten Bereich der Kennzahlen gilt

2/3 (ζ/8) Re P r d N um = 1+ 2/3 L 1 + 12,7 ζ/8(P r − 1) mit dem Widerstandsbeiwert 1 Δp = ζ= , 2 /2) (L/d)(wm (0,78 ln Re − 1,5)2 g¨ ultig f¨ ur 104 ≤ Re ≤ 106 , 0,1 ≤ P r ≤ 1000, L/d > 1. Alle Stoffwerte sind auf das arithmetische Mittel (ϑe + ϑa )/2 aus mittlerer Eintrittstemperatur ϑe und mittlerer Austrittstemperatur ϑa zu beziehen, nur η0 ist auf die Wandtemperatur bezogen. Die Nußelt- und die Reynolds-Zahl werden mit dem Rohrdurchmesser gebildet.


441

b) Laminare Str¨ omung: Hydrodynamisch ausgebildete Laminarströmung, konstante Wandtemperatur: N um =

0,0499 3,657 + tanh X + , X+ tanh(2,264X +1/3 + 1,7 X +2/3 )

g¨ ultig f¨ ur 0 ≤ X + = L/(dP e) ≤ ∞, Re ≤ 2300. Hydrodynamisch und thermisch nicht ausgebildete Laminarströmung, konstante Wandtemperatur: 1 N um = , N uma tanh(2,432P r1/6 )X +1/6 g¨ ultig f¨ ur 0 < X + ≤ ∞, 0 < P r ≤ ∞, Re ≤ 2300. N um ist hierin die Nußelt-Zahl bei hydrodynamisch und thermisch nicht ausgebildeter, N uma die bei hydrodynamisch ausgebildeter Laminarströmung. 2. Nichtkreisf¨ ormige Rohre Es gelten die vorigen Gleichungen; man hat lediglich den Rohrdurchmesser d in der Nußelt- und der Reynolds-Zahl durch den hydraulischen Durchmesser dh = 4A/U mit dem durchstr¨ omten Querschnitt A und dem vom Fluid benetzten Umfang U zu ersetzen. 3. Konzentrische Ringspalte Unter einem konzentrischen Ringspalt versteht man den Raum zwischen zwei konzentrisch angeordneten Rohren. Man hat drei Fälle der Wärmeu ¨bertragung zu unterscheiden: 3.1: Wärme wird am Innenrohr u ¨bertragen. Das Außenrohr ist isoliert. 3.2: Wärme wird am Außenrohr u ¨bertragen. Das Innenrohr ist isoliert. 3.3: Wärme wird am Innen- und Außenrohr u ¨bertragen. Das Fluid str¨ ome in axialer Richtung durch den Ringspalt. Der Außendurchmesser des Innenrohres sei di , der Innendurchmesser des Außenrohres da . Der hydraulische Durchmesser ist dh = da − di . a) Turbulente Str¨ omung Man bezieht die mittlere Nußelt-Zahl N um auf (N um )Rohr des turbulent durchstr¨ omten Rohres nach Nr. 1a. Beide Nußelt-Zahlen werden mit dem hydraulischen Durchmesser gebildet, N um = αm dh /λ. Die Reynolds-Zahl ist Re = wm dh /ν. Es gilt in den oben genannten Fällen

442


3.1 : 3.2 : 3.3 :

N um (N um )Rohr N um (N um )Rohr

−0,16 di da

0,6 di = 1 − 0,14 da 0,86(di /da ) + 1 − 0,14(di /da )0,6 . = 1 + (di /da )

N um = 0,86 (N um )Rohr

Die Gleichungen gelten im gleichen Bereich wie die f¨ ur (N um )Rohr nach Nr. 1a und f¨ ur 0 ≤ di /da ≤ 1. b) Laminare, hydrodynamisch ausgebildete Str¨ omung Es ist

di N um − N u∞ =f . (N um )Rohr − 3,657 da In der Gleichung f¨ ur die laminare Rohrströmung nach Nr. 1b ist die Größe X + nun mit dem hydraulischen Durchmesser zu bilden, X + = L/(dh P e) mit P e = wm dh /a. Es gilt in den oben genannten F¨ allen 3.1 :

N u∞ = 3,657 + 1,2(di /da )−0,8 , f (di /da ) = 1 + 0,14(di /da )−1/2 .

3.2 :

N u∞ = 3,657 + 1,2(di /da )1/2 ,

3.3 :

f (di /da ) = 1 + 0,14(di /da )1/3 . 0,04

di 0,102 N u∞ = 3,657 + 4 − , 0,02 + (di /da ) da f (di /da ) = 1 + 0,14(di /da )0,1 .

Die Gleichungen gelten f¨ ur 0 ≤ X + ≤ ∞, Re ≤ 2300 und 0 ≤ di /da ≤ 1. 4. Durchstr¨ omte Kugel- und andere Sch¨ uttungen N um = fε N umK . Die mittlere Nußelt-Zahl N um wird auf die Nußelt-Zahl N umK der umströmten Einzelkugel (siehe 3.7.4, Nr. 5) zur¨ uckgef¨ uhrt. Der Faktor fε ist vom L¨ uckengrad ε = VG /V abh¨ angig, und zwar ist fε = 1 + 1,5(1 − ε)

im Bereich

0,26 < ε < 1 .

F¨ ur Haufwerke aus Kugeln verschiedenen Durchmessers oder aus nichtkugelförmigen Partikeln, bildet man einen ¨ aquivalenten Kugeldurchmesser dP = AmP /π mit der mittleren Partikeloberfl¨ ache

3.9 Freie Str¨ omung

AmP = aP /nV ,

mit

443

aP = 6(1 − ε)/dP ,

ache der Partikel (SI-Einheit m2 /m3 ) und worin aP die spezifische Oberfl¨ nV die Zahl der Partikel je Volumeneinheit (SI-Einheit 1/m3 ) wird. Damit berechnet man die Nußelt-Zahl N umK . Angaben u ¨ber den Faktor fε findet man in Tabelle 3.4. 5. Wirbelschichten Die Nußelt-Zahl ist gleich derjenigen der umströmten Einzelkugel N umK , Kapitel 3.7.4, Nr. 5. Die darin ben¨ otigte Reynolds-Zahl Re = ReS ergibt sich aus (3.318) ReS ∼ = 19,14

Ar1/1,8 1+ 12,84

1,8

1/2

−1

mit der Archimedes-Zahl Ar =

S − F d3P g , F ν2

g¨ ultig f¨ ur homogene Wirbelschichten f¨ ur 0 ≤ ReS ≤ 104

oder

0 ≤ Ar ≤ 3,0 · 107 .

F¨ ur heterogene Wirbelschichten gilt die Gleichung im Bereich
U , ein Luftballen sinkt wieder

Wenn nun die Dichte des Luftballens kleiner als die seiner Umgebung oder, was gleichbedeutend damit ist, der Ballen heißer als seine Umgebung ist, so

446


steigt er weiter auf, siehe hierzu den Zustandsverlauf mit T2 > TU in Abb. 3.47. Die Schichtung ist instabil, denn eine kleine Störung, eingeleitet durch das Aufsteigen des Luftballens, klingt nicht von selbst wieder ab. Ist hingegen die Dichte des Luftballens nach der Expansion größer als die seiner Umgebung entsprechend dem Zustandsverlauf mit T2 < TU in Abb. 3.47, so sinkt er wieder. Die Schichtung ist stabil. Eine solche stabile Schichtung tritt auch auf, wenn sich warme und damit leichte Luftmassen u ¨ber kalte Bodenluft schieben. Die bodennahe schwere und oft durch Abgase verunreinigte Luft kann sich nicht mehr mit der dar¨ uber liegenden leichteren Luft austauschen. Man bezeichnet eine solche Schichtung als Inversion. Es besteht Smoggefahr.

3.9.1 Die Impulsgleichung Die Impulsgleichung eines Newtonschen Fluids ergibt sich aus der NavierStokes-Gleichung (3.59)

∂p ∂ 2 wj dwj +η . = kj − dt ∂xj ∂xi 2

(3.328)

Da die freie Strömung Dichtegradienten voraussetzt, nehmen wir an, die Dichte sei veränderlich, w¨ ahrend alle anderen Stoffwerte als konstant vorausgesetzt werden sollen. Als Massenkraft wirke die Schwerkraft kj = gj . In Bereichen, in denen die Dichte konstant ist, beispielsweise fernab von einer beheizten Wand, herrsche hydrostatisches Gleichgewicht. Dort gilt ∂ p∞ = ∞ gj , ∂xj

(3.329)

wenn p∞ der hydrostatische Druck und ∞ die zugehörige Dichte sind. Durch Beheizung oder Stoffaustausch stellen sich Temperatur- oder Konzentrationsund damit auch Dichtegradienten ein, so dass die lokalen Werte von Druck und Dichte von den Werten des hydrostatischen Gleichgewichts abweichen p = p∞ + Δp

,

= ∞ + Δ .

(3.330)

Wir nehmen an, die Abweichungen Δp und Δ seien klein im Vergleich zu den Werten des hydrostatischen Gleichgewichts p∞ und ∞ . Als Beispiel betrachten wir in Abb. 3.48 eine beheizte, senkrechte Wand der Temperatur ϑ0 , vor der sich ein Fluid befinde, das vor Beginn der Beheizung im hydrostatischen Gleichgewicht war und u ¨berall die Temperatur ϑ∞ hatte. Nach kurzer Anlaufzeit bilden sich station¨ are Temperatur- und Geschwindigkeitsprofile aus, wie sie in Abb. 3.48 skizziert sind. Mit den Ansätzen (3.330) geht die Impulsgleichung (3.328) u ¨ber in (∞ + Δ)

dwj ∂ (p∞ + Δp) ∂ 2 wj = (∞ + Δ) gj − +η . dt ∂xj ∂xi 2

(3.331)


447

Abb. 3.48: Temperatur- und Geschwindigkeitsprofil an einer beheizten senkrechten Wand bei freier Str¨ omung

Beachtet man dass auf der linken Seite Δ ∞ und auf der rechten Seite alt man nach (3.329) ∂ p∞ /∂xj = ∞ gj gilt, so erh¨ ∞

dwj ∂ Δp ∂ 2 wj = Δ gj − +η . dt ∂xj ∂xi 2

(3.332)

Bei stationärer Str¨ omung, die wir voraussetzen wollen, ist hierin dwj ∂ wj = wi . dt ∂xi In (3.332) sch¨ atzen wir nun die Gr¨ oßenordnung der einzelnen Terme ab. Wir betrachten dazu die Auftriebsstr¨ omung an einer ebenen Platte, die um den Winkel ϕ gegen die Senkrechte geneigt ist. Die Trägheitskräfte sind von der Größenordnung w2 (3.333) FT ∼ ∞ ref , L worin wref eine charakteristische Geschwindigkeit, beispielsweise die maximale Geschwindigkeit in Abb. 3.48 ist. Sie stellt sich von selbst durch den Auftrieb ein und ist nicht wie etwa bei einer l¨ angsangeströmten Platte durch die Aufgabenstellung vorgegeben. Ihre Gr¨ oßenordnung ist noch abzuschätzen. Mit Hilfe der Referenzgeschwindigkeit ergibt sich als Größenordnung f¨ ur die Reibungskräfte wref FR ∼ η 2 . (3.334) δ oßenordnung Die Auftriebskräfte FA sind von der Gr¨

448


FA ∼ −(0 − ∞ ) g cos ϕ .

(3.335)

Im Fall der beheizten senkrechten Platte nach Abb. 3.48 stehen Dichtegradient und Schwerkraft senkrecht zueinander, es ist cos ϕ = cos 0 = 1; im Fall der waagrechten Platte sind beide Gradienten parallel gerichtet, es ist cos ϕ = cos π/2 = 0. Das negative Vorzeichen in (3.335) r¨ uhrt daher, dass bei Beheizung 0 − ∞ negativ, die Auftriebskraft in Abb. 3.48 aber in Richtung der x-Koordinate zeigt. In der wandnahen Schicht sind die Tr¨ agheitskräfte von gleicher Größenordnung wie die Reibungskr¨ afte und daher 2 wref wref ∼ν 2 L δ

oder

δ ∼ L

ν

1/2

wref L

.

(3.336)

Außerdem sind die Auftriebskr¨ afte auch von gleicher Größenordnung wie die Trägheitskräfte w2 −(0 − ∞ ) g cos ϕ ∼ ∞ ref . L Daraus folgt

1/2 −(0 − ∞ ) g cos ϕ L . (3.337) wref ∼ ∞ Damit kann man die Bezugsgeschwindigkeit in (3.336) eliminieren, und man erhält 1/4

δ ν2 . (3.338) ∼ L (1 − 0 /∞ ) g cos ϕL3 Kommen die Dichteunterschiede nur durch Temperaturunterschiede zustande, so gilt unter der Annahme hinreichend kleiner Temperaturunterschiede

∂ (ϑ0 − ϑ∞ ) . (3.339) 0 = ∞ + ∂ϑ p Die Größe 1 v

∂v ∂ϑ

p

1 =−

∂ ∂ϑ

=β p

ist der thermische Ausdehnungskoeffizient (SI-Einheit 1/K). Er ist in (3.339) alt bei der Temperatur ϑ∞ einzusetzen. Man erh¨ 0 − ∞ = −∞ β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) .

(3.340)

F¨ ur ideale Gase ist wegen v = R T /p der thermische Ausdehnungskoeffizient β= und β∞ = 1/T∞ .

1 R 1 = v p T


449

Mit (3.340) erh¨ alt man aus (3.338) δ ∼ L

ν2 β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) g L3

1/4

1 . (cos ϕ)1/4

(3.341)

Hierin ist die dimensionslose Gr¨ oße β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) g L3 = Gr ν2

(3.342)

die Grashof-Zahl Gr. F¨ ur die senkrechte Platte, ϕ = 0, ist somit δ ∼ Gr −1/4 . L

(3.343)

F¨ ur große Grashof-Zahlen Gr 1, wird δ/L 1: Es liegt eine Grenzschichtströmung vor. Die Grenzschichtdicke w¨ achst gemäß δ ∼ L1/4 . F¨ ur die geneigte Platte f¨ uhrt man eine modifizierte Grashof-Zahl ein Grϕ =

β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) g L3 cos ϕ . ν2

Es ist dann

δ (3.344) ∼ Grϕ−1/4 . L Falls die Platte gegen die Senkrechte um den Winkel ϕ geneigt ist, bildet sich wieder eine Grenzschicht, wenn Grϕ 1 ist, während an einer waagrechten Platte, ϕ = π/2, keine Grenzschicht entstehen kann. Wie man aus (3.333) und (3.335) erkennt, sind Trägheits- und Auftriebskräfte von gleicher Gr¨ oßenordnung, wenn −(0 − ∞ ) g cos ϕ ∼1 2 /L ∞ wref gilt. Mit (3.340) und der Reynolds-Zahl wref L/ν kann man hierf¨ ur auch β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) g L3 cos ϕ (wref L/ν)

2

ν2

=

Grϕ ∼1 Re2

(3.345)

schreiben. Es gilt daher folgende Absch¨ atzung: Ist Grϕ /Re2 1, so wird die Auftriebskraft viel kleiner als die Tr¨ agheitskraft. Die Strömung wird durch Trägheits- und Reibungskr¨ afte bestimmt. Ist hingegen Grϕ /Re2 1, so sind die Auftriebskräfte viel gr¨ oßer als die Tr¨ agheitskräfte. Die Strömung wird durch Auftriebs- und Reibungskr¨ afte bestimmt.

450


3.9.2 W¨ armeu ¨ bergang an einer senkrechten Wand bei laminarer Str¨ omung Wir behandeln nun die freie Str¨ omung an einer senkrechten ebenen Wand, deren Temperatur ϑ0 konstant und gr¨ oßer als die Temperatur im unendlichen Halbraum ist. Der Koordinatenursprung liege gemäß Abb. 3.48 an der unteren Kante, die Koordinate x verlaufe entlang der Wand, die Koordinate y normal zu ihr. Es werde station¨ are Str¨ omung vorausgesetzt. Alle Stoffwerte seien konstant. Lediglich die Dichte wird in dem f¨ ur die freie Strömung verantwortlichen Auftriebsterm in der Impulsgleichung als temperaturabhängig, in allen u ¨brigen Termen aber als konstant angenommen. Diese auf Oberbeck (1879) und Boussinesq (1903) zur¨ uckgehende Annahmen [3.55], [3.56] bezeichnet man auch als Boussinesq-Approximation; korrekter wäre es, von Oberbeck-Boussinesq-Approximation zu sprechen. Sie ber¨ ucksichtigt, dass die ur eine freie Strömung örtlich veränderliche Dichte eine der Voraussetzungen f¨ ist. Die Impulsgleichung (3.331) lautet dann in Richtung der x-Achse, wenn man ber¨ ucksichtigt, dass auf der linken Seite Δ ∞ , auf der rechten Seite p∞ + Δp = p, ∞ + Δ = und gj = −g ist ∞ wx

∂ wx ∂ wx ∂p ∂ 2 wx + ∞ wy = − g − +η . ∂x ∂y ∂x ∂y 2

(3.346)

Die Impulsgleichung in Richtung der y-Achse reduziert sich zu ∂p =0 , ∂y

(3.347)

wie bereits die Grenzschichtvereinfachungen in Abschnitt 3.5 zeigten, denn der Druck an einer Stelle x ist senkrecht zur Wand konstant. Da die Außenströmung ruht, gilt dort die Bedingung (3.326) f¨ ur hydrostatisches Gleichgewicht ∂p (3.348) = ∞ g , − ∂x womit sich die Impulsgleichung (3.346) vereinfacht zu wx

∞ − ∂ 2 wx ∂ wx ∂ wx + wy = g+ν . ∂x ∂y ∞ ∂y 2

Da wir kleine Dichte¨ anderungen voraussetzen, ist

∂ = ∞ + (ϑ − ϑ∞ ) = ∞ − ∞ β∞ (ϑ − ϑ∞ ) ∂ϑ p mit dem thermischen Ausdehnungskoeffizienten

1 ∂ 1 ∂v =− =β , v ∂ϑ p ∂ϑ p

(3.349)


451

der bei der Temperatur ϑ∞ einzusetzen ist. Damit wird in der Impulsgleichung (3.349) ∞ − = β∞ (ϑ − ϑ∞ ) . ∞ Man hat somit folgendes Gleichungssystem zu lösen: Die Kontinuitätsgleichung ∂ wx ∂ wy + =0 , ∂x ∂y

(3.350)

die Impulsgleichung wx

∂ 2 wx ∂ wx ∂ wx + wy = g β∞ (ϑ − ϑ∞ ) + ν ∂x ∂y ∂y 2

(3.351)

und die Energiegleichung wx

∂2ϑ ∂ϑ ∂ϑ + wy =a 2 . ∂x ∂y ∂y

(3.352)

Die dissipierte Energie ist hierbei vernachl¨ assigt. Die Randbedingungen sind: y=0

:

wx = wy = 0 ;

y→∞

:

wx = 0

;

ϑ = ϑ0

ϑ = ϑ∞ .

(3.353)

Zur L¨ osung f¨ uhrt man eine Stromfunktion ψ(x, y) ein, vgl. (3.180): wx =

∂ψ ∂y

und

wy = −

∂ψ , ∂x

durch welche die Kontinuit¨ atsgleichung (3.350) identisch erf¨ ullt wird, w¨ ahrend die Impulsgleichung (3.351) u ¨bergeht in ∂3ψ ∂ ψ ∂2ψ ∂ ψ ∂2ψ = g β∞ (ϑ − ϑ∞ ) + ν 3 . − 2 ∂y ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y

(3.354)

Da die Grenzschichtdicke nach (3.343) an einer Stelle x gegeben ist durch δ ∼ x/Grx1/4

mit

Grx =

β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) g x3 , ν2

normiert man wie bei der l¨ angsangestr¨ omten ebenen Platte die wandnormale Koordinate y mit der jeweiligen Grenzschichtdicke und f¨ uhrt als dimensionslose wandnormale Koordinate die Gr¨ oße

1/4 y y Grx = g(x, y) (3.355) η+ = = δ x 4 ¨ ¨ ein. Der Faktor 4 ist in Ubereinstimmung mit der Ahnlichkeitsl¨ osung von Ostrach [3.57] eingef¨ uhrt, weil dadurch in den noch abzuleitenden Gleichungen keine gebrochenen Zahlen als Faktoren auftreten.

452


Eine charakteristische Geschwindigkeit wref gewinnt man aus (3.337) und (3.340) f¨ ur die senkrechte Wand (ϕ = π/2) zu 1/2 =2 wref = 2 β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) g x

Grx

ν2 x2

1/2 .

(3.356)

¨ Der Faktor 2 ist wieder in Ubereinstimmung mit Ostrach gew¨ ahlt. Damit erh¨ alt man als Ansatz f¨ ur die Stromfunktion y ψ=

y wx dy = wref δ

0

oder

ψ=2

wx y d wref δ

(3.357)

0

ν2 Grx 2 x

1/2

x (Grx /4)1/4

η

+

wx+ dη + .

(3.358)

0

Es ist daher

ψ = 4ν

Grx 4

1/4 η+

wx+ dη + = 4 ν

Grx 4

1/4 f (η + ) .

(3.359)

0

Hierin steckt die Annahme, dass das Geschwindigkeitsprofil wx+ = wx /wref als eine Funktion der Grenzschichtkoordinate η + darstellbar ist. Die Geschwindigkeiten ergeben sich hieraus zu 2ν 1/2 + ∂ψ = Grx f (η ) ∂y x

wx = und

1/4 + + ∂ψ ν Grx = η f (η ) − 3 f (η + ) . ∂x x 4 In entsprechender Weise f¨ uhrt man ein normierte Temperatur ein wy = −

ϑ+ =

ϑ − ϑ∞ = ϑ+ (η + ) . ϑ0 − ϑ∞

(3.360)

(3.361)

Mit diesen Ans¨ atzen kann man die Impulsgleichung (3.354) u uhren in ¨berf¨ f + 3 f f − 2 (f )2 + ϑ+ = 0

(3.362)

und die Energiegleichung (3.352) in

ϑ+ + 3 P r f ϑ+ = 0 .

(3.363)

An die Stelle der partiellen Differentialgleichungen (3.350) bis (3.352) treten somit zwei gew¨ ohnliche nichtlineare Differentialgleichungen. Die Kontinuit¨ atsgleichung tritt nicht mehr auf, weil sie durch die Stromfunktion identisch erf¨ ullt ist. Die L¨ osung muss folgenden Randbedingungen gen¨ ugen: η+ = 0 : f = f = 0 ; η+ → ∞ : f = 0 ;

ϑ+ = 1

ϑ+ → 0 .


453

Diese Gleichungen hat zuerst Pohlhausen [3.58] durch Reihenentwicklung f¨ ur die Prandtl-Zahl P r = 0,733 von Luft und später Ostrach [3.57] numerisch f¨ ur einen weiten Bereich der Prandtl-Zahlen 0,008 35 ≤ P r ≤ 1 000 gelöst. Abb. 3.49 zeigt normierte Geschwindigkeiten in der Form 1 wx x = f (η+ ) ν 2 Grx1/2 und Abb. 3.50 normierte Temperaturen ϑ+ (η + ) aufgrund der Rechnungen von Ostrach [3.57]. Aus den Temperaturprofilen ergeben sich die Wärme¨ ubergangskoeffizienten in bekannter Weise

∂ϑ α (ϑ0 − ϑ∞ ) = q˙ = −λ . ∂y y=0 Darin ist

∂ϑ ∂y

dϑ+ ∂ η + dη + ∂y y=0

1/4 + 1 Grx dϑ = (ϑ0 − ϑ∞ ) x 4 dη + η+ =0 = (ϑ0 − ϑ∞ )

y=0

(3.364)

und daher αx N ux = =− λ

Grx 4

1/4

dϑ+ dη +

=

η + =0

Grx 4

1/4 ϕ(P r) .

(3.365)

Der Temperaturanstieg (dϑ+ /dη + )η+ =0 ist, wie auch Abb. 3.50 zeigt, eine Funktion ϕ der Prandtl-Zahl P r. Die numerischen Ergebnisse von Ostrach hat Le Fèvre [3.59] durch eine Interpolationsgleichung der folgenden Form wiedergegeben, die von der genauen numerischen Lösung um höchstens 0,5 % abweicht:

Abb. 3.49: Geschwindigkeiten bei freier Str¨ omung an einer senkrechten Wand, nach [3.57]

Abb. 3.50: Temperaturen bei freier Str¨ omung an einer senkrechten Wand, nach [3.57]

454


ϕ(P r) =

0,849 P r 1/2

1/4 . 1 + 2,006 P r1/2 + 2,034 P r Die Lösung enth¨ alt folgende Sonderf¨ alle: Im Grenzfall P r → 0 wird ϕ(P r) = 0,849 P r1/2 und damit 1/4 . N ux = 0,600 Grx P r2

(3.366)

In diesem Fall sind die Reibungskr¨ afte gegen¨ uber den Trägheits- und Auftriebskräften vernachl¨ assigbar, so dass der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient unabhängig von der Viskosit¨ at des Fluids wird. Im Grenzfall P r → ∞ wird ϕ(P r) = 0,7109 P r1/4 und damit 1/4

N ux = 0,5027 (Grx P r)

.

Die Trägheitskräfte sind nun gegen¨ uber den Reibungs- und den Auftriebskräften vernachlässigbar. Der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient αm ergibt sich aus (3.365) durch Integration zu 1 αm = L

L

1/4 L dx λ β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) g α dx = ϕ(P r) . L 4 ν2 x1/4

0

0

Die mittlere Nußelt-Zahl wird

1/4 αm L 4 4 Gr ϕ(P r) = N ux (x = L) . = N um = λ 3 4 3

(3.367)

Hierin ist die Grashof-Zahl mit der L¨ ange L der senkrechten Wand zu bilden. Die Gleichung gilt ebenso wie (3.365) nur f¨ ur die laminare Strömung. Diese bildet sich, wie Experimente zeigten, dann aus, wenn die Rayleigh-Zahl Gr P r ≤ 109 ist. Eine Gleichung, die Mess- und Rechenwerte bei laminarer und turbulenter Str¨ omung an senkrechten Platten und senkrechten Zylindern f¨ ur alle RayleighZahlen und Prandtl-Zahlen wiedergibt, haben Churchill und Chu [3.60] mitgeteilt. Sie ist im Bereich der laminaren Str¨ omung Gr P r ≤ 109 allerdings etwas ungenauer als die zuvor besprochene Gleichung von Le Fèvre und lautet 2 0,387 Ra1/6 . (3.368) N um = 0,825 + 8/27 1 + (0,492/P r)9/16 Hierin sind die mittlere Nußelt- und die Rayleigh-Zahl mit der Plattenhöhe L gebildet: N um =

αm L , λ

Ra = Gr P r =

β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) g L3 Pr . ν2

Die Gleichung gilt auch f¨ ur senkrechte Zylinder, wenn d/L ≥ 35 Gr−1/4 ist. Sie gilt auch f¨ ur konstante W¨ armestromdichte; man hat dazu lediglich den Faktor 0,492 im Nenner von (3.368) durch 0,437 zu ersetzen.


455

3.9.3 Einige empirische Gleichungen fu ¨ r den W¨ armeu omung ¨ bergang bei freier Str¨ Im Folgenden werden außer den bereits besprochenen Beziehungen (3.365), (3.367) und (3.368) f¨ ur die senkrechte Platte noch einige weitere empirische Korrelationen f¨ ur den W¨ arme¨ ubergang bei freier Strömung mitgeteilt. 1. Waagerechte Platte Charakteristische L¨ ange in der mittleren Nußelt- und der Rayleigh-Zahl ist eine äquivalente L¨ ange L = A/U gebildet aus wärme¨ ubertragender Oberfläche A und Umfang U der ¨ außeren Umrandung der Platte. Man unterscheidet folgende F¨ alle: Oberseite der Platte beheizt oder Unterseite gek¨ uhlt gemäß Abb. 3.51 und 3.52: 1/5

N um = 0,766 Ra1/5 [ϕ1 (P r)] −20/11 mit ϕ1 (P r) = 1 + (0,322/P r)11/20 g¨ ultig f¨ ur Ra ϕ1 (P r) ≤ 7 · 104 und 0 < P r < ∞ sowie N um = 0,15 Ra1/3 [ϕ1 (P r)]

1/3

g¨ ultig f¨ ur Ra ϕ1 (P r) ≥ 7 · 104 .

Abb. 3.51: Ebene Platte. Oberseite beheizt

Abb. 3.52: Ebene Platte. Unterseite gek¨ uhlt

Abb. 3.53: Ebene Platte. Oberseite gek¨ uhlt

Abb. 3.54: Ebene Platte. Unterseite beheizt

Oberseite der Platte gek¨ uhlt oder Unterseite beheizt nach Abb. 3.53 und 3.54: 1/5 N um = 0,6 Ra1/5 [ϕ2 (P r)] −16/9 mit ϕ2 (P r) = 1 + (0,492/P r)9/16 g¨ ultig f¨ ur 103 < Ra ϕ1 (P r) < 10 10 und 0,001 < P r < ∞.

456


2. Geneigte Platte Es gilt (3.368) f¨ ur laminare und turbulente Strömung. Man hat die Fallbeschleunigung g zu ersetzen durch ihre wandparallele Komponente g cos ϕ, worin ϕ der Neigungswinkel gegen die Senkrechte ist. Die Gleichung gilt dann f¨ ur geneigte Platten, solange ϕ ≤ π/3 = 60◦ ist. 3. Waagrechter Zylinder vom Durchmesser d und der L¨ ange L d: 2 0,387 Ra1/6 , N um = 0,60 + 8/27 1 + (0,559/P r)9/16 g¨ ultig f¨ ur 10−6 ≤ Ra ≤ ∞ und 0 ≤ P r ≤ ∞. Es bedeuten: N um =

αm d ; λ

Ra = Gr P r =

β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) g d3 Pr . ν2

4. Kugel vom Durchmesser d: 0,589 Ra1/4 N um = 2 + 4/9 , 1 + (0,469/P r)9/16 g¨ ultig f¨ ur P r ≥ 0,7 und 0 ≤ Ra 1011 . Es bedeuten: N um =

αm d ; λ

Ra = Gr P r =

β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) g d3 Pr . ν2

5. Senkrechte Platte Beheizung mit konstanter W¨ armestromdichte:

N ux =

0,616 Ra1/5 x

Pr 0,8 + P r

1/5 ,

g¨ ultig f¨ ur 0,1 ≤ P r ≤ ∞; Rax ≤ 109 . Es bedeuten: N ux =

αx ; λ

Rax = Grx P r =

β∞ q˙ g x4 Pr . ν2 λ

6. Por¨ ose, halbunendliche senkrechte Wand Konstante Wandtemperatur ϑ0 : N ux = 0,444 Ra1/2 x geschätzter G¨ ultigkeitsbereich: Grx ≤ 2,5 · 10−3 x2 /K. Es bedeuten: N ux = α x/λeff


457

mit der effektiven W¨ armeleitf¨ ahigkeit λeff , die zu bilden ist mit der Wärmeleitfähigkeit des Fluids λF und derjenigen der porösen Matrix λS gemäß λeff = ελF + (1 − ε)λS , ε ist der L¨ uckengrad, K ist die Permeabilität, siehe Kapitel 3.8.4. Die mittlere Nußelt-Zahl u ¨ber die Wandlänge L ist N um = αm L/λeff = 2N ux=L .

3.9.4 Stoffu ¨ bergang bei freier Stro ¨mung In Mehrstoffgemischen k¨ onnen Dichtegradienten nicht nur durch Temperaturund Druckgradienten, sondern auch durch Gradienten der Zusammensetzung entstehen. Sofern Dichtegradient und Massenkraft nicht parallel sind, bildet sich ebenfalls eine freie Str¨ omung aus, die einen Stoff¨ ubergang bewirkt. Die Stoff¨ ubergangskoeffizienten lassen sich dann aus den vorigen Gleichungen berechnen. Man hat lediglich die Nußelt- durch die Sherwood-Zahl zu ersetzen. Die Grashof-Zahl ist mit dem Dichteunterschied zu bilden Gr =

(∞ − 0 ) g L3 . ∞ ν 2

(3.369)

In einem binären Gemisch, in dem Dichteunterschiede allein durch Konzentrationsunterschiede hervorgerufen werden, folgt aus = (p, T, ξ):

∂ 0 = ∞ + (ξ0 − ξ∞ ) . (3.370) ∂ξ p,T Man bezeichnet

1 v

∂v ∂ξ

T,p

1 =−

∂ ∂ξ

=γ T,p

als Stoffausdehnungskoeffizient. Damit wird 0 = ∞ − ∞ γ∞ (ξ0 − ξ∞ ) . Die Grashof-Zahl (3.369) geht u ¨ber in Gr =

γ∞ (ξ0 − ξ∞ ) g L3 . ν2

(3.371)

F¨ ur ideale Gasgemische erh¨ alt man den Stoffausdehnungskoeffizienten aus der thermischen Zustandsgleichung pv = RT mit der mittleren Gaskonstanten R = R1 ξ + R2 (1 − ξ) zu

458


γ = (R1 − R2 )/R , ˜ i Ri die einfacheren Beworaus mit der universellen Gaskonstanten Rm = M ziehungen ˜2 − M ˜1 M γ= ˜ ˜ M2 ξ + M1 (1 − ξ) und γ∞ =

˜1 ˜2 − M M ˜ 1 (1 − ξ∞ ) ˜ 2 ξ∞ + M M

(3.372)

folgen. Bei gleichzeitiger W¨ armeund Stoff¨ ubertragung in binären Gemischen erhält man mittlere Stoff¨ ubergangskoeffizienten ebenfalls aus den vorstehenden Gleichungen, wenn man die mittlere Nußelt-Zahl N um durch die mittlere Sherwood-Zahl Shm ersetzt und statt der Grashof-Zahl eine modifizierte Grashof-Zahl einf¨ uhrt, indem man die Dichte (p, T, ξ) in eine Taylorreihe entwickelt,

∂ ∂ (ϑ0 − ϑ∞ ) + (ξ0 − ξ∞ ) , 0 = ∞ + ∂T p,ξ ∂ξ p,T also 0 = ∞ − ∞ β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) − ∞ γ∞ (ξ0 − ξ∞ ) in die Grashof-Zahl (3.369) einsetzt. Man erh¨ alt als modifizierte Grashof-Zahl Gr =

γ∞ (ξ0 − ξ∞ ) g L3 β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) g L3 + . ν2 ν2

(3.373)

Wie Saville und Churchill [3.61] zeigten, erh¨ alt man jedoch nach diesem Verfahren nur dann ausreichend genaue Ergebnisse, wenn Schmidt- und PrandtlZahl des Gemisches u ¨bereinstimmen. Andernfalls wird offenbar die gegenseitige Beeinflussung von Stoffaustausch und Strömungsfeld nicht ausreichend ber¨ ucksichtigt.

¨ 3.10 Uberlagerung von freier und erzwungener Str¨ omung Bei der Behandlung der erzwungenen Str¨ omung hatten wir den Einfluss der freien Strömung vernachl¨ assigt und umgekehrt bei der Betrachtung der freien Strömung den der erzwungenen Str¨ omung vernachlässigt. Häufig u ¨berlagert sich aber einer erzwungenen Str¨ omung infolge von Dichtegradienten noch eine freie Strömung. Maßgebend hierf¨ ur ist, wie in 3.9.1, Gl. (3.345), gezeigt wurde, oßenordnung 1, so sind Auftriebsdie Kenngröße Gr/Re2 . Ist sie von der Gr¨

¨ 3.10 Uberlagerung von freier und erzwungener Str¨ omung

459

und Trägheitskräfte etwa gleich groß, w¨ ahrend f¨ ur Gr/Re2 1 die erzwun2 omung u gene und f¨ ur Gr/Re 1 die freie Str¨ ¨berwiegt. Erzwungene und freie Str¨ omung k¨ onnen sich je nach Richtung von Trägheits- und Auftriebskr¨ aften gegenseitig anfachen oder auch dämpfen. Der Wärme- und Stoff¨ ubergang kann daher in einer erzwungenen Strömung, der sich eine freie Str¨ omung u arkt oder gehemmt werden. Als Bei¨berlagert, verst¨ spiel betrachten wir einen Plattenheizk¨ orper, Abb. 3.55. Es bildet sich eine nach oben gerichtete freie Str¨ omung aus, durch welche die von einem Gebläse erzeugte Str¨ omung verst¨ arkt, Abb. 3.55a, oder geschwächt werden kann, Abb. 3.55b. Wie Experimente zeigten, kann man Wärme¨ ubergangskoeffizienten gut durch Gleichungen der Form N un = | N unE ± N unF |

(3.374)

berechnen, worin N uE die Nußelt-Zahl der erzwungenen und N uF die der freien Strömung ist. Das positive Vorzeichen gilt, wenn beide Strömungen gleich-, das negative wenn sie einander entgegengesetzt sind. Der Exponent n ist im Allgemeinen n = 3. F¨ ur l¨ angsangestr¨ omte waagrechte Platten, Zylinder und Kugeln ist n = 4 zu setzen. Eine (3.374) entsprechende Beziehung gilt auch f¨ ur den Stoff¨ ubergang; es ist lediglich die Nußelt- durch die SherwoodZahl zu ersetzen.

¨ Abb. 3.55: Uberlagerung von freier und erzwungener Str¨ omung. a Verst¨ arkung b Schw¨ achung der freien durch die erzwungene Str¨ omung

Beispiel 3.17: Eine senkrecht stehende Metallplatte von 0,5 m H¨ ohe und 1 m Tiefe hat eine Temperatur von 170 ℃. Man berechne den W¨ armestrom durch freie Str¨ omung an die umgebende Luft, deren Temperatur 90 ℃ betr¨ agt. Zur L¨ osung beziehe man die Stoffwerte auf die mittlere Grenzschichttemperatur von (170 ℃ + 90 ℃)/2 = 130 ℃. Hierf¨ ur sind folgende Stoffwerte gegeben: W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ = 0,0337 W/Km, kinematische Viskosit¨ at ν = 2,685 · 10−5 m2 /s, Prandtl-Zahl P r = 0,699. Weiter ist β∞ = 1/T∞ = 2,754 · 10−3 K−1 . Es ist Gr =

β∞ (ϑ0 −ϑ∞ ) g L3 2,754 · 10−3 1/K · (170−90) K · 9,81 m/s2 · 0,53 m3 = , 2 ν (2,685 · 10−5 )2 m4 /s2

460


also Gr = 3,748 · 108

und

GrP r = 2,620 · 108 .

Die Str¨ omung ist laminar, es gilt (3.367) mit ϕ(P r) nach (3.366) N um =

=

4 4 N u(x = L) = 3 3 4 3

3,748 · 108 4

αm = N um

1/4

Gr 4

1/4 ϕ(P r)

0,849 · 0,6991/2 = 65,44 (1 + 2,006 · 0,6991/2 + 2,034 · 0,699)1/4

λ 0,0337 W/Km = 65,44 = 4,41 W/m2 K L 0,5

Q˙ = αm A (ϑ0 − ϑ∞ ) = 4,41 W/m2 K · 0,5 m · 1 m · (170 − 90) K = 176 W .

3.11 Kompressible Str¨ omungen In einer freien Str¨ omung kam der Auftrieb durch Dichteunterschiede zusammen mit einer Massenkraft zustande, w¨ ahrend die erzwungene laminare und turbulente Strömung bisher unter der Annahme konstanter Dichte behandelt wurde. In Fl¨ ussigkeiten ist die Annahme konstanter Dichte nur dann in guter Näherung erf¨ ullt, wenn diese sich nicht in der Nähe ihres kritischen Zustands befinden. In Gasen muss man zus¨ atzlich mäßige Geschwindigkeiten mit Machzahlen M a = w/wS 1 voraussetzen. Sind die Geschwindigkeiten von Gasströmungen groß, so dass nicht mehr die Bedingung kleiner Machzahlen erf¨ ullt ist, oder befinden sich Fluide in der Nähe ihres kritischen Zustands, so ändert sich die Dichte eines materiellen Volumenelements im Laufe seiner Bewegung. Es ist d/dt = 0. In einer stationären Strömung ist die Dichte daher lokal veränderlich. Infolge Aufheizung durch Dissipation kinetischer Energie können auch in adiabaten Strömungen hoher Geschwindigkeit lokale Temperatur- und damit lokale Dichteunterschiede entstehen. Eine Strömung, in der sich die Dichte eines materiellen Volumenelements im Laufe der Bewegung ändert, bezeichnen wir als kompressibel. Im Folgenden soll die Wärme¨ ubertragung in solchen kompressiblen Str¨ omungen behandelt werden. Wir beschränken uns dabei auf stationäre Strömungen. Da in diesem Kapitel die von der thermodynamischen Temperatur T abhängige Schallgeschwindigkeit wS eine Rolle spielt, ist es zweckmäßig, im Folgenden nicht mit der Temperatur ϑ, sondern mit thermodynamischen Temperaturen T zu rechnen.

3.11 Kompressible Str¨ omungen

461

3.11.1 Das Temperaturfeld in einer kompressiblen Str¨ omung Um die grundsätzlichen Eigenschaften kompressibler Strömung zu erörtern, behandeln wir die ebene, station¨ are Grenzschichtströmung eines reinen Fluids. Neben der Dichte sollen im Unterschied zu den bisherigen Betrachtungen auch die Viskosität und W¨ armeleitf¨ ahigkeit ¨ ortlich veränderlich sein. Die Kontinuitätsgleichung lautet ∂ ( wx ) ∂ ( wy ) + =0 . ∂x ∂y

(3.375)

Die Impulsgleichung (3.58) geht mit den in Abschnitt 3.5 erörterten Grenzschichtvereinfachungen u ¨ber in

mit

∂ p ∂ τxy dwx =− + , dt ∂x ∂y ∂p =0 ∂y

dwx ∂ wx ∂ wx = wx + wy dt ∂x ∂y

und τxy = η

(3.376) ∂ wx . ∂y

Die Energiegleichung in der Enthalpieform (3.83) lautet mit den Grenzschichtvereinfachungen von Abschnitt 3.5:

∂ q˙ dp dh =− + +φ dt ∂y dt

(3.377)

mit dp/dt = wx ∂ p/∂x, q˙ = q˙y und der Dissipationsfunktion φ = η (∂ wx /∂y)2 = τxy ∂ wx /∂y. Multiplikation der Impulsgleichung (3.376) mit wx und Addition zur Energiegleichung (3.377) ergibt nach Einf¨ uhren der sogenannten Gesamtenthalpie w2 (3.378) hg := h + x 2 die Beziehung dhg ∂ = (wx τxy − q) ˙ . (3.379) dt ∂y Hierin kann man die W¨ armestromdichte noch durch die Enthalpie h = h(p, T ) ersetzen, denn unter Beachtung von ∂ p/∂y = 0 und von q˙ = −λ ∂ T /∂y gilt ∂T q˙ ∂h = cp = −cp . ∂y ∂y λ Zusammen mit (3.378) und mit λ/cp = η/P r folgt daher q˙ = −

η ∂ hg η ∂ wx λ ∂h =− + wx cp ∂y P r ∂y Pr ∂y

(3.380)

462


oder q˙ = −

η ∂ hg 1 + wx τxy . P r ∂y Pr

(3.381)

Damit lautet die Energiebilanz (3.379) dhg P r − 1 ∂ (wx τxy ) 1 ∂ = + dt Pr ∂y P r ∂y

∂ hg η ∂y

,

(3.382)

wenn man konstante laminare oder turbulente Prandtl-Zahlen voraussetzt. Die Gleichung (3.382) legt nahe, der Einfachheit halber die laminare oder turbulente Strömung von Luft oder anderen Gasen zu untersuchen, weil deren Prandtl-Zahlen P r ≈ 1 ist, so dass der erste Term auf der rechten Seite, der den Einfluss der Schubspannungsarbeit beschreibt, verschwindet. Die Gleichung (3.382) vereinfacht sich dann zu

∂ hg ∂ dhg η . (3.383) = dt ∂y ∂y Diese Gleichung hat zwei wichtige Partikul¨ arl¨ osungen: a) Die adiabate Str¨ omung an einer festen Wand F¨ ur sie ist q(y ˙ = 0) = 0, und wie aus (3.380) und (3.378) folgt auch

∂ hg =0 . ∂y y=0

(3.384)

Weiter ist am Rand der Grenzschicht hg = hgδ = const .

(3.385)

An der Plattenvorderkante sei hg (x = 0, y) = const .

(3.386)

Eine Lösung von (3.383), die diesen Randbedingungen gen¨ ugt, lautet hg (x, y) = const .

(3.387)

Es ist daher

wx2 w2 = hδ + δ . 2 2 Daraus ergibt sich mit h − hδ = cp (T − Tδ )

2 T wx 1 wδ2 . 1− =1+ Tδ cp Tδ 2 wδ hg := h +

(3.388)

(3.389)

Das Temperaturprofil in der Grenzschicht ist bei adiabater Strömung unter der Annahme P r = 1 mit dem Geschwindigkeitsprofil gekoppelt. Die Beziehung gilt unabhängig vom Druckabfall ∂ p/∂x. Sie lässt sich f¨ ur ideale Gase


463

noch umformen, denn f¨ ur sie ist die zur Temperatur Tδ gehörende Schallgeschwindigkeit wSδ = κ R Tδ = cp (κ − 1) Tδ und daher cp Tδ =

2 wSδ . κ−1

Damit geht (3.389) f¨ ur ideale Gase u ¨ ber in

2 T κ−1 wx =1+ M a2δ 1 − Tδ 2 wδ

(3.390)

(3.391)

mit der Machzahl M aδ = wδ /wSδ . Abb. 3.56 zeigt den Verlauf des Temperaturprofils T /Tδ in Abh¨ angigkeit von den Geschwindigkeiten wx /wδ nach (3.391). Setzt man f¨ ur das Geschwindigkeitsprofil wx /wδ der inkompressiblen Strömung in (3.391) als N¨ aherung die Blasiussche Lösung der Plattengrenzschicht ein, Abschnitt 3.7.1.1, so erh¨ alt man einen Temperaturverlauf, wie ihn Abb. 3.57 zeigt. Die Abbildung gibt aber nur den ungefähren Temperaturverlauf wieder. Wie man aus (3.391) erkennt, stellt sich an der Wand y = 0 wegen wx = 0 die Temperatur T0 = Te ein, die man auch als Ruhetemperatur oder Eigentemperatur Te bezeichnet: Te κ−1 =1+ M a2δ . Tδ 2

(3.392)

Sie ist diejenige Temperatur, die sich an der Oberfläche eines adiabat isolierten K¨ orpers in einer Str¨ omung von selbst einstellt. Durch die Beziehung (3.392)

Abb. 3.56: Temperatur- und Geschwindigkeitsprofil in einer kompressiblen Str¨ omung idealer Gase, nach (3.391)

Abb. 3.57: Temperaturprofile in einer kompressiblen Str¨ omung idealer Gase. Adiabate Wand

464


Tabelle 3.6: Eigentemperaturen einer Luftstr¨ omung von Tδ = 300 K, κ = 1,4 M aδ

0

1

2

3

5

Te /K

300

360

540

840

1800

wird die starke Aufheizung der Grenzschicht bei großen Mach-Zahlen deutlich. Einige Eigentemperaturen Te gibt die Tabelle 3.6 wieder. Die Eigentemperatur ist identisch mit der Temperatur im Staupunkt eines omten K¨ orpers. Hierf¨ ur gilt mit der Geschwindigkeit wδ angestr¨ hSt = hδ +

wδ2 , 2

woraus mit hSt − hδ = cp (TSt − Tδ ) die mit (3.392) u ¨bereinstimmende Beziehung wδ2 κ−1 TSt =1+ =1+ M a2δ Tδ 2 cp Tδ 2

(3.393)

folgt. Das Ergebnis (3.392) galt nur unter der Voraussetzung, dass die PrandtlZahl des als ideal vorausgesetzten Gases P r = 1 ist. Im allgemeinen Fall der Strömung eines idealen Gases mit der Prandtl-Zahl P r = 1 stellt sich eine andere Eigentemperatur ein, die noch von der Prandtl-Zahl abhängig ist. Um sie einfach berechnen zu k¨ onnen, f¨ uhrt man den sogenannten Recovery” Faktor“ r ein, definiert durch Te − T δ Te − Tδ = 2 =r , TSt − Tδ wδ /2 cp

(3.394)

der noch von der Prandtl-Zahl abh¨ angt. Definitionsgemäß ist r = 1 f¨ ur P r = 1. Eine Lösung der Grenzschichtgleichungen durch Eckert und Drake [3.62] ergab f¨ ur die längsangestr¨ omte ebene Platte, dass man f¨ ur die laminare Strömung im Bereich 0,6 < P r < 15 den Recovery-Faktor gut ann¨ ahern kann durch √ r∼ = Pr ,

(3.395)

und f¨ ur die turbulente Str¨ omung im Bereich 0,25 < P r < 10 durch

r∼ =

√ 3

Pr .

(3.396)


465

b) Die Str¨ omung mit verschwindendem Druckabfall ∂ p/∂x = 0 F¨ ur eine Strömung mit verschwindendem Druckabfall ∂ p/∂x vereinfacht sich die Impulsgleichung (3.376) zu

∂ wx ∂ τxy ∂ dwx η . (3.397) = = dy ∂y ∂y ∂y Sie stimmt in ihrer Form mit der Energiegleichung (3.382) f¨ ur ein Fluid mit Pr = 1 u ¨berein

∂ hg ∂ dhg η . = dt ∂y ∂y Es existiert daher eine Partikul¨ arl¨ osung hg = a0 wx + a1 ,

(3.398)

osung der Impulsgleichung, so ist hg (x, y) eine Lösung denn ist wx (x, y) eine L¨ ussen aus den folgenden der Energiegleichung. Die Konstanten a0 und a1 m¨ Randbedingungen bestimmt werden: hg (y = 0) = h0 hg (y = δ) = hgδ .

(3.399)

Damit lautet die L¨ osung von (3.398) hg − h0 =

wx (hgδ − h0 ) wδ

(3.400)

oder mit hg = h + wx2 /2: cp (T − T0 ) +

wx wx2 = 2 wδ

cp (Tδ − T0 ) +

wδ2 2

,

worin T0 die Wandtemperatur ist. Zusammen mit (3.390) und der Mach-Zahl M aδ = wδ /wSδ ergibt sich hieraus die f¨ ur ideale Gase mit der Prandtl-Zahl P r = 1 g¨ ultige Beziehung

wx wx T0 Tδ − T0 wx κ−1 T 1− . (3.401) M a2δ = + + Tδ Tδ Tδ wδ 2 wδ wδ Auch in diesem Fall ist das Temperaturprofil eindeutig mit dem Geschwindigkeitsprofil gekoppelt. Im Fall sehr kleiner Mach-Zahlen M a → 0, also der inkompressiblen Str¨ omung eines idealen Gases, ergibt sich hieraus T = T0 + (Tδ − T0 )

wx . wδ

Daraus folgt die u armestromdichte ¨bertragene W¨

(3.402)

466


q˙ = α (T0 − Tδ ) = −λ Es ist somit

λ α= wδ

∂ wx ∂y

= y=0

∂T ∂y

. y=0

λ τ0 . η wδ

Beachtet man noch die Definition des Reibungsbeiwertes cf = τ0 /( wδ2 /2) und f¨ uhrt man die Reynolds-Zahl Re = wδ x/ν ein, so erhält man die bereits bekannte Analogie zwischen W¨ armeund Impulsaustausch cf αx = N ux = Re , λ 2

g¨ ultig f¨ ur P r = 1 .

(3.403)

Als Sonderfall ist in (3.401) auch die L¨ osung f¨ ur eine adiabat isolierte ebene Wand enthalten. F¨ ur sie ist

∂ wx ∂T ∂T = =0 . ∂y y=0 ∂wx y=0 ∂y y=0 Da der Geschwindigkeitsanstieg (∂ wx /∂y)y=0 an der Wand von null verschieden ist, muss (∂ T /∂wx )y=0 verschwinden. Durch Ableiten von (3.401) findet man

∂T Tδ − T 0 1 κ−1 1 M a2δ =0= + . (3.404) ∂wx y=0 Tδ wδ 2 wδ Daraus erhält man die Wandtemperatur T0 κ−1 M a2δ . =1+ Tδ 2 Sie ist, wie der Vergleich mit (3.392) zeigt, gleich der Eigentemperatur Te . Abb. 3.58 zeigt die Temperaturen T /Tδ nach (3.401) in Abhängigkeit von den Geschwindigkeiten wx /wδ . Der Verlauf des Temperaturprofils q˙ = 0, T0 = Te ist als dick durchgezogene Kurve in Abb. 3.58 eingezeichnet. Bei Wärmezufuhr von der Wand an

Abb. 3.58: Temperatur- und Geschwindigkeitsprofile in einer kompressiblen Str¨ omung idealer Gase; ∂ p/∂x 1 = 0; nach (3.401)


467

das Fluid muss die Wandtemperatur T0 u ¨ber der Eigentemperatur Te liegen, also T0 κ−1 M a2δ (Heizung des Fluids) >1+ Tδ 2 sein, während bei K¨ uhlung die Wandtemperatur T0 unter der Eigentemperatur Te liegt und somit gilt κ−1 T0 M a2δ Te bei Die Kurve T0 = Te f¨ Heizung des Fluids von denen T0 < Te f¨ ur K¨ uhlung. Im Grenzfall M aδ = 0 geht (3.401) in die gestrichelt eingezeichnete Gerade u ¨ber. Um die verschiedenen F¨ alle — Heizung, K¨ uhlung oder adiabate Wand — zu unterscheiden, f¨ uhrt man in (3.401) einen Wärme¨ ubergangsparameter ϑ+ =

Te − T0 Te − Tδ

(3.405)

ein. Sein Vorzeichen gibt an, ob eine Wand adiabat isoliert, das Fluid beheizt oder gek¨ uhlt wird. Bei Heizung ist T0 > Te und ϑ+ < 0, f¨ ur die adiabat uhlung ist T0 < Te und isolierte Wand ist T0 = Te und ϑ+ = 0 und bei K¨ ϑ+ > 0. Zwischen der Wandtemperatur T0 und dem Wärme¨ ubergangsparameter besteht ein einfacher Zusammenhang, denn es folgt aus (3.405)

Te Te Te T0 = − ϑ+ + ϑ+ = 1 + − 1 (1 − ϑ+ ) . Tδ Tδ Tδ Tδ Mit der Eigentemperatur nach (3.392) kann man hierf¨ ur schreiben κ−1 T0 M a2δ (1 − ϑ+ ) . =1+ Tδ 2

(3.406)

Einsetzen von (3.406) in (3.401) ergibt eine andere Form von (3.401), die nun den Wärme¨ ubergangsparameter enth¨ alt:

wx T κ−1 wx 2 + 1 − 1 − ϑ . (3.407) M a =1+ + δ Tδ 2 wδ wδ Nach dieser f¨ ur P r = 1 und ideale Gase g¨ ultigen Gleichung kann man das Temperaturprofil durch das Geschwindigkeitsprofil und den Parameter ϑ+ beschreiben. Setzt man als N¨ aherung das Geschwindigkeitsprofil der Blasiusschen Lösung aus Abschnitt 3.7.1.1 ein, so erhält man die in Abb. 3.59 beispielhaft f¨ ur M aδ = 2 dargestellten Temperaturprofile als Funktion des Wandabstands η + . Sie geben wegen der Vereinfachung nur den ungefähren Temperaturverlauf wieder.

468


Abb. 3.59: Temperaturprofile in einer kompressiblen Str¨ omung idealer Gase. Kurvenparameter ϑ+ = (Te − T0 )/(Te − Tδ ). Bei Heizung ist T0 > Te und ϑ+ < 0, bei K¨ uhlung T0 < Te und ϑ+ > 0.

3.11.2 Berechnung des W¨ armeu ¨ bergangs Die von einer Oberfl¨ ache vorgegebener Temperatur ϑ0 = ϑe u ¨bertragene Wärmestromdichte erh¨ alt man durch L¨ osung der Impuls- und Energiegleichung unter Ber¨ ucksichtigung der Dissipation. Dazu f¨ uhrt man, wie schon in Abschnitt 3.1.1 u ber die L¨ o sung der Grenzschichtgleichungen erörtert, Grenz¨ schichtkoordinaten ein und u berf¨ u hrt die partiellen Differentialgleichungen in ¨ gewöhnliche, die sich jedoch nur numerisch l¨ osen lassen. Eine solche Lösung haben Eckert und Drake [3.62] f¨ ur die inkompressible Strömung eines Fluids entlang einer ebenen Platte konstanter Wandtemperatur angegeben. Danach lässt sich die von der Platte u ortliche Wärmestromdichte in guter ¨bertragene ¨ Näherung durch 1/3 q(x) ˙ = 0,332 Re1/2 x Pr

λ (T0 − Te ) x

g¨ ultig f¨ ur

0,6 ≤ P r ≤ 10

(3.408)

beschreiben. Dieses Ergebnis legt es nahe, einen Wärme¨ ubergangskoeffizienten α zu definieren durch (3.409) q˙ := α (T0 − Te ) . Die mit diesem W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten gebildete örtliche Nußelt-Zahl N ux =

αx 1/3 = 0,332 Re1/2 x Pr λ

(3.410)

stimmt dann mit der f¨ ur die inkompressible Strömung gefundenen Beziehung (3.176) f¨ ur 0,6 < P r < 10 u ¨berein. Zur Berechnung des u armestroms berechnet man daher ¨bertragenen W¨ nach dem Vorschlag von Eckert und Drake [3.62] die Wärme¨ ubergangskoeffizienten aus den bekannten Nußelt-Beziehungen und multipliziert dann mit der Differenz zwischen Wand- und Eigentemperatur, um die u ¨bertragene Wärmestromdichte zu ermitteln. Da die Nußelt-Beziehungen unter der Annahme


469

konstanter Stoffwerte abgeleitet wurden, tats¨ achlich jedoch Dichte, Viskosität und Wärmeleitfähigkeit in einer kompressiblen Strömung wegen der großen Temperaturunterschiede stark ver¨ anderlich sind, bezieht man die Stoffwerte auf eine Referenztemperatur Tref , f¨ ur die Eckert [3.63] aufgrund numerischer Rechnungen die empirische Gleichung Tref = T∞ + 0,5 (T0 − T∞ ) + 0,22 (Te − T∞ )

(3.411)

vorschlug, worin T∞ die Temperatur in großem Abstand von der Wand ist. Sie ist in einer Grenzschichtstr¨ omung gleich der Temperatur Tδ am Rand der Grenzschicht. Die Eigentemperatur erh¨ alt man aus (3.394) mit dem RecoveryFaktor nach (3.395) oder (3.396). Auf diese Weise kann man den Wärme¨ ubergang an laminar und an turbulent str¨ omende Fluide berechnen. Beispiel 3.18: Luft vom Druck 0,1 MPa und der Temperatur 20 ℃ str¨ omt mit einer Geschwindigkeit von 600 m/s u ¨ber eine 1 m lange und 1 m breite ebene Platte, deren Temperatur auf 60 ℃ gehalten wird. Man berechne den u ¨bertragenen W¨ armestrom. Folgende Stoffwerte der Luft sind gegeben: Kinematische Viskosit¨ at ν(40 ℃) = 17,23 · 10−6 m2 /s, ν(73 ℃) = 20,6 · 10−6 m2 /s, ν(74,9 ℃) = 20,77 · 10−6 m2 /s, Gaskonstante R = 0,2872 kJ/kgK, W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ(73 ℃) = 0,0297 W/Km, λ(74,9 ℃) = 0,0299 W/Km, Adiabatenexponent κ = 1,4, Prandtl-Zahl P r(74,9 ℃) = 0,702. Wir berechnen zuerst die Reynolds-Zahl am Plattenende, um festzustellen, ob die Str¨ omung dort laminar oder turbulent ist. Bezugstemperatur f¨ ur die Stoffwerte, (ϑ0 + ϑδ )/2 = (60 + 20) ℃/2 = 40 ℃. Damit wird Re =

600 m/s · 1 m wm L = = 3,482 · 107 . ν 17,23 · 10−6 m2 /s

Die Str¨ omung am Plattenende ist turbulent, am Plattenanfang ist sie laminar. Weiter ist √ wSδ = κ RTδ = 1,4 · 0,2872 · 103 Nm/kgK · 293,15 K = 343,3 m/s und M aδ =

600 m/s wδ = 1,748 . = wSδ 343,3 m/s

Die Staupunktstemperatur ist nach (3.393) κ−1 1,4 − 1 TSt = Tδ 1 + M a2δ = 293,15 K 1 + 1,7482 = 472,3 K . 2 2 Die Eigentemperatur folgt aus (3.394) mit dem Recovery-Faktor nach (3.395) im Bereich der laminaren Str¨ omung und mit dem Sch¨ atzwert P r ≈ 0,7: √ Te = P r (TSt − Tδ ) + Tδ = 0,7 · (472,3 − 293,15) K + 293,15 K = 443 K . Hierf¨ ur ist die Prandtl-Zahl P r = 0,698; die Annahme P r ≈ 0,7 muss also nicht ur die Stoffwerte ist nach (3.411) korrigiert werden. Die Referenztemperatur Tref f¨ Tref = 293,15 K+0,5·(333,15−293,15) K+0,22·(443−293,15) K = 346,12 K = 73 ℃ .

470


Die kritische Reynolds-Zahl f¨ ur den Umschlag laminar-turbulent ist Recr =

wδ xcr = 5 · 105 , ν

daraus

5 · 105 · 20,6 · 10−6 m2 /s = 0,0172 m . 600 m/s Die mittlere Nußelt-Zahl, der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient und der mittlere W¨ armestrom sind nach Abschnitt 3.7.4, Nr. 1 im laminaren Bereich xcr =

1/2

N um, lam = 0,664 · Recr P r 1/3 = 0,664 · (5 · 105 )1/2 · 0,7021/3 = 417,3 αm, lam = N um, lam

0,0297 W/Km λ = 417,3 · = 720 W/m2 K . xcr 0,0172 m

Q˙ lam = αm, lam A (ϑ0 − ϑe ) = 720 W/m2 K · 0,0172 m · 1 m · (333,15 − 443) K = −1,361 kW . Im turbulenten atzen wir wieder P r ≈ 0,7. Dann ist der Recovery-Faktor √ √ Teil sch¨ r = 3 P r = 3 0,7 = 0,8879. Die Eigentemperatur folgt aus (3.394) mit (3.396) zu √ 3 Te = P r (TSt − Tδ ) + Tδ = 0,8879 · (472,3 − 293,15) K + 293,15 K = 452 K = 179 ℃ . Hierf¨ ur ist die Prandtl-Zahl P r = 0,698; die urspr¨ ungliche Sch¨ atzung muss nicht korrigiert werden. Die Referenztemperatur f¨ ur die Stoffwerte ist nach (3.411) Tref = 293,15 K+0,5·(333,15−293,15) K+0,22·(452−293,15) K = 348,1 K = 74,9 ℃ . Die Reynolds-Zahl im turbulenten Bereich ist Re =

600 m/s · (1 − 0,0172) m = 2,839 · 107 . 20,77 · 10−6 m2 /s

Die gesuchten Gr¨ oßen im turbulenten Bereich sind nach Abschnitt 3.7.4, Nr. 1 0,037 Re0,8 P r 1 + 2,443 Re−0,1 (P r2/3 − 1) 0,8 · 0,702 0,037 · 2,839 · 107 = = 2,62 · 104 1 + 2,443 · (2,839 · 107 )−0,1 · (0,7022/3 − 1)

N um, turb =

αm, turb = N um, turb λ/L = 2,62 · 104 ·

0,0299 W/Km = 797 W/m2 K . (1 − 0,0172) m

Q˙ turb = αm, turb A (T0 − Te ) = 797 W/m2 K · (1 − 0,0172) m · 1 m · (333,15 − 452) K = −93,1 kW . Insgesamt wird der Platte ein W¨ armestrom Q˙ = Q˙ lam + Q˙ turb = −94,5 kW zugef¨ uhrt. Um die Plattentemperatur konstant zu halten, muss man diesen W¨ armestrom abf¨ uhren.

3.12 Aufgaben

471

3.12 Aufgaben 3.1: Gips- und Zuckerkristalle leiten W¨ arme in Richtung der Koordinatenachsen unterschiedlich. Ihre W¨ armeleitf¨ ahigkeit ist durch folgenden Tensor gegeben ⎞ ⎛ λ11 λ12 0 λii = ⎝ λ21 λ22 0 ⎠ . 0 0 λ33 Wie groß sind die W¨ armestromdichten in Richtung der einzelnen Koordinatenachsen, und wie lautet die Differentialgleichung der station¨ aren W¨ armeleitung durch eine in x2 -Richtung d¨ unne, planparallele ebene Platte? 3.2: Es soll der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient an eine mit Chloroform u omte kleine Kugel vom Durchmesser d0 bestimmt werden. Zu diesem ¨berstr¨ Zweck werden Versuche mit Wasser an einer Kugel von zehnfachem Durchmesser ausgef¨ uhrt. a) Bei welcher Temperatur muss man die Versuche ausf¨ uhren, wenn die mittlere Temperatur des Chloroforms T0 = 293 K betr¨ agt? b) Es interessieren die W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten an das Chloroform bei Anstr¨ omgeschwindigkeiten im Bereich 0,2 m/s ≤ wα ≤ 2 m/s. In welchem Geschwindigkeitsbereich sind die Versuche mit Wasser auszuf¨ uhren? c) In den Modellversuchen findet man f¨ ur einen bestimmten Zustand den mittleren W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten αM = 250 W/m2 K. Wie groß ist der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient an der mit Chloroform u omten Kugel ¨berstr¨ bei gleicher Reynolds- und Prandtl-Zahl? Folgende Stoffwerte von Chloroform sind bei T0 = 293 K bekannt: ν = 0,383 · 10−6 m2 /s, λ = 0,121 W/Km, P r = 4,5. Die Stoffwerte von Wasser kann man aus beigef¨ ugtem Diagramm, Abb. 3.60, ablesen oder durch Interpolation der Tabelle B.2 entnehmen. 3.3: Die W¨ armeverluste eines Ventils durch laminare freie Str¨ omung an Helium sollen an einem im Maßstab 1:2 verkleinerten Modell bestimmt werden. Am Modell misst man bei einer Temperaturdifferenz ΔϑM = 20 K zwischen der Modelloberfl¨ ache und der Helium-Umgebung einen W¨ armeverluststrom Q˙ M = 200 W. ˙ Wie groß ist der W¨ armeverluststrom QO des Originals, wenn die Temperaturdifferenz zwischen dessen Oberfl¨ ache und der Helium-Umgebung ΔϑO = 15 K betr¨ agt? Die Stoffwerte von Helium seien f¨ ur Original und Modell gleich groß. 3.4: Aus Messungen des W¨ arme¨ ubergangs an einem u omten K¨ orper ist ¨berstr¨ bekannt, dass der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient αm von folgenden Gr¨ oßen abh¨ angt αm = f (L, wm , , λ, ν, c) . ¨ Man zeige mit Hilfe der Ahnlichkeitstheorie, dass sich der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient als Funktion von drei Variablen darstellen l¨ asst N u = f (Re, P r) mit N u = αm L/λ, Re = wm L/ν und P r = ν/a.

472


Abb. 3.60: Stoffwerte von Wasser zu Aufgabe 3.2 3.5: Die Untersuchung aufsteigender Gasblasen in mit Fl¨ ussigkeit gef¨ ullten vertikalen zylindrischen Rohren ist von technischem Interesse, z.B. f¨ ur die Auslegung von Mammutpumpen, Umlaufverdampfern u.a.m. Die Berechnung dieses Vorgangs ist aber schwierig, auch wenn er stark idealisiert wird. Mit Hilfe der Dimensionsanalyse lassen sich in diesem Fall weitgehende Aussagen u osung machen. Das Problem werde wie folgt idealisiert: ¨ber die Form der L¨ – Es soll sich um eine fast den ganzen Rohrquerschnitt ausf¨ ullende sehr große Luftblase in Wasser handeln, s. Abb. 3.61.

Abb. 3.61: Luftblase in Wasser – Luft und Wasser werden als reibungsfrei und inkompressibel angesehen. – Kapillarkr¨ afte werden vernachl¨ assigt. – Die Blase bewege sich mit der station¨ aren Geschwindigkeit w nach oben. Unter diesen Voraussetzungen wird der physikalische Vorgang des Aufsteigens durch folgende Einflussgr¨ oßen beschrieben: w, g, d, W , L .

3.12 Aufgaben

473

g bedeutet die Fallbeschleunigung, d den Rohrdurchmesser, L die Dichte der Luft, W die Dichte des Wassers. a) Man bestimme die den Vorgang beschreibenden dimensionslosen Kenngr¨ oßen π1 , π2 , . . . , πn . b) Welche Aussagen lassen sich aus der Beziehung π1 = f (π2 , π3 , . . . , πn ) zwischen den Kenngr¨ oßen u ¨ber die Form der Gleichung w = f (g, d, W , L ) machen? 3.6: Das Geschwindigkeitsprofil in der Grenzschicht l¨ asst sich n¨ aherungsweise durch den Ansatz πy wx = sin wδ 2δ beschreiben, der ebenfalls den Randbedingungen wx (y = 0) = 0; wx (y = δ) = wδ ; (∂ wx /∂y)y=0 = 0 und (∂ 2 wx /∂y 2 )y=0 = 0 gen¨ ugt. Man berechne die Grenzschichtdicke δ(x). 3.7: Heiße Luft von 300 ℃ und einem Druck von 0,01 MPa str¨ omt mit einer Geschwindigkeit von 10 m/s u armestrom ¨ber eine 1 m lange ebene Platte. Welchen W¨ ache abf¨ uhren, wenn man die Plattentemperatur muss man je m2 Plattenoberfl¨ auf 25 ℃ halten will? Gegeben sind die kinematische Viskosit¨ at ν1 (p1 = 0,1 MPa, ϑm = 162,5 ℃) = 30,84 · 10−6 m2 /s, die Prandtl-Zahl P r(ϑm = 162,5 ℃) = 0,687 und die W¨ armeleitf¨ ahigkeit von Luft λ(ϑ = 162,5 ℃) = 3,64 · 10−2 W/Km. 3.8: Feuchte Luft von 20 ℃ und einer relativen Feuchte ϕ = 0,5 str¨ omt u ¨ber einen See von ebenfalls 20 ℃. Der See ist 200 m · 50 m groß und die Luft str¨ omt u ¨ber die L¨ angsfl¨ ache mit einer Geschwindigkeit von 2 m/s. Wieviel Wasser verdunstet st¨ undlich? Gegeben sind die Viskosit¨ at der Luft ν(20 ℃) = 1,535 · 10−5 m2 /s, die SchmidtZahl f¨ ur Wasserdampf-Luft Sc = ν/D = 0,6, der S¨ attigungsdruck von Wasattigungsdichte (20 ℃) = ser pWS (20 ℃) = 2,337 · 10−3 MPa und die S¨ 0,01729 kg/m3 . 3.9: Ein d¨ unnwandiges Stahlrohr von 60 m L¨ ange und 50 mm Innendurchmesser wird von außen durch kondensierenden Wasserdampf beheizt, der eine Innenwandtemperatur von 100 ℃ aufrecht erh¨ alt. Das Rohr wird von innen von V˙ = 2,5 · 10−4 m3 /s Wasser durchstr¨ omt, das sich dabei von 20 ℃ auf 60 ℃ erw¨ armt. Wie groß ist der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient u ¨ber die Rohrl¨ ange? Stoffwerte des Wassers bei 20 ℃: Dichte = 998,3 kg/m3 , spezifische W¨ armekapazit¨ at cp = 4,184 kJ/kgK. 3.10: Ein Solarkollektor, siehe Abb. 3.62, besteht aus einem parabolischen Reflektor und einem Absorberrohr, dessen Achse sich im Brennpunkt des Reflektors befindet. Der Reflektor konzentriert die empfangene Sonnenstrahlung auf das Absorberrohr, durch welches Wasser mit einer mittleren Geschwindigkeit von 0,03 m/s str¨ omt und dabei erw¨ armt wird. Wie lang m¨ ussen Reflektor und Rohr armt werden soll und die sein, wenn Wasser von ϑe = 20 ℃ auf ϑa = 80 ℃ aufgew¨ Sonneneinstrahlung q˙S = 800 W/m2 betr¨ agt? Wie hoch ist die Innentemperatur der Rohrwand im Austrittsquerschnitt? Der Reflektor hat eine Seitenl¨ ange von s = 2 m, der Innendurchmesser des Rohres ist di = 60 mm, der Außendurchmesser da = 65 mm.

474


Abb. 3.62: Solarkollektor mit Reflektor und Absorber Weiter seien gegeben die Stoffwerte des Wassers: Spezifische W¨ armekapazit¨ at cp = 4,184 kJ/kgK, Dichte bei 20 ℃: = 998,3 kg/m3 . Der ¨ ortliche W¨ arme¨ ubergangskoeffizient im Austrittsquerschnitt sei α = 264 W/m2 K. 3.11: 0,2 kg/s u omen durch ein ¨berhitzter Wasserdampf vom Druck 0,1 MPa str¨ nicht isoliertes Stahlrohr von 25 mm Innendurchmesser und 5 m L¨ ange. Der Wasserdampf tritt mit einer Temperatur von ϑe = 150 ℃ in die Rohrleitung ein und k¨ uhlt sich bis zum Austrittsquerschnitt auf ϑa = 120 ℃ ab. Das Rohr ist von kalter Luft von ϑ0 = 0 ℃ umgeben; der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient von armeder Rohroberfl¨ ache an die Luft ist αa = 15 W/m2 K. Man berechne den W¨ verlust an die Umgebungsluft und die Oberfl¨ achentemperatur des Rohres im Austrittsquerschnitt. Der W¨ armewiderstand der Rohrwand sei vernachl¨ assigbar. Folgende Stoffwerte des Wasserdampfs sind gegeben: Spezifische W¨ armekapazit¨ at cp (135 ℃) = 1,997 kJ/kgK, W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ(135 ℃) = 0,0276 W/Km, dynamische Viskosit¨ at η(135 ℃) = 13,60 · 10−6 kg/sm, Prandtl-Zahl P r(135 ℃) = 0,983. ¨ 3.12: Uber eine ungeordnete Kugelsch¨ uttung, deren Oberfl¨ achentemperatur durch verdunstendes Wasser konstant auf der K¨ uhlgrenztemperatur von 21,5 ℃ gehalten wird, str¨ omt Luft von ϑL = 40 ℃ und der relativen Feuchte ϕ = 0,2. Die Luft bel¨ adt sich dabei mit Wasserdampf. Man berechne a) den u armestrom und ¨bertragenen W¨ b) den u ¨bertragenen Mengenstrom des Wassers. Folgende Werte sind gegeben: Kugeldurchmesser d = 0,02 m, Kanalquerschnitt ohne Kugeln A0 = 1 m2 , Luftgeschwindigkeit bezogen auf A0 : wm = 2 m/s, L¨ uckengrad ε = 0,4, Sch¨ utth¨ ohe H = 0,65 m, S¨ attigungsdruck des Wasserdamparmeleitf¨ ahigkeit der Luft bei (ϑL + ϑ0 )/2 = fes pWS (40 ℃) = 73,85 mbar, W¨ 30,75 ℃ : λ = 0,0267 W/Km, Prandtl-Zahl P r = 0,71, kinematische Viskosit¨ at ν = 1,63 · 10−5 m2 /s, Verdampfungsenthalpie des Wassers bei 21,5 ℃: Δhv = 2450,0 kJ/kg. 3.13: In einer Wirbelschicht dient heißer Sand von 850 ℃ zur Erw¨ armung atmosph¨ arischer Luft vom Druck 0,1 MPa und der Temperatur 20 ℃ auf praktisch ebenfalls 850 ℃. Die heiße Luft wird anschließend einer Brennkammer zugef¨ uhrt. Man berechne die Gebl¨ aseleistung und die der Luft zuzuf¨ uhrende W¨ arme. Gegeben: Innendurchmesser der Wirbelkammer 3 m, kinematische Viskosit¨ at der Luft ν(850 ℃) = 1,506 · 10−4 m2 /s, Gaskonstante der Luft 0,2872 kJ/kgK, mittlere spez. W¨ armekapazit¨ at zwischen 30 ℃ und 850 ℃: cp = 1,169 kJ/kgK, spez. W¨ armekapazit¨ at cp (20 ℃) = 1,006 kJ/kgK, Dichte des Sandes S = 2500 kg/m3 , arizit¨ at ϕS = 0,86, H¨ ohe H0 der ruhenPartikeldurchmesser dP = 0,5 mm, Sph¨ uckengrad der ruhenden Sandschicht εS = 0,36, den Sandschicht H0 = 0,5 m, L¨

3.12 Aufgaben

475

uckengrad bei 10-facher LockeL¨ uckengrad am Lockerungspunkt εL = 0,44, L¨ rungsgeschwindigkeit ε = 0,55, Gebl¨ asewirkungsgrad ηv = 0,7. 3.14: Die Temperatur einer bodennahen Luftschicht sei bis zu 100 m H¨ ohe konstant 15 ℃. Aus einem Kamin werden stark CO2 -haltige Abgase von anf¨ anglich 170 ℃ ausgestoßen. Man pr¨ ufe, ob die Abgase noch h¨ oher als 100 m aufsteigen k¨ onnen. Gegeben sind: Gaskonstante der Luft RL = 0,2872 kJ/kgK, Gaskonstante der Abgase RG = 0,1889 kJ/kgK, Adiabatenexponent der Abgase κ = 1,3, Luftdruck am Erdboden p1 = 0,1 MPa. 3.15: Eine 60 ℃ heiße, senkrecht stehende quadratische Platte der Abmessungen L = b = 1 m wird von oben nach unten von Luft vom Druck 0,1 MPa und der Temperatur 20 ℃ mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s angestr¨ omt. Welchen W¨ armestrom gibt die Platte ab? Folgende Stoffwerte der Luft bei der mittleren Grenzschichttemperatur von 40 ℃ sind gegeben: W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ = 0,0274 W/Km, kinematische Viskosit¨ at ν = 17,23 · 10−6 m2 /s, Prandtl-Zahl P r = 0,706. Ferner ist der thermische Ausdehnungskoeffizient bei 20 ℃ β∞ = 1/T∞ = 3,2 · 10−3 K−1 . 3.16: Eine 0,4 m hohe senkrechte Platte eines mit q˙ = 15 W/m2 elektrisch beheizten Heizk¨ orpers wird von atmosph¨ arischer Luft vom Druck 0,1 MPa mit der Temperatur 10 ℃ u omt. ¨berstr¨ Man berechne den Verlauf der Plattentemperatur u ohe. ¨ber der Plattenh¨ Da die mittlere Grenzschichttemperatur unbekannt ist, rechne man n¨ aherungsweise mit den Stoffwerten der Luft von 10 ℃. Diese sind: W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ = 0,0251 W/Km, kinematische Viskosit¨ at ν = 14,40 · 10−6 m2 /s, Prandtl-Zahl P r = 0,710, thermischer Ausdehnungskoeffizient β∞ = 1/T∞ = 3,543·10−3 K−1 . 3.17: Bier in zylindrischen Dosen von 150 mm H¨ ohe und 60 mm Durchmesser hat eine Temperatur von 27 ℃ und soll in einem K¨ uhlschrank, dessen Lufttemperatur 4 ℃ betr¨ agt, gek¨ uhlt werden. Wann k¨ uhlt das Bier schneller ab: Wenn man die Dosen in den K¨ uhlschrank legt oder wenn man sie stellt? Man rechne n¨ aherungsweise mit den Stoffwerten von Luft f¨ ur die anf¨ angliche Mitteltemperatur von (27 + 4) ℃/2 = 15,5 ℃. Hierf¨ ur ist die W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ = 0,0255 W/Km, die kinematische Viskosit¨ at ν = 14,90 · 10−6 m2 /s, die Prandtl-Zahl P r = 0,709, weiter ist der thermische Ausdehnungskoeffizient β∞ = 1/T∞ = 3,475 · 10−3 K−1 . 3.18: Man berechne die Temperatur der Außenhaut einer Flugzeugoberfl¨ ache. Das Flugzeug fliegt in einer H¨ ohe von 10 000 m mit einer Geschwindigkeit von 700 km/h. Die Lufttemperatur in 10 000 m H¨ ohe betrage −50 ℃. Welcher W¨ armestrom je m2 Flugzeugoberfl¨ ache ist von der Klimaanlage zuzuf¨ uhren, um die Innentemperatur Ti auf 20 ℃ zu halten? Gegeben sind folgende Stoffwerte der Luft: Adiabatenexponent κ = 1,4, Gaskonstante R = 0,2872 kJ/kgK. Weiter ist der W¨ armewiderstand der Flugzeughaut λ/δ = 5 m2 K/W und der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient auf der Innenseite αi = 10 W/m2 K. ¨ 3.19: Eine Tragfl¨ ache wird von Luft mit Uberschallgeschwindigkeit u omt. ¨berstr¨ ache soll Die Mach-Zahl M aδ sei 2, die Temperatur der Außenhaut der Tragfl¨ nicht u ¨ber 300 ℃ ansteigen. Von welcher Lufttemperatur an muss man die Tragfl¨ ache k¨ uhlen?

4 Konvektiver W¨ armeund Stoffu omungen mit ¨ bergang. Str¨ Phasenumwandlungen

Einige der im Folgenden zu behandelnden Vorgänge des konvektiven Wärmeund Stoff¨ ubergangs mit Phasenumwandlung sind schon in den bisherigen Kapiteln erörtert worden, dazu geh¨ oren die Verdunstung einer Fl¨ ussigkeit an der Grenzfläche zwischen einem Gas und einer Fl¨ ussigkeit oder die Sublimation an einer Gas-Feststoff-Grenzfl¨ ache. Sie ließen sich mit den Methoden des konvektiven Wärme- und Stoff¨ ubergangs beschreiben. In vielen Prozessen des W¨ armeund Stoff¨ ubergangs in Fluiden spielen jedoch Vorgänge des Kondensierens oder Siedens an festen Oberflächen eine entscheidende Rolle. In W¨ armekraftanlagen wird Wasser von hohem Druck im Kessel verdampft und der Dampf, nachdem er in der Turbine entspannt wurde, wieder in einem Kondensator verfl¨ ussigt. In Kompressions- und Absorptionskälteanlagen und in W¨ armepumpen sind Verdampfer und Kondensatoren wichtige Bestandteile der Anlage. Zur Stofftrennung von Gemischen macht man sich die unterschiedliche Zusammensetzung von Dämpfen im Gleichgewicht mit ihren Fl¨ ussigkeiten zunutze. Verdampfung und Kondensation sind daher charakteristisch f¨ ur viele Stofftrennprozesse in der Verfahrenstechnik. Als Beispiele seien das Eindampfen, das Kondensieren, die Destillation, die Rektifikation und die Absorption von Fluiden genannt. Um eine Fl¨ ussigkeit zu verdampfen oder einen Dampf zu kondensieren, ist die Verdampfungsenthalpie zu- bzw. abzuf¨ uhren. Die Phasenumwandlung erfordert unter der Voraussetzung thermodynamischen Gleichgewichts keine Temperaturdifferenz zwischen den Phasen. In Wirklichkeit muss jedoch, da zumindest ein kleines Ungleichgewicht f¨ ur den Ablauf der Phasenumwandlung erforderlich ist, eine, wenn auch kleine, Temperaturdifferenz vorhanden sein. Wärme¨ ubergangskoeffizienten beim Kondensieren und Verdampfen sind im Allgemeinen viel gr¨ oßer als die f¨ ur konvektiven Wärme¨ ubertragung ohne Phasenwandel. Hinzu kommt, dass die Dichtedifferenz zwischen Dampf und Fl¨ ussigkeit groß ist, sofern die Phasenumwandlung hinreichend weit vom kritischen Gebiet entfernt abl¨ auft. Es treten daher starke Auftriebskräfte armeund Stoff¨ ubergang durch freie Strömung (L − G )g auf, so dass W¨


478

Konvektiver W¨ armeund Stoff¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

unterst¨ utzt werden. Im Folgenden wollen wir uns mit diesen Vorgängen auseinandersetzen.

