C. Ferrari ( E d.)
Teoria della turbolenza Lectures given at the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.), held in Varenna (Como), Italy, September 1-9, 1957
C.I.M.E. Foundation c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini” Viale Morgagni n. 67/a 50134 Firenze Italy
[email protected] ISBN 978-3-642-10908-9 e-ISBN: 978-3-642-10910-2 DOI:10.1007/978-3-642-10910-2 Springer Heidelberg Dordrecht London New York
©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 st Reprint of the 1 ed. C.I.M.E., Libreria Ed. Universitaria Levrotto & Bella, Torino 1957 With kind permission of C.I.M.E.
Printed on acid-free paper
Springer.com
CENTRO
INTERNAZIONALE
DI
MATEMATICA
ESTIVO
a*1. M* E*
CORSO
TEORIA
DELLA
SULLA
TURBOLENZA
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VARENNA 1 10 Settembre 1957
J. KAMPE DE FERIET:
Problemes mathematiques de la theorie de la turbulence homogene.-
L. DUBREIL-JACOTIN:
Sur les axiomes des moyennes.-
J. ARBAULT:
Transformations de Reynolds sur un ensemble fini.On the possibility of a mathematical theory of shearflow turbulence.-
J. LAUFER:
The hot-wire techniques in supersonic research.-
R. WILLE, 0. WEHRMANN:
Hitzdrahtmessungen in freien Grenzschichten.-
C. FERRARI:
Turbolenza di parete.-
C. AGOSTINELLI:
Turbolenza in magneto-idrodinamica.
W. TOLLMIEN:
Miscellen aus der Turbulenzforschung
LIBRERIA EDITRICE
UNIVERSITARIA
LEV ROTT 0 & B E LL A
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TORINO
S E Z I O I E
I
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JOSEPH KAMPE DE FERIET
Introduction
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. . . Pag.
CHAPITRE I 1 - Sur l a d d f f n i t i o n d e i n t 6 g r a l e d D u n e Qquation d i f f d r e n t i e l l e . . 2 - Les d q u a t i o p s d e NAVIER e t 1 9 d q u a t i o n d e l a c h a l e u r . . . . . . 3 - ~ r o p r i d t d sd e s s o l u t i o n s d e l 0 Q q u a t i o nd e l a c h a l e u r . . . . . . 4 - Paradoxes d e l a mhcanique d e s f l u i d e s . . . . . . . . .. . . . . 5 - Ndcessitd d t u n thdorkme d v e x i s t e n c e e t u n i c i t d pour l e s d q u a t i o n s d e NAVIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CHAPITRE I1 1 - L9Aquation d e B ~ ~ R G E R S . 2 - Les r d s u l t a t s d e HOPF . . . . . . . . . . . . . . 3 - L' Aquation l i m i t e . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 - Remarques s u r 19a p p l i c a t i o n aux dcoulements t u r b u l e n t s CHAPITRE I11 1 - Apergu h i s t o r i q u e s u r l a n o t i o n d e moyenne . . 2 - Les Q q u a t i o n s d e REYNOLDS . . . . . . . . . . . . . 3 - R2gles pour l e c a l c u l d e s moyennes . . . . . . . . . 4 - Sur l e s t r a n s f o r m a t i o n s d a m un anneaux d e f o n c t i o n s 5 - Conclusions c r i t i q u e s . . . . . . . . . . . . . . . CHAPITRE I V 1 - Rappels d e mdcanique s t a t i s t i q u e . . 2 - Variables e t fonctions a l d a t o i r e s . . 3 - ~ Q c a n i q u es t a t i s t i q u e g 6 n Q r a l i s Q e . . 4 - Application \a l a c o r d e v i b r a n t e . . . 5 - Ees moyennes e t l e thdorime ergodique 6 - La moyenne s t a t i s t i q u e . . . . . . . . CHAPITRE V 1 - Introduction . . . . . . . . . 2 - Champs d e v i t e s s e s a l h a t o i r e s 3 - Le t e n s e u r d e c o r r d l a t i o n , 4 - Le t e n s e u r s p e c t r a l . . .
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5 . Ees d q u a t i o n s d e s composantes du t e n s e u r s p e c t r a l . Pag . . c o r r d l a t i o n e t s p e c t r e du t o u r b i l l o n . . . . . . . . . . . . . It 7 . ~ i n d m a t i q u ed e l a t u r b u l e n c e homogkne . . . . . . . . . . . . . " 8 . Le probl2me dynamique d e l a t u r b u l e n c e . . . . . . . . . . . . . " 9 . Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " Bibliographie . " 6
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CON FEREN ZE
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M L.DUBRE1L.JACOTIN . Sur l e s axiomes d e s moyennes JEAN ARBAULT . T r a n s f o r m a t i o n s d e Reynolds s u r un ensemble f i n 1 . . . ODDVAR BJORGUM . On t h e p o s s i b i l i t y o f a mathematical t h e o r y o f s h e a r flow t u r b u l e n c e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
JOHN LAUFER . The h o t - w i r e t e c h n i q u e i n s u p e r s o n i c r e s e a r c h R WILLE .0 . WEHRMANN . Hitzdrahtmessungen i n f r e i e n g r e n z s c h i c h t e n
.
1 .E i n l e i t u n g . . . . . . . . . . . . . 2 . MePmethoden d e r H i t z d r a h t m e p t e c h n i k
. . . . . . . . . . .
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3 . Anwendungen d e r HitzdrabtmePtechnik 3 . 1 . Messungen a n d e r ~ k r m k n s c h e n w i r b e l s t r a p e 3. 11 . Erzeugung d e r e i n r e i h i g e n w i r b e l s t r a p e . 3. 12 . H i t z d r a h t s i g n a l e , d i e Wirbeln e n t s p r e c h e n 3 . 13 . K r i t e r i e n f u r W i r b e l s i g n a l e . . . . . . . 3 . 14 . Geschwindigkeitsmessungen . . . . . . . . 3.141 .E-Verteilung . . . . . . . . . . . . . .
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gruppengeschwindigkeit . . . . . . . . . . .
3.142-c9-Verteilung 3.143 . Bestimmung d e r 3.144 . Gruppengeschwindigkeit und g e o m e t r i s c h e r Ort d e r Wirbel 3 . 1 5 . Die z e i t l i c h e h d e r u n g d e r Umfangsgeschwindigkeit u n d d e s Wirbeldurchmessers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.16 . Die ~ b e r p r i i f u n gd e r Mepergebnisse m i t d e r Gleichung von OseenHamel 3 . 2 . Messungen i m F r e i s t r a h l . . . . . . . . . . . . . . . . 3.21 ~ l t e r eA r b e i t e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 . 22 . Str6mungsvorgange i n d e r S t r a h l g r e n z s c h i c h t 3.221 . V e r t e i l u n g d e r m i t t l e r e n Geschwindigkeit . . . . . . . . . . 3.222 . Ringwfrbel d e r S t r a h l g r e n z s c h i c h t 3.223 . Geschwindigkeitsverteilung d e r Wirbel d e r S t r a h l g r e n z s c h i c h t 3.224 . C h a r a k t e r i s t i s c h e Daten d e r Wirbel d e r S t r a h l g r e n z s c h i c h t 3.225 . V e r g l e i c h m i t den Messungen a n e i n e r P l a t t e n g r e n z s c h i c h t 3.23 . Frequenzgesetz der Strahlgrenzschicht . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . .
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S E Z I O N E
TURBOLENZA
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PARETE
CARLO F E R R A R I
CAPITOLO I Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pag. 171 1 - Equazioni d e i f l u s s o turbolento: equazioni d i Reynolds. Tensioni d i Reynolds. Funzioni d i c o r r e l a z i o n e . . . . . . . . . . . . . " 172 2 - Equazioni p e r l e funzioni d i c o r r e l a z i o n e . . . . . . . . . . . " 175 3 - Equazione d e l l s d i s s i p a z i o n e d e l l a e n e r g i a . . . . . . . . . . . " 177 4 - Discussione d e l l a equazione d e l l a energia. Diverso comportamento e d i v e r s a funzione d e l l a regione e s t e r n a e dellaregione i n t e r n a d e l l o s t r a t o Pimite. Influenza d e l l a presso-diffusfone . . . . I' 179 5 - Flusso d i energia n e l l o s t r a t o l i m i t e . . . . . . . . . . . " 183 6 - Equazione d e l l a d i s s i p a z i o n e d e l l a v o r t i c i t a " . . 'I 186 CAPITOLO I1 1 - E q u a z i o n i d e l mot0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 - La d i s t r i b u z i o n e logaritmica d e l l s v e l o c i t a v media. Legge d i r e sistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 - Coefficiente d i t r a s p o r t o . Percorso d i mescolamento. Macroscala e microscala d e l l s turbolenza . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 - Determinazione d e l moto medio n e l l a p a r t e c e n t r a l e d e l canale . 5 - G i u s t i f i c a z i o n e d e l l a espressione a s s u n t a per il c o e f f i c i e n t e ditrasporto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 - Raccordo d e l l e l e g g i d i variazione d e l l a velocita' media n e l l e v a r i e p a r t i d e l condotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 - Influenza d e l l a rugosita? . . CAPITOLO I11 1 - Equazioni d e l moto n e l l o s t r a t o l i m i t e . . . . . . . . . . . . 2 - La legge d i p a r e t e per l a velocita' media e l a l e g g e d i r-tenza parte esterna 3 - Legge d i variazione d e l h velocita' media n e l l a dellostrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 - Raccordo d e l l e l e g g i d i variazione d e l l a v e l o c i t a 9 e l l a regione e s t e r n a e n e l l a regione i n t e r n a d e l l o s t r a t o l i m i t e . . . . . . 5 - Trasmissione termica neP moto t u r b o l e n t o . . . . . . . . . . . 6 - Coefficiente d i t r a s p o r t o turbolento d e l c a l o r e . . . . . . . . 7 - Determinazione d e l campo medio d i temperatura . . . . . . . . . 8 - Flusso t u r b o l e n t o a c o n t a t t o d i una p a r e t e piana i n c o r r e n t e d i . .. f l u i d o compressibile . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 - Approssimazioni successive per la r i s o l u z i a n e d e l l a equazione [gag]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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CAPITOLO I V 1 - Equazioni d e l moto n e l l o s t r a t o l i m i t e ed e s p r e s s i o n e d e l coeff i c i e n t e d i t r a s p o r t o n e l l a p a r t e i n t e r n a d e l l o s t r a t o , per grad i e n t e d i pressione non n u l l o . . . . . . . . . . . . . . . . . Pag. 2 - Determinazione della velocita' nella parte interna dello s t r a t o l i m i t e " 3 - Determinazione d e l c o e f f i c i e n t e d i t r a s p o r t o nella p a r t e e s t e r n a dello strato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " 4 - Determinazione d e l l a v e l o c i t a 9 n e l l a p a r t e e s t e r n a d e l l o s t r a t o limite (per velocitae esterna corrispondente a1 caso d i Falkner e Skan) 5 - Raccordo t r a l e s o l u z i o n i per l a p a r t e e s t e r n a e per l a p a r t e interna dello s t r a t o limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . " 6 - Determinazione d e l l a v e l o c i t a v n e l l a p a r t e e s t e r n a d e l l o s t r a t o l i m i t e per c a s i p i u ' g e n e r a l i d i variazione d e l l a v e l o c i t a ' e s t e r n a ti CAPITOL0 v 1 - Ricerche d i M a t t i o l i , Chou e Rotta
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Modello d i turbolenza d i Burgers 3 - Ricerche d i Malkus . . . . . . Bibliograf i a . . . . . . . . . . . . 2
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TURBOLENZA I N MAGNETO I D R O D I N A M I C A CATALDO AGOSTINELL1
CAPITOLO I Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 - Le equazioni d e l l a magneto idrodinamica . . . . . . . . . . . . 2 - Le equazioni d i Navier-Stokes i n magneto idrodinamica . . . . . 3 - I1 sistema d i s t r e s s d e r i v a n t e d a l l e f o r z e elettromagnetiche . 4 - Analogia t r a il campo magnetico e l a v o r t i c i t a ' . . . . . . . . 5 - Lo sviluppo d e l l ' e n e r g i a elettromagnetica i n un moto turbolento CAPITOLO I1 1 - Le equazioni fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 - Correlazioni f r a l e componenti d e l l a v e l o c i t a ' e l e componenti d e l campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 - S i g n i f i c a t o d e g l i s c a l a r i che definiscono l e c o r r e l a z i o n i . . . 4 - Ulteriori correlazioni f r a l e mmponenti del campo magnetico e della velocitav 5 - Le equazioni definitive della magneto idrodinarnica turbolenta isotropa 6 - Le equazioni i n termini d e l potenziale v e t t o r e . . . . . . . . CAPITOLO 111 1 - La d i s s i p a z i o n e de119energia per v i s c o s i t a Ye c o n d u t t i v i t a q . . . 2 - I n v a r i a n t i d e l t i p o d i Loitsiansky . . . . . . . . . . . . . . 3 - Le correlazioni d e l l a pressione con l a v e l o c i t a ' e il campo magnetico . . . . . . . . . . . . 4 - Determinazione d e g l i s c a l a r i e 5 - La c o r r e l a z i o n e d e i p r o d o t t i d f pressione . . . . . . . . . . . Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n1 n2
