Werner Junker
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Physik für Ahnungslose Eine Einstiegshilfe für Studierende...
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Werner Junker
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Physik für Ahnungslose Eine Einstiegshilfe für Studierende 3. Auflage
Der Autor
Or. Werner Junker Metterzimmerstrasse 100
74343 Sachsenheim
Dr. Wemer Junker, Jahrgang 1950, studierte f\tathematik und Physik (Di plom und Lehramt) an der Universität Stuttgart und promovierte 1981 in
Theoretischer Physik. Seitdem ist er Gymnasiallehrer für Mathematik und Physik, ließ sich aber zeitweise für seinen Forschungsauftrag auf dem Gebiet der Quantendiffusion freistellen.
Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http:/fdnb.d-nb.de abrufbar. ISBN 978-3-7776-1574-5
Jede Verwertung des Werkes außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist unztJlässig und strafbar. Dies gilt insbesondere für Übersetzung, Nachdruck, fo1ikroverfilmung oder vergleichbare Verfahren so\'lie für die Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen. 1. Auflage September 2003 2. Auflage August 2004 3. Auflage Februar 2008
© 2008 S. Hirzel Verlag, Birkenwaldstraße 44, 70191 Stuttgart
Printed in Gennany Satz: Dörr+ Schiller GmbH, Stuttgart Druck: Hofmann, Schorndorf
Umschlaggestaltung: Atelier Schäfer, Esslingen
V Mejner Frau gewidmet, dje als Njchtphysjkerin dje Rolle des ahnungslosen Testlesers übernommen hat
Vorwort zur 3. Auflage
Inausverkauft, weniger alwass Jahresfrist war di e erste Auflage von Physik für Ahnungslosei l " Autor undderartiges Verlag überrascht undRepeti natürlich auchdersehr gefreut hat.als Offenbar besteht für ein Buch, ein t orium Schulphysik Einstieghil fe fürerfolgte Studierende, ein unveränderter echter BedarfNachdruck. - der Erfolg bestätigt dies. Die zwei tDiee vorl Auflage daher als iegende dritteerAuflage wurdeHiervollständig überarbeitet,DankunddendieLesern, nie zu vermeidenden Druckfehl korrigiert. gil t der aufrichtige die durch aufmerksames Durcharbeiten Unstimmigkeiten entdeckt und uns auf diese taufmerksam gemachtundhaben. Diebeibehal Strukturten.und die Darstellung der Sach verhal e hat sich bewährt wurde Möge dieses Buch noch vielen Generationen eine wertvolle Hilfe sein! Werner Junker Sachsenheim, im Winter 2007
VI Vorwort zur 1. Auflage
Dieses Buch wendetdiesichplöantzlich Studierende technischer und naturwissenschaftl icherim Fachrichtungen, über Physikkenntnisse verfügen sollen, schl i mmsten gar einevergessen, Physikprüfung machen müssen, aber dasdasentsprechen dewegen Schul wfrüher issenFalle entweder oder aus Abneigung gegen Fach bzw.In Abwahl des Faches in der Schul e sich nie angeeignet haben. dieser Situation sollGedächtnis das Buchzueine Mögl i chkeit bieten, sich den Schulstoff in Physik wieder ins rufen oder ihn neu zu erwerben. Entsprechend der Optik, Einteilung derzitätslehre Schulphysik inMagnetismus die Disziplsowie i nen Mechanik, Wärmelehre, Akustik, El e ktri und Atomphy sik ist dasTeilenBuchunabhängig in sechs Kapitel (unterschiedl itcher Länge)können aufgeteil- tje, dienachin weiten voneinander bearbei et werden Interessenlage. Allerdings werden grundl e gende Begriffe von Kapitel 1, der Mechanik, desoderÖfteren in anderenderDisziplinen gebraucht (z. B.- dasin diesem Newton'Falschele Grundgesetz Eigenschaften mechanischen Wellen) erfolgt dann an entsprechender Stel l e ein Rückverweis. Jedes Kapitel fängt " beim Kenntnisstand "null an,undbehandel t dem dannAbiturniveau zunächst dendeseinfacheren Stoff der gymnasial e n Mittelstufe endet auf Leistungskurses der Oberstufe. Daher ist es bei entsprechender Interessenl a ge durchaus mögl i ch, einzelne Kapitel (z.Wissen B. Optikausreichend oder Wärmelehre) an derabzubrechen Stelle, an und der einem das bisher erworbene erscheint, zu einem anderen Kapitel (z. B. Elektrizi t ätslehre) überzugehen. An mathematischen Kenntnissen sind dererforderl Stoff deri ch.Mittel sinhal tufe und Grundkurs kenntnisse der Oberstufe des Gymnasiums Die t liche und me thodische Präsentation des Stoffes entspricht dem Vorgehen im Schulunterricht; allerdings können Versuchsergebnisse natürl i chPrüfung nur mitgeteil t werden. Die zahldie reichen Aufgaben sollen wi e es in einer ja erforderl i ch i s t praktische Umsetzung verdeutl i chen.in abgewandelter Es sind durchweg Standardaufgaben, die indie jedem Physikunterricht so oder Form behandel t werden und natürlAuswahl ich auchininderdenLiteraturl eingeführten Schulbüchern enthalsichtenja sind (unvoll ständige i ste im Anhang), auf die jeder Physik unterricht wesentli ch stützt. Sachsenheim, im Frühjahr 2003 Werner Junker
VII Inhaltsverzeichnis
V
Vorwort
1
1.1 1.2 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.4 1 .4.1 1.4.2 1.4.3 1.4.4 1.5 1.6 1.6.1 1.6.2 1.6.3 1.7 1.8 1.8.1 1.8.2 1.9 1.9.1 1.9.2 1.9.3 1.10 1.10.1 1.10.2 1.10.3 1.10.4 1.10.5 1.11 1.11.1 1.12 1.13 1.13.1 1.13.2 1.13.3
Mechanik
Grundgrößen und ihre Messung Die Dichte Die Krafteiner Kraft Wirkung Vektorgrößen Gewichtskraft Hooke'sches Gesetz Kraft und Gegenkraft Geschwindigkeit/Beschl e unigung Geradl i nige glbeschleunigte eichförmige Bewegung GlDurchschnittseichmäßig Bewegung und Momentangeschwindigkeit Durchschnitts- und Momentanbeschleunigung Kräftegleichgewicht/Trägheitssatz Reibung/Luftwiderstand GlHaftreibungskraft eitreibungskraft Strömungswiderstand Das Newton'sche Grundgesetz Der freie Fall Freier Fall ohne Luftwiderstand Fall mit Luftwiderstand Überlagerung von Bewegungen,Bewegungen Würfe, Bremsbewegungen Überlagerung gl e ichförmiger Würfe Bremsbewegungen EinfacheundMaschinen Stange Seil Feste Rolle Lose Rolle ") Rolle Kombination einer festen und einer losen ("masselosen Der physikal Flaschenzug Die ische Arbeit Spezial f älle Leistung Energieder Energie Arten Verlustfreie Speicherung von, verlustfreie Umsetzung in Arbeit Energieumwandlungen
1 2 2 2 2 4 5 5 6 6 7 9 9 10 11 11 11 12 13 14 14 14 15 15 15 19 20 20 20 21 21 22 23 23 27 28 28 28 29
VIII 1.14 1.14.1 1.14.2 1.14.3 1.14.4 1.14.5 1.14.6 1.15 1.15.1 1.15.2 1.15.3 1.15.4 1.15.5 1.15.6 1.16 1.16.1 1.16.2 1.16.3 1.16.4 1.16.5 1.16.6 1.17 1.17.1 1.18 1.18.1 1.19 1.20 1.20.1 1.20.2 1.21 1.21.1 1.21.2 1.22 1.22.1 1.22.2 1.22.3 1.22.4 1.22.5 1.22.6 1.22.7 1.23 1.23.1 1.23.2 1.24
Inhaltsverzeichnis
Impuls Impul serhaltungssatz Ballistisches Pendel Unel a stischer Stoß Gerader elastischer Stoß Schiefer Stoß gegen ruhendeKraftstoß Wand Kraft und Impul s änderung, Die Kreisbewegungund Zentripetalbeschleunigung Zentripetalkraft Größe derunigung Zentripetalkraft F und der Zentripetalbeschl e az Begriffe undKreisbewegung Größen bei der Kreisbewegung Vertikale Arbeit bei der Kreisbewegung Weitere Beispiele zurundKreisbewegung Himmelsbewegung Gravitation Geozentrisches Wel t system Hel i ozentrisches Weltsystem Kepler' s che Gesetze Planetenbewegungen Erd- und Sonnenmasse SateLLiten auf Kreisbahnen um die Erde Trägheitskräfte MöglStempeldruck ichkeiten zur inBeschreibung dynamischer Probleme Der Flüssigkeiten und Gasen Anwendungen des Stempeldrucks Der hydrostatische Druck (Schweredruck) Der Auftrieb/Schwimmen, Schweben, Sinken Auftrieb Schwimmen, Schweben, Sinken Statik der Gase/Gesetz von Boyle-Mariotte Statik der Gase Gesetz von Boyle-Mariotte Mechanische Schwi ngbewegungen Schwingbewegung Schwingungsfrequenz Beispiel für eine kompliziertere Anfangsbedingung Energie der mechanischen Horizontalschwingung Die vertikale Federschwingung Die U-Rohr-Schwingung Das Fadenpendel Gedämpfte Schwingungen/Erzwungene Schwingungen der Mechanik Schwingungen Gedämpfte Erzwungene Schwingungen Überlagerung von Schwingungen 2
32 32 34 34 35 37 38 40 40 41 42 44 45 46 48 48 49 49 50 52 52 53 54 56 57 58 61 61 63 64 64 66 67 67 68 69 70 70 72 72 75 75 76 79
Inhaltsverzeichnis 1.24.1 1.24.2 1.25 1.25.1 1.25.2 1.25.3 1.26 1.26.1 1.26.2 1.26.3 1.27 1.27 .1 1.27 .2 1.27.3 1.28 1.28.1 1.28.2
2
2.1 2.2 2.3 2.3.1 2 .4 2.5 2.5.1 2.5.2 2.6 2.7 2.8 2.8.1 2.8.2 2.8.3 2.9 2.9.1 2.9.2 2.10 2.10.1 2.10.2 2.10.3 2.11 2.11.1 2.11.2
Zahl e nbeispielejßewegungstypen bei der Überlagerung von HorizontaL- undeVertikal schwingung Eindimensional Überlagerung Mechanische Querwellen (eindimensional ) TransversalundTransversal Longitudinal wellen Reflexion der s törungen Die sinusförmige Querwelle Überlagerung von Wellen Überlagerung einer Welle mit ihrer " Reflexion'' - Ausbild ung stehender Wellen Stehende Wellen in Trägern Saitenschwingungen Längswellen von (Eindimensional ) Unterdruckstörung Ausbreitung Überdruckund Reflexion von Längswellen Reflexion einer sinusförmigen Längswelle am festen Ende/ Losen Ende Zweidimensionale Wellenfelder (mechanischer Wellen) Erklärung der Refl e xion Erklärung der Brechung Wärmelehre
IX
80 83 85 85 87 88 92 94 95 96 99 99 101 102 103 105 106
108 Die Temperatur und ihre Messung Längsausdehnung fester Körper beim Erwärmen i e des 110 Die Volumenausdehnung von Flüssigkeiten/Anomal Wassers 111 111 Anomalie des Wassers Die Volumenausdehnung der Gase/Kelvinskala 112 Temperatur und Teil c henbild/Wärme 114 Aufbau der Körper im Teil c henbild 114 Mechanische Arbeit und WärmeWärmekapazität 116 Wärmemenge und spezifische 118 Mischungsversuche 119 Erscheinungsformen der Stoffe/Schmelz- und Verdampfungswärme 120 120 Aggregatzustände 120 Schmelzwärme Verdampfungswärme 121 Ergänzungen: Verdunsten, Siedepunktserniedrigung 123 123 Verdunstung 123 Siedepunkterniedrigung 124 Wärmetransport Wärmekonvektion 124 125 Wärmel eitung 125 Wärmestrahlung 125 Das allgemeinedes Gasgesetz Erstfassung Gasgesetzes 125 Avogadro- oder Loschmidt-Zahl, Endfassung des Gasgesetzes 127
X 2.12 2.12.1 2.12.2 2.12 .3 2.13 2.14 2.14.1 2.14.2 2.14.3 2.14.4 2.14.5 2.15 3
3.1 3 .1.1 3 .1.2 3 .1.3 3.2 3 .2.1 3 .3 3 .3.1 3.3.2
4
4.1 4.1.1 4.1.2 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.3 4.3.1 4.3 .2 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4 4.5 4.5.1 4.5.2 4.6 4.6.1 4.6.2
Inhaltsverzeichnis
Kinetische Gastheorie Zusammenhang zwischen Druck und Geschwindigkeit Zusammenhang zwischen Temperatur und Geschwindigkeit Innere Energie Der 1. Hauptsatz2. derHauptsatz, Wärmelehre Carnotprozess, Wirkungsgrad bei Wärmemaschinen Der Carnotprozess Wirkungsgrad von Wärmemaschinen Einige Erfahrungstatsachen Der 2. Hauptsatz der Wärmelehre Wärmemaschinen Strah Lungsgesetze Akustik Grundtatsachen Ampl itude und Frequenz Die Lochsirene Ausbreitung von Schall Schall als Längswelle Versuche mit Schallwellen Der Doppler-Effekt: Erreger oder Beobachter einer Welle bewegen sich Erreger bewegt, Beobachter in Ruhe Erreger fest, Beobachter bewegt Optik Grundbegriffe Punktförmige Lichtquelle, Lichtstrahl Das optische Bild Schatten Kernschatten undderHalbschatten Die Entstehung Mondphasen Mondund Sonnenfi n sternisse Die Reflexion des Lichts Reflexionsgesetz Das Spiegelbild Die Brechung des Lichts Brechungsgesetz Anwendungen des Brechungsgesetzes Total r efl e xion Strahl engangi nsedes Lichts im Prisma Die Sammell Strahl eungngangdurchbei Sammell der Sammellinse Abbil d i nsen Das menschl i che Auge Veränderung der Brennwei t e Augenfehler
128 128 130 130 131 131 131 133 133 134 135 136 138 138 139 140 141 141 145 145 148 152 152 152 154 154 154 155 156 156 157 159 159 161 162 163 164 164 166 169 169 170
Inhaltsverzeichnis 4.7 4.8 4.8.1 4.8.2 4.8.3 4.8.4 4.8.5 4.8.6 4.9 4.9.1 4.9.2 4.10 4.10.1 4.10.2 4.10.3 4.10.4 4.11 4.11.1 4.11.2 4.11.3 4.12 4.12 .1 4.12.2 4.12.3 4.12 .4 4.13 4.13 .1 4.13 .2
