Methoden der mehrstufigen Ablaufplanung in der Halbleiterindustrie

Isabel Jasmin Acker Methoden zur mehrstufigen Ablaufplanung in der Halbleiterindustrie GABLER RESEARCH Produktion und ...

Author: Isabel Jasmin Acker

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Isabel Jasmin Acker Methoden zur mehrstufigen Ablaufplanung in der Halbleiterindustrie

GABLER RESEARCH Produktion und Logistik Herausgegeben von Professor Dr. Bernhard Fleischmann, Universität Augsburg Professor Dr. Martin Grunow, Technische Universität München Professor Dr. Hans-Otto Günther, Technische Universität Berlin Professor Dr. Stefan Helber, Universität Hannover Professor Dr. Karl Inderfurth, Universität Magdeburg Professor Dr. Herbert Kopfer, Universität Bremen Professor Dr. Herbert Meyr, Technische Universität Darmstadt Professor Dr. Thomas S. Spengler, Technische Universität Braunschweig Professor Dr. Hartmut Stadtler, Universität Hamburg Professor Dr. Horst Tempelmeier, Universität Köln Professor Dr. Gerhard Wäscher, Universität Magdeburg Kontakt: Professor Dr. Hans-Otto Günther, Technische Universität Berlin, H 95, Straße des 17. Juni 135, 10623 Berlin

Diese Reihe dient der Veröffentlichung neuer Forschungsergebnisse auf den Gebieten der Produktion und Logistik. Aufgenommen werden vor allem herausragende quantitativ orientierte Dissertationen und Habilitationsschriften. Die Publikationen vermitteln innovative Beiträge zur Lösung praktischer Anwendungsprobleme der Produktion und Logistik unter Einsatz quantitativer Methoden und moderner Informationstechnologie.

Isabel Jasmin Acker

Methoden zur mehrstufigen Ablaufplanung in der Halbleiterindustrie Mit einem Geleitwort von Prof. Dr. Andreas Kleine

RESEARCH

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

Dissertation Universität Hohenheim, 2010 D 100

1. Auflage 2011 Alle Rechte vorbehalten © Gabler Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011 Lektorat: Stefanie Brich | Nicole Schweitzer Gabler Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.gabler.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN 978-3-8349-2921-1

Geleitwort Die Unterst¨ utzung von betrieblichen Entscheidungen gehört zu den zentralen Aufgaben der Betriebswirtschaftslehre. Nach der Veröffentlichung des SimplexAlgorithmus durch George B. Dantzig in der Mitte des vergangen Jahrhunderts und mit der fortschreitenden Entwicklung der Hard- und Software stehen heute zahlreiche leistungsfähige Systeme zur Entscheidungsunterst¨ utzung zur Verf¨ ugung. Trotz der kontinuierlichen Weiterentwicklung von Algorithmen lassen sich jedoch eine Vielzahl von praktischen Problemstellungen nicht mit exakten Verfahren lösen. Zur Klasse derartig komplexer Probleme zählt die betriebliche Ablaufplanung. Hierbei sucht ein Unternehmen nach einer optimalen Reihenfolge von Aufträgen, die auf unterschiedlichen Maschinen zu bearbeiten sind. Die Lösung dieser Problemstellung ist in der Regel so aufwendig, dass die Ermittlung einer optimalen Lösung mit einem konvergenten Verfahren kaum möglich ist. Daher kommen f¨ ur derartige Probleme heuristische Ansätze zum Einsatz, die in der Regel eine gute Lösung in akzeptabler Zeit finden. In der Ablaufplanung sind diese Verfahren f¨ ur spezielle Problemstellungen fortlaufend weiterentwickelt worden. Dennoch lassen sich praktische Anwendungen mit diesen oftmals nicht sachgerecht abbilden. An diesem Punkt kn¨ upft die vorliegende Schrift von Frau Dr. Isabel Jasmin Acker an. Am Beispiel der Halbleiterindustrie veranschaulicht sie, dass eine wesentliche Besonderheit in der Ablaufplanung bislang kaum Beachtung gefunden hat. Bei der Fertigung einer Diode gibt es in der Regel eine Vielzahl von Möglichkeiten, die unterschiedlichen Fertigungsanlagen zu durchlaufen. Diese alternativen Maschinentypfolgen sind f¨ ur die betriebliche Praxis von außerordentlich großer Bedeutung, da die Planung deutlich flexibler gestaltet werden kann. Durch diese zusätzliche Flexibilität lassen sich allerdings auch wesentlich mehr alternative Lösungsstrategien generieren, was aus methodischer Sicht die Bestimmung einer optimalen Lösung erschwert. Zur Verdeutlichung der besonderen Struktur einer Produktionsplanung mit alternativer Maschinenfolgen erweitert Frau Acker zunächst die Klassifikation von Ablaufplänen um eine neue Klasse, den flexiblen Job-Shop-Problemen mit mehreren Maschinentypfolgen. Das im Folgenden entwickelte Modell bildet die Grundlage f¨ ur ein hierarchisches Lösungsverfahren, das sich aus einer Kombination aus einer exakten und einer heuristischen Methode zusammensetzt. In einer ersten Stufe wird hierzu ein Teilproblem mit einem Simplex-Verfahren op-

VI

Geleitwort

timal gelöst. Diese Lösung stellt im zweiten Schritt die Basis f¨ ur die Heuristik dar. F¨ ur die betrachtete Problemstellung werden zwei Heuristiken, Prioritätsregelverfahren und der genetische Algorithmus, verglichen, wobei sich letzterer als u ¨berlegen erweist. Frau Acker veranschaulicht damit am Beispiel der Diodenfertigung, dass die Kombination aus einem exakten Verfahren und einer Metaheuristik ein großes Potential f¨ ur die effiziente Lösung komplexer Probleme beinhaltet. Andreas Kleine

Vorwort Die vorliegende Arbeit wurde im Juli 2010 bei der Fakultät Wirtschafts- und Sozialwissenschaften der Universität Hohenheim als Dissertation eingereicht und im November 2010 von dieser angenommen. Sie entstand u. a. während meiner Tätigkeit als wissenschaftliche Mitarbeiterin am Lehrgebiet Quantitative Methoden. Mein Dissertationsthema wurde mir von Prof. Dr. Knut Haase vermittelt, wof¨ ur ich ihm sehr dankbar bin. Mein besonderer Dank gilt meinem Doktorvater Herrn Prof. Dr. Andreas Kleine. Auch der Zweitgutachterin Frau Prof. Dr. Mareike Schoop und dem Pr¨ ufungsvorsitzenden im Colloquium Herrn Prof. Dr. Werner Schulz möchte ich an dieser Stelle herzlich danken. Dar¨ uber hinaus möchte ich ein herzliches Dankeschön an meine Kolleginnen und Kollegen am Lehrgebiet f¨ ur die gute Zusammenarbeit richten. Dabei möchte ich Dr. Thomas Bonke hervorheben, der mir ein ausgesprochen angenehmer Zimmergenosse war, mit dem ich mich u ¨ber wissenschaftliche aber auch private Themen austauschen konnte. Insbesondere danke ich auch Frau Regina Fuchs und Dr. Marcel Rossmy. Kleinigkeiten sind die Bausteine der Vollendung. Die Vollendung ist aber keine ” Kleinigkeit.“ Diese Aussage von Michelangelo Buonarotti Anfang des 16. Jahrhunderts kann ich aus eigener Erfahrung nur bestätigen. Aus diesem Grund bin ich u utzung dankbar, die ich durch mein privates Umfeld ¨ber die große Unterst¨ erfahren habe. So hat mich Dr. Andreas Kaiser während meiner gesamten Promotionsphase immer wieder motiviert. Auch meine Mutter Roswitha Acker hat auf vielfältige Weise zu dem Gelingen meiner Arbeit beigetragen. Mein größter Dank richtet sich aber an meinen Vater Bernd Acker. Er war, wann immer ich Diskussionsbedarf hatte, ein konstruktiver Ansprechpartner und dar¨ uber hinaus ein eifriger Korrekturleser meines Manuskripts. Ich widme diese Arbeit meinen Eltern in tiefer Dankbarkeit. Isabel Jasmin Acker

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

XIII

Tabellenverzeichnis

XVII

Abk¨ urzungsverzeichnis

XXI

Verzeichnis ausgew¨ ahlter Symbole

XXV

1 Einleitung 1.1 Gegenstand der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Aufbau der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 3

2 Ablaufplanung 2.1 Einordnung der Ablaufplanung in den Produktionsprozess 2.2 Grundlagen der Ablaufplanung . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Begriff und Aufgaben der Ablaufplanung . . . . . . 2.2.2 Definitionen und Notationsvereinbarungen . . . . . 2.3 Klassifikation von Ablaufplanungsproblemen . . . . . . . . 2.3.1 Maschinencharakteristika α . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Auftragscharakteristika β . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Zielkriterien γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Der Lösungsbereich – Arten von Ablaufplänen . . . . . . . 2.4.1 Fallstudie FS1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Zulässige Ablaufpläne . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Semiaktive Ablaufpläne . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Aktive Ablaufpläne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5 Unverzögerte Ablaufpläne . . . . . . . . . . . . . .

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7 7 11 11 14 21 21 24 26 33 33 35 37 38 40

3 Fallstudie aus der Halbleiterindustrie 3.1 Produktionsstufe Montage . . . . . . 3.2 Produktionsstufe Endmessung . . . . 3.3 Maschinenverf¨ ugbarkeit . . . . . . . . 3.4 Alternative Maschinenfolgen . . . . . 3.5 Nachfrage . . . . . . . . . . . . . . .

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43 44 46 50 53 55

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X

Inhaltsverzeichnis 3.6 Zielsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Zusammenfassung und Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . .

58 60

4 Job-Shop-Modelle der Ablaufplanung 4.1 Das Prinzip des disjunktiven Graphen . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Veranschaulichung mit Hilfe der Fallstudie FS1 . . . . . 4.2 Modellformulierung nach Manne f¨ ur das klassische Job-ShopProblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Herleitung der Modellformulierung . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Anwendung auf die Fallstudie FS1 . . . . . . . . . . . . . 4.3 Ein gemischt-ganzzahliges lineares Programm zur Modellierung der Fallstudie aus der Halbleiterindustrie . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Weitere Notationsvereinbarungen . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Modellierung der Fallstudie FSH: GGLP-Komplett . . . . 4.3.3 Erläuterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4 Fallstudie FS2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67 68 68 70

5 L¨ osungsverfahren f¨ ur Job-Shop-Probleme 5.1 Anmerkungen zur Komplexität . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 5.2 Uberblick u ¨ber exakte und heuristische Lösungsansätze . . . . . 5.2.1 Exakte Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Heuristische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2.1 Eröffnungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2.2 Verbesserungsverfahren/Lokale Suchverfahren . 5.2.2.3 Weitere Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Prioritätsregelverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Einfache Konstruktionsverfahren . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Prioritätregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Anwendung des Giffler&Thompson-Verfahrens auf die Fallstudie FS1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Genetische Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Hintergrund und Ablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Konstruktion Genetischer Algorithmen . . . . . . . . . . 5.4.2.1 Kodierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2.2 Lösungsevaluierung . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2.3 Ausgangspopulation . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2.4 Selektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2.5 Crossover . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2.6 Mutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2.7 Ersetzungsschema . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2.8 Abbruchkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3 Veranschaulichung an der Fallstudie FS1 . . . . . . . . .

91 91 95 95 103 104 106 114 114 114 122

74 74 76 78 78 81 83 87

128 133 133 138 139 141 145 146 149 154 156 157 158

Inhaltsverzeichnis

XI

6 Zweiphasen-Heuristik f¨ ur die Fallstudie aus der Halbleiterindustrie 163 6.1 1. Phase – Auswahl der Maschinenfolgen . . . . . . . . . . . . . 164 6.1.1 Ein gemischt-ganzzahliges lineares Programm zur Auswahl der Maschinenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 6.1.2 Notationsvereinbarungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 6.1.3 Modellierung der Maschinenfolgeauswahl: GGLP-Auswahl 167 6.1.4 Erläuterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 6.1.5 Fallstudie FS3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 6.2 2. Phase – das Prioritätsregelverfahren . . . . . . . . . . . . . . 173 6.2.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 6.2.2 Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 6.2.2.1 Nachlaufzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 6.2.2.2 R¨ ustzeit und Auftragsgruppen . . . . . . . . . . 176 6.2.2.3 Maschinen – Stillstände und Anlaufzeit . . . . . 177 6.2.2.4 Konflikt-Begriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 6.2.3 Der Ablaufplan-Generator [G&T-ext] . . . . . . . . . . . 181 6.2.4 Lösung der Fallstudie FS3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 6.3 2. Phase – der Genetische Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . 196 6.3.1 Problemspezifische Ausgestaltung des Genetischen Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 6.3.2 Der Ablaufplan-Generator [Decod-ext] . . . . . . . . . . 199 6.3.3 Lösung der Fallstudie FS3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 7 Evaluation 7.1 Bestimmung und Generierung der Daten und Szenarien f¨ ur die Simulationsstudie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Unveränderliche Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Veränderliche Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2.1 Planungshorizont . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2.2 Nachfrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2.3 Liefertermine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2.4 Maschinenstillstände . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2.5 Maschinenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.3 Betrachtete Szenarien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Simulationsablauf und -ergebnisse der 1. Phase . . . . . . . . . . 7.3 Simulationsablauf und -ergebnisse der 2. Phase . . . . . . . . . . 7.3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Prioritätsregelverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3 Genetischer Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3.1 Populationsgröße . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3.2 Anzahl Kinder . . . . . . . . . . . . . . . . . .

207 207 208 208 208 209 209 210 212 212 213 217 217 220 224 225 226

XII

Inhaltsverzeichnis

7.4

7.3.3.3 Evolutionsstrategie . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3.4 Abbruchkriterium . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3.5 Selektion des Mating-Pool . . . . . . . . . . 7.3.3.6 Crossover . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3.7 Mutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3.8 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . Ergebnisvergleich der beiden Lösungsverfahren . . . . . . . . 7.4.1 Zielfunktionswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Fertigstellung nach dem Ende des Planungszeitraums 7.4.3 Zykluszeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.4 Termin¨ uberschreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.4.1 Anzahl Termin¨ uberschreitungen . . . . . . . 7.4.4.2 Höhe Termin¨ uberschreitung . . . . . . . . . 7.4.5 Abschlussbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

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227 228 230 232 233 235 237 237 238 239 239 239 241 242

8 Schlussbetrachtung 247 8.1 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 8.2 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 A Anhang A.1 Weitere Ablaufgraphen und -pläne zu den Fallstudien . . . A.1.1 Beispiel f¨ ur Unzulässigkeit . . . . . . . . . . . . . . A.1.2 Aktiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.3 Unverzögert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.4 Optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.5 Optimales Gantt-Diagramm von Fallstudie FS3 mit Maschinenfolgen gemäß GGLP-Auswahl . . . . . . . A.2 Modellformulierung nach Manne f¨ ur Fallstudie FS1 . . . . A.3 Simulationsergebnisse zur 1. Phase . . . . . . . . . . . . . A.4 Simulationsergebnisse zur 2. Phase . . . . . . . . . . . . . A.4.1 Prioritätsregelverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . A.4.2 Genetischer Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis

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255 255 255 256 256 257 259 260 261 263 263 265 269


2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 5.1

Zusammenhang zwischen Produktionssystem und Produktionsplanung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Produktionsplanungs- und -steuerungssystem (PPS-System) FS1 – Zulässiger Ablaufplan (maschinenorientiert) . . . . . . . . FS1 – Zulässiger Ablaufplan (auftragsorientiert) . . . . . . . . . FS1 – Semiaktiver Ablaufplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . FS1 – Aktiver Ablaufplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . FS1 – Unverzögerter Ablaufplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . FS1 – Optimaler Ablaufplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Venn-Diagramm bzgl. möglicher Ablaufplan-Arten . . . . . . . .

8 10 36 36 37 39 40 41 41

Wafer-Dioden-Fabrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arbeitsgänge der Montage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Planungsrelevante Arbeitsgänge der Endmessung . . . . . . . . Mögliche Produktionswege von Endmessen und Sichtpr¨ ufen . . . Produktionsprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Explizite Darstellung der 6 möglichen Maschinenfolgen von Endmessdiodentyp ED10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Maschinenfolgen von Endmessdiodentyp ED62 . . . . . . . . . . Zeitstrahl Planungshorizont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Divergierende Produktionsstruktur des Montagediodentyps MD18 Veranschaulichung der vier Job-Shop-Scheduling-Problemtypen J, F J, M J und M F J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Legende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . FS1 – Maschinenfolgegraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . FS1 – Disjunktiver Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . FS1 – Auftragsfolgegraph (zulässig) . . . . . . . . . . . . . . . . FS1 – Zulässiger Ablaufgraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . FS1 – Optimaler Ablaufgraph (Lösungsvariante 1) . . . . . . . . FS2 – Optimaler Ablaufplan (GGLP-Komplett) . . . . . . . . . . FS2 – Optimaler Ablaufplan (GGLP-Komplett) mit Stillstand von Maschine 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70 71 71 72 73 77 89

Entscheidungsbaum und das Branch-and-Bound-Prinzip

96

. . . .

54 55 57 57 65

90

XIV


5.2 Allgemeines Prinzip der lokalen Nachbarschaftssuche . . . . . . 108 5.3 Lokale und Globale Minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.4 Heuristische Lösungsverfahren f¨ ur Job-Shop-Probleme . . . . . . 115 5.5 Entscheidungsbaum und das Prinzip einfacher Konstruktionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.6 Einsatzmöglichkeiten von einfachen Konstruktionsverfahren . . . 118 5.7 Ablauf des H&L-Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.8 Ablauf des G&T-Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.9 Ablauf eines Konstruktionsverfahren mit unverzögerter Einplanung122 5.10 Struktogramm [G&T] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.11 FS1 – Gantt-Diagramm f¨ ur das Ergebnis des Prioritätsregelverfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.12 Grundstruktur eines Genetischen Algorithmus . . . . . . . . . . 136 5.13 Kodierung eines 3 × 4-JSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.14 Zuordnung der Aufträge zu den Maschinen . . . . . . . . . . . . 141 5.15 Struktogramm [Dekod] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.16 Resultierendes Gantt-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.17 Struktogramm f¨ ur die zufällige Erzeugung der Ausgangspopulation146 5.18 Struktogramm f¨ ur die Turnier-Selektion . . . . . . . . . . . . . . 147 5.19 Struktogramm f¨ ur die Zeiger-Selektion . . . . . . . . . . . . . . 148 5.20 Beispiel zru Zeiger-Selektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5.21 Struktogramm f¨ ur Generalized Order Crossover (GOX) . . . . . 151 5.22 Beispiel zur Bestimmung der Einf¨ ugestelle – Nehmer-Chromosom (GOX) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5.23 Beispiel zur Generierung der Nachkommen (GOX) . . . . . . . . 152 5.24 Struktogramm f¨ ur Position Based Crossover (PBX) . . . . . . . 153 5.25 Beispiel zum PBX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.26 Struktogramm f¨ ur die Mutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.27 Beispiel zur OBM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 5.28 Struktogramm f¨ ur das Abbruchkriterium . . . . . . . . . . . . . 157 5.29 FS1 – Individuen der Ausgangspopulation . . . . . . . . . . . . 159 5.30 FS1 – Dekodierung der Ausgangspopulation . . . . . . . . . . . 159 5.31 FS1 – Zeiger-Selektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5.32 FS1 – Nachkommen der ersten Generation . . . . . . . . . . . . 161 5.33 FS1 – Dekodierung der Nachkommen . . . . . . . . . . . . . . . 162 6.1 Phasen des Lösungsverfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Iteratives Vorgehen bei der Maschinenfolgeauswahl . . . . . . 6.3 FS3 – Optimaler Ablaufplan mit Maschine 4 (GGLP-Komplett) 6.4 Nachlaufzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 R¨ ustabfrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Zustände der Maschine m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Relevante Stillstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

164 165 171 176 177 177 178

Abbildungsverzeichnis 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 6.14 6.15 6.16 6.17 6.18 6.19 6.20 6.21 6.22 6.23

Belegungszeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konfliktfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Struktogramm [G&T-ext] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Struktogramm [Konflikt] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konfliktabfrage beim erweiterten G&T-Algorithmus . . . . . . . Struktogramm [k, mas] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stillstandskollision k, mas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Struktogramm [k ∗ , nm] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mögliche Situationen an der nächsten Maschine . . . . . . . . . FS3 – Gantt-Diagramm, [G&T-ext], LRBZ-FLT . . . . . . . . . Struktogramm [Decod-ext] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . FS3 – Dekodierung des Chromosoms . . . . . . . . . . . . . . . FS3 – Gantt-Diagramm des Ablaufplans gemäß Chromosom . . FS3 – Entwicklung der Zielfunktionswerte . . . . . . . . . . . . FS3 – Chromosom mit ZF ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . FS3 – Gantt-Diagramm des Ablaufplans gemäß Chromosom mit ZF ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XV 179 180 181 183 185 186 187 188 189 196 200 202 204 205 205 206

7.1 D120 ZF in Abh. von der Prioritätsregel und dem Szenario . . . 222 7.2 D30 ZF in Abh. von der Parametereinstellung und dem Szenario 224 7.3 Vergleich der Ergebnisse f¨ ur D120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 A.1 FS1 – Auftragsfolgegraph (unzulässig) . . . . . . . . . . . . . . A.2 FS1 – Ablaufgraph (unzulässig) . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 FS1 – Aktiver Ablaufgraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4 FS1 – Unverzögerter Ablaufgraph . . . . . . . . . . . . . . . . . A.5 FS1 – Optimaler Ablaufgraph (Lösungsvariante 2) . . . . . . . . A.6 FS1 – Optimaler Ablaufplan (Lösungsvariante 2) . . . . . . . . A.7 FS1 – Optimaler Ablaufgraph (Lösungsvariante 3) . . . . . . . . A.8 FS1 – Optimaler Ablaufplan (Lösungsvariante 3) . . . . . . . . A.9 FS3 – Optimales Gantt-Diagramm (GGLP-Auswahl) . . . . . . . A.10 D120 AnzF nT in Abh. von der Prioritätsregel und dem Szenario A.11 D120 Z in Abh. von der Prioritätsregel und dem Szenario . . . . A.12 D120 AnzT A+ in Abh. von der Prioritätsregel und dem Szenario + A.13 D120 T AK in Abh. von der Prioritätsregel und dem Szenario . . . + A.14 D120 T AK+ in Abh. von der Prioritätsregel und dem Szenario . . 30 A.15 D AnzF nT in Abh. von der Prioritätsregel und dem Szenario . A.16 D30 Z in Abh. von der Prioritätsregel und dem Szenario . . . . . A.17 D30 AnzT A+ in Abh. von der Prioritätsregel und dem Szenario . + A.18 D30 T AK in Abh. von der Prioritätsregel und dem Szenario . . . + A.19 D30 T AK+ in Abh. von der Prioritätsregel und dem Szenario . . .

255 255 256 256 257 257 258 258 259 263 263 264 264 265 265 266 266 267 267

Tabellenverzeichnis

2.1 Merkmalsausprägungen von Ablaufplänen – Teil 1 2.2 Merkmalsausprägungen von Ablaufplänen – Teil 2 2.3 FS1 – Maschinenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 FS1 – Prozesszeiten in ZE . . . . . . . . . . . . . 2.5 FS1 – Anfangszeiten in ZE . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

19 20 34 34 36

3.1 Produktionsstufe Montage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Divergierende Produktionsstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Produktionsstufe Endmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Alternative Maschinentypfolgen und dazugehörige Anzahl Maschinenfolgen von ED62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Anzahl möglicher Maschinenfolgen je Endmessdiodentyp . . . . 3.6 Differenzierung von Job-Shop-Scheduling-Problemtypen . . . . .

46 47 50

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

FS1 – Auftragsfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anzahl Nebenbedingungen und Variablen (FS1) . . . . . . . . . FS1 – Binärvariablen optimaler Ablaufgraph (Lösungsvariante 1) FS1 – Anfangszeiten optimaler Ablaufplan (Lösungsvariante 1) . Deklarationen GGLP-Komplett – Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . Deklarationen GGLP-Komplett – Teil 2 . . . . . . . . . . . . . . FS2 – Alternative Maschinenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . FS2 – Prozess-, R¨ ust-und Nachlaufzeiten in ZE . . . . . . . . . FS2 – Anlaufzeiten und Stillstandszeiträume der Maschinen sowie Liefertermine der Aufträge in ZE . . . . . . . . . . . . . . . Einfache, bearbeitungszeitbezogene Prioritätsregeln . . Einfache, fertigstellungsterminbezogene Prioritätsregeln Sonstige einfache Prioritätsregeln . . . . . . . . . . . . Kombinierte Prioritätsregeln . . . . . . . . . . . . . . . FS1 – Ablauf [G&T], KOZ-Zufall . . . . . . . . . . . . Wichtige Fachbegriffe bei Genetischen Algorithmen . . Resultierende Auftragsfolgen . . . . . . . . . . . . . . . Beispiel zur Fitnesswertberechnung . . . . . . . . . . . FS1 – Fitnesswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . FS1 – Individuen und ihre Zielfunktionswerte . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

55 56 63 72 76 76 77 79 80 88 88 89 123 124 124 126 131 135 141 145 160 161

XVIII

Tabellenverzeichnis

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7

Deklarationen (GGLP-Auswahl) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . FS3 – Stillstandszeiträume der Maschinen in ZE . . . . . . . . . FS3 – Alternative Maschinenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . Verwendete Prioritätsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . FS3 – Ablauf [G&T-ext], LRBZ-FLT . . . . . . . . . . . . . . . FS3 – Anfangs- und Endzeiten, [G&T-ext], LRBZ-FLT . . . . . FS3 – Ergebnisse des erweiterten Giffler&Thompson-Verfahrens bei Anwendung verschiedener Prioritätsregeln . . . . . . . . . . 6.8 FS3 – Auftragsfolgen [k ] vom Beispiel-Chromosom . . . . . . . . 6.9 FS3 – Ablaufplan-Generierung des Chromosoms . . . . . . . . .

166 170 171 174 193 195

Anlaufzeiten azm der Maschinen m in Minuten . . . . . . . . . . Kapazitäten und Anzahl Stillstände bei den vier Maschinenstillstands-Varianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Szenarien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Auswertung der Ergebnisse der 1. Phase . . . . . . . . . . . . . Parameter des Genetischen Algorithmus in der Simulationsstudie Simulationsergebnisse in Abhängigkeit von der Prioritätsregel und dem Szenario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ergebnisse des Prioritätsregelverfahrens mit PRIO∗ . . . . . . . Simulationsergebnisse in Abhängigkeit von der Populationsgröße und dem Szenario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Simulationsergebnisse in Abhängigkeit von der Anzahl Kinder und dem Szenario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Simulationsergebnisse in Abhängigkeit von der Evolutionsstrategie und dem Szenario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Simulationsergebnisse in Abhängigkeit vom Abbruchkriterium und Szenario – Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Simulationsergebnisse in Abhängigkeit vom Abbruchkriterium und Szenario – Teil 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Simulationsergebnisse in Abhängigkeit vom Selektionsverfahren und Szenario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Simulationsergebnisse in Abhängigkeit vom Selektionsdruck und Szenario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Simulationsergebnisse in Abhängigkeit vom Crossover-Verfahren und Szenario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Simulationsergebnisse in Abhängigkeit von pC und dem Szenario Simulationsergebnisse in Abhängigkeit von der Mutation und dem Szenario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ultige Parametereinstellung des Genetischen AlgoGA∗ – Endg¨ rithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ergebnisse des Genetischen Algorithmus mit der besten Parametereinstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

208

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12 7.13 7.14 7.15 7.16 7.17 7.18 7.19

195 202 203

212 213 215 218 221 223 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236

Tabellenverzeichnis

XIX

Vergleich der Ergebnisse – Dd ZF und σ d ZF . . . . . . . . . . . Vergleich der Ergebnisse – Dd AnzF nT und σ d AnzF nT . . . . . Vergleich der Ergebnisse – Dd Z und σ d Z . . . . . . . . . . . . . Vergleich der Ergebnisse – Dd AnzT A+ und σ d AnzT A+ (absolut) Vergleich der Ergebnisse – Dd AnzT A+ und σ d AnzT A+ (prozentual) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + + 7.25 Vergleich der Ergebnisse – Dd T AK und σ d T AK . . . . . . . . . . + + d d 7.26 Vergleich der Ergebnisse – D T AK+ und σ T AK+ . . . . . . . . ∗ ∗ 7.27 PRIO vs. GA – Prozentuale Verbesserung . . . . . . . . . . .

7.20 7.21 7.22 7.23 7.24

A.1 FS1 – Binärvariablen des optimalen Ablaufgraphen (Lösungsvariante 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 FS1 – Binärvariablen des optimalen Ablaufgraphen (Lösungsvariante 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 Auswertung der Ergebnisse von GGLP-Auswahl Masst.1 / Masst.2 A.4 Auswertung der Ergebnisse von GGLP-Auswahl Masst.3 / Masst.4 A.5 Auswertung f¨ ur Masfo.Zufall Masst.1 / Masst.2 . . . . . . . . . A.6 Auswertung f¨ ur Masfo.Zufall Masst.3 / Masst.4 . . . . . . . . . A.7 Ergebnisse des Genetischen Algorithmus mit der besten Parametereinstellung (Pretestmenge) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

237 238 239 240 240 241 242 244 257 258 261 261 262 262 268

Abku ¨ rzungsverzeichnis

ACO BG

BM B&B B&C B&C&P B&P C CoverT CR F FF FJ FAFS FCFS FFT FLT FMS FOLT FS1 FS2 FS3 FSH GA GGBZ GGLP GLP GOn GOV

Ant Colony Optimization ¨ Abbruchkriterium, das sich aus den beiden Kriterien Uberschrei” ten einer fest vorgegebenen Anzahl G an Generationen“ oder ¨ Uberschreiten einer fest vorgegebenen Anzahl GOV an Gene” rationen ohne Verbesserung“ zusammensetzt Both Mutation Branch-and-Bound(-Verfahren) Branch-and-Cut(-Verfahren) Branch-and-Cut-and-Price(-Verfahren) Branch-and-Price(-Verfahren) Competition, Evolutionsstrategie des survival of the fittest“ ” Prioritätsregel Kleinstes Verhältnis aus zulässiger Restdurchlaufzeit (Fk∗ −t) und Restbearbeitungszeit (critical ration) Flow-Shop-Problem Flexibles Flow-Shop-Problem Flexibles Job-Shop-Problem Fr¨ uheste Ankunft im Betrieb (First Arrival First Serve) Längste Wartezeit in der Schlange (First Come First Serve) Fr¨ uhester Freigabetermin (ERD, Earliest Release Date) Fr¨ uhester Liefertermin Flexibles Fertigungssystem (Flexible Manufacturing System) Fr¨ uhester Operations-Liefertermin Fallstudie, siehe Abschnitt 2.4.1 auf S. 33f. Fallstudie, siehe Abschnitt 4.3.4 auf S. 87f. Fallstudie, siehe Abschnitt 6.1.5 auf S. 169f. Fallstudie aus der Halbleiterindustrie, siehe Kapitel 3 auf S. 43ff. Genetische(r) Algorithmus/-men Größte Gesamtbearbeitungszeit auf allen Maschinen Gemischt-ganzzahliges lineares Programm Ganzzahliges lineares Programm Größte Anzahl noch durchzuf¨ uhrender Operationen Abbruchkriterium, das eine feste Anzahl GOV an Generationen ohne Verbesserung vorgibt

XXII GOZWSLnM G&T H&L J, JSP KGBZ KOn KOZ KOZ∗ KOZnM KRBZ LRBZ LOZ LOZnM LP LRBZ MJ MF J O OBM ohneM OZ/GRBZ OZ/RBZ P PF PPS Q R R RM RZ SZ SZ/On SZ/RBZ SZ/ZRDZ

Abk¨ urzungsverzeichnis Kleinste Summe der Operationszeiten an der in der Operationsfolge des ausgewählten Auftrags nachfolgenden Maschine Giffler&Thompson(-Verfahren) Heller&Logemann(-Verfahren) Job-Shop(-Scheduling)-Problem Kleinste Gesamtbearbeitungszeit auf allen Maschinen Kleinste Anzahl noch durchzuf¨ uhrender Operationen K¨ urzeste Operationszeit Modifizierte K¨ urzeste Operationszeit-Regel K¨ urzeste Operationszeit an der in der Operationsfolge des ausgewählten Auftrags nachfolgenden Maschine K¨ urzeste Restbearbeitungszeit Längste Restbearbeitungszeit Längste Operationszeit Längste Operationszeit an der in der Operationsfolge des ausgewählten Auftrags nachfolgenden Maschine Lineares Programm Längste Restbearbeitungszeit Job-Shop-Problem mit mehreren Maschinentypfolgen Flexibles Job-Shop-Problem mit mehreren Maschinentypfolgen Open-Shop-Problem Order Based Mutation ohne Mutation Kleinstes Verhältnis aus der Operationszeit und der Gesamten Restbearbeitungszeit aller Aufträge Kleinstes Verhältnis aus Operationszeit und Restbearbeitungszeit des Auftrags Scheduling-Problem mit identischen parallelen Maschinen Permuations-Flow-Shop-Problem Produktionsplanungs- und -steuerung Scheduling-Problem mit uniformen parallelen Maschinen Replacement Scheduling-Problem mit heterogenen parallelen Maschinen Random Mutation K¨ urzeste R¨ ustzeit Kleinste Schlupfzeit Kleinstes Verhältnis aus Schlupfzeit und Anzahl noch durchzuf¨ uhrender Operationen Kleinstes Verhältnis aus Schlupfzeit und Restbearbeitungszeit des Auftrags Kleinstes Verhältnis aus Schlupfzeit und zulässiger Restdurchlaufzeit

Abk¨ urzungsverzeichnis WR WSLnM

XXIII

Höchster Wert K¨ urzeste Warteschlangenlänge an der in der Operationsfolge des ausgewählten Auftrags nachfolgenden Maschine (Anzahl an wartenden Aufträgen) WSLnM Warteschlangenlänge an der nächsten Maschine zGOZKleinste Summe der Operationszeiten an der in der OperationsWSLnM folge des ausgewählten Auftrags nachfolgenden Maschine beim Eintrittszeitpunkt in deren Warteschlange ( zuk¨ unftig“) ” ZRDLZ Kleinste zulässige Restdurchlaufzeit ZRDLZ/On Kleinstes Verhältnis aus zulässiger Restdurchlaufzeit und Anzahl noch durchzuf¨ uhrender Operationen Zufall Zufällige Auswahl aus den vor der Maschine wartenden Aufträgen

Verzeichnis ausgew¨ ahlter Symbole

a ajcem akm akmt α A∗k A Ak AB AKF AnzbAm Anzf A AnzF nT AnzKF AN ZKI AnzRV AnzT A AnzT A+ AnzT A− AST AWS m azm

Ausbeutefaktor [%] Anfangszeitpunkt der Bearbeitung von Charge c des Endmessdiodentyps j mittels Maschinenfolge e auf Maschine m (fr¨ uhester) Anfangszeitpunkt der Bearbeitung der Operation Okm Anfangszeitpunkt t der Bearbeitung von Auftrags k auf Maschine m Maschinencharakteristika Freigabetermin des Auftrags k Menge der betrachteten Maschinenfolge-Varianten nach GGLP-Auswahl: A = {Masfo.1;Masfo.2;Masfo.3;Masfo.4} bzw. Menge der konjunktiven Pfeile im disjunktiven Graphen G∗ Menge der möglichen Maschinenfolgen von Auftrag k im disjunktiven Graphen G∗ Menge der betrachteten Abbruchkriterien, AB = {BG50-5;BG50-10;BG100-25;BG100-50;BG300-100; GOV10;GOV25;GOV50;G25;G100;G300;G400;G1000} Menge der Aufträge, die zu k im Konflikt stehen Anzahl Aufträge, die bisher auf m bearbeitet wurden Anzahl fertiger Aufträge Anzahl der Aufträge, deren Fertigstellungszeitpunkt nach dem Ende des Planungszeitraums T liegt Anzahl Aufträge, die zu k im Konflikt stehen Menge der betrachteten Kinderanzahlen, AN ZKI = {Single;Double} Anzahl R¨ ustvorgänge Anzahl Terminabweichungen des Auftragsbestandes Anzahl Termin¨ uberschreitungen des Auftragsbestandes Anzahl Terminunterschreitungen des Auftragsbestandes Menge der Aufträge vor mas, die ebenfalls im gleichen Verf¨ ugbarkeitszeitraum wie k warten Menge der Aufträge, die vor der Maschine m in der Warteschlange warten Anlaufzeit von Maschine m nach einem Maschinenstillstand

XXVI bkm β Bm Bbm BM Bvm c (c1 , c2 ) γ (γ1 . . . γZ ) ck C Cmax Cj Cj CV d d+ m d− m D D (auch Ø) Dk D Δ DK DK Dd . . . D5 D20 D25 D30 D100 D120 D5 D20 D25 D30 D100 D120

Verzeichnis ausgewählter Symbole Belegungszeit des Auftrags k auf Maschine m (ohne lkm ) Auftragscharakteristika Belegungszeit der Maschine m Zeitpunkt, bis zu dem Maschine m belegt ist/war Gesamtbelegungszeit des Maschinenbestandes M Auftrag, von der Maschine m zuletzt belegt ist/war Charge (c1 vor c2 ) Zielkriterien Verspätungsfaktor von Auftrag k (CoverT) Anzahl Chargen, die insgesamt herzustellen sind maximale Anzahl Chargen aller Endmessdiodentypen Anzahl Chargen, die vom Endmessdiodentyp j herzustellen sind Menge der vom Endmessdiodentyp j herzustellender Chargen, Cj = {1; . . . ; Cj } Menge der betrachteten Crossover-Verfahren, CV = {PBX; GOX} Datensatz ¨ Uberschreitung der durchschnittlichen Kapazitätsauslastung bei Maschine m Unterschreitung der durchschnittlichen Kapazitätsauslastung bei Maschine m Anzahl Datensätze Durchschnitt Durchlaufzeit des Auftrags k Menge der Datensätze d, D = {1; . . . ; D} Hilfsvariable - gibt eine zeitliche Differenz an Gesamtdurchlaufzeit des Auftragsbestandes K mittlere Durchlaufzeit des Auftragsbestandes K Durchschnitt der betreffenden Größe . . . der in d angegebenen Datensätze Durchschnitt u ¨ber die 5 Datensätze der Menge D5 Durchschnitt u ¨ber die 20 Datensätze der Menge D20 Durchschnitt u ¨ber die 25 Datensätze der Menge D25 Durchschnitt u ¨ber die 30 Datensätze der Menge D30 Durchschnitt u ¨ber die 100 Datensätze der Menge D100 Durchschnitt u ¨ber die 120 Datensätze der Menge D120 Anzahl Datensätze ist 5 Anzahl Datensätze ist 20 Anzahl Datensätze ist 25 Anzahl Datensätze ist 30 Anzahl Datensätze ist 100 Anzahl Datensätze ist 120

