Stroemungsmechanik II 001

Institut fu omungsmaschinen ¨ r Str¨ der Universit¨ at Hannover Prof. Dr.-Ing. J. Seume

Skript zur Vorlesung

Str¨ omungsmechanik II SS 2005

12. April 2005

S. Kanzer J. Seume I.M. Wang

Inhaltsverzeichnis Formelzeichen

v

Verwendete Abku ¨ rzungen

vi

1 Kontinuumshypothese und Kinematik 1.1 Kinematik der Fluide . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Zeitliche Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Die substantielle Ableitung . . . . . . . . 1.2.2 Zeitliche Ableitung materieller Integrale 2 Grundgleichungen der Kontinuumsmechanik 2.1 Erhaltung der Masse . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Erhaltung des Impulses . . . . . . . . . . . . . 2.3 Erhaltung des Drehimpulses . . . . . . . . . . 2.4 Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Newton’sche Fluide . . . . . . . . . . . . . . .

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1 2 3 3 4

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6 6 7 10 12 14

3 Grenzschichttheorie

16

4 Vereinfachte Formen der Navier-Stokes Gleichungen 4.1 Isotherme Str¨omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Isotherme und inkompressible Str¨omung . . . . . . . . 4.3 Rotationsfreie Str¨omung . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Euler- und Bernoullische Gleichung . . . . . . . . . . . 4.5 Kriechende Str¨omung eines inkompressiblen Fluids . . 4.6 Str¨omung in por¨osen Medien . . . . . . . . . . . . . . .

24 24 25 25 26 28 29

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¨ 5 Ahnlichkeitsparameter und Dimensionsanalyse 31 5.1 Grenzschicht¨ahnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.2 Dimensionsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 6 Lo ¨sungen der Bewegungsgleichungen 6.1 Hydrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Atmosph¨are . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Freie Oberfl¨achen . . . . . . . . . 6.2 1. Stokes’sches Problem . . . . . . . . . 6.3 2. Stokes’sches Problem . . . . . . . . . 6.4 Oszillierende Str¨omung zwischen Platten iii

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38 38 38 40 40 40 42 44

7 Turbulente Str¨ omungen 7.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . 7.2 Reynolds-Averaged Navier-Stokes 7.3 Turbulente Maße . . . . . . . . . 7.4 Prandtl’scher Mischungsweg . . .

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46 46 49 52 55

8 Materialgesetze

57

9 Stromfadentheorie - kompressible Str¨ omung 9.1 Station¨are Str¨omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Str¨omung in Stromr¨ohren . . . . . . . . . . . 9.1.2 Gleichung des senkrechten Verdichtungsstoßes 9.1.3 Schr¨ager Verdichtungsstoß . . . . . . . . . . . 9.2 Instation¨are Str¨omung . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Methode der Charakteristiken . . . . . . . . . 9.2.2 Kolben im Rohr . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Stoßrohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61 61 61 66 71 74 74 77 78

Literatur

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79

iv

Formelzeichen Lateinische Formelzeichen d Durchmesser e Innere Energie pro Masseneinheit h Spezifische Enthalpie ~k Volumenkraft m Masse n Stoffmenge ~n, ni Normalenvektor einer Oberfl¨ache p Druck ~q, qi W¨armestrom pro Fl¨acheneinheit ~x, xi Ortsvektor ~u, ui Geschwindigkeitsvektor t Zeit ~t, ti Vektor der Oberfl¨achenspannungen ~ D Drehimpuls E Innere Energie ~~ E = eij Deformationsgeschwindigkeitstensor ~ F Kraft ~ I Impuls K Kinetische Energie Kn Knudsen-Zahl L L¨ange P Leistung ~~ P, Pij Reibspannungstensor ˙ Q W¨armestrom S T ~ T~

Fl¨ache Temperatur

Spannungstensor V Volumen Griechische Formelzeichen δ Kronecker-Delta ijk Epsilon-Tensor η Dynamische Viskosit¨at λ Mittlere freie Wegl¨ange ∗ λ Zweite Viskosit¨at ξ Ortsvektor v

m J/kg J/kg N/m3 kg mol — Pa J/m2 m m/s s N/m2 Nm/s J 1/s N Ns J — m W N/m2 J m2 K m3 — — — m m m

ρ τij Φ Indizes Konstanten ~g NA R

Dichte Komponenten des Spannungstensors Dissipationsfunktion

kg/m3

Erdbeschleunigung Avogadrokonstante Universelle Gaskonstante

9.81 m/s2 ule 6 · 1023 Molek¨ mol 8.314 J/(mol K)

Verwendete Abku ¨ rzungen

vi

W/m3

1

1

Kontinuumshypothese und Kinematik

Mittlere freie Wegl¨ange = λ λ = √

1 2 π d2

n V

NA

(1)

ule Avogadro-Konst. = 6 · 1026 Molek¨ ; p V = n R T ; d : Effektiver Molek¨ uldurchmol messer Beispiel : O2 bei 200 C, 1 atm Die Annahme des Kontinuums ist nur dann gerechtfertigt, wenn die charakteristischen Abmessungen der Str¨omung gr¨oßer sind, als die mittlere freie Wegl¨ange λ

kmol n p 1, 013 105 Pa = 41 × 10−3 = = W V RT m3 8314 kmol K · 293 K

(2)

kmol Molek¨ ule Molek¨ ule n · NA = 41 × 10−3 · 6 × 1026 = 25 × 1024 (3) 3 3 V m kmol m 1 ˚ λ = √ = 100 nm (4) O2 =⇒ d = 3 A, −3 2 π (3 × 10 m)2 25 × 1024 m−3 Ein Maß zur Beurteilung der Str¨omung ist die Knudsen-Zahl. Diese dimensionslose Kennzahl ist definiert als das Verh¨altnis von mittlerer freier Wegl¨ange zur charakteristischen L¨ange der Str¨omung Kn =

λ . L

(5)

Damit die Annahme des Kontinuums f¨ ur eine Str¨omung gerechtfertig ist, muss das betrachtete Problem der Bedingung Kn 0, 01 ¨ =⇒ Ubergangsbereich / verd¨ unnte Gase

(7)

L = 1 nm : Kn = 100  0, 01

=⇒ freie Molek¨ ulstr¨omung ule • Gase: Impulsaustausch der Molek¨ hohe Temperaturen -> z¨ah µ ∝ T 0,4

(8) (9)

2

1 KONTINUUMSHYPOTHESE UND KINEMATIK • Fl¨ ussigkeiten: Anziehungskr¨afte -> Widerstand bei Deformation niedrige Temperaturen -> z¨ah

1.1

Kinematik der Fluide

=Betrachtung der Bewegungen ohne Ber¨ ucksichtigung der Kr¨afte 1. Materielle Beschreibung ~ t), x~ = ξ~ ~x = (ξ,   0 ∂~x ~u = ∂x ξ~

(11)

~ x, t) ξ~ = ξ(~

(12)

(10)

”Lagrange”-Beschreibung 2. Ortsfeste Betrachtung Zeit t variabel, Ort ~x fest ”Euler’sche” oder Feldbetrachtung

d ~x = ~u(~x, t); dt

d xi = ui (xj , t) dt

ui (~x + d~x, t) = ui (~x, t) +

1 ∂ui = ∂xj 2 |



(13)

∂ui d xj ∂xj

(14)

   1 ∂ui ∂uj ∂ui ∂uj + + − ∂xj ∂xi 2 ∂xj ∂xi {z } | {z } eij

(15)

Ωij

ui (~x + d~x, t) = ui (~x, t) + eij dxj + Ωij dxj | {z } | {z } | {z } A

B

(16)

C

A :

lineare Bewegung = Translation

B :

Verformung

C :

Drehung (17)

Beschreibung der Bewegung durch Linien:

3

1.2 Zeitliche Ableitungen

• Bahnlinie Tangentenkurve zu Geschwindigkeiten eines materiellen Punktes u ¨ber die Zeit (Bewegungsgeschichte). • Stromlinie s.o., aber zu einem Zeitpunkt, Momentaufnahme des Geschwindigkeitsfeldes. • Streichlinie Kurve durch alle materiellen Punkte, die bis zur Zeit t einen Ort y passiert haben.

Bestimmung einer Bahnlinie: d ~x = ~u(~x, t) dt mit der Anfangsbedingung ~x(t0 ) = ξ~ l¨osen. Bestimmung einer Stromlinie ~u(~x, t) d ~x = ds |~u| mit d s = |d ~x| l¨osen.

1.2 1.2.1

Zeitliche Ableitungen Die substantielle Ableitung

Feldbeschreibung, Vorg¨ange bei ~x zur Zeit t. z.B. Skalarfeld ∂T ∂T dt + d xi , i = 1 . . . 3 ∂t ∂xi ∂T ∂T ∂T = + ui · + ~u · ∇ T = ∂t ∂xi ∂t

dT = =⇒

dT dt

^ d xi dt

= ui

(18) (19)

z.B. Geschwindigkeit ∂~u ∂~u d ~u = + (~u · ∇) ~u = + (~u · grad) ~u dt ∂t ∂t ∂ui ∂ui d ui = + uj dt ∂t ∂xj

(20) (21)

”Substantielle Ableitung” ∂~u D ~u = + (~u · ∇) ~u Dt ∂t

(22)

4 1.2.2

1 KONTINUUMSHYPOTHESE UND KINEMATIK Zeitliche Ableitung materieller Integrale

Beispiel: Z

m=

dm =

M

ZZZ

ρ(~x, t)d V

(23)

V (t)

allgemein: Z

ϕdm =

M

ZZZ

ϕρ(~x, t)d V

(24)

V (t)

Massenerhaltung: DM = 0, Dt

D (d m) = 0 Dt

(25)

Leibnitz’sche Regel d dt

ZZZ

ϕdV =

V

ZZZ  V

 dϕ dV dt

(26)

wenn ϕ und d ϕ/d t stetig in V . D Dt

Z

ZZZ D ϕdm = ϕρ d V Dt M V ZZZ Dϕ = ρdV Dt V Z Dϕ = dm M Dt

(27) (28) (29)

V : Volumen, das zum Zeitpunkt t als konstant betrachtet werden kann. Im folgenden wird das Volumenintegral aus dem Massenintegral abgeleitet. Dabei wird ϕ durch ϕ/ρ ersetzt. D Dt

ZZZ

V

ϕdV

  Z D 1 1 ϕ dm = ϕ dm ρ ρ M Dt M   D D 1 mit dm = dV Dt ρ Dt 1 weil d m = d V ρ ZZZ ZZZ Dϕ D (d V ) = dV + ϕ· Dt V Dt V ∂d V = 0, weil V = const ∂t D = Dt

Z

(30)

(31)

5

1.2 Zeitliche Ableitungen Die substantielle Ableitung von d V kann umgeformt werden:

⇒

⇒

d V = d x1 d x2 d x3 (32) D (d V ) D (d x1 ) D (d x2 ) D (d x3 ) = d x2 d x3 + d x1 d x3 + d x1 d x2 (33) Dt Dt Dt Dt d x1 D (d x1 ) d x2 D (d x2 ) = + d x2 d x3 d x1 d x3 d x1 Dt d x2 Dt D (d x3 ) d x3 d x1 d x2 (34) + d x3 Dt D (d V ) d V D (d xi ) = (35) Dt d xi D t

Reihenfolge der Differenzierung vertauschen:   D ~x D (d ~x) = d = d ~u Dt Dt D (d xi ) = d ui Dt

(36) (37)

Wird jetzt eine Bewegung mit reiner Verformung betrachtet, gilt nach Gleichung (16) d ui = ui (~x + d~x, t) − ui (~x, t) d xi = eii + Ωii |{z}

(38) (39)

=0, f¨ ur i=j

⇒

d ui = eii d xi

(40)

Mit Gleichung (37) kann Gleichung (40) umgeformt werden. D (d xi ) = eii d xi Dt 1 D (d xi ) ⇒ eii = d xi D t

(41) (42) (43)

Erg¨anzen mit d V eii d V =

dV D (d xi ) d xi D t

(44)

und Anwenden von Gleichung (37) f¨ uhrt auf D (d V ) = eii d V Dt

(45)

6

2 GRUNDGLEICHUNGEN DER KONTINUUMSMECHANIK

Diese Gleichung (45) wird in Gleichung (31) eingesetzt.  ZZZ ZZZ  D Dϕ ∂ui +ϕ ϕdV = dV Dt Dt ∂xi V V  ZZZ  ∂ϕ ∂ui ∂ϕ + ui +ϕ dV = ∂t ∂xi ∂xi V  ZZZ  ∂ϕ ∂ui ϕ + dV = ∂t ∂xi V ZZZ ZZ ∂ϕ Gauß´scher Integralsatz : dV = ϕ ni d S ∂ xi V

V

(47) (48) (49)

S

Reynolds’sches Transporttheorem : ZZ ZZZ ZZZ ∂ϕ D dV + ϕ u i ni d S ϕdV = Dt ∂t V

(46)

(50)

S

¨ ¨ Zeitliche Anderung des materiellen Volumenintegrals=zeitl. Anderung im ortsfesten Volumen zur Zeit t + Fluss u ¨ber die Oberfl¨ache.

2 2.1

Grundgleichungen der Kontinuumsmechanik Erhaltung der Masse

Wird in den vorherigen Betrachtungen die Variable folgt aus dem Reynold’schen Transporttheorem ZZZ ZZZ  D DM ∂ρ ρdV = = + Dt Dt ∂t | V V

ϕ durch die Dichte ρ ersetzt,  ∂ (ρ ui ) d V = 0 ∂ xi {z }

(51)

0

Da das Volumen konstant ist, resultiert aus dem Grenz¨ ubergang V → 0 die differentielle Form der Massenerhaltung =⇒

∂ρ + ∇ · (ρ ~u) = 0 ∂t

(52)

Wenn in Gleichung (52) die substantielle Ableitung der Dichte mit ∂ρ Dρ = + ~u · ∇ ρ Dt ∂t

(53)

eingef¨ uhrt wird, resultiert eine andere Form der Kontinuit¨atsgleichung ∂ ui Dρ Dρ + ρ = 0 ⇐⇒ + ρ ∇ · ~u = 0 Dt ∂ xi Dt

(54)

7

2.2 Erhaltung des Impulses

In inkompressibler Str¨omung ist die Dichte konstant und alle Ableitungen der Dichte sind gleich null. Die Kontinuit¨atsgleichung reduziert sich f¨ ur den inkompressiblen Fall mit ∂ρ =0 (55) ∂t zu ∂ ui = 0 ⇐⇒ ∇ · ~u = 0 ⇐⇒ div ~u = 0, (56) ∂ xi d.h. das Fluid kann sich nicht ausdehnen oder zusammenziehen. Betrachtet man die allgemeing¨ ultige integrale Form der Kontinuit¨atsgleichung ZZZ ZZZ ZZ Dm ∂ρ D ρ dV = = dV + ρ ui n i d S = 0 (57) Dt Dt ∂t V

V

S

¨ so ist das Integral u im Volumen gleich dem Fluss u ¨ber die zeitliche Anderung ¨ber die Berandung.

2.2

Erhaltung des Impulses

¨ Die Anderung des Impulses ist gleich der Summe aller an an dem Fluidelement angreifenden Kr¨afte X D I~ = F~ (58) Dt ZZZ I~ = ρ ~u d V Impuls (59) V

Dabei werden folgende Arten von Kr¨aften unterschieden : 1. Massen - / Volumen - Kr¨afte −→ z.B. Gravitation Kraftfelder 2. Oberfl¨achen - / Kontakt - Kr¨afte −→ z.B. Spannungen Ein Beispiel f¨ ur die Volumenkr¨aften ist die Massenkraft infolge Gravitation ~k =

lim

∆m→0

∆ F~ = ~g ∆m

(60)

mit ~g als spezifischer Massenkraft. Volumenkr¨afte k¨onnen aber auch aus elektrischen Feldern resultieren und m¨ ussen dann entsprechend ber¨ ucksichtigt werden. Auf die Oberfl¨achen des Fluidvolumens wirken die Spannungen (Normal- und Scherspannungen) ~ ~t = lim ∆ F . (61) ∆s→0 ∆ s

8

2 GRUNDGLEICHUNGEN DER KONTINUUMSMECHANIK

Werden die Gleichungen (60) und (61) in die Impulsbilanz nach Gleichung (58) eingesetzt ergibt sich ZZZ ZZZ ZZ D ~ ~t d S (62) ρ ~u d V = ρ kdV + Dt V

V

S

bzw. unter Zuhilfenahme der Leibnitz’schen Regel und der Massenerhaltung (GleiRRR D ρ chung (51): d V = 0) Dt V

ZZZ

D ~u ρdV = Dt

ZZZ

ρ ~k d V +

V

V

ZZ

~t d S

(63)

S

F¨ uhrt man eine Gr¨oßenordnungsbetrachtung der Oberfl¨achenkr¨afte durch, so gilt V ∝ L3 , S ∝ L2 .   ZZZ ZZ ZZZ  = + lim 

(64) (65)

L→0

V

V

= lim

L→0

1 L2

S

ZZ

-V olumen−Integralegehengegen

0

~t d S = 0 -Impulssatz

(66)

S

Daraus folgt, dass die Oberfl¨achenkr¨afte untereinander im lokalen Gleichgewicht stehen.  ∆s  lim 2 ~t (−~ei ) ni + ~t (~n) = 0 (67) l→0 l Es wird nun die Tangentialkraft ~t(~n) der schr¨agen Fl¨ache betrachtet, also mit dem Oberfl¨achennormalenvektor ~n. Die anderen Fl¨achen seien normal zu den Koordinatenebenen und haben somit die Normalenvektoren ~e1 , ~e2 und ~e3 . 1. ~t (~n) = −~t (−~n) = −~t (−~e1 ) n1 − ~t (−~e2 ) n2 − ~t (−~e3 ) n3

(68)

~t (~ei ) = −~t (−~ei )

(69)

2.