4.1 W¨ armeu ¨ bergang beim Kondensieren Kommt ein Dampf mit einer Wand in Ber¨ uhrung, deren Temperatur niedriger als die Sättigungstemperatur des Dampfes ist, so wird Dampf an der Wandoberfläche verfl¨ ussigt. Hierbei entsteht Kondensat, das infolge seines Kontakts mit der Wandoberfl¨ ache unterk¨ uhlt wird, so dass sich weiterer Dampf auf dem zuvor gebildeten Kondensat niederschlagen kann. Die Kondensation von D¨ ampfen ist daher stets mit einem Stofftransport verbunden, bei dem der Dampf zur Phasengrenze str¨ omt und in die fl¨ ussige Phase u ¨bergeht. Den Ablauf dieses Vorgangs kann man in mehrere Schritte unterteilen, bei denen mehrere hintereinander geschaltete Teilwiderstände zu u ¨berwinden sind. Die Anteile der einzelnen Teilwiderst¨ ande am gesamten Widerstand können sehr verschieden sein. Zun¨ achst gelangt Dampf infolge Strömung (konvektiver Transport) und Molekularbewegung (diffuser Transport) zur Phasengrenze. Im nächsten Schritt kondensiert der Dampf an der Phasengrenze, und anschließend wird die an der Phasengrenze frei werdende Kondensationsenthalpie durch Leitung und Konvektion an die gek¨ uhlte Wand transportiert. Dementsprechend sind drei hintereinandergeschaltete Teilwiderstände zu u armewiderstand in der Dampfphase, der Wärmewider¨berwinden: Der W¨ ¨ stand beim Ubertritt des Dampfes in die fl¨ ussige Phase und der Wärmewiderstand in der fl¨ ussigen Phase. Von diesen Teilwiderst¨ anden ist meistens der in der fl¨ ussigen Phase entscheidend. Der W¨ armewiderstand im Dampf ist wegen der guten Durchmi¨ schung oft gering, kann aber bei großer Uberhitzung eines Dampfes beträchtlich sein, ebenso auch bei der Kondensation von Dampfgemischen oder von Gemischen aus D¨ ampfen mit Inertgasen wegen der hemmenden Wirkung der ¨ Diffusion. Zum Ubergang des Dampfes in die fl¨ ussige Phase ist unmittelbar an der Phasengrenze zwischen Dampf und Fl¨ ussigkeit ein Temperaturgefälle erforderlich. Dieses ist jedoch sehr klein und beträgt meistens nur wenige hunucken absieht, die bei Wasser dertstel Kelvin, wenn man von sehr niedrigen Dr¨ unter 0,01 bar liegen [4.1]. Entsprechend ist der zugehörige molekularkineti” sche“ Widerstand an der Phasengrenze vom Dampf zur Fl¨ ussigkeit fast immer vernachlässigbar.

4.1.1 Die verschiedenen Arten der Kondensation Die eigentliche Kondensation kann nun in sehr unterschiedlicher Weise erfolgen. Bildet das Kondensat einen zusammenhängenden Film, Abb. 4.1, so spricht man von Filmkondensation. Der Kondensatfilm kann ruhen, laminar

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

479

oder turbulent str¨ omen. Sein W¨ armewiderstand ist, wenn man den molekularkinetischen Widerstand vernachl¨ assigen kann, entscheidend f¨ ur die Kondensationsgeschwindigkeit. Zur Berechnung gen¨ ugt es dann, diesen Widerstand zu ermitteln, wie es Nußelt [4.2] erstmalig f¨ ur den laminar abfließenden Film getan hat.

Abb. 4.1: Filmkondensation

Abb. 4.2: Tropfenkondensation

Statt in Form eines Films kann Kondensat, wie Abb. 4.2 zeigt, auch in Form von Tropfen entstehen. Man nennt diese Art der Kondensation die Tropfenkondensation. Ob Film- oder Tropfenkondensation vorherrscht, hängt davon ab, ob die Wand vollst¨ andig oder unvollständig benetzbar ist. Maßgebend daf¨ ur sind die an einen Fl¨ ussigkeitstropfen angreifenden Kräfte, wie sie in Abb. 4.3 dargestellt sind. Bedeutet σLG die Grenzflächenspannung (SIEinheit N/m) der Fl¨ ussigkeit (Index L) gegen ihren eigenen Dampf (Index G), σSL die der festen Wand (Index S) gegen die Fl¨ ussigkeit und σSG die der

Abb. 4.3: Grenzfl¨ achenspannungen am Tropfenrand bei unvollst¨ andiger Benetzung. Die Indizes S, L, G bedeuten die feste, die fl¨ ussige und die gasf¨ ormige Phase, β0 den Randwinkel

festen Wand gegen den Dampf, so muss sich im Gleichgewicht ein Randwinkel β0 einstellen nach der Gleichung σSG − σSL = σLG cos β0 .

(4.1)

Endliche Werte des Randwinkels bedeuten unvollständige Benetzung und Tropfenbildung. Ist hingegen β0 = 0, so breitet sich der Tropfen u ¨ber die ganze

480


Wand aus. Falls die sogenannte Benetzungsspannung σSG − σSL > σLG ist, so kann sich kein Gleichgewicht nach (4.1) mehr einstellen. Es tritt vollständige Benetzung und damit Filmbildung ein. In der Technik hat man oft Dampfgemische zu kondensieren, deren fl¨ ussige Phasen unmischbar sind. Dabei bildet sich, wie Abb. 4.4 zeigt, eine Mischform von Tropfen- und Filmkondensation. In einem ausgedehnten Fl¨ ussigkeitsfilm der einen Phase entstehen mehr oder weniger große Tropfen der anderen Phase, von denen einige bis zur Wand reichen, während andere in dem Fl¨ ussigkeitsfilm eingeschlossen sind oder auf ihm schwimmen. Schließlich kann sich bei ausreichender Unterk¨ uhlung eines Dampfes und bei Anwesenheit von Kondensationskeimen“, das sind winzige Partikel, an ” denen sich Kondensat anlagern kann, ein Nebel bilden, wie es Abb. 4.5 schematisch zeigt.

Abb. 4.4: Kondensation von D¨ ampfen unmischbarer Fl¨ ussigkeiten

Abb. 4.5: Kondensatbildung in Form von Nebeltropfen

4.1.2 Die Nußeltsche Wasserhauttheorie Kondensiert ein Dampf an einer senkrechten oder an einer geneigten Oberfl¨ ache, so bildet sich ein Fl¨ ussigkeitsfilm, der unter dem Einfluss der Schwerkraft abfließt. Wenn die Dampfgeschwindigkeit gering und der Fl¨ ussigkeitsfilm d¨ unn sind, herrscht im Kondensat laminare Strömung, und die Wärme wird hauptsächlich durch Leitung von der Kondensatoberfläche zur Wand u ussigkeitsfilm u ¨bertragen. Die durch Konvektion im Fl¨ ¨bertragene Wärme ist vernachlässigbar gering. Bereits im Jahre 1916 hat Nußelt [4.2] eine einfache Theorie zur Berechnung des Wärme¨ ubergangs bei der laminaren Filmkondensation an Rohren und senkrechten oder geneigten W¨ anden angegeben. Diese Theorie wird


481

im technischen Schrifttum als Nußeltsche Wasserhauttheorie bezeichnet. Sie soll im Folgenden am Beispiel der Kondensation an einer senkrechten Wand er¨ ortert werden. Wie Abb. 4.6 zeigt, soll ges¨ attigter Dampf der Temperatur ϑs an einer senkrechten Wand kondensieren, deren Temperatur ϑ0 konstant und niedriger als die Sättigungstemperatur ist. Es bildet sich ein zusammenhängender Kondensatfilm, der unter dem Einfluss der Schwerkraft nach unten fließt und dessen Dicke δ(x) dabei stetig zunimmt. Das Geschwindigkeitsprofil w(y), alt man aus einer Kräftebilanz. Unter wenn w f¨ ur wx geschrieben wird, erh¨ der Annahme einer station¨ aren Str¨ omung sind die von den Schubspannungen ausge¨ ubten Kr¨ afte im Gleichgewicht mit der Schwerkraft, und man erhält entsprechend der Skizze rechts in Abb. 4.6 L g dV +τ (y+ dy) dy dz+p(x) dy dz = τ (y) dx dz+p(x+ dx) dy dz . (4.2) Mit τ (y + dy) − τ (y) = (∂ τ /∂y) dy , p(x) dy dz − p(x + dx) dy dz = −(dp/dx) dx dy dz und dV = dx dy dz erhält man hieraus

dp ∂τ = −L g + . ∂y dx

Abb. 4.6: Laminarer Kondensatfilm an einer senkrechten Wand. Geschwindigkeitsund Temperaturprofil. Kr¨ aftebilanz

Betrachtet man nun den Dampfraum, so gilt dort dp = G g . dx Somit lautet die Kr¨ aftebilanz ∂τ = −(L − G )g . ∂y

(4.3)

482


Ist das Kondensat eine Newtonsche Fl¨ ussigkeit, so gilt τ = ηL

∂w . ∂y

(4.4)

Unter der Annahme temperaturunabh¨ angiger dynamischer Viskosität geht (4.3) somit u ¨ber in ∂ 2w ηL 2 = −(L − G )g , (4.5) ∂y woraus man nach Integration unter der Voraussetzung konstanter Dichte das in der Koordinate y parabolische Geschwindigkeitsprofil w=−

(L − G )g 2 y + c1 y + c0 2ηL

(4.6)

erhält. Die Koeffizienten c1 und c0 k¨ onnen noch von der Koordinate x abhängen. Zu ihrer Bestimmung stehen zwei Randbedingungen zur Verf¨ ugung: An der Wand, y = 0, ist die Geschwindigkeit w = 0, und wenn man weiter voraussetzt, dass die Dampfgeschwindigkeit nicht sehr groß und infolgedessen die vom Dampf auf den Kondensatfilm ausge¨ ubte Schubspannung gering ist, so ist an der Kondensatoberfl¨ ache y = δ ∂ w/∂y = 0 . Mit diesen beiden Randbedingungen werden c0 = 0 und c1 = (L − G )gδ/ηL , so dass man als Geschwindigkeitsprofil w=

(L − G )g 2 δ ηL

y y2 − 2 δ 2δ

(4.7)

erhält. Die mittlere Geschwindigkeit wm (x) u ¨ber die Filmdicke δ(x) findet man hieraus durch Integration zu 1 wm = δ

δ w dy =

(L − G )g 2 δ . 3ηL

(4.8)

0

Der abfließende Kondensatmassenstrom folgt zu L (L − G )gb 3 M˙ = wm L b δ = δ , 3ηL

(4.9)

¨ und die Anderung dieses Massenstroms mit der Filmdicke ist L (L − G )gb 2 dM˙ = δ . dδ ηL

(4.10)


483

Zur Bildung des Kondensatmassenstroms dM˙ ist ein Wärmestrom dQ˙ = uhren, wenn Δhv die Verdampfungsenthalpie ist. Dieser WärΔhv dM˙ abzuf¨ mestrom wird voraussetzungsgem¨ aß durch reine Wärmeleitung durch den Kondensatfilm u ¨bertragen. Die durch die Konvektion im Kondensatfilm u ¨bertragene Wärme sei vernachl¨ assigbar. Setzt man außerdem konstante Wärmeleitfähigkeit des Kondensats und damit, wie in Abb. 4.6 eingezeichnet, einen linearen Temperaturverlauf voraus, so ist der l¨ angs eines Flächenstreifens b dx abgef¨ uhrte Wärmestrom dQ˙ = λL

ϑs − ϑ 0 b dx . δ

Andererseits war aber dQ˙ = Δhv dM˙ , wobei der Kondensatmassenstrom dM˙ durch (4.10) gegeben ist. Damit geht die letzte Gleichung u ¨ber in λL

ϑs − ϑ 0 L (L − G )gb 2 b dx = Δhv dM˙ = Δhv δ dδ , δ ηL

oder es ist δ3

dδ λL ηL (ϑs − ϑ0 ) , = dx L (L − G )gΔhv

woraus man durch Integration unter Beachtung von δ(x = 0) = 0 die Filmdicke zu 1/4 4λL ηL (ϑs − ϑ0 ) δ= x (4.11) L (L − G )gΔhv erhält. Die Filmdicke w¨ achst mit der vierten Wurzel aus der Lauflänge x an. Wegen des als linear vorausgesetzten Temperaturprofils ist der örtliche Wärme¨ ubergangskoeffizient α gegeben durch α=

1/4 L (L − G )gΔhv λ3L 1 λL , = δ 4ηL (ϑs − ϑ0 ) x

(4.12)

und der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient f¨ ur eine Wand der Höhe H ist 1 αm = H

H 0

1/4 L (L − G )gΔhv λ3L 1 4 α dx = α(x = H) = 0,943 . 3 ηL (ϑs − ϑ0 ) H

(4.13) Sämtliche Stoffgr¨ oßen beziehen sich gem¨ aß der Ableitung auf das Kondensat und sind am besten bei der Mitteltemperatur ϑm = (ϑ0 + ϑs )/2 einzusetzen. Mit Hilfe der Energiebilanz f¨ ur den l¨ angs der Höhe H gebildeten Kondensatmassenstrom, M˙ Δhv = αm (ϑs − ϑ0 )bH , kann man noch die Temperaturdifferenz ϑs − ϑ0 eliminieren. Man erhält dann die der Gl. (4.13) ¨ aquivalente Beziehung

484


αm λL

ηL2 L (L − G )g

1/3 = 0,925

M˙ /b ηL

−1/3 .

(4.13a)

Wie aus den obigen Gleichungen hervorgeht, erzielt man große Wärme¨ ubergangskoeffizienten, wenn die Temperaturdifferenz ϑs − ϑ0 und die Wandhöhe klein sind. In beiden F¨ allen ist der Kondensatfilm d¨ unn und somit der Wärmewiderstand gering. Die obigen Ergebnisse gelten auch f¨ ur die Kondensation von Dämpfen an der Innen- oder an der Außenseite von senkrechten Rohren, wenn der Rohrdurchmesser groß im Vergleich zur Filmdicke ist. In (4.13a) ist dann die Breite b = πd zu setzen. Die bisherige Ableitung bezog sich auf die senkrechte Wand oder auf das senkrechte Rohr nicht zu kleinen Durchmessers. Ist die Wand um den Winkel γ gegen die Senkrechte geneigt, so hat man in den vorigen Gleichungen die Fallbeschleunigung g durch ihre wandparallele Komponente g cos γ zu ersetzen. angt dann mit dem f¨ ur die senkrechte Der Wärme¨ ubergangskoeffizient αγ h¨ Wand nach (4.12) durch folgende Beziehung zusammen αγ = α(cos γ)1/4

und entsprechend αmγ = αm (cos γ)1/4 .

(4.14)

Diese Ergebnisse lassen sich aber nicht auf geneigte Rohre anwenden, weil dann der Fl¨ ussigkeitsfilm nicht gleichm¨ aßig u ¨ber den Umfang abfließt. Nußelt hat auch den W¨ arme¨ ubergang bei der laminaren Filmkondensation an waagrechten Rohren berechnet. Man erh¨ alt eine Differentialgleichung f¨ ur die Filmdicke, die man numerisch integrieren kann. Bezeichnet man mit d den äußeren Rohrdurchmesser, so lassen sich die Ergebnisse f¨ ur den u ¨ber den Umfang gemittelten W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten αm,waag am waagrechten Rohr darstellen durch 1/4 L (L − G )gΔhv λ3L 1 αm,waag = 0,728 = 0,864 αm (H = πd/2) , ηL (ϑs − ϑ0 ) d (4.15) wobei αm der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient an der senkrechten Wand ur das gebildete Kondensat nach (4.13) ist.1 Mit Hilfe der Energiebilanz f¨ M˙ Δhv = αm,waag (ϑs − ϑ0 )π d L kann man aus der vorigen Gleichung noch die Temperaturdifferenz eliminieren und sie durch den Kondensatmassenstrom ersetzen. Man erhält dann die der Gl. (4.15) äquivalente Beziehung αm,waag λL 1

ηL2 L (L − G )g

1/3 = 0,959

M˙ /L ηL

−1/3 .

(4.15a)

Nußelt hat durch graphische Integration in Gl. (4.15) statt des Werts 0,728 den etwas ungenaueren Wert 0,725 ermittelt, der von allen sp¨ ateren Autoren u ¨bernommen wurde.


485

Aus dem Vergleich von (4.15) und (4.13) ergibt sich, dass der mittlere Wärme¨ ubergangskoeffizient an einem Rohr bei waagrechter Lage sich zu dem des senkrechten Rohres verh¨ alt wie αm,waag /αm = 0,772 (L/d)1/4 .

(4.16)

Wählt man also beispielsweise eine Rohrl¨ ange von 3 m und einen Durchmesser von 0,029 m, so wird αm,waag = 2,46 αm : An dem Rohr in waagrechter Lage kondensiert rund 2,5 mal so viel Dampf wie an dem in senkrechter Lage. Liegen bei einem waagrechten Rohrregister n Rohre untereinander, so wird der Kondensatfilm der unteren Rohre durch auftreffendes Kondensat verdickt und dadurch der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient verringert. Andererseits wird durch das von oben auftreffende Kondensat die Konvektion im Fl¨ ussigkeitsfilm verstärkt und so die Wirkung des h¨ oheren Wärmewiderstands teilweise ur n u aufgehoben. Als Mittelwert des W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten αmn f¨ ¨bereinanderliegende Rohre erh¨ alt man nach Nußelt αmn /αm1 = n−1/4 , wenn αm1 der mittlere Wärme¨ ubergangskoeffizient f¨ ur das oberste Rohr nach (4.15) ist. Dabei ist jedoch nicht die Verbesserung des Wärme¨ ubergangs durch die von auftreffendem Kondensat hervorgerufene st¨ arkere Konvektion ber¨ ucksichtigt. Der so berechnete W¨ arme¨ ubergangskoeffizient αmn ist also etwas zu klein. Genauere Werte erh¨ alt man nach Chen [4.3], wenn man außerdem ber¨ ucksichtigt, dass der Fl¨ ussigkeitsfilm sich mit dem von oben herabrieselnden Kondensat mischt und dadurch unterk¨ uhlt wird, so dass neuer Dampf kondensieren kann. Auf diese Weise ergibt sich cpL (ϑs − ϑ0 ) (n − 1) n−1/4 αm1 , (4.17) αmn = 1 + 0,2 Δhv wobei αm1 wiederum der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient f¨ ur das oberste Rohr nach (4.15) ist. Diese Beziehung gibt Messwerte an senkrecht untereinander angeordneten Rohren im Bereich cpL (ϑs − ϑ0 )(n − 1)/Δhv < 2 gut wieder.

4.1.3 Abweichungen von der Nußeltschen Wasserhauttheorie Experimente zur Filmkondensation ges¨ attigter Dämpfe an senkrechten Wänden ergaben Abweichungen bis zu +25% von den Wärme¨ ubergangskoeffizienten nach der Nußeltschen Wasserhauttheorie. Hierf¨ ur sind verschiedene Ursachen maßgebend.

486


a) Wellenbildung auf der Filmoberfl¨ ache Die Nußeltsche Wasserhauttheorie setzte eine gleichm¨ aßige, durch die weitere Kondensation anwachsende Filmdicke voraus. Experimente, u.a. [4.4] bis [4.6], zeigten jedoch, dass auch bei eindeutig laminarer Filmstr¨ omung die Filmoberfl¨ ache wellig sein kann. Derartige Wellen wurden nicht nur an rauhen, sondern auch an polierten W¨ anden beobachtet. Offenbar werden die in einer Str¨ omung stets vorhandenen kleinen St¨ orungen der Geschwindigkeit unter bestimmten Bedingungen nicht ged¨ ampft, und es bilden sich Wellen. Sie f¨ uhren zu einer Verbesserung des W¨ arme¨ ubergangs um 10 bis 25 % gegen¨ uber der Nußeltschen Wasserhauttheorie. Nach Grimley [4.7] erscheinen Wellen und Riffeln ab einer kritischen Reynolds-Zahl

1/2 1/3 3/4 g wm δ M˙ /b σ Re = = = 0,392 , (4.18) νL ηL L g νL2 at der worin σ die Oberfl¨ achenspannung und νL = ηL /L die kinematische Viskosit¨ Fl¨ ussigkeit sind. Aufgrund einer St¨ orungsrechnung haben van der Walt und Kr¨ oger [4.8] nachgewiesen, dass die Beziehung f¨ ur Wasser und einige andere Fl¨ ussigkeiten, wie das K¨ altemittel R12, eine recht gute N¨ ahrung f¨ ur das Einsetzen von Wellen darstellt. In fl¨ ussigem Natrium setzt jedoch Wellenbildung erst bei kritischen Reynolds-Zahlen ein, die rund f¨ unfmal gr¨ oßer sind als die nach (4.18) berechneten. Vernachl¨ assigt man die Wellenbildung und rechnet man nach der Nußeltschen Wasserhauttheorie, so erh¨ alt man zu kleine W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten, bemisst also den Kondensator zu groß. Leider gibt es derzeit noch keine verl¨ assliche Theorie zur Berechnung des Einflusses der Wellenbildung auf den W¨ arme¨ ubergang. F¨ ur den praktischen Gebrauch multipliziert man die W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten α nach der Nußeltschen Wasserhauttheorie mit einem Korrekturfaktor f , αWellen = f α ,

(4.19)

der den Einfluss der Wellenbildung ber¨ ucksichtigt. Da die Wellen zu einer im statistischen Mittel geringeren Filmdicke f¨ uhren, wird der W¨ arme¨ ubergang durch die Wellenbildung verbessert. Der obige Korrekturfaktor ist daher gr¨ oßer als eins und nach Experimenten von van der Walt und Kr¨ oger [4.8] weitgehend unabh¨ angig von der Kondensatmenge. Ein guter Mittelwert ist f = 1,15.

b) Temperaturabh¨ angige Stoffwerte In (4.12) und (4.13) der Nußeltschen Wasserhauttheorie sind die Stoffwerte des Kondensatfilms als temperaturunabh¨ angig vorausgesetzt. Diese Annahme ist gut erf¨ ullt, wenn der Temperaturabfall ϑs − ϑ0 im Kondensatfilm hinreichend klein ist. Andernfalls hat man zu ber¨ ucksichtigen, dass die dynamische Viskosit¨ at, die W¨ armeleitf¨ ahigkeit und in geringerem Maße auch die Dichte des Kondensatfilms mit der Temperatur ver¨ anderlich sind. Anstelle von (4.5) tritt dann die Impulsbilanz ∂w ∂ (4.20) ηL (ϑ) = − [L (ϑ) − G ] g , ∂y ∂y und das Temperaturprofil im Kondensatfilm ergibt sich unter der Annahme, dass W¨ arme im Kondensatfilm nur durch Leitung u ¨bertragen wird, aus der Energiebilanz ∂ϑ ∂ λL (ϑ) =0 . (4.21) ∂y ∂y


487

Diese Gleichungen sind unter den Randbedingungen w(y = 0) = 0 ϑ(y = 0) = ϑ0

∂ w(y = δ) =0 , ∂y

, und

ϑ(y = δ) = ϑs

zu l¨ osen. Der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient folgt definitionsgem¨ aß aus

∂ϑ ˙ . b dx = Δhv dM dQ˙ = αb dx (ϑs − ϑ0 ) = −λ0 ∂y y=0

(4.22)

Auf die Wiedergabe der L¨ osung von (4.20) und (4.21) unter den angegebenen Randbedingungen sei hier verzichtet. Man findet Einzelheiten hierzu in einer Arbeit von Voskresenskij [4.9]. Mit der zus¨ atzlichen Annahme, dass die Dichte im Fl¨ ussigkeitsfilm nur wenig von der Temperatur abh¨ angt und sehr viel gr¨ oßer als die des Dampfes ist, L G , erh¨ alt man das Ergebnis, dass das Verh¨ altnis des W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten α zum W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten αN u nach der Nußeltschen Wasserhauttheorie sich durch

α λs ηs =f ; (4.23) αN u λ 0 η0 darstellen l¨ asst. Der Index s zeigt an, dass die Stoffwerte des Kondensatfilms bei S¨ attigungstemperatur, der Index 0, dass sie bei Wandtemperatur zu bilden sind. Der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient αN u nach der Nußeltschen Wasserhauttheorie, Gl. (4.12), ist mit den gemittelten Stoffwerten ηL =

1 (ηs + η0 ) 2

1 (λs + λ0 ) 2

und

λL =

und

λ∗ = λs /λ0

zu berechnen. Mit den Abk¨ urzungen η ∗ = ηs /η0 lautet (4.23) vollst¨ andig α = αN u

,1/4 λ∗ 1 + η∗ ∗ ∗ ∗ ∗2 . 5 + λ (14 + 11λ ) + ∗ (1 + 4λ + 5λ ) 10(1 + λ∗ )3 η

(4.24)

Im Grenzfall λ∗ = η ∗ = 1 erh¨ alt man α = αN u . In Abb. 4.7 ist (4.24) dargestellt. Wie man aus dem Diagramm erkennt, kann die Temperaturabh¨ angigkeit der dynamischen Viskosit¨ at und der W¨ armeleitf¨ ahigkeit von merklichem Einfluss auf den W¨ arme¨ ubergang sein, sofern sich diese Stoffwerte stark mit der Temperatur ¨ andern. F¨ ur kondensierenden Wasserdampf ¨ andern sich bei einem Temperaturunterschied zwischen S¨ attigungs- und Wandtemperatur ϑs − ϑ0 ≤ 50 K die Stoffwerte λs /λ0 zwischen 0,6 und 1,2 und ηs /η0 zwischen 1 und 1,3. Dieser Bereich ist in Abb. 4.7 schraffiert eingezeichnet. Wie man sieht, sind innerhalb dieses Bereichs die Abweichungen von der Nußeltschen Wasserhauttheorie kleiner als 3%.

488


Abb. 4.7: Einfluss temperaturabh¨ angiger Stoffwerte auf den W¨ arme¨ ubergang bei Filmkondensation [4.9]

¨ c) Unterk¨ uhlung des Kondensats und Uberhitzung des Dampfes Da die Wandtemperatur geringer als die S¨ attigungstemperatur ist, wird an der Wand nicht nur die Kondensationsenthalpie, sondern auch noch ein W¨ armestrom zur Unterk¨ uhlung des Kondensats abgef¨ uhrt. In einem Querschnitt an der Stelle x ist der Enthalpiestrom des abfließenden Kondensats ˙ (h − hL ) = M ˙ Δhv + M

δ L w b cpL (ϑs − ϑ) dy ,

(4.25)

0

ussigkeit ist. H¨ atte die Fl¨ ussigkeit wenn hL die mittlere spezifische Enthalpie der Fl¨ are h − hL = h − h . u attigungstemperatur ϑ = ϑs , so w¨ ¨ber einen Querschnitt die S¨ Setzt man wieder ein lineares Temperaturprofil y ϑs − ϑ = (ϑs − ϑ0 ) 1 − (4.26) δ voraus, und nimmt man weiter temperaturunabh¨ angige Stoffwerte im Kondensat an, so erh¨ alt man nach Einsetzen der Temperatur aus (4.26) und der Geschwindigkeit aus (4.7) in (4.25) als Ergebnis der Integration

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren (h − hL ) = Δhv +

3 cpL (ϑs − ϑ0 ) = Δh∗v . 8

489 (4.27)

Wie hieraus folgt, ist unter den getroffenen Voraussetzungen die spezifische Enangig von der Filmdicke. Die Gleithalpie hL des abfließenden Kondensats unabh¨ chung zeigt weiter, dass man die Verdampfungsenthalpie Δhv in den Gleichungen der Nußeltschen Wasserhauttheorie durch die Enthalpiedifferenz Δh∗v zu ersetzen hat. Ber¨ ucksichtigt man außerdem, dass das Temperaturprofil im Kondensatfilm schwach gekr¨ ummt ist, so erh¨ alt man nach Rohsenow [4.10] anstelle von (4.27) f¨ ur Δh∗v den genaueren Wert Δh∗v = Δhv + 0,68 cpL (ϑs − ϑ0 ) .

(4.28)

Diese Beziehung gilt f¨ ur Prandtl-Zahlen P r > 0,5 und cpL (ϑs − ϑ0 )/Δhv ≤ 1. Die ¨ beste Ubereinstimmung mit Experimenten ergab sich, wenn man die Stoffwerte, insbesondere die dynamische Viskosit¨ at ηL , bei einer Temperatur ϑL = ϑ0 +1/4(ϑs − ϑ0 ) einsetzte. Eine weitere, meistens ebenfalls geringe Abweichung von der Nußeltschen Wasserhauttheorie ergibt sich, wenn der Dampf u ¨berhitzt ist. Außer der Verdampfungs¨ uhren, enthalpie hat man dann noch die Uberhitzungsenthalpie cpG (ϑG − ϑs ) abzuf¨ um den u attigungstemperatur ϑs ¨berhitzten Dampf von der Temperatur ϑG auf die S¨ an der Phasengrenze abzuk¨ uhlen. Anstelle der Enthalpiedifferenz Δhv nach (4.28) hat man dann in (4.13) die Enthalpiedifferenz Δh∗vü = cpG (ϑG − ϑs ) + Δhv + 0,68 cpL (ϑs − ϑ0 )

(4.29)

einzusetzen. Da die Temperaturdifferenz durch den Kondensatfilm weiterhin ϑs − ϑ0 ist, ergibt sich auch die u armestromdichte wie zuvor aus q˙ = α(ϑs −ϑ0 ) ¨bertragene W¨ ∗ ˙ /A = q/Δh und die Massenstromdichte des Kondensats aus M ˙ v¨ u. In technischen F¨ allen erreichen die Unterk¨ uhlung des Kondensats, die Auftriebs¨ kr¨ afte und die Uberhitzung des Dampfes jedoch selten solche Werte, dass man nach den verbesserten Gln. (4.28) bzw. (4.29) rechnen muss.

4.1.4 Einfluss nicht kondensierbarer Gase Kondensiert ein Dampf in Anwesenheit eines nicht kondensierbaren Gases, so muss er durch das Gas hindurch zur Phasengrenze diffundieren. Dazu ist ein Partialdruckgefälle zur Phasengrenze erforderlich. Wie Abb. 4.8 zeigt, fällt der Partialdruck p1 des Dampfes von einem konstanten Wert p1G in größerer Entfernung von der Phasengrenze auf einen geringeren Wert p1I an der Phasengrenze. Entsprechend sinkt auch die zugehörige Sättigungstemperatur ϑs (p1 ) bis zum Wert ϑI an der Phasengrenze. Der Druck p0 des Inertgases steigt zur Phasengrenze hin so an, dass die Summe p1 + p0 stets den konstanten Gesamtdruck p ergibt. Die Sättigungstemperatur ϑI an der Phasengrenze kann je nach Gasgehalt beträchtlich unter der zum Druck p geh¨ orenden Sättigungstemperatur ϑs (p) liegen, die sich erg¨ abe, wenn kein Inertgas vorhanden wäre. Durch das Inertgas wird somit die Temperaturdifferenz zwischen Phasengrenze und Wand

490


herabgesetzt und damit auch der W¨ arme¨ ubergang verringert. Um dies zu vermeiden, sorgt man daf¨ ur, dass das Inertgas u ¨ber Ventile abgeblasen werden kann. Große Kondensatoren sind mit einem Dampfstrahlapparat verbunden, der das Gas absaugt. In anderen F¨ allen, beispielsweise bei der Kondensation von Wasser aus Gemischen von Wasserdampf und Luft oder bei der Kondensation von Ammoniak aus seinen Gemischen mit Luft, ist zwangsläufig stets Inertgas anwesend; sein Einfluss auf den Wärme¨ ubergang muss daher ber¨ ucksichtigt werden. Den Einfluss des Inertgases auf den W¨ arme¨ ubergang bestimmt man mit Hilfe der Energiebilanz • A(ϑG − ϑI ) . Q˙ = αL A(ϑI − ϑ0 ) = M˙ Δhv + αG

(4.30)

• kennzeichnet hierin den vom Dampf-GasDer Wärme¨ ubergangskoeffizient αG Gemisch an die Phasengrenze u ¨bertragenen Wärmestrom. Der hochgestellte Punkt soll darauf hinweisen, dass W¨ arme nicht nur durch Leitung, sondern auch durch einen wandnormalen Stoffstrom u ¨bertragen wird. In einem • von den Stoffwerten des Gases und strömenden Gas wird die Gr¨ oße von αG der Strömungsgeschwindigkeit bestimmt.

Abb. 4.8: Einfluss von Inertgas auf den Partialdruck- und den Temperaturverlauf. ϑG Dampftemperatur, ϑs S¨ attigungstemperatur, p1 Partialdruck des kondensierenden Dampfes, p0 Partialdruck des Inertgases, p = p1 + p0 Gesamtdruck

Der Massenstrom M˙ des an die Kondensatoberfläche transportierten Dampfes wächst mit dem Unterschied der Partialdr¨ ucke p1G = y1G p im Dampfraum und p1I an der Phasengrenze. Nach den Gesetzen der Stoff¨ ubertragung, siehe hierzu (1.195), ist p − p1I , M˙ = G βG A ln p − p1G

(4.31)

wenn G die Dichte des Gas-Dampfgemisches beim Druck p und der Temperatur ϑG ist. Diese Beziehung gilt streng genommen nur, wenn die Temperatur bis zur Phasengrenze konstant ist. Abgesehen von tiefen Temperaturen, wirkt sich die Annahme einer konstanten Temperatur jedoch auf die Größe M˙ kaum


491

fehlerhaft aus. Weiter sind p1I der Partialdruck des kondensierenden Dampfes an der Phasengrenze und p1G derjenige im Kern der Gas-Dampfströmung. Den Stoff¨ ubergangskoeffizienten βG kann man nach der bekannten Lewisschen Beziehung (1.198) n¨ aherungsweise auf den Wärme¨ ubergangskoeffizienten zur¨ uckf¨ uhren αG βG = Le−2/3 . cpG G ortert, Stoff- und Wärme¨ ubergangsDie Werte βG und αG sind, wie schon er¨ koeffizienten einer Dampfstr¨ omung bei der die Kondensatoberfläche als eine ruhende feste Wand angesehen wird. Wir setzen in (4.30) • = αG ζ , αG

(4.32)

worin der Korrekturfaktor ζ, die sog. Ackermann-Korrektur“ [4.11] ber¨ uck” sichtigt, dass der Dampf in Wirklichkeit nicht entlang einer festen Wand strömt, sondern ein Teilstrom an der Phasengrenze verschwindet. Man erhält die Ackermann-Korrektur in ¨ ahnlicher Weise wie die Stefan-Korrektur (1.194) f¨ ur den Stoff¨ ubergang, indem man die Filmtheorie nach Abschn. 1.5.1 auf Vorgänge des Wärme¨ ubergangs der hier betrachteten Kondensation oder Absaugung anwendet, zu ζ=

−φ exp(−φ) − 1

mit

φ=

|M˙ |cpG . AαG

Mit Hilfe von (4.31) erh¨ alt man aus der Energiebilanz (4.30) αG Δhv −2/3 p − p1I ϑI − ϑ0 = Le ln + ζ(ϑG − ϑI ) αL cpG p − p1G

(4.33)

(4.34)

als Bestimmungsgleichung f¨ ur die unbekannte Temperatur ϑI an der Phasengrenze. Diese Gleichung kann nur iterativ gelöst werden. F¨ ur kleine Inertgasgehalte p0 p bzw. p1 → p, wird der Quotient (p − p1I )/(p − p1G ) und damit auch der erste Summand in der Klammer groß gegen¨ uber dem Term ζ(ϑG − ϑI ). Gl. (4.34) vereinfacht sich dann zu ϑI − ϑ0 =

αG Δhv −2/3 p − p1I Le ln . αL cpG p − p1G

(4.35)

Um den Einfluss des Inertgases auf den W¨ arme¨ ubergang abzuschätzen, betrachten wir einen Kondensatfilm der Dicke δ. Vor diesem befinde sich ein Dampf mit Inertgas. Falls kein Inertgas vorhanden wäre, w¨ urde an der Oberuhrte fläche des Films S¨ attigungstemperatur ϑs (p) herrschen und die abgef¨ Wärmestromdichte w¨ are λL (ϑs − ϑ0 ) . q˙ = δ Durch das Vorhandensein von Inertgas wird bei gleicher Filmdicke eine geringere Wärmestromdichte

492


q˙G =

λL (ϑI − ϑ0 ) δ

u altnis ¨bertragen. Das Verh¨ ϑI − ϑ0 q˙G = ≤1 q˙ ϑs − ϑ 0

(4.36)

gibt an, um wieviel sich die W¨ armestromdichte durch das Inertgas verringert. Mit (4.35) ergibt sich die N¨ aherungsbeziehung αG Δhv Le−2/3 p − p1I q˙G = ln . q˙ (ϑs − ϑ0 )αL cpG p − p1G

(4.37)

Wie man daraus erkennt, sollte besonders bei großen Temperaturdifferenzen ϑs − ϑ0 die Str¨ omungsgeschwindigkeit im Dampfraum hinreichend groß gewählt werden, damit der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient αG des Dampfes groß und somit die W¨ armestromdichte q˙G nicht zu klein wird. Als Ergebnis einer genaueren Rechnung zeigen die Abb. 4.9 und 4.10 das ˙ aufgetragen u Verhältnis der beiden W¨ armestromdichten q˙G /q, ¨ber der Temperaturdifferenz ϑs − ϑ0 mit dem Inertgasanteil als Parameter. Beide Bilder

Abb. 4.9: Einfluss von Inertgas auf den W¨ arme¨ ubergang bei Kondensation in einer erzwungenen Str¨ omung von Wasserdampf mit Luft; armestromdichte mit, q˙ q˙G W¨ ohne Inertgas

gelten f¨ ur die Kondensation von Wasserdampf aus einem Gemisch mit Luft. Abb. 4.9 gilt f¨ ur die Kondensation bei erzwungener Strömung, wenn der Einfluss der Schwerkraft gegen¨ uber dem der Tr¨ agheitskraft vernachlässigt werden kann, wie dies bei der Str¨ omung u ¨ber eine waagrechte Platte der Fall ist. Abb. 4.10 zeigt den umgekehrten Fall, bei dem die Trägheitskräfte von vernachlässigbarem Einfluss gegen¨ uber der Schwerkraft sind. Dies entspricht der freien Strömung an einer senkrechten Platte. Aus beiden Bildern ist deutlich


493

Abb. 4.10: Einfluss von Inertgas auf den W¨ arme¨ ubergang bei Kondensation in einer freien Str¨ omung von Wasserdampf mit Luft [4.12]; q˙G W¨ armestromdichte mit, q˙ ohne Inertgas

ersichtlich, dass der W¨ arme¨ ubergang sich mit zunehmendem Inertgasanteil verringert, und dass er bei freier Str¨ omung durch das Inertgas viel stärker herabgesetzt wird als bei erzwungener Str¨ omung. Beispiel 4.1: An einer senkrechten Wand kondensiert ges¨ attigter Wasserdampf vom Druck 9,58 · 10−3 MPa. Die Wandtemperatur liegt 5 K unter der S¨ attigungstemperatur. Man berechne folgende Gr¨ oßen in einer Entfernung von H = 0,08 m von der Wandoberkante: Die Filmdicke δ(H), die mittlere Geschwindigkeit wm des abfließenden Kondensats, dessen Massenstrom M˙ /b je m Plattenbreite, den ortlichen und den mittleren W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten. ¨ An welcher Stelle H1 ist der Massenstrom M˙ /b doppelt so groß wie an der Stelle H? Warum ist der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient auf der Strecke H < x ≤ H1 kleiner als α(x ≤ H)? Gegeben sind: S¨ attigungstemperatur bei 9,58 · 10−3 MPa: ϑs = 45 ℃, Verdampfungsenthalpie Δhv = 2394 kJ/kg, Dichte der Fl¨ ussigkeit L = 992 kg/m3 , W¨ armeleitf¨ ahigkeit λL = 0,632 W/Km, dynamische Viskosit¨ at ηL = 6,38 · 10−4 kg/sm, Dichte des Dampfes G L . Nach (4.11) ist die Filmdicke δ(H) =

4 · 0,632 W/K m · 6,38 · 10−4 kg/s m · 5 K · 0,08 m 9922 kg2 /m6 · 9,81 m/s2 · 2394 · 103 J/kg

1/4

δ(H) = 7,268 · 10−5 m ≈ 0,073 mm . Die mittlere Geschwindigkeit ist nach (4.8) wm =

992 kg/m3 · 9,81 m/s2 · (7,268 · 10−5 )2 m2 = 0,0269 m/s . 3 · 6,38 · 10−4 kg/s m

Nach (4.9) ist ˙ /b = wm L δ = 0,0269 m/s · 992 kg/m3 · 7,268 · 10−5 m = 1,94 · 10−3 kg/s m . M Der ¨ ortliche W¨ arme¨ ubergangskoeffizient an der Stelle H ist α(H) =

0,632 W/K m λL = = 8696 W/m2 K . δ 7,268 · 10−5 m

494


Aus (4.13) folgt der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient αm (H) =

4 α(H) = 11594 W/m2 K . 3

Weiter soll sein M˙ (H1 ) M˙ (H) =2 = 3,88 · 10−3 kg/sm . b b Dazu geh¨ ort nach (4.9) eine Filmdicke

δ(H1 ) =

M˙ (H1 ) · 3ηL 2L g b

1/3

=

3,88 · 10−3 kg/sm · 3 · 6,38 · 10−4 kg/sm 9922 kg2 /m6 · 9,81 m/s2

1/3

δ(H1 ) = 9,16 · 10−5 m . Aus (4.11) folgt mit x = H1 H1 = δ 4

2L g Δ hv 4 λL ηL (ϑs − ϑ0 )

und damit H1 = (9,16 · 10−5 )4 m4 ·

9922 kg2 /m6 · 9,81 m/s2 · 2394 · 103 J/kg = 0,202 m . 4 · 0,632 W/K m · 6,38 · 10−4 kg/s m · 5 K

Auf der Strecke H < x ≤ H1 ist der Film dicker als auf der Strecke x ≤ H, daher ist der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient kleiner. Beispiel 4.2: Im Rohrb¨ undelkondensator einer K¨ alteanlage, wie er in Abb. 4.11 skizziert ist, sollen 103 kg/h Sattdampf Ammoniak (NH3 ), vom Druck 2,034 MPa kondensiert werden. Zur Verf¨ ugung steht K¨ uhlwasser von 18 ℃, das sich um 10 K erw¨ armen darf. Zum Bau des Kondensators werden Stahlrohre von 2 m L¨ ange, 16 mm Außendurchmesser und 1,5 mm Wanddicke verwendet.

Abb. 4.11: Rohrb¨ undelkondensator


495

Wieviele Rohre sind erforderlich? Wie groß ist der Mengenstrom des K¨ uhlwassers? Gegeben sind folgende Stoffdaten von Ammoniak beim S¨ attigungsdruck 2,034 ussigkeit L = 562,86 MPa: S¨ attigungstemperatur ϑs = 50 ℃, Dichte der Fl¨ armekapazit¨ at der kg/m3 , Verdampfungsenthalpie Δhv = 1050,5 kJ/kg, spez. W¨ Fl¨ ussigkeit cpL = 5,0635 kJ/kg K, dynamische Viskosit¨ at ηL = 103,79 · 10−6 kg/s m, W¨ armeleitf¨ ahigkeit λL = 416,32 · 10−3 W/K m. Der W¨ arme¨ ubergangsarmekakoeffizient auf der Wasserseite betr¨ agt αmi = 2000 W/m2 K, die spez. W¨ pazit¨ at des Wassers cpW = 4,182 kJ/kg K. Die W¨ armeleitf¨ ahigkeit der Stahlrohre ist λS = 20 W/K m. Den W¨ armewiderstand der Kupferwand kann man vernachl¨ assigen. Die erforderliche Leistung betr¨ agt 3 ˙ Δhv = 10 kg/h · 1050,5 kJ/kg = 291,8 kW . Q˙ = M 3600 s/h

Die K¨ uhlwassermenge folgt aus ˙W = M

Q˙ 291,8 kW = = 6,98 kg/s . cpW ΔϑW 4,182 kJ/kg K · 10 K

Die erforderliche Fl¨ ache folgt aus Q˙ = km A Δϑm mit Δϑm =

(ϑs − ϑWe ) − (ϑs − ϑWa ) (50 − 18) K − (50 − 28) K = = 26,69 K , ln[(ϑs − ϑWe )/(ϑs − ϑWa )] ln[(50 − 18) K/(50 − 28) K]

damit wird km A = Andererseits ist

Q˙ 291,8 kW = = 10,93 · 103 W/K . Δϑm 26,69 K

1 δS 1 1 + + = km A αmi Ai λS Am αma Aa

und daher mit A = Aa 1 1 δS 1 = + + km αmi (di /da ) λS (dm /da ) αma

mit

dm =

da − d i = 14,45 mm . ln(da /di )

Der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient αm auf der Kondensatseite berechnet sich aus ˙ /L (4.15a) und (4.17). Er enth¨ alt in (4.15a) noch den Kondensatmassenstrom M am obersten Rohr, den man bestimmen k¨ onnte, wenn die Zahl der Rohre bzw. deren Oberfl¨ ache A bekannt w¨ are. Wir sch¨ atzen daher zun¨ achst αma ab, berechnen damit die Oberfl¨ ache A und pr¨ ufen anschließend die Sch¨ atzung. Sch¨ atzwert αma = 3 000 W/m2 K. Damit wird 1 1 1,5 · 10−3 m = + + km 2000 W/m2 K · (13 mm/16 mm) 20 W/Km · (14,45 mm/16 mm) 1 + 3000 W/m2 K = 1,0318 · 10−3

m2 K W

km = 969,2 W/m2 K .

496


Damit wird die Fl¨ ache A = km A/km =

10,93 · 103 W/K = 11,28 m2 . 969,2 W/m2 K

Die Zahl der Rohre ist 11,28 m2 A = = 112 . da π L 16 · 10−3 m · π · 2 m √ Wir w¨ ahlen 120 Rohre. Es liegen rund 120 ≈ 11 Rohre u ¨bereinander. Die mittlere Wandtemperatur ϑ0 folgt aus: Q˙ = αma A(ϑs − ϑ0 ) zu z=

ϑ0 = ϑs −

Q˙ αma A

= 50 ℃ −

291,8 · 103 W = 41,4 ℃ . 3000 W/m2 K · 11,28 m2

¨ Uberpr¨ ufung von αma : Nach (4.15a) ist

αm, waag = αm1 = λL

ηL2 2L g

−1/3 0,959

˙ /L M ηL

−1/3

−1/3 (103,79 · 10−6 )2 kg2 /s2 m2 = 416,32 · 10−3 W/Km · (562,86)2 kg2 /m6 · 9,81 m/s2

−1/3 0,278 kg/s · 0,959 · 11 · 2 m · 103,79 · 10−6 kg/s m αm, waag = 5323 W/m2 K . Aus (4.17) erh¨ alt man damit αmn = αma 506,35 kJ/kg K · (50−41,4) K = 1 + 0,2 · · (10−1) · 11−1/4 · 5323 W/m2 K 1050,5 kJ/kg αma = 2716 W/m2 K . ubrigt sich. Eine Korrektur des Sch¨ atzwertes f¨ ur αma er¨ Anmerkung: Bei der Berechnung von αma nach (4.15a) und (4.17) begeht man einen Fehler, weil beide Gleichungen konstante Wandtemperaturen voraussetzen. Diese ist im vorliegenden Fall ver¨ anderlich, da die K¨ uhlwassertemperatur und damit auch die Wandtemperatur mit dem Str¨ omungsweg des K¨ uhlwassers andert, ansteigt. Da sich jedoch αm, waag nach (4.15) nur mit ∼ (ϑs − ϑ0 )−1/4 ¨ wirkt sich in unserem Beispiel dieser Fehler praktisch nicht auf das Ergebnis aus.

4.1.5 Filmkondensation mit turbulenter Wasserhaut Die Nußeltsche Wasserhauttheorie setzte eine laminare Filmströmung voraus. Da die abfließende Kondensatmenge stromabwärts zunimmt, wächst auch die mit der Filmdicke gebildete Reynolds-Zahl ständig an. Der anfänglich glatte Film wird wellig und geht schließlich in einen turbulenten Film u ¨ber; der


497

Wärme¨ ubergang ist deutlich besser als bei laminarem Film. Den Wärme¨ ubergang bei turbulenter Filmkondensation hat zuerst Grigull [4.14] näherungsweise berechnet, indem er die Prandtl-Analogie f¨ ur die Rohrströmung auf die turbulente Kondensathaut u ¨bertrug. Als neuer Parameter tritt dabei neben den Größen f¨ ur die laminare Filmkondensation die Prandtl-Zahl auf. Die Ergebnisse lassen sich nicht geschlossen darstellen. Um zu einer u ¨bersichtlichen Darstellung zu kommen, definieren wir zun¨ achst die Reynolds-Zahl des Kondensatfilms M˙ wm δ L b wm δ = . (4.38) = Re = νL νL L b ηL b Diese lässt sich im Bereich der Nußeltschen Wasserhauttheorie mit Hilfe des Massenstroms f¨ ur das abfließende Kondensat, Gl. (4.9), L (L − G ) g b 3 δ M˙ = wm L b δ = 3 ηL unter Beachtung von L G auch umformen in M˙ /b 2 g Re = = L 2 δ3 ηL 3 ηL

oder

1/3

(3 Re)

=

g νL2

1/3 δ .

Eliminiert man hierin noch die Filmdicke δ mit Hilfe von α = λL /δ, so erhält man als andere Schreibweise f¨ ur die W¨ arme¨ ubergangsgleichung der Nußeltschen Wasserhauttheorie Nu =

α (νL2 /g)1/3 = (3 Re)−1/3 , λL

(4.39)

wobei die Reynolds-Zahl durch (4.38) gegeben ist. Bei turbulenter Kondensathaut ist nun, wie Grigull zeigte, N u = f (Re, P r) . Ergebnisse einer analytischen L¨ osung der Differentialgleichungen f¨ ur den turbulenten Kondensatfilm an einem senkrechten Rohr gibt Abb. 4.12 wieder [4.15]. Kurve A stellt die Nußeltsche Wasserhauttheorie nach (4.39) dar. Die Reynolds-Zahl Re = wm δ/νL kann man f¨ ur den Kondensatfilm an einem senkrechten Rohr wegen der Massenbilanz M˙ = wm d π δ L und mit ηL = νL L auch Re = M˙ /(d π ηL ) schreiben. Da der Rohrdurchmesser d, der den Berechnungen von Abb. 4.12 zugrunde liegt, viel größer als die Filmdicke vorausgesetzt wurde, hat die Kr¨ ummung des Kondensatfilms keinen Einfluss auf den Wärme¨ ubergang. Die Ergebnisse gelten daher auch f¨ ur die Kondensation an einer senkrechten ebenen Platte mit der nach (4.38) definierten Reynolds-Zahl. ¨ In einem Ubergangsbereich zwischen laminarer und turbulenter Konden¨ sation ist der Kondensatfilm wellig. In Abb. 4.12 ist dieser Ubergangsbereich nach Ergebnissen von Henstock und Hanratty [4.16] gestrichelt eingezeichnet.

498


¨ Uber die Größe der Reynolds-Zahl f¨ ur den Umschlag von der laminaren in die turbulente Str¨ omung findet man in der Literatur unterschiedliche Angaben. Wie Abb. 4.12 zeigt, kann man eine solche kritische Reynolds-Zahl nicht eindeutig festlegen, wie das gelegentlich versucht wurde. Vielmehr schließt sich ¨ an den laminaren Bereich zun¨ achst ein Ubergangsbereich mit welligem Film an, in dem die Nußelt-Zahl von den Werten der Wasserhauttheorie abweicht. ¨ Dieser Ubergangsbereich beginnt bei sehr kleinen Reynolds-Zahlen Reu¨ , wenn die Prandtl-Zahl hinreichend groß ist, w¨ ahrend bei kleinen Prandtl-Zahlen ¨ die laminare Str¨ omung nach einem kurzen Ubergangsbereich in die turbulente Strömung u ¨bergeht. Die kritische Reynolds-Zahl hängt daher von der Prandtl-Zahl ab und kann weit unterhalb einer kritischen Reynolds-Zahl von ¨ 400 liegen, bei welcher der Ubergangsbereich etwa endet. Lässt man eine Abweichung von 1 % von den Werten der Nußeltschen Wasserhauttheorie zu, so gilt diese bis zu einer Reynolds-Zahl Reu¨ = 256 P r−0,47 ,

(4.40)

g¨ ultig f¨ ur 1 ≤ P r ≤ 10. Außerdem muss zur Anwendung der Wasserhauttheorie die vom Dampf ausge¨ ubte Schubspannung hinreichend klein sein. Im turbulenten Bereich, bei Reynolds-Zahlen u ¨ber Re = 400, erreichen die NußeltZahlen Werte, die insbesondere bei gr¨ oßeren Prandtl-Zahlen um ein Vielfaches u ¨ber denen der Wasserhauttheorie liegen. ¨ Im Ubergangsbereich nimmt die Nußelt-Zahl zunächst mit der ReynoldsZahl ab und dann nach Durchlaufen eines Minimums wieder zu. Die mit der Reynolds-Zahl wachsende Filmdicke bewirkt zuerst eine Abnahme des Wär-

¨ Abb. 4.12: Ortliche Nußelt-Zahl in Abh¨ angigkeit von der Reynolds-Zahl, nach [4.15], bei Kondensation an einem senkrechten Rohr oder an einer senkrechten ebenen Wand


499

me¨ ubergangs, dann u ¨berwiegt aber der mit der Reynolds-Zahl ansteigende Einfluss der Turbulenz und f¨ uhrt zu einer Verbesserung des Wärme¨ ubergangs. Man hat zu beachten, dass in Abb. 4.12 ¨ ortliche Nußelt-Zahlen aufgetragen sind. In einem Kondensator ¨ andert sich die mit der Filmdicke gebildete Reynolds-Zahl vom Wert null bei Beginn der Kondensation bis zu einem ¨ Endwert. Dazwischen k¨ onnen im Ubergangsbereich Zustände mit schlechtem Wärme¨ ubergang liegen, so dass der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient kleiner sein kann als der ¨ ortliche im Austrittsquerschnitt. Abb. 4.13 gibt die zu Abb. 4.12 gehörenden mittleren W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten gemäß αm (ϑs − ϑ0 ) = Δhv M˙ /A wieder, wobei A die Rohroberfl¨ ache und M˙ der am unteren Rohrende ablaufende Kondensatmassenstrom ist.

Abb. 4.13: Mittlere Nußelt-Zahl in Abh¨ angigkeit von der Reynolds-Zahl, nach [4.15], bei Kondensation an einem senkrechten Rohr oder an einer senkrechten ebenen Wand

Wie man daraus erkennt, sollte man bei kleinen Prandtl-Zahlen zur Erzielung eines guten W¨ arme¨ ubergangs einen Kondensator möglichst im Bereich der Nußeltschen Wasserhauttheorie, also bei kleinen Reynolds-Zahlen betreiben. Dies kann durch Verwendung kurzer Rohre erreicht werden. Ist dagegen die Prandtl-Zahl groß, so ist ein guter W¨ arme¨ ubergang vorwiegend im turbulenten Bereich, also bei Verwendung hinreichend langer Rohre, zu erreichen. F¨ ur den Bereich des turbulenten Films bei Reynolds-Zahlen Re ≥ 400 hat Isashenko [4.17] ausgehend von einer L¨ osung der Impuls- und Energiegleichung der turbulenten Str¨ omung einfache Gebrauchsformeln entwickelt, die aus der Literatur bekannte Messwerte gut wiedergeben. Danach ist die örtliche Nußelt-Zahl gegeben durch

500


Nu =

α (νL2 /g)1/3 = 0,0325 Re1/4 P r1/2 λL

(4.41)

mit der Reynolds-Zahl Re = (M˙ /b)/ηL = Γ/ηL und der Prandtl-Zahl P r des Kondensats. Die Gleichung gilt im Bereich 1 ≤ P r ≤ 25 und 400 ≤ Re ≤ 7 · 105 . Die Reynolds-Zahl des Kondensats erhält man aus

Re = 89 + 0,024 P r mit Z=

1/2

Pr P r0

4/3

1/4

(Z − 2300)

x cpL (ϑs − ϑ0 ) 1 . 2 Δhv P r (νL /g)1/3

(4.42)

(4.42a)

In diesen Gleichungen sind alle Stoffwerte bei Sättigungstemperatur einzusetzen außer der Prandtl-Zahl P r0 , die bei Wandtemperatur zu bilden ist. Nach Untersuchungen von Labunzov [4.18] weichen gemessene Wärme¨ ubergangskoeffizienten um höchstens ±12 % von den berechneten ab. ¨ Zur Berechnung des W¨ arme¨ ubergangs im Ubergangsbereich zwischen laminarer und turbulenter Filmkondensation haben sich empirische Interpolationsformeln bew¨ ahrt. Eine solche ist 4 4 α = (f αlam )4 + αturb . (4.43) Der Faktor f ber¨ ucksichtigt hierin die Welligkeit des laminaren Kondensatarme¨ ubergangskoeffizient bei laminarer Filmfilms, f ≈ 1,15; αlam ist der W¨ kondensation aus der Nußeltschen Wasserhauttheorie und αturb der bei turbulenter Kondensathaut, wie er sich beispielsweise aus (4.41) zusammen mit (4.42) ergibt.

4.1.6 Kondensation str¨ omender D¨ ampfe Schon Nußelt hat die Wasserhauttheorie erweitert und ber¨ ucksichtigt, dass der am Kondensatfilm entlang str¨ omende Dampf die Geschwindigkeit im Kondensat beeinflusst. Die Randbedingung zu (4.6) lautet dann nicht mehr ∂ w/∂y = 0 f¨ ur y = δ, sondern das Geschwindigkeitsprofil endet mit endlicher Neigung auf der freien Filmoberfl¨ ache entsprechend der vom strömenden Dampf ausge¨ ubten Schubspannung. In (4.6) f¨ ur das Geschwindigkeitsprofil w=−

(L − G ) g 2 y + c1 y + c0 2 ηL

sind demnach die Koeffizienten c1 und c0 so zu bestimmen, dass die Randbedingungen (4.44) w(y = 0) = 0 und ηL (∂ w/∂y)y=δ = ±τδ


501

erf¨ ullt werden, wobei das positive Vorzeichen f¨ ur abwärts strömenden Dampf gilt, das negative, wenn der Dampf aufw¨ arts strömt. Damit erhält man f¨ ur die Geschwindigkeit

τδ y (L − G ) g 2 y y2 δ . (4.45) w= − 2 ± ηL δ 2δ ηL Zur Berechnung der an der Phasengrenze herrschenden Schubspannung nimmt man Gleichheit von Druck- und Reibungskr¨ aften im Dampfraum an. Der Druckabfall längs des Str¨ omungswegs dx sei dp. F¨ ur eine Rohrströmung ist dann d2 π dp τδ d π = . (4.46) 4 dx Andererseits gilt f¨ ur den Druckabfall 2 dp G wG =ζ . dx d

(4.47)

Damit wird

2 G wG . 4 Die mittlere Geschwindigkeit erh¨ alt man zu

τδ = ζ

wm =

1 δ

δ w dy =

(L − G ) g 2 τδ δ δ ± 3 ηL 2 ηL

(4.48)

(4.49)

0

und daraus den Massenstrom an Kondensat, der durch eine Ebene senkrecht zur Wand abfließt L (L − G ) g b 3 L τδ δ 2 b M˙ = wm L b δ = δ ± . 3 ηL 2 ηL

(4.50)

Die Filmdicke findet man, wie bereits in Abschnitt 4.1.2 gezeigt, mit Hilfe der Energiebilanz ϑs − ϑ0 b dx = Δhv dM˙ λL δ zu 4 λ ηL (ϑs − ϑ0 ) τδ δ 3 4 = δ4 ± x , (4.51) 3 g(L − G ) L (L − G ) g Δhv woraus sich nach Berechnung der Filmdicke δ die u ¨bertragene Wärmestromdichte q˙ = λL (ϑs − ϑ0 )/δ ergibt. Die Schubspannung τδ ist durch (4.48) gegeben. Ber¨ ucksichtigt man noch die Unterk¨ uhlung des Kondensatfilms und die ¨ Uberhitzung des Dampfes, so ist anstelle der Verdampfungsenthalpie Δhv die Enthalpiedifferenz Δh∗vü nach (4.29) einzusetzen. Ist die Kondensatfläche um

502


den Winkel γ gegen die Senkrechte geneigt, so hat man die Fallbeschleunigung g durch ihre wandparallele Komponente g cos γ zu ersetzen. Gleichung (4.51) haben Rohsenow et al. [4.19] durch Einf¨ uhren dimensionsloser Größen umgeformt und dann aus den berechneten Filmdicken die ubergangsW¨ arme¨ ubergangskoeffizienten α = λL /δ und auch mittlere Wärme¨ koeffizienten αm bestimmt. Als Ergebnis zeigt Abb. 4.14 die mittlere NußeltZahl αm L N um = λ mit der charakteristischen L¨ ange L=

L νL2 (L − G ) g

1/3

aufgetragen u ¨ber der Reynolds-Zahl Re =

wm δ M˙ = , νL b ηL

wenn b die Breite des abfließenden Kondensatfilms ist, die bei der Kondensation am senkrechten Rohr b = π d betr¨ agt. Als Kurvenparameter ist die dimensionslose Schubspannung τδ∗ =

τδ L (L − G ) g

eingetragen. Die Ergebnisse gelten f¨ ur abw¨ arts strömenden Dampf. Die gestrichelten Linien zeigen die ungef¨ ahre Grenze zur turbulenten Filmkondensation.

Abb. 4.14: Einfluss der Schubspannung des Dampfes auf die laminare Filmkondensation, nach [4.19]


503

F¨ ur turbulente Filmkondensation str¨ omender Dämpfe gelten zwar ebenso wie f¨ ur die laminare die Erhaltungss¨ atze von Masse, Impuls und Energie, man benötigt jedoch zus¨ atzliche Informationen u ¨ber die Mechanismen des turbulenten Austausches von Materie, Impuls und Energie. Als Ergebnis einer solchen Rechnung erh¨ alt man wiederum Temperaturprofile und daraus die Wärme¨ ubergangskoeffizienten. Als Beispiel zeigt Abb. 4.15 Ergebnisse von Dukler [4.19] u ortlichen Nußelt-Zahl als Funktion der Reynolds¨ber den Verlauf der ¨ Zahl f¨ ur eine Prandtl-Zahl P r = 5 und abw¨ arts gerichtete Dampfströmung. Die Kenngrößen sind genau so definiert wie in der f¨ ur die laminare Strömung g¨ ultigen Abb. 4.14, so dass man anhand beider Bilder den Wärme¨ ubergang bei laminarer und bei turbulenter Str¨ omung vergleichen kann. Auch f¨ ur die tur-

Abb. 4.15: Filmkondensation von abw¨ arts str¨ omendem Sattdampf, nach [4.20], Prandtl-Zahl P r = 5,0

bulente Strömung erh¨ alt man keinen analytischen Ausdruck, sondern nur numerische Ergebnisse f¨ ur die berechneten W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten. Diese lassen sich durch empirische Gleichungen darstellen. Als Beispiel sei die f¨ ur die praktische Handhabung besonders einfache Gleichung von Shah [4.21] mitgeteilt. Sie enth¨ alt die Beziehung (3.259) f¨ ur den konvektiven Wärme¨ ubergang der turbulenten einphasigen Str¨ omung, in der lediglich der Exponent der Prandtl-Zahl von 1/3 auf 0,4 erh¨ oht wurde, und einen zusätzlichen Term, der die Phasenumwandlungen und den Einfluss der Dampfströmung ber¨ ucksichtigt. F¨ ur den örtlichen W¨ arme¨ ubergang gilt , 3,8 (1 − x∗ )0,04 x∗0,76 (4.52) N u = 0,023 Re0,8 P r 0,4 (1 − x∗ )0,8 + p+0,38 mit

504


π d2 νL αd wm d p ˙ , Pr = Nu = , Re = , wm = M / L , p+ = . λL νL 4 aL pcr omungsdampfgehalt in einem Querschnitt Die Größe x∗ = M˙G /M˙ ist der Str¨ des Rohrs. Diese Gleichung gibt Messungen mit Wasser, mit den Kältemitteln R11, R12, R113 und mit Methanol, Ethanol Benzol, Toluol und Trichlorethylen bei der Kondensation in senkrechten, waagrechten und geneigten Rohren von 7 bis 40 mm Innendurchmesser wieder bei normierten Dr¨ ucken 0,002 ≤ p+ ≤ 0,44, S¨ attigungstemperaturen 21 ℃ ≤ ϑs ≤ 310 ℃, Dampfge2 schwindigkeiten 3 m/s ≤ wG ≤ 300 m/s, Massenstromdichten 10,8 kg/m s ≤ 2 2 2 m ˙ ≤ 210,6 kg/m s, W¨ armestromdichten 158 W/m ≤ q˙ ≤ 1,893 · 106 W/m , Reynolds-Zahlen 100 ≤ Re ≤ 63 000, und Prandtl-Zahlen 1 ≤ P r ≤ 13. Die mittlere Abweichung von den Versuchswerten wird zu ±15,4 % angegeben. Zur praktischen Berechnung empfiehlt es sich, ein Kondensatorrohr in Ab¨ omungsdampfgehaltes zu unterschnitte mit gleicher Anderung Δx∗ des Str¨ teilen. Wenn man diese Abschnitte nicht allzu groß wählt, kann man in jedem Abschnitt einen linearen Abfall des Str¨ omungsdampfgehaltes annehmen und dann den o¨rtlichen W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten nach (4.52) in der Mitte des Abschnitts Δx∗ berechnen. Nach Shah [4.21] gen¨ ugt eine Unterteilung arme¨ ubergangskoeffizient in der Mitte eines in Abschnitte Δx∗ < 0,4. Der W¨ Abschnitts ist näherungsweise gleich dem mittleren Wärme¨ ubergangskoeffialt die Fläche A des betreffenden zienten α = αm des Abschnitts. Man erh¨ Abschnitts aus (4.53) Q˙ = km A Δϑm mit

1 1 δ 1 = + + , km A αm AK λ Am αma Aa

oder, falls man den W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten auf die Kondensatoberfläche AK = A bezieht, mit 1 1 δd 1 d 1 1 = + + = + km αm λ dm αma da αm km und Δϑm =

ϑa − ϑe , ln[(ϑG − ϑe )/(ϑG − ϑa )]

(4.54)

(4.55)

uhlmittels in den betreffenden Abworin ϑe die Eintrittstemperatur des K¨ schnitt, ϑa die Austritts- und ϑG die mittlere Dampftemperatur sind. Beispiel 4.3: In einem Rohrb¨ undelkondensator aus 200 senkrechten Rohren ˙ G = 8 kg/s ges¨ attigter Toluoldampf von je 25 mm Innendurchmesser, sollen M vom Druck 0,1 MPa kondensiert werden. Die Rohre werden von außen durch uhlt, das dem Kondensator mit einer M˙ W = 60 kg/s Wasser im Gegenstrom gek¨ Temperatur von 45 ℃ zugef¨ uhrt wird. Der W¨ armedurchgangskoeffizient vom K¨ uhlwasser bis zur Rohrwand betr¨ agt km = 2500 W/m2 K. Man berechne die erforderliche Rohrl¨ ange.


505

Folgende Stoffwerte sind gegeben: Fl¨ ussiges Toluol: Dichte L = 782 kg/m3 , spez. W¨ armekapazit¨ at cpL = 2,015 kJ/kg K, W¨ armeleitf¨ ahigkeit λL = 0,126 W/K m, dynamische Viskosit¨ at ηL = 2,52 · 10−4 kg/sm, Prandtl-Zahl P r = 4,03. Weiter ist f¨ ur das Toluol G L , und die Verdampfungsenthalpie Δhv = 356 kJ/kg, S¨ attigungstemperatur bei 0,1 MPa: ϑs = 383,75 K = 110,6 ℃, kritischer Druck pcr = 4,11 MPa. Die spez. W¨ armekapazit¨ at des K¨ uhlwassers ist cpW = 4,10 kJ/kg K. ˙ G Δhv = 8 kg/s · 356 kJ/kg = 2848 kW, die Die Kondensatorleistung ist Q˙ = M ˙ Leistung je Rohr Q/200 = 14,24 kW. Die K¨ uhlwasseraustrittstemperatur folgt aus Q˙ = M˙ W cpW (ϑWa − ϑWe ) zu ϑWa = ϑWe +

Q˙ 2 848 kW = 45,0 ℃ + = 56,58 ℃ . 60 kg/s · 4,10 kJ/kg K M˙ W cpW

Zur Berechnung der erforderlichen Rohrl¨ ange unterteilen wir in vier Abschnitte arme¨ ubergangskoeffizient auf der Kondensatseite folgt mit Δx∗ = 0,25. Der W¨ aus (4.52). Darin ist mit der Kondensatmenge M˙ = 8(kg/s)/200 = 0,04 kg/s je Rohr die Reynolds-Zahl Re =

˙ 0,04 kg/s M = = 8 084 . ηL d π/4 2,52 · 10−4 kg/s m · (25 · 10−3 ) m · π/4

Nach (4.52) wird , 3,8 (1 − x∗ )0,04 x∗0,76 p+0,38 , 3,8 ·(1−x∗ )0,04 ·x∗0,76 0,126 W/Km 0,8 0,4 ∗ 0,8 · 4,03 · (1−x ) + , · 0,023 · 8 084 = 25 · 10−3 m (2,433 · 10−2 )0,38 / . α = 270,63 (W/m2 K) (1 − x∗ )0,8 + 15,597 (1 − x∗ )0,04 x∗0,76 . α=

λL 0,023 Re0,8 P r0,4 d

(1 − x∗ )0,8 +

omungsdampfgehalt Im ersten Abschnitt 1,0 ≥ x∗ ≥ 0,75 ist der mittlere Str¨ (1,0 + 0,75)/2 = 0,875. Damit ergibt sich aus der vorigen Gleichung ein mittlerer W¨ arme¨ ubergangskoeffizient / . α = αm = 270,63 W/m2 K (1 − 0,875)0,8 + 15,597 · (1 − 0,875)0,04 · 0,8750,76 = 3 560 W/m2 K . Nach (4.54) ist der W¨ armedurchgangskoeffizient dieses Abschnitts 1 1 1 1 1 = + = + km αm km 3 560 W/m2 K 2 500 W/m2 K km = km1 = 1 469 W/m2 K . Der in dem ersten Abschnitt u armestrom ist 14,24 kW/4 = 3,56 kW = ¨bertragene W¨ Q˙ 1 . Das K¨ uhlwasser tritt in den ersten Abschnitt mit der Temperatur ϑWe1 = ϑWa −

Q˙ 1 3,56 kW = 53,69 ℃ = 56,58 ℃ − ˙ W1 cpW 0,3 kg/s · 4,10 kJ/kg K M

ein. Die mittlere logarithmische Temperaturdifferenz nach (4.55) ist

506

Konvektiver W¨ armeund Stoff¨ ubergang mit Phasenumwandlungen Δϑm1 =

56,58 − 53,69 K = 55,4 K . ln[(110,6 − 53,69)/(110,6 − 56,58)]

Damit folgt aus (4.53) die Fl¨ ache des ersten Abschnitts A1 =

Q˙ 1 3,56 · 103 W = = 4,374 · 10−2 m2 . km1 Δϑm1 1 469 W/m2 K · 55,4 K

Die zugeh¨ orige Rohrl¨ ange ist L1 =

A1 4,374 · 10−2 m2 = = 0,56 m . dπ 25 · 10−3 m · π

Eine entsprechende Rechnung f¨ ur alle Abschnitte ergibt die in der Tabelle ' auf der folgenden Seite aufgelisteten Werte. Die Gesamtl¨ ange der Rohre ist L= Lges = 2,69 m ≈ 2,7 m.

x∗

x∗m

αm 2

km 2

W/m K

W/m K

3557

1468

1,0

ϑW

Δϑm

℃

℃

m

55,4

4,377 · 10−2

0,56

58,3

4,507 · 10−2

0,57

61,0

5,05 · 10−2

0,64

63,9

7,25 · 10−2

0,92

56,58 0,875

0,75

53,69 0,625

2960

1355

0,5

50,80 0,375

2149

1156

0,25

47,90 0,125

1106

768

0,0

A 2

L m

45

4.1.7 Tropfenkondensation Benetzt das Kondensat die Wand nur unvollst¨ andig, so bildet sich, wie in Abschnitt 4.1.1 erläutert wurde, kein zusammenhängender Kondensatfilm, sondern es entstehen einzelne Fl¨ ussigkeitstropfen. Wärme¨ ubergangskoeffizienten bei Tropfenkondensation sind deutlich gr¨ oßer als bei Filmkondensation. Man hat bei der Kondensation von Wasserdampf um den Faktor vier bis acht größere Wärme¨ ubergangskoeffizienten gemessen. Allerdings hat sich gezeigt, dass alle untersuchten Stoffe, insbesondere Wasser, die an den u ¨blicherweise verwendeten Heizflächen kondensieren, vollst¨ andig benetzen, sofern der Werkstoff der Heizfläche und die Fl¨ ussigkeit nicht verunreinigt waren. Das entspricht auch der Erfahrung, wonach ein Wasserfilm als Kennzeichen gut gereinigten Laborgeräts angesehen wird. Die Kondensationsform wird haupts¨ achlich durch an der festen Oberfläche adsorbierte Fremdstoffe beeinflusst. Sie k¨ onnen lokal zu endlichen Werten des


507

Randwinkels f¨ uhren und damit eine unvollst¨ andige Benetzung bewirken. Als Fremdstoffe kommen organische Stoffe in Frage, denen man Wasser als Antinetzmittel zusetzt (Impfstoffe, Promotoren). Gelegentlich sind solche Impfstoffe unbeabsichtigt im Dampf, beispielsweise das Schmieröl einer Kesselspeisepumpe, wobei zur Erzeugung von Tropfenkondensation die geringen im Kondensat noch l¨ osbaren Mengen ausreichen. Auch die Zugabe wachsartiger Stoffe ist vorgeschlagen worden [4.22]. Man kann die Oberfläche mit Werkstoffen geringer Oberfl¨ achenenergie wie Polymere oder amorphe Kohlenwasserstoffe beschichten oder die Oberfl¨ ache durch Ionenbestrahlung verändern und dadurch die Oberfl¨ achenenergie verringern. Bei Impfstoffzugabe ist zur Aufrechterhaltung einer stabilen Tropfenkondensation eine ständige oder periodische Zugabe des Impfstoffes erforderlich, da dieser im Laufe der Zeit durch Abwaschen oder L¨ osen im Kondensat von der Oberfläche entfernt wird. Die Tropfenbildung wird zus¨ atzlich durch Wandrauhigkeit, Wandhöhe, Wärmestromdichte und Temperaturdifferenz beeinflusst. Als Promotor haben sich auch d¨ unne, durch Elektrolyse aufgetragene Goldschichten und Edelmetallplattierungen aus Gold, Rhodium, Palladium oder Platin bew¨ ahrt. Allerdings m¨ ussen diese, wie Versuche zeigten [4.23], eine bestimmte Mindestdicke haben, die bei Goldschichten rund 0,2 μm betr¨ agt, um eine dauernde Tropfenkondensation aufrechtzuerhalten. Obwohl diese Schichtdicke nur etwa halb so groß ist wie die Wellenlänge des sichtbaren Lichts, ist die ben¨ otigte Goldmenge doch keineswegs gering. Sie beträgt 3,8 g je m2 Heizfläche. Das bedeutet bei Goldpreisen von rund 10 000 EUR je kg allein f¨ ur das Material zur Plattierung Kosten von rund 38 EUR je m2 Heizfläche. Dem steht ein f¨ unf- bis siebenmal gr¨ oßerer Wärme¨ ubergang bei der Kondensation von Wasserdampf [4.23] gegen¨ uber. Dennoch wird man angesichts des hohen Aufwands nur in Sonderf¨ allen von einer Goldplattierung Gebrauch machen, sonst aber die Filmkondensation w¨ ahlen. Auch wenn die Art der Kondensation nicht genau bekannt ist, wird man zur Berechnung von Kondensatoren Filmkondensation annehmen, da man dann die Kondensatorfl¨ ache ausreichend dimensioniert. Versuche zur Tropfenkondensation sind schwierig, weil man zur Bestimmung von W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten Temperaturunterschiede von 1 K und weniger messen muss, wobei die Wandtemperatur zeitlich und ¨ ortlich schwankt. Der messtechnische Aufwand zur Erzielung genauer Ergebnisse ist daher betr¨ achtlich. Als Beispiel f¨ ur die Tropfenkondensation zeigt Abb. 4.16 Aufnahmen an einer senkrechten Fl¨ ache. Die kleinen Tr¨ opfchen wachsen durch Nachkondensation aus dem Dampfraum und durch Zusammenfließen. Sobald eine bestimmte Tropfengr¨ oße erreicht ist, rollt der Tropfen ab und nimmt dabei die auf seiner Bahn liegenden Tropfen mit. Hinter dem abrollenden Tropfen entstehen sofort neue. Sie bilden sich vorzugsweise an den zur¨ uckgebliebenen Wasserr¨ andern und an Kratzern in der Kondensationsfl¨ ache. Die Keimdichte h¨ angt nach Versuchen von Krischer und Grigull [4.24] haupts¨ achlich von der Unterk¨ uhlung der Heizfl¨ ache ab. Versuche mit kondensierendem Wasserdampf an Kupfer- und Messingfl¨ achen ergaben bei Unterk¨ uhlungen

508


a

b

c

Abb. 4.16: Tropfenkondensation an einer senkrechten Kondensationsfl¨ ache, nach Krischer und Grigull [4.24]. a Beginn der Kondensation; b Kondensationsform nach 16 s; c Kondensationsform nach 32 s. Die Spuren der abrollenden Tropfen sind deutlich zu erkennen. Oben in Bild b ein sich gerade abl¨ osender Tropfen. q˙ = 0,12 W/cm2 , Δϑ = 0,05 K. Durchmesser der Kondensationsfl¨ ache: 18 mm

ache, w¨ ahrend bei einer von 0,1 K Keimdichten von etwa 3·103 Keimen je mm2 Heizfl¨ Unterk¨ uhlung von 0,4 K die Keimdichte bei 15 · 103 Keimen je mm2 lag. Abb. 4.17 zeigt Ergebnisse zum W¨ arme¨ ubergang bei Tropfenkondensation. Die meisten der Kondensationsfl¨ achen bestanden aus Kupfer. Als Promotoren, mit denen die K¨ uhlfl¨ ache bestrichen wurde, dienten verschiedene Fl¨ ussigkeiten. Je nach Promotoren und Werkstoff der Kondensationsfl¨ ache ergaben sich meist sehr unterschiedliche Ergebnisse. Wie man erkennt, weichen einzelne Versuchsergebnisse bis


Abb. 4.17: Versuchsergebnisse u ¨ber Tropfenkondensation von Wasser bei etwa 1 bar Kondensationsdruck, nach ¨ [4.24]. 1 Hampson und Ozisik 1952, Kurven f¨ ur zwei verschiedene Promotoren [4.25]; 2 Wenzel 1957 [4.26]; 3 Welch und Westwater 1961 [4.27]; 4 Kast 1965, verchromte (obere Kurve) und unverchromte Kupferoberfl¨ ache [4.28]; 5 Le Fèvre und Rose 1965, verschiedene Promotoren [4.29]; 6 Tanner et al. 1968, verschiedene Promotoren [4.30]; 7 Griffith und Lee 1967, vergoldete Kondensationsoberfl¨ achen: obere Kurve Kupfer, mittlere Kurve Zink und untere Kurve Stahl [4.31]

509

Abb. 4.18: Versuchsergebnisse bei etwa 0,03 bar Kondensationsdruck, nach [4.24]. Gestrichelte Kurven: Interpolierte Werte 8 aus Messungen von Tanner et al. [4.30] a) Promotor Montan ” wax“und b) Promotor Dioctadecyldi” sulfide“; 9 Messungen von Brown und Thomas [4.32]

zum Faktor 30 in der W¨ armestromdichte voneinander ab. Eine schwach zunehmende Steigung und nur geringe Abweichungen untereinander weisen die Kurven 2, 5 und 6 von Wenzel [4.26], Le Fèvre und Rose [4.29] und Tanner et al. [4.30] auf. In Abb. 4.18 sind Ergebnisse aus [4.30] und [4.32] zusammen mit denen von Krischer und Grigull [4.24] gesondert gezeichnet. Zur Berechnung des W¨ arme¨ ubergangs sind mehrere Theorien u ¨ber die Tropfenkondensation aufgestellt worden. Eine der ¨ altesten, von Eucken [4.33] entwickelte Theorie geht von der Vorstellung aus, dass aus einer adsorbierten monomolekularen Kondensatschicht, deren Bildung durch Keime beg¨ unstigt wird, die ersten Kondensattr¨ opfchen entstehen, denen durch Oberfl¨ achendiffusion vorwiegend am Tropfenrand st¨ andig neues Kondensat zufließt. Diese Theorie ist sp¨ ater von anderen Autoren [4.34], [4.35] aufgegriffen und weiter ausgearbeitet worden. Andere Theorien setzten voraus, dass zwischen den Tropfen ein d¨ unner, instabiler Wasserfilm existiert, der nach Erreichen einer kritischen Dicke von wenigen μm aufplatzt und in den Tropfen verschwindet [4.36]. Diese Vorstellung wurde jedoch inzwischen durch Versuche widerlegt [4.37], [4.38].

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Am besten mit Experimenten in Einklang zu bringen ist die Vorstellung, dass zun¨ achst winzige Tr¨ opfchen an Keimstellen, an Vertiefungen der Kondensationsfl¨ ache oder an Fl¨ ussigkeitsresten entstehen. Ihre Wachstumsgeschwindigkeit wird durch den W¨ armeleitwiderstand in den Tropfen und teilweise auch durch den W¨ armewiderstand an der Phasengrenze zum Dampf bestimmt. Die Wachstumsgeschwindigkeit ist damit nur von dem jeweiligen Tropfenradius und der treibenden Temperaturdifferenz abh¨ angig, was auch experimentell best¨ atigt wurde [4.24]. Wenn es bisher dennoch nicht gelungen ist, eine geschlossene Theorie zu entwickeln, so liegt dies vor allem daran, dass die Keimdichte unbekannt ist und dass man auch den Radius der abrollenden Tropfen nur schwer vorhersagen kann, da er von der Reinheit und Gl¨ atte der Kondensationsfl¨ ache und den Grenzfl¨ achenspannungen abh¨ angt.

4.1.8 Kondensation von Dampfgemischen In technischen Apparaten werden h¨ aufig Dampfgemische verfl¨ ussigt, deren Komponenten sich alle in der fl¨ ussigen Phase wiederfinden, oder die Dampfgemische enthalten Beimengungen von Inertgasen, die nicht kondensieren. Deren Einfluss auf den W¨ arme¨ ubergang bei der Kondensation wurde schon in Abschnitt 4.1.4 behandelt. Hier soll daher noch untersucht werden, wie sich der Wärme¨ ubergang ¨ andert, wenn das Kondensat alle Komponenten in mehr oder weniger starkem Maße enth¨ alt. Je nach Anwendungszweck kann der Dampf vollständig oder nur teilweise kondensiert werden, so dass ein Restdampf von im Allgemeinen anderer Zusammensetzung als der anf¨ angliche Dampf den Kondensator verlässt. Man bezeichnet solche Apparate als Teil- oder Partialkondensatoren und in Rektifizierkolonnen auch als Dephlegmatoren. Ihr Zweck besteht darin, aus einem Dampf die höher siedenden Komponenten durch Kondensation abzutrennen. Sie arbeiten mit geringerer Temperaturdifferenz zwischen Dampf und K¨ uhlmittel als ein Kondensator, in dem der Dampf möglichst vollständig kondensiert werden soll. Da bei der Kondensation von Dampfgemischen die Komponenten mit dem höheren Siedepunkt in der Regel zuerst kondensieren und der Restdampf an diesen Komponenten verarmt, baut sich ein mit dem Strömungsweg veränderliches Konzentrationsprofil auf, das den W¨ arme¨ ubergang maßgeblich beeinflusst. Dies f¨ uhrt dazu, dass man zur Berechnung des Wärme- und Stoff¨ ubergangs den Strömungsweg in einzelne Abschnitte unterteilt, und f¨ ur jeden Abschnitt die Mengenbilanzen der Komponenten und die Energiebilanzen unter Beachtung der Gesetze der W¨ armeund Stoff¨ ubertragung lösen muss. Eine derartige Berechnung ist selbst f¨ ur die Kondensation von Zweistoffgemischen nur mit Hilfe einer Rechenanlage m¨ oglich. Wir wollen uns hier darauf beschränken, die grundlegenden physikalischen Vorg¨ ange zu erörtern und die maßgebenden Bilanzgleichungen bereit zu stellen. Da die Vorgänge bei der Kondensation von Vielstoffgemischen mit mehr als zwei Komponenten ähnlich ablaufen wie bei Zweistoffgemischen, beschr¨ anken wir die Betrachtungen auf Zweistoffgemische.