Verzeichnis ausgewählter Symbole D5 D20 D25 D30 D100 D120 Dd AnzF nT Dd AnzT A+ T

Dd KA

Dd KB +

Dd T AK

+

Dd T AK+ Dd Z Dd ZF e (e1 , e2 ) ekm ekm ekmt e E 1 , E2 Ej Ek k E Ej E Em EDi EDk

XXVII

Menge folgender 5 Datensätze: D5 = {100; 105; 110; 115; 120} Menge folgender 20 Datensätze: D20 = {101; . . . ; 120} Menge folgender 25 Datensätze: D25 = {1; . . . ; 25} Menge folgender 30 Datensätze: D30 = {1; . . . ; 25; 100; 105; 110; 115; 120} Menge folgender 100 Datensätze: D100 = {1; . . . ; 100} Menge folgender 120 Datensätze: D120 = {1; . . . ; 120} Durchschnitt der Anzahl nach T fertig gestellter Aufträge der in d angegebenen Datensätze Durchschnitt der Anzahl an Termin¨ uberschreitungen der in d angegebenen Datensätze Durchschnitt der durchschnittlichen auf den Planungszeitraum T bezogenen Kapazitätsauslastung u ¨ber alle M Maschinen der in d angegebenen Datensätze Durchschnitt der durchschnittlichen Kapazitätsbelastung aller M Maschinen der in d angegebenen Datensätze Durchschnitt der auf alle K Aufträge bezogenen durchschnittlichen Termin¨ uberschreitung der in d angegebenen Datensätze Durchschnitt der auf alle K+ Aufträge bezogenen durchschnittlichen Termin¨ uberschreitung der in d angegebenen Datensätze Durchschnitt der Zykluszeiten der in d angegebenen Datensätze Durchschnitt der Zielfunktionswerte der in d angegebenen Datensätze alternative Maschinenfolge (fr¨ uhester) Endzeitpunkt der Bearbeitung der Operation Okm (fr¨ uhester) Endzeitpunkt der Bearbeitung und potentiellen anschließenden Nachlaufzeit der Operation Okm Endzeitpunkt t der Bearbeitung von Auftrags k auf Maschine m alternative Maschinentypfolge Individuum, das als erstes bzw. zweites Elternteil agiert Anzahl der alternativen Maschinenfolgen e von Endmessdiodentyp j Anzahl der alternativen Maschinenfolgen e von Auftrag k Anzahl der alternativen Maschinentypfolgen e von Auftrag k Menge der alternativen Maschinenfolgen e von Endmessdiodentyp j, Ej = {1; . . . ; Ej } Menge aller disjunktiven Pfeilpaare im disjunktiven Graphen G∗ Menge der möglichen Auftragsfolgen der Maschine m im disjunktiven Graphen G∗ Endmessdiodentyp vom Vorgänger-Auftrag i Endmessdiodentyp von Auftrag k

XXVIII EDy ES ES

Verzeichnis ausgewählter Symbole

Endmessdiodentyp Nr. y (y=1,. . . ,63) Einf¨ ugestelle des Substrings im Rahmen des GOX Menge der betrachteten Evolutionsstrategien, ES = {R0;R2;R6;R12;C} f (x) Funktion in Abhängigkeit von x Funktion eines relaxierten Problems in Abhängigkeit von x f R (x) F Gesamte effektive Fertigstellungszeit Fertigstellungszeit des Auftrags k Fk Fertigstellungstermin des Auftrags k Fk∗ ∗ ¨ Fk Fertigstellungstermin des Auftrags k, dessen Uberschreiten zur Unzulässigkeit f¨ uhrt Fertigstellungszeit von Charge c des Endmessdiodentyps j Fjc Fertigstellungstermin von Charge c des Endmessdiodentyps j Fjc∗ F it(i) Fitnesswert von Individuum i F it∗ (F it∗neu ) aktuell bester Fitnesswert (bzw. der neuen Generation) F it(i) relative Fitness von Individuum i kumulierter relativer Fitnesswert F itkum Fr¨ uhestmöglicher Anfangszeitpunkt der Bearbeitung von AufF AZkm trag k auf Maschine m g Generationszähler Gewichtung der summierten (gesamten) Anfangszeit GA gA Gewichtungsfaktor f¨ ur Auftrag k gk Gewichtungsfaktor f¨ ur Maschine m gm Gewichtung der Zykluszeit Z gZ Faktor zur Korrektur der Kapazitätsbelastung der MontagemagAG schinen m ∈ MAG gAG Faktor zur Korrektur der Kapazitätsbelastung der (NichtMontage-)Maschinen m ∈ (M\MAG ) Zähler f¨ ur die Generationen ohne Verbesserung goV =1, wenn Charge c vom Endmessdiodentyp j mit Maschinenfolgjce ge e hergestellt wird (0, sonst) G Anzahl Generationen Disjunktiver Graph G∗ gg großes“ Zielgewicht ” endg¨ ultige Parametereinstellung f¨ ur den genetischen AlgorithGA∗ mus GA gewichtete gesamte Anfangszeit GAM Menge der betrachteten Mutationsstrategien, GAM = {BM3;BM10;OBM3;ohneM;RM3;RM10} GOV Anzahl Generationen ohne Verbesserung GSN gewichteter Strafterm f¨ ur nicht erf¨ ullte Aufträge gewichtete Gesamttermin¨ uberschreitung des Auftragsbestandes GT A+

Verzeichnis ausgewählter Symbole GT A+ jc +

GT AK+ +

GT AK

GZ h (h , h ) hs , hs H Hs i iS iT I IS I IS IT j (j1 , j2 ) J J ι k (k1 , k2 , i) [k] k k∗ km K K+ K K+ Km Km KA KAm

XXIX

gewichtete Termin¨ uberschreitung von Charge c des Endmessdiodentyps j durchschnittliche gewichtete auf alle K+ Aufträge bezogene Termin¨ uberschreitung durchschnittliche gewichtete auf alle K Aufträge bezogene Termin¨ uberschreitung gewichtete Zykluszeit h-tes Gen im Chromosom Zähler f¨ ur die Anzahl zu selektierender Gene Anzahl Gene des Chromosoms Anzahl zu selektierender Gene Individuum einer Population / Vorgängerauftrag von Auftrag k Zähler f¨ ur die zu selektierenden Individuen Zähler f¨ ur die Anzahl der Turnierteilnehmer Anzahl Individuen einer Population Anzahl zu selektierender Individuen Menge der Individuen i einer Population (i = 1, . . . , I) Menge der selektierten Individuen (0 ≤ |IS | ≤ IS ) Anzahl der Turnierteilnehmer Endmessdiodentyp (j1 vor j2 ) Anzahl Endmessdiodentypen Menge der Endmessdiodentypen j (j = 1, . . . , J) Index f¨ ur die Iterationsstufe Auftrag (k1 vor k2 bzw. i vor k) Index, der den k-ten Auftrag in der Auftragsfolge einer Maschine m angibt vorläufig ausgewählter Auftrag aufgrund der Prioritätsregel bzw. der Reihenfolge im Chromosom ausgewählter Auftrag =1, falls KBm > KVm (0 sonst) Anzahl Aufträge Anzahl Aufträge mit Termin¨ uberschreitung Menge an Aufträgen k, Auftragsbestand, K = {1; . . . ; K} Menge an Aufträgen mit Termin¨ uberschreitungen Anzahl Aufträge, die auf Maschine m bearbeitet werden Menge der Aufträge, die auf der Maschine m bearbeitet werden m¨ ussen Kapazitätsauslastung des Maschinenparks in Bezug auf die Zykluszeit Kapazitätsauslastung der Maschine m in Bezug auf den Zeitraum von t0 bis zum Ende der letzten Operation auf m

XXX KAT m


Kapazitätsauslastung der Maschine m in Bezug auf den kompletten Planungszeitraum von T Zeiteinheiten T KA durchschnittliche Kapazitätsauslastung aller Maschinen bezogen auf den kompletten Planungszeitraum von T Zeiteinheiten Kapazitätsbelastung der Maschine m KBm KB durchschnittliche Kapazitätsbelastung aller Maschinen Korrekturterm von Endmessdiodentyp j, der mit MaschinenfolKTje ge e hergestellt wird KT j durchschnittlicher Korrekturterm vom Endmessdiodentyp j Verf¨ ugbaren Kapazität von Maschine m (in Minuten) KVm relative Angabe der verf¨ ugbaren Kapazität der Maschine m beKVmT zogen auf den Planungszeitraum T relative Angabe der verf¨ ugbaren Kapazität der Maschine m beKVmTm zogen auf die bzgl. Maschine m sinnvolle Zeit Tm KV durchschnittliche absolute verf¨ ugbare Kapazität aller Maschinen T KV durchschnittliche relative verf¨ ugbare Kapazität aller Maschinen bezogen auf den kompletten Planungzeitraum T Tm KV durchschnittliche relative verf¨ ugbare sinnvolle“ Kapazität aller ” Maschinen bezogen auf den kompletten Planungzeitraum T L Gesamtleerzeit Leerzeit von Maschine m Lm Unterschranke (von Teilproblem Πs ) (Lower Bound) LB, LBs Unterschranke von Teilproblem Πs LS Länge des Substrings im Rahmen des GOX LZ Abstand zwischen den Zeigern im Rahmen der Zeiger-Selektion Maschine (m1 vor m2 m (m1 , m2 , mas, nm, vm) bzw. vm vor mas vor nm) [m] Index, der die m-te Maschine in der Maschinenfolge eines Auftrags k angibt M Anzahl Maschinen Anzahl Maschinen, auf denen Auftrag k bearbeitet wird Mk Anzahl Maschinen, auf denen Endmessdiodentyp j bei MaschiMje nenfolge e bearbeitet werden muss Anzahl identischer paralleler Maschinen, die zur Bearbeitung der Mkm ugung stehen Operation Okm zur Verf¨ M Menge der Maschinen m, M = {1; . . . ; M} Menge der Maschinen, auf denen der Endmessdiodentyps j (unMj abhängig von der f¨ ur die Charge c gewählten Einplanungsalternative e) bearbeitet werden kann Menge aller Maschinen, auf denen der Auftrag k bearbeitet werMk den muss

Verzeichnis ausgewählter Symbole MAG Mje Mkm mas MASST M axd . . . M axd ZF M Di M Dk MDx MF M ind . . . M ind ZF MT njce nm nz nzk nzm nzjm nzkm nzAk nzEk N , N 1 , N2 N N B(x) NP O O O∗ Oe

XXXI

Menge der Maschinen, die Auftragsgruppen ber¨ ucksichtigen (Montagemaschinen) Menge der Maschinen, auf denen der Endmessdiodentyps j bei Maschinenfolge e bearbeitet werden kann Teilmenge der Maschinen, die zur Bearbeitung der Operation ugung stehen, Mkm = {1; . . . ; Mkm } Okm zur Verf¨ Maschine, auf der der ein ausgewählter Auftrag (k ,k ∗ ) bearbeitet werden muss Menge der betrachteten Maschinenstillstands-Varianten, MASST = {Masst.1; Masst.2; Masst.3; Masst.4} Maximum der betreffenden Größe . . . der in d angegebenen Datensätze maximaler Zielfunktionswert der in d angegebenen Datensätze Montagediodentyp von Vorgängerauftrag i Montagediodentyp von Auftrag k Montagediodentyp Nr. x (x=1,. . . ,40) Anzahl Maschinen bzw. Fertigungsstufen zur Klassifikation des Parameters α2 Minimum der betreffenden Größe . . . der in d angegebenen Datensätze Minimaler Zielfunktionswert der in d angegebenen Datensätze Maschinentyp =1, wenn Charge c vom Endmessdiodentyp j innerhalb des Planungszeitraums fertig gestellt wird (0 sonst) nächste Maschine in der Maschinenfolge von Auftrag k ∗ Nachlaufzeit (unabhängig von Auftrag k auf Maschine m) Nachlaufzeit von Auftrag k Nachlaufzeit nach der Bearbeitung auf Maschine m Nachlaufzeit von Endmessdiodentyp j nach seiner Bearbeitung auf Maschine m Nachlaufzeit von Auftrag k auf Maschine m Anfangszeitpunkt der Nachlaufzeit von Auftrag k Endzeitpunkt der Nachlaufzeit von Auftrag k Individuum, das als (erstes bzw. zweites) Nachkomme ist Anzahl Generationen beim Genetische Algorithmus Nachbarschaft einer Lösung x Komplexitätsklasse de (vermutlich) praktisch unlösbaren Probleme Arbeitsganganzahl des Auftragsbestandes Menge aller Operationen Menge der Knoten im disjunktiven Graphen G∗ Menge der einplanbaren Operationen

XXXII Ok Ok Om Om Oke Okm O[k]m Ok[m] Omax O Nk ONk O Nm ONm OSk O Sk OSm O Sm OKF p pk pM po pu pjm pkm pC pf Pk Pm

Verzeichnis ausgewählter Symbole Arbeitsganganzahl des Auftrags k Menge der Operationen des Auftrags k, Ok = {Ok[1] , . . . , Ok[Mk ] } Arbeitsganganzahl auf Maschine m Menge der Operationen auf Maschine m, Om = {O[1]m , . . . , O[Km ]m } Arbeitsganganzahl des Auftrags k bei Maschinenfolge e Bearbeitung von Auftrag k auf Maschine m (Operation, Arbeitsgang) Auftrag, der an k-ter Stelle der Auftragsfolge der Maschine m eingeordnet ist Auftrag k auf der Maschine, die an m-ter Stelle der Maschinenfolge des Auftrages k tätig wird maximale Anzahl an Operationen eines Ablaufplanungsproblems Anzahl Operationen des Auftrags k, die noch stattfinden m¨ ussen Menge aller Operationen des Auftrags k, die noch stattfinden m¨ ussen Anzahl Operationen der Maschine m, die noch stattfinden m¨ ussen Menge aller Operationen der Maschine m, die noch stattfinden m¨ ussen Anzahl Operationen des Auftrags k, die bereits stattgefunden haben Menge aller Operationen des Auftrags k, die bereits stattgefunden haben Anzahl Operationen der Maschine m, die bereits stattgefunden haben Menge aller Operationen der Maschine m, die bereits stattgefunden haben Menge der Operationen Okm , die zu Ok mas im Konflikt stehen f¨ ur alle Operationen einheitliche Bearbeitungszeit (maschinenunabhängige) Bearbeitungszeit von Auftrag k Mutations-Wahrscheinlichkeit Obergrenze der f¨ ur alle Operationen einheitlichen Bearbeitungszeit Untergrenze der f¨ ur alle Operationen einheitlichen Bearbeitungszeit Bearbeitungszeit von Endmessdiodentyp j auf Maschine m Bearbeitungszeit von Auftrag k auf Maschine m Crossover-Wahrscheinlichkeit Produkt-/Auftragsfamilie gesamte Bearbeitungszeit des Auftrags k gesamte Bearbeitungszeit auf der Maschine m

Verzeichnis ausgewählter Symbole pM V P (i) P PC PK PM PZ POP PRIO∗ PRIO

P riok Πs Φk Q RBZk RV rz rzk rzm rzjm rzkm rzk1 k2 rzk1 k2 m rzpf1 pf2 rzpf1 pf2 m RZ Rzk Rzm s (s1 , s2 ) sm skm

XXXIII

Wahrscheinlichkeit f¨ ur das Mutationsverfahren OBM im Rahmen von BM Position von Individuum i in der nach dem Fitnesswert sortierten Menge der Individuen einer Population Komplexitätsklasse in polynomialer Zeit lösbarer Probleme Menge der betrachteten Crossover-Wahrscheinlichkeiten, PC = {60; 95; 100} gesamte Bearbeitungszeit des Auftragsbestandes K gesamte Bearbeitungszeit auf dem Maschinenbestand M Wertebereich f¨ ur die Bearbeitungszeiten aller Operationen Menge der betrachteten Populationsgrößen, POP = {50; 120; 200; 500} endg¨ ultige Prioritätsregel f¨ ur das Prioritätsregelverfahren Menge der betrachteten Prioritätsregeln, PRIO = {FCFS;FLT;KOZ;LRBZ;RZ;SZ;SZ/On;SZ/RBZ; WSLnM;Zufall;ZRDLZ;ZRDLZ/On} Prioritätswert von Auftrag k (separiertes) Teilproblem beim B&B-Verfahren Prioritätswert von Auftrag k Quelle eines Graphen Restbearbeitungszeit vom Auftrag k R¨ ustvorgang R¨ ustzeit (unabhängig von Auftrag k und Maschine m) R¨ ustzeit von Auftrag k R¨ ustzeit von Maschine m R¨ ustzeit von Endmessdiodentyp j auf Maschine m R¨ ustzeit von Auftrag k auf Maschine m reihenfolgeabhängige R¨ ustzeit (k1 vor k2 ) (maschinenunabhängig) reihenfolgeabhängige R¨ ustzeit auf Maschine m (k1 vor k2 ) reihenfolgeabhängige R¨ ustzeit (pf1 vor pf2 ) reihenfolgeabhängige R¨ ustzeit auf Maschine m (pf1 vor pf2 ) gesamte R¨ ustzeit des Auftragsbestandes Summe der R¨ ustzeiten von Auftrags k Summe der R¨ ustzeiten auf Maschine m Index f¨ ur separierte Teilprobleme beim B&B-Verfahren Intensität der Maschine m (Geschwindigkeit, mit der Maschine m betrieben wird) operationsspezifische Intensität der Maschine m (Geschwindigkeit, mit der Maschine m betrieben wird)

XXXIV sjcemv

S S S >T SD Stm StAmv StEmv SD SS SV SZ SZk σ σd . . . σ d AnzF nT σ d AnzT A+ +

σ d T AK+ +

σ d T AK σdZ σ d ZF t t0 T T T∗ TiT Tι

Verzeichnis ausgewählter Symbole =1, falls die mit Maschinenfolge e hergestellte Charge c von Endmessdiodentyp j aufgrund des v-ten Maschinenstillstandes von Maschine m erst nach dem Stillstand auf m bearbeitet werden kann (0 sonst) Anzahl separierter Teilprobleme beim B&B-Verfahren Senke eines Graphen ¨ Strafterm f¨ ur das Uberschreiten des Planungshorizontes T Menge der betrachteten Selektionsdr¨ ucke, SD = {1, 2; 1, 95} Anzahl Stillstände, die auf m zum Zeitpunkt t bereits stattgefunden haben Beginnzeitpunkt des v-ten Maschinenstillstands von m Endzeitpunkt des v-ten Maschinenstillstands von m Selektionsdruck Startstelle des Substrings im Rahmen des GOX Menge der betrachteten Selektionsverfahren, SV = {3-Turnier;5-Turnier;Pointer} aktuelle Stelle des Zeigers im Rahmen der Zeiger-Selektion Schlupfzeit von Auftrag k Standardabweichung Standardabweichung der betreffenden Größe . . . der in d angegebenen Datensätze Standardabweichung der Anzahl nach T fertig gestellter Aufträge der in d angegebenen Datensätze Standardabweichung der Anzahl an Termin¨ uberschreitungen der in d angegebenen Datensätze Standardabweichung der auf alle K+ Aufträge bezogenen durchschnittlichen Termin¨ uberschreitung der in d angegebenen Datensätze Standardabweichung der auf alle K Aufträge bezogenen durchschnittlichen Termin¨ uberschreitung der in d angegebenen Datensätze Standardabweichung der Zykluszeiten der in d angegebenen Datensätze Standardabweichung der Zielfunktionswerte der in d angegebenenDatensätze Zeitpunkt Beginn des Planungszeitraums, auch Planungszeitpunkt Planungszeitraum, Menge der Zeiteinheiten, T = {1; . . . ; T} Planungshorizont Sieger des Turniers iT -ter Turnierteilnehmer Temperatur der Iterationsstufe ι

Verzeichnis ausgewählter Symbole Tm TA T Ak T Amax T A2 T A+ T A− T A+ k T A− k |T A| |T A| T AK T AK± +

T AK

+

T AK+ u (v) u∗ uk ¨ UE UB v (u) v∗ vm Vk Vm Vm V akm , V aPkm V aBkm V ekm , V ePkm

XXXV

die Zeit im Planungszeitraum, die die Maschine m sinnvollerweise laufen kann Terminabweichung des Auftragsbestandes Terminabweichung des Auftrags k maximale Terminabweichung des Auftragsbestandes Quadrierte Terminabweichung des Auftragsbestandes Termin¨ uberschreitung des Auftragsbestandes Terminunterschreitung des Auftragsbestandes Termin¨ uberschreitung des Auftrags k Terminunterschreitung des Auftrags k absolute Terminabweichung des Auftragsbestandes mittlere absolute Terminabweichung des Auftragsbestandes durchschnittliche Terminabweichung – auf alle K Aufträge bezogen durchschnittliche Terminabweichung – auf alle K± Aufträge bezogen durchschnittliche Termin¨ uberschreitung – auf alle K Aufträge bezogen durchschnittliche Termin¨ uberschreitung – auf alle K+ Aufträge bezogen Maschinenstillstand (u vor v) Maschinenstillstand, der unmittelbar vor dem Anfangszeitpunkt der Bearbeitung eines betrachteten Auftrags k liegt Binärvariable, die angibt, ob f¨ ur Auftrag k eine Termin¨ uberschreibung vorliegt oder nicht ¨ logische Variable, die eine Ubereinstimmung angibt Oberschranke (Upper Bound) Maschinenstillstand (u vor v) Maschinenstillstand, der unmittelbar nach dem Anfangszeitpunkt der Bearbeitung eines betrachteten Auftrags k liegt vorherige Maschine in der Maschinenfolge von Auftrag k ∗ Verweilzeit des Auftrages k Anzahl Stillstände von Maschine m innerhalb von T Menge der Maschinenstillstände der Maschine m, Vm = {1; . . . ; Vm } vorläufiger Anfangszeitpunkt der Bearbeitung von Auftrag k auf Maschine m vorläufiger Anfangszeitpunkt der Belegung von Maschine m durch Auftrag k vorläufiger Endzeitpunkt der Bearbeitung von Auftrag k auf Maschine m

XXXVI


V eBkm

vorläufiger Endzeitpunkt der Belegung von Maschine m durch Auftrag k Menge der betrachteten Szenarien, VAR = {A1;A2;A3;A4;Z1} =1, wenn j1 und j2 derselben Auftragsgruppe angehören (0 sonst) Wartezeit der Operation Okm gesamte Wartezeit des Auftragsbestandes K Grenze f¨ ur die Wartezeit vor einer Maschine gesamte Wartezeit des Auftrages k Wert an der Stelle h Operationsnummer OSk zum dem an der Stelle h korrespondierenden Auftrag Länge der Warteschlange vor Maschine m(Anzahl wartender Aufträge) Länge der Warteschlange vor der Maschine, auf der k an der OSk -ten Stelle in der Maschinenfolge bearbeitet wird Variable (in verschiedenen Kontexten) Variable, die ein Optimum angibt =1, wenn Endmessdiodentyp j mit Maschinenfolge e hergestellt und auf Maschine m bearbeitet wird (0 sonst) Anzahl mit einem Konstruktionsverfahren zu erzeugender Ablaufpläne hinreichend große Zahl Alternativenmenge, Lösungsmenge Alternativenmenge des (Teil-)Problems Πs (s = 0, . . . , S) =1, falls Charge c1 von j1 Vorgänger von Charge c2 von j2 auf m ist (0, sonst) =1, falls Auftrag k1 Vorgänger von Auftrag k2 auf m ist (0, sonst) Index bei multikriterieller Zielsetzung Anzahl alternativer Zielsetzungen Zykluszeit Menge der betrachteten Maschinenfolge-Varianten bei zufälliger Auswahl, Z = {Masfo.Zufall} Zielfunktionswert aktuell bester Zielfunktionswert Durchschnittlicher Zielfunktionswert Zielfunktionswert der z-ten Zielsetzung (z = 1, . . . , Z) Zielfunktionswert von Individuum i Zulässige Restdurchlaufzeit von Auftrag k (x-te) Zufallszahl

VAR wj1 j2 wkm W W Wk W (h) W O (h) W Sm W S[OSk ]k x, x x∗ xjem X X X X (Πs ) yj1 c1 j2 c2 m yk1 k2 m z Z Z Z

ZF ZF ∗ ZF ZFz ZF (i) ZRDLZk ζ, ζx

1 Einleitung 1.1 Gegenstand der Arbeit Die Planung der Produktionsprozesse stellt f¨ ur viele Unternehmen in der Industrie einen bedeutenden Erfolgsfaktor dar. Thema dieser Arbeit ist die Ablaufplanung, ein zentrales Problem innerhalb der Produktionsplanung und -steuerung. Es geht dabei um die Planung der räumlichen und zeitlichen Abläufe von Produktionsprozessen. Im weiteren Verlauf der Arbeit wird die Ablaufplanung als Maschinenbelegungsplanung (Scheduling) verstanden. Hierbei ist eine Menge an Aufträgen und Maschinen gegeben. Es ist zu bestimmen, wann welcher Auftrag auf welcher Maschine zu bearbeiten ist. Die Zuordnung erfolgt dabei im Hinblick auf die optimale Erf¨ ullung vorgegebener Unternehmensziele. Seit vielen Jahrzehnten wird die Ablaufplanung unter Verwendung verschiedener Ansätze erforscht, was sich in einer hohen Publikationsintensität in diesem Bereich widerspiegelt. In den 1960er Jahren wurden zahlreiche Modellformulierungen entwickelt. Bei Problemen der Ablaufplanung handelt es sich um kombinatorische Optimierungsprobleme. Diese sind dadurch gekennzeichnet, dass eine optimale Lösung aus einer endlichen Anzahl möglicher Lösungen gesucht wird. Typischerweise lassen sich Probleme der kombinatorischen Optimierung deshalb als ganzzahlige lineare Programme darstellen. Die Tatsache, dass f¨ ur die lineare Programmierung mit dem Simplexalgorithmus ein äußerst erfolgreiches Lösungsverfahren gefunden wurde, machte Hoffnung darauf, auch f¨ ur Probleme der (gemischt-) ganzzahligen linearen Programmierung geeignete Lösungsverfahren entwickeln zu können. Die Forschung suchte daher zunächst verstärkt nach Lösungen mittels exakter Verfahren. Diese haben den Anspruch, in endlich vielen Schritten eine optimale Lösung zu bestimmen. Aufgrund der Komplexität der Problemstellung gelang es allerdings nicht, exakte Verfahren zu entwickeln, die insbesondere im Hinblick auf praktische Problemstellungen befriedigende Lösungen liefern. Auch die Fortschritte in der Computertechnologie, die zu einer steigenden Leistungsfähigkeit der Rechner f¨ uhrten, konnten nicht weiterhelfen. Ablaufplanungsprobleme gehören – bis auf wenige Spezialfälle – zur Klasse der N P-schweren Optimierungsprobleme. Bis heute gibt es f¨ ur deren Optimierung keine allgemeinen Lösungsansätze, mit denen eine optimale Lösung mit polynomialem Lösungsaufwand gefunden werden I. J. Acker, Methoden zur mehrstufi gen Ablaufplanung in der Halbleiterindustrie, DOI 10.1007/978-3-8349-6731-2_1, © Gabler Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

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1 Einleitung

kann. Diese Probleme weisen im Gegenteil einen mit der Problemgröße exponentiell ansteigenden Lösungsaufwand auf. Aufgrund der hohen unternehmerischen Relevanz von Ablaufplanungsproblemen wurde weiter nach Lösungsmöglichkeiten unter dem Gesichtspunkt der praktischen Einsetzbarkeit gesucht. In Folge dessen trat die Suche nach heuristischen Lösungsverfahren (Heuristiken) aufgrund ihres häufig nur polynomialen Rechenaufwandes in den Vordergrund. Diese gehen nach bestimmten Regeln zur Lösungsfindung und -verbesserung vor, die hinsichtlich der betrachteten Zielsetzung und der Nebenbedingungen eines Problems als zweckmäßig, sinnvoll und erfolgversprechend erscheinen. Dabei wird auf eine Garantie, ein Optimum zu finden (bzw. als solches zu erkennen) verzichtet. Heuristiken geben sich damit zufrieden, lediglich gute zulässige Lösungen zu bestimmen. Auch heutzutage liegt der Forschungsschwerpunkt hauptsächlich auf der Anwendung und Weiterentwicklung geeigneter heuristischer Verfahren. Außerdem konzentriert sich die Forschung im Bereich der Ablaufplanung aufgrund der Komplexität i. d. R. nur auf wenige Spezialprobleme mit meist monokriteriellen Zielfunktionen. Insbesondere das statisch-deterministische klassische Job-Shop-Problem spielt dabei eine wichtige Rolle bei der Entwicklung und Bewertung neuer Verfahren. Bei diesem Problemtyp muss jeder Auftrag in einer gegebenen individuellen Reihenfolge (Maschinenfolge) auf jeder Maschine genau einmal bearbeitet werden. Die Bearbeitung eines Auftrags auf einer Maschine heißt Arbeitsgang. Die Bestimmung der Auftragsfolgen, d. h. der Reihenfolgen der Aufträge auf den einzelnen Maschinen, sowie die zeitliche Einplanung der Arbeitsgänge soll unter der Zielsetzung der Minimierung der maximalen Fertigstellungszeit (Zykluszeit) erfolgen. Das klassische Job-Shop-Problem ist ein Modell mit breiter Anwendbarkeit und sieht auf den ersten Blick einfach aus, gehört aber zu den am schwierigsten zu lösenden Problemen im Bereich des Operations Research. Die bei den Spezialproblemen getroffenen restriktiven Annahmen spiegeln aufgrund von immer flexibler werdenden Produktionssystemen, komplexen Auftragsstrukturen und i. d. R. multikriteriellen Zielsetzungen selten die Realität wider. Viele bez¨ uglich der simplifizierten Probleme entwickelten Verfahren sind daher den Anspr¨ uchen realer, meist viel komplexerer Probleme nicht gewachsen. In j¨ ungerer Vergangenheit fand bei den Unternehmensstrategien eine Entwicklung zu einer betonten Markt- und Kundenorientierung statt. Wettbewerbsfaktoren wie die Erf¨ ullung individueller Produkt- und Dienstleistungsw¨ unsche zu niedrigen Preisen und in hoher Qualität, die Einhaltung kurzer Lieferfristen sowie niedrige Lagerbestände bei gleichbleibender Fertigungsflexibilität gewannen

1.2 Aufbau der Arbeit

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dadurch zunehmend an Gewicht. Diesen Umständen wird in der neueren Zeit vermehrt Rechnung getragen. Dennoch konnte bis zum heutigen Zeitpunkt kein allgemeing¨ ultiges Lösungsverfahren f¨ ur Probleme der Maschinenbelegungsplanung gefunden werden. Was bedeutet dies f¨ ur die Praxis? Wie sollen die Unternehmen unter Ber¨ ucksichtigung ihrer individuellen Situation ihre Maschinenbelegung konkret planen, um ihre Ziele zu erreichen? Es besteht einerseits die Möglichkeit, die realen Problemstellung auf einen Spezialfall zu simplifizieren, f¨ ur den bereits geeignete Lösungsverfahren vorhanden sind. Allerdings kann dann keine Aussage u ute hinsichtlich des urspr¨ unglichen Praxisproblems getroffen ¨ber die Lösungsg¨ werden. Andererseits kann versucht werden, individuelle Lösungsverfahren zu entwickeln, die auf die konkrete Problemstellung zugeschnitten sind. An diesem Punkt setzt die Arbeit an. Es wird ein konkretes Praxisbeispiel betrachtet, ein komplexes Maschinenbelegungsplanungsproblem in der Diodenfertigung eines Unternehmens der Halbleiterindustrie. Die Problemstellung ist durch eine Vielzahl von simultan zu ber¨ ucksichtigenden Aspekten gekennzeichnet: -

alternative Maschinenfolgen, divergierende Produktionsstruktur, parallele Maschinen, R¨ ustzeiten, Nachlaufzeiten sowie Maschinenstillstände mit anschließenden kapazitätsreduzierenden Anlaufzeiten.

Zur langfristigen Aufrechterhaltung der Wettbewerbsposition ist neben technologischem Know-how-Vorsprung und der Kostenf¨ uhrerschaft auch die Einhaltung von Liefervereinbarungen von besonderer Bedeutung. Die Aufgabe besteht in der termingerechten Umsetzung eines f¨ ur den Planungszeitraum gegebenen Produktionsprogramms unter Ber¨ ucksichtigung unvorhergesehener Maschinenausfälle. Zielsetzung der Dissertation ist, f¨ ur diese konkrete reale Problemstellung ein geeignetes individuelles Lösungsverfahren zu entwickeln.

1.2 Aufbau der Arbeit Im Anschluss an das einleitende erste Kapitel widmet sich das zweite Kapitel der Ablaufplanung. Es erfolgt eine Einordnung der Ablaufplanung in den Produktionsprozess und eine Erläuterung ihrer Aufgaben. Zudem werden f¨ ur den weiteren Verlauf der Arbeit notwendige Definitionen und Notationsvereinbarungen getroffen. Aufgrund der großen Anzahl von Parametern und Zielen

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1 Einleitung

kann eine Vielzahl von Ablaufplanungsproblemen unterschieden werden. Zu ihrer Strukturierung wird in Anlehnung an Graham et al. (1979) ein Klassifikationsschema eingef¨ uhrt, das hinsichtlich der drei Aspekte Maschinen- und Auftragseigenschaften sowie Zielkriterien differenziert. Es können in Abhängigkeit von bestimmten Eigenschaften verschiedene Arten von Ablaufplänen unterschieden werden. Es wird beschrieben, wie es mit Hilfe dieser unter bestimmten Voraussetzungen (z. B. reguläre Zielfunktion) möglich ist, bei der Suche nach dem optimalen Ablaufplan den Lösungsraum dahingehend einzugrenzen, dass er nur potentiell optimale Ablaufpläne enthält. Im dritten Kapitel wird der Produktionsprozess in der Diodenfertigung des betrachteten Unternehmens genau analysiert und ausf¨ uhrlich dargestellt. Gegenstand der Betrachtung sind die beiden letzten Produktionsstufen – die Montage und die Endmessung der Dioden. Die Montage ist nach der Fließfertigung und die Endmessung nach der Werkstattfertigung organisiert. Der Maschinenpark besteht aus insgesamt 24 z. T. parallelen Maschinen. Zur Bedienung der Maschinen ist speziell ausgebildetes Personal erforderlich, das gemäß eines Schichtplans nur zu bestimmten Zeiten eingesetzt werden kann. Daher kommt es zu Maschinenstillständen mit anschließenden kapazitätsreduzierenden Anlaufzeiten. Die f¨ unf planungsrelevanten Arbeitsvorgänge in der Montage lassen sich aufgrund ihrer gegenseitigen kapazitätsmäßigen Anpassung auf einen planungsrelevanten Arbeitsgang mit einer entsprechenden Nachlaufzeit reduzieren. In der Montage können 40 verschiedene so genannte Montagediodentypen erzeugt werden. Aufgrund einer divergierenden Produktionsstruktur können daraus in der Endmessung in bis zu drei Arbeitsgängen 63 verschiedene so genannte Endmessdiodentypen erzeugt werden. Daf¨ ur stehen insgesamt 18 Maschinen zur Verf¨ ugung. Es entstehen bei einem Diodentypwechsel auf einer Maschine signifikante R¨ ustzeiten. Vor allem ist zu beachten, dass nicht eine Maschinenfolge a priori festgelegt ist, sondern f¨ ur einen Endmessdiodentyp eine Vielzahl alternativer Maschinenfolgen gegeben ist. Dadurch gibt es f¨ ur einen Auftrag bis zu 108 mögliche Wege, den zweistufigen Produktionsprozess zu durchlaufen. Abschließend lässt sich das betrachtete Praxisbeispiel von seiner Struktur her als Job-Shop-Problem charakterisieren, weshalb sich die Arbeit im weiteren Verlauf ausschließlich auf diesen Problemtyp konzentriert. Um die betrachtete Problemstellung in das zuvor eingef¨ uhrte Klassifikationsschema einordnen zu können, wird dieses aufgrund der Besonderheit der fest vorgegebenen alternativen Maschinenfolgen im Bereich der Maschinencharakteristika entsprechend erweitert. Den Schwerpunkt des vierten Kapitels bildet die Formulierung eines Modells zur betrachteten Problemstellung. Entscheidend bei der Ablaufplanung ist die Bestimmung der Auftragsfolgen. Da Reihenfolgeprobleme sehr anschaulich als Graphen dargestellt werden können, wird zunächst das Prinzip des disjunktiven

1.2 Aufbau der Arbeit

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Graphen von Roy&Sussman (1964) erläutert. Anschließend wird die Modellformulierung nach Manne (1960) f¨ ur das Job-Shop-Problem vorgestellt. Diese steht in enger Beziehung zum Konzept des disjunktiven Graphen und erfolgt mit Hilfe von reihenfolgebasierten Variablen. Darauf aufbauend wird f¨ ur das oben beschriebene Problem ein gemischt-ganzzahliges lineares Programm formuliert und erläutert. Neben der Bestimmung der Auftragsfolgen sind hier außerdem die Maschinenfolgen der Aufträge auszuwählen. ¨ Im f¨ unften Kapitel wird zunächst ein Uberblick u ¨ber exakte und heuristische Lösungsansätze f¨ ur das Job-Shop-Problem gegeben. Aufgrund der Komplexität der betrachteten Problemstellung werden f¨ ur die weitere Arbeit zwei heuristische Verfahren herausgegriffen und ausf¨ uhrlich beschrieben: ein Prioritätsregelverfahren sowie ein Genetischer Algorithmus. Das Prioritätsregelverfahren stellt eine problemspezifische Heuristik dar und hat sich in der Vergangenheit schon oft bewährt. Es ist leicht verständlich und liefert trotz seiner Einfachheit schnell Ergebnisse von angemessener Qualität. Der Genetische Algorithmus, eine Metaheuristik, die auf Holland (1975) zur¨ uckgeht, ist ein leistungsfähiges, stochastisches Suchverfahren und an die Prinzipien der biologischen Evolution angelehnt. Er wurde bereits häufig im Bereich der kombinatorischen Optimierung erfolgreich eingesetzt. In Kapitel 6 werden Lösungsverfahren f¨ ur das betrachtete Praxisbeispiel vorgestellt. Es erfolgt eine Hierarchisierung des Problems: In einer ersten Phase werden mit einem gemischt-ganzzahligen linearen Programm f¨ ur jeden Auftrag jeweils eine Maschinenfolge bestimmt. Die Maschinenfolgen werden so gewählt, dass die Maschinenkapazitäten nicht u ¨berschritten werden und die Maschinen gleichmäßig belastet sind. Diese Maschinenfolgen dienen in einer zweiten Phase als Input f¨ ur das Prioritätsregelverfahren bzw. den Genetischen Algorithmus. Es wird ausf¨ uhrlich erläutert, wie die beiden in Kapitel 5 ausgewählten heuristischen Verfahren an die Spezifika der betrachteten Problemstellung angepasst werden. ur In Kapitel 7 erfolgt eine numerische Analyse der Lösungsverfahren. Um f¨ die Problemstellung geeignete Prioritätsregeln bzw. Parametereinstellungen des Genetischen Algorithmus zu bestimmen, werden zahlreiche Simulationsstudien durchgef¨ uhrt. Die Ergebnisse der beiden Verfahren werden miteinander verglichen. Ziel ist, auf Basis der Ergebnisse ein geeignetes und erfolgreiches Lösungsverfahren f¨ ur die konkret betrachtete Problemstellung aus der Praxis zu entwickeln. Die Arbeit schließt in Kapitel 8 mit einer Zusammenfassung der Arbeit und ihrer wesentlichen Ergebnisse und gibt einen Ausblick auf weiterf¨ uhrende Forschungsansätze.

