Praktische Regeltechnik: Anwendungsorientierte Einfuhrung fur Maschinenbauer und Elektrotechniker, 8. Auflage (VDI-Buch)

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Author: Peter F. Orlowski

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Praktische Regeltechnik

Peter F. Orlowski

Praktische Regeltechnik Anwendungsorientierte Einführung für Maschinenbauer und Elektrotechniker 8. bearbeitete Auflage

13

Professor Dipl.-Ing. Peter F. Orlowski Fachhochschule Gießen-Friedberg Elektrische Antriebe, Regeltechnik, Angewandte Elektronik Wiesenstr. 14 35390 Gießen Deutschland [email protected]

ISBN 978-3-642-01735-3 e-ISBN 978-3-642-01736-0 DOI 10.1007/978-3-642-01736-0 Springer Dordrecht Heidelberg London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1994, 1999, 2007, 2008, 2009 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandentwurf: eStudio Calamar S.L., Figueres/Berlin Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com)

w i s s e Vo l l e n d u n g g e t r e u d e n Wu r z e l n

Vor wort

Die vor lie gen de achte Auf la ge des Bu ches wur de umfang reich überar bei tet. Es sind mo der ne re gel tech ni sche Auf ga benstellungen hin zu gekommen, welche die pra xisorientier te An wendbar keit des Werkes für ein Di plom- oder Ba che lorstu di um wei ter un ter strei chen. Ins be son de re die Re ge lung ei nes Brüc kenkrans mit Fil ter-Regler, die Blatt win kel re ge lung (Pitch-Re ge lung) ei ner Wind kraft an la ge, die Po si tions re ge lung mit Li ne ar mo tor so wie eine Durch flußre ge lung mit Schwebekörper sind neu dazu ge kom men. Au ßer dem wur de das sieb te Ka pi tel be züg lich der WIND OWS-An wen dun gen an den neusten Stand für PC-Soft wa re an ge paßt. Im 8. Ka pi tel fin den sich zu sätz lich für Stu die ren de ei ni ge ty pi sche Klau sur bei spie le der Re gel tech nik zum ver tief ten Ein üben des Stoffes mit Lö sun gen. Das im Buch ein ge setz te Si mu la tionspro gramm SIM LER-PC liegt in vier Spra chen vor und ist lauffä hig un ter al len WINDOWS-Versionen. Dar in wird der neue F Rt -Reg ler al go rith mus (Wur zel re kur sion) industriebezogen angewendet und die Op ti mie rungs mög lich kei ten zur Ein stel lung von Re gel krei sen ver bes sert. SIM LER-PC ist be son ders bei er On-line-Op ti mie rung der Reg ler-Parameter und der Füh rungs grö ße den An wen dungs mög lich kei ten von beispielswei se MatLab Si mu link über le gen. SIM LER-PC läßt sich in der Voll ver sion kosten los aus dem In ter net her un ter la den un ter: www.mmew.fh-gies sen.de/dienst lei stun gen/Downlo ad. Zwei Da tei en mit den Namen: Simler-PC*.ZIP und Simler-PC*.PDF.

Lin den, Frühjahr 2009

Pe ter F. Or lowski

In halts ver zeich nis

1

2

3

Grundbegriffe der Regeltechnik ..................

1

1.1 Steue rung ..............................................................

1

1.2 Re ge lung ...............................................................

3

1.3 Be grif fe und De fi ni tio nen .......................................

5

1.4 Wirk schalt plan, Block schaltpl an .............................

7

Berechnung von Regelkreisen ....................

10

2.1 Sta tio nä r es Ver hal ten .............................................

10

2.1.1 Ver stär kun gen ..............................................

10

2.1.2 Stör grö ßen ...................................................

12

2.1.3 Sta ti sche Kenn li nien .....................................

18

2.2 Dy na mi sches Ver hal ten ..........................................

26

2.2.1 Dif fer en ti al glei chun gen .................................

27

2.2.2 Sprung-, Ram pen- und Fahr kur ven funk tion .....

29

2.2.3 Kom ple xe Rech nung .....................................

36

2.2.4 Car son-La pla ce-Trans for ma tion ....................

38

2.2.5 Über tra gungs funk tion und Fre quenz gang ........

47

Regelkreisglieder...................................

60

3.1 Li nea re Re gel kreis gl ie der .....................................

64

3.1.1 P-Glied .....................................................

64

3.1.2 I-Glied .......................................................

67

3.1.3 D-Glied ......................................................

72

3.1.4 PI-Reg ler ...................................................

73

3.1.5 PD-Reg ler .................................................

78

3.1.6 PID-Reg ler ................................................

82

3.1.7 PT 1 -Glied .................................................

87

3.1.8 PT 2 -Glied und PTn-Glied ............................

94

3.1.9 PTt-Glied .................................................

105

3.1.10 PTa-Glied ...............................................

109

X

4

5

In halts ver zeich nis

3.2 Nicht li nea re Re gel kreis gl ie der ..............................

120

3.2.1 Li nea ri sie rung .............................................

120

3.2.2 Be schrei bungs funk tion .................................

123

3.3 Um for men von Block schaltplänen ..........................

135

3.3.1 Re geln für li nea re Re gel kreis glie der .............

135

3.3.2 Re geln für nicht li nea re Re gel kreis glie der ......

136

Komponenten der Automatisierung ............

141

4.1 Reg ler ................................................................

141

4.1.1 Auf bau Wir kungs wei se ................................

142

4.1.2 Prak ti sche Reg ler ein stel lung ........................

147

4.2 Soll wert ge ber ......................................................

154

4.3 Stell ge r ä te ..........................................................

159

4.3.1 Strom rich ter ...............................................

159

4.3.2 Ven ti le .......................................................

164

4.3.3 Stell mo to ren und Li ne ar an trie be ...................

167

4.4 Me ß ein rich tun gen ................................................

172

Stabilitätskriterien und Optimierung .........

177

5.1 Sta bi li t äts be griff ..................................................

177

5.2 Bode-Dia gramm ...................................................

181

5.3 Ny quist-Kri te ri um ...............................................

196

5.4 Zwei-Orts kur ven- Ver fah ren (Z.O.V.) ....................

211

5.5 Re gel kreis op t i mie rung .........................................

224

5.5.1 In te gral kri te rien .........................................

224

5.5.2 Sym me tri sches Op ti mum .............................

233

5.5.3 Auf he bungs kom pen sa tion ............................

240

5.5.4 Stör grö ßen auf schal tung ...............................

245

5.5.5 Kas ka den re ge lung .......................................

248

5.5.6 Adap ti ve Re ge lung ......................................

253

5.5.7 Ab tast re ge lung ............................................

257

Inhaltsverzeichnis

6

XI

A u s g e w ä h l t e B e i s p i e l e d e r R e g e l t e c h n i k . . . . . . 265 6.1 Kon ti nu ier li che Re ge lun gen .................................... 265 6.1.1 Tem pe ra tur re ge lun gen ................................... 265 6.1.2 Stoff ge misch re ge lun gen ................................ 273 6.1.3 Zwei- und Drei punkt re ge lun gen ..................... 281 6.1.4 Ge schwin dig keits re ge lung für Schacht för de rer

291

6.1.5 Dreh zahl re ge lung von Asyn chron ma schi ne .....

298

6.1.6 Re ge lung von Wic kelantri eben für Stoff bah nen 305 6.1.7 Band dic kenregelung .....................................

321

6.1.8 Re ge lung ei ner Streck richtei nheit ..................

328

6.2 Zeit dis kr e te Re ge lun gen ......................................... 332 6.2.1 Pie zo elek tri sche Re ge lung ei ner Meß tisch ach se 332 6.2.2 Re ge lung von Ro bo ter an trie ben mit Rech ner.... 336 6.2.3 Pitch-Re ge lung ei ner Wind kraft an la ge ...........

341

6.2.4 Di gi ta le Re ge lung von Fräs ma schi nen mit CNC 346 6.2.5 Po si tions re ge lung mit Li ne ar mo tor ................. 349 6.2.6 pH-Wert-Re ge lung zur Ab was ser-Neu tra li sa tion 351 7

R e c h n e r - S i m u l a t i o n u n d - O p t i m i e r u n g . . . . . . . . . . 354 7.1 Das Pro gramm pa ket SIM LER-PC ............................ 354 7.1.1 Hard wa re und Schnitt stel len .......................... 355 7.1.2 Menü-Füh rung und Pro gramm-Hand ha bung ..... 356 7.1.3 Iden ti fi ka tion und Reg ler-Op ti mie rung ........... 359 7.1.4 Sta bi li täts aus sa ge ......................................... 362 7.2 An wen dun gen .......................................................

363

7.2.1 Das Bode-Dia gramm ..................................... 363 PID-Reg ler und PT 1 -PT 2 -PT t -I-Str ec ke ..........

363

PID-Reg ler mit und ohne Be gren zung ............. 364 7.2 2 Das Ny quist-Dia gramm ................................. 366 PID-Reg ler und Stre c ke 4. Ord nung ................ 367

XII

Inhaltsverzeichnis

7.2.3 Das Über gangs ver hal ten ................................ 369 Sprung ant wort P-, PI- und PID-Reg ler ............ 374 Fahr kur ven ant wort nicht op ti ma ler PID-Reg ler

374

Stör sprung nach PT 3 -Strec ke ......................... 377 Fahr kur ven ant wort + Stö rung bei t=Tst ........... 377 Op ti mie rung All paß-Strec ke mit F R a -Reg ler .... 380

8

Op ti male Brüc kenkranregel ung mit F R a -Reg ler

382

Op ti mie rung ei ner Kas ka den re ge lung .............

384

Ein stell wer te PID-Reg ler im Ver gleich ..........

390

F R t -Re gel al go r ith mus (Wur zel re kur sion) ........

393

Durch fluß-Re ge lung mit Schwe be kör per .........

396

Lösungen zu Aufgaben und Klausuren .........

400

8.1 Auf ga ben .............................................................. 400 8.2 Klau su ren ............................................................. 456 9

S c h a l t z e i c h e n f ü r Ü b e r s i c h t s s c h a l t p l ä n e . . . . . . 473

10

Literaturverzeichnis ..............................

476

10.1 Ma the ma ti sche und Elek tro tech ni sche Grund la gen

476

10.2 Bü cher zu den Grund la gen der Re gel tech nik ..........

477

10.3 Ver tie fen de Bü cher zur Re gel tech nik ....................

478

10.4 Auf sät ze und Da ten blät ter ...................................

479

10.5 Zum Rech ner ge stütz ten Re gel kreis e nt wurf ............

481

10.6 Klei ne Weg be glei tung .........................................

482

Sachverzeichnis ....................................

483

11

1

Grund be grif fe der Re gel tech nik

Die Lö sungs mit tel zur Füh rung in du striel ler Pro zes se bzw. An la gen sind Steue rungsund Re gel ein rich tun gen. Bei de un ter schei den sich prin zi piell in ihrer Wirkungsweise.

1.1

Steue rung

Kenn zei chen der Steue rung ist, daß die Si gnal über tra gung nur in ei ner Rich tung er folgt. Man spricht auch von ei nem offe nen Wir kungs ab lauf. Die ein zel nen Steu erglie der sind hin ter ein an der ge schal tet zu ei ner Steu er ket te. Es er folgt kei ne Rück meldung über den augen blick lichen Zu stand des zu steu ern den Pro zes ses. Bei je dem Steu erglied steht die Ein gangs grö ße mit der Aus -

Bild 1.1 Schema einer Durchfluß-Steuerung (Volumenstrom-Steuerung)

2

1 Grund be grif fe der Re gel tech nik

gangs grö ße in ei nem fe sten phy si ka li schen Zu sam men hang (z.B. führt die Span nung an einer Relaisspule zum Betätigen der Kontakte). Zwei Bei spie le sol len die Funk tion ei ner Steue rung ver deut li chen hel fen. Bild 1.1 zeigt die Steue rung des Durchflus ses ei ner Flüs sig keit mit Hil fe eines Ventils. An ei nem Poten tio meter wird eine Span nung U ein ge stellt, die dem Durch fluß (Vo lu men strom) Q propor tio nal ist (Poti mit Ska la). Der Stell be reich von U liegt ge wöhn lich in der Grö ßen ord nung von 10 V- und muß da her mit ei nem Ver stär ker auf die Steu er span nung Ust des Stell motors angehoben werden. Je nach Po la ri tät von U st wird dann mit dem Motor das Ven til ge öff net oder ge schlos sen. Es er folgt zwar eine Messung der Durchfluß men ge, aber die selbst tä ti ge Kor rek tur ei ner Durch flu ß ab wei chung in fol ge von Störgrößen unterbleibt. Ge nau so ver hält es sich mit der in Bild 1.2 darge stell ten Tempe ra tur steue rung ei nes In duk tions ofens. Auch hier kön nen Tem pe ra tur schwan kun gen im Ofen, be dingt durch die Störgrö ßen z 1 und z 2 nicht selbst tä tig beseitigt werden. Ein Vor teil der Steue rung ist je doch, daß sie nicht auf Sta bi li tät un ter sucht zu wer den braucht, wenn die Steu erglie der in sich sta bil sind.

Bild 1.2 Schema einer Temperatur-Steuerung

1.2 Re ge lung

1.2

3

Re ge lung

Das typische Merk mal ei nes Re gel krei ses ist sein ge schlos se ner Wirkungsweg mit dem Ziel der An glei chung zwi schen zu re geln der Grö ße und vorge ge be ner Größe. Über nimmt der Mensch die Re ge lung ei ner tech ni schen Ein rich tung, er faßt sein ent spre chen des Sin nes organ den augen blick lichen Zu stand (Vo lu menstrom, Tempe ra tur usw.) der zu re geln den Grö ße vi su ell. Über sein Ner ven sy stem ge langt die se In for mation in das Ge hirn. Hier wird eine Ent schei dung dar über ge troffen, ob bei spiels wei se die ab ge le se ne Tempe ra tur mit dem er wünsch ten Wert über ein stimmt oder von die sem ab weicht. Bei ei ner Ab wei chung ge langt ein Befehl an die Muskulatur zur sinnvollen Korrektur. Re geln ist also ein Vorgang, bei dem eine phy si ka li sche Grö ße (Ist wert) fort lau fend er faßt und durch Vergleich mit ei ner an de ren Größe (Sollwert) im Sin ne ei ner An glei chung an die se be ein flußt wird. So ver stan den stellt jede Mensch-Ma schi ne-Kommu ni ka tion ei nen Re gel kreis dar. Die in die sem Buch be han del ten tech ni schen Re gel krei se müs sen da her Ein rich tun gen ent hal ten, die die über leg ten Handlungen des Menschen nachempfinden oder ersetzen. Be trach tet man die Bil der 1.1 und 1.2, so er hält man durch die Rück führung der ent spre chen den Ist wer te ei nen Durch fluß- und ei nen Tem pe ra tur-Re gel kreis (Bild 1.3 und 1.4).

Bild 1.3 Schema einer einfachen Durchfluß-Regelung

4


Bild 1.4 Schema einer Temperatur-Regelung Im Fal le der Durch fluß-Re ge lung ver stellt der Motor das Ven til so weit, bis Q soll - Q ist = 0 ist. Da mit ent spricht der Soll wert dem Ist wert der Durch flußmenge Q; der Mo tor bleibt stehen. Bei der Tem pe ra tur-Re ge lung wird der Spu len strom so lan ge auf recht er hal ten, bis die Ofen tempe ra tur dem ge wünsch ten Wert entspricht. Es läßt sich schon jetzt er ken nen, daß das zeit li che Ver hal ten bei der Re ge lun gen bei ei ner Störgrö ßen än de rung sehr un ter schied lich sein wird. Die Ven til stel lung kann schnell ver än dert wer den, eine ra sche Kor rek tur der Ofen tempe ra tur ist je doch nur mit sehr hohem Energieaufwand möglich. Wäh rend bei ei ner Steue rung nur die Wir kung ei ner Störgrö ße be ob ach tet wer den kann, läßt sie sich mit ei ner Re ge lung kor ri gie ren, weil die Störgrö ße in den Re gel kreis mit einbezogen wird.

1.3 Be grif fe und De fi ni tio nen

5

Der ge schlos se ne Wir kungs ab lauf ei ner Re ge lung be darf je doch der Ab stimmung des Ver hal tens der ein zel nen Re gel kreis glie der auf ein an der. Es ist also eine Sta bi li täts be trach tung unerläßlich.

1.3

Be grif fe und De fi ni tio nen

Ein Re gel kreis wird ge wöhn lich in die Struk tu ren Re gel ein rich tung und Regel strec ke auf ge teilt. Bei de sind über ver schie de ne Grö ßen mit ein an der ver knüpft (Bild 1.5). Die er for der li chen Be griffe wer den nach fol gend er läu tert (sie he DIN 19221, 19225, 19226, 19227 und 19229). Re gel ein rich tung Die Re gel ein rich tung ist meist in meh re re Kompo nenten ge glie dert. Sie ent hält die Ele men te zum Er fas sen der Re gel diffe renz, den Reg ler und die An pas sung an die je wei li ge phy si ka li sche Stell grö ße (Strom, Span nung usw.). Auf ga be der Re gel ein rich tung ist die lau fen de Min de rung oder Be sei ti gung der Differenz zwischen Führungs- und Regelgröße. Regel strec ke Die Regel strec ke ent spricht dem zu re geln den Teil ei ner An la ge. In ihr fin det die ei gent li che Be ein flus sung der Re gel grö ße statt. Kenn zeich nend ist für die Regel strec ke, daß sie vom Haupt energie fluß durch setzt ist. Zu ihr ge hört das Stell glied als Regel strec kenglied. Mo tor und Me cha nik ei ner Ma schi ne sind da her ebenfalls Regelstrecken-Glieder.

Bild 1.5

Regelung der Ventilstellung mit einem Stromrichter-Motor

6


Re gel grö ße x Die Re gel grö ße x (Ist wert) ist die Grö ße, die zum Zweck des Re gelns er faßt und der Re gel ein rich tung zu ge führt wird. Sie ist da mit Aus gangs grö ße der Regel strec ke und Ein gangs grö ße der Regeleinrichtung. Stell grö ße y Die Stell grö ße y über trägt die steu ern de Wir kung des Reg lers auf die Regel strec ke. Sie ist Aus gangs grö ße der Re gel ein rich tung so wie Ein gangs grö ße der Regelstrecke. Füh rungs grö ße w Die Füh rungs grö ße w (Soll wert) ist das Pro zeß ziel ei ner Rege lung. Ihr soll die Re gel grö ße in end li cher Zeit an ge gli chen wer den. Die Füh rungs grö ße wird dem Re gel kreis von au ßen zu ge führt und ist von der Re ge lung nicht beeinflußbar. Re ge lab wei chung x w , Re gel dif fe renz x d Die Soll-Ist wert-Ab wei chung, die aus ge re gelt (be sei tigt) wer den soll, läßt sich als die Re ge lab wei chung oder als Re gel diffe renz de fi nie ren. Die Re gel diffe renz kann auch mit dem Buch sta ben “e” bezeichnet werden.

Bild 1.6

Definition der An- und Ausregelzeit und der Überschwingweite

1.4 Wirk schalt plan, Block schaltpl an

7

x

w

= x - w

(1.1)

x

d

= w - x

(1.2)

An- und Aus re gel zeit, Über schwing wei te Die Re gel grö ße rea giert auf eine sprung haf te Än de rung der Füh rungs grö ße mit ei nem Aus gleichs vorgang (Bild 1.6). Je nach der er for der li chen Ge nau ig keit ist ein To ler anz band ver ein bart (bei SIM LER-PC sind es z.B. 2%), in ner halb des sen sich die Re gel grö ße nach ei ner bestimmten Zeit befinden soll. Die An re gel zeit T an ist da bei die Zeit span ne vom Be ginn des Füh rungs grö ßen sprungs bis zum erst mali gen Ein tritt in das Toleranzband. Die Aus re gel zeit T aus be ginnt eben falls mit dem Sprung der Füh rungs grö ße und en det, wenn die Re gel grö ße end gül tig in den To ler anz be reich ein mün det, ohne ihn wie der zu ver las sen (sie he auch Abschnitt 7.1.3). Die ma xi ma le Über schwing wei te X m gibt den grö ß ten Be trag der Re ge lab wei chung an, nach dem die Re gel grö ße den To ler anz be reich erstmals verläßt.

1.4

Wirk schalt plan, Block schaltplan

Die ge rä te tech ni sche Dar stel lung ei nes Pro zes ses nennt man Wirk schalt plan (Schalt plan oder ein fach Schal tung). Noch mals ab stra hiert, spricht man von ei nem Über sichts schalt plan (sie he Ab schnitt 9.1). Bei de er for dern spe ziel le Kennt nis se über Wir kung und Funk tion der ein zel nen Bau ele men te (z.B. Be triebs- bzw. Spei se span nun gen, Füh rung der Mas se-Lei tun gen, Ab schir mung, Lei tungs-Quer schnit te, Si che run gen). Sie sind für eine re gel tech ni sche Un ter su chung un ge eig net. Um sich nicht mit ge rä te tech ni schen De tails be fas sen zu müssen, ver wen det man meist den sog. Block schaltplan (Blockschaltbild) zur Modellbildung des Prozesses. Ge löst von ge rä te spe zi fi schen Ein zel hei ten wird die Re ge lung ent lang des Si gnal pfa des in ein zel ne, be kann te Struk tu ren (Re gel kreis glie der) un ter teilt, die als Blöc ke darge stellt wer den. Die ein zel nen Blöc ke ent hal ten die Kau sal zu sam men hän ge (Ur sa che - Wir kung) zwi schen Ein- und Aus gangs grö ße in Form ei ner Glei chung, der Sprung ant wort oder ei ner Kenn li nie. Auf die se Wei se wird das Über tra gungs ver hal ten ei nes Re gel krei ses ver an schau licht und einer regeltechnischen Berechnung zugänglich gemacht.

8

1 Grundbegriffe der Regeltec hnik

In Bild 1.7 ist eine ein fa che ana lo ge Füll stands re ge lung darge stellt, die den Übergang vom Wirk schalt plan zum Block schaltplan veranschaulicht.

Bild 1.7

Wirk- Blockschaltplan einer einfachen Füllstandsregelung

1.4 Wirk schalt plan, Block schaltpl an

9

Kurz zur Funk tion der Re ge lung: Mit ei nem Po ten tiome ter gibt man den Füll stands soll wert h soll vor. Er ge langt über den ana lo gen Reg ler und Ver stär ker auf ein Ma gnet ven til. Der Füll stand wird über einen ka pa zi ti ven Sen sor mit Span nungs aus gang als Ist wert h ist aus ge ge ben. Ent spricht der Füll stand sist wert dem Füll stands soll wert, ist die Re gel diffe renz x d = h soll - h ist = 0 und das Stell ven til ver harrt in der Null stel lung. Weicht der Ist wert vom vorge wähl ten Soll wert ab, öff net oder schließt das Ven til, je nach der Po la ri tät von x d . Der Block schaltplan der Füll stands re ge lung gibt die re ge lungs tech nisch in ter es san ten Ei gen schaf ten der ein zel nen Bau ele men te wie der (hier durch Dar stel lung der je wei li gen Sprungantwort). Er be rücks ich tigt auch wich ti ge Teil vorgän ge, die im In ne ren der Bau ele men te ab lau fen. So beispielsweise das zeit li che Ver hal ten des Ma gnet ven tils. Der Block schaltplan, der im All ge mei nen aus ei nem Wirk schalt plan ent steht, ist da her ein wich ti ges Hilfs mit tel zur Ana ly se ei ner Rege lung. Er ist hilfreich bei der Op ti mie rung von Re gel krei sen und kann di rekt in Si mu la tions mo del le umgesetzt werden.

2

Be rech nung von Re gel krei sen

Eine Aus sa ge über die Güte ei ner Re ge lung wird durch die Be trach tung des sta tio nä ren und vor al lem des dy na mi schen Ver hal tens vorgenommen. Der zeit li che Ver lauf der Re gel grö ße x ei ner op ti mal ein ge stell ten Re ge lung soll te da bei fol gen de Kri te rien er fül len: • Kur zer Aus gleichs vorgang der Re gel grö ße x (T an und T aus klein) • Ge rin ges oder kein Über schwing en • Blei ben de Re gel diffe renz x d (t ® ¥ ) = 0 • Weit ge hen de Pa ra me ter un emp find lich keit der Re ge lung • Ge rin ger Ein fluß von Störgrö ßen än de run gen auf die Re gel grö ße x.

2.1

Sta tio nä res Ver hal ten

Be trach tet man ei nen Re gel kreis im sta tio nä ren (ein ge schwun ge nen) Zu stand, läßt sich der Ein fluß von Störgrö ßen und Ver stär kung auf die Re ge lung leicht be stim men. 2.1.1

Verstärkungen

Pro por tio nal ver stär kung Kp Ist x 1 die Ein gangs- und x 2 die Aus gangs grö ße ei nes Re gel kreis glie des, be zeich net man den Fak tor, um den sich x 1 von x 2 un ter schei det, als Pro por tio nal ver stär kung bzw. Pro por tio nal bei wert K p (Bild 2.1)

K

p

=

x x

2 1

(2.1)

2.1 Sta tio nä res Ver hal ten

11

Die Pro por tio nal ver stär kung ist dem nach eine di men sions lo se Zahl. Die Ge samt ver stär kung meh re rer in Rei he lie gen der Re gel kreis glie der ent spricht der Mul ti pli kation der Ein zel-Ver stär kungen. Es sei K

p1

=

x x

2

,

K

p2

x x

=

1

3

(2.2)

2

dann ist die Ge samt ver stär kung: K

pges.

= K

p1

×K

p2

=

x x

3

.

(2.3)

1

Bild 2.1 Definition der Verstärkung Kp

Re gel kreis ver stär kung K 0 Trennt man ei nen Re gel kreis in der Rück führung auf, er hält man eine Wir kungs ket te (Bild 2.2). Die Ge samt ver stär kung des offe nen Re gel krei ses läßt sich dann durch die Mul ti pli ka tion der Ein zel ver stär kungen er mit teln (sie he Ab schnitt 3.3.1, Ta bel le 3.5, Nr. 9). Es ergibt sich die so ge nann te Re gel kreis ver stär kung bzw. der Über tra gungs bei wert K 0 K

0

= K R × P K Si . i

Bild 2.2 Prinzip eines Regelkreises

(2.4)

12

2 Be rech nung von Re gel krei se n

Mit den be reits be kann ten De fi ni tio nen kann man ent spre chend Bild 2.2 fol gen de Be zie hung zwi schen der Re gel- und der Füh rungs grö ße ab lei ten. Durch läuft man den Re gel kreis ent ge gen der Si gnal fluß rich tung, dann gilt: x = y ×K

S

y = K

×x

x

d

R

, d

,

= w - x .

Es ergibt sich schließ lich

x =

K 0 1 + K

×w

(2.5)

0

Die ge fun de ne Glei chung zeigt, daß Füh rungs grö ße (Soll wert) und Re gel grö ße (Ist wert) ei ner Re ge lung im sta tio nä ren Zu stand um so bes ser über ein stim men, je grö ßer die Re gel kreis ver stär kung K 0 ist (Bild 2.3).

Bild 2.3

2.1.2

Die Regelgröße x als Funktion der Regelkreisverstärkung K0

Störgrößen

Grö ßen, die meist un be ab sich tigt auf die Re ge lung ein wir ken, nennt man Störgrö ßen. Sie kön nen so wohl im Über tra gungs ver hal ten der Re gel kreis glie der als auch in der Art der Si gnal über tra gung begründet sein. Störgrö ßen, die durch Summa tion mit Re gel kreis-Si gna len auf die Re ge lung ein wir ken, be zeich net man als ad di ti ve Störgrö ßen (Bild 2.4). Wirkt bei spiels wei se auf das Si gnal y 2 eine Störgrö ße z, so ergibt sich aus dem Blockschaltbild für die Re gel grö ße eine Gleichung, die z enthält.


Bild 2.4

13

Regelkreis mit Störgröße z hinter der Regelstrecke

Es wird x = y y

2

+ z , ×K

= K

R

x =

K 0 1 + K

2

S

×x

d

= K

×w

+

0

0

×( w - x ) ,

1 1 + K

×z

(2.6)

0

Das ge fun de ne Ergeb nis zeigt deut lich den Vor teil der Re ge lung ge gen über ei ner Steue rung. Die Störgrö ße, die bei ei ner Steu er ket te (ent spre chend x = y 2 + z) voll zum Si gnal y 2 ad diert wird, kann mit ei nem geschlos se nen Re gel kreis um den Fak tor 1/(1 + K 0 ) vermindert werden. Für K 0 ® ¥ wird der Ein fluß von z eli miniert, und es ergibt sich wie der x = w. Al ler dings ist eine un end lich gro ße Ver stär kung K 0 nicht rea li sier bar. Die Wer te von K0 lie gen bei in du striel len Re ge lun gen zwischen 1...1000. Störgrö ßen, wel che nicht hin ter dem letz ten Re gel kreis glied wir ken, son dern zwi schen zwei Regel kreis glie dern, las sen sich wie folgt be han deln (Bild 2.5). Es wird x = K

S

×( y

1

+ z) ,

und schließ lich x =

K 0 1 + K

×w 0

+

1 1 + K

×K 0

S

×z .

(2.7)

14

Bild 2.5


Regelung mit der Störgröße z zwischen Regler und Strecke

Auf die Re gel grö ße x wirkt in die sem Fal le die Störgrö ße z mit dem Fak tor K S / (1 + K 0 ). De fi niert man z' = K S × z als ei nen Block mit der “Störgrö ßen ver stär kung” K S , so kann man die Summations stel le der Störgrö ße hin ter die Regel strec ke ver la gern (sie he Ab schnitt 3.3.1, Ta bel le 3.5, Nr. 5). Dann sind die Glei chun gen (2.6) und (2.7) äqui va lent und es gilt:

x =

K 0 1 + K

×w 0

+

1 1 + K

× z'

(2.8)

0

Die se Me tho de er laubt es, alle ad di tiv auf tre ten den Störgrö ßen auf eine Summa tions stel le hin ter der Regel strec ke ein wir ken zu lassen. Die bis her be han del ten Störgrö ßen lie ßen sich bis auf eine blei ben de Re ge lab wei chung aus re geln. Es gibt je doch auch sol che, die sich nicht kor ri gie ren las sen. Ein Bei spiel soll dies ver deut li chen (Bild 2.6). In ei ner Dreh zahl re ge lung für ei nen Gleich strommo tor mit Stromrich ter sol len die vier Störgrö ßen z 1 ‘...z 4 ‘ auftreten.


Bild 2.6

Wirk- und Blockschaltplan einer Drehzahlregelung

Bild 2.7

Normierter Blockschaltplan der Regelung aus Bild 2.6

15

16


Da bei sind z 1 ‘ und z 2 ‘ Stö run gen der Soll- bzw. Ist wert umwand lung. z 3 ‘ ent spricht ei ner Ver fäl schung der Soll-Ist wert-Diffe renz x d in fol ge Ver stär ker drift. z 4 ‘ sei die Aus wir kung ei nes Last sto ßes auf die Re ge lung. Be zieht man alle Grö ßen auf ih ren Nenn wert (z.B. auf 10 V- nor miert), ergibt sich der ver ein fach te Blockschaltplan (Bild 2.7). Im un ge stör ten Zu stand ist be kannt lich z 1 = z 2 = z 3 = z 4 = 0. Bei dem durch die vier Störgrö ßen be ein flu ß ten Re gel kreis gilt dann x = K x

d

0

×x

d

= w + z

+ z 1

,

4

+ z

3

- (x + z

2

) = w - x ,

und schließ lich ergibt sich für die Re gel grö ße:

x =

K 0 1 + K

×( w + z

1

+ z

3

- z

0

2

) +

1 1 + K

×z

4

. (2.9)

0

Man sieht, daß die Störgrö ßen z 1 ...z 3 voll als Feh ler in die Re ge lung ein ge hen, weil sie, un ab hän gig von K 0 , die Füh rungs grö ße w be ein flus sen. Die Störgrö ße z 4 da ge gen wird um den Fak tor 1/(1+K 0 ) re du ziert, d.h. sie kann aus ge re gelt wer den. Für alle Re gel krei se läßt sich dar aus fol gen der Grund satz ab lei ten. Nicht korrigierbare Störgrößen sind: • Feh ler der Soll wert bil dung

(hier z 1 )

• Feh ler der Ist wert-Er fas sung

(hier z 2 )

• Drift- bzw. Ein stell feh ler des Reg lers

(hier z 3 )

Bild 2.8

Blockschaltplan einer Regelung mit verteilten Störgrößen

Auf ga be 2.1 Ein Glüh ofen soll auf 1300 °C ge re gelt wer den. Da bei tre ten drei ad di ti ve Störgrö ßen auf, die durch in duk ti ve Ein kopp lung von Stark strom lei tun gen ent ste hen und zu fol gen dem Block schaltplan führen (Bild 2.8).


17

Ge ge ben: K R = 10 ; K S1 = 2,5 ; K S2 = 2 w = 10V- =$ 1300 °C; z 1 = 800 mV; z 2 = 0,1 V ; z 3 = 10 mV . Es ist der ver ein fach te Block schaltplan mit nur ei ner Summa tions stel le der Störgrö ßen hin ter dem letz ten Re gel kreis glied ge sucht, so wie Re gel grö ße x/V und die Re gel diffe renz x d /°C.

Auf ga be 2.2 Der Reg ler ei ner ein fa chen ana lo gen Po si tions re ge lung (Bild 2.9) so wie der nach fol gen de Lei stungs ver stär ker wei sen eine Aus gangs fehl span nung (Off set span nung) von z 1 =z 2 = 20 mV auf. Der Fre quenz-Span nungs-Wand ler in der Rück führung für den Weg-Ist wert hat ei nen ad di ti ven Umsetz feh ler von z 3 = 30 mV. Ge ge ben: K R = 10; K S1 = 20 (Lei stungs verst.); K S2 = 1 (Rest-Glie der) w = 10 V- =$ 4 m . Ge sucht ist das Block schaltbild der Weg re ge lung so wie x d /m.

Bild 2.9

Wirkschaltplan einer Positionsregelung mit Seiltrommel

18

2.1.3


Statische Kennlinien

Das sta ti sche Ver hal ten ei nes Re gel kreis glie des be schreibt den Zu sammen hang zwi schen Ein gangs- und Aus gangs grö ße im sta tio nä ren Zu stand. Die Kenn li nien tech nisch rea li sier ba rer phy si ka li scher Sy ste me wei sen grund sätz lich nur in ei nem be stimmten Be reich Li nea ri tät zwi schen Ein- und Aus gangs grö ße auf (siehe auch Abschnitt 3.1 und 3.2 so wie Sei ten 172, 173). Ta cho ge ner ator Be nutzt man zur Dreh zah ler fas sung in ei ner Re ge lung bei spiels wei se ei nen Ta cho ge ner ator, so ist sei ne Aus gangs span nung nur in ei nem fe sten, vom Her stel ler an ge gebe nen Be reich der Dreh zahl pro por tio nal. Nicht li nea ri tä ten tre ten be son ders im un te ren Dreh zahl be reich auf (Bild 2.10). Der obe re Dreh zahl be reich ist durch den me cha ni schen Aufbau der Maschine begrenzt (Stellgrenze). Pneu ma ti scher Ver stär ker Kenn li nien, die nur ei nen klei nen Li nea ri täts be reich be sit zen, kön nen durch Ver wen dung ei nes Ver stär kers ver bes sert wer den. Bild 2.11a und b zei gen den Wirk schalt plan und die Kenn li nie ei nes pneu ma ti schen Pro por tio na lglie des mit

Bild 2.10

Statische Kennlinie eines Tachogenerators


Bild 2.11

19

Statische Kennlinien eines pneumatischen Verstärkers

ei nem klei nen li nea ren Stell be reich. Durch Vergrö ßern der Ver stär kung läßt sich die Lage des je wei li gen Ar beits punk tes A in ei nem er wei ter ten Linearitätsbereich verschieben (Bild 2.11b). Ope ra tions ver stär ker (OP) Auch bei elek tro ni schen Ver stär kern ist der li nea re Stell be reich durch den phy si ka lisch-tech ni schen Auf bau ein ge schränkt, wie das Bei spiel ei nes Ope ra tions ver stär kers zeigt (Bild 2.12). Die Über tra gungs funk tion des OPs hat im li nea ren Be reich eine sehr ein fa che Form, wenn er ent spre chend Bild 2.12b am Mi nus-Ein gang beschaltet wird /36/. Wich ti ge Kenn wer te ei nes rea len OPs (z.B. m A 741 oder OP07-EJ) sind: • Diffe renz-Ein gangs wi der stand r D , er liegt im MW - GW-Be reich • Gleich takt-Wi der stand r G, er liegt im GW-Be reich • Aus gangs-Wi der stand r A , er be trägt 10 5 • Off set span nung U off , sie liegt im mV-...mV-Be reich • Span nungs an stiegs-Ge schwin dig keit, sie be trägt ca. 0,5V/m s .