5
5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.4 5.4
Der Fotoapparat Farbigesfarben Licht, Körperfarben Spektral Entstehung des Regenbogens Linienspektrum und kontinuierliches Spektrum Farbaddition Farbsubtraktion Körperfarben 'sches Teilmodell, Newton Huygens'sches Wellenmodell für Licht Korpuskelmodell des Lichts HMessung uygens'sderchesLichtgeschwindigkeit Welle nmodell AstronomischeMethode MethodenachnachFizOlaf Rönner (1675) Terrestrische eau (1849) - Zahnradmethode Drehspiegelmethode nach Foucault tsmessung Ergebnisse der Lichtgeschwindigkei Die Interferenz des Lichts BestätigungsversuchvonnachFresnel Wiener Interferenzversuch Interferenz an dünnen Schichten Die Beugung des Lichts kleinen Objekten Beugung an verschiedenen Beugung am Spal t � eugung am Gitter Uberlagerung vondesGitterund Spaltinterferenz Die Polarisation Lichts Licht als sQuerwelle Brewster' ches Gesetz Elektrizitätslehre und Magnetismus Einfache Grundaussagen des Magnetismus Magnetische Pol e Elementarmagnete Magnetische Influenz Das magnetische Feld Das Erdmagnetfel d Elektrizitätsl ehre - Grundbegriffe, Grundaussagen Stromkrei s Leiter und Nichtleiter Wirkungen des Stroms Ergänzungen Ladung und Stromstärke Elektrische Ladung Definition der LadungseinheitStromstärke Definition der elektrischen Eigenschaften der Ladung Elektronen, Atombau, Ionen
XI 171 172 172 173 173 173 175 175 176 176 177 177 177 178 179 179 179 179 180 180 184 184 185 187 191 192 192 192 194 194 194 195 195 197 198 198 199 200 201 202 202 203 203 204 205
XII 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.4.4 5.4.5 5.5 5.5.1 5.5.2 5.5.3 5.6 5.6.1 5.6.2 5.6.3 5.7 5.8 5.8.1 5.8.2 5.9 5.10 5.10.1 5.10.2 5.10.3 5.10.4 5.11 5.11.1 5.11.2 5.12 5.13 5.14 5.15 5.15.1 5.15.2 5.15.3 5.16 5.16.1 5.16.2 5.16.3 5.16.4 5.17 5.17.1 5.17.2 5.17.3 5.17.4 5.17.5
Inhaltsverzeichnis
Versuch von Edison Atombau Stroml eitungverschiedener in Metallenelektrischer Erscheinungen Erklärung im Elektronenbild Stroml ezuritungMessung in Flüssigkei ten (Elektrolyse) Geräte der Stromstärke Hitzedrahtamperemeter Drehspulamperemeter Mittelwert bei derSpannung Stromanzeige Die elektrische Definition dertungSpannung Reihenschal (Hintereinanderschaltung) von Stromquellen ElDasektrisches Potenzial 'sche Gesetz/Elektrischer Widerstand Ohm Widerstand eines Drahts Widerstandsformel für einen Draht Schiebewiderstand Stromstärke, Ladung, Spannung, Arbeit, Leistung im Stromkreis Parallel s chaltung und Reihenschal t ung von Widerständen Kirchhoffsches Gesetz Reihenschal t ung von Widerständen Anwendung von Reihenschal t ung Parallelschaltung von Widerständen Messbereichserwei t erung beim Strom- und Spannungsmesser Strommesser Spannungsmesser Fernsehröhre Der Elektromotor(qualitativ) Die Lorentzkraft Elektromagnetische Induktion 1. Teil: Einfache Aussagen (qual i tativ) Generatorprinzip Induktion vonLeiterschl Wechseleifsepannung bei einer sich im Magnetfeld drehenden Induktion von Spannung durch Magnetfel d änderung Röhrendiode und derRöhrentriode UDiode i nien Röhrendiode A-rA-Kennl al s Gleichrichter Röhrentriode Anwendung: Triode als Verstärker Hal b lei t er, Hal b lei t erdiode, Transistor Undotierte Halbl e i t er Dotierte Halbleiter Der pjn-Übergang Hal b l e iterdiode als Gl e ichrichter Gleichrichterschaltung mit vier Dioden und Foto-Diode
205 206 207 208 209 210 210 210 211 211 211 213 214 214 215 215 216 217 218 218 219 220 221 223 223 224 225 226 227
-
229 229 230 231 231 231 232 233 233 234 234 236 236 237 238
Inhaltsverzeichnis 5.17.6 5.18 5.18.1 5.18.2 5.19 5.20 5.20.1 5.20.2 5 .20.3 5.20.4 5.20.5 5.20.6 5.21 5.21.1 5.21.2 5.21.3 5.21.4 5.22 5.22.1 5.22.2 5 .23 5 .24 5.24.1 5 .24.2 5.25 5.25.1 5.25.2 5.25.3 5.26 5.26.1 5.26.2 5.26.3 5.26.4 5.27 5.27.1 5.27.2 5.27.3 5.28 5.29 5.29.1 5.29.2 5.29.3 5.30 5.30.1 5.30.2 5.30.3
Der Transistor Das elektrische Feld,FeLdLeleiktrische Feldstärke Elektrische Felder, nien Elektrische Feldstärke Elektrische Feldstärke und Spannung Ladungsdichte und Kapazität FLKapazität ächenLadungsdichte und Feldkonstante Dielektrizi tätszaht Pol a risation der Atome Ergänzungen Größenfaktoren Schal tung vontungKondensatoren Parattelschal von Kondensatoren Reihenschaltung von Kondensatoren Aufgaben Kondensator mit Diel e ktrikum und Luftschl i tz Die Energie des elektrischen Feldes Energie des geladenen Kondensators Räuml i che Energiedichte RadiaL feLd einer punktförmigen Ladung, Coulomb-Gesetz Die magnetische FLussdichte Definition der FLussdichte Magnetische FLussdichte B in (quantitativ), einer Lang gestreckten Spute Lorentzkraft auf ein ELektron Halt-Effekt Eine Formet für die Stromstärke im Lei t er Lorentzkraft auf ein ELektron Der Halt-Effekt Geladene Teilchen in elektrischen Feldern, Mitti kanversuch Elektronenvol t Parabelbahnen bei Teilchen im Kondensatorfeld Bremsbewegung Mil i kanversuch Bestimmung der Elementarl a dung e Teilchen in magnetischen und elektrischen Feldern Teilchen in magnetischen Feldern E-Fetd und B-Fetd senkrecht zueinander TeiLchenbeschLeuniger Ladungsträger in Gasen Elektromagnetische Induktion - 2. TeiL (quantitativ) Wirbelströme Versuch: "Aturingu/Spulenmagnet Aufgaben Selbstinduktion bei Sputen Größe der induzierten Spannung der Spute im Falte der Selbstinduktion Quanti t ative Betrachtung des Einund Ausschal t vorgangs Energie des Magnetfeldes
XIII 239 241 241 243 245 246 246 248 248 249 249 252 252 252 253 253 254 255 255 255 256 261 262 264 266 266 267 267 268 268 269 269 270 270 270 272 273 276 278 282 283 284 285 286 287 288
XIV 5.31 5.32 5.33 5.33.1 5.33.2 5.33.3 5.33 .4 5.33.5 5.33 .6 5.33 .7 5.34 5.34.1 5.34.2 5.34.3 5.34.4 5.35 5.35.1 5 . 35.2 5.36 5.36.1 5.36.2 5.37 5.37.1 5.37.2 5.37.3 5.37.4 5.38 5.39 5.39.1 5.39.2 5.40 5.40.1 5.40.2 5.40.3 5.40.4 6
6.1 6.1 . 1 6.1.2
InhaLtsverzeichnis
Erzeugung sinusförmiger Wechsel s pannung im Generator Effektischer vwerteWiderstand, von StromSpul unde Spannung bei Wechsel strom Ohm' und Kondensator im Wechselstromkreis Indukti ver Widerstand Kapazitiver Widerstand Zeigerdiagramm Reihenschaltung vonKondensator Ohm'schemmitWiderstand R,C Spul e mit Induktivität L und Kapazi t ät im Wechselstromkreis (Siebkette) Abhängigkeit der Größen Ieff und von der Frequenz f, wenn R, L, C und Ueff fest vorgegeben sind Sperrkreis Aufgabe Der Schwingkreis UGedämpfter ngedäm pfterSchwingkreis Schwingkreis Aufhebung der Dämpfung durch Rückkopplung (Meißner-Schaltung) Erzwungene elektromagnetische Schwingungen Der Transformator (Trafo) Hochund und Niederspannungstrafo Belasteter unbelasteter Trafo Drehstrom Prinzip dervondrei Drehstrom Phasen Erzeugung Elektromagnetische Wellen Hertz'scher Dipol Wellen im Raum Elektromagnetische Maxwells Uberlegungen Ergänzungen " elektromagnetischer Wellen Lichteigenschaften "Licht al s elektromagnetische Welle Faraday-Effekt und Kerr-Effekt der elektrischen oder der Entspricht die Modell-Lichtwelle magnetischen Teilwelle? Nicht sichtbare Spektralbereiche im elektromagnetischen Spektrum /Überblick ,Röntgenstrahlen Jnfrarotli cht", "Ultraviolettlicht" y-Strahlung Uberblick über das elektromagnetische Spektrum Atomphysik und Quantenphysik Kernphysik Kernaufbau Radioaktivität 8
290 291 293 293 295 296 297 299 301 302 303 303 306 306 307 309 309 309 311 311 312 313 313 314 315 317 318 320 320 321 323 323 323 323 324 325 325 325
Inhaltsverzeichnis 6.1.3 6.1.4 6.1.5 6.1.6 6.1.7 6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.3 6.3.1 6.3.2 6.4 6.4.1 6 .4.2 6 .4.3 6.5 6.5.1 6.5.2 6.5.3 6.5.4 6.5.5 6.6 6.6.1 6.6.2 6.6.3 6.7 6.8 6.8.1 6.8.2 6.8.3 6.9 6.9.1 6.9.2 6.9.3 6.10 6.10.1 6.10.2 6.10.3 6.10.4
XV
Wie wird die unsichtbare Strahlung nachgewiesen? 326 328 Was passiert beim radioaktiven Zerfall eines Atomkerns? 328 Kernreaktionen Kernspaltung ( Otto Hahn, 1938 ) 329 Kernfusion 329 Kristalluntersuchungen mit Röntgenstrahl e n 330 'sche Reflexionsbedingung 330 Bragg Drehkri stallmethode ( Pulvermethode) 331 332 Debye-Scherrer-Methode Der Fotoeffekt 333 333 Lichtquanten und Planck'sches Wirkungsquantum 335 Fotostrom Einige Aussagen der speziellen Relati v i t ätstheorie, Comptoneffekt 337 Massenzunahme und relativistische Energie 337 Photonenmasse, Photonenimpuls 339 Comptoneffekt 340 Materi e wellen 342 Wellencharakter vonle Elektronen 342 Bedeutung der Wel bei Materieteilchen 342 FreElektronen e ngeschwindigkeit bei Materiewellen 343 quenz undamWell Doppelspal t 344 344 Elektronen am Einzel s pal t 346 Entwicklung des Atommodells, Erklärung der Balmerserie Bohrsehe PostulBerechnung ate des Wasserstoffspektrums 346 346 Halbkl a ssische 348 Strahlungsserien Der eindimensional e Potentialtopf - Quantengesetz des eingesperrten El e ktrons 349 352 Der Franck-Hertz-Versuch, Umkehrung der Na-Linie 352 Franck-Hertz-Versuch Umkehrung der Na-Linie 354 Fraunhofer' s che Linien 354 Röntgenstrahlung 355 355 Bremsstrahlung und charakteristische Röntgenstrahlung 356 Deutung der kontinuierl i chen Röntgenstrahlung Deutung der charakteristischen Röntgenstrahlung 356 Quantenmechanische Behandlung physikalischer Probleme mit 359 der Schrödingergl e ichung 359 Zeitabhängige und zeitunabhängige Schrödingergleichung 361 Teilchen im eindimensionalen Potenzialtopf 361 Das harmonische Wasserstoffprobl Der Oszillemator - "Teilchen, das an einer Feder hängt" 363
Anhang 1: Physikalische Konstanten Anhang II: Literatur Stichwortverzeichnis
368 369 370
1
1
Mechanjk
1.1
Grundgrößen und ihre Messung
Die grundl egenden Größen derundMechanik sind die Länge, gemessen in Meter, die gemessen in Sekunden die Masse, gemessen in Kilogramm. 1 m (Meter) iprototyps st die Länge- beide des Urmeterprototyps, 1 kg (Kilogramm) die Masse des Urkilo gramm werden in Paris aufbewahrt. Flächeninhalt (gemessen in m 2) und Volumen (gemessen in m3 ) sind von der Länge abgel eitete Größen.(z. B.DieDreiecksfl Ermittlung des"' � Flächeninhal ts erfolgt über be stimmte Rechenformeln ä che Länge· Höhe) und Längenmes · sung, bei krummli nigen(Abb.Objekten experimentell durch Auszählu ng von Quadraten auf Millimeterpapier 1.1) :
Zeit,
IrII 1\ )
,....
I
Abb. 1.1
v-r-..
1--'
v
r--...
1'-.......
.......
1--"
Man zählt beispielsweise die am soRande Liegenden Quadrate halb" undt. die innen " Liegenden ganzu und ermittelt näherungsweise den Flächeninhal " von Volumina erfolgt über Längenmessung und Rechenformeln Die Ermittlung (z.tellB.überKugelMessgläser volumen und� ·Überlaufgefäße Radius3) oder bei(Abb.unregelmäßigen Körpern experimen 1.2): ..
Abb. 1.2
Man men.misst das vom Stein beim Eintauchen verdrängte aufgefangene Wasservolu
t�echanik
2
1.2
Dje Djchte
Misst man bei verschiedenen Körpern aus dem gleichen MateriaL jeweil s das Volumen V und diemMasse steLLt man dass sieWeise: zueinander proportionaL sind, geschrieben �V. m,Diessoäußert sich fest, in dreierlei 1. Das Schaubild ist eine Ursprungsgerade im mjV-Achsenkreuz (Abb. 1.3). m
Abb. 1.3
Zum k-fachen mVolumen gehört die k-fache Masse. 3 . Der Quotient ist eine Konstante. V Dichte p = m und beschreibt das MateriaL; die Einheit der Dieser Quotient heißt Dichte ist fp] = 1 mk; (übli cher sindV 1 dkgm3 = 1 � ) . Dichtewerte sind tabeLLiert. cm Aufgabe: Welche Masse hat ein Eisenquader der Dichte p = 7, 9 �, der 20 cm cm Lang, 15 cm breit und 10 cm hoch ist? Lösung: V 20 cm 10 cm 15 cm 3000 cm3 3 dm3; p = V' also kg m = p · V = 7, 9 dm3 3 dm3 = 23 , 7 kg. 2.