2 Ablaufplanung In diesem Kapitel erfolgt zunächst in Abschnitt 2.1 eine Einordnung der Ablaufplanung in den Produktionsprozess und in Abschnitt 2.2 eine Erläuterung ihrer Aufgaben. Zudem werden f¨ ur den weiteren Verlauf der Arbeit notwendige Definitionen und Notationsvereinbarungen getroffen. Aufgrund der großen Anzahl von Parametern und Zielen kann eine Vielzahl von Ablaufplanungsproblemen unterschieden werden. Zu ihrer Strukturierung wird in Anlehnung an Graham et al. (1979) in Abschnitt 2.3 ein Klassifikationsschema eingef¨ uhrt, das hinsichtlich der drei Aspekte Maschinen- und Auftragseigenschaften sowie Zielkriterien differenziert. Es können in Abhängigkeit von bestimmten Eigenschaften verschiedene Arten von Ablaufplänen unterschieden werden. Es wird in Abschnitt 2.4 beschrieben, wie es mit Hilfe dieser unter bestimmten Voraussetzungen (z. B. reguläre Zielfunktion) möglich ist, bei der Suche nach dem optimalen Ablaufplan den Lösungsraum dahingehend einzugrenzen, dass er nur potentiell optimale Ablaufpläne enthält.

2.1 Einordnung der Ablaufplanung in den Produktionsprozess Ablaufplanungsprobleme treten in unterschiedlichen wissenschaftlichen Disziplinen auf.1 Im Folgenden werden nur Ablaufplanungsprobleme im betriebswirtschaftlichen Kontext betrachtet. Die Ablaufplanung ist hier ein Bestandteil des Produktionsprozesses. Der Produktionsprozess stellt einen Wertschöfungsprozess dar, bei dem Produktionsfaktoren kombiniert und transformiert werden, um daraus wertgesteigerte Produkte zu erstellen.2 Synonym werden die Begriffe Produktion, Fertigung oder Throughput verwendet. Die Produktionsfaktoren stellen den Input dar, wobei eine Differenzierung in Werkstoffe, Betriebsmittel und Arbeitskraft eruter bzw. Dienstleistungen) sind folgt.3 Die erzeugten Produkte (materielle G¨ 1

Das hat zur Folge, dass f¨ ur die Darstellung desselben Problems in der Literatur unterschiedliche Begriffe zu finden sind. So entsprechen z. B. in der Informationsverarbeitung Maschinen oder Betriebsmittel Prozessoren, (Fertigungs-)Aufträge, Jobs oder Lose Aufgaben und (Fertigungs-)Arbeitsgänge Operationen. 2 Vgl. Domschke et al.(1997), S. 4; G¨ unther/Tempelmeier(2009), S. 2. 3 ¨ Einen Uberblick u ¨ber Produktionsfaktoren bietet Zäpfel(1982), S. 3 und 5. I. J. Acker, Methoden zur mehrstufi gen Ablaufplanung in der Halbleiterindustrie, DOI 10.1007/978-3-8349-6731-2_2, © Gabler Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

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2 Ablaufplanung

der Output. In-, Through- und Output bilden gemeinsam das Produktionssystem (siehe folgende Abbildung 2.1).4

Abbildung 2.1: Zusammenhang zwischen Produktionssystem und Produktionsplanung, Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Zäpfel(1982), S. 1ff.; Domschke et al.(1997), S. 3f.; Tempelmeier(2003), S. 1ff.; G¨ unther/Tempelmeier(2009), S. 2 Die ökonomischen Aspekte des Produktionsprozesses werden sowohl durch die Produktionstheorie als auch durch die Produktionsplanung untersucht. Die Produktionstheorie versucht, die funktionalen Zusammenhänge zwischen der Menge der eingesetzten Produktionsfaktoren und der Menge der damit hergestellten Produkte in Form von Produktionsfunktionen darzustellen. Dabei abstrahiert sie von vielen organisatorischen und technologischen Details. Eine Produktionsfunktion gibt f¨ ur jede technisch mögliche Inputkombination die damit erzielbare Outputkombination an.5 Die Produktionstheorie ist damit theoretische Grundlage f¨ ur die Produktionsplanung. Sie betrachtet im Gegensatz zur Produktionstheorie eben die Organisation, die Koordination und die Steuerung des zeitlichen Ablaufs des Pro4 5

Vgl. Zäpfel(1982), S. 2.; Tempelmeier(2003), S. 2. Ausf¨ uhrlich dazu vgl. Domschke/Scholl(2008), S. 81ff.; Wöhe(2010), S. 476ff.

2.1 Einordnung der Ablaufplanung in den Produktionsprozess

9

duktionsprozesses. Sie umfasst alle zur Vorbereitung und Durchf¨ uhrung der Produktion erforderlichen Entscheidungen.6 Es wird zwischen langfristiger (strategischer) und kurzfristiger (operativer) Planung unterschieden.7 Die strategische Planung leitet aus einem langfristigen Absatzprogramm das langfristige Produktionsprogramm ab. Dieses legt fest, welche Produkte8 mit Hilfe welcher Betriebsmittel hergestellt werden sollen. Die daf¨ ur notwendigen Betriebsmittel m¨ ussen beschafft und finanziert werden, ihre Standorte sind festzulegen und die benötigten Arbeitskräfte sind einzustellen. Dies bildet den Rahmen f¨ ur die anschließende operative Produktionsplanung, die u ¨blicherweise anhand ihrer Aufgaben in die Produktionsprogramm-, die Bereitstellungs- und die Produktionsprozessplanung untergliedert wird.9 Diese Teilbereiche der Produktionsplanung beinhalten viele Teilprobleme, die sich gegenseitig beeinflussen. Eine Simultanplanung ist leider oft nicht möglich, da ein entsprechendes Totalmodell zu komplex und damit nicht lösbar ist.10 Die Zerlegung des Planungsproblems in Teilprobleme kann allerdings dazu f¨ uhren, dass das Oberziel verfehlt wird. Um dies zu vermeiden, wird mit Hilfe von Produktionsplanungs- und -steuerungssystemen (PPS-Systemen) versucht, die einzelnen Teilbereiche unabhängig voneinander sukzessiv zu planen. Die Planung eines PPS-Systems ist dabei hierarchisch strukturiert, d. h., die Planungsbereiche - als Module bezeichnet - sind einander u ¨ber- bzw. untergeordnet. Die Ergebnisse eines Moduls werden als feste Daten f¨ ur die nachfolgenden Module ber¨ ucksichtigt.11 Dieses Stufenkonzept ist in Abbildung 2.2 auf S. 10 veranschaulicht und wird im Folgenden näher erläutert. Die Produktionsplanung Mit Informationen u ¨ber konkrete Kundenaufträge sowie u ¨ber den Absatz- und Beschaffungsbereich werden in der Produktionsprogrammplanung Art und Menge der in den nächsten Perioden zu erzeugenden Produkte bestimmt. Daraus wird in der Materialbedarfsplanung der Materialbedarf abgeleitet.12 Dazu werden mit Hilfe von Verfahren der St¨ ucklistenauflösung die f¨ ur den Vollzug des Produktionsprogramms notwendigen Produktionsfaktoren nach Art, 6

Klassisch dient die Planung der Entscheidungsvorbereitung und -findung. Sie ist in die Zukunft gerichtet. Sie meint die gedankliche Vorwegnahme zuk¨ unftigen Handelns, indem aus verschiedenen Handlungsalternativen die bez¨ uglich eines Zielsystems optimale Alternative ausgewählt wird. Je weiter in die Zukunft geplant werden muss (Planungshorizont), umso schwieriger wird die Planung. Ausf¨ uhrlich dazu vgl. Scholl(2001), S. 7ff. sowie S. 143ff.; Domschke/Scholl(2008), S. 21ff. 7 Vgl. Scholl(2001), S. 14f. 8 Dies ist die so genannte Sortimentsplanung. 9 In Anlehnung an Gutenberg(1983), S. 15ff. 10 Vgl. Domschke et al.(1997), S. 18. 11 Vgl. Zäpfel(1982), Kapitel V; Scholl(2001), S. 35ff. 12 Hierf¨ ur werden auch die Begriffe Bereitstellungsplanung und Potenzialplanung verwendet.

10

2 Ablaufplanung

Produktionsplanung

Produktionsprogrammplanung

Materialbedarfsplanung

Durchlaufterminierung

Produktionssteuerung

Kapazitätsterminierung

Auftragsfreigabe

Ablaufplanung

Kontrolle des Auftragsforschritts

Abbildung 2.2: Das Produktionsplanungs- und -steuerungssystem (PPS-System), Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Hackstein(1989), S. 3ff. Menge und Zeit bestimmt.13 Die sich ergebenden Bruttobedarfe werden um den Lagerbestand korrigiert, so dass aus den Nettobedarfen Bestellmengen (bei Fremdbezug) bzw. Produktionslose (bei Eigenfertigung) berechnet werden können. Da die Bearbeitung der Lose auf den verschiedenen Produktionsstufen Zeit benötigt, ist eine Terminplanung durchzuf¨ uhren. Die Durchlaufterminierung bestimmt Anfangs- und Endtermine der Lose, allerdings ohne dabei die Knappheit der Kapazitäten zu ber¨ ucksichtigen. Ob die verf¨ ugbare Kapazität in den einzelnen Perioden u ¨berschritten wird, wird in der Kapazitätsterminierung ¨ u uft. Kommt es zu einer Uberschreitung, gibt es im Rahmen eines Kapa¨berpr¨ zitätsabgleichs die Möglichkeit, die Aufträge zeitlich umzuverteilen und/oder die Kapazitäten anzupassen. Die Produktionssteuerung Wenn eine Verf¨ ugbarkeits¨ uberpr¨ ufung ergibt, dass die benötigten Produktionsfaktoren zum geplanten Zeitpunkt vorhanden sind, beginnt mit der Auftragsfreigabe die Produktionssteuerung. Bei der Ablaufplanung geht es um die Feindisposition der freigegebenen Aufträge. Sie sind bis dahin nur grob eingeplant und m¨ ussen nun den einzelnen Produktiveinheiten (Maschinen) räumlich und 13

Bei der Differenzierung der Produktionsfaktoren nach Art der produktiven Faktoren wird auch von Betriebsmittelplanung, Personalplanung und Beschaffungs- oder Lagerhaltungsplanung bez¨ uglich der Werkstoffe gesprochen.

2.2 Grundlagen der Ablaufplanung

11

zeitlich zugeordnet werden. Beanspruchen gleichzeitig mehrere Aufträge dieselbe Produktiveinheit, ist dabei die Reihenfolge zu bestimmen, in der die Aufträge auf der Maschine bearbeitet werden m¨ ussen. Der Produktionsvollzug wird laufend u ¨berwacht (Kontrolle des Auftragsforschritts), indem das vorgegebene Soll“ mit dem in der Betriebsdatenerfassung festgestellten Ist“ verglichen ” ” wird. Bei Soll-Ist-Abweichungen m¨ ussen geeignete Maßnahmen zur Minderung der Abweichungen getroffen werden.14

2.2 Grundlagen der Ablaufplanung 2.2.1 Begriff und Aufgaben der Ablaufplanung In der Literatur zur Ablaufplanung im deutschen und anglo-amerikanischen Sprachraum gibt es begriffliche Uneindeutigkeiten im Zusammenhang mit der Feindisposition von freigegebenen Aufträgen. So gibt es einerseits verschiedene Begriffe mit ähnlichen oder sogar gleichen Definitionen, andererseits werden unter demselben Begriff unterschiedliche Inhalte verstanden. Aufgrund der teilweise unterschiedlichen Terminologie ist es notwendig zu erläutern, was im weiteren Verlauf unter dem Begriff der Ablaufplanung verstanden wird. Im Folgenden wird unter der Ablaufplanung die Maschinenbelegungsplanung verstanden.15 Die beiden Begriffe werden daher auch synonym verwendet. Bei der Ablaufplanung geht es um die Planung der räumlichen und zeitlichen Abläufe von Produktionsprozessen.16 Es ist zu bestimmen, wann welcher Auftrag auf welcher Maschine zu bearbeiten ist. Die Zuordnung erfolgt dabei im Hinblick auf die optimale Erf¨ ullung vorgegebener Unternehmensziele, die mit Hilfe einer Zielfunktion abgebildet werden.17 Die Ablaufplanung setzt sich aus der Bearbeitungs-, der Reihenfolge- und der Terminplanung zusammen:18 14

vgl. Zäpfel(1982); Domschke et al.(1997); Kistner/Steven(2001); Tempelmeier(2003); G¨ unther/Tempelmeier(2009). 15 Die hier verwendete Bedeutung der Ablaufplanung wird in der Literatur auch als Ablaufplanung im eigentlichen Sinne (i.e.S.) bezeichnet. Sie ist ein Teilbereich der Ablaufplanung im weiteren Sinne (i.w.S.). Die Ablaufplanung i.w.S. steht f¨ ur Produktionsprozess- oder Produktionsdurchf¨ uhrungsplanung und beschäftigt sich mit der zeitlichen, mengenmäßigen und räumlichen Planung des Produktionsvollzugs. D. h., sie beinhaltet neben der Maschinenbelegungsplanung auch die Losgrößenbestimmung, Durchlauf- und Kapazitätsterminierung. Vgl. Domschke et al.(1997), S. 29. 16 Vgl. Adam(1969); Seelbach(1975); Gutenberg(1983); Adam(2001). 17 Vgl. Abschnitt 2.3.3, S. 26. 18 Vgl. Zelewski(2008), S. 429ff.

12

2 Ablaufplanung • Bearbeitungsplanung Bei der Bearbeitungsplanung (Maschinenreihenfolgeplanung, Routing) stellt sich die Frage, in welcher Reihenfolge die einzelnen Operationen zur Fertigung eines Erzeugnisses abgearbeitet werden m¨ ussen.19 Dabei sind meistens gleichzeitig die Operationen bestimmten Maschinen zuzuordnen. Die so genannte Maschinenfolge gibt als Ergebnis die Reihenfolge an, in der ein Auftrag die Maschinen durchlaufen muss. Sie ist i. d. R. technologisch determiniert. • Reihenfolgeplanung Aufgrund einer möglichen gleichzeitigen Beanspruchung derselben Maschinen durch verschiedene Aufträge entsteht eine Konkurrenz um die knappen Maschinenkapazitäten. Bei der Reihenfolgeplanung (Sequencing) ist daher f¨ ur jede Maschine festzulegen, in welcher Reihenfolge die Aufträge auf ihr zu bearbeiten sind. Dies gibt die so genannte Auftragsfolge einer Maschine wieder.20 • Terminplanung Im letzten Planungsschritt erfolgt eine Terminplanung (Scheduling, Feinplanung, Feinterminierung), indem die ermittelte Reihenfolge auf Kalenderzeiten bezogen wird. Dabei werden die Start- und Endzeitpunkte jeder einzelnen Bearbeitung eines Auftrags auf einer Maschine festgelegt.21

Wurden alle Planungsschritte durchlaufen, ergibt sich als Ergebnis ein Ablaufplan, der f¨ ur einen fest vorgegebenen Planungshorizont die zeitliche Einplanung aller Operationen wiedergibt. Mit den obigen Beschreibungen zusammenhängend wird in verschiedene Typen von Ablaufplanungsproblemen differenziert: Primale und duale Ablaufplanung In der Regel wird in der Ablaufplanung angenommen, dass eines der beiden im vorherigen Abschnitt beschriebenen Reihenfolgeplanungsprobleme schon gelöst ist und nur noch das jeweils andere Problem durch die Ablaufplanung zu lösen ist. Beim primalen Ablaufplanungsproblem ist f¨ ur jeden Auftrag die Maschinenfolge festgelegt. Das duale Ablaufplanungsproblem ist eher theoretischer Natur. Im Gegensatz zum primalen Problem ist die Auftragsfolge gegeben. Gesucht 19

Es handelt sich hierbei folglich – wie bei der zweiten Aufgabe – um eine Reihenfolgeplanungsproblem. Reihenfolgeprobleme – und damit Ablaufplanungsprobleme – sind kombinatorische Optimierungsprobleme. Bei dieser Art von Problemen steigt die Anzahl der zu u ufenden ¨berpr¨ Lösungen exponentiell mit der Problemgröße. Vgl. Domschke/Scholl(2008), S. 124 sowie Abschnitt 5.1 auf S. 91ff. 21 Dies setzt voraus, dass die Bearbeitungszeiten der Operationen bekannt sind. 20


13

sind die Maschinenfolgen der Aufträge mit den Anfangszeitpunkten der Operationen. Außerdem gibt es neben den reinen Ablaufproblemen auch gemischt primal-duale Probleme, bei denen Auftragsfolgen von einem Teil der Maschinen und Maschinenfolgen von einem Teil der Aufträge bekannt sind. Es m¨ ussen durch die Ablaufplanung die Auftragsfolgen aller Maschinen und Maschinenfolgen aller Aufträge gefunden sowie die Anfangszeitpunkte aller Operationen bestimmt werden.22 Deterministische und stochastische Ablaufplanung Anhand der Sicherheit entscheidungsrelevanter Daten wird in deterministische und stochastische Ablaufplanungsprobleme differenziert. Im deterministischen Fall stehen zum Planungszeitpunkt die entscheidungsrelevanten Größen fest. Das bedeutet, dass Anzahl und Eigenschaften der Maschinen sowie die Anzahl und Bereitstellungszeitpunkte der Aufträge f¨ ur die Planperiode bekannt sind. Außerdem ist bekannt, auf welchen Maschinen die Aufträge bearbeitet werden m¨ ussen und wie lange die Bearbeitungszeiten auf den einzelnen Maschinen sind. Im stochastischen Fall ist mindestens eines dieser entscheidungsrelevanten Daten unsicher, d. h. nur im statistischen Sinne bekannt. Die Unsicherheiten, mit der die Daten behaftet sind, werden durch die Verwendung von empirischen Häufigkeitsverteilungen ber¨ ucksichtigt, die aus Beobachtungen der vergangenen Perioden abgeleitet werden.23 Statische und dynamische Ablaufplanung Sind alle Aufträge zu Beginn des Planungszeitraums verf¨ ugbar und im Zeitablauf unveränderlich, handelt es sich um ein statisches Problem. Im Gegensatz dazu sind bei einem dynamischen Problem die Auftragsfreigabezeitpunkte unterschiedlich und/oder können sich im Zeitablauf verändern. In aller Regel treten die hier beschriebenen Differenzierungsmöglichkeiten in den Kombinationen primal statisch-deterministisch und primal dynamisch-stochastisch auf. Die betriebliche Realität erfordert dynamisch-stochastische Modelle, weil es im Normalfall laufend Veränderungen durch neue Auftragseingänge oder Störungen im Maschinenbetrieb gibt. Dadurch ist ein bestimmter Ablaufplan häufig sehr schnell veraltet. Es wäre folglich eine dynamische Planung erforderlich, die z. B. die neu ankommenden Aufträge sofort gleichrangig mit bereits in Bearbeitung befindlichen Aufträgen einplant. Es ist aber unzweckmäßig, mit jeder Veränderung sofort wieder einen neuen Ablaufplan zu berechnen, da die Planungsfrequenz sonst zu hoch wird.24 Die Problematik wird in der betrieblichen 22

Zu den Begriffen vgl. Hoss(1965). Stochastische Einfl¨ usse können z. B. Verzögerungen in vorherigen Stufen, Maschinen- bzw. Personalausfälle, Konstruktionsfehler, falsch eingeschätzte Bearbeitungszeiten, veränderte Auftragslagen, notwendige Nacharbeiten oder gar Ausschuss sein. 24 Vgl. Kurbel/Meynert(1987), S. 11. 23

14

2 Ablaufplanung

Praxis daher meist dadurch umgangen, dass von Modellen zur Ablaufplanung mit dynamisch-stochastischen Zustand Abstand genommen und daf¨ ur theoretisch von einem statisch-deterministischen Zustand ausgegangen wird. Die Produktionszeit wird in einzelne Planungszeiträume unterteilt, f¨ ur die jeweils ein Ablaufplan erstellt wird. Die Betriebe können sich in der Weise behelfen, dass f¨ ur die potentiell eintretenden Störungen und hinzukommenden Aufträge im vorhinein ein Puffer in der Planung eingeräumt wird und die Planung so ein dynamisches Element beinhaltet.25 Eine andere Möglichkeit ist, die Aufträge, die erst nach der letzten Planerstellung eintreffen, bis zur nächsten Ablaufplanung f¨ ur die Folgeperiode zu sammeln und erst dann mit zu ber¨ ucksichtigen. Im Folgenden werden nur statisch-deterministische, (rein) primale Ablaufplanungsprobleme betrachtet, bei denen die Bearbeitungsplanung aufgrund technologischer Determiniertheit entfällt und nur noch die Reihenfolge- und Terminplanung relevant sind.

2.2.2 Definitionen und Notationsvereinbarungen Zur eindeutigen Festlegung der in dieser Arbeit öfter vorkommenden Bezeichnungen sollen an dieser Stelle vorab einige Definitionen und Notationsvereinbarungen erfolgen.26 Wie im Abschnitt 2.2.1 beschrieben, ist die optimale Einplanung von Aufträgen, die auf einer Anzahl spezifizierter Maschinen zu bearbeiten sind, Gegenstand der Ablaufplanung. Elemente der primal, statisch-deterministischen Ablaufplanung sind neben einer bekannten Zielfunktion, ein gegebener Auftragsbestand und ein gegebener Maschinenpark. Der Auftragsbestand K besteht aus K Aufträgen (K = {1; . . . ; K}). Ein Auftrag k (k = 1, 2, . . . , K) ist ein Produkt oder eine festgelegte Menge identischer Produkte (Los).27 Ein Auftrag k muss entweder auf einer Maschine oder auf mehreren Maschinen bearbeitet werden.28 Die Menge Mk gibt alle Mk Maschinen an, auf denen der Auftrag k bearbeitet wird. Die verf¨ ugbaren und mit ihrer Funktionsweise erfassten M Maschinen m (m = 1, 2, . . . , M) bilden den Maschinenbestand M (M = {1; . . . ; M}). Die Menge Km gibt alle Km Aufträge 25

Vgl. Fischer(1990). Weitere Vereinbarungen werden bei Bedarf an den entsprechenden Stellen getroffen. 27 Die Begriffe Auftrag, Job, Produkt, Produkteinheit und Los werden im weiteren Verlauf der Arbeit synonym verwendet. 28 Im Folgenden wird in Anlehnung an die Definition von Seelbach(1975), S. 14 unter einer Maschine eine Einrichtung verstanden, die in der Lage ist, eine bestimmte Bearbeitung ” auszuf¨ uhren“. F¨ ur den Begriff Maschine werden synonym die Ausdr¨ ucke Betriebsmittel oder Operativeinheit verwendet. Maschinen von der gleichen Art werden in einer Produktionsstufe zusammengefasst. 26


15

an, die auf der Maschine m bearbeitet werden m¨ ussen. Hier wird die Vereinbarung getroffen, dass zu jedem Zeitpunkt jede Maschine höchstens einen Auftrag bearbeiten kann, und jeder Auftrag auf höchstens einer Maschine bearbeitet werden kann. Die Bearbeitung des Auftrags k an einer bestimmten Maschine m heißt Operation29 Okm .30 Da die Indizierung mit (km) nicht zum Ausdruck bringt, an welcher Stelle der Maschinenfolge eines Auftrags eine bestimmte Maschine m kommt, wird im Folgenden eine modifizierte Form verwendet: [m] bringt die m-te-Maschine in der Maschinenfolge eines Auftrags k zum Ausdruck.31 Die Maschinenfolge von Auftrag k lautet also [ ]k = ([1]k , . . . , [m]k , . . . , [Mk ]k ) . Nachdem Auftrag k auf Maschine [1]k bearbeitet wurde, wird er auf [2]k bearbeitet, usw. bis die letzte Operation von k erfolgt. Die Problemdaten ordnen Maschine [m]k die konkreten Maschinen m zu. Analog dazu wird die Position eines Auftrags in der zu planenden Auftragsfolge der Maschinen durch den modifizierten Index [k] angegeben. Die Operation O[k]m entspricht der k-ten Operation auf Maschine m. Es wird der Auftrag bearbeitet, der an k-ter Stelle der Auftragsfolge von m steht.32 Okm : Auftrag k auf Maschine m Ok[m] : Auftrag k auf der Maschine, die an m-ter Stelle der Maschinenfolge des Auftrages k tätig wird O[k]m : Auftrag, der an k-ter Stelle der Auftragsfolge der Maschine m eingeordnet ist Ist z. B. die Maschinenfolge f¨ ur den Auftrag k = 1 technologisch so vorgegeben, dass dieser Auftrag zunächst auf Maschine m=1 und im Anschluss auf m = 4 zu bearbeiten ist, gilt f¨ ur die einzelnen Operationen: O1[1] = O11 und O1[2] = O14 . Ein Auftrag k besteht aus Ok = Mk Operationen, die in der Menge Ok = {Ok[1] ; . . . ; Ok[Mk ] } angegeben werden.33 Auf Maschine m werden Om = Km 29

Im Folgenden werden f¨ ur den Begriff Operation synonym die Ausdr¨ ucke Arbeitsgang und Bearbeitung verwendet. 30 Es wird davon ausgegangen, dass jeder Auftrag k höchstens einmal auf jeder Maschine m bearbeitet wird. W¨ urde k mehrfach auf m bearbeitet werden, m¨ usste neben den Indizes f¨ ur Auftrag und Maschine noch ein weiterer Index f¨ ur die Operation eines Auftrags eingef¨ uhrt werden. 31 Der Index [m] ist also nur in Zusammenhang mit einem Auftrag k eindeutig. 32 Vgl. Seelbach(1975), S. 19ff. 33 Es wird davon ausgegangen, dass jeder Auftrag maximal einmal auf jeder Maschine bearbeitet wird (vgl. Fußnote (30) auf S. 15).

16

2 Ablaufplanung

Operationen ausgef¨ uhrt. Sie bilden die Menge Om = {O[1]m ; . . . ; O[Km ]m }. Die Menge aller Operationen O kann als Vereinigungsmenge dargestellt werden: O=

K k=1

Ok =

M

Om

m=1

Die Arbeitsganganzahl des Auftragsbestandes ist O. Die Menge aller Operationen O lässt sich im zeitlichen Ablauf der Maschinenbelegung zudem folgendermaßen aufteilen: OSk : Menge aller Operationen des Auftrags k, die bereits stattgefunden haben ussen ONk : Menge aller Operationen des Auftrags k, die noch stattfinden m¨ mit Ok = OSk ∪ ONk und OSk : Anzahl Operationen des Auftrags k, die bereits stattgefunden haben ussen ONk : Anzahl Operationen des Auftrags k, die noch stattfinden m¨ OSm : Menge aller Operationen der Maschine m, die bereits stattgefunden haben ussen ONm: Menge aller Operationen der Maschine m, die noch stattfinden m¨ mit Om = OSm ∪ ONm und OSm : Anzahl Operationen der Maschine m, die bereits stattgefunden haben ussen ONm: Anzahl Operationen der Maschine m, die noch stattfinden m¨ Aufgrund der Maschinenfolgen eines Auftrags k bestehen Präzedenzbeziehungen zwischen den einzelnen Operationen Ok des Auftrages: Okm1 ≺ Okm2 .34 Jeder Operation Okm ist eine Bearbeitungszeit35 pkm zugeordnet. Diese besagt, wie viel Zeit die Bearbeitung eines bestimmten Auftrags k auf einer bestimmur jede Operation ihren ten Maschine m beansprucht.36 Der Ablaufplan gibt f¨ Bearbeitungsstartzeitpunkt akm sowie ihren Bearbeitungsendzeitpunkt ekm an. F¨ ur einen Ablaufplan können bestimmte Merkmalsausprägungen37 definiert werden (vgl. dazu auch Tabellen 2.1 und 2.2 auf S. 19f.): 34

Auch zwischen den einzelnen Aufträgen können Präzedenzbeziehungen bestehen. k1 ≺ k2 bildet ab, dass Auftrag k1 Vorgänger von Auftrag k2 ist. Dies ist häufig der Fall, wenn die Aufträge aus jeweils nur einem einzelnen Arbeitsgang bestehen, wie es z. B. bei der Projektplanung oft der Fall ist. Im Folgenden wird dies nicht weiter verfolgt. 35 Im Folgenden werden f¨ ur den Begriff Bearbeitungszeit synonym die Ausdr¨ ucke Prozess- und Operationszeit verwendet. 36 Im Folgenden enthält die Bearbeitungszeit keine Sortenwechsel- oder Umr¨ ustzeiten sowie keine Transportzeiten. 37 Die erläuterten Begriffe werden in der Literatur nicht immer einheitlich verwendet. Da von einem deterministisch-statischen Ablaufplanungsproblem ausgegangen wird, wird vorausgesetzt, dass alle zur Berechnung der Merkmalsausprägungen nötigen Informationen gegeben sind. Im Folgenden wird von Transportzeiten abgesehen, da sie im weiteren Verlauf der Arbeit nicht benötigt werden.


17

• Bearbeitungszeit Die Bearbeitungszeit kann aus Auftrags- sowie aus Maschinensicht angegeben werden. Pk gibt die gesamte effektive Bearbeitungszeit an, während der an k gearbeitet wird. Sie berechnet sich aus den Bearbeitungszeiten pkm von k auf den relevanten Maschinen Mk . Daraus lässt sich die gesamte Bearbeitungszeit des Auftragsbestandes P K ableiten, indem die Bearbeitungszeiten aller Aufträge addiert werden. Pm gibt analog die gesamte effektive Bearbeitungszeit an, die Maschine m an den Km Aufträgen arbeitet. P M ist die gesamte Arbeitszeit, während der die Aufträge alle Maschinen belegen. Sie gibt die Kapazitätsausnutzung an und ist mit der gesamten Arbeitszeit P K identisch, die an allen Aufträgen von den Maschinen geleistet werden. • Wartezeit Ein Auftrag k muss vor der Bearbeitung auf der Maschine m, auf der er gemäß seiner Maschinenfolge als nächstes bearbeitet werden muss, warten, wenn diese Maschine durch einen anderen Auftrag belegt ist. Die Zeitspanne von der Beendigung der Operation auf der Vorgängermaschine bzw. seinem Bereitstellungszeitpunkt bis zum Beginn der Operation heißt Wartezeit wkm .38 Die gesamte Wartezeit Wk des Auftrags k berechnet sich aus den einzelnen Wartezeiten vor den zu belegenden Maschinen. Die Gesamtwartezeit des Auftragsbestandes heißt W . • Durchlaufzeit Unter der Durchlaufzeit Dk des Auftrags k wird die Zeitspanne vom Zeitpunkt der Bereitstellung A∗k bis zur Fertigstellung des Auftrags verstanden. Sie berechnet sich aus der Summe der Warte- und Bearbeitungszeiten des Auftrags k. DK gibt die Gesamtdurchlaufzeit des Auftragsbestandes als Summe der Durchlaufzeiten aller Aufträge an und sagt damit aus, wie lange dieser Auftragsbestand die Kapazität bindet. • Verweilzeit Die Verweilzeit Vk ist die Zeitspanne von Beginn der ersten Operation bis zum Ende der letzten Operation des Auftrags. • Fertigstellungszeit, Zykluszeit Die Fertigstellungszeit Fk setzt im Gegensatz zur Durchlaufzeit nicht beim Freigabezeitpunkt A∗k , sondern beim Beginn des Planungszeitraums t0 an. Sind keine Auftragsfreigabezeitpunkte gegeben, entspricht die Fertigstellungszeit der Durchlaufzeit. Der Ablaufplan liefert die Fertigstellungszeitpunkte ekm der Aufträge k an den Maschinen m. Die Beendigung der letzten zu bearbeitenden Operation von k (ek[Mk ] ) gibt das Ende der 38

Eventuell nötige R¨ ustzeiten zählen zur Wartezeit.

18

2 Ablaufplanung Bearbeitung von k auf allen Maschinen m an. Die Zeit vom Beginn des Planungszeitraums t0 bis zur Fertigstellung von Auftrag k heißt die Fertigstellungszeit Fk . Daraus lässt sich die gesamte effektive Fertigstellungszeit F berechnen. Das ist die Zeit, die benötigt wird, um den Auftragsbestand vollständig zu bearbeiten. Interessant ist auch die Anwendung des Maximumkriteriums, die den k¨ urzesten Ablaufplan angibt und die Zykluszeit liefert. Die Zykluszeit Z ist die größte Fertigstellungszeit Fk aller Aufträge. Sie gibt die Zeitspanne von Beginn des Planungszeitraums bis zu Beendigung der zuletzt ausgef¨ uhrten Operation an, d. h., den Zeitraum, der benötigt wird, um alle Aufträge komplett zu bearbeiten. • Leerzeit ¨ Das Aquivalent zur Wartezeit des Auftrags ist die Leerzeit39 einer Maschine Lm . lkm ist die Zeitspanne zwischen Beendigung der letzten Operation und Beginn des potentiellen R¨ ustvorgangs bzw. der Bearbeitung von k auf m.40 Die Summe aller Leerzeiten vor der Bearbeitung eines Auftrags ist die Leerzeit Lm von Maschine m. Die Gesamtleerzeit aller Maschinen heißt L. • Belegungszeit Die Belegungszeit Bm einer Maschine m ist das Analogon zur Durchlaufzeit eines Auftrags k. Sie berechnet sich aus der Summe der Bearbeitungsund Leer- sowie eventueller R¨ ustzeiten und gibt die Zeitspanne an, während der die Maschine m im Produktionsprozess eingesetzt ist und von den vorhandenen Aufträgen belegt ist. Die Gesamtbelegungszeit BM ist der Zeitraum vom Beginn des Planungszeitraums t0 bis zum Abschluss der letzten Operation auf allen M Maschinen. • R¨ ustzeit Die R¨ ustzeit rzkm ist die Zeit, in der die Maschine m zur Bearbeitung eines Auftrages k vorbereitet werden muss. Rzk bzw. Rzm geben die Summe aller R¨ ustzeiten eines Auftrags k bzw. einer Maschine m an. Die gesamte R¨ ustzeit des Auftragsbestandes ist RZ. Zur Bestimmung der R¨ ustzeiten wird i. d. R. eine Binärvariable benötigt, die zum Ausdruck bringt, ob ein ustvorgänge an, die R¨ ustvorgang nötig ist.41 AnzRV gibt die Anzahl R¨ zur Bearbeitung des Auftragsbestandes nötig sind.

