Rechenmethoden für Studierende der Physik im ersten Jahr
Markus Otto
Rechenmethoden für Studierende der Physik im ersten Jahr
Autor Markus Otto Max-Planck-Institut für Gravitationsphysik (Albert-Einstein-Institut) und Institut für Gravitationsphysik der Leibniz Universität Hannover Callinstraße 38, 30167 Hannover
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Planung und Lektorat: Dr. Andreas Rüdinger, Anja Groth Herstellung: Crest Premedia Solutions (P) Ltd, Pune, Maharashtra, India Satz: Autorensatz Grafiken: Markus Otto; Zeichnungen: Philip Peterson Umschlaggestaltung: SpieszDesign, Neu-Ulm Titelfotografie: © Krzysztof Walkow, Fotolia.com ISBN 978-3-8274-2455-6
Vorwort Als ich 2002 anfing, Mathematik und Physik zu studieren, kam es mir und meinen Kommilitonen vor, als befänden wir uns im freien Fall. Der Stoff in den Vorlesungen prasselte regelrecht auf uns ein, schnell stießen unsere Schulkenntnisse an ihre Grenzen. Doch damit nicht genug – in Linearer Algebra I, Analysis I und in den Rechenmethoden der Physik I gab es jede Woche einen Hausübungszettel. Das Lösen der Aufgaben gipfelte dann in sehr langen Montagabenden (Dienstag um 11 Uhr war Abgabe) mit Spaghetti-Verköstigung für acht Personen gegen 23 Uhr. Und nicht nur einmal war der Zettel quasi „druckfrisch“ um 11 Uhr fertig zur Abgabe. Irgendwie haben wir es aber doch geschafft – wir haben uns „durchgebissen“. Nun haben die Seiten gewechselt und ich bin mittlerweile derjenige, der die Aufgaben stellt. In diesem Buch habe ich all die eigenen Erfahrungen und begangenen Fehler verarbeitet und außerdem versucht, die Erfahrungen als Tutor und Übungsleiter einfließen zu lassen. Das Anliegen dieses Buches ist es, den besagten freien Fall mit einem Bungee-Seil abzubremsen (deswegen das Cover). Eine Anmerkung gleich vorweg: Das Buch erhebt mitnichten den Anspruch, mathematisch präzise zu sein (wie dies in den Mathematikvorlesungen oft der Fall ist), sondern versteht sich vielmehr als eine Stütze für die ersten zwei Semester, um die dort benötigten Rechentechniken zu verstehen. Ich habe versucht, mich auf das Wesentliche zu beschränken, und verzichte bewusst auf mathematische Beweise. Die wesentlichen Gleichungen und Beziehungen werden entwickelt und anschließend an Beispielen ausführlich (!) ausexerziert. Es gibt genau ein Beispiel im gesamten Buch, in dem die Rechnungen nicht komplett ausgeschrieben und kommentiert werden. Ich selbst neige beim Lesen sehr dazu, lange Rechnungen zu überspringen und nur auf das Ergebnis zu schielen. Bitte nicht! Ich habe mich bemüht, die Rechnungen ausführlich auszuschreiben, so dass ein „Mitrechnen“ jederzeit möglich und vor allem erwünscht ist. Das Buch versteht sich als Brücke zwischen Schule und Universität. Dennoch kommt es nicht ohne gewisse Voraussetzungen aus: Der Begriff des Grenzwerts wird als bekannt vorausgesetzt. Ebenso sollte man schon einmal ein Summenzeichen, lineare Gleichungssysteme, Polynomdivision und Kegelschnitte (Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel) gesehen haben. Für das „Wiederauffrischen“ der Begriffe eignen sich Mühlbach (2005) und Walz et al. (2007). Inhaltlich stellt das vorliegende Buch in Kapitel 1, 2, 4 und 5 die vier fortgeschrittenen „Grundrechenarten“ Vektorrechnung, Matrizenrechnung, Differenzial- und Integralrechnung bereit. Die Indizes in Kapitel 3 nehmen eine gesonderte Position ein: Zwar liefern sie keine neue Mathematik, bereiten erfahrungsgemäß aber
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Vorwort
durch die Stenografie arge Schwierigkeiten im Umgang. Kapitel 6 bis 11 verstehen sich als weiterführende Hilfsmittel beim Lösen physikalischer Probleme. Hierzu gehören Bahnkurven, gewöhnliche und partielle Differenzialgleichungen, komplexe Zahlen, Vektoranalysis und Fourier-Analysis. In Kapitel 12 und 13 werden schließlich die bisher entwickelten Werkzeuge auf physikalische Probleme der Mechanik und Elektrodynamik angewendet. Am Ende des Buches stehen zwei Übungsklausuren mit Kurzlösungen nebst Literaturverzeichnis und Schlagwortregister. Dieses Buch wäre niemals ohne die zahllosen fleißigen Hände und Helfer zustande gekommen. Zuallererst möchte ich dem Max-Planck-Institut für Gravitationsphysik in Hannover für die stetige Unterstützung und die vielen Anregungen und Nachfragen danken („Was macht das Buch?“). Hierbei sind Prof. Dr. Karsten Danzmann, Dr. Gerhard Heinzel und Dr. Jens Reiche zu nennen. Weiterhin gebührt dem Institut für Theoretische Physik in Hannover Dank für das Vertrauen, das mir als Übungsleiter und Tutor geschenkt wurde. Hierbei sind Prof. Dr. Luis Santos, Prof. Dr. Eric Jeckelmann, PD Dr. Micael Flohr, Prof. Dr. Norbert Dragon und Prof. Dr. Holger Frahm zu nennen. Dr. Jochen Zahn danke ich für die stets unkomplizierte Zusammenarbeit und das Bereitstellen einiger Aufgaben und Lösungen. Als Nächstes sind die vielen Leser zu nennen, namentlich: Martin Sommerfeld, Dr. Johanna Bogenstahl, Vitali Müller, Clemens Schäfermeier, Lorenz Groth, Christoph Mahrdt, Oliver Gerberding, Dr. Alexander Seel, Patrick Leunig und Tanja Zarrieß. Ein besonderer Dank geht an Felix Lubbe, der große Teile des Manuskripts kurz vor Ende nochmals gründlich Korrektur gelesen hat („Kein Problem, ich hab ja gerade Langeweile“). Simon Barke und Dr. Michael Tröbs ist für die Gestaltung des Covers Dank auszusprechen. Furthermore, a special gratitude goes to Philip Peterson for his fabulous drawings! Nicht zuletzt haben Simon Kaiser, David Roszak, Sebastian Schreiber, Jana Kampmann, Jan Perwas und Daniela Paul als Testleser viele hilfreiche Anmerkungen gemacht, die alle umzusetzen Jahre gedauert hätte. Dieses Buch wäre jedoch nie ohne die tolle und äußerst freundliche Zusammenarbeit mit dem Spektrum Verlag zustande gekommen. Meine Ansprechpartner Herr Dr. Andreas Rüdinger sowie Frau Anja Groth standen mir tatkräftig zur Seite und waren stets bei Fragen immer ansprechbar. Frau Regine Zimmerschied danke ich für das ausführliche Korrekturlesen. Zu guter Letzt möchte ich aber meiner Freundin Sabine Paul danken, dass sie mich darin unterstützt hat, dieses Buch zu schreiben und mich vor allem in der langen Korrekturphase immer wieder aufgemuntert hat. Danke! Hannover, den 30.11.2010
Markus Otto
Inhaltsverzeichnis Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundlagen der Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Richtung und Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Normierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Einfache Rechenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Masse und Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Kanonische Basisdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.6 Geometrie mit Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.7 Statik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Skalarprodukt und Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Folgerungen aus dem Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Skalarprodukt in Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Weitere Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Parallel-Senkrecht-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6 Skalarprodukte in der Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Definition des Kreuzprodukts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Folgerungen und Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Kreuzprodukt in Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Doppelte Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5 Lorentz-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektorgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Ebenengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Kreis- und Kugelgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Orientierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Orthonormalbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrizenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Matrixbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Grundlegende Rechengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Die Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Inverse einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Weitere Matrixoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Was ist ein lineares Gleichungssystem? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis 2.2.2 Gauß-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Matrizengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Abbildungsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Spiegelungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Drehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Allgemeine Drehmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.5 Basiswechsel = Drehung des Koordinatensystems . . . . . . . . . . . . Diagonalisierung und Hauptachsentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Eigenwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Diagonalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Quadriken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Hauptachsentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Rechnen mit Indizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einstein’sche Summenkonvention . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skalarprodukt und das Kronecker-Symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Skalarprodukt in Indizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Definition des Kronecker-Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Rechenregeln für das Kronecker-Symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Interpretation des Kronecker-Symbols δij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Levi-Civita-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Zyklische und antizyklische Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Das Levi-Civita-Symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Spatprodukt und Kreuzprodukt in Kurzform . . . . . . . . . . . . . . . Produkte mit Kronecker und Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . „Anwendungen“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Beweis der bac-cab-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Matrizenrechnung in Kurzform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3 Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Begriff der Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Kurvendiskussion light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mehrdimensionale Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Skalare Funktionen mehrerer Veränderlicher . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Partielle Ableitung und Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Lokale Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reihenentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Taylor-Entwicklung in 1-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Hilfreiche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
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4.3.3 e hoch Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4 Allgemeine Taylor-Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ableitung vektorwertiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Jacobi-Matrix und Funktionaldeterminante . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Totales Differenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundlegende Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Integralbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Der Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Einfache Integrationsregeln und -tricks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integrationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Integration durch Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Ableiten nach Parametern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mehrfachintegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Flächenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Volumenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Integraltransformationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4 Masse und Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Delta-Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Der große Bruder: Θ(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153 153 153 154 157 160 160 161 165 166 168 169 171 173 177 181 181 186
Bahnkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Geradlinig gleichförmige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4 Zusammengesetzte Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bogenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geschwindigkeit in krummlinigen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
189 189 192 192 193 194 196 198 200
7.2 7.3
Gewöhnliche Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Was ist eine Differenzialgleichung (DGL)? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Klassifikation und Terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.3 Eine wichtige DGL: Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungsansätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gekoppelte Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
203 203 203 204 205 205 215
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Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
4.4
5 5.1
5.2
5.3
5.4
6 6.1 6.2
6.3 6.4 7 7.1
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8.2
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10 10.1 10.2
10.3
11 11.1 11.2
Inhaltsverzeichnis Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 i-Gitt i-Gitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.2 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.3 Komplexe Zahlen in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trigonometrie mit komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Euler-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Sinus und Kosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Komplexe Exponentialreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2 Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
219 219 220 222 223 223 225 226 226 227
Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Was ist ein Feld? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operatoren der Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Gradient, Divergenz und Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.2 Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.3 Noch mehr ∇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.4 Ableiten in Indexschreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Krummlinige Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Bestimmung der Basisvektoren in neuen Koordinaten . . . . . . . . 9.3.2 Tangentialvektoren und Oberflächenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.3 ∇ in krummlinigen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integralsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.1 Satz von Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.2 Satz von Stokes, Kurvenintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
229 229 230 230 233 233 235 238 238 239 241 245 245 248
Fourier-Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Idee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fourier-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.1 Fourier-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.2 Eigenschaften der Fourier-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.3 Parsevals Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.1 Definition und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.2 Spezielle Fourien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.3 Fourier-Trafo der Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.4 3-D- und 4-D-Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.5 DGL-Lösung per Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
251 251 252 252 252 255 255 256 257 258 259 260
Partielle Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Was ist eine partielle Differenzialgleichung? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Laplace-Gleichung und Poisson-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1 Laplace-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2 Kugelsymmetrische Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.3 Poisson-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
263 263 265 265 266 266
Inhaltsverzeichnis 11.3 11.4
11.5
12 12.1 12.2
12.3
12.4
12.5
12.6
12.7
xi
Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diffusionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.1 Diffusion und Wärmeausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.2 Formale Lösung der Diffusionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.3 Diffusion im kugelsymmetrischen Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.4 Allgemeine Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.1 Die Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.2 1-D-Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.3 Kugelsymmetrische Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.4 Ebene Wellen sind einfachste Lösung der 3-D-Wellengleichung
268 269 269 269 271 272 274 274 275 278 279
Einfache Anwendungen in der Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.1 Newton’sche Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.2 Newton’sche Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.3 Wichtige mechanische Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.4 Konservative Kräfte, Zentralkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energie, Impuls und Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.1 Energiesatz und Potenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.2 Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.3 Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.4 Formale Lösung des 1-D-Energiesatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rotationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4.1 Drehimpuls und Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4.2 Drehimpulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4.3 Inertialsystem und Scheinkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teilchen im Potenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5.1 Bewegungen im Potenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5.2 Symmetrien und Erhaltungsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5.3 Effektives Potenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6.1 Mathematisches Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6.2 Der harmonische Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6.3 Exakte Schwingungsperiode in einem Potenzial . . . . . . . . . . . . . 12.6.4 Kleine Schwingungen im Potenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6.5 Gekoppelte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6.6 Schwingungen im mehrdimensionalen Potenzial . . . . . . . . . . . . . Rotation eines Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.7.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.7.2 Trägheitstensor und -moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.7.3 Stabile Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
283 283 284 284 285 286 289 293 293 297 300 304 306 306 308 309 312 312 313 315 317 317 319 322 323 325 329 332 332 333 335
xii 13 13.1
13.2
13.3
13.4
13.5
A
Inhaltsverzeichnis Einfache Anwendungen in der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . Bewegung eines geladenen Teilchens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.1 Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.2 Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.3 Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . und B-Feldern 13.1.4 Ladung in E............................. Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.1 Interpretation der Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.2 Andere Maßsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.3 Integrale Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.4 Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.1 Gleichungen der Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.2 Lösung durch Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.3 Lösung per Skalarpotenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.1 Gleichungen der Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.2 Lösung durch Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.3 Lösung per Vektorpotenzial, Satz von Biot-Savart . . . . . . . . . . . Elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5.1 Homogene Wellengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5.2 Ebene elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5.3 Lösung der allgemeinen Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . .
339 339 339 340 342 343 345 345 347 348 349 350 350 351 352 355 355 355 357 359 359 362 364
Klausur „spielen“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
1 Vektorrechnung
Übersicht 1.1
Grundlagen der Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.3
Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.4
Vektorgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
1.5
Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
1.1
Grundlagen der Vektorrechnung
Oft haben physikalische Größen nicht nur einen Zahlenwert und eine Einheit, sondern auch eine Richtung. Die mathematische Beschreibung geschieht mit Vektoren. Sie sind die „Finger“ des Physikstudenten, die den Ort von Teilchen markieren oder die Richtung und Größe der auf eine Feder wirkenden Kraft angeben. Man nennt Größen, die durch einen Vektor beschrieben werden, vektorwertige oder vektorielle Größen. Einige Beispiele für vektorielle Größen in der Physik sind: Ort r , Kraft F , Impuls p , Geschwindigkeit v . Im ersten Abschnitt werden wir den Begriff des Vektors erläutern, einfache Rechenoperationen einführen und anhand mehrerer Anwendungen demonstrieren.
1.1.1
Richtung und Betrag
Vektorbegriff Um den Ort eines Objekts zu kennzeichnen, stellen wir uns einen Pfeil vor, der vom Ursprung eines Koordinatensystems zu dem Objekt zeigt. Diesen Pfeil nennen wir Vektor und schreiben ihn in der folgenden Form: ⎛ ⎞ x ⎜ ⎟ ⎟ r = (x, y, z) = ⎜ (1.1) ⎝ y ⎠. z
2
1 Vektorrechnung
x, y, und z heißen Komponenten des Vektors r und beziehen sich auf die x-, y- und z-Achse (in der Umgangssprache bedeutet dies „links/rechts, vorn/hinten, oben/unten“). Dabei ist es für uns momentan noch unerheblich, ob die Komponenten nebeneinander oder untereinander geschrieben werden. Im ersten Fall nennt man den Vektor Zeilenvektor, im zweiten Fall Spaltenvektor. Abb. 1.1 veranschaulicht einen Vektor mit drei Komponenten.
Abb. 1.1: Veranschaulichung eines dreidimensionalen Vektors (1,3,2). Er zeigt vom Ursprung auf einen Punkt mit den Koordinaten (1,3,2).
Der Ursprung wird vektoriell als Nullvektor geschrieben: 0 = (0, 0, 0) .
(1.2)
Für den Vektor an sich ist der Ursprung jedoch unbedeutend. Ein Vektor, welcher in Länge und Richtung übereinstimmt, ist ein und derselbe Vektor. Man nennt ihn Repräsentant einer Pfeilklasse, siehe hierzu Abb. 1.2.
Abb. 1.2: Ein Vektor ist ein Repräsentant einer ganzen Pfeilklasse.
Vektor = Länge mal Richtung Eine zweite Beschreibung eines Vektor verwendet man im Alltagsgebrauch bei Wegbeschreibungen: „Wo ist der Bahnhof?“ Antwort: „Ca. 200 Meter in diese Richtung!“ Ein Punkt lässt sich also durch Angabe einer Richtung und Entfernung ebenso festlegen wie durch die Koordinatenangabe (1.1). Wir schreiben „Vektor gleich Länge mal Richtung“, also r = r · er ,
r := |r| .
(1.3)
Dabei ist r die Länge (oder Betrag) des Vektors r und er die Richtung, in die r zeigt. Richtungen werden stets vektoriell, Längen als Zahl angegeben. Die Länge des Vektors trägt die jeweilige physikalische Einheit. So würde man z. B. für eine Ortsangabe des Punktes a mit richtigen Einheiten schreiben: a = (2 m, 2 m, 1 m). Es stellt sich nun die Frage: Wie berechnet man die Länge eines Vektors?
1.1 Grundlagen der Vektorrechnung
3
Länge eines Vektors Die Länge a eines Vektors a = (a1 , a2 , a3 ) lässt sich anhand der Zeichnung 1.3 herleiten.
Abb. 1.3: Zur Herleitung der Länge eines Vektors.
Es gilt nach dem Satz des Pythagoras h2 = a21 + a22 und h2 + a23 = a2 . Daraus folgt a2 = h2 + a23 = a21 + a22 + a23 und somit |a| := a = a21 + a22 + a23 . (1.4) Beispiel 1.1 (Länge eines Vektors) Welche Länge besitzt der Vektor a = (2, 2, 1)? Lösung: Die Länge des Vektors errechnet sich nach (1.4) zu a = 22 + 2 2 + 1 2 = 3 , was auch gleichzeitig der Abstand des Punktes (2,2,1) zum Ursprung ist.
1.1.2
Normierung
Vektoren der Länge eins (so z. B. er in Gleichung (1.3)) heißen Richtungsvektoren, Einheitsvektoren oder normierte Vektoren: e normiert ⇔ |e| = 1 .
(1.5)
Ein Vektor r wird normiert, indem man ihn durch seinen Betrag |r| = r teilt: r gegeben =⇒ er =
r . r
(1.6)
Gleichung (1.6) geht aus (1.3) durch Division von r hervor. Sie gilt für beliebige Vektoren r = 0. Die prominentesten Einheitsvektoren sind die sogenannten kanonischen Basisvektoren e1 = (1, 0, 0) ,
e2 = (0, 1, 0) ,
e3 = (0, 0, 1)
entlang der x-, y- und z-Achse. Abb. 1.4 veranschaulicht diese.
(1.7)
4
1 Vektorrechnung
Abb. 1.4: Die kanonischen Basisvektoren e1 , e2 und e3 zeigen jeweils entlang der Koordinatenachsen. Alle haben die Länge eins.
Beispiel 1.2 (Beispiel einer Normierung) Normiere a := (4, 1, 3). Lösung: Wir bestimmen zunächst den Betrag: a = so ergibt sich der normierte Vektor zu ea =
1.1.3
√ √ 42 + 12 + 32 = 26. Al-
a 1 = √ (4, 1, 3) . a 26
Einfache Rechenoperationen
Vektoren sind für uns bisher Pfeile im Raum, die durch Anfangs- und Endpunkt festgelegt sind oder durch eine Richtung und gewisse Länge definiert werden. Jetzt machen wir etwas mit diesen Pfeilen: Wir verlängern oder verkürzen sie, legen ihre Enden aneinander und kehren ihre Richtung um. Dazu werden die nachfolgenden einfachen Rechenoperationen für Vektoren definiert. Dabei gilt es zu beachten: Teile niemals durch einen Vektor!
Addition Legen wir zwei Vektoren a und b wie in Abb. 1.5 aneinander, d. h. das Ende von Vektor a an den Anfang des Vektors b, so addieren wir diese: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a1 b1 a1 + b 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (1.8) a + b := ⎜ ⎝ a2 ⎠ + ⎝ b2 ⎠ = ⎝ a2 + b2 ⎠ . a3 b3 a3 + b 3 Mathematisch geschieht die Addition komponentenweise (hier exemplarisch für Vektoren im dreidimensionalen Raum). Beachte dabei: Addiere nur Vektoren mit gleicher Anzahl von Komponenten!
1.1 Grundlagen der Vektorrechnung
5
Abb. 1.5: Addition zweier Vektoren. Der resultierende Vektor ergibt sich durch Aneinanderlegen der Vektoren.
Die Addition ist vertauschbar, denn wie Abb. 1.5 zeigt, ist es egal, ob man a an b legt oder umgekehrt b an a: a + b = b + a . (Kommutativgesetz)
(1.9)
Aus Abb. 1.5 folgt weiterhin die sogenannte Dreiecksungleichung: |a + b| ≤ |a| + |b| .
(1.10)
Sie sagt aus, dass die direkte Verbindung a + b zwischen den Punkten 0 und a + b die kürzeste und immer kleiner gleich der Summe der Einzellängen |a| und |b| ist.
Skalare Multiplikation Die Multiplikation eines Vektors a mit einem Skalar λ (das ist eine Zahl) – Schreibweise λ · a =: λa – verlängert mit λ > 1 den Vektor a, 0 < λ < 1 verkürzt ihn und λ < 0 kehrt die Richtung um, wie exemplarisch in Abb. 1.6 zu sehen ist.
Abb. 1.6: Multiplikation des Vektors a mit reellen Zahlen.
Die skalare Multiplikation ist wie folgt ⎛ a1 ⎜ ⎜ λ · a = λ ⎝ a2 a3
definiert: ⎞ ⎛
⎞ λa1
⎟ ⎜ ⎟ ⎟ := ⎜ λa2 ⎟ . ⎠ ⎝ ⎠ λa3
(1.11)
Multipliziere also jede Komponente von a mit der Zahl λ, welche beliebige Werte annehmen kann. Für den Betrag gilt |λa| = |λ| |a| = |λ| a , d. h., ein Skalar kann aus dem Betrag herausgezogen werden.
(1.12)
6
1 Vektorrechnung
Subtraktion Anschaulich kann die Subtraktion zweier Vektoren a und b als Verbindungsstrecke zwischen diesen interpretiert werden, denn wir können nach Abb. 1.7 aufstellen: a + x = b ⇐⇒ x = b − a, was dem Verbindungsvektor −−→ AB = b − a
(1.13)
entspricht. Auch hier wird analog zur Addition komponentenweise subtrahiert.
Abb. 1.7: Subtraktion zweier Vektoren liefert den Verbindungsvektor.
Wie man an Abb. 1.7 sieht, ist die Richtung von x wichtig. Kehrt man x um, so dreht sich das Vorzeichen in Gleichung (1.13): −−→ −−→ BA = −b + a = a − b = −AB .
(1.14)
Beispiel 1.3 (Spielerei mit Vektoren) Man berechne |3a − 2b| für a := (1, 2), b := (5, 3). Lösung: Einsetzen und ausrechnen.
(1.11)
2·5
3a − 2b = |3 ( 12 ) − 2 · ( 53 )| = |( 3·1 3·2 ) − ( 2·3 )|
(1.4) (1.8) 3−10
2
= = 6−6 = −7 (−7) + 02 = 7 . 0
Beispiel 1.4 (Ein außergewöhnliches Koordinatensystem) Die Bewohner auf Beteigeuze legen ihre Koordinaten durch Angabe der Länge des Lotes zur jeweiligen Achse fest. Man mache eine Skizze! Wie berechnet sich der Betrag eines Punktes a = (a1 , a2 , a3 ) dann in den neuen Koordinaten? Lösung: In Abb. 1.8 ist das neue Koordinatensystem skizziert. Wir stellen anhand dieser mehrmals Pythagoras auf: a21 + u2 = |a|2 , a22 + v 2 = |a|2 , a23 + w2 = |a|2 , wobei u, v und w die Koordinanten im neuen System sind. Addieren der drei Gleichungen liefert a21 + u2 + a22 + v 2 + a23 + w 2 = 3|a|2 .
1.1 Grundlagen der Vektorrechnung
7
Abb. 1.8: Das Koordinatensystem der fernen Zivilisation. Der Vektor a wird in den neuen Koordinaten u, v und w gemessen.
Wir wollen ja den Betrag |a| in den neuen Koordinaten (u, v, w) aufstellen. Löse also nach |a| auf: u2 + v 2 + w2 + (a21 + a22 + a23 ) = 3|a|2 ⇔ |a|2 =
u2 + v 2 + w2 2
=| a|2
und somit |a| =
u2 + v 2 + w 2 . 2
Das ist die Länge in den neuen Koordinaten u, v und w.
1.1.4
Masse und Schwerpunkt
Als erste Anwendung der bisherigen Werkzeuge wollen wir uns überlegen, wie man den Schwerpunkt eines Körpers berechnet, der aus mehreren Massen besteht, welche durch masselose Stangen starr verbunden sind. Für eine Masse schreiben wir m, sie hat die Dimension Kilogramm. Die Gesamtmasse M erhalten wir dann durch Aufsummierung aller beteiligten n Massen: M = m1 + m 2 + . . . + mn =
n
mi .
(1.15)
i=1
ist definiert als Gewichtung der Massenpositionen ri mit den Der Schwerpunkt R dazugehörigen Massen mi , normiert auf die Gesamtmasse M : n = 1 (m1r1 + m2r2 + . . . + mnrn ) = 1 miri . R M M
(1.16)
i=1
Die Wichtungsfaktoren mi stellen sicher, dass der Schwerpunkt z. B. näher an großen Massen liegt als an vergleichsweise kleinen Massen. Beispiel 1.5 (Schwerpunkt von vier Massen) Vier Massen m1 = m, m2 = 3m, m3 = m, m4 = 3m seien wie ein Kreuz an den Punkten r1 = (1, 0, 0), r2 = (0, 1, 0), r3 = (−1, 0, 0) und r4 = (0, −1, 0) im Raum platziert. Wo befindet sich der Schwerpunkt der Massenanordnung?
8
1 Vektorrechnung
Lösung: Zunächst berechnen wir die Gesamtmasse. Da wir vier Teilmassen haben, läuft die Summe in (1.15) von eins bis vier: M=
4
mi = m1 + m2 + m3 + m4 = m + 3m + m + 3m = 8m .
i=1
Nun setzen wir in die Schwerpunktsformel (1.16) ein: R
=
4 1 1 (m1r1 + m2r2 + m3r3 + m4r4 ) miri = M M i=1
1 (m · (1, 0, 0) + 3m · (0, 1, 0) + m · (−1, 0, 0) + 3m · (0, −1, 0)) = 8m 1 ((m, 0, 0) + (0, 3m, 0) + (−m, 0, 0) + (0, −3m, 0)) = 8m 1 (m + 0 − m + 0, 0 + 3m + 0 − 3m, 0 + 0 + 0 + 0) = 0 . = 8m Der Schwerpunkt der oben gegebenen Konstellation liegt somit im Ursprung.
1.1.5
Kanonische Basisdarstellung
Mit den kanonischen Basisvektoren e1 , e2 und e3 aus Gleichung (1.7) lässt sich jeder Vektor zerlegen: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a1
a1
0
0
1
0
0
a3
0
0
a3
0
0
1
a = ⎝ a2 ⎠ = ⎝ 0 ⎠+⎝ a2 ⎠+⎝ 0 ⎠ = a1 ⎝ 0 ⎠+a2 ⎝ 1 ⎠+a3 ⎝ 0 ⎠. Somit gilt die Beziehung a = a1e1 + a2e2 + a3e3 =
3
aiei .
(1.17)
i=1
Beispiel 1.6 (Ein Trivialbeispiel) Man stelle a := (5, 1, 2) durch die kanonischen Basisvektoren dar! Lösung: 5 5 0 0 1 0 0 a = 1 = 0 + 1 + 0 = 5 0 + 1 1 + 2 0 = 5e1 + 1e2 + 2e3 . 2
1.1.6
0
0
2
0
0
1
Geometrie mit Vektoren
Mit Vektoren kann man unter anderem Geometrie betreiben. Hierzu betrachten wir zwei Beispiele.
1.1 Grundlagen der Vektorrechnung
9
Geschlossener Streckenzug In Abb. 1.9 ist ein geschlossener Streckenzug gezeichnet, bestehend aus den Vektoren r1 , . . . , r6 . Welche Gleichung beschreibt solch ein Objekt?
Abb. 1.9: Ein geschlossener Streckenzug.
Letztendlich ist es wie beim Spaziergang. Wir starten am Hannoveraner Bahnhof und gehen den Weg r1 zum Steintor, von da aus um r2 zum Kröpcke weiter usw. Schließlich beenden wir den Rückweg r6 wieder am Bahnhof (am Ausgangspunkt). Ein Fußlahmer hätte am Bahnhof auf uns warten können und den gleichen Startund Endpunkt unserer Reise gehabt: 0. Damit gilt für unseren Weg aus Abb. 1.9 r1 + r2 + r3 + r4 + r5 + r6 = 0 . Allgemein gilt für einen geschlossenen Streckenzug r1 + r2 + . . . + rn−1 + rn =
n
ri = 0 ,
(1.18)
i=1
d. h. Startpunkt = Endpunkt. Beispiel 1.7 (Dreieck) Wie kann man ein Dreieck mit den Ecken a, b und c vektoriell beschreiben? Lösung: Wir stellen die Verbindungsvektoren zwischen den Eckpunkten u, v und w auf und verwenden (1.18). Dabei ist u der Verbindungsvektor zwischen a und b, d. h. u = b − a (Abb. 1.10).
Abb. 1.10: Vektorielle Darstellung eines Dreiecks.
Ebenso folgen u = b − a ,
v = c − b ,
w = a − c .
Nun legen wir die Vektoren aneinander und erhalten die Dreiecksgleichung u + v + w = (b − a) + (c − b) + (a − c) = 0 .
10
1 Vektorrechnung
Das Teilverhältnis Es ist das allgemeine Teilverhältnis τ mit 0 ≤ τ ≤ 1 eines beliebigen Punktes t −−→ entlang der Verbindung AB gesucht. Für den Teilungspunkt t gilt gemäß Abb. 1.11 links: t = a + τ (b − a) , d. h., wir springen bei a auf die Verbindung zwischen a und b, gehen diese ein τ -faches entlang und erreichen den Teilungspunkt t.
Abb. 1.11: Links: Allgemeiner Teilungspunkt t der Strecke b − a. Rechts: Liegt t genau in der Mitte der Verbindungsstrecke, so spricht man vom seitenhalbierenden Punkt.
Ein analoges Vorgehen werden wir in Abschnitt 1.4.1 zum Aufstellen einer Geradengleichung sehen. Umformen der oberen Gleichung liefert t − a = τ (b − a) . Um diese Gleichung nach dem Teilungsverhältnis τ umzuformen, teilt man bitte nicht (!) durch b − a (Teilen durch Vektoren verboten). Vielmehr nehme man auf beiden Seiten den Betrag und teile durch diesen: (1.12) |t − a| = |τ (b − a)| ⇐⇒ |t − a| = |τ | · |(b − a)| .
Daraus folgt für das Teilungsverhältnis:
t − a
|τ | = . |b − a| Beispiel 1.8 (Seitenhalbierender Punkt) Wie lautet die Gleichung des Punktes s, der genau zwischen a und b liegt? Lösung: In diesem Fall heißt s seitenhalbierender Punkt und τ = 12 . Dann gilt 1 a + b s = a + (b − a) = . 2 2 Abb. 1.11 rechts verdeutlicht dies.
1.1 Grundlagen der Vektorrechnung
1.1.7
11
Statik
Wann ändert eine Masse ihren Bewegungszustand nicht? Richtig, wenn keine Kräfte auf die Masse wirken (Triviallösung). Das ist aber nur ein Spezialfall. Denn das aufgehängte Schild „Tellergericht“ in der Mensa ändert seinen Bewegungszustand nicht (es hängt nur). Dennoch wird es bekanntlich von der Erde angezogen. Dieser Kraft entgegen wirkt eine Kraft entlang der Aufhängung, welche die Erdanziehung kompensiert. Wäre dies nicht der Fall, so würde das Schild auf einen unschuldig wartenden Studenten knallen. Das Beibehalten des Bewegungszustandes rührt also im Allgemeinen daher, dass sich sämtliche Kräfte kompensieren und die resultierende Kraft Fres null ist. Genau dies drückt der Statikansatz für ruhende Massen aus: n Fi = 0 . F1 + F2 + . . . + Fn−1 + Fn = (1.19) i=1
Es gilt Statik, wenn alle angreifenden Kräfte F1 , F2 , . . . , Fn sich zu Null addieren. Dass sich alle wirkenden Kräfte auf einen Massepunkt kompensieren, bedeutet jedoch nicht zwangsläufig, dass die Masse dann ruht. Vielmehr bedeutet es, dass sich der momentane Bewegungszustand des Massepunktes nicht ändert. Dies ist eines der Newton’schen Axiome, auf die wir in Kapitel 12 noch ausführlich zu sprechen kommen.
Die Gewichtskraft Eine Kraft, die sehr oft mit im Spiel ist, kennen wir von Kindesbeinen an: die Wir wissen aus Erfahrung, dass sie nach „unten“, d. h. in Gewichtskraft G. Richtung −e3 wirkt. Ihr Betrag ist G = mg, was aus der Schule bekannt sein sollte. Hierbei ist g ≈ 9.81 sm2 die Erdbeschleunigung und m die punktförmige Masse. Wie wir aus Abschnitt 1.1.1 wissen, kann ein Vektor als Länge mal Richtung geschrieben werden. Dann ist = G(−e3 ) = −mg · e3 = (0, 0, −mg) , G
= mg , |G|
g = g ≈ 9.81
m . (1.20) s2
Das ist die Gewichtskraft. Bei vielen Statikproblemen läuft es darauf hinaus, G geschickt vektoriell zu zerlegen und die Einzelteile zu berechnen. Ist nach der Stärke einer Kraft gefragt, so muss der Betrag berechnet werden. Beispiel 1.9 (Der Kleiderbügel) Wir haben im Garten unser Hemd (Masse m) mit Hilfe eines Kleiderbügels im Abstand a zum linken und Abstand b zum rechten Masten an einer Wäscheleine aufgehängt. Doch oje, die um h aus der Waagerechten abgesenkte Leine reißt! Mit einem „Ha, hab ich mir doch gleich gedacht, dass der sogar zu blöd ist, die
12
1 Vektorrechnung
Wäsche aufzuhängen“-Blick drückt die Nachbarin ihre Missachtung aus. Doch wir sind fasziniert! Welche Kraft musste die Leine denn überhaupt aushalten? Und wie stark müsste man waagerecht an der Leine ziehen, damit sich das Hemd gar nicht absenkt? Lösung: Zentraler Ansatz zur Lösung ist Gleichung (1.19). Wir betrachten den Fall, dass die Leine gerade so noch nicht reißt und das Hemd ruht: Statik. Dann geht es Schritt für Schritt: 1. Wir machen zunächst eine Skizze und zeichnen die wirkenden Kräfte ein. Dazu wählen wir einen günstigen Ursprung, der die Rechnung vereinfacht (meist den Mittelpunkt der Masse, auf die die Kräfte wirken).
Abb. 1.12: Die wirkenden Kräfte auf den Massepunkt und K müssen sich so addieren, dass G kom(Hemd). F pensiert wird.
zeigt nach unten und muss durch eine Kraft −G kompenDie Gewichtskraft G siert werden. Der einzig mögliche Kraftübertrag ist entlang der Leinen (gestrichelt) möglich. Da wir nicht wissen, wie genau die Gegenkräfte sich aufteilen, Diese müssen addiert die Gewichtskraft kompensieren, nennen wir sie F und K. = −G. Dies ist aber gerade unser Statikansatz: d. h. F + K +G = 0 . F + K 2. Wir drücken die Kräfte durch die uns bekannten Systemgrößen aus. Dabei können wir das Problem auf die x-z-Ebene reduzieren, wie Abb. 1.12 zeigt. Die = (0, −mg). F und K lassen sich nicht ganz Gewichtskraft kennen wir schon: G so einfach aufstellen, da deren Längen unbekannt sind. Ihre Richtungen kennen in Richtung (b, h), wo die wir aber schon: F zeigt in Richtung (−a, h) und K Aufhängungen sitzen. Nehmen wir die Beträge der Kräfte als unbekannt, so können wir aufstellen: = (0, −mg) , G
F = λ · (−a, h) ,
= μ · (b, h) . K
Diese müssen wir bestimmen. λ und μ sind die Beträge der Kräfte F und K. 3. Wir setzen in den Statikansatz ein: = −G ⇐⇒ λ F + K
−a h
+μ
b h
=
0 +mg
.
1.1 Grundlagen der Vektorrechnung
13
Diese vektorielle Gleichung muss für alle Komponenten erfüllt sein. Wir können also jede Komponente einzeln betrachten und erhalten ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten λ und μ: −λ · a + μ · b = 0 λ · h + μ · h = mg . Wir müssen es nun nach λ und μ lösen. Dabei dürfen a, b, m und h als gegeben angesehen werden. Los geht’s: −λ · a + μ · b = 0
⇐⇒
λ · h + μ · h = mg .
λ = ab μ b ah
· μ + h · μ = mg .
Ausklammern von μ liefert in der zweiten Gleichung b ah
· μ + h · μ = mg ⇔
b
+1 μ=
a
mg h
⇔ μ=
mg a h a+b
.
a+b = a
Eingesetzt in die λ-Gleichung folgt λ = ab μ =
b mg a a h a+b
=
mg b h a+b
.
ein4. Da wir λ und μ bestimmt haben, können wir sie schließlich in F und K setzen: −a b = mg a · b . F = mg , K h h h a+b · h a+b Da nach der Stärke der Kraft gefragt wurde, muss noch der Betrag berechnet werden. Hierzu empfiehlt es sich, die Faktoren aus dem Betrag herauszuziehen und nur vom Vektor den Betrag zu berechnen:
−a mg b −a mg b b
=
= a2 + h2 , |F | = mg h h h a+b · h a+b · h a+b
b mg a b mg a a
=
= b2 + h2 . |K| = mg h h a+b · h h a+b · h a+b Das sind die Kräfte, die auf die Leine wirken. Die letzte Frage lässt sich beantworten, indem man h → 0 gehen lässt. Dann √ √ gilt zwar für die Wurzel limh→0 b2 + h2 = b2 = b, aber der Nenner des ersten Bruchs strebt gegen null, wodurch der Bruch gegen unendlich strebt. Damit ergibt sich: lim F = lim K = ∞ . h→0
h→0
14
1 Vektorrechnung
Spickzettel Grundlagen der Vektorrechnung Vektorbegriff Ein Vektor hat Richtung und Betrag, r = r · er , r = (x, y, z). er = heitsvektor; Länge eines Vektors: r := |r| = Einheitsvektor: |er | = 1.
x2
+
y2
+
z2,
r r
Ein-
insbesondere beim
Einfache Vektoroperationen a1 b1 a1 +b1 – Addition: a + b = b + a = aa2 + b2 := a2 +b2 . 3 b3 a +b −→ 3 3 −→ – Subtraktion entspricht Verbindungsvektor: AB= b − a = −BA. – Skalare Multiplikation: λa = λ – Teile niemals durch einen Vektor!
a1 a2 a3
:=
λa1 λa2 λa3
.
Kanonische Basisdarstellung a = a e , wobei e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) und e3 = (0, 0, 1). i i i Geschlossener Streckenzug r = 0. i i ----------------P-H-Y-S-I-K----------------Masse und Schwerpunkt n = Gesamtmasse: M = mi ; Schwerpunkt R i=1
1 M
n i=1
miri .
Statik = (0, 0, −mg), g = 9.81 F = 0; Gewichtskraft G Statikansatz: i i
1.2
m s2 .
Skalarprodukt
Ein wenig Trigonometrie Bevor wir das Skalarprodukt einführen, müssen wir kurz die Definition von Sinus und Kosinus repetitieren. Dazu betrachten wir den Einheitskreis in Abb. 1.13.
Abb. 1.13: Definition der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis. Die x-Koordinate entspricht dem Kosinus, die y-Koordinate dem Sinus.
Im skizzierten rechtwinkligen Dreieck heißt der Radius Hypothenuse (er liegt dem rechten Winkel gegenüber), die Seite x Ankathete (weil sie an dem Winkel ϕ
1.2 Skalarprodukt
15
anliegt) und y Gegenkathete (weil sie dem Winkel ϕ gegenüberliegt). Dann kann man aufstellen: sin(ϕ) =
Gegenkathete , Hypothenuse
Hier sind dies sin(ϕ) =
y 1
cos(ϕ) =
Ankathete , Hypothenuse
= y, cos(ϕ) =
x 1
tan(ϕ) =
Gegenkathete . Ankathete (1.21)
= x und tan(ϕ) = xy .
Eine sehr wichtige Beziehung folgt, wenn man den Satz des Pythagoras in Abb. 1.13 aufstellt. Es ist x2 + y 2 = 12 bzw. cos2 (ϕ) + sin2 (ϕ) = 1 .
(1.22)
Das ist der trigonometrische Pythagoras. Er wird uns noch oft helfen. Jetzt können wir aber erst einmal das Skalarprodukt einführen.
1.2.1
Skalarprodukt und Projektion
An einem schönen Herbsttag scheint uns draußen im Park vor der Uni die Sonne in den Rücken und wir werfen einen Schatten auf den Weg. In diesem Fall sind wir das Objekt, das von der Lichtquelle (Sonne) auf einen Schirm (Weg) projiziert wird. Somit ist der Kiesweg die Projektionsebene und unser Schatten die Projektion von uns auf die Ebene.
Projektion Nicht anders verhält es sich anschaulich mit dem Begriff der Projektion. Siehe dazu das linke Bild in Abb. 1.14: Der Vektor b (Objekt) steht im Winkel ϕ zu Vektor a und wird auf diesen senkrecht von oben projiziert. Als Schatten entsteht sodann b . Ganz analog definiert sich a , nämlich als Schattenwurf von a senkrecht auf b, wobei die Lichtquelle von rechts unten schräg nach links oben scheinen würde. a und b heißen Projektionslängen.
Abb. 1.14: Projektion von a auf b und umgekehrt.
Sowohl a als auch b können negativ werden, nämlich genau dann, wenn ϕ größer als 90◦ wird. Dann befindet sich b auf dem negativen a-Bereich, was im rechten Bild gezeigt ist.
16
1 Vektorrechnung
Betrachtet man Abb. 1.14 so kann man eine nützliche Relation der Strecken zueinander durch Aufstellen des Kosinus gewinnen: cos(ϕ) =
b , b
cos(ϕ) =
a a b ⇐⇒ = ⇐⇒ a b = ab . a a b
Letzter Sachverhalt kann auch noch geometrisch gedeutet werden (Abb. 1.15): Das Rechteck, das durch a und b begrenzt wird, besitzt den gleichen Flächeninhalt wie jenes, das von a und b begrenzt wird.
Abb. 1.15: Geometrische Interpretation des Skalarprodukts von a und b. Die schraffierten Flächen sind gleich groß.
Definition des Skalarprodukts Das Skalarprodukt definiert sich genau über den Flächeninhalt der Rechtecke: a · b := ab = ab cos(ϕ) = ba cos(ϕ) = ba = b · a ,
(1.23)
wobei beim zweiten Gleichheitszeichen die trigonometrische Beziehung cos(ϕ) =
b Ankathete = Hypothenuse b
im rechtwinkligen Dreieck verwendet wurde. Gleichung (1.23) sagt weiterhin aus, dass das Skalarprodukt kommutativ ist, also a · b = b · a gilt. Wird nach dem Winkel zwischen zwei Vektoren a und b gefragt, so ist die direkt aus (1.23) ablesbare Beziehung nützlich: cos(ϕ) =
1.2.2
a · b . ab
(1.24)
Folgerungen aus dem Skalarprodukt
Orthogonalität von Vektoren Wir gehen entlang einer beleuchteten Straße und beobachten unseren Schatten. Befinden wir uns direkt senkrecht unter der Laterne, so können wir keinen Schatten mehr entdecken. In diesem Szenario sind wir das Objekt a und werden auf die zu uns senkrechte Projektionsebene b, den Fußweg, projiziert; dabei ist die Projektion null (kein Schatten sichtbar). In der Sprache des Skalarprodukts bedeutet dies a ⊥ b ⇐⇒ a · b = 0 .
(1.25)
1.2 Skalarprodukt
17
Wenn also a senkrecht (⊥) auf b steht, so ist das Skalarprodukt zwingend null. Die umgekehrte Argumentation gilt ebenso: Wenn das Skalarprodukt von a und b verschwindet, stehen notwendigerweise a und b senkrecht aufeinander – oder vornehmer ausgedrückt: a und b sind orthogonal zueinander. (1.25) ist ein geschicktes Kriterium für die Überprüfung, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Sachverhalt (1.25) lässt sich wunderbar mit der Skalarproduktdefinition per Kosinus nachweisen. Für zwei orthogonale Vektoren a und b gilt dann (1.23)
a · b = ab cos(ϕ = 90◦ ) = ab · 0 = 0 . Insbesondere sind die Basisvektoren e1 , e2 und e3 orthogonal zueinander: e1 · e2 = 0 ,
e1 · e3 = 0 ,
e2 · e3 = 0 ,
(1.26)
denn die Einheitsvektoren zeigen entlang der Koordinatenachsen; und diese stehen jeweils paarweise senkrecht aufeinander.
Skalarprodukt und Länge eines Vektors Eine weitere nützliche Beziehung ist a b ⇐⇒ a · b = a · b ,
(1.27)
(für a, b antiparallel gilt a · b = −ab) insbesondere gilt für die Einheitsvektoren e1 · e1 = 1 ,
e2 · e2 = 1 ,
e3 · e3 = 1 .
(1.28)
Im Falle a = b folgt a · a = a · a = a2 = |a|2 , ferner durch Wurzelziehen a = a und dann gleich die Exmatrikulation (man kann aus a2 = a · a keine Wurzel ziehen, es gäbe dann Vektor = Zahl!). Im Ernst: (1.29) a = (a · a) . Bei der Berechnung der Länge eines Vektors spielt das Skalarprodukt also eine wichtige Rolle. Wir werden in späteren Kapiteln darauf zurückkommen.
Skalarprodukt liefert Zahl Abschließend folgt noch ein Seitenhieb aus der Erfahrung mit Übungszetteln und Klausuren. Ein Skalar ist ein vornehmes Wort für eine Zahl; und beim Skalarprodukt zweier Vektoren kommt am Ende eine Zahl heraus, und kein Vektor: Das Skalarprodukt liefert eine Zahl!
18
1 Vektorrechnung
Bei Umformungen wie zur Gleichung (1.29) muss daher Vorsicht walten, damit man nicht in die beschriebene Falle tappt. Überprüfe also stets, ob auf beiden Seiten einer Gleichung ein Vektor bzw. eine Zahl steht!
1.2.3
Skalarprodukt in Komponenten
Damit wir im Folgenden nicht immer über die Skalarproduktdefinition und Anschauung das Skalarprodukt ausrechnen müssen, brauchen wir eine Rechenvorschrift. Jeder Vektor lässt sich gemäß (1.17) durch die kanonischen Einheitsvektoren mal Komponenten in der Basis ausdrücken. Damit gilt für das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a1
b1
a3
b3
a · b = ⎝ a2 ⎠ · ⎝ b2 ⎠ = (a1e1 + a2e2 + a3e3 ) · (b1e1 + b2e2 + b3e3 ) . Wie es weitergeht, ahnt man wahrscheinlich schon. Ausmultiplizieren: a · b = + a1 b1 (e1 · e1 ) + a1 b2 (e1 · e2 ) + a1 b3 (e1 · e3 ) + a2 b1 (e2 · e1 ) + a2 b2 (e2 · e2 ) + a2 b3 (e2 · e3 ) + a3 b1 (e3 · e1 ) + a3 b2 (e3 · e2 ) + a3 b3 (e3 · e3 ) . Dieser lange Wulst löst sich jedoch in Wohlgefallen auf. Nach (1.26) verschwinden alle e-Skalarprodukte mit ungleichen Indizes, d. h. e1 ·e2 = e1 ·e3 = e2 ·e3 = 0 (die Einheitsvektoren stehen jeweils senkrecht aufeinander). Jetzt wird es übersichtlicher: a · b = a1 b1 (e1 · e1 ) + a2 b2 (e2 · e2 ) + a3 b3 (e3 · e3 ) . Das Skalarprodukt eines Einheitsvektors mit sich selbst ist allerdings nach Gleichung (1.28) eins. Ergebnis: a · b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 .
(1.30)
Multipliziert man also zwei Vektoren miteinander, so errechnet sich das Skalarprodukt als Summe der Produkte der Komponenten und ergibt eine Zahl. Beispiel 1.10 (Spielerei mit Skalarprodukten) Es seien a := (1, 2) und b := (−6, 2). Man berechne a · b, die Projektionslängen a und b sowie den Winkel zwischen a und b. Lösung: 1. Zunächst berechnen wir das Skalarprodukt nach (1.30): a · b = ( 12 ) ·
−6 2
= 1 · (−6) + 2 · 2 = −2 .
1.2 Skalarprodukt
19
2. Weiterhin sollen die Projektionslängen a und b berechnet werden. Es gilt a · b = a b ⇐⇒ a =
a·b b
=√
−2 (−6)2 +22
=
−2 √ 40
.
Ebenso: a · b = ab ⇐⇒ b =
a·b a
=
−2 √ 5
.
3. Schließlich ist der Winkel zwischen a und b gesucht. Da hilft uns (1.24) weiter: cos(ϕ) =
1.2.4
a·b ab
=
√ √ −2 5 40
2 = − √200 =⇒ ϕ ≈ 98.1◦ .
Weitere Rechenregeln
Wir listen nun weitere Rechenregeln und Hilfen für Skalarprodukte auf. Es gilt (λa) · (μb) = λμ(a · b) = (μa) · (λb) .
(1.31)
Wir dürfen also Faktoren λ und μ im Skalarprodukt beliebig hin- und herschieben (Bilinearität). Für Vektoren gilt dies im Allgemeinen nicht: a(b · c) = (a · b)c . Weiterhin ist das Skalarprodukt distributiv: a · (b ± c) = (a · b) ± (a · c) .
(1.32)
Diese Regeln helfen beim Umformen und Vereinfachen von Skalarprodukten.
Konstruktion eines senkrechten Vektors Ist ein zweidimensionaler Vektor r = (x, y) gegeben, so kann man einen zu r senkrechten Vektor r⊥ konstruieren, indem man die Komponenten des Vektors vertauscht und bei einer Komponente ein Minus spendiert: x −y · = 0. (1.33) r · r⊥ = y x Beispiel 1.11 (Beweis des Kosinussatzes) Beweisen Sie mit Hilfe der Vektorrechnung den Kosinussatz im beliebigen Dreieck, c2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ) . Lösung: Wir stellen das Dreieck mit Winkel γ wie in Abb. 1.16 gezeigt dar. Dann gilt a + c = b oder c = b − a. Quadrieren liefert (1.32) c · c = c 2 = (b − a)2 = (b − a) · (b − a) = b · b − b · a − a · b + a · a .
20
1 Vektorrechnung
Abb. 1.16: Zur Herleitung des Kosinussatzes.
Die mittleren Terme lassen sich wegen a · b = b · a zusammenfassen. Mit Hilfe der Skalarproduktdefinition folgt dann c2 = b2 − 2a · b + a2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ) , da γ der von a und b eingeschlossene Winkel ist.
1.2.5
Parallel-Senkrecht-Zerlegung
Besonders bei Berechnungen von Beschleunigungen, Geschwindigkeiten und Kräften ist ein gängiger Trick, die beteiligten Vektoren in zwei Anteile zu zerlegen: Parallel- und Senkrechtanteil. Es gilt für einen beliebigen Vektor a = a + a⊥ .
(1.34)
Man fragt sich jedoch: Zu was parallel und senkrecht? Die Antwort: zu einem beliebigen Vektor b. In Abb. 1.17 ist solch eine Vektorzerlegung bezüglich b gezeigt.
Abb. 1.17: Zerlegung eines Vektors a in Parallel- und Senkrechtkomponente bezüglich eines anderen Vektors b.
Der a-Anteil bezüglich b ist unsere Projektionslänge a = ab·b . Damit ist a darstellbar als Betrag a mal seine Richtung. Die Richtung ist gegeben durch den Einheitsvektor entlang b, d. h. e = b . Damit ergibt sich die Zerlegung zu b
b
(a · b) b (a · b) b , a⊥ = a − a = a − . (1.35) b b b b Man beachte bitte stets die Klammersetzung in solcherlei Termen. Wir dürfen nicht einfach umklammern, denn (a · b)b = a(b · b). a = a · eb =
Beispiel 1.12 (Parallel-Senkrecht-Zerlegung eines Vektors) Man zerlege den Vektor a = (3, 4) bezüglich des Vektors b = (1, 1). Lösung: Wir berechnen a und a⊥ mit gegebenem b. Dann sind ( a·b) b b b
a
=
a⊥
= a
(3·1+4·1) (1,1) √ √ = 72 (1, 1) , 2 2 − a = (3, 4) − 72 (1, 1) = − 12 , 12
=
.
1.2 Skalarprodukt
21
Test: a + a⊥ = 72 (1, 1) + − 12 , 12 = 62 , 82 = (3, 4) = a, passt! Beispiel 1.13 (Orthogonalität der Zerlegung) Man zeige a ⊥ a⊥ . Lösung: Zu zeigen ist a · a⊥ = 0. Einsetzen liefert a · a⊥ = (ab·b) bb · a − (ab·b) bb = (ab·b) bb · a − =
( a·b)(b· a) b2
−
( a·b)( a·b) (b·b) b2 b2
=
( a·b)( a·b) b2
( a·b) b b b
−
·
( a·b) b b b
( a·b)( a·b) b2
= 0.
Damit stehen a und a⊥ senkrecht aufeinander.
Tangential- und Normalvektor Die Parallel- und Senkrechtanteile haben in vielen physikalischen Problemen einen eigenen Namen. Insbesondere bei mechanischen Größen wie Kräften, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen unterscheidet man zwischen Tangentialvektoren (d. h. F , v und a ) und Normalvektoren (d. h. F⊥ , v⊥ und a⊥ ). Legt man z. B. einen Gegenstand auf einen Tisch, so versucht die Gewichtskraft den Gegenstand zur Erdmitte hin durch den Tisch zu ziehen. Gleichzeitig drückt aber der Tisch dagegen und versucht ein Eindellen zu verhindern. Die Kraft, die senkrecht zur Tischebene auf den Gegenstand wirkt, nennt man Normalkraft . Beispiel 1.14 (Kräfte beim Pendel) Welche Kräfte wirken auf eine an einem Faden aufgehängte Kugel der Masse m, wenn diese um den Winkel α ausgelenkt wird? Lösung: Anhand von Abb. 1.18 stellen wir die wirkenden Kräfte auf.
beim Fadenpendel bezüglich Abb. 1.18: Zerlegung der Gewichtskraft G ⊥ wird durch die Fadenspannung der Bahn. Die Normalkomponente G ausgeglichen.
= (0, −mg) auf die Masse. Das Band des Zunächst wirkt die Gewichtskraft G bezügPendels verhindert, dass die Kugel auf den Boden fällt. Wir zerlegen G lich der Bahn des Pendels, welches in Richtung e = (cos(α), sin(α)) ausgelenkt wurde. Dann gilt nach (1.35) und wegen e 2 = e2 = cos2 (α) + sin2 (α) (trigonometrischer Pythagoras!):
(1.22)
=
1
cos(α) cos(α) cos(α) 0 = (G · e) e = (G· e)e = −mg G · sin(α) = −mg sin(α)· sin(α) . sin(α) e e
22
1 Vektorrechnung
Das ist der Anteil der Gewichtskraft, der das Pendel wieder in Ausgangsposition zurückstellen soll. Daher heißt Fr := −mg sin(α) ⊥ (die Normalkraft) wird durch die FadenRückstellkraft. Die Komponente G spannung direkt ausgeglichen. Die einzig wirkende Kraft beim Pendel ist damit Fr = −mg sin(α).
1.2.6
Skalarprodukte in der Physik
Skalarprodukte treten in vielfältigen Formen in der Physik auf. Ein bekanntes ist das Skalarprodukt von Kraft und Weg, die Arbeit W : W = F · r .
(1.36)
Die an einer Masse m verrichtete Arbeit entspricht damit dem Produkt aus der Kraft, die auf die Masse m wirkt, und dem Weg r, den die Masse gegen die Krafteinwirkung zurücklegen muss. Nun gilt es zwei Dinge zu beachten: Erstens ist (1.36) nur gültig für geradlinige Wege, die durch r beschrieben werden. Zweitens ist die bekannte Floskel „Arbeit ist Kraft mal Weg“ nicht korrekt. Vielmehr betont das Skalarprodukt, dass „Arbeit gleich Kraft in Wegrichtung mal Weg“ ist, denn nur der Anteil F bezüglich r trägt tatsächlich etwas zur Arbeit bei. Abb. 1.19 verdeutlicht dies.
Abb. 1.19: Verschieben eines Teilchens entgegen einer Kraftwir (z. B. Gewichtskraft). Nur entlang r muss beim Verschiekung F ben Arbeit aufgewendet werden.
Beispiel 1.15 (Arbeit im Schwerefeld der Erde) Jemand hebt eine Stahlkugel der Masse m auf geradem Wege von a = (1, 2, 0)h nach b = (3, 1, 2)h. Welche Arbeit muss dazu verrichtet werden? Lösung: Die Masse wird geradlinig auf dem Weg r = b − a = (2, −1, 2)h (der = (0, 0, −mg) Verbindungsvektor) bewegt. Dabei muss gegen die Gewichtskraft G gearbeitet werden. Es ergibt sich für die Arbeit: 0 2h · r = 0 W =G · −h = 0 + 0 − 2mgh = −2mgh . −mg
2h
Das Minuszeichen bedeutet, dass die Arbeit 2mgh aufgewendet werden muss, um die Masse wie gewünscht zu verschieben.
1.3 Vektorprodukt
23
Spickzettel Skalarprodukt Trigonometrischer Pythagoras cos2 (ϕ) + sin2 (ϕ) = 1. Definition des Skalarprodukts Skalarprodukt a · b = ab = a b = ab · cos(ϕ) = ba = b · a (= Zahl!). Dabei ist a · b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 (bezüglich kanonischer Basis); Winkel zwischen zwei · b . Vektoren: cos(ϕ) = aab Folgerungen – Wenn a ⊥ b ⇐⇒ a · b = 0. – Wenn a b ⇐⇒ a · b = ab. – speziell: a · a = a2 = a2 ; insbesondere: a = |a| = (a · a).
– Für die Einheitsvektoren gilt ei · ej =
1, 0,
i=j . i = j
Weitere Rechenregeln – (λa) · b = λ(a · b) = a · (λb). – Distributivgesetz a · (b ± c) = a · b ± a · c. – Obacht: a(b · c) = (a · b)c. ----------------P-H-Y-S-I-K----------------Parallel-Senkrecht-Zerlegung von Kräften =F + F ⊥ bezüglich a, wobei Zerlegung F = (F · a) a , F a a
− (F · a) a . ⊥ = F F a a
Arbeit · r, Arbeit = Kraft in Wegrichtung mal Weg; gilt nur für geradlinigen W = F Weg; W < 0: Arbeit muss aufgewendet werden; W > 0: Arbeit wird gewonnen.
1.3
Vektorprodukt
Mit Hilfe des Skalarprodukts konnten wir überprüfen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen oder nicht (Gleichung (1.25)). Wie konstruiert man aber einen Vektor, der jeweils senkrecht auf zwei Vektoren steht? Erraten und Ausprobieren ist natürlich möglich, mit Hilfe des Vektorprodukts (auch bekannt als Kreuzprodukt) bekommen wir allerdings eine mathematische Technik an die Hand.
1.3.1
Definition des Kreuzprodukts
Der Kreuzvektor c = a × b = −b × a
(1.37)
24
1 Vektorrechnung
zweier Vektoren a und b steht jeweils senkrecht auf a und b. Vertauscht man die Reihenfolge der Vektoren im Produkt, dreht sich das Vorzeichen um. Geometrisch lässt sich der Kreuzvektor per Drei-Finger-Regel mit der rechten Hand bestimmen: Der Daumen zeigt in a-Richtung und der Zeigefinger in b-Richtung. Dann gibt der gekrümmte Mittelfinger die Richtung des Kreuzvektors c an. Abb. 1.20 verdeutlicht dies.
Abb. 1.20: Zur Bestimmung des Kreuzvektors.
Eine weitere Charakteristik ist die Länge des Kreuzvektors: |c| = |a × b| = ab sin(ϕ) = ab⊥ = a⊥ b .
(1.38)
Abb. 1.21 zeigt die geometrische Interpretation.
Abb. 1.21: Die Länge des Kreuzvektors c entspricht dem Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms.
Wir fassen zusammen: a ×b liefert einen sowohl zu a als auch b senkrechten Vektor, dessen Länge |a × b| der Fläche des von a und b aufgespannten Parallelogramms entspricht. Man beachte weiterhin: Das Kreuzprodukt ist nur in 3-D definiert und liefert einen Vektor!
1.3.2
Folgerungen und Rechenregeln
Kreuzprodukt paralleler Vektoren liefert Nullvektor Anhand von Gleichung (1.38) können wir einen Spezialfall erschlagen: Wenn a b, d. h. b = λa, dann spannen anschaulich die Vektoren keine Fläche auf, und es gilt |a × b| = ab sin(0) = 0. Somit folgt a b ⇐⇒ a × b = 0
(1.39)
a × (λa) = 0, speziell: a × a = 0 .
(1.40)
und weiterhin Ein Vektor mit sich selbst (oder mit einem zu sich selbst parallelen Vektor) gekreuzt ergibt immer den Nullvektor!
1.3 Vektorprodukt
25
Das Kreuz mit den Einheitsbasisvektoren Für die Einheitsbasisvektoren gilt: e1 × e2 = +e3 ,
e2 × e3 = +e1 ,
e3 × e1 = +e2 .
(1.41)
e1 × e3 = −e2 ,
(1.42)
In vertauschter Reihenfolge ergibt sich e3 × e2 = −e1 ,
e2 × e1 = −e3 ,
was man sich mit der Drei-Finger-Regel bildlich klarmachen kann. Wir sehen außerdem: Das Kreuzprodukt zweier zueinander senkrechter 3-D-Einheitsvektoren liefert wieder einen Einheitsvektor. Dies gilt generell und nicht nur für die kanonischen Einheitsvektoren.
Linearität des Kreuzprodukts Wie auch beim Skalarprodukt darf man Faktoren aus dem Kreuzprodukt herausziehen: (λa) × (μb) = λμ · (a × b) . (1.43) Weiterhin gilt das Distributivgesetz a × (b ± c) = a × b ± a × c . Beispiel 1.16 (Beweis des Sinussatzes) Beweisen Sie den Sinussatz für ein ebenes Dreieck:
sin(α) sin(β)
(1.44) = ab .
Lösung: Wir stellen analog zum Kosinussatz unser Dreieck auf (Abb. 1.16): c = a − b. Wie wird man nun den Vektor c los (denn offensichtlich ist der Sinussatz in obiger Formulierung unabhängig von c)? Der Trick: von links mit c× multiplizieren: c × c = c × (a − b) ⇔ 0 = c × a − c × b ⇔ c × a = c × b . Den Sinus können wir über den Betrag des Kreuzprodukts hineinmogeln, denn es gilt |c × a| = ca sin(β) und |c × b| = cb sin(α). Hiermit folgt ca sin(β) = cb sin(α). Division durch c = 0 und Umformen liefert den Sinussatz:
1.3.3
a b
=
sin(α) . sin(β)
Kreuzprodukt in Komponenten
Jetzt aber her mit dem mathematischen Werkzeug! Wir wollen ja nicht alles per Argumentation erschlagen, sondern rechnen. Hierzu stellen wir das Kreuzprodukt mit unseren bisherigen Werkzeugen auf: a × b = (a1e1 + a2e2 + a3e3 ) × (b1e1 + b2e2 + b3e3 ) .
26
1 Vektorrechnung
Ausmultiplizieren liefert a × b
a1 b1 (e1 × e1 ) + a1 b2 (e1 × e2 ) + a1 b3 (e1 × e3 )
=
+ a2 b1 (e2 × e1 ) + a2 b2 (e2 × e2 ) + a2 b3 (e2 × e3 ) + a3 b1 (e3 × e1 ) + a3 b2 (e3 × e2 ) + a3 b3 (e3 × e3 ) . Nach (1.40) fallen alle Kreuzprodukte mit gleichen Einheitsvektoren weg, es überleben a × b
=
a1 b2 (e1 × e2 ) + a1 b3 (e1 × e3 ) + a2 b1 (e2 × e1 )
+
a2 b3 (e2 × e3 ) + a3 b1 (e3 × e1 ) + a3 b2 (e3 × e2 ) .
Diese sind nach (1.41) und (1.42) a × b
=
a1 b2e3 − a1 b3e2 − a2 b1e3 + a2 b3e1 + a3 b1e2 − a3 b2e1
=
(a2 b3 − a3 b2 )e1 + (a3 b1 − a1 b3 )e2 + (a1 b2 − a2 b1 )e3 .
In voller Schönheit lautet das Kreuzprodukt in ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ a1 b1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a × b = ⎜ ⎝ a2 ⎠ × ⎝ b2 ⎠ := ⎝ a3 b3
Komponenten damit ⎞ a2 b3 − a3 b2 ⎟ (1.45) a3 b1 − a1 b3 ⎟ ⎠. a1 b2 − a2 b1
Wir bilden dabei dreimal ein Kreuz: Um die erste Komponente des Kreuzvektors zu berechnen, halten wir die erste Komponente im Produkt zu und bilden das verbleibende Kreuz (links oben mal rechts unten minus rechts oben mal links unten): a2 · b3 − b2 · a3 . Analog verfahren wir mit den anderen Komponenten, wobei bei der zweiten das Kreuz umgekehrt ist: b1 a3 − a1 b3 . Beispiel 1.17 (Ein Beispiel zum Kreuzprodukt) Man berechne das Kreuzprodukt von a = (1, 2, 3) und b = (4, 5, 6). Lösung: Wir halten die erste Komponente zu und bilden das verbleibende Kreuz (links oben mal rechts unten minus links unten mal rechts oben). Anschließend halten wir die zweite Komponente zu, bilden das umgedrehte Kreuz (links unten mal rechts oben minus links oben mal rechts unten) und das dritte Kreuz wieder regulär. Dann folgt 1 4 2·6−3·5 −3 2 × 5 = 3·4−1·6 = 6 . 3
6
1·5−2·4
−3
Wie man sich leicht vorstellen kann, wird es rechentechnisch aufwendig, wenn Produkte der Form (a × (b × c)) × d oder Ähnliches auftreten. Wir beschäftigen uns nun damit genauer.
1.3 Vektorprodukt
1.3.4
27
Doppelte Produkte
Bei vielen physikalischen Problemen, z. B. der Berechnung eines Strömungsfeldes, treten doppelte Produkte auf. Wir werden zwei näher betrachten.
Das Spatprodukt Das Spatprodukt dreier Vektoren a, b und c ist definiert als das Skalarprodukt aus Vektor a und Kreuzvektor b × c, d. h., ein Konstrukt der Form a · (b × c). Das Spatprodukt spannt ein Volumen V (Parallelepiped bzw. Spat mit a, b und c als Kanten) auf. Dieses veranschaulicht Abb. 1.22.
Abb. 1.22: a · (b × c) spannt ein Parallelepiped mit Grundfläche |b × c| und Höhe a auf.
Das Volumen des Spats berechnet sich aus Grundfläche mal Höhe. Die Grundfläche ist das von b und c aufgespannte Parallelogramm, also lediglich |b × c|. Die Höhe des Spats entspricht der Projektion von a auf den Kreuzvektor b × c, sprich a . Somit gilt für das Spatprodukt a · (b × c) = a · |b × c| = V
(1.46)
und liefert eine Zahl (ein Volumen).
Das Spatprodukt ist zyklisch Man kann die Grundflächen und Höhen zur Berechnung des Volumens auch anders ansetzen (als Grundfläche z. B. |a × b| und als „Höhe“ c nehmen), so dass für das Spatprodukt gilt: (∗) a · (b × c) = c · (a × b) = b · (c × a) . (1.47) Man sagt hierzu: Das Spatprodukt ist zyklisch. Das bedeutet, dass wir die Vektoren im Kreis durchtauschen können, siehe dazu den Schritt bei (∗): a wandert an die Stelle von b, b rückt auf die c -Position, und c – die Erde ist rund – kommt an der a -Position an und steht plötzlich außerhalb des Kreuzprodukts. Gewiss kann man auch gegen den Uhrzeigersinn tauschen (wie es beliebt): a · (b × c) = b · (c × a) = c · (a × b) = . . .
28
1 Vektorrechnung
Spezialfall des Spatprodukts Speziell gilt für das Spatprodukt a · (b × a) = a · (a × b) = b · (a × a) = b · 0 = 0 .
(1.48)
Dieses ist anschaulich klar, denn das Produkt b × a erzeugt einen Vektor, der sowohl senkrecht auf b als auch auf a steht. Wie wir aber vom Skalarprodukt wissen, gilt dann für das Produkt a · (b × a) = a · (Vektor ⊥ a) = 0. Beispiel 1.18 (Ein Spatprodukt) Welches Volumen spannen a = (1, 1, 1), b = (2, −1, 1) und c = (1, 0, −1) auf? Lösung: Wir berechnen das Volumen mit Gleichung (1.46): 2 1 1 1 1 = 1 · 3 = +5 . V = a · b × c = 1 · −1 × 0 1
1
−1
1
1
Es kann durchaus passieren, dass sich in der Berechnung ein Volumen mit negativem Vorzeichen ergibt. Durch Betragsbildung kann man aber diese Komplikation umgehen, wenn nur nach der Größe des Volumens gefragt ist. Die Interpretation eines negativen Wertes im Spatprodukt werden wir in Abschnitt 1.5.1 kennenlernen.
Doppeltes Kreuzprodukt Nicht selten tritt ein doppeltes Kreuzprodukt in der Form a × (b × c) oder, noch auf. Für diese Fälle hilft die – studentischerseits – schlimmer, (a × b) × (c × d) sogenannte bac-cab-Formel (Graßmann-Identität): a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b) .
(1.49)
Aus einem doppelten Kreuzprodukt ergibt sich somit recht fix eine Differenz zweier Vektoren (da die Klammerterme Zahlen liefern). Konstruiert man sich das Produkt aus drei beliebigen Vektoren a, b und c wie in Abb. 1.23, so sieht man, dass sich ein Vektor ergibt, der in der durch b und c aufgespannten Ebene liegt.
Abb. 1.23: a × (b × c) liefert einen Vektor, der in der von b und c aufgespannten Ebene liegt.
Dieses beschreibt (1.49) auf mathematischem Weg, wie wir in Abschnitt 1.4.2 bei der Ebenengleichung sehen werden. Der Beweis der bac-cab-Formel wird in Abschnitt 3.5.1 nachgereicht.
1.3 Vektorprodukt
29
Man beachte: Das doppelte Kreuzprodukt ist – im Gegensatz zum Spatprodukt – in seiner Reihenfolge nicht vertauschbar. Das Kreuzprodukt war es ja auch nicht, es drehte sich das Vorzeichen unter Vertauschung der zu kreuzenden Vektoren. Deswegen gilt im Allgemeinen a × (b × c) = (a × b) × c ,
a × (b × c) = c × (a × b) .
Beispiel 1.19 (bac-cab-Beispiel) Man berechne a × (b × c) mit den Vektoren a, b und c aus Beispiel 1.18. Lösung: Entweder per Hand: 1 2 a × (b × c) = 1 × −1 × 1
1
1 0 −1
=
1 1 1
×
1 3 1
=
−2 0 2
;
oder durch Einsetzen in (1.49):
2 1 1 1 1 2 0 1 · 1 · −1 a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b) = −1 − 0 −1 −1 1 1 1 1 2 1 1 −2 = −1 · 0 − 0 · 2 = −2 0 = 0 . 1
−1
−1
2
Am Beispiel mit gegebenen Vektoren rechnet es sich per Hand leichter als mit bac-cab. Doch im abstrakteren (nächsten) Beispiel bekommt bac-cab seine Daseinsberechtigung. Beispiel 1.20 (Vereinfachung von Doppelprodukten) Man vereinfache (a × b) · (c × d). Lösung: Wir betrachten zunächst genau die Struktur des zu vereinfachenden Ausdrucks. Ein Kreuzprodukt (Ergebnis ist ein Vektor) wird skalar mit einem zweiten Kreuzprodukt (auch als Ergebnis ein Vektor) multipliziert. Ein Vektor skalar mit einem Vektor multipliziert sollte eine Zahl liefern. Wir erwarten also eine Zahl. Wo hilft uns nun bac-cab? Zunächst fassen wir das Kreuzprodukt a × b als Kreuz = v · (c × d). Nun können wir per Durchtauschen vektor v auf, d. h. (a × b) · (c × d) des Spatprodukts (Gleichung (1.47)) den Vektor v in die Klammer ziehen: = c · (d × v ) = c · (d × (a × b)) . v · (c × d) Auf den Klammerterm können wir bac-cab anwenden: c · (d × (a × b)) = c · (a(d · b) − b(d · a)) = (c · a)(d · b) − (c · b)(d · a) . Nun drehen wir die Skalarprodukt als kosmetischen Eingriff noch um und erhalten das Ergebnis = (a · c)(b · d) − (a · d)( b · c) . (a × b) · (c × d)
30
1.3.5
1 Vektorrechnung
Lorentz-Kraft
In der zehnten Klasse haben wir – ohne es zu wissen – schon mit Kreuzprodukten gearbeitet. Aus einem Physiktest, den der Autor dieses Buches seinerzeit schreiben durfte: „Ein Teilchen mit positiver Ladung wird von links in ein Magnetfeld geschossen, das in das Buch hineinzeigt. Wohin wird das Teilchen abgelenkt?“ Die Lösung lieferte die Drei-Finger-Regel. Dazu gab es folgendes Vorgehen: 1. Für positiv geladene Teilchen verwende die rechte Hand, für negative Teilchen die linke Hand. 2. Richte den Daumen in Bewegungsrichtung des Teilchens aus. 3. Richte den Zeigefinger in Richtung des Magnetfeldes aus. 4. Der Mittelfinger gibt die gesuchte Ablenkung an. Im obigen Fall nehmen wir die rechte Hand (Teilchen ist positiv geladen). Dann zeigt der Daumen von links nach rechts und der Zeigefinger in das Buch. Der halb ausgestreckte Mittelfinger zeigt schließlich nach oben. Ergebnis: Das eingeschossene Teilchen wird sich nach oben wegbewegen (Abb. 1.24).
Abb. 1.24: Ablenkung eines bewegten, geladenen Teilchens in einem Magnetfeld. Sie ergibt sich mit Hilfe der Drei-Finger-Regel.
Nun wollen wir uns über die quantitative Beschreibung Gedanken machen und weisen den o. g. Begriffen physikalische Größen zu. Die Bewegungsrichtung des Teilchens wird durch die Geschwindigkeit v angegeben (Daumen). Das Magnet beschrieben (Zeigefinger) – ein Feld, das wir in feld wird durch einen Vektor B Kapitel 13 noch ausführlich besprechen werden. Senkrecht zum Feld und zur Geschwindigkeit wirkt die Ablenkung, beschrieben durch die Kraft F (Mittelfinger). Solch eine Konstellation dreier Vektoren ist uns allerdings auch schon beim Kreuzprodukt begegnet. Dort gab der Daumen den Vektor a, der Zeigefinger b und der Mittelfinger den Vektor a × b an. Wir können also für die Krafteinwirkung schreiben: . F ∼ v × B Nun muss noch zwischen rechter Hand und linker Hand unterschieden werden. Dies geschieht durch die Ladung q. Ist diese positiv, so kann die Drei-Finger-Regel mit der gewohnten rechten Hand durchgeführt werden. Ist q negativ, so wechselt man die Hand, was gleichbedeutend mit dem Vertauschen der Reihenfolge der zu kreuzenden Vektoren ist. Somit ist die Krafteinwirkung auf ein geladenes Teilchen im Magnetfeld – die sogenannte Lorentz-Kraft FL – gegeben durch . FL = qv × B
(1.50)
1.3 Vektorprodukt
31
Beispiel 1.21 (B-Feld-Bestimmung durch Lorentz-Kraft) Ein Teilchen mit Ladung q wird mit Geschwindigkeit v senkrecht in ein unbe =? geschossen und mit der Kraft FL abgelenkt. Dann ist B kanntes Magnetfeld B Lösung: q, v und FL sind gegeben. Prinzipiell läuft es also darauf hinaus, Glei aufzulösen. Hierzu müssen wir wieder tricksen, denn ein chung (1.50) nach B Kreuzprodukt kann nicht einfach umgeformt werden. Multipliziere (1.50) von links mit v ×, wobei der Skalar q aus dem Kreuzprodukt herausgezogen werden darf: . v × FL = qv × (v × B) Nun können wir bac-cab auf der rechten Seite anwenden: ) − B( v · v )) = −q Bv 2, v·B v × FL = q(v ( =0
= 0, da das Teilchen senkrecht zu B eingeschossen wird. Umformen wobei v · B liefert schließlich = v × FL = FL × v . B −qv 2 qv 2
Spickzettel zum Kreuzprodukt Definition des Kreuzprodukts Nur gültig in drei Dimensionen! c = a × b steht senkrecht auf a und auf b, |a × b| entspricht der Fläche des von a und b aufgespannten Parallelogramms, damit also |a × b| = ab sin(ϕ). Die Drei-Finger-Regel ergibt den Kreuzvektor. Folgerungen – Kreuzprodukt ist antikommutativ: a × b = −b × a. – a b ⇒ a × b = 0, speziell a × a = 0. – a ⊥ b ⇒ |a × b| = ab sin(90◦ ) = ab. Kreuzprodukt in Komponenten a1 a2 a3
×
b1 b2 b3
=
a2 b3 −b2 a3 a3 b1 −b3 a1 a1 b2 −b1 a2
.
Weitere Rechenregeln – Konstanten können aus dem Kreuzprodukt herausgezogen werden: (λa) × (μb) = λμ · (a × b). – Distributivgesetz: a × (b ± c) = a × b ± a × c. Spatprodukt – Spatprodukt entspricht Volumen (bis auf Vorzeichen), a·(b×c) = a ·|b×c| = V . – Das Spatprodukt ist zyklisch, d. h., es gilt a · (b × c) = c · (a × b) = b · (c × a). – Insbesondere ist a · (b × a) = a · (a × b) = b · (a × a) = b · 0 = 0. Doppeltes Kreuzprodukt – bac-cab: a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b). – Im Allgemeinen gilt aber a × (b × c) = (a × b) × c und a × (b × c) = c × (a × b).
32
1 Vektorrechnung ----------------P-H-Y-S-I-K----------------Lorentz-Kraft Ablenkung dann: Bewegte Ladungen q mit Geschwindigkeit v im Magnetfeld B, L = qv × B. F
1.4
Vektorgleichungen
In diesem Abschnitt werden wir Vektorgleichungen betrachten. Dies sind Gleichungen, die Objekte wie Geraden, Ebenen, Kreise und Kugeln vektoriell beschreiben.
1.4.1
Gerade
Eine Gerade ist bei gewähltem Ursprung durch zwei Punkte a und b (wobei natürlich a = b ist!) eindeutig festgelegt. Für die Menge aller Punkte x auf der Geraden g gilt dann die vektorielle Geradengleichung: g : x = a + λ(b − a) =: a + λu .
(1.51)
Mit dem Verankerungsvektor a (auch: Stützvektor) springen wir auf die Gerade, der Vektor u = b − a gibt uns die Richtung der Geraden an. Mit wählbarem reellen Parameterλ können wir dann auf der Geraden herumspazieren und jeden beliebigen Punkt auf ihr erreichen, in die eine wie in die andere Richtung (für λ > 0 bzw. λ < 0). Für a = 0 spricht man von einer Ursprungsgeraden. Gleichung (1.51) hat noch eine andere Lesart. Eine Gerade ist danach auch durch Angabe eines Verankerungsvektors a und eines Richtungsvektors u eindeutig festgelegt. Das linke Bild in Abb. 1.25 verdeutlicht dies.
Abb. 1.25: Zum Aufstellen der Geraden- und Ebenengleichung.
1.4 Vektorgleichungen
33
Beispiel 1.22 (Aufstellen einer Geradengleichung) Man bestimme eine Geradengleichung durch die Punkte (2, 1, −1) und (3, 1, 2). Lösung: Setze in die Geradengleichung (1.51) ein. Wähle dazu einen Punkt als den Verankerungsvektor (hier a): 2 2 2 3 1 g : x = 1 + λ 1 − 1 = 1 +λ 0 . −1
2
−1
−1
3
Man hätte auch Vektor b als Verankerungsvektor nehmen können, was auf eine Darstellung mit einem anderen Parameter λ geführt hätte. Dennoch beschreiben beide Darstellungen die gleiche Gerade. Beispiel 1.23 (Lineare Bewegung eines Schlittens) Ein Schlitten bewege sich auf einer Eisschicht mit Geschwindigkeit v = (0, v, 0). Startpunkt sei x0 = (x0 , y0 , z0 ). Auf welcher Geraden bewegt sich der Schlitten? Lösung: Die Geschwindigkeit v gibt die Richtung der Geraden an, der Verankerungsvektor ist der Startpunkt x0 . Wir stellen auf: x = x0 + λv = (x0 , y0 , z0 ) + (0, λv, 0) = (x0 , y0 + vλ, z0 ) . Je länger sich der Schlitten mit konstanter Geschwindigkeit v bewegt, desto größer ist die zurückgelegte Strecke in y-Richtung. Der Parameter λ kann somit als Zeit interpretiert werden. Wir schreiben t statt λ und erhalten x(t) = (x0 , y0 + vt, z0 ) . Diese Darstellung nennt sich Bahnkurve und wird in Kapitel 6 ausführlich behandelt.
1.4.2
Ebenengleichung
Parameterform Analoge Überlegungen zur Geraden führen auf die Ebenengleichung. Betrachte dazu Abb. 1.25 rechts. Damit eine Ebene festgelegt ist, benötigen wir neben der Ursprungswahl drei Vektoren: einmal den Verankerungsvektor a, mit dem man auf die Ebene springt; dann einen Richtungsvektor u, mit dem wir von links nach rechts laufen können. Schließlich brauchen wir für die dritte Dimension einen weiteren Richtungsvektor v (welcher nicht parallel oder antiparallel zu u sein darf!), um nach vorn und hinten laufen zu können. Jetzt ist es möglich, jeden Punkt auf der Ebene E zu erreichen: E : x = a + λu + μv .
34
1 Vektorrechnung
Eine Ebene kann aber auch aufspannt werden, indem drei Punkte der Ebene gegeben sind, die nicht auf einer Linie liegen. Legt man z. B. eine Holzplatte auf einen Finger, so wird – wenn man durch Zufall nicht gerade das Brett am Schwerpunkt stützt, selbiges kippen. Nimmt man einen zweiten Finger zum Stützen, so kann das Brett nur noch entlang der Achse über beide Finger kippen. Ein dritter Finger macht das System gegen Kippen dann stabil. Somit kann man eine Ebene durch drei Punkte a, b und c festlegen: E : x = a + λ(b − a) + μ(c − a) , da die Differenzen geradewegs die Richtungsvektoren liefern. Ergebnis: E : x = a + λ(b − a) + μ(c − a) =: a + λv + μw .
(1.52)
Das ist die vektorielle Ebenengleichung. Beispiel 1.24 (Aufstellen der Ebenengleichung) Man bestimme die Ebenengleichung durch (1, 1, 2), (1, 1, 0) und (−1, 0, −2). Lösung: Setze in die Parameterform (1.52) ein: −1 1 1 1 1 1 0 E : x = 1 + λ 1 − 1 +μ − 1 = 1 +λ 2
0
2
−2
2
2
0 0 −2
+μ
−2 −1 −4
.
(Hesse’sche) Normalenform Eine andere Überlegung führt auf eine alternative Beschreibung. Gleichung (1.52) beschreibt eine Ebene mit Hilfe von drei Punkten. Das muss nicht unbedingt sein! Eine Ebene – sie liege momentan im Ursprung – kann mit Hilfe eines auf ihr senkrecht stehenden Vektors n, dem sogenannten Normalenvektor einer Ebene, beschrieben werden. Wenn n senkrecht auf der Ebene steht, bedeutet das, dass alle Vektoren x, die in der Ebene liegen, senkrecht zum Normalenvektor stehen, also dessen Skalarprodukte verschwinden: n · x = n1 x + n2 y + n3 z = 0 . Im allgemeinen Fall (Abb. 1.26) liegt die Ebene im Raum. Die Ebenenpunkte werden ausgehend vom Ursprung durch x beschrieben, der Normalenvektor n steht weiterhin senkrecht auf der Ebene E. Der Abstand d ist die kürzeste Strecke vom Ursprung zur Ebene und liegt natürlich parallel zu n. Die Projektion von x auf n liefert n · x = nx = n · d .
1.4 Vektorgleichungen
35
Abb. 1.26: Links: Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene E. Rechts: Der Abstand dp eines Punktes p zur Ebene E lässt sich durch eine parallel zu E liegende und durch p gehende Ebene Ep konstruieren.
Hieraus erhalten wir per Division durch n die (normierte) Ebenengleichung und die sogenannte Hesse’sche Normalenform n n
· x − d = en · x − d = 0 .
(1.53)
Dabei ist en := nn der normierte Normalenvektor der Ebene und d der Abstand zum Ursprung. Den Abstand von einem beliebigen Punkt p zur Ebene erhält man durch dp = en · p − d, wobei en · p der Abstand der Ebene Ep vom Ursprung ist. Das rechte Bild in Abb. 1.26 verdeutlicht dies.
1.4.3
Kreis- und Kugelgleichung
Der Kreis Alle Punkte auf einem Kreis mit dem Ursprung als Mittelpunkt und Radius R lassen sich mit Hilfe des Satzes von Pythagoras beschreiben (Abb. 1.27): x2 + y 2 = R 2 . Das bedeutet, dass die Punkte (x, y) auf dem Kreis stets den konstanten Abstand R vom Mittelpunkt besitzen.
Abb. 1.27: Zur Kreisgleichung. Links: Alle Punkte auf einem Kreis haben konstanten Abstand (R) zum Mittelpunkt. Rechts: verschobener Kreis.
36
1 Vektorrechnung
Schreibe nun obige Gleichung als Skalarprodukt: x x · = R2 bzw. x2 = R2 y
bzw.
y
|x| = R ,
wobei x = (x, y). Im allgemeinen Fall (Mittelpunkt x0 = (x0 , y0 ) = 0) erhalten wir die Kreisgleichung 2
2
(x − x0 ) + (y − y0 ) = R2 bzw. vektoriell x − x0 x − x0 · = R2 y − y0 y − y0
2
(x − x0 ) = R2
bzw.
(1.54)
bzw.
|x − x0 | = R . (1.55)
Die Kugel Analog lassen sich die obigen Überlegungen auf die Kugel übertragen. Für diese gilt: x2 + y 2 + z 2 = R 2 bzw. im allgemeinen Fall die Kugelgleichung 2
2
2
(x − x0 ) + (y − y0 ) + (z − z0 ) = R2
(1.56)
und vektoriell mit x = (x, y, z) sowie x0 = (x0 , y0 , z0 ):
⎛
x − x0
⎞2
⎜ ⎟ ⎜ y − y0 ⎟ = R 2 ⎝ ⎠ z − z0
bzw.
2
(x − x0 ) = R2
bzw. |x − x0 | = R .
(1.57)
Der geneigte Betrachter mag sich nun fragen, was denn der Unterschied zwischen Kreis- und Kugelgleichung in vektorieller Form sei. Antwort: Beim Kreis handelt es sich bei x und x0 um einen zweidimensionalen Vektor, bei der Kugel haben beide Vektoren jedoch die Dimension drei. Beispiel 1.25 (Aufstellen der Kreis- und Kugelgleichung) Man bestimme die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt (1, −2) und Radius 3 sowie die Gleichung einer Kugel mit Mittelpunkt (−1, 2, −1) und Radius 1. Lösung: Wir setzen in obige Formeln ein. Zunächst gilt für den Kreis 2
2
2
2
(x − 1) + (y − (−2)) = 32 ⇐⇒ (x − 1) + (y + 2) = 9 oder
1 2 1
= 3. x − −2 = 9 oder x − −2
1.5 Koordinatensysteme
37
Ebenso folgt die Kugel: (x + 1)2 + (y − 2)2 + (y + 1)2 = 1 oder −1 2 x − +2 = 1 oder −1
−1
x − 2 = 1 . −1
Spickzettel zu Vektorgleichungen Gerade x = a + λ(b − a) = a + λ u ( u = 0 Richtungsvektor, λ ∈ R Parameter). Ebene – Parameterform: x = a +λ(b−a)+μ(c −a) = a+λv +μw (λ, μ ∈ R Parameter), wobei v und w nicht parallel bzw. nicht antiparallel sein dürfen. – Normalenform: n · x − d = 0, n ist der Normalenvektor senkrecht auf der Ebene. Wenn n normiert ist, gibt d den Abstand zum Ursprung an (Hesse’sche Normalenform, kurz HNF): en · x − d = 0. Für d = 0 geht die Ebene durch den Ursprung. Kreis- und Kugel Mittelpunkt x0 , Radius R: – Vektoriell: ( x− x0 )2 = R2 bzw. | x− x0 | = R. – Nicht vektoriell. Kreis:(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = R2 . Kugel: (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = R2 .
1.5
Koordinatensysteme
1.5.1
Orientierung
Man fragt sich des Öfteren: In was für einer Welt leben wir? Bevor wir uns in philosophischen Antworten ergießen: Wir leben in den drei Raumdimensionen x, y und z – bei einem Quader z. B. Breite, Höhe, Tiefe. Das Koordinatensystem aus Abb. 1.1 entspricht dieser Anschauung. Die Koordinatenachsen stehen, wie Gleichung (1.26) zeigt, senkrecht aufeinander. Nimmt man die rechte Hand und lässt den Daumen in Richtung der ersten Koordinatenachse (x) und den Zeigefinger in Richtung der zweiten Achse (y) zeigen, so kann man sehr gut mit dem Mittelfinger in Richtung der dritten Achse zeigen, ohne sich den Finger zu verrenken (Prinzip wie beim Kreuzprodukt). Ein solches System von Achsen nennt man Rechtssystem und sagt, dass die Vektoren e1 , e2 und e3 (welche die Achsen charakterisieren) positive Orientierung besitzen. Würde nun die y-Achse nach vorn zeigen, so hätte man mit der rechten Hand Probleme, die Finger entlang der Achsen auszurichten; mit der linken Hand aber nicht! Man nennt solch ein Koor-
38
1 Vektorrechnung
dinatensystem Linkssystem bzw. sagt, die Vektoren entlang der Achsen hätten negative Orientierung. Abb. 1.28 verbildlicht dies.
Abb. 1.28: Unterscheidung zwischen Rechtsund Linkssystem.
Mathematisch definieren sich im dreidimensionalen Raum positive wie negative Orientierung bzw. Rechts- und Linkssystem wie folgt: f1 · (f2 × f3 ) = +1 (Rechtssystem) , f1 · (f2 × f3 ) = −1 (Linkssystem) ,
(1.58)
wobei fi beliebige Basisvektoren sind. Zur Erklärung: Das Kreuzprodukt liefert einen Vektor, der sowohl senkrecht auf dem zweiten als auch dritten Basisvektor steht und zusätzlich Länge eins besitzt. Dieses ist im bisher gebräuchlichen Koordinatensystem durch die erste Achse (der erste Einheitsvektor) sowieso gegeben. Zeigt der Kreuzvektor in die gleiche Richtung wie der erste Basisvektor, so liefert das Skalarprodukt des Kreuzvektors mit f1 eins, andernfalls (entgegengesetzt zum ersten zeigend) −1.
1.5.2
Orthonormalbasis
Die für uns wichtigen Koordinatensysteme im dreidimensionalen Raum bilden ein Dreibein, d. h., die Achsen stehen paarweise senkrecht aufeinander. Man beschreibt Koordinatensysteme durch die Einheitsvektoren entlang der Achsen. Hat man drei Vektoren vorliegen, die jeweils Länge eins haben und paarweise senkrecht stehen, so sagt man, dass sie eine Orthonormalbasis (ONB) bilden. Mathematisch bedeutet dies: Die Vektoren fi , i = 1, . . . , n bilden eine ONB, wenn 1 für i = j fi · fj = , (1.59) 0 für i = j d. h., sie sind normiert (Vektor mit sich selbst multipliziert ergibt eins) und stehen paarweise senkrecht (alle weiteren Skalarprodukte verschwinden). Für dreidimensionale Koordinatensysteme fordert man überdies, dass die Achsen ein Rechtssystem bilden mögen: f1 · (f2 × f3 ) = +1 .
(Rechtssystem)
(1.60)
Soll also untersucht werden, ob gegebene Vektoren eine ONB bilden, so müssen lediglich diese beiden Definitionen befragt werden.
1.5 Koordinatensysteme
39
Beispiel 1.26 (Eine einfache ONB) Bilden die Vektoren a = √12 (1, 1) und b =
√1 (1, −1) 2
eine ONB?
Lösung: Abklappern der Definition (1.59): a · b
=
a · a
=
b · b
=
√1 2 √1 2 √1 2
( 11 ) · ( 11 ) · 1 −1
√1 2 √1 2
1 −1
= 12 (12 + 1 · (−1)) = 0 ,
( 11 ) = 12 (12 + 12 ) = 1 , 1 1 2 · √12 −1 = 2 (1 + (−1)2 ) = 1 .
Somit ist Bedingung (1.59) erfüllt: a und b bilden eine ONB. Nun haben wir alle Vorkenntnisse, um Koordinatensysteme zu definieren.
1.5.3
Koordinatensysteme
Jede Orthonormalbasis kann zur Beschreibung der Achsen eines Koordinatensystems verwendet werden. Für dreidimensionale Koordinatensysteme fordert man zusätzlich, dass die Basisvektoren ein Rechtssystem aufspannen. Wir führen im Folgenden die gebräuchlichsten Koordinatensysteme ein, die immer wiederkehren werden.
Kartesische Koordinaten Kartesische Koordinaten sind die uns geläufigsten. Ein Ortsvektor r wird durch die bekannten Koordinaten x, y und z beschrieben, er besitzt einen Abstand x2 + y 2 + z 2 zum Ursprung. Das kartesische Koordinatensystem wird durch die Basisvektoren e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) und e3 = (0, 0, 1) erzeugt. So weit, so gut. Aber leider gibt es in der Physik viele Probleme, die durch Beschreibung mit kartesischen Koordinaten sehr kompliziert werden (z. B. Bewegungen auf einer Kugel). Dann ist es zweckmäßig, aus unserer vertrauten Welt heraus in ein neues Koordinatensystem zu wechseln.
Polarkoordinaten (2-D) Polarkoordinaten benutzt man, um in der Ebene kreisförmige Probleme zu beschreiben. In kartesischen Koordinaten wird ein Kreis um den Ursprung durch x2 + y 2 = R2 beschrieben. Hiermit lässt sich allerdings schlecht rechnen, denn wenn man z. B. die Funktion y des Kreises haben möchte, muss jene Gleichung nach y aufgelöst werden, was unangenehm wird: x2 + y 2 = R2 ⇔ y(x) = ± R2 − x2 .
40
1 Vektorrechnung
Damit rechnet es offensichtlich nicht mehr gut. Aufgrund dessen überlegt man sich: Wie kann der Kreis noch beschrieben werden? Die Antwort liefert Abb. 1.29.
Abb. 1.29: Die Polarkoordinaten r und ϕ (2-D). r ist der Abstand vom Ursprung, ϕ der Winkel ab x-Achse gegen den Uhrzeigersinn gezählt.
Nach der Sinus- und Kosinusdefinition gilt im linken Bild x cos(ϕ) = ⇐⇒ x = r · cos(ϕ) , r y sin(ϕ) = ⇐⇒ y = r · sin(ϕ) . r Um also einen Punkt auf dem Kreis zu beschreiben, benötigt man entweder die x- und y-Komponente oder aber den Radius r des Kreises sowie den Drehwinkel ϕ, gemessen ab x-Achse und gegen den Uhrzeigersinn. Letzteres ist oftmals sehr viel einfacher zu bewerkstelligen. Damit wir jeden Punkt (x, y) in der Ebene erwischen, muss der Radius von null bis unendlich laufen, während wir mit dem Winkel ϕ von 0 bis 2π alle Richtungen durchscannen (wie bei einem überdimensionalen Feldsprenger, der die gesamte x-y-Ebene nass machen möchte). Wir erhalten die Polarkoordinaten: x r cos(ϕ) = . (1.61) rPol = y r sin(ϕ) Sind demnach der Abstand vom Ursprung r sowie der Winkel ϕ gegeben, so kann man den Vektor im Kartesischen anhand dieser Transformation angeben. Doch wir benötigen auch ein Verfahren für die andere Richtung, d. h. x, y gegeben, bestimme r und ϕ. Dabei hilft uns Quadrieren der Gleichung (1.61): x2 + y 2 = r2 cos2 (ϕ) + r2 sin2 (ϕ) = r2 (cos2 (ϕ) + sin2 (ϕ)) = r 2 .
=1
Durch Wurzelziehen erhalten wir die Bestimmungsgleichung für r. Jene für ϕ findet man durch Division beider Komponenten von (1.61): y r sin(ϕ) = = tan(ϕ) . x r cos(ϕ)
1.5 Koordinatensysteme
41
Ergebnis:
x2 + y 2 ,
y . (1.62) x Die neuen Koordinaten haben wir nun eingeführt, doch in welche Richtung er und eϕ zeigen die Achsen? Sie zeigen in Richtung der Koordinaten, d. h. der er Vektor ist gegeben durch er = (cos(ϕ), sin(ϕ)) und zeigt radial nach außen. Er hat aufgrund des trigonometrischen Pythagoras (1.22) die Länge eins. Der eϕ -Vektor zeigt in Drehrichtung des Winkels ϕ und steht senkrecht auf er . Aus Abschnitt 1.2 wissen wir: Vertausche in 2-D die Komponenten und spendiere ein Minus, schon hat man einen senkrechten Vektor zu er . Somit haben wir die neuen Achsen gefunden: cos(ϕ) − sin(ϕ) , eϕ = . (1.63) er = sin(ϕ) cos(ϕ) Umkehrung: r =
tan(ϕ) =
Zylinderkoordinaten (3-D) Mit Hilfe von Zylinderkoordinaten lassen sich Strömungen in einem Rohr oder Felder um einen stromdurchflossenen Draht betrachten. Wir überlegen uns anhand eines stehenden Zylinders (Radius ρ) die Koordinaten (Abb. 1.30). Dabei sehen wir, dass die x-y-Ebene wieder durch Polarkoordinaten beschrieben werden kann. Als dritte Koordinate können wir einfach z aus der kartesischen Beschreibung übernehmen!
Abb. 1.30: Die Zylinderkoordinaten ρ, ϕ und z (3-D). ρ ist der Abstand vom Ursprung, ϕ der Winkel ab x-Achse gegen den Uhrzeigersinn gezählt und z die aus dem Kartesischen bekannte Koordinate.
Somit erhalten wir die Zylinderkoordinaten ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x ρ cos(ϕ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ rZyl = ⎜ ⎝ y ⎠ = ⎝ ρ sin(ϕ) ⎠ z z y Umkehrung: ρ = x2 + y 2 , tan(ϕ) = , z = z x mit den Einheitsvektoren (Achsen) ⎛ ⎞ ⎛ cos(ϕ) − sin(ϕ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ eρ = ⎝ sin(ϕ) ⎠ , eϕ = ⎝ cos(ϕ) 0 0
⎞ ⎟ ⎟, ⎠
⎛
(1.64)
(1.65)
⎞ 0
⎜ ⎟ ⎟ ez = ⎜ ⎝ 0 ⎠. 1
(1.66)
42
1 Vektorrechnung
Die Ermittlung der Achsen läuft analog zu denen der Polarkoordinaten. Die dritte Achse wird einfach aus dem Kartesischen übernommen. Beispiel 1.27 (Zylinderkoordinaten bilden eine ONB) Man zeige: Die Vektoren eρ , eϕ und ez der Zylinderkoordinaten bilden eine ONB. Bilden sie auch ein Rechtssystem? Lösung: Wir müssen die ONB-Definition überprüfen: eρ · eρ
=
cos2 (ϕ) + sin2 (ϕ) + 02 = 1 ,
eϕ · eϕ
=
sin2 (ϕ) + cos2 (ϕ) + 02 = 1 ,
ez · ez
=
02 + 02 + 12 = 1 .
Normiert sind sie damit. Stehen sie paarweise senkrecht? eρ · eϕ
=
− cos(ϕ) sin(ϕ) + sin(ϕ) cos(ϕ) + 0 · 1 = 0 ,
eρ · ez
=
cos(ϕ) · 0 + sin(ϕ) · 0 + 0 · 1 = 0 ,
eϕ · ez
=
− sin(ϕ) · 0 + cos(ϕ) · 0 + 0 · 1 = 0 .
Ja, auch das ist erfüllt. Bilden sie schließlich ein Rechtssystem? cos(ϕ) − sin(ϕ) cos(ϕ) cos(ϕ) 0 eρ · (eϕ × ez ) = · × 0 = sin(ϕ) · + sin(ϕ) sin(ϕ) cos(ϕ) 0
=
2
0
1
0
0
2
cos (ϕ) + sin (ϕ) = +1 .
Damit bilden sie ein Rechtssystem!
Kugelkoordinaten (3-D) Kugelkoordinaten treten immer dann auf den Plan, wenn das zu betrachtende Problem rotationssymmetrisch ist, also die Physik nur vom Abstand zum Ursprung abhängt. Die Kugelkoordinaten sind gegeben durch ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x r sin(θ) cos(ϕ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ rKugel = ⎜ (1.67) ⎝ y ⎠ = ⎝ r sin(θ) sin(ϕ) ⎠ z r cos(θ) mit Achsen ⎛ sin(θ) cos(ϕ) ⎜ er = ⎜ ⎝ sin(θ) sin(ϕ) cos(θ)
⎞ ⎟ ⎟, ⎠
⎛
⎞ cos(θ) cos(ϕ)
⎜ ⎟ ⎟ eθ = ⎜ ⎝ cos(θ) sin(ϕ) ⎠ , − sin(θ)
⎛
− sin(ϕ)
⎞
⎜ ⎟ ⎟ eϕ = ⎜ ⎝ cos(ϕ) ⎠ . 0 (1.68)
1.5 Koordinatensysteme
43
Abb. 1.31: Die Kugelkoordinaten r, θ und ϕ in 3-D. r ist der Abstand zum Ursprung, θ der Winkel ab z-Achse abwärts gemessen und ϕ der Winkel in der z = 0Ebene ab der x-Achse gemessen.
Dabei bezeichnet, wie Abb. 1.31 zeigt, ϕ den Winkel in der x-y-Ebene (Azimutwinkel) und θ den „Herunterklapp“-Winkel von der z-Achse aus gemessen (Polarwinkel). Wir fassen die Umkehrtransformation für Kugelkoordinaten zusammen: x2 + y 2 y 2 2 2 , tan(ϕ) = . r = x +y +z , tan(θ) = z x
(1.69)
Um zu verstehen, warum die Kugelkoordinaten wunderbar zur Beschreibung rotationssymmetrischer Probleme geeignet sind, schauen wir uns das folgende Beispiel an. Beispiel 1.28 (|r| = r bei Kugelkoordinaten) Berechnen Sie |r| der Kugelkoordinaten. Lösung: Bevor es losgeht, definieren wir zur Abkürzung s := sin(θ), c := cos(θ) und S := sin(ϕ), C := cos(ϕ). Dann ist
sin(θ) cos(ϕ)
Sc
|rKugel | =
r sin(θ) sin(ϕ)
= r Ss = r S 2 c2 + S 2 s2 + C 2 C cos(θ) 2 2 2 2 = r S (c + s ) + C = r S 2 + C 2 = r .
Das ist ein wichtiges Ergebnis! Merke: |rKugel | = r .
(1.70)
Zwei Bemerkungen zum Schluss: Zunächst muss bei den Umkehrtransformationen aufgepasst werden. Einerseits sind sie nicht für alle Punkte definiert (x = 0 bereitet z. B. Probleme). Andererseits ist der Arcus-Tangens nur abschnittsweise definiert und man muss bei ϕ- bzw. θ-Bestimmung immer darauf achten, in
44
1 Vektorrechnung
welchem Quadranten sich der zu bestimmende Punkt befindet. Weiterhin ist die Notation der Koordinatentransformationen bis dato etwas schludrig. Wir werden später bei der Betrachtung krummliniger Koordinaten in Kapitel 9 eine bessere Notation verwenden und dort auch z. B. die Basisvektoren für die Kugelkoordinaten rechnerisch bestimmen.
Spickzettel ONB und Koordinatensysteme Rechts-/Linkssystem Rechtssystem: f1 · (f2 × f3 ) = +1 bzw. Linkssystem f1 · (f2 × f3 ) = −1. Orthonormalbasis und Koordinatensysteme 1 für i = j . – ONB: fi · fj = 0 für i = j – Jede ONB kann als Koordinatensystem interpretiert werden. In 3-D fordert man zusätzlich Rechtssystem. Wichtige Koordinatensysteme Die wesentlichen Koordinatensysteme im Vergleich: – Kartesisch (2-D und 3-D): r = (x, y, z). – Polarkoordinaten (2-D): r = r(cos(ϕ), sin(ϕ)), Rücktransformation gegeben durch: r = x2 + y 2 und tan(ϕ) = xy . – Zylinderkoordinaten (3-D): r = (ρ cos(ϕ), ρ sin(ϕ), z), Rücktransformation gegeben durch: ρ = x2 + y 2 , tan(ϕ) = xy und z = z. – Kugelkoordinaten (3-D): r = r(sin(θ) cos(ϕ), sin(θ) sin(ϕ), cos(θ)). √ Rücktransformation: r = insbesondere gilt |r| = r.
x2 + y 2 + z 2 , tan(θ) =
x2 +y 2 z
und tan(ϕ) =
y x,
Man beachte die abschnittsweise Definition bei Umkehrung des Arcus-Tangens!
