F. Severi ( E d.)
Teorema di Riemann-Roch e questioni connesse Lectures given at the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.), held in Varenna (Como), Italy, June 29-July 8, 1955
C.I.M.E. Foundation c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini” Viale Morgagni n. 67/a 50134 Firenze Italy
[email protected] ISBN 978-3-642-10888-4 e-ISBN: 978-3-642-10889-1 DOI:10.1007/978-3-642-10889-1 Springer Heidelberg Dordrecht London New York
©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 st Reprint of the 1 ed. C.I.M.E., Florence, 1955 With kind permission of C.I.M.E.
Printed on acid-free paper
Springer.com
CENTRO INTERNATIONALE MATEMATICO ESTIVO (C.I.M.E)
Reprint of the 1st ed.- Varenna, Italy, June 29-July 8, 1955
TEOREMA DI RIEMANN-ROCH E QUESTIONI CONNESSE
B.L. Van Der Waerden:
Demonstration algebrique du theoreme de Riemann-Roch ...................................................... 1
F. Severi:
Del teorema di riemann-roch per curve, superficie e varietà. Le origini storiche e lo stato attuale ......................................................... 35
F. Hirzebruch:
Arithmetic genera and the theorem of Riemann-Roch ...................................................... 81
B.L. VAN
DER
WAERDEN
(I corso di Varenna-29 giugno-81uglio 1955)
DEMONSTRATION
ALGEBRIQUE
DU THEOREME
DE
RIEMANN-ROCH
Roma-Istituto Matematico dell'Universita 1955-ROMA
1
B.L.Van der Waerden
- 1 -
DEl:iOUSTRATION ALGEBRIQUE DU THE9lYME ~
RIEMANN-ROCH Lection 1. INTRODUCTION.
=:;==========
II Y a trois pOints de vue, trois manH~res de fomuler et demontrer Ie Theoreme de Riemann-Roch, savoLr' 1- 1e point de vue de 1a Theorie des fonations.
(t n
11- 1e point de vue de l'a1gebx9. 111- ce1ui de la geom~trie a1gebrique.
un0
I. Dans la theorie des fonctions; 1e point de depart est surface de Riemann ou Riemannienne close. Les fonctions me~e
morphes sur la Riemannienne forment un oorps de fonations K. Si est une de ces fonations, toutes les Butres sont des ioDitions
1&
algebriques de z1' II. Dans 1a theorie algebrique, Ie point de depart est un corps K=k(z1"" ,3 r ), ou k est un corps de constantes arbitraire, et ou tous 1es generateurs z1, ••• ,zr sont des fonctions algebriquoe d'un entre eux, qui n'est pas algebrique par rapport a k. III. Si on ajoute a z1, ••• ,zr une coordonnee homogene zo=1, on obtient un point generique (zo'." 'Zr) d 'une courbe algebri(lHO (dans .1'espace projectif S • Les pOints de 1a courbe sont les sper
cia1izstions du point generique. Le corps K est 1e corps des fonations rationelles sur la courbe:
F('ol "," Zt), G(:t I Zt) Q
I' . •
ou F et G sont des formes du mame
degree
On peut passer directement de la Riemannienne
a 1a
courbe C.
Soient zO"."Sr des fonctions meromorphes sur ls Riemannienne, at
3
B.L.Van der Waerden
soit P un point de la Rie.,..nj enn.e. Dans. ~'~touraga d.e 1'. le.s fonct~ z-01.,. ,!lI:r :peuvent at:re devel.opp'ee en series de puissuncos de 1a variable locale t. Si quelques-unea de cas fonctions ont un pele a P, on mul tip:uS toutes ces series par une puissance t
a
de Borte que les series
taZOf"'ftaZr ne contiennent pas de termes negatives:
et que les bi ne sont pas tous zero. A1ors, en posant t=O, on obtient un point (b o ,b 1 , ••• ,b r ) de La courbe C. Done: A chaque point P de la Riemannienne correspond un seul point de 1a courbe C. 11 peut se passer qu'un point de la courbe correspond
a
plusienrs points de la Riemannienne. Pour eviter eela, on eonstruit un modele Ct de la courbe C sans points multiples dans un espace Sr" Alors chaque point de C' correspond a ID1 seul point de la Riemannienne. Qu ' eat-ce qui correspom, dans la theorie algebrique, aux pOints P de la Riemannienne ou de la courbe a'? Ce sont lea valuations du corps K. Partons d'un point P de la Riemannienne • Chaque fonction u a un certain ~ a P: l'ordre eat positif pour un zero de fonction et negatif pour un p~le. L'ordre est aimplement Ie premier exposant dans le developpement de lafonction u. Cet ordre o(u) ales proprietea suivani~~ (1) o(u) est un entier, excepte 0(0)=00 (2) o{uv) = o{u)+o(v) (3) o (u+v) ~
Min (ou,ov) (4) o(c)=O s1 c est une conataate
4
~O.
]a
B.L.Van der Waerden
.. 3 -
Une application
0
de K ayant les proprietes (1)-(4), est
appelee une valuation discrete du corps de fanctions K. Noua avone vu qu'A chaque point P de la RiQJllaJUl1enl\e correspond une valuation Ope AUBsi a chaque pOint pI non generique de la courbe C' correspond una valuation, detinie comme suit. Soit
une fonction de K at soient a at b les multiplicites des hypersurfacee F et B avec C'
a P'.
d'intersectio~
Alors
o(u) = a - b ales proprietes (1 )-(4). 8i P' et pI! sont algebriquemebt conjugea par rapport a k,les valuations correspondant a P' et pI! sont los m~mes.
Dons: A chaque groupe de pOints conjuges par rapport
ak
torrospond une valuation 0 du corpa K. On peut demontrar gu'on obtiont ainsi toutes les valuations discrete s de )f. Les valuations 0 , qui jouent, dans la theorie algebrique, Ie mAme r~le que les points de la Riemannienne ou du modele C' jouent dans les autres theories,seront appeles places du corps K at denotes par P,Q, etc. Pour chaqqe place P, les fonctions u a valeur non negatifs forment un annaau Ep, l'anneau de la valuation, at les u
a valeur
posi tive forment un ideal Ip dans cet anneau, 1'ideal de la v:¥Y--&l.ll..9.!!. L I anneau residuel Ep/lp est un col1S fini sur k, le corpe. ~duel ~ de la valuaaion. 3i k est algebriquement ferme, 011 n toujours kp=k. Le degre f d'une place Pest 1e degre du corpa de residua kp p31:' rapport a k. Si v 1 , ••• ,vf forment une base de ~, les elements de kp sont c 1v 1+••• +c f v f • Les Vi Bont des classes de residua, msie j'indiquerai par Ie m~~e sjmbole des fonctions Vi representant cos 5
B.L.Van der Waerden
- 4 -
cl3.sses. Soit P une place et 7t une fonction de val&ur mivima1e positive. En di.viaan:t. taus les o(u) par 0(11"), on peut suppoaer o(1T' )=1. Alora, ai f=1, chqque fonotion u peut
~tre
developpee en
serie de puissances formelles
Si f
> 1,
~n
a au lieu de (1)
(2)
Les series (1) et (2) oorrespondent aux series c1assiques
Diviseurs. Si on ass~gne, exposants entiers
a
un nombre
fim
de places P, dOt!
e, on obtient un diviseur
Par exemple, 1es P peuvent
~tre
les
z~roa
et peles d'une
fonction u, chacun avec sa propre multip1icit6 e=o(u}. Alors
D=If pe est appele 1e diviseur de u et on ecrit D=(u).