39

Die Leerzeit wird in der Literatur auch oft als Stillstandszeit bezeichnet. Der Begriff der Stillstandszeit wird im Laufe der Arbeit aber f¨ ur den Sachverhalt der Nichtverf¨ ugbarkeit einer Maschine im Planungszeitraum verwendet. 40 Diese Definition erfolgt in Anlehnung an Seelbach(1975), S. 35, gemäß derer die Leerzeit einer Maschine mit letzten Operation auf der Maschine endet. Dies wird in der Literatur nicht einheitlich gehandhabt. So zählt z. B. in Conway et al.(1967), S. 14f. und Gutenberg(1983), S. 380ff. der Zeitraum nach Abschluss der letzten Operation der Maschine bis zur Zykluszeit ebenfalls zur Leerzeit. 41 R¨ ustzeiten können von verschiedenen Einflussfaktoren abhängen. Dies spiegelt sich in der Indizierung wider: nur maschinenabhängig: rzm , auftrags- und maschinenabhängig: rzkm ; nur


19

• Terminabweichung Ist f¨ ur Auftrag k ein Fertigstellungstermin Fk∗ (Fk∗ ≥ 0) gegeben, kann der unschten Fertigtatsächliche Fertigstellungszeitpunkt Fk von diesem gew¨ stellungstermin abweichen. Die Differenz (Ist von Soll) von beiden heißt uh (Fk∗ > Fk , T A− Terminabweichung T Ak . Die Fertigstellung kann zu fr¨ k – – TerTerminunterschreitung, Verfr¨ uhung) oder zu spät (Fk∗ < Fk , T A+ k min¨ uberschreitung, Verspätung) erfolgen. T A+ und T A− geben die Gesamttermin¨ uber- bzw. -unterschreitungszeit des Auftragsbestandes an, T A die Gesamtterminabweichung. Da sich in der Summe die Terminabweichungen der einzelnen Aufträge gegenseitig aufrechnen können, ist es besser, die absolute Abweichung |T A| oder die quadrierte Abweichung T A2 zu betrachten, die Abweichungen je nach Größe stärker bestraft. Wird die Anzahl der Abweichungen als Zielkriterium betrachtet, wird eine Binärvariable uk benötigt, die als Einheitsstrafe fungiert, d. h., z. B. auf 1 gesetzt wird, wenn eine Verspätung (Fk > Fk∗ ) vorliegt (0 sonst). uber- bzw. AnzT A+ und AnzT A− geben jeweils die Anzahl der Termin¨ -unterschreitungen des Auftragsbestandes an. • Kapazit¨ atsauslastung Die Kapazitätsauslastung KA des Maschinenparks (einer Maschine m) berechnet sich aus dem Verhältnis der Gesamtbearbeitungszeit zur Gesamtbelegungszeit (der Maschine m).42 Durchlaufzeit Dk = (pkm + wkm ) = Fk − A∗k m∈Mk K

DK =

Dk =

Bm =

(pkm + lkm )

k∈Km M

BM =

Bm =

m=1

Ferstigstellungszeit

M

(pkm + lkm )

m=1 k∈Km

Fk = Dk + A∗k K K F = Fk = (Dk + A∗k ) k=1

Verweilzeit

(pkm + wkm )

k=1 m∈Mk

k=1

Belegungszeit

K

k=1

Z = Fmax = max{F1 , . . . , FK } Vk = ek[Mk ] − ak[1]

Tabelle 2.1: Merkmalsausprägungen von Ablaufplänen – Teil 1 auftragsabhängig: rzk , reihenfolgeabhängig: rzk1 ,k2 , rzk1 ,k2 ,m . Analog dazu ist die Binärvariable zu deklarieren. So gibt z. B. bei reihenfolge- und maschinenabhängigen R¨ ustzeiten die Binärvariable yk1 ,k2 ,m = 1 an, dass Auftrag k1 Vorgänger von k2 auf m ist und daher ein R¨ ustvorgang M nötig ist (0 sonst). KAm PM Pm 42 = ; analog KAm = KA = m=1 . M BM Bm

20

2 Ablaufplanung Bearbeitungszeit

Pk =

pkm

m∈Mk K

PK =

k=1

Pm =

K

Pk = pkm

k∈Km M

PM =

Pm =

m=1

Wartezeit

m∈Mk K

W =

pkm )

m∈Mk

wkm

k=1 m∈Mk

lkm

k∈Km M

RZ = = Terminabweichung

M Lm = lkm m=1 m=1 k∈Km Rzk = rzkm Rzm = rzkm

L= R¨ ustzeit

K

Wk =

Lm =

pkm

wkm = Fk − (A∗k +

k=1

Leerzeit

M m=1 k∈Km

Wk =

pkm

k=1 m∈Mk

m∈Mk M

Rzm =

m=1 M

K

k∈Km

Rzk

k=1

m=1 k∈Km T Ak = Fk − Fk∗ K

TA =

K

rzkm =

rzkm

k=1 m∈Mk

T Ak

k=1

Termin¨ uberschreitung

∗ T A+ k = max{0, Fk − Fk } K K T A+ = T A+ max{0, Fk − Fk∗ } k = k=1

Terminunterschreitung

Kapazitätsauslastung

k=1

∗ T A− k = max{0, Fk − Fk } K K T A− = T A− max{0, Fk∗ − Fk } k = k=1 k=1 pkm Pm k∈K KAm = = m Bm (pkm + lkm ) k∈Km M

pkm PM m=1 k∈Km = M KA = BM (pkm + lkm ) m=1 k∈Km

Tabelle 2.2: Merkmalsausprägungen von Ablaufplänen – Teil 2

2.3 Klassifikation von Ablaufplanungsproblemen

21

2.3 Klassifikation von Ablaufplanungsproblemen Aufgrund der Vielzahl an Parametern und Zielen, die sich kombinieren lassen, ¨ können viele Scheduling-Modelle unterschieden werden. Um einen Uberblick zu behalten, wurden verschiedene Klassifikationsschmata eingef¨ uhrt.43 In der Literatur hat sich derzeit das Schema von Graham et al. durchgesetzt.44 In Anlehnung daran erfolgt im Folgenden eine Klassifikation, wobei die gängigen Charakteristika sowie die f¨ ur den weiteren Verlauf der Arbeit in Kapitel 3 relevanten Parameter dargestellt werden. Das Schema unterscheidet hinsichtlich der drei Hauptkriterien Maschineneigenschaften α, Auftragseigenschaften β und Zielkriterien γ. Der jeweilige Problemtyp wird durch Angabe des entsprechenden Parameterwertes in Form des Tripels α|β|γ angegeben. Jedes Feld kann mehrere, durch Kommata getrennte Einträge haben, wenn das entsprechende Hauptkriterium Unterkriterien besitzt. Die Felder bzgl. der Maschinen- und Auftragseigenschaften können leer sein; das bedeutet, dass das Problem die Standardeigenschaft besitzt, die durch das Symbol ∅ gekennzeichnet wird.45

2.3.1 Maschinencharakteristika α An der ersten Stelle des Tripels werden die Maschinen anhand zweier Parametern beschrieben: Maschinenumgebung α1 α1 beschreibt die Maschinenart und -anordnung. Es wird zwischen der einstufigen und der mehrstufige Fertigung unterschieden. Bei der einstufigen Fertigung (α1 ∈ {∅, P, Q, R}) besteht jeder Auftrag aus genau einem Arbeitsgang. Die Aufträge m¨ ussen entweder alle auf einer einzigen Maschine bearbeitet werden oder es stehen mehrere parallele Maschinen zur Verf¨ ugung. Im zweiten Fall muss neben dem Scheduling-Problem zusätzlich ein Zuordnungsproblem betrachtet werden. In Abhängigkeit von der Fertigungsgeschwindigkeit wird in drei Problemtypen (P, Q, R) unterschieden. 43

Vgl. Conway et al.(1967); Holloway et al.(1979). Vgl. Graham et al.(1979), S. 288ff. Vgl. dazu auch Rinnooy Kan(1976), S. 28f.; Lenstra et al.(1977), S. 283ff.; Lawler et al.(1989), S. 6ff; Bla˙zewicz et al.(2000), S. 37ff., insb. S. 46ff.; Eiselt/Sandblom(2004), S. 340ff.; Brucker(2005), S. 1ff. 45 ∅ wird in der Problemstellung weggelassen. 44

22

2 Ablaufplanung • α1 = ∅: Einmaschinenproblem Beim Einmaschinenproblem α1 = ∅ steht nur eine einzige Maschine zur Bearbeitung aller Operationen zur Verf¨ ugung (pk1 = pk ). • α1 = P : identische parallele Maschinen“ ” Die zur Verf¨ ugung stehenden Maschinen sind alle identisch und können gleichzeitig (parallel) eingesetzt werden. Da die Maschinen aufgrund ihrer Identität alle die gleiche Fertigungsgeschwindigkeit haben (skm := 1), ist die Bearbeitungszeit eines Jobs maschinenunabhängig: pkm = pk ∀m ∈ M. • α1 = Q: uniforme parallele Maschinen“ ” Alle zur Verf¨ ugung stehenden Maschinen sind gleichartig und können gleichzeitig eingesetzt werden. F¨ ur jede Maschine ist eine individuelle Fertigungsgeschwindigkeit sm gegeben. Die Bearbeitungszeit eines Auftrages pk . berechnet sich damit aus dem Quotienten pkm = sm • α1 = R: heterogene parallele Maschinen“ ” Die zur Verf¨ ugung stehenden Maschinen können zwar gleichzeitig eingesetzt werden, sind aber voneinander unabhängig. Die Fertigungsgeschwindigkeiten der einzelnen Maschinen unterscheiden sich damit f¨ ur verschiedene Aufträge (skm ) und somit können die Bearbeitungszeiten von Mapk . schine zu Maschine und Auftrag zu Auftrag variieren: pkm = skm

Bei der mehrstufigen Fertigung (α1 ∈ {J, F, O, P F, F F (), F J()}) sind mehrere Arbeitsgänge pro Auftrag zugelassen, wobei an den einzelnen Maschinen jeweils nur spezifische Arbeitsgänge bearbeitet werden können. Zwischen den Operationen eines Auftrags können Vorrangbedingungen bestehen. Es wird in diesem Fall von Shop-Scheduling- oder auch kurz Shop-Problemen gesprochen. Analog zur einstufigen Fertigung kann zur Bearbeitung einer Operation Okm nicht nur einzelne Maschine, sondern eine Gruppe parallel nutzbarer Maschiugung stehen (Mkm = {1; . . . ; Mkm }). Jeder Operation nen Mkm ⊆ M zur Verf¨ uhren ist in diesem Fall genau eine Maschine m ∈ Mkm zuzweisen, die diese ausf¨ soll. Diese Festlegung einer Maschinenfolge stellt ein Zuordnungsproblem dar. Derartige Problemstellungen werden als flexible Shop-Probleme bezeichnet.46 46

Es kann sich dabei um sog. single purpose“ Maschinen, die nur eine Art von Operation ” ausf¨ uhren können, oder Mehrzweckmaschinen ( multi purpose“) handeln, die mehrere Arten ” Fall werden flexible Shop-Probleme daher von Operationen ausf¨ uhren können. Im zweiten in der Literatur – v. a. im Kontext von flexiblen Fertigungssystemen (FMS) – auch unter der Bezeichnung Shop-Probleme mit flexiblen Maschinen oder Mehrzweckmaschinen diskutiert. In der Klassifikation wird dies durch den Zusatz mit M P M (multi-purpose machines) gekennzeichnet. Vgl. u. a. Brucker/Schlie(1990); Jurisch(1992), S. 4ff.; Brucker(2004), S. 2 und S. 289ff.; Brucker/Knust(2006), S. 209ff. Ausf¨ uhrlich zu FMS vgl. Stecke/Suri(1985); Buzacott/Yao(1986); Kusiak(1986a); Kusiak(1986b); Stecke/Suri(1988); Kusiak/Wilhelm(1989);


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Die gängigsten Maschinenanordnungen bei einer mehrstufigen Fertigung sind: • α1 = J: Job-Shop (Werkstattfertigung, Verrichtungsprinzip) F¨ ur jeden Auftrag ist eine Reihenfolge von Maschinen gegeben, in der die einzelnen Operationen dieses Auftrags abgearbeitet werden m¨ ussen. Die Maschinenfolgen der Aufträge sind in der Regel unterschiedlich. Ein Auftrag kann eine Maschine auch auslassen oder auf einer Maschine mehrmals bearbeitet werden.47 • α1 = F : Flow-Shop (Fließfertigung, Reihenfertigung) Jeder Auftrag durchläuft alle Maschinen genau einmal (Ok = M ∀k) in einer gegebenen und f¨ ur alle Aufträge identischen Reihenfolge. • α1 = O: Open-Shop Jeder Auftrag durchläuft alle Maschinen genau einmal. (Ok = M ∀k). Die Reihenfolge, in der die Operationen eines Auftrags an den Maschinen bearbeitet wird, ist beliebig. • α1 = P F : Permutations-Flow-Shop Hierbei handelt es sich um ein spezielles Flow-Shop-Problem, bei dem die Aufträge an jeder Maschine in derselben Reihenfolge bearbeitet werden, d. h., die Auftragsfolgen der Maschinen sind identisch. • α1 = F F (): Flexibler Flow-Shop Das flexible Flow-Shop-Problem48 besteht aus einer Reihe von Fertigungsstufen. Bei mindestens einer Fertigungsstufe stehen mehrere Maschinen parallel zur Verf¨ ugung. In jeder Fertitungsstufe kann ein Auftrag an einer beliebigen Maschine dieser Fertigungsstufe bearbeitet werden. In Abhängigkeit von der Art der Parallelität ist α1 ∈ {F F (P ), F F (Q), F F (R)}. • α1 = F J(): Flexibler Job-Shop ur die Bearbeitung von minBeim flexiblen Job-Shop-Problem49 steht f¨ destens einer Operation nicht nur eine, sondern eine gegebene Menge an parallel nutzbaren Maschinen zur Verf¨ ugung. Die Operation kann dabei an einer beliebigen Maschine der jeweiligen Gruppe bearbeitet werden. In Abhängigkeit von der Parallelität ist α1 ∈ {F J(P ), F J(Q), F J(R)}. Tempelmaier/Kuhn(1993); Reinhardt(2000); G¨ unther/Tempelmeier(2009), S. 107ff. und 250ff. 47 Zwei aufeinander folgende Operationen m¨ ussen aber auf unterschiedlichen Maschinen bearbeitet werden. Diese Problemstellung wird allerdings, wie bereits erwähnt, im Rahmen der Arbeit nicht weiter betrachtet. 48 Dies stellt eine Verallgemeinerung des Flow-Shop-Problems dar, d. h., alle Aufträge durchlaufen die Fertigungsstufen in derselben Reihe. 49 Als Verallgemeinerung des Job-Shop-Problems können auch beim flexiblen Job-Shop-Problem die Aufträge unterschiedliche Maschinenfolgen haben.

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2 Ablaufplanung

Maschinenanzahl α2 α2 gibt im Fall der einstufigen Fertigung an, wie viele Maschinen zur Verf¨ ugung stehen, und im Fall der mehrstufigen Fertigung, wie viele Fertigungsstufen zu durchlaufen sind: • α2 = ∅: Die Anzahl ist beliebig. Die variable Anzahl ist als das Ergebnis eines Algorithmus zur Lösung des betreffenden Ablaufplanungsproblems aufzufassen. • α2 = MF: Die Anzahl ist mit MF St¨ uck fest vorgegeben.

2.3.2 Auftragscharakteristika β Der zweiten Eintrag des Tripels informiert u ¨ber die Aufträge, die sich hinsichtlich verschiedener Merkmale unterscheiden. Im Folgenden werden die Eigenschaften der Aufträge in Untergruppen unterteilt und mit β = β1 , . . . , β10 bezeichnet. • β1 ∈ {∅, K}: Auftragsanzahl Die Anzahl der zu bearbeitenden Aufträge ist entweder konstant (K St¨ uck) oder beliebig (∅). • β2 ∈ {∅, A∗k , nzkm }: Freigabetermin und Nachlaufzeit Es kann (unterschiedliche) Freigabetermine A∗k und/oder Nachlaufzeiten ur alle Aufträge k geben. ∅ bedeutet, dass alle Aufträge am Annzkm 50 f¨ fang des Planungszeitraums zur Verf¨ ugung stehen und keine Nachlaufzeiten zu ber¨ ucksichtigen sind. ∗ , T}: Fertigstellungstermin • β3 ∈ {∅, Fk∗ , F k Ein Fertigstellungstermin, auch Liefertermin genannt, kann vorgegeben ∗ bringt zum Ausdruck, dass ein Uber¨ sein (Fk∗ ) oder nicht ∅. β3 = F k schreiten des Termins zur Unzulässigkeit f¨ uhrt. M¨ ussen alle Aufträge innerhalb des Planungshorizontes fertig gestellt werden, ist β3 = T. • β4 ∈ {∅, Ok ≤ Omax }: Maximale Arbeitsganganzahl in einer Job-ShopUmgebung Dieser Parameter gibt die maximale Anzahl an Operationen Omax = maxk Ok an, die alle Aufträge des Ablaufplanungsproblems zu durchlaufen haben. ∅ dr¨ uckt aus, dass die Anzahl der f¨ ur Auftrag k vorgegebenen Arbeitsgänge variabel ist. 50

Die Nachlaufzeiten können auch maschinen- und/oder auftragsunabhängig sein: nzk , nzm , nz.


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• β5 ∈ {∅, pmtn}: Unterbrechbarkeit der Operation Der Parameterwert pmtn beschreibt die Zulässigkeit der Unterbrechung (preemption) einer Operation (β5 = ∅ sonst). • β6 ∈ {∅, pkm , pk , . . . }: Mögliche Bearbeitungszeiten der Aufträge Der Wertebereich der Bearbeitungszeiten kann auf verschiedene Weise eingeschränkt werden. So können z. B. alle Operationen eine einheitliche Bearbeitungszeit p besitzen (β6 = pkm = p bzw. β6 = pk = p). Die Bearbeitungszeiten aller Operationen können aber auch auf ein Wertintervall zwischen pu und po (β6 = (pu < pkm ≤ p0 )) oder auf eine Wertemenge PZ beschränkt sein (β6 = (pkm ∈ PZ). Falls beliebige Bearbeitungszeiten zugelassen sind, ist β6 ∈ {pkm }. • β7 ∈ {∅,prec}: Reihenfolgebeziehungen prec bedeutet, dass zwar Reihenfolgebeziehungen zwischen verschiedenen Aufträgen zugelassen sind, aber keine weitergehenden Anforderungen an die Art dieser Reihenfolgebeziehung gestellt werden.51 ∅ bedeutet, dass keine Reihenfolgebeziehungen spezifiziert sind.52 • β8 ∈ {∅, rzkm , rzk1 k2 , rzk1 k2 m , rzpf1 pf2 , rzpf1 pf2 m }: R¨ ustzeiten (bzw. -kosten) R¨ ustzeiten fallen an, wenn Maschinen f¨ ur die Bearbeitung bestimmter Operationen vorbereitet werden m¨ ussen. ∅ bedeutet, dass keine R¨ ustzeiten zu ber¨ ucksichtigen sind. Sind R¨ ustzeiten zu ber¨ ucksichtigen, können sie von dem Auftrag k (rzk ), der Maschine m (rzm ) oder beidem (rzkm ) abhängen. Sind die R¨ ustzeiten reihenfolgeabhängig, können sie nur von den Aufträgen (rzk1 k2 ) oder von den Aufträgen und von der jeweils betrachteten Maschine (rzk1 k2 m ) abhängen. Können verschiedene Aufträge zu Auftragsfamilien (pf ) zusammengefasst werden, deren R¨ ustzeiten identisch sind, ist β8 = rzpf1 pf2 bzw. rzpf1 pf2 m . • β9 ∈ {∅,breakdown,azm }: Unterbrechbarkeit der Maschinen F¨ ur die Bearbeitung der Aufträge stehen die Maschinen entweder ununterbrochen (∅) oder nicht ununterbrochen (breakdown) zur Verf¨ ugung.53 51

Sind Reihenfolgebeziehungen genauer spezifiziert, kann weiter in tree, in − tree, out − tree, chains, uan unterschieden werden. Ausf¨ uhrlich dazu vgl. Bla˙zewicz et al.(1983), S. 22f. 52 Präzedenzbeziehungen zwischen Aufträgen finden sich vor allem bei Problemen der Projektplanung. Projekte sind im Gegensatz zu den im Rahmen der Arbeit betrachteten immer wiederkehrenden Ablaufplanungsproblemen insbesondere durch ihre Einmaligkeit gekennzeichnet. Dennoch besteht eine große Verwandtschaft, so ist z. B. das Job-Shop-SchedulingProblem als ressourcenbeschränktes Projektplanungsproblem mit erneuerbaren Ressourcen formulierbar. Vgl. Baker(1974), S. 268; Morton/Pentico(1993), S. 463f.; Hartmann(1999), S. 24. 53 Hiermit sind nicht zufällige Maschinenausfälle (z. B. durch Defekte), sondern geplante Ausfallzeiten gemeint, wie sie z. B. durch Wartungsarbeiten oder einen Schichtbetrieb entstehen können.

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2 Ablaufplanung Wenn nach dem Stillstand einer Maschine m eine Anlaufzeit z. B. f¨ ur Aufwärmprozesse nötig ist, ist β9 = azm . • β10 ∈ {∅, res λσρ}: Ressourcen Sind zusätzliche Ressourcen zu ber¨ ucksichtigen (res), können diese näher spezifiziert werden: λ gibt die Anzahl zusätzlicher Ressourcentypen an, σ die verf¨ ugbare Menge dieser Ressourcen und ρ eine obere Grenze der Ressourcenbeanspruchung durch die Operationen.54 Ansonsten nimmt der β10 den Wert ∅ an.

2.3.3 Zielkriterien γ An der letzten Stelle des Tripels steht das Zielkriterium55 , nach dem gemäß der unternehmerischen Zielsetzung optimiert wird. Die Quantifizierung der unternehmerischen Zielsetzung erfolgt häufig mit Hilfe der in Abschnitt 2.2.2 auf S. 16ff. dargestellten Eigenschaften eines Ablaufplans. Es kommen dabei meistens zwei Zielfunktionstypen zum Einsatz: Die Minimierung des Maximalwertes und die Minimierung der (gewichteten) Summe einer Größe u ¨ber alle Aufträge bzw. Maschinen hinweg. Weitere Verdichtungsformen, wie der Durchschnitt, die Varianz, die Anzahl betroffener Aufträge bzw. Maschinen oder das Heranziehen eines einzelnen Auftrags bzw. einer einzelnen Maschine (Engpass), kommen in der Literatur eher selten vor. In der Literatur werden zahlreiche Ziele der Ablaufplanung diskutiert.56 Dabei wird meistens in kosten-, zeit- (durchlaufzeitbezogene und terminorientierte) und kapazitätsorientierte Zielsetzungen unterschieden. Kostenorientierte Zielsetzungen Da mit dem Produktionsprogramm und den Losgrößen die wesentlichen Erfolgsgrößen bereits festgelegt sind, ist die Einflussmöglichkeit der Ablaufplanung auf die u ¨bergeordneten Erfolgsziele des Unternehmens nur gering.57 Die vom Ab54

λ, σ, ρ ∈ {·, x}; Auftrag k benötigt eine bestimmte Menge einer Ressource während der Zeit seiner Bearbeitung. Vgl. Graham et al.(1979), S. 289 unter β2 . 55 Im Folgenden werden die Begriffe Zielkriterium, Optimalitätskriterium, Zielfunktion und Zielsystem synonym verwendet. 56 Vgl. u. a. Conway et al.(1967); Baker(1974); Siegel(1974); French(1982); Zäpfel(1982); Liedl(1984); Paulik(1984). 57 Dies bezieht sich auf eine kurzfristiger Betrachtungsweise. Bei einer langfristigen Betrachtung kann dagegen eine optimierte Maschinenbelegung z. B. durch p¨ unktliche Lieferungen zu mehr Kundenzufriedenheit und damit einer erhöhten Anzahl neuer Bestellungen f¨ uhren. Dadurch können langfristig bessere Produktionskoeffizienten bestimmt werden, die ihrerseits wiederum als Parameter in die Produktionsprogrammplanung eingehen können.


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laufplan abhängigen und damit entscheidungsrelevanten Kosten der Ablaufplanung sind gemäß dem Wirtschaftlichkeitsprinzip zu minimieren. Dazu gehören u. a. die Kapitalbindungskosten. Diese entstehen durch die Verzinsung des durch die Produktion der Aufträge auf den Betriebsmitteln gebundenen Kapitals.58 Die Lagerung der Zwischen- und Endprodukte kann Lagerhaltungskosten verursachen. Sind Liefertermine gegeben, können verspätete Lieferungen zu Termin¨ uberschreitungskosten f¨ uhren. Je nach Ausgestaltung der Lieferverträge können diese sich in Form von entgangenen Erlösen, Konventionalstrafen oder Preisnachlässen äußern. Zudem besteht die Gefahr, dass der Kunde zur Konkurrenz abwandert und damit Folgeaufträge ausbleiben. Je nachdem, ob ein Kunde eine verfr¨ uhte Lieferung akzeptiert, kann die verfr¨ uhte Fertigstellung eines Auftrages die Kundenzufriedenheit steigern oder aber auch Lagerkosten erhöhen. Ist der normale Ablauf der Fertigung z. B. durch ungeplante Maschinenausfälle, Personalausfall oder fehlende Rohstoffe gestört, kann es zu Verzögerungskosten kommen, die ihrerseits wiederum in Termin¨ uberschreitungskosten m¨ unden können. R¨ ustkosten entstehen einerseits durch das Einrichten und Umr¨ usten von Maschinen und andererseits in Form von Opportunitätskosten einer alternativen zeitgleichen Nutzung f¨ ur die Bearbeitung eines anderen Auftrags.59 Die Ablaufplanung steht dabei vor dem Problem der Bestimmung der Plankosten. So sind z. B. Imageverluste oder Opportunitätskosten durch zuk¨ unftigen Deckungsbeitragsentgang nur sehr schwer zu quantifizieren. Selbst vertraglich festgelegte Preisnachlässe und Konventionalstrafen verhalten sich i. d. R. nicht proportional zu den Verspätungen.60 Aufgrund dieser Schwierigkeiten bei der monetären Bewertung der Kosten bei gleichzeitig geringer Beeinflussbarkeit der u ¨bergeordneten Zielsetzung des Unternehmens werden daher bei der Ablaufplanung meistens anstelle von kostenorientierten Zielen zeit- oder kapazitätsorientierte Ziele verfolgt.61 Dies ist aus betriebswirtschaftlicher Sicht gerechtfertigt, wenn die verwendeten Zielgrößen mit den urspr¨ unglichen monetären Kosten korrelieren. Dies wird f¨ ur die im weiteren Verlauf dargestellten Kriterien unterstellt.62 58

Ausf¨ uhrlich dazu vgl. Seelbach(1975), S. 33. Weitere entscheidungsrelevante Kosten sind die Leerkosten, Stillstandskosten, Beschleunigungskosten, Transportkosten etc. Ausf¨ uhrlich dazu vgl. u. a. Mensch(1968); Rehwinkel(1978); Hoitsch(1993). 60 Vgl. Hoch(1973), S. 33ff.; Siegel(1974), S. 27ff.; Zäpfel(1982), S. 251; Liedl(1984). 61 Wird die Kostenminimierung indirekt u ¨ber die Extremierung von zeit- und kapazitätsorientierten Zielen abgebildet, wird in der Literatur in diesem Zusammenhang häufig von Kostenfunktionen gesprochen. 62 Es ist aber nicht immer sicher, dass mit rein zeitlichen Ersatzzielen oder bewerteten Zeitzielen die Kostenziele ebenfalls erf¨ ullt werden. Vgl. Hoch(1973) und Siegel(1974). 59

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2 Ablaufplanung

Durchlaufzeitbezogene Zielsetzungen Durchlaufzeitbezogene Ziele betrachten den kompletten Auftragsbestand und zielen auf einen schnellen Produktionsfluss. Ihre Abbildung kann u. a. folgendermaßen erfolgen: • γ = DK: Minimierung der Summe der Durchlaufzeiten K K Dk = (pkm + wkm ) mit DK = k=1

k=1 m∈Mk

• γ = W : Minimierung der Wartezeiten K K mit W = Wk = wkm k=1

k=1 m∈Mk

• γ = Z = Fmax : Minimierung der Zykluszeit/maximalen Fertigstellungszeit mit Z = Fmax = max{F1 , . . . , FK } K¨ urzere Durchlaufzeiten haben diverse Vorteile. Unter Kostengesichtpunkten verringert sich durch k¨ urzere Durchlaufzeiten die Dauer der Kapitalbindung, urzewodurch die Kapitalbindungskosten sinken.63 Außerdem kommt es zu k¨ ren Lagerungszeiten der Zwischenprodukte, woraus eine Reduktion der ablaufbedingten Lagerkosten resultieren kann. Unter Wettbewerbsgesichtpunkten ermöglichen k¨ urzere Durchlaufzeiten eine schnellere Reaktion auf Nachur potentielle Nachfragesteigerungen m¨ ussen frageänderungen des Marktes.64 F¨ nicht so viele fertige Produkte im Voraus gelagert werden. Bei Nachfrageänderungen kann schneller auf neue Produkte umger¨ ustet werden. Wenn sich die f¨ ur die Produktion benötigte Zeit verringert, sinkt damit auch die Eintrittswahrscheinlichkeit f¨ ur unerwartete Ereignisse wie z. B. Maschinenausfälle. Die G¨ ultigkeitswahrscheinlichkeit von Ablaufplänen steigt damit.65 Terminorientierte Zielsetzungen Sind Fertigstellungstermine f¨ ur die einzelnen Aufträge gegeben, wie es oft bei einer Kundenauftragsfertigung der Fall ist, so werden lieferterminorientierte Ziele verfolgt. Mögliche Zielkriterien zur Abbildung einer hohen Termintreue sind: • γ = T Amax : Minimierung der maximalen (absoluten) Terminabweichung mit T Amax = max{|T A1 |, . . . , |T AK |} 63

Zur Bewertung der enthaltenen Wartezeiten siehe Seelbach(1975), S. 33f. Quantitative Flexibilität, vgl. Hoitsch(1993), S. 8. 65 Im Falle der Existenz von Lieferterminen steigt damit auch die Kundenzufriedenheit. 64


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• γ = GT A+ : Minimierung der gewichteten Summe aller Verspätungen K + ∗ mit GT A+ = gk · T A+ k und T Ak = max{0, Fk − Fk } k=1

ur Auftrag k und gk Gewichtungsfaktor f¨ Anzahl verspäteter Aufträge • γ = AnzT A+ : Minimierung der K 1 , Fk > Fk∗ mit AnzT A+ = uk mit uk = 0 , Fk ≤ Fk∗ k=1 • γ = |T A|: Minimierung der mittleren absoluten Terminabweichung K 1

mit |T A| = |T Ak | K k=1

Eine Verringerung der Durchlaufzeit wirkt sich auch positiv auf Termin¨ uberschreitungen aus. Verfr¨ uhte Fertigstellungen verursachen zwar Kapitalbindungskosten, bringen aber auch zusätzliche Pufferzeiten mit sich. Kapazit¨ atsorientierte Zielsetzungen Bei kapazitätsorientierten Zielen stehen die Maschinen im Fokus. Die Auslastung der Betriebsmittel soll möglichst hoch sein. • γ = KA: Maximierung der Kapazitätsauslastung M pkm PM m=1 k∈Km = M mit KA = BM (pkm + lkm ) m=1 k∈Km

• γ = BM : Minimierung der Gesamtbelegungszeit M M Bm = (pkm + lkm ) mit BM = m=1

m=1 k∈Km

• γ = L: Minimierung der Leerzeiten M M Lm = lkm mit L = m=1

m=1 k∈Km

• γ = RZ: Minimierung der R¨ ustzeiten M K M K mit RZ = Rzm = Rzk = rzkm = rzkm m=1

k=1

m=1 k∈Km

k=1 m∈Mk

Kapazitätsorientierte Zielsetzungen können im deterministischen Fall auch durch auftragsspezifische Zielsetzungen abgebildet werden, da mit dem Ablaufplan die Belastung der Maschinen durch die Aufträge festgelegt ist. Dies kann u. a. durch die Zielsetzung der Minimierung der Zykluszeit erreicht werden.

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2 Ablaufplanung • γ = Z: Minimierung der Zykluszeit mit Z = Fmax = max{F1 , . . . , FK }

Zwischen den oben dargestellten Zielsetzungen bestehen Zielbeziehungen. Diese können komplementär, konfliktionär oder indifferent sein.66 Es handelt sich um eine komplementäre Zielbeziehung, wenn die Verfolgung des einen Ziels ebenfalls zu einer Verbesserung des anderen Ziels f¨ uhrt. Dies trifft u. a. f¨ ur sog. äquivalente Ziele zu, deren korrespondierende Zielfunktionen durch Lineartransformation ineinander u uhrt werden können. So ist inner¨berf¨ halb einer Zielgröße z. B. die Minimierung einer Durchschnittsgröße mit der Minimierung der (gewichteten) Summe gleichbedeutend. Anhand des folgenden Beispiels bzgl. der Durchlaufzeit kann dies nachvollzogen werden: DK =

K

Dk = K ·

k=1

K 1

· Dk = K · DK K k=1

Die beiden Ziele sind äquivalent in dem Sinne, dass ein bzgl. eines Ziels optimaler Ablaufplan auch f¨ ur das andere Ziel optimal ist.67 Komplementäre Zielbeziehungen finden sich nicht nur innerhalb einer Zielgröße, sondern auch zwischen verschiedenen Zielgrößen.68 So entspricht bei der hier im deterministischen Fall getroffenen Annahme konstanter Bearbeitungszeiten z. B. die Minimierung der Gesamtdurchlaufzeit der Minimierung der Wartzeiten oder die Maximierung der Kapazitätsauslastung der Minimierung der Leerzeiten: DK =

K

k=1 m∈Mk

(pkm + wkm ) = M

K

pkm +

k=1 m∈Mk

K

wkm = P K + W

k=1 m∈Mk

pkm PM PM m=1 k∈Km = = M KA = BM PM + L (pkm + lkm ) m=1 k∈Km

Im Gegensatz dazu sind zwei Ziele konfliktionär, wenn mit der Verbesserung des einen Ziels der Realisierungsgrad des anderen Ziels verschlechtert wird (et vice versa). In der Literatur wird in diesem Zusammenhang das von Gutenberg 66

Zu den Begriffen der Entscheidungstheorie vgl. Dinkelbach(1982), S. 158f.; Saliger(2003), S. 29ff.; Laux(2005), S. 67ff.; Domschke/Scholl(2008), S. 52ff. Vgl. Conway et al.(1967), S. 12f.; Rinnooy Kan(1976), S. 21.; French(1982), S. 28. 68 Eine ausf¨ uhrliche Betrachtung findet sich in Rinnooy Kan(1976), S. 20ff.; Lenstra et al.(1977), S. 294ff.; French(1982), S.28ff.; Domschke et al.(1997), S. 297. 67


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eingef¨ uhrte Dilemma der Ablaufplanung diskutiert, das er in der Gegenläufigkeit der beiden Ziele der Minimierung der Warte- und Leerzeiten sieht.69 Zwei Ziele sind indifferent, wenn die Erf¨ ullung des einen Zieles unabhängig von der Erf¨ ullung des anderen Ziels ist. Die Betrachtung von Zielbeziehungen ist auch vor dem Hintergrund interessant, dass bei realen Problemstellungen in der Ablaufplanung in der Regel mehrere, unterschiedliche Zielsetzungen von Wichtigkeit sind.70 Sind alle Ziele zueinander komplementär, reicht es, die Optimierung eines der Zielkriterien zu verfolgen. Setzt sich die Zielfunktion dagegen aus mehreren konkurrierenden Unterzielen zusammen, m¨ ussen die Methoden der Mehrzieloptimierung angewendet werden.71 Es ist bei konkurrierenden Zielsetzungen nicht möglich, alle Ziele optimal zu erreichen, so dass eine Kompromisslösung gefunden werden muss. Mit Hilfe von Effizienzbetrachtungen kann der Lösungsraum in zwei disjunkte Teilmengen zerlegt werden – in die effiziente und die nicht-effiziente Menge. Eine (zulässige) Lösung ist effizient, falls es keine andere (zulässige) Lösung gibt, die bez¨ uglich aller Ziele zumindest gleich gute und in mindestens einem Ziel einen besseren Zielfunktionswert aufweist, d. h., wenn sie nicht dominiert wird. F¨ ur den Begriff der Effizienz wird synonym auch der Begriff der Pareto-Optimalität verwendet.72 Da die meisten Probleme eine große Zahl solcher Pareto-optimaler Lösungen besitzen, kann dies – abgesehen von möglichen numerischen Problemen bei der Ermittlung der Menge effizienter Lösungen – f¨ ur den Entscheidungsträger un¨ ubersichtlich sein. Es ist in diesem Fall nötig, dass zusätzliche Informationen u ¨ber die Zielvorstellungen des Entscheidungsträgers in den Lösungsprozess einfließen, damit eine Lösung bestimmt werden kann, die gemäß seiner Präferenzen (Artenpräferenzen) optimal“ sind. In der Ent” scheidungstheorie sind zahlreiche Verfahren zur Entscheidungshilfe entwickelt 73 worden. Dazu gehören auch die so genannten Kompromissmodelle. Bei diesen wird das Zielsystem durch eine skalare Zielfunktion (Kompromisszielfunktion) 69

Vgl. Gutenberg(1983), S. 158ff. In der Literatur herrscht keine Einigkeit dar¨ uber, ob ein solches Dilemma u unther(1971); Riedesser(1971); ¨berhaupt existiert, vgl. u. a. G¨ G¨ unther(1972); Siegel(1974), S. 121. Es folgten Erweiterungen zum Trilemma durch Mensch(1968), S. 82 bzw. G¨ unther(1971) und zum Polylemma durch Schweitzer(1967), S. 291ff. Einen Zusammenfassung der Zieldiskussion in der Literatur mit weiterf¨ uhrenden Literaturhinweisen findet sich in Liedl(1974), S. 18ff. 70 Eine ausf¨ uhrliche Darstellung der Zielbeziehungen findet sich u. a. in Rinnooy Kan(1976), S. 20ff.; French(1982), S. 28ff. 71 Vgl. Fandel(1972); Dinkelbach(1982); Dinkelbach/Kleine(1996), S. 33ff.. 72 Das Konzept wurde urspr¨ unglich von Francis Ysidro Edgeworth vorgeschlagen und dann von Vilfredo Pareto weiterentwickelt. Vgl. Edgeworth(1881) und Pareto(1896). Das Konzept der Pareto-Optimalität f¨ uhrten Van Wassenhove und Gelders 1980 ins Feld der Ablaufplanung ein. Vgl. Van Wassenhove/Gelders(1980). 73 Die meisten sind in die zwei Verfahrensklassen Multiattribute Decision Making (MADM) und Multiobjective Decision Making (MODM) einteilbar. Ausf¨ uhrlich dazu vgl. Hwang/Yoon(1981); Schneeweiss(1991); Zimmermann/Gutsche(1991); Figueira et al.(2005).

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2 Ablaufplanung

und möglicherweise auch zusätzliche Nebenbedingungen ersetzt.74 Die Präferenzen des Entscheiders fließen i. d. R. in Form von Parametern ins Modell ein. Ein häufig eingesetztes Kompromissmodell ist die Zielgewichtung: Bei diesem Kompromissmodell muss der Entscheidungsträger die einzelnen Ziele gemäß seiner Präferenzen gewichten. Die Kompromisszielfunktion multipliziert die einzelnen Zielkriterien zunächst mit ihren jeweiligen Zielgewichten und addiert diese anschließend.75 Zur Kennzeichnung einer multikriteriellen Zielfunktion erfolgt die Notation in Anlehnung an T’Kindt/Billaut(2002). Sollen alle Pareto-optimalen Alternativen gefunden werden, erfolgt die Notation im Klassifikationschema mittels der durch Kommata getrennten Zielfunktions-Parameter α|β|γ1 , . . . , γZ . Ist eine Aggregation der multikriteriellen Zielsetzungen ZFz (z = 1, . . . , Z) durch eine Zielgewichtung vorgesehen, lautet die Notation F (ZF1 , . . . , ZFZ ). Zu guter Letzt können Zielkriterien dahingehend unterschieden werden, ob sie regulär sind oder nicht.76 Ein Zielkriterium ist regulär, wenn es folgende Eigenschaften besitzt: 1. Das (zu minimierende) Zielkriterium ZF ist eine Funktion der Fertigstellungszeitpunkte Fk der einzelnen Aufträge: ZF = f (F1 , F2 , . . . , FK ). 2. Der Wert von ZF verringert sich nur, wenn sich mindestens ein Fertigstellungszeitpunkt eines Auftrages verringert, so dass f¨ ur ZF 1 =f (F11 , . . . , FK1 ) 2 2 2 und ZF = f (F1 , . . . , FK ) gilt: ZF 2 < ZF 1 ⇒ ∃k ∈ {1, . . . , K} : Fk2 < Fk1 Dies impliziert, dass sich der Wert eines regulären Zielkriteriums nur dann erhöhen kann, wenn sich der Fertigstellungszeitpunkt von mindestens einem Auftrag erhöht.77 Liefert der Vergleich der Fertigstellungszeitpunkte zweier Ablaufpläne F11 ≤ F12 , F21 ≤ F22 , . . . , FK1 ≤ FK2 , dann folgt daraus bei einem regulären Zielkriterium ZF 1 ≤ ZF 2 .78 Von den hier dargestellten Zielkriterien sind z. B. DK, Z, GT A+ , T Amax und AnzT A+ regulär.79 74

Eine ausf¨ uhrliche Darstellung möglicher Kompromissmodelle findet sich in Dinkelbach(1982), S. 179ff. und Dinkelbach/Kleine(1996), S. 44ff. Durch diese Konvexkombination wird das multikriterielle Optimierungsproblem in ein skalares Optimierungsproblem transformiert. 76 Vgl. Conway et al.(1967), S. 12; Baker(1974), S. 13; Rinnooy Kan(1976), S. 16. 77 Wenn sich der Fertigstellungszeitpunkt von einem Auftrag erhöht, muss dies aber nicht zwingend eine Erhöhung des Zielfunktionswertes zur Folge haben. 78 Vgl. French(1982), S. 13f. 79 Vgl. Conway et al.(1976), S. 12; Rinnooy Kan(1976), S. 16 ff.; French(1982), S. 14. 75

2.4 Der Lösungsbereich – Arten von Ablaufplänen

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Beispiele zur Klassifikation • 1|Fk∗ |GT A+ : F¨ ur die an einer Maschine zu bearbeitenden Aufträge sind Fertigstellungstermine gegeben. Die gewichtete Summe der Termin¨ uberschreitungen ist zu minimieren. • P 3|rzk1 k2 m |DK: An drei identischen Maschinen, die gleichzeitig eingesetzt werden können, ist eine beliebige Anzahl von Aufträgen zu bearbeiten. Zwischen den Aufträgen bestehen reihenfolgeabhängige R¨ ustzeiten. Zielsetzung ist die Minimierung der Summe der Durchlaufzeiten der K Aufträge. • J4|pkm = 2, A∗k |Z: Es handelt sich um ein Job-Shop-Scheduling-Problem – kurz auch JobShop-Problem oder JSP genannt – mit 4 Maschinen. F¨ ur die Aufträge sind einheitliche Prozesszeiten sowie Freigabezeitpunkte gegeben. Es wird der Ablaufplan mit der kleinsten Zykluszeit gesucht.

