Informatik I+II 001

Informatik I+II, Vorlesungen im WS’04/05, SS’05 Barbara Hammer 11. Januar 2006 Inhaltsverzeichnis 1 Was ist Informatik?...

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Informatik I+II, Vorlesungen im WS’04/05, SS’05 Barbara Hammer 11. Januar 2006

Inhaltsverzeichnis 1 Was ist Informatik? 1.1 Gebiete der Informatik 1.2 Algorithmen . . . . . . 1.3 Darstellung . . . . . . 1.4 Eine kurze Historie . .

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1 . 2 . 3 . 6 . 10

2 Erste Schritte in Java 10 2.1 Hello World! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Elementare Datenstrukturen und Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Elementare Kontrollstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 Eigenschaften von Algorithmen 22 3.1 Syntax und Semantik von Programmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2 Korrektheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3 Komplexität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4 Datenstrukturen 4.1 Boolesche Werte . . . 4.2 Ganze Zahlen . . . . . 4.3 Floating point . . . . . 4.4 Klassen und Methoden

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5 Algorithmen fur ¨ abstrakte Datentypen 5.1 Arrays . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Listen . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Bäume . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Graphen . . . . . . . . . . . . . . .

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6 Algorithmenentwurf 6.1 Divide and Conquer . . . . . . 6.2 Dynamische Programmierung 6.3 Greedy-Verfahren . . . . . . . 6.4 Backtracking . . . . . . . . . 6.5 Randomisierte Verfahren . . . 6.6 Nebenläufigkeit . . . . . . . . 6.7 Fehler . . . . . . . . . . . . .

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7 Programmierstile 149 7.1 Imperativ – deklarativ – objektorientiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 7.2 Ein paar Schlagworte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 7.3 Prolog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 8 Information 8.1 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Kodierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Kompression und Kryptographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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9 Informationsverarbeitung im Rechner 9.1 Prozesse . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Speicher . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Filesystem . . . . . . . . . . . . . 9.4 IO . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Kern . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Good bye! . . . . . . . . . . . . .

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10 Literatur

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1 Was ist Informatik? Informatik ist ein Kunstwort, das in den 60er Jahren für eine sich neu entwickelnde Disziplin geschaffen wurde: Informatik = Information + Automatik Es geht also um die automatische Verarbeitung von Information. Mit Hinblick auf den englischen Begriff Computer Science, also Computerwissenschaften, fügen wir hinzu: es geht um die automatische Verarbeitung von Information mithilfe von Rechnern. Diese Erläuterung ist noch ziemlich abstrakt. Informatik umfaßt in diesem Zusammenhang tatsächlich verschiedenste Bereiche. Anstelle einer Präzisierung geben wir einige Beispiele an, die unterschiedliche Aspekte der Informatik beleuchten: • Ein handelsüblicher Arbeitsplatzrechner basiert im Kern auf elektronischer Datenverarbeitung, d.h. auf der Festplatte oder im Arbeitsspeicher sind Informationen in sogenannten Bits, binären 0/1-Werten gespeichert. Die elektronischen Signale werden mithilfe elementarer Schaltungen, die auf den Computerchips angesiedelt sind und die elementaren Signale geeignet kombinieren, verarbeitet. Im Kern eines Computers steht also der Entwurf geeigneter elektronischer Schaltungen und Speicherbausteine, ein Bereich der Hardwaretechnik. • Ein u¨ blicher Nutzer eines Computers arbeitet nicht auf der im Zentrum des Computers stehenden elementaren Ebene, sondern in einer für ihn komfortableren Umgebung. Er spricht in der Regel nicht einzelne Bits an, sondern er speichert Informationen in Dateien (files), die in Verzeichnissen (directories) organisiert werden können. Abläufe im Rechner werden durch Prozesse und geeignete Prozessteuerung realisiert. Verantwortlich für die komfortable Nutzung des Computers ist das auf dem Computer installierte Betriebssystem, meist Linux, Windows oder Mac OS X. • Normalerweise stehen Rechner nicht einzeln auf dem Arbeitsplatz, sondern sie sind mit weiteren Rechnern vernetzt. Spezielle Dienste wie etwa die Vorhaltung der Heimatverzeichnisse oder die Speicherung von Rechnernamen sind häufig zentral auf einem dafür eingereichteten Rechner angesiedelt, der die anderen Computer im Netz bedient. Rechner können u¨ ber das Internet miteinander kommunizieren. Diese Aspekte reichen in den Bereich der verteilten Systeme und Netzwerke. • Im Zusammenhang mit dem Internet und seinen Diensten, die vielen durch e-mails oder Web-Browsing geläufig sind, stehen Fragestellungen wie etwa spezielle Internet-Programme, Darstellung von Informationen auf Web-Seiten, Web-Suche, aber auch Sicherheit der einzelnen Systeme gegen Missbrauch von aussen im Mittelpunkt. • Bei der Vernetzung und Verarbeitung von Informationen braucht man sich nicht auf den engen Bereich handelsüblicher PCs zu beschränken. Hinzu kommen z.B. Audio- und Videodaten in Multimediapplikationen, oder eine Vernetzung mit weiteren elektronischen Geräten wie einem Handy, MP3-Player, . . . Informatikkomponenten in Gebrauchsgeräten werden in den Bereichen eingebettete Systeme und ubiquita¨ re Programmierung betrachtet. • In einer Bibliothek sind die vorhandenen Bücher, Zeitschriften und sonstigen Werke (in einer Universitätsbibliothek z.B. Dissertationen oder Technical Reports) in einem Rechner gespeichert. Man kann innerhalb dieser Information nach Titel oder Autor suchen, neue Werke einfügen, aussortierte Werke löschen, ausgeliehene Bücher vermerken, . . . . Es geht hier um das strukturierte Vorhalten der Information, so daß Operationen wie die Suche nach

1 WAS IST INFORMATIK?

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verschiedenen Kriterien möglichst effizient möglich sind. In der Praxis wird für die Speicherung derartiger Information meist eine Datenbank eingesetzt. • Der Einsatz von Rechnern in unterschiedlichsten Bereichen mit unterschiedlichsten Nutzeranforderungen bedingt Forschungsarbeiten im Bereich der Mensch-Maschine Kommunikation, um den Umgang mit Rechnern möglichst intuitiv, einfach und natürlich zu machen. Fragestellungen sind dabei etwa die Möglichkeit, Rechner durch natürlichsprachige Eingaben zu steuern. • Die allermeisten klassischen Arbeiten auf Rechnern im Bereich der Informatik geschehen auf der Basis von Programmen in einer gegebenen Programmiersprache. In diesem Kurs werden wir die Programmiersprache Java kennenlernen. Im Programmierkurs, der in diesem Semester angeboten wird, haben Sie die Gelegenheit, die sehr wichtige Programmiersprache C zu lernen. • Das Gebiet des Compilerbaus beschäftigt sich mit den Techniken, aus den meist in Hochsprachen formulierten Programmen durch den Computer ausführbare Maschinenbefehle zu generieren. • Egal welche Programmiersprache benutzt wird, im Zentrum der Programme stehen Abläufe, die die auszuführenden Prozesse abstrakt formalisieren und die Durchführung der Einzelschritte regeln. Dieses ist das Gebiet der Algorithmik. • Wichtige Eigenschaften von Algorithmen, die einer genaueren Untersuchung bedürfen, sind deren Komplexität, d.h. deren Speicherplatzbedarf und Laufzeit. Interessant ist allgemeiner, welche Probleme effizient mit Algorithmen gelöst werden können, und welche Probleme machen oder sogar u¨ berhaupt nicht durch Rechner lösbar sind, die Bereiche der Komplexitätstheorie und Rekursionstheorie. • Zu einem gegebenen Programm sollte sichergestellt sein, daß es auch wirklich implementiert, was es soll. Methoden, dieses nachzuprüfen, offerieren Programmtests und präzise Verifikation der Algorithmen.

1.1 Gebiete der Informatik Klassischerweise unterteilt man die Informatik in vier verschiedene, teilweise u¨ berlappende Gebiete, die sich in die oben bereits angedeuteten (und weitere) Teilaspekte gliedern: • In der Technischen Informatik geht es darum, wie man Rechner und Automaten entwirft, vernetzt und steuert. Wesentliche Aspekte sind der Entwurf möglichst effizienter Schaltkreise und Rechnerchips, Speichermedien und -formate, Schnittstellen der einzelnen Rechnermodule und Peripherie, Vernetzung und Kommunikation, Effektoren und Robotik. Da die technischen und physikalischen Gegebenheiten der verwendeten Materialien berücksichtigt werden müssen, grenzt die technische Informatik an Elektrotechnik und Physik. • In der Praktischen Informatik geht es um die Bereitstellung von Methoden, die dem Menschen die Kommunikation mit dem Rechner vereinfachen und ein Arbeiten am Rechner, wie wir es kennen bzw. kennen lernen, ermöglichen. Typische Aspekte sind Compilerbau, Programmiersprachenentwicklung, Internetprotokolle, Betriebssysteme, Softwaretechnik, Datenbanken und Oberflächenprogrammierung.

1.2 Algorithmen

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• In der Theoretischen Informatik geht es um die Definition, Untersuchung, mathematische Fundierung und Entwicklung von Algorithmen und Konzepten für die Informatik. Typische Fragestellungen beschäftigen sich mit Berechenbarkeit, Komplexität, Verifikation, Kodierungstheorie, Algorithmentheorie. Die Theoretische Informatik baut in vielen Bereichen auf Techniken der Mathematik und Logik auf. • In der Angewandten Informatik geht es um die Anwendung der Informatik für konkrete Probleme wie etwa Medizin- und Bioinformatik, Geographische Informationssysteme, Multimediaapplikationen. Dieses grenzt natürlicherweise an das jeweilige Anwendungsgebiet an. Diese vier Bereiche sind nicht disjunkt; typischerweise startet man in der Praxis von einem konkreten Problem, etwa dem Auftrag einer Bank, eine Finanzsoftware zu entwickeln, und ist dann mit allen Aspekten der Informatik konfrontiert: Formalisierung der zu automatisierenden Abläufe, Planen, Bereitstellen und Vernetzen der Hardwarekomponenten, Einrichten einer Datenbank, Implementation der Algorithmen- und Abläufe, Verifikation, Test und Dokumentation. Es ist also essentiell, als Informatiker von allen Bereichen Kenntnisse zu besitzen. Nicht nur in der Industrie, auch an Universitäten beschäftigen sich Forscher mit Gebieten, die alle vier Bereiche berühren; etwa in der Robotik hat man es vom Design der Hardware, der Programmierung von Basisfunktionalitäten und Kommunikation der Einzelteile, bis hin zum Entwurf von komplexen Algorithmen etwa zum autonomen Zurechtfinden in neuen Umgebungen zu tun. Weitere Aspekte, die teilweise in anderen Disziplinen angesiedelt, aber wesentlich durch die Informatik geprägt sind und deren man sich als Informatiker bewußt sein sollte, sollten hier erwähnt werden: ein wichtiger Punkt ist die Auswirkung der Informatik auf die Gesellschaft. Sei es durch die Effekte auf Arbeitsplätze (Bildschirmarbeitsplätze, Rationalisierung, Fertigungsstraßen, Computer-unterstütztes Arbeiten), sei es durch die Prägung der Informationsgesellschaft durch das Internet, sei es durch den Einsatz von Computertechnik in Krisensituationen (Hochwassermanagement, Kryptosysteme für Geheimdienste). Diese Aspekte berühren unter anderem die Gesellschaftswissenschaften, Psychologie und Ethik.

1.2 Algorithmen Zentral für die Informatik ist der Begriff des Algorithmus. Das ist nichts anderes als eine Vorschrift für ein wie auch immer geartetes ausführendes Medium, z.B. einen Computer oder eine Maschine, eine Anzahl von Operationen durchzuführen, die einen gewünschten Prozeß automatisieren. Ein schönes Beispiel für einen Algorithmus ist ein einfaches Kochrezept: *************************************************************** Muffins: Verr¨ uhre 200 g Butter, 200 g Zucker, 4 Eier, 1 Pck Backpuler, 1 Pck Vanillezucker, 250 g Mehl, 3 Eßl. Rum und drei mittelgroße gesch¨ alte und zerteilte ¨ Apfel; f¨ ulle den Teig in Muffinf¨ ormchen; backe bei 175-200 Grad f¨ ur etwa 30 min; best¨ aube die Muffins mit etwas Puderzucker *************************************************************** Folgt man diesen umgangssprachlich formulierten Anweisungen, erhält man das erwünschte Ergebnis, fertige Muffins. Dieses Rezept formalisiert durch eine Folge von Anweisungen also den


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Prozeß des Muffin-Backen. Ein Algorithmus in der Informatik ist nichts anderes als eine u¨ blicherweise in einer vorgegebenen Programmiersprache formalisierte Folge von Anweisungen, die Prozesse der Informationsverarbeitung operationalisieren, z.B. das Sortieren gegebener Zahlen aufsteigend nach der Größe. Unser Rezept ist von einer sehr einfachen Form, denn es besteht lediglich aus einer Aneinanderreihung einfacher elementarer Anweisungen. Komplexere Algorithmen können weitere Strukturen enthalten. Wichtige Konstrukte sind bedingte Anweisungen, etwa: *************************************************************** Muffins: Verr¨ uhre 200 g Butter, 200 g Zucker, 4 Eier, 1 Pck Backpulver, 1 Pck Vanillezucker, 250 g Mehl, 3 Eßl. Rum; falls es Apfelzeit ist f¨ uge drei mittelgroße gesch¨ alte und zerteilte ¨ Apfel hinzu; sonst f¨ uge 100 g Schokoladenst¨ uckchen hinzu; f¨ ulle den Teig in Muffinf¨ ormchen; backe bei 175-200 Grad f¨ ur etwa 30 min; best¨ aube die Muffins mit etwas Puderzucker *************************************************************** Weitere Strukturen sind Schleifen, etwa: *************************************************************** Muffins: Verr¨ uhre 200 g Butter, 200 g Zucker, 4 Eier, 1 Pck Backpulver, 1 Pck Vanillezucker, 250 g Mehl, 3 Eßl. Rum; falls es Apfelzeit ist f¨ uge drei mittelgroße gesch¨ alte und zerteilte ¨ Apfel hinzu; sonst f¨ uge 100 g Schokoladenst¨ uckchen hinzu; f¨ ulle den Teig in Muffinf¨ ormchen; solange die Muffins noch nicht gar sind backe bei 175-200 Grad; best¨ aube die Muffins mit etwas Puderzucker *************************************************************** Algorithmen können Variablen enthalten, die von außen gesetzt werden, etwa: *************************************************************** Muffins: Frage nach, wieviele Personen da sind; Speichere die Antwort in der Variablen x; y=x/4; Verr¨ uhre y*200 g Butter, y*200 g Zucker, y*4 Eier, y Pck Backpulver, y Pck Vanillezucker, y*250 g Mehl, y*3 Eßl. Rum; falls es Apfelzeit ist f¨ uge y*drei mittelgroße gesch¨ alte und zerteilte ¨ Apfel hinzu; sonst f¨ uge y*100 g Schokoladenst¨ uckchen hinzu;

1.2 Algorithmen

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f¨ ulle den Teig in Muffinf¨ ormchen; solange die Muffins noch nicht gar sind backe bei 175-200 Grad; best¨ aube die Muffins mit etwas Puderzucker *************************************************************** Algorithmen können sich auf mehrere Teilprogramme aufteilen, um die Struktur klarer zu machen, etwa: *************************************************************** Muffins: Frage nach, wieviele Personen da sind; Speichere die Antwort in der Variablen x; y=x/4; Verr¨ uhre y*200 g Butter, y*200 g Zucker, y*4 Eier, y Pck Backpulver, y Pck Vanillezucker, y*250 g Mehl, y*3 Eßl. Rum; falls es Apfelzeit ist f¨ uge y*drei mittelgroße gesch¨ alte und zerteilte ¨ Apfel hinzu; sonst f¨ uge y*100 g Schokoladenst¨ uckchen hinzu; f¨ ulle den Teig in Muffinf¨ ormchen; abchentest liefert noch nicht fertig solange Teilprogramm St¨ backe bei 175-200 Grad; aube die Muffins mit etwas Puderzucker best¨ ************************************************************** abchentest: Teilprogramm St¨ abchen in das erste Muffin; stecke ein Holzst¨ falls Teig kleben bleibt noch nicht fertig; sonst fertig *************************************************************** Algorithmen können Zufallskomponenten enthalten: *************************************************************** abchentest: Teilprogramm St¨ allig heraus; suche ein Muffin zuf¨ abchen in das Muffin; stecke ein Holzst¨ falls Teig kleben bleibt noch nicht fertig; sonst fertig *************************************************************** Programme können durch Rekursion auf sich selbst Bezug nehmen: *************************************************************** abchentest: Teilprogramm St¨ allig heraus; suche ein Muffin zuf¨ abchen in das Muffin; stecke ein Holzst¨


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falls Teig kleben bleibt noch nicht fertig; sonst teste nochmal genauer durch Probieren des Muffin; falls schmeckt gut fertig; sonst rufe das Teilprogramm St¨ abchentest wieder auf *************************************************************** Dieses ist ein rekursiver Algorithmus: Das Teilprogramm Stäbchentest ruft sich selbst wieder auf. Rekursion ist ein sehr wichtiges Programmierprinzip der Informatik. Eine andere Sache ist häufig, die hier auch das erste Mal (und im Verlaufe Ihres Studiums wahrscheinlich noch shr sehr häufig) auftritt: Programmierfehler! Dieses ist tatsächlich ein erstes Beispiel eines fehlerhaften Algorithmus: es kann in obigem Algorithmus der Fall eintreten, daß die Anweisungen nicht durchgeführt werden können, nämlich dann, falls durch wiederholtes rekursives Aufrufen des Stäbchentests alle Muffins verköstigt wurden und keines mehr im Ofen steckt. Korrekt muß der Algorithmus diesen Fall gesondert berücksichtigen: *************************************************************** abchentest: Teilprogramm St¨ falls noch mindestens ein Muffin im Ofen allig heraus; suche ein Muffin zuf¨ stecke ein Holzst¨ abchen in das Muffin; falls Teig kleben bleibt noch nicht fertig; sonst teste nochmal genauer durch Probieren des Muffin; falls schmeckt gut fertig; sonst abchentest wieder auf; rufe das Teilprogramm St¨ sonst acker um die Ecke besorge Kuchen beim B¨ *************************************************************** Der Algorithmus ist jetzt schon ganz schön kompliziert geworden. Er ist in gewisser Hinsicht noch einfach, denn es handelt sich um eine sequentielle Folge von Anweisungen. Das heißt, ein einziger Koch ist hier am Werk, der die Anweisungen nacheinander ausführt. Alternative sind parallele Programme, in denen mehrere Anweisungen gleichzeitig durch verschiedene Prozessoren ausgeführt ¨ werden können. Beim Backen könnte etwa der Küchenjunge schonmal die Apfel schälen, während der Chefkoch den Teig zubereitet. Die Aktionen müssen in parallelen Programmen geeignet syn¨ chronisiert, d.h. abgestimmt werden. Etwa der Küchenjunge muß mit den Apfeln fertig sein, bevor der Chefkoch sie zum Teig fügen kann.

1.3 Darstellung Wir haben hier schon einige wichtige Komponenten von Algorithmen informell kennengelernt. Um Algorithmen in der Informatik präzise behandeln zu können, benötigt man geeignete Darstellungen.

1.3 Darstellung

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Allgorithmen beschreibt man häufig in konkreten Programmiersprachen wie C oder Java oder auch in Pseudocode, d.h. einer intuitiven Notation, die sich an u¨ bliche Strukturen von Programmiersprachen anlehnt, aber technische Details ignoriert. Eine Darstellung im Pseudocode ist meist selbsterklärend, wie etwa unser Muffin-Beispiel. Eine gebräuchliche Form, Algorithmen zusammen mit ihrer logischen Struktur deutlich zu machen, sind Flußdiagramme. Ein Flußdiagramm besteht aus den elementaren Bausteinen Zuweisungen (dargestellt in Kästchen), Eingabe/Ausgabe (dargestellt in Parallelogrammen) und Tests (dargestellt in Rauten), die entsprechend ihrer Abarbeitung in einem Algorithmus durch Pfeile miteinander verbunden sind. Zuweisungen sind durch einen Pfeil mit der nachfolgend bearbeiteten Anweisung verbunden. Tests weisen entsprechend dem Ergebnis (ja/nein) zwei Pfeile auf. Zusätzlich fügt man gesonderte Symbole zu, die den Start und das Ende des Programms (in Kreisen) explizit machen. Als ein Beispiel betrachten wir ein einfaches Programm in Pseudocode, die sogenannte Collatz-Funktion: lese x; y:=0; solange x6=1 wenn x gerade x:=x/2; sonst x:=x*3+1; y:=y+1; gebe y aus Die Notation x:= deutet an, daß der Variablen x das Ergebnis des auf der rechten Seite stehenden Ausdrucks zugewiesen wird. Diese Funktion manipuliert eine eingegebene natürliche Zahl x iterativ, bis der Wert 1 erhalten ist, und gibt dann die Anzahl der Manipulationen der Zahl aus. Sie ist in der Informatik vor allem deswegen berühmt, weil bis heute nicht bewiesen werden konnte, daß dieses Programm immer terminiert, d.h. durch die Operationen immer irgendwann der Wert 1 erreicht wird. Das Programm selbst ist nichtsdestotrotz leicht verständlich. Ein Flußdiagramm macht den Ablauf klar:

Start lese x y:=0

x=1

ja

nein ja

x gerade

x:=x/2

Ende nein x:=3x+1

y:=y+1

schreibe y


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Flußdiagramme werden häufig verwendet, komplexere Algorithmenstrukturen graphisch deutlich zu machen. Man sieht hier sehr schön, wenn Operationen von anderen unabhängig sind, weil sie in parallelen Pfaden des Diagramms angesiedelt sind. Anweisungen im selben Pfad beeinflussen sich potentiell. Man sieht zudem, in welchen Fällen das Programm in Zyklen, potentiell in eine Endlosschleife laufen kann, da diese Kreisen im Graphen entsprechen. Möchte man einen Algorithmus in Form eines Computerprogramms aufschreiben, muß zunächst präzisiert werden, wie ein gültiges Programm prinzipiell aussehen kann. Wir haben bisher Anweisungen in umgangssprachlichen Pseudocode gefaßt, den wir aufgrund unseres Sprachverständnis interpretieren konnten. Ein Computer hat kein solches Hintergrundwissen. Klassische Programmiersprachen bestehen aus nach präzisen Regeln gebildeten Folgen. Die Regeln bestimmen die gültige Syntax der Programmiersprache. Programme, die nicht diesen Regeln folgen, sind syntaktisch inkorrekt und werden vom Computer nicht verstanden. Es gibt verschiedene Möglichkeiten zu definieren, wie syntaktisch korrekte Programme prinzipiell aussehen. Wie für wirkliche Sprache auch, gibt man für Computersprachen deren Grammatik an. Eine sehr gebräuchliche Weise, eine solche spezielle Grammatik darzustellen, ist die sogenannte erweiterte Backus-Naur-Normalform (EBNF). 1 Bevor wir dazu kommen, wie so eine EBNF aussieht, steht hier noch einmal die Bemerkung: die nach spezifizierten Regeln gebildeten Programme bilden syntaktisch korrekte Programme, d.h. Programme, die der Computer versteht. Das bedeutet nicht, daß die Programme sinnvoll sind und das tun, was wir möchten, d.h. das impliziert nicht die semantische Korrektheit. Auch dieses ist so wie in der natürlichen Sprache. Etwa der Satz Das Muffin führt die Leiter.‘ ist ein syntaktisch korrekter Satz, der aber keine sinnvolle ’ Bedeutung hat. Eine Grammatik in EBNF-Form besteht aus folgenden vier Komponenten • Einer Menge T von sogenannten Terminalsymbolen, d.h. den Bestandteilen, aus denen die Sprache zusammengesetzt ist. In Programmen sind das z.B. Schlüsselwörter wie ‘main’ oder Symbole ‘{’. • Einer Menge von H Hilfssymbolen, die gebraucht werden, die Sprache effizient zu beschreiben, aber nicht selbst in der Sprache vorkommen. • Ein ausgesuchtes Startsymbol aus H. • Eine endliche Menge von Produktionsregeln der Form linke Seite ::= rechte Seite Die linke Seite solcher Ausdrücke besteht aus einem Hilfssymbol aus H. Die rechte Seite hat die Form Alternative1 | . . . |Alternativen mit einer beliebigen Anzahl n von Alternativen. Alternativen selbst bestehen aus einer Folge von Terminal- oder Hilfssymbolen und den Operatoren [·] und {·}, die Symbolfolgen umschließen können. Eine gegebene EBNF repräsentiert genau alle Wörter, die man erhält, wenn man angefangen vom Startsymbol eine endliche Anzahl von Produktionsregeln anwendet, bis man zu einem Wort, das nur aus Terminalen besteht, kommt. Das Anwenden einer Produktionsregeln linke Seite ::= 1

Man kann für alle sogenannten kontextfreien eine Grammatik in dieser Form finden. Es gibt Sprachen, die nicht kontextfrei sind, z.B. natürliche Sprache. Man kann also für natürliche Sprache keine solche EBNF-Grammatik finden, und es müssen z.B. für Deutsch komplizierte Regeln gelernt werden. Die allermeisten Programmiersprachen sind allerdings so einfach, daß eine EBNF-Grammatik ausreicht, sie (fast) vollständig zu charakterisieren.