We gen der sehr gro ßen Wi der stän de r D und r G so wie der star ken Ge gen kopp lung mit der Differ en zer stär kung V D , ver hält sich der OP wie ein Re gel kreis, des sen Aus gangs span nung U a durch die Art der äu ße ren Be schal tung be stimmt ist (Impe dan zen Z 1 und Z 2 - je weils von jw oder p ab hän gig). Sie he dazu Ab schnitt 2.2.3 und 2.2.4 so wie /7/, /36/. Es gilt dann mit dem I. Kirchhoffschen Satz:

Bild 2.12

Beschalteter Operationsverstärker und sein Ersatzschaltbild


I

+ I

1

2

- I

e

21

= 0 .

Der Operationsverstärker re gelt für rD ;VD ® ¥ prak tisch auf I e =0 , so daß gilt (hier La pla ce-trans for miert): I

+ I

1

2

U e (p) U a (p) + Z 1(p) Z 2(p)

= 0 =

.

Man erhält eine sehr ein fa che Über tra gungs funk tion, die durch ent spre chen de Wahl des Quo tien ten Z 2 /Z 1 be lie bi gen Er for der nis sen an ge paßt wer den kann. An wen dun gen fin den sich in al len nachfolgenden Abschnitten.

U U

(p) Z 2 ( p) = Z 1 ( p) e (p)

a

(2.10)

Be schal tet man den OP ent spre chend Bild 2.12b nur mit Wi der stän den, ergibt sich Pro por tio na li tät zwi schen der Ein- und Aus gangs span nung. Es wird U

a

= -

R R

2

×U

e

.

(2.11)

1

Dar in ist die Pro por tio nal ver stär kung: K

p

=

R R

2

.

(2.12)

1

Für R 2 ® ¥ wer den dann rein rech ne risch K p ® ¥ und U a ® ¥ ge hen, doch die Aus gangs span nung ei nes OPs kann nicht über sei ne Spei se span nung Us hin aus an wach sen. Die Aus gangs span nung geht be reits bei ca. +13,5V und -12,6V an die sog. Stell gren ze, wenn die Spei se span nun gen auf Us1=+15Vund Us2=-15V- ein ge stellt wur den (Bild 2.13). Bei ei ner sinn vol len Nor mie rung re gel tech ni scher Grö ßen und zur Ver mei dung von Sät ti gungs er schei nun gen an der Stell gren ze ist es gün stig, den Stell be reich der Aus gangs span nung auf ±10V zu be gren zen. Dies ist mit zwei Ze ner-Di oden in der Ge gen kopp lung des OPs realisierbar. Die Aus gangs span nung U a läßt sich bei Be schal tung am Mi nus-Ein gang des OPs zü gig be rech nen, wenn man wie folgt vorgeht: 1. Ver stär kung K p aus klammern 2. Dop pel brü che be sei ti gen 3. Zeit kon stan ten definieren

22

Bild 2.13


Stellbereich und beschalteter OP mit Begrenzung

Ma gne ti sie rungs kenn li nie ei nes Gleich strom mo tors (GS-Mo tors) Die Ab hän gig keit des ma gne ti schen Flus ses F vom Er re ger strom I E ei nes GS-Mo tors gibt die so ge nann te Ma gne ti sie rungs-Kenn li nie wie der (Bild 2.14). Sie wird bei kon stan ter Drehzahl aufgenommen. Soll der ma gne ti sche Fluß, wel cher als Re chen grö ße in vie len Re ge lun gen er for der lich ist (sie he Ab schnitt 6), über den li nea ren Be reich hin aus aus ge nutzt wer den, ist eine Li nea ri sie rung der Kennlinie angebracht. Dazu wird die Kenn li nie auf ge nommen und durch Ge ra den zü ge stück weise nach ge bil det (Bild 2.15).

Bild 2.14

Magnetisierungs-Kennlinie eines Gleichstrommotors


23

Man legt eine Tan gen te durch den be treffen den Ar beits punkt und er hält x

a1

= Dx

e1

× tan a

1

x

a2

= Dx

e2

× tan a

2

für

Arbeitspunkt

A1 und

für

Arbeitspunkt

A2 .

Je wei ter man sich von den Ar beits punk ten ent fernt, umso grö ßer wird der Feh ler. Für klei ne Kenn li nien krüm mungen kann man von den rea len Wer ten auf die Ab wei chun gen D x a und D x e übergehen. Soll die Kenn li nie ganz durch lau fen wer den (Ar beits punkt A1...An), ist es sinn voll, die Ap pro xi ma tion mit Hil fe ei nes Funk tions bild ners und ent spre chend vie len Knick punkten (Tan gen ten) zu rea li sie ren. Da mit bleibt der Feh ler ver nach läs sig bar klein /36/. Eine wei te re Me tho de zur Li nea ri sie rung sta ti scher Kennli nien ist mit der Tay lor-Rei he ge ge ben /1/. Im Ar beits punkt A ergibt sich die Ausgangsgröße zu:

x a = x a(A) +

x

e

- x e(A) x × x& a(A) + 1!

e

- x e(A) × &&x a (A) + . . . 2!

( 2.13 )

Bei klei nen Kenn li nien krüm mungen läßt sich die Tay lor-Rei he nach der er sten Differ en tia tion ab bre chen, so daß gilt: x

Bild 2.15

a

» x

a

(A) + x&

a

(A) × ( x

e

- x e (A) ) .

Linearisierung der Magnetisierungs-Kennlinie

(2.14)

24


Steu er kenn li nie ei nes netzgführ ten Strom rich ters Der Stromrich ter ist ei nes der wich tigsten Stell ge rä te der mo der nen An triebs tech nik. Durch sein fast träg heits lo ses Ver hal ten er füllt die Dy na mik ei nes Strom rich ter an trie bes höch ste An for de run gen. Bild 2.16 zeigt eine voll ge steu er te Dreh strombrüc kenschaltung für ei nen GS-Antrieb. Mit Hil fe des Steu er win kels a, der die Zünd zeit punk te der ein zel nen Thy ri sto ren be stimmt, kann die An ker span nung des GS-An trie bes kon ti nu ier lich ge steu ert wer den, d.h. die zu ge hö ri gen Dreh span nun gen wer den zu ei nem arith me ti schen Mittelwert U A verändert /5/, /34/, /35/.

Bild 2.16

Vollgesteuerte Drehstrombrückenschaltung mit GS-Motor

Bild 2.17 stellt den Ver lauf der An ker span nung für ver schie de ne Steu er win kel ohne Be rücks ich ti gung der Kommu tie rungs vorgän ge dar. Der Steu er win kel wird durch den Vergleich der zu ge hö ri gen Dreh span nung mit der Steu ergleich span nung U st , wel che am Reg ler aus gang an steht, erzeugt.


25

Bild 2.17

Verlauf von U

Bild 2.18

Zusammenhang zwischen Steuerwinkel a und Steuersp. Ust

Bild 2.19

Zusammenhang zwischen U

dia

bei verschiedenen Steuerwinkeln

dia

und dem Steuerwinkel a

26


Es be steht ein li nea rer Zu sammen hang zwi schen a und U st (Bild 2.18). Die ge steu er te An ker span nung U d i a ent spricht bei der voll ge steu er ten Drehstrom brüc kenschaltung im nicht lüc kenden Be trieb der Gleichung: U A = U d i a = 1,35 × U L × cos a ,

U L : Leiterspg.

(2.15)

Die se Kennli nie ist in Bild 2.19 darge stellt. Steu er winkel a > 150° sind aus ge schlos sen, um die Kommu tie rungs dau er und die Frei wer de zeit der Thy ri sto ren zu be rücks ich ti gen. Bei Steu er win keln a < 10° kann das so ge nann te Leer lauf pen deln auf tre ten, da her ist auch dieser Bereich zu meiden.

2.2

Dy na mi sches Ver hal ten

Das sta tio nä re Ver hal ten ei ner Re ge lung bzw. ei nes Re gel kreis glie des ist eine un voll kom me ne Be schrei bung sei ner Über tra gungs ei gen schaf ten. Je der Re gel kreis wird durch äu ße re Ge ge ben hei ten be ein flußt, die eine Zu stands än de rung des Systems in zeit li cher und/oder räumlicher Form hervorrufen. Die sy stem ei ge nen Grö ßen ge hen da bei von ei nem ein ge schwun ge nen (sta tio nä ren) Zu stand in ei nen an de ren ein ge schwun ge nen Zu stand über. Die Übergangs pha se be zeich net man als Aus gleichs vorgang der sy stemei ge nen Energie spei cher oder all ge mein als das dynamische Verhalten des Re gel krei ses. Zeit lich kon stan te Kenn wer te ei ni ger elek tri scher und me cha ni scher Energie spei cher sind bei spiels wei se 1* : • In duk ti vi tät L • Ka pa zi tät C • Träg heits moment J • Fe der kon stan te c f

Zeit lich ver än der li che Grö ßen sind u.a.: • Strom i • Span nung u • Kraft F • Weg s

1* ————— Zeit lich kon stan te Kenn wer te (Pa ra me ter) kenn zeich nen ein zei tin va rian tes Sy stem.

2.2 Dy na mi sches Ver hal ten

2.2.1

27

Differentialgleichungen

Differ en ti al glei chun gen be schrei ben das dy na mi sche Ver hal ten ei nes phy si ka li schen Sy stems und sind da her auch Grund la ge des ma the ma ti schen Mo dells al ler Re gel kreis glie der. Ihre Ord nungs zahl ist gleich der Zahl der von ein an der un ab hän gi gen Energie spei cher des be trach te ten phy si ka li schen Sy stems. Sie ver knüp fen die Kenn wer te des Sy stems mit den zeitlich veränderlichen Größen /4/, /6/. So ist z.B. d i (t) dt

,

d u (t) dt

,

u (t) = L × i (t) = C ×

m (t) = 2 p J ×

d n (t) dt

(2.16)

(2.17)

.

(2.18)

Man kann da von aus ge hen, daß die mei sten Re gel kreis glie der durch eine ge wöhnli che li nea re Differ enti al glei chung mit kon stanten Ko effi zienten aus rei chend be schreib bar sind. Nicht li nea re phy si ka li sche Sy ste me kön nen durch Li nea ri sie rung in der Umge bung ei nes Ar beits punk tes li nea ri siert wer den (sie he Abschnitt 2.1.3 und 3.2.1 sowie /25/ S. 29-32). Bei spiel: Die Be rech nung des zeit li chen Ver laufs der Kon den sa tor span nung u c (t) ei nes Rei hen schwing krei ses an Gleich span nung führt auf fol gen de Differ en ti al glei chung (Bild 2.20).

Bild 2.20

Elektrischer Reihenschwingkreis an Gleichspannung

Mit S U=0 (II. Kirch hoff scher Satz) folgt bei Schlie ßen des Schal ters für t = 0:

28


U e = u c (t) + R × C ×

d u c (t) d 2 u c (t) . + L ×C × dt dt 2

(2.19)

Es ergibt sich eine li nea re Differ en ti al glei chung 2. Ord nung mit kon stan ten Ko effi zien ten und Störglied (Span nungs sprung U e für t>0). Die Lö sung soll hier mit der in ho moge nen Teil lö sung für den Aus gleichs vorgang und der ho moge nen Teil lö sung für den stationären Zustand erfolgen. Die ho moge ne Teil lö sung ge winnt man durch den An satz u

c

(t) = A × e

at

.

Setzt man den Ex po nen ti al-An satz ent spre chend in Glei chung (2.19) ein, er hält man die cha rak ter isti sche Glei chung der ge ge be nen Differ en ti al glei chung. Je nach Art der Wur zeln der cha rak ter isti schen Glei chung (reell, kon ju giert kom plex) er hält man ver schie de ne Lö sun gen für die in ho mo ge ne Teil lö sung /1/ - /4/. Auf die Dar stel lung des Lö sungs we ges wird hier zu gun sten der Car son-La pla ce-Trans for ma tion (Abschnitt 2.2.4) verzichtet. Es wird schließ lich mit u c (0) = 0 und i L (0) = 0 (energie lo ser An fangs-zu stand) so wie U e (t)=konst. für w o > a :

u

mit

c

(t) = U

a =

e

[1 - e

R , 2L

wo

-a t

2

× ( cos w e t +

=

1 LC

a × sin w e t ) ] , we

und

w

e

2

= wo

(2.20)

2

- a

2

.

Der zeit li che Ver lauf der Kon den sa tor span nung ist für w o >> a (pe ri odi scher Fall) und w o 20dm3 )

10 . . . 60 s 5 . . . 60 s

klei ne Ge ner ato ren gro ße Ge ner ato ren Stromrich ter

1...5s 5 . . . 10 s 1 . . . 100 ms

Tem pe ra tur

Feuch te Druck

Was ser stand, Füll stand Netz span nung

116

3 Re gel kreis glie der

Ta bel le 3.3 Bei spiele in du striel ler Regel strec ken in Kurz form

3.1 Li nea re Re gel kreis glie der Ta bel le 3.3 (Fort set zung)

117

118 Ta bel le 3.3 (Fort set zung)


3.1 Li nea re Re gel kreis glie der Ta bel le 3.3 (Fort set zung)

119

120


Auf ga be 3.1 Ein PID-Reg ler (Glei chung 3.22) liegt in Rei he mit ei nem Ver zö ge rungs glied I. Ord nung. Es sind die Über tra gungs funk tion und die Sprung ant wort die ser Rei hen schal tung gesucht. Auf ga be 3.2 Für die Rei hen schal tung aus ei nem PI-Reg ler mit ei ner PT 1 -Strec ke sind die Über tra gungs funk tion und die Sprung ant wort zu ermitteln.

3.2

Nicht li nea re Re gel kreis g lie d er

Die bis her be han del ten Re gel kreis glie der zeig ten ein li nea res Ver hal ten zwi schen Aus gangs- und Ein gangs grö ße. Der Be griff der Li nea ri tät wur de be reits zu Be ginn des Ab schnitts 3.1 hin rei chend ge klärt. Schwie ri ger ist es, eine kla re Be griff be stimmung der Nicht li nea ri tät an zu geben. Bei nicht li nearen Re gelkreis glie dern kann man da von aus ge hen, daß die be treffen de Kenn li nie zu sätz lich von der Amplitude des Eingangssignals abhängt. Nicht li nea ri tä ten in ner halb ei ner Re ge lung kön nen auf tre ten als: • Rei bung, Mo men ten lo se, • Schalt ver hal ten oder Stell gren ze von Ver stär kern, • ge ziel te Be gren zung des Reg ler-Aus gangs, • als Ne ben effekt beim Ent wurf von Zwei- und Drei punkt-Reg lern, • Sät ti gungs er schei nun gen (z.B. Ma gne ti sie rung) und • durch nicht li nea re Schalt ele men te (Di oden, Thy ri storen).

Nicht li nea re Re gel kreis glie der wer den nach fol gend durch den Buch sta ben “N” in ner halb des Block schaltplanes ge kenn zeich net. Für die rech ne ri sche Be trach tung ist es sinn voll, die se in Kenn li nien ty pen ein zu tei len. Grund sätz lich las sen sich sechs ty pi sche Nicht li nea ri tä ten un ter schei den, die in der Tabelle 3.4 zusammengefaßt sind. 3.2.1

Linearisierung

Die Li nea ri sie rung ei ner nicht li nea ren Kenn li nie ge lingt, wenn die Än de rung des Ein gangs si gnals nur ge ring fü gig ist (Klein si gnal be trieb). Dann ge nügt es, wie be reits in Ab schnitt 2.1.3 be schrie ben, die Kenn li nie durch die Tan gen te im je wei li gen Ar beits punkt zu er set zen. Die se Me tho de schei tert je doch bei Kenn li nien mit Un ste tig keits stel len (Sprungstellen, Knickpunkten).

3.2 Nicht li nea re Re gel kreis glie der Ta bel le 3.4 Zu sam men fas sung der wich tig sten nicht lin. Re gel kreis glie der

121



3.2 Nicht li nea re Re gel kreis glie der

123

Ver legt man die Re gel kreis be trach tung in den Fre quenz be reich, ist un ter fol gen den Be din gun gen den noch eine Li nea ri sie rung durch führ bar: • Die Re ge lung be fin det sich im ein ge schwun ge nen Zu stand; • Be schrän kung auf nur ein nicht li nea res Glied in der Re ge lung; • Die Be rech nung be zieht sich auf die idea le nicht li nea re Kenn li nie.

Bei si nus för mi gem Ein gangs si gnal füh ren die Ein- und Aus gangs grö ßen Dau er schwin gun gen aus. Das Aus gangs si gnal x a des nicht li nea ren Glie des ist dann pe ri odisch, aber nicht mehr har monisch (Bild 3.42). Es ent hält Ober schwin gun gen ver schie de ner Fre quen zen ( 2 w , 3 w K ), die sich mit der Fourier-Analyse angeben lassen. Je der Re gel kreis ent hält je doch dämp fen de PT 1 -Glie der, so daß die Ober schwin gun gen ver nach läs sig bar sind. Man kann sich also auf die Be trach tung der Grund schwin gung x a1 be schrän ken und hat so eine prak tisch an wend ba re Li nea ri sie rung vorgenommen.

Bild 3.42

3.2.2

Regelung mit Ansprechschwelle bei sinusförmiger Anregung

Beschreibungsfunktion

In An leh nung an den Fre quenz gang li nea rer Re gel kreis glie der de fi niert man eine Be schrei bungs funk tion für nicht li nea re Re gel kreis glie der. Die se Funk tion be rücks ich tigt die in Ab schnitt 3.2.1 be spro che ne Li nea ri sie rung und ist be son ders zur Sta bi li täts be trach tung von Re gel krei sen mit Hil fe des Zwei-Orts kur ven-Ver fah rens ge eig net (Ab schnitt 5.4). Die se, auch als har mo ni sche Ba lan ce be kann te Funk tion, ist nur noch von der Am pli tu de der Ein gangs grö ße ab hän gig. Reduziert auf die Grundschwingung der Ausgangsgröße definiert man

124


Ù

N (x

e

x a1 ( w t ) x e(wt)

) =

(3.42)

In kom ple xer Schreib wei se lau ten Ein- und Aus gangs grö ße: x

a1

x

e

( w t ) = a 1 ×e Ù

(wt) = x

e

×e

j ( w t + p/ 2 )

+ b 1 ×e

jwt

,

jwt

Da mit ergibt sich eine Form der Be schrei bungs funk tion, die zur wei te ren Be rech nung der Nicht li nea ri tä ten ver wendet wird: Ù

N (x

e

) =

b

1

+ j×a Ù

x

1

(3.43)

e

Si gnal be gren zung (Sät ti gungs glied) Die sta ti sche Kenn li nie ei nes Re gel kreis glie des mit Si gnal be gren zung ist in Bild 3.43 darge stellt. Prak tisch be sitzt je des tech nisch rea li sier ba re Re gel kreis glied ein Ma xi mum der Aus gangs grö ße, das nicht über schrit ten wer den kann. So z.B. die Stell gren ze ei nes Ope ra tions ver stär kers (sie he Bild 2.13). Aber auch die gezielt ein ge setz te Si gnal be gren zung trifft man häu fig an (siehe Abschnitt 5.5.4 sowie Bild 7.22).

Bild 3.43

Ideale und reale Kennlinie der Signalbegrenzung (Sättigung)


125

Die idea le Kenn li nie der Si gnal be gren zung ist eine un ge ra de Funk tion x a ( j ) = - x a ( - j ) , so daß für die bei den Fou rier-Ko effi zien ten gilt: a

1

b

1

= 0 p 2 = ×ò x p 0

a

( j )d j

Aus Bild 3.43 läßt sich für die idea li sier te Aus gangs grö ße ab le sen: Ù

x e × sin j

x

=

a

x

Ù

s

= x e × sin j

e

× sin j

Ù

x

j = [0 , j

für

für

j = [j

für

j = [j

1

1

]

1

, j

2

, p] .

2

]

(3.4 4 )

Setzt man die se Aus sa gen in die Glei chung für b 1 ein, ergibt sich:

b

1

=

Ù 2 ×( 2x e × p

j1

ò

sin

2

j dj + x

×

s

j2

ò sin

j dj )

j1

0

Dar aus folgt

b

1

=

Ç 2 Ù ×x e × ( j p

1

+ sin j

1

× cos j

1

)

und für die Be schrei bungs funk tion: Ù

N (x

Mit j

1

e

) =

= arcsin

x Ù

x

Ù

N ( xe ) =

Ç x a1 ( j ) b 2 = Ù1 = ×( j x e(j ) p xe

s

bzw.

Ç

j

1

=

e

2 p [ arcsin p 180

x Ù

s

xe

+

1

+ sin j

x p arcsin Ù 180 x

x Ù

x

s e

× 1 -

s

× cos j

1

)

ergibt sich:

e

xs2 Ù

1

x e2

(3.45) ]

126


Die Orts kur ve der vor lie gen den Be schrei bungs funk tion ver läuft nur auf der po si ti ven reel len Ach se (Bild 3.44). In Ab hän gig keit vom Quo tien ten x s / x$ e auf ge tra gen, er streckt sie sich von 0 ... 1.

Bild 3.44

Ortskurve der Beschreibungsfunktion einer Signalbegrenzung

An sprech schwel le (Tote Zone) Bei Me ß ein rich tun gen und als ge woll tes Her ab set zen der Emp find lich keit um Null her um fin det man die Funk tion der An sprech schwel le. Es ent steht eine Si gnal pau se zwi schen Ein- und Aus gangs grö ße (Bild 3.45).

Bild 3.45

Ideale und reale Kennlinie der Ansprechschwelle (Tote Zone)

Die idea le Kenn li nie der An sprech schwel le ist eine un ge ra de Funk tion, so daß für die Fou rier-Ko effi zien ten der Glei chung 3.43 gilt: a

1

b

1

= 0 p 2 = ×ò x p 0

a

( j )d j

Aus Bild 3.45 kann man ab le sen, daß


0

x

a

Ù

x

=

e

× sin j - x

t

0

127

für

j = [0 , j

für

j = [j

1

, j

für

j = [j

2

, p] .

1]

2

]

(3.46 )

Setzt man die se Aus sa gen in die Glei chung für b 1 ein, ergibt sich: j

b

1

2 2 Ù × x e × ò ( sin j - x p j

=

t

) × sin j d j

1

Dar aus folgt mit x

b

Ù

t

= x

e

×( 1 -

Ù

1

=x

e

× sin j 2j p

1

1

-

2 × sin j p

1

× cos j

1

)

und für die Be schrei bungs funk tion er hält man: Ù

N (x

e

)=

Ç x a1 ( j ) b 1 2 = Ù =1 ×( j x e(j ) p x e

1

+ sin j

1

× cos j

1

)

Mit j

1

= arcsin

x Ù

x

t

Ç

j

bzw.

1

=

e

x p arcsin Ù 180 x

t e

ergibt sich schließ lich: Ù

N (x

e

) = 1-

x p 2 [ arcsin Ù p 180 x

t e

+

x Ù

x

t e

× 1 -

x Ù

x

t e

2

]

( 3 . 47 )

2

Die in Bild 3.46 darge stell te Orts kur ve der Be schrei bungs funk tion ver läuft auf der po si ti ven reel len Ach se von 0 ... 1 bzw. in Ab hän gig keit vom Quotien ten Ù

x t /x

e

auf ge tra gen, von 1 ... 0.

128


Bild 3.46

Ortskurve und Beschreibungsfunktion der Ansprechschwelle

Vor last (Off set span nung) Die sta ti sche Kenn li nie der Vor last ist in Bild 3.47 darge stellt. Man kennt dieses Ver hal ten bei spiels wei se als Aus gangs fehl span nung von Ope ra tions ver stär kern bzw. als stö ren den Gleich span nungs an teil bei der Si gnal über tra gung. Die Aus gangs grö ße x a un ter schei det sich nur durch die ad di ti ve Kon stan te x o von der Eingangsgröße.

Bild 3.47

Ideale Kennlinie der Vorlast (Offset)

Aus Bild 3.47 läßt sich für die Aus gangs grö ße ent neh men: x x

a

Ù

o

+ x

e

× sin j

für

x e >0

=

(3.48 ) -x

Ù

o

+ x

e

× sin j

für

x e 0

-x

s

für

x e 0 zeigt. Ein Bei spiel soll den Sta bi li täts be griff ver deut li chen hel fen. Aus gangs punkt ist das Block schaltplan ei nes PT 1 -Glie des als Ope ra tions ver stär ker schal tung. Die se ein fa che Schal tung stellt be reits ei nen ge schlos se nen Re gel kreis dar (Bild 5.2a). Aus der Über tra gungs funk tion F(p) (sie he Sei te 93) ergibt sich mit der Rand be din gung Kp=1 x a( p ) = - p T 1 × x a( p ) - x

e

.

Das PT1 -Glied wird in ein zel ne Blöc ke zer legt und dann mit Hil fe der Kor re spon denz Nr. 12, Ta bel le 3.5 in ein Ge bil de mit Rück kopplung umge stal tet.

180

5 Sta bi li täts kri te rien und Op ti mie rung

Bild 5.2

Schaltung und Blockschaltplan des PT1-Gliedes

Er reicht nun die Pha sen ver schie bung zwi schen Ein- und Aus gangs si gnal mit wach sen der Fre quenz w den Wert j = - 180 °, sind die Am pli tu den der Si gna le x a und x e ge gen läu fig. Das Vor zei chen des ge gen ge kop pel ten Netz wer kes pT 1 kehrt sich da her um. Er rech net man aus dem ver än der ten Block schaltplan (Bild 5.2b) die Funk tion x a (p), so gilt nun: x a( p ) = + p T 1 × x a( p ) - x

e

f ü r K p = 1 und j = - 180 ° .

Dar aus ergibt sich die Über tra gungs funk tion F(p) nun mit a = 1 / T F( p) =

x

a

(p )

x

e

= -

1 1 - pT

= 1

-a p -a

.

1

zu: (5.2)

Die Sprung ant wort x a (t) läßt sich mit Hil fe der Kor re spon denz Nr. 6 aus der Ta bel le 2.2 an ge ben und ist in Bild 5.3 darge stellt. x

a

(t) = x e(e

t/T1

- 1) .

5.2 Bode-Dia gramm

Bild 5.3

181

Sprungantwort des instabilen PT1-Gliedes

Es zeigt sich, daß die Aus gangs grö ße x a (t) des PT1 -Glie des mit den beiden Rand be din gun gen K p =1 und j = - 180° kei nem end li chen Wert zu strebt, d.h. über alle Grenzen geht. Die ser Re gel kreis ist so mit in sta bil. Der Pha sen win kel j und die Pro por tio nal ver stär kung K p spie len also eine er heb li che Rol le bei der Be ur tei lung der Stabilität einer Regelung.

5.2

Bode-Dia gramm

Ob wohl die Sta bi li täts un ter su chung mit dem Bode-Dia gramm auf das Ny quist-Kri te ri um zurück geht, also kein ei gen stän di ges Sta bi li täts-Kri te ri um dar stellt, soll mit dem Bode-Dia gramm be gon nen wer den. Es bie tet be son ders für den Prak ti ker so wie für den “Ein stieg” in die The ma tik der Sta bi li täts unter su chung ei ni ge Vor tei le. Durch die Auf tei lung des Fre quenz gangs in Be trag | F 0 ( j w ) | und Pha sen win kel j 0 las sen sich Pa ra me ter ein flüs se auf die Sta bi li tät an schau lich be ur tei len. Der Fre quenz gang be tra g ei ner Re ge lung wird im lo ga rith mi schen Ma ß stab dargestellt (Am pli tu den gang). Auf die se Wei se wird die Mul ti pli ka tion in die leicht handhabbare logarithmische Addition der Frequenzgangbeträge von Regler und Strecke überführt: |F

0

( jw )| = 20 lg | F dB

R

| + 20 lg | F

S

|

(5.3)

mit dem Pha sen gang (eben falls lo ga rith misch darge stellt) j

0

= j

R

+ j

S

(5.4)

Wie noch ge zeigt wird, läßt sich von der Sta bi li tät des offe nen auf die des ge schlos se nen Re gel krei ses schlie ßen. Man schnei det da her den Re gel kreis in der Rück führung auf und er hält eine Wir kungs ket te aus Reg ler und Strecke (Bild 5.4).

182


Bild 5.4

Blockschaltplan eines geschlossenen und offenen Regelkreises

Die aus dem Ny quist-Kri te ri um ab ge lei tete Sta bi li täts bedin gung für das Bode-Dia gramm läßt sich stark ver ein fa chen, wenn man pra xis nah an nimmt, daß die Über tra gungs funk tion F 0 (p) des offe nen Re gel krei ses nur Pole in der lin ken p-Halb ebe ne und höch stens ei nen Dop pel pol im Ur sprung auf weist. Das so ver ein fach te Ny quist-Kri te ri um angewandt auf das Bode-Diagramm lautet: Ein ge schlos se ner Re gel kreis ist ge nau dann sta bil, wenn der Fre quenz gang be tr ag | F 0 ( j w ) | des of fe nen Re gel krei ses bei der Durch tritts fre quenz w (dort ist K 0 =1 bzw. | F 0 ( j w ) | = 0 dB ) den Pha senwin kel j 0 ( w D ) > - 180° auf weist.

D

Als Glei chung for mu liert gilt so mit:

j

0

(w

D

) > - 180 °

bei

|F

0

( j w ) | = 0 dB

(5.5)

Dar in ist die Durchtritts fre quenz w D ein Maß für die Re ak tions fä hig keit ei ner Re ge lung auf Füh rungsund Störgrö ßen än de run gen. Sie soll te mög lichst groß sein. Für eine Sta bi li täts aus sa ge wer den meist zwei ab ge lei te te Grö ßen her an ge zo gen, der Pha sen rand (Pha sen re ser ve) und der Ampli tu den rand (Am pli tu den re ser ve). Die Zu sammenhän ge sind in Bild 5.5 dargestellt.

5.2 Bode-Dia gramm

Bild 5.5

Zur Stabilitätsaussage im Bode-Diagramm

183

184


Die Pha sen re ser ve a R ist der Win kel-Ab stand zwi schen j 0 ( w -180°-Li nie. Für a R > 0° ist eine Re ge lung demnach stabil: a

= 180° + j

R

0

(w

D

D

) und der

(5.6)

)

Die Ampli tu denre ser ve A R kenn zeich net den Ab stand zwi schen der 0dB-Li nie und | F 0 ( j w ) | bei der kri ti schen Fre quenz w z . Sie ist ein Maß für die Ver stär kungs re ser ve der Re ge lung bis zum Er rei chen der Sta bi li täts gren ze bei der Fre quenz w z .

A R |F = dB

0

|( w dB

z

)

(5.7)

Die in den Glei chun gen 5.5 bis 5.7 ent hal te ne Sta bi li täts aus sa ge kann aus dem Bode-Dia gramm gra phisch er mit telt wer den. Für eine gut ein ge stell te Re gelung wer den fol gen de Werte empfohlen: A R = 4 . . . 10 a R = 40° . . . 60°

bei Füh rungs ver hal ten

A R = 1,5 . . . 3 a R = 20° . . . 50°

bei Stör ver hal ten

Be sitzt die Über tra gungs funk tion F 0 (p) des offe nen Re gel krei ses auch Pole in der rech ten p-Halb ebe ne und höch stens zwei Pole im Ursprung der p-Ebe ne, so ist das voll stän di ge Ny quist-Kri te ri um an zu wen den. Es läßt sich im Bode-Dia gramm an schau lich mit Hil fe der Schnitt punk te des Pha sen win kels j 0 durch die -180°-Li nie de fi nie ren (Ab lei tung in Ab schnitt 5.3). In Bild 5.6 sind einige markante Beispiele aufgezeigt. S p sei die An zahl der po si ti ven und S n die An zahl der ne ga ti ven Schnitt punk te des Pha sen win kels j 0 mit der -180°-Li nie für den Fall, daß stets | F 0 ( j w ) | > 0 dB ist. n r sei die An zahl der Pole in der rech ten p-Halb ebe ne und n i die An zahl der Pole auf der ima gi nä ren Achse. So gilt:

S

p

-S

n

=

nr 2

0 ;1 Pol im Ursprung ,

n

i

= [0 ;1 ] , (5.8)

S

p

-S

n

=

n

+1 2

r

1 Doppelpol

im Ursprung ,

n i =2 .

5.2 Bode-Dia gramm

Bild 5.6

Zur Schnittpunktform des vollständigen Nyquist-Kriteriums

185

186


Dar aus geht her vor, daß nur Schnitt punk te ge zählt wer den, für die | F 0 ( j w ) | > 0 dB ist. Ein hal ber po si ti ver Schnitt punkt ergibt sich bei von -180° an stei gen dem Pha sen win kel; ein hal ber ne ga ti ve Schnitt punkt bei von -180° ab fal len dem Pha sen win kel j 0 ( w ) . Das ver ein fach te Ny quist-Kri te ri um in Schnitt punkt form gilt für n r =0 (nur Pole in der lin ken p-Halb ebe ne) so wie n i =[0;1;2] (0, 1 oder 2 Pole im Ur sprung der p-Ebe ne) und läßt sich aus der Glei chung 5.8 ab le sen. Es lautet: S

p

- S

n

= 0

n

1 = 2

für

n

i

= [ 0 ,1] , (5.9)

S

p

- S

für

n i =2 .

In Bild 5.6 ist die un te re Gra fik be son ders be mer kens wert. Trotz ei nes Pha sen win kels j 0 ( w D ) > - 180° ist die zu ge hö ri ge Re ge lung bei An wen dung des voll ständi gen Ny quist-Kri te ri ums (Glei chung 5.8) in sta bil. Da ein Pol (n=1) in der rech ten p-Halbebe ne vor liegt, wür de das ver ein fach te Nyquist-Kri te ri um (Glei chung 5.9) hier zu einer falschen Stabilitätsaussage führen. In Ab schnitt 3 wur de be reits ge zeigt, wie der Fre quenz gang be trag und Pha sen win kel ein zel ner Re gel kreis glie der ex akt und asymp to tisch ge zeich net wer den (sie he auch Tabelle 3.1). Zur Be ur tei lung der Sta bi li tät ei nes Re gel krei ses hat man die Kur ven ver läu fe des Fre quenz gang be tra ges und Pha sen win kels von Reg ler und Strec ke in das Bo den-Dia gramm ein zu tra gen. In vie len Fäl len ge nügt da bei die asymp to ti sche Dar stel lung für eine Abschätzung der Stabilität. Zu vor ist es not wen dig, den in ter es sie ren den Fre quenz be reich fest zu le gen, da die Ab szis se nicht bei w = 0 be gin nen kann, wegen (lg 0 = - ¥ ) . Es gilt für den Ab szis sen an fang w A die einfache Formel:

w A » 0,1 × w

Dar in ist w

Min

min

bzw.

wA »

0,1 Tmax

(5.10)

der klein ste Fre quenz-Pa ra me ter.

Man bil det nun die arith me ti sche Summe der Fre quenz gang be trä ge und er hält | F0 (j w ) | / dB . Ge nau so summiert man die Pha sen win kel und er hält j 0 . Die Sta bi li täts aus sa ge ist nun di rekt graphisch ablesbar.

5.2 Bode-Dia gramm

187

Bei spiel: Eine ge ge be ne Regel strec ke aus zwei Ver zö ge rungs glie dern I. Ord nung soll mit ei nem PI-Regler ge re gelt wer den. Das zu ge höri ge Blockschaltbild ist in Bild 5.7 dargestellt.

Bild 5.7

Blockschaltbild der Regelung aus PI-Regler und PT1-PT1-Strecke

Die Re ge lung soll im Bode-Dia gramm auf Sta bi li tät un ter sucht wer den. Da bei ist zu sätz lich die Schnitt punkt form (Glei chung 5.9) zu ver wen den. Die Pa ra me ter der Strec ke und des gewähl ten Reglers lauten: K K K

w w w

R = 10 S1 = 1 S2 = 1

N = 15 E1 = 50 E2 = 100

Hz Hz Hz

Aus die sen Wer ten er hält man für das dar zu stel len de Fre quenz band mit Glei chung 5.10 ei nen Ab szis sen an fang von w A » 0,1 × w N = 1 Hz . In Bild 5.8 ist das Bode-Dia gramm für die ge ge be ne Re ge lung in asymp tho ti scher Nä he rung auf ge zeich net. Es ergibt sich bei der Durch tritts fre quenz w D » 250 Hz eine Pha sen re ser ve von a R » 39° . Die Re ge lung ist dem nach sta bil. Vergleicht man die se Sta bi li täts aus sa ge mit dem ex ak ten Bode-Diagramm (Bild 5.9, mit SIM LER-PC erstellt), zeigt sich, daß die asymp tho ti sche Dar stel lung recht treffsichere Aussagen liefert. Bei der Sta bi li täts be trach tung in Schnitt punkt form nach Glei chung 5.9 ist zu nächst die Über tra gungs funk tion des offe nen Re gel krei ses F 0 (p) auf zu stel len. Sie lautet hier: F

0

(p) = K

0

×

pT

N

1 + pT N ( 1 + p T 11 ) ( 1 + p T

12

)

188

Bild 5.8


Bode-Diagramm für die Regelung aus Bild 5.7

Die se Funk tion ent hält kei ne Pole in der rech ten p-Halb ebe ne (n=0) und nur ei nen Pol im Ko or di na ten-Null punkt (n i =1). Ent spre chend der Glei chung 5.9 gilt dann als Be din gung für die Sta bi li tät S p -S n =0 . Aus Bild 5.8 läßt sich ab le sen, daß der Pha sen win kel j 0 kei nen po si ti ven Schnitt punkt (S p =0) und kei nen ne ga ti ven Schnitt punkt (S n =0) mit der -180°-Li nie auf weist, so daß die Be din gung S p -S n =0 er füllt ist und ein stabi ler Regelkreis vorliegt.