2 Lineare Algebra
Übersicht 2.1
Matrizenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.2
Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
2.3
Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
2.4
Diagonalisierung und Hauptachsentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
2.1
Matrizenrechnung
2.1.1
Matrixbegriff
Was ist eine Matrix? Nein, kein System, das Menschen ausnimmt und als Batterien benutzt – zumindest nicht im mathematischen Sinn. Es handelt sich vielmehr um eine bestimmte Anordnung von Zahlen in einem Tabellenschema. Wir stellen uns eine Matrix zunächst als beliebig große Tabelle – so wie bei Excel – vor. Diese Tabelle unterteilt sich in Zeilen (vertikal gezählt, bei Excel durch Zahlen nummeriert) und Spalten (horizontal gezählt, bei Excel nach Großbuchstaben benannt). In diesen Zeilen und Spalten stehen die Einträge der Matrix. Beispiele sind ⎛ ⎞ 1 0 0 2 1 1 6 −1 π , B= , C = ⎝ 0 1 0 ⎠. A= 1
3
2
3
7
e
0
0
1
Wir sehen sofort: Die Vielfalt ist groß. Matrizen gibt es in jeder Größe und Gestalt. Matrix B hat zwei Zeilen und vier Spalten und wird aus diesem Grund 2×4-Matrix genannt. Eine Matrix mit n Zeilen und m Spalten heißt dementsprechend n × mMatrix. Matrix A und C werden quadratisch genannt, da sie die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten besitzen (nämlich 2×2- bzw. 3×3-Matrix). Für quadratische Matrizen kann man den Begriff der Hauptdiagonalen definieren. In obigen Beispielen besteht bei Matrix A die Hauptdiagonale aus den Einträgen 2 und 3 bzw. bei C aus den Einsen (in der Matrix von links oben nach rechts unten gelesen).
46
2 Lineare Algebra
Die mathematische Beschreibung einer Matrix ist Folgende – hier für Matrizen mit zwei Zeilen und zwei Spalten, d. h. für 2 × 2-Matrizen (lies „2 kreuz 2“): A11 A12 , i, j = 1, 2 . (2.1) A := (Aij ) := A21 A22 Der Index i bezeichnet dabei die Zeile, j die Spalte („Zeilen zuerst, Spalten später“). So ist z. B. im obigen Beispiel B21 = 2 (Eintrag in der zweiten Zeile und ersten Spalte) und C33 = 1 (dritte Zeile, dritte Spalte). A und (Aij ) sind äquivalente Schreibweisen, jedoch Achtung: Aij (ohne Klammern) ist nur ein Eintrag in der i-ten Zeile und j-ten Spalte, aber keine ganze Matrix! Zur Verdeutlichung, dass es sich bei A12 nicht um „A zwölf“ handelt, kann man anfangs auch ein Komma dazwischensetzen: A1,2 – wenn es denn hilft. Als Nächstes schauen wir uns an, wie man mit Matrizen rechnet.
2.1.2
Grundlegende Rechengesetze
Die im Folgenden aufgeführten Rechengesetze gelten ganz allgemein für beliebige Matrizen. Sie sind exemplarisch für 2×2-Matrizen aufgeführt und ähneln in ihrer Struktur den Gesetzen der Vektorrechnung aus Abschnitt 1.1. Die Verallgemeinerung auf n × n-Matrizen ist selbsterklärend.
Addition und Subtraktion Die Addition/Subtraktion erfolgt elementweise. Dabei dürfen – wie auch bei Vektoren – nur Matrizen exakt gleicher Größe addiert bzw. subtrahiert werden: a b e f a±e b±f ± := . (2.2) c d g h c±g d±h Es entsteht also bei Addition/Subtraktion zweier gleichgroßer Matrizen wieder eine ebenso große Matrix, nicht etwa ein Vektor oder eine Zahl. Die Reihenfolge der Addition ist beliebig vertauschbar, d. h. A + B = B + A.
(2.3)
Skalare Multiplikation Die Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl λ ∈ R erfolgt ebenfalls elementweise: a b λa λb λ := . (2.4) c d λc λd
2.1 Matrizenrechnung
47
Beispiel 2.1 (Ein einfaches Beispiel) 1 Man berechne für die Matrizen A := −1 2A − 3B.
1 0
und B :=
2
1 1 −1
den Ausdruck
Lösung: Wir verwenden die Gleichungen (2.2) und (2.4): 2A − 3B
= =
2
2 −2
−3 6 2 0 − 3
1 1 −1 0
2
(2.4) 2·1 2·1 3·2 3·1 = 2·(−1) 2·0 − 3·1 3·(−1) (2.2) 2−6 2−3 −1 3 = = −4 . −3 −2−3 0−(−3) −5 3 1 1 −1
Transponieren Transponieren einer Matrix bedeutet: Vertausche sämtliche Zeilen mit den entsprechenden Spalten, also Zeile 1 mit Spalte 1, Zeile 2 mit Spalte 2 usw. Für quadratische Matrizen sieht dieses so aus:
a
b
c
d
T
:=
a
c
b
d
⎛
a
,
⎜ ⎜ d ⎝ g
b e h
c
⎞T
⎛
⎞ a
⎟ ⎜ ⎜ f ⎟ ⎠ := ⎝ b i c
d e f
g
⎟ h ⎟ ⎠, i
(2.5)
wobei T keine Potenz, sondern die Aufforderung zum Transponieren bezeichnet. Bei quadratischen Matrizen hilft die Vorstellung, an der Hauptdiagonalen (Diagonale von links oben nach recht unten, hier a, d bzw. a, e, i) zu spiegeln. Für nicht quadratische Matrizen funktioniert die Vorstellung durch Verlängern der Spiegeldiagonalen: ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎞ T T a d a d ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ a b c (a, b, c) ⎜ b ⎟ ⎜ e ⎟ ⎟ = ⎜ b e ⎟. = := ⎜ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ d e f (d, e, f ) c f c f (2.6) Man kann sich (wie hier geschehen) die Zeilen einer Matrix als Vektoren vorstellen (die inneren Klammern helfen hier beim Verständnis, werden aber in der Regel nicht explizit hingeschrieben). Mit Hilfe dieser Vorstellung lässt sich das Transponieren als ein Tauschen von Spalten- und Zeilenvektoren der Matrix interpretieren. In diesem Zusammenhang macht auch das Transponieren von Vektoren – interpretiert als 1 × 3-Matrizen – Sinn: ⎛ ⎞ a ⎜ ⎟ T ⎟ (2.7) (a, b, c) = ⎜ ⎝ b ⎠. c Transponieren eines Zeilenvektors erzeugt einen Spaltenvektor und umgekehrt.
48
2 Lineare Algebra
Ab jetzt müssen wir zwischen Zeilen- und Spaltenvektoren unterscheiden. Unser Skalarprodukt (1.30) bekommt dann auch eine andere Form und darf genau genommen nur so berechnet werden: ⎛ ⎞ b1 ⎜ ⎟ ⎟ aT · b = (a1 , a2 , a3 ) · ⎜ (2.8) ⎝ b2 ⎠ := a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 . b3 In dieser Schreibweise bezeichnet der Punkt die Matrixmultiplikation einer 1 × 3Matrix mit einer 3 × 1-Matrix (s. u.). Man könnte den Punkt in diesem Fall auch weglassen, in der Schreibweise a · b allerdings nicht, weil er betont, dass es sich um das Skalarprodukt handelt. Mr. T macht letztendlich den Unterschied. Dieses wird uns die Multiplikation zweier Matrizen vereinfachen.
Multiplikation quadratischer Matrizen Im Allgemeinen wird eine Matrix mit dem rechts daneben stehenden Objekt verarbeitet. Es gilt: a b e (a, b) · fe ae + bf · := = , (2.9) (c, d) · fe c d f ce + df Matrix · Vektor = Vektor . Hier zeigt sich nun der neue Gebrauch des Skalarprodukts: Eine Matrix wird mit einem Spaltenvektor multipliziert, indem man die Skalarprodukte der Zeilenvektoren der Matrix mit dem Spaltenvektor bildet und diese komponentenweise in einen Vektor schreibt. Matrix mal Vektor ergibt somit einen Vektor! Analog läuft der Hase auch bei der Matrix-Matrix-Multplikation: a b e f (a, b) · ge (a, b) · fh ae + bg af + bh · := , = (c, d) · ge (c, d) · fh c d g h ce + dg cf + dh (2.10) Matrix · Matrix = Matrix . Der Unterschied zur Matrix-Vektor-Multiplikation besteht darin, dass die erste Zeile der ersten Matrix zusätzlich mit der zweiten Spalte der zweiten Matrix multipliziert wird usw.
2.1 Matrizenrechnung
49
Beispiel 2.2 (Multiplikation quadratischer Matrizen) A, B wie oben. Was sind A · B und B · A? Lösung:
A·B =
1
1
2
1
(1, 1) ·
2
(1, 1) ·
1
3
−11 −1
0
· = = , (−1, 0) · (−1, 0) · −1 0 1 −1 −2 −1 1 2 1 1 1 (2, 1) · −1 (2, 1) · 10 1 2 · = . B·A= 1 = 1 −1 −1 0 2 1 (1, −1) · −1 (1, −1) · 10
12 1
Hmpf, haben wir uns wohl verrechnet – noch mal im Kopf – den Fehler gefunden? Tja, da gibt es auch keinen Fehler; denn im Gegensatz zu Vektoren ist die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ, d. h., im Allgemeinen gilt A · B = B · A . Somit muss bei Matrizenmultiplikation genauestens auf die Reihenfolge geachtet werden. Das Distributivgesetz gilt jedoch: A · (B ± C) = A · B ± A · C ,
(B ± C) · A = B · A ± C · A .
(2.11)
Multiplikation nicht quadratischer Matrizen Was wird nun anders, wenn nicht quadratische Matrizen mit Vektoren multipliziert werden? Hierzu dient die goldene Regel: Multiplikation zweier Matrizen funktioniert nur, wenn die Spaltenanzahl der ersten Matrix gleich der Zeilenanzahl der zweiten Matrix ist! So funktionieren
a d
b e
c f
⎛
g ·⎝ i k
⎞
h j ⎠
⎛ =
⎝
=
⎛
a ⎝ c e
⎞
b g ⎠ d · j f
h k
⎛
=
(d, e, f ) ·
g i k g i k
ag + bi + ck dg + ei + f k
(a, b) · gj ⎝ (c, d) · gj (e, f ) · gj
⎛ =
(a, b, c) ·
ag + bj ⎝ cg + dj eg + f j
(a, b, c) · (d, e, f ) ·
h ⎞
ah + bj + c dh + ej + f
⎞
(a, b) · hk (c, d) · hk ⎠ (e, f ) · hk
⎞
ah + bk ch + dk ⎠, eh + f k
j
h ⎠ j
,
50
2 Lineare Algebra
nicht aber Multiplikationen à la ⎛
a ⎝ c e
⎞
b d ⎠ (g, h) = ? f
Eine Dimensionsprobe Um schnell abschätzen zu können, wie die Ergebnismatrix aussieht bzw. ob überhaupt ein Ergebnis existiert, ist folgende Regel hilfreich: m × q−Matrix für n = p . (2.12) [ (m × n) -Matrix ] · [ (p × q) -Matrix ] = nicht definiert für n = p Multipliziert man z. B. eine 2×3-Matrix (zwei Zeilen, drei Spalten) mit einer 3×7Matrix, so ergibt sich eine 2 × 7-Matrix. Versucht man dagegen eine 3 × 5-Matrix mit einer 4 × 1-Matrix zu multiplizieren, so gibt es kein Weiterkommen. Beispiel 2.3 (Multiplikation nicht quadratischer Matrizen) Für die folgenden Matrizen berechne man – sofern überhaupt möglich – A · B, B · A und B T AT : 1 3 A = (6, 1, 2) , B = 4 −1 . 0
2
Lösung: 1. A · B entspricht (1×3) ·(3 ×2) und liefert dementsprechend eine (1 × 2)-Matrix: 1 3 1 3 (6,1,2)· 4 (6,1,2)· −1 (6, 1, 2) · 4 −1 = = ( 10 21 ) . 0
0
2
2
2. B · A entspricht (3 × 2) · (1 × 3), funktioniert also nicht. 3. Wir berechnen B T · AT . Dies funktioniert, da (2 × 3) · (3 × 1) = (2 × 1): B T AT =
1
3 4 −1 0 2
T
T
· (6, 1, 2) =
1
4 0 3 −1 2
6 1. T · 1 = ( 10 21 ) = (AB) . 2
Im dritten Beispiel erkennt man eine weitere Rechenregel, die allgemein gültig ist: T
(A · B) = B T AT und nicht AT B T !
(2.13)
Division von Matrizen Teile niemals durch Matrizen! Das Teilen durch Matrizen ist grundsätzlich verboten. Allerdings gibt es mit Hilfe der Invertierung ein Verfahren, was der Division ansatzweise entspricht; mehr dazu in Abschnitt 2.1.4.
2.1 Matrizenrechnung
51
Nullmatrix und Einheitsmatrix Wir betrachten abschließend zwei spezielle, einfache Matrizen. Die Nullmatrix O besitzt nur Nullen als Einträge: 0 0 , A · O = O · A = O. (2.14) O := 0 0 Die Einheitsmatrix 1 beinhaltet spalten- und zeilenweise die kanonischen Einheitsvektoren, d. h., auf der Hauptdiagonalen stehen Einsen, sonst ist alles null: 1 0 1 := , A · 1 = 1 · A = A , 1n = 1 , (2.15) 0 1 wobei A jeweils eine beliebige Matrix ist. Beispiel 2.4 (Abschließendes Rechenbeispiel) A, B wie in Beispiel 2.1. Man berechne X := 3(A · B) · 1 + 2B · B T . Lösung: X
2.1.3
=
3
=
3
=
3
2 1 1 0 1 2 1 T · 1 −1 · ( 0 1 ) + 2 21 −1 · 1 −1 1 0 2 1 2 1 0 −1 · ( 0 1 ) + 2 1 −1 · 1 −1 9 0 19 2 0 5 1 10 2 −1 + 2 ( 1 2 ) = −6 −3 + ( 2 4 ) = −4 1 .
1 1 −1 0
3 −2 3 −2
Die Determinante
Die Determinante (Abkürzung det) ist für uns zunächst eine Abbildung, die einer quadratischen 2 × 2-Matrix eine Zahl zuordnet gemäß
a b
a b
det =
(2.16)
:= a · d − b · c .
c d
c d Man bildet dazu das Produkt der auf den Diagonalen stehenden Einträge a und d sowie b und c und zieht diese voneinander ab. Die det- und | |-Schreibweise ist äquivalent (erste ist u. a. für Mainzelmännchen-Fans). Man beachte: Determinanten sind nur für quadratische Matrizen definiert! Insbesondere gilt: det(Zahl) = Zahl selbst. Beispiel 2.5 (Eine 2 × 2 Determinante) det
2 1 −3 2
2 = −3
1
2
= 2 · 2 − 1 · (−3) = 7 .
52
2 Lineare Algebra
Das kreuzweise Rechnen erinnert doch an – richtig, an das Kreuzprodukt! Die Verwandtheit werden wir gleich noch einsehen. Zunächst müssen wir uns allerdings mit Determinanten von größeren Matrizen beschäftigen.
Regel von Sarrus Wir beginnen aufgrund leidvoller Korrekturerfahrungen in den Klausuren mit einer Warnung: Die Regel von Sarrus gilt nur für 3 × 3-Matrizen. Es gilt
⎛
⎞ a
b
⎜ det ⎜ ⎝ d
e
g
h
c
⎟ f ⎟ ⎠ = +aei + bf g + cdh − ceg − af h − bdi . i
(2.17)
Da man sich dies mit Sicherheit nicht merken möchte, ist es sehr hilfreich, die erste und zweite Spalte der Matrix hinter die Determinante zu schreiben und dann die Diagonalen herunterzumultiplizieren – die Linksoben-Rechtsunten-Diagonalen werden positiv gezählt, die Rechtsoben-Linksunten-Diagonalen werden negativ gezählt (Abb. 2.1).
Abb. 2.1: Schema der Sarrus-Regel.
Beispiel 2.6 (Sarrus-Beispiel) Wir berechnen
1 1 3 1
det 2 4 −1 = 2 1 −1
3 1 1 3 4 −1 2 4 1 −1 1 −1 0
0
+1 · 4 · 0 + 3 · (−1) · 1 + 1 · 2 · (−1)
=
−1 · 4 · 1 − 1 · (−1) · (−1) − 3 · 2 · 0 −3 − 2 − 4 − 1 = −10 .
=
Die Regel von Sarrus ergibt sich auch, wenn wir das Spatprodukt in Komponenten aufschreiben: ⎛ ⎞ ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a · (b × c)
=
a1
b1
c1
a1
b2 c3 − b3 c2
a3
b3
c3
a3
b1 c2 − b2 c1
⎝ a2 ⎠ · ⎣⎝ b2 ⎠ × ⎝ c2 ⎠⎦ = ⎝ a2 ⎠ · ⎝ b3 c1 − b1 c3 ⎠
=
a1 (b2 c3 − c2 b3 ) + a2 (c1 b3 − b1 c3 ) + a3 (b1 c2 − c1 b2 )
=
a1 b2 c3 + b1 c2 a3 + c1 a2 b3 − c1 b2 a3 − a1 c2 b3 − b1 a2 c3 ,
2.1 Matrizenrechnung und dies entspricht Sarrus:
a1
a2
a3
53
b1 b2 b3
c1
c2
= a · (b × c) .
c3
(2.18)
Wie wir beim Spatprodukt a · (b × c) gesehen haben, gibt jenes das Volumen des von den Vektoren a, b und c aufgespannten Parallelepipeds an. Die Determinante tut dies auch aufgrund der Analogie (2.18). In 3-D kann die Determinante also ein Art Volumen interpretiert werden, in 2-D als Flächenzahl.
Laplace’scher Entwicklungssatz Der Entwicklungssatz garantiert für alle quadratischen Matrizen die erfolgreiche Berechnung der Determinante. Der mathematische Formalismus ist ziemlich aufwendig (und einschlägigen Mathematikbüchern zu entnehmen), deswegen betrachten wir das Verfahren zum besseren Verständnis an einem Beispiel. Grundidee des Entwicklungssatzes ist es, (n × n)-Matrizen nach dem unten erläuterten Verfahren auf n Determinanten der Größe (n − 1) × (n − 1) zurückzuführen. Dieses Verfahren wird so lange durchgeführt, bis nur noch 2 × 2-Determinanten übrig bleiben. Diese werden dann nach (2.16) berechnet. Beispiel 2.7 (Determinante mit Entwicklungssatz) Die Determinante ist wie in Beispiel 2.6 gegeben. Diese möchte nun gemäß Laplace berechnet werden. Lösung: 1. Zunächst malen wir ein +/− - Schachbrettmuster in die Determinante, links oben mit + beginnend:
1+ 3− 1+
−
2 4+ −1−
.
+
1 −1− 0+
2. Suche nun eine Zeile/Spalte mit möglichst vielen Nullen (da die Entwicklung dann besonders einfach wird). Hier bietet sich die dritte Zeile oder dritte Spalte an. Wir entwickeln nach der dritten Zeile. 3. Entwicklung: Wir fangen links an (Zeile: 1+ − 1− 0+ ). Zunächst muss das hochgestellte Plus aus dem Schachbrettmuster beachtet werden und ist quasi Vorfaktor (1+ entspricht ·(+ 1)). Der Eintrag 1 ist der Vorfaktor der ersten Streichdeterminante. Diese erhält man – wie das Wort verrät – durch Streichen, und zwar derjenigen Zeile und Spalte, aus der die 1+ entnommen wurde: hier also die erste Spalte und die dritte Zeile. Übrig bleibt rechts oben die
54
2 Lineare Algebra Streichdeterminante. Analog verfahren wir mit der −1 und der Null in der Entwicklungszeile. Somit folgen die Streichdeterminanten zu
+
+
+ − 1 3− 1//+
1///
1 3− 1+
1+
/
/3///
−
/2/− 4+ / −1 4+ −1−
,
2− 4//+/ −1−
, 2− ///// .
//
+
+
+ − −
−
1/// /−1
1/// /−1 0//+/
0//+ 0//+ /
/
///// ///// /////
1/// /−1 Nun kann die Entwicklung hingeschrieben werden:
1+
3− 1+
1 1
2−
4+ −1− = + 1 · 3
4 −1 −( −1 ) 2 + +
−
1
−1 0
3 1 1 1
=
4 −1 + 2 −1
(2.16)
=
1 −1
+ 0 · 1 3
2 4
(3 · (−1) − 1 · 4) + (1 · (−1) − 1 · 2) = −10 ,
was glücklicherweise das Gleiche liefert wie bei Sarrus. Es zeigt sich der Vorteil, nach Zeilen/Spalten zu entwickeln, die Nullen beinhalten, da dann die Determinanten wegen des Vorfaktors Null einfach wegfallen. Sarrus ist für 3 × 3-Determinanten auf jeden Fall schneller, doch bei 4 × 4 oder größer führt kein Weg an Laplace vorbei.
Rechentricks für Determinanten Soll man aus einem Matrixprodukt die Determinante berechnen, so gilt, falls Matrix A und B quadratisch sind: det(A · B) = det(A) · det(B) .
(2.19)
Häufiger Irrtum: det(A ± B) = det(A) ± det(B) . Was auch sehr nützlich zu wissen ist: det(A) = det(AT ) .
(2.20)
Hierin manifestiert sich die Aussage, dass der Wert der Determinante unabhängig davon ist, ob man nach Zeilen oder Spalten entwickelt. Weitere Regeln für den (mathematischen) Werkzeugkasten:
a b±k
a b a k
(2.21)
=
±
,
c d±m
c d c m
λa λb
a b
λa λb
a b
= λ
,
= λ2
. (2.22)
c
d c d λc λd c d
2.1 Matrizenrechnung
55
Wollen wir also einen Faktor aus der Determinante herausziehen, so passiert dies jeweils pro Zeile bzw. Spalte. Wird z. B. der Faktor λ aus zwei Zeilen einer Determinante herausgezogen, so muss λ in die zweite Potenz genommen werden. Umgekehrt tritt die gern benutzte Falle auf:
λ a
c
2.1.4
b d
= λ a
c
b d
, wohl aber λ a
c
b d
= λ2 a
c
b d
.
Inverse einer Matrix
Genau wie man nicht durch Vektoren teilen darf, so ist es auch ein mathematisches Verbrechen, durch Matrizen zu teilen. Wir werden nun eine mit der Division vergleichbare Matrixoperation kennenlernen: das Invertieren einer Matrix (das allerdings nur für quadratische Matrizen definiert ist). Dieses erfordert die Definition der inversen Matrix bezüglich A. Wir möchten eine Matrix X finden, für die gilt: A · X = 1. (2.23) Dann heißt X = A−1 inverse Matrix zu A mit A · A−1 = A−1 · A = 1 .
(2.24)
Berechnung der Inversen Die Inverse A−1 einer quadratischen Matrix A berechnet sich über A−1 =
1 T · [adj (A)] . det(A)
(2.25)
Die Bildung der Adjunkten adj(A) ähnelt stark dem Entwicklungssatz der Determinante, wobei nun die Vorfaktoren der Streichdeterminanten vernachlässigt werden: ⎛ ⎞ ⎛
⎞ a b c + he fi − dg fi + dg he
⎜ ⎟ ⎜
a b ⎟ ac ⎟ ⎜ b c
⎟ (2.26) adj ⎜ ⎝ d e f ⎠ := ⎝ − h i + | g i | − g h ⎠ . a c b c + e f −|d f | + a b
g h i d e
Die Bildung funktioniert folgendermaßen: Man malt ein Schachbrettmuster (wie bei Determinantenberechnung) in die zu adjugierende Matrix, bildet dann zu jedem Eintrag der Ausgangsmatrix die Streichdeterminante und schreibt diese unter Beachtung des Schachbrettmuster-Vorzeichens, aber unter Vernachlässigung des Eintrags selbst in die Matrix. Für 2 × 2-Matrizen wird (2.25) sehr überschaubar:
a
b
c
d
−1
1 = ad − bc
d
−b
−c
a
.
(2.27)
56
2 Lineare Algebra
Invertierbarkeit von Matrizen Gleichung (2.25) liefert ein Kriterium, um zu überprüfen, ob eine Matrix invertierbar ist oder nicht: Es muss A invertierbar ⇐⇒ det(A) = 0
(2.28)
gefordert werden, um Teilen durch Null zu verhindern. Ist die Determinante einer Matrix null, so ist diese nicht invertierbar. Beispiel 2.8 (Invertieren einer 2 × 2-Matrix) 2 Man invertiere – sofern möglich – die Matrix A = −1
1 3
.
Lösung: Berechne zunächst die Determinante von A, um zu überprüfen, ob die Matrix überhaupt invertierbar ist: det(A) = 2·3−(−1)·1 = 7 = 0. Damit existiert eine Inverse. Diese bestimmen wir über 1 3 −1 1 2 1 · 31 −1 =7 1 2 . A−1 = 2 det −1 3 Im ersten Schritt wurde (2.25) verwendet, und in der Matrix wurden die Hauptdiagonalelemente ausgetauscht sowie die Vorzeichen der anderen beiden Einträge umgedreht. Probe: 2 1 1 3 −1 1 7 0 A · A−1 = −1 = 7 ( 0 7 ) = ( 10 01 ) = 1 . 3 · 7 1 2
Weitere merkenswerte Regeln sind
2.1.5
(AB)−1
=
B −1 A−1 ,
det(A−1 )
=
[det(A)]
−1
T −1 A = (A−1 )T , 1 = . det(A)
(2.29)
Weitere Matrixoperationen
Im Folgenden werden wir noch ein paar weitere Definitionen und Rechengesetze für Matrizen kennenlernen.
Spur einer Matrix Die Spur einer quadratischen (!) Matrix M – Schreibweise: Spur(M ), Sp(M ) oder tr(M ) (trace) – ist die Summe der Hauptdiagonalelemente von M : ⎛ ⎞ a b c ⎜ ⎟ a b Spur = a + d , Spur ⎜ (2.30) d e f ⎟ ⎝ ⎠ = a + e + i. c d g h i
2.1 Matrizenrechnung
57
Allgemein definiert man Spur(M ) = M11 + M22 + . . . + Mnn =
n
Mii .
(2.31)
i=1
Ist sie null, so heißt die Matrix M spurfrei. Weiterhin ist die Spur eines Matrixprodukts A · B · C zyklisch. Das bedeutet, dass wir durchtauschen können: Spur (A · B · C) = Spur (C · A · B) = Spur(B · C · A) .
(2.32)
Man schiebt das A auf den Platz von B, B rutscht auf den Platz von C, und C geht auf den Platz von A. Achtung: A und B dürfen im Dreierprodukt nicht einfach die Plätze miteinander tauschen. Denn wir erinnern uns, dass im Allgemeinen A · B = B · A gilt. Allerdings ist Spur(A · B) = Spur(B · A) .
(2.33)
Auch ein beliebter Fehler: Spur(A · B) = Spur(A) · Spur(B) . Beispiel 2.9 (Spur eines Matrixprodukts) Was sind Spur(A), Spur(B) und Spur(A · B) für A = 13
2 −1
und B = ( 10
1 )? 1
Lösung: Es sind Spur(A) = 1 + (−1) = 0 und Spur(B) = 1 + 1 = 2, aber es ist 2 1 1 · ( 0 1 ) = Spur ( 13 32 ) Spur(A · B) = Spur 13 −1 und somit Spur(A · B) = 3 , was offensichtlich nicht das Gleiche liefert wie Spur(A)·Spur(B) = 0·2 = 0.
Symmetrische und antisymmetrische Matrizen Wir definieren symmetrische und antisymmetrische Matrizen (zwingend quadratisch) wie folgt: M symmetrisch ⇐⇒ M = M T ,
M antisymmetrisch ⇐⇒ M = −M T . (2.34)
Jede quadratische Matrix M lässt sich in einen symmetrischen und antisymmetrischen Teil aufspalten: M=
1 1 M + M T + (M − M T ) = sym. + antisym. 2 2
(2.35)
58
2 Lineare Algebra
Beispiel 2.10 (Symmetriezerlegung einer Matrix) 1 Wie lautet die Symmetrie/Antisymmetrie-Zerlegung der Matrix M = −1
3 4
?
1 3 Lösung: M = −1 ist offensichtlich nicht symmetrisch, da M = M T gilt. 4 Wir zerlegen gemäß (2.35): M=
1 2
$
1 3 −1 4
+
1 3
−1 4
%
+
1 2
$
1 3 −1 4
−
1 3
−1 4
%
=
1 2
( 22 28 ) + 12
sym.
0 4 −4 0
.
antisym.
Das ist die Zerlegung der Matrix M in Symmetrie- und Antisymmetrieanteil.
Wie man sich überlegen kann, gilt M antisymmetrisch ⇐⇒ M T = −M =⇒ Spur(M ) = 0 ,
(2.36)
da sich die Diagonale von M beim Transponieren nicht verändert. Dann muss aber wegen (2.36) M11 = −M11 , . . . , Mnn = −Mnn gelten, und dieses geht nur, wenn alle Diagonalelemente gleichzeitig null sind (z. B. liefert M11 = −M11 ⇔ 2M11 = 0 ⇔ M11 = 0 und ebenso alle anderen). Dann ist aber auch die Spur null! Doch Vorsicht: Es gilt nicht zwangsläufig, dass M bei verschwindender Spur antisymmetrisch ist, wie man an der Matrix 1 3 M= 1
−1
direkt sieht. Zwar ist Spur(M ) = 1+(−1) = 0, aber dennoch gilt nicht M = −M T .
Dyadisches Produkt Mit Hilfe des dyadischen Produkts ◦ werden zwei Vektoren so miteinander „multipliziert“, dass eine Matrix entsteht: a c a ac ad ◦ := · (c, d) = (2.37) b d b bc bd (analog höhere Dimensionen). Vergleiche die Schreibweisen: Skalarprodukt, liefert Zahl, a · b = aTb: a ◦ b = a · b T : dyadisches Produkt, liefert Matrix, wobei die zweite Schreibweise die Matrixmultiplikation meint (hier wird der Malpunkt oft weggelassen). Das Skalarprodukt a ·b entspricht einer 1×n-Matrix multipliziert mit einer n × 1-Matrix; beim dyadischen Produkt a ◦ b entspricht dies einer (n × 1) · (1 × n) = (n × n)-Matrix.
2.1 Matrizenrechnung
59
Das dyadische Produkt wird uns bei Drehmatrizen (Abschnitt 2.3.3) und in der Mechanik (Kapitel 12) beim Trägheitstensor wiederbegegnen. Außerdem kann man mit ihm sehr schön die Parallel-Senkrecht-Zerlegung eines Vektors aus Gleichung (1.35) fassen und erkennt gleich, wie das dyadische Produkt auf einen Vektor wirkt: (1.35)
a = 1 · a = (eb ◦ eb ) · a + (1 − eb ◦ eb ) · a = (a · eb )eb + a − (a · eb )eb ,
= a
= a⊥
wobei beim zweiten Gleichheitszeichen eine clevere Null (eb ◦ eb − eb ◦ eb ) addiert wurde. Damit ergibt sich a = (eb ◦ eb ) · a ,
a⊥ = (1 − eb ◦ eb ) · a ,
und wir wissen weiter, wie das dyadische Produkt u ◦ u auf einen Vektor r wirkt: (u ◦ u) · r = u(u · r) = (r · u)u .
(2.38)
In allgemeinster Form gilt (a ◦ b) · c = a(b · c) = (b · c)a .
(2.39)
Beispiel 2.11 (Ein dyadisches Produkt) Wie lautet das dyadische Produkt des Vektors r = (x, y, z)T mit sich selbst? Lösung: Wir berechnen r ◦ r = r · rT :
x y z
◦ (x, y, z) =
x·x y·x z·x
x·y y·y z·y
x·z y·z z·z
=
x2 xy xz
xy y2 yz
xz yz z2
.
Beispiel 2.12 (Test von (2.38)) Man teste Gleichung (2.38) durch Einsetzen zweier allgemeiner Vektoren. Lösung: Wir verwenden r = (x, y, z) und u = (u, v, w) und setzen in obige Gleichung ein. u ◦ u können wir direkt mit Hilfe des letzten Beispiels aufstellen: 2 u uv uw 2 u ◦ u = uv v vw . uw
vw
w2
Multipliziert man diese Matrix mit r, so ergibt sich 2 2 u u x+uvy+uwz u uv uw x · y = uvx+v2 y+vwz = (ux + vy + wz) v . uv v2 vw uw
vw
w2
Andererseits ist (r · u)u =
z
uwx+vwy+w2 z
x u u u y · v v = (ux + vy + wz) v . z w w w
Damit haben wir die Gleichheit gezeigt.
w
60
2 Lineare Algebra
Tensorprodukt Das Tensorprodukt wird erst bei Spinberechnungen später in der Quantentheorie ein steter Leidgenosse werden – gesehen haben sollte man es aber schon:
a
c
⊗
b
a ( dc ) b ( dc )
=
d
⎛
⎞
ac ⎜ ad ⎟ =⎝ ⎠, bc bd
(2.40)
und für Matrizen gilt
a
b
c
d
⊗
e
f
g
h
⎛
a
=⎝
c
e f g h e f g h
⎛
⎞
ae b ag ⎜ ⎠=⎝ ce d ge fh cg
e f g h
af ah cf ch
be bg de dg
⎞
bf bh ⎟ ⎠. df dh
(2.41) Auch hier kann wieder eine Dimensionsprobe gemacht werden, denn im ersten Fall ist die Dimension der Produktmatrix (2 × 1) ⊗ (2 × 1) = (2 · 2 × 1 · 1) = (4 × 1) und im zweiten Fall (2 × 2) ⊗ (2 × 2) = (2 · 2 × 2 · 2) = (4 × 4).
Spickzettel zur Matrizenrechnung Matrixbegriff Matrix M = (Mij ), Mij ist der Eintrag der Matrix M in der i-ten Zeile und j-ten Spalte. M ist quadratisch, wenn # Zeilen = # Spalten. Einfache Rechenregeln f a±e – Addition/Subtraktion: ac db ± ge h := c±g – Skalare Multiplikation λ ·
a b c d
:=
λa λb λc λd
b±f d±h
.
.
Transponieren einer Matrix T Vertauschen der Zeilen und Spalten, ac db := ( ab dc ); bei Vektoren (a, b)T = ( ab ). Matrixmultiplikation – Geht nur, wenn #Spalten der ersten Matrix = #Zeilen der zweiten Matrix. – Matrix mal Vektor = Vektor, Matrix mal Matrix = Matrix:
a b e f c d
·
g h
=
ae+bg ce+dg
af +bh cf +dh
.
– A · B = B · A, (A · B)T = B T · AT , weiterhin A(B ± C) = AB ± AC. Determinante
– det ac db = ac db := a · d − b · c ist Zahl und nur für quadratische Matrizen definiert. – Größere Determinanten per Sarrus (nur für 3 × 3) oder Entwicklungssatz.
λb = λ1 a b und det(λA) = λn det(A). – det(A · B) = det(A) det(B), λa c d c d Inverse einer Matrix – A · X = 1 ⇒ X = A−1 existiert, wenn det(A) = 0. −1 1 – Berechnung via: A−1 = det(A) · [adj (A)]T ; speziell ac db = – (AB)−1 = B −1 A−1 ,
T −1
A
= (A−1 )T ; det(A−1 ) = [det(A)]
1 ad−bc −1
=
d −b −c a 1 det(A) .
.
2.2 Lineare Gleichungssysteme
61
Spur einer Matrix n – Definition Spur(M ) = M11 + M22 + . . . + Mnn = Mii . i=1 – Die Spur ist zyklisch tauschbar: Spur(A · B) = Spur(B · A). Für drei Matrizen: Spur (A · B · C) = Spur (C · A · B) = Spur(B · C · A). – Obacht: Spur(A · B) = Spur(A) · Spur(B). Symmetriezerlegung S symm., wenn S = S T , A antisymm. wenn AT = −A; jede Matrix M lässt sich zerlegen in M=
1 2
M + M T + 12 (M − M T ) = sym. + antisym.
Dyadisches Produkt Spaltenvektor mal Zeilenvektor liefert Matrix: ( ab ) ◦ ( dc ) = ( ab ) · (c, d) :=
ac
ad bc bd
.
2.2
Lineare Gleichungssysteme
2.2.1
Was ist ein lineares Gleichungssystem?
Ein lineares Gleichungssystem (kurz LGS) besteht aus mehreren Gleichungen, in denen Variablen x1 , . . . , xn nur in erster Potenz auftreten (d. h. (x1 )1 , (x2 )1 , (x3 )1 usw.). Ein LGS mit k Gleichungen und n Variablen hat folgendes Aussehen: A11 x1 + A12 x2 + . . . + A1n xn
=
b1
A21 x1 + A22 x2 + . . . + A2n xn .. .
= .. .
b2 .. .
Ak1 x1 + Ak2 x2 + . . . + Akn xn
=
bk .
Dabei sind die Aij ’s und bi ’s Zahlen und die xi die Variablen des LGS, nach denen gelöst werden soll. Obiges System lässt sich mit Hilfe von Matrizen und Vektoren in der folgenden Form ausdrücken: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ A11
⎜ A21 ⎜ ⎜ .. ⎝ .
Ak1
A12 A22 .. . Ak2
... ... .. . ...
=:A
A1n A2n .. . Akn
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟·⎜ ⎠ ⎝
x1 x2 .. . xn
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎠ ⎝
=: x
b1 b2 .. . bk
⎟ ⎟ ⎟. ⎠
=:b
62
2 Lineare Algebra
A heißt Koeffizientenmatrix des LGS, die Matrix (A|b), bei der neben A rechts b als n+1-te Spalte angefügt wird, heißt erweiterte Matrix des LGS. Die Kurzform obiger Gleichungen lautet damit A · x = b .
(2.42)
Das LGS heißt homogen, falls b = 0 und inhomogen für b = 0. Im Falle n = k (d. h., es gibt genauso viele Variablen wie Gleichungen) nennt man das LGS quadratisch. Wir werden in den meisten Fällen mit quadratischen LGS zu tun haben. Beispiel 2.13 (LGS in Matrixform umschreiben) Man bringe das LGS 3x1 + 5x2 − x3 + x4
=
2
2x1 − 3x2 + 2x4
=
1
in die Form A · x = b. Was sind dann A = ?, b = ? und (A|b) = ?
Lösung: Wir haben vier Variablen x1 bis x4 . Damit ist unser Variablenvektor x = (x1 , x2 , x3 , x4 )T . Den Vektor b können wir ebenfalls direkt ablesen: b = (2, 1)T . Die Matrix A hat dann also 2 × 4-Form, da bei der Matrix-Vektor-Multiplikation für die Dimensionsprobe (2 × 4) · (4 × 1) = (2 × 1)
&A &x &b = = = gilt und A somit sinnvoll zwischen x und b transformiert. Dann sind 3 5 −1 1 3 5 −1 1 2 , (A|b) = A= 2
−3
0
2
2
−3
0
2
1
die gesuchte Koeffizientenmatrix und erweiterte Matrix. Das Umschreiben eines LGS in Matrixform kennen wir nun, doch wie lösen wir ein LGS?
2.2.2
Gauß-Algorithmus
Ziel vom Gauß-Algorithmus ist es, die Lösung eines LGS schematisch zu bestimmen. Dazu muss die erweiterte Matrix (A|b) so umgeformt werden, dass man mindestens eine Einzellösung (d. h. eine Variable) des LGS A · x = b sofort ablesen
2.2 Lineare Gleichungssysteme
63
und dann in die anderen Gleichungen rückwärts einsetzen und die restlichen Variablen bestimmen kann. Besonders einfach wird dies, wenn die erweiterte Matrix auf die sogenannte Zeilen-Stufen-Form gebracht wurde: ⎛ ⎞ (∗) ∗ ∗ ∗ ⎜ ⎟ ⎜ 0 (∗) ∗ ∗ ⎟ , (2.43) ⎝ ⎠ 0 0 (∗) ∗ schematisch für ein 3×3-LGS. Dabei steht ∗ für eine beliebige Zahl. Die eingeklammerten Einträge heißen Pivotelemente. Sie haben eine besondere Bedeutung, wie wir gleich sehen werden. Um die erweiterte Matrix auf die Zeilenstufenform zu bringen, sind folgende Umformungen erlaubt: Vertauschen von Zeilen, Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl λ = 0, Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen. Dabei darf beliebig multipliziert und addiert werden, das LGS ändert sich hierdurch nicht. Beispiel 2.14 (Lösung eines LGS mit Gauß) Man löse das LGS x 1 + x2 + x3
=
1
−x1 + x2 − 2x3
=
4
2x1 + x2 + x3
=
2.
Lösung: 1. Schreibe in Matrixform um und bestimme (A|b): ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 ⎝ −1 2
1 1 1
⎛
1 x1 1 1 −2 ⎠ · ⎝ x2 ⎠ = ⎝ 4 ⎠ =⇒ (A|b) = ⎝ −1 x3 2 1 2
1 1 1
1 −2 1
⎞
1 4 ⎠. 2
2. Bringe die erweiterte Matrix auf Zeilenstufenform. Addiere dazu zunächst 1×Zeile I + 1×Zeile II um die eingekästete (−1) wegzubekommen: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1
⎝ −1 2
1 1 1
1 −2 1
1 + |·1 4⎠ + | · 1 2
→
⎛ =
1
1
2
1
1
1
1
2
⎝ (−1) + 1 1 + 1 (−2) + 1 4 + 1 ⎠ 1
1
1
2
1
1
⎝ 0 2 −1
⎞
1 5 ⎠. 2
64
2 Lineare Algebra Damit steht an der (−1)-Stelle nun eine schicke Null. Gleicher Gedankengang schafft es, sich der eingekästeten 2 zu entledigen (erinnere: wir wollen die Zeilenstufenform erreichen!). Addiere dazu (−2)×Zeile I zu 1×Zeile III: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1
⎝ 0
2
1 2 1
1 −1 1
1 + | · (−2) 1 5 ⎠ →⎝ 0 0 + |·1 2
1 2 −1
1 −1 −1
1 5 ⎠. 0
Nun müssen wir die eingekästete −1 noch zu Null machen, um die Zeilenstufenform zu erreichen. Dies geschieht mit Hilfe der zweiten Gleichung (dank der Nullen in der ersten Spalte unbedenklich!). Multipliziere die dritte Zeile mit 2 und addiere die zweite dazu: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1
⎝ 0 0
1 2 −1
1 −1 −1
1 1 5 ⎠ + |·1 → ⎝ 0 0 + |·2 0
1 2 0
1 −1 −3
1 5 ⎠. 5
Somit haben wir die Zeilenstufenform erzeugt. 3. Lösung bestimmen: Die Zahlen in der ersten Spalte stehen für die Koeffizienten von x1 , die der zweiten für x2 usw. Die dritte Zeile liest sich somit als −3x3 = 5. Hieraus kann direkt x3 = − 53 bestimmt werden. Dies können wir in die zweite Zeile einsetzen: 2x2 − x3 = 5 ⇒ 2x2 − (− 53 ) = 5 ⇔ x2 = 53 . Schließlich fehlt noch x1 . Die bisherigen Erkenntnisse in die erste Zeile eingesetzt liefern x1 + x2 + x3 = x1 + 53 + −5 3 = 1. Damit folgt x1 = 1. Ergebnis:
T x = (x1 , x2 , x3 )T = 1, 53 , − 53 . Wer möchte, kann das Resultat durch Einsetzen in das LGS überprüfen.
Man beachte unbedingt folgenden Rat – er wird enorm Zeit sparen: Falls Brüche im LGS auftauchen, sollte man mit dem Hauptnenner die jeweilige Zeile durchmultiplizieren! Man vermeide unbedingt das Rechnen mit Brüchen innnerhalb des Gauß-Verfahrens.
2.2.3
Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme
Beim Lösen von LGS können im Gauß-Verfahren folgende Fälle auftreten: 1. Es entsteht eine Nullzeile der Form (0 0 . . . 0 | 0). In diesem Fall kann eine Variable frei gewählt werden, allerdings kein Pivotelement. Man setzt die Variable gleich einem Parameter t. Pro Nullzeile kann genau ein Parameter gewählt werden. Die Lösung heißt dann Parameterschar. 2. Es entsteht eine falsche Aussage in einer Zeile: (0 0 . . . 0 | = 0). In diesem Fall gibt es keine Lösung des LGS!
2.2 Lineare Gleichungssysteme
65
3. Es gibt eine eindeutige Lösung wie im obigen Beispiel, d. h. weder Fall 1 noch Fall 2 treten auf. Die Behandlung des 3. Falls haben wir schon in Beispiel 2.14 gesehen. Wir zeigen zwei explizite Beispiele für Fall 1 und 2. Beispiel 2.15 (LGS ohne Lösung) Man löse das LGS x1 + x2 + x3
=
1
−x1 + x2 − 2x3
=
4
2x1 + 2x2 + 2x3
=
3.
Lösung: Wir verwenden wieder das Gauß’sche Eliminationsverfahren und stellen direkt die erweiterte Matrix auf: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1
(A|b) = ⎝ −1 2
1 1 2
1 −2 2
1 + |·1 4 ⎠ + |·1 3
+ |·2
1
−→ ⎝ 0
+ | · (−1)
0
1 2 0
1 −1 0
1 5 ⎠. −1
In der letzten Zeile ergibt sich dabei (0 0 0| − 1), d. h. in eine Gleichung übersetzt: 0 · x1 + 0 · x2 + 0 · x3 = −1 und somit 0 = −1. Das ist offensichtlich eine falsche Aussage. Wenn aber ein LGS in mindestens einer Gleichung eine falsche Aussage liefert, so liefern die anderen Gleichungen ebenfalls Blödsinn. In diesem Fall ist das LGS nicht lösbar. Beispiel 2.16 (LGS mit unendlich vielen Lösungen) Man löse das LGS x1 + x2 + x3
=
1
−x1 + x2 − 2x3
=
4
2x1 + 2x2 + 2x3
=
2.
Lösung: Aufstellen und Umformen der erweiterten Matrix liefert ⎛ ⎞ ⎛ 1 (A|b) = ⎝ −1 2
1 1 2
1 −2 2
1 + |·1 4 ⎠ + |·1 2
+ |·2
+ | · (−1)
1 −→ ⎝ 0 0
1 2 0
1 −1 0
⎞
1 5 ⎠. 0
In der letzten Zeile ergibt sich nun (0 0 0|0), d. h. 0 = 0. Das ist offensichtlich eine richtige Aussage; und sie bleibt richtig, unabhängig davon, was wir für x1 , x2 und x3 einsetzen! Damit haben wir zur Bestimmung der Lösung des LGS effektiv nur noch zwei Gleichungen zur Verfügung. Zwei Gleichungen gegenüber drei Unbekannten – das kann nicht eindeutig sein. Wir haben somit den Fall unendlich vieler Lösungen vorliegen. Was nun?
66
2 Lineare Algebra
Gängige Praxis ist es, eine Variable frei zu wählen. Dabei dürfen jedoch keine Pivotelemente gewählt werden, was x1 und x2 als Wahl ausschließt, da die Vorfaktoren beide in den oberen Gleichungen die Pivotelemente bilden (Gleichung (2.43)). Setze somit x3 := t, wobei t ein beliebiger, reeller Parameter ist. Dann folgt in der zweiten Gleichung 2x2 − 1 · t = 5 ⇔ x2 =
5 2
+ 12 t
sowie in der ersten Gleichung 1 · x1 + 1 ·
5 2
+ 12 t + 1 · t = 1 ⇔ x1 = − 32 − 32 t .
Ergebnis: Die Lösung des LGS ist gegeben durch die Parameterschar: ⎛ ⎞ 3 3 3 3 x1
x = ⎝ x2 ⎠ = x3
2.2.4
−2−2t 5 1 2+2t t
=
−2 5 2 0
+t
−2 1 2 1
.
Matrizengleichungen
Eine Gleichung, welche sich aus Matrizen (und optional Vektoren) zusammensetzt, nennt man Matrizengleichung. So ist z. B. die Definition der Inversen X = A−1 einer Matrix A eine Matrizengleichung: A · X = 1. Bei der Lösung von solchen Gleichungen muss man folgende Dinge beachten: Es gelten die bekannten Rechenregeln für Matrizen. Man beachte A · B = B · A im Allgemeinen. Das bedeutet: Unterscheide zwischen links- und rechtsseitiger Multiplikation! Es darf nicht durch Matrizen (und Vektoren) geteilt werden! Verwende stattdessen bei Matrizen die Multiplikation mit der Inversen. So löst sich z. B. die Gleichung des LGS A · x = b formal dadurch, dass von links mit A−1 multipliziert wird (sofern A−1 existiert!): A−1 · A · x = A−1b ⇔ 1x = A−1b, damit also x = A−1b. Bei Ausklammern von Faktoren ggf. eine Einheitsmatrix einfügen, z. B. bei Ax = λx ⇔ (A − λ1)x = 0. Beispiel 2.17 (Eine Matrizengleichung) Man löse die Gleichung 2X + AX = B für A = ( 11
2) 0
und B =
−2
1 −1 1
.
Lösung: Wir stellen zunächst formal die Matrizengleichung um, so dass X nur auf einer Seite auftaucht. Es ist 2X + AX = B ⇔ (2 · 1 + A)X = B .
2.2 Lineare Gleichungssysteme
67
Unbedingt Ausklammer- und Multiplikationsrichtung beachten: Im Allgemeinen ist (2 · 1 + A)X = X(2 · 1 + A). Im nächsten Schritt multiplizieren wir mit (2 · 1 + A)−1 von links (kurz: v.l.): | · (2 · 1 + A)−1 v.l.
(2 · 1 + A)X
=
B
⇐⇒ (2 · 1 + A)−1 · (2 · 1 + A) X
=
(2 · 1 + A)−1 B .
=·1
Damit erhalten wir X = (2·1+A)−1 ·B. Erst jetzt setzen wir die Matrizen explizit ein und verwenden Gleichung (2.27) zur Berechnung der Inversen: X
= (2.27)
=
−1 1 3 [2 ( 10 01 ) + ( 11 20 )] · −2 −1 1 = ( 1 2 −2 1 1 1 −2 0 · −2 −1 1 = 4 −1 2 . 4 −1 3
2 )−1 2
·
−2
1 −1 1
Das ist die Lösung der Matrizengleichung!
Spickzettel zu linearen Gleichungssystemen Lineares Gleichungssystem (LGS) – LGS: k Gleichungen mit n Unbekannten in erster Potenz; in Matrixform: A · x = b mit k × n-Koeffizientenmatrix A. – b = 0: homogenes LGS; n = k: quadratisches LGS. Gauß-Algorithmus Bringe erweiterte Koeffizientenmatrix (A|b) auf Zeilenstufenform. Möglich durch folgende Operationen: Vertauschen von Zeilen, Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl λ = 0, Addition eines Vielfachen zu einer anderen Zeile. Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Drei Fälle: – (0 0 . . . 0 | 0): unendlich viele Lösungen, pro Nullzeile ein Parameter wählbar. – (0 0 . . . 0 | = 0): keine Lösung (nicht möglich für b = 0). – eindeutige Lösung. Matrizengleichungen = Gleichung aus Matrizen und Vektoren bestehend, z. B. A · X = 1 (Def. der Inversen). Beachte beim Lösen: – A · B = B · A, auch beim Ausklammern! – Nicht durch Matrizen teilen! – Beim Ausklammern von Faktoren muss Einheitsmatrix eingefügt werden, z. B. bei A · x − λ x = (A − λ1) · x! – Erst allgemein lösen, dann Matrizen einsetzen!
68
2.3
2 Lineare Algebra
Abbildungen
Matrizen kommen nicht nur bei linearen Gleichungssystemen zum Einsatz. Mit ihnen lassen sich auch Abbildungen beschreiben. Eine spezielle Klasse von Abbildungen sind lineare Abbildungen L, die auf einen beliebigen Vektor x wirken: L(x) = M · x + b ,
(2.44)
wobei die Schreibweise sehr stark der linearen Funktion y = mx + b ähnelt. L heißt affine Abbildung mit Abbildungsmatrix M und Translation (das ist eine konstante Verschiebung) b. Die für uns interessanten Abbildungen sind jene mit b = 0, d. h. f (x) = M · x , (2.45) zu denen z. B. Spiegelungen und Drehungen gehören. Auf Drehungen werden wir in Abschnitt 2.3.3 intensiv eingehen.
2.3.1
Abbildungsmatrix
Um die Matrix M einer beliebigen Abbildung zu bestimmen, braucht man nur zur schauen, auf welche Bildvektoren (Notation mit einem Strich) die Basisvektoren einer beliebigen Basis abgebildet werden. Beachte: Die Darstellung der Abbildung, das ist die Matrix M , ist für unterschiedliche Basen verschieden. Die Abbildung selbst ändert sich unter Basiswechsel aber nicht! Oftmals reicht es dabei schon, die kanonischen Basisvektoren e1 , e2 und e3 zu betrachten. Ihre Bildvektoren e1 = M · e1 ,
e2 = M · e2 ,
e3 = M · e3
schreiben wir dann in die Spalten von M und haben die gesuchte Abbildungsmatrix bestimmt. Man beachte dabei, dass der erste Bildvektor in die erste Spalte geschrieben wird, der zweite in die zweite usw. Die Abbildung eines Vektors a schreibt sich allgemein als (2.46) a = M · a . wobei das abgebildete Objekt meint. Beispiel 2.18 (Spiegelung an der y-Achse) Wie lautet die Abbildungsmatrix der Spiegelung an der y-Achse in 2-D? Lösung: Wir schauen uns an, wie die kanonischen Basisvektoren e1 und e2 abgebildet werden. Dazu malen wir uns das Geschehen erstmal hin. Anhand von Abb. 2.2 links kann man ablesen: e1 = −e1 = −1 , e2 = e2 = ( 01 ) . 0
2.3 Abbildungen
69
Abb. 2.2: Spiegelung an der y-Achse. Links: e1 wird auf −e1 abgebildet, e2 bleibt unter der Abbildung M unverändert. Rechts: Eine Testabbildung.
Schreibe die beiden Bildvektoren e1 und e2 spaltenweise in die Matrix M und erhalte direkt die Abbildungsmatrix: M=
−1 0
0 1
.
Wir testen das Resultat an a = (1, 1)T und erwarten aus Anschauungsgründen a = (−1, 1)T (Abb. 2.2 rechts). Test: a = M · a =
−1 0
0 1
· ( 11 ) =
−1 1
,
was unseren Erwartungen entspricht.
Determinante entspricht Volumenverzerrungsfaktor In Abschnitt 2.1.3 wurde die Determinante als eine Funktion eingeführt, die einer Matrix scheinbar willkürlich eine Zahl zuordnet. Wir stellten dabei fest, dass der Wert der Determinante in drei Dimensionen dem Wert des von den Spaltenvektoren gebildeten Spatprodukts übereinstimmte. Hieraus schlossen wir, dass die Determinante ein Volumen angibt. Dieses ist fast richtig. Genau genommen entspricht der Wert der Determinante einem Volumenverzerrungsfaktor. Dieser gibt an, ob und wie sich die Fläche bzw. das Volumen unter einer Matrixabbildung ändert (vergrößert/verkleinert). Das Vorzeichen der Determinante gibt überdies Auskunft darüber, ob sich die Orientierung – das ist die Durchlaufrichtung vorgebenener Punkte auf einer Oberfläche bzw. einem Volumen – ändert oder nicht. Abb. 2.3 verdeutlicht dies. Abb. 2.3: Zum Begriff der Orientierung. Links ändert sich die Durchlaufrichtung von A, B und C nicht, rechts bei der Spiegelung allerdings schon.
Beispiel 2.19 (Eine Streckspiegelung) Ändert sich das Volumen und die Orientierung unter der Abbildung M = 1 1 1 −1 ? Wenn ja, wie?
70
2 Lineare Algebra
Lösung: Die Determinante von M ist det(M ) = −2, d.h, wegen | det(M )| = 2 > 1 vergrößert sich ein 2-D-Volumen (das ist eine Fläche) unter Abbildung von M um den Faktor zwei. Überdies ändert sich die Orientierung des Objekts (da det(M ) < 0), so dass es sich bei M um eine Streckung und Spiegelung – eine sogenannte Streckspiegelung – handelt.
Orthogonale Transformationen Im Folgenden wünschen wir uns Abbildungen, die Längen und Winkel unverändert lassen. Eine Abbildung O (O wie orthogonal, nicht mit der langweiligen Abbildung O verwechseln!) lässt Längen unverändert, wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren unter der Transformation M unverändert bleibt. Dies bedeutet: a · b = aTb = (O · a)T (O · b) = aT OT Ob = aTb = a · b , !
! woraus OT O = 1 folgt (denn nur dann ist die Forderung aT OT Ob = aTb erfüllt). Bildet man die Determinante dieser Gleichung, so folgt (2.20)
(2.19)
det(OT O) = det(1) ⇐⇒ det(OT ) det(O) = det(O) det(O) = (det(O))2 = 1 . Damit folgt det(O) = ±1. Wir fassen zusammen: Abbildungen der Form OT O = 1 ,
det(O) = ±1
(2.47)
heißen orthogonale Transformationen und lassen Längen und Winkel unverändert. Weiterhin stellen sie sicher, dass die Bildvektoren abgebildeter senkrechter Vektoren wieder senkrecht sind. Dies ist genau der Fall, wenn OT O = 1 ist, d. h. wenn die Spaltenvektoren der Matrix O eine ONB bilden (Kapitel 1). Die zwei wichtigsten Spezialfälle orthogonaler Transformationen sind Spiegelungen und Drehungen, die wir im Folgenden erläutern.
2.3.2
Spiegelungen
Eine Matrix S heißt Spiegelmatrix, wenn S · S T = 1 = S T · S und det(S) = −1 .
(2.48)
Die Forderung, dass die Determinante det(S) = −1 ist, bedeutet, dass sich unter Spiegelung das Volumen eines abgebildeten Körpers nicht ändert, allerdings die Orientierung wechselt. Beispiel 2.20 (Eine Spiegelmatrix) Man zeige, dass die Matrix M aus Beispiel 2.18 eine Spiegelmatrix ist.
0 Lösung: Wir überprüfen mit M = −1 0 1 die Definition (2.48): −1 0 T −1 0 −1 0 0 = 0 1 · 0 1 = ( 10 01 ) = 1 . M · M T = −1 0 1 · 0 1
2.3 Abbildungen
71
Damit bilden die Spaltenvektoren eine ONB. Nun müssen wir noch die Determinante berechnen: det(M ) = det
−1 0 0 1
= (−1) · 1 = −1 .
Also ist M eine Spiegelmatrix.
2.3.3
Drehungen
Ziel der hiesigen Bestrebungen ist es, ein Verfahren zu ermitteln, mit dessen Hilfe man günstige Koordinatensysteme basteln kann. Hat man zunächst nicht ganz so tolle Systeme erwischt, so möchte man mittels Transformation das System so verändern – bzw. drehen –, dass man ein möglichst einfaches System zur Beschreibung physikalischer Probleme findet. Grund genug, sich einmal näher mit Drehungen auseinanderzusetzen.
Definition einer Drehmatrix D heißt Drehmatrix, wenn die Spaltenvektoren von D eine Orthonormalbasis bilden. Überdies soll sich die Orientierung nicht ändern, das Volumen/die Fläche ebenso nicht: ⇐⇒ D · DT = 1 = DT · D und det(D) = +1 ,
D Drehmatrix
(2.49)
d. h., D ist eine orthogonale Transformation, welche Volumen (| det D| = 1) und Orientierung (det(D) > 0) erhält. Drehungen lassen dementsprechend Längen und Winkel unverändert: |D · a| = |a | = |a| ,
D(a × b) = Da × Db .
1 Beispiel 2.21 (Eine Drehmatrix) √ Man prüfe, ob die Abbildungsmatrix A = − √21
2
1 √ 2 1 √ 2
Lösung: Überprüfen der Definition (2.49): Es ist 1 1 1 1 √ √ √ − √1 +1 A · AT = − √21 √12 · √12 √1 2 = −21 +21 2
2
2
2
2
2
(2.50)
eine Drehung beschreibt.
− 12 + 12 1 1 2+2
= ( 10 01 ) = 1 .
Damit bilden die Spaltenvektoren eine ONB. Doch bleiben das Volumen und die Orientierung unter der durch A beschriebenen Transformation erhalten? 1 1 √ √ det(A) = det − √21 √12 = √12 √12 − − √12 √12 = +1, ja. 2
Also ist A eine Drehmatrix!
2
72
2 Lineare Algebra
Drehmatrix in zwei Dimensionen Wir bestimmen nun die Matrix, die eine Drehung in der x-y-Ebene um den Ursprung mit dem Winkel ϕ (gegen den Uhrzeigersinn, also im mathematisch positiven Sinn gezählt) beschreibt. Das Vorgehen kennen wir aus Abschnitt 2.3.1. Wir nehmen uns die einfachsten Einheitsvektoren e1 = (1, 0)T und e2 = (0, 1)T her und bestimmen deren Bildvektoren.
Abb. 2.4: Zum Aufstellen der Drehmatrix in zwei Dimensionen.
Anhand von Abb. 2.4 können wir ablesen: cos(ϕ) − sin(ϕ) e1 = , e2 = . sin(ϕ)
cos(ϕ)
Damit erhalten wir die Drehmatrix in zwei Dimensionen: cos(ϕ) − sin(ϕ) R2 . D (ϕ) = sin(ϕ) cos(ϕ)
(2.51)
Dieses ist eine Drehmatrix, denn mit s := sin(ϕ) und c := cos(ϕ) ist 2 c −s c s c + s2 cs − sc 1 D · DT = · = = 2 2 s
−s
c
c
sc − cs
s +c
0
0 1
(unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras c2 + s2 = 1) und weiterhin c −s det = c2 − (−s2 ) = c2 + s2 = +1 . s
c
Beispiel 2.22 (Eine 2-D-Drehmatrix) Die Matrix A aus vorherigem Beispiel ist – wie gezeigt wurde – eine Drehmatrix. Für den Drehwinkel gilt dabei √1 2
= cos(ϕ) ,
− √12 = sin(ϕ) .
Dieses bedeutet ϕ = −45◦ bzw. − π4 (alternativ könnte man auch 315 Grad sagen, man wählt aber immer die kleineren Winkel als Bezeichnung). So wird der Vektor √ a = (1, 1)T um −45 Grad auf a = A · a = ( √22 , 0) = ( 2, 0) gedreht, was auch zu √ erwarten war. Und was ist mit dem Volumen? Dies bleibt wegen |a| = 12 + 12 = √ √ √ 2, |a | = ( 2)2 + 02 = 2 und folglich |a| = |a | erhalten!
2.3 Abbildungen
73
Drehmatrix in 3-D um Koordinatenachsen Die einfachsten Drehungen sind in drei Dimensionen jene, die um die Koordinatenachsen x, y und z geschehen. Anhand dieser werden wir zwei weitere wichtige Charakteristika von Drehmatrizen – die Drehachse und den Drehwinkel – kennenlernen.
Abb. 2.5: Zur Drehrichtung. Es wird immer um die Achse entlang des Daumens gegen den Uhrzeigersinn gedreht (hier a).
Wir bestimmen mit unserem Verfahren aus Abschnitt 2.3.1 exemplarisch die Drehung um die x-Achse. Die anderen gehen analog. Überlege dazu wieder, wohin die kanonischen Basisvektoren e1 , e2 und e3 bei Drehung um den Winkel ϕ um die x-Achse abgebildet werden. Dabei ist die Drehrichtung entscheidend (Abb. 2.5). Es gilt dann für die Drehung um die x-Achse e1 → e1 ,
e2 → e2 = (0, cos(ϕ), sin(ϕ))T ,
Damit folgt
⎛
1 DxR = ⎝ 0 0 3
und analog die ⎛ 1 ⎜ R3 ⎜ Dx,ϕ = ⎝ 0 0
e3 → e3 = (0, − sin(ϕ), cos(ϕ))T .
⎞
0 cos(ϕ) sin(ϕ)
anderen. Ergebnis: ⎞ ⎛ 0 0 c ⎟ ⎜ R3 ⎟ ⎜ c −s ⎠ , Dy,ϕ = ⎝ 0 s c −s
0 − sin(ϕ) ⎠ cos(ϕ)
⎞ 0
s
⎛ c
⎞ 0
⎟ 0 ⎟ ⎠, 0 0 1 (2.52) wobei die Indizes angeben, um welche Achse um den Winkel ϕ gedreht wird. 1
⎟ ⎜ R3 ⎜ 0 ⎟ ⎠ , Dz,ϕ = ⎝ s c 0
−s c
Drehachse und Drehwinkel Um die Drehachse wird gedreht. Anders gesagt: Die Koordinaten eines Punktes auf der Drehachse verändern sich unter Drehung um die Drehachse nicht. Stellt man sich z. B. auf dem Jahrmarkt in die Mitte einer rotierenden Platte und macht sich unendlich dünn (ja, ich weiß: Theoretiker!), so bleibt man stets ortsfest an diesem Fleck und ändert seine Position nicht. Genauso verhält es sich mit der Drehachse. Mathematisch wird der Vektor b, welcher entlang der Drehachse zeigt, unter der Drehung D wieder auf sich selbst abgebildet: D · b = b .
(2.53)
74
2 Lineare Algebra
Lösen dieses linearen Gleichungssystems nach den Koordinaten b1 , b2 und b3 liefert schließlich die Drehachse b. Gleichung (2.53) ist ein prominentes Beispiel einer sogenannten Eigenwertgleichung. Eigenwertprobleme werden in Abschnitt 2.4 ausführlich behandelt. In 2-D kann man den Drehwinkel direkt ablesen, wie in Beispiel 2.22 gezeigt wurde. In 3-D ist es durch scharfes Hingucken möglich, bei (2.52) abzulesen, dass stets gilt: Spur(D) − 1 , (2.54) Spur(D) = 1 + 2 cos(ϕ) ⇐⇒ cos(ϕ) = 2 woraus dann der Drehwinkel ϕ bestimmt werden kann. In der Hauptdiagonalen steckt also die Information über den Drehwinkel! (2.54) gilt für jede 3-DDrehmatrix, wie wir in Abschnitt 2.3.4 noch zeigen. Beispiel 2.23 (Eine 3-D-Drehmatrix) Man zeige, dass 1 D = √12 1
−1 0 1 √0 0 0 2 π 4
eine Drehmatrix um die z-Achse mit Drehwinkel
ist.
Lösung: 1. Wir zeigen zunächst, dass D eine Drehmatrix ist: 1 −1 0 1 1 0 D · D T = √12 1 1 √0 · √12 −1 1 √0 = 0
0
2
0
2
0
1 2
2
0 0 0 2 0 0 0 2
= 1.
Weiterhin berechnen wir die Determinante mit Hilfe von Gleichung (2.21) und dem Entwicklungssatz (nach der dritten Zeile!). Beachte dabei, dass der Vorfaktor hoch der Dimension der Matrix genommen werden muss: 3 1 −1 0 3 √
1 3 √
= √ · 2 · 2 = +1 . det(D) = √12 1 1 √0 = √12 · 2 11 −1 1 2 0
0
2
Damit ist D eine Drehmatrix! 2. Den Drehwinkel erhalten wir mit Gleichung (2.54) über die Spur: Spur(D) =
√1 2
+
√1 2
+ 1.
Für den Kosinus des Drehwinkels gilt dann cos(ϕ) =
Spur(D)−1 2
=
√2 +1−1 2 2
=
√1 2
.
Damit folgt für den Drehwinkel ϕ = arccos( √12 ) = π4 . 3. Die Drehachse berechnen wir über D ·b = b. Setze also mit b = (b1 , b2 , b3 )T das LGS an: √1 − √1 0 √1 − √1 0 b1 0 b1 b1 2 2 2 2 1 0 0 1 1 1 1 b b 0 1 0 · = ⇔ − · b2 = 0 . 2 2 √ √ √ √ 0 0 2 2 2 2 0
0
1
b3
b3
0
0
1
0 0 1
b3
0
2.3 Abbildungen
75
Damit ergibt sich im Gauß-Verfahren ⎛ 1 ⎞ 1 √
⎝
−1
2 1 √ 2
0
− √2
√1 2
0
⎛
+ | · (− √12 )
0
0 ⎠ + | · ( √12 − 1)
0
0
−1
0
0
→⎝
√1 2
−1
− √12 ∗ 0
0 0
0 0 0
0
⎞
0 ⎠, 0
wobei ∗ wieder eine bestimmte Zahl bezeichnet. Aus der dritten Zeile folgt sofort: b3 ist beliebig, setze also b3 := t. Zwei Fälle können nun in der zweiten Zeile auftreten: Entweder ist ∗ null, was bedeutet, dass auch b2 frei wählbar ist, oder ∗ ist ungleich null. Letzteres würde bedeuten, dass b2 = 0 und dann auch b1 = 0. Rechnen wir es aus: ∗ = ( √12 − 1)( √12 − 1) −
√1 (− √1 ) 2 2
=
1 2
− 2 √12 + 1 +
1 2
=2−
√2 2
= 0 .
Damit sind b2 = 0 und b1 = 0. Ergebnis der Drehachse: b = (0, 0, t)T ∼ e3 .
Umkehrtransformation Es ist manchmal wie beim Chiropraktiker: Was ist, wenn man sich verdreht hat und die Drehung rückgängig machen will? Wie sieht die Umkehrtransformation einer Drehung D aus? Die Antwort auf diese Frage ist eine weitere äußerst benutzerfreundliche Eigenschaft von Drehungen (überdies auch deutlich weniger schmerzhaft als die Methode des Chiropraktikers!). Wir kennen die Umkehrtransformation quasi schon und haben mit ihr gerechnet, ohne zu wissen, dass sie die Umkehrabbildung ist. Man erinnere: In Abschnitt 2.1.4 haben wir die Inverse einer Matrix A über Gleichung A · X = 1 eingeführt. Für uns lautet die Frage: Für welches X = D−1 gilt D · X = 1? Ein schneller Blick auf die Definition (2.49) – D · DT = 1 – liefert die Antwort: D −1 = D T . (2.55) Die Inverse einer Drehmatrix ist somit gleich ihrer Transponierten (da det(D) = 1 = 0 für alle Drehmatrizen gilt, existiert die Inverse!). Wenn das Leben doch immer so einfach wäre!
2.3.4
Allgemeine Drehmatrix
Als Nächstes müssen wir uns um den Fall kümmern, dass die Drehachse beliebig im Raum liegt. Ist die normierte Drehachse b (und Drehwinkel ϕ) beliebig gegeben, so lässt sich mit folgender Formel die dazugehörige Drehmatrix konstruieren: D(b, ϕ) = cos(ϕ) · 1 + (1 − cos(ϕ)) · (b ◦ b) − sin(ϕ) · (b×) .
(2.56)
76
2 Lineare Algebra
Den Beweis dieser äußerst merkwürdigen Formel sparen wir uns aus, werden aber im Folgenden eine explizite Matrixdarstellung bestimmen. Die mittlere Matrix (b ◦ b) können wir mit unseren Kenntnissen aus Abschnitt 2.1 bestimmen. Setze der Übersichtlichkeit und Lesbarkeit halber den Vektor b als b = (u, v, w)T an. Dann gilt für das dyadische Produkt nach Gleichung (2.37) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 2 ⎞ u
u
u
w
w
wu
uv v2 wv
b ◦ b = ⎝ v ⎠ ◦ ⎝ v ⎠ = ⎝ vu
uw vw ⎠. w2
Nun müssen wir uns noch überlegen, was dieses merkwürdige Konstrukt (b×) sein soll. Oftmals hilft es, das Konstrukt – dessen Wirkung man verstehen will – auf ein Testobjekt loszulassen. Hier wäre dies z. B. ein Vektor a, denn wir wissen, wie das Kreuzprodukt von b × a berechnet wird: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ u
a1
va3 − wa2
w
a3
ua2 − va1
(b×)a = ⎝ v ⎠ × ⎝ a2 ⎠ = ⎝ wa1 − ua3 ⎠. Wir wollen jedoch (b×) als Matrix auffassen, d. h., bei Anwenden dieser Matrix auf einen Vektor a soll gerade das Kreuzprodukt herauskommen, also ist der Ansatz ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ?
?
?
a1
va3 − wa2
?
?
?
a3
ua2 − va1
⎝ ? ? ? ⎠ · ⎝ a2 ⎠ = ⎝ wa1 − ua3 ⎠. Dies kann jedoch direkt abgelesen werden; so ist z. B. die erste Zeile der MatrixVektor-Multiplikation durch das Skalarprodukt (0, −w, v) · a entstanden usw. Ergebnis: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ u
0
w
−v
(b×) = ⎝ v ⎠× = ⎝ w
−w 0 u
v −u ⎠. 0
Wie man sieht, ist diese Matrix antisymmetrisch, denn es gilt (b×)T = −(b×). Das war aber auch zu erwarten, denn das Kreuzprodukt ist ja nicht kommutativ, sondern ändert beim Vertauschen der Kreuzreihenfolge das Vorzeichen (a × b = −b × a). Schließlich können wir die allgemeine Drehmatrix aus unseren soeben gewonnenen Erkenntnissen zusammensetzen. Mit den üblichen Abkürzungen c und s folgt: D(b, ϕ) = cos(ϕ) · 1 + (1 − cos(ϕ)) · (b ◦ b) − sin(ϕ) · (b×) ⎛ ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ c = ⎝ 0 0
0 c 0
0 u 0 ⎠ + (1 − c)⎝ vu wu c
uv v2 wv
uw 0 vw ⎠ + ⎝ −ws w2 vs
ws 0 −us
⎞
−vs us ⎠. 0
2.3 Abbildungen Ergebnis:
⎛
77
c + (1 − c)u2
(1 − c)uv + sw
⎜ D(b, ϕ) = ⎜ ⎝ (1 − c)uv − sw
c + (1 − c)v 2
(1 − c)uw + sv
(1 − c)vw − su
(1 − c)uw − sv
⎞
⎟ (1 − c)vw + su ⎟ ⎠ c + (1 − c)w2
(2.57)
mit der Spur
Spur D(b, ϕ)
=
c + u2 − cu2 + c + v2 − cv 2 + c + w2 − cw2
=
3c + u2 + v 2 + w2 − c(u2 + v 2 + w2 ) .
Da b = (u, v, w)T aber ein Einheitsvektor ist, d. h. b 2 = u2 + v 2 + w 2 = 1 gilt, folgt Spur D(b, ϕ) = 3c + 1 − c = 2 cos(ϕ) + 1 , was Formel (2.54) bestätigt. Beispiel 2.24 (Eine allgemeine Drehmatrix) Man bestimme die Drehmatrix, welche als Drehachse b = und um den Winkel π dreht.
√1 (1, 0, −1) 2
besitzt
Lösung: Wir setzen direkt in (2.57) ein. Es sind b = (u, v, w)T = ( √12 , 0, − √12 )T nebst ϕ = 180◦ , d. h. sin(π) = 0 und cos(π) = −1: c+(1−c)u2 (1−c)uv+sw (1−c)uw−sv (1−c)uv−sw c+(1−c)v 2 (1−c)vw+su D(b, ϕ) =
=
=
(1−c)uw+sv
(1−c)vw−su
−1+(1−(−1))( √1 )2 2
0−0 (1−(−1))( √1 )(− √1 )+0 0 0 −1 0 −1 0 −1 0 0
2
2
0+0 −1 0−0
c+(1−c)w2 (1−(−1))( √1 )(− √1 )−0 2 2 0+0 −1+(1−(−1))(− √1 )2
2
.
Wie man leicht im Kopf überprüft (D · DT = 1 und det(D) = +1), ist dies eine Drehmatrix.
2.3.5
Basiswechsel = Drehung des Koordinatensystems
Bisher haben wir Drehmatrizen aufgestellt und die Objekte (z. B. Vektoren) gedreht. Jetzt gehen wir den umgekehrten Weg und lassen den Vektor unverändert, drehen dafür aber die Achsen. Diese Prozedur nennt man Basiswechsel. Wir betrachten einen Vektor a im Ausgangskoordinatensystem, beschrieben durch die Basisvektoren ei und schauen, was passiert, wenn man ihn aus der Sicht neuer Basisvektoren e i betrachtet. Die Komponenten des Vektors bezüglich der alten Basis bezeichnen wir dabei mit ai , die Komponenten bezüglich der neuen Basis mit ai . Es gilt dann a = a1e1 + a2e2 + a3e3 = a1e 1 + a2e 2 + a3e 3 ,
(2.58)
78
2 Lineare Algebra
wobei man den letzten Teil bitte streng unterscheidet von a = a1e1 + a2e2 + a3e3 . a ist der gedrehte Vektor, gesehen aus dem alten System, während a1e 1 + a2e 2 + a3e 3 der Vektor a ist, gesehen aus dem neuen System. Wir müssen somit streng zwischen passiver Drehung (Vektor bewegt sich nicht, Koordinatenachsen werden gedreht) und aktiver Drehung (Koordinatenachsen bleiben fest, Vektor wird gedreht – haben wir bisher gemacht) unterscheiden. Allerdings ist es egal, ob man aktiv um den Winkel ϕ dreht oder das Koordinatensystem passiv um −ϕ dreht. Bezüglich der Abbildungsmatrix ändert sich bei passiven Drehungen, dass die Bildvektoren zeilenweise statt spaltenweise in die Matrix einbeschrieben werden. Abb. 2.6 veranschaulicht die beiden Dreharten. Abb. 2.6: Aktive und passive Drehung. Links: aktiv, es wird das Objekt (z. B. ein Vektor) gedreht. Rechts: passiv, das Koordinatensystem wird entgegengesetzt gedreht, während das Objekt unverändert bleibt. Beide Abbildungen führen auf eine äquivalente Beschreibung.
Spickzettel zu Abbildungen Abbildungen – Lineare Abbildung L( x) = M · x + b, wobei M Abbildungsmatrix und b Translation. – Bestimmung von M : Schreibe Bildvektoren ei der Basisvektoren ei spaltenweise. – Abbildung eines Vektors (z. B. Drehung/Spiegelung): a = M · a. – Determinante = Volumenverzerrungsfaktor; | det(M )| > < 1: Volumen wird größer/kleiner; | det(M )| = 1: Volumen bleibt erhalten; det(M ) > < 0 Orientierung erhalten/nicht erhalten. – Orthogonale Transformation: OT O = 1 und det(O) = ±1. Wichtige Beispiele: det(O) = 1: Drehungen, det(O) = −1: Spiegelungen. Spiegelungen S Spiegelmatrix ⇔ S · S T = 1 und det(S) = −1. Drehungen – D Drehmatrix ⇔ D · DT = 1 und det(D) = +1; Drehungen lassen überdies Längen und Winkel unverändert. 2 cos(ϕ) − sin(ϕ) – Drehmatrix in 2-D um Winkel ϕ: DR (ϕ) = sin(ϕ) cos(ϕ) . – Drehmatrix in 3-D um die Achsen: R Dx,ϕ = 3
1 0 0
0 c s
0 −s c
– Drehwinkel: cos(ϕ) =
R , Dy,ϕ = 3
Spur(D)−1 , 2
c 0 −s
0 1 0
s 0 c
R , Dz,ϕ = 3
Drehachse: D · b = b.
c s 0
−s c 0
0 0 1
.
2.4 Diagonalisierung und Hauptachsentransformation
79
– Umkehrtrafo der Drehung: D−1 = D T . – Allgemeine Drehmatrix: D(b, ϕ) = c · 1 + (1 − c) · (b ◦ b) − s · (b×), oder in Matrixform
D(b, ϕ) =
c+(1−c)u2 (1−c)uv−sw (1−c)uw+sv
(1−c)uv+sw c+(1−c)v 2 (1−c)vw−su
(1−c)uw−sv (1−c)vw+su c+(1−c)w 2
.
Basiswechsel – Aktive Drehung: Objekt wird gedreht: a = D · a. – Passive Drehung: Koordinatensystem wird gedreht: a = DTa .
2.4
Diagonalisierung und Hauptachsentransformation
Wir werden nun ein Verfahren kennenlernen, mit dem man möglichst günstige Koordinatenachsen zur Beschreibung eines physikalischen Problems finden kann, und anschließend demonstrieren, wie man das ursprüngliche System in das günstige Koordinatensystem überführt. Im Folgenden betrachten wir nur noch quadratische, symmetrische Matrizen A = AT .
2.4.1
Eigenwertproblem
Viele physikalische Probleme sind in ungünstigen Koordinaten formuliert, mit denen es sich nicht schön rechnen lässt. Dies zeigt sich darin, dass in der Matrixformulierung des Problems Einträge außerhalb der Matrixdiagonalen ungleich null sind. Sehr viel schöner wäre allerdings eine matrixartige Beschreibung, in welcher nur auf der Hauptdiagonalen Einträge ungleich null stehen. In diesem Fall heißt die Matrix diagonal. In Kapitel 12 bei gekoppelten Schwingungen werden wir verstehen, warum dies schön ist. Um jene Vereinfachung des Problems zu erreichen, führt man – sofern möglich – eine sogenannte Diagonalisierung (Abschnitt 2.4.2) durch. Zentrale Idee ist hierbei eine (nicht diagonale) Matrix A mit Drehmatrizen D so zu multiplizieren, dass sich eine neue Matrix A ergibt, welche diagonal ist. Diese Prozedur beschreibt eine passive Drehung des Koordinatensystems. Wir suchen Drehmatrizen, die A in Diagonalgestalt bringen anhand von ⎛ ⎞ λ1 0 0 ⎜ ⎟ ⎟ (2.59) A = D · A · D T = ⎜ ⎝ 0 λ2 0 ⎠ , 0 0 λ3
80
2 Lineare Algebra
wobei λ1 , λ2 und λ3 Eigenwerte von A genannt werden. Aufgabe der Diagonalisierung ist es, die Eigenwerte und Drehmatrizen D zu finden, die die obige Überführung gewährleisten. Zentrale Gleichung in diesem Kontext ist die sogenannte Eigenwertgleichung A · f = λf , f = 0 .
(2.60)
Bei gegebener Matrix A müssen wir Vektoren f finden (die Eigenvektoren), die unter der Abbildung A bis auf ein Vielfaches λ invariant, d. h. unverändert, bleiben. λ heißt Eigenwert und f = 0 Eigenvektor zu A. Die gesuchte Drehmatrix D für die Transformation (2.59) erhält man durch zeilenweises Einschreiben der Eigenvektoren (bei passiven Drehungen zeilenweise, bei aktiven Drehungen dagegen (Abschnitt 2.3.1) spaltenweise). Die Eigenvektoren können als Basisvektoren (bzw. Achsen) eines neuen, besseren Koordinatensystems interpretiert werden. In der Tat kennen wir schon eine Eigenwertgleichung (und zwar zum Eigenwert λ = 1). Dieses ist die Gleichung der Drehachse D · b = 1 · b.
2.4.2
Diagonalisierung
Es lässt sich zeigen, dass sich reelle, symmetrische Matrizen immer diagonalisieren lassen. A = AT stellt sicher, dass die Eigenvektoren (das sind die Achsen des neuen Koordinatensystems) paarweise senkrecht aufeinander stehen und somit ein wichtiges Kriterium für eine Orthonormalbasis – bzw. für ein Koordinantensystem mit senkrecht aufeinander stehenden Achsen – erfüllen. Die physikalisch relevanten Matrizen sind häufig symmetrisch, wie z. B. der Trägheitstensor oder die Energie in Abhängigkeit von einem Auslenkungsvektor (Kapitel 12). A = AT ist also eine gute Forderung.
Kochrezept zur Diagonalisierung Die Matrix A = AT ist gegeben und soll diagonalisiert werden. 1. Bestimmung der Eigenwerte Man bestimme aus der polynomialen (meist quadratischen oder kubischen) Gleichung det(A − λ · 1) = 0 die Eigenwerte λi . Oftmals sortieren die Physiker die Eigenwerte zusätzlich noch der Größe nach, d. h. λ1 ≤ . . . ≤ λn . Test: Ist die Spur von A gleich der Summe der Eigenwerte, d. h. Spur(A) =
n i=1
λi
?
2.4 Diagonalisierung und Hauptachsentransformation
81
2. Bestimmung der Eigenvektoren Für jeden Eigenwert λi , i = 1, . . . , n löse man das LGS (A − λ · 1) · f = 0 und bestimme damit die Eigenvektoren. Normiere diese! Test: Bilden sie eine ONB? (In 3-D ist überdies f1 · (f2 × f3 ) = +1 gefordert.) 3. Ergebnis notieren ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ A =⎝ 0
λ1
0 ..
0
0
0
.
⎟ 0 ⎠,
−−−
⎜ D = ⎝ −−− −−−
λn
f1 .. . fn
−−−
⎟
− − − ⎠. −−−
Test: Ist D · A · D T = A ? Gilt jeweils Afi = λi fi ? Ein Tipp in 3-D: Der dritte Eigenvektor lässt sich per Kreuzprodukt aus den ersten beiden erhalten. Das Kreuzprodukt zweier (normierter!) Eigenvektoren ergibt nämlich einen senkrechten dritten (normierten) Vektor. Dieser Trick spart ein LGS-Lösen. Beispiel 2.25 (Diagonalisierung einer Matrix) Man bestimme Eigenwerte und Eigenvektoren von A =
1 2
1 1 0 1 1 0 0 0 2
.
Lösung: Wir sehen sofort, dass A = AT ist und wenden das Kochrezept an. 1. Bestimmung der Eigenwerte Löse 1 1 λ 2 2 0 1 1 − 0 det(A − λ · 1) = det 2 2 0 0
0 1
0 0 λ 0 0 0 λ
1
2
= det
−λ 1 2
0
1 2 1 −λ 2
0
0 0 1−λ
= 0.
Diese Determinante wird nun per Entwicklung nach dritter Zeile berechnet. 1 1
1
0 2 −λ 2
−λ 12
1 1 det = (1 − λ) · 2 1 1 −λ 0
= (1 − λ)( 14 − λ + λ2 − 14 ) 2 2 −λ 0
0
2
1−λ
=
2
(1 − λ)(−λ + λ ) = λ(1 − λ)(−1 + λ) = 0 . 2
Dieses gilt genau dann, wenn λ = 0 oder λ = 1 (wobei λ = 1 doppelter Eigenwert ist). Die Eigenwerte sind damit (der Größe nach geordnet): λ1 = 0 , Test: Spur(A) =
1 2
+
1 2
λ2 = λ3 = 1 .
+ 1 = 2 = λ1 + λ2 + λ3 = 0 + 1 + 1, ja!
2. Bestimmung der Eigenvektoren Löse dazu für jeden Eigenwert das LGS 1 2 −λ 1 (A − λ · 1) · f = 0 ⇐⇒ 2 0
1 2 1 2 −λ
0
0 0 1−λ
· f = 0 .
82
2 Lineare Algebra Los geht’s mit λ = 0. Setze ein und vereinfache per Gauß-Algorithmus: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎝
1 2 1 2
1 2 1 2
0
0
0 0 1
0 + |·1 0 ⎠ + | · (−1) 0
1 2
1 2
0
0 0
→⎝ 0
0 0 1
0 0 ⎠. 0
Aus der dritten Gleichung folgt sofort, dass z = 0. Die Nullzeile sagt uns, dass wir y frei wählen dürfen. Setze also y := 1, dann folgt aus der ersten Zeile x = −1. Damit haben wir unseren ersten (nicht normierten) Eigenvektor gefunden: (−1, 1, 0)T . Normiert ergibt sich also f1 =
√1 (−1, 1, 0)T 2
.
Den zweiten Eigenvektor finden wir analog durch Einsetzen von λ = 1 in das obige LGS. Dann folgt ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎝
− 12 1 2
0
1 2
− 12 0
0 0 0
0 + |·1 − 12 0 ⎠ + |·1 → ⎝ 0 0 0
1 2
0 0
0 0 0
0 0 ⎠. 0
Damit sind zwei von drei Variablen frei wählbar. Setze z := 1 sowie y := 1, dann folgt aus der ersten Zeile x = 1. Ergebnis: f2 =
√1 (1, 1, 1)T 3
.
f3 gewinnen wir mit Hilfe des Kreuzprodukts: −1 1 f3 := f1 × f2 = √12 1 × √13 1 = 0
1
√1 6
1 1 −2
.
Test auf ONB: Die Vektoren ergeben mit sich selbst multipliziert jeweils eins (weil normiert); berechne die gemischten Skalarprodukte. Man sieht schnell ein, dass f1 · f2 = f2 · f3 = f3 · f1 = 0. Berechne also noch f1 · (f2 × f3 ) = f3 · (f1 × f2 ) = f3 · f3 = +1 . Damit bilden die Vektoren eine ONB und ein Rechtssystem! Sie spannen also wiederum ein Koordinatensystem in 3-D auf, wie Abb. 2.7 zeigt.
Abb. 2.7: Wechsel der Koordinatensysteme. Das gedrehte System ist gestrichelt skizziert.
2.4 Diagonalisierung und Hauptachsentransformation 3. Ergebnis notieren ⎛
0 A = ⎝ 0 0
⎞
0 1 0
⎛
0 0 ⎠, 1
− √12
D=⎝
1 √ 6
1 √ 6
2 1 √ 3 1 √ 6
1 √ 2 1 √ 3 1 √ 6
= Weiterhin
2.4.3
1
A · f1
=
A · f2
=
A · f3
=
1 2 1 2
0 0 0 0 1 2 1 2
1
1 2 1 2
0 0 0 0 1 2 1 2
1
1 2 1 2
0 0 0 0 1 2 1 2
− √2
6
0
0
·
√1 2
·
√1 3
·
√1 6
1 2 1 2
0 0 0 0 1
·
1 √ 3 − √2 6
0 0
−1 1 0
1 1 1
1 1 −2
√1 2 1 √ 3 1 √ 6
√1 3 1 √ 6
Test: Gilt wirklich A = D · A · DT ? − √1 √1 0 1 2 2 2 1 1 1 T √ √ √ 1 = · D·A·D 3 3 3 2
− √1
83
1 √ 3 1 √ 3 1 √ 3
=
=
0 0 0
√1 3
=
√1 3 − √26
− √12 1 √ · 2 1 √ 6 1 √ 6 − √2 6
√1 6
0
=
1 √ 3 1 √ 3 1 √ 3
⎠.
1 √ 6 1 √ 6 − √2 6
0 0 0 010 001
= A .
= 0 · f1 ,
1 1 1
⎞
0
= 1 · f2 ,
1 1 −2
= 1 · f3 .
Quadriken
Bevor wir zum Höhepunkt dieses Kapitels – der Hauptachsentransformation – kommen, müssen wir uns noch mit dem Begriff der Quadrik vertraut machen. Wir werden noch oft mit Quadriken zu tun haben, da sie in vielen Anwendungen der Mechanik vorkommen.
Definition der Quadrik Eine Quadrik ist eine Kurve, die durch eine (skalare) Gleichung der Form xT · A · x + b T · x + c = 0
(2.61)
beschrieben werden kann, wobei A zwingend symmetrisch sein muss, d. h. A = AT . In obiger Gleichung beinhaltet x = (x1 , . . . , xn )T die Koordinaten, b = (b1 , . . . , bn )T ist ein konstanter Vektor sowie c ∈ R eine reelle Zahl. Eine Quadrik beschreibt Körper wie z. B. Ellipsoiden (Zeppelin; Abb. 2.8) und Hyperboloiden (Kühlturm). Im Folgenden beschränken wir uns auf maximal drei Dimensionen und wählen die kartesischen Koordinaten als Beschreibung, d. h. x = (x, y, z)T . Weiterhin konzentrieren wir uns auf Quadriken mit b = 0: Q(x) := xT · A · x + c = 0 .
(2.62)
84
2 Lineare Algebra
Abb. 2.8: Beispiel für eine Quadrik – ein Ellipsoid
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
= 1.
Quadrik ausgeschrieben In zwei Dimensionen gilt mit A =
Q(x)
a b
b d
a b
b d
(bedenke: A = AT ) und x = (x, y)T :
x ax + by · + c = (x, y) · +c
=
(x, y) ·
=
x(ax + by) + y(bx + dy) + c = 0 .
y
bx + dy
Es ergibt sich also Q(2) (x) = xT · A · x + c = a · x2 + 2b · xy + d · y 2 + c = 0 .
(2.63)
Die ausgeschriebene Form in drei Dimensionen folgt analog zu ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a
Q(3) (x)
=
(x, y, z) · ⎝ b
d
=
2
b e f
d x f ⎠·⎝ y ⎠ g z
2
ax + ey + gz 2 + 2bxy + 2dxz + 2f yz + c = 0 .
(2.64)
Rückwandlung Nun müssen wir uns noch überlegen, wie man aus der Quadrik, gegeben in Form von (2.64), rückwärts die dazugehörige Matrix gewinnt. Dafür gibt es wieder zwei Methoden. Entweder man liest die einzelnen Matrixeinträge a, b, d, e, f und g ab (ist fisselig, dauert und ist fehleranfällig) oder man verwendet das folgende Schema. Beispiel 2.26 (Matrixbestimmung einer Quadrik) Gegeben ist die Quadrik Q(x) = Q(x, y, z) = 2x2 + 5y 2 − z 2 + 2xy + 4yz. Man bestimme die dazugehörige Matrix A. Lösung: Wir malen eine Art Raster (wie beim Schiffeversenken) über und neben die Matrix, wobei von vorneherein die Matrixsymmetrie A = AT sichergestellt wird:
⎛
x
x
A= y ⎝ z ♥
y
z
♣ ♠
♥ ♠ ⎠.
⎞
2.4 Diagonalisierung und Hauptachsentransformation
85
Im Eintrag steht der Vorfaktor von x · x aus der Quadrik, bei ♣ steht der Vorfaktor vom y · y usw. Auf der Hauptdiagonale steht also
⎛
x
x 2 A= y ⎝ z ♥
y
z
5 ♠
♥ ♠ ⎠. −1
⎞
Nun muss man aufpassen. Der Vorfaktor vor dem x · y – die 2 – darf z. B. nicht einfach an die x-y-Position in der Matrix geschrieben werden (bei in der ersten Zeile), sondern muss symmetrisch auf x · y und y · x aufgeteilt werden (beachte, dass A = AT gelten muss)! Dann folgt also
⎛
x
x 2 A = y ⎝ 2/2 z 0/2
y 2/2 5 4/2
z
⎞
⎛
0/2 2 4/2 ⎠ = ⎝ 1 −1 0
1 5 2
⎞
0 2 ⎠. −1
Soll man umgekehrt eine Quadrik ausmultiplizieren, kann auch das eben gezeigte Verfahren verwendet werden. Man mache die Probe an Gleichung (2.64).
2.4.4
Hauptachsentransformation
Jetzt haben wir alle Hilfsmittel, um die Hauptachsentransformation durchzuführen. Das Vorgehen kann folgendermaßen interpretiert werden: Ein „Objekt“ (z. B. physikalisches Problem oder geometrisches Objekt), beschrieben durch eine Quadrik Q(x) in ungünstigen Koordinaten x = (x, y, z)T , soll aus Sicht eines neuen, günstigeren Koordinatensystems mit Koordinaten u = (u, v, w)T betrachtet werden. Dazu wird das ursprüngliche Koordinatensystem per Drehung in das neue System überführt. Wir können unser Koordinatensystem drehen, wie es uns beliebt – am besten aber so, dass die Beschreibung des „Objekts“ einfach wird (getreu dem Motto „Ich mach mir die Welt, wie sie mir gefällt!“). Liegt z. B. ein Körper schräg im Koordinatensystem, drehen wir es einfach so, dass die Achsen des neuen Systems mit den Hauptachsen (in diesem Fall die Symmetrieachsen) des Objekts zusammenfallen. Dieses neue, günstige Koordinatensystem heißt Hauptachsensystem. Zur Transformation eignet sich das folgende Kochrezept.
Kochrezept zur Hauptachsentransformation Ein Körper sei durch eine Quadrik Q(x) = xT · A · x + c = 0 in einem ungünstigen Koordinatensystem (x, y, z) gegeben (das Ungünstige macht sich darin bemerkbar, dass A nicht diagonal ist).
86
2 Lineare Algebra
1. Vorbereitung Bestimme aus der gegebenen Quadrik die Matrix A. Beachte: A = AT . 2. Diagonalisierung von A Diagonalisiere die aufgestellte Matrix A nach dem in Abschnitt 2.4.2 erläuterten Verfahren. A = ? und D = ? Hilfreich ist auch der Drehwinkel ϕ = ? 3. Hauptachsentransformation Jetzt kommt das Upgrade gegenüber der Diagonalisierung. Führe – der Lesbarkeit halber verwenden wir den Vektor u – die neuen, gedrehten Koordinaten x := u = (u, v, w)T ein via (2.49)
u = D · x ⇐⇒ x = D−1 u = DT u .
(2.65)
Dann bekommt die Quadrik in den (u, v, w)-Koordinaten die folgende Gestalt: λ 1 · u2 + λ2 · v 2 + λ3 · w 2 + c = 0 ,
(2.66)
wobei λ1 , λ2 und λ3 die Eigenwerte von A sind. 4. Bestimmung der Art der Quadrik Bestimme nun mit Hilfe von Gleichung (2.66) das Objekt. Hierfür ist insbesondere Tab. 2.1 hilfreich. Tab. 2.1: 2-D- und 3-D-Objekte und deren Klassifizierung durch Kegelschnitte bzw. Quadriken. + bedeutet positiv, − negativ.
Typ (2-D)
λ1
λ2
c
Typ (3-D)
λ1
λ2
λ3
c
leere Menge Nullpunkt Ellipse/Kreis Hyperbel zwei Geraden durch 0 leere Menge v-Achse zwei Geraden
v-Achse
+ + + + +
+ + + − −
+ 0 − ± 0
+ + +
0 0 0
+ 0 −
Ellipsoid zweischal. Hyperboloid ellipt. Doppelkegel einschal. Hyperboloid ellipt. Zylinder hyperbolischer Zylinder 2 Ebenen der w-Achse v-w-Ebene zwei Ebenen zur v-w-Ebene
+ + + + + + + + +
+ + + + + − − 0 0
+ − − − 0 0 0 0 0
− + 0 − − ± 0 0 −
Was ist bei Schritt 3 passiert? Wie folgt durch die einfache Koordinatentransformation (2.65) die äußerst freundliche Gleichung (2.66)? Das nehmen wir nicht einfach hin und überprüfen dies! Also Ausgangsquadrik genommen und nachgeprüft: Q(x)
=
xT · A · x + c = 0 ⇐⇒ (DT u)T · A · (D T u) + c = 0 .
2.4 Diagonalisierung und Hauptachsentransformation
87
Beim (Aus)Transponieren der ersten Klammer muss wieder beachtet werden, dass sich bei (A · b)T = bT · AT die Reihenfolge der Produktpartner ändert. Hier: (DT u)T · A · (D T u) + c = 0 ⇐⇒
uT · (DT )T · A · D T · u + c = 0
⇐⇒
uT · D · A · D T · u + c = 0 .
Sieh einmal an, das Matrizenprodukt in der Mitte D · A · DT kennen wir doch – richtig, Gleichung (2.59), d. h. D · A · DT = A ! Dann folgt sofort ⇐⇒ uT · A · u + c = 0 . A ist aber gerade nach Definition die Diagonalmatrix mit Einträgen λ1 , λ2 , λ3 auf der Hauptdiagonalen und sonst null: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ λ1
uT · A · u = (u, v, w) · ⎝ 0 0
0 λ2 0
0 u 0 ⎠ · ⎝ v ⎠ = λ 1 u2 + λ2 v 2 + λ3 w 2 . λ3 w
Ergebnis: ˜ u) = λ1 u2 + λ2 v 2 + λ3 w 2 + c = 0 . Q( Beispiel 2.27 (Planetenbahn) Die Bahn eines Himmelskörpers werde durch die Quadrik 3x2 + 2xy + 3y 2 = 4 beschrieben. Auf welcher Bahn bewegt er sich? Lösung: Per Hauptachsentransformation. 1. Vorbereitung Wir bestimmen zunächst aus der gegebenen Quadrik die Matrix A:
=⇒
3x2 + 2xy + 3y 2 − 4 = (x, y) · ab db · ( xy ) + c = 0 3 1 = AT , c = −4 . A= 1
3
A muss nun diagonalisiert werden. 2. Diagonalisierung von A a) Bestimme die Eigenwerte: det(A − λ · 1)
=
$ det ( 31
=
9 − 6λ + λ2 − 1 = λ2 − 6λ + 8 = 0 .
1) 3
−
λ
0 0 λ
%
= det
3−λ
Damit ergeben sich die Eigenwerte zu λ1 = 2 und λ2 = 4. (Test: λ1 + λ2 = 2 + 4 = 3 + 3 = Spur(A), ok.)
1
1 3−λ
88
2 Lineare Algebra b) Bestimmung der Eigenvektoren. Löse (A − λ · 1) · f = 0 für jedes λ. Für λ = 2 gilt 1 1 0 . 1
1
0
Zieht man Zeile 2 von Zeile 1 ab, so bekommt man sofort eine Nullzeile. Wähle also y := 1, dann folgt x = −1. Damit f1 = √12 (−1, 1)T . Der zweite Eigenvektor muss natürlich senkrecht auf f1 stehen. Dieser ist f2 = √1 (−1, −1)T , welchen man natürlich auch rechnerisch aus dem LGS 2
für λ2 erhalten kann. Wie man durch Skalarprodukt-Bilden nachprüft, ist f1 ⊥ f2 . Somit bilden f1 und f2 eine ONB. c) Zwischenergebnis: √1 − √12 2 0 2 , D= A = 1 1 0
4
− √2
− √2
nebst Drehwinkel cos(ϕ) = − √12 ⇒ ϕ = 135◦ . 3. Hauptachsentransformation Nun kommt der entscheidende Schritt mit neuen Koordinaten u = (u, v)T : xT · A · x + c = 0 −→ uT · A · u + c = λ1 u2 + λ2 v 2 + c = 0 . (∗) In unserem Fall ergibt sich 2u2 + 4v 2 − 4 = 0. 4. Art der Quadrik Wegen λ1 = 2 > 0 und λ2 = 4 > 0 handelt es sich bei (∗) um die Gleichung einer Ellipse (Tab. 2.1). Die Rückführung auf die Ellipsengleichung liefert: 2u2 + 4v2 = 4 ⇔
u2 + v2 = 1 ⇔ 2
(u−0)2 √ ( 2)2
+
(v−0)2 12
= 1.
Damit ist die Bahn des Himmelskörpers in gedrehten Koordinaten eine Ellipse √ mit Mittelpunkt (0, 0) und Halbachsen a = 2 und b = 1 (Abb. 2.9).
Abb. 2.9: Ellipse in Ausgangskoordinaten (x, y) und dem Hauptachsensystem (u, v). Das (x, y)-System geht in das gestrichelte (u, v)-System durch Drehung um 135◦ über.
2.4 Diagonalisierung und Hauptachsentransformation
89
Spickzettel zur Hauptachsentransformation Eigenwertgleichung Oft auftauchende Gleichung: A · f = λf, wobei A = AT und f = 0. λ heißt Eigenwert, f Eigenvektor. Die f’s entsprechen den Koordinatenachsen des Hauptachsensystems. Diagonalisierung Bestimmung der Hauptachsen durch Diagonalisierung. Fahrplan: a) Bestimmung der Eigenwerte (EW) von A durch det(A − λ · 1) = 0. Dann λi = ? Test: λi = Spur(A)? b) Bestimmung von Eigenvektoren f zu jedem EW aus dem LGS (A−λi ·1)· f = 0 (f’s müssen ONB bilden). Bei 3-D: f3 = f1 × f2 . c) Ergebnis: A =
λ1
0 0 0 λ2 0 0 0 λ3
,
D=
Test: A · fi = λi fi , A = DAD T .
−−− f1 −−− −−− f2 −−− −−− f3 −−−
.
Quadrik x +c = 0; Q(2) ( x) = a·x2 +2b·xy +d·y 2 +c = 0 Objekt, beschrieben durch xT ·A· (3) 2 2 2 und Q (x) = a · x + e · y + g · z + 2b · xy + 2d · xz + 2f · yz + c = 0. Hauptachsentransformation Q(x) gegeben mit A = AT . Diagonalisiere A, um A und D zu bestimmen; transformiere dann das alte System ins neue per x = DT u; hier kann das Objekt ˜ u) = λ1 u2 + λ2 v 2 + λ3 w2 + c = 0 bestimmt werden (z. B. mit obigen Tabellen). Q(
90
2 Lineare Algebra
3 Rechnen mit Indizes
Übersicht 3.1
Einstein’sche Summenkonvention . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
3.2
Skalarprodukt und das Kronecker-Symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
3.3
Der Levi-Civita-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
3.4
Produkte mit Kronecker und Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.5
„Anwendungen“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.1
Einstein’sche Summenkonvention
In den letzten Kapiteln tauchten immer wieder Rechenvorschriften mit Indizes auf, wie z. B. die Sarrus-Regel (det(A) = a1 b2 c3 + . . .), Skalar- oder Kreuzprodukt, welche sehr unübersichtlich erschienen. Wir werden nun eine Schreibweise kennenlernen, die solche langen Terme in eleganter Weise zusammenfasst und bei vielen Rechnungen eine Hilfe ist. Eine wichtige Festlegung vorweg ist: Einstein’sche Summenkonvention (ES) Wenn Indizes doppelt auftreten (nur doppelt!) und klar ist, wie weit
(3.1)
summiert wird, dann kann das Summenzeichen weggelassen werden. Beispiel 3.1 (Basiszerlegung eines Vektors in Indizes) Wie lautet die Zerlegung eines Vektors x = (x1 , . . . , xn ) in der kanonischen Basis? Lösung: Für die Basiszerlegung gilt x = x1e1 + . . . + xnen =
n
xiei = xiei ,
i=1
wobei im letzten Schritt die Einstein’sche Summenkonvention verwendet wurde.
