G. Fichera x E. Magenes (Eds.)
Integrali singolari e questioni connesse Lectures given at the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.), held in Varenna (Como), Italy, June 10-19, 1957
C.I.M.E. Foundation c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini” Viale Morgagni n. 67/a 50134 Firenze Italy
[email protected] ISBN 978-3-642-10916-4 e-ISBN: 978-3-642-10918-8 DOI:10.1007/978-3-642-10918-8 Springer Heidelberg Dordrecht London New York
©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 st Reprint of the 1 ed. C.I.M.E., Ed. Cremonese, Roma 1958 With kind permission of C.I.M.E.
Printed on acid-free paper
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CENTRO INTERNATIONALE MATEMATICO ESTIVO (C.I.M.E)
Reprint of 1st ed.- Varenna, Italy, June 10-19, 1957
INTEGRALI SINGOLARI E QUESTIONI CONNESSE
E. Magenes:
Il problema della derivata obliqua regolare per le equazioni lineari ellittico-paraboliche del secondo ordine in m variabili ..........................................
1
G. Stampacchia:
Completamenti funzionali ed applicazione alla teoria dei potenziali di dominio ...................................... 53
A. Zygmund:
On singular integrals .............................................................. 69
S. Faedo:
Applicazione ai problemi di derivata obliqua di un principio esistenziale e di una legge di dualità fra le formule di maggiorazione ............................ 109
G. Fichera:
Una introduzione alla teoria delle equazioni integrali singolari ................................................................... 127
MAGENES, ENRICO 1957 Rendiconti di Matematica (3-4), Vol. 16, pp. 363-414
II problema della derivata obliqua regolare per Ie equazioni lineari ellittico-paraboliche del secondo ordine in m variabili (*) di ENRICO llIAGENES (Genova)
n. 1 Esempi intt·oduttivi. - Uno dei pitt importanti e prIml problemi cbe banIlo portato allo studio degli integrali singolari e delle equazioni singolari e it cosiddetto problema della derivata obliqua nella teoria del potenziale ordinario (v. ad es. [9aJ (i)). Esso cOIlsiste nel deterlllinare una fnnzione armollica u in Ull campo A dello spazio a 3 dimensioni quando sia assegnato sulla fl'ontiera .s di A it val ore della derivata secondo una direzione prefissata l, in generale variabile da punto a punto, cioe:
au = aI
(1)
h su 2
III ipotesi di opportulla regolal'ita sui dati del problema, cite per ora non e il caso di pl'ecisal'e, quando si cercbi la soluzione di (1) sotto la forma di potenziale di semplice strato
(*) Qllesta Memoria ripl'odnce IJrevemente Ie lezioni svolte dall' A. nel 2 0 cicIo di corsi del Centro Internaziona.le Matematico Estivo (CIME) tenuto a Val'enna dal 10 al 19 Gillgno 1957 sn «Integrali Bingo lad e qlteBtioni conneBBe ». (1) I llllmeri tra [] si riferisoono aHa bilJliografia finale della presente relazione.
1
2
[364]
ENRICO MAGENES
si e COlHlotti allo studio della derivata obliqua del potellziale (2) ed e facile, se cp e sufficientemellte l'egolare, trovare per questa derivata la formula limite: I,
(3)
1m
cos (n; , 1;)
. 0 1t (x) _
+
-----;;z; - -
2
(1:) cp s
+ J*cp ()y -0-40 (t , ,I}) d 0" 8
4
X~o (811 ttl; )
dove no e Passe normale a:4 nel punto ~ rivolto verso l'illterno di A e Pintegl'ale con asterisco e da intendersi q uale illtegrale prilleipale alla Canel.y, cioe come
, J
(4)
lun ,'0
,a 8 (~,
(p (y)
y)
a ll;
4-4.
Ii
0"
essendo :4 e la porzione di :4 clle si proietta suI piaHo tangen te a :4 nel punto ~ nel cercbio di centro ~ e raggio e (e> 0) (2). II nucleo 0 8
(~ ,
o 11;
Y) , salvo nel caso 1
non e sommabile su 2 esso
e nell'illtOl'110
di
~
=n
su 2 (problema di Neumann),
(come fUllziolle di y pel' ogni
~
fissato):
del tipo 0 ( 1 ) (3), ma tuttavia esiste il ~y2
limite (4). Si arri va COS1 per (1) allo studio dell'equazione integrale singolare - cos (nl; , 11;) cp (~) 2
(5)
+ J* cP (y) 0 s (~ , y) d Oy = h (~) 04
4
nell'incognita cp (~) • Un problema analogo a (1) puo porsi (ed e Y3
si trovano (come si vedra pili esattamente nel n. 11), se cp e sufficientemente regolare, la formula limite analoga alIa (3)
(8)
I ,lIn
+) x~g(su v
0) (4) 4ns
(si osservi cbe anche nella
(4),~.
1 1 stesso siguificato relativo alia soluzione fondamentale - =). 4n xy
11 nueleo a s (~ ,y) non
a l~
e sommabile
e si tratta dun que anclle
ora di un integrale singolare; rna la siugolarita di •
+ (~~ -
,
(';, -y , 'i'
+ (';,-y,)'
a s (~ ,y)
a l~
I
, c Ie
- 1
e di tipo ltS(~3 - Y3)~ ) sai diverso da quell a tl'ovata lIel primo esempio, e di cOllseguenza d i verso risulta l'integrale principale reJati vo. N el n. 11 tOl'lleremo pili diffusamente su questo problema di derivata obliqua per equazioni paraboliche e sugli integrali principali eonllessi. Per ora ci e sufficiente aver segualato questi due esempi di pl'oblemi di del'ivata obliqua e Ie 101'0 relazioni con la teol'ia degli integrali singolal'i e delle equazioni integrali singolari. Scopo pl'ecipuo delle presellti lezioni e illfatti l'imposlazione genemle del problema di derivata obliqult pel' equazioni lineari del secondo online di tiro eliittico-paralJolico e 10 studio pili specifico nello spazio a un numero qualunque di dimellsioni del caso cosiddetto «regolare », con pal'ticolare l'ifel'imento aIle eqnazioni totalmente ellittiche e a quelle paral>oliche «del tiro del calol'e ». Studieremo il problema per vie diverse, in particolare senza far nso della teoria degli integl'ali e delle equazioni illtegrali siugolari, rna mettendone pero in luce Ie l'ecipl'oche relazioni, in modo da ottellere cosl anclle risnltati circa quest'ultima teoria. l'isulta essere 0
W'l -
YI)2
(
YZ)2 13-
-4 i $3-11,-)
n. 2 Impostazione del problema di det'ivala obliqua per l'equazione ellittico-parabolica del secondo ordine, Sia A ~lJ1 campo limitato (4) La onrva
5
6
[368]
KN1UCO MAGENES
la quale e definita in tutti 1. punti di ogni :2; (i = 1 , ... ,r) che non siano suI bordo di :2i e pub per continuita prolungarsi in tutto :2;. Detto infine :2~1) l'insieme dei punti di :2i in cui risulta b (x) ~ 0 poniamo
on de :2(1) , :2(2) , :2(3) esauriscono :2 e non hanno a due a due punti comuni. Ii problema di derivatlt obliqua per l'equazione (10)
E(u)=J
e allora
il segueute: Supposto :2(3) non vuoto e fissati la funzione ex su :2(3) e Passe per ogni punto di :2(3), determinare una soluzione u della (10) che verifichi Ie condizioni al contorno:
u=
(11)
au + ex tt = az
(J 2)
dove
su
#2
# 2 '
h e
1
It
:2(2)
su
,.;;,~\' 3)
J sono funzioni assegnate rispettivamente su
:2(21, :2(3)
eA. Se Passe l e in ogni punto penetrante in A diremo che iI problema e « regolare ». Naturalmente occorre, per completare I'enunciazione del problema e stabilire se esso sia «ben postO» nel senso di Hadamard, precisare in quale classe di funzioni va cercata la soluzione e in che senso essa verifica Ie condizioni (11) e (12). Ma cib dipendera volta per volta dall'operatore e dalle ipotesi fatte sui dati del problema e non si potra pretend ere una teoria abbastanza generale del problema se non limitandosi in un primo momento alIa ricerca di una soluzione «debole» dello stesso. E comunque interessante osservare anzitutto come nella formuhtzione del problema rientrino i problemi di del'ivata obliqua fino ad ora cOllsiderati della lettel'atura e precisamente i due casi delle
6
[369]
11 problema della derivata obliqua ecc.