5.2 Bode-Dia gramm

Bild 5.9

Plot des Bode-Diagramms zu Bild 5.7 mit SIMLER-PC

189

190


Bei spiel: Wie aus den Glei chun gen für die ein zel nen Pha sen win kel (Ta bel le 3.1) zu ent neh men ist, hat eine Ver stär kungs än de rung D K 0 kei nen Ein fluß auf den Ver lauf der Phasenwinkel. Eine Än de rung der Ver stär kung kann je doch eine in sta bi le Re ge lung in den sta bi len Zu stand über füh ren, eine Tat sa che, die sich im Bode-Dia gramm be son ders ein fach verwerten läßt. Als Bei spiel für die Sta bi li täts-Be trach tung dient hier die Po si tions re ge lung aus Bild 2.9 mit ge än der ten Pa ra me tern und ohne Störgrö ßen. Der zu ge hö ri ge Block schaltplan ist in Bild 5.10 abgebildet.

Bild 5.10

Blockschaltplan einer Positionsregelung nach Bild 2.9

Die Pa ra me ter von Strec ke und Regler lau ten: K K K K

R = 10 S1 = 1 S2 = 1 S3 = 1

w w

N

= 10 Hz

E1

= 15 Hz t = 0,02 s

T

Man er hält ei nen Ab szis sen an fang von w

A

» 0,1 × w

N

= 1 Hz .

Die P-Strec ke des Lei stungs ver stär kers mit K S1 =1 lie fert im Bode-Dia gramm kei nen Bei trag und wird da her nicht ge zeich net. Es ergibt sich so mit das in Bild 5.11 darge stell te Bode-Dia gramm in asymp tho ti scher Nä he rung. Ent spre chend Glei chung 5.6 ist die Re ge lung in sta bil, da sich bei der Durch tritts fre quenz w D » 135 Hz ein Pha sen rand von a R < 0° einstellt. Ist eine sta bi le Re ge lung mit ei nem Pha sen rand von a

R

*

= 45° er wünscht,

muß der Graph |F 0 | um den Wert D K 0 » 10 dB nach un ten par al lel ver scho ben wer den; bis man die neue Durch tritts fre quenz von w D * » 47 Hz erreicht.

5.2 Bode-Dia gramm

Bild 5.11

191

Bode-Diagramm der Regelung aus PI-Regler und PT1-PTt-Strecke

Die Par al lel ver schie bung • nach un ten ent spricht dem nach ei ner Ver stär kungs min de rung ( - D K 0 ) , • nach oben folg lich ei ner Ver stär kungs er hö hung ( + D K 0 ) .

Bei des braucht im Bode-Dia gramm je doch nicht zeich ne risch durch ge führt wer den. Die Ver stär kungs än de rung DK 0 wird ge wöhn lich als neu er Wert der Reg ler ver stär kung K R * rea li siert, da die Strec kenverstärkung KS un ver än dert bleibt. Mit Hil fe des Bode-Dia gramms läßt sich dann K R * für ei nen ge wünsch ten Pha sen rand a R * > 0° an ge ben.

192


Es folgt dann K 0 * dB

=

K 0 dB

=

K R dB

±

DK 0 dB

und K

R

*

dB

DK 0 dB

±

(5.11)

oder als Zahlenwertgleichungen K R * = K R × DK 0

bzw. K R * =

KR D K0

Das vor lie gen de Bode-Diagramm lie fert mit D K 0 » 10 dB =$ 3,16 eine neue Reg ler ver stär kung von K R * » 3,16 . Rea li siert man die sen Wert in der hier be han del ten Re ge lung, ergibt sich der nach un ten paral lel ver scho be ne Fre quenz gang be trag bei dem ge wünsch ten Pha sen rand a R * und der neu en Durchtritts fre quenz w

D

*

.

Die Si mula tion des ex ak ten Bode-Dia gramms in Bild 5.12 zeigt, daß die Durch tritts fre quenz nur um weni ges hö her liegt, als die der asymptho ti schen Nä he rung (2. Si mu la tion); eben so der ex ak te Wert der Reg ler ver stär kung K R * = 2,5756 . Mit Hil fe des Ampli tu denran des A R läßt sich auch die kri ti sche Reg ler ver stär kung K Rkrit aus dem Bode-Dia gramm ab le sen (2. Si mula tion). Ent spre chend der Glei chung 5.7 ergibt sich für die vor lie gen de Re ge lung aus der Gra phik bei w z » 84,3 Hz ein Wert von A R » 4,45 dB =$ 1,669 . Mit der fol gen den For mel er hält man dann K

Rkrit

dB

=

K R dB

+

A R dB

bzw. als Zahlenwertgleichung K

Rkrit

= K

R

×A

(5.12)

R

In der Li ste der Ergeb nis se des Bil des 5.12 fin det sich für die 2. Si mula tion ein Ampli tu den rand von A R =1,66993 und fol ge rich tig eine kri ti sche Reg ler ver stär kung von K Rkrit = 2,5756 × 1,66993 = 4,30107 . Der Wert K Rkrit ist also die Reg ler ver stär kung bei Er rei chen der Sta bi li täts gren ze.

5.2 Bode-Dia gramm

Bild 5.12

Simulation nach Bild 5.11 mit der neuen Reglerverstärkung KR*

193

194


Auf ga be 5.1 Die Tempe ra tur ei ner Flüs sigkeit soll mit ei nem Wär me tau scher über ein Stell ven til mit tels PI-Regler ge re gelt wer den (Bild 5.13). Der Wär me tau scher zeigt PT 1 -Ver hal ten, der Ven til stell an trieb I-Ver hal ten. Die Zeit konstan te des Mo tors sei ver nach läs sig bar; eben so die Zeit kon stan te der Tempe ra tur-Er fas sung (siehe Tabelle 3.3).

Bild 5.13

Anlagenschema zur Temperatur-Regelung mittels Wärmetauscher

Die An la gen pa ra me ter sind: K K

R = 10 S = 1

w N = 50 Hz w E1 = 150 Hz T i = 0,1 s

Es ist das Blockschaltbild zu zeich nen und die Sta bi li tät im Bode-Dia gramm in asymp tho ti scher Nä he rung zu un ter su chen. Au ßer dem ist die Sta bi li täts aus sa ge mit dem Schnitt punkt kri te ri um nach Gleichung 5.9 gesucht.

Auf ga be 5.2 Für je den Frei heits grad ei nes In du strie robo ters ist eine Re ge lung er for der lich. Die se soll je weils mit ei nem PI-Regler er fol gen (Bild 5.14). Die voll stän di ge Re ge lung ist hier le dig lich als ein schlei fi ger Re gel kreis zu un ter su chen. Der ge samte Ro bo ter an trieb läßt sich dann auf das PT 2 -Ver hal ten und die Ist wert er fas sung auf das PT 1 -Ver hal ten re du zie ren. Die Tot zeit der einzelnen Stromrichter sei vernachlässigbar.

5.2 Bode-Dia gramm

195

Die Pa ra me ter lau ten so mit: K K K

R = 56 S1 = 1 S2 = 0,316

w N = 20 Hz w E1 = 10 Hz w 0 = 40 Hz

d =1

Es ist die Sta bi li tät im Bode-Dia gramm in asymp tho ti scher Nä he rung zu un ter su chen (mit Aus nah me der PT2 -Strec ke). Au ßer dem ist K R * für ei nen Pha sen rand von a

Bild 5.14

* R

= 45° gesucht.

Anlagenschema eines Roboterantriebes mit fünf Freiheitsgraden

Auf ga be 5.3 Ein Re gel kreis be ste he aus dem PI-Reg ler, drei PT 1 -Strec ken und ei nem Tot zeit glied. Die Pa ra me ter sind: K K K K K

R = 100 1 S1 = 1 S2 = 1 S3 = 1 S4 =

w N = 15 Hz w E1 = 10 Hz w E2 = 20 Hz w E3 = 40 Hz T t = 10 m s

bzw.

w

V

= 30 Hz

Es ist die Sta bi li tät im Bode-Dia gramm bei Ver wen dung ei nes PI-Reg lers und da nach ei nes PD-Reg lers zu un ter su chen (asymp tho ti sche Näherung).

196


Auf ga be 5.4 Das fol gen de Block schaltbild zeigt die ver ein fach te La ge re ge lung ei nes Flug zeugs für Dreh be we gun gen um die Längs ach se bei klei nen Aus len kun gen (Bild 5.15). Die se Be we gung ist durch den Roll win kel a ge kenn zeich net. Es wird von ei nem star ren Flug kör per aus ge gan gen. Das ae ro dy na mi sche Dreh mo ment, wel ches die Dreh be we gung dämpft und von der Dreh ge schwin dig keit d a / dt abhängt, ist vernachlässigt.

Bild 5.15

Blockschaltplan einer Rollwinkel-Regelung für ein Flugzeug

Die Be ein flus sung des Roll win kels er folgt durch das Quer ru der. Es wird von ei nem PD-Reg ler mit tels elek tro hydrau li schem Stell an trieb betätigt. Die Re ge lung weist fol gen de Pa ra me ter auf: K K

R = S =

9 1

x w V = 0,8 Hz w E1 = 5 Hz Ti1 = Ti2 = Ti = 2,5s

s

= 1,5

Es sind die Si mula tio nen des Bode-Dia gramms für den un be grenz ten und auf Xs=1,5 be grenz ten PD-Reg ler mit ein an der zu vergleichen.

5.3

Ny quist-Kri te ri um

Das Ny quist-Kri te ri um er mög licht, aus ge hend von dem Fre quenz gang F 0 ( j w ) des offe nen Re gel krei ses, eine Sta bi li täts aus sa ge über den ge schlos se nen Re gel kreis. Es läßt sich in Orts kur ven-Dar stel lung und im Bode-Dia gramm be han deln. Die Aus wer tung in Orts kur ven form ist so wohl gra phisch als auch rein rech ne risch mög lich. Dazu be nutzt man die in Ab schnitt 3 an ge ge be nen kom ple xen Fre quenz gang glei chun gen der Re gel kreis glie der. Ihre Dar stel lung in der kom ple xen Ebe ne nennt man Orts kur ve. Die wich tig sten Orts kur ven und die zu ge hö ri gen Glei chun gen linearer Regelkreisglieder sind in Tabelle 5.1 und Tabelle 3.1 dargestellt.

5.3 Ny quist-Kri te ri um Ta bel le 5.1

Über tra gungs funk tion, Fre quenz gang und Orts kur ve wich ti ger li nea rer Re gel kreis glie der

197



5.3 Ny quist-Kri te ri um

199

Bei der Her lei tung des Ny quist-Kri te ri ums geht man von der ge bro che nen ra tio na len Über tra gungs funk tion F 0 (p) des offe nen Re gel krei ses aus. Es sei

F

0

(p) =

Z N

(p) 0(p)

0

,

mit Grad [Z 0 (p)] < Grad [N0 (p)]. Die se Be din gung ist bei al len tech nisch rea li sier ba ren phy si ka li schen Sy ste men stets erfüllt. Die Pole p k des offe nen Re gel krei ses erge ben sich ent spre chend der Glei chung 5.1 aus der cha rak ter isti schen Gleichung N 0 ( p)=0

.

Die in ter es sie ren de Sta bi li täts aus sa ge für den ge schlos se nen Re gel kreis er hält man z.B. mit Gleichung 2.45 F 0(p) = Z 1 + F 0 (p )

Z 0(p) ( p ) + N 0(p) 0

.

Durch Null set zen des Nen ner aus drucks er hält man auch hier die Pole des ge schlos se nen Re gel krei ses. Da mit ent spre chen die Null stel len der Funk tion 1 + F 0 ( p ) den Pol stel len des ge schlos se nen Re gel krei ses. Die se Pol stel len stimmen demnach mit de nen des offenen Regelkreises überein. Die Ver tei lung und Lage der Pole in der p-Ebe ne ent schei det über die Sta bi li tät der Re ge lung. Nach Nach weist /43/ ist die Pol ver tei lung von der Win kel än de rung D j ( w ) des Po ly noms N0 (p)=0 ab hän gig. Jede Wur zel des Po ly noms lie fert ei nen Bei trag + p / 2 , wenn sie in der lin ken p-Halb ebe ne liegt und ei nen von - p / 2 , wenn sie in der rech ten p-Halb ebe ne liegt. Die Win kel än de rung wird durch ei nen Fahr strahl im kri ti schen Punkt P K für den Be reich von w = 0 . . . ¥ beschrieben. Zur Er mitt lung von D j ( w ) wird die Orts kur ve der Funk tion 1+F 0 (p) meist um den Wert 1 nach links ver scho ben (Bild 5.16). In die sem Fall liegt der kri ti sche Punkt bei P K =[-1;j0]. In die sem Buch wird der kri ti sche Punkt vor nehmlich auf P K =[+1;j0] ge legt. Dies ist mög lich, wenn der Fre quenz gang des offe nen Re gel krei ses mit F 0 ( j w ) = - F R × F S be zeich net wird. Nimmt man für n die An zahl der Pole in der rech ten p-Halb ebe ne an, für nl die An zahl der Pole in der lin ken p-Halb ebe ne, so wie n i die An zahl der Pole auf der ima gi nä ren Ach se, ergibt sich eine all ge mei ne Fas sung des Ny quist-Kri te ri ums. Die Sta bi li täts be din gung lautet dann:

200


Bild 5.16

Fahrstrahl und zugehörige Ortskurven zur Deutung von D j ( w )

Ein ge schlos se ner Re gel kreis ist ge nau dann sta bil, wenn der im kri ti schen Punkt P K =[+1;j0] an die Orts kur ve F 0 ( j w ) des of fe nen Re gel krei ses ge leg te Fahr strahl im Be reich von w = 0 . . . ¥ eine ste ti ge Win kel än de r ung D j ( w ) be schreibt. Zur Ver an schau li chung sind in Bild 5.17 ei ni ge Bei spie le auf ge zeigt. Als Glei chung for mu liert lau tet die all ge mei ne Form des Ni quist-Kri te ri ums:

Dj (w ) = p ×n

r

+

p ×n 2

i

(5.13)

Hat F 0 (p) kei ne Pole auf der imagi nä ren Ach se (n i =0), be ginnt die Orts kur ve für w = 0 auf der reel len Ach se und en det für w = ¥ im Ur sprung der kom ple xen Ebe ne. Hat F 0 (p) Pole im Ur sprung (n i >0), dies deu tet auf das I-Ver hal ten


Bild 5.17

201

Ortskurve, Polverteilung und Stabilitätsaussage einiger Regelungen

202


hin, be ginnt die Orts kur ve für w = 0 im Unend li chen und en det für w = ¥ im Ur sprung. Hat F 0 (p) un end lich vie le Schnitt punkte mit der reel len Achse, dies deu tet auf ein zu sätz li ches Tot zeit ver hal ten hin, en det die Orts kur ve für w = ¥ im Ursprung bzw. geht in einen Kreis um den Ursprung über. Beim ver ein fach ten Ny quist-Kri te ri um, das für vie le Fäl le völ lig aus reicht, be trach tet man nur Re gel krei se, die kei ne Pole in der rech ten p-Halb ebe ne auf wei sen und ma xi mal zwei Pole im Ur sprung be sit zen (n= 0, n i =[0;1;2]). Dann lau tet die Stabilitätsbedingung: Gilt für die Pol ver tei lung des auf ge schnit te ne n Re gel krei ses n=0 und n i =[0;1;2], so ist der ge schlos se ne Re gel kreis ge nau dann sta bil, wenn der Fahr strahl in P K an die Orts kur ve F 0 ( j w ) ge legt, im Be reich w = 0 . . . ¥ die ste ti ge Win kelän de rung D j ( w ) be schreibt. Als Glei chung for mu liert lau tet das ver ein fach te Ni quist-Kri te ri um somit:

Dj (w) =

p ×n 2

(5.14)

i

Häu fig wird die Sta bi li täts be din gung des ver ein fach ten Ny quist-Kri te ri ums auch auf fol gen de Wei se ausgedrückt. Hat der of fe ne Re gel kreis die Pol ver tei lung n=0 und ni=[0;1;2], so ist der ge schlos se ne Re gel kreis sta bil, wenn der kri ti sche Punkt P K =[+1;j0] im Sin ne wach sen der w-Wer te rechts von der Orts kur ve F 0 ( j w ) liegt und a R > 0° ist. So mit gilt: F

0

( jw ) = - F

R

×F

S

< 1

für

a

R

> 0°

bzw. Re [F

(5.15) 0

(w z )] < 1

f ür

Im [F

0

(w z ) = 0]

Maß ge bend ist also der Teil der Orts kur ve, der dem kri ti schen Punkt am näch sten liegt. Ge nau so wie beim Bode-Dia gramm läßt sich auch aus der Orts kur ve von F 0 ( j w ) der Pha sen rand a R und der Ampli tu den rand A R ab le sen (Bild 5.18).


Bild 5.18

203

Ortskurven zur graphischen Definition der Stabilität nach Nachweist

Man er hält die kri ti sche Fre quenz w z für den Fall, daß Im [F 0 ] = 0 ist. Der Real teil des komple xen Zei gers F 0 ( j w ) an der Stel le w z ent spricht dann dem re zi pro ken Wert des Ampli tu den ran des A R . Wie im Bode-Dia gramm ergibt sich die Durch tritts fre quenz w D bei dem Wert | F 0 | = 1 . Dies ist der Fall, wenn die Orts kur ve den Ein heits kreis schnei det. Mit Hil fe von w D läßt sich schließ lich die Pha sen re ser ve a R er mit teln. Da die Wer te von w z und w D aus der Gra phik nicht di rekt ab les bar sind, emp fiehlt sich für die Sta bi li täts aus sa ge die An wen dung des folgenden Formelsatzes: Im F

= 0

0

®

w

z

Re [ F

0

(w

z

)] < 1

®

Regelung

Re [ F

0

(w

z

)] = 1

®

K

stabil =K

Rkrit

R

×A

R

(5.16) Re [ F

|F

0

a

R

0

(w

z

)] =

| = 1

= arctan

1 A R

®

A

®

w

Im [ F 0 ( w D ) ] = j Re [ F 0 ( w D ) ]

0

R

D

(w

D

) + 180°

204


Bei spiel: Ein P-Reg ler wirkt auf eine PT 1 -I-Strec ke. Die Re ge lung soll mit dem ver ein fachten Sta bi li täts-Kri te ri um nach Ni quist auf Sta bi li tät un ter sucht wer den. Die Parameter lauten: K K

R = 100 S =1

T 1 = 1s T i = 1s

Aufge teilt in Real- und Ima gi när teil wird zunächst F F

R

= K

und

R

F

= K

S

S

×

er mit telt. Es gilt:

0

-wT

- j

1

w T i(1 + w

2

T

.

2

1

)

Da mit er hält man F

0

= -F

R

×F

= K

S

wT

×

0

+ j

1

w T i(1 + w

2

T

1

2

. )

Nun läßt sich der For melsatz 5.16 an wen den: Im F

0

= 0 = K

0

×

1 w

z

T i(1 + w

z

2

Dar aus ergibt sich eine kri ti sche Fre quenz von w Re [ F 0 ( w z ) ] = K 0 ×

w w

z

T

1

T i(1 + w

z

z

T z

2

1

2

. )

= ¥ . Es folgt dann mit

T

1

2

)

| w z® ¥ = 0

daß die Re ge lung sta bil ist und eine Ampli tu den re ser ve von A weist. Die Durchtritts fre quenz ergibt sich aus F

0

= 1 = K

0

2

×

1 w

D

2

Ti

2

(1 + w

Es ist demnach die Glei chung w

D

4

+

w

D

T

1

2 2

K

T

1

0 2

2

Ti

2

= 0

D

2

T

1

2

R

. )

= ¥ auf -

,

5.3 Ny quist-Kri te ri um zu lö sen. Mit der Sub sti tu tion z = w

205

D

2

er hält man eine Durch tritts fre quenz

von w D = 30,843 Hz . Da mit ergibt sich ein Pha sen rand von a R = 17,964° . Die se Wer te las sen sich auch aus der Ergeb nis-Li ste der Si mu la tion ent neh men (Bild 5.19). Das Ny quist-Dia gramm zeigt, daß sich der Fre quenz gang F 0 für w ® 0 der Asymp to te K 0 × T 1 / T i = 10 nä hert und für w ® ¥ im Koordinaten-Urpsrung endet.

Bild 5.19

Nyquist-Diagramm der Regelung aus P-Regler und PT1-I-Strecke

206


Bei spiel: Ein Re gel kreis aus P-Reg ler und PT 1 -PTt-Strec ke soll im Ny quist-Dia gramm auf Sta bi li tät ge prüft wer den. Au ßer dem ist die kri ti sche Reg ler ver stär kung K Rkrit ge sucht. Die Parameter lauten: K K K

R S1 S2

= 5,5638 =1 =1

T 1 = 0,05 s T t = 0,016 s

Auf ge spal ten in Real- und Ima gi när teil ergibt sich für den Fre quenz gang des offe nen Re gel krei ses:

F0 = K 0 ×

w T 1 × sin w T t - cos w T

+ j ( w T 1 × cos w T

t

1 + w

2

T

t

+ sin w T

1

Mit Hil fe des For mel sat zes 5.16 ergibt für die kri ti sche Fre quenz w Im F

= 0 = K

0

0

×

w

z

T 1 × cos w

z

1 + w

t

)

2

T z

2

+ sin w

t

T

1

z

T

z

mit

t

2

die tran szen den te Glei chung w

z

T

1

= - tan w

z

T

t

,

de ren Lö sung den Wert w z » 109,47 Hz ergibt. Da mit läßt sich die kri ti sche Reg ler ver stär kung er mit teln. Mit dem For mel satz 5.16 folgt

Re [ F 0 ( w z )] = 1 = K Rkrit × K S ×

w

z

so daß sich ein Wert von K Rkrit = 5,564

T 1 × sin w

z

1 + w

T t - cos w z

2

T

1

2

z

T

t

,

er rech nen läßt.

Die Si mula tion des Ny quist-Dia gramms in Bild 5.20 zeigt, daß die Re ge lung sich mit den ge ge be nen Pa ra me tern prak tisch an der Sta bi li täts gren ze be fin det. Es sei hier an ge merkt, daß SIM LER-PC für Wer te von a R = 1° . . . 0° das Sta te ment “Stab-Gr.”, d.h. Sta bi li täts gren ze ausgibt.


Bild 5.20

Nyquist-Diagramm der Regelung aus P-Regler, PT1-PTt-Strecke

207

208


Die Sta bi li täts auss sa ge mit Hil fe der Schnitt punkt form, wie sie be reits im Bode-Dia gramm an ge wen det wur de, läßt sich auch auf die Orts kur ven-Dar stel lung des Ny quist-Kri te ri ums über tra gen. Ei ni ge Bei spie le sind in Bild 5.21 aufgeführt. S p sei die An zahl der po si ti ven und S n die An zahl der ne ga ti ven Schnitt punk te des Fre quenz gangs F 0 mit der reel len Ach se der Gau ß schen Zah len ebe ne für den Be reich rechts vom kri ti schen Punkt P K . Ein po si ti ver Schnitt punkt wird als Übergang der Orts kur ve von der un te ren in die obe re Halb ebe ne ge wer tet, ein ne ga ti ver Schnitt punkt ent spricht dem umge kehr ten Übergang der Orts kur ve mit wach sen der Fre quenz w . Für Dop pel po le im Ur sprung wird der Be ginn der Orts kur ve bei w = 0 als hal ber po si ti ver Schnitt punkt ge wer tet für Re [ F 0 ( w = 0 ) ] > 0 und als hal ber ne ga ti ver Schnitt punkt für Re [ F 0 ( w = 0 ) ] < 0 . n sei die An zahl der Pole in der rech ten p-Halb ebe ne und n i die An zahl der Pole auf der ima gi nä ren Achse. Die Sta bi li täts be din gung als ste ti ge Win kel än de rung in Schnitt punkt form for mu liert lautet dann:

Dj = 2p (S

p

-S

) +

n

p n 2

i

für

n i = [0 ;1 ]

für

n i =2

(5.17) D j = 2 p ×( S

p

-S

n

)

Durch Gleich set zen der Glei chung 5.13 des voll stän di gen Ny quist-Kri te ri ums mit der Glei chung 5.17, er hält man das Schnitt punkt-Kri te ri um nach Nachweist (verglei che mit Gleichung 5.8). Ein ge schlos se ner Re gel kreis ist da nach sta bil, wenn die Be din gung S

p

- S

n

=

S

p

- S

n

=

nr 2

für

n i = [0 ;1 ]

für

n i =2

bzw.

er füllt ist.

n

+1 2

r


Bild 5.21

209

Ortskurve, Polverteilung und Stabilitätsaussage einiger Regelkreise

210


Auf ga be 5.5 Es soll eine Re ge lung aus PD-Reg ler und PT 1 -PTt-Strec ke nach dem Ny quist-Kri te ri um in Orts kur ven-Dar stel lung be trach tet wer den. Die Pa ra me ter sind: K K K

R S1 S2

= 10 = 1 = 1

T V = 5 ms T 1 = 0,1 s T t = 1 ms

Auf ga be 5.6 Für ei nen Re gel kreis aus PID-Regler und PT 1 -Strec ke ist die Sta bi li tät nach Nach weist in Orts kur ven dar stel lung zu un ter su chen. Die Pa ra me ter lauten: K K

R S

=5 = 1

T T

N = 1=

0,1 s 0,05 s

T

V

= 8 ms

Auf ga be 5.7 Eine Re ge lung be ste he aus dem PD-Regler und ei ner PT 1 -I 2 -Strec ke. Es ist die Orts kur ve nach dem ver ein fach ten und voll stän di gen Ny quist-Kri te ri um zu un ter su chen. Ge ge ben sind die Werte: K K

R S

= 10 = 1

T V = 8 ms T 1 = 0,02 s T i = 0,1 s

Auf ga be 5.8 Ein PI-Reg ler soll eine I-PTt-Strec ke re geln. Es ist die Sta bi li tät nach dem Ny quist-Kri te ri um zu un ter su chen (auch mit Hil fe von SIM LER-PC). Ge ge ben sind die Werte: K K

R S

= 100 = 1,2

T N = 0,25 s T t = 0,01 s T i = 1,2 s

5.4 Z.O.V.

5.4

211

Zwei-Orts kur ven-Ver fah ren (Z.O.V.)

Das Zwei-Orts kur ven-Ver fahren wird immer dann vor teil haft eingesetzt, wenn der Regel kreis Nicht li nea ri tä ten ent hält wie Si gnal be gren zung, An sprech schwel le, Hy ste rese und Tote Zone /31/. Die Orts kur ve des Re gel kreises wird dann aufge teilt in die des Reglers F R und in die der Strec ke in Form von -1 / F S . Pra xis nah ge nügt beim Z.O.V. die An wen dung des ver ein fach ten Ny quist-Kri te ri ums. Da von soll hier aus ge gan gen wer den. Da bei gibt es zwei Mög lich kei ten die Sta bi li tät zu untersuchen. Man er mit telt zu nächst die Durchtritts fre quenz w D . Es gilt nach dem For mel satz 5.16, daß der Fre quenz gang be trag | F 0 | bei der Durch tritts fre quenz Eins wird, also er hält man mit |F

0

| = |- F

R

×F

S

| = 1

eine Be stim mungs glei chung für w

|F

R

| = | -1 / F

S

D

der Form:

®

|

w

D

(5.18)

Für die gra phi sche Aus wer tung des Pha sen ran des a R nach dem Z.O.V. be nö tigt man den Pha sen win kel j R ( w D ) des Reg lers und den Pha sen win kel j S ( w D ) des in ver sen Fre quenz gangs -1 / F S . Mit j

S

(w

D

) = -(j

S

(w

D

) + 180° )

er hält man dem nach ei nen Pha sen rand von

a

R

= j

R

(w

D

) - j

S

(w

D

)

der bei Sta bi li tät der Rege lung größer als Null ist.

(5.19)

212


Die zwei te Mög lich keit für die Sta bi li täts aus sa ge im Z.O.V. ist mit den Realund Ima gi när tei len aus der Glei chung 5.18 gegeben. Es wird zu nächst die kri ti sche Fre quenz w z er mit telt, die bekannt lich dann vor liegt, wenn a R = 0 ist. Aus der Glei chung 5.19 ergibt sich für die sen Fall j

R

(w

) - j

z

S

(w

z

) = 0

.

Es liegt da mit eine Be stim mungsglei chung für w j

R

= j

tan j

bzw.

S

R

= tan j

z

vor: ®

S

w

z

(5.20)

Mit Hil fe die ser Be zie hung läßt sich die Sta bi li tät ei nes Re gel krei ses nach dem For mel satz 5.16 fe stel len. Es gilt dort die Sta bi li täts be din gung Re [ - F

R

(w

)×F

z

S

(w

z

)] < 1

.

Wen det man die se For mel auf des Z.O.V an, ergibt sich die fol gen de Sta bi li täts aus sa ge: Re [ F

R

(w

z

) ] < Re [ - 1 / F

S

(w

z

)]

bzw.

(5.21)

Im [ F

R

(w

z

) ] < Im [ - 1 / F

S

(w

z

)]

Für die in der Pra xis am häu fig sten vor kommenden Strec ken sind die ne ga ti ven in ver sen Orts kur ven und ihre zu ge hö ri gen Fre quenz gän ge in Ta bel le 5.2 zusammengestellt. Aus dem For mel satz 5.16 läßt sich auch ent neh men, wie man beim Zwei-Orts kur ven-Ver fah ren die Ampli tu den re ser ve A R be rech net. Es gilt:

A

R

= Re [

-1 / F S ( w z ) ] F R (w z )

(5.22)

5.4 Z.O.V. Ta bel le 5.2

213 Ne ga ti ve in ver se Orts kur ven wich ti ger Regel strec ken und ihr zu ge hö ri ger Fre quenz gang

214


Zur Un ter su chung von Re gel krei sen mit Nicht li nea ri tä ten ist das Z.O.V. be son ders gut ge eig net. Man er mit telt zu nächst die ne ga ti ve in ver se Orts kur ve der li nea ren Re gel kreis glie der be ste hend aus Reg ler und Strec ke, also -1 F R ×F

1 = F0

. S

An schlie ßend wird die Orts kur ve der Be schrei bungs funk tion N ( x$ e ) des nicht li nea ren Re gel kreis glie des darge stellt. Die Sta bi li täts aus sa ge hängt dann von der Art der Nicht li nea ri tät ab, die durch An gabe ih res Sta bi li täts ge bie tes beschrieben ist. Mit ge ge be nem Reg ler und ei ner be kann ten Strec ke läßt sich in ei ner Gra phik die Sta bi li tät bei ver schie de nen Nicht li nea ri tä ten un ter su chen. Es muß dann ent spre chend Glei chung 5.21 für Stabilität gelten: Re [N ( x$

e

) ] < Re [ - 1 / ( F

R

×F

S

)]w

z

.

(5.23)

Bei spiel: An ei nem Re gel kreis aus PI-Reg ler und PT 2 -Strec ke soll das Zwei-Orts kur ven-Ver fah ren er läu tert wer den. Die Pa ra me ter lauten: K K

R S

=1 = 1

T N = 0,08 s T 2 = 0,1 s

d = 0,5

Aus der Ta bel le 3.1 las sen sich die Be trags fre quenz gän ge von Regler und Strec ke ent neh men, so daß sich mit Glei chung 5.18 für die Durch tritts fre quenz w D fol gen de Be stim mungs glei chung ergibt:

K

R

1+

1 w

D

2

T

N

2

=

1 K S

( 1- w

D

2

T

2

2

)

2

+ 4d

2

w

2 D

T

2 2

.

Man er hält ei nen Wert von w D » 12,672 Hz . Mit Hil fe der Glei chung 5.19 läßt sich nun der Pha sen rand an ge ben. a

R

= arctan

w

-1 D T

- arctan N

-2d w w

D

2

T

D 2

T 2

2

- 1

.

5.4 Z.O.V.

215

Es ergibt sich ein Wert von a

R

» 19,84° . Da mit ist die Rege lung stabil.

Mit Hil fe der Glei chun gen 5.20 und 5.22 läßt sich auch die Ampli tu den re ser ve A R an ge ben. Man er hält mit tan j

R

=

-1 wz T

= tan j

S

-2d w

=

w

N

z

2

T

z 2

T 2

2

-1

eine kri ti sche Fre quenz von w z = 22,361 Hz . So mit hat die Ampli tu denre ser ve nach Glei chung 5.22 ei nen Wert von A R =4. Die Ergeb nis se die ses Bei spiels sind in Bild 5.22 darge stellt. Dort ist auch auf ge zeigt, wie sich die kri ti sche Reg ler ver stär kung K Rkrit ab le sen läßt.

Bild 5.22

Ortskurven der Regelung aus PI-Regler und PT2-Strecke

Bei spiel: Ein Re gel kreis aus PI-Reg ler mit Hyste re se und ei ner PT 1 -PTt-Strec ke soll mit dem Z.O.V. auf Sta bi li tät un ter sucht wer den. Der zu ge hö ri ge Block schaltplan ist in Bild 5.23 darge stellt. Die Parameter sind:

K K K

=5 = 1 S1 = 1 S2 R

Ù

T N = 0,2 s x e = 10 V T 1 = 0,1 s T t = 0,001 s ( 0,04 s )

216


Bild 5.23

Blockschaltplan einer Regelung mit hysteresebehaftetem PI-Regler

Wie be reits be schrie ben wird bei Re ge lun gen mit Nicht li nea ri tä ten zu nächst die ne ga ti ve in ver se Orts kur ve der li nea ren Re gel kreis glie der er mit telt. Es ergibt sich:

Re [

Im [

1 ]= F0

1 ]= F0

(

T1 - 1 ) cos w T TN K

(

t

2

w

- (wT

0 ×( 1 +

1 wT

+

1

1

0 ×( 1 +

T1 - 1 ) sin w T TN K

+ (wT

t

2

T

N

+

1 wT

1

1 w

2

T

2

N

) sin w T

t

N

,

)

) cos w T

t

N

.

)

Mit der Glei chung 3.51 ist die Orts kur ve der Hy ste re se ge ge ben, sie lau tet mit 2x

a =1 -

Ù

N (x

e

) =

^

x

t

:

e

1 1 + × arcsin 2 180

a+

a × 1- a p

2

+j

1 (a p

2

-1) .

Ù

In ei nem Schnitt punkt der bei den Orts kur ven, sind die bei den Zei ger N ( x

e

)

und 1 / F 0 gleich groß; dies muß für die Real- und Ima gi när tei le gel ten. Der Vergleich der Ima gi när tei le lie fert eine Glei chung zur Be rech nung von x t : Ù

x

t

xe = + 2

Ù

Ù

2

xe + 4

p x e2 [ (

T1 -1 ) sin w T T N 4K

t

0 (1+

- ( wT

1

+

1 w2 T

N

2

1 ) cos w T wT N )

t

] .

5.4 Z.O.V.

217 Ù

Die se Glei chung setzt man in den Real teil von N ( x Ù

Re [ N ( x

e

)] - Re [1 / F

0

e

) ein und er hält mit

] = 0 eine Be stim mungsglei chung für w

z

, die dann

auch den Wert von x t lie fert:

1 a + 1- a 2 p

2

T 1 ( 1 -1 ) cos w T t + ( w T 1 + arcsin a T N wT + 1 180 K 0 (1+ ) 2 w T N 2

Man er hält eine kri ti sche Fre quenz von w Wert x t » 6,75192 V .

z

» 12,15112

) sin w T N

t

=0 .

Hz und da mit ei nen

Wie sich aus dem Bild 5.24 ergibt, schnei den sich die zu ge hö ri gen Ort skur ven im Punkte P 1 bei dem er rech ne ten Wer te paar w z und x t , so daß die Re ge lung Dau er schwin gun gen der Fre quenz w z » 12,15 Hz ausführt. Wie die Be trach tung des Sta bi li täts ge bie tes der Hy ste re se zeigt, kann eine Vergrö ße rung der Ampli tu de von x e in das in sta bi le Ge biet füh ren, weil dann der Ù

Zei ger von N ( x

e

) grö ßer als 1 / F

0

ist. Nur wenn sich die bei den Orts kur -

ven nicht schnei den, ist die Re ge lung un be grenzt sta bil (falls sie ohne Hy ste re se be reits sta bil war). Dies ist auch für T t < < T 1 < T N der Fall.

Bild 5.24

Auswertung der vorliegenden Regelung mit dem Z.O.V.