Le produit de deux diviseurs est forme par l'addition des exposants:
8i D= -1
1T pe,
on definit D-'=
D , si on a duit,
o(u)
o(u) ~
~
1T p-e.
Une fonction u est multiple do
-e pour les plaoes P qui entrent dans le pro.
0 pour lea autres places.
6
B.L.Van der Waerden
- 5-
Le degre n(D) du diviseur D= ITpe est defini comme n(D)
au
=E
ef
fest 10 degre de P.
Le probleme qui conduiy au theor~me de Riemann-Roch est: Combian de fonctions u lineairement independants existent, qui sont des multiples d'un diviseur D-1 donne? La reponse est donnee par la formule bien connue (D)
n(D) - g+i(D)+1
ou g est Ie genre de la courbe at i(D) l'indica de specialite du divisemz D. Pour traduire ce problema dans Ie language de la geometric algebrique, on represente les fonctions u comme quotients de fonnoD du mllme dcgre FoA 0 t' ... +F;:~t
.
et la quostion se reduit
a l'autre:
.
Quelle est la dimension pro-
jective r= ..e (D)-1 d 'une serie linhire complete de groupes do pOints, coupea sur la courbe 0' par un syeteme de formes
A
F 0 0 +••• +Fr)..1f.. dont aucune n' est nulle e .. r toute la courbe, qui contient un groupe donne D? La ~ethode de construction est differente dans les trois theories. Dans la theorie des fonctions, on commenve a construire
J
des integrales AbHiennes de seconde espece 'II" ott a p51es donnees, et on demande combien de ces integra!es ont des periodes nulles. On peut ~oiBtruire 1es differentielles V dz par une methode algebrique (voir Lection 2), ou bien on peat construire
J
f
1a partie reelle de l' integrale = v dz comme fonction hanuonique au moyen du Principe de Dirichlet (voir H.Weyl, Die Idee der Riemannschen FIMche) au par Ie methode alternante de Schwarz (voir Nevanlinna, Uniformisierung p.150).
7
B.L.Van der Waerden
- 6 -
La methode artthmetique
represente lea fonctions u du
corps K au moyen d'une base de K par rapport au sous-corps k(z), ou z eat une variable independante choisie d'une maniere arbitreireo On a donc
1
on doit
remplac~y.
comme toujours, chaque coeffic:ie nt a jP par une somma c j v 1 + ••• +c.
Par un covecteur 11 nous entendons un systeme de cooffie:riis
0( XP' soua la seule condition qu'il n'y a qu'un nambre fini de coefficients
q KP~O a index
negatif k.
01
Dans le cas f ) 1 on doi -t
t
remplacer chaqre coefficient KP par un systeme k1'" ~'kf de coeff icients. Parmi lesn se trouvent les diffarentielles chs, siques: (2 )
Lo produit scalaire est defini par
V.J2
d'un vecteur et d'un covecteur
18
B.L.Van der Waerden
- 17 -
(3)
(v . ..n..).: I
p
1-
JH::~
a.i
p
~kp
Example: Si Vest une fonction u et ai
11
eat une cI1f!erentiGlle
v d z, on peut former la somme des residua de u v d z. On a
Le coefficient de t·' dans ce produit est Ia somme finie
L
j+~;-'
aj f' 01 \( p
La somme de taus les residus est donc 2 n i fo18 Ie produi t sca-
laire (3). Or, on sai t que dans ls theorie clasaique cette est nulle pour toutes lee differentielles.
60ilIJJte
Si f ) 1 on a a remplscer. dans (3), le produi~ SjP d ~p par Is somme
qui est Ie produit scalaire du vecteur Cj1v1+ ••• +CjfVf dans 11 espace vectoriel kp avec le c()vecteur k1 , ••• , '( kf) de l' espa-· ce dual. 2. Nous avons cu qulon a pour tout diviseur B
(¥
On peut dore ecrire
-€ lB) =: rn ( 13 ) - ~ ... ~ T
,:
(B )
On appelle i(B) l'indica de specialite du diviseur B. Si i(B»O, Ie diviseur Best special. Soit A= Tfpe multiple de B=1T p d (e ~d)t done M(B)f M( A). Dans M(A) t M(B) est defini par les'll (A)-i-(B) relations
19
B.L.Van der Waerden
- 18 -
ou
les a jP sent les coefficients de developpement dtune fonction u dans liI(A): OCI M=
L
-e
a.J'pTTj
Supposons que A Boit non special. done
et que Bait Itindice qe speeia1ite i(B):
Si les equations (4) etaient
mais
independan~B,
on aurait
l(B) est plus grand de i(B}, donc il y a i(B) relations
R (Cl Jp) :::
(7)
0
entre les equations (4); relations qui sont satisfaits pmue
to~
vecteur u de M(A). Les R(SjP) sont des fonctions linlaires des a jr• On pourrait les eerire comma Sj12 q jp t ot1 j va de -e h -.9-1,!f
d~ Ih
~ kP' 8i to us les k sont) d~ on a
( VI 12 );: I et conversement.
8e1'8!i.Ul tiple
pO UT
~"p
=0
81- le s
est multiple de B.
Mora
i ~ - oL
u.fl est multiple
de u B. Soit
(v.ll)=O
s1 Vest multiple de
,.... nors (VU •• 4)=0 si Vu
1a definition
est multiple. de B
-1
,ou bien, d' a pre s
(3) (V. u..Q )
=0
si Vest lIUi.l tiple de 1 B.. u-'=(u B)-1
4. Le diviseur maximum do,n t divis eur
B-~
TI pe
a.
exposants
est multiple, c. a. d. le
maxi~X
D...n. ~
est appele le diviseur
n
.-0...
ef;-dont
11
est multiple,
11 peut se passer que D.....a. a
une infinite de facteurs pee Nous varrone plus tard q¥e pour une diffarentielle tJ cela egal
es~
impossible: le degre de DGJ est fin i et
a 2g-2. Une consequence immediate du lemme 2 est: §LRloI est le d:i,J:i:.9
seur de
tv , ElLw
La defini tion
est ke diviseur de u tJ • ik~me
de D W impliqu.e:
5i W est multiple de B,.-QW est multiple de B.
23
- 22 -
B. L. Van der Woo rden
5. 30it CJ une differentielle 10. Noue montrone:
Toute~
les differentiel1es sont multlli~.s_ A~ W • D~monstration. 3i f) n· est pas =u tJ , on a pour toute u et v. Choisissona B= p-n. D'apres (2), Ie nombre de differentielles multiples de Best
Or, quels u (J sont multiples de B? 51 u (A) est multiple de B, W" " "u- 1B (Lemme 2)
" "u- 1B done D"" " B done uDc..> " " " ., n BS- 1 = (B- 1D )-1=(plln )-1 done u " (.J • W CtI Le nombre de ces u lin.ind. est
De meme, Ie nombre des v
f) lin. im. multiples de Best
Mais Ie nombre total des differentielles lin.ind. multiples de B=9-n n'est que g+n-1. On aurait done
oe qui est impossible pour n grand.