eq uazioni totalmente ellittiche forma
I ,m
~ ilhk (x) Ah Ak h ,k
7
pili semplicemente, ellitiiche (Ill,
0,
definita P9sitiva per ogni
x
di A
+~)
e delle
equazioni paraboliche «del tipo del calore» (cioe della forma
E (u) =
1 ,,,,-1
~
h ,k
ahk
(x)
a2 1l (x) 1, ,,,-1 OU aXh aXk + ~h bh (x ) uXh + C (x) tt (x) -Cl-
-
-
ott
ax",
dove Ia parte dell'operatore che non contielle derivate rispetto ad x", e totalmente ellittica rispetto a (Xl, ... ,X"'-I) per ogni x.,,}. Nel primo caso si ha, ~(3) = ~; nel secondo ca.so ~(1 ) e costituito dai punti di ~ in cui Ill, normale n e parallela e di verso opposto all'asse x.", melltre ~(2) e formato dai pUllti nei quali la norm ale n e parallel a ed equiversa a x"•. In particolare rientrano nel nostro problema i due esempi del n. 1. Anclle nei due casi predetti il problema e pero fino ad ora ben lungi dall'essere compiutamente tmttato. Pel' l'equazioue ellittica il problema generale e stato studiato a fondo nei lavol'i di A. LIENARD, G. GIRAUD, e della scuola 1'l1SSa di N. J. MUSHELIVILI solo nel caso 111 = 2 (si veda il corso parallelo svolto dal prof. FICHERA) ma nel caso m > 2 Funico problema trattato finora e quello «regolare» (si vedano pili avanti inn. 3-8). Ancor meno si conosce finora pel' Pequazione del tipo del calore (v. n. 11); una trattazione esauriente e nel solo caSo «regolare », e contenuta in un lavoro di M. PAGNI [18] del quale diremo nel n. 11. Nei numeri seguenti noi cercheremo di dare una trattazione completa del problema «regolare» in m variabili; perverremo dapprima ad alcuni nuovi risultati nel caso dell'equazione generale ellittico-parabolica ed espol'remo poi nel caso ellittico e in quello parabolico «del tipo del calol'e» i l'isultati pili precisi finora noti.
n. 3 Il problema «regolare » per l' eqnazione ellittico-parabolica: f01'1Il1lta di Gt'een e pt'imi te01'emi di unicita. Pl'ecisiamo anzituito ulteriormellte Ie ipotesi sui dati del problema. Illdicllel'emo con ~ (i) (i = 1,2,3) l'illsieme di ~ (i) e dei suoi punti di accnmnlazione. SUpporremo senz'altl'o d'ora innanzi per semplicita che i ~(i) siano costituiti da llll'unica pOl'zione di superficie l'egolal'e di classe 0 (2) . Suppol'l'emo inoltre che Passe 1 sill, definito in tutti i punti ~ di ~ ( o ) , abbia i vi i coseni direttori di cIa sse C (I ) (~(3) ) e sia sempre pene-
7
8
[370]
ENRICO MAGENES
+
+
trante in A S(l) S(2) (6). Infine faremo su IX Pipotesi che sia definita e continna su S(3). Indichiamo con C (E) la classe delle funzioni 1t definite e con-
+S A +S
insieme alla deri vata 8 U se bh non e identicamente 8 Xh , 8 1t 8 1t 82 1t nullo in e insieme alle derivate - , ~ , 8 se ahk 8 Xh u Xk 8 Xh Xk non e identicamente nullo in A S _ E noto (v. ad es. M. Picone [19]) che per ogni coppia di funzioni 1t e v di C (E) sussiste la seguente formula di G1'een tinue in A
+
Jru E* (v) - v E (u)] d x
(13)
A
= Jb It v d a + ~(1)+~(2)
+ J~ a(l) v 8-a l 1t
~V a O,) u ~
82
+
b(l) 1t
v
}
2a
~(3)
col seguente significato dei simboli: a) E* (v) e l'operatore aggiunto di E (u) :
1 (l
I,m
(si osservi che a(l) > 0) cos ,n h,k c) 2 e Passe «coriflesso» di l uni vocamente determinato insieme ad a e?) , in funzione di l, dana posizione b)
a(l)=
a(?)
) Sahkcos(Xh,n) cos (xk,n)
cos (Xh ,2)
=
l,tn
2 S ahk cos (XI> , n) -
a(l) cos (Xh , l)
k
d) bel) = b - fill) essendo fill) una opportuna funzione determinabile in fllnzione di l e indipendente da u e v (v. con precisione ad es. [19, pag. 741 e seg.]) di cui qui interessa rilevare solo che e funzione continua su S(3). Oi proponiamo ora eli stabilire un teorema di unicita in C (E) per il problema «regolare» come e stato precisato lIel presente nu-
(6) Cia significa che i pnnti di I snfficielltemellte vicini a sitivo di I appartengono a A I(l) + I(2) •
+
8
~
Bel verso po-
Il problema della derivata obliqua ecc.
[371]
9
mero. Premettiamo anzitutto il seguente teorema, gia di per se 110tevole perche estende a lle eq nazioni ellittico-paraboliclte un risultato ben !loto nel caso ellittico e !leI caso parabolico del tipo del calore; per risultati analoglli e per il procedimento cIJe adopereremo si veda la memoria [6c] di G. ]'ICHERA.
Pe
ottiene, pel'
Ull
noto teorema di RLEsz, max 11t I < max I u I A-Ie
e quindi, al limite per
e-
Je +2'(2)
0, si 1m:
max I u I
0
giullgel'e applicalldo un priucipio geuerale di analisi fUllziouale dovuto a G. FICHERA. [6b], che e qui Oppol'tuno richiamare bl'evemeute. Sia V nna varieta lineal'e rispetto al corpo reale (0 complesso) e siano definite in V due trasformazioui lineari MI (v) ed M2 (v) aventi codominio rispettivamente in due spazi di Banach 03 1 e 032 reali (0 complessi). Sia qJ un assegnato funzionale Iineare e coutinuo definito in 03 1 e consideriarno l'eq uazione funzionale (20)
iP [Mt (v)] = 'P [M2 (v)]
nell'incognita 'P, funzionale Iineare e continuo definito Si ha il seguente:
12
ill
032 ,
[375]
13
Il problema della derivata obliqua ecc.
TEOREMA V: Condizione necessarin e sufficiente affinchc) assegnato C01nltllqlle t:]) esista una soluzionc lJ' della (20) c che esista una costante 7c tale che
111111 (11) II
10
0
~(l )
+ ~(2)
SU ~(3)
La (23"1) e verificata di conseguenza essendo IX < 0; e se c < - M , con M sufficieIltemente grande, e ovvio che w veri fica anche la (23). Si osservi a proposito dell'ipotesi a CI) > 0 su ~(3) che essa in sostanza si riduce a supporre a l l ) > 0 suI bordo di ~ (3), perche Ilegli altri punti di ~ (3 ) (t CI) e gia in ogui CaSo positivo, per il modo come e definito (v. n. 3). Si pub ora porre la q llestione deli'uuicita della soluzione « debole» cosl trovata; il problema e aperto, e in particolare e aperto il problema di sapere se nelle ipotesi del teorernR II del n. 3, ill cui c'e I'lIl1icita della soluzione nella classe 0 (E), c'e anche l'uni-
14
II problema della derivata obliqua ecc.