92
3 Rechnen mit Indizes
Laufindizes und freie Indizes Begrifflich unterscheiden wir zwei Klassen von Indizes. Befindet sich in einer Gleichung ein doppelter Index, so heißt dieser Lauf index und impliziert direkt eine Summe. Da der Wert einer Summe unabhängig vom Namen des Laufindex ist, können wir doppelte Indizes umbenennen: 3
xi yi = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 =
i=1
3
xj yj
j=1
oder kurz in Einstein’scher Summenkonvention xi yi = xj yj (= xk yk = x y = . . .) .
(3.2)
Ein einzelner Index dagegen heißt freier Index, weil man ihm zum expliziten Ausschreiben der Gleichung einen beliebigen, frei wählbaren Wert (1, 2, 3, . . .) zuweisen kann. So ist z. B. ci die i-te Komponente des Vektors c. Bei c = (1, 4, −2) wäre ci=2 = c2 = 4. ci dagegen wäre nur eine abstrakte Schreibweise der i-ten Komponente. Beachte ganz besonders drei Dinge:
Freie Indizes dürfen nicht umbenannt werden! ci impliziert keine Summe über i, sondern beschreibt die i-te Komponente des Vektors c: ci = ei · c. ai bi ci ist keine gültige Summenkonvention, da der Index i dreifach auftritt.
Oben und unten Wie soll man unterscheiden, ob bei e1 die erste Komponente von e gemeint ist oder dieses den ersten Einheitsvektor bezeichnet? Wie soll man zwischen Zeilen- und Spaltenvektor unterscheiden (z. B. beim Skalarprodukt aT · b)? Dazu gibt es folgende Vereinbarung: Indizes von Spaltenvektoren werden nach oben geschrieben, d. h., ai ist die i-te Komponente des Spaltenvektors a, dagegen werden bei transponierten Vektoren die Indizes nach unten geschrieben, genau wie beim Durchzählen der Einheitsvektoren. Um jedoch die ganze Sache für uns einigermaßen lesbar zu machen, verzichten wir auf diese Unterscheidung und lassen alle Indizes unten stehen. Folglich ist es für uns in diesem Kapitel eine lässliche Sünde, auf das Transponieren des ersten Vektors beim Skalarprodukt zu verzichten. Die Indexschreibweise ist eine sehr elegante Schreibweise, welche viel Schreibarbeit spart, dessen Formalismus zugegebenermaßen aber nicht sofort zugänglich und somit befremdlich erscheint. Die gute Nachricht: Im Folgenden laufen die Indizes i, j, k, . . . nur von 1 bis 3, so dass ein explizites Ausschreiben der versteckten Summen jederzeit möglich ist.
3.2 Skalarprodukt und das Kronecker-Symbol
3.2
93
Skalarprodukt und das Kronecker-Symbol
Als Paradebeispiel für die Einstein’sche Summenkonvention fungierte in Beispiel 3.1 das Ausschreiben von x: (3.3) x = xiei . Auch das Skalar- und Kreuzprodukt, Matrizenprodukt etc., kurz alle Objekte und deren Operationen mit Indizes, können mit Hilfe der Indexrechnung sehr kurz gefasst werden.
3.2.1
Skalarprodukt in Indizes
Wir betrachten zunächst das Skalarprodukt, wieder darauf verzichtend, den ersten Vektor zu transponieren: a · b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 =
3
ai bi
i=1
oder in Kurzform a · b = ai bi .
(3.4)
Beispiel 3.2 (Umgang mit Einstein’scher Summenkonvention) √ Wie lesen sich ak ak , a a und aj bk cj dk in verständlicher Sprache? 2
1. ak ak = a1 a1 + a2 a2 + a3 a3 = a21 + a22 + a23 = |a| . Das ist gerade das Betragsquadrat des Vektors a. √ 2. a a = a2 = a . . . und voll reingefallen! Dort steht unterhalb der ersten Wurzel eine Summe über – wie wir wissen: Ziehe aus Summen niemals die Wurzel! Richtig: √ √ a a = a1 a1 + a2 a2 + a3 a3 = a21 + a22 + a23 = |a| = a . √ Es handelt sich somit um die Kurzschreibweise von a = a · a. 3. Die Symbole aj , bk , cj und dk bezeichnen Komponenten und sind somit nur Zahlen. Diese können wir beliebig umsortieren – und zwar so, dass die gleichen Summationsindizes nebeneinander stehen. Dadurch wird der kryptische Term lesbar: . aj bk cj dk = aj cj bk dk = (aj cj )(bk dk ) = (a · c)(b · d)
Aus dem Beispiel lernen wir zweierlei: ak ak = a2k ,
√ a a = a .
94
3.2.2
3 Rechnen mit Indizes
Definition des Kronecker-Symbols
Die Herleitung des Skalarprodukts (3.4) war sehr indexlastig. Wir erinnern uns: a · b
=
(a1e1 + a2e2 + a3e3 ) · (b1e1 + b2e2 + b3e3 )
=
+a1 b1 (e1 · e1 ) + a1 b2 (e1 · e2 ) + a1 b3 (e1 · e3 ) +a2 b1 (e2 · e1 ) + a2 b2 (e2 · e2 ) + a2 b3 (e2 · e3 ) +a3 b1 (e3 · e1 ) + a3 b2 (e3 · e2 ) + a3 b3 (e3 · e3 )
=
a1 b1 · 1 + 0 + 0 + 0 + a2 b2 · 1 + 0 + 0 + 0 + a3 b3
=
a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = ai bi .
Dabei wurde ausgenutzt, dass die Einheitsvektoren normiert sind und senkrecht aufeinander stehen, d. h. also e1 · e1 = e2 · e2 = e3 · e3 = 1 , e1 · e2 = e1 · e3 = e2 · e3 = 0 . Wir sehen: Das Skalarprodukt der Einheitsvektoren liefert nur etwas ungleich null – nämlich genau eins –, wenn die Indizes der Einheitsvektoren gleich sind. Abgekürzt heißt dies: 1 für i = j . ei · ej = 0 für i = j Für diesen Sachverhalt wird das Kronecker-Symbol eingeführt: 1 für i = j ei · ej =: δij = , δij = δji . 0 für i = j
(3.5)
Es ist also z. B. δ11 = 1 (da beide Indizes gleich sind: δ11 = e1 ·e1 = 1) und δ21 = 0 (weil e2 · e1 = 0). Wegen δij = δji heißt das Kronecker-Symbol symmetrisch, da ein Vertauschen der Indizes den Wert des Symbols nicht ändert.
3.2.3
Rechenregeln für das Kronecker-Symbol
Mit Hilfe des Kronecker-δ kann das Skalarprodukt geschrieben werden als 3 3 3 3 (ES) (3.5) aiei bj ej = ai bj (ei · ej ) = ai bj (ei · ej ) = ai bj δij . a·b = i=1
j=1
i=1 j=1
Wie wir aber wissen, muss a · b = ai bi = aj bj sein (Indexname egal!). Wir vergleichen: aj bj = ai bj δij = ai bi , j
i,j
i
3.2 Skalarprodukt und das Kronecker-Symbol
95
was die obige Herleitung des Skalarprodukts in Kurzform darstellt! Wie man sieht, wird beim Ausführen einer Summe – vornehm auch Kontraktion eines laufenden Index genannt – der Index der ausgeführten Summe vom Kronecker „geschluckt“! Um dies zu verstehen, betrachten wir
δij ai =
i
3
δij ai = δ1j a1 + δ2j a2 + δ3j a3
i=1
mit frei wählbarem Index j. Je nachdem, wie j gewählt wird, bleibt immer nur ein Term über – und zwar aufgrund der Kronecker-Eigenschaften (3.5) derjenige, bei dem der feste Index j mit dem zweiten δ-Index übereinstimmt (für j = 1 fest gewählt überlebt z. B. nur der erste Term, da δ21 = δ31 = 0). Somit gilt δij ai = aj ,
δij aj = ai ,
ai bi = δij ai bj = aj bj .
(3.6) (3.7)
Salopp gesagt: Wenn ein Kronecker vor einem Indexwulst steht, so darf – sofern möglich – ein Index mit dem „Ersatzindex“ vom Kronecker ersetzt werden und das verwendete δ verschwindet (mathematisch wird die Summe über den Laufindex ausgeführt und (3.5) ausgenutzt). Schematisch bedeutet dies: δij aj = δij/a/j = ai = ai . Analoges gilt für eine Multiplikation zweier Kronecker-Symbole: δij δjk = δik
(3.8)
(schematisch δij/δ/j k = δik ), wogegen δij δk nicht weiter vereinfacht werden kann (kein Index doppelt, alle frei wählbar sind). Eine beliebte Falle ist δii = 1, denn wir müssen Einstein beachten: δii = δ11 + δ22 + δ33 = 1 + 1 + 1 = 3 . δii = ei · ei =
(3.9)
i
Beispiel 3.3 (Rechnen mit Kronecker) Wie vereinfachen sich cm ai a bm δi sowie δj δ m δmn δnk und δj δj δmn δmn ? Lösung: 1. cm ai a bm δi = ? Wir halten zunächst nach einem rettenden δ Ausschau, womit wir eventuell einen Index ersetzen und das ganze Ungeheuer dann weiter zusammenziehen können: cm ai a bm δi = cm a a bm = a a bm cm ,
96
3 Rechnen mit Indizes wobei zunächst die Summe über i ausgeführt wurde (und wegen δi der Index vom a durch ein ersetzt wurde) und anschließend nach Laufindizes umsortiert wurde. Das dürfen wir, denn in Indexschreibweise entsprechen die indizierten Größen lediglich Zahlen (in diesem Fall den Komponenten eines Vektors), die wir nach Belieben tauschen dürfen. Nach Gleichung (3.4) folgt a a bk ck = (a · a)(c · b) . (3.8)
(3.8)
2. δj δ m δmn δnk = δjm δmk = δjk , und dieses kann nicht weiter umgeschrieben werden, da j und k frei wählbare Indizes sind. Im ersten Schritt wurden hierbei das erste und zweite sowie dritte und vierte δ zusammengezogen. (3.9)
3. δj δj δmn δmn = δjj δmm = 3 · 3 = 9.
3.2.4
Interpretation des Kronecker-Symbols δij
Schließlich sind wir noch eine verständliche Interpretation von δij schuldig. Wir ziehen hierzu die Definition (3.5) des Kronecker-Symbols heran. δij liefert Eins, wenn die festen Indizes i und j gleich sind und sonst Null. Lassen wir nun i und j von Eins bis Drei laufen, zählen i aufsteigend senkrecht nach unten und j aufsteigend waagerecht nach rechts und schreiben tabellenartig die Werte von δij hin, was erhalten wir dann? Richtig, die Einheitsmatrix:
i=1 i=2 i=3
j=1 δ11 = 1 δ21 = 0 δ31 = 0
j=2 δ12 = 0 δ22 = 1 δ32 = 0
j=3 δ13 = 0 δ23 = 0 δ33 = 1
δij ist nichts anderes als der Eintrag 1ij in der Einheitsmatrix, d. h. in der i-ten Zeile und j-ten Spalte. Nun macht die Summation δii Sinn, denn hierbei handelt es sich lediglich um die Summation entlang der Hauptdiagonalen, d. h. um die Spur der Einheitsmatrix; also sollte sich bei der 3×3-Einheitsmatrix eine Drei für δii ergeben. Und weiterhin können wir auch das „Index-Ersetzen“ verstehen: δij aj ist nichts anderes als die Multiplikation der Einheitsmatrix mit dem Vektor a, wobei eine bestimmte Zeile i betrachtet wird. Beispiel für festes i = 1: ⎞ ⎛ 1 .. .
0 .. .
0 .. .
( δ1j
a1
· ⎝ a2 ⎠ a3
·
aj
=
1 · a1 + 0 · a2 + 0 · a3 .. .
=
= δ11 ·a1 + δ12 ·a2 + δ13 ·a3
=1
Wir werden darauf noch zurückkommen.
=0
=0
ai=1 .. .
= a1 ).
3.3 Der Levi-Civita-Tensor
3.3
97
Der Levi-Civita-Tensor
Um den Levi-Civita-Tensor zu verstehen, benötigen wir den Begriff der Permutation – ein vornehmes Wort für Vertauschung. Wir betrachten zur Erläuterung der Permutation ein Zahlentripel (i, j, k), wobei jeder Index die Werte 1, 2 oder 3 annehmen kann.
3.3.1
Zyklische und antizyklische Permutationen
Wir unterscheiden die für uns wichtigen: zyklische und antizyklische Vertauschung. zyklische Tripel: antizyklische Tripel:
(123) , (231), (312),
(3.10)
(213) , (132) , (321) .
(3.11)
Dies kann man sich anhand der Drei-Stunden-Uhr in Abb. 3.1 verdeutlichen. Zyklische Tripel sind diejenigen, dessen Zahlen im Uhrzeigersinn durchlaufen werden (durchgezogene Pfeile); antizyklische sind jene, bei denen die Zahlen im Gegenzeigersinn durchlaufen werden (gestrichelte Pfeile).
Abb. 3.1: Die Drei-Stunden-Uhr. Im Uhrzeigersinn ergeben sich die zyklischen Tripel, gegen den Uhrzeigersinn die antizyklischen.
Insgesamt gibt es n = 33 = 27 mögliche Anordnungen dreier Zahlen in einem Tripel, nämlich (123), (231), (312), (321), (132), (213), (111), (112), (113), (121), (122), (131), (133),
(3.12)
(211), (212), (221), (222), (223), (232), (233), (311), (313), (322), (323), (331), (332), (333). Diese willkürliche Anordung – die zyklischen Tripel der ersten Zeile, die antizyklischen in der zweiten Zeile und der Rest mit doppelten und dreifachen Zahlen darunter – wird ihren Sinn noch offenbaren. Mit Hilfe dieser Vorüberlegung können wir nun das Levi-Civita-Symbol einführen und seine Eigenschaften verstehen.
98
3 Rechnen mit Indizes
3.3.2
Das Levi-Civita-Symbol
Paradebeispiel für das Levi-Civita-Symbol ist die Sarrus-Regel bei Determinanten: ⎛ ⎞ a1
det ⎝ b1
c1
a2 b2 c2
a3 b3 ⎠ = +a1 b2 c3 + a2 b3 c1 + a3 b1 c2 − a3 b2 c1 − a1 b3 c2 − a2 b1 c3 . c3
Wenn man genau hinsieht, fällt doch etwas auf: Die Terme mit zyklischen Indexanordnungen werden positiv gerechnet, die mit antizyklischen Indextripeln negativ. Die restlichen Kombinationen aus (3.12) tauchen gar nicht auf. Alles nur Zufall? Man zerlege das Kreuzprodukt a × b in die Basisvektoren e1 , e2 und e3 : ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a1
b1
a3
b3
a2 b3 − a3 b2
⎝ a2 ⎠ × ⎝ b2 ⎠ = ⎝ a3 b1 − a1 b3 ⎠ ⎛
a1 b2 − a2 b1
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
a2 b3 − a3 b2 0 0 ⎠ + ⎝ a3 b1 − a1 b3 ⎠ + ⎝ ⎠ 0 0 =⎝ 0 a1 b2 − a2 b1 0
= (a2 b3 − a3 b2 ) e1 + (a3 b1 − a1 b3 ) e2 + (a1 b2 − a2 b1 ) e3 = +e1 a2 b3 + e2 a3 b1 + e3 a1 b2 − e1 a3 b2 − e2 a1 b3 − e3 a2 b1 . Auch hier entdeckt man das gleiche Schema wie oben: Zyklische Indexstellungen werden positiv, antizyklische negativ gezählt und doppelte oder dreifache Indizes mit Null gewichtet. Wer glaubt jetzt noch an Zufall? Das erwähnte „System“ hinter obigen Sachverhalten wird durch das Levi-CivitaSymbol beschrieben: ⎧ ⎪ i, j, k zyklisch ⎪ ⎨ 1 für εijk := ei · (ej × ek ) =
⎪ ⎪ ⎩
−1 0
für
i, j, k antizyklisch ,
(3.13)
sonst
was dem Spatprodukt der Einheitsvektoren entspricht. εijk ist damit nichts anderes als die i-te Komponente des Kreuzprodukts von ej × ek bei festgewähltem i, j und k. Für ε123 z. B. werden wir den Wert 1 erwarten, da das Zahlentripel (123) ein zyklisches Tripel ist. Es ist ε123 := e1 · (e2 × e3 ) = e1 · e1 = +1, wie erwartet. Ebenso folgen z. B. ε132 = e1 · (e3 × e2 ) = e1 · (−e1 ) = −1 und ε133 = e1 · (e3 × e3 ) = e1 · 0 = 0, was mit der Definition übereinstimmt, denn (132) ist ein antizyklisches Tripel (das Levi-Civita-Symbol ε sollte also den Wert −1 liefern) und (133) hat zwei oder mehr Indizes doppelt (ε sollte den Wert 0 liefern).
3.3 Der Levi-Civita-Tensor
99
Antisymmetrie des Levi-Civita-Symbols εijk heißt hochtrabend total antisymmetrisch unter Vertauschung zweier Indizes (im Gegensatz zum symmetrischen Kronecker-Symbol, für das δij = δji gilt!). Das bedeutet zweierlei. Erstens: Unter Vertauschung zweier beliebiger Indizes springt ein Minus heraus: εijk = −εjik = εkij = . . .
(3.14)
Bei zyklischer Vertauschung der Indizes ändert sich jedoch nicht das Vorzeichen: εijk = εkij = εjki .
(3.15)
Zweitens: Sind zwei Indizes gleich, so liefert ε eine Null, d. h. εiij = 0 ,
εijj = 0 ,
εjij = 0 .
(3.16)
Aufgrund dieser beiden Eigenschaften nennt man das Levi-Civita-Symbol total antisymmetrisch.
3.3.3
Spatprodukt und Kreuzprodukt in Kurzform
Wir kehren zu den Paradebeispielen zurück und wollten die Regel von Sarrus kurzschreiben; benutze dazu die Umschreibung ins Spatprodukt: ⎛ ⎞ a1
det ⎝ b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 ⎠ = a · (b × c) . c3
Nun schreiben wir mit Hilfe der Einstein’schen Summenkonvention die Vektoren a, b und c kurz: a · (b × c) = aiei · (bj ej × ck ek ) = ei · (ej × ek ) ai bj ck ,
=εijk
dabei beim ersten Gleichheitszeichen bewusst darauf achtend, dass nicht mehr als zwei gleiche Indizes auftreten. Im zweiten Schritt war es möglich, die Komponenten der Vektoren (es sind ja Zahlen!) nach hinten zu ziehen. Nun taucht jedoch das Spatprodukt der Einheitsvektoren, also gerade unser ε-Symbol, auf! Ergebnis: ⎛ ⎞ a1 a2 a3 ⎜ ⎟ ⎟ det ⎜ (3.17) ⎝ b1 b2 b3 ⎠ = a · (b × c) = εijk ai bj ck . c1 c2 c3
100
3 Rechnen mit Indizes
Beispiel 3.4 (Sarrus in Indizes) Man zeige durch explizites Ausschreiben, dass εijk ai bj ck der Sarrus-Regel entspricht. Lösung: Wir schreiben die Summen explizit hin und verwenden die Eigenschaften des Levi-Civita-Symbols: εijk ai bj ck = εijk ai bj ck = εijk ai bj ck i
i,j,k
=
i
j
k
(εij1 ai bj c1 + εij2 ai bj c2 + εij3 ai bj c3 )
j
mit ausgeschriebener k-Summe im letzten Schritt. Bevor wir nun die gesamte jSumme ausschreiben, überlegen wir uns doch erstmal, welche Terme überhaupt überleben. Denn beachte (3.13): Terme mit doppelt und dreifach auftretenden Indizes werden durch das ε-Symbol sowieso null. Somit fällt z. B. im ersten Summanden j = 1 weg, im zweiten j = 2 und im dritten j = 3. Die Überlebenden sind damit εijk ai bj ck = (εi12 ai b1 c2 + εi13 ai b1 c3 + εi21 ai b2 c1 i
i,j,k
+εi23 ai b2 c3 + εi31 ai b3 c1 + εi32 ai b3 c2 ) . Analoge Überlegung: Bei der Summation über i fallen weitere Terme weg, und nur noch wenige überleben; so überlebt z. B. im ersten Summanden nur i = 3 usw. Es folgt direkt εijk ai bj ck
=
ε123 a1 b2 c3 + ε132 a1 b3 c2 + ε213 a2 b1 c3 + ε231 a2 b3 c1
=1
=−1
=−1
=1
+ ε312 a3 b1 c2 + ε321 a3 b2 c1
=+1
=
−1
a1 b2 c3 + a2 b3 c1 + a3 b1 c2 − a3 b2 c1 − a1 b3 c2 − a2 b1 c3 = Sarrus!
Kreuzprodukt in Indizes Auch das Kreuzprodukt lässt sich mit Hilfe des ε-Symbols kurz schreiben. Betrachte die i-te Komponente (a × b)i , was nichts anderes ist als (a × b)i = ei · (a × b) . In Einstein’scher Summenkonvention ist dies (a × b)i = ei · (a × b) = ei · (aj ej × bk ek ) ,
(3.18)
3.4 Produkte mit Kronecker und Levi-Civita
101
wobei wieder darauf zu achten ist, dass wir nicht mehr als zwei gleiche Indizes benutzen. Herausziehen der Vektorkomponenten aj und bk liefert (a × b)i = ei · (ej × ek ) aj bk .
=εijk
Ergebnis: (a × b)i = εijk aj bk .
(3.19)
Beispiel 3.5 (Kreuzprodukt in Indizes) Man zeige durch Ausschreiben des Ausdrucks εijk aj bk , dass dies bei fest gewähltem i der i-ten Komponente von a × b entspricht. Lösung: Wir möchten die dritte Komponente von a × b berechnen und wissen natürlich, dass (a × b)3 = a1 b2 − a2 b1 ist. Doch ergibt sich dieses auch aus (3.19)? Zur Überprüfung wählen wir fest i = 3 und schreiben die Summen explizit aus. Dabei werden wieder viele Terme mit gleichen Indizes dank ε wegfallen. (3.19) = ε3jk aj bk = ε3jk aj bk = (ε3j1 aj b1 + ε3j2 aj b2 + 0) (a × b)3 j
=
3.4
k
j
[0 + ε312 a1 b2 ] + [ε321 a2 b1 + 0] = −a2 b1 + a1 b2 = a1 b2 − a2 b1 .
Produkte mit Kronecker und Levi-Civita
Ein Produkt kennen wir schon: (3.8)! δij δjk = δik . Ein weiteres einfaches entsteht bei Kontraktion von ε und δ. Dabei ist es das alte Spiel: Ersetze mit Hilfe des Kronecker-δ einen Index, also δim εijk = εmjk .
(3.20)
δij εijk = εiik = 0 ,
(3.21)
Bei doppelter Kontraktion gilt
da bei Ausführen der i-Summe immer die ersten beiden Indizes des ε-Symbols gleich sind! Aufwendiger ist es, zwei ε-Tensoren miteinander zu kontrahieren. Ganz allgemein ergibt sich das Produkt bei sechs ungleichen Indizes zu εijk ε mn = +δi δjm δkn +δj δkm δin +δk δim δjn −δi δkm δjn −δj δim δkn −δk δjm δin . (3.22)
102
3 Rechnen mit Indizes
Dieses Monstrum beschreibt 36 = 729 Gleichungen auf einen Schlag, da jeder Index die Werte 1, 2 oder 3 annehmen kann und es insgesamt sechs frei wählbare Indizes gibt. Zum Aufbau: Zunächst folgt der zweite Index in einem δ-Term immer der Reihenfolge , m, n. Bei den positiv gezählten Termen wird der erste Index zyklisch durchlaufen, also (ijk) → (jki) → (kij); analog wird bei den negativ gezählten Termen der erste Index antizyklisch durchlaufen: (ikj) → (jik) → (kji). Produkte dieser Form werden höchst selten auftreten. Interessanter sind da die folgenden Spezialfälle: Ein Index doppelt. O.B.d.A. sei k = n: εijk ε mk
(3.22)
=
+δi δjm δkk + δj δkm δik + δk δim δjk −δi δkm δjk − δj δim δkk − δk δjm δik
(3.9)
=
3δi δjm + δj δim + δ j δim − δi δjm − 3δj δim − δi δjm
=
δi δjm − δj δim ,
wobei wir im letzten Schritt die gleichnamigen Terme wie bei der Äpfel- und Birnenrechnung zusammengezogen haben. Somit folgt εijk ε mk = δi δjm − δim δj .
(3.23)
Aus dem ε-Produkt wird ein δ-Produkt! Zwei Indizes doppelt. O.B.d.A. sei k = n, j = m. Aus (3.23) folgt εijk ε jk = δi δjj − δij δj = 3δi − δi = 2δi . Ergebnis: εijk ε jk = 2 · δi .
(3.24)
Es bleibt bei dieser Multiplikation somit nur ein δ mit den nicht doppelten Indizes der ε-Symbole über. Alle Indizes doppelt. Aus (3.24) folgt εijk εijk = 2 · δii = 2 · 3 = 6 .
(3.25)
Nun kennen wir alle relevanten Gleichungen für ε und δ. Beispiel 3.6 (Ein Dreifachprodukt) Man vereinfache εijk εjn εi m . Lösung: Wir gehen zunächst auf die Suche nach doppelt auftretenden Indizes, um die obigen Regeln für ε-Produkte anwenden zu können. Hier haben wir die Wahl, da offensichtlich i, j und Laufindizes sind (d. h., sie tauchen doppelt auf). Wir starten mit den letzten beiden ε-Symbolen. Um die Form der obigen Gleichungen zu erzeugen (d. h., der doppelte Index steht jeweils hinten), tauschen wir im letzten ε die Indizes zyklisch durch: εijk εjn εi m = εijk εjn εmi .
3.5 „Anwendungen“
103
Nun stehen die doppelten Indizes hinten, und wir können die letzten beiden εSymbole mit Hilfe von Gleichung (3.23) zusammenfassen: εijk εjn εmi = εijk (δjm δni − δji δnm ) = δjm δni εijk − δji δnm εijk , wobei im letzten Schritt nur die Klammer ausmultipliziert wurde. Jetzt ersetzen wir munter mit den Kronecker-δ diverse Indizes und es folgt εijk εjn εi m = δjm δni εijk − δji δnm εijk = δjm εnjk − δnm εjjk = εnmk .
=0
Ergebnis: εijk εjn εi m = εnmk .
3.5
„Anwendungen“
3.5.1
Beweis der bac-cab-Formel
Wir sind noch den Beweis der bac-cab-Formel schuldig. Man erinnere: a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b) . Zum Beweis betrachten wir eine Komponente i und verwenden zweimal (3.19): (3.19) (3.19) a × (b × c) = εijk aj (b × c)k = εijk aj εk m b cm = εijk εk m aj b cm . i
Man achte wiederum darauf, dass nicht mehr als zwei Indizes gleich sind (um dies zu vermeiden, haben wir und m im zweiten Kreuzprodukt eingeführt). Nun steht dort ein ε-Produkt, bei dem ein Index doppelt ist. Wir tauschen die Indizes im zweiten ε zyklisch durch, so dass anschließend (3.23) angewendet und die δ’s kontrahiert werden können: (3.23) a × (b × c) = εijk εk m aj b cm = εijk ε mk aj b cm = (δi δjm − δim δj ) aj b cm i
= δi δjm aj b cm − δim δj aj b cm = δi am b cm − δim a b cm = am bi cm − a b ci = bi am cm − ci a b = bi (am cm ) − ci (a b ) . Die Klammern kommen nicht von ungefähr, denn wie wir wissen, sind am cm = a ·c und a b = a · b. Somit a × (b × c) = bi (am cm ) − ci (a b ) = bi (a · c) − ci (a · b) . i
Betrachtet man also nicht mehr nur die Komponente i, sondern das gesamte Gebilde, ergibt sich in der Tat bac-cab: a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b) .
(3.26)
104
3.5.2
3 Rechnen mit Indizes
Matrizenrechnung in Kurzform
Wie wir wissen, hat eine Matrix Zeilen und Spalten. Ein Vektor hat entweder nur Zeileneinträge oder Spalteneinträge. Vielleicht ist es dann intuitiv, dass Matrizen zwei Indizes benötigen (einen für die Zeilen, einen für die Spalten): ⎛ ⎞
⎜ (Aij ) = ⎝
a11 .. . an1
... .. . ...
a1m .. ⎟ . ⎠. anm
i = 1, . . . , n gibt den Zeilenindex, j = 1, . . . , m den Spaltenindex an. Für Matrizen kennen wir u. a. folgende Operationen: 1. Addition/Subtraktion zweier Matrizen Diese geschieht wie bekannt komponentenweise, so dass aus A und B eine neue, gleichgroße Matrix C wird: Aij ± Bij = Cij .
(3.27)
Dabei sind i und j fest gewählt. Diese Gleichung beschreibt exakt das Gleiche wie (2.2). 2. Matrix mal Vektor Hierbei wird eine Zeile der Matrix A mit der Spalte des Vektors b multipliziert, wodurch ein neuer, nicht notwendig gleichgroßer Vektor c entsteht. Es laufen somit der Spaltenindex der Matrix sowie der Zeilenindex des Vektors, und die i-te Zeile des Matrix-Vektor-Produkts ergibt sich zu (A · b)i = Aij bj = ci .
(3.28)
Schreibt man z. B. für i = 1 die Formel für eine 2 × 3-Matrix und einen Vektor b = (b1 , b2 , b3 )T aus, so ergibt sich: (A · b)1 = A1j bj =
3
A1j bj = A11 b1 + A12 b2 + A13 b3 = c1 ,
j=1
was offensichtlich das richtige Ergebnis liefert: ⎛ ⎞ b1 A11 A12 A13 A11 b1 + A12 b2 + A13 b3 · ⎝ b2 ⎠ = . ∗
∗
∗
b3
...
3. Matrix mal Matrix Dies läuft ähnlich wie eben. Einziger Unterschied: Das Ergebnis ist jetzt eine Matrix Cij : (3.29) Cij = (A · B)ij = Aik Bkj .
3.5 „Anwendungen“
105
4. Transponieren Wir tauschen Zeile mit Spalte: AT ij = Aji .
(3.30)
Damit formuliert sich die Bedingung, dass A = AT gilt (A symmetrisch) als Aij = Aji . 5. Spur Summiere über die Hauptdiagonale: Spur(A) = Aii .
(3.31)
Drehmatrizen Für Drehungen D gilt bekanntermaßen D · D T = DT · D = 1. In Indizes formuliert sich dies wie folgt: T δij = 1ij = (D T · D)ij = Dik Dkj = Dki Dkj ⇔ Dki Dkj = δij .
(3.32)
Beispiel 3.7 (Invarianz des Skalarprodukts unter Drehungen) Man zeige, dass Längen unter Drehungen D unverändert bleiben. Lösung: Wir starten mit dem Skalarprodukt a · b der gedrehten Vektoren im gestrichenen System und müssen nun zeigen, dass dies exakt das Gleiche ist wie a · b im ungestrichenen System. Es ist a · b = (Da) · (Db) und aufgeschlüsselt in Indizes (3.4) (3.28) (Da) · (Db) = (Da)i · (Db)i = Dij aj · Dik bk = Dij Dik aj bk .
Um die Summe über i ausführen zu können, müssen wir i und j in der ersten Matrix tauschen. Dies geschieht per Transposition: (3.30)
(3.32)
T Dij Dik aj bk = Dji Dik aj bk = (D T D)jk aj bk = δjk aj bk = aj bj .
Schließlich wissen wir, dass aj bj = a · b. Damit ist gezeigt: Das Skalarprodukt ist invariant unter Drehungen: a · b = a · b .
106
3 Rechnen mit Indizes
3.5.3
Tensoren
Objekte, die gewissen Eigenschaften unter Drehungen gehorchen – bzw. unter Drehung des Koordinatensystems –, nennt man aus physikalischer Sicht Tensoren. Ti1 ...in ist ein Tensor n-ter Stufe genau dann, wenn folgendes Transformationsverhalten vorliegt: Ti1 ...in = Di1 k1 Di2 k2 . . . Din kn Tk1 ...kn .
(3.33)
n Stück
Das bedeutet: Pro Index benötigen wir eine Drehmatrix, um den Tensor zu transformieren. Wir betrachten ein paar Spezialfälle: n = 0 : kein Index, T . Das bedeutet T = T . Tensoren nullter Stufe heißen Skalare, und das sind nichts anderes als Zahlen! Physikalisch bedeutet das: Längen, Winkel, Flächeninhalte usw. ändern sich unter Drehungen überhaupt nicht. Ein Meter bleibt ein Meter, egal aus welchem Koordinatensystem man die Länge betrachtet! n = 1 : ein freier Index, Ti . Dieses kennen wir aber, denn Ti ist doch die i-te Komponente des Vektors T . Befragen wir (3.33) dazu. Es gilt dort Ti = Dik Tk . Man schiele auf (3.28). Schreibt man b anstatt T , so erhält man die Matrix-Vektor-Multiplikation b = D · b. Dieses ist aber die Drehung eines Vektors! Merke also: Ein Tensor erster Stufe ist ein einfach indiziertes Objekt, also ein Vektor. n = 2 : zwei freie Indizes, Tij . Man ahnt schon: Eine Matrix. Dies bestätigt sich. Unsere Gleichung sagt Tij = Dik Dj Tk . Dort stehen nur Komponenten – Matrixeinträge –, deswegen dürfen wir beliebig durchtauschen, so dass Tij = Dik Tk Dj . Es dürfen aber bei Matrizenmultiplikation nur gleiche Indizes aufsummiert werden, wenn sie T . Und was nebeneinander stehen. Hier hilft aber (3.30) weiter: Tij = Dik Tk D j T steht dort nun? Richtig T = D · T · D , und das war die Matrixtransformation, die wir von der Diagonalisierung bzw. passiven Drehung aus Abschnitt 2.4 kennen! Merke: Ein Tensor zweiter Stufe ist eine Matrix. Beachte dabei allerdings: Jeder Tensor zweiter Stufe lässt sich nach Auswahl einer Basis als Matrix darstellen. Während der Tensor bei Basiswechsel invariant bleibt, ändern sich die als Matrix zusammengefassten Tensorkomponenten; dies ist analog zur Änderungen der Komponenten eines Vektors bei Basiswechsel, man vergleiche dazu auch die Anmerkung in Abschnitt 2.3.1. n = 3: drei freie Indizes, Tijk . Ein Objekt mit drei Indizes? Da kennen wir doch einen Vertreter: εijk . In der Tat handelt es sich auch hierbei um einen Tensor, und zwar dritter Stufe (der überdies total antisymmetrisch ist, wie zuvor schon festgestellt wurde).
3.5 „Anwendungen“
107
Beispiel 3.8 (Transformation des Kronecker-Symbols) Man zeige, dass δij ein Tensor ist. Lösung: Zu zeigen ist hier, dass δij = δij , also δij mit zwei Drehmatrizen gemäß der Tensordefinition (3.33) transformiert: = Dik Dj δk = Dik δk Dj . δij
Wir können das Kronecker-Symbol mit der hinteren Drehmatrix kontrahieren und erhalten T δij = Dik Djk = Dik Dkj = (D · DT )ij = 1ij = δij .
Häufiger Irrtum: Nicht jede indizierte Größe ist auch automatisch ein Tensor! Stets muss (3.33) überprüft werden. Es gibt Größen, die von der Wahl des Ursprungs abhängig sind (z. B. der Drehim s. Kapitel 12) und (3.33) nicht erfüllen. Aufgrund dieser Abhängigkeit sind puls L; diese Größen keine Tensoren, sondern sogenannte Pseudotensoren. In der gleichen Manier unterscheidet man Vektoren von Pseudovektoren.
Symmetrische und antisymmetrische Tensoren Ein Tensor heißt symmetrisch, wenn er unter Vertauschen zweier Indizes unverändert bleibt, d. h. Sij = Sji bzw. allgemein Ti1 ...ik ...i ...in = Ti1 ...i ...ik ...in .
(3.34)
So ist z. B. das Kronecker-Symbol symmetrisch, da δij = δji gilt. Ein Tensor heißt antisymmetrisch, wenn er unter Vertauschen zweier Indizes sein Vorzeichen wechselt: Aij = −Aji bzw. allgemein Ti1 ...ik ...i ...in = −Ti1 ...i ...ik ...in .
(3.35)
εijk ist antisymmetrisch, da εijk = −εjik . Er heißt sogar total antisymmetrisch, weil er unter Vertauschung zweier beliebiger Indizes antisymmetrisch ist.
Kontraktion von Tensoren Die Kontraktion zweier Tensoren oder Verjüngung bedeutet, dass man zwei Indizes eines Tensors (z. B. εijk → εiik ) oder eines Produkts zweier Tensoren (z. B. Aij Bk → Aij Bj ) gleichsetzt und über diese summiert. Dies kann man mehrfach ausführen, bis – bei Tensoren gleicher Stufe – nurmehr ein Skalar übrig bleibt. Dann spricht man von vollständiger Kontraktion.
108
3 Rechnen mit Indizes
Hilfreich ist dabei folgende Regel: Ein antisymmetrischer Tensor A werde mit einem symmetrischen Tensor S kontrahiert (die Schreibweise hierfür sei •). Das Kontrahieren dieser beiden Tensoren liefert S • A = A • S = 0.
(3.36)
Zwei prominente Fälle kennen wir schon: zum einen δij εijk = εiik = 0. δij ist symmetrisch, während εijk total antisymmetrisch ist. Deren Kontraktion muss zwangsläufig null werden. Zum anderen ist εijk aj ak = 0, da εijk total antisymmetrisch, aj ak = ak aj aber symmetrisch ist. Natürlich kommt man zum gleichen Ergebnis, wenn man die Summe über j und k ausführt. Andere Argumentation: εijk aj ak ist nach (3.19) die i-te Komponente des Kreuzprodukts a × a = 0.
Spickzettel zum Rechnen mit Indizes Einstein’sche Summenkonvention Wenn Indizes doppelt auftreten (nur doppelt!) und klar ist, wie weit summiert wird, dann kann das Summenzeichen weggelassen werden, so z. B. a = aiei ; ai dagegen ist die i-te (fest gewählte) Komponente von a und ai bi ci keine gültige Summenkonvention! Kronecker, Skalarprodukt + i=j Kronecker ist definiert als ei · ej =: δij = 10 für ei · ej = ej · ei = δji . für i=j ; δij = Damit: a · b = ai bj δij ; weiterhin δij ai = aj , δij δjk = δik und δii = 3. δij entspricht den Komponenten der Einheitsmatrix. Levi-Civita, Spat- und Kreuzprodukt Levi-Civita definiert als εijk := ei · (ej × ek ) =
,
1 für i,j,k zyklisch −1 für i,j,k antizyklisch 0 sonst
.
εijk heißt total antisymmetrisch, d. h. εijk = −εjik = εkij = . . . und weiterhin εiik = εiji = εijj = 0. Damit ist das Spatprodukt a · (b × c) = εijk ai bj ck und das Kreuzprodukt (a × b)i = εijk aj bk . Doppelte Produkte Tensorprodukte: δij εik = εjk , insbesondere δij εijk = εiik = 0; weiterhin εijk εmn = . . . (18 Kroneckers) mit den drei wichtigen Spezialfällen εijk εijk = 6, εijk εjk = 2δi und εijk εmk = δi δjm − δim δj . Matrizen in Indizes Aij ist Matrixeintrag in der i-ten Zeile und j-ten Spalte, Addition zweier Matrizen (A ± B)ij = Aij ± Bij ; Multiplikation: (A · b)i = Aij bj , (A · B)ij = Aik Bkj ; T Transposition: AT ij = Aji ; Spur(A) = Aii ; Drehungen: Dik Djk = (D ·D )ij = δij . Tensoren Ti1 ...in heißt Tensor n-ter Stufe genau dann, wenn Ti1 ...in = Di1 k1 Di2 k2 . . . Din kn Tk1 ...kn . n = 0: T ist ein Skalar; n = 1: T ist Vektor; n = 2: T ist Matrix. Kontraktion eines Tensors/Tensorprodukts = Gleichsetzen zweier Indizes und Ausführen der Summe; es gilt S • A = 0 = A • S, wenn Sij = Sji und Aij = −Aji .
4 Differenzialrechnung
Übersicht 4.1
Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.2
Mehrdimensionale Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.3
Reihenentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.4
Ableitung vektorwertiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.1
Ableitungen
Die Differenzialrechnung beschäftigt sich mit der lokalen Änderungsrate von Funktionen, salopp gesprochen geht es um die winzigen Änderungen einer Funktion, wenn an ihrem Argument ein ganz klein wenig, d. h. infinitesimal gewackelt wird. Anwendungen gibt es zuhauf: Geometrisch: Man möchte die Steigung einer beliebigen Funktion f (x) an einer Stelle x0 bestimmen. Änderungen: Wie ändert sich eine Funktion bei kleiner Abänderung der Argumente (z. B. räumliche Änderung der Temperatur)? Wie ändert sich der Ort eines Teilchens in der Zeit? Extremwertuntersuchung: Wie muss ein System gestaltet sein, damit eine Größe (z. B. die Arbeit) minimal wird? Linearisierung: Man möchte eine Funktion in der Umgebung eines Punkts linear annähern. All diese Fragestellungen werden wir in diesem Kapitel und den folgenden beantworten. Wir führen die Ableitung zunächst geometrisch ein und stellen uns dazu die Frage: „Wie kann man die Steigung einer Funktion bestimmen?“, deren Beantwortung auf den Begriff der Ableitung führt.
4.1.1
Begriff der Ableitung
Ziel der hiesigen Bestrebungen ist es, die Steigung einer beliebigen Funktion f (x) an einer Stelle x0 zu bestimmen. Dies ist die Steigung der Geraden, die nur in einem
110
4 Differenzialrechnung
Punkt (x0 , f (x0 )) die Funktion f (x) berührt – die sogenannte Tangentensteigung. Die grundsätzliche Idee der Herleitung zeigt Abb. 4.1.
Abb. 4.1: Links: Bestimmung der Sekantensteigung durch Steigungsdreieck. Mitte: Die Sekantensteigung nähert sich immer weiter an die tatsächliche Steigung an der Stelle x0 an, je näher man die Schnittpunkte aneinanderbringt. Rechts: Im Grenzfall ε → 0 ergibt sich die Steigung von f (x) in x0 .
Im linken Bild legen wir eine Sekante durch die Punkte (x0 , f (x0 )) und (x0 + ε, f (x0 + ε)). Dann folgt mit Hilfe des Steigungsdreiecks: ms =
Δy f (x0 + ε) − f (x0 ) = Δx (x0 + ε) − x0
und wir erhalten den sogenannten Differenzenquotienten ms =
f (x0 + ε) − f (x0 ) . ε
(4.1)
Dies ist jedoch nur die Sekantensteigung, definiert durch zwei Punkte (x0 , f (x0 )) und (x0 + ε, f (x0 + ε)). Die Tangentensteigung erhalten wir, wenn wir den zweiten Punkt immer weiter auf (x0 , f (x0 )) zurutschen lassen, also den Abstand ε der beiden Stellen x0 und x0 + ε gegen null gehen lassen. Im Grenzfall ε → 0 (Abb. 4.1 rechts) erhalten wir den Differenzialquotienten lim
ε→0
f (x0 + ε) − f (x0 ) =: f (x0 ) , ε
(4.2)
wobei wir die linke Seite mit f (x0 ), der ersten Ableitung von f an der Stelle x0 , abkürzen. Die Ableitung f (x0 ) entspricht genau der gesuchten Tangentensteigung. Eine analoge Beschreibung der Ableitung ist durch den abgewandelten Differenzialquotienten f (x) − f (x0 ) f (x0 ) = lim (4.3) x→x0 x − x0 für x = x0 + ε gegeben, welche aber auf die gleichen Ergebnisse wie Gleichung (4.2) führt.
4.1 Ableitungen
111
Notation Wir werden ab sofort für die Ableitung die folgenden Notationen äquivalent verwenden:
df df
d f (x) = f = . (4.4) = f , f (x0 ) = f (x)|x0 = dx dx dx x0 Der „Bruch“ df dx (welcher nur als Symbol gelesen werden sollte!) heißt Leibniz’sche Schreibweise der Ableitung und ist formaler Natur. Man hüte sich strengstens vor der falschen Vereinfachung df dx
= fx ,
da „d“ keine Zahl ist, sondern daran erinnern soll, dass unendlich kleine Stückchen d von f und x betrachtet werden. dx f ist eine typische Physikerschreibweise, die manchmal sehr hilfreich ist, da man sofort die Operatoreigenschaft der Ableitung d vor, welcher erkennen kann. Man stelle sich dazu einen hungrigen Operator dx nach rechts wirkt und auf eine Funktion f (x) wartet. Schließlich tauchen in der Physik neben Ortsableitungen auch Zeitableitungen auf, für die wir eine gesonderte Notation einführen: df =: f˙(t) . dt
(4.5)
Die erste Zeitableitung wird also mit einem Punkt gekennzeichnet, während die erste Ortsableitung meist mit einem Strich notiert wird.
Differenzierbarkeit Eine Funktion heißt in x0 differenzierbar, wenn der Differenzialquotient (4.2) an der Stelle x0 existiert und einen Wert kleiner als unendlich besitzt. Existiert an jeder Stelle, an der die Funktion definiert ist, der Wert des Differenzialquotienten, so heißt die Funktion differenzierbar auf ihrem Definitionsbereich D. Die große Frage ist natürlich: Wie wird sichergestellt, dass die Funktion auf D differenzierbar ist? Nun, die Funktion darf zum einen keine Sprünge machen, d. h., sie muss stetig sein. Dies ist der Fall, wenn links- und rechtsseitiger Grenzwert + (x → x− 0 bzw. x → x0 ) an jeder Stelle x0 ∈ D gleich sind: lim f (x) = f (x0 ) = lim+ f (x) .
x→x− 0
(4.6)
x→x0
Ist man sich an einer Stelle x0 ob der Stetigkeit nicht sicher, so muss rechts- und linksseitiger Grenzwert der Funktion verglichen werden. Existieren beide Grenzwerte und sind sie gleich, so ist die Funktion stetig.
112
4 Differenzialrechnung
Zum anderen darf die Funktion keine spitzen Ecken und Kanten haben, was z. B. durch eine abschnittsweise Definition der Funktion jedoch auftreten kann. Dies + x, x≥0 ist z. B. der Fall bei der Betragsfunktion |x| = −x x 0
sinh(x)
cosh(x)
cosh(x) arcsin(x)
sinh(x) 1 − √1−x = −[arccos(x)] 2
x
e := exp(x) arctan(x)
1 √ 2 x x
e
1 1+x2
1 cos2 (x)
1 x 1 1 ln(a) x
Beispiel 4.5 (Ableitungsmix) Man berechne die erste Ableitung von x(t) = Ae−γt cos(ωt). Lösung: x(t) soll nach der Zeit t abgeleitet werden. Die übergeordnete Struktur ist das Produkt aus e−γt und cos(ωt), weshalb zunächst die Produktregel beachtet werden muss: d −γt d −γt x(t) ˙ =A · cos(ωt) + Ae · e cos(ωt) . dt dt Sowohl der e-Term als auch der cos-Term müssen per Kettenregel abgeleitet werden. Im ersten Fall ist exp( ) die äußere Funktion mit innerer Funktion u = h(t) = −γt, im zweiten ist der cos die äußere und ωt die innere Funktion.
4.1 Ableitungen
117
Damit folgt:
x(t) ˙
d −γt e dt
−γt
· cos(ωt) + Ae
·
d cos(ωt) dt
=
A
=
Ae−γt (−γ) · cos(ωt) + Ae−γt · (− sin(ωt)ω)
=
−Ae−γt (γ cos(ωt) + ω sin(ωt)) .
Ableiten kann beliebig kompliziert werden. Wir belassen es aber zunächst bei diesem Beispiel und betrachten eine weitere, weniger bekannte Ableitungsregel.
Ableitung der Umkehrfunktion Die Umkehrfunktion g(y) einer Funktion y = f (x) ist so definiert, dass die Verkettung beider die Identität liefert: g(f (x)) = f (g(x)) = x bzw.
f −1 (f (x)) = x = f (f −1 (x)) ,
(4.11)
wobei f −1 die Umkehrfunktion bezeichnet: f −1 (x) bezeichnet die Umkehrfunktion zu f . Beachte f −1 (x) =
1 f (x) !
Ableiten der linken Gleichung in (4.11) liefert nach der Kettenregel g (f (x)) · f (x) = 1 ⇔ g (f (x)) =
1 f (x)
und folglich 1 g (y) = f (g(y))
bzw. mit Leibniz
dx
= dy f (x0 )
1
dy
dx x0
.
(4.12)
Das ist die Regel zur Ableitung der Umkehrfunktion. Als Ursprungsfunktion f nehme man stets die leichtere Funktion, von der man die Ableitung kennt. Beispiel 4.6 (Ableitung der Wurzel) Man differenziere die Umkehrfunktion von y = x2 für x > 0. Lösung: Die Umkehrfunktion im Intervall (0, ∞) von y = x2 ist x = g(y) = Dann gilt nach Formel (4.12) g (y) =
f (x
1 1 1 1 = 2 = = √ . √ = g(y)) [x ] |x=g(y) 2x|x= y 2 y
√
y.
118
4 Differenzialrechnung
Beispiel 4.7 (Ableitung des Arcus-Tangens) Man bilde die Ableitung von arctan(x). Lösung: Die Umkehrfunktion ist offensichtlich tan(x), so dass wir setzen: y = f (x) = tan(x) und x = g(y) = arctan(y). Dann folgt g (y) =
1 f (x=g(y))
=
1 [tan(x)] |x=g(y)
.
Nach Tab. 4.2 ist [tan(x)] = 1 + tan2 (x) oder per Hand nach Quotientenregel [tan(x)]
:=
sin(x) cos(x)
=
cos(x)·cos(x)−sin(x)·(− sin(x)) cos2 (x)
=
1+
sin2 (x) cos2 (x)
=1+
sin(x) cos(x)
=
2
cos2 (x)+sin2 (x) cos2 (x)
= 1 + (tan(x))2 .
Damit folgt g (y) =
1 [tan(x)] |x=g(y)
=
1 (1+(tan(x))2 )|x=arctan(y)
=
1 1+(tan(arctan(y)))2
=
1 1+y 2
,
was auch mit Tab. 4.2 korrespondiert.
4.1.3
Kurvendiskussion light
Wir werden nun lernen, wie man die Charakteristika einer zu untersuchenden Funktion f (x) bestimmt, d. h. eine Kurvendiskussion durchführt. Dazu benötigen wir u. a. höhere Ableitungen. Analog zur Ableitungsschreibweise (4.4) schreiben wir für höhere (zweite, dritte) Ableitungen f (x) =
d2 f d2 = f (x) , dx2 dx2
f (x) =
d3 f d3 = f ,... dx3 dx3
und allgemein für die n-te Ableitung f (n) (x) =
dn f dn = f (x) . dxn dxn
(4.13)
2 Für die höheren Zeitableitungen schreiben wir einfach mehr Punkte: f¨ = ddtf2 und ... 3 f = ddt3f , wobei dem Autor bisweilen noch keine Formel mit höherem Zeitableitungsgrad als drei über den Weg gelaufen ist.
Geometrische Interpretation der Ableitungen Die erste Ableitung f (x) ist geometrisch gesehen die Steigung der Tangente an der Kurve f (x) oder auch die Änderung der Funktion im Argument x. Abb. 4.3 links zeigt dies.
4.1 Ableitungen
119
Abb. 4.3: Interpretation der ersten und zweiten Ableitung. Links: Ausgangsfunktion mit Tangenten. Mitte: Erste Ableitung. Rechts: Zweite Ableitung.
Es fällt auf, dass direkt bei xmax , xmin und xSP die Tangentensteigung der Funktion null ist. Dies ist eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremums (d. h. Minimum oder Maximum): xE Extremstelle
⇐⇒
f (xE ) = 0 .
(4.14)
Läuft man ab der Stelle xmin nach rechts entlang des Graphen, so nimmt die Steigung der Tangente (entspricht der zweiten Ableitung f (x)) immer weiter zu. Schaut man sich dagegen die Stelle xmax an, so nimmt die Tangentensteigung von links nach rechts immer weiter ab. Wir merken uns: ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ < 0 : Steigung nimmt ab (Rechtskurve), f (x)
> 0 : Steigung nimmt zu (Linkskurve), ⎪ ⎪ ⎩ = 0 : höhere Ableitungen untersuchen.
(4.15)
Die zweite Ableitung kann als Änderung der Ableitung im Argument x interpretiert werden, d. h., sie ist ein Maß dafür, wie die Funktion ihre Steigung ändert. Das rechte Bild in Abb. 4.3 illustriert dies.
Lokale Extrema Für viele Anwendungen ist es eine wichtige Fragestellung, wo die Extrema liegen und welcher Art (Minimum, Maximum?) sie sind. Wir unterscheiden begrifflich lokale (auf ein bestimmtes Intervall begrenzte) und globale (auf den gesamten Definitionsbereich gesehene) Extrema. Mit Gleichung (4.14) ist uns ein gutes Werkzeug gegeben, die Extremstellen zu suchen. Dazu müssen wir alle x bestimmen, die die Gleichung f (x) = 0 erfüllen. Die so gefundenen Extremstellen xE sind anschließend zu klassifizieren. Dabei hilft uns die zweite Ableitung weiter. Macht die Funktion an der Stelle xE eine Linkskurve (d. h. f (xE ) > 0), so handelt es sich bei xE zwingend um die Stelle
120
4 Differenzialrechnung
eines Minimums. Ist die durchfahrene Kurve durch xE jedoch eine Rechtskurve (d. h. f (xE ) < 0) so ist xE die Stelle eines Maximums. Wechselt die Kurve gerade in xE ihre Krümmung (d. h. f (xE ) = 0; in Abb. 4.3 bei xW ), so muss mit Hilfe der höheren Ableitungen die Stelle untersucht werden (für die Physiker von geringem Interesse). Wir fassen zusammen: ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ Maximum ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ f (xE ) < 0 , (xE , f (xE ))
Minimum ⎪ ⎪ ⎩ weiter zu untersuchen
⇐⇒
f (xE ) = 0 und
f (xE ) > 0 , ⎪ ⎪ ⎩ f (x ) = 0 . E (4.16)
Kochrezept für Kurvendiskussion Folgendes Kochrezept eignet sich gut, um die wesentlichen Eigenschaften einer Funktion f (x) zu bestimmen. 1. Charakteristische Punkte Bestimme die Schnittpunkte Sy = (0, f (0)) mit der y-Achse und Sxi = (xi , 0) mit der x-Achse. Gibt es Definitionslücken? 2. Randuntersuchung Wie verhält sich die Funktion im Unendlichen, limx→±∞ f (x) = ? Was ist bei den Definitionslücken los? Bilde hier rechts- und linksseitigen Grenzwert. 3. Lokale Extrema a) Notwendige Bedingung: Setze f (x) = 0 und bestimme alle Extremstellen xE aus dieser Gleichung. b) Hinreichende Bedingung: Bilde f (x). Untersuche nun jede Extremstelle. Ist f (xE ) < 0, so liegt bei (xE , f (xE )) ein lokales Maximum, ist f (xE ) > 0, so liegt bei (xE , f (xE )) ein lokales Minimum. 4. Graph skizzieren Zeichne die wesentlichen Punkte ein und skizziere das Verhalten der Funktion im Unendlichen und an den Definitionslücken. Beispiel 4.8 (Gauß-Kurve) Diskutieren Sie die Funktion f (x; σ, μ) = und σ > 0.
√1 2πσ
· e−
(x−μ)2 2σ 2
mit Parameter μ ∈ R
Lösung: Wir verwenden das eben vorgestellte Kochrezept. 1. Charakteristische Punkte Wir bestimmen zunächst die Schnittpunkte mit der y-Achse. Setze dazu x = 0: f (x = 0; σ, μ) = √ μ2
μ2 1 e− 2σ2 . 2πσ
1 Damit liegt bei Sy = (0, √2πσ e− 2σ2 ) der Schnittpunkt mit der y-Achse.
4.1 Ableitungen
121
Für die Schnittpunkte mit der x-Achse setzen wir f (x) = 0. Hier: √
(x−μ)2 1 · e− 2σ2 = 0 . 2πσ
Da jedoch e(...) immer größer Null ist und auch der Vorfaktor nicht Null werden kann, kann die Gleichung nicht erfüllt werden. Somit besitzt f keine Nullstellen. f ist für alle x ∈ R definiert, somit gibt es keine Definitionslücken. 2. Randuntersuchung Wir untersuchen das Verhalten der Funktion im Unendlichen: lim f (x; σ, μ)
=
lim f (x; σ, μ)
=
x→+∞
x→−∞
(x−μ)2 1 · lim e− 2σ2 = 0 , 2πσ x→+∞ (x−μ)2 1 √ · lim e− 2σ2 = 0 , 2πσ x→−∞
√
da e−u → 0 für u → ±∞. Die Funktion nähert sich also in beiden Achsenrichtungen der x-Achse an. 3. Lokale Extrema 2
a) Notwendige Bedingung: Bestimme die erste Ableitung und setze sie null: f (x)
=
√
(x−μ)2 1 − 2 2σ . · e 2πσ
Nun kommt die Kettenregel ins Geschäft. Innere Funktion ist u = h(x) = − 2σ1 2 (x − μ)2 , somit h (x) = − 2σ1 2 · (2(x − μ)1 · 1) = − x−μ σ 2 (doppelte Kettenregel). Die äußere Funktion g(u) = eu leitet sich einfach zu g (u) = eu ab. Damit folgt x − μ 2 (x−μ)2 1 μ − x − (x−μ) = √ e 2σ2 . · e− 2σ2 · − 2 f (x) = √ σ 2πσ 2πσ 3 Jetzt setzen wir die Ableitung null. Da die e-Funktion stets größer Null ist, kann man sie wegkürzen: 2 μ − x − (x−μ) μ−x √ e 2σ2 = 0 ⇔ √ = 0. 3 2πσ 2πσ 3
Dies kann nur erfüllt werden, wenn x = μ. Damit ist die einzige Extremstelle xE = μ. b) Hinreichende Bedingung: Zur Untersuchung der Extremstelle benötigen wir die zweite Ableitung. Diese wird per Produkt- und Kettenregel ermittelt. Die Ableitung der e-Funktion kann direkt von (a) übernommen werden. f (x)
= =
(x−μ)2 (x−μ)2 μ − x −1 μ−x √ · e− 2σ2 + √ · e− 2σ2 √ 2πσ 3 2πσ 3 2πσ 2 2 2 (x−μ) 1 (μ − x) −√ + √ e− 2σ2 . 2πσ 3 2πσ 5
122
4 Differenzialrechnung Wir schauen uns an, was an der Extremstelle xE = μ los ist: 1 1 + 0 · e−0 = − √ . f (x = μ) = − √ 3 2πσ 2πσ 3 Dieses ist jedoch kleiner als Null, da σ > 0 per definitionem. Somit liegt we1 gen f (xE ) = 0 und f (xE ) < 0 bei (xE , f (xE )) = (μ, √2πσ ) ein Maximum vor.
4. Graph zeichnen Wir tragen nun alle Ergebnisse in Abb. 4.4 zusammen und konstruieren daraus den Verlauf von f .
Abb. 4.4: Die Gauß-Kurve. Links für σ = 1 und μ = 0 (durchgezogen) sowie μ = 1 (gestrichelt). Rechts: μ = 0 und σ = 0.5 (durchgezogen), σ = 1 (gestrichelt) und σ = 2 (gepunktet).
μ gibt die Stelle des Maximums an und wird auch Mittelwert genannt. σ (die sogenannte Streuung) hat folgenden Einfluss auf die Funktion: 0 < σ < 1 schmälert die Breite des Maximums, erhöht aber das Maximum, während σ > 1 das Maximum verbreitert, jedoch den Wert des Maximums schmälert.
Damit es nicht so rein mathematisch zugeht, betrachten wir abschließend ein Beispiel aus der Physik. Beispiel 4.9 (Lennard-Jones-Potenzial) Zwischen ungeladenen, nicht chemisch aneinandergebundenen Atomen bestehen Bindungskräfte (Van-der-Waals-Kräfte). Die Bindungsenergien werden durch das Lennard-Jones-Potential beschrieben: EBindung = −V (r) = −ε
a r12
−
b r6
,
wobei r der Abstand zwischen den Atomrümpfen ist und ε, a, b, r > 0. Welche Form hat das Potenzial? Welcher Wert der Bindungsenergie ergibt sich für große Atomabstände? Für welchen Abstand r0 zwischen den Atomen wird man die maximale Bindungsenergie EBindung = ? erhalten?
4.1 Ableitungen
123
Lösung: Das Potenzial V (r6 ) verhält sich prinzipiell wie V (x) ∼ x12 − x1 . Abb. 4.5 zeigt das Potenzial. Für große Atomabstände r ergibt sich im Grenzfall r → ∞ 1 12 r→∞ r
lim V (r) = a lim
r→∞
− b lim
1 6 r→∞ r
= 0.
Das bedeutet: Für r → ∞ spüren die Atome nichts mehr von den Bindungskräften.
Abb. 4.5: Das Lennard-Jones-Potenzial. Bei r0 befindet sich das Minimum; hier besitzen die Atompaare die höchste Bindungsenergie.
Da EBindung = −V (r), wird EBindung maximal, wenn V (r) minimal wird. Wir bestimmen nach dem altbekannten Verfahren die Extrema: V (r) = ε(ar−12 − br−6 ) = −12εar−13 + 6εbr −7 = 0 . !
Multiplikation mit r13 liefert −12εa + 6εbr6 = 0 ⇔ r6 =
2a b
.
Die einzige mögliche Stelle für das Potenzialminimum ist r0 = + 6 2a b (die negative Lösung ist physikalisch Unsinn, denn was soll ein negativer Abstand sein?), was sich auch schon in der Skizze zuvor abzeichnete. Damit folgt für den Wert des Minimums: 2 a b b b2 b2 EBindung, max = −V (r0 ) = −ε 2 − 2a = −ε =ε . − 2a 4a 2a 4a b b
Spickzettel zu Ableitungen Definition der Ableitung Die Abeitung von f in x0 ist über den Differenzialquotienten definiert: lim ε→0
f (x0 + ε) − f (x0 ) f (x) − f (x0 ) . =: f (x0 ) = lim ε x − x0 x→x0
˙ Notation: f (x) = df dx ; bei Ableitungen nach Zeit: f = tungen); Ableitungen geben Veränderungen an.
df dt
(analog höhere Ablei-
Ableitungsregeln – Triviale: [xλ ] = λxλ−1 , [g(x) ± h(x)] = g (x) ± h (x), [Cf (x)] = Cf (x) sowie C = 0; erst vereinfachen, dann ableiten! – Produktregel: [f (x)g(x)] = f (x)g(x) + f (x)g (x). – Quotientenregel:
$ f (x) % g(x)
=
f (x)g(x)−f (x)g (x) . g 2 (x)
124
4 Differenzialrechnung – Kettenregel: [f (g(x))] = f (g(x))g (x) bzw.
d dx f (g(x))
=
dg df dg g(x) dx . −1
– Ableitung der Umkehrfunktion: y = f (x), x = g(y) = f 1 g (y) = f (g(y)) . Lokale Extrema
(xE , f (xE ))
Maximum Minimum
⇐⇒
f (xE ) = 0 und
(y). Dann gilt:
f (xE ) < 0 . f (xE ) > 0
Kurvendiskussion a) Charakteristische Punkte: Bestimme Schnittpunkte Sy = (0, f (0)) mit der y-Achse und Sxi = (xi , 0) mit der x-Achse. Gibt es Definitionslücken? b) Randuntersuchung: limx→±∞ f (x) = ? Was ist bei den Definitionslücken los? Bilde hier rechts- und linksseitigen Grenzwert. c) Lokale Extrema: notwendige Bedingung f (x) = 0; hinreichende Bedingung: f (xE ) < 0 ⇒ Max. bei (xE , f (xE )), f (xE ) > 0 ⇒ Min. bei (xE , f (xE )). d) Graph skizzieren.
4.2
Mehrdimensionale Ableitungen
Wir werden nun lernen, wie wir mehrdimensionale Funktionen differenzieren können. Dazu schauen wir uns überhaupt erstmal an, wie man mehrdimensionale Funktionen visualisieren kann.
4.2.1
Skalare Funktionen mehrerer Veränderlicher
Skalare Funktionen f : Rn → R sind Funktionen, in die wir n Variablen x1 , . . . , xn hineinstecken und eine Antwort u (den Funktionswert) erhalten: u = f (x1 , . . . , xn ) . Wir betrachten zunächst den Fall zweier Veränderlicher, da dieser sich visualisieren lässt. z = f (x, y) könnte eine Höhenfunktion bezeichnen, von der man an einer bestimmten Stelle (x0 , y0 ) im Gebirge wissen möchte, wie hoch man sich ü. NN. befindet. f (x0 , y0 ) ist dann die gewünschte Antwort. Klappert man alle Stellen der x-y-Ebene ab, so erhält man ein gebirgsartiges Gebilde. Dieses Gebilde ist der Graph der Funktion z = f (x, y). Eine Funktion zweier Veränderlicher stellt somit eine Fläche im Raum dar (Abb. 4.6). Für Funktion zweier Veränderlicher f (x, y) gibt es zwei gängige Darstellungsmethoden, die wir im Folgenden kurz beleuchten.
4.2 Mehrdimensionale Ableitungen
125
Abb. 4.6: Darstellung einer Funktion z = f (x, y).
Blockbild Das Blockbild ist die räumliche Darstellung einer Funktion f (x, y) in einem bestimmten Intervall, z. B. −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1. Innerhalb dieses Intervalls schaut man sich spezielle Kurven an, die nur noch von einer Variablen abhängen. Dazu setzt man x oder y gleich einem festen Wert. In obigem Intervall wären dies z. B. f (x, y = 0) = f (x, 0) (die x-Achse), f (x = 0, y) = f (0, y) (y-Achse), f (x, ±1) (Vorder- und Hinterkante) sowie f (±1, y) (Außenkanten). Sie spiegeln die Schnittkanten der Funktion mit den jeweiligen Schnittebenen wider. Zeichnet man alle Schnittfunktionen in einen 3-D-Plot ein, so bekommt man oft schon eine deutliche Vorstellung von der Beschaffenheit der Funktion und kann ihr lokales (d. h. örtlich begrenztes) Verhalten verstehen. Beispiel 4.10 (Blockbild eines 2-D-Potenzials) Skizzieren Sie das dimensionslose Potenzial V (x, y) = −1 ≤ x ≤ 1 und −1 ≤ y ≤ 1.
y 1+x2
im Intervall
Lösung: Wir betrachten zunächst ein paar spezielle Kurven: V (0, y) =
y = y, 1 + 02
V (x, 0) =
0 = 0. 1 + x2
Hierbei gewinnen wir noch nicht allzu viel Information. Wir wissen lediglich, dass wenn wir entlang der x-Achse laufen, immer „on-ground“ bei V = 0 bleiben und entlang der y-Achse auf einer Geraden laufen. Mehr Informationen liefern uns die Seiten des Intervalls: V (1, y) =
y = V (−1, y) , 2
V (x, −1) = −
1 , 1 + x2
V (x, 1) =
1 . 1 + x2
Auf Parallelen zur y-Achse würden wir also eine sogenannte Lorenz-Kurve hochund runterlaufen. Schließlich tragen wir unsere Erkenntnisse in das Blockbild in Abb. 4.7 links ein.
Äquiniveaulinien Eine andere Darstellungsmöglichkeit kann über Äquiniveaulinien (oft auch Äquipotenziallinien oder Höhenlinien) erfolgen. Diese Linien kann man sich als Höhenlinien in einer Wanderkarte vorstellen.
126
4 Differenzialrechnung
Abb. 4.7: Blockbilddarstellung des Potenzials. Links: Die Schnittkanten bei x = ±1 werden durch die Gerade V (±1, y) = y gebildet, jene bei y = ±1 durch die Lorenz1 1 Kurven V (x, ±1) = ± 1+x 2 . Rechts: Die Lorenz-Kurve f (x) = 1+x2 .
Liefen wir exakt entlang dieser Linien, so würden wir immer auf der gleichen Höhe C verbleiben. Auf der gesamten Linie bleibt also der Funktionswert konstant: f (x, y) = C = const.
(4.17)
Das ist der grundlegende Ansatz für Äquiniveaulinien. In den meisten Fällen löst man diese Gleichung nach x oder y und skizziert diese Funktion dann in der x-yEbene für einige beliebig gewählte C-Werte. Manchmal kann man die Niveaukurve auch auf Kegelschnitte wie z. B. Kreise oder Ellipsen zurückführen. Beispiel 4.11 (Äquipotenziallinien) Bestimmen Sie einige Äquipotenziallinien des Potenzials aus Beispiel 4.10. Lösung: Wir setzen V (x, y) gleich einer Konstanten: V (x, y) =
y 1+x2
=C.
Nun lösen wir diese Gleichung nach y auf und erhalten die Parabeln y(x) = C(1 + x2 ) . In Abb. 4.8 sind für einige C-Werte die Niveaulinien skizziert. Das Niveau C = 0 entspricht in diesem Fall der x-Achse. Dies sehen wir auch in Abb. 4.7 links. Man stelle sich dazu vor, dass bei y < 0 ein Meer wäre. Dann entspräche die x-Achse gerade dem Strand, den entlangzuwandern zumindest bezüglich des Höhenunterschieds ein Spaziergang ist. Das Niveau C = 1 (im „echten“ Strandbild z. B. 100 m) liegt auf einer Parabel. Laufen wir in Abb. 4.7 links etwas entfernt vom Strand auf dem Land parallel zum Strand (z. B. auf der dritten Rasterlinie), so würden wir bis x = 0 eine Steigung zu erklimmen haben (wobei wir das Niveau 100 m erreichen) und anschließend wieder abfallen.
4.2 Mehrdimensionale Ableitungen
127
y Abb. 4.8: Niveaullinienbild von V (x, y) = 1+x 2 . Eingezeichnet sind die Niveaus C = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.
Gehen wir entlang der sechsten Rasterlinie, so würden wir unter Umständen schon C = 2 (200 m) erreichen. Laufen wir dagegen entlang der dritten Rasterlinie unterhalb der x-Achse, so würden wir auf Tauchgang im Meer gehen (−100 m) mit Tiefpunkt bei x = 0. Liefen wir dagegen auf den in Abb. 4.8 gezeigten Parabeln um die Bergkuppe oder den Tiefseegraben herum, so bliebe man immer auf gleichem Niveau (deswegen: Äquiniveaulinien).
4.2.2
Partielle Ableitung und Gradient
Im vorhergehenden Abschnitt haben wir skalare Funktionen y = f (x1 , . . . , xn ) eingeführt. Nun wollen wir die Ableitung y = f (x1 , . . . , xn ) bestimmen. Bei dieser Notation stellt sich allerdings die berechtigte Frage, wonach denn bitte abgeleitet wird.
Die Partielle Ableitung Wir definieren die sogenannte partielle Ableitung ∂ wie folgt: f (x1 , . . . , xn ) heißt an der Stelle (a1 , . . . , an ) partiell nach x1 differenzierbar, wenn die partielle Funktion f (x1 , a2 , . . . , an ) an der Stelle x1 = a1 differenzierbar ist, d. h.
f (x1 + h, a2 , . . . , an ) − f (x1 , a2 , . . . , an )
lim
h→0 h x1 =a1 existiert. Wir schreiben dann für die partielle Ableitung von f nach x1 ∂f ∂ = f (x1 , . . . , xn ) =: fx1 , ∂x1 ∂x1
(4.18)
wobei die mittlere Schreibweise wieder die Operatoreigenschaft der Ableitung betont. Obiger Differenzialquotient entspricht ziemlich genau jenem der Ableitung in Abschnitt 4.1. Wir halten sozusagen alle Variablen bis auf die, nach der abgeleitet wird, fest. Damit kommen wir letztendlich doch wieder auf eine Funktion „einer“ Variablen zurück.
128
4 Differenzialrechnung
Und genauso geht es auch rechentechnisch vonstatten: Alle Variablen, nach denen nicht „abgelitten“ wird (ist zwar grammatikalisch falsch, trifft aber den Kern ziemlich gut!), sind aus Ableitungssicht konstant. Die gewohnten Ableitungsregeln gelten aber ohne Einschränkung weiterhin. Soll die partielle Ableitung an einer bestimmten Stelle berechnet werden, wird wie gewohnt erst abgeleitet und dann eingesetzt. Wir schreiben dafür wie bekannt
∂f (a) ∂f
=: , ∂xi ∂x a wobei wir die zweite Schreibweise bevorzugen. Eine Warnung noch an dieser Stelle: Unterscheide
∂ ∂xi
=
d dxi
(partielle vs. totale Ableitung)!
Die Verwendung des Symbols „d“ im mehrdimensionalen Fall wird in Abschnitt 4.4 näher erläutert. Beispiel 4.12 (Partielle Ableitung einer Funktion) Man bestimme die ersten partiellen Ableitungen von f (x, y, z) := x2 cos(yz)+2x an der Stelle (2, 0, 1). Lösung: Wir starten mit der x-Ableitung:
% % ∂ $ 2 ∂ $ 2 ∂ ∂f = [2x] . x cos(yz) + 2x = x cos(yz) + ∂x ∂x ∂x ∂x Wir haben im ersten Schritt die Summe auseinandergezogen, genau wie auch im eindimensionalen Fall. Jetzt wird abgeleitet. Erinnere: y und z sind aus x-Ableitungssicht konstant. Wir leiten somit im ersten Term im Prinzip x2 cos(const.) = x2 · const. ab. Der Kosinus muss also mitgeschleppt werden:
% ∂ ∂ $ 2 ∂f x cos(yz) + = [2x] = 2x cos(yz) + 2 . ∂x ∂x ∂x Das ist die partielle Ableitung nach x. Wir können schließlich die Stelle einsetzen:
∂f
= (2x cos(yz) + 2)|(2,0,1) = 4 cos(0 · 1) + 2 = 6 . ∂x (2,0,1) Analog rechnen sich die anderen, u. a. mit Kettenregel:
% ∂ $ 2 ∂ ∂f
= x cos(yz) + [2x]
∂y (2,0,1) ∂y ∂y (2,0,1
∂f
∂z (2,0,1)
=
(−x2 sin(yz)z + 0)|2,0,1 = −4 sin(0) · 1 = 0
=
−x2 y sin(yz)|(2,0,1) = 0 .
4.2 Mehrdimensionale Ableitungen
129
Der Gradient Ableitungen geben Veränderungen an. Interessiert die räumliche Änderung (z. B. bei einer Temperaturverteilung in einem Raum), so benötigt man die Ableitungen in alle Raumrichtungen. In drei Dimensionen x und y und z sind dies die par∂ ∂ ∂ tiellen Ableitungen ∂x , ∂y and ∂z . Da oftmals der gesamte Satz von partiellen Ableitungen benötigt wird, fassen wir alle partiellen Ableitungen erster Ordnung in einem Spaltenvektor zusammen,
grad f (x1 , . . . , xn ) :=
∂f ∂f ,..., ∂x1 ∂xn
T ,
(4.19)
und nennen diesen „Vektor“ Gradient (ganz streng genommen ist der Gradient kein Vektor, aber wir dürfen so rechnen als ob). Er hat folgende Eigenschaften: 1. Der Gradient gibt die Richung des steilsten Anstiegs in dem jeweiligen Punkt an. 2. Der Gradient ist ein Vektor in der x-y- bzw. x1 -. . . -xn -Ebene, in der auch die Niveaulinien leben. 3. Der Gradient grad f |a steht senkrecht auf der durch a verlaufenden Niveaulinie. Abb. 4.9 verdeutlicht die Eigenschaften.
Abb. 4.9: Darstellung des Gradienten. Er steht senkrecht auf den Niveaulinien und zeigt in Richtung des steilsten Anstiegs der Funktion f (x, y).
Beispiel 4.13 (Aufstellen des Gradienten) Wie lautet grad f |(2,0,1) für die Funktion aus dem letzten Beispiel? Lösung: Aus dem Beispiel können wir direkt den Gradienten bestimmen. Dazu schreiben wir die schon berechneten partiellen Ableitungen in einen Spaltenvektor und sind fertig:
T grad f |a = 2x cos(yz) + 2, −x2 z sin(yz), −x2 y sin(yz) |(2,0,1) = (6, 0, 0)T . Den steilsten Anstieg erleben wir also von (2, 0, 1) startend in Richtung (6, 0, 0) (bzw. (1, 0, 0), wenn nur nach der Richtung gefragt ist), d. h. in Richtung positiver x-Achse.
130
4 Differenzialrechnung
Nabla Wir betrachten noch einmal die Gradienten-Definition (4.19) und schreiben sie ein wenig um:
grad f =
∂ ∂ ,..., ∂x1 ∂xn
T f (x1 , . . . , xn ) =: ∇f (x1 , . . . , xn ) ,
wobei ein neuer Ableitungsoperator ∇ (lies: „Nabla“)
∇ :=
∂ ∂ ,..., ∂x1 ∂xn
T (4.20)
definiert wurde. Für skalare Funktionen f (x1 , . . . , xn ) beschreibt ∇f damit gerade den Gradienten. Beispiel 4.14 (Anwenden von Nabla auf eine skalare Funktion) Man berechne ∇(x3 y + ln(x)e2y ). Lösung: ∇(x3 y+ln(x)e2y ) =
∂ ∂ ∂x , ∂y
T
(x3 y+ln(x)e2y ) = 3x2 y +
3 e2y x ,x
+ 2 ln(x)e2y
T
,
was natürlich gleichzeitig der Gradient von f (x, y) = x3 y + ln(x)e2y ist.
Der Spezialfall ∇f (r) Ein besonders wichtiger Spezialfall tritt immer dann auf, wenn die zu betrachtende Funktion f nur vom Abstand vom Ursprung x21 + . . . + x2n =: r abhängt. Dann gilt nach Kettenregel z. B. für die erste Variable ∂f ( x21 + . . . + x2n ) 1 = f (r) · 12 (x21 + . . . + x2n )− 2 · 2x1 = f (r) √ 2 x1 2 . x1 +...+xn ∂x1 Die anderen Ableitungen errechnen sich vollkommen analog, so dass folgt
∇f (r)
=
f (r)
√
x1 ,..., x21 +...+x2n
√
T xn x21 +...+x2n
=
f (r) (x1 , . . . , xn )T . r
Ergebnis: r ∇f (r) = f (r) . (4.21) r Das ist erstaunlich! Falls der Gradient einer sogenannten isotropen Funktion f (r) (auch radialsymmetrisch oder kugelsymmetrisch genannt, d. h. sie sieht vom Ursprung aus gesehen in alle Richtungen gleich aus, daher ist nur der Abstand vom Ursprung, aber nicht die Richtung interessant) gebildet werden soll, leiten wir lediglich nach dem Abstand |x| =: r ab und hängen anschließend einen Einheitsvektor rr dahinter!
4.2 Mehrdimensionale Ableitungen
131
Beispiel 4.15 (Gradient des Gravitationspotenzials) Der Gradient des Gravitationspotenzials V (r) = −γ mM r möchte berechnet wer 2 2 2 den, wobei r = x1 + x2 + x3 . Lösung: Entweder berechnet man alle partiellen Ableitungen umständlich oder verwendet (4.21): ∇V (r) = −γmM ∇ 1r
r = −γmM r−1 = γmM r12 rr , r
(4.21)
wobei γ, m, M als Konstanten an der Ableitung vorbeigezogen werden dürfen.
4.2.3
Lokale Extrema
Wir gehen ähnlich wie im 1-D-Fall auf Suche nach lokalen Extrema. Das Verfahren ähnelt sehr stark dem aus Abschnitt 4.1. Bevor wir das Kochrezept kennenlernen, benötigen wir ein paar weitere Werkzeuge.
Partielle Ableitungen höherer Ordnung, Satz von Schwarz Wie auch im 1-D-Fall definieren wir partielle Ableitungen höherer Ordnung gemäß ∂2f ∂2 = f 2 ∂x ∂x2 ∂ ∂2f ∂ = = f ∂y∂x ∂y ∂x
fxx =
(reine Ableitung),
(4.22)
fxy
(gemischte Ableitung),
(4.23)
und analog für Ableitungen nach anderen Veränderlichen. Beispiel 4.16 (Berechnung partieller Ableitungen zweiter Ordnung) Berechnen Sie alle partiellen Ableitungen zweiter Ordnung für f (x, y) := 2ex y + 4xy 3 − x2 cos(y) Lösung: Ausrechnen! fx = 2ex y + 4y 3 − 2x cos(y)
fy = 2ex + 12xy 2 + x2 sin(y)
fxx = 2ex y − 2 cos(y)
fyy = 24xy + x2 cos(y)
fxy = 2ex + 12y 2 + 2x sin(y)
fyx = 2ex + 12y 2 + 2x sin(y) .
Hierbei fällt allerdings auf, dass fxy = fyx , es somit also egal wäre, in welcher Reihenfolge abgeleitet wird. Das ist kein Zufall, wie der folgende Satz zeigt.
132
4 Differenzialrechnung
Satz von Schwarz: Für alle gutmütigen Funktionen (d. h. alle zweimal stetig differenzierbaren Funktionen) gilt: ∂ ∂ ∂ ∂ f= f, ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi
(4.24)
es ist somit egal, ob erst nach xi und dann nach xj abgeleitet wird oder umgekehrt.
Hesse-Matrix Die Hesse-Matrix fasst alle partiellen ⎛ fx1 x1 ⎜ ⎜ fx2 x1 ⎜ Hess f (x) := ⎜ ⎜ ... ⎝ fxn x1
Ableitungen zweiter Ordnung zusammen: ⎞ fx1 x2 . . . fx1 xn ⎟ fx2 x2 . . . fx2 xn ⎟ ⎟ (4.25) ⎟. .. .. .. ⎟ . . . ⎠ fxn x2 . . . fxn xn
Sie ist immer quadratisch und enthält alle reinen Ableitungen auf der Diagonalen, während die gemischten Ableitungen auf den Nebendiagonalen stehen. Die Hesse-Matrix ist weiterhin wegen des Satzes von Schwarz (4.24) symmetrisch, d. h. Hess f = (Hess f )T . Zur Bildung: In der ersten Spalte steht der Gradient ∇f nochmals nach x1 abgeleitet, also quasi ∂x∂ 1 grad f . In der zweiten Spalte steht ∂ ∂x2 grad f usw. Im 1-D-Fall, d. h. für y = f (x1 ), ist die Hesse-Matrix keine Matrix mehr, sondern liefert fx1 x1 = f (x1 ) – also einfach die aus Abschnitt 4.1 bekannte zweite Ableitung. Hess f entspricht folglich dem Upgrade der zweiten Ableitung f des 1-D-Falls auf n Veränderliche. Beispiel 4.17 (Eine Hesse-Matrix) Wie lautet die Hesse-Matrix der Funktion aus dem letzten Beispiel? Lösung: Da die Ableitungen zuvor berechnet wurden, brauchen wir diese nur als Matrix zu schreiben: f fxy 2ex y−2 cos(y) 2ex +12y2 +2x sin(y) Hess f (x, y) = fxx = . x 2 2 yx fyy 24xy+x cos(y) 2e +12y +2x sin(y)
Definitheit Eine reelle, symmetrische, quadratische n × n-Matrix A heißt positiv definit: ⇐⇒ alle EW (Abschnitt 2.4) von A sind > 0, positiv semidefinit: ⇐⇒ alle EW von A sind ≥ 0,
4.2 Mehrdimensionale Ableitungen
133
negativ definit: ⇐⇒ alle EW von A sind < 0, negativ semidefinit: ⇐⇒ alle EW von A sind ≤ 0, indefinit: ⇐⇒ EW von A sind > 0 und < 0. Beispiel 4.18 (Definitheit einer Matrix) 2 −1 Man untersuche die Matrix A = −1 auf Definitheit. 2 Lösung: Wir bestimmen die Eigenwerte von A: −1 2 2 det (A − λ · 1) = det 2−λ −1 2−λ = (2 − λ) − 1 = λ − 4λ + 3 = 0 . Die Eigenwerte ergeben sich zu λ = 1 und λ = 3. Da beide (alle) Eigenwerte größer Null sind, ist A positiv definit.
Lokale Extrema Nun haben wir alle Hilfsmittel zusammen, um skalare Funktionen mehrerer Veränderlicher auf lokale Extrema zu untersuchen. Dabei wird einem das folgende Kochrezept von der Struktur her vom 1-D-Fall aus Abschnitt 4.1 bekannt vorkommen. Wir ersetzen dabei grob gesprochen f (x) = 0 durch grad f = 0 und die Untersuchung der zweiten Ableitung an den Extremstellen durch dieUntersuchung der Definitheit der Hesse-Matrix Hess f an den jeweiligen Extremstellen. Kochrezept für Extremwertuntersuchung von f (x) 1. Notwendige Bedingung: Setze alle partiellen Ableitungen erster Ordnung von f gleich Null ∂f ∂f = ... = = 0 ⇐⇒ ∇f = 0 . ∂x1 ∂xn
(4.26)
Aus diesem oftmals nicht linearen (!) Gleichungssystem werden dann die möglichen Extremstellen xE ermittelt. 2. Hinreichende Bedingung: Bilde für jede Extremstelle die Hesse-Matrix Hess f |xE und untersuche diese auf Definitheit. Ist sie positiv definit, so liegt bei xE ein lokales Minimum mit Funktionswert f (xE ) vor; ist sie negativ definit, so liegt bei xE ein lokales Maximum mit f (xE ) vor. Ist sie indefinit, so handelt es sich um einen Sattelpunkt. Beispiel 4.19 (Extrema einer Temperaturverteilung) Eine zeitunabhängige Temperaturverteilung in einem Saal (d. h. die Luft steht sprichwörtlich, kein Ventilator, keine Klimaanlage) sei durch T (x, y, z) = β[(y 2 − x2 )e−αx + z 2 ] + T0 2
gegeben, α, β > 0. Wo sollten wir uns aufhalten, um nicht vor Hitze zu zerfließen? Lösung: Wir suchen die lokalen Extrema von T mit Hilfe des obigen Kochrezepts.
134
4 Differenzialrechnung
1. Notwendige Bedingung Berechne alle partiellen ersten Ableitungen: 2 2 2 ∇T = β −2xe−αx + (y2 − x2 )e−αx (−2αx) , 2ye−αx , 2z = 0 . Hieraus folgt das nicht lineare Gleichungssystem ∂T ∂x ∂T ∂y ∂T ∂z
=
βe−αx (−2x + 2αx3 − 2αxy 2 ) = 0 ,
=
2βye−αx = 0 ,
=
2βz = 0 .
2
2
Aus der dritten Gleichung folgt direkt z = 0. Die zweite Gleichung kann gefah2 renlos durch e−αx = 0 geteilt werden, so dass sich y = 0 ergibt. Dies setzen 2 wir in die erste Gleichung ein und erhalten (auch durch e−αx = 0 geteilt) −2x + 2αx3 = 0 ⇐⇒ −x(1 − αx2 ) = 0 ⇐⇒ x = 0 ∨ x = − √1α ∨ x =
√1 α
.
Damit ergeben sich drei Extremstellen: (1)
(2)
(3)
xE = (0, 0, 0) , xE = ( √1α , 0, 0) , xE = (− √1α , 0, 0) . 2. Hinreichende Bedingung Nun wird geschaut, was an den Extremstellen los ist. Bilde dazu die HesseMatrix, wofür wir die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung benötigen: ∂2T = ∂x2 = ∂2T = ∂x∂y ∂2T = ∂x∂z ∂2T = ∂2y ∂2T = ∂2z
β(−2αx)e−αx (−2x + 2αx3 − 2αxy 2 ) + βe−αx (−2 + 6αx2 − 2αy 2 ) 2
2
βe−αx (10αx2 − 4α2 x4 + 4α2 x2 y 2 − 2αy 2 − 2) , 2 ∂2T −4αβe−x xy = , ∂y∂x ∂2T ∂2T ∂2T =0= = , ∂z∂x ∂y∂z ∂z∂y 2
2βe−αx , 2
2β .
Damit ergibt sich die Hesse-Matrix zu 2 Hess T =
βe−αx (10αx2 −4α2 x4 +4α2 x2 y 2 −2αy 2 −2) 2
2
−4αβe−x xy 2
−4αβe−x xy 0
2βe−αx 0
0 0 2β
.
Wir setzen nun nacheinander die Extremstellen ein und untersuchen auf Defi(1) nitheit. Für xE = (0, 0, 0) gilt −2β 0 0 0 2β 0 . Hess T |(0,0,0) = 0
0
2β
4.2 Mehrdimensionale Ableitungen
135
Diese Matrix ist diagonal und wir können direkt die Eigenwerte von der Hauptdiagonalen ablesen. Offensichtlich haben die EW kein einheitliches Vorzeichen, so dass wir keine weitere Aussage über dieses Extremum machen können. Für (2) (3) xE = ( √1α , 0, 0) und xE = (− √1α , 0, 0) folgt −1 −1 βe (10−4+0−0−2) 0 0 4βe 0 0 −1 −1 Hess T |(± √1 ,0,0) = = . 0 0 2βe 0 0 2βe α
0
0
0
2β
0
2β
−1
Wegen e > 0 und β > 0 laut Aufgabe sind alle EW dieser Matrix (stehen auf der Hauptdiagonalen!) größer Null. Damit ist die Hesse-Matrix von T (x, y, z) (2) (3) an den Stellen xE = ( √1α , 0, 0) und xE = (− √1α , 0, 0) positiv definit, und es liegt ein lokales Minimum mit Funktionswert β −1 T (± √1α , 0, 0) = β(− α1 e−1 + 0) + T0 = T0 − α e
vor. Wir haben also zwei mögliche Standorte, an die wir uns stellen können, (2) (3) um die Hitze einigermaßen ertragen zu können (und zwar bei xE oder xE ).
Spickzettel zu mehrdimensionalen Ableitungen Skalare Funktionen mehrerer Veränderlicher Funktionen f : Rn → R mit y = f (x1 , . . . , xn ) = f ( x); Darstellung im Blockbild oder durch Äquiniveaulinien f (x, y) = C. Partielle Ableitung Betrachte alle Variablen bis auf die abzuleitende Variable als konstant. Schreibweise: fx = ∂f ∂x (partielle Ableitung von f nach x); bekannte 1-D-Ableitungsregeln d ∂ bleiben gültig. Achtung: dx = ∂x im Allgemeinen! i i Der Gradient und Nabla – Gradient = Zusammenfassen aller partiellen Ableitungen in Spaltenvektor: ∂f ∂f T , . . . , ∂x ; gibt Richtung des steilsten Anstiegs von f an und grad f = ∂x 1 n steht senkrecht auf den Äquiniveaulinien. ∂ T ∂ – Ableitungsoperator: ∇ = ∂x , . . . , ∂x , damit grad f = ∇f . 1 n – Spezialfall: ∇f (| x|) = ∇f (r) = f (r) rr . Ableitungen höherer Ordnung – Schreibweise für höhere Ordnungen analog, z. B. fxy = fyy =
2
∂ f ∂y 2
∂2 f ∂x∂y
(gemischt) und
; Satz von Schwarz: fxi xj = fxj xi .
– Hesse-Matrix: Hess f ( x) =
∂2 f ∂xi ∂xj
= (Hess f ( x))T beinhaltet spaltenweise
alle partiellen Ableitungen erster Ordnung des Gradienten. Lokale Extema a) Notwendige Bedingung: ∇f = 0, ermittle hieraus die Extremstellen xE . b) Hinreichende Bedingung: Bilde für jede Extremstelle die Hesse-Matrix Hess f |xE . Ist sie positiv definit (alle EW > 0) ⇒ lokales Minimum bei (xE , f (xE )); ist sie negativ definit (alle EW < 0) ⇒ lokales Maximum bei (xE , f (xE )).
136
4.3
4 Differenzialrechnung
Reihenentwicklung
Leider ist das Verhalten eines Systems selten vollständig analytisch zu berechnen. Um trotzdem eine „einigermaßen genaue“ mathematische Lösung aufstellen können, bedient man sich oftmals der Reihenentwicklung. Wir werden sie in diesem Abschnitt kennenlernen, auch wenn wir vielleicht noch nicht den vollständigen Nutzen dieser Entwicklung erkennen können. Spätestens in Kapitel 12 werden wir jedoch die Mächtigkeit des Werkzeugs Reihenentwicklung zu schätzen wissen.
4.3.1
Taylor-Entwicklung in 1-D
Für die Analysis (Ableiten und Integrieren) sind Polynomfunktionen von großer Wichtigkeit, da sie sich einfach ableiten und integrieren lassen (s. Kapitel 5). Daher wäre es wünschenswert, eine beliebige Funktion mit Hilfe von Polynomen auszudrücken bzw. anzunähern, um ihre Analyse möglichst einfach betreiben zu können. Genau das ist die Grundidee der Potenzreihenentwicklung: Nähere eine beliebige Funktion f (x) durch ein Polynom an einer Stelle x0 . Abb. 4.10 veranschaulicht das Prinzip.
Abb. 4.10: Prinzip der Taylor-Entwicklung. f (x) = sin(x) soll angenähert werden. Annäherung erster Ordnung durch Gerade y(x) = x (Tangente, gestrichelt) und Annäherung dritter 3 Ordnung durch y(x) = x − x6 (gepunktet).
In den meisten Fällen gilt: Je höher der Polynomgrad (die höchste Potenz in der Entwicklung) der Näherung, desto besser wird die Näherung. In vielen Fällen reicht es jedoch schon, die Funktion mit einer Parabel zu approximieren.
Die Taylor-Formel Die Taylor-Entwicklung einer Funktion f (x) an der Stelle x0 ist gegeben durch f (x) =
∞ f (k) (x)|x
0
k=0
k!
(x − x0 )k ,
(4.27)
wobei f (k) (x) die k-te Ableitung beschreibt und k! := 1 · 2 · . . . · (k − 1) · k Fakultät heißt. Prinzipiell verhält es sich einfach: Wir müssen zur Bestimmung der Taylor-Entwicklung nur ableiten – allerdings unendlich oft. Sofern die Funktion
4.3 Reihenentwicklung
137
nicht polynomial ist oder eine einfache Regel für die n-te Ableitung besitzt, scheint dieses Anliegen hoffnungslos. Wie jedoch Abb. 4.10 gezeigt hat, wird durch Polynome dritter Ordnung schon eine erstaunlich gute Annäherung erreicht. Es macht also durchaus Sinn (und ist mathematisch zu rechtfertigen), die Reihe (4.27) nach n Gliedern abzubrechen: f (x) ≈
n f (k) (x)|x k=0
k!
0
(x − x0 )k .
Terme höherer Potenzen lässt man dann einfach weg und schmeißt sie in den Landau’schen Papierkorb O. Dabei beinhaltet z. B. O(x3 ) alle Terme mit x-Potenz drei oder höher, also x3 , x4 , . . . Dann lautet (4.27) explizit ausgeschrieben: f (x0 ) f (n) (x0 ) (x−x0 )2 +. . .+ (x−x0 )n +O(xn+1 ) . 2 n! (4.28) Dieses ist die Taylor-Entwicklung bis einschließlich n-ter Ordnung (da die höchste (x − x0 )-Potenz den Grad n hat). f (x) = f (x0 )+f (x0 )(x−x0 )+
Oftmals ist in der Physik nur die Taylor-Entwicklung bis einschließlich zweiter Ordnung notwendig (z. B. zur Bestimmung von Schwingungsfrequenzen; Kapitel 12): f (x0 ) (4.29) (x − x0 )2 . f (x) ≈ f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + 2 Die Taylor-Entwicklung erster Ordnung, d. h. f (x) ≈ f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ), wird auch lineare Näherung genannt. Eine Warnung zum Schluss: Es gibt Fälle, in denen approximiert die Taylor-Entwicklung die Funktion gar 1 nicht (z. B. bei f (x) = e− x2 ). Um zu prüfen, ob die Taylor-Entwicklung gegen die Funktion konvergiert, muss das sogenannte Restglied untersucht werden, was hier aber nicht ausgeführt werden soll. Bei den im Folgenden betrachteten Funktionen ist die Konvergenz allerdings stets gegeben.
4.3.2
Hilfreiche Reihen
Um ein wenig Praxis mit der Taylor-Formel (4.28) zu bekommen, betrachten wir ein paar prominente Beispiele. Beispiel 4.20 (Exponentialreihe) Wie lautet die Taylor-Entwicklung der Exponentialfunktion um x0 = 0?
138
4 Differenzialrechnung
Lösung: Wir müssen die fehlenden Teile f (x0 = 0), f (x0 = 0), f (x0 = 0), . . . in Gleichung (4.28) berechnen. Es sind f (x) = ex ,
f (x) = ex ,
f (x) = ex = f (x) = . . .
f (0) = e0 = 1 ,
f (0) = 1 = f (0) = f (0) = . . .
Damit ergibt sich in (4.28) 1 1 1 ex = 1 + 1(x − 0) + (x − 0)2 + (x − 0)3 + (x − 0)4 + . . . 2 6 24 und somit ∞ xk 1 1 1 ex = 1 + x + x2 + x3 + x4 + . . . = . 2 6 24 k!
(4.30)
k=0
Das ist die Taylor-Entwicklung der Exponentialfunktion; den Ausdruck als Summe nennen wir geschlossene Form. Beispiel 4.21 (Kosinusreihe) Der Kosinus möchte in x0 = 0 Taylor-entwickelt werden. Lösung: Wir berechnen wieder die Ableitungen und hoffen auf wiederkehrende Werte: f (x) = − sin(x) ,
f (x) = cos(x) , f (x) = sin(x) ,
f (x) = − cos(x) ,
f (IV ) (x) = cos(x) , . . . f (0) = 0 ,
f (0) = cos(0) = 1 , f (0) = 0 ,
f (0) = −1 ,
f (IV ) (0) = 1 , . . .
Ab der vierten Ableitung reproduziert sich die Funktion wieder. Damit folgt cos(x) = 1 + 0(x − 0) +
1 −1 (x − 0)2 + 0(x − 0)3 + (x − 0)4 ∓ . . . 2 24
und insgesamt
(−1)k 1 1 2 x + x4 ∓ . . . = x2k . 2! 4! (2k)! ∞
cos(x) = 1 −
(4.31)
k=0
Die geschlossene Form kommt dabei durch folgende Überlegung zustande: Es tauchen nur gerade Potenzen (die nullte, zweite, vierte, allgemein 2k-te) und gerade Fakultäten in der Entwicklung auf. Weiterhin wechseln die Terme durchgehend ihr Vorzeichen, beim nullten Term +, beim ersten Term −, beim zweiten +, beim dritten −, allgemein (−1)k . Beispiel 4.22 (Sinusreihe) Vollkommen analog zum vorherigen Beispiel findet man
(−1)k x5 x3 + ∓ ... = x2k+1 . 3! 5! (2k + 1)! ∞
sin(x) = x −
k=0
(4.32)
4.3 Reihenentwicklung
139
Beispiel 4.23 (Logarithmusentwicklung) Man gebe die Logarithmus-Entwicklung an. Lösung: Da die meisten Funktionsentwicklungen an der Stelle x0 = 0 gegeben sind, führt man die Logarithmusentwicklung auch auf x0 = 0 zurück. Es ergibt sich allerdings das offensichtliche Problem, dass der Logarithmus f (x) = ln(x) bei x = 0 nicht definiert ist. Deswegen entwickeln wir einen verschobenen Logarithmus ln(1 + x) um x0 = 0: f (x) = ln(1 + x),
f (x) =
f (0) = ln(1) = 0,
f (0) = 1,
1 1+x ,
f (x) = −(1 + x)−2 ,
f (x) = 2(1 + x)−3 , . . .
f (0) = −1,
f (0) = 2, . . .
und ferner gilt 2 1 ln(1 + x) = 0 + 1(x − 0) − (x − 0)2 + (x − 0)3 ± . . . 2 6 Ergebnis:
(−1)k+1 x2 x3 x4 + − ∓ ... = xk . 2 3 4 k ∞
ln(1 + x) = x −
(4.33)
k=1
Das ist die Logarithmusreihe. Es lässt sich analog zeigen, dass für x 1 gilt: √ x 1+x≈1+ , 2
4.3.3
1 ≈ 1 + x. 1−x
(4.34)
e hoch Matrix
Zur Verwunderung führen immer wieder Terme à la eA , wobei A eine Matrix ist. Es stellt sich die Frage, was man in diesem Fall tut. Gleich vorweg: e hoch Matrix (bzw. e hoch Operator) kommt in diesem Buch nur in wenigen, aber wichtigen Fällen zum Zuge (vgl. z. B. Diffusion; Kapitel 11). Der zugrunde liegende Trick ist hierbei die Entwicklung der Exponentialfunktion nach Gleichung (4.30): eA = 1 + A +
A2 A3 A4 + + + ... 2! 3! 4!
Sofern man die Potenzen der Matrix A vorhersagen kann, lässt sich die Entwicklung in eine geschlossene Form überführen. Dieses ist der Fall, wenn z. B. die Multiplikation der Matrix A irgendwann wieder A oder 1 ergibt.
140
4 Differenzialrechnung
Beispiel 4.24 (Drehmatrix als Reihendarstellung) Man vereinfache exA mit A = 01 −1 und x ∈ R. 0 Lösung: Wir hoffen, dass nach endlich vielen Potenzen wieder die Matrix A oder die Einheitsmatrix auftritt. Berechne also 0 −1 0 −1 −1 0 · 1 0 = 0 −1 = −1 , A2 = 1 0 0 −1 0 1 3 2 0 A = A · A = −1 = −1 0 = −A , 0 −1 · 1 0 A4
=
( 10
0) 1
= 1,
und damit wissen wir, dass A5 = A, A6 = −1, A7 = −A, A8 = 1 usw. Die geraden Potenzen liefern mit wechselndem Vorzeichen die Einheitsmatrix, die ungeraden Potenzen mit ebenfalls alternierendem Vorzeichen die Ausgangsmatrix A. Wir können also die Taylor-Reihe
x n An x 2 A2 x3 A3 x4 A4 = 1 + xA + + + + ... = 2! 3! 4! n! ∞
e
xA
n=0
in gerade und ungerade Anteile aufspalten und ausklammern: exA
= = =
x2 x4 x3 x5 1−1· +1· ∓ ... + A · x − A · +A· ∓ ... 2! 4! 3! 5! 2 4 3 5 x x x x + ± ... + A x − + ∓ ... 1 1− 2! 4! 3! 5! ∞ ∞ (−1)n 2n (−1)n 2n+1 1 . x +A x (2n)! (2n + 1)! n=0
n=0
Doch die beiden Summen kennen wir: Das sind gerade die Kosinus- und Sinusreihe! Ergebnis: exA = 1 · cos(x) + A · sin(x) =
cos(x) sin(x)
− sin(x) cos(x)
.
Donnerschlag! Das ist die Drehmatrix in 2-D um den Winkel x. Der Ausdruck exA stellt (mit dem gegebenen A) also nichts anderes als eine Drehung dar.
e hoch Diagonalmatrix Ein weiterer interessanter Fall tritt auf, wenn A diagonal ist, d. h. A = λ01 λ02 (Verallgemeinerung analog). Wir schreiben die Exponentialreihe zunächst aus: eA
= = = =
A3 A4 A2 + + + ... 2! 3! 4! 1 λ1 0 2 1 λ1 0 3 1 λ1 0 4 ( 10 01 ) + λ01 λ02 + + + + ... 2! 0 λ2 3! 0 λ2 4! 0 λ2 1 λ21 0 1 λ31 0 1 λ41 0 + + + ... ( 10 01 ) + λ01 λ02 + 2 3 4 0 λ 0 λ 2 2 2 3! 4! 0 λ2 2 3 4 1+A+
1 + λ1 +
λ1 2!
+
0
λ1 3!
+
λ1 4!
+ ...
0
1 + λ2 +
λ22 2!
+
λ32 3!
+
λ42 4!
+ ...
.
4.3 Reihenentwicklung
141
Aber in den einzelnen Matrixeinträgen stehen wiederum Exponentialreihen; und zwar von eλ1 und eλ2 . Damit haben wir eine schöne Regel gefunden: Wenn A diagonal ist mit Eigenwerten λi , dann gilt ⎡⎛ ⎞⎤ ⎛ λ ⎞
⎢⎜ e = exp ⎣⎝
O
λ1
..
A
O
.
⎟⎥ ⎜ ⎠⎦ = ⎝
e
O
1
.. O
λn
. e
⎟ ⎠.
(4.35)
λn
Beachte: Wenn A diagonal ist, gilt (4.35). Beispiel 4.25 (Vereinfachung ehoch Diagonalmatrix) 1 von 0 0 A Man vereinfache e für A = 0 2 0 . 0 0 −3
Lösung: A ist offensichtlich diagonal. Wir dürfen also direkt mit Hilfe von (4.35) ersetzen: 1 e 0 0 A 2 . e = 0 e 0 0
4.3.4
0
e−3
Allgemeine Taylor-Entwicklung
Die Taylor-Entwicklung einer Funktion f (x) – das war die Annäherung durch Polynome – wurde im vorhergehenden Abschnitt diskutiert. Nun verallgemeinern wir die Entwicklung auf mehrere Veränderliche.