Done toutes
~ea
differentielles sont multiples de CV, et
on a
24
- 23 -
B.L.Van der Waerden
d'ou (8)
L'inegalite (8) montra que D ne contient qu'un nombre fini de points. Dans Ie cas classique on paut choisir UJ =dz et on 'YO it que toutee les duferentielles au sans de Weil sont de 18 forme ud,· . 6. Soit B un diviseur arbitra:i..re. Le nombre des differeL1: tielles lin.ind. multiples de Best i(B). Dtautre part, dtapres 1a calcu1ation precMente; Ie nombre est ~( ;lJ-1J)~. On a done (9)
~(I?»=
-e (8- Dw) 1
Substituant (9) dms {1}; on obtient 16 j£Mor@e de Riemann-Roeht
Laction 6. COMP1Er~TS
ET EXAMPLES.
A. Determination effective du genre g. Dane la demonstration de Weil, que noue avons reproduita, le genre g a ete defini comme une limite sup~rieure. La demonstration originel1e de F.K.Schmidt, dont derive colle de Weil, a l'avantage de donner une formule explicite pour g. II sere utile d'expliquer cette formulc. Alors on verra plus clairement, comment Weil a trouve ea demonstration. Dans la demonstration de Weil on a choisi une base (u 1 , ••• un ) telle que les u. restent finies a toutes les plseeo ou zest i'iJ:li let on a determine ~s nombres IDi +1= ¥~ de Borte que u.l. z - 0" roste fini aux places ou z devient infini. Or, d'apr~s Schmidt, ai u 1 est choiaie tel que soit
.
't-1
25
,
B.t.Van der Waerleh
- 14 -
minimal, et u 2 1ineairement ~ndependant de u 1 tel que mal, ~tc., alors lea (m-~) ~1:~ta
r;
3)
i t mini-
m
forment une base de M(D ). On aura done non seulement, comme auparavant , une inegali te pour l(Dmh mai • .unQ. in~ga1i te ( 1)
qui nOUB servira
a determiner g.
Appe10ns une fonction U entiere. si u reste fini pour z fini. Les fonctions entie~s forment un anneau E. Bar Deg(u), on degre de u, nous denotons l'entier~ minimal tel que uz reste fim pour z=oo. On aura
t
(2)
Deg (u+v) ~ Max (Deg u, Deg v)
(!)
Deg uv
~
Deg u + Deg v
Si u est un polynome f(z), Ie degre est 1e degre
ordinair~.
Or, soit u 1 choisi dans E tel que Deg u 1= a(i = minimal, et u 2 dans E, lineairement independant de u 1 ' tel que Deg u 2= = =minimal, et sinsi de suite jusqu1a u. Evideiunen:.t, on aura
12
n
y pa •
Quest'ultimo, not evo-
OASTELNUOVO, i1 quale, nella laboriosa e
L13,
ingegnosa Memoria citata del 1897 Manetia degli Annal~ , prova che la defiaieJl2lB h~ soddisfa alla f)~ p - p e che esistone su ogni F sistemi per cui che p g ~ p a e che p a
e invariante
b=p g -p a •
a
g
Segue gia da cio
assoluto per 1 e trasformazioni
birazionali di F, essendosi acquisito molto piu facilmente, da OLEBSOH e NOETHER in poi (1869) (e p.es. da ENRIQUES) che p pure invariante assoluto. La differnnza q = p
e
chiamasm a la irregolari ta della superficie, carattere di estrema importang
- p
g
za, chc non ha il suo analogo sulle curve.
S::
Posto (2' )
I'
q-:;::
(0
~ ~~
»n-p+Pa+1-j+
q), la (2) pub scriversi
~+~
e quindi
0)
r " n-p+p +1-j •
a
II primo membro r della (3) sistema lineare completo
leI
virtuale, in quanto sarebbe
e la
dimensione effettiva del
il secondo membro ugua~e
r la
dimension~
alIa dimensione vera
0
effetti-
va, se non intervenissero cause, che abbiamo ragione di considerarc pcrturbatriei, perche non si verificano che per sistemi in 41
F.Severi
- 6 -
certo senso particolari. La differenza () = ~ + ~
,fra dimensioni effettiva e
virtuale, ohiamasi sovrabbondanza del sistema. Se ~ (p-1). Ecco ora al tri 8spetti espressivi del teorema d1 regolar:i ta dell 'agg1~to, consegui t1 prima che 81 conoscesse questo teorem:a. Ogni multiplo abbastaaz8 elevato del sistema delle sezioni
piame e iperpiane della F (reso completo se non 10 ~; ma 10 e sempre per multiplo elevato, quando F b non singolare) e regolare (CASTELNUOVO [13] , 1897.), Se un sistema lineare, irriducib11e, privo di punti
leI e
base e d1 curve fondamentali, i sistemi Ic+c~ , 10+20" , ••• segano sulla generica 0 serie complete non speciali (sono pereio regolari) (ENRIQUES) [19] , 1896).
Dobbiamo passare ora a questioni piu elevate e complessc, concernenti l'eguivalenza algebrica, introdotta in miei lavori 49
F. Severi
- 14 -
dal 1904
in poi [37,38,39J • Rinvio sopratutto ai pia recenti
[28,40,41J.
La totalita delle curve algebriche virtuali sopra
una superficie F costitUisce, rispetto ella somma, un gxuppo abeliano. Entro questo 1e curve virtuali del tipo A-B, con A,B curve effettiw d 'un medesimo sistema algebrico irriducibilc, formano un
sottog~po
=
G (gruppo de1l'equivalenza algebrica). Due
=
curve vil'tua1i C,D di F dioonsi algebriQam8!:l.te eauiya) anti, e si
scrive C D 0 C-D 0, se 1a curva v1rtuale C-D e 10 zero dell'equiva],.enza algebrica, cioe slessa ell~le·(1) ad una C\llVa del sottogruppo G.
e,D
In partico1are, due cur.ve
co irriduci bile di curve (effett:ive
dello stesso sistema algebri0
virtuali) son algebricamen.-
te equivalenti. Un sistema (gruppale) d I equivalenza algebr1ca e un insieme
(non necessariamenta algebrico
0
dimensional.e) di curve virtuaJ.i
a due a due algebricamente equivalenti ad e individuato da una qualunque C di esse. Lo indicheremo con «C». 31 puc anChe considerare un sistama gruppale di eguivalenza lineare, chao e l'insieme di tutte la curve virtuali linearmente equivalenti ad una data C: 10 indicheremo con (C). In particolare, un sistema algebrico irriducibile sistema (algebrico ) d'equivalenza algebrica. dicesi completo se non
e contenuto
e un
Un tal siatema
in uno pia ampl0, la cui
curva generica dia 18 curva genarica del precedente quale speCializzazione(2). Non e detto che un sistema, anche completo~ sia individuato da una sua curva partico1are.
Ineomma, due
1}Ricordo che ho chiamato uguali due curve virtuali C-D,C'"D' quando le curve effettive C+D', C'+D sono identiche.Si scrive ciOe
C-D=C'-D' tn luogo di C+D'
= C'+D.
2) Proiettivamente, i1 sistema pua dirsi completo se non nuto in uno pia ampio di curve delle steeso ordine.