218


Bei spiel: An ei ner Re ge lung aus PI-Reg ler und PT 3 -Strec ke soll der Ein fluß der Si gnal be gren zung, An sprech schwel le und Hy ste re se im Zu sammen hang auf zei gen wer den (Bild 5.25). Die ent spre chen de Ana log schal tung zur Si mu la tion der ein zel nen Ein flüs se ist in Bild 5.26 abgebildet.

Bild 5.25

Blockschaltplan einer Regelung mit nichtlinearen Gliedern

Die Pa ra me ter der li nea ren Re gel kreis glie der lauten:

K K K K

= 10 = 1 S1 S2 = 1 2 S3 =

Ù

T N = 1,5 s T 1 = 1,5 s T 2 = 0,022 s T 3 = 0,47 s

R

x

e

= 10 V

Die Orts kur ve der li nea ren Glie der ergibt sich mit der Gleichung 1 / F in Real- und Ima gi när teil auf ge spal ten fol gen de Form annimmt: T 1 Re [ ]= F0

Im [

1 ]= F0

1

+T 2 +T T N

3

-1- w 2 ( K

w3 T 1T 2 T

3

- w (T

1

T

1

T T

2

T

3

-T

1

T

2

-T

1

T

3

-T

2

T

3

0 (1 +

2

+T

, die

)

N

,

1 w2 T

N

2

)

T 1T 2 T 1T 3 T 2 T 3 1 )wT T N T N T N 1 K 0 (1 + ) w2 T N 2

+T

0

3

-

N

und in Bild 5.27 darge stellt ist. Zu nächst wird der Ein fluß der Si gnal be gren zung be trach tet. Dazu ist in Bild 5.26 die Brüc ke A - B durch die Be gren zer schal tung zu ersetzen.

5.4 Z.O.V.

Bild 5.26

219

Analogschaltung der Regelung nach Bild 5.25

220

Bild 5.27


Ortskurven der Regelung nach Bild 5.25 für zwei Nichtlinearitäten

Aus Bild 5.27 ist zu er se hen, daß es zwi schen der Orts kur ve 1 / F 0 und der Si gnal be gren zung kei nen Schnitt punkt gibt. Die Re ge lung ein schließ lich die ser Nicht li nea ri tät ist demzu fol ge sta bil. Es kommt al ler dings zu ei ner blei benden Re gel diffe renz x d , wenn die Si gnal be gren zung Xs un gün stig ge wählt wird. Dies für K S × X S < w der Fall. Die se Aus sa ge läßt sich durch ein Oszillogramm bestätigen (Bild 5.28).

Bild 5.28

Sprungantworten bei verschiedenen Signalbegrenzungen

5.4 Z.O.V.

221

Für ei nen Soll wert sprung von 10 V ist die Re gel grö ße x in Ab hän gig keit von ver schie de nen Si gnal be gren zun gen auf ge zeich net. Die Kur ven schar gibt von links nach rechts die Be gren zun gen Xs=[15V; 7,5V; 6V; 5V; 4V] wie der. Bei Xs=4V ergibt sich eine blei ben de Re gel diffe renz von x d =2V, das sind 20% des Soll wer tes. In der Pra xis wer den je doch Si gnal be gren zun gen meist auf den Ma xi mal wert der zu re geln den Grö ße be zo gen. Die ser be trägt in der Ana log tech nik häu fig Xs=10V und ist da mit un kri tisch. Wie das Bild 5.27 wei ter zeigt, er hält man auch beim Vor han den sein ei ner An sprech schwel le eine sta bi le Re ge lung, da kein Schnitt punkt der zu ge hö ri gen Orts kur ven vor liegt. Es stellt sich aber eine Ver zugs zeit ein, die die Re ak tions fä hig keit der Re ge lung auf Stör- und Füh rungs grö ßen än de run gen her ab setzt. Bild 5.29 stellt die Sprung ant wor ten der Re ge lung ohne und mit An sprech schwel le x t =1,1V dar. Nun ist die Brücke C - D in Bild 5.26 durch die Diodenschaltung zu ersetzen.

Bild 5.29

Sprungantworten mit und ohne Ansprechschwelle

Die An sprech schwel le ist oft so gar er wünscht, wenn bei spiels wei se in fol ge von Schwin gun gen der Ist wert er fa sung be stimmte Stö ram pli tu den “aus ge blen det” wer den sol len. Ohne Hy ste re se liegt die Sta bi li täts gren ze der vor lie gen den Re ge lung bei w z » 9,83 Hz . Aus Bild 5.27 geht her vor, daß der Re gel kreis mit ei ner Hy ste re se von x t =8V be reits bei w z » 1,4 Hz an die Sta bi li täts gren ze geht. Es liegt dann ein Schnitt punkt zwi schen 1 / F

Ù

0

und N ( x

e

)

vor. Eine klei ne Än de rung von x t führt zur In sta bi li tät. Da her ist x t auf 10V an ge ho ben wor den. Bild 5.30 gibt das zu ge hö ri ge Oszillogramm der Sprungantworten mit und ohne Hysterese wieder. Da bei zeigt sich eine er heb li che Ver schlech te rung des Re gel ver hal tens, denn bei w=0 (un te re Kur ve) schwingt der Ist wert mit ei ner Ampli tu de

222

Bild 5.30


Einfluß der Hysterese auf die Sprungantwort der Regelung

von x » 0,5 V . Schal tet man eine Störgrö ße von z = ± 0,4 V hin zu, zeigt sich fol gen des Übergangs ver hal ten (Bild 5.31). Wäh rend die Sprung ant wort des Re gel krei ses ohne Hy ste re se die auf ge schal te te Störgrö ße aus re gelt (obe re Kur ve), ist das bei Vor han den sein der Hy ste rese (mitt le re Kur ve) nicht mehr der Fall. Der Ist wert schwingt dann um ei nen statio nä ren Wert mit ei ner Ampli tu de von x » 0,5 V. Die Schalt hy ste re se ana lo ger ste ti ger Reg ler ist je doch sehr ge ring, so daß diese Nichtlinearität kaum in Erscheinung tritt.

Bild 5.31

Einfluß der Hysterese bei Führung und Störung

5.4 Z.O.V.

223

Auf ga be 5.9 Ein Re gel kreis ent hal te eine PT 1 -PTt-Strec ke, die mit ei nem PID-Reg ler ge re gelt werden soll. Es ist die Sta bi li tät nach dem Zwei-Orts kur ven-Ver fahren zu un ter su chen und die kri ti sche Reg ler ver stär kung K Rkrit zu be stimmen. Die Parameter sind: K K K

R S1 S2

= 10 = 1 = 0,5

T N = 0,05 s T 1 = 0,08 s T t = 0,01 s

T

V

= 2 ms

Auf ga be 5.10 Ein Re gel kreis aus PD-Reg ler und PTt-I 2 -Strec ke ist mit dem Z.O.V. auf Sta bi li tät zu un ter su chen. Die Pa ra me ter lauten: K K

R S

= 30 = 1

T V = 8 ms T t = 5 ms T i = 96 ms

Auf ga be 5.11 Eine PT 2 -I-Strec ke soll von ei nem PD-Reg ler ge re gelt wer den, der eine Signal be gren zung x S be sitzt (Bild 5.24). Der Re gel kreis ist nach dem Z.O.V. auf Sta bi li tät zu untersuchen.

Bild 5.32

Blockschaltbild einer Regelung mit Signalbegrenzung des Reglers

Da bei ist die Re gel kreis ver stär kung zu nächst K dem ist w

z

0

= 8 , dann K

zu be stim men. Die rest li chen Pa ra me ter sind:

T V = 2 ms T 2 = 0,2 s T i = 1s

Ù

x e = 10 V d = 0,5

0

*

= 4 . Au ßer -

224

5.5


Re gel kreis o p ti mie rung

Meist liegt die Regel strec ke als tech nisch rea li sier ter Pro zeß vor. Zu den wich tig sten Auf ga ben des Re gel tech ni kers ge hört da her der Ent wurf des pas sen den Reg lers. Zahl rei che Hin wei se zu die sem The ma gibt W. Op pelt in sei nem “Klei nen Hand buch tech ni scher Re gel vorgän ge” /21/. Pro gram me zur rech nerge stütz ten Reg ler-Op ti mie rung sind in Abschnitt 10.5 aufgeführt. All ge mein gül ti ge Kri te rien für ei nen op ti mal ein ge stell ten Re gel kreis wur den be reits zu Be ginn des Ab schnitts 2. ge nannt (sie he auch Bild 1.6). Eine wei te re Mög lich keit, das Übergangs ver hal ten ei ner Re ge lung durch ein Gü te maß zu cha rak ter isie ren, ge lingt mit Hil fe der sog. In te gral kri terien. 5.5.1

Integralkriterien

Es wird die Flä che zwi schen der 100%-Ge ra den (dort ist x=w) und der Füh rungs übergangs funk tion h(t) ge bil det und als Gü te maß für eine op ti mal ein ge stell te Re ge lung be nutzt. Die se Flä che läßt sich durch In te gra tion der Re gel diffe renz x d über der Zeit bestimmen. Je nach dem ge wähl ten Kri te ri um wird die se In te gra tion in un ter schied li cher Wei se vorge nommen. Stellt die ses In te gral ein Mi ni mum dar, kann man von ei nem op ti mal ein ge stell ten Regelkreis sprechen. Li nea re Re gel flä che Das In te gral über der Diffe renz aus blei ben der und augen blick licher Re gel diffe renz x d , auch li nea re Re gel flä che ge nannt, lautet: ¥

I

L

=

ò [ x d ( ¥ ) - x d ( t ) ] dt = Min.

.

(5.24)

0

Demnach be steht die li nea re Re gel flä che aus po si ti ven und ne ga ti ven Halb wel len ei ner ab klin gen den Schwin gung (Bild 5.33). Ent spre chend die ser De fi ni tion wird I L =0, wenn der Re gel kreis Dau er schwin gun gen aus führt. Das Kri te ri um eig net sich also nur bei zu sätz li cher Festlegung der Dämpfung d. Eine Be rech nung von I L im Zeit be reich ist schwie rig. Man weicht da her mit Hil fe der Car son-La pla ce-Trans for ma tion in den Bild be reich aus.

5.5 Re gel kreis op ti mie rung

Bild 5.33

225

Darstellung einer linearen Regelfläche

Mit Hil fe der Glei chung (2.36) folgt für die li nea re Re gel flä che: ¥

I

L

=

lim

p® 0

ò

[x

d

( ¥ )- x

lim [ x

p® 0

=

lim p® 0

( t ) ] ×e

-p t

× dt -

-p t

× dt

0 ¥

=

d

d

( ¥ )× ò e 0

¥

ò

x d( t ) × e

-p t

× dt ]

0

1 [ x d ( ¥ ) - x d ( p ) ] = Min. p

.

Der Grenz wert satz, Ta bel le 2.1 Kor re spon denz Nr. 6, lie fert schließ lich mit I

L

=

lim

p® 0

1 [ lim x d ( p ) - x d ( p ) ] = Min. p p® 0

.

( 5 . 25 )

die ge wünsch te Glei chung für die li nea re Re gel flä che im Bild be reich.

226


Bei spiel: Ge ge ben sei eine Re ge lung aus PD-Reg ler und PT 2 -Strec ke, an der das Stör ver hal ten un ter sucht wer den soll. Man er hält dann fol gen de Über tra gungs funk tion des offe nen Re gel krei ses F

0

(p ) = K

1 + pT 0

1 + pT

1

+ p

V 2

T

.

2

2

Ent spre chend Glei chung 2.46 gilt für Stör ver hal ten x( p ) = z( p )×

1 1 + F 0(p)

.

Nimmt man als Störgrö ße die Ein heits sprung funk tion s z ( t ) = C ×s

0

0

( t ) , also

( t ) , bzw. z ( p ) = C , so folgt für die Re gel diffe renz

x d (p)=-x(p), da w=0 ist. Es ergibt sich bei die ser Re ge lung so mit

x

d

( p) = -C×

1 + pT 1 + pT

1

+ p

2

+ p

1

T

2

2

2

T

2

+ K

0

2

. (1 + p T

V

)

Ein ge setzt in die Glei chung 5.25 folgt

I

L

= C × lim

p® 0

1 1 [ p 1+ K

1+ p T

1+ p T

0

1

+p

2

T

1

+p

2

2

2

T

2

+K

0

2

] (1+ p T

V

)

und schließ lich I

L

=

C×K

0

(T 1-T

(1+ K

0

)

2

V

)

= Min.

.

Das ab so lu te Mi ni mum der li nea ren Re gel flä che I L =0 wird bei T V =T 1 bzw. K R ® ¥ er reicht. Nimmt man für die Dämpfung die ser Regelung d =

T 2T

2

1

1 + K0

an und geht von d = 1 / 2 aus, läßt sich die Reg ler ver stär kung mit


K

=

R

T

1

K

2 S

- T ×T

2

227

2 2

2

an ge ben. Mit die sem Wert ergibt sich ein Mi ni mum der li nea ren Re gel flä che von

I

L

(T

= C×

1

2

T

2

2

-T T

1

4

2

)( T 1 - T

V

4

)

= Min. ,

mit dem sich die Nach stell zeit T V des Reg lers bei ge ge be nen Strec ken-Pa ra me tern be stim men läßt. Be trag der li nea ren Re gel flä che Es hat sich ge zeigt, daß die li nea re Re gel flä che sich nur für gedämpf te Re gel krei se eig net. Ohne die An ga be ei ner Dämpfung d ist die Be rech nung sinn los. Bei dem fol gen den In te gral kri te ri um geht man ei nen an de ren Weg (Bild 5.34). Es wird der Betrag der li nea ren Re gel flä che gebildet, so daß die Gleichung ¥

I

B

=

ò

| x d ( ¥ ) - x d ( t ) | × dt = Min.

( 5 . 26 )

0

folgt. Aus Bild 5.34 ist zu er se hen, daß eine ge schlos se ne Lö sung des In te grals nicht mög lich ist. Da her ist die ses In te gral kri teri um nur für eine nu me ri sche Be hand lung geeignet.

Bild 5.34

Darstellung eines Betrages der linearen Regelfläche

228


ITAE-Kri te ri um Mul ti pli ziert man den Be trag der li nea ren Re gel flä che mit der Zeit und bil det das In te gral, ergibt sich das ITAE-Kri te ri um (In te grad of Time mul ti plied Abso lu te value of Error). ¥

I

T

=

ò

t × | x d ( ¥ ) - x d ( t ) | × dt = Min. .

( 5 . 27 )

0

Auf die se Wei se er reicht man, daß die mit zu neh men der Zeit ab neh men den Be trä ge der Re gel diffe renz stär ker be rücks ich tigt wer den. Eine ge schlos se ne Lö sung des In te grals ist je doch auch hier nicht mög lich. Da her ist die nu meri sche Auswertung unumgänglich. Qua dra ti sche Re gel flä che In der Pra xis be nutzt man sehr häu fig das Mi ni mum der qua dra ti schen Re gel flä che zur Be ur tei lung und op ti ma len Ein stel lung des Übergangs ver halt ens ei ner Re ge lung (Bild 5.35). Das zugehörige In te gral

Bild 5.35

Darstellung einer quadratischen Regelfläche

¥

I

Q

=

ò

[ x d( ¥ ) - x d( t ) ]

2

× dt = Min.

.

( 5 . 28 )

0

läßt sich für die mei sten prak ti schen An wen dungs fäl le lö sen. Nach tei lig wirkt sich je doch aus, daß gro ße Schwin gungs ampli tu den, wie sie zu Be ginn der Übergangs funk tion auf tre ten, überbewertet werden.


229

Liegt das In te gral in der Form ¥

I

Q

=

ò

x 2( t ) × dt

0

vor, läßt es sich ele men tar lö sen. Mit der Umkehr for mel der Car son-La pla ce-Trans for ma tion, Glei chung 2.39 folgt: ¥

ò

x 2( t ) × dt =

¥

ò

0

x( t )×

0

p × 2p j

s+ j¥

ò

x ( p ) ×e

pt

× dp × dt .

s- j¥

Mit s = 0 wird p = j w . Mit der An nah me, daß bei de In te gra le kon vergie ren, er hält man beim Ver tau schen der In te gra tions rei hen fol ge ¥

ò

x 2( t ) × dt =

0

+ j¥

1 × x( p )×p 2 p j - òj¥

¥

ò

x ( t ) ×e

pt

× dt × dp

0

= x(-p) Die Lö sung des In te grals ent spricht der Par se val schen Glei chung. Mit x

2

(t)=[x ¥

I

Q

=

ò

d

( ¥ )- x

x 2( t ) × dt =

0

d

( t )]

1 2p j

2

er hält man schließlich:

+ j¥

ò

x ( p ) × x ( - p ) × dp = Min. .

( 5 . 29 )

- j¥

Stellt x(p) eine ge bro che ne ra tio na le Funk tion in p dar, de ren sämt li che Pole in der lin ken p-Halb ebe ne lie gen, läßt sich die qua dra ti sche Re gel flä che mit dem Re si du en satz, Glei chung 2.42, be rech nen. Es muß gelten:

x( p ) =

a(p) a o + a 1 p + a 2 p 2 + . . . + a n-1 p = b( p ) b o + b 1 p + b 2 p 2 + ... + b n p

n-1 n

.

Für die Po ten zen n=1...4 ist die Lö sung der Glei chung 5.29 in der Ta bel le 5.3 an ge ge ben. Un ter der Vor aus set zung, daß alle par tiel len Ab lei tun gen der Funk tion I Q =0 sind, er hält man Be stim mungsglei chun gen für die Regelkreisparameter.

230


Ta bel le 5.3 Quo tien ten zur Lö sung des In te grals der qua drat. Re gel flä che Bei spiel: Es ist eine Re ge lung aus I-Reg ler und PT 2 -Strec ke (T 1 =T 2 ) ge ge ben. Es soll die op ti ma le In te gra tions zeit konstan te T i des Reg lers bei Stör ver hal ten er mit telt werden. Mit F( z) =

x( p ) 1 = z( p ) 1+ F 0 ( p )

und z ( p ) = C so wie x x( p ) = C×

d

( p ) = - x ( p ) folgt pTi+ p

K

S

2

T

+ pTi+ p

1 2

Ti+ p T

1

3

T

Ti+ p

2 3

2

T

Ti 2

2

. Ti


231

Mit x

d

( ¥ ) = lim x

( t ) = - lim x ( p ) = 0

d

t®¥

p® 0

und Glei chung 5.29 er hält man aus Ta bel le 5.3 für n=3 die zu ge hö ri gen Ko effi zienten a a a a

=0 , bo=K S , =b1=Ti , =b 2 =T1Ti , 2 Ti . 3 =b 3 =T 2

o 1 2

So mit ergibt sich das In te gral

I

= C

Q

2

×

T i( T 2T

2

2

(T

1

2

+T

2

2

1 T i- K

S

)

T

2

2

.

= Min. )

Bil det man die par tiel len Ab lei tun gen nach T i , T 1 und T 2 , erge ben sich drei Be stim mungs glei chun gen für T i : dI

Q

dTi

K

= 0 =

(T

S

T

1

1

2

T i- K

+T S

2

2

T

2

)

.

2

Da nach mü ß te T i ® ¥ ge hen. Da die ser Wert nicht rea li sier bar ist, wird die näch ste par tiel le Ab lei tung dI

Q

dT

= 0 = T i( T

1

2

-T

2

2

)- 2 K

S

T

1

T

2

2

1

be trach tet. Sie lie fert

Ti =

2K T

S 1

T 2

1

T

-T

2

2 2

2

.

Die Be stimmungs glei chung ist rea li sier bar, al ler dings er hält man für T 1 =T 2 den Wert T i ® ¥ . Bei der par tiel len Ablei tung nach T 2 dI dT

Q 2

= 0 = T

1

3

Ti - 4K

S

T

2

2

(T

1

2

+T

2

2

)

232


ergibt sich schließ lich der op ti ma le Wert

Ti =

4K

S

T

2

2

(T T

1 3

1

2

+T

2

2

)

.

Für T 1 =T 2 er hält man Ti = 8K

S

T

1

.

Auf ga be 5.12 Ge sucht ist die li nea re Re gel flä che I L , so wie die op ti ma le Reg ler ver stär kung K R ei ner Re ge lung aus PI-Reg ler und zwei PT 1 -Strec ken bei Füh rungs ver hal ten.

Auf ga be 5.13 Es ist die op ti ma le In te gra tions zeit konstan te T i bei Stör ver hal ten mit Hil fe der Glei chung 5.28 zu be stim men, wenn: F

R

(p) =

1 pTi

und

F

S

(p)=

K

S

(1 + p T

1

)2

.

Auf ga be 5.14 Ein PI-Reg ler soll bei Stör ver hal ten für eine PT2 -Strec ke mit F

S

(p) =

K

S

(1 + p T

1

)2

op ti miert wer den. Ge sucht ist TN mit Hil fe der Glei chung 5.28 .

Auf ga be 5.15 Für eine Re ge lung aus PI-Reg ler und PT 3 -Strec ke sol len die Reg ler pa ra me ter nach Glei chung 5.28 bei Stör ver hal ten be stimmt werden.


233

Es ist F

S

(p) =

K

S

(1 + p T

1

.

)3

Die Stö rung greift zwi schen Reg ler und Strec ke an, so daß gilt: F

5.5.2

z

(p) =

x( p ) F S(p) = z( p ) 1 + F R (p)F

S

.

(p)

Symmetrisches Optimum

Das Symme tri sche Op ti mum ist eine Me tho de zur Be rech nung der Reg ler pa ra meter aus der Über tra gungs funk tion. Es zielt dar auf ab, bei der Durch tritts fre quenz w D ein Ma xi mum der Pha sen re ser ve a R zu erreichen. C. Kess ler hat die ses Ver fah ren, aus ge hend von sei nem “Be trags-Op ti mum” un ter der Vor aus set zung ent wic kelt, daß der Pha sen gang sym me trisch zur Durchtritts fre quenz verläuft /42/. Die Durch tritts fre quenz soll te im Hin blick auf eine hohe Re gel dy na mik möglichst groß sein. Dies be dingt eine klei ne Pha sen ver schie bung zwi schen x und w. Tre ten in ei nem Re gel kreis meh re re Ver zö ge rungs glie der auf, nimmt die Pha sen ver schie bung al ler dings zwangs läu fig zu. Sie kann je doch durch geschick te Wahl der Reg ler pa ra me ter teilweise kompensiert werden. Es wird da von aus ge gan gen, daß sich der zu un ter su chen de Re gel kreis auf die Über tra gungs funk tion

F

0

(p) = K

0

×

1 + pT p

2

T

N

T

a

(5.30)

N

×( 1 + p T

b

)

re du zie ren läßt. Regel strec ken hö he rer Ord nung mit/ohne I-An teil mit/ohne Tot zeit las sen sich mit dem PI- oder PID-Reg ler pha sen op ti mal ein stel len, wenn die Kor re spon den zen 13 - 15 der Ta bel le 3.5 anwendbar sind.

234


Vie le Re ge lun gen der An triebs- und Ver fah rens tech nik sind dann nach dem symme tri schen Op ti mum ein stell bar. Die Her lei tung der For mel n zur Be stimmung der Reg ler pa ra me ter und der Durch tritts fre quenz grün det auf der Vor aus set zung des Pha sen re ser vemaximums bei w D . Fre quenz gang und Be trag der Gleichung 5.30 lauten: F

|F

0

( jw ) = -

0

K 2

w

( jw )| =

T

2

w

×

0 N

T

K

0

T

N

1 + w

2

T

T

+ jw( T

b

1 + w

a

T

N

1 + w 2 TN 2

×

1 + w 2 Tb 2

a

2

T

b

N

- T

b

)

2

,

.

Bei der Durchtritts fre quenz w D soll die Pha sen re ser ve ma xi mal sein, so daß a R nach w zu differ en zie ren und Null zu set zen ist. a

wD ( T N - T b ) Im [ F 0 ( w D ) ] = arctan Re [ F 0( w D ) ] 1 + wD 2 T N T b

= arctan

R

,

¶a R ¶z ¶ = arctan z × = 0. ¶w ¶z ¶w Mit der Sub sti tution wD ( T

- T

1 +

T

b

)

N

T

b

folgt für das Ma xi mum von a

R

z =

w

D

2

(T

N wD 2

N

T

b

2

- T

N

.

bei der Durch tritts fre quenz w 2

T

b

) + T

N

- T

b

D

dann:

= 0 .

An die ser Stel le soll zu sätz lich noch eine Nor mie rung der Regler-Nach stell zeit ein ge führt wer den. Sie lautet:

T

N

= m

2

T

b

(5.31)

Dann ergibt sich die Durch tritts fre quenz

w

D

=

1 mT

(5.32) b


235

Der Fre quenz gang be trag wird bei der Durch tritts fre quenz | F0 ( j w D ) | = 1 . Dar aus er hält man eine Glei chung für die Reg ler ver stär kung K R . Durch Ein set zen von Glei chung 5.32 in die Glei chung des Fre quenz gang be tra ges ergibt sich dann

K

=

R

w

D

×T

K

S

a

Ta m×K S ×T

=

(5.33) b

Der Fak tor m läßt sich aus der Pha sen re ser ve bei w a

= arctan

R

w

D

(T

1 + w

D

N 2

- T

b

T

T

N

D

be stim men.

) b

und dar aus durch Ein set zen von Glei chung 5.31 und 5.32 tan a

R

=

sin a cos a

R

=

R

m

2

- 1 . 2m

Es ergibt sich eine ge mischt qua dra ti sche Glei chung für m, deren Lö sung lau tet:

m =

1 + sin a R cos a R

(5.34)

Setzt man die Pha sen re ser ve zwi schen 30° und 60° an, ergibt sich für die Nach stell zeit des Reg lers T N =[3...14]Tb . Die se Wer te füh ren auf gute Op ti mie rungs-Ergeb nis se.

Bei spiel: Es liegt eine Strec ke 3. Ord nung mit KS =0,9 vor. Für die zu ge hö ri gen Zeit kon stan ten soll gel ten T 11 = 5 s ; T 12 = 0,4s ; T 13 = 0,15 s .

F

S

(p) =

(1 + p T

K S ) ( 1 + pT 11

12

)(1 + p T

13

)

.

236


Für die Op ti mie rung wird ein PID-Reg ler mit der wich ti gen Rand be din gung T N > T V ein ge setzt, so daß sich für die Über tra gungs funk tion des offe nen Regelkreises F

0

(p) = K

0

×

pT

N

(1 + p T N )(1 + p T V ) ( 1 + p T 11 ) ( 1 + p T12 ) ( 1 + p T

13

)

ergibt. Soll die se Über tra gungs funk tion auf die Glei chung 5.30 re du ziert wer den, muß der Term (1 + pT V ) ver schwin den. Es ist sinn voll, die Vor halt zeit des Reg lers mit ei ner klei nen Zeit kon stan ten der Strec ke gleich zu set zen. Auf die se Wei se wird die Randbe din gung des Reglers si cher er füllt. Wählt man T V = T 13 = 0,15s ergibt sich: F

0

(p) = K

0

×

pT

N

(1 + p T N ) ( 1 + p T 11 ) ( 1 + p T12 )

.

Mit Kor re spon denz Nr. 14, Ta bel le 3.5 läßt sich das Ver zö ge rungs glied mit der gro ßen Zeit kon stan ten T 11 als I-Glied darstellen. Die Rand be din gung w D T 11 > > 1 muß nach der Be rech nung der Reg ler pa ra meter mit der Glei chung (5.41) über prüft werden. Man er hält nun: F0 ( p ) » K

0

×

(1 + p T p

2

T

N

T

11

N

)

.

( 1 + p T12 )

Durch Ko effi zien ten vergleich mit der Glei chung 5.30, an ge wandt auf die Glei chun gen 5.31 - 5.34, kön nen die Reg ler pa ra me ter so wie die Durch tritts fre quenz berechnet werden. Man er mit telt zu nächst mit der ge wünsch ten Pha sen re ser ve den Nor mie rungs-Fak tor m. Für a R =45° ergibt sich m=2,414. Dar aus folgt für die Reg ler-Nach stell zeit mit Gleichung 5.31 T

N

= m

2

T

12

= 2,331 s .

Die Durch tritts fre quenz wird mit Glei chung 5.32 be rech net. w

D

=

1 mT

= 1,036 Hz . 12

Die Reg ler-Ver stär kung er hält man schließlich mit Glei chung 5.33


K

R

T 11 mK S T

=

237

.

= 5,753 12

Die bei den Rand be din gun gen des auf Glei chung 5.30 re du zier ten Re gel krei ses sind erfüllt. w

D

T

11

>> 1

und

T

N

> T

V

.

Eine zwei te Lö sungs-Va rian te für das vor lie gen de Bei spiel er hält man mit ei ner Vor halt zeit von TV =T 12 =0,4s. Dann erge ben sich für die Durch tritts fre quenz so wie die an de ren Reg ler pa ra me ter die Werte T

N

= m

w

D

=

K

R

=

2

T

13

1 mT

13

= 0,874 s , = 2,761 Hz ,

T 11 mK S T

= 15,341 . 13

Die se Ergeb nis se zei gen, daß die Rand be din gung T füllt ist.

N

> T

V

nur mä ßig er -

Bei de Va rian ten so wie die Ori gi nal-Re ge lung sind in den Bil dern 5.36 und 5.37 mit Hil fe des Pro gramms SIM LER-PC darge stellt. Ob wohl in der zwei ten Si mula tion nur T N =2,185T V vor liegt, zeigt die Re ge lung bei glei cher Pha sen re ser ve eine grö ße re Re gel dy na mik, da die Durch tritts fre quenz mehr als doppelt so groß ist. Die ses po si ti ve Ergeb nis wird auch durch die Si mu la tion der Ori gi nal-Re ge lung be stä tigt. Die Pha sen re ser ve liegt hier noch um ca. 10° über der des Sym me tri schen Op ti mums. Die Über einstimmung der Durchtritts fre quen zen ist dabei bemerkenswert gut. Die Reg ler-Ein stel lung mit der zwei ten Lö sungsva rian te nach dem Symme tri schen Op ti mum ist dem nach günstiger. Auf ga be 5.16 Die Reg ler pa ra me ter ei nes PI-Reg lers sind mit dem Symme tri schen Op ti mum zu be stimmen. Es liegt eine PT 1 -PT 1 -Strec ke mit K S =3; T 11 =1,9s und T 12 =0,01s vor. Die Pha sen re ser ve soll 55° betragen.

238

Bild 5.36


Bode-Diagramme nach dem Symmetrischen Optimum


Bild 5.37

Bode-Diagramme der optimierten und der Original-Regelung

239

240


Auf ga be 5.17 Es sind die Reg ler pa ra me ter K R , T N und T V mit dem Symme tri schen Op ti mum zu er mit teln ( a R = 60° ). Die Regel strec ke hat die Pa ra me ter K S =2; T 11 =0,47s ; T 12 =0,1s ; T 13 =T 14 =0,01s. Verglei chen Sie die Ergeb nis se mit ei ner Si mu la tion der tat säch li chen Re ge lung. Er mit teln Sie K Rkrit . Auf ga be 5.18 Ge ge ben ist eine PT 1 -PT 1 -I-PTt-Strec ke. Die Strec kenparameter sind K S =0,75; T 11 =1s; T 12 =0,15s; T i=2,2s und Tt=25ms. Es sind die Reg ler pa rameter K R und T N nach dem Symmetri schen Op ti mum ge sucht (a R = 50° ). Die Ori gi nal-Re ge lung und die, auf das Symme tri sche Op ti mum re du zier te sind im Zeit be reich darzustellen. 5.5.3

Aufhebungskompensation

Bei der Be trach tung von Regel strec ken mit meh re ren Ver zö ge rungs glie dern I. Ord nung liegt es nahe, ei ni ge die ser PT 1 -Strec ken durch eine ent spre chen de Reg ler-Über tra gungs funk tion zu kom pen sie ren. Eine Ver bes se rung der dy na mi schen Ei gen schaf ten der Re ge lung ist mög lich, wenn die pas sen den Zeitkonstanten gewählt werden. Bei spiel: Es liegt eine Strec ke aus drei PT 1 -Glie dern vor, für die der ge eig ne te PID-Reg ler an zu ge ben ist. Die Strec ken-Pa ra me ter lauten: K

S

= 1;

T

11

= 6s;

T

12

= 2s;

T

13

= 0,4 s .

Die Über tra gungs funk tion des offe nen Re gel krei ses lau tet dann F

0

(p) » K

0

pT

N

(1 + p T N )(1 + p T V ) ( 1 + p T 11 ) ( 1 + p T 12 ) ( 1 + p T

13

)

mit der Rand be din gung T N >T V . Da mit die obi ge Rand be din gung si cher ein ge hal ten wer den kann, bie tet sich die Auf he bungs kompen sa tion T N =T 11 und T V =T 13 an. Man er hält die Über tra gungs funk tion F

0

(p) » K

0

1 p T 11 ( 1 + p T

12

)

.

Die se und zwei wei te re Lö sungs va rian ten sind in Bild 5.38 im Zeit be reich für K R =2,5 darge stellt.


Bild 5.38

241

Simulation einiger Lösungsvarianten bei Aufhebungskompensation

242


Es zeigt sich, daß die Sprung ant wort bei der oben an ge ge be nen Aufhe bungs kom pen sa tion (1. Si mu la tion) im Vergleich zu den an de ren Lö sungs va rian ten we nig über schwingt und die klein ste Ausregelzeit aufweist. Ent hält die Regel strec ke be reits ein In te gral glied, schei det die Auf he bungs kompen sa tion mit dem PID-Regler aus, da nach der Kompen sa tion zu sätz lich das in te gra le Rest glied 1/pT N übrig bleibt. Hier bietet sich der sog. PD 2 -Reg ler an, der ei ner Rei hen schal tung aus zwei PD-Reg lern ent spricht. Sei ne ana log tech ni sche Rea li sie rung ist in Bild 5.39 dargestellt.

Bild 5.39

Operationsverstärkerschaltung eines PD2-Reglers

Die An wen dung die ses Reg lers soll in Form ei ner Auf ga be und im folgen den Bei spiel mit Hil fe des Pro gramms SIM LER-PC ge zeigt werden.

Auf ga be 5.19 Es ist die Ver stär kung KR =6,5 ei nes PD 2 -Reg lers ge ge ben. Die Pa ra me ter der PT 1 -PT 1 -PT 1 -I-Strec ke lauten: K

S

= 0,7 ;

T

11

= 10 s ;

T

12

= 6s;

T

13

= 2s;

T i = 20 s .

Mit Hil fe ei ner Auf he bungs kompen sa tion sol len die op ti ma len Pa ra me ter T V1 und T V2 des PD 2 -Reg lers durch Si mu la tion angegeben werden.


243

Ent hält die Regel strec ke ein In te gral glied so wie ein Ver zö ge rungs glied II. Ord nung mit ei ner Dämpfung d> T

2

, T t1

T

3

>> T

4

T

K1

=T

2

+ T t1 ,

K S12 p T3 × ( 1 + p TK2 )

FS12 ( p ) »

mit

und

(6.3)

, T t2

und

T

(6.4)

K2

=T

4

+ T t2 .

Die rest li chen Über tra gungs funk tio nen blei ben un ver än dert und lauten FS21 ( p ) = -

K S21 1 + p T2

,

F

S22

(p) =

K S22 1+ p T 4

.

Wählt man für F K1 (p) und F K2 (p) PI-Ver hal ten, also

FK1 ( p ) = K K1

1 + p TN1 p TN1

,

FK2 ( p ) = K K2

1 + p TN2 p TN2

,

( 6 .5 )

und setzt dann die Glei chun gen 6.3 und 6.4 in den For mel satz 6.1 ein, erge ben sich fol gen de Über tra gungs funk tio nen für die Kor rek tur reg ler. FR12 ( p ) »

K K2 × K p × K S12 × T1 × ( 1 + p TK1 ) K S11 × T3 × p TK2

(6.6)

6.1 Kon ti nu ier li che Re ge lun gen mit

T

N2

=T

mit

T

N1

=T

,

K2

FR21 ( p ) »

2

281

K K1 × K p × K S21 × ( 1 + p T4 )

(6.7)

K S22 × p T2 .

Mit der glei chen Ein stel lung für die Nach stell zei ten las sen sich für die Haupt reg ler fol gen de Über tra gungs funk tio nen angeben: FR11 ( p ) » K K1 × K p

1 + p T2 p T2

FR22 ( p ) » K K2 × K p

1 + p TK2 p TK2

, (6.8) .

Da mit ist die Ent kopp lung ab ge schlos sen und es lie gen zwei ein schlei fi ge Re gel krei se vor (Bild 6.11b). Die Ver stär kun gen K K1 und K K2 kön nen nach den be kann ten Ver fah ren (z.B. Symme tri sches Op ti mum) dimensioniert werden.