PROGRAMMA DEELE LEZIONI DEE PROF. W. TOLLMIEN
-
Abschnitt: Abschnitt' Abschnitt: Abschnitt: Bibliografia . 1 2 3 4 -
II
Entstehung d e r Turbulenz . . .. .... Eine anfache ModelPvorstellung der hom.Turb. Turbulenz und Larm . . . . . . . . . . , F r e i e Turbulenz . . . . . . .. , .. . . ~
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SEZIONE A
P I W B L B ~ ~MATIU~MATI~UES , DE Jd
T H ~ B I EDE LA TURBULENCE H O M O Q ~ B JOSEPH K A d DE F ~ E T
INTRODUCTION
Les 6quations de l a ~ 6 c a n i q u edes f l u i d e s visqueux .incompressibles sont connues .depuis p l u s dSun s i h c l e ; dhcouvertes d' abord p a r .NAVIER en 1822, . e l l e s ont 6 t h retrouvees p a r Sir Gabriel STOKES en 1845; e l l e s s! 8crivent:
(Les c~ordonndesd'un point x sont ddsigndes p a r xl,x,,x3 , l e s composantes du vecteur v i t e s s e u g a r S ( I , U ~ ,;U l~a pression p a r $ ; X,,X,, 1, ddsignent l e s composantes de l a force extdrieure; p e t v s o n t deux constantes c a r a c t h r i s t i q u e s du fluide, suppo4 incompressible, a temperature constante ed doud d'une conductibilitd thermique i n f i n i e : p = masse sphcifique, v = v i s c o s i t e cinematique). Le p r o b l h e de l a turbulence e s t n6 l e jour, oh Yon a constat8 sue pour l'dcoulement d'un f l u i d e dans un tube cylindrique, l'intdgrale dldmentaire (mouvement permanent b a r d r o i t e s para1 l b l e s ) des Aquat i o n s de NAVIER donnait des r 6 s u l t a t s nm8riques en dhsaccord complet avec l e s mesures eqdrimental e s des ing$nieurs hydraulic iens: pour un d e b i t donne dans l e tuyau, l a p e r t e de charge mesuree pouvait e t r e 10 ou 100 f o i s p l u s grande que l a p e r t e de charge th&rique. La s i t u a t i o n s e compliqua -1-
encore lorsque H.POIGEXIILLE en 1842, opdrant sur des tubes c a p i l l a i r e s (dont l e d i d t r e d t a i t compris entre 0,01 e t 0,l mm) obtint au cont r a i r e pour l e m8me &oulement, un accord excellent, avec une pr6cision de 1"rdre du m i l l i b , & r e les r e s u l t a t s expdri~nentauxet t h h r i q u e s . Devant de t e l l e s contradictions, on coqrend l'opinion exprimde en 1865, par d9excellents spkkialistes colame DARCY e t W I N "La question s e colnplique e t s9obscurcit donc davantage mesure que des exphriences plus nolabreuses e t plus prdcises paraftraient devoir y j e t e r une plus grande lumi\erew. B A R R ~De SAINT VEINANT ecrivait en 1872: 'Z'hydraulique e s t u?e desesperante enigme". Cve s t l e grand ouvrege de S. BOUSSINFSB (1872) "Essai sur l a t h h r i e des Eaux eourantes" b1 e t l e s deux memoires dOsborne RFlINOEDS [89], [90] qui p r o j e t b e n t , l e a premiers, quelquer lueurs sur ce chaos. BOUSSINESQ, reconnaissant net tement l e caract ere d"xtr8me complexitd. de l a vitesse d" koulement turbulent, en d4gage l a conclusion essentielle, point de d & a t de l a dcanique s t a t i s t i q u e & l a turbulence: % ' es d.quations des muvements de fluides p a r f a i t s rigissent l e s ~nouvementstourbillonnaires e t tunultueux des fluides, pourvu qu"n y introduise, au l i e u des v i t e s s e s vraies e t de l a pression vraie achaque instant, l e u r s valeurs myennes locales ". &r&sBOUSSINESQ, WYMXDS (1895) redecouvrit c e t t e idhe fondament a l e : dans l e mouvement turbulent d' un fluide, il convient de distinguer deux parts: un mouvement moyen e t un muvement d9agitation. the pmpriiti mesurable quelconque f du fluide (composante ck l a vitesse u,,u2,us, pression p , tenrp6rature ?' ...) doit se d&omposer sous l a forme:
l a comwsante nmyenne 3 e s t seule accessible aux instruments de mesur e ordinaires (par ezemple tube de PIlWl' pour l a mesure de l a vitesse, t h e m m & t r e k mercure pour l a mesure de l a t e w h r a t u r e ) , l e but de l a t h k r i e e s t d9Q c r i r e l e s equations du mouvement moyen ( l i a n t l e s compo---~ a n t e sm e n n e s %, u,, us, P, ... etc. . . ); l e s composantes d Q i t a t ion qui traduisent 1' influence de Pa turbulence sur l e muvement moyen ne doivent y figurer que par des moyennes (par exemple, u ; , u i ) .
BOuSSINEf3Q s-fforce
de consewer aux t h a t i o n s du muvement moyen l a 6me forme qu' aux Qauations de NAVIER, mais en substituant au coefficient v de viscositci mol6culaire. un coefficient e de viscositk turbulente; malgrd 1' extreme inghniosit.6 dont il f i t vreuve au cours de recherches qui occuperent une 1arge part i e de sa carrikre (Qcoulements dans des tuyaux e t des canaux de sections varihtrs, fleuves, torrents, etc.. . ) tout l e mnde est d' accord pour constater que son mique E west pas suffisant pour rendre compte de l ' e f f e t de l'agitation t u r b u l e n t e sur l e mouvement nnyen. Osbone BE1MOLDs, au contraire, ouvre des horizons nouveaux, en mntrant que l'action detl fluctuations turbulentes sur l e muvement myen se traduit par des forces de frottement, dont il donne 1' expression
il met 1' accent sur l e bilan hnergdtique. kvaluant l e s ikhanges d' k e r -
gie entre l e mouvement myen e t l e mouvement d'ar~itation. I1 fallut attendre prhs d'un demi-sikcle, pour que l e renouveapl de l a ~icaniouedes fluides, dh au dhveloppenent de 1'~~ronautique. amGne, encre 1920 e t 1940, avec un flot d' idhes newes, des progrb consid6rables. Mais, pour ripondre aux nQcessit6s de l a pratiaue, l e s efforts se disperserent vers l e s aspects l e s plus divers de l a turbulence: &mulelnent dms un tuyau, 6coulement autour dJ me a i l e d' avion, diffusion d' un jet, structure du vent dans 1' atmosphhre, etc. . . ; tous ces p&mes Wnt rtbordks simultanchent e t seuls.des fragments de t h k r i e s , meleks d' une foule d'hypothhses empiriques, reliies entre el'es parfois par un f i l bien tenu, s' Qlaborent autour de chacun de ces problhmes. Depuis 1' introduction par L PRANDTL, en 1904, de l a notion de couche linite (dont l e s travaux exphrimentaux de J.M. B ~ G E R S ne devaient rhvdler l a structure colaplexe qu' en 1924). on nouvait privoir qu' un des facteurs discriminants de toute classif icstion des problhmes, serait l a I presence ou l'absence de pamis solides; pour s a i s i r l a turbulence dans un de ses ;tats purs, il f a l l a i t se placer aussi loin que possible de toute pami solide; cJ est pourquoi, vers 1930, 1"attention connnence \a ao concentrer autour d'un ~ r o b l b eassez sch&natique pour donner prise b una &laboration logique plus approfondie: I 'ktude de l a turbulence dans -3
-
n
- MATH~MATIQUEDE
LA TURBULENCE HOMOG~NE
un fluidc incompressible sans fronti>res et par
conskguent enplissant
tout lDesp&ce. Pour commencer, on introduit des considerations de sym&
t r i e (d*a i l l e u r s plausibles e t souvent vhrifihes avec une bonne approximation dans l e s mesures) e t on ne consid8re que l a turbulence homog;ne et isotrope, c 9 e s t k d i r e que l e s proprihtes s t a t i s t i q u e s du champ des vitesaes turbulentes sont suppos6es invariantes pour toute translat i o n des axes e t pour toute rotation autour d9un point. Dans 19htude de l a turbulence homogene e t isotrope, c9e s t k S i r Geoffrey TAYUlR e t Th. VON K k M h ,que sont dues, au dhpart, toutes l e s idhes esaeatielles: le spectre dE&nergie de la vitesse e t l e coefficient de corr&lotion qui l u i correspond, ont htd introduits par TAYLOR; 1' extension 8 . 1 ~ e s p a ~dee c e t t e dernikre notion f u t f a i t e sous l a forme du tenseur de corrk lat ion par K h h - H O W A R T H . Un progrhs ultdrieur f u t 1' introduction du tenseur spectral,en 1948, par G.K.BATCHELOR e t J-KAW~DE ~ I E T ;l e tenseur spectral e s t suscept i b l e de remplacer (dans l'htude de l a turbulence homogane, mais non nhcessairement isotrope) l e tenseur deacorr8lation e t prdsente sur celuic i des avantages d6cisifs dans 1e s recherches ththriques. Une s h r i e de travaux, qui ne f u t connue de l'ensemble du monde &ent i f i q u e qu98 l a f i n de la guerre mondiale, concentra l ' a t t e n t i o n sur l 9etude du spectre d9dnergie: comment dans une turbulence homogsne e t isotrope, le spectre &volue-t-il en fonct ion du temps?Evolue-t-il toujours vers m e loi finite universe 1 le? Les riponses a ces questions dhpendent essentiellement des hypoteses sur l a maniere dont, dans un icoulemeat Ees tourbillons de dimensions diffhrentes, (dira-t-on, pour f a i r e bref) bhangent leur dnergie, purement cindtique d' a i l l e u r s , puisqu9il s' a g i t V un fluide incompressible; A. KOLMOGOROFF apport a une s d r i e d9id8es neuves e t fasclnantes dans une s u i t e de mdmoires (1941) [741, 1751, [76] ; qui, des qu' ils furent connus, f irent sensation; independamment de l u i , W. AEISENBEaG e t L. ONSAGER [851, 1861 avaient &is des idhes tris voisines. Toute une s e r i e de remarquables travaux de L. SEDOV [911, A. O B ~ H O F F 1841, c. c . ~ m[ml; [sol, [811, m. VON &MAN ~ 7 2 1 ,G. K. BATCHELOR, L. S. G. KOVASZRAY [77], C. VON WEIZS~KER [95I, S. CHAND-AR I
\
[13] f u t c'oasacree a ce nouveau domaine. -4-
INTRODUCTION I1 ne s a u r a i t & r e question de r e t r a c e r i c i le dhveloppement de c e s
idhes dans tous s e s d e t a i l s . Nous nous permettrons de renvoyer aux ouvrages de G. K. BATCHFLOR [41 e t de L. AGOSTINI e t J. BASS [l] oh 1' on trouVera un excellent expos6 historique. Dans 1' htude de l a turbulence, on peut s e placer & des points de vue tres diffdrents: Les problemes pos6s par l a turbulence ont souvent une grande importance pratique pour l e s applications k 19~ 6 r o n a u t i ~ uoue 1 l 9Hydraulique. Pour l e s 1ng6nieurs, 19urgence du but 1 a t t e i n d r e pime t o u t e a u t r e eonsidhration; 1"xplication
s c i e n t i f ique des f a i t s passe
k
1' a r r i e r e
plan; c e qui importe avant t o u t , c-st de r e l i e r un ensemble de mesures expdrimentales en un faisceau de courbes coh6rentes (introduction de var i a b l e s sans dimension); l a valeur de c e s courbes t i e n t . A l e u r s yeux, dans l a p o s s i b i l i t ; de sven s e r v i r pour prhvoir: en interpolant, oh parf o i s mgme, en extrapolant, on veut pr6voir des r i s u l t a t s n u d r i q u e s sans avoir
f a i r e de nouvelles exp6rfences (une heure de calcul coute m i n s
cher, en g&n6ral, qus une heure de s o u f f l e r i e ) Cette a t t i t u d e e s t parfaitement l&itime: non seulement nous devons 1' approuver, mais encore nous ne pouvons qu"re reconnaissants de l 9 e n richissement considerable apporti par 1' accumulation de mesures exp6rimentales f a i t e s k 190ccasion des divers probl8mes pratiques poses par l a turbulence; beaucoup d9i n t u i t i o n s physiques, dont c e r t a i n e s sont Profondes, ont certainement vu l e jour de c e t t e f q o n . k tout Mais quand on p a r l e d9une'tfidorie de la turbulence, c-st a u t r e chose que nous pensons; l a M6canique a e s i l u i d e s i t a n t un chapitre de l a ~ h c a n i ~ u enous , en hvoquous d" a u t r e s chapitres: l a ~ 6 c a n i q u e~ 8 l e s t e , l a ~ 6 c a n i ~ udue solide indhformable, l a Mdcanique du corps Qlaon demontre p a r voie purestique. L&, p a r t a n t d9hypoth8ses A, B, C, e.
