Ubungen zur Nachrichtenubertragung: Ubungs- und Aufgabenbuch

Karl-Dirk Kammeyer | Peter Klenner | Mark Petermann Übungen zur Nachrichtenübertragung Aus dem Programm Nachrichtent...

Author: Karl-Dirk Kammeyer | Peter Klenner | Mark Petermann

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Karl-Dirk Kammeyer | Peter Klenner | Mark Petermann Übungen zur Nachrichtenübertragung

Aus dem Programm

Nachrichtentechnik

Nachrichtenübertragung von K.-D. Kammeyer Digitale Signalverarbeitung von K.-D. Kammeyer und K. Kroschel Grundlagen der Informationstechnik von M. Meyer Kommunikationstechnik von M. Meyer Signale und Systeme von R. Scheithauer Grundlagen der Kommunikationstechnik von H. Weidenfeller Information und Codierung von M. Werner Nachrichtentechnik von M. Werner Nachrichten-Übertragungstechnik von M. Werner

www.viewegteubner.de

Karl-Dirk Kammeyer | Peter Klenner | Mark Petermann

Übungen zur Nachrichtenübertragung Übungs- und Aufgabenbuch Mit 107 Abbildungen und 15 Tabellen STUDIUM

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

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1. Auflage 2009 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg +Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2009 Lektorat: Reinhard Dapper | Walburga Himmel Vieweg+Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: Krips b.v., Meppel Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in the Netherlands ISBN 978-3-8348-0793-9

Vorwort Das vorliegende Buch erg¨ anzt das im Vieweg+Teubner Verlag erschienene Lehrbuch Nachrichten¨ ubertragung“ von K.-D. Kammeyer ” [Kam08] und soll Studenten sowie interessierten Lesern die Möglichkeit geben, anhand von ausgew¨ ahlten Aufgaben das vermittelte Wissen u ¨ber Methoden der Nachrichtentechnik zu vertiefen. Immer wiederkehrende Anfragen nach einem ebensolchen Aufgabenbuch haben den Anstoß daf¨ ur gegeben, aus dem Fundus der u ¨ ber die Jahre im Lehrbetrieb ¨ entstandenen Ubungsund Klausuraufgaben eine repräsentative Untermenge auszuw¨ ahlen und mit kommentierten Lösungen zu versehen. Das Fundament dieser breitgef¨ acherten Sammlung, die sich u ¨ ber analoge und digitale Modulationstechniken erstreckt, bilden somit die Vorlesungen u ¨ ber die Nachrichtentechnik im Grund- und Hauptstudium an der Universit¨ at Bremen. Die Struktur des Buches orientiert sich eng an dem Lehrbuch, dessen Gliederung in vier Teile mit den dazugehörigen Kapiteln identisch u ¨ bernommen worden ist. Nach dem in die klassische Systemtheorie einf¨ uhrenden ersten Teil liegt der Schwerpunkt des zweiten Teils bei der ¨ analogen Ubertragungstechnik, w¨ ahrend der dritte und vierte Teil mo¨ derne Konzepte der digitalen Ubertragung und Mehrantennentechniken behandeln. Jedes Kapitel beinhaltet eine Anzahl aufeinanderfolgender Aufgaben sowie die daran anschließenden kommentierten Lösungen. Die Aufgaben sind so konzipiert, dass auf Computerunterst¨ utzung zur Lösung verzichtet werden kann. Das Thema der Computersimulation nachrichtentechnischer Systeme, heutzutage ein unerlässliches Hilfsmittel in der Entwicklung von Algorithmen und Systemen, wird ausf¨ uhrlich an anderer Stelle im Buch Matlab in der Nachrichtentechnik“ von ” K.-D. Kammeyer und V. K¨ uhn [KK01] behandelt, das im J. Schlembach

Vorwort

VI

Fachverlag erschienen ist. Trotz großer Sorgfalt w¨ ahrend der Umsetzung des Manuskripts, trotz des langen Zeitraums, in dem die Aufgaben an Studenten getestet wurden, und wegen der großen Aufgabenmenge sind Fehler nicht auszuschließen. Hinweise, Anmerkungen und Fragen k¨ onnen an die eMail-Addresse [email protected] gerichtet werden. Bekannte Fehler werden in einer Errata-Liste auf der Webseite http://www.ant.uni-bremen.de unter der Rubrik /B¨ ucher aktualisiert. Danksagung Es verbleibt, einen Dank an all diejenigen auszusprechen, die an der Entstehung dieses Aufgabenbuches mitgewirkt haben. Die zugrundeliegende Aufgabensammlung haben mehrere Generationen wissenschaftlicher Mitarbeiter an der TU Hamburg-Harburg und seit 1995 an der Universität Bremen geschaffen. Neben den Mitarbeitern der ersten Stunde, die den Grundstein gelegt haben, gilt unsere Wertschätzung insbesondere den Kollegen Dr.-Ing. Heiko Schmidt, Dipl.-Ing. Martin Feuersänger und Dr.-Ing. Ansgar Scherb, deren Verantwortung f¨ ur die Betreuung der Vorlesung und des Lehrbuches Nachrichten¨ ubertragung“ von ” den Zweitautoren u ¨ bernommen worden ist. Ihr Erfindungsreichtum beim Erstellen von Klausuraufgaben stellt eine wichtige Basis f¨ ur die nun vorgelegte Aufgabensammlung dar. Weiterhin danken wir Frau Dipl.-Ing. Petra Weitkemper und Herrn Dipl.-Ing. Henning Paul, die zur Ausarbeitung neuer Aufgaben gerne bereit waren. Bremen, im Dezember 2008 Karl-Dirk Kammeyer, Peter Klenner, Mark Petermann

Inhaltsverzeichnis ¨ I Signale und Ubertragungssysteme 1 Systemtheoretische Grundlagen 1.1 Eigenschaften der Hilberttransformation . . . . . . . . . ¨ 1.2 Aquivalente Tiefpass-Darstellung von Bandpass-Signalen 1.3 Direktmischende Empf¨ angerstruktur . . . . . . . . . . . ¨ 1.4 Aquivalente Tiefpass-Darstellung eines Rauschprozesses 1.5 L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 2 Eigenschaften von Ubertragungskan¨ alen 2.1 Nyquistfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Nichtlineare Verzerrungen bei amplitudenbegrenzten gnalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Mehrwegeausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Doppler-Einfl¨ usse bei Mobilfunk¨ ubertragung . . . . . osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 L¨

. . . . .

. . . Si. . . . . . . . . . . .

1 1 2 2 3 4 13 13 14 15 16 16

¨ II Analoge Ubertragung 3 Analoge Modulationsverfahren 3.1 Einseitenbandsignal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Komplexe Einh¨ ullende analoger Modulationsformen 3.3 Spektren analoger Modulationsformen . . . . . . . . ¨ 3.4 AM-Ubertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Dimensionierung eines FM-Signals . . . . . . . . . . ¨ 3.6 FM-Ubertragung eines Dreickecksignals . . . . . . . 3.7 L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

25 25 26 27 27 28 29 30

Inhaltsverzeichnis

VIII

4 Einfl¨ usse linearer Verzerrungen 37 4.1 Schmalband-FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2 AM mit frequenzversetztem Empfangsfilter . . . . . . . . 37 4.3 L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5 Additive St¨ orungen ¨ 5.1 Sinusf¨ ormiger St¨ orer bei FM-Ubertragung . . . . . . . . . 5.2 Rauschst¨ orung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45 45 46 46

6 Zwei Systembeispiele f¨ ur analoge Modulation 51 6.1 UKW-Stereo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.2 L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

¨ III Digitale Ubertragung 7 Diskretisierung analoger Quellensignale 7.1 Sigma-Delta-Modulator . . . . . . . . . 7.2 Sigma-Delta-A/D-Wandler . . . . . . . . 7.3 Pulsamplituden-Modulation (PAM) . . . 7.4 Lineare Pr¨ adiktion (DPCM) . . . . . . . 7.5 L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . .

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55 55 56 56 57 58

8 Grundlagen der digitalen Daten¨ ubertragung 8.1 Leistungsdichtespektrum eines Datensignals . . . . . . . . 8.2 Erste und zweite Nyquist-Bedingung . . . . . . . . . . . . 8.3 Maximierung des S/N -Verh¨ altnisses durch das Matched Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Partial-Response-Code durch Matched Filterung . . . . . 8.5 Leistungsdichtespektrum einer AMI-Codierung . . . . . . 8.6 L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67 67 68

9 Digitale Modulation 9.1 Komplexe Einh¨ ullende von Modulationsformen 9.2 Differentielle PSK-Modulation . . . . . . . . . . 9.3 DQPSK-Modulation . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 FSK-Modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Minimum Shift Keying . . . . . . . . . . . . . . 9.6 L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83 83 84 85 86 87 88

. . . . . .

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69 70 71 72

Inhaltsverzeichnis

IX

10 Prinzipien der Demodulation 10.1 GMSK / Diskriminator-Demodulator . . . . . . . . . . . . 10.2 Koh¨ arente DQPSK-Demodulation . . . . . . . . . . . . . 10.3 Tr¨ agerregelung - Signalraumdarstellung des Phasenjitters 10.4 Tr¨ agerregelung 1. und 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . 10.5 Bitfehlerwahrscheinlichkeit eines Regelkreises 1. Ordnung 10.6 L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97 97 97 99 100 100 102

¨ 11 Ubertragung u ale ¨ber AGN-Kan¨ 11.1 Maximum-a-posteriori Empf¨ anger f¨ ur ein ASK-Signal . . 11.2 QPSK-Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei Matched Filterung . 11.3 QPSK-Fehlerwahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 11.4 H¨ oherstufige PSK-Ubertragung . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Bitfehlerwahrscheinlichkeit f¨ ur MSK und DBPSK . . . . . 11.6 L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111 111 112 114 114 115 116

12 Entzerrung 12.1 Symboltakt-Entzerrer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Linearer Entzerrer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Entzerrer mit Einfach- und Doppelabtastung . . . . . 12.4 Lineare und nichtlineare Entzerrung . . . . . . . . . . 12.5 Entzerrung mit quantisierter R¨ uckf¨ uhrung . . . . . . . 12.6 Datendetektion mittels Decision-Feedback-Entzerrung 12.7 Tomlinson-Harashima-Vorcodierung . . . . . . . . . . 12.8 L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

125 125 126 127 128 129 130 130 132

13 Maximum-Likelihood-Sch¨ atzung von Datenfolgen 13.1 Viterbi-Detektion eines BPSK-Signals . . . . . . . 13.2 Fehler-Vektoren bei der Viterbi-Detektion . . . . . 13.3 S/N -Verlust bei der Viterbi-Detektion . . . . . . . 13.4 Trellisdiagramm f¨ ur DBPSK . . . . . . . . . . . . . 13.5 L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

147 147 148 148 149 150

. . . . .

. . . . .

14 Kanalsch¨ atzung 157 14.1 Flacher Kanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 14.2 Orthogonale Trainingsfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 14.3 L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Inhaltsverzeichnis

X

IV Mobilfunk-Kommunikation ¨ 15 Ubertragung u ale ¨ber Funkkan¨ 15.1 Empfangsdiversit¨ at und Maximum-Ratio-Combining . . . 15.2 Mobilfunkkanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3 L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

165 165 166 167

16 Mehrtr¨ ager-Modulation 16.1 Unterschiedliche Abtastfrequenzen in 16.2 Fehlerraten bei OFDM . . . . . . . . 16.3 OFDM-Frequenzgang . . . . . . . . 16.4 Datenraten bei OFDM . . . . . . . . 16.5 L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

173 173 174 174 176 176

OFDM-Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¨ 17 Codemultiplex-Ubertragung 17.1 Matched-Filter in Codemultiplex-Systemen 17.2 Interferenz in CDMA-Systemen . . . . . . . 17.3 Korrelation von CDMA-Codesequenzen . . 17.4 Orthogonale Codes in CDMA-Systemen . . 17.5 L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

185 185 186 187 188 189

18 Mehrantennensysteme 18.1 Informationstheorie . . . . . . . . . . . . . 18.2 Beamforming am Sender . . . . . . . . . . 18.3 Diversit¨ atsgewinn eines Space-Time Codes 18.4 Successive Interference Cancellation (SIC) 18.5 L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

195 195 196 196 198 199

Ausgew¨ ahlte Lehrbu ¨ cher

. . . . .

211

Kapitel 1

Systemtheoretische Grundlagen 1.1

Eigenschaften der Hilberttransformation

Die Hilberttransformation stellt eine M¨ oglichkeit zur Erzeugung der komplexen Einh¨ ullenden dar, mit deren Hilfe Bandpasssignale aufwandsg¨ unstig im ¨ aquivalenten Basisband repräsentiert werden können. Beweisen Sie folgende Theoreme der Hilberttransformation. a) H {H {x (t)}} = −x (t) b) H {x (t) ∗ h (t)} = H {x (t)} ∗ h (t) = x (t) ∗ H {h (t)} c) H

dx(t) dt

=

d dt H {x (t)} Δ

d) F¨ ur x (t) ∈ R und y (t) = H {x (t)} gilt: x (t) =

x (−t)

⇒ y (t) = −y (−t)

x (t) = −x (−t) ⇒ y (t) = y (−t) F¨ ur x (t) ∈ C : x (t) = −x∗ (−t)

⇒

y (t) = y (−t)

2

1 Systemtheoretische Grundlagen

¨ Aquivalente Tiefpass-Darstellung von Bandpass-Signalen

1.2

¨ Gegeben sind die in Abbildung 1.2.1 gezeigten Ubertragungsfunktionen zweier Bandpass-Filter. (1)

1 -2ω0

-ω0

(2)

HBP (jω)

ω0

1 2ω0

ω

-2ω0

-ω0

j · HBP (jω)

ω0

ω

2ω0

-1 ¨ Abbildung 1.2.1: Ubertragungsfunktionen der Bandpass-Filter

a) Berechnen Sie jeweils die zugeh¨ origen Impulsantworten im aquivalenten Tiefpass-Bereich. ¨ b) Berechnen Sie die beiden Bandpass-Impulsantworten. c) Wie lautet das zugeh¨ orige analytische Signal im Zeit- und Spektralbereich?

1.3

Direktmischende Empf¨ angerstruktur

Ein Bandpasssignal xBP (t) kann durch seine Inphase- und Quadraturkomponenten s (t) und s (t) dargestellt werden. √ xBP (t) = 2 · Re{(s (t) + js (t))ejω0 t } √ √ = 2 · s (t) cos(ω0 t) − 2 · s (t) sin(ω0 t)

(1.3.1)

¨ a) Zeichnen Sie das gesamte Ubertragungssystem bestehend aus Sen¨ der, idealem Ubertragungskanal und Empfänger. Nehmen Sie dabei am Empf¨ anger eine direktmischende Struktur an.

¨ 1.4 Aquivalente Tiefpass-Darstellung eines Rauschprozesses

3

b) Ermitteln Sie die nach der Demodulation wiedergewonnenen Inphase- und Quadraturkomponenten, indem Sie f¨ ur den Empf¨ anger ideale Tiefp¨ asse und Quadraturträger mit exakter 90◦ Phasendifferenz annehmen. c) Wie lauten die wiedergewonnenen Inphase- und Quadraturkomponenten, wenn die Quadraturtr¨ ager des Empfängers um 2 von der exakten 90◦ -Drehung abweichen. d) Nehmen Sie nun bei exakt eingehaltener 90◦ -Phasendifferenz einen gemeinsamen Phasenfehler der Empfangsträger von + an. F¨ ur welchen der beiden F¨ alle (c) oder d)) l¨ asst sich das demodulierte Signal als phasengedrehte komplexe Einh¨ ullende darstellen?

1.4

¨ Aquivalente Tiefpass-Darstellung eines Rauschprozesses

Gegeben ist ein station¨ arer Rauschprozess im Bandpassbereich mit der in Abbildung 1.4.1 gezeigten spektralen Leistungsdichte.

B

SNBP NBP (jω)

B

αN0 βN0 −ω0

ω0

ω

Abbildung 1.4.1: Spektrale Leistungsdichte eines station¨ aren Rauschprozesses

a) Stellen Sie das a ¨quivalente Tiefpassspektrum dar und zerlegen Sie es in einen geraden und einen ungeraden Anteil. b) Berechnen Sie die Autokorrelationsfunktion des äquivalenten Tiefpass-Prozesses.

4


c) Wie lautet die Autokorrelationsfunktion des Real- bzw. Imagin¨ arteils des Tiefpass-Rauschprozesses? Geben Sie die Kreuzkorrelierte zwischen Real- und Imagin¨ arteil an. F¨ ur welche Werte α, β verschwindet die Kreuzkorrelierte?

1.5

L¨ osungen

1.5.1

Eigenschaften der Hilberttransformation

a) Die Beweise werden u uhrt. ¨ ber die Fouriertransformation gef¨ F H H {x (t)} = − j · sgn(ω)Y (jω) (1.5.1) y(t)

= − j · sgn(ω) (−j · sgn(ω)X(jω)) = −X (jω) b) Hier wird die Fourierkorrespondenz x(t) ∗ h(t) ◦−• X(jω)H(jω) ausgenutzt. − j · sgn (ω) · (X (jω) · H (jω)) (1.5.2) = (−j · sgn (ω) X (jω)) ·H (jω) = X (jω) · (−j · sgn (ω) H (jω)) H{x(t)}

H{h(t)}

c) Die Ableitung der Zeitfunktion entspricht der Multiplikation der Fouriertransformierten mit −jω. −j · sgn (ω) (jω · X (jω)) = jω (−j · sgn (ω) X (jω))

H{x(t)}

(1.5.3)

d dt H{x(t)}

d) Eine gerade reelle Zeitfunktion x(t) = x(−t)∈R besitzt ein gerades reelles Spektrum X(jω). Daher gilt f¨ ur die Hilbertransformierte y(t) = H {x(t)} ◦−−• Y (jω) = −j · sgn(ω)X(jω) ,

(1.5.4)

so dass Y (jω) eine imagin¨ are und ungerade Funktion sein muss, woraus f¨ ur die Zeitfunktion y(t) = −y(−t) folgt. Entsprechend

5

1.5 L¨ osungen

zeigt man, dass x(t) = −x(−t)∈ R ⇒ H {x(t)} ◦ | • X(jω) = imagin¨ ar, ungerade ⇒ −j · sgn(ω)X(jω) = reell, gerade

sowie x (t) = x∗ (−t) ⇒ H {x (t)} ◦ | • X (jω) ∈ R ⇒ −j · sgn (ω) X (jω) = imaginär. ungerade R

1.5.2

¨ Aquivalente Tiefpass-Darstellung von Bandpass-Signalen

a) In Abbildung 1.5.1 ist die Konstruktion der äquivalenten Band(1) passsignale illustriert; in der oberen Reihe f¨ ur HBP (jω) und in der (2) unteren Reihe f¨ ur jHBP (jω). (1)

1 −ω0

(1)

HBP (jω)

ω0

j ω

−ω0

(1)+

H{HBP (jω)} ω

ω0

2 −ω0

HBP (jω)

ω0

ω

−j 1 −ω0

(2) jHBP (jω)

ω0 −1

(2)

(2)

j ω

−ω0

H{jHBP (jω)}

ω0

ω

2 −ω0

(jHBP )+ (jω)

ω0

ω

−j

Abbildung 1.5.1: Konstruktion der analytischen Bandpassspektren mittels Hilberttransformation

Die spektrale Verschiebung der analytischen Signale erzeugt das

6


zugeh¨ orige Tiefpasssignal 1 (1) (1) (1.5.5a) HTP (jω) = √ HBP (j(ω + ω0 )) 2 1 (2) (2) (1.5.5b) jHTP (jω) = √ (jHBP )+ (j(ω + ω0 )) ; 2 √ die Skalierung mit dem Faktor 1/ 2 bewirkt gleiche Leistungen im Band- und Tiefpassbereich. Das gemeinsame Tiefpassspektrum (1) (2) HTP (jω) = jHTP (jω) ist in Abbildung 1.5.2 gezeigt. √ 2 −ω0

(1)

(2)

HTP (jω) = jHTP (jω)

ω0

ω

¨ Abbildung 1.5.2: Aquivalentes Tiefpassspektrum

Mit der Definition des Rechteckfilters

ω ω0 ω 0 · si t •−−◦ r(t) = R(jω) = rect ω0 2π 2

(1.5.6)

lautet das ¨ aquivalente Tiefpasssignal des ersten Bandpasses

√ 1 √ ω (1) HTP (jω) = 2 · tri = 2 · R (jω) ∗ R (jω) . (1.5.7) ω0 ω0 Die Faltung im Frequenzbereich entspricht der Multiplikation im Zeitbereich, d.h. R(jω) ∗ R(jω) •−−◦ 2πr(t) · r(t). Die gesuchten Impulsantworten im ¨ aquivalenten Tiefpassbereich lauten ω √ √ ω0 2π 0 (1) (2) hTP (t) = 2 ·r (t)·r (t) = 2 ·si2 t = jhTP (t) . (1.5.8) ω0 2π 2 ¨ b) Die Ubertragungsfunktion des ersten Bandpasses in Abhängigkeit der Tiefpass¨ ubertragungsfunktion lautet

1 (1) (1) (1) HBP (jω) = √ HTP (j(ω − ω0 )) + HTP (j(ω + ω0 )) (1.5.9a) 2 • | ◦ 1 (1) hBP (t) = √ 2 · hTP (t) · cos (ω0 t) 2 ω0 2 ω0 si t cos (ω0 t) = (1.5.9b) π 2

7

1.5 L¨ osungen

Die zweite Bandpass¨ ubertragungsfunktion entsteht entsprechend aus der Aufpr¨ agung von HTP (jω) auf den Sinusträger.

1 (2) (2) (2) HBP (jω) = √ HTP (j(ω − ω0 )) − HTP (j(ω + ω0 )) (1.5.10a) 2 1 (2) (2) hBP (t) = √ 2 · hTP (t) · sin (ω0 t) 2 ω0 2 ω0 si t sin (ω0 t) = (1.5.10b) π 2 c) Das analytische Signal entsteht durch spektrale Verschiebung des Tiefpasssignals. h+ BP (t) + HBP (jω)

1.5.3

= ◦ | • =

2 · hTP (t)ejω0 t

(1.5.11a)

2 · HTP (j(ω − ω0 ))

(1.5.11b)

Direktmischende Empf¨ angerstruktur

¨ a) Das gesamtes Ubertragungssystem unter der Annahme eines idealen Kanals ist in Abbildung 1.5.3 dargestellt. √ √ 2 cos(ω0 t) 2 cos(ω0 t) s (t) sˆ (t) s˜ (t) TP + s (t)

xBP (t)

− √ 2 sin(ω0 t)

s˜ (t)

TP

sˆ (t)

√ − 2 sin(ω0 t)

¨ Abbildung 1.5.3: Gesamtes Ubertragungssystem Empfangsstruktur

mit

direktmischender

b) F¨ ur das Empfangssignal sowie die Inphase- und Quadraturkomponente des demodulierten Signals gilt √ √ xBP (t) = 2s (t) cos (ω0 t) − 2s (t) sin (ω0 t) (1.5.12)

8


Vor der Tiefpassfilterung ergeben sich die Signale s˜ (t) und s˜ (t) zu √ √ s˜ (t) = 2 [s (t) cos (ω0 t) − s (t) sin (ω0 t)] 2 cos (ω0 t) (1.5.13a) (1.5.13b) = 2s (t) cos2 (ω0 t) − 2s (t) sin (ω0 t) cos (ω0 t) = [1 + cos (2ω0 t)] s (t) − sin (2ω0 t) s (t)

(1.5.13c)

und s˜ (t) = 2 [s (t) cos (ω0 t) − s (t) sin (ω0 t)] · (− sin (ω0 t)) (1.5.14a) = −s (t)2 cos (ω0 t) sin (ω0 t) + s (t)2 (t) sin2 (ω0 t) (1.5.14b) (1.5.14c) = − sin (2ω0 t) s (t) + [1 − cos (2ω0 t)] s (t) . Durch die Tiefpassfilterung werden h¨ ohere Frequenzanteile, dargestellt durch die Terme sin (2ω0 t) und cos (2ω0 t), unterdr¨ uckt. Daher ergibt sich sˆ (t) = s (t) sˆ (t) = s (t)

(1.5.15)

c) Bei einer Abweichung von 2 sind die Empfangsträger zu cos (ω0 t + ) und sin (2ω0 t − ) zu bilden. Dann lässt sich mit Hilfe der Beziehungen von trigonometrischen Funktionen [BS00] schreiben s˜ (t)

= s (t)2 cos (ω0 t) cos (ω0 t + ) −s (t)2 sin (ω0 t) cos (ω0 t + ) = [cos (2ω0 t + ) + cos ()] s (t)

(1.5.16a)

− [sin (ω0 t + ) − sin ()] s (t)

(1.5.16b)

sowie s˜ (t) = =

−s (t)2 cos (ω0 t) sin (ω0 t − ) +s (t)2 sin (ω0 t) sin (ω0 t − ) − [sin (2ω0 t − ) − sin ()] s (t)

(1.5.17a)

− [cos (2ω0 t − ) − cos ()] s (t)

(1.5.17b)

9

1.5 L¨ osungen

Analog zu Aufgabenteil b) werden h¨ ohere Frequenzanteile unterdr¨ uckt, so dass sich f¨ ur die Komponenten des demodulierten Signals Folgendes ergibt: sˆ (t)

sˆ (t)

=

s (t) cos () + s (t) sin ()

(1.5.18a)

=

s (t) sin () + s (t) cos ()

(1.5.18b)

d) Ein gemeinsamer Phasenfehler l¨ asst sich am Empfänger durch sin (ω0 t + ) und cos (ω0 t + ) modellieren. Dann ergibt sich f¨ ur die Inphase- und die Quadraturkomponente des demodulierten Signals sˆ (t)

sˆ (t)

= s (t) cos () + s (t) sin ()

= −s (t) sin () + s (t) cos ()

(1.5.19a) (1.5.19b)

F¨ ur das komplexe demodulierte Signal sˆ (t) am Empfänger kann man schreiben sˆ (t) = = =

s (t) sˆ (t) + jˆ s (t) (cos () − j sin ())

(1.5.20a)

+s (t) (sin () + j cos ())

(1.5.20b)

[s (t) + j · s (t)] · e

−j

(1.5.20c)

Ein gemeinsamer Phasenfehler wie in dieser Teilaufgabe lässt sich als komplexe phasengedrehte (Multiplikation mit e−j ) Einh¨ ullende darstellen, w¨ ahrend dies f¨ ur den Fall in Aufgabenteil c) nicht m¨ oglich ist.

1.5.4

¨ Aquivalente Tiefpass-Darstellung Rauschprozesses

eines

a) Die Leistungsdichte des ¨ aquivalenten Tiefpass-Prozesses wird verdoppelt und zur Frequenz 0 verschoben. Der gerade und der ungerade Spektrumsanteil folgen aus ¯ S(jω) = ˜ S(jω) =

SN N (jω) + SN N (−jω) , 2 SN N (jω) − SN N (−jω) . 2

und sind in Abbildung 1.5.4b,c dargestellt.

(1.5.21a) (1.5.21b)

10


¯ b) S(jω)

a) SN N (jω) 2αN0

˜ c) S(jω)

(α + β)N0 (α − β)N0

2βN0 −B/2 0

B/2

ω

0

ω

0

ω

Abbildung 1.5.4: a) Tiefpassspektrum, b) gerader Anteil, c) ungerader Anteil

b) Die komplexe AKF des Tiefpassspektrums folgt aus der inversen Fouriertransformation. 1 rN N (τ ) = 2π

B/2

SN N (jω)ejωτ dω −B/2

1 = 2π

0 2βN0 e −B/2

jωτ

1 dω + 2π

B/2

2αN0 ejωτ dω

(1.5.22)

0

αN0 1 jτ B/2 βN0 1 1 − e−jτ B/2 + e −1 = π jτ π jτ c) Die Zerlegung in Real- und Imagin¨ arteil, rN N (τ ) = rN N (τ ) + jrN (τ ), ergibt N

(α + β)N0 1 sin(τ B/2) , π τ (α − β)N0 1 rN 1 − cos(τ B/2) . N (τ ) = π τ

rN N (τ ) =

(1.5.23)

Man erkennt, dass der Realteil eine gerade, der Imaginärteil eine ungerade Symmetrie aufweist. Die komplexwertige AKF ist daher konjugiert gerade, so dass das Leistungsdichtespektrum reellwertig sein muss. Das LDS wurde bereits in einen geraden und ungeraden Anteil zerlegt; der gerade Anteil entspricht dem doppelten Spektrum des Realteils des Prozesses, der ungerade Anteil entspricht dem doppelten Kreuzspektrum zwischen Real- und Imaginärteil

11

1.5 L¨ osungen

des Prozesses. rN N (τ ) = 2rN N (τ ) + j2rN N (τ ) gerader Anteil

=F

−1

(1.5.24a)

ungerader Anteil

{2SN N (jω)} + F −1 {j2SN N (jω)} ¯ S(jω)

(1.5.24b)

˜ S(jω)

Aus dem geraden Anteil des Leistungsdichtespektrums folgt der Realteil der gesuchten AKF B/2

1 2rN N (τ ) = 2π

¯ S(jω)e

jωτ

(α + β)N0 dω = 2π

−B/2

B/2

cos(ωτ ) dω −B/2

(α + β)N0 (α + β)N0 B/2 [sin(ωτ )] −B/2 = sin(τ B/2) = 2πτ πτ (α + β)N0 B = si(τ B/2) . 2π (1.5.25) Aus dem ungeraden Anteil des LDS folgt der Imaginärteil der AKF 1 j2rN N (τ ) = 2π

B/2

−B/2

(α − β)N0 jωτ ˜ ·2 dω = S(jω)e 2π

(α − β)N0 B/2 [− cos(ωτ )] 0 = πτ (α − β)N0 [1 − cos(τ B/2)] . = πτ

B/2

sin(ωτ ) dω 0

(1.5.26)

Die Kreuzkorrelierte verschwindet, rN ur α = β, wenn N (τ ) = 0, f¨ also ein gerades Spektrum vorliegt.

Kapitel 2

Eigenschaften von ¨ Ubertragungskan alen ¨ 2.1

Nyquistfilter

¨ Gegeben ist die in Abbildung 2.1.1 gezeigte Ubertragungsfunktion.

1

− T1

1 − 2T

H(jω)

1 4T

1 2T

1 T

f=

ω 2π

Abbildung 2.1.1: Spektrum mit Nyquistflanke

¨ a) Bez¨ uglich welcher Frequenz besitzt diese Ubertragungsfunktion eine Nyquistflanke? b) Berechnen Sie die Impulsantwort des Systems und ermitteln Sie die beiden Frequenzen, f¨ ur die die erste Nyquistbedingung erf¨ ullt ist. c) Beweisen Sie die G¨ ultigkeit der ersten Nyquistbedingung f¨ ur die beiden F¨ alle im Frequenzbereich.

¨ 2 Eigenschaften von Ubertragungskan¨ alen

14

2.2

Nichtlineare Verzerrungen bei amplitudenbegrenzten Signalen

Es wird ein digitales Signal xQ betrachtet, das auf Amplitude 1 begrenzt und in Zweierkomplement-Arithmetik dargestellt ist. Es geht aus einem unbegrenzten Signal x hervor, auf das die Abbildung 2.2.1 dargestellte Kennlinie angewendet wird. xQ 1 −2

−1

1

2 x

−1

Abbildung 2.2.1: Kennlinie der Zweierkomplement-Arithmetik

a) Skizzieren Sie das amplitudenbegrenzte Signal, wenn das unbegrenzte Signal ein Kosinus der Amplitude x ˆ = max{|x|} = 1.1 ist. Nehmen Sie die Abtastfrequenz so hoch an, dass das Signal zeitkontinuierlich dargestellt werden kann. b) F¨ uhren Sie eine allgemeine Fourierreihen-Entwicklung f¨ ur diese Signalform durch. c) Berechnen Sie den Klirrfaktor f¨ ur die Amplituden xˆ = { 1.0, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0 } .

2.3 Mehrwegeausbreitung

2.3

15

Mehrwegeausbreitung

Ein Mittelwellen-Sender benutzt eine Tr¨ agerfrequenz in der Nähe von 1 MHz. Am Empf¨ anger wird der in Abbildung 2.3.1 gezeigte Betrag ¨ der Kanal-Ubertragungsfunktion des ¨ aquivalenten Tiefpass-Kanals gemessen. 1.9

|H(jω)|

1.5

1

0.5 0.1 −400

−200

−75 0 f in kHz

200

400

¨ Abbildung 2.3.1: Aquivalente Kanal¨ ubertragungsfunktion

a) Wieviele Reflexionen existieren neben dem direkten Pfad? b) Sender und Empf¨ anger liegen 550 m auseinander. Wie lang ist der Weg entlang der Reflexion? c) Bestimmen Sie die gesendete Tr¨ agerfrequenz in der Nähe von 1 MHz. d) Ermitteln Sie die auf den direkten Pfad normierte Kanalimpulsantwort.


16

2.4

Doppler-Einflu ¨sse bei Mobilfunku ¨ bertragung

Auf ein mit der Geschwindigkeit vE = 100 km/h fahrendes Fahrzeug treffen vier ebene Wellen gem¨ aß Abbildung 2.4.1. Die Trägerfrequenz des Funksignals beträgt f0 = 1 GHz. Die relativen Verzögerungen zwischen den vier Empfangssignalen seien vernachl¨ assigbar; die Amplituden der Reflexionsfaktoren r0 , r1 , r2 , r3 sind der Skizze zu entnehmen. Hinweis: Lichtgeschwindigkeit c0 ≈ 3 · 108 m/s |r1 | = 0.8

|r2 | = 0.5

30◦

|r0 | = 1 |r3 | = 0.4 30◦

vE

Abbildung 2.4.1: Mobiler Empf¨ anger und vier eintreffende Wellenfronten

a) Berechnen Sie die Dopplerverschiebung f¨ ur die vier Signalkomponenten. b) Skizzieren Sie das gesamte Empfangsspektrum f¨ ur den Fall eines unmodulierten Sendesignals.

2.5 2.5.1

L¨ osungen Nyquistfilter

a) Bez¨ uglich der Frequenz fN = 1.5 2T liegt eine Nyquistflanke vor, da ¨ die gegebene Ubertragungsfunktion hier Punktsymmetrie aufweist.

2.5 L¨ osungen

17

b) Das in Abbildung 2.1.1 dargestellte Spektrum lässt sich durch Fal¨ tung der beiden folgenden Ubertragungsfunktionen erzeugen. H1 (jω)

A

1 − 2T

A

ω 2π

1 2T

H2 (jω)

− 1.5 2T

1.5 2T

ω 2π

Abbildung 2.5.1: Erzeugung von H(jω) aus zwei einfacheren Spektren

Um die Amplitude A zu bestimmen, wird die Faltungsbeziehung ∞ H(jω) = H1 (jω )H2 (j(ω − ω )) dω an der Frequenz ω = 0 −∞

ausgewertet

∞ H(0) =

2π

H1 (jω )H2 (−jω ) dω =

−∞

2T

A2 dω = A2

2π − 2T

Laut Abbildung 2.1.1 gilt H(0) = 1, so dass A = die beiden Teilimpulsantworten gilt h1 (t)

=

h2 (t)

=

2π . (2.5.1) T

T 2π

folgt. F¨ ur

A · si(πt/T ) , T 1.5A · si(1.5πt/T ) . T

(2.5.2a) (2.5.2b)

Weiter gilt H(jω) = H1 (jω) ∗ H2 (jω) •−−◦ h(t) = 2πh1 (t)h2 (t) .

(2.5.3)

A2 h(t) = 2π 2 1.5si(πt/T )si(1.5πt/T ) T (2.5.4) √T A= 2π 1.5 si(πt/T )si(1.5πt/T ) = T Es ergeben sich ¨ aquidistante Nullstellen bei νT und μ2T /3, so dass die erste Nyquistbedingung entsprechend f¨ ur die zwei Abtastfrequenzen 1/T und 1.5/T erf¨ ullt ist.


18

c) Die Abtastfrequenz bei 1.5/T ist offensichtlich wegen der Punktsymmetrie der Flanke von H(jω). Die G¨ ultigkeit der Nyquistfrequenz bei 1/T folgt aus der Betrachung der allgemeinen Nyquistbedingung gem¨ aß (2.1.13) in [Kam08, S. 53] ∞

H(j(ω − 2ωN i)) = const

(2.5.5)

bzgl. fN = 1/(2T ). Daraus folgt H(j2π(f − i/T )) = const .

(2.5.6)

i=−∞

i

Dieser Sachverhalt ist in Abbildung 2.5.2 illustriert. Man erkennt, dass sich die Spiegelspektren nach der Abtastung mit der Frequenz 1/T zu einer Konstanten aufsummieren. Ein weißes Spektrum entsteht. H(jω)

const

1 − 2T

− T1

1 2T

1 T

ω 2π

Abbildung 2.5.2: Die durch die Abtastung entstehenden Spiegelspektren u ¨ berlagern sich zu einer Konstanten

2.5.2

Nichtlineare Verzerrungen bei amplitudenbegrenzten Signalen

a) Abbildung 2.5.3 zeigt den Kosinus x(t) und das quantisierte Signal xQ (t). b) Zun¨ achst wird die Zeit t1 bestimmt (s. Abbildung 2.5.3), während der das Eingangssignal amplitudenbegrenzt wird !

1.1 cos(2πt1 /T ) = 1

⇒

t1 /T = arccos(1/1.1)/(2π) = 0.0684 . (2.5.7)

2.5 L¨ osungen

19 1.5 1

xQ (t)

0.5 0 −0.5 −1

t1

−1.5 −0.75

−0.5

−0.25

0

0.25

0.5

0.75

t/T Abbildung 2.5.3: Kosinus x(t) (’- -’) und quantisiertes Signal xQ (t) (’-’)

Zur Fourieranalyse wird das Signal xQ (t) in zwei einfach zu beschreibende Anteile zerlegt xQ (t) = 1.1 cos(2πt1 /T ) − r(t) ,

(2.5.8)

r(t)

wobei r(t) in Abbildung 2.5.4 dargestellt ist. 2 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −1.25 −1 −0.75−0.5−0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25

t/T Abbildung 2.5.4: Signalanteil r(t)

Die Fourierzerlegung des Signals r(t) ist durch folgende Reihe gegeben ∞ r(t) = an cos(2πnt/T ) , (2.5.9) n=1


20

wobei die Fourierkoeffizienten an gegeben sind durch das Integral 2 an = T

T /2

r(t) cos(2πnt/T ) dt . −T /2

Dessen L¨ osung lautet ⎡ t1 4⎢ an = ⎣ r(t) cos(2πnt/T ) dt + T 0

8 = T

t1 0

(2.5.10)

T /2

⎤ ⎥ r(t) cos(2πnt/T ) dt⎦

T /2−t1

8 cos(2πnt/T ) dt − T

T /2

cos(2πnt/T ) dt T /2−t1

8 sin(2πnt/T ) T /2 8 sin(2πnt/T ) t1 = − T 2πn/T T 2πn/T 0 T /2−t1 sin(2πn(T /2 − t1 )/T ) sin(πn) sin(2πnt1 /T ) −4 +4 =4 πn πn πn sin(πn − 2πnt1 /T ) sin(2πnt1 /T ) −4 =4 πn πn sin(2πnt1 /T ) n sin(2πnt1 /T ) − (−1) 4 . =4 πn πn (2.5.11) Vereinfacht gilt auch

an =

8 sin(2πnt1 /T ) , πn

0,

n ungerade n gerade .

(2.5.12)

c) Der Klirrfaktor folgt auf einfache Weise, indem die erste harmonische Schwingung von den Oberschwingungen abgetrennt wird ˆ cos(2πt/T ) − r(t) xQ (t) = x = (ˆ x − a1 ) cos(2πt/T ) +

∞

an cos(2πt/T ) .

(2.5.13)

n=3,5,...

Der Klirrfaktor ist definiert als das Verhältnis der Leistung der

2.5 L¨ osungen

21

Oberschwingungen zur Leistung aller Schwingungen ∞ a2n n=3,5,... . K= ∞ (ˆ x − a1 )2 + a2n

(2.5.14)

n=3,5,...

x ˆ

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

t1 /T

0.0

0.0932

0.123

0.143

0.156

0.167

K in %

0

0.35

0.257

0.204

0.171

0.152

Tabelle 2.5.1: Kosinusamplitude und Klirrfaktor

Laut Tabelle 2.5.1 f¨ uhrt geringes Amplitudenclipping zu einem gr¨ oßeren Klirrfaktor. Die Ursache liegt darin, dass f¨ ur diesen Fall das amplitudenbegrenzte Signal einer Rechteckfunktion mit hohen ¨ Frequenzanteilen ¨ ahnelt. Die Ahnlichkeit zu einer Rechteckfunktion nimmt ab, je st¨ arker das Clipping ausfällt.