Aus Gleichung (68) und Gleichung (69) folgt ~t (~n) = ~t (~e1 ) n1 + ~t (~e2 ) n2 + ~t (~e3 ) n3

(70)

~t (~e1 ) = τ11 ~e1 + τ12 ~e2 + τ13 ~e3 .

(71)

bzw.

9

2.2 Erhaltung des Impulses

Definition: Dabei bedeuten erste und zweite tiefstehenden Indizien der Variablen τ11 , τ12 und τ13 jeweils den Normalvektor der betrachteten Fl¨ache und die Richtung der Kraftkomponente. Dieses bedeutet also, dass sich jede Oberfl¨achenkraft in drei Komponenten zerlegenl¨asst. Jede Spannung wird u ¨ber den Normalvektor der Fl¨ache in der die Spannung wirkt und die Richtung der Kraftkomponente definiert. t1 ~e1 ~t (~n) = + t2 ~e2 + t3 ~e3

n1 (τ11 ~e1 + τ12 ~e2 + τ13 ~e3 ) = + n2 (τ21 ~e1 + τ22 ~e2 + τ 23 ~e3 ) + n3 (τ31 ~e1 + τ32 ~e2 + τ33 ~e3 )

(72)

= ti (~x, ~n, t) = τji (~x, t)nj =⇒ i − te von ti Komponente des Spannungsvektor =⇒ nj Fl¨ache mit Normal in j- Richtung 

 τ11 τ12 τ13  ~t = ~n · T~~ = ~n ·   τ21 τ22 τ23  τ31 τ32 τ33

(73)

Die Diagonalelemente des Spannungstensors sind die Normalspannungen und die restlichen Elemente sind die Scherspannungen. Einsetzen des Spannungstensors nach Gleichung (73) in den Impulssatz nach Gleichung (63) liefert ZZZ

D ~u ρdV = Dt

V

ZZZ

ρ ~k d V +

V

ZZ

~ ~n · T~ d S

(74)

S

Mit dem Gauß’schen Integralsatz nach Gleichung (49) l¨asst sich das Oberfl¨achenintegral in ein Volumenintegral u uhren und nach Zusammenfassen der Integrale ¨berf¨ ergibt sich f¨ ur die Impulsbilanz ZZZ  V

∂τji D ui − ρ ki − ρ Dt ∂ xj



dV = 0

(75)

oder, wenn die Funktionen im Volumen definiert und stetig sind, in differenzieller Form D ~u ~~ ρ = ρ~k + ∇ · T. (76) Dt Diese Gleichung ist die Erste Cauchy’sche Bewegungsgleichung und ist allgemeing¨ ultig, solange die Kontinuumshypothese ebenfalls g¨ ultig ist.

10

2 GRUNDGLEICHUNGEN DER KONTINUUMSMECHANIK

2.3

Erhaltung des Drehimpulses

~ ist gleich dem auf den K¨orper wirkenden Mo¨ Die zeitliche Anderung des Dralls D ment M . D ~ ~ D = M D t ZZZ ~ = und mit D ~x × (ρ~u) d V D Dt

ZZZ

(77) (78)

V

~ ~x × (ρ~u) d V = M

(79)

V

berechnet sich der Drall des von dem fl¨ ussigen K¨orper eingenommenen Bereichs. ¨ Eine Anderung des Dralls kann nur durch die Volumen- oder die Oberfl¨achenkr¨afte erfolgen. F¨ ur das Moment l¨asst sich schreiben ZZZ ZZ ~ ~ M = ~x × (ρk) d V + ~x × ~t d S, (80) V

S

so dass sich f¨ ur die Bilanz des Drehimpulses ZZZ ZZZ ZZ D ~ ~x × (ρ~u) d V = ~x × (ρk) d V + ~x × ~t d S Dt V

V

S

ergibt. F¨ ur den Spannungsvektor l¨asst sich schreiben ZZ ZZ ti = τji nj −→ ~x × ~t d S = ijk xj τlk nl d S. S

Der Epsilon-Tensor ijk ist    1 ijk = 0   −1

(81)

(82)

S

folgendermaßen definiert , wenn ijk gerade (123 oder 231); , wenn zwei Indices gleich (112 oder 133); , wenn ijk ungerade.

F¨ ur das Moment gilt somit • kein Moment, wenn Ortsvektor gleiche Richtung wie ~u • Je gr¨oßer Ortsvektor desto gr¨oßer Moment. • Je gr¨oßer Oberfl¨achenspannung desto gr¨oßer Moment.

(83)

11

2.3 Erhaltung des Drehimpulses

¨ Uberf¨ uhrt man das Oberfl¨achenintegral mit Hilfe des Gauß’schen Satzes in ein Volumenintegral ZZ ZZZ ∂ (xj τlh ) d V (84) ~x × ~t d S = ijk ∂ xl S

V

und setzt das Ergebnis in den Drehimpulssatz nach Gleichung (81) ein und wendet auf die linke Seite der Gleichung die Leibnitzregel Z ZZZ ZZZ D D Dϕ ϕdm = ρϕdV = ρdV (85) Dt Dt Dt M

V

V

an, so ergibt sich   ZZZ ∂ D (xj uu ) − (xj τlk ) − xj ρ kk d V = 0 =⇒ ijk ρ Dt ∂ xl

(86)

V

Umformen liefert 



  ZZZ   ∂τlk D uk   − − ρ kk + ρ ijk uj uk −ijk τjk  d V = 0 ijk xj ρ | {z } Dt ∂x   | {z l } V ~ u×~ u=0

(87)

=0 (nach Impulssatz)

=⇒

ZZZ

ijk τjk d V = 0 =⇒ ijk τjk = 0

(88)

=⇒ τjk = τkj

(89)

V

Der Spannungstensor ist also symmetrisch, d.h. τ12 = τ21 . Eine integrale Form des Drehimpulserhalts ergibt sich aus dem Reynolds’schen Transporttheorem f¨ ur station¨are Probleme. ZZ ZZZ ZZZ D ∂ dV + ~x × (ρ~u) ui ni d S (90) ~x × (ρ~u) d V = Dt ∂t |{z} S V V =0, station¨ ar

=⇒

ZZ S

ijk xj uk ρ ul nl d S =

ZZ

ijk xj tk d S

(91)

S

In dieser Form bedeutet der Drallsatz, dass f¨ ur station¨are Bedingungen der Drallfluss u ¨ber die Berandung S (linke Seite der Gleichung) gleich dem anliegenden Moment (rechte Seite der Gleichung) ist.

12

2.4

2 GRUNDGLEICHUNGEN DER KONTINUUMSMECHANIK

Energieerhaltung

Der erste Hauptsatz der Thermodynamik lautet D ˙ + Q˙ (K + E) = W Dt

(92)

und beschreibt das Gleichgewicht zwischen der kinetischen Energie K, der inneren ˙ und der W¨arme Q. ˙ Ist e die innere Energie pro MassenEnergie E, der Arbeit W einheit, so ist die innere Energie eines einzelnen materiellen Teilchens durch e d m gegeben. F¨ ur die innere Energie eines K¨orpers, d.h. die eines abgegrenzten Teils der Fl¨ ussigkeit, ist ZZZ eρ d V. (93) E= (V (t))

Die kinetische Energie eines materiellen Teilchens ist (u2 /2) d m und dementsprechend die kinetische Energie K eines K¨orpers ZZZ ui ui ρ d V. (94) K= 2 (V (t))

Arbeit wird auf das Fluid durch die an den K¨orper angreifenden Volumen- und Oberfl¨achenkr¨afte ausge¨ ubt. Die Leistung der Oberfl¨achenkraft ~t d S ist ~u · ~t d S und ~ die der Volumenkraft ρk d V ist ~u · ρ~k d V , so dass f¨ ur die Arbeit gilt ZZZ ZZ ˙ = W ρ ui ki d V + ui ti d S. (95) (V (t))

(S(t))

Der Zusammenhang zwischen dem W¨armestromvektor ~q und dem Temperaturfeld h¨angt vom Material ab. (Materialabh¨angigkeit) ZZ ˙ Q= qi ni d S. (96) (S(t))

Einsetzen der Gleichungen (93) bis (96) in die Bilanz der Energie nach Gleichung (92) f¨ uhrt auf ZZZ ZZ ZZ ZZZ h i D ui ui + e ρdV = ρ ui ki d V + ui ti d S − qi ni d S. Dt 2 V

V

S

S

(97)

13

2.4 Energieerhaltung

Unter Anwendung des Gauß’schen Integralsatzes werden die Oberfl¨achen- in Volumenintegrale u uhrt und die Integrale zusammengefasst. ¨berf¨  ZZZ  ∂ ∂ qi D ui ui ( + e) − ρ ki ui − (τji ui ) + dV = 0 (98) ρ Dt 2 ∂ xj ∂ xi V

Da der Integrand als stetig vorrausgesetzt wurde und der Integrationsbereich beliebig gew¨ahlt werden kann, muss der Integrand verschwinden und es gilt ρ ui

D ui De ∂τji ∂ qi ∂ui +ρ = ρ ki ui + ui + τji − Dt Dt ∂ xj ∂ xj ∂ xi

Gleichung (99) l¨asst sich umformen   ∂τji ∂ qi ∂ui De D ui − ρi ki − = τji − +ρ ui ρ Dt ∂ xj Dt ∂ xj ∂ xi | {z }

(99)

(100)

=0

Der Term in Klammern ist die erste Cauchy’schen Bewegungsgleichung und somit gleich null. Somit ergibt sich die Energiebilanz De τji ∂ ui 1 ∂ qi = − Dt ρ ∂ xj ρ ∂ xj

(101)

die das kontinuumsmechanische Analogon des ersten Hauptsatz der Thermodynamik ist. De de = = δ w˙ + δ q˙ (102) Dt dt In der Gleichung ist δ w˙ der mechanische und δ q˙ der thermische Anteil des Energietransfers. Der Spannungstensor des mechanischen Anteils l¨asst sich weiterhin in Druck- und Reibspannungen zerlegen δ w˙ = −

1 p ∂ ui + Pij eij . ρ ∂ xi ρ | {z }

(103)

Φ

Φ : Dissipationsfunktion Pij : Reibspannungstensor

eij : Deformationsgeschwindigkeitstensor Deformationsgeschwindigkeitstensor : 1 ~~ E = eij = 2



∂ ui ∂ uj + ∂ xj ∂ xi



~ei ~ej

(104)

14

2 GRUNDGLEICHUNGEN DER KONTINUUMSMECHANIK

Mit der Definition der Enthalpie h = e+

p ρ

(105)

und einer Zerlegung des Spannungstensors in Normal- und Schubspannungen τij = −p δij + Pij

(106)

(die Normalspannungen sind der thermodynamische Druck und Reibspannungen (Pij , i = j); die Schubspannungen sind Reibspannungen (Pij , i 6= j)) sowie der Kontinuit¨atsgleichung l¨asst sich die Energiegleichung (99) in die Form i D h ui ui ∂p ∂ ∂ qi ρ +h = + ρ ki ui + (Pji ui ) − (107) Dt 2 ∂t ∂ xj ∂ xi

bringen.

2.5

Newton’sche Fluide

Die Gleichungen f¨ ur Newton’sche Fluide sind eine Spezialisierung der allgemeing¨ ultigen Bilanzs¨atze, da die Materialgesetze f¨ ur diese Fluide ber¨ ucksichtigt werden. F¨ ur ein Newton’sches Fluid gilt ∂ ui , (108) τij ∝ eij = ∂ xj d.h. der Schubspannungstensor h¨angt linear vom Deformationsgeschwindigkeitstensor ab. Mit der Materialtheorie kann gezeigt werden, dass die allgemeinste Form f¨ ur ein Newton’sches Fluid τij = −p δij + λ∗ ekk δij + 2 η eij ,

(109)

bzw. in symbolischer Schreibweise ~ ~ ~~ T~ = (−p + λ∗ ∇ · ~u) I~ + 2η E

(110)

ist. Diese Materialgleichung wird als Cauchy-Poisson-Gesetz bezeichnet. Der Tensor ~ I~ ist der Einheitstensor     e11 1 0 0     ~ I~ =  (111) e22  =  0 1 0  e33 0 0 1 Die mittlere Normalspannung : p¯ =

1 2 1 τii −→ p¯ + p = τii + p = eii (λ∗ + η) 3 3 | {z 3 } Druckz¨ ahigkeit

(112)

15

2.5 Newton’sche Fluide λ∗ : second viscosity entf¨allt bei inkompressibler Str¨omung, weil: ∂ ui = eii = 0 div ~u = 0 =⇒ ∂ xi =⇒ D.h. die Druckz¨ahigkeit wird mit null multipliziert.

(113)

Mit Hilfe der 1. Stokes’schen Hypothese : ηD = λ∗ +

2 η = 0 3

(114)

2. und dem Deformationsgeschwindigkeitstensor    ∂ uj 1 1 ∂ ui ~~ + ∇~u + ∇~u T ~ei ~ej = E = ~ei ~ej eij = 2 ∂ xj ∂ xi 2

(115)

l¨asst sich das Materialgesetz in die allgemeing¨ ultige erste Cauchy’sche Bewegungsgleichung (Gleichung (76)) einsetzen und man erh¨alt mit      ∂ ui ∂ ∂ ∂ uj D ui ∗ ∂ uk = ρ ki + −p + λ + η + (116) ρ Dt ∂ xi ∂ xk ∂ xj ∂ xj ∂ xi

bzw. in symbolischer Form

D ~u ~~ = ρ ~k − ∇p + ∇(λ∗ ∇ · ~u) + ∇ · (2η E) Dt die Navier-Stokesschen Gleichungen.

(117)

ρ

Die Stoffdaten λ∗ und η sind temperaturabh¨angig. F¨ ur isotherme Str¨omungen gilt     2   ∂ ∂ ui ∂ ui ∂ ∂ uk ∂ uj + η + = η (118) ∂ xj ∂ xj ∂ xi ∂ x2j ∂ xi ∂ xk

Damit wird aus Gleichung (116)

∂p ∂ D ui ρ = ρ ki − + (λ∗ + η) Dt ∂ xi ∂ xi



∂ uk ∂ xk



+η



∂ 2 ui ∂ x2j



,

(119)

und aus Gleichung (117) in symbolischer Schreibweise ρ

D ~u = Dt

ρ ~k |{z}

Volumenkr¨ afte

−

∇p |{z}

Druckgradient

+ (λ∗ + η)

∇ (∇ · ~u) | {z }

+ η ∇ 2 ~u.