·
=
·
·
=
=
•
1.3
Dje Kraft
1.3. 1
Wirkung einer Kraft
Eine Körper (z. B. Muskelkraft, magnetische Kraft)odererkennt man an ihrer Wirkung: sie (z. B. Dehnen einer Feder) verändert Bewegungen (sie be schleunigt oder bremst beispiel s weise einen fahrenden Wagen oder ändert dessen Bewegungsrichtung). Kraft verformt
1.3.2 Vektorgrö�en
KräfteRichtung sind Vektorgrö ßen; neben ihrer Größe, gemessen in N (Newton), ist auch ihre wichtig. Man veranschaul ichtKraftKräfte durchderenPfeile,Richtung deren Länge ein Maß für den Betrag, d. h. die Größe der i s t und di e Kraft richtung angibt (Abb. 1.4 a).
Die Kraft
3
Abb. 1.4a Kräfte werden wie Vektoren addiert (
siehe Abb. 1.4) : 1. Möglichkeit (Abb. 1.4 b): Man hängt den zweiten Kraftpfeil an den ersten und erhält so die Gesamtkraft
Abb. 1.4b
Man setzt die Kraftpfeile am Ende aneinander und ergänzt zum Parallelogramm, dessen Diagonale die Gesamtkraft F1 F2 liefert.
2. Möglichkeit (Abb. 1.4 c) :
+
I
Abb. 1.4c +
Man erkennt, dass beide Konstruktionen zum gleichen Gesamtkraft-Pfeil F1 Fz führen; erdurchgestrichen ersetzt die beiden Einzelkräfte, deren Pfeile daher nach der Kons truktion werden, und heißt Resul t ierende. Umgekehrt kann man eine gegebene Kraft F durch zwei andere Kräfte F1, F2 ersetzen, die in andere Richtungen wirken - sie heißen Komponenten. Aufgabe: Ein Stab BC ist mit einem Gelenk bei B an einer Mauer befestigt, das Seil ACnachhindert ihn(�bb.am 1.5) Abkippen. Eincherangehängter Körper zieht bei C mit der Kraft F unten. Mit wel Kraft F1 zieht das Seil bei A an der Mauer, mit welcher Kraft F2 drückt der Stab bei B auf das Gelenk?
t�echanik
4
Abb. 1.5
Man fasst ,}" als Diagonale eines ParaLLelo gramms auf, dessen Seiten und man ermitteln möchte - man kennt aber von F1 nur die Richtung F 2 (die von BC). Die gestrichelten ParaLLelen zu AC bzw. (die von AC), ebenso von BC durch die Spitze von F Liefern die Pfeilspitzen von F1 bzw. F2• Die derLängen von Kraftkomponenten bei rechnerisch der Kräftezerlermitteln egung bzw.(SatzResul tPythago ierenden beiras, Kräfteaddition Lassen sich auch des Trigonometri e !); ebenso die Winkel z�ischen den Kräften. Ein wichtiges Beispiel1.6)istindiedieZerlegung der Gewichtskraft G eines Körpers an der schiefen Ebene (Abb. Hangabtriebskraft FH (paraLLeL zur Ebene) und die �ormaLigaft FN (senkrechtgiltzur taucht, : Ebene). Da der Neigungswinkel auch zwischen G und FN auf . (F1.1 a, b) -G = coso:, also: FFHN GG . smo: Lösung: "F 1 " J2"
o:
l1l
COSO:
=
=
·
Abb. 1.6
1.3.3 Gewichtskraft
Die Gewichtskraft G (Betrag G oder IG'I) eines Körpers auf der Erde ist die Kraft, mit zur der ihn die Erde (nach Masse des Körpers: G unten) m. anzi �h't. An einem festen Ort ist G proportional Die Konstante = g heißt Ortsfaktor g. Auf der Erde ist g 9) 81 N (am Pol N N\echanik
auf deren Schwerpunkt. alle drei Körper nur m 20 (1)N 2haben Lageenergie: E�!! = 10 NIm1 skizzierten m 50 N 3Zustand m = 200 ImHöheZustand (2) (Auftreffen des rechten Körpersam Boden) hat der Li nke Körper die 3 m und die Lageenergie 30 der rechte die Höhe 0 und keine Lageenergie und mittleredieimmer die Höhe 3 m und die Lageenergie 150 alle drei Körperderhaben gesuchtenochGeschwindigkeit v, sodass E�� = 30 0 150 � ( m1 m2 m 3 ) v2 ist. Energieerhal t ung Liefert: E �!! = �� ' also 200 = 180 �2 . 8 kg . v2 . Somit 20 m v2 = -, also v = v'S4 kg s ·
+
·
+
·
J.
J,
J +
J +
J +
J;
+
+
•
J
J
J+
1.14 Impuls 1. 14. 1 Impulserhaltungssatz i:h
Bei Stoßversuchen kannMassen man untersuchen, welche Geschwindigkeiten bzw.diei12 zwei Wagen mit den m bzw. m nach dem Stoß haben, wenn 1 2 Geschwindigkeiten vor dem Stoß v1 , v2 waren. Wagen 1
I0
Abb. 1.3 1
I 0
-
V1
Fed�
)lo
wagen 2
0
I
0
Abbildung 1.31 verdeutlicht beispielsweise einen typischen derartigen Versuch, bei dem ein Wagen mit m1 = 300 g und v1 = 1p elastisch, d. h. über eine Feder auf einen zweiten ruhenden (d.Stoßh. vder2 =erste 0) derselben Masse m 2 = 300 g stößt; und man stell t fest, dass nach dem Wagenkinetische stehen blEnergie eibt (u1des= o)ersten der zweite Wagen mit u � weiterfährt. Die = 1 2elastischen Stoß vollkommen auf den zweiten über, der Wagens geht bei diesem Energieerhal tungssatz ist alsonachhierdemerfülStoß lt - erzu!Ließe aber auch andere Möglich keiten der Energieverteilung " (z. B. Knetmasse) und wiederholt dann Ersetzt man di e Feder durch Klebstoff " den Versuch beidiesem m1 =total 300 g, v1 = 1 7, v2 = 0, so ist das Ergebnis völli g m2 =unel anders bei astischenu 1 =Stoß hinterher beide Wagen gemeinsam mit der Geschwindigkeit u2 =fahren 0, 5 7 weiter. Hier bleibt die kinetische nicht erhal1 ten: ( m) 2 1 voE r = Ek(lin)vorEnergie = -2 · m1 · v21 = -2 · 0 , 3 kg · 1 -s = 0, 15 Enach = .-f:>nach E(2)nach = � ( m1 m ) . (V1 ) 2 ,. a ls o 2 2 tkm kln 2 Enach =-21 2 m1 · -vi4 = -41 m1v21 = 0, 075 =-21 !"Yor d. h. 50 % der mechamschen Energie geht verloren nämlich in Form von Wärme (innere Reibung beim Zusammenpressen der Kl-e bmasse). 9 e:s
+
g es 9e:s
·
+
J;
J
L g e:s ,
·
33 Beide Versuche zeigen, bzw. dass ungeeignet der Energiesatz für die Behandlung von Stoß problemen nicht ausreicht sein kann! Wir nehmen gemäß Abbild ung 1.32 auf Wagen 1 die Kraftan,F1dassund während auf Wagendes2 Stoßkontakts die Kraft F2 wirkt. Impuls
Fl-+-1-�
..._ �
Abb. 1.32
Wagen 1
Wagen 2
..-----.,.o ...-� � a
� a ...-___" -- o ...-�
I
F2
•
DannMitgildemt: F1Newtonsehen - siehe Kap.folgt1.3.5) = - F2 (actiojreactio Grundgesetz (1. 7) für die Beschl e unigungen der Wagen: mdie1 ät Definition = -m2 · ä2 der Beschleunigung (Kap. 1.4.4) ergibt sich für die Über Geschwindigkeitsänderungen: (.6.ii) 2 (.6.V) 1 = - m2 � m1 · � Wegen .6.ii = vorher): ii (Geschwindigkeitsänderung nachher Geschwindigkeit m1(ü1 - v1) = - m2 (ü2 - Geschwindigkeit v2 ) Schli eßlich folgt: m1 1 m 2 Ü2 = m1 ii1 m 2 v2 (F1.19) Gl=eichung Legt di[pe] Definition Größe nahe, des Impulses m mit(F1.19) der Einheit = 1 kg · � =einer1 Ns;neuen damit erhält (F1.19) die Gestalt: der Impul P1 pn2 = pvor1 p2 (F1.20) blDieeibtVektorsumme beim Stoß erhal ten. se Die Impulserhaltung gilt aber nicht nur für Stöße, sondern allgemein in impuls mäßig abgeschlossenen Systemen, d. h. solc hen, in denen nur innere Kräfte wirk sam sind (d. h. solche, die zum System gehören). ü-
=
·
ü +
·
·
nach Stoß
j5
·
::'!lach
+
v
ach
+
vo r
+
·
vor Stoß
f-
Impulserhaltungssatz:
Die Vektorsumme der Impulse p; = m; ii; eines impulsmäßig abgeschlossenen Systems ist ein zeitlich konstanter Vektor, der Gesamtimpuls p : 2:::: m;ii; (t1) = 2:::: m;ii; (t2 ) = . . . = p (L bedeutet Summe) i i ·
...
Unterschiede zum Energieerhaltungssatz:
1)Stoß),Impulserhaltung gil t auch bei inneren Reibungskräften (z. B . unelastischer Energieerhaltung nicht. 2) Der Impuls ist eine Vektorgröße (gilt auch für schiefe Stöße), die Energie ist ein Skalar.
34
t>\echanik
1.14.2 Ballistisches Pendel
Zur der Geschwindigkeit vschweres eines Geschosses: DasSandsack), Geschoss derin dem Massees mstecken undBestimmung Geschwindigkeit v tri fft auf ein Pendel (z. B. bleibt; danach schl ä gt das Pendel mit dem Geschoss um o: aus (Abb. dem 1.33 a, b). Es handelt sich um einen völlig unelastischen Stoß - direkt nach Stoßo haben Pendel und Geschoss die gemeinsame Geschwindigkeit M m + mit m v p-v r ::'l'lpach m u-+ M u-, d h -m -u =
·
ges =
ges
m
=
·
·
•
•
-
v=
V
u
M
vor dem StoßG)
direkt
d
�®
�
3
fh
,.
nach dem Stoß@
--m+M
Abb. 1.33a
·
-
-
".. .. �
ü
Bisher man wurde der(sowieImpulserhal tungssatzBeimbenutzt; man kanndesalsoPendels v bestimmen, wenn m, M) kennt. Ausschwingen gilt der Energieerhaltungssatz: E��� ��e' also � (m M) u2 (m + M) g h bzw. u = \� Die Höhe h lässt sich schld echt messen, weil sie klein ist; aberl -überh d und l folgt (Abb. 1.33 b) gemäß L sino: der Winkel und über -l- coso:, d. h. hPendell(1ist- coso:) ergibtfallsicheinesrechnerisch h und damit u und v! Das ballistische ein Spezial geraden Unelastischen Stoßes. IT
+
=
=
·
·
=
=
·
n:
=
f h
Abb. 1 .33b
1. 14.3 Unelastischer Stoß
Nach einem Unelastischen Stoß bewegen sich die Stoßpartner mit der gle ichen Geschwindigkeit weiter.verloren. Der Energieerhal tungssatzdesderStoßes Mechanik giltdernichtImpul- ess geht kinetische Energie Zur Beschreibung genügt satz: m1 v1 + m2 v2 m 1 + m2 also ·
·
=
·
IT
· IT
35
Impuls
1.14.4 Gerader elastischer Stoß
Beim völlig elastischen Stoß gilt zusätzlich zum Impuls erhaltungssatz der Ener gieerhal ungssatz der Mechanik. Man hat also für die beiden Unbekannten i12 zwei Gletichungen: m1il1 + m2il2 = m1 · i11 + m 2 · i12 (a) 1 v12 +-m 1 2v22 =-mtu 1 21 +-m 1 2 u22 (b) -m1 2 2 2 2 Da ein gerader Stoß betrachtet wird, bewegen sichdieser. alle Man Stoßpartner aufVektor einer Geraden, ihre Geschwindigkeiten sind parallel zu kann den charakter berücksichtigen, dass man vereinbart, die vonassen il1 , ilund 2 , i11,allei12nachdadurch Pfeil e wegzul rechts zeigenden Geschwindigkeiten positi v , die anderen negativ zu rechnen; dann wird aus (a) m v v u u bzw. + m + m = m 1 1 1 1 2 2 2 2 m1(v1 - Ut) = m 2 (u2 - v2) (a') (b) Lässt sich umformen zu % m1 (� - uD = � m 2 (u� - vD bzw. m1(v1 - Ut)(vt + Ut) = m2 (u2 - v2)(u2 + v2) (b') Eind. h.echter Stoß Lässt die Geschwindigkeiten der Stoßpartner nicht unverändert, u2 +Vtv2-(c)u1 o, u2 - v2 o; Division von (b') durch (a') LiefertUtdannVt,v1u+2 u1v=2 bzw. Auflösung von (c) nach u 2 Lie-fertm1u1u 2 == v1m + Ut - v2 (c'), v Einsetzen in (a) Liefert m1v1 (v1 + Ut v ) m bzw. 2 2 2 2 v ). m1v1 - m2v1 + 2 m 2 2 = m1u1 + m2 u1 (c" Damit ergibt sich u1 (und entsprechend u2) wie folgt: u1 = 2 m 2v2 m+l (m+ 1m-2 m 2)v1, u2 = 2 m1v1 m+l (m+ 2m-2 m 1)v2 (F1.22 a, b) Aufgaben: 1} Zwei Wagen (Massen 200 g bzw. 400 g) fahren mit den Geschwin digkeiten(Betrag/Richtung) 5� bzw. 2� geradehabenaufeinander zudem(Abb.Stoß,1.34). Welche Geschwindig keiten sie nach wenn dieser vollkommen elastisch bzw. total unelastisch ist? i:it ,
=/=
Abb. 1.34
Lösung:
=/=
=/=
I0
jV11 5 mts
I 0
m 1 = 200 g
=/=
=
)t
lv21
=
•
2 m/s
I0
I
0
� = 400 g
v1 = 5 � , v2 = -2 � (Vorzeichenkonvention)
36
t>\echanik
Elastischer Fall:
g - 400 g) . 5 !!!s u1 - 2 . 400 g (-2!!!200s ) +g (200 + 400 g -1600 g ms - 1000 g ms = - -13 m : 600 g 3s g - 200 g) (-2 �) -8m u 2 · 200 g 5 � + {400 3s 600 g Der erste Wagen fährt also nach dem Stoß nach li nks, der zweite nach rechts. Unelastischer Fall: Mit der Vorzeichenkonvention gilt nach (Gl. F1.21): u = 200 g 5ms +600400g g · (-2ms ) = 200600ggms =-31m-s Beide fahren nach dem Stoß zusammen nach rechts. 2) Gerade elastischer Stoß gegen einen viel schwereren ruhenden Stoßpart ner, z. B. gegen ruhende Wand {Abb. 1.35) _
2
-
-
·
_
_
-
·
1'11:1 -
m1
v1
•
-
u1
.....