2.5.3

Mehrwegeausbreitung

a) Die allgemeine Formulierung einer Kanal¨ ubertragungsfunktion im aquivalenten Basisband unter der Annahme idealer Sende- und ¨ Empfangsfilter lautet (vgl. (2.5.6) in [Kam08, S.82]) HTP (jω) =

−1 ν=0

ρν exp(−jψν ) · exp(−jωτν ) ,

(2.5.15)

rν

wobei es sich also um die Summation von Mehrwegepfaden handelt, die durch ihre individuelle Amplitude ρν , Verzögerung τν und Phase ψν = ω0 τν charakterisiert sind. In Abbildung 2.3.1 handelt es sich um eine periodische Schwingung um den Mittelwert 1, so dass man von einem Zweiwege-Kanal ausgehen kann. Dessen ¨ Ubertragungsfunktion lautet r1 jω(τ0 −τ1 ) −jωτ0 −jωτ1 −jωτ0 1+ e , HTP (jω) = r0 e + r1 e = r0 e r0 (2.5.16)


22

woraus die Betrags¨ ubertragungsfunktion |HTP (jω)| =|r0 | 1 + rejωΔτ =|r0 | 1 + |r|2 + 2|r| cos(ωΔτ + ψ) .

(2.5.17)

jψ folgt. Hierbei wurden die Parameter r = |r|e und Δτ = τ0 − τ1 eingef¨ uhrt. Aus max{|H (jω)|} = |r | 1 + |r| = 1.9 und TP 0 min{|HTP (jω)|} = |r0 | 1 − |r| = 0.1 folgt weiterhin |r| = 0.9 und |r0 | = 1.

b) Der Abstand der Minima Δf der Betrags¨ ubertragungsfunktion HTP (jω) und die Verz¨ ogerung Δτ zwischen dem direkten und dem verz¨ ogerten Signal stehen in einem inversen Verhältnis zueinander, Δf = 1/Δτ . Je k¨ urzer die Echos aufeinander folgen, desto näher liegen die Minima bei einander und desto schneller oszillierend erscheint der Frequenzgang. Δf = 1/Δτ = c0 /Δ = 300 · 103 Hz

(2.5.18)

Δ = 3 · 108 m/s/(300 · 103 Hz) = 1 km

(2.5.19)

Die Entfernung zwischen Sender und Empfänger von 550 m entspricht der L¨ ange des direkten Pfades, so dass sich die Länge des Reflexionspfades zu Refl. = 1550 m ergibt. c) Die Kanal¨ ubertragungsfunktion in Gleichung (2.5.17) zeigt bei der Frequenz f = −75 kHz ein Maximum, so dass die Phase ψ der Beziehung ωΔτ + ψ = 2πn (2.5.20) gehorchen muss. Demnach gilt ψ = −2πf Δτ + 2πn = 2π75 kHz/300 kHz + 2πn = π/2 + 2πn. Die Trägerfrequenz f0 kann jetzt u ¨ber die Kanalphase ψ = ψ1 − ψ0 = 2πf0 Δτ = ω0 Δτ identifiziert werden. ψ = 2πf0 Δτ = π/2 + 2πn f0 (n) = (0.25 + n)/Δτ = 300 kHz(0.25 + n) = {. . . , 675, 975 , 1275, . . . } kHz n=3

(2.5.21a) (2.5.21b) (2.5.21c)

2.5 L¨ osungen

23

d) F¨ ur die auf den direkten Kanalpfad nal¨ ubertragungsfunktion (2.5.16) gilt ¯ TP (jω) = 1 + rejωτ . H

normierte

Ka-

(2.5.22)

Der Betrag |r| = 0.9 wurde bereits im Aufgabenteil a) bestimmt. F¨ ur die Phase gilt ψ = ω0 Δτ = 2π975 kHz/300 kHz = 6.5π. Es folgt ¯ h(t) = δ(t) + 0.9ejπ/2 δ(t − Δτ ) . (2.5.23)

2.5.4

Doppler-Einflu ¨ sse bei Mobilfunku ¨ bertragung

a) Wenn sich Sender und Empf¨ anger mit einer relativen Geschwindigkeit vE zueinander bewegen, betr¨ agt die Dopplerfrequenz einer unter dem Winkel α eintreffenden Welle fD,max = vcE0 f0 cos α. F¨ ur die maximale Dopplerfrequenz gilt fD = 1 GHz ·

100 km/h = 92.6 Hz . 3 · 108 m/s

(2.5.24)

b) Die vier Dopplerfrequenzen des gegebenen Beispiels lauten fD,0 = 92.6 Hz, fD,1 = 0 Hz ; fD,2 = 80.2 Hz ; fD,3 = −80.2 Hz. Das resultierende Dopplerspektrum ist in Abbildung 2.5.5 zu sehen. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −100−75 −50 −25

0

25 50 75 100

f −f0 in Hz

Abbildung 2.5.5: Dopplerspektrum

Kapitel 3

Analoge Modulationsverfahren 3.1

Einseitenbandsignal

Reelle Quellensignale weisen ein konjugiert gerades Spektrum auf, d.h. es liegt eine Symmetrie zwischen dem oberen und unteren Seitenband vor. Die Einseitenbandmodulation nutzt diese Symmetrie aus, indem nur eines der beiden Seitenb¨ ander u ¨ bertragen wird. Hier wird ein Einseitenbandsignal mit Hilfe eines nichtidealen Hilberttransformators erzeugt; ¨ dessen Ubertragungsfunktion lautet ˜ H (jω) = A · e−j(π/2+ε)sgn(ω) , H

(3.1.1)

wobei f¨ ur die Parameter A ≈ 1 und ε 1 gelten soll. a) Formulieren Sie das hiermit gebildete obere Seitenbandsignal im Zeitbereich; dr¨ ucken Sie dieses durch ein allgemeines modulierendes Signal v(t) und dessen exakter Hilberttransformierter vˆ(t) aus. b) Setzen Sie f¨ ur v(t) ein Kosinussignal der Frequenz ω1 ein. Nehmen Sie eine korrekte Phasendrehung des Hilberttransformators an (ε = 0) und berechnen Sie die nichtideale Dämpfung des unteren Seitenbandes als Funktion eines Amplitudenfehlers δA = A− 1. c) F¨ uhren Sie die gleiche Umformung f¨ ur die korrekte Amplitude A = 1, jedoch bei einem Phasenfehler ε durch. Setzen Sie N¨ aherungen unter der Annahme kleiner Phasenfehler ε 1 ein.

26

3 Analoge Modulationsverfahren

3.2

Komplexe Einhu ¨llende analoger Modulationsformen

Gegeben sind die in Abbildung 3.2.1 dargestellten Ortskurven der komplexen Einh¨ ullenden verschiedener Modulationssignale. A)

B)

Im{s(t)}

75 3.

Im{s(t)} j

π/4

Re{s(t)}

Re{s(t)}

75 0.

−j

C)

D)

Im{s(t)}

Im{s(t)}

4 2.0

1 Re{s(t)}

Re{s(t)} π/6

E)

F)

Im{s(t)}

Im{s(t)}

π/4

Re{s(t)}

Re{s(t)}

π/2

Abbildung 3.2.1: Komplexe Einh¨ ullende verschiedener Modulationsformen

a) Ordnen Sie den Ortskurven A)-F) Modulationssignale zu. Nennen Sie alle M¨ oglichkeiten im Falle von Mehrdeutigkeiten. b) Bestimmen Sie alle Parameter, die von den Diagrammen ablesbar sind.

27

3.3 Spektren analoger Modulationsformen

c) Geben Sie an, welche prinzipiellen Demodulationsstrukturen (koh¨ arent, inkoh¨ arent) in den einzelnen Fällen anwendbar sind.

3.3

Spektren analoger Modulationsformen

Ein sinusf¨ ormiges Eingangssignal fester Frequenz f = 1 kHz wird auf verschiedene Modulatoren gegeben. Am Ausgang misst man die Betragsspektren in Abbildung 3.3.1. B)

A) |X(jω)|

|X(jω)| 101

1010

103 f in kHz

1012 f in kHz

D)

C) |X(jω)|

|X(jω)| 2.001 f in MHz

f in MHz

Abbildung 3.3.1: Betragsspektren verschiedener Modulationsformen

a) Ordnen Sie den Spektren die verwendete Modulationsform zu. b) Geben Sie f¨ ur die Modulationssignale A)-D) die ablesbaren Parameter an (Tr¨ agerfrequenz, Modulationsindex). c) Beschriften Sie die Frequenzachse des Modulationssignals D), wenn die Tr¨ agerfrequenz f0 = 90 MHz betr¨ agt.

3.4

¨ AM-Ubertragung

Gegeben ist das in Abbildung 3.4.1 dargestellte Blockschaltbild einer Sendestufe. v(t) ist hierbei das zu u ¨bertragende Signal, f0 ist die

28


Tr¨ agerfrequenz, die vom lokalen Oszillator (LO) generiert wird. k =const.

v(t)∈[−1, . . . , 1] +

(·)2

Bandpass

+

x(t)

LO

Abbildung 3.4.1: Modulator f¨ ur ein AM-Signal

a) Zeigen Sie, dass am Ausgang dieser Schaltung ein AM-Signal entsteht. Berechnen Sie zun¨ achst das Signal am Ausgang des Quadrierers (cos(x)2 = (1 + cos(2x))/2). Welche Signalanteile m¨ ussen durch den Bandpass unterdr¨ uckt werden, um ein Zweiseitenbandsignal zu erhalten? b) Welche Bedingungen sind f¨ ur die obere und untere Grenzfrequenz des Bandpasses einzuhalten? Geben Sie in beiden Fällen die minimale und maximale Frequenz an. Fertigen Sie dazu eine Skizze f¨ ur die verschiedenen Spektralkomponenten an. c) Auf welchen Wert ist die Konstante k einzustellen, um einen Modulationsgrad m = 1/2 zu erhalten? Nehmen Sie hierbei an, dass der Bandpass im Durchlassbereich den Frequenzgang 1 (ohne Phasendrehung) aufweist.

3.5

Dimensionierung eines FM-Signals

Ein Tr¨ agersignal wird mit einem Kosinussignal der Frequenz fNF = 10 kHz frequenzmoduliert. Die Ortskurve der komplexen Einh¨ ullenden ist der Abbildung 3.5.1 zu entnehmen.

a) Geben Sie die Zeitfunktion der komplexen Einh¨ ullenden an.

¨ 3.6 FM-Ubertragung eines Dreickecksignals

29 sFM (t)

j

75◦ 15◦

−1

sFM (t)

Abbildung 3.5.1: Komplexe Einh¨ ullende eines FM-Signals

b) Wie groß ist der Frequenzhub ΔF ? c) Auf welchen Wert m¨ ussen Sie die modulierende Frequenz fNF ver¨ andern, damit die komplexe Einh¨ ullende gerade einen Vollkreis beschreibt?

3.6

¨ FM-Ubertragung gnals

eines

Dreickecksi-

Ein FM-Modulator wird mit einem Dreiecksignal der Grundfrequenz f1 = 1.5 kHz angesteuert. Am Eingang des Modulators erfolgt eine Bandbegrenzung auf 5 kHz. a) Geben Sie eine Fourierreihe f¨ ur das bandbegrenzte Dreiecksignal an. Normieren Sie den Maximalwert des Signals auf 1. b) Entwickeln Sie einen Ausdruck f¨ ur das Spektrum des FM-Signals bei einem Frequenzhub von ΔF = 3 kHz.

30


3.7

L¨ osungen

3.7.1

Einseitenbandsignal

a) Einseitenbandsignale werden erzeugt, indem ein Seitenband - entweder der positive oder der negative Spektralanteil - des Quellsignals mittels seiner Hilberttransformierten vor der Modulation unterdr¨ uckt wird. Durch einen nichtidealen Hilbertransformator werden Reste des zu unterdr¨ uckenden Seitenbandes im Bandpasssignal verbleiben. Um diesen Effekt zu verdeutlichen, wird zunächst die ¨ gegebene Hilbert-Ubertragungsfunktion (3.1.1) umgeformt. ˜ H (jω) =A · e−jπ/2 sgn(ω) · H

e−jεsgn(ω)

⎡

cos(ε)−j sgn(ω) sin(ε)

−j sgn(ω)

⎤

⎢ ⎥ =A ⎣−jsgn(ω) cos(ε) + j · j sgn2 (ω) sin(ε)⎦

(3.7.1)

−1

HH (jω)

=A cos(ε)HH (jω) − A sin(ε) Das Signal nach der n¨ aherungsweisen Hilberttransformation lautet somit v˜ ˆ(t) = A cos(ε)ˆ v (t) − A sin(ε)v(t) . (3.7.2) Um das obere Einseitenbandsignal zu bilden, wird dieses Signal dem Quadraturtr¨ ager und das urspr¨ ungliche Signal dem Inphasentr¨ ager aufgepr¨ agt. xÕSB (t) =v(t) cos(ω0 t) − v˜ ˆ(t) sin(ω0 t) v (t) − A sin(ε)v(t)] sin(ω0 t) =v(t) cos(ω0 t) − [A cos(ε)ˆ =v(t) [cos(ω0 t) + A sin(ε) sin(ω0 t)] − vˆ(t)A cos(ε) sin(ω0 t) (3.7.3) b) F¨ ur einen verschwindenden Phasenfehler gilt ε = 0. Das Quellsignal und seine Hilbertransformierte sind gegeben durch v(t) = cos(ω1 t);

vˆ(t) = sin(ω1 t) ,

(3.7.4)

so dass das obere Einseitenbandsignal x ÕSB (t) = cos(ω1 t) cos(ω0 t) − A sin(ω1 t) sin(ω0 t)

(3.7.5)

31

3.7 L¨ osungen

lautet. Der Amplitudenfehler wird durch Addition eines Restfehlers δA 1 zum Idealwert 1 modelliert, A = 1 + δA . Weiterhin werden Additionstheoreme der Trigonometrie verwendet, cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y und cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y. x ÕSB (t) = cos(ω1 t) cos(ω0 t) − sin(ω1 t) sin(ω0 t) cos((ω0 +ω1 )t)

− δA sin(ω1 t) sin(ω0 t) = cos((ω0 + ω1 )t) − δA /2 [cos((ω0 − ω1 )t) − cos((ω0 + ω1 )t)] = (1 + δA /2) cos((ω0 + ω1 )t) − δA /2 cos((ω0 − ω1 )t) OSB

USB

(3.7.6) In Abbildung 3.7.1 ist das entsprechende Spektrum dargestellt. Hier wird deutlich, dass die Unterdr¨ uckung des unteren Seitenbands nur n¨ aherungsweise gelingt. ˜ OSB (jω) X

(1 + δA /2)/2 0

−ω0

ω0 − ω1

δA /4

ω0 ω0 + ω1

ω

Abbildung 3.7.1: Spektrum des oberen Einseitenbandsignal f¨ ur einen nichtidealen Hilberttransformator mit Amplitudenfehler

Das Verh¨ altnis der mittleren Leistung von USB zu OSB beträgt 2 δA /(2 + δA )2 . c) F¨ ur die Parameter A = 1 bzw. ε = 0 gilt x ÕSB (t) = cos(ω1 t) [cos(ω0 t) + sin(ε) sin(ω0 t)] − sin(ω1 t) cos(ε) sin(ω0 t) .

(3.7.7)

32


Mit der N¨ aherung ε 1 gilt sin(ε) ≈ ε und cos(ε) ≈ 1. xÕSB (t) ≈ cos(ω1 t) [cos(ω0 t) + ε sin(ω0 t)] − sin(ω1 t) sin(ω0 t) = cos((ω0 + ω1 )t) + ε cos(ω1 t) sin(ω0 t) = cos((ω0 + ω1 )t) + ε/2 [sin((ω0 − ω1 )t) + sin((ω0 + ω1 )t)] (3.7.8) Die mittlere Leistung des oberen Seitenbandes beträgt (1+ε2 /4)/2, die des unteren Seitenbandes ε2 /4.

3.7.2

Komplexe Einhu ¨ llende analoger Modulationsformen

a) Legt man ein reelles Quellensignal v(t)∈[−1, +1] zu Grunde, findet man beispielsweise f¨ ur die komplexe Einh¨ ullende in Abbildung 3.2.1A s(t) = jv(t). Nach Gl. (3.3.3a) in [Kam08, S.117] entspricht dies einem reinen Zweiseitenbandsignal. In analoger Weise findet man mittels der Gleichungen (3.3.3a-f), [Kam08, S.117f]: A) Reines ZSB-Signal B,C,D) AM mit Tr¨ ager E) FM, PM, ESB F) FM, PM b)

A) ϕ0 = ±π/2 B) a0 = 1.5, m = 1.5 C) ϕ0 = 0, a0 = 1, m = 1 D) ϕ0 = π/6,a0 = 3, m = 2/3 E) FM bei Sinusmodulation (η ≥ π), PM (ΔΦ ≥ π), ESB mit Sinusmod. F) FM bei Sinusmodulation (η = 1.5π, ϕ0 = −π/2), PM (ΔΦ = 1.5π, ϕ0 = −π/2)

c)

A) koh¨ arent, Re{s(t)e−jπ } B) koh¨ arent, Re{s(t)e−j3π/4 } C) koh¨ arent, Re{s(t)}; inkoh¨ arent |s(t)|

33

3.7 L¨ osungen

arent |s(t)| D) koh¨ arent, Re{s(t)e−jπ/6 }; inkoh¨ E) ESB: koh¨ arent, Re{s(t)e−jϕ0 }; FM: inkohärent Im{s(t)/s(t)} ˙ F) FM: inkoh¨ arent, Im{s(t)/s(t)} ˙

3.7.3

Spektren analoger Modulationsformen

a) A) ZSB ohne Tr¨ ager, B) AM mit Tr¨ ager, C) ESB ohne Träger, D) FM, PM b) In allen F¨ allen gilt f1 = 1 kHz; A) f0 = 102 kHz, B) f0 = 1.011 MHz, m = 1, C) f0 = 2 MHz (OSB) oder f0 = 2.002 MHz (USB) c) Bei monofrequenter Anregung eines FM-Modulators ergeben sich nach Gl. (3.2.24) in [Kam08, S. 117] Spektrallininen bei Vielfachen der anregenden Frequenz (s. Abbildung 3.7.2). Die Distanz zwischen den Spektrallinien betr¨ agt somit 1 kHz. Aufgrund der Symmetrie liegt die Tr¨ agerfrequenz in der Mitte.

|X(jω)| 90 89.998 90.002 f in MHz 89.999 90.001 Abbildung 3.7.2: Spektrum eines monofrequent angeregten FM-Signals

3.7.4

¨ AM-Ubertragung

a) Das Signal nach dem Quadrierer lautet (v(t) + cos(ω0 t))2 = v 2 (t) + 2v(t) cos(ω0 t) + cos2 (ω0 t) =

v 2 (t) unterdr¨ ucken

+2 v(t) cos(ω0 t) + 0.5 + 0.5 cos(2ω0 t) . (3.7.9) ZSB−Signal

unterdr¨ ucken

34


Es ensteht ein Spektrum, das aus drei Anteilen besteht, einem Gleichanteil, dem gew¨ unschten Zweiseitenbandsignal bei der Tr¨ agerfrequenz f0 und einer hochfrequenten Schwingung mit doppelter Tr¨ agerfrequenz. Der Bandpass muss so ausgelegt werden, dass an seinem Ausgang der Anteil 2v(t) cos(ω0 t) verbleibt. F¨ ur das Modulatorausgangssignal x(t) gilt nach Addition der Tr¨ agerschwingung x(t) =2kv(t) cos(ω0 t) + cos(ω0 t) =(2kv(t) + 1) cos(ω0 t) → AM − Signal

(3.7.10)

b) v(t) ist auf die maximale Frequenz fg begrenzt. Die Quadrierung v 2 (t) f¨ uhrt zur Faltung der zugeh¨ origen Spektren. Dadurch ist das Spektrum von v 2 (t) auf 2fg begrenzt. 2fg ≤ fug ≤ f0 − fg f0 + fg ≤ fog ≤ 2f0

f0

2fg fug

(3.7.11a) (3.7.11b)

fog 2f0

Abbildung 3.7.3: Dimensionierung des Bandpassfilters

c) Der Modulationsgrad m beschreibt das Verhältnis der modulierenden Amplitude zur Tr¨ ageramplitude. Im gegebenen Fall ist der Modulationsgrad m = 2k/1, so dass aus m= die Bedingung k = 1/4 folgt.

2k ! 1 = 1 2

(3.7.12)

35

3.7 L¨ osungen

3.7.5

Dimensionierung eines FM-Signals

a) Es liegt eine komplexe Schwingung um den Phasenmittelwert ϕ0 = 75◦ + 135◦ = 7π/6

(3.7.13)

vor. Die maximale Phasenabweichung Δϕ bzw. der Modulationsindex η betr¨ agt η = Δϕ =

345◦ − 75◦ = 135◦ = 3π/4 . 2

(3.7.14)

Die komplexe Einh¨ ullende lautet sFM (t) = ej(3π/4 sin(2πfNF t)+7π/6) .

(3.7.15)

b) Der Frequenzhub ΔF ist mit dem Modulationsindex η verkn¨ upft (vgl. (3.2.18) in [Kam08, S.111]). Es folgt η = ΔF/fNF ⇒ ΔF = ηfNF = 3π/4·10 kHz = 23.6 kHz . (3.7.16) c) Ein Vollkreis wird beschrieben, wenn η2 = π. Die modulierende Frequenz lautet damit !

η2 = ΔF/fNF,2 = π ⇒ fNF,2 =

3.7.6

3π/4 10 kHz = 7.5 kHz . (3.7.17) π

¨ FM-Ubertragung eines Dreickecksignals

a) Ein Dreiecksignal setzt sich aus den ungeradzahligen harmonischen Schwingungen (1.5 kHz, 4.5 kHz, 7.5 kHz) zusammen. Anteile h¨ oherer Frequenz werden durch die Bandbegrenzung unterdr¨ uckt.

1 1 v(t) = A cos(ω1 t) + cos(3ω1 t) + cos(5ω1 t) 9 25

!

max{v(t)} = A(1 + 1/9 + 1/25) = A · 1.15 = 1 ⇒ A =

1 1.15

36


b) Eine Phasenmodulation wird realisiert, indem das Quellsignal die Phase einer komplexen Schwingung moduliert. FM-Modulation bedeutet zus¨ atzlich eine kontinuierliche Integration der Phase bzw. des Quellsignals. Dadurch werden abrupte Phasen¨ ubergänge vermieden und g¨ unstigere Spektraleigenschaften bewirkt. xFM (t) = ejΔΩ

t −∞

v(t )dt

= ej(η1 sin(ω1 t)+η2 sin(3ω1 t)+η3 sin(5ω1 t))

(3.7.18)

Es wurden die folgenden Konstanten eingef¨ uhrt η1

=

η2

=

η3

=

ΔF 3 A = 2A , A= f1 1.5 A ΔF A = , 3f1 9 13.5 A ΔF A = . 5f1 25 125

(3.7.19a) (3.7.19b) (3.7.19c)

Zum Spektrum dieses Signals gelangt man, indem die einzelnen komplexen Schwingungen in eine Fourierreihe entwickelt werden. Die Fourierkoeffizienten entsprechen der Besselfunktion erster Art ν-ter Ordnung, Jν (·). xFM (t) = ejη1 sin(ω1 t) ejη2 sin(3ω1 t) ejη3 sin(5ω1 t) ∞ ∞ ∞ = Jν (η1 )ejνω1 t Jμ (η2 )ejμ3ω1 t Jλ (η3 )ejλ5ω1 t =

ν=−∞ ∞

μ=−∞

λ=−∞

Jν (η1 )Jμ (η2 )Jλ (η3 )ejνω1 t ejμ3ω1 t ejλ5ω1 t

ν,μ,λ=−∞

(3.7.20) Das Spektrum lautet ∞ XFM (jω) =

xFM (t)e−jωt dω

(3.7.21)

−∞

=

∞ ν,μ,λ=−∞

Jν (η1 )Jμ (η2 )Jλ (η3 )δ0 (ω − (ν + 3μ + 5λ)ω1 ) .

Kapitel 4

Einflu ¨ sse linearer Verzerrungen 4.1

Schmalband-FM

Wird ein FM-Signal so gering ausgesteuert, dass bei monofrequenter Modulation v(t) = cos(ω1 t) neben der Tr¨ agerlinie nur jeweils eine weitere Spektrallinie oberhalb und unterhalb des Tr¨ agers ber¨ ucksichtigt werden muss und alle weiteren vernachl¨ assigt werden können, so bezeichnet man dies als Schmalband-FM. a) Geben Sie einen Ausdruck f¨ ur den Zeitverlauf der komplexen Einh¨ ullenden eines Schmalband-FM-Signals s(t) an, indem Sie die f¨ ur η 1 geltende N¨ aherung J1 (η) = −J−1 (η) ≈ η/2 benutzen. Skizzieren Sie den Betrag der Einh¨ ullenden. b) Leiten Sie unter Nutzung der exakten Demodulationsvorschrift einen Ausdruck f¨ ur das demodulierte Signal her. c) Bestimmen Sie f¨ ur das demodulierte Signal den Klirrfaktor in Abh¨ angigkeit vom Modulationsindex η, indem Sie eine Reihenentwicklung durchf¨ uhren.

4.2

AM mit frequenzversetztem Empfangsfilter

Ein nicht u ¨bermoduliertes AM-Signal (Modulationsgrad m < 1) wird bei einer Tr¨ agerfrequenz von f0 u ¨ bertragen; der Kanal sei ideal. Am

4 Einfl¨ usse linearer Verzerrungen

38

Empf¨ anger wird ein Filter eingesetzt, dessen Frequenzgang eine GaußCharakteristik aufweist. Der Maximalwert ist auf 1 normiert, die 3 dBBandbreite betr¨ agt f3dB . Die Mittenfrequenz ist um Δf = f3dB /2 gegen¨ uber der Tr¨ agerfrequenz verschoben (fm = f0 + Δf ). a) Berechnen Sie f¨ ur das Empfangsfilter die äquivalente Tiefpass¨ Ubertragungsfunktion bez¨ uglich der Tr¨ agerfrequenz f0 . b) Wie lautet die a ¨quivalente Impulsantwort des NF-Kanals bei koh¨ arenter Demodulation? c) Es wird eine sinusf¨ ormige Modulation vorgenommen, die NFFrequenz betr¨ agt f1 = Δf . Entwickeln Sie einen Ausdruck f¨ ur das durch Einh¨ ullenden-Demodulation gewonnene Signal. Setzen Sie dabei die in [Kam08] benutzten N¨ aherungen ein. Schätzen Sie den Klirrfaktor ab, indem Sie die Nenner-Ausdr¨ ucke in eine Reihe entwickeln und diese nach dem linearen Glied abbrechen. Setzen Sie den Modulationsgrad auf m = 0.5.

4.3

L¨ osungen

4.3.1

Schmalband-FM

a) Allgemein gilt f¨ ur ein monofrequent angeregtes FM-Signal sFM (t) = ejη sin(ω1 t) ∞ = Jν (η)ejνω1 t .

(4.3.1)

ν=−∞

Die Besselfunktionen h¨ oherer Ordnung verschwinden annäherend f¨ ur ein kleines Argument η, so dass ein Schmalband-FM Signal in folgende Form u ¨ bergeht sFM (t) ≈ J−1 (η) e−jω1 t + J0 (η) + J1 (η) ejω1 t ≈−η/2

= 1 + jη sin(ω1 t) ,

≈1

≈η/2

(4.3.2)

4.3 L¨ osungen

39

dessen Betrag (s. Abbildung 4.3.1) lautet |sFM (t)| = 1 + η 2 sin2 (ω1 t) .

(4.3.3)

1 + η2

|sFM (t)|

1

v(t) 0

0

1/2

1

3/2

2

ω1 t Abbildung 4.3.1: Quellsignal (’- -’) und Betragseinh¨ ullende (’-’)

Das Spektrum des Schmalband-FM-Signals lautet unter der angenommenen N¨ aherung η SFM (jω) = δ(ω) + [δ(ω − ω1 ) − δ(ω + ω1 )] (4.3.4) 2 Es ist in Abbildung 4.3.2 dargestellt. SFM (jω) η/2 −ω1

0

ω1

ω

−η/2 Abbildung 4.3.2: Spektrum eines schmalbandigen FM-Signals

b) Die ideale FM-Demodulationsvorschrift lautet

s˙ FM (t) 1 Im ; v˜(t) = ΔΩ sFM (t)

(4.3.5)


40

f¨ ur den gegebenen Fall gilt

jηω1 cos(ω1 t) 1 Im v˜(t) = ΔΩ 1 + jη sin(ω1 t)

cos(ω1 t) j cos(ω1 t)(1 − jη sin(ω1 t)) ηω1 = . Im = 2 2 ΔΩ 1 + η sin (ω1 t) 1 + η 2 sin2 (ω1 t) =1

(4.3.6) Da der Modulationsindex η sehr klein angesetzt wurde, gilt v˜(t) ≈ cos(ω1 t) . Das gesendete Signal wird demnach korrekt demoduliert. c) Unter Ausnutzung der Beziehung 1/(1 + x) ≈ 1 − x (x 1) gilt v˜(t) ≈ cos(ω1 t) 1 − η 2 sin2 (ω1 t) (4.3.7) = cos(ω1 t) − η 2 cos(ω1 t) sin2 (ω1 t) Nach Anwendung von Additionstheoremen cos(ω1 t) sin2 (ω1 t) = cos(ω1 t)(1−cos2 (ω1 t)) = cos(ω1 t)−cos3 (ω1 t) 1 3 = cos(ω1 t) − cos(3ω1 t) − cos(ω1 t) 4 4 (4.3.8) ergibt sich 1 v˜(t) ≈ 1 − η 2 /4 cos(ω1 t) + η 2 cos(3ω1 t) . 4

(4.3.9)

Der Klirrfaktor, der die Leistung der Oberschwingungen im Vergleich zum Gesamtsignal angibt, lautet η 2 /4 ≈ η 2 /4 + (η 2 /4)2 + ... K= (1 − η 2 /4)2 + (η 2 /4)2

4.3.2

(4.3.10)

AM mit frequenzversetztem Empfangsfilter

a) Per Definition gilt: ω0 = 2πf0 , Δw = 2πΔf , sowie ω3dB = 2πf3dB . ¨ Die Ubertragungsfunktion eines Gaußfilters sei 2

H(jω) = e−αω ,

(4.3.11)

4.3 L¨ osungen

41

wobei die Konstante α durch die gew¨ unschte 3 dB-Grenzfrequenz gegeben ist √ 2 ln 2 1 −αω3dB √ e ⇒α= = . (4.3.12) 2 4π 2 f3dB 2 Das Spektrum des analytischen Bandpasssignals lautet + HBP (jω) = 2H(j(ω − ω0 − Δω)) 2

= 2e−α(ω−(ω0 +Δω)) .

(4.3.13)

Daraus folgt das ¨ aquivalente Tiefpasssignal durch spektrale Verschiebung zu (vgl. (4.12) in [Kam08]) √ 2 1 + HTP (jω) = √ HBP (j(ω + ω0 )) = 2e−α(ω−Δω) . 2

(4.3.14)

¨ b) Die ¨ aquivalente NF-Ubertragungsfunktion nach Gleichung (4.2.10) in [Kam08] lautet H(jω) + H ∗ (−jω) . 2 (4.3.15) Entsprechend des Aufgabentextes wird zunächst die auf den Ma¨ ximalwert 1 normierte Basisband-Ubertragungsfunktion definiert HNF (jω) = F {h (t)} = Ra{H(jω)} =

2

H(jω) =

2 2 HTP (jω) e−α(ω−Δω) = −α(Δω)2 = eα(Δω) e−α(ω−Δω) . HTP (0) e

A

(4.3.16) ¨ Mit A = 1.09 folgt daraus f¨ ur die ¨ aquivalente NF-Ubertragungsfunktion 1 HNF (jω) = [H(jω) + H ∗ (−jω)] 2 2 A −α(ω−Δω)2 e = + e−α(−ω−Δω) 2

(4.3.17)

¨ Die Impulsantwort einer Gaußf¨ ormigen Ubertragungsfunktion lautet 2 t2 1 F −1 e−αω = √ e− 4α . (4.3.18) 2 πα


42

Der Verschiebungssatz der Fouriertransformation ergibt weiterhin 2 2 (4.3.19) F −1 e−α(ω±Δω) = F −1 e−αω e±jΔωt . Die gesuchte Impulsantwort lautet damit hNF (t) =

A A 1 t2 t2 √ e− 4α ejΔωt + e−jΔωt = √ e− 4α cos(Δωt) . 2 2 πα 2 πα (4.3.20)

c) Die komplexe Einh¨ ullende eines linear verzerrten und kohärent demodulierten AM-Signals lautet (vgl. (4.2.11) in [Kam08, S.143]) sÃM (t) = 1 + mv(t) ∗ (h (t) + jh (t)) .

(4.3.21)

Der Einh¨ ullenden-Demodulator bestimmt den Betrag dieses komplexen Signals 2 2 ∗ h (t) + m2 v(t) ∗ h (t) v˜(t) = |˜ sAM (t)| = 1 + m v(t) v1 (t)

2 = (1 + mv1 (t)) + m2 v22 (t) .

v2 (t)

(4.3.22) onnen u Die Terme v1 (t) und v2 (t) k¨ ¨ ber den Faltungssatz der Fouriertransformation bestimmt werden (monofrequente Speisung eines linearen Systems). 2 A −α·0 e + e−4αΔω = HNF (jΔω) (4.3.23a) 2 2 A 1 − e−4αΔω . (4.3.23b) H = jIa{H(jΔω)} = 2 √ √ Mit H = 1 + 1/ 2 = 1.707 und H = 1 − 1/ 2 = 0.293 folgt

H = Ra{H(jΔω)} =

2 A 1 + e−αΔω cos(ω1 t) = H cos(ω1 t) , 2 2 A 1 − e−αΔω sin(ω1 t) = H sin(ω1 t) . v2 (t) = 2 v1 (t) =

(4.3.24a) (4.3.24b)

4.3 L¨ osungen

43

¨ Uber die Reihenentwicklung der Wurzelfunktion in Gleichung (4.3.22) ergibt sich am Demodulatorausgang (vgl. (4.2.16) in [Kam08]) v˜(t) ≈ 1 + mv1 (t) +

m2 v22 (t) 2(1 + mv1 (t))

m2 H 2 sin2 (ω1 t) . = 1 + mH cos(ω1 t) + 2 1 + mH cos(ω1 t)

(4.3.25)

Zur Bestimmung des Klirrfaktors wird der dritte Term mittels Reihenentwicklung und trigonometrischen Sätzen so umgeformt, dass die angeregten Spektralanteile identifiziert werden können. sin2 (ω1 t) 1 ≈ (1 − cos(2ω1 t))(1 − mH cos(ω1 t)) 1 + mH cos(ω1 t) 2 1 = 1 − mH cos(ω1 t) − cos(2ω1 t) 2 + mH cos(2ω1 t) cos(ω1 t) Nach einer weiteren Umformung cos(2ω1 t) cos(ω1 t) =

1 [cos(3ω1 t) + cos(ω1 t)] 2

folgt f¨ ur das demodulierte Signal m2 2 m2 2 v˜(t) = 1 + H +mH 1 − H cos(ω1 t) 4 8 DC

(4.3.26)

m2 2 m3 2 H cos(2ω1 t) + H H cos(3ω1 t) − 4 8 Der Klirrfaktor ist bestimmt durch das Verhältnis der Leistung Oberschwingungen zur Gesamtleistung (ohne Gleichanteil). 2 2 (m2 H 2 /4) + (m3 H H 2 /8) K= 2 2 2 . m2 H 2 (1 − m2 H 2 /8) + (m2 H 2 /4) + (m3 H H 2 /8) (4.3.27) Es ergibt sich K = 0.68%.

Kapitel 5

Additive St¨ orungen 5.1

¨ Sinusf¨ ormiger St¨ orer bei FM-Ubertragung

Einem FM-Signal ist ein sinusf¨ ormiger St¨ orer additiv u ¨ berlagert, dessen Frequenz um Δf oberhalb der Tr¨ agerfrequenz des Nutzsignals liegt. Seine Amplitude wird mit ρ bezeichnet; die Amplitude des Nutzsignals betr¨ agt 1. ⎛ ⎞ t sFM (t) = exp ⎝jΔΩ v(t )dt ⎠ + ρejΔωt (5.1.1) 0

a) Entwickeln Sie einen Ausdruck f¨ ur das Signal, das man nach der Anwendung der idealen Demodulationsvorschrift f¨ ur FM-Signale erh¨ alt. Nutzen Sie hierzu die Reihenentwicklung ∞

x = (−1)ν+1 xν x + 1 ν=1

f¨ ur |x| < 1 .

b) Geben Sie die Leistung der St¨ orung f¨ ur ein verschwindendes Nutzsignal (ΔΩ = 0) an. Tragen Sie diese u ¨ ber der Trägerabweichung Δω auf. c) Berechnen Sie das Signal-zu-St¨ orverh¨ altnis, indem Sie die unter b) bestimmte St¨ orleistung in Beziehung zur maximalen Nutzleistung ΔΩmax setzen. Nehmen Sie eine Frequenzabweichung von Δω = ΔΩmax an. Tragen Sie das S/N -Verhältnis in dB u ¨ber der St¨ oramplitude 0 < ρ < 1 auf.

5 Additive St¨ orungen

46

5.2

Rauschst¨ orung

¨ Bei einer AM-Ubertragung mit einem Modulationsgrad m = 0.5 wird weißes Rauschen der spektralen Leistungsdichte N0 /2 u ¨ berlagert. Die Tr¨ ageramplitude des Empfangssignals betr¨ agt aAM = 1. Das modulierte Signal ist sinusf¨ ormig; die maximale NF-Bandbreite beträgt 6 kHz. a) Am Empf¨ anger wird nach einer Einh¨ ullenden-Demodulation ein (S/N )NF = 10 dB gemessen. Bestimmen Sie die spektrale Leistungsdichte. b) Unter der gleichen Rauschleistungsdichte wird nun eine FM¨ Ubertragung durchgef¨ uhrt. Der Frequenzhub beträgt 75 kHz, die maximale NF-Bandbreite 15 kHz (UKW-Mono). Berechnen Sie das S/N -Verh¨ altnis nach der Demodulation.

5.3

L¨ osungen

5.3.1

¨ Sinusf¨ ormiger St¨ orer bei FM-Ubertragung

a) Das Empfangssignal lautet sFM (t) = ejϕ 1 (t) + ρejϕ2 (t) Nutzanteil

mit

ϕ1 (t)

=

t

(5.3.1)

St¨ orer

v(t )dt ,

(5.3.2a)

2πΔf t = Δωt .

(5.3.2b)

ΔΩ 0

ϕ2 (t)

=

Die ideale Demodulationsvorschrift f¨ ur ein FM-Signal lautet

s˙ FM (t) w(t) ˜ = Im . (5.3.3) sFM (t) Die zeitliche Ableitung des Empfangssignals lautet s˙ FM (t) = j ϕ˙ 1 (t)ejϕ1 (t) + jρϕ˙ 2 (t)ejϕ2 (t) = j ΔΩv(t)ejϕ1 (t) + Δωejϕ2 (t) .

(5.3.4)

5.3 L¨ osungen

47

Das Signal am Demodulatorausgang (5.3.3) lautet damit

ϕ˙ 1 (t)ejϕ1 (t) + ρϕ˙ 2 (t)ejϕ2 (t) (5.3.5a) w(t) ˜ = Im j ejϕ1 (t) + ρejϕ2 (t)

ϕ˙ 1 (t) + ρϕ˙ 2 (t)ej(ϕ2 (t)−ϕ1 (t)) (5.3.5b) = Im j 1 + ρej(ϕ2 (t)−ϕ1 (t)) Mit Δϕ(t) = ϕ2 (t) − ϕ1 (t) gilt

ϕ˙ 1 (t) + ρϕ˙ 2 (t)ejΔϕ(t) + ρϕ˙ 1 (t)ejΔϕ(t) − ρϕ˙ 1 (t)ejΔϕ(t) w(t) ˜ = Re 1 + ρejΔϕ(t) ⎫ ⎪ ⎪ jΔϕ(t) ⎬

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ = Re

⎪ ⎪ ⎩

ϕ˙ 1 (t)

1 + ρejΔϕ(t) ρ(ϕ˙ 2 (t) − ϕ˙ 1 (t))e + 1 + ρejΔϕ(t) 1 + ρejΔϕ(t)

= ϕ˙ 1 (t) + Re

⎪ ⎪ ⎭

(5.3.5c)

(5.3.5d)

=1

ρ(ϕ˙ 2 (t) − ϕ˙ 1 (t))ejΔϕ(t) . 1 + ρejΔϕ(t)

(5.3.5e)

=Δw(t)

Nach der Demodulation ist das Nutzsignal ϕ˙ 1 (t) von einer Restst¨ orphase Δw(t) u ¨ berlagert.

