Vorlesung Lineare Algebra und Analytische Geometrie II Andreas Knauf Sommersemester 2001
Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung
2
2 Der Quotientenraum nach einem Unterraum
4
3 Der Dualraum eines Vektorraums
8
4 Direkte Summen von Vektorr¨aumen
18
5 Die Jordansche Normalform ¨ ¨ 5.1 Aquivalenz und Ahnlichkeit . . . . . . . . . 5.2 Nilpotente Endomorphismen . . . . . . . . . 5.3 Verallgemeinerte Eigenr¨aume . . . . . . . . . 5.4 Jordanzerlegung und Jordansche Normalform 5.5 Ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
23 23 28 35 40 45
6 Reellifizierung und Komplexifizierung 6.1 Skalarwechsel bei Vektorr¨aumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Die reelle Jordansche Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . .
46 46 51
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
Mathematisches Institut, Universit¨at Erlangen-N¨urnberg, Bismarckstr. , D–91054 Erlangen, Germany. e-mail:
[email protected], web: www.mi.uni-erlangen.de/ knauf
1
7 Lineare Differentialgleichungen 54 7.1 Berechnung der L¨osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 7.2 Ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 8 Euklidische und unit¨are Vektorr¨aume: Fortsetzung 8.1 Orthonormalisierung . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Die adjungierte Abbildung . . . . . . . . . . . . 8.3 Normale Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Orthogonale und unit¨are Operatoren . . . . . . . 8.5 (Anti–) Selbstadjungierte Endomorphismen . . . 8.6 Anwendung: Quantenmechanik . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
60 . . . 62 . . . 64 . . . 67 . . . 70 . . . 76 . . . 79
9 Quadriken
80
10 Projektive R¨aume
88
Literatur
96
Index
96
Vorbemerkung: Dieses Skript kann kein Lehrbuch ersetzen. Einige Lehrb¨ucher zur Linearen Algebra sind im Literaturverzeichnis erw¨ahnt. Danksagung: Ich danke Frau I. Moch f¨ur die sorgf¨altige Erstellung dieses Manuskriptes und Frau T. Dierkes f¨ur ihre Korrekturvorschl¨age.
1 Einleitung In diesem zweiten Teil der Vorlesung werden wir zun¨achst die Lineare Algebra in verschiedenen Richtungen vertiefen: 1. Die Objekte der Linearen Algebra sind die Vektorr¨aume, und die betrachteten Abbildungen zwischen ihnen sind linear. Wir werden Methoden kennen lernen, durch geeignete Kombinationen von Vektorr¨aumen (bzw. linearen Abbildungen) neue Vektorr¨aume (bzw. lineare Abbildungen) zu konstruieren. In grober Analogie k¨onnen wir diese Konstruktionen mit den Grundrechenarten Addition, Subtraktion und Multiplikation, mit deren Hilfe man ja Zahlen zu neuen Zahlen kombiniert, ver2
gleichen. Konkret sollen direkte Summe, Quotient und Tensorprodukt von Vektorr¨aumen sowie der Dualraum behandelt werden. 2. Wollen wir den geometrischen Gehalt eines Endomorphismus verstehen, so empfiehlt es sich, diesen durch Wahl einer geeigneten Basis in eine m¨oglichst einfache Form zu u¨ berf¨uhren. Beispielsweise werden wir bei einer Drehung im dreidimensionalen Anschauungsraum einen Basisvektor in Achsrichtung und die beiden anderen senkrecht dazu und zueinander w¨ahlen. Eine besonders einfache Form besitzt eine Matrix, wenn sie diagonal ist. Schon das Beispiel der Drehungen zeigt zwar, dass man nicht jeden Endomorphismus diagonalisieren kann. Allerdings nimmt in der so genannten Jordanschen Normalform der Nichtdiagonalanteil eine einfache Form an. 3. Der Normalformalgorithmus ist besonders n¨utzlich bei der Berechnung von von Endomorphismen . Wir nehmen dabei nichtlinearen Funktionen an, dass die komplexe Potenzreihendarstellung
Funktion eine konvergente
!"$# besitzt, z.B. , und definie ren als . Dieser Ausdruck l¨asst sich dann leicht berechnen, wenn wir die Jordansche Normalform von einsetzen. Eine Anwendung von enormer praktischer Bedeutung stellen dabei die so genannten Linearen Differentialgleichungen der Form
% ( & ) +*,( & &.-0/ '% & * -14 6 5(7 / & ( & 1 - /32
mit Zeitparameter , L¨osungen denn
= =?>
und
( & 3 89 6* & :(6;
>
! !