Gradient der Divergenz von ~ u

(120) F¨ ur inkompressible Str¨omungen gilt ρ = const und Gleichung (120) vereinfacht sich zu D ~u = ρ ~k − ∇ p + η ∇2 ~u. (121) ρ Dt

16

3

3 GRENZSCHICHTTHEORIE

Grenzschichttheorie

Die Navier-Stokes-Gleichung f¨ ur isotherme inkompressible Str¨omungen lautet ∇p ∂ ~u + ~u · ∇ ~u = − + ν ∇ 2 ~u (122) ∂t ρ Zur universellen, dimensionsunabh¨angigen Betrachtung werden die Gr¨oßen und Operatoren mit einer Bezugsgr¨oße normalisiert, so dass sie von der Gr¨oßenordnung 1 sind. ~x (123) ~x ∗ = L ~u (124) ~u ∗ = W ∇∗ = L∇ (125) p (126) p∗ = ρW 2 t∗ = f t (127) Als Bezugsgr¨oßen werden u ¨blicherweise L die charakteristische L¨ange und W die Geschwindigkeit der Aussenstr¨omung gew¨ahlt. Die normalisierten Gr¨oßen werden in Gleichung (122) eingesetzt ∇∗ ∗ ∇∗p∗ ρ 2 ν W ∇ ∗2 ~u ∗ L ∂ ~u ∗ 2 ∗ + W ~u · ~u = − W + fW · W 2 (128) ∂ t∗ L L ρ L2 ν f L ∂ ~u ∗ + ~u ∗ · ∇ ∗ ~u ∗ = − ∇ ∗ p ∗ + ∇ ∗2 ~u ∗ (129) ∗ W ∂t W L ∂ ~u ∗ 1 =⇒ Str + ~u ∗ · ∇ ∗ ~u ∗ = − ∇ ∗ p ∗ + ∇ ∗2 ~u ∗ (130) ∗ ∂t Re L Durch die Normalisierung der Differentialgleichung werden in die Gleichung zwei ¨ Ahnlichkeitsparameter eingebracht. Diese sind =⇒

1. Strouhalzahl Str

= = = =

fL W normalisierte Frequenz

(131)

normalisierte zeitliche Beschleunigung zeitliche Beschleunigung r¨aumliche Beschleunigung

2. Reynoldszahl Re

W L r¨aumliche Beschleunigung = ν Reibung Impuls¨anderung durch Druck¨anderung = Impuls¨anderung durch Reibung

=

(132)

17 Bei sinnvoller Normalisierung sind alle Terme (z.B. ∇ ∗ p ∗ , ∂ ~u ∗ /∂ t ∗ ) von der Gr¨o¨ ßenordnung 1. Die Ahnlichkeitsparameter geben daher die relative Gr¨oße und damit die Bedeutung der Terme an. Werden z.B. Str¨omungen bei sehr hohen Re-Zahlen betrachtet (z.B. bei hoher Geschwindigkeit), so ist der Einfluss der Reibungsterme sehr gering. Bei sehr kleinen Re-Zahlen dagegen (z.B. kriechende Str¨omungen) ist der Einfluss dieser Terme sehr groß. Im Bereich hoher Reynoldszahlen beschr¨ankt sich der Einfluss der Reibung auf ein sehr kleines Gebiet in der N¨ahe von festen Oberfl¨achen (”Grenzschicht”), wo die Haftbedingung erf¨ ullt werden muss. Das Str¨omungsfeld wird in einen Bereich der Hauptstr¨omung, der als reibungsfrei angesehen wird, und in einen Bereich der Grenzschichtstr¨omung, der als reibungsbehaftet angesehen wird, aufgeteilt. Betrachtet man nun die Grenzschicht, so gilt f¨ ur eine 2-dimensionale Betrachtung: 1. x-Richtung Der Geschwindigkeitsvektor ist ~u ∗

 u∗   =  v∗  w∗ 

(133)

Gleichung (130) gilt auch in der Grenzschicht. Die Komponente der Gleichung in x-Richtung lautet   2 ∗ ∗ ∗ ∂ u∗ ∂ p∗ 1 ∂ 2u∗ ∂ u ∗ ∂u ∗ ∂u Str . (134) +u +v = − + + ∂ t∗ ∂ x∗ ∂y∗ ∂ x∗ Re ∂ x ∗2 ∂ y ∗2 Die Grenzschicht ist sehr viel d¨ unner als sie lang ist, so dass gilt δ  L ; δ∗ =

δ  1 L

(135)

und daraus folgt, dass mit y ≤ δ

∂ ∂/∂x δ ∂  und = ∂x ∂y ∂/∂y L

(136)

r¨aumliche Ableitungen in y-Richtung eine andere Gr¨oßenordnung haben, als r¨aumliche Ableitungen in die x-Richtung. Es gilt dann ∂ 2u∗ ∂ 2u∗  ∂ x ∗2 ∂ y ∗2

(137)

und der Term ∂ 2 u ∗ /∂ x ∗2 ist vernachl¨assigbar. Aus der Betrachtung der Gr¨oßenordnung des Terms u∗ (∂ u∗ /∂ x∗ ), die bei sinnvoller Normalisierung 1 sein muss, und der Erkenntnis, dass y∗ =

yδ δ y = = O(1) · L δL L

18

3 GRENZSCHICHTTHEORIE ist, resultiert dann L2 1 ∂ 2u∗ = Ordnung (1) =⇒ Re ∝ Re ∂ y ∗2 δ2

(138)

Betrachtet man die Kontinuit¨atsgleichung in der Grenzschicht, so gilt: Dρ + ρ ∇ · ~u = 0 Dt ⇐⇒

(139)

∂ρ + ~u · ∇ρ + ρ ∇ · ~u = 0 ∂t

(140)

∂ρ + ∇ · (ρ ~u) = 0 ∂t

(141)

⇐⇒

¨ Bei geringer Anderung der Dichte gilt ∇ · ~u = 0 =⇒ −→

∂u ∂v + = 0 ∂x ∂y

(142)

W ∂v∗ W ∂ u∗ + =0 L ∂ x∗ L ∂ y∗

(143)

δ  L =⇒ v  u

(144)

2. y-Richtung Die Komponente von Gleichung (130) in y-Richtung lautet ∗ ∗ ∂ p∗ 1 ∂v∗ ∗ ∂v ∗ ∂v + u + v = − + Str ∂ t∗ ∂ x∗ ∂y∗ ∂y∗ Re



∂2v∗ ∂2v∗ + ∂ x ∗2 ∂ y ∗2



(145)

Es ergeben sich folgende Gr¨oßenordnungen f¨ ur die Grenzschicht: u ∝ O(1), W x x∗ = ∝ O(1), L

u∗ =

v ∝ O(?), W y δ y∗ = ∝ O( ) L L v∗ =

(146) (147)

und zusammen mit der Kontinuit¨atsgleichung (143) ∂ u∗ ∂v∗ O(1) v∗ δ ∗ + = 0 → + = 0 ⇒ v ∝ O( ). ∂ x∗ ∂ y∗ O(1) δ/L L

(148)

Mit diesen Beziehungen kann eine Gr¨oßenordnungsbetrachtung an Gleichung (145) durchgef¨ uhrt werden. Die Gr¨oßenordnungen der einzelnen Terme finden

19 sich unter den Termen. Str

∗ ∂v∗ ∗ ∂v + u ∂ t∗ ∂ x∗ δ δ L L

+

+

∂v∗ ∂ p∗ = − ∂y∗ ∂y∗ δ ? L   ∂2v∗ 1 ∂2v∗ + Re ∂ x ∗2 ∂ y ∗2  −2 δ L δ L
δ 2 δ L v∗

L

Vergleicht man die Gr¨oßenordnungen, so folgt δ δ δ + + =? + L L L

#  2 " δ 1 δ · + δ L L L

(149)

2 - D; station¨ar =⇒ −

∂ p∗ δ ∝ =⇒ Druckgradient in y-Richtung klein ∂y∗ L

(150)

Schlussfolgerungen : 1.

2.

3.

δ v ≈ u L

(151)

 2 L Re ≈ δ

(152)

∂p ≈ 0 ∂y

(153)

Prandtl’schen Grenzschichtgleichungen ∂u ∂u ∂u 1 dp ∂2u +u +v = − +ν ∂t ∂x ∂y ρ dx ∂y2

(154)

Kontinuit¨atsgleichung : ∂u ∂v + = 0 ∂x ∂y Randbedingungen :

(155)

20

3 GRENZSCHICHTTHEORIE 1. Haftbedingung: Aufgrund der Reibung ist die relative Str¨omungsgeschwindigkeit entlang der Wand an der K¨orperoberfl¨ache gleich null. = 0; (156) u y=0

2. Feste Oberfl¨ache Die Oberfl¨ache des K¨orpers ist f¨ ur das Fluid undurchdringlich. Es tritt kein Fluid durch die Oberfl¨ache des K¨orpers. = 0; (157) v y=0

3. Hauptstr¨omung: Am Rand der Grenzschicht zur Hauptstr¨omung entspricht die Str¨omungsgeschwindigkeit in der Grenzschicht der der Hauptstr¨omung. = W (x, t) (158) u y=∞

4. Der Druckgradient in der Grenzschicht wird von der reibungsfreien Außenstr¨omung aufgepr¨agt. Die station¨are Impulsbilanz f¨ ur die Außenstr¨omung lautet u

∂u ∂u 1 dp +v + = 0 ∂x ∂y ρ dx

(159)

Das Geschwindigkeitsfeld der Hauptstr¨omung in y-Richtung ist homogen, so dass d u/d y = 0 gilt. Weiterhin gilt Gleichung (158), so dass sich Gleichung (159) vereinfachen l¨asst. 1 dp du + = 0 dx ρ dx dp ρ du2 = − 2 dx dx 2 ρ d W(x) dp = − 2 dx dx

u

δ 1 ∝ √ = L ReL

r

ν wL

(160) (161) (162)

(163)

Die vereinfachte Form der Grenzschichtgleichung lautet f¨ ur den station¨aren Fall u

∂u ∂u 1 dp ∂2u , +v + = ν ∂x ∂y ρ dx ∂y2

(164)

21 und unter Ber¨ ucksichtigung der Gleichung (162) 2 ∂u ∂u ρ d W(x) ∂2u u +v − = ν . ∂x ∂y 2 dx ∂y2

(165)

Durch Integration der Prandtl’schen Impulsgleichung u ¨ber die H¨ohe h, die u ¨ber die Grenzschichtdicke δ hinausgeht, ergibt sich die von Karman’sche Integralgleichung Zh 

∂u dW ∂u +v −W u ∂x ∂y dx

0



Zh

dy =

ν

∂2u d y. ∂y2

(166)

0

Das Integral auf der rechten Seite wird Zh 0

h ∂2u ∂ u ∂ u ∂ u ∂ u ν dy = ν −ν = −ν = = ν ∂y2 ∂ y 0 ∂ y h ∂ y 0 ∂ y 0

1 − τw ρ | {z }

(167)

spez. Dissipation

und ist die spezifische Dissipation [W/kg]. Aus der Kontinuit¨atsgleichung (155) f¨ ur die Grenzschicht folgt f¨ ur die Geschwindigkeit v in y-Richtung ∂v ∂u + = 0 ⇒ v = − ∂x ∂y

Zy

∂u d y. ∂x

(168)

0

Einsetzen in Gleichung (167) eliminiert v und u verbleibt als einzige variable Geschwindigkeit   Zh Zy ∂ u ∂ u ∂u d W u  d y = − 1 τw . − dy − W (169) ∂x ∂y ∂x dx ρ 0

0

Das Doppelintegral wird mit Hilfe der partiellen Integration gel¨ost nach Zb

0

f gdy

=

f

g|ba

u

Zy

−

0

 y  Z ∂ u  ∂u  dy dy ∂ x ∂x |{z} 0 {z } f0 |

f g0 d y

(170)

a

a

Zh

Zb

=

∂u d y|h0 − ∂x

Zh

u

∂u dy ∂x

0

0

g

=

W

Zh 0

∂u dy − ∂x

Zh 0

u

∂u dy ∂x

(171)

22

3 GRENZSCHICHTTHEORIE

und ergibt eingesetzt in Gleichung (169) Zh 

∂u dW ∂u −W −W 2u ∂x ∂x dx

0



dy = −

τw . ρ

(172)

Zur Beschreibung der Verdr¨angungswirkung der Grenzschicht und des Impulsverlusts in der Grenzschicht werden folgende Grenzschichtkenngr¨oßen eingef¨ uhrt: 1. Verdr¨angungsdicke δ1 W =

Z∞

(W − u) d y

(173)

Z∞

u (W − u) d y

(174)

0

2. Impulsverlustdicke δ2 W

2

=

0

¨ Eine Ubersicht u ¨ber weitere Grenzschichtparameter findet sich im Anhang 3. Erweitert man das Integral auf der linken Seite mit +u1 (∂U/∂x1 )−u1 (d U/d x1 ) = 0 so kann die Gleichung (172) in der folgenden Form geschrieben werden Zh 0

∂ dW [u (W − u)] d y + ∂x dx

Zh

(W − u) d y = −

τw ρ

(175)

0

Unter Anwendung der Leibnitz’schen Regel und der Definitionen der Verdr¨angungsdicke δ1 nach Gleichung (173) und der Impulsverlustdicke δ2 nach Gleichung (174) ergibt sich f¨ ur Gleichung (175) eine Formulierung , in der nur noch Variablen der Außenstr¨omung und Grenzschichtparameter vorkommen. d dW τw = (W 2 δ2 ) + δ1 W ρ dx dx

(176)

Wird die Gleichung mit δ2 / (ν W ) erweitert, erlaubt dieses die dimensionslose Formulierung  2    δ2 W τw δ2 W δ2 d δ2 δ1 δ2 2 d W (177) =⇒ = + 2+ ηW ν } dx δ2 ν dx ν | {z Re δ2   W δ2 2 τw δ2 W δ2 2 1 d W d −→ 2 + (3 + 2 H12 ) = (178) ηW dx ν ν W dx

23 Der Parameter H12 wird als Formfaktor bezeichnet und ist ein Maß f¨ ur die ”F¨ ulligkeit des Geschwindigkeitsprofils” (Siehe Anhang) Mit der Impulsverlustdicke δ2 und der Geschwindigkeit W kann einer Reynoldszahl mit W δ2 2 =⇒ Reδ2 δ2 ν

(179)

definiert werden. Somit erh¨alt man eine dimensionslose Form der Grenzschichtgleichung τw δ2 d =⇒ 2 = (δ2 Reδ2 ) + (3 + 2 H12 ) P o. (180) ηW dx P o ist der Pohlhausen-Parameter und ist ein dimensionsloses Maß f¨ ur die Beschleunigung des Fluids in Str¨omungsrichtung – Eine Definition dieses Parameters findet sich ebenfalls im Anhang – Po =

W δ2 2 1 d W ν W dx

=

Reδ2 2

ν dW2 |W {zd x }

(181)

=AC

mit AC

=

η dp − W dx

(182) (183)

als Beschleunigungsparameter. Mit Hilfe der definierten Gr¨oßen lassen sich allgemeing¨ ultige Kennfelder f¨ ur Grenzschichten erstellen.

24

4 VEREINFACHTE FORMEN DER NAVIER-STOKES GLEICHUNGEN

4

Vereinfachte Formen der Navier-Stokes Gleichungen

4.1

Isotherme Stro ¨mung

Die Impulsbilanz f¨ ur ein Newton’sches Fluid in allgemeing¨ ultiger Form sind die Navier-Stokes Gleichungen ρ

D ~u ~~ = ρ ~k − ∇ p + ∇ (λ∗ ∇ · ~u) + ∇ · 2 η E Dt

(184)

bzw. D ui ∂p ∂ ρ = ρ ki − + Dt ∂ xi ∂ xi



∂ uk λ ∂ xk ∗



∂ + ∂ xj

   ∂ uj ∂ ui η + ∂ xj ∂ xi

(185)

~~ mit E als Deformationsgeschwindigkeits-Tensor. F¨ ur isotherme Str¨omungen gilt λ∗ , ν = const und vereinfacht Gleichung (185) zu   ∂p ∂ ∂ui ∂uj D ui ∗ ∂ ∂uk = ρki − +λ +η + (186) ρ Dt ∂xi ∂xi ∂xk ∂xj ∂xj ∂xi Umbenennung der stummen Indizes (k → j) und ge¨anderte Reihenfolge der Differentiation ergibt: ρ

D ui ∂p ∂ ∂uj ∂ 2 ui = ρki − + (λ∗ + η) +η 2 Dt ∂xi ∂xi ∂xj ∂xj

(187)

Nach der Stokes-Hypothese (114), die nur bei rein translatorischen Bewegungen der Molek¨ ule und daher streng genommen nur f¨ ur ein-atomige Gase gilt, f¨ ur mehratomige Gase und Fl¨ ussigkeiten aber eine gute N¨ahrung darstellt, ist 2 λ∗ = − η 3

(188)

D ui ∂p 1 ∂ ∂uj ∂ 2 ui = ρki − ρ + η +η 2 Dt ∂xi 3 ∂xi ∂xj ∂xj

(189)

und damit

oder in symbolischer Schreibweise ρ

D ~u 1 = ρ~k − ∇p + η ∇ (∇ · ~u) + η∇2~u. Dt 3

(190)

25

4.2 Isotherme und inkompressible Str¨omung

4.2

Isotherme und inkompressible Str¨ omung

Wird zus¨atzlich die Annahme der Inkompressibilit¨at getroffen, prinzipiell g¨ ultig wenn die Machzahl kleiner als 0.3 ist, vereinfacht sich die Kontinuit¨atsgleichung (56) ∇ · ~u = 0 ⇐⇒ div grad ~u = 0 ⇐⇒

∂ui = 0, ∂xi

und die Navier-Stokes Gleichungen vereinfachen sich   D ui ∂ uk ∂ 2 ui ∂p ∂ ∗ ρ +η = ρ ki − + (λ + η) +η Dt ∂ xi ∂ xi ∂ xk ∂ xj ∂ xj | {z } = 0, inkomp.