511

Kondensiert ein Zweistoffgemisch, dessen Siede- und Taulinie in Abb. 4.19a dargestellt sind, an einer gek¨ uhlten Wand der Temperatur ϑ0 , so bildet sich ein Kondensat, Abb. 4.19b, an das der Dampf grenzt. An der Phasengrenze

Abb. 4.19: Temperatur-Konzentrationsdiagramm f¨ ur ein bin¨ ares Gemisch sowie Temperatur- und Konzentrationsverlauf in Dampf und Kondensat. Indizes: 0 K¨ uhlwand, I Phasengrenze, G Kernstr¨ omung im Dampf (G Gas). a Verlauf der Siedeund Taulinie; b Kondensat und Dampfgrenzschicht; c Temperaturverlauf; d Konzentrationsverlauf

stellt sich eine Temperatur ϑI ein, die zwischen der Temperatur ϑG des Dampfes weitab von der Wand und der Wandtemperatur ϑ0 liegt. Ist der Dampf gesättigt, so betr¨ agt seine Temperatur ϑG = ϑs entsprechend Abb. 4.19a. Den Temperaturverlauf im Dampf und Kondensat zeigt Abb. 4.19c. Die Komponente mit dem h¨ oheren Siedepunkt geht an der Phasengrenze in der Regel bevorzugt vom Dampf in das Kondensat u ¨ber. Infolgedessen enthält das Dampfgemisch an der Phasengrenze im Allgemeinen mehr von der leichter fl¨ uchtigen Komponente als in größerer Entfernung davon. Es baut sich, wie in Abb. 4.19d dargestellt, ein Konzentrationsprofil auf. Die Konzentration der leichter fl¨ uchtigen Komponente nimmt zur Phasengrenze hin zu. Im station¨ aren Zustand werden so die an der Kondensatoberfläche nicht kondensierten Molek¨ ule der leichter fl¨ uchtigen Komponente durch Diffusion wieder in den Dampf zur¨ ucktransportiert. Im Kondensat kann man meistens wegen der im Vergleich zum Dampf kleinen Strömungsgeschwindigkeit den Impuls-, W¨ armeund Stoffaustausch durch Konvektion im Vergleich zu dem durch Leitung und Diffusion vernachlässigen, falls nicht die Prandtloder Schmidt-Zahl sehr klein ist. Daher gelten im Kondensatfilm weiterhin

512


die Nußeltschen Annahmen, wonach die Str¨ omung nur durch Reibungs- und Feldkräfte (Schwerkraft), das Temperaturprofil hingegen hauptsächlich durch W¨ armeleitung bestimmt wird. Die Konzentration ist u ¨ber einen Querschnitt des Kondensatfilms konstant, da die Wand f¨ ur Materie undurchlässig und konvektiver Stofftransport im Fl¨ ussigkeitsfilm vernachlässigbar ist. Dies sieht man leicht ein, denn unter den genannten Voraussetzungen lautet die Gleichung f¨ ur die Diffusion, das sogenannte zweite Ficksche Gesetz,

∂c ∂ D =0 , ∂y ∂y wenn y die Koordinate senkrecht zur Wand, D der Diffusionskoeffizient und c = N/V die Konzentration einer der beiden Komponenten des Zweistoffgemischs ist. Integriert man diese Gleichung unter Beachtung der Randbedingungen

∂c = 0 und c(y = δ) = cI , ∂y y=0 so folgt unmittelbar c = c0 = cI = const. Es ist daher auch, wie in Abb. 4.19d ˜I = const. eingezeichnet, x ˜=x ˜0 = x Der Konzentrationsverlauf wird maßgeblich durch die Strömung und die Art der Strömungsf¨ uhrung beeinflusst. Bei der in Abb. 4.20a gezeichneten, u uhrung von Dampf und Kondensat geht die schwerer ¨blichen Gleichstromf¨ siedende Komponente bevorzugt aus dem Dampf in das Kondensat u ¨ber. Der Anteil der leichter siedenden Komponente nimmt daher stromab im Dampf zu von der anfänglichen Zusammensetzung y˜α zur Endzusammensetzung y˜ω . Die im Eintrittsquerschnitt anfallende Kondensatmenge ist groß, und infolgedessen wird dem Dampf auch viel von der schwerer siedenden Komponente entzogen. Anders sind die Verh¨ altnisse bei Gegenstrom, Abb. 4.20b, wie sie in Rieselfilmkolonnen oder in den R¨ ucklaufkondensatoren von Rektifizieranlagen vorkommen. Dort trifft der Dampf von der anf¨ anglichen Zusammensetzung y˜α auf eine dickere Kondensathaut. Die kondensierende Menge ist geringer, und es wird dem Dampf weniger von der schwerer siedenden Komponente entzogen als im Fall des Gleichstroms. Der aufsteigende Dampf kommt nun in Kontakt mit einem d¨ unner werdenden Kondensatfilm der herabrieselnden Fl¨ ussigkeit. Die anfallende Kondensatmenge nimmt zu, und es kondensieren vorzugsweise die schwerer siedenden Komponenten des Dampfes. Die frei werdende Kondensationsenthalpie bewirkt gleichzeitig eine Verdampfung der leichter siedenden Komponenten, was durch die waagerechten Pfeile in Abb. 4.20b angedeutet ist: Zwischen Fl¨ ussigkeit und Dampf findet ein Stoffaustausch durch Rekti” fikation“ statt, wodurch der austretende Dampf mehr, das unten austretende Kondensat entsprechend weniger an leichter fl¨ uchtigen Bestandteilen enthält als im Fall des Gleichstroms nach Abb. 4.20b. Will man daher ein an schwer fl¨ uchtigen Stoffen st¨ arker angereichertes Kondensat erhalten, so ist die Gegenstromf¨ uhrung vorzuziehen, ein Effekt, auf den Claude [4.39] schon vor mehr


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Abb. 4.20: Kondensation bei a Gleich- und b Gegenstrom. Im Fall a enth¨ alt die nach unten rieselnde Fl¨ ussigkeit mehr an leichter fl¨ uchtigen Bestandteile (LS) als im Fall b. Im Fall b treten LS-Molek¨ ule in den Dampf u ¨ber, weil aufsteigende schwerer fl¨ uchtige Bestandteile kondensieren und dabei LS-Molek¨ ule austreiben

als 80 Jahren hinwies. Der abstr¨ omende Dampf enthält bei Gegenstrom mehr leichter fl¨ uchtige Stoffe als bei Gleichstrom. Allerdings wird infolge der vom Dampf ausge¨ ubten Schubspannung das Kondensat bei Gegenstrom aufgestaut und der Wärme¨ ubergang verschlechtert. Offenbar ist die Str¨ omungsf¨ uhrung f¨ ur den Stoffaustausch und damit auch f¨ ur den Wärme¨ ubergang maßgebend. Ganz allgemein gilt, dass sich infolge des Konzentrationsfelds an der Phasengrenze ein Stoffaustauschwiderstand aufbaut, der den Stoffstrom zur Phasengrenze hin behindert. Als Folge ist der Wärme¨ ubergang kondensierender Gemischdämpfe bei gleichem treibenden Temperaturgef¨ alle geringer als der kondensierender reiner Dämpfe. Diese Verringerung kann betr¨ achtliche Werte annehmen. Als Beispiel daf¨ ur zeigt Abb. 4.21a die bezogene W¨ armestromdichte q/ ˙ q˙0 u ¨ber der Temperatur ϑ∞ aufgetragen, die in diesem Fall gleich der S¨ attigungstemperatur entlang der Taulinie sein soll. Wie man erkennt, ist die u ¨bertragene Wärmestromdichte q˙ deutlich kleiner als die W¨ armestromdichte q˙0 , die u urde, wenn kein ¨bertragen w¨ Widerstand f¨ ur den Stoffaustausch im Dampf zu u ¨berwinden wäre und daher an der Kondensatoberfl¨ ache die S¨ attigungstemperatur ϑ∞ herrschte. Die ausgezogenen Kurven gelten f¨ ur die Kondensation eines Dampfgemischs aus Methanol (CH3 OH) und Wasser (H2 O) bei vernachlässigbarem Einfluss der Schwerkraft, also an einer waagrechten Platte oder dann, wenn die Dampf2 /g x geschwindigkeit hinreichend groß und somit die Froude-Zahl F r = w∞ sehr groß wird. Die gestrichelten Kurven gelten f¨ ur die Kondensation bei kleinen Froude-Zahlen, also beispielsweise an einer senkrechten Wand mit freier Konvektion des Dampfes. ¨ Ahnlich wie nach der Nußeltschen Wasserhauttheorie nimmt auch bei der Kondensation von Gemischd¨ ampfen die u ¨bertragene Wärmestromdichte mit der treibenden Temperaturdifferenz ϑ∞ − ϑ0 zu. Nach der Nußeltschen Wasserhauttheorie nahm der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient mit der treibenden Tem-

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Abb. 4.21: Verminderung des W¨ armestroms bei der Kondensation von Methanol/Wasser. a bezogene W¨ armestromdichte q/ ˙ q˙0 in Abh¨ angigkeit von der Temperatur ϑ∞ ; b Siedediagramm

peraturdifferenz entsprechend α ∼ (ϑ∞ − ϑ0 )−1/4 ab, Gl. (4.12). Die Wärmestromdichte nahm gem¨ aß q˙ ∼ (ϑ∞ − ϑ0 )3/4 zu. Dar¨ uber hinaus erkennt man in Abb. 4.21a ein Minimum der u ¨bertragenen Wärmestromdichte bei einer beur den stimmten Temperatur ϑ∞ . Dieses kommt dadurch zustande, dass die f¨ Wärme¨ ubergang maßgebende Temperaturdifferenz ϑI − ϑ0 zwischen Kondensatoberfläche und Wand bei einer bestimmten S¨ attigungstemperatur ϑ∞ ebenfalls ein Minimum annimmt, was sich anhand des Siedediagramms, Abb. 4.21, erklären lässt. Wir setzen dazu eine hinreichend große Temperaturdifferenz ϑ∞ − ϑ0 voraus, so dass der Dampf vom Anfangszustand A vollständig kondensiert und ein Kondensat anf¨ allt, das durch Punkt B in Abb. 4.21b gekennzeichnet ist. Die Temperatur ϑI an der Phasengrenze ist dann gleich der Siedetemperatur des Fl¨ ussigkeitsgemischs und die Zusammensetzung des anfallenden Kondensats identisch mit der des Dampfes. Man bezeichnet dies als ortliche Totalkondensation. Die als konstant angenommene Wandtemperatur ¨ sei durch Punkt C charakterisiert. Die Strecke BC entspricht dann der Tempeur die u raturdifferenz ϑI − ϑ0 , die f¨ ¨bertragene Wärmestromdichte q˙ entscheidend ist. W¨ urde die Nußeltsche Wasserhauttheorie auch f¨ ur die Kondensation von Gemischdämpfen gelten, so w¨ are q˙ ∼ (ϑI − ϑ0 )3/4 . Hält man ϑ∞ − ϑ0 konstant und erh¨ oht man die Temperatur ϑ∞ , verfolgt also in Abb. 4.21a den Verlauf einer Kurve ϑ∞ − ϑ0 = const in Richtung wachsender Temperatur ϑ∞ , so kann man in Abb. 4.21b wieder die Strecke BC abgreifen, wenn man durch Punkt C eine Parallele zur Taulinie legt. Die Strecke AC =ϑ 8 ∞ − ϑ0 bleibt damit voraussetzungsgem¨ aß unver¨ andert, während BC zunächst kleiner, dann wieder gr¨ oßer wird. Im gleichen Verhältnis ändert sich auch die bezogene Wärmestromdichte q/ ˙ q˙0 . H¨ alt man andererseits die Dampftempera-


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tur ϑ∞ konstant und verringert man die Temperaturdifferenz ϑ∞ − ϑ0 , indem man die Wandtemperatur erh¨ oht, so muss man in Abb. 4.21b die durch Punkt C gehende ϑ0 -Kurve nach oben verschieben. Damit erhält man auch kleinere Werte der Wärmestromdichte q˙ und der bezogenen Wärmestromdichte q/ ˙ q˙0 . 4.1.8.1 Die Temperatur an der Phasengrenze ¨ Wie die vorherigen Uberlegungen zeigten, muss man zur Berechnung des Wärme¨ ubergangs bei Filmkondensation von Gemischen die Temperatur ϑI an der Phasengrenze kennen. An der Phasengrenze eines Kondensationsfilms herrscht thermodynamisches Gleichgewicht zwischen Fl¨ ussigkeit und Dampf. Die Temperatur ϑI ist leicht zu berechnen, wenn die anfallende Kondensatmenge an jeder Stelle die gleiche Zusammensetzung wie der Dampf hat. Sie stimmt dann mit der jeweiligen Temperatur auf der Siedelinie u ¨berein und ist beispielsweise durch Punkt B in Abb. 4.21b bestimmt. Um diese Temperatur zu erreichen, muss die Wandtemperatur ϑ0 = ϑC nach Abb. 4.21b hinreichend uchtigen Komponente liegen. weit unter der Siedetemperatur ϑB der leichter fl¨ Als grobe Regel gilt, dass ϑB − ϑ0 > 2 (ϑA − ϑB ) sein soll. Die Kondensationsrate muss demnach hinreichend groß sein, weswegen man von örtlicher Totalkondensation spricht. In technischen Kondensatoren ist diese Bedingung zwar erf¨ ullt, allerdings gibt es auch F¨ alle, wie bei der Partialkondensation, wo man die Wandtemperatur bewusst h¨ oher w¨ ahlt, damit die leichter fl¨ uchtige Komponente im Kondensat nur in geringer Menge oder gar nicht vorkommt. Um zu zeigen, wie man dann die Temperatur an der Phasengrenze ermittelt, betrachten wir ein Zweistoffgemisch und stellen f¨ ur dieses eine Massenbilanz an der Kondensatoberfl¨ ache auf. Der senkrecht zur Phasengrenze fließende Massenstrom M˙ G des Dampfes wird dort kondensiert und als Kondensat M˙ L abgef¨ uhrt. Es ist M˙ G = M˙ L = M˙ 1 . Wir setzen nun der Einfachheit halber die G¨ ultigkeit der Filmtheorie voraus, wonach Geschwindigkeits- und Konzentrationsprofil nur von der wandnormalen Koordinate y abh¨ angen. Mit dieser Annahme lautet die Kontinuitätsgleichung f¨ ur die betrachtete Komponente ∂ M˙ 1 =0 , ∂y wobei y die wandnormale Koordinate bezeichnet. F¨ ur diese Gleichung kann ˜ 1 N˙ 1 mit der Molmasse M ˜ 1 und dem Stoffmengenstrom man wegen M˙ 1 = M N˙ 1 (SI-Einheit mol/s) auch schreiben ∂ N˙ 1 =0 . ∂y

(4.56)

Der Stoffstrom im Gas setzt sich aus dem Diffusionsstrom u j1 A (SI-Einheit von u j1 : mol/m2 s) und dem Konvektionsstrom y˜1 N˙ zusammen, wenn N˙ der gesamte Stoffmengenstrom und y˜ = y˜1 ist:

516


N˙ 1 = u j1 A + y˜ N˙ .

(4.57)

Hierin ist nach dem Fickschen Gesetz (1.160) u j1

= −c D

∂ y˜ ∂y

(4.58)

mit c = N/V . Die Koordinate y l¨ auft senkrecht zur Kondensatoberfläche und zeigt von der Kondensatoberfl¨ ache in den Dampfraum. Mit (4.58) kann man (4.57) nach Division durch N˙ auch schreiben N˙ ∂ y˜/∂y u j1 = = −c D . ˙ ˙ ˙ A N1 /N − y˜ N1 /N˙ − y˜

(4.59)

Da die Stoffmengenstromdichte jeder der beiden Komponenten unabhängig von der Ortskoordinate y sein soll, sind die gesamte Stoffmengenstromdichte N˙ /A und ebenso auch der Quotient N˙ 1 /N˙ unabhängig von y. Man kann daher (4.59) leicht integrieren. Die Integration soll sich von der Kondensatoberfläche (Index I) bis in den Dampfraum (Index G) erstrecken. Die Dicke der Dampfgrenzschicht sei δ. Wir setzen dabei konstante Werte von Druck und Temperatur voraus. Unter der Annahme, dass sich die Gasphase ideal verhält, sind dann der Diffusionskoeffizient und die molare Konzentration c = N/V = angig von der Ortskoordinate y. Die Integration p/(Rm T ) ebenfalls unabh¨ ergibt N˙ 1 /N˙ − y˜G N˙ δ = c D ln A N˙ 1 /N˙ − y˜I und nach Einf¨ uhren eines Stoffaustauschkoeffizienten βG = D/δ N˙ 1 /N˙ − y˜G N˙ = n˙ = βG c ln . A N˙ 1 /N˙ − y˜I

(4.60)

Dieses Ergebnis erh¨ alt man auch aus der fr¨ uher abgeleiteten Gleichung (1.192) der Filmtheorie, wenn man diese auf die Dampfphase anwendet und nach n˙ auflöst. Nun ist in (4.60) der Stoffmengenstrom an der Phasengrenze I gegeben durch N˙ 1 /A = (c1 w1 )G = (c1 w1 )L und N˙ /A = (c u)G = (c u)L , worin u die mittlere molare Geschwindigkeit nach (1.157) ist. Damit ist das ussigphase aber keine DifVerhältnis N˙ 1 /N˙ = (c1 w1 )L /(c u)L . Da in der Fl¨ fusion stattfindet, ist dort nach (1.158) w1 = u, und infolgedessen gilt auch N˙ 1 /N˙ = c1 /c = n1 /n = x ˜1 . Dieser Wert ist an der Phasengrenze zu nehmen, so dass wir schreiben k¨ onnen N˙ 1 ˜I . =x ˜1I = x N˙ Kondensiert ein Dampf aus einem Gemisch mit einem Inertgas, so ist x ˜I = 1 und man erhält aus (4.60) die bereits bekannte Gleichung (4.31), hier nur mit molaren Größen.


517

Da der Quotient (˜ xI − y˜G )/(˜ xI − y˜I ) in (4.60) kleiner als eins ist, wird die Stoffmengenstromdichte negativ: Der Stoffstrom des kondensierenden Dampfes ist der von uns gew¨ ahlten Oberfl¨ achenkoordinate y entgegen gerichtet. Da es uns nur auf den Betrag der Mengenstromdichte ankommt, schreiben wir |n| ˙ = βG c ln

y˜I − x ˜I . y˜G − x ˜I

(4.61)

In (4.61) sind nun zwei Grenzf¨ alle enthalten: a) Bei örtlicher Totalkondensation ist die Zusammensetzung der Fl¨ ussigkeit ˙ → ∞ f¨ ur identisch mit der des Dampfes x ˜I = y˜G . Man erhält dann |n| die Mengenstromdichte des zur Kondensatoberfläche strömenden Dampfes. Um örtliche Totalkondensation zu erreichen, muss die Wandtemperatur hinreichend weit unter der Siedetemperatur aller Komponenten liegen, damit diese alle kondensieren und das Kondensat dieselbe Zusammensetzung wie der Dampf aufweist. b) F¨ ur verschwindend kleine Mengenstromdichten des entstehenden Kondensats |n| ˙ → 0 ist nach (4.61) die Dampfzusammensetzung y˜G = y˜I . Es wird praktisch kein Kondensat gebildet und infolgedessen bildet sich im Dampfraum auch kein Konzentrationsprofil aus.

Abb. 4.22: Grenzf¨ alle der Kondensation

Abb. 4.23: Molanteile und Temperatur an der Kondensatoberfl¨ ache

Beide Grenzfälle sind in Abb. 4.22 eingezeichnet. Tatsächliche Kondensationsraten liegen zwischen beiden Extremf¨ allen. Die Temperatur ϑI an der Phasengrenze liegt, wie in Abb. 4.22 zu sehen, zwischen der Temperatur der Taulinie (Fall b) und der Temperatur der Siedelinie (Fall a). Die zugehörige Dampfund Fl¨ ussigkeitszusammensetzung liest man auf der Abszisse, Punkte B und A in Abb. 4.22 ab. Zur Berechnung der Temperatur ϑI an der Phasengrenze benötigt man noch als weitere Bilanzgleichung die Energiegleichung an der Kondensatoberfläche

518


˜v , q˙L = q˙G + |n| ˙ Δh

(4.62)

uhrworin q˙L dem Betrage nach die durch Konvektion vom Kondensat abgef¨ te, q˙G die durch Konvektion vom Dampf der Kondensatoberfläche zugef¨ uhrte ˜ v die molare Verdampfungsenthalpie des GemiW¨ armestromdichte und Δh sches sind. Es ist (4.63) q˙L = αL (ϑI − ϑ0 ) . Andererseits wird diese W¨ armestromdichte auch durch die Wand an das K¨ uhlmittel u ¨bertragen, dessen Temperatur ϑK sei. Der Wärmedurchgangskoeffizient zwischen Wand und K¨ uhlmittel sei k . Dann ist q˙L = k (ϑ0 − ϑK ) .

(4.64)

Mit Hilfe von (4.63) kann man hieraus ϑ0 eliminieren und erhält q˙L =

αL (ϑI − ϑK ) . (αL /k ) + 1

(4.65)

Im Fall eines sehr großen W¨ armedurchgangskoeffizienten k → ∞ ist die uhlmitteltemperatur ϑK . Wandtemperatur ϑ0 gleich der K¨ Die vom Dampf an die Kondensatoberfl¨ ache u ¨bergehende Wärmestromdichte ist • q˙G = αG (ϑG − ϑI ) . (4.66) Sie enthält den Anteil f¨ ur den W¨ arme¨ ubergang an die Phasengrenze infolge des Temperaturgef¨ alles ϑG − ϑI und den Anteil f¨ ur die Energie, die durch den Dampf zur Kondensatoberfl¨ ache transportiert wird. Setzt man die W¨ armestromdichte q˙G nach (4.66) zusammen mit der Wärmestromdichte q˙L nach (4.65) in die Energiebilanz (4.62) ein und beachtet, dass die Mengenstromdichte des Kondensats durch (4.61) gegeben ist, so erhält man f¨ ur die Energiebilanz αL ˜I ˜ y˜I − x • (ϑI − ϑK ) = αG (ϑG − ϑI ) + βG c ln Δhv . (αL /k ) + 1 y˜G − x ˜I

(4.67)

Aus dieser Gleichung kann man die unbekannte Temperatur ϑI berechnen. Dabei ist jedoch zu beachten, dass die Molanteile x ˜I , y˜I von der Temperatur ϑI abhängen, wie Abb. 4.23 f¨ ur ein Zweistoffgemisch zeigt. Außerdem ist der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient αL von der Temperatur ϑI abhängig. Da sich im Dampf zumindest freie Konvektion einstellt, ist der Term • (ϑG −ϑI ) oft nicht vernachl¨ assigbar, sondern kann von gleicher GrößenordαG nung wie die u ucke in (4.67) sein, insbesondere wenn die Tem¨brigen Ausdr¨ peratur der Phasengrenzfl¨ ache ϑI nahe bei der Wandtemperatur liegt, so dass das treibende Temperaturgef¨ alle ϑI − ϑ0 im Kondensat klein, dasjenige im Dampf ϑG − ϑI dagegen groß wird. Die praktische Berechnung der Temperaache ist recht aufwändig und selbst im Fall des tur ϑI an der Kondensatoberfl¨ hier besprochenen Zweistoffgemischs kaum ohne Rechenanlage zu bewältigen.


519

4.1.8.2 Die Mengen- und die Energiebilanz des Dampfes Zur Berechnung der Temperatur ϑI an der Phasengrenze unterteilt man die Fläche des Kondensators in Abschnitte ΔA. Jedem Abschnitt ordnet man einheitliche (mittlere) Werte der Temperatur ϑI , ϑG und der Zusammensetzung y˜G zu. Mit Hilfe von (4.67) erh¨ alt man die Temperatur ϑI f¨ ur vorgegebene Werte ϑG , y˜G . Um die Werte ϑG , y˜G eines jeden Abschnitts aus den Werten des vorhergehenden Abschnitts zu berechnen sind die Mengen- und Energiebilanzen zu lösen. Zur Aufstellung der Mengenbilanzen betrachten wir nach Abb. 4.24 rechts einen Flächenabschnitt dA. Die Mengenbilanz f¨ ur die leichter fl¨ uchtige Komponente lautet

Abb. 4.24: Zur Mengenbilanz in einem Abschnitt des Kondensators

yG + d˜ yG ) + dN˙ x ˜I . N˙ G y˜G = (N˙ G + dN˙ G ) (˜ uchtigen Komponente ist hierbei, wie in Der Molanteil y˜G der leichter fl¨ (4.67), ein integraler Mittelwert u ¨ber einen Querschnitt des Dampfraums. Man erhält aus der letzten Beziehung mit dN˙ = − dN˙ G die sogenannte RayleighGleichung − d˜ yG dN˙ G = . (4.68) y˜G − x ˜I N˙ G Diese liefert nach Integration zwischen den Querschnitten 1 und 2, Abb. 4.24 links, den Ausdruck y˜G2 d˜ yG N˙ G1 = , ln y˜G − x ˜I N˙ G2 y˜G1

woraus sich der im Fl¨ achenabschnitt ΔA anfallende Kondensatmengenstrom berechnet ⎛ ⎞⎞ ⎛ y˜ G2 d˜ yG ⎠⎠ |n| ˙ ΔA = N˙ G1 − N˙ G2 = N˙ G1 ⎝1 − exp ⎝− . (4.69) y˜G − x ˜I y˜G1

Hat man die Temperatur ϑI an der Phasengrenze mit Hilfe von (4.67) ermittelt, so kennt man nach (4.61) den Kondensatmengenstrom. Aus (4.69)

520


kann man dann den Molanteil y˜G2 des Dampfes im nächsten Abschnitt ΔA berechnen. Die Energiebilanz ergibt sich aus dem in Abb. 4.25 gezeigten Flächenabschnitt zu ˜ G = (N˙ G + dN˙ G ) (h ˜ G + dh ˜ G ) + dN˙ h ˜ G + q˙G dA . N˙ G h I Mit dN˙ = − dN˙ G folgt

Abb. 4.25: Zur Energiebilanz in einem Abschnitt des Kondensators

˜G − h ˜ GI ) + N˙ G dh ˜ G + q˙G dA . 0 = − dN˙ (h Nun ist d|N˙ | = |n| ˙ dA mit |n| ˙ nach (4.61). Damit wird ˜ G = |n| ˜G − h ˜ GI ) dA + q˙G dA ˙ (h −N˙ G dh

(4.70)

˜G − h ˜ GI = c˜pG (ϑG − ϑI ) und q˙G = α• (ϑG − ϑI ). Diese ˜ G = c˜pG dϑG , h mit dh G ˜ G und Gleichung lässt sich nicht geschlossen integrieren, da die Enthalpien h ˜ angs des Str¨ omungswegs veränderlichen Temperatur hGI ihrerseits von der l¨ und dem Molanteil abh¨ angen. Falls der Fl¨ achenabschnitt ΔA nicht zu groß gewählt wird, kann man in guter N¨ aherung mit Vorwärtsdifferenzen arbeiten. Dann ist ˜ G2 − h ˜ G1 ) = |n| ˜ G1 − h ˜ GI ) ΔA + q˙G ΔA . −N˙ G1 (h ˙ (h

(4.71)

˜ G2 des folgenden FlächenabAus dieser Beziehung erh¨ alt man die Enthalpie h schnitts und damit auch dessen Temperatur, denn es ist ˜ 01 (ϑG ) y˜G + h ˜ 02 (ϑG ) (1 − y˜G ) ˜G = h h ˜ GI = h ˜ 01 (ϑI ) y˜I + h ˜ 02 (ϑI ) (1 − y˜I ) , h

und (4.72)

˜ 02 die von der Temperatur abhängigen molaren Enthalpien ˜ 01 und h wenn h der reinen Stoffe 1 und 2 sind. Da wir die Gasphase als ideal voraussetzten, entfällt die Druckabh¨ angigkeit der Enthalpien. In (4.71) ist in der von der • (ϑG − ϑI ) der Wärme¨ uberGasphase abgegeben W¨ armestromdichte q˙G = αG • gangskoeffizient αG vom Gas an die Phasengrenze verschieden von dem einer Dampfströmung ohne Kondensation, αG . Es ist nach (4.32) • αG = αG ζ G ,

worin der Korrekturfaktor ζ durch die Ackermann-Korrektur“ (4.33) gegeben ” ist.


521

4.1.8.3 Die Berechnung der Fl¨ ache eines Kondensators Die praktische Berechnung f¨ ur Zweistoffgemische aufgrund der vorstehenden Gleichungen ist nun in verschiedener Weise m¨ oglich. Empfehlenswert ist das folgende Vorgehen. •

•

Man gibt einen Fl¨ achenabschnitt ΔA vor und schätzt die Temperatur ϑI an der Kondensatoberfl¨ ache dieses Abschnitts. Es ist ϑG < ϑI < ϑK , wenn ϑG die Temperatur des Dampfes und ϑK die des K¨ uhlmittels ist. Mit dieser Vorgabe von ϑI liegen aufgrund des Phasengleichgewichts die Molanteile x ˜I und y˜I an der Kondensatoberfl¨ ache fest. ¨ Man schätzt weiter die Anderung Δ˜ yG der Dampfzusammensetzung in dem betreffenden Abschnitt und setzt n¨ aherungsweise y˜G = (˜ yG1 + y˜G2 )/2

•

•

• •

mit

y˜G2 = y˜G1 + Δ˜ yG ,

worin y˜G1 die Dampfzusammensetzung im Eintrittsquerschnitt 1 und y˜G2 die im Austrittsquerschnitt 2 des betrachteten Abschnitts sind. Mit diesen Sch¨ atzwerten kann man den dampfseitigen Wärme¨ ubergangs• und den Stoff¨ ubergangskoeffizienten βG berechnen. Ebenkoeffizient αG so kennt man den W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten αL des Kondensatfilms, der sich bei laminarer Filmkondensation aus der Nußeltschen Wasserhauttheorie (4.39) und bei turbulenter Filmkondensation aus (4.41) ergibt. Aus (4.67) berechnet man damit eine Temperatur ϑI an der Kondensatoberfläche. Stimmt diese mit dem Sch¨ atzwert nicht u ¨berein, so muss man die atzen, bis Sch¨ atz- und Rechenwert gen¨ ugend geTemperatur ϑI erneut sch¨ nau genug u bereinstimmen. ¨ Im nächsten Schritt berechnet man nun mit Hilfe von (4.69) den anfallenden Mengenstrom |n| ˙ des Kondensats. Stimmt dieser mit dem aus (4.61) ermittelten u berein, so war die anf¨ angliche Schätzung hinsichtlich ¨ ¨ der Anderung y˜G der Dampfzusammensetzung richtig. Andernfalls muss man die Rechnung solange wiederholen, bis Schätz- und Rechenwert genau u ¨bereinstimmen. Erst dann können Temperaturen und Zusammensetzung des folgenden Abschnitts ermittelt werden. Solange der Dampf u ¨berhitzt ist, ϑG > ϑT (ϑT ist die Tautemperatur), wie dies Abb. 4.26 zeigt, berechnet man zweckmäßigerweise zuerst mit Hilfe von (4.71) die Dampftemperaturen des folgenden Flächenabschnitts und dann wie zuvor er¨ ortert alle u oßen. Ist der Dampf auf Tautem¨brigen Gr¨ uhlt, so braucht man die Energiegleichung (4.71) nicht peratur ϑT abgek¨ mehr zu lösen, da dann die Dampftemperatur ϑG = ϑT , wie aus Abb. 4.26 hervorgeht, nur vom Molanteil y˜G abh¨ angt.

Wie sich Dampftemperatur ϑG und Molanteile y˜G , y˜I , und die Temperatur ϑI l¨ angs eines Kondensators ¨ andern k¨ onnen, zeigt schematisch Abb. 4.26.

522


Abb. 4.26: Temperaturen ϑG , ϑI und Zusammensetzung y˜G , y˜I , x ˜I l¨ angs eines Kondensators. e = Eintrittszustand, a = Austrittszustand des Dampfes

4.1.9 Einige empirische Gleichungen Im Folgenden werden die bisherigen Gleichungen zusammengefasst und um einige weitere erg¨ anzt. 1. Laminare Filmkondensation an senkrechten oder geneigten Platten und an der Innen- oder Außenseite senkrechter Rohre Nach der Nußeltschen Wasserhauttheorie folgt f¨ ur die Wärme¨ ubergangskoeffizienten aus (4.13a) unter der Voraussetzung G L : αm N um = λL

νL2 g

1/3 = 0,925

M˙ /b ηL

−1/3 = 0,925 Re−1/3 .

Der örtliche W¨ arme¨ ubergangskoeffizient ist α = 3 αm /4. Ist die Wand um den Winkel γ gegen die Senkrechte geneigt, so hat man die Fallbeschleunigung g durch die wandparallele Komponente g cos γ mit 0 ≤ γ ≤ π/2 zu ersetzen. Die Gleichung gilt auch f¨ ur die Kondensation ruhender Dämpfe an der Innen- oder Außenseite senkrechter Rohre, wenn der Rohrdurchmesser groß im Vergleich zur Filmdicke ist. Man hat dann die Breite b durch b = π d zu ersetzen. L¨ asst man eine Abweichung von 1 % von den Werten der Nußeltschen Wasserhauttheorie zu, so gilt die Gleichung bis zu einer Reynolds-Zahl Reu¨ = 256 P r−0,47

mit

1 ≤ P r ≤ 10 .

2. Laminare Filmkondensation am Einzelrohr Es gilt f¨ ur den mittleren W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten nach (4.15a), wenn man G L setzt αm, waag (νL2 /g)1/3 N um = = 0,959 λL L ist die Rohrl¨ ange.

M˙ /L ηL

−1/3 = 0,959 Re−1/3 .


523

3. Laminare Filmkondensation am Rohrb¨ undel in fluchtender Anordnung Man berechne zun¨ achst nach 2. den mittleren Wärme¨ ubergangskoeffizienten f¨ ur laminare Filmkondensation am waagrechten Einzelrohr. Den mittleren Wärme¨ ubergangskoeffizienten f¨ ur n fluchtend u ¨bereinander liegende Rohre erhält man nach (4.17) zu cpL (ϑs − ϑ0 ) (n − 1) n−1/4 αml . αm = 1 + 0,2 Δhv ϑs ist die Sättigungstemperatur, ϑ0 die Wandtemperatur, Δhv die Verussigkeit. dampfungsenthalpie und cpL die spez. Wärmekapazität der Fl¨ Die Gleichung gilt f¨ ur cpL (ϑs − ϑ0 ) (n − 1)/Δhv < 2 . 4. Turbulente Filmkondensation an senkrechten oder geneigten Platten und an der Innen- oder Außenseite senkrechter Rohre Der örtliche W¨ arme¨ ubergangskoeffizient berechnet sich f¨ ur Re ≥ 400 aus (4.41) α (νL2 /g)1/3 = 0,0325 Re1/4 P r 1/2 Nu = λL mit

4/3

1/4 M˙ /b Pr 1/2 Re = = 89 + 0,024 P r (Z − 2300) ηL P r0 und Z=

x cpL (ϑs − ϑ0 ) 1 . Δhv P r (ν 2 /g)1/3 L

¨ 5. Ubergangsbereich zwischen laminarer und turbulenter Filmkondensation ¨ Im Ubergangsbereich 256 P r−0,44 ≤ Reu¨ ≤ 400 zwischen laminarer und turbulenter Filmkondensation erh¨ alt man Wärme¨ ubergangskoeffizienten nach (4.43) aus α=

4

4 (f αlam )4 + αturb .

Der Faktor f ≈ 1,15 ber¨ ucksichtigt die Welligkeit des laminaren Kondensatfilms. 6. Turbulente Filmkondensation str¨ omender D¨ ampfe in Rohren F¨ ur den örtlichen W¨ arme¨ ubergang gilt nach Shah, Gl. (4.52) , 3,8 (1 − x∗ )0,04 x∗0,76 0,8 0,4 ∗ 0,8 (1 − x ) + N u = 0,023 Re P r p+0,38

524


mit Nu =

wm d p αd π d2 νL , Re = , wm = M˙ / L und p+ = . , Pr = λL νL 4 aL pcr

Hauptsächlicher G¨ ultigkeitsbereich 100 ≤ Re ≤ 63 000,

1 ≤ P r ≤ 13,

0,002 ≤ p+ ≤ 0,44 .

Weitere Hinweise zum G¨ ultigkeitsbereich findet man auf S. 503 7. Schichtenstr¨ omung in waagrechten Rohren Bei kleinen Str¨ omungsgeschwindigkeiten bildet sich in waagrechten Rohren kein ringförmiger Fl¨ ussigkeitsfilm, sondern eine Schichtenströmung aus. Im unteren Teil des Rohres sammelt sich Kondensat an, die oberen Wände sind von Fl¨ ussigkeit benetzt. Schichtenstr¨ omung tritt auf, wenn die dimensionslose Dampfgeschwindigkeit ∗ wG =

x∗ M˙ 1/2

A [g d G (L − G )]

≤1

ist und wenn f¨ ur den Fl¨ ussigkeitsanteil 1−ε AL = AG ε

mit

ε=

AG A

und A = AG + AL

gilt

1−ε ≤ 0,5 . ε F¨ ur den mittleren W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten gilt in Anlehnung an (4.15) 1/4 2 L g Δ hv λ3L 1 αm = 0,728 ε . ηL (ϑs − ϑ0 ) d

4.2 W¨ armeu ¨ bergang beim Sieden Während sich der W¨ arme¨ ubergang bei der Konvektion durch physikalische Größen wie Viskosit¨ at, Dichte, W¨ armeleitf¨ ahigkeit, thermischer Ausdehnungskoeffizient und durch geometrische Gr¨ oßen beschreiben lässt, sind bei Siedevorgängen dar¨ uber hinaus diejenigen Variablen von Bedeutung, die mit der Phasenumwandlung verkn¨ upft sind. Dazu gehören Verdampfungsenthalpie, Siedetemperatur, Dichte des Dampfes und Grenzflächenspannung. Außerdem spielen Mikrostruktur und Werkstoff der Heizfläche eine Rolle. Wegen dieser Vielzahl von Variablen ist es schwieriger als bei anderen Problemen der W¨ arme¨ ubertragung, Gleichungen zur Berechnung von Wärme¨ ubergangskoeffizienten anzugeben. Auch von der Erarbeitung einer geschlossenen Theorie

4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden

525

ist man weit entfernt, weil die physikalischen Phänomene zu verwickelt und keinesfalls ausreichend erforscht sind. Ursache daf¨ ur sind nicht nur die vielen Einflussgrößen, die bei Siedevorgängen eine Rolle spielen, sondern auch die vielen Arten des Wärme¨ uber¨ gangs, die sich je nach Str¨ omungsf¨ uhrung und Größe der Uberhitzung ergeben. Mit ihnen wollen wir uns im Folgenden zuerst befassen, anschließend die physikalischen Grundlagen der Siedeph¨ anomene erörtern und uns dann der Berechnung des W¨ arme¨ ubergangs zuwenden.

4.2.1 Die verschiedenen Arten der W¨ armeu ¨ bertragung Je nach Art des Siedevorgangs unterscheidet man zwischen stillem Sieden, Blasensieden und Str¨ omungssieden. Wir behandeln zuerst das stille Sieden. Ist die Fl¨ ussigkeit an einer beheizten Wand nur wenig u ¨ber die Sättigungstemperatur u ¨berhitzt, so bilden sich wenige oder gar keine Dampfblasen. In einem von unten beheizten, mit Fl¨ ussigkeit gef¨ ullten Gefäß stellt sich ein Tem¨ peraturverlauf ein, wie er schematisch in Abb. 4.27 dargestellt ist. Uber dem beheizten Boden mit der Temperatur ϑ0 bildet sich eine Grenzschicht von der Größenordnung 1 mm mit einem starken Temperaturabfall, während im Kern die Fl¨ ussigkeitstemperatur fast konstant u ¨ber die Höhe z ist (Mittelwert ϑL ). An der freien Oberfl¨ ache f¨ allt die Temperatur in einer d¨ unnen Schicht auf den Wert ϑI , der wenig u attigungstemperatur ϑs liegt. Die Differenz ¨ber der S¨ uger [4.42] f¨ ur Wasser bei 1,01 bar zu etwa ϑI − ϑs wurde erstmalig von Pr¨ 0,03 K gemessen, w¨ ahrend dieser Wert bei nicht polaren Fl¨ ussigkeiten wie Tetrachlorkohlenstoff etwa 0,001 K betr¨ agt. So wichtig diese Fl¨ ussigkeits¨ uberhitzung an der Oberfl¨ ache f¨ ur die kinetische Betrachtung der Verdampfung ist, kann sie bei technischen Berechnungen doch außer acht bleiben. Im Folgenden wird daher einer dampfbildenden Oberfl¨ ache stets die Sättigungstemperatur ϑI = ϑs zugeschrieben.

Abb. 4.27: Temperaturverlauf in der Fl¨ ussigkeit bei Oberfl¨ achenverdampfung

In der d¨ unnen, wandnahen Schicht f¨ allt die Temperatur, wie Abb. 4.27 zeigt, steil ab. Die W¨ arme wird in dieser Schicht vom Boden her durch Leitung nachgeliefert. In der Fl¨ ussigkeit besorgen auf- und absteigende Konvektionsströme den W¨ armetransport. Sie erzeugen das ausgeglichene Tempera-

526


turfeld im Kern der Fl¨ ussigkeit. Die beiden Grenzschichten oben und unten unterscheiden sich dadurch voneinander, dass die freie Oberfläche wegen der Dampfbildung verschiebbar ist und dass dort im Gegensatz zur Fl¨ ussigkeit an der Wand auch endliche Geschwindigkeiten parallel zur Oberfläche auftreten können. Die Verdampfung selbst wirkt an der Oberfläche als Wärmesenke, die man sich durch einen anderen Vorgang, etwa durch Abstrahlung, ersetzt denken könnte. Da die Verdampfung oder auch Verdunstung an der freien Oberfläche erfolgt, spricht man von stillem Sieden“. Dieser Vorgang gehört ” seinem Wesen nach zu den Erscheinungen der Konvektion in geschlossenen Räumen. Wärme¨ ubergangskoeffizienten von der Heizfläche an die Fl¨ ussigkeit lassen sich mit der treibenden Temperaturdifferenz ϑ0 − ϑL bilden, wobei ϑ0 die Wandtemperatur der Heizfl¨ ache und ϑL die Fl¨ ussigkeitstemperatur ist. Da die Fl¨ ussigkeitstemperatur ϑL im voraus nicht bekannt ist und, wie oben dargelegt, nur sehr wenig von der S¨ attigungstemperatur abweicht, ist es zweckmäßig, die W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten mit der Temperaturdifferenz Δϑ = ϑ0 −ϑs zu bilden. Bei stillem Sieden gelten die Gesetze des Wärme¨ ubergangs in freier Str¨ omung. So ist α = c1 Δϑ1/4 bei laminarer und α = c2 Δϑ1/3 bei turbulenter Str¨ omung u ¨ber einer waagrechten Platte. Da die Wärmestromdichte durch q˙ = αΔϑ gegeben ist, gilt also bei laminarer Strömung α = c1 Δϑ1/4

oder

α = c1 q˙1/5

(4.73)

bzw. bei turbulenter Str¨ omung α = c2 Δϑ1/3

oder α = c2 q˙1/4 .

(4.74)

Erhöht man die Wandtemperatur, indem man den zugef¨ uhrten Wärmestrom steigert, so bilden sich von einer bestimmten Wandtemperatur an Dampfblasen. Wie die Beobachtung zeigt, entstehen diese nur an bestimmten Stellen der Heizfl¨ ache. Die Zahl der gebildeten Dampfblasen wächst mit dem zugef¨ uhrten Wärmestrom. Man bezeichnet diese Art der Wärme¨ ubertragung als Blasensieden. Einen typischen Temperaturverlauf u ¨ber einer waagrechten Platte zeigt Abb. 4.28 nach Messungen von Jakob und Mitarbeitern [4.43] bis [4.49], denen wir die ersten grundlegenden Untersuchungen u ¨ber den Vorgang verdanken. Die Blasenbewegung an der Oberfläche erlaubt keine genaue Abmessung der Grenzschicht. Man bildet den Wärme¨ ubergangskoeffizienten wie bei stillem Sieden wieder mit der Temperaturdifferenz Δϑ = ϑ0 − ϑs . Der Wärme¨ ubergang ist sehr viel besser als bei stillem Sieden und näherungsweise proportional der dritten Potenz der Temperaturdifferenz Δϑ. Beachtet man, dass die u armestromdichte durch q˙ = αΔϑ gegeben ist, so gilt ¨bertragene W¨ im Bereich des Blasensiedens n¨ aherungsweise α = c3 Δϑ3

oder

α = c3 q˙3/4 .

(4.75)

Stellt man α(q) ˙ aus (4.73) bzw. (4.74) und (4.75) graphisch dar, so ergeben sich zwei Geraden, wenn man f¨ ur Ordinate und Abszisse logarithmische Maßstäbe


Abb. 4.28: Temperaturverlauf u ¨ber einer waagrechten Heizfl¨ ache, nach Jakob und Linke [4.46]. Heizfl¨ achenbelastung q˙ = 22 440 W/m2 , Temperatur der Heizfl¨ ache ϑ0 = 109,1 ℃

527

Abb. 4.29: W¨ arme¨ ubergang an siedendes Wasser von 100 ℃ bei waagrechter Heizfl¨ ache, nach Jakob u. Mitarbeitern [4.43], [4.45]. Kurve a Bereich des stillen Siedens, Kurve b Bereich des Blasensiedens

wählt. Man erhält zwei deutlich getrennte Bereiche, einen f¨ ur stilles Sieden und einen f¨ ur Blasensieden, wie Abb. 4.29 zeigt, die Messergebnisse von Jakob und Mitarbeitern [4.44], [4.45] wiedergibt. In technischen Apparaten wird meistens unter Zwangskonvektion verdampft. Die Strömungsverh¨ altnisse werden dabei weitgehend durch die Druckdifferenz längs der Heizfl¨ ache bestimmt. Der Dampfgehalt nimmt auf dem Strömungsweg bis zur vollst¨ andigen Verdampfung stetig zu. Entsprechend dem abnehmenden Fl¨ ussigkeitsangebot ergeben sich unterschiedliche Siedeph¨ anomene, von deren W¨ arme¨ ubertragungseigenschaften wiederum die örtliche Siedetemperatur abh¨ angt. Im Allgemeinen tritt eine Fl¨ ussigkeit unterk¨ uhlt in einen Heizkanal ein. An der Wand gebildete Dampfblasen kondensieren wieder im k¨ alteren Kern der Fl¨ ussigkeit. Ist die Fl¨ ussigkeit im Kern auf S¨ attigungstemperatur aufgeheizt, so herrscht Blasensieden vor. Dabei wird der Wärme¨ ubergangskoeffizient haupts¨ achlich durch die Wärmestromdichte bestimmt. Er hängt in einer erzwungenen Strömung noch schwach von der Massenstromdichte, bei freier Str¨ omung jedoch praktisch gar nicht von der Massenstromdichte ab. Die einzelnen Dampfblasen wachsen zu größeren Blasenkolben zusammen, gehen also, wie in Abb. 4.30 gezeigt, in eine Pfropfenstr¨ omung u ¨ber. Mit zunehmendem Dampfgehalt wachsen auch die Blasenkolben zusammen, so dass sich zun¨ achst eine Schaum-Ringstr¨ omung und anschließend an der Rohrwand ein Fl¨ ussigkeitsfilm und im Kern Dampf mit Fl¨ ussigkeitstropomung. Bei weiterer Wärmezufuhr verfen befinden. Man spricht von Ringstr¨ schwindet stromabw¨ arts der Fl¨ ussigkeitsfilm, und es strömt ein Dampf mit Fl¨ ussigkeitstropfen, eine sogenannte Spr¨ uhstr¨ omung, durch das Rohr. Abb. 4.30 zeigt diese in einem senkrechten Rohr aufeinanderfolgenden Strömungsformen. Noch kompliziertere Str¨ omungsformen ergeben sich in waagrechten oder geneigten Rohren. Blasen-, Pfropfen-, Schaum-Ring- und Ringströmun-

528


Abb. 4.30: Str¨ omungsformen im senkrechten beheizten Rohr

Abb. 4.32: Verlauf des W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten α l¨ angs eines waagrecht durchstr¨ omten Verdampferrohrs

Abb. 4.31: W¨ arme¨ ubergangskoeffizient bei Blasen- und Str¨ omungssieden

gen stellen verschiedene Formen des Str¨ omungssiedens oder Konvektionssiedens dar. In der Technik kommt h¨ aufig Ringstr¨ omung oder, bei sehr kleinen Strömungsgeschwindigkeiten, Pfropfenstr¨ omung vor. Blasenströmung tritt nur bei sehr kleinem Dampfanteil und hohen Str¨ omungsgeschwindigkeiten auf. Steigender Druck und damit ein abnehmender Dichteunterschied zwischen dem Dampf und der Fl¨ ussigkeit erweitert das Gebiet der Blasenströmung.


529

Während im Bereich des Blasensiedens der Wärme¨ ubergangskoeffizient hauptsächlich von der Heizfl¨ achenbelastung q˙ und praktisch nicht von der Strömungsgeschwindigkeit abh¨ angt, Kurve b in Abb. 4.29, wird im Bereich des Strömungssiedens der W¨ arme¨ ubergang entscheidend von der Strömungsgeschwindigkeit oder der Massenstromdichte m, ˙ dagegen kaum von der Heizfl¨ achenbelastung beeinflusst. Dies zeigt Abb. 4.31, in der die Bereiche des Blasensiedens und des Str¨ omungssiedens deutlich voneinander getrennt sind. Eine weitere unabh¨ angige Variable ist der Strömungsdampfgehalt x∗ = omungsdampfgehalt verschieben sich die KurM˙ G /M˙ . Mit zunehmendem Str¨ ven f¨ ur das Strömungssieden in Abb. 4.31 zu größeren Wärme¨ ubergangskoeffizienten α. Der grundsätzliche Verlauf des W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten in Abhängigkeit vom Str¨ omungsdampfgehalt ist in Abb. 4.32 dargestellt. Im Bereich kleiner Strömungsdampfgehalte x∗ herrscht Blasensieden, und der Wärme¨ ubergangskoeffizient h¨ angt haupts¨ achlich von der Wärmestromdichte ab. Stromabwärts nimmt der Str¨ omungsdampfgehalt zu. Damit wächst auch die Strömungsgeschwindigkeit. Die zugef¨ uhrte Wärme wird im Wesentlichen durch Konvektion von der Rohrwand an die Dampf-Fl¨ ussigkeitsströmung u omungssieden u ¨bertragen. Das Blasensieden geht in Str¨ ¨ber, wie es in Abb. ˙ 1 angedeutet ist. Im Bereich 4.32 durch die Pfeile an den Kurven q˙1 und m des Strömungssiedens ist der ¨ ortliche W¨ arme¨ ubergangskoeffizient praktisch unabhängig von der Heizfl¨ achenbelastung q˙ und hängt stark vom Massenstrom und dem Str¨ omungsdampfgehalt ab. Bei großen Strömungsdampfgehalten nimmt der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient wieder ab wegen der im Vergleich zur Fl¨ ussigkeit geringeren W¨ armeleitf¨ ahigkeit des Dampfes. Zur Berechnung des W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten dienen Gleichungen der Form α = c q˙n m ˙ s f (x∗ ) , wobei c von den Stoffeigenschaften abh¨ angt. Im Bereich des Strömungssiedens ist n ≈ 0, während s zwischen 0,6 und 0,8 liegt. Im Bereich des Blasensiedens ist n ungefähr 3/4 und s etwa 0,1 bis 0,3.

4.2.2 Die Entstehung von Dampfblasen Der Wärme¨ ubergang bei Verdampfung wird leichter verständlich, wenn man weiß, wie Dampfblasen an Heizfl¨ achen entstehen. Wir wollen daher im Folgenden zunächst die Bildung und das Anwachsen von Dampfblasen erörtern, ehe wir die verschiedenen Arten des W¨ arme¨ ubergangs im Einzelnen behandeln. F¨ ur das Gleichgewicht einer als kugelf¨ ormig angenommenen Dampfblase, Abb. 4.33, mit der sie umgebenden Fl¨ ussigkeit gelten folgende Betrachtungen. Zwischen der gasf¨ ormigen Blase (Gas = Index G) und der umgebenden Fl¨ ussigkeit (Fl¨ ussigkeit = Index L) herrscht thermisches Gleichgewicht ϑG = ϑL = ϑ .

(4.76)

530


Abb. 4.33: Zum Gleichgewicht zwischen kugelf¨ ormiger Dampfblase mit umgebender Fl¨ ussigkeit

Schneidet man aus der Oberfl¨ ache der Dampfblase, wie im rechten Teil von Abb. 4.33 gezeichnet, ein Fl¨ achenelement der Kugelschale aus, dessen Kantenlängen r dϕ sind, so greifen an den Kanten die von den Oberflächenspannungen σ (σ ist eine Kraft je L¨ angeneinheit) ausge¨ ubten Kräfte σr dϕ an. Man u ¨berzeugt sich leicht davon, dass die Resultierende FR dieser Kräfte gegeben ist durch d2 FR = 2σr dϕ2 . Außerdem wirken noch die vom Gas- und Fl¨ ussigkeitsdruck ausge¨ ubten Kräfte pL (r dϕ)2 + d2 FR = pG (r dϕ)2 . Daraus folgt die Bedingung f¨ ur das mechanische Gleichgewicht pG = pL + 2σ/r .

(4.77)

Schließlich gilt noch die Bedingung f¨ ur das Gleichgewicht hinsichtlich des Stoffaustauschs zwischen gasf¨ ormiger und fl¨ ussiger Phase. Sie f¨ uhrt, wie beispielsweise in [4.50] gezeigt wurde, auf pL = p0 − oder mit (4.77) auf pG = p0 −

2σ − r

(4.78)

2σ . − r

(4.79)

Die Gl. (4.78) bzw. (4.79) bezeichnet man als Thomsonsche Gleichung. Sie stellt einen Zusammenhang zwischen dem Dampfdruck p0 (ϑ) an einer ebenen Phasengrenzfl¨ ache, dem Fl¨ ussigkeitsdruck pL (ϑ, r) und dem Dampfdruck ache einer Dampfblase vom Radius r her. In Abb. 4.34 pG (ϑ, r) an der Oberfl¨


531

sind die Zusammenh¨ ange anschaulich dargestellt. Bei vorgegebener Temperatur ϑ ist der Dampfdruck pG entsprechend (4.79) um p0 − pG = ΔpG =

2σ 2σ = Δ r − r

kleiner als der Dampfdruck p0 an der ebenen Phasengrenze. Da die Oberflächenspannung σ temperaturabh¨ angig ist, verlaufen die Kurven f¨ ur den Dampfussigkeitsdruck pL nicht genau, aber doch ungefähr padruck pG und den Fl¨ rallel zur Dampfdruckkurve p0 bei ebener Phasengrenze. Gibt man nicht die Siedetemperatur ϑ des Systems Fl¨ ussigkeit-Dampfblase, sondern dessen Druck p0 vor, so muss die Fl¨ ussigkeit um Δϑ = ϑ − ϑS gegen¨ uber dem System mit ebener Phasengrenze u ¨berhitzt sein, wie Abb. 4.34 zeigt, damit eine Dampfblase vom Radius r mit der Fl¨ ussigkeit im Gleichge¨ wicht ist. Man erkennt außerdem, dass die erforderliche Uberhitzung Δϑ umso

Abb. 4.34: Dampf- und Fl¨ ussigkeitsdruck zwischen Fl¨ ussigkeit und einer kugelf¨ ormigen Dampfblase

größer wird, je kleiner der Radius r der Dampfblase ist, denn f¨ ur kleinere Raussigkeitsdrucks pL (ϑ, r ∗ ) in Abb. 4.34 weiter dien r∗ < r ist die Kurve des Fl¨ nach rechts verschoben, ebenso auch die nicht eingezeichnete Kurve pG (ϑ, r ∗ ) des Dampfdrucks. Umgekehrt geh¨ ort zu einer Fl¨ ussigkeits¨ uberhitzung Δϑ ein ganz bestimmter Radius r derjenigen Dampfblase, die mit der u ¨berhitzten Fl¨ ussigkeit im Gleichgewicht steht. Zur n¨ aherungsweisen Berechnung der er¨ forderlichen Uberhitzung nehmen wir an, die Kurven p0 (ϑ) und pL (ϑ, r) in Abb. 4.34 verliefen parallel. Dann ist

532


dpL dp0 = . dϑ dϑ Die Ableitung dp0 /dϑ ist die Steigung der Dampfdruckkurve p0 (ϑ). Sie lässt sich aus der Gleichung von Clausius-Clapeyron berechnen: Δhv dp0 = . dϑ Ts ( − )

(4.80)

2σ dpL ∼ p0 − pL ∼ 1 . = = dϑ Δϑ Δϑ − r

(4.81)

Andererseits ist mit (4.78)

Aus diesen Gleichungen errechnet man den Blasenradius r als Funktion der ¨ Uberhitzung Δϑ n¨ aherungsweise zu r∼ =

2σTS Δhv Δϑ

.

(4.82)

Danach gehört zu einer bestimmten Fl¨ ussigkeits¨ uberhitzung Δϑ ein ganz bestimmter Blasenradius r, bei dem die Blase mit der Fl¨ ussigkeit im Gleichgewicht steht. Blasen, deren Radius r∗ < r ist, sind mit der Fl¨ ussigkeit nur im ¨ Gleichgewicht, wenn die Uberhitzung Δϑ∗ > Δϑ wäre, wie Abb. 4.34 zeigt. Eine nur um Δϑ u ussigkeit ist zu kalt. Zu kleine Blasen konden¨berhitzte Fl¨ sieren daher wieder. Blasen mit dem Radius r ∗ > r befinden sich hingegen in einer f¨ ur ihre Lebensbedingungen u ussigkeit und können wei¨berhitzten Fl¨ ter anwachsen. Tats¨ achlich ist jedoch die Verweilzeit der Blasen insbesondere in Wandnähe so kurz, dass sich kein Gleichgewicht einstellen kann, und die wirkliche Fl¨ ussigkeits¨ uberhitzung um ein Vielfaches größer ist als Δϑ. Auch ¨ zu dieser wirklichen Uberhitzung geh¨ ort ein bestimmter kritischer Blasenradius. Bei siedendem Wasser von 1 bar ist nach (4.82) der Blasendurchmesser ¨ 2r ∼ im Kern der Fl¨ ussigkeit von 0,4 K = 0,155 mm, wenn man eine Uberhitzung zugrunde legt. Erst eine Blase von dieser Gr¨ oße ist lebensfähig“ und kann ” ule. weiter anwachsen. Eine solche Blase enth¨ alt rund 3 · 1020 Wassermolek¨ Soviele Molek¨ ule mit der u ¨berdurchschnittlich hohen Energie von Dampfmolek¨ ulen können sich aber schwerlich zuf¨ allig an einem bestimmten Ort im Inneren der Fl¨ ussigkeit ansammeln, dort eine Dampfblase bilden und dann weiter anwachsen. Es erhebt sich somit die Frage, wie Dampfblasen u ¨berhaupt entstehen. Wie die Beobachtung lehrt, k¨ onnen im Inneren von ganz reinen, sorgfältig entgasten Fl¨ ussigkeiten keine Blasen entstehen, es sei denn, man w¨ urde die Fl¨ ussigkeit extrem u ¨berhitzen oder zum Beispiel ionisierende Strahlen hindurchschicken. Die Beobachtung zeigt weiter, dass die Blasen u ¨ber längere Zeit mit einer zeitlich ver¨ anderlichen Frequenz, die näherungsweise nach einer Fehlerfunktion verteilt ist, immer wieder an denselben Stellen der Oberfläche des Heizkörpers entstehen. Offensichtlich hat man es dort mit hochaktiven


533

¨ Zentren zu tun, die den Ubergang der instabilen u ussigkeit in den ¨berhitzten Fl¨ stabilen Dampf katalysieren. Solche Zentren sind Gas- oder Dampfreste in den Vertiefungen der Oberfl¨ ache, die von der Fl¨ ussigkeit nicht restlos verdrängt werden, da diese auch bei guter Benetzungsf¨ ahigkeit die feinen Vertiefungen des Oberflächengebirges nicht vollst¨ andig ausf¨ ullen kann. Bei Wärmezufuhr dehnen sich die Gas- oder Dampfreste aus, bis eine bestimmte kritische Größe erreicht ist, die der Gr¨ oße einer lebensf¨ ahigen Blase entspricht. Dann kann eine Dampfblase aufgrund der herrschenden Fl¨ ussigkeits¨ uberhitzung weiter wachsen, bis schließlich die Haftkr¨ afte kleiner geworden sind als die Auftriebsund dynamischen Kr¨ afte, so dass sich die Blase von der Heizfläche löst. Nach dem Abreißen der Blase bleibt weiterhin ein Gas- oder Dampfrest in der Vertiefung eingeschlossen, der nun durch die kalte, aus dem Fl¨ ussigkeitsinneren zur Wand strömenden Fl¨ ussigkeit gek¨ uhlt und anschließend durch Wärmezufuhr von der Wand wieder erw¨ armt wird und zu einem neuen Keim“ f¨ ur ” eine Dampfblase anw¨ achst. Mit diesen Betrachtungen wird auch verständlich, warum die Gestalt des Oberfl¨ achengebirges eine wichtige Einflussgröße f¨ ur den Wärme¨ ubergang ist. Dampfblasen bilden sich fast immer an besonders beg¨ unstigten Stellen fester Oberflächen oder an suspendierten Teilchen. Man hat es somit fast immer mit heterogener Keimbildung zu tun. Die homogene Keimbildung, durch urlichen Schwankungsbewegungen der die Blasen von selbst“ aufgrund der nat¨ ” Molek¨ ule entstehen, spielt eine untergeordnete Rolle.

4.2.3 Mechanismen der W¨ armeu ¨ bertragung beim Sieden in freier Str¨ omung Bisher bekannte Modellvorstellungen zum W¨ arme¨ ubergang beim Sieden beschreiben zwar einzelne Teilvorg¨ ange zutreffend, vermögen jedoch nicht alle Erscheinungen zu erkl¨ aren und f¨ uhren daher auch zu keiner vollständigen Theorie. Offensichtlich ist der W¨ arme¨ ubergang bei der Blasenverdampfung so verwickelt, weil mehrere Austauschmechanismen zusammen wirksam sind. Je nach den vorliegenden Bedingungen, wie Größe der Wärmestromdichte, Druck, Benetzbarkeit, Zwangskonvektion, Unterk¨ uhlung usw., wird der eine oder andere Mechanismus u ¨berwiegen. Vermutlich ist so auch zu erklären, dass die bisherigen Theorien in bestimmten Bereichen und f¨ ur bestimmte Stoffe gut mit Messwerten u ahrend sie f¨ ur andere Bereiche und Stoffe ¨bereinstimmen, w¨ versagen. Wie neuere Untersuchungen zeigen [4.51] bis [4.56], wird ein Großteil der W¨ arme in einer winzigen ringf¨ ormigen Zone zwischen Dampfblase und Heizwand u ¨bertragen. Dieser als Mikrozone bezeichnete Bereich, Abb. 4.35, verschiebt sich mit dem Blasenradius r als Funktion der Zeit t, ist aber nur Bruchteile vom einem μm breit. Abb. 4.36 zeigt die Mikrozone stark vergrößert. Im Außenbereich, hier als Makrozone bezeichnet, ist die Blase annähernd kugelförmig. Die Kr¨ ummung K ihrer Oberfl¨ ache ist fast konstant, und ent-

534


Abb. 4.35: Einzelblase mit Heizwand und umgebender Fl¨ ussigkeit

sprechend dem jeweiligen mit der Zeit t ver¨ anderlichen Blasenradius r(t) ist K = 2/r(t). In der Mikrozone ¨ andert sich die Kr¨ ummung scharf, bis die Fl¨ ussigkeitsfläche zur Blasenachse hin in einen d¨ unnen nicht verdampfenden Film u ussigkeiten an der Wand adsorbiert ¨bergeht, der bei benetzenden Fl¨ ist. Seine Kr¨ ummung ist verschwindend klein, K ≈ 0. In diesem adsorbierten Film verhindern die Anziehungskr¨ afte zwischen der festen Wand und der Fl¨ ussigkeit eine Verdampfung. In der zwischen dem adsorbierten Film und der Makrozone liegenden Mikrozone durchläuft die Kr¨ ummung K der Fl¨ ussigkeits-Dampf-Phasengrenze ein ausgeprägtes Maximum. Dieses betr¨ agt beispielsweise f¨ ur das Kältemittel R114 beim Sieden an einer Kupferwand, die um 5 K gegen¨ uber der Sättigungstemperatur 302,63 K u ¨berhitzt ist, Kmax ≈ 107 m−1 , wie von P. Stephan und Hammer [4.51] gezeigt wurde. Die Kr¨ ummung ¨ andert sich in diesem Fall u ¨ber die kleine radiale Strecke von etwa 0,1 μm zwischen dem Wert K = 0 des adsorbierten Films u ¨ber den Maximalwert Kmax ≈ 107 m−1 in der Mikrozone und fällt dann im weiteren Verlauf der etwa 7 μm breiten Mikrozone auf einen annähernd konstanten Wert K ≈ 103 m−1 in der Makrozone, in der die Dampfblase annähernd kugelf¨ ormig ist. ¨ Die starke Kr¨ ummungs¨ anderung hat extreme Anderungen des Kapillardrucks σK zur Folge. Mit σ ist hier die Oberflächenspannung (SI-Einheit N/m) bezeichnet. Das starke Kapillardruckgefälle wiederum f¨ uhrt zu einer heftigen Fl¨ ussigkeitsstr¨ omung zur Phasengrenze mit anschließender Verdampfung. Es werden somit in einem schmalen, nur etwa 0,1 μm breiten Bereich der Mikrozone extrem hohe W¨ armestromdichten u ¨bertragen. Sie erreichen im Fall des R114 Werte um 1,6 · 107 W/m2 wie Abb. 4.37 zeigt. Von ähnlicher Größenordnung sind auch die maximalen Wärmestromdichten bei der


535

Abb. 4.36: Mikrozone einer haftenden Dampfblase

Verdampfung anderer Fl¨ ussigkeiten [4.52]. Die Kreisringfläche der Mikrozone beträgt zwar nur einen Bruchteil der Heizfläche, die einer einzelnen Blase zuzuordnen ist, trotzdem werden auf dieser kleinen Fläche fast 60% des insgesamt im Einflussbereich der Blase abgef¨ uhrten Wärmestroms u ¨bertragen. Der u ¨brige Wärmestrom wird im Wesentlichen durch Leitung und Konvektion in der Makrozone u ¨bertragen. Während die Blase anw¨ achst, wird sie zun¨ achst durch die Adhäsionskräfte an der Wand festgehalten. Mit zunehmendem Durchmesser verschiebt sich die Mikrozone radial nach außen. Da die Blase gleichzeitig anwächst, nehmen auch die Auftriebskr¨ afte zu. Sobald diese gr¨ oßer als die Haftkräfte werden, beginnt sich die Blase von der Wand abzuheben. Es bildet sich ein Blasenhals“ zwischen der Heizfläche und dem weiter ” entfernten Blasenteil, Abb. 4.38a. Wie Mitrović [4.57] nachwies, reißt die Blase ab, wenn der Blasenhals v¨ ollig eingeschn¨ urt wird, Abb. 4.38 b. Die gesamte Dampfmasse zerf¨ allt dann in zwei unterschiedlich große Teilmengen. Ein kleiner Dampfrest bleibt an der Heizfl¨ ache haften. Die größere Dampfmenge befindet sich in der abgerissenen Blase. An ihrer unteren Spitze herrscht infolge der kleinen Kr¨ ummungsradien ein hoher Kapillardruck, der sich auszugleichen sucht und die abgerissene Blase, falls sie nicht extrem klein ist, zu Schwingungen anregt. Ebenso wirkt auch ein Kapillardruck auf den Dampfrest an der Heizfläche. Er kann, wie Mitrović [4.57] an einem Beispiel nachwies, von ¨ der Größe 4 bar sein. Als Folge dieses Uberdrucks wird der Dampfrest teil¨ weise oder sogar vollst¨ andig verfl¨ ussigt. Besonders bei geringer Uberhitzung

536


der Heizwand wird der Dampfrest weitgehend kondensieren. Es dauert daher ¨ lange, bis sich die n¨ achste Blase bildet, w¨ ahrend bei hinreichend großer Uberhitzung die nächste Blase ohne Wartezeit aus dem Dampfrest entsteht. Durch Abbau der Kapillarkr¨ afte verschwinden die Spitzen in Abb. 4.38 b, und es entsteht die in Abb. 4.38 c gezeigte Blasenform mit den divergierenden Stromlinien unterhalb der Blase. In der Fl¨ ussigkeit bildet sich unterhalb der Blase kurzfristig ein Unterdruck aus, der die abreißenden Blasen vor¨ ubergehend in Wandnähe festhält. Infolge des Unterdrucks befindet sich die Fl¨ ussigkeit in ei¨ nem metastabilen Zustand mit hoher Uberhitzung. Die u ussigkeit ¨berhitzte Fl¨ kann selbst als Keim f¨ ur neue Blasen dienen, so dass außer der heterogenen Keimbildung in den Vertiefungen der Wand auch eine homogene Keimbildung in Wandnähe möglich ist. Dadurch und durch die nachströmende Fl¨ ussigkeit wird der Unterdruck rasch abgebaut. ¨ Wie diese Uberlegungen zeigen, ist auch die Konvektion von Einfluss auf das Wachstum und Abreißen der Blasen. Die bisher gewonnenen Ergebnisse u uchlich, ¨ber den Einfluss der Konvektion sind allerdings noch widerspr¨ was auch aus zusammenfassenden Darstellungen, u.a. [4.58], hervorgeht. Wie Genske und Stephan [4.59]nachwiesen, wird nur unmittelbar nach der Blasenbildung das weitere Anwachsen durch W¨ armeleitung bestimmt, anschließend wird mit zunehmender Blasengr¨ oße die radiale Konvektion entscheidend. Nach dem Abreißen der Blase beeinflussen W¨ armeleitung, radiale und axiale Konvektion das Blasenwachstum.

Abb. 4.37: W¨ armestromdichte in der Mikrozone nach [4.51]


537

Abb. 4.38: Abreißvorgang, nach Mitrović [4.57]. a Form der haftenden Blase; b Einschn¨ uren und Abreißen der Blase; c Kondensation des Dampfrests und Fl¨ ussigkeitsstr¨ omung

4.2.4 Blasenfrequenz und Abreißdurchmesser Bei langsamem Wachstum wird das Grenzvolumen, welches die Blase beim Abreißen erreicht, durch das Gleichgewicht von Auftriebs- und Oberflächenkräften und durch die Haftbedingungen an der Wand bestimmt. Die hierf¨ ur maßgebende Differentialgleichung ist zuerst von Bashfort und Adams [4.60] numerisch gelöst worden. Fritz [4.61] hat sp¨ ater ausgehend von dieser Lösung gezeigt, dass es ein gr¨ oßtes Volumen VA einer Dampfblase gibt und dass man dieses in der Form

1/3 VA = f (β0 ) (4.83) b3 darstellen kann, wenn β0 der Randwinkel zwischen Blase und Heizwand ist. Als Parameter dient die sogenannte Laplace-Konstante + 2σ b= . (4.84) g(L − G ) Bildet man diese mit den S¨ attigungswerten und der Dichten, so erhält man z.B. f¨ ur Wasser von 100 ℃ den Wert b = 3,538 mm, f¨ ur das Kältemittel R11 von 25 ℃ b = 1,57 mm. Einige Werte f¨ ur Luftblasen in einer Fl¨ ussigkeit enthält Tabelle 4.1. Gl. (4.83) wurde von Fritz und Ende [4.62] und von Kabanow und Frumkin [4.63] durch Ausmessung von Filmaufnahmen bestätigt, Abb. 4.39. Aus (4.83) ergibt sich f¨ ur den Abreißdurchmesser der als kugelförmig angesehenen Blase

538

Konvektiver W¨ armeund Stoff¨ ubergang mit Phasenumwandlungen Tabelle 4.1: Laplace-Konstante b f¨ ur Luftblasen in Fl¨ ussigkeiten bei 20 ℃

Wasser Ethanol Quecksilber b in mm 3,82

2,26

2,69

Abb. 4.39: Abreißvolumen VA von Dampf- und Gasblasen u ¨ber einer waagrechten Heizfl¨ ache, nach Fritz und Ende [4.62]. b Laplace-Konstante

dA =

6VA π

+

1/3 = 0,851β0

2σ g(L − G )

(4.85)

mit dem Randwinkel β0 im Bogenmaß. Nach Fritz [4.61] liegen Randwinkel von Dampfblasen in Wasser bei Atmosph¨ arendruck zwischen 40◦ und 45◦ , und bei den als K¨ altemitteln eingesetzten halogenierten Kohlenwasserstoffen achliche Abreißdurchmesser weichen von denen nach (4.85) bei etwa 35◦ . Tats¨ etwas ab und sind außerdem noch von der Gestalt der Vertiefung [4.64] und der Wand¨ uberhitzung [4.65] abh¨ angig. Gleichungen zur Berechnung der Frequenzen f von Dampfblasen gingen urspr¨ unglich davon aus, dass man n¨ aherungsweise f dA = const setzen könne, wobei die Konstante f¨ ur Wasser und Tetrachlorkohlenstoff zu 100 mm/s gefunden wurde [4.66]. Die Konstante wurde sp¨ ater durch physikalische Eigenschaften der siedenden Fl¨ ussigkeit ausgedr¨ uckt,

f dA = 0,59

gσ( − ) 2

1/4 ,

während andere Autoren [4.67] bis [4.69] Gleichungen der Form f dnA = const mit n = 1/2 vorschlugen. Genauere Untersuchungen [4.70] haben jedoch ge-


539

zeigt, dass der Exponent n nicht konstant ist, sondern Werte zwischen 0,5 und 2 annimmt. Unter der Annahme, dass die Blasen im Augenblick des Abreißens nicht beschleunigt sind und ihre Geschwindigkeit gleich der Aufstiegsgeschwindigkeit in der Fl¨ ussigkeit ist, fand Malenkov [4.71] f¨ ur die Frequenz den Ausdruck 1/2 dA g( − ) 2σ + , (4.86) dA π 2( + ) dA ( + ) der sich f¨ ur den Bereich weit unterkritischer Dr¨ ucke mit noch vereinfachen lässt zu 1/2

4σ g 1/2 1+ 2 . (4.87) f = 1/2 √ dA g d π 2 f=

1

A

Diese Gleichungen gelten nur, wenn die W¨ armestromdichte so gering ist, dass sich die Blasen gegenseitig nicht merklich beeinflussen. Andernfalls erhöht sich die Frequenz um den von der W¨ armestromdichte abhängigen Faktor q˙ 1 + , Δhv w worin 1/2 2σ dA g( − ) + w= 2( + ) dA ( + ) eine Geschwindigkeit ist. Damit erh¨ alt man die Frequenz zu

q˙ 1 1 + w , (4.88) f= dA π Δhv w eine Gleichung, in der man die Geschwindigkeit w vereinfachen kann, wenn ist. Im Grenzfall hinreichend kleiner Wärmestromdichten geht diese Beziehung in (4.86) f¨ ur Einzelblasen u ¨ber. Diese Gleichungen sind von Malenkov an zahlreichen Messungen verschiedener Autoren u uft worden und ¨berpr¨ ¨ haben gute Ubereinstimmung ergeben. Wie man aus (4.86) erkennt, ist f¨ ur große Abreißdurchmesser der zwei1/2 te Summand in der eckigen Klammer klein. Es ist dann f dA = const. Ist umgekehrt der Abreißdurchmesser hinreichend klein, so wird der zweite Sum3/2 mand in der eckigen Klammer groß. Es ist f dA = const. In einem mittleren Bereich des Abreißdurchmessers wird der Ausdruck in der eckigen Klammer unabhängig vom Abreißdurchmesser und damit f dA = const. Die Gleichungen enthalten somit die von verschiedenen Autoren festgestellten Zusammenhänge zwischen Frequenz und Abreißdurchmesser. Nach (4.88) nimmt die Blasenfrequenz mit der Wärmestromdichte zu. Von Einfluss ist allerdings auch die Gr¨ oße der Keimstelle. Keimstellen von ¨ kleinerem Offnungsdurchmesser senden Blasen mit höherer Frequenz aus als

540


¨ Keimstellen größeren Offnungsdurchmessers. Die obigen Gleichungen ber¨ ucksichtigen diese Einfl¨ usse nicht und geben nur Mittelwerte u ¨ber Keimstellen unterschiedlicher Gr¨ oße wieder. Ebenso ist der Einfluss einer Unterk¨ uhlung nicht ber¨ ucksichtigt. Bei zunehmender Unterk¨ uhlung nimmt die Frequenz ab, weil das Blasenwachstum durch Kondensation behindert wird.

4.2.5 Die Nukijama-Kurve Wir wollen uns hier mit dem Sieden in freier Strömung befassen und annehmen, die Abmessungen des Gef¨ aßes, in dem Dampf entsteht, seien groß im Vergleich zu den Dampfblasen. Eine Str¨ omung soll nur durch den Auftrieb der erzeugten Dampfblasen und durch Dichteunterschiede zustande kommen. Man spricht vereinfachend auch von Beh¨ altersieden (englisch: pool boiling). Die zweiphasige Str¨ omung in einem engen Verdampferrohr, auch wenn sie in einem senkrechten Rohr nur durch Auftrieb der Dampfblasen entsteht, soll also nicht untersucht werden. Wie bereits eingangs in Abschnitt 4.2.1 ¨ erläutert, herrscht im Bereich kleiner Ubertemperaturen der Heizwand stil” les Sieden“. Wärme wird nur durch freie Konvektion u ¨bertragen, Kurve a in ¨ Abb. 4.29. Erst ab einer bestimmten Uberhitzung der Wand gegen¨ uber der Siedetemperatur setzt Blasenverdampfung ein. Wir wollen hier den häufig vorkommenden Fall betrachten, dass die Fl¨ ussigkeit Sättigungstemperatur hat. Treibende Temperaturdifferenz f¨ ur den W¨ arme¨ ubergang ist dann der Unterattigungstemperatur. Wie Jakob schied ϑ0 − ϑs = Δϑ zwischen Wand- und S¨ und Linke [4.72] erstmalig fanden, kann man die u ¨bertragene Wärmestromdichte im Bereich der voll ausgebildeten Blasenverdampfung, Kurve b in Abb. 4.29, durch einfache empirische Gleichungen der Form q˙ = c Δϑm

(4.89)

beschreiben. Definiert man einen W¨ arme¨ ubertragungskoeffizienten durch α = q/Δϑ ˙ ,

(4.90)

so kann man (4.89) auch schreiben α = cq˙n ,

(4.91)

mit c = (c )1/m und n = (m − 1)/m. In dieser Gleichung hängen, wie viele Messungen zeigen, die Gr¨ oße n und damit auch m hauptsächlich von der Art der siedenden Fl¨ ussigkeit, aber auch von dem Material und der Gestalt der Heizfläche und vom herrschenden Druck ab. Im Allgemeinen ist 0,6 < n < 0,8 . Lediglich f¨ ur tiefsiedende Stoffe wie Helium hat man kleinere Werte n ≈ 0,5 gefunden. Die Gr¨ oße c h¨ angt stark von den Stoffeigenschaften der siedenden Fl¨ ussigkeit und der Oberfl¨ achenstruktur der Heizfläche ab. Kennt man


541

zum Beispiel c f¨ ur eine bestimmte Fl¨ ussigkeit, die bei vorgegebenem Druck an glatt polierten Stahlrohren siedet, so darf man mit dieser Größe berechnete Wärme¨ ubergangskoeffizienten nicht mehr verwenden, wenn die gleiche Fl¨ ussigkeit an rauhen Stahlrohren oder an Kupferrohren siedet. Gl. (4.89) bzw. (4.91) gilt nur im Bereich der intensiven Blasenverdampfung. Nach Nukijama [4.73] gibt es jedoch noch weitere Bereiche der Verdampfung. In Abb. 4.40 sind die einzelnen Bereiche dargestellt, die beim Sieden von Wasser unter Atmosph¨ arendruck und bei freier Strömung auftreten. Es ist die

Abb. 4.40: (q, ˙ Δϑ)Diagramm von siedendem Wasser

Wärmestromdichte q˙ u ¨ber der Temperaturdifferenz Δϑ = ϑ0 − ϑs aufgetragen. Der linke aufsteigende Kurvenast kennzeichnet den Bereich der ausgebildeten Blasenverdampfung. Die W¨ armestromdichte nimmt mit steigender Wandtemperatur zu. Nach Erreichen eines Maximums nimmt die u ¨bertragene Wärmestromdichte trotz steigender Wandtemperatur wieder ab. Diesen fallenden Bereich der Siedekennlinie“ bezeichnen wir als partielle Filmver” ¨ dampfung, weil die Heizfl¨ ache st¨ uckweise von Dampf bedeckt ist. Nach Uberschreiten einer minimalen W¨ armestromdichte nimmt die Wärmestromdichte wieder mit der Wandtemperatur zu. Wir bezeichnen den rechten ansteigenden Bereich der Siedekennlinie als Bereich der Filmverdampfung, weil dort die Heizfläche vollständig von einem Dampffilm bedeckt ist. Diese zunächst merkw¨ urdig anmutende N -förmige Kurve, auch NukijamaKurve genannt, ist physikalisch plausibel: Mit zunehmender Wandtemperatur entstehen an der Heizwand immer mehr Dampfblasen, welche die Fl¨ ussigkeit in Wandnähe in starke Bewegung versetzen. Infolgedessen fördert die Blasenbildung den Wärme¨ ubergang von der Wand an die Fl¨ ussigkeit. Da der Dampf die Heizfl¨ ache mehr und mehr von der Fl¨ ussigkeit isoliert, wird andererseits der W¨ arme¨ ubergang umso stärker behindert, je mehr Dampf entsteht. Man kann sich nun leicht vorstellen, dass mit zunehmender Wandtemperatur schließlich die isolierende Wirkung des Dampfes u ¨berwiegt und die Wärmestromdichte trotz steigender Wandtemperatur wieder abnimmt. Erst von hinreichend hohen Wandtemperaturen an wird der Wärmestrom wieder

542


zunehmen, da die Dicke des Dampffilms nur noch wenig mit der Wandtemperatur zunimmt. Das Maximum der Siedekennlinie bezeichnet man vielfach als kritische oder maximale W¨ armestromdichte. Gebräuchliche, aber weniger gl¨ ucklich gewählte Bezeichnungen sind Durchbrennpunkt (burnout) oder DNB (= departure from nucleate boiling).

4.2.6 Stabilit¨ at beim Sieden in freier Str¨ omung Erhöht man die Wandtemperatur einer Heizfl¨ ache u ¨ber den Wert, der zur maximalen Wärmestromdichte geh¨ ort, so beobachtet man häufig, dass sich die Heizwand schlagartig mit einem Dampffilm u ¨berzieht. Die Temperatur der Heizwand steigt innerhalb von Bruchteilen von Sekunden stark an und kann sogar die Schmelztemperatur metallischer Heizwände erreichen. Ein Beispiel ist in den Abb. 4.41 und 4.42 dargestellt. Die Abb. 4.41 zeigt Blasensieden des Kältemittels R11 an einem waagrechten Rohr, das mit einer Wärmestromdichte von rund 2 · 105 W/m2 elektrisch beheizt wurde. Diese Wärmestromdichte ist nur wenig kleiner als die maximale. Nach geringf¨ ugiger Erhöhung der Wärmestromdichte steigt die Temperatur so weit an, dass das Rohr durchschmilzt. In Abb. 4.42 erkennt man deutlich, wie dies bereits mit einem Teil des Rohrs geschehen ist.

Abb. 4.41: Elektrisch beheiztes Rohr unmittelbar vor Erreichen der maximalen W¨ armestromdichte. q˙max = 2,2·105 W/m2 . Siedendes R11, p=0,1 MPa

Um diese besonders in der Reaktortechnik gef¨ urchtete Erscheinung zu vermeiden, muss man einen gen¨ ugenden Sicherheitsabstand“ von der maxima” len Wärmestromdichte einhalten. Offensichtlich sind also nicht alle Zustände der in Abb. 4.40 dargestellten Siedekennlinie stabil, es können vielmehr unter bestimmten Bedingungen Instabilit¨ aten auftreten. Im Folgenden soll diese


543

Abb. 4.42: Elektrisch beheiztes Rohr von Abb. 4.41 im Augenblick des Durchschmelzens (burnout)

Erscheinung verst¨ andlich gemacht werden. Auf einer Siedekennlinie, wie sie Abb. 4.40 zeigt, liegen alle Wertepaare (q, ˙ Δϑ), die bei stationärem Betrieb des Verdampfers m¨ oglich sind. Als Arbeitspunkte des Verdampfers kommen ¨ von diesen Wertepaaren nur ganz bestimmte in Frage. Ahnlich wie der Arbeitspunkt eines Verdichters erst durch die Verdichter- und die Rohrleitungskennlinie festliegt, wird auch der Arbeitspunkt eines Verdampfers durch die Siedekennlinie und die Kennlinie des Verdampfers festgelegt. Diese ist, wenn man temperaturunabh¨ angige Stoffwerte der Heizfläche voraussetzt, eine Gerade im (q, ˙ Δϑ)-Diagramm, was man sich am einfachsten am Beispiel der ebenen Wand klarmachen kann, Abb. 4.43.