transponierte Abbildung.
! -
- 7
3.10 Satz Sind und endlich-dimensionale –Vektorr¨aume und * 4 dann gilt f¨ur die darstellende Matrix von bez¨uglich der Basen von und von :
*
4
*
>
9 7 >
d.h. > ist die darstellende Matrix der transponierten Abbildung bez¨uglich der dualen Basen. Bew.: Ist
97
&&&
7
7
und
6*
.
oder auch Andererseits gilt f¨ur
. 4
>
2
7 & & & 2 , dann ist
> 2
12
6*
,
oder
)
>
. . 7 - 7
Offensichtlich gilt allgemein f¨ur
> >
und 0- > >& und
>
Aber da bei der Transposition die Richtung umgekehrt wird, gilt: 3.11 Satz
>
F¨ur
- 7
und
- 7
ist
> >
>
! - ist > ! ! ) ! ! @ > ! > > ! )
. > > ! ! 3
> ) ! ! . - Ist , dann k¨onnen wir diesen Vektor als lineares Funktional auffassen; ist dann ein Unterraum, den wir als orthogonal zum bezeichnen Unterraum k¨onnen. Allgemein definieren wir: ein Unterraum, so heißt 3.12 Definition Ist - ! ! +; f¨ur alle ! - $ das zu orthogonale Komplement.
Ist , dann identifizieren wir nach Satz 3.6 den Bidualraum
Bew.: F¨ur alle
mit
3.13 Satz
:
ist . , - sind auch -
ist ein Unterraum, und f¨ur
Bew.:
Es ist- ; - , und mit 7 und
. Mit ! - ist auch ! - , denn wegen Satz 3.6 ist , sodass - - - 7 A ! ; f¨u r!alle
; -
f¨ur alle
- ! ; - &
f¨ur alle
13
! -
G¨abe es ein , dann k¨onnten wir nach dem Basiserg¨anzungs 97 7 satz diesen von einer Basis & & & von 7 7 linear unabh¨ angigen Vektor 2 zu dieser hinzuf¨ugen und zu einer Basis von erg¨anzen, sodass &&& !
- . Wir definieren nun durch S
!
-
Damit ist , denn auf der Basis !
S . Andererseits ist S . Widerspruch!
3.14 Satz Ist
ein Unterraum und
"!
S
&
von und , also
7 7 ) & & &
S
verschwindet -
S
, dann gilt
&
97 7 von zu& & & zei-2 Wegen ! +; 7 f¨ur 7 - '7 & & & 7 # $ und - # 7 & & & 7 5 $ gilt jedenfalls &&& 2 . ! 2 - , also !
F¨ ur die; umgekehrte sei ! 7# - ' 7 Inklusion - 7 7 2 , . & & & $ . Damit ist &&& . - 7 gilt 3.15 Satz F¨ur ) , ) > und > & Bew.: Nach Definition von > ist > ! - ! - mit ! $ & Andererseits ist , - mit . 3 ; ist A) ; $ & ! F¨ur > gilt daher A) ! ! ; - ,97 , ist. sodass >
!