� •
�
Abb. 1.35
Zahle nbeispiel: m1 = 1 g, = 10 kg, v1 = 1 -ms , = 0 g ms -- - 9999 m '"" -V1 1 -- 2 · 10 kg · 10 kg+ (1+ 10g -kg10 kg) · 1ms -- -9999 10 001 g 10 001 s "' (10 kg - 1 g) · O - 2 m '"'-' 0 u2 - 2 · 1 g · 1!!!s 10+ 001 g 10 001 s ""' Die Wand bleibt nahezu in Ruhe, die Geschwindigkeit des Körpers 1 kehrt sich um Energien: = 2 1 g ( 1 !!!s ) 2= 5 10-4 ' 1 1 g ( 9999 m ) 5 . 10-4 = 1:1yor. 2 10 001 Ek. = -21 · 10 kg (102001m s) = 2 · 10 0 v2
m2
U
p�r km
p�ach km
2nach m
1
=
·
_
·
.
J·
·
.
_
·
2
S
J
�
2
-7
J �
'i<m '
37
Impuls
Impulse: m m 1 g 1- 1 g-. p tnach - 1 g m m 2 m 2 gP�ach 10 kg 10 001 s s Die Wand übernimmt nahezu keine Energie, aber den doppelten Impul s , den Körper 1 vorher hatte! pvor = ges
.
S
�
=
S
'
S
=
·
�
1.14.5 Schiefer Stoß gegen ruhende Wand
Wir zerlegen die Geschwindigkeit v von Körper 1 in Komponenten 'Vp und lis parallel und senkrecht zur Wand (Abb. 1.36). Von der Wand wirkt beim Auftreffen eine Kraft F auf Körper 1, die senkrecht zur Wand ist ( Reibungsfreiheit voraus gesetzt Stoß Zu diskutieren bleibtderdannGeschwindigkeit ein gerader Stoßändert mit Vssichaufbeim die Wand. nicht: Üp) . DievP.Parallelkomponente Falls dieser elastisch ist, gilt Üs = -Vs und damit l i11= l VI } = ( Das Reflexionsgesetz ist also erfüllt) Falls der gerade Stoß unelastisch ist, ist l i1s i < I 'Vsl (Abb. 1.36}, damit llil < lvl und ,8 Es geht kinetische Energie verloren/ der Reflexionswinkel ist größer als der EinfallswinkeL =
n:
> n:
Abb. 1.36
,t3
38
t>\echanik
1. 14. 6 Kraft und Impulsänderung, Kraftstoß
Wirkt auf einen Körper der Masse m während der Zeit .6.t die Kraft F, so gilt: -F m · -a m D.v m.6.v .6.p also .6.t .6.t D.t' -F .6.p, genauer -F hm. .6.p p (F1.23 a, b) .6.t ll.t-+o .6.t =
=
=-
· - = -- = =
- =
�
Kraft = Impulsänderung pro Zeit bzw. Kraft ist die zeitliche Ableitung des Impulses.
Formt man (F1.23 a) um, so folgt: I F .6.t D.pl (F1.24) Das Produkt F · .6.t heißt Kraftstoß. GL. (F1.24) besagt dann, dass der Kraftstoß F · .6.t, der auf einen Körper in der Zeit .6.t wirkt, dessen Impuls p um .6.p ändert. Beispiel: Durch ein gebogenes Rohrstück wird fli eßendes Wasser umgeleitet (Abb. 1. 3 7). Beim Eintritt oben zeigt der Impul s Pt einer Wassermenge nach unten, beim Austritt zeigt der Impuls derselben Wassermenge nach rechts. .
=
P2
Impulsänderung: D.p P2 - Pt bzw. Pt D.p P2 Diese Gl e ichung ist vektoriell zu Lesen; der resul t ierende Differenzimpuls D.p zeigt nach obenRohrwand. (Abb. 1.37), die Kraft Fwvom MWasser auf dasaufWasser ebenfalls - sie schräg kommt von der Die Gegenkraft das Rohr zeigt schräg nach unten sie bewirkt, dass das Rohrstück nach L i nks ausschwenkt, wenn es oben in einen befestigten Schlauch übergeht. . .6.(m .6.p Formel (F1.23 a) F .6.t .6.t v) beinhaltet für zeitl i ch konstantes m (fester Körper) das Newton'sche Grundgesetz -F m · .6.\i const .6.t m · ä. Ist dagegen und m ändert sich, so folgt aus (F1.23 a) die Gleichung j i' Ll.m .6.t vj (F1.25) Abb. 1.37
=
=
+
=
=
=
=
Ii =
=
.
39 GL. der(F1.25) Raketengleichung" interpretiert werden. Bei der Rakete wird ingegenüber Zeitderkann lltRakete dieals "Gasmasse �m(Abb.ausgestoßen undmussaufdiese die Geschwindigkeit v gebracht. 1.38) dazu Gasmasse die Kraft F gemäß (F1.25) von der Rakete erfahren. Die Gegenkraft F' wirkt auf die Rakete und treibt sie an. Impuls
F'
�
Abb. 1.38
( �
�
-----
�m
F
�
1) Ein800�Geschoss der Masse Wie 20 ggroß verlässt denRückstoßgeschwindigkeit Lauf eines Gewehrs der Masse 4 kg mit Geschwindigkeit. ist die des Gewehrs? 0,1s abfängt?Welche Kraft hat der Schütze auszuhalten, wenn er den Rückstoß in Lösung: Impulserhaltung Liefert: m Pges = 0 = P ges = m1 U1 + m2 · u 2 m1t m1 = 20 g, m 2 = 4 I\echanik
Abb. 1.39
. a = mFs = 87 . 101034 kgN = 708 sm2 = 8, 75 sm2 Beschle umgung: ·
1.15 Die Kreisbewegung 1. 15. 1 Zentripetalkraft und Zentripetalbeschleunigung
Man denke sich eineDasHolSeilzkugelwirdanüber einemeineSeilHülse befestigt und1.40)in einem horizontalen Kreis geschwenkt. (Abb. nach unten umgeim lAlltag e nkt undmeistmitfälschl einemicherweise Kraftmesserals verbunden. Dieser zeigt eine Kraft an, die Riehkraft bezeichnet wird. Tatsache ist, dass auf die Hol z kugel der Masse m dauernd eine Kraft F wirkt, die stets lul Mittel punkt des Krei s es gerichtet i s t (Zentripetalkraft) und deren Betrag F zeitlich konstant ist,en Grundgesetz wenn man erfährt die Kugeldie glHoleichmäßig kreisen lässt.eine GBeschläß edem Newton'scl}. z kugel auch dauernd uni gung ä �; auch sie ist stets zu rr,_ �ittelpunkt gerichtet (ZF,��tripetalbeschleu nigung) und ihr Betrag l äl = � 1 Fl ist ebenso wie der von 1 Fl zeitlich konstant. =
·
F
--
--
Hülse -
Abb. 1.40
�\
ä /
Die Momentangeschwindigkeit v = �t-->0 li m L..l" tsist in jedem Augenbli ck tangential zur Kreisbahn gerichtet; dies erkenntdieman,Kugelwennfliegtmandannz. B.tangential plötzlichweiter! mit einer Rasierkl i nge die Schnur durchtrenntDer Geschwindigkeitsbetrag lvl ist zeitlich konstant. (Abb. 1.41). /).-
41
Die Kreisbewegung
Abb. 1.41: Sicht von oben
Esgeradl handel t sich nicht um eine gl e ichförmige Bewegung, da die Bewegung nicht i nig istdaundes dauernd eineeKraft wirkt;gibt,es handelt sich umum eine beschleunigte Bewegung, eine Beschl unigung aber nicht eine gleichmäßig beschleunigte, da ä dauernd die Richtung ändert! DiedieBeschl eunigung besteht hier während nicht darin,IVJ gldasseichl VIblgeändert wird,1.4sondern es wird Richtung von geändert, e ibt (Abb. 1): -a .ßV m1t .6.tes nun diese Fliehkraft? Nein! Damit überhaupt ein Körper eine Kreisbewe Gibt gung ausführt, muss auf ihnvonständig eine zum Kreismittelpunkt M gerichtete Kraft wirken und ihn dauernd der geradl i nigen Bahn "abbringen"; ohne diese Zentripetalkraft würde er die Kreisbahn sofort tangential verlassen und sich gleichförmig nach dem von Trägheiaußen tssatznicht! fortbewegen. existiert somit bei dieser Betrachtung (VergleicheEinedazuF/jehkraft auch 1.17.) =-
.
-
V1 +
'J D.V
Ii
-
= V2
1. 15.2 Größe der Zentripetalkraft fz und der Zentripetal beschleunigung az
Wir nehmen.6.tnäherungsweise an, dass während der kleinen Zeitspanne als Überlagerung einerman(Abb.die1.Kreisbewegung 42) 1.2. einer gleichförmigen Bewegung in x-Richtung mit Geschwindigkeit v und gl e ichmäßig beschleunigten Bewegung in y-Richtung mit Beschleuni gung auffassen kann (stimmt nicht ganz, da während .6.t die Richtung äz äz ändert, stimmt aber für 1.6.t o). Dann gilt: s v .6.t (I) und h 2 az ' (.6.t) (II) =
·
=
�
2
42
t>\echanik X
yr
-
-
B
V
a"
s
I I
M
I I I
r
I I
A
Abb. 1.42: Sicht von oben
azdasswirCd auf dadurch festgelegt, dassDannanists undDreieck h dieACBgeometrische Forderung ergeht, dem Kreis Liegt. rechtwinklig und nach dem 2 (2 r - h) h (III) Höhensatz (Höhe ist s!) gil t : s Einsetzen von (I) und (II) in (III) liefert: v2 · (.6.t) 2 (2 r - 21 az(.6.t) 2) · 21 az(.6.t)2 bzw. v2 2 r · 21 az - 41 a2z · (.6.t)2 DaGrenzübergang unsere Überldurch egungenund sowieso nur für .6.t � 0 stimmen, führen wir diesen 2 erhal ten: v r deraz Zentripetalbeschleunigung az und Damit folgt die Formel zur Berechnung der Zentripetalkraft m · az: az vr2 Fz mvr 2 (F1.26) Messversuche bestätigen die Formeln. =
·
=
=
=
·
Fz =
=-l
=-
1. 15.3 Begriffe und Größen bei der Kreisbewegung Umlaufdauer T gibt die Zeit an, die ein Umla uf dauert; die Drehfrequenz f gibt dieDie Zahl der Umdrehungen je Zeit an. Man erkennt Leicht, dass lf - j I (F1.27) 5 gilt (z. B. 5 Umdrehungen in 10 s � T 2 s, f -- _.!._ ! Hz), die Einheit 10 s 2s 2 von f ist [f] 1s 1 Hz (Hertz). =
= -=
=
=
=
43 Die Winkelgeschwindigkeit Kreisfrequenz) ingibt10dens heißt überstrichenen Winkel (im Bogenmaß) je Zeit an (z.(auch B.2 1i 5 Umdrehungen 360 = 2 n 2 s, also w == -s � 3,14 Hz) 2 s Zusammenhänge: Bei jeder Kreisbewegung wird in der Zeit T der Winkel 2 1i überstri eh en, also I w 3-f- 2 ml (F1.28) 2 1ir = · r = 2 · r (F1.29) Gesch W1n. d"1g ke1t. = UKreisumfang v =m laufdauer T Aufgaben: 1) Bei einer Kreisbewegung sei m = 2 kg, r = 80 cm und es finden 12 Umdrehungen in 8s statt. Wie groß sind f, T, v, az , Fz ? 12 3 1 2 . Losung: f =- =- Hz:. T =- = - s; = 2 1i · f = 3 1i Hz � 9,42 Hz; f 3m 8s 2 v = · r = 3 n Hz · 0.2. 8 m = 2, 4 n-s � 7,. 54 -ms az = -vr2 ::::.::: (7,054: 8mm/s) � 71, 06 sm Fz = m · az = 142 : 12 N 2) EinScheibe. Gummipfropfen liegtdieim Drehfrequenz Abstand r vommaximal Mittelpunkt auf einerer lisich den Wie groß darf sein, damit egendrehen bleibt? Lösung: Dreht sich die Scheibe langsam, so macht der Pfropf die Kreisbewegung m = m . (2 nrf)2 = m · 4 2 r · .m1t; d"1e notwend"1ge Zentnpeta . lkraft Fz = -r sich schneller r dreht, wird ligrößer; efert diedie Haftreibungskraft Wenn die Scheibe Haftreibungskraft ist aberaufgebracht höchstens werden Fh =kann Kap. 1.6), fh · G- (siehe sodass irgendwann Fz nicht mehr dann fl i egt der Pfropf tangential weg! " Bedingung für "Liegenbleiben : Fz Fh d.h. m 4 n2 · r · fh · g · m bzw. f J4fhn� g. r Die Wurzel stellt kritische unabhängig von derdieMasse m ist.Drehfrequenz dar, man sieht, dass das Ergebnis 3)beiWeleinercheHaftreibungszahl Geschwindigkeitvondarffeinh = Auto in einer ebenen Kurve von 100 m Radius 0, 5 höchstens haben, damit es nicht schleu dert? Lösung: Die Haftreibungskraft liefert die erforderliche Zentripetalkraft, also muss gelten: Fz 2 Fh Damit m r· v fh · m · g bzw. m km v 1fh · g · r h=ier y. f0, 5 · 10 sm2 · 100 m = �m soo 5 � 22,36 s = 80, 5 h Die Kreisbewegung
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Fz
t>\echanik
44 1. 15.4 Vertikale Kreisbewegung
Während beisodass der horizontalen Kreisbewegung derist,Körper immerer beiaufderdervertikalen gleichen Höhe kreist, seine Lageenergie konstant verändert Kreisbewegung dauernd seine Höhe und damit auch seine Lageenergie. Wenn keine äußere Arbeit amGesamtenergie Körper stattfindet (diesE ist z.EB. derkonstant; Falt, wennErhöhung er an einer Schnur kreist), ist die E von i n la k 9es ge Edigkeit aL ge gehtlv also auf Kosten von E i n und umgekehrt. Daher ist dann die Geschwin k l nicht mehr konstant, sondern maximal im tiefsten Punkt und minimal im höchsten. Aufgabe: Wir betrachten die Todesspirale von Abbild ung 1.43 mit Radius r 6 m. Wie schnell muss das Auto im obersten Punkt mindestens sein, damit es die Spirale durchfahren kann? WieKraftgroßwirkt ist dann imvonuntersten PunktaufdiedasGeschwindig keit des Autos und welche dann der Spirale Auto? Aus welcher Höhe h müsste das Auto dafür tosrotten? +
=
=
Abb. 1.43
Wenn das Auto in B gerade nicht fäLLt, muss die Gewichtskraft gerade die erforderl Liefern, d. h. m km m v82 =iGche Zentripetalkraft 9 27 � 7, 75 . : g bzw. v8 m h Dardie Gesamtenergie gleich 1bleibt, gil1t: s E9es d. h. m · g · 2 r 2 mv28 2 mv2 m km Also ist v� v� 4 gr = 5 gr, somit = y'5'"9r 17.32 62,4 . s h Lösung: ·
B
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--
E9es, C
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=-
Vc
-
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-
�
45 Imaufuntersten Punkt wirkt G nach unten und die Kraft K von der Spirale nach oben das Auto die Gesamtkraft tripetalkraft Liefern2 (nach oben)! aus beiden muss gerade die erforderliche Zen K - G = fi = mvr also K = G + � = m g + -mr 5 gr = 6 m g, d. h. K = 6 G (sechsfache Gewichtskraft) Starthöhe: Nach dem Energieerhal1tungssatz müsste Elage E n sem: d5. h . hmier g h = .2 m v2 21 m 5 gr . te h 2 r 15 m sem. Dam1't muss Die Kreisbewegung
_c,
A
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·
1. 15.5 Arbeit bei der Kreisbewegung
Bei deraufhorizontalen Kreisbewegung mit betragli eh konstanter Geschwindigkeit wirkt den kreisenden der Masse mFz.alsInResul dieicknachist FzM (Kreismittelpunkt) gerichteteKörperZentripetalkraft jedemtierende Augenbl senkrecht zur tangentialen Momentangeschwindigkeit v Li m .6.ut" -s und damit auch zu .6.5. Da alFssoin diWegrichtung e Kraft dauerndalsosenkrecht zum Weg ist, gibt es keine Kraftkomponente wird keine Arbeit verrichtet. Dies steht im Einklang mit der Energieerhaltung: l VI und damit �in �2 mv2 sind konstant. Bei kderomponente vertikalen Kreisbewegung zerlegen wir die Gewichtskraft in eine Tan gential F;. und eine Radialkomponente F;, zusätzlich kommt noch die radial e Kraft K des Seil s ins Spiel (Abb. 1. 4 4). K und F:. ergeben zusammen die radiale senkrechtZentripetalkraft, zu v sind. d. h. � K + F;, verrichten aber keine Arbeit, da sie =