Abb. 4.43: W¨ arme¨ ubergang an die siedende Fl¨ ussigkeit

Mit den Bezeichnungen von Abb. 4.43 ist die von der Wand u ¨bertragene Wärmestromdichte 1 (ϑL − ϑ0 ) (4.92) q˙ = RW mit dem Wärmewiderstand

544


RW =

1 s , + αi λ

(4.93)

wobei αi der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient zwischen Heizmittel und Wand, s die Wanddicke und λ die W¨ armeleitf¨ ahigkeit der Wand sind. F¨ ur (4.92) kann man auch −1 1 q˙ = (ϑ0 − ϑs ) + (ϑL − ϑs ) (4.94) RW RW schreiben. Entsteht nun in der Heizwand zusätzlich innere Energie, etwa durch Kernspaltung oder elektrische Dissipation, so erhöht sich die abgegebene Wärmestromdichte um einen Anteil q˙0 , und es ist q˙ =

−1 1 (ϑ0 − ϑs ) + (ϑL − ϑs ) + q˙0 . RW RW

(4.95)

Hierdurch liegt die gesuchte Kennlinie des Verdampfers fest. Sie ist eine Gerade im (q, ˙ Δϑ)-Diagramm. Auf ihr m¨ ussen alle Wertepaare (q, ˙ Δϑ) liegen, die bei stationärem Betrieb des Verdampfers m¨ oglich sind. Da (4.95) in ihrem Aufbau dem Ohmschen Gesetz entspricht, nennen wir die Kennlinie Wider” standsgerade“. Wegen ihrer negativen Steigung −1/RW nimmt die von der Heizfläche abgegebene W¨ armestromdichte mit zunehmender Wandtemperaachst u tur ϑ0 ab. Dieses zun¨ ¨berraschende Ergebnis wird verständlich, wenn man beachtet, dass sich mit zunehmender Wandtemperatur ϑ0 die Differenz zwischen Wandtemperatur ϑ0 und Fluidtemperatur ϑL verringert, wodurch die u armestromdichte abnimmt. ¨bertragene W¨

Abb. 4.44: Arbeitspunkte des Verdampfers

Arbeitspunkte des Verdampfers sind nun die Schnittpunkte von Siedekennlinie und Widerstandsgerade. Wie Abb. 4.44 zeigt, können beide Kurven einen Schnittpunkt und einen Ber¨ uhrpunkt oder drei Schnittpunkte gemeinsam haben. Diese sind die grunds¨ atzlich m¨ oglichen stationären Betriebspunkte des Verdampfers. Die Stabilit¨ atsbetrachtung [4.74], auf die hier nicht eingegangen werden soll, zeigt nun, dass ein Arbeitspunkt nur dann stabil ist, wenn die Steigung der Siedekennlinie in dem Arbeitspunkt größer ist als die Steigung der Widerstandsgeraden. Gleichbedeutend hiermit ist bei N -förmigem Kurvenverlauf auch folgende Aussage: Bei Vorhandensein von drei Schnittpunkten sind nur die beiden ¨ außeren stabil, w¨ ahrend der mittlere einen labilen Zustand charakterisiert.


545

Mit diesen Darlegungen wird das sogenannte burn-out Phänomen“ leicht ” verständlich. Zeichnet man n¨ amlich im (q, ˙ ϑ)-Diagramm die Widerstandsgerade f¨ ur den Fall der nuklearen Energieerzeugung oder f¨ ur elektrische Widerstandsheizung ein, so haben Siedekennlinie und Widerstandsgerade in der Nähe des Maximums drei Schnittpunkte gemeinsam, Abb. 4.45, von denen die Punkte 1 und 2 eng benachbart sind. Eine kleine Störung gen¨ ugt daher, das

Abb. 4.45: Stabilit¨ at bei maximaler W¨ armestromdichte

System aus dem stabilen Zustand 1 in den instabilen Zustand 2 zu u uhren. ¨berf¨ Von diesem wird es sich wegen der Tr¨ agheit des Systems weiter entfernen, bis im Punkt 3 ein neuer stabiler Zustand erreicht ist. Diesem neuen stationären Zustand ist bei den meisten Systemen eine Wandtemperatur zugeordnet, die gr¨ oßer ist als die Schmelztemperatur der Heizfläche, so dass diese vor Erreichen des stationären Zustands schmilzt. Um diese unerw¨ unschte Erscheinung zu vermeiden, muss man daher, wie die Kurve a in Abb. 4.45 zeigt, die Widerstandsgerade so steil w¨ ahlen, dass sie die Siedekennlinie in der Nähe des Maximums kein zweites Mal schneidet. Eine steile Widerstandsgerade ergibt sich gemäß (4.93) mit (4.94) dann, wenn man αi groß und den Wärmewiderstand der Wand klein w¨ ahlt. Dann kann man auch im Maximum stabile Arbeitspunkte verwirklichen.

4.2.7 Berechnung von W¨ armeu ¨ bergangskoeffizienten beim Sieden in freier Str¨ omung Grundsätzlich lässt sich feststellen, dass bisherige Modellvorstellungen einen oder mehrere der folgenden Mechanismen der Wärme¨ ubertragung enthalten: 1. Mikrokonvektion in der wandnahen Grenzschicht als Folge des raschen Anwachsens der Dampfblasen und ihres Zerfalls in der unterk¨ uhlten Fl¨ ussigkeit. 2. Verdrängen von heißer Fl¨ ussigkeit von der Wand durch die wachsenden und abreißenden Dampfblasen und R¨ uckströmung kälterer Fl¨ ussigkeit aus dem Fl¨ ussigkeitsinneren zur Wand. 3. Instationäre W¨ armeleitung an die im Nachlauf einer Blase mitgerissene Fl¨ ussigkeit.

546


4. Instationäre W¨ armeleitung in der wandnahen Fl¨ ussigkeit beim Anwachsen einer Blase in ihrer Nachbarschaft. 5. Dampfbildung aus der d¨ unnen, u ussigkeitsschicht unter der ¨berhitzten Fl¨ anwachsenden Blase. Ist die Kernfl¨ ussigkeit unterk¨ uhlt, so kondensiert gleichzeitig Dampf am Blasenkopf. Abweichungen der nach verschiedenen Gleichungen berechneten Wärmeu uber experimentell ermit¨bergangskoeffizienten bis um den Faktor 2 gegen¨ telten Werten sind nicht selten. Sie sind allerdings nicht nur auf Mängel in der Theorie zur¨ uckzuf¨ uhren, sondern teilweise auch durch Messfehler und nicht gen¨ ugend genau bekannte Stoffeigenschaften zu erklären. Dar¨ uber hinaus sind der Abreißdurchmesser der Blasen, der Randwinkel und die Blasenfrequenz bei festliegenden ¨ außeren Bedingungen nicht, wie oft angenommen, konstant, sondern starken statistischen Schwankungen unterworfen, und es ist noch nicht geklärt, wie man diese Schwankungen in der Theorie zu ber¨ ucksichtigen hat. Von Nachteil ist, dass in den angegebenen Gleichungen, bis auf wenige Ausnahmen, die Heizfl¨ achenbeschaffenheit unber¨ ucksichtigt blieb, obwohl seit langem bekannt ist, dass der W¨ arme¨ ubergang beim Blasensieden an rauhen Oberflächen merklich gr¨ oßer ist als an glatten Oberflächen. Um eine Gleichung mit m¨ oglichst weitem Anwendungsbereich zu finden, ist es zweckm¨ aßig, die f¨ ur den W¨ arme¨ ubergang maßgeblichen Eigenschaften zu dimensionslosen Gr¨ oßen zusammenzufassen. F¨ ur das allgemeine Wärme¨ ubergangsgesetz wird man zweckm¨ aßigerweise einen Potenzansatz in diesen Größen w¨ ahlen, da sich derartige Ansätze zur Darstellung des Wärme¨ ubergangs allgemein bew¨ ahrt haben. Ein wirksames Werkzeug zur Aufstellung eines Zusammenhangs zwischen der Nußelt-Zahl und den u ¨brigen dimensionslosen Variablen stellt die Regressionsanalyse dar. Mit ihrer Hilfe l¨ asst sich entscheiden, welche Kenngrößen f¨ ur den Wärme¨ ubergang wichtig und welche von untergeordneter Bedeutung sind. Stephan und Abdelsalam [4.75] haben 1980 mit Hilfe dieser Methode die etwa 5000 bis dahin bekannten Messwerte u ubergang bei Blasenver¨ber den Wärme¨ dampfung kritisch gesichtet und empirische Korrelationen ermittelt. Wie die Regressionsanalyse ergab, erwiesen sich dimensionslose Größen, die f¨ ur einige Stoffe wichtig sind, als unbedeutend f¨ ur andere Stoffe. Die Messwerte konnten daher am besten wiedergegeben werden, wenn man die vermessenen Stoffe in vier Gruppen (Kohlenwasserstoffe, tiefsiedende Fluide, Kältemittel und Wasser) einteilte und f¨ ur jede dieser Gruppen einen anderen Satz von Kenngrößen benutzte. Dar¨ uber hinaus ließ sich eine f¨ ur alle Stoffe g¨ ultige Gleichung angeben, deren Genauigkeit allerdings etwas geringer ist als die Gleichung f¨ ur die genannten Stoffgruppen. Da die meisten Messungen in der N¨ ahe des Atmosphärendrucks ausgef¨ uhrt wurden, was f¨ ur organische Fl¨ ussigkeiten ungefähr einem normierten Siededruck von p+ = p/pcr = 0,03 entspricht, kann man die Genauigkeit solcher Korrelationen erh¨ ohen, wenn man ihre G¨ ultigkeit auf Dr¨ ucke in der Nähe des Umgebungsdrucks beschr¨ ankt. Eine solche Beziehung ist von Stephan und


547

Preußer [4.76] ermittelt worden. Sie lautet:

N u = 0,0871

q˙ dA λ Ts

0,674

0,156

Δhv d2A a2

0,371

a2 σdA

0,350

(P r )

−0,162

.

(4.96) Mit bezeichnete Gr¨ oßen beziehen sich auf die siedende Fl¨ ussigkeit, mit bezeichnete auf den ges¨ attigten Dampf. Die Nußelt-Zahl ist definiert durch N u = αdA /λ . Der Abreißdurchmesser dA ist durch (4.85) gegeben, in der L = und G = zu setzen ist. F¨ ur den Randwinkel β0 ist bei Wasser π/4 rad (= 45◦ ), bei tiefsiedenden Fl¨ ussigkeiten 0,01745 rad (= 1◦ ) und bei anderen Fl¨ ussigkeiten 0,611 rad (= 35◦ ) einzusetzen. Messungen an Wasser im Bereich der voll ausgebildeten Blasenverdampfung bei Wärmestromdichten zwischen 104 W/m2 < q˙ < 106 W/m2 und Siededr¨ ucken zwischen 0,5 bar < p < 20 bar kann man nach Untersuchungen von Fritz [4.77] gut durch die einfache empirische Zahlenwertgleichung α = 1,95 q˙0,72 p0,24

(4.97)

wiedergeben, wobei α in W/m2 K, q˙ in W/m2 und p in bar einzusetzen sind. Aus (4.96) erh¨ alt man f¨ ur eine vorgegebene Wärmestromdichte q˙0 den ultigkeit der Gleichung Wärme¨ ubergangskoeffizienten α0 entsprechend der G¨ nur f¨ ur Dr¨ ucke in der N¨ ahe des Atmosph¨ arendrucks. Gorenflo [4.79] empur viele fiehlt hierf¨ ur den normierten Druck p+ = 0,03, denn er entspricht f¨ organische Fl¨ ussigkeiten einem Siededruck von 0,1 bis 0,2 MPa. Hat man ein Wertepaar α0 , q˙0 f¨ ur einen m¨ aßigen Druck p0 ermittelt, so kann man einem Vorschlag von Danilowa [4.78] folgend nach Gorenflo [4.79] aus

n q˙ α + = Cw F (p ) , (4.98) α0 q˙0 ubergangskoefworin F (p+ = p/pcr ) eine Druckfunktion ist, auch den Wärme¨ fizienten bei anderen Dr¨ ucken berechnen. Hierin ist

0,133 1/2 Ra b Cw = Ra0 b0 mit dem Mittenrauhwert Ra der Heizfl¨ ache nach DIN 4762/01.89. Bei technischen Oberfl¨ a chen ist 0, 1 μm ≤ R ≤ 0, 5 μm. Ra0 = 0, 4 μm ist ein√Bezugsa √ armeeindringkoeffizient der Heizwand, b0 = λ0 0 c0 wert. b = λc ist der W¨ der von Kupfer, Gl. (2.128).

548


Die Druckfunktion ist so beschaffen, dass F (p+ 0 = p0 /pcr = 0,1) = 1 wird. Sie lautet nach Gorenflo [4.79] f¨ ur die Tiefsieder N2 , O2 , Ar, He, H2

1 F (p+ ) = 1,2 p+0,27 + 2,5 + (4.99) p+ , 1 − p+

f¨ ur Wasser +

+0,27

F (p ) = 1,73 p

0,68 + 6,1 + 1 − p+2

p+2

(4.100)

und f¨ ur organische Fluide

+

F (p ) = 0,7 p

+0,2

1,4 + 4+ 1 − p+

p+ .

(4.101)

Die Gleichung (4.98) wurde f¨ ur eine W¨ armestromdichte q˙0 = 20 000 W/m2 aufgestellt. Da der Bezugsdruck p0 so gew¨ ahlt ist, dass f¨ ur den normier+ ten Druck p+ 0 = 0,1 die Funktion F (p0 ) = 1 wird, sind α0 , q˙0 in (4.98) ein zueinander geh¨ orendes Wertepaar von Wärme¨ ubergangskoeffizient und alt α0 (q˙0 = Wärmestromdichte beim normierten Druck p+ 0 = 0,1. Man erh¨ 2 2 + = 0,1) indem man zun¨ a chst α( q ˙ = 20000 W/m , p = 0,03) 20000 W/m , p+ 0 0 aus (4.96) ermittelt. Aus (4.98) folgt dann bei q˙ = q˙0 wegen α/α0 = ur zahlreiche Stoffe auch in [4.79] Cw F (p+ = 0,03) der Wert α0 . Dieser ist f¨ vertafelt. Zahlreiche Messungen haben ergeben, dass der Exponent n der Wärmestromdichte in (4.98) nicht konstant ist, sondern mit wachsendem Siededruck abnimmt. Nach Gorenflo [4.79] ist f¨ ur die Tiefsieder N2 , O2 , Ar, He, H2 n = 0,9 − 0,3 p+0,3 .

(4.102)

n = 0,9 − 0,3 p+0,15

(4.103)

n = 0,95 − 0,3 p+0,3 .

(4.104)

F¨ ur Wasser ist und f¨ ur organische Fluide

F¨ ur Wasser beim Siededruck von 1 bar entsprechend p+ 1 = 0,004532 folgt + n = 0,77, f¨ ur p+ = 0,03 ist n = 0,72, und f¨ u r p = 0,8 ist n = 0,61. 0 2 Somit kann man Messungen an Wasser durch die aus (4.98) mit dem 2 2 Wertepaar α0 = 5 580 W/m K, q˙0 = 20 000 W/m bei p+ 0 = 0,1 folgende empirische Gleichung α = Cw F (p+ ) 5 580 W/m2 K

q˙ 20 000 W/m2

0,9−0,3 p+0,15 (4.105)

wiedergeben, wobei F (p+ ) durch (4.100) gegeben ist. Diese Gleichung gilt im Bereich der voll ausgebildeten Blasenverdampfung und bei normierten Siededr¨ ucken von


549

10−4 ≤ p+ ≤ 0,9 , was Siededr¨ ucken von 0,0221 bar ≤ p ≤ 199 bar entspricht. Sie umfasst damit einen gr¨ oßeren Druckbereich als die einfachere Gl. (4.97) von Fritz und stimmt mit dieser innerhalb von deren G¨ ultigkeitsbereich gut u ¨berein.

4.2.8 Einige empirische Gleichungen zum W¨ armeu ¨ bergang beim Blasensieden in freier Stro mung ¨ Im Folgenden werden die bisherigen Gleichungen u ubergang ¨ber den Wärme¨ beim Blasensieden in freier Str¨ omung zusammenfassend dargestellt und um weitere Gleichungen erg¨ anzt. 1. Blasensieden von Wasser in nat¨ urlicher Str¨ omung Nach (4.97) gilt f¨ ur 0,5 bar < p < 20 bar α = 1,95 q˙0,72 p0,24 mit α in W/m2 K, q˙ in W/m2 und p in bar, und es gilt nach (4.105) f¨ ur 0, 0221 bar ≤ p ≤ 199 bar α = Cw F (p+ ) 5 580 W/m2 mit

Cw =

Ra Ra0

q˙ 20 000 W/m2

0,133

b b0

0,9−0,3 p+0,15

1/2 .

ache nach DIN 4762/01.89, Ra0 = Ra ist der Mittenrauhwert der √ Heizfl¨ 0,4 μm ein Bezugswert. b = λc ist der Wärmeeindringkoeffizient der Heizwand, b0 der von Kupfer. Weiter ist

p 0,68 F p+ = = 1,73 p+0,27 + 6,1 + p+2 . pcr 1 − p+2 2. Blasensieden, allgemeine Gleichung Nach (4.96) gilt f¨ ur Dr¨ ucke nahe dem Atmosphärendruck αdA λ 0,674 0,156

0,371 2 0,350

Δhv d2A a q˙ dA −0,162 (P r ) = 0,0871 λ Ts a2 σdA Nu =

550


mit dem Abreißdurchmesser nach (4.85): + dA = 0,851β0

2σ . g(L − G )

Der Randwinkel β0 , der im Bogenmaß einzusetzen ist, liegt f¨ ur Wasser ur die als Kältemittel zwischen 2π/9 rad (= 40◦ ) und π/4 rad (= 45◦ ), f¨ eingesetzten halogenierten Kohlenwasserstoffe bei etwa 7π/36 rad (= 35◦ ). ur die BezugswärmestromF¨ ur andere Dr¨ ucke berechnet man zun¨ achst α0 f¨ dichte q˙0 = 20 000 W/m2 bei einem Druck p0 nahe dem Umgebungsdruck aus der obigen Gleichung. Den gesuchten Wärme¨ ubergangskoeffizienten α beim Druck p und der W¨ armestromdichte q˙ erhält man aus (4.98):

n α q˙ + = Cw F (p ) α0 q˙0 mit Cw wie bei 1. Es ist f¨ ur die Tiefsieder N2 , O2 , Ar, He, H2

1 p+ F (p+ ) = 1,2 p+0,27 + 2,5 + 1 − p+ und n = 0,9 − 0,3 p+0,3 , f¨ ur Wasser ist

+

+0,27

F (p ) = 1,73 p

0,68 + 6,1 + 1 − p+2

p+2

und n = 0,9 − 0,3 p+0,15 und f¨ ur organische Fluide

+

+0,2

F (p ) = 0,7 p

1,4 + 4+ 1 − p+

p+ .

und n = 0,95 − 0,3 p+0,3 . 3. Blasensieden an waagrechten Kupferrohren Es ist nach Gorenflo [4.80]

√ F (p+ / ϕ) 0,1H/t1 q˙ nR α = . √ ·5 α0 q˙0 F (p+ 0 / ϕ) arme¨ ubergangskoeffizient beim Druck p0 und der Darin sind: α0 der W¨ Bezugswärmestromdichte q˙0 = 20 000 W/m2 zu berechnen aus der unter √ 2. aufgef¨ uhrten Gleichung f¨ ur das Glattrohr. F (p+ / ϕ) erhält man aus


551

der unter 2. aufgef¨ uhrten Funktion F (p+ ), wenn man dort anstelle von √ + oße p+ / ϕ einsetzt mit dem Flächenverhältnis ϕ = p = p/pcr die Gr¨ AR /A. AR ist die Oberfl¨ ache des Rippenrohres, A die eines Glattrohres vom Kerndurchmesser des Rippenrohres. Es ist nR = n − 0,1 H/t1 . n ist der unter 2. aufgef¨ uhrte Exponent der Wärmestromdichte, H ist die Rippenhöhe, t1 der lichte Rippenabstand, s. Abb. 4.46.

Abb. 4.46: Abmessungen am Rippenrohr

4. Blasensieden an waagrechten Glatt- oder Rippenrohrb¨ undeln Wärme¨ ubergangskoeffizienten beim Sieden an der Außenseite von Glattoder Rippenrohren in einem B¨ undel sind größer als am einzelnen Rohr. An der untersten Rohrreihe wird durch die verstärkte Anströmung des B¨ undels der W¨ arme¨ ubergang verbessert, im B¨ undel selbst sorgen die aufsteigenden Dampfblasen f¨ ur eine bessere Konvektion. Der Einfluss der Konvektion auf den gesamten W¨ arme¨ ubergang macht sich besonders bei nicht allzu hohen W¨ armestromdichten deutlich bemerkbar. Infolgedessen ist dort der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient αm des B¨ undels merklich größer als der am Einzelrohr. Nach [4.79] gilt 1 αm , =1+ α1 2 + qϕ/(1 ˙ 000 W/m2 ) worin α1 der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient der untersten Rohrreihe ist. Die Gleichung gilt sowohl f¨ ur Glatt- als auch f¨ ur Rippenrohrb¨ undel im Bereich 2

˙ ≤ 20 000W/m 1 000W/m ≤ qϕ

2

und f¨ ur Dr¨ ucke in der N¨ ahe des Umgebungsdrucks. Die Wärmestromdichte q˙ ist auf die gesamte ¨ außere Rohroberfläche bezogen. Die Größe ϕ ist das Flächenverh¨ altnis des Rippenrohrs, f¨ ur Glattrohre ist ϕ = 1. Den Wärme¨ ubergangskoeffizienten α1 an der untersten Rohrzeile erhält man nach einem Vorschlag von Slipˇcević [4.81] aus dem Wärme¨ ubergangskour Blasensieden am Einzelrohr s. unter Nr. 2, und dem effizienten αB f¨ Wärme¨ ubergangskoeffizienten αK f¨ ur freie Strömung ohne Blasenbildung, s. unter 3.9.3 Nr. 3, ebenfalls am Einzelrohr, gemäß α1 = αB + f αK ,

552


worin f ein Faktor ist, der von der Gr¨ oße der Anströmgeschwindigkeit abhängt. F¨ ur kleine B¨ undel liegt f bei 0,5 f¨ ur große ist f = 1. 5. Maximale W¨ armestromdichte Nach Kutateladze [4.82] und Zuber [4.83] gilt q˙max = KΔhv [σ( − )g]1/4 , worin K eine aus Versuchen zu ermittelnde Konstante ist, die zwischen 0,13 und 0,16 liegt. Ein Mittelwert ist K = 0,145. Die Gleichung gilt f¨ ur ges¨ attigte und leicht unterk¨ uhlte Fl¨ ussigkeiten beim Sieden an ebenen Heizfl¨ achen oder waagrechten Glattrohren. Im Druckbereich 10−3 ≤ p+ = p/pcr ≤ 0, 6 gibt sie viele Versuchswerte mit guter Genauigkeit wieder. Druckkorrekturen sind q˙max = 2,8p+0,4 1 − p+ q˙max,0 sowie

q˙max = 1,056 p+0,2 + p+0,5 q˙max,0

f¨ ur p+ ≥ 0, 1

f¨ ur

p+ ≤ 0, 1 ,

wobei q˙max,0 die maximale W¨ armestromdichte beim normierten Druck p+ = 0,1 ist. Es empfiehlt sich, außerhalb des Druckbereiches 10−3 ≤ p+ ≤ 0, 6 zuerst q˙max,0 (p+ = 0,1) aus der Gleichung von Kutateladze und Zuber zu berechnen und dann entsprechend dem herrschenden Druck p+ die maximale W¨ armestromdichte q˙max aus einer der Gleichungen f¨ ur die Druckkorrektur zu ermitteln. 6. Filmsieden Beim Filmsieden ist wegen der hohen Wandtemperatur der Einfluss der Strahlung auf den W¨ arme¨ ubergang nicht vernachlässigbar. Nach [4.84] ist der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient αm bei Filmverdampfung gegeben durch

1 αS αm 1 =1+ 4+ αmG 5 αmG 1 + 3αmG /αS mit

1/4 2 G (L − G )gΔhv λ3G 1 αmG = 3 ηG Δϑ H und

T04 − Ts4 σS . 1 1 ϑ − ϑs + −1 0 ε0 εL Es sind H die Plattenh¨ ohe bzw. H = dπ/2 f¨ ur waagrechte Rohre, σS = 2 5,67 · 10−8 W/m K4 die Stefan-Boltzmann-Konstante, vgl. Abschnitt 1.1.5 ussigkeitsoberfläund 5.2.3, ε0 der Emissionsgrad der Wand, εL der der Fl¨ che. αS =


553

Beispiel 4.4: In einem Kochtopf wird 1 l Wasser bei Atmosph¨ arendruck 0,1013 MPa auf einem Elektroherd zum Kochen gebracht. Die Leistung der Kochplatte des Elektroherds betr¨ agt Q˙ = 3 kW, ihr Durchmesser ist ebenso groß wie der des Kochtopfs, n¨ amlich 0,3 m. a) Nach welcher Zeit beginnt das Wasser zu kochen, wenn die Anfangstemperatur 20 ℃ betr¨ agt? Die W¨ armeverluste zur Umgebung betragen 30 % der zugef¨ uhrten W¨ arme. b) Wie groß ist die Temperatur am Boden des Gef¨ aßes, wenn das Wasser siedet? c) Wie lange w¨ urde es dauern, bis alles Wasser vollst¨ andig verdampft ist? d) Man berechne die maximale W¨ armestromdichte. Folgende Stoffwerte sind gegeben: S¨ attigungstemperatur ϑs = 100 ℃ beim Druck armekapazit¨ at 0,1013 MPa, Dichte der Fl¨ ussigkeit L = 958,1 kg/m3 , spez. W¨ der Fl¨ ussigkeit cpL = 4,216 kJ/kgK, Dichte des Dampfes = 0,5974 kg/m3 , Verdampfungsenthalpie Δhv =2257,3 kJ/kg, Oberfl¨ achenspannung σ = 58,92 · 10−3 N/m. a) Bis zum Erreichen der Siedetemperatur ist die W¨ arme Q = M cpL Δϑ = L V cpL Δϑ = 958,1 kg/m3 · 10−3 m3 · 4,216 kJ/kgK · 80 K = 323 kJ zuzuf¨ uhren. Es ist Q˙ Δt0 = Q, also die Zeit, bis die Siedetemperatur erreicht ist, Q 323 kJ = = 154 s = 2,56 min . Δt0 = ˙ 3 kW · 0,7 Q b) Nach (4.97) erh¨ alt man den W¨ arme¨ ubergangskoeffizient beim Sieden zu α = 1,95 q˙0,72 p0,24

mit

q˙ =

0,7 · 3 kW Q˙ = = 2,971 · 104 W/m2 . A 0,32 m2 · π/4

Somit wird α = 1,95 · (2,971 · 104 )0,72 · (1,013)0,24 W/m2 K = 3250 W/m2 K und

q˙ 2,971 · 104 W/m2 = = 9,1 K . α 3250 W/m2 K Die Temperatur am Boden des Gef¨ aßes ist ϑ0 = ϑs + Δϑ = 100 ℃ + 9,1 ℃ = 109,1 ℃. c) 70 % des abgegebenen W¨ armestroms werden dem Wasser zugef¨ uhrt. Um die Masse M = L V vollst¨ andig zu verdampfen, muss die W¨ arme Δϑ =

Q = L V Δhv = 958,1kg/m3 · 10−3 m3 2257,3kJ/kg = 2163 kJ zugef¨ uhrt werden. Die dazu ben¨ otigte Zeit wird Δt = Q/Q˙ =

2163 kJ = 1 030 s = 17,2 min . 2,1 kW

d) Die maximale W¨ armestromdichte ergibt sich aus 4.2.8, Nr. 5 zu

554

Konvektiver W¨ armeund Stoff¨ ubergang mit Phasenumwandlungen √

[σ ( − ) g] = 0,145 · 2,2573 · 106 J/kg · 0,5974 kg/m3 ·

q˙max = 0,145 Δhv

1/4

1/4 · 58,92 · 10−3 N/m · (958,1 − 0,5974) kg/m3 · 9,81 m/s2 q˙max = 1,23 · 106 W/m2 .

4.2.9 Zweiphasige Str¨ omungen Während die Str¨ omungsform und der W¨ arme¨ ubergang beim Sieden einer Fl¨ ussigkeit in freier Str¨ omung im Wesentlichen durch die Differenz zwischen Heizflächen- und Siedetemperatur, die Eigenschaften der Fl¨ ussigkeit und die der Heizfl¨ ache bestimmt werden, spielen beim Sieden in erzwungener Strömung noch zus¨ atzlich die Str¨ omungsgeschwindigkeiten von dampfförmiger und fl¨ ussiger Phase und die Art der Phasenverteilung eine Rolle. Wie bereits in Abschnitt 4.2.1 dargelegt, ist der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient nicht mehr durch einfache empirische Korrelation der Form α = c q˙n darstellbar, sondern es kommen als weitere Einflussgr¨ oßen die Massenstromdichte m ˙ und ubergangsder Strömungsdampfgehalt x∗ hinzu, so dass empirische Wärme¨ beziehungen die Form α = c q˙n m ˙ s f (x∗ ) haben. Die Art solcher Beziehungen wird wesentlich durch die Str¨ omungsform bestimmt, u ¨ber die im folgenden Abschnitt berichtet wird. 4.2.9.1 Die verschiedenen Str¨ omungsformen Die vielfältigen Formen zweiphasiger Str¨ omungen lassen sich in bestimmte ¨ Grundtypen einteilen, zwischen denen aber noch Ubergangsoder Mischzustände möglich sind. Die Grundtypen der Strömungsformen einer aufw¨ arts gerichteten Zweiphasenstr¨ omung im senkrechten, unbeheizten Rohr zeigt Abb. 4.47. In einer Blasenstr¨ omung, Abb. 4.47 a, ist die Gas- oder Dampfphase gleichmäßig in der kontinuierlichen Fl¨ ussigphase dispergiert. Nur sehr kleine Blasen sind kugelförmig, große Blasen dagegen abgeplattet. Eine solche Strömungsform kommt vor, wenn die Gasanteile klein sind. In einer Pfropfenstr¨ omung, Abb. 4.47 b, f¨ ullen große Blasen (Pfropfen) nahezu den gesamten Rohrquerschnitt aus. Zwischen den Pfropfen str¨ omt von kleineren Bläschen durchsetzte Fl¨ ussigkeit. Bei größeren Massenstromdichten l¨ ost sich die Blasenstruktur zunehmend auf. Es entsteht eine Schaumstr¨ omung, Abb. 4.47 c. Sie besteht aus unregelmäßigen, mehr oder weniger großen Gas- oder Dampffetzen und hat einen stark instabilen Charakter. Diese Str¨ omungsform bildet sich besonders in Rohren großen Durchmessers und bei h¨ oheren Dr¨ ucken aus. Die Str¨ ahnen-Ring-Str¨ omung, Abb. 4.47 d, besteht aus einem verhältnismäßig dicken Fl¨ ussigkeitsfilm an der Wand, aber auch der Fl¨ ussigkeitsanteil im Dampf- oder Gaskern der Str¨ omung ist noch groß. Der Film ist von


555

kleinen Blasen durchsetzt, und die fl¨ ussige Phase im Strömungskern besteht aus großen Tropfen, die teilweise zu gr¨ oßeren Fl¨ ussigkeitssträhnen zusammengewachsen sind. Diese Str¨ omungsform beobachtet man vor allem, wenn die Massenstromdichten groß sind. Eine häufig auftretende Str¨ omungsform ist die Ringstr¨ omung, Abb. 4.47 e. Sie ist dadurch charakterisiert, dass die Hauptmasse der Fl¨ ussigkeit an der Wand und die mit Tropfen durchsetzte Gas- oder Dampfphase mit erheblich höherer Geschwindigkeit im Kern des Rohrs strömt. Infolge der Verdampfung und besonders bei hoher Geschwindigkeit von Gas oder Dampf l¨ ost sich der Fl¨ ussigkeitsfilm an der Wand auf, und es entsteht eine Spr¨ uhstr¨ omung, Abb. 4.47 f, die insbesondere bei der Verdampfung unter hohen Dr¨ ucken anzutreffen ist. Alle diese Erscheinungsformen der Zweiphasenströmung beobachtet man nicht nur im kreisrunden Rohr, sondern auch in Kanälen anderen Querschnitts, sofern diese nicht v¨ ollig von der kreisrunden Form abweichen, also beispielsweise einen sehr flachen, abgeplatteten Querschnitt besitzen. Während der Verdampfung einer Fl¨ ussigkeit in einem senkrechten Rohr treten die genannten Str¨ omungsformen mehr oder weniger ausgeprägt nacheinander auf, wie dies Abb. 4.30 bereits zeigte. Die Struktur einer solchen nichtadiabaten Dampf-Fl¨ ussigkeits-Str¨ omung unterscheidet sich in der Regel von der einer adiabaten Zweiphasenstr¨ omung, auch wenn die örtlichen Strömungsparameter, wie Massenstromdichte, Dampfgehalt etc., u ¨bereinstimmen. Ursachen daf¨ ur sind die Abweichung vom thermodynamischen Gleichgewicht, hervorgerufen durch die radialen Temperaturunterschiede, und auch die Abweichung vom hydrodynamischen Gleichgewicht. Vorgänge, die zu einer

Abb. 4.47: Str¨ omungsformen im senkrechten, unbeheizten Rohr bei Aufw¨ artsstr¨ omung. a Blasenstr¨ omung (bubble flow); b Pfropfenstr¨ omung (plug flow); c Schaumstr¨ omung (churn flow); d Str¨ ahnen-Ring-Str¨ omung (wispy-annular flow); e Ringstr¨ omung (annular flow); f Spr¨ uhstr¨ omung (spray or drop flow)

556


¨ Anderung der Str¨ omungsform f¨ uhren, wie Blasenkoaleszenz, Mitriss von Tropfen aus dem Fl¨ ussigkeitsfilm durch schnell str¨ omenden Dampf, Tropfenzerfall und dgl., benötigen Zeit. Je schneller daher eine Verdampfung stattfindet, desto weiter ist man vom hydrodynamischen Gleichgewicht entfernt. Gewisse Strömungsformen k¨ onnen daher im beheizten Rohr ausgeprägter sein, als im unbeheizten, andere dagegen treten m¨ oglicherweise gar nicht auf. In einem waagrechten, unbeheizten Rohr oder Kanal strömt die Fl¨ ussigkeit aufgrund der Schwerkraft vorwiegend im unteren und Gas oder Dampf im oberen Teil des Querschnitts. Je kleiner die Trägheitskräfte im Vergleich zur Schwerkraft sind, desto mehr unterscheidet sich die Strömung im waagrechten von der im senkrechten Rohr. Bei kleinen Geschwindigkeiten bilden sich daher im waagrechten Rohr Str¨ omungsformen aus, die man im senkrechten Rohr nicht beobachtet. Abb. 4.48 zeigt charakteristische Erscheinungsformen einer waagrechten Zweiphasenstr¨ omung.

Abb. 4.48: Str¨ omungsformen im waagerechten, unbeheizten Rohr a Blasenstr¨ omung (bubble flow); b Pfropfenstr¨ omung (plug flow); c Schichtenstr¨ omung (stratified flow); d Wellenstr¨ omung (wavy flow); e Schwallstr¨ omung (slug flow); f Ringstr¨ omung (annular flow); g Spr¨ uhstr¨ omung (spray or drop flow)

Die Dampfblasen sammeln sich wegen der Auftriebskräfte im oberen Teil des Rohrs an, man spricht von Blasenstr¨ omung, Abb. 4.48 a. Sie können dann zu Pfropfen zusammenwachsen und in die Pfropfenstr¨ omung, Abb. 4.48 b, u ¨bergehen. Bei kleinen Geschwindigkeiten sind beide Phasen vollständig getrennt. Man spricht von einer Schichtenstr¨ omung, Abb. 4.48 c. Nimmt die Gas- oder Dampfgeschwindigkeit zu, so bilden sich zunächst Wellen auf der Fl¨ ussigkeitsoberfläche, Wellenstr¨ omung, Abb. 4.48 d. Die Wellenberge werden höher und benetzen schließlich in unregelm¨ aßiger Folge auch die obere Kanalwand, Schwallstr¨ omung, Abb. 4.48 e. Bei noch h¨ oherer Geschwindigkeit entwickelt sich eine Ringstr¨ omung, Abb. 4.48 f, deren Filmdicke in der oberen Rohrhälfte


557

zumeist kleiner ist als im unteren Bereich des Rohres. Sie geht mit weiterer Zunahme der Dampfgeschwindigkeit in eine Spr¨ uhstr¨ omung, Abb. 4.48 g u ¨ber. In einem waagrechten, beheizten Rohr treten die zuvor besprochenen Strömungsformen nacheinander auf. Genau wie beim senkrechten Verdampferrohr wird sich infolge des radialen Temperaturprofils kein thermisches Gleichgewicht einstellen. Abb. 4.49 zeigt die verschiedenen Strömungsformen im waagrechten Verdampferrohr unter der Annahme, dass die Fl¨ ussigkeit mit einer hinreichend kleinen Geschwindigkeit unter 1 m/s in das Rohr eintritt. Wie man erkennt, ist die obere Rohrwand im Bereich der Schwallströmung abwechselnd trocken und benetzt. Im Bereich der Ringstr¨ omung trocknet die obere Kanalwand stromabwärts immer mehr aus. Je h¨ oher die Massenstromdichten sind, desto symmetrischer wird die Phasenverteilung und nähert sich dann der im senkrechten Verdampferrohr an.

Abb. 4.49: Str¨ omungsformen im waagerechten Verdampferrohr nach Collier [4.85]

4.2.9.2 Str¨ omungskarten Da die verschiedenen Str¨ omungsformen durch die Kräfte zwischen den Phasen bestimmt werden, vor allem durch die Trägheits- und die Schwerkraft, ist es naheliegend, die Grenzen zwischen den verschiedenen Strömungsformen in Abhängigkeit von diesen Kr¨ aften in Diagrammen, sogenannten Strömungskarten, zu erfassen. Eine solche Str¨ omungskarte ist zuerst von Baker [4.86] aufgestellt worden. Man spricht daher auch von Baker-Diagrammen. Diese dienen aber nur zur groben Orientierung, da man die maßgebenden Kräfte in den verschiedenen Str¨ omungsbereichen nicht mit ausreichender Sicherheit kennt. Insbesondere in Zweiphasenstr¨ omungen mit Wärmezufuhr muss man mit größeren Unsicherheiten rechnen, da die meisten Strömungskarten f¨ ur

558


¨ adiabate Strömungen entwickelt wurden. Außerdem sind die Uberg¨ ange zwischen den verschiedenen Str¨ omungsformen fließend, eine strenge Grenze mit ¨ sprunghaftem Ubergang existiert nicht. Abb. 4.50 zeigt als Beispiel eine solche Strömungskarte, die von Hewitt und Roberts [4.87] durch Beobachtung der Strömungen von Luft-Wasser-Gemischen bei Umgebungsdruck und von Wasser-Wasserdampfgemischen bei h¨ oheren Dr¨ ucken in senkrechten Rohren von 10 bis 30 mm Durchmesser entwickelt wurde. Auf den Ordinaten sind die 2 des Dampfes und L wL2 der Fl¨ ussigkeit aufgetraImpulsstromdichten G wG gen. Diese haben die Dimension eines Drucks und werden mit den scheinbaren Gas- und Fl¨ ussigkeitsgeschwindigkeiten gebildet, die dann aufträten, wenn jede der beiden Phasen den gesamten Querschnitt ausf¨ ullte. Es ist ˙ G wG = x∗ m/

und wL = (1 − x∗ )m/ ˙ L .

Eine entsprechende Str¨ omungskarte f¨ ur waagrechte und geneigte Rohre haben Taitel und Dukler [4.88] entwickelt.

Abb. 4.50: Str¨ omungsformDiagramm f¨ ur senkrechte Zweiphasenstr¨ omung nach Hewitt und Roberts [4.87]

4.2.9.3 Einige Grundbegriffe und Definitionen Zur Beschreibung des W¨ arme¨ ubergangs beim Sieden benötigt man einige Grundbegriffe und Definitionen aus der Theorie der Zweiphasenströmungen. Wir betrachten dazu in Abb. 4.51 den Abschnitt eines Kanals, in dem Gas und Fl¨ ussigkeit strömen. Der Einfachheit halber ist in dem Bild eine Ringströmung gezeigt, die folgenden Begriffe gelten jedoch ebenso f¨ ur die anderen Strömungsformen. In irgendeinem Querschnitt A f¨ ullt die gasförmige Phase den Anteil


559

Abb. 4.51: Zweiphasenstr¨ omung in einem beheizten Kanal

ε = AG /A ,

(4.106)

die fl¨ ussige entsprechend den Anteil 1 − ε = AL /A aus, denn es ist AG + AL = A. In einem hinreichend kleinen Rohrabschnitt Δz ändern sich diese Anteile nicht. Daher ist ε = AG Δz/AΔz . Der Volumenanteil des Dampfes in dem betrachteten Rohrabschnitt ist somit ε = VG /V

(4.107)

und der Volumenanteil der Fl¨ ussigkeit 1 − ε = VL /V . Man nennt die Gr¨ oße ε den volumetrischen Dampfgehalt. Davon zu unterscheiden ist der volumetrische Str¨ omungsdampfgehalt ∗ (4.108) ε = V˙ G /V˙ , der den Volumenstrom des Dampfes auf den gesamten Volumenstrom von Dampf und Fl¨ ussigkeit bezieht. Ein weiterer Begriff ist der Str¨ omungsdampfgehalt, der das Verh¨ altnis von Massenstrom M˙ G des Dampfes zum gesamten Massenstrom M˙ = M˙ G + M˙ L darstellt: (4.109) x∗ = M˙ G /M˙ . Es ist

560


1 − x∗ = M˙ L /M˙ . Der Strömungsdampfgehalt unterscheidet sich vom spezifischen Dampfgehalt der Thermodynamik, der bekanntlich durch x = MG /M definiert ist. Mit den Massenströmen M˙ G des Gases und M˙ L der Fl¨ ussigkeit erhält man die mittleren Geschwindigkeiten beider Phasen in einem beliebigen Querschnitt: ˙ x∗ m M˙ G x∗ M˙ = , = G AG G εA G ε

(4.110)

M˙ L (1 − x∗ )M˙ ˙ (1 − x∗ )m = = . L AL L (1 − ε)A L (1 − ε)

(4.111)

wG =

wL =

Das Verhältnis beider Geschwindigkeiten nennt man Schlupf oder Schlupffaktor x∗ 1 − ε L wG = . (4.112) s= wL 1 − x∗ ε G Auch der Strömungsdampfgehalt x∗ und der volumetrische Strömungsdampfgehalt ε∗ sind miteinander verkn¨ upft durch x∗ =

M˙ G V˙ G G ε∗ V˙ G = = ε∗ V˙ G + (1 − ε∗ )V˙ L M˙ G + M˙ L V˙ G G + V˙ L L

oder x∗ =

ε∗ . ε∗ + (1 − ε∗ )L /G

(4.113)

(4.114)

Volumetrischer Str¨ omungsdampfgehalt ε∗ und Dampfgehalt ε stimmen u ¨berein, wenn der Schlupffaktor eins wird, also wG = wL gilt, da dann ε∗ =

V˙ G AG w G AG = = =ε w G A G + wL A L A V˙

ist. Der Strömungsdampfgehalt x∗ ist meistens bekannt oder leicht zu ermitteln. Im unbeheizten Kanal sind die Massenstr¨ ome der einzelnen Phasen im Allgemeinen vorgegeben. In einem beheizten Kanal ergibt sich der Strömungsdampfgehalt aus einer Energiebilanz, Abb. 4.51. Wir nehmen dazu an, die Fl¨ ussigkeit trete unterk¨ uhlt in das Verdampferrohr ein. Ihre spezifische Enthalpie im Eintrittsquerschnitt sei h1 . Durch den Wärmestrom Q˙ wird sie auf Sättigungstemperatur erw¨ armt und dann verdampft. Die Energiebilanz zwischen Eintrittsquerschnitt und einem anderen Querschnitt an der Stelle z ergibt dann unter Vernachl¨ assigung von kinetischer und potentieller Energie M˙ h1 + Q˙ = M˙ [x∗ hG + (1 − x∗ )hL ] . Nimmt man weiter an, Dampf und Fl¨ ussigkeit st¨ unden im Querschnitt an der Stelle z im thermodynamischen Gleichgewicht, so sind ihre spezifischen Enthalpien im Sättigungszustand beim Druck p(z) zu berechnen. Es sind dann


561

hG = h und hL = h sowie h − h = Δhv die Verdampfungsenthalpie beim Druck p im betrachteten Querschnitt. Wegen der Annahme des thermodynamischen Gleichgewichts bezeichnen wir nun den Strömungsdampfgehalt mit x∗th und nennen ihn den thermodynamischen Dampfgehalt. Damit wird M˙ h1 + Q˙ = M˙ (x∗th Δhv + h ) und x∗th

1 = Δhv

Q˙ + h1 − h M˙

.

(4.115)

Diese Gleichung gilt voraussetzungsgem¨ aß nur dann, wenn Dampf und Fl¨ ussigkeit in einem Querschnitt gleiche Temperatur haben. Sie versagt in der Nähe des Eintrittsquerschnitts, wo der Str¨ omungsdampfgehalt x∗ noch klein ist und auch bei großen Dampfgehalten. In der N¨ ahe des Eintrittsquerschnitts können sich an der heißen Wand bereits Dampfblasen bilden, während der Kern der Strömung noch unterk¨ uhlt ist. Dampf und Fl¨ ussigkeit haben also verschiedene Temperaturen. Der Str¨ omungsdampfgehalt ist somit positiv, während man nach (4.115), da die Fl¨ ussigkeit noch unterk¨ uhlt, also Q˙ + M˙ h1 < M˙ h ist, einen negativen Wert f¨ ur den thermodynamischen Dampfgehalt erhält. Bei hohen Dampfgehalten hat man eine Spr¨ uhstr¨ omung. Wärme wird hauptsächlich an den Dampf u ¨bertragen, der sich u ¨berhitzt, obwohl im Strömungskern weiterhin Fl¨ ussigkeitstropfen mitgerissen werden, die erst allmählich verdampfen. Der Strömungsdampfgehalt ist also noch kleiner als eins, obwohl der thermodynamische Dampfgehalt nach (4.115) schon den Wert eins erreicht hat. Im Bereich mittlerer Str¨ omungsdampfgehalte, wo weder unterk¨ uhltes Sieden noch Spr¨ uhstr¨ omung vorliegt, liefert jedoch (4.115) genaue Werte. Abb. 4.52 zeigt qualitativ den Verlauf des wahren Dampfgehalts x∗real u ¨ber dem thermodynamischen Dampfgehalt x∗th aufgrund von (4.115).

Abb. 4.52: Qualitativer Verlauf des wahren Dampfgehalts x∗real in Abh¨ angigkeit vom thermodynamischen Dampfgehalt x∗th

562


4.2.9.4 Druckabfall zweiphasiger Str¨ omungen In zweiphasigen Str¨ omungen sinkt als Folge des Druckabfalls die Siedetemperatur in Strömungsrichtung. Infolgedessen ändert sich auch das f¨ ur den Wärme¨ ubergang maßgebende treibende Temperaturgefälle längs des Strömungswegs. Eine Berechnung des W¨ arme¨ ubergangs ist daher ohne gleichzeitige Ermittlung des Druckabfalls nicht m¨ oglich, und es sollen im Folgenden die Grundlagen hierf¨ ur er¨ ortert werden. Zur Berechnung des Druckabfalls betrachten wir einen um den Winkel γ gegen die Waagrechte geneigten Kanal, der von einem zweiphasigen Fluid durchströmt wird, Abb. 4.53.

Abb. 4.53: Kr¨ aftebilanz an einem zweiphasigen Fluidelement

Auf ein Volumenelement der L¨ ange dz wirken, wie in dem Bild eingezeichnet, die vom Druck ausge¨ ubten Kr¨ afte, die Reibungskraft an der Kanalwand und die Schwerkraft. Wir setzen station¨ are, eindimensionale Strömung und konstanten Kanalquerschnitt voraus. Druck, Dichte und Impulsstrom u ¨ber einen Querschnitt h¨ angen nur vom Str¨ omungsweg z ab. Die Impulsbilanz besagt, dass die Summe aus Druck-, Reibungs- und Schwerkraft gleich der ¨ Anderung des Impulsstroms ist:

d ˙ dp dz A − τ0 U dz − gA sin γ dz = (M w) dz p− p+ dz dz oder

dp 1 d ˙ U = τ0 + (M w) + g sin γ , (4.116) dz A A dz worin τ0 die Schubspannung an der Kanalwand und U den Kanalumfang bedeuten. Die Dichte des zweiphasigen Gemisches berechnet sich aus −

= εG + (1 − ε)L .

(4.117)

Der Impulsstrom setzt sich aus dem des Gases und dem der Fl¨ ussigkeit zusammen gemäß M˙ w = M˙ G wG + M˙ L wL . (4.118)


563

Zusammen mit (4.111) und (4.112) kann man hierf¨ ur auch schreiben (1 − x∗ )2 M˙ 2 x∗2 + . M˙ w = A εG (1 − ε)L

(4.119)

Einsetzen von (4.117) und (4.119) in (4.116) ergibt (1 − x∗ )2 dp U d x∗2 + − + [εG + (1 − ε)L ] g sin γ . (4.120) = τ0 + m ˙2 dz A dz εG (1 − ε)L Der Gesamtdruckabfall setzt sich offenbar aus drei Anteilen zusammen, dem Reibungsdruckabfall

dp U − = τ0 , (4.121) dz r A dem Beschleunigungsdruckabfall

(1 − x∗ )2 d x∗2 dp =m ˙2 + − dz b dz εG (1 − ε)L

(4.122)

und dem Druckabfall aufgrund der Schwerkraft, den man auch den geodätischen Druckabfall nennt

dp = [εG + (1 − ε)L ] g sin γ . (4.123) − dz g In Strömungskan¨ alen mit Umlenkungen und Einschn¨ urungen treten zusätzliche Druckabfälle auf, die wir hier nicht behandeln wollen. Es sei hierzu auf die einschlägige Literatur verwiesen [4.89]. Der Reibungsdruckabfall entsteht durch die Schubspannung zwischen dem strömenden Fluid und der Kanalwand. Der Beschleunigungsdruckabfall ergibt sich aus der Impuls¨ anderung beider Phasen, denn in Dampf-Fl¨ ussigkeitsströmungen tritt eine Entspannungsverdampfung aufgrund des Druckabfalls auf und im beheizten Kanal eine Verdampfung aufgrund der Wärmezufuhr. Dadurch verändern sich Masse und Geschwindigkeit und folglich auch der Impulsstrom beider Phasen. Der geod¨ atische Druckabfall entsteht durch die vom Fluid ausge¨ ubte Schwerkraft. Er verschwindet in waagrechten Strömungen. Geodätischer Druckabfall und Beschleunigungsdruckabfall sind oft vernachlässigbar im Vergleich zum Reibungsdruckabfall. In beheizten Kan¨ alen mit großen W¨ armeund Massenstromdichten kann der Beschleunigungsdruckabfall jedoch betr¨ achtliche und nicht mehr vernachlässigbare Werte annehmen, w¨ ahrend er in adiabaten Zweiphasenströmungen, wo der Beschleunigungsdruckabfall nur als Folge der Nachverdampfung bzw. der Expansion der Dampf- oder Gasphase entsteht, gering ist. Eine einfache Regel f¨ ur adiabate Zweiphasenstr¨ omungen in Kälteanlagen besagt z.B., dass der Beschleunigungsdruckabfall keine Rolle spielt, solange f¨ ur den Reibungsdruckabfall Δpr /ps < 0,2 gilt. Ist dies nicht der Fall, so ermittelt man den

564


Beschleunigungsdruckabfall nach (4.122) u ¨ber die Kanallänge zwischen Eintrittsquerschnitt 1 und Austrittsquerschnitt 2: ∗2 x2 x∗2 (1 − x∗2 )2 (1 − x∗1 )2 1 2 . (4.124) ˙ − + − (p1 − p2 )b = m ε2 G2 ε1 G1 (1 − ε2 )L2 (1 − ε1 )L1 Genaue Berechnungen sind auch hier nur m¨ oglich, wenn eine zuverlässige Beziehung f¨ ur den volumetrischen Dampfgehalt zur Verf¨ ugung steht. Falls der Schlupffaktor s = 1 gesetzt werden darf (homogene Strömung), wird nach (4.113) der volumetrische Dampfgehalt

ε=

−1 G 1 − x∗ +1 . L x∗

(4.125)

¨ Bei vollständiger Verdampfung mit einer Anderung des Strömungsdampfgehalts zwischen x∗1 = 0 und x∗2 = 1, werden ε1 = 0 und ε2 = 1 und der Beschleunigungsdruckabfall 1 1 (p1 − p2 )b = m ˙2 − . G2 L1 Der Reibungsdruckabfall hat im Allgemeinen den größten Anteil am Gesamtdruckabfall; zu seiner Berechnung ist man jedoch weitgehend auf empirische Methoden angewiesen. Er enth¨ alt nicht nur die Impuls¨ ubertragung zwischen Fluid und Wand, sondern auch die Impuls¨ ubertragung zwischen den einzelnen Phasen. Beide Anteile k¨ onnen nicht getrennt gemessen und nur f¨ ur einfache Strömungen abgesch¨ atzt werden. Daher bestehen nur ungenaue Vorstellungen u ubertragung zwischen beiden Phasen. ¨ber den Einfluss der Impuls¨ Der Reibungsdruckabfall zeigt bei konstanter Massenstromdichte nicht etwa eine lineare Abh¨ angigkeit vom Str¨ omungsdampfgehalt zwischen den Grenzwerten x∗ = 0 und x∗ = 1, sondern steigt mit wachsendem x∗ bis zu einem Maximum zwischen x∗ = 0,7 und x∗ = 0,9 an und sinkt danach wieder auf den Druckabfall der reinen Dampfströmung, Abb. 4.54. Das Maximum ist umso st¨ arker ausgepr¨ agt, je gr¨ oßer der Dichteunterschied zwischen den Phasen ist. Verfahren zur Bestimmung des Reibungsdruckabfalls gehen meist von einfachen Modellvorstellungen aus. Dabei wird vorwiegend homogene Strömung (homogene Verteilung der Phasen, s → 1) oder heterogene Strömung (heterogene Verteilung der Phasen, s > 1) vorausgesetzt. Seltener sind Methoden, die bestimmte Str¨ omungsformen zugrundelegen und daher auch nur auf diese anwendbar sind. Zur Berechnung des Reibungsdruckabfalls ist es vorteilhaft, einige Parameter zu definieren, die sich zur Darstellung des Zweiphasen-Reibungsdruckabfalls und des volumetrischen Dampfgehalts eignen. Der Reibungsdruckabfall wird oft auf den Druckabfall der einphasigen Strömung durch folgende von Lockhart und Martinelli [4.90] stammende Definition zur¨ uckgef¨ uhrt:


565

Abb. 4.54: Verlauf des Reibungsdruckabfalls

oder

dp dz

dp dz

:= Φ2L r

:= Φ2G r

dp dz

dp dz

(4.126) L

.

(4.127)

G

ussigkeit, (dp/dz)G der des Hierin ist (dp/dz)L der Reibungsdruckabfall der Fl¨ Dampfes, unter der Voraussetzung, dass jede der beiden Phasen den Kanal allein durchströmt. Die Faktoren Φ2L und Φ2G sind durch die obigen Gleichungen definiert. Kennt man diese Faktoren, so m¨ ussen lediglich noch die Druckabfälle der Einzelphasen bestimmt werden, um den Reibungsdruckabfall der Zweiphasenströmung berechnen zu k¨ onnen. Die Druckabf¨ alle der beiden Phasen werden nach bekannten Methoden ermittelt. So gilt f¨ ur den Reibungsdruckabfall einer Fl¨ ussigkeitsströmung

˙ 2L dp 1 L wL2 1m = −ζL = −ζL (4.128) dz L d 2 d 2L mit m ˙ L = m(1 ˙ − x∗ ), worin d der Durchmesser des Strömungskanals und ζ der von der Reynolds-Zahl abh¨ angige Widerstandsbeiwert sind. Nach Blasius gilt beispielsweise (4.129) ζL = c/RenL , worin c und n Funktionen des Str¨ omungszustands und der Rohrrauhigkeit sind. Die Reynolds-Zahl ist unter der Voraussetzung zu berechnen, dass die Fl¨ ussigkeit allein im Rohr str¨ omt ReL =

wL L d m ˙ Ld m(1 ˙ − x∗ )d = = . ηL ηL ηL

(4.130)

Eine andere Möglichkeit zur Ermittlung des Druckabfalls zweiphasiger Strömungen besteht darin, dass man zun¨ achst den Reibungsdruckabfall des Gases und der Fl¨ ussigkeit unter der Annahme bestimmt, die Gesamtmasse des Fluids ströme als Fl¨ ussigkeit oder als Gas durch den Kanal. In diesem Fall definiert man Faktoren ΦL0 und ΦG0 durch

566


und

Es ist jetzt

dp dz

dp dz

:=

Φ2L0

r

dp dz

:= Φ2G0

r

dp dz

= −ζL0 L0

dp dz

(4.131) L0

.

(4.132)

1m ˙2 , d 2L

(4.133)

G0

und der Widerstandsbeiwert ζL0 ist mit der Reynolds-Zahl ReL0 =

md ˙ ηL

(4.134)

zu ermitteln. Das homogene Modell In Strömungen mit einem hohen Anteil kleiner Blasen, x∗ → 0, in Spritzeroder Tropfenströmungen, x∗ → 1, oder in Strömungen mit geringen Dichteunterschieden, wie sie bei Ann¨ aherung an den kritischen Zustand auftreten, wird der Reibungsdruckabfall durch das homogene Modell in guter Nährung wiedergegeben. Mit dem heterogenen Modell erhält man in diesen Fällen ungenauere Ergebnisse. Berechnungen nach dem homogenen Modell laufen ähnlich ab wie bei Einphasenströmungen, jedoch unter Verwendung geeignet definierter mittlerer Stoffwerte. F¨ ur den Reibungsdruckabfall einer homogenen Zweiphasenströmung gilt

1 w2 dp 1m ˙2 := −ζ = −ζ . (4.135) dz r d 2 d 2 Mit der Annahme gleicher Geschwindigkeit von Fl¨ ussigkeit und Dampf erhält man den volumetrischen Dampfgehalt nach (4.125) und damit die Dichte der homogenen Strömung zu

∗ −1 1 − x∗ x + . (4.136) = εG + (1 − ε)L = G L Der Widerstandsbeiwert ist wie bei der einphasigen Strömung zu berechnen, beispielsweise nach Blasius (4.137) ζ = c/Ren . In der Reynolds-Zahl Re = md/η ˙ ist nun die dynamische Viskosität der homogenen Zweiphasenstr¨ omung einzusetzen. Meistens sind hierf¨ ur in der Literatur [4.91] bis [4.93] empirische Ans¨ atze vorgeschlagen worden, die als Grenzfälle η(x∗ = 0) = ηL und η(x∗ = 1) = ηG enthalten. Nach McAdams et al. [4.91] gilt 1 x∗ 1 − x∗ = + , (4.138) η ηG ηL


567

nach Cicchitti et al. [4.92] η = x∗ ηG + (1 − x∗ )ηL

(4.139)

und nach Dukler et al. [4.93] ηL ηG + (1 − x∗ ) . η = x∗ G L

(4.140)

Mit (4.136) erhält man aus (4.135) den Reibungsdruckabfall der homogenen Zweiphasenströmung zu

˙ 2 x∗ dp 1m 1 − x∗ . (4.141) = −ζ + dz r d 2 G L Andererseits ist der Druckabfall unter der Voraussetzung, dass nur Fl¨ ussigkeit im Rohr strömt

˙ 2 (1 − x∗ )2 dp 1m = −ζL . (4.142) dz L d 2L Der Widerstandsbeiwert ζL der Fl¨ ussigkeitsströmung ist nach dem Blasiusschen Widerstandsgesetz ζL = c/RenL

mit

ReL = m(1 ˙ − x∗ )d/ηL .

(4.143)

Mit (4.142), (4.135) und (4.126) findet man den Faktor Φ2L f¨ ur die homogene Zweiphasenströmung zu

L ζ 2 ∗ 1+x ΦL = − 1 (1 − x∗ )−2 . (4.144) ζL G Die Widerstandsbeiwerte kann man hierin noch unter Verwendung des Blasiusschen Widerstandsgesetzes (4.137) und (4.143) eliminieren, und man erhält dann mit (4.139) n

ηG L n−2 −1 − 1 (1 − x∗ ) , (4.145) 1 + x∗ Φ2L = 1 + x∗ ηL G worin n ∼ ur tur= 1/4 der Exponent des Blasiusschen Widerstandsgesetzes f¨ bulente Strömung in technisch glatten Rohren ist. Das heterogene Modell Im Unterschied zum homogenen Modell sollen beide Phasen getrennt voneinander strömen und unterschiedliche Geschwindigkeiten besitzen, so dass zwischen den Phasen ein Schlupf besteht. Ein besonders einfaches und h¨ aufig benutztes Verfahren stammt von Lock¨ hart und Martinelli [4.90]. Ihm liegen Messungen mit Wasser-Luft- und OlLuft-Gemischen in waagrechten Rohren bei niedrigen Dr¨ ucken zugrunde. Das Rechenverfahren hat sich jedoch auch bei senkrechten Aufwärtsströmungen

568


zweiphasiger Ein- und Mehrkomponentengemische bewährt. Grundgedanke des Lockhart-Martinelli-Verfahrens ist, dass sich der Reibungsdruckabfall einer zweiphasigen Str¨ omung, wie zuvor besprochen, unter Verwendung eines Korrekturfaktors aus dem Reibungsdruckabfall der Einzelphasen ermitteln l¨ asst. Daraus wurden die Zweiphasenmultiplikatoren Φ2L und Φ2G gemäß (4.126) und (4.127) definiert. Man setzt Φ2 (dp/dz)L X 2 := G = (4.146) Φ2L (dp/dz)G mit (dp/dz)L nach (4.142) und

1m ˙ 2 x∗2 dp = −ζG . dz G d 2G

(4.147)

Aus (4.142) und (4.147) folgt (dp/dz)L ζL X = = (dp/dz)G ζG

2

1 − x∗ x∗

2

G . L

(4.148)

Allgemein bezeichnet man die durch (4.146) definierte Größe X als LockhartMartinelli-Parameter. Er nimmt je nach Art der Strömung in den beiden Phasen, ob laminar oder turbulent, verschiedene Werte an. Folgende Kombinationen, die durch Indizes an der Gr¨ oße X gekennzeichnet werden, sind möglich: Str¨ omungszustand der Phasen Gas Fl¨ ussigkeit

Indizes von X

laminar

laminar

ll

laminar

turbulent

lt

turbulent

laminar

tl

turbulent

turbulent

tt

Als Beispiel berechnen wir die Gr¨ oße Xtt f¨ ur den häufig vorkommenden Fall, dass beide Phasen turbulent str¨ omen. Setzt man f¨ ur den Widerstandsbeiwert die G¨ ultigkeit des Blasiusschen Gesetzes n m(1 ˙ − x∗ )d ζL = c/RenL = c/ (4.149) ηL

und ζG = voraus, so wird nach (4.148)

c/RenG

= c/

mx ˙ ∗d ηG

n (4.150)


2 Xtt =

1 − x∗ x∗

2−n

ηL ηG

n

G . L

569

(4.151)

F¨ ur die turbulente Str¨ omung in technisch glatten Rohren liegt der Exponent n zwischen 0,2 und 0,25. Mit n = 0,2 wird

Xtt =

1 − x∗ x∗

0,9

ηL ηG

0,1

G L

0,5 .

(4.152)

Lockhart und Martinelli nahmen nun an, dass jeder der beiden Faktoren ΦG und ΦL als eine Funktion des Parameters X darstellbar ist. In Abb. 4.55 ur die sind die von Lockhart und Martinelli ermittelten Größen ΦL und ΦG f¨ verschiedenen Arten der Str¨ omung u ¨ber dem Parameter X dargestellt.

Abb. 4.55: Ermittlung des Reibungsdruckabfalls nach Lockhart und Martinelli [4.90]

Die Kurven werden durch folgende Gleichungen gut wiedergegeben C 1 + 2 , X X

(4.153)

Φ2G = 1 + CX + X 2 .

(4.154)

Φ2L = 1 + und

F¨ ur die Konstante C sind die Werte der folgenden Tabelle 4.2 einzusetzen. Als Kriterium f¨ ur den Str¨ omungsumschlag kann angenommen werden, dass eine Phase laminar str¨ omt, wenn Re < 1000 ist und dass Turbulenz vorliegt, ¨ wenn Re > 2000 ist. F¨ ur den Ubergangsbereich 1000 < Re < 2000 lässt sich keine eindeutige Vorhersage machen. Zur Sicherheit sollte man dort mit turbulenter Strömung rechnen. Das Verfahren von Lockhart-Martinelli ist besonders einfach und u ¨bersichtlich. Es wird zwar in bestimmten Parameterbereichen von anderen Ver-

570

Konvektiver W¨ armeund Stoff¨ ubergang mit Phasenumwandlungen Tabelle 4.2: Konstante C der Gleichungen (4.153) und (4.154)

Gas/Dampf

Fl¨ ussigkeit

Index

C

laminar

laminar

ll

5

laminar

turbulent

lt

10

turbulent

laminar

tl

12

turbulent

turbulent

tt

20

fahren an Genauigkeit u ¨bertroffen, liefert jedoch unabhängig vom Anwendungsfall befriedigende Werte des Druckabfalls innerhalb eines Unsicherheitsbereichs von etwa ±50%. Gr¨ oßere Abweichungen sind bei Rohrdurchmessern d > 0,1 m zu erwarten. Ferner ist zu ber¨ ucksichtigen, dass die Zweiphasenmulucken ermittelt wurtiplikatoren ΦL und ΦG aus Messungen bei niedrigen Dr¨ den. F¨ ur höhere Dr¨ ucke und auch gr¨ oßere Genauigkeitsanspr¨ uche sind andere Gleichungen entwickelt worden. Sie gelten aber meistens nur f¨ ur bestimmte Stoffe in einem engen Parameterbereich. Es sei hierzu auf die umfangreiche Literatur u omung verwiesen, u.a. auf die Zusammenfassung ¨ber Zweiphasenstr¨ in [4.89]. 4.2.9.5 Die verschiedenen Bereiche des W¨ arme¨ ubergangs in zweiphasigen Str¨ omungen Einem senkrechten Verdampferrohr, das gleichmäßig u ¨ber die gesamte Länge beheizt ist, werde unterk¨ uhlte Fl¨ ussigkeit von unten zugef¨ uhrt. Die Wärmestromdichte q˙ sei niedrig und das Rohr lang genug, so dass die zugef¨ uhrte Fl¨ ussigkeit vollst¨ andig verdampfen kann. Abb. 4.56 zeigt links neben den bereits erörterten Bereichen des W¨ arme¨ ubergangs den Verlauf von Fl¨ ussigkeitsund Wandtemperatur. Solange die Wandtemperatur noch unterhalb der f¨ ur die Bildung von Dampfblasen notwendigen Temperatur bleibt, wird Wärme durch einphasige, erzwungene Str¨ omung u ¨bertragen. Ist die Wand hinreichend u ¨berhitzt, so können sich dort Dampfblasen bilden, obwohl die Kernfl¨ ussigkeit noch unterk¨ uhlt ist. Man spricht vom Bereich des unterk¨ uhlten Siedens. Die Wandtemperatur ist in diesem Bereich nahezu konstant und liegt wenige Kelvin ¨ u zum Blasensieden legt man ¨ber der Sättigungstemperatur. Den Ubergang ussigkeit im Mittel Sättigungsdefinitionsgemäß an die Stelle, an der die Fl¨ temperatur erreicht und somit der thermodynamische Dampfgehalt x∗th = 0 wird. Tatsächlich ist an dieser Stelle, wie in Abb. 4.56 angedeutet, wegen des radialen Temperaturprofils die Fl¨ ussigkeit im Kern noch unterk¨ uhlt, gleichzeitig aber schon Dampf an der Wand anwesend, so dass die mittlere Enthalpie


571

Abb. 4.56: Wand- und Fluidtemperaturen, Str¨ omungsformen und zugeh¨ orige W¨ arme¨ ubergangsbereiche, beheiztes Rohr

gleich derjenigen der ges¨ attigten Fl¨ ussigkeit ist. Wie schon im vorigen Abschnitt dargelegt, stellt sich die S¨ attigungstemperatur im Kern erst weiter stromab von der Stelle x∗th = 0 ein. Im Bereich des Blasensiedens wird der Wärme¨ ubergang hauptsächlich durch die Bildung der Dampfblasen und nur in geringerem Maße durch die Konvektion bestimmt. Dieser Bereich umfasst die eigentliche Blasen-, die Pfropfen-, die Schaum-Ring- und Teile der Ringstr¨ omung. Der Strömungsdampfgehalt nimmt stromabw¨ arts st¨ andig zu, und bei hinreichend hohem Dampfgehalt geht die Schaum-Ring-Str¨ omung in eine Ringströmung u ¨ber mit einem Fl¨ ussigkeitsfilm an der Wand und Dampf im Kern, der Fl¨ ussigkeitstropfen mitreißt. Charakteristisch ist, dass im gesamten Bereich des Blasensiedens an der Wand Dampfblasen gebildet werden. Im Bereich der Ringströmung wird jedoch stromabw¨ arts der Fl¨ ussigkeitsfilm so d¨ unn und sein Wärmewiderstand so klein, dass die wandnahe Fl¨ ussigkeit nicht mehr ausreichend u ¨berhitzt und die Blasenbildung an der Wand weitgehend unterdr¨ uckt wird. Die Wärme wird hauptsächlich durch den Fl¨ ussigkeitsfilm geleitet, der an seiner Oberfläche verdampft. W¨ arme wird durch Str¨ omungssieden“ u ¨bertragen. ”

572


Sobald der Fl¨ ussigkeitsfilm an der Wand vollständig verdampft ist, nimmt die Temperatur einer mit konstanter W¨ armestromdichte beheizten Wand zu. ¨ Den Ubergang bezeichnet man als Austrocknen (Dryout). Man kommt in den Bereich der Spr¨ uhstr¨ omung, an die sich nach vollständiger Verdampfung aller mitgerissenen Fl¨ ussigkeitstropfen ein Bereich anschließt, in dem Wärme ¨ konvektiv an den Dampf u ¨bertragen wird. Die in Abb. 4.56 gezeigten Ubergangsbereiche können je nach Gr¨ oße der W¨ armeund der Massenstromdichte von sehr unterschiedlicher Ausdehnung sein. 4.2.9.6 W¨ arme¨ ubergang beim Blasensieden und beim Str¨ omungssieden Blasensieden in ges¨ attigter Fl¨ ussigkeit, das sogenannte S¨ attigungssieden, und das Strömungssieden kommen am h¨ aufigsten in Verdampfern vor und sollen daher ausf¨ uhrlicher behandelt werden. Wegen der u ¨brigen Arten des Wärme¨ ubergangs in zweiphasiger Str¨ omung sei auf das weiterf¨ uhrende Schrifttum verwiesen, u.a. [4.50]. Definitionsgem¨ aß beginnt das Sättigungssieden, wenn der unter der Annahme des thermodynamischen Gleichgewichts aus ussig(4.115) berechnete Str¨ omungsdampfgehalt x∗th = 0 wird. Die mittlere Fl¨ keitstemperatur ist dann gleich der S¨ attigungstemperatur. Tatsächlich ist jedoch bei Beginn des S¨ attigungssiedens der Fl¨ ussigkeitskern noch unterk¨ uhlt und die wandnahe Fl¨ ussigkeitsschicht u ¨berhitzt. Auch wenn sich im Bereich des unterk¨ uhlten Siedens bereits Blasen gebildet haben, so kann die Blasenbildung wieder unterdr¨ uckt werden, selbst wenn sich die mittlere Temperatur der Sättigungstemperatur n¨ ahert. Das ist dann der Fall, wenn infolge des besseren Wärme¨ ubergangs die von der zweiphasigen Strömung abgef¨ uhrte Wärme gleich der von der Wand zugef¨ uhrten ist. S¨ attigungssieden setzt somit ein, wenn die von der Wand zugef¨ uhrte W¨ arme gr¨ oßer ist als die Wärme, welche die vorhandene zweiphasige Str¨ omung ohne zus¨ atzliche Blasenbildung abf¨ uhren kann. Notwendig daf¨ ur ist eine ausreichend große Wärmestromdichte. Wie sie berechnet wird, ist in [4.50, S. 192] er¨ ortert. Zur Berechnung des W¨ arme¨ ubergangs beim Sättigungssieden setzt man voraus, dass der W¨ arme¨ ubergang u ¨berwiegend durch die Blasenbildung bestimmt wird. Zus¨ atzlich ist die Konvektion von, wenn auch geringem, Einfluss auf den Wärme¨ ubergang. Modellvorstellungen und empirische Gleichungen gehen daher vom W¨ arme¨ ubergang beim Sieden in freier Strömung aus und ucksichtigen den Einfluss der erzwungenen Strömung durch ein Zusatzber¨ glied. Dem liegt die Vorstellung zugrunde, dass das Blasenwachstum nur wenig durch die Strömung beeinflusst wird, solange die Blasen kleiner als die u ¨berhitzte Grenzschicht sind. Man setzt daher den Wärme¨ ubergangskoeffizienten aus zwei Anteilen zusammen α2Ph = αB + αK ,

(4.155)

wobei αB der Wärme¨ ubergangskoeffizient beim Sieden in freier Strömung, Abarme¨ ubergangskoeffizient bei erzwungener Ströschnitt 4.2.7, und αK der W¨


573

mung ist, wenn nur die Fl¨ ussigkeit durch das Rohr strömen w¨ urde. Diesen berechnet man aus der Colburn-Beziehung f¨ ur den Wärme¨ ubergang einer einphasigen erzwungenen Str¨ omung Nu =

αK d = 0,023 Re0,7 P r1/3 λL

(4.156)

˙ − x∗ )d/ηL und der Prandtl-Zahl mit der Reynolds-Zahl Re = m ˙ L d/ηL = m(1 P r = νL /aL der Fl¨ ussigkeit. In (4.155) betr¨ agt der Anteil αK des Wärme¨ ubergangs durch erzwungene Str¨ omung meist nur wenige Prozent des gesamten Wärme¨ ubergangs. Diese Rechenmethode ber¨ ucksichtigt zwar nicht den geringen Einfluss des Str¨ omungsdampfgehalts auf den Wärme¨ ubergang im Bereich des Sättigungssiedens, gibt aber dennoch bisherige Messungen mit ausreichender Genauigkeit wieder. Genauere Gleichungen, die diesen Einfluss ber¨ ucksichtigen, haben Chawla [4.94] sowie Stephan und Auracher [4.95] mitgeteilt. Strömen Dampf und Fl¨ ussigkeit im senkrechten Rohr abwärts, so verringert sich infolge des Auftriebs der Schlupf zwischen Dampf und Fl¨ ussigkeit. Dies f¨ uhrt zu einer Verringerung des W¨ arme¨ ubergangs, und zwar ist nach Messungen von Pujol [4.96] mit dem K¨ altemittel R113 der Wärme¨ ubergangsartsstr¨ omung um den Faktor 0,75 kleiner als derjenige koeffizient αab der Abw¨ der Aufwärtsströmung αauf αab = 0,75 αauf .

(4.157)

Den Wert αauf kann man beispielsweise aus (4.155) berechnen. Obwohl bei Aufstellung von (4.155) nicht zwischen Messungen an senkrechten und waagrechten Rohren unterschieden wurde, haben neuere Messungen von Steiner und Mitarbeitern u.a. [4.97] die Erwartung bestätigt, dass im waagrechten Rohr Dampf und Fl¨ ussigkeit stets unsymmetrisch verteilt sind, wenn man von sehr hohen Str¨ omungsgeschwindigkeiten absieht. Man kann daher den W¨ arme¨ ubergang beim S¨ attigungssieden in senkrechten und in waagrechten Rohren nicht nach einheitlichen Gleichungen berechnen. Die Oberseite des waagrechten Rohrs ist schlechter mit Fl¨ ussigkeit benetzt als die Unterseite. Dieser Effekt macht sich besonders bemerkbar, wenn die Rohrwand d¨ unn und schlecht w¨ armeleitend ist, weil sich dann die Temperaturen u ¨ber den Umfang weniger als im dickwandigen, gut wärmeleitenden Rohr ausgleichen können. W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten sind daher in Strömungsrichtung und u anderlich. Lokale Wärme¨ ubergangsmessungen ¨ber den Umfang ver¨ sind bisher noch nicht ausgef¨ uhrt worden. Lediglich u ¨ber den Umfang gemittelte Wärme¨ ubergangskoeffizienten sind von mehreren Autoren gemessen worden. Steiner [4.97] hat diese und seine eigenen Messungen ausgewertet und Gleichungen zur Berechnung des W¨ arme¨ ubergangs f¨ ur waagrechte Rohre mit gutem und f¨ ur solche mit schlechtem W¨ armeleitvermögen entwickelt. Es sei hierzu auf die zusammenfassende Darstellung [4.97] im VDI-Wärmeatlas verwiesen. Dort findet man auch Angaben u ubergang beim ¨ber den Wärme¨ S¨ attigungssieden in geneigten Rohren und Rohrwendeln.

574


An den Bereich des S¨ attigungssiedens schließt sich der des Str¨ omungssiedens an. Mit dem dort zunehmenden Dampfgehalt verbessert sich der Wärmeu armewiderstand der Grenzschicht ¨bergang von der Wand an das Fluid. Der W¨ nimmt im Vergleich zum W¨ armewiderstand des Blasensiedens ab. Die Wandtemperatur nimmt ebenfalls ab, vgl. Abb. 4.56, so dass an der Wand weniger oder gar keine Blasen mehr gebildet werden. Der Wärme¨ ubergang wird u ¨berwiegend oder sogar ausschließlich durch Verdampfung an der Phasengrenze zwischen der an der Wand befindlichen Fl¨ ussigkeit und dem Dampf der Kernströmung bestimmt. Nach dem Modell von Chen [4.98] kann man sich den Wärme¨ ubergangskoeffizienten gem¨ aß α2Ph = αB + αK . (4.158) aus zwei Anteilen zusammengesetzt denken. Den von der Blasenbildung f¨ uhrt man auf den Wärme¨ ubergangskoeffizienten herr¨ uhrenden Anteil αB αB bei Blasenverdampfung in freier Str¨ omung zur¨ uck. Da in einer erzwungenen Strömung jedoch der Temperaturanstieg in der Grenzschicht steiler als bei Blasenverdampfung in freier Str¨ omung ist, wird mehr Wärme von der Wand durch Leitung abgef¨ uhrt und die Blasenbildung gegen¨ uber der in freier ≺ αB . Strömung teilweise unterdr¨ uckt. Daher ist in (4.160) αB Der konvektive Anteil αK des W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten enthält einen Beitrag αK f¨ ur den W¨ arme¨ ubergang an die einphasige Fl¨ ussigkeit. Da aber der mitgef¨ uhrte Dampf rascher als die Fl¨ ussigkeit strömt, wird der Wärme¨ ubergang im Vergleich zur einphasigen Fl¨ ussigkeitsströmung verstärkt. Daher ist αK . Diese entscheidenden Einfl¨ usse werden gut erfasst durch in (4.160) αK die folgende Gleichung von Steiner [4.97].

Danach gilt f¨ ur lokale u ubergangskoeffizi¨ber den Umfang gemittelte Wärme¨ enten im senkrecht durchstr¨ omten Rohr ⎧ ⎡ 0,35 ⎤−2,2 ⎪ ⎨ α2Ph 0,01 1,5 ⎣(1 − x∗ ) + 1,9x∗0,6 ρ ⎦ = (1 − x∗ ) ⎪ αL ρ ⎩ ⎡ +x∗0,01 ⎣

⎛ αG ⎝ 1 + 8(1 − x∗ )0,7 αL

und f¨ ur das waagrecht durchstr¨ omte Rohr

⎫ 0,67 ⎞⎤−2 ⎪−0,5 ⎬ ρ ⎠ ⎦ (4.159) ⎪ ρ ⎭


α2Ph αL

575

⎧ ⎡ 0,37 ⎤−2,2 ⎪ ⎨ ρ 0,01 ⎣ ⎦ = (1 − x∗ ) (1 − x∗ ) + 1,2x∗0,4 ⎪ ρ ⎩ ⎡ +x∗0,01 ⎣

⎛ αG ⎝ 1 + 8(1 − x∗ )0,7 αL

⎫ 0,67 ⎞⎤−2 ⎪−0,5 ⎬ ρ ⎠⎦ (4.160) ⎪ ρ ⎭

arme¨ ubertragungskoeffizienten bei einHierin sind αG und αL die lokalen W¨ phasiger Strömung von Gas (Index G) und Fl¨ ussigkeit (Index L) entsprechend den Gleichungen f¨ ur erzwungene Str¨ omung nach Abschnitt 3.8.6. Die Reynolds-Zahlen sind ˙ ReL = md/η L

und ReG = md/η ˙ G .

d ist der Innendurchmesser des Rohres oder bei Ringspalten deren hydraulischer Durchmesser d = da − di , wenn da der Innendurchmesser des Außenrohres und di der Außendurchmesser des Innenrohres ist. Alle Stoffwerte sind auf S¨ attigungszustand bezogen. Die Gleichungen gelten f¨ ur 0 ≤ x∗ ≤ 1.

(4.159) gilt f¨ ur 3, 5 ≤ ρ /ρ 3 ≤ d/mm ≤ 25,4.