Bew.:
97
7
Es sei & & & eine Basis von , die wir zu einer 7 Basis7 2 von erg¨anzen. Dann ist mit der dualen Basis &&&
7 7 2 gen: . &&& S
S
S
14
! - mit ! . Sei nun eine Basis von und (f¨ur eine Indexmenge ! ) eine Basis von . Wir definieren die Linearform durch ihre Werte auf dieser Basis: ! ; 77 -- & Obwohl ein affiner Unterraum von ist, ist die Linearform auf 7 - ! - , . ihm konstant, denn f¨ur ist ! die gew¨unschte Eigenschaft ! . Nach dieser Definition hat -
F¨ur die umgekehrte Inklusion ist zu zeigen: F¨ur alle
existiert ein
\
\
\
! > ist- ! ! -
Nach Definition von
>
;
-
! $
) +;
$
&
Da wir jetzt eine geometrische Interpretation der von der transponierten Matrix induzierten linearen Abbildung besitzen, k¨onnen wir ein offen gebliebenes Problem des letzten Semesters zu den Akten legen: 3.16 Satz Sei gleich.
* - 4
5(7 . Dann sind Zeilenrang und Spaltenrang von *
. * Bew.: Es sei die lineare Abbildung , und > ! 8* 2 > . Dann ist* der Spaltenrang * die transponierte , Abbildung, also > ,von , und der Zeilenrang von > gleich gleich > . Nach Satz 8.13 LA 1 ist ! "! & Nach Satz 3.14 ist 3 "! , 7
2
)) > , > & Zusammen ergibt dies . > und nach Satz 3.15 ist
Anwendung: Codes. Wir bezeichnen wieder den zweielementigen K¨orper mit . 15
3.17 Definition Es sei
Dann heißt Gilt
2 ein linearer Code. 2 2 der zu duale Code.
3
, dann heißt
Nach Satz 3.13 ist immer C .
wieder ein Unterraum und damit ein linearer Code. Außerdem ist
selbstdual.
+
3.18 Satz Eine Matrix , - / ist genau dann Generatormatrix des linearen ; ; Codes , wenn sie Kontrollmatrix von ist.
Bew.: Es sei von ist, dann gilt
>
2
E&FG
also ist der zu
Damit ist
duale Code
die lineare Abbildung ;
IPH
>
. Falls
Generatormatrix
;
von der Form
Kontrollmatrix von
32,: !C2 7 ;
IPH
> I
. Die umgekehrte Implikation folgt analog.
2
W Um nun effektiv zu decodieren, zerlegen wir den Vektorraum in Nebenklassen 2 nach dem Unterraum . Dabei w¨ahlen wir als Repr¨ asentanten < der Ne ; benklasse einen Vektor minimalen Gewichts, den sog. Nebenklassenf u¨ hrer. Nun besitzen [ alle Elemente einer Nebenklasse unter der Surjektion das gleiche Bild. Empfangen wir 2 also am Ende eines Kanals das Wort , dann k¨onnen wir seine Nebenklasse W bestimmen, indem wir sein sog. Syndrom
[
>
G
2]\
berechnen. Wir vergleichen dieses Syndrom mit einer Liste der Syndrome Repr¨asentanten und decodieren, indem wir den Code
!
f¨ur
[
>
[
[ >
der
>
zuordnen. Da in seiner Nebenklasse minimales Gewicht besitzt, hat minimalen Abstand von . Es kann aber noch weitere Codew¨orter mit gleichem Hammingabstand * * geben.