(191)

∂p ∂ 2 ui D ui = ρ ki − +η Dt ∂ xi ∂ x2j

(192)

=0, inkomp.

Die Impulsbilanz f¨ ur inkompressible, isotherme Str¨omungen ist somit ρ

∂ 2 ui ∂ x2 | {zi}

(193)

bzw. in symbolischer Schreibweise ρ

4.3

D ~u = ρ ~k − ∇ p + η ∇2 ~u. Dt

(194)

Rotationsfreie Str¨ omung

F¨ ur den Ausdruck ∇2 ~u kann auch geschrieben werden ∇ 2 ~u = ∇

(∇ · ~u) | {z }

= 0, inkompressibel

so dass f¨ ur inkompressible Str¨omungen gilt

− ∇ × (∇ × ~u), | {z }

(195)

2w ~

∇ 2 ~u = − ∇ × (∇ × ~u)

(196)

Das Vektorprodukt aus Nabla-Operator und Geschwindigkeitsvektor ist die doppelte Winkelgeschwindigkeit ω der einzelnen materiellen Teilchen ∇ × ~u = 2 ω ~

(197)

ω = 2πf

(198)

Somit kann f¨ ur inkompressible Str¨omungen die Impulsbilanz umgeformt werden ρ

D ~u Dt

=

ρ ~k − ∇ p − η ∇ × (∇ × ~u)

(199)

=

ρ ~k − ∇ p − 2 η ∇ × ω ~

(200)

26

4 VEREINFACHTE FORMEN DER NAVIER-STOKES GLEICHUNGEN

Dieses bedeutet, dass bei inkompressibler Str¨omung der Reibungsterm verschwindet, wenn die Rotation der Geschwindigkeit gleich null ist, d.h. wenn die Teilchen keine Drehbewegung durchf¨ uhren. Die resultierende Gleichung f¨ ur eine inkompressible, isotherme und rotationsfreie Str¨omung ist D ui ∂p ρ = ρ ki − (201) Dt ∂ xi und wird als Euler-Gleichung bezeichnet. F¨ ur die Potentialstr¨omung gilt: • ∇ × ~u = 0 Rotationsfrei • ki = ∇ ψ K¨orperkraft hat Potential • ki = − g xi Schwerkraft    ∂ ~u   ρ + ~u · ∇ ~u = ρ ∇ ψ − ∇ p +  · · ·  ∂t 

|

{z

=0

(202)

}

Ist das Geschwindigkeitsfeld rotationsfrei, so ist es sinnvoll, f¨ ur die Geschwindigkeit ein Potential einzuf¨ uhren (S. 20 Spurk) ~u = ∇ φ bzw. ui =

∂φ ∂xi

(203)

Werden die Potentiale f¨ ur Geschwindigkeit und K¨orperkraft in die Eulergleichung (202) eingesetzt, f¨ uhrt dies auf ρ∇

4.4

∂φ + ∇ 2 φ = ρ ∇ ψ − ∇ p −→ Daher der Name Potentialstr¨omung (204) ∂t

Euler- und Bernoullische Gleichung

Die Eulergleichung kann auf zwei Wegen hergeleitet werden. 1. inkompressibel plus rotations-frei (sogenannte Potentialstr¨omung, siehe Kap. 4.3) 2. reibungsfrei, aber durchaus kompressibel (z.B. Hochgeschwindigkeits-Str¨omungen). In diesem Fall k¨onnen die Reibungsterme vernachl¨assigt werden (Re-Zahl Re −→ ∞ , siehe dimensionslose Form), so dass die letzten beiden Terme auf der rechten Seite von Gleichung (187) entfallen.

27

4.4 Euler- und Bernoullische Gleichung

Die Bernoullische Gleichung ist ein erstes Integral der Eulerschen Gleichung. Zur Herleitung m¨ ussen die Annahmen getroffen werden, dass 1. die K¨orperkraft ein Potential ~k = −∇ ψ , z.B. ψ = − gi xi , ψ = − g x3 habe 2. und die Str¨omung als reibungsfrei angesehen werden kann. Zun¨achst wird die Eulersche Gleichung mit ui multipliziert, also das Innenprodukt (Skalarprodukt) mit ~u gebildet ui

∂ ui ∂p 1 ∂ψ ∂ ui + ui uj = − ui − ui ∂t ∂ xj ρ ∂ xi ∂ xi

(205)

Nach Umformung des zweiten Terms der linken Seite und der Umbenennung der stummen Indizes ergibt sich ∂ uj ∂ h ui ui i ∂p ∂ψ 1 uj + uj − uj (206) = − uj ∂t ∂xj 2 ρ ∂ xj ∂ xj

Diese Gleichung k¨onnte entlang jeder glatten Kurve integriert werden. Bei der Integration entlang einer Stromr¨ohre ergibt sich aber ein besonderes Ergebnis. Die Definition einer Stromlinie folgt mit |~u| = u uj = u

d xj ds

(207)

f¨ ur die Differentiation uj

d xj ∂ d ∂ = u = u . ∂ xj d s ∂ xj ds

(208)

Somit kann f¨ ur Gleichung (206) mit uj ∂uj / ∂t = u ∂u / ∂t entlang Stromlinie mit   du 1 dp d u2 dψ = − + − (209) dt ds 2 ρ ds ds eine allgemeine Form der Bernoulli-Gleichung erhalten werden. Wird eine Integration entlang des Stromfadens (d s) durchgef¨ uhrt, ergibt sich aus Gleichung (209) mit Z Z Z u2 du 1 ds + = − dp − dψ (210) dt 2 ρ eine andere allgemeine Form der Bernoulli-Gleichung. F¨ ur das Potential der K¨orperkraft wird die Gravitation angesetzt ψ = − g xi

(211)

Der Druckterm kann in Abh¨angigkeit von den Voraussetzungen unterschiedlich beschrieben werden

28 R

4 VEREINFACHTE FORMEN DER NAVIER-STOKES GLEICHUNGEN

1/ρ d p

inkompressibel, ρ = const. R 1/ρ d p = ∆ p/ρ

isotherm, ideales Gas, ρ = p/RT R R R 1/ρ d p = RT /p d p = RT 1/p d p = RT ∆ ln p

homentrop (¨ortlich gleiche Entropie), ρ = ρ (p , s) = ρ(p) R R 1/ρ d p = 1/ρ(p) d p

Typische F¨alle:

1. Gewicht (Schwerkraft) als Massenkraft und inkompressibel Z ∂u u2 ρ ds + ρ + p + ρ g x3 = const. ∂t 2

(212)

z.B. Fl¨ ussigkeitsstr¨omungen (Hydraulik) 2. Kompressibel, Massenkr¨afte −→ 0, entlang eines Stromfadens (d s) Z Z u2 1 ∂u ds + + d p = const. ∂t 2 ρ

(213)

ρ = ρ (p) z.B. Gasdynamik

4.5

Kriechende Str¨ omung eines inkompressiblen Fluids

Ausgehend von den inkompressiblen, isothermen Navier-Stokes-Gleichungen unter Vernachl¨assigung der Volumenkr¨afte   ∂~u ρ + (~u · ∇) ~u = − ∇ p + η ∇2 ~u. (214) ∂t kann mittels der Parameter ~u = U ~u∗ ,

~x = L ~x∗ ,

t=

L2 ∗ t ν

(215)

die dimensionslose Form ν U ∗ ∗ ν U ∗2 ∗ L2 ν U ∂~u∗ U 2 ∗ ∗ ∗ + (~u · ∇ ) ~u = − 2 ∇ p + 2 ∇ ~u · L2 ∂t∗ L L L νU ∗ ∂~u + Re (~u∗ · ∇∗ ) ~u∗ = −∇∗ p∗ + ∇∗2~u∗ ∂t∗

(216) (217)

29

4.6 Str¨omung in por¨osen Medien

gewonnen werden. Es ist nun ersichtlich, dass f¨ ur Re  1, der Bedingung f¨ ur kriechende Str¨omungen, der Einfluss des konvektiven Beschleunigungsterms so klein ist, dass er vernachl¨assigt werden kann. " ( " #) #   ∂ ui ∂ ∂ u ∂ u ∂ ui ∂p ∂ ∂ u k i j ρ + uj + λ∗ η + = ρ ki − + ∂t ∂ xj ∂ xi ∂ xj ∂ xk ∂ xj ∂ xi ∂ xj | {z } | {z } =0

ρ

= 0, wenn inkompressibel

"

∂ ui ∂t

#

∂p ∂ = ρ ki − + |{z} ∂ xi ∂ xj =0

( " η

∂ ui ∂ uj + ∂ xi ∂ xj

#)

(218)

(219)

Aus der Gleichung ist ersichtlich, dass bei kriechenden Str¨omungen die K¨orperkr¨afte und die Druckkr¨afte im Gleichgewicht mit den Reibungskr¨aften stehen. F¨ ur inkompressible und station¨are Str¨omungen wird daraus:    ∂p ∂ ui ∂ ∂ uj ρ ki − + + (220) η = 0 ~ej ∂ xi ∂ xj ∂ xj ∂ xi

oder

∇ · (η ∇ ~u) − ∇ p + ρ ~k = 0

(221)

Wird die Massenkraft vernachl¨assigt, so folgt die Stokes’sche Gleichung: ∇ · (η ∇ ~u) = ∇ p

(222)

Bei konstanter Viskosit¨at kann f¨ ur Gleichung (222) geschrieben werden η ∇2 ~u − ∇ p = 0

(223)

Diese Gleichung wird in der Tribologie (Theorie der Gleitlager) verwendet.

4.6

Str¨ omung in por¨ osen Medien

Isotherme Str¨omungen durch Por¨ose Medien gehorchen den gleichen Grundgleichungen wie bisher besprochen: Navier-Stokes-Gleichungen, Haftbedingung, Kontinuit¨atsgleichung. Da die Geometrie por¨oser Medien aber meist unregelm¨aßig, komplex und schwer beschreibbar ist, eignet sich eine solche Str¨omung nicht f¨ ur die Berechnung mit o.g. Ans¨atzen. F¨ ur langsame Str¨omungen (Stokes-Str¨omung) beobachtete Darcy (1856) die Proportionalit¨at (Siehe Bear [11]) ∆p ∝ v, wobei v die Volumen-gemittelte Geschwindigkeit in por¨osen Medien ist. Verallgemeinert gilt (Bird, Stewart, Lightfood [4])

(224)

30

4 VEREINFACHTE FORMEN DER NAVIER-STOKES GLEICHUNGEN 1. Kontinuit¨at 

∂ρ + ∇ · (ρ ~v ) = 0 ∂t

2. Darcy ~v = −

K (∇p − ρ~g ) η

(225)

(226)

wobei  die gemessene Porosit¨at und K [m2 ] die empirisch ermittelte Permeabilit¨at ist. F¨ ur h¨ohere Geschwindigkeiten in por¨osen Medien wird die empirische Erweiterung der Darcy-Gleichung von Brinkmann (Bird, Stewart, Lightfood [4], Kap. 4) empfohlen: ∇p = −

η ~v + η∇2~v + ρ~g K

(227)

31

5 5.1

¨ Ahnlichkeitsparameter und Dimensionsanalyse Grenzschicht¨ ahnlichkeit

¨ Die bisher haupts¨achlich verwendeten Ahnlichkeitsparameter Reynolds- und Strouhalzahl wurden durch Normalisierung der Variablen in den Differentialgleichungen gewonnen. Im folgenden wenden wir die gleiche Vorgehensweise an, um die Analogie von Impuls-, W¨arme- und Stoff¨ ubertragung in den Grenzschichten zu zeigen. 1. Annahme: η, ρ = const Damit lauten die zutreffenden Differentialgleichungen: Impulsbilanz D ~u = − ∇ p + η ∇2 ~u (228) ρ Dt Stoffgesetz = Newton’sches Fluid: τij = − p δij + λ∗ ekk δij + 2η eij

(229)

Stokes’sche Hypothese: 2 λ∗ = − η 3

(230)

Energiegleichung ρ

∂ qi De ∂ ui = τij − Dt ∂ xj ∂ xi

(231)

Stoffgesetz = Fourier’sche W¨armeleitung: qi = −λ

∂T ∂xi

(232)

Die Differentialgleichungen f¨ ur die Hauptkomponente (x-Richtung) einer zweidimensionalen Grenzschicht lauten dann. Impuls:   ∂p ∂u ∂u ∂2 u =− (233) ρ u +v +η ∂x ∂y ∂x ∂ y2 Energie: ∂e ∂e ρu + ρv ∂x ∂y

 ∂v ∂u = −p + ∂x ∂y     ∂ ∂T ∂ ∂T + ηΦ + λ + λ ∂y ∂y ∂x ∂x 

(234)

32

¨ 5 AHNLICHKEITSPARAMETER UND DIMENSIONSANALYSE

mit der Dissipationsfunktion:   " #  2  2 2  2  ∂ u ∂u ∂v ∂v  ∂v 2 ∂u   ηΦ = η  +2 + + − +  (235) ∂x ∂x ∂y 3 ∂x ∂y   ∂y {z } | | {z } ∗

∗∗

∗ ∗∗

Viskose Reibungsbehaftete Dissipation durch Scherspannungen Viskose Dissipation durch Normalspannungen, wird bei inkompressibler Str¨omung zu Null dissipative W¨armeerzeugung durch Scherung: h = e + p v, ∂h ∂h =⇒ ρ u + ρv ∂x ∂y

mit v =

1 ρ

(236)

    ∂T ∂ ∂T ∂ λ + λ = ∂x ∂x ∂y ∂y ∂p ∂p + u +v + ηΦ ∂x ∂y

(237)

2. Annahme: ideales Gas oder inkompressibel 3. Annahme: konstante spezifische W¨arme d h = d e + p d v + v d p → cp d T = cv d T + p d v + v d p,

mit v =

Grenzschichtgleichung f¨ ur Impuls   ∂p ∂u ∂u ∂ ∂u = − ρ u + v + η ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y Grenzschichtgleichung f¨ ur Energie:       ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T ∂T = λ + λ + ηΦ ρ cp u +v ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y Grenzschichtgleichung f¨ ur Stofftransport (Spezies / Konzentration)     ∂ ρA ∂ ∂ ρA ∂ ∂ ρA ∂ ρA u DAB + DAB +v = ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y

1 (238) ρ

(239)

(240)

(241)

ρA : partielle Dichte oder cA : molare Konzentration Stoffgesetz: Das 1. Fick’sche Gesetz beschreibt die Ausbreitung einer Spezies A f¨ ur niedrige Konzentration von A 00

m ˙ A,i = −DAB

∂ρA ∂xi

(242)

33

5.1 Grenzschicht¨ahnlichkeit bzw. 00

n˙ A,i = −DAB

∂cA ∂xi

(243) 00

00

m ˙ A,i : Fl¨achenbezogener Massenstrom der Spezies A, n˙ A,i : Flussdichte an Molen der Spezies A Analogie der Differentialgleichungen Grenzschicht N¨ahrungen : u  v =⇒

∂u ∂u ∂v ∂v  ; ; ∂y ∂x ∂y ∂x

(244)

∂T ∂T  ∂y ∂x

(245)

analog zum Impuls: η ∂T ∂T λ ∂2T + u +v = 2 ∂x ∂y ρ cp ∂ y ρ cp



• konvektiver Transport der Temperatur: u ∂∂ Tx + v

∂T ∂y

• W¨armeleitung normal zur Oberfl¨ache: • Dissipation (Reibungsw¨arme): • Vereinfachung von Φ:



∂u ∂y

2

η ρ cp



∂u ∂y

2

(246)

λ ∂2T ρ cp ∂ y 2

∂u ∂y

2

Normalisieren der Bilanzen f¨ ur Impuls, Thermische Energie und Konzentration: ~u ∗ =