≤ 5000, 10−3 ≤ p+ = p/pc r ≤ 0,8 und

(4.160) gilt f¨ ur 3, 5 ≤ ρ /ρ ≤ 5000, jedoch 5 · 10−3 ≤ p+ = p/pc r ≤ 0,8 und 6 ≤ d/mm ≤ 25. Bei kleinen Str¨ omungsdampfgehalten zwischen 0 ≤ x∗ ≤ 0,2 nimmt der Wärme¨ ubergang der zweiphasigen Str¨ omung im waagrechten Rohr rascher mit dem Strömungsdampfgehalt zu als im senkrechten Rohr. Im waagrechten Rohr sammelt sich dann Fl¨ ussigkeit u ¨berwiegend am Rohrgrund, wodurch der Wärme¨ ubergang verbessert wird. Die Schichtenströmung ist im waagrechten Rohr ausgeprägter, w¨ ahrend bei gr¨ oßeren Str¨ omungsdampfgehalten im waagrechten und im senkrechten Rohr Ringstr¨ omung vorherrscht. 4.2.9.7 Kritische Siedezust¨ ande Wie schon in Zusammenhang mit dem Sieden bei freier Strömung darge¨ legt wurde, nimmt der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient nach Uberschreiten einer maximalen Wärmestromdichte stark ab. Die Fl¨ ussigkeit an der Wand wird durch Dampf verdr¨ angt. Wird der Heizfl¨ ache beispielsweise durch elektrische oder nukleare Beheizung oder durch Strahlung Wärme zugef¨ uhrt, so steigt die Wandtemperatur nach Erreichen der maximalen Wärmestromdichte sprunghaft an. Wird hingegen wie in einem W¨ armeaustauscher oder Kondensator die Wandtemperatur durch ein anderes Fluid aufgeprägt, so f¨ uhrt eine geringe

576


Erhöhung der Wandtemperatur zu einem drastischen Abfall der Wärmestromdichte. Man fasst diese Erscheinung unter dem Begriff kritische Siedezust¨ ande zusammen. Darunter wird also das Absinken des Wärme¨ ubergangskoeffizien¨ ten nach Uberschreiten einer kritischen W¨ armestromdichte verstanden. Diese ist im Fall des Siedens unter Zwangskonvektion im Allgemeinen nicht identisch mit der maximalen W¨ armestromdichte bei freier Strömung und kann, wie im Folgenden dargelegt, durch verschiedene Mechanismen bewirkt werden. Wir sprechen daher von kritischer W¨ armestromdichte im Unterschied zur maximalen W¨ armestromdichte beim Sieden in freier Strömung. Die Erscheinungen, die man bei freier Str¨ omung beobachtet, treten auch in einer erzwungenen Str¨ omung auf, sind dort aber verwickelter. Grundsätzlich lassen sich zwei verschiedene Arten der Siedekrise unterscheiden: a) Bei kleinen Volumenanteilen des Dampfes tritt Filmsieden auf. Die Fl¨ ussigkeit ist die kontinuierliche Phase, und nach Erreichen der kritischen Wärmestromdichte bildet sich an der Wand ein Dampffilm, der die Fl¨ ussigkeit von der Heizwand trennt. Der hohe W¨ armewiderstand des Dampffilms f¨ uhrt zu einem Abfall der W¨ armestromdichte, falls die Wandtemperatur aufgeprägt wird, oder zu einem Anstieg der Wandtemperatur, wenn man die Wärmestromdichte vorgibt. Die kritische Wärmestromdichte ist umso größer, je kleiner der Volumenanteil des Dampfes ist. b) Bei großem Volumenanteil des Dampfes entsteht eine Ringströmung. An der Wand befindet sich haupts¨ achlich Fl¨ ussigkeit, und im Kern bildet der Dampf die kontinuierliche Phase. Nach Erreichen der kritischen Wärmestromdichte l¨ ost sich der Fl¨ ussigkeitsfilm an der Wand auf, und diese wird von Dampf bedeckt. Man spricht von Austrocknen der Heizfl¨ ache (englisch: dryout). Ist der Dampfgehalt hinreichend groß, so trocknet die Heizfläche schon bei sehr kleinen Wärmestromdichten aus. Aus dem Kern der Strömung können stromabwärts kleine Fl¨ ussigkeitstropfen wieder an die Heizfläche gelangen, die wegen der geringen W¨ armestromdichte nur teilweise verdampfen. In der angelsächsischen Literatur bezeichnet man diese Art des Austrocknens mit anschließender Spr¨ uhk¨ uhlung der Wand durch Fl¨ ussigkeitstropfen als Depo” sition Controlled Burnout“. Abb. 4.57 veranschaulicht die beiden Arten der Siedekrise, nämlich Filmsieden und Austrocknen der Heizfl¨ ache. Wie sich die kritische Wärmestromdichte qualitativ mit dem Str¨ omungsdampfgehalt ändert, zeigt Abb. 4.58. Im Bereich des Filmsiedens nimmt die kritische Wärmestromdichte annähernd linear mit dem Str¨ omungsdampfgehalt ab, im Bereich des Austrocknens sinkt sie stark mit dem Str¨ omungsdampfgehalt und fällt erst bei großen Strömungsdampfgehalten im Bereich des Austrocknens mit anschließender Spr¨ uhk¨ uhlung wieder schw¨ acher mit dem Str¨ omungsdampfgehalt. Einen unteren Grenzwert f¨ ur die kritische W¨ armestromdichte findet man aus der Energiebilanz


Abb. 4.57: Arten der Siedekrise. a Filmsieden; b Austrocknen der Heizfl¨ ache

577

Abb. 4.58: Kritische W¨ armestromdichte in Abh¨ angigkeit vom Str¨ omungsdampfgehalt

qdπz ˙ = M˙ cpL [ϑL (z) − ϑ1 ] = αdπz [ϑ0 − ϑL (z)] , worin ϑ1 die Temperatur im Eintrittsquerschnitt ist. Daraus folgt ϑ0 = ϑL (z) +

q˙ qdπz ˙ q˙ = ϑ1 + + ˙ cpL α α M

oder

ϑ0 − ϑ1 . dπz 1 + ˙ cpL α M Da nach Erreichen der kritischen W¨ armestromdichte die Wandtemperatur deutlich u attigungstemperatur liegt, erh¨ alt man als unteren Grenzwert f¨ ur die kri¨ber der S¨ tische W¨ armestromdichte q˙ =

q˙cr >

ϑs − ϑ1 Δϑu = , dπz 1 dπz 1 + + ˙ cpL α α M˙ cpL M

(4.161)

worin Δϑu die Unterk¨ uhlung der Fl¨ ussigkeit im Eintrittsquerschnitt ist. Hieraus findet man beispielsweise f¨ ur Wasser mit einer Anfangsunterk¨ uhlung Δϑu = 50 K, einer Massenstromdichte m ˙ = 1000 kg/m2 s und einer spezifischen W¨ armekapazit¨ at cpL = 4,186 kJ/kgK, das in einem 1 m langen Rohr von d = 25 mm Innendurchmesser siedet, unter der Annahme eines W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten α = 10 000 W/m2 K, dass die kritische W¨ armestromdichte q˙cr > 3,62 · 105 W/m2 sein muss. Erreicht man die kritische W¨ armestromdichte, so ist andererseits noch nicht alle Fl¨ ussigkeit verdampft. Man erh¨ alt daher als obere Grenze die kritische W¨ armestromdichte, die man ben¨ otigt, um alle Fl¨ ussigkeit zu verdampfen. Diese ergibt sich wieder aus einer Energiebilanz

578

Konvektiver W¨ armeund Stoff¨ ubergang mit Phasenumwandlungen ˙ (Δhv + h − h1 ) . ˙ (h − h1 ) = M qdπz ˙ =M

Setzt man hierin

˙ cpL Δϑu , M˙ (h − h1 ) = M

worin cpL die mittlere spezifische W¨ armekapazit¨ at zwischen der Temperatur ϑ1 im ˙ Eintrittsquerschnitt und der Siedetemperatur ϑs ist, so ergibt sich wegen q˙cr < q:

M˙ Δhv cpL Δϑu q˙cr < 1+ . (4.162) dπz Δhv Mit den Angaben des obigen Beispiels und einer Verdampfungsenthalpie von 2100 kJ/kg berechnet man q˙ < 1,4 · 107 W/m2 , so dass f¨ ur das Beispiel die kritische W¨ armestromdichte zwischen 3,62 · 105 und 7 2 1,4 · 10 W/m liegen muss. Angesichts der großen Zahl empirischer Methoden zur Berechnung der kritischen W¨ armestromdichte und der vielen Einflussgr¨ oßen, von denen sie abh¨ angt, empfiehlt sich stets zur Rechenkontrolle das Intervall abzusch¨ atzen, in dem die kritische W¨ armestromdichte liegen muss. Gebrauchsformeln zur Berechnung der kritischen W¨ armestromdichte findet man in der einschl¨ agigen Fachliteratur u.a. [4.50, S. 215].

4.2.9.8 Einige empirische Gleichungen zum W¨ arme¨ ubergang an zweiphasige Str¨ omungen Im Folgenden werden die bisherigen Gleichungen f¨ ur den Wärme¨ ubergang an zweiphasige Strömungen zusammenfassend dargestellt und um weitere Gleichungen ergänzt. 1. Unterk¨ uhltes Sieden Nach [4.102] setzt Blasenwachstum in einer unterk¨ uhlten Fl¨ ussigkeit ein, wenn die Wand um einen bestimmten kritischen Wert gegen¨ uber der Siedetemperatur u berhitzt ist: ¨

(ϑ0 − ϑs )cr = 2

2qσT ˙ s Δhv λL

1/2 .

F¨ ur Wasser folgt daraus die Zahlenwertgleichung [4.103] 5 (ϑ0 − ϑs )cr = 9

q˙ 1120 W/m2

p0,0234

0,436 0,535

p

g¨ ultig f¨ ur 1,03 bar ≤ p ≤ 138 bar, mit q˙ in W/m2 , p in bar und (ϑ0 − ϑs )cr in K. Beide Gleichungen setzen eine Mindestrauhigkeit der Heizfläche voraus. Der M¨ undungsradius der kleinsten zur Blasenbildung erforderlichen Poren soll 1/2

2σTs λL (r0 )cr = Δhv q˙


579

betragen. Die u armestromdichte im Bereich des unterk¨ uhlten ¨bertragene W¨ Siedens folgt aus q˙ = q˙B + q˙K = αB (ϑ0 − ϑs ) + αK (ϑ0 − ϑL ) . arme¨ ubergangskoeffizient beim Blasensieden nach Hierin sind αB der W¨ Abschnitt 4.2.7, αK der bei erzwungener einphasiger Strömung, Abschnitte 3.7.4 und 3.9, ϑL ist die adiabate Mischtemperatur der Fl¨ ussigkeit. 2. S¨ attigungssieden Das unterk¨ uhlte Sieden geht in S¨ attigungssieden u ¨ber, wenn der Ströubergang hängt mungsdampfgehalt nach (4.115) x∗th = 0 wird. Der Wärme¨ stark von der W¨ armestromdichte, aber nur schwach von der Massenstromdichte und vom Str¨ omungsdampfgehalt ab; es gilt α2Ph = αB + αK . arme¨ ubergangskoeffizient beim Blasensieden nach AbHierin ist αB der W¨ schnitt 4.2.7 und αK der bei erzwungener einphasiger Strömung, Abschnitt 3.7.4. 3. Str¨ omungssieden in senkrechten Rohren Der Wärme¨ ubergang h¨ angt stark von der Massenstromdichte und vom Strömungsdampfgehalt, aber nur schwach von der Wärmestromdichte ab. Es gilt f¨ ur lokale u ubergangskoeffizien¨ber den Umfang gemittelte Wärme¨ ten α2Ph : ⎧ ⎡ 0,35 ⎤−2,2 ⎪ ⎨ α2Ph ρ 0,01 ⎣ 1,5 ⎦ = (1 − x∗ ) (1 − x∗ ) + 1,9x∗0,6 ⎪ αL ρ ⎩ ⎡ +x∗0,01 ⎣

⎛ αG ⎝ 1 + 8(1 − x∗ )0,7 αL

⎫ 0,67 ⎞⎤−2 ⎪−0,5 ⎬ ρ ⎠⎦ ⎪ ρ ⎭

Hierin sind αG und αL die lokalen W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten bei einphasiger Strömung von Gas (Index G) und Fl¨ ussigkeit (Index L) entspre˙ ˙ chend 3.8.6 mit ReL = md/η L und ReG = md/η G . d ist der Innendurchmesser des Rohres oder bei Ringspalten der hydraulische Durchmesser. Alle Stoffwerte sind auf S¨ attigungszustand bezogen. Die Gleichung gilt f¨ ur 3, 5 ≤ ρ /ρ ≤ 5000, 10−3 ≤ p+ = p/pc r ≤ 0,8 und 3 ≤ d/mm ≤ 25,4. 4. Str¨ omungssieden in waagrechten Rohren Es gilt f¨ ur lokale u ubergangskoeffizien¨ber den Umfang gemittelte Wärme¨ ten α2Ph :

580


α2Ph αL

⎧ ⎡ 0,37 ⎤−2,2 ⎪ ⎨ ρ 0,01 ⎣ ⎦ = (1 − x∗ ) (1 − x∗ ) + 1,2x∗0,4 ⎪ ρ ⎩ ⎡ +x∗0,01 ⎣

⎛ αG ⎝ 1 + 8(1 − x∗ )0,7 αL

⎫ 0,67 ⎞⎤−2 ⎪−0,5 ⎬ ρ ⎠⎦ ⎪ ρ ⎭

Mit αG , αL , ReG , ReL und dem Bezugszustand f¨ ur Stoffwerte wie unter 3. Weiter ist 3, 5 ≤ ρ /ρ ≤ 5000, jedoch 5 · 10−3 ≤ p+ = p/pc r ≤ 0,8 und 6 ≤ d/mm ≤ 25.

4.2.10 W¨ armeu ¨ bergang beim Sieden von Gemischen In verfahrenstechnischen Prozessen hat man h¨ aufig Fl¨ ussigkeitsgemische aus zwei oder mehreren Komponenten einzudampfen, um diese voneinander zu trennen. Beispiele sind das Aufkonzentrieren von Lösungen, das Eindicken von Laugen, die R¨ uckgewinnung von L¨ osungsmitteln, die Destillation von Meerwasser zur Gewinnung von Trinkwasser oder die Stofftrennung durch Verdampfung bei der Destillation. W¨ armeund Stoffaustausch sind bei der Verdampfung von Mehrstoffgemischen eng miteinander gekoppelt, und die erzeugte Dampfmenge wird im Unterschied zur Verdampfung reiner Stoffe auch durch den Stoffaustausch bestimmt. Aus bisherigen Versuchen ist bekannt, dass Wärme¨ ubergangskoeffizienten beim Verdampfen von Gemischen erheblich kleiner sein k¨ onnen als die der reinen Komponenten des Gemischs. Andererseits hat man auch merkliche Verbesserungen des Wärme¨ ubergangs festgestellt, wenn eine der Komponenten des Gemischs stark oberflächenaktiv war. Dies f¨ uhrt zu einer Verringerung der Oberfl¨ achenspannung und damit, wie in Abschnitt 4.2.2 dargelegt wurde, zu einer gr¨ oßeren Blasendichte. Gleichzeitig nehmen die Blasenfrequenz und damit auch der Wärme¨ ubergang zu. Gemische organischer oder anorganischer Fl¨ ussigkeiten enthalten jedoch nur in bestimmten Fällen (Seifen, Zusatz von Netzmitteln) oberflächenaktive Komponenten, so dass man im Allgemeinen mit einer Abnahme des Wärme¨ ubergangskoeffizienten im Vergleich zu dem der reinen Komponenten rechnen muss. Um die grundsätzlichen Erscheinungen zu er¨ ortern, behandeln wir hier nur den Wärme¨ ubergang beim Sieden von Zweistoffgemischen in freier Strömung. Eine größere Zahl von Zweistoffgemischen aus organischen Fl¨ ussigkeiten und aus Wasser mit organischen Fl¨ ussigkeiten haben erstmals Bonilla und Perry [4.106] untersucht. In Abb. 4.59 sind als Beispiel die aus ihren Messungen am Gemisch Ethanol-Wasser ermittelten Wärme¨ ubergangskoeffizienten zusammen mit Ergebnissen von Preußer [4.107] eingezeichnet. Wärmestromdichte und Druck sind in dem Diagramm angegeben. Wie man erkennt, sind die Wärme¨ ubergangskoeffizienten α des Gemischs deutlich kleiner als uberdie Werte αid , die man erhielte, wenn man linear zwischen den Wärme¨ gangskoeffizienten der reinen Komponenten interpolierte. Man erkennt auch


581

Abb. 4.59: W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten an siedendes EthanolWasser. y˜ Molanteil des Ethanols im Dampf; x ˜ Molanteil des Ethanols in der Fl¨ ussigkeit

eine deutliche Abnahme des W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten in dem Bereich, in dem sich Dampf- und Fl¨ ussigkeitszusammensetzung y˜ − x ˜ stark unterscheiden, wie man aus dem Vergleich mit der oberen Kurve in Abb. 4.59 sieht. Eine solche Abnahme des W¨ arme¨ ubergangs im Bereich großer Unterschiede von Dampf- und Fl¨ ussigkeitszusammensetzung beobachtet man bei vielen Gemischen. Sie erkl¨ art sich dadurch, dass bei der Dampfblasenbildung die einzelnen Komponenten zu unterschiedlichen Anteilen aus der Fl¨ ussigkeit in den Dampf u uchtige Komponente im ¨bergehen. Je mehr sich die leichter fl¨ Dampf anreichert, umso mehr verarmt die Fl¨ ussigkeit in der Nachbarschaft der Dampfblase an dieser Komponente. Man hat dabei zwischen den Vorgängen in Wandnähe und denen im Kern der Fl¨ ussigkeit zu unterscheiden. An der Heizfläche werden die Dampfblasen an bevorzugten Stellen gebildet, welche die Keimbildung beg¨ unstigen. Die Blasen wachsen durch Wärmezufuhr an, bis die Auftriebskräfte groß genug sind, so dass die Blasen abreißen. Da der Abreißdurchmesser verh¨ altnism¨ aßig klein ist, dient nur ein Teil des zugef¨ uhrten W¨ armestroms zur Blasenbildung an der Wand. Ein anderer Teil des Wärmestroms wird zun¨ achst von der Heizfl¨ ache an die Fl¨ ussigkeit abgegeben und

582


dient an der Oberfl¨ ache von Blasen im Innern der Fl¨ ussigkeit zur weiteren Dampfbildung, so dass der aufsteigenden Blase Wärme zugef¨ uhrt und neuer Dampf erzeugt wird. Die Heizwand liefert also einmal die f¨ ur die Blasenverdampfung erforderlichen Blasenkeime, zum anderen gibt sie einen Wärmestrom an die Fl¨ ussigkeitsgrenzschicht ab, der durch Konvektion oder Leitung u ussigkeitss¨ aule an die aufsteigenden Blasen weiterbefördert wird. ¨ber die Fl¨ Dieser Vorgang ist f¨ ur Gemische nicht anders als f¨ ur reine Stoffe. Es ergeben sich jedoch grunds¨ atzliche Unterschiede hinsichtlich des Wärmetransports an die aufsteigende Blase, weil der W¨ armetransport dieser beiden Vorgänge auch durch den Stoffaustausch bestimmt wird. Wie stark sich die Gemischzusammensetzung auf den Wärme¨ ubergang auswirkt, zeigen die folgenden einer Arbeit von Stephan und Körner [4.108] entnommenen Bilder. In einem Gemisch, das in gewissen Bereichen größere Unterschiede zwischen Dampf- und Fl¨ ussigkeitszusammensetzung aufweist, wie das Siedediagramm Abb. 4.60 des Gemischs Aceton/n-Butanol uber((CH3 )2 CO/C4 H9 OH) zeigt, verringert sich in diesem Bereich der Wärme¨ gang in stärkerem Maße. Dies erkennt man aus Abb. 4.61, in welcher der Wärme¨ ubergangskoeffizient u ¨ber der Zusammensetzung aufgetragen ist. Dort, wo der Unterschied y˜ − x ˜ am gr¨ oßten ist, nimmt der Wärme¨ ubergangskoeffizient am meisten ab. Besonders auff¨ allig ist diese Erscheinung beim Sieden von Gemischen, die einen azeotropen Punkt aufweisen. Wir betrachten hierzu das Gemisch Methanol/Benzol (CH3 OH/C6 H6 ). Abb. 4.62 und Abb. 4.63. Das Gemisch zeigt eine starke Verminderung des W¨ arme¨ ubergangs im Bereich großer Unterschiede y˜ − x ˜. Zum azeotropen Punkt hin nimmt der Wärme¨ ubergang wieder zu. Damit bestätigt sich , dass in der Nachbarschaft eines azeotropen Punkts der Wärme¨ ubergangskoeffizient abnimmt, weil offenbar nicht das Vorzeichen der Differenz y˜ − x ˜, sondern nur deren Betrag entscheidend ist. Zur Wiedergabe von W¨ arme¨ ubergangsmessungen haben sich hauptsächlich zwei Methoden bew¨ ahrt. Die eine geht von empirischen Korrelationen f¨ ur reine Stoffe aus. Solche Korrelationen enthalten meistens dimensionslose Größen, die nun mit den Stoffeigenschaften des Zweistoffgemischs zu bilden sind. Die Abnahme des W¨ arme¨ ubergangs ber¨ ucksichtigt man durch einen Zusatzterm. Von dieser Art ist die von Preußer [4.107] angegebene Gleichung α = α0

2

2 ∂ y˜ y−x ˜) 1 + 22(˜ ∂x ˜

p

2 −0,0733 2 2 , 2

(4.163)

in welcher der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient α0 aus der f¨ ur reine Stoffe aufgestellten Gl. (4.96) zu berechnen ist. Dort sind jedoch die Stoffwerte des Gemischs einzusetzen. Der Gl. (4.163) liegen nur Messungen bei Umgebungsdruck zugrunde, so dass sie auch nur f¨ ur diesen g¨ ultig ist. Wie Preußer zeigte, ist ein beachtlicher Anteil der Verminderung des Wär¨ me¨ ubergangs gegen¨ uber dem der reinen Stoffe durch die Anderung der thermischen Stoffgrößen bedingt, w¨ ahrend der Zusatzterm in der eckigen Klammer


Abb. 4.60: Siedediagramm Aceton/nButanol. Durchgezogene Kurve: Molanteil x ˜ des Leichtersiedenden in der Fl¨ ussigkeit; gestrichelte Kurve: Molanteil y˜ des Leichtersiedenden im Dampf

583

Abb. 4.61: W¨ arme¨ ubergangskoeffizient α f¨ ur das Gemisch Aceton/n-Butanol. W¨ armestromdichte q˙ = 105 W/m2

einen vergleichsweise kleinen Beitrag leistet. Er liegt bei den meisten Kohlenwasserstoffgemischen und den Mischungen von Kohlenwasserstoffen mit Wasser zwischen 0,8 und ann¨ ahernd 1. Alle anderen im Folgenden beschriebenen Rechenmethoden und Modelle dienen letztlich dazu, die aufwändige Berechnung der Stoffwerte des Gemischs zu umgehen. Eine solche Korrelation, welche die schwierige und zeitaufwändige Berechnung der Stoffwerte des Gemischs vermeidet, haben Stephan und Körner ¨ [4.108] vorgeschlagen. Sie beruht darauf, dass zur Ubertragung einer bestimmten Wärmestromdichte an Gemische eine größere Wand¨ uberhitzung Δϑ = ϑ0 − ϑs als bei der Verdampfung der reinen Stoffe erforderlich ist. Die Sättigungstemperatur ϑs ist hierbei die Siedetemperatur des Gemischs ¨ bei der mittleren Zusammensetzung x ˜ der Fl¨ ussigkeit. Um diese Uberhitzung zu berechnen, wird eine ideale“ Wand¨ uberhitzung Δϑid definiert durch ” Δϑid := x ˜1 Δϑ1 + x ˜2 Δϑ2 , (4.164) worin die Temperaturdifferenzen Δϑ1 und Δϑ2 zwischen Wand- und Sättigungstemperatur sich aus den W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten α1 und α2 der reinen Stoffe 1 und 2 bei der W¨ armestromdichte q˙ des Gemischs ergeben gemäß

584


Abb. 4.62: Siedediagramm Methanol/ Benzol. Durchgezogene Kurve: Molanteil x ˜ des Leichtersiedenden in der Fl¨ ussigkeit; gestrichelte Kurve: Molanteil y˜ des Leichtersiedenden im Dampf

Δϑ1 = q/α ˙ 1

Abb. 4.63: W¨ arme¨ ubergangskoeffizient α f¨ ur das Gemisch Methanol/Benzol. W¨ armestromdichte q˙ = 105 W/m2

und Δϑ2 = q/α ˙ 2

und beispielsweise mit Hilfe von (4.96) berechnet werden können. Nach (4.164) addiert man also die treibenden Temperaturdifferenzen, die sich bei der Verdampfung der reinen Stoffe ergeben w¨ urden, entsprechend den Molanteilen der beiden Komponenten. Die tats¨ achliche treibende Temperaturdifferenz Δϑ ist von der idealen verschieden. Man setzt Δϑ = Δϑid + ΔϑE

oder

Δϑ = Δϑid (1 + θ)

(4.165)

mit θ = ΔϑE /Δϑid . Der Zusatzterm θ h¨ angt haupts¨ achlich von dem Unterschied zwischen Dampfund Fl¨ ussigkeitszusammensetzung ab und ist stets positiv wegen der Verminderung des Wärme¨ ubergangs im Gemisch. Versuche an vielen Gemischen ergaben den einfachen linearen Zusammenhang θ = K12 |˜ y−x ˜| ,

(4.166)

worin K12 eine von der Zusammensetzung in guter Näherung unabhängige, aren Wechselwirkungsparameter positive Zahl ist. Man kann K12 als einen bin¨


585

deuten, der f¨ ur ein gegebenes Gemisch und jeden Druck ermittelt werden muss. Im Druckbereich zwischen 1 und 10 bar ließ sich die Druckabhängigkeit von K12 näherungsweise wiedergeben durch die empirische Gleichung 0 (0,88 + 0,12 p/p0 ) K12 = K12

(4.167)

0 ist f¨ ur jedes Gemisch ein anderer, aber unmit p0 = 1 bar. Der Wert K12 abhängig vom Druck. Ein guter Mittelwert f¨ ur Zweistoffgemische aus organischen Fl¨ ussigkeiten und aus Wasser mit organischen Fl¨ ussigkeiten ist 0 K12 = 1,4.

586


4.3 Aufgaben 4.1: Ges¨ attigter Wasserdampf vom Druck 0,101325 MPa kondensiert an einem waagrechten Rohr von 25 mm Außendurchmesser und einer Wandtemperatur von 60 ℃. Man sch¨ atze ab, um welchen Faktor die anfallende Kondensatmenge abnimmt, wenn dem Wasserdampf 10 Gew.-% = 6,47 Mol % Luft bei gleichem Gesamtdruck von 0,101325 MPa beigemischt wird. Gegeben sind folgende Stoffwerte des Wassers bei der S¨ attigungstemperatur von 100 ℃: Dichte der Fl¨ ussigkeit L = 958,1 kg/m3 , Dichte des Dampfes G = 0,5974 kg/m3 , Verdampfungsenthalpie Δhv = 2257,3 kJ/kg, W¨ armeleitf¨ ahigkeit der Fl¨ ussigkeit λL = 0,677 W/K m, dynamische Viskosit¨ at der Fl¨ ussigkeit ηL = armekapazit¨ at des Wasserdampf-Luft-Gemischs 0,2822 · 10−3 kg/s m, spez. W¨ cpG = 1,93 kJ/kgK, Lewis-Zahl Le = 1. Weiter sei der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient zwischen Wasserdampf-Luft-Gemisch und Kondensatfilm αG = 30 W/m2 K. 4.2: Ein waagrecht liegender elektrisch leitender zylindrischer Metallstab von 5 mm Durchmesser, 0,5 m L¨ ange und einer Oberfl¨ achentemperatur von 300 ℃ befindet sich in einem siedenden Wasserbad von 100 ℃. Man berechne die Heizleistung des Stabes. Gegeben sind folgende Stoffwerte: Dichte des siedenden Wassers von 100 ℃: L = 958,1 kg/m3 , Verdampfungsenthalpie Δhv = 2256,5 kJ/kg, Dichte des Wasserdampfes bei mittlerer Temperatur des Dampffilms von200 ℃: G = 0,467 armekapazit¨ at cpG = 1,976 kJ/kgK, W¨ armeleitf¨ ahigkeit λG = kg/m3 , spez. W¨ 0,0333 W/K m, kinematische Viskosit¨ at νG = 0,347 · 10−4 m2 /s, Emissionsgrade ε0 = εL = 1. 4.3: In einer chemischen Fabrik soll innerhalb eines Prozesses in einem Dampferzeuger Wasserdampf von 0,25 MPa erzeugt werden. Als Dampferzeuger wird ein waagrecht liegender Rohrb¨ undelapparat eingesetzt, durch dessen Rohre 25 kg/s eines W¨ armetr¨ ager¨ ols str¨ omen, das sich von 200 ℃ auf 150 ℃ abk¨ uhlt. Das Wasser wird außen an den Rohren verdampft. Der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient armezwischen W¨ armetr¨ ager¨ ol und Rohrwand betr¨ agt αi =700 W/m2 K. Der W¨ widerstand der Rohrwand sei vernachl¨ assigbar. Das Wasser wird dem Dampferzeuger ann¨ ahernd bei Siedetemperatur zugef¨ uhrt. Wieviel Dampf kann st¨ undlich erzeugt werden? Wie groß ist die Fl¨ ache des Dampferzeugers? Folgende Werte sind gegeben: Spez. W¨ armekapazit¨ at des W¨ armetr¨ ager¨ ols cpWT =2,4 kJ/kgK, Siedetemperatur des Wassers bei 0,25 MPa: ϑs =127,4 ℃, Verdampfungsenthalpie Δhv =2181 kJ/kg. 4.4: Ein senkrechtes 3,5 m langes Verdampferrohr von 12 mm Innendurchmesser wird von unten nach oben von Wasser durchstr¨ omt. Das Wasser tritt mit einem Druck von 5,5 MPa unterk¨ uhlt mit der Temperatur ϑe = 210 ℃ in das Rohr ein. Es wird zun¨ achst auf S¨ attigungstemperatur erw¨ armt und anschließend teilweise verdampft. Das Rohr wird mit konstanter W¨ armestromdichte q˙ = 7,58·105 W/m2 beheizt. Man berechne: a) die Rohrl¨ ange, bis das Wasser im Mittel S¨ attigungstemperatur erreicht und b) den Dampfgehalt im Austrittsquerschnitt. Gegeben sind folgende Werte: S¨ attigungstemperatur ϑs (5,5 MPa) = 269,97 ℃ ≈ 270 ℃, Enthalpien: h1 (210 ℃; 5,5 MPa) = 890 kJ/kg, h (270 ℃) = 1185 kJ/kg,

4.3 Aufgaben

587

attigten Fl¨ ussigkeit Verdampfungsenthalpie Δhv = 1604 kJ/kg; Dichte der ges¨ (270 ℃) = 767,5 kg/m3 , Dichte des ges¨ attigten Dampfes (270 ℃) = 28,07 kg/m3 . Es darf mit konstanten Werten der Dichte gerechnet werden. Massenstromdichte des Wassers m ˙ = 103 kg/m2 s. 4.5: Man berechne den Reibungsdruckabfall in der Verdampferzone des Verdampferrohrs nach Aufgabe 4.4. aten sind ηL = Der Widerstandsbeiwert sei ζL = 0,038, die dynamischen Viskosit¨ 97,4 · 10−6 kg/sm und ηG = 18,38 · 10−6 kg/sm. Beide Phasen str¨ omen turbulent. S¨ attigungstemperatur ist im Mittel nach einer L¨ ange Δz = 1,17 m erreicht. 4.6: In ein senkrechtes Stahlrohr vom Innendurchmesser 20 mm str¨ omt Wasser orige S¨ attigungstemder Temperatur ϑ1 = 250 ℃ und vom Druck 6 MPa (zugeh¨ peratur ϑs = 275,58 ℃) ein. Die Massenstromdichte ist m ˙ = 1000 kg/m2 s. Die durch kondensierenden Heizdampf von der Außenseite zugef¨ uhrte W¨ armestromdichte ist ungef¨ ahr konstant und betr¨ agt q˙ = 8 · 105 W/m2 . a) Wie lang muss das Rohr sein, wenn der Str¨ omungsdampfgehalt im Austrittsassige dazu den Druckabfall. querschnitt x∗ = 0,25 sein soll? Man vernachl¨ b) Wie groß ist die Wandtemperatur im Austrittsquerschnitt, unter der Annahme eines Druckabfalls von 500 hPa? Folgende Stoffwerte sind gegeben: Dichte der Fl¨ ussigkeit L = 758 kg/m3 , Dich3 at der Fl¨ ussigkeit ηL = te des Dampfes G = 30,82 kg/m , dynamische Viskosit¨ 95,25 · 10−6 kg/s m, dynamische Viskosit¨ at des Dampfes ηG = 18,51 · 10−6 kg/sm, Prandtl-Zahl der Fl¨ ussigkeit P rL = 0,844, Prandtl-Zahl des Gases P rG = 1,53, W¨ armeleitf¨ ahigkeit der Fl¨ ussigkeit λL = 0,588 W/K m, W¨ armeleitf¨ ahigkeit des Gases λG = 0,059 W/K m, spez. Enthalpie im Eintrittsquerschnitt h1 = 1085,7 kJ/kg, der ges¨ attigten Fl¨ ussigkeit h (6 MPa) = 1213,9 kJ/kg des Sattdampfes h (6 MPa) = 2785 kJ/kg.

5 W¨ armestrahlung

Wärmestrahlung unterscheidet sich von der Wärmeleitung und vom konvektiven Wärme¨ ubergang durch andere Grundgesetze. So ist Wärme¨ ubertragung durch Strahlung nicht an Materie gebunden; elektromagnetische Wellen u ¨bertragen Energie auch durch den leeren Raum. Nicht Temperaturgradienten oder Temperaturdifferenzen sind maßgebend f¨ ur den u ¨bergehenden Wärmestrom, sondern Unterschiede der vierten Potenzen der thermodynamischen (absoluten) Temperaturen der K¨ orper, zwischen denen Wärme durch Strahlung u orper ausgestrahlte Energie ist au¨bertragen wird. Die von einem K¨ ßerdem unterschiedlich auf die einzelnen Bereiche des Spektrums der elektromagnetischen Wellen verteilt. Diese Wellenl¨ angenabhängigkeit der Strahlung muss ebenso ber¨ ucksichtigt werden wie ihre Verteilung auf die verschiedenen Richtungen des Raumes. Im ersten Abschnitt f¨ uhren wir die physikalischen Größen ein, die benötigt werden, um die Gesetze der W¨ armestrahlung zu formulieren, wobei die Richtungs- und Wellenl¨ angenabh¨ angigkeit der Strahlungsenergie zu erfassen ist. Der zweite Abschnitt ist dem idealen Strahler, dem Schwarzen Körper, gewidmet. Das Auffinden der f¨ ur seine Ausstrahlung g¨ ultigen Gesetze durch M. Planck (1900) stand am Ursprung der modernen Physik, nämlich der Quantentheorie. Im dritten Abschnitt gehen wir auf die Eigenschaften und Materialgesetze realer Strahler ein. Im Abschnitt 5.4 behandeln wir die Solarstrahlung und ihre Schw¨ achung beim Durchgang durch die Erdatmosphäre. Im nächsten Abschnitt wird die W¨ arme¨ ubertragung zwischen strahlenden K¨ orpern, der sogenannte Strahlungsaustausch, dargestellt. Der letzte Abschnitt f¨ uhrt in die Gasstrahlung ein. Sie spielt bei der Wärme¨ ubertragung in Feuerungen und Brennkammern eine wichtige Rolle.


590

5 W¨ armestrahlung

5.1 Grundlagen. Strahlungsphysikalische Gr¨ oßen Da f¨ ur Wärmestrahlung andere Gesetze gelten als f¨ ur Wärmeleitung und konvektiven Wärme¨ ubergang, f¨ uhren wir in den folgenden Abschnitten die Begriffe und physikalischen Gr¨ oßen ein, mit denen sich die Gesetze der Wärmestrahlung quantitativ formulieren lassen.

5.1.1 Temperaturstrahlung Alle folgenden Betrachtungen gelten nur f¨ ur Strahlung, die thermisch angeregt ist. Sie wird von jedem K¨ orper ausgesandt und hängt von seinen Materialeigenschaften und von seiner Temperatur ab. Man nennt sie Temperaturstrahlung, Wärmestrahlung oder thermische Strahlung. Zur theoretischen ¨ Beschreibung der Aussendung, Ubertragung und Absorption von Strahlungsenergie stehen zwei Ans¨ atze zur Verf¨ ugung: die klassische Theorie der elektromagnetischen Wellen und die Quantentheorie der Photonen. Diese Theorien schließen einander nicht aus, sondern erg¨ anzen sich dadurch, dass eine jede einzelne Aspekte der W¨ armestrahlung besonders gut zu beschreiben gestattet. Nach der Quantentheorie besteht Strahlung aus Photonen (= Lichtteilchen), die sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen und keine Ruhemasse haben. Sie u ¨bertragen Energie, wobei jedes Photon das Energiequantum ePh = h ν transportiert. Hierbei bedeutet h = (6,626 068 76 ± 0,000 000 52) · 10−34 J s die Planck-Konstante, auch Plancksches Wirkungsquantum genannt; ν ist die Frequenz des Photons. Die Quantentheorie wird benötigt, um die spektrale Verteilung der von einem K¨ orper ausgestrahlten Energie zu berechnen. Andere Aspekte der W¨ arme¨ ubertragung durch Strahlung lassen sich dagegen mit der klassischen Theorie erfassen, wonach Strahlung als Aussendung und Fortpflanzung elektromagnetischer Wellen beschrieben wird. Elektromagnetische Wellen sind transversale Wellen, die senkrecht zur Fortpflanzungsrichtung schwingen. Sie breiten sich geradlinig und im Vakuum mit der Lichtgeschwindigkeit c0 = 299 792 458 m/s aus. Ihre Geschwindigkeit ahrend ihre Frequenz ν unverändert c in einem Medium ist kleiner als c0 , w¨ bleibt; das Verh¨ altnis n := c0 /c > 1 ist die Brechzahl des Mediums. Die Wellenlänge λ ist mit der Frequenz ν durch λ·ν =c verkn¨ upft. Die von elektromagnetischen Wellen transportierte Energie hängt von λ ab, was auch bei der W¨ arme¨ ubertragung zu beachten ist. Abb. 5.1 zeigt das Spektrum elektromagnetischer Wellen. Thermische Strahlung bei kleinen Wellenl¨ angen (λ < 0,01 μm) ist sehr energiereich und

5.1 Grundlagen. Strahlungsphysikalische Gr¨ oßen

591

wird nur von Körpern mit sehr hohen Temperaturen ausgesendet, etwa von sehr heißen Sternen, die R¨ ontgenstrahlung aussenden. In der Technik ist dieser Wellenlängen-Bereich f¨ ur die W¨ arme¨ ubertragung ohne Bedeutung. Gleiches gilt f¨ ur den Bereich sehr großer Wellenlängen (λ > 103 μm), der von den Schwingungen elektronischer Schaltkreise (Radar, Fernseh- und RadioWellen) bestimmt wird. Als Temperatur- oder Wärmestrahlung wird der mittlere Bereich mit Wellenl¨ angen zwischen etwa 0,1 μm und 1000 μm bezeichnet. In diesem Bereich strahlen die K¨ orper, deren Temperaturen zwischen wenigen Kelvin und etwa 2 · 104 K liegen. Er umfasst auch das sichtbare Licht zwischen 0,38 μm (Violett) und 0,78 μm (Rot). Dass man die hier auftretende Strahlung als Licht bezeichnet, hat keinen physikalischen Grund, sondern beruht auf der Eigenart des menschlichen Auges, in diesem Wellenlängenbereich sehen“ zu können. Das Wellenl¨ angenintervall 0,01 μm ≤ λ ≤ 0,38 μm ist ” der Bereich der Ultraviolett-(UV-)Strahlung. Zwischen 0,78 μm und 1000 μm liegt die Infrarot-(IR-)Strahlung. Dies ist der Wellenlängenbereich, in dem die meisten irdischen K¨ orper strahlen.

Abb. 5.1: Spektrum der elektromagnetischen Wellen

Die Begrenzung der W¨ armestrahlung durch λ = 0,1 μm und λ = 1000 μm ist eine etwas willk¨ urliche Festlegung. Sehr heiße K¨ orper, z.B. Sterne, strahlen auch im Bereich λ < 0,1 μm. Sie geben jedoch nur dann mehr als einige Prozent ihrer abgestrahlten Energie in diesem Wellenl¨ angenbereich ab, wenn ihre Temperatur u ¨ber etwa 15000 K liegt. Temperaturstrahlung wird auch im Bereich λ > 1000 μm ausgesandt. Soll sie mehr als einige Prozent der Gesamtstrahlung ausmachen, muss der Strahler k¨ alter als etwa 12 K sein. Ein idealer Strahler, der sogenannte Schwarze K¨ orper, vgl. Abschnitt 5.2, mit der Temperatur siedenden Heliums (4,22 K) hat seine maximale Ausstrahlung bei λ = 686 μm, und im Wellenl¨ angenbereich λ > 1000 μm werden mehr als 30% der Gesamtstrahlung emittiert.

Temperaturstrahlung h¨ angt nicht nur von der Wellenlänge ab; bei zahlreichen Problemen, besonders beim Strahlungsaustausch zwischen verschiedenen K¨ orpern, ist auch ihre Verteilung auf die Richtungen im Raum zu beachten. Dies gilt f¨ ur die Emission von Strahlungsenergie in gleicher Weise wie f¨ ur Reflexion und Absorption von Strahlung, die auf einen Körper trifft. Diese doppelte Abhängigkeit — von der Wellenl¨ ange und den Richtungen im Raum

592

5 W¨ armestrahlung

— macht die quantitative Beschreibung der Wärmestrahlung recht kompliziert. Man benötigt hierzu vier Arten strahlungsphysikalischer Größen: –

Gerichtete spektrale Gr¨ oßen. Mit ihnen beschreibt man die Richtungsund Wellenlängenverteilung von Strahlungsenergie in detaillierter Weise. Sie sind zwar von grundlegender Bedeutung, aber experimentell und theoretisch schwierig zu bestimmen. Deswegen benutzt man häufig Strahlungsgrößen, die nur einen Effekt erfassen, entweder die Abhängigkeit von der Wellenlänge oder die Richtungsabh¨ angigkeit. Man verwendet – Hemisph¨ arische spektrale Gr¨ oßen, die die Strahlung aller Richtungen des Halbraums u achenelement zusammenfassen und nur von der ¨ber einem Fl¨ Wellenlänge abh¨ angen, oder – Gerichtete Gesamtgr¨ oßen. Sie fassen die Strahlungsenergie aller Wellenlängen zusammen und beschreiben nur die Abhängigkeit von den Richtungen des Halbraums. – Hemisph¨ arische Gesamtgr¨ oßen fassen die Strahlung aller Wellenlängen und Richtungen zusammen. Sie vermitteln damit keine Informationen u ¨ber die spektrale Verteilung und die Richtungsabhängigkeit der Strahlung; sie gen¨ ugen aber h¨ aufig zur L¨ osung von Problemen der Wärme¨ ubertragung durch Strahlung. Diese Vielfalt von strahlungsphysikalischen Größen mit ihren unterschiedlichen Bezeichnungen bereitet dem Anf¨ anger gewisse Schwierigkeiten, obwohl zwischen den vier Gruppen exakte Beziehungen bestehen. Diese ermöglichen es, aus den fundamentalen gerichteten spektralen Größen die drei anderen durch Integration u angen oder u ¨ber alle Raumwinkel des Halb¨ber alle Wellenl¨ raums oder schließlich u angigen Variablen zu berechnen. In ¨ber beide unabh¨ den folgenden Abschnitten werden diese vier Gruppen von Größen und ihre Verkn¨ upfungen f¨ ur die konkreten F¨ alle der Emission von Strahlung, der Bestrahlung einer Fl¨ ache sowie der Absorption und Reflexion der eingestrahlten Energie behandelt. Allen F¨ allen liegt der gleiche Gedankengang zugrunde; nur die Bezeichnungen und die Formelzeichen unterscheiden sich. Es gen¨ ugt daher, die Emission von Strahlung ausf¨ uhrlicher zu behandeln, während wir uns in den anderen F¨ allen auf die exakte Definition der Größen und auf die Bereitstellung der sie verkn¨ upfenden Gleichungen beschränken.

5.1.2 Ausstrahlung Beim Aussenden von W¨ armestrahlung verwandelt sich innere Energie des emittierenden K¨ orpers in die Energie elektromagnetischer Wellen oder — in der Sprache der Quantentheorie — in die Energie von Photonen, welche die Oberfläche des strahlenden K¨ orpers verlassen. Bei diesem Emissionsvorgang gehen Atome oder Molek¨ ule des K¨ orpers aus einem Zustand höherer Energie in einen Zustand mit niedriger Energie u ur die Wärme¨ ubertra¨ber. Um die f¨ gung wichtigen ph¨ anomenologischen Gesetze der Ausstrahlung zu formulieren, brauchen wir auf diese intramolekularen Vorg¨ ange jedoch nicht einzugehen.


593

Materie sendet Strahlung in allen ihren Aggregatzuständen aus. Bei Gasen oder strahlungsdurchl¨ assigen Festk¨ orpern (z.B. Glas) ist die von einem endlich großen Volumen ausgehende Strahlung die Zusammenfassung der örtlichen Emissionen innerhalb des betrachteten Volumens. Auf die Behandlung dieser volumetrischen Emission kommen wir in Abschnitt 5.6 zur¨ uck. In den meisten Festkörpern und Fl¨ ussigkeiten wird die Strahlung, welche die im Inneren gelegenen Molek¨ ule aussenden, von ihren Nachbarn stark absorbiert, so dass sie nicht an die Oberfl¨ ache des K¨ orpers gelangen kann. Daher stammt die Strahlung, die Festk¨ orper oder Fl¨ ussigkeiten aussenden, in der Regel nur von den Molek¨ ulen in einer d¨ unnen Schicht unmittelbar unter der Oberfläche. Da die Dicke dieser Schicht nur etwa 1 μm betr¨ agt, kann die Emission der Oberfläche zugeordnet werden, und man spricht von strahlenden Flächen statt von strahlenden Körpern. 5.1.2.1 Die spezifische Ausstrahlung Wir betrachten ein Element der Oberfl¨ ache eines strahlenden Körpers, das die Gr¨ oße dA hat. Der Energiestrom (W¨ armestrom) dΦ, der in den Halbraum u achenelement emittiert wird, heißt Strahlungsleistung oder ¨ber dem Oberfl¨ Strahlungsfluss, Abb. 5.2. Seine SI-Einheit ist das Watt. Der auf die Größe des Flächenelements bezogene Strahlungsfluss M := dΦ/ dA

(5.1)

heißt spezifische Ausstrahlung. Sie ist die durch Strahlung abgegebene Wärmestromdichte; die SI-Einheit von M ist ebenso wie die SI-Einheit von q˙ das W/m2 .

Abb. 5.2: Strahlungsfluss dΦ, der von einem Fl¨ achenelement emittiert wird

Die spezifische Ausstrahlung M geh¨ ort zur Gruppe der hemisphärischen Gesamtgrößen, denn sie fasst die in allen Wellenlängenbereichen und in alle Richtungen des Halbraums emittierte Strahlungsenergie zusammen. M ist eine Eigenschaft des Strahlers; sie ¨ andert sich vor allem mit seiner thermodynamischen Temperatur, M = M (T ), und h¨ angt von der Beschaffenheit seiner Oberfläche ab. 5.1.2.2 Die spektrale Strahldichte Wir untersuchen nun, wie sich der emittierte Strahlungsfluss dΦ auf das Spektrum der Wellenl¨ angen und auf die Richtungen des Halbraums verteilt. Hierzu

594

5 W¨ armestrahlung

f¨ uhrt man eine besondere Verteilungsfunktion ein, die spektrale Strahldichoße, mit der die Wellenlängen- und te Lλ . Sie ist die gerichtete spektrale Gr¨ Richtungsverteilung der ausgestrahlten Energie detailliert beschrieben wird.

Abb. 5.3: Sph¨ arische Koordinaten des Punkts P: Nullpunktsabstand r, Polarwinkel (Zenitwinkel) β, Azimutwinkel ϕ

Abb. 5.4: Strahlungsfluss d2 Φ in ein Raumwinkelelement dω in Richtung des Polarwinkels β und des Azimutwinkels ϕ

Eine bestimmte Richtung im Raum wird durch zwei Winkelkoordinaten β und ϕ festgelegt, Abb. 5.3. Dabei ist β der von der Flächennormale (β = 0) aus gemessene Zenitwinkel oder Polarwinkel und ϕ der Azimutwinkel mit willk¨ urlich angenommener Lage von ϕ = 0. Die Größe des Strahlungsflusses, allt, die im Abstand r vom Flächenelement der auf eine kleine Fl¨ ache dAn f¨ dA senkrecht zur Strahlrichtung liegt, Abb. 5.4, ist dem Raumwinkelelement dω = dAn /r 2

(5.2)

proportional. Die kleine Fl¨ ache dAn in Abb. 5.4 und damit das Raumwinkelelement dω entstehen dadurch, dass sich der Polarwinkel β um dβ und der Azimutwinkel ϕ um dϕ ¨ andern. Damit wird dAn = r dβ · r sin β dϕ = r2 sin β dβ dϕ, und wir erhalten f¨ ur das Raumwinkelelement dω = sin β dβ dϕ .

(5.3)

Der r¨ aumliche Winkel, kurz Raumwinkel, kennzeichnet den Inhalt eines kegelf¨ ormigen Raumausschnitts, wobei die Kegelspitze mit dem Scheitel des Raumwinkels zusammenf¨ allt. Legt man um den Scheitel eine Kugel mit einem beliebigen Radius R, so schneidet der Kegelmantel ein Fl¨ achenst¨ uck der Gr¨ oße AK aus der Kugeloberfl¨ ache aus. Die Gr¨ oße des Raumwinkels ist durch ω := AK /R2 definiert, vgl. z.B. DIN 1315 [5.1]. Die Raumwinkeleinheit ist m2 /m2 und wird Steradiant (Einheitenzeichen sr) genannt. Sie darf auch durch die Zahl 1 ersetzt werden.


595

Mit d3 Φ wird nun der Strahlungsfluss bezeichnet, den das Flächenelement dA in ein Raumwinkelelement dω aussendet, das in der durch β und ϕ gekennzeichneten Richtung liegt; außerdem enth¨ alt d3 Φ nur den Teil dieses Strahlungsflusses, der in einem infinitesimalen Wellenlängenintervall dλ bei einer bestimmten Wellenl¨ ange λ emittiert wird. Diese Begrenzung des Strahlungsflusses auf ein Raumwinkelelement und ein Wellenlängenintervall dient dazu, die Richtungsabh¨ angigkeit und die Wellenl¨ angenabhängigkeit der ausgestrahlten Energie zu erfassen. F¨ ur d3 Φ macht man den Ansatz d3 Φ = Lλ (λ, β, ϕ, T ) cos β dA dω dλ .

(5.4)

Dies ist die Definitionsgleichung f¨ ur die grundlegende Materialfunktion Lλ , die spektrale Strahldichte; sie beschreibt die Richtungs- und Wellenlängenabhängigkeit der ausgestrahlten Energie eines K¨ orpers und hat den Charakter einer Verteilungsfunktion. Die (thermodynamische) Temperatur T im Argument von Lλ weist darauf hin, dass die spektrale Strahldichte von der Temperatur des strahlenden K¨ orpers und von seinen Materialeigenschaften, insbesondere von seiner Oberfl¨ achenbeschaffenheit abh¨ angt. Das Adjektiv spektral und der Index λ zeigen an, dass die spektrale Strahldichte von der Wellenlänge λ abhängt und eine auf ein Wellenl¨ angenintervall bezogene Größe ist. Die SIEinheit von Lλ ist W/(m2 μm sr). Die Einheiten μm und sr weisen auf den Bezug auf dλ und dω hin.

Abb. 5.5: Projektion dAp des Fl¨ achenelements dA senkrecht zur Strahlrichtung

Der in (5.4) auftretende Faktor cos β ist eine Besonderheit der Definition von Lλ : die spektrale Strahldichte ist nicht wie M (T ) auf die Größe dA des Flächenelements, sondern auf seine Projektion dAp = cos β dA senkrecht zur Strahlrichtung bezogen, Abb. 5.5. Damit wird dem Umstand Rechnung getragen, dass die Ausstrahlung f¨ ur β = π/2 null wird und in der Regel am größten in Richtung der Fl¨ achennormale β = 0 ist. Eine von allen Richtungen gleich hell“ erscheinende Fl¨ ache ist dann durch die einfache Bedingung ” gekennzeichnet, dass Lλ nicht von β und ϕ abhängt. Eine solche Fläche mit Lλ = Lλ (λ, T ) wird als diffus strahlende Fl¨ ache bezeichnet, vgl. 5.1.2.4. 5.1.2.3 Die spektrale spezifische Ausstrahlung und die Strahldichte Die spektrale Strahldichte Lλ (λ, β, ϕ, T ) kennzeichnet die Abhängigkeit der ausgestrahlten Energie von der Wellenl¨ ange und von der Richtung in detaillier-

596

5 W¨ armestrahlung

ter Weise. Eine wichtige Aufgabe der theoretischen und experimentellen Untersuchungen der Temperaturstrahlung besteht darin, diese Verteilungsfunktion f¨ ur möglichst viele Materialien zu ermitteln. Diese Aufgabe ist schwierig zu lösen, und man begn¨ ugt sich oft mit der Bestimmung von Strahlungsgrößen, die entweder die Ausstrahlung in alle Richtungen des Halbraums zusammenfassen oder die Strahlung aller Wellenl¨ angen. Diese Größen, die spektrale spezifische Ausstrahlung Mλ und die Strahldichte L charakterisieren die Verteilung des Strahlungsflusses auf die Wellenl¨ angen bzw. auf die Richtungen im Halbraum. Man erhält die spektrale spezifische Ausstrahlung Mλ (λ, T ) durch Integration von (5.4) u ¨ber alle Raumwinkel des Halbraums. Dies ergibt d2 Φ = Mλ (λ, T ) dλ dA

(5.5)

mit Mλ (λ, T ) =

Lλ (λ, β, ϕ, T ) cos β dω .

(5.6)

Dabei ist d2 Φ der Strahlungsfluss, den das Flächenelement dA im Wellenlängenintervall dλ in den gesamten Halbraum aussendet. Das Zeichen in (5.6) bedeutet, dass die Integration u ¨ber alle Raumwinkel des Halbraums auszuf¨ uhren ist. Die spektrale spezifische Ausstrahlung Mλ (λ, T ) mit der SIEinheit W/m2 μm geh¨ ort zu den hemisph¨ arischen spektralen Größen; sie kennzeichnet die Wellenl¨ angen-Verteilung der spezifischen Ausstrahlung, Abb. 5.6. Die Fläche unter der Isotherme von Mλ (λ, T ) in Abb. 5.6 entspricht der spezifischen Ausstrahlung; denn die Integration von (5.5) u ¨ber alle Wellenlängen f¨ uhrt zu ∞ (5.7) dΦ = Mλ (λ, T ) dλ dA , 0

woraus wegen (5.1)

∞ Mλ (λ, T ) dλ

M (T ) =

(5.8)

0

folgt. Die in (5.6) auszuf¨ uhrende Integration u ¨ber alle Raumwinkel des Halbraums entspricht einer zweifachen Integration u ¨ber die Winkelkoordinaten β und ϕ. Mit dω nach (5.3) erh¨ alt man 2π π/2 Mλ (λ, T ) =

Lλ (λ, β, ϕ, T ) cos β sin β dβ dϕ .

(5.9)

ϕ=0 β=0

Meistens hängt die spektrale Strahldichte Lλ nicht vom Azimutwinkel ϕ und nur vom Polarwinkel β ab. Dann folgt aus (5.9) die einfachere Beziehung


597

Abb. 5.6: Spektrale spezifische Ausstrahlung Mλ (λ, T ) als Funktion der Wellenl¨ ange λ bei konstanter Temperatur T (schematisch). Die schraffierte Fl¨ ache unter der Kurve stellt die spezifische Ausstrahlung M (T ) dar

π/2 Mλ (λ, T ) = 2π Lλ (λ, β, T ) cos β sin β dβ .

(5.10)

0

Die Richtungsverteilung der u ¨ber alle Wellenlängen integrierten Ausstrahlung wird durch die Strahldichte L(β, ϕ, T ) beschrieben. Man erhält sie bei der Integration von (5.4) u ¨ber λ. Dies ergibt d2 Φ = L(β, ϕ, T ) cos β dω dA

(5.11)

mit der Strahldichte ∞ Lλ (λ, β, ϕ, T ) dλ .

L(β, ϕ, T ) =

(5.12)

0

Hierbei bedeutet d2 Φ den Strahlungsfluss, den das Flächenelement insgesamt in das Raumwinkelelement dω in Richtung der Winkel β und ϕ aussendet. Die Strahldichte L hat die Einheit W/m2 sr; sie gehört zu den gerichteten Gesamtgrößen und kennzeichnet den Teil der spezifischen Ausstrahlung, der in ein bestimmtes Raumwinkelelement f¨ allt. Integriert man (5.11) u ber alle Raumwinkel des Halbraums, so erhält man ¨ den Strahlungsfluss dΦ, den das Fl¨ achenelement in den ganzen Halbraum emittiert: dΦ = L(β, ϕ, T ) cos β dω dA . (5.13) Vergleich mit (5.1) zeigt, dass sich die spezifische Ausstrahlung M (T ) nach M (T ) =

L(β, ϕ, T ) cos β dω

(5.14)

598

5 W¨ armestrahlung

aus der Strahldichte L(β, ϕ, T ) berechnen l¨ asst. Zur Kennzeichnung der Ausstrahlung einer Fläche haben wir insgesamt vier Strahlungsgr¨ oßen kennen gelernt: 1. Die spektrale Strahldichte Lλ (λ, β, ϕ, T ) beschreibt die Verteilung des ausgesandten Strahlungsflusses auf das Spektrum der Wellenlängen und die Raumwinkel des Halbraums (gerichtete spektrale Größe). 2. Die spektrale spezifische Ausstrahlung Mλ (λ, T ) erfasst die Wellenlängenabhängigkeit der in den ganzen Halbraum ausgestrahlten Energie (hemisphärische spektrale Gr¨ oße). 3. Die Strahldichte L(β, ϕ, T ) beschreibt die Richtungsabhängigkeit (Verteilung auf die Raumwinkel des Halbraums) der bei allen Wellenlängen ausgestrahlten Energie (gerichtete Gesamtgröße). 4. Die spezifische Ausstrahlung M (T ) fasst den bei allen Wellenlängen und in den ganzen Halbraum ausgesandten Strahlungsfluss zusammen (hemisphärische Gesamtgr¨ oße). Die Zusammenh¨ ange zwischen den vier Gr¨ oßen sind in Abb. 5.7 schematisch dargestellt und veranschaulicht. Die spektrale Strahldichte Lλ (λ, β, ϕ, T ) Lλ (λ, β, ϕ, T ) Spektrale Strahldichte

Mλ (λ, T ) =

∞ Lλ (λ, β, ϕ, T ) cos β dω

L(β, ϕ, T ) =

Strahldichte

Spektrale spezifische Ausstrahlung

∞ M (T ) =

Lλ (λ, β, ϕ, T ) dλ 0

Mλ (λ, T ) dλ

0

Spezifische Ausstrahlung

M (T ) =

L(β, ϕ, T ) cos β dω

Spezifische Ausstrahlung

Abb. 5.7: Zusammenh¨ ange zwischen den vier Strahlungsgr¨ oßen der Ausstrahlung. Jeder Pfeil entspricht einer Integration

enthält alle Informationen, um die drei anderen Strahlungsgrößen zu bestimmen. Jeder Pfeil in Abb. 5.7 entspricht einer Integration; links zuerst u ¨ber die Raumwinkel des Halbraums und dann u ¨ber alle Wellenlängen, rechts zu-


599

erst u angen und dann u ¨ber alle Wellenl¨ ¨ber die Raumwinkel. Das Ergebnis der zweifachen Integration ist jedesmal die spezifische Ausstrahlung M (T ). Beispiel 5.1: Die spektrale Strahldichte Lλ der von einem K¨ orper ausgesandten Strahlung h¨ ange nicht vom Azimutwinkel ϕ ab und kann durch die Funktion Lλ (λ, β, T ) = Lλ,0 (λ, T ) cos β

(5.15)

ur eine bestimmte Temperatur den in angen¨ ahert werden, wobei Lλ,0 (λ, T ) f¨ Abb. 5.8 gezeigten Verlauf hat. Man berechne die Strahldichte L(β, T ), die spektrale spezifische Ausstrahlung Mλ (λ, T ) und die spezifische Ausstrahlung M (T ). F¨ ur die Strahldichte erh¨ alt man aus (5.12) und (5.15) durch Integration u ¨ber alle Wellenl¨ angen 7∞ Lλ (λ, β, T ) dλ = cos β Lλ,0 (λ, T ) dλ 0 0 1 (8,0 − 4,0) μm = cos β Lmax λ,0 (4,0 − 3,0) μm + 2 max = cos β Lmax 3,0 μm = L · cos β = 1650 W/m2 sr cos β , λ,0

L(β, T ) =

7∞

vgl. Abb. 5.8. F¨ ur die spektrale spezifische Ausstrahlung folgt aus (5.10) π/2 π/2 Lλ (λ, β, T ) cos β sin β dβ = 2πLλ,0 (λ, T ) cos2 β sin β dβ . Mλ (λ, T ) = 2π 0

0

Das hier auftretende Integral hat wegen

β cos2 β sin β dβ = −

cos3 β 3

0

β = 0

1 1 − cos3 β 3

(5.16)

den Wert 1/3. Damit wird

Abb. 5.8: Abh¨ angigkeit der spektralen Strahldichte Lλ,0 (λ, T ) in Richtung der Fl¨ achennormale (β = 0) von der Wellenl¨ ange λ f¨ ur eine konstante Temperatur

Abb. 5.9: Strahlung eines Fl¨ achenelements durch eine kreisf¨ or¨ mige Offnung in einer Scheibe (s = 50 mm, d = 25 mm)

600

5 W¨ armestrahlung Mλ (λ, T ) =

2π Lλ,0 (λ, T ) = 2,094 sr Lλ,0 (λ, T ) . 3

Die spektrale spezifische Ausstrahlung stimmt bis auf den Faktor 2,094 sr mit der Funktion Lλ,0 (λ, T ) von Abb. 5.8 u ¨berein. Die spezifische Ausstrahlung M (T ) berechnen wir nach (5.14) durch Integration der Strahldichte L(β, T ) u ¨ber die Raumwinkel des Halbraums. Dies ergibt 2π 7 π/2 7

M (T ) =

L(β, T ) cos β sin β dβ dϕ = 2πLmax

π/2 7

ϕ=0 β=0

cos2 β sin β dβ

0

= (2π/3)Lmax = 2,094 sr · 1650 W/m2 sr = 3456 W/m2 . Die von einem kleinen Fl¨ achenelement dA des hier behandelten K¨ orpers ausge¨ hende Strahlung wird von einer großen Scheibe mit einer kreisf¨ ormigen Offnung abgefangen, vgl. Abb. 5.9. Welcher Teil des von dA ausgehenden Strahlungsflus¨ ses gelangt durch die Offnung? Wir bezeichnen den Strahlungsfluss, der vom Fl¨ achenelement dA in Abb. 5.9 ausgeht und durch das dar¨ uberliegende kreisf¨ ormige Loch f¨ allt, mit dΦ . Hierf¨ ur gilt

2π β

∗

dΦ =

β L(β, T ) cos β sin β dβ dϕ dA = 2πL

max

ϕ=0 β=0

∗

cos2 β sin β dβ dA 0

und mit (5.16)

2π max 1 − cos3 β ∗ dA . L 3 Der gesamte von dA ausgehende Strahlungsfluss ist dΦ = M (T ) dA. F¨ ur das gesuchte Verh¨ altnis dΦ / dΦ erhalten wir dΦ =

dΦ / dΦ = 1 − cos3 β ∗ . Nach Abb. 5.9 gilt f¨ ur den Winkel β ∗ cos β ∗ =

s s2 + (d/2)2

=

50 502 + 12,52

= 0,9701 .

Somit wird dΦ / dΦ = 0,0869; nur ein kleiner Teil der Strahlung gelangt durch ¨ die Offnung, obwohl diese senkrecht u achenelement liegt. ¨ber dem strahlenden Fl¨

5.1.2.4 Diffuse Strahler. Lambertsches Cosinusgesetz Es gibt keinen Strahler, dessen spektrale Strahldichte Lλ von der Wellenlänge unabhängig ist. Dagegen trifft die Annahme, Lλ hinge von β und ϕ nicht ab, in vielen Fällen als brauchbare N¨ aherung zu. Körper, deren spektrale Strahldichte richtungsunabh¨ angig ist, Lλ = Lλ (λ, T ), bezeichnet man als diffuse Strahler oder als K¨ orper mit diffus strahlender Oberfläche. Nach (5.9) folgt f¨ ur ihre spektrale spezifische Ausstrahlung


601

Abb. 5.10: Strahldichte L = In (T ) und Strahlst¨ arke I = In (T ) cos β einer diffus strahlenden Fl¨ ache

2π π/2 Mλ (λ, T ) = Lλ (λ, T )

cos β sin β dβ dϕ .

(5.17)

ϕ=0 β=0

Das hier auftretende Doppelintegral hat den Wert π, so dass sich f¨ ur diffus strahlende Flächen (5.18) Mλ (λ, T ) = π Lλ (λ, T ) als einfacher Zusammenhang zwischen spektraler spezifischer Ausstrahlung und spektraler Strahldichte ergibt. Da auch die Strahldichte L nicht von β und ϕ abhängt, erhält man aus (5.11) (5.19) d2 Φ = L(T ) cos β dω dA f¨ ur die Strahlungsleistung eines diffus strahlenden Flächenelements in das Raumwinkelelement dω. Die auf die Fl¨ ache dA und den Raumwinkel dω bezogene Strahlungsleistung wird als Strahlst¨ arke I :=

d2 Φ dA dω

(5.20)

bezeichnet. F¨ ur eine diffus strahlende Fl¨ ache folgt aus (5.19) I(β, T ) = L(T ) cos β = In (T ) cos β ,

(5.21)

arke in Richtung der Flächennormale (β = 0) bewobei In (T ) die Strahlst¨ deutet, Abb. 5.10. Diese Beziehung wird als Lambertsches Cosinusgesetz 1 bezeichnet [5.2]; diffuse Strahler werden auch Lambert-Strahler genannt. Die 1

Johann Heinrich Lambert (1728–1777), Mathematiker, Physiker und Philosoph, war von 1748–59 Hauslehrer beim Grafen P. v. Salis in Chur, wo er sein ber¨ uhmtes Werk u ¨ber Photometrie [5.2] verfasste. 1759 wurde er Mitglied der Bayerischen Akademie der Wissenschaften und 1765 auf Vorschlag von L. Euler auch Mitglied der Berliner Akademie. Lambert verfasste mehrere philosophische Werke und behandelte in zahlreichen Ver¨ offentlichungen Themen aus allen Gebieten der Physik und der Astronomie. Er gab als Grenze f¨ ur die Ausdehnung von Gasen den absoluten Nullpunkt an und konstruierte mehrere Luftthermometer. 1761 bewies er, dass π und e keine rationalen Zahlen sind. Seine Arbeiten zur Trigonometrie waren bedeutsam f¨ ur die Theorie der Landkartenkonstruktion.

602

5 W¨ armestrahlung

spezifische Ausstrahlung eines Lambert-Strahlers ergibt sich aus (5.14) zu M (T ) = L(T )

cos β dω = π L(T )

(5.22)

in Analogie zu (5.18) f¨ ur die entsprechenden spektralen Größen.

5.1.3 Bestrahlung Trifft Strahlung mit dem Strahlungsfluss dΦb auf ein Element der Oberfläche eines Körpers, Abb. 5.11, so bezeichnet man den Quotienten E := dΦb / dA

(5.23)

als Bestrahlungsst¨ arke des Fl¨ achenelements der Größe dA. Die Bestrahlungsstärke E erfasst die gesamte durch Strahlung zugef¨ uhrte Wärmestromdichte als Integralwert u angen und alle Raumwinkel des Halb¨ber alle Wellenl¨ raums. Sie gehört zu den hemisph¨ arischen Gesamtgrößen; ihre SI-Einheit ist W/m2 .

Abb. 5.11: Strahlungsfluss dΦb der auf ein Fl¨ achenelement auftreffenden Strahlung

Zur Beschreibung der Richtungs- und Wellenlängenverteilung des einfallenden Strahlungsflusses benutzt man Strahlungsgrößen, die analog zu den Gr¨ oßen f¨ ur die Ausstrahlung definiert sind. F¨ ur den Strahlungsfluss d3 Φb , der aus einem Raumwinkelelement dω in Richtung der Winkel β und ϕ auf das Flächenelement dA trifft und nur die Strahlung in einem Wellenlängenintervall dλ enthält, macht man den zu (5.4) analogen Ansatz d3 Φb = Kλ (λ, β, ϕ) cos β dA dω dλ .

(5.24)

Hierdurch wird die Verteilungsfunktion Kλ (λ, β, ϕ), die spektrale Bestrahlungsdichte, definiert. Sie beschreibt die Verteilung des einfallenden Strahlungsflusses auf die Wellenl¨ angen und die Richtungen des Halbraums u ¨ber dem bestrahlten Flächenelement. Wie die entsprechende Größe Lλ der Ausstrahlung ist Kλ auf die Projektion dAp = cos β dA des bestrahlten Flächenelements senkrecht zur Richtung der einfallenden Strahlung bezogen, Abb. 5.12. Die SI-Einheit von Kλ ist W/(m2 μm sr); auch hieraus ist der Bezug auf das Wellenlängenintervall dλ und das Raumwinkelelement dω ersichtlich.


603

Abb. 5.12: Projektion dAp des Fl¨ achenelements dA senkrecht zur Richtung der unter dem Polarwinkel β einfallenden Strahlung

Im Gegensatz zu Lλ ist Kλ keine Materialeigenschaft des bestrahlten Körpers, sondern eine f¨ ur die auftreffende Strahlungsenergie charakteristische Funktion von λ, β und ϕ: Sie ist die spektrale Strahldichte der auftreffenden Strahlung. Die spektrale Strahldichte bleibt nämlich auf dem Weg der Strahlung von der Strahlungsquelle zum Empfänger konstant, sofern das dazwischen liegende Medium Strahlung weder absorbiert noch streut und auch selbst keine Strahlung aussendet2 . Trifft dies zu und kommt die Strahlung aus eine Quelle mit der Temperatur T ∗ , so gilt Kλ (λ, β, ϕ) = Lλ (λ, β ∗ , ϕ∗ , T ∗ ) .

(5.25)

Dabei ist Lλ (λ, β ∗ , ϕ∗ , T ∗ ) die spektrale Strahldichte eines Flächenelements dA∗ der Strahlungsquelle, das den von dA ausgehenden Raumwinkel dω in Richtung (β, ϕ) aufspannt, Abb. 5.13. Die Winkel β ∗ und ϕ∗ kennzeichnen die

Abb. 5.13: Bestrahlte Fl¨ ache mit Fl¨ achenelement dA, das Strahlung vom Fl¨ achenelement dA∗ einer Strahlungsquelle mit der Temperatur T ∗ erh¨ alt

Richtung, unter der das bestrahlte Fl¨ achenelement dA von der Strahlungsquelle aus erscheint. Die spektrale Bestahlungdichte Kλ von dA hängt damit indirekt von der Temperatur T ∗ und den anderen Eigenschaften der Strahlungsquelle ab. Die Richtungs- und Wellenl¨ angenverteilung der auf das bestrahlte Flächenelement dA auftreffenden Strahlungsenergie wird jedoch vollständig durch die Funktion Kλ (λ, β, ϕ) beschrieben, ohne dass es dazu der Kenntnis der Eigenschaften der Strahlungsquelle bedarf. Die Angabe ihrer Temperatur T ∗ in Kλ ist daher nicht erforderlich. Bei bekannten Eigenschaften der Strahlungsquelle l¨ asst sich zwar Kλ (λ, β, ϕ) aus der spektralen Strahldichte 2

Den Beweis f¨ ur die Konstanz der spektralen Strahldichte beim Weg durch ein die Strahlung nicht beeinflussendes Medium findet man z.B. bei R. Siegel u. J.R. Howell [5.37], S. 518–520.

604

5 W¨ armestrahlung

der Strahlungsquelle berechnen, aber in vielen Fällen ist dies sehr schwierig oder nicht möglich, etwa dann nicht, wenn die auf dA treffende Strahlung aus mehreren Quellen stammt oder wenn die Strahlungsquelle unbekannt ist. Die spektrale Bestrahlungsdichte Kλ (λ, β, ϕ) muss dann vor Ort“, d.h. am ” Flächenelement dA, gemessen werden. Durch Integration von (5.24) u ¨ber alle Raumwinkel des Halbraums fasst man f¨ ur das Wellenl¨ angenintervall dλ die Strahlungsfl¨ usse zusammen, die aus allen Richtungen kommen, und erh¨ alt d2 Φb = Eλ (λ) dλ dA mit der spektralen Bestrahlungsst¨ arke Eλ (λ) = Kλ (λ, β, ϕ) cos β dω .

(5.26)

(5.27)

Sie gehört zu den hemisph¨ arischen spektralen Größen. Eine Integration von (5.26) u angen f¨ uhrt zu ¨ber alle Wellenl¨ dΦb = E dA ,

(5.28)

also zur schon durch (5.23) eingef¨ uhrten Bestrahlungsstärke ∞ E=

Eλ (λ) dλ .

(5.29)

0

Die spektrale Bestrahlungsst¨ arke Eλ beschreibt die Verteilung der eingestrahlten Energie auf das Spektrum, wobei die Strahlung aus allen Richtungen des Halbraums zusammengefasst ist. Will man dagegen die Richtungsverteilung der einfallenden Strahlung beschreiben, ohne ihre Wellenlängenabhängigkeit zu ber¨ ucksichtigen, so integriert man (5.24) u ur ¨ber alle λ. Man erhält f¨ den Strahlungsfluss, der aus einem bestimmten Raumwinkelelement dω auf das Flächenelement dA f¨ allt, d2 Φb = K(β, ϕ) cos β dω dA

(5.30)

mit der Bestrahlungsdichte ∞ K(β, ϕ) =

Kλ (λ, β, ϕ) dλ .

(5.31)

0

Durch Integration der Bestrahlungsdichte u ¨ber alle Raumwinkel erhält man schließlich die Bestrahlungsst¨ arke (5.32) E = K(β, ϕ) cos β dω .


605

Wie bei der Ausstrahlung, vgl. 5.1.2, werden zur quantitativen Charakterisierung des auf eine Fl¨ ache auftreffenden Strahlungsflusses vier Strahlungsgrößen verwendet: Die spektrale Bestrahlungsdichte Kλ (λ, β, ϕ) beschreibt die Verteilung des auftreffenden Strahlungsflusses auf die Raumwinkel des Halbraums und das Spektrum (gerichtete spektrale Gr¨ oße). – Die spektrale Bestrahlungsst¨ arke Eλ (λ) beschreibt die Wellenlängenverteilung des aus dem ganzen Halbraum eingestrahlten Strahlungsflusses (hemisphärische spektrale Gr¨ oße). – Die Bestrahlungsdichte K(β, ϕ) beschreibt die Richtungsverteilung des auftreffenden Strahlungsflusses (gerichtete Gesamtgröße). – Die Bestrahlungsst¨ arke E fasst die auftreffende Stahlungsleistung aller Richtungen und Wellenl¨ angen zusammen (hemisphärische Gesamtgröße). –

Abb. 5.14 zeigt die Zusammenh¨ ange zwischen den vier Größen. Sie ist analog zu Abb. 5.7 aufgebaut, welche die vier Gr¨ oßen der Ausstrahlung enthält. Kλ (λ, β, ϕ) Spektrale Bestrahlungsdichte

∞

Eλ (λ) =

Kλ (λ, β, ϕ) cos β dω

K(β, ϕ) =

Spektrale Bestrahlungsst¨ arke

Bestrahlungsdichte

∞ E=

Kλ (λ, β, ϕ) dλ 0

Eλ (λ) dλ

0

Bestrahlungsst¨ arke

E=

K(β, ϕ) cos β dω

Bestrahlungsst¨ arke

Abb. 5.14: Zusammenh¨ ange zwischen den vier Strahlungsgr¨ oßen der Bestrahlung

5.1.4 Absorption von Strahlung Die auf einen Körper fallende Strahlung kann an seiner Oberfläche teilweise reflektiert (zur¨ uckgeworfen) werden, w¨ ahrend der nicht reflektierte Teil in den K¨ orper eindringt. Hier wird die eingestrahlte Energie absorbiert und in innere Energie umgewandelt oder zum Teil durchgelassen. F¨ ur die Wärme¨ ubertragung ist der absorbierte Teil von besonderer Bedeutung; er wird durch die

606

5 W¨ armestrahlung

vier im Folgenden beschriebenen Absorptionsgrade erfasst, die zu den in 5.1.1 genannten vier Gruppen strahlungsphysikalischer Größen gehören. Wir betrachten wie in 5.1.3 den Strahlungsfluss d3 Φb nach (5.24), der aus einem Raumwinkelelement dω auf das Fl¨ achenelement dA trifft und nur die in einem Wellenl¨ angenintervall dλ einfallende Strahlungsleistung enthält. F¨ ur den absorbierten Teil dieses Strahlungsflusses setzt man d3 Φb,abs = aλ (λ, β, ϕ, T )d3 Φb

(5.33)

und definiert damit den gerichteten spektralen Absorptionsgrad aλ . Diese dimensionslose Verh¨ altnisgr¨ oße ist kleiner als eins und eine Materialeigenschaft des absorbierenden K¨ orpers; sie h¨ angt von den in (5.33) angegebenen Variablen Wellenlänge λ, Polarwinkel β, Azimutwinkel ϕ und Temperatur T des absorbierenden Fl¨ achenelements ab. Außerdem wird der gerichtete spektrale Absorptionsgrad in hohem Maße von den Oberflächeneigenschaften, z.B. von der Rauhigkeit der Oberfl¨ ache, beeinflusst. uhrten inMittels aλ lassen sich die absorbierten Anteile der in 5.1.3 eingef¨ tegrierten Strahlungsfl¨ usse berechnen. Integriert man (5.33) u ¨ber alle Raumwinkel des Halbraums, so erh¨ alt man den absorbierten Anteil der hemisphärischen Bestrahlung des Fl¨ achenelementes dA im Wellenlängenintervall dλ:

d2 Φb,abs =

aλ (λ, β, ϕ, T )Kλ (λ, β, ϕ) cos β dω

dλ dA .

(5.34)

Integriert man dagegen (5.33) u ¨ber alle Wellenlängen, so erhält man den absorbierten Teil der insgesamt aus einem Raumwinkelelement dω einfallenden Strahlungsleistung. Dies ergibt d

2

Φb,abs

∞ =

aλ (λ, β, ϕ, T )Kλ (λ, β, ϕ) dλ

cos β dω dA .

(5.35)

0

Schließlich kann man (5.34) u ¨ber alle Wellenlängen integrieren oder (5.35) u ¨ber alle Raumwinkel des Halbraums. Man erhält dann den absorbierten Teil des gesamten Strahlungsflusses, der auf das Flächenelement dA trifft: ∞ dΦb,abs = 0

aλ (λ, β, ϕ, T )Kλ (λ, β, ϕ) cos β dω dλ dA .

(5.36)

Setzt man nun diese absorbierten Energiestr¨ ome ins Verhältnis zu den jeweils zugehörigen auftreffenden Strahlungsfl¨ ussen d2 Φb nach (5.26), d2 Φb nach alt man die in Tabelle 5.1 aufgef¨ uhrten (5.30) und dΦb nach (5.28), so erh¨ Absorptionsgrade, die entweder die Absorption der aus allen Richtungen des


607

Tabelle 5.1: Definitionen der Absorptionsgrade und die zwischen ihnen bestehenden Zusammenh¨ ange Gerichteter spektraler Absorptionsgrad aλ (λ, β, ϕ, T ) :=

d3 Φb,abs d3 Φb

aλ ist eine Materialeigenschaft des absorbierenden K¨ orpers und gibt f¨ ur jede Wellenl¨ ange λ und f¨ ur jede Richtung (β, ϕ) den absorbierten Teil des auftrefangenintervall dλ aus fenden Strahlungsflusses d3 Φb an, der in einem Wellenl¨ einem Raumwinkelelement dω kommt. Hemisph¨ arischer spektraler Absorptionsgrad d2 Φb,abs 1 aλ (λ, T ) := = aλ (λ, β, ϕ, T ) · Kλ (λ, β, ϕ) cos β dω d2 Φb Eλ (λ) aλ erfasst den Strahlungsfluss d2 Φb , der in einem bestimmten Wellenl¨ angenintervall aus dem ganzen Halbraum kommt, und gibt f¨ ur jede Wellenl¨ ange λ den absorbierten Teil der spektralen Bestrahlungsst¨ arke Eλ (λ) an. Gerichteter Gesamt–Absorptionsgrad a (β, ϕ, T ) :=

d2 Φb,abs 1 = d2 Φb K(β, ϕ)

2

∞

aλ (λ, β, ϕ, T )Kλ (λ, β, ϕ) dλ

0

Φb

a erfasst den Strahlungsfluss d aller Wellenl¨ angen, der aus einem bestimmten Raumwinkelelement kommt, und gibt f¨ ur jede Richtung (β, ϕ) den absorbierten Teil der Bestrahlungsdichte K(β, ϕ) an. Hemisph¨ arischer Gesamt–Absorptionsgrad ∞ dΦb,abs 1 a(T ) := = aλ (λ, T )Eλ (λ) dλ dΦb E 0 ∞ 1 = aλ (λ, β, ϕ, T )Kλ (λ, β, ϕ) cos β dω dλ E 0

a erfasst den Strahlungsfluss dΦb aller Wellenl¨ angen, der aus dem ganzen Halbraum kommt, und gibt den absorbierten Teil der Bestrahlungsst¨ arke E an.

Halbraums kommenden oder der u ¨ber alle Wellenlängen integrierten Strahlung oder schließlich die Absorption der das Fl¨ achenelement insgesamt treffenden Strahlung beschreiben. Alle Absorptionsgrade sind kleiner als eins, aber im Gegensatz zum gerichteten spektralen Absorptionsgrad aλ sind aλ (λ, T ), a (β, ϕ, T ) und a(T ) keine Materialeigenschaften des absorbierenden Körpers; sie hängen auch von der Richtungs- und Wellenlängenverteilung der einfallenden Strahlung ab, die durch ihre spektrale Bestrahlungsdichte Kλ (λ, β, ϕ) gegeben ist. Die vier Absorptionsgrade von Tabelle 5.1 entsprechen den vier Strahlungsgrößen von 5.1.3, mit denen wir die Bestrahlung eines Flächenele-

608

5 W¨ armestrahlung

ments quantitativ beschrieben haben. Diese Vielzahl von Absorptionsgraden wird in den Anwendungen dann ben¨ otigt, wenn die Selektivität der absorbierenden Fläche hinsichtlich der Richtung und der Wellenlängenbereiche sowie die Richtungs- und Wellenl¨ angenabh¨ angigkeit der auftreffenden Strahlung ber¨ ucksichtigt werden m¨ ussen. Beispiel 5.2: Der hemisph¨ arische spektrale Absorptionsgrad einer dem Auge hell erscheinenden Fl¨ ache ist stark vereinfacht durch ⎧ ur 0 ≤ λ ≤ λ 1 ⎨ αλ1 = 0,10 f¨ aλ (λ, T ) = ⎩ αλ2 = 0,80 f¨ ur λ1 < λ < ∞ mit λ1 = 1,50 μm gegeben; Abb. 5.15. Es wird also bei kleinen Wellenl¨ angen wenig, bei großen Wellenl¨ angen erheblich mehr Strahlungsenergie absorbiert. Auf die Fl¨ ache trifft Strahlung aus einer Strahlungsquelle der Temperatur T ∗ mit der spektralen Bestrahlungsst¨ arke Eλ (λ, T ∗ ) =

c1 exp(−c2 /λT ∗ ) . λ5

(5.37)

atskonstante. F¨ ur T ∗ = Dabei ist c2 = 14,5 · 103 μm K und c1 eine Proportionalit¨ ∗ 1000 K und T = 5777 K (Temperatur der Sonnenoberfl¨ ache) berechne man den hemisph¨ arischen Gesamt-Absorptionsgrad a(T ). Die durch (5.37) gegebene Wellenl¨ angen- und Temperaturabh¨ angigkeit entspricht einer 1896 von W. Wien [5.3] gefundenen, aber nur n¨ aherungsweise g¨ ultigen Beziehung f¨ ur die spektrale spezifische Ausstrahlung Mλs (λ, T ∗ ) eines idealen

Abb. 5.15: Approximation des hemisph¨ arischen spektralen Absorptionsgrades aλ einer Fl¨ ache Strahlers, des Schwarzen K¨ orpers, mit der Temperatur T ∗ . Auf die Eigenschaften des Schwarzen K¨ orpers kommen wir in Abschnitt 5.1.6 und ausf¨ uhrlich in 5.2.2 zur¨ uck. In unserem Beispiel wird eine spektrale Bestrahlungsst¨ arke Eλ ∼ Mλs angenommen, so dass ihre indirekte Abh¨ angigkeit von T ∗ explizit in (5.37) erscheint. In Abb. 5.16 ist die spektrale Bestrahlungsst¨ arke Eλ nach (5.37) f¨ ur T ∗ = 1000 K ∗ atskonstante c1 jeund T = 5777 K dargestellt. Dabei wurde die Proportionalit¨ weils so gew¨ ahlt, dass f¨ ur beide Temperaturen das Maximum von Eλ , das bei achen λmax = c2 /5T ∗ auftritt, gleich groß wird. Die in Abb. 5.16 schraffierten Fl¨ sind dem absorbierten Anteil des auftreffenden Strahlungsflusses proportional, w¨ ahrend die Fl¨ achen unter den Eλ -Kurven der Bestrahlungsst¨ arke E entsprechen. Der gesuchte hemisph¨ arische Gesamt-Absorptionsgrad a(T ) ist dann nach


609

(5.28) und (5.36) das Verh¨ altnis dieser Fl¨ achen. F¨ ur T ∗ = 1000 K ist ein Absorptionsgrad nahe bei aλ2 zu erwarten. Dagegen f¨ allt der gr¨ oßte Teil der Sonnenangen (λ < λ1 ); daher strahlung (T ∗ = 5777 K) in den Bereich kleiner Wellenl¨ ist f¨ ur Solarstrahlung ein Gesamt-Absorptionsgrad zu erwarten, der nur etwas gr¨ oßer als aλ1 ist.

Abb. 5.16: Spektrale Bestrahlungsst¨ arke Eλ (λ, T ∗ ) nach (5.37) f¨ ur T ∗ = 1000 K und T ∗ = 5777 K. Die Ordinaten der Maxima wurden willk¨ urlich gleich groß angenommen. Die schraffierten Fl¨ achen stellen den absorbierten Teil der Bestrahlungsst¨ arke E(T ∗ ) dar. Diese aus Abb. 5.16 abzulesenden Ergebnisse werden durch die folgende Rechnung best¨ atigt. Nach Tabelle 5.1 erh¨ alt man f¨ ur den hemisph¨ arischen GesamtAbsorptionsgrad 7∞ a(T ) =

aλ1

aλ (λ, T )Eλ (λ) dλ

0

=

E

λ1 7

Eλ (λ) dλ + aλ2

0

7∞

7∞ λ1

Eλ (λ) dλ .

Eλ (λ) dλ

0

Zur Auswertung der Integrale f¨ uhren wir die dimensionslose Variable ζ := c2 /λT ∗ ein und erhalten mit

Eλ (ζ, T ∗ ) = c1 /c52 T ∗5 ζ 5 e−ζ

und dλ = −

c2 dζ T ∗ ζ2

f¨ ur den Absorptionsgrad aλ1 a (ζ1 ) =

7∞ ζ1

ζ 3 e−ζ dζ + aλ2

7ζ1 0

7∞ 0

ζ 3 e−ζ dζ

ζ 3 e−ζ dζ .