ment math6matique, qu-1
en r i s u l t e des proprihths, 1,r, J,
... ;
ce sont
c e s propri6t4s H9I,J,. que l b n confronte ultgrieurement avec l e s mesures expirimentales, mais dans l e passage des prhmisses A , B , C, aux c0ns4~uences H,I,J , . ". on s e garde bfen d' ajouter des primisses o .
suppl&mentaires E, F, G, . . . sugg6r6es p l u s ou moins heureusement, en cours de route, p a r des observations exphrl'mentales nouvelles., Quiconque Par-
court l a 1ittdrature scientifique de ces dernieres decades, se rende c o w te, du premier coup d' oeil, qusaucune " t h k r i e " dp l a turbulence n' a mcore a t t e i n t ce stade de perfection. C' est surtout s u r la nbcessi t6 d'un examen critique. oh lson tenterait d'hprouver sdrieusement quelques nrailIons de la chaine logique. que nous voudrions a t t i r e r I' attention dans ces lecons, en conservant come theme central: l a turbulence homog$ne dans w f luide incotqressib le renpl issant tout i 'espace. Un des grands pmblhrnes, qui tourmentent tous l e s sp&ialistes de l a turbulence, cJ est de savoir s i les iquat ions de MAVIER restent v a l i des pour l e s muverents turbulents d'un fluide. Cette question est fondamentale, non seulement du point de vue abst m i t de 1' &ist&logie (1' explication scientifique de l a turbulence &ant 6videmment l i e e aux hquations qui en forment l e cadre), mais encore nu point de vue pratique l e plus inwnkdiat, puisque mhe dans l e s t h b r i e s semi-empiriques, pour r e l i e r l e s f a i t s ent r e eux. l' on ut i l i s e toujours, au m i n s partiellement, certain- cons6~uences des equations de NAVIER, b travers l e s kquations de REYNOLDS. qui en sont d6rivAes. Les arguments avancds, pour ou contre, l a validit6 des kquations de NAVIER. dans une t h k r i e de l a turbulence, ne semblent gukre concluants. Pour donner une rbonse precise cette question, il faudrait prouver qu' en partant de prdmisses A,&N,. . (N signi fiant qu'on n' admett r a un champ de vitesse dans une d&nonstration que s*il est Qtabli que
.
l e s fonctions u j ( z , t ) sont des inthgrales des hquations de NAVIER), on peut en d&ui re des consequences H, I,J,. . qui, confrontkes avec les observations expkrimentales, sont en accord ou en dhsaccord avec elles, h l a pr6cision prks des mesures. Or, on e s t bien loin de ce but. La plupart dn temps, dans les "thdor i e s de l a turbulence", on adjoint, en cours de route, aux prdmisses A, B, N, . . tant d'hypotheses sup~lementaires E, F, G,. . , suggdrdes par
.
.
.
1' examen des f a i t s exp&rimentaux, que 1' dcheveau, a i n s i tissd par ce m61ange de logique et d' empirime, devient impossible a dkbrouiller ISh effet, on ne s a i t presque jamais si l e s hypothkses suppl&ent&ires ne sont pas contradictoires avec l e s prkmisses Par exemple, mposons qu' un -6-
auteur, s e basant s u r l9a l l u r e de courbes expirimentales, introduise des dcoulements, oh l e champ des v i t e s s e s e s t represent6 par des fonctions presque piriodiques dans l e temps ob dans 1-space. S'il n" pas prouv6, au prhalable, gue l e s iquations de NAVIER sont susceptibles dpadmettre des intdgrales presuue pdrfodiques, quelle e s t l a valeur logique de s e s conclusions? SPil e t a i t demontre que l e s primisses A, B, N, . . . conduisent par voie puregent logique, - sans I f adjonction d-ucune hypothese suppldmentaire dont l a non-contradiction avec l e s pr6misses n-st pas prouvie, - $ des cons6quences H,I,J rhellement incompatibles avec lbnsemble d e s observations d' 6coulements turbulents, i1 nous faudrait bien abmdonner l e s equations de NAVIFR; mais, comme on e s t t r e s l o i n , semble-t-11, d b e t e l l e dthonstration, il nous p a r a i t nature1 de continuer & l e s u t i l i s e r . Les hquations de NAVIFR s e reconmandent par l a s o l i d i t 6 e t l a simp l i c i t k de l a base que l e u r ont donn6es Sir G SlVKES en 1845 e t A - B A R ~ DE SAIM VFNAIW et 1846: e l les expriment, en e f f e t , gue la tenseur des fjrces de viscositk difbratat ion ,Vj,
=
Fj.
dkpend seulernent du tenseur des v i t e s s e s de
auf. a ~ ,
-+-
ax, ax,
.
La r e l a t i o n e n t r e c e s deux tenseurs traduisant une l o i physique ind6pendante des rephres, l e s colnposmtes F 9 ,
dofvent $ t r e
foncti0IIs
1i n 6 a i r e s des Vg ,h Fj,k = a j , k v ~ , k + b 9 s b
l e s coefficients a g , e t b j , p i t a n t fonctions des i n v a r i a n t s du tens e u r V j , k Dans l e s dquations de NAVIER (pour un f l u i d e incompressib l e ) , on admet que c e s c o e f f i c i e n t s sont des constantes. ~ e u t - s t r ec e t t e hypothise r e s t r i c t i v e suppl&nentaire nPe s t -. e l l e qu'une approximation, suffisamment cxacte pour l e s p e t i t e s valeurs des V g "k , n a i s i n s u f f i s a n t e lorsque l e s V i , k deviennent tr\es grands, c e quf s e r a i t pr4cisbment l e cas dans l e s 6coulements t u r b u l e n t s Sf, logiquement, l a position des iquations & NAVIER a t , un jour, rendue intenable, il y a u r a i t 15 une int6ressante p o s s i b i l i t i de retouche qui devrait, semble-t-il, pr6chder un r e j e t complet de 1' hypothkse ginhrale de G. STOKES e t de A. BARRE DE SAINT VEINANT, a
7'
CHAPITRE I
Ies dquations de N A V B et 1 'dquation de la chaleur. 1 - S u r l a d e f i n i t i o n d' i n t e g r a l e d'une d q u a t i o n d i f h n t i e l le. Nous voudrions t o u t d' abord a t t i r e r 1' a t t e n t i o n sur l a rentarque s u i vante: on ne peut f a i r e oeuvre u t i l e , t a n t que l ' o n s e contente de parl e r , en termes vagues, d"'int6gralesw des Qquations de NAVIER; c e mot e s t s u s c e p t i b l e de bien des sens d i f f e r e n t s ; selon l e sens choisi, l e s propriBtds e s s e n t i e l l e s de l a t h b r i e s e modifient, spdciakment l e s tl&or h e s d'existence e t d'unicitd qui, v r a i s avec une d e f i n i t i o n des "intdgrales;', deviennent faux avec une autre. Pour s'en convaincre, il s u f f i t de s e souvenir de deux exemples ilimentaires: a ) Pour une Bquation d i f f e r e n t i e l l e a u s s i simple que:
l e mot "integralen a regu t o u t e m e g m e de sens d i f f d r e n t s ; rappelons en au moins deux. Si f (x) C[o, a] il e x i s t e dans [o, a] une e t une seule "int6gralew y ( x ) t e l l e sue y (0) = 0 , donnde p a r 1' i n t d g r a l e de RIEMANN:
mais, si f € L [ o , a], l a m b e intdgrale, p r i s e r a encore s' appeler "intdgralew de l9Bquation [I] ne s o i t p l u s v i r i f i i e , en- t o u t point x mier cas, mais seulement presque partout. b) Le.th6orLme d 9 u n i c i t 6 de CAUCKY pour l e d' un point m a t h e l : C2I d*x/dt2 = ~ ( x )
au sens de LEBESGtJE, pour[I] si on consent & c e que [o, a], comme dans l e premouvement
\a m a dimension
.
suppose essentiellement que l e s forces X sont analytiques en x Si \ l ' o n considere une fonction non-analytique pour x = 0, aussi simple que:
x=+m -8-
2-EQS,
DE NAVIER ET
l e s deux mouvements, d e f i n i s pour
kQ.
DE L A CHALEUR
t 2 0 par
correspondent t o u s deux aux memgs c o n d i t i o n s i n i t i a l e s :
L' i n t r o d u c t i o n de f o r c e s non-analytiques s u f f i t pour d h t r u i r e l e d6terminisme dans l a ~ d c a n i q u edu p o i n t .
2
-
Les i q u a t i o n s de NAVIER e t l"qua6ion
d e l a chaleur.
On s a i t depuis longtemps, que t o u t e i n t e g r a l e u(x, t )
de l9h a -
t i o n de l a chaleur: [31
f o u r n i t une i n t i g r a l e des i q u a t i o n s de NAVIER, en posant:
c e t t e i n t h g r a l e d i f i n i t un mouvement du f l u i d e , en 19absence de f o r c e e x t e r i e u r e Kg = 0; les p l a n s p a r a l l e l e s & Oxlx3 g l i s s e n t l e s uns s u r l e s a u t r e s s e ddplagant en bloc, l e s t r a j e c t o i r e s des p a r t i c u l e s Q t a n t d e s d r o i t e s p a r a l l ' e l e s & Ox1 '(shear flow). &I peut t i r e r de c e t t e remarque dlementaire un c r i t e r e [49] qui met.
s u s e r v i c e de 19i t u d e des dauations d e NAVIER,
l a somme,
considerable
aujourd'hui, d e s connaissances acquises s u r l'hquation de l a chaleur. Chaque fois que 1 'on se propose, en effet, de dkmontrer un thkoreme affirmant que toute intigrale des kqltat ions de NAVIER posse'd~t les propriktks A, B, C,+ . . posside ndcessairement la proprikti P , il suffit de vkrifier si, pour une intigraze de 1 'kquationde la chaleur, les propriktks A, B,C,. .. impliquent toujours la propriktk P ; si ce n'est pas le cas, on est certain que le tGorbme est faux e t il e s t i n u t i l e de s' acharner
k
s a d6monstration,
Bien entendu, l e c r i t k r e ne fonctionne pas en sens inverse: Si 1 'on a prouv; que pour toute intigrale dc 1 'equation de la chaZeur Zes propriitks A, B, C, . . . imp1iquent w e propriktk P, i 1 noenrksulte nullement que la m$me implication soit vraie pour toute integrale des kquations de NAVIER; on peut soupgonner que l a presence des termes non-lineaires, disparus dans 1' equation de l a chaleur e t presents dans l e s equations de NAVIER, bouleverse completement l e s r w p o r t s logiques entre l e s propri6tes A, B, C,. .. e t P ; tout ce que l Pon Peut t i r e r du c r i t h r e dans ce sens, c9est que si l e theor2me A n B n ... P est vrai pour l e s integrales de l9equation de l a chaleur, l a voie r e s t e ouverte pour en chercher l a dkmonstration pour l e s Qquations de NAVIER. Du point de vue de l a logique formelle, il e s t in&ressant de noter que des deux termes de 1 'a1ternative: Pour 1 '&quation de la chaleur
c 'est le second seul, qui jait progresser dkfinitivement nos connaissances sur les intigrazes des kquations de NAVIER, le premier
ouvrant la
porte & una simple possibilite, tres 610ignee de la certitude.