1.3 Darstellung

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rechte Seite bedeutet dabei folgendes: in dem bisher gebildeten Wort darf das Hilfssymbol einer linken Seite durch eine beliebige Alternative der rechten Seite ersetzt werden. Die speziellen Ausdrücke [·] und {·} bedeuten dabei, daß man die in den Klammern [·] stehende Symbolfolge auch weglassen kann und die in den Klammern {·} stehende Symbolfolge beliebig oft (auch keinmal) wiederholen darf. Ein Beispiel macht dieses Vorgehen deutlich. Wir sind interessiert an ganzen Zahlen. Ganze Zahlen sind Ziffernfolgen der Form 42, 333, 4711, 2004, -89, . . . Es sind also beliebig lange Folgen von Zeichen 0-9 eventuell mit einem negativen Vorzeichen versehen. Hinzu kommt, daß an der ersten Stelle der Ziffern keine 0 stehen sollte, es sei denn es handelt sich um die Zahl 0 selbst. Die folgende EBNF-Grammatik beschreibt genau diese Zahlen. • Terminalsymbole sind {‘−’,‘0’,. . . ,‘9’}. • Hilfssymbole sind { Zahl, Zifferohnenull, Ziffer}. • Startsymbol ist Zahl. • Die Produktionsregeln sind Zahl ::= 0 | [−] Zifferohnenull {Ziffer} Ziffer ::= 0|1|2|3|4|5|6|7|8|9 Zifferohnenull ::= 1|2|3|4|5|6|7|8|9 Eine Zahl ist also die Null oder ein optionales Vorzeichen gefolgt von einer Ziffer ungleich Null gefolgt von beliebig vielen weiteren Ziffern. Die Zahl 4711 erhält man u¨ ber die folgenden Produktionen: Zahl

Zifferohnenull

4

Ziffer

7

Ziffer Ziffer

1

1

Die obige EBNF ist nicht die einzige, um ganze Zahlen zu beschreiben. Eine Alternative stellen etwa folgende Produktionsregeln dar: Zahl negativeZahl positiveZahl Ziffernfolge Zifferohnenull Ziffer

::= ::= ::= ::= ::= ::=

0 | negativeZahl | positiveZahl − positiveZahl Zifferohnenull | Zifferohnenull Ziffernfolge Ziffer | Ziffer Ziffernfolge 1|2|3|4|5|6|7|8|9 0|1|2|3|4|5|6|7|8|9

Es ist bei komplexeren Grammatiken nicht sofort offensichtlich, welche Wörter durch sie erzeugt werden. Die Theoretische Informatik beschäftigt sich mit Möglichkeiten, wie man effizient testen kann, ob ein Programm den Regeln einer gegebenen Grammatik gehorcht. Prinzipiell ist dieses für EBNF-Grammatiken machbar und für die meisten Programmiersprachen auch sehr effizient. Der Prozeß, der die Syntax eines gegebenen Programms prüft, nennt sich Parsing – gehorcht das Programm nicht den Regeln, wird ein parse error gemeldet.

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2 ERSTE SCHRITTE IN JAVA

1.4 Eine kurze Historie Nachdem wir informell den Begriff des Algorithmus geklärt haben und formale Sprachen für Algorithmen definieren können, soll ein kurzer Blick auf die geschichtliche Entwicklung stehen. Einer der ersten in der Menschheitsgeschichte vorgeschlagenen dokumentierten Algorithmen ist Euklids Verfahren, den größten gemeinsamen Teiler zweier natürlicher Zahlen zu finden (siebtes Buch der Elemente, ca. 300 vor Christus). Der Begriff des Algorithmus selbst ist abgeleitet von dem Namen Mohammed ibn Musa abu Djafar alChoresmi, der ca. 800 nach Christus eine Vorgehensweise für Testamentsvollstreckungen beschrieb, und dem griechischen Wort arithmo für Zahl. Wichtige Schritte zur heutigen Algorithmentheorie waren Algorithmen für den Umgang mit Zahlen im Rechenbuch von Adam Riese 1574, Logarithmentafeln zur effizienten Berechnung von Produkten (1614), das binäre Zahlensystem von Leipniz (1703), und die Church’sche These (1936), die die Intuition formuliert, daß alle sinnvollen Darstellungen eines Algorithmus im wesentlichen dasselbe auf unterschiedliche Arten ausdrücken, alle Programmiersprachen und Formalisierungen also im Wesentlichen a¨ quivalent sind. Rechenmaschinen, die vermöge von Algorithmen Prozesse automatisiert ausführen können, beinhalten als frühe Vertreter den ca. 6000 Jahre alten Abakus und den auf John Napier zurückgehenden Rechenschieber. Doch erst in der industriellen Revolution gab es mit dem 1801 von Josef Maria Jaquard eingeführten automatischen Webautomaten mit Lochkarten eine wirklich automatisierte Maschine. Die mechanische Differenzmaschine von Charles Babbage (1782-1871), die als erster Rechner bezeichnet werden kann, wurde aufgrund der komplizierten Mechanik nicht fertig gestellt. Im weiteren Verlauf verbesserte Hermann Hollerith die Lochkartentechnik, die damals vor allem bei der Volkszählung verwendet wurde. In der Telekommunikation entwickelte man Relais, elektromechanische Schalter, die auch in der Computertechnik verwendet wurden. Konrad Zuse baute 1936 den ersten Computer mit Relais, die Z1, gefolgt von einer Anzahl weiterer, verbesserter Rechner. Im zweiten Weltkrieg nahm die Bedeutung der Informationstheorie zu und schnelle Kodierung und Dekodierung von Nachrichten war ein entscheidender Aspekt der Kriegsführung. Die Amerikaner Eckert und Mauchly bauten den ersten Computer in Röhrenbauweise, doch erst John von Neumann und die Halbleitertechnik brachten einen durchschlagenden Erfolg in der Computertechnik. Die 1944/45 vorgeschlagene von Neumann Architektur, deren Ideen teilweise schon in Zuses Z1 enthalten waren, bildet die Grundlage für heutige Rechner. In Abbildung 1 ist das Prinzip eines von Neumann Rechners dargestellt. Ein Prozessor verarbeitet binäre im Arbeitsspeicher vorgehaltene Informationen. Mithilfe der Ein- und Ausgabesteuerung kann der Nutzer mit dem Rechner kommunizieren, es kann Information extern gelagert werden, oder ein weiterer Rechner angesprochen werden. Die interne Steuerung des Rechners basiert auf Maschinensprache, einer sehr kleinschrittigen Folge von von der CPU verstandenen Instruktionen. Um den reibunglosen und komfortablen Ablauf der Kommunikation mit dem Nutzer zu gewährleisten, ist ein Betriebssystem installiert, häufig Linux, Windows, oder Mac OS X. Dieses ermöglicht zusammen mit weiteren Programmen wie einem Internet Browser oder einer Java Installation, Dateien zu pflegen, u¨ ber das Internet zu kommunizieren oder eigene Programme zu schreiben.

2 Erste Schritte in Java Der Schwerpunkt dieser Vorlesung liegt in einer Einführung in elementare Algorithmen, Datenstrukturen und deren Formalisierung. Wir lernen kennen, wie man elementare Zuweisungen und Kontrollstrukturen im Rechner realisiert, mit unterschiedlichen Datentypen wie natürlichen Zahlen, Wahrheitswerten, reellen Zahlen oder sogenannten abstrakten Datentypen im Rechner umgeht, und was man beim Entwurf eines Algorithmus in Bezug auf deren Bedeutung beachten sollte. Wir

11 Computer Zentraleinheit (CPU) Prozessor

Arbeitsspeicher

Ein− und Ausgabesteuerung

Eingabe: Tastatur, Maus, Kamera, ...

Ausgabe: Bildschirm, Lautsprecher, Drucker, ...

direkter Benutzer

externer Speicher: Festplatte, CD/DVD, ...

Archivierung

Netz: ISDN, Modem, Netzkarte, ...

anderer Rechner

Abbildung 1: Prinzip eines von Neumann Rechners werden uns dabei der Programmiersprache Java bedienen. Wir schließen mit einem kurzen Blick auf andere Programmiersprachen und einer generellen Formalisierung von Information. Was ist Java? Java ist in Amerika das Synonym für Kaffee. Daneben bezeichnet es eine Programmiersprache, die Programmiersprache für Web-Anwendungen. Angefangen hat alles mit einer Arbeitsgruppe, die James Gosling, der Erfinder von Java, 1990 bei SUN gründete, weitere Mitglieder waren Patrick Naughton und Mike Sheridan. Es ging um eine einfache Programmiersprache für Computerchips, benannt Oak – die Eiche – nach einem Baum vor Goslings Büro. 1992 wurde hiermit ein Hardware-Gerät zum Bedienen eines Fernsehers entwickelt. Ein kleiner Wicht, Duke (jetzt Maskottchen von Java) führte den Benutzer durch ein virtuelles Haus und programmierte dort den Videorecorder. Ziel einer daraufhin gegründeten Firma, First Person, war, interaktives Fernsehen mit Oak zu programmieren. Das Projekt wurde ein finanzieller Verlust, da der Auftrag leider an Silicon Graphics statt SUN ging. Nachdem der erste WWW-Browser, Mosaic, 1993 fertiggestellt wurde, gab es allerdings eine neue Aufgabe für Oak als plattformunabhängige Grundlage für das Internet. 1995 wurde die Programmiersprache umgenannt, Oak gab es schon für eine andere Programmiersprache. Von einem T-Shirt Aufdruck ’It’s a jungle out there, so drink your Java’ kam der jetzige Name. Für die von Gosling verbesserte Sprache schrieb Noughton eine Anwendung in Form eines Browsers, WebRunner, aufgrund rechtlicher Gründe umbenannt in HotJava. Netscape lizensierte Java und u¨ bernahm dessen Vermarktung. 1997 wurde JDK1.1 (Java Development Kit) freigegeben und von den führenden Software-Firmen unterstützt. Java2 kam 1998 auf den Markt. Ab 1999 ist Java als OpenSource-Lizenz (d.h. inklusive Quellcode) verfügbar. Eine exzellente online-Referenz zu Java bietet das Java-Tutorial von SUN: http://java.sun.com/docs/books/tutorial/.


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2.1 Hello World! Starten wir mit unserem ersten Java-Programm. Gemäß einer alten Tradition der Informatik ist das einfach ein Programm, das ‘Hello world!’ ausgibt: /************************************************************ * * HelloWorld.java * *************************************************************/ class HelloWorld { public static void main(String[] args) { System.out.println("Hello, World!"); } } Um Hello World! zu erhalten, müssen wir drei Schritte tun: 1. Wir müssen das Programm in irgendeinem Text-Editor schreiben und unter dem Namen HelloWorld.java abspeichern. 2. Wir müssen das Programm in einen für den Rechner ausführbaren Code u¨ bersetzen, indem wir auf der Kommandozeile javac HelloWorld.java eintippen. Es entsteht so eine Datei mit Namen HelloWorld.class in sogenanntem Java Bytecode. 3. Wir müssen das Programm durch den Ausdruck java HelloWorld auf der Kommandozeile ausführen. Wenn alles geklappt hat, erscheint dann der Text Hello World! auf der Kommandozeile. Verantwortlich dafür ist der Java Interpreter, die auf dem System installierte Java Virtual Machine. Für den Schritt 1. benötigen Sie irgendeinen Text-Editor, etwa vim, emacs oder word-editor. Die Schritte 2. und 3. sind plattformspezifisch und gelten für die verbreiteten Systeme Linux, Windows und Mac OS X. Sie setzen voraus, daß Java in dem System installiert ist und die Pfade zu den Java-Sources korrekt gesetzt sind; sollte das nicht bereits der Fall sein, dann erhalten Sie das Java Software Development Kit für verschiedenste Plattformen etwa von Sun unter http://java.sun.com/j2se/1.5.0/index.jsp Schauen wir uns obiges Vorgehen noch einmal genauer an und klären einige der auftretenden Begriffe: Java Programme sind nichts weiteres als Text in einer speziellen, der Syntax von Java gehorchenden Form, der in einer oder mehreren Dateien abgespeichert ist. Die Syntax und ihre Bedeutung werden wir im weiteren näher kennenlernen. ¨ Java Bytecode wird aus Java Programmen durch Kompilieren oder Ubersetzen erzeugt. Die Pro¨ grammiersprache Java selbst ist eine intuitive und – mit etwas Ubung – gut lesbare Hochsprache, die es dem Benutzer einfach möglich machen soll, Programmabläufe zu automatisieren. Java Bytecode ist eine niedrigere Ausdrucksweise derselben Inhalte in maschinennaher, also für den Rechner leichter verständlicher Sprache. Im Gegensatz zu Maschinensprache ist Java Bytecode aber plattformunabha¨ ngig und kann von der Java Virtual Machine auf einer beliebigen Plattform ausgeführt werden.

2.1 Hello World!

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Die Java Virtual Machine bezeichnet einen Interpreter für Java Bytecode für die gegebene Plattform, d.h. sie führt Java Bytecode auf der konkreten Maschine aus. Java Bytecode wird häufig in Applikationen auf dem Rechner, auf dem auch die Java Virtual Machine läuft, bereitgestellt. Wir werden uns hier auf solche Applikationen beschränken. Java Bytecode kann alternativ in sogenannten applets innerhalb von Internetseiten zur Verfügung gestellt werden und durch die Java Virtual Machine des Rechners, dessen Benutzer die Internetseiten gerade mit einem Internet-Browser betrachtet, ausgeführt werden. Aufgrund dieser Möglichkeit ist Java eine sehr wichtige Sprache im Zusammenhang mit der Internet-Programmierung, da sie einen plattformunabhängigen Austausch von Programmen ermöglicht. JAva wird dabei während der Ausführung interpretiert, nicht vorab einmalig in maschinensprache compiliert, da dieses die Austauschbarkeit für verschiedene Plattformen verletzen würde. Das ist allerdings langsam, da eine Optimierung der Operationen vor deren Ausführung nicht durchgeführt wird. In vielen Viele Systeme Java-Umgebungen ist daher ein Just-in-Time Compiler integriert. Der Compiler u¨ bersetzt den Code während der Abarbeitung in Maschinensprache und optimiert dabei schon u¨ bersetzte (insbesondere mehrfach auftretende) Stellen. Zurück zum Java-Programm. Die ersten fünf Zeilen enthalten lediglich Kommentare, die den Programmnamen und Spezifika beschreiben, um die Lesbarkeit der Programme durch den Nutzer zu erhöhen. Häufig wird in einem Kommentar am Kopf der Dateien die Funktion des Programms kurz zusammengefaßt, und weitere Information zur Historie des Programms wird integriert. Kommentar innerhalb eines Programms erläutert die jeweiligen Programmschritte und Variablen. Für eine gute Programmierung und Wiederverwertbarkeit von Programmen ist eine sinnvolle Kommentierung essentiell! Die Kommentare beeinflussen aber nicht den Ablauf des Programms in Bezug auf den Rechner, er wird beim Parsing ignoriert. Kommentar ist • alles, was (auch u¨ ber mehrere Zeilen) zwischen den Symbolen /* und */ steht, • alles, was hinter dem Symbol \\ bis zum Zeilenende steht. Das Programm besteht dann aus fünf Zeilen. Generell ist es so, daß Abstände und Zeilenumbrüche zwischen den einzelnen Wörtern und Symbolen für die Ausführung des Programms irrelevant sind und lediglich der besseren Lesbarkeit dienen. Wir hätten das Programm auch z.B. auf nur eine Zeile schreiben können, ohne dessen Inhalt zu a¨ ndern. Groß- und Kleinschreibung wird vom Rechner allerdings unterschieden und muß beachtet werden! Das Java-Programm selbst besteht aus einer sogenannten Klasse, der Klasse HelloWorld. Java ist im Gegensatz zu etwa C eine sogenannte objektorientierte Programmiersprache. Die kleinsten Einheiten von Java sind Klassen, d.h. Deklarationen von Objekten, die eine Anzahl von Informationen in Feldern speichern können und Methoden zur Verfügung stellen, die die Informationen bearbeiten. Im Gegensatz dazu sind die kleinsten Einheiten von C als sogenannter imperativer Programmiersprache Prozeduren, die eine Anzahl von Variablen bearbeiten und deren Wert a¨ ndern. Den Unterschied imperativer, objektorientierter und weiterer Programmierstile werden wir später noch genauer kennenlernen. Eine Klasse ist angedeutet durch das Schlüsselwort class gefolgt von dem Namen für die Klasse. Danach stehen in geschweiften Klammern die Elemente der Klasse. Unsere Klasse besitzt nur ein Element, die Methode main. Dieser Name referiert auf eine spezielle Methode, die durch den Java-Interpreter automatisch ausgeführt wird. Wird durch den Aufruf java Klassenname ein Programm ausgeführt, sucht der Java-Interpreter nach der main-Methode und führt diese aus. Die main-Methode ist immer o¨ ffentlich (public) und inerhalb des Programms nicht mehr veränderbar (static, dieses wird später noch näher erläutert). Vor und hinter dem Methodennamen stehen in Java Typbezeichner: vor dem Methodennamen der Typ eines Wertes, den die


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Methode zurückgibt. In unserem Fall ist das void, das heißt nichts. In runden Klammern stehen die Argumente, die die Methode erwartet. Bei main hat dieses immer die Form String[] args und erlaubt, der Methode eine Menge von Zeichenketten mitzugeben. Wir dürften also das Programm auch in der Form java HelloWorld los jetzt aufrufen. Da die Argumente nicht weiter verwendet werden, hat dieses keine Auswirkungen auf das Programm. Wir nehmen diesen Kopf‘ der Methode für unsere ersten Programme erstmal als gegeben hin. Die Methode ’ main führt den Befehl System.out.println("Hello, World!"); aus, der den String Hello, World! gefolgt von einem Zeilenumbruch auf der Kommandozeile ausgibt.

2.2 Elementare Datenstrukturen und Operationen An dieser Stelle soll zunächst ein Schnelldurchgang durch Kontrollstrukturen und Datentypen von Java stehen, der den Aspekt der Objektorientierung weitgehend außer Acht läßt, sondern auf die Umsetzung von Algorithmen fokussiert. Wir werden uns zunächst auf nur eine Klasse beschränken. Wir werden dabei nicht alle in Java möglichen Konstrukte einführen, sondern uns auf die wichtigsten beschränken. Es gibt sehr viele nützliche Alternativen, die z.B. eine kürzere Schreibweise erlauben. Diese finden Sie z.B. in der Java-Dokumentation von Sun. Starten wir mit Variablen, die die Bausteine bilden, um Information zu speichern und in Programmen zu manipulieren. Eine Variable ist zunächst ein Bezeicher, etwa ein Buchstabe x oder ein Wort sch¨ onevariable. In Java bereits belegte Schlüsselwörter wie etwa main dürfen dabei nicht als Variablenbezeichner verwendet werden. In Java ist es möglich, auch ‘ungewöhnliche’ Zeichen, etwa chinesische Schriftzeichen, als Variablenbezeichner zu verwenden. Variablen können einen Wert speichern. Java ist eine sogenannte typisierte Sprache, d.h. Variablen besitzen einen bestimmten Typ und können nur Werte dieses Typs annehmen. Es gibt zwei verschiedene Arten von Typen • einfache (primitive) Typen und • Referenztypen Referenztypen behandeln wir erst später im Abschnitt abstrakte Datentypen. Sie sind extrem wichtig, um objektorientierte Programmierung zu realisieren. Die einfachen Typen in Java sind • boolean: die Werte true und false • char: Charakter, d.h. einzelne Zeichen. In Java sind das sogenannte 16-Bit Unicode Zeichen, die nicht nur alle Zeichen einer deutschen oder amerikanischen Tastatur umfassen, sondern z.B. auch griechische oder chinesische Zeichen. 2 • Verschiedene Typen, um mit ganzen Zahlen umzugehen. In einem Rechner können nicht beliebig große Zahlen dargestellt werden. Zahlen werden in Dualdarstellung repräsentiert. Wir werden später noch die sogenannte polyadische Darstellung präzise einführen. Die Typen unterscheiden sich hinsichtlich des Bereichs, der abgedeckt wird; dieser ist in der dualen Darstellung durch Zweierpotenzen beschränkt. – byte umfaßt die mit 8 Bit darstellbaren Zahlen −27 bis 27 − 1. – short umfaßt die mit 16 Bit darstellbaren Zahlen −215 bis 215 − 1. – int: Integer ist der gebräuchlichste Typ, wenn es um ganze Zahlen geht. Er umfaßt alle mit 32-Bit darstellbaren Zahlen, d.h. die ganzen Zahlen zwischen −2 31 und 231 −1. 2

Sie müssen nur eine passende Tastatur zum Eintippen finden . . .

2.2 Elementare Datenstrukturen und Operationen

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– long beinhaltet die Zahlen von 2−63 bis 263 − 1. • Einige Typen, um mit reellen Zahlen umzugehen. Auch diese können nicht beliebig groß werden und nicht mit beliebiger Genauigkeit betreffend der Nachkommastellen dargestellt werden. Auch die genaue Darstellung reller Zahlen werden wir später noch behandeln. – float: alle mit 32 Bit darstellbaren Zahlen in IEEE 754 Gleitkommadarstellung. – double: die gebräuchlichste Variante, alle mit 64 Bit darstellbaren Zahlen in IEEE 754 Gleitkommadarstellung. Was das genau heißt, werden wir im Abschnitt u¨ ber reelle Zahlen genauer kennen lernen. Zudem benötigen wir hier auch einen Referenztypen, ohne näher auf die Besonderheiten von Referenztypen einzugehen: • String: eine Zeichenfolge endlicher Länge. Wie gebraucht man Variablen? Vor dem ersten Gebrauch innerhalb einer Klassenmethode müssen Variablen deklariert werden. Eine Variablendeklaration hat die Form Variablentyp Variablenbezeichner; oder, wenn man mehrere Variablen vom gleichen Typ deklariert, auch Variablentyp Variablenbezeichner1 , Variablenbezeicher2 , . . . , Variablenbezeichnern ; Ein Beispiel: int x,y,z; int a; char einzeichen; boolean Wahrheitswert; String ganzeswort; Wenn die Variablen deklariert sind, möchte man ihnen Werte zuweisen. Geschieht das nicht, ist in der Regel der Wert der Variablen undefiniert. Variablenzuweisungen haben die Form Variablenbezeichner = rechte Seite; Ein Beispiel: a=42; einzeichen=’B’; Wahrheitswert=true; ganzeswort="huhu"; z=2; In dieser Notation haben wir den Variablen Konstanten (Terminale) zugewiesen. Das sind zum Beispiel die Begriffe true und false für Boolean, evtl. mit Vorzeichen versehene Ziffernfolgen für ganze Zahlen, in Hochkommata eingeschlossene Buchstaben für Charakter oder in Doppelhochkommata eingeschlossene Buchstabenfolgen für Strings. Die rechte Seite kann allgemeiner ein Ausdruck sein, der einen Wert desselben Typs wie die Variable liefert. Etwa Variablen, die selbst schon einen Wert besitzen: b=a; c=a;


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oder aus einfachen Ausdrücken mithilfe von Operatoren gebildete komplexere Ausdrücke, wobei die Werte aller auf einer rechten Seite benutzten Variablen definiert sein müssen. Wir listen kurz die gebräuchlichsten Operatoren auf: boolean: Stelligkeit einstellig zweistellig zweistellig

Operator ! && ||

Bedeutung Negation logisches und logisches oder

String: Stelligkeit Operator Bedeutung zweistellig + Konkatenation ganze Zahlen: Stelligkeit einstellig zweistellig zweistellig zweistellig zweistellig zweistellig

Operator + * / %

Bedeutung das Negative Addition Subtraktion Multiplikation ganzzahlige Division ohne Nachkommastellen modulo, d.h. Rest bei ganzzahliger Division

reelle Zahlen: Stelligkeit einstellig zweistellig zweistellig zweistellig zweistellig

Operator Bedeutung das Negative + Addition Subtraktion * Multiplikation / Division

Dabei haben wir etwas geschummelt: && berechnet genauer das sogenannte bedingte logische und, das, sofern der linke Term false ergibt, die Auswertung bereits abbricht und false zurückliefert. || ist das bedingte logische oder, daß im Fall von true für den linken Operatoren bereits true ergibt, ohne den rechten Operator noch zu testen. Die zweistelligen Operatoren werden infix geschrieben, etwa 2.0+42.99 Um die Zugehörigkeiten zu definieren, kann man Klammerungen verwenden: (2.0+42.99)*(42.99+4711) Verwendet man keine Klammern, dann sind die Prioritäten in der Ausführung nach u¨ blichen Konventionen festgelegt, es gilt etwa Punkt- vor Strichrechnung: 2.0+42.99*42.99+4711 = 2.0+(42.99*42.99)+4711 Im Zweifel sollte man die Prioritäten nachschauen oder Klammern setzen. Diese Operationen ermöglichen, Variablen den Werte komplexerer Ausdrücke zuzuweisen, etwa boolean a, b=true, c; c = !b; a = b || (b && !c); Hierbei haben wir für b die Konvention verwendet, daß eine Wertzuweisung auch direkt bei der Deklaration der Variablen stehen kann. Zusätzlich zu diesen (und weiteren) Operatoren gibt es eine Anzahl zweistelliger Vergleichsoperatoren, die zu zwei Variablen einen booleschen Wert, das Ergebnis des Vergleichs, liefern.