(5.38)

610

5 W¨ armestrahlung

Er h¨ angt von ζ1 = c2 /λ1 T ∗ und damit indirekt von der Temperatur T ∗ der Strahlungsquelle ab. Die hier auftretenden Integrale lassen sich aus ζ 3 e−ζ dζ = C − e−ζ ζ 3 + 3ζ 2 + 6ζ + 6 = C − F (ζ) berechnen. Man erh¨ alt dann a (ζ1 ) =

1 {aλ1 F (ζ1 ) + aλ2 [6 − F (ζ1 )]} . 6

(5.39)

F¨ ur die Strahlung aus der Quelle mit T ∗ = 1000 K ist ζ1 = 9,667, woraus sich mit F (ζ1 ) = 0,0791 der Gesamt-Absorptionsgrad a = 0,791 ergibt. Das nach Abb. 5.16 zu erwartende Ergebnis a ≈ aλ2 = 0,80 wird also best¨ atigt. F¨ ur die auftreffende Solarstrahlung erh¨ alt man mit T ∗ = 5777 K den Wert ζ1 = 1,6733 und daraus F (ζ1 ) = 5,4646. Nun ergibt sich aus (5.39) der viel kleinere Absorptionsgrad a = 0,162. Der hemisph¨ arische Gesamt-Absorptionsgrad ist keine Eigenschaft der absorbierenden Fl¨ ache allein. Er h¨ angt vielmehr von der spektralen Verteilung der auftreffenden Strahlungsenergie ab. Dies zeigen die unterschiedlichen Werte von a f¨ ur die u ¨berwiegend kurzwellige Solarstrahlung, bei der die Absorptionseigenschaften bei kleinen Wellenl¨ angen maßgebend sind, und f¨ ur die auftreffende Strahlung aus einer irdischen Strahlungsquelle, f¨ ur die der langwellige Teil des Absorptionsspektrums aλ (λ, T ) von Bedeutung ist.

5.1.5 Reflexion von Strahlung Der von der Oberfl¨ ache eines K¨ orpers reflektierte Strahlungsfluss lässt sich durch dimensionslose Reflexionsgrade in der gleichen Weise beschreiben wie die absorbierte Leistung durch die im letzten Abschnitt behandelten Absorptionsgrade. Hierbei tritt jedoch eine weitere Komplikation auf, wenn man nicht nur angeben will, welcher Teil der aus einer bestimmten Richtung einfallenden Strahlung reflektiert wird, sondern weiter danach fragt, in welche Richtung die reflektierte Energie zur¨ uckgeworfen wird. Das hierbei mögliche Reflexionsverhalten einer Oberfl¨ ache kann durch zwei Grenzfälle idealisiert werden: die spiegelnde Reflexion und die diffuse Reflexion. Bei spiegelnder Reflexion wird der unter den Winkeln β und ϕ einfallende Strahl unter einem gleich großen Polarwinkel βr = β, aber unter dem Azimutwinkel ϕr = ϕ + π reflektiert, Abb. 5.17. Bei einer diffus reflektierenden Oberfläche erzeugt die aus einer Richtung (β, ϕ) einfallende Strahlung eine reflektierte Strahlung, deren Strahldichte u ¨ber alle Abstrahlungsrichtungen (βr , ϕr ) gleich groß ist, vgl. Abb. 5.18. Das Reflexionsverhalten realer Oberflächen liegt zwischen diesen beiden Grenzfällen. Blanke, polierte Metallflächen reflektieren nahezu spiegelnd. Rauhe und matte Oberflächen reflektieren in guter N¨ aherung diffus. Dabei muss man die Größe der Rauhigkeiten auch in Relation zur Wellenl¨ ange der Strahlung sehen. Eine Fläche kann somit rauh f¨ ur kurzwellige Strahlung sein, während sie f¨ ur langwellige Strahlung als glatt anzusehen ist. Die verwickelten Zusammenhänge bei der


Abb. 5.17: Spiegelnde Reflexion der unter dem Polarwinkel β einfallenden Strahlung

611

Abb. 5.18: Diffuse Reflexion der unter dem Polarwinkel β einfallenden Strahlung

Ber¨ ucksichtigung der Richtungsverteilung der reflektierten Strahlung m¨ ussen durch gerichtet-gerichtete Reflexionsgrade beschrieben werden, die von zwei angen. Wir gehen hierauf nicht ein, Paaren von Winkeln (β, ϕ) und (βr , ϕr ) abh¨ sondern verweisen auf die ausf¨ uhrliche Darstellung von R. Siegel u.a. [5.4]. Im Folgenden beschränken wir uns darauf, Reflexionsgrade einzuf¨ uhren, die nur angeben, welcher Teil des einfallenden Strahlungsflusses reflektiert wird, ohne zu spezifizieren, welche Teile der reflektierten Energie in welche Richtungen zur¨ uckgeworfen werden. In den beiden Grenzf¨ allen der spiegelnden und diffusen Reflexion ist diese Frage jedoch beantwortet, vgl. Abb. 5.17 und 5.18. Da die Reflexionsgrade v¨ ollig analog zu den in 5.1.4 besprochenen Absorptionsgraden definiert sind, gen¨ ugt es, die zu Tabelle 5.1 analoge Zusammenstellung von Tabelle 5.2 ohne weitere Erkl¨ arungen zu betrachten. Handelt es sich außerdem um einen f¨ ur Strahlung undurchl¨ assigen Körper, so gilt die Bilanz d3 Φb,ref + d3 Φb,abs = d3 Φb ,

(5.40)

wonach die auftreffende Strahlungsleistung entweder reflektiert oder absorbiert wird. Dividiert man (5.40) durch d3 Φb , so erhält man die Beziehung rλ (λ, β, ϕ, T ) + aλ (λ, β, ϕ, T ) = 1 . rλ

aλ

(5.41)

Die beiden Materialfunktionen und des strahlungsundurchlässigen Körpers sind also nicht unabh¨ angig von einander. Der gerichtete spektrale Reflexionsgrad rλ wird durch den gerichteten spektralen Absorptionsgrad aλ bestimmt. Wegen der gleichartigen Beziehungen zwischen den verschiedenen Reflexions- und Absorptionsgraden nach Tabelle 5.1 bzw. 5.2 gelten zu (5.41) analoge Gleichungen, mit denen die drei anderen Reflexionsgrade auf die entsprechenden Absorptionsgrade zur¨ uckgef¨ uhrt werden können.

612

5 W¨ armestrahlung

Tabelle 5.2: Definitionen der Reflexionsgrade und die zwischen ihnen bestehenden Zusammenh¨ ange Gerichteter spektraler Reflexionsgrad rλ (λ, β, ϕ, T ) :=

d3 Φb,ref d3 Φb

rλ ist eine Materialeigenschaft des reflektierenden K¨ orpers und gibt f¨ ur jede Wellenl¨ ange λ und f¨ ur jede Richtung (β, ϕ) den reflektierten Teil des auftrefangenintervall dλ aus einem fenden Strahlungsflusses d3 Φb an, der im Wellenl¨ Raumwinkelelement dω kommt. Hemisph¨ arischer spektraler Reflexionsgrad d2 Φb,ref 1 rλ (λ, T ) := = rλ (λ, β, ϕ, T )Kλ (λ, β, ϕ) cos β dω d 2 Φb Eλ (λ) rλ erfasst den Strahlungsfluss d2 Φb , der in einem bestimmten Wellenl¨ angenintervall aus dem ganzen Halbraum kommt, und gibt f¨ ur jede Wellenl¨ ange λ den reflektierten Teil der spektralen Bestrahlungsst¨ arke Eλ (λ) an. Gerichteter Gesamt-Reflexionsgrad r (β, ϕ, T ) :=

d2 Φb,ref 1 = d2 Φb K(β, ϕ)

2

∞

rλ (λ, β, ϕ, T )Kλ (λ, β, ϕ) dλ

0

Φb

r erfasst den Strahlungsfluss d aller Wellenl¨ angen, der aus einem bestimmten Raumwinkelelement kommt, und gibt f¨ ur jede Richtung (β, ϕ) den reflektierten Teil der Bestrahlungsdichte K(β, ϕ) an. Hemisph¨ arischer Gesamt-Reflexionsgrad r(T ) := 1 = E

∞ 0

dΦb,ref 1 = dΦb E

∞ rλ (λ, T )Eλ (λ) dλ 0

rλ (λ, β, ϕ, T )Kλ (λ, β, ϕ) cos β

dω dλ

r erfasst den Strahlungsfluss dΦb aller Wellenl¨ angen, der aus dem ganzen Halbraum kommt, und gibt den reflektierten Teil der Bestrahlungsst¨ arke an.

5.1.6 Hohlraumstrahlung. Gesetz von Kirchhoff Zwischen dem Emissionsverm¨ ogen und dem Absorptionsvermögen eines Körpers bestehen thermodynamische Zusammenh¨ ange, die schon 1860 G.R. Kirch-


613

hoff3 [5.5] entdeckt hat. Aus ihnen folgt auch die Existenz einer Obergrenze f¨ ur den emittierten Strahlungsfluss. Um dies herzuleiten, betrachten wir einen adiabaten und evakuierten Hohlraum nach Abb. 5.19 mit W¨ anden aus beliebigem Material. In diesem Hohlraum stellt sich ein thermodynamischer Gleichgewichtszustand ein: Die

Abb. 5.19: Hohlraum mit adiabaten W¨ anden

Abb. 5.20: Schwarzer K¨ orper (aλ ≡ 1) in einem adiabaten und isothermen Hohlraum

Wände nehmen eine u ¨berall gleiche Temperatur T an, und der Hohlraum ist von Strahlung erf¨ ullt, die als Hohlraumstrahlung bezeichnet wird. Sie kann im Sinne der Quantenmechanik auch als ein im Gleichgewicht befindliches Photonengas aufgefasst werden. Diese Gleichgewichtsstrahlung ist völlig homogen, isotrop und nicht polarisiert. Sie ist an jeder Stelle des Hohlraums gleich stark und hängt nicht von der Richtung ab; sie wird allein durch die Temperatur T der Wände bestimmt. Die spektrale Strahldichte L∗λ der Hohlraumstrahlung hängt wegen der Isotropie nicht von β und ϕ ab, sondern ist, wie Kirchhoff zuerst erkannte, eine universelle Funktion der Wellenlänge und der Temperatur: L∗λ = L∗λ (λ, T ); sie wird auch Kirchhoffsche Funktion genannt. Da der Hohlraum u ullt ist, stimmt die ¨berall von der gleichen diffusen Strahlung erf¨ ur jedes Element einer beliebig platzierten spektrale Bestrahlungsdichte Kλ f¨ und beliebig orientierten Fl¨ ache nach (5.25) mit der spektralen Strahldichte der Hohlraumstrahlung u ¨berein: Kλ = L∗λ (λ, T ) . 3

(5.42)

Gustav Robert Kirchhoff (1824–1887) formulierte und ver¨ offentlichte schon w¨ ahrend seiner Studienzeit in K¨ onigsberg die nach ihm benannten Gesetze der Stromverzweigung. Er wurde 1850 Professor in Breslau und 1854 Professor in Heidelberg, wo er zehn Jahre mit R. Bunsen zusammenarbeitete und seine Untersuchungen u uhrte. Ihre Ergeb¨ber die Emission und Absorption von Strahlung ausf¨ nisse wurden als Kirchhoffsche Strahlungsgesetze und als Bunsen-Kirchhoffsche Spektralanalyse bekannt. 1875 folgte Kirchhoff einem Ruf an die Universit¨ at Berlin als Professor f¨ ur theoretische Physik. Kirchhoff ist neben seinem Lehrer F. Neumann Begr¨ under der mathematischen (theoretischen) Physik in Deutschland.

614

5 W¨ armestrahlung

Im Hohlraum befinde sich ein kleiner K¨ orper, der nach Einstellung des thermischen Gleichgewichts die Temperatur T der Wände annimmt, Abb. 5.20. Dieser Körper soll nun die besondere Eigenschaft haben, die aus jeder Richtung auftreffende Strahlung bei jeder Wellenl¨ ange vollständig zu absorbieren. Sein gerichteter spektraler Absorptionsgrad ist (unabhängig von λ, β, ϕ und T ) stets eins: (5.43) aλ (λ, β, ϕ, T ) ≡ 1 . Nach 5.1.4 sind auch seine drei anderen Absorptionsgrade aλ , a und a gleich eins. Dieser ideale Absorber wird nach G.R. Kirchhoff Schwarzer K¨ orper genannt. Nach dem 2. Hauptsatz kann sich der Zustand des Gleichgewichtssystems, bestehend aus der Hohlraumstrahlung und dem Schwarzen Körper, trotz der Absorption von Hohlraumstrahlung nicht ¨ andern. Der Schwarze Körper muss daher die von ihm absorbierte Hohlraumstrahlung durch eigene Emission ersetzen. Dies gilt f¨ ur jedes Wellenl¨ angenintervall und jedes Raumwinkelelement; anderenfalls w¨ urde sich die durch L∗λ (λ, T ) gegebene Energieverteilung der Hohlraumstrahlung ¨ andern, und das thermodynamische Gleichgewicht im Hohlraum wäre gest¨ ort. Somit muss der Strahlungsfluss d3 Φs , den der Schwarze Körper in ein bestimmtes Raumwinkelelement dω und in einem bestimmten Wellenlängenintervall dλ emittiert, mit dem Strahlungsfluss d3 Φ∗b der Hohlraumstrahlung u ¨bereinstimmen, der auf den Schwarzen Körper trifft. F¨ ur den vom Schwarzen K¨ orper emittierten Strahlungsfluss gilt nach (5.4) d3 Φs = Lλs (λ, β, ϕ, T ) cos β dω dλ dA , wobei Lλs seine spektrale Strahldichte bezeichnet. Der auftreffende Strahlungsstrom der Hohlraumstrahlung ist nach (5.24) und (5.42) d3 Φ∗b = L∗λ (λ, T ) cos β dω dλ dA .

(5.44)

Aus der Bedingung des thermodynamischen Gleichgewichts, d3 Φs = d3 Φ∗b , folgt dann Lλs (λ, β, ϕ, T ) = L∗λ (λ, T ) . Die spektrale Strahldichte des Schwarzen K¨ orpers ist danach von der Richtung unabhängig und stimmt mit der spektralen Strahldichte der Hohlraumstrahlung gleicher Temperatur u ¨berein: Lλs (λ, T ) = L∗λ (λ, T ) .

(5.45)

Hohlraumstrahlung und die Strahlung eines Schwarzen Körpers (aλ ≡ 1) haben identische Eigenschaften. Der Schwarze K¨ orper strahlt diffus; nach (5.18) gilt f¨ ur seine spektrale spezifische Ausstrahlung Mλs (λ, T ) = πLλs (λ, T ) .

(5.46)


615

Wir betrachten nun einen Hohlraum mit einem Körper, der beliebige Strahlungseigenschaften hat, Abb. 5.21. Auch dieser Körper muss im thermodynamischen Gleichgewicht in jedes Raumwinkelelement und in jedem Wellenlängenintervall genausoviel Energie ausstrahlen, wie er dort von der Hohlraumstrahlung absorbiert. F¨ ur seine emittierte Strahlungsleistung gilt daher d3 Φ = aλ (λ, β, ϕ, T )d3 Φ∗b mit

aλ

(5.47) 3

als seinem gerichteten spektralen Absorptionsgrad. F¨ ur d Φ setzen wir

Abb. 5.21: K¨ orper mit beliebigem gerichteten spektralen Absorptionsgrad aλ im adiabaten Hohlraum

den Ausdruck nach (5.4) ein; der Strahlungsfluss d3 Φ∗b der Hohlraumstrahlung ist durch (5.44) gegeben. Mit (5.45) folgt daraus f¨ ur die spektrale Strahldichte des beliebigen Strahlers Lλ (λ, β, ϕ, T ) = aλ (λ, β, ϕ, T )Lλs (λ, T ) .

(5.48)

Dies ist das Gesetz von G.R. Kirchhoff [5.5]: Ein beliebiger K¨ orper mit gegebener Temperatur T emittiert in jedes Raumwinkelelement und in jedem Wellenl¨ angenintervall soviel Strahlungsleistung, wie er dort von der Strahlung eines Schwarzen K¨ orpers (=Hohlraumstrahlung) der gleichen Temperatur absorbiert. Zwischen Emissions- und Absorptionsvermögen besteht somit ein enger Zusammenhang, der sich vereinfacht durch den Satz ausdr¨ ucken lässt: Ein guter Absorber von W¨ armestrahlung ist auch ein guter Emitter. Da der Schwarze K¨ orper der beste Absorber ist, aλ ≡ 1, emittiert er auch am meisten. Aus (5.48) folgt mit aλ ≤ 1 die Ungleichung Lλ (λ, β, ϕ, T ) ≤ Lλs (λ, T ) . Bei gegebener Temperatur emittiert der Schwarze Körper bei jeder Wellenlänge und in jede Richtung das Maximum der Strahlungsleistung. In keinem Wellenlängenintervall und in keinen Raumwinkel kann bei gleicher Temperatur ein Körper mehr Strahlungsleistung aussenden als der Schwarze Körper. Er ist der ideale Emitter. Die Bestimmung der spektralen Strahldichte Lλs (λ, T ) des Schwarzen K¨ orpers als der thermodynamischen Obergrenze der Ausstrahlung ist daher eine wichtige Aufgabe der Theorie der Wärmestrahlung; wir behandeln sie in den folgenden Abschnitten.

616

5 W¨ armestrahlung

5.2 Die Strahlung des Schwarzen K¨ orpers Wie in 5.1.6 gezeigt wurde, gibt es nach den Hauptsätzen der Thermodynamik eine obere Grenze f¨ ur die spektrale Strahldichte Lλ (λ, β, ϕ, T ) aller Körper. Diese maximale Ausstrahlung l¨ asst sich einem idealen Strahler zuordnen, dem Schwarzen Körper. Seine Strahlungseigenschaften sollen im Folgenden behandelt werden.

5.2.1 Definition und Realisierung des Schwarzen Ko ¨rpers Ein Schwarzer K¨ orper ist dadurch definiert, dass alle auftreffende Strahlung in ihn eindringt und in seinem Inneren vollst¨ andig absorbiert wird. Es wird keine Strahlung reflektiert oder hindurchgelassen. Dies gilt f¨ ur Strahlung aller Wellenlängen und Einfallswinkel. Der Schwarze Körper ist außerdem ein diffuser Strahler. Seine spektrale Strahldichte Lλs hängt nicht von der Richtung ab, sondern ist eine universelle Funktion Lλs (λ, T ) der Wellenlänge und der thermodynamischen Temperatur. Mit der spektralen spezifischen Ausstrahangt die Kirchhoffsche Funktion Lλs (λ, T ) daher durch die lung Mλs (λ, T ) h¨ einfache Beziehung (5.49) Mλs (λ, T ) = πLλs (λ, T ) zusammen, vgl. (5.46). Die Bestimmung der universellen Funktionen Lλs (λ, T ) bzw. Mλs (λ, T ) ist eine grundlegende Aufgabe der Physik. Sie wurde gegen Ende des 19. Jahrhunderts experimentell weitgehend gel¨ ost, aber eine theoretische Begr¨ undung der gemessenen Daten gelang erst 1900 M. Planck4 . Durch Annahmen, welche eine der Grundlagen der sp¨ ateren Quantentheorie bildeten, konnte er das nach ihm benannte, experimentell best¨ atigte und bis heute als richtig angesehene Gesetz f¨ ur die spektrale Strahldichte des Schwarzen Körpers gewinnen. 4

Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858–1947) wurde 1885 Professor f¨ ur theoretische Physik in Kiel; von 1888 bis 1920 lehrte er als Nachfolger von G.R. Kirchhoff an der Universit¨ at Berlin. Seit 1894 war er Mitglied der Preußischen Adademie der Wissenschaften. Planck behandelte seit seiner Promotion (1879) Probleme der Thermodynamik, insbesondere den zweiten Hauptsatz und den Entropiebegriff. Auch sein ber¨ uhmtes Strahlungsgesetz fand er 1900 durch die Verkn¨ upfung thermodynamischer Ans¨ atze f¨ ur Energie und Entropie der Hohlraumstrahlung mit der elektromagnetischen Strahlungstheorie, statistischen Methoden und der Annahme, dass sich die Energie aus einer großen Zahl diskreter, kleiner Energieelemente (Quanten) zusammensetzt. Planck befasste sich außerdem mit der Relativit¨ atstheorie und mit den philosophischen Grundlagen der Naturwissenschaften. 1918 erhielt er den Nobel-Preis f¨ ur Physik.

5.2 Die Strahlung des Schwarzen K¨ orpers

617

Der Schwarze K¨ orper erhielt seinen Namen wegen der Eigenschaft guter Absorber, bei einfallendem sichtbarem Licht dem Auge schwarz zu erscheinen. Das Auge ist jedoch nur im kleinen Wellenl¨ angenbereich des sichtbaren Lichts, vgl. Abb. 5.1, ein Indikator f¨ ur das Absorptionsverm¨ ogen eines K¨ orpers. Deshalb erreichen schwarz erscheinende Oberfl¨ achen wie Ruß oder Platinschwarz nur ann¨ ahernd die beim Schwarzen K¨ orper vorausgesetzte vollst¨ andige Absorption von Strahlung aller Wellenl¨ angen.

Abb. 5.22: Isothermer Hohlraum zur Realisierung des Schwarzen K¨ orpers. 1 Isolierung; 2 Heizung; 3 Kupferzylinder; 4 reflektierte Strahlung; 5 polierte Fl¨ ache; 6 schwarze Fl¨ ache; 7 einfallender Strahl; 8 stark absorbierende Fl¨ ache

Um den Schwarzen K¨ orper als Bezugsnormal f¨ ur Strahlungsmessungen zu ver¨ wirklichen, verwendet man einen Hohlraum mit einer kleinen Offnung nach Abb. 5.22. Ein durch diese einfallender Strahl trifft auf die Hohlraumwand, wird dort gr¨ oßtenteils absorbiert, und der reflektierte Teil trifft eine andere Stelle der Wand, wo er wieder absorbiert und zu einem kleinen Teil reflektiert wird, usw. Bei gen¨ ugend kleiner Hohlraum¨ offnung kann nur ein verschwindend kleiner Teil der einfallenden Strahlung den Hohlraum wieder verlassen. Die Bedingung vollst¨ andiger Absorpti¨ on der einfallenden Strahlung ist damit in hohem Maße erf¨ ullt. Die Offnung des Hohlraums absorbiert also (fast) wie ein Schwarzer K¨ orper. Nach dem Gesetz von Kirchhoff strahlt sie dann Schwarzk¨ orper-Strahlung aus.

618

5 W¨ armestrahlung

5.2.2 Die spektrale Strahldichte und die spektrale spezifische Ausstrahlung Wir verzichten auf die Herleitung der von M. Planck [5.6] gefundenen Gleichungen f¨ ur die spektrale Strahldichte und die spektrale spezifische Ausstrahlung des Schwarzen K¨ orpers, vgl. hierzu z.B. [5.7]. Sie lauten Mλs (λ, T ) = πLλs (λ, T ) =

λ5

c1 . [exp (c2 /λT ) − 1]

(5.50)

Die beiden Strahlungskonstanten c1 und c2 setzen sich aus fundamentalen Naturkonstanten zusammen, aus der Lichtgeschwindigkeit c0 im Vakuum, der Planck-Konstante h und der Boltzmann-Konstante k. Mit den Bestwerten dieser Größen erh¨ alt man nach [5.8] die Werte c1 = 2πhc20 = (3,741 771 07 ± 0,000 000 29) · 10−16 Wm2

(5.51a)

und c2 = hc0 /k = (14 387,752 ± 0,024) μm K .

(5.51b)

Abb. 5.23: Spektrale spezifische Ausstrahlung Mλs (λ, T ) des Schwarzen K¨ orpers nach dem Planckschen Strahlungsgesetz (5.50)

Das Plancksche Gesetz (5.50) ist in Abb. 5.23 f¨ ur einige Isothermen dargestellt. Diese haben bei λ = 0 eine waagerechte Tangente. Die Ausstrahlung bei kleinen Wellenl¨ angen ist daher zuerst sehr gering, steigt aber mit wachsendem λ steil an, durchl¨ auft ein Maximum und fällt wieder ab. F¨ ur λ → ∞ ergibt sich der Grenzwert Mλs = 0. Charakteristisch ist die Verschiebung des Maximums zu kleinen Wellenl¨ angen bei steigender Temperatur. Dabei nimmt


619

der Maximalwert Mλs (λmax , T ) sehr rasch mit T zu. Die verschiedenen Isothermen schneiden sich (außer bei λ = 0) nicht; bei jeder Wellenlänge wächst die Ausstrahlung mit steigender Temperatur. In Abb. 5.24 ist Mλs in logarithmischer Auftragung wiedergegeben. Hier ist auch der Bereich des sichtbaren Lichts eingezeichnet. Nur bei gen¨ ugend hohen Temperaturen wird ein merklicher Teil der spezifischen Ausstrahlung in diesem Wellenlängenbereich emittiert. Erst beim sogenannten Draper-Punkt armter Körper in dunkler Umgebung bei 798 K (525 ◦ C) [5.9] wird ein erw¨ dem menschlichen Auge als dunkelrotes Objekt sichtbar. Die Sonne emittiert Strahlung mit einer spektralen spezifischen Ausstrahlung, die der eines Schwarzen Körpers von 5777 K ann¨ ahernd entspricht. Wie Abb. 5.24 zeigt, liegt bei dieser Temperatur das Maximum von Mλs im sichtbaren Spektralbereich. Das menschliche Auge hat sich dem angepasst und besitzt bei diesen Wellenlängen seine gr¨ oßte Empfindlichkeit.

Abb. 5.24: Spektrale spezifische Ausstrahlung Mλs (λ, T ) des Schwarzen K¨ orpers nach (5.50) in logarithmischer Auftragung. Der schraffierte Wellenl¨ angenbereich entspricht dem Bereich des sichtbaren Lichts.

Die Lage des Maximums von Mλs auf einer Isotherme findet man aus der Bedingung ∂ Mλs = 0 , T = const . ∂λ Dies f¨ uhrt auf die transzendente Gleichung c2 1− exp (c2 /λT ) = 1 5λT

620

5 W¨ armestrahlung

mit der Lösung (c2 /λmax T ) = 4,965 114 23 oder λmax T = (2897,7686 ± 0,0048)μm K .

(5.52)

Dies ist eine Form des nach W. Wien5 [5.10] benannten Verschiebungsgesetzes. Man benutzt es h¨ aufig, um aus der gemessenen Wellenlänge λmax eines Strahlers auf seine Temperatur zu schließen unter der Annahme, er verhielte sich annähernd wie ein Schwarzer K¨ orper. Die Isothermen des Planckschen Strahlungsgesetzes (5.50) lassen sich durch eine einzige Kurve wiedergeben, wenn man nicht Mλs , sondern Mλs /T 5 u ¨ber dem Produkt λT oder der dimensionslosen Größe x := λT /c2

(5.53)

c1 Mλs (λT ) = T5 (λT )5 [exp (c2 /λT ) − 1]

(5.54)

Mλs (x) c1 /c5 = 5 1/x 2 5 T x e −1

(5.55)

aufträgt. Man erh¨ alt

bzw.

mit c1 /c52 = (0,606 893 5 ± 0,000 052) · 10−12 W/(μm m2 K5 ). Das Maximum dieser Funktion tritt bei xmax =

λmax T = 0,201 405 235 c2

(5.56)

auf und hat den Wert c1 W Mλs (xmax ) = 21,201 435 7 5 = (0,128 670 1 ± 0,000 001 1) · 10−10 . T5 c2 μm m2 K5 (5.57) Die Maximalwerte von Mλs wachsen also mit der f¨ unften Potenz von T . Abb. 5.25 zeigt das Verh¨ altnis Mλs (x)/Mλs (xmax ). In Tabelle 5.3 sind die nach (5.54) berechneten Werte von Mλs (λT )/T 5 als Funktion von λT angegeben. 5

Wilhelm Carl Werner Otto Fritz Franz Wien (1864–1928) wurde 1890 Assistent von Hermann v. Helmholtz an der Physikalisch-Technischen Reichsanstalt in Berlin. Dort entdeckte er 1893 das Verschiebungsgesetz und ver¨ offentlichte 1896 eine Gleichung f¨ ur Mλs , die sich nur wenig vom Planckschen Gesetz unterscheidet. Wien wurde 1896 Professor f¨ ur Physik an der TH Aachen, 1899 Professor in W¨ urzburg und wechselte 1920 an die Universit¨ at M¨ unchen. 1911 erhielt er den Nobel-Preis f¨ ur Physik als W¨ urdigung seiner Arbeiten u armestrahlung. ¨ber W¨


621

Abb. 5.25: Dimensionslose Darstellung des Planckschen Strahlungsgesetzes nach (5.55) und (5.57)

ur die Strahlung Die bisher f¨ ur Mλs (λ, T ) mitgeteilten Beziehungen gelten exakt f¨ des Schwarzen K¨ orpers ins Vakuum. Bei Strahlung in ein Medium mit der Brechzahl n > 1 sind die Fortpflanzungsgeschwindigkeit c und die Wellenl¨ ange λM kleiner als im Vakuum; dagegen bleibt die Frequenz ν unver¨ andert. Im Planckschen Gesetz ist in den Konstanten c1 und c2 die Vakuumlichtgeschwindigkeit c0 durch c und in ucksichtigung des Zusammenhangs c = c0 /n (5.50) λ durch λM zu ersetzen. Unter Ber¨ erh¨ alt man anstelle von (5.54) MλM ,s (λM T ) c1 = , n3 T 5 (nλM T )5 [exp (c2 /nλM T ) − 1] ungliche Bedeutung nach (5.50) haben. Man kann alworin c1 und c2 ihre urspr¨ so die Werte von Tabelle 5.3 benutzen, wenn man λT als nλM T und Mλs /T 5 als MλM ,s /n3 T 5 interpretiert. Die spezifische Ausstrahlung des Schwarzen K¨ orpers in ein Medium mit der Brechzahl n wird ∞ MλM ,s (λM , T ) dλM = n2 Ms (T ) ,

Ms,n (T ) = 0

wobei Ms (T ) die spezifische Ausstrahlung ins Vakuum bedeutet. Sie wird im n¨ achsten Abschnitt berechnet. Da die Brechzahl n von Luft und anderen Gasen sehr nahe bei eins liegt, spielt die Vergr¨ oßerung der Ausstrahlung gegen¨ uber der Emission ins Vakuum (n = 1) praktisch keine Rolle. Eine Ausnahme machen Strahlungseffekte in geschmolzenem Glas mit n ≈ 1,5 und in ¨ ahnlichen semitransparenten Stoffen, vgl. [5.11].

622

5 W¨ armestrahlung

Tabelle 5.3: Spektrale spezifische Ausstrahlung des Schwarzen K¨ orpers dividiert durch die f¨ unfte Potenz der Temperatur nach (5.54) und Anteilsfunktion F (0, λT ) nach (5.60) in Abh¨ angigkeit vom Produkt λT Mλs /T 5 F (0, λT ) λT Mλs /T 5 F (0, λT ) λT Mλs /T 5 F (0, λT ) −10 −10 −10 μm K 102 W5 μm K 102 W5 μm K 102 W5 m μmK m μmK m μmK λT

1000 1050 1100 1150 1200

0,00211 0,00328 0,00485 0,00686 0,00933

0,00032 0,00056 0,00091 0,00142 0,00213

2750 2800 2850 2900 2950

0,12781 0,12830 0,12859 0,12867 0,12857

0,21660 0,22789 0,23922 0,25056 0,26191

4500 4550 4600 4650 4700

0,08641 0,08482 0,08325 0,08169 0,08016

0,56431 0,57186 0,57927 0,58654 0,59367

1250 1300 1350 1400 1450

0,01230 0,01573 0,01963 0,02395 0,02864

0,00308 0,00432 0,00587 0,00779 0,01011

3000 3050 3100 3150 3200

0,12831 0,12788 0,12730 0,12659 0,12576

0,27323 0,28453 0,29578 0,30697 0,31810

4750 4800 4850 4900 4950

0,07864 0,07715 0,07568 0,07423 0,07280

0,60067 0,60754 0,61428 0,62089 0,62737

1500 1550 1600 1650 1700

0,03365 0,03892 0,04438 0,04998 0,05563

0,01285 0,01605 0,01972 0,02388 0,02854

3250 3300 3350 3400 3450

0,12482 0,12377 0,12263 0,12141 0,12011

0,32915 0,34011 0,35097 0,36173 0,37238

5000 5050 5100 5150 5200

0,07140 0,07002 0,06866 0,06732 0,06601

0,63373 0,63996 0,64608 0,65207 0,65795

1750 1800 1850 1900 1950

0,06130 0,06691 0,07242 0,07778 0,08295

0,03369 0,03934 0,04549 0,05211 0,05920

3500 3550 3600 3650 3700

0,11875 0,11733 0,11586 0,11434 0,11279

0,38291 0,39332 0,40360 0,41375 0,42377

5250 5300 5350 5400 5450

0,06472 0,06346 0,06222 0,06100 0,05981

0,66371 0,66937 0,67491 0,68034 0,68566

2000 2050 2100 2150 2200

0,08790 0,09261 0,09704 0,10119 0,10504

0,06673 0,07469 0,08306 0,09180 0,10089

3750 3800 3850 3900 3950

0,11120 0,10959 0,10796 0,10631 0,10465

0,43364 0,44338 0,45297 0,46241 0,47172

5500 5550 5600 5650 5700

0,05863 0,05748 0,05636 0,05525 0,05417

0,69089 0,69600 0,70102 0,70594 0,71077

2250 2300 2350 2400 2450

0,10859 0,11182 0,11475 0,11737 0,11969

0,11031 0,12003 0,13002 0,14026 0,15071

4000 4050 4100 4150 4200

0,10297 0,10130 0,09962 0,09794 0,09626

0,48087 0,48987 0,49873 0,50744 0,51600

5750 5800 5850 5900 5950

0,05311 0,05207 0,05105 0,05005 0,04907

0,71550 0,72013 0,72468 0,72914 0,73351

2500 2550 2600 2650 2700

0,12172 0,12346 0,12493 0,12613 0,12709

0,16136 0,17217 0,18312 0,19419 0,20536

4250 4300 4350 4400 4450

0,09459 0,09293 0,09128 0,08965 0,08802

0,52442 0,53269 0,54081 0,54878 0,55662

6000 6050 6100 6150 6200

0,04812 0,04718 0,04626 0,04536 0,04448

0,73779 0,74199 0,74611 0,75015 0,75411


623

Tabelle 5.3: (Fortsetzung) Mλs /T 5 F (0, λT ) λT Mλs /T 5 F (0, λT ) λT Mλs /T 5 F (0, λT ) −10 −10 −10 μm K 102 W5 μm K 102 W5 μm K 102 W5 m μmK m μmK m μmK λT

6250 6300 6350 6400 6450

0,04362 0,04278 0,04195 0,04115 0,04035

0,75800 0,76181 0,76554 0,76921 0,77280

10000 10100 10200 10300 10400

0,01164 0,01128 0,01094 0,01061 0,01029

0,91416 0,91618 0,91814 0,92004 0,92188

17000 17200 17400 17600 17800

0,00198 0,00190 0,00182 0,00175 0,00168

0,97765 0,97834 0,97899 0,97962 0,98023

6500 6600 6700 6800 6900

0,03958 0,03808 0,03665 0,03527 0,03395

0,77632 0,78317 0,78976 0,79610 0,80220

10500 10600 10700 10800 10900

0,00998 0,00969 0,00940 0,00913 0,00886

0,92367 0,92540 0,92709 0,92872 0,93031

18000 18200 18400 18600 18800

0,00162 0,00156 0,00150 0,00144 0,00139

0,98081 0,98137 0,98191 0,98243 0,98293

7000 7100 7200 7300 7400

0,03269 0,03148 0,03033 0,02922 0,02816

0,80808 0,81374 0,81918 0,82443 0,82949

11000 11200 11400 11600 11800

0,00861 0,00812 0,00767 0,00725 0,00686

0,93185 0,93480 0,93758 0,94021 0,94270

19000 19200 19400 19600 19800

0,00133 0,00129 0,00124 0,00119 0,00115

0,98341 0,98387 0,98431 0,98474 0,98516

7500 7600 7700 7800 7900

0,02714 0,02617 0,02523 0,02434 0,02348

0,83437 0,83907 0,84360 0,84797 0,85219

12000 12200 12400 12600 12800

0,00649 0,00615 0,00583 0,00552 0,00524

0,94505 0,94728 0,94939 0,95139 0,95329

20000 20500 21000 21500 22000

0,00111 0,00102 0,00093 0,00085 0,00079

0,98555 0,98649 0,98735 0,98814 0,98886

8000 8100 8200 8300 8400

0,02266 0,02187 0,02111 0,02038 0,01969

0,85625 0,86018 0,86397 0,86763 0,87116

13000 13200 13400 13600 13800

0,00498 0,00473 0,00450 0,00428 0,00407

0,95509 0,95681 0,95843 0,95998 0,96145

22500 23000 23500 24000 24500

0,00072 0,00067 0,00062 0,00057 0,00053

0,98952 0,99014 0,99070 0,99123 0,99172

8500 8600 8700 8800 8900

0,01902 0,01838 0,01776 0,01717 0,01660

0,87457 0,87787 0,88105 0,88413 0,88711

14000 14200 14400 14600 14800

0,00388 0,00369 0,00352 0,00336 0,00321

0,96285 0,96419 0,96546 0,96667 0,96783

25000 26000 27000 28000 29000

0,00049 0,00043 0,00037 0,00032 0,00028

0,99217 0,99297 0,99368 0,99429 0,99482

9000 9100 9200 9300 9400

0,01606 0,01553 0,01503 0,01455 0,01408

0,88999 0,89278 0,89547 0,89808 0,90060

15000 15200 15400 15600 15800

0,00306 0,00292 0,00280 0,00267 0,00256

0,96893 0,96999 0,97100 0,97196 0,97289

30000 32000 34000 36000 38000

0,00025 0,00020 0,00016 0,00013 0,00010

0,99529 0,99607 0,99669 0,99719 0,99759

9500 9600 9700 9800 9900

0,01363 0,01320 0,01279 0,01239 0,01201

0,90305 0,90541 0,90770 0,90992 0,91207

16000 16200 16400 16600 16800

0,00245 0,00234 0,00225 0,00215 0,00206

0,97377 0,97461 0,97542 0,97620 0,97694

40000 45000 50000 55000 60000

0,00008 0,00005 0,00004 0,00002 0,00002

0,99792 0,99851 0,99890 0,99917 0,99935

624

5 W¨ armestrahlung

5.2.3 Die spezifische Ausstrahlung und die Ausstrahlung in einem Wellenl¨ angenbereich Nach (5.8) erhält man die spezifische Ausstrahlung Ms (T ) des Schwarzen Körpers durch Integration von Mλs (λ, T ) u ¨ber alle Wellenlängen. Aus der recht komplizierten Gleichung (5.50) folgt ein erstaunlich einfaches Ergebnis. Mit c2 dx dλ = T nach (5.53) ergibt sich aus (5.55) ∞ Ms (T ) =

∞ Mλs (λ, T ) dλ = c2 T

0

4 0

c1 Mλs (x) dx = 4 T 4 5 T c2

∞ x5

dx

e1/x

0

. −1

4

Das bestimmte Integral hat den Wert π /15, so dass man Ms (T ) = σT 4

(5.58)

mit σ=

c1 π 4 W 2 π 5 k4 = = (5,670 400 ± 0,000 040) · 10−8 2 4 4 2 3 c2 15 15 c0 h m K

(5.59)

erhält, [5.8]. Der beste direkt gemessene, aber ungenauere Wert ist σ = (5,669 59 ± 0,000 76) · 10−8 W/m2 K4 nach [5.12]. Gl. (5.58) ist das ber¨ uhmte Gesetz von Stefan und Boltzmann, vgl. auch Abschnitt 1.1.5. J. Stefan [5.13] hat es 1879 aufgrund experimenteller Ergebnisse aufgestellt, w¨ ahrend L. Boltzmann [5.14] diesen Zusammenhang zwischen spezifischer Ausstrahlung und Temperatur 1884 durch thermodynami¨ sche Uberlegungen aus Ergebnissen der klassischen elektromagnetischen Theorie der Strahlung herleitete. Beide Forscher konnten nat¨ urlich nicht die Konstante σ, die auch Stefan-Boltzmann-Konstante genannt wird, auf fundamentale Naturkonstanten zur¨ uckf¨ uhren, denn das Auftreten der Planck-Konstante h in (5.59) zeigt, dass dies nur unter Anwendung der Quantentheorie möglich ist. Die spezifische Ausstrahlung Ms (T ) des Schwarzen Körpers nach (5.34) wird in Abb. 5.26 durch die gesamte Fl¨ ache unter der Isotherme von Mλs (λ, T ) dargestellt. Bei vielen Berechnungen des Strahlungsaustausches möchte man den Teil der spezifischen Ausstrahlung bestimmen, der in einem bestimmten Wellenlängenintervall (λ1 , λ2 ) emittiert wird. Dieser Teil entspricht der in Abb. 5.26 schraffierten Fl¨ ache. Zu seiner Berechnung definiert man die Anteils- oder Verh¨ altnisfunktion 7λ2 F (λ1 , λ2 ) :=

λ1 7∞ 0

Mλs (λ, T ) dλ Mλs (λ, T ) dλ

1 = σT 4

λ2 Mλs (λ, T ) dλ . λ1


Abb. 5.26: Isotherme von Mλs (λ, T ). Die spezifische Ausstrahlung im Wellenl¨ angenintervall (λ1 , λ2 ) entspricht der schraffierten Fl¨ ache.

625

Abb. 5.27: Funktion F (0, λ) nach (5.60), dargestellt als Verh¨ altnis der schraffierten Fl¨ ache zur gesamten Fl¨ ache unter der Isotherme von Mλs (λ, T ).

Mit Hilfe der Funktion 1 F (0, λ) := σT 4

λ Mλs (λ, T ) dλ ,

(5.60)

0

die in Abb. 5.27 veranschaulicht ist, kann man F (λ1 , λ2 ) durch F (λ1 , λ2 ) = F (0, λ2 ) − F (0, λ1 )

(5.61)

ausdr¨ ucken. F¨ uhrt man statt λ die dimensionslose Variable x nach (5.53) ein, so lässt sich F (0, λ) als Funktion allein von x darstellen: F (0, x) = F (0,

λT 15 )= 4 c2 π

x 0

dx , x5 e1/x − 1

(5.62)

Abb. 5.28. Da sich x und λT nur durch die Strahlungskonstante c2 unterscheiden, benutzt man f¨ ur die Anwendungen die Funktion F (0, λT ). Sie ist in Taalt man F (0, λmax T ) = 0,250 05. belle 5.3 vertafelt. F¨ ur λmax T nach (5.52) erh¨ Somit fällt sehr genau, aber nicht exakt, ein Viertel der spezifischen Ausstrahlung des Schwarzen K¨ orpers bei allen Temperaturen in den Wellenlängenbereich λ ≤ λmax . Die analytische Darstellung des Integrals (5.62) ist durch Integration einer Reihenentwicklung des Integranden m¨ oglich. Mit y := 1/x = c2 /λT erh¨ alt man die f¨ ur alle y konvergente Reihe F (0, y) =

∞ 15 e−my {[(my + 3)my + 6] my + 6} . 4 π m=1 m4

F¨ ur y < 2 ist es g¨ unstiger, die Reihe

1 y y2 y4 y6 y8 15 − + − + − + ··· F (0, y) = 1 − 4 y3 π 3 8 60 5040 272160 13305600 zu benutzen, vgl. [5.15], [5.16].

626

5 W¨ armestrahlung

Abb. 5.28: Funktion F (0, λT /c2 ) nach (5.62) in Abh¨ angigkeit von x = λT /c2 Beispiel 5.3: Die Sonne kann durch eine strahlende Kugel mit dem Radius RS = 6,96 · 108 m angen¨ ahert werden. Der Abstand zwischen Erde und Sonne betr¨ agt im Mittel DES = 1,496 · 1011 m. In diesem Abstand hat die Bestrahlungsst¨ arke einer normal zur Sonne gerichteten und am ¨ außeren Rand der Erdatmosph¨ are befindlichen Fl¨ ache den Wert E0 = 1367 W/m2 , der als Solarkonstante bezeichnet wird. Die extraterrestrische Sonnenstrahlung soll als Strahlung eines Schwarzen K¨ orpers betrachtet werden. Unter dieser Annahme bestimme man die spezifische Ausstrahlung MS der Sonne und ihre Oberfl¨ achentemperatur TS . Welcher Teil der von der Sonne ausgehenden Strahlung f¨ allt in den Bereich des sichtbaren Lichts (0,38 μm ≤ λ ≤ 0,78 μm)? Abb. 5.29: Geometrie des Systems Sonne-Erde (nicht maßst¨ ablich) und schematische Darstellung der Bestrahlung eines Fl¨ achenelements dA im Abstand DES vom Sonnenmittelpunkt, RS Sonnenradius Die von der Sonne ausgehende Strahlungsleistung ist ΦS = 4πRS2 MS (TS ) . Diese Strahlungsleistung durchdringt auch eine (gedachte) Kugelfl¨ ache, die im Abstand DES konzentrisch um die Sonne liegt, Abb. 5.29. Somit gilt 2 E0 ΦS = 4πDES

mit E0 als der Solarkonstante. Wir erhalten daraus f¨ ur die spezifische Ausstrahlung der Sonne

2 MW DES MS (TS ) = E0 = 63,16 . RS m2 Ein Schwarzer K¨ orper mit dieser spezifischen Ausstrahlung hat nach dem Gesetz von Stefan-Boltzmann die Temperatur

5.3 Strahlungseigenschaften realer K¨ orper

TS =

MS σ

1/4 =

DES RS

1/2

E0 σ

627

1/4 = 5777 K .

In erster N¨ aherung kann extraterrestrische Solarstrahlung als Strahlung eines Schwarzen K¨ orpers dieser Temperatur angesehen werden, vgl. auch Abschnitt 5.3.5. Der Anteil der Strahlung, den dieser Schwarze K¨ orper im Wellenl¨ angenintervall zwischen λ1 = 0,38 μm und λ2 = 0,78 μm ausstrahlt, ist nach (5.61) und (5.62) F (λ1 , λ2 ) = F (0, λ2 TS ) − F (0, λ1 TS ) . F¨ ur λ2 TS = 4506 μm K und λ1 TS = 2195 μm K findet man aus Tabelle 5.3 F (λ1 , λ2 ) = 0,5652 − 0,1000 = 0,4652 als N¨ aherungswert f¨ ur den Anteil der Solarstrahlung im sichtbaren Wellenl¨ angenbereich.

5.3 Strahlungseigenschaften realer K¨ orper In den folgenden Abschnitten gehen wir auf die Strahlungseigenschaften realer Körper ein, die sich hinsichtlich der Richtungsabhängigkeit und der spektralen Verteilung der ausgestrahlten Energie erheblich vom Schwarzen Körper unterscheiden. Um diese Abweichungen zu erfassen, definiert man die Emissionsgrade realer Strahler. Das Gesetz von Kirchhoff verkn¨ upft Emissionsgrade und Absorptionsgrade und legt die Einf¨ uhrung eines halbidealen“ Strah” lers, des diffus strahlenden grauen K¨ orpers nahe, der häufig als Näherung bei Strahlungsaustauschrechnungen benutzt wird. Bei der Behandlung der Emissionsgrade realer Strahler benutzen wir die Ergebnisse der klassischen elektromagnetischen Theorie der Strahlung. Im letzten Abschnitt werden die Eigenschaften strahlungsdurchl¨ assiger K¨ orper (z.B. Glas) behandelt.

5.3.1 Emissionsgrade Nach dem Gesetz von Kirchhoff emittiert der Schwarze Körper bei jeder Wellenlänge und in jede Richtung des Halbraums das Maximum der Strahlungsenergie. Es liegt daher nahe, die vier Strahlungsgrößen, welche nach 5.1.2 die Ausstrahlung eines beliebigen Strahlers charakterisieren, auf ihre Maximalwerte, nämlich die entsprechenden Gr¨ oßen eines Schwarzen Körpers mit der gleichen Temperatur zu beziehen. Dies f¨ uhrt zur Definition von vier dimensionslosen Verh¨ altnisgr¨ oßen, die kleiner als eins sind und Emissionsgrade genannt werden. Diese vier Emissionsgrade sind Materialeigenschaften des Strahlung aussendenden K¨ orpers. Die Definitionen der vier Emissionsgrade sind in Tabelle 5.4 zusammengestellt. Sie enth¨ alt außerdem die Beziehungen, mit denen die drei anderen Emissionsgrade aus dem gerichteten spektralen Emissionsgrad ελ (λ, β, ϕ, T )

628

5 W¨ armestrahlung

Tabelle 5.4: Definitionen der Emissionsgrade und die zwischen ihnen bestehenden Zusammenh¨ ange Gerichteter spektraler Emissionsgrad ελ (λ, β, ϕ, T ) :=

Lλ (λ, β, ϕ, T ) Lλs (λ, T )

ελ beschreibt die Richtungs- und Wellenl¨ angenverteilung des emittierten Strahlungsflusses durch Vergleich der spektralen Strahldichte Lλ mit der des Schwarzen K¨ orpers. Hemisph¨ arischer spektraler Emissionsgrad Mλ (λ, T ) ελ (λ, T ) := Mλs (λ, T ) 1 ελ (λ, T ) = ελ (λ, β, ϕ, T ) cos β dω π ελ beschreibt die Wellenl¨ angenverteilung der in den Halbraum emittierten Strahlungsleistung durch Vergleich der spektralen spezifischen Ausstrahlung Mλ mit der des Schwarzen K¨ orpers. Gerichteter Gesamt-Emissionsgrad L(β, ϕ, T ) π ε (β, ϕ, T ) := L(β, ϕ, T ) = Ls (T ) σT 4 ∞ 1 ε (β, ϕ, T ) = ελ (λ, β, ϕ, T )Lλs (λ, T ) dλ Ls (T ) 0

ε beschreibt die Richtungsverteilung des emittierten Strahlungsflusses aller Wellenl¨ angen durch Vergleich der Strahldichte L mit der des Schwarzen K¨ orpers. Hemisph¨ arischer Gesamt-Emissionsgrad M (T ) M (T ) ε(T ) := = Ms (T ) σT 4 ∞ 1 1 ε(T ) = ελ (λ, T )Mλs (λ, T ) dλ = ε (β, ϕ, T ) cos β dω Ms (T ) π 0

ε vergleicht die spezifische Ausstrahlung M mit der des Schwarzen K¨ orpers.

berechnet werden k¨ onnen. Dieser Emissionsgrad beschreibt die Richtungsund die Wellenl¨ angenverteilung des emittierten Strahlungsflusses, während der hemisphärische spektrale Emissionsgrad ελ (λ, T ) nur die spektrale Energieverteilung angibt und der gerichtete Gesamt-Emissionsgrad ε (β, ϕ, T ) nur die Verteilung auf die Raumwinkel des Halbraums beschreibt. Der hemisphärische Gesamt-Emissionsgrad ε(T ) — er wird oft nur Emissionsgrad genannt — hat dagegen nicht den Charakter einer Verteilungsfunktion; er gibt nur an, um welchen, von der Temperatur abh¨ angigen Faktor die spezifische Ausstrahlung


629

M (T ) eines realen K¨ orpers kleiner ist als die spezifische Ausstrahlung Ms (T ) des Schwarzen K¨ orpers mit derselben Temperatur. Aus den Definitionsgleichungen der Emissionsgrade erhält man die folgenden Beziehungen f¨ ur die vier Strahlungsgr¨ oßen der Ausstrahlung eines realen Körpers. Seine spektrale Strahldichte Lλ wird Lλ (λ, β, ϕ, T ) = ελ (λ, β, ϕ, T )Lλs (λ, T ) ,

(5.63)

wobei die spektrale Strahldichte Lλs des Schwarzen Körpers durch die Plancksche Funktion nach (5.50) gegeben ist. Da der Schwarze Körper ein LambertStrahler ist, erfasst allein ελ die Abweichungen der realen Ausstrahlung vom Lambertschen Cosinusgesetz. Dies trifft auch auf den gerichteten GesamtEmissionsgrad ε (β, ϕ, T ) zu, mit dem die Strahldichte L des realen Körpers durch σ (5.64) L(β, ϕ, T ) = ε (β, ϕ, T )Ls (T ) = ε (β, ϕ, T ) T 4 π ausgedr¨ uckt wird. In der Regel h¨ angen die gerichteten Emissionsgrade ελ (λ, β, ϕ, T ) und ε (β, ϕ, T ) nicht vom Azimutwinkel ϕ ab. Die Integration u ¨ber alle Raumwinkel des Halbraums, die nach Tabelle 5.4 von ελ zu ελ und von ε zu ε f¨ uhrt, vereinfacht sich dann. Man erh¨ alt 1 ελ (λ, T ) = π

2π π/2

ελ (λ, β, T ) cos β

ϕ=0 β=0

π/2 sin β dβ dϕ = 2

ελ (λ, β, T ) cos β sin β dβ .

β=0

(5.65) und ebenso

π/2 ε(T ) = 2

ε (β, T ) cos β sin β dβ .

(5.66)

β=0

F¨ ur die spektrale spezifische Ausstrahlung des realen Körpers gilt Mλ (λ, T ) = ελ (λ, T )Mλs (λ, T ) ,

(5.67)

wobei die spektrale spezifische Ausstrahlung Mλs des Schwarzen Körpers durch (5.50) gegeben ist. Abb. 5.30 veranschaulicht (5.67) f¨ ur eine gegebene Temperatur. Jede Ordinate von Mλs (λ, T ) ist um den Faktor ελ (λ, T ) verkleinert. Die schraffierte Fl¨ ache entspricht der spezifischen Ausstrahlung des realen Körpers, denn es gilt ∞ M (T ) =

∞ Mλ (λ, T ) dλ =

0

= ε(T )σT 4 .

ελ (λ, T )Mλs (λ, T ) dλ = ε(T )Ms (T ) 0

(5.68)

630

5 W¨ armestrahlung Abb. 5.30: Spektrale spezifische Ausstrahlung Mλ (λ, T ) eines realen K¨ orpers im Vergleich zur spektralen spezifischen Ausstrahlung Mλs (λ, T ) des Schwarzen K¨ orpers bei derselben Temperatur. Die schraffierte Fl¨ ache stellt die spezifische Ausstrahlung M (T ) des realen K¨ orpers dar.

5.3.2 Die Beziehungen zwischen Emissions-, Absorptions- und Reflexionsgraden. Der graue Lambert-Strahler 5.3.2.1 Folgerungen aus dem Gesetz von Kirchhoff Zwischen Emissions- und Absorptionsverm¨ ogen eines Körpers besteht nach dem Gesetz von Kirchhoff ein enger Zusammenhang, vgl. 5.1.6. Nach (5.48) erhielten wir f¨ ur die spektrale Strahldichte eines beliebigen Körpers die Gleichung Lλ (λ, β, ϕ, T ) = aλ (λ, β, ϕ, T )Lλs (λ, T ) als quantitativen Ausdruck des Kirchhoffschen Gesetzes. Hierin ist der gerichtete spektrale Absorptionsgrad aλ die Materialeigenschaft, die das Absorptionsvermögen des K¨ orpers kennzeichnet. Der Vergleich dieser Beziehung mit (5.63) ergibt aλ (λ, β, ϕ, T ) = ελ (λ, β, ϕ, T ) . (5.69) Der gerichtete spektrale Absorptionsgrad eines realen Strahlers stimmt mit seinem gerichteten spektralen Emissionsgrad u ¨berein. Auch der gerichtete spektrale Reflexionsgrad rλ eines strahlungsundurchlässigen Körpers l¨ asst sich auf seinen gerichteten spektralen Emissionsgrad ελ zur¨ uckf¨ uhren. Nach (5.41) und (5.69) gilt n¨ amlich rλ (λ, β, ϕ, T ) = 1 − aλ (λ, β, ϕ, T ) = 1 − ελ (λ, β, ϕ, T ) .

(5.70)

Danach gen¨ ugt eine einzige Materialfunktion, um das Emissions-, Absorptions- und Reflexionsverm¨ ogen eines strahlungsundurchlässigen Körpers zu beschreiben. Nach Tabelle 5.4 lassen sich die Emissionsgrade ελ , ε und ε aus ελ berechnen. Entsprechendes gilt bei bekannter spektraler Bestrahlungsdichte Kλ der auftreffenden Strahlung f¨ ur die Berechnung von aλ , a und a aus aλ sowie von rλ , r und r aus rλ , vgl. Tabelle 5.1 und 5.2. Somit wird tatsächlich nur eine einzige Materialfunktion, z.B. ελ = ελ (λ, β, ϕ, T ), benötigt, um alle Strahlungseigenschaften eines realen K¨ orpers zu erfassen6 . Dies ist ein Bei6

Dies gilt jedoch mit der Einschr¨ ankung, dass nicht die gerichtet-gerichteten Reflexionsgrade erfasst werden, welche die Richtungsverteilung der reflektierten Strahlung beschreiben; vgl. hierzu die Bemerkungen in 5.1.5 sowie [5.4], S. 71 ff.


631

spiel daf¨ ur, wie die Haupts¨ atze der Thermodynamik die F¨ ulle der möglichen Materialfunktionen (Zustandsgleichungen) eines Systems einschränken. 5.3.2.2 Die Berechnung von Absorptionsgraden aus Emissionsgraden Die aus dem Kirchhoffschen Gesetz folgende Gleichheit der gerichteten spektralen Absorptions- und Emissionsgrade, aλ = ελ , legt es nahe zu untersuchen, ob auch die drei anderen (integrierten) Absorptionsgrade aλ , a und a aus den entsprechenden Emissionsgraden ελ , ε und ε berechnet werden können. Dies wird ohne zus¨ atzliche Annahmen nicht möglich sein, denn die Absorptionsgrade aλ , a und a sind keine Materialeigenschaften des absorbierenden Körpers, weil sie auch von der spektralen Bestrahlungsdichte Kλ der auftreffenden Strahlung abh¨ angen, vgl. Tabelle 5.1. Die Emissionsgrade ελ , ε und ε sind dagegen reine Materialeigenschaften. Es bedarf daher einer genauen Pr¨ ufung, ob und unter welchen Bedingungen die zu (5.69) analogen Gleichungen aλ = ελ , a = ε und a = ε gelten. Sollen die hemisph¨ arischen spektralen Absorptions- und Emissionsgrade u ¨bereinstimmen, soll also aλ (λ, T ) = ελ (λ, T ) gelten, so muss nach Tabelle 5.1 und 5.4 die Gleichung

1 Eλ (λ)

ελ (λ, β, ϕ, T )Kλ (λ, β, ϕ) cos β dω =

1 π

ελ (λ, β, ϕ, T ) cos β dω

(5.71)

erf¨ ullt sein. Dabei wurde auf der linken Seite nach dem Kirchhoffschen Gesetz aλ durch ελ ersetzt. Gleichung (5.71) ist nur in zwei F¨ allen erf¨ ullt: 1. Der K¨ orper hat eine diffus strahlende Oberfl¨ ache (Lambert-Strahler); dann gilt ελ = ελ (λ, T ). 2. Es liegt diffuse Bestrahlung mit Kλ = Kλ (λ) vor, vgl. Abschnitt 5.1.3. Soll der gerichtete Gesamt-Absorptionsgrad a mit dem gerichteten GesamtEmissionsgrad ε u ¨bereinstimmen, a (β, ϕ, T ) = ε (β, ϕ, T ), so muss nach Tabelle 5.1 und 5.4 1 K(β, ϕ)

∞

ελ (λ, β, ϕ, T )Kλ (λ, β, ϕ) dλ =

0

1 Ls (T )

∞ 0

gelten. Dies ist wieder in zwei F¨ allen m¨ oglich:

ελ (λ, β, ϕ, T )Lλs (λ, T ) dλ

(5.72)

632

5 W¨ armestrahlung

1. Der gerichtete spektrale Emissionsgrad h¨ angt nicht von der Wellenl¨ ange λ ab: ελ = ελ (β, ϕ, T ). Ein K¨ orper mit dieser Eigenschaft wird grauer K¨ orper oder grauer Strahler genannt. 2. Die auftreffende Strahlung gen¨ ugt der Bedingung Kλ (λ, β, ϕ) = C(β, ϕ) · angt. Lλs (λ, T ), wobei der Faktor C nicht von λ abh¨ Schließlich bleibt zu untersuchen, unter welchen Bedingungen die hemisph¨ arischen Gesamtgr¨ oßen a und ε u ¨bereinstimmen, so dass a(T ) = ε(T ) gesetzt werden kann. Nach Tabelle 5.1 und 5.4 muss nun die Gleichung ∞ 7

ελ (λ, β, ϕ, T )Kλ (λ, β, ϕ) dλ cos β dω

0

∞ 7

Kλ (λ, β, ϕ) dλ cos β dω

=

0

1 Ms (T )

⎡ ⎣

∞

⎤ ελ (λ, β, ϕ, T )Lλs (λ, T ) dλ⎦ cos β

dω

(5.73)

0

erf¨ ullt sein. Dies ist in vier F¨ allen m¨ oglich: 1. Der K¨ orper ist zugleich ein diffuser und ein grauer Strahler: ελ = ελ (T ). 2. Der K¨ orper ist ein diffuser Strahler, ελ = ελ (λ, T ), und die spektrale Bestrahlungsst¨ arke Kλ der einfallenden Strahlung hat eine Wellenl¨ angenabh¨ angigkeit wie Schwarzk¨ orperstrahlung mit der Temperatur des absorbierenden K¨ orpers: Kλ (λ, β, ϕ) = C(β, ϕ) · Lλs (λ, T ). 3. Der K¨ orper ist ein grauer Strahler, ελ = ελ (β, ϕ, T ), und Kλ ist von der Richtung unabh¨ angig (diffuse Bestrahlung), Kλ = Kλ (λ). 4. Der K¨ orper hat beliebige Strahlungseigenschaften. Die spektrale Bestrahlungsangig und der spektralen Strahldichte st¨ arke Kλ ist von der Richtung unabh¨ eines Schwarzen K¨ orpers mit der Temperatur der absorbierenden Oberfl¨ ache proportional: Kλ = C · Lλs (λ, T ). Der Nachweis f¨ ur die Richtigkeit der genannten Bedingungen, unter denen die Gln. (5.71) bis (5.73) gelten, bleibe dem Leser u ¨berlassen.

Die Gleichheit der drei Paare von Absorptions- und Emissionsgraden, n¨ amlich aλ (λ, T ) = ελ (λ, T ), a (β, ϕ, T ) = ε (β, ϕ, T ) und a(T ) = ε(T ), ist nur dann gegeben, wenn die absorbierende und emittierende Oberfläche besondere Eigenschaften hat oder wenn die spektrale Bestrahlungsdichte Kλ der einfallenden Strahlung bestimmten Bedingungen hinsichtlich ihrer Richtungsund Wellenlängenabh¨ angigkeit gen¨ ugt. Diese Bedingungen erf¨ ullt insbesondere einfallende Schwarzk¨ orperstrahlung, wenn der Schwarze Körper die gleiche Temperatur wie der absorbierende K¨ orper hat, was ja f¨ ur die Wärme¨ ubertragung nicht zutrifft. In der Praxis haben daher die Fälle größere Bedeutung, bei denen der gerichtete spektrale Emissionsgrad ελ des absorbierenden


633

Körpers besondere Bedingungen wenigstens näherungsweise erf¨ ullt. Wir fassen sie nochmals zusammen: 1. Wenn ελ = ελ (λ, T ) ist (diffus strahlende Oberfläche), gilt aλ (λ, T ) = ελ (λ, T ) = ελ (λ, T ) .

(5.74)

2. Wenn ελ = ελ (β, ϕ, T ) ist (grau strahlende Oberfläche), gilt a (β, ϕ, T ) = ε (β, ϕ, T ) = ελ (β, ϕ, T ) .

(5.75)

3. Wenn ελ = ελ (T ) ist (diffus und grau strahlende Oberfläche), gilt a(T ) = ε(T ) = ελ (T ) .

(5.76)

ullt, so gelten (5.74) bis (5.76) f¨ ur Sind die genannten Bedingungen f¨ ur ελ erf¨ einfallende Strahlung mit beliebiger spektraler Bestrahlungsdichte Kλ . 5.3.2.3 Der graue Lambert-Strahler Zur Berechnung des Strahlungsaustausches benutzt man vorzugsweise das im letzten Abschnitt genannte Modell des diffus und grau strahlenden Körpers als einfache Näherung f¨ ur das Strahlungsverhalten realer Körper. Da f¨ ur dieses Modell das Lambertsche Cosinusgesetz gilt, bezeichnen wir diesen Körper als grauen Lambert-Strahler. Die von ihm ausgestrahlte Energie ist wie bei

Abb. 5.31: Spektrale spezifische Ausstrahlung Mλ (λ, T ) = ε(T ) Mλs (λ, T ) eines grauen Lambert-Strahlers bei einer bestimmten Temperatur

einem Schwarzen K¨ orper auf die Richtungen des Halbraums und das Spektrum verteilt; jedoch sind die spezifische Ausstrahlung Mλ (λ, T ) und die spektrale Strahldichte Lλ (λ, T ) um den allein von der Temperatur abhängigen Emissionsgrad ε(T ) gegen¨ uber den entsprechenden Funktionen des Schwarzen Körpers verringert, Abb. 5.31: Mλ (λ, T ) = πLλ (λ, T ) = ε(T )Mλs (λ, T ) .

(5.77)

Dabei bedeutet Mλs (λ, T ) die Planck-Funktion nach (5.50). Der Emissionsgrad ε(T ) ist die einzige Materialfunktion des grauen Lambert-Strahlers; denn

634

5 W¨ armestrahlung

alle vier Emissionsgrade sind gleich und stimmen mit den vier Absorptionsgraden u ¨berein: ε(T ) = ε (T ) = ελ (T ) = ελ (T ) = aλ (T ) = aλ (T ) = a (T ) = a(T ) .

(5.78)

Reale Körper sind oft in guter N¨ aherung Lambert-Strahler. Dagegen hängen ελ und ελ in der Regel merklich von der Wellenlänge ab. Die Annahme der grau strahlenden Fl¨ ache trifft dann nicht zu. Sie ist aber eine gute Näherung, wenn die Wellenl¨ angenbereiche mit merklicher spektraler spezifischer Ausstrahlung Mλ und merklicher spektraler Bestrahlungsstärke Eλ in einem Wellenlängenintervall liegen, in dem ελ nahezu konstant ist. Dies ist in Abb. 5.32 veranschaulicht, wo angenommen ist, dass bei kleinen Wellenlängen Strahlung weder emittiert wird noch auftrifft und absorbiert wird. Dies trifft auf Strahlungsquellen nicht zu hoher Temperatur zu. Fällt jedoch Sonnenstrahlung, deren Maximum bei kleinen Wellenlängen λ < λ1 liegt, auf den in Abb. 5.32 betrachteten K¨ orper, so wird a = ε; die Annahme eines grauen Körpers ist nun nicht gerechtfertigt, so dass besondere Absorptionsgrade aS f¨ ur Solarstrahlung verwendet werden m¨ ussen, vgl. Abschnitt 5.4.5.

Abb. 5.32: Ann¨ ahernd konstanter spektraler Emissionsgrad ελ f¨ ur λ > λ1 sowie Verlauf der spektralen spezifischen Ausstrahlung Mλ und der spektralen Bestrahlungsst¨ arke Eλ , so dass ein grauer Strahler angenommen werden kann

Beispiel 5.4: Ein Material habe einen gerichteten spektralen Emissionsgrad, der nur vom Polarwinkel β abh¨ angt: ελ (λ, β, ϕ, T ) = ε (β). Diese Richtungsabh¨ angigkeit sei durch ur 0 ≤ β < π/4 ε1 = 0,20 f¨ ε (β) = ε2 = 0,50 f¨ ur π/4 ≤ β ≤ π/2 gegeben. Die Außenhaut eines Satelliten besteht aus diesem Material und ist Solarstrahlung mit der Flussdichte q˙sol = 1500 W/m2 ausgesetzt. Welche Temperatur nimmt die Oberfl¨ ache des Satelliten an, wenn sie senkrecht von Solarstrahlung getroffen wird? Welche Temperatur stellt sich ein, wenn die Oberfl¨ ache mit der Richtung der Solarstrahlung den Winkel π/6 = 30◦ bildet? Ein W¨ armestrom zwischen der Oberfl¨ ache und dem Inneren des Satelliten ist zu vernachl¨ assigen; die Temperatur des Weltraums kann zu TW = 0 K angenommen werden.


635

Unter den gegebenen Annahmen muss die spezifische Ausstrahlung M (T ) = εσT 4 der Satellitenoberfl¨ ache gleich der Energiestromdichte q˙abs sein, die sie von der auftreffenden Solarstrahlung absorbiert: εσT 4 = q˙abs = a (β)E = ε (β)q˙sol cos β . Hierbei wurde (5.75) benutzt, weil ein grauer Strahler (ελ unabh¨ angig von λ) vorliegt. Die gesuchte Temperatur T der Satellitenoberfl¨ ache wird dann ( 4 ε (β)q˙sol cos β . (5.79) T = εσ In dieser Gleichung bedeutet ε den hemisph¨ arischen Gesamt-Emissionsgrad, der nach (5.66) zu berechnen ist. Hierf¨ ur erh¨ alt man

ε=2

ε1

π/4 π/2 cos β sin β dβ + 2 ε2 cos β sin β dβ . 0

π/4

Die beiden Integrale haben jeweils den Wert 1/4, so dass sich ε = 12 (ε1 + ε2 ) = 0,35 ergibt. F¨ ur senkrechten Strahlungseinfall ist β = 0, und man erh¨ alt aus (5.79) T = 351 K. Wenn die Oberfl¨ ache und die Richtung der Solarstrahlung den Winkel π/6 bilden, betr¨ agt der Polarwinkel β = π/2 − π/6 = π/3. Der f¨ ur die Absorption oßeren Wert ε2 maßgebende gerichtete Emissionsgrad ε (β) nimmt jetzt den gr¨ an, w¨ ahrend die Bestrahlungsst¨ arke um den Faktor cos β = cos(π/3) = 0,5 zur¨ uckgeht. Beide Einfl¨ usse kompensieren sich teilweise, so dass (5.79) die nur wenig h¨ ohere Oberfl¨ achentemperatur T = 371 K liefert.

5.3.3 Emissionsgrade realer Ko ¨rper Die Strahlungseigenschaften eines strahlungsundurchlässigen Körpers werden nach 5.3.2.1 durch seinen gerichteten spektralen Emissionsgrad ελ = ελ (λ, β, ϕ, T ) erfasst. Um diese Materialfunktion experimentell zu bestimmen, sind umfangreiche Messungen erforderlich, denn es muss die Abhängigkeit von der Wellenlänge, von der Richtung und von der Temperatur ermittelt werden. Derart umfassende Messungen sind bisher f¨ ur keinen Stoff ausgef¨ uhrt worden. Man beschr¨ ankt sich h¨ aufig auf die Bestimmung des Emissionsgrads ελ,n in Richtung der Fl¨ achennormale (β = 0), des Emissionsgrads f¨ ur wenige ausgewählte Wellenl¨ angen, oder man misst nur den hemisphärischen GesamtEmissionsgrad ε. Zur Unvollständigkeit der Strahlungsmessungen kommt als weitere Schwierigkeit die starke Abh¨ angigkeit der Ergebnisse von der Oberflächenbeschaffenheit hinzu. Neben Rauhigkeiten spielen Verunreinigungen eine Rolle. Schon ein sehr d¨ unner Wasserfilm oder eine Oxidschicht kann das Strahlungsverhalten gegen¨ uber dem des Grundmaterials v¨ ollig verändern. So u ¨berrascht es nicht, dass sich die von verschiedenen Forschern gemessenen Emissionsgrade oft merklich unterscheiden. Leider werden bei der Beschreibung der Versuche

636

5 W¨ armestrahlung

die Oberflächeneigenschaften nur ungenau oder unvollständig charakterisiert, was häufig auch objektiv nicht besser geschehen kann; denn quantitative Maße f¨ ur die Eigenschaften von Oberfl¨ achen fehlen weitgehend. Die in den Tabellen B.12 und B.13 des Anhangs aufgef¨ uhrten Emissionsgrade m¨ ussen daher als relativ unsicher angesehen werden. Angesichts der experimentellen Schwierigkeiten ist eine Theorie der Strahlungseigenschaften erw¨ unscht. Die auf J.C. Maxwell (1864) zur¨ uckgehende klassische Theorie der elektromagnetischen Wellen verkn¨ upft den Emissionsgrad ελ mit den sogenannten optischen Konstanten der Materie, der Brechzahl n und der Absorptionszahl k, die zu einer komplexen Brechzahl n ¯ = n − ik zusammengefasst werden. Die optischen Konstanten“ hängen von der Tempe” ratur, der Wellenl¨ ange und von elektrischen Eigenschaften, insbesondere vom spezifischen elektrischen Widerstand re des Materials ab. Außerdem liefert die Theorie in Form der Fresnelschen Gleichungen explizit die Abhängigkeit des gerichteten Emissionsgrads vom Polarwinkel β, während keine Abhängigkeit vom Azimutwinkel ϕ auftritt, weil Isotropie angenommen wird. Leider gilt die elektromagnetische Theorie nur unter einer Reihe einschränkender Voraussetzungen, so dass die aus ihr berechneten Emissionsgrade häufig nicht mit der Realit¨ at u ¨bereinstimmen. Trotzdem liefert sie wichtige, qualitativ g¨ ultige Aussagen, die zur Extrapolation von Messwerten oder zu Abschätzungen bei fehlenden Daten benutzt werden können. Wir verzichten auf eine eingehende Darstellung der elektromagnetischen Theorie, vgl. hierzu z.B. [5.4], sondern verwenden nur einige ihrer Ergebnisse bei der Diskussion des Emissionsgrades von elektrischen Nichtleitern und elektrischen Leitern (Metallen). Diese beiden Stoffgruppen unterscheiden sich auch in ihrem Strahlungsverhalten erheblich. 5.3.3.1 Elektrische Nichtleiter Zu den elektrischen Nichtleitern geh¨ oren nichtmetallische Werk- und Baustoffe, Anstriche, Oxidschichten auf Metallen und die meisten Fl¨ ussigkeiten. F¨ ur die Anwendung der elektromagnetischen Theorie idealisiert man sie dadurch, dass ihr spezifischer elektrischer Widerstand zu re → ∞ angenommen wird. Solche Stoffe werden Dielektrika genannt. Ihre Absorptionszahl k ist null; ihre Brechzahl ergibt sich nach √ n = μr γr (5.80) ur das Vaaus ihrer Permeabilit¨ atszahl μr und ihrer Permittivitätszahl γr . F¨ kuum sind beide Gr¨ oßen gleich eins, so dass n = 1 wird. Die Brechzahlen der meisten Dielektrika liegen zwischen n = 1 und n = 3. Der spektrale Emissionsgrad ελ,n in Richtung der Flächennormale hängt nach der Theorie in einfacher Weise von der Brechzahl ab: ελ,n =

4n (n + 1)

2

.

(5.81)


637

Die komplizierte Abh¨ angigkeit ελ = ελ (β, n) vom Polarwinkel β ist in Abb. 5.33, einem Polardiagramm, dargestellt. Danach und nach (5.81) sind f¨ ur Nichtleiter hohe Emissionsgrade u ¨ber 0,8 zu erwarten, was durch die Angaben in Tabelle B.12 best¨ atigt wird. In Abb. 5.33 verlaufen die Kurven n = const bis zu recht großen Polarwinkeln β fast kreisf¨ ormig. Somit gilt das Lambertsche Cosinusgesetz in guter N¨ aherung; Dielektrika können als diffuse Strahler behandelt werden. Messungen von E. Schmidt [5.17] sowie von E. Schmidt und E. Eckert [5.18] best¨ atigen im Wesentlichen die in Abb. 5.33 dargestellte Abhängigkeit des Emissionsgrads vom Polarwinkel β. Die elektromagnetische Theorie macht keine explizite Aussage u ¨ber die Wellenlängenabhängigkeit von n. Die nach (5.81) und Abb. 5.33 zu erwartenden hohen Emissionsgrade wurden bei Strahlungsmessungen nur f¨ ur gr¨ oßere Wellenlängen, etwa λ > 2 μm,

Abb. 5.33: Gerichteter spektraler Emissionsgrad ελ (β, n) von elektrischen Nichtleitern nach (5.82) im Polardiagramm

beobachtet. Dies zeigt Abb. 5.34, in der ελ (λ, β ≈ 0) nach Messungen von W. Sieber [5.19] dargestellt ist. Im technisch wichtigen Bereich größerer Welaherung nicht von λ ab; man kann ε ≈ ελ lenlängen hängt ελ in erster N¨ und ε ≈ ελ setzen, wenn die Temperaturen so niedrig sind, dass die Emission bei Wellenlängen unter etwa 2 μm keinen nennenswerten Beitrag liefert. Dielektrika sind n¨ aherungsweise graue Strahler. Da bei Strahlungsmessungen h¨ aufig nur der Emissionsgrad εn oder ελ,n in Richtung der Fl¨ achennormale bestimmt wird, f¨ ur Strahlungsaustauschrechnungen aber der hemisph¨ arische Gesamt-Emissionsgrad ε benötigt wird, ist ur Dielektrika kann man das Verhältnis ε/εn von Interesse. F¨ ε/εn ≈ ελ (n) /ελ,n (n) setzen; damit lässt sich dieses Verh¨ altnis aus den Gleichungen der elektromagnetischen Theorie berechnen. Es ist in Tab. 5.5 verzeichnet und in Abb. 5.35 dargestellt. Da das Lambertsche Cosinusgesetz annähernd erf¨ ullt ist, weicht ε/εn nur wenig von eins ab.

638

5 W¨ armestrahlung

Abb. 5.34: Gerichteter spektraler Emissionsgrad ελ (λ, β ≈ 0) als Funktion der Wellenl¨ ange f¨ ur verschiedene Nichtleiter nach Messungen von W. Sieber [5.19]. a Weißlack auf Holz, b Eichenholz (geschliffen), c weiße Kacheln (glasiert), d Beton

Abb. 5.35: Verh¨ altnis ε/εn des hemisph¨ arischen Gesamt-Emissionsgrads ε zum achennormale als Funktion von εn . Rechte Emissionsgrad εn in Richtung der Fl¨ Kurve: Dielektrika nach Tabelle 5.5, linke Kurve: Metalle nach Tabelle 5.6. Kreise: Messwerte nach [5.18]

tet

Die Abb. 5.33 zugrundeliegende Gleichung der elektromagnetischen Theorie lau

2a cos β n2 ελ (β, n) = 1+ (5.82) 2 (a + cos β)2 a cos β + sin2 β

mit a = (n2 − sin2 β)1/2 , vgl. z.B. [5.20]. Durch Integration von ελ nach (5.66) erh¨ alt man den hemisph¨ arischen Emissionsgrad ελ , der nach der Theorie nur von der Brechzahl n nach (5.80) abh¨ angt. R.V. Dunkle [5.21] hat diese Integration ausgef¨ uhrt mit dem Ergebnis

5.3 Strahlungseigenschaften realer K¨ orper ελ (n) =

2 n2 n2 − 1 1 n+1 (3n + 1) (n − 1) + ln − 2 2 + 1)3 2 n 6 (n + 1) (n −1 8n4 n4 + 1 2n3 n2 + 2n − 1 ln n . − + 2 (n + 1) (n4 − 1) (n2 + 1) (n4 − 1)2

639

(5.83)

alt man daraus die Werte von Tab. 5.5 und Durch Division mit ελ,n nach (5.81) erh¨ Abb. 5.33, die als ε/εn interpretiert werden k¨ onnen.

altnis ελ /ελ,n Tabelle 5.5: Hemisph¨ arischer (spektraler) Emissionsgrad ελ , Verh¨ und Brechzahl n als Funktionen des gerichteten (spektralen) Emissionsgrads ελ,n in Richtung der Fl¨ achennormale f¨ ur elektrische Nichtleiter nach der elektromagnetischen Theorie. Das Verh¨ altnis ελ /ελ,n kann gleich ε/εn gesetzt werden. ελ,n

ελ

ελ /ελ,n

n

ελ,n

ελ

ελ /ελ,n

n

0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,82 0,84

0,5142 0,5575 0,5999 0,6417 0,6829 0,7238 0,7647 0,7812 0,7978

1,0284 1,0136 0,9999 0,9872 0,9756 0,9651 0,9559 0,9526 0,9497

5,8284 5,0757 4,4415 3,8973 3,4221 3,0000 2,6180 2,4738 2,3333

0,86 0,88 0,90 0,92 0,94 0,96 0,98 0,99 1,00

0,8146 0,8317 0,8492 0,8675 0,8868 0,9082 0,9342 0,9518 1,0000

0,9472 0,9451 0,9436 0,9429 0,9434 0,9461 0,9532 0,9615 1,0000

2,1957 2,0600 1,9249 1,7888 1,6488 1,5000 1,3294 1,2222 1,0000

5.3.3.2 Elektrische Leiter (Metalle) Anders als bei den Dielektrika werden die in Metalle eindringenden elektromagnetischen Wellen ged¨ ampft; die Absorptionszahl k in der komplexen Brechzahl n ¯ = n − ik ist nicht gleich null, sondern meist größer als n. F¨ ur den spektralen Emissionsgrad ελ,n in Richtung der Flächennormale liefert die elektromagnetische Theorie die Beziehung ελ,n (n, k) =

4n 2

(n + 1) + k2

.

(5.84)

Danach sind bei Metallen erheblich kleinere Emissionsgrade als bei elektrischen Nichtleitern zu erwarten. Bei größeren Wellenl¨ angen, etwa λ > 5 μm, und kleinem spezifischen elektrischen Widerstand re lassen sich die Strahlungseigenschaften der Metalle durch eine vereinfachte Version der elektromagnetischen Wellentheorie beschreiben, die auf P. Drude [5.22] zur¨ uckgeht. Sie ist auch mit den Namen E. Hagen und H. Rubens verkn¨ upft, die ihre Anwendbarkeit experimentell

640

5 W¨ armestrahlung

u uften [5.23]. Nach dieser Theorie nehmen n und k große Werte an, und ¨berpr¨ es gilt ( ( c0 μ0 λ R0 λ = . (5.85) n=k= 4π re re Dabei bedeuten c0 die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit und μ0 = 4π · 10−7 N/A2 die magnetische Feldkonstante. Diese universellen Konstanten ergeben einen elektrischen Widerstand R0 = c0 μ0 /4π = 29,979 Ω. Nach der Drudeschen Theorie h¨ angt ελ nur vom Polarwinkel β und von n nach (5.85) ab, vgl. Abb. 5.36. Bei Polarwinkeln u ¨ber 80◦ nimmt ελ ein ausgeprägtes Maximum an; das Lambertsche Cosinusgesetz ist nicht erf¨ ullt; Metalle können nicht als diffuse Strahler behandelt werden. Das in Abb. 5.35

Abb. 5.36: Gerichteter spektraler Emissionsgrad ελ (β, n) von Metallen nach der vereinfachten elektromagnetischen Theorie, Gl. (5.87)

dargestellte Verh¨ altnis ε/εn ist daher auch merklich größer als eins. Messungen von E. Schmidt und E. Eckert [5.18] best¨ atigen die in Abb. 5.36 dargestellte Winkelabhängigkeit von ελ qualitativ. Da die Brechzahl n nach (5.85) von der Wellenlänge λ abhängt, trifft dies auch auf ελ zu. Die spektralen Emissionsgrade der Metalle nehmen bei größeren Wellenlängen mit wachsendem λ ab. Metalle können daher nicht als graue Strahler angesehen werden, und man kann nicht a(T ) = ε(T ) setzen. Nach E. Eckert [5.24] gilt f¨ ur den Absorptionsgrad a einer Metalloberfläche mit der Temperatur T f¨ ur auftreffende schwarze oder graue Strahlung aus einer Strahlungsquelle mit der Temperatur T ∗ √ a = ε( T · T ∗ ) . (5.86) Diese Beziehung ist jedoch nur dann richtig, wenn T ∗ so niedrig ist, dass der in den Bereich λ < 5 μm fallende Teil der auftreffenden Strahlung vernachlässigt werden kann.