ρejΔϕ(t) Δw(t) = Δϕ(t)Re ˙ (5.3.6a) 1 + ρejΔϕ(t) ∞ (5.3.6b) (−1)ν+1 ρν ejνΔϕ(t) = Δϕ(t)Re ˙ = Δϕ(t) ˙

∞

ν=1

(−1)ν+1 ρν cos(νΔϕ(t))

(5.3.6c)

ν=1

Die Differenzphase Δϕ(t) ˙ = ϕ˙ 2 (t) − ϕ˙ 1 (t) = Δω − ΔΩv(t) kann wegen ihrer Reellwertigkeit vor die Realteilbildung gezogen werden. Das demodulierte Signal lautet somit w(t) ˜ = [Δω − ΔΩv(t)]

∞

(−1)ν+1 ρν cos(νΔϕ(t)) .

ν=1

(5.3.7)


48

b) F¨ ur ein verschwindendes Nutzsignal, ΔΩ = 0, lautet das demodulierte Signal ω ˜ (t) = Δw(t) = Δω

∞

(−1)ν+1 ρν cos(νΔϕ(t)) .

(5.3.8)

ν=1

Die St¨ orleistung lautet damit ∞

2 = E{Δω 2 (t)} = Δω 2 σΔω

1 2ν ρ . 2 ν=1

(5.3.9)

Dies zeigt man, indem man das Betragsquadrat innerhalb des Erwartungswertes ausf¨ uhrt ∞ 2 = E Δω (−1)ν+1 ρν cos(νΔϕ(t)) σΔω ν=1

· Δω

∞

(−1)ν

ρ cos(ν Δϕ(t))

+1 ν

(5.3.10)

ν =1

Die Erwartungswertbildung wirkt sich nur auf die zeitlich ver¨ anderlichen Gr¨ oßen aus 2 σΔω = Δω 2

∞ ∞

(−1)ν+1 (−1)ν

ν=1 ν =1

+1 ν ν

ρ ρ

· E cos(νΔϕ(t)) cos(ν Δϕ(t)) .

(5.3.11)

δ(ν−ν )/2

Daraus folgt (5.3.9). Mit der geometrischen Reihe

∞ ν=1

ρ2ν =

ρ2 1−ρ2

ergibt sich eine quadratische Abh¨ angigkeit der spektralen Leistungsdichte von der Frequenz 2 σΔω =

Δω 2 ρ2 ; 2 1 − ρ2

(5.3.12)

sie ist in Abbildung 5.3.1 dargestellt. c) Das Signal-zu-St¨ orverh¨ altnis f¨ ur die Leistung σv2 = 1/2 des Nutzsignals v(t) und ΔΩ = Δω lautet S/N =

E{|ϕ˙ 1 (t)|2 } = 2 σΔω

ΔΩ2 σv2 ρ2

1 2 2 1−ρ2 Δω

=

1 − ρ2 ρ2

(5.3.13)

5.3 L¨ osungen

49

2 σΔω

2 ωNF ρ2 2 1−ρ2

−ωNF

0 Δω

ωNF

2 Abbildung 5.3.1: St¨ orleistung σΔω u orerfrequenz Δω ¨ ber der St¨

und ist in Abbildung 5.3.2 dargestellt.

5.3.2

Rauschst¨ orung

a) Zun¨ achst wird das gegeben Signal-zu-Rauschverhältnis in einen linearen Wert umgerechnet (S/N )NF,dB = 10 log10 ((S/N )NF ) = 10 dB ⇒ (S/N )NF = 10 . (5.3.14) Nach Gl. (5.2.7) in [Kam08] gilt f¨ ur das S/N -Verhältnis am Demodulatorausgang (S/N )NF =

a2AM m2 σv2 N0 bNF

(5.3.15)

Daraus folgt f¨ ur die spektrale Leistungsdichte N0 das additiven Rauschens N0 =

1 a2AM m2 σv2 1(1/2)2 1/2 = = 10 · bNF 10 · 6 480 kHz

(5.3.16)

b) Laut Gleichung (5.2.40) in [Kam08] gilt f¨ ur das S/N -Verhältnis am


50

(S/N )dB = 10 log10

1−ρ2 ρ2

50 40 30 20 10 0 −10 −20 −30 0

0.2

0.4

ρ

0.6

0.8

1

Abbildung 5.3.2: Signal-zu-Rauschverh¨ altnis in dB

Ausgang eines FM-Demodulators (S/N )NF = 3a2FM Die Gr¨ oße ηmin =

ΔF bNF

2 ηmin σv2 . N0 bNF

(5.3.17)

betr¨ agt ηmin =

75 = 5, 15

(5.3.18)

so dass das S/N -Verh¨ altnis lautet (S/N )NF =

3 · 1 · 25 · 1/2 · 480 kHz ⇒ (S/N )NF,dB = 30.6 dB . 15 kHz (5.3.19)

Kapitel 6

Zwei Systembeispiele fu ¨r analoge Modulation 6.1

UKW-Stereo

Die Einf¨ uhrung des Stereo-Rundfunks musste eine Abwärtskompatibilit¨ at zu bereits vorhandenen UKW-Mono-Empfängern ¨ garantieren. Als L¨ osung wurde die Ubertragung eines Stereo-MultiplexSignals gew¨ ahlt. Im Frequenzmultiplex werden hier ein Summensignal (bzw. das Monosignal) sowie ein Differenzsignal gesendet; daraus lassen sich der rechte und linke Kanal wiederherstellen. Im Folgenden wird die Kanaltrennung nach der Stereodecodierung betrachtet. Nehmen Sie als Links- und Rechtssignal Kosinusschwingungen an (t)

= cos(2πf t) ,

r(t)

= cos(2πfr t)

mit den Frequenzen f = 1 kHz und fr = 1.5 kHz. Das Stereo-Multiplex¨ Signal wird u ¨ber einen Kanal mit der Ubertragungsfunktion ⎧ ⎪ |f | < 38 kHz ⎨1 , f H(j2πf ) = −0.1 1kHz + 4.8 , 38 kHz ≤ |f | ≤ 48 kHz ⎪ ⎩ 0, sonst .

(6.1.1)

gesendet. Bestimmen Sie die Kanaltrennung nach der StereoKanaltrennung als Leistungsverh¨ altnis von Nutz- zu Störanteil f¨ ur den linken und den rechten Kanal.

52

6 Zwei Systembeispiele f¨ ur analoge Modulation

6.2

L¨ osungen

6.2.1

UKW-Stereo

a) Das Empfangssignal lautet (vgl. (6.23) in [Kam08, S.194]) (6.2.1) m(t) = x (t) + xr (t) + x (t) − xr (t) cos(2πfH t) . Die Hilfstr¨ agerfrequenz betr¨ agt fH = 38 kHz. Der Kanal beeinflusst nur das Differenzsignal H(j2π · 36.5 kHz) = H(j2π · 37 kHz) =

1 1

(6.2.2a) (6.2.2b)

H(j2π · 39 kHz) = H(j2π · 39.5 kHz) =

0.9 0.85 .

(6.2.2c) (6.2.2d)

Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass Summen- und Differenzfilter durch geeignete Filter getrennt werden können. Das Differenzsignal im Bandpassbereich entspricht einem reinen Zweiseitenbandsignal; das entsprechende analytische Signal lautet j2π37kHzt −ej2π36.5kHzt +0.9 ej2π39kHzt −0.85 ej2π39.5kHzt . x+ diff (t) = e (6.2.3) Nach einer koh¨ arenten Zweiseitenband-Demodulation liegt das gew¨ unschte Differenzsignal vor −j2π38kHz·t x ˜diff (t) = Re x+ (6.2.4) diff (t)e −j2π1kHz·t = Re e + 0.9ej2π1kHz·t − ej2π1.5kHz·t − 0.85ej2π1.5kHz·t 1.85 1.9 cos(2π1kHz · t) − cos(2π1.5kHz · t) . = 2 2 Die Stereodecodierung zur Kanaltrennung bestehen in der Addition bzw. Subtraktion von Summen- und Differenzsignal. Der linke Kanal folgt aus der Addition x ˜ (t) = x ˜sum (t) + x ˜diff (t) /2 (6.2.5) 1 = (cos(ω1 t) + cos(ω2 t) + 0.95 cos(ω1 t) − 0.925 cos(ω2 t)) 2 = 0.975 cos(ω1 t) + 0.0375 cos(ω2 t)

= 0.975x(t) + 0.0375xr (t) .

53

6.2 L¨ osungen

Analog folgt f¨ ur den rechten Kanal x ˜sum (t) − x˜diff (t) 2 = 0.9625xr (t) + 0.025x (t) .

x ˜r (t) =

(6.2.6)

Die Kanaltrennung im linken Kanal ist gegeben durch das Leistungsverh¨ altnis 20 log(0.975/0.0375) = 28.3 dB und im rechten Kanal durch 20 log(0.9625/0.025) = 32.7 dB.

Kapitel 7

Diskretisierung analoger Quellensignale 7.1

Sigma-Delta-Modulator

Gegeben ist der Sigma-Delta-Modulator 1. Ordnung in Abbildung 7.1.1. Integrator x(k)

Q

1bit

-

y(k)

z −1 z −1 Abbildung 7.1.1: Sigma-Delta-Modulator

a) Die Quantsierung Q soll durch die Addition eines Fehlersignals e(k) ersetzt werden. Zeichnen Sie das ¨ aquivalente Blockschaltbild f¨ ur diesen Fall. b) Geben Sie die Differenzengleichung f¨ ur das Ausgangssignal y(k) an. Vereinfachen Sie den Ausdruck so weit wie möglich. Hinweis: F¨ uhren Sie Hilfsvariablen am Ein- und Ausgang des Integrators ein oder vereinfachen Sie das Blockschaltbild graphisch. c) Zeichnen Sie das Blockschaltbild des vereinfachten Ausdrucks.

56

7 Diskretisierung analoger Quellensignale

d) Berechnen Sie die Rausch¨ ubertragungsfunktion Y (z) HE (z) = E(z) X(z)=0 und skizzieren Sie den Betrag HE (ejΩ ) der Frequenzantwort.

7.2

Sigma-Delta-A/D-Wandler

Ein Sigma-Delta-A/D-Wandler gibt einen u ¨berabgetasteten 1-BitDatenstrom aus. Dieser sollte idealerweise mit einem idealen Tiefpass gefiltert und anschließend um einen Faktor w unterabgetastet werden. Um diese Filterung zu vermeiden, wird h¨ aufig ein digitaler Integrate-andDump-Vorgang (ID) angewendet, bei dem das 1-Bit-Signal mittels eines Zählers u ¨ber w Takte aufaddiert wird und der resultierende Zählerstand als PCM-Datenwort im niedrigeren Sampletakt verwendet wird. a) Einer Filterung mit welcher Impulsantwort hID (k) entspricht dieses Vorgehen? Geben Sie einen Ausdruck daf¨ ur an und skizzieren Sie die zeitdiskrete, kausale Impulsantwort. ¨ b) Wie lautet die Ubertragungsfunktion HID (ejΩ )? c) Um welchen Faktor erh¨ oht sich die Rauschgesamtleistung, wenn dieses Vorgehen anstatt einer idealen Tiefpassfilterung angewendet wird? Nehmen Sie f¨ ur das Leistungsdichtespektrum des Quantisierungsrauschens Snn (ejΩ ) = σn2 sin2 (Ω/2) an und normieren Sie den Tiefpass und das Filter aus a) so, dass sie f¨ ur Ω = 0 die Amplitude 1 aufweisen. d) Berechnen Sie den Faktor aus b) in dB f¨ ur w = 8.

7.3

Pulsamplituden-Modulation (PAM)

Ein zeitdiskretes Signal wird mit einer Pulsamplitudenmodulation (PAM) in den analogen Bereich umgesetzt. Das Signal sei x(k) = cos(kΩ0 ) mit Ω0 = π/4 und die Abtastfrequenz des zeitdiskreten System sei fA = 8 kHz.

57

7.4 Lineare Pr¨ adiktion (DPCM)

a) Berechnen Sie den Klirrfaktor K des rekonstruierten Signals f¨ ur eine Pulsbreite ΔT = f1A zun¨ achst allgemein. b) Geben Sie einen Zahlenwert f¨ ur K unter Verwendung der f¨ unf ersten nicht verschwindenen Harmonischen an.

7.4

Lineare Pr¨ adiktion (DPCM)

Ein zeitdiskretes System erzeugt ein Signal v(k) aus einem reellwertigen, unkorrelierten, mittelwertfreien Rauschsignal q(k) der Leistung σq2 mittels der Vorschrift v(k) = q(k) + ρ · v(k − 1). v(k) beschreibt Signal) [KK06].

ein

sogenanntes

autoregressives

(7.4.1) Signal

(AR-

a) Zeichnen Sie das Blockschaltbild dieses Systems. b) Was k¨ onnen sie bez¨ uglich der Stabilit¨ at dieses Systems aussagen? c) Bestimmen Sie die Autokorrelationsfolge rV V (κ). Dieses Signal v(k) wird nun mittels eines linearen Prädiktors zweiter Ordnung pr¨ adiziert. d) Stellen sie die Wiener-Hopf-Gleichung auf und lösen Sie sie nach dem Pr¨ adiktionsfehlerkoeffizientenvektor. e) Zeichnen Sie das Blockschaltbild des Prädiktionsfehlerfilters He (z) = 1 − z −1 P (z). Berechnen Sie die Systemfunktion des Pr¨ adiktionsfehlerfilters. f) Bestimmen Sie die Gesamt¨ ubertragungsfunktion bestehend aus einer Reihenschaltung des Systems aus a) und des Prädiktionsfehlerfilters. Berechnen Sie die Autokorrelationsfolge rUU (κ) des Ausgangssignals u(k) des Pr¨ adiktionsfehlerfilters, das den Prädiktionsfehler darstellt. g) Was vermuten Sie, wie sich der Pr¨ adiktionsfehlerkoeffizientenvektor ver¨ andert, wenn die Pr¨ adiktorordnung erhöht wird?

58


7.5

L¨ osungen

7.5.1

Sigma-Delta-Modulator

a) Abbildung 7.5.1 zeigt die Ersetzung der Quantisierung Q durch Addition des Fehlersignals e(k). e(k)

Integrator x(k)

y(k)

z −1 z −1

Abbildung 7.5.1: Ersetzung der Quantisierung Q durch Addition des Fehlersignals e(k)

b) Zur Systemgleichung gelangt man durch die Einf¨ uhrung folgender Hilfsvariablen. Das Eingangssignal des Integrators sei a(k) = x(k) − y(k − 1) und das Ausgangssignal b(k) = a(k) + b(k − 1). Weiterhin gilt f¨ ur das Ausgangssignal y(k) = e(k) + b(k). Damit l¨ asst sich zeigen, dass y(k) = x(k) + e(k) − e(k − 1) .

(7.5.1)

c) Abbildung 7.5.2 zeigt das vereinfachte Blockschaltbild. d) Die Systemgleichung im z-Bereich lautet Y (z) = X(z) + E(z) − z −1 E(z) .

(7.5.2)

Um die Rausch¨ ubertragungsfunktion zu bestimmen, wird das Eingangssignal zu Null gesetzt, X(z) = 0. Daraus folgt HE (z) = 1 − z −1 −jΩ

HE (e ) = 1 − e HE (ejΩ ) = ejΩ/2 − e−jΩ/2 jΩ

= 2 |sin(Ω/2)|

(7.5.3a) (7.5.3b) (7.5.3c) (7.5.3d)

59

7.5 L¨ osungen

e(k)

z −1

x(k)

y(k)

Abbildung 7.5.2: Vereinfachtes Blockschaltbild

Hierbei wurde ausgenutzt, dass die zeitdiskrete Fouriertransformation (DTFT) der z-Transformation entlang des Einheitskreises (z = ejΩ ) entspricht. Der Frequenzgang ist in Abbildung 7.5.3 dargestellt. Die Hochpasscharakteristik verdeutlicht den Effekt der spektralen Rauschformung, d.h. die Rauschleistung wird von der tieffrequenten Nutzbandbreite in den hochfrequenten Bereich verschoben.

|HE (ejΩ )|

2 1.5 1 0.5 0 −1

−0.5

0 Ω/π

0.5

1

Abbildung 7.5.3: Betrag der Rausch¨ ubertragungsfunktion

60


7.5.2

Sigma-Delta-A/D-Wandler

a) Die Addition von w Eingangswerten wird mittels eines Filters mit der Impulsantwort 1, 0 ≤ k ≤ w −1 hID (k) = (7.5.4) 0 , sonst realisiert (vgl. dazu Abbildung 7.5.4).

hID (k) →

1

0.5

0 −2

0

2

4 k→

6

8

10

Abbildung 7.5.4: Integrate-and-Dump-Filter f¨ ur w = 8

¨ b) Die Ubertragungsfunktion folgt aus der DTFT (Discrete-Time Fourier Transform) der Impulsantwort, das heißt HID (ejΩ ) =

∞

hID (k)e−jΩk = ej

w−1 2 Ω

k=−∞

c) Mit der Konstanten

sin(w Ω2 ) . sin( Ω2 )

HID (ej0 ) = w

(7.5.5)

(7.5.6)

¨ folgt die normierte Ubertragungsfunktion zu HID,norm (ejΩ ) = ej

w−1 2 Ω

sin(w Ω2 ) w sin( Ω2 )

.

(7.5.7)

Die Leistung ist bestimmt durch π Pn,ID = −π

HID,norm (ejΩ )2 Snn (ejΩ )dΩ = σn2 1 π . w2

(7.5.8)

61

7.5 L¨ osungen

Ein idealer Tiefpass ist beschrieben durch π 1 |Ω| ≤ w jΩ HTP (e ) = 0 sonst .

(7.5.9)

Seine Leistung ist gegeben durch π Pn,TP = −π

HTP (ejΩ )2 Snn (ejΩ )dΩ = σ 2 π − sin π . n w w (7.5.10)

Das Leistungsverh¨ altnis lautet 1 σ 2 12 π Pn,ID π w2 π = = = 2 π nw π . π π π Pn,TP wπ − w2 sin( w ) σn w − sin( w ) w − sin( w ) (7.5.11)

d) F¨ ur w = 8 gilt π Pn,ID π = 4.9 = 6.9 dB . = π = Pn,TP wπ − w2 sin( w ) 8π − 64 sin( π8 ) (7.5.12) Verglichen mit dem idealen Tiefpassfilter ist die Rauschleistung durch Integrate-and-Dump um den Faktor 5 größer.

7.5.3

Pulsamplituden-Modulation (PAM)

Ein allgemeines PAM-Signal folgt der Faltungsbeziehung xPAM (t) = T

∞

x(k)g(t − kT ) .

(7.5.13)

k=−∞

Die Fouriertransformation dieses Signals lautet XPAM (jω) = X(ejΩ )G(jω)

(7.5.14)

mit Ω = ωT . Bei X(ejΩ ) handelt es sich um die DTFT des zeitdiskreten Signals x(k). Die Periodizit¨ at der DTFT f¨ uhrt zu Oberschwingungen im gesamten kontinuerlichen Spektrum, die durch das Filter G(jω) ged¨ ampft werden.

62


a) Das Spektrum des Rekonstruktionsfilter g(t) = G(jω) =

1 T

· rect(t/T ) lautet

2 sin(ωT /2) . ωT

(7.5.15)

Die DTFT des zeitdiskreten Signals lautet X(ejΩ ) =

∞

cos(Ω0 k)e−jΩk

k=−∞

1 = δ ((Ω + Ω0 )2π ) + δ ((Ω − Ω0 )2π ) , 2

(7.5.16)

wobei die Modulofunktion (·)2π die Periodizität des Spektrums eines abgetasteten Signals wiederspiegelt. Die zeitkontinuierliche Frequenz f0 der Kosinusschwingung folgt aus der normierten Kreisfrequenz Ω0 und der Abtastfrequenz fA Ω0 = 2πf0 T = 2πf0 /fA

⇒

f0 =

Ω0 fA = 1 kHz . 2π

(7.5.17)

Nach (7.5.16) ergeben sich daher Spiegelspektren (Images) bei den Frequenzen fI = n · fA ± f0 ,

n = 1, 2, 3, · · ·

2π = f0 · (n · fA /f0 ± 1) = f0 · n · ±1 , Ω0

(7.5.18)

so dass das Spektrum des PAM-Signals lautet XPAM (jω) = G(jω0 ) (7.5.19) ∞ + [G(jω0 (2πn/Ω0 + 1)) + G(jω0 (2πn/Ω0 − 1))] . n=1

Der Klirrfaktor lautet somit 2 2

∞

2π 2π n G jω0 n Ω + 1 + G jω − 1

0 Ω 0 0

n=1 K= 2 . ∞ 2π 2π 2 + G jω n G(jω0 )2 + G(jω0 n Ω +1 ) −1 0 Ω0 0 n=1

(7.5.20)

63

7.5 L¨ osungen

Das Einsetzen der si-Funktion f¨ ur G(jω) ergibt

∞

22 sin2 (Ω0 /2) 22 sin2 (Ω0 /2)

2 + 2 2π 2 n· 2π +1 2

ω ω n=1 0 0 n· Ω0 −1 Ω0

K= , ∞ 22 sin2 (Ω /2) + 22 sin2 (Ω0 /2) + 22 sin2 (Ω0 /2) ω02

0

2π 2 n=1 ω0 n· Ω0 +1

2

2π ω02 n· Ω −1

2

0

(7.5.21) so dass f¨ ur den Klirrfaktor schließlich folgt

∞ 1 1

+ 2π

n=1 n· Ω2π0 +1 2 n· Ω −1 0 K=

∞ 1 1 1 + 2 + 2π 2π n=1

b) Mit

n· Ω +1 0

2

n· Ω −1

.

(7.5.22)

2

0

2π Ω0

= 8 folgt f¨ ur die ersten f¨ unf Harmonischen

2

1 1

n=1 (8n+1)2 + (8n−1)2 K =

2 1 1 1+ + (8n−1) 2 (8n+1)2

=

n=1

1

1 1 1 1 + (8−1) + (16−1) 2 + 2 (8+1)2 (16+1)2 1 1 1 1 + (8+1)2 + (8−1)2 + (16+1)2 + (16−1)2

= 3.907% . (7.5.23)

7.5.4

Lineare Pr¨ adiktion (DPCM)

a) Die gegebene Differenzengleichung beschreibt ein sogenanntes autoregressives Model 1.Ordnung. Dessen Blockschaltbild ist in Abbildung 7.5.5 dargestellt. b) Das System ist rekursiv, so dass Stabilit¨ atsbetrachtungen eine Rol(z) ¨ le spielen. Die Ubertragungsfunktion des Systems lautet VQ(z) = 1 at ist ga1−ρz −1 und besitzt einen Pol an der Position ρ. Stabilit¨ rantiert f¨ ur |ρ| < 1, solange also dieser Pol innerhalb des Einheitskreises verbleibt.

64


v(k)

q(k) ρ z −1

Abbildung 7.5.5: AR-Modell 1. Ordnung

c) Die Definition einer AKF lautet allgemein rV V (κ) = E {v ∗ (k)v(k + κ)} .

(7.5.24)

Um diese Funktion zu bestimmen, wird zunächst v(k) ersetzt. Anschließend wird der Erwartungswert u ¨ ber die entstehenden Terme gebildet rV V (κ) = E {(q ∗ (k) + ρ∗ · v ∗ (k − 1)) (q(k + κ) + ρ · v(k + κ − 1))} = E {q ∗ (k)q(k + κ)} + ρE {q ∗ (k)v(k + κ − 1)} + ρ∗ E {v ∗ (k − 1)q(k + κ)} + |ρ|2 E {v ∗ (k − 1)v(k + κ − 1)} = rQQ (κ) + ρrQV (κ − 1) + ρ∗ rV Q (κ + 1) + |ρ|2 rV V (κ) . (7.5.25) Die AKF setzt sich aus vier Termen zusammen. F¨ ur die Kreuzkorrelierte zwischen Eingangs- und Ausgangssignal gilt rQV (κ − 1) = E {q ∗ (k)v(k + κ − 1)} = E {q ∗ (k) (q(k + κ − 1) + ρ · v(k + κ − 2))} (7.5.26) = rQQ (κ − 1) + ρrQV (κ − 2) , so dass die gesuchte AKF in die Form rV V (κ) = rQQ (κ) + ρ (rQQ (κ − 1) + ρrQV (κ − 2)) + ρ∗ (rQQ (κ + 1) + ρ∗ rQV (κ + 2)) + |ρ|2 rV V (κ)

(7.5.27)

u ¨bergeht. Durch rekursives Einsetzen und Ausnutzen der Eigen-

65

7.5 L¨ osungen

schaft der Reellwertigkeit von ρ und q(k) gelangt man zu rV V (κ) =

∞

ρ|n| rQQ (κ − n) + ρ2 rV V (κ)

n=−∞

=

∞ 1 ρ|n| rQQ (κ − n) 1 − ρ2 n=−∞

=

∞ σq2 ρ|κ| σq2 |n| ρ δ(κ − n) = . 1 − ρ2 n=−∞ 1 − ρ2

(7.5.28)

d) Die Wiener-Hopf-Gleichung lautet p = R−1 V V rV V . ⎡ p=⎣ ⎡ =⎣

σq2 1−ρ2 σq2 ρ 1−ρ2

σq2 ρ 1−ρ2 σq2 1−ρ2

1 1−ρ2 −ρ 1−ρ2

−ρ 1−ρ2 1 1−ρ2

⎤−1 ⎡ ⎦

·⎣

⎤ ⎡

σq2 ρ 1−ρ2 σq2 ρ2 1−ρ2

⎤

⎤−1 ⎡

⎡

⎦=⎣

1 ρ ⎡

⎤

ρ

⎦

1

·⎣ ⎤

⎤ ρ ρ

⎦

2

⎡ ⎤ ρ − ρ3 ρ 1 ⎦·⎣ ⎦= ⎣ ⎦=⎣ ⎦ 2 2 2 2 1 − ρ −ρ + ρ ρ 0 (7.5.29) ρ

e) Das Blockschaltbild des Pr¨ adiktionsfehlerfilters ist in Abbildung 7.5.6 dargestellt. Aus Aufgabenteil d) ergibt sich P (z) = ρ und daraus He (z) = 1 − ρz −1 . He (z) q˜(k)

v˜(k)

ρ z

−1

Abbildung 7.5.6: Blockschaltbild zu He (z)

f) Die Gesamt¨ ubertragungsfunktion lautet Hges (z) =

1 He (z) = 1 . 1 − ρz −1

(7.5.30)

66


Das Ausgangssignal des Pr¨ adiktionsfehlerfilters lautet u(k) = q(k) ,

(7.5.31)

rUU (κ) = rQQ (κ) = σq2 δ(κ) .

(7.5.32)

so dass f¨ ur die AKF gilt

Es gelingt also eine perfekte Dekorrelation des AR-Signals. g) Das Pr¨ adiktorfilter bleibt unver¨ andert, da die Ordnung des synthetisierenden Systems u bertroffen worden ist. In Gleichung (7.5.33) ¨ ist dies anhand eines Pr¨ adiktors 3. Ordnung beispielhaft mit Hilfe der Wiener-Hopf-Gleichung p = R−1 V V rV V berechnet. ⎡ ⎢ ⎢ p=⎢ ⎣ ⎡

σq2 1−ρ2 σq2 ρ 1−ρ2 σq2 ρ2 1−ρ2

1 ⎢ ⎢ =⎢ ρ ⎣ ρ2

=

1 1 − ρ2

σq2 ρ 1−ρ2 σq2 1−ρ2 σq2 ρ 1−ρ2

ρ 1 ρ ⎡

ρ

2

σq2 ρ2 1−ρ2 σq2 ρ 1−ρ2 σq2 1−ρ2 ⎤−1 ⎡

⎥ ⎥ ρ ⎥ ⎦ 1

⎤−1 ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤

σq2 ρ 1−ρ2 σq2 ρ2 1−ρ2 σq2 ρ3 1−ρ2

⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡

ρ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎢ ρ ⎥=⎢ ⎣ ⎦ ⎣ ρ3 ρ − ρ3

⎤

⎢ ⎢ ⎢ −ρ2 + ρ2 (1 + ρ2 ) − ρ4 ⎣ −ρ3 + ρ3

1 1−ρ2 −ρ 1−ρ2

0 ⎤

(7.5.33)

−ρ 1−ρ2 1+ρ2 1−ρ2 −ρ 1−ρ2

⎡

⎤

ρ

⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ 0 ⎥ ⎦ ⎦ ⎣ 0

⎤ ⎡ 0 −ρ 1−ρ2 1 1−ρ2

⎤

ρ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎥·⎢ ρ ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ρ3

Kapitel 8

Grundlagen der digitalen Datenu ¨ bertragung 8.1

Leistungsdichtespektrum eines Datensignals

Betrachtet wird ein Sendesignal der Form ∞

x(t) = T

d(i)gS (t − iT ).

(8.1.1)

i=−∞

mit dem Sendefilter gS (t). Es werden BPSK-Daten d(i)∈{−1, 1} gesendet, wobei das Datum d(i) = −1 mit einer Wahrscheinlichkeit von P {d(i) = −1} = 0.3 auftritt. Berechnen Sie das mittlere Leistungsdichtespektrum Sxx (jω) des Signals x(t) f¨ ur a)

(A) gS (t)

=

b)

1/T, −T /2 ≤ t < T /2 0, sonst,

(B) gS (t)

=

2/T, −T /4 ≤ t < T /4 0, sonst.

c) Skizzieren Sie die Leistungsdichtespektren u ¨ber ωT . Betrachten Sie die Nullstellen der Leistungsdichtespektren. Welchen wesentlichen

68

8 Grundlagen der digitalen Daten¨ ubertragung

Unterschied zwischen den beiden Leistungsdichtespektren erkennen Sie hinsichtlich dieser Nullstellen? Hinweise: • Bestimmen Sie zun¨ achst die Autokorrelationsfunktion der unkor2 relierten Daten d(i) in der Form rDD (λ) = σD δ(λ) + m2D mit der 2 Leistung der Daten σD und dem Mittelwert der Daten mD . • Nutzen Sie die Beziehung ∞ λ=−∞

ejωT λ =

∞ 2π δ(ωT + 2πμ) T μ=−∞

(8.1.2)

und die Korrespondenz 1/T, −T ≤ t < T 2 sin(ωT ) = 2si(ωT ) gS (t) = ◦−−• GS (jω) = ωT 0, sonst, (8.1.3)

8.2

Erste und zweite Nyquist-Bedingung

Eine Datenquelle liefert die unkorrelierte Folge d(i)∈{−1, 1}. Im Sender erfolgt eine rechteckf¨ ormige Impulsformung durch 1/T , f¨ ur − T /2 ≤ t < T /2 gS (t) = . (8.2.1) 0, sonst ¨ Auf dem Ubertragungsweg wird additives weißes Rauschen u ¨berlagert. ¨ Abbildung 8.2.1 zeigt diese Ubertragungsstrecke. a) Geben Sie die Matched-Filter-Impulsantwort f¨ ur den Empfänger an. Skizzieren Sie die auf eins normierte Gesamtimpulsantwort y(t) ¨ des Ubertragungssystems. F¨ ur die weiteren Aufgabenteile soll die Normierung der Gesamtimpulsantwort auf eins beibehalten werden. Ferner ist die Rauschquelle abgeschaltet.

8.3 Maximierung des S/N -Verh¨ altnisses durch das Matched Filter

iT

n(t) d(i)

gS (t)

x(t)

Sendefilter

69

gE (t)

ˆ d(t)+r(t)

Empfangsfilter

ˆ d(i)+r(i)

Entscheider

¨ Abbildung 8.2.1: Ubertragungsstrecke mit u ¨ berlagertem weißen Rauschen

b) Konstruieren Sie das Augendiagramm am Matched-FilterAusgang. Pr¨ ufen Sie, ob die erste und die zweite NyquistBedingung erf¨ ullt sind und begr¨ unden Sie dieses anhand der Gesamtimpulsantwort. c) Am Matched-Filter-Ausgang erfolgt eine Abtastung zu den Zeitpunkten ti = i T + Δt ; |Δt| ≤ T /2 . (8.2.2) Bei nichtidealer Abtastung Δt = 0 ergibt sich IntersymbolInterferenz. Berechnen Sie das zugeh¨ orige Signal-zu-InterferenzVerh¨ altnis (S/I) als Funktion von Δt. Wie groß ist das (S/I) f¨ ur Δt = T /2?

8.3

Maximierung des S/N -Verh¨ altnisses durch das Matched Filter

Es wird die Daten¨ ubertragungsstrecke in Abbildung 8.2.1 betrachtet. Der Symboltakt ist mit T bezeichnet. Das gleichverteilte Datensignal d(i) sei zweistufig mit den Werten d(i)∈{−2, 2}. Die Rauschstörung sei statistisch unabh¨ angig, gaußverteilt und habe die spektrale Leistungsdichte N0 /2 = 4T . Der Impulsformer gS (t) sei durch 2t 1 (8.3.1) gS (t) = tri T T gegeben. a) Das Empfangsfilter gE (t) soll im Sinne einer Matched-Filterung gew¨ ahlt werden. Geben Sie einen Ausdruck f¨ ur gE (t) an.

70


b) Bestimmen Sie das S/N -Verh¨ altnis am Entscheidereingang. c) Ist das Signal am Entscheidereingang frei von IntersymbolInterferenz (ISI)? d) Anstelle des Matched-Filters wird nun ein Empfangsfilter 1 t gE (t) = rect T T betrachtet. Bestimmen Sie den S/N -Verlust am Entscheidereingang gegen¨ uber der Verwendung des Matched-Filters.

8.4

Partial-Response-Code durch Matched Filterung

Ein Datensender benutzt zur bin¨ aren Daten¨ ubertragung (Bitrate 1/T ) den in Abbildung 8.4.1 dargestellten Grundimpuls gS (t). gS (t) a T −b

2T t

Abbildung 8.4.1: Grundimpuls zur Daten¨ ubertragung

a) Zeichnen Sie die Impulsantwort gE (t) des zugehörigen MatchedFilters f¨ ur den Empf¨ anger in nichtkausaler Darstellung. b) Bestimmen Sie die Gesamtimpulsantwort g(t) = gS (t)∗gE (t) durch graphische Faltung“ und skizzieren Sie sie f¨ ur zunächst willk¨ urli” che Werte a und b.

8.5 Leistungsdichtespektrum einer AMI-Codierung

71

c) W¨ ahlen Sie die Konstanten a und b (a, b ≥ 0) so, dass sich am Empf¨ anger nach der Symbolabtastung ein Partial-Response-Code der Form αν = {−1, 2, −1} ergibt.

8.5

Leistungsdichtespektrum einer AMICodierung

Eine Quelle gibt eine Folge von unkorrelierten binären Daten d(i) ∈ {−1, 1} mit einer Rate von 1/T ab. Zur Impulsformung werden Rechteckimpulse der Breite T /2 verwendet. a) Berechnen und skizzieren Sie das mittlere Leistungsdichtespektrum (LDS) am Senderausgang. b) Die Sendedaten werden einer AMI-Codierung unterzogen. Wie lautet in dem Falle das LDS? Geben Sie auch eine qualitative Skizze an.

72


8.6

L¨ osungen

8.6.1

Leistungsdichtespektrum eines Datensignals

a) Die Definition der mittleren AKF des Sendesignals nach Gleichung (8.1.11) in [Kam08, S.233] lautet r¯xx (τ ) = T

∞

rDD (λ)rgES gS (τ + λT ) .

(8.6.1)

λ=−∞

Die Fourier-Transformation erzeugt daraus das Leistungsdichtespektrum (LDS) SXX (jω) = T · |GS (jω)|2

∞

rDD (λ)ejωλT .

(8.6.2)

λ=−∞

Die ben¨ otigte AKF der Daten ist gegeben durch 2 δ(λ) + m2D mit Mittelwert mD = E {D(i)} = 0.4 rDD (λ) = σD 2 2 und Leistung σD = E [D(i) − mD ] = 0.84. Damit lässt sich zun¨ achst f¨ ur das LDS schreiben SXX (jω) =

T · |GS (jω)|2

∞

2 σD δ(λ) + m2D ejωλT (8.6.3a)

λ=−∞

=

T · |GS (jω)|

2

2 σD

+

∞

m2D

2 = T ·σD |GS (jω)|2 +2πm2D |GS (jω)|2

e

jωλT

(8.6.3b)

λ=−∞ ∞

δ(ω + 2πλ/T ) .(8.6.3c)

λ=−∞

F¨ ur das erste Sendefilter ergibt sich damit ∞ (A) GS (jω)

= −∞

= =

(A) gS (t)e−jωt

T /2

dt = −T /2

1 −jωt ·e dt (8.6.4a) T

1 −jωT /2 1 · e − ejωT /2 T −jω ωT ωT 2 sin = si ωT 2 2

(8.6.4b) (8.6.4c)

73

8.6 L¨ osungen

Gleichung (8.6.4c) in (8.6.3c) eingesetzt ergibt (A) SXX (jω)

=T ·

2 σD

ωT 2 si( ) + 2πm2D δ(ω) . 2

(8.6.5)

b) F¨ ur das zweite Sendefilter ergibt sich nach Teilaufgabe a) ∞ (B) GS (jω)

=

(B) gS (t)e−jωt

−∞

= =

T /4

dt = −T /4

2 −jωt ·e dt (8.6.6a) T

T /4 1 −jωt 2 · e T −jω t=−T /4 ωT ωT 4 sin = si . ωT 4 4

(8.6.6b) (8.6.6c)

Mit Gleichung (8.6.3c) folgt dann (B)

SXX (jω) = (8.6.7) 2 2 ∞ ωT ωT 2 2 δ(ω + 2πλ/T ) . T · σD si( 4 ) + 2πmD si( 4 ) λ=−∞

c) Die beiden resultierenden Leistungsdichtespektren mit den Sendefiltern aus Aufgabenteil a) und b) sind in Abbildung 8.6.1 skizziert. Durch das k¨ urzere Filter und die mittelwertbehafteten Daten entstehen zus¨ atzlich zum si-Impuls u ¨ ber das gesamte Spektrum verteilte Impulse.

8.6.2

Erste und zweite Nyquist-Bedingung

a) Da das Sendefilter gS (t) eine reelle, nichtkausale und gerade Funktion ist, gilt f¨ ur die Matched-Filter-Bedingung am Empfänger gE (t) = K · gS∗ (T0 − t) = K · gS (t) .

(8.6.8)

Zur Berechnung des Gesamtimpulses (w¨ ahle K = 1, da Normierung gew¨ unscht) muss dann die Faltung des Sendefilters mit dem Empfangsfilter nach Gleichung (8.3.1) in [Kam08, S. 253] durchgef¨ uhrt

74


(A)

a) SXX (jω) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ωT /π →

(B)

b) SXX (jω) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ωT /π →

Abbildung 8.6.1: Leistungsdichtespektren SXX (jω) mit den Sendefiltern (A) (B) gS (t) und gS (t)

werden T /2

g(t) = gS (t) ∗ gE (t) =

1 T −t dτ = 2 T T2

f¨ ur

0≤t≤T

t−T /2

(8.6.9) Der Gesamtimpuls g(t) und der normierte Impuls y(t) lassen sich damit formulieren zu T −|t| f¨ ur |t| ≤ T T2 g(t) = (8.6.10) 0 sonst 1 − |t|/T f¨ ur |t| ≤ T y(t) := T · g(t) = . (8.6.11) 0 sonst

75

8.6 L¨ osungen

Es ergibt sich anhand von Gleichung (8.6.11) der in Abbildung 8.6.2 gezeigte Impuls. 1

-T

y(t)

0

T t

Abbildung 8.6.2: Normierte Gesamtimpulsantwort y(t)

ˆ = d(ν) y(t−νT ) am Ausgang des b) Das abzutastende Signal d(t) ν Matched-Filters bei einer Sendefolge von d(i) = {1, 1, −1, −1, 1} ist in Abbildung 8.6.3 zu sehen. Anhand dieses Signals lassen sich folgende m¨ ogliche Werte in der Augenmitte, also zum Abtastzeitpunkt t, ablesen t = iT, i∈N : ±1 . (8.6.12) ˆ d(t)

1

Wandernder +1−y(t−T )

+1−y(t)

+1−y(t−4T )

OszilloskopAusschnitt

-T

0

T −1−y(t−2T )

2T

3T

4T

t 5T

−1−y(t−3T )

Abbildung 8.6.3: Abzutastendes Signal am Ausgang des Matched-Filters

Zu den Zeitpunkten t = iT + T /2 nimmt das Signal die Werte ±0.5 ± 0.5 = [±1 0] an. Das resultierende Augendiagramm ist in Abbildung 8.6.4 dargestellt. Bez¨ uglich der Nyquistbedingungen lassen sich damit folgende Aussagen treffen: – Die 1. Nyquistbedingung ist erf¨ ullt, da eine ISI-freie Abtastung m¨ oglich ist. Die Systemimpulsantwort hält per Definition die Bedingung (8.1.23) in [Kam08, S. 234] ein.