-
�t->o
=
=
m
Abb. 1.44
Nur die Tangentialkomponente � beschleunigt (Abwärtsbewegung) bzw. bremst (Aufwärtsbewegung) den Körper, h. verrichtet Arbeit, indem sie lvl verändert. Ä nderung von jvj Lässt sichd. mithil Diese f e des Energiesatzes ermitteln (siehe Aufgabe in Kap. 1.15.4). Zusätzliche Arbeit von außen kann über eine Stange erfolgen, die (im Gegensatz zum Seil) tangentiale großen Kräfte vonTrommel außen, dieübertragen kannwaagrechte (z. B. in einemAchsevertikalen Volksfestrotor-einer sich um eine dreht der Fall, wenn die Konstanz von !V oben und unten - erzwungen wird!) I
-
46
t>\echanik
1. 15.6 Weitere Beispiele zur Kreisbewegung 1 . 15. 6. 1
Drehfrequenzregler
ZweiundKugeln sind überwerden Stangen der Länge L undAchsenstange ein Gele nk (über das dieseum Stangen auf ab bewegt können) an einer befestigt, diedesto sich die ganze Anordnung dreht (Abb. 1.45). Je größer die Drehfrequenz f ist, "höher ab? steigen" die Kugeln, d. h. desto größer ist der Winkel a. Wie hängt a von f Achse
Abb. 1.45
Auf jede Kugel m wirkt ihre GewichtskraftdieG senkrecht nach unten undF1 F vonFderderMasse die Kraft Stange in Stangenrichtung, wir in Komponenten (vertikal ) und (hori_ z ontal) z�L e gen (Abb. 1.45}; Wenn sich ein Gl e ichgewicht 2 und F2 muss gerade die Zentripetal eingestell kraft Liefern,t hat,d. h.muss F1 gerade mvG ausgleichen F1 G m · g und F2 Fz r 2 mr (2 mf). 2 m4 r . -r (2) Trigonometrisch gilt: tana -FF21 m4mg-rr2 rf2 4 -rrg2 rf2 (1) und smo: L 22 2 2 . . . von (1) durch (2) Ll.efert: tana D1V1s1on .sma 4 -rrg rf· r l bzw. coso:si no:smo: . 4 w gf l und damit coso: 4 w2gf2 . l (F1.30) ist derbeispiel gesuchte cmGL. (F1.30) ergibt sich s2 weiseZusammenhang zwischen o: und f! Für f 1,4 Hz, L 20 coso: 4 (11o4.!m;.s) 2 ·0 2 m 0, 646. d . h. 49,75 ° =
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Abb. 1.46
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47 InDrehachse Verbindung mitodereinerweniger Hülse,verschl die einießen Loch kann in der(Abb. hohle1.n,46),dampfdurchströmten mehr kann mankonstant so die Drehfrequenz einer Dampfturbine, auf der der Drehfrequenzregl e r steckt, halten:derDrehtDampfdurchzug sie sich zu schnell so gehen diedie Kugeln verschli eßen das Loch, wird ,behindert, Drehungnachwirdoben, La ngsamer. Die Kreisbewegung
1. 15. 6.2 Radfahrer
in der Kurve in Schräglage
Bekanntl i ch kippt ein Radfahrer, der eine Kurve ohne Schrägl a ge nehmen will nach außen weg; um welchen Winkel muss er sichseineneigen, umtskraft gut durchzukom.: men? Auf den Radfahrer wirkt im SchwerpunktS Gewicb_ (samtUnterlage Rad) G nach unten (Abb. 1. 4 7). Im Auflagepunkt A wirkt die Kraft Fu von der senkrecht nach oben sie häl t G das Gle ichgewicht. Außerdem wirkt die Haft F hierende reibungskraft nach rechts-sie stellt die Zentripetalkraft Fz für die Rechtskurve dar. Die Resul t F von Fh und Fu muss in Richtung des Schwerpunkts S zeigen, sonst kippt der Radfahrer um S (nach innen oder außen).
Abb. 1.47
�
Damit gilt: Fu = G = m · g, Fh = Fz = m ·r � und tana = -Fu = r m�m g, also B (F1.31) GL.Kurvenradius {F1.3 1) beschreibt also, welchen Winkel n: der Radfahrer bei gegebenem r und gegebener Geschwindigkeit v gegenüber derfh�Vertikalen einFu nehmen muss. Da aber Fh :::; Fh, = fh Fu ist, folgt tann: :::; ; man erhält also die Zusatzbedingung I tann: :::; fh I (F1.32), die angibt, ob d1e Haftreibung diesen Winkel erlaubt! So wäre z. B.2 für r = 20 m und v = 5 ms der Winkel n: = 7,1° zu wähle n, denn tana: = 2025mm· /10s2 = �.8 Voraussetzung, dass die "Straße mitmacht'', ist allerdings fh �! --
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52
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48
t>\echanik
1.16 Hjmmelsbewegung und Gravitation 1. 1 6. 1 Geozentrisches Weltsystem
Zur Beschreibung der Bewegung der Himmelskörper wurde zunächst das auf Aristoteles (350 Chr.) und Ptolemäus (150 n. Chr.) zurückgehende geozentri sche Weltsystem herangezogen, das ca. 1500 Jahre Lang Bestand hatte; es beruht auf folgenden Annahmen (Abb. 1.48): v.
•
weitere Planeten und Fixsterne
: 1. Die Erde ruht im Zentrum. Sonne, Mond, Planeten und Fixsterne kreisen auf Halbkugeln (Sphären) um die Erde. 2. Die Sphären sind undurchdringli ch. 3 . Aus ästhetischen und philosophischen Gründen sind nur Kreisbahnen mögli ch. 4. Himmelskörper und Sphären bestehen aus dem 5. Ele ment Himmels-Äther (Elementenlehre Luft und Feuer). des Empedokles: Es gibt vier irdische Elemente Erde, Wasser, Einä ngeren ProblemZeitraum war diemanche ErklärungPlaneten der Tatsache, dassdenbeiFixBeobachtung über einen Lsatzbewegungen gegenüber sternen eigenartige Zu " , Schleifen) ausführen. offensichtlichen Widerspruch zur 3.("Rückläufigkeit Hypothese erklärte Ptolemäus mit seinerDiesenEpizykel theorie: Abb. 1.48
Abb. 1.49
Himmelsbewegung und Gravitation
49
Der Mars kreiTrägerkreis st auf einemum kleinen Kreikreist s (Epizykel), dessen MittelpunktS auf einem größeren die Erde (Abb. 1.49) . Die Überlagerung dieser beiden Kreisbewegungen L i efert tatsächl i ch Schlei f en und Rückl ä ufigkeit! Dasscheint geozentrische Weltbild entspricht offenbarsiedemauchWortlaut der Bibel. Den noch die Epizykel t heorie, so raffiniert ist, etwas künstl i ch. Außerdem müssten die Epizykel ja die Sphären schneiden offenbar ein Wider spruch zur 2. Hypothese. Darüber hinaus entdeckte Gali le i (1564-1642) mit einem selbst konstruierten Fernrohrschien, auf dass dem dieMondMondGebirge wie auf dergrund Erde, was der Theorie zu widersprechen und Erdmaterie sätzlich verschieden sein sollten. 1 . 1 6.2 Heliozentrisches Weltsystem
Bereitsunakzeptables Kopernikus (1473Gegenmodell - 1543), Domherr in Ostpreußen, hatte ein für die Kirche völlig vorgestellt, das heliozentrische Weltsystem. Danach gilt (Abb. 1.50):
•
Abb. 1.50
e •
Jupiter, Satum (Uranus, Neptun, Pluto)
Die Erde dreht sich täglich einmal um ihre Achse - die tägli che Bewegung der Gestirne ist also nur scheinbar. 2. Die Sonne ruht im Zentrum; alle Planeten einschli eßli ch der Erde bewegen sich auf Kreisen um die Sonne (Umlaufdauer für die Erde: 1 Jahr). 3 . Der einzige Körper, der um die Erde kreist, ist der Mond (Umla ufdauer: 1 Monat). Auch mit Mars dem und heliozentrischen Welsichtbilbeide d Lässtumsich die rückläufige Bahn des Mars erklären: Erde bewegen die Sonne, aber mit verschiedenen " den Mars innen, wodurch dieser von der Erde Umlaufzeiten. Die Erde überhol t " aus gesehen rückwärts Läuft. 1.
1 . 1 6.3 Keplersche Gesetze
Obwohl alsdasdasheliozentrische Weltbild einfachere Rechnungen zu ermögl ichen scheint geozentrische Wel t bild, sprachen die astronomischen Messwerte oftmals für die geozentrischen Rechnungen. Dies Lag zum einen an den erstaun-
50 t>\echanik lieh allem raffinierten mathematischen MethodenSystem einesnochPtolemäus, zum anderen und vor daran, dass das hel i ozentrische von Kreisbahnen ausging. Mit der Keplerschen trischen Rechnungen Ersetzung sehr präzise.der Kreise durch Elli psen wurden die heli ozen 1. Keplergesetz: Die Planeten bewegen sich auf fast kreisförmigen Elli psen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. 2. Keplergesetz: Der von der Sonne zum Planeten gezogene Fahrstrahl über streicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen (Abb. 1.51 a).
Abb. 1.51a
Dies besagt, die Uml ufgeschwindigkeit umso größer ist, je näher er an derdassSonne ist. aDieses Gesetz heißt desauchPlaneten Flächensatz. 3. Keplergesetz: Die Quadrate der Umlaufzeiten T1 und T2 zweier beli ebiger verhalten sich (Abb. 1.51 b) wie die 3. Potenzen der großen Halbachsen aPlaneten 1 und a2 ihrer Bahnellipsen Ti - � - 11 - - const - C (F1.33) a31 a23 a33 _
_
_
Abb. 1.51b
(1 Jahr) 2 3 3 . 10 25 Jahr3 D1e. Konstante hat den Wert C Ta�2Erderde (150 Mill km ' i onen km) der Mars mit a�lars 228 Milli onen km hat die Umlaufdauer = Je · a�la rs 1, 88 Jahre. =
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�
-
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TMars
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1 . 1 6.4 Planetenbewegungen
Die ErklärungüberderKräfte. Planetenbewegung erfolgte schli eßli ch durch Newton (1643-1727) Er ging davon aus, dass die Planeten nur deshalb auf kreisähnlichenkonnte Bahnennur umvondieder Sonne laufen, weil Zentripetalkraftzeigen, auf sieer wirkt-diese Sonne kommen und eine in Sonnenrichtung
51 nannte sie Zentralkraft. Geht man von Kreisen statt ELLi psen aus, gilt für diese Zentratkraft F: 2 et = m pt . (2 nrpt) = m pt . 4 . rpt . ]_ (a) F = Fz = mPlanerPtla.nev�lan �� rpl T Pl t Bezieht man das 3. Keptergesetz ein mit rpt ansteLLe von a, so folgt: T�L = C bzw 21 = C · rp1 (b) . Tp rpl 4 112 · -mpt-2 , Einsetzen von (b) in (a) Liefert: F = mpt · 4112 C rpt· rpl = mp[ (c) const also F y Pl Wenn nunSonne stattsäße, einermüsste Sonne wohL am gldieeichen PLatz zweiF aufSonnen bzw. eineauchdoppel t sot schwere Zentratkraft die PLaneten doppel so groß sein, d. h. auch F "' msonne (d) Aus (mptc) und (d) folgt. für die Zentratkraft der Sonne auf die PLaneten: · mso F "' r2P , wobe1 rp1 der Abstand zwischen Sonne und PLanet ist. Newton veraLLgemeinerte und kam zum Himmelsbewegung und Gravitation
�
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•
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L
Gravitationsgesetz:
Zwei beliebige Körper der Massen m1 und mm21 im· m Schwerpunktabstand r 2 ziehen sich gegenseitig mi t einer Kraft "' an (Abb. 1.52), also: (F1.34) 2 r m · m 1 2 F1 = F2 = r2 (Gravitationskraft) "'i
·
3 (Gravitationskonstante) Ein Messversuch Liefert ,. = 6, 67 · 10-11 � . s kg Aufgabe: Zwei Personen mit je 70 kg Masse befinden sich im Abstand r "' 50 cm. Berechne Anziehungskraft! m 3 2 (70 kg) 22 -Losung: Fihre 1 = F2 = m 1 r·2 m2 = 6 ' 67 10-11 -kg · s (0: 5 m) 2 3 0 49 m kg m2 1 ' 3 · 10-6 N kg '0, 25- · 104 · 10-11 kg s2 · m2 = 13,07 · 10-7 -6 ' 67 · s Nach Newtons Schwerpunkt. Überlegungen Dieser bewegenLiegtsichaLLerdings die Sonnenochund innerhalb die PLanetender umSonne, den gemeinsamen sodass diese näherungsweise als ruhend und die PLaneten als kreisend annehmenmankann. Abb. 1.52
I' ·
·
·
·
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52
t>\echanik
1. 1 6.5 Erd- und Sonnenmasse
Newton erkannte, dass die Gewichtskraft einesErdeKörpers auf derder Abstand Erde nichtsderanderes iKörper st als dientspricht e Gravitationskraft, mit der ihn die anzieht; beiden dem Erdradius R 6370 km. Zum Beispiel gilt für ein Kilogrammstück: 10 N G FGrav . 1 kg R· 2mErde bzw. mErde 101 · N1 kRg2 Damit erhält man die Erdmasse:2 m Erde 10 N6,. (676 , 3710-· 10116 mm3) ·s2 6 1024 kg Die Gravitationskraft von der Sonne auf die Erde liefert die Zentripetalkraft für die "Kreisbewegung" der Erde um die Sonne, also gilt: 2 (2 r ) msonne · m Erde m Erde · �rde 1r . zw. "' f · r b ms o T 4 2 T2 r2 r Aus Gleichung folgt der allgemeine Ausdruck für die Konstante C des 3. Kepledieser rgesetzes: T2 4 n2 (F1.35) C=-= r3 m Sonne Zum anderen lässt sich daraus die Sonnenmasse bestimmen: msonne 4"'f · T.2f t r 150365Mill24i onen· 3600 km alss folgt: Entfernung Erde - Sonne (siehe Kap.1.16.3) und T 1MiJahr 11 m)3 ·kg s2 """,... 2 103o kg 4 (1, 5 · 10 mson ne 6,67 · 10-11 m3 · (3 , 1536 107 s)2 ., . =
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1. 1 6. 6 Satelliten auf Kreisbahnen um die Erde
Mögl ich sind nurdieGroßkreise des Satelliten (derliefert Massediem)Zentripetalkraft mit Radius r umfürdendie Erdmittelpunkt; Gravitationskraft der Erde Kreisbewegung des Satelliten. Also gilt: "'f · m Erder2 m m r· v2 bzw. Wle. oben (Kap. 1.16.5) I' · m Erde 4 · Tr32 bzw. 4 r3 · m Erde (F1.36) (36) astell t eineT, Radius Art 3.r)Kepl für die Bewegung beliebiger Satelliten (Uml ufdauer um edirgesetz e Erde dar! ·
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C
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i2-
53 Beispiel: Soll ein Satellit an einem "festen Punkt über der Erde stehen ", so heißt das, dass ser"" den zur Erddrehung umkreist,geostationär.) d. h. T "" 1 Tag 24 3600 86 400Äquator s. (Mansynchron nennt einen solchen Satelliten 2 T · !' · mErde (8 , 64 · 104 s) 2 ·6, 67 · 10- 11 m 3 6 1024 kg Wegen 2 · kg · s2 4 1r 4 ist � 75,67 · 1021 m3 und r 42 300 km Die Höhe des Satelliten über der Erdobeifläche beträgt dann h r- R 42 300 km - 6370 km 36 000 km (Vergleiche Abb. 1.53, nicht maßstabsgerecht.)