2.2 Elementare Datenstrukturen und Operationen Operator == != < >=

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Bedeutung gleich ungleich kleiner kleiner oder gleich größer größer oder gleich

Dieses ermöglicht Zuweisungen der Form boolean ergebnis = (42 == 2*21); welches ergebnis den Wert true zuweist. Einige abkürzende Schreibweisen für Zuweisungen, die es auch in C gibt, sind sehr gebräuchlich in Java, etwa i++; statt i=i+1;, i+=42; statt i=i+42; und weitere. Variablen verschiedenen Typs haben zunächst nichts miteinander zu tun. Da es allerdings häufig vorkommt, daß man Variablen verwendeten Typs miteinander verknüpfen möchte, ist die Konvertierung von Typen in Java durch sogenannte Casts der Form (Typ) Variablenbezeichner in vielen Fällen möglich. Etwa int a = (int)0.42; liefert eine Integervariable a mit dem Wert 0, dem Integeranteil der rellen Zahl 0.42. Casting ist nur für sinnvolle Typumwandlungen möglich, nicht etwa zwischen rellen Zahlen und boolean, wohl aber zwischen ganzen und reellen Zahlen. Einige Typumwandlungen sind so häufig, daß sie sogar implizit geschehen: ruft man einen Operator mit einer ganzen und einer reellen Zahl auf, wird die ganze Zahl erst in eine reelle Zahl umgewandelt, z.B. 3 * 42.42 liefert 127.26. Generell geschieht das so, daß keine Information verloren geht, d.h. der Typ, der den kleineren Bereich abdeckt, wird zum Typen mit größerem Bereich. 3 Auf eine häufige implizite Typumwandlung soll hier explizit hingewiesen werden: die Konkatenation von Strings liefert einen String zurück, etwa zeit = 10; satz = "die Uhr schl¨ agt "; system.out.printeln(satz+zeit); agt 10. liefert den Satz die Uhr schl¨ Hier kommen wir auch schon zum letzten Aspekt, der uns bei Variablen für’s erste interessieren soll, die Ein- und Ausgabe. Ausgabe von Text auf die Kommandozeile geschieht durch den Aufruf system.out.println(<String>); der den u¨ bergebenen String gefolgt von einem Zeilenumbruch ausgibt, system.out.print(<String>); 3

Das ist ein Unterschied zu C. Außerdem kann aufgrund der nur approximativen Darstellung mancher Zahlen trotzdem Information verloren gehen, wie wir später noch sehen werden.


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unterdrückt den Zeilenumbruch. Der Zeilenumbruch ist u¨ brigens durch den String "\n" charakterisiert. Umgekehrt möchte man Variablen Werte zuweisen. Das Einlesen ist in Java etwas ungewöhnlich, da für andere Zwecke optimiert. Wir beschränken uns daher zunächst auf die Kommandozeileneingabe. Ruft man die Klasse der main Methode auf, kann man ihr eine Anzahl von Strings mitgeben, die in der main Methode durch args[0], args[1], . . . ansprechbar sind. Wir können also u¨ ber die Kommandozeile Strings einlesen. Strings kann man durch in Java bereitgestellte Methoden in u¨ bliche Datentypen verwandeln: byte b = Byte.parseByte(String0); short s = Short.parseShort(String1); int i = Integer.parseInt(String2); long i = Long.parseLong(String3); float f = Float.parseFloat(String4); double d = Double.parseDouble(String5); Die Umwandlungen werden vorgenommen, so die eingegebenen Strings den entsprechenden Typen beschreiben, ansonsten meldet Java einen Fehler (eine Exception, deren Behandlung wir später noch kennenlernen).4 Das soll für unsere Zwecke erstmal reichen. Wir sind jetzt also in der Lage, komplexe Zuweisungen zu implementieren. Ein Beispiel: /************************************************************ * * HelloWorld advanced.java * *************************************************************/ class HelloWorld advanced { public static void main(String[] args) { String name=args[0]; int anz=Integer.parseInt(args[1]); double mult= Double.parseDouble(args[2]); System.out.println("Hello, "+ name + ", you want the number "+(int)(anz*mult) + "!"); } } Die Eingabe java HelloWorld advanced HAL 2 21.3 liefert den String Hello, HAL, you want the number 42!

2.3 Elementare Kontrollstrukturen Das obige Programm ist immer noch recht langweilig, da wir lediglich Werte zuweisen, aber keinerlei wirklichen Kontrollfluß implementieren können. Dieser Abschnitt führt einige wesentlich Kontrollstrukturen in Java ein (die es auch in a¨ hnlicher Form in C gibt). Wir haben die Kontrollstrukturen tatsächlich schon bei unserem anfänglichen Kochrezept kennengelernt: 4

Die double- und float-Konvertierungen gelten ab Java 1.2.

2.3 Elementare Kontrollstrukturen

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• if-Anweisung – die bedingte Ausführung hat die Form: if (){ } else { } Ein boolescher Ausdruck ist dabei jeder Ausdruck, der sich zu einem booleschen Wert auswerten läßt. Ein Kommandoblock ist eine durch Semikolons getrennte Folge von Kommandos (auch gar keins), etwa Zuweisungen, Schreibanweisungen, Aufruf von Methoden oder Kontrollstrukturen. Die Anweisung führt je nach Wert des booleschen Ausdrucks den ersten oder zweiten Kommandoblock aus. Ein Beispiel: if (i%2 == 0){ System.out.println("Die Zahl "+ i + " ist gerade."); } else { System.out.println("Die Zahl "+ i + " ist ungerade."); } Das Programm testet, ob eine Zahl durch zwei teilbar ist. Die geschweiften Klammern dürfen weggelassen werden, wenn gar keins oder nur ein Kommando folgen, so z.B. bei iterierten if-statements. Ein Beispiel: if (i%2 == 0) System.out.println("Die Zahl "+i+" ist gerade."); else if (i%3 == 0) System.out.println("Die Zahl "+i+" ist durch 3 teilbar."); else if (i%4 == 0) System.out.println("Die Zahl "+i+" ist durch 4 teilbar."); else ; Ein leeres else-statement wie dieses letzte dürfte man auch weglassen. • while-Schleife – die Wiederholung von Blöcken hat die Form: while () { } Dieses Programm wiederholt den Kommandoblock so häufig (auch keinmal), bis die Bedingung nicht mehr erfüllt ist. Ein Beispiel j=2; while ((j0) { hξ, x > 0i b[i]:=x%B; x:=x/B; i++; ξ } hξ, x ≤ 0i P j hx0 = i−1 j=0 b[j] · B i

P j – x = x0 ≥ 0 → (x ≥ 0 ∧ x0 = x · B 0 + 0−1 j=0 b[j] · B ), da die Summe leer ist, gilt das offensichtlich. P j i+1 – (x ≥ 0 ∧ x0 = x · B i + i−1 + j=0 b[j] · B ∧ x > 0) → (x/B ≥ 0 ∧ x0 = x/B · B P i−1 i j 13 x%B · B + j=0 b[j] · B ). Das gilt, da x = x/B · B + x%B gilt. P Pi−1 j j – (x ≥ 0∧x0 = x·B i + i−1 j=0 b[j]·B ∧x ≤ 0) → x0 = j=0 b[j]·B ist offensichtlich, da x = 0 ist. 13

Der Summand für i ist gesondert geschrieben, da eine Termersetzung für b[i] vorgenommen wurde.

4 DATENSTRUKTUREN

44 • Die B-adische Darstellung ist eindeutig. Beweis: Wir nehmen an, es gibt zwei Darstellungen der Zahl x=

n1 X

i

bi · B =

i=0

n2 X

b0i · B i

i=0

mit bi , b0i ∈ {0, . . . , B − 1} ohne führende Nullen. Wir nehmenP O.E. an, x > 0 (0 ist trivial, für negative Zahlen betrachten wir einfach das Inverse). Es gilt ni=0 (B − 1) · B i = B n+1 − 1 < B n+1 . Sei n1 ≥ n2 . Wir teilen beide Seiten ganzzahlig durch B n1 . Wir erhalten für die linke Seite nX 1 −1 bi /B n1 = bn1 b n1 + |i=0 {z } y > 0. Der Rest ist a¨ hnlich. Wir können ohne Einschränkung annehmen, daß x die Form x 0 .x1 . . . xp−1 hat. Wir verschieben y entsprechend und ignorieren alle rechten Ziffern, die nicht in p + 1 Bits (Genauigkeit und guard Bit) passen. Die Zahl sei y 0 . Es gilt y − y 0 ≤ (B − 1)(B −p−1 + . . . + B −p−k ) für ein k. Die Subtraktion mit einem guard Digit liefert den Wert x − y 0 + δ mit dem durch Rundung möglichen Fehler |δ| ≤ B/2 · B −p . Der Fehler |(x − y) − (x − y 0 − δ)|/(y − y 0 − δ) ist von Interesse. Es gibt drei Fälle: – x − y ≥ 1. Dann ist der relative Fehler maximal (y − y 0 + δ)/1 ≤ B −p ((B − 1)(B −1 + . . . + B −k ) + B/2) < B −p (1 + B/2). – x − y 0 < 1. Dann ist δ = 0, denn es mußte nicht gerundet werden. x − y ist mindestens 1.0 . . . 0 − 0. 0 . . 0} B . . B − 1} > (B−1)(B −1 +. . .+B −k ). Der relative Fehler ist also maximal (B−1)B −p (B −1 + | .{z | − 1 .{z k

p

. . . + B −k )/((B − 1)(B −1 + . . . + B −k )) = B −p .

– x − y < 1 und x − y 0 ≥ 1. Dann muß x − y 0 = 1 gelten, also δ = 0, also dieselbe Argumentation wie eben ist korrekt.

4 DATENSTRUKTUREN

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Man kann nachrechnen, daß sich eigentlich 10 ergeben sollte. Java liefert aber 11.5! Problem: Sehr kleine Zahlen wurden aus sehr großen Zahlen durch Subtraktion gewonnen. Die ersten Stellen stimmen exakt u¨ berein und heben sich also weg. Die letzten Stellen rücken nach, haben aber nur noch eine sehr geringe Akkurazität, die dann für das ungenaue Ergebnis verantwortlich ist. Man sollte also vermeiden, sehr a¨ hnliche Zahlen zu summieren. Analoge Probleme treten auf, wenn man größenordnungsmäßig sehr verschiedene Zahlen summiert, wobei die kleinere Zahl im schlimmsten Fall die größere gar nicht a¨ ndert, da sie nur irrelevante Bits beeinflußt. Ein weiteres Beispiel: wir berechnen ex nach der Taylorformel (eine Methode der Mathematik, Funktionen lokal durch Polynome anzunähern) als ex = 1 + x + x2 /2 + x3 /3! + x4 /4! + . . . für negative Zahlen x. Die Reihe konvergiert absolut und gleichmäßig, dennoch liefert Java horrende Ergebnisse für negative Zahlen. Das Problem ist, daß man in der Summe viele Paare wie (für x = −25) 2524 /24! und −2525 /25! erhält, die sich in Theorie, nicht aber in der konkreten Rechnung im Fließkommaformat zu Null addieren. • Over- und Underflow: Bei Multiplikationen und Divisionen muß man sehr große und sehr kleine Werte möglichst vermeiden, da sie sonst leicht in nicht mehr darstellbare Bereiche nahe Null (d.h. die Werte werden fälschlicherweise exakt Null) oder ±∞ führen können. Je nach Gegebenheiten muß man Abhilfe schaffen, z.B. durch künstliche Setzung auf kleine oder große Werte ungleich Null und Unendlich, oder Ersetzen der Multiplikation durch eine Addition und Exponentiation. ¨ • Instabile Numerik: Programme, bei denen kleine Anderungen der Eingabe nur zu kleinen ¨ Anderungen der Ausgabe führen, heißen numerisch stabil. Wir sind an solchen interessiert. Oft kann man durch geeignete Vorsichtsmaßnahmen Berechnungen numerisch stabil gestalten, wobei allerdings das Design stabiler Algorithmen hochgradig nicht trivial ist! Es gibt allerdings auch Probleme, die prinzipiell keine stabilen Verfahren zulassen (ill-conditioned problems). Ein Beispiel ist die logistische Gelichung, die zu einem sogenannten chaotischen ¨ System führt, bei dem im Limes sehr kleine Anderungen sehr große Auswirkungen haben. Es soll beginnend von einem Startwert x(0) zum Zeitpunkt t die Größe x(t) = Rx(t − 1)(1 − x(t − 1)) berechnet werden. Für große R ist das nicht mehr stabil möglich! Solche chaotischen Systeme treten auch in der Natur auf (etwa in Wachstumsprozessen oder auch die Trajektorie vom Orbit von Pluto)! Problem: das Iterieren von Rechnungen mit kleinem Fehler kann zu beliebig großen Abweichungen führen. Es gibt also einige Probleme und auch prinzipiell nicht numerisch stabil lösbare Aufgaben. In den allermeisten Fällen treten aber ungewünschte Verhalten aufgrund einer nicht adäquaten Behandlung der Numerik auf, die sich gelegentlich erst bei extremen Werten zeigt. Zum Abschluss zwei Beispiele aus dem wirklichen Leben: • Ariane rocket 5 explodierte 40 Sekunden nach Start bei der Jungfernfahrt, 7 Billionen Dollar auf einen Schlag vernichtend. Das Problem lag an Werten für die Beschleunigung, die einen ¨ Uberlauf in einem Teil des Programms hervorriefen, das für die Rekalibrierung der Steuerung nötig war. Eine Kopplung von weiteren Effekten führte dann zum Ende von Ariane. • 1991 traf eine amerikanische Patriotrakete statt des anvisierten Ziels eine (bewohnte) Baracke. Der initiale Fehler wurde durch die nicht exakte Darstellbarkeit von 1/10 im Programm verursacht.

4.4 Klassen und Methoden

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4.4 Klassen und Methoden Wir können jetzt komplexe Kontrollstrukturen schreiben und deren Auswirkung formal spezifizieren und sogar verifizieren. Diese Programme können allerdings je nach den Gegebenheiten sehr unübersichtlich werden. Wir haben bei unserem anfänglichen Kochrezept bereits eine Möglichkeit verwendet, Programme u¨ bersichtlicher und kürzer zu gestalten: die Einteilung des Kontrollflusses in mehrere Module. Definition von Klassen Die Grundbausteine von Java als objektorientierter Programmiersprache sind Klassen. Das ist unterschiedlich zu einer imperativen Programmiersprache wie C. Klassen sind von der Idee her komplexere Variablentypen mit mehreren Einträgen und Werten, die alle Methoden, diese zu beeinflussen, innerhalb der Datenstruktur selbst zur Verfügung stellen. Sie bilden die kleinsten Einheiten in Java. Durch die Kapselung aller eine Klasse betreffende Information und aller damit zusammenhängenden Operationen innerhalb der Klassen ist eine sehr u¨ bersichltliche, modulare und gut wartbare Programmierung möglich. Man kann, wenn Klassen definiert sind, Variablen dieser Klasse benutzen, sogenannte Objekte. Objekte sind Instanzen einer Klasse. Eine Klasse in Java hat generell folgende Form class { <Methoden> } Variablen und Methoden dürfen dabei in beliebiger Reihenfolge vorkommen. Ein Beispiel class Kreis{ public double radius; static private final double pi=3.14; public double flaeche(){ return (pi*radius*radius);} } Elemente der Klasse sind class members, Klassenmitglieder, d.h. Variablen oder Methoden. Variablen referiert auf Variablendeklarationen und etwaige Instanziierungen z.B. mit Konstanten; in obigem Fall hat die Klasse Kreis die Felder radius und pi. Variablendeklarationen bestehen, wie wir schon wissen, aus einem Variablentypen, z.B. einem primitiven Typen double, und einem Variablenbezeichner. Diesem darf an Ort und Stelle ein Wert zugewiesen werden, wie oben mit pi=3.14 geschehen. Oben sind verschiedene zusätzliche Charakterisierungen gebraucht: • final bedeutet bei Variablen, daß deren Wert genau einmal gesetzt wird und sich danach nicht mehr a¨ ndert. Final-Variablen müssen initialisiert werden. Sie sind zum Beispiel zur Definition von Konstanten gebräuchlich. Der Versuch, final-Variablen zu a¨ ndern, bewirkt einen Fehler. • Es gibt sogenannte Klassen- und Instanzvariablen. Klassenvariablen sind durch static markiert. Es sind Felder, die sich alle Objekte der Klasse teilen. Instanzvariablen (ohne static) sind Felder, die jedes Objekt der Klasse einzeln besitzt. Klassenvariablen speichern also etwas, das bei allen Objekten gleich ist. In obigem Fall gehört das Feld pi gemeinsam allen Kreis-Objekten, die Kreise besitzen nicht gesonderte Konstanten pi.

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• Variablen können eine unterschiedliche Sichtbarkeit haben. private bedeutet, daß nur das Objekt selbst dieses Feld sehen und beeinflussen darf; das sind also Geheimnisse der Klasse, ¨ die kein anderer wissen darf, z.B. weil deren unkontrolierte Anderung zu einem inkonsistenten Zustand der Objekte führen könnte. public bedeutet, daß alle auch von außen auf dieses Feld zugreifen dürfen, das sind also Informationen, die jeder wissen sollte. Zudem gibt es noch protected, was Visibilität innerhalb des Pakets, der Klasse und abgeleiteter Klassen bedeutet. Letzlich gibt es package, was Sichtbarkeit im Paket bedeutet. Wir behandeln hier keine Pakete, sondern werden, da wir nur kleinere Beispiele betrachten, alle Klassen in eine Datei schreiben. Der Name ergibt sich aus dem Namen der Klasse, die die main-Methode implementiert. Alle Klassen in einer Datei sind automatisch Elemete eines anonymen Paketes. Der Compiler u¨ bersetzt die Klassen in durch .class bezeichnete Dateien. Per Default (also ohne Angabe) sind Variablen nicht static, package (also Paketsichtbar, d.h. in unserem Fall von nur einem Paket sichtbar) und nicht final. Als Bemerkung: Man könnte auch Klassen selbst mit dem Zusatz public versehen. Dann müssen sie in einem File gleichen Namens stehen und sind u¨ berall sichtbar. Default bei Klassen ist Paketsichtbarkeit. Methoden haben generell die Form <Modifikation> (Variablenliste){ } Eine Modifikation a¨ hnlich wie bei Variablen kann vorgegeben werden: • final bedeutet, daß die Methoden später nicht mehr geändert werden dürfen (wie das ginge, sogenanntes Overriding, diskutieren wir später). • static referiert auf Klassenmethoden statt Instanzmethoden. Klassenmethoden sind für die Klasse und keine einzelnen Objekte zuständig und dürfen nur auf Klassenvariablen zugreifen, aber nicht auf Instanzvariablen der Klasse. • private bedeutet, daß die Methode nur aus der Klasse selbst heraus sichtbar ist, public verändert die Sichtbarkeit auf die Außenwelt, protected bedient die Klasse selbst, das Paket und alle abgeleiteten Klassen, package bedient das Paket und die Klasse selbst. Per default sind Methoden vom Paket zugreifbar, nicht final und nicht static. Methoden können innerhalb einer (möglicherweise leeren) Variablenliste Variablen u¨ bernehmen, die innerhalb der Methode verwendet werden können. Diese werden call by value u¨ bergeben, d.h. Veränderungen primitiver Typen innerhalb der Methode haben keinen Effekt auf die Außenwelt. Was sie bei Objekten bewirken, diskutieren wir später. Eine leere Liste kann auch als void geschrieben werden. Die Methode muß einen Wert zurückgeben, induziert durch den Typ vor dem Methodennamen. Innerhalb eines Anweisungsblocks dient der Befehl return (<Wert>); dazu, einen Wert zurückzugeben. Wird dieses Kommando ausgeführt, dann gibt die Methode die Auswertung von Wert zurück und terminiert. Wird nichts zurückgegeben, steht vor der Methode void. Objekte Jetzt zu Objekten. Objekte einer Klasse können genau wie alle anderen Variablen auch deklariert werden:


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; Die Deklaration eines Objektes bedeutet allerdings noch nicht, daß diese Objekte existieren. Eine Deklaration benachrichtigt lediglich den Compiler, daß in Zukunft der Identifier für Objekte dieser Klasse benutzt wird. Ein tatsächliches Objekt bekommt man durch eine Instanziierung, die dem Compiler sagt, tatsächlich Speicherplatz für dieses Objekt neu zur Verfügung zu stellen. Auf das Objekt wird dann anschließend im Programmcode durch eine Referenz, d.h. einen Zeiger, der sagt, wo dessen Werte anzutreffen sind, verwiesen. Dann kann man den enthaltenen Feldern Werte zuweisen, sie initialisieren und mit dem Objekt rechnen. Beachten Sie, daß wir im Fall von primitiven Typen nicht zwischen Deklaration und Instanziierung unterschieden haben. Bei primitiven Typen ist der benötigte Platz für ihre Darstellung a priori klar. Eine Deklaration stellt sofort diesen Platz zur Verfügung. Bei Klassen ist der benötigte Speicherplatz aufwendiger zu berechnen. Der Computer stellt daher bei der Deklaration lediglich den Speicherplatz für die Referenz auf das Objekt zur Verfügung. Erst bei der Instanziierung wird Speicherplatz für die Felder des Objektes beschafft und die Referenz verweist dann auf diesen Speicherplatz. Vermöge der Referenz können die Felder initialisiert und belegt werden. Klassen sind daher als Referenztypen bezeichnet. Die folgende Graphik zeigt den Unterschied. <primitiver Typ> X;

Wert

Y;

Referenz

Feld1 Feld2 Feld3

Konstruktoren Wie instanziiert man Referenztypen? In vielen Fällen verwendet man dazu den Befehl new gefolgt vom Namen der Klasse, den sogenannten Default-Konstruktor. Etwa Kreis kreis; kreis=new Kreis(); hat den Effekt, daß die Variable kreis deklariert und mithilfe der Instanziierung Speicherplatz zur Verfügung gestellt wird. Anschließend kann man auf die Elemente des Objekts durch einen Punkt zugreifen: kreis.radius=42; System.out.println(kreis.flaeche()); Unsere Programmierung an dieser Stelle ist unschön, da es gegen einen wesentlichen Aspekt der objektorientierten Programmierung, die weitmöglichste Kapselung, verstößt. Wenn der Radius von außen gesetzt wird, dann muß die exakte Art, wie der Radius intern gespeichert und verwandt wird, z.B. der genaue Datentyp bekannt sein. Das kann leicht zu Fehleren führen, wenn z.B. aus welchen Gründen auch immer ein System intern mit anderen Variablentypen rechnen möchte (z.B. integer statt double). Greifen Programme von außen direkt auf radius zu, dann hätte eine ¨ Anderung des Formats von radius Auswirkungen auf das gesamte Programm. Man würde daher