641

Nach der Drudeschen Theorie erh¨ alt man f¨ ur den gerichteten spektralen Emissionsgrad ελ von Metallen, vgl. z.B. [5.4], 1 1 . (5.87) ελ (β, n) = 2n cos β 2 2 + 2 2 (n cos β) + (1 + n cos β) n + (n + cos β) Diese Gleichung liegt Abb. 5.36 zugrunde. Integriert man (5.87) entsprechend Gl. (5.66), so erh¨ alt man den nur von n abh¨ angigen spektralen Emissionsgrad

1 2 1 2 1 ελ (n) = 4n + − 4n2 + 2 ln 1 + + 2 − 2 ln (2n) . (5.88) n n n 2n n Da die Drudesche Theorie nur f¨ ur große n zutrifft, entwickelt man ελ (n) in eine Potenzreihe von (1/n). Mit (5.85) folgt daraus die f¨ ur re in Ωcm und λ in μm g¨ ultige Zahlenwertgleichung ( ( re re re re 1 + 31,62 + 6,849 ln ελ = 48,70 − 166,78 λ λ λ λ , (5.89) r 2 r 5/2 e e + 3973,8 − 47628 + ··· , λ λ angen g¨ ultig f¨ ur re /λ < 5 · 10−4 Ωcm/μm. Danach nimmt ελ bei großen Wellenl¨ proportional zu λ−1/2 ab. Der spezifische elektrische Widerstand re w¨ achst mit steigender Temperatur, so dass ελ mit T zunimmt. Dies gilt jedoch nur bei gr¨ oßeren Wellenl¨ angen; bei kleinen Wellenl¨ angen versagt die Drudesche Theorie, und man beobachtet eine Abnahme von ελ bei steigender Temperatur. arischen Gesamtemissionsgrad ε(T ) zu erhalten, hat Um aus ελ den hemisph¨ man nach Tabelle 5.4 ελ mit Mλs zu multiplizieren und u angen zu ¨ber alle Wellenl¨ integrieren. Dies ergibt die Zahlenwertgleichung (f¨ ur re in Ωcm und T in K) √ ε (T ) = 0,7671 re T − (0,3091 − 0,08884 ln re T ) (re T ) − 0,02334 (re T )3/2 (5.90) +3,50 · 10−4 (re T )5/2 − 8,7 · 10−5 (re T )3 + · · · , angen g¨ ultig f¨ ur re T < 1,2 ΩcmK. Da die Drudesche Theorie bei kleinen Wellenl¨ nicht gilt, die Integration von ελ · Mλs aber bei λ = 0 beginnt, ist (5.90) nur bei so niedrigen Temperaturen anwendbar, dass der Beitrag der kleinen Wellenl¨ angen zu ε vernachl¨ assigbar ist. Dies ist in der Regel f¨ ur T < 550 K der Fall. Schließlich kann man ελ,n nach (5.84) mit k = n in eine Potenzreihe von (1/n) entwickeln und durch Integration u angen den Gesamt-Emissionsgrad ¨ber alle Wellenl¨ achennormale zu εn in Richtung der Fl¨ √ εn (T ) = 0,5753 re T − 0,1777 (re T ) + 0,0292 (re T )3/2 (5.91) −0,00184 (re T )5/2 + 0,000712 (re T )3 − · · · berechnen. Aus (5.90) und (5.91) erh¨ alt man die in Tabelle 5.6 angegebenen Werte von ε/εn , die auch in Abb. 5.35 dargestellt sind.

642

5 W¨ armestrahlung

Tabelle 5.6: Hemisph¨ arischer Gesamt-Emissionsgrad ε, Verh¨ altnis ε/εn und Produkt re T als Funktion des (gerichteten) Gesamt-Emissionsgrads εn in Richtung der Fl¨ achennormale f¨ ur Metalle, berechnet nach der vereinfachten elektromagnetischen Theorie (n = k) εn

ε/εn

ε

re T

εn

ε

ε/εn

ΩcmK

ΩcmK 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14

0,0000 0,0258 0,0506 0,0745 0,0977 0,1203 0,1424 0,1640

1,333 1,292 1,264 1,242 1,221 1,203 1,187 1,172

0,00000 0,00123 0,00505 0,01163 0,02114 0,03384 0,04992 0,06967

re T

0,16 0,18 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45

0,1852 0,2059 0,2263 0,2757 0,3231 0,3688 0,4129 0,4555

1,157 1,144 1,131 1,103 1,077 1,054 1,032 1,012

0,0934 0,1213 0,1537 0,2577 0,3999 0,5904 0,8417 1,1722

5.3.4 Strahlungsdurchl¨ assige K¨ orper Metalle und die meisten elektrischen Nichtleiter absorbieren auftreffende Strahlung in einer oberfl¨ achennahen Schicht von wenigen Mikrometer Dicke vollständig, so dass sie strahlungsundurchl¨ assig sind. Ausnahmen bilden Fl¨ ussigkeiten und feste Stoffe wie Glas und einige Mineralien (Steinsalz, Sylvin und Flussspat); sie lassen auch bei gr¨ oßeren Dicken Strahlung selektiv hindurch, nämlich in einem begrenzten Wellenl¨ angenbereich, meistens bei kurzen Wellenlängen im sichtbaren Teil des Spektrums. Um die von einem K¨ orper durchgelassene Strahlung zu beschreiben, definieren wir den spektralen Transmissionsgrad τλ (λ, T ) := d2 Φb,dgl /d2 Φb .

(5.92)

Hierin bedeutet wie in Abschnitt 5.1.3 d2 Φb = Eλ (λ) dλ dA den Strahlungsfluss, der im Wellenl¨ angenintervall dλ auf eine Element dA der Oberfläche des Körpers auftrifft; d2 Φb,dgl ist der vom Körper durchgelassene ur jede Wellenlänge Strahlungsfluss. Der spektrale Transmissionsgrad τλ gibt f¨ an, welcher Teil der spektralen Bestrahlungsst¨ arke Eλ durchgelassen wird. Mit dem spektralen Absorptionsgrad aλ (λ, T ) nach Tabelle 5.1 und dem spektralen Reflexionsgrad rλ (λ, T ) nach Tabelle 5.2 erhält man die Bilanz rλ (λ, T ) + aλ (λ, T ) + τλ (λ, T ) = 1 .

(5.93)

In Abb. 5.37 ist der Transmissionsgrad τλ von Jenaer Glas dargestellt. Glas besitzt eine hohe Durchl¨ assigkeit in einem recht scharf begrenzten Intervall bei kleinen Wellenl¨ angen. Diese selektive Durchlässigkeit bietet die


643

Möglichkeit, Solarenergie durch Glasfenster einzufangen. Ein erheblicher Anteil des u ¨berwiegend kurzwelligen Sonnenlichts wird durchgelassen. Die hinter dem Glasfenster befindlichen K¨ orper, die etwa die Umgebungstemperatur haben, emittieren Strahlung bei großen Wellenl¨ angen, wo τλ sehr kleine Werte annimmt. Diese langwellige Strahlung wird von Glas nicht durchgelassen, sondern größtenteils absorbiert. Hierauf beruht der sogenannte Treibhauseffekt. Er wird nicht nur bei Gew¨ achsh¨ ausern genutzt, sondern auch bei Flachkollektoren zur thermischen Nutzung der Solarenergie, vgl. z.B. [5.25]. Eine Glasabdeckung u ache des Kollektors lässt die Sonnenstrahlung fast ¨ber der Absorberfl¨ ungehindert hindurch und vermindert zugleich die unerw¨ unschte Wärmeabgabe des Kollektors an die Umgebung.

Abb. 5.37: Transmissionsgrad τλ einer Scheibe aus Jenaer Glas (farblos) von s = 1 mm Dicke unter Ber¨ ucksichtigung der Mehrfachreflexionen an den beiden Oberfl¨ achen bei T ≈ 300 K

Absorptionsgrad aλ und Transmissionsgrad τλ eines strahlungsdurchlässigen Körpers hängen nicht nur von seinem Absorptionsvermögen f¨ ur eindringende Strahlung ab, sondern auch von seiner Dicke s. Um diese Zusammenhänge zu kl¨ aren, benutzt man weitere Stoffkennzahlen auf die wir im Folgenden eingehen, vgl. auch DIN 1349 [5.26]. Auf den K¨ orper mit der Dicke s treffe Strahlung mit der spektralen Bestrahorper der spektrale Strahlungsfluss lungsst¨ arke Eλ (λ). Davon dringt in den K¨ Φλ (0) = (1 − rλ ) Eλ

(5.94)

ein. Durch die Absorption im Inneren des K¨ orpers vermindert sich der eingedrungene Strahlungsfluss und erreicht an der anderen Oberfl¨ ache den kleineren Wert Φλ (s). Diese Abschw¨ achung erfasst der spektrale Reintransmissionsgrad, definiert durch τi (λ, s) := Φλ (s) /Φλ (0) .

(5.95)

Der Index i weist auf die im Inneren des K¨ orpers stattfindende Abschw¨ achung hin. Der im K¨ orper absorbierte Teil des eingedrungenen Strahlungsflusses wird durch den spektralen Reinabsorptionsgrad ai (λ, s) :=

Φλ (0) − Φλ (s) = 1 − τi (λ, s) Φλ (0)

(5.96)

644

5 W¨ armestrahlung Tabelle 5.7: Spektraler Absorptionskoeffizient κλ von Wasser nach [5.27] λ μm

κλ cm−1

λ μm

κλ cm−1

λ μm

κλ cm−1

λ κλ μm cm−1

0,20 0,25 0,30 0,35 0,40

0,0691 0,0168 0,0067 0,0023 0,00058

0,70 0,75 0,80 0,85 0,90

0,0060 0,0261 0,0196 0,0433 0,0679

1,8 2,0 2,2 2,4 2,6

8,03 69,1 16,5 50,1 153,0

3,8 4,0 4,2 4,4 4,6

0,45 0,50 0,55 0,60 0,65

0,00029 0,00025 0,000045 0,0023 0,0032

0,95 0,388 1,0 0,363 1,2 1,04 1,4 12,4 1,6 6,72

2,8 5160,0 3,0 11400,0 3,2 3630,0 3,4 721,0 3,6 180,0

112,0 145,0 206,0 294,0 402,0

4,8 393,0 5,0 312,0 5,5 265,0 6,0 2240,0 6,5 758,0

λ κλ μm cm−1 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0

574,0 546,0 539,0 543,0 557,0

9,5 587,0 10,0 638,0

beschrieben. Um den Einfluss der K¨ orperdicke s von dem des spezifischen Absorptionsverm¨ ogens zu trennen, definiert man den spektralen Absorptionskoeffizienten κ (λ, s) :=

1 1 ln . s τi (λ, s)

(5.97)

F¨ ur die meisten Stoffe h¨ angt κ nicht von der Schichtdicke s ab, sondern ist eine von der Wellenl¨ ange abh¨ angige Materialeigenschaft: κ = κ(λ). Wir setzen dies voraus und erhalten (5.98) τi (λ, s) = exp [−κ (λ) s] = 1 − ai (λ, s) . Der spektrale Reintransmissionsgrad nimmt exponentiell mit der Dicke des K¨ orpers ab. Ein strahlungsundurchl¨ assiger K¨ orper der Dicke s hat einen so großen spektralen Absorptionskoeffizienten, dass das Produkt κ(λ)s Werte u ¨ber etwa 7 erreicht; dann werden τi ≈ 0 und ai ≈ 1. In Tabelle 5.7 ist der spektrale Absorptionskoeffizient von Wasser verzeichnet. Bei Wellenl¨ angen im sichtbaren Teil des Spektrums ist κ(λ) sehr klein. So erh¨ alt man f¨ ur λ = 0,5 μm und s = 1,0 m τi = exp −0,00025 cm−1 · 1,0 m = 0,975 . Die Wasserschicht l¨ asst kurzwellige Strahlung fast ungeschw¨ acht hindurch. Dies gilt ur s = 1,0 m unmessbar klein. Da nicht f¨ ur Wellenl¨ angen λ ≥ 0,95 μm. Hier wird τi f¨ die Sonne nach Beispiel 5.3 u angen strahlt, ¨berwiegend im Bereich kleiner Wellenl¨ werden noch 36% der insgesamt eindringenden Sonnenstrahlung bis in eine Tiefe von 1,0 m durchgelassen. Dagegen wird die u ¨berwiegend langwellige Strahlung irdischer Strahlungsquellen bereits in einer etwa 2 mm dicken Wasserschicht vollst¨ andig absorbiert [5.17]. Die von einem festen K¨ orper, z.B. von Glas, durchgelassene Strahlung wird nicht nur durch die Absorption in seinem Inneren bestimmt; auch die Mehrfach-Reflexion an den beiden Oberfl¨ achen spielt eine Rolle. Die bei Mehrfachreflexion auftretenden Strahlungsfl¨ usse sind in Abb. 5.38 schematisch dargestellt. An jeder der beiden Grenzfl¨ achen findet durch Reflexion eine Teilung des Strahlungsflusses in den reflektierten und den weiterfließenden Anteil statt. Der daf¨ ur maßgebende Reflexionsgrad


645

wird nach [5.26] als spektraler Fresnelscher Reflexionsgrad r¯(λ) bezeichnet. Er ist nach r¯(λ) = 1 − ελ aus dem gerichteten spektralen Emissionsgrad ελ nach (5.82) zu berechnen, wenn der K¨ orper an ein Medium mit der Brechzahl n = 1, also an das Vakuum oder an Luft grenzt. Bei jedem Durchgang von einer Grenzfl¨ ache zur anderen acht. Dies ergibt die in Abb. 5.38 wird der Strahlungsfluss um den Faktor τi geschw¨ eingezeichneten durchgelassenen und reflektierten Anteile des auftreffenden und zu eins normierten Strahlungsflusses. Durch Addition aller durchgelassenen Strahlungsfl¨ usse erh¨ alt man τλ = (1 − r¯)2 τi 1 + r¯2 τi2 + r¯4 τi4 + · · · oder τλ =

(1 − r¯)2 τi . 1 − r¯2 τi2

(5.99)

Addition der reflektierten Stahlungsfl¨ usse ergibt den spektralen Reflexionsgrad

Abb. 5.38: Schema der Strahlungsfl¨ usse bei mehrfacher Reflexion an den Grenzfl¨ achen einer f¨ ur Strahlung durchl¨ assigen Platte rλ = r¯ + r¯ (1 − r¯)2 τi2 1 + r¯2 τi2 + r¯4 τi4 + · · · oder

(1 − r¯)2 τi2 . rλ = r¯ 1 + 1 − r¯2 τi2

(5.100)

Die Mehrfachreflexionen erh¨ ohen rλ gegen¨ uber r¯ und verringern τλ gegen¨ uber τi . Der im K¨ orper absorbierte Strahlungsanteil l¨ asst sich aus (5.93) berechnen. Man erh¨ alt den spektralen Absorptionsgrad (1 − r¯) τi aλ = (1 − r¯) 1 − ; (5.101) 1 − r¯τi ur viele elektrische Nichtleiter, er ist kleiner als der Reinabsorptionsgrad ai = 1−τi . F¨ insbesondere f¨ ur Glas mit n = 1,5 ist f¨ ur Polarwinkel β < 60◦ der Fresnelsche Reflexionsgrad r¯ < 0,1. Dann darf mit einem Fehler, der kleiner als 1% ist, 1−¯ r 2 τi2 = 2 alt aus (5.99) 1 − r¯ gesetzt werden, und man erh¨ τλ ≈

1 − r¯ τi . 1 + r¯

(5.102)

646

5 W¨ armestrahlung

Der in Abb. 5.37 dargestellte Transmissionsgrad τλ von Glas erreicht Maximalwerte von 0,88. Mit einer Brechzahl n = 1,55 erh¨ alt man f¨ ur senkrecht auftreffende Strahlung aus (5.81) r¯ = (n − 1)2 /(n + 1)2 = 0,0465. Damit ergibt sich aus (5.101) der Reintransmissionsgrad τi = 0,97. Im Bereich des Maximums von τλ ist Glas fast uber dem H¨ ochstwert τλ = 1 ist v¨ ollig durchl¨ assig; die Verringerung von τλ gegen¨ u achen der Glasscheibe zur¨ uckzuf¨ uhren. ¨berwiegend auf die Reflexion an den Grenzfl¨ Beispiel 5.5: Der spektrale Transmissionsgrad einer 2,0 mm dicken Glasscheibe wird durch ⎧ ur λ < λ1 ⎨ 0 f¨ ur λ1 ≤ λ ≤ λ2 τλ = 0,86 f¨ ⎩ 0,03 f¨ ur λ > λ2 mit λ1 = 0,35 μm und λ2 = 1,5 μm angen¨ ahert. Man berechne den GesamtTransmissionsgrad f¨ ur senkrecht einfallende Solarstrahlung. Die spektrale Bestrahlungsst¨ arke Eλ (λ) soll proportional zur spektralen spezifischen Ausstrahlung Mλs eines Schwarzen K¨ orpers mit T = TS = 5777 K angenommen werden, vgl. Beispiel 5.3. Wie groß wird τ f¨ ur eine Glasscheibe mit s = 4,0 mm und der Brechzahl n = 1,52 ? Der Gesamt-Transmissionsgrad ist in Analogie zum Gesamt-Absorptionsgrad a nach Tabelle 5.1 durch 7∞ τ =

0

7∞

τλ (λ, T ) Eλ (λ) dλ 7∞

= Eλ (λ) dλ

τλ (λ) Mλs (λ, TS ) dλ

0

σTS4

0

gegeben. Mit der Funktion F (0, λT ) nach (5.62) und nach Tabelle 5.3 erh¨ alt man τ = 0,86 [F (0, λ2 TS ) − F (0, λ1 TS )] + 0,03 [1 − F (0, λ2 TS )] . F¨ ur λ1 TS = 2022 μmK und λ2 TS = 8665,5 μmK findet man aus Tabelle 5.3 F (0, λ1 TS ) = 0,0702 und F (0, λ2 TS ) = 0,8800. Damit wird τ = 0,700. Die Glasscheibe l¨ asst 70% der auftreffenden Solarstrahlung durch. Bei Verdopplung der Scheibendicke auf s = 4,0 mm ¨ andert sich der spektrale Transmissionsgrad τλ . Wir berechnen zun¨ achst den Reintransmissionsgrad τi f¨ ur die Glasscheibe mit 2,0 mm Dicke. Mit n = 1,52 erh¨ alt man aus (5.81) und r¯ = 1 − ελ,n den Fresnelschen Reflexionsgrad r¯ = (n − 1)2 /(n + 1)2 = 0,0426. Da r¯ < 0,1 ist kann τi aus (5.102) berechnet werden: τi = Dies ergibt

1 + r¯ τλ = 1,089 τλ . 1 − r¯

⎧ ⎨ τi =

0 f¨ ur λ < λ 1 0,937 f¨ ur λ 1 ≤ λ ≤ λ 2 ⎩ 0,033 f¨ ur λ > λ 2 .

Mit τi = exp[−κ(λ)s] erhalten wir daraus f¨ ur s = 2,0 mm den spektralen Absorptionskoeffizienten ⎧ ∞ f¨ ur λ < λ1 ⎨ 0,328 cm−1 f¨ ur λ1 ≤ λ ≤ λ2 κ= ⎩ 17,1 cm−1 f¨ ur λ > λ 2 .

5.4 Solarstrahlung

647

Daraus ergibt sich der Reintransmissionsgrad f¨ ur die gr¨ oßere Glasdicke s = 4,0 mm zu ⎧ ur λ < λ 1 ⎨ 0 f¨ ur λ 1 ≤ λ ≤ λ 2 τi = 0,877 f¨ ⎩ 0,001 f¨ ur λ > λ 2 und schließlich der gesuchte spektrale Transmissionsgrad zu ⎧ ur λ < λ 1 ⎨ 0 f¨ ur λ1 ≤ λ ≤ λ2 τλ = 0,805 f¨ ⎩ 0,001 f¨ ur λ > λ2 . Der Gesamt-Transmissionsgrad wird dann τ = 0,805 [F (0, λ2 TS ) − F (0, λ1 TS )] + 0,001 [1 − F (0, λ2 TS )] = 0,652 . Die Glasscheibe mit der doppelten Dicke absorbiert einen etwas gr¨ oßeren Teil der Solarstrahlung, l¨ asst aber noch 65% der auftreffenden Strahlung gegen¨ uber 70% bei der d¨ unnen Scheibe hindurch. Der spektrale Reflexionsgrad rλ der dicken Scheibe wird nach (5.100) ⎧ ur λ < λ 1 ⎨ 0,0426 f¨ ur λ 1 ≤ λ ≤ λ 2 rλ = 0,0727 f¨ ⎩ 0,0426 f¨ ur λ > λ 2 . Er ist zwischen λ1 und λ2 durch die Mehrfachreflexion an den Grenzfl¨ achen erh¨ oht, so dass insgesamt 6,7% anstatt 4,26% der Solarenergie reflektiert werden.

5.4 Solarstrahlung Ohne die Strahlung der Sonne w¨ are kein irdisches Leben möglich; deshalb gehört die Sonne zu den wichtigsten Strahlungsquellen. Die energetische Nutzung der Solarstrahlung ist zur Zeit noch gering; sie wird jedoch in der Zukunft gr¨ oßere Bedeutung erlangen, um W¨ arme f¨ ur Heizzwecke und f¨ ur endotherme Reaktionen zu gewinnen und um elektrische Energie in photovoltaischen und solar-thermischen Kraftwerken zu erzeugen. Auf die Solarenergietechnik gehen wir im Folgenden nicht ein, vgl. hierzu [5.25] und [5.28] bis [5.30]. Wir behandeln aber Gr¨ oße und spektrale Verteilung der von der Sonne dargebotenen Strahlungsenergie und ihre Schw¨ achung beim Durchgang durch die Erdatmosphäre. Damit ist die Berechnung der solaren Bestrahlungsstärke am Erdboden möglich. Schließlich gehen wir auf die Absorptionsgrade f¨ ur Solarstrahlung ein. Sie unterscheiden sich von den Absorptionsgraden f¨ ur Strahlung irdischer Quellen, weil Solarstrahlung nur bei kleinen Wellenlängen, nämlich unter 4 μm und haupts¨ achlich im Bereich des sichtbaren Lichts auftritt.

648

5 W¨ armestrahlung

5.4.1 Extraterrestrische Solarstrahlung Die Sonne ist eine nahezu kugelf¨ ormige Strahlungsquelle mit einem Durchmesser von 1,392 · 106 km. Sie steht in einem der Brennpunkte der elliptischen Bahn, welche die Erde durchl¨ auft. Der solare Strahlungsfluss, der die Erde erreicht, ist umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands r zwischen Sonne und Erde. Der mittlere Abstand beträgt r0 = 149,6 · 106 km; diese Entfernung wird als astronomische Einheit (AE) bezeichnet7 . Der kleinste Abstand liegt bei 0,983 AE und tritt am 3. Januar auf, die größte Entfernung zwischen Sonne und Erde ist 1,017 AE; sie wird am 4. Juli erreicht. Das f¨ ur Strahlungsrechnungen ben¨ otigte Verh¨ altnis (r0 /r)2 wird als Exzentrizitätsfaktor bezeichnet und kann nach J.A. Duffie und W.A. Beckmann [5.29] näherungsweise aus fex := (r0 /r)2 = 1 + 0,033 cos (2πdn /365)

(5.103)

berechnet werden, wobei dn die Tageszahl ist, beginnend mit dn = 1 am 1. Januar und endend mit dn = 365 am 31. Dezember. Eine genauere Beziehung nach J.W. Spencer [5.31] findet man bei M. Iqbal [5.34]. Wegen der großen Entfernung zwischen Sonne und Erde bildet die Solarstrahlung ein quasiparalleles Strahlenb¨ undel. Die von der Erdatmosphäre noch nicht durch Streuung und Absorption geschw¨ achte Strahlung wird extraterrestrische Solarstrahlung genannt. Sie soll nun senkrecht auf eine Fläche treffen, die sich gerade außerhalb der Erdatmosph¨ are befindet. Hat die Fläche den Abstand r0 = 1 AE vom Sonnenmittelpunkt, so wird die Bestrahlungsstärke der extraterrestrischen Solarstrahlung als Solarkonstante E0 bezeichnet. Durch Auswertung neuerer Messungen bestimmten C. Fröhlich und R.W. Brusa [5.33] den Wert 2 E0 = (1367 ± 1,6)W/m , der auch von der World Meteorological Union (WMO) 1981 als Bestwert angenommen wurde. Mit diesem Wert von E0 wurde in Beispiel 5.3 die Temperatur atte die Sonnenoberfläche, wenn TS = 5777 K berechnet. Diese Temperatur h¨ sie wie ein Schwarzer K¨ orper strahlte. Die Bestrahlungsst¨ arke der extraterrestrischen Solarstrahlung, die senkrecht auf eine Fläche f¨ allt, die den Abstand r der Erde von der Sonne hat, ist durch Ensol = E0 (r0 /r)2 = E0 fex (5.104) mit fex nach (5.103) gegeben. Bildet die Richtung der Sonnenstrahlen gegen¨ uber der Flächennormale den Polarwinkel βS , Abb. 5.39, so wird die Bestrahlungsstärke (5.105) E sol = E0 fex cos βS . 7

Der genaue Wert ist 1AE = 149,597 870 · 106 km. Wegen der strengen Definition der AE vgl. man z.B. [5.32].

5.4 Solarstrahlung

649

Abb. 5.39: Extraterrestrische Solarstrahlung auf eine Fl¨ ache, deren Normale mit der Richtung der Sonnenstrahlen den Polarwinkel βS bildet

Der Sonnen-Polarwinkel βS h¨ angt von der Lage und der Orientierung der bestrahlten Fläche ab. Diese Abh¨ angigkeit wird durch trigonometrische Gleichungen wiedergegeben, die man in B¨ uchern u ¨ber Solarstrahlung und ihre Nutzung findet, z.B. in [5.30] und [5.34]. sol Die spektrale Bestrahlungsst¨ arke Eλ,n der extraterrestrischen Solarstrahlung, die senkrecht auf eine Fl¨ ache im Abstand r0 = 1 AE von der Sonne fällt, wurde in mehreren Messreihen mit Stratosph¨ aren-Flugzeugen bestimmt. Ihre Auswertung durch C. Fr¨ ohlich und C. Werli am World Radiation Center in Davos, Schweiz, ergab das in Abb. 5.40 wiedergegebene Spektrum. Die dieser Abbildung zugrunde liegenden Zahlenwerte findet man bei M. Iqbal [5.34]. Das sol Maximum von Eλ,n liegt im Bereich des sichtbaren Lichts bei λ ≈ 0,45 μm. In den Wellenlängenbereich λ ≤ 3,8 μm fallen 99 % der Bestrahlungsstärke. In Abb. 5.40 ist auch die spektrale Bestrahlungsstärke Eλ,s der von einer schwarzen“ Sonne mit TS = 5777 K ausgesandten Strahlung eingezeichnet. ” Die Flächen unter den beiden Kurven (bis λ → ∞) sind gleich — sie ergeben jeweils die Solarkonstante E0 —, doch weicht das Spektrum der extraterrestrischen Solarstrahlung an einigen Stellen, besonders bei λ < 0,6 μm, merklich vom Spektrum der Strahlung eines Schwarzen Körpers ab.

sol Abb. 5.40: Spektrale Bestrahlungsst¨ arke Eλ,n der extraterrestrischen Solarstrahlung, die senkrecht auf eine Fl¨ ache im Abstand r0 = 1 AE von der Sonne f¨ allt

650

5 W¨ armestrahlung

Beispiel 5.6: Man bestimme die Bestrahlungsst¨ arke der extraterrestrischen Solarstrahlung auf eine horizontale Fl¨ ache in Berlin (geographische Breite ψ = ange ϕ = 13,35◦ Ost) am 1. September, 12.00 Uhr 52,52◦ Nord, geographische L¨ mitteleurop¨ aischer Sommerzeit. Die Bestrahlungsst¨ arke E sol ist durch (5.105) gegeben, worin der Sonnen-Polarwinkel βS noch unbekannt ist. F¨ ur eine horizontale Fl¨ ache gilt, vgl. z.B. [5.34], (5.106) cos βS = sin δ sin ψ + cos δ cos ψ cos ω . Die hier auftretende Deklination δ der Sonne l¨ asst sich f¨ ur den 1. September einer bei M. Iqbal [5.34] angegebenen Tabelle entnehmen: δ = 8,51◦ . Der Stundenwinkel ω errechnet sich aus der ¨ ortlichen Sonnenzeit tS nach ω = 15◦ (tS /h) . Im Geltungsbereich der mitteleurop¨ aischen Zeit tMEZ gilt

8

tS = tMEZ − 12h + (ϕ/15◦ − 1) h . 12.00 Uhr mitteleurop¨ aische Sommerzeit entsprechen tMEZ = 11,0 h. Somit wird mit ϕ = 13,35◦ als L¨ angengrad von Berlin tS = −1,11 h und ω = −16,65◦ . Mit diesen Werten folgt aus (5.106) cos βS = 0,6940, also βS = 46,05◦ . F¨ ur den 1. September gilt dn = 244. Damit erhalten wir aus (5.103) den Exarke der extraterrestrischen zentrizit¨ atsfaktor fex = 0,9838. Die Bestrahlungsst¨ Strahlung ergibt sich dann zu E sol = E0 fex cos βS = 1367

W W 0,9838 · 0,6940 = 933 2 . m2 m

5.4.2 Die Schw¨ achung der Solarstrahlung in der Erdatmosph¨ are Die am äußeren Rand der Erdatmosph¨ are auftreffende extraterrestrische Solarstrahlung wird beim Durchgang durch die Atmosphäre geschwächt, so dass die solare Bestrahlungsst¨ arke der Erdoberfl¨ ache merklich niedriger als der extraterrestrische Wert nach (5.105) ist. Ein Teil der eingestrahlten Solarenergie wird durch Streuung an den Luftmolek¨ ulen und an Aerosolen aus dem Strahlenb¨ undel entfernt; ein weiterer Teil wird von den Luftbestandteilen absorbiert. Die gestreute Strahlung gelangt etwa zur Hälfte als sogenannte diffuse Strahlung zum Erdboden, w¨ ahrend die andere Hälfte in den Weltraum zur¨ uckgestrahlt wird, vgl. Abb. 5.41. Die von den Molek¨ ulen der Atmosphäre absorbierte Strahlung erh¨ oht die Energie der Atmosphäre, die ihrerseits Strahlung emittiert. Ein Teil dieser u ¨berwiegend langwelligen Strahlung trifft auf die Erdoberfläche, er wird als atmosph¨ arische Gegenstrahlung bezeichnet. 8

Diese Gleichung ergibt die mittlere ¨ ortliche Sonnenzeit. Um die wahre (vom Datum abh¨ angige) ¨ ortliche Sonnenzeit zu erhalten, ist noch eine kleine Korrektur, die sogenannte Zeitgleichung, anzubringen. Diese Korrektur betr¨ agt nur wenige Minuten.

5.4 Solarstrahlung

651

Abb. 5.41: Direkte und diffuse Solarstrahlung, die nach dem Durchgang durch die Atmosph¨ are auf den Erdboden gelangt (schematisch)

5.4.2.1 Spektrale Transmissionsgrade Wir berechnen nun die Schw¨ achung der direkten (gerichteten) Solarstrahlung durch Streuung und Absorption in der Atmosphäre. Dabei nehmen wir eine wolkenlose Atmosph¨ are an; wegen des schwieriger zu erfassenden Bewölkungseinflusses sei auf [5.34] verwiesen. Wir betrachten ein Strahlenb¨ undel, das durch ein optisch tr¨ ubes, n¨ amlich absorbierendes und streuendes Medium geht, Abb. 5.42. Die Abnahme dLλ seiner spektralen Strahldichte Lλ ist nach dem Gesetz von P. Bouguer9 der durchstrahlten Strecke dl und der Dichte der streuenden und absorbierenden Teilchen proportional: dLλ = −μ(λ, l)(l) dl . Lλ

(5.107)

Abb. 5.42: Verringerung der spektralen Strahldichte Lλ beim Durchgang durch ein tr¨ ubes (streuendes und absorbierendes) Medium 9

Pierre Bouguer (1698–1758) erhielt mit 15 Jahren die Professur seines verstorbenen Vaters, eines Professors f¨ ur Gew¨ asserkunde. 1735 wurde Bouguer Mitglied der Pariser Académie Royale des Sciences. Er verfasste mehrere B¨ ucher u ¨ber Schiffbau und Navigation. Im 1729 ver¨ offentlichten Essai d’optique sur la gradation ” de la lumière“ entwickelte er erstmals Verfahren zur Photometrie und stellte das nach ihm benannte Gesetz auf, wonach sich in einem homogenen Medium die St¨ arke eines Lichtstrahls nach einem Exponentialgesetz mit dem durchlaufenen Weg vermindert.

652

5 W¨ armestrahlung

Man nimmt nun nach dem sogenannten Beerschen Gesetz10 an, der Schwächungskoeffizient μ hinge nicht vom Weg ab. Durch Integration zwischen l und l0 erhält man 7l Lλ (l) = Lλ (l0 )exp[−μ(λ) (l) dl] .

(5.108)

l0

Wir wenden nun (5.108) auf die Solarstrahlung an, Abb. 5.43. Der Weg s des Strahlenb¨ undels ist wegen der Brechung in der Atmosphäre leicht gekr¨ ummt. Er beginnt in sehr weiter Entfernung mit Lλ (l0 ) = Lλ (s → ∞) = Lsol λ , der spektralen Strahldichte der extraterrestrischen Solarstrahlung, und endet an der Erdoberfl¨ ache (s = 0) mit der Strahldichte Lλ (s = 0). Damit folgt aus (5.108) unter Beachtung von dl = − ds

Abb. 5.43: Durchgang von gerichteter Solarstrahlung durch die Erdatmosph¨ are

Abb. 5.44: Durchgang von gerichteter Solarstrahlung durch eine homogene, nicht brechende Atmosph¨ are

7∞ Lλ (s = 0) = Lsol λ exp[−μ(λ) (s) ds] .

(5.109)

0

Das Verhältnis τλ :=

7∞ Lλ (s = 0) = exp[−μ(λ) (s) ds] sol Lλ 0

(5.110)

ist der spektrale Transmissionsgrad der Atmosphäre (τλ ≤ 1). Er gibt an, um welchen Faktor die am Erdboden ankommende direkte Solarstrahlung gegen¨ uber der extraterrestrischen Strahlung vermindert ist. Das in (5.109) und (5.110) auftretende Integral m :=

7∞ (s) ds

(5.111)

0 10

August Beer (1825–1863) wurde 1855 Professor f¨ ur Physik in Bonn. In seiner Einleitung in die h¨ ohere Optik“ (1854) stellte er die bis dahin bekannte Theorie ” des Lichts zusammenfassend dar.

5.4 Solarstrahlung

653

wird als optische Masse der Atmosph¨ are bezeichnet. Ihre Einheit ist kg/m2 , und sie ist proportional zur Masse und damit zur Zahl der atmosphärischen Teilchen auf dem vom solaren Strahlenb¨ undel durchlaufenen Weg. Steht die Sonne im Zenit, so ist der Weg durch die Atmosphäre am k¨ urzesten, und die optische Masse erreicht ihren kleinsten Wert mn =

7∞ (z) dz , 0

vgl. Abb. 5.43. Das Verh¨ altnis ∞ mr := m/mn =

= ∞ (s) ds (z) dz

0

(5.112)

0

wird als relative optische Masse bezeichnet, wobei mr ≥ 1 gilt. F¨ ur eine homogene und nicht brechende Atmosph¨ are erh¨ alt man nach Abb. 5.44 das einfache Ergebnis 1 . (5.113) mr = cos βS Wegen der Refraktion und der von der H¨ ohe abhängigen Dichte weist diese Gleichung Fehler auf, die aber erst bei großen Polarwinkeln βS > 70◦ erheblich sind. F¨ ur eine Atmosph¨ are aus trockener Luft erhält man nach F. Kasten und A.T. Young [5.35] mr,L =

1 −1,6364

cos βS + 0,5057 (96,080 − βS )

(5.114)

mit dem Sonnen-Polarwinkel βS in Grad. ur das Argument der ExpoMit der relativen optischen Masse mr folgt f¨ nentialfunktion in (5.110) ∞ μ(λ)

(s) ds = μ(λ)mn mr . 0

Fasst man das Produkt aus μ(λ) und mn zum dimensionslosen Schwächungskoeffizienten κ(λ) := μ(λ)mn (5.115) zusammen, so erh¨ alt man f¨ ur den spektralen Transmissionsgrad der Atmosphäre (5.116) τλ = exp [−κ(λ)mr (βS )] . Zur Berechnung von τλ hat man zu beachten, dass mehrere, von einander unabhängige Streu- und Absorptionsprozesse die Schwächung der direkten Solarstrahlung bewirken. Es gilt daher

654

5 W¨ armestrahlung

κ(λ)mr =

j

κi (λ)mr,i ,

(5.117)

i=1

wobei j die Zahl der Schw¨ achungsprozesse ist. In der Regel ber¨ ucksichtigt man f¨ unf derartige Prozesse: die Rayleigh-Streuung an den Molek¨ ulen der Atmosphäre, Streuung und Absorption an Aerosolen, die Absorption durch Ozon, durch Wasserdampf und durch die u ¨brigen Gase der Atmosphäre. Aus (5.116) und (5.117) folgt f¨ ur den spektralen Transmissionsgrad τλ = τλ,R τλ,A τλ,O3 τλ,W τλ,G ,

(5.118)

ur Ozon, W wobei die Indizes R f¨ ur Rayleigh-Streuung, A f¨ ur Aerosole, O3 f¨ f¨ ur Wasserdampf und G f¨ ur die u ¨brigen Gase der Atmosphäre stehen. 5.4.2.2 Molekulare und Aerosol-Streuung Da der Molek¨ uldurchmesser (∼ 10−4 μm) wesentlich kleiner als die Wellenl¨ ange der Strahlung ist, wird die Streuung an den Molek¨ ulen der Atmosph¨ are durch eine zuerst von Lord Rayleigh11 [5.36] angegebenen Theorie der Lichtstreuung an kleinen Partikeln beschrieben, vgl. auch [5.37]. Danach ist der Schw¨ achungskoeffiart auch die blaue Farbe des wolkenlosen Himmels. zient κR (λ) ∼ λ−4 . Dies erkl¨ Der blaue Anteil des Sonnenlichts liegt bei den kleinen Wellenl¨ angen des sichtbaren Spektrums und erf¨ ahrt daher eine starke Rayleigh-Streuung in alle Richtungen. Ohne diese molekulare Streuung erschiene der Himmel schwarz mit Ausnahme der hellen Sonnenscheibe. asst sich gut Der Streukoeffizient κR (λ) der Rayleigh-Streuung trockener Luft l¨ durch eine bei R.E. Bird und C. Riordan [5.38] angegebene Gleichung wiedergeben. Damit erh¨ alt man f¨ ur den spektralen Transmissionsgrad mit λ in μm −1 . (5.119) τλ,R = exp −mr,L λ−4 115,6406 − 1,335/λ2 Die relative optische Masse mr,L ist durch (5.114) gegeben. Wie man aus Abb. 5.45 erkennt, schw¨ acht die Rayleigh-Streuung die direkte Sonnenstrahlung stark bei kleinen Wellenl¨ angen. F¨ ur λ > 1,2 μm tritt dagegen keine merkliche Abschw¨ achung auf. Bei großen Sonnen-Polarwinkeln βS , also bei großen optischen Massen mr,L > 5 ist die Atmosph¨ are f¨ ur Licht kurzer Wellenl¨ angen fast undurchl¨ assig. Dies erkl¨ art die gelblich-rote Farbe der Sonnenscheibe bei Sonnenaufgang und Untergang. Staub und kleine schwebende Wassertr¨ opfchen bilden Aerosole. Sie streuen und absorbieren solare Strahlungsenergie, wobei der gestreute Anteil u ¨berwiegt. Die 11

John William Strutt, Third Baron of Rayleigh (1842–1919) war Privatgelehrter, der sich auf seinem Familiensitz Terling Place in Essex, England, ein physikalisches Laboratorium eingerichtet hatte. In 430 wissenschaftlichen Ver¨ offentlichungen behandelte er Probleme aus allen Gebieten der klassischen Physik, insbesondere der Akustik, wo er ein ber¨ uhmtes Werk, The Theory of Sound“ (1877/78), ” verfasste. Zusammen mit W. Ramsay entdeckte er das Element Argon (1892–95), wof¨ ur er den Nobel-Preis f¨ ur Physik des Jahres 1904 erhielt. Der Chemiker W. Ramsay erhielt im gleichen Jahr den Nobel-Preis f¨ ur Chemie.

5.4 Solarstrahlung

655

Abb. 5.45: Spektraler Transmisare sionsgrad τλ,R der Atmosph¨ infolge Rayleigh–Streuung nach (5.119) f¨ ur verschiedene relative optische Massen mr,L

Streuung und Absorption durch Aerosole ist nur schwierig und ungenau zu modellieren. H¨ aufig verwendet man die Tr¨ ubungsformel von A. ˚ Angstr¨ om [5.39]: ∗ τλ,A = exp −β ∗ λ−α mr,A . (5.120) F¨ ur den Exponenten α∗ werden Werte zwischen 0,8 und 1,8 benutzt; β ∗ variiert von β ∗ = 0 (reine Atmosph¨ are) u ube) bis 0,3 (sehr tr¨ ube ¨ber 0,1 (klare) und 0,2 (tr¨ Atmosph¨ are), vgl. hierzu [5.34]. Die relative optische Aerosolmasse mr,A ist wegen der großen Schwankungsbreite von Gr¨ oße, Verteilung und Zusammensetzung der Aerosolpartikel in der Regel nicht bekannt. Man verwendet daher mr,L nach (5.114) anstelle von mr,A .

5.4.2.3 Absorption Im Gegensatz zur Streuung findet die Absorption von Strahlung nur in bestimmten schmalen Wellenl¨ angenbereichen, den sogenannten Absorptionsbanden statt. Die ohen u Hauptbestandteile der Atmosph¨ are sind N2 und O2 , die in H¨ ¨ber 100 km zu atomarem N und O dissoziieren. Diese vier Gase absorbieren nur bei sehr kleinen Wellenl¨ angen und dort sehr stark. N und O absorbieren s¨ amtliche Strahlung unter 0,085 μm; O2 und N2 absorbieren Solarstrahlung in mehreren u ¨berlappenden Banden bis λ = 0,20 μm, so dass keine Strahlung mit Wellenl¨ angen unter 0,20 μm auf agte Banden bei die Erdoberfl¨ ache gelangt. O2 hat außerdem drei schwach ausgepr¨ 0,63, 0,69 und 0,76 μm. Ozon (O3 ) absorbiert stark zwischen 0,2 μm und 0,35 μm, wodurch die energiereiche UV-B-Strahlung von der Erde ferngehalten wird. Weitere Absorptionsbanden liegen im sichtbaren Bereich zwischen 0,47 und 0,76 μm. Ozon wird in der Stratosph¨ are haupts¨ achlich durch die solare UV-Strahlung erzeugt; in Bodenn¨ ahe entsteht es durch photochemische Zersetzung von Stickoxid. Chlor, das vor allem durch langlebige Fluor-Chlor-Kohlenwasserstoffe (FCKW) in die Stratosph¨ are gelangt, zerst¨ ort die sch¨ utzende stratosph¨ arische Ozonschicht. Deswegen sollen Herstellung und Verwendung der FCKW, z.B. als K¨ altemittel oder als Treibgas in Isoliersch¨ aumen, in den n¨ achsten Jahren eingestellt werde, vgl. [5.40]. Die in der Atmosph¨ are enthaltene Ozonmenge wird h¨ aufig durch die H¨ ohe hO3 einer vertikalen gasf¨ ormigen Ozons¨ aule unter Normbedingungen (tn = 0 ℃,

656

5 W¨ armestrahlung

oße variiert jahreszeitlich und mit der geopn = 1,01325 bar) angegeben. Diese Gr¨ ¨ graphischen Breite; sie betr¨ agt durchschnittlich etwa 2,5 mm am Aquator, 3,5 mm in mittleren Breiten und bis zu 4,5 mm an den Polen. Seit mehreren Jahren hat die Ozonmenge als Folge des FCKW-Ausstoßes abgenommen; zu Beginn des Fr¨ uhjahrs treten u ¨ber Nordeuropa Minderungen bis zu 20 % der Durchschnittswerte auf. Das Ozonloch“ u udpol, das im Oktober auftritt, f¨ uhrt sogar zu einem zeit¨ber dem S¨ ” weisen R¨ uckgang von etwa 75 %. Abb. 5.46 zeigt den spektralen Transmissionsgrad τλ,O3 = exp [−kO3 (λ) hO3 mr,O3 ] .

(5.121)

Tabellierte Werte des Absorptionskoeffizienten kO3 (λ) findet man in [5.34] und [5.38]. Mit mr,O3 ist die relative optische Ozon-Masse bezeichnet. Sie weicht nur f¨ ur βS > 70◦ merklich von mr,L ab und kann mit einer von N. Robinson [5.41] angegebenen Beziehung berechnet werden.

Abb. 5.46: Spektraler Transmissionsgrad τλ,O3 der Absorption durch Ozon nach (5.121). Der Bereich der energiereichen UV-B-Strahlung ist hervorgehoben.

Die wichtigsten Absorber im Infrarotbereich des Spektrums sind Wasserdampf are großen Schwankungen und CO2 . Dabei ist der Wasserdampfgehalt der Atmosph¨ unterworfen. Die Wasserdampfmenge wird oft durch die Dicke w einer Wasserschicht beschrieben, die durch Kondensation des in senkrechter Richtung befindlichen Wasserdampfes am Erdboden entsteht. Ein typischer Wert ist w = 20 mm. F¨ ur Wasserdampf und CO2 gilt das Gesetz von Bouguer, Gl. (5.107), nicht genau. Man verwendet daher f¨ ur die Transmissionskoeffizienten τλ,W und τλ,G Beziehungen, die etwas anders aufgebaut sind als (5.116). Man findet diese Gleichungen bei M. Iqbal [5.34], wo auch die zugeh¨ origen Absorptionskoeffizienten als Funktionen der Wellenl¨ ange angegeben sind. Abb. 5.47 zeigt den Verlauf von τλ,W und τλ,G . Diese spektralen Transmissionsgrade haben Werte nahe eins bei Wellenl¨ angen um 1,2 und 1,6 μm sowie bei 2,2 und 3,9 μm. Diese schmalen Wellenl¨ angenbereiche werden atmosph¨ arische Fenster genannt, denn hier l¨ asst die Atmosph¨ are Solarstrahlung und auch Strahlung von der Erdoberfl¨ ache in den Weltraum fast ungeschw¨ acht hindurch.

5.4 Solarstrahlung

657

Abb. 5.47: Spektrale Transmissionsgrade τλ,W und τλ,G infolge der Absorption durch Wasserdampf bzw. durch O2 und CO2 f¨ ur mr,L = 1

5.4.3 Direkte Solarstrahlung am Erdboden Der spektrale Transmissionsgrad τλ nach (5.110) gibt auch das Verhältnis der spektralen Bestrahlungsst¨ arke Eλ,n einer am Erdboden befindlichen und senkrecht zur Strahlrichtung orientierten Fl¨ ache zur spektralen Bestrahlungsstärke sol durch extraterrestrische Solarstrahlung an. Somit gilt Eλ,n sol sol Eλ,n = τλ Eλ,n = τλ,R τλ,A τλ,O3 τλ,W τλ,G Eλ,n ,

(5.122)

und f¨ ur eine Fläche, deren Normale mit der Richtung der Sonnenstrahlen den Winkel βS bildet, folgt sol Eλ = τλ cos βS Eλ,n . (5.123) sol und den zugehörigen Abb. 5.48 zeigt das extraterrestrische Spektrum Eλ,n Verlauf von Eλ,n . Der obere Rand dieses Kurvenzugs stellt die allein durch Rayleigh-Streuung verminderte Bestrahlungsstärke dar. Die schwarz markierten Absenkungen kommen durch die Absorption an den Gasen O3 , O2 , H2 O und CO2 zustande. Weitere derartige Darstellungen, welche die Variation verschiedener Einflussgr¨ oßen (Wasserdampf- und Ozon-Gehalt, Tr¨ ubung durch Aerosole, verschiedene optische Massen) zeigen, findet man bei M. Iqbal [5.34]. F¨ ur viele technische Anwendungen gen¨ ugt es, die Bestrahlungsst¨ arke E einer Fläche am Erdboden zu kennen. Man erhält E am genauesten, indem man die spektrale Bestrahlungsst¨ arke Eλ u ¨ber alle Wellenlängen, praktisch von λ = 0,3 μm bis λ = 4,0 μm, integriert. Um diese umständliche numerische Integration zu vermeiden, benutzt man N¨ aherungsformeln verschiedener Autoren, die M. Iqbal [5.34] zusammengestellt und verglichen hat.

658

5 W¨ armestrahlung

sol Abb. 5.48: Spektrale Bestrahlungsst¨ arken Eλ,n der extraterrestrischen Solarstrahur eine reine, wolkenlung und Eλ,n der direkten Solarstrahlung am Erdboden f¨ sol lose Atmosph¨ are mit mr,L = 1,5. Die mit τλ,R Eλ,n bezeichnete Kurve zeigt die allein durch Rayleigh-Streuung hervorgerufene Abschw¨ achung. Die dunkel markierten Fl¨ achen kennzeichnen die Absorption durch die jeweils angeschriebenen Gase (hO3 = 0,30 cm, w = 2,0 cm).

Eine recht genaue Berechnung von E gestatten die Beziehungen, die R.E. Bird und R.L. Hulstrom [5.42] f¨ ur die Bestrahlungsst¨ arke der direkten (gerichteten) Solarstrahlung angegeben haben. Die Bestrahlungsst¨ arke einer Fl¨ ache, deren Normale mit den Sonnenstrahlen den Winkel βS bildet, ist E = En cos βS .

(5.124)

ache Die Bestrahlungsst¨ arke En einer normal zu den Sonnenstrahlen gerichteten Fl¨ wird nach [5.42] und [5.34] En = 0,975 E0 τR τA τO3 τW τG ,

(5.125)

wobei die Transmissionsgrade nach den folgenden Gleichungen zu berechnen sind. Hierin wird einheitlich die relative optische Masse mr,L nach (5.114) verwendet, wof¨ ur wir vereinfachend mr schreiben. Rayleigh-Streuung: 1 + mr − m1,01 . τR = exp −0,0903 m0,84 r r Aerosol-Streuung: τA = 0,1245 α∗ − 0,0162 + (1,003 − 0,125 α∗ ) exp [−β ∗ mr (1,089 α∗ + 0,5123)] , wobei α∗ und β ∗ die Parameter des Ansatzes (5.120) bedeuten. Man kann τA auch als Funktion der (horizontalen) Sichtweite sh in km angeben:

5.4 Solarstrahlung

659

τA = exp m0,9 r ln 0,97 −

1,265 s0,66 h

,

5 km < sh < 180 km .

Die Benutzung von sh ersetzt die Absch¨ atzung der Parameter α∗ und β ∗ . 12 Absorption durch Ozon : τO3 = 1 −

0,153 hO3 mr , (1 + 139,5 hO3 mr )0,3035

wobei hO3 in cm einzusetzen ist, vgl. Abschnitt 5.4.2.3. Absorption durch Wasserdampf: τW = 1 −

2,496 w mr 6,385 w mr + (1 + 79,03 w mR )0,6828

mit w in cm, vgl. Abschnitt 5.4.2.3. Absorption durch CO2 und andere Gase: τG = exp −0,0127 m0,26 . r Beispiel 5.7: Man bestimme die Bestrahlungsst¨ arke der direkten Solarstrahlung auf eine horizontale Fl¨ ache in Berlin am 1. September, 12.00 Uhr mitteleurop¨ aischer Sommerzeit, vgl. Beispiel 5.6. Es werde wolkenloser Himmel, hO3 = 0,30 cm, w = 2,6 cm und eine horizontale Sichtweite sh = 40 km angenommen. alt man Nach Beispiel 5.6 ist der Sonnen-Polarwinkel βS = 46,05◦ . Damit erh¨ ur die in (5.125) aus (5.114) die relative optische Masse mr,L = mr = 1,439. F¨ auftretenden Transmissionsgrade ergeben sich die folgenden Werte: τR = 0,8852,

τO3 = 0,9811,

τW = 0,8715,

τG = 0,9861,

τA = 0,8100 .

Aus (5.125) folgt nun En = 805,8 W/m2 ; mit cos βS = 0,694 wird dann nach (5.124) E = 559 W/m2 . Dieser Wert erreicht nur 59,9 % der in Beispiel 5.6 berechneten Bestrahlungsst¨ arke E sol der extraterrestrischen Solarstrahlung. Großen Einfluss haben dabei Streuung und Absorption durch Aerosole. Nimmt man eine weniger tr¨ ube Atmosph¨ are mit sh = 100 km an, so steigt τA auf τA = 0,8766, und die Bestrahlungsst¨ arke erreicht E = 605 W/m2 .

5.4.4 Diffuse Solarstrahlung und Globalstrahlung Außer der im letzten Abschnitt behandelten direkten Solarstrahlung erreicht auch ein Teil der von der Atmosph¨ are gestreuten Strahlung den Erdboden. Diese Strahlung wird als diffuse Solarstrahlung bezeichnet. Diffuse und direkte Solarstrahlung werden vom Erdboden teilweise reflektiert; die reflektierte Strahlung wird ihrerseits zu einem geringen Teil von der Atmosphäre auf den Erdboden zur¨ uckgeworfen. Die Reflexionen zwischen Erdoberfläche und Atmosphäre setzen sich mit immer kleiner werdenden Strahlungsanteilen 12

Die Gleichung f¨ ur τO3 wurde gegen¨ uber [5.42] ohne Einbuße an Genauigkeit vereinfacht.

660

5 W¨ armestrahlung

fort und f¨ uhren insgesamt zu einem zus¨ atzlichen Strahlungsfluss, der auf den Erdboden gerichtet ist. Diese Strahlung und die diffuse Solarstrahlung werden zusammenfassend als Himmelsstrahlung bezeichnet. Sie darf nicht mit der in Abschnitt 5.4.2 erw¨ ahnten atmosph¨ arischen Gegenstrahlung verwechselt werden; diese langwellige Strahlung wird von Molek¨ ulen der Atmosphäre, hauptsächlich von Wasserdampf und CO2 emittiert. Die Himmelsstrahlung tritt dagegen wegen ihrer Entstehung aus der Streuung der gerichteten Solarstrahlung bei kurzen Wellenl¨ angen auf. Dies zeigt Abb. 5.49, in der beispielhaft die drei Anteile der spektralen Bestrahlungsst¨ arke Eλ,d der diffusen HimmelsR Ae strahlung, nämlich Eλ,d der Rayleigh-Streuung, Eλ,d der Aerosolstreuung und MR Eλ,d als Folge der mehrfachen Reflexionen dargestellt sind.

Abb. 5.49: Spektrale Bestrahlungsst¨ arke der drei Anteile der diffusen Himmelsstrahlung, berechnet f¨ ur mr,L = 1,5, hO3 = 0,3 cm, w = 2,0 cm sowie α∗ = 1,3 und Ra Ae Anteil der Rayleigh-Streuung, Eλ,d Anteil der Streuung β ∗ = 0,10 in (5.120): Eλ,d MR an Aerosolen, Eλ,d Anteil der Mehrfachreflexionen.

Man fasst die direkte Solarstrahlung und die diffuse Himmelsstrahlung unter der Bezeichnung Globalstrahlung zusammen. Die globale Bestrahlungsache am Erdboden setzt sich somit aus den stärke EG einer horizontalen Fl¨ folgenden Anteilen zusammen: EG = En cos βS + EdRa + EdAe + EdMR .

(5.126)

Dabei bedeutet der erste Term der rechten Seite die Bestrahlungsstärke durch direkte Solarstrahlung nach (5.124) und (5.125); mit EdRa ist die Bestrahlungsstärke der diffusen Strahlung durch Rayleigh-Streuung an den LuftMolek¨ ulen, mit EdAe die durch Aerosol-Streuung verursachte diffuse Strahlung arke durch Mehrfach-Reflexionen bezeichnet. und mit EdMR die Bestrahlungsst¨ F¨ ur Flächen, die gegen¨ uber der Horizontalen geneigt sind, ergeben sich kompliziertere Beziehungen, weil auch der Strahlungsaustausch mit der Umgebung

5.4 Solarstrahlung

661

der betrachteten Fl¨ ache ber¨ ucksichtigt werden muss. Es sei auf die ausf¨ uhrliche Darstellung von M. Iqbal [5.34] verwiesen. Zur Berechnung der diffusen Strahlungsanteile in (5.126) nennen wir wieder das Modell von R.E. Bird und R.L. Hulstrom [5.42], vgl. auch [5.34]. Die Quelle der gestreuten Strahlung ist die nichtabsorbierte direkte Solarstrahlung mit der Bestrahlungsst¨ arke Enna = 0,786 E0 cos βS τO3 τW τG τAabs . Hierin ist τAabs der Transmissionsgrad allein aufgrund der Absorption durch Aerosole: τAabs = 1 − (1 − ω0 ) (1 − τA ) 1 − mr + m1,06 . r altnis der von den Aerosolen gestreuten Energie Die Gr¨ oße ω0 bedeutet das Verh¨ zur Energie, die von ihnen gestreut und absorbiert wird. Dieser Anteil kann nur gesch¨ atzt werden; meistens benutzt man Werte um 0,9. Unter der Annahme, dass die H¨ alfte der an den Molek¨ ulen der Atmosph¨ are gestreuten Energie den Erdboden erreicht, erh¨ alt man nach [5.42] EdRa =

1 − τR 1 na En 2 1 − mr + m1,02 r

f¨ ur die Bestrahlungsst¨ arke infolge Rayleigh-Streuung. F¨ ur die Bestrahlungsst¨ arke infolge Aerosol-Streuung gilt EdAe = FA Enna

1 − τA /τAabs . 1 − mr + m1,02 r

Der Faktor FA gibt an, welcher Teil der an Aerosolen gestreuten Energie nach ” vorne“ gestreut wird, also den Erdboden erreicht. Auch FA muss gesch¨ atzt werden. R.E. Bird und R.L. Hulstrom empfehlen FA = 0,84. G.D. Robinson [5.43] bestimmte ur Aerosole u FA f¨ ¨ber den britischen Inseln; diese Werte lassen sich durch 0,91 f¨ ur 0 ≤ βS ≤ 45◦ FA = 0,45 + 0,65 cos βS f¨ ur 45◦ < βS ≤ 85◦ gut wiedergeben. ¨ Durch Uberlegungen, die zu den Ausf¨ uhrungen u ¨ber Mehrfach-Reflexionen in Abschnitt 5.3.4 analog sind, erh¨ alt man r r E At . (5.127) EdMR = En cos βS + EdRa + EdAe 1 − rE rAt Hierin bedeutet rE den Reflexionsgrad der Erdoberfl¨ ache f¨ ur kurzwellige Strahlung solaren Ursprungs; er wird in der Meteorologie auch als Albedo bezeichnet. rE kann aus den Angaben u ¨ber den Absortionsgrad von Solarstrahlung im folgenden Abare beschnitt 5.4.5 berechnet werden. Mit rAt ist der Reflexionsgrad der Atmosph¨ zeichnet; er ist klein und nach [5.42] aus rAt = 0,0685 + (1 − FA ) 1 − τA /τAabs zu berechnen. alt man f¨ ur die Bestrahlungsst¨ arke der Globalstrahlung Mit EdMR nach (5.127) erh¨ auf eine horizontale Fl¨ ache aus (5.126)

662

5 W¨ armestrahlung EG = En cos βS + EdRa + EdAe

1 . 1 − rE rAt

Diese Gleichung ist auch f¨ ur Modelle g¨ ultig, in denen En , EdRa , EdAe und rAt nach anderen Beziehungen als in [5.42] bestimmt werden. Beispiel 5.8: Man berechne die Bestrahlungsst¨ arken der diffusen Solarstrahlung und der Globalstrahlung f¨ ur den in Beispiel 5.7 behandelten Fall. Zus¨ atzlich werde angenommen: ω0 = 0,90, FA nach G.D. Robinson [5.43] sowie rE = 0,25. Mit mr = 1,439 und τA = 0,810 aus Beispiel 5.7 erhalten wir τAabs = 0,980. Damit und mit den u ¨brigen in Beispiel 5.7 berechneten Transmissionsgraden ergibt sich die Bestrahlungsst¨ arke der nichtabsorbierten direkten Solarstrahlung zu Enna = 0,786 · 1367

W W 0,694 · 0,9811 · 0,8715 · 0,9861 · 0,980 = 616 2 . m2 m

F¨ ur den Rayleigh-Anteil der Bestrahlungsst¨ arke folgt dann EdRa = 35,0 Wm2 . Mit FA = 0,45 + 0,65 cos 46,05◦ = 0,90 erh¨ alt man f¨ ur den Aerosol-Anteil EdAe = 95,3 W/m2 . asst sich der Der Reflexionsgrad der Atmosph¨ are wird rAt = 0,086, und damit l¨ Anteil durch Mehrfachreflexion zu EdMR = (559 + 35,0 + 95,3)

W 0,25 · 0,086 W = 15,1 2 m2 1 − 0,25 · 0,086 m

berechnen. Damit erh¨ alt man f¨ ur die Bestrahlungsst¨ arke der diffusen Himmelsstrahlung EdRa + EdAe + EdMR = 145 W/m2 , die 26 % der Bestrahlungsst¨ arke durch direkte Solarstrahlung erreicht. Die globale Bestrahlungsst¨ arke wird EG = 704 W/m2 . Nimmt man wie in Beispiel 5.7 eine weniger tr¨ ube Atmosph¨ are mit τA = 0,8766 an, so erh¨ alt man τAabs = 0,987 und rAt = 0,080. Damit ergeben sich EdRa = 35,2 W/m2 , EdAe = 61,8 W/m2 und EdMR = 14,3 W/m2 . Die Bestrahlungsst¨ arke ahrend die Bestrahder diffusen Strahlung ist mit 111 W/m2 kleiner geworden, w¨ lungsst¨ arke der Direktstrahlung, wie in Beispiel 5.7 berechnet, auf 605 W/m2 zugenommen hat. Die Globalstrahlung ist mit EG = 716 W/m2 nur um 1,7 % gr¨ oßer als bei der tr¨ uberen Atmosph¨ are.

5.4.5 Absorptionsgrade fu ¨ r Solarstrahlung Die spektralen Emissionsgrade ελ (λ, T ) fast aller Stoffe nehmen bei kleinen Wellenlängen unter 2 μm merklich andere Werte an als bei größeren Wellenlängen. Dabei ist der spektrale Emissionsgrad elektrischer Nichtleiter in der Regel erheblich kleiner, der spektrale Emissionsgrad von Metallen dagegen etwas gr¨ oßer als bei gr¨ oßeren Wellenlängen. Nimmt man diffus strahlende Oberfl¨ achen an (Lambert-Strahler), so gilt dieses Verhalten wegen ur den spektralen Absorptionsgrad aλ (λ, T ). Somit aλ (λ, T ) = ελ (λ, T ) auch f¨ ist zu erwarten, dass die meisten Stoffe sich bei der Absorption von Solarstrahlung anders verhalten als bei der Absorption von u ¨berwiegend langwelliger Strahlung aus irdischen Strahlungsquellen.

5.4 Solarstrahlung

663

Das Modell des grauen Lambert-Strahlers mit der Aussage a(T ) = ε(T ) darf daher nicht auf die Absorption von Solarstrahlung angewendet werden. Es sind vielmehr Absorptionsgrade zu erwarten, die von den tabellierten Emissionsgraden erheblich abweichen. Diese Absorptionsgrade aS f¨ ur die Absorption der u ussen in der Regel durch be¨berwiegend kurzwelligen Solarstrahlung m¨ sondere Messungen bestimmt werden. Einige Ergebnisse solcher Messungen sind in Tabelle 5.8 zusammengestellt. Weitere Daten f¨ ur nat¨ urliche“ Ober” flächen wie Kornfelder, verschiedene Bodenarten, Wälder, Schnee und Eis findet man bei K.Y. Kondratyev [5.44] in Form von Reflexionsgraden rS = 1−aS , die in der Meteorologie als Albedo bezeichnet werden, vgl. auch [5.34]. Tabelle 5.8: Absorptionsgrad aS f¨ ur Solarstrahlung und (Gesamt-) Emissionsgrad ε = ε(300 K) verschiedener Materialien Material Aluminium, poliert Asphalt, Straßenbelag Bl¨ atter, gr¨ un Chrom, poliert Dachpappe, schwarz Eisen, verzinkt rauh Erde, gepfl¨ ugt Farben Zinkweiß ¨ Schwarze Olfarbe Gold, poliert Kupfer, poliert oxidiert Marmor, weiß Magnesium, poliert Nickel, poliert Platin, blank Schiefer Schnee, sauber Silber, poliert Ziegel, rot

aS

ε

aS /ε

0,20 0,93 0,71...0,79 0,40 0,82 0,38 0,75 0,75

0,08

2,5

0,86 0,07 0,91

0,83...0,92 5,7 0,90

0,82

0,91

0,22 0,90 0,29 0,18 0,70 0,46 0,19 0,36 0,31 0,88 0,20...0,35 0,13 0,75

0,92 0,92 0,026 0,03 0,45 0,90 0,12 0,09 0,07 0,91 0,95 0,018 0,93

0,24 0,98 11,1 6,0 1,56 0,51 1,6 4,0 4,4 0,97 0,21...0,37 7,2 0,81

F¨ ur solartechnische Anwendungen ist das Verhältnis aS /ε einer Oberfläche wichtig. Es soll z.B. bei Solarkollektoren groß sein, damit die zu ε proportionale Abstrahlung in die Umgebung klein gegen¨ uber der absorbierten Solarstrahlung ist. Soll dagegen die Oberfl¨ ache unter Solarstrahlung eine niedrige oglichst klein sein, was z.B. bereits bei Temperatur annehmen, so muss aS /ε m¨ einem weißen Farbanstrich (aS = 0,22; ε = 0,92) mit aS /ε = 0,24 recht gut erf¨ ullt ist.

664

5 W¨ armestrahlung

5.5 Strahlungsaustausch Beim Wärme¨ ubergang durch Strahlung wird Energie nicht nur vom wärmeren Körper zum k¨ alteren u ¨bertragen; auch der kältere Körper sendet Strahlung aus, die auf den w¨ armeren K¨ orper trifft und dort absorbiert werden kann. Somit findet — anders als bei der W¨ armeleitung und beim konvektiven Wärme¨ ubergang — ein Energieaustausch statt. Dieser Strahlungsaustausch hängt von der gegenseitigen Lage und der Orientierung der strahlenden Oberflächen ab, von ihren Temperaturen und ihren Strahlungseigenschaften. Wir nehmen in den folgenden Abschnitten an, dass die strahlenden Flächen durch ein Medium getrennt sind, das den Strahlungsaustausch nicht beeinflusst, also Strahlung weder absorbiert, emittiert oder streut. Diese Bedingung erf¨ ullt exakt nur das Vakuum; die meisten Gase beeinflussen jedoch den Strahlungsaustausch nur unwesentlich. Auf die Gasstrahlung gehen wir in Abschnitt 5.6 ein. Auch wenn das Zwischenmedium den Strahlungsaustausch zwischen den K¨ orpern nicht beeinflusst, ist die Berechnung schwierig, will man die Abhängigkeit der emittierten, absorbierten und reflektierten Strahlung von der Richtung und der Wellenl¨ ange exakt ber¨ ucksichtigen. Wir verwenden daher in den folgenden Abschnitten das Modell des grauen Lambert-Strahlers nach 5.3.2.3 und nehmen (mit einer Ausnahme in 5.5.4) diffuse Reflexion an. Die komplizierte Berechnung des Strahlungsaustausches zwischen nicht diffus und nicht grau strahlenden Fl¨ achen wird ausf¨ uhrlich von R. Siegel u.a. [5.37], [5.45] dargestellt. F¨ ur graue Lambert-Strahler erfasst man die geometrischen Verhältnisse beim Strahlungsaustausch durch den Sichtfaktor, den wir in Abschnitt 5.5.1 behandeln. Im darauf folgenden Abschnitt berechnen wir den Strahlungsaustausch zwischen Schwarzen K¨ orpern — ein einfacher Fall, weil keine Reflexionen auftreten. Der Strahlungsaustausch zwischen beliebig vielen isothermen Fl¨ achen, die sich wie graue Lambert-Strahler verhalten, wird in 5.5.3 ausf¨ uhrlich dargestellt. Im letzten Abschnitt gehen wir auf die isolierende Wirkung von Strahlungsschutzschirmen ein, wobei wir auch spiegelnd reflektierende Fl¨ achen ber¨ ucksichtigen.

5.5.1 Sichtfaktoren Zur Berechnung des Strahlungsaustausches zwischen zwei Flächen benötigt man eine Größe, welche den Einfluss ihrer Lage und Orientierung erfasst. Dies ist der Sichtfaktor, f¨ ur den auch die Bezeichnungen Einstrahlzahl, Formfaktor oder Winkelverh¨ altnis u ahrend im englischen Schrifttum die ¨blich sind, w¨ Ausdr¨ ucke view factor, configuration factor oder shape factor benutzt werden. Der Sichtfaktor gibt an, in welchem Ausmaß eine Fläche von einer anderen aus gesehen“ werden kann, genauer, welcher Teil des von einer Fläche 1 insgesamt ” ausgehenden Strahlungsflusses auf eine andere Fläche 2 fällt.

5.5 Strahlungsaustausch

665

Zur Berechnung des Sichtfaktors bestimmen wir zunächst den Strahlungsachenelement dA1 ausgeht und das Flächenelement fluss d2 Φ12 , der vom Fl¨ dA2 trifft, Abb. 5.50. Mit L1 als Strahldichte der von dA1 ausgehenden Strahlung erhält man hierf¨ ur nach (5.11)

Abb. 5.50: Geometrische Gr¨ oßen zur Berechnung des Sichtfaktors

d2 Φ12 = L1 cos β1 dA1 dω2 . Dabei bedeutet dω2 den Raumwinkel, unter dem das Flächenelement dA2 von dA1 aus erscheint: dω2 =

dA2n cos β2 dA2 = . 2 r r2

Somit erhält man d2 Φ12 = L1

cos β1 cos β2 dA1 dA2 . r2

(5.128)

Diese Beziehung wird auch als photometrisches Grundgesetz bezeichnet. Der Strahlungsfluss, der das Fl¨ achenelement dA2 erreicht, nimmt danach mit dem Quadrat des Abstands r zwischen Strahlungsquelle und Strahlungsempfänger ab. Außerdem spielt die Orientierung der Fl¨ achenelemente zu ihrer Verbindungsgeraden eine Rolle, die in den Cosinusfunktionen der beiden Polarwinkel β1 und β2 zum Ausdruck kommt. Wir berechnen nun den Strahlungsfluss, der von der endlich großen Fläche 1 ausgeht und die Fl¨ ache 2 trifft, Abb. 5.50. Dabei nehmen wir an, dass die Strahldichte L1 auf der ganzen Fl¨ ache 1 konstant ist. Dann ergibt die Integration von (5.128) u achen ¨ber beide Fl¨ cos β1 cos β2 Φ12 = L1 dA1 dA2 . (5.129) r2 A1 A2

Dies ist der Strahlungsfluss, der von 1 ausgeht und auf 2 fällt. Mit Φ1 = πL1 A1

666

5 W¨ armestrahlung

als dem Strahlungsfluss, den die Fl¨ ache 1 in den Halbraum emittiert, erhält man den Sichtfaktor Φ12 1 cos β1 cos β2 = dA1 dA2 . (5.130) F12 := Φ1 πA1 r2 A1 A2

Diese Größe gibt an, welcher Teil der von der Fläche 1 ausgehenden Strahlung auf die Fläche 2 f¨ allt. Der Sichtfaktor h¨ angt dabei nur von geometrischen Größen ab. Dies folgt aus der einschr¨ ankenden Annahme konstanter Strahldichte L1 : Gleichung (5.130) gilt nur, wenn die Fläche 1 diffus strahlt, eine konstante Temperatur und u ¨berall gleiche Strahlungseigenschaften hat. Vertauscht man in (5.130) die Indizes 1 und 2, so erhält man Φ21 1 cos β1 cos β2 = dA1 dA2 (5.131) F21 = Φ2 πA2 r2 A2 A1

als den Teil des von der Fl¨ ache 2 (mit konstanter Strahldichte L2 !) ausgehenden Strahlungsflusses, der auf die Fl¨ ache 1 trifft. Aus (5.130) und (5.131) folgt die wichtige Reziprozit¨ atsbeziehung der Sichtfaktoren, A1 F12 = A2 F21 .

(5.132)

Man braucht also nur einen der beiden Sichtfaktoren durch die in der Regel recht komplizierte Integration nach (5.130) oder (5.131) zu bestimmen. Eine weitere Beziehung zwischen Sichtfaktoren erhält man, wenn n Flächen, f¨ ur deren jede Li = const gilt, einen geschlossenen Hohlraum bilden, was in Abb. 5.51 schematisch dargestellt ist. Aus der Strahlungsbilanz f¨ ur die Fläche i, Φi1 + Φi2 + · · · + Φin = Φi , folgt nach Division durch Φi die Summationsregel n

Fij = 1

,

i = 1, 2, . . . n .

(5.133)

j=1

Zu den Sichtfaktoren dieser Summe geh¨ ort auch Fii . Er gibt an, welcher Teil der von i ausgehenden Strahlung auf i trifft. Fii = 0 ist nur bei einer konkaven Fläche möglich; sie sieht sich selbst“. F¨ ur ebene und konvexe Flächen gilt ” dagegen Fii = 0. Ein einfaches Beispiel f¨ ur die Anwendung der Beziehungen (5.132) und (5.133) liefert die Strahlung in dem Hohlraum, der von zwei Kugelfl¨ achen 1 und 2 gebildet wird, Abb. 5.52. Hier gibt es die vier Sichtfaktoren F11 , F12 , F21 und F22 . Zu ihrer Berechnung wenden wir die Summationsregel auf die innere Kugel an: F11 + F12 = 1 . Da die Fl¨ ache 1 konvex ist, gilt F11 = 0, und es folgt F12 = 1: Die gesamte von 1

5.5 Strahlungsaustausch

Abb. 5.51: Geschlossener Hohlraum und Strahlungsfl¨ usse Φij , die von der Fl¨ ache Ai ausgehen

667

Abb. 5.52: Hohlraum, der von den konzentrischen Kugelfl¨ achen 1 und 2 gebildet wird

ausgehende Strahlung f¨ allt auf die ¨ außere Kugelfl¨ ache 2. Nun erhalten wir F21 aus der Reziprozit¨ atsbeziehung (5.132) mit A1 und A2 als den Oberfl¨ achen der beiden Kugeln:

2 A1 A1 r1 F21 = F12 = = 4 mm −9,6 0,965 Emaillelack, weiß 20 0,91 Fliesen, hellgrau 25 0,92 Fußbodenbelag (Fa. Pegulan) 20 . . . 60 0,94 Gummi 20 0,92 Kachel, weiß 25 0,93 Kohle 150 0,81 Kork 25 0,80 Lack, schwarz, gl¨ anzend 25 0,88 Marmor, poliert 0 . . . 93 ¨ Olfarbe, 16 Sorten unterschiedlicher Farben 100 0,92 . . . 0,96 ¨ dicke Schicht Ol, 21 0,82 Papier, weiß, matt 95 0,92 Putz 0 . . . 200 Polytetrafluorethylen (Teflon) 20 . . . 100 0,97 Pyrex-Glas −170 . . . 430 0,85 Reifbelag, rauh 0 0,985 Sand 20 0,76 Schamotte 1000 0,75 Schmirgel (Korund), rauh 84 0,855 Tafelglas, 6 mm dick −60 . . . 0 0,910 60 0,913 120 0,919 Wasser, Dicke > 0,1 mm 10 . . . 50 0,965 Ziegel, rot 0 . . . 93

ε 0,94 0,91 0,90 0,918

0,90

0,89 0,91

0,842

0,91 0,93

738

Anhang B: Stoffwerte

Tabelle B.13: Emissionsgrade von Metall-Oberfl¨ achen. εn Gesamtemissionsgrad in Richtung der Fl¨ achennormale, ε hemisph¨ arischer Gesamtemissionsgrad. Bei Angaben f¨ ur ein Temperaturintervall darf zwischen den angegebenen Werten der Emissionsgrade linear interpoliert werden.

Stoff Aluminium, poliert rauh walzblank handels¨ ubliche Folie oxidiert bei 600 ℃ stark oxidiert Blei, nicht oxidiert grau oxidiert Chrom, poliert bei Rotglut oxidiert Eisen, poliert oxidiert blank geschmirgelt blank ge¨ atzt Gusshaut angerostet stark verrostet Gold, poliert oxidiert Kupfer, poliert oxidiert stark oxidiert

ϑ/℃

20 75 170 100 200 . . . 600 100 . . . 500 127 . . . 227 20 150 400 . . . 800 −73 . . . 727 −73 . . . 727 25 150 100 25 20 227 . . . 627 −173 . . . 827 327 . . . 727 130 25 327 427 527 . . . 727 Magnesium, walzblank 118 Messing, poliert 25 matt 50 . . . 350 oxidiert 200 . . . 600 Nickel, poliert 100 127 . . . 1127 127 . . . 727 oxidiert 227 . . . 627 Platin, poliert 127 . . . 1127 127 . . . 1527 Platindraht 227 . . . 1377 Quecksilber, nicht oxidiert 25 . . . 100

εn

ε

0,045 0,055 . . . 0,07 0,039 0,049 0,09 0,11 . . . 0,19 0,32 . . . 0,31 0,06 . . . 0,08 0,28 0,058 0,11 . . . 0,32 0,04 . . . 0,19 0,06 . . . 0,25 0,32 . . . 0,60 0,24 0,128 0,158 0,80 0,61 0,85 0,020 . . . 0,035 0,013 . . . 0,070 0,012 . . . 0,019 0,76 0,725 0,78 0,83 0,89 0,91 . . . 0,92 0,048 0,053 0,038 . . . 0,043 0,22 0,60 0,045 0,053 0,07 . . . 0,19 0,09 . . . 0,15 0,37 . . . 0,47 0,05 . . . 0,16 0,07 . . . 0,21 0,07 . . . 0,18 0,10 . . . 0,12

Anhang B: Stoffwerte Tabelle B.13: (Fortsetzung)

Stoff Silber, poliert

ϑ/℃

εn

ε

127 . . . 527 0,020 . . . 0,030 127 . . . 927 0,020 . . . 0,047

Stahl, Werkstoff-Nr. DIN 1.4301=AISI 304 poliert 50 . . . 200 0,111 . . . 0,132 gesandstrahlt, Ra = 2,1 μm −50 . . . 200 0,446 . . . 0,488 Wismut, blank 80 0,340 0,366 Wolfram, gealtert 1327 . . . 2427 0,20 . . . 0,31 Zink, poliert 227 . . . 327 0,04 . . . 0,05 grau oxidiert 25 0,23 . . . 0,25 Zinn, gl¨ anzend 25 0,064

739

Anhang C: L¨ osungen der Aufgaben

Kapitel 1: Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen 1.1: Q˙ = 484 W; f¨ ur die Gasbetonsteine Q˙ = 270 W 1.3: Durch Differenzieren von q˙ = −λ(ϑ) dϑ/ dx folgt d2 ϑ/ dx2 dλ 0 ist. + + b) xT = 1/2; (∂ ϑ/∂t) max = 4,40 K/s. c) x min = 0,3778. ur t → ∞ wird ϑ+ = x+ . d) B(t) = 0,850 exp −0,03454 s−1 (t − t0 ) . F¨ ˙ R R/(m + 2); W ˙R=W ˙ 0 (1 + m/2). 2.4: a) q(R) ˙ =W 2 ˙ W R m+2 0 R = 2/(m + 2). b) Θ(r) = . c) Θmax /Θmax 2 1 − (r/R) λ (m + 2) 2.5: a) ϑ0 = 55,39 ℃, ϑL = 37,39 ℃. b) Q˙ 0 = 3,204 W, Q˙ L = 0,0622 W. c) Die Ergebnisse unterscheiden sich innerhalb der angegebenen Ziffern nicht. Die einfachere Rechnung mit dem Ersatzbolzen der L¨ ange LC ist sehr genau. 2.6: ηR = 0,603 2.7: a) 87 Rippen/m. Damit w¨ achst der W¨ armestrom um den Faktor 6,019. b) 1,40. ˙ 2.8: Q/L = 149 W/m 2.9: a) Q/A = 1027 kJ/m2 . b) ϑ = 50,6 ℃ 2.10: Oberfl¨ achentemperatur: 73,1 ℃; in 10 cm Tiefe: 27,2 ℃. 2.11: Oberfl¨ achentemperatur: 45,8 ℃; in 10 cm Tiefe: 24,3 ℃. 2.12: a) Die Amplitude in 1 m Tiefe ist nur 3,7·10−4 K. b) H¨ ochste Temperatur 18,6 ℃ am 2. Oktober, niedrigste Temperatur 1,4 ℃ am 2. April. 2.13: a) α = 19,3 W/m2 K. b) Die Temperaturen der isolierten Oberfl¨ ache sind ϑ(t1 ) = 146,4 ℃ und ϑ(t2 ) = 112,3 ℃. 2.14: a) ϑ = 37,5 ℃. b) ϑm = 39,1 ℃; ϑOberfl. = 37,9 ℃; ϑMittelp. = 40,9 ℃ 2.15: w = 0,206 m/s 2.16: t(s = 15mm) = 3,26 h; t(s = 20mm) = 3,57 h. 2.18: i = x/Δx 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (ϑ+ )6i ϑ+ (x, t∗ ) (ϑ+ )12 i ϑ+ (x, 2t∗ )

1,000 1,000 1,000 1,000

0,412 0,419 0,681 0,679

0,140 0,151 0,414 0,409

0,037 0,046 0,216 0,217

0,007 0,012 0,098 0,102

0,001 0,002 0,038 0,042

0,000 0,000 0,012 0,003 0,001 0,000 0,016 0,005 0,001 0,000

744


atskriterium 2.19: a) M = 0,375; Bi∗ = 0,2087. Das Stabilit¨ M≤

1 = 0,4137 2 (1 + Bi∗ )

15 ist erf¨ ullt. Temperaturverteilung zur Zeit t∗ = 15 min: ϑ15 1 = 80,0 ℃; ϑ2 = 15 15 15 63,9 ℃; ϑ15 = 50,7 ℃; ϑ = 40,8 ℃; ϑ = 34,9 ℃; ϑ = 30,8 ℃. 3 4 5 6 ∞ b) Station¨ are Temperaturverteilung (t → ∞): ϑ∞ 1 = 80,0 ℃; ϑ2 = 71,6 ℃; ∞ ∞ ∞ ∞ ϑ3 =64,1 ℃; ϑ4 = 57,4 ℃; ϑ5 = 51,3 ℃; ϑ6 = 45,7 ℃. + + 2.20: a) − 2 + m2 Δx2 ϑ+ 1 + ϑ2 + ϑ6 = 0, + + 2 2 − 3 + m Δx + ϑ + ϑ+ ϑ+ ϑ 1 3 7 = 0, 2+ + + 2 2 ϑ2 − 3 + m Δx ϑ3 + ϑ4 + ϑ+ 8 = 0, + + 2 2 + ϑ + ϑ ϑ+ ϑ+ 3 − 3 + m Δx 4 5 9 = 0, + + 2 2 ϑ4 − 1 + 0,5m Δx ϑ = 0, 5 + + + 2 2 = 0, ϑ+ 1 − 3+m Δx 2 ϑ6 2+ ϑ7+ + ϑ10 + + + ϑ+ ϑ2 + ϑ6 − 4 + m Δx ϑ7 + ϑ+ 8 11 = 0, + + + + 2 2 ϑ3 + ϑ7 − 4 + m Δx ϑ8 + ϑ9 + ϑ+ 12 = 0, + ϑ+ + 0,5m2 Δx2 ϑ+ 4 + ϑ8 − 2 9 = 0, + 2 + 0,56837m2 Δx (4/3)ϑ+ 1,90384 ϑ+ 6 − 43,5992 11 = −40,35875, + ϑ10 + + + + 2 2 Δx + ϑ = −8/3 (4/3)ϑ7 + ϑ10 − 6 + 0,92069m ϑ 11 12 + + 2 2 ϑ+ ϑ12 = 0. 8 + ϑ11 − 2 + 0,5m Δx + + + b) ϑ+ 1 = 0,54791; ϑ2 = 0,50806; ϑ3 = 0,44968; ϑ4 = 0,39775; + + + ϑ5 = 0,36828; ϑ6 = 0,67543; ϑ7 = 0,60786; ϑ+ 8 = 0,51519; + + + ϑ+ 9 = 0,43891; ϑ10 = 0,97859; ϑ11 = 0,83003; ϑ12 = 0,64674. aherung nach (2.81): ηR = 0,5758, nach (2.82):ηR = 0,5721. ηR = 0,5756. N¨ 2.21: Wir w¨ ahlen die finiten Elemente wie in Abb. 2.59 mit dem Unterschied, dass die dimensionslosen Außentemperaturen ϑ+ = (ϑ − ϑU ) / (ϑi − ϑU ) nicht mehr null sind, sondern gem¨ aß Abb. 2.70 die Werte ϑ5 , . . . , ϑ10 annehmen. Die Tabelle 2.14 ist daher zu erg¨ anzen um die Tabelle C.1.