Taylor-Formel für mehrere Veränderliche Die Taylor-Entwicklung einer skalaren Funktion von n Veränderlichen, f : Rn → R, u = f (x1 , . . . , xn ), bis zur N -ten Ordnung ist an der Stelle a (dem Entwicklungspunkt) durch eine äußerst unangenehme Formel gegeben, die man z. B. im Bronstein (2000) nachschlagen kann. Wir betrachten hier die für uns interessanten Spezialfälle zweier Veränderlicher und für n Veränderliche bis zur zweiten Ordnung. Taylor-Entwicklung mit n = 2, d. h. y = f (x, y) Die Taylor-Entwicklung einer Funktion f (x, y) zweier Veränderlicher an der Stelle a = (a1 , a2 ) ist gegeben durch f (x, y)
=
f (a) + fx |a (x − a1 ) + fy |a (y − a2 ) + 1 + 2! fxx |a (x − a1 )2 + 2fxy |a (x − a1 )(y − a2 ) + fyy |a (y − a2 )2 + 1 + 3! fxxx |a (x − a1 )3 + 3fxxy |a (x − a1 )2 (y − a2 )+ +3fxyy |a (x − a1 )(y − a2 )2 + fyyy |a (y − a2 )3 + . . . (4.36)
Meist ist allerdings nur die Entwicklung bis zur zweiten Ordnung interessant.
142
4 Differenzialrechnung
Entwicklung für allgemeines n bis zur zweiten Ordnung Allgemein gilt bis einschließlich zweiter Ordnung die zentrale Formel: 1 f (x) ≈ f (a) + grad f (a) · (x − a) + (x − a)T · Hess f (a) · (x − a) 2
(4.37)
mit x = (x1 , . . . , xn )T und a = (a1 , . . . , an )T . Dies ist eine sehr nützliche Formel, denn es lassen sich aus ihr z. B. auch die Taylor-Entwicklungen für Funktionen dreier Veränderlicher ableiten. Beispiel 4.26 (Eine einfache Taylor-Entwicklung) √ Wie lautet die Taylor-Entwicklung für das Potenzial V (x, y) = V0 1 + x + y um (1, 2) bis einschließlich zweite Ordnung? Lösung: Wir benutzen (4.36) und bestimmen dazu die partiellen Ableitungen. 1 Für diese folgt mit V (x, y) = V0 (1 + x + y) 2 : Vx |(1,2)
=
Vxx |(1,2)
=
1
+ x + y)− 2 |(1,2) = V40 = Vy |(1,2) , 3 1 − V20 (1 + x + y)− 2 |(1,2) = − V320 = Vxy |(1,2) = Vyy |(1,2) . 2 V0 2 (1
Weiterhin ist V (1, 2) = 2V0 . Jetzt können wir in (4.36) einsetzen und erhalten V (x, y)
≈
2V0 + V40 (x − 1) + V40 (y − 2) + V 2 V0 1 0 2 − 32 (x − 1) − 2 · 32 (x − 1)(y − 2) −
− 2)2 + . . .
V0 32 (y
1 und Wie man sieht, ist die Rechnung straight-forward. Einzig bei den Faktoren ( k! Faktor 2 vor dem Mischterm) besteht die Gefahr, dass man diese vergisst.
Spickzettel zur Reihenentwicklung Taylor-Entwicklung Annäherung beliebiger Funktionen an einer beliebigen Stelle durch Polynom: – 1-D: f (x) = Ordnung:
∞
k=0
f (k) (x)|a (x k!
− a)k ; meist nur interessant bis zur zweiten
f (x) ≈ f (a) + f (a)(x − a) +
f (a) (x − a)2 . 2
– n-D bis zur zweiten Ordnung: f (x) ≈ f (a) + grad f (a) · ( x − a)T + Hilfreiche Reihen – Exponentialreihe: ex =
1 x − a). ( x − a)T · Hess f (a) · ( 2
∞
xk . k=0 k!
– Kosinusreihe: cos(x) = 1 − – Sinusreihe: sin(x) = x −
x3 3!
1 2 2! x
+
x5 5!
– Logarithmus: ln(1 + x) ≈ −x +
+
1 4 4! x
∓ ... =
∓ ... = x2 2
−
x3 3
∞
+
∞
(−1)k 2k x . k=0 (2k)!
(−1)k x2k+1 . k=0 (2k+1)!
x4 4
∓ ... =
∞
k=1
(−1)k k k x .
4.4 Ableitung vektorwertiger Funktionen √ – Wurzelentwicklung: 1 + x ≈ 1 + 1 – 1−x ≈ 1 + x für x 1.
143 x 2
für x 1.
e hoch Matrix 2 3 e hoch Matrix kann in Reihe entwickelt werden: eA = 1 + A + A2! + A3! + . . .; gut berechenbar, wenn sich A irgendwann reproduziert. Falls A diagonal ist ⇒ eA diagonal mit Eigenwerten als Einträgen auf der Diagonalen.
4.4
Ableitung vektorwertiger Funktionen
Wir betrachten in diesem Abschnitt vektorwertige Funktionen x : Rn → Rk . Das sind Funktionen, in die n Variablen hineingesteckt werden und einen kkomponentigen Vektor x liefern. Sie können geschrieben werden als Abbildungen der Form ⎛ ⎞ x1 (u1 , . . . , un ) ⎜ ⎟ .. ⎟. (4.38) x(u) = x(u1 , . . . , un ) = ⎜ . ⎝ ⎠ xk (u1 , . . . , un ) x(u) besteht aus k Komponentenfunktionen x1 , . . . , xk , wobei jede wiederum von n Variablen u1 , . . . , un abhängen kann. Beispiel 4.27 (Abbildung der Kugelkoordinaten) Wie stellt sich die Abbildung der Kugelkoordinaten im obigen Formalismus dar? Lösung: Nach (1.67) ist
x(u) = x(r, θ, ϕ) =
x1 (r,θ,ϕ) x2 (r,θ,ϕ) x3 (r,θ,ϕ)
=
r sin(θ) cos(ϕ) r sin(θ) sin(ϕ) r cos(θ)
.
u = (r, θ, ϕ) sind dabei die neuen Koordinaten, auf die die Ausgangskoordinaten (x1 , x2 , x3 ) abgebildet werden. Vektorwertige Funktionen werden komponentenweise abgeleitet. Das bedeutet
⎛ ∂x(u) ⎜ =⎜ ⎝ ∂uj
∂x1 ( u) ∂uj
.. .
⎞ ⎟ ⎟. ⎠
∂xk ( u) ∂uj
Dabei gelten alle bekannten Ableitungsregeln wie gehabt.
(4.39)
144
4.4.1
4 Differenzialrechnung
Jacobi-Matrix und Funktionaldeterminante
Möchte man nicht nur nach der Variablen uj , sondern auf einen Schlag nach u = (u1 , . . . , un ) ableiten, so benötigen wir ein neues Handwerkszeug. Mit Hilfe der Jacobi-Matrix definieren wir eine Ableitung dieser vektorwertigen Funktionen mehrerer Veränderlicher. Sofern alle Komponentenfunktionen x1 (u), . . . , xk (u) nach allen Variablen u1 , . . . , un differenzierbar sind, können wir die Jacobi-Matrix J wie folgt definieren: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂x1 ∂x1 ∂x1 T . . . (grad x ) 1 u ∂u2 ∂un 1 ⎜ ∂u ⎟ ⎜ ⎟ ∂x2 ∂x2 ∂x2 ⎟ ⎜ ⎜ (gradu x2 )T ⎟ . . . ∂x ∂un ⎟ ⎜ ∂u1 ∂u2 ⎜ ⎟ =⎜ (4.40) = Ju x = ⎜ . ⎟. .. .. ⎟ .. .. ⎜ .. ⎟ ⎜ ⎟ ∂u . . . ⎠ ⎝ . ⎝ ⎠ ∂xk ∂xk ∂xk (gradu xk )T . . . ∂u ∂u1 ∂u2 n Dabei heißt Ju x die „Jacobi-Matrix von x bezüglich u“, ebenso bezeichnet gradu den Gradienten bezüglich der Koordinaten u. Die erste Zeile der Jacobi-Matrix ergibt sich dadurch, dass man die erste Komponentenfunktion x1 (u1 , . . . , un ) nimmt und nacheinander alle partiellen Ableitun∂x1 ∂x1 , . . . , ∂u bildet. Die zweite Zeile ergibt sich, wenn x2 (u) genommen wird gen ∂u 1 n und man diese auch wieder nach allen Veränderlichen ableitet usw. Diese Prozedur endet mit der untersten, der k-ten Komponentenfunktion xk . Anders gesagt: In Zeile 1 steht der transponierte Gradient von x1 bezüglich u (wir leiten nicht mehr nach x, y und z ab, sondern nach u1 , . . . , un !), in Zeile 2 der transponierte Gradient von x2 (u) usw. Merke: Die Anzahl k der Komponenten von x ergibt die Zeilenzahl der Jacobi-Matrix, aus der Anzahl n der Veränderlichen erhält man die Spaltenzahl. So entsteht eine k × n-Matrix.
Soll z. B. die Jacobi-Matrix einer Funktion x(u, v, w) =
x(u,v,w) y(u,v,w)
berechnet wer-
den, so ergibt sich eine 2 × 3-Matrix (k = 2 Komponenten, n = 3 Variablen) ∂x ∂x ∂x ∂u ∂v ∂w der Form J(u,v,w) x = ∂y ∂y ∂y . Im einfachsten Fall gilt für k = 1, d. h. ∂u
∂v
∂w
f (u1 , . . . , un ): Ju f (u1 , . . . , un ) =
∂f ∂f ∂u1 , . . . , ∂un
= (gradu f (u))T .
Funktionaldeterminante Für die Integration in verzerrten oder krummlinigen Koordinaten in Kapitel 5 benötigen wir den Begriff der Funktionaldeterminante. Dieser geschwollene Ausdruck bedeutet nichts weiter als die Determinante der Jacobi-Matrix, d. h.,
4.4 Ableitung vektorwertiger Funktionen
145
det(Ju x). Dies setzt notwendigerweise voraus, dass die Jacobi-Matrix quadratisch ist (da sonst keine Determinante berechnet werden kann), d. h. die Anzahl der Variablen muss gleich der Anzahl der Komponenten sein. Nur dann lässt sich die Funktionaldeterminante berechnen. Für Koordinatentransformationen, die uns insbesondere interessieren, ist dies aber immer der Fall. Beispiel 4.28 (Funktionaldeterminante der Kugelkoordinaten) Man berechne Jacobi-Matrix und Funktionaldeterminante für Kugelkoordinaten. Lösung: Die Kugelkoordinaten sind wie im vorherigen Beispiel als rSc x(u) = x(r, θ, ϕ) = rSs rC
gegeben mit Variablen u = (r, θ, ϕ), wobei zur Abkürzung s := sin(ϕ) und S := sin(θ) gewählt wurde (analog für die „Kosinüsse“). Wir haben drei Komponentenfunktionen x1 (r, θ, ϕ) = rSc, x2 (r, θ, ϕ) = rSs und x3 (r, θ, ϕ) = rC vorliegen. Diese müssen wir jeweils nach allen Variablen r, θ und ϕ ableiten: ⎛ ∂x1 ∂x1 ∂x1 ⎞ ⎛ ⎞ J(r,θ,ϕ) x = ⎝
∂r ∂x2 ∂r ∂x3 ∂r
∂θ ∂x2 ∂θ ∂x3 ∂θ
∂ϕ ∂x2 ∂ϕ ∂x3 ∂ϕ
Sc
⎠ = ⎝ Ss C
rCc rCs −rS
−rSs rSc ⎠. 0
Wie man direkt sieht, muss die Jacobi-Matrix (im Gegensatz zur Hesse-Matrix!) nicht symmetrisch sein. Wir berechnen schließlich die Funktionaldeterminante. Dazu verwenden wir cos2 (x) + sin2 (x) = 1 sowie die Sarrus-Regel: Sc rCc −rSs det(J(r,θ,ϕ) x) = det Ss rCs rSc C −rS
0
=
r 2 SC 2 c2 + r2 S 3 s2 + r2 SC 2 s2 + r2 S 3 c2
=
r 2 (S(C 2 c2 + S 2 s2 + C 2 s2 + S 2 c2 ))
=
r2 S(C 2 (c2 + s2 ) + S 2 (s2 + c2 ))
=
r 2 S(C 2 + S 2 ) = r2 S = r 2 sin(θ) .
Dieses Ergebnis wird uns in Kapitel 5 wiederbegegnen.
4.4.2
Kettenregel
Wir verallgemeinern nun die aus Abschnitt 4.1 bekannte Kettenregel für Ableitungen. Zunächst klären wir den Begriff der Verkettung für vektorwertige Funktionen mehrerer Veränderlicher. Wir wollen die Funktionen x : Rn → Rk und u : Rp → Rn verketten, also dementsprechend
146
4 Differenzialrechnung
x(u) = x(u1 , . . . , un )
=
u(v ) = u(v1 , . . . , vp )
=
⎛
⎞
⎛
⎞
x1 (u1 , . . . , un ) ⎜ ⎟ .. ⎝ ⎠, . xk (u1 , . . . , un ) u1 (v1 , . . . , vp ) ⎜ ⎟ .. ⎝ ⎠. . un (v1 , . . . , vp )
Die Verkettung x ◦ u = x(u(v )) ergibt ⎛
⎞
x1 (u1 (v1 , . . . , vp ), . . . , un (v1 , . . . , vp )) ⎜ ⎟ .. x(u(v )) = ⎝ ⎠. . xk (u1 (v1 , . . . , vp ), . . . , un (v1 , . . . , vp ))
Die Schreibweise bedeutet: Jede Komponente x1 , . . . , xk einer vektorwertigen Funktion x hängt von n Variablen u1 , . . . , un ab, während jede dieser Variablen wiederum von neuen Variablen v1 , . . . , vp abhängt.
Allgemeine Kettenregel Die große Frage ist nun: Wie leitet sich dieses Monster nach den innersten Variablen v1 , . . . , vp ab? Hier hilft die allgemeine Kettenregel:
∂x
∂x ∂u = . (4.41) · ∂v ∂u u(v) ∂v Diese Schreibweise entspricht der Differenzialschreibweise (4.9) aus Abschnitt ∂ x 4.1, hier nur für mehrere Dimensionen. Dabei meint ∂ u , dass jede Komponente x1 , . . . , xk von x nach allen Variablen u1 , . . . , un abgeleitet werden muss. Dies entspricht aber gerade der Jacobi-Matrix Ju x (vgl. Gleichung (4.40)). Also kann (4.41) geschrieben werden als Jv x(u(v )) = Ju x|u(v) · Jv u bzw. in voller „Schönheit“ ⎛ ⎞ ⎛ ∂x1 ∂x1 ∂x1 1 . . . ∂x ∂v1 ∂v2 ∂vp ∂u1 ⎜ ∂x ⎟ ⎜ ⎜ 2 ∂x2 . . . ∂x2 ⎟ ⎜ ∂x2 ∂vp ⎟ ⎜ ∂v1 ∂v2 ⎜ ∂u1 =⎜ . ⎜ . .. ⎟ .. .. ⎜ .. ⎟ . . . ⎠ ⎜ . ⎝ ⎝ . ∂xk ∂xk ∂xk k . . . ∂x ∂u1 ∂v1 ∂v2 ∂vp
∂x1 ∂u2 ∂x2 ∂u2
...
∂xk ∂u2
...
.. .
... .. .
⎞
∂x1
∂un ⎟
∂x2 ⎟
∂un ⎟
(4.42)
⎛
∂u1 ∂v ⎜ ∂u1 ⎜ 2 ⎜ ∂v1
∂u1 ∂v2 ∂u2 ∂v2
...
∂v1
∂un ∂v2
...
·⎜ . .. ⎟
⎜ . . ⎟ ⎠ ⎝ .
∂xk ∂un
∂un
u( v)
.. .
... .. .
∂u1 ∂vp ∂u2 ∂vp
⎞
⎟ ⎟ ⎟ .. ⎟ . ⎟ ⎠
∂un ∂vp
Dieses ist die allgemeinste Form der Kettenregel, und es lassen sich aus ihr wieder einmal alle Spezialfälle ableiten. Am schwierigsten ist es, bei der Jacobi-Matrix die Struktur der Verkettung und somit das Aussehen der Formel zu begreifen, das Ableiten und Ausmultiplizieren sind dann reine Formsache.
4.4 Ableitung vektorwertiger Funktionen
147
Beispiel 4.29 (Ableitung eines Kraftfeldes nach Polarkoordinaten) 2 F (x,y) +y 2 ) Gegeben ist das Kraftfeld F (x, y) = F12 (x,y) = α(xβxy und die Koordi x(r,ϕ) r cos(ϕ) natenabbildung der Polarkoordinaten x(r, ϕ) = y(r,ϕ) = r sin(ϕ) . Jemand möchte die Jacobi-Matrix J(r,ϕ) F wissen. Helfen wir! Lösung: Wir verwenden die Kettenregel (4.42)
J(r,ϕ) F (x(r, ϕ)) = J(x,y) F
x(r,ϕ)
· J(r,ϕ) x
und berechnen dafür nacheinander die beiden Jacobi-Matrizen auf der rechten Seite: ∂F ∂F
1 1
2αy
∂x ∂y
J(x,y) F
= = 2αx ∂F2 ∂F2 βy βx
(x(r,ϕ),y(r,ϕ)) x(r,ϕ)
= sowie J(r,ϕ) x =
∂x
∂y
(x(r,ϕ),y(r,ϕ))
2αr cos(ϕ) 2αr sin(ϕ) βr sin(ϕ) βr cos(ϕ)
∂x
∂x1 ∂ϕ ∂F2 ∂ϕ
1 ∂r ∂x2 ∂r
=
=
2αrc
2αrs βrc
βrs
cos(ϕ) −r sin(ϕ) sin(ϕ) r cos(ϕ)
= ( sc
−rs ) . rc
Multiplikation liefert schließlich J(r,ϕ) F
= =
2αrc
=
βrs
2αrs βrc
· ( sc
−rs ) rc
2αrc2 +2αrs2 0 2βrsc −βr2 s2 +βr2 c2 2αr 0 2βrsc βr 2 (c2 −s2 )
.
Das ist die Ableitung, in diesem Fall eine Matrix! Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man direkt in F die Polarkoordinaten einsetzt und nach r und ϕ differenziert: 2 2 2 F (x,y) +y ) αr = βr . F (x, y) = F12 (x,y) = α(xβxy 2 sc Berechnen der Jacobi-Matrix ergibt J(r,ϕ) F
= =
2αr 0 2βrsc βr 2 (c·c+s(−s)) 2αr 0 2βrsc βr 2 (c2 −s2 )
.
Wie man an dem vorangegangenen Beispiel sieht, kann bei expliziter Angabe der Transformationsvorschriften oftmals das Ableiten nach Einsetzen deutlich kürzer ausfallen als mit Hilfe unserer Kettenregel. Allerdings werden kaum Ableitungen vektorwertiger Funktionen auftauchen; die meisten verketteten Probleme sind in der folgenden Form.
148
4 Differenzialrechnung
Kettenregel für skalare Größen Wir stellen uns vor, dass wir schwitzend irgendwo im heißen Saal von Beispiel 4.19 sitzen. Wir halten es nicht mehr aus und bewegen uns. Dadurch wird unsere Ortsposition x = (x, y, z) zeitabhängig: x(t) = (x(t), y(t), z(t)). Solch eine vektorwertige Funktion, abhängig von nur einer Variablen, heißt Bahnkurve (mit Bahnkurven werden wir uns noch ausführlich in Kapitel 6 beschäftigen). Uns interessiert jetzt aber zunächst, wie sich die Temperatur T (x, y, z) ändert, wenn wir unsere Position ändern. Dann wird aus unserer Sicht die Temperatur zeitabhängig: T = T (x(t), y(t), z(t)). Die zeitliche Änderung erhalten wir mittels Kettenregel: Jt T (x(t)) = Jx T |x(t) · Jt x bzw. in der Differenzialschreibweise d T (x(t)) dt
=
dx ∂T
· = ∇T |x(t) · x˙ ∂x x(t) dt
=
∂T dz ∂T dx ∂T dy + + . ∂x dt ∂y dt ∂z dt
(4.43)
Was ist hier passiert? Nun, zunächst wurde erkannt, dass Jt T (x(t)) die JacobiMatrix einer skalaren Funktion T bezüglich einer Variablen t gerade die „normale“ d Ableitung dt T (x(t)) bezeichnet. Weiterhin bedeutet das Symbol Jx T auf der rechten Seite, dass die Funktion T partiell nach dem Vektor x abgeleitet wird, d. h., T wird jeweils nach x, y, z abgeleitet und dann in einen Vektor geschrieben – x das ist aber nichts anderes als grad T ! Weiterhin wurde Jt x in d dt umgeschrieben. Im letzten Schritt wurde dann das Skalarprodukt ausmultipliziert. Allgemein gilt:
∂f dxi d f (x1 (t), . . . , xn (t)) = . dt ∂xi dt n
(4.44)
i=1
Das ist die Kettenregel für skalare Größen. Was lernen wir hieraus? Wir müssen höllisch aufpassen, ∂ und d sorgsam zu unterscheiden. Gibt es nur eine Variable, nach der abgeleitet werden kann (wie z. B. bei dxdt(t) ), so schreiben wir d. Gibt es dagegen mehrere Veränderliche, nach denen abgeleitet werden könnte, so schreiben wir die partielle Ableitung ∂. Möchte man eine totale Ableitung von einer Verkettung (z. B. f (x(t), y(t)) bilden, so schreiben wir ebenfalls d. Man beachte in diesem Zusammenhang: ∂ d r(t)) = 0, aber dt T (r(t)) = ∂T ∂t T ( ∂ r ∂ ∂T d T ( r (t), t) = , aber T ( r (t), t) ∂t ∂t dt
r · d r˙ . dt = ∇T · ∂T d r = ∂r · dt + ∂T ∂t .
4.4 Ableitung vektorwertiger Funktionen
149
Beispiel 4.30 (Zeitliche Ableitung der Lagrange-Funktion) Später in höheren Semestern wird man die Lagrange-Funktion L(t, x, x˙ ) in der analytischen Mechanik kennenlernen. Wie lautet die zeitliche Ableitung d x, x˙ ) formal? dt L(t, Lösung: Wir lesen zunächst die Lagrange-Funktion als skalare Funktion, die von drei Veränderlichen t, x und x˙ abhängt (die Vektoren werden hier je als eine Einheit gelesen). Damit gilt für die Ableitung nach der Kettenregel in extrem ausführlicher Form: ⎛ ⎞ 1 t ∂L ∂L ∂L d L(t, x, x˙ ) = J(t,x(t),x˙ (t)) L · Jt x˙ = , , · ⎝ x˙ ⎠ dt ∂t ∂x ∂ x˙ x ¨ x ∂L ∂L ˙ ∂L ¨ ·1+ x + x . ∂t ∂x ∂ x˙
= Ergebnis:
d ∂L ∂L dx ∂L dx˙ L(t, x, x˙ ) = + + , dt ∂t ∂x dt ∂ x˙ dt was mit Gleichung (4.44) konform geht.
4.4.3
Totales Differenzial
Ableitungen geben Veränderungen an. Wackeln wir bei der Funktion y = f (x) ein klein wenig an der Variablen x herum, so gibt das totale Differenzial die daraus resultierende f -Änderung an. Das winzige Herumwackeln bezeichnet das Differenzial dx, die (winzige) f -Änderung beschreibt dy. Dann gilt y = f (x) =⇒ dy =
df dx = f (x)dx . dx
(4.45)
Dies entspricht einer Linearisierung der Funktion f mit linearer Abbildung dy. Dieser Zusammenhang wird in Abb. 4.11 veranschaulicht.
Abb. 4.11: Das totale Differenzial. Deutlich ist der Unterschied zwischen Δy (resultierend aus Steigungsdreieck) und dy (Höhenunterschied der Tangente im Intervall dx = Δx) zu erkennen.
150
4 Differenzialrechnung
Totales Differenzial für skalare Funktionen Das totale Differenzial df für Funktionen f (x) ist gegeben durch y = f (x1 , . . . , xn ) =⇒ dy =
n ∂f dxi , ∂xi
(4.46)
i=1
was man sich aus (4.44) durch Multiplikation mit dt entstanden denken kann.
Allgemeines totales Differenzial Die Verallgemeinerung auf vektorwertige Funktionen mehrerer Veränderlicher x : Rn → Rk gelingt analog: x = x(u1 , . . . , un ) =⇒ dx = Ju x · du
(4.47)
bzw. in Komponenten
⎛
⎞ ⎛ dx1 ⎜ . ⎟ ⎜ ⎜ . ⎟=⎜ ⎝ . ⎠ ⎝
∂x1 ∂u1 du1
∂xk ∂u1 du1
dxk
+ ... + .. .
∂x1 ∂un dun
+ ... +
∂xk ∂un dun
⎞ ⎟ ⎟. ⎠
(4.48)
Beispiel 4.31 (Totales Differenzial der Zylinderkoordinaten) Die Zylinderkoordinaten sind gegeben durch x(ρ, ϕ, z) = (ρ cos(ϕ), ρ sin(ϕ), z). Wie lautet das totale Differenzial dx? Lösung: Berechne das totale Differenzial mit Hilfe der Jacobi-Matrix: dx = Ju x · du , wobei u = (ρ, ϕ, z). Hier: ⎛ ⎞ ⎛ ∂x1 ∂x1 dx1 ⎝ dx2 ⎠ = ⎝ dx3
=
∂ρ ∂x2 ∂ρ ∂x3 ∂ρ
∂ϕ ∂x2 ∂ϕ ∂x3 ∂ϕ
∂x1 ∂z ∂x2 ∂z ∂x3 ∂z
cos(ϕ)dρ−ρ sin(ϕ)dϕ sin(ϕ)dρ+ρ cos(ϕ)dϕ dz
⎞ ⎛
⎞
dρ cos(ϕ) ⎠ · ⎝ dϕ ⎠ = sin(ϕ) 0 dz
=
cos(ϕ) sin(ϕ) 0
dρ + ρ
−ρ sin(ϕ) 0 ρ cos(ϕ) 0 0 1 − sin(ϕ) cos(ϕ) 0
dρ · dϕ
dϕ +
dz
0 0 1
dz .
Ergebnis: dx = eρ dρ + ρeϕ dϕ + ez dz .
Hier tauchen wieder Basisvektoren der Zylinderkoordinaten auf. Diese Begebenheit wird uns beim Bilden diverser Größen noch sehr hilfreich sein, wie z. B. der folgenden.
4.4 Ableitung vektorwertiger Funktionen
151
Das Bogenelement Eine Größe, die sich direkt aus dem totalen Differenzial ableitet, ist das Bogenelement (bzw. sein Quadrat) ds2 := dx · dx ,
(4.49)
auch Linienelement genannt. Dabei ist ds ein winziges Bogenstück einer Kurve. Wir kommen darauf in Kapitel 5 und 6 beim Berechnen der Bogenlänge zurück. Beispiel 4.32 (Linienelement für Zylinderkoordinaten) Wie lautet das Bogenelement für Zylinderkoordinaten? Lösung: Aus Beispiel 4.31 wissen wir: dx = eρ dρ + ρeϕ dϕ + ez dz . Quadrieren liefert unter Beachten der ONB-Eigenschaften der Basisvektoren (eρ · eϕ = 0 usw.) ds2 = dx · dx = dρ2 + ρ2 dϕ2 + dz 2 . Das ist das Linienelement in Zylinderkoordinaten. Die wichtigsten Linienelemente sind ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ds = dr + r dϕ
ds = dρ + ρ dϕ + dz 2
2
2 2
2
ds = dr + r dθ + r sin (θ)dϕ
(kartesisch),
(4.50)
(polar),
(4.51)
(zylindrisch),
(4.52)
(kugelig).
(4.53)
Mit Hilfe dieser Linienelemente lassen sich Bogenlängen in beliebigen Koordinaten berechnen, wie in Kapitel 6 gezeigt wird.
152
4 Differenzialrechnung
Spickzettel zu Ableitungen vektorwertiger Funktionen Vektorwertige Funktion
x1 (u1 ,...,un )
Funktion x( u) = ponenten.
.. .
, dabei u1 , . . . , un Variablen und x1 , . . . , xk Kom-
xk (u1 ,...,un )
Jacobi-Matrix Beinhaltet zeilenweise die transponierten Gradienten der einzelnen Komponentenfunktionen bzgl. u:
⎛ ⎜
x( u) = ⎝ Ju
∂x1 ∂u1
.. .
∂xk ∂u1
... .. . ...
∂x1 ∂un
.. .
∂xk ∂un
⎞
⎛
⎞
T (gradu x1 ) ⎟ ⎜ ⎟ .. ⎠=⎝ ⎠. . T (gradu xk )
Für quadratische Jacobi-Matrizen heißt det(Ju x) Funktionaldeterminante. Allgemeine Kettenregel x = x( u), u= u(v ) sind verkettet zu x( u(v )); die Ableitung folgt per Kettenregel: Jv x( u(v )) = Ju x|u u. v ( v ) · J Spezialfall:
d x(t)) dt T (
=
∂T ∂ x x(t)
·
d x dt
= ∇T |x(t) · x˙ .
Totales Differenzial Totales Differenzial einer Funktion x= x(u1 , . . . , un ): d x = Ju x · d u. Spezialfälle: ∂f – skalare Funktion y = f (x1 , . . . , xn ): dy = dx . i i ∂xi – 1-D: dy = f (x)dx. Bogenelement ds2 = d x · d x.
5 Integration
Übersicht 5.1
Grundlegende Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.2
Integrationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.3
Mehrfachintegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.4
Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.1
Grundlegende Integralrechnung
In diesem Abschnitt werden wir die Integralrechnung beleuchten, welche als Umkehrung der Differenzialrechnung gesehen werden kann. Dazu wird das Integral kurz motiviert und eingeführt, anschließend werden Rechenregeln für Integrale demonstriert.
5.1.1
Integralbegriff
Integrale treten in den vielfältigsten Bereichen auf. Beispielsweise braucht man sie, wenn Längen, Flächen und Volumina von beliebig geformten Körpern berechnet werden sollen, weiterhin sind sie ein nützliches Werkzeug zur Lösung von Differenzialgleichungen. Wir werden noch ausführlich mit ihnen zu tun haben. Das Integral motivieren wir über die Berechnung der Fläche unter einer beliebigen Kurve f (x) im Intervall [a, b]. Die zentrale Idee hierbei ist, den Flächeninhalt I durch n Rechtecke anzunähern. Dazu zerlegen wir das Intervall [a, b] bzw. die Strecke b − a in n Rechtecke der Breite Δx. Dann gilt n · Δx = b − a und dementsprechend für die Rechteckbreite Δx = b−a n . Die Höhe der Teilstücke wird durch den Funktionswert an einer geeigneten Stelle des Rechtecks gebildet. Die Rechteckapproximation wird umso genauer, je schmaler wir die Rechtecke machen bzw. umso mehr Rechtecke wir benutzen. Dabei gibt es zwei Möglichkeiten: Wir können die Untersumme (grau schraffierte Blöcke) bilden, d. h., alle Rechtecke liegen unterhalb der Kurve. Wir können aber auch die Obersumme (graue
154
5 Integration
Blöcke + nicht gefüllte Rechtecke) bilden, d. h., alle Rechtecke reichen bis oberhalb der Kurve. Macht man nun die Anzahl der Rechtecke sehr groß (bzw. die Approximation genauer), so nähern sich Ober- und Untersumme an. Im Grenzfall unendlich vieler, unendlich dünner Rechtecke (n → ∞ bzw. Δx → 0) sind für stetige Funktionen Obersumme und Untersumme gleich. Abb. 5.1 veranschaulicht dies. Im Folgenden seien die Funktionen stetig.
Abb. 5.1: Rechteckapproximation der Fläche einer Kurve. Je schmaler die Rechtecke gemacht werden, desto genauer wird die Approximation (von links nach rechts). Im Grenzfall Δx → 0 (rechts) sind Approximation und tatsächliche Fläche gleich.
Damit können wir das Integral und seine Schreibweise motivieren. Es kann als eine unendliche Summe der infinitesimal dünnen Rechtecke f (x)Δx im Intervall [a, b] interpretiert werden und man schreibt / b dx f (x) (5.1) I= a
mit Differenzial dx, Integranden f (x) und Integrationsgrenzen a (untere Grenze) und b (obere Grenzen).
5.1.2
Der Hauptsatz
Wir schauen uns nun an, wie man ein Integral berechnet. Dazu hilft der folgende Satz.
Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung Soll das Integral im Intervall [a, b] berechnet werden (d. h., es handelt sich um ein sogenanntes bestimmtes Integral), so hilft der Hauptsatz: Ist F (x) eine Stammfunktion der stetigen Funktion f (x), gilt also / dF = f (x), F (x) = dx f (x) + C dx
(5.2)
mit beliebiger Konstante C ∈ R, so berechnet sich das bestimmte Integral wie folgt: / b b dx f (x) = [F (x)]ba = F (x)|a = F (b) − F (a) . (5.3) a
5.1 Grundlegende Integralrechnung
155
Gleichung (5.3) ist die zentrale Gleichung für das Integrieren. Der Integrand f (x) – das ist die zu integrierende Funktion – wird über die Variable x integriert. Die Aufgabe ist es dabei, eine Funktion F (x) zu suchen, welche abgeleitet wieder f (x) ergibt (vgl. (5.2), vordere Gleichung). F (x) wird Stammfunktion genannt und ist nicht eindeutig, da ja [F (x) + C] = F (x) + 0 = F (x) = f (x) ist. Hat man F (x) (quasi den großen Bruder von f (x)) gefunden, so setzt man die obere und untere Grenze ein und zieht sie voneinander ab. Durch Gleichung (5.2) ist uns eine gute Kontrollmöglichkeit gegeben, ob wir richtig integriert haben: Die Ableitung der (vermeintlichen) Stammfunktion muss wieder f (x) ergeben. Merke dazu folgendes Schaubild: 0 dx
d
f (x) → F (x) + C ,
dx F (x) + C → f (x) .
(5.4)
Beispiel 5.1 (Ein einfaches Integral) Man berechne die Fläche unter der Kurve f (x) = x im Intervall [0, 1].
01 Lösung: Die Fläche ist gegeben durch das Integral 0 dx x. Unsere Aufgabe ist es, eine Funktion zu finden, welche abgeleitet x = x1 ergibt. Die Potenz 1 kommt beim Ableiten dadurch zustande, das vor dem Ableiten x im Quadrat vorgelegen hat. Test: [x2 ] = 2x. Offensichtlich ist der Faktor 2 zu viel. Ergebnis: Die Stammfunktion zu x ist bis auf Konstanten 12 x2 , da [ 12 x2 ] = 12 (2x) = x ist. Wir erhalten also mit Hilfe des Hauptsatzes /
1
dx x = 0
$1
2 2x
+C
%1 0
.
Nun setzen wir die Integrationsgrenzen 0 und 1 ein und ziehen sie gemäß (5.3) voneinander ab:
$1
2x
2
+C
%1 0
= ( 12 · 12 + C) − ( 12 · 02 + C) =
1 2
.
Das war auch zu erwarten, denn die Fläche unter f (x) = x in [0, 1] entspricht einem rechtwinkligen Dreieck mit Grundseite 1 und Höhe 1, woraus A = 12 · 1 · 1 = 12 für die Fläche folgt (Abb. 5.2 rechts). Soeben haben wir auch gesehen, dass es beim bestimmten Integral nicht nötig ist, die Konstante C formal mitzuschleppen, da sie sich ohnehin beim Einsetzen der Grenzen wieder heraushebt.
Integral = Fläche? Betrachten wir noch einmal die Funktion f (x) = x. Gibt das Integral wirklich die Fläche? Wir testen dieses, indem wir f von −1 bis +1 integrieren. Da f (x)
156
5 Integration
punktsymmetrisch ist, sollte die Gesamtfläche 2 · 12 = 1 herauskommen (Fläche von −1 bis 0 ist exakt gleich groß wie die von 0 bis 1). Das testen wir:
/
1 −1
dx x = [ 12 x2 ]1−1 =
1 2
· 12 −
1 2
· (−1)2 = 0 .
Oje, was ist passiert? Haben wir uns verrechnet? Nein, denn das Integral liefert nicht die Fläche unter der Kurve, sondern die Bilanz der Flächen, wie Abb. 5.2 zeigt: Das Integral zählt Flächen unterhalb der x-Achse negativ. Um die absolute Fläche einer Funktion zu berechnen, bestimmt man zunächst sämtliche Nullstellen x0 , . . . , xn im Intervall [a, b] und summiert dann über die einzelnen Flächenstücke: A=
n−1 / xi+1 i=0
xi
dx f (x)
,
(5.5)
x0 = a, xn = b .
Abb. 5.2: Integral ist Flächenbilanz. Flächen unterhalb der x-Achse werden negativ, oberhalb positiv gezählt.
Beispiel 5.2 (Fläche unter der Sinusfunktion) Man bestimme die Fläche unter der Kurve f (x) = sin(2x) im Intervall [0, π]. Lösung: Wir bestimmen zunächst die Nullstellen: , 2π, . . . f (x) = sin(2x) = 0 ⇐⇒ x = 0, π2 , π, 3π 2 Im gegebenen Intervall liegt also nur eine Nullstelle, und zwar bei x0 = zur Flächenberechnung das Integral auf:
/ I1 = 0
und ebenso I2 =
/
π π 2
π 2
$ %π dx sin(2x) = − 12 cos(2x) 02 =
1 2
π 2.
− (− 12 ) = 1
$ %π dx sin(2x) = − 12 cos(2x) π = − 12 − (− 12 )(−1) = −1 . 2
Für den Flächeninhalt ergibt sich dann A = |I1 | + |I2 | = 1 + | − 1| = 2 . Das Integral wäre allerdings null, da 1 + (−1) = 0 (ohne Betragszeichen).
Spalte
5.1 Grundlegende Integralrechnung
5.1.3
157
Einfache Integrationsregeln und -tricks
Folgende Regeln vereinfachen das Leben mit bestimmten Integralen erheblich: Zerlegen der Intervalle:
/
/
c
/
b
dx f (x) =
dx f (x) +
a
a
Spezialfall:
/
c
dx f (x) ,
(5.6)
b
a
dx f (x) = 0 ,
(5.7)
a
Vertauschen der Grenzen: /
/
b
a
dx f (x) = − a
dx f (x) ,
(5.8)
b
Linearität des Integrals:
/
/
b
a
/
b
dx (C1 f (x) ± C2 g(x)) = C1
b
dx f (x) ± C2 a
dx g(x) ,
(5.9)
a
d. h., Summen können auseinandergezogen und Konstanten C1 , C2 ∈ R aus dem Integral herausgezogen werden. Potenzfunktionen können nach der folgenden Integrationsformel berechnet werden: / 1 dx xλ = (5.10) · xλ+1 + C , λ = −1 . λ+1 Was ist die Stammfunktion im Falle λ = −1, also von x1 ? Man erinnere sich daran, dass Integration die Umkehrung der Ableitung darstellt. Dann können wir allerdings auch die Ableitungstabellen in Abschnitt 4.1 umgekehrt als Integrationstabellen lesen. Und siehe da, wir finden [ln(|x|)] = x1 , also wissen wir: 0 dx x1 = ln(|x|) + C. Der Betragsstrich kommt im Übrigen daher, dass der Logarithmus nur für Argumente größer Null definiert ist und dass für x < 0 die 1 ist. Ableitung von ln(|x|) gleich − |x| Beispiel 5.3 (Ein paar Integrale) 01 $ %1 1. 0 dx x2 = 13 x3 0 = 13 · 13 − 13 · 03 = 13 . √ 0 0 0 2 7 5 2. dx (e3x + x2 ) = dx e3x + dx x 5 = 13 e3x + 57 x 5 + C. √ 0 0 0 0 1 1 = dx √1x − x1 = dx x− 2 − dx x1 = 2x 2 − ln(|x|) + C. 3. dx x−1 x 0 0 4. dx = dx 1 = x + C. 01 √ √ 1 5. 0 dx √x+1 = 2 x + 1|10 = 2 2 − 2.
158
5 Integration
Symmetrien erleichtern das Leben Ist eine Funktion f (x) achsen- oder punktsymmetrisch, so gilt für die Integration in einem symmetrischen Intervall [−a, a]: 1 0a / a f (x) (achsensymm.) 2 0 dx f (x) =⇒ dx f (x) = f (−x) = . −f (x) (punktsymm.) 0 −a (5.11) Das erklärt auch das Ergebnis der Fläche von f (x) = x von −1 bis 1. f (x) ist punktsymmetrisch, damit verschwindet das Integral über symmetrische Grenzen.
Verschiebetrick Um lästige (additive) Konstanten im Integranden loszuwerden, kann man den Verschiebetrick anwenden: / b / b+x0 x→x−x0 dx f (x + x0 ) = f (x) . (5.12) a
a+x0
Verschiebt man die Variable im Integranden um x0 (daher die Schreibweise x → x−x0 ), so müssen die Grenzen um −x0 verschoben werden. Diese Methode ändert nichts am Wert des Integrals!
Reskalierungstrick Um lästige multiplikative Konstanten im Integranden loszuwerden, kann man das Integral reskalieren: / b / b·λ 1 x→ λ x 1 dx f (λx) = dx f (x) . (5.13) λ a·λ a Man lässt dabei die Variable einen Faktor (hier: λ1 ) „ausspucken“, woraufhin dx dasselbe tut (daher der Vorfaktor vor dem Integral). Weiterhin müssen die Grenzen reziprok, d. h. mit 11 = λ, multipliziert werden. Wie wir in Abschnitt 5.2.2 sehen λ werden, sind Verschiebe- und Reskalierungstrick nur abgespeckte Versionen der Substitutionsmethode. Beispiel 5.4 (Anwenden der Integrationstricks) 0d 1 Man berechne c dx √ax+b . Lösung: Als Erstes werden wir per Reskalierung den Vorfaktor a los: / d / ad 1 x→ a x 1 1 dx √ = a1 dx √ . ax + b x+b c ac Man beachte dabei stets, dass dx auch den Faktor ausspuckt! Dies wird gerne vergessen. Als Nächstes werden wir per Verschiebetrick die Konstante b los: / / ad+b 1 1 1 ad x→x−b 1 dx √ = dx √ . a ac a x x+b ac+b
5.1 Grundlegende Integralrechnung
159
Der Integrand lässt sich in Potenzschreibweise elementar mit (5.10) integrieren: 1 a
/
ad+b ac+b
Ergebnis:
/
1 dx √ x
d
dx √ c
/
1 a
=
ad+b
dx x− 2 = 1
ac+b
ad+b 2 12
. x
a ac+b
√ 1 2 √ ad + b − ac + b . = a ax + b
Spickzettel zur grundlegenden Integralrechnung Integralbegriff und Hauptsatz Integral = Flächenbilanz; 0 Integral = Umkehrung der Ableitung (Hauptsatz): Gilt dF dx f (x) + C (F (x) Stammfunktion), dann ist dx = f (x), F (x) =
/
b
dx f (x) := [F (x)]ba =: F (x)|ba = F (b) − F (a) a
das bestimmte Integral von f (x) in den Grenzen a bis b. Integrationsregeln
/
/
b
/
/
c
dx f (x) + a
b b
a
dx f (x) , a
/
/
a
dx f (x) = −
/
c
dx f (x) =
a
dx f (x) ,
dx f (x) = 0 ,
b
a
/
b a
/
b
dx (C1 f (x) ± C2 g(x)) = C1
b
dx f (x) ± C2 a
dx g(x) . a
Berechnung der Integrale von Potenzfunktionen:
/ dx xλ =
Integrationstricks – Symmetrie: f (−x) = – Verschiebetrick:
0b a
– Reskalierungstrick:
1 · xλ+1 + C , λ+1
f (x) −f (x)
2 =⇒
dx f (x + x0 )
0b a
dx f (λx)
0a
dxf (x) = −a
x→x−x0 0 b+x0
=
1 x→ λ x
=
λ = −1 .
a+x0
1 λ
0 b·λ a·λ
f (x).
dx f (x).
2 0
0a 0
dx f (x)
.
160
5.2
5 Integration
Integrationsmethoden
Leider kommt es sehr häufig vor, dass ein Integral nicht einfach durch „Hinschauen“ und Aufschreiben der Stammfunktion berechenbar wird (wie im vorherigen Abschnitt suggeriert wurde). In diesen Fällen muss man schwereres Geschütz auffahren. Wir werden nun ein paar Integrationsmethoden vorstellen, die in vielen Fällen hilfreich sein werden. Allerdings gibt es zum Knacken der Integrale kein wirkliches Patentrezept. In der Regel muss man unterschiedliche Brecheisen ansetzen und hoffen, dass die bekannten Methoden zum Ziel führen.
5.2.1
Partielle Integration
Besteht der Integrand aus einem Produkt zweier Funktionen u(x) · v (x) und lässt sich zu v (x) leicht eine Stammfunktion v(x) finden, dann empfiehlt es sich oftmals, partielle Integration anzuwenden. Sie ist die Umkehrung der Produktregel aus der Differenzialrechnung: / b / b / b dx [u(x)v(x)] = dx u (x)v(x) + dx u(x)v (x) . a
a
a
Wie wir schon wissen, ist die Integration formal die Umkehrung der Ableitung. Auf der linken Seite kompensieren sich also Ableitung und Integral, und es verbleibt die Stammfunktion der Ableitung – also die Funktion selbst – in den Grenzen: [u(x)v(x)]ba . Wir können umstellen und erhalten / b / b dx u(x)v (x) = [u(x)v(x)]ba − dx u (x)v(x) , (5.14) a
a
wobei die große Hoffnung ist, dass das Integral auf der rechten Seite einfacher oder sogar direkt lösbar geworden ist. Das ist das Prinzip der partiellen Integration. Wir demonstrieren dies an zwei Beispielen. Beispiel 5.5 (Partielle Integration I) 01 Man berechne 0 dx xe−x . Lösung: Offensichtlich besteht der Integrand aus einem Produkt: x · e−x . Wir müssen uns jetzt überlegen, zu welchem Produktpartner die Stammfunktion bestimmt werden soll; nehmen wir v (x) = e−x . Seine Stammfunktion ist v(x) = −e−x . u(x) = x muss dagegen abgeleitet werden: u (x) = 1. Nun haben wir alle Vorbereitungen getroffen und können die partielle Integration (5.14) anwenden: / 1 / 1 −x −x 1 dx x e = [ x (−e )]0 − dx 1 (−e−x )
0 0 u(x) v (x)
u(x)
=
v(x)
−1 · e−1 + 0 · e0 +
/ 0
u (x)
1
v(x)
dx e−x .
5.2 Integrationsmethoden
161
Doch welch ein Glück! Das Integral auf der rechten Seite lässt sich einfach integrieren: / 1 dx e−x = −e−x |10 = −e−1 + 1 . 0
Ergebnis:
/
1
dx xe−x = −e−1 − e−1 + 1 = 1 −
0
2 e
.
Was passiert aber, wenn man umgekehrt ansetzt? Leite also v (x) = x auf, d. h. v(x) = 12 x2 und u(x) = e−x ab: u (x) = −e−x . Dann folgt
/
1
dx e 0
−x
x=
[e−x 21 x2 ]10
/
1
− 0
dx(−e−x ) 12 x2 .
Wie man allerdings am rechten Integral erkennt, ist die ganze Sache noch komplizierter geworden. Dieser Ansatz würde also in eine Sackgasse führen. Beispiel 5.6 (Partielle Integration II) Man berechne eine Stammfunktion zu f (x) = sin(x) cos(x). Lösung: Wir verwenden partielle Integration und setzen u(x) = sin(x) und v (x) = cos(x). Dann ist v(x) = sin(x) und u (x) = cos(x) und es ergibt sich mit (5.14) / / 2 dx sin(x) cos(x) = [sin (x)] − dx cos(x) sin(x) , wobei [ ] andeutet, dass bei Weglassen der Klammern dort noch eine Integrationskonstante fällig wird. „Na toll“ mag man nun denken, „auf der rechten Seite taucht das zu lösende Integral nochmal auf! Drehen wir uns im Kreis?“ Nein, denn die Lösung liegt näher, als man glaubt. Bringe das rechte Integral per Addition auf die linke Seite und teile durch zwei. Fertig: / dx sin(x) cos(x) = 12 sin2 (x) + C .
5.2.2
Integration durch Substitution
Die Integration per Substitution entspricht der Umkehrung der Kettenregel beim Differenzieren. Bei der Substitution gibt es zwei Fälle, die zu unterscheiden es sich lohnt: Typ 1: Typ 2:
Setze Funktion h(x) := neuer Variable t. Setze x := neuer Funktion g(t).
162
5 Integration
Durch diese Substitution ergeben sich dann die Substitutionsregeln zu
/
b
Typ I
dx h (x)f (h(x)) =
/
a
t=h(b)
dt f (t)
t := h(x) ⇔ dt = h (x)dx , / b / t=g−1 (b) dx f (x) = dt g (t)f (g(t))
mit Typ II
(5.15)
t=h(a)
(5.16)
t=g −1 (a)
a
x := g(t) ⇔ dx = g (t)dt .
mit
Dabei bedeutet g −1 die Umkehrfunktion zu g, wobei vorausgesetzt wird, dass die Umkehrung existiert und t bzw. t bezeichnen die untere bzw. obere Grenze des t-Integrals. dx und dt heißen Differenziale. Die hinten anstehenden Gleichungen der Differenziale kommen wie folgt zustande: x = g(t),
dx = g (t) ⇔ dx = g (t)dt , dt
t = h(x),
dt = h (x) ⇔ dt = h (x)dx . dx
Typ I beinhaltet irgendwo im Integranden eine Funktion h(x) (kann auch anderweitig verkettet sein) und gleichzeitig seine Ableitung h (x). Dieses ist ein gutes Charakteristikum zur Wahl der „richtigen“ Integrationsmethode. Jedenfalls sollte man in diesem Fall sein Glück mit der Substitutionsmethode probieren. Häufig auftretende Integrale: / / f (x) 1 dx dx f (x)f (x) = f 2 (x) + C . (5.17) = ln(|f (x)|) + C , f (x) 2 Typ II ist schwieriger zu durchschauen. Er beruht darauf, dass durch Einführen einer neuen Funktion g(t) das Integral lösbar wird. Was allerdings sowohl bei Typ I als auch Typ II gerne vergessen wird: Die Grenzen ändern sich durch Substitution! Aus den obigen Gleichungen folgt schließlich direkt der Reskalierungs- und Verschiebetrick aus Abschnitt 5.1.3 durch Setzen von h(x) = λx bzw. h(x) = x + x0 . Beispiel 5.7 (Substitution Typ I) 02 2 Man berechne 0 dx 2xex . Lösung: Wie man leicht erkennt, taucht im Integranden eine Funktion mit Ableitung auf. So ist der Vorfaktor 2x die Ableitung des Exponenten x2 . Jetzt sollten die Glocken klingeln! Verwende Substitution Typ I. Wir setzen dazu h(x) = x2 =: t dt dt und erhalten dx = h (x) = 2x und umgeformt dx = 2x . Einsetzen (zunächst ohne Beachtung der Grenzen) in das Integral würde dann ergeben:
/
2
2
/
...
dx 2xex = 0
...
2 dt 2xex = 2x
/
...
2
/
...
dt ex = ...
dt et , ...
5.2 Integrationsmethoden
163
und dieses Integral ist offensichtlich sehr leicht zu lösen! Die Substitution hat somit den Faktor 2x herausgeschmissen. Die mittleren Schritte lässt man beim Aufschreiben weg, weil t und x gleichzeitig im Integral auftauchen und dies unerwünscht ist. Zur Illustration des Prinzips der Substitution ist dieser Schritt jedoch hilfreich. Nun wissen wir, dass sich das Integral in Wohlgefallen auflöst, müssen allerdings noch die Grenzen ändern. Dies geht wie folgt: Wir haben x2 = t gesetzt. Damit haben wir eine direkte Transformation der x-Grenzen in die t-Grenzen gegeben. So gilt für die obere Grenze t¯ = x ¯2 = 22 = 4 und für die untere Grenze t = x2 = 2 0 = 0. Damit haben wir die neuen Grenzen gefunden und können jetzt formal richtig das Integral lösen: / 2 / 4 2 dx 2xex = dt et = et |40 = e4 − 1 . 0
0
Beispiel 5.8 (Substitution Typ II: Fläche eines Kreises) Man berechne den Flächeninhalt eines Kreises (Radius R) per Integralrechnung. Lösung: Wir erwarten als Ergebnis natürlich A = πR2 . Dies kommt per Integralrechnung wie folgt heraus: Da keine Angaben zum Kreis gemacht werden, legen wir ihn o. B. d. A. (ohne Beachtung der Aufgabenstellung . . . äh, ohne Beschränkung der Allgemeinheit) in den Ursprung. Aus Symmetriegründen betrachten wir nur ein Viertel des Kreises im ersten Quadranten und multiplizieren diese Fläche dann mit dem Faktor 4. Für den Kreis gilt x2 + y 2 ≤ R2 nach Gleichung (1.54), wobei der Gleichheitsfall die Randkurve beschreibt. Daraus erhalten wir im ersten √ Quadranten die Randfunktion y(x) = R2 − x2 und können per Integration die Fläche unter der Kurve y(x) bestimmen. Dazu verwenden wir Integralrechnung wie in ihrer ursprünglichen Motivation. Es gilt dann für die Gesamtfläche des Kreises / R dx R2 − x2 . A=4· 0
Zunächst wollen wir die Konstanten aus dem Integranden loswerden. Ziehe dazu R2 aus der Wurzel heraus: / R x2 A = 4R dx 1 − 2 . R 0 Nun kann man reskalieren und das x ein R „ausspucken“ lassen, d. h. x → R · x: / R / 1 x2 x→Rx dx 1 − 2 = 4R2 dx 1 − x2 . A = 4R R 0 0
164
5 Integration
Es verbleibt zu zeigen, dass das Integral den Wert π4 hat. Dies geschieht mit Hilfe der Typ-II-Substitution. Oben haben wir y(x) über die Kreisgleichung hergeleitet. Dann liegt es doch nahe, als Substitution eine trigonometrische Funktion zu neh= − sin(t) men, oder? Wir versuchen unser Glück: Setze x := cos(t), dann ist dx dt und somit das Differenzial dx = −dt sin(t). Wir bestimmen zusätzlich die Grenzen. Die Transformation x := cos(t) kann umgestellt werden zu t = arccos(x). Damit folgen die Grenzen zu t = arccos(x) = arccos(0) = π2 (man fragt: wo wird der Kosinus null? Z. B. bei Winkel π2 !) und t¯ = arccos(¯ x) = arccos(1) = 0. Es folgt dann für das Integral / 1 / 0 / π/2 dx 1 − x2 = − dt sin(t) 1 − cos2 (t) = dt sin2 (t) ,
0 π/2 0 sin(t)
wobei der trigonometrische Pythagoras und Vertauschen der Grenzen (5.8) verwendet wurden. Nun können wir partiell integrieren (zur Übung). Ein schnellerer Weg geht über Geometrie. In Abb. 5.3 ist die Funktion sin2 (x) aufgetragen.
Abb. 5.3: Zur Integration von sin2 (x). Die schraffierte und nicht schraffierte Fläche im skizzierten Rechteck sind gleich groß; ihr Flächeninhalt ist 0.5 · π2 .
Das Integral über sin2 (x) soll von 0 bis π2 berechnet werden. Dies liefert aber gleichzeitig den Flächeninhalt unter der Kurve, da sin2 (x) keine Nulldurchgänge besitzt. Es ist aufgrund trigonometrischer Beziehungen nun so, dass sich über der Kurve (schraffiert) und unter der Kurve (nicht schraffiert) exakt die gleiche Fläche befindet. Da es bei einer Flächenhalbierung egal ist, wie eine Fläche in zwei gleiche Teile zerlegt wird, können wir die gesuchte Fläche auch auf das Rechteck mit Seitenlängen π2 und 12 (gestrichelt) „umkneten“. Diese Fläche ist dann einfach angebbar: π2 · 12 = π4 . Damit ergibt sich / 1 π dx 1 − x2 = , (5.18) 4 0 und wir merken uns ebenfalls den Trick / nπ / nπ 2 2 1 nπ 2 du sin (u) = du cos2 (u) = · , 2 2 0 0 d. h., das Integral ist gleich sich insgesamt: A = 4R
1 2
(5.19)
mal oberer Grenze. Zum Kreis zurückkehrend ergibt
/
1
2 0
π dx 1 − x2 = 4R2 · = πR2 . 4
5.2 Integrationsmethoden
5.2.3
165
Ableiten nach Parametern
Ein weiterer Griff in die Integrationstrickkiste ist das Ableiten nach Parametern. Der Trick hierbei ist, dass man (sofern nicht schon existent) einen künstlichen Parameter α einführt und den zu knackenden Integranden dann als Ableitung des Parameters an der Stelle α = 1 schreibt. Oftmals vereinfacht sich die Ausgangsintegration dann. Schematisch bedeutet dies:
/ / /
dx f (x) = dx f (x; α = 1) = ∂α dx g(x; α)
, (5.20) α=1
wobei g eine (hoffentlich) einfacher nach x integrierbare Funktion ist. Die Ableitung nach α kann unter geeigneten Voraussetzungen (die im Regelfall erfüllt sind) am x-Integral vorbeigezogen werden, da dies ∂α nicht sieht. Beispiel 5.9 (Umgehen einer n-fachen partiellen Integration) Berechnen Sie für n ∈ N / ∞ dx xn e−x . 0
Lösung: Eigentlich müssten wir nun n-fach partiell integrieren (für n = 1 haben wir es schon in Beispiel 5.5 gesehen). Diese Tortur umgehen wir jedoch geschickt, indem wir einen Parameter α einführen:
/ ∞ / ∞
dx xn e−x = dx xn e−αx
. 0
0
α=1
Dies ist immer und überall möglich. Doch was haben wir dadurch gewonnen? Nun, wir können uns jetzt überlegen, wie wir den Integranden als Ableitung nach α schreiben. Bei Ableitung nach α spuckt der Exponent ein −x aus. Nochmalige Ableitung spuckt ein weiteres −x aus, so dass unten ein (−x)2 entsteht. Macht man das n-mal, so erhält man unten (−x)n = (−1)n xn , was dem Faktor im Ausgangsintegranden bis auf den Term (−1)n entspricht! Wir können also schreiben:
/ ∞ / ∞ / ∞
n −αx
n−1 −αx
n n −αx
dx x e dx (−1)x e dx (−1) e
= ∂α
= . . . = ∂α
. 0
α=1
0
α=1
0
α=1
Somit folgt das leicht zu bestimmende Integral
/ ∞ / ∞ / ∞
n −αx
n n −αx
n n −αx
dx x e = ∂α dx (−1) e = (−1) ∂α dx e
0 0 0 α=1 α=1 α=1
$ 1 −αx %∞
n n n n 1
= (−1) ∂α · −α e = (−1) ∂α 0 − −α α=1
0 α=1
= (−1)n ∂αn α−1 α=1 . Die letzte Hürde ist schließlich das Berechnen der n-fachen Ableitung. Doch die kann hier relativ leicht erschlossen werden: ∂αn α−1 = ∂αn−1 (−1)α−2 = ∂αn−2 (−1)(−2)α−3 = . . . =
(−1)(−2) . . . (−n)α−n−1 = (−1)n · (1 · 2 · . . . · n)α−(n+1)
=
(−1)n n!α−(n+1)
166
5 Integration
mit n! := 1 · 2 · . . . · (n − 1) · n (Fakultät). Daraus ergibt sich schließlich / ∞
dx xn e−x = (−1)n ∂αn α−1 α=1 = (−1)n · (−1)n n! α−(n+1) α=1 = n! ,
0 =1−(n+1) =1
wobei (−1) (−1) = [(−1)(−1)] = 1 = +1 für n ∈ N. n
5.2.4
n
n
n
Partialbruchzerlegung
P (x) Ist ein Integrand gebrochen rational, d. h. in der Form Q(x) mit Polynomen P (x), Q(x), und lässt sich das Integral nicht mit Substitution knacken, so bietet sich oftmals das Prinzip der Partialbruchzerlegung an. Grundidee ist hierP (x) bei, den Quotienten Q(x) in eine Summe aus einfach zu integrierenden Termen zu zerlegen. Bestimme dazu eine Faktorzerlegung von Q(x) per Polynomdivision.
Kochrezept zur Partialbruchzerlegung Ist ein Integrand in der Form
/
P (x) Q(x) gegeben, bei dem keine der vorherigen Integrationsmethoden fruchten, so versucht man, den Bruch zu vereinfachen. dx
1. Führe Polynomdivision des Integranden durch. 2. Betrachte nun für jeden Term den Nenner und bestimme seine (reellen) Nullstellen. Für Terme ohne Nullstellen können die unten genannten Integrale (5.21) hilfreich sein. 3. Mache jetzt einen Ansatz für die Partialbruchzerlegung. – Für jede einfache Nullstelle enthält er – Für jede n-fache Nullstelle enthält er A1 (x−Nullstelle)
+
A x−Nullstelle .
A2 (x−Nullstelle)2
+ ... +
An (x−Nullstelle)n
.
4. Multipliziere mit dem Hauptnenner die entstandene Gleichung durch und vereinfache. Bestimme per Koeffizientenvergleich die Koeffizienten im Ansatz. Anschließend können die einzelnen Summanden (hoffentlich) einfacher integriert werden. Hierbei hilfreich sind oftmals / / 1 a 1 dx dx = arctan(ax + b) + C . = ln |ax + b| + C , ax + b a 1 + (ax + b)2 (5.21) Beispiel 5.10 (Eine Partialbruchzerlegung) Wie kann das folgende Integral geknackt werden? / x2 =? dx 2 x + 4x + 4
5.2 Integrationsmethoden
167
Lösung: Partialbruchzerlegung. Wir gehen nach dem Kochrezept vor und zerlegen den Bruch in seine Einzelteile: 1. Polynomdivision Los geht’s: :(x2 − 4x + 4) = 1 +
x2 −
4x−4 x2 −4x+4
.
(x − 4x + 4) 2
4x − 4 2. Nullstellenbestimmung des Nenners Dies ist hier einfach, da im Nenner eine binomische Formel steht. Es ist x2 − 4x + 4 = (x − 2)2 , so dass folgt: x2 x2 +4x+4
=1+
4x−4 (x−2)2
.
3. Ansatz zur Partialbruchzerlegung Die „1“ ist unkritisch zu integrieren, allerdings bereitet der zweite Term noch etwas Kopfzerbrechen. Hier müssen wir mit Partialbruchzerlegung ran. Er besitzt im Nenner eine doppelte Nullstelle für x = 2, also sieht der Ansatz folgendermaßen aus: 4x−4 A B (x−2)2 = (x−2)1 + (x−2)2 und hat zwei zu bestimmende Konstanten A und B, da der Nenner insgesamt zwei Nullstellen hat. 4. Koeffizientenvergleich Wir multiplizieren mit dem Hauptnenner durch (in diesem Fall (x − 2)2 ): 4x − 4 = A(x − 2) + B = Ax − 2A + B . Nun erfolgt ein sogenannter Koeffizientenvergleich. Hierbei werden alle Vorfaktoren der x-Potenzen miteinander verglichen. Wir starten mit der nullten Potenz in x, d. h. x0 . Es folgt durch Vergleich der linken und rechten Seite −4 = −2A + B. Der Vergleich des x1 -Koeffizienten liefert 4 = A. Damit können wir auch B bestimmen: B = −4+2B = −4+2·4 = 4. Ergebnis der Partialbruchzerlegung: x2 x2 +4x+4
=1+
4x−4 (x−2)2
=1+
4 x−2
+
4 (x−2)2
.
Jetzt können wir bequem integrieren: / / 4 x2 4 = + dx 2 dx 1 + x + 4x + 4 x − 2 (x − 2)2 / / 1 + 4 dx (x − 2)−2 = [x] + 4 dx x−2 = [x] + [4 ln |x − 2|] − [4(x − 2)−1 ] .
168
5 Integration
Ergebnis:
/ dx
x2 = x + 4 ln |x − 2| − 4(x − 2)−1 + C . x2 + 4x + 4
Spickzettel zu Integrationsmethoden Partielle Integration 0b 0b dx u(x)v (x) = [u(x)v(x)]ba − a dx u (x)v(x). a Substitution Zwei Herangehensweisen:
/ /
b
dx f (h(x))h (x) =
a
h(b)
dt f (t) ,
t = h(x) ⇔ dt = h (x)dx ,
h(a)
/
b
/
g−1 (b)
dx f (x) =
dt f (g(t))g (t) , x = g(t) ⇔ dx = g (t)dt .
g−1 (a)
a
Typ 1: Funktion und seine Ableitung tauchen gleichzeitig im Integranden auf; Typ 2: Durch Einführen einer neuen Funktion x = g(t) wird das Integral einfacher. Ableiten nach Parametern Führe Parameter im Integranden ein und schreibe das Integral als Ableitung nach dem Parameter:
/
/ dx f (x) =
/ dx f (x; α = 1) = ∂α
dx g(x; α)
.
α=1
Integration durch Partialbruchzerlegung (x) Integrand der Form P Q(x) wird durch Partialbruchzerlegung auf einfachere Terme zurückgeführt, meist der Form
/ dx
5.3
1 1 = ln |ax + b| + C , ax + b a
/ dx
a = arctan(ax + b) + C . 1 + (ax + b)2
Mehrfachintegration
Im Folgenden werden wir lernen, wie man wichtige Kenngrößen wie Volumen und Masse allgemeiner, krummliniger Körper berechnet (z. B. Kugel, Ellipsoiden etc.). Dazu werden mehrdimensionale Integrale eingeführt. Sie stellen eine Erweiterung der aus den letzten beiden Abschnitten bekannten 1-D-Integration dar. Besonderes Augenmerk muss nun auf die Reihenfolge der Integration gelegt werden.
5.3 Mehrfachintegration
5.3.1
169
Flächenintegrale
Eine beliebige Fläche A werde in infinitesimale Stückchen dA (das sogenannte Flächenelement) gemäß Abb. 5.4 zerlegt. Die Gesamtfläche errechnet sich dann als Flächenintegral zu / / A = dA = d2 x . (5.22) F
Hierbei wurde eine neue Schreibweise eingeführt. Die Berechnung der Gesamtfläche A kann man sich als Summe über die unendlich vielen Einzelstücke dA vorstellen. Jede Kachel ergibt sich als Multiplikation zweier Längen (bei einer quadratischen Kachelzerlegung d2 x = dx · dx oder bei rechteckiger Zerlegung d2 x = dx dy). Summiert man alle Kachelzerlegungen d2 x über das zu integrierende Gebiet F, so erhält man die Gesamtfläche A. Die „Potenz“ des d gibt dabei die Dimension der Integration an (d3 x ist folgerichtig ein Volumenelement). Vorsicht bei der Differenzialschreibweise: d2 x = dx2 !
Abb. 5.4: Zum Flächenintegral. Aufsummieren aller Kacheln dA im Integrationsgebiet F ergibt die Gesamtfläche.
Der einfachste Fall eines Flächenintegrals tritt genau dann auf, wenn die Fläche durch die x-Achse an einer Seite begrenzt ist sowie eine andere „Seite“ als f (x) bekannt ist und die verbleibenden Seiten senkrecht auf der x-Achse stehen, wie in Abb. 5.5 links dargestellt ist. Dann berechnet sich die Fläche zu
/
/
A=
d x= F
/
xb
2
dx xa
/
f (x)
xb
dy =
dx f (x) ,
(5.23)
xa
0
was wir aus Abschnitt 5.1 schon kennen (Integral = Flächenbilanz). Im letzten Schritt wurde die y-Integration direkt ausgeführt:
/
/
f (x)
f (x) f (x)
dy = 0
dy 1 = y|0
= f (x) − 0 = f (x) .
0
Hat man nun keine festen „Seiten“ (Abb. 5.5 rechts), so berechnet sich die Fläche zu / / xb / yb (x) d2 x = dx dy , (5.24) A= F
xa
ya (x)
wobei nun die y-Integrationsgrenzen von x abhängen (Randfunktionen in der Abbildung). Das ist die allgemeine Form eines Flächenintegrals.
170
5 Integration
Abb. 5.5: Zwei Typen Flächenintegral. Links: Durch die Kenntnis aller vier Seiten reduziert sich die Integration auf den 1-D-Fall. Rechts: Im allgemeinen Fall hängen die Integrationsgrenzen voneinander ab.
Beispiel 5.11 (Fläche einer Ellipse) Berechnen Sie die Fläche einer Ellipse mit den Halbradien a und b. Lösung: Zunächst tätigen wir einige Vereinfachungen. Da nichts über die Lage der Ellipse gesagt wurde, legen wir ihren Mittelpunkt in den Ursprung. Dann lässt sie sich beschreiben durch x2 y2 + 2 = 1. 2 a b Weiterhin nutzen wir Symmetrie aus und betrachten nur den Flächeninhalt des Ellipsenstücks im ersten Quadranten. Als begrenzende „Seiten“ fungieren nun die x- sowie y-Achse und die Funktion y(x) des Ellipsenbogens: y2 x2 x2 + 2 = 1 ⇒ y(x) = b 1 − 2 , 2 a b a wobei wir Dank der Wahl der zu betrachtenden Fläche (nämlich nur im ersten Quadranten) keine zwei Vorzeichen aus der Wurzel betrachten müssen. Und jetzt können wir unser Integral aufstellen: / / a / y(x) / a / a x2 2 A= d x=4 dx dy = 4 dx y(x) = 4b dx 1 − 2 . a 0 0 0 0 F Zur Erklärung: Die x-Werte laufen entlang der Halbachse von x = 0 bis x = a. Die Höhe der y-Werte hängen dabei von den x-Werten ab und laufen von y = 0 bis y = y(x). Wir führen im dritten Schritt die y-Integration über eine Eins aus und setzen im letzten Schritt die Funktion y(x) explizit ein. Dieses ist das zu knackende Integral. Per Reskalierung x → ax folgt / a / 1 x2 dx 1 − 2 = 4ab dx 1 − x2 . A = 4b a 0 0 Das Integral kennen wir aber schon von der Kreisberechnung in Beispiel 5.8: (5.18). Es ergab sich zu π4 . Ergebnis: A = 4ab ·
π = πab . 4
5.3 Mehrfachintegration
171
Satz von Fubini Bei Mehrfachintegralen, deren Grenzen nicht von den Integrationsvariablen abhängen, darf – sofern der Integrand eine stetige Funktion ist – die Integrationsreihenfolge vertauscht werden. Das ist vereinfacht der Satz von Fubini: / xb / yb / yb / xb dx dy f (x, y) = dy dx f (x, y) . (5.25) xa
ya
ya
xa
Man sollte hierbei auf der Hut sein: Sobald mindestens eine Grenze von einer Integrationsvariablen abhängt, muss die Integrationsreihenfolge beachtet werden! So ist z. B. / 2 / 5 / 2 / 5 / 2 / 5 dx dy = dx (5−3) = 2(2−1) = 2 = dy dx = (2−1) = 1(5−3) 1
3
1
3
1
3
(d. h. Fubini gilt), aber
/
/
1
dx 0
/
x
1
dy = 0
0
1 dx(x − 0) = x2 = 2
/
/
x
/
1
dy
x
dy(1 − 0) = x .
dx =
0
0
0
Beachte also: Bei variablen Integrationsgrenzen vertauschen Integrale nicht!
5.3.2
Volumenintegrale
Das Volumenintegral über ein Volumen V entwickelt sich direkt aus dem Flächenintegral durch Hinzunahme eines weiteren Integrals:
/ V =
/
/
V
/
xb
d3 x =
dV =
xa
/
yb (x)
dx
zb (x,y(x))
dy ya (x)
dz .
(5.26)
za (x,y(x))
mit Volumenelement d3 x. Nun hängt die z-Grenze sogar von x und y ab. Hauptsächliche Schwierigkeit bei solchen Integralen ist das Aufstellen der Grenzen, das Integrieren ist mit etwas Glück anschließend direkt durchrechenbar. Auch bei Volumenintegralen muss (mehr denn je) die Integrationsreihenfolge beachtet werden. Im speziellen Fall der Abb. 5.6 sind die Grenzen unabhängig von den Integrationsvariablen. Dann lässt sich das Integral deutlich einfacher berechnen:
/
/ V
/
xb
d3 x =
V =
xa
/
yb
dx
dy ya
/
f (x,y)
0
/
xb
dz =
yb
dx xa
dy f (x, y) .
(5.27)
ya
In diesem speziellen Fall – wenn alle Grenzen unabhängig von den Integrationsvariablen sind – gilt der o. g. Satz von Fubini, d. h., die Integrale können vertauschen.
172
5 Integration
Abb. 5.6: Spezialfall des Volumenintegrals. Die x- und y-Grenzen sind konstant.
Beispiel 5.12 (Volumen einer Kugel I) Berechnen Sie das Volumen einer Kugel mit Radius R. Lösung: 1. Körper beschreiben Wir können die Kugelgleichung (1.56) verwenden: x2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 (in den Ursprung gelegt). Hieraus folgt im Gleichheitsfall die „Randfunktion“ z(x, y) zu z(x, y) = ± R2 − x2 − y 2 . √ √ ist dabei die obere z-Grenze, − die untere. Um nun die y-Koordinate + einzuschränken, betrachten wir jene z-Ebene, in der y(x) den Maximalwert R annehmen kann. Dies geschieht in z(x, y) = 0. Dann ist 0 = ± R2 − x2 − y 2 ⇔ y(x) = ± R2 − x2 . Die x-Grenze läuft schließlich von −R bis +R. 2. Integral aufstellen
/
/ 3
d x=
V =
/
+R
dx −R
V
√ + R2 −x2 √ − R2 −x2
/
+
dy −
√
√
R2 −x2 −y 2
dz . R2 −x2 −y 2
Da wir dreimal hintereinander gerade Funktionen (Einsen!) über symmetrische Grenzen integrieren, können wir Symmetrievereinfachungen vornehmen 0a 0a (erinnere: −a du f (u) = 2 0 du f (u), wenn f (−u) = f (u)):
/
R
V =8
/
dx 0
0
/ √R2 −x2 −y 2 / R / dy dz = 8 dx
√ R2 −x2
0
0
√ R2 −x2
dy 0
R 2 − x2 − y 2 .
5.3 Mehrfachintegration
173
3. Integral berechnen Ziehe zunächst R2 aus der Wurzel und wende dann zweimal den Reskalierungstrick an: / R / √R2 −x2 V = 8 dx dy R2 − x2 − y 2 0 0 / R / R 1− x22 R y2 x2 = 8R dx dy 1 − R 2 − R2 0 0 / R / 1− x22 R y→Ry x2 2 = 8R2 dx dy 1 − R 2 − y
/
x→Rx
0
8R3
=
8R
0 √ 1−x2
dx
/ =
/
1 0
0
1
3
dy
√ 1−x2
/ dx 1 − x2
0
1 − x2 − y 2 dy
0
1−
y2 1−x2
,
wobei im vorletzten Schritt jedes x durch Rx ersetzt werden muss (also auch in der y-Integralgrenze) und im letzten Schritt 1 − x2 aus der Wurzel gezogen wurde. Dies darf am y-Integral vorbeigezogen werden, da 1 − x2 nicht von y √ abhängt. Jetzt können wir erneut eine Schnellsubstitution (y → 1 − x2 · y) durchführen und erhalten / 1 / √1−x2 y2 3 V = 8R dx 1 − x2 dy 1 − 1 − x2 0 0 / 1 / 1 = 8R3 dx(1 − x2 ) dy 1 − y2 0 0
/ =
2πR3
=π/4 1
dx(1 − x2 ) = 2πR3 x −
0
x3 3
1
= 2πR3 1 − 13 . 0
Ergebnis: Das Volumen einer Kugel mit Radius R ist V = 43 πR3 . Nach diesem Herumgerechne fragt man sich zu Recht: „Geht das nicht einfacher?“ Antwort: Ja, es geht, wie wir jetzt sehen werden.
5.3.3
Integraltransformationssatz
Um ausartende Rechnungen wie im obigen Beispiel zu umgehen, ist es schlau, geschickte neue Koordinaten x(u) zu wählen, welche den Körper deutlich einfacher beschreiben. In diesen neuen Koordinaten berechnet sich das Volumenelement d3 x
174
5 Integration
komplett neu (es transformiert mit). Dies ist die vereinfachte Kernaussage des Integraltransformationssatzes: x = x(u1 , u2 , u3 ) ⇒ d3 x = | det(Ju x(u))| du1 du2 du3
(5.28)
mit Differenzialen der neuen Koordinaten u1 , u2 und u3 . Weiterhin taucht eine Altbekannte auf: die Funktionaldeterminante! Um das Volumenelement d3 x in den neuen Koordinaten zu berechnen, müssen wir somit nur die Funktionaldeterminante berechnen. Beispiel 5.13 (Volumenelement der Kugelkoordinaten) Wie lautet das Volumenelement d3 x in Kugelkoordinaten? Lösung: Aus Beispiel 4.28 kennen wir die Funktionaldeterminante der Kugelkoordinaten x(r, θ, ϕ): | det(J(r,θ,ϕ) x(r, θ, ϕ))| = r2 sin(θ) . Dann transformiert das Volumenelement zu d3 x = r 2 sin(θ) dr dθ dϕ = dr r2 dθ sin(θ) dϕ . Das ist d3 x der Kugelkoordinaten. Analog folgen die anderen Volumenelemente für Polar- und Zylinderkoordinaten. Interessant sind dabei noch die Grenzen. Am einleuchtendsten sind diese, wenn man sich überlegt, wie man die Fläche des gesamten zwei- bzw. das Volumen des dreidimensionalen Raumes erfasst: / / +∞ / +∞ 2-D-kartesich: d2 x = dx dy ,
/
R2
/
−∞ ∞
d2 x =
polar:
/
R2
dρ ρ
/
0
d x=
/
R3
−∞ / ∞
/
R3
/
R3
+∞
dy −∞ / 2π
0
/
dz ,
/ dr r2
dz , −∞
π
/
2π
dθ sin(θ) 0
(5.29)
−∞ +∞
dϕ 0
∞ 0
/
+∞
dρ ρ
d3 x =
Kugel:
0
dx
d3 x =
Zylinder:
dϕ ,
/
+∞
3
3-D-kartesisch:
−∞ 2π
/
dϕ . 0
Hierzu ein paar Worte: Den R2 erreicht man mit den kartesischen Koordinaten einfach, indem man sowohl Abzisse als auch Ordinate von −∞ bis +∞ laufen lässt. Beim 3-D-kartesisch kommt lediglich die ebenfalls von −∞ bis +∞ laufende dritte Raumdimension hinzu. Mit Hilfe von Polarkoordinaten erwischt man jeden Punkt im R2 , indem man den Radius von null bis unendlich laufen lässt (negative Werte für den Radius sind unsinnig) und anschließend diesen wie einen
5.3 Mehrfachintegration
175
überdimensionierten Wassersprenger auf dem Feld um 2π kreisen lässt. Bei den Zylinderkoordinaten kommt hierzu nur noch die kartesische dritte Koordinate von −∞ bis +∞ hinzu. Bei den Kugelkoordinaten erreichen wir jeden Punkt im Raum dadurch, dass wir den Radius von null an ins Unendliche laufen lassen und diesen um 2π in der Ebene kreisen lassen. Gleichzeitig müssen wir jedoch noch die Breitengrade θ komplett abdecken. Diese laufen von 0 bis π (und nicht bis 2π, da wir sonst eine Kugelhälfte doppelt zählen würden!). Man denke hierbei an die Erde. Würde jemand vom Nordpol (θ = 0) zum Südpol (θ = π) laufen und jeweils die Erde umrunden, so hätte er von Kiruna über South Padre Island und Timbuktu bis hin zur Neumeyer-Station am Südpol alles gesehen. Ab sofort treffen wir noch eine Vereinbarung: Ist kein Integrationsvolumen beim Mehrfachintegral angegeben, so ist dann die Integration über den gesamten Raum gemeint, d. h. / / / / 2 2 3 d x... = d x... , d x... = d3 x . . . (5.30) R2
R3
θ-Integration Reloaded Eine nützliche Regel für die θ-Integration der Kugelkoordinaten ergibt sich mit Hilfe der Substitution: / π / +1 dθ sin(θ) = d cos(θ) . (5.31) −1
0
Dies zeigen wir von rechts nach links mit der Substitution u := cos(θ), dann ist du dθ = − sin(θ) und du = −dθ sin(θ) mit den Grenzen u = cos(θ) → θ = arccos(u) = arccos(−1) = π und θ = arccos(+1) = 0. Damit folgt
/
/
+1
/
u=+1
−1
u=−1
/
0
du = −
d cos(θ) =
π
dθ sin(θ) = π
dθ sin(θ) . 0
Diese Regel wird sich bei Integration in Kugelkoordinaten auszahlen. Jetzt sind wir jedoch das Kugelvolumen in der angepriesenen Kurzform schuldig. Beispiel 5.14 (Volumen einer Kugel II) Wie lautet das Volumen einer Kugel mit Radius R? Lösung: Wir integrieren in Kugelkoordinaten. Die Kugel hat natürlich jetzt endlichen Radius R, so dass (5.29) dahingehend abgeändert werden muss:
/
/ 3
d x=
V = V
/
R
dr r 0
2
/
π
2π
dθ sin(θ) 0
dϕ . 0
176
5 Integration
Die Integrale sind elementar:
/ V
/
R
/
π
dr r2
=
dθ sin(θ)
0
/
2π
dϕ = 2π
0
0
/
R
dr r2
d cos(θ)
−1
0
=2π
+1
cos(θ)=+1
=cos(θ)|cos(θ)=−1 =1−(−1)=2
R R r3
4 3 2 = 4π dr r = 4π
= 3 πR , 3 0 0 /
und das ist offensichtlich deutlich kürzer als mit kartesischen Koordinaten. Beispiel 5.15 (Ein hilfreiches Integral) 0 +∞ 2 Berechnen Sie −∞ dx e−αx , α > 0. Lösung: Leider gibt es keine Stammfunktion zu e−αx . Wir müssen also tricksen und führen ein Doppelintegral ein: 2
/
2
+∞
I :=
dx e
−αx2
/
+∞
=
dx e
−∞
−αx2
−∞
/ ·
+∞
dy e−αy , 2
−∞
was dem Quadrat des gesuchten Integrals entspricht. Umschreiben liefert mit x → √1 x und y → √1 y: α α 1 I= √ √ α α
/
+∞
/
−∞
+∞
dx dy e−(x
2
+y 2 )
.
−∞
Der Integrand hängt nur von x2 + y 2 ab, also dem Abstandsquadrat in 2-D. Die Polarkoordinaten haben als eine Koordinate ebendiesen Abstand zum Ursprung: r = x2 + y 2 . Wähle zur Integration Polarkoordinaten (Gleichung (5.29)): I
=
=
1 α
/
2π α
/
∞
2π
dr r 0
dϕ e−r = 2
0
/
∞
dr ∂r 0
− 12 e−r
2
1 α
/
∞
dr re−r
0
2
/
/
2π
dϕ = 0
2 ∞ π π = − e−r = . α α 0
2π α
∞
dr re−r
2
0
=2π
Durch Wurzelziehen folgt der Wert des Ausgangsintegrals. Merke:
/
+∞
du e −∞
−αu2
=
π , α
/
+∞
du e−u = 2
√ π.
(5.32)
−∞
Dies ist ein wichtiges Integral, was uns noch öfter begegnen wird.
Kochrezept Abschließend könnte folgendes Kochrezept hilfreich beim mehrdimensionalen Integrieren sein.
5.3 Mehrfachintegration
177
1. Wenn möglich: Skizziere den Körper. Gibt es Symmetrien? 2. Wähle „günstige“ Koordinaten x(u). Achte hierbei auf den Integranden: Hängt dieser im Kartesischen nur vom Abstand vom Ursprung x2 + y 2 + z 2 ab oder ist er komplett rotationssymmetrisch, wähle zur Integration Kugelkoordinaten. Hängt er hauptsächlich von x2 + y 2 ab oder ist er um eine Achse symmetrisch, wähle Zylinderkoordinaten. 3. Berechne das Volumenelement in den neuen Koordinaten u mit Hilfe des Integraltransformationssatzes. 4. Bestimme die Integrationsgrenzen in den neuen Koordinaten. 5. Stelle das gesuchte Integral auf. Kann man Symmetrievereinfachungen machen? 6. Berechne das Integral.
5.3.4
Masse und Schwerpunkt
Anwendungen mehrdimensionaler Integrale gibt es zuhauf. Wir betrachten zum Abschluss, wie man die Gesamtmasse eines kontinuierlichen Körpers (z. B. einer Kartoffel) und den Schwerpunkt bestimmt.
Masse eines Körpers Wie wir in Abschnitt 1.1.4 gesehen haben, ergibt sich die Gesamtmasse einer n Massenkonstellation zu M = i=1 mi . Dies funktioniert wunderbar, solange wir die Einzelmassen kennen. Oftmals ist aber nur bekannt, wie die Masse in einem bestimmten Volumen verteilt ist – anders gesagt: wo man in einem Volumen Masse antrifft und wo nicht. Die Größe, die dies ausdrückt, heißt Massendichte (r), die natürlich vom Ort r abhängt. Sie ist wie folgt definiert: =
Masse , Volumen
[] = 1
kg . m3
(5.33)
Nimmt man sich aus der zu bestimmenden Masse nun ein winziges Stückchen dV = d3 x heraus und kennt die Massendichte als Funktion des Ortes, so gilt für die Masse dieses winzigen Stückchens dm = (r)d3 x. Daraus folgt für die Gesamtmasse des Körpers / / dm = d3 x (r) . (5.34) M= V
V
Im Falle homogener Dichteverteilung (d. h., die Dichte ist im gesamten Volumen konstant, also unabhängig vom Ort) (r) ≡ 0 gilt / / d3 x (r) = 0 d3 x = 0 V . M= V
V
178
5 Integration
Volumendichte, Flächendichte und Liniendichte Man unterscheidet die Massendichte in folgenden Kategorien: Volumendichte: (r) =
Masse Volumen ,
Flächendichte: F (r) =
Masse Fläche ,
Liniendichte: L (r) =
Masse Länge .
Die saubere mathematische Behandlung der Dichten wird erst durch Einführung verallgemeinerter Funktionen möglich, die Platten, Linien oder Punkte unendlich dünn machen können. Dies wird im nächsten Abschnitt behandelt. Wir wollen uns zunächst auf die Volumendichte beschränken.
Schwerpunkt = In Abschnitt 1.1.4 wurde der Schwerpunkt diskreter Massenverteilungen als R 1 miri definiert. Nun haben wir es nicht mehr mit diskreten Massen, sondern M mit Massendichten (r) zu tun, so dass für den Schwerpunkt gilt: / = 1 R d3 x (r) · r , (5.35) M V wobei M sich aus (5.34) ergibt. Technisch gesehen sind nun insgesamt vier Integrale zu lösen: / / 1 d3 x (r) sowie Rxi = d3 x (r) · xi , i = 1, 2, 3 , M= M V V wobei i die Koordinaten x, y und z durchzählt. Glücklicherweise lassen sich aber zum Teil durch Symmetrieargumente ein oder zwei R-Integrale umgehen. Beispiel 5.16 (Weihnachtsbaumkauf) Wir wollen einen Weihnachtsbaum auf dem Weihnachtsmarkt kaufen. Dieser sei als Kegel mit der Höhe H und Radius der Grundfläche R idealisiert. Die Massenverteilung innerhalb des Baumes wird durch die Dichte z (x) = 0 1 − H in Zylinderkoordinaten x(r, ϕ, z) modelliert. Wie schwer ist der Weihnachtsbaum? Wo müssen wir ihn am Stamm anpacken, um ihn möglichst problemlos transportieren zu können? Lösung: Zunächst berechnen wir die Masse des Baumes als Volumenintegral über die Massendichte (x). Dazu machen wir als Erstes eine Skizze des Baumes (Abb. 5.7). Da der Baum rotationssymmetrisch um die z-Achse ist, sollten wir Zylinderkoordinaten zur Integration heranziehen.
5.3 Mehrfachintegration
179
Abb. 5.7: Skizze des Weihnachtsbaums. Der Radius r nimmt kontinuierlich ab von r = R bei z = 0 bis hin zu r = 0 bei z = H. Der Baum ist rotationssymmetrisch um die z-Achse.
Bei der r-Grenze müssen wir allerdings aufpassen: Sie hängt von der Höhe z ab. Für z = 0 läuft der Radius z. B. von 0 bis R. Für z = H ist allerdings R = z ab. Da der Kegelmantel als lineare 0. Dazwischen hängt der Radius von 1 − H z Funktion modelliert wurde, läuft der Radius r somit von 0 bis R(1 − H ). Das z-abhängige r-Integral muss dann nach rechts gezogen werden:
/
/ d3 x (x) = 0
M = V
/ = 2π0
/
2π
dϕ 0
z R(1− H )
dz 0
=2π
H
/
H
0
/
z dz 1 − H
z dr r 1 − H
z R(1− H )
dr r
R(1− z ) 2 H z 2
= R2 (1− H ) 0 / H / −1 z 3 z→−Hz 3 = π0 R2 dz 1 − = −π0 R2 H dz (1 + z) H 0 0 / 0 / 1 2 π z→z−1 0R H = −π0 R2 H dz z 3 = π0 R2 H dz z 3 = . 4 1
0 1 = 14 z 4 | = 14 0 0
0
=
r2 2
Das ist die Gesamtmasse. Weiterhin war gefragt, wo man anpacken muss, um den Baum möglichst einfach zu transportieren. Hiermit ist natürlich der Schwerpunkt gemeint. Diesen errechnen wir über (5.35). Dabei können wir aus Anschauungsgründen sofort Rx = 0 und Ry = 0 feststellen (Schwerpunkt muss auf dem Stamm liegen!). Einzig noch zu berechnen ist damit die z-Komponente des Schwerpunktes, d. h. Rz : Rz
=
=
=
1 M
/ V
8 2 R H
d3 x (x) · z =
/
H
1 1 π R2 H 0 4
z dz z 1 − H
/
/
2π
dϕ 0
/
H
/
0
0
=2π z R(1− H )
dr r
0
R(1− z ) 2 H r2
R z 2 = 2 = 2 (1− H ) 0 / H / 1 4 z 3 z→Hz 3 dz z 1 − = 4H dz z (1 − z) . H 0 H 0 0
z dr r0 1 − ·z H
z R(1− H )
dz
180
5 Integration
Ausmultiplizieren des Polynoms im Integranden liefert z(1 − z)3 = z(1 − 3z + 3z 2 − z 3 ) = z − 3z 2 + 3z 3 − z 4 , Integration desselben schließlich
1 z2 3 4 1 5
3 4H dz (z − 3z + 3z − z ) = 4H −z + z − z
2 4 5 0 0 1 3 1 H 1 10 − 20 + 15 − 4 4H = 4H = 4H · −1+ − = . 2 4 5 20 20 5 /
Rz
= =
1
2
3
4
= (0, 0, H/5). Dort sollte man den Weihnachtsbaum zum Transport Ergebnis: R anfassen.
Spickzettel zu Mehrfachintegration Flächenintegral 0 0x 0 y (x) – Allgemeine Form: A = F d2 x = x b dx y b(x) dy. a
0
0x
a
– Spezialfall konstanter Grenzen: A = F d2 x = x b dx a Integrale können dann vertauscht werden (Fubini).
0 f (x) 0
dy =
0 xb xa
dx f (x);
Volumenintegral 0 0 0x 0 y (x) 0 z (x,y(x)) – Allgemeine Form: V = dV = V d3 x = x b dx y b(x) dy z b(x,y(x)) dz. – x,y-Grenzen konst.: V =
0 xb xa
dx
0 yb
dy
ya
a 0 f (x,y)
0
a
dz =
0 xb xa
dx
0a yb ya
dy f (x, y).
Integraltransformationssatz Im Kartesischen ist das Volumenelement d3 x = dx dy dz; bei Wahl neuer Koordinaten x = x( u) transformiert das Volumenelement: d3 x = | det(Ju x( u))|du1 du2 du3 , dabei ist det(Ju x( u)) die Funktionaldeterminante; die Wichtigsten sind: – 2-D-kartesisch: – Polar:
0
R2
– Zylinder:
0π 0
R2
d x=
0
0
R3
R3
d2 x =
0∞
2
– 3-D-kartesisch:
– Kugel:
0 0
0
R3
d x=
0∞
d3 x = 3
d x
dθ sin(θ) =
dρ ρ
3
0
=
0 +1 −1
0
−∞ 2π
dx
dϕ.
0 +∞ 0
dx
−∞ 2π
dρ ρ
0∞ 0
0 +∞
0
0
dr r
2
0 +∞ −∞
0 +∞
0
dy
−∞ +∞
dϕ
0π
dy.
0
−∞
0 +∞ −∞
dz.
dz.
dθ sin(θ)
0 2π 0
dϕ, wobei manchmal auch
d cos(θ) nützlich ist.
Weiteres 0 +∞ π 2 Hilfreiches Integral: −∞ du e−αu = α. ----------------P-H-Y-S-I-K----------------Masse und Dichte – Volumen-(/Flächen-/Linien-)dichte: (r) = (r) ≡ 0 . 0 – Masse: M = V d3 x (r).
Masse Volumen(/Fläche/Länge) ;
homogen:
5.4 Distributionen
181
Schwerpunkt 0 3 = 1 R r) · r. M V d x (
5.4
Distributionen
Distributionen sind verallgemeinerte Funktionen. Sie sind angewandt auf eine sogenannte Testfunktion t(x) über ein Integral definiert. Dabei muss t(x) bestimmten Eigenschaften genügen, vor allem für betragsgroße x sehr schnell gegen null abfallen. Die für den Physiker wichtigste Distribution ist die Dirac’sche Delta„Funktion“, die wir im Folgenden einführen. Eine Warnung zu Beginn: Der Begriff Delta-„Funktion“ ist irreführend, da es sich bei ihr nicht um eine Funktion, sondern vielmehr um eine Distribution handelt.
5.4.1
Delta-Distribution
Die Delta-Distribution ist definiert über / +∞ / dx δ(x − a)t(x) = t(a) , −∞
+∞
dx δ(x)t(x) = t(0) .
(5.36)
−∞
Das Integral über Distribution δ mal Testfunktion t(x) ergibt einen einzigen Funktionswert! Das ist doch interessant und lässt sich auch so interpretieren, als wenn δ(x − a) nur an der Stelle x = a einen „Funktionswert“ besitzt und man damit wie eine Plattenspielernadel die Testfunktion t(x) abklappert. In der Tat besitzt die Delta-Distribution genau diese Eigenschaft, allerdings ist der „Funktionswert“ bei x = a nicht endlich: ∞, x = a δ(x − a) = . (5.37) 0, sonst Erst durch die Multiplikation mit einer schnell abfallenden Funktion t(x) wird das Integral endlich. Dennoch ist δ normiert: / +∞ dx δ(x − a) = 1 . (5.38) −∞
Eine anschauliche Interpretation der δ-Distribution aufgrund von (5.37) und (5.38) ist: „unendlich“ dünn, „unendlich“ hoch, Fläche 1. Abb. 5.8 zeigt den Verlauf von δ(x − a).
182
5 Integration
Abb. 5.8: Verlauf von δ(x − a). Sie schießt bei x = a bis ins Unendliche, überall anders hat sie den Wert null.
Eine solche Delta-Distribution lässt sich sogar mit unseren bisherigen Werkzeugen analytisch basteln. Man nehme z. B. einfach die Gauß-Funktion x2 1 f (x; σ, μ = 0) = √ e− σ2 πσ
aus Beispiel 4.8 (bis auf Konstanten) und lasse den Streuparameter σ gegen null laufen. Das macht die Gauß-Kurve immer schmaler, während der Funktionswert immer größer wird: x2 1 δ(x) = lim δε (x) = lim √ e− ε2 . ε→0 ε→0 ε π
(5.39)
Um zu überprüfen, ob eine Funktion δε (x) im Grenzfall ε → 0 eine δ-Distribution liefert, muss man die Gültigkeit von (5.36) und (5.38) zeigen. Beispiel 5.17 (Gauß-Funktion 2als Delta-Distribution) x Man zeige, dass δε (x) = ε√1 π e− ε2 eine zulässige δ-Distribution ist. Lösung: Wir müssen die Validität der definierenden Eigenschaft (5.36) und der Normierung (5.38) zeigen. Starte mit (5.36) und nehme dazu eine geeignete Testfunktion, die für betragsgroße x schnell gegen null abfällt (diese muss nicht weiter spezifiert werden!). Dann gilt
/ ε→0
/
+∞
lim
−∞
dx δε (x)t(x)
= = x→εx
=
=
+∞
x2 1 dx √ e− ε2 t(x) ε→0 −∞ ε π / +∞ x2 1 lim √ dx e− ε2 t(x) ε→0 ε π −∞ / +∞/ε 2 1 √ lim dx e−x t(εx) ε→0 π −∞/ε / +∞ / 2 2 1 t(0) +∞ √ dx e−x t(0) = √ dx e−x , π −∞ π −∞
lim
(5.32)√
=
π
wobei im vierten Schritt der Grenzwert ausgeführt und im letzten Schritt t(0) aus dem Integral herausgezogen wurde (da x-unabhängig). Im dritten Schritt müssen wegen der Substitution die Grenzen des Integrals reziprok geändert werden. Dies ist hier nur formal hingeschrieben, weil ungefährlich, aber es könnten leider auch
5.4 Distributionen
183
„Schmerzgrenzen“ a la ∞ · ε für ε gegen null auftreten. Dann hätten wir ein Problem. Hier ist das aber harmlos, da wir ε aus dem Positiven kommend nach null schicken (bedenke, dass ε der Breite der Kurve σ > 0 entspricht). Damit folgt:
/
/
+∞ −∞
dx δε (x)t(x) = lim
ε→0
+∞ −∞
x2 1 dx √ e− ε2 t(x) = t(0) , ε π
was zu zeigen war. Wir müssen nun noch die Normierung überprüfen. Teile obiger Rechnung tauchen hier aber wieder auf: / +∞ / +∞ / +∞ x2 1 1 − x22 ε √ √ dx δ(x) = lim dx = lim dx e− ε2 e ε→0 −∞ ε→0 ε π −∞ ε π −∞ / +∞ 2 1 1 √ x→εx = lim √ dx e−x = √ · π = 1 . ε→0 π −∞ π Somit ist gezeigt: δε (x) ist eine vernünftige Darstellung der δ-Distribution. Es gibt viele weitere Darstellungsmöglichkeiten einer Delta-Distribution. Wir lernen eine weitere wichtige in Kapitel 10 kennen.
Wofür das Ganze? Nun stellt sich die berechtigte Frage: Was soll man mit solch komplizierten Konstruktionen anfangen? δ-Distributionen treten immer dann auf, wenn etwas „unendlich klein“ oder „unendlich dünn“ sein soll, wie z. B. Punktladungen, Punktmassen, Stromfäden, Kugelschalen, etc. Mit Hilfe der δ-Distribution lässt sich dann die zu beschreibende Größe buchstäblich festnageln. Betrachten wir das Geschehen räumlich, so verwendet man die dreidimensionale δ-Distribution δ(r − a) := δ(x − a1 )δ(y − a2 )δ(z − a3 ) .
(5.40)
Beispiel 5.18 (Massendichte eines Punktteilchens) Wie lässt sich die Massendichte eines Punktteilchens der Masse m im Ursprung beschreiben? Lösung: Auf den gesamten Raum gesehen konzentriert sich die Masse m auf einen einzigen Punkt, nämlich den Ursprung. Tragen wir die Massendichten entlang der Achsen auf, so erhalten wir nur für x = 0 bzw. y = 0 bzw. z = 0 einen Wert ungleich null. Dies beschreibt genau die Delta-Distribution! Wir setzen in drei Dimensionen an: (r) = C · δ(r) = Cδ(x)δ(y)δ(z)
184
5 Integration
und bestimmen C. Wir wissen aus dem vorhergehenden Abschnitt, dass m = 0 d3 x (x). Dann folgt R3
/ m
/
=
d x C · δ(r) = C
R3 (5.38)
=
/
/
−∞
C −∞
−∞
/
−∞
dx δ(x)
−∞
dx δ(x)
/
−∞
3
−∞
dy δ(y) −∞
/
(5.38)
−∞
dy δ(y) = C −∞
dz δ(z) −∞ (5.38)
dx δ(x) = C . −∞
Ergebnis: Ein Punktteilchen der Masse M im Ursprung wird beschrieben durch (r) = m · δ(r) .
(5.41)
Weitere Eigenschaften Durch die letzte Rechnung wird die physikalische Einheit der Delta-Distribution kg klar, da [] = 1 m r)] = 1/m3 und damit 3 . Hieraus folgt [δ( [δ(x)] =
1 1 = . m [x]
Weitere Eigenschaften sind
/
δ(ax) =
1 δ(x) , |a|
(5.42)
δ(−x)
=
δ(x) ,
δ(x2 − a2 )
=
1 (δ(x − a) + δ(x + a)) , 2|a|
(5.43)
dx δ(x − a)δ(x − b)
=
δ(a − b) .
(5.44)
+∞
−∞
Fasst man das Integral in der letzten Formel als Summe über eine kontinuierliche Variable x auf, so entdeckt man im Fall von diskreten Variablen i (Summe über einen Index) die herrliche Analogie zum Kronecker-Symbol aus Kapitel 3: i δia δib = δab . Die Dirac-Funktion kann als eine kontinuierliche Version des Kroneckers angesehen werden, nur dass jetzt nicht summiert, sondern integriert wird. Dann bekommt die definierende Eigenschaft (5.36) eine ganz neue Sichtweise, denn auch hier kann man etwas ersetzen, diesmal allerdings kontinuierliche Variablen. (5.36) kann also gelesen werden als: Ersetze unter Integration im Produkt δ(x − a)t(x) das x im Argument der Funktion t(x) durch a. Und das ist der ganze Trick der Delta-Distribution! Wenn eine solche im Integral auftaucht, dann heißt es lediglich, dass man im Integranden fleißig ersetzen darf und das Integral ist damit „verbraucht“ (genauso wie es die Summen über die Indizes waren). Wird über eine Eins integriert (vgl. Normierung (5.38)), so ist das Integral eins. Also: Keine Angst vor Delta-Distributionen im Integral!
5.4 Distributionen
185
Beispiel 5.19 (Massendichte eines Kreisdrahtes) Welche Massendichte hat ein Kreisdraht der Masse M mit Radius R > 0? Lösung: Zunächst legen wir zur Vereinfachung den Draht in die x-y-Ebene mit Mitte = Ursprung und wählen zur Beschreibung die Zylinderkoordinaten r, ϕ und z. Jetzt kommt die wesentliche Überlegung zum Aufstellen der Massendichte. Laufen wir entlang der z-Achse und messen die Masse, so addieren wir für z < 0 und für z > 0 nur Nullen. Im Falle z = 0 messen wir die gesamte Masse. Anders gesagt: Nur für z = 0 existiert Masse, sonst nicht. Dies entspricht genau dem Verhalten von δ(z). Analog verhält es sich, wenn man entlang der radialen Koordinate läuft. Nur im Fall r = R gibt es Masse, sonst nicht (das entspricht δ(r − R)). Abb. 5.9 veranschaulicht dies noch einmal.
Abb. 5.9: Zum Aufstellen der Massendichte.
Bezüglich ϕ verhält sich die Massenverteilung jedoch friedlich, da für jeden Winkel ϕ Masse existiert. Wir machen also den Ansatz (x) = C · δ(r − R)δ(z) in Zylinderkoordinaten mit zu bestimmender Konstante C. Berechne dafür die Gesamtmasse M wie in Beispiel 5.19: / / ∞ / 2π / +∞ d3 x (x) = dr r dϕ dz Cδ(r − R)δ(z) M = 0 0 −∞ R3
/ =
∞
2πC
/ dr rδ(r − R)
0
=2π +∞
δ(z) = 2πC
−∞
/
∞
dr rδ(r − R) .
0
=1
Nun läuft jedoch das Integral über r nicht mehr von −∞ bis +∞, sondern nur von 0 bis ∞. Stellt dies ein Problem dar (vgl. definierende Eigenschaft (5.36))? Nein, denn aus r-Sicht werden alle Werte durch das Integral durchlaufen. Damit kann (5.36) angewendet werden: / ∞ M . dr rδ(r − R) = 2πCR ⇐⇒ C = M = 2πC 2πR 0 Ergebnis: M δ(r − R)δ(z) , 2πR =: L die Masse pro Länge ist. (x) =
wobei
M 2πR
186
5.4.2
5 Integration
Der große Bruder: Θ(x)
Die Heaviside-Funktion
Θ(x − a) :=
0,
x 0. Welcher Funktion folgt dann N (t)? Lösung: per TdV. Schaffe dazu alle Funktions-/Ableitungsanteile auf eine Sei˙ te: N N = −λ. Verwende die Differenzialschreibweise: 1 dN 1 = −λ ⇔ dN = −λdt . N dt N
7.2 Lösungsansätze
209
Diese Gleichung können wir nun integrieren: / / 1 dN = −λ dt ⇔ ln(N (t)) = −λt + C, N wobei wir die Integrationskonstanten beider Integrale in eine (nämlich C) zusammengefasst haben. Auflösen nach N (t) liefert N (t) = e−λt+C = e−λt eC =: Be−λt . Das ist die allgemeine Lösung. Wir bestimmen mit Hilfe der AB die Konstante B: ! N (0) = Be0 = B = N0 . Ergebnis: N (t) = N0 e−λt . Wie man hieran sieht, ist der gesamte Müll erst für t → ∞ zerfallen und ungefährlich – daher ist der Terminus „Endlagerung“ alleine schon ein Widerspruch in sich.
Exponentialansatz (lineare DGL) Bei linearen, homogenen DGLs der Form an
dn dn−1 d y(x) + an−1 n−1 y(x) + . . . + a1 y(x) + a0 y(x) = 0 , n dx dx dx
wobei allerdings an , . . . , a0 konstant sind, lohnt sich der sogenannte Exponentialansatz: n di ai i y(x) = 0 =⇒ y(x) = eλx . (7.10) dx i=0
Dieser Ansatz führt – in die DGL eingesetzt – auf ein Polynom in λ (welches nicht notwendigerweise im Reellen lösbar sein muss), dessen Lösungen λ1 , . . . , λn die Gesamtlösung wieder per Linearkombination y(x) = C1 eλ1 x + . . . + Cn eλn x
(7.11)
ergibt. Sind zwei λ’s gleich, so muss der Ansatz modifiziert werden. Angenommen, λ1 = λ2 . Dann ist y(x) = (C1 + C2 x)eλ1 x + C3 eλ3 x + . . . + Cn eλn x und analog für andere Fälle. Pro gleichem Eigenwert muss jeweils eine x-Potenz mehr im Ansatz ergänzt werden. Beispiel 7.6 (Beispiel zum Exponentialansatz) Man löse 3y (x) + 2y (x) − y(x) = 0. Lösung: Hier tauchen nur Ableitungen und Funktion mit konstanten Koeffizienten auf (dies sind a0 = −1, a1 = 2 und a2 = 3), daher können wir den Exponentialansatz verwenden: y(x) = eλx . Einsetzen in die DGL liefert mit den Ableitungen y (x) = λeλx und y (x) = λ2 eλx : 3 · λ2 eλx + 2 · λeλx − eλx = 0 .