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lieber den Zugriff auf das Feld Radius vermeiden. Da allerdings der Radius irgendwie von außen vor Beginn aller weiteren Rechnungen gesetzt werden muß, benötigt man zusätzliche Konstrukte, sogenannte Konstruktoren. Konstruktoren sind a¨ hnlich zu Methoden, die den Namen der Klasse selbst tragen, keinen Wert zurückliefern und zur Instanziierung eines Objekts statt des DefaultKonstruktors aufgerufen werden können. Etwa in unserem Fall: class Kreis{ double radius; static private final double pi=3.14; public Kreis(double radius){ this.radius=radius;} public double flaeche(){ return (pi*radius*radius);} } Der Aufruf Kreis kreis=new Kreis(42.0); deklariert und instanziiert einen Kreis mit Radius 42. Eine Besonderheit: insbesondere innerhalb ¨ von Konstruktoren ist es u¨ blich, Variablen ‘doppelt’ zu benennen; in diesem Fall heißt der Ubergabeparameter des Konstruktors genauso wie ein Feld der Klasse. Man kann doppelte Variablen natürlich umgehen. Möchte man sie doch nutzen, dann u¨ berdeckt die letzte Definition alle vorher¨ gehenden, kreis bezieht sich innerhalb des Konstruktors auf den Ubergabeparameter. Man muß daher explizit darauf hinweisen, daß das Feld der zur Zeit betrachteten Instanz this.radius benutzt wird. this referiert innerhalb der Klasse explizit auf die derzeitige Instanz (d.h. deren Referenzwert). Polymorphie Sobald ein Konstruktor definiert wurde, existiert der Default-Konstruktor nicht mehr. Kreis kreis=new Kreis(); wäre also in obiger Klasse verboten. Man kann allerdings explizit mehr als einen Konstruktor mit demselben Namen, aber unterschiedlicher Parameterliste verwenden: class Kreis{ private double radius; static private final double pi=3.14; public Kreis(double radius){ this.radius=radius;} public Kreis(){ this.radius=1.0;} public double flaeche(){ return (pi*radius*radius);} } ¨ Dieses fällt unter das Stichwort Uberladen und Polymorphie: man darf denselben Namen für Methoden und Konstruktoren unterschiedlicher Stelligkeit oder unterschiedlichen Parametertypen verwenden. Die aktuelle Parameterliste entscheidet dann, welche Methode verwendet wird. In obiger Situation ist also folgendes möglich Kreis kreis1 = new Kreis(); Kreis kreis2 = new Kreis(42.0);


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Aufgrund dieses Mechanismus muß man bei den Variablentypen exakt sein: Methoden und Konstruktoren unterscheiden sich, wenn sie denselben Namen, aber Parameter unterschiedlichen Typs haben. Der Aufruf Kreis kreis2=new Kreis(42); würde in obigem Fall einen Konstruktor mit Integer-Parameter aufrufen, so es ihn gäbe. Klassen-/Instanzvariablen und -methoden Kommen wir, ausgestattet mit diesem Arsenal, nochmal zu den Stichwörtern Klassen- versus Instanzvariable zurück. Wir möchten aus welchen Gründen auch immer unsere Kreise durchnummerieren. Neben dem Radius hat also jeder Kreis auch ein Feld id, eine natürliche Zahl deklariert als private int id; Angefangen von 0 müssen wir mit jedem neuen Kreis-Objekt den aktuellen zu vergebenden Identifier um eins erhöhen. Das kann natürlich von außen geschehen: der Konstruktor wird zu Kreis(double radius,int maxid){ this.radius=radius; this.id=maxid;} und Aufrufe haben die Form int maxid=0; Kreis kreis1 = new Kreis(42,maxid); maxid++; Kreis kreis2 = new Kreis(1.0,maxid); Das ist natürlich unschön, da man die richtige Zählung außerhalb der Klasse vorhalten muß. Alternative bietet eine Klassenvariable, d.h. einer Variable maxid, die von allen Instanzen geteilt und bei Instanziierung eines neuen Objekts automatisch erhöht wird: class Kreis{ double radius; private int id; static private final double pi=3.14; static private int maxid=0; public Kreis(double radius){ this.radius=radius; this.id=maxid; maxid++;} public Kreis(){ this.radius=1.0; this.id=maxid; maxid++;} public double flaeche(){ return (pi*radius*radius);} } Noch etwas eleganter unter Vermeidung von Codeverdoppelung ist die folgende Alternative, die die Tatsache verwendet, daß man innerhalb von Methoden und Konstruktoren andere Konstruktoren verwenden darf:

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class Kreis{ double radius; private int id; static private final double pi=3.14; static private maxid=0; public Kreis(double radius){ this.radius=radius; this.id=maxid; maxid++;} public Kreis(){ this(1.0);} public double flaeche(){ return (pi*radius*radius);} } Das Argument this referiert auf einen bereits definierten Konstruktor der Klasse, der für das Element ausgeführt wird. Dieser Aufruf muß als erstes im neuen Konstruktor verwandt werden. Dieses ist ein Beispiel, wo eine Klassenmethode sinnvoll werden könnte: public static int whatismaxid(){return(maxid);} ¨ Klassenvariablen sind vorhanden, sobald das System die Klasse gesehen hat. Offentliche Klassenvariablen und Klassenmethoden können daher verwendet werden, auch wenn kein Element der Klasse erzeugt wurde. Sie können durch den Klassennamen statt Objektnamen referenziert werden. In obigem Beispiel liefert also der Aufruf System.out.println(Kreis.whatismaxid()); vor Erzeugung eines Kreis-Objekts den Wert 0. Parameterubergabe ¨ Kommen wir nochmal zurück zu Variablen, Parameterübergabe und Zuweisungen. Generell wird bei der Parameterübergabe und einer Zuweisung der Wert der betrachteten Variablen verwandt, ¨ und nicht die Variable selber. Das hat zur Folge, daß Anderungen des Wertes keine direkten Auswirkungen auf das umgebende (aufrufende) Programm haben. Ruft man eine Methode mit dem Integer x auf und a¨ ndert x innerhalb der Methode, wird der Wert von x außerhalb also nicht tangiert. Bei Referenztypen sieht das allerdings ein bißchen komplizierter aus: Der Wert einer betrachteten Variablen ist • der tatsächliche Wert bei primitiven Typen, • eine Referenz auf die Felder bei Referenztypen. Das hat zur Folge daß sich diese unterschiedlichen Variablentypen unterschiedlich verhalten und unterschiedlich behandelt werden müssen. Prozedurübergaben in Java sind call by value: Für primitive Typen wird also der finale Wert ¨ u¨ bergeben und verändert, nicht die Speicherstelle, wo die Variable steht. Anderungen stehen also an einer anderen Speicherstelle und haben daher keinen Einfluß auf die Originalvariable. Für Refe¨ renztypen wird die Referenz kopiert. Andert man (was man normalerweise nicht tut) die Referenz ¨ selbst, hat das keinen Einfluß auf die Originalreferenz. Andert man aber vermöge der Kopie der Referenz die (original) Felder, auf die die Kopie zeigt, hat das einen Einfluß auf die Felder und also das originale Objekt. Folgende Graphik macht das deutlich:

4.4 Klassen und Methoden <primitiver Typ> X;

59 Methode(X);

Y;

Kopie Wert

Methode(Y); Kopie

Referenz

Wert

Referenz

Feld1 Feld2 Feld3

Ein Beispiel der Effekte: class Einpaarzahlen{ int i; double x; public Einpaarzahlen(int i, double x){ this.i=i; this.x=x;} void Tuwas(Einpaarzahlen zahlen, int i, double x){ zahlen.i++; zahlen.x++; i++; x++; System.out.println(i); System.out.println(x); System.out.println(zahlen.i); System.out.println(zahlen.x); } public static void main(String[] args){ int i=42; double x=42.0; Einpaarzahlen zahlen = new Einpaarzahlen(i,x); System.out.println(i); System.out.println(x); System.out.println(zahlen.i); System.out.println(zahlen.x); zahlen.Tuwas(zahlen,i,x); System.out.println(i); System.out.println(x); System.out.println(zahlen.i); System.out.println(zahlen.x); } } Die Aufrufe liefern : 42 42.0 42 42.0 43 43.0 43 43.0 42 42.0 43 43.0

i x zahlen.i zahlen.x i x zahlen.i zahlen.x i x zahlen.i zahlen.x

print in main

print in Tuwas

print in main

4 DATENSTRUKTUREN

60 Vergleich- und Zuweisung von Referenztypen

Entsprechend muß man bei Operationen und Zuweisungen der unterschiedlichen Typen aufpassen. Primitive Variablen werden zu ihrem Wert ausgewertet, wenn man vergleicht oder zuweist, wie man es erwartet. Referenztypen werden zu dem Wert der Referenz ausgewertet. Weist man Referenztypen wie folgt zu kreis1=kreis2;

/* falsch f¨ ur Referenztypen! */

dann ist das Ergebnis also etwas unerwartet: in zwei Variablen hat man dieselbe Referenz auf die Felder des Kreis gespeichert, die Felder des Kreis existieren selbst nur einmal. Möchte man wirklich eine Kopie aller Felder und deren Werte bekommen, muß man dieses geeignet implementieren: man benötigt eine Methode, die alle Felder des betrachteten Objekts mit primitiven Datentypen und evtl. rekursive alle durch Felder mit Referenzen dargestellten Subobjekte kopiert. Eine Kopiermethode der Klasse Kreis könnte etwa wie folgt aussehen: public Kreis cloneKreis() { /* Kopie f¨ ur Referenztypen */ Kreis helpme = new Kreis(this.radius); return (helpme); } Eine Kopie erhält man dann durch17 kreis2=kreis1.cloneme(); Analog testen Vergleiche der Form kreis1==kreis2 lediglich, ob in den Variablen dieselben Referenzen gespeichert sind. In der Regel ist das nicht das gewünschte Ergebnis. Man betrachtet Objekte als gleich, wenn der Inhalt aller ihrer Felder inklusive eventueller Subobjekte gleich ist. Also muß auch dieser Operator gesondert implementiert werden, etwa für Kreis (bei Gleichheit von zwei Kreisen für gleiche Radien) public boolean isequal(Kreis you){ if (you.radius==this.radius) return (true); else return (false); } ¨ Diese Methode erlaubt die korrekte Uberpr¨ ufung18 kreis1.isequal(kreis2) Wie schon erwähnt ist String ein Referenztyp, der Zuweisungen im Text der Form String string="Hello World!"; zuläßt. Dieses kann man als spezielle Instanziierung sehen: In Hochkommata geschriebene Strings können direkt verwendet werden und sind intern durch eine feste Referenz gespeichert. Strings müssen aber durch die durch Java bereitgestellte Methode equals verglichen werden und Kopien der Inhalte statt Referenzen (so man sie braucht) bekommt man durch clone. 17

Java stellt die generelle Klasse clone(); zur Verfügung, die häufig für die benötigten Zwecke angepaßt werden kann. Wir wollen das an dieser Stelle nicht vertiefen. 18 Java bietet die Methode equals, die für solche Zwecke u¨ berschrieben werden sollte.


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class strings{ public static void main(String[] args){ String string1=args[0]; String string2=args[1]; String string3="Hello World!"; if ((string1+" "+string2+"!")==string3) System.out.println("ja"); else System.out.println(nein"); if ((string1+" "+string2+"!").equals(string3)) System.out.println("ja"); else System.out.println(nein"); } } Diese Programm liefert mit strings Hello World aufgerufen für den ersten Vergleich nein, denn es werden die Referenzen verglichen, für den zweiten Vergleich ja. Vererbung Ein letzter Punkt zu Klassen und Methoden: diese werden sehr nützlich, sobald sie als Klassenhierarchie verwendet werden. Klassen können als Unterklassen bereits bestehender Klassen definiert werden. Sie erben dann alle relevanten Eigenschaften der Oberklasse und können aufbauend auf diesem Vermächtnis noch beliebig viele zusätzliche Funktionalitäten implementieren. Die Tatsache, daß eine Klasse erbt, wird durch den Zusatz extends deutlich gemacht. Ein Beispiel, betrachten wir eine Variation unserer Kreis Klasse von vorhin: class Kreis{ double radius; static final double pi=3.14; Kreis(double radius){this.radius=radius;} Kreis(){this.radius=1.0;} double flaeche(){return(pi*radius*radius);} } Eine sinnvolle Unterklasse wäre, Kreise mit Mittelpunkt und zusätzlichen Funktionalitäten auszustatten: class Kreismitmittelpunkt extends Kreis{ double x,y; Kreismitmittelpunkt(double radius, double x, double y){ super(radius); this.x=x; this.y=y;} Kreismitmittelpunkt(){ Kreismitmittelpunkt(1.0,0.0,0.0);} void verschiebe(double x,double y){ this.x+=x; this.y+=y;} } Eine abgeleitete Klasse • erbt (d.h. es ist sichtbar) von der Oberklasse

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– alle Variablen, die in der Oberklasse zur Verfügung stehen und nicht durch private markiert sind, – alle Methoden, die in der Oberklasse zur Verfügung stehen und nicht durch private markiert sind, • erbt nicht von der Oberklasse – mit private markierte Variablen und Methoden, – Konstruktoren In obigem Fall erbt die Klasse Kreismitmittelpunkt also die Variablen radius, pi und double und die Methode flaeche. Klassen können nur eine Oberklasse haben, nicht mehrere. Es ist nötig, neue Konstruktoren zu definieren, da ja in der Regel zusätzliche Funktionalitäten implementiert werden müssen. Man kann den Konstruktor der Oberklasse für die neue Definition verwenden, so wie oben dargestellt. Das Statement super darf nur am Anfang des Konstruktors stehen. Es ruft den entsprechenden Konstruktor der Oberklasse auf. Da Java sicherstellen muß, daß die Objekte inklusive aller ererbten Felder adäquat initialisiert sind, ruft Java immer implizit entweder den Konstruktor der Oberklasse auf, so das nicht explizit wie oben geschieht oder ein anderer Konstruktor bemüht wird. Wird für Unterklassen kein Konstruktor definiert, dann ist der Default-Konstruktor folgendes public (){ super();} Dieses schlägt fehl, wenn kein parameterloser Konstruktor der Superklasse existiert. Soweit zu den Konstruktoren. Nun zu den anderen Elementen: die Unterklasse erbt alles wie oben angegeben. Da keine als private markierten Methoden und Variablen und keine Instanzmethoden und Variablen geerbt werden, können diese nicht angesprochen werden. Nichtsdestotrotz existieren sie als Elemente der Oberklasse und ererbte Methoden der Oberklasse, die auf diese Elemente zugreifen, funktionieren. Hätten wir also radius oder pi als private deklariert, hätten wir keinen Zugriff darauf von der Unterklasse und diese Elemente wären nicht sichtbar in der Unterklasse. Nichtsdestotrotz existieren diese Elemente als Felder der Objekte und können durch die ererbten Methoden der Oberklasse manipuliert werden. Die Fähigkeiten der Oberklasse bleiben also erhalten, auch wenn sie der Unterklasse verborgen sein können. Die Unterklasse kann lediglich die Interna dieser Fähigkeiten nicht einsehen und benutzen, sondern nur die entsprechend als nicht private gekennzeichneten Methoden. Schematisch erhalten wir also etwa folgendes Bild, wobei die gepunkteten Linien die Elemente der Oberklasse, die gestrichelten die davon abgeleitete Klasse markieren:

Konstruktoren

benutzt

Methoden/Variablen

private Methoden private Variablen

Konstruktoren

benutzt

public/protected/package Methoden und Klassen

sichtbar in der Unterklasse existiert in der Unterklasse


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Unterklassen können weitere Unterklassen haben, wir könnten also etwa eine weitere Klasse wie Kreismitmittelpunktundfarbe extends Kreismitmittelpunkt definieren. Wir sagten bereits, daß Methoden, die nicht private deklariert sind, in der Unterklasse sichtbar sind. Ab und zu möchte man aber die Methoden der Oberklasse nicht in dieser Form verwenden. Etwa wenn man eine Implementation vorfindet, die fast stimmt, aber in einem Punkt bezogen auf einige Methoden geändert werden sollte, möchte man die Methoden austauschen. Das geht, ¨ es nennt sich Uberschreiben oder Overriding. Nehmen wir an, die Klasse Kreis besäße schöne und schwierig zu implementierende Funktionalitäten wie etwa graphische Darstellungsmöglichkeiten etc. Allerdings würden wir gerne Quadrate statt Kreise verwenden. Quadrate besitzen einen anderen Flächeninhalt. Wir müssen also die Methode flaeche u¨ berschreiben. class Quadrat extends Kreis{ Kreis(double radius){super(radius);} Kreis(){super();} double flaeche(){return(radius*radius);} Die Klasse erbt die Felder radius und pi. Die Konstruktoren werden weitgehend u¨ bernommen. Die Methode Fläche wird u¨ berschrieben. Der Aufruf Kreis kreis=new(42.0); Quadrat quadrat=new(42.0); System.out.println(kreis.flaeche()); System.out.println(quadrat.flaeche()); Liefert die Ausgabe 5538.96 1764.0 Man kann nicht nur Methoden, sondern auch Variablen u¨ berschreiben, ihnen zum Beispiel einen anderen Typ oder (z.B. als final Konstante) einen anderen Wert geben. Ab und zu kommt es vor, daß man doch die Methode der Oberklasse verwenden möchte, was dann durch eine explizite Referenz super geschehen kann. Ein Beispiel: class Quadrat extends Kreis{ static final double pi=3.14159; Quadrat(double radius){super(radius);} Quadrat(){super();} double flaeche(){return(super.flaeche()/pi);} Es wird hier die Flächenberechnung der Oberklasse verwendet, um die Flächenberechnung für Quadrat zu implementieren. Die Felder der Oberklasse bekommt man analog durch das Schlüsselwort super. Damit ist die Methode flaeche für diese Unterklasse neu definiert. Immer, wenn für ein Objekt der Klasse Quadrat die Methode flaeche benutzt wird, ist dieses die Methode ¨ der Unterklasse. Achtung: bei der Ubergabe von Parametern kann ein Parameter einer Klasse als Objekt einer Unterklasse instanziiert werden, d.h. ein Parameter Kreis kann mit einem Quadrat belegt werden. Auch dann wird die für Quadrat zuständige Methode flaeche verwendet. Intern ist dieses durch sogenannte dynamic method invocation realisiert. Die in einem Programm gebrauchten Methoden sind an das betrachtete Objekt gebunden und werden ausgehend vom Objekt dynamisch während der Laufzeit aufgerufen. Möchte man verhindern, daß Methoden u¨ berschrieben werden, deklariert man sie als final. Möchte man verhindern, daß Klassen abgeleitet werden können, verwendet man ebenfalls final, d.h. in beiden Fällen ist dieses die endgültige Version der Klasse bzw. Methode.

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Dieses war eine schnelle Tour durch die Grundzüge der Objektorientierung. Da sehr viele neue ¨ Begriffe betrachtet wurden, hier noch einmal der Uberblick der wichtigen Elemente, die wir gelernt haben: • Klassen und Objekte einer Klasse • Zugriffsrechte public/private/protected/package • Methoden und Konstruktoren ¨ • Uberladen • Klassen- und Instanzvariablen • Primitive Typen und Referenztypen • Vererbung ¨ • Uberschreiben Diese Prinzipien erlauben einen sehr eleganten Entwurf von Programmen, der vor allem durch Kapselung (also leichte Wartung und Austauschbarkeit der einzelnen Einheiten) und Modularität entspricht. Rekursion Wir wollen als letzten wichtigen Punkt in diesem Kapitel noch ein mit der Nutzung von Methoden mögliches Paradigma kennenlernen. Methoden erlauben nicht nur, Programmteile zu kapseln und Modularisieren, sondern auch prinzipielle Steuerung des Kontrollfluß durch rekurisve Methodenaufrufe. Was ist Rekursion? Schauen Sie in diesem Skript auf Seite 64 nach! Wenn Sie jetzt blättern, werden Sie merken, daß dieser Verweis ein Bezug auf die Stelle ist, an der wir uns gerade befinden, ein Rückbezug. Rekursion bedeutet, daß Methoden sich gegenseitig verwenden, insbesondere auch sich selbst verwenden können, wenn nur passende Objekte da sind. Wir demonstrieren dieses an einem einfachen Beispiel: Stille Post. Stille Post funktioniert so, daß ein eine Anzahl Leute in einer Reihe stehen und, angefangen vom ersten, ein Wort weitergeflüstert wird. Dieses könnte man mit den bisherigen Möglichkeiten z.B. in einer Schleife implementieren. Wir verwenden hier eine rekursive Lösung. class Mensch{ int hoervermoegen; int message; Mensch naechster; Mensch(int hoervermoegen, Mensch naechster){ this.hoervermoegen=hoervermoegen; this.naechster=naechster; this.message=0; } Mensch(int hoervermoegen){ this.hoervermoegen=hoervermoegen; this.naechster=this; this.message=0; }


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void pass(int message){ // Weitergeben der Nachricht message+=this.hoervermoegen; this.message=message; if (!this.last()) naechster.pass(message); } void output(){ System.out.print(this.message); if (!this.last()) naechster.output(); } boolean last() { return (this.naechster==this); } } class stillepost{ public static int Max; // wieviele public static int Nachricht;// erste Nachricht public static void main(String[] args){ Max=Integer.parseInt(args[0]); Nachricht=Integer.parseInt(args[1]); // Achtung: einfacher Generator!!!! Mensch letztermensch= new Mensch((int)(Math.random()*10-5)); Mensch mensch=letztermensch; for (int i=0;i<Max-1;i++) mensch=new Mensch((int)(Math.random()*10-5),mensch); mensch.pass(Nachricht); letztermensch.output(); } } Wir haben hier Nachrichten einfach als Integer realisiert. Die Tatsache, daß die Menschen normalerweise nicht genau hören und etwas falsches weitergeben wurde hier durch die Addition einer Zufallszahl realisiert. Man sieht, die Weitergabe geschieht rekursive, der Mensch veranlasst, so er nicht der letzte Mensch ist, den jeweils nächstn, die Nachricht weiterzugeben. Zum Schluß dieses Kapitels steht hier ein längeres (klassisches) Beispiel eines objektorientierten Entwurfs, das Rekursion sehr viel extensiver gebraucht: das acht Damen Problem. Acht, allgemeiner n Damen sollen so auf einem Schachbrett platziert werden, daß sie sich nicht gegenseitig bedrohen. Zwei Damen bedrohen sich, wenn sie in derselben Zeile, Spalte oder Diagonale stehen. Für n = 4 gibt es zwei Lösungen, für n = 8 schon einige mehr. Dennoch ist das Problem sehr aufwendig, da man ja im Prinzip alle möglichen Stellungen der Damen ausprobieren muß. Wie können davon ausgehen, daß in jeder Spalte genau eine Dame steht, und die Damen dementsprechend nummerieren. Dann bleiben aber noch einige Zeilen auszuprobieren, für die erste Damen n mögliche Zeilen, für die zweite n = 1, . . . , insgesamt n!. Die Basisidee für einen objektorientierten Entwurf ist, nacheinander in jede Spalte eine Dame zu stellen, die sich selbst eine zulässige Zeile sucht. Dazu muß sie u¨ berprüfen, ob sie nicht von einer anderen Dame geschlagen wird und, so sie keine Zeile mehr findet, Vorgängerdamen eventuell anschubsen, damit diese an neue Positionen wandern. Das Program besteht so nur aus lokalen Operationen und Messages der Objekte. Der Gesamtablauf ist dann denkbar einfach: die oberste Ebene generiert nacheinander acht Damen in den acht Spalten und sagt ihnen sukzessive, sie mögen doch eine Lösung finden. Die Lösung wird dann ausgedruckt:

4 DATENSTRUKTUREN

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class Queens{ public static int MAX; // Anzahl der Zeilen public static void main(String[] args){ MAX = Integer.parseInt(args[0]); // Lese Anzahl Zeilen Queen lastQueen = new Queen(1); // Setze Queen in Row 1 boolean geht=true; // die anderen Queens for (int i=2; (i "+nach); } } void zieheviele(int wieviel,int von,int nach){ if (wieviel>0){ zieheviele(wieviel-1,von,frei(von,nach)); zieheeins(von,nach); zieheviele(wieviel-1,frei(von,nach),nach); } } int frei(int eins, int zwei){return (3-eins-zwei);} } Dabei haben wir die neue Methode setzmichint benutzt, die ein Inhaltsobjekt mithilfe eines int statt String setzt. Die Initialisierung eines Hanoi-Turms mit n Scheiben und der Aufruf zieheviele(n,0,2) führen dann zu einer Lösung, n Scheiben von 0 nach 2 zu bewegen.