[377]
15
cita della soluzione «debole ». Possiamo solo osservare che dal teorema V di Fichera segue cue l'unicita della soluzione «debole» equivale ad un teorema di completezza hilbertiana e precisamente: TEOREMA VII. Oondiziolle necessaria e sufficiente per l'unicita della soluzione «debo1e» di (17)-(18) e cite i vettot'i di componenti
E'" (v) -in A , a(!.) : ~ - (b(l) - " a(l)) v su ~(3), b v su ~(1) costituiscano una base ((1 varia1'e di v in 0 (E) per lo spazio d-i Hilbert dei vettod di compollenti j~ di c1asse £ (2) (A) , f2 di c1asse £ (2) (~ (2)), e b f3 di c1asse £ (2) (~ (ll) • Ritorneremo in segui to nel caso totalmente ellittico e parabolico del tipo del calore suI problema dell'unicita. Altri problemi interessanti e tllttora aperti relativi aIle soluzioni «deboli» sono i seguenti. Vuso del principio esistenziale del FICHERA (teorema V) permette di studiare il problema (17)-(18) quando esso sia risolubile pel' ogni terna (f, f-l2' It) dei dati e dunque in ipotesi presumibi1mente di unicita. In generale pero non ci si trovera in queste condizioni, ma e p1'esumibile che debba val ere un teorema deIl'alternati va. Come e d'abitudine ill q uestioni di questo tipo si puo aUora t.entare, una volta risolto il problema nei casi di unicita, di tradurl'e il caso generale in un'equazione funzionale del tipo di Riesz. Ma la cosa potra presentare difficolta. Una nuova via utile da seguire peril conseguimento del teorema dell'alternativa puo essere anche l'uso di un principio esistenziale di S. FAEDo [5], estensione del teorema V sopradetto; rna per esso e per la sua applicazione al problema (17)-(18) si veda la conferenza di S. Faedo unita al presente corso. Prima di chiudere questo numero sullo studio esistenziale del problema (17)-(18) dal punto di vista delle soluzioni deboli e necessario segnalare due recenti iJlteressanti lavori di J. L. LIONS [12a,b] sull'esistenza di una soluzione debole divel'sa da quella da noi introdotta; in essi il problema regolare e studiato addirittura per equazioni d'ol'dine qualunqae, trattasi pero dei soli casi delle equa~ioni ellittiche e di una classe particolare di quelle del tipo del cal ore e 10 studio delle condizioni al contorno e fatto in modo menD preciso di quanto noi fal'emo !lei seguenti n. 5. e 8 per la soluzione da noi considemta (*),
c) Dnrante la.vOl'O
la correzion e d elle lJozze 8000 venuto a conosce ll7.a di nn llUOVO di J. L. LIONS, che nscira sni Reports dell'University of Kansas, Lawrence,
15
16
[378J
ENRICO MAGI
112
39
11 problema della del'ivata obliqna ecc.
[401]
D'altra parte si ha: '. /~ bz (y) la'~('1:'Y)l 0
.
Xt
z
day
X~O
=
.
l,lm
Xa~O
.
r
b2 (y) [OS(X,y)] ~. day = 0 x, X~O
z-z"3
Bastera dunque dimostrare Ie due relazioni:
lim fb 2 (Yt 'Y2) Yi:; 1/1 xY y
"3->0
+ cp'2 + cp'2 d Yt d Y9 y,
Y.
~
r"3
II primo integrale si tratta in modo analogo al secondo integrale considerato a propos ito della (27'); c'e pero qui da osservare che si dOVl'a ora usal'e la maggiorazione
la quale si ottielle attraverso il teorema del valor medio rapid amellte. Anche il secondo integrale si tratta COli artifici analog hi; per i dettagli si veda [13e]. Dllllque la I) e II) sono equivalenti per quasi-tutti i pUllti di ~; e
+
+
OU az =
(58)
(57)
h su
2:(3)
dove h e una funziolle assegnata sn 2:(3). Ahbiamo gia detto lIel n. 1 che se si cerca la soluzione nel!;t classe dei cosidetti «potelJziali di semplice strato del calore» (59)
w (x , t)
=
J
t5 (y , T) S (x , t ; y , T) It a
I(s)
I ~_("'_1-_Y_l_"2+_(_X_'-
\(x, t)
1(y , T) -
(Xi' ·'X'z , t) (Yt , Yz , T)
I
I
dove s (x , t : y, T) e Ia soluzione fondamentale di (56) cioe
(60)
s (x, t;y,
T)
=
0
4(1-.)
4
3t
(t -
T)
per t
dove r
~
4(t-?i
2 (t _
-
)
0)1/2
(n . m) (1; . ;)
4n(t-T)3/2
V;( -
e
4(t- (x)
= .I~-t' d t.
COS! costrnito, H verifica tra l'altro la
o
(561 come funzione di (x, t) e Ia
a R (x ~ t j Y , T) _ _a_8_(x_',_t_i_.I_1f_,T_) ax,t l~j,T (i3) Il procedimento si ii rivelato utile in altri problemi al contorllo del tipo di quello della ilerivata obliqna: ail es. nei problemi al contorno per il sistema ili equazioni ilell'equilibrio elastico. (v. S. Campanato [13].)
43
44
[406]
ENRICO MAGENES
Si ottiene COS1, uell'ipotesi delln soln continuita di h su 2,'(3), per il problemn (56) - (57) - (58) il teorema di esistenza e di unicitlt nella
.
..
.
a It au
classe delle fnnzio.ni u conttnue tn A -t- 2,', con denvate - - , - - ,
a2 It au.
[)? U
--2' --2 , -.- conttnue
aXl a X2 at 2,'(3)
la IlM'ivata
au 2l'
in A
+ 2,'(1),
a XI aX z
e che ammettono in ogni punto di
Anzi 8i ha di pin, nelln soln ipotesi che h E 2(1)
l'esistenza e l'ttniciti't della solltzione nelln classe delle iunzioni rapPl'esentabili con lit (63), If' essendo di clnsse 2(1) (2,'(3») •
2,'(3),
E di qui si p08sono anche ottellere i l'isultati allalog-hi a qllelli del nUlllero 9 e 10, sui q nali per brevita non ci sofferllliamo (v. [18]); l'icordiamo solo Ie applicazioni agli iutegrali sillgolari che compaiollo in (61) e (62) e precisameltte la vnliditi't dellit (61) per quasi tutti i
p1tnti di 2,'(3) nellit solltipotesi della sommabilitit di i5, e l'esistenza della soluzione della (62) nelln soln ipotesi dellit som11Utbilita di h. 12. Lo studio del cosidetto potenzillle di dominio per l'equazione del cnloJ'f) e i pt'oblemi nuovi di integra li sillgolari ad esso C01tII.
nessi. It presente numero non 8i inquadra nel problema di derivata obliqua trattato in tutti i numeri precedenti, hens! si l'iallaccia a un altro problema di teoria del potenziale che da luogo alIa c0l18iderazione di integntli 8i ngolari: q uello delle deri vate secollde del potenziale di dominio. Esso e esalll'ielltemellte trattato peril caso delle equazioni ellittiche nel corso parallelo del prof. Zygmnnd e nella confel'ellza del prof. Stampacchia. 10 vorrei qui invece soffermal'llJi sull'analogo problema per Ie equazioni paraboliche del tipo del calore, onde mettere in evidenza e proporre allo studio un nuovo tipo di integrali singolari, analoghi a quelli or ora visti nel n. 11 per il problema di derivata obliqua. Limitiamoci per semplicita all'operatul'e in due variabili x, t ~2 u 1t E(1't)--- ax 2
(64)
au
--
at
e cOllsideriamo il potenziale di domillio:
(65)
u (x , t)
=
[i(Y, 'l) s (x, t; Y ,'l) d Y d t A
44
II problema della derivata obliqua ecc,
[407]
45
dove supporl'emo, senza alterltre perci() Ia geueralita, cLe Asia il l'ettangolo a x b, 0 t to e
<
l
al variare di f (x) in S. Cio vuol dire che un insieme B appartiene ad fl se esiste almeno una funzione di S pel' cui la (1) €I verificata
(4) Si potrebbe, cOllie gia accelllwto in e), partire ko:
Quilldi la snccessiolle estratta Uk) COIl verge nil ifol'Ulemell te fllori di 00
(E t:1a)
U Bk k~J
per ogni scelta di k o ' D'altra parte si ha, perla 4):
59
58
[420J
GUIDO STAMPACCHIA
e quindi per la 4):
Di qui si deduce cite la snccessiolle estratta converge Illlifol'memellt.e ill tutti i pUllti - oi Tao eccezione di quelli di un insieme I di [, per cui # (I) e illfel'iore ad un llumero positivo pl'efissato. Consideriamo inune l'insieme: E
=
= n 00
lim sup. Bk
00
U Rk
8=1 k = s
ed osserviamo elle, essendo, qualullqlle sia I'inoiee
8:
00
e sussistendo la (3), E e Ull insieme di [,. La successiolle estl'atta cOllverge in tutti i pUllti di T clle non appartengono ad E e cio completa la dimostl'azione del teol'ema (8). II teol'ema precedente permette di risolvere it problema del completamento fUllzionale come fOl'mulato all'inizio; infatti ad ogni successiolle di CaucllY di S U;,l possiamo associare almeno una sllccessiolle estratta (lnkl elle con verge, come detto nell'enunciato precedente, ad uua fllllziolle- defiuita ill T a meno di illsiemi della classe eccezionale [,. Quindi ad ogni PUllto di S* velliamo ad associare almeno una funzione definita a menD di insiemi di [,. Siano ora I' ed j" due fllllzioni associate ad uno stesso punto di S* secondo il criterio precedente; segue facilmente clle # (E
[I' (x) =1= j" (x)j) =
0
(8) La dimostrazione del teorema e analoga a quella del ricordato teorema di Weil- Riesz relati vo alla oonvergenza in lllisura di una sottosuocessione convel'gente fort ellente in LV. Che la dimostrazione di questa teorema lion sfrutta l'additivita della misul'a, rna solo la Bubadditivita e stato osservato da diversi Autori: Cartan, Deny, Stampacohia, Deny - Lions, per particolari tipi di funzioni d'insieme suubaditive. Una prima formlllazione astratta oi questa teorema e stata data da F. Cafiero [2J; successivamente Aronszajn e Smith hanno dato ]a fOl'mulazione rip or taLa nel testo, ohe l'innncia rispetto a quella di F. Catiero - all ' ipotesi ehe la fnnzione f-' (I) sia definita in nna famiglia cOlDpletamente additiva.