210
7 Gewöhnliche Differenzialgleichungen
Wir können durch die Exponentialfunktion teilen, da diese immer größer Null ist. Damit verbleibt 3λ2 + 2λ − 1 = 0 ⇔ λ2 + 23 λ − 13 = 0 . Diese quadratische Gleichung in λ wird nun mit Hilfe der p-q-Formel gelöst: λ1,2 = − 13 ± 19 + 13 = − 13 ± 49 . Damit folgen λ1 = −1 und λ2 = 13 . Endergebnis: Die obige DGL wird durch den Ansatz 1 y(x) = C1 e−1·x + C2 e 3 ·x gelöst.
Potenzansatz (lineare DGL) Bei linearen DGLs der Form cn xn
dn dn−1 d y(x) + cn−1 xn−1 n−1 y(x) + . . . + c1 x1 y(x) + c0 x0 y(x) = 0 (7.12) n dx dx dx
ist der Ansatz y(x) = xλ hilfreich. Einsetzen führt – ähnlich wie beim Exponentialansatz – auf eine polynomiale Gleichung in λ, dessen Lösungen λ1 , . . . , λn die Gesamtlösung y(x) = C1 xλ1 + . . . + Cn xλn liefert. Beispiel 7.7 (Beispiel zum Potenzansatz) Man löse die DGL x2 y (x) − 3xy (x) − 5y(x) = 0. Lösung: Die DGL hat offensichtlich die Form (7.12), da Ableitungsgrad und Variablen-Potenz in jedem Term gleich sind. In diesem Fall verwenden wir den Potenzansatz y(x) = xλ . Seine Ableitungen sind y (x) = λxλ−1 und y (x) = λ(λ − 1)xλ−2 . Dies setzen wir in die DGL ein: x2 λ(λ − 1)xλ−2 − 3xλxλ−1 − 5xλ ⇔ λ(λ − 1)x − 3λx − 5x λ
λ
λ
=
0,
=
0.
Man sieht hieran den Trick des Ansatzes: Jede Potenz ergänzt sich wieder zu xλ , so dass wir nun durch xλ = 0 teilen können. Dann folgt λ2 − λ − 3λ − 5 = λ2 − 4λ − 5 = 0 , was direkt per pq-Formel λ1,2 = 2 ± 4 − (−5) = 2 ± 3 ergibt. Damit erhalten wir die allgemeine Lösung: y(x) = C1 xλ1 + C2 xλ2 = C1 x5 + C2 x−1 , was man durch Einsetzen in die DGL überprüfen kann.
7.2 Lösungsansätze
211
Trigonometrischer Ansatz Die folgende Differenzialgleichung wird einem im Lauf des Studiums immer wieder begegnen. Sie beschreibt harmonische Schwingungen (auch Oszillation genannt) und wird daher die DGL des harmonischen Oszillators genannt: y (x) = −k 2 y(x) .
(7.13)
Diese DGL entspricht bis auf den Faktor k2 der des Beispiels 7.3. Der Ansatz ist bis auf eine geringe Abwandlung der gleiche: y (x) = −k 2 y(x) =⇒ y(x) = A sin(kx) + B cos(kx)
(7.14)
oder mit Phase ϕ y(x) = C cos(kx + ϕ) .
(7.15)
Beispiel 7.8 (DGL des Federpendels) Lenkt man eine Feder (Federkonstante κ) mit angehängter Masse m um x0 aus und lässt dann los, so ergibt sich folgender Eindeutigkeitsrahmen für die x(t) = −κx(t) , x(0) ˙ = 0 , x(0) = x0 . Wie löst sich dieser? Auslenkung x(t): m¨ x(t) = ? κ κ Lösung: Wir formen die DGL um: x ¨ = −m x. Mit der Definition ω 2 = m er2 gibt sich die DGL des harmonischen Oszillators, x ¨ = −ω x. Ansatz also nach (7.14): x(t) = A sin(ωt) + B cos(ωt). Wir bestimmen die Konstanten: !
Startauslenkung :
x(0)
=
A sin(0) + B cos(0) = B = x0 ,
Startgeschwindigkeit :
x(0) ˙
=
[Aω cos(ωt) − Bω sin(ωt)]t=0 = Aω = 0 .
!
Damit folgen A = 0 und B = x0 . Ergebnis: x(t) = x0 cos(ωt) . Wir werden uns mit dem harmonischen Oszillator noch ausführlich in Kapitel 12 beschäftigen und die Bedeutung der Konstanten verstehen.
Integration der Umkehrfunktion (DGL erster Ordnung) Der Trick, über die Umkehrfunktion eine DGL zu lösen, bietet sich im Falle von DGLs erster Ordnung an. Zentrale Idee ist hierbei, den Differenzialquotienten dy y (x) = dx umzudrehen: dx dy = y (x) ⇒ = x (y) ⇔ dx = x (y) dy . dx dy
(7.16)
Die Hoffnung ist nun, dass man beide Seiten integrieren kann und x(y) erhält. Nicht selten kommt es allerdings vor, dass man mit der x(y)-Krücke Vorlieb nehmen muss, da sich x(y) analytisch nicht weiter zu y(x) umkehren lässt.
212
7 Gewöhnliche Differenzialgleichungen
Beispiel 7.9 (Bewegung mit Reibung) Man löse v˙ = −αv 2 , v(0) = v0 , was das Geschwindigkeitsverhalten eines mit v0 angestoßenen Teilchens unter Reibung beschreibt. Was passiert auf lange Sicht? Lösung: Entweder verwenden wir die Trennung der Variablen oder gehen über die Umkehrfunktion. Schreibe dafür die DGL um: v˙
=
−αv 2 ⇔
dv dt 1 = −αv2 =⇒ = t (v) = − 2 . dt dv αv
Gesucht ist die Stammfunktion t(v) zu t (v) = − αv1 2 , welche sich allerdings sehr 1 + C1 . Dies können wir nun nach v(t) umstellen: leicht ermitteln lässt: t(v) = αv t=
1 1 + C1 ⇐⇒ v(t) = . αv(t) α(t − C1 )
Nun müssen wir noch die Konstante C1 mit Hilfe der AB bestimmen. Es gilt v(t = 0) =
1 1 1 ! = v0 ⇔ C1 = − . =− α(0 − C1 ) αC1 αv0
Damit ergibt sich insgesamt v(t) =
1 1 = 1 α(t + αv0 ) αt +
1 v0
=
v0 . αv0 t + 1
Für große Zeiten t geht die Geschwindigkeit v(t) des Teilchens gegen null (was unter Reibung ja auch so sein sollte).
Neue Funktion (immer) Manchmal ist es direkt offensichtlich, wie man substituieren sollte, um die DGL zu vereinfachen. Beachte: Bei Einführen einer neuen Funktion müssen die Anfangsbedingungen ebenfalls geändert werden! Beispiel 7.10 (DGL mit offensichtlicher Substitution) Welche Funktion löst z¨ = −ω 2 (z − a) , z(0) ˙ = 0 , z(0) = ? Lösung: Offensichtlich vereinfacht die Substitution z(t) =: u(t) + a den ER, denn auf der linken Seite fällt die Konstante beim Ableiten einfach raus (¨ z (t) = u ¨(t)) und auf der rechten Seite hebt sie sich beim Einsetzen weg. Es ergibt sich also der neue ER zu u ¨(t) = −ω 2 u(t) , u(0) ˙ = 0, u(0) = − a wegen u(0) = z(0) − a = − a und u(0) ˙ = z(0) ˙ = 0. Diese DGL lässt sich direkt mit dem trigonometrischen Ansatz (7.14) lösen: u(t) = A sin(ωt) + B cos(ωt). Rücktransformation liefert z(t) = u(t) + a = A sin(ωt) + B cos(ωt) + a .
7.2 Lösungsansätze
213
Mit den RB folgt dann !
z(0)
=
B + a = ⇒ B = − a,
z(0) ˙
=
[Aω cos(ωt) − Bω sin(ωt)]t=0 = Aω = 0 ⇔ A = 0 .
!
Ergebnis: z(t) = ( − a) cos(ωt) + a .
Reduktion der Ordnung Manchmal treten Differenzialgleichungen auf, bei denen die nullte oder erste Ableitung fehlt, aber zweite und dritte Ableitung auftauchen. In diesen Fällen bietet sich eine Reduktion der Ordnung (das ist der Grad der auftretenden Ableitungen) an in der Form y (x) =: u(x) ⇒ y (x) = u (x) ⇒ y (x) = u (x) usw. Durch diesen Trick vereinfacht sich die Lösung der DGL. Allerdings muss man auch hier wieder darauf achten, dass die Anfangsbedingungen entsprechend umgeändert werden oder man erst die DGL löst und anschließend die Anfangsbedingungen verwendet Beispiel 7.11 (Lösung durch Reduktion der Ordnung) Wie löst sich die DGL x ¨ = −k x˙ , x(0) ˙ = v0 , x(0) = x0 ? Lösung: Da die DGL nur x ¨ und x, ˙ nicht aber x(t) enthält, können wir die Ordnung der DGL reduzieren. Führe dazu eine neue Funktion gemäß x˙ =: u(t) ein, wobei u˙ = x ¨. Dann folgt aus der DGL mit den Erkenntnissen aus Beispiel 7.5: u˙ = −ku(t) ⇒ u(t) = Ae−kt . Nun ist aber u(t) = x. ˙ Damit ergibt sich die gesuchte Lösung x(t) durch Aufleiten zu A u(t) = x˙ = Ae−kt , x(t) = − e−kt + B . k Die Konstanten bestimmen sich wie gewohnt über die Anfangsbedingungen: !
x(0) ˙ = A = v0 v0 ! x(0) = − + B = x0 k
⇔
A = v0 ,
⇔
B = x0 +
v0 . k
Ergebnis der DGL: x(t) = −
v0 v0 v0 −kt e = (1 − e−kt ) + x0 . + x0 + k k k
214
7 Gewöhnliche Differenzialgleichungen
Variation der Konstanten (inhomogene DGLs) Zur Bestimmung der speziellen Lösung yspez (x) einer inhomogenen DGL führt sehr oft das Konzept der Variation der Konstanten zum Ziel. Ansatz hierbei ist es, in der homogenen Lösung yhom (x) die Konstanten als Funktion der Variablen aufzufassen und in die inhomogene DGL einzusetzen. Hieraus resultiert wiederum eine DGL für die „Konstanten“, deren Lösung schließlich auf die Gesamtlösung y(x) = yhom (x) + yspez (x) führt. Beispiel 7.12 (Beispiel zur Variation der Konstanten) = x2 + 4. Man löse die DGL y (x) + y(x) x Lösung: Wir bestimmen zunächst die homogene Lösung, d. h. die Lösung der (x) DGL yhom (x) + yhom = 0. Dies geschieht per TdV: x y (x) +
y(x) x
=0⇔
y (x) y(x)
= − x1 ⇔ dy y1 = − x1 dx .
Integration auf beiden Seiten liefert ln(y(x)) = − ln(x) + A und damit y(x) = e− ln(x)+A =: Ce− ln(x) = Zwischenergebnis: yhom (x) =
C . x
C x.
Leider ist das nur die halbe Miete. Denn jetzt geht es ans Lösen der inhomogenen DGL. Dazu verwenden wir die Variation der Konstanten, d. h., wir betrachten und setzen diesen in die DGL ein. Es ist nach C = C(x) im Ansatz y(x) = C(x) x Quotientenregel y (x) = C (x)x−C(x)1 = C x(x) − C(x) x2 x2 und folglich C (x) x
−
C(x) x2
+
C(x) x2
= x2 + 4 ⇔ C (x) = x3 + 4x .
Somit ergibt sich C(x) = 14 x4 + 2x2 + B, wobei wir B = 0 setzen können, da = 14 x3 + 2x. wir nur an einer Lösung interessiert sind. Ergebnis: yspez (x) = C(x) x Damit bekommen wir insgesamt: y(x) = yhom (x) + yspez (x) =
C 1 + x3 + 2x . x 4
7.3 Gekoppelte Differenzialgleichungen
7.3
215
Gekoppelte Differenzialgleichungen
Wird ein System (z. B. von gekoppelten Federn; Kapitel 12) durch mehrere DGLs beschrieben und hängen diese voneinander ab, so nennt man dieses System gekoppelte Differenzialgleichungen. In Beispiel 13.4 trat solch eine Konstellation schon auf. Durch Ineinander-Einsetzen der DGLs konnten wir diese jedoch entkoppeln. Das Entkoppeln von DGLs läuft aber selten so einfach wie in dem Beispiel. Oftmals muss man mit anderen Werkzeugen die DGLs entkoppeln. Wir lernen nun ein Verfahren kennen, das ebenso nur für spezielle (aber in der Physik häufig auftretende) DGL-Systeme eine Hilfe darstellt – und zwar für lineare DGL-Systeme mit konstanten Koeffizienten der Form y˙ 1 (t) .. .
= .. .
a11 y1 (t) + a12 y2 (t) + . . . + a1n yn (t) , .. .
y˙ n (t)
=
an1 y1 (t) + an2 y2 (t) + . . . + ann yn (t) ,
y¨1 (t) .. .
= .. .
a11 y1 (t) + a12 y2 (t) + . . . + a1n yn (t) , .. .
y¨n (t)
=
an1 y1 (t) + an2 y2 (t) + . . . + ann yn (t) ,
und
wobei die aij Konstanten sind. Man beachte insbesondere, dass die Zeit t nicht explizit in die DGLs eingeht.
Fahrplan Zur Lösung dieser gekoppelten DGLs können wir folgenden Fahrplan benutzen: 1. Matrixform Schreibe das DGL-System in Matrix-Form um: y˙ (t) = A · y (t) bzw. y¨(t) = A · y (t) ,
(7.17)
wobei y (t) = (y1 (t), . . . , yn (t))T und A = AT . 2. Diagonalisierung Diagonalisiere die Matrix A und bestimme die Transformationsmatrix D nach dem uns bekannten Verfahren aus Abschnitt 2.4. 3. Transformation ins entkoppelte System Transformiere nun in ein neues System via y (t) = DT u(t) mit u(t) = (u1 (t), . . . , un (t))T . In diesem System liegen die DGLs entkoppelt vor, welche wir nun direkt alle unabhängig voneinander lösen können.
216
7 Gewöhnliche Differenzialgleichungen
4. Rücktrafo und Lösung Transformiere zurück ins Ausgangssystem und erhalte die allgemeine Lösung y (t) = DT u(t) = u1 (t)f1 + . . . + un (t)fn ,
(7.18)
wobei fn die Eigenvektoren aus Schritt 2 sind. Bei Schritt 3 ist nicht direkt ersichtlich, warum die DGLs entkoppeln, oder? Das überlegen wir uns nun. In die Ausgangsgleichung y˙ (t) = A·y (t) wird y (t) = DT u(t) eingesetzt (analoge Rechnung gilt für den zweifach gepunkteten Fall!): (DT u)˙(t) = DT u˙ = A · DT u . Die Drehmatrix D ist zeitunabhängig, so dass diese aus der Ableitung herausgezogen werden kann. Wir multiplizieren von links mit D: (D · DT )u˙ (t) = (D · A · D T )u(t) . Die Klammer links ist aber wegen Drehmatrix-Definiton gerade gleich der Einheitsmatrix, die Klammer auf der rechten Seite die diagonalisierte Matrix A : 1 · u˙ (t) = u˙ (t) = A · u(t) . Was bringt uns das? Mal sehen – wir schreiben die Gleichung aus:
⎛
⎞
⎛
u˙ 1 (t) λ1 ⎜ .. ⎟ ⎜ ⎝ . ⎠=⎝ u˙ n (t) O
O ..
. λn
⎞ ⎛
⎞
u1 (t) ⎟ ⎜ .. ⎟ ⎠ · ⎝ . ⎠ ⇐⇒ un (t)
u˙ 1 (t) = λ1 u1 (t) , .. . u˙ n (t) = λn un (t) ,
was offensichtlich entkoppelt und direkt per Exponentialansatz lösbar ist. Das Kochrezept funktioniert nur, wenn A diagonalisierbar ist! Beispiel 7.13 (Gekoppeltes DGL-System) Man löse das gekoppelte DGL-System x(t) ˙
=
3x(t) + y(t) ,
y(t) ˙
=
x(t) + 3y(t) .
Lösung: Dieses System ist offensichtlich gekoppelt, da die Funktion y(t) in der x(t)-DGL auftaucht und umgekehrt. Ein einfaches Lösen ist also nicht möglich. Unser Anliegen ist damit, die DGLs zu entkoppeln. Wir wenden obigen Fahrplan an: 1. Schreibe obiges System in Matrixform: x˙ = 3x + y , y˙ = x + 3y
⇐⇒
x˙ y˙
=
3 1
und erhalte damit y (t) = (x(t), y(t))T und A = ( 31
1 3
x · ,
1 ). 3
y
7.3 Gekoppelte Differenzialgleichungen
217
2. A ist offensichtlich symmetrisch, also können wir mit der Diagonalisierung beginnen: a) Eigenwerte berechnen: det
3−λ 1
1 3−λ
= (3 − λ)(3 − λ) − 1 = λ2 − 6λ + 8 = 0 .
Dieses ist für λ = 2 oder λ = 4 erfüllt. b) Eigenvektoren berechnen. Für λ1 = 2 folgt das LGS 1 1 0 +| · 1 1 1 0 → . 1
+| · (−1)
0
1
0
0
0
Wir können also die zweite Variable frei wählen. Setze y := 1, dann gilt x + y = x + 1 = 0. Damit ergibt sich der erste (normierte!) Eigenvektor zu f1 = √12 −1 1 . Der zweite kann direkt erraten werden, da er senkrecht auf f1 stehen muss (d. h., das Skalarprodukt verschwindet): f2 = √12 −1 −1 . 1 1 √ −√ 2 0 c) Zwischenergebnis: A = und D = − √12 − √21 . 0
4
2
2
3. Transformiere in ein neues System u = (u1 (t), u2 (t))T , so dass die DGLs entkoppeln: y (t) = DT u(t). Dann folgt u˙ (t) = A · u(t). Hier also
u(t) ˙ v(t) ˙
=
2 0
0 4
u(t) ˙ = 2u(t) , u(t) · ⇐⇒ v(t) v(t) ˙ = 4v(t) .
Dies löst sich zu u(t) = Ce2t und v(t) = De4t . Das ist die Lösung im entkoppelten System. 4. Nun noch die Rücktrafo: 1 1 2t 1 4t − √ − √1 − √ Ce − √ De Ce2t T 2 2 2 2 · = y (t) = D u(t) = 1 1 4t √ √ − √1 Ce2t − √1 De4t De 2 2 2 2 1 2t 1 4t − √ Ce − √ De 2 = + − √12 De4t = Ce2t f1 + De4t f2 . 1 √ Ce2t 2
2
Und das ist die allgemeine Lösung des gekoppelten Systems!
218
7 Gewöhnliche Differenzialgleichungen
Spickzettel zu Differenzialgleichungen DGL-Terminologie Gewöhnliche DGL n-ter Ordnung F (x, y, y , . . . , y (n) ) = 0 ist unter Angabe von n AB eindeutig lösbar; Ordnung = Grad der höchsten vorkommenden Ableitung. Klassifikation:
n
– Lineare DGL n-ter Ordnung: a (x)y (k) (x) = r(x). Nichtlinear: y(x) k=0 k und/oder Ableitungen taucht nicht linear auf. n – Lineare homogene DGL n-ter Ordnung: a (x)y (k) (x) = 0 bzw. inhomok=0 k n (k) a (x)y (x) = r(x). gen: k=0 k – Allgemeine Lösung der homogenen linearen DGL aus Superposition der Einzellösungen: y(x) = C1 y1 (x)+. . .+Cn yn (x); allgemeine Lösung der inhomogenen linearen DGL: y(x) = yhom (x) + yspez (x). Lösungsansätze – Raten, Aufleiten, Trennung der Variablen. – y (x) = −k2 y(x), dann Ansatz: y(x) = A cos(kx) + B sin(kx). n i – Exponentialansatz: a d y(x) = 0 ⇒ y(x) = Aeλx . i=0 i dxi
n
k
λ1 d – Potenzansatz: c xk dx + . . . + Cn xλn . k y(x) = 0 ⇒ y(x) = C1 x k=0 k dy – Integration der Umkehrfunktion: dx = y (x) ⇒ dx = x (y) dy, Integration liefert dann x(y). – Reduktion der Ordnung (bei Fehlen von niedrigen Ableitungsgraden) per Substitution der Form y (x) =: u(x) ⇒ y (x) = u (x) ⇒ y (x) = u (x) usw. – Variation der Konstanten, d. h. C = C(x) und Lösen der neuen DGL; bietet sich bei inhomogenen DGLs zur Bestimmung der speziellen Lösung an.
Gekoppelte DGLs DGL-Systeme der Form y˙ (t) = A · y (t) bzw. y¨(t) = A · y (t) mit dem Vektor T y (t) = (y1 (t), . . . , yn (t)) lassen sich wie folgt lösen: a) Diagonalisiere A, bestimme D. b) Transfomiere per y (t) = D T u(t) in entkoppeltes System; löse alle DGLs. c) Rücktrafo: Allgemeine Lösung y (t) = DT u(t) = u1 (t)f1 + . . . + un (t)fn . ----------------P-H-Y-S-I-K----------------Newton auf Teilchen (Masse m) bekannt, Bahn r(t) = ? ergibt sich aus Lösung Kraft F der DGL (t, r, r˙ ) , r˙ (0) = v0 , r(0) = r0 mr¨ = F
bzw.
(t, r, r˙ ) , v (0) = v0 mv˙ = F
.
8 Komplexe Zahlen
Übersicht 8.1
Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8.2
Trigonometrie mit komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
8.3
Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
Bisher haben wir nur mit reellen Zahlen x ∈ R gerechnet. In diesem Kapitel wird der Zahlenbereich auf den Körper der komplexen Zahlen C erweitert. Nachdem die grundlegenden Begriffe definiert wurden, werden wir verschiedene Darstellungen komplexer Zahlen kennenlernen und bei der wichtigen Euler-Formel enden.
8.1
Grundlagen
8.1.1
i-Gitt i-Gitt
Die komplexen Zahlen z ∈ C stellen eine Erweiterung des Zahlenkörpers der reellen Zahlen x ∈ R dar. Besagte Erweiterung ist dabei durch die Einführung einer Größe i gegeben, für die gilt: i2 = −1 .
(8.1)
Hierdurch werden im Reellen nicht lösbare Gleichungen wie z. B. x2 = −1 plötzlich lösbar: x = i oder x = −i. Jede komplexe Zahl z ∈ C lässt sich als Summe aus einem realen und einem imaginären Teil schreiben: z = x+i·y,
Re(z) = x ,
Im(z) = y .
(8.2)
Dabei heißt x ∈ R Realteil (Re) und y ∈ R – das ist der Vorfaktor vom i – √ Imaginärteil (Im). So ist z. B. für z = 3 − 2 · i der Realteil Re(z) = 3 und der √ Imaginärteil Im(z) = − 2. Die Darstellung einer komplexen Zahl geschieht in der x-y-Ebene, wie Abb. 8.1 zeigt.
220
8 Komplexe Zahlen
Abb. 8.1: Darstellung einer komplexen Zahl in der Ebene. Komplexe Konjugation * bedeutet Spiegelung an der reellen Achse.
Komplexe Konjugation Das komplex Konjugierte z ∗ einer komplexen Zahl z erhält man, indem man i durch −i ersetzt: z = x + i · y → z∗ = x − i · y ,
(z ∗ )∗ = z .
(8.3)
Anschaulich entspricht diese Operation in der komplexen Ebene einer Spiegelung des Punktes (x, y) an der x-Achse.
8.1.2
Rechenregeln
Komplexe Zahlen kann man nach den üblichen Rechenregeln wie reelle Zahlen addieren, subtrahieren und auch multiplizieren. Einzig auf i2 = −1 muss man achten: z1 ± z2 z1 · z2
=
(x1 + iy1 ) ± (x2 + iy2 ) = (x1 ± x2 ) + i · (y1 ± y2 ) ,
=
(x1 + iy1 ) · (x2 + iy2 ) = x1 x2 + ix1 y2 + ix2 y1 + i y1 y2 ,
=
(x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ) .
(8.4)
2
(8.5)
Die Division zweier komplexer Zahlen gestaltet sich wie folgt: x1 + iy1 x1 + iy1 x2 − iy2 x1 x2 − y1 y2 + i(x1 y2 + x2 y1 ) z1 = = · = z2 x2 + iy2 x2 + iy2 x2 − iy2 x22 + y22 und somit
x1 + iy1 x1 x2 − y1 y2 x1 y2 + x2 y1 z1 = = +i· . 2 2 z2 x2 + iy2 x2 + y2 x22 + y22
(8.6)
Der Trick bei der Division zweier komplexer Zahlen ist daher, mit dem komplex Konjugierten des Nenners zu erweitern, wodurch der Nenner reell wird. Eine beliebte Falle: Re(z1 · z2 ) = Re(z1 )Re(z2 ) und ebenso Re
z1 z2
=
Re(z1 ) Re(z2 ) .
Regeln für die komplexe Konjugation Wissenswert sind
∗
(z1 ± z2 ) =
z1∗
±
z2∗
,
∗
(z1 · z2 ) =
z1∗ z2∗
,
z1 z2
∗ =
z1∗ z2∗
(8.7)
8.1 Grundlagen
221
sowie für z = x + iy: z + z ∗ = 2x = 2 · Re(z)
1 ⇐⇒ Re(z) =
z − z ∗ = 2iy = 2i · Im(z)
z + z∗ , 2
Im(z) =
z − z∗ . 2i
(8.8)
Eine weitere wichtige Definition ist das Betragsquadrat einer komplexen Zahl: (8.9) |z|2 := z · z ∗ = (x + iy)(x − iy) = x2 + y 2 . |z|2 ist immer reell und ≥ 0. Es gelten |z| = 0 ⇔ z = 0 ,
|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | ,
|z1 · z2 | = |z1 | · |z2 | ,
(8.10)
wobei die zweite Beziehung der Dreiecksungleichung (1.10) bei Vektoren bis auf die Vektorpfeile entspricht. Beispiel 8.1 (Rechnen mit komplexen Zahlen) Gegeben sind z1 = 3 + 2i und z2 = −1 − i. Was sind z1 + z2 , z1 · z2 , Man zeige explizit die Dreiecksungleichung |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |.
z1 z2
und |z1 |2 ?
Lösung: 1. z1 + z2 = (3 + 2i) + (−1 − i) = 3 − 1 + 2i − 1i = 2 + i. 2. z1 · z2 = (3 + 2i)(−1 − i) = −3 − 3i − 2i + 2 i(−i) = −1 − 5i.
=+1
3. Für die Division erweitern wir mit dem komplex Konjugierten des Nenners, d. h. mit (−1 − i)∗ = −1 + i: 3 + 2i 3 + 2i −1 + i −3 + 3i − 2i + 2i2 −5 + i = · = = . −1 − i −1 − i −1 + i 1−i+i−i·i 2 Ergebnis der Division:
z1 5 1 = − + i. z2 2 2
4. |z1 |2 = (3 + 2i)(3 + 2i)∗ = (3 + 2i)(3 − 2i) = 13. 5. Schließlich muss die Dreiecksungleichung |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | gezeigt werden. √ Wir kennen aus der Rechnung eben schon |z1 | = 13. Ferner kennen wir aus √ der Division z2 · z2∗ = 2 und somit |z2 | = 2. Es verbleibt √ |z1 + z2 | = (2 + i)(2 + i)∗ = (2 + i)(2 − i) = 22 + 12 = 5 . Somit ist die DUG erfüllt:
√
5≤
√
13 +
√ 2.
222
8 Komplexe Zahlen
Die i-Potenzen Wir überlegen uns: i0 = 1 , i1 = i , i2 = −1 , i3 = −i , i4 = 1 , 1 1 i i0 = 1 , i−1 = = 2 = −i , i−2 = 2 = −1 , i−3 = i , i−4 = 1 , i i i wobei sich ab der vierten Potenz (positiv wie negativ) von i die Werte wiederholen. Also merken wir uns: i4n = 1 , i4n+1 = i , i4n+2 = −1 , i4n+3 = −i , n ∈ Z
(8.11)
usw. – wie eine Vierstundenuhr, die immer wieder die Uhrzeiten 1, i, −1, −i durchläuft. Mit der Uhrenvorstellung sind wir gar nicht mal allzu verkehrt, wie der nächste Abschnitt zeigen wird.
8.1.3
Komplexe Zahlen in Polarkoordinaten
Es ist zweckmäßig, die Darstellung (8.2) – das war z = x+iy – in Polarkoordinaten (r, ϕ) umzuschreiben. Wie wir mittlerweile wissen, sind in Polarkoordinaten x = r cos(ϕ) und y = r sin(ϕ), womit folgt: z = x + iy = r cos(ϕ) + ir sin(ϕ) = r(cos(ϕ) + i sin(ϕ)) .
(8.12)
Dabei ist r ≥ 0 und ϕ = 0 . . . 2π. Abb. 8.2 veranschaulicht die Darstellung in Polarkoordinaten.
Abb. 8.2: Komplexe Zahlen in Polarkoordinatendarstellung.
Aus (8.12) folgt direkt der Betrag von z zu √ |z|2 = zz ∗ = r(cos(ϕ) + i sin(ϕ)) · r(cos(ϕ) − i sin(ϕ)) |z| = r2 (cos2 (ϕ) − i cos(ϕ) sin(ϕ) + i sin(ϕ) cos(ϕ) + sin2 (ϕ)) = √ = r2 (cos2 (ϕ) + sin2 (ϕ)) = r2 · 1 = r . Daher ist eine andere Schreibweise mit Betrag und Argument von z: |z| = r ,
arg(z) = ϕ .
(8.13)
8.2 Trigonometrie mit komplexen Zahlen
223
Beispiel 8.2 (Darstellung einer komplexen Zahl) Wie lautet z = 1 + i in Polarkoordinaten? Lösung: Es sind x = 1 und y = 1. Dann gilt wegen der Umkehrtransformation der Polarko √ √ ordinaten (Abschnitt 1.5.3) r = x2 + y 2 = 12 + 12 = 2 und tan(ϕ) = xy = 11 . Somit ist ϕ = arctan(1) = π4 (da z im ersten Quadranten liegt) und wir erhalten z =1+i=
√ 2(cos( π4 ) + i sin( π4 )) ,
was äquivalente Darstellungen sind, wie Abb. 8.3 zeigt.
Abb. 8.3: z = 1 + i in Polardarstellung und der „nor
malen“ Darstellung.
8.2
Trigonometrie mit komplexen Zahlen
8.2.1
Euler-Formel
Wie in Abschnitt 8.3.1 gezeigt wird, lässt sich der Klammerterm cos(ϕ) + i sin(ϕ) in (8.12) umschreiben. Es gilt die sogenannte Euler-Formel eiϕ = cos(ϕ) + i sin(ϕ) ,
(8.14)
wodurch direkt die Euler-Darstellung der komplexen Zahlen folgt: (8.12)
z = x + iy ←→ z = r · eiϕ .
(8.15)
Hierbei sind r = x2 + y 2 und tan(ϕ) = xy (wieder unter Beachtung der Quadranten!). Diese Beziehung ermöglicht uns eine äußerst geschickte Handhabe der komplexen Zahlen. So schreibt sich z. B. die Zahl z = 1+i aus dem letzten Beispiel √ √ π in Euler-Darstellung mit r = 2 und ϕ = π4 schlicht als z = 2 · ei 4 – ohne lästige trigonometrische Funktionen.
224
8 Komplexe Zahlen
eiϕ entspricht gedrehtem Zeiger Schaut man sich eiϕ für einige Werte von ϕ an, so entdeckt man, dass eiϕ ein Zeiger auf dem Einheitskreis ist, der um den Winkel ϕ gedreht ist (ab x-Achse gezählt): π
ei·0 = 1 ,
ei 2
ei·0 = 1 ,
e−i 2
π
3π 2
= cos( π2 ) + i sin( π2 ) = i ,
eiπ = −1 ,
ei
= −i ,
e−iπ = −1 ,
e−i
= −i ,
3π 2
= i,
ei2π = 1 , e−i2π = 1
usw. Abb. 8.4 zeigt dies noch einmal.
Abb. 8.4: eiϕ entspricht einem gedrehten Einheitszeiger. Ist ϕ > 0, so ist der Zeiger gegen den Uhrzeigersinn gedreht, ist ϕ < 0, im Uhrzeigersinn.
Wie man allerdings sieht, ist kein Unterschied zwischen z1 = e0 und z2 = ei2π zu erkennen, denn nach Δϕ = 2π wiederholen sich alle Werte von eiϕ . Bildlich gesprochen können wir bei Bestimmung des Arguments einer komplexen Zahl beliebig oft gegen oder im Uhrzeigersinn um den Ursprung kreisen, ohne dass sich der Wert des Arguments ändert. Das bedeutet: Komplexe Zahlen in der Euler-Darstellung sind im Argument ϕ nur bis auf Vielfache von 2π festgelegt. Wir schreiben dies als z = r · eiϕ = r · ei(ϕ+2πn) , n ∈ Z . (8.16) Ab jetzt gelte: Wird eine Zahl in Euler-Darstellung angegeben, so ist stets der Hauptwert gemeint, d. h. der obige Drehwinkel 0 ≤ ϕ < 2π für n = 0 (2π ist nicht mehr enthalten). Insbesondere gilt für eine Drehung um den Winkel nπ: einπ = e−inπ = (−1)n .
(8.17)
Multiplikation und Division neu aufgerollt 1. Multiplikation zweier komplexer Zahlen: z1 · z2 = r1 eiϕ1 · r2 eiϕ2 = r1 r2 · ei(ϕ1 +ϕ2 ) .
(8.18)
Anschaulich bedeutet dies in der komplexen Ebene Folgendes: Multipliziert man zwei komplexe Zahlen, so multiplizieren sich deren Längen r1 und r2 , während sich die Argumente ϕ1 und ϕ2 addieren. 2. Division zweier komplexer Zahlen: z1 r1 eiϕ1 r1 i(ϕ1 −ϕ2 ) = = ·e . z2 r2 eiϕ2 r2
(8.19)
8.2 Trigonometrie mit komplexen Zahlen
225
Dividiert man zwei komplexe Zahlen, so müssen die Längen dividiert werden, während die Argumente subtrahiert werden. 3. Potenzen von komplexen Zahlen lassen sich in der Euler-Darstellung äußerst leicht angeben: n z n = r · eiϕ = rn · einϕ . (8.20) Beispiel 8.3 (Rechnen in Euler-Darstellung) Für z1 = 1 + i und z2 = 1 − i berechne man z1 · z2 und Was ist ii ?
z1 z2
in Euler-Darstellung.
Lösung: 1. Zunächst bestimmen wir Betrag und Argument der Zahlen z1 und z2 . Es sind √ √ √ r1 = 12 + 12 = 2 und r2 = (12 + (−1)2 = 2. Für die Argumente gilt: tan(ϕ1 ) = 11 ⇒ ϕ1 = π4 , da z1 im ersten Quadranten liegt. z2 liegt im vierten 1 ⇒ ϕ2 = −π . Damit folgt Quadranten: tan(ϕ2 ) = −1 4 √ π √ π π π z1 · z2 = 2ei 4 · 2e−i 4 = 2ei( 4 +(− 4 )) = 2ei·0 = 2 , √ iπ π π z1 2e 4 π = √ −i π = 1 · ei( 4 −(− 4 )) = ei 2 = i . z2 2e 4 2. Auch bei ii ist das Umschreiben in die Euler-Darstellung der Schlüssel zum Erfolg: π i ii = ei· 2 = e−π/2 ≈ 0.2 .
8.2.2
Sinus und Kosinus
Aus der Euler-Formel eiϕ = cos(ϕ) + i sin(ϕ) lässt sich direkt ablesen: Re(eiϕ ) = cos(ϕ) ,
Im(eiϕ ) = sin(ϕ) .
(8.21)
Der Realteil einer komplexen Zahl z ergibt sich andererseits nach (8.8) zu Re(z) = ∗ z+z ∗ und der imaginäre Teil zu Im(z) = z−z 2 2i . Damit folgt eiϕ − e−iϕ eiϕ + e−iϕ , sin(ϕ) = Im(eiϕ ) = . (8.22) 2 2i Diese Relationen vereinfachen etliche Rechnungen erheblich, wie z. B. das Berechnen von Integralen mit sin- und cos-Funktionen. Aber auch viele trigonometrische Relationen wie die Additionstheoreme lassen sich mit den obigen Gleichungen äußerst schnell herleiten. cos(ϕ) = Re(eiϕ ) =
Beispiel 8.4 (Beweis der Additionstheoreme) Beweisen Sie die Additionstheoreme sin(α + β)
=
sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β) ,
cos(α + β)
=
cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β) .
226
8 Komplexe Zahlen
Lösung: Wir berechnen eiϕ für ϕ = α + β, um cos(α + β) und sin(α + β) ins Spiel zu bringen. Einerseits ist ei(α+β) = cos(α + β) + i sin(α + β) . Andererseits ist mit cos(α) =: c, cos(β) =: C (und ebenso für Sinus) ei(α+β)
=
eiα eiβ = (c + is)(C + iS) = cC + icS + isC + i2 sS
=
cC − sS + i(sC + cS) .
Somit ergibt sich cos(α + β) + i sin(α + β) = cC − sS + i(sC + cS) , und durch Realteil- und Imaginärteilverlgeich der linken und rechten Seite folgen die Additionstheoreme: cos(α + β)
=
cC − sS = cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β) ,
sin(α + β)
=
sC + cS = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β) .
Der trigonometrische Pythagoras folgt noch schneller:
2 1 = eiϕ · e−iϕ = eiϕ = (cos(ϕ) + i sin(ϕ)) · (cos(ϕ) − i sin(ϕ)) = cos2 (ϕ) + sin2 (ϕ) .
8.3
Anwendungen
8.3.1
Komplexe Exponentialreihe
Wir sind noch den Beweis der Euler-Formel (8.14) schuldig. Bevor wir sie beweisen, müssen noch ein paar wichtige Feststellungen bezüglich des Umgangs mit komplexwertigen Funktionen getätigt werden: Die Ableitung komplexwertiger Funktionen nach komplexen Variablen läuft vollkommen analog zu den bisher bekannten reellen Differenziationsregeln. Die Integration komplexwertiger Funktionen über reelle Integrationsvariablen läuft wie bekannt. Kommen wir zurück zum Beweis; dazu betrachten wir eiϕ als Reihendarstellung. Die Exponentialreihe kennen wir schon aus Abschnitt 4.3. Sie lautete ex =
∞ xk k=0
k!
=1+x+
x2 x3 x4 + + + ... 2! 3! 4!
8.3 Anwendungen
227
Wie lautet nun aber die komplexe Exponentialreihe mit x = iϕ? Setzen wir doch einfach ein: eiϕ
∞ (iϕ)k
=
k=0
=
k!
= 1 + iϕ +
1 + iϕ + i2
ϕ2 ϕ3 ϕ4 ϕ5 ϕ6 + i3 + i4 + i5 + i6 + ... 2! 3! 4! 5! 6!
=−1
=
1 + iϕ −
2
(iϕ)2 (iϕ)3 (iϕ)4 (iϕ)5 (iϕ)6 + + + + + ... 2! 3! 4! 5! 6!
=−i 3
=1
4
5
=i
=i2 =−1
6
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ −i + +i − ± ... 2 3! 4! 5! 6!
Nun teilen wir in Real- und Imaginärteil auf: eiϕ
= =
ϕ2 ϕ3 ϕ4 ϕ5 ϕ6 1 + iϕ − −i + +i − ± ... 2 3! 4! 5! 6! 2 4 6 ϕ ϕ ϕ5 ϕ ϕ3 + − ± ... + i · ϕ − + ∓ ... . 1− 2! 4! 6! 3! 5!
Die Reihen in den Klammern sind aber bekannt: Kosinus und Sinus! Damit folgt: ϕ2 ϕ3 ϕ4 ϕ6 ϕ5 1− + − ± . . . +i · ϕ − + ∓ ... eiϕ = 2! 4! 6! 3! 5!
=cos(ϕ)
=
=sin(ϕ)
cos(ϕ) + i · sin(ϕ) ,
und dies ist tatsächlich die Euler-Identität (8.14)! Im Allgemeinen funktioniert die Exponentialreihe auch für eine komplexe Zahl z = x + iy: (8.14)
ez = ex+iy = ex · eiy = ex (cos(y) + i sin(y)) .
8.3.2
(8.23)
Harmonischer Oszillator
Wir lösen ein weiteres Mal die Differenzialgleichung des harmonischen Oszillators x ¨ = −ω 2 x aus Beispiel 7.8. Als Ansatz wählen wir anstatt des trigonometrischen den Exponentialansatz: x(t) = Aeλt ,
x(t) ˙ = Aλeλt ,
x ¨(t) = Aλ2 eλt .
Eingesetzt in die DGL ergibt sich Aλ2 eλt = −ω 2 Aeλt ⇔ λ2 = −ω 2 . An dieser Stelle wäre unter Betrachtung reeller Lösungen Ende. Doch wir können ja mittlerweile mehr: λ = ±iω ,
228
8 Komplexe Zahlen
da (±iω)2 = i2 ω 2 = −ω 2 . Sowohl x+ (t) = Aeiωt als auch x− (t) = Ae−iωt sind Lösungen der DGL. Als allgemeine Lösung folgt dann durch Superposition (da die DGL linear ist; Kapitel 7) x(t) = C1 eiωt + C2 e−iωt . Durch Wahl der Konstanten (dank Anfangsbedingungen) erscheinen dann sin(ωt) bzw. cos(ωt) in der Lösung (der Kosinus z. B. durch die Vorgabe C1 = 12 = C2 iωt −iωt wegen cos(ωt) = e +e nach (8.22)). 2
Spickzettel zu komplexen Zahlen Komplexe Zahlen – z = x + iy (i2 = −1) mit Re(z) = x (Realteil) und Im(z) = y (Imaginärteil); komplexe Konjugation: z ∗ = x − iy, (z ∗ )∗ = z. – Addition/Multiplikation wie mit reellen i2 = −1 beachtend! Achtung: z Zahlen, Re(z ) 1 Re(z1 · z2 ) = Re(z1 )Re(z2 ) und Re z12 = Re(z2 ) . – Division:
z1 z2
=
x1 +iy1 x2 +iy2
=
– (z1 ± z2 )∗ = z1∗ ± z2∗ ,
x1 +iy1 x2 +iy2
·
x2 −iy2 x2 −iy2
=
(z1 · z2 )∗ = z1∗ z2∗ ,
x1 x2 −y1 y2 x22 +y22
z ∗ 1
z2
+i·
=
x1 y2 +x2 y1 . x22 +y22
z1∗ z2∗ .
– Betragsquadrat: |z|2 := z · z ∗ = (x + iy)(x − iy) = x2 + y2 ≥ 0. – i-Potenzen: i4n = 1 , i4n+1 = i , i4n+2 = −1 , i4n+3 = −i , n ∈ Z. – Darstellung in Polarkoordinaten z = r(cos(ϕ) + i sin(ϕ)). Euler-Darstellung Euler-Formel: eiϕ = cos(ϕ) + i sin(ϕ) (Beweis per Reihe). Damit z = reiϕ , insbesondere e±inπ = (−1)n ; wichtige Umschreibung: sin(ϕ) =
eiϕ − e−iϕ eiϕ + e−iϕ , cos(ϕ) = . 2i 2
9 Vektoranalysis
Übersicht 9.1
Was ist ein Feld? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
9.2
Operatoren der Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
9.3
Krummlinige Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
9.4
Integralsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
9.1
Was ist ein Feld?
Ein Feld ist eine Funktion vom Raum und Zeit und kann skalarwertig oder vektorwertig sein. Im ersten Fall spricht man von Skalarfeldern (z. B. Druck p(r, t), Temperatur T (r, t), Dichte ρ(r, t), . . . ), im zweiten Fall von Vektorfeldern r, t), magnetisches Feld B( r, t)). (beispielsweise Kraft F (r, t), elektrisches Feld E( Manchmal werden Größen, die nicht explizit von der Zeit abhängen, ebenfalls Felder genannt. So heißt auch F (r) Kraftfeld, obwohl es keine Zeitabhängigkeit besitzt. Diese Felder heißen dann statische Felder.
Darstellung von Feldern Wie man Skalarfelder darstellt, haben wir schon in Abschnitt 4.2 gesehen: entweder per Blockbild oder per Äquiniveaulinien. Beide Methoden funktionieren allerdings immer nur, wenn die Darstellung mindestens um eine Dimension eingeschränkt wird. Weiterhin kann man in Spezialfällen einen Querschnitt der Funktion über gewisse Koordinaten machen (z. B. eine Radialabhängigkeit von r, wie in Beispiel 4.9). Vektorwertige Felder lassen sich im Feldlinienbild mit Hilfe von Pfeilen graphisch veranschaulichen. Die Richtung der Pfeile geben die Richtung des Feldes an, die Länge der Pfeile die Stärke. Abb. 9.1 zeigt drei verschiedene Felder. Felder kann man wie Vektoren addieren und mit Skalaren multiplizieren, aber auch differenzieren. Letztes ist hauptsächlicher Bestandteil der Vektoranalysis.
230
9 Vektoranalysis
Abb. 9.1: Drei Felder. Die Länge der Vektoren gibt die Stärke des Feldes an. Links haben wir gleichmäßige Strömung, im mittleren Bild gibt es Verwirbelungen und rechts quillt etwas aus der Mitte heraus.
Für skalare Funktionen V (r, t) kennen wir die Differenziationsvorschrift schon aus Kapitel 4. Für die räumliche Ableitung ist dies der Gradient ∇V (r). Bei der zeitlichen Ableitung musste aufgepasst werden (Gleichung (4.44) und Warnhinweise im Kasten). Im nächsten Abschnitt definieren wir Ableitungen von Vektorfeldern.
9.2
Operatoren der Vektoranalysis
9.2.1
Gradient, Divergenz und Rotation
In Abschnitt 4.2 wurde schon der Differenzialoperator
∇=
∂ ∂ ∂ , , ∂x ∂y ∂y
T (9.1)
mit den partiellen Ableitungen in kartesischen Koordinaten eingeführt. Wir wollen uns nun die wesentlichen Verknüpfungen von ∇ mit Feldern anschauen.
Gradient Der Gradient ist nur für skalare Funktionen f (r) definiert. Er entspricht einem Spaltenvektor, in dem die partiellen Ableitungen einbeschrieben sind:
∇f (r) =
∂f ∂f ∂f , , ∂x ∂y ∂z
T .
(9.2)
Wird der Gradient an einer Stelle x0 ausgewertet, so zeigt er in Richtung des steilsten Anstiegs – und zwar in der Ebene, in welcher auch die Niveaulinien von f leben. Er steht an jeder Stelle senkrecht auf der jeweiligen den Punkt durchlaufenden Niveaulinie. Ein wichtiger Spezialfall wurde schon in Abschnitt 4.2 herge-
9.2 Operatoren der Vektoranalysis
231
leitet: Wenn ∇ auf eine Funktion wirkt, die nur vom Abstand r = x2 + y 2 + z 2 zum Ursprung abhängt (in welcher Form auch immer), so ergibt sich ∇f (r) = f (r) ·
r , r
(9.3)
also z. B. ∇e−r = −2re−r · rr . 2
2
Divergenz Bildet man das Skalarprodukt von ∇ mit einem Vektorfeld F = (F1 , F2 , F3 )T , wobei jede Komponente von x, y und z abhängen kann, so erhält man die Divergenz: ∂F2 ∂F3 ∂F1 + + . (9.4) div F = ∇ · F = ∂x ∂y ∂z Die Divergenz ist ein Maß für die Quellstärke eines Feldes. Wir bekommen durch Berechnen von div F eine Auskunft darüber, ob das Feld F Quellen (div F > 0) oder Senken (div F < 0) hat. Quelle bedeutet: Es beginnt eine Feldlinie; Senke bedeutet: Es endet eine Feldlinie. In Abb. 9.1 rechts besitzt das Vektorfeld im Ursprung eine Quelle, aus der das Vektorfeld „quillt“. Würden die Pfeile umgekehrt zeigen, dann befände sich im Ursprung eine Senke und das Feld würde dort enden. Das Feld in der Mitte hat keine Quelle oder Senke, es wirbelt einfach um den Ursprung herum. In diesem Zusammenhang gilt es noch eine wichtige Definition zu erwähnen: Ein Feld F heißt quellenfrei, wenn seine Divergenz verschwindet: F quellenfrei ⇐⇒ ∇ · F = 0 .
(9.5)
Rotation Bildet man das Kreuzprodukt von ∇ mit F , so erhält man die Rotation: T ∂F2 ∂F1 ∂F3 ∂F2 ∂F1 ∂F3 − , − , − rot F = ∇ × F = . ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
(9.6)
Die Rotation gibt darüber Auskunft, ob es Wirbel (Strudel) in einem Feld gibt. Sie ist somit ein Maß für die Wirbelstärke eines Vektorfeldes und gibt ferner an, wie schnell ein im Vektorfeld „mitschwimmender“ Körper um eine Achse rotiert. Für die Mechanik ist insbesondere wichtig, wann Kraftfelder wirbelfrei sind: F wirbelfrei ⇐⇒ ∇ × F = 0 .
(9.7)
Dies hat besondere Implikationen für die Arbeit in einem System. Hierauf werden wir in Kapitel 12 noch ausführlich zu sprechen kommen. In Abb. 9.1 Mitte ist ein Wirbelfeld dargestellt. Das linke Vektorfeld ist im gezeigten Abschnitt sowohl quellen- als auch wirbelfrei.
232
9 Vektoranalysis
Beispiel 9.1 (Quellenfreiheit und Wirbelfreiheit eines Feldes) Wie muss α ∈ R gewählt werden, damit r) = (αxy − z 3 )e1 + (α − 2)x2 · e2 + (1 − α)xz 2 · e3 A( wirbelfrei/quellenfrei wird? ist wirbelfrei/quellenfrei, wenn ∇ × A = 0 / ∇ · A = 0. Berechne Lösung: A also nacheinander die Rotation und Divergenz. Für die Rotation folgt: αxy−z3 ∂ [(1−α)xz 2 ]−∂ [(α−2)x2 ] y z ∂x ∂y × (α−2)x2 = ∂z [αxy−z3 ]−∂x [(1−α)xz2 ] ∇×A =
=
∂z
(1−α)xz 2
0−0 −3z2 −z 2 +αz 2 2αx−4x−αx
=
∂x [(α−2)x2 ]−∂y [αxy−z 3 ]
0 (−4+α)z 2 (α−4)x
!
=
0 0 0
.
Die erste Gleichung ist trivialerweise erfüllt. Die zweite und dritte Komponente wirbelfrei. kann nur null werden, wenn α = 4. Ergebnis: Nur für α = 4 wird A Nun berechnen wir noch die Divergenz: ∇·A
=
∂x [αxy − z 3 ] + ∂y [(α − 2)x2 ] + ∂z [(1 − α)xz 2 ]
=
αy + 0 − 2xz(1 − α) = α(y + 2xz) − 2xz = 0 .
!
(für α = 0 verbleibt Für keine Wahl von α verschwindet die Divergenz von A nicht immer noch der Term −2xz, für α = 1 verbleibt der Term y). Damit kann A quellenfrei werden.
Divergenz und Rotation im Alltag Ein Blick auf die morgendliche Routine reicht schon aus, um Beispiele für Divergenz, Rotation sowie Divergenz und Rotation zu finden. Steht man unter der Dusche, so quillt (bei funktionierender Leitung) Wasser (darstellbar durch ein Geschwindigkeitsfeld) aus dem Duschkopf. Hier ist also positive Divergenz der Strömung des Wassers zu beobachten. Am Abfluss fließt das Wasser wieder ab, hier gibt es eine Senke des Strömungsfeldes (Divergenz negativ). Dreht man das Wasser genug auf, so fängt das Wasser um den Abfluss zu rotieren an. In diesem Fall haben wir Divergenz und Rotation vorliegen. Machen wir uns nach dem Duschen schließlich Kaffee warm und rühren ihn mit dem Löffel um, so erzeugen wir ein Wirbelfeld, das keine Divergenz hat (es sei denn, die Tasse leckt). Divergenz und Rotation schließen sich nicht gegenseitig aus!
9.2 Operatoren der Vektoranalysis
9.2.2
233
Laplace
Mit Hilfe von Nabla lässt sich weiterhin der sogenannte Laplace-Operator (beinhaltet die zweiten partiellen Ableitungen) definieren: Δ := ∇ · ∇ =
∂2 ∂2 ∂2 + 2 + 2. 2 ∂x ∂y ∂z
(9.8)
Der Laplace-Operator ist sowohl für Skalar- als auch Vektorfelder definiert. Bei Vektorfeldern wirkt der Laplace-Operator komponentenweise. Man beachte hierbei insbesondere, dass im Allgemeinen gilt: = ΔA = (∇ · ∇)A , ∇(∇ · A) wie auch a(a · b) = (a · a)b. Wir lernen daraus: Man muss sich strikt an die Reihenfolge der Nabla-Operatoren und die Klammersetzung halten, dann kann nichts passieren. Beispiel 9.2 (Ein Laplace-Beispiel) für A = (−y 3 z, xez , e2y )T . Man berechne Δφ für φ(r) = x2 ez + y 4 und ΔA Lösung: Wir starten mit dem Skalarfeld: 2 ∂ ∂2 ∂2 Δφ = ∂x φ(r) = ∂x2 φ + ∂y2 φ + ∂z2 φ . 2 + ∂y 2 + ∂z 2 Einzig zu berechnen sind also alle reinen Ableitungen zweiter Ordnung von φ. Es folgt ∂x2 φ = ∂x [2xez ] = 2ez ,
∂y2 φ = ∂y [4y 3 ] = 12y 2 ,
∂z2 φ = ∂z [x2 ez ] = x2 ez ,
woraus Δφ = 2ez + 12y 2 + x2 ez resultiert. Für das Vektorfeld gilt −y3 2 z = ∂ 2 A2 + ∂ 2 A2 + ∂ 2 A2 = ∂x 00 + ∂y −3y ΔA + ∂z xez 0 ∂x ∂y ∂z
=
0 0 0
+
−6yz 0 4e2y
+
0 xez 0
0
=
−6yz xez 4e2y
2e2y
0
,
was jedoch unterschiedlich ist zu ∇(∇ · A): = ∇(∂x [−y 3 z] + ∂y [xez ] + ∂z [e2y ]) = ∇ 0 = 0 . ∇(∇ · A)
9.2.3
Noch mehr ∇
Die folgenden Rechenregeln sind hilfreich beim Berechnen von Gradient, Divergenz und Rotation bei komplizierten Feldern:
234
9 Vektoranalysis
∇(φψ) ∇ · (φA)
=
× B) ∇ · (A ∇ × (φA)
=
∇ × (∇ × A) ∇ · (∇ × A)
=
(∇φ)ψ + φ(∇ψ) , + φ(∇ · A) , (∇φ) · A
(9.9) (9.10)
=
· (∇ × A) −A · (∇ × B) , B + φ∇ × A , (∇φ) × A
(9.12)
=
− (∇ · ∇)A = ∇(∇ · A) − ΔA , ∇(∇ · A)
(9.13)
=
0,
∇ × (∇φ) = 0 .
(9.11)
(9.14)
Weiterhin gilt Δ(f g) = ∇·(∇(f g)) = ∇·((∇f )g+f (∇g)) = (Δf )g+2(∇f )(∇g)+f (Δg) (9.15) per doppelter Produktregel. Für spezielle Vektor- und Skalarfelder in drei Dimensionen sind insbesondere die folgenden Regeln merkenswert: r r 1 r (9.16) , ∇f (r) = f (r) , ∇ · r = 3 , ∇ = − 3 , r r r r r 2 ∇ · = , ∇ × (f (r)r) = 0 , ∇ · (f (r)r) = (∇f ) · r + 3f (r) . (9.17) r r
∇r =
Für die Elektrodynamik wichtig zu wissen ist überdies: ∇r f (|r − r |) = f (|r − r |)
r − r , |r − r |
∇r
1 r − r , =− |r − r | |r − r |3
(9.18)
wobei ∇r die Ableitungen bezüglich der Variablen x, y und z meint. Es lohnt sich, alle diese Regeln einmal im Kartesischen mit r = (x, y, z)T nachzurechnen, um Praxis mit dem Umgang von ∇ zu bekommen. Beispiel 9.3 (Feld einer Punktladung) Was sind die Rotation und Divergenz des elektrischen Feldes einer Punktladung = E
Q r 4πε0 r3
außerhalb des Ursprungs, d. h. für r = 0? Lösung: Wir verwenden obige Regeln zum Berechnen der Rotation und Diver = 0. genz und erwarten wegen der letzten Gleichung von (9.16), dass ∇ × E Anwenden der Differenziationsregeln liefert für r = 0 $ 1 % = ∇ × Q r3 = Q ∇ × 13 r = Q ∇ r3 × r + r13 ∇ × r ∇×E 4πε0 r 4πε0 r 4πε0 3 r 3 Q Q = 4πε − r4 r × r + r13 · 0 = 4πε − r5 (r × r) = 0 . 0 0 Die Rotation verschwindet außerhalb der Punktladung. Was ist mit der Divergenz? $1 % $ 1 % Q Q = ∇·E r = 4πε ∇ r3 · r + r13 [∇ · r] 4πε0 ∇ · r3 · 0 3 r 3( r · r) Q Q 1 3 = 4πε − r + = − + , 4 r · 3 · 3 5 3 r r 4πε r r 0 0
9.2 Operatoren der Vektoranalysis
235
= − 33 + und wegen r · r = r2 folgt ∇ · E r und wirbelfrei außerhalb des Ursprungs.
3 r3
quellen= 0 für r = 0. Damit ist E
Skizziert man das Feld (Abb. 9.1, rechtes Bild), so sieht man sofort ein, dass E nicht wirbelt (∇ × E = 0). Allerdings befindet sich im Ursprung eine Quelle, was = 0 konsistent erscheint. Wir erinnern uns im ersten Moment nicht mit ∇ · E jedoch daran, dass ∇ · E = 0 (E quellenfrei) nur für r = 0 gilt. Im Außenraum = 0. Den Fall r = 0 haben wir keine Quellen oder Senken. Deswegen ist dort ∇ · E werden wir gesondert mit δ-Distributionen in Abschnitt 11.2 betrachten.
9.2.4
Ableiten in Indexschreibweise
Wir kennen die partielle Ableitung ∂ einer Funktion f. Nach allen Ortsvariablen T ∂f ∂f mit ableiten hieß, den Gradient zu bilden: ∇f = ∂f ∂x , ∂y , ∂z
∇=
∂ ∂ ∂ , , ∂x1 ∂x2 ∂x3
T ,
∇i =
∂ =: ∂i . ∂xi
(9.19)
∂ Dabei meint ∂i = ∂x die Ableitung nach der i-ten Koordinate. Die Vektoranalysisi Operationen schreiben sich dann als
∂f , ∂xi =∇·A = ∂A1 + ∂A2 + ∂A3 = ∂Ai , div A ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂xi ∂ i = εijk ∇j Ak = εijk i = (∇ × A) Ak , (rot A) ∂xj
(grad f )i = (∇f )i = ∇i f =
(9.20)
wobei wir die aus Kapitel 3 altbekannte Beziehung (a × b)i = εijk aj bk (das war die i-te Komponente des Kreuzprodukts) für die Kurzschreibweise der Rotation verwendet haben. Eine weitere wichtige Beziehung liefert die partielle Ableitung ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x3 ∂x3 ∂x1 = = = = = = 0, ∂x2 ∂x3 ∂x1 ∂x3 ∂x1 ∂x2
∂xi ∂xj .
Wir wissen
∂x1 ∂x2 ∂x3 = = = 1. ∂x1 ∂x2 ∂x3
∂xi Die Ableitung ∂x liefert also nur etwas gleich eins für gleiche Indizes, für ungleiche j ist sie jedoch null. Preisfrage: Woran erinnert das? Richtig, das Kronecker-Symbol schon wieder: ∂xi = δij . (9.21) ∂xj
Zum Berechnen von Ableitungen in Indizes gelten ansonsten die üblichen Differenziationsregeln (Produkt-, Quotienten- und Kettenregel). Wir üben dies an drei Beispielen.
236
9 Vektoranalysis
Beispiel 9.4 (Ableitung des Federpotenzials) Man berechne den Gradienten des Potenzials V = κ2 xi xi . Lösung: Wir verwenden die Produktregel. Natürlich können wir hier nicht nach der i-ten Koordinate ableiten (Verletzung der Einstein’schen Summenkonvention), sondern müssen einen neuen Index (hier k) einführen: (grad V )k = ∂k
κ
2 xi xi
= κ2 ((∂k xi )xi + xi (∂k xi )) .
Nun können wir (9.21) und die Regeln für das Kronecker-Symbol aus Kapitel 3 verwenden, dann folgt (grad V )k = κ2 (δki xi + xi δki ) = κ2 (xk + xk ) = κxk . Dies war auch zu erwarten, da V = κx2 = κxk=2 für festes k = 2 ist.
κ 2 2 (x1
+ x22 + x23 ) z. B. nach x2 abgeleitet
Beispiel 9.5 (∇r in Komponenten) Zeigen Sie in Indizes: ∇r = rr für r = x2 + y 2 + z 2 . Lösung: Wir schreiben zunächst die Wurzel in Indizes. Es ist r = wir können schreiben:
√
x x und
√ √ 1 (∇r)k = (∇ x x )k = ∂k x x = ∂k (x x ) 2 . Beim Ableiten kommt die Kettenregel ins Spiel: (∇r)k = ∂k (x x ) 2 = 12 (x x )− 2 · ∂k (xi xi ) . 1
1
Die hintere (innere) Ableitung kennen wir aber schon aus Beispiel 9.4, es ist ∂k (xi xi ) = 2xk . Ergebnis: (∇r)k = 12 (x x )− 2 · 2xk = 1
√ xk x x
und im Gesamten rückgewandelt: ∇r = rr . Auch Rotation und Divergenz lassen sich bequem im Indexkalkül berechnen. Beispiel 9.6 (Divergenz und Rotation in der Kaffeetasse) × r Wie berechnen sich Divergenz und Rotation des Strömungsfeldes v (r) = A in Indexschreibweise? eines Kaffees in einer Tasse mit konstantem A Lösung: Wir starten mit der Divergenz. In Indexschreibweise ist dies r)i = ∂i [εijk Aj xk ] = εijk Aj (∂i xk ) = εijk Aj δik = εiji Aj = 0 . ∇·v = ∂i Fi = ∂i (A×
9.2 Operatoren der Vektoranalysis
237
Für die i-te Komponente der Rotation gilt × r)]i [∇ × (A
=
× r)k = εijk ∂j [εk m A xm ] = εijk εk m A (∂j xm ) εijk ∂j (A
=δjm
=
εijk εk j A = εijk ε jk A .
Das ε-Produkt lässt sich mit den Kenntnissen (3.24) aus Kapitel 3 vereinfachen. Danach zerfällt das Produkt zweier ε-Tensoren mit zwei doppelten Indizes in ein einfaches Kronecker-Symbol: × r)]i = εijk ε jk A = 2δi A = 2Ai . [∇ × (A Damit ergibt sich, dass das Strömungsfeld des umgerührten Kaffees in der Tasse keine Quellen/Senken hat (die Tasse hat keinen Zufluss/kein Loch), wohl aber Wirbel.
Spickzettel zu Feldern und Differenzialoperatoren Gradient, Divergenz und Rotation ∂f ∂f T – Gradient (für Skalarfelder): ∇f (r) = ∂f . ∂x , ∂y , ∂z ∂F1 ∂F3 2 – Divergenz (für Vektorfelder): div F = ∇ · F = ∂x + ∂F ∂y + ∂z ; sie entspricht heißt quellenQuellstärke des Feldes. div F < 0: Senke, div F > 0: Quelle. F bzw. senkenfrei ⇔ div F = 0. = ∇×F = ∂F3 − ∂F2 , ∂F1 − ∂F3 , ∂F2 − ∂F1 T . Sie ent– Rotation: rot F ∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
. Ein Feld F heißt wirbelfrei ⇐⇒ spricht der Wirbelstärke des Feldes F = 0. ∇×F Nabla-Rechenregeln = (∇φ)A + φ(∇ · A). – Produktregeln: ∇(φψ) = (∇φ)ψ + φ(∇ψ) , ∇ · (φA) – Kreuzprodukte: × B) =B · (∇ × A) −A · (∇ × B) , ∇ · (A = (∇φ) × A + φ∇ × A , ∇ × (φA) ∇ × (∇φ) = 0 . – Merkenswert: ∇r = rr , ∇ 1r = − rr3 , ∇f (r) = f (r) rr , ∇ · r = 3, ∇ · rr = 2r , r − r 1 ∇ × (f (r)r) = 0, ∇ · (f (r)r) = (∇f ) · r + 3f (r) und ∇r |r− r | = − | r − r |3 . Nabla mal Nabla – Laplace: Δ = ∇ · ∇ wirkt auf Skalar- und Vektorfelder. Beachte die Falle = ΔA = (∇ · ∇)A (für Vektorfelder). ∇(∇ · A) – Doppelte Produkte: = ∇(∇ · A) − (∇ · ∇)A = ∇(∇ · A) − ΔA , ∇ × (∇ × A)
= 0. ∇ · (∇ × A)
Ableiten in Indexschreibweise ∂f ∂ = ∂Ai und ∇i = ∂i = ∂x , damit sind Gradient (∇f )i = ∂x , Divergenz ∇ · A ∂xi i i i = εijk ∂ Ak . Beachte dabei stets ∂xi = δij und die üblichen Rotation (∇ × A) ∂xj ∂xj Ableitungsregeln.
238
9 Vektoranalysis ----------------P-H-Y-S-I-K----------------Feldbegriff Feld := Funktion von Raum und Zeit (Temperatur T (r, t), elektrisches Feld r, t)). Unterscheide dabei Skalar- und Vektorfeld. Stationäres Feld = nur orts-, E( (r)). nicht zeitabhängig (z. B. Kraftfeld F
9.3
Krummlinige Koordinaten
9.3.1
Bestimmung der Basisvektoren in neuen Koordinaten
In Abschnitt 1.5.3 haben wir krummlinige Koordinaten kennengelernt: Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten. Die Basivektoren der Kugelkoordinaten fielen dort vom Himmel. Wir wollen in diesem Abschnitt ein systematisches Verfahren zur Bestimmung der Basisvektoren beliebiger Koordinaten betrachten. Schaut man bei den Polarkoordinaten r cos(ϕ) cos(ϕ) , er = , x(r, ϕ) = r sin(ϕ)
sin(ϕ)
eϕ =
− sin(ϕ) cos(ϕ)
genau hin, so erkennt man, dass der erste Basisvektor aus x folgt, indem man x nach r ableitet, der zweite entsteht bis auf den fehlenden Faktor r ebenfalls durch Ableitung (diesmal nach ϕ). Wir verallgemeinern dies: Gegeben sei die Parametrisierung x(u1 , . . . , un ) in den Koordinaten u1 , . . . , un . Man erhält aus dieser Parametrisierung durch Ableiten die neuen Basisvektoren:
∂x −1 ∂x
· eui =
. (9.22) ∂ui
∂ui Der Vorfaktor wird benötigt, um den Vektor
∂ x ∂ui
zu normieren.
Beispiel 9.7 (Basisvektoren der Kugelkoordinaten) Berechnen Sie die Basisvektoren der Kugelkoordinaten x = r(Sc, Ss, C)T mit den üblichen Abkürzungen s := sin(ϕ), S := sin(θ), c := cos(ϕ) und C := cos(θ). x T Lösung: Wir starten mit u1 = r. Es ist ∂ ∂r = (Sc, Ss, C) mit
∂x
= S 2 c2 + S 2 s2 + C 2 = S 2 (c2 + s2 ) + C 2 = S 2 + C 2 = 1 .
∂r
Damit folgt der erste Basisvektor zu er = 1−1 · (Sc, Ss, C)T = (sin(θ) cos(ϕ), sin(θ) sin(ϕ), cos(θ))T .
9.3 Krummlinige Koordinaten Weiterhin sind
239
= r(Cc, Cs, −S)T , woraus für den Betrag folgt:
∂x
= r C 2 c2 + C 2 s2 + S 2 = r C 2 + S 2 = r
∂θ
∂ x ∂θ
und somit · r(Cc, Cs, −S)T = (cos(θ) cos(ϕ), cos(θ) sin(ϕ), − sin(θ))T .
√
∂x
∂ x Schließlich sind ∂ϕ = r(−Ss, Sc, 0)T = rS(−s, c, 0)T und ∂ϕ
= rS s2 + c2 = rS, so dass auch der letzte Basisvektor folgt: eθ =
1 r
eϕ =
9.3.2
1 rS
· rS(−s, c, 0)T = (− sin(ϕ), cos(ϕ), 0)T .
Tangentialvektoren und Oberflächenintegrale
Wir wollen nun eine gekrümmte Oberfläche charakterisieren. Dies geschieht mit Hilfe der sogenannten Tangentialvektoren. Dieses sind Vektoren, die tangential an der Oberfläche kleben (wie z. B. ein Wegweiser, der an eine Littfasssäule an nur einem Punkt angeklebt wird). Liegt eine Parametrisierung x(u) der Oberfläche vor, so können wir einen Tangentialvektor bezüglich der ui -ten Variable definieren: tui := ∂x . ∂ui
(9.23)
Zur Veranschaulichung: Betrachtet man die Oberfläche eines Zylinders (die Littfasssäule), so lässt sich auf dieser eine tangentiale Ebene (eine angeklebte Holzplatte) durch zwei Richtungsvektoren bestimmen. Im Falle des Zylinders wären dies die Richtungsvektoren eϕ und ez . Wir können allerdings auch die Tangentialvektoren tϕ und tz zu Rate ziehen. Abb. 9.2 veranschaulicht dies.
Abb. 9.2: Tangentialvektoren an einem Zylinder. Das Oberflächenelement df steht paarweise senkrecht auf tϕ und tz und somit auch senkrecht auf dem infinitesimalen Oberflächenstückchen.
Klebt man nun unendlich viele und unendlich kleine Holzplättchen – gekennzeichnet durch den Normalenvektor df – auf die Oberfläche der Littfasssäule, so lässt sich die gesamte Fläche ohne Überlapp vollkleben. Jedes kleine Holzplättchen sei durch ein Oberflächenelement df charakterisiert, welches senkrecht auf dem Plättchen nach außen zeigt (erinnert im Gesamten an eine Rundbürste) und als
240
9 Vektoranalysis
Länge die Größe des infinitesimalen Flächenstücks hat. Summiert man dann über alle infinitesimalen Flächen, so erhält man die Oberfläche des Volumen V: / / F = |df | = d2 x , (9.24) ∂V
∂V
wobei ∂V die das Volumen V begrenzende Randfläche (die Hülle) meint. Das Oberflächenelement df hat zwei zentrale Eigenschaften: 1. df steht immer senkrecht auf dem infinitesimalen Flächenstückchen und errechnet sich via df = du1 du2
∂x ∂x × = du1 du2 (tu1 × tu2 ) . ∂u1 ∂u2
(9.25)
2. Der Betrag |df| ist gleich der Größe der infinitesimalen Fläche. Das Oberflächenelement lässt sich in drei Dimensionen über die Tangentialvektoren mit Hilfe des Kreuzproduktes (siehe Punkt 1) ausdrücken. Für das Flächenelement folgt dann
∂x
∂ x 2
, d x = |df | = du1 du2 |(tu1 × tu2 )| = du1 du2
× (9.26) ∂u1 ∂u2
so dass sich als endgültige Formel für die Oberfläche F eines Volumens V ergibt:
/
∂x ∂x
du1 du2
× . (9.27) F = ∂u1 ∂u2
∂V Beispiel 9.8 (Kugeloberfläche) Wie groß ist die Oberfläche einer Kugel vom Radius R? Lösung: Wir parametrisieren zunächst die Kugeloberfläche. Hierzu verwenden wir Kugelkoordinaten mit konstantem Radius r = R: x(θ, ϕ) = R(sin(θ) cos(ϕ), sin(θ) sin(ϕ), cos(θ))T . Dann berechnen sich die Tangentialvektoren zu tθ
=
tϕ
=
∂x = R(cos(θ) cos(ϕ), cos(θ) sin(ϕ), − sin(θ))T = Reθ , ∂θ ∂x = R(− sin(θ) sin(ϕ), sin(θ) cos(ϕ), 0)T = R sin(θ)eϕ . ∂ϕ
Somit folgt das Flächenelement d2 x mit Hilfe von Gleichung (9.26): d2 x
=
dθ dϕ |tθ × tϕ | = dθ dϕ R2 sin(θ)|eθ × eϕ |
=
dθ dϕ R2 sin(θ) |er | = dθ dϕ R2 sin(θ) .
=1
9.3 Krummlinige Koordinaten
241
Schließlich können wir das Integral über die Oberfläche berechnen. Dabei läuft θ von 0 bis π und ϕ von 0 bis 2π (Kapitel 5), / / π / 2π 2 2 F = d x=R dθ sin(θ) dϕ = 2πR2 (− cos(θ))|π0 = 4πR2 . ∂V
0
0
Ergebnis: Die Oberfläche der Kugel vom Radius R ist 4πR2 . Wissenswert sind die folgenden Oberflächenelemente: Ebene in kartesischen Koordinaten: df = Ebene in Polarkoordinaten: df = Zylindermantel (Radius R): df = Kugeloberfläche: df =
9.3.3
dxi dxj ek ,
(9.28)
dr r dϕ ez ,
(9.29)
Rdϕ dz eρ ,
(9.30)
2
R dθ sin(θ) dϕ er . (9.31)
∇ in krummlinigen Koordinaten
Wie wir in Kapitel 5 gesehen haben, ändern Flächen- und Volumenelement ihre Form beim Wechsel in krummlinige Koordinanten (Integralsubstitutionssatz; Abschnitt 5.3). Auch die uns bekannten Operatoren der Vektoranalysis verändern ihre Form bei Wechsel in krummlinige Koordinaten.
Gradient in krummlinigen Koordinaten Eine Warnung gleich vorweg: x = x(u1 , u2 , u3 ) =⇒ ∇f (x) = (∂x , ∂y , ∂z )T f (x) = (∂u1 , ∂u2 , ∂u3 )T f (x) ! So bitte nicht! Richtig ist dagegen x = x(u1 , u2 , u3 ) =⇒ ∇f (x) =
N
eui
i=1
−1
∂x
∂ ·
f (x) . ∂u ∂ui
(9.32)
Hierbei gibt N die Dimension an (d. h. die Anzahl der Koordinaten), eui sind die ∂ wartet hungrig auf Basisvektoren der ui -ten Koordinate und der Operator ∂u i etwas, das von rechts kommt und abgeleitet werden will. Am Beispiel wird diese Formel klar werden. Beispiel 9.9 (∇ in Zylinderkoordinaten) Wie lautet ∇ in Zylinderkoordinaten? Lösung: Die naive Idee, dass ∇ = (∂r , ∂ϕ , ∂z )T , ist leider falsch, wie man bereits $1% 1 an den Einheiten sieht: [∂r ] = r = m , während [∂ϕ ] = ϕ1 = 1. Wir müssen streng nach Gleichung (9.32) vorgehen. In unserem Beispiel sind u1 = ρ, u2 = ϕ und u3 = z. Die Basisvektoren kennen wir (Abschnitt 1.5.3): eρ = (cos(ϕ), sin(ϕ), 0)T ,
eϕ = (− sin(ϕ), cos(ϕ), 0)T ,
ez = (0, 0, 1)T .
242
9 Vektoranalysis
Es fehlen nur noch die inversen Faktoren der Ableitung der Parametrisierung x = (ρ cos(ϕ), ρ sin(ϕ), z)T , um die Summe in (9.32) auszurechnen. Wir berechnen
∂x
= (c, s, 0)T = 1 , ∂x = (−ρs, ρc, 0)T = ρ , ∂x = (0, 0, 1)T = 1 .
∂ρ
∂ϕ
∂z
Damit können wir ∇ in Zylinderkoordinaten aufstellen: ∇ = eρ · 1−1
∂ ∂ ∂ ∂ 1 ∂ ∂ + eϕ · ρ−1 + ez · 1−1 = eρ + eϕ + ez . ∂ρ ∂ϕ ∂z ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z
Die wichtigsten ∇-Darstellungen sind: kartesisch: ∇ polar: ∇ Zylinder: ∇ Kugel: ∇
e1 ∂x + e2 ∂y + e3 ∂z , 1 = er ∂r + eϕ ∂ϕ , r 1 = eρ ∂ρ + eϕ ∂ϕ + ez ∂z , ρ 1 1 = er ∂r + eθ ∂θ + eϕ ∂ϕ . r r sin(θ) =
(9.33) (9.34) (9.35) (9.36)
Divergenz und Rotation in krummlinigen Koordinaten Wenn sich ∇ unter Koordinatenwechsel ändert, so ändern sich natürlich auch die Ausdrücke für Divergenz und Rotation. Um die folgenden Formeln
etwas über ∂x
sichtlicher zu halten, kürzen wir die Normierungsfaktoren ab: ∂u
=: hi . Dann i 1 , u2 , u3 ) mit Kompoergeben sich Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes A(u nenten A1 (u1 , u2 , u3 ), A2 (u1 , u2 , u3 ) und A3 (u1 , u2 , u3 ) in beliebigen Koordinaten u1 , u2 , u3 zu ∂(A1 h2 h3 ) ∂(h1 A2 h3 ) ∂(h1 h2 A3 ) 1 = + + , (9.37) ∇·A h1 h2 h3 ∂u1 ∂u2 ∂u3 ⎛ ⎞ ∂(A3 h3 ) 1 2 h2 ) − ∂(A h h ∂u ∂u 2 3 2 3 ⎜ ⎟ ⎟ ∂(A1 h1 ) ∂(A3 h3 ) = ⎜ − (9.38) ∇×A ⎜ h31h1 ⎟. ∂u1 ⎝ ∂u3 ⎠ ∂(A2 h2 ) ∂(A1 h1 ) 1 − ∂u2 h1 h2 ∂u1 Aus-x-en der Ableitungen und Vereinfachen der Terme liefert dann die aus der Formelsammlung bekannten Monster. Beispiel 9.10 (Rotation in Zylinderkoordinaten) Wie lautet die Rotation in Zylinderkoordinaten? Wann ist das magnetische Feld x) = f (ρ)eϕ wirbelfrei? B( Lösung: Wir verwenden die obigen Formeln. Dabei kennen wir die h-Faktoren
9.3 Krummlinige Koordinaten
243
schon aus Beispiel 9.9: hρ = 1, hϕ = ρ und hz = 1. Dann folgt in die Rotationsformel eingesetzt: ⎛ 1 ∂(Bz hz ) ∂(Bϕ hϕ ) ⎞ ⎛ 1 ∂(Bz ·1) ∂(Bϕ ·ρ) ⎞ − − hϕ hz ∂z ρ·1 ∂(B∂ϕ ∂(B∂ϕρ ·1) ∂(B∂zz ·1) ∂(Bz hz ) ρ hρ ) 1 1 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ − − = ∇ × B(x) = hz hρ ∂ρ 1·1 ∂(B∂z ∂(B∂zϕ ·ρ) ∂(B∂ρρ ·1) ∂(Bρ hρ ) ϕ hϕ ) 1 1
⎛ =
⎝
hρ hϕ
∂ρ
−
∂Bϕ 1 ∂Bz ρ ∂ϕ − ∂z ∂Bρ ∂Bz − ∂ρ ∂z 1 ∂Bρ 1 ∂(Bϕ ρ) −ρ ρ ∂ρ ∂ϕ
⎞
∂ϕ
1·ρ
∂ρ
−
∂ϕ
⎠.
Das ist die Rotation in Zylinderkoordinaten. Die Formel für die Divergenz würde durch eine ähnliche Rechnung folgen. in Zylinderkoordinaten. Hierzu zerlegen wir B = f (ρ)eϕ Nun berechnen wir ∇× B in die Basisdarstellung: ! ϕ, z) = f (ρ)eϕ = B(ρ, Bρeρ + Bϕeϕ + Bz ez ,
woraus Aρ = 0, Aϕ = f (ρ) und Az = 0 folgen. Nun können wir in die Rotation einsetzen und erhalten 0−∂ f (ρ) 0 z 0 0−0 ∇×B = = 1 [f (ρ)ρ+f (ρ)] . 1 ρ ∂ρ [f (ρ)ρ]−0
ρ
ist genau dann wirbelfrei, wenn f (ρ) + f (ρ) = 0. Lösen dieser DGL Das Feld B ρ per Trennung der Variablen liefert eine Bedingung an f (ρ): 1 f (ρ) = −ρ−1 ⇒ ∂ρ ln(|f (ρ)|) = ∂ρ [− ln(ρ)] ⇒ f (ρ) = . f (ρ) ρ Sobald das Feld mit ∼
1 ρ
abfällt, ist es wirbelfrei.
Die Ausdrücke der Divergenz und Rotation in den wichtigsten gekrümmten Koordinaten (Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten) listen wir nicht auf. Sie sind wenig informativ und vor allem in den gängigen Formelsammlungen nachzuschlagen.
Laplace in krummlinigen Koordinaten Dadurch, dass sich ∇ unter Koordinatentransformation ändert, wird ebenfalls die Δ-Darstellung wechseln. Auch hier gilt: x = x(u1 , u2 , u3 ) ⇒ Δf (x) = (∂x2 + ∂y2 + ∂z2 )f (x) = (∂u21 + ∂u22 + ∂u23 )f (x) . Δ lässt sich aber direkt über die Divergenz-Formeln aus dem letzten Unterabschnitt gewinnen. Wir demonstrieren dies im folgenden Beispiel.
244
9 Vektoranalysis
Beispiel 9.11 (Laplace in Zylinderkoordinaten) Wie lautet Δ in Zylinderkoordinaten? Lösung: Zuvor wurde die allgemeine Formel für die Divergenz eines Vektorfel gezeigt. Für das Vektorfeld setzen wir nun ∇ in Zylinderkoordinaten aus des A Gleichung (9.33) ein. Es ist 1 ∇ = eρ ∂ρ + eϕ ∂ϕ + ez ∂z = eρ Aρ + eϕ Aϕ + ez Az , ρ also Aρ = ∂ρ , Aϕ = dem letzten Beispiel ∇·∇
= =
1 ρ ∂ϕ
und Az = ∂z . Dann folgt mit den Erkenntnissen aus
1 1 ∂ρ Aρ + Aρ + ∂ϕ Aϕ + ∂z Az ρ ρ 1 1 1 1 1 ∂ρ ∂ρ + ∂ρ + ∂ϕ ∂ϕ + ∂z ∂z = ∂ρ2 + ∂ρ + 2 ∂ϕ2 + ∂z2 . ρ ρ ρ ρ ρ
Das ist Laplace in Zylinderkoordinanten. Es folgen durch analoge Rechnungen: kartesisch: Δ
=
polar: Δ
=
Zylinder: Δ
=
Kugel: Δ
=
∂x2 + ∂y2 + ∂z2 , 1 1 1 1 ∂r2 + ∂r + 2 ∂ϕ2 = ∂r (r∂r ) + 2 ∂ϕ2 , r r r r 1 1 ∂ρ2 + 2 ∂ϕ2 + ∂ρ + ∂z2 , ρ ρ 1 2 1 1 ∂2 . ∂ r+ 2 ∂2 + r r r tan(θ) θ r2 sin2 (θ) ϕ
Im Falle rotationssymmetrischer Felder A(r) bzw. φ(r) vereinfacht sich der Laplace-Operator für die Kugelkoordinaten erheblich. Da keine Winkelabhängigkeit bei den Feldern mehr vorhanden ist (und die Ableitungen nach den Winkeln dementsprechend null liefern), reduziert sich Δφ(r) zu Δφ(r) =
1 2 1 1 ∂ [rφ(r)] = ∂r [φ(r) + rφ (r)] = (φ (r) + φ (r) + rφ (r)) , r r r r
so dass insgesamt 1 Δφ(r) = ∂r2 [rφ(r)] = r
∂r2
2 + ∂r r
φ(r) .
(9.39)
Spickzettel zu krummlinigen Koordinaten Basisvektoren in neuen Koordinaten Sind neue Koordinaten u) gewählt, so ergeben sich die Basisvektoren der neuen
x∂(
x −1 ∂ x
Koordinaten zu eui = ∂ui · ∂u . i
9.4 Integralsätze
245
Oberflächenintegrale Die Oberfläche F eines Volumens V sei gesucht. Zerlege diese dazu in unendlich viele kleine Oberflächenelemente, die durch df gekennzeichnet sind (senkrecht auf der Oberfläche, Länge = Flächenelementgröße). Zum Berechnen von ∂ x df definiere Tangentialvektoren tui = ∂u ( x beschreibt Oberfläche), dann ist i F =
0
∂V
∂ x du1 du2 ∂u × 1
∂ x ∂u2
.
∇ in krummlinigen
∂x −1Koordinaten N ∂
∇= e · u i ∂ui ∂ui , speziell: i=1 kartesisch: ∇
=
polar: ∇
=
Zylinder: ∇
=
Kugel: ∇
=
e1 ∂x + e2 ∂y + e3 ∂z , 1 er ∂r + eϕ ∂ϕ , r 1 eρ ∂ρ + eϕ ∂ϕ + ez ∂z , ρ 1 1 er ∂r + eθ ∂θ + eϕ ∂ϕ . r r sin(θ)
Ebenso lässt sich der Laplace in krummlinigen Koordinaten angeben. Merkenswert: Δφ(r) = 1r ∂r2 rφ(r) = (∂r2 + 2r )φ(r) für kugelsymmetrische Felder (auch Vektorfelder).
9.4
Integralsätze
Der Hauptsatz der Integral- und Differenzialrechnung (Kapitel 5) führt das Integral der Ableitung einer Funktion über ein Intervall auf Funktionswerte an den 0b Intervallgrenzen zurück: a dx f (x) = f (b) − f (a). Ganz analog führt der Satz von Gauß das Integral der Divergenz eines Vektorfeldes über einen Bereich auf die Funktionswerte am Rand des Bereichs zurück; der Satz von Stokes tut das Gleiche mit dem Integral der Rotation.
9.4.1
Satz von Gauß
Wie wird man den Nabla-Operator in einer Divergenz los? Weit verbreitet in Klausuren ist die Idee, einfach räumlich über ∇ zu integrieren. Beachte deswegen:
0
= A . d3 x (∇ · A)
So einfach geht es leider nicht, was man alleine schon daran sieht, dass links ein Integral über eine skalare Funktion – also ein Skalar – steht, die rechte Seite jedoch vektoriellen Charakter besitzt. Da kann also was nicht stimmen. Die Idee mit dem Dreifachintegral können wir aber einmal weiterverfolgen. Die entspricht nach Abschnitt 9.2 einer Quelle oder Divergenz eines Vektorfeldes A
246
9 Vektoranalysis
0 Senke des Feldes. Betrachten wir ein festes Volumen V , so liefert uns V d3 x divA die Antwort, ob sich im Volumen eine Quelle/Senke befindet oder nicht. Die gleiche Erkenntnis können wir erzielen, wenn wir uns an den Rand (d. h. die Oberfläche) von V stellen und eine Bilanzrechnung darüber aufstellen, wie groß der Fluss des Vektorfeldes / df · E (9.40) Φ= ∂V
durch die Oberfläche ist. Dieser gibt Auskunft über die Durchsetzung der Fläche und ist abhängig von der durchsetzten Fläche sowie der Stärke des Vekdurch E torfeldes. Befindet sich im Volumen V keine Quelle oder Senke des Vektorfeldes, so ist der Fluss durch die Oberfläche ∂V null, da sich eingehender und austretender Fluss kompensieren. Die oben verbal formulierte Bilanzrechnung stellt der Satz von Gauß bereit: / / = . d3 x (∇ · A) df · A (9.41) V
∂V
df ist wie auch beim Oberflächenintegral ein Vektor senkrecht auf der Oberfläche von V . Sofern er nicht abgelesen werden kann, errechnet er sich mit der bekannten Formel ∂x ∂x df = du1 du2 × ∂u1 ∂u2 mit x(u1 , u2 ) als Parametrisierung der Oberfläche in beliebigen Koordinaten. Beispiel 9.12 (Strömung durch Würfel) = (2x, y, 0)T durch einen Der Gauß’sche Satz möchte anhand des Flusses A Würfel mit Kantenlänge 2a und Mittelpunkt = Ursprung verifiziert werden. Lösung: Wir berechnen zunächst die linke Seite von (9.41). Die Divergenz des Vektorfeldes ist (in kartesischen Koordinaten) = ∂x [2x] + ∂y [y] + ∂z [0] = 2 + 1 + 0 = 3 . ∇·A Dann können wir das Volumenintegral in kartesischen Koordinaten über das Würfelvolumen W aufstellen und einfach berechnen: / / a / a / a = d3 x (∇ · A) dx dy dz 3 = 24a3 . W −a −a −a
=2a
=2a
=2a
Nun zur rechten Seite von (9.41): Die Oberfläche des Würfels zerlegen wir in seine sechs Seitenflächen, wie Abb. 9.3 zeigt. Die zu den Seitenflächen gehörenden df’s lassen sich aus der Abbildung direkt ablesen: df1 = e1 dy dz , df−1 = −e1 dy dz ,
df2 = e2 dx dz , df−2 = −e2 dx dz ,
df3 = e3 dx dy , df−3 = −e3 dx dy .
9.4 Integralsätze
247
Abb. 9.3: Zur Zerlegung der Oberfläche des Würfels.
Damit zerlegt sich das Oberflächenintegral in sechs Einzelintegrale: / / / / z=a df · A = df1 · A|x=a + df2 · A|y=a + df3 · A| ∂W / / / x=−a + df−2 · A| y=−a + df−3 · A| z=−a . + df−1 · A| So ergibt sich das erste Oberflächenintegral mit df1 = dy dz e1 und A(x = a, y) = (2a, y, 0)T zu / / a / a / a / a T df1 · A|x=a = dy dz e1 · (2a, y, 0) = dy dz 2a = 8a3 . −a
−a
−a
−a
Die anderen ergeben sich analog. Dann folgt schließlich / = 8a3 + 4a3 + 0 + 8a3 + 4a3 + 0 = 24a3 . df · A ∂W
Also stimmen linke und rechte Seite überein. Manchmal kann man die Werte gewisser Integrale vorhersagen. Im letzten Beispiel ergab sich, dass das Feld keinen Beitrag bei Ober- und Unterseite des Würfels (Ebene z = ±a) lieferte. Schaut man sich das Feld an, so ist dieses vollkommen parallel zur x-y-Ebene strömt. Eine Ebene parallel zur Richtung von sinnig, da A wird jedoch nicht vom Feld durchsetzt. Somit muss das Oberflächenintegral bei A der Oberfläche z = ±a null ergeben.
„Gauß“ im Alltag Um einen Eindruck der Idee des Gauß-Satzes zu bekommen, stellen wir uns ein gefülltes Fußballstadion vor. Wir fragen uns: Wie viele Leute sind in diesem Volumen drin (entspräche dem Volumenintegral)? Entweder zählen wir zur Beantwortung der Frage alle Menschen im Stadion durch oder wir postieren vor jedem Ausgang jemanden, der die (das Stadion verlassenden) Menschen zählt (das entspräche dem Oberflächenintegral). Sofern es keine Geheimausgänge gibt, stimmt beim vollständigen Leeren die Anzahl derer, die das Stadion durch die Ausgänge verlassen haben, mit der Gesamtbesucherzahl überein.
248
9 Vektoranalysis
Ein physikalisch stimmigeres Beispiel erleben wir am Springbrunnen. Die Menge Wasser, die aus der Spitze oben rausquillt, muss auch wieder durch den Abfluss (der einmal den Brunnen umrundet) fließen.
9.4.2
Satz von Stokes, Kurvenintegral
Mit Hilfe des Satzes von Stokes können wir die Rotation über ein Vektorfeld r) rückgängig machen: A( / / = , df · (∇ × A) dr · A (9.42) F
∂F
im Bereich F was bedeutet, dass das Flächenintegral über das Wirbelfeld ∇ × A gleich dem Integral des Vektorfeldes A über den Rand der Fläche F ist. Das Integral auf der rechten Seite berechnen wir analog zum Bogenlängenintegral (6.13). Dort wurde die Kurve parametrisiert. Dies tun wir hier ebenfalls mit der r r˙ ⇔ dr = dt r˙ im Randkurve: Substituiere r = r(t). Dann ergibt sich wegen d dt = Integral / / r(t)) , dr · A = dt r˙ · A(
∂F C 0 wobei C ein Kurvenintegral meint. Ist also die Randkurve r(t) einer Fläche F in Parameterform bekannt, so können wir über diese Formel die rechte Seite des Satzes von Stokes berechnen. Damit folgt die modifizierte Version des Satzes von Stokes: / / r(t)) . df · (∇ × A) = dt r˙ · A( (9.43) C
F
Beispiel 9.13 (Fluss durch Kreisscheibe) Man verifiziere den Satz von Stokes für eine Kreisscheibe K in der x-y-Ebene = α(0, x, 2y) durchsetzt wird. mit Mitte = Ursprung, die von einem Feld A Lösung: Wir berechnen zunächst die linke Seite von (9.42). Die Rotation in kartesischen Koordinaten ist ∂ (2y)−∂ (x) ∂x y z 0 2 ∂ x y ∇×A=α × = α ∂z (0)−∂x (2y) = α 0 . 2y
∂z
1
∂x (x)−∂y (0)
Der df-Vektor steht senkrecht auf der Kreisscheibe, d. h. df ∼ e3 mit Länge |df| = dρ ρ dϕ (Zylinderkoordinaten). Es ist also df = dρ ρ dϕ e3 . Wir setzen ein und erhalten / / / 2 = df · (∇ × A) dρ ρ dϕ e3 · α 0 = α K
K
=
1
R ρ2
2πα = παR2 . 2 0
/
R
2π
dρ ρ 0
dϕ 1 0
9.4 Integralsätze
249
Nun berechnen wir die rechte Seite von (9.42). Dazu parametrisieren wir die Randkurve von K (in unserem Fall ein Kreis mit Radius R in der x-y-Ebene) gemäß (9.43). Hier lautet dies 0 R cos(t) −R sin(t) r(t)) = α R cos(t) r(t) = R sin(t) , r˙ = R cos(t) , A( 0
2R sin(t)
0
mit dem Parameter t = 0 . . . 2π, welcher den Winkel des Kreisbogens zählt. Das Kurvenintegral in (9.43) ergibt sich dann zu
/
/ dr · A
= C
∂K
=
/
−R sin(t) R cos(t) 0
·α
0 R cos(t) 2R sin(t)
2π
αR2
dt 0
/
2π
r(t)) = dt r˙ · A(
0
dt cos2 (t) = παR2 , = 12 ·2π
was glücklicherweise das gleiche ist wie oben.
Stokes anschaulich Wir rühren einen Kaffee in einer Tasse (Fläche F) und betrachten die Strömung am Rand ∂F der Tasse. Die Strömung hängt mit den Verwirbelungen, hervorgerufen durch das Rühren, zusammen. Der Satz von Stokes sagt nun aus, dass wir aus der Strömung am Rand darauf schließen können, wie der Kaffee in der Mitte der Tasse wirbelt. Dabei ist es unerheblich, welche Form der Rand besitzt und wie groß die umrandete Fläche ist. Eine quaderförmige Wirbelung wie in Abb. 9.4 verdeutlicht den Satz von Stokes. Jegliche innere Wirbelungen heben sich gegenander auf, übrig bleibt der Strom am Rand.
Abb. 9.4: Satz von Stokes anschaulich. Verwirbelungen in der Mitte addieren sich zum großen Gesamtwirbel entlang der Randkurve C.
Wir haben bisher in den Beispielen nur die Sätze von Gauß und Stokes verifiziert. per Ansatz bestimmen Dass man mit ihm aber tatsächlich das beteiligte Feld A kann, werden wir in der Elektrostatik und Magnetostatik in Kapitel 13 sehen.
250
9 Vektoranalysis
Spickzettel zu Integralsätzen Satz 0 3 von Gauß 0 = mit df = du1 du2 ∂x × ∂x und d x (∇ · A) df · A x(u1 , u2 ) ist ∂u1 ∂u2 V ∂V Parametrisierung der Oberfläche in beliebigen Koordinaten. Satz von Stokes 0 0 = df · (∇ × A)
0
= r(t)) mit r(t) als Parametrisierung der dr · A dt r˙ · A( C Randkurve der Integrationsfläche F . F
∂F
10 Fourier-Analysis
Übersicht 10.1
Die Idee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
10.2
Fourier-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
10.3
Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
10.1
Die Idee
Bei der Taylor-Entwicklung skalarer Funktionen war die Idee, eine beliebige Funktion durch Polynome möglichst gut anzunähern. Bei der Fourier-Entwicklung versucht man, eine beliebige Funktion durch Sinus- und Kosinusfunktionen anzunähern. Moment, wird man sich jetzt fragen, wie soll man z. B. eine Gerade durch kurvige Sinus- und Kosinusfunktionen annähern? Antwort: durch sehr, sehr viele Sinus- und Kosinusfunktionen. Leider müssen wir – im Gegensatz zur Taylor-Entwicklung – eine gewichtige Einschränkung an die darzustellenden Funktionen machen. Sie müssen L-periodisch sein, d. h., ihr Funktionsverlauf wiederholt sich bei jedem Vielfachen von L: f heißt L-periodisch ⇔ f (x + L) = f (x) .
(10.1)
So ist z. B. f (x) = sin(x) periodisch, nämlich mit L = 2π, da sich nach 2π die Funktion wiederholt: sin(x + 2π) = sin(x). Ebenso ist der Kosinus 2π-periodisch. Der Tangens dagegen ist π-periodisch. Unser Ohr macht nichts anderes als eine Fourier-Zerlegung: Ein wahrgenommener Geigenton wird in seine einzelnen Frequenzen zerlegt (das entspricht der Darstellung in Sinus- und Kosinusfunktionen). Anschließend kann das Gehirn diese Zerlegung mit einer Datenbank abgleichen und identifizieren. Das eben skizzierte Verfahren der Fourier-Zerlegung funktioniert prinzipiell auch für beliebige, nicht periodische Geräusche. Allerdings muss hierzu das diskrete Spektrum der Frequenzen in ein Kontinuum erweitert werden. Die kontinuierliche Zerlegung heißt Fourier-Transformation. Ihr werden wir uns im hinteren Teil dieses Kapitels widmen.
252
10 Fourier-Analysis
10.2
Fourier-Reihe
10.2.1
Fourier-Zerlegung
Eine L-periodische Funktion f (x) kann dargestellt werden als unendliche Reihe reeller Funktionen sin(x) und cos(x):
a0 an cos( 2π nx) + bn sin( 2π nx) + L L 2 ∞
f (x) =
(10.2)
n=1
oder im Komplexen f (x) =
∞ n=−∞
2π
cn ei L nx = c0 +
∞
2π
cn ei L nx +
n=1
∞
c−n e−i L nx , 2π
(10.3)
n=1
−1 wobei durch Einführen des negativen Index im dritten Term die Summe n=−∞ umgewandelt wurde, so dass die beiden Summen nun besser zusammengefasst werden können. Dies wird sich im nächsten Beispiel zeigen. In Gleichung (10.2) und (10.3) sind die sogenannten Entwicklungskoeffizienten an , bn und cn gegeben durch / 2π 1 x0 +L cn = dx f (x)e−i L nx , L x0 / 2 x0 +L dx f (x) cos 2π nx , (10.4) an = cn + c−n = L L x0 / 2 x0 +L bn = i(cn − c−n ) = dx f (x) sin 2π L nx . L x0 Die Fourier-Zerlegung ist analog für vektorwertige Größen definiert.
10.2.2
Eigenschaften der Fourier-Reihe
Anhand der zu zerlegenden Funktion f (x) kann man einige Eigenschaften der Fourier-Reihe ablesen: Wenn f (x) reell ist, dann gilt c−n = c∗n . Wenn f (x) symmetrisch zur y-Achse ist, also f (−x) = f (x), dann sind alle ungeraden Koeffizienten null, d. h. bn = 0 (jene vom Sinus). Wenn f (x) punktsymmetrisch ist, also f (−x) = −f (x), dann sind alle geraden Koeffizienten null, d. h. an = 0 und a0 = 0. Beispiel 10.1 (Sägezahnspannung) π π 0 Eine abgegriffene Sägezahnspannung U (t) = U 2π ωt, − ω ≤ t ≤ ω wird auf einem Oszilloskop angezeigt. Welcher Graph ergibt sich? Ein uralter, angeschlossener Frequenzanalysator gibt aus, dass U0 U (t) = cos(ωt) − 12 cos(2ωt) + 13 cos(3ωt) ∓ . . . . π
10.2 Fourier-Reihe
253
Dieser gehört aber sofort entsorgt – warum ist das angezeigte Ergebnis offensichtlich falsch? Man gebe das richtige Ergebnis an. Lösung: Zunächst vereinfachen wir das Problem durch Umschreiben in eine dimensionslose Größe x := ωt, so dass −π ≤ ωt ≤ π für den Bereich der Funktion 0 f (x) := U 2π x gilt. Die Funktion f (x) ist 2π-periodisch (läuft ja von −π bis π), so dass der Graph wie in Abb. 10.1 aussieht.
Abb. 10.1: Die Sägezahnspannung. Sie besitzt eine Periode von 2π.
Der Graph ist offensichtlich punktsymmetrisch. Moment – was haben wir zuvor gelernt? Wenn eine Funktion punktsymmetrisch ist, dann tauchen nur Sinus-Terme in der Fourier-Reihe auf. Das heißt also, dass das angezeigte Ergebnis (was ja nur aus Kosinus-Termen besteht) nicht richtig sein kann! Also schnell in den Müll mit unserem Frequenzanalysator! Nun ist es an uns, das richtige Ergebnis auszurechnen. Dies geschieht mit Hilfe der Gleichung (10.2) bzw. (10.3). Um die Reihe aber aufstellen zu können, benötigen wir zunächst die Entwicklungskoeffizienten ck . Diese ergeben sich aus (10.4). Wie schon festgestellt, ist L = 2π. Der Startpunkt der Entwicklung x0 liegt am unteren Ende der x-Skala (−π < x < π), d. h. bei x0 = −π: / / −π+2π 2π 2π U0 1 x0 +L 1 dx e−i L nx f (x) = dx e−i 2π nx x cn = L x0 2π −π 2π / π / inπ 1 x→ in x U0 U0 1 = dx xe−inx = dx xe−x . (2π)2 −π (2π)2 (in)2 −inπ Partielle Integration liefert cn
= = =
U0 − (2π)2 n2 U0 − (2π)2 n2 U0 − (2π)2 n2
$
%+inπ −xe−x −inπ
/ −
+inπ
−x
dx (−e
)
−inπ
inπ −inπe−inπ + (−inπ)einπ − e−x −inπ −inπ[e−inπ + einπ ] − [einπ − e−inπ ] .
Wir erinnern uns an die komplexen Zahlen aus Kapitel 8. einπ entspricht einer Kreisdrehung des Vektors (1, 0) um den Winkel nπ. Für gerade n zeigt der Zeiger wieder in Richtung (1, 0), für ungerade n zeigt er auf (−1, 0). Dies lässt sich auch zusammenfassen zu einπ = e−inπ = (−1)n
254
10 Fourier-Analysis
(vgl. Gleichung (8.17)). Damit folgt cn = −
U0 U0 i (−1)n n n n n (−inπ[(−1) + (−1) ] − [(−1) − (−1) ]) = . (2π)2 n2 2π n
Um nun die Reihe aufstellen zu können, benötigen wir cn für alle n ∈ Z. Problem: n nicht definiert. Wir müssen c0 also extra Für n = 0 ist der der Term U2π0 i (−1) n berechnen. Dazu setzen wir n = 0 in (10.4) ein und werten das Integral aus:
π / π / π 2π U0 1 U0 x2
U0 c0 = dx e−i L ·0·x x = dx x = = 0. 2π −π 2π (2π)2 −π (2π)2 2 −π Jetzt können wir die Reihe mit Gleichung (10.3) aufstellen: f (x)
∞
=
n=−∞ ∞
=
2π
cn ei L nx = c0 +
0+
n=1
∞
n=1 ∞
n
U0 i (−1) inx e + 2π n
−n
2π
cn ei 2π nx +
n=1
∞
c−n e−i 2π nx 2π
n=1 −n
U0 i (−1) 2π −n
e−inx ,
n
sich aus cn = U2π0 i (−1) durch die einfache Ersetzung n → wobei c−n = U2π0 i (−1) −n n −n ergibt. Nun versuchen wir, die Summen zusammenzuziehen und irgendetwas schönes herauszumelken. Dabei hilft die Überlegung, dass für n ∈ Z gilt: (−1)−n = (−1)n . Damit ergibt sich f (x) =
∞ U0 i (−1)n n=1
2π
n
einx +
∞ U0 i (−1)n n=1
2π
−n
e−inx =
∞ U0 i (−1)n inx e − e−inx . 2π n n=1
Das ist die Fourier-Reihe von f (x) im Komplexen. Wir wollen sie aber im Reellen haben (der Spektrum-Analysator gibt ja auch ein reelles Ergebnis heraus). Dazu iϕ −iϕ erinnern wir uns an die Euler-Formel bzw. ihre Umkehrung sin(ϕ) = e −e . 2i Dann folgt in der Summe: f (x) =
∞ ∞ U0 i (−1)n U0 (−1)n 2i sin(nx) = − sin(nx) . 2π n π n n=1
n=1
Ergebnis: Der Frequenzanalysator hätte mit x = ωt anzeigen sollen: (−1)2 (−1)3 U0 (−1)1 sin(1 · ωt) + sin(2ωt) + sin(3ωt) + . . . U (t) = − π 1 2 3 U0 1 1 = sin(ωt) − sin(2ωt) + sin(3ωt) ∓ . . . , π 2 3 wobei wie erwartet nur sin-Terme auftauchen. Das ist die Zerlegung der Funktion U (t) in sin- und cos-Terme. Eine Empfehlung zum Umgang mit den Integralen. Integration von e-Funktionen ist prinzipiell einfacher als Integration von e(...) · sin(. . .). Deswegen: Man rechne stets die Koeffizienten cn komplex aus und forme anschließend per iϕ −iϕ iϕ −iϕ und cos(ϕ) = e +e in eine reelle Darstellung um. sin(ϕ) = e −e 2i 2
10.3 Fourier-Transformation
10.2.3
255
Parsevals Theorem
Es gibt eine besondere Beziehung zwischen f (x) und den Entwicklungkoeffizienten cn , die auch Parsevals Theorem genannt wird: 1 L
/
x0 +L
dx |f (x)|2 =
x0
|cn |2 .