~u , U

T

∗

=

T − TN , TH − TN

ρA ∗ =

ρA − ρA,W ρA,∞ − ρA,W

(247)

Ziel der Normalisierung: Die dimensionslosen Gr¨oßen ~u∗ , T ∗ , ρ∗A haben maximal den Wert 1. Impuls: ∗ ∂ u∗ dp∗ ν ∂ 2u∗ ∗ ∂u u∗ + v = − + (248) ∂ x∗ ∂y∗ dx∗ U L ∂ y∗2 =⇒ Re − Zahl : Re = Thermische Energie:

uL ν

 2 ∗ ∂T ∗ λ ν U 2 ∂ u∗ ∂2T ∗ ∗ ∂T u +v = + ∂ x∗ ∂y∗ ρ cp U L ∂ y ∗ 2 c L2 ∂ y∗ {z } |p ∗

Φ∗ , inkompressibel

(249)

34

¨ 5 AHNLICHKEITSPARAMETER UND DIMENSIONSANALYSE ν λρ λ ν = = Re−1 P r−1 ρ cp U L ν U L ρ cp η

⇒ Prandtl-Zahl: cp η Pr = λ Konzentration:



  = 



ν    λ 

∗ DAB ∂ c∗A ∗ ∂ cA +v = − u ∗ ∗ ∂x ∂y UL DAB ν DAB 1 1 = = UL ν ν Re Sc

Sc =

(251)

ρ cp

∗

⇒ Schmidt-Zahl :

(250)

∂ 2 c∗A ∂ y∗2 1 Re

ν DAB

(252) (253) (254)

¨ Die Ahnlichkeit beschr¨ankt sich nicht nur auf Differentialgleichungen. Auch die Randbedingungen m¨ ussen ¨ahnlich sein. Randbedingungen: Impuls: τw cf Energie:

∂ u = η ∂ y y=0

: pDyn

(255)

τw 2 ∂ u∗ = ρ 2 = U ReL ∂ y ∗ y∗ =0 2

λf α = − L



 T∞ − Tw ∂ T ∗ T −T ∂ y∗ | w {z ∞ } =−1

α: W¨arme¨ ubertragungskoeffizient



(257) y ∗ =0

αL ∂ T ∗ = λf ∂ y ∗ y∗ =0

Nusselt-Zahl:

Nu =

(256)

αL λf

(258)

(259)

Grenzschichtgleichungen f¨ ur Impuls : u∗

∗ dp∗ 1 ∂ 2u∗ ∂ u∗ ∗ ∂u + v = − + ∂ x∗ ∂y∗ dx∗ Re ∂ y ∗2

(260)

35

5.2 Dimensionsanalyse Grenzschichtgleichungen f¨ ur thermische Energie : u∗

∗ ∂T ∗ 1 ∂2T ∗ ∗ ∂T + v = 0 + ∂ x∗ ∂y∗ ReL P r ∂ y ∗2

(261)

Grenzschichtgleichungen f¨ ur (geringe) Konzentrationen : u∗

∗ 1 ∂ 2 c ∗A ∂ c ∗A ∗ ∂ cA + v = 0 + ∂ x∗ ∂y∗ Re Sc ∂ y ∗2

(262)

Beispiele: 1. Analogie von Impuls- und W¨ armetransport In manchen F¨allen ist es praktikabel aus der Anwendung des Massertransport auf den W¨armetransport zu schließen. Bei einer Plattengrenzschicht wird angenommen, dass von der Außenstr¨omung kein Druckgradient aufgepr¨agt wird. =⇒

∂ 2u∗ ∂2T ∗ ∝ ∂ y ∗2 ∂ y ∗2

(263)

∂ 2 u∗ ∂ y ∗2

⇒ z.B. Wandschubspannung Es ist h¨aufig einfacher die Temperatur zu messen um auf Wandschubspannung zu schließen (Heißfilm). 2. Analogie von W¨ arme- und Stofftransport Problem : Messen des W¨arme¨ ubergangskoeffizienten an einer GasturbinenSchaufel Anwendung der Grenzschichtanalogie : Die Schaufel wird mit Naphtalin beschichtet und der Massentransport an der Oberfl¨ache ermittelt. Aus dem Massentransport kann auf W¨armetransport geschlossen werden.

5.2

Dimensionsanalyse

Grundidee: Unabh¨angigkeit der physikalischen Gesetze vom gew¨ahlten Einheitensystem. Es werden nur die Einheiten der betrachteten Gr¨oßen verwendet. Grundlage: Darstellung physikalischer Gr¨oßen durch das Produkt Zahl·Maßeinheit im Einheitensystem mit p Grundeinheiten (z.B. Mechanik [kg], [m], [s]→ p = 3), aus denen alle u ¨brigen Einheiten abgeleitet werden k¨onnen (z.B. Kraft [N]=[kg 2 m/s ]). Alle Einheiten lassen sich als Potenzprodukt der Grundeinheiten darstellen ([N] = [kg]1 [m]1 [s]−2 ).

¨ 5 AHNLICHKEITSPARAMETER UND DIMENSIONSANALYSE

36

Vorgehensweise:

1. Bestimmung der f¨ ur das betrachtete Problem maßgeblichen physikalischen Parameter durch Intuition (auch ohne Kenntnis der Differentialgleichung) 2. Ermittlung m¨oglicher dimensionsloser Parameter durch Potenzans¨atze Schema:

1. Gr¨oße QN , die in unbekannter Weise von N − 1 Gr¨oßen Q1 , . . . QN −1 abh¨angt QN = f (Q1 , Q2 , . . . , QN −1 ), (264) bzw. F (Q1 , Q2 , . . . , QN ) = 0,

(265)

sowie ein Maßsystem mit p Grundeinheiten. 2. Auswahl von p Prim¨argr¨oßen aus den Qi (prinzipiell beliebig, jedoch so, dass alle p Grundeinheiten vertreten sind). 3. Ansetzen der verbleibenden Gr¨oßen als Potenzprodukte der Prim¨argr¨oßen (z.B. Q1 , Q2 , Q3 f¨ ur p = 3) derart, dass die Einheit der Gr¨oße mit dem Potenzprodukt der Einheiten der Prim¨argr¨oßen u ¨bereinstimmt: Q4 = Qα1 4 · Qβ2 4 · Qγ34

(266)

Q5 = Qα1 5 · Qβ2 5 · Qγ35 .. .

(267)

QN = Qα1 N · Qβ2 N · Qγ3N

(268)

4. Ergebnis: N − p dimensionslose Gr¨oßen Π1 =

Q4 Qα1 4

·

Qβ2 4

·

Qγ34

,

...

ΠN −p =

QN Qα1 N

· Qβ2 N · Qγ3N

(269)

d.h. dimensionsloser Zusammenhang G(Π1 , . . . , ΠN −p ) = 0 als L¨osung des physikalischen Problems Das Π-Theorem von Buckingham:

(270)

5.2 Dimensionsanalyse

37

”Gegeben sind n Gr¨oßen Q1 , . . . , QN und eine Relation zwischen ihnen. Dann gibt es genau N − R dimensionslose Gr¨oßen, wobei R ≤ M ≤ N der Rang der Dimensionsmatrix ist. Die Beziehung f (Π1 , Π2 , . . . , ΠN −R ) l¨ost das gestellte Problem.”

¨ 6 LOSUNGEN DER BEWEGUNGSGLEICHUNGEN

38

6 6.1

L¨ osungen der Bewegungsgleichungen Hydrostatik

Der Trivialfall der Bewegungsgleichungen beschreibt ruhende Fluide. Navier-Stokes Gleichungen:      ∂ ∂ ui D ui ∂ ∂ uj ∗ ∂ uk −p + λ + η (271) ρ = ρ ki + + Dt ∂ xi ∂ xk ∂ xj ∂ xj ∂ xi ui ≡ 0

⇒ 0

=

ρ ki +

⇔ ρ ~k

=

∇p

(272)

∂ (−p) ∂ xi

(273) (274)

K¨orperkraft hat Potential: ~k = − ∇ ψ,

mit ψ = g · z, g = const.

(275)

Einsetzen des Potentials aus Gleichung (275) in die ”Bewegungsgleichung” (274) ergibt: ⇒ −ρ∇ψ = ∇p

⇒ − ρ ∇ (g z) = ∇ p ∇p ⇒ − ~g ∇ z = ρ Zp2 1 ⇒ − g (z2 − z1 ) = d p. ρ

(276) (277) (278) (279)

p1

6.1.1

Atmosph¨ are

Ein weiteres Beispiel f¨ ur ruhende Fluide ist die ruhende Atmosph¨are. Ein Grenzfall ist die isotherme Atmosph¨are: Isotherme Atmosph¨are Ideales Gas: p ρ= , mit T = const (280) RT Zp2 dp ⇒ −g(z2 − z1 ) = R T (281) p p1

z2 − z1 = −

RT p2 ln g p1

(282)

39

6.1 Hydrostatik

Nun gibt es keinen physikalischen Grund daf¨ ur, dass die Atmosph¨are isotherm sein sollte. Dagegen ist die homentrope Atmosph¨are ein sinnvoller, stabiler Grenzfall, n¨amlich dann wenn weder W¨armeleitung noch Reibung auftritt. Homentrope Atmosph¨are Entropie gleich: keine Reibung, keine W¨armeleitung =⇒ stabiler Grenzfall    κ p1 ρ1 aus p v κ = const. f. lsentrope (283) = p ρ cp κ = : Isentropenexponent cv 1 1 = =⇒ ρ ρ1

=⇒ z2 − z1

=

=

1 − g ρ1

Zp2 

p1

p1 p

 κ1



p1 p

 κ1

p 1  p1 κ − 1 +1 2 κ p κ dp = − g ρ1 p1 κ − 1

1 κ

h κ −1 κ −1 i p1 κ p2 κ − p1 κ g (p1 /RT1 ) κ −1

=⇒ z2 − z1 = −

RT1 g

h

κ −1

κ −1

p2 κ − p1 κ κ −1 κ

p1 "

RT1 κ = − g κ −1

=⇒ z2 − z1 = − dT dz

p2 p1

i

(286)

κ κ −1

 κ κ−1

(287) #

−1

(288)

(289)

R κ (T2 − T1 ) g κ −1

(290)



p2 p1

κ −1 g κ R 1, 4 − 1 9, 81 K 1K K = − = − 9, 77 × 10−3 ≈ − 1, 4 287 m m 100 m

= −

(285)

 κ κ−1

T2 Isentrop: = T1

−→

(284)

(291)

(292)

¨ 6 LOSUNGEN DER BEWEGUNGSGLEICHUNGEN

40 6.1.2

Auftrieb

F~ = − = − = −

ZZ

p ~n d S

ZSZ Z

Z VZ Z

(293)

∇ p d S und ∇p = ρ ~g

(294)

ρ ~g d V

(295)

V

ρ ist homogen: F~ = −ρ ~g V

Archimedes’sches Prinzip

(296)

Das Gleichgewicht an der freien Oberfl¨achen eines Tropfens ist ZZ 2 π r Cm ~ − (pa − pi )~n d S = 0.

(297)

6.1.3

Freie Oberfl¨ achen

S

C: Oberfl¨achenspannung = Kraft/L¨ange Annahme: Symmetrie des sph¨arischen Tropfens 2 π r C + (pa − pi ) π r2 = 0 (298) 2C (299) =⇒ 4 p = pi − pa = r Die Druckdifferenz im Tr¨opfchen ist umgekehrt proportional zum Radius. Daraus folgt, dass sehr kleine Tr¨opfchen eine sehr große Druckdifferenz haben (Nebel, Tropfenschlag in Dampfturbinen-Endstufe).

6.2

1. Stokes’sches Problem

Annahme: η, ρ, ν = const. Navier-Stokes-Gleichung: ∂ ~u ∇p + ~u · ∇~u = − + ν ∇2 ~u ∂t ρ

(300)

Es wird Stokes erstes Problem einer pl¨otzlich in Gang gesetzte Wand betrachtet. Die ebene Platte hat eine unendlich große Ausdehnung und das umgebende Fluid ist f¨ ur t = 0 in Ruhe ∂u ∂2u . (301) =⇒ = ν ∂t ∂y2

41

6.2 1. Stokes’sches Problem Randbedingung f¨ ur u(y, t) u (y = 0, t ≥ 0) = U

(302)

u (y → ∞, t ≥ 0) = 0

(303)

u (y, t < 0) = 0

(304)

Anfangsbedingung

Daraus folgt u ist proportional zu U und somit u/U = f (y, t, ν) Physikalisch haben große Zeit, hohe Z¨ahigkeit, geringer Wandabstand gleiche Wirkung. Daher Ansatz: 1 η = C ν mtn l (305) y ⇒Funktion dimensionslos in der Form η=C

νt y2

bzw. η =

⇒

∂2u ∂u =ν ∂t ∂ y2

Die Differentialgleichung

1 y √ 2 νt

(306)

(307)

wird mit dem Ansatz u/U = f (η) gel¨ost. F¨ ur die in Gleichung (307) vorkommenden Ableitungen gilt mit ∂f 00 ∂ 2 f . (308) f0 = ,f = ∂η ∂η 2 ⇒

3 ∂u 1 ∂f ∂η 1 y 1 y =U = U f 0 √ (− ) t− 2 = −U f 0 √ 3 ∂t ∂η ∂t 2 ν 2 4 ν t2

(309)

∂η 1 1 ∂u = U f0 = U f0 √ ∂y ∂y 2 νt

(310)

1 1 1 1 ∂2u 1 1 √ = U f 00 = U f 00 √ 2 ∂y 2 νt 2 νt 4 νt

(311)

Einsetzen der Ableitungen aus Gleichung (309) und (310) in Gleichung (307) f¨ uhrt auf 1 y 1 1 =⇒ −U f 0 √ 3 = ν U f 00 (312) 4 ν t2 4 νt y − f 0 √ = f 00 =⇒ −2η f 0 = f 00 (313) νt d f 00 (ln f 0 ) = −2η (314) −2η = 0 =⇒ f dη

¨ 6 LOSUNGEN DER BEWEGUNGSGLEICHUNGEN

42 weil

1 d (ln f 0 ) = f 00 0 dη f

(315)

=⇒ ln f 0 = − η 2 − ln A

(316)

Integration: ln f 0 + ln A = − η 2 | exp −η 2

0

Af = e

1 f = A

Zη

e−η ⇐⇒ f = A

(317)

2

0

(318)

e(−ξ ) dξ + B

(319)

2

0

Randbedingung 1 u u(y → 0, t > 0) = 0 = U =⇒ = f = f (0) = 1 =⇒ B = 1 | {z } U

(320)

η→0

Randbedingung 2

u(y → ∞, t ≥ 0) = 0 → η → ∞ √ Z∞ π (−ξ 2 ) dξ = − A = − e 2

(321) (322)

0

u = 1− U

2 √ π |

Zη 0

2

e(−ξ ) dξ

(323)

{z

(324)

}

= erf (η) F ehlerf unktion

t → 0 =⇒ η → ∞ =⇒

6.3

u U

2. Stokes’sches Problem

Navier-Stokes’sche Gleichungen: ∂ 2u ∂u =ν 2 ∂t ∂y

(325)

lineare Differentialgleichung; Zeitliche und o¨rtliche Ableitungen getrennt ⇒ Produktansatz erlaubt. Randbedingungen: u(y = 0, t) = U cos(ωt) u(y, t) < ∞

(326) (327)

43

6.3 2. Stokes’sches Problem L¨osung: periode, harmonische Bewegung in x-Richtung Ansatz:   u(y, t) = < w(y) exp(iωt) | {z } | {z }

(328)

Ortsfunktion Zeitfunktion

Einsetzen des Ansatzes in die Differentialgleichung (325) f¨ uhrt auf 

 d2 w < {iw(y) exp(iωt)} = < exp(iωt) d y2 √ ω 1+i d2 w √ − i w = 0; i = ± ⇒ d y2 ν 2

(329) (330)

L¨osen der der Differentialgleichung (330) mittels Exponentialfunktionen f¨ uhrt auf r r     ω ω y + B exp +(1 + i) y w(y) = A exp −(1 + i) 2ν 2ν B = 0, weil f¨ ur u < ∞ w < ∞ gelten muss r    ω u(y, t) = < A exp −(1 + i) y exp(+iωt) 2ν r      r ω ω y − y exp +i ωt − = < A exp 2ν 2ν r  r    ω ω = A exp − y cos ωt − y 2ν 2ν 

(331)

(332) (333) (334)