60
[ 421]
COlllpletalllen ti funzionali ed applicazione alla teoria ecc.
59
cioe
E [f' (x) =1= f" (x)l E S . Ma di pin, possiamo dire che Ie funzioni di S sono «quasi continue» se Ie fUllziolli della classe S sono continne (9). Uua consegllenza immediata di quanto dimostrato e Ia seguente: Supposto che le funzioni di S sianu continne e che in et si abbia:
c (B)"? m
>0
pet" ogni
B=I=0
si 1IUO concludel'e che le fUllzioni iii S sono anche ('sse cOlttinue. Infatti in tal caso il teorelll3 preceden I.e assicum che Ia COllvergenza delle successioni di Oauchy di S unifol'llle e quindi 10 spazio S e costituito da funzioni continue.
e
5. Diamo ora un semplice esempio - a titolo illustmtivo di quanto detto precedentemente. Sia S costituito da funzioni di una variabile f(x) contiuue con Ie derivate prime Ilell'illtel'vallo 0 <x< 1 e introduciamo la norma:
(p "? 1) .
Lo spazio liueal'e S, COli la norma adottllta, !lOll e cOlllpleto. Mostriamo ehe i) suo com pletallle!l to fllllzionale e· costi tu ito da fnnzioni assoiutamente eOlltillue ill (0,1). Per questa osserviamo che in S valgollo Ie relaziolli: x"
f(x") - f(x')
(4)
=
J
f' (t) dt
x'
f 1
(5)
[v (t)f' (t)
+ v' (t)f(t)] dt = 0
(v (0) = v (1)
=
0)
o
(9) Non possiamo a questo punto cOllcludere ehe vi
S; (Jib sarebbe Ieei to se: per ogni slleeessi one di Canchy
verga a menu di insiellli d i
.s
a zero, si pub concIndere
61
e isomorJislllo fra s~ ed Iill I di S, III q nale (JOllehe: lilll II i" II = 0 .
,,-00
60
[422]
GUIDO STAMPACCHIA
max
(6)
O~x~l
If(x) I n Ie funzioni di S Sono differellziabili secondo Stolz (14); se illvece p n Ie funziolli f sono differenziabili asiutoticamellte di ordine l' secondo Ulla nozione illtrodotta indipelldelltemente da Rado e da Caccioppoli e Scorza Dragoni e generalizzata da Tibaldo e poi da Pezzaua [l1J. Una funzione f(P) di 8 gode infatti per quasi tutti i puuti di T della seguente proprieta:
l
tbe first term on tbe right represents tbe convolution of f witb an integrable function (equal to Iy I-a for Iy I l
72
70
A.
[470]
l.YGMUND
and if we suppose that Q is bounded, then the second integral on the right exists, as before, everywhere and represents a bounded function (by an application of HOlder's inequality we see that the conclusion holds if fE LP, with 1). The main difficnlty, therefore, lies in the first integral on thc right, and it is clear that this integral need not exist, as a Lebesgue integral, at any point: for example if Q = 1, and f is a constant different from 0 in the neighborhood of a point .'Vo , then the integral diverges in the neighborhood of xo' It follows that we must 1) impose restrictions on the kernel K, 2) redefine the meaning of the integral (4)" Given a kernel K (x) and a number e> 0 we denote by Ke (xl the kernel equal to K (x) if Ix I >e and equal to 0 otherwise;· we call Ke a trttncated kernel. Consider the limit
p>
(5)
lim (f(y) K (.r - y) d Y
s_o}o.!
=
limf * Ke. t: .... 0
Ix - yl :? e
If it exists, we call it the pl'incipalvaluc of the integral
Jf(Y) K (x - y) d y. To the limit (5) we may give various meanings: in the classical sense of pointwise convergence, convergence in the mean, convergence in measnre, etc. If the limit exists, we shall denote it by I(x) (this notation does not display the dependence of J on the kernel K). vVe are interested in the ~llowing problems: a) the existence of f;
f.
b) the properties of We impose on K two conditions. Firstly, we suppose that
J
Q (x') d x'
(6)
=
0,
I
where ~ denotes the unit sphere Ix I = 1. This condition is indispensable if the limit (5) is to exist at a point in the neighbourhood of which the function f is constant and distinct from O. Secondly we must impose some conditions of regularity on Q. For many purposes it is sufficient to assume that Q satisfies a Lipschitz
73
[HI]
On singular integrals
71
condition of positive order on X; in symbols, Q E Lip
(7)
IX,
'l'he main theorem which we are going to discuss later may be stated as follows. TUEOREl\'[
1. Suppose that Q satisfies both (6) and (7). Then for
any fE LP, 1
0
On singular integrals
[473]
73
and let K. (x) be the trnncated K, that is to say K. (x) 1 xl;;;:::: e and K (x) = 0 otherwise. We write
1. (x) = f ,.. K .
J
=
K (x) if
J
f (y) K, (x - y) d Y
f (y) K (x - y) d y ,
Ix-y l:?'
and we set ;: (x) = Sup
•>0
11. (x) I.
In view of Theorem 1 of § 1, the function ;: is finite almost everywhere for each f E LP, 1 l. We may consider a generalization of the transform (7) to spaces of higher dimensions. IJet e1 , e2 , ••• ,en be a system of n mutually orthogonal non zero veetors in En. Consider the set of all lattice points h generated by this system. Hence the h are of the form fl1 e1 fl2 e2 fln en, where fl1' ,fln are arbitrary integers. Since the set of all lattice points is denumerable, we may arrange them into a single infinite sequence I hq I = (h o : hi , .•. ) . Given any infinite sequence of numbers I Xr 1= (XO , Xi , ••• ) we may consider the transformation
+
"'2 , ...
+ ... +
~
(9)
X'l
=
+00
2' K(h q
hr)xr ,
-
(q
=
0 , 1 , 2 , ... )
r~O
which obviously generalizes (7), and for which we have the following analogue of l\L Riesz"s theorem: 8. If the kernel K (x) = Q (x')1 Ix In satisfies the conditions (1), then the transformation (9) is from lP into lP, for p strictly THEOiml\I
greater than 1 . .iJ1ore precisely, if X = l;;q 1, then I ~Yllp < Ap II X lip· We shall now consider singular integrals for periodic functions. We recall that parallel to the theory of Hilbert transforms (8) we have a theory of conjugate functions
(10) -n;
The function f here is initially defined in (- n ,n) and then extended to all X by the. condition of periodicity. The properties of conjugate functions are close to those of Hilbert transforms (8),
79
On singular integrals
[477]
77
and this is not surprising since using the formula
(11)
1 (1 -cot -1 x = 1- + +00 ~ - -1-) , 2 2 x n~-oo X 2 11: n 2 :n n
+
we can put (10) in the form l(x) =
~
r
+00
f
11:.