Rappelons, A t i t r e d9i l l u s t r a t i o n , quelques th;or&mes de l a theorie de 19iquation de l a chaleur: (a) P.HARTMAN e t A.WINTNER [24] ont gtabli: Etmt donnk un domaine ouvert D duns le plan ( x , t) , si:
(B) ut (C)
e t uxx
ut =
UXX
existent en tout point de en tout point de
D
D
alors
(b) E.HOLhiGREN [32] a d6montr6:
Etant don& un domaine ouvert
D
duns le plan
( x , t ) , si:
2-EQS. DE NAVIER ET EQ. DE LA CHALEUR
en tout point de D alors (P) ~ ( xt ,)
est analytique en x
sur tout segment parallkle
ZL
Ox
contenu dans . D .
(c) E.HOLMGRJiN [32] asd&montr&que: Etant donnh un donaine ouoert D dans le plan sitions: (A)
(x, t ) ,
les propo-
u ( x , t ) f C(D)
(B) u t ( x t t ) , u , ( x , t ) , uxx(x, t ) c C(D) (C)
ut = uXx
en tout point de
D
n'impliquent pas:
(P) u ( x , t )
est une fonction analytique de t
parallkle 21 Ot
contenu dans
sur tout segment
D-
Les thiorkmes ( a ) e t (b) appartiennent au type: 4 fl ~n .. . 3 P ; on n9en peut donc conclure r i e n de c e r t a i n concernant l e s hauations de NAVIER; l e th6orkme (b) montre seulement clue 1' on p o u r r a i t chercher dhmontrer l a proposition suivant e (dont 1' importance n' a p a s b e s o i n d' & r e soulignge) . Etant donni un domaine ouvert D dans 1 'espace ( x ~ , x ~ ,t x) ~ si ,
(C) u j ( x , t ) e t
p (x,t )
satisfont les equations de NAVIER ( ~ j )
en tout point de D alors
(P) u f ( x , t ) et p ( x , t )
sont analytiques en ( x I , x 2 , x 3 ) en tout point du domaine D continu dans un plan t = Constante.
.
Par c o n t r e l e th&r;me (c) est du type A fl B f l . . & P ; il en decwle iewfhiatement c e r e s u l t a t fondamental pour les equations de NAVIER: Etant d m d un domaine ouvert D dans 1 'espace (xl,x2,xS, t) les proposit ions:
(C)
u j ( x , t) e t
p ( x , t)
s a t i s f o n t , les &quations de MVIER ( N ~ )
en tout point de D n'inpl i p e n t pas:
(P)
u j ( x , t)
e t p(x, t) sont analytiques en t
en tout point du
domaine D cont enu duns un plan x, = cte , x2 = cte, x3 = cte . G. DOETSCH [15] a donne de nombreux exempl e s d' intggrales d e 1' equa-
t i o n de l a c h d e u r non a n a l y t i q u e s en t ; M . O M , - dont les recherc h e ~dans c e domaine r e s t e n t fondamentales encore aujourd'hui [21], [22] a ddmontre que les i n t d g r a l e s non analytiques en t peuvent tm&e ne p a s & r e quasi-analytiques, au s e n s d e CARL&MAN; l e s recherches prhcedentes concernent s u r t o u t l e c a s d'une demi-bande B = { ( x , t) : a < x < 6, 0ct
T une vitesse k a l e h
a(t -
a2 4 ( t - T)
]
: le
fluide n'a aucun moyen de prGvoir l e mouvement que nous appliquerons k c e t t e plaque; c e t t e impossibilite de prdvision implique que l a vitesse du fluide u2 (x. t) dans un i n t e r v a l l e 0 < t < 8 ne predetermine nullement l e prolongement de c e t t e vitesse dans l ' i n t e r v a l l e 8 5 t < + co; l a fonction de t , qui d & f i n i t u, ( x , t ) ne saurait donc & t r e analytiaue en t . Contentons-nous pour l e moment de noter que 1 ,existence d' int hgrales des equations de NAVIER, non anabytiques en t (qui ne sont m&e pas quasi-analytiques en t ,, au sens de CARLEMAN) est peut-&re grosse de conskquences, jusqu'ici malheureusement inexploitdes, duns 1 'ktl~dedes circonstances qui pksident aux mouvements turbulents d . un f luide.
3
-
p r o p r i & t 6 s d e s s o l u t i o n s de l ' e q u a t i o n d e l a c h a l e u r .
Les l i e n s qu6 nous venons de souligner entre 1 equation de l a chal e u r e t l'es equations de NAVIER: nous preparent k mieux comprendre kurgence de fixer avec precision l a d6f i n i t i o n des integralese en effet, pour 1' equation de l a chaleur, on dispose 8, l'heure nctuelle, d5un matbriel mathematique d' une t e l l e richesse, que 19on possede non seulement une, mais meme plusieurs thhories completes: e l l e s d i f fkrent l'une de 1 autre, pricis&ment, par l a definition d>une " i n t i g r a l e n La compsraison de ces theories entre e l l e s nous fournit, en auelque sorte, une i l l u s t r a t i o n exphrimentale de 19influencedu choix de c e t t e d6finition En reflechissant \a c e t t e multiplicith des thkories de 1 equation de la chaleur, nous touchons du doigt l a dif fhrence e s s e n t i e l l e entre l e s Mathhmat iques e t l a Physique ththrique; pour l e ~ath6maticienl e s thdories ( A ) , (B), (C) .
- 13 -
de 1' Qquation de l a chaleur, puisqu9e l l e s sont logiquement cohkrentes, sont aussi valables 19une que 1' autre; l e Physicien au contraire, sera conduit en choisir me; c e l l e dont l e s thior6mes ( T ~,)(T*) . . . ( T ~ ) conduisent 8. un accord d9ensemble avec l e s f a i t s experiment aux; seul c e t accord, en bloc, de l a thhorie avec l'exphrience, e s t discriminant; on ne peut admettre ou r e j e t e r a p r i o r i t e l l e p r h i s s e , comme des dames qui choisiraient des chapeaux chez l a modiste: 19une d i t e s t e l e rose, l'aut r e n' aime que l e bleu.. . Ainsi entend-t-on dire, parfois, qu9il faut exclure l e s fonctions non bornkes, ou n9admettre que des fonctions analytiques, etc. . . L' expression de ces "gouts" mathdmatiques n9 e s t - e l l e pas un peu f u t i l e ? Seule l a comparaison de l 9ensemble des consequences logiques d' une t h h r i e avec 19experience nous convaincraft en d e r n i ~ r ressort de l a suphriorith de 19un des choix. &ant soulignh leur valeur analogique pour l a ~ Q c a n i q u edes f l u i des, esauissons maintenant quelques unes des thhories de 19intigration de lr6quation de l a chaleur: [31
dans une barre i n d i f i n i e - a, < x
o
(a,)
lim h- 0
( J u ( xh , ~l ~ - ~ ( ~ , t ) - ut ( x , t ) J J= 0
pour tout
t >0
pour tout
t >0
.
E. HILLE a p ~ e l l eproblkrne abstrait de CAUCWY, l e problhme aui consi-
s t e , &ant donnhe une valeur i n i t i a l e v ( x ) s a t i s f a i s a n t (a), trouver une intdgrale de 1, Qquation de l a chaleur satisfaisant (PI), (P, j,
(P3), (P,) e t prenant l a valeur i n i t i a l e au sens (y), puis que c e t t e inthgrale e s t unique.
A
prouver
E.HILLE a rhsolu [281 l e problkme dans l e cas o; 19espace de Banach
e s t 19ensemble de toutes l e s fonctions f ( x ) t e l l e s que: (p
s o i t continue dans 1' intervalle f erme
-> 0
donnk)
[- 01, + a11 . Cet ensemble con-
s t i t u e un espace de Banach % , , si on l e munit de l a norme:
bB 1 'cntkgrale de K3ISYN - FWRIHi
Lorsque 0 5 p _< 1 , si v ( x )
[ 8 ] donne une solution du probl&ne abstrait de CAKHY et cette solution
est unique. Lorsque 1 < p 5 2 , si la fonction ~ ( xt ,) , difinie par 1 'intdgrale de PDISWV-l?XRIER, appartient h
a
pour tout t > 0 , elle donne la
solution unique du problbme abstrait de C4KHY; mais il y ades v ( x ) pour lesquelles u ( x ,
t)c
8 pour aucun
t > O ; dans ce cas, le problkme n 'a
pas de solution. Enfin lorsque p > 2 , si
l i m f ( x ) exp
x-.
[- I x l P ] # 0 l1rntigra1ede
*a,
PDISSWV-FOURIER n'a de sens pour aucun t > 0 ; l existence de solutions du probl&ne abstrait de CAKW est douteuse; i 1 peut exister des solutions non nulles telles que: l i m Ilu(x, t ) l l
tlo
-o
Sans une formulation precise e t generale du probl;?me a b s t r a i t de CAUCHY, des r e s u l t a t s analogues, trks intkressants, a v a i ~ n td6j $ 6 t h ob-
4-PARADOXES DE LA MECANIQUE DES FLUIDES tenus par S.BOCHNFR e t CHANDRASFKHARAN [%I pour l e c a s des espaces de Banach L(- co, t o o ) e t L2(- co, t oo) , specialement importants.
4
-
Paradoxes de l a mecanique des f l u i d e s .
Les t h e o r i e s (A) , (B) e t (C) sont i n t e r e s s a n t e s parce q u e , d a n s chaaue cas, on a pu prouver un theoreme d existence e t un thhorkme d W c i t e , une bonne t h h r i e d o i t a i n s i 8 t r e basee s u r des premisses ( a ) ,(p) e t (y), assez l a r g e s pour aue des i n t e g r a l e s ~ u i s s e n te x i s t e r e t s u f f i samment e t r o i t e s pour que l e u r u n i c i t e s o i t garantie, il y l a une sort e de compromis, d 6 l i c a t 2 r e a l i s e r , auquel il f a u t prendre garde e t qui explique c e r t a i n s paradoxes frdquemment rencontres en
~ g c a ina u e d e s
fluides. Pour en donner un exemple, considerons l e mouvement plan d k n f l u i de visqueux incompressible, ou l e s t r a j e c t o i r e s sont des c i rcon fkrences ayant l ' o r i g i n e
0 pour c e n t r e U t i l i s o n s des coordonnees polaires (r,B)
e t disignons par C ( r , t )
l e t o u r b i l l o n ~ u ei s t , comme on l e s a i t , per-
pendiculaire au plan du mouvement. Des c s l c u l s classiques permettent de deduire des equations de NAVIER que c ( r , t ) d o i t &re une solution de 1' ;quation de l a chaleur en coordonnees p o l a i r e s G
Pour e t u d i e r l a d i f f u s i o n Gu t o u r b i l l o n par l a v i s c o s i t e , on cons i d e r e une i n t e g r a l e de [9] qui "prend comme vale.lrWune fonction donnee GI(?-)
;1' i n s t a n t
t
=
0 . Si 1' on c h o i s i t l a double
l i m i t e dans
l e ~ 1 9 n (r, t)
(YI
lim
r-a, t-o
C(r,t)
@(a)
il e s t parfaitement possible de c o n s t r u i r e :-meLheorie analogue
?i (A),
posskdant un theorkme d. existence e t d u n i c i t e $lais on e c a r t e , du meme coup, l e c a s ou w ( r ) e s t discontinue, c e s t - 8 - d i r e de nombreux problkmes etudies dans t o u s l e s t r a i t e s de Mecsnique des fluides; p a r exemplee
( a ) noyau tourbillonnaire d' intendit6 constante wo :
(b) t o u r b i l l o n ponctuel de c i r c u l a t i o n
ro:
Pour o b t e n i r des solutions & ces probl&mes, on e l a r g i t (y) en remplagant l a double l i m i t e par une limite & r constant:
(Y')
lim
ti0
C(r, t
) = ~ ( r )pour t o u t
r
(on place un instrument de mesure en un point f i x e du plan e t on ktudie l a l i m i t e de l a courbe enregistrde lorsque t 1 0). Dams l e c a s du tourbillon ponctuel, on donne en ghn6ral l'in&grale:
qui e s t continue dans l e domaine:
oh e l l e s a t i s f a i t 1' &quation de l a chaleur. Mais si l ' o n ne prend pas de prhcautions suppl&mentaires,on risque de perdre 1' unicit;; en e f f e t l a dhriv6e p a r rapport ? ti de la fonction [lo] s a t i s f a i t hvidemment [9]; done K ddsignant une
constante arbi-
t r a i r e , l a fonction:
e s t Qgalement une intkgrale de [9] dkfinie dans l e m&e domaine que [lo] qui l u i correspond a pour valeur: La c i r c u l a t i o n
e t on a , pour [ll] comme pour
[lo] :
l i m C(r,t) = 0
ti0 lim
tCo
Les deux i n t i g r a l e s
r( r ,t ) = ro
[lo]
e t [ll] sont t o u t e s deux continues a i n s i
que toutes l e u r s derivees p a r t i e l l e s dans l e domsine A ; e l l e s sont du meme type, non bornhes au voisinage du point r = 0 , t = 0 ; e l l e s sat i s f o n t t o u t e s deux aux conditions du probleme exprimees p a r [121; pour p r e f e r e r 1' une 8. 1' aut re, c' e s t k d i r e pour conserver l'unicit;, il faud r a i t donc i n t r o d u i r e des conditions suppldmentaires; si on l e s omet, I
I
l e s conclusions qu' on en t i r e perdent beaucoup de valeur, p u i s q u 9 1 nn"y a plus de raison de prhfhrer 19i n t h g r a l e [lo] 1' i n t h g r a l e [ll].