Aus der Randbedingung u(y = 0, t) = U cos(ωt)

(335)

A=U

(336)

r  r    u(y, t) ω ω = exp − y cos ωt − y U 2ν 2ν

(337)

folgt f¨ ur die Konstante und aus Gleichung (334) wird

In dieser Gleichung ist die Exponentialfunktion eine Amplitude und nur eine Funktion des Ortes y. Die Kosinusfunktion gibt die Phasenlage wieder und f¨ ur den Term gilt ≤ 1. F¨ ur 1 = 0, 018 < 2% (338) e4

¨ 6 LOSUNGEN DER BEWEGUNGSGLEICHUNGEN

44

Wenn u/U < 2%, dann wird die Oszillation als gering bezeichnet. Grenzfall:  r  ω ln exp(−4) = exp − δ 2ν r 2ν ⇒δ = 4 ω

(339) (340) (341)

Die L¨ange δ bezeichnet die Eindringtiefe der Oszillation der Wand in das Fluid. Beispiel: Medium: Luft, f=50 Hz (Netzfrequenz) r

2 × 1, 6 · 10−6 δ = 4 m 2 π · 50 √ = 4 10 · 10−8 m −3

= 1.2 · 10

6.4

m

(342) (343) (344)

Oszillierende Str¨ omung zwischen Platten

Randbedingungen: u(a, t) = u(−a, t) = 0 ∂p = Px cos ωt ∂x = < {Px exp(i ωt)}

(345) (346) (347)

Die Annahmen • voll entwickelte Kanalstr¨omung • inkompressibel f¨ uhren auf die (lineare) Differentialgleichung ∂p ∂2u ∂u =− +η 2 ∂t ∂x ∂y

(348)

u = const + u0 (y, t)

(349)

u(y, t) = < {w(y) exp (iωt)}

(350)

ρ Pulsierende Str¨omung: Ansatz:

45

6.4 Oszillierende Str¨omung zwischen Platten und damit auf die Differentialgleichung 1 < {iωw exp (iωt)} = − < {Px cos (ωt)} + ν < ρ



 d2 w exp (iωt) d y2

(351)

Die Differentialgleichung f¨ ur w ist

mit

d2 w iω Px − w= 2 dy y ρν r r     Px ω ω + A cosh (1 + i) y + B sinh (1 + i) y w(y) = i ρω 2ν 2ν cosh(x) =

ex + e−x , 2

sinh =

ex − e−x 2

(352)

(353)

(354)

Aus den Randbedingungen folgt r r     Px ω ω u(a, t) = 0 = i + A cosh (1 + i) a + B sinh (1 + i) a (355) ρω 2ν 2ν r r     Px ω ω u(−a, t) = 0 = i + A cosh (1 + i) a − B sinh (1 + i) a (356) ρω 2ν 2ν und es ergeben sich die Konstanten A und B zu A=

P  x p ω ; ρω cosh (1 + i) 2ν a

B=0

Eingesetzt in Gleichung (353) folgt "  p ω # cosh (1 + i) 2ν y Px  pω  w(y) = i 1− ρω cosh (1 + i) 2ν a

(357)

(358)

Das Geschwindigkeitsprofil ist

u(y, t) = < {w(y) exp (iωt)}

(359)

¨ 7 TURBULENTE STROMUNGEN

46

7 7.1

Turbulente Str¨ omungen Grundlagen

Die meisten technisch relevanten Str¨omungen sind turbulent. Im Gegensatz zu laminaren Str¨omungen bewegen sich die Fluidteilchen nicht mehr definiert auf Bahnen sondern schwanken regellos um eine ”mittlere” Bahn. Aufgrund der zeitlichen Schwankungen der Str¨omungsgeschwindigkeit ist diese dann nicht nur vom Ort, sondern auch von der Zeit t abh¨angig. Weiterhin sind die zeitlichen Schwankungen zuf¨allig. Zuf¨allige Vorg¨ange lassen sich in station¨are und instation¨are Prozesse unterteilen. Ein Vorgang heißt schwach station¨ar, wenn der Mittelwert und die Autokorrelationsfunktion unabh¨angig von t sind. Der Mittelwert wird aus unendlich vielen Daten gebildet. Station¨are Vorg¨ange heißen ergodisch, wenn der zeitliche Mittelwert und die Autokorrelationsfunktion f¨ ur unterschiedliche Datenreihen, die dasselbe physikalische Problem beschreiben, gleich sind. Eine einzige Datenreihe wird aber auch als station¨ar bezeichnet, wenn die u ¨ber kurze Zeitintervalle berechneten Gr¨oßen keine signifikanten Unterschiede aufweisen. Signi¨ fikant bedeutet, dass die Unterschiede gr¨oßer als erwartete statistische Anderungen sind. In diesem Fall ist der Vorgang dann instation¨ar. In Abbildung 1 ist in Form eines Histogramms eine typische turbulente Geschwindigkeitsverteilung an einem Ort dargestellt. F¨ ur station¨are Str¨omungen wird die Geschwindigkeit ui in turbulenten Str¨omungen mit Hilfe der mittleren Geschwindigkeit u¯i und der Schwankungsgr¨oße u0 i mit dem formalen Zusammenhang 1 u¯i (xj , t) = lim T →∞ T

t+ T2

Z

ui (xj , t) dt

(360)

t− T2

ui (xj , t) = u¯i (xj ) + u0 i (xj , t) Reynolds − Zerlegung

(361)

beschrieben. In der Literatur findet sich auch die Zerlegung ui (xj , t) = u¯i (xj ) + u0 i,RMS (xj , t),

(362)

wobei u0i,RMS (x, t) die mittlere Schwankungsgr¨oße (siehe Gleichung (365)) ist. In dem Histogramm in Abb. 1 sind die mittlere Geschwindigkeit u¯i und die Standardabweichung u0i,RM S eingetragen. Die Standardabweichung ist ein Maß f¨ ur die Breite der gemessenen Geschwindigkeitsverteilung und gibt die mittlere Abweichung vom Mittelwert an.

47

7.1 Grundlagen

c¯ Umh¨ ullende

Standardabweichung der Messwerte

Abb. 1: Darstellung einer Geschwindigkeitsverteilung in einem Histogramm

Die mittlere Geschwindigkeit wird aus den einzelnen pro Messung aufgenommenen Messwerten mit der Gleichung u¯i (xj ) =

N −1 X

um,i

(363)

m=0

mit der Anzahl der Messwerten N . Der Mittelwert nach Gl. (363) wird in der Statistik als 1. Moment bezeichnet. Die mittlere Schwankungsgr¨oße u0i,RMS (xj , t) — h¨aufig auch als RMS-Wert (Root Mean Square) oder Standardabweichung bezeichnet — wird mit der Varianz σ 2 2 σi,u

=

N −1 X

(um,i (xj , t) − u¯i (xj ))2

(364)

v uN −1 uX (cm,i (xj , t) − u¯i )2 σ2 = t

(365)

m=0

und der Gleichung u0i,RMS (xj , t) =

√

m=0

berechnet und stellt ein Maß f¨ ur die mittlere Schwankungsgeschwindigkeit der Str¨omung dar. Die Varianz heißt in der Statistik auch 2. Moment. Die Schwankungen turbulenter Str¨omungen beschreibt anschaulich der Turbulenzgrad T u (engl. turbulence intensity). Er stellt ein Maß f¨ ur die St¨arke der Turbulenz

¨ 7 TURBULENTE STROMUNGEN

48

in den betrachteten Richtungen dar. Turbulenz ist immer dreidimensional. Es sind jedoch auch eindimensionale und zweidimensionale Betrachtungen des Turbulenzgrades m¨oglich. Die 3-dimensionale Betrachtung des Turbulenzgrades in Str¨omungsrichtung ist q
1 02 02 02 u + u + u 1,RMS 2,RMS 3,RMS 3 p Tu = 100%. (366) 2 2 2 u¯1 + u¯2 + u¯3 Eine 2-dimensionale Betrachtung des Turbulenzgrades ist q
1 u0 21,RMS + u0 22,RMS 2 p 100% Tu = u¯21 + u¯22

(367)

Neben der Betrachtung in Str¨omungsrichtung ist eine Berechnung des Turbulenzgrades in Richtung der einzelnen Koordinaten m¨oglich. Eine 2-dimensionale Betrachtung des Turbulenzgrades in axialer Richtung ist q
1 u0 21,RMS + u0 22,RMS 2 100% (368) T u1 = u¯1 F¨ ur den Fall der isotropen Turbulenz sind die mittleren Schwankungsgr¨oßen in allen Koordinatenrichtungen gleich groß. In diesem Fall ist eine eindimensionale Betrachtung des Turbulenzgrades ausreichend. Die 1-dimensionale Betrachtung Tu =

u0 1,RMS 100% u¯

(369)

wird als Turbulenzintensit¨at bezeichnet. Es gibt noch zwei weitere statistische Gr¨oßen, die die Form des Histogramms beschreiben, n¨amlich Skewness (Schiefe) und Flatness (Exzess) . Die Skewness S berechnet sich mit N −1 1 X Si = 3 (um,i (xj , t) − u¯i (xj ))3 σ m=0

(370)

und wird auch als 3. Moment bezeichnet. Mit S wird die Symmetrie der Geschwindigkeitsverteilung beschrieben. F¨ ur S = 0 ist die Verteilung symmetrisch um u¯i (x) und mit wachsender Asymmetrie nimmt S zu. Liegt der Peak (engl. f¨ ur Spitze, d.h. das Maximum) der Verteilung auf der linken Seite von u¯i (x), so ist S positiv und liegt der Peak der Verteilung rechts von u¯i (x), so ist S negativ. Die Flatness oder Kurtosis F wird mit N −1 1 X (um,i (xj , t) − u¯i (xj ))4 Fi = 4 σ m=0

(371)

7.2 Reynolds-Averaged Navier-Stokes

49

berechnet und heißt auch 4. Moment. Mit F wird die Form des Peaks der Geschwindigkeitsverteilung beschrieben. F¨ ur große Werte von F ist der Peak schmal und somit besonders ausgepr¨agt, w¨ahrend f¨ ur kleine Werte von F der Peak nicht ausgepr¨agt ist. Um die Turbulenz einer Str¨omung zu beschreiben, werden im Allgemeinen die Turbulenzintensit¨at T u zur Beschreibung der St¨arke der Turbulenz und die integrale turbulente L¨angenskala lt zur Beschreibung der r¨aumlichen Gr¨oße der Turbulenz verwendet. Die integrale turbulente L¨angenskala (Gleichung (415)) wird h¨aufig auch “Mittelere Wirbelgr¨oße” genannt.

7.2

Reynolds-Averaged Navier-Stokes

Um die Navier-Stokes Gleichungen      D ui ∂ ∂ ∂ uj ∂ ui ∗ ∂ uk ρ = ρ ki + −p + λ + η + Dt ∂ xi ∂ xk ∂ xj ∂ xj ∂ xi

(372)

auf turbulenten Str¨omungen anzuwenden macht man gew¨ohnlich folgende Annahmen: 1. inkompressibele Turbulenz ρ = const. 2. im Mittel station¨are Str¨omung 3. Reynolds-Zerlegung der Str¨omungsgr¨oßen in Mittelwert und Schwankungsgr¨oße u = u¯ + u0 , p = p¯ + p0 (373) Rechenregeln zur Mittelwertbildung: f +g = f +g

(374)

f = f

(375)

f0 = 0 ∂f ∂f = ∂x ∂x f ·g = f ·g =f ·g

f · g = (f + f 0 ) · (g + g 0 ) = f · g + f · g 0 + f 0 · g + f 0 · g 0 = f · g + f · g 0 + f 0 · g +f 0 · g 0 | {z }

(376) (377) (378) (379) (380)

=0, wg. Gl.(376)

= f · g + f 0 · g0

(381)

¨ 7 TURBULENTE STROMUNGEN

50

Mittelung der Kontinuit¨atsgleichung (inkompressibel): ∂u ∂v ∂w + + =0 ∂x ∂y ∂z ∂(u + u0 ) ∂(v + v 0 ) ∂(w + w0 ) = + + ∂x ∂y ∂z ∂u0 ∂v ∂v 0 ∂w ∂w0 ∂u + + + + + = ∂x |{z} ∂x ∂y ∂y ∂z |{z} ∂z |{z}

∇·u =

=0

=

=0

(382) (383) (384)

=0

∂u ∂v ∂w + + =0 ∂x ∂y ∂z

(385)

Umformen der substantiellen Ableitung: ∂u ∂u Du = +u Dt ∂t ∂x ∂u ∂u +u = ∂t ∂x  ∂u + −u ∂x |

∂u ∂u +w ∂y ∂z ∂u ∂u ∂v ∂u ∂w +u +v +u +w +u ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z  ∂v ∂w + ∂y ∂z {z } +v

(386)

(387)

=0, wg. Konti. 2

=

∂u ∂u ∂u v ∂u w + + + ∂t ∂x ∂y ∂z

(388)

Mittelung der substantiellen Ableitung Du ∂u ∂u2 ∂u v ∂u w = + + + (389) Dt ∂t ∂x ∂y ∂z ∂(¯ u + u0 ) ∂(¯ u + u0 )2 ∂(¯ u + u0 ) (¯ v + v 0 ) ∂(¯ u + u0 ) (w¯ + w0 ) + + + (390) = ∂t ∂x ∂y ∂z 2 ∂ u¯ + u¯0 ∂ u¯2 ∂ u¯0 ∂ u¯ v¯ ∂u0 v 0 ∂ u¯ w¯ ∂u0 w0 = + + + + + + (391) ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z 2 ∂ u¯ ∂ u¯2 ∂ u¯ v¯ ∂ u¯ w¯ ∂ u¯0 ∂u0 v 0 ∂u0 w0 + + + + + + (392) = ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z 2 D u¯ ∂ u¯0 ∂u0 v 0 ∂u0 w0 = + + + (393) Dt ∂x ∂y ∂z mit ∂ u¯2 ∂ u¯ v¯ ∂ u¯ w¯ ∂ u¯ ∂¯ v ∂ u¯ ∂ w¯ ∂ u¯ + + = 2¯ u + u¯ + v¯ + u¯ + w¯ (394) ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z   ∂ u¯ ∂ u¯ v ∂ w¯ ∂ u¯ ∂ u¯ ∂¯ (395) + v¯ + w¯ + u¯ + + = u¯ ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z | {z } =0, wg. Konti

51

7.2 Reynolds-Averaged Navier-Stokes x-Komponente der Navier-Stokes-Gleichung (isotherm, inkompressibel) ρ

Du = − ∇p + η ∆u Dt

(396)

Mittelung der N.-S. Du D# t " 2 0 0 0 0 0 D u¯ ∂ u¯ ∂u v ∂u w + + + ρ Dt ∂x ∂y ∂z # " 2 ∂u0 v 0 ∂u0 w0 D u¯ ∂ u¯0 + + + ρ Dt ∂x ∂y ∂z " # 2 D u¯ ∂ u¯0 ∂u0 v 0 ∂u0 w0 ρ + + + Dt ∂x ∂y ∂z ρ

= − ∇p + η ∆u

(397)

= −∇(p + p 0 ) + η ∆(u + u0 )

(398)

= −∇(¯ p + p¯0 ) + η ∆(¯ u + |{z} u¯0 ) (399) |{z} =0

= −∇¯ p + η ∆¯ u

=0

(400)

Reynolds-Averaged-Navier-Stokes (RANS) Gleichungen:   2   0 0 ∂ u¯ ∂ 2 u¯ ∂ 2 u¯ D u¯ ∂ p¯ ∂u u ∂u0 v 0 ∂u0 w0 (401) ρ = − +η + + + + −ρ Dt ∂x ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 ∂x ∂y ∂z   2   0 0 D v¯ ∂ v¯ ∂ 2 v¯ ∂ 2 v¯ ∂ p¯ ∂v u ∂v 0 v 0 ∂v 0 w0 + + (402) ρ = − +η + + −ρ Dt ∂y ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 ∂x ∂y ∂z   2   0 0 D w¯ ∂ w¯ ∂ 2 w¯ ∂ 2 w¯ ∂ p¯ ∂w u ∂w0 v 0 ∂w0 w0 + + (403) ρ = − +η + + −ρ Dt ∂z ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 ∂x ∂y ∂z Werden die Komponenten des Spannungstensors τij = τ ij − ρ u0i u0j

= −p δij + 2η eij −

(404) ρ u0i

u0j

(inkompressibel)