(10.5)
n
Hiermit kann man seine berechnete Zerlegung überprüfen. Beispiel 10.2 (Parsevals Theorem bei der Sägezahnspannung) Ist Parsevals Theorem beim vorherigen Beispiel erfüllt? 0 x. Berechnen der linken Seite von (10.5) ergibt mit Lösung: Es ist f (x) = U 2π L = 2π:
π / π / π
U0 2 1 U02 U02 1 3
U02 2π 3 U02 2
dx x = dx x = = x = .
2π −π 2π (2π)3 −π (2π)3 3 −π (2π)3 3 12
Andererseits ist mit c0 = 0 und cn = ∞ n=−∞
|cn |2
=
|c0 |2 +
∞
n U0 i (−1) 2π n :
(|cn |2 + |c−n |2 )
n=1
∞
(−1)n 2 (−1)−n 2
U0 i 2
= 0 +
n + −n
2π
n=1 ∞ ∞ ∞ U02 (−1)2n (−1)−2n U02 2 U02 1 = + = = . 4π 2 n2 n2 4π 2 n2 2π 2 n2 n=1
n=1
∞
n=1
2
Damit beide Seiten gleich sind, muss der Wert der Summe n=1 n12 = π6 sein. Nachschlagen in der Formelsammlung bestätigt dies. Damit ist Parsevals Theorem erfüllt. Im Beispiel eben hätte man umgekehrt auch das Parseval’sche Theorem zur Be∞ stimmung der Summe n=1 n12 benutzen können.
10.3
Fourier-Transformation
Sind die zu zerlegenden Funktionen nicht periodisch, so kann man auf die FourierTransformation (FT) zurückgreifen. Wir können sie uns als Fourier-Reihe mit kontinuierlichen Frequenzen vorstellen.
256
10 Fourier-Analysis
Die Fourier-Transformation findet in vielen Gebieten der Physik Anwendung, wir werden sie allerdings hauptsächlich zur Lösung von Differenzialgleichungen benutzen. Das Verfahren hierbei ist das Folgende: Das zu lösende System (meist abhängig von Ort und Zeit) – gegeben im Realraum – wird per Fourier in den sogenannten Fourier-Raum transformiert. Hier werden böse Differenzialoperatoren plötzlich zu handzahmen Konstanten, wie wir sehen werden. Das System kann dann gelöst werden. Anschließend steigt man per umgekehrter Fourier-Transformation der Fourier-Welt-Lösung wieder in den Realraum auf und hat die gesuchte Lösung gefunden. Die FT ergibt sich anschaulich aus der Fourier-Reihe durch die folgende Überlegung: Je größer die Periode der zu zerlegenden Funktion im Realraum wird, desto kleiner wird die Periode der Funktion im Fourier-Raum. Im Grenzfall einer Funktion mit „unendlicher“ Periode (d. h., sie ist gar nicht periodisch) ergibt sich im Fourier-Raum ein kontinuierliches Spektrum.
10.3.1
Definition und Eigenschaften
Die 1-D-Fourier-Transformation F ist über ein Integral definiert: / ∞ 1 ˜ √ dx e−ikx f (x) , F[f (x)] = f (k) := 2π −∞ / ∞ 1 F −1 [f˜(k)] = f (x) = √ dk e+ikx f (x) . 2π −∞
(10.6) (10.7)
Wir machen uns das (mathematische) Leben leicht und setzen im Folgenden die Existenz der Integrale voraus. Beispiel 10.3 (Fourier von Gauß) x2 Die Gauß’sche Glockenkurve f (x) = √12π e− 2 (mit σ = 1 und μ = 0; vgl. Beispiel 4.8) möchte in den Fourier-Raum transformiert werden. Helfen wir! Lösung: Wir setzen in die Fourier-Trafo ein und führen das Integral aus. Der Rest ist Integrationstechnik. / ∞ / ∞ 1 x2 x2 1 1 F(f (x)) = f˜(k) = √ dx e−ikx √ e− 2 = dx e−ikx− 2 2π −∞ 2π −∞ 2π / ∞ / ∞ √ √ √ 2 2 1 √ 1 x→ 2x = 2 dx e−ik( 2x)−x = √ dx e−( 2ikx+x ) . 2π 2π −∞ −∞ Nun machen wir eine klassische quadratische Ergänzung des Exponenten. Warum, werden wir gleich sehen. √ 2 x2 + 2ikx = (x + √12 ik)2 + k2 .
√ k2 =x2 + 2ikx− 2
10.3 Fourier-Transformation
257
Setzen wir dies ein, folgt / ∞ / ∞ 2 k2 1 1 −(x+ √1 ik)2 − k2 −(x+ √1 ik)2 2 2 √ f˜(k) = dx e = √ e− 2 dx e 2π −∞ 2π −∞ / x→x− √1 ik 2 k2 1 1 − k22 ∞ 2 √ e = dx e−x = √ e− 2 , 2π 2π
−∞ √ = π
und das ist wieder eine Gauß-Funktion, jetzt natürlich im k-Raum (im FourierRaum). An diesem Beispiel lernen wir:
= Gauß , Gauß
(10.8)
d. h. unter Fourier-Transformation bleibt die Gauß-Funktion (bis auf Konstanten) unverändert. Durch die quadratische Ergänzung des Exponenten war es möglich, 0 +∞ 2 den Integranden auf die uns bekannte Form −∞ dx e−αx umzuschreiben, dessen π Wert wir kennen ( α , Gleichung (5.32)). Dies ist immer im Zusammmenhang von Fourier und Gauß nützlich zu wissen.
Eigenschaften der Fourier-Transformation Wie bei der Fourier-Zerlegung kann man auch aus der zu transformierenden Funktion einige Schlüsse für die Fourier-Transformierte ziehen: f (x) reell ⇐⇒ f˜(−k) = f˜(k)∗ . f (−x) = f (x) ⇐⇒ f˜(−k) = f˜(k) sowie f (−x) = −f (x) ⇐⇒ f˜(−k) = −f˜(k) (Symmetrien werden weitervererbt). 2 0 0 Parseval: dx |f (x)|2 = √12π dk |f˜(k)|2 .
10.3.2
Spezielle Fourien
Die folgenden drei Transformierten lassen sich relativ leicht berechnen und sollten unbedingt zum Repertoire gehören. 1. FT einer verschobenen Funktion Wie lautet die FT von f (x − a)? / +∞ 1 dx e−ikx f (x − a) F(f (x − a)) = √ 2π −∞ / +∞ / 1 e−ika +∞ x→x+a √ = dx e−ik(x+a) f (x) = √ dx e−ikx f (x) . 2π −∞ 2π −∞ Ergebnis: F[f (x − a)] = e−ika F[f (x)] .
(10.9)
258
10 Fourier-Analysis
Die Verschiebung der Funktion f um a spiegelt sich also in der Transformierten lediglich durch einen Faktor e−ika wider. 2. FT von f (x) Die Fourier-Transformierte der Ableitung f (x) lässt sich ebenfalls gut bestimmen: / +∞ 1 F[f (x)] = √ dx e−ikx f (x) . 2π −∞ Partielle Integration liefert mit f aufgeleitet und e−ikx abgeleitet: / +∞ $ %∞ 1 F[f (x)] = √ −ike−ikx f (x) −∞ − dx (−ik)e−ikx f (x) . 2π −∞ Da, wie schon eingangs erwähnt, die Fourier-Transformation vernünftig nur für genügend schnell abfallende Funktionen f (x) definiert ist, verschwindet der erste Term, denn nach Voraussetzung gilt f (±∞) = 0 und der e-Term e−ikx ist beschränkt (Rotation auf dem Einheitskreis). Damit folgt [. . .]∞ −∞ = 0 und 0 +∞ somit F[f (x)] = ik · √12π −∞ dx e−ikx f (x) bzw. F[f (x)] = ikF[f (x)] .
(10.10)
Merke also: ∂x → ik bei Fourier-Transformation (Ableitungen nach dem Ort können bei FT durch Faktoren ik ersetzt werden). 3. Delta-Distribution Transformiert man eine δ-Distribution hin und rück, so lässt sich eine hilfreiche Darstellung von δ gewinnen. Der Abstieg in den Fourier-Raum formuliert sich leicht: / +∞ (5.36) 1 1 √ F[δ(x − x )] = dx e−ikx δ(x − x ) = √ e−ikx =: g˜(k) 2π −∞ 2π nach der definierenden Eigenschaft der Delta-Distribution (5.36). Die Rücktrafo in den Realraum gestaltet sich dann wie folgt: / ∞ / ∞ 1 1 ! −1 ikx −ikx g (k)] = √ 2 dk e e = dk eik(x−x ) = δ(x − x ) . g(x) = F [˜ 2π −∞ 2π −∞ Ergebnis: 1 δ(x − x ) = 2π
10.3.3
/
∞
dk eik(x−x ) .
(10.11)
−∞
Fourier-Trafo der Zeit
Oftmals ist die zu transformierende Koordinate nicht der Ort, sondern die Zeit (z. B. bei DGLs). Die zur Zeit korrespondierende Größe im Fourier-Raum ist die Kreisfrequenz ω, manchmal auch geschrieben als ω = 2πf : / +∞ / +∞ 1 1 −iωt ˜ dt e f (t) , f (t) = √ dt e+iωt f˜(ω) . (10.12) f (ω) = √ 2π −∞ 2π −∞
10.3 Fourier-Transformation
259
Anders gelesen bedeutet die Zeit-Fourier-Trafo auch eine Spektralanalyse eines Signals: Man steckt ein Signal f (t) hinein und bekommt das Frequenzbild heraus – das ist die Verteilung der Frequenzen, die zur Erzeugung des Signals notwendig sind. Beispiel 10.4 (Frequenzanalyse einer harmonischen Schwingung) Wie sieht das Frequenzbild einer harmonischen Schwingung (z. B. eines Faden pendels) f (t) = Re AeiΩt aus?
Lösung: Wir berechnen die Fourier-Transformierte von f (t) = Re AeiΩt = iΩt
A cos(Ωt) = A e
+e−iΩt : 2
f˜(ω)
= = (10.11)
=
1 √ 2π
/
+∞
−iωt
dt e −∞ / +∞
iΩt e + e−iΩt A 2
A √ dt (e−i(ω−Ω)t + e−i(ω+Ω)t ) 2 2π −∞ A√ A√ 2πδ(ω − Ω) + 2πδ(ω − (−Ω)) . 2 2
Dieses Frequenzspektrum hat nur einen nichtverschwindenden Wert bei ω = Ω und ω = −Ω, d. h., die harmonische Schwingung besitzt exakt eine positive Frequenz, was ja natürlich auch Sinn macht, da die harmonische Schwingung bekannterweise nicht aus Überlagerungen mehrerer Schwingungen hervorgeht. Abb. 10.2 zeigt das (positive) Frequenzspektrum.
Abb. 10.2: Das positive Frequenzspektrum einer harmonischen Schwingung. Es besteht aus exakt einer Frequenz.
10.3.4
3-D- und 4-D-Fourier-Transformation
Die Fourier-Transformation kann auch auf den Raum erweitert werden. Sie lautet dann 3 / 3 / 1 1 d3 x e−ik·r f (r) , f (r) = √ d3 k e+ik·r f˜(k) . f˜(k) = √ 2π 2π (10.13) Analog können vektorwertige Größen transformiert werden. Die Erweiterung auf vier Dimensionen geschieht durch Zunahme der Zeit. Die 4D-Fourier-Transformation muss also immer dann angewendet werden, wenn Größen zu transformieren sind, die Orts- und Zeitkomponente besitzen – also Felder
260
10 Fourier-Analysis
φ(x, t) (oder vektorwertig). Man achte bei der Transformation insbesondere auf die umgekehrte Signatur der Zeit im Exponenten:
˜ k, ω) φ(
=
φ(x, t)
=
1 √ 2π 1 √ 2π
4 / 4 /
d3 x dt e−i(k·x−ωt) φ(x, t) ,
(10.14)
˜ k, ω) , d3 k dω e+i(k·x−ωt) φ(
(10.15)
und analog für Vektorfelder. Die Eigenschaften der Fourier-Transformation bleiben erhalten, einzig beim Vorzeichen muss man aufpassen: ∇ → ik , aber ∂t → −iω .
(10.16)
Beachte hierbei insbesondere: Nur bei gleichzeitiger Orts-/Zeit-FT verwendet man ∂t → −iω, sonst ∂t → +iω!
10.3.5
DGL-Lösung per Fourier
Die Vorgehensweise zur DGL-Lösung wurde schon zuvor angesprochen und ergibt folgendes Kochrezept – eine DGL in x(t) sei gegeben: 1. Transformiere die komplette DGL per Ersetzung x(t) → x ˜(ω) und ∂t → iω. 2. Löse die entstandene Gleichung nach x ˜(ω). 3. Rücktransformiere x ˜(ω) und erhalte das gesuchte x(t). Beispiel 10.5 (Getriebener harmonischer Oszillator) Wie löst sich der getriebene harmonische Oszillator x ¨ + ω02 x = iω t per Fourier-Trafo? F (t) = F0 e
F (t) m
mit
Lösung: Die Lösung der homogenen DGL x ¨ + ω02 x = 0 kennen wir aus Kapitel 7 (trigonometrischer Ansatz). Zur Bestimmung einer speziellen Lösung der inhomogenen DGL verfolgen wir das Kochrezept. 1. Transformiere die DGL, benutze dabei ∂t → iω und ∂t2 → (iω)2 = −ω 2 : (t) −ω 2 x ˜(ω) + ω02 x ˜(ω) = F Fm = Fm0 F[eiω t ] . Nun müssen wir noch schnell die Transformierte der rechten Seite ausrechnen. Es ist aber nach Gleichung (10.11): 1 F[eiω t ] = √ 2π
/
+∞
1 dt e−iωt eiω t = √ 2π −∞
/
+∞ −∞
womit folgt: ˜(ω) + ω02 x ˜(ω) = −ω 2 x
dt e−i(ω−ω )t =
F0 m
√
2πδ(ω − ω ) .
√ 2πδ(ω − ω ) ,
10.3 Fourier-Transformation
261
2. Diese lineare Gleichung in x ˜(ω) kann direkt umgestellt und aufgelöst werden: √ F0 2πδ(ω − ω ) F0 √ 2 2 m ⇐⇒ (ω0 − ω )˜ x(ω) = 2πδ(ω − ω ) ⇐⇒ x ˜(ω) = . m ω02 − ω 2 Dies ist die Lösung der DGL im Frequenzraum. 3. Nun die Rücktransformation: / ∞ 1 −1 x(ω)] = √ dω e+iωt x(t) = F [˜ 2π −∞
F0 m
√
2πδ(ω − ω ) . ω02 − ω 2
Netterweise steckt im Integranden wieder eine δ-Distribution, so dass wir die Integration einfach ausführen können und dazu alle ω durch ω ersetzen. Fertig:
xspez (t) =
F0 eiω t . m ω02 − ω 2
Das ist die komplexe spezielle Lösung des getriebenen harmonischen Oszillators, wobei für Anwendungen noch der Realteil betrachtet werden muss. Damit ergibt sich die Lösung der gesamten DGL zu x(t) = xhom (t) + xspez (t) = A sin(ω0 t) + B cos(ω0 t) +
F0 cos(ω t) . m ω02 − ω 2
Im Fall ω → ω0 – das wäre der Fall, dass mit der Resonanzfrequenz des Systems angetrieben wird – kommt es zur sogenannten Resonanzkatastrophe, da die Amplitude x(t) aufgrund des letzten Terms unbegrenzt wächst und gegen unendlich strebt. Wir kommen in der Mechanik in Kapitel 12 darauf zurück.
262
10 Fourier-Analysis
Spickzettel zur Fourier-Analysis Fourier-Reihe – Zerlegung einer L-periodischen Funktion (d.h. f (x + L) = f (x)) in trigonometrische Funktionen gemäß ∞
f (x) =
2π
cn ei L nx , cn =
1 L
/
n=−∞
x0 +L
dx f (x)e−i L nx 2π
x0
oder als Darstellung reeller Funktionen: ∞ a0 f (x) = an cos( 2π nx) + bn sin( 2π nx) , + L L 2 n=1
an bn
=
2 L
cn + c−n =
i(cn − c−n ) =
=
/
x0 +L
dx f (x) cos
2π L
nx ,
x0
2 L
/
x0 +L
dx f (x) sin
2π L
nx .
x0
– Eigenschaften: f (x) reell ⇔ c−n = c∗n ; für punktsymmetrische Funktionen: an = 0 und f0 = 0; für achsensymmetrische Funktionen: bn = 0. 0 x0 +L 1 – Parsevals Theorem: L dx |f (x)|2 = |c |2 . n n x 0
Fourier-Transformation – Definition (1-D): 1 f˜(k) := √ 2π
/
∞
1 dx e−ikx f (x) , f (x) = √ 2π −∞
0 +∞
/
∞
dk e+ikx f (x) −∞
0 +∞
dt e−iωt f (t), f (t) = √12π −∞ dt e+iωt f˜(ω). – Eigenschaften der FT: f (x) reell ⇐⇒ f˜(−k) = f˜(k)∗ . – f (−x) = f (x) ⇐⇒ f˜(−k) = f˜(k) sowie f (−x) = −f (x) ⇐⇒ f˜(−k) = −f˜(k) (Symmetrien werden weitervererbt). oder in der Zeit f˜(ω) =
– Parseval:
0
dx |f (x)|2 =
√1 2π
−∞
√1 2π
2 0
dk |f˜(k)|2 .
= Gauß, Verschiebung: F[f (x − a)] = e−ika F [f (x)], – Spezielle Fourien: Gauß Ableitung: F[f (x)] = ikF[f (x)]. – 4-D-Fourier:
˜ k, ω) φ(
=
φ(r, t)
=
1 √ 2π 1 √ 2π
4 / 4 /
d3 x dt e−i(k·r−ωt) φ(r, t) ,
˜ k, ω) d3 k dω e+i(k·r−ωt) φ(
mit F [∇] = ik und F [∂t ] = iω. – DGL-Lösung per Fourier: a) Transformiere die komplette DGL per Ersetzung x(t) → x ˜(ω) und ∂t → iω (Achtung: Nur bei der 4-D-FT verwenden wir ∂t → −iω!). b) Löse die entstandene Gleichung nach x ˜(ω). c) Rücktransformiere x ˜(ω) und erhalte das gesuchte x(t).
11 Partielle Differenzialgleichungen
Übersicht 11.1
Was ist eine partielle Differenzialgleichung? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
11.2
Laplace-Gleichung und Poisson-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
11.3
Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
11.4
Diffusionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
11.5
Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
11.1
Was ist eine partielle Differenzialgleichung?
Eine partielle Differenzialgleichung ist eine DGL mehrerer Veränderlicher, das bedeutet, es tauchen Variablen und partielle Ableitungen beliebiger Ordnung gleichzeitig in einer Gleichung auf. Analog zu gewöhnlichen Differenzialgleichungen werden hier Anfangsbedingungen (und ggf. Randbedingungen) benötigt, um die Lösung eindeutig bestimmen zu können. Könnte man über die gewöhnlichen DGLs (Kapitel 7) ein ganzes Buch schreiben, so könnte man über partielle Differenzialgleichungen mehrere Bände verfassen. Aus diesem Grund betrachten wir zur Begriffsbildung im Folgenden nur homogene partielle lineare DGLs zweiter Ordnung (in u und v) mit konstanten Koeffizienten, die in der allgemeinsten Form als a
∂ 2 f (u, v) ∂ 2 f (u, v) ∂f (u, v) ∂ 2 f (u, v) ∂f (u, v) + 2b +d +c +e =0 2 ∂u ∂u∂v ∂v 2 ∂u ∂v
(11.1)
geschrieben werden können, wobei a, b, c, d und e konstante Vorfaktoren darstellen. Bei der folgenden Einteilung der für uns wichtigen partiellen DGLs werden immer nur die Terme mit den partiellen Ableitungen zweiter Ordnung betrachtet. Dazu wird die Definitheit der Matrix ab cb (bzw. in drei Dimensionen der entsprechenden 3 × 3-Matrix etc.) als Unterscheidungskriterium benutzt. Die Matrix ist
264
11 Partielle Differenzialgleichungen
genau dann definit, wenn alle Eigenwerte ungleich null sind und das gleiche Vorzeichen haben; für zwei Dimensionen lässt sich dies direkt über die Determinante ac − b2 ausdrücken. Elliptisch: ac − b2 > 0 (bzw. alle Eigenwerte größer null oder alle Eigenwerte kleiner null). Hierfür ist die sogenannte Laplace-Gleichung der Prototyp (b = d = e = 0): 2 ∂ ∂2 + φ(x, y) = 0 bzw. Δφ(r) = 0 . (11.2) ∂x2 ∂y2 Die Lösung ist eindeutig festgelegt, wenn in geeigneter Weise Randwerte vorgegeben sind. Dabei kann es einerseits sein, dass die Funktion am Rand gegeben ist, φ(Rand) = . . . (Dirichlet-Randbedingung), andererseits kann aber auch
der Wert der Ableitung am Rand gegeben sein: ∂φ
= . . . , ∂φ
= ... ∂x Rand
∂y
Rand
usw. (Neumann-Randbedingungen). Parabolisch: ac − b2 = 0 (ein Eigenwert gleich null). Dies bedeutet, dass neben den zweiten partiellen Ableitungen des Ortes eine weitere Ableitung auftaucht, meist ist es jene nach der Zeit. Ohne Beachtung der Einheiten ist hierfür die sogenannte Diffusionsgleichung (mit a = −1, b = c = d = 0 und e = 1) der Prototyp, gegeben durch ∂ ∂2 φ(x, t) = 0 bzw. (∂t − Δ)φ(r, t) = 0 . (11.3) − ∂t ∂x2 Sie wird lösbar, wenn entweder wieder Randwerte oder aber – was für uns wichtig ist – Anfangswerte φ(r, t = 0) gegeben sind. Im letzten Fall spricht man vom Anfangswertproblem. Hyperbolisch: ac − b2 < 0 (Eigenwerte mit unterschiedlichen Vorzeichen). Auch hier kommt wieder die Variable t ins Spiel, diesmal allerdings in zweiter Ableitung. Die sogenannte Wellengleichung (a = −1, b = 0, c = 1, d = e = 0) schreibt sich dann als 2 ∂ ∂2 − φ(x, t) = 0 bzw. (∂t2 − Δ)φ(r, t) = 0 , (11.4) ∂t2 ∂x2 wiederum ohne auf die physikalischen Dimensionen zu achten. Der hyperboli˙ r, t = 0) sche Typ wird durch Angabe von Anfangswerten φ(r, t = 0) und φ( vollständig lösbar. Deswegen hat man es hier mit einem reinen Anfangswertproblem zu tun. Im restlichen Kapitel wird es darum gehen, Lösungsansätze für die Laplace-, Diffusions- und Wellengleichung zu finden.
11.2 Laplace-Gleichung und Poisson-Gleichung
265
11.2
Laplace-Gleichung und Poisson-Gleichung
11.2.1
Laplace-Gleichung
Als erste partielle Differenzialgleichung betrachten wir die Laplace-Gleichung Δφ(r) = 0 in zwei Dimensionen in kartesischen Koordinaten: 2 ∂ ∂2 + 2 φ(x, y) = 0 . (11.5) Δφ(x, y) = ∂x2 ∂y In 1-D ist die Lösung geschenkt: Δφ(x) = φ (x) = 0 ⇒ φ(x) = Ax + B. Analog Das soll aber nicht ist eine einfache Lösung der Laplace Gleichung φ(r) = Ar + B. der Weisheit letzter Schluss gewesen sein. Wir versuchen, eine interessantere Lösung in zwei Dimensionen zu finden (analog in 3-D). Dazu wählen wir einen sogenannten Separationsansatz φ(x, y) = f (x)g(y) ,
(11.6)
bei dem die x-Abhängigkeit komplett in die Funktion f und die y-Abhängigkeit in g(y) geschoben wird. Was uns das bringt, sehen wir durch Einsetzen in Δφ(r) = 0: 2 ∂ ∂2 ∂2 ∂2 + f (x)g(y) = 0 ⇔ [f (x)g(y)] + [f (x)g(y)] = 0 . ∂x2 ∂y 2 ∂x2 ∂y2 Die zweifache x-Ableitung im ersten Term wirkt nur auf die Funktion f (x), da g(y) aus x-Ableitungssicht konstant ist, d. h. ∂2 ∂x2 [f (x)g(y)]
=
d2 f (x) dx2 g(y)
= f (x)g(y) .
Im zweiten Term sieht die y-Ableitung nur die Funktion g(y). Damit ergibt sich
⇐⇒
f (x)g(y) + f (x)g (y) = 0 | : (f (x)g(y) = 0) f (x) g (y) + = 0. f (x) g(y)
Hier werden allerdings brutal Äpfel, Birnen und Bananen zusammengezählt (Funktionen mit unterschiedlichen Variablen!), und die sollen null ergeben? Das kann nur in einem Fall funktionieren: Wenn jeder einzelne Summand konstant ist! f (x) = −p2 , f (x)
g (y) = p2 , g(y)
wobei p konstant ist. Diese gewöhnlichen DGLs haben wir aber schon in Kapitel 7 gelöst: f (x) = A sin(px + α) , g(y) = Bepy + Ce−py . Als Ergebnis erhalten wir rücksubstituiert in den Separationsansatz (11.6) φ(r) = f (x) · g(y) = A sin(px + α) · (Bepy + Ce−py ). Das ist eine Lösung der 2-D-Laplace-Gleichung.
(11.7)
266
11 Partielle Differenzialgleichungen
11.2.2
Kugelsymmetrische Lösung
Im Falle kugelsymmetrischer Probleme in der Laplace-Gleichung Δφ(r) = 0 vereinfacht sich der Laplace-Operator stark (Gleichung (9.39)) und es lässt sich bequem eine Lösung φ(r) angeben: (9.39)
Δ →
1 2 1 ∂ r ⇒ Δφ(r) = ∂r2 [rφ(r)] = 0 ⇔ ∂r2 [rφ(r)] = 0 . r r r
(11.8)
Nun könnte man die Ableitung ausrechnen und die entstehende Differenzialgleichung in r lösen. Einfacher ist jedoch die zweifache Integration über die Ableitung: 0 0 ∂r2 [rφ(r)] = 0 =⇒ ∂r [rφ(r)] = A =⇒ rφ(r) = Ar + B , woraus folgt: φ(r) =
B + A. r
(11.9)
Das ist die allgemeine Lösung im radialsymmetrischen Fall (für B proportional zur Ladung begegnet sie uns in Kapitel 13 wieder).
11.2.3
Poisson-Gleichung
Ein Grundproblem der Elektrostatik in Kapitel 13 wird sein, bei vorgegebener Ladungsdichte ρ das elektrostatische Potenzial φ(r) zu bestimmen. Dies läuft darauf hinaus, dass die Poisson-Gleichung Δφ(r) = −
ρ(r) =: f (r) ε0
(11.10)
(die inhomogene Version der Laplace-Gleichung) gelöst werden muss. Am einfachsten ist es zunächst, rechts eine Delta-Distribution einzusetzen und die entstehende DGL Δφ(r) = δ(r) (11.11) zu lösen. Ein physikalisches Beispiel hierfür wäre die Divergenz des elektrischen einer Punktladung im Ursprung, wobei Δφ = ∇ · (∇φ) = −∇ · E mit Feldes E = −∇φ. In Beispiel 9.3 wurde nur die Divergenz außerhalb des Ursprungs E berechnet. Wir kommen hierauf in Kapitel 13 zu sprechen. Um eine Idee der Lösung von (11.11) zu bekommen, verwenden wir die kugelsymmetrische Lösung φ(r) = Br + A aus Abschnitt 11.2.2 mit der einfachsten Wahl A = 0 und B = 1. Dann folgt für r = 0: 1 1 1 1 = ∂r2 r · = ∂r2 1 = 0 . Δ r r r r
11.2 Laplace-Gleichung und Poisson-Gleichung
267
Für r = 0 ist also alles fein, da (11.11) erfüllt ist. Einzig der Fall r = 0 muss noch untersucht werden. Wir zeigen hierzu, dass die Gleichung (11.11) auch im Fall r = 0 gilt, und bilden dazu ein Volumenintegral über unsere Differenzialgleichung: / / d3 x Δφ(r) = d3 x δ(r) = 1 . Einsetzen von φ(r) = 1r und Auswerten des linken Integrals über ein Kugelvolumen V liefert dann mit dem Satz von Gauß und df = r2 d cos(θ)dϕer (Kugelkoordinaten, Gleichung 9.28) sowie Δφ = ∇ · (∇φ) für skalare Funktionen: / / / (9.41) d3 x Δ 1r = d3 x ∇ · ∇ 1r = df · ∇ 1r V
V
/
df ·
= ∂V
/ =
−
− rr3
/ =−
−1
2π
dϕ er r2 · 0
1 r2
r r
2π
dϕ = −4π .
d cos(θ) −1
/
d cos(θ)
= er
/
+1
∂V +1
0
Es folgt das wichtige Ergebnis: Δ
1 = δ(r) −4πr
bzw.
Δ
1 = δ(r − r ) , −4π|r − r |
(11.12)
und somit kennen wir nun auch die Lösung für unser Ausgangsproblem (11.11), d. h. Δφ(r) = δ(r): 1 . φ(r) = − 4π|r| Ist f (r) in Gleichung (11.10) eine beliebige Funktion, so lässt sich mit Hilfe der Delta-Distribution gemäß der definierenden Eigenschaft schreiben: / Δφ(r) = f (r) = d3 x δ(r − r)f (r ) . Wie wir aber wissen, ist δ(r − r) = −Δ 4π|r1 −r | . Damit kann in obige Gleichung eingesetzt werden: / / 1 1 Δφ(r) = f (r) = − d3 x Δ ) = −Δ d3 x f ( r f (r ) , 4π|r − r| 4π|r − r| wobei der Laplace-Operator auf r (also die nicht gestrichenen Koordinaten) wirkt und somit am d3 x -Integral vorbeigezogen werden kann. Vergleich der beiden Seiten liefert schließlich / f (r ) 1 . (11.13) d3 x φ(r) = − 4π |r − r| Das ist die Lösung der Poisson-Gleichung. Wir kommen in der Elektrostatik darauf zurück.
268
11 Partielle Differenzialgleichungen
11.3
Kontinuitätsgleichung
Die Kontinuitätsgleichung kommt immer dann ins Spiel, wenn ein Medium strömt. Sei n(r, t) eine zeit- und ortsabhängige Teilchendichte (Teilchen pro Volumen), z. B. von stehenden Wassermolekülen in einer Wasserleitung. Nun öffnen wir den Hahn und lassen das Wasser strömen, d. h., es entsteht ein Wasserstrom, beschrieben durch eine sogenannte Stromdichte: j(r, t) = −D∇n(r, t) ,
(11.14)
wobei D konstant ist. Eine räumliche Änderung der Teilchendichte (der Gradient ∇n) bewirkt also einen Strom (z. B. durch Öffnen des Hahns). Sofern das Rohr kein Leck hat, sollte die Teilchendichte n(r, t) zeitlich konstant bleiben. Tut sie es nicht, so muss irgendwo das Wasser entwichen sein. Das bedeutet, dass es irgendwo eine Senke im Wasserstrom j geben muss (d. h. ∇ · j = 0): n˙ = −∇ · j ⇔ n˙ + ∇ · j = 0 .
(11.15)
Das ist die sogenannte Kontinuitätsgleichung, landläufig auch bekannt als „Was reingeht, muss auch wieder raus“ – oder: Teilchenzahlerhaltung. Wir kommen darauf in der Elektrodynamik zurück, dort existiert eine analoge Formulierung für Ladungserhaltung. Beispiel 11.1 (Schallausbreitung) Ein Ton der Frequenz ω breite sich mit der Stromdichte r j(r, t) = A kr cos(kr−ωt)−sin(kr−ωt) r2 r
radial aus. Welche Teilchendichte n(r, t) gehört dazu? Lösung: Wir berechnen n(r, t) über die Kontinuitätsgleichung ∇ · j + n˙ = 0. Hierzu müssen wir die Divergenz von j bilden und anschließend zeitlich einmal aufleiten. Los geht’s: r ∇ · j = A∇ · kr cos(kr−ωt)−sin(kr−ωt) 2 r r = A · ∇ (kr cos(kr − ωt) − sin(kr − ωt)) · rr3 + A · (krc − s) · ∇ · rr3
=0
=
A · ∇ (kr cos(kr − ωt) − sin(kr − ωt)) ·
r r3
.
Die abzuleitende Funktion hängt aber nur von der radialen Koordinate r ab. Das ist doch schön, denn im Hinterkopf schwebt noch ∇f (r) = f (r) rr : ∇ · j = =
A · ∇ (kr cos(kr − ωt) − sin(kr − ωt)) · rr3 A · k cos(kr − ωt) + kr(− sin(kr − ωt)k) − k cos(kr − ωt) · rr ·
=
−Ak 2 sin(kr − ωt) ·
r · r r3
2
= rr3 = 1r
=−
Ak 2 sin(kr − ωt) . r
r r3
11.4 Diffusionsgleichung
269
Das ist nun nach Kontinuitätsgleichung ∇ · j = −n. ˙ Wir müssen zur Bestimmung von n(r, t) einmal zeitlich aufleiten: n˙ =
Ak 2 r
sin(kr − ωt) =⇒ n(r, t) =
Ak2 ωr
cos(kr − ωt) + C .
Schließlich bestimmen wir noch die Konstante. Weit entfernt von der Schallquelle muss gelten n(r → ∞, t) = n0 , d. h. normale Teilchendichte bzw. normaler Luftdruck. Damit folgt: n(r → ∞) =
Ak2 lim cos(kr−ωt) ω r→∞ r
!
+ C = C = n0 ,
denn der Kosinus ist beschränkt (oszilliert zwischen −1 und 1) und gegen null ab. Ergebnis: n = n(r, t) = n0 +
Ak2 rω
1 r
fällt schnell
cos(kr − ωt) .
11.4
Diffusionsgleichung
11.4.1
Diffusion und Wärmeausbreitung
Setzt man die Stromdichte j = −D∇n in die Kontinuitätsgleichung ein, so erhält man die Diffusionsgleichung: ∂ − DΔ n(r, t) = 0 (11.16) n˙ + ∇ · j = n˙ − ∇ · (D∇n) = n˙ − DΔn = 0 ⇔ ∂t mit Diffusionskonstante D und Teilchendichte n(r, t). Die Diffusionsgleichung ist eine partielle Differenzialgleichung des parabolischen Typs. Sie beschreibt z. B. einen Teilchenaustausch n(r, t) oder die Wärmeausbreitung T (r, t) in einem Medium. Die Begrifflichkeiten Teilchendichte/Temperaturverteilung sowie Teilchenstrom/Wärmestrom lassen sich direkt übersetzen.
11.4.2
Formale Lösung der Diffusionsgleichung
Durch Angabe einer Anfangsbedingung n(r, t = 0) ist die Lösung der Diffusionsgleichung vollständig festgelegt. Die formale Lösung lässt sich durch Diskretisierung und Iteration herleiten. Der Anfangswert n(r, 0) ist gegeben, nach der Zeit dt hat er sich weiterentwickelt zu n(r, dt), dieser hat sich dt später zu n(r, 2dt) entwickelt usw.
270
11 Partielle Differenzialgleichungen
Wir können also die Diffusionsgleichung n˙ = DΔn iterieren: n(r, dt)
=
n(r, 0) + (dt DΔ)n(r, 0) = (1 + dt DΔ)n(r, 0) ,
n(r, 2dt) .. .
= .. .
n(r, N dt = t)
=
(1 + dt DΔ)n(r, dt) = (1 + dt DΔ)2 n(r, 0) , .. . N tDΔ (1 + dt DΔ)N n(r, 0) = 1 + n(r, 0) , N
wobei im letzten Schritt N dt = t ⇔ dt = Nt verwendet wurde. Die Iteration wird umso genauer, desto größer die Anzahl der Iterationsschritte N wird. Im Grenzfall N N →∞ tDΔ −→ e . Ergebnis: folgt 1 + tDΔ N n(r, t) = etDΔ · n(r, 0) .
(11.17)
Das ist die formale Lösung der Diffusionsgleichung. Gleichung (11.17) hat nur einen Haken: Die Lösung lässt sich nur in bestimmten Fällen direkt ermitteln. Macht man eine Taylor-Entwicklung der Exponentialfunktion, so ergeben sich unendlich viele Terme mit Δ in beliebiger Potenz (d. h., es müssen Ableitungen von n(r, 0) bis zu einem beliebig hohen Grad berechnet werden!), was im Regelfall hoffnungslos ist. Erinnern wir uns aber an die „e hoch Matrix“-Entwicklung in Abschnitt 4.3.3, so entdecken wir einen Ausweg: Wenn sich nach endlich vielen Laplace-Anwendungen auf n(r, 0) dieser wieder reproduziert, dann können wir die Entwicklung in einer geschlossenen Form angeben. Im günstigsten Fall ist dies schon nach einfacher Δ-Anwendung erreicht. Zu lösen ist damit wieder einmal ein Eigenwertproblem der Form O(x)E(x) = λ(x)E(x) mit einem Operator O(x), Eigenfunktion E(x) und Eigenwert λ(x). Beispiel 11.2 (Ein Teilchenstrom) Eine Teilchenstromdichte n(x, t) sei zum Zeitpunkt t = 0 gegeben durch n(x, 0) = n1 − n0 cos(kx). Wie entwickelt sich n im Laufe der Zeit? Was passiert auf lange Sicht hin? Lösung: Wir setzen in die formale Lösung (11.17) ein und entwickeln die Exponentialfunktion: n(r, t)
= =
etDΔ (n1 − n0 cos(kx)) = etDΔ n1 − etDΔ n0 cos(kx) 1 (1 + tDΔ + . . .) n1 − n0 1 + tDΔ + (tDΔ)(tDΔ) + . . . cos(kx) . 2
Im ersten Term überlebt nur der Faktor 1, da tDΔn1 = 0 und höhere Ordnungen sowieso verschwinden. Den zweiten Term müssen wir genauer durchdenken. Es gilt tDΔ cos(kx) = tD(∂x2 + ∂y2 + ∂z2 ) cos(kx) = tD∂x2 cos(kx) = tD(−k2 ) cos(kx) .
11.4 Diffusionsgleichung
271
Das ist jedoch super, denn die Funktion cos(kx) hat sich bis auf einen Faktor (−k2 ) beim Ableiten reproduziert. Somit wissen wir auch alle weiteren LaplaceAnwendungen. Es folgt 1 n(r, t) = (1 + tDΔ + . . .) n1 − n0 1 + tDΔ + (tDΔ)(tDΔ) + . . . cos(kx) 2 (tD(−k 2 ))2 2 + . . . cos(kx) = (1 + 0 + . . .) n1 − n0 1 + tD(−k ) + 2
=e−tDk2
=
n1 − n0 e−tDk cos(kx) . 2
Das ist die zeitliche Entwicklung der Teilchendichte, wie man sich durch Einsetzen in die Diffusionsgleichung überzeugen kann. Für große t folgt damit n(r, t) = n1 − n0 e−tDk cos(kx) −→ n1 . 2
t→∞
Im Falle von Anfangswerten der Form sinn (kx) oder cosn (kx) empfiehlt es sich bei Bestimmung der Eigenwerte, dietrigonometrischen Funktionen in die Exponen−iϕ
n
−iϕ
n
tialschreibweise über cosn (ϕ) = e +e und sinn (ϕ) = e −e umzu2 2i schreiben. Dadurch spuckt der Laplace-Operator wieder nur Konstanten aus und man muss sich nicht mit der Differenziation von cosn (kx) abplagen. iϕ
11.4.3
iϕ
Diffusion im kugelsymmetrischen Fall
In einem speziellen Fall lässt sich direkt eine Lösung der Diffusionsgleichung angeben. Ist die Temperaturausbreitung in einem Medium kugelsymmetrisch, d. h. gilt (∂t − DΔ)T (r, t) = (∂t − DΔ)T (r, t) = 0 , so lässt sich die partielle DGL mit Hilfe eines Separationsansatzes lösen: T (r, t) = f (t)g(r) .
(11.18)
Einsetzen liefert mit Laplace in Kugelkoordinaten, Δ = 1r ∂r2 r, die folgende Gleichung: ∂t T − DΔT = 0 ⇔ T˙ = DΔT = D 1r ∂r2 r T . (11.19) Es ist mit dem Separationsansatz auf der linken Seite T˙ = ∂t (f (t)g(r)) = f˙(t)g(r). Auf der rechten Seite folgt 2 D 1r ∂r2 r T = D 1r ∂r2 (rT ) = D 1r ∂r2 (rf (t)g(r)) = D f (t) r ∂r (rg(r)) . Wir setzen gleich: 1 (rg) 1 f˙ f (t) 2 ∂r (rg(r)) ⇔ = , f˙(t)g(r) = D r Df r g
272
11 Partielle Differenzialgleichungen
wobei der Strich die Ableitung nach r markiert. Nun kommt der entscheidende Punkt: Damit die Gleichheit gilt, müssen unabhängig von der jeweiligen Variablen die linke und rechte Seite konstant sein, da sonst Äpfel mit Birnen verglichen werden würden. Wir dürfen setzen: 1 (rg) 1 f˙ = =: ±κ2 . Df r g Betrachten wir nun nacheinander die Seiten unabhängig, so folgt f˙ = ±κ2 D , f
(rg) = ±κ2 (rg) .
Die allgemeinen Lösungen hierzu kennen wir aus Kapitel 7: B1 sinh(κr) + B2 cosh(κr) 2 f (t) = Ae±tDκ , rg = C1 sin(κr) + C2 cos(κr)
für „+“
.
für „−“
Für r = 0 sollte allerdings rg(r) verschwinden. Dies wird durch den cosh bzw. den cos verhindert. Aus physikalischem Blickwinkel müssen wir deswegen B2 = 0 und C2 = 0 setzen. Weiterhin muss eine sinnvolle Lösung für t → ∞ konvergieren, weshalb in der f (t)-Lösung das positive Vorzeichen im Exponenten außer Acht gelassen werden kann. Da die g(r)-Lösung aber ebenfalls von jenem Vorzeichen abhängt, können wir den kompletten „+“-Teil vernachlässigen. Dann folgt schließlich 2 f (t) = Ae−tDκ , rg = B · sin(κr) , und folglich als endgültiges Ergebnis: T (r, t) = f (t)g(r) =
11.4.4
C −tDκ2 sin(κr) . e r
(11.20)
Allgemeine Lösung
Per Fourier-Transformation lässt sich im Allgemeinen mit Hilfe von DeltaDistributionen eine komplette Lösung der Diffusionsgleichung geben. Ohne Beweis:
⇒
(∂t − DΔ)T (r, t) = 0 , T (r, 0) gegeben / ( r − r )2 1 T (r, t) = √ d3 x e− 4Dt T (r , 0) . 3 4πDt
(11.21)
Leider artet dies oft in arge Integrale aus. Beispiel 11.3 (Zum Dahinschmelzen . . . ) Die Temperaturverteilung eines Materials sei zum Zeitpunkt t = 0 gegeben durch T (x, 0) = T0 Θ(x)e−βx
11.4 Diffusionsgleichung
273
mit β 1. Wie sieht die Temperaturverteilung T (x, t) aus? Wie ändert sich die Temperatur im Medium im Grenzfall β → 0? Und wie sieht die Langzeitprognose aus? Lösung: Das Verfahren zur Bestimmung der formalen Lösung liefert in diesem Fall keinen gangbaren Weg, wie man beim Ausrechnen sieht. Die Funktion T (x, 0) reproduziert sich leider nicht mehr wieder, auch nicht bei höheren Ableitungen. Wir müssen uns etwas anderes einfallen lassen. Man greife tief in die Trickkiste . . . und ziehe die Fourier-Transformation heraus! Die Hoffnung: Vielleicht lässt sich die Ort-Zeit-Fourier-Transformierte der formalen Lösung, d. h. tDΔ T ˜(k, 0) , T˜(k, ω) = e leichter bestimmen und anschließend in den Realraum transformieren? Wir probieren es aus und berechnen zunächst die Fourier-Transformierte der Anfangstem0 +∞ peraturverteilung T (x, 0), das ist T˜(k, 0) = √12π −∞ dx e−ikx T (x, 0): T˜(k, 0)
=
1 √ 2π
/
+∞
−∞ / +∞
T0 dx e−ikx T0 Θ(x)e−βx = √ 2π
/
+∞
dx e−ikx e−βx
0
∞
T0 1 dx e−x(ik+β) = − √ e−x(ik+β)
, 2π ik + β 0 0 0∞ 0∞ wobei im zweiten Schritt −∞ dx Θ(x)f (x) = 0 dx f (x) verwendet wurde. Durch den β > 0-Term wird das Integral konvergent, da eikx einer Rotation auf dem Einheitskreis entspricht, diese aber beschränkt ist und für x → ∞ wegen −βx → 0. Ergebnis: e−x(ik+β) = e −ikx e =
T0 √ 2π
beschränkt!
T0 1 T˜(k, 0) = √ . 2π ik + β Für die Diffusionsgleichung im Fourier-Raum folgt dann mit der Überlegung, dass ∂x2 → (ik)2 = −k 2 (Kapitel 10): −tDk tDΔ T ˜(k, 0) = e−tDk2 · T˜(k, 0) = √T0 e T˜(k, ω) = e . 2π ik + β 2
Nun der Aufstieg, und wir sind am Ziel: 1 T (x, t) = √ 2π
/
∞
−∞
dk e+ikx T˜(k, ω) =
T0 2π
/
∞ −∞
e+ikx e−tDk . ik + β 2
dk
Igitt, was ist das denn? Bei so einem Integral legt man sich erstmal lang. Es geht zu integrieren, aber dies sparen wir uns aus (in höheren Semestern kommt es in der Funktionentheorie, Stichwort Residuensatz). Wir müssen T (x, t) in dieser Form stehen lassen.
274
11 Partielle Differenzialgleichungen
Weiterhin ist nach der Änderung ∂x T (x, t) der Temperatur im Medium für β → 0 gefragt. Diese können wir allerdings „richtig“ berechnen: Ableiten des Integranden nach x liefert 3 / 4 / 2 2 T0 ∞ e+ikx e−tDk T0 ∞ ikeikx e−tDk dk = dk , ∂x T (x, t) = ∂x 2π −∞ ik + β 2π −∞ ik + β da die x-Ableitung problemlos am k-Integral vorbeigezogen werden darf. Im Grenzfall β → 0 ist dies / 2 T0 ∞ dk eikx−tDk ∂x T (x, t) = 2π −∞ und schon ist das Integral wieder mit unseren Hilfsmitteln lösbar. Diese Integration löst sich per quadratischer Ergänzung, wie wir schon bei der FT der GaußFunktion in Kapitel 10 gesehen haben: 2 ix ix 2 k) = −tD k − 2tD + 4tx2 D2 ikx − tDk2 = −tD(k 2 − tD Dann folgt eingesetzt / / ∞ 2 2 ix ix x2 x2 T0 ∞ T0 − 4tD ∂x T (x, t) = dk e−tD(k− 2tD ) e− 4tD = dk e−tD(k− 2tD ) e 2π −∞ 2π −∞ / ∞ ix 2 2 k→k+ 2tD T0 − x 2 T0 − x π 1 − x2 = dk e−tDk = e 4tD e 4Dt = T0 e 4Dt . 2π 2π tD 4πtD −∞ Ergebnis:
1 − x2 t→∞ e 4tD −→ 0 , 4πDt d. h., irgendwann gibt es keinen Temperaturgradienten mehr. ∂x T (x, t) = T0
11.5
Wellen
11.5.1
Die Wellengleichung
Die wellenförmige Ausbreitung eines Feldes φ = φ(r, t) in einem System wird durch die Wellengleichung ausgedrückt: 1 ∂2 − Δ φ(r, t) =: φ(r, t) = 0 . (11.22) c2 ∂t2 Dabei ist c die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle. Weiterhin wurde ein neuer Differenzialoperator – der d’Alembert-Operator (manchmal auch „Quabla“ genannt) definiert: 1 ∂2 := 2 2 − Δ . (11.23) c ∂t ˙ r, 0) lässt sich eine eindeutige Unter Angabe von Anfangswerten φ(r, 0) und φ( Lösung angeben. Um eine Idee der Lösung dieser hyperbolischen partiellen DGL zu bekommen, schauen wir uns die 1-D-Wellengleichung an.
11.5 Wellen
11.5.2
275
1-D-Wellengleichung
Wir betrachten die 1-D-Wellengleichung 1 ∂2 ∂2 1 ∂2 ∂2 − φ(x, t) = 0 ⇐⇒ φ(x, t) = φ(x, t) . c2 ∂t2 ∂x2 c2 ∂t2 ∂x2
(11.24)
Um eine Idee für den Lösungsansatz zu bekommen, machen wir erneut einen Separationsansatz für φ. Ansatz: φ(x, t) = u(x) · w(t). Eingesetzt in (11.24) folgt 1 ¨ 1 w(t) u (x) u(x)w(t) ¨ = u (x)w(t) ⇔ 2 = . 2 c c w(t) u(x) Die Gleichheit kann nur gelten, wenn beide Seiten konstant sind: ¨ 1 w(t) c2 w(t) u (x) u(x)
=
¨ = −k 2 c2 w(t) , −k2 ⇔ w(t)
=
−k2 ⇔ u (x) = −k 2 u(x) ,
was beide Male auf die DGL des harmonischen Oszillators hinausläuft. Die Lösungen sind im Komplexen w(t) = C1 eikct + C2 e−ikct ,
u(x) = C3 eikx + C4 e−ikx ,
und folglich ergibt sich mit φ(x, t) = u(x)w(t) die Gesamtlösung zu: φ(x, t) = C1 C3 eik(x+ct) + C1 C4 eik(x−ct) + C2 C3 e−ik(x−ct) + C2 C4 e−ik(x+ct) . Es treten somit nur Funktionen in der Lösung auf, die von x − ct und x + ct abhängen.
Ansatz zur Lösung der 1-D-Wellengleichung Zur Bestimmung eines brauchbaren Ansatzes der 1-D-Wellengleichung faktorisieren wir diese zunächst:
1
2 c2 ∂t
− ∂x2 φ(x, t) = 0 ⇐⇒ 1c ∂t − ∂x 1c ∂t + ∂x φ(x, t) = 0 .
Die linke Seite wird null, wenn entweder ( 1c ∂t − ∂x )φ = 0 oder ( 1c ∂t + ∂x )φ = 0 wird. Dies gilt aber genau dann, wenn φ(x, t) = f (x + ct) oder φ(x, t) = f (x − ct) ist. Damit lässt sich der allgemeine Ansatz für die 1-D-Wellengleichung als Linearkombination der Teillösungen schreiben: φ(x, t) = f (x − ct) + g(x + ct) ,
(11.25)
276
11 Partielle Differenzialgleichungen
mit beliebigen Funktionen f und g. Anschaulich entspricht dies einer einlaufenden (g(x + ct)) und auslaufenden (f (x − ct)) Welle. Dass dieser Ansatz die Wellengleichung ( c12 ∂t2 − ∂x2 )φ(x, t) = 0 löst, zeigt folgende kurze Rechnung: 1 2 ∂ (f (x − ct) + g(x + ct)) c2 t
= =
∂x2 [f (x − ct) + g(x + ct)]
=
1 ∂t [(−c)f (x − ct) + cg (x + ct)] c2 1 (−(−c)f + cg ) = f + g , c ∂x (f + g ) = f + g ,
was offensichtlich das Gleiche ist. Beispiel 11.4 (Eine 1-D-Welle) Gegeben sei das Feld u(x, t) = Aei(kx−ωt) mit Kreisfrequenz ω und Amplitude A. Welcher Zusammenhang muss gelten, damit u(x, t) die Wellengleichung erfüllt? Lösung: Einsetzen in die 1-D-Wellengleichung (11.24) liefert 1 2 ∂ u(x, t) c2 t ∂x2 u(x, t)
= =
Aω 2 i(kx−ωt) A 2 i(kx−ωt) A i(kx−ωt) ∂ e = ∂ (−iω)e = − e , t t c2 c2 c2 A∂x2 ei(kx−ωt) = A∂x ikei(kx−ωt) = −Ak 2 ei(kx−ωt) .
In die umgestellte Wellengleichung −
1 2 c2 ∂t φ
= Δφ eingesetzt folgt mit A = 0
Aω 2 i(kx−ωt) ω2 e = −Ak 2 ei(kx−ωt) ⇔ 2 = k 2 . 2 c c
Ergebnis: u(x, t) ist die Lösung der Wellengleichung, wenn ω = ck für die Kreisfrequenz gilt.
D’Alembert’sche Lösung Unter Angabe der Anfangswerte φ(x, 0) =: χ(x) (entspricht anfänglichem Ausse˙ 0) = ψ(x) (entspricht anfänglichem Geschwindigkeitsprofil hen der Welle) und φ(x, der Welle) lässt sich eine weitere (sogenannte D’Alembert’sche) Lösung angeben. Mit obigem Ansatz (11.25) folgt für die Anfangswerte χ(x)
=
ψ(x)
=
φ(x, t = 0) = f (x − c · 0) + g(x + c · 0) = f (x) + g(x) , ˙ t = 0) = −cf (x − c · 0) + cg (x + c · 0) = −cf (x) + cg (x) . φ(x,
Die zweite Gleichung können wir nach x integrieren: f (x) + g(x)
=
−f (x) + g(x)
=
χ(x) , / 1 x dx ψ(x ) . c x0
11.5 Wellen
277
Dieses Gleichungssystem lässt sich nun nach f (x) und g(x) lösen und anschließend in den Ansatz (11.25) einsetzen. Es folgt durch Addition bzw. Subtraktion beider Gleichungen / 1 x Addition: 2g(x) = χ(x) + dx ψ(x ) , c x0 / 1 x dx ψ(x ) , Subtraktion: 2f (x) = χ(x) − c x0 und weiter verzögert um die Laufstrecke ct: 1 g(x + ct) = χ(x + ct) + 2 1 χ(x − ct) − f (x − ct) = 2
1 c 1 c
/
x+ct
/
x0 x−ct
dx ψ(x ) , dx ψ(x ) .
x0
Wir erhalten schließlich in (11.25): φ(x, t)
=
f (x − ct) + g(x + ct)
=
χ(x − ct) + χ(x + ct) 1 + 2 2c
/
x+ct x0
1 dx ψ(x ) − 2c 0 x+ct 1 = 2c
x−ct
/
x−ct x0
dx ψ(x ) .
dx ψ(x )
Ergebnis: Die Lösung der Wellengleichung bei gegebener Ortsverteilung χ(x) und Geschwindigkeitsprofil ψ(x) ist φ(x, t) =
χ(x − ct) + χ(x + ct) 1 + 2 2c
/
x+ct
dx ψ(x ) .
(11.26)
x−ct
Beispiel 11.5 (Wackeln von Kanaldeckeln) An einer stark befahrenen Straße donnern Autos über einen klappernden Kanaldeckel. Dadurch entsteht in der Kanalisation (parallel zur x-Achse) eine Schallwelle, die zum Zeitpunkt t = 0 folgende Randbedingungen erfüllt: n(x, 0) = A + Be−αx , n(x, ˙ 0) = 0 , 2
wobei x die Koordinate parallel zur x-Achse bezeichnet. Wie breitet sich der Schall in der Kanalisation aus? Lösung: Zu lösen ist das eindeutig bestimmte Randwertproblem
1
2 c2 ∂t
2 − ∂x2 n(x, t) = 0 , n(x, ˙ 0) = 0 , n(x, 0) = A + Be−αx .
278
11 Partielle Differenzialgleichungen
Wir haben ein gegebenes Geschwindigkeits- und Ortsprofil zum Zeitpunkt t = 0. In obiger Herleitung können wir identifizieren: χ(x) = n(x, 0) und ψ(x) = n(x, ˙ 0), woraus direkt mit Gleichung (11.26) folgt: A + Be−α(x−ct) + A + Be−α(x+ct) +0 2 2 2 B B A + e−α(x−ct) + e−α(x+ct) . 2 2 2
n(x, t)
= =
2
Das ist schon die Lösung der Wellengleichung unter den gegebenen Anfangswerten. Der zweite Term entspricht dabei einem nach rechts weiterlaufenden gaußförmigen Wellenpaket, der dritte einem nach links laufenden gaußförmigen Wellenpaket.
11.5.3
Kugelsymmetrische Lösung
Wir nähern uns einer Lösung der 3-D-Wellengleichung. Ein Spezialfall in 3-D ist – wie schon bei der Diffusion –, wenn die Wellengleichung radialsymmetrisch wird, d. h. φ(r, t) = φ(r, t) und somit Δφ = 1r ∂r2 rφ(r, t): 1 ∂2 c2 − Δ φ(r, t) = 0 ⇔ φ¨ = ∂r2 (rφ) . (11.27) 2 2 c ∂t r Und schon wieder hilft uns ein Separationsansatz φ(r, t) := f (t)g(r) aus der Klemme. Mit φ¨ = f¨(t)g(r) folgt c2 c2 c2 f¨(t)g(r) = ∂r2 [rf (t)g(r)] = ∂r2 [rf (t)g(r)] = f (t)∂r2 [rg(r)] . r r r Umformen liefert
[rg(r)] f¨(t) = c2 . f (t) rg(r)
Nun erfolgt wieder die gleiche Argumentation wie bei der Diffusion. Die beiden Seiten hängen alleine von t und r ab. Damit die Gleichheit gilt, müssen beide ¨ 2 [rg(r)] 2 Seiten konstant sein. Wir setzen ff (t) (t) = c rg(r) =: −ω und erhalten die beiden separierten DGLs [rg(r)] = −
f¨(t) = −ω 2 f (t) ,
ω2 (rg(r)) c2
mit den harmonischen Lösungen f (t)
=
Aeiωt + Be−iωt ,
rg(r)
=
Cei c r + De−i c r ⇔ g(r) =
ω
ω
ω
ω
Cei c r + De−i c r . r
11.5 Wellen
279
Wir setzen rückwärts in den Separationsansatz ein und erhalten schließlich die gesuchte φ-Lösung: φ(r, t)
= = = =
Cei ωc r + De−i ωc r f (t)g(r) = Aeiωt + Be−iωt · r ω 1 iωt+i ω r iωt−i ω r −iωt+i ω c c c r + BDe−iωt−i c r ACe + ADe + BCe r ω ω ω ω ACei c (ct+r) + ADei c (ct−r) + BCei c (−ct+r) + BDei c (−ct−r) r ω ω ω ω BCei c (r−ct) + ADe−i c (r−ct) + ACei c (r+ct) + BDe−i c (r+ct) . r
Für die Wahl D = 0 und A = B wird dies übersichtlicher und man erkennt die Struktur: ω ω 1 ACei c (r−ct) + ACei c (r+ct) . φ(r, t) = r Die Lösung der 3-D kugelsymmetrischen Wellengleichung ist damit eine Kugelwelle ω φ0 i ωc (r−ct) φ(r, t) = e + ei c (r+ct) . (11.28) r Sie fällt radial nach außen mit ∼ zeigt dies.
1 r
ab und breitet sich kugelförmig aus. Abb. 11.1
Abb. 11.1: Eine Kugelwelle. Die Amplitude fällt radial mit 1r nach außen hin ab.
11.5.4
Ebene Wellen sind einfachste Lösung der 3-D-Wellengleichung
Die einfachsten Lösungen der 3-D-Wellengleichung sind nicht Kugel-, sondern ebene Wellen. Man kann einfach durch Einsetzen in die Wellengleichung zeigen, dass i(k· r −ωt) −i(k· r −ωt) φ(r, t) = φ+ + φ− 0e 0e
(11.29)
als Kombination von aus- und einlaufender Welle eine Lösung der Wellengleichung ist. In Beispiel 11.4 wurde dies schon für eine 1-D-Welle getan. In der Elektrodynamik werden wir die ebenen Wellen näher untersuchen und sehen, dass elektromagnetische Wellen (z. B. Licht) im Vakuum genau diese Form aufweisen. In Abb. 11.2 ist eine ebene Welle dargestellt.
280
11 Partielle Differenzialgleichungen
Abb. 11.2: Darstellung einer ebenen Welle. Deutlich ist das gleichmäßige Schwingungsverhalten in einer Richtung zu erkennen.
Beispiel 11.6 (Spielmannszug aus Kleinkleckersdorf) Auf dem Schützenfest sehen wir (liegt’s am Bier?) den Spielmannszug aus Kleinkleckersdorf mit rechteckigen Trommeln (Seitenlängen a und b) aufmarschieren. Wir fragen uns: Wie schwingt denn solch eine Membran? Lösung: Hierbei handelt es sich um ein 2-D-Problem. Es muss also die 2-DWellengleichung in kartesischen Koordinaten (da Trommel rechteckig!) 1 ∂2φ ∂2φ ∂2φ + 2 = 2 2 2 ∂x ∂y c ∂t gelöst werden. Dies geschieht mal wieder mit dem beliebten Separationsansatz: φ(x, y, t) = f (x)g(y)h(t). Eingesetzt und umgeformt folgt f (x)g(y)h(t) + f (x)g (y)h(t) = ⇔
1 ¨ f (x)g(y)h(t) | : f (x)g(y)h(t) c2
¨ 1 h(t) f (x) g (y) + = 2 . f (x) g(y) c h(t)
Die Gleichheit kann wieder nur gelten, wenn die einzelnen Summanden konstant sind, d. h. f (x) = −p2 , f (x)
g (y) = −q 2 , g(y)
¨ 1 h(t) = −p2 − q 2 . c2 h(t)
Damit folgen die harmonischen Differenzialgleichungen f (x) = −p2 f (x) ,
g (y) = −q2 g(y) ,
¨ = −c2 (p2 + q 2 )h(t) =: −ω 2 h(t) . h(t)
Hier kann man direkt die Eigenfrequenzen der Membran ablesen (aus der ZeitDGL): ω = c p2 + q 2 . Lösen der DGLs liefert f (x) = A sin(px)+B cos(px) , g(y) = C sin(qy)+D cos(qy) , h(t) = E cos(ωt+ϕ) . Dies wären die allgemeinen Lösungen. Nun kommen aber die Randbedingungen ins Spiel. Da die Membran fest im Rechteck eingespannt ist, gelten (Ursprung sei linke vordere Ecke) φ(x = 0, y, t) = 0 , φ(x, y = 0, t) = 0 , φ(x = a, y, t) = 0 , φ(x, y = b, t) = 0 .
11.5 Wellen
281
Hiermit bestimmen wir die Konstanten aus dem allgemeinen Ansatz. f (x) muss !
bei x = 0 verschwinden, damit folgt wegen f (0) = B = 0 sofort B = 0. Analog ergibt sich aus der zweiten Randbedingung D = 0. Somit ergibt sich im Separationsansatz: φ(x, y, t) = f (x)g(y)h(t) = φ0 sin(px) sin(qx) cos(ωt + ϕ) . Die bisher noch nicht verwendeten Randbedingungen legen p und q und damit auch ω fest. Bei x = a und y = b verschwindet ebenso φ (da die Trommel hier fest eingespannt ist, also keine Schwingung möglich ist). Dies bedeutet sin(pa) = 0
⇔
sin(qb) = 0
⇔
mπ , m ∈ N, a nπ q= , n ∈ N. b p=
Ergebnis: Die Membran der Trommel schwingt gemäß mπ nπ x sin y cos(ωm,n t + ϕ) φ(x, y, t) = φ0 sin a b mit den Eigenfrequenzen ωm,n
= c p2 + q 2 = πc
m 2 n 2 + , a b
wobei m und n die Schwingungsmoden darstellen. In Abb. 11.3 sind die Trommelschwingungen veranschaulicht.
Abb. 11.3: Momentanaufnahme der Schwingungsmode m = 3 und n = 2.
282
11 Partielle Differenzialgleichungen
Spickzettel zu partiellen Differenzialgleichungen Partielle DGL = Differenzialgleichung mehrerer Veränderlicher. Es gibt drei wichtige Typen: – Elliptisch: Δφ = 0 (Randwertproblem). ∂ – Parabolisch: ∂t − Δ φ = 0 (Anfangswertproblem). – Hyperbolisch:
∂2
∂t2
− Δ φ = 0 (Anfangswertproblem).
Laplace- und Poisson-Gleichung Δφ = 0 (Laplace), Lösung per Separationsansatz φ(x, y, z) = u(x)v(y)w(z): Harmonische Funktionen! Spezialfall Radialsymmetrie, dann Δ → 1r ∂r2 r mit Lösung φ(r) = − A r + B. Δφ = f (Poisson), Lösung: φ(r) =
1 4π
0
d3 x
f ( r ) | r − r | ;
Δ 1r = −4πδ(r).
----------------P-H-Y-S-I-K----------------Kontinuitätsgleichung Teilchenzahlerhaltung (was reingeht, muss auch wieder raus): n˙ + ∇ · j = 0 (dabei ist n Teilchendichte, j Stromdichte, d. h. Strom pro Querschnittsfläche). Diffusionsgleichung ∂ r, t) = 0 (D ist Diffusionskonstante, beschreibt auch gleichzeitig ∂t − DΔ n( Temperaturausbreitung). Formale Lösung: n(r, t) = etDΔ · n(r, 0), allgemeine Lösung: T (r, t) =
1 √ 3 4πDt
0
d 3 x e−
Wellengleichung – 1-D-Wellengleichung: c12
∂2 ∂t2
( r − r )2 4Dt
T (r , 0) bei gegebenem T (r, 0).
− Δ φ(r, t) =: φ(r, t) = 0.
0 x+ct
1 – D’Alembert’sche Lösung: φ(x, t) = + 2c dx ψ(x ) bei 2 x−ct gegebener Orts- und Geschwindigkeitsverteilung χ(x) ωund ψ(x). ω – Kugelsymmetrischer Fall: Kugelwellen φ(r, t) = φr0 ei c (r−ct) + ei c (r+ct) . – 3-D-Lösung: Einfachste Lösung sind ebene Wellen χ(x−ct)+χ(x+ct)
i(k· r −ωt) −i(k· r −ωt) φ(r, t) = φ+ + φ− . 0 e 0 e
12 Einfache Anwendungen in der Mechanik
Übersicht 12.1
Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
12.2
Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
12.3
Energie, Impuls und Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
12.4
Rotationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
12.5
Teilchen im Potenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
12.6
Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
12.7
Rotation eines Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
In diesem und im nächsten Kapitel werden wir die in den bisherigen Kapiteln erlernten mathematischen Methoden anhand ausgewählter Themen aus der Mechanik und Elektrodynamik anwenden. Wir starten mit der Mechanik.
12.1
Grundbegriffe
Wir klären zunächst einige Grundbegriffe, die zur Beschreibung mechanischer Probleme benötigt werden. Wenn im Folgenden von Teilchen die Rede ist, sind Punktmassen gemeint. Das sind Massen, die keine Ausdehnung besitzen und deren Massendichte somit per Delta-Distribution beschrieben werden kann: (r) = mδ(r − a) (erinnere: [δ(r − a)] = Masse m sitzt.
1 m3 ).
Dabei ist a die Stelle, an der die Punktmasse mit
Teilchen bewegen sich unter Einwirkung eines Kraftfeldes F (r) (z. B. Gravitationskraft) auf Bahnen r(t) mit einer Geschwindigkeit v (t) = r˙ und Bahnbeschleunigung r¨ = a. Der durchlaufende Parameter entlang der Bahn ist die Zeit t. Sie ist in der Newton’schen Mechanik universell (d. h., die Zeit vergeht immer und
284
12 Einfache Anwendungen in der Mechanik
überall gleich schnell). Die physikalischen Einheiten der genannten Größen sind zusammengefasst [m] = 1 kg, [t] = 1 s, [r] = 1 m, [v ] = 1
12.2
kg · m m m . , [a] = 1 2 , [F ] = 1 N = 1 s s s2
Newton
Wir lernen nun eine der ersten fundamentalen Beziehungen der Physik kennen: die Newton-Gleichung. Viele Begebenheiten in der klassischen Mechanik bauen auf dieser Gleichung auf. Wir werden im Laufe des Kapitels einige diskutieren.
12.2.1
Newton’sche Axiome
Newton stellte seinerzeit drei wesentliche Axiome auf: 1. Ein Körper bleibt in Ruhe bzw. behält seine Bewegung bei, solange keine Kräfte auf ihn wirken. 2. Die Kraft ist die zeitliche Änderung des Impulses p = mv , d. h. F = p˙. 3. Actio = Reactio bzw. Kraft = Gegenkraft. Axiom 1 kennen wir aus der Erfahrung bei einer Vollbremsung. Bewegen wir uns geradlinig gleichförmig im Auto und der Fahrer muss sich plötzlich auf die Bremse stellen, so würde unser Körper sich gerne weiter geradlinig gleichförmig in Fahrtrichtung bewegen. Allerdings verhindert dies der Gurt und zwingt uns abrupt die negative Beschleunigung des Autos auf, ändert also unseren Bewegungszustand. Eine Tasche auf der Rückbank bewegt sich dagegen ungehindert weiter geradlinig gleichförmig fort, bis sie durch die Frontscheibe kracht. Axiom 1 ist auch unter dem Namen Trägheitsgesetz bekannt. Das zweite Axiom liefert uns die sogenannten Newton’schen Bewegungsgleichungen für viele klassische Probleme in der Natur. Diese werden wir im Folgenden betrachten. Auf den Impuls p = mv kommen wir in Abschnitt 12.3.2 noch ausführlich zu sprechen. Axiom 3 bedeutet, dass es, sobald eine Kraft auf ein Objekt wirkt, eine Gegenkraft geben muss. Legt man z. B. eine Masse auf den Tisch, so versucht die Gewichtskraft die Masse in Richtung Erdmittelpunkt zu ziehen. Dagegen stemmt sich jedoch der Tisch und baut eine Kraft entgegengesetzt zur Gewichtskraft auf. Diese Gegenkraft verhindert, dass die Masse die Tischplatte durchbricht. Das dritte Gesetz besagt weiterhin, dass Kraftwirkungen ohne jegliche Zeitverzögerung (instantan) geschehen. Diese Annahme gilt nur auf kleinen Längenskalen.
12.2 Newton
285
Auf großen Skalen sind die Kraftwirkungen nicht mehr instantan, sondern benötigen eine gewisse Zeit, um sich bemerkbar zu machen. Sie können sich maximal mit Lichtgeschwindigkeit (c = 300.000 km/s) ausbreiten. Auf kleinen Skalen, auf denen sich unsere Probleme in diesem Buch abspielen, gilt aber in guter Näherung actio = reactio.
12.2.2
Newton’sche Bewegungsgleichung
Ist die Kraft F auf eine Masse m bekannt und wird nach der Bahn r(t) des Teilchens gefragt, das sich unter der Krafteinwirkung bewegt, so hilft die Newton’sche Bewegungsgleichung weiter: p˙ = F (t, r, r˙ ) (zweites Axiom). Hierbei ist F ein beliebiges Kraftfeld in Abhängigkeit von Zeit, Ort und Geschwindigkeit. Die zeitliche Änderung des Impulses wird also durch eine Kraft bedingt. Wir schreiben um: d p˙ = (mv ) = m ˙ v + mv˙ = F . dt
(12.1)
Wenn sich nun während der Bewegung die Masse des bewegten Objekts nicht ändert, ist m ˙ = 0 und es folgt mit den Anfangsbedingungen r˙ (t = 0) (Startgeschwindigkeit) und r(t = 0) (Startpunkt) die eindeutig bestimmte Newton’sche Bewegungsgleichung mr¨ = F (t, r, r˙ ) ,
r˙ (0) = v0 ,
r(0) = r0
(12.2)
oder auch durch Reduktion der Ordnung über v = r˙ (sofern F nicht explizit von r abhängt): mv˙ = f(t, v ) , v (0) = v0 . (12.3) Beispiel 12.1 (Freier Fall ohne Luftreibung) Eine Münze (m) wird vom Anzeiger-Hochhaus in Hannover (Höhe h) fallen gelassen. Mit welcher Geschwindigkeit kracht diese auf die Straße? Lösung: Die wirkende Kraft, die die Bewegung der Münze vorherbestimmt, ist die = (0, 0, −mg). Es gilt also nach den Newton’schen BewegungsGewichtskraft G = (0, 0, −mg). Da der Fall der Münze nur in z-Richtung gleichungen: mr¨ = G verläuft, schränken wir die Bewegung auf diese ein und enden auf dem zu lösenden Problem m¨ z (t) = −mg , z(t ˙ = 0) = 0 , z(t = 0) = h mit den Anfangsbedingungen Starthöhe z(0) = h und Anfangsgeschwindigkeit z(0) ˙ = 0 (Münze wird nur fallen gelassen). Die Lösung der DGL kann dann direkt durch zweifaches Aufleiten bestimmt werden: z¨(t) = −g =⇒ z(t) ˙ = −gt + A =⇒ z(t) = − 12 gt2 + At + B .
286
12 Einfache Anwendungen in der Mechanik
Die Integrationskonstanten A und B bestimmen wir mit den Anfangsbedingungen, wie es in Kapitel 7 vorgeführt wurde: !
z(0) = B = h ⇒ B = h ,
!
z(0) ˙ = A = 0 ⇒ A = 0.
Ergebnis: Die Masse fällt auf der Bahn
r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = 0, 0, h − 12 gt2 mit der Geschwindigkeit v (t) = (0, 0, −gt), was sich durch einfache zeitliche Ableitung aus der Bahn ergibt. Der Aufschlag auf der Straße erfolgt zu dem Zeitpunkt, wenn die Münze sich auf der Höhe z(t) = 0 befindet; das bedeutet h − 12 gt2 = 0 =⇒ t = 2h g =: tA . Zum Aufschlagszeitpunkt tA hat die Masse einen Geschwindigkeitsbetrag von 2gh , vA := |v (t = tA )| = +gtA = g 2h g = und diese ist unabhängig von der Masse! Zahlenbeispiel: h = 60 m, dann ist vA ≈ 34 ms (etwa 123 km/h) und das könnte einem armen Fußgänger auf der Straße schon mal eine arge Kopfverletzung einbringen. (Tatsächlich bremsen die Luftreibung und das Rotieren der Münze den Fall auf etwa 35 km/h ab.)
Newton’sche Bewegungsgleichung mit zeitabhängiger Masse Gleichung (12.2) gilt nur für Massen, die sich nicht in der Zeit ändern. Hat man aber eine veränderliche Masse vorliegen (wie es z. B. bei einer Rakete der Fall ist), so kann nicht mehr die vereinfachte Form der Newton’schen Bewegungsgleichungen mit m ˙ = 0 verwendet werden. Vielmehr muss jetzt der zusätzliche Summand mit veränderlicher Masse aus (12.1) mitgeschleppt werden: m ˙ v + mv˙ = f(t, v ) ,
v (0) = v0
(12.4)
bzw. m ˙ r˙ + mr¨ = F (t, r, r˙ ) ,
v (0) = v0 ,
r(0) = r0 .
(12.5)
In Abschnitt 12.3.2 werden wir ein Beispiel mit zeitabhängiger Masse diskutieren (Beispiel 12.9).
12.2.3
Wichtige mechanische Kräfte
Die folgenden Kräfte sollte man sich einprägen und stets zum Aufstellen der Newton’schen Bewegungsgleichungen bereit haben:
12.2 Newton
287
Gewichtskraft F = −mg · e3 , F = mg. Sie wirkt auf einen Körper der Masse m im Schwerefeld der Erde (in guter Näherung bis zur Höhe von einigen Kilometern über der Erdoberfläche) und beschleunigt ihn zum Erdmittelpunkt. Die konstante Gewichtskraft ergibt sich als Näherung des Newton’schen Gravitationsgesetzes für kleine Abstände von der Erde. Gravitationskraft F (r) = mg = −γ
mM r − r · , |r − r |2 |r − r |
F =γ
mM , |r − r |2
(12.6)
3
m wobei γ = 6.6 · 10−11 kg·s g ein Gravi2 die Gravitationskonstante ist und tationsfeld beschreibt. Wir erklären (12.6) anhand von Abb. 12.1.
Abb. 12.1: Gravitationskraft. Links: Darstellung des Gravitationsfeldes g einer Punktmasse M . Die Feldlinien zeigen immer zur Masse hin. Rechts: Zur Notation.
Eine Masse M (z. B. ein Stern) am Punkt r erzeugt ein Gravitationsfeld g (r). Bringt man eine Masse m (z. B. ein Satellit) an den Punkt r , so übt das Gravitationsfeld des Sterns eine Kraft F = mg (r) auf den Satelliten aus. Der Stern zieht den Satelliten an (und umgekehrt). Das wirkende Kraftfeld F (r) zeigt vom Ort der Masse m entlang der Verbindungslinie −(r −r) = r −r , d. h. auf den Stern M zu. Der Satellit m wird daher zum Stern hin beschleunigt, was man als Anziehung bezeichnet. Dabei ist die Gravitationskraft umso stärker, je näher die Testmasse m der Masse M kommt. Die Feldstärke F fällt invers quadratisch im Abstand |r − r | der Massen, d. h., je weiter der Satellit vom Stern entfernt ist, umso schwächer wird die Anziehung. Federkraft Lenkt man eine Feder mit Federkonstanten κ um die Auslenkung r durch Anhängen eines Gewichts m aus, so versucht die Feder entgegengesetzt zur Auslenkung die Masse wieder zurück in den Ausgangszustand zu ziehen: F (r) = −κr ,
F = −κr .
(12.7)
Mit Federn werden wir uns noch ausführlich in Abschnitt 12.6.2 im Zusammenhang mit Schwingungen befassen. Rückstellkraft im harmonischen Oszillator Generell gilt für jedes harmonische Oszillator-System, in dem die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung der Masse m ist: F (r) = −mω 2r . Hierbei beinhaltet ω = 2πf die Schwingungsfrequenz f .
(12.8)
288
12 Einfache Anwendungen in der Mechanik
(Viskose) Reibungskraft F (v ) = −αv ,
F = αv .
(12.9)
Die Reibungskraft bremst eine beliebige Bewegung einer Masse m umso stärker ab, je schneller die Bewegung verläuft, d. h. je größer die Geschwindigkeit von m ist. Obige spezielle Form wird viskose Reibung genannt. Wir kommen hierauf in Abschnitt 12.6.2 zurück. Generell sind Reibungskräfte geschwindigkeitsabhängig, d. h. F = F (v ). Beispiel 12.2 (Freier Fall mit Luftreibung) Statt eine Münze vom Anzeiger-Hochhaus zu werfen, machen wir den Selbstversuch und gehen Fallschirmspringen. Wir springen zum Zeitpunkt t = 0 von einer sehr hohen Steilklippe. Im senkrechten freien Fall erfährt man durch Luftreibung eine Kraft F (v) = −αv. Was ist dann v(t) = ? Welche Grenzgeschwindigkeit v∞ = v(t → ∞) wird erreicht? Lösung: Aufgrund der zusätzlich zur Gewichtskraft wirkenden Reibungskraft F = −αv muss die DGL aus Beispiel 12.1 abgeändert werden zu m¨ z = −mg − αv(t) . Per Reduktion der Ordnung können wir die DGL auf eine gewöhnliche DGL erster Ordnung rückführen: z¨ = v. ˙ Damit folgt das zu lösende Problem: mv˙ = −mg − αv(t) , v(0) = 0 . v(0) = 0 gilt, da wir zum Zeitpunkt t = 0 abspringen und noch keine vertikale Geschwindigkeit besitzen. Zur Lösung der DGL werfen wir zunächst den additiven Term −mg durch Einführen einer neuen Funktion heraus: v(t) = u(t) − mg α und v˙ = u. ˙ Einsetzen ergibt
mu˙ = −mg − α u(t) −
mg α
= −mg − αu(t) + α mg α = −αu(t) .
α u(t) und das wird mit all unserer Erfahrung Division durch m liefert u(t) ˙ = −m aus Kapitel 7 durch α u(t) = Ae− m t
gelöst. Rücktransformation nach v(t) liefert v(t) = u(t) −
α mg = Ae− m t − α
mg α
.
Das ist die allgemeine Lösung der DGL. Zur Bestimmung der Konstanten A ziehen wir die Anfangsbedingung v(0) = 0 heran: v(0) = A −
mg α
=0 ⇔ A=
mg α
.
12.2 Newton
289
Endgültiges Ergebnis: v(t) =
mg α
α e− m t − 1 ,
wobei negatives v bedeutet, dass wir nach unten fallen: v (t) = (0, 0, v(t)). Nach langem Fall nähert sich die Geschwindigkeit der Grenzgeschwindigkeit v(t → ∞) = − mg α an.
12.2.4
Konservative Kräfte, Zentralkräfte
In Abschnitt 12.2.3 haben wir fünf spezielle Kräfte kennengelernt. Wir werden nun besondere Eigenschaften von Kraftfeldern kennenlernen, die es uns ermöglichen, etliche physikalische Probleme einfacher zu lösen.
Konservative Kräfte Ein Kraftfeld F (r) heißt konservativ oder Gradientenfeld, wenn es ein Potenzial V gibt mit F (r) = −∇V (r) . (12.10) Für Teilchen, die sich in V bewegen, macht sich das Potenzial durch die Kraft F (r) bemerkbar. Reibungskräfte sind keine konservativen Kräfte, z. B. F = −αv . Sie besitzen kein Potenzial. Eine notwendige (aber für beliebige Gebiete nicht hinreichende) Bedingung für die Existenz eines Potenzials ist rot F = ∇ × F (r) = 0 .
(12.11)
Wenn F im gesamten Raum definiert ist, ist ∇× F = 0 notwendig und hinreichend. Beispiel 12.4 weiter unten demonstriert dies. Dass F = −∇V direkt ∇ × F = 0 impliziert, sieht man durch folgende kurze Rechnung in Indizes ein: (∇ × F )i = −(∇ × ∇V )i = −εijk ∂j (∂k V ) = − εijk ∂j ∂k V = 0 .
=0
Da der Levi-Civita-Tensor εijk total antisymmetrisch, die zweifache partielle Ableitung ∂j ∂k aber symmetrisch ist (Satz von Schwarz, Ableitungen vertauschen!), ergibt die Kontraktion null (s. Kapitel 3). Beispiel 12.3 (Potenzial aus Kraft) Besitzt die Kraft
F =
4y 1+4xy
x
+ 2e ,
4x 1+4xy
+
√ y 2,0 1+y
290
12 Einfache Anwendungen in der Mechanik
ein Potenzial? Man bestimme dies gegebenenfalls. Lösung: Um zu überprüfen, ob F überhaupt ein Potenzial besitzt, berechnen wir die Rotation und schauen, ob ∇ × F = 0: 4y 0 +2ex ∂x 1+4xy 0 4x ∂y × 1+4xy +√ y = . 4y 4x 1+y 2 ∂x 1+4xy +√ y −∂y ( 1+4xy +2ex ) ∂z 1+y 2 0
Berechnen der partiellen Ableitungen liefert y 4x √ ∂x 1+4xy + = 4·(1+4xy)−4x(4y) +0= (1+4xy)2 1+y 2 4y + 2ex = 4·(1+4xy)−4y(4x) +0= ∂y 1+4xy (1+4xy)2
4 (1+4xy)2
,
4 (1+4xy)2
.
so dass auch die dritte Komponente in der Rotation null wird, d. h. ∇ × F = 0. Damit existiert ein Potenzial. Zentrale Gleichung zur Bestimmung eines Potenzials aus einer Kraft ist F = −∇V . In Komponenten aufgespalten bedeutet dies −∂x V = F1
=
−∂y V = F2
=
4y 1+4xy 4x 1+4xy
−∂z V = F3
=
0.
+ 2ex , +√y
1+y2
,
Hieraus bestimmen wir nun nacheinander nach dem folgenden Verfahren das Potenzial V . Wir starten mit der ersten Gleichung: / 4y 4y x + 2ex . −∂x V = 1+4xy + 2e =⇒ V = − dx 1+4xy Den zweiten Summanden kann man direkt integrieren. Der erste sperrt sich ein bisschen. Wie kommt beim Ableiten nach x ein 1 + 4xy in erster Potenz in den Nenner? Richtig, indem vorher ein 1 + 4xy im Logarithmus stand. Als innere Ableitung springt ein 4y heraus, was exakt passt. Somit ergibt sich als erster Ansatz V = − ln(1 + 4xy) − 2ex + A(y, z) . (∗) Ein Wort zur Konstanten: F1 ergibt sich aus V durch Ableiten nach x. Leiten wir unser bisheriges V nach x ab, so sieht die x-Ableitung keine Terme, die von y und z abhängen. Dies wird durch die Konstante A(y, z) berücksichtigt, welche wir nun bestimmen müssen. Dazu verwendet man die F2 -Gleichung: −∂y V
(∗)
=
∂ − ∂y [− ln(1 + 4xy) − 2ex + A(y, z)]
=
4x 1+4xy
−
∂A ! ∂y =
F2 =
4x 1+4xy
+√y
1+y 2
.
12.2 Newton
291
Durch Koeffizientenvergleich folgt √y − ∂A ∂y =
1+y 2
=⇒ A(y, z) = − 1 + y 2 + B(z) ,
was man leicht durch Ableiten nach y überprüfen kann. Auch hier muss wieder eine Konstante hinzuaddiert werden, die jetzt jedoch nur noch von z abhängen kann (die x-Abhängigkeit steckt schon komplett in der Lösung der ersten Komponente F1 = −∂x V ). Damit folgt das upgedatete Potenzial zu V = − ln(1 + 4xy) − 2ex − 1 + y2 + B(z) . Eine analoge Prozedur wird für die Bestimmung von B(z) durchgezogen (diesmal unter Einbeziehung der F3 -Gleichung): −∂z V =
x ∂ ∂z [− ln(1+4xy)−2e −
1 + y 2 +B(z)] = −B (z) = 0 ⇒ B(z) = const. !
Wir dürfen der Einfachheit halber additive Konstanten im Potenzial null setzen (die Begründung folgt im nächsten Abschnitt). Damit ergibt sich insgesamt für das Potenzial V (x, y) = − ln(1 + 4xy) − 2ex − 1 + y 2 .
Beispiel 12.4 (Gegenbeispiel) 1 −y Besitzt die Kraft F = x2 +y 2 ( x ) ein Potenzial? Lösung: Wir berechnen die Rotation. Das Feld F ist allerdings nur zweidimensional, so dass wir die dritte Koordinate der Rotation gedacht null setzen. Dann ist die einzig nichttriviale Bedingung (∇ × F )3 = ∂x F2 − ∂y F1 . Hier ist dies: x − ∂y x2−y (∇ × F )3 = ∂x F2 − ∂y F1 = ∂x x2 +y 2 2 +y =
1(x2 +y 2 )−x·2x (x2 +y 2 )2
=
−x2 +y 2 (x2 +y 2 )2
−
−
−1(x2 +y 2 )−(−y)2y (x2 +y 2 )2
−x2 +y 2 (x2 +y 2 )2
= 0.
Damit ist ∇ × F = 0. Dennoch existiert kein Potenzial, da unser Bestimmungsverfahren über F = −∇V versagt: −∂x V
=
F1 =
−y x2 +y 2
=
−∂y V
=
F2 =
x x2 +y 2
.
Wir erinnern uns an [arctan(u)] =
1 1+u2 .
1 −y y 2 x2 y 2 +1
= − y1
1 x ( y )2 +1
,
Dann folgt aus der ersten Gleichung:
V = arctan( xy ) + A(y)
292
12 Einfache Anwendungen in der Mechanik
(man mache die Probe durch Ableiten; der Faktor heraus). Dieses vergleichen wir mit F2 : ∂V = − yx2 1x2 + A (y) = ∂y 1+ y 2
−x x2 +y 2
1 y
kommt durch die Kettenregel
+ A (y) = F2 = !
x x2 +y 2
.
In F2 steht allerdings der Term x2+x +y 2 , welcher von x und y abhängt. Also kann hiermit nicht A (y) bestimmt werden und somit ist es auch nicht mit F2 konsistent (der Koeffizientenvergleich versagt). Aus diesem Grund besitzt F kein Potenzial, obwohl ∇ × F = 0!
Zentralkraftfelder Eine weitere Kategorie bilden die sogenannten Zentralkräfte: r F heißt Zentralkraft ⇐⇒ F (r) = F (r) · . |r|
(12.12)
Wegen |F (r)| = F (r) hängt eine Zentralkraft nur vom Abstand r von der Quelle ab, nicht jedoch von der genauen Position im Raum. Daher macht es oft Sinn, Zentralkräfte in Kugelkoordinaten zu berechnen. Beispiel 12.5 (Kraft aus Potenzial) Für das Lennard-Jones-Potenzial V (r) = ε ra12 − man das Kraftfeld F (r). Ist F eine Zentralkraft?
b r6
aus Beispiel 4.9 berechne
Lösung: Wir berechnen die Kraft als negativen Gradienten des Potenzials. V ist gegeben, wir müssen nur ableiten. Hier gilt dann mit der Regel ∇f (r) = f (r) rr : ∇V (r) = V (r) ·
r r
= ε − 12a r 13 +
6b r7
·
r r
=⇒ F (r) = −∇V = ε
was offensichtlich eine Zentralkraft ist, da es die Form (. . .) ·
r | r|
12a r 13
−
6b r7
·
r r
,
besitzt.
In der Tat ist jede Kraft eine Zentralkraft, wenn das dazugehörige Potenzial V = V (r) nur von Abstand r vom Ursprung abhängt, d. h. rotationsinvariant ist: r V = V (r) ⇐⇒ F = −V (r) ist Zentralkraftfeld . r
(12.13)
Spickzettel zu Newton Newton’sche Axiome a) Ein Körper bleibt in Ruhe bzw. behält seine Bewegung bei, solange keine Kräfte auf ihn wirken. mit Impuls p b) p ˙ = F = mv . c) actio = reactio.
12.3 Energie, Impuls und Arbeit
293
Newton-Gleichung (t, r, r˙ ) mit Anfangsbedingungen v (0) = v0 (AnAllgemein: p ˙ = m ˙ r˙ + mr¨ = F fangsgeschwindigkeit), r(0) = r0 (Startort), meist allerdings m ˙ = 0, so dass die (t, r, r˙ ) mit AB r˙ (0) = v0 , r(0) = r0 die Bewegung eines Lösung von mr¨ = F Teilchens vollständig determiniert. Wichtige Kräfte = −mge3 . – Gewichtskraft F (r) = mg = −γ mM 2 · – Gravitationskraft F | r − r | (r) = −κr, r Auslenkung. – Federkraft F
r − r | r − r | .
(r) = −mω 2r. – Rückstellkraft im harmonischen Oszillator: F (v ) = −αv . – Reibungskraft F Konservative Kraftfelder, Potenzial ist konservativ oder Gradientenfeld, genau dann, wenn F = −∇V (Rei– F bungskräfte sind nicht konservativ!). = 0. – Notwendige Bedingung: ∇ × F Zentralfeld. – Spezialfall: V = V (r) (rotationssymmetrisch), dann heißt F
12.3
Energie, Impuls und Arbeit
12.3.1
Energiesatz und Potenzial
Bewegen sich Teilchen in konservativen Kraftfeldern, so lässt sich ein weiterer Erhaltungssatz – der Energiesatz – herleiten. Dies gelingt über die Newton’schen Bewegungsgleichungen. Wegen F = −∇V können wir schreiben: mr¨ = F (t, r, r˙ ) = −∇V (r(t)) .
(12.14)
V (r(t)) ist dabei das im vorhergehenden Abschnitt eingeführte Potenzial, in welchem sich ein Teilchen der Masse m auf der Bahn r(t) bewegt. Nun kommt ein Trick: Wir multiplizieren die Gleichung mit r˙ . Dann folgt mr˙ · r¨ = −r˙ · ∇V (r(t)) . Schreibt man beide Seiten als zeitliche Ableitung, so erhält man durch Rückwärtsanwendung der Kettenregel
dr ∂V (r(t)) d m ˙ 2 d d m ˙ 2 =− · r = − V (r(t)) ⇐⇒ r + V (r(t)) = 0 . dt 2 dt ∂r dt dt 2 Integration nach der Zeit liefert schließlich den Energiesatz m ˙2 r + V (r(t)) = E = constt . 2
(12.15)
294
12 Einfache Anwendungen in der Mechanik
Wenn also F konservativ ist, dann existiert eine zeitlich konstante Größe E, die Energie. Sie ergibt sich als Summe aus kinetischer Energie T := m r˙ 2 und 2 dem Potenzial (oder auch potenzieller Energie) V (r(t)) entlang der Bahn r(t). Anders gesagt: Die Energieformen können ineinander ohne Verluste umgewandelt werden (Energieerhaltung), sofern das zugrunde liegende Kraftfeld, in dem sich das Teilchen bewegt, konservativ ist. Die gute Nachricht: Wir werden im Rest des Kapitels nur noch mit konservativen Kraftfeldern zu tun haben. Die Umwandlungsmöglichkeit der Energieformen macht man sich beispielsweise bei der Achterbahn zunutze. Zunächst erhält die Bahn potenzielle Energie (z. B. durch Seilzug auf den Hügel), welche dann in der Abwärtsbewegung in kinetische Energie umgewandelt wird und die Fahrt erst rasant macht.
Wichtige Potenziale Hier ist eine Zusammenstellung einiger Potenziale. Zu jedem Potenzial ist auch die zugehörige Kraft F = −∇V angegeben. Lagepotenzial V (z) = mgz =⇒ F = −mge3 ,
(12.16)
wobei z die Höhe über der Erdoberfläche ist. Die zugehörige Kraft ist die Gewichtskraft. Gravitationspotenzial V (r) = −γ
mM |r − r |
=⇒ F (r) = −γ
mM r − r . |r − r |2 |r − r |
(12.17)
Federpotenzial
κ 2 =⇒ F (r) = −κr , r 2 wobei r die Auslenkung aus der Ruhelage der Feder ist. Potenzial des harmonischen Oszillators V (r) =
V (r) =
mω 2 2 =⇒ F (r) = −mω2r . r 2
(12.18)
(12.19)
Erinnere: Reibungskräfte besitzen kein Potenzial. Zwei Beispiele demonstrieren den Umgang mit dem Energiesatz. Bei beiden Aufgaben wird Gebrauch von der verlustfreien Umwandlung der Energien gemacht.
12.3 Energie, Impuls und Arbeit
295
Beispiel 12.6 (Achterbahn) Schützenfest Hannover: Eine Achterbahn werde auf einen Hügel der Höhe h gezogen und durchfahre nach steiler Abfahrt einen kreisförmigen Looping des Radius R. Wie hoch muss h sein, damit die Leute am höchsten Punkt des Loopings nicht aus ihren Sitzen fallen? Man stelle hierzu r(t) im Looping auf, berechne v (t) und a(t) und verwende den Energiesatz. Lösung: Wir stellen zunächst die Bahnkurve r(t) im Looping gemäß Abb. 12.2 auf. Hierbei handelt es sich um ein 2-D-Problem.
r(t). Mit (0, R) Abb. 12.2: Zum Aufstellen der Bahnkurve
Es ist r(t) =
x(t) z(t)
springt man ins Zentrum des Loopings und kann dann eine Kreisdrehung addieren, die für t = 0 bei (0, 0) beginnt und gegen den Uhrzeigersinn dreht, also x(t) = R sin(ϕ(t)) und z(t) = −R cos(ϕ(t)).
= ( R0 ) +
R sin(ϕ(t)) −R cos(ϕ(t))
=
R sin(ϕ(t)) R−R cos(ϕ(t))
=R
sin(ϕ(t)) 1−cos(ϕ(t))
,
stets beachtend, dass ϕ = ϕ(t) ein zeitabhängiger Winkel ist, der bei Loopingeinfahrt anfängt zu zählen und dessen Abhängigkeit nicht explizit gegeben ist. Nun können wir hieraus die Geschwindigkeit per Ableitung nach der Zeit bestimmen: d sin(ϕ(t)) ϕ˙ cos(ϕ(t)) R 1−cos(ϕ(t)) = R ϕ˙ sin(ϕ(t)) = Rϕ˙ ( sc ) . v (t) = r˙ = dt Die Bedingung, dass die Passagiere am höchsten Punkt des Loopings nicht aus ihren Sitzen fallen sollen, kann man auch so auffassen, dass am höchsten Punkt die Momentanbeschleunigung der Fahrgäste entgegengesetzt zur Erdbeschleunigung sein muss und der Betrag mindestens g ist. Um dies zu benutzen, berechnen wir die Beschleunigung: d ϕ˙ cos(ϕ(t)) ϕ ¨ cos(ϕ(t))−ϕ˙ 2 sin(ϕ(t)) a = r¨ = R ϕ˙ sin(ϕ(t)) = R ϕ¨ sin(ϕ(t))+ϕ˙ 2 cos(ϕ(t)) = Rϕ¨ ( sc ) + Rϕ˙ 2 ( −s c ). dt Der kritische Punkt, an dem die Passagiere am ehesten aus dem Looping herausfallen können, ist am obersten Punkt des Loopings, d. h. bei ϕ = π. Dort gilt für die Beschleunigung 0 −Rϕ¨ + Rϕ˙ 2 −1 = −Rϕ˙ 2 . a(ϕ = π) = Rϕ¨ −1 0 ϕ˙ 2 ist allerdings zeitabhängig und nicht bekannt. Befragen wir dazu doch einmal den Energiesatz. Dieser lautet mit dem zeitabhängigen Lagepotenzial mgz(t) (zeitabhängig, da die Bahn sich auf- und abwärts im Looping bewegt): 2 ˙ 2 +V (r(t)) = m R2 ϕ˙ 2 cos(ϕ(t)) +mgz(t) = m R2 ϕ˙ 2 +mgR(1−cos(ϕ(t))) . r E= m 2 2 2 sin(ϕ(t))
=1
296
12 Einfache Anwendungen in der Mechanik
Dies kann nach ϕ˙ 2 umgestellt werden: ϕ˙ 2 = 2 ·
E−mgR[1−cos(ϕ(t))] mR2
.
Einsetzen in die z-Komponente der Beschleunigung beim Winkel ϕ = π (denn nur die interessiert uns!) und Betragsbildung liefert Rϕ˙ 2 = 2 ·
E−mgR(1−cos(π)) mR
=2·
E−2mgR mR
.
Die gleiche Energie E muss die Bahn aber auch besitzen, wenn sie vom Hügel herabstürzt (da E nach Energiesatz für alle Zeiten den gleichen Wert besitzt). Kurz vor Abfahrt hat sie E = 0 + mgh = mgh (keine kinetische Energie, alle Energie ist in der potenziellen Energie gespeichert). Dies können wir verwenden, um h zu bestimmen. Am höchsten Punkt des Loopings muss gelten: az ≥ g ⇔ 2 ·
E−2mgR mR
=2·
mgh−2mgR mR
≥ g ⇔ h ≥ 52 R .
Ergebnis: Die Bahn muss mindestens bei 52 R starten, damit sie einen Looping vom Radius R durchqueren kann. Beispiel 12.7 (Bungee-Jumping) Schützenfest die Zweite: Wir (Masse m = 80 kg) wollen einen Bungee-Sprung von einer Plattform der Höhe h = 60 m machen. Kurz vor dem Sprung bekommen wir allerdings kalte Füße und wollen lieber nochmal sichergehen, dass das Seil (Federkonstante κ = 200 N/m, Ruhelänge 0 = 35m) korrekt gewählt wurde. Wie nah würden wir dem Boden kommen? Wie groß wäre die maximale Kraft, die das Seil auf uns ausübt? Lösung: Zunächst überlegen wir uns, wie weit sich das Seil maximal unter unserer Last beim Fall dehnen kann und wie hoch wir dann noch über dem Erdboden wären. Bei maximaler Dehnung des Seils gilt im Umkehrpunkt des Sprungs (d. h. dort, wo unser Fall stoppt und wir durch das Seil wieder nach oben beschleunigt werden) nach Energiesatz mgh =
κ (h − z − 0 )2 + mgz , 2
denn die gesamte Lageenergie von der Plattform (mgh) wird zunächst in kinetische Energie beim Fall umgewandelt (die uns aber nicht weiter interessiert) und kurze Zeit später dann in die Federenergie des gedehnten Bungee-Seils (der erste Term auf der rechten Seite) nebst restlicher potenzieller Energie (mgz) umgewandelt. Hierbei ist z die gesuchte Höhe über dem Erdboden. Zur einfacheren Rechnung definieren wir u := h − z als die Fallstrecke. Dann formt sich die obige Gleichung nach u wie folgt um: mgu =
κ (u − 0 )2 ⇔ u2 − 2u0 − 2
2mgu κ
+ 20 = u2 − 2(0 +
mg κ )u
+ 20 = 0 .
12.3 Energie, Impuls und Arbeit
297
Die P-Q-Formel liefert mg 2 mg mg mg 2 mg 2 0 + − 0 = 0 + + 20 u = 0 + ± ± , κ κ κ κ κ wobei nur die positive Lösung betrachtet wird, da u = h − z > 0 gelten muss (sonst wirkt ja keine Kraft). Mit den Zahlenwerten folgt u ≈ 56 m, was gerade noch so gut gehen würde (der Umkehrpunkt befände sich damit 4 m über dem Erdboden). Die Seilkraft ist maximal am Umkehrpunkt (die Feder ist maximal ausgedehnt). Dort wirkt auf uns die Rückstellkraft (erinnere: F = −κr für die Feder) F = κ(u − 0 ) ≈ 4.2 kN . Bei unserem Gewicht von 80 kg entspricht dies nach F = mg etwa 5.4-facher Erdbeschleunigung, was äußerst grenzwertig wäre. Den Sprung werden wir überleben, könnten aber ein Rückenleiden bekommen.
12.3.2
Impuls
Bewegt sich ein Teilchen der Masse m mit der Geschwindigkeit v , so besitzt es einen Impuls p := m · v . (12.20) Intuitiv kann man den Impuls als „Wucht“ auffassen: Je größer die Masse eines Lasters, der uns am Zebrastreifen mitnimmt, und je größer seine Geschwindigkeit ist, desto größer ist der Teil des LKW-Impulses, der beim Stoß am Zebrastreifen auf uns übertragen wird (und desto stärker werden wir hinterher deformiert sein). Die Einheit des Impulses ist [p] = 1 kg · ms .
Impulserhaltung Der eben genannte Übertrag des Impulses von einem Objekt auf ein zweites Objekt (durch einen Stoß) geschieht unter Wahrung der Impulserhaltung: Impuls vorher ist gleich Impuls nachher bzw. N i=1
pi vor =
N
pi nach ,
(12.21)
i=1
wobei i sämtliche Stoßpartner durchzählt. Beim Stoß unterscheiden wir zwei Typen. Auf der einen Seite gibt es den elastischen Stoß, bei dem die Energie erhalten bleibt; dann gibt es noch den inelastischen Stoß, bei dem die mechanische Energie nicht erhalten ist, sondern die Energiebilanz erst unter Einbeziehung von Wärme- und Deformationsenergie stimmt.
298
12 Einfache Anwendungen in der Mechanik
Beispiel 12.8 (Elastischer und inelastischer Stoß) Eishockey am Pferdeturm in Hannover. Ein Puck der Masse m1 = m rase mit Geschwindigkeit v1 = v reibungsfrei entlang der x-Achse über das ebenerdige Eis und treffe dort auf einen ruhenden zweiten Puck vom Kindereishockey (Masse m2 = m 2 ). Welche Geschwindigkeit haben die beiden Pucks nach dem Stoß? Was ändert sich, wenn die Pucks beim Aufprall zusammenkleben? Lösung: Wir haben ein 1-D-Stoßproblem mit zwei Partnern vorliegen, weshalb sich die Impulserhaltung wie folgt aufstellt: vor nach pvor + pnach , 1 + p2 = p1 2
wobei p1 der Impuls des großen Pucks und p2 der Impuls des kleinen Pucks ist. Letzter solle anfangs ruhen, d. h. v2 = 0. Dementsprechend ist sein Impuls vorher 1 vor pvor 2 = 2 m · v2 = 0. Der große Puck hat den Impuls p1 = m1 v1 = mv. Nach dem = mu1 und pnach = 12 mu2 , wobei die Geschwindigkeiten u1 und u2 Stoß gilt pnach 1 2 unbekannt sind. Eingesetzt folgt mv + 0 = mu1 +
m 2 u2
.
Leider beinhaltet diese Gleichung zwei Unbekannte, weshalb wir eine weitere Gleichung zum Lösen benötigen. Diese erhalten wir aus der Energieerhaltung. Da die Eisfläche ebenerdig ist, haben beide Pucks zu jeder Zeit das gleiche Potenzial V = 0. Damit formuliert sich die Energieerhaltung als T1vor + T2vor = T1nach + T2nach ⇐⇒
m 2 2v
m 2 2 u1
+0=
1m 2 2 2 u2
+
.
Nun können wir u1 und u2 bestimmen. Aus der Impulserhaltung folgt u2 = 2(v − u1 ), so dass wir aus der Energieerhaltung erhalten: m 2 2 v
+0=
m 2 2 u1
+
m 2 4 u2
=
m 2 2 u1
+ m(v − u1 )2 =
m 2 2 u1
+ mv 2 − 2mvu1 + mu21 .