5
-
~ 6 c e s s i t ed' un th&or&med' existence e t unicitj! pour l e s equations d e Navier.
Pour 1 9 h t u d e des inthgrales des hauations de NAVIEX, dans l e cas rien de comparable aux exemples (A) , (B) , (C) du 5 3 n9e x i s t e & 19heure a c t u e l l e ; on e s t t r h s l o i n de connaTtre 1' influence de prkmisses equivalentes & (a) , ((3) e t ( y ) , s u r l a p o s s i b i l i t e d ' b t a b l i r un theorbme d' existence e t d9u n i c i t i . Dans l e c a s du f l u i d e incbmpressible, sans f rontihres, remplissant t o u t l'espace, nous posshdons, il e s t v r a i , l e s recherches t r e s import a n t e s e t t r e s profondes de J.LERAY [78]; mais e l l e s sont, malheureusevent, i n u t i l i s a b l e s comme point de d i p a r t d'une ktude de l a turbulence homAgene; en voici l e s raisons. La force vive du f l u i d e contenu dans un domaine B de 1' espace:
s' introduisant naturellement dans t o u t problkme de ~ e c a n i q u e des f l u i -
des, on d o i t nkcessairement supposer Cue c e t t e i n t i g r a l e a un sens, c'est 2 1 ..
h d i r e que uj ( x , t ) E L2 ( B ) , pour t o u t domaine f i n i B ; A t o u t i n s t a n t t > 0 , c e t t e condition e s t , bien entendu, s a t i s f a i i e si nous imposons l a condition p l u s f o r t e u j ( x ,t ) E C ( B ) ; p a r contre, ? li qnstant init i a l , nous avons l e choix, e t c ' e s t une hypothese que de poser: pour t o u t B f i n i Mais J-LERAY va p l u s loin: il postule que la force v i v e t o t a l e du fluide e s t f i n i e , c 9 e s t & d i r e q u ' i l c h o i s i t come premisses:
pour t o u t
p
=
{x: -a,<xj
0
, j
=
1,2,3).
Autrement d i t , en adoptant l e langage de 19exemple (C),
il
ope\re
constamrnent duns un espace de Hilbert; )t chaaue i n s t a n t l e s proprietes
de 1' espace de Hilbert interviennent dans s e s demonstrations. O r l a not i o n de turbulence homogene s'oppose & considerer l a f o r c e vive t o t a l e comme f i n i e : des fonctions uj ( x , t ) , periodiques en x , doivent pouv o i r e n t r e r , comme c a s p a r t i c u l i e r , dans l e cadre general des c h a m ~ sde vecteurs spatialement homog\enes; dans ce cas, 1' i n t e g r a l e:
ne s a u r a i t a t r e f i n i e . Si 1 9 0 n ne f a i t aucune a u t r e hypothese, que 19existence de l a for-
ce vive pour t o u t domaine B f i n i , 1-nsemble correspondant appartenant
k
k
des champs de v i t e s s e s ,
une turbulence homogene, c o n s t i t u e un espace fonctionnel
l a categorie des espaces de G.MACKEY. La topologie de ces
espaces s e d & f i n i t , non & p a r t i r d9une norrne (comme dans l e s espaces de Banach, dont 1' espace de H i l b e r t e s t 1' exemple l e p l u s simple), mais & p a r t i r d'une f a m i l l e de pseudo-norrnes; il e s t nature1 de prendre i c i l e s boftes cubiques:
B N Z {x : - N s x j I N , j
-;
1,2,3)
e t l P o n considerera comme f a m i l l e de pseudo-normes du champ de vecteurs
E s t - i l besoin de d i r e qu' en passant de 1' espace de H i l b e r t , considere par J.LERAY, a un espace de G.MACKEY, 1s d i f f i c u l t 6 de l'etude s acc r o i t dans des proportions consid&rables? I1 semble qu'on o b t i e n d r a i t dejk d e s r e s u l t a t s trks int6ressants en
s e bornant aux champs de v i t e s s e s pour lesquels:
'I
lim N-+m
uj (x,t)2dx
N3
*BN
e x i s t e ; l e s r e s u l t a t s de 1' Analyse harmonique generalishe WIENm [97], s u r l e s q u e l s nous nous sommes etendus dans a l o r s &re appliquds
\a
de
Norbert
[60] , peuvent
c e s champs aui contiennent, comme c a s tr&spar-
t i c u l i e r s , l e s champs p6riodiques e t Dresque periodiques. La clnsse des champs v e c t o r i e l s s u s c e p t i b l e s d e t r e c h o i s i s comme champ de v i t e s s e s i n i t i a l e s , s e r a i t a i n s i definie:
(a,
e
vj (x)
pour t o u t N
L2 (BN)
existe Pour l e s conditions
k
imposer aux
u3 (x,t) E L2 ( B ~ )
\a
uj(x, t)
tout instant
uj (x,t ) 2 d ~
,
.
, o u t r e l e s conditions:
t > 0 , pour t o u t N
e x i s t e pour t o u t
t >0
,
N-tm
c . e s t sans doute des conditions du type de 1.exemple (C) du 5 3 qui s e j u s t i f i e r a i e n t l e mieux, 1' existence e t l a continuitk des d6riv;es &ant
assurees au sens f o r t ; p a r exemple:
pour t o u t
t > 0 e t tout
N ,
pour t o u t
t > 0 e t tout
N .
Want h 19expression '"e champ des v i t e s s e s uj(x, t ) e s t Qgal & 1 9 i n s t a n t i n i t i a l au champ vj(x)" on pourrait l u i donner l e sens d'une limite forte: [uj(x,t
) - vj (x)]*& = 0 ,
pour t o u t N .
Cette Qtude, ou une dtude analogue, dont l e s d i f f i c u l t & apparaissent trks considerables, e s t , n&anmoins, un prologue indispensable & t o u t e construction d e f i n i t i v e d'une thdorie de l a turbulence homogkne: t a n t q u ' e l l e n9aura pas e t h f a i t e , t a n t qu-n ne posshdera pas dans c e cadre, un theorLme d'existence e t d ' u n i c i t e , a u s s i p r e c i s que ceux du 9 3 pour 1' hquation de l a chaleur, on pourra toujours craindre de tomber dans une f o n d r i h e en s'avanpant s u r l a route de l a ~ 6 c a n i q u es t a t i s t i que de l a turbulence homoghe; en e f f e t , chaque f o i s que, s e f i a n t & une i n t u i t i o n physique, on i n t r o d u i r a une nouvelle hypothLse maissant plaus i b l e , on s'expose
c e qu9e l l e s o i t contradictoire avec une propriete
des i n t h g r a l e s des equations de NAVIER, l a i s s i e dans l' ombre p a r n o t r e ignorance de ces i n t egrales.
CHAPITRE I1
L e mod&le de BURGERS
1
-
L' Cquation de BURGERS.
Notre manque de connaissances ghnhrales s u r l e s indgrales des hquat i o n s de NAVIER, e s t un o b s t a c l e majeur & 1' d d i f i c a t i o n d' une t h k r i e vraiment r a t i o n n e l l e de l a turbulence. L'dauation de l a chaleur ne nous f o u r n i t un guide dans 1 5 6 t u d e des 6auations de NAVIER que dans l e s limites Q t r o i t e s prkcisdes au Chapitre prkcddent. La d i s p a r i t i o n des t e r mes non l i n 6 a i r e s d e t r u i t , probablement, dans 196quation de l a chaleur, quelques unes des p r o p r i h t Q s l e s p l u s typiques des mouvements des f l u i des. Les auteurs qui pensent, par exemple, que l a turbulence e s t essentiellement due l Papparition de c e r t a i n e s discontinuiths (par exemple: concentration du t o u r b i l l o n de long de c e r t a i n e s courbes [ll]) ne peuvent espkrer v h r i f i e r c e s hypotheses s u r des i n t h g r a l e s de 1' hquation de l a chaleur. C9 e s t pourquoi, on a t e n t h de remplacer l 9Qquation de l a chaleur, par une Qquation p l u s compl6te, qui, & 1' inverse de c e l l e - c i , n' e s t j amais un c a s p a r t i c u l i e r des Qquations de NAVIER, mais qui, contenant un terme non l i n h a i r e , possede peut-&re des propri6ths analogues & c e l l e s des i q u a t i o n s de NAVIER: il s p a g i t du modble introduit en 1940, p a r J. M. B ~ G E R S [lo]:
C11 e t auquel il a consacrh des travaux consid6rables e t d u n e grande importance L9dquation [I] e s t Qvidemmeni beaucoup p l u s simple rlue l e s kquat i o n s de NAVIER, puisque au l i e u de 3 fonctions u,, u,, u3 de 4 variab l e s (xi,x,, x3,t ) e l l e ne contient p l u s qu une seul e fonction u de 2 v a r i a b l e s (x,t ) . Bien que des doutes puissent s' Qlever s u r l a manibre dnnt l e "modble" r e g r i s e n t e l a ' v 6 a l i t h w , notre absence d9informat ions s u r l e s .inthgrales des hquations de NAVIER j u s t i f i e une gtude des i n t i -
25 -
g r a l e s de i 9 Q q u a t i o n [I1 qui m e t t r a i t en r e l i e f , t o u t au moins, certaines propriQtds i n t r o d u i t e s p a r l e terme non l i n d a i r e . J.M. B ~ G E R Si consac r 6 de nombreuses publications [12] a son Qquation [I], s'attachant t o u t particulikrement, ?L l 9Qtude des i n t d g r a l e s u(x, t ) quand t -t + co; mais l9apport l e p l u s e s s e n t i e l , c' e s t son 6tude de:
si l ' o n note p a r u(x, t , v ) une i n t e g r a l e de [I] pour une valeur donnde.
v >0
Les i n t h g r a l e s u ( x , t , v ) , pour v > o Q t a n t continues en
(x,t )
dans t o u t l e demi-plan
t > 0 , l a l i m i t e u ( x , t ) e s t en gQndral cont i n u e dans des domaines ouverts s h p a r i s p a r des l i g n e s de discontinuit6; une l i g n e d e discontinuitd peut prendre naissance en un point x i un i n s t a n t t > 0 . Voyant 1&une image de ce qui peut s e produire dans un f l u i d e faiblement visqueux (c' e s t & d i r e , aux grandes valeurs du nombre de REYNOLDS), J. M. BURGERS a f a i t une Qtude trks poussie des propri6tQs s t a t i s t i q u e s de son modkle, formant, comme REYNOLDS l9a v a i t f a i t pour l e s 6quations de NAVIER, l e s Qquations s a t i s f a i t e s p a r l e s moyennes.