50
e conte-
F. Severi
- 15 -
sistemi irriducibili, completi nel senso predetto ( di curve irriducibili
0
riducibili
0
virtuaLi), posson avere una curva
particolare comune, senza cOincidere. Essi, comunque, son contenut! nelPunioo Bist~ma dlequival..enz~ al.geb;r.:l,.oa da questa individuato. Per individuare un sistema algebrico irriducibile completo mediante una sua curva particolare (l·individuazione con la generios e ovvia) bisogna che la curva particolare sia definita qual e sp&oializzaJZ.i.one (C~ di aoc\1DlUl..a~;Lone 0 pos.iCUl~a
zione limite) della curva generics del siateQa; e questo richiede Ie conoacenza del sistema, prima della Qonaiderazione delle sue ctU'Ve ·particolari ll •
In taluni casi, che vedremo, l'indivi-
duazione e tuttavis possi bile attraverao una curve. B particol.are, quando la determinazione della curva puo eeaere compiuta, per cosi dire, staticamente, senza cioe
ri~Brdarla
quale limite
d'un'altra piu generale. Cio accade sempre aLlorche si tratta ai determinare quei particolari sistemi algebrici irriducibili comp1eti, che sono i sistemi lineari completi, perche la curva totale con cu.i. i1 sistema s'individua (attraverso il noto teorema d'esiatenza e d'unicita) puo esser ben definita soltanto dall'assegnare le sue componentt, con Ie rispettive molteplicita, ed i punti baae, eventualmente con molteplicita virtuali diverse dalle effettive.
Questo invece non basta sempre nel caso
di sistemi non lineari. Un esempio concreto [35,36J chiariace questa delicata questione.
Sia C una
qu.~artica
piana con tre modi. A1 ,A 2 ,A 3• Se
lei '
si vuol.e un sistema lineare che contenga C con uno dei tl'e modi assegnati, mentre gli altri due si riguardan virtuaJ.mente inesistenti, il noda assegnato A1 , non PUQ esser fisso, in quanto (teorema di BERTINI) una curva variab1le in un sistema line are non puo aver punti multipli variabili. 81 hanno cosi tre sistemi lineari distinti,
00
11, c1ascuno dei quali
51
e
indivi -
F.Severi
- 16-
duato da C col nodo assegnato A1
0
A2
0
A3 • La curva C non
e
comune a.i tre sistemi, perche per detexminaJ!le i1 s1etema bisogna considerarla associate. al punto base fisssto. Ai fini del teorema d'unicita, Ie. curva non eaiate ahe sotto questo angolo visuale. Se invece ai considera C nel quadro dei sistemi irriducibili non 1ineari. ai pub tissare ahe uno dei nodi di e aia assegnato, quale virtuaimente variabilee gii aitri due qual.i vi:Mual mente inesistenti. Allora C individua i1 sistema irriduc!bile
2J
,Q)
13, di tutte Ie quartiche irriduciliili
d:i
genere 2,
qualunque sia il nodo che Ie ai assegna. Nei due casi considerati i sistemi (l1naere e algebrico non linaare' son individuati da una loro ClU"Y'a to tale , per la
e stato
quale
possibile fissare a priori le ooD4istoni deterrDi-
nanti. Considariamo inoltre Ie quartiche piane con 3 nodi. Esse distribuisconei in due diatinti aistami irriducibili non ri
CX)
11
:
line~
uno costi tuito dalla quartiche spezzate in una coni.ca ed
in una retta e l'altro Ii) razionali.
dal~
quartiche (generalmente irriducibi-
Ogni quartica spezzata in una cubica con un no-
do e in una retta (sono in tutto due sistemi.
Per~
CD
10) apparti ene ad ognuno dei
quale curva totale del primo i suoi tre nodi
allineati son limiti dei tre nodi della generica curva variabile e il quarto nodo apparisce ex novo al limite; mentre quale
CUl~a
totale del secondo i limiti dei nodi della cu.rva variabile sen sempre il nodo della cubica e due dei tre nodi allineati. II terzo di. questi apparisce ex novo al limite (c;io rerche, secondo un principio di NOETHER.ENRIQUES, topologicamente te t
eviden~
ved. [28J , tina curva irriduci bile non pUG aver per limite
lUla curva sconnessa). Come a1 constata, anche in questi casi i due sistemi son individuati da curve totali, pera completam.e nte diverse. Lo stesso avviene nella genera11ta dei casi, almeno quando i1 sistema 52
- 17 -
da
individuarsi ~
F. Severi
nello spazio lineare dove pub rappresentarsi
(con una variete. d1 punti) la tota:Lite. delle curve di quell'ordine, giacenti nella spazio lineare d'appartenenza della F, passa per l'imagine della data curva totale con una sola fa1da analitica 1 ). La questione generale si PUQ porre cosl.
E' possibile, per
ogni data curva C irriducibile, non singolare, fissare un numero finito di caratteristiche numerqtive e geometriche, in guisa cho riguardan~C,
associata a quelle caratteristiche, quale curva
totale d'un sistema irriducibile completo, questo risulti individuato? Nei casi che dipoi indicheremo la individuazione con una curva particolare sussiste senz'altro.
1)
Qui ai presuppone la rappresentazione dell'insieme delle curve 0 delle variate. algebriche ~, di dati ordine m e dimensione k d'uno spazio S , coi punti d'una variete. algebrica (generalmente riducibile)rappartenente ad un conveniente spazio lineare, dove si posson assumere a coordinate d1 punto p.es. quelle che qualcuno chiama (con lieve imprecisione storica) ~ dinate di CHOW. Nel fat~o la forma associata (benche non con questo nome) (considerata per la prima volta, sotto un aspetad una data to ormai abbandonato, da BERTINI, aIls fine del secolo XIX; ved. anche in proposito (42J ) , fu indicata nel 1915 (sotto l'aspetto attualmento usato) nella mja ~remoria (43J • E' la forma associata, in coordinate grassmanniane degli S k 1 di S • Espri~ mendo Ie coordinate grassmanniane in coordinate-di punti 0 d'iperpiani si hanno due forme associate duali, Ie prima delle quaLl. e la zUgeordnete Form introdotta de CHOW eVAN DER WAERDEN nel 1937, cioe 22 anni dopo (44J. A questi Autori spetta tuttavia la prima esauriente dimostrazione algebrica del fatto che la to tali te. delle. ~ e algebrica, proprietA di cui io avevo prima indicato Ie linee generali di di~ostrazioni algebric~geometriche [37,38,39J • Ved.pure l15].
V;
53
F.Severi
- 18 -
AlIa questione generale
e stata
data
g1~
risposta aff cr.: ...-
tiva nella mia Memoria [55] del 1916, ma un'u1teriore e1aborazio-
ne critica occorre in proposito, perche in [55J al fa uso del teorema di comp1etezza, i1 quale, come poi dlremo, e so ggetto ad ipotesi, che furon poste in ovidenza plu tara! (1921). Fiasato comunque il signiflicato d'un eventuale teorema generale d'unicita dei sistemi irriducibili completi 41 curve
C, quale necessaria premessa ad un teorema R.R. relativo a tali
e la
sistemi (al10 stesso modo che i1 teorema di unicita
premes-
sa del teorema R.R. nel dominio dei sistemi lineari), varie importanti questioni si presentano in proposito: !) Qual'e 1a dimenaione d'un sistema algebrico oompleto
(sottintendo ora ed in seguito di curve effettive, i1 passaggio alle curve virtuali richiedendo soltanto l1evi adattamenti del processi dimostrativi e del linguaggio) in funzione dei caratteri virtuali n,p,j della curva generica del sistema
0
di una
curva particolare, che sia da quei caratteri definita quale curva totale? Questione te
basil~: ,
di associare a1 ~)
te~rema
anche perche la sua risposta permetd'unicita un teorema d'esistenza.