76


1. Nyquistbedingung: m diskrete Werte im Abtastzeitpunkt (m = 2: Stufigkeit von d(i))

t

ΔTh iT − T /2

iT + T /2 2. Nyquistbedingung: max. relative horizontale h Augen¨ offnung h = ΔT =1 T

iT

Abbildung 8.6.4: Augendiagramm

– Die 2. Nyquistbedingung ist optimal erf¨ ullt, da die maximal m¨ ogliche horizontale Augen¨ offnung h = 1 erreicht wird. Demnach ist eine unkritische Abtastung möglich. c) Bei einer Fehlabtastung hat die abgetastete Folge die Form (vgl. Abbildung 8.6.5) ˆ = d(t) ˆ ˆ d(i) = d(iT + Δt) mit |Δt| ≤ T /2 . (8.6.13) t=iT +Δt

1 y(t − T )

y(t)

t

-T

T /2

0 Δt

T

2T

Abbildung 8.6.5: Fehlabtastung

Das Signal-zu-Interferenz-Verh¨ altnis S/I kann berechnet werden durch 2 (1 − Δt S σd2 · y 2 (t) T ) = 2 2 = (8.6.14a) 2 I σd · y (t − T ) t=Δt ( Δt T ) 2 Δt 2 1 − 2 Δt T T T +( T ) + = 1 − 2 . (8.6.14b) = 2 Δt Δt ( Δt ) T

77

8.6 L¨ osungen

Mit Gleichung (8.6.14a) lassen sich beispielhaft folgende Werte ermitteln: Δt

8.6.3

= =

0 ⇒ S/I T /2 ⇒ S/I

= =

∞ 1

= ˆ 0 dB

Maximierung des S/N -Verh¨ altnisses durch das Matched Filter

a) Das Matched Filter in nichtkausaler Darstellung (T0 = 0) f¨ ur den reellen und geraden Sendeimpuls gS (t) lautet 1 2t ∗ ; (8.6.15) gE (t) = gS (−t) = gS (t) = tri T T es ist in Abbildung 8.6.6 zu sehen. 1 T

gE (t) = gS (t)

−T /2

0

T /2

t

Abbildung 8.6.6: Matched-Filter gE (t)

b) Da in der gegebenen Systemstruktur alle1 Voraussetzungen nach Abschnitt 8.3 in [Kam08] erf¨ ullt sind – Daten: mittelwertfrei – Kanal: verzerrungsfrei – Rauschen: additiv und weiß, erreicht man mit dem Matched Filter aus Teilaufgabe a) das maximale S/N -Verh¨ altnis am Entscheidereingang. 1 Die

ISI-Freiheit muß noch u uft werden (s. Aufgabenteil c)). ¨berpr¨

78


Es betr¨ agt nach Gleichung (8.3.11) in [Kam08, S. 255] Eb S Es = . = N matched N0 /2 N0 /2

(8.6.16)

2 Die Berechnung der Bitenergie Eb ergibt mit σD = E |D(i)|2 = 4 ∞ T /2 2 2t 2 Eb = σD · T 2· gS2 (t) dt = 4 · T 2 · 2 dt (8.6.17a) 2 T −∞ 0 T /2 4 1 32 1 T 3 32 = T (8.6.17b) = 2· = 2 · t3 T 3 T 3 8 3 0 Mit N0 /2 = 4T folgt 4T /3 1 S Eb = = . = N matched N0 /2 4T 3

(8.6.18)

c) Damit das Signal am Entscheidereingang ISI-frei ist, muss das Gesamtsystem g(t) := gS (t) ∗ gE (t) die erste Nyquistbedingung erf¨ ullen. Dies ist hier immer der Fall, da die Gesamtmpulsantwort g(t) auf das Zeitintervall (−T, T ) beschränkt bleibt. d) Nach Gleichung (8.3.9) in [Kam08, S. 254] gilt f¨ ur das S/N -Verhältnis allgemein, also auch im nicht rauschangepassten Fall, in nichtkausaler Darstellung mit T = 0 2 ∞ g (τ ) gS (−τ ) dτ S Eb −∞ E = · N no match N0 /2 ∞ g 2 (τ ) dτ · ∞ g 2 (τ ) dτ S E −∞ −∞ 2 T /2 1 2τ dτ · 2 T −T /2 T Eb · = N0 /2 T /2 2τ2 2 dτ · T /2 12 dτ −T /2

=

T

1 2 2·T

−T /2 T

3 Eb Eb · = · . N0 /2 (1/3T ) · (1/T ) 4 N0 /2

(8.6.19a)

Der S/N -Verlust ergibt sich also mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe b) zu (S/N )|no match 3 = ˆ 1.25 dB (8.6.20) = (S/N )|matched 4

79

8.6 L¨ osungen

8.6.4

Partial-Response-Code durch Matched Filterung

a) Das empfangsseitige Matched-Filter in nichtkausaler Darstellung ergibt sich wie in Abbildung 8.6.7. h(t)

6 a/τ t (−b/τ )

Abbildung 8.6.7: Matched-Filter in nichtkausaler Darstellung

Laut Definition haben Impulsantworten die Dimension 1/Zeit, daher erscheint hier der Faktor 1/τ . ∞ b) Die graphische Faltung gS (t) ∗ gE (t) = −∞ gS (ϑ) · gE (t − ϑ) dϑ ist in Abbildung 8.6.8 veranschaulicht. c) Um den gew¨ unschten Partial-Response-Code zu erhalten, wählt man τ = T , da bei den Zeitpunkten ±T der benötigte Wert von −1 vorliegen muss, sowie +2 beim Zeitpunkt T = 0. Dann berechnen sich die Koeffizienten a und b zu −a · b = −1 ⇒ b = 1/a a2 + b 2 = 2

⇒

a2 + 1/a2 = 2 ⇒ a = 1;

b = 1 (8.6.21)

Ohne die Normierung bez¨ uglich τ ergibt sich entsprechend 1 a·T 1 1 (a2 + b2 ) · T = 1 ⇒ a2 + 2 = a · T2 T 1 1 ⇒ a= √ ; b= √ T T a·b·T = 1 ⇒

b=

(8.6.22)

80


gS (ϑ) 6

g(t)

-

6 2 (a + b2 ) · Tτ B B B B −2T −T 2T B T ⇒ B t @ B @ B B @ I @ @ abT − τ

ϑ

gE (−ϑ) 6 ϑ gE (−ϑ + t) 6 t

ϑ

Abbildung 8.6.8: Graphische Faltung von gS (t) und gE (t)

8.6.5

Leistungsdichtespektrum rung

einer

AMI-Codie-

2 a) F¨ ur die Leistung der Daten gilt σD = E |D(i)|2 = 1. Der Sendeimpuls ist ein Rechteckimpuls nach Abbildung 8.6.9, wobei 2·t 1 . (8.6.23) gS (t) = · rect T T . gS (t) 1/T

−T /4

T /4

Abbildung 8.6.9: Rechteckf¨ ormiger Sendeimpuls

Zur Berechnung des LDS muss die Fourier-Transformierte des Sen-

81

8.6 L¨ osungen

designals berechnet werden. Dazu wird die Korrespondenz 1 2·t ◦−−−• · si(ωT /4) (8.6.24) rect T 2 ben¨ otigt. Damit folgt das LDS T · si2 (ωT /4) . (8.6.25) 4 In Abbildung 8.6.10 ist das resultierende LDS des Sendesignals nach Gleichung (8.6.25) skizziert. 2 Sxx (f ) = σD ·

Sxx (f ) T 2 /4

−1/T

−6/T

1/T

2/T

f

6/T

Abbildung 8.6.10: Leistungsdichtespektrum des Sendesignals

b) Der AMI-Code hat nach Gleichung (8.2.24) in [Kam08] die Koeffizienten αν = {1, −1}. Es ergibt sich u ¨ ber die z-Transformation HAMI (z) = HAMI (ejΩ ) = =

1 − z −1 1 − e−jΩ

z = ejΩ = e−jΩ/2 · ejΩ/2 − e−jΩ/2 mit

2 · j · e−jΩ/2 · sin(Ω/2) ,

(8.6.26)

mit Ω = 2πf T . F¨ ur das LDS des AMI Codes folgt daraus Sxx,AMI (f ) =

Sxx (f ) · |HAMI (f )|2

(8.6.27a)

2

= =

T · si2 (ωT /4) · 4 sin2 (ωT /2) 4 T 2 · si2 (ωT /4) · sin2 (ωT /2) .

(8.6.27b) (8.6.27c)

Abbildung 8.6.11 zeigt das Leistungsdichtespektrum des AMI Codes. Es l¨ asst sich erkennen, dass der AMI-Code eine Unterdr¨ uckung des Gleichanteils bewirkt.

82


Sxx,AMI (f ) 0.82 T 2

−6/T

−1/T

1/T

2/T

6/T

f

Abbildung 8.6.11: Resultierendes Leistungsdichtespektrum des AMI CodeSignals

Kapitel 9

Digitale Modulation 9.1

Komplexe Einhu ¨llende von Modulationsformen

Die Signalr¨ aume sowie die entsprechenden komplexen Einh¨ ullenden s(t) verschiedener Modulationsarten sind in Abbildung 9.1.1 bzw. 9.1.2 dargestellt. (1)

(2)

Im 1

1

-1

Im 1

1

-1

Re

Re

-1

(3)

-1

(4)

Im

1

-1

Im 1

1

1

-1

Re

Re -1

-1

Abbildung 9.1.1: Signalr¨ aume der komplexen Einh¨ ullenden s(t)

84

9 Digitale Modulation

√ 1/ 2 √ −1/ 2

s(t)

√ 1/ 2 √ −1/ 2

s(t)

√ 1/ 2 √ −1/ 2

s(t)

(i)

t T

2T

3T

4T

5T

3T

4T

5T

3T

4T

5T

3T

4T

5T

(ii)

t T

2T

Re {s(t)} Im {s(t)}

(iii)

t T

2T

√ s(t) 1/ 2 √ −1/ 2

(iv)

t T

2T

Abbildung 9.1.2: Real- und Imagin¨ arteil der Komplexen Einh¨ ullenden s(t)

a) Ordnen Sie jedem der in Abbildung 9.1.1 dargestellten Signalräume die entsprechende komplexe Einh¨ ullende aus Abbildung 9.1.2 zu. b) Benennen Sie die vier dargestellten Modulationsarten. c) Bestimmen Sie die jeweiligen Bitraten f¨ ur eine Symboldauer von T = 2μs. d) Bestimmen Sie f¨ ur die in Abbildung 9.1.2 (iv) dargestellte komplexe Einh¨ ullende die gesendete Bitfolge unter der Annahme, dass die Daten sendeseitig vorcodiert wurden.

9.2

Differentielle PSK-Modulation

Gegeben ist ein DPSK-Modulator. Die Zuordnungen zwischen den möglichen Dibit und den Phasendifferenzen sind in Tabelle 9.2.1 wiedergegeben. a) Handelt es sich hier um eine Gray-Codierung?

85

9.3 DQPSK-Modulation

Δϕμ

π/4

3π/4

−3π/4

−π/4

Dibit

00

01

11

10

Tabelle 9.2.1: Dibitzuordnungen

b) Am Eingang liegt folgende Bitfolge vor: 00 11 01 10 01 Geben Sie die Folge der absoluten Phasenwerte ϕ(i) des gesendeten Signals an. Der Anfangswert der Phase sei ϕ(−1) = 0. c) Zum Zeitpunkt i = 2 ergibt sich ein Entscheidungsfehler: ϕ(2) ˆ = ϕ(2) + π/2 .

(9.2.1)

Geben Sie die Bitfolge nach der differentiellen Decodierung an.

9.3

DQPSK-Modulation

Zur Mobilfunk¨ ubertragung wird ein differentielles QPSK-Verfahren verwendet, wobei den Dibit-Gruppen die Differenzphasen nach Tabelle 9.3.1 zugeordnet werden: Δϕμ

π/4

3π/4

−3π/4

−π/4

Dibit

00

01

11

10

Tabelle 9.3.1: Dibitzuordnungen

Zum Zeitpunkt i = 0 weise die absolute Phase des ModulatorAusgangssignals den Wert ϕ = 0 auf. a) Geben Sie die m¨ oglichen Phasenwerte f¨ ur gerade Indizes 2i und ungerade Indizes 2i + 1 an. b) Erl¨ autern Sie in Stichworten und anhand von Skizzen, weshalb dieses Verfahren geringere Variationen der Betragseinh¨ ullenden aufweist als das konventionelle QPSK-Verfahren. Weshalb ist eine konstante Einh¨ ullende f¨ ur Mobilfunksysteme wichtig?

86


c) Nennen Sie weitere Modulationsverfahren, die wegen ihrer geringen Einh¨ ullendenschwankungen zur Mobilfunk¨ ubertragung angewendet werden.

9.4

FSK-Modulation

An einem FSK-Modulator der Bitrate 1/T nach Abbildung 9.4.1 wird ein Ausschnitt der komplexen Einh¨ ullenden gemessen. Re {sFSK (t)}

d(i)

FSK-Modulator

sFSK (t)

Im {sFSK (t)}

Abbildung 9.4.1: FSK-Modulator

Dabei ergibt sich f¨ ur den Real- und den Imaginärteil des Sendesignals ein Verlauf nach Abbildung 9.4.2.

Re {sFSK (t)}

1 0.5 0 -0.5 -1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

8

9

10

11

12

13

14

15

t/T

Im {sFSK (t)}

1 0.5 0 -0.5 -1

0

1

2

3

4

5

6

7

t/T

Abbildung 9.4.2: Real- und Imagin¨ arteil der komplexen Einh¨ ullenden

87

9.5 Minimum Shift Keying

ur 0 ≤ t ≤ 15 T . a) Skizzieren Sie den Phasenverlauf von sFSK (t) f¨ b) Zeichnen Sie die Ortskurve der komplexen Einh¨ ullenden des Sendesignals sFSK (t) und markieren Sie alle Werte f¨ ur sFSK (iT ) , i∈N. c) Ermitteln Sie die zugeh¨ orige bin¨ are Datenfolge d(i)∈{−1, 1}. d) Geben Sie den zugeh¨ origen Modulationsindex η an.

9.5

Minimum Shift Keying

In Abbildung 9.5.1 sind der Realteil und der Imaginärteil der komplexen Einh¨ ullenden eines MSK-Sendesignals sMSK (t) dargestellt. Es wurden Daten d(i)∈{1, −1} gesendet.

Re{sMSK (t)}

1

0.5

0

−0.5

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

8

9

10

11

12

13

14

15

t/T

Im{sMSK (t)}

1

0.5

0

−0.5

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

t/T

Abbildung 9.5.1: Real- und Imagin¨ arteil der komplexen Einh¨ ullenden

a) Skizzieren Sie den Verlauf der Momentanphase ϕ(t).

88


b) Bestimmen Sie die gesendete Datenfolge. c) Geben Sie die Gewichte a(i) bez¨ uglich der Offset-QPSKInterpretation an, wobei a(0) = 1 gilt. d) Bestimmen Sie die Position der ersten Nullstelle im Spektrum des MSK-Signals.

9.6

L¨ osungen

9.6.1

Komplexe formen

Einhu ¨ llende

von

Modulations-

a) F¨ ur die Zuordnung der Signalr¨ aume zu den entsprechenden komplexen Einh¨ ullenden ergeben sich folgende Zusammenhänge: (1) → (ii) (2) → (i) (3) → (iv) (4) → (iii) b) Die hier dargestellten Modulationsformen sind (1) → (ii) Offset-Quaternary Shift Keying (Offset-QPSK) (2) → (i) Quaternary Shift Keying (QPSK) (3) → (iv) Minimum Shift Keying (MSK) (4) → (iii) 8-Phase Shift Keying (8-PSK) c) Bei einer Symbolrate von 1/T = 500 kbit/s ergeben sich folgende Bitraten (1) Offset-QPSK ⇒ 2 bit/Symboldauer ⇒ 1 Mbit/s (2) QPSK ⇒ 2 bit/Symboldauer ⇒ 1 Mbit/s (3) MSK1 ⇒ 1 bit/Symboldauer ⇒ 0.5 Mbit/s 1 MSK

kann als Offset-QPSK mit Kosinusimpulsformung und doppelter Symboldauer interpretiert werden (vgl. [Kam08, S.289]). Entsprechend erscheint bei konstanter Symboldauer die Bitrate von MSK halbiert gegen¨ uber Offset-QPSK.

89

9.6 L¨ osungen

(4) 8-PSK ⇒ 3 bit/Symboldauer ⇒ 1.5 Mbit/s d) Abbildung 9.1.2(iv) zeigt die komplexe Einh¨ ullende eines MSKSignals. Unter der Annahme einer differentiellen Vorcodierung und der Erf¨ ullung der ersten Nyquistbedingung des MSK-Impulses beschreiben die bei den Zeitpunkten iT abgetasteten Werte die MSK-Gewichte sMSK (iT ) = a(i). Diese Gewichte sind aufgrund der Offset-QPSK-Interpretation der MSK-Signale alternierend reell und imagin¨ ar. Als L¨ osung ergibt sich dann a(i) = {1, j, −1, j, −1, −j} .

(9.6.1)

Um zur gesendeten Bitfolge zu gelangen m¨ ussen die Gewichte aus Gleichung (9.6.1) derotiert werden. Dazu verwendet man die Decodiervorschrift aus Gleichung (10.1.6) in [Kam08, S. 313]. Damit lautet die Bitfolge ˆb(i − 1) = a(i) · j −i = {1, 1, −1, −1, −1} .

9.6.2

(9.6.2)

Differentielle PSK-Modulation

a) Es handelt sich um eine Gray-Codierung, da das in der Aufgabenstellung gegebene Mapping zu Symbolen dΔ = exp (jΔφμ ) f¨ uhrt, die sich von den n¨ achstgelegenen Symbolen nur um ein Bit unterscheiden. Der entsprechende Signalraum ist in Abbildung 9.6.1 gegeben. dΔ 01

00

dΔ 11

10

Abbildung 9.6.1: Signalraum der differentiellen PSK-Modulation

90


b) Die Berechnung der absoluten Phasenwerte lässt sich mit Hilfe von Gleichung (9.1.14a) in [Kam08, S. 280] durchf¨ uhren. Δϕμ (i) = ϕ(i) − ϕ(i − 1) ⇒ ϕ(i) = Δϕμ (i) + ϕ(i − 1)

(9.6.3)

W¨ ahrend der Zeitpunkte i = −1, . . . , 4 ergibt sich mit ϕ(−1) = 0 dann folgende Sequenz absoluter Phasenwerte −1

i d(i) = Δϕ(i) = ϕ(i) =

0

0

1

2

3

4

00

11

01

10

01

π 4

− 34 π

3 4π

− π4

3 4π

π 4

− π2

π 4

0

3 4π

(9.6.4)

.

c) Die Bitfolge aus Aufgabenteil b) enth¨ alt nun einen Entscheidungsfehler an der Stelle i = 2. Da bei DPSK-Signalen die Information in der Differenzphase zwischen aufeinanderfolgenden Symbolen steckt, muss daher mit Gleichung (9.6.3) Δϕ(i) ˆ bestimmt werden. i

0

1

ϕ(i) ˆ =

π 4

− π2

Δϕ(i) ˆ =

π 4

− π2 − π4 − 43 π

Dibit (falsch) 00

11

Dibit (wahr) 00

11

2

3

4

+ π2 3 4π

0

3 4π

π 4

3

+ π2 5 4π

4π

11 01

0 − 34 π

11 10

3

4π

−0

01 01

(9.6.5)

91

9.6 L¨ osungen

Anhand von (9.6.5) kann man erkennen, dass die Fehlentscheidung zum Zeitpunkt i = 2 zwei Bitfehler nach der differentiellen Decodierung zur Folge hat.

9.6.3

DQPSK-Modulation

a) Die zur L¨ osung ben¨ otigten m¨ oglichen Phasenwerte findet man u.a. in Abbildung 9.1.9 in [Kam08, S. 282]: 2i + 1

2i

⇒

ϕ(2i + 1) ∈

⇒

ϕ(2i) ∈

π 3π 3π π , ,− ,− 4 4 4 4

s

s

s

s

s

π π 0, , π, − 2 2

s

s s

b) Durch die Verwendung einer π/4-DQPSK werden Nulldurchgänge vermieden, da abwechselnd die unter Aufgabenteil a) abgebildeten Signalr¨ aume verwendet werden. Dies ist in Abbildung 9.6.2 verdeutlicht. PSK

DPSK 2i + 1 2i

2i + 1

2i

Abbildung 9.6.2: Vermeidung von Nulldurchg¨ angen bei π/4-DQPSK

Eine m¨ oglichst gute Konstanz der Betragseinh¨ ullenden f¨ uhrt aufgrund der gleichm¨ aßigen Aussteuerung zu geringen nichtlinearen

92


Verzerrungen in der Sendestufe. Die Anforderungen an die Leistungsverst¨ arker sinken. c) Weitere m¨ ogliche Modulationsverfahren, die eine konstante Betragseinh¨ ullende aufweisen sind u.a.: – Offset-QPSK – MSK / GMSK – allgemein CPM

9.6.4

FSK-Modulation

a) Nach Gleichung (9.2.13) in [Kam08, S. 287] ergibt sich die komplexe Einh¨ ullende eines FSK-Signals zum Zeitpunkt t = iT . . . (i + 1)T zu sFSK (t) = e(ϕ(iT )+ηd(i)(t/T −i)) . (9.6.6) Die Phasenwerte sind daher abh¨ angig vom Modulationsindex η und der Datenfolge d(i). Abbildung 9.6.3 zeigt den Verlauf der Phase f¨ ur i = 0, . . . , 15T . ϕFSK (t) π π/2 π/4 −π/4 −π/2

t/T

Abbildung 9.6.3: Verlauf des Phasenwinkels der komplexen Einh¨ ullenden

b) Die Ortskurve des Sendesignals ist in Abbildung 9.6.4 zu sehen. c) Die gesendete bin¨ are Datenfolge kann man aus Aufgabenteil a) ableiten. Das Vorzeichen des resultierenden Phasenhubes pro Symbolinterval bestimmt dabei das entsprechende binäre Symbol. Daher lautet die Folge f¨ ur i = 0, . . . , 15T d(i) = {−1, −1, 1, 1, 1, 1, −1, 1, −1, 1, 1, 1, −1, 1, 1} .

(9.6.7)

93

9.6 L¨ osungen

Im{sFSK (t)}

Re{sFSK (t)}

Abbildung 9.6.4: Ortskurve des Sendesignals

Je nach definiertem Mapping w¨ are auch eine Umkehrung der Vorzeichen in Gleichung (9.6.7) eine m¨ ogliche Lösung, wenn ein positiver Phasenhub einem Wert von −1 entsprechen w¨ urde. d) Der Modulationsindex l¨ asst sich aus Abbildung 9.6.4 ablesen und bestimmt sich zu η = 1/4 . Dies l¨ asst sich anhand des resultierenden Phasenhubes von π/4 pro Symbolinterval feststellen.

9.6.5

Minimum Shift Keying

a) Die Momentanphase l¨ asst sich u ¨ ber den Verlauf der komplexen Einh¨ ullenden auf dem Einheitskreis bestimmen, sowie der Kenntnis, dass als Sendefilter ein kosinusartiger Impuls nach Gleichung (9.2.18) in [Kam08, S. 289] verwendet wird. Der Verlauf der Phase auf dem Einheitskreis ist u.a. im Bild 9.2.2 [Kam08, S. 287] anhand eines FSK-Signals beispielhaft erl¨ autert. F¨ ur die Momentanphase ergibt sich dann hier der in Abbildung 9.6.5 gezeigte Verlauf. b) Die daraus zu den Abtastzeitpunkten gewonnene Datensequenz gewinnt man u ubergänge; sie lautet ¨ ber das Vorzeichen der Phasen¨ d(i) = {−1, 1, −1, −1, 1, 1, 1, −1, −1, −1, 1, 1, 1, −1, −1, } . (9.6.8) c) F¨ ur die Gewichte hinsichtlich der Offset-QPSK-Interpretation

94


ϕ{sMSK (t)}/π

0.5

0

−0.5

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

t/T

Abbildung 9.6.5: Verlauf der Momentanphase

gem¨ aß Gleichung (9.2.20) in [Kam08, S. 290] erhält man mit a(i) = j · a(i − 1) · d(i − 1)

(9.6.9)

die nachfolgende Sequenz der Gewichte f¨ ur i = 0, . . . , 14 a(i) = {1, −j, 1, −j, −1, −j, 1, +j, 1, −j, −1, −j, 1, j, 1} . (9.6.10) d) Das Spektrum eines MSK-Signals ergibt sich nach Gleichung (9.3.13b) in [Kam08, S. 298] zu 16T SSSM SK (Ω) = 2 π

cos(Ω) 2 1 − 2Ω π

2 .

(9.6.11)

Zur Berechnung der ersten Nullstelle des Spektrums sind zunächst die Nullstellen des Z¨ ahlers in der Klammer zu bestimmen und 0 = cos(Ω) zu setzen. Die Nullstellen liegen daher bei 2 5π Ω = π2 ; 3π . Da sich im entsprechenden Nenner 1− 2Ω 2 ; 2 ;... π an der Stelle π/2 ebenfalls eine Nullstelle ergibt, muss mit Hilfe der Regel von L‘Hospital lim

x→x0

f (x) f (x) = lim , g(x) x→x0 g(x)

(9.6.12)

2 mit f (x) = cos(x) und g(x) = 1 − 2x , die erste mögliche Lösung π u uft werden. Nach Anwendung von Gleichung (9.6.12) stellt ¨berpr¨

95

9.6 L¨ osungen

man fest, dass nach limπ

Ω→ 2

cos(Ω) 2 1 − 2Ω π

=

limπ

Ω→ 2

π 2 sin (Ω) = 0.79 8 Ω

(9.6.13)

π/2 keine Nullstelle von Gleichung (9.6.11) ist. Daher liegt die erste Nullstelle bei Ω = 3π 2 . Das entsprechende Spektrum des MSKSignals ist in Abbildung 9.6.6 dargestellt. 1

10

0

10

SSSM SK (Ω)

-1

10

-2

10

-3

10

-4

10

-5

10

0

π 2

π

3π 2

2π

5π 2

3π

Ω

Abbildung 9.6.6: Spektrum des MSK-Signals

Kapitel 10

Prinzipien der Demodulation 10.1

GMSK / Diskriminator-Demodulator

¨ Es findet eine GMSK-Ubertragung mit der Bitrate 1/T u ¨ber einen idealen, rauschfreien Kanal statt. Dabei ist die Bandbreite des Gaußtiefpasses am Sender mit f3dB · T = 0.25 festgelegt. Am Empfänger erfolgt eine inkoh¨ arente Demodulation durch einen idealen FM-Demodulator, der die zeitliche Ableitung der Momentanphase bewirkt (DiskriminatorDemodulator ohne Integrate-and-dump“). ” a) Berechnen Sie n¨ aherungsweise (Annahme: γGMSK (±2T ) ≈ 0) das am Demodulatorausgang infolge der Intersymbolinterferenz vorhandene Signal-zu-St¨ orverh¨ altnis (S/I). Entnehmen Sie die ben¨ otigten Werte der erf-Funktion in Abbildung 10.1.1. Hinweis: Es gilt erf(x) = −erf(−x). b) Wie groß ist die minimale, relative, vertikale Augenöffnung am Demodulatorausgang?

10.2

Koh¨ arente DQPSK-Demodulation

Eine Folge von acht gest¨ orten DQPSK-Symbolen (λ = 0) wird empfangen. Die empfangenen Symbole s˜DPSK (i) nach Matched-Filterung und Abtastung sind im Signalraumdiagramm in Abbildung 10.2.1 eingetragen, die zugeh¨ origen Polarkoordinaten der Symbole sind Tabelle 10.2.1 zu entnehmen.

98

10 Prinzipien der Demodulation 1

erf (x) →

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.5

1

1.5

2

2.5

x→

Abbildung 10.1.1: erf-Funktion

i

0

1

2

3

4

5

6

7

|˜ sDPSK (i)|

1.3

0.8

0.9

0.7

1.2

1.3

1.0

1.2

arg{˜ sDPSK (i)}/π

0.1

0.9

0.6

-0.7

-0.9

0.3

0.1

0.3

Tabelle 10.2.1: Polarkoordinaten dung 10.2.1

der

Empfangssymbole

aus

Abbil-

a) F¨ uhren Sie eine kohärente DPSK-Demodulation der Empfangssymbole durch. Tragen Sie in das Signalraumdiagramm die f¨ ur die koh¨ arente Detektion g¨ ultigen Entscheidungsgrenzen ein. b) F¨ uhren Sie die Schwellwertentscheidungen durch und geben Sie die so ermittelten entschiedenen Phasen ϕ(0), ˆ . . . , ϕ(7) ˆ an. c) F¨ uhren Sie die differentielle Demodulation der in Aufgabenteil b) gefundenen Phasen aus. Bestimmen Sie die Differenzphasen Δϕ(1) ˆ bis Δϕ(7). ˆ d) Geben Sie eine geeignete Gray-Codierung an. Wie lautet die damit ˆ decodierte Bitfolge d(i)?

99

10.3 Tr¨ agerregelung - Signalraumdarstellung des Phasenjitters

5 1

2

7

Im {˜ sDPSK }

0 1

6

0 4

3

−1 −1

0 Re {˜ sDPSK }

1

Abbildung 10.2.1: Empfangene Symbole nach der Matched-Filterung

10.3

Tr¨ agerregelung - Signalraumdarstellung des Phasenjitters

Ein QPSK-moduliertes Signal (λ = π/4) wird mit einer Symbolrate von 1.6 kBaud u ¨ber eine Funkstrecke u ¨bertragen. Nachdem im Empfänger das Signal in das Basisband heruntergemischt worden ist, verbleibt ein Frequenzversatz von Δf = 100 Hz. a) Entwerfen Sie eine Tr¨ agerphasenregelung 1. Ordnung. Der statische Phasenfehler soll nach entsprechender Regelung Δψ = π/8 betragen. Welchen Wert muss der Koeffizient a0 annehmen? b) Die Momentanphase des Kanals sei zus¨ atzlich von einem Phasenjitter der Frequenz f1 = 31.8 Hz und einem Phasenhub von Δφ1 = π u ¨berlagert. Wie groß ist der maximale Phasenfehler nach einem gem¨ aß Aufgabenteil a) entworfenen Regelkreis? c) Skizzieren Sie das aus a) und b) resultierende Signalraummuster in der komplexen Ebene.

100

10.4

10 Prinzipien der Demodulation

Tr¨ agerregelung 1. und 2. Ordnung

¨ Uber einen Fernsprechkanal werden Daten mittels 8-PSK u ¨bertragen. Die Symbolrate betr¨ agt 1/T = 2.4 kBaud. Es sollen die Einfl¨ usse einer Frequenzverwerfung von Δf = 75 Hz sowie eines Phasenjitters mit dem Phasenhub Δφj = π/3 und der Frequenz fj = 100 Hz untersucht werden. Additives Rauschen und lineare Kanalverzerrungen sollen vernachlässigt werden. Im koh¨ arenten Empf¨ anger wird zun¨ achst eine entscheidungsr¨ uckgekoppelte Tr¨ agerphasenregelung 1. Ordnung verwendet. a) Berechnen Sie den statischen Phasenfehler Δψ und die resultierende Jitter-Amplitude Δψˆj , wenn die Schleifenkonstante des Tr¨ agerphasen-Regelkreises a0 = 1.0 beträgt. b) Kommt es infolge der beiden Einfl¨ usse der Trägerregelung zu Symbolfehlentscheidungen? Begr¨ unden Sie Ihre Antwort. c) Welche Bedingung muss die Summe der Koeffizienten a1 und a2 einer Tr¨ agerregelung zweiter Ordnung erf¨ ullen, um Entscheidungsfehler auszuschließen? d) Legen Sie nun bei der Tr¨ agerregelung 2. Ordnung die Konstanoglichen Wertebereich f¨ ur a 2 te a1 = 1.0 fest. Geben Sie den m¨ an, wenn sowohl Entscheidungsfehler nach Aufgabenteil c) ausgeschlossen sein sollen, als auch die Stabilität des Regelkreises gew¨ ahrleistet werden soll.

10.5

Bitfehlerwahrscheinlichkeit eines Regelkreises 1. Ordnung

¨ Uber einen Fernsprechkanal werden Daten mittels Gray-codierter 16-PSK-Modulation u ¨bertragen. Die Bitrate beträgt 8 kbit/s. Es erfolgt eine koh¨ arente Demodulation, wobei eine Tr¨ agerregelung 1. Ordnung eingesetzt wird. Die Regelkreiskonstante wird auf a0 = 1 festgelegt. a) Bestimmen Sie den statischen Phasenfehler Δψ bei einer Frequenz¨ verwerfung auf dem Ubertragungskanal von Δf = 10 Hz.

10.5 Bitfehlerwahrscheinlichkeit eines Regelkreises 1. Ordnung

101

b) Auf dem Kanal liegt zus¨ atzlich ein sinusförmiger Phasenjitter mit der Frequenz f1 = 100 Hz und mit einem Phasenhub von Δφj = 0.223π vor. Bestimmen Sie die Amplitude des Phasenjitters nach der Phasenregelung. c) Geben Sie die Bitfehlerwahrscheinlichkeit infolge des statischen Phasenfehlers und des Phasenjitters an. Hinweis: Die Amplitudenverteilungsfunktion eines Sinus betr¨ agt 1 (10.5.1) P {x < sin(ω0 t)} = arccos(x) . π

102


10.6

L¨ osungen

10.6.1

GMSK / Diskriminator-Demodulator

a) Da es sich um einen Diskriminator-Demodulator nach Abbildung (10.2.8) in [Kam08, S. 330] ohne Integrate-and-dump“ han” delt, m¨ ussten zur Demodulation die Gleichungen (10.2.12a) bzw. (10.2.12b) in [Kam08, S. 337] verwendet werden ϕ(t) ˙ = πη

∞ 1 d( ) · γGMSK (t − T ) − Δω . T

(10.6.1)

=0

Es wird dabei der Sendeimpuls γGMSK (t) betrachtet und nicht etwa der Differenzimpuls Δq(t)! Zur ISI-Berechnung muss demnach der Wert des Impulses γGMSK (t) an den Stellen −T , 0 und +T berechnet werden. Der Impuls bei Verwendung von GMSK γGMSK (t) hat eine Form nach Gleichung (9.2.22) in [Kam08, S. 300]. Mit Hilfe dieses Impulses und der vorgegebenen f3dB -Bandbreite des Gaußtiefpasses lässt sich dann berechnen: t 1 t 1 1 erf α + − erf α − γGMSK (t) = 2 T 2 T 2 2 · π · f3 dB · T = 1.698 · π · 0.25 = 1.334 mit α = ln 2 α 1 α

erf − erf − γGMSK (0) = 2 2 2 α = erf 2 = erf(0.667) ≈ 0.65 (exakt: 0.6545) (10.6.2) γGMSK (1) = γGMSK (−1) 1 1 3 erf · α − erf ·α = 2 2 2 1 [erf (2) − erf (0.667)] = 2 1 = [0.99 − 0.65] 2 = 0.17 (exakt: 0.1704) (10.6.3)

103

10.6 L¨ osungen

Das Signal-zu-Interferenz-Verh¨ altnis ergibt sich dann zu (γGMSK (0))2 S (0.6545)2 = = = 7.37 = ˆ 8.68 dB (10.6.4) I 2 · (γGMSK (1))2 2 · (0.1704)2 b) Die minimale relative vertikale Augenöffnung beschreibt das Verh¨ altnis der durch die ISI hervorgerufenen Verringerung der Signalamplitude zur Amplitude des Originalimpulses zum Abtastzeitpunkt. In Abbildung 10.6.1 ist diese Verringerung graphisch erl¨ autert. γGMSK (0) 2 · γGMSK (1)

Abbildung 10.6.1: Verringerung der relativen vertikalen Augen¨ offnung durch ISI

Demnach berechnet sie sich zu v=

10.6.2

0.65 − 0.34 γGMSK (0) − 2 · γGMSK (1) = = 0.4792 = ˆ 47.92% . γGMSK (0) 0.65 (10.6.5)

Koh¨ arente DQPSK-Demodulation

a) Die f¨ ur Aufgabenteil b) ben¨ otigten Entscheidungsgrenzen des Demodulators sind in Abbildung 10.6.2 eingezeichnet. Zu beachten ist hierbei, dass die Initialphase der DQPSK-Symbole in der Aufgabenstellung λ = 0 lautet und die Schwellwerte dementsprechend bei ±π/4 den Einheitskreis teilen. b) Unter Ber¨ ucksichtigung von Aufgabenteil a) lassen sich folgende Phasen nach Tabelle 10.6.1 ermitteln.

104


ϕ(i) ˆ = π/2 1

5 7

2

Im {˜ sDPSK }

0 1 0

6

ϕ(i) ˆ =π 4

ϕ(i) ˆ =0

3

−1

ϕ(i) ˆ = 3π/2 −1

0 Re {˜ sDPSK }

1

Abbildung 10.6.2: Empfangssymbole und Entscheidungsgrenzen des Demodulators

i

0

1

2

3

4

5

6

7

ϕ(i) ˆ

0

π

π/2

3π/2

π

π/2

0

π/2

Tabelle 10.6.1: Ermittelte Phasenwerte

c) Eine differentielle Demodulation l¨ asst sich mit Hilfe von Gleichung (10.2.1) in [Kam08, S. 322] durchf¨ uhren. Δϕ(i) ˆ = ϕ(i) ˆ − ϕ(i ˆ − 1)

(10.6.6)

Damit ergeben sich dann die Differenzphasen nach der Demodulation in Tabelle 10.6.2. d) Um eine geeignete Gray-Codierung f¨ ur ld(M ) = 2 anzugeben, muss die Unterscheidung unmittelbar benachbarter Symbole (kleinste Euklidische Distanz) von nur einem Bit beachtet werden. Demnach ergeben sich hier einige richtige M¨ oglichkeiten, je nach Zuord-

105

10.6 L¨ osungen

i

1

2

3

4

5

6

7

Δϕ(i) ˆ

π

−π/2

π

−π/2

−π/2

−π/2

π/2

Tabelle 10.6.2: Differenzphasenwerte nach der Demodulation

nung des Realteil- und Imagin¨ arteilbits. Eine beispielhafte GrayCodierung ist in Abbildung 10.6.3 dargestellt.

t 01 t11

t 00 t 10

Abbildung 10.6.3: M¨ ogliche Gray-Codierung f¨ ur DQPSK-Symbole

Mit dieser Codierung lautet die decodierte Bitfolge nach entsprechender Zuordnung der Symbole ˆ = { 11 10 11 10 10 10 01 } . d(i)

10.6.3

(10.6.7)

Tr¨ agerregelung - Signalraumdarstellung des Phasenjitters

a) Die Berechnung des Phasenregelkreises basiert auf dem linearisierten Model aus Kapitel 10.3.3 in [Kam08]. Die vorhandenen frequenz- und zeitabh¨ angigen Phasenst¨ orungen setzen sich aus einem statischen Phasenfehler und einem Phasenjitter zusammen, so dass ˆ )= Δψ(iT Δψ + Δψj (iT ) (10.6.8) Stat. Phasenfehler

Phasenjitter

106


gilt. Nach Gleichung (10.3.21) in [Kam08, S. 339] ergibt sich f¨ ur den statischen Phasenfehler Δψ =

ΔωT , a0

(10.6.9)

der durch den gr¨ oßtm¨ oglichen Wert von a0 zu minimieren ist. F¨ ur diese Aufgabe kann mit Gleichung (10.6.9) der Koeffizient a0 bestimmt werden zu a0 =

2π · 100 1s ΔωT = = 1. π/8 · 1600 s1 Δψ

(10.6.10)

b) Der in diesem Aufgabenteil zu bestimmende Phasenjitter f¨ ur einen Regelkreis 1. Ordnung l¨ asst sich mit Gleichung (10.3.29b) in [Kam08, S. 341] Δψ(iT ) ≈

−Δφj ωj T · sin (ωj T · i) a0

(10.6.11)

bestimmen. Hier ist nach der maximalen Phasenstörung gefragt, weshalb von Gleichung (10.6.11) das Maximum zu bestimmen und dies in Gleichung (10.6.8) einzusetzen ist. F¨ ur den Maximalwert des Jitters gilt dann max {Δψj (iT )} ≈

π · 2π · 31.8 1s Δφ1 ω1 T = ≈ π/8 , a0 1600 s1

(10.6.12)

womit sich die maximale Phasenst¨ orung zu Δψˆ = Δψ + max {Δψj (iT )} ≈ π/4

(10.6.13)

bestimmen l¨ asst. c) Das komplexe Signalraumdiagramm des Empfangssignals nach der Tr¨ agerregelung ist in Abbildung 10.6.4 dargestellt. Der statische Phasenfehler bewirkt eine feste Signalraumrotation um den Faktor π/8. Der Phasenjitter dagegen resultiert in einer sinusförmigen Schwingung mit einer maximalen Amplitude von π/8 um den statischen Phasenfehler herum.