Tabelle C.1: Den Temperaturen ϑ+ j , j = 5, 6, . . . , 10 zugeordnete Dreiecke k = 8, 9, . . . , 16 ϑ+ j j=

ϑ+ j ist Eckpunkt der Dreiecke k 5 6 7 8 9 10

k= 8 8, 9, 10, 11, 12

13, 14, 15, 16,

9 10 11 12

Die Ableitungen nach den Temperaturen sind die gleichen wie in Tabelle 2.15. Auch die Integrale I (1) , I (2) , . . . , I (7) bleiben unver¨ andert. Da an der Außenwand nur W¨ arme an die Luft u ¨bertragen wird, lauten die Integrale I (8) , I (9) , . . . , I (12)


I

(k)

⎧ ⎪ ⎨

1 = 2⎪ ⎩

∂ϑ+ ∂x+

2 +

∂ϑ+ ∂y +

2

745

⎫ ⎪ ⎬

dx+ dy + + Bi ϑ+2 x+ = 1

Ω +(k)

⎪ ⎭

.

Im n¨ achsten Schritt bildet man die Ableitungen ∂I/∂ϑ+ i in gleicher Weise wie es bereits im Beispiel 2.10 gezeigt wurde. Es sei hier nur das Ergebnis der einfachen, aber aufw¨ andigen Rechnung mitgeteilt. Man erh¨ alt 11 lineare + + Gleichungen f¨ ur die unbekannten Temperaturen ϑ+ , ϑ , . . . , ϑ 0 1 10 : + + 10 ϑ+ 0 − 8 ϑ1 − 5 ϑ5 = 1 + + + 8 ϑ+ 0 − 18 ϑ1 + 4 ϑ2 + 3 ϑ6 = −3 + + + ϑ+ 1 − 4 ϑ2 + ϑ3 + ϑ7 = −1 + + + ϑ+ 2 − 4 ϑ3 + ϑ4 + ϑ8 = −1 + + ϑ+ 3 − 2 ϑ4 + ϑ9 + + + + 3 ϑ+ 0 − 15 + 2Δx Bi ϑ5 + 12 − Δx Bi ϑ6 + + + + + + 9 ϑ+ 1 + 12 − Δx Bi ϑ5 − 3 9 + 2Δx Bi ϑ6 + 2 3 − Δx Bi ϑ7 + + + + + + 6 ϑ+ 2 + 3 − Δx Bi ϑ6 − 4 3 + Δx Bi ϑ7 + 3 − Δx Bi ϑ8 + + + + + + 6 ϑ+ 3 + 3 − Δx Bi ϑ7 − 4 3 + Δx Bi ϑ8 + 3 − Δx Bi ϑ9 + + + + + + 6 ϑ+ 4 + 3 − Δx Bi ϑ8 − 4 3 + Δx Bi ϑ9 + 3 − Δx Bi ϑ10 + + 3 − Δx+ Bi ϑ+ 9 − 3 + 2Δx Bi ϑ10

=0 =0 =0 =0 =0 =0 =0 .

Einsetzen der Werte Bi = α δ/λ = (10 W/m2 K · 0, 25 m)/0, 8 W/Km = 3, 125 und Δx+ = x/δ = 0, 5 bzw. Δx+ /2 = 0, 25 ergibt die folgenden Temperaturen: ϑ+ 0 = 0, 6115 ϑ+ 4 = 0, 3286 ϑ+ 8 = 0, 2026

ϑ+ 1 = 0, 6096 ϑ+ 5 = 0, 2378 ϑ+ 9 = 0, 1263

ϑ+ ϑ+ 2 = 0, 5925 3 = 0, 5309 + ϑ6 = 0, 2372 ϑ+ 7 = 0, 2294 ϑ+ = 0, 0297 . 10

Der von der Außenwand an die Luft u armestrom ist ¨bertragene W¨

+ ϑ+ δ ϑ5 + 10 Q˙ = 8 α (ϑi − ϑU ) b + . . . + ϑ + . + ϑ+ 6 9 2 4 4 Daraus folgt mit α = 10 W/m2 K und δ = 0, 25 m: Q˙ = 8, 62 b (ϑi − ϑU ) . Ist statt der Umgebungstemperatur ϑU der Außenluft die Temperatur ϑa der Außenwand nach Beispiel 2.8 vorgegeben, so erhalten wir Q˙ = 12, 85 b λ (ϑi − ϑa ) und daraus mit λ = 0, 8 W/Km: Q˙ = 10, 28 b (ϑi − ϑa ) . Durch den zus¨ atzlichen W¨ armewiderstand an die Luft auf der Außenseite verringert sich der u armestrom um 16, 1%. ¨bertragene W¨

746


2.22: Gesucht wird das Minimum von 1 I= 2

L

x=0

∂Θ ∂x

2 +

2L 2 1 ∂Θ2 1 . + m2 Θ 2 dx + (q˙ Θ)22 a ∂t λ x=0

Hierin ist Θ = ϑ − ϑU und nach (2.52): m2 = α U/λ Aq = 4 α/λ d. Der Beweis ist nach dem gleichen Schema zu f¨ uhren wie der zu (2.340) in Kapitel 2.5.3: Man denkt sich die unbekannte Funktion Θ (t, x) in eine Familie ˆ (t, x, ε) = Θ (t, x) + ε η (x) und bildet dann, wie von Funktionen eingebettet Θ schon in Kapitel 2.5.3 gezeigt, die Ableitung (∂I) / (∂ε). An der Stelle ε = 0 ist (∂I) / (∂ε) = 0 f¨ ur beliebige Werte η (x) nur zu erf¨ ullen, wenn gilt ∂2Θ 1 ∂Θ − m2 Θ = a ∂t ∂x2 mit den Randbedingungen: Θ (t = 0) = 0 ; λ

∂Θ (x = 0) ∂Θ (x = L) + q˙ (x = 0) = 0 ; λ + q˙ (x = L) = 0 . ∂x ∂x

Das ist aber gerade die Differentialgleichung, deren L¨ osung unter den angegebenen Randbedingungen das obige Integral zu einem Minimum macht. Wir setzen im Folgenden vernachl¨ assigbaren W¨ armestrom am oberen Ende der St¨ abe voraus, q˙ (x = L) = 0. oßen x+ = x/L, Mit q˙ = q˙ L/λ (SI-Einheit K) und den dimensionslosen Gr¨ t+ = a t/L2 geht das Integral I u ¨ber in 1 I =IL= 2

1

x+ =0

∂Θ ∂x+

2 +

∂Θ 2 2 2 + m L Θ dx+ − (q˙ Θ)x+ =0 . ∂t+

Einen einzelnen Stab teilen wir u ange in f¨ unf ¨ aquidistante Ab¨ber seine L¨ schnitte Δx+ = 0, 2 auf wie in Abb. C.1 gezeigt. Zum gesamten Integral I tr¨ agt jeder Abschnitt den Anteil I (k) , k = 1, 2, . . . , 5 bei. Es ist

I

(k)

1 = 2

Δx +

x+ =0

Θk − Θk−1 Δx+

2 +

∂ ∂t+

Θk−1 +

Θk − Θk−1 + x Δx+

2

2 Θk − Θk−1 + dx+ − q˙ Θ x+ =0 . + m2 L2 Θk−1 + x Δx+

Nach Integration erh¨ alt man I (k) =

d 2 Θk − Θk−1 1 + Δx+ + Θk−1 + Θk−1 Θk + Θk2 + Δx 6 dt + m2 L 2

2 1 + Θk−1 Θk + Θk2 − q˙ Θ x+ =0 . Δx+ Θk−1 6

Die Temperatur Θ0 kommt nur im ersten Abschnitt vor. Daher ist ∂I /∂Θ0 = ∂I (1) /∂Θ0 = 0. Jede der Temperaturen Θ1 , . . . , Θ4 kommt einmal in dem u ur sie gilt ¨ber ihr und einmal in dem unter ihr liegenden Abschnitt vor. F¨ daher:


747

∂I (k) ∂I (k+1) ∂I = + =0 . ∂Θk ∂Θk ∂Θk unften Abschnitt vor, so dass f¨ ur sie gilt: Die Temperatur Θ5 kommt nur im f¨ ∂I ∂I (5) = =0 . ∂Θ5 ∂Θ5 alt man folgendes System von sechs Nach Bildung von ∂I /∂Θk = 0 erh¨ gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen, in dem die Temperaturen Θi , i = 0, 1, . . . , 5 noch Funktionen der Zeit sind: Δx+2 Δx+2 ˙ 2 Θ0 + Θ˙ 1 + m2 L2 (2 Θ0 + Θ1 ) − q˙ Δx+ = 0 . Θ0 − Θ1 + 6 6 F¨ ur i = 1, 2, . . . , 4 gilt: Θi−1 + 2 Θi − Θi+1 +

Δx+2 ˙ Θi−1 + 4 Θ˙ i + Θ˙ i−1 6 + m 2 L2

Δx+2 (Θi−1 + 4 Θi + Θi+1 ) = 0 , 6

und es ist Θ5 − Θ4 +

Δx+2 Δx+2 ˙ Θ4 + 2 Θ˙ 5 + m2 L2 (Θ4 + 2 Θ5 ) = 0 . 6 6

¨ Der Uberpunkt bezeichnet eine Ableitung nach der Zeit t+ . Eine analytische osung L¨ des Gleichungssystems unter Beachtung der Anfangsbedingung Θi t+ = 0 = 0, i = 0, 1, . . . , 5 mit Hilfe der Laplace-Transformation f¨ uhrt auf ein System algebraischer Gleichungen, die man leicht l¨ osen kann. Die R¨ ucktransformation ergibt jedoch f¨ ur jede der Temperaturen eine schlecht konvergierende unendliche Reihe. Der numerische Aufwand, den ihre Auswertung

Abb. C.1: FEM-Gitter des Stabes

748

Anhang C: L¨ osungen der Aufgaben erfordert, ist recht groß. Es ist daher zweckm¨ aßiger, das Gleichungssystem ohne den Umweg u ¨ber die Laplace-Transformation von vorneherein numerisch zu l¨ osen, beispielsweise mit Hilfe von Mathematica oder MathLab. Einige auf diese Weise ermittelte Temperaturen Θ = ϑ − ϑU , ϑU = 20 ℃, gibt die Tabelle C.1 wieder. Die analytische L¨ osung der f¨ ur station¨ are W¨ armeleitung g¨ ultigen Gleichung (2.51) mit den Randbedingungen x = 0 : −λ ∂Θ/∂x = q˙

und

x = L : ∂Θ/∂x = 0

+ q˙ cosh m L 1 − x . Θ= λm sinh (m L) Mit den Werten des Beispiels q/λ ˙ m = 100, 66 und m L = 0, 6325 erh¨ alt man die Temperaturen in der letzten Zeile der Tabelle C.1. Man erkennt, dass station¨ are W¨ armeleitung nach etwa einer halben Stunde erreicht ist. lautet:

Tabelle C.2: L¨ osungen zur Aufgabe 2.22 Θ (t) /℃

x+ = 0 x+ = 0, 2 x+ = 0, 4 x+ = 0, 6 x+ = 0, 8 x+ = 1, 0

t = 10 s 100 s 1000 s 1800 s = ˆ 1/2 h 3600 s = ˆ1h

20,17 65,11 173,70

9,93 53,78 162,38

4,08 45,16 153,75

1,33 39,09 147,69

0,31 35,49 144,09

1,0 34,30 142,89

179,19

167,87

159,24

153,18

149,58

148,38

179,62

168,29

159,67

153,60

150,00

148,81

179,82

168,50

159,87

153,81

150,20

149,02

Analyt. L¨ osung, station¨ ar

2.23: Es ist

4 π2 9π 2 + ξA (x = 0, t) − ξAU 4 = exp − t+ − exp − t ξAα − ξAU π 4 D 3π 4 D

2 4 25π + + − ... + ... . exp − t 5π 4 D

Unter Verwendung des ersten Reihengliedes erh¨ alt man t+ D = 1,039 und t = 14,1 Tage. Die u brigen Reihenglieder sind vernachl¨ assigbar klein, wie man ¨ leicht nachpr¨ ufen kann, so dass es tats¨ achlich gen¨ ugt, nur das erste Reihenglied zu ber¨ ucksichtigen. 2.24: Die Diffusion erfolgt jetzt in Richtung der x- und der y-Koordinate. Bei der Behandlung des entsprechenden W¨ armeleitproblems, Abschn. 2.3.5, war gezeigt worden, dass f¨ ur einen Quader mit den Kantenl¨ angen 2X, 2Y die Temperaturverteilung durch (2.191) gegeben ist

ϑ+ =

ϑ − ϑU = ϑ+ Pl ϑ0 − ϑU


x at αX y at α Y + , , · ϑPl . , , X X2 λ Y Y2 λ

749

F¨ ur das Diffusionsproblem gilt in Stabmitte x = y = 0 und f¨ ur βX/D = β Y /D → ∞ entsprechend

ξA (x = y = 0) − ξAU Dt Dt + + + = cPl ξA = · cPl . ξAα − ξAU X2 Y2 Unter der Annahme, dass das erste Reihenglied aus der L¨ osung der vorigen Aufgabe gen¨ ugt, folgt 2

4 π2 + = . exp − t+ ξA D π 4 Es sind t+ uft leicht nach, dass die folgenden D = 0,569 und t = 7,7 Tage. Man pr¨ Reihenglieder gegen¨ uber dem ersten tats¨ achlich vernachl¨ assigbar sind. 2.25: a) Es sind M˙ La = 0,7 kg/s, M˙ Ga = 6,0 kg/s und M˙ W = 0,532 kg/s. b) Die erforderliche Zeit erh¨ alt man aus (2.426). Hierin ist cAα = 0 und somit L cAm /cAU = ξAa /ξA0 = 0,6 .

Damit folgt aus (2.427): 0,65797 =

∞ 1 . exp −i2 π 2 t+ D 2 i i=1

ugen die drei Durch Probieren findet man als L¨ osung t+ D = 0,0485. Es gen¨ ersten Glieder der Reihe. Es ist t = 72,7 s. c) L = tw = 7,27 m. 2.26: In guter N¨ aherung gilt BiD → ∞. Außerdem ist die Oberfl¨ ache jeder Kugel sofort vollst¨ andig mit Wasser getr¨ ankt, ξA0 = 1. Daher ist ˜ A = 55,5 kmol/m3 . cA0 = ξA0 /M Weiter ist t+ D = 0,072. Aus (2.427) + c+ Am (tD ) =

∞ cAm − cA0 6 1 = 2 exp −i2 π 2 t+ D cAα − cA0 π i=1 i2

folgt mit cAα = 0: cAm /cA0 = 0,6927 und cAm = 38,42 kmol/m3 . Jede Kugel nimmt 0,241 g Wasser auf.

Kapitel 3: Konvektiver W¨ armeund Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen 3.1: Aus −q˙j = λji ∂ϑ/∂xi folgt unter Beachtung von λ12 = λ21

750

Anhang C: L¨ osungen der Aufgaben ∂ϑ ∂ϑ + λ12 ∂x1 ∂x2 ∂ϑ ∂ϑ −q˙2 = λ12 + λ22 ∂x1 ∂x2 ∂ϑ −q˙3 = λ33 . ∂x3

−q˙1 = λ11

Bei station¨ arer W¨ armeleitung ist allgemein ∂ q˙j /∂xj = 0 da die Platte in unn ist, wird ∂ϑ/∂x2 = 0 und die Differentialgleichung der x2 -Richtung d¨ station¨ aren W¨ armeleitung lautet ∂2ϑ ∂2ϑ ∂ q˙2 ∂ q˙3 ∂ q˙1 + + = λ11 2 + λ33 2 = 0 . ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x1 ∂x3 3.2: F¨ ur Modell (Index M) und Original (Index O) muss gelten N u = f (Re, P r) . a) Es muss sein P r M = P r O . Mit P rO = 4,5 betr¨ agt die zugeh¨ orige Temperatur T = 311 K. b) Die Reynolds-Zahlen von Wasser und Chloroform m¨ ussen bei den Anstr¨ omgeschwindigkeiten 0, 2 m/s und 2 m/s u ¨bereinstimmen. Daraus folgt (wM )1 = 0,0355 m/s und (wM )2 = 0,355 m/s. c) Wegen N uM = N uO oder (αM dM ) /λM = (αO dO ) /λO ist αO = 484 W/m2 K. 3.3: F¨ ur Modell (Index M) und Original (Index O) gilt nach (3.367)) N um ∼ Gr 1/4 mit N um = αm L/λ und Gr = β∞ ΔϑgL3 /ν 2 . Daraus folgt αmO = αmM und

LM LO

1/4

αmO AO ΔϑO Q˙ O = = αmM AM ΔϑM Q˙ M

ΔϑO ΔϑM

LO LM

1/4

7/4

ΔϑO ΔϑM

5/4

wegen AO /AM = L2O /L2M . Wir erhalten Q˙ O = 469,5 W. 3.4: Man stellt zuerst eine Dimensionsmatrix auf. Es bezeichne L die Dimension einer L¨ ange: L= dim L ; entsprechend sei t= dim t, T= dim ϑ, M= dim M . Die Dimensionsmatrix lautet L w0 L t M T

λ

ν

c αm

1 1 −3 1 2 2 0 0 −1 0 −3 −1 −2 −3 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 −1 0 −1 −1

¨ Man bestimmt nun den Rang r der Matrix mit Hilfe von Aquivalenztransformationen; das sind Linearkombinationen von Zeilen (oder Spalten). Wir


751

bilden dazu Linearkombinationen von Zeilen, bis die Diagonale einer Untermatrix nur Einsen, die Nebendiagonale nur Nullen enthalten. Wir bezeichachst nen die erste Zeile mit Z1 , die zweite mit Z2 u.s.w. und bilden zun¨ eine neue Matrix, deren Zeilen wir mit einem Strich kennzeichnen. Es sei Z4 = −Z4 , Z3 = Z3 + Z4 , Z2 = −Z2 + 3Z4 . Die neue Matrix lautet L w0

λ

1 −3 1 0 0 1 0 0

1 0 0 0

ν

1 0 0 1

c αm

2 2 1 −1 0 −1 0 1

0 0 0 1

Sie enth¨ alt bereits in der vorderen Hauptdiagonalen nur Einsen. Durch eine weitere Transformation Z1 = Z1 − Z2 + 3Z3 − Z4 ergibt sich L w0 1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

λ 0 0 0 1

ν

c αm

1 −1 −1 1 −1 0 0 −1 0 0 1 1

Die linke Untermatrix enth¨ alt nun, wie gefordert, in der Hauptdiagonalen nur Einsen, in den Nebendiagonalen nur Nullen. Der Rang der Matrix ist ¨ r = 4, denn es sind 4 Zeilen linear unabh¨ angig voneinander: Durch Aquivalenztransformationen kann man keine Zeile mehr in eine andere u uhren. ¨berf¨ Nach Buckingham [1.20] ist die Zahl m der π-Gr¨ oßen m = n − r, wenn n die Zahl der urspr¨ unglichen Variablen ist, in unserem Fall ist n = 7. Es gibt also m=7−4=3 π-Gr¨ oßen. Diese ergeben sich aus der obigen Matrix zu ν −1 −0 −0 π1 = νL−1 wm λ = = 1/Re wm L c wm L 1 1 1 −1 π2 = cL wm λ = wm L = = ReP r λ a L α m 0 0 −1 λ = = Nu π3 = αm L1 wm λ Es ist f (π1 , π2 , π3 ) = 0 oder f (N u, Re, P r) = 0. 3.5: a) Die Dimensionsmatrix lautet d w L W g L t M

1 1 −3 −3 1 0 −1 0 0 −2 0 0 1 1 0

¨ Durch Aquivalenztransformationen erh¨ alt man neue Zeilen Zi aus den vor¨ hergehenden Zi (i = 1, 2, 3). Wir bilden folgende Aquivalenztransformationen der Zeilen Z1 = Z1 + Z2 + 3Z3 , Z2 = −Z2 , Z3 = Z3 und erhalten d w L W g 1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 −1 0 2 1 0

752

Anhang C: L¨ osungen der Aufgaben Der Rang der Matrix ist r = 3. Es gilt somit m = n − r = 5 − 3 = 2. Die dimensionslosen Gr¨ oßen sind W π1 = W d0 w0 −1 L = L gd 1 −2 0 π2 = gd w L = 2 . w

b) Es ist π2 = f (π1 ) oder gd/w 2 = f (W /L ). 3.6: Einsetzen des Geschwindigkeitsprofils in die aus (3.165) folgende Integralbedingung f¨ ur den Impuls ⎤ ⎡

1 wx νwδ ∂wx /∂wδ y ⎦ d ⎣ 2 wx 1− d = wδ δ dx wδ wδ δ δ ∂y/δ y=0 0

ergibt, wenn man abk¨ urzend z = π/2(y/δ) setzt: ⎤ ⎡ π/2 νwδ π 2 2 d ⎢ ⎥ sin z(1 − sin z) dz ⎦ = wδ . ⎣δ π dx δ 2 0

Das Integral hat den Wert 1 − π/4. Damit ist nach Integration 1/2 1/2

νx 2 = 4,795 x Re−1/2 . δ=π x 4−π wδ Dies Ergebnis unterscheidet sich von (3.170) dadurch, dass anstelle des Faktors 4,64 in (3.170) nun der Faktor 4,795 tritt. 3.7: Um festzustellen, ob die Str¨ omung turbulent wird, berechnet man die Reynolds-Zahl am Plattenende Re = w∞ L/ν. Da man die Viskosit¨ at nur beim Druck 0,1 MPa findet, macht man Gebrauch von η = ν = const f¨ ur ϑ = const. Daraus folgt p1 /(RT1 )ν1 = p2 /(RT2 )ν2 oder ν2 = ν1 p1 /p2 bei ϑ = const. Es ist ν1 (p1 , ϑm ) = 30,84·10−6 m2 /s mit p1 = 0,1 MPa, und der Mitteltemperatur ϑm = (ϑ∞ + ϑ0 )/2 = (300 + 25)/2 ℃ = 162,5 ℃. Damit wird ν2 = 30,84 · 10−5 m2 /s und die zugeh¨ orige Reynolds-Zahl Re = 3,243 · 104 . Die Str¨ omung ist bis zum Plattenende laminar. Die mittlere Nußelt-Zahl ist nach 3.74 Nr. 1, N um = 0,664Re1/2 P r 1/3 = 105,5. Daraus ergibt sich αm = 3,84 W/m2 K und q˙ = 1056 W/m2 . 3.8: Die Reynolds-Zahl am Ende des Sees ist Re = 2,606 · 106 . Die Str¨ omung ist daher anf¨ anglich laminar und geht nach einer Laufl¨ ange von xcr = 3,84 m in turbulente Str¨ omung u ¨ber. Wir berechnen die Sherwood-Zahl aus (3.208), indem wir dort die Nußelt-Zahl durch die Sherwood-Zahl ersetzen. Es ist Shm,lam = 904,1 und Shm,turb = 3592. Damit ist Shm = Sh2m,lam + Sh2m,turb = 3704, βm = 4,741 · 10−4 m/s

m ˙ A = βm (ξA0 − ξA∞ ) = βm Es ist pA0 = pWs und daher

1 1 (pA0 − pA∞ ) = βm (pA0 − ϕpA0 ) . RT RT


753

pWs (1 − ϕ) = βm (1 − ϕ) , RT m ˙ A = 4,099 · 10−6 kg/m2 s M˙ A = 147,5 kg/h . m ˙ A = βm

3.9: Es ist M˙ = V˙ = 0,25 kg/s. Weiter gilt die Energiebilanz Q˙ = M˙ cp (ϑa − ϑe ) = αm dπLΔϑm mit Δϑm =

(ϑ0 − ϑe ) − (ϑ0 − ϑa ) = 57,71 ℃ . ln [(ϑ0 − ϑe ) / (ϑ0 − ϑa )]

Damit ergibt sich αm =

˙ cp (ϑa − ϑe ) M = 769,3 W/m2 K . dπLΔϑm

3.10: Die vom Reflektor aufgefangene Sonnenenergie wird an das Absorberrohr u ¨bertragen q˙S sL/2 = qd ˙ a πL . Die vom Absorberrohr aufgenommene W¨ armestromdichte ist daher q˙ = 1,567· armung des Wassers: 104 W/m2 . Sie dient zur Erw¨ qd ˙ a πL/2 = M˙ cp (ϑa − ϑe ) ˙ = wm d2i π/4 = 0,141 kg/s. Es ist mit M L=

2M˙ cp (ϑa − ϑe ) = 13,3 m . qd ˙ aπ

Die Wandtemperatur im Austrittsquerschnitt folgt aus q˙ = α (ϑ0 − ϑF ) = α (ϑ0 − ϑa ) zu ϑ0 = q/α ˙ + ϑa = 139,4 ℃. 3.11: Die W¨ armeverluste ergeben sich aus der Energiebilanz zu Q˙ = M˙ cp (ϑe − ϑa ) = 11,94 kW. Die am Rohrende u armestromdichte ist ¨bertragene W¨ q˙ = k(ϑa − ϑ0 )

mit

1 1 1 . = + k α αa

Hierin ist α der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient vom u ¨berhitzten Dampf an die innere Rohrwand. Wir haben hierbei di ≈ da gesetzt. Zur Berechnung von α ermitteln wir zuerst die Reynolds-Zahl Re =

˙ wm d 4M = = 7,47 · 105 . ν πdη

Die Str¨ omung ist turbulent. Außerdem ist L/d > 100. Aus (3.259) erh¨ alt man N um = 1143, αm = 1261 W/m2 K und q˙ = 1779 W/m2 . Weiter gilt q˙ = αm (ϑa − ϑ0 ) und daher ϑ0 = ϑa − q/α ˙ m = 118,6 ℃. 3.12: Die spez. Oberfl¨ ache der Partikel ist nach (3.266) aP = 6(1 − ε)/d = 180 m2 /m3 . Der Anordnungsfaktor nach (3.268) ist fε = 1,9, die Reynolds-Zahl Re =

wm d = 6,135 · 103 . εν

754

Anhang C: L¨ osungen der Aufgaben Die Nußelt-Zahl berechnet sich nach Abschnitt 3.7.4, Nr. 5, aus N um = 2 + N u2m,lam + N u2m,turb mit N um,lam = 46,40 und N um,turb = 35,58 zu N um = 60,47. Daraus ergibt ache ist nach (3.264) sich αm = 80,73 W/m2 K. Die gesamte Partikeloberfl¨ nAP = aP V = aP A0 H = 117 m2 . a) Damit wird Q˙ = αm nAP (ϑL − ϑ0 ) = 177740 W ≈ 178 kW. b) Die aufgrund der zugef¨ uhrten W¨ arme verdunstende Wassermenge ist −2 ˙ W = Q/Δh ˙ M kg/s v = 7,25 · 10

Die aufgrund des Partialdruckgef¨ alles verdunstende Wassermenge p (XWS − X) M˙ W = βm RL T ist um rund zwei Gr¨ oßenordnungen kleiner und vernachl¨ assigbar, wie man mit Hilfe des aus Abschnitt 3.7.4, Nr. 5 folgenden Stoffaustauschkoeffizienten und dem spez. Wassergehalt X = 0,622 pWS /(p/ϕ − pWS ) nachpr¨ ufen kann. 3.13: Die H¨ ohe HL der Wirbelschicht am Lockerungspunkt folgt aus der Bedingung konstanter Sandmasse A0 HL (1 − εL )S = A0 HS (1 − εS )S . Es ist

1 − εS HS = 0,57m . 1 − εL Der gesamte Druckabfall ist nach (3.311) Δp = [S (1 − εL ) + L εL ]gH ∼ = S (1 − εL )gH. Da (1 − εL )H = const gilt, ist der Druckabfall in der Wirbelschicht praktisch konstant, was auch durch Messungen best¨ atigt wird. Man darf f¨ ur (1 − εL )H am Lockerungspunkt auch (1 − εS )H0 der ruhenden Sandschicht setzen. Damit ist Δp ∼ ase = 7848 Pa. Diesen Druckabfall muss das Gebl¨ ases ist gleich dem Druck am aufbringen. Der Druck p2 am Ausgang des Gebl¨ Eingang der Wirbelschicht p2 = p1 + Δp = 107848 Pa. Die mittlere Dichte der Luft in der Wirbelschicht ist mF = pm /RT = 0,322 kg/m3 . Die Lockerungsgeschwindigkeit folgt aus (3.312). Darin ist die Archimedes-Zahl gebildet mit der mittleren Dichte mF HL =

Ar =

S − mF d3P g = 419,7 . mF ν2

Es ist nach (3.312) ReL = 0,313; und wL = 0,094 m/s. Die tats¨ achliche Geschwindigkeit ist wm = 10wL = 0,94 m/s. Der Massenstrom der Luft im Eintrittsquerschnitt ist p2 M˙ L = L wm A0 = wm A0 = 2,22 kg/s . RT Die erforderliche Gebl¨ aseleistung ist κ−1

κ p κ RT 1 2 ˙L P =M − 1 = 20,4 kW . κ − 1 ηV p1


755

Es ist

M˙ cp (ϑ1 − ϑ1 ) Prev = , P P wenn ϑ1 die Endtemperatur der Verdichtung ist. Daraus folgt ϑ1 = 299,5K = ˙ L cpmL (ϑ2 − ϑ1 ) = 2126 26,4 ℃. Der zugef¨ uhrte W¨ armestrom betr¨ agt Q˙ = M kW. 3.14: Die Dichte der Luft u ¨ber dem Erdboden ist ηV =

L1 =

p1 = 1,2084 kg/m3 , RL TL1

G1 =

p1 = 1,1946 kg/m3 . RG TG1

die der Abgase ist

Es ist G1 < L1 ; die Abgase k¨ onnen aufsteigen. Sie w¨ urden nicht mehr aufare oder steigen, wenn G1 ≥ L1 w¨ TG1 ≤

RL TL1 = 438,1K = 164,9 ℃ , RG

die Abgastemperatur also unter rund 165 ℃ l¨ age. F¨ ur die Luft gilt dp = −g dx und somit v dp = −g dx. Mit v = RL TL /p folgt g dp dx . =− p RL TL Durch Integration erh¨ alt man die barometrische H¨ ohenformel

gΔx . p2 = p1 exp − RL TL Der Luftdruck in 100 m H¨ ohe betr¨ agt p2 = 0,09882 MPa. Die Dichte der Luft in 100 m H¨ ohe ist p2 L2 = = 1,194 kg/m3 . RL TL Die Dichte der Abgase in 100 m H¨ ohe folgt aus

G2 =

p2 p1

1/κ G1 = 1,184 kg/m3 .

Die Abgase sind in 100 m H¨ ohe leichter als die Luft. Sie k¨ onnen noch weiter aufsteigen. 3.15: Es ist β∞ (ϑ0 − ϑ∞ )gL3 = 4,23 · 109 Gr = ν2 und Ra = GrP r = 3,03 · 109 . Damit erh¨ alt man nach (3.368) die mittlere Nußelt-Zahl bei freier Str¨ omung N umF = 173,2. Weiter ist Re =

w0 L = 5,80 · 104 . ν

alt die mittlere Damit wird N um,lam = 142,4 und N um,turb = 203,3. Man erh¨ Nußelt-Zahl der erzwungenen Str¨ omung zu

756

Anhang C: L¨ osungen der Aufgaben N umE = N u2m,lam + N u2m,turb = 248,2 .

Da freie und erzwungene Str¨ omung entgegen gerichtet sind, gilt in (3.374) das Minuszeichen, N um = 216,1 und αm = 5,92 W/m2 K. Die beiden Seiten der Platte geben den W¨ armestrom Q˙ = αm A(ϑ0 − ϑ∞ ) = 474 W ab. 3.16: Es ist nach Abschnitt 3.9.3, Nr. 5 zu rechnen. Es ist x 4 β∞ qgx ˙ 4 P r = 7,11 · 1010 Ra = GrP r = . 2 ν λ m omung ist am PlatAm Plattenende x1 = 0,4 m ist Ra = 1,82 · 109 . Die Str¨ tenende gerade noch laminar. Es ist x 4/5 λ W N ux = 78,42 . und α = N ux = 1,968 x−1/5 9/5 m x m K Weiter folgt aus q˙ = α(ϑ0 − ϑ∞ ) : ϑ0 =

q˙ W + ϑ∞ = 7,62 1/5 x1/5 + 283,15 K . α m

Die Wandtemperatur nimmt mit x1/5 zu und betr¨ agt am Plattenende, x1 = 0,4 m: ϑ0 = 289,5 K = 16,3 ℃ . 3.17: Die K¨ uhlung wird durch den W¨ arme¨ ubergang bei freier Str¨ omung bestimmt. F¨ ur den senkrechten Zylinder gilt (3.368), f¨ ur den waagrechten die Gleichung Nr. 3 in Abschnitt 3.9.3. Die Raleigh-Zahl RaS f¨ ur den senkrechten Zylinder ist mit der Zylinderh¨ ohe, die f¨ ur den waagrechten RaW mit dem Zylinderdurchmesser zu bilden. Es ist RaS =

β∞ (ϑo − ϑ∞ )gL3 P r = 8,45 · 106 ν2

und

RaW = 5,41 · 105 .

Nach (3.368) wird N umS = 29,75 und αmS = N umS λ/L = 5,06 W/m2 K. Nach Nr. 3 in Abschnitt 3.9.3, wird N umW = 12,25 und αmW = N umW λ/d = 5,21 W/m2 K. Es ist αmW > αmS . Außerdem wird bei waagrechter Lage noch W¨ arme u uhrt. Die Dosen k¨ uhlen daher rascher ab, wenn ¨ber die Enden abgef¨ man sie legt. 3.18: Die Temperatur der Außenhaut T0 ist praktisch gleich der Eigentemperatur, denn die von der Außenhaut abgegebene W¨ armestromdichte ist nach (3.409) q˙ = α(T0 − Te ) = k (Ti − T0 ) mit 1/k = 1/αi + δ/λ. Daraus folgt T0 −Te = k /α(Ti −T0 ). Darin ist Ti −T0 einige K, und der ¨ außere W¨ arme¨ uber∼ ist T . Die Eigentemperatur berechnet T gangskoeffizient α k . Daher = 0 e √ sich nach (3.392) mit wSδ = κRTδ = 299,5 m/s und M aδ = wδ /wSδ = 0,649 zu κ−1 2 M aδ = 241,95 K = −31,2 ℃ . Te = T0 = Tδ 1 + 2 √ Zum ann¨ ahernd gleichen Ergebnis kommt man nach (3.394) mit r = 3 P r P r(−50 ℃) = 0,727, cp = 1,007 kJ/kgK. Man erh¨ alt T0 = 240 K = −33, 1 ℃. Die W¨ armestromdichte ist q˙ = k(Ti − T0 ) = 170,7 W/m2 mit 1 1 δ = + k αi λ

und

k = 3,33 W/m2 K .


757

3.19: Sobald die Temperatur T0 der Außenhaut u ¨ber eine Eigentemperatur Te von 300 ℃ ansteigt, muss man k¨ uhlen. Es muss daher T0 ≤ Te sein, damit man nicht k¨ uhlen muss. Nach (3.392) ist Te = 1,8 . Tδ Es soll T0 ≤ Te = 1,8Tδ sein, also Tδ ≥ T0 /1,8 = 45,3 ℃. Sobald die Lufttemperatur u uhlen. ¨ber 45,3 ℃ ansteigt, muss man k¨

Kapitel 4: Konvektiver W¨ armeund Stoff¨ ubergang. Str¨ omungen mit Phasenumwandlungen 4.1: Nach (4.15) ist αm,waag = 3538,9 W/m2 K. Die Temperatur an der Kondensatoberfl¨ ache ergibt sich n¨ aherungsweise aus (4.35) ϑI − 333,15 =

30W/m2 K · 2257,3kJ/kgK (0,101325 − pI (ϑI )) M P a ln . αm,waag W/m2 K · 1,93kJ/kgK 6,556 · 10−3 M P a

Hierin ist p − p1G = (1 − y1G )p = 0,0647 · 0,101325 MPa = 6,556 · 10−3 MPa gesetzt. αm,waag (ϑI ) ist nun mit der noch unbekannten Temperatur ϑI an der Phasengrenze nach (4.15) zu bilden. Zur Bestimmung von ϑI aus obiger Gleichung sch¨ atzt man zun¨ achst ϑI , und pr¨ uft mit dem Wert pI (ϑI ) aus der Wasserdampftafel nach, ob der Sch¨ atzwert richtig war. Man findet ϑI = 350,8 K = 77,7 ℃, hierf¨ ur ist pI = 0,0397 MPa und obige Gleichung recht gut erf¨ ullt. Aus (4.36) uhrte W¨ armestromdichte sinkt auf 44 % der folgt damit q˙G /q˙ = 0,44. Die abgef¨ W¨ armestromdichte, die man abf¨ uhren m¨ usste, wenn reiner Sattdampf vorhanden w¨ are. Die Fl¨ ache muss also rund um den Faktor 1/0,44 = 2,27 vergr¨ oßert werden, wenn die Kondensatorleistung gleich bleiben soll. 4.2: Es ist Δϑ = ϑ0 − ϑs = 200 ℃, nach Abb. 4.40 befindet man sich im Bereich der Filmverdampfung. Der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient ergibt sich aus 4.2.8, Nr. 6 zu αS = 25,1 W/m2 K und αmG = 231,1 W/m2 K. Damit ist αmG /αS = 9,2 und αm /αmG = 1,088, αm = 252,1 W/m2 K. Die Heizleistung ist Q˙ = αm AΔϑ = 396 W. ˙ WT cpWT Δϑ = 3 MW. Der erzeugte Dampf4.3: Die Heizleistung betr¨ agt Q˙ = M ˙ W = 1,38 kg/s = 4,95 · 103 kg/h. mengenstrom M˙ W folgt aus Q˙ = M˙ W Δhv zu M Der u armestrom ist andererseits ¨bertragene W¨ Q˙ = kAΔϑm

mit

Δϑm =

(ϑWTe − ϑs ) − (ϑWTa − ϑs ) . ln[(ϑWTe − ϑs )/(ϑWTa − ϑs )]

Es ist Δϑm = 42,84 K und aus 1/(kA) = 1/(αi Ai )+1/(αa Aa ) mit A = Aa ∼ = Ai folgt 1/k = 1/αi + 1/αa . Nach (4.97) ist αa = 2,43q˙0,72 W/m2 K und somit 1 1 1 m2 K/W . = + k 700 2,43 q˙0,72 Damit wird Q˙ = q˙ = kΔϑm = A

1 1 + 700 2,43q˙0,72

−1

W/m2 K · 42,84 K .

Dies f¨ uhrt zu einer transzendenten Gleichung f¨ ur q: ˙

758

Anhang C: L¨ osungen der Aufgaben 3,3347 · 10−5 q˙ + 9,606 · 10−3 q˙0,28 − 1 = 0 .

ache folgt aus Q˙ = qA ˙ zu A ∼ Die L¨ osung lautet q˙ = 25076 W/m2 . Die Fl¨ = 120 m2 . 4.4: a) Die L¨ ange folgt aus der Energiebilanz qdπΔz ˙ =m ˙

d2 π (h − h1 ) 4

zu

Δz =

md(h ˙ − h1 ) = 1,17 m . 4q˙

b) Der Dampfgehalt im Austrittsquerschnitt ergibt sich aus (4.115) zu x∗ = 0,387. 4.5: Nach (4.152) ist 0,9

1 − x∗ Xtt = 0,2259 . x∗ Nach (4.126) ist mit (4.128)

˙2 dp dp 1m 2 2 = −ΦL = Φ2L ζL (1 − x∗ ) dz dz d 2 L L

r dp 2 = −2061,6 N/m3 Φ2L (1 − x∗ ) . dz r Aus (4.153) folgt mit obigem Wert f¨ ur Xtt Φ2L = 1 +

20 1 + 2 = 1 + 88,53 Xtt Xtt

x∗ 1 − x∗

0,9 + 19,596

x∗ 1 − x∗

1,8

und damit

dp dx∗ = −2063 N/m3 (1 − x∗ )2 + 88,53x∗0,9 (1 − x∗ )1,1 dz r 0,2 dx∗ . +19,596x∗1,8 (1 − x∗ ) Da mit konstanter W¨ armestromdichte beheizt wird, ¨ andert sich der Str¨ omungsdampfgehalt x∗ linear mit der Laufl¨ ange z. Dies folgt aus der Energiebilanz x∗ =

1 qdπ ˙ (z − Δz) q˙ · 4 = (z − Δz) . Δhv md ˙ 2 π/4 Δhv md ˙

Mit Δz = 1,17 m wird x∗ = 0,1575(z/m − 1,17). Somit ist dx∗ / dz = 0,1575 1/m und in der vorigen Gleichung f¨ ur den Druckabfall

dp dx∗ = ( dp)r 0,1575/m . dz r Es gilt daher 2 1,1 ( dp)r = −13098 N/m2 (1 − x∗ ) + 88,53 x∗0,9 (1 − x∗ ) 0,2 +19,596 x∗1,8 (1 − x∗ ) dx∗ . Integration zwischen x∗ = 0 und x∗ = 0,387 ergibt (Δp)r = −823 hPa = −0,823 MPa.


759

4.6: a) Die L¨ ange ergibt sich aus einer Energiebilanz ˙ G h + M˙ L h qdπL ˙ + M˙ h1 = M qdπL ˙ = x∗ h + (1 − x∗ ) h − h1 md ˙ 2 π/4 md ˙ ∗ x h + (1 − x∗ ) h − h1 = 3,25 m . 4q˙ b) Die Wandtemperatur ergibt sich aus ϑ0 = ϑs + q/α ˙ 2Ph . Es ist ϑs (5,95 MPa) = 275 ℃. Der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient α2Ph folgt aus (4.159) mit αG und αL aus 3.8.6 Nr. 1. Es ist L=

ReL =

md ˙ = 2,1 · 105 ηL

αL = 11023 W/m2 K

;

ReG = ;

md ˙ = 1,08 · 106 ηG

αG = 6241 W/m2 K

und α2Ph = 39258 W/m2 K. Damit wird ϑ0 = 295,4 ℃.

760


Kapitel 5: W¨ armestrahlung 5.1: c = 197,2 · 106 m/s; λM = 1,97 μm; ePh = 6,622 · 10−20 J. 5.2: λ1 = 2,3 μm, λ2 = 4,7 μm; L = 115,2 W/(m2 sr); M = 361,9 W/m2 ; ΔM/M = 1/32. 5.3: ΔM/M = 1/4 5.4: Lref = 38,2 W/(m2 sr); Φb,abs /A = 680 W/m2 5.5: T = 1139 K 5.6: T = 1400 K; M = 218 kW/m2 5.7: T = 4330 K und T = 11810 K. Es gibt zwei Temperaturen! 5.8: a) ε = 0,677; b) a = 0,375 5.9: 0,332 5.10: E = 6375 W/m2 ; ε = 0,864 5.11: T = 740 K; ε = 0,0964; εn = 0,0789 5.12: F11 = 0; F12 = 1; F21 = 0,6366; F22 = 0,3634 5.13: F12 = 0,5 5.14: F11 = 0; F12 = 0,8500; F13 = 0,1500; F21 = 0,3400; F22 = 0; F23 = 0,6600; F31 = 0,0833; F32 = 0,9167; F33 = 0. 5.15: T (0) = 507 K; T (h) = 439 K; T (2h) = 375 K; T (10h) = 305 K; T (∞) = 300 K. 5.16: T = 953 K 5.17: Q˙ = 436 W 5.18: a) Der W¨ armestrom ist unabh¨ angig von der Orientierung des Strahlungsschutzschirms. b) Wenn die Seite mit dem gr¨ oßeren Emissionsgrad (2,5εS ) auf die Platte mit T1 gerichtet ist, ergibt sich die h¨ ohere Temperatur TS . 5.19: a) TA = 679,6 K; TB = 576,1 K. b) q˙ = 4063 W/m2 . c) T1 = 576,1 K = TB von Frage a). 5.20: a) λeff = 0,2545 W/K m; q˙ = 33,82 W/m2 . b) q˙ = 13,1 W/m2 5.21: α = 39,9 W/(m2 K); αStr = 23,8 W/(m2 K). Die Gasstrahlung ist zu etwa 37 % am W¨ arme¨ ubergang beteiligt.

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Sachverzeichnis

Abbildung, konforme 149 Abbinden von Beton 205 Abk¨ uhlung 176 – d¨ unnwandiger Beh¨ alter 43, 44 – einer Platte 176 – einer Stahlplatte 221, 225 – eines Rechtkants 191 – eines Zylinders 191 – einfacher K¨ orper 176 – von Beh¨ altern 126 Abk¨ uhlzeit 187, 193 Ablauftemperatur 52 Abnahme der spektralen Strahldichte 690 Abreißdurchmesser 537, 538 Abreißvolumen 537 Absorber 109 – , idealer 612 Absorption 105 – durch Ozon 651, 653, 657 – in der Atmosph¨ are 649, 653 – von Solarstrahlung 660 – von Strahlung 29, 603 Absorptionsbande 653 Absorptionsgrad 30, 604, 605 – , Berechnung von -en 629 – des grauen Lambert-Strahlers 632 – eines grauen Strahlers 32 – f¨ ur Solarstrahlung 660, 661 – , gerichteter spektraler 604, 605, 628 –, –, von Gasen 692

– , hemisph¨ arischer spektraler 605, 629 – von Gasen 704 – von Metallen 638 Absorptionskoeffizient –, –, spektraler 642, 690 –, –, von Gasen 690 –, –, von Wasser 642 Absorptionskolonne 105 Absorptionszahl 633, 637 Ackermann-Korrektur 491 ADIP-Verfahren 235 ¨ Ahnlichkeitsl¨ osung 450 ¨ Ahnlichkeitstheorie 19 Aerosole 652 Albedo 34, 661 Analogieverfahren 157 Analogie zwischen Impuls-, W¨ armebzw. Stoffaustausch 408, 466 Anfangsbedingung 124, 177 Anfangs-Randwertaufgabe 157 Anheizen von Beh¨ altern 126 Anordnungsfaktor 414 Anteilsfunktion 620, 623 Antinetzmittel 506 Archimedes-Zahl 431 arithmetisches Mittel 8 Assmannsches Aspirationspsychrometer 101 Auftrieb 27 Auftriebskr¨ afte 447 Auftriebsstr¨ omung 26 Ausdehnungskoeffizient 27, 448

780

Sachverzeichnis

Auslegung eines W¨ arme¨ ubertragers 54 Aussenden von W¨ armestrahlung 590 Ausstrahlung 590 –, spektrale spezifische 594, 595, 596, 616, 628 –, –, des grauen Lambert-Strahlers 631 –, –, des Schwarzen K¨ orpers 617, 619 – , spezifische 591, 595, 596 –, –, des Schwarzen K¨ orpers 622 Austrittstemperatur 52 Austrocknen der Heizfl¨ ache 576 Azimutwinkel 592 Baker-Diagramme 557 Banden-Approximation 708 Beersches Gesetz 650, 651 Beh¨ altersieden 540 Beladung 93 Benetzung 479 Berechnung der Wandtemperaturen 37 – von Absorptionsgraden 629 Bernoullische Gleichung 341 Beschleunigungsdruckabfall 562, 563 Bestrahlung 600 –, Strahlungsgr¨ oßen der 600 Bestrahlungsdichte 600, 603 –, spektrale 600, 601, 603 Bestrahlungsst¨ arke 600, 602, 603 – der diffusen Solarstrahlung 660 – der extraterrestrischen Solarstrahlung 645 – der Globalstrahlung 659 – der Solarstrahlung am Erdboden 655 –, spektrale 602, 606 –, –, der direkten Solarstrahlung 656 –, –, der extraterrestrischen Solarstrahlung 647, 655 –, –, infolge Gasstrahlung 693 Betriebscharakteristik 54, 55, 71 – bei einseitig quervermischtem Kreuzstrom 67 – des Gegenstrom-W¨ arme¨ ubertragers 57, 58, 59 – des Gleichstrom-W¨ arme¨ ubertragers 58, 59

Bilanzgleichungen 304 Bildfunktion 158 Biot-Zahl 131, 177 – des Differenzenverfahrens 220 –, kleine 194 Blasenfrequenz 538, 539 Blasenradius 537 Blasensieden 526, 570, 571 –, allgemein 549 – an waagerechten Kupferrohren 550 – von Wasser 548 Blasenstr¨ omung 554, 555, 556 Blasiussches Gesetz 567 Boltzmann-Konstante 616 Boussinesq-Ansatz 358, 378 Boussinesq-Approximation 27, 450 Brechzahl 588, 634 – elektrischer Nichtleiter 636 –, komplexe 633 – von Metallen 637 burn-out 541 – -Ph¨ anomen 544 Cauchysche Bewegungsgleichung 317, 318 Celsiustemperatur 2 Chen, Verfahren von 573 Cosinusgesetz 598 Couette-Str¨ omung 335 ohler-Zahl 279 Damk¨ Dampfblasen, Frequenz von 538, 539 Dampfblasenentstehung 529 Dampfgehalt, thermodynamischer 560 –, volumetrischer 559 –, wahrer 560 Darcysches Gesetz 415, 417 Definition der Absorptionsgrade 605 – der Reflexionsgrade 610 – des Schwarzen K¨ orpers 614 Deklination der Sonne 647 Dephlegmator 510 Deposition controlled burnout 576 Destillat 107 Deviator 316, 320 Dichte 21 Dichtekennzahl 27 Dicke, optische 691, 700

Sachverzeichnis Dielektrika 634 Differentialgleichung f¨ ur das Konzentrationsfeld 267 – f¨ ur das Temperaturfeld 117, 121 – f¨ ur die Laplace-Transformierte 159, 160, 165 – f¨ ur gerade Rippen 143 – f¨ ur Kreisrippen 143 Differentialoperator, selbstadjungierter 228 Differenzengleichung 213, 215, 237 – , explizite 215, 234 – f¨ ur adiabaten Rand 219, 241 – f¨ ur den Zylinder 229, 230 – f¨ ur ebene Temperaturfelder 232, 235 – f¨ ur Gitterpunkt in Randn¨ ahe 239 – f¨ ur Randpunkt 240, 241 –, implizite 223, 234 Differenzenquotient 214 –, vorderer 214 –, zentraler 214 –, –, zweiter 214 Differenzenverfahren 213 –, explizites bei temperaturabh¨ angigen Stoffwerten 231 – f¨ ur ebene station¨ are Temperaturfelder 235 – f¨ ur Zylinderkoordinaten 227 –, graphisches 216 –, implizites 223, 224 – nach Crank-Nicolson 223, 230 Diffusion 74, 75, 264 –, ¨ aquimolare 82, 266 –, einseitige 82 –, station¨ are 277, 281 Diffusionsgleichung 264 Diffusionskoeffizient 79 –, turbulenter 358 Diffusionsstrom 76 Diffusionsstromdichte 76 –, turbulente 357 Diffusionswiderstandsfaktor 282 Dilatation 319 Diskretisierung – der W¨ arme¨ ubergangsbedingung 220 – einer Differentialgleichung 213 – mit finiten Elementen 245

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– von Randbedingungen 217 Diskretisierungsfehler 214, 237 Dissipationsleistung 329 Doppelrohr-W¨ arme¨ ubertrager 46 Draper-Punkt 617 Druck, mittlerer 316, 317 –, thermodynamischer 317 Druckabfall, geod¨ atischer 562 – zweiphasiger Str¨ omungen 561 Druckdiffusion 74 Dryout 576 Eckert-Zahl 23, 348 arme¨ ubertragers Effektivität eines W¨ 58 Eigenfunktion 179 Eigentemperatur 463, 464, 466 Eigenwert 179, 185, 186, 405 –, kleinster 182 Eigenwertaufgabe, Sturm-Liouvillesche 179 Eindringtiefe der Temperaturschwingung 175 Einheit, astronomische 646 Einheitstensor 316 Einlaufl¨ ange, hydrodynamische 394 Einlaufstr¨ omung, thermische 402 Einstrahlzahl 662 Eintrittstemperatur 52 Emission 28, 591 Emissionsbande 692 Emissionsgrad 30, 625, 695 – des grauen Lambert-Strahlers 631 –, gerichteter spektraler 626, 628 –, –, elektrischer Nichtleiter 635,636 –, –, von Gasen 692 –, –, von Metallen 637 –, hemisph¨ arischer spektraler 626, 629 –, –, elektrischer Nichtleiter 635 – in Richtung der Fl¨ achennormale 634, 636 – realer K¨ orper 633 –, spektraler einer Gaskugel 700 –, –, eines Gases 694 –, –, eines Gasvolumens 693 Energie, dissipierte 328 Energiebilanz 322 – einer Zone 674

782

Sachverzeichnis

– eines Kondensators 520 – f¨ ur einen Wirbelschichtreaktor 434 – por¨ ose K¨ orper 417, 419 Energiegleichung 332 –, Enthalpieform der 332, 461 – f¨ ur Kondensatoberfl¨ ache 517 –, Temperaturform der 332, 333 Energiequantum 588 Enhancement factor 574 Entropie 328 Entropieproduktion 329 Entropiestromdichte 329 Entwicklung, asymptotische des Fehlerintegrals 167 Ergun 416 –, Gleichung von 415 Error-function 167 Ersatzschaltbild f¨ ur den Strahlungsaustausch 676 Erstarren ebener Schichten 197 – einfacher K¨ orper 196 Erstarrungsdauer 199 – ebener Schichten 201 – zylinderund kugelf¨ ormiger Schichten 203 Erstarrungsenthalpie 196, 197 Erstarrungsgeschwindigkeit 197, 204 Erw¨ armung d¨ unnwandiger Beh¨ alter 43, 44 – einer Platte 177 – eines halbunendlichen K¨ orpers 165 – eines Rechtkants 191 – eines Zylinders 191 – einfacher K¨ orper 176 Erw¨ armungszeit 187, 188, 192 Eulersche Gleichung 340 Exponentialintegral 211, 212 Extraktion 105 Exzentrizit¨ atsfaktor 645 Faltungssatz 159, 209 Feed 107 Fehlerintegral 167, 198 –, integriertes 168, 169, 206 –, komplement¨ ares 161, 164, 167, 169 FEM 244 Fenster, atmosph¨ arisches 654 Festbett 410 Ficksches Gesetz 79, 270, 273

Filmdicke 483, 501 Filmkondensation 478 – an waagerechten Rohren 484, 522 –, laminare 521, 522 – mit turbulenter Wasserhaut 496 –, turbulente str¨ omender D¨ ampfe 523 Filmsieden 552, 575 Filmtheorie 89 Filmverdampfung 541 Finite-Element-Methode 244 – f¨ ur ebene station¨ are Temperaturfelder 250 – f¨ ur instation¨ are, geometrisch eindimensionale W¨ armeleitprobleme 258 ur station¨ are, geometrisch eindimen– f¨ sionale Temperaturfelder 246 Finite Elemente 212, 232 Flachkollektor 640 Fl¨ ache, diffus strahlende 593, 599 –, mittlere 7 Fl¨ achenvergr¨ oßerung 39 Fließbett 411 Fl¨ ussigkeitstropfen 392 Fl¨ ussigkeits¨ uberhitzung 525 Fluidatbett 411 Fluidtemperatur, mittlere 17 Formfaktor 155, 662 Formkoeffizient 154, 155 Fourier, Gesetz von 4 Fourier-Zahl 129 – des Differenzenverfahrens 215 Freistromtemperatur 14 Frequenz 588 Froude-Zahl 513, 579 F¨ ullk¨ orper 105 F¨ ullk¨ orperkolonne 105, 108, 411 Galilei-Zahl 26 Gamma-Funktion 161 Gas, graues 706 Gashalbkugel 694 Gaskugel 699 Gasstrahlung 689 Gaußscher Integralsatz 119 Gegendiffusion, ¨ aquimolare 84 Gegenstrahlung, atmosph¨ arische 658 Gegenstrom 46, 61, 62

648,

Sachverzeichnis Gegenstromabsorber 106 Gegenstrom-W¨ arme¨ ubertrager 46, 56 geometrisches Mittel 8 Gesamt-Absorptionsgrad, gerichteter 605, 629 –, hemisph¨ arischer 605, 607, 630 Gesamt-Emissionsgrad eines Gases 694 – eines Gasvolumens 694 –, gerichteter 626, 629 –, hemisph¨ arischer 626, 629, 636 –, –, von CO2 696 –, –, von Gasen 698 –, –, von H2 O 697 –, –, von Metallen 639 – in Richtung der Fl¨ achennormale 640 Gesamtgr¨ oße, gerichtete 590 –, hemisph¨ arische 590 Gesamt-Reflexionsgrad, gerichteter 610 –, hemisph¨ arischer 610 Geschwindigkeitskonstante 278 Geschwindigkeitsprofil an der ebenen Platte 374 – der kompressiblen Str¨ omung 463 Geschwindigkeitsschwankung 355 Gesetz von Bouguer 648, 691 – von Darcy 415, 417 – von Forchheimer 416 – von Fourier 4, 118 – von Kirchhoff 30, 610, 613, 628 – von Stefan-Boltzmann 622 Gitternetz 214, 221 –, quadratisches 236 –, zentriertes 228 Glattrohrb¨ undel 386 Gleichgewicht, hydrostatisches 444 Gleichgewichtsstrahlung 611 Gleichgewichtswert 275 Gleichstrom 46, 61, 62 – -W¨ arme¨ ubertrager 46, 56, 58 Gleichungen, Fresnelsche 633 – f¨ ur den Emissionsgrad von Gasen 698 Gleichungssystem f¨ ur den Strahlungsaustausch 681 – f¨ ur die Helligkeiten 681 Globalstrahlung 658

783

Graetz-Nußelt-Problem 402 Grashof-Zahl 28, 449 –, modifizierte 449, 458 Grenzfl¨ ache 125 –, Temperatursprung an der 125 Grenzfl¨ achenspannung 479 Grenzschicht 11 –, laminare 365 Grenzschichtabl¨ osung 382 Grenzschichtdicke 13, 373 Grenzschichtgleichungen 342, 344 –, L¨ osungen der 371 Grenzschichttheorie 93 Gr¨ oße, gerichtete spektrale 590, 592 –, hemisph¨ arische spektrale 590 Grundgesetz der W¨ armeleitung 4 –, photometrisches 663 Hagen-Poiseuille-Str¨ omung 396 Halbraum 165, 594, 595 Hatta-Zahl 284 Haufwerk 393, 410, 411, 440 Helligkeit einer Fl¨ ache 673, 677, 682, 705 Henrysches Gesetz 103 Himmelsstrahlung 658 Hohlkugel 8 Hohlraum 611, 612, 613 –, isothermer 615 – mit drei Zonen 671 Hohlraumstrahlung 610, 611, 612 –, spektrale Strahldichte der 611 Hohlraumvolumenanteil 411 Hohlzylinder 8 orper 321 Hookescher K¨ Impfstoffe 506 Impulsbilanz 311 Impulsgleichung 446 Indifferenzpunkt der Str¨ omung 364 Inertgas 489 Infrarot-Strahlung 589 Instabilit¨ at expliziter Differenzenverfahren 215, 216 Integralbedingung f¨ ur Energie 366 – f¨ ur Impuls 366 – f¨ ur Stoffaustausch 367 Integralmethoden 365 Inversion 445

784

Sachverzeichnis

IR-Strahlung 589 Isotherme 3 isotropes Material 4 Joulesche W¨ arme

119

Kapillarkr¨ afte 536 Katalysatoroberfl¨ ache 277, 278 Keimbildung 533, 536 Kenngr¨ oße 20 Kennlinie des Verdampfers 544 Kennzahl, dimensionslose 18, 19 –, –, der W¨ armeleitung 128 Kirchhoffsche Funktion 611, 614 K¨ orper, einseitig unendlich ausgedehnter 165 –, grauer 32, 630 –, por¨ ose 414 –, Schwarzer 29, 612, 614 Kolbenstr¨ omung 408 Komponenten-Kontinuit¨ atsgleichung 309 Kondensatfilm 485 Kondensathaut, turbulente 496 Kondensation bei Gleich- und Gegenstrom 512 –, Grenzf¨ alle der 516, 517 – str¨ omender D¨ ampfe 500 – von Dampfgemischen 509 Kondensationskeime 480 Kondensator 60, 107 –, Berechnung der Fl¨ ache eines -s 520 Konstanten, optische 633 Kontakt zweier K¨ orper 171 Kontakttemperatur 171, 172 Kontaktw¨ arme¨ ubergangskoeffizient 125 Kontaktwiderstand 125 Kontaktzeit 96 Kontinuit¨ atsgleichung 308, 309 Kontinuumstheorie 2, 3 Konvektion, erzwungene 26 –, freie 26 –, nat¨ urliche 26 Konvektionssieden 527 Konzentrationsgrenzschicht 303, 350 Konzentrationsverlauf 108 Koordinaten, sph¨ arische 592 Korngr¨ oße, por¨ oser Stoffe 416

Korrespondenzen, Tafel der 159, 161 Kreisrippe 147 Kreuzstrom 48, 49, 64 –, einseitig quervermischt 64 – mit einer Rohrreihe 64 Kreuzstrom-W¨ arme¨ ubertrager 64 Kronecker-δ 316 K¨ uhlgrenztemperatur 98, 100, 101 Kugel 455 –, u omte 392 ¨berstr¨ Kugelpackung 412 Kugelsch¨ uttung 412, 442 L¨ angsteilung 387 Lambertsches Cosinusgesetz 598, 599, 630, 634 Lambert-Strahler 599, 629 –, grauer 628, 631, 661 Laminarstr¨ omung, hydrodynamisch ausgebildete 393 –, thermisch ausgebildete 396, 399 Laplace-Konstante 537 Laplace-Operator 121 Laplace-Parameter 158 Laplacesche Differentialgleichung 123, 149 Laplace-Transformation 157 Laplace-Transformierte 157, 158, 159, 189 Leistung, dissipierte 119 Leistungsdichte 120, 133, 205, 324, 328 –, temperaturabh¨ angige 217 –, zeitabh¨ angige 205 Leiter, elektrischer 637 Lévêque-L¨ osung 406 Lewissches Beziehung 95, 353, 491 Lewissches Gesetz 95 Lewis-Zahl 95, 304 Licht 588 Lichtgeschwindigkeit 588, 616 Lichtstreuung 651 Lockerungsgeschwindigkeit 431 Lockerungspunkt 431 Lockhart-Martinelli-Parameter 567, 568 – Verfahren 566 L¨ oslichkeit 275 logarithmisches Mittel 8

Sachverzeichnis L¨ uckengrad

283, 412, 413, 416

Mach-Zahl 343 Maschenweite 214 Masse, optische 651 –, –, relative 651 Massenanteil 75 Massenbilanz 267, 269, 307 Material, isotrop 4 Materialgesetz 320, 330 Medium, nichtisotropes 5 Mehrfach-Reflexion 642, 643, 658 Mehrstoffgemisch 308, 326 Mengenbilanz 105 Mikrokonvektion 545 Mikrozone 535 Mischungstemperatur, adiabate 15, 397 Mischungsweg 361 Mischungsweghypothese 360 Mitteltemperatur 188 – der Platte 188 Modul des Differenzenverfahrens 215, 226, 230 Molanteil 75 Molmasse, mittlere 76 Nachrechnung eines W¨ arme¨ ubertragers 54 Nadel 39, 141 N¨ aherung f¨ ur große Zeiten 187 – f¨ ur kleine Biot-Zahlen 194 – f¨ ur kleine Zeiten 188 –, quasistation¨ are 200 Navier-Stokes-Gleichungen 322 Netto-Strahlungsfluss 669, 671, 674 Netto-Strahlungsmethode 673 Netzmittel 580 Newtonsches Fluid 321 nichtisotropes Medium 5 nichtkreisf¨ ormiges Rohr 441 Nichtleiter, elektrische 634 Normalspannungen 315 Nukijama-Kurve 539 Number of transfer-units 53 numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen 212 Nußeltsche Wasserhauttheorie 480, 497

785

–, Abweichungen von der 485 –, temperaturabh¨ angige Stoffwerte und 486 Nußelt-Zahl 20, 130, 384 – bei thermisch ausgebildeter Laminarstr¨ omung 402, 405 –, Endwert der 406 –, mittlere 24 Oberbeck-Boussinesq-Approximation 449 Oberfl¨ ache, adiabate 124 –, spezifische 283, 412 –, vergr¨ oßerte 38 Oberfl¨ achenerneuerungstheorie 96 Oberfl¨ achenkr¨ afte 312, 313 Oberfl¨ achenreaktion, katalytische 277 Oberfl¨ achentemperatur 124 – der Sonne 623, 624, 645 Oberfl¨ achenverdampfung 525 Objektfunktion 158 Ozon 653 Ozonloch 653 Partialkondensator 510 Péclet-Zahl 25, 347 Penetrationstheorie 96 Permeabilit¨ at 416 Pfropfenstr¨ omung 527, 528, 554, 556, 557, 570 Phase 2 Phasengrenzfl¨ ache 109 Phasen¨ ubergangszahl 198 Photon 588, 590 Photonengas 611 Planck-Konstante 588, 616 Plancksches Strahlungsgesetz 616 Platte, ebene 321, 364, 390 –, ebene l¨ angsangestr¨ omte 321, 364, 390, 391 –, geneigte 455 –, waagerechte 454 Plattenw¨ arme¨ ubertrager 48 Poiseuille-Parabel 393, 395 Polarwinkel 592 Pool boiling 540 Porennutzungsgrad 284 Potenzprodukt 21

786

Sachverzeichnis

Prandtl-Analogie 378, 380 Prandtl-Zahl 23, 347 Produktansatz 178 Produktdarstellung mehrdimensionaler Temperaturfelder 191 Produktionsrate 268, 309 Profilzylinder, querangestr¨ omter 392 Promotoren 506 Quantentheorie 588, 614 Querschnittsmittelwert der Temperatur 14 Querteilung 387 Randbedingung 177, 273 – dritter Art 126 – erster Art 124 – im Differenzenverfahren 217, 224, 238 – zweiter Art 124 Randwinkel 479, 537, 538 Raumwinkel 592 Raumwinkeleinheit 592 Raumwinkelelement 592 Rayleigh-Gleichung 519 Rayleigh-Streuung 651, 652, 656 Reaktion 120 –, chemische 120, 205 –, erster Ordnung 278 –, heterogene 277 –, homogene 277 –, n-ter Ordnung 278 –, nukleare 120, 205 Reaktionsrate 282, 310 Reaktor, katalytischer 277 Recovery-Faktor 464 Referenztemperatur 469 Reflexion 608 –, diffuse 608, 609, 672 –, spiegelnde 608, 609, 686 Reflexionsgrad 30, 610 –, gerichteter spektraler 610, 628 –, hemisph¨ arischer spektraler 610 Regenerator 50 Regressionsanalyse 546 Reibungsbeiwert 377, 408 Reibungsdruckabfall 562, 563 – der homogenen Zweiphasenstr¨ omung 565

Reibungskr¨ afte 448 Reintransmissionsgrad 641 –, spektraler 641 Rektifikation 105 Rektifizierkolonne 107 Rekuperator 50 Reynolds-Analogie 354, 380 Reynoldssches Transporttheorem 304, 306 Reynolds-Zahl 22 Reziprozit¨ atsbeziehung der Sichtfaktoren 664, 669 Richtungsverteilung reflektierter Strahlung 610 – von Strahlungsenergie 589, 590, 593 Rieselfilmkolonne 512 Ringspalt, konzentrischer 441 Ringstr¨ omung 527, 554, 555, 556, 557, 570 Rippe 39, 142 –, gerade 143 –, kreisf¨ ormige 143 – mit geringstem Materialaufwand 146 – mit Rechteckprofil 144 Rippenh¨ ohe, optimale 145 Rippenrohrb¨ undel 386 Rippenwirkungsgrad 40, 141, 146, 147 Rohr, durchstr¨ omtes 428 Rohranordnung 386 Rohrb¨ undel aus Glattrohren 392 –, quer angestr¨ omtes 386 Rohrb¨ undelkondensator 494, 504 arme¨ ubertrager 47 Rohrb¨ undel-W¨ Rohrregister, waagerechtes 485 Rohrschlange 48 Rohrstr¨ omung, laminare 393 –, turbulente 409 R¨ ucklaufkondensator 512 R¨ ucktransformation 160, 162, 163, 166 –, gliedweise 160, 163 Ruhetemperatur 463 S¨ attigungssieden 571, 578 Schallgeschwindigkeit 463 Schaum-Ringstr¨ omung 527, 528 Schaumstr¨ omung 554, 557, 570

Sachverzeichnis Scheibenrippen 148 Scheinspannungen, turbulente 357 Schichtdicke eines Gases 690 –, gleichwertige 695, 698, 700, 703 Schichtenstr¨ omung 359, 523, 555, 556, 579 Schichtung 445 Schleppleistung 325 Schlupf 559 Schlupffaktor 559, 563 Schmelzen eines Festk¨ orpers 196 Schmidt-Zahl 89 –, turbulente 380 Schubspannungen 315 – an der Phasengrenze 500 Schubspannungsgeschwindigkeit 360 Sch¨ uttung 442 Schw¨ achung der Solarstrahlung 647 Schw¨ achungskoeffizient 649 Schwallstr¨ omung 555, 556 Schwankungen, turbulente 355 Schwarzer K¨ orper 29, 612, 613 –, Definition des 614 –, Realisierung des 614 –, spektrale spezifische Ausstrahlung des 614, 616, 617, 618 – spezifische Ausstrahlung des 622 Schwerpunktsgeschwindigkeit 77 Separationsansatz 157, 178 Separationsparameter 179, 180 Shah, Gleichung von 503 Sherwood-Zahl 88 –, mittlere 94 Sichtfaktor 662, 664 –, Berechnung des -s 663 –, modifizierter 671 –, Zusammenstellung von -en 666, 667 Siedekennlinie 544 Siedekrise 575 Sieden, stilles 525 –, unterk¨ uhltes 578 – von Gemischen 579 Siedezust¨ ande, kritische 575, 576 Singularit¨ atenverfahren 149 Smoggefahr 445 Solarenergienutzung 640 Solarenergietechnik 644 Solarkonstante 624, 646

787

Solarstrahlung 607, 645 – am Erdboden 655 –, diffuse 649, 657 –, direkte 649, 657 –, extraterrestrische 646 –, Schw¨ achung der 648 Sommerzeit 648 Sonnen-Polarwinkel 647, 650 Sonnenzeit 648 Spannungen, Reynoldssche 357, 359 Spannungskomponenten 314 Spannungstensor 313, 315 Spannungsvektor 312 Spektrum elektromagnetischer Wellen 588, 589 Sph¨ arizit¨ at 431 Spritzerstr¨ omung 565 Spr¨ uhk¨ uhlung 576 Spr¨ uhstr¨ omung 527, 528, 554, 555, 556, 570 Stabilit¨ at beim Sieden 541 Stabilit¨ atsbedingung 215, 220, 230, 234 Stanton-Zahl 25, 377 Stefan-Boltzmann-Konstante 29, 622 Stefan-Korrektur 92 Stefan-Problem 197, 204 Stefan-Zahl 199 Steradiant 592 Stoffausdehnungskoeffizient 456 Stoffaustausch durch Rektifikation 512 Stoffaustauschkolonne 108 Stoffdurchgang 72, 101 Stoffdurchgangskoeffizient 103 Stoff¨ ubergang 73 – an der Katalysatoroberfl¨ ache 279 –, einseitiger 92 –, konvektiver 85 Stoff¨ ubergangskoeffizient 86 Stoff¨ ubergangstheorien 89 Stoff¨ ubergangswiderst¨ ande 102, 104 Stoff¨ ubertrager 104 Stoff¨ ubertragung 72 Stoffwerte, temperaturabh¨ angige 26, 127, 227, 231 Stokesscher Ansatz 322 Stokessches Gesetz 433 Str¨ ahnen-Ring-Str¨ omung 554

788

Sachverzeichnis

Strahldichte 593, 594, 595, 627 –, spektrale 591, 593, 596, 597, 601, 614, 627 –, – der extraterrestrischen Solarstrahlung 650 –, – der Hohlraumstrahlung 611 –, – des Schwarzen K¨ orpers 612, 614, 616 Strahlengang bei spiegelnder Reflexion 686, 687 Strahler, diffuser 598, 630 –, grauer 32, 630 Strahlst¨ arke 599 Strahlung des Schwarzen K¨ orpers 613 –, diffuse 649 –, durchgelassene 641 –, gestreute 649 –, thermische 28 – von Gasen 689 – von Ruß 708 Strahlungsaustausch 28, 30, 662 –, Ersatzschaltbild f¨ ur den 676 –, Gleichungssystem f¨ ur den 681 – im gasgef¨ ullten Hohlraum 704 – im Hohlraum 673, 675, 679 – im Hohlzylinder 682 – in Feuerungen 708 – zwischen grauen Lambert-Strahlern 672 – zwischen Schwarzen K¨ orpern 668 Strahlungsaustauschzahl 676, 679 Strahlungseigenschaften realer K¨ orper 625 – von Metallen 637 Strahlungsempf¨ anger 670, 675 Strahlungsfluss 591, 592, 593 –, absorbierter Teil des 604 Strahlungsgleichgewicht 670 Strahlungsgr¨ oßen der Ausstrahlung 596 – der Bestrahlung 603 Strahlungskonstanten 616 Strahlungsleistung 591 Strahlungsquelle 601, 670 Strahlungsschutzschirm 684 Streuung 648 – an Aerosolen 648, 652 – in der Atmosph¨ are 649 Str¨ omung, adiabate 461

–, einphasige 299 –, freie 443 –, reibungsfreie 300, 340 –, schleichende 339 –, turbulente 359, 377 –, zweiphasige 553 Str¨ omungsdampfgehalt 503, 559 –, volumetrischer 559 Str¨ omungsform-Diagramm 557 Str¨ omungsformen 554, 557 Str¨ omungsgrenzschicht 341, 342 Str¨ omungskarte 557 Str¨ omungssieden 527, 570, 571, 573 – im Ringspalt 574 – im senkrechten Rohr 579 – im waagrechten Rohr 579 Stromf¨ uhrung 46 – -en, Vergleich verschiedener 69 Stundenwinkel 648 Sturm-Liouvillesche Eigenwertaufgabe 179 Summationsregel der Sichtfaktoren 664 Sumpfprodukt 107 Suppression factor 573 Systeme, ruhende 264, 266 Tafel der Korrespondenzen 159, 160, 161 Tageszahl 645 Teilchenbezugssystem 77 Temperatur 2 – an der Phasengrenze 514 – des Rippenfußes 40 –, mittlere –, – der Erdoberfl¨ ache 34 –, transformierte 127 Temperaturabfall 37 Temperaturabh¨ angigkeit der Dichte 27 – der Stoffwerte 27 Temperaturanstieg durch Dissipation 424, 430 Temperatur¨ anderungen im W¨ armeu ¨bertrager 52, 53 –, periodische 173 Temperaturdifferenz 2 –, charakteristische 20 –, logarithmische 60

Sachverzeichnis –, mittlere 55 –, – eines Gegenstrom-W¨ arme¨ ubertragers 60 Temperaturfeld 3, 118 –, Differentialgleichung f¨ ur das 117, 121 – nach einer W¨ armeexplosion 210 –, station¨ ares 123, 190 – um eine linienf¨ ormige W¨ armequelle 210, 211 Temperaturfelder, ¨ ahnliche 128 –, ebene und r¨ aumliche 149 Temperaturgradient 4 Temperaturgrenzschicht 301, 302, 346 – von Mehrstoffgemischen 348 Temperatur-Konzentrationsdiagramm eines bin¨ aren Gemisches 511 Temperaturleitf¨ ahigkeit 23, 122, 123 –, turbulente 358 Temperaturprofil an der Wand 13 – in kompressibler Str¨ omung 467 Temperaturschwingung 173 –, Eindringtiefe der 175 – in Verbrennungsmotoren 173 –, jahreszeitliche 173 –, t¨ agliche 173 Temperaturstrahlung 28, 588 Temperaturverlauf 6 – an der Grenze zweier K¨ orper 125 –, Einfluss der Dissipation auf 427 – im str¨ omenden Fluid 13 – in einem Stab 137, 140 – in geraden Rippen 143 – in Rippen und Nadeln 141, 142 – in W¨ anden 8, 10 Temperaturverteilung beim Erw¨ armen oder Abk¨ uhlen einer Platte 180, 190 – im Stab 138 – im unendlich langen Zylinder 185 – in der Kugel 186 – um eine linienf¨ ormige W¨ armequelle 210, 211 – um eine punktf¨ ormige W¨ armequelle 209 Temperaturwellen im halbunendlichen K¨ orper 175 Tensor, Spur des 316

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Theorie der elektromagnetischen Wellen 633, 634 Thermodiffusion 74 Thomsonsche Gleichung 530 Totalkondensation, ¨ ortliche 514, 516 Tr¨ agheitskr¨ afte 447 Transmissionsgrad 30 – der Atmosph¨ are 655 –, gerichteter spektraler 692 –, spektraler 640 –, – der Atmosph¨ are 650, 652 –, – infolge Rayleigh-Streuung 652 –, – von Glas 641 Transport, diffuser 478 –, konvektiver 478 Treibhauseffekt 641 Tridiagonalsystem 224 Trocknung 93 Tropfenkondensation 479, 506 –, Theorien der 507 Tropfenstr¨ omung 565 Tr¨ ubungsformel 652 Turbulenzmodelle 355 ¨ Ubergang zwischen laminarer und turbulenter Kondensation 500 – Str¨ omung 380 ¨ Uberhitzung des Dampfes 488 ¨ Uberlagerung von freier und erzwungener Str¨ omung 458 – von W¨ armequellen und -senken 149 ¨ Ubertragungsf¨ ahigkeit eines W¨ armeu ¨bertragers 52, 53 – bei Gegenstrom und Gleichstrom 62 –, dimensionslose 53 Ultraviolett-Strahlung 589 Umkehrformel 160 Umlenkbleche 48 Umwegfaktor 282, 283 Unterk¨ uhlung des Kondensats 488 Unterschicht, laminare 378 UV-Strahlung 589 Verdampfer 107 –, Arbeitspunkte eines 544 –, Kennlinie eines 544 Verdunstungsk¨ uhlung 97 Verschiebungsgesetz 616, 618 Versetzung 387

790

Sachverzeichnis

Verst¨ arkungsfaktor 574 Verst¨ arkungss¨ aule 107 Verzerrungstensor 318, 319 Viskosit¨ at 21 –, dynamische 321 –, kinematische 23 –, turbulente 357 Volumenkr¨ afte 312 W¨ armeaustauscher s. W¨ arme¨ ubertrager W¨ armebegriff 2 W¨ armedurchgang 34 – durch mehrschichtige W¨ ande 37 – durch Rohre 36 – durch W¨ ande mit vergr¨ oßerter Oberfl¨ ache 38 W¨ armedurchgangskoeffizient 35 W¨ armedurchgangswiderstand 36, 37, 38, 41, 42 – einer berippten Wand 40 W¨ armeeindringkoeffizient 168, 172 W¨ armeexplosion 209, 210 W¨ armefluss, linearer 122 –, mehrdimensionaler 190 W¨ armekapazit¨ at, spezifische 21 W¨ armekapazit¨ atsstrom 52 W¨ armeleistung 3 W¨ armeleitf¨ ahigkeit 4, 5, 21 –, mittlere 7, 9 –, temperaturabh¨ angige 135 –, turbulente 358 W¨ armeleitung 2, 5 – in L¨ angsrichtung eines Stabes 136 –, instation¨ are 156 – mit W¨ armequellen 132 –, station¨ are 132 –, –, geometrisch eindimensionale 6 – zwischen konzentrischen Kreisen 152 – zwischen zwei Rohren 152 W¨ armeleitungsgleichung 117, 121, 128 – bei temperaturabh¨ angigen Stoffwerten 127 – in Kugelkoordinaten 122 – in Zylinderkoordinaten 122 W¨ armeleitwert 7

W¨ armeleitwiderstand 7, 8, 37, 153, 154 W¨ armequellen 120, 132, 205, 217 –, homogene 205 –, linienf¨ ormige 207 –, punktf¨ ormige 207, 208 W¨ armestrahlung 28, 29, 587 –, Aussenden von 590 W¨ armestrom 2, 6 – durch ein Fl¨ achenelement 5 W¨ armestromdichte 3, 330, 331 –, Grenzwert f¨ ur die kritische 576 –, maximale 551 –, turbulente 357 W¨ armetauscher s. W¨ arme¨ ubertrager W¨ arme¨ ubergang 11 – an senkrechte Wand bei laminarer Str¨ omung 450 – an u omten K¨ orpern 389 ¨berstr¨ – bei freier Str¨ omung 455 – beim Blasensieden 548, 571 – beim Kondensieren 478 – beim Sieden 524 – in durchstr¨ omten Kan¨ alen 440 – in zweiphasigen Str¨ omungen 569, 578 –, konvektiver 299 W¨ arme¨ ubergangsbedingung 127, 130, 219 – beim Differenzenverfahren 219, 220, 225 W¨ arme¨ ubergangskoeffizient 12, 126 – beim Sieden 545 – der Strahlung 33 –, mittlerer 17 –, ¨ ortlicher 12 arme¨ ubergangswiderstand 36, 42 W¨ W¨ arme¨ ubertrager 45, 51 –, Bauformen der 46 W¨ arme¨ ubertragung 1 – an por¨ osen K¨ orpern in zylindrischem Kanal 424 – in durchstr¨ omten Kan¨ alen 423 W¨ armeund Stoff¨ ubertragung in bin¨ aren Gemischen 457 Wand, ebene 6, 8 –, r¨ uckstrahlende 670, 675 Wandbindung 367 Wandbindungsgleichung 382

Sachverzeichnis Wandgesetz der turbulenten Str¨ omung 360 Wandtemperatur, Berechnung der 36 Wand¨ uberhitzung, ideale 584 Welle, elektromagnetische 588 Wellenbildung 485 Wellenl¨ ange 174, 588 Wellenl¨ angenverteilung der Strahlungsenergie 588, 592 Wellenstr¨ omung 555, 556 Widerstand, spezifischer elektrischer 120, 633, 637 Widerstandsbeiwert 368, 374, 410, 418, 433 Widerstandsgerade 544 Wiensches Verschiebungsgesetz 618 Windungsfaktor 282 Winkelkoordinaten 592 Winkelverh¨ altnis 662 Wirbel 355 Wirbelschicht 411, 430, 442, 443 –, heterogene 434 –, homogene 434

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Wirkungsgrad eines W¨ arme¨ ubertragers 58 – von Kreisrippen 147, 148 – von Rippen 146 – von Scheibenrippen 147 Wirkungsquantum 588 ¨ Zahl der Ubertragungseinheiten 53 Zeit, dimensionslose 129 –, mitteleurop¨ aische 647 Zenitwinkel 592 Zone 669 Zonen-Methode 708 Zwangskonvektion 527 Zweifilmtheorie 102 Zweiphasenstr¨ omung 554 Zweischichtenmodell 378 Zylinder, quer angestr¨ omter 382, 383, 391 –, waagerechter 456

Wärme- und Stoffübertragung

Hydraulik und Pneumatik. Grundlagen und Übungen - Anwendungen und Simulation

Screen- und Interfacedesign. Gestaltung und Usability für Hard- und Software

Supervision und Coaching: Praxisforschung und Beratung im Sozial- und Bildungsbereich

Recruiting und Placement: Methoden und Instrumente der Personalauswahl und -platzierung

Neurowissenschaften und Traumatherapie: Grundlagen und Behandlungskonzepte

Prufungsangst und Lampenfieber. Bewertungssituationen vorbereiten und meistern

Wahrheit und Recht gegen Lüge und Hetze

Leda und der Schwan, und andere Gedichte

Lesermodelle und Lesertheorien. Historische und systematische Perspektiven

Kommunale Ziel- und Erfolgssteuerung: Entwicklungslinien und Gestaltungspotentiale

Rechte und Pflichten von Mietern und Vermietern

Patientensicherheit und Risikomanagement: im Pflege- und Krankenhausalltag

Hanni und Nanni und ihre Gaeste

Buddhismus kurz und bündig. Prinzipien und Praxis

Verbrechen und Strafe (Schuld und Suehne)

Kryptographie und IT-Sicherheit: Grundlagen und Anwendungen

Christentum und Islam. Theologische Verwandtschaft und Konkurrenz

Verstehen und Übersetzen. Ein Lehr- und Arbeitsbuch

Übergewicht und Adipositas bei Kindern und Jugendlichen

Signale und Systeme verstehen und vertiefen.. Denken und Arbeiten im Zeit- und Frequenzbereich

Technik und Kultur: Bedingungs- und Beeinflussungsverhaltnisse

Hanni und Nanni und ihre Gaeste

Verbrechen und Strafe (Schuld und Suehne)

Ideen und Initiationen Rituale und Regeln

Idealismus und Recht: Gerechtigkeit, Berechenbarkeit und Rhetorik

Deutsches und internationales Steuerrecht: Gegenwart und Zukunft

Signale und Systeme verstehen und vertiefen: Denken und Arbeiten im Zeit- und Frequenzbereich

Transzendenz und Negativität: Religionsphilosophische und Asthetische Studien

Diskriminierung und Toleranz: Psychologische Grundlagen und Anwendungsperspektiven

Wärme- und Stoffübertragung

Hydraulik und Pneumatik. Grundlagen und Übungen - Anwendungen und Simulation

Screen- und Interfacedesign. Gestaltung und Usability für Hard- und Software

Supervision und Coaching: Praxisforschung und Beratung im Sozial- und Bildungsbereich

Recruiting und Placement: Methoden und Instrumente der Personalauswahl und -platzierung

Neurowissenschaften und Traumatherapie: Grundlagen und Behandlungskonzepte

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