2.4 Der L¨ osungsbereich – Arten von Ablaufpl¨ anen Ablaufpläne werden nicht nur hinsichtlich der im Abschnitt 2.3.3 auf S. 26ff. dargestellten quantitativen Kriterien unterschieden, sondern auch hinsichtlich bestimmter qualitativer Kriterien. Hierzu werden im Folgenden Eigenschaften skizziert, die ein Ablaufplan haben kann. Sie ermöglichen es unter bestimmten Voraussetzungen (z. B. reguläres Zielkriterium) bei der Suche nach dem optimalen Ablaufplan, den Lösungsraum insofern einzugrenzen, dass er nur potentiell optimale Lösungen enthält.80

2.4.1 Fallstudie FS1 Im Laufe der Arbeit werden zur Veranschaulichung dargestellter Inhalte an verschiedenen Stellen drei kleinere Fallstudien (FS1, FS2 und FS3) betrachtet. Sie dienen als Hinf¨ uhrung auf die konkrete Problemstellung aus der Halbleiterindustrie, die Fallstudie FSH. Im Folgenden wird die erste Fallstudie FS1 eingef¨ uhrt zur Veranschaulichung der verschiedenen Ablaufplanarten. Bei dieser wird ein 80

Der rein kombinatorischen Frage nach der Art und Anzahl der zu einem Shop-SchedulingProblem gehörigen Pläne bzw. Ablaufgraphen – unabhängig von den gegebenen Bearbeitungszeiten – wird in der Literatur unter dem Begriff der Strukturuntersuchung diskutiert. Es wird dabei u ¨blicherweise in zulässig vs. unzulässig, aktiv vs. inaktiv sowie nicht optimal vs. potentiell optimal und optimal unterschieden. Vgl. Baker(1984), S. 13. und Harborth(1999), S. 3.

34

2 Ablaufplanung

Job-Shop-Problem J//Z betrachtet, bei dem von folgenden Prämissen ausgegangen wird:81 Auf einer gegebenen Anzahl von M Maschinen m¨ ussen K bekannte Aufträge bearbeitet werden (M, K ∈ N mit M, K ≥ 2). Jeder Auftrag k besteht aus einer Kette von Ok Operationen Ok[1] , Ok[2] , . . . , Ok[Mk ] . Okm kann erst bearbeitet werden, wenn die Bearbeitung auf seiner vorherigen Maschine Okvm (vm = [2]k , . . . , [Mk ]k ) abgeschlossen ist (Ok[1] ≺ Ok[2] ≺ · · · ≺ Ok[Mk ] ). Die Bearbeitung einer Operation Okm darf nicht unterbrochen werden und benötigt pkm ∈ N Zeiteinheiten. Jeder Auftrag und jede Maschine ist vom Beginn des ugbar. Zu einem Zeitpunkt kann jeder Auftrag Planungszeitraums (t0 ) an verf¨ höchstens von einer Maschine bearbeitet werden und jede Maschine höchstens einen Auftrag bearbeiten. Gesucht sind die Auftragsfolgen auf den einzelnen Maschinen unter der Zielsetzung der Minimierung der Zykluszeit. In folgender Fallstudie FS1 werden 3 Aufträge betrachtet, die alle jeweils auf 4 Maschinen bearbeitet werden m¨ ussen. Da jeder Auftrag auf jeder Maschine genau einmal zu bearbeiten ist, handelt es sich um ein so genanntes klassisches Job-Shop-Problem (JSP).82 In den folgenden zwei Tabellen 2.3 bzw. 2.4 sind die Maschinenfolgen und Bearbeitungszeiten erfasst:83

k=1 k=2 k=3

[1]k [2]k [3]k [4]k 1 2 4 3 2 3 4 1 1 2 3 4

Tabelle 2.3: Maschinenfolgen [m] (Fallstudie FS1)

k=1 k=2 k=3

m=1 m=2 m=3 m=4 7 4 4 1 7 6 9 4 5 5 3 7

Tabelle 2.4: Prozesszeiten pkm in ZE (Fallstudie FS1) 81

In der Literatur wird das (statisch-deterministische) J//Z Problem häufig f¨ ur die Darstellung von Maschinenbelegungsplanungsproblemen verwendet. Es stellt einen Sonderfall dar, der von den in β dargestellten Charakteristika abstrahiert und das Problem damit vereinfacht. Vgl. z. B. Bla˙zewicz et. al(1996). Ausf¨ uhrlich dazu vgl. u. a. Conway et al.(1967), S. 5f.; Seelbach(1975), S. 16ff.; French(1982), S. 8f; Brucker(2004), S. 189ff. 82 Jeder Arbeitsgang wird auf einer anderen Maschine durchgef¨ uhrt, d. h., Ok = M = Mk , Om = K. Vgl. Baker(1974), S. 181. In der Literatur werden f¨ ur diese Situation die Begriffe Job-Shop, klassisches Job-Shop, General Job-Shop und Pure Job-Shop verwendet. Allerdings werden diese Bezeichnungen nicht immer einheitlich definiert und verwendet. 83 In der Literatur werden die Daten oft auch in Form von Matrizen dargestellt (Maschinenfolgematrix bzw. Bearbeitungszeitenmatrix/Produktionszeitenmatrix).


35

Jede Maschine m hat die begrenzte Anzahl von Om ! möglichen Auftragsfologliche Aufgen. Damit ergeben sich f¨ ur alle Maschinen maximal M m=1 (Om !) m¨ tragsfolgekombinationen. Betrachtet man den Spezialfall eines klassischen Jobur Shop-Problems mit Om = K, gibt es folglich K! mögliche Auftragsfolgen f¨ jede der M Maschinen und damit (K!)M mögliche Auftragsfolgekombinationen. Bei der betrachteten Fallstudie FS1 sind dies auf jeder Maschine 3!=6 mögliche Auftragsfolgen und damit (3!)4 = 1296 mögliche Auftragsfolgekombinationen. Aufgrund dieser Begrenztheit muss es einen optimalen Ablaufplan geben!

2.4.2 Zul¨ assige Ablaufpl¨ ane Von diesen möglichen Auftragsfolgekombinationen können manche zulässig und manche unzulässig sein. Eine Auftragsfolgekombination ist unzulässig, wenn ihre Operationsfolgen im Widerspruch zu gegebenen Maschinenfolgebedingungen stehen. Ist eine zulässige Auftragsfolgekombination gefunden, kann daraus ein zulässiger Ablaufplan erzeugt werden. Ein Ablaufplan ist zulässig, wenn bei der zeitlichen Zuordnung der Operationen zu Maschinen alle Reihenfolgebedingungen (Auftragsfolgen, Maschinenfolgen) und evtl. weitere vorgegebene Restriktionen (z. B. Verf¨ ugbarkeitszeitpunkte) eingehalten werden. Ist ein zulässiger Ablaufplan vorhanden, können durch zeitliches Verschieben der Operationen (z. B. durch das Einf¨ ugen von Leerzeiten) beliebig viele zulässige Ablaufpläne erzeugt werden. Ablaufpläne werden häufig als Gantt-Diagramme dargestellt.84 Diese grafische Darstellung in Form eines Balkendiagramms veranschaulicht neben den Auftragsfolgen eines Ablaufplans (Sequencing) auch die zeitliche Einplanung der Operationen (Scheduling). Die Operationen werden durch geschlossene Intervalle, deren Länge der jeweiligen Bearbeitungszeit entspricht, auf Zeitachsen repräsentiert. Je nachdem, ob die Maschinenbelegung oder der Auftragsfortschritt im Fokus der Betrachtung stehen, kann ein Ablaufplan in einem Maschinenbelegungsdiagramm (maschinenorientiertes Gantt-Diagramm)85 oder in einem Auftragsfortschrittsdiagramm (auftragsorientiertes Gantt-Diagramm) dargestellt werden. Bei der Fallstudie FS1 können unter Ber¨ ucksichtigung der Maschinenfolgen die Aufträge z. B. zu den auf folgender Seite in Tabelle 2.5 dargestellten Anfangszeiten eingeplant werden: 84

Diese sind nach ihrem Entwickler Henry L. Gantt benannt (vgl. Gantt(1919)). Vgl. u. a. Clark(1922); Porter(1968). 85 In der Literatur werden hierf¨ ur auch die Begriffe Balkendiagramm, Plantafel, Belastungstafel, Ablaufdiagramm, Belastungsdiagramm, Auftragsfolgegantt oder maschinenorientiertes Gantt-Chart synonym verwendet.

36

2 Ablaufplanung

k=1 k=2 k=2

m=1 m=2 m=3 m=4 2 12 20 22 24 34 46 50 21 31 46 54

Tabelle 2.5: Anfangszeiten akm in ZE (Fallstudie FS1)

Die dazu korrespondierenden maschinen- bzw. auftragsorientierten Gantt-Diagramme sind in den folgenden Abbildungen 2.3 und 2.4 dargestellt.86

Abbildung 2.3: Maschinenorientiertes Gantt-Diagramm eines zulässigen Ablaufplans von der Fallstudie FS1

Abbildung 2.4: Auftragsorientiertes Gantt-Diagramm eines zulässigen Ablaufplans von der Fallstudie FS1 86

Im weiteren Verlauf der Arbeit werden Ablaufpläne nur noch als maschinenorientiertes GanttDiagramm abgebildet.


37

Die maschinenorientierte Darstellung gibt die Reihenfolgen der Aufträge auf den Maschinen (maschinenbezogene Auftragsfolgen) wieder und liefert einen ¨ guten Uberblick u ¨ber die Belegung der Maschinen. Es können neben den Produktionszeiten auch die Leerzeiten ablesen werden. Um die Fortschritte an den einzelnen Aufträgen zu beobachten, ist dagegen das auftragsorientierte GanttDiagramm besser geeignet, bei dem die auftragsbezogenen Maschinenfolgen abgebildet sind. Hieran kann man die Produktions- und Wartezeiten erkennen. Die dargestellte Lösung ist zulässig und kann – muss aber nicht – optimal sein. Die Zykluszeit von Z = 61 ZE stellt somit eine Obergrenze f¨ ur den Zielfunktionswert dar.

2.4.3 Semiaktive Ablaufpl¨ ane Zu jedem zulässigen Ablaufplan existiert ein dazugehöriger so genannter semiaktiver Ablaufplan. Dieser ist durch die Eigenschaft gekennzeichnet, dass bei einer gegebenen Auftragsfolgekombination alle Operationen fr¨ uhestmöglich beginnen. Ein Ablaufplan ist somit semiaktiv, falls kein Anfangszeitpunkt einer Operation vorgezogen werden kann, ohne die Auftragsfolge von mindestens einer Maschine zu verändern oder eine weitere Restriktion zu verletzen.87 Ein semiaktiver Ablaufplan ist in folgender Abbildung 2.5 dargestellt:

Abbildung 2.5: Gantt-Diagramm eines semiaktiven Ablaufplans von der Fallstudie FS1 87

Vgl. Seelbach(1975), S. 92; Rinnooy Kan(1976), S. 16f.; French(1982), S. 27.

38

2 Ablaufplanung

Im Gantt-Diagramm ist die Semiaktivität daran ersichtlich, dass keine Operation unter Beibehaltung der Auftragsfolgen an allen Maschinen (im Bezug auf die Zeitachse) nach links verschoben werden kann. In diesem Zusammenhang wird von einer lokalen oder limitierten Linksverschiebung gesprochen.88 Die Menge der semiaktiven Ablaufpläne ist eine Teilmenge der Menge der kann die Anzulässigen Ablaufpläne.89 Durch diese semiaktive Terminierung zahl zulässiger Ablaufpläne auf die Oberschranke M m=1 (Om !) bzw. im klassischen Fall K! eingeschränkt werden. Bei regulären Zielkriterien dominieren semiaktive Ablaufpläne alle anderen Ablaufpläne bei gleicher Auftragsfolgenkombination.90 Die Menge der semiaktiven Ablaufpläne enthält mindestens einen optimalen Ablaufplan.91 Um ein reguläres Zielkriterium zu optimieren, reicht es daher aus, nur semiaktive Ablaufpläne zu betrachten. Durch die semiaktive Terminierung kann die Zykluszeit bei FS1 von 61 ZE auf 37 ZE reduziert werden.

2.4.4 Aktive Ablaufpl¨ ane Wird die Forderung nach unveränderten Auftragsfolgen an allen Maschinen fallen gelassen, können aktive Ablaufpläne erzeugt werden. Ein semiaktiver Ablaufplan heißt aktiv, falls kein Anfangszeitpunkt einer Operation – auch unter Vertauschung der Auftragsfolgen – vorgezogen werden kann, ohne den Anfangszeitpunkt mindestens einer anderen Operation zu verzögern oder eine andere Restriktion zu verletzen.92 Da die Auftragsfolgen an den einzelnen Maschinen nicht mehr eingehalten werden m¨ ussen, kann im Gantt-Diagramm eine Operation eine andere Operation zeitlich nach vorne (d. h. links) u ¨berspringen (vgl. Abbildung 2.6 auf S. 39). Ist dies in der Weise möglich, dass sich dadurch die Anfangzeitpunkte der nachfolgenden Operationen nicht verzögern, handelt es sich um eine globale Linksverschiebung.93 Ein Ablaufplan ist aktiv, wenn im Gantt-Diagramm keine globale 88

Vgl. Conway et al.(1967), S. 109; Baker(1974), S. 181. Vgl. Dinkelbach(1977), S. 559. 90 Dominierte Ablaufpläne können vernachlässigt werden. Vgl. Baker(1974), S. 181. Nicht dominierte Ablaufpläne sind effizient. Vgl. Dinkelbach/Kleine(1996), S. 39. 91 Vgl. Rinnooy Kan(1976), S. 16f.; French(1982), S. 26ff. 92 Ansonsten ist der Ablaufplan inaktiv. Vgl. Giffler/Thompson(1960), S. 487ff.; Conway et al.(1967), S. 109ff.; Mensch(1968), S. 81ff.; Seelbach(1975), S. 92; Rinnooy Kan(1976), S. 32; French(1982), S. 156f.; Baker(1984), S. 183; Pinedo(1995), S. 16. 93 Vgl. Conway et al.(1967), S. 111; Baker(1984), S. 183. 89


39

Linksverschiebung möglich ist. Die Menge der aktiven Ablaufpläne ist eine Teilmenge der semiaktiven und damit zulässigen Ablaufpläne.94 In Bezug auf reguläre Zielkriterien wird jeder inaktive semiaktive Ablaufplan von einem aktiven Ablaufplan dominiert95 und es existiert mindestens ein aktiver optimaler Ablaufplan. Es reicht daher aus, sich bei der Suche nach deinem optimalen Ablaufplan auf die kleinere Menge der aktiven Ablaufpläne zu beschränken, da sie mindestens ein Optimum enthält.96

Abbildung 2.6: Gantt-Diagramm eines aktiven Ablaufplans von der Fallstudie FS1 In Abbildung 2.5 auf S. 37 ist ersichtlich, dass es sich um einen inaktiven Ablaufplan handelt: Bei Maschine m = 2 ist ein ausreichend großes Leerzeitintervall von 7 ZE vor Beginn der Operation O12 vorhanden, so dass die nachfolgende Operation O22 mit einer Bearbeitungszeit von p22 = 6 ZE vorgezogen werden kann, ohne dadurch den Beginn einer der anderen Operationen zu verzögern oder eine Maschinenfolgebedingungen zu verletzen. In Folge dessen können die Operationen O23 , O24 und O21 und daraufhin auch O32 , O33 und O34 ebenfalls fr¨ uher eingeplant werden, so dass sich die Zykluszeit beim aktiven Ablaufplan um 1 ZE reduziert. Der durch diese Linksverschiebung erzeugte aktive Ablaufplan dominiert den inaktiven Plan. 94

Unter Beibehaltung der maximalen Linksverschiebung liefert jede derartige Veränderung wiederum einen semiaktiven Ablaufplan. Ein aktiver Plan ist somit immer semiaktiv, umgekehrt muss dies aber nicht gelten. Vgl. Conway et al.(1967), S. 111; Rinnooy Kan(1976), S. 32. 95 Ein inaktiver semiaktiver Plan ist bez¨ uglich regulärer Zielkriterien stets schlechter als oder ”höchstens so gut wie der aus ihm abgeleitete aktive Ablaufplan.“ Seelbach(1975), S. 92. Vgl. dazu auch Conway et al.(1967), S. 111. 96 Vgl. Baker(1974), S. 185; Rinnooy Kan(1976), S. 32; French(1982), S. 157.

40

2 Ablaufplanung

2.4.5 Unverzo ane ¨gerte Ablaufpl¨ Ein Ablaufplan heißt unverzögert, wenn jede verf¨ ugbare und leer stehende Maschine einen vor ihr bereitstehenden Auftrag sofort bearbeitet.97 Jeder unverzögerte Ablaufplan ist zugleich aktiv, semiaktiv und zulässig, aber nicht umgekehrt.98 Der in Abbildung 2.6 auf S. 39 betrachtete aktive Ablaufplan ist verzögert: Auftrag k = 2 steht nach seiner Bearbeitung auf Maschine m = 2 zum Zeitpunkt t = 6 bei der verf¨ ugbaren und freien Maschine m = 3 zur Bearbeitung bereit. O23 wird aber erst nach O13 zum Zeitpunkt t = 16 bearbeitet. Die folgende Abbildung 2.7 stellt einen unverzögerten Ablaufplan dar mit der Zykluszeit von 29 ZE.

Abbildung 2.7: Gantt-Diagramm eines unverzögerten Ablaufplans von der Fallstudie FS1 Bez¨ uglich regulärer Zielkriterien ist die Menge der unverzögerten Ablaufpläne keine dominierende Teilmenge in dem Sinne, wie die aktiven die semiaktiven dominieren. Ein optimaler Ablaufplan muss nicht unverzögert sein.99 Auch in der betrachteten Fallstudie FS1 ist der optimale Ablaufplan verzögert (siehe Abbildung 2.8 auf S. 41). Durch das Vertauschen der beiden Aufträge k = 1 und k = 2 an Maschine m = 3 entsteht der optimale Ablaufplan, bei dem O13 nicht zum Zeitpunkt t = 15 bearbeitet wird, obwohl die Maschine frei ist. Die minimale Zykluszeit beträgt 27 ZE. 97

D. h., ein unverzögerter Ablaufplan enthält (im Gegensatz zu einem verzögerten) keine unvermeidbaren Leerzeiten. Vgl. Conway et al.(1967), S. 111; Baker(1984), S. 185; French(1982), S. 157; Pinedo(2005), S. 16. 98 Vgl. Conway et al.(1967), S. 111f. 99 Vgl. Conway et al.(1967), S. 111f.; Baker(1974), S. 186f.; French(1982), S. 157; Hutchinson/Chang(1990); Pinedo(2005), S. 22f.


41

Abbildung 2.8: Gantt-Diagramm eines optimalen Ablaufplans von der Fallstudie FS1 Die Vorteile der unverzögerten Ablaufpläne sind, dass sie eine im Vergleich zu der Menge der aktiven Ablaufpläne kleinere Menge bilden, leicht zu erzeugen sind100 und im Durchschnitt bessere Ergebnisse als die u ¨brigen aktiven Ablaufpläne liefern.101 Die Menge aller Ablaufpläne ist in der folgenden Abbildung 2.9 noch einmal in Form eines Venn-Diagramms dargestellt.102

Abbildung 2.9: Venn-Diagramm bzgl. möglicher Ablaufplan-Arten, Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Baker(1974), S. 185. 100

Vgl. Seelbach(1975). Vgl. hierzu auch Abschnitt 5.3, S. 114. Der optimale Ablaufplan muss sich aber nicht darunter befinden. Vgl. Conway et al.(1967), S. 112; French(1982), S. 157. 102 Bei regulären Zielfunktionen befinden sich mögliche Optima in der Menge der aktiven Ablaufpläne. Sie können, m¨ ussen aber nicht unverzögert sein. 101

3 Fallstudie aus der Halbleiterindustrie In der vorliegenden Arbeit wird eine konkrete Problemstellung der operativen Ablaufplanung in der Diodenfabrik eines Unternehmens der Halbleiterindustrie betrachtet.1 Sie wird im Folgenden als Fallstudie FSH bezeichnet. Die Aufgabe besteht darin, ein Lösungsverfahren zu entwickeln, das möglichst gute Ablaufpläne generiert. In der betrachteten Diodenfabrik werden – wie der Name sagt – Dioden hergestellt. Eine Diode2 ist ein elektrisches Bauelement mit zwei Polen. Die Diode ist f¨ ur Strom durchlässig, allerdings nur, wenn er in eine bestimmte Richtung fließt. Wenn der Strom in die entgegengesetzte Richtung fließen möchte, wirkt die Diode unterhalb einer Durchbruchspannung isolierend. Dioden unterscheiden sich nach ihrem Einsatzzweck, so dass es eine Vielzahl an unterschiedlichen Diodentypen gibt. Zur Herstellung der Dioden werden Chips benötigt, die in der Wafer-Fabrik3 hergestellt und in die Diodenfabrik geliefert werden. Das betrachtete Unternehmen stellt aus den Chips in zwei Produktionsstufen – der Montage und der Endmessung – 63 verschiedene Diodentypen her. Die Struktur der Wafer-Dioden-Fabrik ist in folgender Abbildung 3.1 dargestellt:

WaferFabrik

CHIPS

Montage

DiodenFabrik

DIODEN

Endmessung

Abbildung 3.1: Wafer-Dioden-Fabrik Es wird in der folgenden Betrachtung davon ausgegangen, dass die Wafer-Fabrik Chips in ausreichender Menge liefert und auch alle anderen f¨ ur die Herstellung 1

Das Unternehmen besitzt im Bereich der Herstellung von Dioden, die insbesondere zur Herstellung von Lichtmaschinen f¨ ur Kraftfahrzeuge benötigt werden, einen Weltmarktanteil von mehr als 60%. Die weltweite monatliche Produktionsmenge und der Umsatz liegen jeweils in einer zweistelligen Millionengrößenordnung. 2 Griech.: di zwei, doppelt; hodos Weg. 3 Ein Wafer ist eine sehr d¨ unne Scheibe aus einem Halbleitermaterial mit integriertem Schaltkreis. I. J. Acker, Methoden zur mehrstufi gen Ablaufplanung in der Halbleiterindustrie, DOI 10.1007/978-3-8349-6731-2_3, © Gabler Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

44

3 Fallstudie aus der Halbleiterindustrie

der Dioden benötigten Rohstoffe jederzeit in ausreichender Menge vorhanden sind. Gegenstand der Betrachtung sind folglich nur die beiden letzten Produktionsstufen bei der Herstellung der Dioden. In diesem Kapitel wird der Produktionsprozess beschrieben und die Problemstellung analysiert, um im Folgenden daf¨ ur geeignete Lösungsverfahren betrachten zu können.

3.1 Produktionsstufe Montage In der Produktionsstufe Montage können aus den Chips 40 verschiedene Diodentypen hergestellt werden – die so genannten Montagediodentypen MDx (x=1,. . . ,40). Daf¨ ur sind 5 Arbeitsgänge zu verrichten: Montieren, L¨ oten, ¨ Atzen, Lackieren und Vergießen. Jeder Arbeitsvorgang wird auf einer anderen Maschine durchgef¨ uhrt. Die Montage ist dabei nach dem PermutationsFlow-Shop-Prinzip (Fließfertigung) organisiert, d. h., die Aufträge durchlaufen dieselbe, technologisch vorgegebene Reihenfolge (siehe Abbildung 3.2) und d¨ urfen sich gegenseitig nicht u ¨berholen.4

Abbildung 3.2: Arbeitsgänge der Montage F¨ ur den Arbeitsgang Montieren gibt es zwei parallele Produktionslinien mit jeweils drei Montage-Maschinen. Die alte Linie besteht aus den Maschinen M1, M2 und M3; die Maschinen M4, M5, M6 bilden die neue Linie (vgl. Abbildung 3.5, S. 51). Identische, parallele Maschinen werden im Folgenden zu einem Maschinentyp zusammengefasst.5 Alle Maschinen eines Maschinentyps haben folglich die gleichen Eigenschaften, so dass ein Auftrag alternativ auf allen Maschinen eines Maschinentyps mit gleichem Zeitbedarf bearbeitet werden kann. Die Maschinen der alten Linie bilden jeweils einen eigenen Maschinentyp – Malt1, Malt2, Malt3. Die drei Maschinen der neuen Linie bilden den Maschinentyp Mneu. 4 5

Vgl. dazu Erläuterungen in Abschnitt 2.3.1 auf S. 23. Vgl. dazu Erläuterungen in Abschnitt 2.3.1 auf S. 21. Die dort f¨ ur parallele Maschinen angegebenen Definitionen f¨ ur identisch, uniform und heterogen beziehen sich auf die Fertigungsgeschwindigkeit. Im Folgenden wird dies um den Aspekt der R¨ ustzeit erweitert.

3.1 Produktionsstufe Montage

45

Wenn ein bestimmter Diodentyp auf einer Maschine der neuen Linie produziert werden kann, dann kann er auf allen Maschinen der neuen Linie gefertigt werden. Insgesamt können 41 Diodentypen auf der alten und 22 auf der neuen Linie produziert werden. Alle Maschinen und somit auch die Montagemaschinen m¨ ussen in einen bestimmten R¨ ustzustand versetzt werden, bevor sie einen bestimmten Diodentyp herstellen können. Aufgrund derartiger R¨ ustvorgänge muss die Produktion an den jeweiligen Maschinen meistens unterbrochen werden. Um den durch R¨ ustvorgänge verursachten Zeitaufwand zu minimieren, ist es daher sinnvoll, Diodentypen zu gruppieren, die denselben R¨ ustzustand erfordern.6 In der Diodenfabrik wird dies auch so gehandhabt. Es durchläuft immer eine bestimmte Menge zu bearbeitender Dioden vom gleichen Diodentyp gemeinsam den Produktionsprozess. Im Folgenden wird eine derartige Menge als Charge bezeichnet.7 Die Chargengröße ist in der betrachteten Problemstellung bereits festgelegt worden.8 Sie unterscheidet sich je nach Linie: In der alte Linie werden 70.000 und in der neuen Linie 35.000 Dioden gemeinsam eingelastet. Die Montagemaschinen m¨ ussen gemäß dem als nächstes zu produzierenden Montagediodentyp ger¨ ustet werden. Sind zwei Chargen gleichen Typs direkt nacheinander herzustellen, ist kein R¨ ustvorgang nötig. Sobald mit einem R¨ ustvorgang bzw. der Bearbeitung einer Charge auf einer Maschine begonnen wurde, darf diese nicht unterbrochen werden. Es ist zudem keine u ¨berlappende Fertigung möglich. D. h., die Bearbeitung der in einer Charge zusammengefassten Aufträge beginnt und endet gleichzeitig an einer Maschine.9 Im weiteren Verlauf der Arbeit wird die Produktion einer Charge auch als Auftrag bezeichnet.10 ¨ Die Maschinen f¨ ur die nachfolgenden Arbeitsvorgänge L¨ oten, Atzen, Lackieren und Vergießen sind kapazitätsmäßig auf die Leistung der MontageMaschinen abgestimmt, so dass ein reibungsloser Materialfluss gewährleistet ¨ ist. Dadurch können die Bearbeitungszeiten f¨ ur Löten, Atzen, Lackieren und 6

In der Literatur werden Jobs, die aufgrund gleicher R¨ ustzustand gruppiert werden können, ¨ als Job-Familien bezeichnet. Ubertr¨ agt man dies auf den vorliegenden Kontext, entsprechen die Dioden den Jobs und die Diodentypen den Job-Familien. 7 Die Begriffe Charge und Batch (engl.) werden in der Literatur nicht einheitlich verwendet. So werden sie insbesondere im Bereich der diskreten und der prozessorientierten, verfahrenstechnischen Produktion unterschiedlich eingesetzt. In Witt(2004) werden auf S. 49ff. die Unterschiede herausgearbeitet. 8 Sie wurde ex ante u. a. durch Ber¨ ucksichtigung der Mindest- bzw. Höchstf¨ ullbestände der Maschinen und/oder Lager bestimmt. Der gesamte Maschinenpark ist darauf ausgerichtet, die Dioden einer Charge gemeinsam zu produzieren. 9 Einzelne Dioden einer Charge, die bereits einen Arbeitsgang beendet haben, d¨ urfen somit nicht an der Nachfolgemaschine bearbeitet werden, solange nicht alle Dioden der Charge ihren Arbeitsgang beendet haben. Vgl. Reese(1980), S. 15. 10 Alle folgenden Angaben zu R¨ ust-, Prozess- und Nachlaufzeiten beziehen sich auf eine Charge; sie sind als Summe der Bearbeitungs-, R¨ ust- bzw. Nachlaufzeiten ihrer Operationen definiert.

46


Vergießen als konstante Nachlaufzeit angesehen werden.11 Wird der Montagediodentyp auftragsbedingt gewechselt, muss dar¨ uber hinaus ein R¨ ustvorgang stattfinden. Die Arbeitsgänge der Produktionsstufe Montage können folglich zu einem Arbeitsgang Montieren“ mit R¨ ust-, Prozess- und Nachlaufzeiten ” zusammengefasst werden. Die R¨ ust- und Prozesszeiten sind dabei nur vom Maschinentyp, die Nachlaufzeiten dagegen sowohl vom Maschinen- als auch vom Diodentyp abhängig. ¨ Eine zusammenfassende Ubersicht u ¨ber die Produktionsstufe Montage gibt die folgende Tabelle 3.1. Die dort angegebenen Werte sind von den vorhandenen Maschinen technisch vorgegeben:12

Chargengröße Maschinentyp Maschine R¨ ustzeit Bearbeitungszeit Nachlaufzeit(/-en) Anzahl Diodentypen

alte Linie neue Linie 70.000 35.000 Malt1 Malt2 Malt3 Mneu M1 M2 M3 M4 M5 M6 30 120 120 45 45 45 510 510 510 600 600 600 3600 3600 3600 3660 3660 3660 4410 4410 4410 23 23 18 22 22 22

Tabelle 3.1: Produktionsstufe Montage (Zeitangaben in Minuten je Charge) Zu jedem Zeitpunkt kann auf jeder Maschine höchstens ein Auftrag und jeder Auftrag auf höchstens einer Maschine bearbeitet werden. Dies gilt f¨ ur jeden Auftrag auf allen Maschinen der Diodenfabrik. Aufgrund kurzer Transportwege sind Transportzeiten vernachlässigbar. Es besteht zu keinem Zeitpunkt die Gefahr, dass die Kapazitäten der Zwischen- und Endlager zu klein sind. Nach Beendigung des Arbeitsganges Vergießen stehen die gefertigten Montagedioden in der Produktionsstufe Endmessung zur Weiterverarbeitung zur Verf¨ ugung.

3.2 Produktionsstufe Endmessung In der anschließenden Produktionsstufe Endmessung werden die Montagedioden weiterverarbeitet. In der Diodenfabrik liegt eine divergierende Produktionsstruktur vor. Das bedeutet, dass aus einem Montagediodentyp (MDx, x=1,. . . ,40) 11

Siehe Abbildung 3.2 auf S. 44. Auf der neuen Linie sind in Abhängigkeit vom herzustellenden Diodentyp zwei verschiedene Nachlaufzeiten möglich. 12 Bei Angabe von zwei Werten sind diese alternativ in Abhängigkeit vom Diodentyp nötig.

3.2 Produktionsstufe Endmessung

47

durch unterschiedliche Arten der Weiterverarbeitung mehrere Endmessdiodentypen (EDy, y=1,. . . ,63) entstehen können. Im betrachteten Fall können aus einem Montagediodentyp bis zu sechs verschiedene Endmessdiodentypen erzeugt werden. Wie viele und welche dies genau sind, kann der folgenden Tabelle 3.2 entnommen werden. MDx MD1 MD2 MD3 MD4 MD5 MD6 MD7 MD8 MD9 MD10 MD11 MD12 MD13 MD14 MD15 MD16 MD17 MD18 MD19 MD20 MD21 MD22 MD23 MD24 MD25 MD26 MD27 MD28 MD29 MD30 MD31 MD32 MD33 MD34 MD35 MD36 MD37 MD38 MD39 MD40

EDy ED49 ED50 ED2 ED1 ED53 ED54 ED51 ED52 ED3 ED4 ED23 ED24 ED26 ED55 ED56 ED58 ED59 ED61 ED45 ED46 ED47 ED48 ED57 ED28 ED13 ED5 ED6 ED7 ED10 ED11 ED12 ED25 ED16 ED17 ED18 ED19 ED20 ED33 ED34 ED60 ED22 ED41 ED42 ED38 ED39 ED30 ED31 ED36 ED43 ED8 ED9 ED40 ED27 ED29 ED37 ED44 ED14 ED15 ED32 ED35 ED62 ED21

Anzahl

ED63

2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 4 1 1 1 3 3 1 6 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1

Tabelle 3.2: Divergierende Produktionsstruktur

48


Die Produktionsstufe Endmessung ist nach dem Verrichtungsprinzip aufgebaut.13 Es gibt vier technische Arbeitsgänge – Loading, Endmessen, Schneiden und Sichtpr¨ ufen. Da das Schneiden entweder zusammen mit dem Endmessen oder dem Sichtpr¨ ufen auf einer Maschine erfolgt, verbleiben drei planungsrelevante Arbeitsgänge (siehe folgende Abbildung 3.3):

Abbildung 3.3: Planungsrelevante Arbeitsgänge der Endmessung Die Arbeitsgänge Loading und Sichtpr¨ ufen sind optional. Jede Diode muss dagegen endgemessen werden. F¨ ur die einzelnen Arbeitsgänge stehen in der Endmessung 11 Maschinentypen mit insgesamt 18 Maschinen zur Verf¨ ugung (vgl. Abbildung 3.5, S. 51). Loading F¨ ur den optionalen Arbeitsgang Loading stehen zwei Maschinentypen mit jeweils einer Maschine zur Verf¨ ugung – die Maschinentypen L1 mit Maschine M7 und L2 mit M8. Es m¨ ussen nur 8 Diodentypen geloadet werden. Endmessen Alle Diodentypen m¨ ussen endgemessen werden. F¨ ur den Arbeitsgang Endmessen gibt es drei Maschinentypen. Um die Endmessung durchzuf¨ uhren, sind die Diodentypen auf einer oder nacheinander auf zwei der im Folgenden beschriebenen Maschinen zu bearbeiten.14 • Der erste Maschinentyp E1 besteht aus den drei Maschinen M9, M10 und M11. 29 Diodentypen können hierauf bearbeitet werden. Falls sie im Anschluss noch sichtgepr¨ uft werden m¨ ussen, kann das nur auf den Maschinen M22 und M23 erfolgen. • Die sechs Maschinen M12, M13, M14, M15, M16 und M17 bilden den zweiten Maschinentyp E2, auf dem 50 Diodentypen gefertigt werden können. Wie beim ersten Maschinentyp ist ein eventuell anfallendes Sichtpr¨ ufen nur auf M22 bzw. M23 möglich. • Auf dem dritten Maschinentyp E3 – bestehend aus der einzelnen Maschine M18 – können neun Diodentypen endgemessen werden. Ein optionales Sichtpr¨ ufen kann im Anschluss nur auf M24 erfolgen. 13 14

Vgl. dazu Abschnitt 2.3.1 auf S. 23 sowie Domschke et al.(1997), S. 6. ED54 kann zunächst auf einer der Maschinen des Maschinentyps E1 und im Anschluss daran auf einer der Maschinen des Typs E2 bearbeitet werden. Die nötige Sichtpr¨ ufung muss auf Maschine M23 stattfinden. Da kein Loading nötig ist, sind vier Arbeitsgänge zu durchlaufen.

3.2 Produktionsstufe Endmessung

49

Endmessen und Sichtpr¨ ufen Das Endmessen kann aber auch auf einer der drei Universalmaschinen M19, M20 und M21 erfolgen. Jeder dieser Maschinen bildet einen eigenen Maschinentyp – ES1, ES2 und ES3. Diese Maschinentypen können die drei Arbeitsgänge Endmessen, Schneiden und Sichtpr¨ ufen verrichten. Auf M19 können 13, auf M20 14 und auf M21 8 Diodentypen bearbeitet werden. Sichtpr¨ ufen Der Arbeitsgang Sichtpr¨ ufen ist wie das Loading optional. 25 Diodentypen m¨ ussen sichtgepr¨ uft werden. Daf¨ ur stehen drei Maschinentypen mit jeweils einer Maschine zur Verf¨ ugung: S1 mit M22 und S2 mit M23 können jeweils 25 Diodentypen, S3 mit M24 kann 7 Diodentypen bearbeiten. ¨ Einen Uberblick u ¨ber die möglichen Produktionswege von Endmessen und Sichtpr¨ ufen gibt folgende Abbildung 3.4:

Abbildung 3.4: Mögliche Produktionswege von Endmessen und Sichtpr¨ ufen

In der Produktionsstufe Endmessung sind f¨ ur jeden Arbeitsgang bestimmte R¨ ust- und Bearbeitungszeiten, aber keine Nachlaufzeiten zu ber¨ ucksichtigen. Die genauen Werte sind der Tabelle 3.3 auf S. 50 zu entnehmen, wobei die Zeiten wie in Tabelle 3.1 auf S. 46 technisch vorgegeben und in Minuten je Charge angegeben sind:15 15

Bei Angabe von mehreren Werten sind diese alternativ in Abhängigkeit vom Diodentyp nötig.

50 Arbeitsgang

3 Fallstudie aus der Halbleiterindustrie Loading

Maschinentyp Maschine

L1 M7

L2 M8

R¨ ustzeit(/-en)

24

36

Bearbeitungszeit(/-en)

600 1200

Anzahl Diodentypen

8

Endmessen

Endm. u. Sichtpr.

Sichtpr¨ ufen

E1 M9M11 24

E2 M12M17 36

E3 M18

ES1 M19

ES2 M20

ES3 M21

S1 M22

S2 M23

S3 M24

36

36

18

60

1312 2625 1372 2058

1029 2058

1141 1800

1099 2182

1099 2182

1099 2182

24 36 500 1000 1029 1008

18

600 1200

12 36 500 1000 1029 1008

1000 1000

8

29

50

9

13

14

8

25

25

7

Tabelle 3.3: Produktionsstufe Endmessung (Angaben in Minuten je Charge)

Abschließend sind noch einmal alle Produktionsstufen, Maschinentypen (kursive Schrift und weiße Kästen) und Maschinen (graue Kästen) auf der folgenden Seite in der Abbildung 3.5 gemeinsam dargestellt.