Trägheitskräfte
""
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3 r
T2
= ....:...._ ---'-----::---:----=------....:.
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Satellit
Abb. 1.53
1.17 Träghejtskräfte = 3�. Ein mitfahrender Ein Zug beschleunige gl e ichmäßig mit a Kinderwagen der Masse m 20 kg lenkt einen Kraftmesser aus (Abb. 1.54). Beispiel 1:
""
Beschleunigung
Abb. 1.54
Der Kinderwagen muss mit beschleunigt werden; dazu ist die Kraft K nötig, die der Kraftmesser liefert. Nach dem Grundgesetz ist K = m a = 3� . 20 kg = 60 N Erklärung durch den mitbeschleunigten Beobachter (im Wagen), der nichts von der Außenwelt weiß: Der Kinderwagen ist in Ruhe, also kräftefrei: Da aber offensicht lich eine Kraft K vom Kraftmesser auf ihn wirkt, muss zusätzli ch eine unbekannte Kraft i(-t. am Ki �derwag,,n. wirken, welche K das Gleichgewicht hält. K* heißt Trägheitskraft (K * -K) Erklärung durch den ruhenden Beobachter (außen): ·
=
54
t>\echanik
Beispiel 2: Eine Person befindet sich im Aufzug, der nach oben beschle unigt eine Waage zeigt mehr als seine Gewichtskraft an! Erklärung durch den ruhenden Beobachter (außen): Die Waage muss zusätzli ch zur Gewichtskraftwird. noch eine Kraft K aufbringen, damit durch K die Person nach oben beschleunigt Erklärung durch mitjahrenden Beobachter: Die Person erfährt nicht nur ihre Ge wichtskraft unten,ausgleichen. sondern eine zusätzli che Trägheitskraft K* nach unten beide muss GdienachWaage Beispiel 3: Ein Wagen, der sich auf einer rotierenden Scheibe befindet (Abb. 1.55), muss durch eine Kraft K (Kraftmesser) festgehalten werden.
Abb. 1.55
Damit deraufWagen auf der Kreisbahn bleibt und diese nicht tangential verl ä sst, muss ihn eine Zentn"petalkrajt K zum Mittelpunkt wirken - sie kommt vom Kraftmesser. Erklärung des mitrotierenden Beobachters (er weiß !]ichts von der Außenwelt): Der Wagen ruht undeineist nach demnach kräftefrei. DerKraft KraftK*KdasvomGlKraftmesser aufK*ihnist eine hält offensichtlich außen gerichtete e ichgewicht. Trägheitskraft, die FliehkraftBeobachter! heißt. Diese Fli ehkraft (Zentn"jugalkrajt) gibt es aber nur für den mitrotierenden Erklärung des ruhenden Beobachters (außerhalb der Scheibe):
1. 1 7. 1 Möglichkeiten zur Beschreibung dynamischer Probleme
ImnurInertialsystem (ruhend oder- Newton'sche gleichförmigMechanik. bewegt): Keine Trägheitskräfte, sonstige (äußere) Kräfte 2. ImKräften beschleunigten System (z. B. rotierende Scheibe): Zusätzlich zu äußeren Trägheitskräfte einbeziehen! - dann gilt der Trägheitssatz auch" hier. Bei einem Versuch wird eine sich drehende Scheibe mit Kreide eingeweißt , dann " wird l über dieist Scheibe t, sodassgekrümmt er von außen(Abb.offenbar geradleini nignasser rollt;Tennisbal auf der Scheibe die nassegeroll Kurvenbahn 1.56) . Erklärung der gekrümmten Bahn durch den äußeren Beobachter: In der Zeit, die der Ball Li niefüran diedie Strecke Stelle vonAB Bbenötigt, usw. Läuft der Scheibenpunkt D auf der Kreisbogen 1.
Trägheitskräfte
55
Bahn von außen .....L-----1 I
I
Nasse Bahn Abb. 1.56
D
_
\
(5• C" /
auf Scheibe
I
1-
Scheibenrand
Eine b�l.zwingt der Bewegungsrichtung nach rechts wirkende Trägheitskraft, die die Kugel auf die gekrümmte Bahn von A über M nach B. InNordhal der Geographie hatdiedieLinksabweichung Corioliskraft dieaufRechtsabweichung derzurWinde auf- eine der b kugel und der Südhalbkugel Folge Konsequenz der Erdrotation (Abb. a).
Erklärung durch den mitrotierenden Beobachter: Corioliskraft C'
1.57
Abb. 1.57a
Die Erdrotation lässt sich experimentell mithil f e des Foucault-Pen dels nachweisen. Bemerkung:
Äquator
Abb. 1.57b
s
Die Schwingungsebene desam Pendel s issot indreht Abbilsichdungdiese Ebene b schwarz gezeichnet. Befindet sich das Pendel Nordpol, im Laufe von(dabei 24 h gegenüber der Verbindungsl i nie der "Pendelpfosten/ / auf der Erde um 360° dreht sichstellnicht dieüberhaupt Schwingungsebene, sondern die Schwingungsebene Verbindungsli nie). und Am Äquator t man keine Drehung zwischen Verbindungsl i nie fest. An irgendeinem anderen Punkt der Erde zwischen Pol und 0 Äquator findet man eine Drehung um einen Winkel o: mit 0 < o: < 360 pro Tag. 1.57
56
t>\echanik
1.18 Der Stempeldruck in Flüssigkeiten und Gasen
Eine Flüssigkeit sei in einem Glaskolben mithil f e eines Stempel s eingesperrt. Wirkt man mit der -Kraftsie Fsteht von außen auf denAufStempel, soFlächenelement kann die Flüssigkeit nicht ausweichen unter Druck. jedes Ai der Gefäßwand wirkt eine Kraft Fi (Abb. 1.58). Diese Kraft Fi ist stets senkrecht zur Wand spri gerichtet, was man erkennt, wenn manheraus. LöcherAuchin den Gläachen skolbenim Inneren bohrt dann t zt die Flüssigkeit hier senkrecht auf Fl Flüssigkeit wirkt eine Kraft (Abb. 1.58, A5 und F5 bzw. Ps); dies erkennt man der beispielDurch sweise,die wenn ein aufgeblasener Luftballon in die Flüssigkeit gegeben wird: Druckkräfte wird er gleichmäßig zusammengepresst!
Abb. 1.58
JeAi; größer das Flächenel ementmanAi sich ist, desto größer ist auch die wenn Kraft �I�a �I auf die es gil t Fi Ai. Dies kann anschaul i ch klar machen, Flüssigkeitsteilchen al s kleine, nicht zusammenpressbare Kugeln auffasst, die untereinander Kräfteist,ausüben, weil sieKugeln gegeneinander gepresstsie,werden; je größerist eine (Wand-)Fläche desto mehr drücken gegen desto größer also die Kraft gegen die Wand. Wegen F A ist somit � = const - diese Konstante wird als Druck p in der Flüssigkeit (bzw. in einem Gas) definiert. fV
rv
Also:
-a. che- bzw. p = -AF (F1.37) Druck = -FlKraft Druckeinheiten: N (
10 2N , 1 at = 9, 81-N 2 1 bar (Atmosph are. ) 1 Pa = 12m Pascal) : 1 b ar = -cm cmN 1 1 10 N 1 mbar = 1000 bar = 1000 10- m2 = 100-m 2 = 100 Pa = 1 hPa (Hektopascal) --
�
--
·
4
57
Der Stempeldruck in Flüssigkeiten und Gasen
atü = 2 at (1 at Überdruck), 3 atü = 4 at (3 at Überdruck) Aufgabe: Bei einer Wasserleitung herrsche ein Druck von 4,3 bar. Welc he Kraft braucht man, um mit dem Daumen an einem geöffneten Hahn von 1,4 cm2 Querschnitvon tsfläche das Ausfließen zu verhindern? Welche Kraft wäre am Hydrant anschluss 25 cm2 Querschnittsflä che nötig? Lösung: p = AF F = p · A, also: 10 N 10 N 2 = = 60, 2 N; 4 3 · -· 1, 4 cm F F1 = 4 ,3 · -2 ' cm2 · 25 cm2 = 1075 N cm 2 1
�
1. 18. 1 Anwendungen des Stempeldrucks 1 . 1 8. 1 . 1
Öldruckbremse
Öldruckbremse im Auto erhält man gleiche Bremskräfte BeiF , Fder, FFlüssigkeitsoder 1.59 ) auf alle vier Reifen, wenn die Querschnittsflä chen in 1den Schläuchen 2 3 , F4 (Abb. der Flächen regeln.gleich sind. Die Größe der Bremskräfte lässt sich durch die Größe
Abb. 1.59 1 . 1 8. 1 .2 Hydraulische
Hebebühne
Bei inderAbbildung hydraulischen Hebebühne (auch zur hydraulischen Presse umbaubar), wie siemit 1.60 skizziert ist, wird der Druckkolben li nks (kleine Flä che A1 ) um die große Höhendifferenz h bewegt; die der kleinen Kraft F 1 1 nachFlunten verdrängte Flüssigkeit hebt rechts den Presskolben (große ä che A ) mit der 2 großen Kraft F2 um die kleine Höhendifferenz h 2 . Dabei gilt: F1 F2 1. Der Druck ist überall in der Flüssigkeit gleich, d. h. =p= oder F2 = Fl · Al Wegen A2 A1 wird also F2 F1 sein; d. h. die Kraft wird vervielfacht! 2. Das li nks verdrängte Flüssigkeitsvolumen taucht rechts wieder auf, da sich Flüssigkeiten kaum zusammenpressen lassen; also �
�
�
�
�
58
t>\echanik
ht · At = h2 A2 oder h2 = ht AA21 . Wegen A2 At ist also h2 h1; d. h. die Hubhöhe wird verkleinert! 3. Arbeit. am Druckkotben: W1 F1 · h 1 A At Arbe1t am Presskolben: W2 F2 · h 2 = Ft · A21 · ht · A2 Ft · ht Wt ·
�
·
�
=
I
F1
�
JL -
=
=
l
h,
=
i=2 h2
{
�
Abb. 1.60
Auch der hydraulischen Bühnenurbleibt also die Arbeitdurch erhaltKraftreduktion. en. Es gibt aber keine anArbeitsersparnis, sondern Arbeitserleichterung 1.19 Der hydrostatische Druck (Schweredruck)
Taucht manmuss in tiefem Wasser,im soWasser spürtherrschen. man, dass Dieser eine Kraft aufdahedas Trommel fett wirkt; also ein Druck rührt dass (siehe _r, Abb. 1.61) aufWassersäul eine Fläche der Größe A imDruck Wasserp indiederGewichtskraft Gdemnach: der darüber " Liegenden e wirkt. Für den Tiefe h gil t "· m g · p · V g · p · A · h G g p = Ä = A = A = A , also I p g . p . h I (F1.38) =
h
Abb. 1.61
/
/
/
/
r - - - -
59
Der hydrostatische Druck (Schweredruck) Beispiel: Wasserdruck in 10 m Tiefe
kgm2 ·-12 = 105 -N2 = p =5 10-sm2 · 1-kgl · 10 m = 100 kgms2 2 · 10-13 m3 = 105 s m m 10 Pa = 1 bar Der Schweredruck in 10 malsTiefeFlüssigkeit, bei Wasserdessen entspricht äußerensoLuftdruck. Nimmt man Quecksilber Dichtealsoetwadem13,5-mal groß ist 1 wie die von Wasser, so braucht man für den gleichen Schweredruck nur -3 - der 10 m Höhe wie bei Wasser; d. h., dass bei Quecksilber schon in 13, 5 = 76 cm ii�f� der Schweredruck Da anefeder1 barWasseroberfläche der Gesamtdruck1 barin 10beträgt. m Wasserti + 1 bar = 2 bar.Luftdruck herrscht, ist Bemerkung: Unter dem spezifischen Gewicht bzw. der Wichte eines Körpers verstehtm . gman die Größe �;V sie hängt mit der Dichte p gemäß = -V- = g · p zusammen. Damit kann man den Schweredruck auch als Produkt aus Wichte und Tiefe erhalten: p = g p h = ''/. h. Einstellten Versuch mit einem Druckmeßgerät (Manometer) zeigt bei einer schräg ge Wanne Dies (sieheerscheint Abb. 1.62), dass inin Stellung Stellung 2)1),ist2),mehr3) jeweils derselbe Druck herrscht. paradox: Wasser über der MembranWasser als in 1),überals odererwartet man Liegt, einen was höheren Druck, währendDruck in Stelerwarten lung 3) weniger Membran einen geringeren Lässt.Die Erklärung ist, dass in Stellung 3) das Wasser mit der Kraft F schräg nach oben gegen drückt. die WandZerlegt und diese mit indereineGegenkraft P schräg nach unten gegen das Wasser man HorizontalundWandeineaufVertikalkom ponente (Abb. 1.62), so bl e ibt also eine Kraft von der das Wasser nach unten übrig, die zur2) Gewichtskraft der eine Wassersäul e überKraftkomponente der Membran hinzukommt. In Stellung Li e fert die Wand vertikale auf das Wasser nach oben und fängt so einen Teil der Gewichtskraft der Wasser " säule ab11• --
rr"t-
lr"t- =
·
·
·
F'
1)
2) Wasseroberffäche
Niveaulinie paralfel zur \Nassero�äche
Abb. 1.62
60
t>\echanik
Hydrostatisches Paradoxon:
Überall auf einer Niveaul i nie in einer Flüssigkeit herrscht der gl e iche hydro statische ber. Druck - völlig unabhängig von der Form der Flüssigkeitssäule darü Verbundene Gefäße (Abb. 1.63) sind mit Flüssigkeit gefüllte Behälter, die ober halb und durch unterhalb desHierFlüssigkei tdiesspiegels miteinander verbundenaufsindgleicher (hier oberhalb Luft). liegen Oberfl ä chen der Flüssigkeit Höhe, denn am Boden muss p h · p · g gleich groß wie p 2 h 2 · g · p sein (im 1 1 Gleichgewicht). =
=
Abb. 1.63
1) Mithil fme des Druckswerden. in der Wasserl eitungübervondem4,5Wasserhahn bar soll ein Wagen von 5 t Masse um 2 gehoben Wie hoch ist der Wasserspiegel ? Welche Querschnittsfläche muss der Presskolben erhalten? Wie groß ist die notwendige Arbeit? Wie groß istmitderSalzwasser Druck in 1000gefüllten m Meerestiefe (Psatzwas�r = 1, 02 c�3)? Wäre er in 2)einem engen Schacht von 1000 m Tiefe kleiner als im 2 Pazifik mit seiner großen Fläche? Wie groß ist dort die Kraft von außen auf 1 cm Oberfläche einer Taucherkugel? Lösung zu 1 ) : Hier ist der Überdruck gegenüber dem äußeren Luftdruck gemeint, d.Wasserhahn h. der reineliegen Schweredruck. Die Druck Wasseroberfl äLeitung che müsste also in5,545 bar; m überda aber dem (der absolute in der wäre dann ambar Presskolben auchGewichtskraft Luftdruck herrscht, kann beträgt man diesen abziehen undgroßmitmuss 4,5 rechnen). Die des Wagens 50000 N so mindestens die Kraft auf dem Presskolben sein ( Kolbengewicht vernachlässigt!). N 50 000 N 50 000 N · cm 2 1111 cm 2 Wegen p -AF 1st. A pF 504, 000 5 bar 4' 5 10 2 45 N cm = 11 , 11 dm 2 Notwendige Arbeit: W = F s = 50 000 N 2 m = 10 5 Lösung zu 2): Hydrostatischer Druck: p1 = g · p · h = 9, 81 kgN · 1, 02 dmkg3 · 1000m = 10 006,2 dmNm3 = 100 062 dmN 2
Aufgaben:
=
=
-
=
.