Si puo assegnare, mediante i caratteri virtuali d'una
curwa virtua1e C=A-B, qualche condizione perche C eaista nel campo delle curve effetti ve rispetto all' equi valenza algebrica ossia affinche eaista qualche curva effettiva D (algebricamente equivalente a C) tale che A 3Ie B+D? £) Esistono condizioni siffatte che una curv~ particolare
(totale) d'un sistema irriducibile cornpleto i1 sistema stesso?
poe~irtdividuare
Cominciamo a rispondere all 'ultima questione £) , che, ~ome
dicevamo,
a,
in un carto senso, pregiudiziale.
Per riferire il risultato piu conclus1vo, oocorre introdurre la nozione di curva emiregolare sopra una superfieie F [36J •
54
F. Severi
- 19 -
De!!niamo au F come curva emirego1are C una curve. irrijUc1bi19_, priva 41 punti multipl~, su cui i1 sistema Caftonico impurolKI stacchi una serie lineare comple ta (per la quaJ..e dunque sia 11 =0). Se p =0 l' esse:. '; emiregolare, per una curva C, equivale Ell fatt" g che le. sua serie caratteristica (definite. indipendentellente du un 8ia~ema lineare oui C appartenge. [37] ) e non speciale. Una Ceo non e emiregolare in se, indlpendentemente cio¢ del sistema linee.re lei da essa individuata, mantre ~ C e regtlare soltanto se e generica entro un si.ptema oomple~o 101 ~ogolar.. Le curve regol8l'i sono particolar1 curve eJll1l"egolari. Eeoo ora un teoTema [28, pp.95 e ,o~ , dhe ~1aponda conte. poraneamente alle questioni a}, c): Una curva emiregolare C, di genere p e d~indice di Qpecial,1 ta j. a serie caratteristiea effettiva (d'ordine n>O) , tracciata sopra una superficie F di genere geometrico p , incii viiJ,\la un sistema irriducibile completo 1a dimensione R ::: n
11 sistema
to}
~
p + p
g
{c}
g
di curve analoghe, avente
+ 1 - j
passa per C con una felda quasi lineare 1 ) (addi-
lC}
rittura line are sopra un conveniente modello di e la serio caratteris.t ica di su C e eompleta~ Gli st&ssi fatti si veri .. ficano namralmente in relazione al1a generica 0, ma anehe in re-
{o}
lazione ad ogni altra C irridueibile, priva di punU multipli, del sistema, che Bia emiregolare come quells di partenza.~1 piu quetta tal C ha 10 stesso indiee di specialita j di quel1a da cui si e presQ le mOsse.
- ------------
1) Una_falda analitiea lineare e una falda analitiea 001: d 'ordi ne invariantivo relativo 1. Essa e caratterizzata dal fatto di potersi porre in evidenza pseudoconforme biunivoea senaa ecceziJ~ ne con l'intorno d'un punto nella spazio proiett1vo eompiesso S . Una falda quasi lineare e la trasformata pseudoconforme d'Wla falda line are (18, 36J • 55
F.Severi
- 20 -
Se ealatl:; n:::l sistema una curva non
emiregola.re..,-priv~
punti muJ_tipli, su esse. la eerie oarattc.r:i;J:!tica di
C
di
e incomple-
tat
Tal un a not1ztc complementari sono necessarie per apprezzare il valore di qUGsto teo-rema. In primo luogo la serie caratteristica su C PUQ considerarsi, in virtu della mia Nota
[37J
e quella
cho
del 1904, indi-
pendentemente dalla sorie caratteristica di un sistema continno cui C appartenga, l'ultima delle quali serie
e
ivi segata dalle
curve del sistema iniinitamente vicine a C. Questa seconda sorie
e contenuta totalmente in quella (completa) definita in [37] (C0140 e ivi dimostrato) cd e lineare, almeno quando 11 sistema continuo e una falda quasi linears di origine C. La serie carat-teristica d lun sistema completo, sulla cur'vu. generica del medesimo,
e completa,
calvo sistemi algebrici par-
ticolari (0 curve particolari ad essi relative). II teorema di completezza fu enunciato da ENRIQUES
[46]
con un tentativo di
dimostrazione, che fu accettato come esauriente da tutti i
culto~
della geometria algebrica ( di qualunque scuols) fino al 1921 quanio na
~i
[47J ,
sccorsi chtessa prescntava una grave sostanziale lacuaffacciando dipoi i l dubbio
o refutato tentativi mioi
0
di
alt~
[48J
(doPo aver criticato
in proposito ) che i1 teore-
ma di completezz8 non fosse vero nella sua piena generalita c ind! cando qualche caso dteceezione.
Incitai allora i1 mio diseepo-
10 ZAPPA a cereara sulle rigate esempi pi'll. espressivi. Al cho 10 Zappa riuscl [49].
Qui, rinviando par pi'll. circostanziatc no.
tizie in proposito alIa mia opera in corso di stampa
[28] ,
mi
limitero ad affermare cheil teoroma di completezza fu da me dimostrato POINCARE'
[47J
[50J
sulla base di ~ risultat1 trasccndento di per Ie curve
0
vi; e che 1a mia dimostrazione geometrico, quando p ::0. g
i ~istemi numerativamente effetti~
e osauriente
nol dominio algebrico-
La questione generale di dimostrare i l
56
F.Severi
- 21 -
teorema per p
g
> 0,
restando nel campo algebrico
0
metrico, a tuttora insoluta ed a molto difficile.
[28J
algebricQ;-geoNell'opera
il teorema di completezza e conseguito con mezzi algebrico-gc£ metrici uni"\;i ad induzioni topologiche, che giustificano un pr'incipio di spezzamento di B.SEGRE (generalizzante quello di NOETHER-ENRIQUES), il quale equiyale in so stanza al teorema di completezza. Nell'opera
[281
la relazione (5) e il teorema di unicita
sono estesi anche alle curve irriducibili con nod! e e11e curve riduci bili. Se 1a generic a
e del
sistema
{e}
individuato de una curva
emiregolare (irriducibile non singolare)
individua un sistema
line are completo 101 -necessariamente contenuto in (o} - di dimensione r, il siBtema {o} si ripartisce in ooR-r sistemi lineari
leI •
r-1=n-p+p -j-
I e I su e~
r
Si vede subito allora, attraverso l'espressione della dimensione della serie caratteristica di
b
che R-r=
serie caratteristica di in relazione a
lei
Dunque il sistema consta di
00 q
C
~' =
€I
b =q
siccha
quando la deficienza della
raggiunge"il msmmo q. In tal caso
tt
{e}
=0, ossia
le/ e regolare.
individuato da una curva regolare
sistemi lineari.
Si riconosce anche facilmente
(merca la nozione di serle caratteristica d'un sistema continuo
[37] ,
se trattasi di sistemi irriducibili,o con altre elementari
considerazioni, se trattasi di curve riducibili la massima
l~~~a
[28J ) che
q
!
dei sistemi lineari contenuti in un sistema
irriducibile completo di curve su F. Un altro teorema di unicita e di completezza era stato precedentemente conseguito in una mia Nota del 1906 [5y , dove 81 porta l'attenzione
110n
pin soltanto sopra i sistemi algebrici
irriducibili di curve, ma anche sui sistemi algebrici irriducibili, aventi per elementi sistemi lineari completi su F.