3.3 Maschinenverfu ¨ gbarkeit In den beiden vorherigen Abschnitten wurde der bestehende Maschinenbestand beschrieben. Er ist fest vorgegeben. Prinzipiell können die Maschinen ununterbrochen produzieren, wenn nicht gerade Instandhaltungsmaßnahmen durchgef¨ uhrt werden m¨ ussen. Allerdings m¨ ussen die Maschinen von qualifizierten Mitarbeitern bedient werden, die nicht immer rund um die Uhr zur Verf¨ ugung stehen. Die Arbeitszeiten der Mitarbeiter sind in einem dreistufigen Schichtbetrieb organisiert: An den f¨ unf Werktagen in einer Woche werden 3 Schichten à 8 Stunden unterschieden. Ein Maschinen bezogenes Schichtmodell gibt an, wann eine Maschine aufgrund der Anwesenheit der entsprechend qualifizierten Mitarbeiter zur Herstellung von Dioden zur Verf¨ ugung steht. Das Schichtmodell wird mit einem größeren zeitlichen Vorlauf erstellt. Mit dieser Information ist die zeitliche Verf¨ ugbarkeit der Maschinen zum Planungszeitpunkt fest vorgegeben. Die zeitliche Verf¨ ugbarkeit der Maschinen beträgt ca. 70-75% der maximal möglichen 15 Schichten. Es können in einem Planungszeitraum bereits von vornherein Kapazitätsengpässe bestehen, wenn die jeweilige Nachfrage an herzustellenden Dioden entsprechend hoch ist. Nach einem Maschinenstillstand – sei es wegen eines Wochenendes oder aufgrund einer ausfallenden Schicht – kommt es zu kapazitätsreduzierenden Anlaufzeiten. Da der R¨ ustzustand bei einem Stillstand nicht erhalten bleibt, ist beim Wiederanlauf zusätzlich ein R¨ ustvorgang nötig, so dass die Maschine erst

3.3 Maschinenverf¨ ugbarkeit

Abbildung 3.5: Produktionsprozess

51

52


mit diesem Zeitverzug nach dem Schichtbeginn einsatzfähig ist. Die Nichtunterbrechbarkeit den Operationen bezieht sich auch auf eine Unterbrechung durch Maschinenstillstände.16 Die Nachlaufzeit im Anschluss an den Montagevorgang kann unabhängig von der Verf¨ ugbarkeit der Montagemaschine erfolgen. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Maschinenverf¨ ugbarkeit durch R¨ ustzeiten und Maschinenstillstände (Maschinen bezogenes Schichtmodell) mit anschließenden kapazitätsreduzierenden Anlaufzeiten und Anfangsr¨ usten gekennzeichnet ist.17 Es ist zu beachten, dass es im Laufe des Planungszeitraums zu unvorhergesehenen (stochastischen) Maschinen- oder Personalausfällen kommen kann. Diese können in einem Planungszeitraum während des Produktionsprozesses Kapazitätsengpässe verursachen. Da in der betrachteten Problemstellung die Lieferfähigkeit einen sehr hohen Stellenwert hat,18 soll von diesem Unsicherheitsfaktor nicht abstrahiert werden.19 Im Folgenden wird daher diesen Unsicherheiten hinsichtlich der verf¨ ugbaren Ressourcen durch eine robuste Planung begegnet.20 Die robuste Planung entspricht einer deterministischen Planung mit Erweiterungen zur Ber¨ ucksichtigung von Unsicherheit(en) – exemplarisch sind Sicherheitskorrekturen zur Ber¨ ucksichtigung von Ausschuss und Maschinenausfällen bzw. Krankheit des Personals zu nennen.21 Bereits während der Planungsphase werden daher mögliche Störereignisse antizipiert und damit ein (prädikativer) Plan erstellt, der relativ unempfindlich, d. h. robust, auf später evtl. tatsächlich eintretende Störungen reagieren soll.22 Bei der Problemstellung wird somit von einer deterministischen Maschinenverf¨ ugbarkeit ausgegangen. 16

D. h., eine begonnene Bearbeitung von Aufträgen kann nicht durch einen Maschinenstillstand unterbrochen und im Anschluss an diesen wieder weitergef¨ uhrt werden. 17 Solche Fragestellungen werden in der Literatur im Kontext der Projektplanung unter der Bezeichnung Project Scheduling with renewable resources and calender breaks“ diskutiert. ” et al.(2003), S. 120ff. Vgl. Neumann 18 Siehe dazu nachfolgenden Abschnitt 3.6 19 In der Literatur werden dazu unter dem Begriff des Störungsmanagements re-planning“- und in-advance“-Ansätze diskutiert. Im ersten Fall der re-planning-Ansätze,” auch als reaktive ” Planung bezeichnet, wird zunächst wie unter Determiniertheit geplant. Erst beim Auftreten von Störungen werden dann entsprechende Anpassungen vorgenommen. Im zweiten Fall der in-advance-Ansätze sollen die erwarteten zuk¨ unftigen Störungen ex ante ber¨ ucksichtigt werden. Dies kann z. B. durch stochastische Modelle, fallbasierte Planung (contingency planning) oder robuste Planung erfolgen. Werden dagegen keinerlei Unsicherheitsfaktoren beachtet, spricht man auch von prädikativer Planung. Vgl. Eversheim(1992); Eversheim(1993); Yu/Qi(2004). 20 Ausf¨ uhrlicher dazu vgl. Scholl(2001). 21 Eine Klassifikation der Unsicherheiten und Störungen erfolgt z. B. in Gebhard(2009), S. 21ff. 22 Unter Robustheit wird die Unempfindlichkeit eines Objekts bzw. Systems gegen¨ uber (zufälligen) Umwelteinfl¨ ussen verstanden. Ein Plan erweist sich als robust, wenn die Realisierung des Plans f¨ ur (nahezu) jeden denkbaren zuk¨ unftig eintretenden Umweltzustand zu guten bzw. akzeptablen Ergebnissen im Hinblick auf die bei der Planung verfolgten Ziele f¨ uhrt. Vgl. Scholl(2001), S. 93.

3.4 Alternative Maschinenfolgen

53

3.4 Alternative Maschinenfolgen Ein Diodentyp kann nicht nur auf eine einzige vorgegebene Art und Weise hergestellt werden. Wie in Abschnitt 3.1 und 3.2 dargestellt, bestehen zwar bez¨ uglich der Diodentypen und Maschinentypen Relationen, die festlegen, ob ein Diodentyp an einem Maschinentyp bearbeitet werden kann. Dennoch existieren f¨ ur die Herstellung einer Diode eine Vielzahl von alternativen Möglichkeiten. Ein Maschinentyp repräsentiert eine Menge an identischen, parallelen Maschinen, die zur Bearbeitung einer Operation geeignet sind. Sobald ein Diodentyp auf einem Maschinentyp hergestellt werden kann und von diesem mehr als eine Maschine zur Verf¨ ugung steht, kann der Diodentyp alternativ auf jeder dieser Maschinen bearbeitet werden. Im Folgenden wird zwischen der Maschinentypfolge und der Maschinenfolge unterschieden. Eine Maschinentypfolge eines Auftrags gibt an, auf welchen Maschinentypen die einzelnen Operationen dieses Auftrags in welcher Reihenfolge bearbeitet werden m¨ ussen. Erst die Maschinenfolge nennt konkret f¨ ur jede Operation die einzelnen Maschine, auf der sie zu bearbeiten ist.23 Zum besseren Verständnis werden beispielhaft die alternativen Maschinentypund Maschinenfolgen von ED62 und ED10 näher betrachtet. Endmessdiodentyp ED10 muss nur montiert und endgemessen werden. Die Montage und das Endmessen können jeweils nur mit einem Maschinentyp – Malt3 bzw. E2 – erfolgen. Es existiert somit nur eine Maschinentypfolge f¨ ur ED62. Da f¨ ur die Montage beim Maschinentyp Malt3 nur eine Maschine (M3) und f¨ ur das Endmessen auf dem Maschinentyp E2 sechs Maschinen zur Verf¨ ugung stehen (M12,. . . ,M17), existieren f¨ ur ED10 1·6=6 zulässige Maschinenfolgen, d. h. 6 alternative Wege durch den zweistufigen Produktionsprozess: M3-M12“; M3-M13“; M3-M14“; M3-M15“; M3-M16“; ” ” ” ” ” M3-M17“. Die möglichen Maschinenfolgen bzw. Einplanungsalternativen kön” nen in Abbildung 3.6 auf S. 54 nachvollzogen werden. Endmessdiodentyp ED62 dagegen kann sogar auf 108 verschiedene Arten hergestellt werden. ED62 muss alle vier Arbeitsgänge durchlaufen, d. h., er muss montiert, geloadet, endgemessen und sichtgepr¨ uft werden. In der Montage wird ED62 auf der neuen Produktionslinie und damit auf dem Maschinentyp Mneu hergestellt, der aus 3 Maschinen besteht (vgl. Abbildung 3.5 auf S. 51). Danach kann der Arbeitsgang Loading auf den 2 Maschinen M7 und M8 erfolgen. F¨ ur das Endmessen stehen die 3 Maschinen des Maschinentyps E1 und die 6 Maschinen des Typs E2 zur Verf¨ ugung. Das anschließende Sichtpr¨ ufen kann auf S1 23

Dies widerspricht der u ¨blichen Verwendung des Begriffs Maschinenfolge im Kontext von flexiblen Shop-Problemen. Dort wird zwar von alternativen Maschinenfolgen gesprochen, doch auch eine Folge von Maschinenmengen als Maschinenfolge bezeichnet.

54


Abbildung 3.6: Maschinenfolgen von Endmessdiodentyp ED10 (M22) und S2 (M23) erfolgen. Somit gibt es 8 verschiedene Maschinentypfolgen und 3 · 2 · (3 + 6) · 2 = 108 Maschinenfolgen. Die alternativen Maschinentypfolgen mit der korrespondierenden Anzahl Maschinenfolgen sind auf folgender Seite in Tabelle 3.4 dargestellt. Zudem sind alle möglichen Wege durch den Maschinenpark in Abbildung 3.7 grafisch veranschaulicht. Eine mögliche Maschinenfolge von ED62 ist zum Beispiel M4-M7-M12-M23“: Montieren auf M4, Loaden auf M7, Endmessen auf ” M12 und Sichtpr¨ ufen auf M23. ¨ Tabelle 3.5 auf S. 56 gibt einen Uberblick u ¨ber die Anzahl der alternativen Maschinenfolgen, mittels derer die einzelnen Endmessdiodentypen hergestellt werden können.

3.5 Nachfrage

55 Maschinentypfolgen

Anzahl Maschinenfolgen

Mneu-L1-E1-S1 Mneu-L1-E1-S2 Mneu-L1-E2-S1 Mneu-L1-E2-S2 Mneu-L2-E1-S1 Mneu-L2-E1-S2 Mneu-L2-E2-S1 Mneu-L2-E2-S2

3·1·3·1=9 3·1·3·1=9 3 · 1 · 6 · 1 = 18 3 · 1 · 6 · 1 = 18 3·1·3·1=9 3·1·3·1=9 3 · 1 · 6 · 1 = 18 3 · 1 · 6 · 1 = 18

Tabelle 3.4: Alternative Maschinentypfolgen und dazugehörige Anzahl Maschinenfolgen des Endmessdiodentyps ED62

Abbildung 3.7: Mögliche Wege des Endmessdiodentyps ED62 durch den Produktionsprozess – Darstellung anhand der Maschinentypen

3.5 Nachfrage Die Produktion der 63 verschiedenen Diodentypen richtet sich nach den sukzessiven, zeitlich gestreuten Auftragseingängen. Es handelt sich hierbei um ein dynamisches Reihenfolgeproblem.24 Im Folgenden wird die Problemstellung aber aus Gr¨ unden der Vereinfachung der komplexen Problemstruktur der Ablaufplanung im dynamischen Produktionsprozess in eine Reihe statischer Probleme zergliedert, die aneinander gereiht werden. D. h., es wird der simultane Eingang eines endlichen Auftragsvolumens bei genauer Kenntnis der Auftragscharakteristika bei Planungsbeginn unterstellt und nur der Zeitablauf innerhalb 24

Vgl. Abschnitt 2.2.1.

56

3 Fallstudie aus der Halbleiterindustrie ED1 ED2 ED3 ED4 ED5 ED6 ED7 ED8 ED9 ED10 ED11 ED12 ED13 ED14 ED15 ED16 ED17 ED18 ED19 ED20 ED21

6 18 6 6 12 20 80 18 18 6 18 38 36 18 42 28 28 28 28 28 12

ED22 ED23 ED24 ED25 ED26 ED27 ED28 ED29 ED30 ED31 ED32 ED33 ED34 ED35 ED36 ED37 ED38 ED39 ED40 ED41 ED42

14 9 24 24 9 30 3 1 9 9 39 27 39 3 27 27 39 36 39 39 36

ED43 30 ED44 9 ED45 6 ED46 16 ED47 24 ED48 28 ED49 16 ED50 16 ED51 22 ED52 22 ED53 6 ED54 50 ED55 6 ED56 6 ED57 14 ED58 9 ED59 7 ED60 2 ED61 3 ED62 108 ED63 14

Tabelle 3.5: Anzahl möglicher Maschinenfolgen je Endmessdiodentyp des Planungszeitraums betrachtet. Es wird nach der Vorgehensweise der Anschlussplanung vorgegangen. Die Planungsintervalle betragen immer vier Wochen.25 Die Auflösung des Planungsintervalls ist dabei minutenscharf, so dass abz¨ uglich der Wochenenden 28800 Minuten zur Produktion zur Verf¨ ugung stehen (siehe Abbildung 3.8, S. 57). Die Zeitinterdependenzen zu den benachbarten Planungsperioden werden durch eine u ucksichtigt. ¨berlappende Planung ber¨ Das bedeutet, dass die noch nicht bearbeiteten Aufträge aus dem Auftragsbestand der vorherigen Planungsperiode zu den einzuplanenden Aufträgen der Folgeperiode hinzugenommen werden. Diese Vereinfachung kann zwar zu einer Erhöhung der Lieferzeit f¨ uhren, eine Planrevision jeweils nach Erhalt eines neuen Auftrags, d. h. bei jedem veränderten Auftragsbestand, ist aber aufgrund des 25

Bei der Anschlussplanung wird nur zu bestimmten, äquidistanten Zeitpunkten t ein Plan aufgestellt, der Entscheidungen f¨ ur einen bestimmten Planungshorizont mit den Perioden t, t + 1, . . . , t + T − 1 beinhaltet (hier auch als Planungsintervall bezeichnet). Die Anzahl vom Plan betrachteten Perioden T wird als Planreichweite bezeichnet. Vgl. Scholl(2001), S. 33. In der betrachteten Fallstudie wird immer mit t bei null gestartet, so dass die Begriffe Planungshorizont und Planreichweite identische Werte annehmen und daher im weiteren Verlauf der Arbeit synonym verwendet werden.

3.5 Nachfrage

57

außerordentlich ansteigenden Planungsaufwandes gemäß der Entscheidung der Unternehmensleitung nicht vorgesehen.26 1. Woche Dienstag

480

0

7200

14400

21600

28800

1. Wochenende

Abbildung 3.8: Zeitstrahl Planungshorizont (in Minuten) Das Produktionsprogramm ist somit durch die Nachfrage fest vorgegeben. Die Endmessdioden weisen in der Regel zu 50% eine negative und zu 50% eine positive Polarität auf. Da dies aber den Bedarfen der Kunden entspricht, muss bez¨ uglich der Nachfrage nicht weiter differenziert werden. Allerdings ist ein Ausschuss nicht zu vermeiden, so dass ein empirisch ermittelter Ausbeutefaktor von a% zu ber¨ ucksichtigen ist. Wenn zum Beispiel 100.000 Dioden des Endmessdiodentyps ED10 nachgefragt werden, bedeutet dies, dass sowohl 50.000 St¨ uck mit positiver als auch 50.000 St¨ uck mit negativer Polarisierung gew¨ unscht sind. Der Endmessdiodentyp ED10 wird aus dem Montagediodentyp MD18 hergestellt. Um die Nachfrage nach 100.000 Dioden von ED10 zu befriedigen, sind daher 100.000 · (1/a) Montagedioden vom Typ MD18 zu produzieren. Aus der folgenden Abbildung 3.9 ist ersichtlich, dass die Gesamtmenge an zu produzierenden MD18 zusätzlich von der Nachfrage nach den Endmessdiodentypen ED11 und ED12 abhängt.

Chips

Montage

Endmessung

Montagediodentyp

Endmessdiodentyp

MD18

1/a

ED10

1/a

ED11

1/a ED12

Kundenauftrag (+) (-) (+) (-) (+) (-)

Abbildung 3.9: Divergierende Produktionsstruktur des Montagediodentyps MD18 26

Vgl. French(1982), S. 16; Scholl(2001), S. 32.

58


Unter Ber¨ ucksichtigung des Lagerbestandes bzw. noch nicht befriedigter Nachfrage aus der vorherigen Periode wird der Nettobedarf f¨ ur jeden Diodentyp bestimmt. Die einzelnen Diodentypen können entweder nur auf den Maschinen der alten Linie oder nur auf den Maschinen der neuen Linie produziert werden. Da, wie beschrieben, die Chargengröße auf der alten Linie 70.000 und auf der neuen Linie 35.000 Dioden beträgt und die Größe der Charge auf allen Maschinen einer Maschinenfolge gleich ist, kann die Chargenanzahl f¨ ur die einzelnen Diodentypen leicht berechnet werden. Indem die Bestellmenge eines bestimmten Endmessdiodentyps in einer Planungperiode um den Restbedarf bzw. den Lagerbestand aus der vorherigen Periode korrigiert wird, ergibt sich dessen Nettobedarf. Durch Division von Nettobedarf und Chargengröße und anschließendem Aufrunden ergibt die Anzahl der zu produzierenden Chargen. Sind z. B. vom Endmessdiodentyp ED62 218.000 Dioden bestellt und liegen davon noch 15.000 Dioden auf Lager, berechnet sich die Anzahl an zu produzierender Chargen folgendermaßen:

218.000 − 15.000 = 5, 8 = 6 35.000 Da ED62 auf der neuen Linie produziert werden muss, ist die Chargengröße 35.000 St¨ uck. Anschließend liegen 0, 2 · 35.000 = 7.000 Dioden auf Lager. Eine Charge muss innerhalb einer Planungsperiode komplett fertig gestellt werden.27 Ist dies aufgrund fehlender Kapazitäten nicht möglich, muss die Produktion der Charge komplett in den nachfolgenden Planungszeitraum verschoben werden. Wenn mit der Bearbeitung einer Charge im Planungszeitraum begonnen wird, bedeutet dies somit, dass diese auch im Planungszeitraum beendet werden muss.

3.6 Zielsetzung Zielsetzung des Unternehmens ist die kosteng¨ unstige und termingerechte Umsetzung des f¨ ur den Planungszeitraum gegebenen, mit dem Vertrieb abgestimmten Produktionsprogramms unter Ber¨ ucksichtigung unvorhergesehener Maschinenausfälle. Um im Wettbewerb bestehen zu können, sind neben technologischem KnowHow-Vorsprung die Kosten von großer Bedeutung. Bei der Herstellung der Dioden entstehen Kosten insbesondere durch den operativen Personaleinsatz sowie die Kapitalbindung. Die Personalkosten stellen dabei den größten Kostenfaktor dar. Sie sind primär durch die Einsatzzeiten der Maschinen determiniert. 27

Die Fertigstellungszeiten der Operationen einer Charge sind als Fertigstellungszeit der Charge definiert.

3.6 Zielsetzung

59

Wie in Abschnitt 3.3 beschriebenen, ist im Schichtmodell festgelegt, in welchen Schichten eine Maschine während des Planungszeitraums zur Verf¨ ugung steht. Zu diesen Zeiten muss sie durch einen oder mehrere qualifizierte Mitarbeiter bedient werden. In Phasen mit verstärktem Nachfrager¨ uckgang sollten die Kapazitäten geeignet angepasst werden, um Personalkosten und eine hohe Kapitalbindung durch den Aufbau von Lagerbeständen zu vermeiden. Das Kapital wird insbesondere aufgrund der Verarbeitung von relativ teurem Kupfer gebunden. Im Rahmen der kurzfristigen Ablaufplanung f¨ ur den gegebenen Planungszeitraum von einem Monat sind die Kosten allerdings nicht entscheidungsrelevant. Durch das zeitliche Verschieben von Aufträgen innerhalb des Planungszeitraums können die Personalkosten und die Beschaffungsvorgänge hinsichtlich des Kupfers nicht beeinflusst werden. Daher wird die Zielsetzung der Kostenminimierung im Folgenden nicht direkt verfolgt. Wird aber durch einen Einsatz von Prognoseverfahren zur Schätzung der Bedarfe in den zuk¨ unftigen Monaten ersichtlich, dass diese auch mit weniger Schichten befriedigt werden können, so sollten rechtzeitig geeignete kapazitätsreduzierende Anpassungen in den Schichtmodellen durchgef¨ uhrt werden, um die Einsparungspotenziale auszunutzen. Neben dem Kostenaspekt gibt es das Ziel der termingerechten Umsetzung des f¨ ur den Planungszeitraum gegebenen, mit dem Vertrieb abgestimmten Produktionsprogramms. Es ist wie in Abschnitt 3.5 gezeigt zu Beginn der Planungsperiode bekannt, welche Diodentypen in welchen Mengen produziert werden m¨ ussen. Das Unternehmen arbeitet dann erfolgreich, wenn alle vereinbarten Mengen innerhalb des Planungszeitraums hergestellt werden. Aus absatzpolitischen Gr¨ unden sollte es keinen vollst¨ andigen Ausfall der Lieferbereitschaft bei einem einzelnen Diodentyp geben. Aufgrund von Störungen bei den Maschinen oder unzureichenden Kapazitäten kann es aber zu Fehlmengen kommen. Der Prozess muss so gestaltet sein, dass die Fehlmengen möglichst gleichmäßig auf alle Diodentypen verteilt werden.

60


3.7 Zusammenfassung und Anmerkungen In der dargestellten Problemstellung handelt es sich um ein komplexes statischdeterministisches28 Maschinenbelegungsplanungsproblem, das durch folgende Eigenschaften gekennzeichnet ist: • • • • • • • •

Multikriterielle Zielsetzung Chargenproduktion Auftragsgruppen (Montagediodentypen) Alternative Maschinenfolgen Nachlaufzeiten (nicht unterbrechbar) Parallele Maschinen R¨ ustzeiten (nicht unterbrechbar) Maschinenstillstände mit Anlaufzeiten und Anfangsr¨ usten (nicht unterbrechbar, R¨ ustzustand bleibt nach einem Stillstand nicht erhalten) • fester Planungszeitraum mit Möglichkeit der Nichterf¨ ullung (komplette Charge oder gar nicht)

Die Diodenfertigung ist zwar in zwei Produktionsstufen mit unterschiedlichen Prinzipien organisiert.29 Indem aber wie in Abschnitt 3.1 auf S. 46 beschrieben die Produktionsstufe Montage durch einen Arbeitsgang Montieren mit einer konstanten Nachlaufzeit abgebildet wird, lässt sich das Problem aber insgesamt in der Struktur eines Job-Shop mit maximal vier Arbeitsgängen je Auftrag darstellen. Bei der Problemstellung ist in dreierlei Hinsicht Flexibilität30 gegeben: durch die Existenz paralleler Maschinen und alternativer Maschinenfolgen sowie die Möglichkeit der Nichterf¨ ullung von Aufträgen. So ist zur Bearbeitung einer Operation Okm nicht nur eine einzige Maschine, sondern eine Menge Mkm ⊆ M von |Mkm | = Mkm identischen, parallelen Maschinen gegeben. Alle in einer Menge Mkm zusammengefassten Maschinen sind vom gleichen Maschinentyp M T . Dies entspricht einem flexiblen Job-Shop-Problem.31 Allerdings ist bei 28

Deterministisch, weil die entscheidungsrelevanten Größen feststehen bzw. als solche definiert wurden (vgl. Maschinenstillstände); statisch, da die Nachfrage und damit alle Aufträge bekannt sind und als unveränderlich angenommen werden und die Angaben u ust- und ¨ber R¨ Bearbeitungszeiten bekannt und konstant sind. Vgl. Abschnitt 2.2.1, S. 11. 29 Permutation Flow Shop mit f¨ unf Arbeitsgängen bei der Produktionsstufe Montage und JobShop mit maximal drei Arbeitsgänge bei der Produktionsstufe Endmessung. 30 Weiterf¨ uhrende Literatur zur Flexibilität vgl. z. B. Tempelmeier/Kuhn(1993) S. 17ff.; Haller(1999); Zeleweski(1999). 31 Im Kontext von flexiblen Fertigungssystemen wird die Tatsache, dass ein Auftrag mit einer fest vorgegebenen Maschinenfolge verschiedene physische Wege durch den Maschinenpark (FMS-System) nehmen kann, als Durchlaufflexibilität bezeichnet. Zudem ist Maschinenflexibilität gegeben, da ein R¨ ustvorgang leicht zu bewerkstelligen ist. Vgl. Tempelmeier/Kuhn(1993), S. 19 und 21.

3.7 Zusammenfassung und Anmerkungen

61

diesem Problemtyp F J wie bei allen anderen in der Klassifikation in Abschnitt 2.3 auf S. 21 beschriebenen Problemtypen die Maschinentypfolge immer identisch und damit die Anzahl Operationen Ok eines Auftrags k gegeben und konstant – unabhängig davon, auf welcher der parallelen Maschinen die einzelnen Operationen bearbeitet werden. Bei der betrachteten Problemstellung kann die Anzahl an Operationen, die zur Herstellung eines Auftrags nötig sind, aber in Abhängigkeit von der gewählten Maschinentypfolge unterschiedlich sein.32 So ist z. B. Endmessdiodentyp ED54 aus einem Chip in zwei, drei oder vier Arbeitsgängen herstellbar.33 Es wurde in Abschnitt 2.2.1 auf S. 12 erläutert, dass bei rein primalen Ablaufplanungsproblemen die Bearbeitungsplanung aufgrund der technologischen Determiniertheit entfällt und nur noch die Reihenfolge- und Terminplanung relevant sind. Im betrachteten Beispiel gibt es zwar nicht eine einzelne“ Ma” schinenfolge f¨ ur jeden Auftrag, aber es steht eine feste Anzahl an technologisch determinierten Maschinentypfolgen und damit Maschinenfolgen fest. Es muss also nicht mehr bestimmt werden, in welcher Reihenfolge die einzelnen Operationen zur Fertigung eines Erzeugnisses abgearbeitet werden können bzw. m¨ ussen, sondern nur eine Maschinenfolge aus einer bestimmten Anzahl möglicher Maschinenfolgen ausgewählt werden. Insofern handelt es sich hier auch um ein primales Ablaufplanungsproblem, bei dem aufgrund der alternativen Maschinenfolgen nicht mehr nur die Bestimmung der Start- und Endzeitpunkte der Operationen Aufgabe der Ablaufplanung ist, sondern außerdem f¨ ur jeden Auftrag eine Maschinenfolge ausgewählt werden muss.34 Um die Fallstudie gemäß dem in Abschnitt 2.3 eingef¨ uhrten Schema klassifizieren zu können, werden zwei neue Parameter f¨ ur die Maschinenumgebung α1 eingef¨ uhrt: α1 ∈ {M J, M F J} bringt zum Ausdruck, dass es sich um ein (flexibles) Job-Shop-Problem handelt, bei dem die einzelnen Aufträge durch mehrere, verschiedene Maschinentypfolgen 32

Im Kontext von flexiblen Fertigungssystemen wird dieser Sachverhalt unter dem Begriff Arbeitsplanflexibilität diskutiert. Mit Hilfe einer Arbeitsplanoptimierung wird f¨ ur die herzustellenden Produkte jeweils ein alternativer Arbeitsplan (Operationsfolge) ausgewählt und/oder werden Operationen jeweils einer der parallelen Maschinen zugeordnet. Vgl. Sherali et al.(1990) ( alternate routing combination (ARC)“) und Tempelmeier/Kuhn(1993), ” Morton/Pentico(1993) betrachten die Existenz mehrerer EinplanungsS. 19 sowie 334ff. alternativen unter dem Begriff process routing“. Vgl. dazu auch Ro/Kim(1990) und Ze” lewski(2008), S. 436f. 33 Endmessdiodentyp ED54 kann auf 50 Arten hergestellt werden. Durch die beiden Maschinenfolgen M1-M20 sowie M2-M20 kann er in zwei Arbeitsgängen produziert werden. Eine von 36 Möglichkeiten ED54 in vier Arbeitsgängen herzustellen ist z. B. M1-M9-M12-M23. 34 Wie es auch bei den Einmaschinenproblemen mit parallelen Maschinen sowie dem Open-Shop und den flexiblen Shop-Problemen der Fall ist.

62


k alter(Modi) hergestellt werden können.35 D. h., f¨ ur einen Auftrag k sind E native Maschinentypfolgen e und (auch infolgedessen) Ek alternative Maschiuhrender Operationen Oke hängt nenfolgen e gegeben.36 Die Anzahl durchzuf¨ sowohl vom Auftrag k als auch von der Maschinenfolge e ab. Dieser neue Problemtyp lässt sich folgendermaßen von den bisher eingef¨ uhrten Maschinencharakteristika abgrenzen (vgl. auch Tabelle 3.6 auf S. 63):37 • Job-Shop-Problem (J) Dieser Problemtyp ist primär durch die Reihenfolgeplanungsproblem gekennzeichnet, d. h., es ist f¨ ur jede Maschine festzulegen, in welcher Reihenfolge die Aufträge auf ihr zu bearbeiten sind (Auftragsfolge). k = 1, ∀k). Da Es gibt genau eine Maschinentypfolge f¨ ur jeden Auftrag (E jeder Maschinentyp aus genau einer Maschine besteht (Mkm = 1, ∀(k, m) ∈ ur jeden Auf(K × M))38 , gibt es somit auch genau eine Maschinenfolge f¨ trag (Ek = 1, ∀k). Die Arbeitsganganzahl Ok hängt (nur) vom Auftrag k ab.39 35

Die Bezeichnung erfolgt in Anlehnung an die Bezeichnung M P S f¨ ur das Multi-mode-ProjectScheduling-Problem (vgl. Ahn/Kusiak(1991); Drexl/Sprecher(1993); Brucker et al.(1999); Hartmann(1999), S.7; Heilmann(2000); Neumann et al.(2003), S. 160ff.), die im Kontext der Produktionsplanung Alternative Process Plans“ aufgrund der Verwandtschaft zur Projektplanung als modes“ ”bezeichnen. Dort bringt der Begriff multi mode“ aber im Gegensatz ” ” Bearbeitung einzelner Operazu der Verwendung in dieser Arbeit zum Ausdruck, dass die tionen (und nicht Aufträge) auf verschiedene Arten möglich ist. Es ist außerdem zu beachten, dass M (F )J nicht dem von Brucker/Neyer(1998) eingef¨ uhrten multi-mode job-shop problem“ (MMJSP) entspricht. In einem MMJSP wird jeder Opera”tion eine Menge an Maschinenmengen zugeordnet. F¨ ur die Bearbeitung einer Operation werden dabei während des gesamten Bearbeitungszeitraums alle Maschinen der zugeordneten Maschinenmenge benötigt, d. h., es handelt sich um so genannte multi-processor-tasks. 36 Es sind die jeweils auszuf¨ uhrenden Operationen und ihre Beziehungen zueinander sowie die R¨ ust-, Prozess- und Nachlaufzeiten bekannt. 37 Die Differenzierung hängt mit dem Grad der Flexibilität zusammen. In der Literatur gibt es zahlreiche ähnliche Differenzierungen. So erfolgt z. B. in Lin/Solberg(1991) im Kontext von FMS eine ähnliche Einteilung der routing flexibility“ in vier Typen: no routing flexi” bility, fixed sequencing, flexible sequencing, flexible processing. Dabei können im Gegensatz zu der im Folgenden im Rahmen der Arbeit eingef¨ uhrten Differenzierung einzelne Operationen innerhalb der Maschinenfolge variabel einplanbar sein. Brandimarte/Calderini(1995) wiederum teilen Fertigungssysteme in drei Flexibilitätskategorien ein: • Die α-Flexibilität bezieht sich auf die Maschinenfolgen und bewegt sich zwischen den beiden Extrema Job-Shop (nur lineare Folgen sind zulässig) und Open-Shop (keinerlei Vorrangbeziehungen zwischen den Operationen). • Bei Existenz von identischen, parallelen Maschinen liegt β-Flexibilität vor. Die Maschinenfolge ist festgelegt, aber es muss ein Routing, d. h. eine Zuordnung der Operationen zu einer der jeweils parallelen Maschinen, und Scheduling erfolgen. • Die γ-Flexibilität gibt zum Ausdruck, dass es nicht mehr nur einen fixen Prozessplan, d. h. eine Maschinenfolge, gibt, sondern aus einer Menge von zulässigen Prozessplänen ausgewählt werden kann. (α- und β-Flexibilität sind somit Spezialfälle der γFlexibilität). 38 (K × M) = {(k, m)|k ∈ K ∧ m ∈ M}. 39 Beim Job-Shop-Problem kann die Arbeitsganganzahl zweier Aufträge unterschiedlich sein, muss es aber nicht.


63

k = 1 ∀k ∈ K E k > 1 ∃k ∈ K E Mkm = 1 ∀(k, m) ∈ (K × M)

J

MJ

Mkm > 1 ∃(k, m) ∈ (K × M)

FJ

MF J

Tabelle 3.6: Differenzierung der vier Job-Shop-Scheduling-Problemtypen J, F J, M J und M F J anhand der Anzahl Maschinen Mkm einer Menge an Maschinen, an denen eine Operation alternativ bearbeitet k werden kann, und anhand der Anzahl Maschinentypfolgen E • Flexibles Job-Shop-Problem (F J) Zum Reihenfolgeproblem kommt ein Zuordnungsproblem hinzu: Da zur Bearbeitung von mindestens einer Operation eine gegebene Menge von identischen, parallelen Maschinen zur Verf¨ ugung steht, ist jeder Operation genau eine Maschine zuzuweisen, die diese ausf¨ uhren soll. k = 1, ∀k). Da Es gibt genau eine Maschinentypfolge f¨ ur jeden Auftrag (E von mindestens einem Maschinentyp mehr als eine Maschine zur Verf¨ ugung ur einen steht (Mkm > 1, ∃(k, m) ∈ (K × M)), gibt es somit mindestens f¨ Auftrag mehrere Maschinenfolgen (Ek > 1, ∃k). Die Arbeitsganganzahl Ok verändert sich dadurch aber nicht und hängt nach wie vor nur vom Auftrag k ab. • Job-Shop-Problem mit mehreren Maschinentypfolgen (M J) Beim Job-Shop-Problem mit mehreren Maschinentypfolgen M J kann mindestens ein Auftrag durch mehrere Maschinentypfolgen hergestellt werden. Dabei kann jede Operation nur auf einer einzigen Maschine bearbeitet werden. Die Maschinentypfolgen entsprechen daher wie beim (einfachen) Job-Shop-Problem J den Maschinenfolgen. Auch hier ist ein Zuordnungsproblem zu ber¨ ucksichtigen: Es geht allerdings nicht wie beim F J darum, einer Operation eine Maschine zuzuordnen, sondern es ist f¨ ur jeden Auftrag eine Maschinentypfolge auszuwählen, mit der dieser hergestellt werden soll. Jeder Maschinentyp besteht aus genau einer Maschine (Mkm = 1, ∀(k, m) ∈ (K × M)). Es gibt f¨ ur mindestens einen Auftrag mehr als eine Maschi k = Ek > 1, ∃k). Die Arbeitsnentypfolge und damit Maschinenfolge (E ganganzahl Oke = Oke eines Auftrag k hängt daher auch von der Maschinentypfolge e bzw. Maschinenfolge e ab. • Flexibles Job-Shop-Problem mit mehreren Maschinentypfolgen (M F J) Beim flexiblen Job-Shop-Problem mit mehreren Maschinentypfolgen M F J kann sowohl mindestens ein Auftrag durch verschiedene Maschinentypfol k > 1, ∃k) als auch mindestens eine Operation gen hergestellt werden (E

64

3 Fallstudie aus der Halbleiterindustrie alternativ auf einer Maschine aus einer gegebenen Menge identischer, paralleler Maschinen bearbeitet werden (Mkm > 1, ∃(k, m) ∈ (K × M)). Die Arbeitsganganzahl Oke hängt vom Auftrag k und der Maschinenfolge e ab. Es sind somit zwei Zuordnungsprobleme zu betrachten. Einerseits ist jedem Auftrag eine Maschinentypfolge zuzuordnen und andererseits jeder Operation innerhalb dieser eine der parallelen Maschinen eines Maschinentyps.

In Abbildung 3.10 auf S. 65 sind die vier beschriebenen Job-Shop-SchedulingProblemtypen anhand eines Beispiels graphisch veranschaulicht. Zur Herstellung von zwei Aufträgen k = 1 (gr¨ un dargestellt) und k = 2 (blau) stehen die drei Maschinentypen M T 1, M T 2 und M T 3 (weißer Kasten) zur Verf¨ ugung. Bei einfachen“ Job-Shop-Problemen steht von jedem Maschinentyp genau ei” ne Maschine (grauer Kasten) zur Verf¨ ugung, so dass sich Maschinentyp- und Maschinenfolge entsprechen. Bei den flexiblen Job-Shop-Problemen kann eine Operation alternativ auf drei Maschinen des Maschinentyps M T 1 und auf zwei Maschinen des Maschinentyps M T 2 bearbeitet werden. Im Rahmen der Maschinentypfolge eines Auftrags, muss eine Operation an den Maschinentypen M T 1 und M T 2 daher genau einer der jeweiligen parallelen Maschinen zugeordnet werden, um die Maschinenfolge festzulegen. • Beim (einfachen) Job-Shop-Problem J hat jeder Auftrag eine Maschinen 2 = E1 = E2 = 1). 1 = E typ- und eine Maschinenfolge (E • Auch beim flexiblen Job-Shop-Problem F J benötigen die Aufträge k = 1 und k = 2 zu ihrer Herstellung drei (O1 = 3) bzw. zwei (O2 = 2) Ar1 = E 2 = 1), beitsgänge. Beide Aufträge haben eine Maschinentypfolge (E aber aufgrund der parallelen Maschinen E1 = 3·2·1 = 6 bzw. E2 = 3·1 = 3 alternative Maschinenfolgen. • Beim Beispiel f¨ ur M J kann Auftrag k = 1 durch drei verschiedene Maschi 1 = E1 = 3).40 nentyp- und damit Maschinenfolgen hergestellt werden (E Die Anzahl an zu durchlaufenden Arbeitsgängen hängt von der jeweiligen Maschinen(typ)folge ab: O11 = 2, O12 = 3 und O13 = 2. Auch Auftrag k = 2 kann durch mehrere, genauer zwei, alternative Maschi 2 = E2 = 2), die zwei oder drei Arnen(typ)folgen hergestellt werden (E beitsgänge benötigen (O21 = 2, O22 = 3).41 1 = 3, E 2 = 2) • Stehen neben diesen alternativen Maschinentypfolgen (E auch die parallele Maschinen bei den Maschinentypen M T 1 und M T 2 zur Verf¨ ugung (M F J), wächst die Anzahl möglicher Maschinenfolgen bei 40

Die alternativen Maschinentypfolgen vom ersten Auftrag sind als schwarz gepunktete, durchgezogene und gestrichelte Pfeilfolgen dargestellt. 41 Analog sind die zwei alternativen Maschinentypfolgen als grau durchgezogene oder gestrichelte Pfeilfolgen dargestellt.