Umstellen nach u1 liefert damit 3 2 2 u1
− 2vu1 +
und per p-q-Formel u1 =
v2 2
2v 3
±
4 2 9v
v2 3
=0
2v 3
±
= 0 ⇔ u21 − 43 vu1 +
−
v2 3
=
2v 3
±
1 2 9v
=
v 3
.
Die „+“-Lösung ist nicht sinnvoll, da dies bedeuten würde, dass u1 = v und u2 = 2(v − v) = 0 ist, also der große Puck sich ungeändert weiterbewegt, während der kleine Puck ruhen bleibt. Also ist die Lösung u1 = v3 und u2 = 2(v − v3 ) = 43 v. Das bedeutet also, dass der große Puck beim Stoß in seiner Bewegung gebremst wird, während der kleine Puck schnell davonschießt. Im Fall, dass beide Pucks zusammenkleben, ändert sich der Impulssatz ab zu mv + 0 = (m +
m 2 )u
⇔ u = 23 v ,
12.3 Energie, Impuls und Arbeit
299
d. h., die beiden Pucks bewegen sich mit u = 23 v nach dem Stoß weiter. Was sagt die Energieerhaltung? m 2 2v
?
+0=
3 2 m u2 2
= 34 m 49 v2 =
m 2 3 v
???
Hm, da kann etwas nicht stimmen. Die Energieerhaltung ist verletzt, weshalb es sich im Fall zusammenklebender Scheiben nicht um einen elastischen Stoß handeln kann, sondern wir es mit einem inelastischen Stoß zu tun haben. Die fehlende Energieportion bei den kinetischen Energien wird dabei in innere Energie ΔW (Reibung, Deformation) gesteckt: m 2 2 v
=
m 2 3 v
+ ΔW ⇒ ΔW =
m 2 2v
−
m 2 3v
=
m 2 6v
=
1m 2 3 2v .
Ergebnis: 1/3 der kinetischen Energie geht beim zweiten Fall als kinetische Energie verloren. Beispiel 12.9 (Der Raketenschlitten) Unser selbst gebauter Raketenschlitten wird mit konstanter Ausströmgeschwindigkeit und zeitlich konstantem Treibstoffverbrauch |m| ˙ = μ betrieben. Er bewege sich aus ruhendem Zustand startend ohne Reibung auf dem zugefrorenen Dorfteich. Seine Masse betrage m0 bei vollem und m1 bei leerem Treibstofftank. Wie lautet die zu lösende DGL? Welche Endgeschwindigkeit besitzt der Schlitten, wenn der Tank leer ist (und das Teichende noch nicht erreicht ist)? Lösung: Wir stellen zunächst den Impuls für den Anschub (Index a) und die Impulsänderungen, die bei Beschleunigung entstehen, auf. Denn: Je schneller der Schlitten wird, desto größer wird sein Impuls. Betrachtet man eine winzige Geschwindigkeitsänderung, so gilt für die Änderung des Impulses d p = m(t)dv . Das Schnellerwerden wird aber durch den Anschub erzeugt, der durch Massenabstoß mit konstanter Geschwindigkeit va nach hinten heraus bewerkstelligt wird (welches wiederum die Gesamtmasse und damit den Impuls des Schlittens ändert): d pa = dm va . pa (t) bezeichnet hierbei den Impuls des Abstoßes. Der Schlitten soll sich reibungslos (auf Eis) bewegen, was bedeutet, dass die von außen angreifenden Kräfte F pi = 0: null sind. Damit ergibt sich nach Impulserhaltung d pges (t) = d pa + d p = dm va + m(t)dv = 0 dm dv ⇒ · va + m(t) =m ˙ · va + m(t) · v˙ = 0 , dt dt wobei im zweiten Schritt die Impulsänderungen pro Zeitintervall dt betrachtet wurden. Es ergibt sich eine Newton-DGL mit zeitabhängiger Masse in der Form (12.4). Dabei sind va und v (t) entgegengesetzt, so dass in einer Dimension folgt: ˙ = 0. m(t)v ˙ a − m(t)v(t)
300
12 Einfache Anwendungen in der Mechanik
Laut Aufgabenstellung ist |m| ˙ = μ, d. h., wir können direkt die Masse des Schlittens in Abhängigkeit von der Gesamtmasse bestimmen: |m| ˙ = μ ⇒ m(t) = m0 − μ · t . Damit ergibt sich schließlich der zu lösende ER zu μva + (m0 − μt)v˙ = 0 , v(0) = 0 mit der Anfangsbedingung v(0) = 0, da der Schlitten aus der Ruhe heraus beschleunigt wird. μ, va und m0 sind nur Konstanten, so dass sich v(t) direkt durch Aufleiten ergibt: v(t) ˙ = −va
μ 1 ⇒ v(t) = va ln(1 − m0 (1 − mμ0 t)
μ m0 t) .
Das ist die Lösung der Bewegungsgleichung. Die Endgeschwindigkeit wird erreicht, wenn m(t) = m1 (nichts strömt mehr aus), d. h. m0 − μt = m1 . Dies ist zum 1 erreicht. Dann ist die Geschwindigkeit Zeitpunkt tend = m0 −m μ vEnd
=
va ln 1 −
μ m0 −m1 ) m0 ( μ
= va ln 1 −
m0 m0
+
m1 m0
= v a ln
m1 m0
.
Damit ist die Endgeschwindigkeit des Raketenschlittens abhängig von der Ausströmgeschwindigkeit va , aber unabhängig von der Ausströmrate, was nicht unbedingt von vornherein klar ist.
12.3.3
Arbeit
Wird ein Teilchen in einem Kraftfeld verschoben, so muss im Allgemeinen Arbeit aufgewendet werden bzw. man gewinnt Energie. Rollt man z. B. ein Bierfass eine Schräge hinauf, so muss man Arbeit aufwenden, um das Fass gegen die Erdanziehung nach oben zu bewegen. Lässt man es am Ende der Schräge jedoch los, so beschleunigt es abwärts und gewinnt (kinetische) Energie. Wir wollen dies nun quantitativ erfassen. Aus Kapitel 1 kennen wir eine Formel für die Arbeit: W = F · r. Allerdings wurde dort darauf hingewiesen, dass diese Formel für die Arbeit nur unter dem ganz besonderen Umstand gilt, dass das Teilchen auf einem geraden Weg verschoben wird. In der Regel ist dies natürlich nicht der Fall. Wir können aber den beliebigen Weg C in ganz viele kleine gerade Stückchen dr zerlegen, wie in Abb. 12.3 dargestellt ist. Dann ergibt sich die gesamt aufzuwendende Arbeit aus der Summe von Skalarprodukten F · dr und im kontinuierlichen Fall über / b dr · F (r) . (12.22) W = a
12.3 Energie, Impuls und Arbeit
301
Abb. 12.3: Zur Berechnung des Arbeits (r). Der Weg C integrals im Kraftfeld F wird dazu in infinitesimale Stücke dr zerlegt.
Dabei bezeichnet a den Startpunkt und b den Endpunkt des Weges. Zur Berechnung des Integrals können wir den schon aus Kapitel 9 bekannten Trick aus dem Hut zaubern: Parametrisierung des Weges! Dann gilt mit r = r(t):
/
/
b
t(b)
dr · F = a
dt t( a)
und somit
/
dr · F (r(t)) dt
t(b)
dt r˙ · F (r(t)) .
W =
(12.23)
t( a)
Das ist die Arbeit, die aufgewendet werden muss, um ein Teilchen im Feld F auf der Bahnkurve r(t) von a nach b zu verschieben. Dabei ist t(a) der Bahnparameter am Startpunkt (meist: Startzeit) und t(b) der Bahnparameter am Endpunkt (meist: Endzeitpunkt). Gleichung (12.23) ist allgemein gültig, d. h. für beliebige Wege und Kraftfelder. Interessant ist der Spezialfall, wenn F konservativ ist.
Arbeit im konservativen Kraftfeld Integral (12.23) ist häufig sehr schwer zu berechnen. Im Falle konservativer Kraftfelder können wir das Integral umformen. Dabei hilft uns wieder einmal die schöne Beziehung F = −∇V :
/
/
t(b)
t(b)
dt r˙ · ∇V (r(t)) = −
W =− t( a)
dt t( a)
d V (r(t)) = −V (r(t(b))) + V (r(t(a))) , dt
wobei beim ersten Gleichheitszeichen F = −∇V in Gleichung (12.23) eingesetzt d d r V (r(t)) = ∂V r˙ und beim zweiten Gleichheitszeichen die Kettenregel dt ∂ r dt = ∇V · rückwärts angewendet wurde (vgl. die Herleitung des Energiesatzes). Also gilt für Gradientenfelder: F = −∇V ⇐⇒ W = −V (b) + V (a) .
(12.24)
Das bedeutet, dass sich die Arbeit in einem konservativen Kraftfeld entlang einer Bahn gerade aus der negativen Differenz der Potenzialunterschiede von Start- und Endpunkt ergibt. Insbesondere folgt daraus sofort: F ist konservativ und C geschlossen ⇐⇒ W = 0 .
(12.25)
302
12 Einfache Anwendungen in der Mechanik
Auf geschlossenen Wegen C muss in einem konservativen Kraftfeld also weder Arbeit aufgewendet werden, noch wird Energie gewonnen. Geschlossene Wegintegrale 5 werden manchmal auch als geschrieben (was hier aber nicht weiter verwendet wird). Das Vorgehen zum Berechnen eines Arbeitsintegrals sollte somit folgendes sein: Prüfe zunächst ∇×F = 0 und bestimme anschließend das Potenzial via F = −∇V . Berechne schließlich die Arbeit über (12.24). Ist ∇ × F = 0, so parametrisiere den Weg, bestimme Start- und Endzeitpunkt und führe das Integral gemäß (12.23) aus. Wir demonstrieren dies an je einem Beispiel. Beispiel 12.10 (Arbeit im konservativen Kraftfeld) Ein Teilchen bewege sich im Kraftfeld F (x, y, z) = −α(x3 + 2x(y 2 + z 2 ), y 3 + 2y(x2 + z 2 ), z 3 + 2z(x2 + y 2 )). Welche Arbeit muss verrichtet werden, um das Teilchen von (1, 2, 0) nach (1, 2, −2) über den Zwischenpunkt (1, −2, 0) zu bewegen? Lösung: Wir prüfen als Erstes, ob das Kraftfeld ein Potenzial besitzt. Berechne dazu die Rotation: x3 +2x(y2 +z 2 ) 4zy−4yz ∂x ∇ × F = −α ∂y × y3 +2y(x2 +z 2 ) = −α 4xz−4zx = 0 . ∂z
z 3 +2z(x2 +y 2 )
4yx−4xy
Somit existiert ein Potenzial und die Arbeit errechnet sich nach (12.24). Die einzige Hürde besteht nun darin, das Potenzial über F = −∇V zu bestimmen. Wir verwenden das Verfahren aus dem vorhergehenden Abschnitt und starten mit der ersten Komponente: 4 −∂x V = F1 = −α(x3 + 2x(y 2 + z 2 )) ⇒ V = α x4 + x2 y 2 + x2 z 2 + A(y, z) . Durch Einsetzen dieses Ansatzes für V können wir die Konstante A(y, z) bestimmen: ∂A ∂A = −F2 = α(y 3 + 2yx2 + 2yz 2 ) ⇒ = α(y 3 + 2yz 2 ) , ∂y ∂y 4 woraus folgt: A(y, z) = α y4 + y 2 z 2 + B(z). Der erweiterte Ansatz für das Potenzial ist also 4 4 V = α x4 + y4 + x2 y 2 + x2 z 2 + y 2 z 2 + B(z) . ∂y V = α · 2x2 y +
Hieraus folgt durch erneutes Ableiten ∂z V = α(2x2 z + 2y 2 z) + B (z) = −F3 = α(z 3 + 2x2 z + 2y 2 z) ⇒ B (z) = αz 3 .
12.3 Energie, Impuls und Arbeit
303
4
Das bedeutet B(z) = α z4 + C und insgesamt mit C := 0 (der Einfachheit halber) 4 4 4 V (x, y, z) = α x4 + y4 + z4 + x2 y 2 + x2 z 2 + y 2 z 2 (man mache die Probe F = −∇V ). Nun kann die Arbeit berechnet werden. Da wir gesehen haben, dass die Kraft konservativ ist, folgt hieraus sofort, dass die Arbeit nur vom negativen Potenzialunterschied abhängt. Zwischenpunkte sind dabei vollkommen unerheblich! Somit berechnet sich die Arbeit zu W
−V (b) + V (a) = −V (1, 2, −2) + V (1, 2, 0) 4 4 4 2 2 2 2 2 2 + 1 · 2 + 1 (−2) + 2 (−2) −α 14 + 24 + (−2) 4 4 4 +α 14 + 24 + 12 · 22 4 2 2 2 2 −α (−2) + 1 (−2) + 2 (−2) = −24α . 4
= =
=
Das ist die gesuchte Arbeit! Beispiel 12.11 (Arbeit im nicht konservativen Kraftfeld) × r) mit konstantem Ein Teilchen durchläuft im Kraftfeld F (r) = β(A A = (0, 0, A) eine Kreisbahn mit Radius R in der x-y-Ebene. W = ? Lösung: Wir berechnen zuerst die Rotation. Entweder setzt man hierzu den Vek ein, bildet das Kreuzprodukt und berechnet die Rotation, oder man macht tor A es in Indizes (vgl. Beispiel 9.6): [rot F ]i = εijk ∂j Fk = εijk ∂j (βε mk A xm ) = βεijk ε mk ∂j (A xm ) . A ist ein konstanter Vektor und kann aus der Ableitung herausgezogen werden. Dann folgt [rot F ]i = βεijk ε mk A ∂j xm = βεijk ε mk A δjm = β εijk ε jk A = 2βAi = 0 .
=δjm
=2δi
Damit ist F nicht konservativ und wir müssen über das Integral (12.23) die Arbeit berechnen. Hierzu parametrisieren wir den Weg, auf dem das Teilchen verschoben werden soll, als Kreisbahn: r(t) = R(cos(t), sin(t), 0) mit Startwinkel t(a) = 0 × r = und Endwinkel t(b) = 2π. Dann folgt mit r˙ = R(− sin(t), cos(t), 0) und A β(−Ay, Ax, 0) die Arbeit zu / t(b) / 2π −Ay
−R sin(t)
˙ W = dt r · F (r(t)) = dt · β Ax
R cos(t) t( a)
=
/
2π
βAR
dt
0
0
0
0
0
(x,y,z)=(Rc,Rs,0)
2π
dt (sin2 (t) + cos2 (t))
=1
/ =
0
0
/ − sin(t) −R sin(t) · R cos(t) = βAR2 cos(t)
2π
βAR2
dt = 2πβAR2 0
und nicht null! Null würde nur herauskommen, wenn F konservativ wäre.
304
12 Einfache Anwendungen in der Mechanik
Potenzialbestimmung vs. Arbeitsintegral Das Verfahren zur Potenzialbestimmung, welches im vorletzten Beispiel angewendet wurde, ist nichts anderes als ein Arbeitsintegral entlang der kartesischen Achsen x, y und z: / / / / / F = −∇V → dr · F = − dr · ∇V = − dx ∂x V − dy ∂y V − dz ∂z V . Es ist daher Geschmackssache, ob man die Notation wie im Beispiel wählt oder das Arbeitsintegral hinschreibt.
12.3.4
Formale Lösung des 1-D-Energiesatzes
Der Energiesatz ist durch (12.15) gegeben. Eingeschränkt auf eine Dimension lässt sich schnell eine Lösung ermitteln. In einer Dimension lautet er m 2 x˙ + V (x(t)) = E . 2 Wir wollen eine Lösung x(t) berechnen. Dazu lösen wir nach x(t) ˙ auf: 2 x(t) ˙ =± (E − V (x(t))) . m Integration nach t macht hier jedoch wenig Sinn, da im Potenzial V (x(t)) die Zeit implizit enthalten ist. Trick: Zur Lösung obiger DGL gehen wir über die Umkehrfunktion: 2 m dt 1 1 dx . =± (E − V (x(t))) ⇐⇒ t (x) = = dx = ± x˙ = dt m dx 2 E − V (x) dt Wir müssen also lösen:
t (x) = ±
1 m . 2 E − V (x)
Durch Integration beider Seiten nach x folgt die formale Lösung des 1-DEnergiesatzes: / x m 1 , (12.26) dx t(x) − t(x0 ) = ± 2 x0 E − V (x ) wobei wir bei Bezeichnung der Integrationsvariablen aufpassen müssen, da die Variable x in den Grenzen des Integrals auftaucht und wir somit „ein anderes x“ als Integrationsvariable verwenden müssen. Sämtliche Integrationskonstanten wurden in den Ausdruck t(x0 ) gesteckt, wobei x0 eine beliebige Konstante ist. Durch Lösen des Integrals bei gegebenem Potenzial lässt sich dann die Umkehrfunktion x(t) rekonstruieren. Ein Beispiel demonstriert dies.
12.3 Energie, Impuls und Arbeit
305
Beispiel 12.12 (Bewegung im Federpotenzial) Eine Masse m hänge an einer Feder κ und werde um a aus der Ruhelage ausgelenkt. Welche Bahn beschreibt die Masse? Lösung: Wir verwenden direkt die formale Lösung des 1-D-Energiesatzes (12.26) und setzen für V das Potenzial einer Feder ein: V (x) = κ2 x2 , wobei x die Auslenkung aus der Ruhelage bezeichnet. Die Ruhelage ist in diesem Fall charakterisiert durch x0 = 0. Ferner betrachten wir nur die Bewegung nach der Auslenkung um a, d. h. nur die positive Lösung von t(x): / m x dx √ 1 κ 2 . t(x) = t(0) + 2 E− 2 x
0
Die Gesamtenergie E lässt sich direkt angeben. Wenn die Feder um a aus der Ruhelage ausgelenkt wird und gerade losgelassen wird, so ist die gesamte Energie in der Feder gespeichert, d. h. E = κ2 a2 . Nun können wir integrieren: t(x) = t(0) + = t(0) + x →ax
m 2
m κ
m
/ /
x
dx √ κ
1 κ 2 2 2a −2x
0 x
dx
0
/
√ 1 a2 −x2
= t(0) +
= t(0) +
x a
1 dx √1−x = t(0) + 2 0 m x = t(0) + κ arcsin a ,
= t(0) +
κ
/
m 2
m 1 κ a
m κ
/
x
dx √ κ √1 2 2
0 x
dx
0
a −x2
1 2 1 − xa
x arcsin(x ) 0a
weil arcsin(0) = 0. Das ist die Lösung t(x), welche natürlich unbefriedigend ist, weil schwer zu interpretieren. Wir können aber nach x umstellen und erhalten die gesuchte x(t)-Lösung:
κ
m (t(x)
− t(0)) = arcsin
x a
⇔ x(t) = a sin
κ
m (t
− t0 )
κ mit t(0) = t0 . Der Faktor =: ω gibt an, mit welcher Frequenz die Masse m an der Feder schwingt. Wir werden ihm später bei den Schwingungen noch öfter begegnen. Ergebnis: Eine Masse an einer Feder, welche um a aus der Ruhelage ausgelenkt wird, schwingt periodisch hin und her, x(t) = a sin(ω(t − t0 )).
Spickzettel zu Energie und Arbeit Energiesatz konservativ ist, gilt Energieerhaltung: Sofern F = −∇V ⇔ E = T + V = m r˙ 2 + V (r(t)) F 2 mit kinetischer Energie T = eines Teilchens der Masse m.
m ˙2 r 2
und Potenzial V (r(t)) entlang der Bahn r(t)
306
12 Einfache Anwendungen in der Mechanik Wichtige Potenziale – Lagepotenzial V (r) = mgz. – Gravitationspotenzial V (r) = −γ |rmM − r | . – Federpotenzial V (r) = κ2 r 2 , r Auslenkung. 2 – Harmonischer Oszillator V (r) = mω r 2 , ω = 2πf beinhaltet Schwingungsfre2 quenz f . Reibungskräfte besitzen kein Potenzial! Impuls N N – p = mv = mr˙ ; Impulserhaltung: p vor = p nach . i=1 i i=1 i – Elastischer Stoß: Energie und Impuls sind erhalten; inelastischer Stoß: gleichzeitige Energie-Impuls-Erhaltung nicht möglich. Arbeit (r) entlang Verschiebung eines Teilchens mit Masse m in beliebigem Kraftfeld F 0 t(b) (r(t)); für der Bahn r(t) erfordert Arbeit oder gewinnt Energie: W = dt r˙ · F t( a)
konservative Felder gilt W = −V (b) + V (a), insbesondere gilt dann für geschlossene Kurven: W = 0. Lösung des 1-D-Energiesatzes dx 2 Energiesatz in 1-D: E = m + V (x(t)) wird gelöst durch 2 dt t(x) = t(x0 ) ±
m 2
/
x
dx
x0
12.4
Rotationen
12.4.1
Drehimpuls und Drehmoment
1 E − V (x )
.
Eine Masse m bewegt sich auf einer Kreisbahn um einen Punkt wie in Abb. 12.4 links dargestellt ist.
Abb. 12.4: Zur Rotation. Links: m rotiert auf Kreisbahn r(t), die Geschwindigkeit v (t) steht tangential zur Bahn, ω (t) charakterisiert die Drehachse der Rotation. Mitte: Dem = mr × v zuordnen. Rechts: Wirkt eine rotierenden Teilchen lässt sich ein Drehimpuls L von außen, so wird ein Drehmoment M erzeugt, das den Drehimpuls verändert Kraft F antiparallel zum Drehimpuls (hier wird gebremst, der Drehimpuls wird kleiner, da M steht).
12.4 Rotationen
307
Die Geschwindigkeit v (t) steht dabei tangential zur Bahn r(t). Man kann dann einen Vektor ω definieren, der Drehachse n (ein Einheitsvektor) und Winkelgeschwindigkeit ω definiert: ω = ω · n , (12.27) so dass |ω| = ω bzw. n = ωω . Bei einer gleichförmigen Rotation gilt ω = 2π T = 2πf (s. Kapitel 6), wobei f die Drehfrequenz in Hertz (Hz = 1/Sekunde) ist. Im Allgemeinen gilt für die Winkelgeschwindigkeit allerdings ω = ϕ˙ (Änderung des Winkels in der Zeit), d. h., wir müssten ω (t) schreiben. Im Folgenden betrachten wir aber den Spezialfall einer ebenen Kreisbahn: Für die Kreisbewegung in einer Ebene ist die Drehachse fix.
Die Geschwindigkeit der Masse auf einer Kreisbahn (Abb. 12.4 links) lässt sich mit Hilfe von ω angeben als v (t) = ω (t) × r(t) .
(12.28)
v (t) und r(t) stehen somit zu jedem Zeitpunkt senkrecht aufeinander. v = ω × r folgt auch mit Hilfe von Gleichung (2.56). Wir zeigen dies für t = 0 und starten dazu mit der Transformation r(t) = D(t) · r(0), wobei D(t) eine zeitabhängige Drehmatrix ist. D(t) ist nach Gleichung (2.56) mit zeitabhängigem Winkel ϕ(t) (wir drehen uns ja!) gegeben durch D = cos(ϕ(t)) · 1 + (1 − cos(ϕ(t)))(b ◦ b) + sin(ϕ(t))(b×) . Nun leitet man r(t) einmal nach der Zeit ab: r˙ (t) = D˙ · r(0) = [−ϕ˙ sin(ϕ(t)) · 1 + ϕ˙ sin(ϕ(t))(b ◦ b) + ϕ˙ cos(ϕ(t))(b×)] · r(0) . Setze nun ϕ(0) = 0 (bei der Kreisbahn ist es ja egal, welchen Startwinkel man wählt). Dann folgt r˙ (t = 0) = [ϕ˙ cos(0)(b×)]r(0) = ϕ( ˙ b × r(0)) . ϕ˙ ist aber nichts anderes als ω (erinnere: ϕ(t) = ωt + ϕ0 bei der Kreisbewegung). Damit folgt insgesamt r˙ (0) = v (0) = ϕ( ˙ b × r(0)) = (ωb) × r(0) = ω × r(0) . Die Drehung ω erzwingt einen Drehimpuls L(t), der senkrecht auf r und v steht (Abb. 12.4 Mitte): L(t) := mr(t) × v (t) = r(t) × (mv ) = r × p .
(12.29)
308
12 Einfache Anwendungen in der Mechanik
Dies ist für Rotationen das Äquivalent zum Impuls bei geradlinigen Bewegungen. Dennoch Vorsicht: Der Wert des Drehimpulses (und auch Drehmoments, s. u.) hängt immer von der Wahl des Ursprungs ab. Weiterhin muss beachtet werden: Selbst wenn sich das Teilchen nicht auf einer Kreisbahn bewegt, kann ihm ein Drehimpuls zugeordnet werden (dazu muss ein Bezugspunkt festgelegt werden). Sobald eine Kraft von außen auf die Drehung wirkt (z. B. Bremse beim Karussell) oder die Drehachse zeitlich veränderlich ist (Kreisel), wirkt ein den Drehimpuls veränderndes Drehmoment: := dL = r × F . M dt
(12.30)
˙ = r × F ist, sieht man unter Verwendung der Produktregel für KreuzproDass L dukte ein: ˙ = d (mr × r˙ ) = m r˙ × r˙ +mr × r¨ = r × (mr¨) = r × F , L
dt = 0
wobei die Newton’schen Bewegungsgleichungen mr¨ = F verwendet wurden. Je zeigt, verringert oder erhöht es den Drehimpuls nachdem in welche Richtung M (F bremst/beschleunigt). Abb. 12.4 rechts verdeutlicht dies.
12.4.2
Drehimpulserhaltung
Bisher kennen wir zwei erhaltende Größen: Impuls und Energie. Die dritte ist der Für Drehimpulserhaltung gilt Drehimpuls L. N i=1
vor = L i
N
nach . L i
(12.31)
i=1
Der Drehimpuls ist immer dann erhalten, wenn von außen keine resultierenden verKräfte Fa auf das rotierende System wirken, d. h. wenn das Drehmoment M schwindet: → = r × Fa = 0 = L ˙ ⇒ L = constt ⇐⇒ Drehimpulserhaltung! Fa = 0 ⇒ M (12.32) Aus der Drehimpulserhaltung folgt eine wichtige Eigenschaft: →
= constt =⇒ Bahnkurve liegt in einer Ebene! L
(12.33)
12.4 Rotationen
309
Sobald also kein Drehmoment auf die Drehung wirkt und der Drehimpuls daher erhalten ist, bewegt sich das Teilchen brav in einer festen Ebene. Der Beweis geht ! = wie folgt: Dass die Bahn in einer Ebene verläuft, bedeutet r · L 0 (Drehimpuls und Bahnvektor stehen zu jeder Zeit senkrecht). Dies ist jedoch erfüllt, wie man und zyklisches Vertauschen des Spatprodukts sieht: durch Einsetzen von L = r · (r × p) = p(r × r) = 0 . r · L = 0 ist also eine Identität. Doch für welches L gilt dies? Man setze einfach r · L einmal an: = xL1 + yL2 + zL3 = 0 . r · L Dies sieht aus wie die Gleichung einer Ebene (z. B. 5x + 4y + 3z = 0; s. Kapitel 1), allerdings nur in dem Fall, dass L1 , L2 und L3 zeitlich konstant sind und erhalten ist. Damit haben wir die Behauptung gezeigt: Für einen zeitlich somit L konstanten (d. h. erhaltenen) Drehimpuls bewegt sich das Teilchen in einer Ebene. Wir werden die eben gewonnenen Erkenntnisse zur Diskussion bewegter Teilchen in einem Potenzial benötigen.
12.4.3
Inertialsystem und Scheinkräfte
Ein kritischer Punkt bei rotierenden Systemen ist die Wahl des Koordinatensystems bzw. die Wahl unseres Standorts (als Beobachter), wie wir eben bei der Diskussion des Drehimpulses gesehen haben. Im günstigen Fall lassen wir die Rotation geschehen und schauen uns das Ganze gemütlich von außen aus einem nichtbeschleunigten System an. Ein solches System heißt Inertialsystem. In ihm bewegen sich kräftefreie Körper geradlinig gleichförmig. Im ungünstigen Fall sitzen wir in einem mitrotierenden Koordinatensystem. In diesem Fall treten zunächst unerklärbare Phänomene und Kräfte auf. Dieses sind sogenannte Scheinkräfte – Corioliskraft und Zentrifugalkraft –, die allerdings reale Auswirkungen haben und nicht nur Einbildung sind (wie jeder weiß, der schon einmal ein Höllenkarussell auf dem Jahrmarkt gefahren ist und aufgrund der Zentrifugalkraft gnadenlos nach außen gedrückt wurde). Zur Herleitung der beiden Kräfte betrachten wir zwei Koordinatensysteme K und K , die am Ursprung zusammengeklebt sind. K sei dabei raumfest, d. h., in ihm gelten wie gewohnt die Newton’schen Bewegungsgleichungen mr¨ = F . K rotiere gegenüber K mit der Winkelgeschwindigkeit ω . Zum Zeitpunkt t = 0 sollen alle Achsen überlappen und ein beliebiges Objekt am Ort r wird aus beiden Koordinatensystemen gleich gesehen, d. h. r (t = 0) = r(t = 0) (Strich ist hier keine Ableitung, sondern bezeichnet das raumfeste System!). Abb. 12.5 verdeutlicht dies.
310
12 Einfache Anwendungen in der Mechanik
Abb. 12.5: Rotierende Koordinatensysteme. Zum Zeitpunkt t = 0 liegen alle Achsen parallel, für t > 0 rotiert das System K relativ zu K .
Im nächsten Moment gilt dies jedoch schon nicht mehr, also ist im Allgemeinen r(t) = r (t)! Wird eine Bewegung eines Teilchens aus beiden Systemen beobachtet, so kann weiterhin nicht v (t) = v (t) gelten. Aus dem raumfesten System K gesehen kommt zur beobachteten Geschwindigkeit in K (das wäre v ) noch die Rotationsgeschwindigkeit hinzu: d ˙ ˙ × r ⇐⇒ r = r + ω × r = (12.34) +ω × r(t) . v = v + ω dt Man kann diese Gleichung so auffassen, dass sich unter Rotation der Zeitableid d tungsoperator dt zu dt +ω × ändert, wenn er auf eine Größe wirkt, die im System K (also aus dem ruhenden System heraus) beobachtet worden ist. Mit dieser Erkenntnis können wir die Newton’schen Bewegungsgleichungen des bewegten Teilchens aufstellen (aus Sicht von K ): d2r d d d ˙ = r = +ω × +ω × r(t) dt2 dt dt dt 2 d d d ω ×) + ω × +ω × ( ω ×) r(t) . = + ( dt2 dt dt Wem diese Kreuzprodukt-Schreibweise aufstößt, der denke sich die Klammer einfach ausmultipliziert und lasse dies in Gedanken auf alles Rechtsstehende wirken. Insbesondere sieht man dann, was mit dem zweiten Term passiert: d d d r(t) ( ω ×)r = ( ω × r) = ω ˙ × r + ω × r˙ = ω ˙ × + ω× dt dt dt nach Produktregel. Damit ergibt sich oben eingesetzt: 2 d2r d d ˙ × +2 + ω × ( ω ×) = + ω ω × r(t) dt2 dt2 dt = r¨ + ω ˙ × r + 2 ω × r˙ + ω × ( ω × r) . Multiplikation mit der Masse m und Umstellen nach mr¨ liefert schließlich die Bewegungsgleichung im rotierenden System. Ergebnis: Die im rotierenden System wirkenden Kräfte mr¨ sind gegeben durch ˙ × r − 2m ω × r˙ − m ω × ( ω × r) . mr¨ = F − mω
(12.35)
12.4 Rotationen
311
F = mr¨ ist die wirkende Kraft im gestrichenen System, der zweite Term ist die sogenannte Führungskraft. Beobachtet man z. B. von der Erde aus einen Satelliten, der erdfest rotiert (d. h., er scheint von der Erde aus gesehen zu stehen), und würde man nun die Erde abbremsen, so schiene es, als würde der Satellit plötzlich beschleunigen. Das wäre die von der Erde aus beobachtete Führungskraft. Der nächste Term heißt Corioliskraft und kann sehr schön auf einer rotierenden Scheibe veranschaulicht werden. Legt man einen Ball nahe an den Mittelpunkt und stößt ihn dann radial nach außen an, so würde man als Außenstehender einfach sehen, wie der Ball geradling in Richtung Rand rollt. Schaut man sich dies allerdings über eine mitrotierende Kamera an, so sehen wir die Kugel auf einem Bogen zum Rand rollen. Er wird also im rotierenden System senkrecht zur Bahn (daher r˙ ) und senkrecht zur Winkelgeschwindigkeit ω beschleunigt. Der letzte Term – die Zentrifugalkraft – ist schließlich dafür verantwortlich, dass wir im Karussell bei Drehung in den Sitz gedrückt werden. Im Falle, dass r senkrecht auf der Drehachse steht, vereinfacht sich die Zentrifugalkraft mit der bac-cab-Formel zu ω ( ω · r) −r( ω·ω )] = −mω 2r . FZ = m[
=0
Beispiel 12.13 (Zugfahrt) Ein Zug (m = 300 t) verkehre zwischen Hannover und Kassel (direkte Strecke, ohne Bahnstreik) in einer Stunde. Was müssen die Ingenieure bei der Konstruktion der Räder angesichts der Erdrotation beachten? Lösung: Hannover und Kassel sind 100 km voneinander entfernt und beide liegen etwa auf dem 52. Grad nördlicher Breite. Angenommen, die Geschwindigkeit des Zuges ist konstant, dann gilt v = st = 100 km/h. Für die Corioliskraft ergibt sich dann | = 2mωv sin(α) , FC = 2m|v × ω wobei α den Winkel zwischen v und ω bezeichnet. Im Falle, dass der Zug nach Kassel (also Richtung Süden) fährt, ist der Winkel α gegeben durch α = 90◦ + (90◦ − 52◦ ) = 128◦ . Fährt der Zug dagegen nach Hannover, also Richtung Norden, so ist der Winkel α = 90 − 52◦ . Es ergibt sich für die Corioliskraft FC (α) = 2 · 300000 kg ·
2π 100 m · · sin(128◦ ) ≈ 955 N = FC (α ) . 86400 s 3.6 s
ω ergibt sich dabei aus 2π T , wobei die Periode ein Tag = 86400 s ist. Wenn der Zug Richtung Süden von Hannover nach Kassel fährt, so dreht sich die Erde quasi unter dem Zug nach Osten weg, d. h., die Ablenkung geht nach Westen und nutzt die rechten Räder ab. Sofern der Zug nicht „umgedreht“ wird, ist auf dem Rückweg die Ablenkung nach Osten, d. h., die linken Räder werden diesmal abgewetzt. Somit erfolgt eine gleichmäßige Abnutzung der Räder.
312
12 Einfache Anwendungen in der Mechanik
Die Führungskraft taucht hier nicht auf, da die Erdrotation ω als konstant angenommen wird, während die Zentrifugalkraft die Räder eher entlastet. Es wurde also recht restriktiv gerechnet.
Spickzettel zu Rotationen Drehimpuls und Drehmoment Masse m rotiert auf Bahn r(t) um Drehachse ω , Geschwindigkeit dann v = ω × r; = mr × r˙ = r × p definiere Drehimpuls L ; beeinflusst eine äußere Kraft die =L ˙ = r × F . Bewegung, wirkt Drehmoment M Drehimpulserhaltung N vor N nach Erhaltungsgröße L: = (wenn keine äußeren Kräfte wirL L i=1 i i=1 i = const ⇒ Bahnbewegung liegt in einer Ebene. ken); wichtige Eigenschaft: L Scheinkräfte Bei mit ω rotierenden Koordinatensystemen (z. B. auf der Erde) treten folgende Scheinkräfte auf: C = 2m – Corioliskraft: F ω × r˙ . Z = m – Zentrifugalkraft: F ω × ( ω × r). F = mω – Führungskraft: F ˙ × r.
12.5
Teilchen im Potenzial
12.5.1
Bewegungen im Potenzial
Zur Diskussion der Bewegung eines Teilchens ist es zunächst hilfreich, das Potenzial zu skizzieren. Abb. 12.6 zeigt ein Beispielpotenzial, an dem wir die drei wesentlichen Fälle von Bewegungen erläutern können. Beim Betrachten solcher Bilder gibt es eine schöne Analogie, die man zur Veranschaulichung verwenden kann. Man denke sich eine Kugel, die an einem bestimmten Punkt auf die Potenzialkurve gelegt wird. Nun lasse man die Kugel los. Was passiert mit ihr?
Abb. 12.6: Zur Diskussion der Bewegung eines Teilchens in einem Potenzial.
12.5 Teilchen im Potenzial
313
Stabiles Gleichgewicht – kleine Schwingung um das Minimum Legt man die Kugel ins Minimum an die Position A oder C und stößt sie mit dem Finger ein wenig an, dann schwingt die Kugel um dieses Minimum herum. Das bedeutet: Befindet sich ein physikalisches System in solch einem Minimum (z. B. ein leicht ausgelenktes Pendel), so kann es Schwingungen um das Minimum vollführen. Abschnitt 12.6.2 vertieft dies. Instabiles Gleichgewicht Legt man die Kugel auf das Maximum B (oder auf einen Sattelpunkt), so spricht man von einem instabilen Gleichgewicht. Zwar bewegt sich die Kugel nicht, doch wenn man sie nur ein bisschen anstößt (egal in welche Richtung), dann rollt sie entweder zu Punkt 1 und zurück in das instabile Gleichgewicht oder sie rollt zum Punkt 2 und kehrt von dort wieder an Punkt B zurück. Ein physikalisches Beispiel hierfür wäre ein starres Pendel, das auf den Kopf gestellt ist. Stößt man es nun an, so schwingt es einmal durch und endet wieder im instabilen Zustand. Dabei kann anschließend die Bewegung im oder gegen den Uhrzeigersinn vollführt werden. Kein Gleichgewicht – freie Bewegung Legt man die Kugel weit entfernt bei D auf die Funktion, so bewegt sich die Kugel komplett durch das gesamte Potenzial hindurch. Im Pendelbeispiel wäre dies der Fall, wenn wir dem Pendel so viel Anschwung geben, dass es stetig rotiert und immer durch den obersten Punkt hindurchschwingt. Das Verhalten eines Systems hängt folglich davon ab, wie viel Energie (und in welcher Form) in das System hineingesteckt wird – in der Analogie entspräche dies der Höhe der Kugel über der x-Achse. Für uns interessant ist vor allem das stabile Verhalten eines Systems, da in den anderen beiden Fällen keine eindeutigen Vorhersagen der Zukunft des Systems gemacht werden können. Um Vorhersagen machen zu können, ist es hilfreich, die Erhaltungsgrößen eines Systems zu bestimmen (Energie, Impuls, Drehimpuls).
12.5.2
Symmetrien und Erhaltungsgrößen
„Gegeben sei ein Potenzial V , welche Erhaltungsgrößen gibt es?“ Diese klassische Prüfungsfrage lässt sich relativ zügig erschlagen, wenn man die (vereinfachte) Aussage des Satzes von Noether zu Rate zieht: Noether: Zu jeder Symmetrie eines physikalischen Systems gehört eine Erhaltungsgröße. Umgekehrt gehört zu jeder Erhaltungsgröße eine Symmetrie des betrachteten Systems. Bisher haben wir drei Erhaltungsgrößen kennengelernt (bzw. sieben, da z. T. (es gibt insgesamt vier mevektoriell): Energie E, Impuls p und Drehimpuls L chanische Erhaltungsrößen, die letzte (Schwerpunktserhaltung) taucht kurz in
314
12 Einfache Anwendungen in der Mechanik
Abschnitt 12.7 auf). Die Energie ist erhalten, wenn sie (bzw. das Potenzial) nicht explizit zeitabhängig ist. Anders gesagt: Es gibt eine Symmetrie der Zeit, d. h., es ist egal, zu welcher Zeit das System betrachtet wird; ein Experiment liefert unabhängig davon, wann es ausgeführt wird, immer das gleiche Ergebnis. Der Impuls ist erhalten, wenn eine Translation (Verschiebung) nichts am System ändert. In diesem Fall besitzt das Potenzial keine Ortsabhängigkeit, ist also räumlich konstant. Der Drehimpuls ist erhalten, wenn das Potenzial unabhängig von Winkelkoordinaten ist – das Problem z. B. zylinder- oder sogar kugelsymmetrisch ist. Zusammengefasst ergibt sich: Translationsinvarianz
⇔ V unabh. vom Ort
⇔ Impulserhaltung ,
Rotationsinvarianz
⇔ V unabh. vom Winkel
⇔ Drehimpulserhaltung ,
Zeitinvarianz
⇔ V unabh. von der Zeit
⇔ Energieerhaltung .
Mit dieser kleinen, aber feinen Übersicht lassen sich die Erhaltungsgrößen eines beliebigen Potenzials sofort herauslesen. Beispiel 12.14 (Teilchen im sphärisch harmonischen Oszillator (H.O.)) Ein Teilchen (m) bewege sich im sphärisch harmonischen Oszillator mω 2 2 (x + y 2 + z 2 ) . 2 Welche Erhaltungsgrößen besitzt das System? V (r) =
Lösung: Offensichtlich ist das Potenzial nicht explizit zeitabhängig, weshalb wir sofort feststellen können, dass die Energie erhalten ist. Da V nur vom Abstand 2 2 x2 + y 2 + z 2 abhängt (nämlich quadratisch, V (r) = mω r = 2 r ), stellen wir den Energiesatz in Kugelkoordinaten r(t) = r(sin(θ) cos(ϕ), sin(θ) sin(ϕ), cos(θ))T auf, wobei wir die aus Kapitel 6 bekannte Relation r˙ 2 = r˙ 2 + r2 θ˙2 + r2 sin2 (θ)ϕ˙ 2 für Kugelkoordinaten verwenden. Dann ist E=
m mω 2 2 m ˙2 r + V (r) = (r˙ 2 + r2 θ˙2 + r2 sin2 (θ)ϕ˙ 2 ) + r . 2 2 2 2
2 Das Potenzial V (r) = mω 2 r ist offensichtlich nicht winkelabhängig, sondern rotationssymmetrisch. Dies bedeutet, dass der Drehimpuls erhalten ist. Aus Abschnitt 12.4 wissen wir aber, dass, wenn der Drehimpuls erhalten ist, die Bahnbewegung in einer Ebene abläuft. O. B. d. A. legen wir die Bahn in die x-y-Ebene. In Kugelkoordinaten (Kapitel 1) bedeutet dies θ = π2 (Bahn entlang des Äquators einer Kugel). Dann ist aber weiterhin θ˙ = 0 und das Berechnen des Drehimpulses vereinfacht sich: Sc Sc −rS ϕs ˙ = mr × r˙ = mr Ss L × r˙ Ss + rS ϕc ˙ C C 0 Sc −rS ϕs θ= π c −s ˙ 2 2 = mr Ss × rS ϕc = mr ϕ˙ s × c ˙ 0 0 C 0 0 = mr2 ϕ˙ 0 = mr2 ϕ ˙ e3 → L = mr2 ϕ˙ erhalten. 1
12.5 Teilchen im Potenzial
315
Damit sind die Erhaltungsgrößen Drehimpuls und Energie (mit θ = E=
12.5.3
m m 2 (r˙ + r2 ϕ˙ 2 ) + ω 2 r2 , 2 2
π 2,
θ˙ = 0):
= mr2 ϕ L ˙ e3 .
Effektives Potenzial
Wir können mit Hilfe der Erhaltungssätze Koordinatenabhängigkeiten eliminieren, so dass sich die Bewegungen von Teilchen in einem Potenzial besser studieren lassen. Im Beispiel 12.14 haben wir z. B. gesehen, dass sich aufgrund der Drehimpulserhaltung die Bewegung in einer Ebene abspielt. Es war somit möglich, θ = π2 zu setzen und damit komplett die θ-Abhängigkeit im Energiesatz zu eliminieren. Lassen sich im Energiesatz alle bis auf eine Koordinate eliminieren, so kann man ein sogenanntes effektives Potenzial definieren. Die Terme mit zeitlicher Ableitung der Koordinate werden der „effektiven“ kinetischen Energie zugeordnet, der Rest wird zum effektiven Potenzial gezählt. Beispiel 12.15 (Effektives Potenzial des sphärischen H.O.) Wie lautet das effektive Potenzial zum sphärischen harmonischen Oszillator? Lösung: Aus Beispiel 12.14 kennen wir die Erhaltungsgrößen Energie E=
m m 2 (r˙ + r2 ϕ˙ 2 ) + ω 2 r2 2 2
und Drehimpuls L = mr2 ϕ. ˙ Offensichtlich hängt die Energie von zwei Koordinaten r und ϕ ab. Ziel ist es, eine weitere Koordinate mit Hilfe der Erhaltungsgrößen – sprich des Drehimpulses – zu eliminieren. Wir formen diesen nach ϕ˙ um und L setzen ein. Dann ist ϕ˙ = mr 2 und für die Energie folgt L2 m m L2 m m r˙ 2 + r2 · 2 4 + ω 2 r2 = r˙ 2 + + ω2 r2 . E= 2 m r 2 2 2mr2 2 Die Energie hängt nur noch von der radialen Koordinate r (und ihrer Zeitableitung) ab. Alle nicht nach der Zeit abgeleiteten Terme in r werden schließlich zum effektiven Potenzial gezählt: Veff =
L2 m + ω2 r2 . 2mr2 2 2
L Dies ist in Abb. 12.7 abgebildet. Der Term 2mr 2 heißt Drehimpulsbarriere, weil er die Bewegung des Teilchens für kleine r dominiert und den Stillstand des schwingenden Systems verhindert. Für große Auslenkungen aus der Ruhelage spürt das Teilchen nur noch das Potenzial des harmonischen Oszillators.
316
12 Einfache Anwendungen in der Mechanik
Abb. 12.7: Das effektive Potenzial V = rα2 + βr2 des sphärischen harmonischen Oszillators. Für große r ist das harmonische Potenzial ∼ r 2 dominant; für kleine r verhindert der Drehimpuls einen Stillstand des Oszillators.
Beispiel 12.16 (Zwei Massen am Faden) Zwei Massen sind durch einen masselosen Faden der Länge wie in der Abbildung links über ein kleines Loch im Tisch verbunden. Die Masse m rotiere auf dem Tisch gegen den Uhrzeigersinn. Welche Erhaltungsgrößen gibt es? Bestimmen und skizzieren Sie das effektive Potenzial.
Lösung: Wir betrachten beide Massen separat. Da die Masse auf dem Tisch um das Loch herum rotiert, bietet es sich an, Zylinderkoordinaten für die Bahn von m anzusetzen. Als z = 0-Ebene wählen wir den Tisch. Dann gilt r1 (t) r˙1 (t)
= =
r(t) · (cos(ϕ(t)), sin(ϕ(t)), 0) , r(c, ˙ s, 0) + rϕ(−s, ˙ c) , r˙ 2 = r˙ 2 + r2 ϕ˙ 2 . 1
Die zweite Masse kann sich nur auf und ab bewegen. Für sie gilt r2 (t) = (0, 0, −z(t)) . Wir haben allerdings noch nicht die Bedingung beachtet, dass m und M durch den Faden gekoppelt sind. Es gilt r(t) + z(t) = , wobei z positiv gezählt wird und 0 < r < . Damit können wir eine weitere Variable herausschmeißen und erhalten für die Bahn des zweiten Teilchens r2 (t) = (0, 0, r(t) − ) und r˙2 = (0, 0, r). ˙ Jetzt können wir den Energiesatz aufstellen: E
m˙2 M ˙2 r + r + 0 + M gz2 (t) 2 1 2 2
=
T 1 + T2 + V 1 + V 2 =
=
M 2 m 2 (r˙ + r2 ϕ˙ 2 ) + r˙ + M g(r − ) , 2 2
wobei die Energien der einzelnen Teilchen aufsummiert wurden. Da nirgendwo explizit die Zeit eingeht (das physikalische Problem ist zeitinvariant), ist die Energie erhalten. Weiterhin gilt die Drehimpulserhaltung, da das Potenzial V = M g(r − ) frei von Winkelgrößen ist. Der Drehimpuls ergibt sich für die Masse m zu rc rc−r 0 ˙ ϕs ˙ = mr1 × r˙1 = m rs 0 ˙ ϕc ˙ × rs+r = mr L 0 ˙ ϕs ˙ 2 rsc+r ˙ ϕc ˙ 2 −rsc+r 0 0 = mr 2 ϕ˙ 2 0 2 = mr2 ϕ ˙ e3 = Le3 . c +s
12.6 Schwingungen
317
Damit gilt für den Drehimpuls L = mr2 ϕ. ˙ Das effektive Potenzial in Abhängigkeit L von r lässt sich dann durch Elimination der Winkelabhängigkeit via ϕ˙ = mr 2 bewerkstelligen: E=
m 2 m 2 L2 M 2 m+M 2 L2 + M g(r − ) . r˙ + r 2 4 + r˙ + M g(r − ) = r˙ + 2 2 2 m r 2 2
2mr =Veff
Das effektive Potenzial ist in Abb. 12.8 skizziert.
Abb. 12.8: Das effektive Potenzial des Zwei-MassenSystems. Für große Abstände r ≤ der Masse m zum Loch überwiegt das Lagepotenzial der Masse M , für kleine Abstände (d. h. schnelle Rotation der Kugel m) wird die Drehimpulsbarriere dominant.
Spickzettel zu Teilchen im Potenzial Symmetrien und Erhaltungssätze Zu jeder Symmetrie eines physikalischen Systems gehört eine Erhaltungsgröße (und vice versa): Translationsinvarianz ⇔ V unabh. vom Ort ⇔ Impulserh. , Rotationsinvarianz ⇔ V unabh. vom Winkel ⇔ Drehimpulserh. , Zeitinvarianz ⇔ V unabh. von der Zeit ⇔ Energieerh. . Effektives Potenzial Im Energiesatz können mit Hilfe der Erhaltungsgrößen Koordinatenabhängigkeiten eliminiert werden; Zusammenfassen der nicht zeitlich abgeleiteten Terme liefert dann das effektive Potenzial Veff .
12.6
Schwingungen
In diesem Abschnitt werden wir schwingungsfähige Systeme – sogenannte Oszillatoren – diskutieren. Wir starten hierzu mit dem mathematischen Fadenpendel.
12.6.1
Mathematisches Pendel
Eine Masse m sei an einem masselosen Faden der Länge an der Decke befestigt und hängt zunächst senkrecht nach unten (das System befindet sich im Potenzialminimum). Nun wird die Masse um einen Winkel ϕ aus der Ruhelage ausgelenkt
318
12 Einfache Anwendungen in der Mechanik
und losgelassen: Überraschung, das Pendel fängt an zu schwingen! Wir wollen dieses Szenario nun mathematisch fassen und betrachten dazu Abb. 12.9.
Abb. 12.9: Zum mathematischen Pendel.
Aus Kapitel Beispiel 1.14 wissen wir, dass auf eine aus der Ruhelage ausgelenkte Masse m die Rückstellkraft Fr = −mg sin(ϕ) wirkt, wobei ϕ der Auslenkwinkel ist. Im Bogenmaß gilt dann für die Strecke der Auslenkung x = · ϕ, womit sich die Newton’sche Bewegungsgleichung formuliert als m¨ x=m
d2 (ϕ) = mϕ¨ = −mg sin(ϕ(t)) . dt2
Daraus folgt
g (12.36) ϕ¨ = − sin(ϕ(t)) . Das ist die Bewegungsgleichung des Pendels. Sie zu lösen, ist äußerst unangenehm und führt auf ein tabelliertes Integral (elliptisches Integral). Im Fall kleiner Auslenkungen ϕ (< 5◦ ) können wir aber den Sinus Taylor-entwickeln (vgl. Abschnitt 4.3): ϕ5 ϕ3 + ∓ . . . = ϕ + O(ϕ3 ) . sin(ϕ) = ϕ − 3! 5! Dann ergibt sich schließlich die DGL des harmonischen Oszillators: g ϕ(t) ¨ = − ϕ(t) =: −ω 2 ϕ(t)
(12.37)
mit der aus Kapitel 7 bekannten Lösung ϕ(t) = ϕ0 cos(ωt + φ)
bzw.
x(t) = ϕ(t) = ϕ0 cos(ωt + φ) =: x0 cos(ωt + φ) . (12.38) Hierbei bezeichnet ω = g die Winkelgeschwindigkeit und beinhaltet über ω = 2πf die Schwingungsfrequenz f nebst Periode T = f1 : f=
1 2π
g
bzw.
T = 2π
. g
(12.39)
Was überdies auffällt: Die Schwingungsperiode hängt nicht von der Masse des Pendels ab, sondern nur von der Fadenlänge!
12.6 Schwingungen
12.6.2
319
Der harmonische Oszillator
Der harmonische Oszillator ist uns schon in vielfältiger Form erschienen: schwingende Feder, Pendel, DGL des harmonischen Oszillators, Schwingung im Oszillatorpotenzial, . . . doch was charakterisiert eigentlich einen freien harmonischen Oszillator (H.O.)? Ein Ansatz: H.O. ⇐⇒ V =
mω 2 2 r ⇔ Rückstellkraft Fr ∼ −r ⇔ r¨ + ω 2r = 0 . (12.40) 2
Jedes schwingungsfähige System, das auf eine Auslenkung aus der Ruhelage – das ist das Potenzialminimum – mit einer Rückstellkraft reagiert, die proportional zur Auslenkung r ist, heißt harmonischer Oszillator. Das System wird dann durch die DGL r¨ + ω 2r = 0 beschrieben. Lösungen der Bewegungsgleichung sind bekannterweise harmonische Funktionen cos(ωt + ϕ) , r(t) = A schwingen und eine Periode die mit der Frequenz ω = 2πf und der Amplitude A 2π von T = ω besitzen (das ist die Zeit, nach der sich ein Schwingungszustand wiederholt). Dabei heißt ϕ Phase. Zur Vereinfachung betrachten wir zunächst Schwingungen in einer Dimension. Drei berühmte Beispiele harmonischer Schwingungen sind in Abb. 12.10 dargestellt.
Abb. 12.10: Drei harmonische Systeme. Links: Federpendel. Mitte: Fadenpendel. Rechts: Schwingung einer Flüssigkeitssäule im U-Rohr.
Gedämpfter harmonischer Oszillator Dämpft man die Schwingung eines Federpendels (z. B. dadurch, dass man das Federpendel in Honig packt), so wirkt zusätzlich zur Rückstellkraft eine Reibungskraft −γv = −γ x˙ und die DGL des freien harmonischen Oszillators (12.40) muss abgeändert werden zu x ¨ + ω 2 x = −γ x˙ ⇐⇒ x ¨ + γ x˙ + ω2 x = 0 .
(12.41)
Das ist die Differenzialgleichung des gedämpften harmonischen Oszillators, wobei ω die Schwingungsfrequenz des freien H.O. bezeichnet. Zur Lösung der DGL verwenden wir den Exponentialansatz (da nur Funktionen und Ableitungen, nicht aber t explizit auftaucht): x(t) = eλt ,
x(t) ˙ = λeλt ,
x ¨(t) = λ2 eλt .
Eingesetzt folgt mit Division durch eλt = 0: λ2 eλt + γλeλt + ω 2 eλt = 0 ⇐⇒ λ2 + γλ + ω 2 = 0 .
320
12 Einfache Anwendungen in der Mechanik
Anwenden der P-Q-Formel liefert γ =− ± 2
λ1,2
γ2 − ω2 . 4
(12.42)
Nun müssen drei Fälle für γ (Stärke der Dämpfung) unterschieden werden: γ2 4
− ω 2 > 0 ⇒ γ > 2ω. Wird eine sehr starke Dämpfung gewählt, so vollführt das System im Extremfall noch nicht einmal eine Schwingung (z. B. Feder in Honig). In diesem Fall ist die Diskriminante (der Teil unterhalb der Wurzel) positiv, somit auch die Wurzel und wir erhalten als Lösung die Linearkombination aus den Exponentialansätzen mit jeweiligen λ’s: 2 2 x(t; γ > 2ω) = Ae
−
γ 2
+
γ 4
−ω 2 t
+ Be
−
γ 2
γ 4
−
−ω 2 t
.
(12.43)
Sie besteht aus zwei abfallenden Exponentialfunktionen. Dieser Fall wird Kriechfall genannt (Abb. 12.11 links). γ2 − ω 2 = 0 ⇔ γ = 2ω. 4 Ein Mittelding zwischen totaler Dämpfung und gedämpfter Schwingung ist der sogenannte aperiodische Grenzfall γ = 2ω. In seinem Fall wird die Diskriminante null und damit verschwindet die Wurzel. Die Superposition zweier Lösungen bricht also zusammen, da wir nur eine einzige Lösung aus dem Anγ satz herausziehen können: x(t) = e− 2 t . In diesem Fall muss eine Lösung der Form x(t) = (A + Bt)e(...) gebaut werden und wir erhalten γ
γ
x(t; γ = 2ω) = Ae− 2 t + Bte− 2 t .
(12.44)
Das ist die Lösung beim aperiodischen Grenzfall (Abb. 12.11 Mitte). γ2 2 4 − ω < 0 ⇔ γ < 2ω. Im letzten Fall wird die Diskriminante negativ und damit die Wurzel imaginär: 6 γ2 γ γ γ2 γ γ2 2 2 −ω =− ± − ω − . λ1,2 = − ± = − ± i ω2 − 2 4 2 4 2 4
imaginär!
Man kann also i ausklammern (i2 = −1!). Wir erhalten dann als Lösung: 2 2 γ
−i
ω2 − γ4
t
γ
i
ω 2 − γ4
t
x(t; γ < 2ω) = Ae− 2 t e + Be− 2 t e . 2 Mit Ω := ω 2 − γ4 folgt somit die Lösung im Schwingungsfall (Abb. 12.11 rechts): γ γ (12.45) x(t; γ < 2ω) = Ae− 2 t e−iΩt + Be− 2 t eiΩt bzw. reell geschrieben mit geeigneter Konstantenwahl γ
xreell (t; γ < 2ω) = Ce− 2 t cos(Ωt + φ) . γ
Dabei bewirkt e− 2 t ein exponentielles Abklingen der cos-Schwingung. Die gedämpfte Schwingung hat die Frequenz Ω, die freie schwingt mit ω.
12.6 Schwingungen
321
Abb. 12.11: Drei Fälle des gedämpften harmonischen Oszillators. Links: Kriechfall – es kommt zu keinerlei Schwingung. Mitte: Aperiodischer Grenzfall. Rechts: Gedämpfte Schwingung – deutlich erkennt man den exponentiellen Abfall der Amplitude (gestrichelt).
Getriebener gedämpfter harmonischer Oszillator Unsere gedämpft schwingende Feder wird nun kontinuierlich durch einen Extender mit Frequenz ω angeregt, welcher eine äußere Kraft Fext (t) auf den Oszillator überträgt. Diese sei in unserem Fall periodisch: Fext = F0 eiω t . Damit ergibt sich die DGL des gedämpften getriebenen harmonischen Oszillators zu: Fext (t) 1 (12.46) = F0 eiω t m m mit der Frequenz ω0 des freien Oszillators. Im Falle γ = 0 wurde diese DGL schon per Fourier-Transformation in Kapitel 10 gelöst. Da wir aber schon für die homogene DGL (Fext (t) = 0) die Lösung bestimmt haben, brauchen wir nur noch eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL zu bestimmen. Der e-Ansatz tat es doch eigentlich ganz gut, oder?
x ¨ + γ x˙ + ω02 x =
x(t) = Ceiω t ,
x(t) ˙ = Ciω eiω t ,
x ¨(t) = −Cω 2 eiω t .
Eingesetzt folgt F0 iω t F0 ⇔ −ω 2 C + iω γC + ω02 C = e . m m Hieraus kann direkt C bestimmt werden: 1 F0 . C= m −ω 2 + iγω + ω02
−ω 2 Ceiω t + iω γCeiω t + ω02 Ceiω t =
Die gesamte Lösung erhalten wir durch Addition der homogenen und der speziellen Lösung. Damit ergibt sich für die Lösung der Bewegungsgleichung im getriebenen gedämpft schwingenden Fall zu γ
γ
x(t) = Ae− 2 t e−iΩt + Be− 2 t eiΩt +
F0 eiω t . m −ω 2 + iγω + ω02
(12.47)
Für die praktische Anwendung wird dabei wieder oft die reelle Darstellung benötigt. Unter geeigneter Konstantenwahl ist dies γ
x(t) = Ce− 2 t cos(ωt + ϕ) +
F0 cos(ω t) . 2 m (ω0 − ω 2 )2 + γ 2
(12.48)
322
12 Einfache Anwendungen in der Mechanik
Resonanzkatastrophe Im Falle von ω → ω0 (d. h., der Extender regt mit der Frequenz des freien Oszillators an) verhindert die Dämpfung ein unbegrenztes Wachstum des letzten Terms. Nimmt man jedoch die Dämpfung heraus, d. h. γ = 0, so ergibt sich die Lösung zu γ F0 cos(ω t) x(t) = Ce− 2 t cos(ωt + ϕ) + , m ω02 − ω 2 und hier wird im Falle ω → ω0 der letzte Term unendlich groß. Das bedeutet: Regt man mit der sogenannten Resonanzfrequenz des Systems (das ist die Frequenz der freien Schwingung) ω0 an, so würde sich das schwingende System ohne Dämpfung so weit aufschaukeln, dass es sich im Extremfall selbst zerstört. Dieses Phänomen bei getriebenen harmonischen Oszillatoren ist unter dem Begriff Resonanzkatastrophe bekannt. Sie ist auch der Grund, warum Bundeswehrsoldaten nicht im Gleichschritt über eine Brücke marschieren sollten, da es zur Resonanzkatastrophe kommen kann und die Brücke so ungünstig vom Tritt angeregt wird, dass sie einstürzt. Setzt man dagegen den Gleichschritt aus, wird die Brücke mit ganz vielen unterschiedlichen Frequenzen angeregt und kann nicht in Resonanz gelangen. Abb. 12.12 zeigt den frequenzabhängigen Verlauf der Schwingungsamplitude. Abb. 12.12: Die Resonanzkurve. Anregungen mit niedriger Frequenz bewirken nur eine kleine Schwingung. Wird dagegen das System mit der Resonanzfrequenz ωres = ω02 − γ 2 angeregt, so schwingt sich das System bis zum Maximum auf. Im nicht gedämpften Fall (γ = 0) kann die Amplitude bis ins Unendliche anwachsen und letztlich wird das System zerstört.
12.6.3
Exakte Schwingungsperiode in einem Potenzial
Aus der 1-D-Lösung des Energiesatzes t(x) = t(x0 ) +
m 2
/
x x0
dx E − V (x )
lässt sich eine Formel für die exakte Schwingungsperiode im Potenzial V (x) herleiten, wenn aus der Ruhelage x0 beliebig ausgelenkt wird (der nächste Abschnitt behandelt kleine Auslenkungen). O. B. d. A. sei x0 = 0 und t(x0 ) = t(0) = 0 (lenke zum Zeitpunkt t = 0 aus). Es bezeichne a die Auslenkung aus der Ruhelage, dann folgt für die Dauer T einer Schwingung in Abhängigkeit von der Gesamtenergie / a / a m dx m dx +2 . T (E) = 2 2 0 2 0 E − V (x) E − V (−x)
12.6 Schwingungen
323
Der Faktor 2 vor den Integralen taucht jeweils auf, da die Zeiten für Hin- und Rückschwingung im positiven x-Bereich (bzw. negativen x-Bereich) gleich groß sind. Im Falle eines zum Minimum symmetrischen Potenzials (d. h. V (−x) = V (x)) vereinfacht sich die Formel, da man die beiden Summanden addieren kann. Wir erhalten für die Periodendauer in einem symmetrischen Potenzial somit / a m 1 T (E) = 4 , (12.49) dx 2 0 E − V (x) in Abhängigkeit von der Energie E. Beispiel 12.17 (Periodendauer im Oszillatorpotenzial) Im eindimensionalen Oszillatorpotenzial sollte ein um a ausgelenktes Teilchen mit einer Periodendauer T = 2π ω schwingen – kommt dies mit obiger Formel auch heraus? 2 2 Lösung: Die Energie ist erhalten, da das Potenzial V (x) = m 2 ω x nicht explizit zeitabhängig ist. Das bedeutet, dass sie für jede Momentaufnahme den gleichen Wert besitzt. Im Umkehrpunkt kennen wir die Energie des Teilchens: 2 2 E = V (a) = mω 2 a , da hier gerade die kinetische Energie verschwindet und die gesamte Energie in Form potenzieller Energie vorliegt. Hiermit können wir die Schwingungsperiode berechnen: / a / a m m dx 1 dx m = 4 T = 4 m m 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0 2ω a − 2ω x 2ω a 1 − xa2
1 / 2π
dx 4 1 4 4 π x→ax √ −0 = . = = arcsin(x)
= ω 0 ω ω 2 ω 1 − x2 0
Also stimmt es.
12.6.4
Kleine Schwingungen im Potenzial
Harmonische Schwingungen kommen dadurch zustande, dass ein System ein wenig aus seiner stabilen Gleichgewichtslage ausgelenkt wird und eine Rückstellkraft proportional zur Auslenkung wirkt. Die stabile Gleichgewichtslage r0 eines Systems – charakterisiert durch ein Potenzial V – ist dadurch charakterisiert, dass es ein Minimum in V an der Stelle der Gleichgewichtslage r0 gibt, d. h. 1-D : V (x0 ) = 0 und V (x0 ) > 0 ,
(12.50)
3-D : ∇V (r0 ) = 0 und Hess V (r0 ) positiv definit .
(12.51)
Taylor-Entwicklung um das Potenzialminimum Durch Bestimmung der Minima mit Hilfe obiger Gleichungen findet man die stabilen Gleichgewichte eines physikalischen Systems. Lenkt man nun das System ein
324
12 Einfache Anwendungen in der Mechanik
wenig aus dem Gleichgewicht aus, so beginnt es harmonisch um das Gleichgewicht zu schwingen. Da die Auslenkungen sehr klein sind, können wir das Potenzial um das Minimum in einer Taylor-Reihe (s. Kapitel 4) entwickeln und obige Beziehungen verwenden:
V (x)
V (x0 ) (x − x0 )2 + O(x3 ) 2
=
V (x0 ) + V (x0 )(x − x0 ) +
=
V (x0 ) (x − x0 )2 + O(x3 ) , V (x0 ) + 2
=0
(12.52)
bzw. in mehreren Dimensionen V (r)
≈
1 V (r0 ) + ∇V (r0 ) ·(r − r0 ) + (r − r0 )T · Hess V (r0 ) · (r − r0 )
2
=
1 V (r0 ) + (r − r0 )T · Hess V (r0 ) · (r − r0 ) . 2
= 0
(12.53)
Das sind die genäherten Potenziale an den Gleichgewichtslagen. Vergleicht man jetzt die Näherungen mit dem Potenzial des harmonischen Oszil2 r − r0 )2 , so kann von einem beliebigen Potenzial V die Schwinlators V = m 2 ω ( gungsfrequenz ω um die Gleichgewichtslage berechnet werden. In 1-D folgt dann per Koeffizientenvergleich V (x) ≈ V (x0 )+
V (x0 ) mω 2 V (x0 ) mω 2 (x−x0 )2 ←→ V (x) = (x−x0 )2 ⇒ = . 2 2 2 2
Ergebnis:
V (x0 ) . (12.54) m Wie man die Eigenfrequenzen im mehrdimensionalen Potenzial bestimmt, sehen wir weiter unten. ω2 =
Beispiel 12.18 (Schwingung im Potenzial) Gegeben sei das Potenzial V (r) = xα2 − βx . Skizze! Wo befindet sich die Gleichgewichtslage x0 eines Teilchens in diesem Potenzial? Mit welcher Frequenz schwingt das Teilchen, wenn man es geringfügig aus der Gleichgewichtslage auslenkt? Lösung: Zunächst skizzieren wir das Potenzial (Abb. 12.13). Offensichtlich gibt es nur ein stabiles Gleichgewicht. Für die Gleichgewichtslage muss V (x) = 0 gelten. Dies ergibt hier V (x) = − 2α x3 +
β x2
= 0 ⇐⇒ −2α + βx = 0 ⇔ x =
2α β
.
12.6 Schwingungen
325
Abb. 12.13: Das Potenzial V = xα2 − βx . Bei x0 befindet sich das einzige Minimum, um das kleine Schwingungen möglich sind.
Somit ist die Stelle der Gleichgewichtslage x0 = V (x0 ) =
α 2α β
2 −
β 2α β
=
2α β
mit Wert
β2 β2 β2 − =− . 4α 2α 4α
Zur Bestimmung der Schwingungsfrequenz entwickeln wir das Potenzial bis einschließlich zweite Ordnung. Dafür benötigen wir die zweite Ableitung des Potenzials. Diese ist V (x) =
6α x4
−
2β x3
,
V (x0 ) =
6αβ 4 (2α)4
−
2β 4 (2α)3
=
β4 (2α)3
.
Damit ergibt sich per Taylor-Entwicklung um das Minimum: V (x) ≈ V (x0 ) + V (x0 )(x − x0 ) +
V (x0 ) (x 2
2
β − x0 )2 = − 4α +
4 1 β 2 (2α)3
x−
2α β
2
=0
und die Schwingungsfrequenz folgt zu ω2 =
12.6.5
V (x0 ) m
=
β4 8mα3
.
Gekoppelte Schwingungen
Werden N Massen m1 , . . . , mN mit beliebig vielen Federn zusammengekoppelt und lenkt man eine oder mehrere Massen aus, so wirkt sich diese Auslenkung auch auf die anderen Massen und Federn aus – man spricht dann von gekoppelten Schwingungen. Wir wollen diese etwas näher beleuchten. Wie wir wissen, gilt für das Potenzial einer Feder V (r) = κ2 (r−r0 )2 , wobei r−r0 die Auslenkung aus der Ruhelage r0 des Systems bezeichnet. Im Folgenden nennen wir die Auslenkungen zur Vereinfachung η = r − r0 . Damit schreibt sich ein beliebiges Federpotenzial in der Form κ (12.55) V (η ) = η T Aη , 2 wobei die Matrix A = AT im Allgemeinen nicht diagonal ist und die Dimension N × N hat. Die Bewegungsgleichungen folgen dann durch Gradientenbildung des Potenzials nach der Auslenkung η : M η¨ = −∇η V (η ) = −κAη ,
(12.56)
326
12 Einfache Anwendungen in der Mechanik
wobei M die sogenannte Massenmatrix ist, die die Diagonalgestalt ⎛ ⎞
⎜ M =⎝
m1
O
besitzt. Definiere ⎛ √
⎜ M := ⎝
O
m1 ..
O
.
√
O
..
.
⎟ ⎠
mN
⎞
⎛
⎟ ⎠,
⎜ M−1 := ⎝
mN
O
√1 m1
..
.
O
⎞ ⎟ ⎠,
√1 mN
wobei M−1 die Inverse zu M ist und weiterhin gilt: M = M · M. Mit dieser Definition ist folgende Umschreibung möglich: M η¨ = M · Mη¨ = −κAη ⇐⇒ (Mη )·· = −κM−1 Aη , bei der von links mit M−1 multipliziert wurde. Führe nun neue Koordinaten u = Mη ⇔ η = M−1 u
(12.57)
ein, dann ergibt sich schließlich ¨ = −κM−1 AM−1 u =: −κHu u
(12.58)
mit Matrix H = M−1 AM−1 . Hierbei handelt es sich um ein gekoppeltes DGLSystem, welches per Diagonalisierung von H und Hauptachsentransformation gemäß Kapitel 7 gelöst wird. Beispiel 12.19 (Zwei Massen)
Zwei gleich große Massen m1 = m2 = m werden wie in der Skizze mit drei Federn mit Federkonstante κ zwischen zwei Wänden gekoppelt. Welche Eigenfrequenzen und Eigenschwingungen besitzt das System?
Lösung: Wir gehen Schritt für Schritt und sehr ausführlich vor. 1. Potenzial aufstellen Zum Aufstellen des Potenzials wählen wir geeignete Koordinaten. Hierfür bieten sich die Auslenkungen η1 und η2 aus den Ruhelagen an. Dann ergibt sich das Gesamtpotenzial aus der Summe der einzelnen Federpotenziale zu V (η1 , η2 ) = κ2 η12 + κ2 (η2 − η1 )2 + κ2 η22 .
12.6 Schwingungen
327
Dies ergibt sich wie folgt (von links nach rechts): Die erste Feder kann nur durch Auslenkung der Masse m1 aus der Ruhelage gedehnt bzw. gespannt werden (die Wand ist starr und bewegt sich nicht!). Bei der zweiten Feder ist nur die Differenz der Auslenkungen der beiden Massen m1 und m2 wichtig. Lenkt man nämlich m2 ganz weit aus, tut dies aber auch mit m1 in die gleiche Richtung, so ist der Effekt für die mittlere Feder null. Es kommt einzig auf die Differenz an. Der dritte Term ergibt sich schließlich mit gleicher Argumentation wie der erste. Wir schreiben das Potenzial nun in Matrixform: 2 −1 η1 2 2 κ κ V (η1 , η2 ) = 2 (2η1 + 2η2 − 2η1 η2 ) = 2 (η1 , η2 ) η2 −1 2
=A
mit symmetrischer Matrix A = AT und Vektor η = (η1 , η2 )T . 2. Bewegungsgleichung bestimmen Direkt über den negativen Gradienten des Potenzials (bzgl. der Auslenkungen η ) erhalten wir die Bewegungsgleichung: −∇η V (η) = − κ2 (4η1 − 2η2 , 4η2 − 2η1 )T = −κ(2η1 − η2 , −η1 + 2η2 )T = −κAη , womit folgt: mη¨1 mη¨2
η1 m 0 η¨1 η1 = −κA ⇐⇒ = −κA (∗) η2 η¨2 η2 0 m
=:M
mit der Massenmatrix M = m · 1 (nur in diesem speziellen Fall kann m aus √ der Matrix ausgeklammert werden!) und M = m · 1. Dementsprechend wäre die Inverse √ −1 (2.27) √ m 0 1 √ M−1 = = det(M) · 0m √0m 0 m √ m 0 1 √ = m = √1m ( 10 01 ) = √1m · 1 . 0 m (∗) ist die zu lösende Bewegungsgleichung. 3. Gekoppelte DGLs in u In diesem speziellen Beispiel wäre die Trafo u = Mη unnötig, wir machen sie jedoch trotzdem, um das Schema klar zu machen: u = Mη ⇔ η = M−1 u . Dann folgt eingesetzt in (∗) und nacheinander von links mit M −1 und M multipliziert ¨ = −κ M−1 AM−1 u . M · (M−1 u)·· = −κAM−1 u ⇐⇒ u
˜ =:H
328
12 Einfache Anwendungen in der Mechanik
Hierbei ist ˜ = H
1 0
√1 m
0 1
2 ·
−1 2
−1
·
√1 m
1 0
0 1
=
1 m
2 −1
−1 2
.
Schließlich folgt die u-Bewegungsgleichung zu 2 −1 κ κ ¨ u =: − m Hu . u = − m −1
2
Dies ist ein gekoppeltes DGL-System, welches durch Diagonalisierung von H und anschließende Hauptachsentransformation gelöst wird. 4. Diagonalisierung von H Die Eigenwerte von H sind det
2−λ −1
−1 2−λ
= (2 − λ)(2 − λ) − 1 = 4 − 4λ + λ2 − 1 = λ2 − 4λ + 3 = 0 .
Damit folgen die Eigenwerte zu λ = 1 und λ = 3. Für den ersten Eigenvektor zu λ = 1 ergibt das LGS 1 −1 0 +| · 1 1 −1 0 → ⇒ y := 1, x = 1 ⇒ f1 = √12 ( 11 ) . −1
0
1
+| · 1
0
0
0
Für den zweiten Eigenvektor folgt mit der Überlegung, dass Eigenvektoren senkrecht stehen, f2 = √12 −1 1 . Damit erhalten wir
H =
1 0
0 3
,
D=
1 √ 2 1 √ 2
− √12 √1 2
.
5. Hauptachsentransformation Transformiere via u = Du in ein neues System: ¨ = − κ Hu u m
¨ = − κ H u . −→ u m
u=DT u
In diesem Fall führt dies auf
u ¨1 u ¨2
=
κ −m
1 0
0 3
u1 · ⇐⇒ u2
κ u ¨1 = − m u1 =: −ω12 u1 2 u ¨2 = − 3κ m u2 =: −ω2 u2
.
Das ist jetzt endlich das entkoppelte DGL-System im günstigen u -System, wel κ ches direkt per trigonometrischem Ansatz gelöst werden kann. ω1 = m und 3κ ω2 = m sind dabei die Eigenfrequenzen des Systems. Lösen der entkoppelten DGLs liefert u1 (t) = A cos(ω1 t + ϕ1 ) , wobei ϕ1 und ϕ2 beliebige Phasen sind.
u2 (t) = B cos(ω2 t + ϕ2 ) ,
12.6 Schwingungen
329
6. Rücktransformation ins u-System Die Rücktransformation gelingt per u = DT u : u = DT u = u1 (t)f1 + . . . + uN (t)fN . Hier sind die Eigenschwingungen
u(t) = A cos(ω1 t + ϕ1 ) √12 ( 11 ) + B cos(ω2 t + ϕ2 ) √12 −1 1 κ mit Eigenfrequenzen ω1 = m und ω2 = 3κ m . Die Kombination aus Lösungen und Eigenvektoren in obiger Form wird Superposition der Normalmoden genannt. Eine Mode ist dabei ein Schwingungszustand. Wir können u(t) folgendermaßen interpretieren: Der erste Term beschreibt die Schwingung, wenn beide Massen in die gleiche Richtung (∼ ( 11 )) ausgelenkt und losgelassen werden (d. h. die mittlere Feder ist nicht gedehnt), der zweite Term beschreibt die Schwingung, wenn die Massen entgegengesetzt (∼ −1 1 ) ausgelenkt und losgelassen werden. Die erste Schwingung ist relativ gemächlich, während die √ zweite Schwingung um einen Faktor 3 schneller schwingt (s. Eigenfrequenzen). Abb. 12.14 verdeutlich die beiden Schwingungsmoden.
Abb. 12.14: Die zwei möglichen Schwingungsmoden. Im Bild links sind die Auslenkungsrichtungen (nicht gefüllte Kreise) der ruhenden Massen dargestellt; rechts sieht man die Schwingungen.
12.6.6
Schwingungen im mehrdimensionalen Potenzial
Was ist los, wenn ein Teilchen der Masse m in einem mehrdimensionalen Potenzial kleine Schwingungen um das Minimum ausführt? In diesem Fall vergleichen wir das beliebige Potenzial erneut mit einem Federpotenzial, indem V bis zur zweiten Ordnung um das Minimum Taylor-entwickelt wird! Dann hat man eine Quadrik der Form V = κ2 rT Ar vorliegen, aus der man per Gradientenbildung die Bewegungsgleichungen mr¨ = −∇V (r) aufstellen kann. Dies sind im Allgemeinen gekoppelte Differenzialgleichungen, die mit dem aus Kapitel 7 bekannten Verfahren entkoppelt werden müssen. Beispiel 12.20 (Teilchen im Potenzial) Ein Teilchen der Masse m befinde sich im Potenzial V (x, y) =
mω02 2
5 2 1 x+2y −2x + 2e − cos(3x + y) + 12 e−x−2y − xy
330
12 Einfache Anwendungen in der Mechanik
am Ursprung und werde leicht ausgelenkt. Welche Eigenfrequenzen und Eigenschwingungen hat das System? Lösung: Zunächst müssen wir überprüfen, ob in (0, 0) ein Potenzialminimum vorliegt. Hierzu berechnen wir den Gradienten und die Hesse-Matrix in (0, 0), welche wir ohnehin für die Taylor-Entwicklung benötigen. Es sind
V (0, 0)
∂V
∂x (0,0)
(0,0)
2
∂ V ∂x2
(0,0)
2
∂ V ∂x∂y
(0,0)
2
∂ V ∂y 2
∂V ∂y
=
mω02 2 (0
=
mω02 2
=
mω02 2
=
mω02 2
=
mω02 2
=
mω02 2
(0,0)
+
1 2
− 1 + 12 ) = 0 ,
−5x + 12 ex+2y + 3 sin(3x + y) − 12 e−x−2y − y
= 0, (0,0) x+2y
e + sin(3x + y) − e−x−2y − x
= 0, (0,0)
5mω 2 −5 + 12 ex+2y + 9 cos(3x + y) + 12 e−x−2y
= 2 0, (0,0) x+2y
4mω 2 e + 3 cos(3x + y) + e−x−2y − 1
= 2 0, (0,0) x+2y
5mω 2 2e + cos(3x + y) + 2e−x−2y
= 2 0. (0,0)
∂V Die notwendige Bedingung ∇V |(0,0) = ( ∂V ∂x , ∂y )|(0,0) = 0 ist offensichtlich erfüllt, da die ersten partiellen Ableitungen in (0, 0) verschwinden. Für ein Minimum muss zusätzlich die Hesse-Matrix in (0, 0) positiv definit sein. Sie ist 5 4 mω2 . Hess V |(0,0) = 2 0
4
5
Für die Definitheit müssen wir die Eigenwerte bestimmen. Diese ergeben sich aus det
5−λ
4 5−λ
4
= 25 − 10λ + λ2 − 16 = λ2 − 10λ + 9 = 0 ,
so dass λ1 = 1 und λ2 = 9 folgen. Wegen λ1 > 0 und λ2 > 0 ist die Hesse-Matrix des Potenzials bei (0, 0) positiv definit. Damit liegt bei (0, 0) tatsächlich ein lokales Minimum, um das das Teilchen kleine Schwingungen vollführen kann. Im nächsten Schritt führen wir das Potenzial per Taylor-Entwicklung bis zur zweiten Ordnung auf den sphärisch harmonischen Oszillator zurück und können dann Eigenfrequenzen und Eigenschwingungen bestimmen. Für die Taylor-Näherung um den Ursprung folgt V (x, y)
≈
V (0, 0) + ∇V (0, 0) ·(x, y)T + 12 (x, y) · Hess V (0, 0) · (x, y)T
=0
=
mω02 2
(x, y)
= 0 5 2
2
2
=A
5 2
x y
=
mω02 2
5
2x
2
+ 4xy + 52 y 2 .
12.6 Schwingungen
331
Das ist das quadratisch genäherte Potenzial. Nun kann ganz normal mit Bestimmung der Bewegungsgleichung via mr¨ = −∇V = −mω02 Ar und anschließender Lösung dieses gekoppelten DGL-Systems durch Hauptachsentransformation weitergemacht werden. Dies sparen wir aber ausnahmsweise aus und überlassen es zur Übung.
Spickzettel zu Schwingungen Harmonischer Oszillator (H.O.) Charakterisierung (freier H.O.): H.O. ⇐⇒ V (r) =
mω 2 2 r ∼ −r ⇐⇒ r¨ + ω 2r = 0 ; r ⇐⇒ Rückstellkraft F 2
1 allgemeine DGL (getriebener, gedämpfter H.O.): x ¨ + γ x˙ + ω02 x = m F (t), wobei γ Dämpfung und F antreibende Kraft. Unterscheide hierbei: – keine Dämpfung, kein externes F : x ¨ + ω02 x = 0 mit harmonischen Funktionen als Lösung; Schwingungsfrequenz ω0 = 2πf und Periode T = 2π ω0 (z. B. Feder, Fadenpendel, . . . ). 2 – Dämpfung, nicht getrieben: x ¨ +γ x+ω ˙ 0 x = 0, Fallunterscheidung in gedämpfter Schwingung, Kriechfall und aperiodischer Grenzfall. 1 – Getrieben und gedämpft: x ¨ + γ x˙ + ω02 x = m F (t), Lösung z. B. per Fourier; im Falle γ → 0 Gefahr der Resonanzkatastrophe bei periodischer Anregung.
Exakte Schwingungsperiode im Potenzial Schwingungsperiode Potenzial bei beliebiger Auslenkung a: 0 a in symmetrischem 1 √ dx . T (E) = 4 m 2 0 E−V (x)
Kleine Schwingungen Stabile Schwingung bei kleiner Auslenkung aus Potenzialminimum ∇V (r0 ) = 0; Vorgehen: a) Quadratische Näherung des Potenzials um r0 : V = V (r0 ) + 12 rT Hess V (r0 ) r , r Auslenkung aus Gleichgewichtsposition. = −∇V die (gekoppelten) Newton’schen Bewegungsb) Bestimme hieraus via F gleichungen. c) Entkoppel DGL-System per Hauptachsentransformation und löse die entkoppelten DGLs; lese Schwingungsfrequenzen ω ab. d) Rücktrafo der Lösung. 1-D, V = V (x): Entwicklung um Minimum, V (x) = V (x0 ) + 12 V (x0 )(x − x0 )2 , identifiziere Schwingungsfrequenz ω 2 =
V (x0 ) . m
332
12 Einfache Anwendungen in der Mechanik
12.7
Rotation eines Körpers
Wir werfen abschließend einen Blick auf den starren Körper. Bisher haben wir nur Punktmassen und deren Bewegung studiert; jetzt betrachten wir einen Körper, der aus vielen Einzelmassen besteht. Starr heißt er, weil die Massen des Gebildes mit masselosen, starren Stangen verbunden gedacht werden und alle Teilchen einen konstanten Abstand halten: |ri − rj | = const.
(12.59)
Das bedeutet, dass Schwingungen des Körpers selbst ausgeschlossen sind. Der Körper kann um drei Achsen rotieren und sich in drei Richtungen bewegen. Man nennt die Bewegungsmöglichkeiten Freiheitsgrade.
12.7.1
Grundbegriffe
Die Gesamtmasse eines starren Körpers ist gegeben durch diskret: M =
N
/ mi ,
d3 x (r) ,
kontinuierlich: M =
(12.60)
V
i=1
wobei im kontinuierlichen Fall (r) die Massendichte des Körpers beschreibt und im diskreten Fall der Körper aus N Punktmassen besteht. Den Schwerpunkt kennen wir schon aus Kapitel 1 und 5: N = 1 diskret: R miri , M i=1
= 1 kontinuierlich: R M
/ d3 x (r)r .
(12.61)
V
bezeichnet z. B. in 2-D anschaulich die Stelle, an der wir eine unförmige Fläche R einfach mit einer Pinzette von unten stützen könnten und sie nicht von der Pinzette fallen würde. Die letzte fehlende Erhaltungsgröße in unserem Repertoire ist die Schwerpunktserhaltung: Der Schwerpunkt bewegt sich stets so, als ob in ihm die gesamte Masse vereinigt ist. Er bewegt sich gleichförmig, wenn sich alle äußeren Kräfte kompensieren oder keine existieren: ¨ = 0 =⇒ R(t) · t + R(0) ¨ = F ext = 0 ⇐⇒ R =V MR
(12.62)
= const. mit V Bewegt sich der Klumpen, so kann man ihm den folgenden Gesamtimpuls zuordnen: / ˙ , kontinuierlich: P = diskret: P = M R d3 x (r)r˙ . (12.63) V
12.7 Rotation eines Körpers
333
Beim Gesamtdrehimpuls müssen wir aufpassen. Wenn wir einen Drehimpuls für ein N -Massen-System angeben, dann bezieht dieser sich immer auf den Schwerpunkt: = diskret: L
N
i = L
i=1
N
miri × vi ,
=R × P . kontinuierlich: L
(12.64)
i=1
und P . mit obigem kontinuierlichen R
12.7.2
Trägheitstensor und -moment
Beim starren Körper interessieren vor allem seine Rotationseigenschaften. Nett wäre ein Zusammenhang zwischen Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit (die die Drehachse beinhaltet). Hierfür betrachten wir noch einmal den Drehimpuls und schreiben ihn um. Um Verwirrung mit Indizes auszuschließen, schauen wir uns die Herleitung für eine Masse an und verallgemeinern dann das Resultat auf N Massen. Wir starten mit dem Drehimpuls und der Rotationsgeschwindigkeit eines Teilchens v = ω × r. Mit der bac-cab-Formel ergibt sich dann = mr × v = mr × ( L ω × r) = m( ω (r · r) − r(r · ω )) . Wir wollen ω ausklammern. Im ersten Summanden ist das kein Problem, denn r · r = r 2 ist ein Skalar, an dem ω problemlos vorbeigezogen werden kann. Der zweite Term jedoch bereitet Kopfzerbrechen, müssen wir dem armen r doch seinen Skalarproduktpartner ω entreißen. Dabei hilft uns aber das dyadische Produkt ◦ aus Kapitel 2. Von dort kennen wir (a ◦ a)b = (a · b)a = a(a · b) . Damit folgt sofort in der Drehimpulsformel = m( ω =I ·ω , L ω (r · r) − r(r · ω )) = m(r2 · 1 − r ◦ r) ·
=:I
wobei der Faktor I vor dem ω matrixwertig ist. Explizit ausgeschrieben bedeutet dies: ⎡⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞⎤ r
I
=
m(r2 · 1 − r ◦ r) = m ⎣⎝ 0
⎛
=
0 2
y +z m⎝ −xy −xz
2
−xy x2 + z 2 −yz
0 r2 0
⎞
0 x 0 ⎠ − ⎝ xy r2 xz
xy y2 zy
xz yz ⎠⎦ z2
−xz −yz ⎠, x2 + y 2
wobei der Trägheitstensor offensichtlich symmetrisch ist, d. h. I = I T .
334
12 Einfache Anwendungen in der Mechanik
In der Verallgemeinerung für N Massen ergibt sich analog L
=
N
i = L
i=1
N
mi ((ri · ri ) · 1 − ri ◦ ri ) · ω.
i=1
=:I
Damit ergibt sich für den Trägheitstensor eines N -Massensystems die explizite Darstellung ⎛ ⎞ 2 2 y + z −x y −x z i i i i i N ⎜ i ⎟ T mi ⎜ (12.65) I= −x y x2i + zi2 −yi zi ⎟ i i ⎝ ⎠=I . i=1 2 2 −xi zi −yi zi xi + yi Beispiel 12.21 (Aufstellen des Trägheitstensors) Wie lautet der Trägheitstensor von vier gleich großen Massen m, die bei r1 = r(0, 0, 1)T , r2 = r(1, 0, 0)T , r3 = r(− 12 , positioniert sind?
√ 3 T 2 , 0)
und r4 = r(− 12 , −
√ 3 T 2 , 0)
Lösung: Wir stellen für jede Masse einzeln den Trägheitstensor auf. Im ersten Fall für m1 = m und r1 = (x1 , y1 , z1 )T = (0, 0, r)T gilt nach (12.65): 2 2 1 0 0 0 +r −0·0 −0·r = mr2 0 1 0 . Im1 = m −0·0 02 +r2 −0·r −0·r
−0·r
0 0 0
02 +02
Der dritte folgt zu
⎛ √3 2 2
Im3
=
m
−(− 12 r)·
+02
m ⎝ −(− 12 r)·
=
r
√
√ 3 r·0 2
√ 3 2 4 r 1 2 4r
0
0
0
√
= mr
0 r2
3 2 r·0 √ 2 3 r 2
(− 12 r)2 +
2
⎞
−(− 12 r)·0
(− 12 r)2 +02
3 2 r
−(− 12 r)·0 3 2 4r √ 3 2 4 r
√ 3 2 r
3 4 √ 3 4
0
√ 3 4 1 4
0
0 0 1
⎠
.
Die anderen beiden ergeben sich vollkommen analog. Damit folgt der GesamtTrägheitstensor nach (12.65) zu 5 0 0 2 I = Im1 + Im2 + Im3 + Im4 = mr2 0 52 0 . 0
0 3
In Indizes geschrieben findet man für den Trägheitstensor auch oft folgende Darstellung: diskret:
Iij =
N
α mα (δij (r α )2 − xα i xj ) ,
(12.66)
d3 x (r)(δij r 2 − xi xj ) .
(12.67)
α=1
/ kontinuierlich:
Iij =
V
12.7 Rotation eines Körpers
335
Trägheitsmoment Ist eine feste Drehachse n gegeben (|n| = 1!), um die das Massensystem rotiert, so spricht man bei In = nT In (12.68) vom Trägheitsmoment des Körpers bezüglich der Achse n. Beispiel 12.22 (Weihnachtsmarkt) Nachdem wir in Beispiel 5.16 schon den Schwerpunkt des kegelförmigen Weihnachtsbaums für den günstigen Transport bestimmt haben, kommt kurzfristig die Idee auf, den Baum als Verzierung in der Mitte eines waagerecht rotierenden Karussells auf dem Jahrmarkt zweckzuentfremden. Dazu sollten wir das Träg z . heitsmoment kennen! Erinnere die Dichte: (x) = 0 1 − H Lösung: Die Drehachse ist durch n = (0, 0, 1)T gegeben. Wir suchen also das e3 . Dieses berechnet sich Trägheitsmoment bezüglich der z-Achse, d. h. In = eT 3 I über / / I33 = d3 x (r)(δ33r 2 − x3 x3 ) = d3 x (r)(x21 + x22 ) . V
Für die Integration wählen wir Zylinderkoordinaten (x21 + x22 = r2 ):
/ I33
=
/
H
dϕ 0
=
/
2π
dz 0
0
/
z R(1− H )
H
dz 1 −
2π0
z H
/
=
−
· r2
z R(1− H )
dr r3
0
=
π0 R4 2
z H
R(1− z ) H z 4
= 14 R4 (1− H ) 0 / H / 1 5 z→Hz π0 R4 H 5 dz 1 − Hz = dz (1 − z) 2 0
=
dr r0 1 −
0
π0 R4 H 12
1 (1 − z) = 6
0
r4 4
0
π0 R4 H 12
.
Da M = 14 0 πR2 H (s. Beispiel 5.16), folgt insgesamt I33 =
1 M R2 . 3
Das ist das Trägheitsmoment des Baumes bezüglich Rotation um die z-Achse.
12.7.3
Stabile Rotation
Die Frage aller Fragen ist: Wenn man einen beliebig geformten Körper hat (z. B. eine Kartoffel), wie muss man dann Drehachsen ω durch ihn stechen (etwa einen Zahnstocher), so dass die Rotation um diese Achse stabil ist? Stabile Rotation
336
12 Einfache Anwendungen in der Mechanik
bedeutet in diesem Fall: ohne Unwucht, also ohne Geeier. Des Rätsels Lösung = ist der Trägheitstensor. Im vorhergehenden Abschnitt hatten wir die Formel L I·ω mit dem Trägheitstensor I bekommen. I beschreibt den Körper, ω ist die Drehachse. Diese soll nun fix sein, d. h. sich zeitlich nicht ändern (sonst würde der und Körper beim Rotieren eiern!). Keine Unwucht haben wir vorliegen, wenn L ω parallel liegen. Anwenden von I auf ω soll also wieder ω bzw. ein Vielfaches λ liefern. Das kennen wir aber, nicht wahr? I ·ω =λ·ω .
(12.69)
Ein weiteres Eigenwertproblem! ω heißen dabei Hauptträgheitsachsen, λ Hauptträgheitsmomente. Stabile Drehungen des Körpers finden um die Achsen statt, die das größte und kleinste Trägheitsmoment haben. Ist also nach stabilen Drehungen eines Systems – beschrieben durch den Trägheitstensor I – gefragt, so müssen wir die Eigenwerte und Eigenvektoren von I berechnen. Der Eigenvektor zum größten und kleinsten Eigenwert gibt dann die stabilen Achsen an. Beispiel 12.23 (Stabile Rotationen) Wie lauten vom System aus Beispiel 12.21 die Achsen, um die eine Rotation stabil verläuft? Lösung: Wir müssen Eigenwerte und Eigenvektoren von I berechnen. Da I aber schon diagonal ist, können wir die Eigenwerte bzw. Hauptträgheitsmomente direkt ablesen: I1 = 52 mr 2 = I2 , I3 = 3mr2 mit den zugehörigen Hauptachsen ω 1 = ω1e1 , ω 2 = ω2e2 und ω 3 = ω3e3 . Stabile Rotationen sind um die Achsen möglich, die das größte bzw. das kleinste Hauptträgheitsmoment besitzen. Da aber I1 = I2 , sind alle Hauptachsen stabile Achsen!
Rotationsenergie Für die Rotationsenergie eines Mehrteilchensystems um eine Achse ω gilt mit v = ω × r: N N mα ˙ α 2 1 α (r ) = Trot = m ( ω × r α )2 , 2 2 α=1
α=1
wobei der Index α die Teilchen durchzählt und der Übersicht halber (s. u.) nach oben geschrieben wurde. Ausmultiplizieren des Kreuzprodukts liefert in Indizes ( ω × r)2
=
( ω × r) · ( ω × r) = ( ω × r)i · ( ω × r)i
=
εijk ωj xk · εi m ω xm = εijk εi m ωj ω xk xm
=
(δj δkm − δjm δk )ωj ω xk xm = ωj ωj xm xm − ωj ωk xk xj .
12.7 Rotation eines Körpers
337
Nun möchte man die ω’s ausklammern. Dies geht aufgrund der verschiedenen Indizes im zweiten Term nicht. Wir mogeln allerdings im ersten Term ein KroneckerSymbol hinein, so dass dort auch die Indizes j und k auftauchen: ωj ωj xm xm − ωj ωk xk xj = δjk ωj ωk xm xm − ωj ωk xk xj , womit unter Vertauschung xk xj = xj xk folgt: ( ω × r)2 = δjk ωj ωk xm xm − ωj ωk xk xj = (δjk xm xm − xj xk )ωj ωk . Damit ergibt sich für die Rotationsenergie dank Gleichung (12.66), wegen xm xm = r 2 und Ijk ωj ωk = ωj Ijk ωk (Komponenten können beliebig vertauscht werden): Trot
N 1 α 1 1 α α α m (δjk xα m xm − xj xk ) ωj ωk = Ijk ωj ωk = ωj Ijk ωk . 2 2 2 α=1
=
=Ijk
Ergebnis: Trot =
1 T 1 ω = (nT In)ω 2 , ω I 2 2
(12.70)
wobei (nT In) das Trägheitsmoment bezüglich der n-Achse ist. Beispiel 12.24 (Rotationsenergie) Wie lautet die Rotationsenergie beim Trägheitstensor aus Beispiel 12.21 wenn um die Achse n = ( √12 , √12 , 0)T gedreht wird? Lösung: Wir berechnen die Rotationsenergie mit Hilfe von Gleichung (12.70): ⎛ 5 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ √ 0 0 2 2 mr 2 5 1 ⎠ ⎝ ⎠ω 2 √ mr 0 Trot = 12 (nT In)ω2 = 12 √12 , √12 , 0 · ⎝ 0 · 2 2 =
1 5 2
2 mr
2
·
1 2
+
2 5 2 mr
·
1 2
0
2
+0 ω =
0
3mr 2
0
2 2 5 4 mr ω .
Obige Rotationsenergie hat nichts mit der (translatorischen) kinetischen Energie eines N -Massensystems zu tun und muss zur gesamten kinetischen Energie hinzugefügt werden. Damit muss der Energiesatz erweitert werden zu E = Ttrans + Trot + V .
(12.71)
Beispiel 12.25 (Rollende Kugel) Eine Vollkugel der Masse M , Radius R und Trägheitsmoment I = 25 M R2 rolle von der Höhe h eine Schräge herunter. Wie schnell ist die Kugel am Ende der Schrägen?
338
12 Einfache Anwendungen in der Mechanik
√ Lösung: Direkt vorweg: Nein, v = 2gh ist nicht die Antwort. Dies wäre nur unter Vernachlässigung der Rotation richtig. Nun müssen wir allerdings die Rotation einbeziehen. Die Kugel startet von der Höhe h, alle Energie ist in der Lageenergie M gh gespeichert. Nun beginnt sie zu rollen, die potenzielle Energie wandelt sich in kinetische (translatorische) Energie und Rotationsenergie um: M gh =
M 2 2 v
+ 12 Iω 2 =
M 2 2 v
+
2 12 2 5MR
v 2 R
=
M 2
+
M 5
v2 =
2 7 10 M v
nach Energiesatz. Umformen liefert
v=
10 7 gh .
Das ist die Geschwindigkeit am Ende der Bahn. Sie ist offensichtlich kleiner als √ 2gh, was bedeutet, dass nicht die komplette Energie in translatorische Energie umgewandelt wurde (sondern ein Teil auch in Rotationsenergie).
Spickzettel zum starren Körper Kenngrößen eines Mehrteilchensystems 0 N – Gesamtmasse: M = mi bzw. M = V d3 x (r). i=1 0 3 N = 1 = 1 – Schwerpunkt: R miri bzw. R r)r. M M V d x ( i=1 ¨ ext – Schwerpunktsatz: M R = F = 0 ⇔ R(t) = V · t + R(0). 0 3 = MR ˙ bzw. P = – Gesamtimpuls: P d x (r)r˙ . V
bezogen): L = – Gesamtdrehimpuls (auf R L = R × P.
N
i=1
i = L
N
i=1
miri × vi bzw.
Trägheitstensor Beschreibt das Drehverhalten eines beliebigen Körpers: Iij =
N
/
α mα (δij (r α )2 − xα i xj ) bzw. Iij =
d3 x (r)(δij r 2 − xi xj ) . V
α=1
Explizit im diskreten Fall:
I=
N i=1
⎛
yi2 + zi2 ⎝ mi −xi yi −xi zi
−xi yi x2i + zi2 −yi zi
⎞
−xi zi T −yi zi ⎠ = I . 2 2 xi + yi
Stabile Rotation – Bestimmung der stabilen Achsen ω über: I ω = λ ω (Eigenwertproblem); dann sind die Achsen mit kleinstem/größtem Eigenwert stabil. – Rotationsenergie: Trot = 12 ω T I ω = 12 (nT In)ω 2 , wobei nT In das Trägheitsmoment bzgl. der Achse n genannt wird. – Erweiterung des Energiesatzes unter Rotationsbewegung zu E = Ttrans + Trot + V =
m ˙2 r 2
+ 12 ω T I ω + V (r) .
13 Einfache Anwendungen in der Elektrodynamik
Übersicht 13.1
Bewegung eines geladenen Teilchens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
13.2
Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
13.3
Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
13.4
Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
13.5
Elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
Im letzten Kapitel werden wir die erlernten mathematischen Methoden in ausgesuchten Teilen der Elektrodynamik anwenden. Hierbei wird es vor allem um bewegte geladene Teilchen und das Verhalten elektromagnetischer Felder selbst gehen.
13.1
Bewegung eines geladenen Teilchens
13.1.1
Ladung
Irgendwo im Raum ist ein Bereich V, indem sich Ladungen Q befinden. Dieser Bereich wird von einer sogenannten Ladungsdichte erfüllt: =
Q Ladung = bzw. infinitesimal dQ = dV . Volumen V
(13.1)
Für Punktladungen bekommt die Ladungsdichte die folgende Gestalt: (r) = Q · δ(r − r ) (Punktladung bei r ) ,
(13.2)
wobei δ(r − r ) die Einheit m13 besitzt. Ist also die Ladungsdichte (r) bekannt, so lässt sich durch Volumenintegration die Ladung im Bereich V finden: / QV = d3 x (r) . (13.3) V
340
13 Einfache Anwendungen in der Elektrodynamik
Fragt man nach der Gesamtladung (oder der Ladung im gesamten Raum), so ist V = R3 gemeint und wir müssen über den gesamten Raum integrieren. Die Begrifflichkeiten sind analog zur Gesamtmasse und Massendichte aus Kapitel 5. Beispiel 13.1 (Ladung entlang einer Bahn) Eine Ladung liege entlang der Raumkurve r (t) gemäß (r, t) =
Qc3 −c|r−r (t)| e 8π
verteilt. Wie groß ist die Gesamtladung? Lösung: Hier muss (13.3) über den gesamten Raum berechnet werden. Somit folgt zunächst in kartesischen Koordinaten x = (x, y, z): / / / +∞ / +∞ Qc3 +∞ Qges = d3 x (x) = dx dy dz e−c|x−x (t)| . 8π −∞ −∞ −∞ R3 Wir führen nun den aus Kapitel 5 bekannten Verschiebetrick mit x → x + x (t) (oder analog drei Verschiebungen xi → xi +xi (t) für i = 1, 2, 3) durch und erhalten somit / / / +∞ / +∞ Qc3 +∞ 3 d x (x) = dx dy dz e−c|x| . Qges = 8π −∞ R3 −∞ −∞ Nun wechseln wir in Kugelkoordinaten und erhalten per Ableiten nach Parametern aus Kapitel 5 / / +1 / 2π / Qc3 ∞ Qc3 ∞ Qges = dr r2 e−cr d cos(θ) dϕ = dr r2 e−cr 8π 0 2 0
−1 0 3
Qc 2 ∂ 2 c
=
/
∞
=4π 3
dr e−cr
=
0
Qc 2 ∂ 2 c
∞ −1 −cr
Qc3 2 1 e
∂c = = Q. c 2 c 0
= c23
Das ist die Gesamtladung, Qges = Q.
13.1.2
Strom
Bewegt sich eine Ladungsdichte im Raum mit der Geschwindigkeit v , so entsteht ein Strom, der durch eine sogenannte Stromdichte j charakterisiert wird: j(r, t) =
I Strom · eStrom = · eStrom Fläche A
bzw. infinitesimal
dI = j · df
(13.4)
mit df = dA · eStrom . Hierbei gibt eStrom die Richtung der fließenden Ladungen und dA das Flächenelement der durchsetzten Fläche A (z. B. Leiterquerschnitt) an. Abb. 13.1 verdeutlicht dies.
13.1 Bewegung eines geladenen Teilchens
341
Abb. 13.1: Stromdichte im Leiter. Elektronen bewegen sich von links nach rechts (eStrom = e1 ) und durchsetzen die Fläche A. Der Strom durch das Flächenelement dA – das ist das Skalarprodukt j · df – wird maximal, wenn j und das Oberflächen element df parallel liegen (Eigenschaft des Skalarprodukts!). dQ = dV beschreibt die Ladung im infinitesimalen Volumen dV .