2
-
Les r e s u l t a t s d e HOPF.
Nous ne l e suivrons pas s u r ce t e r r a i n , nous contentant de resumer l e s r e s u l t a t s obtenus p a r Eberhard HOPF [35], dans un beau memoire, o; il donne une t h i o r i e complete des i n t e g r a l e s de l9 hquation [I]. L a d u s s i t e e s t due \a une circonstance presque miraculeuse notee dbjk par J . B . COLE (1949): l9dquation de BURGERS s e r a m h e
A
l9Qquation de l a chaleur.
D9une maniLre prbcise: Etant donnk un domaine ouvert
D dans le plan
sembles de propositions: U(X,
t) €
ut(x,t ) ut
+U
c(n) ux(xpt ) , uxX(x,t ) E C(D)
U =~
v uxx , en tout point de D
( x , t ) l e s deun en-
et:
(a' )
w(x, t ) > 0
(S7)
W(X,
(Y')
w t ( x , t ) , w x ( x , t ) , wxx(x. t )
(6')
wt =
t )
E
C(D)
v wxX
E
C(D)
en t o u t point de D
sont kquivaZents, en ce sens que I 'on passe de
oh a ( t )
I 'un h I 'autre par:
e s t une fonction a r b i t r a i r e continue e t positive.
Rien ne devient p l u s a i d que de c o n s t r u i r e des i n t b a l e s de 19&quat i o n de B ~ G ~ R Spuisque , dans t o u t domaine t e g r a l e p o s i t i v e de 1"quation
D , oh 1 9 0 n connait une in-
de l a chaleur, l a formule [2]
donne i m -
mediatement une i n t e g r a l e de 1' kquation de B ~ G E R S . Par exemple, dans l e demi-plan
s a t i s f o n t t o u t e s l e s conditions (a' )
t > 0 , l e s polyn8mes:
, (6' ) , ( y ' )
e t ( 6 ' ); on en d i d u i t
l e s i n t e g r a l e s de l P k q u a t i o n de B&.GERS:
On remarquera que pour
t = 0 , c e s i n t e g r a l e s prennent
comme va-
leur i n i t i a l e respectivement:
v* ( x )
=
8v
-- .
Voici un premier e f f e t du terme non linhaire: en multipliant par 2, l a valeur i n i t i a l e v ( x ) , on transfome complktement l a structure mgme de 19inthgrale u(x, t ) . En prenant:
on obtient l 9i n t hgrale de 19&quation de B-~GERS:
qui correspond
h
l a valeur i n i t i a l e :
Voici encore un e f f e t remarquable de l a non l i n h a r i t e ; si la amstant e T e s t < 0 , 19i n t i g r a l e e x i s t e dans tout l e demi-plan t >O ; mais si T > 0 , e l l e n v e x i s t e que dans l a bande 0 < t < T ; e l l e "explose" sur l a d r o i t e t = T , dont tous l e s points sont singuliers. L9un des rksultats fondamentaux de E.HOPF e s t l e stence e t d'unicitk dans l e demi-plan:
thiorZme
[GI Si : (8)
~ ( x E) L [a, b]
pour tout interval 2e fini pour 1x1
- 28 -
-
+a
[a, b]
d'eni-
u ( x , t ) t e l l e que:
i l y a une e t une seule fbnction
(c)
u ( x , t ) , u t ( x , t ) , u x ( x , t ) , u x x ( x , t > E C(D)
(a)
x-a, lim t Jxu(t,
(el
u t + uUx
=
t ) d f fv(u(i)&
v uxx
pour tout a ,
en tout point de D .
En posant :
c e t t e fonction e s t donn;e ,oar:
k ( x , t ) Atant l e noyau de 1 'Aquat ion de l a chaleur dLf inie par [4] . h tout point a , oh l a valeur i n i t i a l e v ( x ) e s t continue, on peut remplacer ( d ) par l a condition plus precise: l i m U ( Xt, ) .= v ( a ) x-a, t-Q
.
On remarquera que l a condition ( b ) ne peut Qtre affaiblie s i on veut que 1' inthgrale u ( x , t ) e x i s t e dans tout l e demi-plan: l 9exemple de 1' intkgrale explosive [51 suf fit & l e prouver.
3
-
L' &quation 1i m i t e . Si 1' on f a i t
v
=
0 , 1' &quation [I] se reduit &:
equation du premier ordre, qui admet pour ~ a r a c t e r i s t i ~ u el se s droites:
paralleles au plan Oxt , l a pente d>unede ces droites Atant &gale &
- 29 -
s a distance
A c e plan. L9i n t d g r a l e de [9] gui prend l a v a l e u r i n i t i a l e
e s t donc simplement l a s u r f a c e r e g l e e contenant l e s c a r a c t h r i s t i -
v(x)
ques:
[ill Un des a p p o r t s e s s e n t i e l s du mdmoire de E.HOPF, r d s i d e dans l9dtude de l a l i m i t e lorsque v 1 0 d e 1' i n t h g r a l e u ( x , t , v ) prenant l a val e u r i n i t i a l e v ( x ) donnee [au s e n s (d)]:
e t d e s r a p p o r t s de u ( x , t ) avec l a s u r f a c e r6glde [ll].
E.HOPF p a r t de l 96tude de deux fonctions y,(x, t ) e t y* ( x , t ) qus il def i n i t de l a maniere suivante: Soit:
F 1 & cause d e l a condition (a): - -. - pour 1y 1 (x, t ) f i x e s ,
pour
y2
2t
+
+ a;
p a r consequent
F prend s a v a l e u r minima en un nombre fini de p o i n t s
dhsignent respectivement l a p l u s p e t i t e e t l a p l u s grande de c e s v a l e u r s de 'y ; il d6montre a l o r s we, pour un t > 0 donne, y * ( x , t ) e t y*(x, t ) s o n t deux fonctions non d e c r o i s s a n t e s de x ady ; y,
e t y*
mettant l e s memes p o i n t s de discontinuit;.
il d i t que l e p o i n t
nee, t o u s l e s p o i n t s
Si:
( x , t ) e s t normal; s u r une d r o i t e ( x , t ) s o n t normaux 8, l 2exception
t t, > 0 dond9un
ensemble
denombrable de p o i n t s au p l u s . Le r e s u l t a t fondamental e s t c e l u i - c i : La limite u ( x , t ) est difinie en tout point normal et elle y est m e fonct ion continue de
(x, t
) ; en tout point du demi-p lan D,~ ( x - 0 t, )
et u ( x + 0,t ) sont difinis et 190n a:
Soit
(x,,
t,) un p o i n t quelconque de D . considerons l e s dew segments - 30 -
(ouverts) des cnrncterist iques:
La limi te u ( x , t ) es t dijinie et continue en ( x , t ) en chaQue point ( x , t ) appartenant a m deux segments (ouverts) [13] et [14] et la surface u
= u(x,t
) contient ces d e u segments de caract6ristique.
h p a r t i c u l i e r , si l e point
(xl,tl)
e s t normal, l e s deux segments
de ~ a r a c t e r i s t i ~ u e[13] s e t [14] sont confondus e t l a surface contient ce segment de c a r a c t 6 r i s t i o u e . Les points de d i s c o n t i n u i t 6 de u ( x , t ) s e placent s u r des courbes ( l i g n e s de discontinuit&): x = x(t)
.
e s t un point de d i s c o n t i n u i t & , il e x i s t e pour t z t , , une e t une s e u l e l i g n e de discontinuit; t e l l e que xl = x ( t l ) ; mais deux l i g n e s de d i s c o n t i n u i t 6 d i s t i n c t e s pour t < t1 , peuvent s e fondre en une s e u l e pour t = tl ; une l i g n e de d i s c o n t i n u i t 6 peut prendre naissance ? l uio r i g i n e : ce s e r a en p a r t i c u l i e r , l e cas en t o u t p o i n t 0;: Si
(x,, t i )
mais e l l e peut a u s s i n a f t r e en un p o i n t i n t e r i e u r du demi-plan D . La figure, d9a p r e s E.HOPF [35] oh s o n t trac6es l e s p m j ections de quelques segments de c a r a c t e r i s t i q u e s s u r l e plan Oxt , indique sch6matiquement l ' a l l u r e des morceaux de s u r f a c e r6glhe qui c o n s t i t u e n t une s u r f a c e u ( x , t ) ; en t o u t point normal, u ( x , t ) 6tant continue, ne pass e qu'une e t une s e u l e caract6ristiauer on a a l o r s u,
= u2
e t l e s deux
segments [13] e t [14] sont confondus; au c o n t r a i r e d' un point
(x,, t l )
s i t u 6 s u r une l i g n e de discontinuit6 p a r t e n t l e s deux segments de car a c t h r i s t i q u e s d 6 f i n i s par [13] e t [143, s i t u h s dans deux p l a n s u
= ul
e t u = u,
4
-
d i s t i n c t s puisaue p a r hypothese u,
#
u,
.
Remarques s u r 1' a p p l i c a t i o n aux thou1 e m e n t s t u r b u l e n t s .
Les r 6 s u l t a t s de E.HOPF, que nous venons d5exposer brikvement, pr6sentent certainement un grand i n t e r & , parce q u ' i l s donnent une vue rigoureuse de l' ensemble des circonstances susceptibles de s e presenter dans 1' htude d' une Qquation non- l i n d a i r e , dont l9a l l u r e e s t l a msme clue c e l l e s des hquations de NAVIEX. Peuvent-ils, t e l s quels, %re transposds dans une t h b r i e de l a turbulence? On peut en d i s c u t e r ( v o i r a u s s i l e tres i n t e r e s s a n t exposd de $.HOPF [34]): aucune des raisons qui ont 6 t Q ava.nc6es jusqu9 i c i , dans un sens ou dans l9autre, ne nous semble bien convaincante. Nous nous contenterons de prdsenter une remarque: les seul e s i n t d g r a l e s de l V Q q u a t i o nde l a chaleur dont on peut dkduire dans un , assuetdomaine D donnh, des i n t h g r a l e s de l9equation de B ~ G E R S sont t i e s h l a condition: dans D O r David V.WIDDER [96] a ddmontrh l e theoreme suivant:
Si D e s t 2e demi-plan [6], les conditions: w(x, t ) 2 0
dans D
w(x,t) , wt(x,t) wt = v wXx
.
w x ( x . t ) , w x x ( x , t ) E c(D)
en t o u t point de D
4-APPLICATION AUX ~ C O U L E M E N TTURBULENTS imp1 iquent: w(x,t)
est analytique en
(x,t)
dans
D.
I1 en r 6 s u l t e imm6diatement que t o u t e s l e s i n t h g r a l e s
u(x,t )
de
l'equation de B ~ G E R S , d e f i n i e s dans l e demi-plan D par la formule [2], sont analytioues en ( x , t ) ; o r nous avons vu, au c h a p i t r e I , que l e s Qquations de NAVIER pouvaient a v o i r des i n t h g r a l e s non analytiques par rapport au temps t ; t o u t e s c e s i n t h g r a l e s sont automatiauement exclues p a r l a s u b s t i t u t i o n du modele & l a r h a l i t e . S i 1' on soupponne que l e s i n t k g r a l e s , non analytiques en t , des equations de NAVIER jouent un r 8 l e dans l e s hcoulements turbulents, l e moins que l9on p u i s s e d i r e , c-st que l e u r exclusion du modhe de B ~ G E R S , e s t une circonstance gsnante.
CHAPITRE I11
La notion de moyenne e t l e s equations de REYNOIDS.
1
-
AperGu h i s t o r i q u e s u r l a n o t i o n de moyenne. Une hnigme avait
6th
posee: 1' integrale QlQmentaire(mouvement per-
manent par d r o i t e s paralleles) des iquations de NAVIER, e t a i t en disaccord complet avec l e s kcoulements etudibs par l e s hydrauliciens dans l e s grosses canal i s a t ions e t en excellent accord avec l e s Qcoulements observes,
a
l a ~ a c u l t ede ~ & d e c i n e dans , l e s tubes c a p i l l a i r e s .