57
lei
tracciati
F.Seve-rj
- 22 -
G1a l'Autore aveva avvertito, fin dalla sua prima nota del 1904
[37J sui sistemi non lineari, che un sistema irriduci-
bile completo
{e}
di curvo· mentre evidentemente contiene 11
sistema lineare co;m p1eto puo non contenere tutto
Je 1 individuato i1 sistema lei,
dalla sua curve. generica , individuato da una cnr-
va particolare, e questo divi ene cosl, secondo 190 terminologia dell'Autore, esorbitante [31~52f28J • I primi esempi in proposito furono dati da ROSEnBLATT
(53] ,
de. ALBANESE (5~ e dall 1 Aut 0-
re (nei lavori e nell I opera citata in [55] il fenomeno della esuberanza 10 mano quel sottosistema di
lineari
IeI •
[leI)
leI
Da notarsi al tresi
Ie I 0 {e} , he.
quando i l sistema
che appart1ene a
(el •
sione maggiore del generico Denoteremo con
[?8J '
).
per dimen-
un sistema irr1ducibile d1 sistemi
Orbene, i1 teorema d'unicita e d'esistenza, cui alludevano
e questo:
Su F, un sistema lineare completo
fel , virtualmentc
privo di punti base, individuato da una curva virtuale
e
nume-
rativamente effettiva, individua alIa sua volta un sistema ducibile completo fettive.
{lei}
~·-~::tem.i
Esso contiene
irri~
lineari analogbi 4i curve ef-
ooq di tali aistemi.
E' individuato al tresi un sistema irriducibile completo
{ej
'cl,
di curve effettive, che contiene tutti i sistem1 lineari
salvo Ie curve di quelle specializzaz10ni del generico esorbitano da
lei ,
{ej •
Ie' ,
cne
L'insieme (apert6) delle curve dtune. apecializzazione di cha eeorbitano da Sia
H una
lei individuato
{ei '
8i dira una ere.e ta di
[e} ,
cresta di
proveniente dal sistema lineare
da una curva irriducibile
II sistema lineare co.lpleto
IcI , contenuto generico pi • D'altronde
generico
variabile entro quella di
lei
in
Cnon
/'01 • essendo
{e}, ha
dimensione
i1 limite di
{e} , e un
{Ic].
singolare di
{c}.
i l limite d. 'Ull
1'> a quella del
lei • in quanto lei e
sistema lineare L di dimensione s?
e minore di r, se no
58
lei
non potrebbe essere
F.Severi
- 23 -
esorbitante.
Pertanto 1a aerie
«1 C come ourvn di
ca~att$r~stic&
L ha J.a dimensione s-1 e come curva di
lal
>
ha la d1mens.ione r-1
)s-1. Dunque la seri.e caratteristica d1 C, quale curva di{C} ,
e certo
incompleta (mentre non
e necessariamente
come curva di
fc} ,
Nwn e natural mente escluso che L sia esuberante in oioe che la dimensione della serie caratteristica di
{c} ,
R).
aulla
C generica , sis anche minere di s-1. Tutto cio abbiamo aggiunto a chiarimento della
d~icata
nozione di sistema asorb1tante, che, a prima vista, apparisoe quasi assurdal 11 teorema d'unicita precedente, relativo alle C numerativament,e effetUve, s t estende in un teorema di uniei ta, che vale anche per le ipersuperficie (varieta pure
00
t£-1 )
di una Vd irri-
ducibile, non singolare, cioe: Sopra una superficie F (0 sopra una verieta irriducibi1e non singolare Vd) un sistema irriduciblle completo ~CI} di
00
q
sistemi lineari di curve (0 risp. d1ipersuperficie) effettive, q essendo la irregolarita superficiale di F (
di'V d ),
0
e
indivi-
duato ds uno qualunque di essi. S1 possono pertanto considerare entro l'insieme di tali sistemi 1e operazioni di somma, di
sot~razione,
il teorema del
resto; ecc. L'1rregolarita superficiale q di Vd fu considerata, dal putato di vista trascendente, ne1 1906, da CASTELNUOVO-ENRIQUES [?6] e dal punta di vista algebrico-geometrico, nel 1906, da me per q=O
(21]
e, ne1 1952, per q qualunque
en] .
EI anche impo~tante il fatto che i predetti aistemi di roq sistemi lineari (su F
su Vd ) 80no birazionalmente equivalenti ad 1ma medesima varieta Wq di Picard [28,p.164] annessa ad F 0 a. Vd;
1a diremo 18 prima. Vi
0
e infatti
una seconda varieta di Picard
considerata da11'Autore ne1 1916 per 1e superficie (6-B e poste:doJ,: mente (1942 [48J ) per una varieta qualunque.
59
Essa possiede q
- 24
in'Legrali selllplid. di 1a specie, i cui peridieon. i.. JIlfldesim, di quelli dei q integrali semplici di 18 specie di F
di Vd • E' aneh'essa una W di Picard, perche la tabella di quei periodi
e una
q
matrice di R!EI.iANN [16J.
0
Parecchi lllatematici ameri-
cani, seguendo erroneamente una citazione di A.WEIL, Chialllano questa seconda Wq varieta di Albanese (ved.p.es. lCODAlRA [60J ), mentra il mio compianto discepolo non si ~ mai attribuito questa paternita. tanea ed
ea
La considerazione di tale variete si presenta sponpriori ovvia, se non se ne approfondiscono Ie pro-
prieta che la diversificano notevolmente dalla prima.
Infatti
il suo vero interesse e dato dal fatto che Ie due varieta di PICARD sono ciascuna una trasformata unirazionale dell'altra e generalmente sono distinte fra loro. cui Wq
= Wq
La ricerca dei casi in
ha dato luogo ad interessanti lavori di ANDREOTTI.
Uno studio completo dei diversi fenomeni, che possono presentarsi nella considerazione dei sistemi completi irriduuibili di curve sopra una superficie, non pub trascurare i sistemi an2
~, cioe quelli che contengono meno che Q)q sistemi linear! distinti. Su tali sistemi sono tomato piu volte, persuaso che, sal vo casi specialissimi, ognuno di tali sistemi equivalente, come totalita. rieta di PICARD V~
CD
~
e birazionalmente
di sistemi lineari, ad una va-
• L'ho affermato nel lontano 1916 (?5] e ne
ho trattato di nuovo hel 1942
[48] ,
giungendo perc soltanto a
porre in evidenza ipotesi abbastanza larghe, sot to; cui il fatto accennato si verifiea. no.
E' carto che casi d'eccezione non manca-
Cosi, se una superficie F d'irregolarita q;>1, contiene un
fascio irrazionale di genere 7r (1
< 1r
SEVERI, L8 teoria senerale delle corrisponjenze fra due~ rieta algebriche e i sistemi d'equivalenza (Abh.au6 dem math. Seminar Hamburg, 1939). HODGE, A new set of relative b1vatiQnal invariants of algebraic surfaces (R.Acc. d'Italia, Fondazione Volta,19 40). 169' L j
SEVERI, Sulle intersezioni delle variete algebriche, sopra i loro caratteri e singolarita proiettive (Memorie della R.Acc. delle Scienze di Torino, 1902). ALBANESE, Corrispondenze algebriche !fa i punti di due su~ ncie algebriche (Mem. I e II) (Annali della R. Scuola. normale auperiore di Piaa, 1934); pag. 1 ~ pag.139. SEVERI, La aerie canonica e la teoria delle aerie princ~~ Ii di gruppi di punti aopra una Buperticie algebrica (Comme~arii mathematici helvetici, 1932).