Der Strom I entsteht durch eine zeitliche Änderung der Ladung: / dQ df · j(r, t) (Strom durch Fläche F) . I= bzw. I = dt F
(13.5)
Wir können die Stromdichte auch umschreiben und betrachten hierzu den Strom durch die Fläche A. Dann gilt o. B. d. A. mit Abb. 13.1: dQ
j(r, t) =
Strom (13.5) (13.1) dV · eStrom = dt · eStrom = · eStrom Fläche A dt A
dV =A dx
=
dx · eStrom . dt
x˙ = dx dt ist allerdings nichts anderes als die Geschwindigkeit in x-Richtung (als Änderung von x in der Zeit t), ferner zeigt eStrom in Richtung des Ladungsflusses eStrom . Damit erhält man die wichtige und wir können identifizieren: v = dx dt · Beziehung zwischen bewegten Ladungsdichten und Strom: j(r, t) = (r, t) · v .
(13.6)
Beispiel 13.2 (Strom durch Zylinder) Ein im Ursprung zentrierter Zylinder der Höhe 2h und Radius R (ohne Boden und Deckel!) sei konzentrisch zur z-Achse ausgerichtet und werde von einer Stromj0 r dichte j(r) = 4π durchsetzt. Wie groß ist der Strom I durch die Mantelfläche | r |3 x des Zylinders? Hinweis: √1+x = √ 1 23 . 2 1+x
Lösung: Den Gesamtstrom erhalten wir durch Auswerten des Flächenintegrals (13.5). Wir verwenden Zylinderkoordinaten x = (r cos(ϕ), r sin(ϕ), z)T mit √ |x| = r2 + z 2 (r statt ρ, um Verwechselung mit der Ladungsdichte zu verhindern), so dass die Stromdichte folgt zu r cos(ϕ) j(r, ϕ, z) = √ j20 2 3 r sin(ϕ) . 4π r +z
z
Um das Flächenintegral zu berechnen, müssen wir auf der Mantelfläche M des Zylinders die Tangentialvektoren berechnen und df aufstellen (s. Kapitel 9). Es sind −r sin(ϕ) r cos(ϕ) cos(ϕ) tϕ = ∂x = r cos(ϕ) , tz = ∂x = 00 , tϕ × tz = r sin(ϕ) = r sin(ϕ) 1 ∂ϕ ∂z 0 0 0 und folglich df = dϕ dz (tϕ × tz ). Hiermit können wir den Fluss durch den Zylindermantel M berechnen (Achtung: r ≡ R = const. auf dem Mantel!):
342
13 Einfache Anwendungen in der Elektrodynamik
/ I
/
= M
df · j(r, t) =
/
=
R j0 R2 4π
/ =
j0 2R
/
M
+h
dϕ 0
=
/
2π
dz −h
/
2π
−h
dz −h
0
dz
cos(ϕ) sin(ϕ) 0
+h
dϕ +h
dϕ dz (tϕ × tz ) · j(r, ϕ, z)
1 2 3
1+ z 2
2
r=R
· 2
√c +s 3 R2 +z 2 z→Rz j0 = 2
R
j0 √ 1 4π R2 +z 2 3
=
/
j 0 R2 2
/
h +R
dz h −R
R cos(ϕ) R sin(ϕ) z
+h
dz −h √ 1 3 1+z 2
√ 1 3 R2 +z 2
.
An dieser Stelle verwenden wir den Hinweis aus der Aufgabe: / + Rh
Rh
z 0h 1 dz √ 1 2 3 = j20 √1+z = jR = I = j20 2
h 2 h −R
1+z
−R
h 1+ R2
√ j0 h R2 +h2
.
Das ist der Strom durch die Oberfläche.
13.1.3
Kontinuitätsgleichung
Ladungsdichte und Stromdichte j erfüllen die Kontinuitätsgleichung: ∂ = 0. (13.7) ∂t Diese partielle Differenzialgleichung ist uns schon in Kapitel 11 über den Weg gelaufen. Wie schon gesagt ist sie landläufig bekannt als „Was reingeht, muss auch wieder raus“. Diese Aussage bezieht sich nun auf ein von einer Stromdichte j durchflossenes Volumen, z. B. ein Teil eines Vollkabels (wie in Abb. 13.1). Sofern keine Verluste im Kabel auftauchen, sollte die Menge Ladungen, die in das Kabel links hineinfließt, auch wieder am rechten Ende ankommen. Wenn sich dagegen die Anzahl der Ladungen zeitlich ändert, so kann dies nur durch Zu- oder Abfluss von Ladungen im Kabel passieren (das entspricht der Divergenz), d. h. durch einen zusätzlich entstandenen Strom. Die integrale Form der Kontinuitätsgleichung entspricht direkt unserem eben verbal aufgebauten Bild. Sie ergibt sich aus (13.7) durch Integration über ein Volumen V und Anwendung des Satzes von Gauß (Kapitel 9): / / / / ∂ (13.7) ∂ Gauß =− d3 x (∇ · j) = df · j = − d3 x d3 x , ∂t ∂t V V ∂V V
∇ · j +
=QV 3
wobei die t-Ableitung aus dem d x-Integral herausgezogen werden kann. Es folgt somit / / ∂ ∂QV . (13.8) I= df · j = − d3 x = − ∂t V ∂t ∂V Das ist die integrale Kontinuitätsgleichung, die auch wieder |I| = Q˙ liefert.
13.1 Bewegung eines geladenen Teilchens
13.1.4
343
und B-Feldern Ladung in E-
und magneNun betrachten wir bewegte Ladungen q in elektrischen Feldern E tischen Feldern B. Aus Kapitel 1 wissen wir, dass für die Bewegung geladener gilt. Schaltet man zuTeilchen in einem B-Feld die Lorentz-Kraft FL = qv × B hinzu, so wirkt die elektrostatische Kraft sätzlich ein elektrisches Feld E F = q E
(13.9)
auf die Ladung q. Somit können wir zusammenfassen: Die Bewegung eines geladenen Teilchens der Masse m und Ladung q in elektrischen und magnetischen und B erfolgt gemäß Feldern E + r˙ × B) . mr¨ = q(E
(13.10)
Klassische Fragestellungen sind sowohl die Berechnung der Felder bei gegebener Bahn als auch die Berechnung der Bahn bei gegebenen Feldern. Zu beidem gibt (13.10) eine Antwort. Folgende Beispiele illustrieren dies. Beispiel 13.3 (Wien-Filter) In einem Wien-Filter werden Teilchen nach ihrer Geschwindigkeit sortiert. Dazu schießt man geladene Teilchen (m,q) in gekreuzte (d. h. senkrecht aufeinander und B-Felder stehende) Eund stellt diese so ein, dass sich die Teilchen geradlinig gleichförmig bewegen. Wie groß ist dann ihre Geschwindigkeit? Lösung: Ohne Beschränkung der Allgemeinheit geben wir den Feldern eine Vor und B senkrecht aufeinanderstehen. zugsrichtung. Einzig zu beachten ist, dass E T = (0, 0, B)T . Eine geradlinige Bewegung = (E, 0, 0) und B Wir setzen also an: E des Teilchens bedeutet, dass keine Beschleunigung wirkt, d. h. in Gleichung (13.10) sind r¨ = 0 und v = (v1 , v2 , v3 )T = const.. Somit folgt v 2B + r˙ × B) = q E0 + q v12 × 00 = q E+v 0 = q(E . −v1 B v 0
3
B
0
Dies führt auf drei Gleichungen für die Komponenten: qE + qv2 B = 0 ,
0 = −qv1 B ,
0 = 0.
Was wollen uns diese Gleichungen sagen? Nun, zunächst schließen wir sofort aus der zweiten Gleichung: v1 = 0. Die erste Gleichung kann umgeformt werden, so E dass v2 = − B . Aus der Dritten folgt schließlich, dass v3 beliebig ist. Ergebnis: T v = (0, − E B , v3 ) .
Im Falle v3 = 0 kann man tatsächlich die Teilchen filtern, denn nur Teilchen mit E können den Filter passieren. |v | = B
344
13 Einfache Anwendungen in der Elektrodynamik
Beispiel 13.4 (Geladenes Teilchen im Magnetfeld) Ein geladenes Teilchen mit Masse m und Ladung q bewege sich im homogenen = (0, 0, B). Wie lauten die Bewegungsgleichungen? Wie lassen sie Magnetfeld B sich lösen? Lösung: Bewegt sich ein geladenes Teilchen in einem Magnetfeld, so gilt (13.10). ≡ 0, so dass nur die aus Kapitel 1 bekannte Lorentz-Kraft Allerdings ist E FL = qv × B wirkt. Einsetzen liefert v2 B = q vv12 × 00 = q −v . FL = qv × B 1B v B
3
0
Die Geschwindigkeit v = (v1 , v2 , v3 ) eines Teilchens entlang einer Bahn r(t) ist aber nichts anderes als r˙ = (x, ˙ y, ˙ z), ˙ also können wir die Newton’sche Bewegungsgleichung (ohne Anfangsbedingungen, weil nicht gegeben) aufstellen: m¨ x = qB y˙ ⇐⇒ mr¨ = qr˙ × B
m¨ y = −qB x˙ m¨ z=0
x ¨= ⇐⇒
y¨ =
qB m y˙ , ˙, − qB m x
m¨ z = 0.
Unsere Rechnung führt uns auf ein System gekoppelter Differenzialgleichungen, denn die x ¨-Gleichung hängt von y ab und umgekehrt. Das ist nicht sehr schön, sind wir am Ende unseres Lateins? Nein, denn wenn man die erste Gleichung einmal nach der Zeit differenziert, dann lässt sich auf der rechten Seite die zweite Gleichung einsetzen. Und wenn wir die zweite Gleichung ein weiteres Mal ableiten, dann können wir die erste Gleichung einsetzen: 2 2 ... qB qB ... qB x = m − m x˙ = − qmB2 x˙ , x = m y¨ qB ... ... q2 B 2 y = − qB y = − qB ¨ ⇐⇒ m x m m y˙ = − m2 y˙ , z¨ = 0
z¨ = 0 .
Die z-Gleichung lässt sich sofort durch zweifaches Aufleiten lösen: z(t) = At + B. Bei den anderen beiden machen wir nun den Trick der Reduktion der Ordnung. Führe dazu neue Funktionen η(t) = x˙ und ξ(t) = y˙ ein. Dann folgen: 2
2
η¨(t) = − qmB2 η(t) =: −ω 2 η(t) ,
¨ = − q2 B22 ξ(t) =: −ω 2 ξ(t) . ξ(t) m
Damit sind η(t) und ξ(t) Lösungen eines harmonischen Oszillators mit der Frequenz ω = qB m . Es ergibt sich η(t) = C1 cos(ωt + ϕ1 ) = x˙ ,
ξ(t) = C2 cos(ωt + ϕ2 ) = y˙ .
Durch Aufleiten nach t folgt schließlich die Bahnkurve zu r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = Cω1 sin(ωt + ϕ1 ) + D1 , Cω2 sin(ωt + ϕ2 ) + D2 , At + B . Das Teilchen bewegt sich somit im Falle A = 0 und geeigneten ABs auf einer Spiralbahn, für A = 0 auf einer elliptischen oder sogar kreisförmigen Bahn.
13.2 Maxwell-Gleichungen
345
Spickzettel zu Bewegung eines geladenen Teilchens Ladung Ladungsdichte =
Ladung Volumen ,
Ladung Q im Volumen V: Q =
0 V
d3 x (r).
Strom 0 Strom Stromdichte j = Fläche · eStrom = · v ; Strom durch Fläche F: I = F df · j oder: ˙ zeitliche Änderung I = Q. Kontinuitätsgleichung Ladungserhaltung:0 ∇ · j + ˙ = 0 („Was muss auch wieder raus“); Inte0 3reingeht,∂Q ∂ d x = − ∂tV . gralformulierung: ∂V df · j = − ∂t V B-Feldern Bewegung in E/ = qE (elektrostatische Kraft); im magnetischen Ladung q im elektrischen Feld: F = qv × B (Lorentz-Kraft); zusammen: Feld: F + r˙ × B). mr¨ = q(E
13.2
Maxwell-Gleichungen
Vorhang auf für die vier First Principles der Elektrodynamik – die MaxwellGleichungen: ∇·E
=
, ε0
(13.11)
∇·B
=
0,
(13.12)
∇×E
=
∇×B
=
˙ , −B 1 1 ˙ j + 2 E , ε0 c 2 c
(13.13) (13.14)
= E( r, t) das elekrische Feld und B = B( r, t) das magnetische Feld wobei E meint. = (r, t) bezeichnet die Ladungsdichte und j = j(r, t) die Stromdichte. c ist hierbei die Lichtgeschwindigkeit (Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Felder, c ≈ 3·108 m/s) und ε0 die elektrische Feldkonstante. Zusammen mit (13.10) determinieren die Maxwell-Gleichungen komplett die elektrodynamische Welt.
13.2.1
Interpretation der Maxwell-Gleichungen
Erinnern wir uns zunächst an Kapitel 9: Die Divergenz eines Vektorfeldes gibt an, ob das Feld Quellen oder Senken besitzt. Die Rotation eines Vektorfeldes dagegen stellt fest, ob das Feld verwirbelt ist.
346
13 Einfache Anwendungen in der Elektrodynamik
= . 1. div E ε0 Interpretieren wir Stück für Stück: Auf der linken Seite steht die Divergenz des elektrischen Feldes. Es wird also nach Quellen oder Senken des elektrischen Feldes gefragt. Die rechte Seite antwortet darauf: Ja, es gibt Quellen und = 0). Die rechte Seite verrät aber Senken des elektrischen Feldes (da div E noch mehr. Sie teilt uns sogar mit, wo die elektrischen Felder ihre Quellen und Senken haben – auf Ladungen nämlich! Wir haben hier also die mathematische Formulierung der Erkenntnis „Elektrische Felder beginnen und enden auf Ladungen“. = 0. 2. div B Analog lässt sich die zweite Maxwell-Gleichung lesen. Das magnetische Feld ist quellen- und senkenfrei. Oder anders gesagt: „Magnetische Feldlinien sind geschlossen und haben weder Anfangs- noch Endpunkt.“ Alternativ ist dies auch die Feststellung, dass es keine magnetischen Monopole gibt. = −B. ˙ 3. rot E Auf der linken Seite wird die Frage gestellt: Wie werden elektrische Wirbelfelder erzeugt? Rechts steht die Antwort: Durch Änderung des magnetischen Feldes. Das ist das Faraday’sche Induktionsgesetz. ˙ = 1 2 j + 12 E. 4. rot B ε0 c
c
Und wie werden Magnetfelder erzeugt? Einerseits durch Ströme, andererseits durch sich zeitlich ändernde elektrische Felder. Der hintere Term wird Verschiebungsstrom genannt und wurde erst durch theoretische Überlegungen gefunden (Forderung der Ladungserhaltung; vgl. Abschnitt 13.2.4). Wir werden im Folgenden auf die unterschiedlichen Maxwell-Gleichungen mit „Max 1 – Max 4“ verweisen. Max 2 und Max 3 heißen homogene MaxwellGleichungen, Max 1 und 4 inhomogene Maxwell-Gleichungen. Dies kommt daher, dass Max 2 und Max 3 auch im ladungs- bzw. stromfreien Raum gültig sind, Max 1 und Max 4 jedoch und j beinhalten, also inhomogene partielle Differenzialgleichungen sind. Die Maxwell-Gleichungen beantworten einerseits die Frage, welche Felder durch gegebene Ladungsdichten und Stromdichten j erzeugt werden, umgekehrt können wir aber auch aus existierenden elektrischen und magnetischen Feldern auf die erzeugenden Ladungs- und Stromdichten schließen. Beispiel 13.5 (Erzeugung elektromagnetischer Felder) Gegeben sei das elektrische Feld r, t) = (ctx + 2x2 − y 2 , cty + y 2 , ctz − y 2 + 2z 2 )T . E( r, 0) = 0 gesetzt werWelches Magnetfeld gehört dazu (als Randbedingung darf B( den)? Welche Ladungs- und Stromdichte stellen das Feld her? Sind alle MaxwellGleichungen erfüllt?
13.2 Maxwell-Gleichungen
347
Lösung: Das Magnetfeld lässt sich direkt über die dritte Maxwell-Gleichung bestimmen: ctx+2x2 −y 2 ∂x −2y 2 ˙ . ∂ 0 y cty+y ∇×E = × = = −B ctz−y 2 +2z 2
∂z
2y
Per zeitlicher Aufleitung und Umdrehen der Vorzeichen folgt 2yt 2yt = r, t) = 0 0 + C . B( −2yt
−2yt
= 0
ist null wegen der Randbedingung B( r, 0) = A =! 0. Die Integrationskonstante C Die Ladungsdichte bekommen wir über die erste Maxwell-Gleichung: ctx+2x2 −y 2 ∂x 2 ∂ y cty+y · = (ct + 4x) + (ct + 2y) + (ct + 4z) ∇·E = ∂z
ctz−y 2 +2z 2
= 3ct + 2(2x + y + 2z) =
(r, t) , ε0
woraus die Ladungsdichte folgt: (r, t) = 3ε0 ct + 2ε0 (2x + y + 2z) . Die Stromdichte können wir über Max 4 bestimmen: −2t ∂x 2yt 1 1 ˙ 0 0 . ∇ × B = ∂y × = = j + 2 E 2 −2t −2yt ε c c ∂z 0 ˙ = (cx, cy, cz)T . Umgeformt ergibt sich für j: Dabei ist E −2t cx −2ct−x −y . j(r, t) = ε0 c2 0 − ε0 cy = ε0 c −2t
cz
−2ct−z
Schließlich bleibt noch zu überprüfen, ob die zweite Maxwell-Gleichung erfüllt ist. = ∂x [2yt] + ∂y [0] + ∂z [−2yt] = 0 ist Dies ist bei obigem B-Feld aber einfach: ∇ · B erfüllt!
13.2.2
Andere Maßsysteme
Oft findet man die Maxwell-Gleichungen in anderen Maßsystemen (Gauß und Heaviside). Obige Gleichungen wurden im SI (Système International) formuliert. Für das Umrechnen ins Gauß-System gelten folgende Regeln: ε0 →
1 → 1B , , B 4π c
(13.15)
so dass sich die Maxwell-Gleichungen im Gauß-System wie folgt formulieren: = 4π , ∇ · B = 0, ∇ × E = −1B ˙ , ∇ × B = 4π j + 1 E ˙ . ∇·E c c c
(13.16)
348
13 Einfache Anwendungen in der Elektrodynamik
und B die gleichen EinIm Gauß-System sind die Konstanten so gesetzt, dass E heiten besitzen. Noch „heavier“ ist das sogenannte Heaviside-System. Dieses kommt allen Leuten entgegen, die sich keine Konstanten merken wollen. Von SI kommt man ins Heaviside-System durch die Ersetzung ε0 → 1 , c → 1 ,
(13.17)
so dass sie die folgende Form annehmen: = , ∇ · B = 0, ∇ × E = −B ˙ , ∇ × B = j + E ˙ . ∇·E
(13.18)
Die Wahl des Systems ist jedem selbst überlassen, allerdings müssen dann alle verwendeten Gleichungen (nicht nur die Maxwell-Gleichungen!) in das jeweilige System umgeschrieben werden. Im Rest dieses Kapitels verwenden wir das SISystem.
13.2.3
Integrale Maxwell-Gleichungen
Bei vielen Problemen insbesondere in der Elektrostatik und Magnetostatik benötigt man die integralen Maxwell-Gleichungen. Mit Hilfe der Integralsätze von Gauß und Stokes aus Kapitel 9 schreiben wir die differenziellen Maxwell-Gleichungen (13.11) bis (13.14) um, wobei wir auch Gebrauch von der Definition von Strom und Ladung aus Abschnitt 13.1 machen. Erinnere die Integralsätze: / / / / / = , = = . d3 x ∇ · A df · A df · ∇ × A dr · A dr · A V
F
∂V
∂F
C
Dann folgt per Volumenintegration aus (13.11) bis (13.14): / / QV Gauß 3 (13.11) d x∇·E = df · E = , ε0 /V /∂V Gauß (13.12) d3 x ∇ · B = df · B = 0, V
/ /F
df · ∇ × E
Stokes
df ∇ × B
Stokes
F
/∂V
=
/C
=
C
dr · E
(13.13)
dr · B
(13.14)
= =
(13.19) (13.20)
/
∂ , df · B ∂t F / 1 ∂ 1 . IF + 2 df · E ε0 c 2 c ∂t F
−
(13.21) (13.22)
Das sind die integralen Maxwell-Gleichungen. Wir werden diese in der Elektrostatik und Magnetostatik wiedersehen.
13.2 Maxwell-Gleichungen
13.2.4
349
Kontinuitätsgleichung
Die Ladungsdichte und Stromdichte j in den Maxwell-Gleichungen erfüllen die Kontinuitätsgleichung, wie wir bereits wissen. Diese folgt direkt aus den differenziellen Maxwell-Gleichungen. Bilde dazu die Divergenz von Max 4: j 1 ∂ E 1 1 ∂ =∇· . ∇ · (∇ × B) +∇· = (∇ · j) + 2 (∇ · E) ε0 c 2 c2 ∂t ε0 c2 c ∂t ist null (Kapitel 9), womit folgt: ∇ · (∇ × B) ∂ 1 = 0. (∇ · j) + (∇ · E) ε0 ∂t Für die Divergenz des elektrischen Feldes im zweiten Term können wir aber Max 1 einsetzen. Dann steht es da: ∂ ∂ 1 (∇ · j) + = 0 ⇐⇒ ∇ · j + = 0. ε0 ∂t ε0 ∂t Das ist die Kontinuitätsgleichung. Sie sagt aus, dass die Ladung sich ändert, wenn ein Stromfluss (Zu- oder Abfluss) existiert; Quintessenz: Ladungserhaltung! Sie gilt für jedes elektromagnetische Feld, das die Maxwell-Gleichungen erfüllt. Beispiel 13.6 (Ladungserhaltung) Erfüllen (r, t) und j(r, t) aus Beispiel 13.5 die Kontinuitätsgleichung? Lösung: Wir setzen die Ladungsdichte (x, t) = 3ε0 ct + 2ε0 (2x + y + 2z) und die Stromdichte j(x, t) = ε0 c(−2ct − x, −y, −2ct − z)T direkt in ∇ · j + ˙ = 0 ein. Dann gilt ˙ + ∇ · j = 3ε0 c + ε0 c∇ · (−2ct − x, −y, −2ct − z)T = 3ε0 c + ε0 c(−1 − 1 − 1) = 0 . Damit erfüllen die berechneten und j die Kontinuitätsgleichung und es gilt Ladungserhaltung.
Spickzettel zu Maxwell-Gleichungen (Differenzielle) Maxwell-Gleichungen = : Elektrische Felder beginnen und enden auf Ladungen. – ∇·E ε0 = 0: Magnetische Feldlinien sind geschlossen, d. h., es gibt keine magne– ∇·B tischen Monopole. = −B: ˙ Faraday’sches Induktionsgesetz, Änderung des magnetischen – ∇×E Feldes erzeugt elektrisches Wirbelfeld. ˙ = j 2 + E – ∇×B 2 : Magnetische Wirbelfelder werden durch Ströme und Änε0 c
c
derung des E-Feldes erzeugt. Andere Maßsysteme: CGS, ε0 →
1 4π
→ und B
B c ;
Heaviside: c = 1, ε0 = 1.
350
13 Einfache Anwendungen in der Elektrodynamik Integrale Maxwell-Gleichung Herleitung per Satz von Gauß und Stokes aus den differenziellen MaxwellGleichungen:
/ df · E
/
=
1 QV , ε0
/
∂V
df · B
=
/ =− dr · E C
= dr · B
0, C
∂V
∂ ∂t
/ df · B F
1 1 ∂ IF + 2 ε 0 c2 c ∂t
/ . df · E F
Kontinuitätsgleichung = durch ∇ · Max4 und Max1: ∇ ·j + ˙ = 0 bzw. integriert: 0 Ladungserhaltung;∂Qfolgt · j = IF = − V . d f ∂t ∂V
13.3
Elektrostatik
13.3.1
Gleichungen der Elektrostatik
Für Elektrostatik gilt: Keine Ströme, keine B-Felder. Dann schreiben sich die relevanten Maxwell-Gleichungen in der Elektrostatik als r, t) = ∇ · E(
(r, t) , ε0
= 0 . ∇×E
(13.23)
bei gegeWir können somit die erste Gleichung als Bestimmungsgleichung für E benem und die zweite Gleichung als Probe für das ermittelte E-Feld sehen. Eine Hierzu werden wir zwei Hauptaufgabe der Elektrostatik ist: gegeben, was ist E? Verfahren demonstrieren: 1. Lösung durch Ansatz Zum Bestimmen des elektrischen Feldes in einem bestimmten Volumen V ist häufig die integrale Maxwell-Gleichung hilfreich: / / 1 df · E = d3 x . ε0 V ∂V = E(. . .) · e... lässt sich dann bei gegebenem Mit einem cleveren Ansatz E das elektrische Feld E bestimmen. Hierbei hilft die Tatsache, dass elektrische Feldlinien stets senkrecht auf geladenen Flächen stehen, in denen keine Ströme fließen. 2. Lösung über das Skalarpotenzial = 0 folgt mit den Erkenntnissen aus Kapitel 9, dass sich E als Aus ∇ × E Gradientenfeld darstellen lässt (da ∇ × (−∇φ) = 0): r, t) = −∇φ(r, t) . E(
(13.24)
13.3 Elektrostatik
351
Hierbei heißt φ(r, t) Skalarpotenzial der Elektrostatik. Setzt man dies in = ein, so erhält man die Poisson-Gleichung: ∇·E ε0 = −∇ · (∇φ) = ⇐⇒ Δφ = − ∇·E ε0 ε0
(13.25)
und löst diese (s. Kapitel 11). Dieses Verfahren kommt ohne „cleveren“ Ansatz aus, mündet aber oft in ein unangenehmes Integral.
13.3.2
Lösung durch Ansatz
Wir demonstrieren das erste Verfahren an einem Beispiel. Beispiel 13.7 (Elektrisches Feld einer geladenen Vollkugel I) Bestimmen Sie das elektrische Feld einer homogen, positiv geladenen Vollkugel vom Radius R. Lösung: Homogen geladen bedeutet: (r) = 0 = const. Wir können die erste Maxwell-Gleichung benutzen, um das elektrische Feld zu bestimmen. Eine geeignete Koordinatenwahl in diesem Beispiel sind die Kugelkoordinaten x = (r sin(θ) cos(ϕ), r sin(θ) sin(ϕ), r cos(θ))T . E-Feld-Linien stehen immer senkrecht auf geladenen Oberflächen, sofern keine Ströme durch die Oberfläche fließen. Damit wissen wir schon die Richtung des ∼ er (in Kugelkoordinaten), d. h. radial nach außen. Wie elektrischen Feldes: E genau sich die Feldstärke E ändert, müssen wir ermitteln; da allerdings die Ladungsdichte kugelsymmetrisch verteilt ist, sollte das resultierende elektrische Feld auch rotationssymmetrisch sein, d. h. E = E(r). Damit haben wir unseren Ansatz gefunden: x) = E(r)er . E( Diesen setzen wir in die erste integrale Maxwell-Gleichung ein. Wir starten mit der linken Seite. Das Oberflächenelement df in Kugelkoordinaten kann direkt aus Kapitel 9 übernommen werden: df = r2 dθ sin(θ) dϕ er für eine Kugeloberfläche mit allgemeinem Radius r. Dann ergibt das Integral / / π / 2π 2 df · E(x) = r dθ sin(θ) dϕ er · E(r)er = 4πr2 E(r) ,
0 0 ∂V
=E(r) =2
während auf der rechten Seite
/ d3 x V
=2π
(x) QV (r) = ε0 ε0
steht, wobei QV (r) die Ladung im kugelförmigen Integrationsvolumen V mit Radius r bezeichnet. Also gilt zusammen 4πr2 E(r) =
QV (r) 1 QV (r) ⇔ E(r) = . ε0 4πε0 r2
352
13 Einfache Anwendungen in der Elektrodynamik
Nun kommt die Fallunterscheidung ins Spiel. Wir müssen differenzieren, ob das Volumen V die gesamte Ladungsdichte (das wäre für r ≥ R der Fall) oder nur einen Teil (r < R) erfasst. Abhängig davon ergibt sich die Ladung: 0 · 43 πr3 0 · V QV (r) r3 r3 = = = ⇐⇒ Q = Q. V Q 0 · Vges R3 R3 0 · 43 πR3 Im Falle r = R ergibt sich QV = Q (gesamte Ladung), sonst ist QV nur ein Bruchteil von Q, der mit der dritten Potenz des Radius skaliert. Wir erhalten insgesamt Q r 4πε0 R3 für r ≤ R . E(r) = Q 1 4πε0 r 2 für r > R Abb. 13.2 zeigt die radiale Abhängigkeit des elektrischen Feldes.
13.3.3
Abb. 13.2: Radiale Abhängigkeit des elektrischen Feldes einer homogen geladenen Kugel vom Radius R. Deutlich ist im Inneren der lineare Anstieg der elektrischen Feldstärke und außerhalb der Kugel der typische, quadratische Abfall der Feldstärke zu erkennen.
Lösung per Skalarpotenzial
Das elektrische Feld lässt sich auch über das Skalarpotenzial ermitteln. Hierzu benutzen wir die Poisson-Gleichung Δφ = − ε0 . In Kapitel 11 wurde diese DGL gelöst (vgl. (11.13), wobei f (r) = larpotenzial damit zu
( r) ε0 ).
1 φ(r, t) = 4πε0
Bei gegebenem errechnet sich das Ska-
/
d 3 x
(r ) . |r − r |
(13.26)
= −∇φ bestimmt sich anschließend das elektrische Feld. Wie man leicht Über E sieht, kann das Lösen des Integrals schnell zu Komplikationen führen. Beispiel 13.8 (Elektrisches Feld einer Punktladung) Wie lautet das elektrische Feld einer Punktladung? Lösung: Um (13.26) auszuwerten, benötigen wir die Ladungsverteilung einer Punktladung an der Stelle r0 : (r) = qδ(r − r0 ). Eingesetzt folgt / / q q 1 qδ(r − r0 ) δ(r − r0 ) 1 = = , φ(r) = d3 x d 3 x 4πε0 |r − r | 4πε0 |r − r | 4πε0 |r − r0 | wobei die räumliche Integration über die Delta-Funktion wieder in harmloses Er setzen von r durch r0 mündet. Berechnen des E-Feldes liefert das elektrische Feld einer Punktladung: r) = −∇φ(r) = − q ∇ 1 E( 4πε0 |r − r0 |
(9.18)
=
q r − r0 . 4πε0 |r − r0 |3
13.3 Elektrostatik
353
Die Kraft, die auf eine Probeladung q0 im Feld der Ladung q wirkt, ist die sogenannte Coulomb-Kraft und ergibt sich aus der elektromagnetischen Kraft + v × B) durch B = 0 zu F = q0 (E r) = qq0 r − r0 . F (r) = q0 E( 4πε0 |r − r0 |3
(13.27)
Beispiel 13.9 (Elektrisches Feld einer geladenen Vollkugel II) Ergibt sich für das elektrische Feld der geladenen Vollkugel aus Beispiel 13.7 das gleiche Ergebnis über das Skalarpotenzial? Lösung: Das Kernstück in Gleichung (13.26) ist die Ladungsdichte (r). Für diese gilt bei der Vollkugel 0 für r ≤ R . (r) = 0 für r > R Dies setzen wir ein und bestimmen das Skalarpotenzial φ(r). Dazu verwenden wir Kugelkoordinaten: / ∞ / 1 / 2π 1 (r , θ , ϕ ) φ(r) = dr r2 d cos(θ ) dϕ 4πε0 0 |r − r | −1 0 / R / 1 / 2π 1 0 = dr r2 d cos(θ ) dϕ √ , 2 + 2 − 2 4πε0 0 r r r · r −1 0 √ wobei |r − r | = (r − r )2 = r 2 + r 2 − 2r · r im Nenner verwendet wurde. Wegen r ·r = rr cos(θ ) folgt mit der Setzung u = cos(θ ) (der Übersicht halber!) und per Auswerten des ϕ-Integrals: / / 2π0 R 2 1 1 φ(r) = dr r du √ 2 2 4πε0 0 r + r − 2rr u −1
1 /
2π0 R 2 1 2
dr r · r + r2 − 2rr u
= 4πε0 0 rr
−1 ⎛ ⎞ / R 0 ⎜ ⎟ = − dr r ⎝ r2 + r2 − 2rr − r2 + r2 + 2rr ⎠
2ε0 r 0 = −
0 2ε0 r
/ 0
=|r−r |
R
dr r (|r − r | − |r + r |) =
=|r+r |
0 2ε0 r
/
R
dr r (r + r − |r − r |) .
0
Nun müssen wir eine Fallunterscheidung machen. Betrachtet man nur eine Teilkugel mit Radius r, d. h. gilt r < R, so lässt sich das Integral in zwei Teile aufteilen für r < R: / / R r 0 φ(x) = dr r (r + r − |r − r |) + dr r (r + r − |r − r |) . 2ε0 r 0 r
354
13 Einfache Anwendungen in der Elektrodynamik
Im ersten Integral ist durch die Wahl der Grenzen aber immer |r − r | > 0, da r von null bis maximal r läuft. Damit gilt im ersten Integral |r − r | = r − r . Im zweiten Integral dagegen ist durch die Grenzen der Term |r − r | < 0, da r von r bis R läuft: |r − r | = −(r − r ) = r − r. Es ergibt sich somit durch Aufspalten der Integrale für r < R / / R r 0 φ(x) = dr r (r + r − (r − r )) + dr r (r + r − (r − r)) 2ε0 r 0 r /
R / R r r r3
0 0 r 2
2 = dr 2r + dr 2rr = +r 2ε0 r ε0 r 3 0 2 r 0 r 0 2 0 0 = r + (R2 − r2 ) = (3R2 − r2 ) . 3ε0 2ε0 6ε0 Im Falle der Gesamtkugel (r ≥ R) ist es unkritischer, da dort |r − r | > 0 ⇔ |r − r | = r − r (das Integral muss nicht aufgeteilt werden): r > R : φ(x) =
0 2ε0 r
/
R
dr r · 2r =
0
R 0 3 0 r3
= R . ε0 r 3 0 3ε0 r
Q Schließlich verwenden wir als Dichte 0 = VQ = 4 πR 3 , da die Kugel homogen 3 geladen sein soll. Dann ergibt sich für das Skalarpotenzial insgesamt Q 2 2 8πε0 R3 (3R − r ) , r < R φ(x) = Q r>R 4πε0 r ,
= −∇φ bestimmen. Mit der Regel und es lässt sich das elektrische Feld über E ∇f (r) = f (r) rr = f (r)er ergibt sich tatsächlich
x) = −∇φ(x) = E(
+ 4πεQ0 R3 r · er ,
rR
.
Juhu! Übrigens ergibt sich für das Gravitationspotenzial einer homogenen Kugel mit Volumen V durch analoge Rechnung über das Potenzial / (r ) V (r) = −Gm d3 x . |r − r | V Auch hier erkennt man die Verwandtschaft von Coulomb-Potenzial und Gravitationspotenzial.
13.4 Magnetostatik
355
13.4
Magnetostatik
13.4.1
Gleichungen der Magnetostatik
Nun drehen wir den Spieß um und erlauben die Existenz von Strömen, während Ladungen nicht betrachtet werden. Das ist Magnetostatik und die relevanten Maxwell-Gleichungen zur Bestimmung des B-Feldes sind = 0, ∇·B
= ∇×B
1 j , ε0 c2
(13.28)
wobei die erste Gleichung wieder als Probe für das durch die zweite Gleichung ermittelte Feld fungiert. Eine Hauptaufgabe in der Magnetostatik lautet: j gegeben, was ist das dazugehörige B-Feld? Auch hier werden wir wieder zwei Verfahren zur Bestimmung des Magnetfeldes kennenlernen: 1. Lösung durch Ansatz Analog zur Elektrostatik müssen wir einen physikalisch sinnvollen Ansatz = B(. . .) · e... und anschließend die integrale für das Magnetfeld machen: B Maxwell-Gleichung / / 1 1 dr · B = df · j = I 2 2 F ε c ε 0 0c C F durchexerzieren. Auch hierbei kann ggf. eine Fallunterscheidung auftreten. 2. Lösung per Vektorpotenzial = 0 impliziert, dass B als Rotation dargestellt werden kann (da ∇ · (∇ × ∇·B = 0): A) r, t) = ∇ × A( r, t) , B( (13.29) r, t) Vektorpotenzial der Magnetostatik genannt wird. Ohne Bewobei A( weis: Bei gegebenem j errechnet sich das Vektorpotenzial zu / j(r , t) 1 d3 x . (13.30) A(r, t) = 2 4πε0 c |r − r | = ∇ × A. Diese Anschließend liefert die Rotation das magnetische Feld: B Methode ist allerdings in vielen Fällen aufwendig und wird nur im speziellen Fall dünner Leiter mit Hilfe des Satzes von Biot-Savart einigermaßen gut handhabbar.
13.4.2
Lösung durch Ansatz
Wir demonstrieren das erste Verfahren wieder an einem Beispiel.
356
13 Einfache Anwendungen in der Elektrodynamik
Beispiel 13.10 (Stromdurchflossener Leiter) Ein unendlich langer zylindrischer Draht (Radius R) verläuft entlang der zAchse. In ihm fließe ein Strom I in positive z-Richtung. Man bestimme das magnetische Feld innerhalb und außerhalb des Drahtes. Lösung: Wir benötigen einen geeigneten Ansatz für das Magnetfeld im Innen = j 2 . Wir und Außenraum. Nach der vierten Maxwell-Gleichung gilt ∇ × B ε0 c setzen eine Zirkulation um die z-Achse für das B-Feld an (Abb. 13.3), wobei die Stärke nur vom senkrechten Abstand zum Draht abhängt und es egal ist, bei welcher z-Koordinate man das Feld bestimmen möchte (da der Draht unendlich lang ist). In Zylinderkoordinaten x(r, ϕ) = (r cos(ϕ), r sin(ϕ), z) bedeutet dies x) = B(r)eϕ . B( Einsetzen in die vierte integrale Maxwell-Gleichung liefert: / / 1 = 1 dr · B df · j = IF (r) . 2 ε c ε c2 0 0 C F Hierbei bezeichnet IF (r) den Strom durch die Querschnittsfläche F des Leiters. Nun kommt es wieder drauf an, bis zu welcher Stelle wir den Strom berechnen möchten. Betrachten wir z. B. den Strom durch eine Fläche, die nur einen Bruchteil der Querschnittsfläche des Leiters ausmacht, so ist IF nur ein Bruchteil des Gesamtstroms I, nämlich genau das Verhältnis der von I durchsetzten Flächen: r2 IF (r) πr2 ⇔ I (r) = I . = F I πR2 R2 Zum Auswerten der linken Seite der integralen Maxwell-Gleichung wählen wir als Weg C einen kreisförmigen Weg um die z-Achse. Dieser kann parametrisiert werden als r(ϕ) = r(cos(ϕ), sin(ϕ), 0). Mit dr = r(−s, c, 0) ⇔ dr = dϕ r(−s, c, 0) = dϕ reϕ dϕ folgt eingesetzt: / / dr · B = C
/
2π
dϕ reϕ · B(r)eϕ = rB(r) 0
2π
dϕ 1 = 2πrB(r) . 0
Ein Vergleich der linken und rechten Seite der integralen Maxwell-Gleichung liefert 2πrB(r) =
1 IF (r) IF (r) ⇐⇒ B(r) = . ε0 c 2 2πε0 c2 r
Nun müssen wir eine Fallunterscheidung machen. Für r ≤ R ist IF (r) nur der 2 erwähnte Bruchteil des Gesamtstroms I: IF (r) = I Rr 2 . Möchte man dagegen das Magnetfeld außerhalb des Drahtes (für r > R) berechnen, so ist IF (r) = I, d. h., der gesamte Strom I erzeugt das Magnetfeld. Damit ergibt sich das magnetische Feld zu I r eϕ , r ≤ R 2πε0 c2 R2 B(x) = . I 1 eϕ , r > R 2πε0 c2 r Abb. 13.3 zeigt den radialen Verlauf B(r).
13.4 Magnetostatik
357
13.4.3
Abb. 13.3: Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiters. Links: Im Inneren steigt das Feld linear an, während es im Außenraum mit 1/r abfällt. Rechts: Das Magnetfeld liegt konzentrisch um den Leiter.
Lösung per Vektorpotenzial, Satz von Biot-Savart
Wir wollen die Rotation des Vektorpotenzials (13.30) im zweiten Verfahren nun einmal explizit ausführen. Hierzu verwenden wir das Konzept der Stromfäden. Beschreibt j einen Stromfaden (d. h. einen möglichst nicht ausgedehnten Leiter), so darf man folgende Ersetzung machen: d3 x j(r ) −→ Idr
(13.31)
mit Strom I und Linienelement dr . Dann berechnet sich die Rotation wie folgt: / / j 1 I 1 3 r) = ∇ × A( r) = ∇ × d x ∇ × dr = . B( r r 4πε0 c2 |r − r | 4πε0 c2 |r − r | Beim Berechnen der Rotation hilft uns die Identität = (∇f ) × A + f (∇ × A) ∇ × (f A) = dr und f = 1 . Damit ergibt sich aus Kapitel 9, wobei in unserem Fall A | r − r | mit ∇r × dr = 0 (∇r wirkt nur auf die nicht gestrichenen Koordinaten, Gleiches gilt für das Integral!): / / 1 dr I I r) = ∇ × ∇ ×dr . = B( r r 4πε0 c2 |r − r | 4πε0 c2 |r − r |
r − r =− | r − r |3
Schließlich ergibt sich der Satz von Biot-Savart: Das Magnetfeld von Stromfäden ist gegeben durch / r − r I r) = dr × . (13.32) B( 2 4πε0 c |r − r |3 Mit Hilfe dieser kompakten Formel lässt sich direkt das Magnetfeld einer Stromdichte angeben. Die Praxis mit dem merkwürdigen Kreuzprodukt im Integral werden wir in einem Beispiel erläutern.
358
13 Einfache Anwendungen in der Elektrodynamik
Beispiel 13.11 (Stromdurchflossener Kreisring) Eine Leiterschleife in der x-y-Ebene (zentriert um den Ursprung) mit Radius R werde von einem Strom I durchflossen. Wie lautet das magnetische Feld auf der z-Achse? Lösung: Diese Aufgabe kann bequem mit dem Satz von Biot-Savart gelöst werden. Parametrisiere dazu den Ring durch Zylinderkoordinaten: r = r (ϕ) ( ist keine Ableitung!), dann erreicht r (ϕ) = R(cos(ϕ), sin(ϕ), 0) = Reρ mit ϕ = 0 . . . 2π r = R(−s, c, 0) = Reϕ ⇔ dr = dϕ Reϕ . alle Punkte auf dem Ring. Damit folgt d dϕ √ Weiterhin ist in der Parametrisierung |r −r | = |(0, 0, z)−(Rc, Rs, 0)| = R2 + z 2 (mit r = (0, 0, z), da wir nur das B-Feld entlang der z-Achse ermitteln sollen). Eingesetzt ergibt sich somit / / 2π zez − Reρ r − r I I r) = d r × = dϕ Reϕ × √ B( 3 2 3 2 4πε0 c |r − r | 4πε0 c 0 R2 + z 2 / 2π / 2π zeρ + Rez 1 IR IR = dϕ √ dϕ (zeρ + Rez ) 3 = 4πε c2 √ 3 4πε0 c2 0 2 2 2 0 R +z R + z2 0 / 2π / 2π 1 IR z dϕ (c, s, 0) + R e dϕ . = z √ 4πε0 c2 R2 + z 2 3 0 0 0 2π Da aber 0 dϕ (c, s, 0) = (s, −c, 0)|2π 0 = 0, folgt schließlich für das B-Feld auf der z-Achse: 1 IR2 x) = B(z) · ez . B( = √ 2ε0 c2 R2 + z 2 3
Spickzettel zu Elektrostatik/Magnetostatik Gleichungen der Elektrostatik und Magnetostatik = und Elektrostatik = keine Ströme, kein zeitlich veränderliches B-Feld: ∇·E ε0 ∇ × E = 0; Magnetostatik = keine Ladungen, kein zeitlich veränderliches E-Feld: = 0 und ∇ × B = j 2 . ∇·B ε0 c Lösungsansätze elektrostatischer Probleme 0 0 3 = 1 Entweder ∂V df · E ε0 V d x lösen oder E-Feld per Skalarpotenzial be0 3 (r ) 1 = −∇φ bilden; Spezialfall stimmen: φ(r, t) = d x und Gradient E 4πε0
| r − r | Q r 4πε0 r 3
= Punktladung: (r) = Qδ(r), E zwischen Ladung q und Q.
= qE = und F
qQ r 4πε0 r 3
Coulomb-Kraft
Lösungsansätze magnetostatischer Probleme 0 0 · j lösen oder B-Feld = 12 Entweder C dr · B d f über das Vektorpotenzial ε0 c F 0 3 j(r ,t) 1 = ∇×A = d x bestimmen und Rotation B per Integration A 2 4πε0 c
| r − r |
berechnen; Spezialfall Stromfäden: d3 x j(r ) → Idr und dann direkt per BiotSavart: / I r − r r) = B( dr × . 2 4πε0 c |r − r |3
13.5 Elektromagnetische Wellen Gängige Feldverteilungen Elektrostatik: = Q r3 . – Punktladung Q: E 4πε0 r = – Linienladung (Länge L): E – Flächenladung (Fläche A): E
359
eρ Q 2πε0 L ρ . = 2εQ0 A e1 .
Magnetostatik: = – Stromdurchflossener Draht: B
eϕ I 2πε0 c2 ρ .
= – Kreisring (Radius R), Feld entlang der Symmetrieachse: B = – Lange Spule (n Windungen, Länge L): B
IR2 2ε0 c2
√
ez ρ2 +z 2
3
.
I n ez . ε0 c2 L
13.5
Elektromagnetische Wellen
13.5.1
Homogene Wellengleichungen
Wir begeben uns weit weg von irgendwelchen Ladungen oder Strömen und versuchen, die Maxwell-Gleichungen zu lösen. Die Maxwell-Gleichungen im strom- und ladungsfreien Volumen (d. h. ≡ 0 und j ≡ 0) lauten ∂B = 1 ∂E . , ∇×B (13.33) 2 ∂t c ∂t Man nennt sie auch Maxwell-Gleichungen im Vakuum. Wir wollen zunächst eine Bestimmungsgleichung für das elektrische Feld finden. Aus der ersten Gleichung können wir leider nicht viel ablesen. Divergenzbildung der dritten Gleichung zeigt zwar die Konsistenz, = 0, ∇ · B = 0, ∇ × E =− ∇·E
) = 0, = −∇ · ∂ B =⇒ 0 = − ∂ (∇ · B ∇ · (∇ × E) ∂t ∂t =0
bringt uns aber nicht weiter. Versuchen wir es mit der Rotation. Die dritte lautet ∂ = −∇ × ∂ B ⇐⇒ ∇(∇ · E ×B ∇ × (∇ × E)
) − ΔE = − ∂t ∇
∂t =0
1 ∂2E 1 ∂2E = 0 . ⇐⇒ − ΔE 2 2 2 2 c ∂t c ∂t Uiii, was steht denn plötzlich da? 1 ∂2 r, t) =: E( r, t) = 0 , E( − Δ c2 ∂t2 ⇐⇒
= c12
∂E ∂t
=− −ΔE
(13.34)
die Wellengleichung höchstpersönlich! Gleichung (13.34) heißt homogene Wellengleichung (homogen, weil die rechte Seite null ist) und beschreibt elektromagnetische Wellen im Vakuum (im ladungs- und stromfreien Raum), die sich mit Lichtgeschwindigkeit c ausbreiten.
360
13 Einfache Anwendungen in der Elektrodynamik
Analog folgt die homogene Wellengleichung für das B-Feld. Bilde dazu die Rotation von Max 4: = 1 ∂ (∇ × E) ∇ × (∇ × B) c2 ∂t
⇐⇒
= 1 ∂ (∇ × E ) − ΔB ) ∇(∇ ·B
c2 ∂t
=0
⇐⇒
B =− ∂∂t
1 ∂2 r, t) = 0 . − Δ B( c2 ∂t2
(13.35)
= 0 bzw. B = 0 sind ebene Die einfachsten Lösungen der Wellengleichung E Wellen (s. Kapitel 11). Diese werden wir im folgenden Abschnitt diskutieren. Beispiel 13.12 (Ebene elektromagnetische Welle im Vakuum) Gegeben sei das elektrische Feld der ebenen elektromagnetische Welle im Vakuum: r, t) = Re E 0 ei(k·r−ωt) E( 0 und k. Unter welcher Bedingung erfüllt E die Wellenmit konstantem Vektor E gleichung? Wie lautet das zu B gehörige Magnetfeld? Welche Beziehung besteht 0 und k? 0, B zwischen E tatsächlich die Wellengleichung erfüllt. Wir haLösung: Zunächst testen wir, ob E ben bereits in Kapitel 11 gezeigt, dass φ(x, t) = Aei(kx−ωt) die 1-D-Wellengleichung erfüllt. Nun müssen wir die dreidimensionale Version überprüfen. Zeige dazu 1 2 = 0 ⇔ 1 E ¨ = ΔE . E ∂ − Δ t 2 c c2 Einerseits ist 1 2 c2 ∂t E
= = =
0 ∂ 2 ei(k·r−ωt) E t i(k· r −ωt) 1 0 ei(k·r−ωt) = c12 Re (−iω)2 E c2 Re −iω E0 ∂t e 2 2 i( k· r −ωt) 1 , E Re −ω e = − ωc2 E 2 0 c 1 2 c2 ∂t Re
0 ei(k·r−ωt) = E
1 c2 Re
wobei die Ableitung problemlos am Realteil Re vorbeigezogen werden kann. Andererseits errechnet sich die Ortsableitung in kartesischen Koordinaten mit k · r = k1 x + k2 y + k3 z zu = Re E 0 Δei(k1 x+k2 y+k3 z−ωt) = Re E 0 (∂ 2 + ∂ 2 + ∂ 2 )ei(k1 x+k2 y+k3 z−ωt) ΔE x y z i(k x+k y+k z−ωt) 2 3 0 (ik1 ∂x + ik2 ∂y + ik3 ∂z )e 1 = Re E 0 (−k 2 − k 2 − k 2 )e(...) = Re −E . 0k 2 e(...) = −k 2 E = Re E 1 2 3 In die umgestellte Wellengleichung folgt eingesetzt 1 ¨ = −k2 E ⇐⇒ ⇐⇒ − ω22 E E = ΔE c c2
ω2 c2
= k2 ⇔ ω = c|k| .
13.5 Elektromagnetische Wellen
361
Dabei erfolgte bei der zweiten Umformung wieder ein Koeffizientenvergleich. Wir erhalten als zu geltende Beziehung ω = c|k|. 0, B 0 und k ergeben sich durch AusDas B-Feld und die Beziehungen zwischen E x-en der (Vakuum-)Maxwell-Gleichung mit dem gegebenen elektrischen Feld. Los geht’s! = ∇ · Re E 0 ei(k·r−ωt) ∇·E=0 =0 Re E 0 · ∇ei(k·r−ωt) ∇·E 0 · (ik)e(...) = 0 = Re E = ). Hier folgt direkt: E 0 · k = 0, wegen ladungsfreier Zone (sonst wäre ja ∇ · E ε0 (...) 0 senkrecht auf k. ist immer ungleich null. Somit steht E denn e Die nächste Maxwell-Gleichung liefert 0 = E 0 0 ei(k·r−ωt) ∇×= = ∇ × Re E 0 ∇×E Re ∇ei(k·r−ωt) × E 0 = Re ik × E 0 ei(k·r−ωt) = −B ˙ . = Re (ik)ei(k·r−ωt) × E Hieraus bestimmt sich per zeitlicher Aufleitung direkt das B-Feld: r, t) = Re k×E 0 ei(k·r−ωt) =: Re B 0 ei(k·r−ωt) . B( ω Analog zu eben ist dann
= Re B 0 · (ik)e(...) = 0 ∇·B 0 ⊥ k. Übrig bleibt noch die letzte Maxwell-Gleichung im und somit auch B ladungs- und stromfreien Raum: = Re (ik) × B 0 ei(k·r−ωt) = Re (ik) × k×E 0 ei(k·r−ωt) ∇×B ω i 0 ) ei(k·r−ωt) . = Re k × (k × E ω 0 ) = k(k · E 0) − E 0 (k · k). Wir haben zuvor aber herNun ist aber k × (k × E ausgefunden, dass k · E0 = 0. Somit folgt mit dem gegebenen elektrischen Feld r, t): E( 1 i 2 i(k·r−ωt) ! 1 ˙ iω (...) i( k· r −ωt) = 2 E = 2 ∂t Re E0 e = −Re . −Re k E0 e E0 e ω c c c2 Durch den allseits beliebten Koeffizientenvergleich folgt ω ik 2 = i 2 ⇔ ω 2 = c2 k 2 ⇒ ω(k) = c|k| , ω c was konform mit der Wellengleichung ist.
362
13.5.2
13 Einfache Anwendungen in der Elektrodynamik
Ebene elektromagnetische Wellen
Die aus Beispiel 13.12 ermittelten Beziehungen werden wir uns noch einmal durch den Kopf gehen lassen. Zunächst zeigt die Rechnung, dass der Ansatz r, t) = Re(. . .) tatsächlich die Maxwell-Gleichungen sowie die WellengleichunE( gen im Vakuum erfüllt. Man merke sich: Die einfachste Lösung der MaxwellGleichungen im Vakuum für elektrische und magnetische Feldkomponente ist r, t) = E 0 ei(k·r−ωt) E(
bzw.
r, t) = B 0 ei(k·r−ωt) . B(
Dabei gibt k mit k = 2π λ die Ausbreitungsrichtung der Welle sowie die Wellen 0 beinhalten die 0 und B länge – das ist der Abstand zweier Wellenberge – an. E Feldamplitude. 0 · k, d. h. E 0 ⊥ k und somit auch Im obigen Beispiel ergab sich weiterhin, dass E E ⊥ k. Analoges galt auch für das Magnetfeld. Weiterhin hingen Magnetfeld- und 0 = k×E 0 zusammen. Alle Erkenntnisse zusammen geE-Feld-Amplitude über B ω und B senkrecht zur Ausbreitungsrichtung k (d. h., nommen schwingen folglich E elektromagnetische Wellen sind Transversalwellen) und stehen überdies auch 0 ∼ k × E 0 ), so dass sich das Bild aus Abb. 13.4 senkrecht aufeinander (wegen B ergibt.
Abb. 13.4: Elektromagnetische Welle. Elektrisches Feld und magnetisches Feld B stehen senkrecht aufeinanE der und senkrecht zur Ausbreitungsrichtung k. Letzteres bedeutet, dass elektromagnetische Wellen Transversalwellen sind.
und B Das Bild ist allerdings nur in einem Spezialfall richtig, und zwar wenn E für sich jeweils in einer Ebene schwingen. Es gibt noch weitere Fälle, die wir hier aber nicht weiter besprechen wollen. Eine weitere wichtige Relation wurde in obigem Beispiel ebenfalls hergeleitet – die sogenannte Dispersionsrelation ω(k) = c · |k| ,
(13.36)
d. h. eine Abhängigkeit der Frequenz von der Größe k.
Poynting-Vektor Jede Welle transportiert Energie. Für die elektromagnetische Welle definiert man den sogenannten Poynting-Vektor, der einer Energiestromdichte entspricht. als auch B Anteile an der Energie besitzen und sich die Energie mit Da sowohl E ×B bewegt, definiert man den Poynting-Vektor zu der Welle entlang k ∼ E := ε0 c2 E ×B . S
(13.37)
13.5 Elektromagnetische Wellen
363
Mit ihm kann man errechnen, wohin die Energie transportiert wird (nicht nur bei Wellen, wie wir noch sehen werden). Beispiel 13.13 (Poynting-Vektor für ebene elektromagnetische Welle) Wie lautet der Poynting-Vektor für die ebene elektromagnetische Welle aus 0 reell ist? Beispiel 13.12, wenn E
0 ei(k·r−ωt) und B = Re E = Re k×E 0 ei(k·r−ωt) . Dann Lösung: Wir hatten E ω ergibt sich für den Poynting-Vektor: S
ε0 c 2 0 )e(...) 0 e(...) × Re (k × E Re E ω
=
×B = ε0 c2 E
=
ε0 c2 0 )] · Re(e(...) )Re(e(...) ) , [E0 × (k × E ω
0 und k × E 0 reell sind und somit aus dem Re herausgezogen werden können. da E i(...) ) = cos(. . .), so dass folgt: Ferner ist Re(e 2 2 2 = ε0 c [kE02 − E 0 (E 0 · k)] cos2 (k · r − ωt) = ε0 E0 c cos2 (k · r − ωt)k . S ω
ω =0
Die Energie wird bei einer ebenen Welle somit in Ausbreitungsrichtung transportiert (d. h. in k-Richtung). Beispiel 13.14 (Energiestrom beim durchflossenen Leiter) Wohin strömt die Energie beim stromdurchflossenen Leiter aus Beispiel 13.10? Besitzt der Energiefluss Quellen/Senken? × B). Hier = ε0 c2 (E Lösung: Zunächst berechnen wir den Poynting-Vektor S zu benötigen wir das elektrische Feld E. Dieses ist dafür verantwortlich, dass = E · e3 . Jetzt können wir den ein Strom im Leiter in e3 -Richtung fließt: E Poynting-Vektor berechnen und Auskunft darüber bekommen, wohin die Energie fließt. −c EI = E 00 × I 2 r2 −s −s c innen: S = ∼ −rer , 2 R2 r 2πε c R 2πε c 0 0 0 1 0 −s −c0 EI 1 =E 0 × I 21 c = −s ∼ − err , außen: S 2πε0 c r 2πε0 c2 R2 r 0
1
0
Die Energie strömt also innen und außen zur z-Achse hin. Die Divergenz des Poynting-Vektors gibt Aufschluss darüber, was mit dem Energiestrom passiert: −rc −x ∼ ∇ · −rs innen: ∇ · S = ∇ · −y = −2 = 0 , 0 0 − x −c/r x2 +y 2 ∼ ∇ · −s/r = ∇ · − 2 y 2 außen: ∇ · S x +y =−
0
2
2
1(x +y )−x·2x (x2 +y 2 )2
0
+
1(x2 +y 2 )−y·2y (x2 +y 2 )2
= 0,
364
13 Einfache Anwendungen in der Elektrodynamik
wobei x = rc und y = rs verwendet wurde. – das beIm Außenraum gibt es keine Quellen/Senken der Energiestromdichte S deutet, dass alle Energie von E und B im Feld gespeichert ist (elektromagnetische Feldenenergie). Interessant ist jedoch, dass es im Leiter eine Senke der Energie = 0). Hier fließt Energie zur z-Achse und verpufft auf stromdichte gibt (da ∇ · S dem Weg dorthin gleichmäßig im Leiter (Divergenz räumlich konstant!). Überlegen wir uns jedoch, was passiert, wenn man durch einen Leiter Strom jagt, so kommen wir auf des Rätsels Lösung: Der Draht erwärmt sich! Die elektromagnetische Energie wandelt sich im Inneren des Leiters in Wärme um.
13.5.3
Lösung der allgemeinen Maxwell-Gleichungen
Wir werden im Folgenden skizzieren, wie man die Maxwell-Gleichungen allgemein lösen kann. Dabei werden wir zeigen, dass unter Einführung von Hilfsgrößen die inhomogene Wellengleichung aus den Maxwell-Gleichungen herausplumpst.
Skalar- und Vektorpotenzial Das Skalar- und Vektorpotenzial sind die o. g. einzuführenden Hilfsgrößen und erscheinen wie folgt. Wie wir bereits wissen, bedeutet =0→B =∇×A . ∇·B Setze dies in die dritte Maxwell-Gleichung ein und forme um: ∂B ∂ = −∇ × ∂ A = − (∇ × A) ∂t ∂t ∂t +∇×A ˙ = 0 ⇐⇒ ∇ × (E + A) ˙ = 0 . ∇×E
∇×E ⇐⇒
(13.13)
=
−
+A ˙ in den meisten Fällen als Gradientenfeld dargestellt Hieraus folgt, dass E werden kann: +A ˙ = −∇φ E (vgl. in der Mechanik ∇× F = 0 ⇒ F = −∇V ). Damit haben wir eine Redefinition des elektrischen und magnetischen Feldes erreicht: = −∇φ − A ˙ , B =∇×A E
(13.38)
= A( r, t). Sie führen mit Skalarpotenzial φ = φ(r, t) und Vektorpotenzial A zur Lösung der Maxwell-Gleichungen.
13.5 Elektromagnetische Wellen
365
Eichung und φ besitzen Eichfreiheit. Anders gesagt: Es gibt Transformationen der PoA tenziale, unter denen die elektrischen und magnetischen Felder invariant bleiben. Diese sind von folgender Gestalt: →A = A + ∇χ φ → φ = φ − χ˙ , A
(Eichfreiheit),
(13.39)
und B bleiben wobei χ = χ(r, t) eine (beliebige) sogenannte Eichfunktion ist. E unter der Transformation (13.39) invariant, wie folgende Rechnung zeigt: E
= =
B
=
˙ = −∇(φ − χ) + ∇χ) = −∇φ + ∇χ˙ − A ˙ − ∇χ˙ −∇φ − A ˙ − ∂t (A ˙ = E , −∇φ − A = ∇ × (A + ∇χ) = ∇ × A + ∇ × (∇χ) = ∇ × A =B . ∇×A
= 0
Inhomogene Wellengleichung Mit Hilfe der sogenannten Lorenz-Eichbedingung + 1 ∂φ = 0 ∇·A c2 ∂t
(13.40)
lassen sich die Maxwell-Gleichungen unter Nutzung des Vektor- und Skalarpotenzials auf die inhomogene Wellengleichung reduzieren (deren Lösung wir schon aus Kapitel 11 kennen). Wir werden dies nun demonstrieren, indem wir (13.38) in die Maxwell-Gleichungen einsetzen und umschreiben. Wir starten mit Max 4: ∇×B
(13.38)
=
(13.38)
=
⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒
1 1 ˙ j + 2 E ε0 c2 c 1 1 ˙ j + 2 ∂t (−∇φ − A) ε0 c2 c − ΔA = 1 j − 1 ∇φ˙ − 1 A ¨ ∇(∇ · A) ε0 c2 c2 c2 + 1 ∇φ˙ − ΔA + 1A ¨ = 1 j ∇(∇ · A) c2 c2 ε0 c2 ¨ − ΔA = 1 j . + 1 φ˙ + 1 A ∇ ∇·A c2 c2 ε0 c2 ∇ × (∇ × A)
(13.14)
=
Durch das Ausklammern taucht exakt der Term der Lorenz-Eichung wieder auf. Damit können die ersten beiden Terme weggeeicht werden und wir verbleiben mit der inhomogenen Wellengleichung 1 ∂2 r, t) = 1 j(r, t) . A( − Δ (13.41) c2 ∂t2 ε0 c 2
366
13 Einfache Anwendungen in der Elektrodynamik
Eine ähnliche Rechnung führt auch für φ auf eine inhomogene Wellengleichung. Wir setzen dazu die Potenziale in Max 1 ein und ziehen auf beiden Seiten − c12 φ¨ ab. Dann folgt 2 2 − 1 ∂ φ = − 1 ∂ φ. ˙ = ⇔ −Δφ − ∂t (∇ · A) ∇(−∇φ − A) ε0 c2 ∂t2 ε0 c2 ∂t2
Nun klammern wir links eine Zeitableitung aus und erhalten 1 ˙ 1 . −Δφ − ∂t ∇ · A + 2 φ + 2 φ¨ = c c ε0 Durch Lorenz-Eichung fällt der Klammerterm wiederum weg und es folgt auch für φ die inhomogene Wellengleichung: 1 ∂2 (r, t) − Δ φ(r, t) = . (13.42) c2 ∂t2 ε0 Verwenden wir statt der Lorenz-Eichung die sogenannte Coulomb-Eichung, = 0, ∇·A
(13.43)
so ergibt sich die aus Kapitel 11 bekannte Poisson-Gleichung: = ⇐⇒ Δφ = − . ˙ = ⇐⇒ −Δφ − ∇ · A ∇(−∇φ − A)
ε0 ε0 ε0 =0
Durch Kenntnis von kann somit direkt auf das Skalarpotenzial φ geschlossen werden, wie wir in Abschnitt 13.3 gesehen haben.
Lösung der Maxwell-Gleichungen Die Lösung der inhomogenen Wellengleichungen (13.41) und (13.42) liefert gleichzeitig eine Lösung der Maxwell-Gleichung (da die Maxwell-Gleichungen auf die inhomogene Wellengleichung zurückgeführt werden konnte). Ohne Beweis: | r − r | / j r , t − c 1 r, t) = A + ei(k·r−ωt) + A − e−i(k·r−ωt) + , A( d3 x 0 0 4πε0 c2 |r − r | (13.44) r | / r , t − |r− c 1 − −i( i( k· r −ωt) k· r −ωt) 3 φ(r, t) = φ+ e + φ e + d x . 0 0 4πε0 |r − r | (13.45) Bevor wir nun schreiend das Buch zuklappen, schauen wir uns die beiden Gleichungen genauer an. Sie sehen beide vom Prinzip gleich aus und bestehen aus ebenen Wellen und einem merkwürdigen Integralteil. Der erste Term beschreibt eine ebene auslaufende Welle, der zweite Term eine ebene einlaufende Welle (beachte das Vorzeichen im Exponenten). Diese beiden Terme beschreiben zusammen = 0 bzw. φ = 0. die homogene Lösung der Wellenleichung A
13.5 Elektromagnetische Wellen
367
Nun steht beiden Gleichungen noch ein dritter Term – eine spezielle Lösung der inhomogenen Wellengleichung – an. Dieser Teil nennt sich retardiertes Potenzial und beschreibt den Einfluss von Ladungen und Stromdichten. Dieser ist für weit entfernte und j um die Laufzeit |r − r |/c retardiert bzw. verzögert, wirkt somit also nicht instantan. Im Fall stationärer Felder verschwinden jeweils die ersten beiden Terme und übrig bleiben die aus der Elektrostatik bzw. Magnetostatik (Coulomb, Biot-Savart). bekannten Integralformeln für φ und A Hiermit beschließen wir unseren kleinen Ausblick in die Elektrodynamik. Richtig behandelt füllt sie locker ein Semester Vorlesung. Wir haben hier spotlightartig einige Themen herausgepickt und daran gezeigt, wie wir unsere erlernten Werkzeuge anwenden können.
Spickzettel zu elektromagnetischen Wellen Elektromagnetische Wellen – Maxwell-Gleichungen im Vakuum: = 0, ∇ · B = 0, ∇ × E =− ∇·E
∂B = 1 ∂E . , ∇×B ∂t c2 ∂t
B Hieraus folgen durch Kombination die homogene Wellengleichung für E/ 1 ∂2 Feld: E = 0 und B = 0 mit := c2 ∂t2 . r, t) = E 0 ei(k·r−ωt) (analog für B), wobei k – Lösungen sind ebene Wellen E( Ausbreitungsrichtung, ω Frequenz und E0 Amplitude mit bestimmter Schwingungsrichtung ist (Polarisation); elektromagnetische Wellen breiten sich im Va 0 ⊥ k, B 0 ⊥ k); E und B-Feld kuum mit c aus, sind transversal (E schwingen ⊥ B; Dispersionsrelation ω(k) = c|k|. zueinander orthogonal, E = ε 0 c2 E ×B gibt Energiefluss der Welle an. – Poynting-Vektor S Lösung der Maxwell-Gleichungen Reduziere Maxwell-Gleichungen durch Einführung von Skalar- und Vektorpoten = −∇φ−A ˙ und B = ∇×A; A und φ sind eichinvariant unter bestimmter zial via E + 12 φ˙ = 0 ein; es Transformation, führe deswegen Lorenz-Eichbedingung ∇ · A c folgen die inhomogenen Wellengleichungen = A
j , φ = . ε 0 c2 ε0
Lösung sind ebene Wellen plus ein retardierter Anteil von Ladungen/Strömen, die von weit weg wirken.
Anhang A Klausur „spielen“
Zum Abschluss besteht nun die Möglichkeit, sein Wissen zu testen. Hierzu gibt es zwei Klausuren, die vom Niveau her repräsentativ für das erste bzw. zweite Semester sind. Die Bearbeitungszeit jeder Klausur beträgt zwei Stunden. 12 Punkte, also etwa 40 %, reichen jeweils zum Bestehen. Auf der Rückseite jeder Klausur befinden sich Kurzlösungen zur Selbstkontrolle. Hierbei ist auch eine Bepunktung vorgegeben. heißt dabei 1 Punkt, bedeutet 0.5 Punkte. Die erste Klausur benötigt Wissen aus Kapitel 1 bis 3, Abschnitt 4.1 bis 4.3, 5.1 bis 5.2, Kapitel 6, Abschnitt 9.1 bis 9.2 sowie aus Kapitel 12. In der zweiten Klausur wird dann das Wissen der verbliebenen Kapitel und Abschnitte benötigt. Natürlich können diese beiden Klausuren nur eine kleine Auswahl des Stoffes abprüfen, aber sie sind vom Schwierigkeitsgrad und Umfang her durchaus respräsentativ für eine „echte“ Klausur. Es ist in vielen Universitäten mittlerweile üblich geworden, handbeschriebene Zettel als Hilfsmittel in der Klausur zuzulassen. Dies ist auch hier so. Für das Lösen der Klausur darf man sich einen handbeschriebenen DIN-A4-Zettel anfertigen. Na dann, viel Erfolg!
369
Klausur I [K1] Die Straßenlaterne (3 Punkte) Eine Straßenlaterne (Masse m) ist über zwei Stahlseile an zwei gegenüberliegenden Häusern unter den Winkeln α (rechtes Haus) und β (linkes Haus) gegenüber der Horizontalen befestigt. Welche Kräfte wirken auf die Befestigungen an den Häusern und wie groß sind diese? [K2] Lineare Transformation (2 Punkte) Die lineare Transformation, die e1 , e2 und e3 einmal zyklisch vertauscht, wird durch die Matrix A = ? beschrieben. Ist A eine Drehmatrix? Man bestimme ggf. Drehachse b und Drehwinkel ϕ. [K3] Indizes Man zeige mit Hilfe der Indexrechnung:
(2 Punkte)
= (a · c)(b · d) − (a · d)( b · c) . (a × b) · (c × d)
[K4] Trägheitstensor (4 Punkte) Der Trägheitstensor eines Massensystems sei durch I11 = 2I0 = I22 , I21 = I0 = I12 und I33 = 4I0 , der Rest null, gegeben. Welche Rotationsachsen hat das System? Welche sind stabil? Wie lauten die zugehörigen Rotationsenergien? [K5] Teilchen im Potenzial (3 Punkte) 2 Ein Teilchen vollführe im 1-D-Potenzial V (x) = α(x2 − 2)ex mit α > 0 kleine Schwingungen um das Minimum. Man zeige, dass es drei Extrema gibt, und bestimme die Minima. Per Taylor-Entwicklung bestimme man die Schwingungsfrequenz ω des Teilchens bei x = 1. [K6] Das Ende der Welt? (1 + 2 = 3 Punkte) Im Ursprung sei die Sonne mit Radius R r0 zentriert. Die Erde (punktförmig) kreise auf der folgenden Bahn um die Sonne: r(t) = r0 e−ωt
cos(ωt) sin(ωt)
.
a) Welche Kurve beschreibt r(t)? Wann (t = ?) wird die Erde die Sonne erreichen? b) Wie lang ist die Bahn der Erde um die Sonne für den ersten Umlauf? [K7] Arbeit Gegeben sei das Kraftfeld
(1 + 3 = 4 Punkte)
(x, y, z) = α(x, y, 2z)e−x F
2
−y2 −2z 2
und die Punkte a = (2, 0, 1) sowie b = (1, 1, 0). konservativ? a) Ist F b) Man berechne die Arbeit, die aufgewendet werden muss, um ein Teilchen von a nach b zu verschieben. [K8] Sphärisches Pendel (1 + 2,5 + 1,5 = 5 Punkte) Ein Fadenpendel (Masse m, Länge ) werde im Wohnzimmer an die Decke gehängt und in eine beliebige Richtung ausgelenkt. a) Welche Symmetrien und Erhaltungsgrößen gibt es bei diesem System? b) Man berechne die Erhaltungsgrößen in geeigneten Koordinaten. c) Wie lautet das effektive Potenzial?
370
Anhang A Klausur „spielen“
Lösungen zur Klausur I = [K1] Kräfte wirken entlang der Seile : G =μ K
− cos(β) sin(β)
0 −mg
=λ ,F
cos(α) sin(α)
+K +G = 0 folgen λ = (nach links) . In F
mg sin(β)+tan(α) cos(β)
und μ =
(nach rechts) und
mg sin(α)+tan(β) cos(α)
. Ergebnis: F = λ und K = μ .
e3 → e1 . Spaltenweises Einschreiben [K2] Abbildung bedeutet: e1 → e2 , e2 → e 3 und 0 0 1 . Es gilt A · AT = 1 und det(A) = +1, der Bildvektoren gibt dann A = 1 0 0 0 1 0
also ist A Drehmatrix . Drehwinkel folgt aus Spur(A) = 0 = 1 + 2 cos(ϕ), d. h. cos(ϕ) = − 12 ⇒ ϕ = 2π . Drehachse ergibt sich aus A · b = b zu b = √13 (1, 1, 1)T . 3 [K3] Ansatz des Skalarprodukt in Indizes und Vereinfachung: k = (εijk ai bj )(εmk c dm ) = εijk εmk ai bj c dm (a × b)k (c × d) = =
[K4] I = I0
2 1 0 1 2 0 0 0 4
(δi δjm − δim δj )ai bj c dm = a bm c dm − am b c dm − (a · d)( b · c) (a c )(bm dm ) − (am dm )(b c ) = (a · c)(b · d) .
. Rotationsachsen = Eigenvektoren von I . Löse det(I −λ·1) =
0, λ1 = 4I0 , λ2 = 3I0 und λ3 = I0 . Bestimme im LGS (I − λ · 1)n = 0 die EV: n1 = e3 , n2 = √12 (1, 1, 0)T und n3 = √12 (−1, 1, 0)T . Stabile Drehungen um Achsen . Rotationsenergien mit kleinstem und größtem Trägheitsmoment, d. h. um n1 und n3 folgen aus Ti = 12 (nT ni )ω 2 zu T1 = 2I0 ω 2 und T3 = I20 ω2 . i I [K5] Extrema: V (x) = αex (2x3 − 2x) = αex 2x(x2 − 1) = 0 ⇒ x = 0 oder x = ±1 . 2 Wegen V (0) = 2αex (2x4 + x2 − 1)|x=0 < 0 und V (1) > 0 sowie V (−1) > 0 liegen 1 1 2 . Minima bei (1, −αe ) und (−1, −αe1 ) . Taylor: V (x) ≈ −αe + 0 + 4αe 2 (x − 1) 2
Vgl. mit
mω 2 2 (x
− x0 )2 liefert
2
mω 2 2
=
4αe1 2 ,
d. h. ω =
4αe m
.
[K6] a) Spiralförmig verengende Kreisbahn zum Ursprung hin (Radius r(t) = r0 e−ωt stetig abnehmend) . Sonne wird erreicht, wenn |r(t)| = R, d. h. r0 e−ωt = R ⇔ t = r0 1 ln( ) . ω R √ und folglich |r˙ | = 2r0 ωe−ωt . Mit b) Bilde r˙ = −r0 ωe−ωt ( sc ) + r0 e−ωt ω ( −s c ) 0 √ 2π/ω ˙ | = 2r0 (1 − e−2π ) den Integralgrenzen t0 = 0 und t1 = 2π folgt L = dt | r ω 0 . = α(∇e−x2 −y2 −2z2 ) × [K7] a) ∇ × F
x y 2z
+ αe... ∇ ×
x y 2z
= −2αe...
x y 2z
×
x y 2z
= 0,
wirbelfrei . also F = −∇V , αxe−x2 −y2 −2z2 = −∂x V ⇒ V = α e−x2 −y2 −2z2 + A(y, z) ; die andeb) F 2 2 2 2 , also V = α2 e−x −y −2z . ren beiden Komponenten liefern A(y, z) = B(z) = 0 Damit W = −V (1, 1, 0) + V (2, 0, 1) = α2 (−e−2 + e−6 ) . erhalten [K8] a) Rotationssymmetrie ⇒ L , Zeitunabhängigkeit ⇒ E erhalten. . ˙ ˙ b) Wähle Kugelkoordinaten r(r = , θ, ϕ) = (Sc, Ss, C) und r = θ(Cc, Cs, −S) + = mr × r˙ = m2 S ϕ ˙ e3 , d. h. Lz = m2 sin2 (θ)ϕ˙ . Erhaltene ϕS(−s, ˙ c, 0) . L Energie: E = m 2 θ˙2 + m 2 sin2 (θ)ϕ˙ 2 + mg cos(θ) . 2
c) Eliminiere ϕ˙ mit ϕ˙ = L2z 2m2 sin2 (θ)
2 Lz m2
. E =
+ mg cos(θ) .
L2z m 2 ˙2 2 θ + 2m2 sin2 (θ) +mg cos(θ)
mit Veff (θ) =
371
Klausur II [K1] Parabolische Zylinderkoordinaten (1 + 1 + 2 = 4 Punkte) Es seien x1 , x2 und x3 die kartesischen Koordinaten, Aus der Transformation x1 = 2 2 1 2 (u − v ), x2 = uv und x3 = z erhält man die parabolischen Zylinderkoordinaten (u, v, z). a) Die drei Einheitsvektoren eu , ev und ez möchten bestimmt werden. Bilden sie die Achsen eines Koordinatensystems? b) Wie lautet Nabla in parabolischen Zylinderkoordinaten? c) Ein Planet m bewege sich entlang der Bahn x(t) = (x1 (t), x2 (t), x3 (t)) durch Wechselwirkung mit einem Stern (M ) im Ursprung. Wie lautet der Energiesatz? [K2] Trägheitsmoment einer Vollkugel (3 Punkte) Wie groß ist die 3-3-Komponente des Trägheitstensors einer homogenen Kugel mit Masse M und Radius R? und B-Feldern [K3] Teilchen in gekreuzten E(3 Punkte) = (0, E(t), 0) und B = (0, 0, B(t)) soll sich ein Teilchen (Masse In gekreuzten Feldern E m, Ladung q) auf der Bahn r(t) = 12 a(1 + ωt)2 · (2, 1, 0) bewegen. Welche Funktionen E(t) und B(t) bewirken dies? [K4] Diffusion und Wellen
(2 + 2 = 4 Punkte)
a) Eine Teilchendichte sei zum Zeitpunkt t = 0 gegeben durch n(x, 0) = n1 − n0 sin(2kx). Wie lautet die zeitliche Entwicklung n(x, t) = ? b) Wie löst sich die 3-D-Wellengleichung im radialsymmetrischen Fall? Welche Koordinaten sind wohl hilfreich? [K5] Kugelkondensator (4 Punkte) Zwei leitende Kugeln mit den Radien R1 und R2 (R1 < R2 ) sind konzentrisch ineinandergeschachtelt und mit einer Ladung Q geladen. Wir können diese Konstellation als Kondensator auffassen. Per Gauß: Wie lautet das elektrische Feld? Welche Kapazität 0 dr · E C= Q U besitzt der Kondensator? Hierbei hilft Auswerten des Wegintegrals U = (Spannung). [K6] Maxwell-Gleichungen In einem Raumbereich liege das elektrische Feld vor:
(3 + 1 = 4 Punkte)
r, t) = α cos(2ωt)(x2 + z 2 , −y 2 + z 2 , xy) . E( r, 0) = 0)? Welche a) Welches magnetische Feld gehört dazu (Anfangsbedingung: B( Ladungs- und Stromdichten erzeugen die Felder? b) Probe zum a)-Resultat: Sind alle Maxwell-Gleichungen erfüllt? Gilt Ladungserhaltung? [K7] Wellenpaket und Fourier-Transformation0 (1 + 3 = 4 Punkte) Ein Wellenpaket sei gegeben durch u(x, t) = √12π dk A(k)ei(kx−ωt) . a) Man zeige, dass u(x, t) die 1-D-Wellengleichung erfüllt, wenn die Dispersionsrelation ω(k) = ck gilt.
b) Wie zeigt sich, dass A(k) = u(x, 0), A(k) somit die Fourier-Transformierte von 2 u(x, 0) ist? Man berechne die Amplitude A(k), wenn u(x, 0) = Ce−x .
372
Anhang A Klausur „spielen“
Lösungen zur Klausur II [K1] a) eu =
∂ x ∂u ∂ x | ∂u |
= √
u
1 u2 +v 2
, ev = √
v 0
1 u2 +v 2
−v u 0
0 0 1
, ez =
. Vektoren per
definitionem normiert, eu · ev = 0 = eu · ez = ev · ez und eu · (ev × ez ) = +1 ⇒ KS . b) ∇=
∂x −1 ∂
√ eu eui ∂u ∂ui = 2 i
+√
∂ u +v 2 ∂u
ev ∂ u2 +v 2 ∂v
∂ + ez ∂z =
= −γmM c) Gravitationspotenzial: V (x1 , x2 , x3 ) = −γ mM | r| T =
m ˙2 r 2
[K2] I33 =
0
=
m 2
uu−v ˙ v˙ 2
=
uv+u ˙ v˙ z˙
m ˙ 2 (u2 2 (u
d3 x ρ(r)(r 2 − z 2 ) = ρ0
rSs: I33 = 2πρ0
0R
dr r
0
0 4 π 0
0
u ∂ ∂ − 2 v 2 ∂v u2 +v 2 ∂u u +v v u ∂ ∂ + u2 +v 2 ∂u u2 +v 2 ∂v ∂ ∂z
u2 +v 2 2
2
dann I33 =
0π 0
.
− 12
.
+ v 2 ) + v˙ 2 (u2 + v 2 ) + z˙ 2 ) , E = T + V .
d3 x (x2 + y 2 ) . Kugelkoordinaten x = rSc, y =
dθ sin3 (θ) =
5 2 5 πρ0 R
0π 0
dθ sin3 (θ) , entweder parti-
elle Integration u = sin2 (θ), v = sin(θ) oder per Euler-Formel sin3 (θ) = 5 2 5 πρ0 R
+ z2
3
dθ sin (θ) =
5 2 5 πρ0 R
·
4 3
, ρ0 =
⇒ I33 =
M 4 πR3 3
eiθ −e−iθ 2i
2 2 5MR
3
,
.
¨ ˙ ˙ [K3] Bewegung gemäß Lorentz: 1, 0), r¨ = aω 2 (2, 1, 0) mr =q(E+r×B), r =aω(1+ωt)(2, 2 1 0
. Damit maω 2 , E =
5maω2 q
0 E(t) 0
=q
1 −2 0
+ aω(1 + ωt)B
. KV: B(t) =
1 2mω q 1+ωt
1 = (0, 5maω2 , 0), B(t) . Ergebnis: E = (0, 0, 2mω . q q 1+ωt ) 2
, ∂x2 sin(2kx) = −4k2 sin(2kx) mit EW −4k 2 von ∂x2 ⇒ [K4] a) n(x, t) = etD∂x n(x, 0) 2 2 tD∂x −tD4k2 sin(2kx) = e sin(2kx) , n(x, t) = etD∂x (n1 − n0 sin(2kx)) = 1 · n1 − e 2 n0 e−tD4k sin(2kx) . , Separation: b) Radialsymmetrisch, d. h. benutze Kugelkoordinaten: 12 φ¨ = 1 ∂r2 (rφ) φ(r, t) = f (r)g(t):
g ¨ g
c
r
) = −ω 2 = c2 (rf ¨ = −ω 2 g ⇒ g(t) = A cos(ωt + φ) rf , damit g
und (rf ) = − ωc2 rf ⇒ rf = B cos( ωc r + δ) ; Ergebnis: φ(r, t) = φ) cos( ωc r + δ) (Kugelwelle) . 2
const. r
cos(ωt +
x) = E(r)er zwischen den Kugelschalen, sonst null [K5] Ansatz: E( , dann df = 0 0 = 4πr2 E(r), R1 < r < R2 , d3 x ρ = Q r2 dθ sin(θ) dϕ er , df · E . Ergeb0 0εR0 2 ε0 Q 1 er , R1 < r < R2 . Spannung U = dr · E = drer E(r) · er = nis: E = 2 Q 4πε0
0 R2 R1
4πε0 r Q 1 1 r 2 = 4πε0 ( R1
R1
−
dr
= α cos(2ωt) [K6] a) ∇ × E ... =
ρ ε0
1 R2 )
, C =
x−2z 2z−y 0
Q U
=
.
4πε0 − R1
1 R1
2
˙ ⇒ B = − α sin(2ωt) = −B 2ω
= ... = ⇒ ρ = 2αε0 cos(2ωt)(x − y) , ∇ × B
−2αω sin(2ωt)
2
2
x +z −y2 +z 2 xy
folgt j = 2ε0 αω sin(2ωt)
2
2
x +z −y 2 +z2 xy
x−2z 2z−y 0 ˙ E
j ε0 c2
+
c2
= , ∇ · E
˙ = , mit E
2
0c + αε2ω sin(2ωt)
1 1 0
.
= − α sin(2ωt)(1 − 1 + 0) = 0, ρ˙ + ∇ · j = −4αωε0 sin(2ωt)(x − y) + b) ∇ · B 2ω 2ε0 αω sin(2ωt)(2x − 2y) = 0 . [K7] a) uxx =
√1 2π
0
dk A(k)e... (−k2 ), utt =
gleichung mit ω = ck: b) u(x, 0) =
√1 2π
0
1 c2 utt
− uxx =
1 2π
0
√1 2π
0
dk A(k)e... (−ω 2 (k)) , in Wellen-
dk A(k)e... ( −ωc2(k) + k 2 ) = 0 . 2
damit A(k) = u(x, dk A(k)eikx = A(k), 0) =
. Mit u(x, 0) = Ce−x : A(k) = 2
√C 2π
0
per quadratischer Ergänzung , A(k) =
dx e−(x
2
+ikx)
2
k √C e− 2 2π
0
√C 2π −x2
=
dx e
√1 2π
0
=
0
dx e−ikx u(x, 0)
dx e−(x+ 2 ) e− ik 2
2
C − k2 √ e 2
.
k2 2
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Literaturverzeichnis
Index Abbildungsmatrix, 68 Ableiten nach Parametern, 165 Ableitung, 110 Ableitung der Umkehrfunktion, 117 Ableitung in Indizes, 235 Ableitung von Kurven, 192 Ableitungen spezieller Funktionen, 116 Ableitungsregeln, 113 Definition, 110 Differenzialquotient, 110 Differenzierbarkeit, 111 geometrische Interpretation, 118 Gradient, 129 höhere Ableitungen, 118 Hesse-Matrix, 132 Jacobi-Matrix, 144 Leibniz’sche Schreibweise, 111 lokale Extrema, 133 Nabla, 130 partielle Ableitung, 127, 131 Satz von Schwarz, 132 actio = reactio, 284 Adjunkte, 55 Anfangsbedingungen, 205 Anfangswertproblem, 264 aperiodischer Grenzfall, 320 Äquiniveaulinien, 125 Arbeit, 22, 301 Azimutwinkel, 42 bac-cab-Formel, 28, 103 Bahnkurve, 189, 205 Basiswechsel, 77 Beschleunigung, 191 Bewegung geradlinig gleichförmig, 192 geradlinig gleichmäßig beschleunigt, 193 in einer Ebene, 308 Kreisdrehung, 194 Spirale, 196 Superpositionsprinzip, 196 zusammengesetzt, 196 Bildvektoren, 68 Biot-Savart, 357 Blockbild, 125 Bogenelement, 151 Bogenlänge, 198 Bungee-Jumping, 296 Corioliskraft, 311 Coulomb-Eichung, 366 Coulomb-Kraft, 353 D’Alembert-Operator, 274 Definitheit, 132, 263
Delta-Distribution, 181 Determinante, 51 Entwicklungssatz, 53 Funktionaldeterminante, 144 Rechenregeln, 54 Regel von Sarrus, 52 Schachbrettmuster, 53 Streichdeterminante, 53 Volumenverzerrungsfaktor, 69 Diagonalisierung, 79 Eigenvektor, 80 Eigenwerte, 80 Eigenwertgleichung, 80 Kochrezept, 80 Diagonalmatrix, 79 Dichte, 178 Differenzenquotient, 110 Differenzial, 149, 154, 162 Differenzialgleichung, 203 Anfangsbedingungen, 205 Eindeutigkeit der Lösung, 205 Exponentialansatz, 209 Fourier-Transformation, 260 gekoppelt, 215 gewöhnliche, 203 harmonischer Oszillator, 211 homogen, 204 inhomogen, 204 Integration der Umkehrfunktion, 211 Lösung durch Integration, 207 Lösungsschar, 204 linear, 204 Newton, 205 nichtlinear, 204 Ordnung, 204 partielle, siehe partielle Differenzialgleichung Potenzansatz, 210 Reduktion der Ordnung, 213 Trennung der Variablen, 208 trigonometrischer Ansatz, 211 Variation der Konstanten, 214 Differenzialquotient, 110, 127, 190 Differenzierbarkeit, 111 Diffusionsgleichung, 269 Dirac-Funktion, 181 Dispersionsrelation, 362 Distribution, 181 Divergenz, 231, 235, 242 doppeltes Kreuzprodukt, 28 Drehachse, 73, 80, 307 Drehimpuls, 307, 333 Drehimpulserhaltung, 308 Drehmatrix, 71, 105 2-D-Drehmatrix, 72 3-D-Drehmatrix, 73 allgemeine Darstellung, 75
376 Darstellung als Exponentialreihe, 139 Drehachse, 73 Drehwinkel, 74 in Indizes, 105 Invarianz des Skalarprodukts, 105 Inverse, 75 passiv vs. aktiv, 78, 79 Drehmoment, 308 Drehwinkel, 74 Drei-Finger-Regel, 24, 30 Dreibein, 38 dyadisches Produkt, 58 e hoch Matrix, 139, 270 Ebene Ebenengleichung, 34 Hesse’sche Normalenform, 35 Normalenvektor einer Ebene, 34 ebene Wellen, 279 effektives Potenzial, 315 Eichung, 365 Eigenfrequenz im Potenzial, 324 Eigenvektor, 80 Eigenwerte, 80 Eigenwertgleichung, 80 Einheitskreis, 14 Einheitsmatrix, 51 Einheitsvektor, 3 Einstein’sche Summenkonvention, 91 elastischer Stoß, 297 elektrisches Feld, 343, 345 Punktladung, 234 elektromagnetische Welle, 359 Elektrostatik, 350 elektrostatische Kraft, 343 Energie effektives Potenzial, 315 Energieerhaltung, 294 Energiesatz, 293 kinetische Energie, 294 Lösung des 1-D-Energiesatzes, 304 potenzielle Energie, 294 Rotationsenergie, 336 Energiestromdichte, 362 Erdbeschleunigung, 11 Erhaltungsgröße, 313, 332 erweiterte Matrix, 62 Euler-Formel, 223, 227 Exponentialansatz bei DGLs, 209 Exponentialreihe, 137, 226 Extrema, 119 Führungskraft, 311 Feder, 236, 287 Federkraft, 287 Federpendel, 211 Potenzial, 294 Feld, 229
Index quellenfrei, 231 Skalarfeld, 229 statisch, 229 Vektorfeld, 229 wirbelfrei, 231 Feldlinienbild, 229 Fläche unter einer Kurve, 155 Flächendichte, 178 Flächenelement, 169 Flächenintegral, 169 Fluss eines Vektorfeldes, 246 Fourier 3-D- und 4-D-Transformation, 259 Entwicklungskoeffizienten, 252 Fourier-Transformation, 256 Lösen einer DGL, 260 Parsevals Theorem, 255 Reihe, 252 Transformation der Ableitung, 258 Transformation der Zeit, 258 freier Fall mit Luftreibung, 288 ohne Luftreibung, 285 Freiheitsgrad, 332 Funktion Äquiniveaulinien, 125 Blockbild, 125 Funktion zweier Veränderlicher, 124 isotrop, 130 Reihenentwicklung, 136 skalare Funktion, 124 vektorwertig, 143 Funktionaldeterminante, 144, 174 Gauß’sche Glockenkurve, 120, 182, 256 Gauß’scher Satz, 246 Gauß-Algorithmus, 62 Gauß-System, 347 gekoppelte DGLs, 215 gekoppelte Schwingung, 325 Gerade Geradengleichung, 32, 192 Parameter, 32 Richtungsvektor, 32 Verankerungsvektor, 32 geradlinig gleichförmige Bewegung, 192 geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung, 193 geschlossener Streckenzug, 9 Geschwindigkeit, 190 Durchschnittsgeschwindigkeit, 190 in krummlinigen Koordinaten, 200 Momentangeschwindigkeit, 190 Gewichtskraft, 11, 287 Gleichgewichtslage, 313, 323 Graßmann-Identität, 28 Gradient, 129, 230, 235, 241 Gradientenfeld, 289 Gravitationsfeld, 287
Index Gravitationskonstante, 287 Gravitationskraft, 287 Gravitationspotenzial, 294 harmonischer Oszillator, 211, 227, 287, 319 frei, 319 gedämpft, 319 getrieben, 321 Potenzial, 294 Resonanzfrequenz, 322 Hauptachsentransformation, 85, 215, 326 Hauptachsensystem, 85 Kochrezept, 85 Quadrik, 83 Hauptdiagonale, 45 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, 154 Hauptträgheitsachsen, 336 Hauptträgheitsmoment, 336 Heaviside-Funktion, 186 Heaviside-System, 348 Hesse’sche Normalenform, 35 Hesse-Matrix, 132 homogene Differenzialgleichung, 204 homogene Wellengleichung, 359 Imaginärteil, 219 Impuls, 297, 332 Impulserhaltung, 297 Index, 91, 235 Ableitung in Indizes, 235 Einstein’sche Summenkonvention, 91 freier Index, 92 Kontraktion, 95 Laufindex, 92 Permutation, 97 Symmetrie, 94 total antisymmetrisch, 99 inelastischer Stoß, 297 Inertialsystem, 309 inhomogene Differenzialgleichung, 204 Integral, 154 Ableiten nach Parametern, 165 Fläche unter einer Kurve, 155 Flächenintegral, 169 Hauptsatz, 154 Integralsätze, 245 Integraltransformationssatz, 174 Integrand, 154 Integration per Substitution, 161 Integrationsgrenzen, 154 Kurvenintegral, 248 Partialbruchzerlegung, 166 partielle Integration, 160 Regeln und Tricks, 157 Satz von Fubini, 171 Stammfunktion, 154 Volumenintegral, 171
377 Integralsätze, 245 Integraltransformationssatz, 174 Inverse, 55 isotrop, 130 Jacobi-Matrix, 144 kanonische Basisvektoren, 3 Kartesische Koordinaten Laplace, 244 kartesische Koordinaten, 39 Flächenelement, 174 Linienelement, 151 Oberflächenelement, 241 Volumenelement, 174 Kettenregel, 115, 145 kinetische Energie, 294 kleine Schwingungen, 323 Koeffizientenmatrix, 62 Koeffizientenvergleich, 167 komplexe Zahlen, 219 Betragsquadrat, 221 Euler-Darstellung, 223 Euler-Formel, 223, 227 Imaginärteil, 219 Konjugation, 220 Polarkoordinatendarstellung, 222 Realteil, 219 trigonometrische Relationen, 225 Komponenten, 2, 92 Komponentenfunktion, 143 Konjugation, 220 konservatives Kraftfeld, 289 Arbeit, 301 Kontinuitätsgleichung, 268, 342, 349 Kontraktion, 107 Koordinatensystem, 39 Achsen, 37 Dreibein, 38 Hauptachsensystem, 85 kartesisch, 39 Kugelkoordinaten, 42 Orthonormalbasis, 38 Polarkoordinaten, 40 Rechtssystem, 38 Wechsel des Koordinatensystems, 80 Zylinderkoordinaten, 41 Kosinus, 14, 225 Reihendarstellung, 138 Kosinus-Hyperbolikus, 206 Kraft Corioliskraft, 311 Coulomb-Kraft, 353 elektrostatische, 343 Federkraft, 287 Gewichtskraft, 11, 287 Gravitationskraft, 287 harmonischer Oszillator, 287
378 konservativ, 289 Lorentz-Kraft, 30, 343 Newton, 205 Normalkraft, 21 Reibungskraft, 288 Rückstellkraft, 22, 319 Scheinkraft, 309 Zentralkraft, 292 Zentrifugalkraft, 311 Kreis Fläche, 163 Kreisgleichung, 36 Umfang, 199 Kreisbewegung, 194 Kreuzprodukt, 23, 76, 100 bac-cab-Formel, 28 Drei-Finger-Regel, 24 geometrische Interpretation, 24 in Indizes, 100 Kreuzprodukt in Komponenten, 26 Kreuzvektor, 23 Rechenregeln, 24 Kriechfall, 320 Kronecker-Symbol, 94, 107 krummlinige Koordinaten, 238 Kugel Kugelgleichung, 36 Oberfläche, 240 Volumen, 172, 175 Kugelkoordinaten, 42 Basisvektoren, 238 Laplace, 244 Linienelement, 151 Oberflächenelement, 241 Volumenelement, 174 Kugelwelle, 279 Kurvendiskussion, 118, 120 Kurvenintegral, 248 Ladung, 339 Ladungsdichte, 339 Ladungserhaltung, 342 Punktladung, 339 Lagepotenzial, 294 Landau’scher Papierkorb, 137 Laplace’scher Entwicklungssatz, 53 Laplace-Gleichung, 265 Laplace-Operator, 233, 243 Lennard-Jones-Potenzial, 122 Levi-Civita-Symbol, 98, 106 Lichtgeschwindigkeit, 345 lineare Abbildung, 68 Drehung, 71 Spiegelung, 70 lineare Näherung, 137, 149 lineares Gleichungssystem (LGS), 61 erweiterte Matrix, 62 Gauß-Algorithmus, 62 homogenes LGS, 62
Index inhomogenes LGS, 62 Koeffizientenmatrix, 62 Lösbarkeit, 64 Parameterschar, 64 Pivotelemente, 63 quadratisches LGS, 62 Zeilen-Stufen-Form, 63 Liniendichte, 178 Linienelement, 151 Linkssystem, 38 Logarithmusreihe, 139 lokale Extrema, 133 Lorentz-Kraft, 30, 343 Lorenz-Eichbedingung, 365 magnetisches Feld, 343, 345 Magnetostatik, 355 Masse Gesamtmasse, 7, 177, 332 homogene Massenverteilung, 177 Punktmasse, 184, 283 Massendichte, 177 Massenmatrix, 326 Matrix, 45, 104, 106 Abbildungsmatrix, 68 Adjunkte, 55 antisymmetrische Matrix, 57 Definitheit, 132 Determinante, 51 Diagonalisierung, 79 Diagonalmatrix, 79 Drehmatrix, 71 e hoch Matrix, 139 Einheitsmatrix, 51 Einträge, 45 in Indizes, 104 inverse Matrix, 55 Invertierbarkeit, 56 links- und rechtsseitige Multiplikation, 66 Matrizengleichung, 66 Multiplikation, 48 Nullmatrix, 51 quadratisch, 45 Rechenregeln, 46 Spalten, 45 Spiegelmatrix, 70 Spur, 56 spurfrei, 57 symmetrische Matrix, 57 Transponieren einer Matrix, 47 Zeilen, 45 Maximum, 119 Maxwell-Gleichungen, 345 homogen, 346 im Vakuum, 359 inhomogen, 346 Integralform, 348 Lösung, 366
Index Maßsysteme, 347 Minimum, 119 Momentangeschwindigkeit, 190 Nabla, 130, 230, 241 Näherung linear, 137, 149 quadratisch, 137 Wurzel, 139 Newton’sche Axiome, 284 Newton’sche Bewegungsgleichung, 205, 284 Noether-Theorem, 313 Normalkraft, 21 Nullmatrix, 51 Oberfläche eines Körpers, 240 Oberflächenelement, 239 Ordnung einer Differenzialgleichung, 204 Orientierung, 37, 69 Ort, 189 orthogonale Transformation, 70 Orthogonalität, 17 Orthonormalbasis, 38, 71 Parallel-Senkrecht-Zerlegung, 20, 59 Parameter, 32, 64, 165 Parsevals Theorem, 255 Partialbruchzerlegung, 166 partielle Ableitung, 127 partielle Differenzialgleichung, 263 Diffusionsgleichung, 269 elliptisch, 264 hyperbolisch, 264 Kontinuitätsgleichung, 268 Laplace-Gleichung, 265 parabolisch, 264 Poisson-Gleichung, 266 Separationsansatz, 265 Wellengleichung, 274 partielle Integration, 160 Pendel, 21, 317 Periodendauer, 195 Periodizität, 251 Permutation, 97 Pivotelemente, 63 Poisson-Gleichung, 266, 351, 366 Polarkoordinaten, 40, 222 Flächenelement, 174 Laplace, 244 Linienelement, 151 Oberflächenelement, 241 Polarwinkel, 42 Potenzansatz bei DGLs, 210 Potenzial, 236, 289 effektives Potenzial, 315 Federpotenzial, 294 Gleichgewicht, 313 Gravitationspotenzial, 294
379 harmonischer Oszillator, 294 Lagepotenzial, 294 Lennard-Jones-Potenzial, 122 Potenzial aus Kraft, 289 Schwingungsperiode, 322 Taylor-Entwicklung um das Minimum, 323 Poynting-Vektor, 362 Produktregel, 114 Projektion, 15 Punktladung, 234, 339 Punktmasse, 184, 283 Quabla, 274 quadratische Näherung, 137 Quadrik, 83 Quellenfreiheit eines Feldes, 231 Quotientenregel, 114 Realteil, 219 Rechtssystem, 37 Reduktion der Ordnung bei DGLs, 213 Reibungskraft, 288 Reihenentwicklung, 136 Reskalierungstrick, 158, 162 Resonanz, 261, 322 Richtungsvektor, 3, 32 Rotation, 231, 235, 242 Rotationsbewegung, 307 stabil, 335 Rückstellkraft, 22, 319 Sarrus, 52, 100 Satz von Biot-Savart, 357 Satz von Fubini, 171 Satz von Gauß, 246 Satz von Schwarz, 132 Satz von Stokes, 248 Scheinkraft, 309 Schwerpunkt, 7, 178, 332 Schwerpunktserhaltung, 332 Schwingung Frequenzspektrum, 259 gekoppelt, 325 kleine, 323 Schwingungsperiode, 322 Separationsansatz, 265 SI (Système International), 347 Sinus, 14, 225 Reihendarstellung, 138 Sinus-Hyperbolikus, 206 Skalar, 5, 106 Skalarfeld, 229 Skalarpotenzial, 351, 352, 364 Skalarprodukt, 16, 93 geometrische Interpretation, 16 in Indizes, 93 Orthogonalität, 17
380 Projektion, 15 Rechenregeln, 19 Skalarprodukt in Komponenten, 18 Spaltenvektor, 2, 47 Spatprodukt, 27, 53, 99 Spiegelmatrix, 70 Sprungfunktion, 186 Spur, 56 stabile Rotation, 335 Stammfunktion, 154, 204 starrer Körper, 332 Startpunkt, 189 Statik, 11 Stoß, 297 Stokes’scher Satz, 248 Streichdeterminante, 53 Strom, 341 Stromdichte, 268, 340 Stromfaden, 357 Substitution, 161 Symmetrie, 313 Tangens, 14 Tangentialvektor, 239 Taylor-Entwicklung, 136 einer Veränderlichen, 136 um das Potenzialminimum, 323 Teilchendichte, 268 Tensor, 106 Kontraktion/Verjüngung, 107 symmetrisch vs. antisymmetrisch, 107 total antisymmetrisch, 107 Tensorprodukt, 60 Testfunktion, 181 Theta-Funktion, 186 totales Differenzial, 149 Trägheitsgesetz, 284 Trägheitsmoment, 335 Trägheitstensor, 334 Transposition, 47 Transversalwelle, 362 Trennung der Variablen, 208 trigonometrischer Ansatz bei DGLs, 211 trigonometrischer Pythagoras, 15 Ursprung, 2 Variation der Konstanten, 214 Vektor, 1, 106 Addition, 4 Ebenengleichung, 34 Einheitsvektor, 3 Geradengleichung, 32 kanonische Basisdarstellung, 8 Komponenten, 2 Länge, 2 Multiplikation mit einem Skalar, 5 Normalvektor, 21
Index Normierung, 3 orthogonal, 17 Parallel-Senkrecht-Zerlegung, 20 Richtung, 2 Richtungsvektor, 3 Spaltenvektor, 2 Subtraktion, 6 Tangentialvektor, 21 Verbindungsvektor, 6 Winkel zwischen Vektoren, 16 Zeilenvektor, 2 Vektoranalysis, 229 Vektorfeld, 229 Vektorpotenzial, 355, 364 Vektorprodukt, 23 Verankerungsvektor, 32 Verjüngung, 107 Verschiebetrick, 158, 162 Volumendichte, 178 Volumenelement, 171 Volumenintegral, 171 Volumenverzerrungsfaktor, 69 waagerechter Wurf, 194 Wellengleichung, 264, 274, 359 D’Alembert’sche Lösung, 277 ebene Wellen, 279 in 1-D, 275 Kugelwelle, 279 Wien-Filter, 343 Winkel zwischen Vektoren, 16 Winkelgeschwindigkeit, 195, 307 Wirbelfreiheit eines Feldes, 231 Wurzelentwicklung, 139 Zeilen-Stufen-Form, 63 Zeilenvektor, 2, 47 Zeit, 189 Zentralkraftfelder, 292 Zentrifugalkraft, 311 Zerfallsgesetz, 208 zyklisch, 27 Zylinderkoordinaten, 41 Laplace-Operator, 244 Linienelement, 151 Oberflächenelement, 241 Rotation, 242 Volumenelement, 174