(405)

z.B. ∂ u¯ τxx = −¯ p + 2η − ρ u0 u0 ∂x   ∂ u¯ ∂¯ v τxy = η − ρ u0 v 0 + ∂y ∂x in die Cauchy’schen Bewegungsgleichung   D ~u ∂τxx ∂τyx ∂τzx ρ ~ex = + + Dt ∂x ∂y ∂z   ∂τxy ∂τyy ∂τzy ~ey + + + ∂x ∂y ∂z   ∂τxz ∂τyz ∂τzz ~ez + + + ∂x ∂y ∂z

(406) (407)

(408)

¨ 7 TURBULENTE STROMUNGEN

52

eingesetzt, so ergibt dies ebenfalls die Gleichungen (401) bis (403).Deshalb bezeichnet man die Komponenten des Spannungstensors (404) als turbulente Spannungen, wobei die Gr¨oße −ρ u0i u0j als turbulente Scheinspannungen oder Reynoldsspannungen bezeichnet werden. Der Spannungstensor: (mit u¯x = ∂ u¯/∂x usw.)     τxx τyx τzx p¯ 0 0     τxy τyy τzy  = − 0 p¯ 0 0 0 p¯ τxz τyz τzz   2¯ ux u¯y + v¯x u¯z + w¯x   +η  v¯x + u¯y 2¯ vy v¯z + w¯y  w¯x + u¯z w¯y + v¯z 2w¯z   u0 u0 u0 v 0 u0 w 0   0 0 −ρ  v u v 0 v 0 v 0 w0  w 0 u0 w 0 v 0 w 0 w 0

(409)

Zus¨atzliche Spannungen, die nicht mit Hilfe von Gleichungen aufgel¨ost werden k¨onnen. Neben den vier Variablen u, v, w, p sind die sechs Reynoldsspannungen ebenfalls unbekannte Variablen. Es sind aber nur vier Gleichungen (3 Komponenten der Navier-Stokesschen Gleichungen und die Kontinuit¨atsgleichung) vorhanden. > Schließungsproblem des Gleichungssystems (Mehr Variablen als Gleichungen). Schließen des Gleichungssystems z.B. mit Hilfe halb-empirischer Turbulenzmodelle m¨oglich. F¨ ur den Term der Reynolds’schen Spannungen gilt: ∂ ρ ui uj /∂ xj gilt: 1. u0i u0i = (u0i ) 2 > 0 2. u0i u0j 6= 0

7.3

Turbulente Maße

Korrelation u0i (xk , t) u0j (xk + rk , t + τ ) Rij (xk , t, rk , τ ) = q u0i (xk , t) 2 u0j (xk + rk , t + τ ) 2

(410)

53

7.3 Turbulente Maße mit Rij ⇒

Korrelation zweier Ereignisse i und j

xk ⇒

Ort

rk ⇒

Entfernung des zweiten Ortes (Abstand)

t ⇒

zeitlicher Abstand

τ ⇒

Verzugszeit

Autokorrelation: Autokorrelation

Rij −→ 0

(

    

r −→ 0; oder τ −→ 0.

r −→ ∞; τ −→ ∞.

(411)

(412)

integrales L¨angenmaß ≈ Durchmesser eines Turbulenzballens: L(~x , t) =

Z∞

R11 (~x , t , r , 0) dr

(413)

Z∞

R11 (~x , t , 0 , τ ) d τ

(414)

0

integrales Zeitmaß: τ (~x , t) =

0

Experimentell wird die L¨angenskala lt mit einer zeitgleichen Messung an zwei verschieden Punkten bestimmt. Ein Messpunkt ist dabei ortsfest und der zweite Messpunkt wird relativ zum ersten in Str¨omungsrichtung bewegt. Anschließend werden mit einer Kreuzkorrelation die Messwerte an dem ortsfesten Messpunkt mit den Messwerten des beweglichen Messpunktes verglichen. Wird die Kreuzkorrelation gleich null, d.h. die Messwerte an den beiden Raumpunkten sind sich nicht mehr ¨ahnlich, so ist der Abstand zwischen den beiden Messpunkten die integrale turbulente L¨angenskala. Die integrale turbulente L¨angenskala kann aber auch mit einer Messung an einem Punkt bestimmt werden. Hierzu wird die Autokorrelationsfunktion R(τ ) mit den lokalen Schwankungsgr¨oßen gebildet, d.h. eine Messung zur Zeit t = 0 wird solange mit Messungen t > 0 verglichen, bis die Autokorrelationsfunktion gleich null ist und mit R(0) normiert. Aus der Autokorrelationsfunktion wird die turbulente Zeitskala τ bestimmt. Zur Bestimmung der integralen turbulenten L¨angenskala wird die turbulente Zeitskala nach

¨ 7 TURBULENTE STROMUNGEN

54

Gleichung (414) mit der mittleren Geschwindigkeit am Messpunkt multipliziert Z ∞ lt = u¯i τt = u¯i R(τ )d τ. (415) 0

Wirbelzerfall ρ (~u · ∇~u) = η ∇ 2~u (416) → 1 ∗2 − (417) ∇ u∗ ~u ∗ · ∇∗~u ∗ = Re Mit dem Wirbelzerfall nimmt die Abmessung des Wirbels ab −→ Re nimmt ab −→ Reibung wird dominanter −→ Dissipation der kleinen Wirbel Energiekaskade: große Wirbel→kleine Wirbel→kleinste Wirbel→ Gleichgewicht zwischen Energiezufuhr (kin.Energie) und Dissipation Kolmogorov’sche Gleichgewichtstheorie: Kolmogorov’s Hypothese lokaler Isotropie: Bei ausreichend hoher ReynoldsZahl sind die turbulenten Bewegungen der kleinen Wirbel ( l 1 ”Scherdickendes” Fluid, dilatant

• n < 1 ”Scherd¨ unnendes” Fluid, pseudoelastisch η= (b) Binghamfluid z.B. Farbe

 η 0

η 0

 n−1 γ˙ γ˙ 0

τxy = −η0

γ˙ ≤ γ˙ 0

(477)

γ˙ > γ˙ 0

du ± τ0 dy

(478)

(c) Reiner-Philipoff-Modell du = − dy niedrige Scherrate hohe Scherrate

du dy du dy

→0 →∞

1 η∞ +

η∞ −η0 1+(τxy /τS )2

!

τxy

(479)

η → η0 η → η∞

Zeitabh¨angiges Verhalten der Viskosit¨at: η f¨allt mit der Zeit thixotrop η steigt mit der Zeit rheopektisch 3. W¨armeleitung: qi = −λ

∂T ⇐⇒ ~q = −λ ∇ T ∂ xi

Fourier’sches Gesetz

(480)

61

9

Stromfadentheorie - kompressible Str¨ omung

9.1

Station¨ are Str¨ omung

9.1.1

Str¨ omung in Stromr¨ ohren

Stromr¨ohre: Innerhalb der Stromr¨ohre werden die Str¨omungsgr¨oßen als homogen betrachtet. Es findet keine Str¨omung u ¨ber Stromr¨ohrenw¨ande statt, Impulstransport und W¨armetransport sind m¨oglich.(Kein Stofftransport) Mittelung: Bei der Mittelung muss die aufzustellende Bilanz ber¨ ucksichtigt werden. Z ρ [u(A)]2 d A 6= u 2 ρ A (481) A

• u2 ; 6= u 2 Statt dessen Regel zur Bilanzgerechten Mittelung: VDI 4675 Blatt 1 (Entwurf) Kontinuit¨atsgleichung: ZL

∂ρ A d s − ρ u1 A1 + ρ u2 A2 + ∂t

O

ZZ

ρ ~u · ~n d A

= 0

(482)

A

|w

{z

}

A ist zeitliche Konstant

Energiegleichung: ZZZ h ZZZ ZZ ZZ i ui ui D + e ρdV = ui ki ρ d V + ui ti d A − q i ni d A Dt 2 V

V

A

A

(483)

Integration u ¨ber Stromr¨ohre: ZL

O

∂ ∂t



  2   2  u2 u1 u2 ρ + ρe Ads − + e1 ρ1 u1 A1 + + e2 ρ2 u2 A2 2 2 2 ZZ ZZ qi ni d A (484) ui ti d A − − p1 u1 A1 + p2 u2 A2 = Aw

Aw

˙ Q˙ + W p1 u2 2 p2 u1 2 + + e1 + = + e2 + 2 ρ ρ1 u1 A1 2 ρ | {z 1} | {z 2} h h {z 1 } {z 2 } | | htot ,1

htot ,2

(485)

¨ 9 STROMFADENTHEORIE - KOMPRESSIBLE STROMUNG

62

auch bei Entropie¨anderung durch W¨armetransport oder Reibung. ¨ Unterschall- und Uberschall-Diffusor bzw. D¨ use Annahme: • isentrope Str¨omung −→ a 2 = ( ∂∂ ρp )s • Kontinuit¨at ρ u A = const. 1 du 1 dA 1 dρ + + = 0 u dx A dx ρ dx Mit

dρ dp dρ = dx dpdx



und

dρ dp



= s

1 a2

(486)

(487)

ergeben sich zusammen mit der reibungsfreien, isentropen Impulsbilanz die Gleichungen 1 du 1 dA 1 dp + + 2 = 0 u dx A dx a ρ dx Kontinuit¨atsgleichung

∧

du dp =− dx dx Eulergleichung

ρu

(488)

und daraus

1 dA u du 1 du + = 2 u dx A dx a dx Gleichung (489) l¨asst sich mit der Definition der Mach-Zahl =⇒

M=

u a

(489)

(490)

zu Gleichung

1 dA 1 du (1 − M 2 ) = − (491) u dx A dx ¨ zusammenfassen. Hieraus erkl¨aren sich D¨ use und Diffusor bei Unterschall und Uberschall. Totalzustand und isentrope Machzahl F¨ ur ein ideales Gas gilt f¨ ur den isentropen Fall die Gleichung p = C ρκ Die Druckfunktion ist P =

Z

κ−1 1 dp κ = Cκ p κ ρ κ−1

(492)

(493)

63

9.1 Station¨are Str¨omung mit C aus einem beliebigen Referenzzustand ”1” C = p1 ρ−κ 1

(494)

Wird in Gleichung (493) C mit der Isentropenbeziehung (492) ersetzt, ergibt sich Z dp κ p = . (495) dρ κ−1 ρ Die Bernoulli-Gleichung ist das Integral der Euler-Gleichung und lautet Z dp u2 + = const 2 ρ

(496)

Wird der Referenzzustand (494) in die Druckfunktion (493) eingesetzt, ergibt sich κ p1 P (p) = κ−1 ρ



p p1

 (κ−1) κ

(497)

und mit dieser Druckfunktion ergibt sich die Bernoulli-Gleichung zu u2 κ p1 κ p1 u2 → 1 + = 2 + 2 κ − 1 ρ1 2 κ − 1 ρ1



p2 p1

 (κ−1) κ

(498)

Wird hingegen Gleichung (495) in die Bernoulli-Gleichung (496) eingesetzt, ergibt sich u2 κ p + = const. (499) 2 κ−1 ρ

und daraus

1 u22 1 u21 2 + a = + a2tot 2 κ−1 2 κ−1

(500)

1 1 u2 + a2 = a2tot 2 κ−1 κ−1

(501)

woraus f¨ ur den Ruhe- oder Totalzustand mit u2 = 0

wird.

p √ κ RTtot . a = κ RT und atot =    a 2 Ttot κ−1 2 tot = M +1 = T a 2 κ  κ    κ−1 κ−1 2 Ttot κ−1 ptot = =⇒ = M +1 p T 2

(502) (503) (504)

64

¨ 9 STROMFADENTHEORIE - KOMPRESSIBLE STROMUNG

Daraus kann die Gleichung f¨ ur die isentrope Mach-Zahl hergeleitet werden v " # u  κ−1 u 2 κ ptot =⇒ M = t −1 κ−1 p

(505)

Kritischer Zustand Die Gr¨oßen, die bei M = 1 angetroffen werden, werden als kritische Gr¨oßen bezeichnet und mit dem Symbol ∗ gekennzeichnet (z.B. p∗ , T ∗ ). F¨ ur Gase mit κ = 1, 4 (typisch f¨ ur zweiatomige Gase) ergibt sich das kritische Druckverh¨altnis zu p∗ = ptot



2 κ+1

κ  κ−1

= 0, 528

(506)

1 ptot = ≈ 2 ∗ p 0.528

(507)

Um die Beziehung zwischen Mach-Zahl und Fl¨ache zu gewinnen, definieren wir die Fl¨ache, in der M = 1 gilt mit m ˙ A∗ = ∗ ∗ (508) ρ a mit der Kontinuit¨atsgleichung m ˙ = ρ u A = ρ∗ u∗ A∗ = ρ∗ a∗ A∗

(509)

ρ∗ a∗ ρtot A = A∗ ρ u ρtot

(510)

und es ergibt sich

Zusammen mit der Energiegleichung (500) u2 +

2 2 κ + 1 ∗2 a2 = u∗2 + a∗2 = a κ−1 κ−1 κ−1

(511)

ergibt sich aus Gleichung (510) das kritische Fl¨achenverh¨altnis 

A A∗

2

1 = M2



2 κ+1



κ−1 2 1+ M 2

κ+1  κ−1

(512)

W¨armezufuhr u22 u2 + h2 = 1 + h1 + q 2 2 Annahme

(513)

65

9.1 Station¨are Str¨omung 1. reibungsfrei → Impulsbilanz: ρ2 u22 + p2 = ρ1 u21 + p1 = C1

(514)

2. konstanter Querschnitt → Kontinuit¨atsgleichung: ρ2 u2 = ρ1 u1 = C2

(515)

3. kalorisch ideales Gas:

κ p = h(p , ρ) κ−1 ρ p cp cp h = cp T , ρ = , κ = = RT cv cp − R h =

=⇒ u 2 d ρ = d p s = s0 + cv ln

p p0



ρ ρ0

(516) (517)

(518) −κ !

(519)

ρ = s (p , ρ)

(520)

h = h (p , ρ)

(521)

Aus diesen Zusammenh¨angen ergibt sich die Rayleigh-Kurve: M (h, s) Wendepunkt:   ∂p dp 2 2 2 2 ; M = 1 =⇒ u = a =⇒ a = u = dρ ∂ρ s

(522)

Reibung Energiegleichung:

u2 + h = C3 2 Kontinuit¨atsgleichung (Querschnitt konstant): ρ u = C2

Aus den Gleichungen (523) und (524) ergibt sich  2 1 C2 + h = C3 2 ρ

(523)

(524)

(525)

Die grafische Darstellung dieses Zusammenhangs wird als Fanno-Kurve h = h (p, ρ), s = s (p, ρ)

(526)

¨ 9 STROMFADENTHEORIE - KOMPRESSIBLE STROMUNG

66

bezeichnet. F¨ ur M = 1 gilt mit der Gibbs’schen Relation T ds = dh − und mit d s = 0 dh =

dp ρ

(527)

dp ρ

(528)

Es ergibt sich

9.1.2

      ∂h ∂h ∂p dh u2 u2 dρ = dh = = = = =⇒ ρ dρ ρ ∂ρ s ∂ p s ∂ρ s dp dh d p dh 2 = = =⇒ u = ρ = a2 dρ dh dρ d ρ s

(529) (530)

Gleichung des senkrechten Verdichtungsstoßes

Hugoniot-Relation Senkrechte Verdichtungsst¨oße werden als Diskontinuit¨at betrachtet. Die Gleichungen sind 1. Massenerhaltung : ρ 1 u1 = ρ 2 u2

(531)

ρ1 u21 + p1 = ρ2 u22 + p2

(532)

u2 u21 + h1 = 2 + h2 2 2

(533)

2. Impulserhaltung :

3. Energieerhaltung :

4. Zustandsgleichung: p = p (ρ, h) z.B. ideales Gas p = ρRT = ρ cp T

R κ−1 =ρh cp κ

(534)

Masse + Impuls p2 − p1 =

Masse + Energie

ρ1 u21

  ρ1 ⇐⇒ u21 = 1− ρ2

p2 − p1 ρ1

"  2 # u21 ρ1 h2 − h1 = 1− 2 ρ2

ρ1 1− ρ2

!