[nJ
SEVER!, La base ID.l.n~ma. pour la totali M des . courbes trf:!.c ~~.~ sur une surface algeb#que (Annales de 1 'Ecole norm. su,). Paris, 1908).
f74J
SEVERI, Funzioni quasi abelianl (Pontificia Accademia delle Scienze, 1947).
'-
80
F.
ARITHMETIC
H I R Z E B Rue H
GENERA
AND
THE
THEOREM
OF RIEMANN-ROCR
Roma-Istituto Matematico
dellIUniversita,1955,RO~~
81
F.Hirzebruch
- 1 -
ARITIDlrETIC GENERA AND THE THEOREM OF RIEMANN-ROCR INTRODUCTORY LECTURE. I am very glad that r can give a series of lectures in thhl International Mathematical Summer Seminar at the Lake of Como. I t is a great honor for me, and I wish to thank you very much fOR your kind invitation. The purpose of these lectures is to show how the theorem of Riemann-Roch can be formulated and proved for non singular algebraic varieties of arbitrary dimension. I am in the process of writing a report for the "Ergebnisse der Mathematik" (Springer Verlag). This report will contain an introductibn to the theory of sheaves (Leray,H. Cartan), the theoJ.'] of characteristic cohomology classes, the theory of Itcobordisme" (n.Th~)
, and to recent work of
A.Bor~l,
K.Kodaira, J.P.Serre,
and p.C.Spencer. The report will then contain a detailed discussion and proof of the theorem of Riemann-Roch using all the
thGO~
ries just ment,ioned. In these lectures it is impossible to give complete proofs. I have to refer to my report. The lectures will, however, run somewhat along the lines of my report.
In this introductoIlI lectu-·
re I give a brief account of the whole story (compare the introduction of my "Ergebnisse-report"). 1. By an algebraic variety V we mean always a compact n
complex manifold of complex dimension n (not necessarily connedted) which can be imbedded complex analytically and without singulari-ties in a complex projective space of sufficiently high
dimel~ion
Let us recall four definitions for the arithmetic genus of an n-dimensionsl algebraic variety V • Using the postulation n
formula Oiil.ruu;:t' s characteristic funstion) we define the intege:.:·s 83
•
F. l-li.rzebEUch
- 2 -
Pa(V n ) and Pa(Vn ). We call this the 1.and 2.definition. Se~.~i conjectured the following formula (see, for example, [1] ) (1)
p (V )= P (V ) ::: g
a
nan
n - g n- 1 + •.. + (-1)
n-1
g1
were g. denotes the number of complex linearly independent ~
holomorphic differential forms of degree i on Vn • Using the theory of sheaves, Kodaira and Spencer [2J were able to give a simple proof of (1).
The alternating sum of the gi is the 3.
d~
finition of the arithmetic genus of V , thus the equation (1) n
states that definitions 1,2,3 coincide. in the
altern~ting
sum is unnatural.
The ordering (lilt: the gi
Changing the classical no··
tation we define
x (V ) :::
(2 )
n
t-
i:::O
(_1)i gJ..
X (Vn) the ari thme.tic genus of the algebraic vaI~te.ty Vn • The integer go equals the number of connectedness componer: kl We call
of
Thus for a connected variety the classical arithmetic n genera Pa'P a are related to the arithmetic genus X by the fonnu·· V •
la
1+(_1)np (V )=1+(-1)~ (V )::: )[(Vn ). a nan The arithmetic genus
)( behaves multiplicatively,i.e.,
the genus of the cartesian product of two varieties is equal to the product of the genera of the factors. The arithmetic genus in the old definition obviously does not have this multiplicative property. 2. The 4.dofinition of the arithmetic genus is due to J. A. Todd [3] , who whowed that the sri thmetic genus can bo expres--
fled by meams of the canonical classes of Eger-Todd
(4J.
For the
dimension 2 and 3 this fact had been established earlier by
84
.- 3
M.Noether,
and B.Sogre.
~
It is based on a lemma of
F.Hirzebruch
~oddls
Sevo~
proof is not complete.
for which a precise proof does
not seem to exist in the literature. Tho Eger-Todd class k. of V is defined as a class of al ge l. n braic cycles of V o~ real dimension 2n-2i with respect to an n
equivalonce relation which implies the equivalonce relation "homologous" without
being identical with it.
K1 , for example, is the class of the canonical divisors of Vn with respect to linear equivalence. The class K. defines a(2n-2i)dimensional homol.ogy class
l.
which corresponds under the natural
isomorphism to a 2i-dimension cohomology class (with integral coefficients). Up to the sign (_1)i this cohomology class coincides with the Chern class c i of the tangent bundle of Vn ' We only have to use the Chern classes. Namely, we define the !QM genus
T(V ) directly by means of the Chern classes.It is a principal n
theorem that /( (V ) and T(V ) are identical for all algebraic n
varieti os.
n
3. Wo now come to tho definition of T(V ): In a purely n
algebraic way we define a polynomial T of weight n in indote r min nates c 1 ,···,c n and with !.ation e~ coefficients. To c~!
(3)
T1
2
T2
=...1 12
T3 T4
2 (c 1 + c 2 )
1
2* c 10 2 1 2 2 4 720 (-c 4+c 3c 1+3c 2 + 4c 26 1 -c 1 )
If we interpret the indeterminate «.]. as the 2i-dimensions l 85
F. i1i.rzebruch
- 4 -
Chern class of Vn , and, moreover, the product in the polynomial T as the cup product of the cohomology ring of V , then T is a n n n 2n-dimensional cohomology class of V • By the fundamontal cycle n
of V we mean that element of the homology group H2 (V ,Z) which n n n is defined by the natural ortentation of V. The value taken bY n the class T on the 2n-dimensional fundamental cycle of V is a n n rational number which by definition is the Todd genus T(Vn ). The polynomials Tn should satisfy two properties. First,
they should be of such a kind that tho functional T(V ) defined n by them behaves multiplicatively as the arithmetic genus does. Tho sequences of polynomials fulfilling this multiplicative property are coIled multiplicative sequences. by pur01.y formal algebraic conditions. of polynomials should be such that
They are characterised
Secondly, the sequence T
n
T (pn ) equals 1 for all comT)l - ex
pvojective ppaces P. (Observe that JL{P )=1 for all n.) This n n second condition is also a formal condition for the polynomials. By th0SQ
~wo
conditions our polynomials T are characterised. n
4. The divisors of an algebraic variety V constitute an n abelian group which we write additively. Besides the divisors we have complcixanalytic line bundles over V
n
structural group C~ ).
(with fibre C and
Here C denotes the field of complex numbers, and C*- is the multiplicative group of non-vanishing complex numbers acting on C by multiplication. If we rogard isomorphic complex line bundles as identical, the
line bundles over V constitute an n aibelinn group which we i'lTito multiplicatively. The group OPOI'Ctcompl~
tion is tho tonsor product. bundle.
Each divisor defines a complex line
Two divisors defi.ne tho same complex line bundle,
if
and only if they o.re l:inearly equivalent. In this wny we obtain an isomorphism of the group of divisor classes into the group oJ complex lino bundles, under which tho sp of divisors goes over
86
F.Hirzebruch
- 5 -
into the tensor product of the corresponding line bundles. It was shown by Kodaira and Spencer
[?]
that for an algebraic va-
r iety V this isomorphism is into.