6.1.3

Zwei- und Dreipunktregelungen

Bei ei nem ste ti gen Reg ler wird das sta tio nä re Ver hal ten durch die Ver stär kung K R be stimmt. Die se Be zie hung ist li ne ar. Ein Zwei punkt reg ler hin ge gen be sitzt in der ein fach sten Form (ohne Hy ste re se) eine Sprung stel le bei x d =0, so daß für die Stellgröße -y ma x

für

xd < 0

y ma x

für

x

y = d

³0

gilt. Die ses Ver hal ten ist ty pisch für Re lais, Bi me tall schal ter, End schal ter, Schalt tran si sto ren usw. Ein fa che Re ge lun gen die ser Art fin det man bei Kühl schrän ken, Durch-lau fer hit zern, Au to ma tik-Herd plat ten und Bü gel ei sen zur Be ein flus sung der Temperatur. Aber auch bei komple xen Sy ste men, wie z.B. der Kes sel tempe ra tur-Re ge lung ei ner Hei zung, wird der Zwei punkt reg ler eingesetzt. Das Übergangs ver hal ten ei ner Zwei punkt re ge lung zeigt meist ei nen pe ri odisch um den Soll wert schwan ken den Verlauf.

282

Bild 6.12

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik

Temperatur-Regelung eines Elektrolytbades mit Zweipunktregler

Eine ein fa che Re ge lung ist in Bild 6.12 darge stellt. Sie dient zur Tempe ra tur-Re ge lung ei nes Elek tro lyt ba des. Der Zwei punkt regler wird mit ei nem Ope ra tions ver stär ker rea li siert, in des sen Ge gen kopp lung eine Di ode liegt /36/. Die Stell grö ße nimmt da her die Wer te y=[-U D ; U max » 28 V] an. Der Ver stär ker-Aus gang steu ert ein Re lais an, wel ches die Heiz wick lung schal tet. Es schließt bei q s > q i und öff net bei q s < q i . Die Regel strec ke läßt sich nä he rungs wei se als PT1 -Tt-Strec ke an ge ben, wor aus das in Bild 6.13 an ge ge be ne Block schaltbild resultiert.

Bild 6.13

Blockschaltbild der Regelung nach Bild 6.12

6.1 Kon ti nu ier li che Re ge lun gen

Bild 6.14

283

Sprungantwort und Stellgröße der Zweipunktregelung

Die Sprung ant wort die ser Re ge lung läßt sich leicht aus der An schau ung er klä ren. Bei sprung haf ter Vorga be ei nes Soll wer tes wird w>x , so daß mit y=y max das Re lais schließt. Erst nach Ab lauf der Tot zeit Tt steigt dann die Tempe ra tur des Elek tro ly ten ent lang ei ner e-Funk tion mit der Zeitkon stan ten T 1 an. Der End wert x E der Tempe ra tur wird je doch nicht an ge fah ren, da beim Er rei chen von x=w der Zwei punkt reg ler in fol ge y = -U D das Relais öffnet. Das Abschal ten der Heiz wick lung wirkt sich je doch erst nach der Tot zeit Tt auf den Tempe ra tur-Ist wert aus, so daß zeit wei se x>w vor liegt. Da nach nimmt die Tempe ra tur ab. Bei er neu tem Er rei chen von w>x wird die Heiz wick lung wie der ein ge schal tet. Die Tempe ra tur zu nah me macht sich auch hier erst nach Tt bemerkbar. Es ist er kenn bar, daß die Schwan kungs brei te 2x o , in ner halb de rer sich der Ist wert um den Soll wert be wegt, von der Tot zeit T t und der Zeit kon stan ten T 1 ab hängt. Die ser Zu sammen hang läßt sich leicht ableiten. Mit x

E

= K

S

×y

max

er hält man für t=Tt die Wer te

284

6 Aus ge wähl te Bei spie le der Re gel tech nik x

1

= w + (x

x

2

= w ×e

E

- w ) ×( 1 - e

-Tt / T 1

-T t / T 1

) ,

.

Sub tra hiert man x 2 von x 1 , ergibt sich die Schwan kungs brei te 2x

o

= x

E

×( 1 - e

-T t / T 1

(6.9)

) .

Sie ist un ab hän gig vom Soll wert w und nimmt mit wach sen der Tot zeit und fal lender Zeit konstan te T 1 zu. Die Schalt fre quenz fS =1/T S des Zwei punkt reg lers ist eben falls von der Tot zeit und der Zeit kon stan ten T 1 ab hän gig und lau tet für xE >w : 1 2 Tt + Ta + Tb

fS =

fS =

,

1 xE 2 2 Tt + T1 × ln [ ( 1- e w ( xE - w )

Bild 6.15

. -T t / T 1

)+e

-2T t / T 1

( 6 .10 )

]

Zweipunktregler mit Hysterese und PT1-Strecke (Sprungantwort)


285

Zwei punkt reg ler mit Hy ste re se ha ben prak tisch die glei che Aus wir kung auf den Ver lauf von x wie der vor her ge zeig te Ein fluß der Tot zeit. Die in Bild 6.15 darge stell te Sprung ant wort macht dies bei ei ner Re ge lung aus hy ster ese be haf te tem Zwei punkt reg ler und PT 1 -Strec ke deutlich. Mit x

E

= K

S

×y

max

er hält man für t=T c die Hy ster ese brei te 2xt = (x

E

- w + x t ) ×( 1 - e

-T c / T 1

(6.11)

) .

Da mit ist die Hyster ese brei te der Sprung ant wort nicht nur von der Zeit kon stan ten T 1 und dem Soll wert w ab hän gig, son dern auch von der Hy ste re se des Zwei punkt reg lers. Die Schalt fre quenz f S des Zwei punkt reg lers ist für x E >w

fS =

1 Tc+ T

= d

1 x E -w+xt w+xt T 1 × ln + T 1 × ln x E - w- xt w- xt

.

( 6 .12 )

Der Zwei punkt reg ler schal tet in fol ge der Hy ste re se erst bei x = w + x t ab. Demzu fol ge schal tet er auf y=y max , wenn der Ist wert auf x = w - x t ab ge fal len ist. Die ser Vorgang wie der holt sich mit der Pe ri oden dau er T S . Das in Bild 6.16 darge stell te Sche ma ei ner Preß luft-Druck regelung soll mit dem Zwei-Orts kur ven-Ver fahren auf Sta bi li tät un ter sucht werden. Es zeigt ei nen Zwei punkt reg ler mit Hy ste re se, der über ei nen Lei stungs trei ber die Spei cher pumpe re gelt. Mit ei nem Po ten tio me ter kann die Hy ster ese brei te 2 x t ver än dert werden /36/. Bei Vorga be ei nes Soll wer tes p s > p i bzw. bei Preß luft ent nah me der Ver brau cher, be trägt die Stell grö ße y * » + 50 V. An der Pumpe liegt also die vol le Span nung an und es er folgt ein Druck anstieg im Spei cher. Nach Über schrei ten des Druck-Soll wer tes p i > p s be trägt die Stell grö ße y * » 0 V, so daß die Pumpe abgeschaltet wird. Pumpe und Druck speicher sind je weils Ver zö ge rungs glie der I. Ord nung. Die Meß wert er fas sung mit Hil fe ei ner Druck meßdose hat eben falls PT 1 -Ver hal ten, so daß sich das in Bild 6.17 ge zeig te Block schaltbild ergibt.

286


Bild 6.16

Schema einer Druck-Regelung für eine Preßluftstation

Bild 6.17

Blockschaltbild der Zweipunktregelung nach Bild 6.16

Die Über tra gungs funk tion der Strec ke lau tet dem nach F

S

(p) =

(1+ p T

K S1 × K S2 × K S3 1 )(1+ p T 2 )(1+ p T

3

)

.


287

Eine Ab schät zung der ein zel nen Pa ra me ter läßt sich aus den Ta bel len 3.2 und 3.3 ent neh men. Bei ei nem Soll druck von 6 bar gilt für die Pum pe K

S1

=

p U

1

=

L

6 bar bar = 0,12 , 50 V V

T

= 2s

1

Für den Druck speicher (sie he Ab schnitt 3.7) erge ben sich K

S2

=

p p

2

=

1

6 bar =1 , 6 bar

T

2

=R

×C

S

S

= 9,185 s

mit R S = 9,185×10 -5 bar× s/L , C S = 10 5 L/bar . Die Meß wert er fas sung des Druc kes hat die Wer te

K

S3

=

U pi p1

=

10V V = 1,667 , 6 bar bar

T

3

= 10 s .

Die Hy ste re se des Zwei punkt reg lers soll auf x t = 0,5 V ein ge stellt wer den, die ma xi ma le Stell grö ße be trägt y = x s » 50 V . Der Zwei punktreg ler mit Hy ste re se wird durch die Be schrei bungs funk tion (Glei chung 3.54) be schrie ben. Ù

Für x

e

= 10 V erhält man Ù

N (x

e

)=

x2 20 × 1- Ù t p x e2

- j

20 × x t

.

Ù

px

e

Nun ist die ne ga ti ve in ver se Orts kur ve der Regel strec ke zu bil den, also w -1 = FS

2

( T 1T 2 + T 1T 3 + T

Die Glei chung 5.20 lie fert w - xt Ù

x e × 1-

2

xt

Ù

x

e

2

2

z

=

T3 ) - 1 + j [ ( w 3 T 1T 2 T 3- w ( T 1+ T 2 + T K S1 × K S2 × K S3

3

)]

, mit der sich die Sta bi li täts aus sa ge ergibt: w

z

w

3 z

T 2

T

2

T

3

-w

z

(T

(T

1

T

2

+T

1

T

1

1

3

+T +T

2 2

+T T

3

)

3

)

.

288


So mit folgt für w 5.21 er füllt ist.

z

Ù

» 5,687 Hz . Die Re ge lung ist sta bil, da die Glei chung

Re | N ( x e | Xt = 6,358

m1 +m2 ist. Es soll nun eine Ge schwin digkeits re ge lung mit un ter la ger ter Stromre ge lung für ei nen am lan gen Seil hän gen den För der korb di men sio niert werden. Die Differ enti al glei chung für die Ge schwin digkeit des Kor bes lau tet mit m1 =mk ; v k1 =v k ; c f1 =c f und r 1 =r 2

v

dt

2

d

m

k

k

+r

dvk + c dt

f

×v

k

= c

×v

f

ST

.

Da mit er hält man die Bild glei chung

Mit

v

k

w

0

( p ) ×( p

2

=

2

+ p

cf 1 = mk T2

cf r + ) = v mk mk

2

und

d=

ST

( p )×

r 2 c

f

×m

k

cf mk

.

292


Bild 6.21

Anlagenschema einer Bergbau-Schachtförderanlage

ergibt sich schließ lich die Über tra gungs funk tion ei nes PT 2 -Glie des F( p) =

v k (p) 1 = v St ( p ) 1 + 2d p T 2 + p

2

T

2

2

.

Das Blockschaltbild der Ge schwin digkeits re gelung mit un ter la ger ter Stromre ge lung für ei nen fremd er reg ten Gleich strommo tor mit sechs pul si ger Dreh strom brüc kenschaltung ist in Bild 6.22 darge stellt. Da bei wird die Rück führung des Stro mist wer tes I Ai mit einem Tiefpaß geglättet. Die An la gen-Pa ra me ter lau ten: D = 4 m, c

f

v

N

L

1

= 6,667 × 10 = 20

m . s

= 400 m , 4

N , m

m

L k

=

2

= 500 m ,

Korbgewicht

G K = 1,019 × 10 g

3

2

Ns , m

G

K

= 10

r = 2,01 × 10

3

4

N,

Ns , m


Bild 6.22

Blockschaltbild zur Regelung der Schachtförderanlage

293

294


Die ein zel nen Strec ken-Pa ra me ter sind da mit: K

K

S1

S2

=

=

Da 1-a

a

U I

=1 2

AN

AN

×R

K

S3

=j

m

=1

K

S4

=j

m

=1

K

S5

=

K

S6

D D

=K

Tt=

= 1,5

T

A

=

A

T

T

=1

H

=

2

=

d=

max

S7

T » 2 ms 2p

=1

T

g

L R

A

= 0,1 s

A

2 p J×n M N

o

= 5s

mk = 0,087 s cf r

2

c

f

×m

= 0,122 k

= 5 ms

Da es sich um eine ana log tech nisch rea li sier te Re ge lung han delt, sind alle Ver stär kun gen auf 10V bezogen. Zu nächst soll der Strom re gel kreis di mensio niert wer den. Es wird ein kon stan ter, auf den Ma xi malwert nor mier ter, magne ti scher Fluß an ge nommen (j m = konstant ). Die Über tra gungs funk tion des offe nen Strom re gel krei ses lautet somit

F

(p)= K

01

R1

K

S1

K

S2

K

S7

( 1 + p T N1 ) × e -p T t p T N1 ( 1 + p T A ) ( 1 + p T

g

)

,

wenn man ei nen PI-Regler ein setzt. Ge wöhn lich wird die Nach stell zeit des Stromreg lers auf T

N1

=T

A

= 0,1 s

ein ge stellt. Soll die Reg ler ver stär kung nach dem Symme tri schen Op ti mum di mensio niert wer den, formt man die Über tra gungs funk tion mit Hil fe der Kor re spon den zen Nr. 13 - 15, Ta bel le 3.5 um und erhält F

mit

T

01

K

(p) » K

=T

g

R1

K

S1

K

+ T t = 7 ms .

S2

K

1+ p T S7

p

2

T

A

2

A

(1+ p T

K

)


295

Mit Hil fe der Glei chung 5.33 er hält man schließ lich eine Ver stär kung des Stromreg lers von K

R1

»

T K

S1

K

S2

K

» 2,52 .

A

T

S7

A

T

K

Ohne Be rücks ich ti gung des Rei bungs mo men tes und im un be la ste ten Zu stand des An triebs, also M R =M L =0 , läßt sich das Block schaltbild 6.22 für eine Di men sio nie rung des Ge schwin dig keits re gel krei ses leicht umformen. Mit Hil fe der Umformre gel Nr. 12, Ta bel le 3.5, er hält man den in Bild 6.23 darge stell ten Block schaltplan. Die Über tra gungs funk tion F H (p) des umge formten Strom re gel krei ses kann mit Hil fe von SIM LER-PC nä he rungs wei se als PT 1 -PT 1 -PTt-Strec ke iden ti fi ziert wer den. Es ergibt sich durch Simulation

F

mit

T

H

E

(p) »

e

-p T t

(1+ p T

E

)

2

» 0,011 s .

Die Über tra gungs funk tion des offe nen Ge schwin dig keits re gel krei ses lautet dann F

02

(p) » F

R2

( p )×F

H

( p )×F

S2

( p )×F

S3

(p) .

Mit Hil fe von SIM LER-PC soll der Ge schwin dig keits reg ler nun auf Füh rungsund Stör ver hal ten op ti mal ein ge stellt wer den (Bild 6.24). Die Stö rung soll mit ei nem Sprung von 20% des Ma xi mal wer tes am Ende der Strec ke er fol gen. Da bei wird zu nächst von ei nem PD-Reg ler aus ge gan gen (1. Si mu la tion), da die Strec ke be reits ei nen I-An teil enthält. Setzt man da nach die Op ti mal wer te der Ergeb nis li ste für die zwei te Si mu la tion ein, ist die Re ge lung mit ei nem PID-Reg ler eben falls recht gut eingestellt. In der drit ten Si mu la tion wird die Füh rungs grö ße noch als Fahr kur ve vorge ge ben, so daß ein sanftes Hoch lau fen und Bremsen des Schacht för de rers ge währ lei stet ist.

296

Bild 6.23


Umgeformtes Blockschaltbild für den Geschwindigkeitsregelkreis


Bild 6.24

Geschwindigkeitsregelkreis auf Führung und Störung eingestellt

297

298

6.1.5


Drehzahlregelung von Asynchronmaschinen

Die Asyn chron ma schi ne mit Kurz schluß läu fer zeich net sich durch ihre ein fa che und ro bu ste Bau wei se aus. Ihre kur ze Bau län ge (kein Kol lek tor) hat ein ge rin ges Träg heits moment zur Fol ge. Als di rekt vom Netz ge spei ste Ma schi ne ist sie am wei te sten ver brei tet (z.B. für Sche ren, Stanzen, Kreissägen usw.). Die Re ge lung von Asyn chron ma schi nen mit der den Gleichst ro man trie ben vergleich ba rer Po si tio nierge nau ig keit und Dreh zahl sta bi li tät be dingt je doch ei nen hö he ren Aufwand an Elektronik. Die Läu fer dreh zahl n ist von der Netz fre quenz f1 , der Pol paar zahl p und dem Schlupf s der Ma schi ne ab hän gig, sie ist be schrie ben durch die Gleichung n =

mit

s =

60 × f

( 1- s ) min p

1

n 1-n n1

-1

und

n

1

=

60 × f p

1

min

-1

.

(6.13)

Aus der Glei chung 6.13 ist zu er se hen, wel che Mög lich kei ten zur Steue rung oder Re ge lung der Dreh zahl be ste hen. Man kann die Pol paar zahl mit ei ner Dah lan der-Schütz schal tung stu fen wei se ver än dern, eine Va rian te, die nur noch bei ein fa chen Dreh zahl steue run gen ein ge setzt wird. Die Be ein flus sung des Schlup fes, der Stän der span nung oder der Stän der fre quenz mit ei ner Stromrich ter schal tung ist heu te die meist be nutz te Me tho de zur op ti ma len Dreh zahl steue rung und -re ge lung. Ei nen Über blick ge ben die Literaturstellen /48/, /49/ und /54/, /55/. Der Asyn chron motor stellt sei ne Dreh zahl so ein, daß sein Dreh moment ge nau dem Last mo ment ent spricht (Bild 6.25). Dies ist im Ar beits punkt A der Fall. Soll der Ar beits punkt B ein ge stellt wer den, kann die Mo menten kenn li nie durch Ab sen ken der Stän der span nung U 2 be ein flußt wer den. Das Mo ment ist bestimmt durch die Gleichung M = C

3

× F × I × sin b =

P 2 p ×n

.

Dar in ist C 3 eine Ma schi nen kon stan te und b der Pha sen win kel zwi schen F und I. Für M » F × I und P » U 2 × I er hält man ei nen Zu sammen hang zwi schen der Stän der span nung und der Drehzahl.


Bild 6.25

299

Lastkennlinie und Momentenkennlinie eines Asynchronmotors

n »

U 2 . F

Die ein fach ste Strom rich ter schal tung zur Steue rung der Stän der span nung ist der Dreh strom stel ler (Bild 4.18 bis 4.20). Mit die ser Schal tung kön nen die Span nungs zeit flä chen durch Ver än dern der Zünd win kel ver min dert wer den. Ein Pro blem sind die ho hen Läu fer ver lu ste P V2 . Sie sind durch P

V2

= s×P

L

= 2 p ×( n 1 - n ) × M

(6.14)

ge ge ben und stel len die Ver lust lei tung durch Strom wär me dar. Dem Ein satz des Dreh stromstel lers sind da her Gren zen ge setzt. Für Dreh zahl re ge lun gen soll te die Nenn lei stung der Ma schi ne 50 kW nicht überschreiten. Für sehr gro ße Lei stun gen und gro ße An fahr mo men te eig net sich be son ders der Di rek tumrich ter. Er be steht aus drei sechs pul si gen Stromrich tern in an ti par al le ler Dreh strom brüc kenschaltung (Bild 6.26). Jede Pha se der Stän der wick lung wird dem nach über eine Dreh strom brüc kenschaltung an ge steu ert. Die Stän der span nung wird so ab schnitts wei se aus der Netz span nung ge bil det und hat die ver än der li che Fre quenz f 2 . Der Zu sammen hang zwi schen der Dreh zahl und der Fre quenz ist aus Glei chung 6.13 er sicht lich. Mit stei gen der Fre quenz f 2 wird die Mo menten kenn li nie so mit par al lel nach rechts ver scho ben (Bild 6.27). Es gilt je doch für den Stell be reich der Stän der fre quenz f 2 =[0; f1 /2]. Für jede Pha se sind 12 Thy ri sto ren und je ein Strom reg ler er for der lich. Die ser hohe Steu er- und Re ge lungs auf wand lohnt sich nur bei Ma schi nen gro ßer Lei stung. Vor teil haft ist je doch, daß mit dem Kipp moment M K an ge fah ren werden kann.

300


Bild 6.26

Direktumrichter zur Drehzahlregelung eines Asynchronmotors

Bild 6.27

Momentenkennlinie des Asynchronmotors bei Frequenzsteuerung


301

Bei nied ri ge ren Dreh zah len (n10). Es ist je doch dar auf zu ach ten, daß der Um schlin gungs win kel der Meß rol le groß und ihre Mas se klein ist. Nur dann ist eine re la tiv ver zö ge rungs freie Zug mes sung ohne Bandrutschen möglich. Das Aus gangs si gnal des Band zu greg lers wirkt nun ent we der als Kor rek turgrö ße auf den Strom reg ler (Bild 6.35) oder man über la gert den Zu gre gel kreis dem Ge schwin dig keits re gel kreis (Bild 6.36). Die Kas ka den re ge lung mit über la ger tem Zu gre gel kreis soll hier nä her be spro chen wer den. Sie führt auf den in Bild 6.37 darge stell ten Block schaltplan. Der Übergang von der Band ge schwin dig keit zur Zug kraft ist durch fol gen den Zusammenhang beschrieben. Der Band zu gist wert er rech net sich aus der Band deh nung e = D L / L und dem Bandquer schnitt A mit dem Ela sti zi täts mo dul E. F i = A × E ×e

(6.21)

Die Län gung D L des Ban des ent spricht der Diffe renz der an der S-Rol le ge mes se nen Band län ge L R und der auf ge wic kelten Band län ge L H , also DL = L

H

- L

R

.

Die auf ge wic kelte Band län ge steht mit der Band ge schwin dig keit v B in Be zie hung, so daß gilt:


Bild 6.35

Direkte Bandzugregelung der Aufhaspel mit Bandzugkorrektur

315

316

Bild 6.36


Direkte, überlagerte Bandzugregelung der Aufhaspel


Bild 6.37

Blockschaltplan der Haspelregelung (Zugregelkreis überlagert)

317

318


v

B

t

dLH dt

=

oder

L

H

ò

=

v

B

× dt .

0

Es ergibt sich demnach ein I-Glied mit der Zeitkon stan ten T W =1m/v B und ein Pro por tio nal glied mit der Ver stär kung K

S6

A×E L

=

.

Die Strec ken-Pa ra me ter sind (verglei che mit Ab schnitt 6.1.4): K

K

S1

S2

=

Da a 1-a

=

U I

K

S3

=K

K

S5

=

AN

S4

K

S6

=

K

S7

=1

T » 2 ms 2p

Tt=

2

AN

×R

= 1,3

T

A

=

A

=j

D D

=1

m

=1

T

H

=

L R

A

= 0,1 s

A

2 p J×n M N

o

= 6s

= 0,8

max

A×E = 1 L

T

W

T

g

= 50 ms

= 5 ms

Die op ti mal ein ge stel lten Re gel krei se für Strom und Geschwin digkeit sind in Bild 6.38 darge stellt. Es läßt sich mit SIM LER-PC zei gen, daß sich der unter la ger te ge schlos se ne Stromre gel kreis als PT 1 -PT 1 -Ersatz strec ke F HI (p) mit T 11 »0,015s und T 12 »0,02s um rech nen läßt (sie he Ab schnitt 5.5.5). Der op ti mier te ge schlos se ne Ge schwindig keits regel kreis ein schließlich F HI (p) stellt in glei cher Wei se umge rech net ge nä hert eine PT 1 -Ersatz strec ke F Hv (p) mit T 11 »0,65s dar. Der über la ger te Band zu gre gel kreis be steht demnach aus der Ersatz strec ke F Hv (p) und dem In te gral glied mit T W =0,05s und soll te mit einem PID-Reg ler ge fah ren werden, wenn man das Füh rungsund Stör ver hal ten op ti mal au re geln möch te. Die Si mu la tion des Band zu gre gel krei ses ein schließ lich ei nes an ge nom me nen Stör im pul ses mit ei ner Ampli tu de Ast von -20% be zo gen auf den Soll wert ist in Bild 6.39 darge stellt.


Bild 6.38

Einstellung von Strom- und Geschwindigkeits-Regelkreis

319

320

Bild 6.39


Einstellung des Bandzugregelkreises auf Führung und Störung


6.1.7

321

Banddickenregelung

Band dic kenregelungen wer den immer da ein ge setzt, wo es auf eine hohe Maß ge nau ig keit der Walz pro duk te an kommt (Fo lien, Fein ble che usw.). Un ter den Qua li täts an for de run gen nimmt da her die Band dic ke bei der Re ge lung von Walz pro duk ten ei nen ho hen Stel len wert ein. Sie soll ent lang des ge sam ten Band quer schnit tes mög lichst kon stant sein. Über die ver schie de nen Re gel ver fahren wird in /52/ berich tet. Wei te re Literaturstellen zu diesem Thema sind /51/ und /52/. Da es nicht mög lich ist, die Band dic ke di rekt im Walz spalt zu er fas sen, sind ver schie de ne Ver fah ren zu Dic kenmessung im Einsatz. • Mes sung des Ar beits wal zen ab stan des an den Wal zen zap fen mit Hil fe

der Hy drau lik zy lin der po si tion. • Be rüh rungs lo se Mes sung der Band dic ke hin ter und/oder vor dem

Walz spalt. • Er rech nen der Band dic ke aus der An stell po si tion der Ar beits wal zen

und der Walz kraft. Störgrö ßen der Dic kenregelung sind das Fe der-Mas se-Sy stem des Walz ge rü stes, die Wal zen bie gung, die Ex zen tri zi tät der Wal zen, die Ge schwin dig keit des Ban des vor, im und hin ter dem Walz spalt so wie die ver än der li chen Win kel a o und a s der Haft- und Gleit zo ne zwi schen Walzgut und Wal ze (Bild 6.40).

Bild 6.40

Die wichtigsten Systemgrößen des Walzvorgangs am Walzspalt

322


Als Stell grö ßen, wie schon aus dem Bild 6.40 zu er se hen ist, kön nen zur Be ein flus sung der Dic kenregelung die Walz kraft F W und der Ab stand der Wal zen S her an ge zo gen wer den. Den Ab stands wert er faßt man gewöhn lich an den Wal zen zap fen. Er ist je doch nicht iden tisch mit dem rea len Wal zen ab stand, da sich in fol ge der Walz kraft eine Ab plat tung und Längsbiegung der Walzen ergibt. Bei har tem und dün nem Walz gut läßt sich mit S und FW die Band dic ke kaum be ein flus sen. Man greift dann zum Band zug als zu sätz li che Stell grö ße. Er führt zu ei ner pla sti schen Ver for mung und damit ei ner Dic kenabnahme des Ban des. Oder man be nutzt eine dic kenabhängige Här te be wer tung des Walzgutes. Zur Aus re ge lung schnel ler Dic kenänderungen, be dingt durch Schweiß näh te an ein an derge füg ter Bän der o.ä., be nutzt man die Dic kenabweichung D h = h s - h i . Sie wirkt auf den Walz spalt er hö hend oder ver min dernd (sie he Bild 6.42). Da der Band dic kenistwert erst in ei ni gem Ab stand vom Walz spalt ge mes sen wer den kann, ist der Ein fluß von D h mit der Lauf zeit T t des Ban des, vom Walz spalt bis zur Me ß stel le zu be wer ten (sie he Ab schnitt 3.1.9). Die Regel strec ke ist da her mit ei ner Tot zeit behaftet, die die Regeldynamik einschränkt. Eine wei te re Hilfs grö ße ist die Schräg la ge S D (Bild 6.41). Mit ihr kann ein Ver lau fen des Ban des quer zur Walz rich tung kor ri giert wer den. Man ver fährt da bei so, daß an der Re ge lung für die lin ke Wal zen sei te der Wert S D von S sub tra hiert und an der rech ten Wal zen sei te ad diert wird. Der umge kehr te Fall ist eben falls mög lich, je nach Band ver lauf. So ergibt sich ein Schwenken um die Walzenmitte.

Bild 6.41

Wirkung der Schräglage auf die Arbeitswalzen-Anstellung


Bild 6.42

Schema der Banddickenregelung eines Walzvorgangs

323

324


Das Sche ma ei ner Po si tions- bzw. Band dic kenregelung ist in Bild 6.42 darge stellt. Als Stell glie der sind hier zwei hy drau li sche Zylin der für jede Wal zen sei te ein ge setzt. Sie wer den an ge steu ert von zwei Ser vo ven ti len SVL und SVR, die über Im pe dan zwand ler mit den zu ge hö ri gen Reg lern ver bun den sind. Durch die Tren nung in zwei un ab hän gi ge Re gel krei se (Walz spalt re ge lung, Walz kraft re ge lung) läßt sich das ge samte System veränderlichen Betriebsbedingungen gut anpassen. Im all ge mei nen reicht das Kon stant hal ten des Wal zen ab stan des S mit den schnell rea gie ren den Walz spal treg lern be reits aus, um ma ter ial be ding te Auffe de run gen aus zu glei chen. Trotz dem ist es an ge bracht, die walz kraft be ding ten Ge rüst schwan kun gen mit der Störgrö ßenauf schal tung F W /c G zu kom pen sie ren. Zur hoch ge nau en Re ge lung der End dic ke h 2 ist dem Walz spalt re gel kreis ein Band dic kenregelkreis über la gert. Hier wer den un ter Be rücks ich ti gung der Lauf zeit T t Kor rek tur be feh le an den Walz spalt zäh ler ge ge ben. Eben so gibt die Här te be we gung, ab hän gig von der Dic kenabweichung D h 2 und der Ge schwin dig keit v 2 , Korrekturbefehle an den Walzspaltzähler. Da mit es im Re gel be reich zu kei ner Haf trei bung der Hy drau lik zy lin der kommt, setzt man ei nen sog. Wobb ler als zu sätz li che Störgrö ßen-Auf schal tung ein. Die ser er zeugt eine kon stan te Si nus schwin gung mit ei ner Fre quenz von ca. [ 10 . . . 50 ] × w D und ei ner Ampli tu de von etwa 5% des Stellgrößeneinflusses. In der Be triebsart Walz kraft re ge lung wird auf die Summen walzkraft F W = F WiL + F WiR ge re gelt. Die Walz kraf tist wer te wer den über eine Druck messung er faßt. Oft führt man bei der Walz kraft re ge lung gleich zei tig die Walz spal tist wer te nach ( S s = S i ), so daß ein sto ß frei es Umschal ten in Walzspaltregelung möglich ist. Für die Be triebs art Walz spalt re ge lung sol len nun die Reg ler pa ra me ter be stimmt wer den. Es ge nügt, die Be rech nung auf ein Ser vo ven til zu be zie hen, da die ge samte Re ge lung symme trisch auf ge baut ist. Das Block schaltbild ent spricht ei ner Kas ka den re ge lung mit ge schwin dig keits ab hän gi ger Adap tion der Här te bewe gung, die auf den Walz spalt soll wert zähler wirkt (Bild 6.43). Alle Ge schwin dig keits ein flüs se wir ken dem nach mul ti pli ka tiv, wäh rend die Walzgerüst-Auffederung eine additive Störgröße darstellt. Die Ex zentri zi tät der Wal zen, wel che in fol ge der Ro ta tion ein si nus för mi ges Schwin gen der End dic ke h 2 zur Fol ge hat, soll hier un be rücks ich tigt blei ben. Der Walz spalt soll wert zähler stellt ein In te gral glied dar. Das Ser vo ven til zeigt etwa PT 2 -Ver hal ten (siehe Abschnitt 3.1.8). Der Ein fluß ei ner Walz spalt än de rung macht sich erst nach der Laufzeit T t am Band dic kenmeßgerät be merk bar. Die Fol ge ist ein Tot zeit glied. Bei re la tiv ge rin ger Stich ab nah me (h 1 -h 2 )/h 1 gilt v 1 » v 2 » v W » v .


Bild 6.43

Kaskadenregelung für Banddicke und Walzspalt

325

326


Geht man von v=40m/s und ei nem Ab stand der Dic kenmeßgeräte von L=0,8m aus, liegt die Tot zeit bei T t = 20 ms . Die Band dic kenmessung stellt ein Ver zö ge rungs glied I. Ord nung dar. Der Me ß um for mer für den Walz spalt ar bei tet im Vergleich zur Band dic kenerfassung prak tisch ver zö ge rungs frei. Da mit las sen sich fol gen de Strec ken-Pa ra me ter an ge ben: K

S1

=1

T

K

S2

=1

T t = 20 ms

K

S3

=1

T

K

S4

=1

T i = 0,1 s

2

3

= 10 ms

d = 0,6

= 15 ms

Die Über tra gungs funk tion des offe nen Walz spalt re gel krei ses lau tet bei Ver wen dung ei nes PID-Reglers F

01

(p)=

K

R1

×K

S1

pT

×K

N1 × ( 1 + 2 d p T

S4

×( 1 + p T 2

N1

+p

)(1+ p T 2

T

2

2

V1

)

.

)

Wählt man für die Regler-Pa ra me ter K R1 =10 und T N1 =T V1 =0,01s, ergibt sich eine Durch tritts fre quenz von w D = 998 Hz (mit SIM LER-PC ermit telt). Der op ti mier te Walz spalt re gel kreis läßt sich nun als Er satz-Regel strec ke in be kann ter Wei se im Band dic kenregelkreis ein set zen. Die Er satz-Regel strec ke wur de mit Hil fe von SIM LER-PC als PT 1 -Glied mit den Wer ten K E1 =1 und T E1 =1ms iden ti fi ziert. Setzt man für den Band dic kenregler das PID-Ver hal ten ein, ergibt sich dann fol gen de Über tra gungs funk tion des offenen Dickenregelkreises

F

02

(p)»

K

R2

×K p

E1 2

×K

TiT

S2

×K

S3

×( 1 + p T

N2 × ( 1 + p T

N2

)(1+ p T

E1 ) ( 1 + p T

3

)

V2

)

×e

-p Tt

. Die Einstel lung des Banddic kenreglers mit Hil fe von SIMLER-PC ist in Bild 6.44 darge stellt. Mit K R2 =2 und T N2 =0,1s so wie T V2 =0,02s er hält man eine sta bi le Re ge lung ( a R » 43° ) bei ei ner Durch tritts fre quenz von w D » 20 Hz . Da mit liegt auch die Wob bel-Fre quenz fest. Sie soll te etwa bei 200Hz lie gen. Ein si mulier ter Stör sprung von 20%, der zwi schen Reg ler und Strec ke ein wirkt, macht sich kaum be merk bar, so daß auch das zu sätz li che Wob beln kei nen Einfluß auf die Regelung ausübt.


Bild 6.44

Simulation und Einstellung des Banddickenregelkreises

327

328

6.1.8


Regelung einer Streckrichteinheit

Bän der und Ble che wer den oft mals in Mehr rol len-Richt ma schi nen plan ge rich tet. Da bei wird das Ma te ri al mehr fach gewalkt und durch eine un ter schied li che An stel lung der Richt rol len die Bie gung be sei tigt. Der für die Richtrol le ge mein sa me An trieb ist dreh zahl ge re gelt. Nach tei lig ist, daß das Be die nungs per so nal den Richt vorgang stän dig den Ma te ri al ei gen schaf ten und der Be schaffen heit des Ban des an pas sen muß. Bes se re Ergeb nis se wer den er zielt, wenn bei durch lau fen den Bändern zusätzlich mit Hilfe des Bandzuges gestreckt wird. Der ar ti ge Streck richteinheiten be ste hen aus meh re ren S-Rol len, mit de nen über den Umschlin gungs win kel und die Rei bung der Band zug auf- und ab ge baut wer den kann (Bild 6.45). Der Zu sam menhang zwi schen dem Band zug F 1 vor und F 2 hin ter einer S-Rolle ist F

2

= F 1 ×e

m (a 1+ a 2 )

.

(6.22)

Da bei ist der Rei bungs bei wert m von der Ober flächen be schaffen heit der S-Rol le und des Ban des ab hän gig. Mit zu neh men der Ge schwin dig keit nimmt er in fol ge des auf tre ten den Ae ro pla nings ra pi de ab. Bei troc kenen ge schliffe nen Stahl rol len dürf te der Rei bungs wert zwi schen 0,15 und 0,2 lie gen. Durch die Band zug diffe renz als Fol ge der Dreh zahl diffe renz zwi schen zwei S-Rol len ergibt sich eine Län gung des Ban des, die ge re gelt wird. Da die Län gung in den mei sten Fäl len 3% nicht über schrei tet, ist die Meß wert er fas sung des Längungswertes entsprechend genau auszulegen. Das Re gel prin zip ba siert auf der di gi ta len Er fas sung der einund aus lau fen den Band län gen je Meß zy klus. Dar aus wird die Län gung (auch Dres siergrad ge nannt) ge bil det, wel che auf die Dreh zahl re ge lung der aus laufs ei ti gen S-Rol le band zug kor ri gierend ein greift. Die ein laufs ei ti ge S-Rol le wird gleich zei tig starr dreh zahl ge re gelt. Die gemessene Längung ist demnach definiert als li =

la - le le

(6.23)

oder auch, we gen der Gül tig keit der Mas sen kon stanz, als Ge schwin dig keits diffe renz li =

va- ve ve

.