5.3 Bäume

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5.3 Bäume Wir kommen jetzt zu nicht-linear verzeigerten Datenstrukturen. Als erstes betrachten wir Bäume, die eine in der Informatik sehr nützliche Datenstruktur darstellen z.B. um tatsächliche Abstammungsbäume zu modellieren, Terme und Formeln darzustellen, Klassenhierarchien von Java zu visualisieren, etc. Formal ist ein Baum wie folgt definiert: ein Baum ist entweder • der leere Baum, • oder er besteht aus einem Knoten, der ein Element speichert, und auf eine Liste von Teilbäumen t1 , . . . , tn für ein n ∈ N verweist. Diese Teilbäume dürfen auch leer sein. Bäume findet man häufig wie folgt dargestellt: 1

2

4

3

7

6

5

9

10

8

11

Knoten sind durch Kreise markiert, die durch Pfeile zu ihren Teilbäumen verbunden sind. Leere Bäume werden dabei u¨ blicherweise nicht dargestellt. In den Kreisen steht in diesem Fall der Inhalt, eine einfache Zahl. Bei diesem Baum sind die Knoten einfach nur durchnummeriert. Man könnte statt einer einfachen Durchnummerierung eine Formel darstellen: +

*

4

+

−

9

*

6

10

8

11

Dieser Baum repräsentiert die Formel (4 ∗ (−9)) + (6 + (10 ∗ 11) + 8). Einige Sprechweisen • Knoten in diesem Baum stehen durch die durch Teilbäume gegebenen Verbindungen in direkter Beziehung zueinander. Sind zwei Knoten n1 und n2 miteinander verbunden, und ist n2 in einem zu n1 zugeordneten Teilbaum, dann heißt n1 Vater/Elter von n2 und n2 Kind von n1 . Z.B. ist 1 Elter von 2 und 3, 2 und 3 sind Kinder von 1. • Knoten, die keine Kinder haben, heißen Bla¨ tter. Es gibt genau einen Knoten, der keinen Elter hat, dieser heißt Wurzel. Alle anderen Knoten heißen innere Knoten. In obigem Baum ist 1 die Wurzel, 4, 9, 6, 10, 11, und 8 die Blätter.

¨ ABSTRAKTE DATENTYPEN 5 ALGORITHMEN FUR

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• Ein Pfad in einem Baum ist eine Folge von Knoten n1 , . . . , ni , so daß jeweils ni Elter von ni+1 ist. Etwa 1, 3, 6 oder 1, 2, 5. Der leere Pfad enthält gar keinen Knoten. Die L a¨ nge eines Pfades ist die Anzahl der in ihm enthaltenen Knoten. • Die Höhe eines Baumes ist die maximale Länge der Pfade in diesem Baum. Etwa im Beispiel ist die Höhe 4. Der leere Baum hat Höhe 0. Die Tiefe eines Knotens ist die Länge eines Pfades von der Wurzel bis zum Knoten. Etwa 5 hat die Tiefe 3. • Ein Baum heißt k-Baum, falls alle Knoten maximal k Kinder haben. Ein Baum heißt bin a¨ rer Baum, falls alle Knoten maximal zwei Kinder haben. Wir betrachten hier exemplarisch binäre Bäume. Was für Methoden sollten zur Verfügung stehen? Genau wie bei Listen möchte man • den leeren Baum initialisieren, • testen, ob der Baum leer ist, • die Wurzel addressieren, • testen, ob wir an einem Blatt sind, • zum linken oder rechten Kind gehen, • von einem Knoten den Wert auslesen oder setzen, • Knoten einfügen und löschen; Knoten einfügen und löschen ist allerdings etwas problematisch: was sollen wir mit den Kindern tun, wenn wir einen Knoten löschen bzw. einen Knoten einfügen. Eine sinnvolle Beschränkung ist daher, nur im leeren Baum oder leeren Kindern einfügen zu können und nur Blätter löschen zu dürfen. Anders als bei Listen ist es nicht unbedingt ratsam oder erforderlich, den Baum zusammen mit einer aktuellen Sichtbarkeitsposition zu realisieren, da man sich am Baum nicht in linearer Weise ‘langhangeln’ kann. Wir benötigen also keinen Verweis auf eine aktuelle Position im Baum. Stattdessen verwendet man oft rekursive Aufrufe, gegeben eine konkrete Knotenposition im Baum. Es ist daher nützlich, wenn man sich von einer gegebenen Knotenposition aus am Baum entlanghangeln kann. Wir statten daher Baumelemente mit entsprechenden Methoden aus, die ein Navigieren im Baum gestatten. Baumalgorithmen sind entsprechend der rekursiven Struktur von Bäumen häufig rekursiv aufgebaut. Ein einfaches Beispiel, das Berechnen der Höhe eines binären Baums etwa, könnte wie folgt aussehen: wir nehmen an, daß zu einem konkreten Knoten act der linke Teilbaum durch die Methode left, der rechte Teilbaum durch die Methode right erhalten werden kann. Die Methode isempty testet, ob ein Baum leer ist. Der Algorithmus ist dann wie folgt: int height(knoten act) { if (act.isempty()) return 0; int a = height(act.left()); int b = height(act.right()); if (a0){ root=new Baumelement(); rootreadfrom(args,0); } } String out(){ // Ausgabe if (isempty()) return " "; return root.out(); } int eval(){ //Auswertung if (isempty()) return 0; return root.eval(); } public static void main(String[] args){ Baum term = new Baum(); term.readfrom(args); System.out.print("Der Term "+term.out()); System.out.println(" ist "+term.eval()); } } Mithilfe dieser Klasse werden Ausdrücke rekursiv als Terme interpretiert, entsprechend ihrer Struktur in einem Baum gespeichert mit Operationen als innere Knoten und Werten als Blättern, und rekursive ausgewertet. Der Aufruf java Baum ( ( 4 - 2 ) * ( ( 6 + 3 ) + ( ( 7 - 4 ) * 4 ) ) ) ¨ man führt zur Ausgabe Der Term ((4-2)*((6+3)+((7-4)*4))) ist 42. 19 Ubergibt einen nicht gültigen Ausdruck, terminiert das Programm entweder vorzeitig mit einem Fehler, oder es wird ignoriert (fehlende Klammern am Ende werden etwa einfach u¨ bersehen). Heapsort Baumstrukturen spielen auch eine große Rolle beim Abspeichern von Daten. Sie ermöglichen, Daten schnell nach ihrer Größe geordnet abzuspeichern und wiederzufinden. Es existieren dazu 19 Man muß bei der Eingabe die Zeichen *, ( und ) schützen, da sie sonst von der Shell als Sonderzeichen gedeutet werden, das geschieht z.B. mit \. Der Aufruf ist also eigentlich

java Baum $ \( 4 - 2 $ \* $ \( 6 + 3 $ + $ \( 7 - 4 $ \* 4 \) \) \)

5.3 Bäume

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verschiedene spezielle Typen von Bäumen, die geeignete Bedingungen an die Anordnung der Elemente erfüllen, so daß man Auslesen und Einfügen sehr effizient gestalten kann. Wir wollen hier als kleine Demonstration dessen einen weiteren Sortieralgorithmus kennenlernen, den Heapsort. Ein Heap ist ein binärer Baum mit der Bedingung, daß der Wert eines Knotens im Baum größer ist als der Wert seiner Kinder. Insbesondere kann man in einem Heap das Maximum aller Werte sehr schnell finden: es ist der Wert an der Wurzel des Baums. Dieses dient als Idee für folgendes Sortierverfahren: Man liest die Elemente nacheinander ein, so daß sie einen Heap bilden. Danach entfernt man nacheinander jeweils das Element and der Wurzel (das noch verbleibende größte Element) und repariert den Heap, bis kein Element mehr u¨ brig bleibt. Die Folge der Elemente ist dann der Größe nach sortiert. Man benötigt für diese Prozedur zwei zentrale Methoden: swim und sink. • swim: Reparatur des Heap, wenn ein neues Element als Blatt eingefügt wird. Für ein beliebiges Element, das als Blatt eingefügt wird, muß die Bedingung des Heap nicht erfüllt sein. Ist das Element zu groß, dann muß es an einer höheren Stelle des Heap aufgehängt werden, es muß quasi nach oben schwimmen, bis es richtig steht. Algorithmisch kann man dieses dadurch realisieren, daß man das neu eingefügte Element mit seinem Elter vergleicht. Ist der Elter kleiner, tauscht man das neue Element mit dem Elter. Und fährt mit dem Knoten fort, an dem das Element jetzt steht, da es immer noch größer als sein neuer Elter sein kann. Spätestens an der Wurzel ist dann Schluß. Diese Prozedur benötigt man beim sukzessiven Einfügen der Elemente in den Heap. • sink: Reparatur des Heap, wenn ein neues Element als Wurzel eingefügt wird. Genau umgekehrt zur vorherigen Prozedur kann es sein, daß die Wurzel zu klein ist. Sie muß also soweit nach unten sinken, bis sie an der richtigen Stelle steht. Dazu vergleicht man die Wurzel mit dem größeren der Kinder, und tauscht, sodern das Kind gröser als der Elter ist. Mit dem neuen Knoten fährt man dann fort, bis keine Fehlstellung mehr vorliegt oder man an den Blättern angekommen ist. Diese Prozedur wird benötigt, wenn die Wurzelelemente des Heap iterativ gelöscht und durch ein beliebiges anderes Element des Heaps erzetzt wird. Diese beiden Methoden bilden das Kernstück des Heapsort. Wir stellen hier eine konkrete Implementation innerhalb von einem Array vor. Man kann die Elemente eines binären Baums in einem Feld abspeichern und hier sehr schnell für ein gegebenes Element Kinder/Eltern referenzieren: Element 1 speichert die Wurzel, 2 und 3 dessen Kinder, 4 und 5 die Kinder von Knoten 2, 6 und 7 die Kinder von Knoten 3 usw. Allgemein findet man die Kinder von Element i an den Stellen 2i und 2i + 1, den Elter von i an der Stelle i/2 (ganzzahlige Division). Damit kann der Heapsort sehr einfach wie folgt in einem Feld implementiert werden: class heap{ int[] h; int n; heap(String[] wovon){ n=wovon.length+1; h = new int[n]; for (int i=1;i0)&&(j>0)&(imove(ob2); write("Der L¨ owe befindet sich jetzt im K¨ afig.\n"); return 0; } Zur weiteren Erheiterung: das Shell-Script: #!/bin/sh for $tier in $W¨ uste do owe ] if [ $tier = $L¨ afig; exit 0 then mv $tier $K¨ fi done Die Lösung als Pseudocode, wobei, wie u¨ blich, einige unwesentliche Details weggelassen wurden: MODULE Fang; FROM Problem IMPORT Loesung; BEGIN; Loesung; END Fang.

Es gibt weitere Lösungen, informatorische, aber auch Beiträge der Mathematik und Physik, sehen Sie z.B. http://www.uni-graz.at/imawww/pages/humor/lions.html

7.2 Ein paar Schlagworte Es ist Zeit, ein paar technische Terme im Zusammenhang mit Programmiersprachen, die wir teilweise schon gebraucht haben, zu erläutern. • Compiler/Interpreter: Sprachen, die nicht selbst Maschinensprache sind, werden entweder compiliert, d.h. ein und für alle Mal in Maschinensprache u¨ bersetzt, oder interpretiert, d.h. erst während des Ausführens Stück für Stück in Maschinensprache umgewandelt. Compilierte Programme sind in der Regel schneller, da einige Optimierungen gemacht werden können. Interpretierte Programme sind dagegen plattformunabhängiger, und erlauben eine ¨ Anderung des Programmtexts zur Laufzeit. Java wird in eine Zwischensprache compiliert und dann interpretiert.

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7 PROGRAMMIERSTILE

• Skriptsprache/Hochsprache/Maschinensprache/Anwendungssprache: Es gibt verschiedene Ebenen der Programmierung mit jeweils unterschiedlichen Anforderungen. Maschinensprache ist direkt, sehr elementar und für den Menschen schwer verständlich. Maschinennahe Sprachen werden in zeitkritischen und Hardware-nahen Bereichen verwendet. Hochsprachen sind multi-purpose Programmiersprachen wie etwa Java, die u¨ bliche Algorithmen wie Sortieren, Rechnen, . . . umsetzen können. Skriptsprachen sind mit den wichtigsten Kontrollstrukturen versehene Sprachen meist auf Betriebssystemebene, die ein einfaches Automatisieren von Systemaufrufen ermöglichen, wie etwa den mehrfachen Start eines Java-Programms mit unterschiedlichen Parametern und die Auswertung der Ergebnisdateien. Skriptsprachen beinhalten Systembefehle und einige Möglichkeiten, Terme zu manipulieren, allerdings meist keine modularen oder prozeduralen Elemente oder Typen. Anwendungssprachen wie etwa Mathematica und Matlab sind speziell für Anwendungsbereiche wie etwa mathematische Symbolmanipulation oder Darstellung mathematischer Mannigfaltigkeiten geschrieben. Sie beinhalten umfassende fertige Algorithmen des jeweiligen Anwendungsgebietes (z.B. Lösen linearer Gleichungssysteme), dazu u¨ bliche Kontrollstrukturen, aber nur wenig Modularisierung und Typen. • Typenbindung: Typengebundene Sprachen verwenden Variablen strikt nur für den Typen, für den sie deklariert wurden, z.B. Integer. Bei nicht typengebundenen Sprachen kann man Variablen benutzen und ihnen im Laufe des Programms einen beliebigen Inhalt zuweisen. Skriptsprachen sind u¨ blicherweise nicht typengebunden. In maschinennahen Sprachen wie C ist der vermischte Gebrauch mehrerer Typen (etwa Zeiger und Arrays) möglich, da man diekten Speicherzugriff hat. Logische Sprachen erlauben (in purer Form) teilweise nur Symbole (sogenannte Herbrandalgebra). • Speicherverwaltung: In klassischen Hochsprachen ist der Programmierer in der Regel selbst für die Speicherverwaltung zuständig. D.h. er muß für Variablen, deren Größe nicht klar ist (Listen etc.) geeigneten Speicherplatz explizit reservieren und wieder freigeben. Das ist eine sehr schnelle und effiziente Möglichkeit, da man unter anderem direkt an den Speicherplätzen rechnen kann, aber auch eine stete Quelle für Programmierfehler, wenn man auf unzulässigen Speicherplatz zugreift (die berühmten segmentation faults in C. . . ). Java nimmt dem Programmierer die Arbeit ab. Der Befehl new reserviert entsprechenden benötigten Speicherplatz und liefert einen Verweis auf den Speicher. Java sorgt selbst dafür, daß nicht mehr benötigter Speicher freigegeben wird. Nicht benötigter Speicher ist dabei solcher, auf den keine im Programm noch benötigte Referenz verweist. Der sogenannte garbage collector ist ein stetig je nach Systemauslastung im Hintergrund laufender Prozess, der diesen freien Speicher entdeckt, aufsammelt und wieder freigibt. • call by value/call by reference: Variablenübergabe für Methoden oder Prozeduren kann auf zwei verschiedene Arten geschehen: durch eine Kopie einer Referenz auf ein Objekt, oder durch eien Kopie des im Objekt stehenden Inhalts. Die Auswirkungen sind unterschiedlich, ¨ da Anderungen des Objekts Auswirkungen auf das gesamte Programm haben oder nicht. In Java sind alle Variablen call-by value, also als Inhalt u¨ bergeben, wobei sich dieses bei Referenztypen als call by reference auswirkt, da die Variablen nur als Referenz tatsächlich vorliegen. • Debugging: nennt man den Prozess der Fehlersuche. Da das einen großen Teil der Entwicklungszeit einnimmt, gibt es hierfür mächtige Tools, für Java etwa den Java Debugger jdb als Kommandozeilenorientierte Version oder graphische Pendants.

7.3 Prolog

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• Dokumentation: eine gute Dokumentation von Programmen ist essentiell insbesondere für ihre Wiederverwendung oder für die Benutzung durch andere Leute. Unumgänglich ist eine angemessene Dokumentation auch beim Zusammenspiel mehrerer Programmstücke von verschiedenen Programmierern. Wir wissen, wie man Kommentare in Java integriert. Ein Benutzer möchte allerdings nicht in den Code schauen müssen, um den prinzipiellen Aufbau eines Programms zu vesrtehen. Java stellt hier eine elegante Möglichkeit, automatisch aus Code Kommentare in Form geeigneter html-Seiten (also mit einem Internet-browser betrachtbarer Seiten) zu extrahieren. Javadoc ist in Java integriert und extrahiert aus dem Programmcode html-Texte, sofern sie mit einem doppelten ∗ (statt nur einfachem ∗) gekennzeichnet sind. Zusätzlich zur Extraktion dieser gekennzeichneten Bereiche extrahiert javadoc selbständig eine Visualisierung der Klassen: jede Klasse wird in der durch die Unified Modeling Language (UML) vereinbarten Weise charakterisiert, d.h. ihre Methoden und ariablen werden zusammen mit der Sichtbarkeit (und etwaigen Kommentaren) dargestellt. Klassendiagramme und weitere Abhängigkeiten sind ebenfalls integriert.

7.3 Prolog Wir haben jetzt nur einen sehr kurzen Blick auf andere Sprachen geworfen. Diesen wollen wir für eine fundamental von Java verschiedene Sprache etwas ausweiten: Prolog, einer logischen Programmiersprache. Prolog basiert auf Logikkonzepten und ist tatsächlich aus Entwicklungen entstanden, logische Aussagen automatisch zu beweisen. Der Kern hinter Prolog ist das sogenannte Resolutionskalkül, ein Logikkalkül zum Beweis von Aussagen. Es gibt verschiedenste Prolog-Systeme, bekannt sind etwa Quintus-Prolog oder das freie und mit Quintus weitgehend kompatible SWI-Prolog (siehe etwa http://www.swi-prolog.org/). Wir führen hier die Grundlagen von Prolog ein, wobei wir im Hinterkopf haben, daß es um logische Formeln in den Programmen geht. Programme bestehen tatsächlich aus logischen Formeln in spezieller Form. Entsprechend wiederholen wir vieles, was wir im Zusammenhang mit logischen Formeln schon gehört haben. Variablen Variablen und Variablenbelegungen in Prolog sind die Grundeinheiten von Formeln: Terme. Ein Term ist entweder eine • Variable, in Prolog entweder ein mit einem Großbuchstaben anfangendes Wort wie X oder Aha, oder eine sogenannte anonyme Variable, die nur einmal auftaucht und daher gar keinen Name braucht, markiert durch . • Konstantensymbole, in Prolog mit einem Kleinbuchstaben beginnende Wörter oder bekannte Konstantensymbole wie Zahlen 0, 1, 42, . . . • zusammengesetzte Terme der Form f (t1 , . . . , tn ) mit einem Funktionssymbol f (mit Kleinbuchtsaben beginnend) und Subtermen ti , etwa f (X, g(h(Y, ))), es gibt die u¨ blichen Funktionen +, ∗, . . . , die auch infix geschrieben werden können. Wir haben gelernt, daß man Variablen und Symbole auswerten kann u¨ ber gegebenen Algebren. Prolog verwendet (bis auf einige Fälle, die wir noch bekommen) eine spezielle Algebra mit einer trivialen Auswertung: die sogenannte Herbrandalgebra. Diese Algebra lebt u¨ ber Zeichenketten und interpretiert den Wert solcher Terme als die Zeichenkette, die diesen Tem beschreibt. Man läßt also de facto die Terme so stehen, wie sie sind, und rechnet rein symbolisch weiter (das kennen Sie evtl. schon aus symbolischen mathematischen Systemen, etwa Maple kann rein symbolisch

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Funktionen ableiten oder umwandeln, ohne irgendetwas tatsächlich zu einer Zahl auszuwerten). Diese prinzipielle Sichtweise macht manches einfacher: statt komplizierten Datenstrukturen und deren Darstellung nachzugehen, nimmt man Zeichenketten, wie sie kommen, und kümmert sich nicht um etwaige Bedeutungen. Dieser Standpunkt ist gerechtfertigt, da es in Prolog um den Test geht, ob Formelmengen Modelle haben. Man kann zeigen, daß eine Formelmenge dann und nur dann ein Modell besitzt, wenn sie ein Herbrandmodell besitzt. Im Klartext also: wir brauchen uns nicht um aufwendige Algebren und Grundbereiche zu sorgen, die Symbole selbst reichen völlig aus! Horn-Klauseln Wir erinnern uns: logische Formeln bestehen aus • atomaren Formeln, das sind entweder die Konstanten true und false (in Prolog fail), oder Prädikatssymbole mit eingesetzten Termen, also etwa X < Y , oder p(X,Y), falls p ein Prädikatssymbol ist, • negierte Formeln ¬ϕ • und-, oder-Verknüpfungen, folgt, oder a¨ quivalent, • quantisierte Formeln. Wir lassen erstmal Quantoren weg. Wir erinnern uns: jede Formel kann man in konjunktiver Normalform schreiben, d.h. als Konjunktion von Disjunktionen von Literalen, wobei ein Literal eine atomare oder negierte atomare Formel ist. Oder-Veknüpfungen von Literalen nennt man auch Klauseln, und man sagt, daß. eine Klausel gilt, falls die oder-Verknüpfung gilt. Eine Menge von Klauseln wird als die und-Verknüpfung der Klauseln interpretiert, sie gilt also, wenn jede Klausel gilt. Damit kann man (über die konjunktive Normalform) jede quantorenfreie Formel in Klauselform bringen. Prolog-Programme bestehen aus logischen Formeln einer speziellen Form, sogenannten Horn-Klauseln. Horn-Klauseln sind Klauseln mit maximal einem positiven Literal. Es sind • Fakten: genau ein positives Literal. In Prolog wird das etwa als likes(john,mary). geschrieben. • Regeln: ein positives und mehrere negative Literale. Also so etwas wie a ∨ ¬b ∨ ¬c. Beachten Sie, daß man dieses auch als (b ∧ c) → a schreiben kann. Genauso notiert Prolog solche Regeln, mit dem Kopf a und dem Rumpf (b, c), einfach durch Komma statt durch und getrennt. Aus historischen Gründen schreibt man − : statt → und den Kopf vorne, also a : −b, c. oder auch likes(mary,X):-human(X),honest(X). • Anfragen: sie enthalten nur negative Literale, etwa ¬b ∨ ¬c. man schreibt das in Analogie zu Regeln als ? − b, c.. Anfragen werden an ein Prolog Programm gestellt, und Prolog versucht, die Anfrage aus dem Wissen, also den bekannten Fakten und Regeln herzuleiten. Etwa ?-likes(mary,john).

7.3 Prolog

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Ein mögliches Prologprogramm wäre also etwa die Wissensbasis likes(john,mary). honest(john). human(john). likes(mary,X):-human(X),honest(X). Durch die Einschränkung auf Horn-Klauseln hat man tatsächlich eine Teilmenge der logischen Formeln ausgezeichnet, man erhält so nicht mehr alle möglichen Formeln. Der Vorteil ist, daß man mit Hornklauseln logische Schlüsse gezielt in einer normierten Reihenfolge und sehr effizient vornehmen kann. Für allgemeine Formeln wäre das nicht so einfach der Fall. Programmablauf Ein Programmablauf besteht rein formal in dem Versuch, zu zeigen, daß aus einem gegebenen Programm eine nachgefragte Formel folgt, etwa aus obigem Programm folgt likes(mary,john). Formal zeigt man das, indem man zeigt, daß die Formelmenge des Programms und das Negat der nachgefragten Sache kein Modell besitzt (das ist a¨ quivalent dazu, daß die Formel selbst folgt). Daher Anfragen (negierte Formeln). Die spezielle Form von Prologprogrammen macht es jetzt möglich gezielt vorsugehen. Entweder ist das Nachgefragte ein Fakt in der Wissensbasis, d.h. man findet die Nachfrage als Tatsache, mehrere Schritte durch Regeln hergeleitet werden. Dazu muß das Nachgefragte Kopf einer Regel sein, und Prolog versucht, statt dem Kopf (der ja eigentlich zu zeigen ist), alle Literale im Körper zu zeigen (was ausreicht, da daraus ja der Kopf folgte). Dieses Vorgehen nennt man auch Resolution. In obigem Fall ergibt das: ?-likes(mary,john). ?-human(john),honest(john). ?-honest(john). yes

+ + +

likes(mary,X):-human(X),honest(X). human(john). honest(john).