-00
(y) d y •
x-y
We can apply the same procedure to the general kernel K (x) • Suppose for simplicity that the orthogonal vectors e 1 , e2 , ••• ,en are all of length 2 11: and set (12)
K* (.-r)
=
K (x)
+ +00 ~' jK (x + h
q) -
K (h q )\
q~l
assuming, for simplicity of notation, that ho = 0 . Using the fact that Q E Lip IX, it is not difficult to see that the series (12) converges uniformly over any finite portion of Ii] provided we drop the first few terms of the series which have singularities there; the function K* (x) is of period 2 11: in each of the components ~ j of x . Let Qn be the hypercube in En with center at the orig'in and half-dimensions 11:. Consider the function
n,
(13)
f(x) = ff(y) K* (x -
y) d y.
Qn
Since K - K* is continuous in Qn, Theorem 1 implies that the integral (13) exists almost everywhere in Q", and from Theorem 2 we can deduce without difficulty the following resuit: THEOREM
9. If f is in LP on Qn, where p
~ inLP, and llfllp<Apllfllp, where
Ilflip
> 1,
stands for
then
f
is also
(f If(x) Ip dx )l /P. Q"
We conclude this section with a few words about singnlar int.egrals on curves.
80
'is
[478]
A. ZYGMUND
C be a rectifiable curve in the complex plane, and let f (C) be and integrable function on C (that is, f an integrable function of the arc length). Consider the integral I~et
j
(14)
f(C)dC
z-C '
a
where z is also on C. By the pt'incipal value of this integral we mean the limit, as e -. 0, of
j z-C1 ' f(C)d
as (0)
where C. (z) is the part of the curve C which is outside the circle with center z and radius e. One would expect that under these conditions the integral (14) would exist at almost all points of C; whether this is so we do not know, and the best result so far obtained is the following THEOREM 10. If the curve C has bounded curVlttUt'e and. x and f is integrable on C, then the integral (14) exists, in the sense of principal value, at almost all points of C. D~finitions of singular integrals can be extended from Euclidean spaces to curved varieties, but very little is known in the general case, and we do not discuss the topic here.
§ 3. Given a function j (x) =
Fourier transform of
f
(I; 1
, •••
,I;n), we denote by
/'0-
f the
f,
f(x) = (2 n) -
+ff n
(y)
(}-i(xy)
dy ,
+ ... +
where (x y) stands for the scalar product /;1 'f/l /;n 'f/n of the vectors x = (1;1"'" I;n) and y = ('f/t , .•• ,.'f/n)' We take for granted /'0elementary properties of the Fourier transform f, in particular the
f
facts that if fE L2, then exists (in the metric LZ), that = II f 112, and that we have the inversion formula
(1)
f(y)
=
(2
n)-+nj.i(X) ei(xy) r7.1:, 81
IIill2 =
On singular integrals
[479]
79
Moreover we shall need the fact that if we define the convolution h of functions ! and g by the formula
h (x) = (2 n)-
+f! n
(y) g (x -
y) d y ,
and if one of the functions!, g is in L and the other in L2, then
h=!
(2)
g.
/'..
Since a singular integral! is a convolution of two functions ! and g, we may expect (2) to be valid in this case in some sense, and we are led to study the Fourier transform of the kernel K (x) = = Q (x') / I x In. The kernel being not integrable near the origin, we must first define the Fourier transform of K. Let K e ,'} (x) be the function coinciding with K for IJ < I x I < 'YJ and equal to 0 otherwise. "Ve define the Fourier transform of K by the formula K (xl
(3)
=
lim lim K e,') (x) , e---+O
't}-HXJ
/'..
and we first study the behavior of K e ,'}. We snppose temporarily that Q is merely bounded and satisfies the usual condition
r
Q (x') d x' = 0 .
I
I 1=
I I=
We introduce polar coordinates and set x r, y (2 , (x y) = r e cos cp. We have d y = e"-l d e d a, where d a stands for the element of area of ~, and (2 n)n/2
(4)
Jr.,') (x) =
J
da
I
'}
e- 1 Q (y') e-irecoAip (7 e =
:E
=
r
. :E
Q (y') il e
/7~-iecos'l'
. er
e
de.
Let g (e) be the function eq nal to 1 for e < 1 and to 0 for e
>1.
Then, in view of the condition
I
:E
82
Q (y') d y' = (),
the right
80
[480]
A. ZYGMUND
hand side of (4) is
J J 1Jr
de·
e
er
:E
g (e)
e-iecosrp -
Q (y')
Denote the inner integral by I. vVe will show that (.5)
1II
< log 1cos1 ffJ 1+ 0,
where 0 is an absolute constant. Consider first the case 13 r < 1
R~l
1
1=
e-iecosrp -
1
e
er
say. The inequality
1 eit -
d
----;::- d
'Jr
( e-iecosrp
.
e+
-e- d e = + 1 II
.
1
1
1
1
(! / •
"
1
We have
J
J
R e-ie
I
sup
01 =
r; 1", and set
1, so that in any case we have (.5) with 0 = 0 1 1. In the cases r; r < 1 and 13 r > 1 the situation is similar. In the former, using the same estimate as for It above, we obtain 1 II < 1; and in the latter
+
111=/ J
J
I --glle e- ie ~e-(lel
0
11.(x) I
(thus /; is always non-negative, possibly infinite). It is known that the one-dimensional inequality (6) can be strengthened to (p> 1)
(8)
88
86
[486]
A. ZYGMUND
an inequality which is equivalent to saying that for any measurable step function e (x) we have II h e(x ) (x) lip < Ap II h (x) lip,
(p> 1)
where Ap is a constant depending on p, but not the choice of e (x) • Suppose now that the e in (2) is a function of x, say a step function (by a step function in En we mean a function constant in a finite number of non-overlapping n-dimensional rectangles and 0 elsewhere). We have Ih(X) (x) I::::;:
~
J
IQ
(t) ge(x) (x , t)
Id t
O
and so also
~ (x) :::;;: 2, 1 j~
I' I Q
(t)
I g* (x , t) d t ,
:?:
from which, by the previous argument, we deduce
I IJ~ (x) lip
1).
1.
This inequality implies that < 00 almost everywhere, and in particular that at almost all points x the integral h (x) remains bounded as e ~ O. But at also implies easily that for almost aU x the limit l(x) = lim h (x) necessarily exists. To see this we observe that exists everywhere if f is continuously differentiable and, say vanishes outside a sufficiently large sphere. The class of such functions f is dense in every LP . Now, if we set
1
() (x)
= () (x, f) =
lim suph (x) -
._+0
lim infh (x), e~+O
then (9) implies that (10)
II () (x ,f) lip < 2 Ap II Q 111 IIflip·
Now () (x ,f) = a(x, f- g) for any g such that g (xl = lim g. (x) exists and, selecting g such that Ilf - gl lp is arbitrarily small, we deduce
89
On singular integrals
[487]
that
1
87
110 (x , f) lip =
0 , (} (x , f) = 0 almost everywhere, so that = lim]; exists almost everywhere. Applying this to (7) we see that
(11)
Let us summarize the results obtained so far in this section. Taking for granted results for the one-dimensional Hilbert transform, and assuming that the function Q is odd and integrable over ~ (this, of course, implies that the integral of Q over ~ is 0) we deduced that 1(x) = lim]; (x) eX'ists almost everywhere, and that l zed by a function in LP; in particular
is rnajori-
111-];llp = o.
lim
The method we used, which we may call the method of rotation, may be applied to more general kernels, already considered in § 2, provided the kernels are odd. Oonsider the integral (12)
-ff (- ) I I
f~• (x ) -
y Q (xyn, y') d y,
x
1!l1;;;;':·
where f is in L p , p > 1, and Q is a function of the variable y' E ~ and of the parameter x E En. We assume that Q is odd in y', and that there exists a function Q* (y') integrable on ~ and such that
IQ (x , y') I ~ Q* (y')
(13)
for all x. If g. (x , t) has the same meaning as above, then arguing as before we have
~ (x) f.