3.19 Beispiel Simplex– und Hammingcodes 2 Zur Konstruktion des bin¨aren Simplex–Codes , betrachten wir die ,. –Matrix mit ! , deren Spalten die (beliebig angeordneten) von Null verschiedenen Vektoren aus sind. F¨ur ergibt sich (in lexikalischer Ordnung)
16
Jede Zeile von besitzt Einsen und Nullen, denn es fehlt ja nur der Null(spalten)vektor aus . Das gleiche gilt f¨ur jede von Null verschiedene Linearkombination dieser Zeilen. von , ; wir erkennen, dass die Codew¨orter a¨ quidi ist nun Generatormatrix \ stant sind mit Abstand . [ Fassen wir nun ! als Kontrollmatrix auf, dann nennen wir den entsprechenden zum Simplexcode dualen Code , den Hamming–Code , 2 . Der Minimalabstand zweier W¨orter in diesem Code ist \
\
,N
, Dies sehen wir durch Angabe eines Wortes minimalen Gewichts. Die den Einsen in diesem Wort entsprechenden Spalten von sind linear abh¨angig, denn und ihre Zahl ist die Gesamtzahl solcher abh¨angiger Spalten, also gleich 3. 0 > Der Hamming–Code gestaltet damit die Korrektur eines Fehlers, entsprechend den Hammingkugeln vom Radius 1 um die Codew¨orter. Diese Kugeln umfassen jeweils neben dem Codewort noch 2 \ weitere W¨orter, also insgesamt W¨orter. Es gibt 2 Codew¨orter. Damit ist der Hammingcode perfekt, d.h. die insgesamt Hammingkugeln f¨ullen aus. Um f¨ur den Hammingcode die Decodierung durchzuf¨uhren, erstellen wir zun¨achst die Liste der Nebenklassenf¨uhrer und ihrer Syndrome. Wegen der Perfektheit von k¨onnen und m¨ussen wir die Kugel vom Radius 1 um die Null als Menge der Nebenklassenf¨uhrer w¨ahlen, also 2 !< 4 ,
!< 4
I
[
,
[
Damit ist das Syndrom > 4 und Transponierte des –ten Spaltenvektors von . und empfangen wir das Wort Ist z.B. uhrers [ > , entsprechend dem des Nebenklassenf¨ korrigieren also, indem wir als das Codewort
>
N
I
ist f¨ur
4N
, so ist sein Syndrom . Wir
interpretieren. Da wir die Spalten der Kontrollmatrix von , lexikalisch geordnet haben, k¨onnen [ wir sogar aus > direkt ablesen, an[ welcher Stelle von wir gegebenenfalls ein Bit korrigieren m¨ussen, hier also wegen > Z an der Stelle
:7
W
07
W
17
?7
4 Direkte Summen von Vektorr¨aumen In diesem Kapitel geht es darum, mehrere Vektorr¨aume zu einem neuen Vektorraum zusammenzuf¨ugen. Dies scheint eine einfache Operation zu sein; allerdings gilt es, vier verwandte Begriffe auseinander zu halten: 1. Die Summe
!
-
!
!
mit
-
$
von Unterr¨aumen . In der Darstellung von sind nur endlich viele ; + . Falls nur endlich viele Unterr¨aume summiert werden, schreibt man kurz
&&& 2& - f¨ur alle
2. Ist die Darstellung in 1. einer inneren direkten Summe und schreiben
3. F¨ur ein System schen Produkt
von
statt
!
und
#
!
7 -
!
#
f¨ur
&
–Vektorr¨aumen k¨onnen wir auf dem kartesi-
durch
eine
- $
eindeutig, sprechen wir von
und
# -
–Vektorraumstruktur definieren, die das direkte Produkt der
heißt.
- ungleich Null sein k¨onnen, anders. Diese ist der Unter-
4. W¨ahrend hier unendlich viele Faktoren ist dies bei der a¨ ußeren direkten Summe der vektorraum
-
-
18
; $
$&
Ist die Indexmenge endlich, dann stimmen (¨außere) direkte Summe und direktes Produkt u¨ berein,2 im Allgemeinen aber nicht. Im endlichen Fall schreiben wir oft
&&&
2
statt
&
Der Unterschied zwischen 1. und 2. ist uns schon bekannt. Insbesondere ist + ; keine direkte Summe, wenn .