Prolog hat also alles der Reihe nach nachgewiesen, wobei X am Anfang durch das zu betrachtende Individuum john ersetzt wurde. Heraus kam die leere Menge, d.h. die leere Klausel, die kein Modell hat. Die Aussage muß also aus der Regelmenge folgen, Prolog quittiert dieses mit yes. Fragen wir etwas anderes: ?-likes(mary,tweety). Prolog quittiert mit no, denn es kann die Frage zwar auf ?-human(tweety),honest(tweety). zurückführen, aber dann ist Schluß, es ist nicht bekannt, ob tweety ein Mensch oder evtl. doch eher ein Pinguin ist, und die Ehrlichkeit ist auch fraglich. Beachten Sie, daß diese Abgleich mit Regelköpfen nur deswegen möglich ist, weil man sich auf Hornklauseln beschränkt hat. Mehr als ein positives Literal würde zwei oder mehr Elemente im Kopf verursachen, man könnte sich also nicht sicher sein, welches der beiden man inferieren kann. In Hornklauseln ist man sich dessen sicher. Logisch entspricht das dem Faktum, daß Hornformeln immer zu einem eindeutigen kleinsten Herbrandmodell führen, das Prolog auf diese Art berechnet. Kleinst bedeutet dabei, daß Prolog u¨ ber Sachen,über die es nichts sicher weiß, negativ bescheidet (tweety könnte ja durchaus ehrlich sein, nur weiß Prolog das nicht und verneint deswegen.) Backtracking Es kann sein, daß der erste Versuch einer Regel nicht unbedingt zum Erfolg führt, oder daß es mehr als eine Möglichkeit zum Erfolg gibt. Prolog testet tatsächlich der Reihe nach alle Fakten oder Regeln durch, bis entweder Erfolg aufgetreten ist, oder keine weitere Möglichkeit mehr u¨ brig ist. Das Backtracking bezieht sich dabei auf alle Zwischenschritte. Ein Beispiel: Pfade in einem azyklischen Graphen finden. Wir haben die folgende Regelbasis:

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160 edge(a,b). edge(a,e). edge(b,c). edge(b,f). edge(e,f). edge(e,d). edge(g,d). edge(g,h). path(X,X). path(X,Y) :- edge(X,Z), path(Z,Y).

Die ersten acht Fakten beschreiben den Graphen, das Fakt path(X,X) sagt, daß es immer einen Pfad zu sich selbst gibt, und die Regel beschreibt die transitive Hülle, die man u¨ ber Zwischenknoten enthält. Auf die Anfrage ?-path(a,c). hin wird folgender Suchbaum aufgebaut: ?−path(a,c).

?−path(b,c).

?−path(c,c)

?−path(e,c).

?−path(f,c).

?−path(f,c).

?−path(d,c).

Der linkeste Pfad führt zum Erfolg, die anderen hier nicht. Prolog sucht in diesem Baum per Tiefensuche von links nach rechts nach einer Lösung. Es kann dabei auch mehrere geben (die Prolog dann der Reihe nach findet, Eingabe ist ’;’), oder auch gar keine (der ganze Baum führt zu Mißerfolg). Die Reihenfolge der Regeln bestimmt die Reihenfolge, in der der Baum aufgebaut wird, also auch das zuerst gefundene Ergebnis. Achtung: es kann unendliche Pfade geben! Trifft Prolog vor einem Erfolgspfad einen unendlichen Pfad, terminiert es nicht. Ein Beispiel: betrachten Sie die Erweiterung obigen Programms um das Faktum edge(b,a). Der Graph wird damit zyklisch! Wenn jetzt die Anfrage ?-path(a,g). gestellt wird, terminiert das Programm nicht, obwohl es offensichtlich ist, daß es so einen Pfad nicht geben kann. Was ist das Problem? Wir haben einen unendlichen Programmablauf bekommen: Die Anfrage führt u¨ ber den Zyklus von a nach b zu folgender Abarbeitung: ?-path(a,g). ?-edge(a,Z),path(Z,g). ?-path(b,g). ?-edge(b,Z),path(Z,g). ?-path(a,g). Dieses muß man im Programm verhindern. Wie, sehen wir später.

7.3 Prolog

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Variablen/Unifikation Bisher haben wir Variablen nur marginal und implizit benutzt. Was ist die Rolle von Variablen? Prolog kennt keine Existenzquantoren, alle auftauchenden Variablen sind impliziert allquantifiziert. Etwa die Regel p(X) : −q(Y ), c(Z). bedeutet also in Formeln ∀X∀Y ∀Z((q(Y ∧ c(Z)) → p(X)). Dieses bedeutet keine Einschränkung, da man in einer Formel Quantoren immer ganz nach vorne ziehen kann, und man auf Existenzquantoren verzichten kann (durch die sogenannte SkolemNormalform, auf die wir hier nur hinweisen). Es stehen also implizit allquantifizierte Formeln in Prolog. Es kommt in Prolog vor, daß man zwei Terme ’gleich machen’ möchte, d.h. man möchte Variablen in den Termen so belegen, daß zwei betrachtete Terme u¨ bereinstimmen. Dieses dient dazu, Wissen innerhalb von Formeln zu propagieren. Wir haben das tatsächlich in kleinem Rahmen die ganze Zeit getan: wir haben Variablen Konstanten zugewiesen. Das ganze könnte bei komplexeren Termen aber auch schwieriger aussehen. ’Gleich machen’ von Termen nennt man Unifikation. Mathematisch sucht man dabei für gegebene Terme t1 und t2 eine Substitution σ der Variablen in den Termen, so daß t1 σ = t2 σ gilt. Ein Beispiel macht dieses sofort klar: Gegeben seien die Terme f (X, g(b, c)) und f (d, g(Z, C)). Wir sehen sofort: ersetzen wir X durch d, Z durch b und C durch c, dann sind die beiden Terme gleich. Zudem gibt es keine andere Substitution, die dasselbe liefert. Unifikation einer Variablen X und einer Konstanten c ersetzt X durch c. Was ist ¨ mit g(Z, f (A, 17, B), A + B, 17) und g(C, f (D, D, E), C, E). Ein wenig Uberlegung zeigt: wir müssen Z durch 17 + 17, A durch 17, B durch 17 ersetzen. Es gibt auch die Situation, daß Terme nicht unifizierbar sind, etwa g(X) und f (Y ) – die Funktionssymbole sind unterschiedlich, also nützen alle Variablenbelegungen nichts. Oder auch X und f (X) – bei jeder Bekegung von X würden wir dasselbe im rechten Term auch tun, sind also mit dem lonken immer ’einen Schritt zurück’. Solche Terme heißen nicht unifizierbar. Es gibt den weiteren Fall, daß Terme auf mehr als eine Weise unifizierbar sind. Ein Beispiel: f (X, Y ) und g(Z, Y ). Hier könnte man X = Y = Z setzen. Es reichte aber auch, nur X = Y zu setzen. Die letztere Unifkation ist allgemeiner, als die erste, denn man kann die erste aus der zweiten durch weiteres Substitutieren erhalten. Die zweite substituiert quasi nur das, was ebene gerade nötig ist, um die gleichen Terme zu nerhalten, aber nicht mehr. Man kann zeigen, daß dieser allgemeinste Unifikator von zwei Termen, so es ihn gibt, bis auf Variabkenumbenennung eindeutig ist. Es idt der sogenannte most general unifier (mgu). Zu seiner Berechnung gibt es einen Algorithmus, der sukzessive die Variablen ersetzt, um alles gleich zu machen. Unifikationsalgorithmus ist in Prolog eingebaut, wenn Prolog die Köpfe von Regeln betrachtet, und seine genaue Form braucht uns hier nicht zu interessieren. Wenn Prolog Köpfe mit Anfragen abgleicht, unifiziert es also und setzt die sich ergebenden Variablen an alle anderen Stellen der Formel. Die im Endeffekt berechneten Variablen einer Anfrage werden am Schluß von Prolog ausgegeben und können verwendet werden, um Informationen zu berechnen. Termauswertung Bevor wir uns Unifkation und Variablenbelegungen zunutze machen, eine weitere Konstruktion. Prolog rechnet u¨ ber Herbrandalgebren, was im Zuge von arithmetischen Ausdrücken sehr lästig ¨ werden kann. Betrachten Sie etwa 42 und 2 ∗ 21. Uber einer Herbrandalgebra sind die beiden Terme weder gleich noch unifizierbar, da sie sich ja zu den (völlig verschiedenen) Zeichenketten auswerten. Im wirklichen Leben möchte man häufig solche arithmetischen Ausdrücke tatsächlich auswerten (und zwar u¨ ber den natürlichen oder reellen Zahlen!). Man muß Prolog hierzu explizit anhalten durch das Wort is. Die Aussage X is 2*21 führt dazu, daß der rechte Term ausgewertet und der Wert X zugewiesen wird.

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Kommen wir mit dieser Zusatzinformation an eines unserer ersten Programme, den ggt. In Prolog können wir den ggt durch folgende Wissensbasis berechnen: ggt(X,0,X). ggt(0,X,X). ggt(X,Y,Z) :- Y>0, X1 is X-Y, X1 >= 0, ggt(X1,Y,Z). ggt(X,Y,Z) :- X>0, Y1 is Y-X, Y1 >= 0, ggt(X,Y1,Z). Diese vier Regeln besagen, daß der ggt von einer Zahl und Null die Zahl gibt, und im anderen Fall man den ggt nicht a¨ ndert, wenn man von der größeren Zahl die kleinere abzieht (wie wir beim euklidischen Algorithmus gesehen haben). Die Anfrage ggt(15,5,X). führt zu der Antwort yes mit Wert X=5. Dabei wurde dreimal Regel 1 angewandt und je der ggt von 10 und 5, 5 und 5, bzw. 0 und 5 nachgefragt. für 0 und 5 trifft das zweite Faktum zu, das dann auch Z auf 5 setzt. Man kann auch Anfragen der Form ?-ggt(1,2,3). stellen, die mit no quittiert werden. Anfragen der Form ?-ggt(X,2,2). sind hier nicht gestattet, da bei der Auswertung von is die beteiligten Variablen belegt sein müssen (Symbole kann man nicht arithmetisch auswerten). Was wäre passiert, wenn wir unser Programm abgewandelt hätten zu ggt(X,0,X). ggt(0,X,X). ggt(X,Y,Z) :- Y>=0, X1 is X-Y, X1 >= 0, ggt(X1,Y,Z). ggt(X,Y,Z) :- X>=0, Y1 is Y-X, Y1 >= 0, ggt(X,Y1,Z). Das Programm ist logisch immer noch richtig, wie man leicht sieht, doch führen Anfragen der Form ?-ggt(1,2,3). zu einer Endlosschleife, wie folgt: ?-ggt(1,2,3). ?-ggt(1,1,3). ?-ggt(1,0,3). ?-ggt(1,0,3). ?-ggt(1,0,3). ... Listen Datenstrukturen in Prolog sind per default Symbole in der Herbrandalgebra oder, wenn man es explizit verlangt, arithmetische Ausdrücke, wie wir gesehen haben. Eine der wichtigsten Datenstrukturen, die man in Prolog verwendet, sind Listen von Objekten, für die daher eine spezielle Notation existiert. Eine Liste ist generell eine endliche Folge von Objekten, die man in Prolog in eckige Klammern einschließt: [a,b,c,a,e,f] bezeichnet die Liste mit Elementen a, b, c, d, a, e, f, [ ] bezeichnet die leere Liste. Man darf Listen auch beliebig schachteln, etwa [a,[a,b],c,[a,[e,f]]] bezeichnet die Liste mit Elementen a, [a,b], c und [a,[e,f]]. Man kann solche Listen direkt in Prolog verwenden, wobei sie durchaus auch Variablen enthalten dürfen;etwa

7.3 Prolog

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[X,Y,X,Y] referiert auf irgendeine Liste mit vier Elementen, wobei das erste und dritte, und das zweite und vierte Element gleich sind. Allgemein ist eine Liste entweder die leere Liste, oder sie ist zusammengesetzt aus einem ersten Element und einer darauf folgenden (evtl. leeren) Restliste. Auf dieser rekursiven Notation basierend stellt Prolog weitere Techniken bereit, die Elemente einer Liste anzusprechen: [X|L] referiert auf die Liste mit erstem Element X und Restliste L. Dabei wird vereinbart: [a|[]] ist die Liste [a], es a¨ ndert also nichts, wenn die leere Liste an eine bereits bestehende gehängt wird. Man kann so etwa die Elemente einer Liste der Reihe nach durchgehen. Als Beispiel betrachten wir ein Programm, das testet, ob ein gegebenes Element in einer Liste vorhanden ist: iselement(X,[X|_]). iselement(X,[_|L]):-iselement(X,L). Ein Element ist in einer Liste vorhanden, wenn es entweder das erste Element ist, oder in der Restliste vorhanden ist. Ein zweites Beispiel, wie berechnet man aus einer gegebenen Liste von Zahlen das Maximum? max(X,L):-hilfsmax(-100000,X,L). hilfsmax(X,X,[]). hilfsmax(X,M,[A|L]) :- A>X, hilfsmax(A,M,L). hilfsmax(X,M,[A|L]) :- X>=A, hilfsmax(X,M,L). Dieses Vorgehen berechnet iterativ das Maximum der Listenelemente, wobei in einer Hilfsvariablen das Maximum des schon besuchten Anfangsstücks mitgeführt wird. Die beiden Regeln zu der Hilfsfunktion unterscheiden die Fälle, ob aktuell ein noch größeres Element gefunden wurde. Sobald die Liste abgearbeitet wurde, ist das bis dahin gefundene Maximum auch das gesamte, d.h. der Wert wird in die ’Rückgabevariable’ X geschrieben. Wir können Listen auch dazu verwenden, das Problem der unendlichen Pfaden bei zyklischen Graphen zu lösen: wir führen einfach jeweils in einer Liste alle schon auf dem aktuellen Versuch besuchten Knoten mit und testen nur solche, die noch neu sind. Als Programm: path(X,Y) :- legalpath(X,Y,[]). legalpath(X,X,_). legalpath(X,Y,H):- edge(X,Z), legal(Z,H), legalpath(Z,Y,[Z|H]). legal(_,[]). legal(Z,[H|T]) :- Z\==H, legal(Z,T). begin{verbatim} Wir haben hier also das Hilfsprädikat legalpath verwendet. Dieses speichert je alle schon besuchten Ecken und fügt nur neue legale an, d.h. solche, die noch nicht Element der Besuchtliste sind. Dazu testet man die Ungleichheit für jedes Element der Liste. Ungleichheit ist in purem Prolog eigentlich nicht vorgesehen, da man in den zugrundeliegenden Hornklauseln mehr als ein positives Literal erhalten würde. Die eingebaute Funktion X\==Y ist dann und nur dann wahr, wenn X und Y nicht unifizierbar sind. Für bereits instanziierte Variablen ist das tatsächlich ein Test auf Ungleichheit.

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7 PROGRAMMIERSTILE

Negation as failure Prolog bedingt durch die Einschränkung auf Hornklauseln eine echte Einschränkung allgemeiner logischer Aussagen, das nur ein positives Literal pro Regel existieren darf. Um manche Sachen zu formulieren, kommt man daher um eine Art der Erweiterung um mehr als ein positives Literal nicht herum. Realisiert wird dieses durch eine spezielle Art der Negation, die auf der rechten Seite von Regeln erlaubt ist. \+ aussage bedeutet das Negat von Aussage. Dabei ist dieses nicht die streng logische Negation, sondern Prolog interpretiert dieses operational durch sogenanntes negation as failure. Sobald eine solche Negation angetroffen wird, versucht Prolog, die Aussage zu beweisen. Falls dieses fehlschlägt, wird das Negat als gültig angesehen. Es werden bei diesem Versuch grundsätzlich keine Variablen zurückgegeben. Es kann also bei der Abarbeitung von \+ aussage dreierlei passieren: • aussage kann aus der Wissensbasis abgeleitet werden (mit irgendeiner Variablenbelegung). Dann schlägt \+ aussage fehl. • aussage kann aus der Wissensbasis nicht abgeleitet werden. Dann ist \+ aussage wahr, aber es werden keine neuen Variablenbelegungen zurückgegeben. • Der Versuch, aussage abzuleiten, führt zu einer Endlosschleife. Das Programm \+ aussage terminiert dann nicht. Dieses ist kein logisches Negat, selbst wenn die Aussage abgeleitet werden kann, da es von der sogenannten closed world assumption ausgeht: alles, was nicht ableitbar ist, gilt nicht (obwohl wir das ja eigentlich gar nicht wissen können). Ein Beispiel für die Anwendung: wir hätten obiges eingebautes Zeichen \== ersetzen können durch legal(Z,L) :- \+ iselement(X,L). Zwei Demonstrationen der closed world assumption: guilty(X) :- \+ innocent(X). innocent(peter_pan). innocent(winnieh_the_pooh). Die Anfrage ?- guilty(tweety) führt zu yes. good_hotel(goedels). good_hotel(freges). expensive_hotel(goedels). reasonable_hotel(X) :- \+ expensive_hotel(X). Die Anfrage ?-good hotel(X),reasonable hotel(X). liefert yes mit der Belegung X=freges. Das liegt daran, daß zunächst X mit goedels initialisiert wird, und dann der Nachweis reasonable hotel(goedels) fehlschlägt. Danach wird X mit freges belegt, und das Programm ist erfolgreich. Die Anfrage ?-reasonable hotel(X),good hotel(X). hingegen liefert no. Das liegt daran, daß zuerst mit nicht initialisiertem X die Anfrage reasonable hotel(X) gestellt wird. Dieses wird (noch ohne Wahlmöglichkeiten) zur Anfrage \+ expensive hotel(X) resolviert. Prolog versucht also, expensive hotel(X) zu beweisen, was mit X als goedels gelingt. Der Versuch schlägt also fehl und es steht auch keine Alternative zur Verfügung, denn X ist ja uninstanziiert in das negation as failure gegangen – daß es eine weitere Belegung gäbe, für die alles gelten würde, interessiert hier nicht. Sie sehen also, es kann innerhalb dieses nicht mehr puren Prolog merkwürdige Effekte geben, daher sollte man solche Elemente möglichst gering halten.

7.3 Prolog

165

Cut Cut, geschrieben als ’!’, ist ein weiteres prozedurales Element, das u¨ ber die logische Grundlage von Prolog hinausgeht. ’!’ ist ein Prädikat, das immer verifiziert werden kann. Es hat den Effekt, daß mit Abarbeiten von ’!’ alle möglichen Backtrackingmöglichkeiten für die gerade betrachtete Regel annuliert werden; das betrifft alternative Aufrufe zur gerade betrachteten Regel und innerhalb der Regel selbst schon gespeicherte Backtrackingmöglichkeiten. Es können nur noch der jetzt betretene Pfad, Backtrackingmöglichkeiten bezogen auf eine andere Regel vor Aufruf der jetzigen Regel oder neu entstehende Backtrackingmöglichkeiten begangen werden. Alle schon bestehenden Backtrackingmöglichkeiten bezogen auf die Regel selbst werden abgeschnitten. Der Effekt von ’!’ kann bezogen auf den Ableitungsbaum graphisch so dargestellt werden: cut−Regel: A :− B1, B2, ..., Bn, !, C1, C2, ..., Cm.

?−A, rest.

backtracking vor dem Aufruf von A durch cut abgeschnitten

Versuche, A ohne cut−Regel abzuleiten

?− B1, B2, ..., Bn, !, C1, C2, ..., Cm, rest

durch cut abgeschnitten Versuche, B1, ... abzuleiten ?− !, C1, ..., Cm, rest.

backtracking von B1, ..., Bn

?−C1, ..., Cm, rest.

Betrachten wir als ein Beispiel das Programm liebt(X,Y):-male(X),female(Y). liebt(a,b). female(hanna). female(mary):-!. female(sarah). male(joe). male(john):-!. male(007). Lösungen sind

weitere Versuche, A abzuleiten

166

7 PROGRAMMIERSTILE

• joe, hannah • joe, mary • john, hanna • john, mary • a, b Der ’!’ bei male(john):-!. führt dazu, daß kein weiterer Versuch, male(X) anders zu beweisen, mehr unternommen wird. Ein gleiches gilt für female(mary):-!. liebt ist ein den Regeln mit ’!’ u¨ bergeordnetes Prädikat, das noch weiter abgetestet wird und durch den ’!’ nicht beeinflusst ist. ’!’ wird aus verschiedenen Gründen verwandt. Ein Grund ist etwa, ein nicht-deterministisches Prädikat in ein deterministisches zu verwandeln, wo es nur eine Möglichkeit der Verifikation gibt, nicht mehrere. Als Beispiel: wir haben ein Präsikat geschrieben, das testet, ob ein Element in einer Liste vorhanden ist. Ist ein Element mehrfach vorhanden, dann kann man dieselbe Aussage auf mehrere Weisen verifizieren. Prolog geht diese im Zweifel alle durch. Das ist sehr nützlich, wenn man alle Elemente der Liste der Reihe nach aufzählen will, aber eher lästig, wenn man nur testen will, ob ein Element enthalten ist. ’!’ schafft Abhilfe: elcheck(X,[X|_]):-!. elcheck(X,[_|L]):-elcheck(X,L). Der ’!’ verhindert, daß ein einmal gefundenes Element nochmal gefunden werden kann. Ein anderer Einsatz von ’!’ ist, Exklusionen elegant zu erkennen. Das Programm max(X,Y,X) :- X>=Y. max(X,Y,Y) :- X=Y,!,Z=X. max(_,Y,Y).

7.3 Prolog

167

Assert/Retract Wir haben zur Behebung unendlicher Zyklen bei der Pfadsuche in zyklischen Graphen die in diesem Versuch bereits besuchten Knoten mitgeführt. Das verhindert Zyklen, ist allerdings trotzdem noch ziemlich ineffizient: beim Backtracking werden ja die besuchten Knoten der Liste zurückgenommen, und es wird ein Knoten in einem neuen Versuch evtl. nochmal besucht. Prinzipiell kann also eine nicht erfolgreiche Suche so lange dauern, wie es zyklenfreie Pfade im Graphen gibt (das können viele sein). Was wir hier bräuchten, wäre eine globale Markierung der schon besuchten Knoten. Prolog läßt für solche Zwecke zu, die Wissensbasis dynamisch zu a¨ ndern. Das Prädikat asserta(fakt). fügt fakt. vorne an die Wissensbasis an (assertz(fakt). fügt hinten an). Entsprechend löscht retract(fakt). das erste unifizierbare fakt der Wissensbasis, retractall(fakt. löscht alle. Wir erhalten so eine effizienter Lösung unserer Pfadsuche path(X,Y) :- retractall(besucht(_)),!,legalpath(X,Y). legalpath(X,X):-!. legalpath(X,Y):- edge(X,Z), \+besucht(Z), asserta(besucht(Z)),legalpath(Z,Y). asserta und retract haben u¨ ber Backtracking hinausgehende permanente Wirkung für die Wissensbasis, sie können also zur Umsetzung globaler Informationen (etwa bei dynamischem Programmieren) benutzt werden. Effizienz Prolog basiert massiv auf Backtrcking und Symbolmanipulation und ist damit besonders geeignet für Probleme, die sich mit solchen Paradigmen lösen lassen. Dazu gehören insbesondere Algorithmen der symbolischen Künstlichen Intelligenz, etwa Logikalgorithmen (Beweiser) oder Planungsstrategien. Prolog kann aber sehr schnell sehr ineffizient werden, wenn zu viele Backtrackinglevel gespeichert werden müssen. Daher haben viele Systeme Optimierungsstrategien eingebaut. Eine wichtige Optimierung bei quasi iterativ laufenden Regelableitungen ist die Optimierung der sogenannten tail-Rekursion. Betrachten wir dazu unser vorheriges Programm zum Berechnen des Maximums in Listen: max(X,L):-hilfsmax(-100000,X,L). hilfsmax(X,X,[]). hilfsmax(X,M,[A|L]) :- A>X, hilfsmax(A,M,L). hilfsmax(X,M,[A|L]) :- X>=A, hilfsmax(X,M,L). Wir hätten stattdessen auch schreiben können maximum(X,Y,X):-X>=Y. maximum(X,Y,Y):-X 0}. Es muß für die Wortlängen li0 von C 0 füP r Symbole mit Wahrscheinlichkeit pi > 0 gelten li0 ≤ L(C, S)/p, denn sonst hätten wir L(C 0 , S) = pj lj0 ≥ pli0 > p·L(C, S)/p = L(C, S). Da die Symbole mit Wahrscheinlichkeit Null nichts zum Code beitragen, gibt es also nur endlich viele verschiedene bessere Werte als L(C, S) entsprechend diesen endlich vielen verschiedenen Wörtern begrenzter Länge. Wie bekommen wir konkret optimale Codes? Eine sehr bekannte Methode sind sogenannte Huffman-Codes. Wir beschränken uns hier der Einfachheit halber auf binäre Huffmann-Codes. ¨ Diese werden iterativ konstruiert und beruhen auf folgenden zwei Uberlegungen:

8.2 Kodierung

173

• Wir identifizieren die Buchstaben sn−1 und sn mit einem einzigen Buchstaben s0 . Sei w1 , . . . , wn−1 ein instantaner Code von s1 , . . . , sn−2 , s0 . Dann ist w1 , . . . , wn−2 , wn−1 0, wn−1 1 instantaner Code von s1 , . . . , sn−2 , sn−1 , sn . (Dieses sieht man leicht mithilfe der Präfixeigenschaft.). • Die Buchstaben mit geringer Wahrscheinlichkeit dürfen längere Codeworte haben. Ein Huffmann-Code identifiziert sukzessive die zwei Buchstaben mit den kleinsten Wahrscheinlichkeiten miteinander, bis nur noch ein Symbol zu kodieren ist. Für dieses wird ein Codewort, nämlich das leere Wort verwendet (das eigentlich nicht zulässig ist, aber hier trotzdem verwandt wird, um den Algorithmus elegant zu formulieren). Zum Originalalphabet kommt man, indem man die Codeworte wie oben für die jeweils zusammengefügten Symbole durch Zufügen von 0 und 1 erweitert. Ein Beispiel: die Zahlen 1 bis 5 haben die Wahrscheinlichkeiten 0.3, 0.2, 0.2, 0.2, 0.1. Man erhält: (1 − 0.3)

(2 − 0.2)

(3 − 0.2)

10

00

(4 − 0.2) 010

11

(5 − 0.1) 011

(4’ − 0.3) (2’ − 0.4)

(1’ − 0.6)

01

1 0 (1’’ − 1)

Die Symbole werden zunächst sukzessive vereinigt, so daß ein Baum entsteht. Entlang dieses Baums können die Codierungen mit der beschriebenen Vorschrift gewählt werden. Theorem 8.9 Der Huffman-Code ist optimal. Es ist bereits klar, daß ein instantaner Code ensteht. Es muß also nur die Optimalität gezeigt werden. Dazu zwei Hilfslemmata: • Sei ein Code C 0 für r Symbole und Source S 0 aus C für r − 1 Symbole und Source S wie im Huffman-Code durch Zufügen von 0 bzw. 1 gewonnen. Sei p = p i + pj die Wahrscheinlichkeit des ’vereinigten’ Symbols aus S 0 in S. Dann ist (mit li = lj = l + 1 für ein l nach Konstruktion) L(C 0 , S 0 ) − L(C, S) = pi (l + 1) + pj (l + 1) − pl = pi + pj = p. • Jede Source S hat einen optimalen binären Code, in dem zwei der längsten Codewörter im Baum Kinder desselben Elter sind. Beweis: Sei C optimaler Code und xt längstes Codewort mit einem Buchstaben t und einem Wort x. Sei t¯ die Zahl 1 − t (also 0 für t = 1 und umgekehrt). Wenn xt¯ auch Codewort ist, sind wir fertig. Wenn es nicht Codewort ist, dann ist das einzige Codewort mit Anfangsstück x das Wort xt selbst. Wir können also xt durch x ersetzen und behalten einen Präfixcode, der allerdings kürzere mittlere Länge hat. Widerspruch. Jetzt können wir die Optimalität des Huffman-Code mit vollständiger Induktion u¨ ber die Anzahl der zu kodierenden Symbole beweisen: • Für ein Symbol ist der Code optimal.