107

10.6 L¨ osungen 1.5

1

Im

0.5

0

-0.5

-1

-1.5 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Re Abbildung 10.6.4: Komplexer QPSK-Signalraum nach der Tr¨ agerregelung

10.6.4

Tr¨ agerregelung 1. und 2. Ordnung

a) Der statische Phasenfehler Δψ ergibt sich nach Gleichung (10.6.9) zu: Δf 1 75 · = 2π · = π ·0.0625 = 0.1963 = ˆ 11.25◦ 1/T a0 2400 s1 (10.6.14) Die resultierende maximale Jitter-Amplitude beträgt nach Gleichung (10.6.12):

Δψ = 2π ·

max Δψˆj (iT ) = =

π/3 · 100 s1 Δφj · fj 1 · = 2π · 1/T a0 2400 s1 π · 0.0873 = 0.2743 = ˆ 15.71◦ (10.6.15) 2π ·

b) Es kommt zu Symbolfehlentscheidungen, wenn die Summe beider Fehler nach Gleichung (10.6.8) die Entscheidungsgrenzen der ¨ Konstellation u ur eine M -stufige PSK-Ubertragung ¨berschreitet. F¨ muss die Phasenablage unter π/M liegen, hier also π/8. Die Sum-

108


me der Fehler ist Δψ + max Δψˆj (iT ) = π · (0.0625 + 0.0873) = 0.1498 π = ˆ 26.96◦ , (10.6.16) w¨ ahrend der maximal erlaubte Phasenwert bei ϕEntscheider =

π = 0.125 π = ˆ 22.5◦ 8

(10.6.17)

liegt. Der Entscheidungswinkel wird somit u ¨berschritten, und es werden Fehlentscheidungen auftreten. c) Bei einer Tr¨ agerregelung zweiter Ordnung kann der statische Phasenfehler vermieden werden und wird zu Null, so dass nur der Phasenjitter eine Rolle spielt. F¨ ur die maximale Amplitude des Jitters kann nach Gleichung (10.3.30b) in [Kam08, S. 341] Δφj · (2π · fj · T )2 π max Δψˆj (iT ) = < a1 + a2 8

(10.6.18)

angesetzt werden. F¨ ur die Koeffizienten a1 und a2 muss dann hier gelten π (2π · 100 s1 /2400 s1 )2 · = 0.1828 < a1 + a2 . 3 π/8

(10.6.19)

d) Mit a1 = 1 ergibt sich aus der obigen Relation (10.6.19), dass a2 > −0.8172 sein muss. Die Stabilit¨ at des Regelkreises ist nach Abbildung 10.3.8 in [Kam08, S. 340] gegeben f¨ ur −2 < a2 < 0. Damit ergibt sich insgesamt als Wertebereich f¨ ur a 2 −0.8172 < a2 < 0 .

(10.6.20)

Alternativ kann Gleichung (10.3.25) in [Kam08, S. 340] verwendet werden, wobei die untere Grenze a2 > −0.8172 wie oben bestimmt wird. Dann ergibt sich mit a1 = 1 a1

a1 2 ± 1− − 1 − a2 < 1 1− 2 2 −(a2 + 0.75) < 1 (10.6.21) 0.5 ±

109

10.6 L¨ osungen

uber hinSolange a2 < −0.75 bleibt, ist die Wurzel reell, dar¨ aus ergibt sich ein komplexer Wert. Wir untersuchen die Werte a2 > −0.75, da wir an der oberen Grenze interessiert sind. Daf¨ ur ergibt sich (0.5)2 + (a2 + 0.75) < 1 ⇒ a2 < 0 . (10.6.22)

10.6.5

Bitfehlerwahrscheinlichkeit eines Regelkreises 1. Ordnung

a) Zun¨ achst ist die Symbolrate zu bestimmen 1 1 1 = · = 2 kBaud . T ld (M ) Tbit

(10.6.23)

F¨ ur eine Tr¨ agerregelung 1. Ordnung ergibt sich nach Gleichung (10.6.9) dann folgender statischer Phasenfehler Δψ =

10 1s ΔωT Δf = 2π · = 2π · = 0.01π . α0 1/T 2 · 103 1s

(10.6.24)

b) Die resultierende maximale Jitteramplitude kann dann nach Gleichung (10.6.12) berechnet werden Δφ ω T 2π · 100 1s 1 1 = π · 0.223 · = 0.0223π 2 . max Δψˆj (iT ) = α0 2 · 103 1s (10.6.25) ¨ c) Bei einer 16-PSK Ubertragung tritt eine Fehlentscheidung bei ¨ Uberschreitung der Phasengrenze π/16 = 0.0625π auf. π Ps = P Δψ + Δψˆj (iT ) > 16

(10.6.26)

Mit dem statischen Phasenfehler aus Gleichung (10.6.24) und der sinusf¨ ormigen Jitteramplitude mit dem Maximalwert aus Gleichung (10.6.25) l¨ asst sich eine Skizze nach Abbildung 10.6.5 anfertigen, die Jitterschwingung wurde dort normiert.

110


ψj (t) π

Fehlentscheidung 0.0625

0.01

0.07

−0.01

t

0.07

−0.0625

Abbildung 10.6.5: Normierte sinusf¨ ormige Phasenjitterschwingung

Mit Gleichung (10.6.26) sowie den Ergebnissen aus (10.6.24) und (10.6.25) kann man dann f¨ ur die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit herleiten π Ps = P Δψˆj (iT ) > − Δψ (10.6.27a) 16 Δφ1 ω1 T sin (ωT · i) > 0.0525π (10.6.27b) = P α0 0.0525π = P sin (ωT · i) > = 0.75 . (10.6.27c) 0.07π Unter Zuhilfenahme von Gleichung (10.5.1) ergibt sich eine Symbolfehlerwahrscheinlichkeit von Ps = P {sin (ωT · i) > 0.75} =

arccos(0.75) = 0.23 . π

(10.6.28)

Daraus folgt dann eine Bitfehlerwahrscheinlichkeit von Pb =

0.23 Ps = = 5.8 · 10−2 . ld (M ) 4

(10.6.29)

Kapitel 11

¨ Ubertragung u ¨ber AGN-Kan¨ ale 11.1

Maximum-a-posteriori Empf¨ anger fu ¨r ein ASK-Signal

Ein ASK-Signal der Form s(t) =

i

d(i) = {0, 1}

und

d(i)gS (t − iT ) 1/T gS (t) = 0

mit 0≤t≤T sonst

(11.1.1) (11.1.2)

wird im ¨ aquivalenten Basisband u ¨ber einen AWGN-Kanal u ¨bertragen. Der Kanal bewirkt eine konstante Amplitudenbewertung mit a > 0 und eine Phasendrehung um ψ0 . Das eingespeiste gaußverteilte Rauschen hat 2 eine Leistung von σN . a) Entwickeln und skizzieren Sie f¨ ur den Fall gleicher A-prioriWahrscheinlichkeit P (d(i) = 0) = P (d(i) = 1) = 1/2

(11.1.3)

aus dem allgemeinen Maximum-a-posteriori (MAP)-Korrelationsempf¨ anger eine Empfangsstruktur. b) Nehmen Sie nun unterschiedliche A-priori-Wahrscheinlichkeiten P (d(i) = 0) = 0.2

und

P (d(i) = 1) = 0.8

(11.1.4)

an und modifizieren Sie die Empfangsstruktur in Hinblick auf den optimalen MAP-Empf¨ anger.

¨ 11 Ubertragung u ale ¨ber AGN-Kan¨

112

c) In welchem Falle ist die Kenntnis der Kanal-Rauschleistung erforderlich?

11.2

QPSK-Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei Matched Filterung

Mittels Gray-codierter QPSK-Daten der Form √ d(i) ∈ 0.5 · {(+1 + j); (+1 − j); (−1 − j); (−1 + j)} werden bin¨ are Daten u ¨ ber einen Richtfunkkanal u ¨ bertragen. Die Dauer eines Symbols betr¨ agt T = 50 ns. Die Impulsantwort des Sendefilter gS (t) ist der rechteckf¨ ormige Impuls in Abbildung 11.2.1. gS (t) 1 T

0

0

T

t

Abbildung 11.2.1: Sendefilter gS (t)

Im Bandpass-Bereich wird weißes, gaußverteiltes Rauschen der Leistungsdichte 0.03 · T u anger wird immer ideale Syn¨ berlagert. Im Empf¨ chronisation angenommen. a) Bestimmen Sie die Daten¨ ubertragungsrate des Systems sowie das Eb /N0 -Verh¨ altnis. Geben Sie außerdem ein kausales Empfangsfilter gE (t) graphisch an, das im Sinne einer Rauschanpassung ideal ist. b) Bestimmen Sie die zu erwartende Bitfehlerrate unter Einsatz des unter a) gefundenen Empfangsfilters. Hinweis: Evtl. ben¨ otigte Werte der erfc-Funktion entnehmen Sie der Abbildung 11.2.3. c) Als Empf¨ anger sollen nun Modelle anderer Hersteller (A und B) verwendet werden. Diese unterscheiden sich nur durch ihre Empfangsfilter (vgl. Abbildung 11.2.2).

11.2 QPSK-Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei Matched Filterung (A)

(B)

gE (t)

gE (t) 1 T

1 T

0

113

0

0 T /2

t

T

(A)

0

T /2

T

t

(B)

Abbildung 11.2.2: Empfangsfilter gE (t) und gE (t) unterschiedlicher Hersteller

Berechnen Sie f¨ ur beide Filtermodelle erneut die Bitfehlerrate. Hinweis: Evtl. ben¨ otigte Werte der erfc-Funktion entnehmen Sie erneut der Abbildung 11.2.3. d) Skizzieren Sie sowohl f¨ ur das unter a) angegebene als auch f¨ ur die unter c) angegebenen Empfangsfilter die Augendiagramme. 10-1

erfc (x) →

10-2

10 -3

10 -4

10 -5 1.6

1.8

2

2.2

x→

2.4

2.6

2.8

3

Abbildung 11.2.3: Komplement¨ are Fehlerfunktion erfc (x)


114

11.3

QPSK-Fehlerwahrscheinlichkeit

¨ Bei einer QPSK-Ubertragung u ¨ber einen AWGN-Kanal ergibt eine ideale koh¨ arente Demodulation eine Symbolfehlerwahrscheinlichkeit von Ps = 10−1 . a) Berechnen Sie hieraus die Bitfehlerwahrscheinlichkeit unter der Annahme einer Gray-Codierung. Hinweis: Legen Sie bei Ihrer Rechnung die exakte Formel f¨ ur die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit zugrunde, bei der Fehlentscheidungen auch auf diagonal gegen¨ uberliegende Signalraumpunkte f¨ uhren k¨ onnen. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit von Doppelbitfehlern?

¨ Ho ¨herstufige PSK-Ubertragung

11.4

Quelldaten mit einer Bitrate von 1/Tb werden mittels 8-PSK u ¨ ber einen AWGN-Kanal u ¨bertragen. Es erfolgt eine rechteckförmige Impulsformung mit der Amplitude 1/T . Die spektrale Leistungsdichte des Rauschens betr¨ agt N0 /2 = Tb /20. a) Ermitteln Sie die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit sowie die Bitfehlerwahrscheinlichkeit unter der Annahme, daß pro Symbol jeweils nur ein Bit gest¨ ort ist. Hinweis: Entnehmen Sie die ben¨ otigten Werte der erfc-Funktion Tabelle 11.4.1:

x

2.0

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.6

103 · erfc(x)

4.7

3.0

1.9

1.1

0.7

0.4

0.2

0.1

0.075

Tabelle 11.4.1: Wertetabelle der erfc-Funktion

11.5 Bitfehlerwahrscheinlichkeit f¨ ur MSK und DBPSK

115

b) Welche spektrale Leistungsdichte muss das Kanalrauschen aufwei¨ sen, wenn die Ubertragung mittels 16-PSK erfolgt und die gleiche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden soll? Geben Sie den Eb /N0 -Verlust zwischen 16-PSK und 8-PSK in dB an.

11.5

Bitfehlerwahrscheinlichkeit fu ¨ r MSK und DBPSK

¨ Bei einer MSK-Ubertragung u ¨ber einen AWGN-Kanal wird am Empf¨ anger bei idealer koh¨ arenter Demodulation eine Bitfehlerrate von Pb = 2 · 10−4 gemessen. a) Wie hoch ist unter den gleichen Kanalbedingungen die Bitfehler¨ wahrscheinlichkeit bei DBPSK-Ubertragung mit inkohärenter Demodulation? b) Um welchen Wert in dB m¨ usste das Signal-zu-Störverhältnis erhöht werden, um bei inkoh¨ arenter DBPSK ebenfalls die Bitfehlerwahrscheinlichkeit Pb = 2 · 10−4 zu erhalten? Hinweis: Ben¨ otigte Werte der erfc-Funktion sind der Abbildung 11.2.3 auf S. 113 zu entnehmen.


116

11.6

L¨ osungen

11.6.1

Maximum-a-posteriori Empf¨ anger fu ¨ r ein ASK-Signal

a) Eine ausf¨ uhrliche Herleitung des MAP-Empfängers ist u.a. in Kapitel 11.1 in [Kam08] zu finden. Die hier benötigte Detektionsvorschrift f¨ ur einen MAP-Decoder lautet allgemein ⎫ ⎫ ⎧ ⎧ (i+1)T ⎪ ⎪ ⎪ ⎨1 ⎬ E ⎬ ⎨ ⎪ σ2 m m ˆ = argmax Re e−jψ0 + N2 ln (P (m)) . y(t) dt − ⎪ ⎪ ⎪ 2 2a m ⎩a ⎭ ⎭ ⎩ ⎪ iT

(11.6.1) Der Skalar m indiziert die Hypothesen f¨ ur das gesendete Symbol d(i), d.h. m = 0 bzw. m = 1 repr¨ asentiert d(i) = 0 bzw. d(i) = 1. Unter Ber¨ ucksichtigung gleicher A-priori-Wahrscheinlichkeiten ergibt sich somit eine Struktur nach Abbildung 11.6.1: 1 −jψ0 ae

1

y(t)

Re

T 0

iT . . . dt

1/2 max

0

m ˆ

Abbildung 11.6.1: MAP-Korrelationsempf¨ anger

Man beschr¨ ankt sich bei gleicher Auftrittswahrscheinlichkeit auf die Auswertung des Maximum-Likelihood-Kriteriums nach Gleichung (11.2.4) in [Kam08, S. 361] ⎫ ⎧ ⎧ ⎫ (i+1)T ⎪ ⎪ ⎨1 ⎬ E ⎪ ⎨ ⎪ ⎬ m m ˆ = argmax Re e−j ψ0 . (11.6.2) y(t) dt − ⎪ ⎪ 2 ⎪ m ⎩a ⎭ ⎩ ⎪ ⎭ iT

Der Term Em /2 kann hier aufgrund der unterschiedlichen Energien Em der Sendedaten nicht entfallen. Zieht man aber die Men-

11.6 L¨ osungen

117

ge m¨ oglicher Datenwerte dm (i)∈{0, 1} in Betracht, lässt sich die Struktur wie in Abbildung 11.6.2 weiter vereinfachen. 1 −jψ0 ae

y(t)

T

Re

0

. . . dt

1/2

1

-

+

iT

1/2 m ˆ

Abbildung 11.6.2: Vereinfachter ML-Empf¨ anger

b) Mit ungleichen A-priori-Wahrscheinlichkeiten P (m) ist der letzte auftretende Term in Gleichung (11.6.1) nicht f¨ ur alle Datensymbole identisch, so dass er in der Struktur ber¨ ucksichtigt werden muss. Es ergibt sich dann eine Struktur nach Abbildung 11.6.3. 1 −jψ0 ae

1 σ2 − + N ln(0.2) 2 2a

1

y(t)

Re

T 0

1 −jψ0 ae

y(t)

Re

T 0

. . . dt

iT . . . dt

2 σN ln (0.8) 2a

1 σ2 − + N ln(0.2/0.8) 2 2a iT -

max

1 +

m ˆ

1/2 m ˆ

Abbildung 11.6.3: Resultierender MAP-Empf¨ anger bei unterschiedlichen Auftrittswahrscheinlichkeiten

2 c) Die Rauschleistung σN ist nur im letzten Term von Gleichung (11.6.1) enthalten. Dieser Term muss nur bei ungleichen A-priori-Wahrscheinlichkeiten ber¨ ucksichtigt werden.


118

11.6.2

QPSK-Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei Matched Filterung

¨ a) Die Ubertragungsrate entspricht der Anzahl gesendeter Bits pro Symboldauer R = ld(M ) ·

2 1 = = 40 Mbit/s . T 50 ns

(11.6.3)

F¨ ur das Eb /N0 -Verh¨ altnis muss die Energie pro Bit sowie die Rauschleistung im ¨ aquivalenten Tiefpassbereich bestimmt werden. Die Symbolenergie der QPSK-Daten d(i) folgt unter der Annahme der Matched-Filterung u ¨ber ∞ Es

=

¯2 · T 2 · |d|

(gE (τ )gS (T − τ ) dτ )

2

(11.6.4a)

−∞

T =

¯2 · T 2 · |d|

=

T 2

1 2 2 ¯ ¯ 2 T 2 · 1 = T (11.6.4c) |d| · T ·

dt = |d| T T

|gS (t)|2 dt

(11.6.4b)

0

0

Dies entspricht Gleichung (9.1.17) in [Kam08, S. 281]. Daraus lässt sich die Energie pro Bit berechnen zu Eb =

T Es = ld(M ) 2

(11.6.5)

Die Rauschleistung im Bandpassbereich muss in die Rauschleistung im ¨ aquivalenten Tiefpassbereich umgerechnet werden. Eine graphische Erl¨ auterung der Rauschleistungsdichte kann im Bild 11.4.1 in [Kam08, S. 372] gefunden werden. Die Leistung des Rauschen muss im Basisband doppelt so groß sein, da komplexwertiges Rauschen anzusetzen ist. N0 = 0.06 · T (11.6.6) Mit den Gleichungen (11.6.5) und (11.6.6) ergibt sich f¨ ur das Eb /N0 -Verh¨ altnis Eb T /2 = 8.33 ≈ 9.2 dB . = N0 0.06 · T

(11.6.7)

11.6 L¨ osungen

119 (MF )

Die Impulsantwort des Matched-Filters gE (t) erhält man graphisch durch Spiegelung an der Y-Achse, sowie anschließender Verschiebung um T zur kausalen Darstellung. Die Impulsantwort ist in Abbildung 11.6.4 skizziert. (MF )

gE

(t)

1 T

T

0

t

Abbildung 11.6.4: Impulsantwort des Matched-Filters

b) Das eingesetzte Matched Filter maximiert das Signal-zu-RauschVerh¨ altnis (S/N ). Nach Gleichung (8.3.40) in [Kam08, S. 264] ergibt sich bei maximalem S/N eine Bitfehlerrate von Es 1 Pb,MF = · erfc (11.6.8a) 2 2 · N0 Eb 1 · erfc (11.6.8b) = 2 N0 =

1 · erfc(2.886) = 2.2 · 10−5 . 2

(11.6.8c)

Der ben¨ otigte Wert der erfc-Funktion kann dabei aus Abbildung 11.2.3 abgelesen werden. c) F¨ ur ein nicht angepasstes Empfangsfilter gilt nach Gleichung (8.3.9) in [Kam08, S. 254] ein Mismatching der Form 2 ∞ gE (τ ) · gS (T − τ ) dτ −∞

γ 2 = ∞

−∞

|gE (t)|2 dt ·

∞ −∞

(11.6.9) |gS (t)|2 dt

was einer Degradation des S/N entspricht. Bei der vorher behandelten Matched-Filterung wird Gleichung (11.6.9) zu Eins, was der


120

erw¨ ahnten Maximierung des S/N entspricht. F¨ ur das Filter des Herstellers A l¨ asst sich das Mismatching berechnen zu 2 γA

=

T /2 0

2 1 T2

1 2T

dτ

·

=

1 T

1 4T 2 1 2T 2

=

1 ≈ −3 dB . 2

(11.6.10)

Das berechnete Mismatching ist in Gleichung (11.6.8a) zu ber¨ ucksichtigen. Dann folgt f¨ ur die Bitfehlerrate unter Benutzung (A) des Empfangsfilters gE (t) Pb,A

1 = · erfc 2

Eb 2 γ N0 A

=

1 · erfc(2.04) = 1.9 · 10−3 . (11.6.11) 2

F¨ ur den Hersteller B ergibt sich entsprechend der vorherigen Berechnungen folgendes Mismatching

T /2 0

2 = γB 1 T

=

1 64 1 24

·

2 1 T2 τ

T /2 0

dτ =

1 2 T2 τ

dτ

1 T

1 1 2 T /2 T 2 [ 2 τ ]0

·

2

1 1 3 T /2 T 2 [ 3 τ ]0

= 0.375 ≈ − 4.26 dB .

(11.6.12a)

(11.6.12b) (B)

Die Bitfehlerrate mit dem entsprechenden Empfangsfilter gE (t) ist damit Eb 2 1 1 Pb,B = · erfc γB = · erfc(1.76) = 6.4 · 10−3 . (11.6.13) 2 N0 2 d) Die resultierenden Augendiagramme sind abhängig von der Gesamtimpulsantwort aus Sende- und Empfangsfilter. Sie berechnet sich aus der Faltung beider Impulse gS (t) ∗ gE (t). Die Gesamtimpulse nach der Faltung, sowie die sich damit ergebenden Augendiagramme f¨ ur alle drei Empfangsfilter sind in Abbildung 11.6.5 dargestellt.

11.6 L¨ osungen

121 (M F )

gS (t) ∗ gE

0

t

2T

T

(A)

(B)

gS (t) ∗ gE (t)

(t)

0

t

2T

T 3T /4

gS (t) ∗ gE (t)

0

Hersteller A

Matched Filter

Hersteller B

+1

+1

+1

−1

−1

−1

−T /2

0

+T /2 −T /2

0

t

2T

T 3T /4

+T /2 −T /2

0

+T /2

Abbildung 11.6.5: Gesamtimpulsantworten und Augendiagramme der verschiedenen Empfangsfilter

11.6.3

QPSK-Fehlerwahrscheinlichkeit

¨ a) Eine QPSK-Ubertragung u ¨ ber den AWGN-Kanal kann äquivalent ¨ als die Ubertragung zweier BPSK-Signale (die I-und QKomponenten) u ¨ ber zwei AWGN-Kanäle interpretiert werden. F¨ uhrt man die beiden Fehlerereignisse A und B ein, die einen Bitfehler in der I- bzw. Q-Komponente beschreiben, dann gilt zun¨ achst, dass die Auftrittswkt. beider Ereignisse der gesuchten Bitfehlerwkt. entspricht P (A) = P (B) = Pb .

(11.6.14)

Damit ist die Fehlerwkt. f¨ ur ein QPSK-Symbol beschrieben durch Ps

= P (A + B) = P (A) + P (B) − P (A · B) (11.6.15) (11.6.16) = 2Pb − Pb2

Eine Symbolfehlerrate von Ps = 10−1 w¨ urde, wenn pro QPSKSymbol stets nur ein einziges der beiden Bits verfälscht w¨ urde (was den g¨ unstigsten Fall darstellt), auf die halbe Bitfehlerrate f¨ uhren, also auf Pb = 0.5 · 10−1 . Da mit sehr geringer Wahrscheinlichkeit


122

jedoch auch Doppelbitfehler auftreten, muß die exakte Bitfehlerwahrscheinlichkeit etwas ¨ uber diesem Wert liegen. Aus (11.6.16) folgt Pb = 1 ± 1 − Ps ⇒ Pb = 0.513 · 10−1 . (11.6.17) Dabei muss in Gleichung (11.6.17) das Minus-Zeichen verwendet werden, da die Bitfehlerwahrscheinlichkeit kleiner Eins sein muss. Der so erhaltene Wert ist wie erwartet etwas größer als der Wert aus der Vor¨ uberlegung. b) Wegen der statistischen Unabh¨ angigkeit der Abtastwerte der Rauschst¨ orung in Real- und Imagin¨ arteil gilt (vgl. (11.4.31) in [Kam08, S.380]) P {Doppelbitfehler} = P (A · B) = Pb · Pb = 2.63 · 10−3 . (11.6.18)

11.6.4

¨ H¨ oherstufige PSK-Ubertragung

a) Die Symbol- und Bitfehlerwahrscheinlichkeit f¨ ur höherstufige PSKSignale unter der Annahme einer Gray-Codierung ist in den Gleichungen (11.4.35) und (11.4.36) in [Kam08, S. 383] zu finden. Dabei gilt π π Eb Es Ps ≈ erfc = erfc , ld(M ) sin sin N0 M N0 8 (11.6.19) sowie Ps Pb ≈ . (11.6.20) ld(M ) F¨ ur die Symbolenergie gilt bei rechteckförmiger Impulsformung ¯2 = 1 und mit |d| Es

2 = d¯ · T 2 ·

T gS2 (t) dt 0

3Tb = 1 dt = 3 Tb .

(11.6.21)

0

Das S/N -Verh¨ altnis l¨ asst sich damit bestimmen zu Es 3 Tb = 30 . = N0 Tb /10

(11.6.22)

11.6 L¨ osungen

123

Gleichung (11.6.22) in (11.6.19) eingesetzt ergibt Ps ≈ erfc

√

π

30 sin

8

Tabelle

= erfc(2.096) −→

3 · 10−3 , (11.6.23)

bzw. f¨ ur die Bitfehlerwahrscheinlichkeit Pb =

Ps = 10−3 . 3

(11.6.24)

b) F¨ ur die Bestimmung des Eb /N0 -Verlustes wird wieder Gleichung (11.6.19) verwendet: ⎛

⎞ π ⎠ =! 3 · 10−3 . sin 16

(16)

Es N0

Ps(16) = erfc ⎝

(11.6.25)

Mit der Gr¨ oße des Argumentes der erfc-Funktion aus Aufgabenteil a) ergibt sich

π Es · sin N0 16 (16)

= 2.096

(16)

Es 2.0962 π = N0 sin2 16

= 115.43

(11.6.26)

Der Eb /N0 -Verlust von 16-PSK gegen¨ uber 8-PSK berechnet sich hieraus wie folgt (16)

Eb N0

=

1 ld(16)

·

Es(16) N0

= 28.85 =14.6 ˆ dB

(11.6.27a)

=

1 ld(8)

·

Es(8) N0

= 10.0 =10.0 ˆ dB

(11.6.27b)

(8)

Eb N0

Eb N0

− Verlust = 4.6 dB

. (11.6.27c)

Zum Erreichen der gleichen Symbolfehlerwahrscheinlichkeit muss f¨ ur 16-PSK demnach mehr Sendeenergie pro Bit aufgewendet werden.


124

11.6.5

Bitfehlerwahrscheinlichkeit fu ¨ r MSK und DBPSK

a) Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit f¨ ur MSK ist identisch mit derjeni¨ gen bei Offset-QPSK-Ubertragung, wenn Real- und Imaginärteil antipodale Signalformen besitzen. Dies gilt allerdings nur f¨ ur den Fall mit Vorcodierung. Dies ist u.a. in [Kam08, S. 393] erläutert. Ohne Vorcodierung verdoppelt sich die Bitfehlerrate und es ergibt sich Eb ! Pb |MSK = erfc = 2 · 10−4 (11.6.28a) N0 Eb ⇒ ≈ 2.63 (11.6.28b) N0 Eb = 6.92 , (11.6.28c) ⇒ N0 wobei Gleichung (11.6.28b) aus Abbildung 11.2.3 gewonnen werden kann. F¨ ur die Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei einer DBPSK¨ Ubertragung mit inkoh¨ arenter Demodulation ergibt sich nach Gleichung (11.4.47) in [Kam08, S. 390]

1 −(Eb /N0 ) 1 ·e = · e−6.92 = 4.94 · 10−4 (11.6.29) Pb inkoh. DBPSK = 2 2 b) Um die Erh¨ ohung des Signal-zu-St¨ orverhältnisses zu berechnen, muss zun¨ achst der ben¨ otigte Eb /N0 -Wert bestimmt werden.

Pb inkoh. DBPSK ⇒ e(−Eb /N0 ) Eb ⇒ N0

=

1 −(Eb /N0 ) ! ·e = 2 · 10−4 (11.6.30a) 2 4 · 10−4 (11.6.30b)

=

− ln(4 · 10−4 ) = 7.824 (11.6.30c)

=

Das Signal-zu-St¨ orverh¨ altnis muss um 7.824 = 0.53 dB 10 · log10 6.92

(11.6.31)

erh¨ oht werden, um bei der DBPSK die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit zu erhalten.

Kapitel 12

Entzerrung 12.1

Symboltakt-Entzerrer

¨ F¨ ur die Impulsantwort eines digitalen Ubertragungssystems im Symboltakt gilt h(i) = δ(i) + α · δ(i − 1) ;

α∈R ,

|α| < 1 .

(12.1.1)

Am Empf¨ anger wird ein Symboltaktentzerrer mit der Impulsantwort e(i) = δ(i) − α · δ(i − 1) + α2 · δ(i − 2) − α3 · δ(i − 3)

(12.1.2)

eingesetzt. Dieser Entwurf entspricht einer sogenannten Zero-Forcing“” L¨ osung. Die Zielsetzung eines Zero-Forcing-Entzerrers f¨ ur ein von Intersymbolinterferenz und Rauschen gest¨ ortes System besteht darin, die Interferenz unter Vernachl¨ assigung des Rauschens vollständig zu unterdr¨ ucken. a) Berechnen Sie die Gesamtimpulsantwort aus Symboltaktmodell und Entzerrer. b) Stellen Sie das Pol-Nullstellen-Diagramm f¨ ur die Gesamtanordnung dar. c) Berechnen Sie f¨ ur das Entzerrer-Ausgangssignal das S/I-Verhältnis (Signal-zu-Interferenz-Leistungsverh¨ altnis) sowie den durch Intersymbolinterferenz entstehenden Maximalfehler bei zweistufiger ¨ Ubertragung. d) Erh¨ ohen Sie die Ordnung des Entzerrers auf n, indem Sie den oben angegebenen Entwurf im Sinne einer Zero-Forcing“-Lösung ” fortsetzen. Geben Sie das S/I-Verh¨ altnis am Entzerrer-Ausgang in Abh¨ angigkeit von α und der Entzerrerordnung n an.

12 Entzerrung

126

12.2

Linearer Entzerrer

Gegeben ist das in Abbildung 12.2.1 dargestellte Modell eines Datenu ¨ bertragungssystems. k

δ(t − kT )

Kanal

d(i)

kT

˜ d(i)

e(i)

ˆ d(i)

R C

Abbildung 12.2.1: Entzerrung eines Tiefpasskanals

Die Daten seien bipolar, d(i)∈{±1}. Der Kanal wird durch ein RC-Glied modelliert, wobei die Zeitkonstante, die die Entladekurve bzw. die Impulsantwort des RC-Gliedes bestimmt, τ = R · C = T beträgt, also identisch mit dem Symboltakt ist. a) Bestimmen Sie die Impulsantwort h(i) des zeitdiskreten Symboltaktmodells des Kanals (ohne Entzerrer). Normieren Sie die abgetastete Impulsantwort so, dass sie zur Zeit t = 0 den Wert 1 annimmt. b) Zeichnen Sie das Pol-Nullstellen-Diagramm des Symboltaktmodells. z Hinweis: an ◦−−−• f¨ ur |z| > a . z−a c) Berechnen Sie die relative vertikale Augenöffnung am Entzerrereingang Hinweis: Das Entzerrereingangssignal lässt sich durch eine geometrische Reihe beschreiben. d) Geben Sie die Koeffizienten eines linearen Entzerrers an, mit dem die Intersymbolinterferenz vollst¨ andig unterdr¨ uckt werden kann. Hinweis: Bedenken Sie, dass die z-Transformierte in Aufgabenteil b) ein rekursives System beschreibt.

12.3 Entzerrer mit Einfach- und Doppelabtastung

12.3

127

Entzerrer mit Einfach- und Doppelabtastung

¨ Gegeben ist die Anordung eines Ubertragungssystems in Abbildung 12.3.1. LTI-Kanal d(i)∈{±1}

hK (t)

gS (t)

iT /w r(i)

gE (t)

¨ Abbildung 12.3.1: Frequenzselektives Ubertragungssystem

¨ Der Ubertragungskanal weist die Impulsantwort hK (t) = δ0 (t) + δ0 (t − T /2)

(12.3.1)

auf. Die Gesamtimpulsantwort von Sendefilter gS (t) und Empfangsfilter gE (t) ist ein Dreieckimpuls gem¨ aß Abbildung 12.3.2. gS (t) ∗ gE (t) 1/T

T

2T

t

Abbildung 12.3.2: Gemeinsame Impulsantwort f¨ ur Sende- und Empfangsfilter

a) Bestimmen Sie die Impulsantwort des Gesamtsystems hi/2 = gS (t) ∗ hK (t) ∗ gE (t) |t=i T

2

(12.3.2)

nach einer Abtastung am Empfangsfilterausgang im doppelten Symboltakt (w = 2). b) Das Empfangsignal r(i) wird durch einen Entzerrer mit Doppelabtastung (T /2-Entzerrer) korrigiert. Die Impulsantwort des T /2Entzerrers lautet eT /2 = [ 0.75, −0.25 ]T .

12 Entzerrung

128

Geben Sie die Gesamtimpulsantwort am Ausgang des T /2Entzerrers im doppelten Bittakt an. c) Am Entzerrerausgang wird nun eine Abtastung im Symboltakt durchgef¨ uhrt. Legen Sie die Abtastphase so fest, dass aus der Gesamtimpulsantwort aus Aufgabenteil b) ein verzerrungsfreies System hervorgeht. Muss k gerade oder ungerade gewählt werden? d) Als Alternative wird ein Symboltakt-Entzerrer eingesetzt (T -Entzerrer). Hier erfolgt bereits am Ausgang des Empfangsfilters eine Abtastung im Symboltakt 1/T (w = 1). Geben Sie die ¨ Symboltakt-Impulsantwort des Ubertragungssystems hi = gS (t) ∗ hK (t) ∗ gE (t)|t=iT

(12.3.3)

an. Die Koeffizienten des T -Entzerrers lauten eT = [ −0.0008,

0.0026,

0.6658,

−0, 1998 ]T .

Berechnen Sie die Gesamtimpulsantwort am Ausgang des T Entzerrers.

12.4

Lineare und nichtlineare Entzerrung

¨ Eine bin¨ are Ubertragung erfolgt mit einer Symbolrate 1/T u ¨ber einen Zweiwegekanal mit der ¨ aquivalenten Tiefpassimpulsantwort hK (t) = δ0 (t) + δ0 (t − 3T /2) .

(12.4.1)

Am Sender und Empf¨ anger werden zur Impulsformung Wurzel-KosinusRolloff-Filter mit Rolloff-Faktor r = 1 eingesetzt. a) Bestimmen Sie die zeitdiskrete Impulsantwort h(i) Gesamt¨ ubertragungssystems bei Symboltaktabtastung Empf¨ anger.

des am

Hinweis: Fertigen Sie zur einfachen L¨ osung eine Skizze an. b) Kann es am Empf¨ anger zu Fehlentscheidungen aufgrund von Intersymbolinterferenz (ISI) kommen?

12.5 Entzerrung mit quantisierter R¨ uckf¨ uhrung

129

¨ c) Im Hinblick auf eine ISI-freie Ubertragung ist f¨ ur den Empfänger ein linearer, nichtrekursiver Symboltaktentzerrer der Ordnung n = 1 zu entwerfen. Der Entwurf soll im Sinne des Least-SquaresKriteriums erfolgen. W¨ ahlen Sie f¨ ur die Verzögerung am Entzerrerausgang i0 = 0. Berechnen Sie die Entzerrerkoeffizienten sowie die Energie des verbleibenden Fehlers (ΔiH Δi). d) Alternativ zur Symboltaktentzerrung kann ein Decision-FeedbackEntzerrer verwendet werden. Dimensionieren Sie diesen und zeichnen Sie das dazugeh¨ orige Blockschaltbild.

12.5

Entzerrung mit quantisierter Ru ¨ ckfu ¨ hrung

¨ Gegeben sei die Impulsantwort h(i) des Symboltaktmodells einer Ubertragungsstrecke h(i) = δ(i)−0.6δ(i−1)+0.3δ(i−2)−0.05δ(i−3)+0.01δ(i−4) . (12.5.1) a) Ein Entzerrer mit quantisierter R¨ uckf¨ uhrung soll so entworfen werden, dass er nur die durch den Kanalkoeffizienten h(1) = −0.6 eingebrachte Intersymbolinterferenz beseitigt. Zeichnen Sie das Blockschaltbild des Entzerrers und geben Sie den Wert des R¨ uckf¨ uhrkoeffizienten an. b) Die Sendedaten d(i)∈{±1} seien unkorreliert und gleichverteilt. Bestimmen Sie f¨ ur den unter a) festgelegten Entzerrer die mittlere St¨ orleistung der Intersymbolinterferenz vor dem Entscheider. Nehmen Sie vereinfachend an, dass im Gedächtnis“ des Entzerrers ” stets nur richtig entschiedene Daten stehen. c) Bis zum Zeitpunkt i − 2 seien alle Daten richtig entschieden worden. Das Datum d(i − 1) sei falsch entschieden worden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der das Datum d(i) dann ebenfalls falsch entschieden wird. Eine Rauschstörung soll bei dieser Betrachtung nicht ber¨ ucksichtigt werden.

12 Entzerrung

130

12.6

Datendetektion mittels Feedback-Entzerrung

Decision-

¨ Uber eine Funkstrecke werden BPSK-modulierte Symbole d(i)∈{±1} u ¨ bertragen. Nach Abtastung im Symboltakt liegt am Empfänger das zeitdiskrete Signal x(i) = { 0.8, −0.2, 0.6, −1.6, −3.2 } f¨ ur i = 0, · · · , 4

(12.6.1)

im ¨ aquivalenten Basisband vor. Gem¨ aß der Abbildung 12.6.1 kann das ¨ Ubertragungssystem durch einen zeitdiskreten Kanal mit der Impulsantwort h(i) = 2δ(i) + 1.1δ(i − 1) + 1.1δ(i − 2) und additives weißes Rauschen n(i) beschrieben werden. d(i)

h(i)

n(i) y(i)

¨ Abbildung 12.6.1: Frequenzselektives Ubertragungssystem

a) Skizzieren und entwerfen Sie einen entscheidungsr¨ uckgekoppelten Entzerrer (Decision Feedback Equalizer, DFE) f¨ ur das angegebene System. b) F¨ uhren Sie mit dem in Aufgabenteil a) entworfenen Entzerrer eine Datendetektion durch, wobei zum Zeitpunkt i = 0 alle Speicherelemente des DFE den Wert −1 enthalten. c) Wie groß ist die mittlere Rauschleistung σn2 unter der Annahme, dass die in Aufgabenteil b) detektierte Datenfolge dem gesendeten Signal entspricht?