4.1 Beispiel Der Unterschied zwischen 3. und 4. wird am Beispiel des Polynom raums deutlich. Dieser ist isomorph zur a¨ ußeren direkten 2 Summe eindimensionaler Vektorr¨aume, wobei dem Polynom die Folge
7 7 7 2 7 ;A7 A; 7 &&& &&&
zugeordnet wird. Andererseits haben wir schon gesehen, dass der Dualraum zum direkten Produkt ist.
isomorph
Ein Unterschied zwischen 2. und 4., also der inneren und der a¨ ußeren direkten Summe, ist zun¨achst einmal die Tatsache, dass bei 2. die Vektorr¨aume schon Unterr¨aume eines ihnen gemeinsamen Vektorraums sind. Allerdings gilt dies mit den Injektionen
-
,
;
7 7
(2)
auch f¨ur die a¨ ußere direkte Summe. Dann ist n¨amlich der Unterraum zu isomorph, und die a¨ ußere direkte Summe ist gleich der inneren direkten Summe
&
2
Dass dasselbe Objekt einmal Summe und einmal Produkt genannt wird, liegt an der unterschiedlichen Perspektive: Das Produkt zweier (endlicher) Mengen und hat die Kardinalit¨at , daher der Name. Sind diese Mengen gleichzeitig Vektorr¨aume, dann haben wir die M¨oglichkeit, Vektoren als Vektoren bzw. aus aufzufassen und zu addieren.
19
Daraus schließt man f¨ur a¨ ußeren direkten Summe
insbesondere, dass die Dimension der
2
2
(3)
ist. Insbesondere gilt f¨ur die a¨ ußere direkte Summe eines Vektorraums mit sich
selbst )
(w¨ ahrend f¨ur die Summe von Unterra¨ umen gilt, denn !). Direktes Produkt und direkte Summe linearer Abbildungen lassen sich in der folgenden Form einf¨uhren:
4.2 Definition Es seien die linearen Abbildungen
-
gegeben. Dann heißt die Abbildung
,
. Die Einschr¨ankung des direkten Produktes auf heißt die direkte Summe der .
das direkte Produkt der
Eine Basis f¨ur die a¨ ußere direkte Summe von Vektorr¨aumen erh¨alt man durch disjunkte Vereinigung der Basen der Summanden unter Benutzung der Injektionen (2). Bei einer endlichen a¨ ußeren direkten 7 7 & & & 2 endlich-dimensiona Summe ler Vektorr¨aume mit Basen &&& ist dann
" 9 97 7 97 7 7 7 7 2 2 97 7 2 2 &&& &&& &&& &&&
%
&&& 2. eine geordnete Basis von - 4 Ist die darstellende Matrix des Endomorphismus bez¨uglich der Basis" , dann besitzt die darstellende Matrix der Summen-Abbildung bez¨uglich die Blockdiagonalform
4
&&&
2!
20
8 .. . . .. . . . %
&
Eng verbunden mit dem Begriff der direkten Summe ist der der Projektion.
-
4.3 Definition Ein Endomorphismus
wenn gilt.
mit
!
Bew.:
!
Ist
!
4.4 Satz Es sei Projektion, und
und
-
. Dann ist mit
;A7
!
heißt Projektion oder Projektor,
$
, also
oder
Wegen
Wegen seits ist
!
.
A@
mit . Also ist ,diealsoSumme
!
muss dann auch schon (4) gelten.
!
!
;
"
/
.
. Anderer-
ist auch im Bild von .
,
$ $ und - ein Vektor
7
9 , , denn ) 7 7 9 7 .
9 . - 7 . ;
. Hier ist $ der zu 7
und senkrechte Unterraum.
Etwa f¨ur
1. Die Identische und die Nullabbildung sind Projektionen.
2. Ist ein -Vektorraum mit dem Skalarprodukt 7 9
der L¨ange , dann ist Projektor auf den eindimensionalen Unterraum
wegen - ; Ist , dann ist ; ist , dann ist
; 7 $. also . Aus (4) ergibt sich daher
4.5 Beispiel
eine
.
(4)
direkt. Andererseits ist nach dem Dimensionssatz , sodass wegen (3)
!
- , dann existiert !
; ein -
auch
B
-0/
ergibt sich 21
3
B B
B
.