·
·
N
__
=
=
J
61
Der Auftrieb/Schwimmen, Schweben, Sinken
N 2 = 100 : 062 bar. Dazu kommt der Luftdruck von 1 bar, sodass Pt = 1000, 62cmetwa 101 bar beträgt; er wäre im engen Schacht genauso groß der Gesamtdruck (nur h entscheidet!) 10 N2 1 cm2 = 1010 N Kraft: F = p · A = 101 bar · 1 cm 2 = 101 -cm ·
·
1.20 Der Auftrieb/Schwimmen, Schweben, Sinken 1.20. 1 Auftrieb
Aus Erfahrung weiß man, dass ein Stein scheinbar an Gewicht verliert, wenn man ihn ins muss Wasseralsbringt. DieseSteinErfahrung Lässtobensichgerichtete experimentell bestätigenwirken, - im Wasser o auf den eine nach Auftriebskraft die der Gewichtskraft entgegen gerichtet ist, sie also "abmildert''. Erklärung: In einem mit Wasser gefüllten quaderförmigen Becken befinde sich ein ebenfall szurquaderförmiger Körper so,(Abb.dass1.64). zwei Dann seinerwirken Flächenauf(getönt, Inhal t A) parallel Wasseroberfläche sind die sechs Quader flächen dessichKöre_ersundau�rund d�F und Druc�sF6 imgegenseitig Wasser die Kräfte � , �- Dabei heben F sowie auf. Dagegen ist F 5 3 Ft größer alseibtF2 insgesamt , weil an dereineKörperunterseite der hydrostatische Druckobengrößer ist; also bl Kraft von der Größe FA = Ft F nach vom 2 Wasser auf den Körper übrig. ...
4
Abb. 1.64
Auftriebskraft:
FA g= Ftp -A F2h == Ptg pA·-V.PDabei p A - h2 g p A = g · p · A(ht - h2 ) 2 · A =isthtp dieg Dichte =Körpers der Flüssigkeit, V das Volumen des bzw. der vom Körper verdrängten Flüssigkeit; somit i s t p V die Masse und g p V die Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit. ·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
62 Damit gilt für die Auftriebskraft: I FA = g ·
t>\echanik PFIUss
·
VKörper
= I (F1.39) G Fiuss
Die Auftriebskraft ist gleich der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit Bemerkungen:
1. lDieiegend, Formelsondern gilt nichtfür nurallefürKörper, regelmäßige Quader, parallel zur Wasseroberfläche auch unregelmäßige. 2. unabhängig Solange manvon derbzwTiefe,. in deralssichkonstant ansetzen kann, ist der Auftrieb der Körper befindet. Berühmt ist der Auftrag von König Hieran von Syrakus an den Gelehrten Archimedes, eine GoldderkroneÜberprüfung auf ihre Echtheit zu zerstören. Ergebnis schwankenzu dieüberprüfen, Meinungen,ohnedassieVorgehen war wieÜberfolgt:das 1. Schriinstt: GlIneichgewicht Luft wird aufgebracht; einer Waage Goldes also gildiet Krone=mit einem Klumpen reinen 2.erhalSchritt: Beim Eintauchen der Anordnung in Wasser bl i eb das Gl e ichgewicht ten,= also erfahren beide Körper den gLeichen Auftrieb; somit gilt Daher =müssend.beide h. die Körper Krone waraufecht.die gleiche Dichte p = v besitzen, d. h. Aufgaben: 1) Man hebt unter Wasser einen Felsblock (P = 2, 5 �) mit der Kraft cm 100 N. Welche Gewichtskraft erfährt er über Wasser? 2)13,75Ein cN,Körper erfährt in Luft die Gewichtskraft 20,5 cN, in Wasser wiegt' ' er " Flüssigkeit!in einer unbekannten Flüssigkeit 9,36 cN. Berechne die Dichte der (1 cN = 0: 01 N) Lösung zu 1) : Über Wasser: G = g · m = g · ·V Unter Wasser: F = G - FA = g · V - g · V G g· · 2, 5 = -= F g·V ( ) 2: 5 - 1 G_ = 2 ' 5 bzw. G = 25 · 100 N = 500 N = 166 � N also _ 100 N 1, 5 15 3 3 Lösung zu 2): Auftrieb in Wasser: FA = 20, 5 cN - 13: 75 cN = 6, 75 cN kg · V = G v, = g · · V = 10-kgN · 13 dm = 106, 75 1cNkg 6, 7510· 10-2 dm3 = 6 , 75 cm3 Pftüss
VKö rper
m Kro ne
VKrone
VKtum pen
PKrone
PGoldr
m Ktu m pen
PFets
·
V PFels
::::}
verdrängt .asser
::::}
VKörper
· PFels - /)/lasser
PWasser
N kg
PFets
.
!friil
-
·
PWasser
...:._ .___ _
63
Der Auftrieb/Schwimmen, Schweben, Sinken
Auftrieb in der Flüssigkeit: FA = 20,5 cN - 9,36 cN = 11, 14 cN = g · · V = 10 kgN · 6, 75 cm3 11, 14 cN - 11, 14 · 10-2 N .3kg - 11 , 14 g 3 1 ' 65-g cm3 10 � . 6 , 75 cm3 10 · 6, 75 Ncm 6, 75 cm · Pflüss
Pflüss
=}
Pfl'·uss -
-
-
--
-- �
1.20.2 Schwimmen, Schweben, Sinken
Auf Gewichtskraft einen Körper, Gdermitvollkommen in einernachRüssigkeit untergetaucht ist, wirken Auftriebskraft die g und = GK unten die FA mit FA = g · nach oben. 1. Fall: G FA bzw. PA : Der Körper sinkt nach unten (z. B. Stein) 2. Fall: Gx = FA bzw . = PA: Der Körper schwebt (z. B. Fisch) Der Körper steigt zur Oberfläche, taucht teilweise 3. Fall: G < FA bzw . < auf und schwimmt dann. Bedingung für das Schwimmen an der Oberfläche: Der Körper in die Flüssigkeit ein (Abb. 1.65), sondern nur soweit bis taucht FA = GKnicht gilt;vollständig also Schwimmbedingung (F1 .40 a ) = · V · PK
K
V · PFL
K >
PK > PK
PK
K
GK örper
Pfl:
G verdrängt Flüss
\ol!rdriingl.
V Flüee.
I I
Ir
II/
�
GK i=,,
Abb. 1.65
Beim Schwimmen ist das Gewicht des Körpers gleich dem Gewicht der verdrängten Wassermenge
Umformung von (F1.40 a) liefert g = g F� also gilt beim Schwim men: · V (F1.40b) Beispiel: Sei die Flüssigkeit dreimal so dicht wie der Körper, dann gilt 1 d er K"orper a ucht a lso gerade zu -1 em. V 3 3 3 · PK
verdräng t VFl.. uss
V
PKörper
_ - --
verdrängt = Fl..uss
PFLüss
PK
-.
PK
·
•
VK
·
P FL V ·
rdr
,
Korper _
Körper = - V Körper;
t
.
I
64
t>\echanik
Aufgaben: 1) Die Gewichtskraft eines Hühnereis beträgt in Luft 61 cN, in Wasser scheinbar 6 cN. Welc he Dichte hat eine Kochsalzlösung, in der es schwebt? 2) Wie viel%= 1,eines Eisbergs (Dichte 0, 99fcm 3 ) ragen über die Wasseroberfläche )? 02 c� Ps ser 3 ( al.zwas 3)Wasser In einem randvolldasgefüllten über, wenn Eis schmilBecherglas zt? schwimmt ein Eisbrocken. Läuft das Lösung zu 1): Auftrieb = 61 cN - 6 cN = 55 cN = g · P/lasser · VEi ; also VEI = N55 cN kg - 55 10-102 NN dm3 = 55 cm3 10-kg · 1dm 3 61 g 3 = 1,11-g 3 --> d1ese mEi . ' m1t m D1c. hte des E1s:. PEi = Ei = 61 g, a ls o PEi = 55 cm cm VEi Dichte hat die Kochsalzlösung, in/ der es schwebt.88 23 g 0, 9 , · VEisberg, .. t cm3 Losung 2) : Vverdräng FI.üss = 1 , 02 g� 3 · VEisberg = -100 cm also ragen 11,77% des Eisbergs über das Wasser. Lösung zu 3 } : Es gilt G Eis = G���s�;9t, wenn der Brocken schwimmt. Wenn er zu Wasser schmil z t, gil t G Eis = G�i�s�:rlz; also haben Schmelzwasser und verdrängtes Wasser gleicheDasGewichtskraft gleichesundWasser gleiche dieVolumen. Glas bleibt und also -randvoll Läuftvorausgesetzt nicht über. - auch das FA
·
·
ZU
1.21 Statik der Gase/Gesetz von Boyle-Mariotte 1.21. 1 Statik der Gase
" zusam Beim Versuch nach Abbil d ung 1.66 werden die Hal b kugeln Luftdicht " mengesetzt, dannKraftaufwand wird der Innenraum Leer gepumpt. Mantrennen stellt fest,Lassendass{1650 erst unter großem di e Halbkugeln sich wieder führte diesengelang Versuches, auf dem Magdeburger Marktplatz durch - erst zweimalGuericke acht Pferden die Kugeln wieder zu trennen).
Abb. 1 . 6 6
Erklärung: Die Kraft des äußeren Luftdrucks presst die Halbkugeln gegeneinan der.
65 BeiFlüssigkeitssäul Flüssigkeitene über erklärten wirFläche; den Schweredruck durch dieLuftdruck Gewichtskraft der einer entsprechend ist der durch die Gewichtskraft der "Luftsäule" über uns zu erklären. Bemerkungen: 1. Gasdichte Bei Gasen nicht gilt diekonstant Formelist,p sondern g · p · hmitfürderdenHöheSchweredruck nicht, weil die abnimmt; dagegen gil t die den Auftrieb inHöheGasenab.auf unserer Erde Auftriebsformel FA = Vhängt g ebenfürstark weiterhin allerdings von der 2. Wir merken die Kraft des Luftdrucks auf unseren Arm (Abb. 1.67) deshalb nicht, sie von allen Seiten wirkt und somit Kräftegleichgewicht herrscht; weil wir zuweil über 90 % aus Flüssigkeit bestehen, werden wir nicht zusammengepresst Flüssigkeiten lassen sich kaum zusammenpressen!