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Auftrag k = 1 auf E1 = 3 · 2 + 3 · 2 · 1 + 3 · 1 = 15 und bei Auftrag k = 2 auf E2 = 3 · 1 + 3 · 2 · 1 = 9 an. Die Arbeitsganganzahl hängt wie bei M F von der Maschinen(typ)folge ab (O11 = 2, O12 = 3, O13 = 2, O21 = 2 und O22 = 3).

Abbildung 3.10: Veranschaulichung der vier Job-Shop-Scheduling-Problemtypen J, F J, M J und M F J Damit lässt sich die hier betrachtete Fallstudie aus der Halbleiterindustrie (FSH) folgendermaßen klassifizieren: M F J|nzkm , T, Ok 4, rzkm , azm |F (ZF1 , . . . , ZFZ ) Es handelt sich um eine multikriterielles Optimierungsproblem. Im Rahmen der Arbeit soll mit Hilfe der Zielgewichtung eine optimale“ Lösung gefunden ” werden, die die Präferenzen des Unternehmens widerspiegelt. Wie die in Abschnitt 3.6 beschriebenen Zielsetzungen in konkrete und messbare Zielkriterien umgesetzt und geeignet gewichtet werden können, wird im folgenden Kapitel beschrieben.42 Es wurde in der Literatur noch kein Verfahren veröffentlicht, das ohne Anpassungsbedarf zur Lösung der betrachteten Fallstudie angewendet werden kann. 42

Da der Schwerpunkt der Arbeit nicht auf der Betrachtung multikriterieller Ablaufplanungsprobleme liegt, wird auf weiterf¨ uhrende Literatur zu diesem Thema verwiesen. Vgl. Foote et al.(1988); Nagar et al.(1995); T‘Kindt/Billaut(2002); Geiger(2005); Hoogeveen(2005); T‘Kindt/Billaut(2006).

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Daher muss ein individuelles Lösungsverfahren entwickelt werden. Da es sich bei der Problemstudie von der Grundstruktur um ein Job-Shop-SchedulingProblem handelt, werden im Folgenden zunächst in Kapitel 4 Modelle und in Kapitel 5 Lösungsverfahren f¨ ur diesen Problemtyp vorgestellt, um darauf aufbauend in Kapitel 6 problemspezifische Lösungsverfahren zu entwickeln.

4 Job-Shop-Modelle der Ablaufplanung In der Vergangenheit sind zur Unterst¨ utzung der Reihenfolgeplanung zahlreiche Entscheidungsmodelle mit unterschiedlichen Modellannahmen entwickelt worden.1 Diese unterscheiden sich in erster Linie hinsichtlich der Definition ihrer Modellvariablen. Je nach dieser Definition ergeben sich dann Unterschiede in den Nebenbedingungen f¨ ur die Maschinenfolgen, Auftragsfolgen, die Bearbeitungszeiten und die sonstigen Prämissen.2 Seelbach teilt die Modelle danach ein, ob die verwendeten Zuordnungsvariablen zeitbezogen oder reihenfolgebasiert sind.3 Bei der Modellierung mit Hilfe von zeitbezogenen Zuordnungsvariablen erfolgt die Zuordnung von Aufträgen und Maschinen im Zeitablauf unter Beachtung der vorgegebenen Maschinenfolgen und der genannten Prämissen. Im 1959 von Bowman veröffentlichten Modell wird dabei f¨ ur jeden Zeitpunkt t eine Binärvariable ykmt formuliert, die angibt, ob ein Auftrag k eine Maschine m zum Zeitpunkt t belegt oder nicht (∀k ∈ K, ∀m ∈ M, ∀t ∈ T ).4 Andere Definitionen von zeitbezogenen Zuordnungsvariablen betrachten dagegen nur“ den Anfangs” akmt oder Endzeitpunkt ekmt eines Auftrags k auf einer Maschine m.5 Bei der Modellierung mit Hilfe von reihenfolgebasierten Variablen ordnet die Zuordnungsvariable einen Auftrag in die Auftragsfolge einer Maschine ein.6 Wagner verwendet hierf¨ ur die Positionsvariablen yk[p]m , die angeben, ob Auf1

Die ersten Veröffentlichungen dazu sind von Bowman(1959), Wagner(1959) und Manne(1960), weitere folgten u. a. von Fisher(1973), Fisher et al.(1983), Adams et al.(1988), Stafford(1988), Brah et al.(1991) und Bla˙zewicz et al.(2000). 2 Eine ausf¨ uhrliche Beschreibung der vielen Modelle ist nicht Ziel der Arbeit, so dass auf ¨ weiterf¨ uhrende Literatur verwiesen wird. Gute Uberblicke zu den Modellen der Ablaufplanung finden sich u. a. in Seelbach(1975), Rinnooy Kan(1976), Reese(1980), French(1982), Bla˙zewicz et al.(1991), Van De Velde(1991), Latz(1997), G¨ unther/Van Beek(2003), Neumann et al.(2003) und Pinedo(2005). 3 Vgl. Seelbach (1975), S. 40ff. 4 Es wird auch von Belegungsvariablen“ gesprochen. Vgl. Krelle(1958) und auch Bow” man(1959). 5 Einerseits werden die Binärvariable ykmt wie z. B. bei Pritsker et al.(1969) im Sinne einer Abschlussvariablen“ verwendet, d. h., sie geben an, ob der Auftrag k auf der Maschine m ” zum Zeitpunkt t beendet wird. Andererseits gibt es Modelle mit Beginnvariablen; vgl. z. B. Sousa/Wolsey(1992) und Domschke/Drexl(2007). 6 Es ist daher nötig, die zeitliche Struktur zusätzlich zu beschreiben. I. J. Acker, Methoden zur mehrstufi gen Ablaufplanung in der Halbleiterindustrie, DOI 10.1007/978-3-8349-6731-2_4, © Gabler Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

68

4 Job-Shop-Modelle der Ablaufplanung

trag k auf Maschine m an p-ter Stelle bearbeitet wird oder nicht (k ∈ K, p = 1, . . . , Km , ∀m ∈ M).7 Manne dagegen definiert 1960 mit den Binärvariablen yk1 k2 m , ob auf der Maschine m der Auftrag k1 vor k2 bearbeitet wird oder erst nach ihm (∀k1 , k2 ∈ K; k1 < k2 ; ∀m ∈ M).8 Reihenfolgeprobleme können sehr anschaulich als Graphen dargestellt werden. In Abschnitt 4.1 wird daher zunächst das Prinzip des disjunktiven Graphen am Beispiel des Job-Shop-Problems vorgestellt und mit Hilfe der Fallstudie FS1 veranschaulicht. Darauf aufbauend wird in Abschnitt 4.2 die Modellformulierung nach Manne vorgestellt, die mit dem disjunktiven Graphen in engem Zusammenhang steht. Auf dieser Basis wird in Abschnitt 4.3 eine Modell f¨ ur die betrachtete Fallstudie aus der Halbleiterindustrie (FSH) formuliert.

4.1 Das Prinzip des disjunktiven Graphen 4.1.1 Allgemein Roy und Sussman f¨ uhrten 1964 erstmals das Konzept ein, Ablaufpläne als disjunktive Graphen G∗ darzustellen.9 Im Folgenden wird dieses Konzept am Beispiel des klassischen Job-Shop-Problems mit der Zielsetzung der Zykluszeitminierung J//Z erläutert. Ein disjunktiver Graph G∗ = (O∗ , A ∪ E) ist hierbei durch folgende Mengen von Knoten und Kanten bzw. Pfeile charakterisiert:10 • Die Menge O∗ symbolisiert die Knoten und besteht aus der Menge aller Operationen O sowie zwei weiteren, k¨ unstlichen Operationen – einer Quelle Q und einer Senke S: O∗ = {O, Q, S} • A stellt die Menge der konjunktiven Pfeile dar und repräsentiert die Maschinenfolgen der einzelnen Aufträge: A = { (Ok[m] , Ok[m+1] ) |k ∈ K ∧ 1 ≤ m < Mk } |k ∈ K} ∪ { (Q, Ok[1] ) |k ∈ K} ∪ { (Ok[M] , S) 7

Vgl. Wagner(1959). Vgl. Manne(1960). Vgl. auch die Modifikation durch direkte Vorgänger-NachfolgerBeziehungen nach Daub(1994). 9 Vgl. Roy/Sussman(1964); Conway et al.(1967), S. 103ff. und S. 132ff.; Mensch(1968), S. 70ff.; Rinnooy Kan(1976), S. 6ff.; Graham et al.(1979), S. 317f.; Lawler et al.(1989), S. 47; Domschke et al.(1997), 398ff.; Latz(1997), S. 17ff.; Bla˙zewicz et al.(2000), S. 180f.; Eiselt/Sandblom(2004), S. 405; Brucker(2005), S. 156ff.; Brucker/Knust(2006), S. 190ff. 10 Im Kontext der Ablaufplanung erfolgt die graphentheoretische Darstellung u ¨blicherweise und daher auch hier als Vorgangsknotennetzplan (task-on-node representation). Dieser kann unter Einsatz von Dummy-Variablen in einen Vorgangspfeilnetzplan (task-on-arc representation) transformiert werden. Vgl. Bla˙zewicz et al.(2000), S. 38ff.; Pinedo(2005), S. 52ff. 8

4.1 Das Prinzip des disjunktiven Graphen

69

Die erste der drei Teilmengen bildet die Maschinenfolgen aller K Aufträge ur jedes Paar aufeinander folmit Hilfe der Pfeile (Ok[m] , Ok[m+1] ) ab.11 F¨ gender Operationen Ok[m] und Ok[m+1] gibt der Pfeil an, dass der Auftrag k erst auf seiner [m]-ten Maschine bearbeitet werden muss, bevor er auf seiner [m + 1]-ten Maschine bearbeitet werden darf. Aus verfahrenstechnischen Gr¨ unden gibt es außerdem Pfeile von der Quelle Q zur jeweils ersten Operation aller Aufträge Ok[1] sowie von der letzten Operation aller Aufträge Ok[M] zur Senke S.12 • E stellt die Menge aller disjunktiven Pfeilpaare dar und repräsentiert die verschiedenen möglichen Auftragsfolgen der einzelnen Maschinen: E = {(Ok1 m , Ok2 m )|k1 , k2 ∈ K ∧ k1 = k2 ∧ m ∈ M} Die Auftragsfolgen sind im Gegensatz zu den Maschinenfolgen noch nicht bekannt. Da jede Maschine zu einem Zeitpunkt maximal einen Auftrag bearbeiten kann, ist f¨ ur zwei auf m zu bearbeitenden Aufträge Ok1 m und Ok2 m daher sicherzustellen, dass entweder Ok1 m ≺ Ok2 m oder Ok2 m ≺ Ok1 m gilt. Zwischen jedem Paar an Operationen, die auf derselben Maschine bearbeitet werden m¨ ussen, hat der Graph G∗ daher ein disjunktives Pfeilpaar, das aus den zwei gegenläufigen Pfeilen (Ok1 m , Ok2 m ) und (Ok2 m , Ok1 m ) besteht. Die Menge E = M m=1 Em bildet mit Hilfe dieser disjunktiven Pfeilpaare die möglichen Auftragsfolgen aller M Maschinen ab.13 Jeder Pfeil aus einem Knoten ist gewichtet mit der Bearbeitungszeit pkm der durch den Ausgangsknoten repräsentierten Operation Okm . Die Quelle Q hat eine Bearbeitungszeit von pQ = 0. Die Gewichtung gibt den Mindestabstand zwischen den Startzeiten der beiden verbundenen Knoten, d. h. Operationen, wieder. Eine Lösung eines Ablaufplanungsproblems liegt vor, wenn sowohl die Maschinenfolgen als auch alle Auftragsfolgen bekannt sind. Im Rahmen der primalen Ablaufplanung sind somit die Auftragsfolgen festzulegen, indem im Laufe eines Planungsverfahrens von jedem disjunktiven Pfeilpaar ein Pfeil ausgewählt, d. h. selektiert, wird. Wenn f¨ ur alle disjunktiven Pfeilpaare eine Selektion erfolgt ist, liegt eine vollständige Selektion vor. Die Orientierung kann dabei allerdings nicht willk¨ urlich erfolgen. Um einen zulässigen Ablaufgraphen zu erzeugen, Ak verbindet dabei die jeweiligen Knoten eines Auftrags k. Die Vereinigungsmenge K k=1 Ak enthält alle Maschinenfolgen des Auftragsbestandes. 12 Formal entsprechen Quelle bzw. Senke dabei der ersten bzw. letzten Operation von jedem einzelnen Auftrag. Die Quelle hat somit nur Nachfolger, die Senke dagegen nur Vorgänger. 13 Em verbindet dabei die jeweiligen Knoten einer Maschine m.

11

70


d¨ urfen die Auftragsfolgen nicht im Widerspruch zu den gegebenen Maschinenfolgen stehen. Dies w¨ urde sich in Form eines Zyklus im disjunktiven Graphen äußern. Erzeugt die Auswahl der Orientierung dagegen einen azyklischen Ablaufgraphen – in diesem Fall spricht man von einer konsistenten Selektion –, liegt eine zulässige Auftragsfolgekombination und damit ein zulässiger Ablaufgraph vor.14 Durch das zulässige zeitliche Einplanen können die jeweiligen zulässigen Ablaufpläne erzeugt werden. Um den optimalen Ablaufplan zu bestimmen, ist die Zykluszeit zu minimieren.15 Die Zykluszeit eines Ablaufplans entspricht der Länge des kritischen Weges, d. h. des längsten gewichteten Weges von der Quelle Q zur Senke S durch den Graphen. Den Ablaufplan mit der minimalen Zykluszeit zu finden entspricht damit dem Problem, die Richtung aller Disjunktionen so zu selektieren, dass ein azyklischer Graph mit minimalem längsten Weg entsteht.

4.1.2 Veranschaulichung mit Hilfe der Fallstudie FS1 Das Konzept des disjunktiven Graphen soll mit Hilfe der in Abschnitt 2.4.1 auf S. 33 eingef¨ uhrten Fallstudie FS1 veranschaulicht werden. Dazu wird zunächst folgende Legende eingef¨ uhrt (vgl. Abbildung 4.1):

Abbildung 4.1: Legende Bei FS1 sind 3 Aufträge auf jeweils 4 Maschinen zu bearbeiten. Daraus ergeben sich 12 Operationen bzw. Knoten. Die in Tabelle 2.3 auf S. 34 angegebenen Maschinenfolgen der einzelnen Aufträge lassen sich in folgendem Maschinenfolgegraph veranschaulichen, bei dem die Aufträge in den Zeilen“ und die Ma” schinen in den Spalten“ des Graphen abgebildet sind (vgl. Abbildung 4.2 auf ” S. 71): 14 15

Vgl. Bla˙zewicz et al.(2000), S. 180. Unter allen möglichen zulässigen Ablaufplänen befindet sich der optimale Ablaufplan. Vgl Brucker(2005), S. 156.


71

Abbildung 4.2: Maschinenfolgegraph zur Fallstudie FS1 Die horizontal dargestellten Pfeile beziehen sich auf einen einzelnen Auftrag und repräsentieren seine Maschinenfolge. So besagt z. B. der Pfeil zwischen O22 und O23 , dass Auftrag 2 auf Maschine 3 erst bearbeitet werden kann, wenn er auf Maschine 2 beendet wurde. Vertikale Pfeile beziehen sich auf die einzelnen Maschinen und veranschaulichen die jeweiligen Auftragsfolgen. Da jeder Auftrag auf jeder Maschine bearbeitet werden muss, konkurrieren jeweils 3 Aufträge um die Maschinenkapazität. Es gibt somit je Maschine 3 und damit insgesamt 12 disjunktive Pfeilpaare. Durch Hinzuf¨ ugen aller vertikalen disjunktiven Pfeilpaare sowie der Quelle Q, in der alle Aufträge starten, und der Senke S, in der alle Aufträge enden, ergibt sich der in folgender Abbildung 4.3 dargestellte disjunktive Graph G∗ .

Abbildung 4.3: Disjunktiver Graph G∗ zur Fallstudie FS1 (Darstellung ohne Bearbeitungszeiten) Um einen Ablaufplan zu erzeugen, m¨ ussen die Disjunktionen aufgelöst und damit die Auftragsfolgen der Maschinen bestimmt werden. Im Hinblick auf die Zulässigkeit eines Ablaufplans sind die Disjunktionen so aufzulösen, dass der

72


korrespondierende Ablaufgraph G zyklenfrei ist. Aus Abschnitt 2.4.2 auf S. 35 ist eine Auftragsfolgekombination bekannt, die nicht im Widerspruch zu den einzelnen Maschinenfolgen steht. Diese ist in folgender Tabelle 4.1 dargestellt:

[1]m [2]m [3]m

m=1 m=2 m=3 m=4 1 1 1 1 3 2 2 2 2 3 3 3

Tabelle 4.1: Auftragsfolgen [k] (Fallstudie FS1) – Variante 1 Auf Maschine m = 1 m¨ ussen die Aufträge in der Reihenfolge []1 = (1, 3, 2) bearbeitet werden, auf den restlichen drei Maschinen m ∈ (2, 3, 4) in der Reihenfolge []m = (1, 2, 3). Die disjunktiven Pfeile der Maschine 1 sind folglich (O11 , O31 ) und (O31 , O21 ), die der anderen drei Maschinen m = 2, 3, 4 (O1m , O2m ) und (O2m , O3m ). Die entsprechenden Selektionen sind in folgendem Auftragsfolgegraphen graphisch veranschaulicht (vgl. Abbildung 4.4):

Abbildung 4.4: Auftragsfolgegraph zur Fallstudie FS1, der zu einem zulässigen Ablaufgraph f¨ uhrt Mit dieser Auftragsfolgekombination kann ein zulässiger Ablaufgraph abgebildet werden.16 Wird eine Lösung eines Ablaufplanungsproblems als Ablaufgraph dargestellt, ist im Gegensatz zum Gantt-Diagramm die zeitliche Einplanung nicht direkt ablesbar.17 Je nach der zeitlichen Einplanung der einzelnen Operationen können daraus unterschiedliche Ablaufpläne abgeleitet werden. Entsprechend der Ermittlung der fr¨ uhesten Anfangszeitpunkte in der Netzplantechnik kann aus einem zulässigen Ablaufgraphen ein semiaktiver Ablaufplan bestimmt 16

Im Anhang A.1 ist ein Beispiel f¨ ur eine Auftragsfolgekombination gegeben, die zu einem unzulässigen Ablaufgraphen f¨ uhrt (vgl. Abbildung A.1 auf S. 255 und A.2 auf S. 255). 17 Um einen zulässigen Ablaufplan zu erzeugen, d¨ urfen einerseits die Auftrags- und Maschinenfolgen nicht im Widerspruch zueinander stehen und andererseits m¨ ussen die zeitlichen Mindestabstände zwischen den Anfangszeitpunkten der Operationen beachtet werden.


73

werden. Der in folgender Abbildung 4.5 dargestellte Ablaufgraph korrespondiert zum semiaktiven Ablaufplan, der in Abbildung 2.5 auf S. 37 dargestellt ist.18

Abbildung 4.5: Zulässiger Ablaufgraph zur Fallstudie FS1 mit semiaktiver Terminierung Durch die Bestimmung der Länge des kritischen Weges im Ablaufgraphen, kann die Zykluszeit des Ablaufplans berechnet werden. In Abbildung 4.5 gibt es zwei kritische Wege (gelb dargestellt): (Q, O11 , O12 , O22 , O23 , O24 , O21 , S) sowie (Q, O11 , O12 , O22 , O23 , O24 , O34 , S). Da die Bearbeitungszeit der letzten Operation identisch ist, berechnet sich die Länge des kritischen Weges in beiden Fällen folgendermaßen: 0 + 7 + 4 + 6 + 9 + 4 + 7 = 37. Um den optimalen Ablaufplan eines Problems zu bestimmen, ist die vollständige, konsistente Selektion mit dem kleinsten kritischen Weg zu bestimmen. Durch die Erzeugung aller möglichen vollständigen, konsistenten Selektionen kann u ¨ber den Vergleich der dazugehörigen kritischen Wege der optimale Ablaufgraph ermittelt werden. Eine Alternative zu diesem enumerativen Vorgehen stellt die gemischt-ganzzahlige lineare Programmierung (GGLP) dar. Dazu wird im folgenden Abschnitt exemplarisch eine Modellformulierung beschrieben, die mit der Darstellung des disjunktiven Graphen in enger Beziehung steht. 18

Alle weiteren zu den in Abschnitt 2.4 auf S. 33ff. dargestellten Ablaufplänen korrespondierenden Ablaufgraphen sind in Anhang A.1 auf S. 255ff. dargestellt.

74


4.2 Modellformulierung nach Manne fu ¨ r das klassische Job-Shop-Problem 4.2.1 Herleitung der Modellformulierung Die im Folgenden dargestellte Modellformulierung mit Hilfe von reihenfolgebasierten Variablen wurde 1960 von Alan S. Manne vorgestellt.19 Sie steht in enger Beziehung zum Konzept des disjunktiven Graphen und erfolgt mit Hilfe von reihenfolgebasierten Variablen. Da ein Ablaufplan durch die Startzeitpunkte akm aller Operationen Okm definiert ist, werden zusätzlich Variablen deklariert, die den Zeitpunkt einer Bearbeitung zum Ausdruck bringen:20 akm gibt den Startzeitpunkt der Bearbeitung von Auftrag k auf der Maschine m an (∀k ∈ K, ∀m ∈ M). Ein Ablaufplan ist zulässig, wenn er die Maschinenfolge- und Auftragsfolgebedingungen erf¨ ullt: Maschinenfolgebedingungen (auch konjunktive Nebenbedingungen) ak[m] ≥ ak[m−1] + pk[m−1]

(∀k ∈ K; m = 2, . . . , M)

(4.1)

Ein Auftrag darf erst auf seiner [m]-ten Maschine bearbeitet werden, wenn er auf der Vorgängermaschine [m − 1] fertig bearbeitet wurde.21 Auftragsfolgebedingungen (auch disjunktive Nebenbedingungen) Eine Maschine kann zu jedem Zeitpunkt maximal einen Auftrag bearbeiten. M¨ ussen zwei Aufträge k1 und k2 beide auf einer Maschine m bearbeitet werden, kann entweder Auftrag k1 vor Auftrag k2 oder Auftrag k2 vor Auftrag k1 auf m bearbeitet werden: ak2 m ≥ ak1 m +pk1 m

∨

ak1 m ≥ ak2 m +pk2 m

(∀k1 , k2 ∈ K; k1 < k2 ; ∀m ∈ M)

Manne f¨ uhrt f¨ ur diese Entweder-Oder-Bedingungen die Binärvariablen22 yk1 k2 m ein mit 1 falls k1 Vorgänger von k2 auf m ist yk1 k2 m = 0 sonst 19

Vgl. Manne(1960). Da diese Formulierung so kompakt und leicht verständlich ist, wird sie bei vielen Autoren aufgegriffen, wie z. B. in Conway et al.(1967), S. 109; Baker(1974), S. 206ff.; Seelbach(1975), S. 40ff; Rinnooy Kan(1976), S. 38; Pinedo(2005), S. 84ff. und 393f. 20 Dies ist bei allen Modellformulierungen auf Basis von Reihenfolgevariablen notwendig, da die Zuordnungsvariablen nur die Reihenfolge der Operationen aber nicht deren Dauer angeben. 21 ak[m] bzw. pk[m] geben den Anfangszeitpunkt der Bearbeitung bzw. die Bearbeitungsdauer des Auftrags k auf der Maschine an, die an seiner m-ten Stelle der Maschinenfolge von Auftrag k steht. Vgl. dazu auch Abschnitt 2.2.2 auf S. 14. 22 Das sog. disjunktive Programm mit logischen Entweder-Oder-Bedingungen (mit ∨) ist linear. Erst durch die Einf¨ uhrung von Binärvariablen zur Auflösung der Disjunktionen wird es in ein gemischt-ganzzahliges lineares Programm transformiert.

4.2 Modellformulierung nach Manne f¨ ur das klassische Job-Shop-Problem 75 (∀k1 , k2 ∈ K; k1 < k2 ; ∀m ∈ M)23 und formuliert folgende beiden Nebenbedingungen f¨ ur die Einhaltung der Auftragsfolgen: ak2 m ≥ ak1 m + pk2 m − X · (1 − yk1 k2 m ) (∀k1 , k2 ∈ K; k1 < k2 ; ∀m ∈ M) ak1 m ≥ ak2 m + pk2 m − X · yk1 k2 m (∀k1 , k2 ∈ K; k1 < k2 ; ∀m ∈ M)

(4.2) (4.3)

X eine hinreichend große Konstante ist, die sicherstellt, dass jeweils nur eine der beiden disjunktiven Nebenbedingungen begrenzend wirkt.24 Zielfunktion Um einen optimalen Ablaufplan zu bestimmen, ist eine Zielfunktion zu formulieren, die die Zielsetzung abbildet. Im betrachteten Fall ist die Zykluszeit Z zu minimieren.25 min Z

(4.4)

Um den Zusammenhang zu den Variablen herzustellen, sind weitere Nebenbedingungen nötig.26 Diese so genannten Zykluszeitbedingungen ermöglichen es, mittels des Startzeitpunktes und der Bearbeitungszeit eines Auftrags auf seiner letzten Maschine die Zykluszeit zu minimieren: Z ≥ ak[M] + pk[M]

(∀k ∈ K)

(4.5)

Definitionsbereich Die Variablen m¨ ussen die Nichtnegativitäts- bzw. Ganzzahligkeitsbedingungen einhalten: Z ≥ 0 akm ≥ 0 yk1 k2 m ∈ {0, 1}

(∀k ∈ K; ∀m ∈ M) (∀k1 , k2 ∈ K; k1 < k2 ; ∀m ∈ M)

(4.6) (4.7) (4.8)

Auf diese Weise kann das klassische Job-Shop-Problem als gemischt-ganzzahliges lineares Programm beschrieben werden. Im Folgenden wird die Fallstudie FS1 damit gelöst. 23

Alternativ ist k1 = k2 möglich. Vgl. Seelbach(1975), S.43. Manne setzt die in Abhängigkeit von Aufträgen und Maschinen X = T + pkm . 25 Manne selbst gibt zwar explizit keine Zielfunktion an, geht aber von der Minimierung der Zykluszeit aus. In die beschriebene Modellformulierung kann allerdings eine Vielzahl von Zielfunktionen eingebaut werden (vgl. Seelbach(1975), S. 61). 26 Diese sind im Gegensatz zu den Auftrags- und Maschinenfolgebedingungen von der Zielfunktion abhängig. 24

76


4.2.2 Anwendung auf die Fallstudie FS1 Die Modellformulierung von Manne zeichnet sich dadurch aus, dass sie im Vergleich zu den meisten anderen Modellen die wenigsten Binärvariablen und Neur das klassische Job-Shop-Problem J//Z sind benbedingungen benötigt.27 F¨ die Anzahl der Variablen und Nebenbedingungen in der Tabelle 4.2 allgemein sowie f¨ ur die Fallstudie FS1 dargestellt. Bei der Fallstudie FS1 sind drei Aufträgen und vier Maschinen zu bearbeiten. Somit sind f¨ ur zur Modellierung 12 Binärvariablen und 33 Reihenfolgebedingungen nötig. Ausformuliert ist die Modellformulierung im Anhang A.2 auf S. 260 dargestellt. akm Binärvariablen yk1 k2 m Z Anzahl Variablen

K·M

K·(K−1) 2

·M

1

Maschinenfolgebedingungen K · (M − 1) K · (K − 1) · M Auftragsfolgebedingungen K Zykuszeitbedingungen Anzahl Nebenbedingungen

= 3 · 4 = 12 = 3·(3−1) · 4 = 12 2 =1 = 25 = 3 · (4 − 1) = 9 = 3 · (3 − 1) · 4 = 24 =3 = 36

Tabelle 4.2: Modellumfang nach Manne: Anzahl Nebenbedingungen und Variablen allgemein sowie f¨ ur die Fallstudie FS1

Die Lösung dieses gemischt-ganzzahligen linearen Programms f¨ uhrt zu der bereits bekannten minimalen Zykluszeit von Z ∗ = 27 ZE.28 Ein optimaler Ablaufplan kann dabei u. a. durch folgende in Tabelle 4.3 angegebene Binärvariablenwerte bestimmt werden: y121 = 1 y122 = 0 y123 = 0 y124 = 1 y131 = 1 y132 = 1 y133 = 0 y134 = 1 y231 = 0 y232 = 1 y233 = 1 y234 = 1 Tabelle 4.3: Werte der Binärvariablen beim optimalen Ablaufgraphen f¨ ur die Fallstudie FS1 bei der Lösungsvariante 1 Diese korrespondieren mit den Auftragsfolgen des in Abbildung 2.8 auf S. 41 dargestellten Gantt-Diagramms. Die Anfangszeiten bei semiaktiver Einplanung können Tabelle 4.4 auf folgender Seite entnommen werden. 27 28

Vgl. Seelbach(1975), S. 70ff. Mögliche Lösungsverfahren werden im folgenden Kapitel 5 vorgestellt. Hier wurde zur Lösung die Optimierungssoftware LINGO (Release 9.0 von LINDO Systems Inc.) verwendet.

4.2 Modellformulierung nach Manne f¨ ur das klassische Job-Shop-Problem 77

k=1 k=2 k=3

m=1 m=2 m=3 m=4 0 7 20 11 19 0 6 15 7 12 17 20

Tabelle 4.4: Anfangszeiten akm in ZE des optimalen Ablaufplans bei semiaktiver Einplanung (Fallstudie FS1) - Lösungsvariante 1

Damit ergibt sich der in folgender Abbildung 4.6 dargestellte optimale Ablaufgraph. Dieser repräsentiert aber nicht den einzigen optimalen Ablaufplan. Einerseits gibt es noch zwei weitere Ablaufgraphen, die ebenfalls zur minimalen Zykluszeit f¨ uhren.29 Diese sind im Anhang A.1 auf S. 255ff. dargestellt. Andererseits ist im Modell nicht explizit gefordert, dass die Operationen fr¨ uhestmöglich eingeplant werden m¨ ussen. Kritische Operationen können daher innerhalb ihrer Pufferzeiten zu verschiedenen Zeitpunkten bearbeitet werden, so dass eine Vielzahl verschiedener Ablaufpläne mit minimaler Zykluszeit generiert werden kann.

Abbildung 4.6: Optimaler Ablaufgraph zur Fallstudie FS1 - Lösungsvariante 1

29

Das Modell ist also nicht notwendig eindeutig lösbar.

78


4.3 Ein gemischt-ganzzahliges lineares Programm zur Modellierung der Fallstudie aus der Halbleiterindustrie Wie in Abschnitt 3.7 festgestellt handelt es sich bei der betrachteten Fallstudie aus der Halbleiterindustrie (FSH) um ein flexibles Fertigungsproblem, das insbesondere durch eine Vielzahl alternativer Maschinenfolgen charakterisiert ist. Die Ursache f¨ ur diese Vielzahl liegt einerseits bereits in der Existenz alternativer Maschinentypfolgen und andererseits im Vorhandensein paralleler Maschinen bei einzelnen Maschinentypen. Im Folgenden wird das Problem auf Basis der im vorherigen Abschnitt beschriebenen Job-Shop Modellformulierung mit Hilfe von Reihenfolgevariablen in Anlehnung an Manne formuliert, indem das Modell um die in Kapitel 3 beschriebenen Eigenschaften erweitert wird. Die Formulierung wird im Folgenden als GGLP-Komplett bezeichnet.

4.3.1 Weitere Notationsvereinbarungen F¨ ur die Modellierung der Fallstudie werden weitere Notationsvereinbarungen benötigt, die u uhrten Deklarationen ¨ber die im Abschnitt 2.2.2 auf S. 14 eingef¨ hinausgehen. Im Folgenden wird aber zunächst nur ein Teil dieser Notationen erläutert. Die restlichen Notationsvereinbarungen werden dann im Rahmen der Modellerläuterungen im Abschnitt 4.3.3 erklärt. Alle im Modell GGLP-Komplett verwendeten Indizes, Parameter und Variablen sind aber bereits in den Tabellen 4.5 und 4.6 auf S. 79f. zusammengefasst. Die Menge J = {1; . . . ; J} enthält alle J Endmessdiodentypen j. Von einem Endmessdiodentyp j sind Cj Chargen c herzustellen; sie bilden die Menge Cj = {1; . . . ; Cj }. Maximal sind Cmax = maxj Cj = max{C1 ; . . . ; CJ } Chargen von einem Endmessdiodentyp herzustellen. Bei J Diodentypen sind insgesamt C = Jj=1 Cj Chargen einzuplanen. Ein Auftrag ist somit durch einen Endmessdiodentyp und die Chargennummer dieses Endmessdiodentyps gekennzeichnet. Im Folgenden wird daher ein Auftrag nicht mehr wie bisher mit k, sondern mit jc indiziert. Sollen zwei Endmessdiodentypen betrachtet werden, wird in j1 und ur c1 bzw. c2 . Der Parameter wj1 j2 gibt an, ob j2 unterschieden. Das gilt analog f¨ die beiden Endmessdiodentypen j1 und j2 derselben Auftragsgruppe angehören (=1), d. h., den gleichen Montagediodentyp haben oder nicht (=0). Endmessdiodentypen können auf verschiedene Arten hergestellt werden, d. h., f¨ ur jeden Endmessdiodentyp j sind Ej alternative Maschinenfolgen e (bzw. e1 , e2 ) gegeben. Der Anfangszeitpunkt der Bearbeitung von Charge c des Endmessdiodentyps j mittels Maschinenfolge e auf Maschine m wird folglich durch

4.3 Modellformulierung f¨ ur die Fallstudie aus der Halbleiterindustrie

79

die Variable ajcem festgelegt. Ej = {1; . . . ; Ej } stellt die Menge der alternativen Maschinenfolgen e von Endmessdiodentyp j dar.30 Die Menge der Maschinen m wird in zwei disjunkte Teilmengen aufgeteilt: M = MAG ∩ (M\MAG ). Die Menge MAG enthält diejenigen Maschinen, die Auftragsgruppen ber¨ ucksichtigen (Montagemaschinen). Nach jeder Bearbeitung auf einer solchen Montagemaschine m ∈ MAG ist eine endmesstypspezifische ucksichtigen. Die Menge Mj setzt sich aus denjenigen Nachlaufzeit nzjm zu ber¨ Maschinen zusammen, auf denen Endmessdiodentyp j – unabhängig von der f¨ ur die Charge c gewählten Einplanungsalternative e – bearbeitet werden kann.31 Die Menge Mje enthält dagegen alle Mje Maschinen, auf denen Endmessdiodentyp j bearbeitet werden muss, wenn er mit Maschinenfolge e hergestellt ucksichwird. In der betrachteten Problemstellung sind R¨ ustzeiten rzjm zu ber¨ tigen; diese sind wie die Bearbeitungszeiten pjm neben der Maschine m nur vom Endmessdiodentyp j abhängig. Im Laufe des Planungszeitraums gibt es bei den Maschinen aufgrund des Schichtbetriebs geplante Stillstände. Alle Maschinen stehen u ¨ber das Wochenende still. Je nach vorgegebenem Einsatzplan können einzelne Maschinen auch unterhalb der Woche f¨ ur eine oder mehrere Schichten still stehen. Zu diesen Zeitpunkten kann auf ihnen nicht produziert werden. Die Menge Vm = {1; . . . ; Vm } enthält die Vm Stillstände v von Maschine m innerhalb des Planungszeitraums. Nach jedem Stillstand bedarf die Maschine m der Anlaufzeit azm . Indizes: j (j1 , j2 ) Endmessdiodentyp (j = 1, . . . , J) c (c1 , c2 ) Charge (in Bezug auf den Endmessdiodentyp j: c = 1, . . . , Cj ) e (e1 , e2 ) alternative Maschinenfolge (in Bezug auf den Endmessdiodentyp j: e = 1, . . . , Ej ) m Maschinen (in Bezug auf die Maschinenfolge e vom Endmessdiodentyp j: m = 1, . . . , Mje ) v Maschinenstillstand (in Bezug auf die Maschine m: v = 1, . . . , Vm ) Daten (Teil 1): J Anzahl Endmessdiodentypen Cmax maximale Anzahl Chargen aller Endmessdiodentypen Anzahl Chargen vom Endmessdiodentyp j Cj Tabelle 4.5: Deklarationen f¨ ur das Modell GGLP-Komplett – Teil 1 30

Bei diesem Modell werden die Maschinentypfolgen indirekt ber¨ ucksichtigt, indem alle möglichen Maschinenfolgen explizit betrachtet werden. 31 Im Gegensatz zu der in Abschnitt 2.2.2 auf S. 14 definierten Menge Mk , die alle Maschinen angibt, auf denen der Auftrag k bearbeitet werden muss.

80


Daten (Teil 2): Ej Anzahl der alternativen Maschinenfolgen vom Endmessdiodentyp j Fertigstellungstermin von der Charge c vom Endmessdiodentyp j Fjc∗ wj1 j2 gibt an, ob j1 und j2 derselben Auftragsgruppe angehören (=1) oder nicht (=0) M Anzahl Maschinen Anzahl Maschinen, auf denen Endmessdiodentyp j bei MaschinenMje folge e bearbeitet werden muss Anzahl Stillstände von Maschine m Vm Beginnzeitpunkt des v-ten Maschinenstillstands von m StAmv Endzeitpunkt des v-ten Maschinenstillstands von m StEmv Anlaufzeit von Maschine m nach einem Maschinenstillstand azm Bearbeitungszeit vom Endmessdiodentyp j auf Maschine m pjm R¨ ustzeit vom Endmessdiodentyp j auf Maschine m rzjm Nachlaufzeit vom Endmessdiodentyp j nach seiner Bearbeitung auf nzjm Maschine m T Planungshorizont X hinreichend große Zahl Gewichtung der Zykluszeit Z gZ Gewichtung der summierten (gesamten) Anfangszeiten GA gA Entscheidungsvariablen: ajcem Anfangszeitpunkt der Bearbeitung von Charge c vom Endmessdiodentyp j mit Maschinenfolge e auf Maschine m yj1 c1 j2 c2 m =1, wenn Charge c2 von j2 Nachfolger von Charge c1 von j1 auf m ist (0, sonst) =1, wenn Charge c vom Endmessdiodentyp j mit Maschinenfolge gjce e hergestellt wird (0, sonst) =1, wenn Charge c vom Endmessdiodentyp j bei Herstellung mit njce Maschinenfolge e innerhalb des Planungszeitraums fertig gestellt wird =1, wenn die mit Maschinenfolge e hergestellte Charge c vom Endsjcemv messdiodentyp j aufgrund des v-ten Maschinenstillstandes von Maschine m erst nach dem Stillstand auf m bearbeitet werden kann Fertigstellungszeitpunkt der Charge c vom Endmessdiodentyp j Fjc GSN gewichteter Strafterm f¨ ur nicht erf¨ ullte Aufträge gewichtete Termin¨ u berschreitung der Charge c vom EndmessdiGT A+ jc odentyp j gewichtete Termin¨ uberschreitung des Auftragsbestandes GT A+ Z Zykluszeit GZ gewichtete Zykluszeit GA gewichtete gesamte Anfangszeit Tabelle 4.6: Deklarationen f¨ ur das Modell GGLP-Komplett – Teil 2


81

4.3.2 Modellierung der Fallstudie FSH: GGLP-Komplett min GSN + GT A+ + GZ + GA

(4.9)

u. d. N.