Ist
, dann besitzt nach Definition jeder Vektor 7 $ ; - ist die Abbildung wobei nur endlich viele sind. F¨ur jedes linear. - direkte Summe der Unterr¨aume die eindeutige Zerlegung
Definieren wir daher
dann ist
! $
9 ) ,
F¨ur endliche Summen (
und
!
mit
durch
7 ; 7 '7
+;
f¨ur
oder kurz
&
) gilt
In diesem Sinn ist die direkte Summe - mit einer Familie von Projektoren verkn¨upft. Ein Endomorphismus heißt diagonalisierbar, wenn eine Basis von Eigenvektoren von existiert.
-
4.6 Satz Ein diagonalisierbarer Endomorphismus sionalen Vektorraumes besitzt die Form
eines endlichdimen-
, d.h.
\
>
eine ONB von
4
&
(30)
, dann gilt f¨ur die darstellende
6* 6*
( '7 7 &&&
'7 7
!
Daher ist f¨ur alle
! ! - und
!
>
Wegen der Invertierbarkeit von Nach Satz 3.10 ist
>
>
!
&
.
7 . 7!
-
!
oder kurz
7
gilt 7! &
Bew.: Nach Definition der transponierten Abbildung
!
> -
&&&
!
&
!
*
impliziert dies Gleichung (30).
>
4
>
) bez¨uglich die darstellende Matrix der transponierten Abbildung der dualen Basen. \ \ )
Da und konjugiert-linear sind und , gilt, ergibt * * sich daraus >.
Die adjungierte Abbildung hat also den gleichen Rang wie . 8.9 Korollar Sind torr¨aume, und ist
und
- und 7
) )
endlich-dimensionale euklidische oder unit¨are Vek , dann gilt
65
&
Bew.: Dies ergibt sich aus dem entsprechenden Satz f¨ur die transponierte Abbil dung, denn f¨ur einen Unterraum
ist der zu in orthogonale Unterraum
- 7 ! +;
gleich dem Bild von
unter der Abbildung Damit ist
-
- 7 ! ;
, und analog f¨ur
genau dann surjektiv, wenn
%$
-
%$
.
injektiv ist, und umgekehrt.
! "
8.10 Beispiel ! Die adjungierte Abbildung zur Projektion . projiziert auf entlang der Richtung .
-
Wir haben gesehen, dass eine Projektion
projektion ist, wenn ist.
im
/
ist
genau dann eine Orthogonal-
8.3 Normale Operatoren Diese so genannte Selbstadjungiertheit eines Operators ist Spezialfall der folgenden Eigenschaft.
8.11 Definition Existiert die adjungierte Abbildung + , dann heißt normal. 8.12 Beispiel
zu
und gilt
. A! " ist nicht normal, denn . ! ! ( & -
8.13 Satz F¨ur normale Endomorphismen
)
und
gilt
&
)
Bew.:
-
66
) . , sodass , woraus wegen der
Allgemein gilt f¨ur einen zweiten Endomorphismus !
+ F¨ur ist aber nach Corollar 8.9 . . Analog gilt ! Normalit¨at von die Beziehung
folgt.
Allgemein gilt
, aber f¨ur wegen . Analog folgt sogar und wegen der Normalit¨at von die zweite Beziehung.
-
8.14 Satz Ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen unit¨aren Vektorraums ist genau dann normal, wenn eine ONB aus Eigenvektoren von besitzt. Bew.:
7 7
;
Besitzt eine solche ONB, dann ist von der Form mit der Familie von Projektoren auf die Eigenr¨aume zu den Eigenwerten
. Da diese orthogonal sind, gilt , also
7
;
&
Ist normal, also , dann gilt auch f¨ur den diagonalisierbaren bzw. nilpotenten Anteil von , denn diese sind ; Polynome in . Daraus folgt zun¨achst
.Denn wegen Satz 8.13 gilt . Damit ist , sodass ! ) , also ist.