IJ
="2
Q (x , t) g. (x , t) d t ,
I
11. (x) I< ~ JIQ* (t) II g. (x , t) I d t , I
from which it follows that
II]; (x) lip
1).
88
[488]
A. ZYGMUND
The last inequality can be extended to
h, (x) =
where
=
sup
_>0
I]; (x) I,
which, as before, implies that l(x)
=
lim.f. (x) exists almost everywhere.
§ 5. In this section we cousider the limiting case p = 1, and we show that if Theorem 1 is valid for p = 2, then it is also valid for p = 1. Thus the result is of conditional nature, but is of interest since in the preceding section we showed the validity of Theorem 1 for odd kernels and any p > 1. The method we use is itself of interest and has wider application. We begin with the proof of the following lemma. LEMMA I. Let P be a bounded perfect set in En, and A a sphere containing P. Let b (x) be the distance of x from P. Then for any A. 0 and almost all points x in P we have
>
(1)
I (x) =
f
0" (y) y In+l d y
!x _
0)
with v = If I and w = I log 1/1' I, and it is easy to refine the boundedness of tt to continuity. The result fails to hold (tt may be everywhere unbounded) if we replace the condition f E L* by a weaker one. If we differentiate the integral defining u formally with respect to x or y we obtain a convolution off with the kernel x/(x 2 y2) or y /(x 2 y2), as the case may be. Both kernels are locally integrable, and the differentiated integrals converge absolutely almost. everywhere to functions which are locally integrable. In particular u", and u y exist almost everywhere and u is an absolutely continuous function of y for almost every x, and vice versa. This is true under the sole hypothesis that f is integrable. We now pass to the second derivatives of u. If f is continuous and satisfies a Lipschitz condition of positive order, there exist classical formulas expressing u"''''' ttwy ,U yy in terms of Hilbert transforms of f, with kernels
+
+
It can be shown these formulas hold almost everywhere if f is in L*. vVhether these formulas hold for f E L, is still an open problem,
and it is conceivable that in this case the second derivatives need not exist in the classical sense. That certain results may fail to hold if we pass from L* to L may be seen from the following fact. Suppose thatfE L*. vVe have
106
104
[504]
A. ZYGJlIUND
just mentioned that in this case u has almost everywhere the derivatives ttxx , ttxy , U yy • But another result holds in this case: if f EL"', then u has almost everywhere a second Peano differential, that is
+ h , y + u (x , y) = A h + B k + + ~ C h + D h 7c + ~ E + (h + 7c
u (x
Te) -
2
Te2
0
2
2 ).
This, of course, implies that u is bounded in the neighborhood of almost all points, and also indicates that the integrability of f log+ If I cannot be weakened here siuce otherwise tt may be everywhere unbounded. If we set k = 0 in the last equation, we obtain u (x
+ h , y) -
tt (x , y)
=
A h
+ 21
C h2
+
0
(h 2 )
•
This indicates that the second derivative of tt with respect to x in the Peano sense exists almost everywhere. The result is weaker than the existence almost everywhere of the classical second derivative, but in is not impossible that in this form the result is extensible to functions f of the class L. We conclude with a few words about the Newtonian potential in the space En with n > 3 :
L-i-
f E +e, then it is a simple consequence of Holder's inequality that u exists almost everywhere and is continuous; if f is only in
If
n
L 2, U may be everywhere unbounded. Suppose now that f E L*. Then, as in the case of the logarithmic potential, u has almost everywhere all second derivatives, and these derivatives are given by classical formulas. The second differential, however, need not exist at a single point since already in the case when f E Ln/2 the potential tt may be everywhere unbounded. If however in u (x) = U (~1' ~2, ... ,~n) we fix ~1' ~2 , ••• , ~n-2, then for almost all choices of (~1 , ••• , ~n-2) in En-2, tt has almost everywhere in E2 a second differential with respect to ;n-1 and ;".
107
[505]
105
On singular integrals
BIBLIOGRAPHICAL
NOTE
Tho ono-dimensional Hilbert transform is a classical topic_ Hilbert transforms in higher dimensions seem to have ben first considered by Tricollli (for 11 = 2) and Girand, bnt the introduction of the Lebesgue integral and the modern theory of operators seems to be due to Michlin. Miohlin's main work is discussed in his expository article Singular integral equations, Uspekhi Matemati~eskich Nallk, vol. 3 (1948), No.3, pp. 29-112 (there is an English translation in Allleri"an Math. Soc. translations, No. 24 (1950». It also contains a discussion of, and references to, the earlier work of Tricomi and Giraud. The developments (8) and (9) of § 6 will be found there (proved by a totally dift'erent argument). The series 13 of § 6 oocurs already in the note of Giraud Sur une class gelllJrale d'equations integrales p1'incipales, C. R. de l' Acad. :"ci. Paris, vol. 202 (1936), 2124-2125, but no Fonrier integral is menLionell, no proofs are giv6u, and it remains a mystery how Giraud arrived at the development, though he explicity mentions the fact that to the composition of integrals corresponds multiplication of the devel(lpments, an obvious hint nowadays to Fourier integrals. That the development is actually the Fourier ntegral of K is implicitly contained in the paper of Bochner, Theta j'elatiolls with spltel'ical ha1'11!onics, Proc. of the Nat. Acad. USA, 37 (1951\,804-808, which contains the formnla (11) of II 6; see also Michlin, On the theOl'y oj nwltidimensional sing'llar integral equations, Vestnik Leningrad University, Series of Math., Astronomy and Mechanics, Vol. 1 (1956), No. I, p. 1-24. Theorems 5 and 6 about iterated Hilbert transforms are proved by M. Cotlar, Some generaliziations oj the HardyLittlewood maximal theorem, Hevista Matelllatica Cuyanil, vol. I, fase. 2, pp. 85-104. A. P. Calder6n's and the author's work is contained in the foll()wing papers: (i) On the existence oj certain integrals, Acta Mat. 88 (1952), 85-139; (ii) On a problem oj Michlin, Trans. American Math. Soc. 78 (1955), 209-224 (Addenda, Ibid. 84 (19~7), 559-560); (iii) Singular integrals and periodic jnnctions, Studia Math. 14 (1954), 249-271; (iv) On singulal' integrals, American J. of Math. 78 (1956),289-309; (v) Algebras oj certain singulm' operatOl's, Ibid. p. 310-320; (vi) Singular integral operators and differential equations, Ibid. 79 (1957), PI). 801-821.
a
[Entrata in RedaziQne il 29 novembrc 1957]
109
FAEDO, SANDRO 1957 Remliconti eli Matelllatica (3-4), Vol. 16, pp. 515-532
Applicazione ai problemi di derivata obliqua di un principio esistenziale e di una legge di dualita fra Ie formule di maggiorazione (*) di SANDRO FAEDO (Pisa)
1. - Nel convegno iuteruazionale snlle equazioni aIle derivate parziali tellllto a Trieste nell'estate del 1954 G. FiclJera lJa comuIlicato Ull principio generale di esistenza nell' Allalisi lineare, clJe gli lJa permesso di dare una tmttazione unitaria a llumel'osi problemi esistenziali. Siano V un insieme astratto, lilleal'e rispetto al corpo reale [complessoJ e Bi e R~ due spazi di Banach l'eali [colllplessiJ. Siano definite in V due trasforrnazioni lineal'i MI (v) e M2 (v), aventi codominio rispettivamente ill Bl e B 2 . Sia assegnato Illl funzionale lineare e continuo if! (Wi)} definito in Bl e si considel'i l'equazione
1) nell'incognita IfF (w 2 ), essendo IfF (w 2 ) un funzionale lilleare e continuo defiuito in B 2 • II principio esistenziale di Fichera si pub ('oSI ellllnciare: «Condizione necessaria e sllfficiente affinche esista la solnzione dell'equlIzione 1), dato comllnque if! , e che esista una costante K, tale clJe sia per ogni v c V 2)
II
M{ (v)
II
e
e (z
, e)
< e•
Silt E l'insieme dei punti di ~ contenuti in questo campo. Se qJ (e) appa1,tielle alla cll/sse 8~O) (X), esiste l'integrale singolare ellittico (2), assume1ulo come insiemi d'esclllsione gli E teste definiti. Si ha:
J
qJ (e)
1 a ~ e (z ,1) a e (z , e) d s~ = J[qJ(e) Sz
2,'-E
1 qJ(z)] eTz~
a a e(z,e) ds/; + Sz
~-E
1 a + qJ (z) .f-(-1=\ e z, a
esselldo q 0. Il teorema III ovviamellte sussiste peril pin generale integra Ie singolare di tipo ellittico. II nucleo K (z ,C) sara detto un nucleo Sin{IOlal'e iii tipo ellittico.