8 INFORMATION

174 • Gelte die Aussage für Sourcen mit r − 1 Symbolen.

• Sei S 0 die aus S erhaltene Source, indem man zwei Symbole si und sj mit kleinster Wahrscheinlichkeit vereinigt. Sei C Huffmancode für S und C 0 Huffmancode für S 0 . Wir finden L(C, S) − L(C 0 , S 0 ) = p mit p = pi + pj . Sei D ein optimaler Code für r Symbole, und x0, x1 längste Codewörter, die nach unserem Hilfslemma existieren müssen. Wir zeigen, daß man diese Worte als Codewörter von si und sj wählen kann. Zunächst zu si , das OE kleinste Wahrscheinlichkeit pi hat. Falls das Codewort von si nicht x0 oder x1 ist, sondern etwa x0 Codewort von sk , dann tauschen wir die Codewörter von sk und si . Wir ersetzen damit in der Länge von D den Ausdruck pk |D(sk )|+pi |D(si )| durch pk |D(si )|+pi |D(sk )|. Es gilt pk |D(sk )|+pi |D(si )|−pk |D(si )|− pi |D(sk )| = (pk − pi )(|D(sk )| − |D(si )|). Das ist nicht negativ, da pi kleinste Wahrscheinlichkeit und D(sk ) längstes Codewort ist. Es ist also auch der neue Code optimal und der Ausdruck notwendigerweise null. Genauso sehen wir, daß wir x1 als Code von s j wählen können. Aus D läßt sich ein Code D 0 für S 0 gewinnen, indem wir das Codewort des neuen Symbols als x nehmen. Wie wir gesehen haben, ist L(D, S) − L(D 0 , S 0 ) = p. Also L(D, S) − L(D 0 , S 0 ) = L(C, S) − L(C 0 , S 0 ). C 0 ist Huffmancode für S 0 und nach Induktionsvoraussetzung optimal. Daher ist L(C 0 , S 0 ) ≤ L(D 0 , S 0 ) und also L(C, S) ≤ L(D, S). Damit ist also auch C optimal, da es D ist. Das zeigt die Behauptung. Wir haben also einen optimalen Code konstruiert, wissen aber noch nichts u¨ ber seine tatsächliche Länge in Abhängigkeit von S. Die Länge ist optimal, aber wie groß kann sie konkret werden, d.h. wieviel Zeit und Bandbreite muß man konkret für ein gegebenes S zur Verfügung stellen? Hier hilft uns der Begriff der Entropie. Jedes Symbol, das von S emittiert wird, beinhaltet im Mittel H(S) Informationseinheiten. Falls das kodiert werden soll, ohne Information zu verlieren, benötigt man im Mittel durch diese Zahl gegebene Codelänge geteilt durch den Informationsgehalt der Codes. Jedes Einzelsymbol des Codes bei r (gleichverteilten) Symbolen hat den Informationsgehalt − log2 1/r = log2 r. Für Sources, die sehr informativ sind, benötigt man also längere Codeworte. Formal ist dieses in folgendem Theorem festgehalten: Theorem 8.10 Sei C instantaner Code u¨ ber r Symbolen zur Source S. Dann gilt L(C, S) ≥ H(S)/ log2 r Um das zu beweisen, zunächst eine Feststellung: für x > 0 ist ln x ≤ x − 1, Gleichheit gilt genau für x = 1. Das beweisen wir nicht, sondern schauen uns einfach die Graphen der beiden Funktionen an:

x−1

ln x

8.2 Kodierung

175

Damit erhalten wir folgende Aussage: P P • Sei xi ≥ 0, yi > 0, xi = yi = 1. Dann ist X X − xi log2 xi ≤ − xi log2 yi

P P P Die Differenz der beiden Seiten ergibt x log (y /x ) = x ln(y /x )/ ln 2 ≤ xi (yi /xi − i i i i i i 2 P P 1)/ ln 2 = ( xi − yi )/ ln 2 = 0 mit Gleichheit nur für yi /xi = 1.

Seien die Wortlängen des Codes C die Zahlen l1 , . . . , lr . Wir finden P H(S) = − P pi log2 pi P −li −li ≤ − p log r / i 2 P P −li r li = P pi log2 (r · r P ) P = P pi li log2 r + log2 (P r −li ) · pi = P pi li log2 r + log2 ( r −li ) ≤ pi li log2 r = L(C, S) log2 r P −li wobei wir die Kraft’sche Ungleichung verwendet haben, also r ≤ 1. Damit gilt die UngleiP −li chung log2 ( r ) ≤ 0. Codelängen sind also immer nach unten durch die Entropie der Quelle beschränkt. Optimale Codes haben genau diese Länge, falls oben an allen Stellen Gleichheit werden EiP erreicht P kann. −li −li −li nerseits das (erste Ungleichung und Hilfssatz) pi = r / r und log2 ( r ) = 0 P bedeutet also r −li = 1. Da heißt pi = r −li bzw. − logr (pi ) = li ist eine natürliche Zahl. Ist umgekehrt − logr (pi ) eine P P natürliche Zahl, und setzen wir (was dann geht) li = − logr (pi ), dann finden wir 1/r li = pi = 1, es ist also die Kraft’sche Ungleichung erfüllt und es gibt Codes mit dieser Länge. D.h. L(C, S) = H(S)/ log2 r gilt dann und nur dann, wenn − logr (pi ) eine natürliche Zahl ist für alle i. Ansonsten ist ein optimaler Code länger als die untere Grenze angibt. Je nachdem, wie weit die Ausdrücke − log r (pi ) von einer natürlichen Zahl abweichen, kann das erheblich länger sein, als die untere Schranke durch die Entropie angibt. Man kann auch obere Schranken für die Länge optimaler Codes finden. Sogenannte Shannon-Fano-Codes bieten eine Möglichkeit dazu. Shannon-Fano Codes sind solche, die die Wortlänge l i als die nächstbeste Wahl nehmen: als kleinste natürliche Zahl li ≥ − logr (pi ). Wir wissen, daß es solche Codes geben muß aufgrund der Kraft’schen Ungleichung. (Wie auch immer sie konkret aussehen; das haben wir hier nicht behandelt. Wir wissen lediglich, daß es sie gibt!) Diese Codes sind nicht unbedingt P optimal, aber − log r pi ≤ li ≤ − logr pi +1, also − pi logr pi ≤ P solch ein PCode C erfüllt Pdie Ungleichung P pi li ≤ − pi logr pi + p1 = − pi logr pi + 1. Wegen logr pi = log2 pi / log2 r finden wir also H(S)/ log2 r ≤ L(C, S) ≤ H(S)/ log2 r + 1 Das gibt uns eine obere Schranke für optimale Codes. Man kann diese Schranken noch weiter betrachten, um Aussagen im Mittel bzw. für immer längere Wiederholungen der Nachrichtenübertragung zu erhalten. Der Unterschied von 1 verschwindet tatsächlich, wenn man immer längere zu kodierende Texte betrachtet. Sei S n die n-fache Iteration der Source S. Sei Cn ein optimaler Code von S n mit mittlerer Länge Ln . Dieser Code kodiert implizit auch S selbst und benötigt dafür die mittlere Länge L n /n. Dann gilt: lim Ln /n = H(S)/ log2 r

n→∞

Das ist Shannons erstes Theorem. (Für dessen Beweis uns lediglich noch die Feststellung H(S 1 S2 ) = H(S1 ) + H(S2 ) fehlte.) Sehr lange Nachrichten lassen sich also optimal kodieren mit einer durch die Entropie der Quelle determinierten mittleren Wortlänge.

176

8 INFORMATION

¨ Das ist ein erster Schritt in die durch Shannon begründete Informationstheorie, die die Ubertragung von Informationen auf rein formalem, axiomatischem Wege untersucht und zu interessanten Aussagen u¨ ber Machbarkeit, Aufwand, Kodierung, etc. sowie konkret einsetzbaren Verfahren kommt.

8.3 Kompression und Kryptographie Im Zuge der Kodierung sind weitere Formalisierungen für die Praxis von Belang: Bisher sind wir von einer zuverlässigen Datenübertragung ausgegangen. In der Praxis ist das nicht der Fall, Daten können durch technische Störungen zufällig geändert werden, so daß eine verrauschte Kodierung ankommt. Bewegen sich die Fehler in Maßen, kann man sie mit hoher Wahrscheinlichkeit durch geeignete Kodierungen und Checks korrigieren. Das ist der Bereich der Nachrichten u¨ bertragung unter Rauschen und fehlerkorrigierender Codes. Wichtig in diesem Zusammenhang sind eta CRCCodes, d.h. eine sehr leistungsfähige und effiziente Fehlererkennung für binäre Daten. Die Idee ist, neben den Daten Prüfbits zu verwenden, die anzeigen, ob ein oder mehrere Bits verändert wurden (und die Nachricht evtl. nochmal versendet werden muß). Die Berechnung entsprechender Prüfbits kann dabei sehr effizient in digitalen Schaltungen realisiert werden. Besonders relevant ist dieses Thema bei sehr großen Datenmengen, wo einerseits leicht Fehler auftreten und andererseits die Schnelligkeit der u¨ bertragung gewährt werden soll. Häufig werden Daten dabei zudem komprimiert u¨ bertragen – in gewissem Rahmen haben wir bereits das Gebiet der Kompression gestreift, einer Darstellung der Daten mit möglichst kurzen Wörtern. Dabei können Zusatzbedingungen gestellt werden, wie etwa einer möglichst einfachen Dekompressionsvorschrift, um dieses online (z.B. beim Laden von Webseiten u¨ ber das Internet) darstellen zu können. Häufig ist man an einer verlustfreien Datenübertragung interessiert. Es kann aber auch das Ziel sein, die Daten möglichst kompakt darzustellen (mit einem optimalen Code), so daß alles Wesentliche rekonstruiert werden kann. Zulässig sind dann geringfügige, für den Betrachter irrelevante Abweichungen, also eine verlustbehaftete Kompression. Kompression ist insbesondere bei großen Bilddaten wichtig. Es gibt viele prominente Formate: • GIF-Bilder sind verlustfrei komprimiert mit einem Algorithmus, der häufig vorkommende Muster (insbesondere Farbmuster) durch kürzere Darstellungen ersetzt. • JPEG-Bilder sind verlustbehaftet abgespeichert, wobei ein menschlicher Wahrnehmer die Unterschiede nicht merkt. Die Kompression besteht aus einer Kosinustransformation, einer geeigneten auf die menschliche Wahrnehmung angepasste Quantisierung, und einer Kodierung. Wir sehen also, die theoretischen Informationsbegriffe haben sehr praktische Anwendungen und beinhalten Algorithmen, die zur generellen Informationsübertragung z.B. im Internet gebraucht werden – und programmiert werden müssen. Wir haben bisher zugelassen, daß jeder die Nachricht empfangen und dekodieren kann. Es kann sein, daß es um geheime Dokumente geht, die verschl u¨ sselt werden sollen. Dann bewegt man sich in das Gebiet der Kryptographie, der Entwicklung von Codes, so daß nur autorisierte Benutzer sie verstehen können. In diesem Bereichen gibt es sehr interessante und häufig nicht triviale Theorie. In diesem Zusammenhang tauchen auch insbesondere in Multimedia und Internet einige Schlagworte auf: • Data Encryption Standard: Ein 1977 von IBM durch die US-Regierung u¨ bernommenes Verschlüsselungsprogramm, das heute aber nicht mehr als sicher gilt. Es verschlüsselt je 64Bit-Blöcke mit einem 56-Bit-Schlüssel in 19 Stufen, d.h. es verwendet grundsätlich eine einfache Ersetzung von Stücken des Originals in gleich lange Codewörter.

177 • Kerberos, der mehrköpfige Höllenhund des Hades, lieh seinen Namen einem am MIT entwickelten Authentifizierungsverfahren, das in Rechnernetzwerken oft eingesetzt wird. • Digitale Signaturen ersetzen Unterschriften etwa in der Finanzwelt. Sie basieren auf geeigneten Kombinationen von private- oder public-key Verfahren um sicherzustellen, daß der Empfänger den Sender sicher identifizieren kann, der Sender nicht die Nachricht rückgängig machen kann und der Empfänger nicht die Nachricht a¨ ndern kann. • Secure socket layer (SSL) ist ein von Netscape entwickelter Protokollstandard zur Netzkommunikation, der Verschlüsselung und Authentifizierung beinhaltet und so u¨ ber das Web bereitgestellte Informationen und Informationsübertragung sicherer machen soll. • Public key RSA Kryptoverfahren sind heute ein weit verbreiteter Standard, da man den Schlüssel, d.h. die Codewörter nicht auszutauschen braucht. RSA ist eines der gebräuchlich¨ sten Verfahren, basierend auf relativ einfachen zahlentheoretischen Uberlegungen. Prinzipiell ist es so, daß ein Empfänger einen o¨ ffentlichen Verschlüsselungsschlüssel bereitstellt und den privaten und nur ihm bekannten Entschlüsselungsschlüssel für sich behält. Ein Knackpunkt, dessen Erkenntnis wesentlich zur Entwicklung dieser Verfahren beigetragen hat, ist offensichtlich, daß man Verschlüsselung und Entschlüsselung völlig unabhängig voneinander berechnen kann. Dieses macht sich besondere Eigenschaften der natürlichen Zahlen und der (bisher noch) nur ineffizient berechenbaren Primfaktorzerlegung von großen Zahlen zunutze. Eine der essentiellen Stellen ist dabei, daß mit einem Rechner sehr schnell große zufällige Primzahlen erzeugt werden können (wie wir gesehen haben), aber Primfaktoren aus Produkten nur sehr ineffizient zurückgewonnen werden können (bzw. hier kein effizienter Algorithmus mit standard-Rechnern bekannt ist. Einer der Gründe, warum die Forschung an sogenannten Quantencomputern sehr interessant ist, besteht in der Tatsache, daß für solche Rechenmodelle efiziente Primfaktorzerlegungen bekannt sind – nur die entsprechenden Quantencomputer sind technisch noch nicht realisierbar).

9 Informationsverarbeitung im Rechner Wie wird die Information im Rechner prinzipiell verarbeitet und vorgehalten? Logisch teilt man die auf einem Rechner angesiedelten Programme und informationsverarbeitenden Einheiten in mehrere Ebenen auf: • Die Hardwareebene bestehend aus – Physikalischen integrierten Schaltungen, Kabeln, Stromversorgung, Speicher, . . . – der Mikroarchitekturebene, in der die physikalischen Einheiten zu kleinen logischen Einheiten, wie etwa der CPU oder der arithmetisch logischen Einheit zusammengefasst sind, – der Maschinensprache, die mit typischerweise 50 bis 300 Basisinstruktionen die physikalischen Einheiten steuert. • Die Ebene der Systemprogramme, bestehend aus – Betriebssystem – Compiler, Editoren, Kommandozeileninterpreter • Die Ebene der Anwendungsprogramme wie Web-Browser, Datenbanksystem, spezielle Firmensoftware, . . .

178

9 INFORMATIONSVERARBEITUNG IM RECHNER

Wir haben uns bereits mit speziellen Sprachen (Java und Prolog) und darin gechriebenen Anwendungsprogrammen (etwa Sortieren von Zahlen) beschäftigt, und auch im Rahmen Boolescher Funktionen einen (sehr kurzen) Blick auf Schaltungen, also den Hardware-Bereich geworfen. Das Betriebssystem ist eine Schnittstelle zwischen Hardware und Anwendungssoftware und regelt die Verteilung von Ressourcen wie etwa Speicherplatz, Rechenzeit, etc. und die Kommunikation und Synchronisation der Prozesse. Je nach Gegebenheiten unterscheidet man zwischen verschiedenen Modi: • Mainframe-Systeme unterscheiden sich von u¨ blichen Bürocomputern durch die wesentlich größere LEistung und hohe I/O-Kapazität, entsprechend sind die Betriebssysteme daraufhin optimiert, sehr viele Ein-/Ausgabe-intensive Prozesse gleichzeitig bedienen zu können. Relevant sind Mainframes etwa als Großrechner in großen kommerziellen Betrieben zur Verwaltung zentraler Datenbanken oder Web-Seiten. • Server, häufig leistungssfähige PCs, workstations oder größere Maschinen, stellen NetzDienste bereit, etwa die Verwaltung von Druck-Jobs, Dateien, Webdienste, etc. Relevant ist hier ein robuster und sicherer Betrieb für viele Anfragen. • Multiprozessor-Systeme durch Integration mehrerer CPUs oder physikalischer Rechner nehmen für umfangreiche Rechnungen einen immer höheren Stellenwert ein. Wichtig sind in diesem Kontext gute Scheduling-Algorithmen, um Jobs auf den Prozessoren zu verteilen. • Personal Computer haben die Aufgabe, für einzelne Benutzer komfortable und gleichzitig kostengünstige Kompaktlösungen bereitzustellen. • Real-time Systeme etwa in industriellen Prozessen haben strikte Anforderungen an die Einhaltung von zeitlichen Bedingungen. • Eingebettete Systeme wie etwa ein palmtop Computer stellen reduzierte Funktionalitäten auf kleinem Raum bereit. • SmartCards treiben dieses ins Extreme, mit oft sehr spezifizierten Funktionen auf kleinstem Raum und günstiger Fertigung. Die Entwicklung von Betriebssystemen für heutige Rechner wird häufig in vier Phasen eingeteilt: in der ersten Generation (1945-55), Computer bestanden noch aus Elektronenröhren, wurden Programme manuell via Steckleisten eingegeben. In der zweiten Generation u¨ bernehmen Transistoren die Arbeit, jetzt mögliche Batch-Jobs sind auf Magnetbändern gespeichert. Die dritte Phase (19651980) setzt auf integrierte Schaltkreise, so daß mehrere Teile ausgelagert werden können, Spooling = Simultaneous Peripheral Operation On Line. Zweitens kann man mehrere Programme/Benutzer gleichzeitig bedienen, Multiprogramming und Time-sharing werden relevant. Die vierte Generation ist durch VLSI-Chips (very large scale integration) bestimmt. Es entstehen die heute bekannten PCs und Workstations mit komfortabler Oberfläche und Multitasking, desweiteren Netzwerksysteme und verteilte Systeme. Was u¨ berwachen Betriebssysteme? Auf der Hardware-Seite stehen folgende Stichpunkte: • Fetch-Execution-Zyklus des Prozessors: im Inneren eines Rechners werden im Prinzip lediglich iterativ Basisanweisungen vom Anweisungsstack geholt und ausgeführt. Die Anweisungen sind dabei maschinenspezifisch, und enthalten typische Anweisungen wie Register lesen/schreiben, Speicher adressieren, etc. Jede Anweisung enthält alle benötigte Information.

9.1 Prozesse

179

• Auf dieser Ebene steuern Interrupts das Zusammenspiel insbesondere bezogen auf Eingaben und (durch Maskierung, d.h. Deaktivierung bestimmter Interrupts) bezogen auf monolithisch zu verarbeitende kritische Blöcke. • Die Ein-/Ausgabe ist u¨ ber verschiedene Buse realisiert, je nach Art des anhängenden Gerätes. Es gibt hier verschiedene Kürzel: ISA, PCI, USB, SCSI, IEEE1394, . . . . Besonders interessant ist die Kommunaktion bei sich a¨ ndernder Konfiguration (etwa eingestecktem USB Stick). Hier ist das von Microsoft entwickelte plug and play-Konzept nützlich: es werden während des Betriebs Informationen u¨ ber die sich evtl. verändernden Zustaände gesammelt und vom System-BIOS (Basic Input Ouput Systems) direkt per low-level Software verwaltet. • Informationen werden einerseits in unterschiedlichen Registern gespeichert, andererseits muß man auf weniger schnelle (aber günstige und damit größere) Medien zugreifen: mehrere Caches speichern häufig gebrauchte Information, der Hauptspeicher lädt einen großen Teil der Daten eines Programms zur weiteren Verarbeitung, die Festplatte dient für die u¨ bliche Information u¨ ber alle möglichen Daten und persistente Speicherung, und dann kann man noch auf verschiedenste externe Speicher ausweichen. Das Betriebssystem hat die Aufgabe, Informationen auf höherer Ebene, etwa vom Benutzer gegeben Eingaben, auf diese Ebene herunterzubrechen. Konzeptuell kann man es dazu in drei Bereiche einteilen: Kommandozeileninterpreter und/oder graphische Benutzeroberfläche, low-level Funktionalitäten, und den Kern, das Herz eines Betriebssystems.

9.1 Prozesse Ein paar Grundbegriffe sind für jedes Betriebssystem relevant. Die Aufgabe eines Betriebssystems ist die, während eines Programmablaufs logischen Einheiten gegeben durch Prozesse zu verwalten. Ein Prozeß ist ein Programm in der Ausführung. Prozesse leben in einem gewissen Adressraum, d.h. Platz des Speichers, den der Prozeß beschreiben und löschen darf. Prozesse werden charakterisiert durch einen Prozesskontrollblock, der folgendes beinhaltet: • die Nummer des Prozeß, • den Zustand des Prozeß (running, sleeping, . . . ), • der gespeicherte Zustand der Prozeßregister, • Scheduling Information wie etwa die Priorität, • Verweise auf Datei- oder Netzwerkverbindungen des Prozeß, • Besitzerinformation (Gruppen und User id des Benutzers), die verwandt werden, um Zugriffsrechte zu u¨ berwachen, • Zeiger zu anderen Prozessen, etwa Kindern oder Eltern. Ein Prozeß kann einen anderen Prozeß abspalten (in Unix durch fork), dieser Kindprozeß erbt dann die Rechte des Vaterprozeß. Viele Betriebssysteme speichern alle aktuellen Prozeße in einer Prozeßtabelle zusammen mit ihrem aktuellen Zustand, der benötigten Zeit, etc. Diese Tabelle wird genutzt, Prozesse geordnet zu schedulen: die CPU-Zeit wird nach berits vergebener Rechenzeit und Priorität des Prozeß gescheduled. Wird ein Prozeß unterbrochen, muß sein aktueller Zustand (etwa Dateiverbindungen und Register) gespeichert und der Prozeß später an der gleichen Stelle fortgesetzt werden. Dabei

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können, wie wir es schon aus Threads kennen, Racing consitions, starvation oder deadlocks auftreten, die vom Betriebssystem möglichst verhindert werden sollten (aber es nicht immer werden, der Befehl kill unter Unix leistet in einem solchen Fall gute Dienste). Threads unterscheiden sich von Prozessen dahingehend, daß sie keinen eigenen Speicher besitzen, sondern als Teilstücke eines Prozeß parallel laufen. Trotzdem gelten die bereits zu Threads genannten Aspekte des Scheduling (etwa round-robin Scheduling oder Scheduling mit Prioritäten) für Prozesse analog.