(6.24)


Bild 6.45

329

Regelschema einer Streckrichteinheit

Der di gi ta le Teil der Re ge lung be steht aus zwei Win kel schritt ge bern mit mög lichst ho her Im puls zahl/Um dre hung (³2.500 Imp./Umdr.), die zwei Zäh ler an steu ern (Bild 6.46). Zählt der aus laufs ei ti ge Zäh ler die an kom men den Im pul se vor wärts und der ein laufs ei ti ge Zäh ler rück wärts von ei nem Fest wert aus, er hält man die Län gung, wenn bei Ze=0 der aus laufs ei ti ge Zäh ler ge stoppt wird. Dann ist Za = l i und wird in einem nachgestalteten Speicher abgelegt. Ein Sub tra hie rer bil det die Re gel diffe renz x d = l s - l i und führt sie ei nem digi ta len I-Regler zu. Die ent ste hen de Stell grö ße y wird D/A-ge wan delt und greift als Hilfs re gel größe auf den Dreh zahl reg ler der aus laufs ei ti gen S-Rol le band zug be ein flus send ein. Es han delt sich dem nach um eine di gi tal-ana log ar bei ten de Ab tast rege lung mit variabler Abtastzeit Tz. Die se ist von der Band ge schwin dig keit, den S-Rol len durch mes sern und der An zahl der Im pul se/Umdre hung so wie der Re chen zeit der Di gi tal schal tung abhängig.

330

Bild 6.46


Wirkschaltplan der Streckgradmessung und -Regelung


Bild 6.47

Blockschaltbild der Streckgradregelung mit Hilfsregelgröße D n

331

332


Das Block schaltbild der ge samten Re ge lung ist in Bild 6.47 darge stellt. Es zeigt die Dreh zahl re ge lung mit un ter la ger tem Stromre gel kreis für den GS-An trieb der aus laufs ei ti gen S-Rol le. Auf die se Kas ka den re ge lung greift die Län gungs- oder Streck gradregelung als Hilfs re gel grö ße am Drehzahl-Regler ein. Es be steht die Mög lich keit, daß die Län gungs re ge lung der Dreh zahl re ge lung den Soll wert vorgibt. In die sem Fal le han delt es sich um eine Kas ka den re ge lung aus Län gungs- Dreh zahl- und Strom re gel kreis. Nach tei lig wirkt sich dann aus, daß die Stell grö ße des Län gungs reg lers nicht nur den band zu ger zeu gen den Dreh zahl zu satz D n en thält, son dern auch den Dreh zahl wert zum Er rei chen der Band ge schwin dig keit, also y = n s + D n . Es emp fiehlt sich da her die Re ge lung mit ei ner Hilfs re gel grö ße wie sie das Bild 6.47 zeigt. Geht man zu nächst von der Län gung Null und n s = n i aus, macht sich die Vorga be ei nes Län gungs soll wer tes l s > 0 wie folgt be merk bar. In fol ge l s > l i be ginnt der Län gungs reg ler zu in te grie ren und er zeugt die Stell grö ße y = D n . Da mit stei gen der Dreh zah list wert und die Ge schwin digkeit v a . Bei un ver än der ter Ein lauf ge schwin dig keit v e nimmt dar auf hin die Län gung l i zu, bis l i = l s er reicht wird. Da nach bleibt der Eingriff D n=kon stant er hal ten, so lan ge sich die Soll wert vorga be der Drehzahl oder der Längung nicht ändert. Die Di men sio nie rung des Dreh zahl- und Strom re gel krei ses er folgt so, wie in den Ab schnit ten 5.5.5 und 6.1.4 be reits ge zeigt. Da die Hilfs re gel grö ße D n durch Ab ta stung ent steht und ihr Wert von der Ge schwin dig keits- bzw. Län gungs diffe renz ab hängt, läßt sich ihr Ein fluß auf die Dreh zahl re ge lung nur mit gro ber Nä he rung an ge ben (sie he Ab schnitt 5.5.7). Es empfiehlt sich da her eine Rech ner si mu la tion oder die em pi ri sche Un ter su chung bei Inbetriebnahme der Streckgradregelung.

6.2

Zeit d is kre te Re ge lun gen

6.2.1

Piezoelektrische Regelung einer Meßtischachse

Für den Ob jekt tisch ei nes Mi kro sko pes soll die Stell be we gung mit Hil fe von Nie der volt-Pie zo ele men ten im nm-Be reich ge re gelt wer den. Die fol gen den Be trach tun gen be zie hen sich auf eine Ach se der drei kar te si schen Ko or di na ten. Es hat sich ge zeigt, daß die Po si tio nierge nau ig keit we sent lich ver bes sert wer den kann, wenn die Re gel diffe renz x d und der PID-Reg ler in ei nem Mi kro compu ter rea li siert wer den /84/. Alle an de ren Bau ele men te sind ana log tech nisch auf ge baut. Der Wirkschaltplan dieser Postionsregelung ist in Bild 6.48 dargestellt.

6.2 Zeit dis kre te Re ge lun gen

Bild 6.48

Wirkschaltplan einer piezoelektrischen Positionsregelung

333

334


Die Stell grö ße y/V am Aus gang des D/A-Wand lers ist trep pen för mig und ent hält da her hoch fre quen te Schwin gungs an tei le, die nicht zum er rech ne ten Stell si gnal ge hö ren. Sie wer den mit Hil fe ei nes Tief pas ses her aus ge fil tert. Die ver wen de ten Nie der volt-Pie zo ele men te ar bei ten in ei nem Span nungs be reich von 0V...100V, so daß die Stell grö ße über ei nen Lei stungs ver stär ker auf die sen Span nungs be reich an ge ho ben wird. Auf je dem Pie zo ele ment sind an zwei ge gen über lie gen den Sei ten zur Mes sung der Po si tion Deh nungs me ß strei fen (DMS) an ge klebt. Des wei te ren sind zur Ver mei dung der Tempe ra tur drift weitere DMS aufgeklebt, die jedoch keiner Längenänderung unterworfen sind. Die vier DMS sind zu ei ner Whe at sto ne schen Meß brüc ke zu sammen ge schal tet und wer den über eine sog. Elek tro me ter-Ver stär ker schal tung und eine Ver stär kungs an pas sung als Re gel grö ße x/V abgebildet. Vor dem A/D-Wand ler be fin det sich zur Ab ta stung der Re gel grö ße ein Ab tast-Hal te glied /36/ (verglei che mit Ab schnitt 5.5.7). Tritt im Meß wert x/V hoch fre quen tes Rau schen auf, kön nen die se Stör si gna le durch den Ab tast vorgang in tie fer lie gen de Fre quenz be rei che hin ein ge spie gelt wer den. Die ser Alia sing ge nann te Effekt täuscht ur sprüng lich nicht im Meß wert vor han de ne Si gnal fre quen zen vor. Daher ist ein sog. Antialiasing-Filter vorgesehen. Für die Regel strec ke, be ste hend aus den Piezo ele men ten und den DMS, läßt sich durch Mes sung das PT2 -Ver hal ten an ge ben, so daß sich ins ge samt fol gen de Strec ken-Pa ra me ter ergeben:

Bild 6.49

Blockschaltplan der piezoeletrischen Positionsregelung


335

K

S1

= 9,94

T

K

S2

= 0,0000542

T

2

K

S3

= 113

K

S4

1

=

R ×C 0,6436

» 155 m s

= 220 ms

/7/

d = 0,79

= 16,3

In Bild 6.49 ist der zu ge hö ri ge Block schaltplan darge stellt. Die Regel strec ke stellt demnach ein Ver zö ge rungs glied 6. Ord nung dar, auf die der PID-Reg ler (sie he Ab schnitt 7.2.3) op ti mal ein ge stellt werden soll. Mit Hil fe des Programms SIM LER-PC läßt sich die ge mes se ne Sprung ant wort der Strec ke bei ver nach läs sig ba rer Ab wei chung als ein Sy stem 5. Ord nung iden ti fi zie ren. Die dar aus re sul tie ren den Strec ken-Pa ra me ter erge ben in ei ner nach fol gen den Si mu la tion für den PID-Regler folgende Einstellung: K

R

= 1,6

T

N

= 0,9 ms

T

V

= 0,2 ms

x s = 1,35 .

Beim Vergleich der si mulier ten Sprung ant wort des ge schlos se nen Re gel krei ses mit der ge messe nen Sprung ant wort ist eine gute Über ein stim mung der Ergeb nis se fest stell bar (Bild 6.50). Da bei ent spricht die ge mes se ne Sprung ant wort ei nem nor mier ten Füh rungs sprung von 0,83V auf 9,17V.

Bild 6.50

Simulierte und normierte gemessene Sprungantwort im Vergleich

336


Ge wöhn lich liegt die Po si tio nierge nau ig keit rein ana log ge re gel ter Mi kro skop ti sche bei ca. 500 nm. Durch den Ein satz des op ti mier ten di gi ta len PID-Reg lers und der di gi ta len Nach bil dung von x d konn te die Po si tio nierge nau ig keit auf < 50 nm verbessert werden.

6.2.2

Regelung von Roboterantrieben mit Rechner

In du strie robo ter sind frei programmier ba re Ma ni pu lato ren mit meh re ren Frei heits gra den. Ihre Ent wick lung wur de aus ge löst durch das Auf kommen der Mi kro rech ner in Ver bin dung mit hochdynamischen Antrieben. Mög li che Ein satz ge bie te der Ro bo tik sind: Mon tie ren, Schrau ben, Lö ten, Schwei ßen, Kle ben Schlei fen, Frä sen, Boh re, Stan zen Ob jekt er ken nung, Sor tie ren, Ju stie ren, Te sten Die Steue rung wird meist mit ei nem pro blemorien tier ten Pro gramm rea li siert, das auf den üb li chen Spei cher medien abgelegt ist. Wäh rend bei ei ner Werk zeug ma schi ne mit CNC-Steue rung nur di gi ta le Schaltund Weg in for ma tio nen für die Haupt- und Ne ben an trie be pro gram miert wer den, be nö tigt ein In du strie ro bo ter zu sätz lich Kommu ni ka tions in for ma tio nen be züg lich Lage, Form, Tast kraft usw. des zu hand ha ben den Ob jek tes. Je nach Art der Pro grammie rung steigt die Anzahl der Pro grammier schrit te und da mit der Spei cher be darf stark an. Üb lich ist die sog.“Te ach-in-Pro gram mie rung”, bei der mit ver min der ter Ge schwindig keit der Roboterarm ent lang der ge wünsch ten Bahn be wegt wird und die Sen sor- bzw. We gist wer te in Soll wer te umge setzt wer den. Die Re ge lung von In du strie ro bo tern er folgt häu fig mit elek tri schen An trie ben (z.B. Schritt mo to ren, Schei ben läu fer mo to ren) in Ver bin dung mit Sen sor sy ste men und/oder Win kel co die rern zur Lage-, Form- und Weg er fas sung so wie op ti scher Sen so rik und Ge trie ben (siehe Abschnitt 4.3.3). Der Schei ben läu fer motor ist we gen sei nes ei sen lo sen Läu fers mit Flach kol lek tor be son ders gut ge eig net für schnel le An lauf- und Brems vorgän ge. Für die ge for der ten ho hen Mo men te auf der Pro zeß sei te kommt als Ge trie be meist das sog. Har mo nic-Dri ve-Ge triebe zum Ein satz. Es ist mit Über set zungs ver hält nis sen von 60...400 rea li sier bar und be sitzt in fol ge des formschlüs si gen Auf baus in Ver bin dung mit ei nem Zahn rie men prak tisch kei ne Ge trie be lo se. Der prin zi piel le Aufbau ei ner sol chen Re ge lung für eine Dreh ach se ist in Bild 6.51 darge stellt. Nor ma ler wei se ver fü gen heu ti ge In du strie ro bo ter über sechs oder mehr Frei heits gra de. Da bei ist es üb lich, die Stell an trie be in Po lar koor di na ten zu fah ren und die Ein ga ben in kartesischen Koordinaten vorzunehmen.


Bild 6.51

Regelschema eines Industrieroboters für einen Freiheitsgrad

337

338


Auf ga be der Re ge lung ist das si mul ta ne Ver fah ren al ler für die je wei li ge Be we gung not wen di gen Ach sen zum Er rei chen ei nes vorge ge be nen Punk tes ent lang ei ner vorge schrie be nen Bahn. Da bei sind die er for der li chen Be we gungs ab läu fe mit gro ßer Ge schwin dig keit und Wiederholgenauigkeit durchzuführen. Die Soll wer te sind häu fig als Punkt fol ge ge spei chert und wer den nach ein an der ab ge ru fen, mit dem Ist wert vergli chen und als Stell grö ße der Dreh zahl- und Strom re ge lung zu ge führt. Schwie rig kei ten ma chen die zahl rei chen Nicht li nea ri tä ten so wie die Kopp lung der Frei heits grad-Re ge lun gen un ter ein an der. Nicht li nea ri tä ten sind hier die er satz wei se als Tot zeit an zu neh men den Ab tastund Zy klus zeit des Rech ners, die Tot zeit der Strom rich ter, die An sprech schwel le der Getriebe und die der Robotermechanik. In Bild 6.52 ist das Prin zip der Re ge lung ei nes In du strie ro bo ters für zwei Frei heits gra de darge stellt. Es zeigt sich, daß r und j über die Zen tri pe tal-Be schleu ni gung b z und die Co rio lis-Be schleu ni gung b cor mit ein an der ge kop pelt sind. Die se Kopp lun gen ma chen sich be son ders bei ho hen Be we gungs ge schwin dig kei ten be merk bar. b z und b cor sind als b

z

= r ×w

2

und

b

cor

= 2 × &r × w

(6.25)

mit w = d j / dt an ge ge ben. Die Re gel stra te gie muß da her ein alle Ach sen umfas sen des Ge samt kon zept dar stel len, bei dem eine nicht li nea re Sy stem ent kopp lung gute Ergeb nis se bringt /73/, /74/. Von zentra ler Be deu tung ist der Mi kro rech ner. Mit ihm wird der In for ma tions fluß ge steu ert, die Ko or di na ten trans for ma tion er rech net, der Re gel-Al go rith mus für alle Frei heits grad-Re ge lun gen ge bil det und die Zu stands grö ßen (Weg, Winkel usw.) überwacht. In Bild 6.53 ist die Re ge lung ei nes Ro bo ters un ter Be rücks ich ti gung der ge nann ten Aspekte für zwei Frei heits gra de de tail liert darge stellt. Die Auftei lung in Soft- und Hard wa re kom po nen ten ist ebenfalls aufgezeigt. Die beiden Stell an trie be für r und j er hal ten ihre Soll wer te vom Stromre gel kreis, dem ein Ge schwin dig keits- und ein Weg re gel kreis über la gert sind /53/. Wenn der Ein fluß der Zen tri pe tal- und Co rio lis-Be schleu ni gung als li nea re Störgrö ßen auf ge faßt wer den, läßt sich nä he rungs wei se eine Di men sio nie rung wie in Ab schnitt 5.5.5 und 5.5.7 be schrie ben vor neh men. In fol ge der stark ge schwin dig keits ab hän gi gen Sy stem kopp lun gen ergibt sich je doch ein star kes Über schwin gen der Re gel grö ßen beim Anfah ren ei nes Punk tes, so daß eine ex ak te Ein stel lung der Ro bo ter-Re ge lung vorzunehmen ist. Hier wird auf /73/ verwiesen.


Bild 6.52

339

Regelung eines Roboters mit Mikrorechner für zwei Freiheitsgrade

340

Bild 6.53


Detaillierter Blockschaltplan der Roboterregelung nach Bild 6.52


6.2.3

341

Pitch-Regelung einer Windkraftanlage

Re gel ungstech nisch ge se hen stel len Wind kraft an la gen der Me ga watt klas se nicht li nea re Mehrgrö ßen sy ste me dar und es gibt zahl rei che Kon zep te der Ma schi nen aus le gung sowie Re ge lung /38/, /39/. Al len ge mein sam ist je doch, daß Dreh zahl, Blat tein stell win kel und die Lei stung bzw. da von ab ge lei te te Größen ge re gelt wer den (Bild 6.54). Die ge samte The ma tik ist sehr um fang reich, da her wird des wei te ren auf /54/ und /55/ ver wie sen. Die ser Ab schnitt be schränkt sich auf die Re ge lung der Blatt win kel ver stel lung (Pitch-Re ge lung) in ner halb ei ner dreh zahl star ren, an das Netz ge kop pel ten Wind kraft an la ge (Bild 6.55). Da bei wird der Dreh zahl re gel kreis nur beim Hochfah ren und danach zur Dreh zahl be gren zung be nutzt.

Bild 6.54

Regelungskonzept einer Windkraftanlage mit Asynchrongenerator

Bei der Pitch-Rege lung wer den die Ro tor blät ter längs der Blatt ach se ver stellt. Der Auf trieb wird re du ziert, wenn die Ro tor blät ter aus dem Wind ge dreht wer den, d.h. hin zu klei ne ren An ström win keln. Das Stell glied zum Dre hen der Blät ter ist üb li cher wei se auf ei nen Ar beits be reich von b = (0° ; 40° ) be schränkt. Die Ver stell ge schwin digkeit der Blät ter liegt bei ca. b = 10° / s.

342


Bild 6.55 Re gel struk tur der dreh zahl star ren netz ge kop pel ten Windkraftanlage


343

Zwi schen dem Blatt ein stell win kel b, der An ström rich tung d, der Pro fil aus strö mung a, der Wind ge schwin dig keit am Wind rad v wr und der Umfangs ge schwin dig keit des Wind ra des v u be steht fol gen de Be zie hung: b =

v p p -d + a » - arctan wr + a 2 2 vu

(6.26)

So mit kann mit Hil fe ei nes Blatt win kel stell an triebs die Kraft an den Ro tor blät tern und da mit das Dreh moment so wie die Lei stung in Ab hän gig keit von der Wind ge schwin dig keit geregelt wer den. Es emp fiehlt sich, die be tei lig ten nicht li nea ren Sy stemgrö ßen zu li nea ri sie ren. Dies ge lingt, wenn man vom Klein si gnal be trieb aus geht, d.h. die zu re geln den Grö ßen be fin den sich in der Nähe ih res Arbeitspunktes /18/. Das durch den Stell an trieb an den Ro tor blät tern wirkende Mo ment MSt kann mit ei ni gen ver ein fa chen den Randbedingungen nach /38/ wie folgt be schrie ben wer den: M St d (b / b N ) = kd × M tN dt

(6.27)

Für das nor mier te Rückstellmoment M t in An strömrich tung am Ro tor blatt, wel ches als Störgrö ße auf die Re ge lung der Blatt win kel ver stell ge schwin digkeit b& ein wirkt, er hält man fol gen de Glei chung: Mt v n = k1 + k 2 × 1 + k 3 × v1N nN M tN

(6.28)

Dar in sind k1 , k 2 und k 3 kon stan te Bei wer te für Wind ge schwin dig keits- und Dreh zahl an tei le. Die Re ge lung der Blatt win kel ver stell ge schwin dig keit b& soll mit ei nem PD-Reg ler er fol gen (Bild 6.56a). Pra xis be zo ge ne Pa ra me ter der Strec ke sind: T11 » 30ms Ti1 = J ×

Ver zö ge rungs zeit des Stell mo tors

b& N » 0,15s M tN

In te gra tionsz eit kon stan te des Blattes

Setzt man beim PD-Regler T V =T 11 , ergibt sich in ner halb der Dreh zahl be gren zung Xs=10 die Über tra gungs funk tion des offen Re gel krei ses zu: F0b& (p) = K 01 ×

1 pTi1

344

Bild 6.56


Block schaltbilder zur Kas ka den-Pitch-Re ge lung

Für die überge ord ne te Blatt win kel verstellre ge lung (Bild 6.56b) wird der in ne re Re gel kreis ent spre chend Ab schnitt 5.5.5 in eine Er satz-Regel strec ke F H (p) um ge rech net.

FH (p) =

F0b& (p) 1 + F0b& (p)

=

(6.29)

1 T 1+ p i1 K 01

Die In te gra tions zeit kon stan te der Win kel ge schwin digkeit T i2 ergibt sich zu:

Ti2 =

b N 40° s = 4s = b& N 10°

Ver stell win kel/Ver stell ge schwin digk.


345

Setzt man ei nen PI-Reg ler für die Blatt win kel ver stel lung ein, er hält man fol gen de Über tra gungs funk tion des offe nen Regelkreises: F0b (p) = K 02 ×

1+ pTN

(6.30)

T p 2 TN Ti2 (1 + p i1 ) K 01

Die opti mier ten Regler für die ge samte Pitch-Re ge lung sind mit Hil fe von SIM LER-PC in Bild 6.57 darge stellt. Da bei wur de zur Dar stel lung des Störgrö ßeneinflusses M t /M tN eine Stö rung von 30% des Soll wer tes an ge nommen (erste Si mu la tion mit op ti ma lem PD-Reg ler). Die Ein stel lung des über la ger ten PI-Reglers ist in der zwei ten Si mu la tion darge stellt.

Bild 6.57

Si mula tion der Pitch-Regelung

346

6.2.4


Digitale Regelung von Fräsmaschinen mit CNC

Bei der Ent wick lung neu er Pro duk tions me tho den in der spa nen den Fer ti gung wer den zu neh mend di gi ta le Re gel stra te gien ein ge setzt. Die Rea li sie rung mit Pro zeß rech nern oder Mi kro com pu tern führt zu lei stungs fä hi gen nu me ri schen Fer ti gungs sy ste men, die die CNC-Tech nik (Com pu teri zed Nu mer ical Con trol) er wei tern oder ergän zen hel fen. Die hier be spro che ne di gi ta le Mo men tenre ge lung übernimmt folgende Aufgaben: Ab ta sten der Re gel grö ße Schnitt mo ment, Er rech nen des Re gel al go rith mus, Spei chern und Aus ge ben der Stell grö ße, Ver wal tung der Da ten schnitt stel len Zur Wahl ei nes op ti ma len Re gel al go rith mus ge hört die ge naue Be trach tung der Regel strec ken-Über tra gungs funk tion. Sie be steht aus der Bahn steue rung, dem Fräs- bzw. Zer span pro zeß und der Meßwerterfassung. Die Über tra gungs funk tion der Bahn steue rung als La ge re gel kreis läßt sich aus dem fol gen den Block schaltplan er mit teln (Bild 6.58). Er be steht aus dem La ge reg ler mit P-Ver hal ten, dem GS-An trieb (PT 2 -Ver hal ten), der Tot zeit des Stromrich ters, die hier ver nach läs sigt wird, und dem In te gral glied mit der Hoch laufzeit T H .

Bild 6.58

Lageregelkreis einer Fräsmaschine mit GS-Motor

Nach kur zer Rech nung er hält man die Füh rungs-Über tra gungs funk tion Fw ( p ) =

1 2

p T H 2d p T H T 1+ + K 0 K 0

2

+

p

3

THT K 0

2

2

.

(6.31)

Der ge schlos se ne La ger re gel kreis der Bahn steue rung ent spricht demnach ei ner PT 3 -Strec ke. Pra xis na he Pa ra me ter der Regel strec ke /56/ sind: KS = 1

T2 = 10 ms

d = 0,5

T

H

= 2s

Mit ei ner Reg ler ver stär kung von K R =20 ist die ser Re gel kreis gut ein ge stellt.


347

Der Fräs pro zeß wird durch die Schnitt kraft glei chung von Kienz le /57/ mit dem nor mier ten Schnitt mo ment m be schrie ben. m ( t ) = 10

-3c

×a × r × k

1

× sin

-c k

×s z

(1- c )

×S ( t ) .

(6.32)

Dar in sind: c:

Werk stoff kon stan te

a: Schnit tie fe

r: Ra di us des Werk zeu ges

k 1 : Haupt wert der spe zi fi schen Schnitt kraft

k : Ein stell win kel

s z : Zahn vor schub (Schnei den vor schub) S(t): Ein griff der ein zel nen Fräs schnei den als Stör funk tion. Der Zu sam men hang zwi schen Zahn vor schub s z und der Vor schub ge schwin dig keit v i wird durch die Be zie hung an ge ge ben: t

s z = = k ò [ v i ( t ) - v i ( t - TS / z ) ] dt

( 6 . 33 )

o

mit

z : Zäh ne zahl des Frä sers , TS = n S-1 : Re zi pro ker Wert der Haupt spin del dreh zahl.

Aus den Glei chun gen 6.32 und 6.33 ist zu ent neh men, daß zwi schen der Einund Aus gangs grö ße des Fräs pro zes ses ein hoch gra dig nicht li nea rer Zu sammen hang be steht. Eine ma the ma tisch ex ak te Be hand lung ist schwie rig. Die Glei chung 6.33 kann nä he rungs wei se durch ein PT 2 -Glied darge stellt wer den. Für ei nen Mes ser kopffrä ser aus Ti tan las sen sich mit z=10 und n S =60/min die Kenn kreis fre quenz und die Dämpfung fest le gen. w 0F = p × z × n S = 31,4 Hz

und

d F = 0,7

Zwi schen der Aus gangs grö ße s i des La gere gel krei ses und der Vor schub ge schwin dig keit v i be steht eine, durch die Werk zeug-, Werk stück- und Bahn geo me trie ge ge be ne Be zie hung. Setzt man eine ge rad li ni ge Be we gung vor aus, kann s i » C × v i ge setzt wer den (C: Kon stan te). Der Schwin gungs ein fluß ein zel ner Zahn stö ße auf das Schnitt mo ment kann mit Hil fe ei ner mul ti pli ka ti ven Stör funk tion Fz = sin (2p × n S × t) si mu liert wer den. Die Schnitt mo ment-Er fas sung mit Hil fe von DMS zeigt PT 1 -Ver hal ten. Die Zeit konstan te liegt bei etwa T 1 » 2 ms . Das Blockschaltbild der Schnitt mo men tre ge lung mit un ter la ger ter Bahn steue rung (La ge re gel kreis) ist in Bild 6.59 darge stellt. Es han delt sich in der vor lie gen den Form also um eine Regel strec ke 6. Ord nung, für die es den pas sen den Re gel al go rith mus zu wäh len gilt. We gen der er for der li chen Dy na mik des Zer span pro zes ses ist eine Ab tast zeit von T z £ 10 ms angebracht.

348


Ein Maß für die Funk tions fä hig keit des Re gel al go rith mus ist si cher das Übergangs ver hal ten der Re ge lung bei sprung haf ter Än de rung der Schnit tie fe a. Kienzle /57/ hat sich mit der Ent wick lung von Al go rith men für rech nerge re gel te CNC-Werk zeug ma schi nen aus führ lich be faßt und kommt zu dem Schluß, daß der PI-Re gel al go rith mus den Ein fluß der Störgrö ßen (Schnit tie fe, spe zi fi sche Schnitt kraft, Ein griff der Fräs schnei den usw.) nicht ge nü gend gut aus re geln kann. Wei te re Re gel al go rith men wer den in /33/, /73/ und /85/ besprochen.

Bild 6.59

Digitale Momentenregelung einer Fräsmaschine


6.2.5

349

Positionsregelung mit Linearmotor

Die grund le gen den Glei chun gen, wel che man für eine Li ne ar po si tio nie rung her an zie hen kann, sind: F = m ×a = m ×

dv dt

Kraft wir kung be schleu nig ter Mas se

F = C1 × B × l × I

Kraft wir kung durch Magne tis mus

R A × I(p) 1 = (1 + pTA ) DU(p)

Strom des Linearmotors

Dar aus ergibt sich für den Li ne ar mo tor be züg lich der Ge schwin dig keit PT 1 -I-Ver hal ten (ent spre chend Glei chung 4.7). Re ge lun gen für Po si tio nier auf ga ben mit elek tro dy na mi schen Li ne ar mo to ren wer den üb li cher wei se als Kas ka den re gel krei se aus ge führt. Die un ter la ger te Strom- bzw- Kraftre ge lung dient dabei zur Ver bes se rung der Re ak tions zeit des Antriebes. Durch Kompen sa tion der Zeit kon stan te T A mit Hil fe ei nes PI-Reg lers ergibt sich für den ge schlos se nen in ner sten Re gel kreis die Ersatz strec ke FH1(p) =

1 1+ p

TA K 01

.

Die Ge schwin dig keits re ge lung wird dazu über la gert und der äu ße re Re gel schlei fe bil det schließ lich den Lage- bzw. Po si tions re gel kreis. In Bild 6.60a ist die Re ge lung darge stellt. Er folgt die An steue rung des Li ne ar mo tors durch eine Puls-Brei ten-Mo du la tion PBM mit Lei stungs end stu fe LE, und wird die Meß wert bil dung von Ge schwin dig keit und Po si tion aus ei nem En co der si gnal ge bil det, wird das Re ge lungs sche ma leicht va ri iert (Bild 6.60b). Der Li ne ar mo tor stellt dann nach Glei chung 4.7 PT 1 -I-Ver hal ten dar. Die wei te re Ein stel lung der Reg ler er folgt in glei cher wei se wie in Ab schnitt 5.5.5 und Ab schnitt 7.2.3 (Op ti mie rung ei ner Kas ka den re ge lung) be schrie ben. Man kann da bei pra xis nah annehmen, daß die Ab tast zeit des Mi kro rech ners für die Re gl eral go rith men sehr viel klei ner als alle beteiligten Zeit kon stan ten der Po si tions re ge lung ist.

350

Bild 6.60


Varianten einer Kaskaden-Positionsregelung mit Linearmotor


6.2.6

351

pH-Wert-Regelung zur Abwasser-Neutralisation

Rest ab wäss ser aus Fa bri ka tions an la gen der Che mi schen In du strie ent hal ten häu fig zahl rei che Be stand tei le, de ren pH-Wert eine gro ße Schwan kungs brei te auf weist und die teil wei se umwelt be la stend sind. Des halb wer den die se Ab wäs ser ei ner Neu tra li sa tion zu ge führt, be vor sie in bio lo gisch arbeitenden Kläranlagen behandelt werden. Im all ge mei nen Sprach ge brauch wird durch die Be griffe sau er, neu tral und al ka lisch die Kon zen tra tion an Was ser stoffio nen ei ner wäß ri gen Lö sung be schrie ben. Bei stark ver dünn ten Lö sun gen gilt für die Kon zen tra tion von H + und OH - bei 25°C das Ionenpro dukt cH

+

-

× c OH

= 10

Bei dem Wert c H + = c OH tral, bei c H

+

> c OH

-

-

-14

( mol / l )

2

.

= 10 -7 mol / l wird die wäß ri ge Lö sung als neu -

als sau er und bei c H

+

< c OH

-

als al ka lisch be -

zeich net. Zweck mäßiger ist die Cha rak ter isie rung der Was ser stoffio nen konzen tra tion mit Hil fe des pH-Wer tes durch die Formel pH = - lg c H +

.

(6.34)

Die wäß ri ge Flüs sig keit gilt dann bei pH=7 als neu tral, bei pH7 als al ka lisch. Die re gel tech ni sche Auf ga be bei der Ab was ser-Neu tra li sa tion be steht so mit dar in, die ge for der ten pH-Wer te (sie lie gen zwi schen pH6 und pH9) mit ei nem ent spre chen den Re gel kon zept ein zu hal ten. Ein ein fa ches Re gel sche ma ist in Bild 6.61 ab ge bil det. Es zeigt die Neu tra li sa tion in ei nem ein zi gen Be häl ter, in den ent we der sau re oder ba si sche Lö sung eingebracht wird. Viel fach wird der PI-Re gel al go rith mus ver wen det, der je nach pH-Wert die Ba sen pumpe Pb oder die Säu re pumpe Ps an steu ert. Der Soll wert wird auf den Wert pH=7 ge setzt. Ein stän di ges Zu set zen von Säu re oder Base wird durch eine tote Zone (Ansprech schwel le) ver hin dert. Die se ist meist auf den Be reich von pH=[6,5 ; 7,5] ein ge stellt, d.h. bei |x d |, bzw. durchlaufen. Aus je dem hier ar chisch un terge ord ne ten Menü kann in das Haupt me nü mit dem Be fehls kür zel und in die Leistungs aus wahl mit zurück gegangen wer den. Die Pa ra me ter-Ein ga be läßt sich mit <ESC> abbre chen und man kehrt in die Lei stungs aus wahl zurück. Das Pro gramm SIM LER-PC be steht aus fol gen den drei Tei len: BODE-Dia gramm, NY QUIST-Dia gramm, Übergangs ver hal ten (Zeit be reich). Für je den Programmteil gibt es ein Haupt me nü (Bild 7.2). Mit dem er sten Me nü punkt be ginnt der Auf ruf des Reg ler-Me nüs bzw. des Struk tur menüs bei Übergangs ver hal ten. Punkt zwei des Haupt menüs dient nur zum nochmali gen Auf ruf ei ner be reits ver las se nen Gra fik (so fern die se noch im Arbeitsspei cher des PC’s ist). Pro grammspe zi fi sche Er läu te run gen las sen sich un ter Punkt vier des Hauptmenüs aufrufen. Mit der Ta ste kön nen bei der Pa ra me ter ein ga be Hin wei se zur Reg ler ein stel lung ab ge ru fen werden.

7.1 Das Pro gramm pa ket SIM LER-PC

Bild 7.2

357

Das Hauptmenü (hier vom Programmteil Zeitbereich)

Wird vom Be nut zer die Aus ga be der Gra fik auf ei nen Plot ter ge wählt, folgt zu sätz lich die Fra ge, ob der Plott-Vorgang so fort auf den Plot ter er fol gen soll, oder zu nächst ein HPGL-File an zu le gen ist. Die ser File kann auf je dem Spei cher me di um ab ge legt und spä ter bei spiels wei se von ei nem DTP-Programm geladen werden. Es kön nen bis zu drei Gra phen gleich zei tig (mit den zu ge hö ri gen Pa ra me tern, der Sta bi li täts-Aus sa ge und den Op ti mie rungs-Hin wei sen) darge stellt wer den. Das be deu tet je doch kei ne Be schrän kung der Si mu la tions ver su che. Es be sagt le dig lich, daß die bei den er sten Si mu la tio nen er hal ten blei ben und die je weils letz te stets als Nr. 3 ge wer tet wird. Auf die se Wei se be hält der Be nut zer den Über blick über den Verlauf und die Ergebnisse der Simulationen. Dateiverwaltung: Aus dem Haupt menü her aus er folgt der Auf ruf der Da tei ver wal tung. Es kön nen die mit ge lie fer ten Bei spiel-Fi les so wie vom An wen der er zeug te Gra fi ken ge la den, aus ge druckt, ge plot tet oder ge spei chert wer den. Der Be fehl <E> (Edi tor) ist in Ab schnitt 7.1.3 beschrieben (Bild 7.3). Die Zu ord nung der Fi les zum ent spre chen den Pro grammteil er folgt über die Er wei te run gen *.PTB für BODE-Dia gramme, *.PTN für NY QUIST-Dia gram me, *.PTZ Übergangs funk tio nen, *.PJD Iden ti fi ka tions fi les.

358

Bild 7.3

7 Rech ner-Si mu la tion und -Op ti mie rung

Die Dateiverwaltung

Ein für die Da tei ver wal tung an ge leg ter Be fehls satz wird stets auf der rech ten Bild schirm hälf te an ge zeigt und er mög licht ei nen di rek ten Zu griff auf die DOS-Ebe ne im WI NODWS-Fenster aus dem Pro gramm SIMLER-PC heraus. Zum La den ei ner Gra fik wird mit Hil fe des Cur sor-Blocks das Pfeil symbol auf die Höhe des gewünsch ten Fi les ge bracht. Dann wird mit der Leerta ste der File mar kiert und an schlie ßend das Be fehls kür zel betätigt. Zum Lö schen ei nes Fi les wird die ser mit dem Pfeil symbol an ge fah ren, mit der Leer ta ste mar kiert und dann das Be fehls kür zel ein ge ge ben. Es er folgt dann noch mals eine Ab fra ge “File wirk lich lö schen”, die mit <J> oder zu beantworten ist. Wenn eine Gra fik ge spei chert wer den soll, ist mit das Pull-Down-Menü der Gra fik be ar bei tung an zu wäh len. Geht man dort in die Zei le für “spei chern”, be fin det man sich so fort in der Datei ver wal tung (nicht in der In ter net-Ver sion). Nun kann dem File mit Hil fe der Ta sta tur ein Name zu ge ord net wer den, der ma xi mal acht Zei chen ha ben darf. Der Punkt und die Er wei te rung (z.B. PTB) werden automatisch angefügt.


359

Soll das Ver zeich nis ge wech selt wer den (es wird je weils rechts oben an ge zeigt), ist das Be fehls kür zel
ein zu ge ben. Da nach er folgt mit der Ta sta tur und/oder dem Cur sor-Block die Ein ga be ei nes neu en Suchpfa des. Nach Be stä ti gen mit wird das neue Ver zeich nis auf ge sucht, falls es exi stiert. Soll nach an de ren Fi les im glei chen Ver zeich nis ge sucht wer den, ist das Befehls kür zel für eine neue Such mas ke ein zu ge ben. Da nach er folgt mit der Ta sta tur und/oder dem Cur sor-Block die Ein ga be ei ner neu en Such mas ke (z.B. *.P*). Nach Be tä ti gen von wer den die zu die ser Such mas ke pas sen den Fi les angezeigt, falls solche existieren.