OS8(J1'vazione I. - La dimostrazione £lei teoremi II e III seguita a sussistere e si perviene aHo stesso val ore per l'illtegrale singolal'e, se cOllie famiglia (E) si assume una qualsiasi famiglia vel'ificante Ie condizioni a), b), c) del nO 1, nella quale ogni E sia costituito da un arco Z1 z2 tale che:
-----
(6)
Tale considerazione pel'mette di sostituire, ad esempio, ai campi ellittici, cOllsiderati nell'enullciato del teOl'ema II, i campi circolari eli centro z e assumere come insiemi di esclusione Ie illtel'sezioni eli ciaseullo + ~2) + rl, 2t (2~~
donde la (12). Dalla (12) facilmente segue:
=
0 (Iz ~CII.-h)'
Riesce:
(14)
-0
-
s
fl
cp (C) - cp (z) 1 d~
-8
(8) efr. [28J pag. 174.
144
< IlS ,
140
GAI~TANO
s
Posto 'P (8)
./1
g; (z)
g; (') -
} L di T. Diciamo z! e punti variabili su e Z2' punti variabili in T. Fissato l'illtero positivo q, sia \ Pi (') , ... , {3q (') 1 un qualsiasi sistema ortonormale in T costituito da fUllZiolli reali hOideriane in T Sia inoltre \ "'I ('l , ... , "'q (')) un sistema di q funzioni reali, verificanti Ie segue uti condizioni: 1) Le funzioni "'I , ... , "'q souo defiuite in tutto il piano. 2) Ogni e continua con tutte Ie sue derivate parziali dei primi tre ordini ed e di versa da zero soltauto nei punti di un insieme chiuso contenuto nel campo T.
+
'1
r
+ r.
"'h
157
'2
[111 ]
3) Pl'efissato il sistema di q fuuziolli reali t fJt ('), hOlderiaue iu T r, posto:
+
riesce: (I)
153
Una introduzione alia teoria delle equazioni ecc.
det.
!f
&(0)
[C(h (')]
!
fJt (') dTe =F
0
(11, k
=
... , fit
(Z;))
1, 2 , ... , q).
'1'
Oi riserviamo di indicare lIel seguito, ill qual modo scegliel'e Ie fuuziolli fJh e fJt e mostreremo che la scelta cbe sara fatta del sistema delle fit, sara tale da assicurare l'esisteuzlt di un sistema di C(h verificallti 1), 2), 3). Poniamo:
e(o)
(z, ')
=
q
~ &(0)
[C(h (z)] fJh (') •
h- l
OOllsideriamo la seguente matrice nucleare :
cui elementi
SOIlO
definiti al modo seguente:
l e uua costallte reale negativa e fI- una costante reale cbe per adesso Iasciamo arbitraria.
158
154
GAI~TANO
Ii silllbolo 0z [log
[112]
FICHIC,RA
(i; , z)] denota ebe l'operatore 0 viene applicato alla funzione log Q (i;, z) in qnanto fnnzione di z. Si cOllstata, eseguiti i calcoli, ehe la funzione 0z [log Q (i; ,z)] e funzione di z (di i;) ltOlderiana in oglli dominio del piano che non contiene il punto , (il punta z). Riesce inoltre: Q
Abbialllo qUilldi:
(2)
lnoltre ciascllno dei I1llelei cOllsiderati gode della pro prieta che, fissato uno qualsiasi dei punti da cui esso dipende, e fllnzione ltolderiana dell'altro punta in ogni illsieme avente distanza positiva dal punta fissato. Indichialllo COil Cit 10 spazio vettol'iale reale costituito dai vettori a due componenti reali, la prima delle qnali f{Jl (i;1) e una fllnzione defillita sn r e appartenente a .J:(p) (r), la seconcta f{J2 (i;2) defiuita in T e appartenente a .J:(p) (T); sia illoltre p 2. cff pub pensarsi come uno spazio di BANAOH, definendo al modo seguente il modulo di un sno elemellto:
>
Sia reali, la ten en te I,a
CJll 10 spazio vettoriale reale dei vet tori a due componenti prima '!jJj defillita e continua su la seconda '!jJ2 appara .J:(p) (T). norma di un elemento di CJll sara cosl defillita:
r,
159
Una introduzione alla teoria delle equazioni ecc.
[113J
155
Sussiste il seguente teorema: 1. Lit tmsjonnazione funzionale :
'If I (Zt) =
I
KII (Zt' '1)
9)1
'lf2 (Z2)
=
J d8~l + f
('1)
r
dS~l +
][12
(ZI ,
,~) 1['2 ('2) dT!;,
T
J
K21 (Z2 ,
'1) !PI ('I)
K22 (Z2'
'2)!P2 ('2) dT!;,
T
r
(dT = area dell'elemellto di superficie su '1'), e UIIl! trasjonnllzione totalmente contil/un di Cit in -em;. Sia t rp~,), rp~,) I ulla successione (10), ne ~egne ehe la (*) €I necessaria e sufficiente perehe esista una soluzione 'If della (26), eomnllque si assegni if> ortogonale a M j (V2 ) •
181
[ 135]
Una intl'oduzione alia teoria delle equazioni ecc.
177
La (28') [e, lIei caso cite Ia (26) abbia twa sola soluzione P (it che avviene se e solo se M2 (V) e una base pel' &3 2 }, Ia (28)] dicesi la fOYlIlola di 1/taggio1'azione dUllle (13) della (27). Sia &3 1 = &3 2 = .J; (p) (2') (p I). Sia V Ia classe delle funzioni continue in A. +2' di classe 8 (2) (A) ed ivi soluzioni dell'equazione o (v) = 0, tali cite ognulla di esse silt dotata di 0·coniugata continua in A 2'. Diciamo (J. la traccia di un eIemellto v di V su 2' e fJ q nella della 0·eolliugata nulla ill Zo (pl'efissato punto di A). Poniamo: 1111 (v) = if, M2 (v) = IX •
>
+
Siano (p e scrive:
1jJ
due fUllzioni di .£ (q) (2'). La (26) nel caso attuale si
J
fJ qJ ds =
(26')
I
J
IX
111 ds .
2'
+
Sia It appartenente aile cIassi 8 (2) (A) e e(1 ) (A 2') e soluzione in A della equaziolle 0 (tt) = O. Abbiamo gia indicato con 9.t la totaIita di queste funzioni. Assumendo
.
SoluzlOlle 111
au
= -
a'll
qJ
(cfr. la (17}) e qnesta
= -au , la AS
.
(26') ammette Ia
e unica, dato
che
(J.
'==
M2 (v),
al variare di v in V descrive un insieme clle cOlltiene tutte Ie funzioni della classe e~l) (.J:) e q nindi e una base pel' .J; ( p ) (.J:). Sllssiste qnindi la forlllola (28) duale della (27), clle lIel caso in conside· razione, altro 1I011 e cbe la (21) e det,ta formola eluaIe esprime che: (29)
pel' ogni
1t
£Ii 9.t.
Si aSsuma ora nella (26') rp
01t = -' a'll'
l'ullica soluzione 111 _ -
au as
(30)
I< I au (),~ q
esiste allOl'a (efr. la (17'))
e quindi Ia (28) fornisce:
IIp
I [)~ 01' II· q
(13) efr. [9]. 12
182
178
[136]
GAETANO FICHERA
Abbiamo cosl dimostrato il seguente teorema: VII. - Se u e una jltnzionc appat·tenente alln clnsse '2t, per essa sussistono le due jormole di maggiot'azione (29) e (30).
6. -
Posizione del problema della derivata obliqua.