(535)

(536)

67

9.1 Station¨are Str¨omung Aus Gleichung (535) und Gleichung (536) ergibt sich " #" # ρ1 p2 − p1 ρ1 ! 1− h2 − h1 = 1+ ρ2 ρ2 ρ1 2ρ1 1 − ρ2

(537)

Wird die Gleichung umgeformt ergibt sich die allgemeine Hugoniot-Relation   1 1 1 + . (538) h2 − h1 = (p2 − p1 ) 2 ρ1 ρ2 ¨ Anderung des Drucks Ideales Gas ∧ Hugoniot-Relation mit h =   p2 p1 κ − = κ − 1 ρ2 ρ1   p 2 ρ2 κ − = κ − 1 p 1 ρ1

⇒

p2 p1

p κ ρ κ−1

  1 1 1 (p2 − p1 ) − 2 ρ1 ρ2    ρ2 1 p2 −1 +1 2 p1 ρ1 ! ρ2 ρ2 +1 2κ − (κ − 1) ρ1 ρ1 ! = ρ2 2κ − (κ − 1) +1 ρ1

ρ2 − (κ − 1) p2 ρ1 = p1 ρ2 (κ + 1) − (κ − 1) ρ1 Um das Dichteverh¨altnis zu berechnen, l¨asst sich Gleichung (541) umformen:       p2 ρ2 2κ ρ2 p 2 2κ p2 − = −1 + −1 + ρ1 κ−1 κ − 1 p1 ρ1 p 1 p1     ρ2 p2 2κ 2κ p2 p2 1− − −1 − = ρ1 p1 κ − 1 p1 κ − 1 p1 ! ! 2κ p2 −1 1− p1 κ−1 ρ2 = ρ1 p2 2κ 1− − p1 κ − 1 p2 κ + 1 1+ p1 κ − 1 = p2 κ + 1 + p1 κ − 1

(539) (540)

(541)

(κ + 1)

(542)

(543) (544)

(545)

(546)

68

¨ 9 STROMFADENTHEORIE - KOMPRESSIBLE STROMUNG

Grenzwertbetrachtung:

Luft: κ = 1, 4 Helium: κ = 1

lim

p2 →∞ p1

2 3

lim

p2 →∞ p1

ρ2 κ+1 = =6 ρ1 κ−1 κ+1 ρ2 = =8 ρ1 κ−1

(547) (548)

Aus dieser Grenzwertbetrachtung folgt, dass das Dichteverh¨altnis u ¨ber den Stoss begrenzt ist. Der Stoss ist nicht isentrop, denn im Stoss laufen irreversible Prozesse ab (Reibung). Daher erh¨oht sich die Entropie. Vergleich mit der Isentropen:

ρ2 = ρ1 lim

p2 →∞ p1



p2 p1

 κ1

(549)

ρ2 =∞ ρ1

(550)

Machzahl-Einfluss Impulserhaltung:

p2 − p1 =

ρ1 u21

⇔ u21 =

  ρ2 1− ρ1 p2 − p1

ρ1

ρ1 1− ρ2

!

r

p1 ρ1

(551) (552)

Zusammen mit der Gleichung

a1 =

p

κRT1 =

κ

(553)

69

9.1 Station¨are Str¨omung

und der Definition der Machzahl M = u/a ergibt sich f¨ ur das Druckverh¨altnis u ¨ber den Stoß p2 −1 p2 − p1 p1 2 ! ! M1 = = = p1 ρ1 ρ1 κ κ 1− ρ1 1 − ρ1 ρ2 ρ2   p2 κ + 1 +   p2 p1 κ − 1  2  − 1 = M1 κ  1 − ⇒  p1  p2 κ + 1  1+ p1 κ − 1   κ+1 κ+1 −Π− 1 + Π  p2  κ−1 κ − 1 → Π − 1 = M12 κ  Π=  p1   κ+1 1+Π κ−1 u21 a21

⇒ (Π − 1)



# "  κ + 1 κ−1 κ−1 +Π = M12 +Π− Π−1 κ+1 κ+1 κ−1 2κ 2 − M12 κ (Π − 1) =0 κ+1 κ+1
2κ M12 − 1 = 0 ⇒ (Π − 1)2 − (Π − 1) κ+1 p2 2κ Π= = 1+ (M12 − 1) p1 κ+1

(Π − 1)2 + (Π − 1)

(554)

(555)

(556)

(557) (558) (559) (560)

ur M1 > 1 Aus der Gleichung f¨ ur das Druckverh¨altnis (560) folgt, dass pp12 > 1 nur f¨ m¨oglich ist. F¨ ur das Dichteverh¨altnis erh¨alt man durch Gleichsetzen der Gleichungen (542) und (560) ρ2 κ − 1 −
2κ ρ1 κ + 1 2 1+ M1 − 1 = κ+1 κ − 1 ρ2 1− κ + 1 ρ1 ρ2 (κ + 1)M12 ⇒ = ρ1 2 + (κ − 1)M12

(561)

(562)

Ebenso l¨asst sich das Temperaturverh¨altnis u ¨ber den Stoß angeben T2 p 2 ρ1 [2κM12 − (κ − 1)][2 + (κ − 1)M12 ] . = = T1 ρ2 p 1 (κ + 1)2 M12

(563)

70

¨ 9 STROMFADENTHEORIE - KOMPRESSIBLE STROMUNG

Der Grund f¨ ur den Temperaturanstieg ist die Erhaltung der Energie u ¨ber den Stoß. Die Umwandlung von kinetischer Energie durch Reibung in W¨arme bewirkt den Temperaturanstieg. Aufgrund der Kontinuit¨at folgt f¨ ur die Machzahl nach dem Stoß M2 M22 = M12

ρ1 p 1 (κ + 1) + (κ − 1)(M12 − 1) = ρ2 p 2 κ + 1 + 2κ(M12 − 1)

(564)

F¨ ur eine Anstr¨ommachzahl M1 > 1 gilt immer f¨ ur die Abstr¨ommachzahl M2 < 1, ¨ ¨ also ein Ubergang von Uberschall zum Unterschall. Entropieerzeugung: "   # −κ p 2 ρ2 s2 − s1 = cv ln (565) p 1 ρ1 κ    p2  p  (κ − 1) + (κ + 1)  p1    2 (566) = cv ln    >0    p1  p2 (κ + 1) + (κ − 1) p1

Die Erh¨ohung des Druckverh¨altnisses f¨ uhrt zur Erh¨ohung der Reibung / Entropieerzeugung und somit zur Erh¨ohung des Temperaturverh¨altnisses und damit zu immer geringerer Verdichtung.

71

9.1 Station¨are Str¨omung 9.1.3

Schr¨ ager Verdichtungsstoß

Die Gleichungen f¨ ur den schr¨agen Verdichtungsstoß lassen sich in ebener Str¨omung aus denen des senkrechten Verdichtungsstoßes herleiten, wenn wir die Geschwindigkeit vor dem Stoß ~u1 in die Komponenten u1n normal und u1t tangential zur Stoßfront zerlegen. F¨ ur die Komponenten gilt dann mit Stoßwinkel θ u1n = u1 sin Θ

(567)

u1t = u1 cos Θ

(568)

F¨ ur einen Beobachter, der sich mit der Geschwindigkeit u1t l¨angs des Stoßes bewegt, ist die Anstr¨omung daher senkrecht zum Stoß. In seinem Bezugssystem sind daher die Beziehungen des senkrechten Verdichtungsstoßes g¨ ultig. ¨ Beim Ubergang u ¨ber den Stoß ¨andert sich nur die Normalkomponente der Geschwindigkeit im Relativsystem, nicht jedoch die Tangentialkomponente. Dies bedeutet, ¨ dass im Absolutsystem die Str¨omung beim Ubergang umgelenkt wird. F¨ ur die Machzahl vor dem Stoß gilt M1n = Die Stoßbeziehungen f¨ ur p2 p1 ρ2 ρ1 T2 T1

u1n u1 sin Θ = = sin Θ M1 . a a

den senkrechten Verdichtungsstoß lauten κ = 1+2 (M 2 − 1) κ+1 1 (κ + 1) M12 = 2 + (κ − 1) M12 [2κM12 − (κ − 1)][2 + (κ − 1)M12 ] = (κ + 1)2 M12

(569)

(570) (571) (572)

Die Gleichungen f¨ ur den schr¨agen Verdichtungsstoß erh¨alt man, wenn in den Gleichungen (570), (571) und (572) M1 durch M1n = M1 sin Θ ersetzt wird. κ p2 = 1+2 (M 2 sin2 Θ − 1) p1 κ+1 1 (κ + 1) M12 sin2 Θ ρ2 = ρ1 2 + (κ − 1) M12 sin2 Θ [2κM12 sin2 Θ − (κ − 1)][2 + (κ − 1)M12 sin2 Θ] T2 = T1 (κ + 1)2 M12 sin2 Θ

(573) (574) (575)

Die Machzahl hinter dem Stoß wird mit u2 gebildet, also M2 = u2 /a2 . Da f¨ ur u2n = u2 sin(Θ − δ) gilt, folgt M2n =

u2n u2 sin(Θ − δ) = = sin(Θ − δ) M2 . a2 a2

(576)

72

¨ 9 STROMFADENTHEORIE - KOMPRESSIBLE STROMUNG

Somit kann die Machzahl hinter dem Stoß M2 , auch wenn M2n kleiner eins ist, durchaus gr¨oßer als eins sein. Die Gleichung f¨ ur den schr¨agen Verdichtungsstoß kann aus der Beziehung κ + 1 + (κ − 1)(M12 − 1) M22 = (577) κ + 1 + 2κ(M12 − 1) f¨ ur den senkrechten Verdichtungsstoß hergeleitet werden, wenn wieder M1 durch M1n und M2 durch M2n ersetzt werden. Die resultierende Gleichung ist M22 sin2 (Θ − δ) =

κ + 1 + (κ − 1)(M12 sin2 Θ − 1) . κ + 1 + 2κ(M12 sin2 Θ − 1)

(578)

Zwischen Umlenkwinkel δ und Stoßwinkel Θ l¨asst sich unter Verwendung der Kontinuit¨atsgleichung folgender Zusammenhang herstellen tan δ =

2 cot Θ[M12 sin2 Θ − 1] . 2 + M12 [κ + 1 − 2 sin2 Θ]

(579)

Abb. 2: Zusammenhang zwischen Stoßwinkel und Umlenkwinkel (aus Spurk: Str¨omungslehre)

9.1 Station¨are Str¨omung

73

Dieser Zusammenhang ist in Abbildung 2 dargestellt. Die untere der beiden Trennlinien teilt die Bereiche, in denen die Machzahl nach dem schr¨agen Verdichtungsstoß M2 kleiner – oberhalb der Linie – bzw. gr¨oßer – unterhalb der Linie – als eins ist. Die obere Trennlinie verbindet die Punkte maximaler Umlenkung δmax bei gegebener Anstr¨ommachzahl M1 . Es wird nun zwischen starken und schwachen Verdichtungsst¨oßen unterschieden. Starker Verdichtungsstoß Ein Stoß wird als starker Verdichtungsstoß bezeichnet, wenn der Stoßwinkel Θ bei gegebener Machzahl M1 gr¨oßer als der zur maximalen Umlenkung δmax geh¨orige Stoßwinkel Θmax ist. Im Diagramm ist das der Bereich oberhalb der oberen Trennlinie. Hinter einem starken Stoß herrscht immer Unterschallgeschwindigkeit M2 < 1. Schwacher Verdichtungsstoß Beim schwachen Verdichtungsstoß ist der Stoßwinkel Θ kleiner als der zur maximalen Umlenkung δmax geh¨orige maximale Stoßwinkel Θmax , d.h. im Diagramm ist das der Bereich unterhalb der oberen Trennlinie. Die Geschwindigkeit hinter einem schwachen Stoß kann sowohl im Unterschall- als auch im ¨ Uberschallbereich liegen. Weiterhin ist zu erkennen, dass f¨ ur Umlenkwinkel kleiner δmax zwei L¨osungen f¨ ur den Stoßwinkel m¨oglich sind. Welche L¨osung sich einstellt, h¨angt von den den Randbedingungen weit hinter dem Stoß ab.

¨ 9 STROMFADENTHEORIE - KOMPRESSIBLE STROMUNG

74

9.2 9.2.1

Instation¨ are Str¨ omung Methode der Charakteristiken

Annahmen: • reibungsfrei • adiabat • konstanter Querschnitt Ausbreitung eines Stoßes in einem ruhendem Medium Massenbilanz: ρ 1 us = ρ 2 u2

(580)

Mit u1 = us − u01 , ergibt sich

u02

= = = =

(581)

  ρ1 = us 1 − . ρ2

(582)

ρ2 (κ + 1)M12 = ρ1 2 + (κ − 1)M12

(583)

u02 Hugoniot-Relation:

u2 = us − u02

  2 + (κ − 1)Ms2 us 1 − (κ + 1)Ms2   (κ + 1)Ms2 − 2 − (κ − 1)Ms2 us (κ + 1)Ms2 2Ms2 − 1 2 1 us = a1 Ms (1 − 2 ) 2 (κ + 1)Ms κ+1 Ms   2 1 a 1 Ms − κ+1 Ms

Annahme: reibungsfrei + adiabat → isentrop (außer im Stoß) Aus der allgemeinen Zustandsgleichung ρ = ρ(p, s) folgt mit D s/D t = 0   Dρ ∂ρ D p Dp = = a−2 Dt ∂p s D t Dt

(584) (585) (586) (587)

(588)

Bernoulli-Gleichung:   1dp d u2 ∂u = − + ∂t ds 2 ρds ∂u ∂u 1 ∂p ⇒ +u = − ∂t ∂x ρ ∂x

(589) (590)

75

9.2 Instation¨are Str¨omung Massenerhaltung: ∂u Dρ +ρ =0 Dt ∂x

(591)

Entropieerhaltung: Ds =0 Dt Massenerhaltung + Entropieerhaltung: ⇒

u ∂p ∂u 1 ∂p + +a =0 ρa ∂t ρa ∂x ∂x

(592)

(593)

Wird von dieser Gleichung die Bernoulligleichung (590) addiert bzw. abgezogen, folgt daraus   ∂u ∂u 1 ∂p ∂p + (u ± a) + + (u ± a) =0 (594) ∂t ∂x ρa ∂t ∂x Bahn des Beobachters: dx =u±a dt

(595)

d x = (u + a) d t

(596)

1 dp du =− . dt ρa d t

(597)

d x = (u − a) d t

(598)

du 1 dp =+ . dt ρa d t

(599)

Ds = 0 ⇒ ds = 0 Dt

(600)

d x = u d t,

(601)

Daraus ergibt sich l¨angs der Bahn

die Gleichung

F¨ ur die Bahn die Gleichung

Außerdem gilt

l¨angs weil

∂s ∂s Ds = +u =0 Dt ∂t ∂x gilt. Damit erfolgt eine Aufteilung der 3 Differentialgleichungen (Masse (591), Bernoulli (590), Entropie (592)) in 6 gew¨ohnliche Differentialgleichungen (596...601). Es

76

¨ 9 STROMFADENTHEORIE - KOMPRESSIBLE STROMUNG

sind nun Aussagen entlang der Linien dx = u±a dt dx = u dt

(602) (603)

m¨oglich. Entlang der Linie (603) ist die Entropie konstant. p = Cρκ →

dp = a2 = Cκρκ−1 dρ

(604)

Somit folgt letztendlich aus den Gleichungen (597) und (599) die Gleichung du ±

√ κ−1 d ρ 1 a 2 d p = d u ± d p = d p ± κC ρ 2 =0 ρa ρ κ−1 ρ

(605)

Durch Integration der erh¨alt man √

κ−1 2 2 ρ 2 =u+ a = const1 = 2r, κ−1 κ−1 √ κ−1 2 2 ρ 2 =u− a = const1 = −2s. u − κC κ−1 κ−1

u+

κC

(606) (607)

Die beiden Integrationskonstanten 2r und 2s werden als Riemann’sche Invarianten bezeichnet. Als Charakteristiken werden nun die Linien bezeichnet, entlang derer die einfachen Differentialgleichungen (597, 599) gel¨ost werden k¨onnen. 2 a(xA , 0) κ−1 2 = u(x0 , t0 ) + a(x0 , t0 ) κ | {z− 1 }

2r = u(xA , 0) +

(608) (609)

bei P (x0 ,t0 )

2 a(xB , 0) κ−1 2 = u(x0 , t0 ) − a(x0 , t0 ) κ−1

−2s = u(xB , 0) −

(610) (611)

Addition der beiden Gleichungen f¨ uhrt auf

2r − 2s = 2u(x0 , t0 ) → u(x0 , t0 ) = r − s

(612)

und Subtraktion auf 2r + 2s = 2

κ−1 2 a(x0 , t0 ) → a(x0 , t0 ) = (r + s) κ−1 2

(613)

77

9.2 Instation¨are Str¨omung 9.2.2

Kolben im Rohr

Randbedingungen: x=0

t≥0 t