9.2 Speicher Eng mit Prozessen verknüpft ist die Frage des Memory-Management. Ein Prozeß greift auf Speicher zu, wobei die Speichermedien unterschiedlich schnell sind, angefangen von Registern u¨ ber Cache zur Festplatte. Zunächst ist bei Betriebssystemen ein Bereich des Hauptspeichers immer für den Kern des Betriebssystems sowie Gerätetreiber und weitere Dinge reserviert und kann weder von einzelnen Benutzerprozessen beschrieben noch ausgelagert werden, der sogenannte kernel space. Für Prozesse wird der user space verwandt, wo entsprechend der Systemauslastung zugegriffen, beschleunigt, oder auch ausgelagert werden kann. In vielen Betriebssystemen wie Unix erhält jeder Prozeß seinen eigenen getrennten Bereich des user space, den er verwaltet. Da in Benutzerprozessen der Speicherbedarf nicht vorausgesagt werden kann und in vielen Anwendungen größer als der verfügbare Hauptspeicher wird, wird heute meist die Technik des virtuellen Speichers verwandt. Das bedeutet, daß Speicherzellen nur indirekt referenziert werden und nach Bedarf in schnellen Medien gelagert oder auch auf die Festplatte ausgelagert werden können. Da der Ort dieses Speichers wechseln kann, greift der Kern eines Betriebssystems nie direkt darauf zu. Die von Programmen erzeugten Speicheradressen werden bei variablem Memory nicht direkt an den Memory Bus geschickt, sondern an die MMU (Memory Management Unit). Diese rechnet virtuellen in tatsächlichen Speicher um. Eine gebräuchliche Technik ist die Fragmentierung: es wird je sukzessive stückweise auf noch freie Blöcke geschrieben und der jeweils anschließende logisch dazugehörende Speicherplatz gespeichert. Diese Technik nutzt den gesamten Platz aus, hat aber den Nachteil, daß sie zu langen Zugriffszeiten führen kann und Systeme durch eine u¨ bermäßige Fragmentierung (das heißt nur sehr gestückelte Nutzung des Speichers) in die Knie zwingt – eine explizite Defragmentierung ist dann nötig. Eine der gebräuchlichsten neueren Techniken, virtuellen Speicher effizient zu verwalten, ist das paging. Beim Paging ist die Grundidee, physikalischen Speicher und logischen Speicher in gleich großen Blöcken zu organisieren, wobei man virtuelle Plätze sehr schnell in physikalische umrechnen kann. Dieses verhindert eine Fragmentierung des Speichers und erlaubt zudem, ganze Seiten auf einmal aus- und einzulagern. Die Seiten werden in einer Paging-Tabelle gespeichert, die den Index der benutzten Seiten und ihre physikalische Adresse speichert. Logische Adressen und physikalische Adressen werden dann durch Tupel charakterisiert, gegeben durch den Index für Pages bzw. den physikalischen Startpunkt für tatsächliche Seiten sowie den (identischen) Offset des Eintrags zur tatsächlichen Speicherstelle. Dabei muß darauf geachtet werden, daß der Zugriff auf die Paging-Tabelle sehr schnell ist. Paging kann mehrfach hintereinander angewendet werden, um größere Blöcke effizient auszulagern oder kleinere Einheiten zu erreichen (die Sparc 32-bit Architektur etwa erlaubt dreifaches Paging), was aber sehr langsam werden kann. Paging Strategien bieten sich besonders an, Speicher auszulagern, da man ganze Bereiche auf einmal umschreiben kann. Die Entgscheidung, welche Information wo am effizientesten gespeichert werden soll, verlangt passende Strategien, die einerseits schnell und robust implementiert werden können, andererseits die häufig gebrauchten Speicherzellen möglichst in schnellen Spei¨ chermedien belassen. Ubliche Strategien sind etwa • First in first out, mit dem Hintergrung, daß die aktuellsten Ergebnisse hoffentlich die zur Zeit

9.3 Filesystem

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am meisten gebrauchten sind; • Ersetzen der am wenigsten gebrauchten Page; • Ersetze die am längsten nicht mehr gebrauchte Page; • Ersetze die Page, die in Zukunft als spätestes gebraucht wird (was man dann aber irgendwie abschätzen muß, etwa durch die Laufzeiten der aktuellen Prozesse und deren bisherige Zugriffe.)

9.3 Filesystem Dateien sind persistente Container für Daten, die meist beliebige Informationen enthalten können. Häufig wird durch das Dateiende das Format des Inhalts nahegelegt und eine Verknüpfung mit einem entsprechenden Anzeigeprogramm realisiert (.gz für gezippte Dateien, .tar für Archive, .ps für Postscript, .pdf für Portable Document Formate, . . . ). Gelegentlich werden einige (in Unix alle) weiteren Objekte als Dateien behandelt: Peripherie (/dev/mouse), Prozesse (/proc), Internetverbindungen (/net/tcp), . . . . Dateien sind logisch innerhalb hierarchischer Namensräume angesiedelt, als Blätter in einer Baumstruktur von Verzeichnissen und Dateien. Ihre absoluten Pfade (also die Hintereinanderhängung aller Verzeichnis- und Dateinamen angefangen von der Wurzel) müssen dabei eindeutig sein. Eine strikte Baumstruktur kann durch symbolische Links (also Verknüpfungen zu anderen Dateien oder Verzeichnissen) durchbrochen werden. Verzeichnisse können entweder als spezielle Objekte oder als normale Dateien mit speziellem Inhalt realisiert werden. In Linux und Unix können ganze Verzeichnisse partiell in den Dateibaum eingebunden (gemounted) werden, etwa beim Lesen einer CD oder eines Memory-Stick. Dateien können durch ihre absoluten Namen (mit vollem Pfad) oder die relativen Namen bezogen auf das aktuelle Verzeichnis identifiziert werden. Da Dateien groß werden können, sind sie nicht unbedingt physikalisch zusammenhängend gespeichert, sondern in mehreren Stücken mit Verweisen auf die je nachfolgenden Stücke; der Benutzer sieht diese physikalische Zerstückelung nicht. Dateien werden durch spezielle Informationen charakterisiert, die zu den Dateien abgespeichert sind und den Namen, Zugriff, etc. regeln. Diese Information unterscheidet sich je nach Betriebsssysten. Für Linux und Unix wird im sogenannten i-node (der Ursprung dieses Namens ist dabei ein Rätsel auch für die Unix-Pioniere) vorgehalten • die Länge in Bytes, • die Identifikation des Mediums, auf dem die Datei existiert, • die Identifikation des Besitzers, • die Gruppe des Besitzers, • eine eindeutige Kennziffer (inode number) der Datei, • der Zugriffsmodus, darstellbar als sieben-Tupel mit x-Bit (ausführbar), Lese-/Schreib- und Ausführungsrechte für Besitzer, Gruppe, und Welt (etwa -rw-r–r–), ¨ • Zeitstempel der Erzeugung, der letzten Anderung, und des letzten Zugriff, • die Anzahl der auf die Datei verweisenden anderen Dateien oder Verzeichnisse.

182


In anderen Systemen gibt es andere (mitunder sehr viel unkomfortablere) Vereinbarungen. Es kann auftreten, daß Dateien oder wichtige Informationen verloren gehen, etwa bei einem Systemcrash oder unvorsichtigem Abschalten des Rechners. Dafür sind in den Betriebssystemen mehrere Sicherheiten eingebaut. Etwa in Linux werden inzwischen sogenannte jorunaling files¨ systems verwandt. Das bedeutet, daß Anderungen (etwa Löschoperationen) in einem separaten Block dokumentiert werden, bevor sie tatsächlich vorgenommen werden. Passiert etwa innerhalb ¨ der Anderungen ein Crash, dann kann das System anhand der Protokolle den ursprünglichen Zustand wieder herstellen. Betriebssysteme beschränken sich dabei häufig auf eine Dokumentation der Metadaten und nicht des tatsächlichen Inhalts, da dieses leicht zu kostspielig wird. Metadaten beinhalten etwa die Adressräume, Erweiterungen, etc. die dann immerhin noch ein bedingtes Reparieren aufgetretener Fehler gestatten. Eine zweite Kontrolle, die bei unüberlegtem Abschalten oder Crashs automatisch beim nächsten Bootvorgang aufgerufen wird, ist ein Check der inode-Zahlen auf Konsistenz, um etwa fehlende Dateien (nicht benutzte, aber nicht als frei deklarierte Blöcke) zu entdecken.

9.4 IO Die Ein- und Ausgabe wird je nach Gerät und Betriebssystem unterschiedlich behandelt. Charakteristisch für Windows ist etwa die einfache (aber manchmal fehlschlagende – ’plug and pray’) plug-and-play-Realisierung. In Unix können Ein-/Ausgaben universell als Datenströme mithilfe von Pipes behandelt werden. Einige Stichpunkte sollten in diesem Rahmen erwähnt werden: Ein-/Ausgabe sind häufig langwierigere Prozesse. Um nicht für jedes Zeichen den Benutzer (bzw. Benutzerprozess) zu bemühen, werden Eingaben in Stücken in einem Puffer zwischengespeichert, bevor sie angezeigt oder in eine Datei geschrieben werden. Verwandt wird dabei meist ein double buffeering, d.h. zwei Blöcke sind im Hauptspeicher reserviert, von denen je ein aktueller von der I/O beschrieben und der andere weiterverarbeitet (abgespeichert oder ausgegeben) wird. Auch bei der Ein- und Ausgabe können Daten falsch geschrieben werden, oder es kann unpassend unterbrochen werden. Sogenanntes stable storage liest und schreibt Dateien mit anschließendem Prüfvergleich, so daß Fehler auffallen und die Aktion evtl. wiederholt werden kann. Die Performanz von I/O hat sich technisch gesehen nicht in demselben Rahmen entwickelt wie etwa CPU-Zeit. Sichere und günstige, schnell beschreibbare Medien sind daher heute häufig durch einen Trick realisiert: RAIDs (Redundant Array of Inexpensive Disks), d.h. eine Ansammlung von günstigen und schnell zugreifbaren einfachen Medien, in diesem Fall schnellen kleineren Platten. Diese können entweder direkt ausschließlich in Hardware oder u¨ ber entsprechende Software und mehrere Rechner realisiert werden. Es gibt verschiedene Ansätze, Daten möglichst effizient verteilt abzulegen und dabei auch gegebenenfalls mögliche Ausfälle von einzelnen Platten zu kompensieren. Einfaches Striping zerlegt die Daten in Blöcke, die auf mehreren sukzessiven Platten gespeichert werden. Damit kann parallel geschrieben und gelesen werden, allerdings ist keinerlei Redundanz eingebaut, also keine Reparatur bei Ausfall von Platten möglich. Redundanz erhält man, indem man diesen Ansatz dahingehend erweitert, jede Information zweimal abzuspeichern, allerdings wird der Plattenplatz damit effektiv halbiert. Einen Kompromiß bildet, zu den Daten Prüfbits abzuspeichern. In der Regel verwendet man zusätzlich zur gespeicherten verteilten Information u¨ ber die Platten hinweg berechnete Parity-Bits, die eine Korrektur gestatten, solange nur eine Platte gleichzeitig ausfällt. Dabei sollten die Parity Bits nicht auf einer Platte gelagert sein!

9.5 Kern

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9.5 Kern Der Kern eines Betriebssystems organisert den sicheren Zugriff von Computerprogrammen auf die Maschinenhardware, und zwar sowohl bezogen auf die Zeitaufteilung als auch bezogen auf den prinzipiellen Zugriff. Vieole Aspekte haben wir bereits diskutiert. Beim prinzipiellen Design, d.h. der Implementation von Kernen wird zwischen verschiedenen Sichtweisen unterschieden. Klassisch sind monolithische Kerne, startend mit Unix, welches ein (das erste) effizientes funktionsfähiges und elegantes Betriebssystem offerierte. Die Grundidee von Unix war, alle Operationen einfach als Dateioperationen zu realisieren und dem Benutzer durch Dateimanipulationen mit dem System kommunizieren zu lassen. Alle Operationen speichern und/oder liefern Werte. Das Umlenken dieser Ströme und Verketten erlaubt komplexe Funktionalitäten. Umlenken der Einund Ausgabe geschieht u¨ ber Pipes, die die Daten zwischenpuffern und weitergeben. Mithilfe diser prinzipiellen Ansicht können Benutzer mit nur sehr wenigen Befehlen (Befehle als Ein-/Ausgabe und Pipes) das gesamte Betriebssystem beherrschen. Mit der Entwicklung neuer Medien und insbesondere graphischer Benutzeroberflächen bröckelte dieses Konzept; monolithische Kerne sprengten die ursprünglichen etwa 100000 Zeilen Code von Unix zu u¨ ber 33 Millionen für Linux. An der Carnegie Mellon University wurde mit dem Mach-Kern der Prototype für ein neues schlankeres Kerneldesign gelegt und die Tür zu sogenannten Mikrokernen aufgestoßen. Die Grundidee führt dabei die Unix-Realisierung von Pipes weiter: Systeme bestehen aus kleinen Einheiten, die durch Pipes miteinander kommunizieren, durch die jetzt aber jede Art von Information (nicht nur Dateiformate) geschickt werden kann. So entstanden die Bausteine, um die sich derartige Betriebssysteme gruppieren: • ein Task besteht aus Resourcen, welche ermöglichen, daß Threads laufen, • ein Thread ist eine Einheit von Code, die auf einem einzelnen Prozessor läuft, • ein Port definiert die Schnittstelle zwischen Prozessen mittels einer sicheren Pipe, • Messages beliebieger Art können u¨ ber diese Pipes geschickt werden. Der Mach Kern war insbesondere der einzige, der erlaubte eine einzelne Task durch mehrere Threads zu realisieren, heute der Standard. Das verschob die Sicht von einem monolithisch agierenen Betriebssystem zu einer verteilten Implementation mithilfe von einzelnen Servern für spezielle Aufgaben, die mithilfe von Ports komunizieren. Mit der tatsächlichen Nutzung des Mach-Kerns tauchten allerdings fundamentale Effizienzprobleme auf: Zugriff auf Speicher und das Umschreiben von Information zwischen Prozessen ist extrem teuer, aber extensiv genutzt insbesondere bei Prozeßkommunikation und dem Systemaufruf von Prozessen durch andere u¨ ber Server hinweg. Paging-Mechanismen, die in einem monolithischen System noch an die konkreten Bedürfnisse angepasst werden konnten, müssen in verteilten Systemen allgemein und entsprechend ineffizient gehalten werden. Das von Unix u¨ bernommene Konzept beruht aber extensiv auf der Interprozesskommunikation und dem Umschalten zwischen verschiedenen Servern (und Adressräumen). Mikrokernel wurden erst wieder populär mit der Verknüpfung der Idee einzelner Server und aus der Windows-Welt stammenden Konzepten: gibt es nur einen großen Addressraum, müssen die Daten nicht zwischen verschiedenen Räumen umgeshiftet werden, und ein Großteil des Overheads des Mach-Kerns fällt weg. Sicherheitsaspekte können in die einzelnen Anwendungsprogramme verlagert werden, statt in jedem Port integriert sein. Mit diesen Verschlankungen ist das Mikrokernel-Konzept insbesondere für verteilte low-level Anwendungen attraktiv.

184


9.6 Good bye! Wir möchten zum Schluß in Java ein kleines Fenster programmieren, das den Text ’Good bye!’ ausgibt. Das Ganze soll als applet in einem Browser laufen. Ein Applet ist nichts anderes als ein Java-Programm, das von der Klasse Applet abgeleitet ist und einige Konventionen berücksichtigt. Die Klasse kann dann direkt in html-Code eingefügt werden und auf anderen Rechnern u¨ ber das Internet gestartet werden. Dazu müssen einige Konventionen befolgt werden: der fremde Rechner muß dieses Programm ausführen können. Einerseits kann es dabei Probleme geben, weil nicht dieselbe Version von Java auf dem fremden Rechner implementiert ist, andererseits hat das Programm in der Regel sehr beschränkte Rechte, kann also keine Dateien manipulieren, Netzverbindungen aufbauen oder a¨ hnliches. Unser erstes Applet hat einfach folgende Form: import java.applet.Applet; import java.awt.Graphics; public class Goodbye extends Applet { public void paint(Graphics g) { g.drawString("Good bye!", 50, 25); } } Dieses Applet benutzt zwei Pakete, die Java liefert, applet, um Applets auszuführen, und die Graphik des abstract windowing toolkit (awt), um ein Fenster zu zeichnen. Das obige Programm implementiert die Methode paint. Jedes Applet muß eine der Methoden init, start oder paint implementieren, damit etwas passiert. Applets brauchen nicht die Methode main zu implementieren, die für Applets nicht aufgerufen wird. Obige Methode u¨ bernimmt ein Graphikobjekt (genauer den Kontext des aktuellen Applets) und zeichnet mit dessen Hilfe ein Fenster mit dem String "Good bye!", wobei die Position der linken unteren Ecke angegeben wurde. Benutzt wird dieses Applet durch Einbinden in ein html-Dokument mithilfe des Tag . Good bye! Good-bye applet
Es muß der Klassenname angegeben werden, und es wird erwartet, daß der Code der Klasse im selben Verzeichnis wie das html-Dokument steht, sofern das nicht durch codebase=<wo> spezifiziert ist. Zudem muß die Größe des Applets (in Punkten) angegeben werden. Nicht Java-fähige Browser stellen den unter alt angegebenen Text dar. Man kann Parameter an das Applet geben, induziert durch das Tag param mit angegebenem Namen und Wert (als String). Die Klasse muß wie u¨ blich mit javac u¨ bersetzt werden. Ein Aufruf dieser Seite führt dann zur Ausführung des Programms. Java offeriert auch die Möglichkeit, sich die Funktion von Applets im Appletviewer anzusehen. Das geschieht durch den Aufruf java sun.applet.AppletViewer gefolgt vom Namen der html-Seite.

9.6 Good bye!

185

Das obige Applet ist sehr simpel, es stellt lediglich einen Text dar (impliziter Aufruf der ¨ paint Methode), sonst passiert nichts. Ublicherweise berechnen Applets während ihres gesamten Lebenszyklus etwas, daher werden meist komplexere Methoden implementiert. Der u¨ bliche Lebenszyklus von Applets wird durch die im Original noch leeren Methoden init (Initialisierung), start (Start beim neuen oder ersten Betrachten der Webseite), stop (beim Iconifizieren oder Verlassen der Webseite) und destroy (beim Löschen des Applet) bestimmt. In obigem Applet wird allerdings keine einzige dieser Methoden u¨ berschrieben, sondern lediglich die Graphikmethode paint verändert und der Text auf die Seite geschrieben. Den Lebenszyklus eines Applets kann man gut in folgendem Beispiel sehen: import java.applet.Applet; import java.awt.Graphics; public class Lifecycle extends Applet { StringBuffer buffer; public void init() { buffer = new StringBuffer(); addItem("initializing... "); } public void start() { addItem("starting... "); } public void stop() { addItem("stopping... "); } public void destroy() { addItem("preparing for unloading..."); } void addItem(String newWord) { System.out.println(newWord); buffer.append(newWord); repaint(); } public void paint(Graphics g) { g.drawString(buffer.toString(), 5, 15); } } In einem gepufferten String werden hier pro Aufruf Messages hinzugefügt und ausgegeben. Man sieht sehr schön, wie sich bei jedem Iconifizieren und Deiconifizieren des Fensters der Text verlängert, da stop und start aufgerufen werden. Ein explizites stop und destroy ist insbesondere dann nötig, wenn man innerhalb eines Applets mehrere Threads startet – diese werden nicht automatisch gestoppt und verschwenden daher Speicherplatz oder Rechenzeit, auch wenn die Seite des Applets u¨ berhaupt nicht betrachtet wird. Applets sind sehr mächtig, man kann etwa: • pro Webseite mehrere Applets erzeugen und diese gegenseitig ansprechen, • von Webseiten Parameter einlesen, • mit einem Applet eine neue Webseite aufrufen, • auf Aktionen des Benutzers wie Eingaben oder Mousebewegungen reagieren,

10 LITERATUR

186 • Multimediadateien abspielen • u¨ ber awt oder swing Oberflächen einbinden, • etc.

Das soll hier nicht mehr Thema sein. Wir wollen lediglich zum Schluß das obige Applet Goodbye so verändern, daß wir einen Knopf drücken können, woraufhin sich der Text (auf dem Button) zu "Hello world!" a¨ ndert und umgekehrt. Dazu benötigen wir ein Objekt Button, das von Java zur Verfügung gestellt wird. Ein Listener horcht auf Ereignisse, etwa auf den Knopfdruck. Das Applet ist: import java.applet.*; import java.awt.*; import java.awt.event.*; public class goodbyebutton extends Applet implements ActionListener{ Button byebutton; private int status = 0; public void init(){ byebutton = new Button("Good bye!"); add(byebutton); byebutton.addActionListener(this); } public void actionPerformed(ActionEvent event){ if (event.getSource() == byebutton){ if (status == 0) byebutton.setLabel("Hello world!"); else byebutton.setLabel("Good bye!"); status = 1-status; repaint(); } } public void start(){ } public void stop(){ } public void destroy(){ } }

10 Literatur • Java-Online-Referenz: http://java.sun.com/j2se/1.4.2/download.html • Einführungen mit Java: – Einführung in die Informatik: Objektorientiert mit Java, Wolfgang Küchlin, Andreas Weber, Springer, mehrere Auflagen – Algorithmen in Java, Hans Werner Lang, Oldenbourg, 2003

187 – Java: eine Einführung, Martin Schader, Lars Schmidt-Thieme, Springer, 2003 • Algorithmen-Klassiker: – Algorithmen und Datenstrukturen, Ottmann/Wiedmayer, Spektrum Verlag, mehrere Auflagen – Agorithms in C (Java), Sedgewick, Addison Wesley • Theoretische Informatik: Theoretische Informatik - eine problemorientierte Einführung, Sperschneider/Hammer, Springer, 1996, online auf meiner homepage http://www.informatik.uni-osnabrueck.de/barbara/papers/pub hammer.html • Boolesche Algebren, Schaltalgebren, Zahldarstellung: – Grundzüge der Digitaltechnik, Hentschke, Teubner, 1988 – Informatik: Rechenanlagen, Hotz, Teubner, 1972 • Floating Point und Numerik: – Numerische Mathematik, Stoer, Springer, mehrere Auflagen – Numerical Recipes in C, Press et al., Cambridge, mehrere Auflagen • Parallele Prozesse, Betriebsysteme: – Modern Operating Systems, Tanenbaum, Prentice Hall – Concurrent Programming in Java, Lea, Addison-Wesley • Prolog und Logik: – Clause and Effect, Clocksin, Springer – Logic – A Foundation for Computer Science, Sperschneider/Antoniou, Addison-Wesley • Historie: – Der Computer Mein Lebenswerk, Zuse, Springer, 1984 – Vom Abakus zum Internet: die Geschichte der Informatik, Friedrich Naumann, Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 2001 • Informationstheorie: Informations- und Kodierungstheorie, Herbert Klimant, Rudi Piotraschke, Dagmar Schönefeld, Teubner, 2003 (2te Auflage) • Zwei sehr gute online-Skripten zur Informatik, es gibt viele weitere – aus Magdeburg: http://ivs.cs.uni-magdeburg.de/sw-eng/agruppe/lehre/ead.shtml – aus Princeton: http://www.cs.princeton.edu/introcs/home/ • und alles weitere können Sie selbst im Internet suchen http://www.google.de

Informatik I+II 001

Informatik III 001.ps.gz

Grundlagen theoretischer Informatik 001

Theoretische Informatik 001.ps.gz

Informatik 001.ps.gz

Logische Systeme der Informatik 001

Theoretische Grundlagen der Informatik 001

Analysis I III 001

Ausgewaehlte Kapitel der th Informatik 001.ps.gz

Logische Systeme der Informatik 001.ps.gz

Theoretische Informatik

Theoretische Informatik

Kursbuch Informatik

Theoretische Informatik

Informatik: Aufgaben und Losungen, Begleitbuch zu Blieberger et al.: Informatik (Springers Lehrbucher der Informatik)

Theoretische Informatik - kurzgefaßt

Historische Notizen zur Informatik

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Iii

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