°
n
Let D be a divisor of Vn , let H (Vn ,D) be the complex v ec tor
space of all thmse meromorphie functions f on V
n
whose divisors
(f) added to D give a divisor (f)+D which has bo poles. Thi s vector space has always a finite dimension over C. The problem of Rmemann-Roch is to determine this dimension. Now, let F be ahe complex line bundle corresponding to D. It can be readily shown that the vector space HO (V ,D) is isomorphic to the vector space HO(V of F.
n
,F) of all holomorphic secti ons n
(Observe that dimH0(M ,D) depende only on the divisor n clas s of D).
5. We have pointed out already that one of the principal theo r ems is the equation n
X
(4 ) ~ he
(V )= n
L i=O
(-1 )i g. = T(V ). ~
n
value of the Chern class c n of Vn on the fundamental cycle
of Vn equals the
~
ted algebraic curves
number of V. n
Hence (4) gives for cannee-
Here p denotes the number of handles of V 1 • The theorem of R i e~ann-RocA states for algebraic curves (4)~
1
dim HO (V 1 ,D) - dim HO (V 1 ,K-D )=d+1-p,
where d is the degree of the divisor D and where K is a
canoni c a~.
divmsor. The equation (4)1 can be obtained from (4)~ by putting
87
F.
- 6 -
J:/4rzebruch
D = O. We shall show that (4) admits a generalisation (4)*- analogously to the generalisation from (4)1 to (4)~. Let us now use complex lime bundles instead
o~
divisQr classes. We know already
that this is essentially the same. Let Hi(V ,F) be the i-dimensional cohomology group of V n n with coefficients in the sheaf of germs of holomorphic sections of the line bundle F. If F is the product bundle 1 (trivial line bundle) which correppmnds to the zero divisor then we have the sheaf of.local holomorphic functions. The "group" Hi(Vn,F) is a vector space over C. The group HO(V ,F) is the vector space we n
have discussed in 4., when formulating the problem of Riemann-Rcg.h.. According to Dolbeault
[6]
we have dim If(Vn ,1)=gl..• Thus the . natural generalisation o~ g. will be the number dim Hl.(V ,F). l. n According to a. theorem of Cartan-Serre and Kodaira the vector space Hl. (V ,F) is finite ·dimensional. Therefore the numbor
[7J
.
[8J '
n
dim Hl.l.v ,F) is actually defined. It vanishes for i> n. Now we n introduce tho Euler-Poincare characteristic
X
(5)
n
(V ,F) = ' ) n
i';;()
This is the generalisation of the £eft side of (4). We shall show that )( (V ,F) can be expressed as a polynomial in the co homo ..· n logy class f of the line bundle F and the Chern - - classes c.l. of
Vn ' Bef@rc writing down thcse polynomials let us recall that th0 cohomology class f of F is a two dimensional integral cohomology class of V which can be defined as the first n
F, i.e., as the
fi~st
~
class of
obstruction for a non-vanishing continuous
section of F. If F is given by a divisor
D, then f is that cohomo-
logy class of V which corresponds to the (2n-2)-dimensional inn
tegral homology class represented by the cycle D. In the following p@lynomials thc product has again to be interpreted as cup-product. If b is a 2n-dimensional cohomology
88
F.Hirzobrucl1
- 7 -
class, thon b
[vJ
denot es the value of b on the fundamental cycle
of Vn ' Now let us write down the polynomials for )({Vn,F). c 1 C "\ (f +"2) lV 1J f2
(2"
:; (i
fC t
""2 +:j2
2 (01 + c 2 »
J.
~2
f3 +
""
= (.[
\(.:.0
1
n-~
f 2 C1 +
-
Lv;)
o
f(Ot 2 + 2)+
~4
0 1 (2)
Lv;l .
~n_k)!Tk(01"",ck) LV~
This is the generalisation of the theorem of Riemann-Roeh to algebraic varieties of arbitrary dimensions. According to a duality theorom of Serra dim Hk (V ,F) :; dim .tl.n-k n
[9] ,
we have
. -1 ,. iV,KF n
Here K denotes the canonical line bundle corresponding t o the c(IDonical divisor class. for
X(V 1 ,F) and
Using this duality fielation the equati on
X(V 2 ,F) goes over into the classical t.heorem
of Riemann-Roch for n=1 and n=2. ~n the case ~2, the number dim H1 (V 2 ,F) equals the superabundanoe of F, i.e., the superabundance of the divisor class corresponding to F. Kodaira uoJand Serre (11J have sufficient conditions under which the cohomology groups Hi (V ,F) all vanish for i n
>
O. If
these conditions are fulfilled, then it(V ,F)=dimH°(V ,F) and our formula for
X (Vn ,F)
n
n
solves the problem 01 Riemann-Roch.
For n=1 the Kodaira-Serre conditions are by virtue of the duality theorem nothing else but the well-known fact that in
(4)1~the term dim HO(V1 ,K-D) vanishes, if d>2p-2. 6. We now come to a further generalisation of (4). Let W be a complex analytic vedtor space bundle of V space of dimension q over the
n
fi~
(fibre:C = vector
of complex numbers,
q
group: the general linear group GL(q,C) of all non singular q by q complex matrices).
89
F.Hirzebruch
- 8 -
We define
X. (Vn /'1/)= I!Y'-'
(6 )
(:-1)~ &~ H)I (V~I w) •
~ :[)
,W) denotes the i-dimensional cohomologj group of Vn n with coefficients in the sheaf of germs of lGcal holomorphic
whore Hi(V
sections of W. The groups Hiev ,W) are again finite dimensional n vector spaces over C which vanish for i >n. We shall see that ?(Vn,W) can be expressed as polynomials in the ~ classes c i of Vn ' i.e., the ~ classes of the tangent bundle of Vn' and in the ~ classes of W. This result can be applied to special vector space bundles over V • Let us take the vector space bundle T(P) of the covariant n
p v8ctors.
We put
(7)
The Ohern_classes of T(P) can be expressed as polynomials in the
~ classes
01 of Vn ' Therefore we obtain for ;:(Vn ) a polynomial of weight n in the 0i' According to Dolbeault ,we
r6]
have dim Hq(V ,T(P)) = hP,q n where hP,q denotes the dimension of the complex vector space of all harmonic forma of type (p,q) on V • Thus we have n
For p
o we
get
q
.
XO(V~)~X lV'l\. )=[ ~..) ,.,o,~ L t~) ~~ "I\.
~'::O
As an example we give the formula for 90
f>t\I
~:O
X~(V 4)
N
F.Hirzebruch
- 9 -
(8)
For X(V 4 ) see 0). We see immediately that the sum
P
f"
~ X)..V )
vanishes, i f
n is odd. For n even Hodge Q2] proved tbat +n '"X9(Vn~eqUalS the index of V which WlUl be denoted by n
topological invariant of V
n
J (f=-f. n
This index is
8.
(n even) and is defined as follows.
Take the n-dimensional real cohomology group of Vn • This is a vector space ~ over the real field. For an element x of12 the s quare x 2 in the sense of the cup product defines the real number x 2
[vn1.
Since
n is even,
x2[v~
is a quadratic form
overLR which is non-singular. The number of positive eigenvaLues minus the number of negative eigenvalues of this quadratic form is the index of V • n By the theorem of Hodge and by our polynomials for we obtain a polynomial for the index.
This
polyn~m.ial
x
P
(Vn )
is even
a polynomial in the Pontrjagin classes of V . which are defined f or arbitrary differentiable ltlanifolds.
n
7.
We have seen that the index of an algebraic V2k is a polynomial in the Pontrjagin classes. Actually, this is the starting point of our considerations. Namely, by the theory of Thom
D3J we
will be alllle to prove that the index