Statik der Gase/Gesetz von Boyle-t�ariotte
=
Kör per ·
· PGas
PGas
Abb. 1.67
3. Bei normalenFehler Wägungen wird dermeistaberderimAuftrieb vernachlsehrässigt undist.damit ein prinzipieller gemacht, All g emeinen klein 4. auf Die Bedingungen für Sinken, Steigen, Schweben lassen sich von Flüssigkeiten Gase übertragen mitin der dem Flüssigkeit prinzipiellenzurUnterschied, dass ein Körper mit " steigt und dann Oberfläche nicht wie < " gilt (die Gasdichte nimmt ja schwimmt, sondern sol a nge steigt bis mit der Höhe ab) und dann schwebt. PK
PGas
PK = PGas
Ergänzungen:
1. überMit dembzw.Flüssigkeitsodergegenüber U-Rohr-Manometer (Abb.bestimmen. 1.68) lässt Auf sichderderunte Gas Gasunterdruck dem Luftdruck ren Niveaul i nie muss nämlich Druckgleichheit li nks und rechts herrschen, d.h. = =h g· (F1.41) bzw. Pluft + PF!Uss
P Gas
PGas - Pluft
'-....--'
·
PFiüss
Gasüberdruck
P t.un --1--1-:-----1:=:1h
Abb. 1.68
66 t>\echanik 2. Winkelheber: Wennbis keine Luft imderRohrWasserspiegel ist, Läuft solange Wasser ausHöheGefäßLiegtB nach Gefäß A, beiderseits auf gl e icher (Abb. 1.69).Da auf Höhe der Wasseroberfläche von A Luftdruck herrscht, ist der Erkl ä rung: Druck das obenRuhrli nksgelvonegt)Rum(BeiP der= hStelle R denken wir uns einen Querschnitt durch w 1 · g · kleiner. Also Li nks von R: P�es = PLurt ht · g · pw rechts von R: p�� = PLuft h2 · g · h1 h2 ist P�es < p�� ; also fließt so Lange Wasser nach li nks, bis w�gen P�es = p�� bzw . ht = h2 gllt. Pw
-
P VI
-
=}
>
R
Abb. 1.69 A
Kinderball o nsLufthatdereineDichte Gewichtskraft von 3 cN und fasst 5Gesamtgewicht L Gas. WieDiegroßHülundliste eines sein Auftrieb in p = 1, 28 gfL? Wie groß sind Tragkraft bei einer Füllung mit Leuchtgas (p = 0, 69ft) , g g Wasserstoff (p = 0, 09 /L), Helium (p = 0, 18 fL)? Lösung: N- · 5 l = 64 · 10-3 N = 6, 4 cN FA = g · PLuft · V = 10-kNg 1, 283mkg · 5 L = 12,8 3 10 l (Auftriebskraft) Leuchtgasfüllung: = g · · V = 10 kgN 0, 6 mkg3 · 5 L = 3 cN, Gesamtgewicht: 6 cN, Tragkraft: 6,4 cN - 6cN 0,4 cN Wasserstoff: Gesamtgewicht 3,9 cN, Tragkraft 2,5 cN. 3,45 cN, Tragkraft 2,95 cN; Heli um: Gesamtgewicht
Aufgabe:
·
GGas
PGas
·
=
1.21.2 Gesetz von Boyle-Mariotte
Dieiner e Erfahrung zeigt, dass Gase sich zusammenpressen Lassen; je größer der Druck ound ssenen) GasmengeDenbeigenauen konstanter Temperatur ist,liefertdestoeinkleiner istversuch; ihr(eingeschl Volumen umgekehrt. Zusammenhang Mess man erhält das Gesetz von Boyle-Mariotte:
67
�\echanische Schwingbewegungen
Beimeneinem eingeschl ossenen Gasd.h.konstanter Temperatur sind Druck und Volu umgekehrt proportional, zum n-fachen Druck gehört � des Volumens bzw. p · V = const bzw. P1 · V1 = P2 V2 (F1.42) ·
1.22 Mechanische Schwingbewegungen 1.22.1 Schwingbewegung
Ein(Luftkissen!) Körper seiaufmittels zweier Federn seitlich eingespannt und soll reibungsfrei einer Unterlage gleiten können. Lenkt manperiodische ihn aus seiner Gleichgewichtslage aus und lässt ihn los, so vol l f ührt er eine und Herbewegung, eine so genannte Schwingbewegung (Abb. 1.70). Hin Ruhelage
t
Abb. 1.70
s
h
In derängertRuhelage ist dieeineli nkeKraftFederK1 nach mit derli nks;Federkonstante D1 bereits umt um verl und bewirkt die rechte Feder mi t D i s 2 Körper lherrscht mit K nach rechts, wobei Kräftegleichgewicht am 2 verlä ngertd.h.und zieht 2 K1 gil=tK.(Daraus bzw. und(Hooke' schesGesamtverlängerung Gesetz, siehe Kap.+ l beider 1.3.4) 2 D1Federnl1 =lassen D2 · lsich (I) aus der 2 übrigens und l2 berechnen). 2 man jetzt ausrechts der RuheoderwirdGledieichgewichtslage zusätzlich denrechteKörperum uml -Lenkt dies verlängert; Strecke s nachwegen aus, so l i nke Feder um l + s, die 1 Hooke'F1s=chen {lGesetzes zieht (Abb. 1.70) die l i nke 2Feder mit der Kraft F1 vomdesBetrag 1 +größer s) nachist,links, dieinsgesamt rechte miteineF2 vom Betrag F = D {l s)nach rechts: Da F1 bl e ibt 2 2 2 Kraft vom Betrag F = F1 - F2 = D1( h + s) - D 2 {l2 - s) = (D1 h - D2 l2 ) +D1 s + D2 · s = (D1 + D2 ) s = D · s mit D = D1 + D2 nach links übrig. WürdeeinemanKraftdenvomKörper umF""s nach lnach i nks aus derwirken. RuhelageBeiauslenken, sodeswürde auf ihn Betrag D · s rechts Ausl e nkung Körpers aus der RuhelzurageRuhel stelltagesichhinalsogerichtet immer eineist -Kraftsie ein,heißtdieRückstellkraft entgegengesetzt Ausl e nkung und zurist ·
h
h
�
·
'-----...----
= o (s.o. (I))
·
68
t>\echanik
und führt zur fürSchwingbewegung. DieRolle.Verlängerungen lt, Dielz derRückstellkraft Federn in derbewirkt Ruhelage spielen F übrigens keine nach dem Newton'schen Grundgesetz (Kap. 1. 7) m a eines(t)Beschleunigung dess(t)Körpers, welche (siehe Kap. 1.4.4) = m s (II) diegemäß zwei t e Ableitung der Wegfunktion ist, d. h. F WeilF =dieDRückstellkraft entgegen derKonvention, Auslenkung sdasszeigt,wirsagen wirwieim Folgen den · s (III). Hierin steckt die ab jetzt in Kap. 1.14. 4 ansetzen, alle nach undrechtsalle zeigenden Auslenkungen, Kräfte, Geschwindigkeiten positiv nach L i nks zeigenden negativ. Setzt man (III) in (II) ein, so folgt: I m · D s oder = -� s oder + � . s = o I (F1.43 a, b, c) Dies ist die Differentialgleichung der hannonischen Schwingbewegung mit der Schwingermasse m und der Gesamtfederkonstante D. EinezurSchwingbewegung heißt harmonisch, wenn die Rückstellkraft proportional Ausl e nkung ist. Gesucht istmitdieihrerWegfunktion in t(F1. zusammen zweiten Abls(t), eitungdies(t)aberauftri t! 43) nicht direkt, sondern
proportional zur Auslenkung F
"'
·
·
-
S= -
·
S
S
·
Gemäß (F1.43 b) konstanten sucht man alFaktor so eine- �Funktion s(t), derenselbst 2. Ablübereinstimmt! eitung bis auf einenAls negativen mit der Funktion Lösungsfunktionen bietenvonsich(F1.4Sinusgemeinster Ansatz zur Lösung 3) wäreoder Kosinusfunktionen an - all I s(t) = s0 sin(UJt + \echanik s
'
' '
Abb. 1.74
1.23.2 Erzwungene Schwingungen
Ein schwingungsfähiges System habe eine bestimmte Eigenfrequenz f0 im rei bungsfreien Falt - z. B. gilt für ein Feder-Masse-System f0 = J:_ Jetzt soll \10. 2 1r /; auf Zwangsfrequenz dieses System vonf einwirken, außen lä ngere Zeit einesollsinusförmige periodische Kraft mit der außerdem Reibung vorhanden sei. Schwingt das Systemoderundungedämpft? wenn ja mit der Frequenz f0 oder f oder einer anderen Frequenz, gedämpft 75 zeigt, wie man über eine sich drehende Scheibe mit einem Bolzen, andannAbb. demmitein1.dem SeilFeder-Masse-System befestigt ist, das zwischen zweiist,festen Bolsolzcenhehindurchläuft und verbunden eine periodische Kraft experimentell realisierenist.kann. Eine längere Rechnung zeigt, dass die Kraft tatsächl ich sinusförmig
�
Schv.�ngendes Feder-Masse-System
= �
Abb. 1.75
.
Motor mit gleichmäßiger Umdrehungszahl über Triebriemen mit Scheibe verbunden
Der Versuch zei g t, dass das System (nach einer gewissen Einschwingphase) mit der Zwangsfrequenzfeine ungedämpfte Schwingung ausführt. In der Einschwing-
77 phase gelAmpl angtitude durchsichdie immer äußere mehr Kraft immer wiederbisneueschlEnergie zum Schwinger, dessen vergrößert i eßl i ch die zugeführte Energie gleich der (durch Reibung) verloren gehenden i s t dann bleibt die Ampl i tude konstant. Das anfängl i che Vergrößern der Ampl i tude heißt Aufschau keln der Schwingung. Bei f wirdf0 istzumdieoptimal sich einstell ende Amplzugeführt itude maximal (Resonanzfall) die Energie e n Zeitpunkt (man stell t fest, dass der Schwinger der Zwangskraft um � in der Phase bzw. { in der Zeit hinterherläuft siehe Abb. 1.76 b). Resonanzkatastrophe: Wenn die sich einstellende Ampli tude für f fo zu groß wird, bricht das schwingende System auseinander (z. B. Brückeneinsturz durch Soldaten im Marschtritt, Motorschwingungen bei Fahrzeugen ini chenWerkshall e n). Ä nderung Durch von f0 oder f (Hinweggehen über den gefährl Frequenz bereich) bzw. Lockere Kopplung zwischen Erreger und Schwinger kann man die Katastrophe verhindern. Eine Rechnung präzisiert und erklärt diesen Befund. Auf denZwangskraft: Schwinger wirken jetzt die Federkraft, die Reibungskraft und die periodische Fges = + + = F . sinwt - D . s - k . Über F9es = m · s folgt die Differenzialgleichung der emvungenen Schwingung: I m · s + k · + D · s = Fsinwtj (F1.52) Da nach wirdemdenVersuchsergebnis machen Ansatz s(t) = s dassin(wtSystem - 8) mit(I) der Zwangsfrequenz schwingt, s(t) = (cos(wt - 8))w, s(t) = -s(sin(wt - 8)) . Einsetzen in (F1.52) Liefert: -mc.J sin(wt - 8) + k w s cos(wt - 8) + Ds sin(u-1: - 8) = Fsinwt bzw. sin(wt- 8) [D - mul] + k wcos(wt - 8) = { sinwt " 2 Wir Abkürzungen x = wt-: AeS)==DC-· sinx mw , B = k · w und C = �s ein und erhalführen ten sodieA · sin(x - eS) + Bcos(x Über die trigonometrischen Summenformeln folgt A · [sinx coscS - cosxsin8] + B [cosxcos8 + sinxsinc5] = C sinx und schließlich sinx · [AcoscS + BsincS] + cosx · [Bcosc5- Asin8] = C sinx (II) Gleichung (II)vonsolsinl zuxjeder Zeitxt,Lid.nksh. fürundallerechts x geldesten Gl- edies gehttszeichens nur, wennüberdie Vorfaktoren und cos ichhei einstimmen, also: Acos8 Bsinc5S == C0 ((IV) III) Bcosc5-+ Asinc Aus (IV) folgt Bcos8 = Asinc5 bzw. tanc5 = sin8 = -AB (V) Gedämpfte Schwingungen/Erzwungene Schwingungen der �1echanik
�
-
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Fzwang
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78
(III) 2 + (IV) 2 Liefert: A2cos28 + 2ABcos8sinc5 + B2 sin28 + B2 cos2 8 - 2ABcos8sinc5 + A2sin 28 = bzw. ( A2 + B2) sin 28: cos28 = C2 1 Setzen wir anstelle von A, B, C die ursprüngli chen Größen ein, so folgt: . frequenL w0 = � tano = D -kwmw2 = mw20 kw- mc.u mtt. der 1/Etgen m 2/ + iJ.JSbret
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tungsgesctmlrd�k€lt c eusbrelt&! und rn dEt' 1\:0::00 T der Sclwlngmg dls &recke >. zurllcldegt (.\:ol), hat cle Anfut1gest&ung da Strecke :V12 Q83chafft - die eotBprochEt'lde Tri:lgerstell:> 1st h Pce�l::fi
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Abb. 1.87
Bemerkungen:
1. Nach derSinuswette Zeit T hatzudersehen, Erregeraneine Schwingung durchgeführt, auf dem Träger = .A beginnt die Schwingbewegung istaufeine der SteLLe x dem Träger (Abb. 1.87 unten). Hört der Erreger jetzt auf zu schwingen, so durchläuft diese eine Sinuswette den Träger; schwingt der Erreger weiter, so entsteht auf dem Träger eine fortgesetzte Sinuswette. Die Energie, die in die Erregerschwingung gesteckt wurde, durchläuft den Träger mit der Geschwindigkeit 2. Wir betrachten etwa das Teilchen des Trägers bei x Dieses ist für t2 !4 inSTPosition ft.ir t3 !2 in Position 53 für � = T i� Position 55 und für t5 4 in Position d. h. es voltführt wie der Erreger eine Schwingbewegung mit (von Dämpfungsverlusten abgesehen) Amplitude und Zeitdauer T, aLLerdings beginnt diese Schwingbewegung um � später. Jedes Teilchen auf dem Wettenträger voltRuhetage; führt einediese erzwungene Schwingbewegung mit verspätet der Erre gerfrequenz um seine Schwingbewegung erfolgt aber gegenüber der des Erregers. c.
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51,
56,
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.A = -.
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90
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und gibtaufdiedemEntfernung zwischengilt zwei c(gl· Teich(in der gerichte ten) Nachbarwellenbergen Träger an. Dabei Zeit T hat Position S1 gerade mit c die Strecke .A zurückgelegt) oder I� � c oder A f � cI (F1.54 a, b, c) Phasenunterschied der Schwingung eines Trägerpunktes an der Stelle x 4. Der gegenüber der Erregerschwingung istx ist.umso größer, je weiter der Punkt vom Erreger entfernt ist, d. h. je größer Der P un kt be1. x .A 1.st - w1·e m· 2) erl"autert - um -T 1n. der Ze1t,' d . h . um 1igegenüber dem Err!gerT hinterher, der Trägerpunkt �ei x �2 beginnt sein; Schwingung erst nach hinkt also um in der Phase hinterher; allg emein hat das Teilchen an der Stelle x des Trägers gegenüber dem Erreger den Phasen unterschied � · 211 Für die Auslenkung des Teilchens bei zur Zeit t gilt also: s(x : t) s · sin(wt -
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Abb. 1.90b
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Welle 2 t-.
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X
Abb. 1.91a
bzw. d �'2 d. h. gegenphasige Überlagerung (Abb. 1.91 b) dann ist die Amplitude der Überlagerung die Differenz der beiden Amplituden. 2. Beispiel:
r.p =
1r
=
Speziell löschen sich die beiden Wellen gegenseitig aus, wenn ihre Amplituden gleich sind!
(Dies gilt solange beide Erreger weiterschwingen) 3. Beispiel: Die Überlagerung zweier Wett e n, deren Welt e nl ä nge (bzw. Frequenz) sich gering fügig unterscheidet Liefert Schwebungen auf dem Träger (im sjx-Schaubild)
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94
X
Abb. 1.91b
1.26. 1 Überlagerung einer Welle mit ihrer "Reflexion.u Ausbildung stehender Wellen
ImdurchFolgReflexion enden sollameinefestenWelleEndemitentsteht der gegenl(Abb. äufigen Welle überlagert werden, die 1.92). s
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