Gem¨aß Satz 5.26 k¨onnen wir also
+
in der Form
als Polynome von schreiben, wobei die Projektoren
ebenfalls normal sind. Normale Projektoren sind aber Orthogonalprojektoren, denn nach Satz 8.13 projiziert ebenso wie entlang !
)
auf . Da andererseits nach Corollar 8.9 , - und f¨ur $ , stehen je zwei Eigenr¨aume und aufeinander senkrecht.
Insbesondere sind also normale Endomorphismen unit¨arer Vektorr¨aume diagonalisierbar. Auch wenn das charakteristische Polynom eines normalen Endomorphismus eines euklidischen Vektorraumes nicht in Linearfaktoren zerf¨allt, besitzt dieser eine einfache Normalform: 67
-
8.15 Lemma Ist ein euklidischer Vektorraum und normal, dann ist - auch seine Komplexifizierung normal bez¨uglich des komplexifizierten Skalarproduktes
7 !
Bew.:
7!
7 ! 7 !
7 ! 97. ! 97 !
f¨ur alle
!
!
!
97 !
!
!
!
-
!
!
!
!
!
impliziert
7
7 7 37
&
7 . 97. ! 7. 7 97 ! 7 97
also
7!
"!
+;
+;
&
Wir k¨onnen also f¨ur eine reelle Normalform von dadurch be rechnen, dass wir die komplexe Normalform von benutzen, die nach Satz 8.14 bez¨uglich einer ONB eine Diagonalmatrix ist.
-
8.16 Satz Ist ein endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum und normal, dann besitzt bez¨uglich einer geeigneten ONB von die Normalform
%
..
.
' \
%
%
% %
..
. \
&
# 97 7 & & & 7 -0/ sind die reellen Eigenwerte von , 97 & & & 7 - / die nicht reellen Eigenwerte von .
Hierbei ist und
Bew.: Dies folgt aus Satz 8.14 zusammen mit der in Kapitel 6.2 dargestellten reellen Normalform. Denn besitzt ja eine orthonormale Eigenbasis, die mit 68
) dem Eigenvektor zum Eigenwert auch den Eigenvektor zum Eigenwert ! enth¨alt. Da diese normiert sind und aufeinander senkrecht stehen, gilt f¨ur
&
/
in
(37)
Zur L¨osung dieses Normalformproblemes f¨ur den Spezialfall schauen wir uns zun¨achst das verwandte Problem der Normalform unter orientierungserhaltenden Kongruenzen an: 81
/ 2
9.4 Definition Eine Affinit¨at
/ 2
heißt
Kongruenz, wenn sie Abst¨ande erh¨alt, d.h.
"!1 A
!
Sie heißt orientierungserhaltend, wenn gilt.
7 -0/ 2
6*
;
(mit
& (38) *,
*,
)
Eine Affinit¨at ist genau dann eine Kongruenz, wenn * gilt, und genau dann eine orientierungserhaltende Kongruenz, wenn / 2 Weiter kann man zeigen, dass jede abstandserhaltende Abbildung (f¨ur die also (38) gilt) eine Affinit¨at ist.
- / 7
7 & *& & 2 *
* C ! /
5 C 6 5 2 .
ein quadratisches Polynom der Form 7 *, 7 ,6*
mit , dann existiert eine ori> und / 2 entierungserhaltende Kongruenz des mit 9.5 Satz Ist
A!
Dabei sind * & symmetrischen Matrix .
&&
7 7
S
7
, , ,
die von Null verschiedenen Eigenwerte der
) ) ) &
A
Bew.: Gem¨aß (37) besitzt das quadratische Polynom die Form 7 > . Wir setzen aus vier orientierungserhaltenden mit
B Kongruenzen zusammen: .
?
1. Dabei ist C , wobei wir zun¨achst nur C
ist die Transponierte von % gleich % ein C mit
- 65 C fordern. Damit
> % % % und es gibt
7 & & & 7 ,7 ;A7 & & & ;