12.7

Tomlinson-Harashima-Vorcodierung

In Abbildung 12.7.1 ist ein allgemeines Symboltaktmodell f¨ ur eine vor¨ codierte Ubertragung u ¨ ber einen frequenz-selektiven Kanal h(i) darge-

12.7 Tomlinson-Harashima-Vorcodierung

131

stellt. Mit der Vorcodierung m¨ ochte man die Entzerrung an den Sender verlagern, um dem Problem der Fehlerfortpflanzung zu entgehen. d(i)

s(i)

Vorcodierung

h(i)

y(i)

¨ Abbildung 12.7.1: Symboltaktmodell f¨ ur eine vorcodierte Ubertragung

Datensymbole d(i)∈{±1} aus einem bin¨ aren Signalalphabet (M = 2) werden durch den Vorcodierungsblock in die u ¨ bertragenen Symbolen s(i) transformiert. Dieses Signal durchwandert den Kanal mit der Impulsantwort h(i), so dass unter Vernachl¨ assigung von Rauschen das Empfangssignal L−1 y(i) = h()s(i − ) (12.7.1) =0

vorliegt. Man fordert nun, dass das Empfangssignal dem urspr¨ unglich gesendeten Datum (y(i) = d(i)) entspricht, woraus die lineare Vorcodierungsvorschrift sLV (i) =

L−1 1 d(i) − h()sLV (i − ) h0

(12.7.2a)

=1

folgt. Die Tomlinson-Harashima-Vorcodierung sieht zusätzlich eine Modulo-Operation f±M (x) = (x + M ) 2M − M vor L−1 1 d(i) − h()sTHV (i − ) . (12.7.2b) sTHV (i) = f±M h0 =1

Die Modulo-Operation erm¨ oglicht eine Reduktion der Sendeleistung ohne Auswirkungen auf die Detektionsleistung. Nehmen Sie f¨ ur die Kanalimpulsantwort h(i) = 1 + 0.9δ(i − 1) (12.7.3) an. Die Sendedaten seien d(i) = { 1, −1, 1, 1, 1, −1, −1 }. a) Berechnen Sie die Sendeleistung f¨ ur lineare und TH-Vorcodierung. b) Berechnen Sie die Empfangsleistung f¨ ur lineare und THVorcodierung. c) Vergleichen Sie Sende- und Empfangsleistungen f¨ ur beide Fälle.

12 Entzerrung

132

12.8

L¨ osungen

12.8.1

Symboltakt-Entzerrer

a) Die Gesamtimpulsantwort folgt aus der Faltung der Kanalimpulswort mit der Enzerrerimpulsantwort g(i) = h(i) ∗ e(i) zu g(i) = δ(i) − α4 δ(i − 4) .

(12.8.1)

Durch den Entzerrer entsteht eine Gesamtimpulsantwort, die durch einen Impuls zur Zeit k = 0 charakterisiert ist, sowie von einem um vier Symboltakte verz¨ ogerten Impuls, der gewichtet ist mit einen sehr geringen Wert α4 . ISI wurde also verringert. b) Die z-Transformierte der Gesamtimpulsantwort g(i) ist G(z) = 1 − α4 z −4 .

(12.8.2)

Um die Pol- und Nullstellen zu bestimmen, f¨ uhrt man eine Erweiterung der Polynome so durch, dass im Z¨ ahler- und Nennerpolynom nur positive Exponenten der Variablen z auftauchen G(z) =

z 4 − α4 . z4

(12.8.3)

F¨ ur das Z¨ ahlerpolynom folgt aus z 4 − α4 = 0, dass vier Nullstellen existieren z0,ν = |α| · ej· 2 ·ν π

,

ν = 0, · · · , 3 ;

(12.8.4)

anhand des Nennerpolynoms ist eine vierfache Polstelle im Ursprung ersichtlich. Das Pol-Nullstellen-Diagramm ist in Abbildung 12.8.1 dargestellt. c) Das Entzerrerausgangssignal sei r(i) = d(i) ∗ g(i) mit dem Datensignal d(i)∈{±1}, so dass r(i) = d(i) − α4 d(i − 4) .

(12.8.5)

Die Nutzleistung ist S = E{|D(i)|2 } = 1, und die Störleistung I = E{| − α4 D(i − 4)|2 } = α8 , so dass das S/I-Verhältnis gegeben ist durch S 1 = 8. (12.8.6) I α

12.8 L¨ osungen

133 Im{z0,ν }

1

(4)

Re{z0,ν }

α

Abbildung 12.8.1: Pol-Nullstellen-Diagramm des Gesamtsystems

Der Maximalfehler wird ebenfalls von (12.8.5) abgeleitet und lautet max{Δd(i)} = α4 .

(12.8.7)

d) Die Impulsantwort des allgemeinen Entzerrer der Ordnung n lautet1 n e(i) = (−1) α δ(i − ) , (12.8.8) =0

so dass f¨ ur das entzerrte Signal gilt g(i) = h(i) ∗ e(i) = δ(i) − (−1)n · αn · δ(i − n) .

(12.8.9)

Entsprechend gilt S I max{Δd(i)}

12.8.2

= =

1 , α2n n α .

(12.8.10a) (12.8.10b)

Linearer Entzerrer

a) Die zeitkontinuierliche Impulsantwort des RC-Glieds ist ha (t) = 1 Dies

1 −t/T ·e . T

(12.8.11)

folgt aus der Reihenentwicklung des Entzerrers E(z) = 1/H(z), wobei H(z) die z-Transformierte der Systemimpulsantwort ist.

12 Entzerrung

134 Daraus folgt die zeitdiskrete Impulsantwort zu h(i) =

ha (iT ) = e−i . ha (0)

(12.8.12)

b) Mit Hilfe der gegebenen Korrespondenz folgt die z-Transformation zu z H(z) = Z{h(i)} = . (12.8.13) z − 1/e Mit 1/e ≈ 0.3679 ergibt sich das Pol-Nullstellen-Diagramm in Abbildung 12.8.2. Im

1

Re

Abbildung 12.8.2: Pol-Nullstellen-Diagramm des Tiefpassfilters

c) Das Signal am Entzerrereingang lautet ˜ = d(i)

∞

h()d(i − ) .

(12.8.14)

=0

Von der Faltungssumme wird das gew¨ unschte Signal abgetrennt ˜ = h(0)d(i) + d(i)

∞

h()d(i − ) .

(12.8.15)

=1

Der maximale Fehler entsteht z.B. dann, wenn d(i) = 1 gesendet wurde, w¨ ahrend die st¨ orenden Daten d(i) = −1 f¨ ur i < k betragen. F¨ ur diesen Fall gilt ˜ = d(i) − d(i)

∞ =1

h(l) = d(i) −

∞ =1

e− .

(12.8.16)

12.8 L¨ osungen

135

Der maximale Fehler lautet demnach ∞

e− =

=1

1 1 1 −1= ≈ ≈ 0.582 . 1 − 1/e e−1 1.7

Die minimale Augen¨ offnung betr¨ agt somit α = 1 − 0.582 = 0.418. d) Ein linearer Entzerrer zur Unterdr¨ uckung der ISI folgt aus der Inversion der Kanal¨ ubertragungsfunktion E(z) =

1 , H(z)

(12.8.17)

so dass gilt E(z) =

z − 1/e 1 = 1 − · z −1 . z e

(12.8.18)

Die Impulsantwort folgt einer FIR-Struktur und ist gegeben durch 1 e(i) = δ(i) − δ(i − 1) . e

12.8.3

(12.8.19)

Entzerrer mit Einfach- und Doppelabtastung

a) Die zeitkontinuierliche Impulsantwort des Gesamtsystems lautet h(t) = gS (t) ∗ hK (t) ∗ gE (t) .

(12.8.20)

Die Abtastung im doppelten Symboltakt ergibt (vgl. Abbildung 12.8.3) hi/2 = { 0.5, 1.5, 1.5, 0.5 } . (12.8.21) b) T /2 - Entzerrung: Gesamtimpulsantwort durch Faltung von hi/2 mit eT /2 : Es ergibt sich mit hi/2 ∗ eT /2 (i) =

+

0.75

·

(0.5

1.5

1.5

0.5

)

−0.25

·

(

0.5

1.5

1.5

0.5)

0.375

1.125

1.125

0.375

0.125

0.375

0.375

0.125

1.0

0.75

0

−0.125

− =

0.375

12 Entzerrung

136 hi/2 = h(iT /2) 1.5/T 1/T 0.5/T T /2 T

t

2T

Abbildung 12.8.3: Konstruktion der abgetasteten Impulsantwort

c) Eine Abtastung mit geradem k ergibt die ideale Impulsantwort [ 1.0, 0 ]T , so dass also insgesamt ein verzerrungsfreies System realisiert wird. d) Die Gesamtimpulsantwort im Symboltakt lautet h(i) = [ 1.5, 0.5 ]T .

(12.8.22)

Es ergibt sich f¨ ur h(i) ∗ e(i) −0.0012

0.0039 0.9987 −0.2997 −0.0004 0.0013

[

−0.0012

0.0035 1.0000

0.3329 −0.0999 0.0332 −0.0999 ]T

Im Gegensatz zum T /2-Entzerrer gelingt die ideale Entzerrung nicht, d.h. auch nach der Entzerrung verbleibt ISI im System.

12.8.4

Lineare und nichtlineare Entzerrung

a) Die gemeinsame Impulsantwort zweier Wurzel-Kosinus-RolloffFilter resultiert in einem Kosinus-Rolloff-Filter, dessen Impulsantwort in Gleichung (2.1.20) in [Kam08, S. 56] angegeben ist als hc (t) = 2fN

sin ωN t cos ωN t . ωN t 1 − (4rfN t)2

(12.8.23)

F¨ ur die zeitdiskrete Gesamtimpulsantwort gilt daher

h(i) = T · gS (t) ∗ hK (t) ∗ gE (t) t=kT = T · hc (t) ∗ hK (t) t=iT . (12.8.24)

12.8 L¨ osungen

137

h(i)

1

0.5

0 −2

−1

0

1 t/T →

2

3

4

Abbildung 12.8.4: Zeitkontinuierliche und abgetastete Gesamtimpulsantwort

Die Impulsform eines Kosinus-Rolloff-Filters ist gekennzeichnet durch – a ¨quidistante Nullstellen bei ±ν · T – sowie ⎧ ⎪ f¨ ur ν = 0 ⎨1, T · hc (νT /2) = 0.5, f¨ ur ν = ±1 ⎪ ⎩ 0, sonst . Aus diesen Eigenschaften (vgl. Abbildung 12.8.4) folgt die abgetastete Impulsantwort h(i) = δ(i) + 0.5δ(i − 1) + 0.5δ(i − 2) .

(12.8.25)

b) Fehlentscheidungen sind m¨ oglich. Betrachten Sie dazu das Empfangssignal r(i) = h(i) ∗ d(i) + n(i) in der Form r(i) = d(i) + 0.5d(i − 1) + 0.5d(i − 2) + n(i) ,

(12.8.26)

wobei n(i) additives Rauschen sei. Wenn das aktuelle Symbol d(i) = 1 ist, w¨ ahrend die Vorgängersymbole d(i − 1) = d(i − 2) = −1 waren, dann f¨ uhrt diese Intersymbolinterferenz zu einer Ausl¨ oschung des aktuell gesendeten Symbols. F¨ ur diesen Fall kann Rauschen zu einer unkorrekten Datenentscheidung f¨ uhren.

12 Entzerrung

138

c) Um die Entzerrerkoeffizienten und die Restfehlerenergie zu bestimmen, werden zun¨ achst folgende Vektoren definiert (vgl. S. 414ff in [Kam08]). h

=

[ 1, 0.5, 0.5 ]T

i

=

[ 1, 0, 0, 0 ]

e

=

[ e 0 , e 1 ]T

T

, siehe Aufgabenteil a) , da i0 = 0, siehe Aufgabentext , da Ordnung n = 1 .

Die Entzerrerkoeffizienten folgen aus der Lösung des Gleichungssystems nach Gleichung (12.2.7) in [Kam08] im Sinne kleinster Fehlerquadrate (Least-Squares). ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ 1 0 Δi0 1 ⎥ ⎡ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 1/2 1 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ Δi1 ⎥ e0 ⎥·⎣ ⎢ ⎥ ⎥+⎢ ⎦=⎢ (12.8.27) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 1/2 1/2 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ Δi2 ⎥ e1 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 0 1/2 Δi3 0 Die L¨ osung und der gesuchte Entzerrer entsprechend Gleichung (12.2.13) in [Kam08] ist durch die Pseudoinverse von H gegeben. Die Pseudoinverse wird u ¨blicherweise mit H+ gekennzeichnet. Durch den Vektor i bzw. die Verz¨ ogerung i0 wird bestimmt, welche Spalte der Pseudoinversen zur Entzerrung verwendet wird. −1 H e = HH H H i = H+ i (12.8.28) ⎤ ⎡ 1 0 ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1/2 1 1 1/2 1/2 0 H ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ A=H H= ⎥ ⎢ 0 1 1/2 1/2 ⎢ 1/2 1/2 ⎥ ⎦ ⎣ 0 1/2 ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ 3/2 3/4 1 ⎦ ; b = HT d = ⎣ ⎦; =⎣ 3/4 3/2 0 ⎡ Ae = b

⇒

⎣

⎤

⎤ ⎡ 3/2 3/4 3/4 3/2

⎦·⎣

e0 e1

⎡

⎦=⎣

⎤ 1 0

⎦

12.8 L¨ osungen

139

Die L¨ osung dieses Gleichungssystems liefert den gesuchten Koeffizientenvektor f¨ ur den Entzerrer e = [ 8/9, −4/9 ]T .

(12.8.29)

Der verbleibende Restfehler nach Gleichung (12.2.14) in [Kam08] lautet ⎡ ⎤ 8/9 ⎦ = 1/9 . min{ΔiH Δi} = 1 − iH H e = 1 − [ 1 , 0 ] · ⎣ −4/9 (12.8.30) d) Ein Decision-Feedback-Entzerrer basiert auf der Umformung der Systemgleichung (12.8.26), die das Empfangssignal beschreibt, nach dem zu detektierenden Symbol d(i). Mit den Koeffizienten b0 = 1/h0

=

1,

b1 = h1 /h0

=

1/2 ,

b2 = h2 /h0

=

1/2 .

ergibt sich die gesuchte Entzerrer-Struktur in Abbildung 12.8.5. 1 ˆ d(i)

r(i) −

+

1/2

z −1

1/2

z −1

Abbildung 12.8.5: Alternativer Entzerrer: Decision-Feedback-Struktur

12 Entzerrung

140

12.8.5

Entzerrung mit quantisierter Ru ¨ ckfu ¨ hrung

a) Der R¨ uckf¨ uhrkoeffizient lautet b1 = dung 12.8.6).

h1 h0

= −0.6 (vgl. Abbil-

yq (i)

y(i)

d(i)

− −0.6

z −1

Abbildung 12.8.6: DFE-Blockschaltbild

b) Da keine Fehlentscheidungen ber¨ ucksichtigt werden sollen und somit der Decision-Feedback-Entzerrer die Wirkung des Koeffizienten h1 der Impulsantwort h(i) ideal r¨ uckg¨ angig macht, verbleibt im Signal yq (i) vor dem Entscheider lediglich ISI, die durch h2 , · · · h4 eingebracht wird. Dann folgt f¨ ur die mittlere Störleistung 2 2 σISI = σD

4

|hν |2 = 0.32 + 0.052 + 0.012 = 0.0926 . (12.8.31)

ν=2

c) Das Signal am Entscheidereingang lautet yq (i) =

4

ˆ − 1) . hν d(i − ν) − h1 d(i

(12.8.32)

ν=0

Die Fehlentscheidung zur Zeit i − 1 bedeutet, dass ˆ − 1) = −d(i − 1). Daher folgt f¨ d(i ur das Entscheidereingangssignal yq (i) = h0 d(i)+2h1 d(i−1)+

4

hν d(i−ν) = d(i)+u(i) (12.8.33)

ν=2

mit u(i) = −1.2d(i − 1) + 0.3d(i − 2) − 0.05d(i − 3) + 0.01d(i − 4) . Da eine Rauschst¨ orung nicht vorhanden sein soll, ist eine Fehlentscheidung nur m¨ oglich, wenn u(i) ein entgegengesetztes Vorzeichen

12.8 L¨ osungen

141

zu d(i) hat. Aufgrund der Zahlenwerte ist dies nur dann möglich, wenn d(i) und d(i − 1) identisch sind. Dies stellt nur eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung f¨ ur eine Fehlentscheidung dar. Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass das eben geforderte Ereignis d(i) = d(i − 1) bereits eingetreten sei. Dann gilt yq (i) = −0.2 d(i − 1) + 0.3 d(i − 2) − 0.05 d(i − 3) + 0.01 d(i − 4) = d(i)

=: v(i)

(12.8.34) Ein Entscheidungsfehler kann noch verhindert” werden, wenn ” d(i−2) = d(i−1) erf¨ ullt wird. Die beiden Koeffizienten h3 = −0.05 und h4 = 0.01 sind so klein, dass sie die Datenentscheidung nicht weiter beeinflussen k¨ onnen. Unter den festgelegten Anfangsbedingungen kommt es insgesamt zu einer Fehlentscheidung f¨ ur das Datum d(i), wenn d(i) = d(i − 1) und d(i − 1) = d(i − 2) gelten. Die Wahrscheinlichkeit f¨ ur einen Entscheidungsfehler beträgt somit bei statistisch unabh¨ angigen Sendedaten Ps = 0.5 · 0.5 = 0.25 .

12.8.6

(12.8.35)

Datendetektion mittels Decision-FeedbackEntzerrung

a) Die DFE-Koeffizienten des DFEs in Abbildung 12.8.7 betragen b0 = 1/h0 = 0.5 ,

(12.8.36a)

b1 = h1 /h0 = 0.55 ,

(12.8.36b)

b2 = h2 /h0 = 0.55 .

(12.8.36c)

b) Die Detektion wird schrittweise mittels Tabelle 12.8.1 nachvollzogen. c) Unter der Annahme einer fehlerfreien Detektion lässt sich die Rauschrealisierung berechnen, indem vom Empfangssignal y(i) der datenbehaftete Anteil d(i) ∗ h(i) abgezogen wird n(i) = y(i) − h0 d(i) − h1 d(i − 1) − h2 d(i − 2) .

(12.8.37)

12 Entzerrung

142 b0 yq (i)

y(i)

ˆ d(i)

-

+

b1

z −1

b2

z −1

Abbildung 12.8.7: DFE-Blockschaltbild

i

ˆ − 2) d(i

ˆ − 1) d(i

y(i)

yQ (i)

ˆ d(i)

0

−1

−1

+0.8

+1.5

+1

1

−1

+1

−0.2

−0.1

−1

2

+1

−1

+0.6

+0.3

+1

3

−1

+1

−1.6

−0.8

−1

4

+1

−1

−3.2

−1.6

−1

Tabelle 12.8.1: Ergebnis der Datendetektion mittels DFE

Die Rauschgr¨ oßen sind in Tabelle 12.8.2 berechnet. Damit folgt die Rauschleistung durch die Mittelung der Betragsquadrate

1 |n(i)|2 5 i=0 4

σn2 = E{|n(i)|2 } =

1 + 1.82 + 1.42 + 0.42 + 1.22 = 1.56 . = 5

(12.8.38)

12.8 L¨ osungen

143

i

d(i)

d(i − 1)

d(i − 2)

x(i)

n(i)

0

+1

−1

−1

+0.8

1

1

−1

+1

−1

−0.2

1.8

2

+1

−1

+1

+0.6

−1.4

3

−1

+1

−1

−1.6

−0.4

4

−1

−1

+1

−3.2

−1.2

Tabelle 12.8.2: Ermittelung der Rauschgr¨ oßen

12.8.7

Tomlinson-Harashima-Vorcodierung

a) Man berechnet zun¨ achst das vorcodierte Signal mittels sLV (i) = d(i) − 0.9sLV (i − 1)

(12.8.39a)

Die Sendeleistung f¨ ur lineare Vorcodierung lautet dann i

0

1

2

3

4

5

d(i)

1

−1

1

1

−1

1

sLV (i)

1

−1.9

2.71

−1.44

0.3

0.73

Tabelle 12.8.3: Berechnung des linear vorcodierten Signals

1 |sLV (i)|2 = 2.44 . 6 i=0 5

2 σtx,LV =

Die TH-Vorcodierung erfolgt nach sTHV (i) = f±1 d(i) − 0.9sTHV (i − 1)

(12.8.39b)

(12.8.40a)

F¨ ur die Sendeleistung f¨ ur TH-Vorcodierung folgt 1 |sTHV (i)|2 = 1.71 . 6 i=0 5

2 = σtx,THV

(12.8.40b)

12 Entzerrung

144

i

0

1

2

3

4

5

sTHV (i)

1

−1.9

−1.29

−1.84

0.66

0.41

Tabelle 12.8.4: Berechnung des TH-vorcodierten Signals

b) Wegen y(i) = d(i) entspricht die Empfangsleistung bei linearer Vorcodierung der Leistung der Datensymbole 2 σrx,LV = E{|y(i)|2 } = E{|d(i)|2 } = 1 .

(12.8.41)

Das vorcodierte Signal sTHV (i) passiert den Kanal h(i). Das Empfangssignal lautet yTHV (i) = sTHV (i) + 0.9sTHV (i − 1) .

(12.8.42)

Die Empfangsleistung bei TH-Vorcodierung lautet demnach i

0

1

2

3

4

5

yTHV (i)

1

−1

−3

−3

−1

1

Tabelle 12.8.5: Berechnung des Empfangssignals unter TH-Vorcodierung

1 = |yrx,THV (i)|2 = 3.667 . 6 i=0 5

2 σrx,THV

(12.8.43)

c) Die Sendeleistung bei linearer Vorcodierung ist größer als bei THVorcodierung. Umgekehrt ist die Empfangsleistung bei linearer Vorcodierung kleiner als bei TH-Vorcodierung. Im gegebenen Fall eines Kanals erster Ordnung wird die Sendeleistung bei linearer Vorcodierung umso gr¨ oßer, je dichter die Nullstelle des Kanals an den Einheitskreis r¨ uckt, so dass das inverse System eine entsprechend lange Kanalimpulsantwort großer Leistung aufweist. Die Modulo-Operation bei TH-Vorcodierung sorgt hier f¨ ur eine Amplituden- und damit Leistungsreduktion. Die Empfangsleistung bei perfekter Kanalkenntnis entspricht immer der Leistung der uncodierten Datensymbole d(i), die

12.8 L¨ osungen

145

u ¨blicherweise auf 1 normiert ist. Die Modulo-Operation der THVorcodierung dagegen kann formal durch eine Addition eines Korrekturterms z(i) ersetzt werden, so dass das Sendesignal dann lautet L−1 sTHV (i) = f±M d(i) − h()sTHV (i − )

(12.8.44a)

=1

= d(i) −

L−1

h()sTHV (i − ) + 2M z(i)

(12.8.44b)

=1

Die TH-Vorcodierung entspricht damit einer linearen Vorcodierung des Signals d(i)+2M z(i). Nachdem der Kanal passiert wurde, liegt das Empfangssignal yTHV (i) = h(i) ∗ sTHV (i) = d(i) + 2M z(i) vor. Somit ist die Empfangsleistung also erh¨ oht durch den Interferenzterm 2M z(i). Man erkauft sich die Reduktion der Sendeleistung mittels THV durch eine Erh¨ ohung der Empfangsleistung. In der Praxis bedeutet dies eine erh¨ ohte Signaldynamik und höhere Anforderungen an den A/D-Wandler.

Kapitel 13

Maximum-LikelihoodSch¨ atzung von Datenfolgen 13.1

Viterbi-Detektion eines BPSK-Signals

Eine Datensequenz d(i)∈{−1, 1} wird BPSK moduliert (Symboldauer T ) und u ¨ber einen Mehrwegekanal u ¨ bertragen. Bei Sende- und Empfangsfilter handelt es sich um Matched-Filter, die zusammen die 1. Nyquistbedingung erf¨ ullen. Die Impulsantwort des Kanals sei bekannt h(i) = δ(i) + δ(i − 1) + 0.5δ(i − 2) .

(13.1.1)

Die Daten werden blockweise u ¨bertragen, wobei ein Block aus 4 Datenbits und 2 Tailbits besteht. Die beiden Tailbits haben den Wert −1. Im Empf¨ anger sollen die gesendeten Daten mit Hilfe einer Sequenzschätzung (Maximum Likelihood Sequence Estimation, MLSE) detektiert werden. a) Skizzieren Sie das zugeh¨ orige Trellisdiagramm. b) Es liegt am Empfangsfilterausgang nach der Abtastung die Sequenz y(i) = { 1.5, −0.5, −1.5, 2.5, −2.5, 0.5 }

f¨ ur i = 0, · · · , 5

an. F¨ uhren Sie eine MLSE mit Hilfe des in a) erzeugten Trellisdiagramms durch und tragen Sie den zugehörigen Pfad dort ein. c) Geben Sie die damit detektierte Datensequenz f¨ ur i = 0, · · · , 3 an.

148

13 Maximum-Likelihood-Sch¨ atzung von Datenfolgen

13.2

Fehler-Vektoren Detektion

bei

der

Viterbi-

Ein Partial-Response-Signal, dem die Koeffizienten αν = {1, 2, 1} zu¨ grundeliegen, wird nach der Ubertragung u ¨ ber einen AWGN-Kanal am Empf¨ anger mit Hilfe eines Viterbi-Detektors decodiert. Am ViterbiAusgang werden zwei Typen von Fehlersequenzen festgestellt e(1)

=

[1, −1, 0]T ,

(13.2.1a)

(2)

=

[1, −1, 1]T .

(13.2.1b)

e

E(1)

a) Bestimmen Sie die (3x3)-Autokorrelationsmatrizen Ree E(2) Ree der beiden Fehlervektoren.

und

E (λ) f¨ ur Hinweis: Bestimmen Sie zun¨ achst die Werte der AKF ree die Verz¨ ogerungen λ = 0, 1, 2 und bilden Sie daraus die AKFMatrix.

b) Berechnen Sie die S/N -Verlustfaktoren γ 2 f¨ ur diese beiden Fehlerereignisse. Benutzen Sie dazu die folgende Gleichung (13.3.20) aus [Kam08, S. 504] γ 2 (e) = eH HH He = hH RE ee h .

(13.2.2)

F¨ ur die Impulsantwort h(i) sind dabei die auf Einheitsleistung normierten Partial-Response-Koeffizienten einzusetzen.

13.3

S/N -Verlust bei der Viterbi-Detektion

Ein linear moduliertes Signal wird durch einen frequenzselektiven Mehrwegekanal verzerrt. Um nach der Abtastung im Symboltakt die urspr¨ unglich gesendete Symbolfolge am Empfänger zu rekonstruieren, wird der Viterbi-Algorithmus angewendet. Das entsprechende Trellisdiagramm ist in Abbildung 13.3.1 dargestellt. a) Lesen Sie aus dem Trellisdiagramm ab, welche lineare Modulationsform am Sender verwendet wurde und wie viele Symboltakte das

149

13.4 Trellisdiagramm f¨ ur DBPSK

S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 ¨ Abbildung 13.3.1: Trellis mit acht Zust¨ anden und zwei Uberg¨ angen pro Zustand

Kanalged¨ achtnis beinhaltet. Ordnen Sie jedem Zustand S0 , · · · , S7 des Trellisdiagramms einen geeigneten Kanalgedächtnisinhalt entsprechend dem Modulationsalphabet zu. b) Bestimmen Sie die Symbolfolge d(i), die der durchgezogenen Linie in Abbildung 13.3.1 entspricht. c) Die gestrichelte Linie in Abbildung 13.3.1 entspricht einem Fehlerereignis. Bestimmen Sie den Fehlervektor e und bestimmen Sie f¨ ur dieses Fehlerereignis und einem Kanal, f¨ ur den sich das Produkt der Faltungsmatrizen zu ⎡ ⎤ 1 0 −0.7 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ HH H = ⎢ 0 (13.3.1) 1 0 ⎥ ⎣ ⎦ −0.7 0 1 ergibt, den entsprechenden S/N -Velustfaktor γ 2 (e) = eH HH He.

13.4

Trellisdiagramm fu ¨ r DBPSK

Ein DBPSK-Modulator wird durch die Phasenbeziehung ϕ(i) = ϕ(i − 1) + Δϕ(i)

mit Δϕ(i) ∈ { 0 , π }

(13.4.1)

150


festgelegt. Er ist demgem¨ aß als ein System mit zwei Zuständen zu beschreiben. Folglich besteht als Alternative zur differentiellen Demodulation die M¨ oglichkeit, den Viterbi-Algorithmus anzuwenden. a) Zeichnen Sie ein Zustands¨ ubergangsdiagramm f¨ ur den DBPSKModulator. b) Geben Sie ein Trellis-Diagramm f¨ ur den Zeitausschnitt i = 0, · · · , 5 an. c) Tragen Sie den zu den informationstragenden Differenzphasen Δϕ(i) = [0, 0, π, 0, π] i=1,...,5

geh¨ orenden Pfad in das Trellis-Diagramm von Aufgabenteil b) ein, wobei die Anfangsphase ϕ(0) = 0 gesetzt wird.

13.5

L¨ osungen

13.5.1

Viterbi-Detektion eines BPSK-Signals

a) Der Kanal hat die Ordnung und Ged¨ achtnislänge − 1 = 2. Das Modulationsalphabet kann zwei Werte annehmen, daher M = 2. Der Kanal kann damit M −1 = 4 Zust¨ ande annehmen. Der ν-te Zustand wird notiert in der Form Sν = { d(i − 1), d(i − 2) } ,

(13.5.1)

so dass die vier Zust¨ ande gegeben sind durch S0 = {−1, −1}, S1 = {−1, +1}, S2 = {+1, −1} und S3 = {+1, +1}. Ein einziges ¨ Trellissegment beschreibt die Uberg¨ ange zwischen den Zuständen durch die Hypothese d(i) (vgl. Abbildung 13.5.1). b) In Tabelle 13.5.1 sind die Teilpfadkosten aufgef¨ uhrt. Zunächst werden die m¨ oglichen Signalniveaus in der ersten Spalte bestimmt. Beispielsweise bezeichnet z0,−1 das Signalniveau f¨ ur den Zustand S0 und die Hypothese d(i) = −1. F¨ ur diesen Fall w¨ urde das unverrauschte Empfangssignal y(i) = z0,−1 = −2.5 betragen. Die

151

13.5 L¨ osungen

S0 = {−1, −1} +1 S1 = {−1, +1} S2 = {+1, −1}

−1 −1

+1 −1

+1 −1 S3 = {+1, +1}

+1 +1

Abbildung 13.5.1: Trellissegment f¨ ur einen Kanal 2. Ordnung und BPSK

Teilpfadkosten sind durch die Euklidische Distanz zum Empfangssignal bestimmt. Beispielsweise wird zur Zeit i = 0 der Wert y(0) = 1.5 empfangen, so dass die Distanz zur Hypothese z0,−1 eben |y(0) − z0,−1 |2 = 42 = 16 ergibt. Analog ergeben sich die verbleibenden Tabelleneintr¨ age. Der Viterbi-Algorithmus akkumuliert schrittweise die gerade bestimmten Teilpfadkosten in einem Trellisdiagramm. Ein solches Trellisdiagramm f¨ ur die komplette Sequenz ist in Abbildung 13.5.2 dargestellt. Die eintreffenden akkumulierten Pfadkosten an jedem Zustandsknoten werden verglichen und nur der Pfad mit geringeren Pfadkosten wird fortgesetzt; der alternative Pfad wird nicht weiterverfolgt, da es aufgrund positiver Metrikinkremente unmöglich ist, dass seine Pfadkosten im weiteren Verlauf geringer als der u onnen. ¨berlebende Pfad werden k¨

c) Der Pfad geringster Distanz zum Empfangssignal ist als fette Linie in Abbildung 13.5.2 markiert. Die R¨ uckverfolgung dieses Pfades ergibt die detektierte Sequenz

ˆ = { 1, −1, −1, 1 } . d(i)

(13.5.2)

152


1.5

-0.5

-1.5

2.5

-2.5

0.5

z0,−1 = -2.5

16

4

1

25

0

9

z0,1 = -0.5

4

0

1

9

z1,−1 = -1.5

0

16

1

4

z1,1 = 0.5

4

4

z2,−1 = -0.5

0

1

9

z2,1 = 1.5

4

9

1

z3,−1 = 0.5

4

4

z3,1 = 2.5

16

0

4

9

Tabelle 13.5.1: Tabelle mit den Teilpfadkosten

13.5.2

Fehler-Vektoren bei der Viterbi-Detektion

E a) Die Berechnung der AKF erfolgt nach ree (λ) =

den ersten Fehlervektor gilt E (0) = 2, ree

E ree (1) = −1,

L e −1 ν=0

E ree (2) = 0 ,

so dass f¨ ur die korrespondierende AKF-Matrix gilt ⎡ ⎤ 2 −1 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = RE(1) ⎢ −1 2 −1 ⎥ . ee ⎣ ⎦ 0 −1 2

e∗ν eν+λ . F¨ ur (13.5.3a)

(13.5.3b)

Entsprechend folgt f¨ ur den zweiten Fehlervektor E ree (0) = 3,

E ree (1) = −2,

so dass die AKF-Matrix f¨ ur dieses ⎡ 3 ⎢ ⎢ E(2) Ree = ⎢ −2 ⎣ 1

E ree (2) = 1 ,

Fall lautet ⎤ −2 1 ⎥ ⎥ 3 −2 ⎥ . ⎦ −2 3

(13.5.4a)

(13.5.4b)

153

13.5 L¨ osungen

Einschwingphase

S0

21 16

20

S1

4

S2

4

S3 y(i)

Ausschwingphase

16 8

1.5

−0.5

29 28

4 17 12 21 8

17 28 13 16

25

9 24

24

−1.5

2.5

28

27

18

21

17 18

−2.5

0.5

Abbildung 13.5.2: Komplettes Trellissegment; die Zahlen markieren die akkumulierten Pfadkosten; die fette Linie markiert den Maximum-Likelihood-Pfad geringster Distanz

b) Der S/N -Verlust f¨ ur einen bestimmten Fehlervektor e ist gegeben durch γ 2 (e) = hH RE (13.5.5) ee h . Die auf Einheitsleistung normierte Kanalimpulsantwort lautet 1 h = √ [ 1, 2, 1 ]T . 6

(13.5.6)

Der S/N -Verlust aufgrund des ersten Fehlervektors ist ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ 1 2 −1 0 ⎥ 2 ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ γ 2 (e1 ) = [ 1, 2, 1 ] · ⎢ −1 2 −1 ⎥ · ⎢ 2 ⎥ = , (13.5.7) 6 ⎦ 3 ⎣ ⎦ ⎣ 1 0 −1 2 der aufgrund des zweiten Fehlervektors ⎡ 3 −2 1 ⎢ 1 ⎢ 2 γ (e2 ) = [ 1, 2, 1 ] · ⎢ −2 3 −2 6 ⎣ 1 −2 3

⎤ ⎡

⎤ 1

⎥ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ · ⎢ 2 ⎥ = . (13.5.8) ⎦ 3 ⎦ ⎣ 1

154


13.5.3

S/N -Verlust bei der Viterbi-Detektion

a) Dem gegebenen Trellis kann man acht Zustände und zwei ¨ ¨ Uberg¨ ange pro Zustand entnehmen; zwei Uberg¨ ange pro Zustände bedeuten, dass das Sendealphabet aus zwei Symbolen besteht. Im Folgenden nehmen wir BPSK an. Die Anzahl der Zust¨ ande ist u ¨ ber die Kardinalität des Sendealphabets, M = 2, mit der Kanalordnung − 1 verkn¨ upft, M −1 = 8, so dass man auf eine Kanalordnung von − 1 = 3 schliessen kann. Eine m¨ ogliche Zustandsdefinition ist daher S0 S1

= {−1, = {−1,

−1, −1,

−1} , +1} ,

(13.5.9a) (13.5.9b)

S2

= {−1,

+1,

−1} ,

(13.5.9c)

S3 S4

= {−1, = {+1,

+1, −1,

+1} , −1} ,

(13.5.9d) (13.5.9e)

S5 S6

= {+1, = {+1,

−1, +1,

+1} , −1} ,

(13.5.9f) (13.5.9g)

S7

= {+1,

+1,

+1} .

(13.5.9h)

b) Die gew¨ ahlte Zustandsdefinition f¨ uhrt zu der detektierten Datenfolge d(i) = { +1, −1, +1, −1, +1, +1, −1, +1, −1, −1, −1 } , (13.5.10) indem der Pfad mit den geringsten Kosten (der MaximumLikelihood-Pfad) zur¨ uckverfolgt wird (backtracking). c) Die Datenfolge, die mit dem gestrichelten Pfad korrespondiert, lautet f (i) = { +1, −1, −1, −1, −1, +1, −1, +1, −1, −1, −1 } . (13.5.11) Mit der Definition der einzelnen Koeffizienten d(i) − f (i) 2

(13.5.12)

e = [ 1, 0, 1 ]T .

(13.5.13)

e(i) = folgt der Fehlervektor zu

155

13.5 L¨ osungen

Der S/N -Verlust aufgrund dieses Fehlervektors wiederum ist γ 2 (e) = eH HH He = 0.6 .

13.5.4

(13.5.14)

Trellisdiagramm fu ¨ r DBPSK

a) Es existieren zwei Zust¨ ande S0 S1

= =

{0} , {π} .

(13.5.15a) (13.5.15b)

Wenn die Differenzphase Δϕ(i) = 0 gesendet wird, verbleibt man im aktuellen Zustand. Wenn die Differenzphase Δϕ(i) = π gesendet wird, findet ein Zustandswechsel statt. Das Zustands¨ ubergangsdiagramm ist in Abbildung 13.5.3 illustriert. π S0 = {0}

0

S1 = {π}

0

π Abbildung 13.5.3: Zustands¨ ubergangsdiagramm f¨ ur DBPSK

b) Das Trellisdiagramm ist in Abbildung 13.5.4 dargestellt. S0

0 π

0 π

0

0

0

π

S1 Abbildung 13.5.4: Trellisdiagramm f¨ ur DBPSK

c) Der zu den informationstragenden Differenzphasen zugehörige Pfad ist in Abbildung 13.5.4 aus Aufgabenteil b) eingezeichnet.

Kapitel 14

Kanalsch¨ atzung 14.1

Flacher Kanal

Es werden Daten d(i)∈{±1} u ¨ber einen flachen Kanal h(i) u ¨bertragen. Ein Kanal wird dann als flach oder gleichbedeutend als nicht frequenzselektiv bezeichnet, wenn die maximale Echolaufzeit des Kanals geringer als die Symboldauer ist; dann tritt keine Intersymbolinterferenz auf, und der Frequenzgang des Kanals entspricht einer Konstanten. Das Datensignal wird mit periodisch eingef¨ ugten Pilotsymbolen dP (i) verschachtelt, die dem Empf¨ anger bekannt sind. Das Empfangssignal lautet r(i) = h(i)d(i) + n(i), wobei n(i) mittelwertfreies, additives, weißes Rauschen mit Leistung E{|n(i)|2 } = 1 bezeichnet. Der Kanalkoeffizient h(i) entspringt einem exponentiell korrelierten Prozess mit einer Autokorrelationsfunktion rH (λ) = E{h(i)h∗ (i+λ)} = a−|λ| und a = 0.9. Betrachten Sie folgende Kanalsch¨ atzer1 ˆ = r(i − 1) a) h(i) dP (i − 1) ˆ = 1 r(i − 1) + r(i + 1) b) h(i) 2 dP (i − 1) dP (i + 1) ˆ = w∗ r(i − 1) , c) h(i) dP (i − 1)

w = 0.45

ˆ = w∗ r(i − 1) + w∗ r(i + 1) , d) h(i) 0 1 dP (i − 1) dP (i + 1) 1 F¨ ur

w0 = w1 = 0.32

a) u atzten Kanalkoeffizienten des vorangegangen Sym¨bernimmt man den gesch¨ bols f¨ ur das aktuelle Symbol; b) Mittelung der vorherigen und der n¨ achsten Kanalsch¨ atzung; c) lineare Pr¨ adiktion 1. Ordnung; d) MMSE-Interpolation der vorherigen und der n¨ achsten Kanalsch¨ atzung.

14 Kanalsch¨ atzung

158

und berechnen Sie jeweils den verbleibenden Schätzfehler h(i)|2 } . σhˆ2 = E{|h(i) − ˆ

14.2

(14.1.1)

Orthogonale Trainingsfolgen

Zur Referenzdaten-gest¨ utzten Sch¨ atzung eines frequenzselektiven Kanals 2. Ordnung stehen zwei Trainingssequenzen zur Auswahl (i = 1, · · · , 6) d(1) (i) = d(2) (i) =

{ +1, +1, −1, +1, −1, −1 } , { +1, −1, +1, +1, +1, −1 } .