7.1.3

Identifikation und Regler-Optimierung

Die Ein stel lung der op ti ma len Reg ler- und Füh rungs grö ßen-Pa ra me ter er folgt on li ne am Bild schirm. Da bei wer den die Strec ken-Pa ra me ter als be kannt vorausgesetzt. Identifikation: Ist die Strec ke nicht be kannt, kann die Iden ti fi ka tion an hand der ge messe nen Sprung ant wort durch Ap pro xi ma tion vorge nom men wer den. Dies ist un ter Punkt fünf des Haupt me nüs “Übergangs ver hal ten” mög lich. Als Hilfs mit tel für die Iden ti fi ka tion kann man die drei ASCII-Fi les IDEN_1.PJD bis IDEN_3.PJD ver wen den. Sie ent hal ten den für das Pro gramm SIM LER-PC not wen di gen Da ten kopf und 1200 bei spiel haft an ge ge be ne Gra fik meß wer te im REAL-Zah len-For mat. Die se Meß wer te sind durch die tatsächlich gemessene Übergangsfunktion zu ersetzten. Wer den we ni ger als 1200 Wer te ein ge le sen, ver läuft die Gra fik da nach au to matisch auf der Null-Li nie wei ter. Au ßer dem sind an den mit Klar text ge kenn zeich ne ten Stel len der Or di na ten- und Zeit ma ß stab ein zu ge ben so wie ge ge be nen falls die Gesamt-Verstärkung Ks. Als Hilfs mit tel für die Be ar bei tung von Fi les kann der DOS-Editor der Da tei ver wal tung be nutzt wer den. Im Menü 4 “Er läu te run gen zei gen” ist die An pas sung ei nes Meß wert-Fi les nä her be schrie ben. Ist die se An pas sung er folgt, kann der File geladen werden. Be son ders bei Kur ven mit “Rau schen” oder “Brummen” ist es sinn voll, eine Glät tung der Meß wer te vor zu neh men. Dies kann in ner halb des wei te ren Me nü ab laufs mit dem in te grier ten Glät tungs-Al go rith mus er fol gen. Ist die Glät tung zufr ie de nstellend ver lau fen, soll te der File un ter ei nem neu en Na men als Iden ti fi ka tions-File umge spei chert wer den. Er liegt aber auch nach je dem Glättungs-Durchlauf als IDEN_TEM.PJD vor.

360


Mit der Pa ra me ter-Ein ga be des Pro gramms kann man nun in ter ak tiv eine Nä he rung an den ge mes se nen Gra phen vor neh men. Da bei wer den Iden ti fi ka tions-Hin wei se ein ge blen det, die die Strec ke auf ein Mo dell bis vier ter Ord nung mit/ohne Tot zeit mit/ohne All paß re du zie ren. In vie len Fäl len sind diese Hinweise recht hilfreich. Bei zu frie den stel len der Über ein stimmung ent spre chen dann die er mit tel ten Strec ken-Pa ra me ter de nen der ge mes se nen Übergangs funk tion (Sprung ant wort). Für die se Pa ra me ter kann an schlie ßend der op ti ma le Regler gefunden werden. Regler-Optimierung: Als Hilfs mit tel für die Re gel kreis-Op ti mie rung ste hen dem An wen der fünf Reg ler-Ty pen (Bild 7.4) und sechs Strec ken-Va rian ten (Bild 7.5) zur Ver fü gung. Die An zahl die ser Mo del le kann je doch durch ent spre chen de Wahl der Ein stell wer te fast be lie big er wei tert wer den(sie he auch In fotex te un ter \Pro gramme\SimlerPC\Simlerpc51\SIM*.DOC). Ei ni ge Bei spiele: • Für T V =0 wird aus ei nem PID- ein PI-Regler. • Für T N® ¥ (Pa ra me ter-Ein ga be 10 mal die 9) und T V =0 wird aus dem PID- ein P-Regler. • Für T V1 =0 und/oder T V2 =0 wird aus ei nem PD 2 - ein PD- oder P-Reg ler. • Mit den Bei wer ten A, G und K kann der F Ra -Reg ler als Fil ter-Reg ler u.a. für All pa ß strec ken oder als PDT1 -Reg ler eingesetzt wer den. • Mit dem F Rt -Reg ler (Wur zel re ku rsion) werden u.a. Schwan kun gen der Strec kenparameter selbst tä tig aus ge re gelt. • Mit den Bei wer ten xt und dx t kön nen Drei- und Zwei punkt-Reg ler mit/ohne Hy ste re se er zeugt wer den. • Mit X S kann die Stel le grö ße y des Reg ler aus gangs zu sätz lich auf in du striell rea le Wer te be grenzt wer den. • Bei den Strec ken-Mo del len läßt sich die Ord nungs zahl durch Null set zen von Strec ken-Zeit kon stan ten re du zie ren.

Für das bes se re Ver ständ nis der Reg ler-Al go rith men ist ihre Über tra gungsbzw. Übergangs funk tion je weils rechts ne ben Reg ler sym bol auf ge führt. Au ßer dem wer den bei der erst ma li gen Pa ra me ter-Ein ga be Ein stell hin wei se für den je weils ge wähl ten Reg ler in ei nem spe ziel len Fenster angezeigt (Tabelle 7.1).


Bild 7.4

361

Das Menü für die Auswahl des Reglers

Der klas si sche PID-Regler kann auf die bereits er wähn te Wei se auch zu ei nem PI-, PD- oder P-Reg ler ver ein facht wer den. Er wird quer durch die Antriebs tech nik und Ver fah rens tech nik eingesetzt. Der PD 2 -Reg ler ist in das Pro gramm auf ge nommen wor den, weil sich mit ihm die sogenannte Auf he bungs-Kompen sa tion sehr gut zei gen läßt. Er kann durch Null set zen sei ner Zeit kon stan ten na tür lich auch als PD- oder P-Reg ler eingesetzt werden. Der F Ra -Reg ler ist in An leh nung an Ar bei ten von W. Le on hard /17/ ent stan den und stellt ei nen Fil ter-Reg ler dar. Er ist be son ders für die Re ge lung von All paß-Strec ken ge eig net. Er läßt sich durch Ver än dern sei ner Ko effi zien ten A, G und K bei spiel wei se in den P-, PD-, PI-oder PIT1 -Reg ler umwandeln. Die F Rt -Wur zel re kur sion ist ein Re gel al go rith mus ohne jeg li che Reg ler pa ra me ter. Er re gelt be lie bi ge Strec ken hö he rer Ord nung mit/ohne Tot zeit und All paß ver hal ten völ lig selb stän dig und eig net sich auch für Strec ken mit schwan ken den Pa ra me tern /85/.

362


Beim N 3Pt -Reg ler han delt es sich um ei nen Drei punkt-Reg ler mit Hyste re se. Durch Ver än dern sei ner Pa ra me ter kann er auch ohne Hy ste re se oder als Zwei punkt-Reg ler ein ge setzt werden. Alle Reg ler kön nen am Ausgang durch die Grö ße Xs im Bereich von 0,1 - 10 be grenzt wer den. Die Stell grö ße y wird dann auf den 0,1-10fa chen Wert be zo gen auf die Füh rungs grö ße w be grenzt. Bei Ein ga be von Wer ten Xs>10 geht das Pro gramm von ei nem un be grenz ten Reg ler aus gang y aus.

Bild 7.5

7.1.4

Das Menü zur Auswahl des Streckentyps

Stabilitätsaussage

Die Be rechnung der Sta bi li täts aussa ge ist für alle drei Pro grammtei le (BODE-Dia gramm, NY QUIST-Dia gramm, Übergangs ver hal ten) gleich und er folgt nach dem ver ein fach ten Sta bi li täts kri te rium von Ny quist mit den Gleichungen 5.5 bis 5.7. Fol gen de Wer te für die Sta bi li täts aus sa ge wer den er mit telt und pas send zum ent spre chen den Si mu la tions lauf in der Grafik angezeigt:

7.2 An wen dun gen

-

363

kri ti sche Fre quenz w Z /Hz Am pli tu den re ser ve (Am pli tu den rand) Ar kri ti sche Reg ler-Ver stär kung Kr_krit Durch tritts fre quenz w d /Hz Pha sen re ser ve (Pha sen rand) a R /Grad Sta te ment: Re ge lung sta bil / Stab.-Gren ze / in sta bil

An schlie ßend er folgt die Be rech nung und An zei ge der An- und Aus re gel zeit so wie der op ti ma len Reg ler-Pa ra me ter und (falls an ge wählt) der op ti ma len Füh rungs grö ßen wer te für eine Fahrkurve.

7.2

An wen dun gen

7.2.1

Das Bode-Diagramm

Nach der Wahl von Punkt drei in der Lei stungs aus wahl kann der Be nut zer vom Haupt me nü aus ein neu es Bode-Dia gramm er stel len. Mit dem An wäh len des Punk tes eins er scheint auf dem Bild schirm die Reg ler-Aus wahl. Es kann un ter fünf Regler ty pen ge wählt wer den. Im dann folgen den Strec kenmenü wird der zu vor ge wähl te Reg ler typ im oberen Bildrahmen angezeigt. Die Kür zel für die ein zel nen Regel strec ken sind zum gro ßen Teil all ge mein be kannt. Nur der All paß 1. Ord nung (PTa) und der Hoch paß (DT 1 ) wer den hier noch mals mit ih rer Über tra gungs funk tion F(p) gezeigt. PID-Regler und PT1-PT2-PTt-I-Strecke: Im fol gen den Bei spiel wird an ge nom men, daß der Be nut zer ei nen PID-Reg ler und den Strec kentyp zwei ge wählt hat (Bild 7.6). Mit die ser Kon fi gu ra tion er folgt dann die Pa ra me ter-Ein ga be. Da mit sich der An wen der ein Bild von der Feh ler be hand lung des Pro gramms SIM LER-PC ma chen kann, wur de hier ein mal die Reg ler-Ver stär kung Kr=0 ge setzt. Es er scheint dann etwa in der Bild mit te ein ent spre chen des Feh ler fen ster mit den not wen di gen Korrekturhinweisen. Im Bode-Dia gramm ist aus di dak ti schen Grün den die Ein ga be des Ab szis senbe ginns w A er for der lich. Da bei ist w A =0 (we gen lg0 ® - ¥) nicht mög lich (sie he Glei chung 5.10). Hier wur de w A =0,01Hz gewählt. Wer den alle Pa ra me ter kor rekt an ge ge ben und mit be stä tigt, er scheint sofort die Bildschirm-Gra fik mit dem Bode-Dia gramm der er sten Si mu la tion (Bild 7.7).

364

Bild 7.6


Der Bildschirm bei Parameter-Eingabe

Im vor lie genden Bei spiel wur de der PID-Reg ler zu nächst will kür lich ein ge stellt und ergab eine in sta bi le Re ge lung. Die zwei te Si mu la tion zeigt die Wir kung des Reg lers bei ver tausch ten Reg ler-Pa ra metern Tn und Tv so wie her ab ge setz ter Ver stär kung. Es liegt nun eine sta bi le Re ge lung vor, die in der drit ten Si mu la tion mit Hil fe der Hin wei se aus der Ergebnisliste optimal eingestellt worden ist. PID-Regler mit und ohne Begrenzung: Ein wei te res Bei spiel zeigt, wie sich im Bode-Dia gramm Fre quenz gang be trag und Pha sen gang ei nes Reg lers (ohne Strec ke) verglei chend dar stel len las sen (Bild 7.8). Bei dem ge wähl ten PID-Reg ler wur den in der er sten und zwei ten Si mula tion die Pa ra meter Tn und Tv ver tauscht. Für TnXs oder y a > 1 der hier be nutz ten Umformre gel Nr. 14 zu prü fen. Es ergibt sich w D T 11 = 59,907 , so daß die se Umfor mung er laubt ist.

Aufgabe 5.17 (S. 240) Die Über tra gungs funk tion des offe nen Re gel krei ses lautet

F

0

(p) »

pT

N

K 0 (1+ p T V )(1+ p T N ) ( 1 + p T 11 ) ( 1 + p T 12 ) ( 1 + p T 13 ) ( 1 + p T

14

)

.

Wählt man bei spiel wei se T V =T 12 =0,1s , läßt sich ein Ver zö ge rungs glied kom pen sie ren. Da T 11 >>T 13 ,T 14 ist, kön nen die Um formre geln Nr. 13 und Nr. 14, Ta bel le 3.5 an ge wen det wer den, um F 0 (p) auf die Glei chung 5.30 an zu pas sen. Damit folgt F

0

(p) » K

0

×

1+ p T p

2

T

11 T

N

N

(1+ p T

K

)

mit T K =T 13 +T 14 =0,02s . Die Glei chung 5.31 lie fert durch Ko effi zien ten vergleich T für a R = 60° eine Nach stell zeit von T

N

= m

2

×T

K

b

=T

K

, so daß

= 0,279 s

er mit telt wird. Die Glei chung 5.32 er bringt damit eine Durch tritts fre quenz von w

D

=

1 mT

= b

1 mT

= 13,397 Hz . K

8.1 Auf ga ben

449

Die Reg ler ver stär kung läßt sich mit Hil fe der Glei chung 5.33 an ge ben K

R

=

Ta mK S T

= b

T 11 mK S T

= 3,148

.

K

Zum Schluß ist die Rand be din gung w D T11 > > 1 der hier be nutz ten Umformre gel Nr. 14 zu prü fen. Es ergibt sich ein Wert von w D T11 = 6,297 , so daß die Rand be din gung er füllt ist. Die Si mu la tion der Re ge lung mit der tat säch li chen PT 4 -Strec ke und dem PID-Reg ler ist in Bild 8.32 darge stellt. Dabei zeigt sich, daß die gefor der te Pha sen re ser ve von a R = 60° so gar noch über schrit ten wird. Die Durch tritts fre quenz, die ein Maß für die Dy na mik der Reg lung dar stellt, ist nur leicht unterschritten. Au ßer dem ist aus dem Ver lauf der Sprung ant wort er sicht lich, daß die er mit tel ten Reg ler-Pa ra me ter ein gu tes Ergeb nis er brin gen, wel ches für eine An triebre ge lung sicher in Ord nung ist. Die kri ti sche Reg ler ver stär kung ist er reicht, wenn die Pha sen re ser ve a R = 0° ist. Dann wird m=1, so daß gilt: K Rkrit =

K

T

11

S

T

= 11,75 . K

Aufgabe 5.18 (S. 240) Die Über tra gungs funk tion des offe nen Re gel krei ses lautet F

0

(p) = K

0

×

1+ p T p

2

T

N

T i(1+ p T

N 11 ) ( 1 + p T

12

)

×e

-p Tt

.

Die se Re ge lung läßt sich nur auf die Glei chung 5.30 des Symmetri schen Op ti mums re du zie ren, wenn die Tot zeit mit Hil fe der Kor re spon denz Nr. 15, Ta bel le 3.5 als PT 1 -Glied dargestellt wird. Bil det man au ßer dem mit der Kor re spon denz Nr. 13, Ta bel le 3.5 die Sum me der klei nen Zeit kon stan ten, ergibt sich eine Er satz glied mit PT 1 -Ver hal ten und der Er satz zeit kon stan ten T K = T 11 + T 12 + T t = 1,175 s . Schließ lich er hält man eine auf die Glei chung 5.30 an ge pa ß te Über tra gungs funk tion F

0

(p) » K

0

×

1+ p T p

2

T

N

N

T i(1+ p T

. K

)

Durch Ko effi zien ten vergleich las sen sich mit Hil fe der Glei chun gen 5.31 bis 5.34 die Reg ler-Pa ra me ter angeben.

450

Bild 8.32

8 Lö sun gen zu Auf ga ben und Klau su ren

Simulation der Sprungantwort mit der Original-Regelung

8.1 Auf ga ben

Bild 8.33

Simulationen der Original-Regelung und der reduzierten Regelung

451

452


T

N

= m

w

D

=

K

R

=

2

1 mT

T

= 8,87 s ,

K

= 0,31 Hz , K

Ti mK S T

= 0,909

.

K

Die Rand be din gung der hier be nutz ten Kor re spon denz Nr. 15, Tab. 3.5 ist er füllt, denn es ergibt sich w D T t = 0,008 < < 1 . Die Si mu la tio nen der Ori gi nal-Re ge lung und der auf Glei chung 5.30 re du zier ten Re ge lung sind in Bild 8.33 darge stellt. Es ist eine sehr gute Über ein stim mung bei der Gra phen zu be ob ach ten. Auch die Durch tritts fre quenz und die Pha sen re ser ve sind nahezu identisch. Es ist demnach so wohl eine Tot zeit nä he rungs wei se als PT 1 -Glied dar stell bar, als auch eine Zu sammen fas sung der klei nen Zeit kon stan ten zu ei ner Er satz zeit kon stan ten T K möglich (un ter Be ach tung der Randbedingungen).

Aufgabe 5.19 (S. 242) Bei der Auf he bungs kompen sa tion mit dem PD 2 -Reg ler las sen sich zwei Regel strec ken mit PT 1 -Ver hal ten kompen sie ren. Drei Si mu la tio nen zei gen im Vergleich die ver schie de nen Ein stell wer te des PD 2 -Reg lers (Bild 8.34). Bei den Wer ten T V 1=T 11 =10s und T V2 =T 12 +T 13 =8s er hält man ei nen nicht über schwin gen den Verlauf.

Aufgabe 7.1 (S. 396) Die Sprung ant wort dieser Strec ke läßt sich nicht direkt mit Hil fe der Iden ti fi ka tions hin wei se von SIM LER-PC iden ti fi zie ren (Bild 8.35). Es ist je doch deut lich zu se hen, daß die Strec ke eine gro ße Zeit kon stan te ent hält, die von ei ner ab klin gen den Schwin gung über la gert ist. Die sen Sach ver halt kann man sich bei der Iden ti fi ka tion zu Nutze machen. Mit der Meß wert glät tung läßt sich die über la ger te Schwin gung eli mi nie ren, so daß die gro ße Zeit kon stan te übrig bleibt, die dann mit Hil fe der Iden ti fi ka tions hin wei se zu ermitteln ist.

8.1 Auf ga ben

Bild 8.34

Simulationen zur Aufhebungskompensation

453

454

Bild 8.35


Ermitteln der Werte T2 und d mit Hilfe von SIMLER-PC

8.1 Auf ga ben

455

Man geht also in die Meß wert glät tung des Pro gramms SIM LER-PC und wählt bei spiels wei se ein Ab tast fen ster brei te von 40 mit zwei Durch läu fen. Die ge glät te te Gra fik wird, wenn man an schlie ßend <J> be tä tigt, als File mit dem Na men IDEN_TEM.PJD abgespeichert. Lädt man nun die sen File, zei gen die Iden ti fi ka tions hin wei se die Wer te K S » 1,005 und T 11 » 1,957 s . Geht man mit die sen Wer ten in die Pa ra me ter-Ein ga be, ergibt sich die Sprung ant wort ei ner PT 1 -Strec ke, die al ler dings noch nicht ge nau mit der ge glät te ten Grafik über ein stimmt. In ei ner weite ren Si mu la tion las sen sich dann die ex ak ten Pa ra me ter der PT1 -Strec ke finden, sie lauten K

S

=1

und

T

11

= 2,15 s .

An schlie ßend wird der File IDEN_5.PJD noch mals ge la den. Mit Hil fe des Fahr strahls kön nen jetzt die Pa ra me ter der ab klin gen den Schwin gung iden ti fi ziert werden. Es ist sinn voll, den Fahr strahl zur Mes sung der Schwin gungs zeit kon stan te ziemlich an das rech te Ende der Gra fik zu fah ren. Nun auf eine Kup pe fahr en und mit der Ta ste mar kie ren, dann auf eine zeit lich nach fol gen de Kup pe fah ren und mit der Ta ste mar kie ren. Jetzt er scheinen im Fen ster un ten rechts die Wer te der Schwin gung T 2 » 0,1989 s und die Dämpfung d» 0,011 (Bild 8.35). Eine de tail lie re Be schrei bung die ses Vorgangs fin det sich im Menü 4 “In for matio nen” von SIM LER-PC. Geht man mit allen er mit tel ten Wer ten noch mals in die Pa ra me ter-Ein ga be, läßt sich die sehr gute Überein stimmung mit der zu iden ti fi zie ren den Gra fik feststellen. Die Sprung ant wort des Fi les IDEN_5.PJD stellt demnach ins ge samt eine PT 1 -PT 2 -Strec ke dar.

456


Aufgabe 7.2 (S. 396) [nach: Tho mas-Evan ge li um Nr.50, GNO SIS, Patt loch-Ver lag] und /86/ Je sus sprach: Wenn man euch fragt: “Wo her seid ihr ge kom men?”, ant wor tet ih nen: “Wir ka men aus dem Licht, von dem Ort, wo das Licht aus sich selbst ent steht.” Wenn man euch fragt: “Wer seid ihr?”, so ant wor tet ih nen: “Wir sind Söh ne des Lich tes und wir sind die Er wähl ten des VATERS.” Wenn man euch fragt: “Was ist das Zei chen eu res Va ters an euch?”, so ant wor tet ih nen: “Es ist Be we gung in der Stil le aus Liebe.”

8.2

Klau su ren

Zum wei te ren Ein üben des Stoffes sind im Fol gen den ei ni ge ty pi sche Klau su ren für Stu die ren de mit den Lö sun gen auf ge führt.

8.2 Klau su ren

REGELTECHNIK

457

Klau sur A

1. Aufg & ge ge ben. Es ist die li nea re Differ enti al glei chung &&u + b 2 u& = b 2 w Er mit teln Sie F(p)=u(p)/w(p) so wie f(t).

2. Aufg. Für die fol gen de Schal tung ist die Über tra gungs funk tion F(p)=Ua(p)/Ue(p) ge sucht.

3. Aufg. Es wur de die Sprung ant wort ei ner Regel strec ke auf ge nommen. Er mit teln Sie die Strec kenparameter und ge ben den pas sen den Reg ler typ an.

458


4. Aufg. Es sind mit dem Symme tri schen Op ti mum (S.O.) die Wer te K R , T N und T V ei nes Reg lers zu be stim men. geg.: K S=0,6

T 11 =19s

T 12 =136s

T 13 =4s

Tt=0,2s

a R = 50°

ges.: a) Fo(p); Fo(p) auf das S.O. an ge paßt; Reg ler pa ra meter u. w

D

b) Wie groß wäre die Durch tritts fre quenz für ei nen funk tio nieren den Fall (Rand be din gun gen des S.O. er füllt), wenn sich die Re ge lung an der Sta bi li täts gren ze be fin det?

5. Aufg. Es ist ein Re gel kreis mit Hil fe des BODE-Dia gramms zu un ter su chen. geg.:

w

K R =1,78

V

= 0,25Hz

K S1 =1

w

K S2 =0,562

w 0 = 0,4Hz

E11

X S =5,623

= 8Hz

w i = 0,7Hz ges.: a) w D ; a R ; stabil ? b) K Rkrit und w

z

c) K R * für w D *=0,35Hz so wie a

R*

.

8.2 Klau su ren

REGELTECHNIK

459

Klau sur B

1. Aufg. & Für die Differ enti al glei chung &&x + k × x& + m × x& + k × m × x = w F(p)=x(p)/w(p) und f(t) ge sucht.

sind

2. Aufg. Für zwei in Reihe lie gen de iden ti sche PT 1 -Strec ken wur de bei der Eck frequenz w E1 ein |F|=3,162 ge mes sen. Er mit teln Sie die Gesamt strec kenverstärkung KS.

3. Aufg. Es wur de die Sprung ant wort ei ner Strec ke auf ge nommen. Ge ben Sie die Reg ler pa ram eter für ei nen PID-Reg ler bei Füh rungs ver hal ten ohne Über schwin gen mit Hil fe von Chien-Hrones-Res wick an.

460


4. Aufg. Es sind mit dem Symme tri schen Op ti mum die Reg ler pa ra me ter K R , T N und T V zu be stim men. geg.: K S =2 T 11 =9s T 12 =0,2s T 2 =0,3s d=1

Tt=0,03s a R = 30°


D

b) Wie groß wäre die Er satz zeit kon stan te T K (bei funk tio nieren dem Fall), wenn die Rand be din gung des PID-Reg lers ge ra de noch er füllt ist? 5. Aufg. Es ist ein Re gel kreis mit Hil fe des BODE-Dia gramms zu un ter su chen. geg.: K R =3,162 K S1 =K S2 =1

w

N

w

E11

K S3 =1,78

= 0,15Hz =w

E12

w

V

= 0,2 Hz

T t = 0,1s

ges.: a) w D ; a R ; stabil ? b) K Rkrit und w

z

c) K R* für w D* =0,1Hz so wie a

R*

.

= 2,5Hz

X S =5,623

8.2 Klau su ren

461

REGELTECHNIK

Klau sur C

1. Aufg. Es ist die Differ enti al glei chung &&x + x& ( a + 3 ) + 3 a × x = &z ge ge ben. Er rech nen Sie die Über tra gungs funk tion F(p)=x(p)/z(p) so wie f(t).

2. Aufg. Die fol gen de Glei chung ist in ein re gu lä res PT 2 -Glied um zu rech nen (Ein hei ten un be rücks ich tigt). Ge ben Sie die Ver stär kung K S so wie die zu ge hö ri gen For meln für T2 und d an.

F(p) =

1 2

p + 2p + 5

3. Aufg. Es wur de die Sprung ant wort ei nes ge schlos se nen Re gel krei ses auf ge nommen. Die Re ge lung ist für ei nen PID-Reg ler nach Zieg ler-Ni chols zu op ti mie ren.

462


4. Aufg. Es ist mit Hil fe des Symm. Opti mums. ein Reg ler mit K R , T N , T V zu op ti mie ren. geg.: K S =0,4 T 11 =37s und drei glei che PT 1 -Glie der mit T 12 =1,8s so wie

Tt=0,15s für

a R =60°


D

b) Für wel ches “m” wird die Rand be din gung des PID-Reg lers ge ra de noch er füllt (bei ei nem funk tio nie ren den Fall)?


K R =3,162

w

N

K S1 =K S2 =1

w

E11

K S3 =1

w

0

= 25Hz =w

E12

w

V

= 100Hz

X S =7,5

= 30Hz

= 90Hz

ges.: a) w D ; a R ; stabil ? b) K Rkrit und w c) K R * für a

z

R * =45° bei re du zier ter Re gel dy na mik so wie w D*

8.2 Klau su ren

REGELTECHNIK

463

Klau sur D

1. Aufg. Es ist die li nea re Differ enti al glei chung T1 × y& + y = m × T1 × z& - m × z ge ben. Er mit teln Sie F(p)=y(p)/z(p) so wie f(t).

ge -

2. Aufg. Der in ne re Re gel kreis ei ner Kas ka den re ge lung be steht aus ei nem PI-Reg ler und ei ner PT1-PT1-Strec ke. Rechnen Sie die sen Re gel kreis in eine Hilfs re gel strec ke für den über la ger ten Re gel kreis um, wenn die Reg ler di men sio nie rung T N1 =T 11 gilt.

3. Aufg. Es wur de die Sprung ant wort ei nes ge schlos se nen Re gel krei ses auf ge nommen. Er mit teln Sie die Ge samt ver stär kung K 0 und ge ben den ein ge setz ten Reg ler typ an.

464


4. Aufg. Es ist mit Hil fe des Symme tri schen Op ti mums ein Reg ler mit K R , T N , T V zu op ti mie ren. geg.: K S =0,4 T 11 =400s drei glei che PT 1 -Glie der mit T 12 =20s so wie

a R =45°

Tt=2s für


D

b) Für wel ches “m” wird die Rand be din gung des PID-Reg lers ge ra de noch er füllt (bei ei nem funk tio nie ren den Fall)?


K R =3,162

w

N

K S1 =K S2 =1

w

E11

K S3 =0,562

w

0

= 15Hz =w

E12

w

= 25Hz

= 70Hz

ges.: a) w D ; a R ; stabil ? b) K Rkrit und w c) K R * für a

V

z

R * =60° so wie w D*

= 100Hz

X S =5,623

8.2 Klau su ren

Lösun gen

465

Klau sur A

1. Aufg. F ( p) =

b2 p + b2 2t

f ( t ) = 1 - e -b

2. Aufg. Mit Glei chung (2.10) folgt

F ( p) = - K p ×

T1(1 + pT 2 ) T 2 (1 + pT1 )

3. Aufg. Mit den For meln aus S. 96 erge ben sich aus der Gra phik die Pa ra meter d und T 2 . Ge eig net ist für die Strec ke der PI- oder PID-Regler.

4. Aufg. (sie he Ab schnitt 5.5.2) Fo( p) = Ko × mit T V =T 1 3

und T K =T 11 +T t folgt

Fo( p) » Ko ×

a)

T N =m 2 T K

b)

wD =

1 TK

(1 + pT N )(1 + pTV ) × e - pTt pT N (1 + pT11 )(1 + pT12 )(1 + pT13 )

1 + pT N 2

p T N T12 (1 + pT K )

wD =

1 m ×TK

KR =

T12 m × K S ×TK

da m=1 an der Sta bi li täts gren ze

466

5. Aufg.


8.2 Klau su ren

Lösun gen

467

Klau sur B

1. Aufg. F ( p) =

p ( p + k )( p + m )

f (t) =

e -mt - e -kt k -m

2. Aufg. Mit Glei chung (2.10) folgt

| F ( jw)| = 3162 , = KS ×

1 2

d.h.

K S =6,324

3. Aufg. (sie he Ab schnitt 4.1.2 Ta bel le 4.1) KR =

0,6Tg K S Tu

T N =T g

T V =0,5T u

4. Aufg. (sie he Ab schnitt 5.5.2) Fo( p) = Ko × mit T V =T t

pT N (1 + pT11 )(1 + pT12 )(1 + pT 2 )

und T K =T 1 2 +2T 2 folgt

Fo( p) » Ko ×

a)

(1 + pT N )(1 + pTV )

T N =m 2 T K

1 + pT N p 2T N T11(1 + pT K )

wD =

1 m ×TK

b) T N =2,5T V =m2 T K da her T K =

KR = 2,5TV m2

T11 m × K S ×TK

2

× e - pTt

468

5. Aufg.


8.2 Klau su ren

Lösun gen

469

Klau sur C

1. Aufg. F ( p) =

p ( p + a)( p + 3)

f (t) =

e -3t - e -at a -3

2. Aufg. Durch Ko effi zien ten vergleich mit Glei chung (3.30) folgt

KS =

1 5

T2 =

1 5

d=

1 5T 2

3. Aufg. Mit den For meln aus S. 96 erge ben sich aus der Gra phik die Pa ra meter d und T 2 . Ge eig net ist für die Strec ke der PI- oder PID-Regler.


(1 + pT N )(1 + pTV ) pT N (1 + pT11 )(1 + pT12 ) 3

× e - pTt

und T K =3T 1 2 folgt

Fo( p) » Ko ×

a)

T N =m 2 T K

b)

m=

2,5TV TK

1 + pT N 2

p T N T11(1 + pT K )

wD =

1 m ×TK

KR =

T11 m × K S ×TK

470

5. Aufg.


8.2 Klau su ren

Lösun gen

471

Klau sur D

1. Aufg. F ( p) = m ×

p-a p+ a

mit a =

1 T1

f ( t ) = m × (2e -at -1)

2. Aufg.

Fo( p) = K 0 × FH ( p) =

1 pT11(1 + pT12 )

1 T11 T 1+p + p 2 11 T12 Ko Ko

3. Aufg.

x( t ® ¥ ) =

Ko ×w 1 + Ko


T N =m 2 T K

b) m =

pT N (1 + pT11 )(1 + pT12 )

3

× e - pTt

und T K =3T 1 2 folgt

Fo( p) » Ko ×

a)

(1 + pT N )(1 + pTV )

2,5TV TK

1 + pT N p 2T N T11(1 + pT K )

wD =

1 m ×TK

KR =

T11 m × K S ×TK

472

5. Aufg.


9

Schalt zei chen für Über sichts schalt plä ne

Nach EN 60617 bzw. IEC 60617 sind die Schalt zei chen di gi ta ler Funk tion ge normt. Die se Norm löst die DIN 40 700 Teil 14 ab. Die EN 736-1 löst die DIN 19227 und DIN 3211 ab, nach der Bild zei chen und Kenn buch sta ben für das Mes sen, Steu ern und Re geln in der Ver fah rens tech nik so wie Stell glieder in Sy ste men aus Rohr lei tun gen, Ap pa ra ten, Behältern und Ma schi nen ge normt sind. In An leh nung an die se Nor men wer den fol gen de Schalt zei chen ver wen det:

474

9 Schalt zei chen für Über sichts schalt plä ne

9 Schalt zei chen für Über sichts schalt plä ne

475

10

Li te ra tur ver zeich nis

10.1

Ma the ma ti sche und Elek tro tech ni sche Grund la gen

(1)

Bron stein, I.; Se mend ja jew, K.: Ta schen buch der Ma the ma tik.6. Aufl. Frank furt/M.: Ver lag H. Deutsch 2005.

(2)

Bartsch, H.J.: Kleine For mel sammlung Mathematik. München: Han ser-Ver lag 2003.

(3)

Stingl, P.: Ein stieg in die Ma the matik für Fach hoch schu len. Leipzig: Fach buch ver lag 2001.

(4)

En zy klo pä die Na tur wis sen schaft und Tech nik. 2. Aufl. Wein heim: Zwei burgen-Ver lag 2003.

(5)

Heu mann, K.; Stum pe, A.C.: Thy ri sto ren-Ei gen schaf ten und An wen dung. Stutt gart: Ver lag B.G. Teub ner 1974.

(6)

Me sche de, D.; Ger the sen, Ch.: Phy sik. 23. Aufl. Ber lin: Sprin ger-Ver lag 2005.

(7)

Tiet ze, U.; Schenk, C.: Halb lei ter-Schal tungs tech nik. Ber lin: Sprin ger-Ver lag 2005.

(8)

Föl lin ger, O..: La pla ce-, Fou rier und z-Trans for ma tion. 8. Aufl. Heidelberg: Hüt hig-Ver lag 2003.

(9)

Do etsch, G.: An lei tung zum prak ti schen Ge brauch der La pla ceTrans for ma tion und Z-Trans for ma tion. 5. Aufl. Mün chen: R. Ol den bourg-Ver lag 1985.

(10)

Hea vi si de, O.: Elec tro ma gne tic Theo ry. Bd. 3. Lon don: 1912

10.2 Bü cher zu den Grund la gen der Re gel tech nik

477

(11)

Car son, J.R.: Elek tri sche Aus gleichs vorgän ge und Ope ra to renrech nung. New York: 1953

(12)

Wag ner, K.W.: Ope ra to ren rech nung und La pla ce sche Trans formation. 3. Aufl. Leip zig: J.A. Barth-Ver lag 1962.

10.2

Bü cher zu den Grund la gen der Re gel tech nik

(13)

Lun ze, J.: Re ge lungs tech nik 1. 5. Aufl. Ber lin: Springer-Ver lag 2005.

(14)

En ders, H.; Xan der, K.: Re ge lungs tech nik mit elek tro ni schen Bau ele men ten. 3. Aufl. Düs sel dorf: Wer ner-Ver lag 1981.

(15)

Föl lin ger, O.; Dör rschiedt, F.; Klit tich, M.: Re ge lungs tech nik. Heidelberg: Hüthig-Ver lag 2005.

(16)

Gass mann, H.: Theo rie der Re ge lungs tech nik. Eine Ein füh rung. Frank furt/M.: Ver lag H. Deutsch 2003.

(17)

Le on hard, W., Schu ma cher, W.: Re ge lung elek tri scher Antrie be. Berlin: Springer-Ver lag 2000.

(18)

Le on hard, W.: Ein füh rung in die Re ge lungs tech nik. 6. Aufl. Braun schweig: Vie weg-Ver lag 2002.

(19)

Mann, H.; Schiffel gen, H.: Ein füh rung in die Re ge lungs tech nik. 10. Aufl. Mün chen: Han ser-Ver lag 2005.

(20)

Stöl ting, H.-D.; Kal len bach, E.: Hand buch Elek tri sche Klein an trie be. 3. Aufl. Mün chen: Han ser-Ver lag 2006.

(21)

Op pelt, W.: Klei nes Hand buch tech ni scher Re gel vorgän ge. Wein heim/Bergstr.: Ver lag Che mie 1972.

(22)

Töp fer, H.; Besch, P.: Grund la gen der Au to ma ti sie rungs tech nik. Steue rungsund Re ge lungs tech nik für In ge ni eu re. Mün chen: Han ser-Ver lag 1990.

(23)

Reu ter, M.; Za cher, S.: Re ge lungs tech nik für In ge ni eu re. 11. Aufl. Braun schweig: Vie weg Ver lag 2004.

(24)

Schlitt, H.: Re ge lungs technik, Phy si ka lisch orien tier te Dar stel lung fach übergrei fen der Prin zi pien. Würz burg: Vo gel Buch ver lag 1993.

478

10 Li te ra tur ver zeich nis

(25)

Un be hau en, H.: Re ge lungs tech nik Bd.I. 11. Aufl. Braun schweig: Vie weg-Ver lag 2001.