Pour expliquer ces f a i t s ,
l a s u i t e de DARCY, de BAZIN,
de
BARRE:
DE SAINT VENANT, BOUSSINESQ [9] (1872) distingue n,ettement deux regimes
d, dcoulement bien d i f f i r e n t s , l e premier "bien continu", l e second "tumultueux e t t o ~ r b i l l o n n a n t " ~ en 1883, 0. REYNOLDS [89] visualise l a d i f fei-ence de ces deux rhgimes "direct" e t "sinueux" e t decouvre un critkr e qui permet de prkvoir lequel s e realisera, dr aprks l a valeur du '%ombre de RFYNOLDS". Nous appelons auj ourd' hui laminaire l e premier regime d.ecoulement, mouvement permanent oh l e s t r a j e c t o i r e s sont des d r o i t e s paralleles, e t turbulent l e second, dont 1' extreme complexite, dans
l%space et dans
l e temps, apparait comme l a caracteristique essentielle. Pour etudier ces derniers mouvements, o i l e s "vitesses vraies" sont "rapidement ou mhe brusquement variables d9un point
\a
l'autre",
BOUS-
SINeSQ propose de "choisir pour equations du mouvement, non pas l e s relations qui expriment \a un moment donne 1: eauilibre dynamique des divers volumes elementaires du fluide, mais les moyennes de ces relations pendant un temps assez court, ou ce que l'on peut appeler l e s equations de
1.equilibre dynamique moyen des particules fluides qui passent successivement en un mcme point.' [9] ( P 7) C' e s t par ces remarques, sowent tr& pknetrantes, que 1? nntinn de moyenne a f a i t son entree dans l a theorie de l a turbulence pour etu..4-
I -APERCU HISTORIQUE d i e r l e s mouvements c a r a c t e r i s e s p a r des "changements frequents e t rapides, msis s s s u j e t t i s % une s o r t e de p i r i o d i c i t e irregulii?rel. (p. 24). BOUSSINESQ i n t r o d u i t "au l i e u du l i q u i d e htudi6 reellement, un f l u i d e f i c t i f dont l e s v i t e s s e s auraient pour composantes suivant l e s axes en chaque point e t & chasue i n s t a n t : iij (x, t )
[ 11
=
'rtT
u j (x, s ) ds
T
ou T designe I9un temps assez p e t i t " (p. 2 6 ) . Tandis que BOUSSINESQ pour d h f i n i r l a moyenne, a devant l e s yeux 1' image, trBs contrite, d9un appareil de mesure plach en un point x du f l u i d e e t operant pendant un i n t e r v a l l e de temps T au c o n t r a i r e , WYNOLDS [go] s e r i f e r e
k
l a methode de c a l c u l , t o u t e thkorique, par laquelle l e s composantes u(x, t ) de l a v i t e s s e d' un f l u i d e (molar-motion) s e deduisent des v i t e s s e s des mol6cules, constituant c e f l u i d e selon l a
t h h r i e cin&tique (heat-motion). On considere l e s N molhcules dont l e s c e n t r e s x('),-. . . , x ( ~sont contenus & 15i n s t a n t t dans un volume B; l e vecteur v i t e s s e du f l u i d e , au point lecules:
x , centre de g r a v i d des N mo-
e s t a l o r s d k f i n i comme l a moyenne des v i t e s s e s
u(!' . .. ,u ( ~ )des
mod-
cules: 1
[21
u(x, t ) = N
zN u(")
l a v i t e s s e d9a g i t a t i o n ( a g i t a t i o n thermiaue) d u n e mol&cule e s t a l o r s reprisentee p a r l e vecteur:
REYNOLDS s e propose "the application of t h e same method of analy-
sis... t o d i s t i n g u i s h between mean-molar motion and relative-molar-mo-
t i o n " (I?1 2 5 ) . "The geometrical r e l a t i o n of t h e motions r e s p e c t i v e l y indicated by t h e t e m s mean-molar o r mean-mean-motion and relative-molar
o r relative-mean-motion being e s s e n t i a l l y t h e same a s t h e r e l a t i o n of t h e respective motions indicated by t h e terms molar o r mean-motion, and r e l a t i v e o r heat-motion, a s used i n t h e theory of gases" (p. 125). Selon l a terminologie de BOUSSINESQ, que nous adopterons, l e "meanmolar" ou "mean-mean-motion", c9e s t 2e mouvement moyen dkfini par q , u2 , i& ; l e " r e l a t i v e molar" ou "relative-mean-motion" c' e s t l e mouvernent d ' a g i t a t i o n d e f i n i par l e s f l u c t u a t i o n s ui , u: , u; . Pour REYNOLDS, en designant p a r Bx un "certain" volume de 1' espace, l e s composantes de l a v i t e s s e moyenne au c e n t r e de g r a v i t & x de c e volume (suppose homog&ne) sont d e f i n i e s par:
Admettant donc que t o u t e grandeur f
s o i t mise sous l a forme
une question s e pose naturellement: Quelles propriht ks une moyenne d o i t - e l l e posseder: REYNOLDS (p. 134) souligne explicitement l e s deux suivantes:
appliquee au champ des v i t e s s e s , l a premihre s i g n i f i e que l e mouvement du f l u i d e !i 1 9 i n t b r i e u r du volume Bx a une v i t e s s e moyenne nulle, quand on l e rapporte ? des i axes e n t r a i n & avec l a v i t e s s e Z ( x , t ) du c e n t r e de g r a v i t e x de Bx ; l a seconde, tres importante pour l e ddveloppement de s a t h h r i e , exprime que l a moyenne de l9energie cinetique du f l u i d e contenu dans Bx
e s t l a somme de 1' Qnergie cinbtique du c e n t r e
de g r a v i t e p l u s l a moyenne de 1' hnergie cinbtique du mouvement d' a g i t a tion. Par d e s raisonnements, dont l a c l a r t e e t l a rigueur ne sont pas & 1 9 a b r i de t o u t e c r i t i q u e , RMNOLDS, prenant come h o i t e Bx u! aarsll ~ l b p i p & i e de c e n t r e x , montre cue l a condition [ 5 ] n' e s t s a t i s f s i t e
I-APERGU HISTORIQUE rigoureusement que si l e s u j
sont d e s f o n c t i o n s l i n i a i r e s d e s
xj
dans l e s a u t r e s cas, il admet aue c e s r e l a t i o n s ne peuvent & r e s a t i s f a i t e s qu' approximat ivement, 1' approximation &ant
d' a u t a n t meilleure
que l e rapport d e s "periodes" d e s % , aux "p6riodes" des u; e s t p l u s grand: " i t is t h u s seen t h a t t h e c l o s e n e s s of t h e approximation with which t h e motion o f any system can be expressed a s a varying mean-motion t o g e t h e r with a relative-motion, which, when i n t e g r a t e d o v e r a space of which t h e dimensions a r e a, b, c , h a s no momentum, i n c r e a s e s a s t h e magnitude of t h e p e r i o d s o f
ii,F,G i n comparison with
the
p e r i o d s of
u f , v f ,w f ,and is measured by t h e r a t i o o f t h e r e l a t i v e o r d e r s o f magnit u d e s t o which these periods belong" (p. 136). Pendant t r o i s decades, on s9en t i n t au p o i n t de vue de ReYNOLDS; en 1924, L. KFUER
e t A. FRIEDMANN [731 dans l e u r t e n t a t i v e
des Qquations de R,eYNOLDS a un f l u i d e compressible,
dr extension
sugghrent,
en fu-
sionnant l e s deux p o i n t s d e vue de BOULSSINESQ e t de REYNOLDS, de c a l c u l e r l a moyenne
& l a f o i s dans l e temps e t dans l'espace:
e t s e r e f h r a n t aux hypotheses de REYNOLDS s u r l e s propri&t6s de l a moyenne, ils adoptent purement e t simplement, son p o i n t de vue: Annahmen s i n d n i c h t s t r e n g g i i l t i g , l i e f e r n
"Alle d i e s e
aber g u t e Annaherungen, so-
bald d i e O s c i l l a t i o n e n genugend z a h l r e i c h und z u f a l l i g v e r t e i l t S i e wurden i n a l l e r Strenge g e l t e n , wenn e s mo,-lich ware,
sind.
e i n Ausglei-
C h ~ n g ~ i n t e ~ saol lzu wahlen, dass d a s s e l b e f u r die ausgeglichene Bewegung
als unendlich k l e i n e Grosse behandelt werden konnte und zugleich gegeniiber den Schwankungsperioden a l s unendlich gross erschiene". Dans l a revue de l 9& t a t du probleme de l a turbulence clu'il prhsenta au 1116me
~ o n g r a sI n t e r n a t i o n a l de Mecaniaue Appliquee
en
1930, C. W.
OSERN [87] e u t l e m e r i t e d ' a t t i r e r 1 a t t e n t i o n s u r l a d e f i n i t i o n de l a moyenne. I1 observe
c e s u j e t aue l a p r o p o s i t i o n de REYNOLDS: "L? pro-
p r i k t h j f = 0 n9e s t rigoureusement v h r i f i e e sue si f e s t une fonct i o n l i n e a i r e de X ~ , X , , X , ~dhpend de l a forme du volume Bx ; si, au l i e u d m p a r a l l t h & i p & d e de c e n t r e x , on u t i l i s e m e s p h i r e rle c e n t r p
- 37
-
x, f peut &re une fonction harmonique quelconque. Sauf sur ce point de d e t a i l , l a question e s t donc restee exactement dans l ' e t a t o$ 1 w a i t l a i s s e e RMOLDS en 1895, puisaue OSEFN conclut: "Trotzdem bleibt
-
REYNOLDS7sche Satz bestehen, dass die Annahmen u; = 0 ,
-
p r= 0
der
i m .?lge-
meinen nichf, r i c h t i g sein konnen. In der Praxis ist die Bedeutung dieses Satzes v i e l l e i c h t nicht sehr gross, weil man sick b i s
jetzt
i m allge-
meinen m i t solchen Fiillen beschiiftigt hat, in welcben die durchschnittliche Bewegung stationxr ist. Wenn man in diesem F?11 d i e Mittelung in -
bezug auf d i e Zeit ausfuhrt, so g i l t streng u; ;O ,
-
pf
L.
0 Prinziniell
ist es aber wichtig, dass diese Gleichungen i m allgemeinen mcht e r f u l l t sein konnen. Wir werden i m Folgenden i n Ubereinstimmung, m i t
den
auf
diesem Gebiet tatigen Forschern, voraussetzen, dass man ohne merklichen Fehler
-
US = 0 , p-
-.
0 setzen konn. Uberdies setzen
wir
voraus
auch
hierin in llbereinstimmung m i t den Autoren auf diesem Gebiete, dass s t e t s
-(py m i t Y j e r s e t z t werden konne" (p. 9 ) ,
Dans l a discussion aui s u i v i t 1' expose d OSEW, J. M. B ~ G E R Spresenta une methode de definition de l a moyenne due
A. A.
\a
ISAKSON [39]
trbs differente de c e l l e s de BOUSSINESQ e t de REYNOLDS: supposant clue l a fonction f ( t ) e s t decomposee en freauences harmoniques par 1.integrale de Fourier:
[
f(t)=
A ( A ) cos [ht - ~ ( h )d ]h
ISAKSON propose de d i f i n i r l a moyenne par une oneration de f i l t r a g e en s u p ~ r i v s n tcertaines f rdquences.
l
J(t)=
A(A) cos [ht - a(h)] dh
,
E des fr6rluences conservdes, etant d' a i l l e u r s a r b i t r a i r e ; on voit a l o r s aishment w e , q ~ e l que s n i t l e f i l t r e E choisi, l a prop r i e t ~['] est rieoureilsement verifi;e, par contre, l a pronriete [5], 1' ensembl s
tout aussi importante, n9est s a t i s f a i t e , avec un spectre de frequences A ( A ) donnh, aue pour un choix trks particulier du f i l t r e . 1& encore, il ne s ' a g i t , en g6neral, que d'une solution approchee ( * ) [44], [48] (', Nous avons d i s c u t b c e s p o l n t s d e vue arec p l u s de d e t a i l s dans nous s u i v o n s i c i n o t r e expos6 [63], de t r B s p r e s nous nous sommes m$me permis d en reproduire, presque ~ n t h ~ r a l e m e n tc,e r t a i n e s pages.