(14.2.1a) (14.2.1b)

Aufgrund des Einschwingvorgangs des Kanals ist die Länge des Beobachtungsintervalls N = 4, wobei der Beginn des Zeitfensters bei i1 = 3 liegen soll. a) Pr¨ ufen Sie beide Trainingssequenzen hinsichtlich ihrer Orthogonalit¨ atseigenschaften. ¨ b) Am Empf¨ anger liegen nach der Ubertragung u ¨ ber den Kanal h ¨ sowie der Uberlagerung von weißem, Gaußverteiltem Rauschen im eingeschwungenem Zustand entsprechend die Sequenzen T

y(1)

= [ −0.36, +0.14, −0.62, −0.85 ] , (14.2.2a)

y(2)

= [ +0.43, +0.34, +1.58, −0.05 ]

T

(14.2.2b)

an. F¨ uhren Sie eine Maximum-Likelihood-Kanalschätzung mit den zugeh¨ origen Trainingssequenzen d(1) (i) und d(2) (i) durch. Berechnen Sie die mittlere Sch¨ atzfehlervarianz beider Sequenzen, wenn die echte Kanalimpulsantwort h = [ 0.8, 0.4, 0.3 ]

T

(14.2.3)

lautet. c) Vergleichen Sie die Sch¨ atzfehlervarianzen der MaximumLikelihood- und der MMSE-L¨ osung f¨ ur orthogonale Trainingssequenzen und unkorrelierte Kanalkoeffizienten. Treffen Sie allgemeing¨ ultige Aussagen f¨ ur unterschiedliche Sequenzlängen N 2 2 und unterschiedliche Rauschvarianzen σN , wenn σH = 1 gilt.

14.3 L¨ osungen

159

14.3

L¨ osungen

14.3.1

Flacher Kanal

r(i − 1) ˆ wird umgea) Die gegebene Kanalsch¨ atzvorschrift h(i) = dP (i − 1) formt nach ˆ = h(i − 1) + n h(i) ˜ (i − 1)

(14.3.1)

n(i − 1) . Die statistischen Eigenschaften von dP (i − 1) n ˜ (i − 1) und n(i − 1) sind identisch, d.h.

mit n ˜ (i − 1) =

n(i − 1) 2 1 E{|˜ n(i)| } = E E{|n(i − 1)|2 } = 1 , = 2 dP (i − 1) dP (i − 1) (14.3.2) Dabei wurde ausgenutzt, dass die Multiplikation des mittelwertfreien Gaußschen Prozesses mit einer Konstanten lediglich dessen Leistung ¨ andert. Im gegebenen Fall ist diese Konstante gerade Eins. Die Bestimmung der mittleren Restfehlerleistung (14.1.1) beginnt mit der Ersetzung von (14.3.1). 2

2

ˆ 2 } = E h(i) − h(i − 1) + n E{|h(i) − h(i)| ˜ (i − 1) . (14.3.3a) Das Betragsquadrat der rechten Gleichungsseite wird schrittweise aufgel¨ ost ˆ 2 } = E{|h(i) − h(i − 1)|2 } + E{|˜ E{|h(i) − h(i)| n(i − 1)|2 } ∗ − 2 · Re E{ h(i) − h(i − 1) n ˜ (i − 1)}

=0 = E |h(i) − h(i − 1)|2 + σn2˜ . (14.3.3b) Der Kreuzterm zwischen Kanal- und Rauschrealisierung verschwindet deswegen, weil man von der Unkorreliertheit dieser Signale ausgehen kann. Die Aufl¨ osung des Betragsquadrats wird fortgesetzt


160 und ergibt ˆ 2 } = E{|h(i)|2 } + E{|h(i − 1)|2 } E{|h(i) − h(i)|

rH (0)=a0

rH (0)=a0

− 2Re{E{h(i)h∗ (i − 1)}} + σn2˜ .

rH

(14.3.3c)

(1)=a1

Daraus folgt die gesuchte Fehlerleistung zu ˆ 2 } = 2 − 2a + σ2 = 1.2 . E{|h(i) − h(i)| n ˜

(14.3.4)

b) Es wird die Vorgehensweise aus dem vorherigen Aufgabenteil angewendet, d.h. nach der Aufl¨ osung des Betragsquadrats wird die Linearit¨ at der Erwartungswertbildung ausgenutzt, um unkorrelierte und korrelierte Signalanteile zu identifizieren. 2 r(i + 1) 1 r(i − 1) σhˆ2 = E h(i) − + 2 dP (i − 1) dP (i + 1) 2 1 = E h(i) − h(i − 1) + n ˜ (i − 1) + h(i + 1) + n ˜ (i + 1) 2 2 σ2 1 = E h(i) − (h(i − 1) + h(i + 1)) + n˜ 2 2 1 = E{|h(i)|2 } + E{|h(i − 1) + h(i + 1)|2 } 4 − Re{E{h(i)h∗ (i − 1)}} − Re{E{h(i)h∗ (i + 1))}} +

σn2˜ 2

1 = E{|h(i)|2 } + E{|h(i − 1)|2 } 4 1 1 + E{|h(i + 1)|2 } + Re{E{h(i − 1)h∗ (i + 1)}} 4 2 − Re{E{h(i)h∗ (i − 1)}} − Re{E{h(i)h∗ (i + 1))}} + =

σn2˜ 2

σ2 3 a2 + − 2a + n˜ = 0.605 2 2 2 (14.3.5)

14.3 L¨ osungen

161

c) σhˆ2 = E{|h(i) − w∗

r(i − 1) 2 | } dP (i − 1)

= E{|h(i) − w∗ h(i − 1) + w∗ n ˜ (i)|2 } = E{|h(i) − w∗ h(i − 1)|2 } + |w|2 σn2˜

(14.3.6)

= E{|h(i)|2 } + |w|2 E{|h(i − 1)|2 } − 2Re{wE{h(i)h∗ (i − 1)}} + |w|2 σn2˜ = 1 + |w|2 − 2Re{w}a + |w|2 σn2˜ = 0.595 d) r(i − 1) r(i + 1) 2 − w1∗ σhˆ2 = E h(i) − w0∗ d(i − 1) d(i + 1) = E{|h(i) − w0∗ (h(i − 1) + n ˜ (i − 1)) − w1∗ (h(i + 1) + n ˜ (i + 1))|2 } = E{|h(i) − w0∗ h(i − 1) − w1∗ h(i + 1)|2 } + σn2˜ (|w0 |2 + |w1 |2 ) = E{|h(i)|2 } + E{|w0∗ h(i − 1) + w1∗ h(i + 1)|2 } − 2Re{E{h(i)(w0 h∗ (i − 1) + w1 h∗ (i + 1))}} + σn2˜ (|w0 |2 + |w1 |2 ) = E{|h(i)|2 } + |w0 |2 E{|h(i − 1)|2 } + |w1 |2 E{|h(i + 1)|2 } + 2Re{w0∗ w1 E{h(i − 1)h∗ (i + 1)}} − 2Re{w0 E{h(i)h∗ (i − 1)}} − 2Re{w1 E{h(i)h∗ (i + 1)}} + σn2˜ (|w0 |2 + |w1 |2 ) = 1 + |w0 |2 + |w1 |2 + 2Re{w0∗ w1 }a2 − 2Re{w0 }a − 2Re{w1 }a + σn2˜ (|w0 |2 + |w1 |2 ) = 0.4235 (14.3.7) Diese Aufgabe verdeutlicht, dass die Ber¨ ucksichtigung von zus¨ atzlicher Information zu einer Verringerung des Schätzfehlers genutzt werden kann.

14.3.2

Orthogonale Trainingsfolgen

a) Ein Kanal 2. Ordnung hat die L¨ ange = 3. Das Beobachtungsintervall der L¨ ange N = 4 erstreckt sich u ¨ ber die Zeitpunkte 3 ≤ i ≤ 6,


162

so dass die Empfangssignale dem eingeschwungenen Zustand des Kanals entsprechen. F¨ ur den Datenvektor d(1) (i) bedeutet dies z.B. d(1) (i) =

+ 1, +1 , −1 , +1, −1, −1 .

(14.3.8)

i1

Um zu u ufen, ob die Datenvektoren orthogonale Folgen ¨berpr¨ ! sind, wird Gleichung (14.1.39) in [Kam08, S. 529], SH d Sd = N · I, u uft werden. Dazu bildet man die (N × )-Faltunsgmatrix ¨berpr¨ nach Gleichung (14.1.12a) in [Kam08, S. 523].

(1)

Sd

⎛ −1 ⎜ ⎜ ⎜+1 =⎜ ⎜ ⎜−1 ⎝ −1

⎞ +1 +1

⎟ ⎟ −1 +1⎟ ⎟, ⎟ +1 −1⎟ ⎠ −1 +1

(2)

Sd

⎛ +1 ⎜ ⎜ ⎜+1 =⎜ ⎜ ⎜+1 ⎝ −1

−1 +1 +1 +1

⎞ +1 ⎟ ⎟ −1⎟ ⎟ (14.3.9) ⎟ +1⎟ ⎠ +1

¨ Die Uberpr¨ ufung der Orthogonalit¨ atseigenschaft ergibt: ⎛ 4

(1)H

Sd

−2

⎞ 0

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (1) Sd = ⎜−2 4 −2⎟ , ⎝ ⎠ 0 −2 4

(2)H

Sd

(2)

Sd = 4 · I3 . (14.3.10)

Somit stellt die Folge d(2) (i) im Sinne der oben genannten Definition eine orthogonale Folge dar, Folge d(1) (i) dagegen nicht.

b) Zur Sch¨ atzung des Kanals mit der Folge d(1) (i) ziehen wir Gleichung (14.1.20) in [Kam08, S. 525] heran und bilden die Pseudo−1 (1) (1)+ (1)H (1) (1)H Inverse von Sd . Diese kann durch Sd = S d Sd Sd ausgedr¨ uckt werden. Die enthaltene Matrix-Inversion kann u.a. mit Hilfe der Gauß-Jordan Eliminierung durchgef¨ uhrt werden. Der

14.3 L¨ osungen

163

gesch¨ atzte Kanal ergibt sich dann zu −1 (1)H ˆ (1) = S(1)H S(1) Sd y(1) h ML d d ⎛ ⎞⎛ +1 +1 0.375 0.25 0.125 ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜ = ⎜ 0.25 0.5 0.25 ⎟ ⎜−1 +1 ⎝ ⎠⎝ +1 −1 0.125 0.25 0.375 T = 0.618, 0.246, 0.009

⎞ ⎛ ⎞ −0.36 ⎟ +1 −1 ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜+0.14⎟ ⎟ +1 +1⎟ ⎜ ⎠ ⎜−0.62⎟ ⎟ ⎠ +1 +1 ⎝ −0.85 (14.3.11)

F¨ ur orthogonale Trainingsfolgen vereinfacht sich die MaximumLikelihood-L¨ osung zu ⎛ ⎞ 0.604 ⎜ ⎟ ⎟ ˆ (2) = 1 S(2)H y(2) = ⎜ (14.3.12) h ⎜0.358⎟ . ML d N ⎝ ⎠ 0.405 F¨ ur die mittlere Sch¨ atzfehlervarianz gilt mit Gleichung (14.1.19b) in [Kam08, S. 525] 2 σ ¯ΔH =

ˆ ML − h2 tr {RΔHΔH } h = ,

(14.3.13)

wobei tr {·} die Spur der Matrix darstellt. F¨ ur eine einzelne Kaˆ nalrealisierung kann man mit Δh = hML − h schreiben tr Δh(1) · Δh(1)H 2 = 0.047 (14.3.14a) σ ¯ΔH,1 = (2) 3 tr Δh · Δh(2)H 2 σ ¯ΔH,2 = 0.017 . (14.3.14b) = 3 Eine kleinere Varianz folgt bei Verwendung der orthogonalen Sequenz. c) F¨ ur die Kovarianzmatrix des Sch¨ atzfehlers der MMSE-Lösung gilt nach Gleichung (14.1.38b) in [Kam08, S. 528] −1 2 σN 2 H RΔHΔH = σN Sd Sd + 2 I . (14.3.15) σH

Kapitel 15

¨ Ubertragung u ¨ber Funkkan¨ ale 15.1

Empfangsdiversit¨ at und MaximumRatio-Combining

Es werden Daten drahtlos mittels QPSK u ¨bertragen. Zur Verbesserung der Empfangsqualit¨ at wird der Empf¨ anger mit drei Antennen ausgestattet. Das Symboltaktmodell des Gesamtsystems ist in Abbildung 15.1.1 dargestellt. r0 (i)

h0 n1 (i) d(i)

r1 (i)

h1 n2 (i) h2

r2 (i)

Kombinationsnetzwerk

n0 (i)

y(i)

Abbildung 15.1.1: Diversit¨ atsempf¨ anger

¨ Die auf den einzelnen Ubertragungspfaden auftretenden Rauschgrößen n0 (i), n1 (i), n2 (i) seien Musterfunktionen unabhängiger weißer gaußverteilter Prozesse mit der Leistung σ02 = σ12 = σ22 = 0.05 .

(15.1.1)

¨ 15 Ubertragung u ale ¨ber Funkkan¨

166 Die komplexen Pfadgewichte betragen h0 = 0.7,

h1 = 0.5 · ejπ/6 ,

h2 = 0.4 · j .

(15.1.2)

a) Skizzieren Sie das Kombinationsnetzwerk, bei dem sich am Ausgang ein maximales S/N -Verh¨ altnis ergibt. b) Geben Sie dieses S/N - Verh¨ altnis an. c) Bestimmen Sie mit Hilfe von Abbildung 11.2.3 auf S. 113 die Bitfehlerwahrscheinlichkeit. d) Wie groß ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit, wenn nur das stärkste Antennensignal ausgewertet wird?

15.2

Mobilfunkkanal

Es wird eine BPSK-Daten¨ ubertragung, d(i)∈{−1, 1}, u ¨ ber einen flachen ¨ Kanal mit dem zeitvarianten Ubertragungsfaktor h(i) betrachtet y(i) = h(i) · d(i) + n(i) .

(15.2.1)

Die Symboldauer betr¨ agt TBaud = 50 ns, und das Signal-zuE{|d(i)|2 } Eb Rauschleistungsverh¨ altnis N = E{|n(i)| 2 } = 7 dB. Der Kanal h(i) kann 0 drei Zust¨ ande annehmen, in denen er durch die Kanalkoeffizienten h1 = 0.5 · exp(jπ/4),

h2 = 0.8 · exp(jπ/6),

h3 = 0.1 + j0.2 (15.2.2) beschrieben wird. Die Zust¨ ande sind durch eine mittlere Auftrittswahrscheinlichkeit P = P {h(i) = h } gekennzeichnet, wobei P1 + P2 + P3 = 1. Hinweis: Nehmen Sie perfekte Kanalkenntnis am Empfänger an. Die Detektion am Empf¨ anger wird koh¨ arent durchgef¨ uhrt. Verwenden Sie Abbildung 15.2.1 zur L¨ osung der folgenden Aufgaben. a) Bestimmen Sie die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit f¨ ur gleichwahrscheinliche Zust¨ ande, P1 = P2 = P3 .

15.3 L¨ osungen

167

b) Bestimmen Sie die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit f¨ ur folgende Auftrittswahrscheinlichkeiten der Zust¨ ande: P1 = 0.6,

P2 = 0.3,

P3 = 0.1 .

c) Nehmen Sie perfekte Kanalkenntnis am Sender an. Welchen Wert nimmt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit an, wenn der Sender nur w¨ ahrend des st¨ arksten Kanalkoeffizienten sendet? d) Wie groß ist die mittlere Bitrate im Falle von c). 0

10

−1

erfc(x)

10

−2

10

−3

10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

x

Abbildung 15.2.1: Komplement¨ are Fehlerfunktion

15.3

L¨ osungen

15.3.1

Empfangsdiversit¨ at Combining

und

Maximum-Ratio-

a) Das Kombinationsnetzwerk f¨ uhrt eine Linearkombination der Empfangszweige durch y(i) =

2 =0

c r (i) .

(15.3.1)


168

Mittels Schwartz’scher Ungleichung l¨ asst sich zeigen, dass das S/N Verh¨ altnis zwischen Nutz- und St¨ oranteil dann maximiert wird, wenn c = h∗ (15.3.2) gilt. Dies ist u.a. in Gleichung (15.3.4) in [Kam08, S. 571] zu finden. Die MRC-Koeffizienten sind entsprechend c0 = h∗0 = 0.7; c1 = h∗1 = 0.5e−jπ/6 ; c2 = h∗2 = −0.4j . (15.3.3) Das resultierende Blockschaltbild ist in Abbildung 15.3.1 dargestellt. c0 = h∗0

n0 (i) r0 (i)

h0

c1 = h∗1

n1 (i) d(i)

r1 (i)

h1

y(i)

c2 = h∗2

n2 (i) h2

+

r2 (i) Kombinationsnetzwerk

Abbildung 15.3.1: Netzwerk mit Maximum Ratio Combining

b) Das Ausgangssignal des MRC-Netzwerks lässt sich durch y(i) = (|h0 |2 + |h1 |2 + |h2 |2 )d(i) + h∗0 n0 (i) + h∗1 n1 (i) + h∗2 n2 (i) ˜ Nutzsignal d(i) Störsignal n˜ (i) (15.3.4) ausdr¨ ucken. Die Leistung des nutzbaren Signalanteils ist demnach ˜ 2 } = |h0 |2 + |h1 |2 + |h2 |2 2 σ 2 S = E{|d(i)| D

(15.3.5)

und die Leistung des St¨ oranteils ist 2 . N = E{|˜ n(i)|2 } = |h0 |2 + |h1 |2 + |h2 |2 σN

(15.3.6)

15.3 L¨ osungen

169

Setzt man Nutz- und St¨ orleistung zueinander ins Verhältnis, dann ergibt sich σ2 S = |h0 |2 + |h1 |2 + |h2 |2 D ˆ 12.6 dB . 2 = 18 = N MRC σN

(15.3.7)

c) Durch lineare Kombination der einzelnen Empfangszweige entsteht mit y(i) ein Signal, welches einem a ¨quivalenten AWGN-Kanal entspricht. Die Bitfehlerrate f¨ ur ein durch AWGN gestörtes QPSKSignal lautet allgemein Pb,QPSK

1 = · erfc 2

S/N 2

.

(15.3.8)

Mittels Abbildung 11.2.3 findet man Pb,QPSK ≈ 1.1 · 10−5 . d) Der leistungst¨ arkste Pfad ist mit dem Kanalkoeffizienten h0 bewertet und wird u ¨ ber das Betragsquadrat ermittelt. Demnach lautet das MRC-Ausgangssignal y(i) = |h0 |2 d(i) + h∗0 n0 (i) .

(15.3.9)

Das SNR ist somit gegeben durch S |h0 |2 . = 2 = 14 = 11.5 dB . N h0 σN

(15.3.10)

Daraus folgt eine Bitfehlerate von Pb,QPSK

1 = · erfc 2

S/N 2

≈ 9.1 · 10−5 .

(15.3.11)

Obwohl der Empfangszweig mit dem stärksten Kanalkoeffizienten verwendet wird, ist die erzielte Bitfehlerrate um rund eine Dekade schlechter als das Kombinationsnetzwerk. Dies zeigt den Gewinn ¨ von MRC, sowie die M¨ oglichkeit einer zuverlässigeren Ubertragung durch mehrere Antennen am Empf¨ anger.


170

15.3.2

Mobilfunkkanal

a) Die Bitfehlerrate f¨ ur ein BPSK-Signal u ¨ ber einen AWGN-Kanal lautet

Eb 1 Pb = · erfc . (15.3.12) 2 N0 Wenn ein konstanter Kanalkoeffizient h zwischen Sender und Empf¨ anger liegt, ergibt sich eine Bitfehlerrate von

E 1 b Pb (h) = · erfc . (15.3.13) |h|2 2 N0 F¨ ur eine gleichverteilte Auftrittswahrscheinlichkeit P1 = P2 = P3 = 13 sowie Eb /N0 = 7dB = 5 gilt f¨ ur die mittlere Bitfehlerrrate P¯b = P1 Pb (h1 ) + P2 Pb (h2 ) + P3 Pb (h3 ) 1 = Pb (h1 ) + Pb (h2 ) + Pb (h3 ) 3

(15.3.14)

mit den Einzelwahrscheinlichkeiten

Eb erfc (1.12) 1 jπ/4 2 (15.3.15a) = |0.5 · e | Pb (h1 ) = · erfc 2 N0 2

E erfc (1.789) 1 b (15.3.15b) = Pb (h2 ) = · erfc |0.8 · ejπ/6 |2 2 N0 2

Eb 1 1 2 = · erfc (0.5) . (15.3.15c) Pb (h3 ) = · erfc |0.1 + 0.2j| 2 N0 2 Es folgt 0.0569 + 0.0057 + 0.2398 = 0.1008 . P¯b = 3

(15.3.16)

P¯b = 0.6Pb (h1 ) + 0.3Pb (h2 ) + 0.1Pb (h3 ) = 0.0598

(15.3.17)

b)

15.3 L¨ osungen

171

ur diesen c) Der st¨ arkster Kanalkoeffizient ist h2 . Die Bitfehlerrate f¨ Fall ist gegeben durch Pb,min = Pb (h2 ) = 0.0057 .

(15.3.18)

d) Die maximale Datenrate bei der gegebenen Symboldauer ist Rb = 1/TBaud = 1/(50 ns) = 20 Mbit/s .

(15.3.19)

Wenn wie in Teil c) in 30% aller F¨ alle gesendet wird, reduziert sich die Datenrate auf ¯ b = 0.3 · Rb = 6 Mbit/s . R

(15.3.20)

Kapitel 16

Mehrtr¨ ager-Modulation 16.1

Unterschiedliche Abtastfrequenzen in OFDM-Systemen

F¨ ur mobile Daten¨ ubertragung innerhalb von Gebäuden soll ein OFDMSystem angewendet werden. Aus Gr¨ unden der Kompatibilität darf ein OFDM-Symbol nicht l¨ anger als 4 μs sein, wobei aufgrund der Mehrwegeausbreitung ein Guardintervall von 800 ns enthalten sein soll. Aufgrund der f¨ ur Indoor-Umgebungen typischen geringen Doppler-Effekte wird der Kanal als quasi-zeitinvariant angenommen.

a) Wie groß ist der Eb /N0 -Verlust dieses Systems aufgrund des Guardintervalls? b) Bestimmen Sie den minimalen Untertr¨ agerabstand, damit die Orthogonalit¨ at zwischen den Tr¨ agern sichergestellt wird. c) Auf jedem Untertr¨ ager findet eine 64-QAM Signalraumzuordnung statt. Geben Sie die Anzahl der ben¨ otigten Unterträger an, damit eine uncodierte Bitrate von 72 Mbit/s u ¨ bertragen werden kann. Welche OFDM-Bandbreite ergibt sich? d) Im Empf¨ anger soll eine FFT der L¨ ange 256 eingesetzt werden. Geben Sie alle Abtastfrequenzen an, die eine fehlerfreie Detektion der N Untertr¨ ager erlauben. Erl¨ autern Sie, welche Bedeutung dabei jeweils den Ein- und Ausg¨ angen der FFT zukommt.

16 Mehrtr¨ ager-Modulation

174

16.2

Fehlerraten bei OFDM

Zur Daten¨ ubertragung soll ein OFDM-System mit vier Unterträgern (FFT-L¨ ange N = 4) benutzt werden. Die OFDM-Symbolrate betr¨ agt fOF DM = 2 kHz und die Energie eines OFDM-Symbols soll EOF DM = 8Ta betragen. Auf jedem Unterträger werden die Daten QPSK-moduliert (Gray-Codierung) und im Empfänger durch ideale Entzerrung (1/H(n)) korrigiert. Das Sendesignal wird u ur die ¨ ber einen f¨ ¨ Dauer der Ubertragung zeitinvarianten Kanal 1. Ordnung u ¨bertragen und mit weißem, Gaußverteilten Rauschen der Rauschleistungsdichte N0 /2 = 0.04Ta im Bandpassbereich u ¨berlagert. a) Bestimmen Sie die L¨ ange des Guardintervalls, geben Sie das Verh¨ altnis fOF DM /fa an und ermitteln die den Eb /N0 -Verlust. Weiterhin ist die Gesamtdatenrate R des Systems zu berechnen. ¨ b) Der Ubertragungskanal hat die gemessene SymboltaktImpulsantwort h = [ 0.8, 0.6 ]T . Wie lautet die f¨ ur das ¨ OFDM-System relevante Betrags-Ubertragungsfunktion. Geben Sie die Leistung des Kanals in dB an. ¨ c) Berechnen Sie die Bitfehlerrate des Ubertragungssystems. Hinweis: Benutzen Sie f¨ ur QPSK entsprechende Näherungslösungen und entnehmen Sie ben¨ otigte Werte der erfc-Funktion in Abbildung 16.2.1. d) Es wird nur 75% der urspr¨ unglichen Datenrate benötigt, und man beschließt, den Untertr¨ ager mit der geringsten Empfangsleistung von der Daten¨ ubertragung auszuschließen. Berechnen Sie nun erneut die Gesamtbitfehlerrate bei gleichem Eb /N0 -Verhältnis.

16.3

OFDM-Frequenzgang

Ein OFDM-System mit N = 16 Untertr¨ agern belegt eine Bandbreite von ¨ B = 6 MHz. F¨ ur die Ubertragung der Daten wird eine 8PSK-Modulation eingesetzt. Die Bandbreite-Effizienz betr¨ agt β = 0.8. a) Bestimmen Sie die Datenrate R des Systems.

16.3 OFDM-Frequenzgang

175

0

−8

−4

10

10

erfc(x)

10

−5

−9

10

−1

10

10

−10

−6

0

0.5

x

1

10

10 3

3.2

3.4

4.3

x

4.4

4.5

x

Abbildung 16.2.1: Komplement¨ are Fehlerfunktion

b) Wie groß ist die maximale relative Verzögerung τmax , die der ¨ Ubertragungskanal aufweisen darf, um Intersymbol-Interferenz zwischen OFDM-Symbolen geraden zu vermeiden? ¨ Die Ubertragung soll nun bei gleichen Systemparametern mit einer Datenrate von R = 13.5 Mbit/s stattfinden. c) Wie viele der 16 Untertr¨ ager werden benötigt, um die geforderte Datenrate zu erzielen? Bei einer Sch¨ atzung des Kanals wird folgende Impulsantwort ermittelt h() = 1 · δ() + 0.5 · δ( − 1) .

(16.3.1)

d) Welche Untertr¨ ager schlagen Sie f¨ ur die Abschaltung vor? Hinweis: Der erste Untertr¨ ager liegt mit seiner Mittenfrequenz bei Ω = 0.


176

16.4

Datenraten bei OFDM

F¨ ur ein drahtloses Rechnernetz (Wireless Local Area Network, WLAN) soll das OFDM-Verfahren zum Einsatz kommen. Es wird eine ¨ Ubertragung mit 32 Mbit/s angestrebt. Die maximale Echolaufzeit der Kanalimpulsantwort betr¨ agt τmax = 800 ns. a) Bestimmen Sie den Abstand der Subtr¨ ager, wenn das Guardintervall 20% der gesamten Symboldauer betragen soll. b) Berechnen Sie den S/N -Verlust, der sich aufgrund des Einf¨ ugens des Guardintervalls (Verletzung der Matched-Filter-Bedingung) ergibt. c) Die zur Verf¨ ugung stehende Kanalbandbreite beträgt B = 20 MHz. Wie viele Subtr¨ ager enth¨ alt das u ¨ bertragene Signal? d) W¨ ahlen Sie unter den Modulationsarten BPSK, QPSK, 8-PSK, 16QAM, 64-QAM diejenige aus, mit der die oben angegebene Bitrate gerade erreicht wird. Begr¨ unden Sie ihre Entscheidung durch eine Rechnung.

16.5

L¨ osungen

16.5.1

Unterschiedliche OFDM-Systemen

Abtastfrequenzen

in

a) Der Guardverlust spiegelt die Tatsache wieder, dass ein Teil der Nutzenergie f¨ ur das Guardintervall aufgewendet wird, der dadurch der Datendetektion verloren geht. Das Guardintervall hat eine Dauer von TG = 800 ns. Damit ergibt sich f¨ ur den Eb /N0 -Verlust 2 γG =1−

TG TOF DM

= 0.8 ≈ −1 dB .

(16.5.1)

b) Die Kernsymboldauer (d.h. die Gesamtsymboldauer ohne Guardintervall) betr¨ agt TS = TOF DM − TG = 3.2 μs .

(16.5.2)

16.5 L¨ osungen

177

Damit ergibt sich ein minimaler Unterträgerabstand von Δf =

1 = 312.5 kHz . TS

(16.5.3)

c) Mit einer 64-QAM werden pro Symbol log2 (M ) = log2 (64) = 6 Bits u ¨ bertragen. Die Gesamtdatenrate des OFDM-Systems lässt sich damit folgendermaßen berechnen R

=

N

=

B

=

log2 (M ) · N TOF DM TOF DM · R = 48 log2 (M ) Δf · N = 15 MHz .

(16.5.4a) (16.5.4b) (16.5.4c)

Um die Datenrate von 72 Mbit/s zu erzielen, m¨ ussen 48 Untertr¨ ager bei einer Bandbreite von 15 MHz verwendet werden. d) Aufgrund des Abtasttheorems sind prinzipiell alle Abtastfrequenoglich. M¨ ogliche Abtastfrequenzen m¨ ussen zen fa ≥ B = 15 MHz m¨ einerseits zu Frequenzst¨ utzstellen f¨ uhren, die Vielfache des Subtr¨ agerabstands sind, andererseits muss im Zeitbereich eine ganzzahlige Anzahl von Abtastwerten pro OFDM-Symbol entstehen. fa = B ·

256 256 = Δf 48 · i i

i∈ [1, 2, 4]

(16.5.5)

Außerdem muss i ein Teiler von 48 und 256 sein. Der Fall i = 3 i

fa

Eingangswerte

48 Ausgangswerte

1

80 MHz

256 (0...255)

0,1,2,...,47

2

40 MHz

128 (0...127)

0,2,4,...,94

4

20 MHz

64 (0...63)

0,4,8,...,188

Tabelle 16.5.1: Resultierende Werte unterschiedlicher Abtastfrequenzen

ist ausgenommen, weil bei der zugeh¨ origen Abtastzeit keine ganze Anzahl Samples pro OFDM-Symbol entsteht.


178

Im Falle niedriger Abtastfrequenzen entstehen weniger Abtastwerte pro OFDM-Symbole, so dass eine FFT der Länge N = 256 mittels zero-padding realisiert werden muss. Letzteres f¨ uhrt zu Interpolation zwischen den gesuchten wahren St¨ utzstellen, die dann ¨ aquidistant entsprechend des Uberabtastfaktors verteilt sind. ¨

16.5.2

Fehlerraten bei OFDM

a) Bei einem Kanal 1. Ordnung ist genau ein aufgelöster Echopfad durch das Guardintervall zu kompensieren. Daher hat das Guardintervall die L¨ ange eines Abtastwertes. fOF DM TOF DM

= =

2 kHz 500 μs

(16.5.6a) (16.5.6b)

NOF DM fa

= =

N + NG = 4 + 1 = 5 fOF DM · NOF DM = 10 kHz

(16.5.6c) (16.5.6d)

Ta

=

1/fa = 100 μs

(16.5.6e)

– L¨ ange des Guardintervalls: TG = 100 μs – Verh¨ altnis fOF DM /fa : 5 – Bits pro OFDM-Symbol: log2 (M ) · N = 2 · 4 = 8 → Datenrate R = 8 · fOF DM = 16 kbit/s – Der Eb /N0 -Verlust aufgrund des Guardintervalls beträgt TG 1 − TOF = 0.8 = 0.97 dB DM b) Die Leistung des Kanals berechnet sich wie folgt 1

|h(i)|2 = 0.82 + 0.62 = 1 = 0 dB .

(16.5.7)

i=0

In zeitkontinuierlicher Darstellung lautet die Impulsantwort h(τ ) = 0.8δ(τ ) + 0.6δ(τ − Ta ) ,

(16.5.8)

so dass f¨ ur die Betrags¨ ubertragungsfunktion gilt |H(f )| = 0.8 + 0.6 · e−j2πf Ta .

(16.5.9)

16.5 L¨ osungen

179

Tastet man nun diese Betrags¨ ubertragungsfunktion an den Mittenfrequenzen der einzelnen OFDM-Unterträger ab, also mit f = { 0, 14 fa , 12 fa , 34 fa }, so ergibt sich folgende diskrete Betragsu ¨bertragungsfunktion: |H| = { 1.4, 1, 0.2, 1 } .

(16.5.10)

In Abbildung 16.5.1 ist |H(f )| illustriert.

Abbildung 16.5.1: Zeitkontinuierliche funktion

und

abgetastete

¨ Ubertragungs-

c) Auf jedem Untertr¨ ager werden komplexe QPSK-Symbole mit der (Bandpass-) Energie Es gesendet, die, bevor das Rauschen hinzuaddiert wird, mit einem entsprechenden Kanalkoeffizienten zu gewichten sind. EOF DM Es = = 2 · Ta (16.5.11) N Die Kernsymboldauer Ts betr¨ agt Ts = 4 · Ta . Es ergibt sich also Es =

1 Ts . 2

(16.5.12)

Die Rauschleistungsdichte N0 im komplexen Basisband laut Aufgabentext ist N0 = 0.08 · Ta = 0.02 · Ts . (16.5.13)


180

Es ergibt sich daraus ein Es /N0 -Verh¨ altnis von 25 (14 dB). Wegen Eb = 0.5 · Es betr¨ agt das Verh¨ altnis Eb = 12.5 = 11 dB . N0

(16.5.14)

Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit f¨ ur QPSK unter Ber¨ ucksichtigung des Guardintervalls ist Eb 1 TG Pb ≈ · erfc = 3.8 · 10−6 . (16.5.15) · 1− 2 N0 TOF DM Die zu erwartende Bitfehlerrate ohne Kanaleinfluss beträgt also 3.8 · 10−6 . Bei einem uncodierten OFDM-System mit ausreichendem Guardintervall k¨ onnen die Fehlerraten auf den einzelnen Untertr¨ agern separat bestimmt werden. Das Verhältnis Eb /N0 ist nicht u ager konstant. Es wird daher eine neue, ¨ber alle Untertr¨ tr¨ agerspezifische Rauschleistungsdichte N0 (n) = N0 /(|H(n)|2 ) definiert. Es ist deutlich zu erkennen, wie unterschiedlich die FehlerUntertr¨ ager n

|H(n)|2

N0 (n)

Eb /N0 (n)

Pb (n)

0

1.96

0.01 · Ts

24.5

1.9 · 10−10

1

1

0.02 · Ts

12.5

3.8 · 10−6

2

0.04

0.5 · Ts

0.5

1.9 · 10−1

3

1

0.02 · Ts

12.5

3.8 · 10−6

Tabelle 16.5.2: Berechnung der einzelnen Untertr¨ agerfehlerraten

raten auf den verschiedenen Untertr¨ agern sind. Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit ist damit Pb =

N −1 1 Pb (n) ≈ 4.8 · 10−2 . N n=0

(16.5.16)

d) Wenn man gleiche Symbolraten auf den Unterträgern annimmt, so ergibt sich durch Weglassen eines Unterträgers eine um 1/4 verminderte Datenrate. Bei gleicher Symbolenergie auf den benutzten

16.5 L¨ osungen

181

Untertr¨ agern ¨ andert sich bei den unter c) errechneten Beziehungen nichts. Bei der Berechnung der gesamten Fehlerrate ist lediglich Untertr¨ ager n = 2 auszuklammern 1 Pb = Pb (n) ≈ 2.5 · 10−6 . (16.5.17) N −1 n=[ 0, 1, 3 ]

Es ist deutlich zu erkennen, dass die Gesamtfehlerrate entscheidend durch schlechte Untertr¨ ager bestimmt wird.

16.5.3

OFDM-Frequenzgang

a) Die Bandbreite-Effizienz f¨ ur ein OFDM-System lautet β=

TS , TS + TG

(16.5.18a)

woraus sich die Guardzeit in Abh¨ angigkeit der Kernsymboldauer ergibt 1 − 1 TS . (16.5.18b) TG = β Weiter gilt f¨ ur die OFDM-Kernsymboldauer TS =

N 1 = , Δf B

(16.5.18c)

so dass f¨ ur die Gesamtsymboldauer folgt TOF DM = TS + TG =

TS 1N 10 = = μs β βB 3

(16.5.18d)

Die Gesamtdatenrate folgt aus der Anzahl gesendeter Bits, ahrend der Symboldauer TOF DM . N log2 (M ), w¨ R=

N log2 (M ) = 14.4 Mbit/s . TOF DM

(16.5.19)

b) Die Echolaufzeit des Kanals muss kleiner sein als die Dauer des Guardintervalls, um Intersymbol-Interferenz zwischen benachbarten OFDM-Symbolen zu vermeiden τmax ≤ TG = 0.66 μs . .

(16.5.20)


182 c) Laut (16.5.19) folgt N=

R · TOF DM = 15 , log2 (M )

(16.5.21)

so dass die gew¨ unschte Datenrate erzielt werden kann, wenn von den 16 verf¨ ugbaren Untertr¨ agern ein Unterträger unmoduliert bleibt. ¨ d) Die zeitdiskrete Ubertragungsfunktion des Kanals lautet H(n) =

L−1

h()e−j2πn/N

(16.5.22a)

=0

= 1 + 0.5e

−j2πn/N

;

das zugeh¨ orige Betragsquadrat ist |H(n)|2 = 1.25 cos(2πn/N ) .

(16.5.22b)

Abbildung 16.5.2 verdeutlicht, dass der Kanalkoeffizient mit Index n = 8 die geringste Leistung aufweist. Daher ist es ratsam, den zugeh¨ origen Untertr¨ ager nicht zu modulieren. Davon profitiert die Fehlerwahrscheinlichkeit des Gesamtsystems. 2.5

|H(n)|2

2

1.5

1

0.5

0

0

2

4

6

8

10

12

14

n

Abbildung 16.5.2: Betragsquadrat der Kanal¨ ubertragungsfunktion

16.5 L¨ osungen

16.5.4

183

Datenraten bei OFDM

a) Um Intersymbol-Interferenz zu vermeiden, wird die Dauer des Guardintervalls identisch zur maximalen Echolaufzeit des Kanals gew¨ ahlt TG = τmax = 0.8 μs . (16.5.23a) Außerdem soll die Guardzeit 20% der Gesamtsymboldauer betragen. Letztere betr¨ agt damit TG = 4 μs , 0.2 so dass die Kernsymboldauer gegeben ist mit TOF DM =

TS = TOF DM − TG = 3.2 μs .

(16.5.23b)

(16.5.23c)

Die Bandbreite eines Untertr¨ agers bzw. der gesuchte Subtr¨ agerabstand ergibt sich aus der inversen Kersymboldauer 1 1 = 312.5 kHz . (16.5.24) = Δf = TS 3.2 · 10−6 μs b) F¨ ur den S/N -Verlust gilt 2 =β= γG

TS = 0.8 ≈ −1 dB . TS + TG

(16.5.25)

c) Die verf¨ ugbare Bandbreite B wird in N Subträger mit Untertr¨ agerabstand Δf aufgeteilt, so dass folgt N=

B = 64 . Δf

(16.5.26)

d) Die Datenrate des OFDM-Systems folgt aus der Anzahl Bits pro OFDM-Symbol, d.h. N log2 (M ) . (16.5.27) TOFDM Um die erw¨ unschte Datenrate zu erzielen, folgt also f¨ ur die Anzahl Bits 32 · 106 · 4 · 10−6 R · TOFDM log2 (M ) = = = 2. (16.5.28) N 64 Die gesuchte Modulationsform ist QPSK, da hier genau 2 Bits pro Symbol u onnen. ¨ bertragen werden k¨ R=

Kapitel 17

Codemultiplex¨ Ubertragung 17.1

Matched-Filter in Codemultiplex-Systemen

Zur Daten¨ ubertragung wird ein Codemultiplex-Verfahren benutzt. Abbildung 17.1.1 zeigt den Sendeimpuls eines Nutzers. gS (t) 1/T T /2 T /4

3T /4

T

t

−1/T

Abbildung 17.1.1: Sendeimpuls eines Nutzers

a) Zeichnen Sie die kausale Impulsantwort des zugehörigen empfangsseitigen Matched-Filters gE (t). b) Bestimmen und gS (t) ∗ gE (t).

skizzieren

Sie

die

Gesamtimpulsantwort

c) Um welchen Faktor reduziert sich das S/N -Verhältnis am Empfangsfilter-Ausgang nach idealer Abtastung, wenn statt des Matched-Filters eine rechteckf¨ ormige Impulsantwort der Dauer T und Amplitude 1/T eingesetzt wird?