Siano p (z) e q (z) due funzioni coinplesse definite sulla cUl'va semplice e chiusa X di classe Gi,l) , Ie quali godano delle seguenti proprieta : 10) Appartengono entrambe a G~l (X) : 2°) La fUllzione p2 q2 lion e mai nulla su X. Assegnata su X la funzione complessa j (z) appartenente a (E~) (X), considereremo il seguente problema al contorno: detenninnl'e Wilt junzione (complessn) u appnrtenente nIle cla.ysi G(l) (A X) e G(2) (A) la quale verifichi le equazioni:
+
+
(31) (32)
o(u) =
0
au
au
a'jJ
a·y
in A,
p--q-=j
Sit
X.
Chiameremo questa problema: pl'oblema, della de1'ivata obliqua per l'equazione (31). Tale locuzione €I giustificata dal fatto che, supposta p e q reali, la (32) equivale ad assegnare su X la derivata della u secondo ulla direzione variabile Dei punti di X . Nella discussione di questo problema riveste fondamentale importanza la seguente funzione delI'arco s di X: (33)
Y (s)
=
1 P - iq -2. log m p lq
-+. ,
la cui definiziolle nei punti di X occorre precisare, data la polidromia del logaritmo. Sia (0, L) l'illtervallo in cui varia il parametro s che /""'.
esprime la IUllgllezza dell'arco positivo zoz di .2, essendo Zo un punto fissato su .2. Considel'iamo la funziolle complessa cosl delinita ill (0, L) : p (z) - iq (z) w (s) = p (z) iq (z) .
+
Scegliamo una detel'minazione 1f'0 di Arg w (0), ad esempio quella principale. Rimane allora univocamente determinata una fun-
183
Dna introduzione alla teoria delle equazioni eec.
[137]
zione
179
la quale verifica Ie seguenti condizioni: 1°) E hOlderiana in (0, L) . 2°) Si ha 1jI (0) = 1jI0 • 3°) Per ogni 8 di (0, L) coincide con una determinazione di Al'g W (8). Porremo: 1jI (8)
(33')
Y(8) =
~ [log IW (8) I + i1jl (8)] 2m
che precisa la deterlllinazione da scegliere peril logaritmo al secondo membro della (33). La fUllzione y ( .~) e holderiana in (0, L), dato che e sempre IW (8) I =1= o. Porremo: (34)
U
=
I' (L) -
y (0) •
II numero :x; e I1n intero e rappresenta l'illdice topologico della curva di equazione w = W (8), lIel piano della. variabile complessa w, rispetto all'origine di tale piano.
7. -
II caso
:x;
= 0.
Supponiamo :x; = O. La y, cOllsiderata corne funzione del punto z di ~, appartiene in Lal caso a (2~) (~). Diciamo Q (z) la fUllzioJle appartenente aile classi (2(0) (A +~) e (2(2) (A), soluzione del problema di DIRICHLE'l':
g (Q)
=
0
in A,
Q= -
ny
su
~.
In virtu del pl'incipio di Analisi funzionale ricltiama.to nel UO 5 e perla (30), fissato comullque p, esiste uua A (z) E .£ (p ) (X) verificaute per ogni tt E CJ.t Ie equazioni:
J( auay + A-
au) ds = as
ny -
0 .
I
Deve quindi essere per z E T -
184
(A"
+ X):
180
[138]
GAETANO J;'ICHERA
Poicbe la funzione:
h (z)
=
f
n
off (z
y (e)
os,,
e) ds/; .
~
e continua in T - A (cfr. teor. XV del cap. I), si trae cbe 1 e continua su ~, dato cbe essa; e soluzione dell'equazione £Ii FREDHOLM (cfr. teor. XIV del cap. I): 12 1 (z) +fl (e) BF(z, , BYe
.
~
e) as/; + h (z) =
0
con termine noto continuo (14). N e segue che la funzione cosl definita in A :
A (z)
=
-J[l (e) BF (z, By!;
e) + ny (e) BFBRc (z , el] ds/;
~
+
e continua in A ~ (teor. XV del cap. I) ed e tale che A e Q risultano 8-couiugate (teoI'. IV) in A . E immediato constatare cite Ie due funzioni: IX
=
fJ = eA sin Q
eA cos Q,
sono 8-coniugate. Si consideri quella determin!lzione della potenza [10 (s)]1/2 coI'rispondellte ad Arg 10 (s) = '!fJ (s). Rimane fissata una determinazione della potenza (p2 q2)1/2 tale cite su .~ si ba:
+
[ ,
)]1/2 _
u (s
E facile
-
P - iq (p2 q2)1/2 •
+
verificare cbe con tale sceIta £Ii (p2
+ q2)1/2
riesce
BU ~:
(35)
(U) Il termille noto h (z) e quindi anche ). II t.ale.
e anzi
hiilderiano
185
811
::E (cfr. teor. III del cap. In)
[139]
Una introduzione alia teoria delle equazioni ecc.
181
Per la (17) si ricava la seguente condizione per il dato I, llecessaria per l'esistenza della soluzione u del problema di derivata obliqua (15): (36)
Le (35) assicurano che: (37)
appartiene a 12~) (Xl (cfr. nota (14)) per modo che, esselldo TIE 12~) (X) e, supposta veritieata la (36), esiste una v solnziolle del problema di DIRlCHLE'l':
•
&(v)=O
(38)
+
in A,
v [z
(8)] =
jTj do
SIl
X
o
e)).
di elasse 12(1) (A X) (efr. nota Si consideri ora il seguellte lemma:
VIII. - Se a e b 80110 due lUltzioni &-coniugafe in A e continue in A X e v una junzione di CJ.t, esiste ttna jnnzione u appartenentc ad CJ.t tale eke:
+
(39)
Con caleoli elementari si constata che:
+
cio che prova l'esistenza di uua tt di classe 12(1) (A X) verifieallte Ie (39). E auclle elemelltare eOllstatare clle & (tt) = 0 . Si ponga: (40)
b
(f5) efr. [10].
186
=
f3
a2
+ ~2'
182
[140]
GAETANO ]'ICHERA
+
Poiclte e a2 (32 = e2A , la a e Ia b appartellgono aIle 2) e e( 2) (A). Semplici calcoli provano inoltre che sono 8-coniugate. Sia tt Ia fUllziolle fornita dalle (39), quando soluzione del problema (38) e it e b so no date dalle (40). dalle (39): e(O)
(A
+
classi a e b vela Si ha
(41)
e quindi su 2:
av as
au av
.f=~ = a - -
(42)
au as
(3-.
Per Ie (35) e Ia (37) segue clte u e una soluzione del problema. E ovvio che la costante e una autosoluzione del problema. Sia u una eventuale autosoIuzione non costante appartenente ad '2t. Si consideri la fUllzione v di '2t cbe per il lemma VIn viene fornita
= =0
dalle (41). Pel' essa si ha su 2: ov = O. Quindi v", Vy 8s talche dalle (41) si trae u", ~ tty 0 in A. Possiamo q uindi concludere con il seguente teorema:
=
in A,
IX. - Be e '" = 0, esisteuna soluzione in '2t del problenut (31), (32) se e solo se, data f (z) E e~) (2), e veriflcatll III (36). Lit costallte e una autosoluzione del problema e non esistono in '2t autosoluzioni non identicamente costanti in A .
8. -
II caso '"
identiti sopra scritte. Sia ora 1. SUPPolliamo vero l'assel'to pel' ?It - 1. Ne segue che possono fissarsi '1"'" ''''-1 tali che 1 : Cm+ •.
=[(Xdrc+ Ytly)
(!'=1,2, ... ,m-l).
+Ij
Ponialllo:
+ -
Esiste UIla fUllzione Vo (x) di classe due in A ~ ivi soluzioIle dell'equazione (. (vo) = 0 e tale che: 01'0
(;j -
.•. -
(;""
-X
ox -
0'
' oVo R lesce - = 0 su ,,:;,~' e IllO1tl'e :
as
av = ax
_0
0(lz-(;.1-1)
J,
(i8) Ne1 eaRO m = 1 1a seconda sornnmtol'ia, in ciascnno dei secondi rnembl'i, va soppl'essa,
197
Una illtrodllzione alIa teoria delle equazioni ecc.
lI5!]
!9~
Tali uHime condizioni implicano, come si prova con classici ragionamenti (19) : m
+~
vo = Wo
hj G (z , 'j) ,
j~l
essen