(26)

Wein mann, A.: Re ge lungs tech nik I. 3. Aufl. Wien: Sprin ger-Ver lag 1998.

(27)

Ar beits kreis der Do zen ten für Re gel tech nik: Re ge lungs tech nik in der Ver sorgungs tech nik. Karls ru he: C.F. Mül ler-Ver lag 2002.

10.3

Ver tie fen de Bü cher zur Re gel tech nik

(28)

Ackermann, J.: Ro bust Con trol. The Pa ra me ter Spa ce Ap pro ach. London: Sprin ger-Ver lag 2002.

(29)

Hoff mann, Jörg: Ta schen buch der Mess tech nik. 5. Aufl. Mün chen: Hanser-Ver lag 2007.

(30)

Föl lin ger, O.: Li nea re Ab tast sy ste me. 5. Aufl. Mün chen: Ol den bourg-Ver lag 1993.

(31)

Föl lin ger, O.: Nicht li nea re Re ge lun gen. Bd I. 8. Aufl. Mün chen: Ol den bourg-Ver lag 1998.

(32)

Föl lin ger, O.: Op ti mie rung dy na mi scher Sy ste me. Mün chen: R. Ol den bourg-Ver lag 1985.

(33)

Iser mann, R.: Iden ti fi ka tion dy na mi scher Sy ste me II. 2. Aufl. Ber lin: Sprin ger-Ver lag 1992.

(34)

Kümmel, F.: Elek tri sche An triebs tech nik 2. Lei stungs stell glie der. Ber lin: VDE-Ver lag 2001.

(35)

Mey er, M.: Elek tri sche An triebs tech nik Bd.1 und Bd.2. Ber lin: Sprin ger-Ver lag 1985, 1987.

(36)

Or lowski, P. F.: Prak ti sche Ana log tech nik. 3. Aufl. Mar burg: dia go nal-Ver lag 2008.

(37)

Or lowski, P. F.: An ge wand te Di gi tal tech nik. 6. Aufl. Mar burg: dia go nal-Ver lag 2008.

(38)

Hei er, S.: Wind kraft an la gen. Sy stem aus le gung, Net zin te gra tion und Re ge lung. 4. Aufl. Stutt gart: Teubner-Ver lag 2005.

(39)

Gasch, R.; Twe le, Jo chen: Wind kraft an la gen. Grund la gen, Ent wurf, Pla nung und Be trieb. 5. Aufl. Stutt gart: Teub ner-Ver lag 2007.

(40)

Weck, M.: Werk zeug ma schi nen 3. Me cha tro ni sche Sy ste me. Berlin: Springer-Ver lag 2006.

10.4 Auf sät ze und Da ten blät ter

479

10.4

Auf sät ze und Da ten blät ter

(41)

Chien,K.L.; Hro nes, J.R.; Res wick, J.B.: On the Au to matic Con trol of Ge ne rali zed Pas si ve Sy stems. Trans. ASME 74 (1952), S. 175...185.

(42)

Kess ler, C.: Über die Vor aus be rech nung op ti mal ab ge stimmter Re gel krei se. Re ge lungs tech nik 2 (1954), S. 274...281 und RT 3 (1955), S. 16...22; so wie: Das symme tri sche Op ti mum. Re ge lungs tech nik 6 (1958), S. 395...400 und S. 432...436.

(43)

Ny quist, H.: Re ge ner ation Theo ry. Bell Syst.-Techn. J.11 (1932), S. 126...147.

(44)

Zieg ler, J.G.; Ni chols, n.B.: Op ti mum Set tings for Au to ma tic Con trol lers. Trans. ASME 64 (1952), S. 759.

(45)

Arend, H.O.: Mi kro pro zes sorge steu er te Re ge lung für mul ti va len te Hei zungs an la gen. BMFT-For schungs be richt T 81-076, 1981.

(46)

Schwarz, H.: Vor schlä ge zur Eli mi na tion von Kopp lun gen in Mehr fach re gel krei sen. Re ge lungs tech nik (1961), S. 454...459 und S. 505...510.

(47)

Kess ler, G.; Bran den burg, G.; Schlos ser, W.; Wol fer mann, W.: Struk tur und Re ge lung bei Sy ste men mit durch lau fen den ela stischen Stoff bah nen und Mehr mo to ren-An trie ben. Re ge lungs tech nik 8 (1984), S. 251...266.

(48)

Schör ner, J.: Re ge lung von Dreh strom auf zug an la gen mit Dreh strom tel ler. Re ge lungs tech nik 4 (1980), S. 110...116.

(49)

Leh mann, H.; Mi teen zwei, K.: Mo der ne Aus rü stung für Gleichstrom-Schacht för der be trie be. BBC-Nach rich ten H.11 (1977), S. 477...484.

(50)

Or lowski, P. F.: Elek tri sche Aus rü stung und Re ge lung von Bundop ti mie rungs li nien. BBC-Nach rich ten H.8 (1979), S. 267...273.

(51)

Hü gle, K.; Or lowski, P.F.: An triebs re ge lun gen und Au to ma tisie rung ei ner zwei ge rü sti gen Dres sier stra ße. BBC-Nach rich ten H.5 (1980), S. 159...167.

(52)

Schö nert, D.; Tho me, H.J.: Hy drau li sche Wal zen an stel lung und Band dic kenregelung in Kalt walz wer ken. Son der druck aus Stahl und Ei sen H.5 (1974). BBC-Druckschrift-Be stell-Nr. D GJA 40217 D.

480


(53)

Le on hard, W.: Elek tri sche Re gel an trie be für den Ma schi nen bau. VDI-Z 123 Nr.10 (1981), S. 423...424.

(54)

Gey ler, M.; Ca se litz, P.: Re ge lung von dreh zahl va ria blen Windkraftan la gen. at (Au to ma ti sie rungs tech nik) H.12 (2008), S. 614...635.

(55)

Bau r, M.: Mo del lie rung und Re ge lung nicht linea rer dynamischer Mehrgrößensysteme auf der Ba sis von fuz zy-ver knüpf ten lokalen li nea ren Mo del len. Diss. Technische Uni ver si tät Chemnitz 2003.

(56)

Stof, P.: La ge re ge lung- La ge re gel kreis-Grund la gen. “Die Lagerege lung an Werk zeug maschi nen". Hrsg. von Prof. Dr.-Ing. G. Stu te, Stutt gart: ISW Selbst ver lag 1975.

(57)

Kienz le, O.: Die Be stim mung von Kräf ten und Lei stun gen an spa nen den Werk zeu gen und Werk zeug ma schi nen. VDI-Z. 94 Nr.11/12 (1952), S. 229...305.

(58)

Häf lin ger, M.: Bei trä ge zur Durch fluß-Re ge lung von hoch rei nen und aggres si ven Flüs sig kei ten. Dis ser ta tion ETH Zü rich 2006. sowie Schrag, D.: Durch fluss mes ser für hoch rei ne ag gres si ve Flüs sig kei ten. Dis ser ta tion Nr. 15720 ETH Zürich 2004.

(59)

Kö nig schul te, M.; Or lowski, P.F.: Fahr kur ven rech ner mit Einpla ti nen-Compu ter. Eleklt ro nik H.19 (1985), S. 83...89. so wie: Or lowski, P. F.; Stu der, N.: Mi kro com pu terge stütz ter Fahr kur venrech ner (MFR). Elek tro tech nik Ausg. B H.6 (1988), S. 62...67.

(60)

Sommer, R.: Ent wurf ei nes Reg lers für eine Ab was serNeu tra li sa tions an la ge. Re ge lungs tech nik H.9 (1981), S. 315...320. so wie: Hu ber, D.; Rode, M.; Sjö dahl, H.: Ver ein fach tes ra tio nel les Ein stel len und op ti mier ter Be trieb von bio tech ni schen Regelkrei sen. ABB Tech nik H.2 (1993), S.9...14.

(61)

Rö per, R.: Re ge lung von elek tro hy drau li schen Ser vo ven ti len. Öl hy drau lik + Pneu matik Nr.9 (1990), S. 601...610.

(62)

Win ter hal ter, P.: Ser vo ven ti le in der Hy drau lik. Öl hy drau lik + Pneu matik Nr.6 (1991), S. 484...489.

(63)

Hert korn, K.; Kö gel, M.; Scheu, H.; Wie land, P.: Re ge lung der ho ri zon ta len Be we gung ei nes Brüc kenkrans. UNI-Stutt gart. Inst. f. Sy stem theo rie und Re ge lungs tech nik (2006).

(64)

Wuts dorff, P.: Nach weis der zu ver läs si gen Energie ver sorgung durch Kraft werks blöc ke mit Ab schalt ver su chen. VDI-Be richt Nr.454 (1982), S. 55...63.

10.5 Zum Rechnergestützten Regelkreisentwurf

481

10.5

Zum Rech ner ge stütz ten Re gel kreis ent wurf

(65)

Bos sel, H.: Sy ste me, Dy na mik, Si mu la tion. Books on De mand GmbH: 2004.

(66)

Kletpsch, Th.: Sen sor lo se Lage re ge lung per ma nent ma gnet er reg ter Syn chro ser vo mo to ren.. Sha ker-Ver lag 1995..

(67)

Desch, E.: Das Pro grammpa ket SIM DAT-PC - Meß wert er fas sung, Da ten ana ly se und Iden ti fi ka tion im Fre quenz- und Zeit be reich mit FFT und an de ren Hilfs mit teln für IBM-PC und Kompa ti ble. Fach hoch schu le Gie ßen, Fach be reich MMEW 2006.

(68)

Dost, M.: Si mu la tion dy na mi scher Sy ste me mit DSL/VS. IBM-Hoch schul kon gress Ber lin 1987, Vor trag 712.

(69)

Dot zau er, E.: Grund la gen der Di gi ta len Si mu la tion. Mün chen: Han ser-Ver lag 1987.

(70)

Grupp, F. und F.: MAT LAB 7 für In ge ni eu re. Grund la gen und Pro grammier bei spie le. Mün chen: Ol den bourg-Ver lag 2004.

(71)

Scherf, H. E.: Mo dell bil dung und Si mu la tion dy na mi scher Sy ste me. Mün chen: Ol den bourg-Ver lag 2004.

(72)

Iser mann, R.: Iden ti fi ka tion dy na mi scher Sy ste me. Ber lin: Sprin ger-VEr lag 1988.

(73)

Iser mann, R.: Rech nerge stütz ter Ent wurf di gi ta ler Re ge lun gen mit Pro ze ßi den ti fi ka tion. Re ge lungs tech nik H.6 (1984), S. 179...189 und H.7, S. 227...234.

(74)

Ru sin, Va dym: Adap ti ve Re ge lung von Ro bo ter sy ste men in Kon takt-. Aufgaben. Dissertation Otto-von-Gue ric ke-Uni ver si tät Mag de burg 2007.

(75)

Litz, L.; Ben nin ger, N.F.: PI LAR - Pro grammsy stem zur in ter ak tiven Lö sung von Auf ga ben stel lun gen der Re ge lungs tech nik. Re ge lungs tech nik H.10 (1984), S. 335...342.

(76)

Bos sel, H.: Mo dell bil dung und Si mu la tion. 2. Aufl. Mit dem Pro gramm SIM PAS. Braun schweig: Vieweg-Ver lag 1994.

(77)

Bern stein, H.: PC-Si mu la tion der Re ge lungs tech nik und Fuz zy-Lo gik. Ent wurf und Syn the se elek tro ni scher Systeme. Berlin: VDE-Ver lag 1998.

(78)

Or lowski, P. F.: In ter ak ti ve Op ti mie rung kom ple xer Re gel krei se. Mes sen Steu ern Re geln & Au to ma ti sie ren H.6 (1998), S. 56...57.

482


(79)

Or lowski, P. F.: Das Pro grammpa ket SIM LER-PC 5.1 - Simu la tion und Op ti mie rung von Re gel krei sen im Zeit- und Fre quenz be reich, so wie Regel strec ken-Iden ti fi ka tion (vier spra chig). Fach hoch schu le Gie ßen, Fach be reich MMEW (2009). Downlo ad: www.mmew.fh-gies sen.de/dienst lei stun gen/Downlo ad Da tei en Simler-PC *.ZIP und Simler-PC*.PDF.

(80)

Schae del, H. M.: SI MID und SIM Tool. Pro gramme für di gi ta le Re ge lun gen. Fach hoch schu le Köln (2006).

(81)

Mül ler, J.; Neu mann, F.; Pfei fer, B.: Re geln mit SI MATIC. Pra xis buch für Re ge lun gen mit SI MATIC S7 und PCS7. Pu bli cis Cor po ra te Pu bli shing (2004).

(82)

John, K.-H.; Tie gel kamp, M.: SPS-Pro gram mie rung mit .... Berlin: Sprin ger-Verlag 2000.

(83)

Berndt, H.-J.; Kain ka, B.: Mes sen, Steu ern und Re geln mit WORD und EXEL. VBA-Mar kos für die se riel le Schnitt stel le. Poing: Fran zis-Ver lag 2001.

(84)

Po ga nietz, U.: Di gi ta le Re ge lung des Stell an triebs ei nes op ti schen Mi kro sko pes. Neu be ar bei tung. Di plom-Ar beit Fach hoch schu le Gie ßen, Fach be reich MMEW 2004.

(85)

Or lowski, P. F.: Re geln ohne Pa ra meter: Die F Rt -Wur zel re kur sion. Mes sen, Steu ern, Re geln und Au to ma ti sie ren (MSR Ma ga zin) H.5 (2000), S. 60...62.

10.6

Klei ne Weg be glei tung

(86)

Or lowski, P. F.: Wis se Voll en dung nach den Wur zeln der Hei lung. Mar burg: Dia go nal-Ver lag 2007.

11

Sach ver zeich nis

Abhas pel 306 Ab tast - Hal te glied 259, 334 - Re ge lung 257 - Zeit 260, 264, 329 Ab szis sen - an fang 186, 190, 364, 423 - Fahr strahl 149, 390 Ab was ser 351 Adap ti ve Re ge lung 253, 257 Alia sing 334 Allg. Elek tro tech nik 92, 100 Al go rith mus 78, 87, 259, 370, 393 All paß 109, 113, 114, 363, 380 Ampli tu den - gang 49, 181 - rand 184, 192, 212, 428 - re ser ve 184, 192, 212, 434 ana ly ti sche Funk tion 42 An ker kreis glei chung 92 An ker kreis zeit kon stan te 92, 176, 384 An ker span nung 23, 26 An ker stromsoll wert 310 An ker strom re ge lung 384 An lauf zeit 379 An re gel zeit 7, 260, 372 An sprech schwel le 123, 126, 211, 351 ape ri odi scher Fall 96 Ap pro xi mation 23, 112, 359, 384 Ar beits punkt 23, 272, 298 Ar beits wal ze 101, 321 AS CII-File 359 Asymp to te 74, 83, 98 Asyn chron ma schi ne, -mo tor 163, 298

Auf has pel 305, 309, 316 Auf he bungs kompen sa tion 240, 267, 452 Aus gangs grö ße 7, 10, 23, 64, 123, 347 Aus gangs span nung 21 Aus gleichs vorgang 10, 28, 407 Aus gleich 147, 148, 393 Aus re gel zeit 6, 242, 363, 372 Aus schlag ver fah ren 174 Au to ma ti sie rung 141

Bahn steue rung 346 Band brei te 306 Band dic kenmessung 107, 321 Band dic kenregelung 321, 327 Band ge schwin dig keit 306, 315 Band län ge 314 Band paß 51, 408 Band sper re 364 Band zug 306, 315, 328 Band zu gre gel kreis 317 Be gren zung Xs 22, 124, 143, 173, 220, 250, 343, 354, 389 Berg bau-Schacht för der an la ge 291 Be schleu ni gungs mo ment 101, 176, 306 Be schrei bungs funk tion 123, 287, 415 Be trag des Vek tors 37 Bie gung 328 Bild funk tion, -glei chung 39, 44, 60, 272, 406, 408, 444 Bild schirm gra fik 355, 366 Blatt win kel ver stel lung 341 Block schaltbild, -plan 7, 15, 135, 182 BODE-Dia gramm 181, 363, 422, 424 Bund durch mes ser 306, 310 But ter worth-Ver hal ten 104

484

Car son-La pla ce-Trans for ma tion 38, 44, 53 Cha os funk tion 354, 369, 372 cha rak ter isti sche Glei chung 28, 179, 199, 245, 403 Chien-Hro nes-Res wick 147, 355, 421 CNC-Tech nik 346

11 Sachverzeichnis DT 1 -Glied 247 Durch fluß 2, 69, 102, 166, 273, 275 Durch fluß re ge lung 3, 396 Durch lauf er hit zer 90, 246 Durch mes ser rech ner 174, 175 Durch tritts fre quenz 182, 203, 214, 234, 276, 303, 326, 428 Dy na mi sches Ver hal ten 26, 48

D-Glied 72 Dämp fung 94, 96, 103, 168, 226, 443, 455 Dampf kraft werk 288 Da tei ver wal tung 357 Dau er schwin gung 40, 123, 148, 177, 217, 224, 390, Dehn me ß strei fen (DMS) 174, 334 Differ en ti al glei chung 27, 72, 87, 94, 291, 382 Differ enz ver stär kung 20 Dirac’sche Delts funktion 72 Di rek tum rich ter 299, 302 Dreh mo ment 298 Dreh spul in stru ment 31, 91 Dreh strom - brüc kenschaltung 24, 108, 161, 292 - stel ler 162, 299 - sy stem Dres sier stra ße 305 Dres sier vorgang 310 Dreh zahl 18, 68, 92, 102, 167, 298, 312, 314, 341, 343, 347 Dreh zahl re ge lung 14, 115, 300, 328, 384 Drei punkt - re ge lung 281, 290 - reg ler 141, 288, 362 - ver hal ten 133 Druc ker 356 Druck - be häl ter 89 - meß do se 31, 91, 285, 314 - mes sung 31, 65 - re ge lung 115, 285

Eckfre quenz 74, 79, 83, 89 Edi tor 359 Ei gen kreis fre quenz 96, 407 Ein gangs grö ße 10, 47, 124, 371 Ein heits sprung funk tion 29, 226, 370 Ein stell feh ler 16 Ein stell wer te 147, 360, 390, 399 Ela sti zi täts mo dul 314 Elek tri sche An trie be 92, 100, 108 Elek tro lyt bad 282 energie lo ser An fang 28, 46, 100 Energie spei cher 26, 87, 94, 100 Ent wick lungssatz 42 Ergeb nis li ste 152, 295, 367, 390 Eu ler sche Glei chung 37, 105 Er satz-Regel strec ke 249, 318, 344, 349, 384, 388 Er satz zeit kon stan te 303, 449 Ex po nen ti al an satz 28, 402

Fahr kur ven funk tion 29, 33, 152, 158, 370, 372, 377, 380 Fahr kur venrechner 154, 158, 372 Fahr strahl 149, 200, 390 Fal tungs satz 47, 412, 413 Faust re geln 260 Fe der-Mas se-Sy stem 50, 98, 312, 321 Feuch te 115 File 357, 384, 393 Flug zeug 113 Fluß 294, 301, 306, 310 För der band 106 För der korb 100 Fol ge re ge lung 147, 158 Fou rier-Ko effi zien ten 125

11 Sach ver zeich nis F Ra -, F Rt- Reg ler 361, 380, 383, 393 Fräs ma schi ne 346 Frei heitsgra de 338 Fre quenz be reich 47, 186 Fre quenz gang 48, 199, 208, 234 Fre quenz gang be trag 64, 181, 405 Frisch dampf men ge 289 Füh rungs - grö ße 6, 12, 34, 154, 172, 370 - Über tra gungs funk tion 48, 224, 419 - ver hal ten 48, 145, 159, 184, 250, 353 Füll stand 8, 69, 115 Funk tion 42, 188

485 Hy drau lik 102 Hy drau lik-Zy lin der 70, 102, 324 Hy ste re se 129, 216, 221, 285, 360

I -Glied, I-Reg ler 67, 363, 444 I 2 -Strec ke 374, 432 Iden ti fi ka tion 149, 359, 384, 452 In du strie ro bo ter 336 In te gral kri teri um 224 In te grie rer 71 in ver ser Fre quenz gang 211 Ist wert 6, 9, 12, 16, 222 ITAE-Kri te ri um 228 Kas ka den re ge lung 248, 268, 314,

Gau ß sche Zah len ebe ne 43 Ge gen kopp lung 21, 71, 143, 408 Ge schwin dig keits-Al go rith mus 371 Ge schwin dig keits re ge lung 291, 312 Ge wichts funk tion 72 Gleich span nung 161 Gleich strom motor 14, 22, 168, 309, 417 Glüh ofen 16, 115, 265 Gra fik 355, 362 Groß si gnal be trieb 103, 143 Grund last kraft werk 289 Grund schwin gung 123 GS-Ma schi ne 92

Haf trei bung 378 Haupt reg ler 278 Hard wa re 355 Hal te glied 259, 261, 334, 353 har mo ni sche Ba lan ce 123 Ha spel 312 Haupt menü 356, 359, 363 Hea vi si de scher Satz 42 Heiz draht 90 Heiz kur ve 268 Hilfs re gel grö ße 329, 331 Hoch lauf zeit 34, 156, 306, 370 ho mo ge ne Teil lö sung 28, 403 Hoo ke sches Ge setz 305

332, 344, 350, 384 Kenn kreis fre quenz 407 Kenn wer te 26 Kipp mo ment 299 Kirch hoff scher Satz 21, 28 Klein si gnal be trieb 103, 343 Ko effi zien ten 27, 44, 87, 98 Kol ben hub 70 Kompen sa tions glied 245, 247 Kompen sa tions ver fah ren 175 komple xe Zahl 36 kon ju giert kom ple xe Zahl 36 Kon ti nu ier li che Re ge lun gen 265 Kon zen tra tion 273 Ko or di na ten-Trans for ma tion 338 Ko or di na ten ver schie bung 366 Kor rektur reg ler 278 Kraft 31, 91, 98, 165, 312, 349 Kreis fre quenz 40, 48, 347 kri ti sche Fre quenz 149, 203, 212, 363, 390, 426 kri ti sche Ver stär kung 148, 192, 203, 363, 390 kri ti scher Punkt 199, 202, 366

Län gung 315, 328 Län gungs re ge lung 328 Läu fer dreh zahl 298 Läu fer ver lu ste 299

486 La ge re ge lung 113 La pla ce - In te gral 39 - Ope ra tor 40, 68, 78 - Trans for ma tion 44 Last moment 101, 306 Lauf zeit-Glied 105, 112, 325 Leer lauf dreh zahl 314 Lei stungs ab ga be 112, 380 Lei stungs aus wahl 355, 360, 363, 374 Leit wert ge ber 154 Li ne ar antrie be 167 Li ne ar mo tor 171, 349 Li nea re Glie der 64, 135 Li nea re Re gel flä che 225, 227, 442 Li nea ri sie rung 23, 120, 123 Li nea ri tätsbe reich 19

M ag ne ti sie rungs kenn li nie 22, 129 Ma gnet ven til 165 Mas sen kon stanz 305, 328 Me cha nik 98 Mehrgrö ßen re ge lung 277 Meß - ein rich tung 172 - fehler 173 - füh ler 65, 172, 272 - grö ße 172 - in stru ment 32, 91 - tech nik 91, 108 - tisch 68, 332 Meß wert glät tung 354, 452, 455 Mi kro skop 332 Mi kro rech ner 78, 86, 257, 338 Mi schungs re ge lung 280 Misch vorgang 107, 274 Mo dell 98, 382 Mo ment 101, 298, 307, 343 Mo men ten-Kenn li nie 299 Mo men ten re ge lung 346, 348 Mo men ten reg ler 348 Mo tor lei stung 312 Mo tor moment 101, 176, 306, 312

11 Sachverzeichnis

Nach lauf re ge lung 158 Nach stell zeit T N 74, 147, 234, 250, 294, 371, 447 Nach wal zen 310, 314 Nen ner po ly nom 42, 179, 199, 423 Neu tra li sa tion 351 Nicht li nea re Glie der 120, 135 Nich li nea ri tät 120, 140, 216, 218, 223 Nicht steti ge Reg ler 141 Ni veau re ge lung 8 Null stel le 42, 179, 199, 423 NY QUIST-Dia gramm 205, 366, 433 Ny quist-Kri te ri um 184, 186, 196, 200 N 3Pt -Reg ler 362

Oel bren ner 270 Off set span nung 17, 20, 128 Ope ra tions ver stär ker 19, 67, 71, 77, 80, 85, 93, 103, 113, 248, 282 Ope ra tor 40, 41, 68, 73 Op ti mie rung 152, 224, 235, 248, 349, 354, 360, 368, 380, 384 Or di nan ten ma ß stab 359 Ord nungs zahl 27 Ori gi nal funk tion 39, 42, 45, 414 Orts kur ve 49, 126, 196, 208, 367, 429 Os zil lo gramm 220

Pade `-Ap pro xi ma tion 112, 114 Pa ra meter 26, 96, 190, 240, 243, 257, 262, 266, 292, 312, 318, 326, 334, 343, 353 Parti al bruch zer le gung 43, 45, 412 pe ri odi scher Fall 96 P-Glied, P-Reg ler 64, 148 PD-Reg ler 78, , 345, 377, 425 PD 2 -Reg ler 242, 244, 452 PDT 1 -Ver hal ten 81, 85 PI-Reg ler 73, 142, 267, 294, 303, 345, 361, 390 PID-Reg ler 81, 145, 254, 335, 361, 363, 367, 370, 374, 390, 430 PT 1 -Glied, PT 1 -Strec ke 87, 265, 363, 371, 374, 378, 430

11 Sach ver zeich nis

487

Re gel kreis glie der 60 Re gel kreis-Ver stär kung 11 Re ge lung der/des - An ker stro mes 291, 384 - Band dic ke 321, 325 - Band zu ges 306, 314 - Brüc kenkran 382 - Cha os 392 - Dreh zahl 14,298, 332, 384 - Druc kes 286 - Durch flus ses 3, 396 - Füll stan des 8 - Ge schwin dig keit 291, 312, 318 - Kon zen tra tion 273, 351 - Län gung 328, 332 - Mo mentes 346, 348 - pH-Wer tes 351 - Pitch (Blatt win kel) 341 - Po si tion 17, 166, 190, 324, 332, 349, 377, 390, 397 - Raumtempe ra tur 268 - Ro bo ter frei heits gra des 194, 338, 424 - Roll win kels 196, 427 - Spei se was ser men ge 288 - Stoff mi schung 273, 280 - Streck grades 331 Qua dra ti sche Re gel flä che 228, 445 - Stro mes 291, 302, 318, 332, 397 - Tempe ra tur 4, 194, 246, 265, 268, Quo tien ten 230, 310, 446 277, 281, 422 Tur bi nen lei stung 112, 380 Rampen funktion 29, 33, 155, 370 - Vo lu men stro mes 3, 277 Rand be din gung 181, 236, 448, 452 - Walz kraft, Walzspalt 324 Raumtem pe ra tur-Re ge lung 268 - Zug kraft 308, 313 Rau schen 173, 360 Reg ler ra tio na le Funk tion 42, 412 - Al go rith mus 78, 87, 360, 370, 393 Re gel - aus wahl 361 - ab wei chung 6 - Be gren zung Xs 143, 364, 442 - Al go rith mus 259, 330, 338, 393 - diffe renz 6, 10, 146, 224, 329, 371, - Ein stel lung 147, 268, 365, 390, 399 - Op ti mie rung 153, 224, 312, 359, 374 374, 400, 444 - Sper re 143 - ein rich tung 1, 5 - Ver stär kung 74, 143, 146, 192, 235, - flä che 225, 227 254, 276, 319, 320, 390, 423 443 - grö ße 6, 12, 145, 379, 400 Rei bung 120, 328 - kreis 5 Rei hen schwing kreis 27, 100 - strec ke 5, 265, 334, 390

PT 2 -, PTn-Glied 94, 149, 167, 377, 417 PTa-, PTt-Glied 105, 109 Pha sen gang, -win kel 49, 181, 182 Pha sen rand, -re ser ve 184, 203, 211, 233, 367, 426, 434 pH-Wert 351 pH-Wert-Re ge lung 351 Pie zo elek tri sche Re ge lung 332 Plot ten 356 Pneu matik 75, 85 Pneu ma ti scher Ver stär ker 18, 66 Pole 43, 179, 182, 188, 199, 229 Pol paar zahl 298 Po ly nom 42, 179, 199 Po si tions re ge lung 115, 324, 332, 349 Po ten tio meter 2, 65, 143, 285 Preß luft sta tion 286 Pro gram mier spra che 336, 355 Pro grammstruk tur 371 Pro por tio nal ver stär kung 10, 21, 64, 162 Puls zahl 163 Pull-Down-Me nüs 356 Pumpe 285, 287

488

11 Sachverzeichnis

Sta bi li täts - aus sa ge 179, 182, 201, 203, 208, 212, 287, 361, 436 - be griff 177, 179 - gren ze 148, 177, 417 - kri te ri um 177, 181 Stän der - fre quenz 298 - span nung 299 - wick lung 299 S ample-Hold-Glied 259 Sta tio nä res Ver hal ten 10 Sät ti gungs glied 124 Sta ti sche Kennli nie 18 S-Rol le 306, 328 Stell Schacht för der an la ge 98, 291 - an trieb 168, 288 Schalt fre quenz 284 - be reich 22, 67, 141 Schei ben läu fer 100, 168, 336, 390 - ge rä te 159 Schlupf 298 - glied 167 Schnitt mo ment 347 - gren ze 18, 21, 71, 124, 142, 310 Schnitt punkt form 185, 208 - grö ße 6, 141, 281, 334, 371 Schnitt stel len 355 - kol ben 70 Schräg la ge 322 - motor 167, 343 Schritt motor 170, 336 Stel lungs-Al go rith mus 370 Schwe be kör per 396 Ste ti ge Reg ler 141 Schwin gung 96, 452 Steu erkenn li nie 24 Seil schwin gung 291 Steue rung 1 Seil trommel 99 Steu er win kel 24, 161 Sen sor 172, 266, 396 Stör Ser vo ven til 102, 164, 324 - funk tion 318, 369, 377 SI-Ein hei ten 176 - grö ße 4, 12, 222, 345 Si gnal be gren zung 124, 220, 439 - grö ßen auf schal tung 245, 324 SIM LER-PC 110, 152, 237, 326, - Über tra gungs funk tion 40, 246, 443 354, 393, 442 Si mula tion 159, 192, 237, 242, 264, - ver hal ten 48, 184, 245, 345, 369 Stoff mi schungstrans port 106 289, 318, 327, 354, 390, 419 Stoff ge misch re ge lung 273 Soll wert 6, 16 Strec ken Soll wert ge ber, - stel ler 154 - ty pen 362 Spei se span nung 21 - Va rian ten 360 Spei se was ser men ge 288 - Zeit kon stan te 108, 115, 147 Spin del an trieb 68, 378 Sprung ant wort 29, 96, 146, 180, 283, Streck richteinheit 328 Strö mungs wi der stand 89 374, 402, 406 Strom re ge lung 291, 332 Sprung funk tion 29, 155 Strom rich ter 24, 108, 159 Spu le 31, 100, 165, 171, 176, 396 Symme tri sches Op ti mum 233, 267, Sta bi li tät 177 276, 312 Re kur sions glei chung 371 Re si du en satz 43 Re so nanz fre quenz 97, 103, 167 Ro bo ter an trieb 336 Ro bo tik 253 Rohr müh le 302 Ro tor blät ter 341, 343 Rück transformation 39, 41, 413

11 Sach ver zeich nis

Tacho ge ner ator 18 Tay lor-Rei he 23 tech nisch rea li sier ba res Sy stem 47 Tem pe ra tur re ge lung 4, 246, 268, 282, 422 Thy ri stor 26, 108, 163, 299 Tief paß 81, 89, 93, 104, 384, 390 To ler anz be reich 372 Tote Zone 126 Tot zeit 105, 163, 260, 274, 283, 326 Träg heits moment 102, 176, 307 Tur bi ne 112, 115, 289, 380 TUR BO-PAS CAL 355, 372

489

W är me tau scher 194, 422 Walz - ge rüst 101, 321 - kraft re ge lung 324 - pro zeß 107, 306 - spalt re ge lung 324 Was ser kraft an la ge 112, 380 Was ser menge 90 Wech sel pol aus füh rung 171 Wech sel strom wi der stand 37, 404 Wen de punkt 147 Werk zeug ma schi ne 336 Whe at sto ne sche Meß brüc ke 174, 334 Wic kelantrieb 305 Ueberg angs funktion 30, 96, 147, 419 Wind ge schwin dig keit 343 Wind kraft an la gen 341 Übergangs ver hal ten 155, 222, 369 Win kel än de rung 200, 202 Über schwing wei te 6, 10, 146 Wirk schalt plan 7 Über sichts schalt plan 7, 308 Über tra gungs funk tion 47, 166, 179, Wob bel fre quenz 326 Wur zelre kur sion 360, 392 199, 233, 250, 254, 303, 326 Wur zel ver tei lung 178 Umformre geln 137 Umkeh rin te gral 39, 41 Umrech nung SI-Ein hei ten 176 XY-Schreiber 175 um spei chern 384 Zäh ler po ly nom Z0 (p) 199 Zei ger 37, 49 Ven til 102, 112, 164 Zeit be reich 41, 262, 369, 373 Ver schie bungs satz 46, 47, 410 Zeit dis kre te Re ge lung 332 Ver schliff zeit 34, 156, 370 Zeit kon stan te 108 Ver stär ker 19, 66, 77, 156 zeit li cher Ver lauf 28, 408, 411 Ver stär kung 10, 74, 143, 146, 162, zeit va rian tes Sy stem 26, 47, 179 190, 242, 248, 281, 303, 424, 437 Ze ner-Di ode 21, 142 Ver stär kungs prin zip 64 Zen tri pe tal-Be schleu ni gung 338 Ver zö ge rungs glied 87, 84 Zieg ler-Ni chols 148, 417 Ver zugs zeit 147 Zug kraft re ge lung 308, 313, 317 V K -PI-Re gel al go rith mus 348 Vo lu menstrom 2, 69, 102, 166, 265, Zwei grö ßen re ge lung 278 Zwei mas sen-Sy stem 101 275, 277, 380 Zwei-Orts kur ven-Ver fah ren 212, Vo lu men strom re ge lung 277 215, 223 Vor halt zeit T V 78, 148, 236, 254, Zwei punkt 371, 426, 433 - re ge lung 268, 281 Vor last 128 - reg ler 141, 281, 285 Vor schub ge schwin dig keit 347 - ver hal ten 131

Praktische Regeltechnik: Anwendungsorientierte Einfuhrung fur Maschinenbauer und Elektrotechniker, 8. Auflage (VDI-Buch)

Praktische Regeltechnik: Anwendungsorientierte Einführung für Maschinenbauer und Elektrotechniker, 9. Auflage

Praktische Regeltechnik (VDI-Buch)

Relationale Datenbanksysteme: Eine praktische Einfuhrung, 3. Auflage

Handbuch Elektrotechnik: Grundlagen und Anwendungen fur Elektrotechniker 5. Auflage

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Physik. Eine Einfuhrung fur Ingenieure 4. Auflage

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Elektro- und Regeltechnik (Baukonstruktionen)

Digitaltechnik: Lehr- und Übungsbuch für Elektrotechniker und Informatiker, 6. Auflage

Elektrotechnik fur Ingenieure 1: Gleichstromtechnik und Elektromagnetisches Feld, 8. Auflage

Recht fur Grafiker und Webdesigner: Ausgabe 2010, 8. Auflage

Praktische Pneumologie, 2. Auflage

Friedens- und Konfliktforschung: Eine Einfuhrung, 4. Auflage

Praktische Regelungstechnik: Ein Lehr- und Übungsbuch für Nicht-Elektrotechniker, 3. Auflage GERMAN

Pflanzenkrankheiten und Pflanzenschutz 8. Auflage

Biochemie und Pathobiochemie 8. Auflage

Basiswissen der Elektro-, Digital- und Informationstechnik: Für Informatiker, Elektrotechniker und Maschinenbauer

Elektro- und Regeltechnik (Baukonstruktionen, 17)

C++ fur Naturwissenschaftler . Beispielorientierte Einfuhrung

Produktionswirtschaft: Eine Einfuhrung fur Wirtschaftsingenieure

Handbuch Elektrotechnik: Grundlagen und Anwendungen für Elektrotechniker, 5. Auflage

Lineare Algebra: Eine Einfuhrung fur Studienanfanger, 17. Auflage

Grundlagen der Unternehmensfuhrung: Einfuhrung fur Bachelorstudierende. 4. Auflage (Springer-Lehrbuch)

Psychosen aus dem schizophrenen Formenkreis 2. Auflage - Ratgeber fur Patienten und Angehorige, Leitfaden fur professionelle Helfer, Einfuhrung fur interessierte Laien

Nachrichtentechnik: Eine Einfuhrung fur alle Studiengange, 6. Auflage

Leistungsermittlungshandbuch fur Baumaschinen und Bauprozesse, 3. Auflage

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