¨ 17 Codemultiplex-Ubertragung

186

17.2

Interferenz in CDMA-Systemen

Am Eingang eines CDMA-Empf¨ angers liegt die Summe von Datensignalen dreier Nutzer, denen die drei Codes p(1) (t), p(2) (t) und p(3) (t) in Abbildung 17.2.1 zugeordnet sind. Die Signale sind synchron zueinander, die Modulationsform ist jeweils BPSK, und die Symbolrate ist 1/T . Sie erfahren die gleiche Bewertung durch einen nicht frequenzselektiven Kanal. p(1) (t) 1 T

t

−1 p(2) (t) 1 T

t

−1 p(3) (t) 1 T

t

−1

Abbildung 17.2.1: Drei Signaturen

a) Zeichnen Sie das Blockschaltbild einen geeigneten Empfänger zur Detektion des ersten Nutzers mit dem Code p(1) (t). b) Berechnen Sie f¨ ur den in Aufgabenteil a) entworfenen Empfänger das S/I -Verh¨ altnis, also das Verh¨ altnis der Nutz- zur Interferenzleistung.

187

17.3 Korrelation von CDMA-Codesequenzen

17.3

Korrelation von CDMA-Codesequenzen

Damit zwei Sender gleichzeitig ein einzelnes Symbol d(1) ∈{−1, 1} bzw. d(2) ∈{−1, 1} an eine Basisstation u ¨ bermitteln können, wird das in Abbildung 17.3.1 skizzierte synchrone CDMA System eingesetzt. Am Sender werden die Symbole mit der Codesequenz p(1) (i) bzw. p(2) (i) mit Spreizfaktor K = 8 multipliziert. Um am Empfänger die gesendeten Symbole rekonstruieren zu k¨ onnen, wird das empfangene Signal mit der entsprechenden Codesequenz erneut multipliziert und anschließend u ¨ber K Chip-Takte summiert. Die Code-Sequenz des ersten Senders lautet ⎧ ⎨ {+1, −1, +1, −1, +1, +1, −1, +1 } f¨ ur 0 ≤ i ≤ 7 p(1) (i) = ⎩ 0 sonst .

p(1) (i)

p(1) (i)

K−1

d(1)

d(2) Sender 2

x(1)

dˆ(1)

x(2)

dˆ(2)

i=0

Sender 1 p(2) (i)

Empfänger

p(2) (i) K−1 i=0

Abbildung 17.3.1: Synchrones CDMA-System f¨ ur zwei Nutzer

a) W¨ ahlen Sie aus den unten angegebenen Sequenzen p(A) (i), p(B) (i) oder p(C) (i) eine geeignete Codesequenz f¨ ur Sender 2 aus, die einen interferenzfreien Empfang beider Nutzer garantiert. p(A) (i) = {−1, +1, +1, −1, −1, −1, +1, −1 } f¨ ur 0 ≤ i ≤ 7 ur 0 ≤ i ≤ 7 p(B) (i) = {+1, +1, −1, +1, −1, +1, −1, +1 } f¨ ur 0 ≤ i ≤ 7 p(C) (i) = {+1, −1, −1, −1, +1, −1, −1, +1 } f¨


188

F¨ ur alle drei Sequenzen gilt p(A) (i) = p(B) (i) = p(C) (i) = 0 f¨ ur 0 > i > 7. b) Wieviele Sender k¨ onnen mit dem angegebenen Spreizfaktor gleichzeitig mit der Basisstation kommunizieren, ohne sich gegenseitig zu st¨ oren? c) Das Signal des zweiten Senders erreicht nun um 1 Chip-Intervall zeitverz¨ ogert den Empf¨ anger gem¨ aß Abbildung 17.3.2. Nehmen Sie an, dass Sender 2 nun die Codesequenz p(A) (i) zur Spreizung der Daten verwendet. Bestimmen Sie das (S/N )MUI Verhältnis des Signals x(1) = xSignal + xMUI nach der Entspreizung, wobei S die Leistung von xSignal und NMUI die Leistung der Mehrnutzerinterferenz xMUI bezeichnet, die durch den Sender 2 verursacht wird.

p(1) (i)

p(1) (i)

Empfänger K−1 x(1)

(1)

d

dˆ(1)

i=0

Sender 1 p(2) (i) d(2)

z −1

Sender 2 Abbildung 17.3.2: Asynchrones CDMA-System

17.4

Orthogonale Codes in CDMA-Systemen

Gegeben sind die beiden Nutzercodes in Abbildung 17.4.1 zur Anwen¨ dung in einem CDMA-Ubertragungssystem, wobei Tc die Chipdauer und T die Symboldauer bezeichnet. a) Zeigen Sie, dass die beiden Codes orthogonal sind.

189

17.5 L¨ osungen

+1

p(1) (t) t

Nutzer 1 Tc

T

−1

+1

p(2) (t) t

Nutzer 2 −1

Abbildung 17.4.1: Codesequenzen eines CDMA-Systems

b) Wieviele weitere orthogonale Codesequenzen gleicher Länge existieren? Geben Sie zwei Beispiele. c) Die beiden Nutzersignale werden asynchron u ¨ ber einen nichtfrequenzselektiven Kanal u ¨ bertragen; das Signal von Nutzer 2 ist am Empf¨ anger gegen¨ uber dem von Nutzer 1 um einen Chiptakt Tc verz¨ ogert. Skizzieren Sie das Signal von Nutzer 2 im Intervall iT ≤ t ≤ (i + 1)T f¨ ur d(2) (i) = d(2) (i − 1) = 1 und (2) (2) d (i) = −d (i − 1) = 1. d) Berechnen Sie das Korrelator-Ausgangssignal des Nutzers 1 f¨ ur beide in Aufgabenteil c) angegebenen F¨ alle f¨ ur d(1) (i) = 1.

17.5

L¨ osungen

17.5.1

Matched-Filter in Codemultiplex-Systemen

a) Die Impulsantwort des Matched-Filters ist in Abbildung 17.5.1 dargestellt.


190 gE (t) 1/T T /2

T

t

−1/T

Abbildung 17.5.1: Impulsantwort des empfangsseitgen Matched-Filters

b) Die Gesamtimpulsantwort bestimmt aus der Faltung von Sendeund Empfangsfilter ist in Abbildung 17.5.2 zu sehen.

4/T

gS (t) ∗ gE (t)

1/T −1/T

T /2

T

2T

t

Abbildung 17.5.2: Gesamtimpulsantwort

c) F¨ ur gE (t) = rect(t/T ) ist die Gesamtimpulsantwort in Abbildung 17.5.3 dargestellt. Der Maximalwert der Amplitude wird um den Faktor 2 reduziert. Dies entspricht einer Dämpfung um 20 · log10 (0.5) = 6 dB. 4/T

gS (t) ∗ gE (t)

1/T −1/T

T /2

T

2T

t

Abbildung 17.5.3: Gesamtimpulsantwort im Falle von nicht angepassten Filtern

191

17.5 L¨ osungen

17.5.2

Interferenz in CDMA-Systemen

a) Ein m¨ oglicher Empf¨ anger ist in Abbildung 17.5.4 dargestellt. Das Empfangssignal wird zun¨ achst mit der Signatur p(1) (t) des ersten Nutzers multipliziert, dann u ¨ ber die Dauer T der Sequenz integriert. Anschließend findet die Datendetektion statt, die im Falle einer BPSK einer Vorzeichenentscheidung entspricht. iT

p(1) (t) t+T

r(t)

dˆ(1)

(·)dt

t

Abbildung 17.5.4: Korrelationsempf¨ anger f¨ ur den ersten Nutzer

b) Das empfangene Signal besteht aus der Summe dreier Codesequenzen 3 r(t) = d(i) p(i) (t) . (17.5.1) i=1

Die Multiplikation mit der Signatur p(1) (t) gefolgt von der Integration ergibt

T

r(t )p 0

(t )dt =

T

d(1) (p(1) (t ))2 dt

0

T

+

(1)

0

d(2) p(2) (t )p(1) (t ) dt +

0

T

d(3) p(3) (t )p(1) (t ) dt

(17.5.2)

Rest-Interferenz

Die Interferenz vom zweiten Nutzer ist T p(1) (t)p(2) (t)dt = T /8(+1 + 1 − 1 + 1 − 1 − 1 + 1 + 1) = T /4 0

(17.5.3) und vom dritten Nutzer T p(1) (t)p(3) (t)dt = T /8(−1 − 1 + 1 − 1 − 1 − 1 − 1 + 1) = T /2 , 0

(17.5.4)


192

so dass das S/I -Verh¨ altnis gegeben ist durch S/I =

17.5.3

T2 = 16/5 . (T /4)2 + (T /2)2

(17.5.5)

Korrelation von CDMA-Codesequenzen

¨ a) Die Ubertragung kann interferenzfrei erfolgen, wenn die Orthogonalit¨ atsbeziehung K−1 p(1) (i)p(X) (i) = 0 (17.5.6) i=0

erf¨ ullt ist. Wegen K−1

p(1) (i)p(A) (i) = −1 − 1 + 1 + 1 − 1 − 1 − 1 − 1 = −4 ,

i=0 K−1

p(1) (i)p(B) (i) = +1 − 1 − 1 − 1 − 1 + 1 + 1 + 1 = 0 ,

i=0 K−1

p(1) (i)p(C) (i) = +1 + 1 − 1 + 1 + 1 − 1 + 1 + 1 = 4

i=0

(17.5.7) ist p(B) (i) die gesuchte Sequenz. b) Wenn man das gesendete Signal in der Form einer Matrix-VektorMultiplikation Pd darstellt, wobei die Spalten von P den Codesequenzen p(i) und d = [d(1) , · · · , d(8) ]T den Sendesymbolen entsprechen, dann besteht die Detektion in der Multiplikation mit der Inversen P−1 bzw. Pseudoinversen P+ . Interferenzfreiheit besteht dann, wenn P+ P = IK , (17.5.8) wobei IK der Einheitsmatrix entspricht. Diese Bedingung ist dann erf¨ ullt, wenn P maximalen Rang hat; letzterer ist im gegeben Fall 8, so dass maximal 8 Nutzer gleichzeitig interferenzfrei u ¨bertragen k¨ onnen.

193

17.5 L¨ osungen

c) Die Interferenzleistung ist gegeben durch

2

K−1

p(1) (i)p(A) (i − 1) = |1 + 1 − 1 − 1 − 1 + 1 + 1|2 = 1 (17.5.9) i=1

und die Nutzleistung ist

2

K−1

p(1) (i)p(1) (i) = 64 .

(17.5.10)

i=0

Daher ist das S/I -Verh¨ altnis 64.

17.5.4

Orthogonale Codes in CDMA-Systemen

a) Die Orthogonalit¨ at kann durch (i+1)T

p1 (t − iT )p2 (t − iT )dt =

Nc

kTc +iT

p1 (t − iT )p2 (t − iT )dt

k=1(k−1)T +iT c

iT

=1−1−1+1−1+1+1−1=0 (17.5.11) u uft werden. ¨berpr¨ b) Acht verschiedene orthogonale Codes existieren, z.B. ur 0 < t < T . px (t) = 1 f¨ oder

⎧ ⎨ 1 py (t) = ⎩ −1

f¨ ur

0 < t < T /2

f¨ ur

T /2 < t < T

(17.5.12a)

(17.5.12b)

c) Die verz¨ ogerten Signale von Nutzer 2 sind in Abbildung 17.5.5 dargestellt.


194

+1 t d2 (i − 1) = 1 −1

+1 t d2 (i − 1) = −1 −1

Abbildung 17.5.5: M¨ ogliche Signale von Nutzer 2

d) F¨ ur d2 (i − 1) = 1 gilt

Tc +iT

p1 (t − iT ) · p2 (t + 7Tc − iT )dt

iT

+

Nc

kTc +iT

p1 (t − iT ) · p2 (t − Tc − iT )dt

k=2(k−1)T +iT c

= −1 + 1 + 1 − 1 + 1 − 1 − 1 = 0 , (17.5.13) d.h. die Orthogonalit¨ at bleibt erhalten, während f¨ ur d2 (i − 1) = −1

Tc +iT

p1 (t − iT ) · (−p2 (t + 7Tc − iT ))dt

iT

+

Nc

kTc +iT

p1 (t − iT ) · p2 (t − Tc − iT )dt

k=2(k−1)T +iT c

= +1 + 1 + 1 − 1 + 1 − 1 − 1 = 2.

(17.5.14)

¨ Hier geht die Orthogonalit¨ at verloren, Ubersprechen entsteht.

Kapitel 18

Mehrantennensysteme 18.1

Informationstheorie

Das generelle Systemmodell sei y = Hd+n ,

(18.1.1)

2 = 1 normiert und die mittlere wobei das Rauschen auf die Varianz σN 2 gesamte Sendeleistung beschr¨ ankt ist auf P = E{d2} = σD = 10. 2 2 Weiterhin seien |h1 | = 1 und |h2 | = 0.1.

a) Berechnen Sie die Kanalkapazit¨ at ohne Kanalkenntnis am Sender f¨ ur die folgenden Spezialf¨ alle: ⎡ ⎤ h1 – SIMO mit H = ⎣ ⎦ h2 – MISO mit H = h1 h2 ⎡ ⎤ h1 0 ⎦ – MIMO mit H = ⎣ 0 h2 b) Es besteht nun Kanalkenntnis am Sender. Bestimmen Sie die minimale Sendeleistung P ∗ , f¨ ur die die zweite Antenne im MIMO-Fall angeschaltet wird anhand einer grafischen Waterfilling-Lösung. c) Berechnen Sie die Kanalkapazit¨ at des MIMO-Falls mit Kanalkenntnis am Sender f¨ ur die gegebene Sendeleistung P = 10.

18 Mehrantennensysteme

196

18.2

Beamforming am Sender

In einem MISO-System mit NS = 3 Sendeantennen und einer Empfangsantenne werden QPSK-Daten der Form √ d(i) ∈ 0.5 · {+1 + j , +1 − j , −1 + j , −1 − j} mittels Beamforming u ¨ber einen flachen Kanal mit dem Kanalvektor ⎛ ⎞ 0.7 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (18.2.1) h = ⎜0.5 · ejπ/6 ⎟ ⎝ ⎠ 0.4 · j 2 u = 0.05. ¨ bertragen. Die Varianz des Rauschens sei σN

a) Bestimmen Sie den hinsichtlich des Signal-zu-Rausch-Verhältnisses am Empf¨ anger optimalen Beamforming-Vektor. b) Berechnen Sie das Signal-zu-Rausch-Verhältnis am Empfänger f¨ ur dem Beamforming-Vektor aus a). c) Geben Sie die Systemgleichung des ¨ aquivalenten SISO-Systems an. d) Ermitteln Sie die Bitfehlerrate des ¨ aquivalenten SISO-Systems. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem aus Aufgabe 15.1c). Nennen Sie den wesentlichen Nachteil von sendeseitigem Beamforming. Hinweis: Ben¨ otigte Werte der erfc-Funktion entnehmen Sie Abbildung 11.2.3 auf S. 113.

18.3

Diversit¨ atsgewinn eines Space-Time Codes

¨ Ein Ubertragungssystem mit NS = 2 Sendeantennen und einer Empfangsantenne verwendet einen Space-Time Code nach Alamouti, wie es in Abbildung 18.3.1 dargestellt ist. Die Kanalkoeffizienten h1 , h2 seien Rayleigh-verteilt und konstant f¨ ur zwei aufeinanderfolgende Symbole. Die Leistung der antipodalen Sendedaten pro Symboldauer ist

18.3 Diversit¨ atsgewinn eines Space-Time Codes

s1 (i)

−d∗2

r1

n(i)

S/P

1/2

d2 2i

r(i)

d∗1

2i +1 1/2

s2 (i)

*

r2∗

Alamouti Decodierer

d2

d1

Alamouti Codierer

d(i )

S/P

d1

197

ˆ ) d(i y(i)

¨ Abbildung 18.3.1: Ubertragungssystem mit Space-Time-Codierung nach Alamouti 2 auf σD = 1 normiert. Am Empf¨ anger wird eine Maximum-LikelihoodDecodierung des Space-Time Codewortes durchgef¨ uhrt.

a) Zeigen Sie, dass die resultierende Kanalmatrix HAl des AlamoutiCodes orthogonale Spalten enth¨ alt. b) Beweisen Sie, dass der Alamouti-Code einen Diversitätsgewinn von L = 2 erreicht. Hinweis: Setzen Sie f¨ ur den Beweis eine obere Schranke f¨ ur die Auftrittswahrscheinlichkeit paarweiser, fehlerhafter Ereignisse (Union Bound ) an. Pe ≤

P {Di → Dj |h} ,

(18.3.1)

i=j

wobei P {Di → Dj |h} die Wahrscheinlichkeit darstellt, dass bei ¨ der Ubertragung u ¨ ber den Kanal h ein Alamouti-Codeword Di gesendet, aber Dj empfangen wurde und kein weiteres Symbol existiert. F¨ ur die erfc-Funktion gilt eine obere Schranke nach 2

erfc (x) ≤ e−x .

(18.3.2)

Weiterhin gilt f¨ ur die momenterzeugende Funktion einer exponentiell verteilten Zufallsvariablen X mit Parameter k < 1 E ekX =

1 . 1−k

(18.3.3)


198

18.4

Successive Interference Cancellation (SIC)

¨ Zur kabellosen BPSK-Ubertragung wird ein V-BLAST-System mit NS = NE = 3 Antennen eingesetzt, das am Empfänger ein sukzessives Detektionsverfahren verwendet. Der vorliegende flache, zeitinvariante MIMO-Kanal kann durch die Kanalmatrix ⎛ ⎞ 1 −0.5 0.8 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (18.4.1) H = ⎜0.4 0.5 0.2 ⎟ ⎝ ⎠ 1.1 −1.2 −0.6 beschrieben werden. a) Bestimmen Sie die QL-Zerlegung der Kanalmatrix H = QL mit Hilfe des klassischen Gram-Schmidt-Verfahrens. Dabei stellt L eine untere Dreiecksmatrix dar. Hinweis: In Anhang B.1.9 in [Kam08, S. 763] ist dieses Verfahren f¨ ur eine QR-Zerlegung mit oberer Dreiecksmatrix wiedergegeben. b) Geben Sie allgemein f¨ ur eine QL-basierte Successive Interference Cancellation (SIC)-Detektion den Ausdruck f¨ ur das Empfangssignal des k-ten Layers vor dem Entscheider an. c) Skizzieren Sie ein Blockschaltbild des SIC-Detektors unter Verwendung der QL-Zerlegung f¨ ur das vorliegende MIMO-System. d) Am Empf¨ anger liegt zum Zeitpunkt i der Empfangsvektor ⎛ ⎞ −0.3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ r(i) = ⎜ 0.7 ⎟ ⎝ ⎠ 0.5

(18.4.2)

ˆ mit Hilfe der atzten Sendedaten d(i) vor. Bestimmen Sie die gesch¨ QL-basierten Detektion.

18.5 L¨ osungen

199

18.5

L¨ osungen

18.5.1

Informationstheorie

a) F¨ ur die Kanalkapazit¨ at ohne Kanalkenntnis am Sender gilt im Allgemeinen nach Gleichung (18.1.20) auf S.719 des Lehrbuches σ2 H . C(H) = log2 det INE + D · HH 2 σN

(18.5.1)

Wir betrachten nun die drei F¨ alle getrennt: – SIMO: F¨ ur den Fall NS = 1 und NE = 2 ergibt sich folgende Kanalkapazit¨ at ⎡ ⎤ ⎞⎞ h1 P log2 ⎝det ⎝INE + 2 · ⎣ ⎦ [h∗1 h∗2 ]⎠⎠ σN h2 ⎡ ⎛ ⎛ ⎤⎞⎞ |h1 |2 h1 h∗2 ⎦⎠⎠ log2 ⎝det ⎝INE + 10 · ⎣ h2 h∗1 |h2 |2 log2 1 + 10 · (|h1 |2 + |h2 |2 ) 3.585 bit/s/Hz . ⎛

C(H) =

= = =

⎛

(18.5.2a)

(18.5.2b) (18.5.2c) (18.5.2d)

– MISO: Unter Verwendung von NS = 2 und NE = 1 folgt mit Gleichung (18.5.1) und der Aufteilung der Sendeleistung P auf beide Sendeantennen ⎡ ⎤⎞⎞ ⎛ ⎛ h∗1 P C(H) = log2 ⎝det ⎝INE + 2 · [h1 h2 ] ⎣ ⎦⎠⎠ (18.5.3a) 2σN h∗2 = log2 1 + 5 · (|h1 |2 + |h2 |2 ) (18.5.3b) = 2.7 bit/s/Hz . (18.5.3c) – MIMO: F¨ ur den MIMO-Fall muss die Aufteilung der Sendeleistung wie im MISO-Fall ber¨ ucksichtigt werden. Dann be-


200

rechnet sich die Kapazit¨ at zu ⎡ ⎛ ⎛ ⎤⎡ ⎤⎞⎞ h1 0 h∗1 0 P ⎦⎣ ⎦⎠⎠(18.5.4a) C(H) = log2 ⎝det ⎝INE + 2 · ⎣ 2σN 0 h2 0 h∗2 ⎛ ⎛⎡ ⎤⎞⎞ 0 1 + 5 · |h1 |2 ⎦⎠⎠ (18.5.4b) = log2 ⎝det ⎝⎣ 0 1 + 5 · |h2 |2 = 3.167 bit/s/Hz .

(18.5.4c)

b) Die Herleitung der Waterfilling-L¨ osung ist in Abschnitt 18.3.1 auf S.734 des Lehrbuches beschrieben. Dabei wird in dieser Teilaufgabe der zweiten Antenne Leistung zugeteilt, wenn nach dem Waterfilling-Prinzip der kritische Waterfilling-Level Θ∗ exakt das inverse Signal-zu-St¨ orverh¨ altnis der zweiten Antenne erreicht. Dies ist in Abbildung 18.5.1 verdeutlicht. Im weiteren Verlauf wird die 2 Leistung der Sendedaten zu σD = 1 gesetzt.

Θ∗ P∗

2 σN σ22

2 σN σ12

Kanäle ν Abbildung 18.5.1: Graphische Waterfilling-L¨ osung

F¨ ur den Speziallfall des MIMO-Kanals aus der Aufgabenstellung entsprechen die quadrierten Singul¨ arwerte den quadrierten Kanalkoeffizienten. Damit l¨ asst sich f¨ ur die minimale Sendeleistung Folgendes ermitteln: P∗ =

2 2 σN σN 1 1 − = − = 10 − 1 = 9 2 2 2 σ2 σ1 |h2 | |h1 |2

(18.5.5)

18.5 L¨ osungen

201

c) Zur Berechnung der Kanalkapazit¨ at mit perfekter Kanalkentnnis muss die Waterfilling-L¨ osung f¨ ur beide Subkanäle bestimmt werden. Dies geschieht unter Ber¨ ucksichtigung der Gesamtsendeleistung 2 pi = P , (18.5.6) i=1

die nicht u ¨ berschritten werden darf. Mit der Waterfilling-Lösung nach Gleichung (18.3.4c) und Gleichung (18.3.5) auf S.734f des Lehrbuches ergibt sich dann mit Gleichung (18.5.6) 1 1 Θ− + Θ− =P (18.5.7a) |h1 |2 |h2 |2 Θ

P+

=

1 |h1 |2

2

+

1 |h2 |2

=

10 + 10 + 1 = 10.5 2

(18.5.7b)

Dabei ergeben sich die einzelnen Subkanalleistungen zu p1 = (10.5 − 1) = 9.5 und p2 = (10.5 − 10) = 0.5. Die Kanalkapazit¨ at folgt dann aus der Summe der parallelen Subkanäle. C(H) |CSI = = =

18.5.2

2 2 σD (18.5.8a) log2 1 + pν |hν | 2 σN ν=1 log2 1 + 9.5 · |h1 |2 + log2 1 + 0.5 · |h2 |2 (18.5.8b) 3.463 bit/s/Hz . (18.5.8c) NS

Beamforming am Sender

a) Der optimale Beamforming-Vektor kann nach Gleichung (18.2.4a) in [Kam08, S. 724] bestimmt werden zu ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0.7379 0.7 ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎜ h∗ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = v= ⎜0.5 · e−jπ/6 ⎟ = ⎜0.527 · e−jπ/6 ⎟ , ⎠ ⎝ ⎠ ||h|| 0.9487 ⎝ −0.4 · j −0.4216 · j (18.5.9) unter der Annahme, dass die gemeinsame Phase ψ = 0 ist. Die Matrixnorm ||h|| kann z.B. mit Gleichung (B.1.3c) in [Kam08] berechnet werden.


202

b) Das Signal-zu-Rausch-Verh¨ altnis am Empfänger kann bestimmt werden zu S ||hT s(i)||2 = , (18.5.10) 2 N BF σN 2 wenn s(i) = v d(i) der vorcodierte Sendevektor mit σD = 1 ist. Unter Verwendung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung kann eine obere Schranke der Form ||hT s(i)||2 ||h||2 ||s(i)||2 ≤ , (18.5.11) 2 2 σN σN

eingef¨ uhrt werden. Setzt man Gleichung (18.5.9) in (18.5.11) ein, dann ist das Gleichheitszeichen erf¨ ullt und man erreicht das maximale Signal-zu-Rausch-Verh¨ altnis. Dieses lässt sich dann bestimmen zu h∗ 2 || ||hT ||h|| S ||h||2 = = = 18 = ˆ 12.6 dB . (18.5.12) 2 2 N BF σN σN c) Das a asst sich einfach berechnen zu ¨quivalente SISO-System l¨ h∗ d(i) + n(i) (18.5.13a) ||h|| ˜ d(i) + n(i) , (18.5.13b) = ||h|| d(i) + n(i) = h ˜ = ||h|| = 0.9487. mit dem Kanalkoeffizienten h y(i) =

hT

d) Zur Berechnung der Bitfehlerrate kann nach Aufgabe 15.1 Gleichung (15.3.8) verwendet werden. Das daf¨ ur benötigte S/N Verh¨ altnis kann aus Teilaufgabe b) genommen werden oder f¨ ur ˜ 2 /σ 2 = 18 bestimmt werden. das ¨ aquivalente SISO-System zu |h| N Damit erh¨ alt man mit 1 S/N |BF Pb,QPSK = · erfc . (18.5.14) 2 2 und unter Zuhilfenahme von Abbildung 11.2.3 eine Bitfehlerrate von Pb,QPSK ≈ 1.1 · 10−5 . Dies ist identisch mit der Bitfehlerrate aus Aufgabe 15.1c). Beamforming am Sender kann demnach als Maximum Ratio Combining am Sender interpretiert werden. Der wesentliche Nachteil ist jedoch der Bedarf der Kenntnis des Kanals h am Sender, der den zus¨ atzlichen Aufwand eines R¨ uckkanals erfordert.

18.5 L¨ osungen

18.5.3

203

Diversit¨ atsgewinn eines Space-Time Codes

a) Die Empfangsssignale u ¨ ber zwei Zeitschlitze lauten zunächst 1 r1 = √ (h1 d1 + h2 d2 ) + n1 , 2 (18.5.15) 1 r2 = √ (h1 (−d∗2 ) + h2 d∗1 ) + n2 . 2 √ Der Faktor 1/ 2 bewirkt eine Normierung der Sendeleistung auf Eins. Da man an der Detektion der Daten d1 und d2 interessiert ist, kann man Gleichung (18.5.15) auch darstellen durch ⎛ ⎛ ⎞ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ r1 h1 h2 d1 n1 1 ⎠= √ ⎝ ⎠⎝ ⎠+⎝ ⎠ (18.5.16) r=⎝ 2 r2∗ h∗2 −h∗1 d2 n∗2 HAl mit der Kanalmatrix HAl . Zu beweisen ist die Orthogonalität der Spalten dieser Matrix. Dazu ist zu zeigen, dass HH Al HAl eine skalierte Einheitsmatrix ist. ⎛ ⎞⎛ ⎞ ∗ h h h h 2 1 2 ⎝ 1 ⎠⎝ ⎠ HH (18.5.17a) Al HAl = h∗2 −h1 h∗2 −h∗1 ⎞ ⎛ h∗1 h1 + h2 h∗2 h∗1 h2 − h2 h∗1 ⎠ (18.5.17b) = ⎝ h∗2 h1 − h1 h∗2 h∗2 h2 + h1 h∗1 = |h1 |2 + |h2 |2 · I2 . (18.5.17c) Aufgrund der damit bewiesenen Orthogonalität der Spalten, kann man am Empf¨ anger eine vereinfachte Maximum-LikelihoodDetektion durchf¨ uhren. Multipliziert man nämlich den Empfangsvektor mit der transjugierten Kanalmatrix, so ergibt sich ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ d n 1 1 1 ⎠ + HH ⎝ ⎠, y = HH |h1 |2 + |h2 |2 · ⎝ Al r = √ Al 2 d2 n∗2 ˜ n (18.5.18)


204

√ Dividiert man nach der Entnormierung mit dem Faktor 2 durch den Faktor |h1 |2 + |h2 |2 , so erh¨ alt man automatisch die MLSch¨ atzwerte f¨ ur d1 und d2 . b) Unter Ber¨ ucksichtigung des vorgeschlagenen Ansatzes aus Gleichung (18.3.1), schaut man sich die paarweise Fehlerwahrscheinlichkeit f¨ ur zwei bestimmte Space-Time Codewörter Di und Dj an. Das Empfangssignal in Vektor-Matrix-Notation unter der Bedingung, dass Di gesendet wurde, hat die Form ri = hT Di + ni ,

(18.5.19) T

wobei f¨ ur den Kanalvektor h = [h1 , h2 ] gilt. Der MaximumLikelihood-Detektor f¨ uhrt eine Entscheidung bez¨ uglich der minimalen quadratischen Euklidschen Distanz durch. Dann lässt sich f¨ ur die paarweise Fehlerwahrscheinlichkeit schreiben P {Di → Dj |h} = P ||ri − hT Di ||2 − ||ri − hT Dj ||2 < 0|h (18.5.20) Gleichung (18.5.20) l¨ asst sich umschreiben zu P {Di → Dj |h} ! H H = P ri −hT Di ri −hT Di − ri −hT Dj ri −hT Dj < 0|h ! T H T h − h (D − D ) + n (D − D ) + n < 0|h = P n i nH i j i i j i i H = P ||h (Di − Dj ) ||2 + X > 0|h = P X > ||hH (Dj − Di ) ||2 |h (18.5.21) H

H mit der Variablen X = nH i (Dj − Di ) h + h (Dj − Di ) ni . X ist wie das urspr¨ ungliche Rauschen immer noch eine Mittelwert-freie 2 Gaußsche Variable mit einer Varianz von 2 · σN ||hH (Dj − Di ) ||2 . Dies folgt aus der Annahme, dass sowohl h als auch (Dj − Di ) konstant sind.

Die paarweise Fehlerwahrscheinlichkeit zweier Space-Time Codew¨ orter unter der Bedingung, dass u ¨ ber den Kanal h u ¨bertragen wurde, l¨ asst sich mit Hilfe der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion "∞ 2 2 erfc (x) = 1 − √ e−y dy (18.5.22) π x

18.5 L¨ osungen

205

schreiben zu 1 P {Di → Dj |h} = · erfc 2

#

||hH (Dj − Di ) ||2 2 2 · σN

.

(18.5.23)

F¨ ur ein antipodales Datensignal und der Mittelung u ¨ ber alle Kanalrealisierungen folgt f¨ ur den Ausdruck der paarweisen Fehlerwahrscheinlichkeit P {Di → Dj } = ⎧ ⎛# ⎞⎫ ⎨1 S H (D − D ) (D − D )H h ⎬ · h j i j i ⎠ , (18.5.24) · erfc ⎝ N E ⎩2 ⎭ 2 wobei S/N das empfangsseitige S/N -Verhältnis am Ausgang des Matched-Filters gem¨ aß Gleichung (8.3.11) in [Kam08, S. 255] beschreibt. Die Matrix (Dj − Di ) (Dj − Di )H ist hermitesch und kann daher diagonalisiert werden, indem eine Eigenwertzerlegung nach Gleichung (B.1.18) im Anhang des Lehrbuches durchgef¨ uhrt H H wird. Dann ist (Dj − Di ) (Dj − Di ) = UΛU charakterisiert durch eine unit¨ are Matrix U und eine Diagonalmatrix Λ bestehend aus den Eigenwerten der Codewortdifferenzmatrix λ . Mit Hilfe der Gleichungen (18.3.2) und (18.3.3) und unter ˜ = Uh weiterhin GaußBer¨ ucksichtigung, dass die Koeffizienten h verteilte Zufallsvariablen sind, l¨ asst sich Gleichung (18.5.24) schreiben zu ⎧ ⎛ ⎞⎫ 2 2 + ˜ S ⎪ ⎪ ⎪ h λ ⎪ · ⎨1 ⎜ N =1 ⎟⎬ ⎜ ⎟ · exp ⎝− P {Di → Dj } ≤ E ⎠⎪ (18.5.25a) ⎪2 4 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ =

2 ,

1 . 1 + · λ /4 =1

(18.5.25b)

S N

Um den Diversit¨ atsgewinn zu erhalten, schätzen wir Gleichung (18.5.25b) f¨ ur ein hohes Signal-zu-Rausch-Verhältnis ab. Dann entf¨ allt die Eins im Nenner, und man erhält P {Di → Dj } ≤

42 2 S 2 N

=1

. λ

(18.5.26)


206

Gleichung (18.5.26) sagt aus, dass sich die Fehlerwahrscheinlichkeit mit steigendem S/N -Verh¨ altnis quadratisch verringert. Diese Beziehung weist auf den Diversit¨ atsgrad von 2 hin. Dies ist z.B. in [Kam08, S. 574] erl¨ autert. Bez¨ uglich dieses Aufgabenteils finden sich in der Literatur zahlreiche a ¨hnliche Betrachtungen und Herleitungen [BCC+ 07, TV05].

18.5.4

Successive Interference Cancellation (SIC)

a) Zur Durchf¨ uhrung des klassischen Gram-Schmidt-Verfahrens nutzen wir die Vektornotation ⎛ ⎞ l1,1 0 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ . (18.5.27) a1 . . . an = q1 . . . qn · ⎜ l2,1 l2,2 ⎝ ⎠ l3,1 l3,2 l3,3 Dabei sind die orthogonalen Vektoren qi die Spalten der Matrix Q. Die Vektoren ai entsprechen den Spalten der Matrix H. Dabei gilt bei der QL-Zerlegung f¨ ur die Spaltenvektoren ai der Zusammenhang NS ai = lν,i qν . (18.5.28) ν=i

Mit Gleichung (18.5.28) l¨ asst sich die Gram-SchmidtOrthogonalisierung durchf¨ uhren. Dabei wird die Notation in Anlehnung an den Anhang B.1.9 in [Kam08, S. 764] verwendet. → l33 = a3 ; q3 = a3 /l33

1.

a3 = l33 q3

2.

a2 = l32 q3 + l22 q2 ; H H qH 3 a2 = l32 q3 q3 +l22 q3 q2 1

0

Δ

3.

→ l32 = qH 3 a2 ,

a2 = a2 − l32 q3 = l22 q2

→ l22 = a2 ; q2 = a2 /l22

a1 = l31 q3 + l21 q2 + l11 q1 ;

→ l31 = qH 3 a1 ; → l21 = qH 2 a1

Δ a1 =

a1 − l31 q3 − l21 q2 = l11 q1

→ l11 = a1 ; q1 = a1 /l11

18.5 L¨ osungen

207

Die Spaltenvektoren ai sind hier durch die Spalten der Kanalmatrix H zu ersetzen. Die vollst¨ andige QL-Zerlegung nach Berechnung aller Vektoren qν und aller Koeffizienten lν,i lässt sich dann zu ⎞ ⎛ ⎞⎛ 0.82 0 0 0.04 0.62 0.78 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ H = QL = ⎜0.93 −0.32 0.20 ⎟ ⎜1.28 −1.33 0 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠⎝ 0.22 0.41 1.02 0.37 0.72 −0.59 (18.5.29) formulieren. Die Elemente der Matrizen Q und L sind aus Gr¨ unden ¨ der Ubersicht auf die zweite Nachkommastelle gerundet. Bedenken Sie, dass dadurch die Beziehungen QH Q = INS bzw. H = QL nicht exakt erf¨ ullt sind. F¨ ur die Berechnungen in Teilaufgabe d) entstehen hiermit allerdings keine Folgefehler! b) F¨ ur den Empfangsvektor gilt allgemein nach Gleichung (18.3.15a) in [Kam08, S. 741] in Matrixschreibweise y(i) = QH r(i) = L d(i) + QH n(i) . ˜ (i) n

(18.5.30)

F¨ ur das i-te Symbol des k-ten Layers l¨ asst sich dann schreiben yk (i) = lk,k dk (i) +

k−1

lk,ν dν (i) + n ˜ k (i) .

(18.5.31)

ν=1

F¨ ur diese Aufgabe ist der Zusammenhang aus Gleichung (18.5.31) in Matrixschreibweise u ¨ bersichtlich in Gleichung (18.5.32) dargestellt. ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ d1 (i) l1,1 n ˜ 1 (i) y1 (i) 0 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ d2 (i) ⎟ + ⎜ n ⎜ y2 (i) ⎟ = ⎜ l2,1 l2,2 ˜ 2 (i) ⎟ . ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ l3,1 l3,2 l3,3 y3 (i) d3 (i) n ˜ 3 (i). (18.5.32) c) Das aus dem vorherigen Aufgabenteil abgeleitete Blockschaltbild ist in Abbildung 18.5.2 zu sehen.


208 1/l1,1

dˆ1 (i) 1/l2,2

y1 (i) l2,1 r(i)

QH y (i) 2

dˆ2 (i)

+

1/l3,3

l3,2

l3,1

y3 (i)

dˆ3 (i)

-

+

+

Abbildung 18.5.2: QL-basierter SIC-Detektor NS = NE = 3

f¨ ur

ein

System

mit

d) Bevor die Iterationsschritte der QL-basierten Detektion ausgef¨ uhrt werden k¨ onnen, muss der Empfangsvektor mit QH multipliziert werden. Diese Vorgehensweise ist u.a. in [Kam08, S. 741] erläutert. Somit ergibt sich f¨ ur den modifizierten Empfangsvektor y(i) y(i)

=

=

QH r(i) (18.5.33) ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞⎛ 0.82 −0.3 0.04 0.62 0.78 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎜0.93 −0.32 0.20 ⎟ ⎜ 0.7 ⎟ = ⎜−0.05⎟ . ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠⎝ −0.39 0.5 0.37 0.72 −0.59

F¨ ur das Empfangsssymbol des ersten Layers gilt nach Gleichung (18.5.31) y1 (i) = l1,1 d1 (i) .

(18.5.34)

Demnach folgt f¨ ur das gesch¨ atzte Empfangssymbol am Ausgang des Entscheiders / / . . 0.82 y1 (i) ˆ =1 (18.5.35) =Q d1 (i) = Q l1,1 0.82 Die gesch¨ atzte, durch den ersten Layer enstandene Interferenz muss nun vom zweiten Layer abgezogen werden, um das geschätzte, interferenzfreie Empfangssignal des zweiten Layers zu erhalten. Dies wird dann mit dem zweiten Diagonalelement l2,2 skaliert. Es ergibt

18.5 L¨ osungen

209

sich y2 (i) = dˆ2 (i) = =

l2,2 d2 (i) + l2,1 dˆ1 (i) 1 0 y2 (i) − l2,1 dˆ1 (i) Q l2,2 / . −0.05 − 1 · 1.28 = 1. Q −1.33

(18.5.36a) (18.5.36b) (18.5.36c)

Entsprechend folgt f¨ ur das dritte Empfangssymbol y3 (i) = l3,3 d3 (i) + l3,2 dˆ2 (i) + l3,1 dˆ1 (i) (18.5.37a) 1 0 y3 (i) − l3,2 dˆ2 (i) − l3,1 dˆ1 (i) (18.5.37b) dˆ3 (i) = Q l3,3 / . −0.39 − 1 · 0.41 − 1 · 0.22 = −1 , (18.5.37c) = Q 1.02 so dass sich der gesch¨ atzte Empfangsvektor nach der QL-basierten SIC f¨ ur den Zeitpunkt i zu d(i) = [ 1 1 − 1 ] ergibt.

T

(18.5.38)

Ausgew¨ ahlte Lehrbu ¨ cher [AJ05]

J. B. Anderson und R. Johannesson. Understanding Information Transmission. Wiley & Sons, 1. Auflage, 2005.

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S. Verd´ u. Multiuser Detection. Cambridge University Press, Cambridge, 1998.

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