-38-
2 - L E S E O S . DE REYNOLDS
2
-
Les e q u a t i o n s de REYNOLDS. Le nom d90sborne REYNOLDS est surtout lii k l a thhorie de l a tur-
bulence par l e s equations qu' il a donnees pour l e mouvement moyen:
Ces kquations de l?El'iWAS sont restees jusqu'i ce jour, l a base de l a ~ Q c a n i q u de e l a turbulence; 1 equation
(R,)
exprime que, dans son
mouvement moyen, l e fluide e s t incompressible; si 1' on compare
(Nj) ( j
=
( R ~ )k
1,2,3), il e s t c l a i r que l e fluide "moyenv7s e meut exactement
comme un fluide "reel", si aux forces de viscosith molhculaire:
on a j o u t a i t l e s forces de viscosite turbulentes:
Ce sont donc ces forces qui traduisent l'ejfet moyen
uj
des fluctuations turbulentes u;
,
sur
le
mouvement
c e s t l a l e noeud de l a
decouverte de REYNOLDS e t l e progres essentiel accompli par rapport 1
E
\a
f i c t i f de BOUSSINESQ. Si 190n admet, d9une p a r t , que l a Mecanique des fluides doit &re
basee sur l e s
equations
de NAVIER
( N j ) , d'autre part que l a theorie
de l a turbulence, chapitre p a r t i c u l i e r de c e t t e ~kcanique, d o l t & r e basee sur l e s equations de REZNOLDS ( ~ j , ) il semble logiaue de se pos e r avivctnt t o l ~ texamen d une definition particuliere de l a moyenne,
la
auest ion suivanteo &el les sont les proprLetes de la moyenne, necessaires
et
suffi-
santes pour que les equat tons de FtEMVaaS se deduzsent r igour e us ement des equations de NAVIFR
en en prenant la moyenne?
La reponse e s t immddiate: S i chacune des 4 fbnct ions est dkcomposee sous la forme:
U,
(x;t ) , p ( x , t )
f igurant dans
(N~)
[41
pour que:
i l j'aut e t i l sufj'it que:
RBgle 1
f = ytg (a = constante)
at
- =ax,
at
ax,
I1 e s t en e f f e t a i s 6 de v h r i f i e r que ces "rkgles du jeufr sont l e s
s e u l e s employees e t que chacune d' e l l e 1' e s t ef fectivement dans l e passage de (N,) (R,) . I1 e s t curieux d'observer que l a rkgle:
& l a q u e l l e precisAment REXNOLDG e t s e s successeurs consacrent une attent i o n p a r t i c u l i e r e , n ' e s t pas effectivement u t i l i s e e dans l e passage de s i on attache donc une t e l le importance h [5] c ' e s t parce qu'on la juge impliqude i n t u i t ivement dans l e concept de la moyenne,
( N ~ )a (R,) ;
mais nu1 lement parce qu'el l e intervient dans l e s calculs rkellement e j fectuks.
Pour n o t r e p a r t , nous avons toujours admis l a condition [5] au nombre des axiomes fondamentaux de l a moyenne; rhcemment Madame DUBREILJACOTIN [19] e t son collaborateur I.MOLINAR0 [83] ont consid6re des def i n i t i o n s de l a moyenne ne s a t i s f a i s a n t p l u s necessairement & c e t t e rbgle, j e n' en p a r l e r a i pas davantage puisque vous aurez l e p l a i s i r d%ntendre Madame DUBREIL-JACOTIN vous exposer elle-mane s e s r e s u l t a t s au cours d' une prochaine conf6rence -40-
Notons clue si l ' o n applique l a r & l e 1 equivalent &*
\a
[4], on v o i t que
[5] e s t
[81 [8] imnliauant [5] e t reciprouuement.
D'autre p s r t , il e s t f a c i l e de prouver que, en vertu de
[5] , l a
r e g l e 3 devient eauivalente &
3
-
~ k g l e spour l e c a l c u l des moyennes.
Finalement on o b t i e n t l e systbme de rhgles:
-=-
at
at
-=-
a~,
ax,
precisLment sous l a forme que Aous l u i avons donnee, en 1935, dans [41] P. 30.
Mais, t a n d i s aue l e systAme des r e g l e s 1 , 2 , 3 , 4 e s t reellement nec e s s a i r e e t s u f f i s s n t pour l? v a l i d i t e de
-
(N,)
-
( R ~ ,) l e systhme des
rhgles 1 , 2 . 3 ' , 5 e t 4 ne ~ e u ts t r e "necess?ire e t s u f f i s a n t aue si 1 on estime que l a r & l e 5 f q i t , de d r o ~ t .n a r t l e des rkgles a ~ ~ l i c a b l e \as t o u t e operation de moyenne I1 e s t interessTtr?trie remarquer que, si 1 on admet egalement comme une propriete intuitive que la moyenne d'une constante d o ~ t&re egale
e s t exprlme par' ~ b g l e6
& c e t t e constante, ce nui, en v e r t u d e l a rkgle 2
l a r h g l e 5' ( e t du m h e coup, l a r g g l e 6quivalente 5) devient une consequence de l a Ragle 3' . P a r consequent, l ' a d j o n c t i o n de l a r e g l e 6 au
systbme precedent,
permet de l e remplacer p a r l e systkme:
Le debat e t a n t a i n s i e c l a i r 6 p a r l e s conditions p r d c i s e s imposees
h l a moyenne, on peut aborder l e probleme p r i n c i p a l : comment d i f i n i r l a moyenne f d'une grandeur ~ h y s i q u e f de maniire 2 s a t i s f a i r e aux rBgles du jeu? La ~ Q c a n i q u edes f l u i d e s e t a n t o r i e n t e e v e r s 1' e x p l i c a t i o n
de f a i t s physiques f o u r n i s p a r experience, il f a u t e s s a y e r de t r a d u i r e a u s s i bien que possible, dans l a d e f i n i t i o n , l a demarche
du physicien
s e s e r v a n t d'un a p p a r e i l de mesure. A c e p o i n t de vue, 1' i d e e de BOUSSINESQ nous p a r a i t p l u s n a t u r e l l e que c e l l e de REXNOLDS: l a moyenne de l a grandeur
f (x,t ) e s t donnde par un appareil place au point fixe x
e t fonct ionnant pendant un t emps
T.
Avant dpexaminer l a forme concrkte donnee p a r BOUSSINESQ
\a
cette
une i remarque, importante pour i d e e gdnerale, il convient de s ' a r r g t e r ? 1' i n t e r p r e t a t i o n physique de t o u t e d e f i n i t i o n de l a moyenne: l e s rhgles 1 e t 2 - absolument indispensables pour que
(N,)
=
(R,) -, expriment que
1 'operat ion par laquel le on calcule la moyenne e s t une op&ation l k a i r e . Or, souvent, l a "reponsew d' un a p p a r e i l de mesure n; e s t p a s proportionn e l l e & l a grandeur mesuree: p a r exemple, c e r t a i n s anemomktres o n t une reponse, qui au l i e u d; i t r e p r o p o r t i o n n e l l e ? li a v i t e s s e V , e s t proportionnelle a
V2, a d F , e t c . . . La moyenne dkduite d ' u n e l e c t u r e d i -
r e c t e de l a courbe t r a c e e p a r I t a p p a r e i l , n z e s t donc p a s l i n e a i r e dsns c e cas. La comparaison e n t r e l e s r e s u l t a t s experimentaux et Ies r e s u l t s t s
3 - REGLES POUR LE CALCUL DES MOYENNES
theoriques, s e trouve, de ce f a i t , en f a c e d h n e d i f f i c u l t e supplement a i r e , souvent meconnue e t passee sous silence. Eh r e a l i t e , l e problhme e s t encore beaucoup plus
compliaue,
car
lorsqu' on p a r l e de l a reponse d' un appareil, on s e r e f e r e toujours i m plicitement
s e s i n d i c a t i o n s dans un ecoulement uniforme
de X) e t permanent (independant de t ) ; c ' e s t a i n s i ,
en
(indhpendant particulier,
ou; e s t obtenue l a courbe de tarage
cp(V) d; un anemomhtre, m a i s lorsquun anemomktre fonctionne reellement dans un ecoulement t u r b u l e n t , s e s indications dependent de t o u t e s l e s valeurs de u ( x , t ) dans t o u t 1-space occupe par l e f l u i d e e t pendant t o u t e l a dur6e de 1' experience; il s ' a g i t d'une r e l a t i o n fonctionnelle dont l a forme e s t , en gdneral, totalement inconnue; mfbe en admettant que, s e u l e s ont de l'importance l e s vecteurs u ( x , t ) en des p o i n t s x instants t
v o i s i n s de 19anemom&tre e t
& des
v o i s i n s de l a mesure, on ne s a i t pas comment t r a d u i r e avec
precision c e t t e correspondnnce foncionnelle pour un anemomktre donne. Le c8te th&rique semblant inabordable, on s o u h a i t e r a i t que l e c8te experimental e a t davantage a t t i r b 1 9 a t t e n t i o n ; une c r i t i q u e tres approfond i e des diverses methodes experimentales u t i l i s e e s dans l e s mesures en ecoulement turbulent, s e r a i t certainement une source de progr'es consid e r a b l e ~ : o r , on ne possGde,
k notre connaissance, que des recherches
assez fragmentaires s u r l e comportement des an&mom&tres en ecoulements non uniformes e t non permanents: anemomktres 1 f i l chaud soumis k des v i b r a t i o n s ~ k r i o d i q u e sdans de 1' a i r au repos, anemom&tres 'a coupelles soumis 2 une r a f a l e a r t i f i c i e i l e de forme connue ( * ) , &ant soulignk quelques unes des d i f f i c u l t h de l a traduction
en
langage mathematique du' rapport e n t r e l e s vnleurs exactes d'une grandeur physiaue e t l e s moyennes fournies par un appareil de mesure, revenons 2 l a d e f i n i t i o n p a r t i c u l i e r e de l a moyenne suggeree par BOUSSINESQ
( * ) Nous avons p r e s e n t 6 quelques remarques sur c e point dans [43] e t [ 7 1 ] ; [TO] expose l e s r e s u l t a t s exp6riment aux obt enus pour un an6momht r e k c o u p e l l e s .
I1 e s t c l a i r que l e s rkgles 1 , 2 e t 6 sont s a t i s f a i t e s : par cont re,
l e s r i g l e s 3.5 e t 5' depuis longtemps, il s e f a i r e une idee de vante: l e s fonctions
ne l e sont pas en general; comme on 1 - a remarquk ne peut plus s ' a g i r que d9m e approximation. On peut l ' o r d r e de c e t t e approximation de l a maniire suil e s plus interessantes sont hidemment des fonctions
oscillantes dont l e type gen&ral e s t fourni par l e s fonctions presque pbriodiques e t que l'on e s t t e n t e de dkcomposer en composantes h s m n i ques:
f
=
A cos A t
g = B cos p t
.
Pour ces fonctions particulibres, avec l a dhfinition
[I]
de l a
moyenne, un calcul d l b e n t a i r e donne facilement:
On voit donc aue l a rhgle 3 ne sera approximativement s a t i s f a i t e que si AT e t p T sont suffisamment grands. Contrairement l a suggestion f a i t e par BOUSSINESQ de prendre pour T "un temps assez petit", nous sommes donc conduits, pour awir unebonne approximation, h prendre T ~suffisammentgrandw e t tout naturellement, nous aboutissons
? mie
n o w e l l e dhfinition:
Avec c e t t e d&finition, l a moyenne est gvidemment l i n e a i r e e t verif i e l e s rkgles 1 , 2 e t 6. D' autre p a r t , on voit par un calcul Qlementaire que, si l a limite existe, e l l e e s t indbpendante de t :
DPoh
I1 en resulte que l a rhgle 3 ' , devenant identique
toujours s a t i s f a i t e .
8. l a &e
2, e s t
3- PEGLES POUR LE CALCUL DES MOYENNES D' a u t r e p a r t , pour rlue 1s l h r e p a r t i e de l a rkgle 4 s o i t v & r i f i & e il s u f f i t aue:
f (x, T) T-+co T
[lo1
l i m -= 0
aui entrafne:
Fn outre, on peut trouver diverses conditions s u f f i s a n t e s pour que l a 2eme p a r t i e de c e t t e meme r e g l e s o i t a u s s i s a t i s f a i t e : p a r exemple, il s u f f i t aue:
si
Ih 1 < S ( E , X ) uniform&ent en
t
pour -
a, < t