GSN = T · GT A+ = GT A+ jc ≥

Cj Ej J

(gjce − njce ) ·

j=1 c=1 e=1 Cj J

GT A+ jc j=1 c=1 ∗ Fjc − Fjc T + 1 − Fjc∗

Cmax Cj

(4.10) (4.11)

(∀j ∈ J ; ∀c ∈ Cj )

(4.12)

Fjc ≥ ajce[Mje ] + pj[Mje ] − X · (1 − njce ) (∀j ∈ J ; ∀c ∈ Cj ; ∀e ∈ Ej ) (4.13) Z T Z ≥ Fjc − X · (1 − njce )

GZ = gZ ·

GA = gA · Ej

Cj Ej Mje J

(4.14) (∀j ∈ J ; ∀c ∈ Cj ; ∀e ∈ Ej ) ajce[m]

(4.15) (4.16)

j=1 c=1 e=1 m=1

(∀j ∈ J ; ∀c ∈ Cj )

gjce = 1

(4.17)

e=1

ajcem + pjm + nzjm ≤ T + X · (1 − njce ) (∀j ∈ J ; ∀c ∈ Cj ; ∀e ∈ Ej ; ∀m ∈ Mje )

(4.18)

ajcem ≤ X · njce

(4.19)

njce ≤ gjce

(∀j ∈ J ; ∀c ∈ Cj ; ∀e ∈ Ej ; ∀m ∈ Mje )

(∀j ∈ J ; ∀c ∈ Cj ; ∀e ∈ Ej )

(4.20)

ajcem ≥ azm + rzjm − X · (1 − njce ) (∀j ∈ J ; ∀c ∈ Cj ; ∀e ∈ Ej ; ∀m ∈ Mje )

(4.21)

ajcem + pjm ≤ StAmv + X · sjcemv (∀j ∈ J ; ∀c ∈ Cj ; ∀e ∈ Ej ; ∀m ∈ Mje ; ∀v ∈ Vm )

(4.22)

ajcem ≥ (StEmv + azm + rzjm ) · sjcemv − X · (1 − njce ) (∀j ∈ J ; ∀c ∈ Cj ; ∀e ∈ Ej ; ∀m ∈ Mje ; ∀v ∈ Vm )

(4.23)

ajce[m] ≥ ajce[m−1] + pj[m−1] + nzj[m−1] − X · (1 − njce ) (∀j ∈ J ; ∀c ∈ Cj ; ∀e ∈ Ej ; m = 2, . . . , Mje )

(4.24)

82

4 Job-Shop-Modelle der Ablaufplanung ajc2 e2 m ≥ ajc1 e1 m + pjm − X · (1 − yjc1 jc2 m ) −X · (1 − njc1 e1 ) − X · (1 − njc2 e2 ) (∀j ∈ J ; c1 ∈ Cj1 ; c2 ∈ Cj2 ; e1 ∈ Ej1 ; e2 ∈ Ej2 ; m ∈ Mje ) (4.25) ajc1 e1 m ≥ ajc2 e2 m + pjm − X · yjc1 jc2 m −X · (1 − njc1 e1 ) − X · (1 − njc2 e2 ) (∀j ∈ J ; c1 ∈ Cj1 ; c2 ∈ Cj2 ; e1 ∈ Ej1 ; e2 ∈ Ej2 ; m ∈ Mje ) (4.26) aj2 c2 e2 m ≥ aj1 c1 e1 m + pj1 m + rzj2 m · yj1 c1 j2 c2 m −X · (1 − yj1 c1 j2 c2 m ) − X · (1 − nj1 c1 e1 ) − X · (1 − nj2 c2 e2 ) (∀j1 , j2 ∈ J ; j1 < j2 ; c1 ∈ Cj1 ; c2 ∈ Cj2 ; e1 ∈ Ej1 ; e2 ∈ Ej2 ; (4.27) ∀m ∈ (Mj1 e1 ∩ Mj2 e2 ∩ (M\MAG ))) aj1 c1 e1 m ≥ aj2 c2 e2 m + pj2 m + rzj1 m · (1 − yj1 c1 j2 c2 m ) −X · yj1 c1 j2 c2 m − X · (1 − nj1 c1 e1 ) − X · (1 − nj2 c2 e2 ) (∀j1 , j2 ∈ J ; j1 < j2 ; c1 ∈ Cj1 ; c2 ∈ Cj2 ; e1 ∈ Ej1 ; e2 ∈ Ej2 ; (4.28) ∀m ∈ (Mj1 e1 ∩ Mj2 e2 ∩ (M\MAG ))) aj2 c2 e2 m ≥ aj1 c1 e1 m + pj1 m + rzj2 m · (1 − wj1 j2 ) · yj1 c1 j2 c2 m −X · (1 − yj1 c1 j2 c2 m ) − X · (1 − nj1 c1 e1 ) − X · (1 − nj2 c2 e2 ) (∀j1 , j2 ∈ J ; j1 < j2 ; c1 ∈ Cj1 ; c2 ∈ Cj2 ; e1 ∈ Ej1 ; e2 ∈ Ej2 ; (4.29) ∀m ∈ (Mj1 e1 ∩ Mj2 e2 ∩ MAG )) aj1 c1 e1 m ≥ aj2 c2 e2 m + pj2 m + rzj1 m · (1 − wj1 j2 ) · (1 − yj1 c1 j2 c2 m ) −X · yj1 c1 j2 c2 m − X · (1 − nj1 c1 e1 ) − X · (1 − nj2 c2 e2 ) (∀j1 , j2 ∈ J ; j1 < j2 ; c1 ∈ Cj1 ; c2 ∈ Cj2 ; e1 ∈ Ej1 ; e2 ∈ Ej2 ; (4.30) ∀m ∈ (Mj1 e1 ∩ Mj2 e2 ∩ MAG )) GSN, GT A+ , GZ, Z, GA ≥ 0

(4.31)

GT A+ jc ≥ 0

(4.32)

ajcem ≥ 0

(∀j ∈ J ; ∀c ∈ Cj ) (∀j ∈ J ; ∀c ∈ Cj ; ∀e ∈ Ej ; ∀m ∈ Mje )

yj1 c1 j2 c2 m ∈ {0; 1} (∀j1 , j2 ∈ J ; j1 ≤ j2 ; c1 ∈ Cj1 ; c2 ∈ Cj2 ; ∀m ∈ (Mj1 e1 ∩ Mj2 e2 )) sjcemv ∈ {0; 1}

(4.33) (4.34) (4.35)

(∀j ∈ J ; ∀c ∈ Cj ; ∀e ∈ Ej ; ∀m ∈ Mje ; ∀v ∈ Vm ) (4.36)

gjce , njce ∈ {0; 1}

(∀j ∈ J ; ∀c ∈ Cj ; ∀e ∈ Ej )

(4.37)


83

4.3.3 Erl¨ auterungen Auswahl einer der alternativen Maschinenfolgen In der hier betrachteten Problemstellung kann eine Charge c von einem Endmessdiodentyp j auf verschiedene alternative Wege (Ej ) hergestellt werden. Damit eine zu produzierende Charge eines Auftrages nur einmal hergestellt wird, muss von den alternativ möglichen Maschinenfolgen genau eine ausgewählt weruhrt und die Nebenbedingung 4.17 den. Hierzu wird die Binärvariable gjce eingef¨ formuliert. Wird f¨ ur die Charge c von Endmessdiodentyp j die Maschinenfolge e gewählt, nimmt die Binärvariable gjce den Wert 1 an (0 sonst). M¨ oglichkeit der Nichterf¨ ullung In der betrachteten Problemstellung muss die Nachfrage nach verschiedenen Endmessdiodentypen innerhalb des Planungszeitraums von T Minuten befriedigt werden. Mit der Bearbeitung eines Auftrags soll aber nur begonnen werden, wenn er bis zum Ende des Planungszeitraums T vollständig hergestellt werden kann. Andernfalls soll der Auftrag komplett in den nachfolgenden Planungszeitraum verschoben werden. Diese Möglichkeit der Nichterf¨ ullung wird mit Hilfe der Binärvariablen njce und den Restriktionen 4.18 und 4.19 abgebildet. Wenn die Charge c vom Endmessdiodentyp j, die mit der Maschinenfolge e hergestellt wird, innerhalb des Planungszeitraums fertig gestellt wird, nimmt njce den Wert 1 an (4.18). Ansonsten werden alle Anfangszeitpunkte auf 0 gesetzt (4.19).32 Zwischen der Auswahl einer Maschinenfolge und der Möglichkeit der Nichterf¨ ullung besteht ein Zusammenhang. Eine Nichterf¨ ullung ist nur möglich, wenn Maschinenfolge e auch tatsächlich gewählt wird (4.20). Es sind Korrekturterme in verschiedenen Gleichungen notwendig, um sie im Falle einer Nichterf¨ ullung redundant zu machen.33 Maschinenstillst¨ ande Die Maschinenstillstände m¨ ussen im Modell gesondert betrachtet werden. Die Parameter StAmv und StEmv geben jeweils den v-ten Stillstandsanfangs- bzw. Stillstandsendzeitpunkt der Maschine m an. Zwischen Stillstandsanfang und Stillstandsende liegt die nicht belegbare Zeit der Maschine. Nach einem Maschinenstillstand ist jede Maschine während der Anlaufphase eine Zeit lang nicht voll leistungsfähig. Um dies zu ber¨ ucksichtigen, wird die Nichtverf¨ ugbarkeit der Maschine um den relevanten Zeitraum, die Anlaufzeit azm , verlängert. Da die Bearbeitung der Aufträge nicht unterbrochen werden darf, muss modelliert werden, dass eine Operation entweder vor einem Maschinenstillstand 32 33

Dies ist f¨ ur das im Folgenden noch zu erläuternde Zielkriterium GA nötig. Aufgrund der Beziehung in Formel 4.20 können Korrekturterme der Maschinenfolgeauswahl“ ” nötig gewesen wären, weggelassen werden, die eigentlich ebenfalls in verschiedenen Gleichung um sie f¨ ur die nicht ausgewählten Maschinenfolgen redundant zu machen.

84


beendet ist oder erst nach diesem Maschinenstillstand beginnen darf. Dazu wird im Modell die Binärvariable sjcemv definiert. Sie nimmt den Wert 0 an, falls die mit Maschinenfolge e hergestellte Charge c vom Endmessdiodentyp j auf der Maschine m vor Beginn ihres v-ten Maschinenstillstandes fertig gestellt werden kann (4.22). Die Vorgänge der Nachlaufzeit sind zwar im Flussprinzip an den Montageprozess angeschlossen, aber sie können auch stattfinden, wenn die Montagemaschine still steht. Es muss also nur sichergestellt sein, dass der eigentliche Montageprozess abgeschlossen ist, bevor ein Stillstand anfängt. Falls die mit Maschinenfolge e hergestellte Charge c vom Endmessdiodentyp j aufgrund des v-ten Maschinenstillstandes von Maschine m aber erst nach dem Stillstand auf m bearbeitet werden kann, nimmt sjcemv den Wert 1 an. Dabei ist neben der Anlaufzeit zu ber¨ ucksichtigen, dass die Maschine f¨ ur den neuen auf ihr zu bearbeitenden Auftrag ger¨ ustet werden muss, weil der R¨ ustzustand u ¨ber Maschinenstillstände nicht erhalten bleibt (4.23). Nebenbedingung 4.21 stellt sicher, dass zu Beginn des Planungszeitraums kein Auftrag vor Beendigung der Anlauf- und R¨ ustzeit auf der Maschine m bearbeitet wird. Bedingungen zu den gegebenen Maschinenfolgen mit Ber¨ ucksichtigung der Nachlaufzeit Es muss außerdem sichergestellt sein, dass alle Aufträge in der ausgewählten Maschinenfolge korrekt hergestellt werden. Mit der Bearbeitung eines Auftrags auf seiner m-ten Maschine ([m]) kann somit erst begonnen werden, wenn er auf seiner Vorgängermaschine ([m − 1]) vollständig bearbeitet wurde (4.24). Die Bearbeitung auf einer Montagemaschine (m ∈ MAG ) erfordert im Anschluss an die Bearbeitung eine Nachlaufzeit nzjm .34 Diese wird als Mindestabstand ber¨ ucksichtigt, bevor der Auftrag auf seiner Nachfolgermaschine weiter bearbeitet werden kann. Bedingungen zu den zu bestimmenden Auftragsfolgen unter der Ber¨ ucksichtigung der R¨ ustzeiten Zur Abbildung der disjunktiven Nebenbedingungspaare wird die Binärvariable uhrt, die den Wert 1 annimmt, falls die Charge c2 von j2 Nachfolyj1 c1 j2 c2 m eingef¨ ger von Charge c1 von j1 auf m ist (0, sonst). Da die Vorgänge der Nachlaufzeit nicht auf der Montagemaschine stattfinden, haben sie keine Auswirkung auf die Auftragsfolgebedingungen. Auf einer Maschine kann ein Auftrag erst bearbeitet werden, wenn sein unmittelbarer Vorgänger auf dieser Maschine zu Ende bearbeitet wurde sowie die Zeit f¨ ur einen eventuell nötigen R¨ ustvorgang abgelaufen ist. Alle R¨ ustvorgänge f¨ ur einen neuen Auftrag können bereits erfolgen, während der Auftrag noch 34

Die Nachlaufzeiten an den anderen Maschinen werden auf Null gesetzt: nzjm = 0 ∀m ∈ (M\MAG ).


85

auf seiner Vorgängermaschine bearbeitet wird. Die R¨ ustvorgänge können dabei nicht unterbrochen werden. Hinsichtlich der Notwendigkeit eines R¨ ustvorgangs ist zu unterscheiden, ob es sich bei den zwei Aufträgen um denselben Endmessdiodentyp j handelt. Wenn ja, dann muss nicht ger¨ ustet werden (4.25 und ¨ 4.26). Andert sich der Endmessdiodentyp (j1 = j2 ), ist zwischen den Montageund den restlichen Maschinen zu unterscheiden. Auf den restlichen Maschinen ist immer ein R¨ ustvorgang nötig (4.27 und 4.28). Aufgrund der Divergenz der Produktionsstruktur können aus dem gleichen Montagediodentyp verschiedene Endmessdiodentypen hergestellt werden. D. h., dass in der Montage eine R¨ ustzeit ebenfalls nicht erforderlich ist, wenn die zwei unterschiedlichen Endmessdiodentypen j1 und j2 aus demselben Montagediodentyp hergestellt werden ur die Montagemaschinen ein spezifiziertes Restrik(wj1j2 = 1). Deshalb muss f¨ tionenpaar betrachtet werden, das sowohl u uft, ob eine direkte Nachfol¨berpr¨ gebeziehung besteht, als auch, ob Vorgänger und Nachfolger aus demselben Montagediodentyp hergestellt werden (4.29 und 4.30). Die Zielfunktion und die Zielfunktionsbedingungen Die Zielsetzung der Problemstellung ist, wie in Abschnitt 3.6 beschrieben, die Erf¨ ullung des kompletten Auftragsbestandes innerhalb des Planungszeitraums zu gewährleisten. Sollte dies aufgrund von unzureichenden Kapazitäten nicht möglich sein, muss unbedingt ein Totalausfall bei der Lieferbereitschaft einzelner Endmessdiodentypen vermieden werden. Kapazitätsengpässe können dabei von vornherein bestehen oder im Laufe des Planungszeitraums aufgrund von unvorhergesehenen Maschinenausfällen entstehen. Die Umsetzung der beschriebenen Zielsetzungen erfolgt im Modell mit Hilfe von vier Zielkriterien, die unterschiedlich gewichtet und additiv verkn¨ upft sind (vgl. Zielfunktion 4.9).35 Es wird dabei ein Ansatz gemäß der robusten Planung verfolgt, indem ein deterministisches Modell erstellt wird, das potentielle zuk¨ unftige Störungen antizipiert und ber¨ ucksichtigt. Im Folgenden werden diese vier Zielkriterien erläutert. Da möglichst viele Aufträge erf¨ ullt werden sollen, ist eine Nichterf¨ ullung“ ” zu vermeiden und wird deshalb als Zielkriterium in die Zielfunktion aufgenommen: Der erste Summand GSN gibt den Gewichteten S trafterm f¨ ur die N ichterf¨ ullung wieder. Es muss beachtet werden, dass die Nichterf¨ ullung eines Auftrags nur in den Strafterm einfließen darf, wenn die Maschinenfolge e auch ausgewählt wurde, d. h., wenn gjec den Wert 1 annimmt und njec den Wert 0 (vgl. 4.10). Wenn aufgrund unzureichender Kapazitäten im Voraus bekannt ist, dass nicht alle Mengen im Planungszeitraum produziert werden können, sollten 35

Die Zielsetzungen der Fallstudie bilden die sog. Oberziele, die verwendeten Zielkriterien die sog. Unterziele, die konkret und messbar und zu den Oberzielen komplementär sind.

86


die Diodentypen mit geringerer Chargenanzahl priorisiert werden, um das Risiko eines Totalausfall dieser Diodentypen zu minimieren. Im Modell wird die Nichterf¨ ullung daher mit dem Verhältnis aus der maximalen Anzahl von einem Diodentyp herzustellenden Chargen und der von Diodentyp j herzustellenden gewichtet. Der Strafterm f¨ ur die Nichterf¨ ullung eines EndmessdiChargen CCmax j odentyps j wird damit umso größer, je weniger Chargen von diesem herzustellen ur die Nichterf¨ ullung der einzelnen Chargen aller Endmesssind.36 Strafterme f¨ diodentypen werden mit dem Planungshorizont T in der Zielfunktion aufgrund ihrer u ¨bergeordneten Bedeutung am stärksten gewichtet. Neben dieser Priorisierung von Endmessdiodentypen mit geringer Chargenanzahl werden im Folgenden weitere Unterziele formuliert, um den vollständigen Ausfall der Lieferbereitschaft bei einzelnen Endmessdiodentypen zu vermeiden, die durch unzureichende Kapazitäten in Folge von stochastischen Maschinenausfällen verursacht werden können. So soll die Herstellung der Chargen eines Diodentyps gleichmäßig u ¨ber den Planungszeitraum verteilt werden, um zu vermeiden, dass die gesamte Nachfrage nach einem Diodentyp am Ende des Planungszeitraums eingeplant wird und womöglich durch einen Maschinenausfall vollständig als Fehlmenge auftritt. Dies wird im Modell dadurch umgesetzt, dass f¨ ur alle Chargen von einem Endmessdiodentyp gleichverteilt u ¨ber den Planungszeitraum Fertigstellungsteruberschreitungen zu minimieren mine37 vergeben werden, und eventuelle Termin¨ sind.38 Dies fließt u ¨ber den zweiten Summanden GT A+ , die gesamte Gewichtete T ermin¨ uberschreitung des Auftragsbestandes, in die Zielfunktion ein (4.11). Eine Termin¨ uberschreitung GT A+ jc einer Charge c von einem Endmessdiodentyp j liegt dabei vor, wenn die Differenz zwischen ihrem Fertigstellungszeitpunkt Fjc und ihrem Fertigstellungstermin Fjc∗ positiv ist:39

GT A+ jc 36

Fjc − Fjc∗ = max 0; T + 1 − Fjc∗

Sind z. B. von zwei Endmessdiodentypen C1 = 1 bzw. C2 = 4 Chargen herzustellen. Mit Cmax Cmax = 8 und = 2. Wird jeweils eine Charge weniger hergestellt als Cmax = 8 ist C1 C2 nötig, geht der Strafterm f¨ ur die Nichterf¨ ullung im ersten Fall achtfach in die Zielfunktion ein, im zweiten Fall aber nur zweifach. 37 Vgl. zur Bestimmung von Lieferterminen auch Paulik(1984), S. 107 und Witt(2004), S. 62ff. 38 Im Prinzip ist jegliche Terminabweichung – egal ob zu fr¨ uh oder zu spät – unerw¨ unscht. Da jedoch im Sinne einer robusten Planung bereits vorab potentielle ungeplante Maschinenausfälle ber¨ ucksichtigt werden sollen, werden Verfr¨ uhungen akzeptiert und nur Verspätungen bestraft. 39 Es wird im Nenner zum Planungshorizont T eine 1 addiert, da der Nenner nicht Null werden darf, Dies könnte aber passieren, wenn ein Fertigstellungstermin genau dem Planungshorizont entspräche.


87

Eine Verspätung soll in die Zielfunktion umso stärker einfließen, je größer die Termin¨ uberschreitung ist und je näher der Fertigstellungstermin am Planungshorizont liegt (4.12 und 4.13).40 Es ist sinnvoll, alle Chargen so fr¨ uh wie möglich zu produzieren, da dadurch ein zeitlicher Puffer gegen Ende des Planungszeitraums geschaffen wird und so auf unvorhergesehene Maschinenausfälle flexibler reagiert werden kann. Dies kann durch die Minimierung der Zykluszeit sowie ein unverzögertes Einplanen erreicht werden: Die Zykluszeit geht u ¨ber den dritten Summanden GZ als Gewichtete Z ykluszeit in die Zielfunktion ein (4.14 und 4.15). Die Zykluszeit fließt dabei umso stärker in die Zielfunktion ein, je näher sie am Planungshorizont ist. Da die Zykluszeit und die Termin¨ uberschreitungen gleichgewichtet in die Zielfunktion eingehen sollen, wird die mit dem Planungshorizont gewichtete Zykluszeit zusätzlich mit dem Normierungsfaktor gZ gewichtet.41 Weitere Reaktionszeit“ kann dadurch geschaffen werden, dass alle Operationen ” fr¨ uhestmöglich eingeplant werden (semiaktiver Ablaufplan). Der vierte Summand GA gibt die gesamte Gewichtete Anfangszeit wieder (4.16). Dieses Zielkriterium ist von untergeordneter Bedeutung, so dass der Gewichtungsfaktor gA am geringsten ausfällt.42 Nichtnegativit¨ ats- und Bin¨ arbedingungen der Variablen Die Nebenbedingungen 4.31 bis 4.37 legen die Wertebereiche der Entscheidungsvariablen fest.

4.3.4 Fallstudie FS2 Das Modell GGLP-Komplett soll im Folgenden anhand der Fallstudie FS2 veranschaulicht werden. Bei dieser Fallstudie gibt es drei mögliche Produkte j, die jeweils mit drei alternativen Maschinenfolgen e auf vier verschiedenen Maschinen m hergestellt werden können (siehe Tabelle 4.7 auf S. 88). Bei einem Produktwechsel ist ein R¨ ustvorgang nötig, der R¨ ustzeiten beansprucht. Die bei40

Dies kann an folgendem Beispiel mit dem Planungshorizont T = 9 leicht nachvollzogen werden: • Je größer die Termin¨ uberschreitung ist, umso stärker wird eine Termin¨ uberschreitung 8−6 9−6 =0,5 und 10−6 = 0, 75. gewichtet: 10−6 • Je näher der Fertigstellungstermin am Planungshorizont ist, umso stärker wird eine 8−6 9−7 Termin¨ uberschreitung gewichtet: 10−6 =0,5 und 10−7 = 0, 6. 41 Faktor gZ hängt dabei vom jeweiligen Szenario ab. 42 Mit diesen vier Zielkriterien lässt sich die Klassifikation der Problemstellung folgendermaßen präzisieren: M F J|nzkm , T, 0k 4, rzkm , azm |F (GSN, GT A+ , GZ, GA).

88


den Produkte j = 1 und j = 2 bilden auf Maschine m = 1 eine Auftragsgruppe (w12 = 1), d. h., bei einem Wechsel zwischen diesen beiden Produkten muss auf Maschine 1 nicht ger¨ ustet werden.43 Nach der Bearbeitung auf Maschine m = 1 m¨ ussen die einzelnen Aufträge noch eine Nachlaufzeit durchlaufen. Von jedem Produkt kann mehr als eine Einheit (Charge) nachgefragt werden. Jede Einheit eines Produktes stellt einen Auftrag dar. Es wird im Folgenden davon ausgegangen, dass von Produkt j = 1 zwei Einheiten (C1 = 2) und von den Produkten j = 2 und j = 3 jeweils nur eine Einheit (C2 = C3 = 1) nachgefragt werden, so dass insgesamt C = 4 Aufträge zu bearbeiten sind. F¨ ur jeden Auftrag ist ein Liefertermin gegeben. Die Maschinen stehen zu Beginn des Planungszeitraums von T = 60 Zeiteinheiten (ZE) still und können auch während des Planungszeitraums still stehen. Nach jedem Stillstand ist eine Anlaufzeit zu ber¨ ucksichtigen, in der die Maschinen nicht einsatzfähig sind. Die entsprechenden Daten sind in den Tabellen 4.8 auf S. 88 und 4.9 auf S. 89 angegeben. Produkt Maschinenfolge j=1 e=1 e=2 e=3 j=2 e=1 e=2 e=3 j=3 e=1 e=2 e=3

[1]je [2]je [3]je [4]je 1 2 4 3 1 2 3 4 3 1 2 2 3 4 1 2 3 4 1 3 4 1 2 3 4 1 2 3 1 2 4

Tabelle 4.7: Alternative Maschinenfolgen (Fallstudie FS2) pjm rzjm nzjm m=1 m=2 m=3 m=4 m=1 m=2 m=3 m=4 m=1 j=1 7 4 4 1 3 4 2 2 5 j=2 7 6 9 4 3 5 7 2 5 j=3 5 5 3 7 5 6 1 2 3 Tabelle 4.8: Prozess-, R¨ ust-und Nachlaufzeiten in ZE (Fallstudie FS2) Die Fallstudie wird nun mit Hilfe des in Abschnitt 4.3.2 formulierte gemischtganzzahlige linearen Programms GGLP-Komplett gelöst.44 Es benötigt 963 Variablen, davon 128 ganzzahlige, und 631 Nebenbedingungen. Es liefert die in 43 44

w13 = w23 = 0. Als Gewichtungsfaktor f¨ ur den Strafterm SN wurde hier statt T · Cmax nur 200 eingesetzt, gZ = 0, 5, gA = 0, 0001.

4.3 Modellformulierung f¨ ur die Fallstudie aus der Halbleiterindustrie Maschine m=1 m=2 m=3 m=4

azm 1. Stillstand 2. Stillstand 5 0-10 2 0-5 15-20 1 7-10 15-25 4 - bzw. 40-55 -

Produkt j=1 j=1 j=2 j=3

89

Charge Fjc∗ c=1 40 c=2 50 c=1 50 c=1 45

Tabelle 4.9: Anlaufzeiten und Stillstandszeiträume der Maschinen sowie Liefertermine der Aufträge in ZE (Fallstudie FS2)

folgender Abbildung 4.7 dargestellte optimale Lösung. Alle Aufträge können innerhalb des Planungszeitraums erf¨ ullt werden. F¨ ur die Herstellung wird f¨ ur die erste Charge des ersten Produkts die Maschinenfolge e = 3, f¨ ur die zweite Charge dagegen die Maschinenfolge e = 2 ausgewählt. Das zweite und das dritte Produkt werden ebenfalls jeweils mit ihrer zweiten Maschinenfolge hergestellt. Bei der ersten Charge des ersten Produkts kommt es zu einer Termin¨ uber= 0, 0476), bei dem dritten Produkt zu einer Terschreitung von 1 ZE (GT A+ 11 + = 0, 875). Damit ist GT A = 0, 9226. min¨ uberschreitung von 14 ZE (GT A+ 31 Die Zykluszeit ist Z = 59 ZE (GZ = 0, 4916). Die Summe der Anfangszeiten ist 464 und somit GA = 0, 0464. Der Zielfunktionswert beträgt damit 1,4607 Zielfunktionseinheiten.

Abbildung 4.7: GGLP-Komplett: Gantt-Diagramm eines optimalen Ablaufplans von Fallstudie FS2

90


Um zu verdeutlichen, was passiert, wenn die Maschinenkapazitäten nicht ausreichen, f¨ uhren wir einen weiteren Maschinenstillstand ein- diesmal auf Maschine 4. Diese steht nun von 40-55 ZE still. Die optimale Lösung ist in folgender Abbildung 4.8 veranschaulicht. Das Ergebnis verändert sich nun dahingehend, dass nicht mehr alls 4 Aufträge erf¨ ullt werden können. Das Produkt 2 kann nicht mehr hergestellt werden (Strafterm 200), da es mit jeder Maschinenfolge zwingend auf Maschine 4 nach dessen Stillstand bearbeitet werden muss, so dass es es erst nach dem Ende des Planungszeitraums fertig gestellt werden könnte. Die zweite Charge von Produkt 1 kann dagegen auf eine andere Maschinenfolge (e = 3) ausweichen, mit der sie nicht auf Maschine 4 bearbeitet werden muss. Es kommt bei der Herstellung der beiden Chargen des ersten Produkts zu Termin¨ uberschreitungen von 4 ZE bzw. 1 ZE. Das dritte Produkt wird 2 ZE zu spät fertig (GT A+ = 0, 2814). Die Zykluszeit ist Z = 51 (GZ = 0, 425). Mit GA = 0, 0262 beträgt der Zielfunktionswert folglich 200,7326 Zielfunktionseinheiten.45

Abbildung 4.8: GGLP-Komplett: Gantt-Diagramm eines optimalen Ablaufplans von Fallstudie FS2 mit Stillstand der Maschine 4

45

Hierzu wurden 963 Variablen (140 ganzzahlige) und 649 Nebenbedingungen benötigt (Rechenzeit 1s).

5 Lo ¨sungsverfahren fu ¨r Job-Shop-Probleme In den vorangegangenen Kapiteln wurden die theoretischen Grundlagen der Ablaufplanung beschrieben und wurde auf die Modelle von Job-Shop-Problemen eingegangen. In diesem Kapitel werden mögliche Lösungsverfahren f¨ ur determinitisch-statische Job-Shop-Probleme vorgestellt. Zunächst erfolgen im Abschnitt 5.1 Anmerkungen zur Komplexität der betrachteten Problemstellung. Daran ¨ anschließend wird in Abschnitt 5.2 ein Uberblick u ¨ber exakte und heuristische Lösungsansätze f¨ ur das Job-Shop-Problem gegeben. Aufgrund der Komplexität der betrachteten Fallstudie aus der Halbleiterindustrie (FSH) werden f¨ ur die weitere Arbeit zwei heuristische Verfahren herausgegriffen und ausf¨ uhrlich beschrieben: das Prioritätsregelverfahren (Abschnitt 5.3) sowie der Genetische Algorithmus (Abschnitt 5.4).

5.1 Anmerkungen zur Komplexit¨ at Probleme der Ablaufplanung werden seit vielen Jahrzehnten unter Verwendung verschiedener Ansätze erforscht, was sich in einer hohen Publikationsintensität in diesem Bereich widerspiegelt. Im Folgenden werden die in der Vergangenheit entwickelten Wege zur Lösung des Job-Shop-Scheduling-Problems vorgestellt. Dieses gehört wie nahezu alle Probleme der Ablaufplanung zur Klasse der kombinatorischen Optimierungsprobleme, die dadurch gekennzeichnet sind, dass eine optimale Lösung aus einer endlichen Anzahl möglicher Lösungen gesucht wird. F¨ ur die Lösung von Ablaufplanungsproblemen sind daher prinzipiell die Lösungsalgorithmen der kombinatorischen Optimierung verwendbar.1 Lösungsverfahren können im Allgemeinen auf verschiedene Arten klassifiziert werden. Die m. E. grundlegendste Aufteilung erfolgt hinsichtlich der Lösungsg¨ ute in folgende zwei Klassen:2 1

Da bei kombinatorischen Optimierungsproblemen die Menge der zulässigen Lösungen endlich ist, kann durch eine vollständige Enumeration die Menge der optimalen Lösungen bestimmt werden. Da die vollständige Enumeration aber mit einem erheblichen, meistens auch auf den besten Rechnern nicht durchf¨ uhrbaren Rechenaufwand verbunden ist, besteht das Ziel der kombinatorischen Optimierung darin, Algorithmen zu entwerfen, die erheblich schneller als die Enumeration aller Lösungen sind. Eine einleitende Darstellung zu den Problemen und Lösungsverfahren der kombinatorischen Optimierung wird u. a. in Domschke/Drexl(2007) auf S. 113ff. gegeben. 2 Vgl. Domschke/Scholl(2008), S. 70. I. J. Acker, Methoden zur mehrstufi gen Ablaufplanung in der Halbleiterindustrie, DOI 10.1007/978-3-8349-6731-2_5, © Gabler Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

92

5 Lösungsverfahren f¨ ur Job-Shop-Probleme • Exakte Verfahren haben den Anspruch, in endlich vielen Schritten eine optimale Lösung zu bestimmen. • Heuristische L¨ osungsverfahren (Heuristiken) dagegen verzichten auf eine Garantie, ein Optimum zu finden (bzw. als solches zu erkennen). Sie geben sich damit zufrieden, lediglich gute zulässige Lösungen zu bestimmen. Heuristiken gehen nach bestimmten Regeln zur Lösungsfindung und -verbesserung vor, die hinsichtlich der betrachteten Zielsetzung und der Nebenbedingungen eines Problems als zweckmäßig, sinnvoll und erfolgversprechend erscheinen.

Die Forschung im Bereich der Ablaufplanung suchte erst einmal verstärkt nach Lösungen mittels exakter Verfahren. Allerdings war diese Suche wenig erfolgreich, da Ablaufplanungsprobleme durch eine hohe Komplexität gekennzeichnet sind.3 Die Komplexitätstheorie hat sich seit Anfang der 70er Jahre als selbständige Erkenntnisrichtung im Bereich der theoretischen Informatik etabliert. Sie befasst sich damit, generelle Aussagen u ¨ber die Komplexität von Problemen bzw. zugehörigen Optimierungsmodellen sowie u ¨ber den Rechenaufwand von Algorithmen zu treffen.4 Beide Aspekte hängen eng miteinander zusammen. Ist ein Problem formal definiert (wie z. B. das klassische Job-Shop-SchedulingProblem), so soll eine Aussage dar¨ uber getroffen werden, wie sich ein Algorithmus bei der Berechnung der Problemlösung in Abhängigkeit von der Schwierigkeit des Problems verhält. I. d. R. sind es wenige Problemgrößen (z. B. die Anzahl Variablen), die das Verhalten eines Algorithmus im Hinblick auf den Rechenaufwand maßgeblich beeinflussen.5 Die Kernfrage der Komplexitätstheorie ist, wie viel Mehrarbeit f¨ ur wachsende Problemgrößen notwendig ist. So kann der Aufwand (in Relation zur Problemgröße) z. B. linear, polynomial oder exponentiell steigen.6 3

Vgl. Eiselt/Sandblom(2004), S. 350. Die ersten Arbeiten stammen von Cook(1971) und Karp(1972). Vgl. neben diesen beiden Werken als Einf¨ uhrungen in die Komplexitätstheorie u. a. Coffman(1976); Lenstra et al.(1977); Garey/Johnson(1979); Bachem(1980); Bretz(1992); Br¨ uggemann(1995); Georgi(1995); Brucker(1997); Domschke et al.(1997); Wagenknecht(2003); Brucker(2005). 5 Im Folgenden wird unter dem Rechenaufwand die Anzahl der durch ein Algorithmus durchgef¨ uhrten Berechnungsschritte – bestehend aus elementaren Operationen wie Vergleich, Addition, Multiplikation, etc. – verstanden, die zur optimalen Lösung notwendig sind. Es handelt sich dabei um die sog. Zeitkomplexität, da ein Rechenschritt als eine Zeiteinheit definiert wird. Von der Platzkomplexität, die den benötigten Speicherbedarf wiedergibt, wird abstrahiert. 6 Um die Größenordnung des Aufwands zu beschreiben, wird in der Literatur von der ONotation Gebrauch gemacht. Vgl. u. a. Zelewski(1989), S. 42 ff. 4

5.1 Anmerkungen zur Komplexität

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In der Komplexitätstheorie werden die beiden Komplexitätsklassen P und N P unterschieden. Zur Abgrenzung der beiden Klassen dient die Frage, ob ein Problem in Polynomialzeit lösbar ist (P) oder nicht (N P):7 • Ein Problem wird in polynomieller Zeit / polynomial lösbar genannt, wenn es mit einem Algorithmus effizient oder zumindest mit einem vertretbaren Rechenaufwand gelöst werden kann, d. h., der benötigte zeitliche Aufwand zur Problemlösung mit der Problemgröße nicht stärker als mit einer Polynomfunktion wächst. Die Klasse P enthält daher die i. d. R. praktisch urzeste-Wegelösbaren Probleme. Hierzu gehören z. B. LP-Modelle8 und K¨ Probleme. Unter der Prämisse, dass optimale Lösungen gesucht werden, sollte immer ein exaktes Verfahren angewendet werden, sobald ein Problem polynomial lösbar ist. • Wird der Rechenaufwand dagegen nicht durch ein von der Problemgröße abhängiges Polynom nach oben beschränkt, sondern wächst die Rechenzeit ebenso wie die Lösungsmenge mit zunehmender Problemgröße expour nentiell, spricht man von einem ineffizienten Verfahren.9 Der Aufwand f¨ derartige Probleme, die nicht in Polynomialzeit lösbar sind, wächst i. A. so schnell, dass schon relativ kleine Problemgrößen mit verf¨ ugbaren Rechnern (unabhängig vom technischen Fortschritt) nicht in u ¨berschaubaren Zeiträumen gelöst werden können. Die Klasse N P enthält deshalb die (vermutlich) praktisch unlösbaren Probleme, die als N P-schwer bezeichnet werden. Hierzu gehören die meisten Probleme der kombinatorischen Optimierung. Bei N P-schweren Problemen kommen in praxisrelevanten Größenordnungen nur heuristische Lösungsverfahren in Betracht.10 Indem das oben beschriebene Konzept bei der Analyse von Ablaufplanungsproblemen angewendet wird, können die meisten Probleme in eine der beiden ¨ Klassen eingeordnet werden. Einen Uberblick u ¨ber den aktuellen Forschungsstand bietet folgende Homepage:11 http://www.mathematik.uni-osnabrueck.de/research/OR/class Dort sind die Komplexitätsergebnisse, d. h. eine Einstufung in eine der beiden Klassen P oder N P, f¨ ur verschiedene Schedulingprobleme zusammengestellt. Es ist ersichtlich, dass bis auf wenige Ausnahmen die meisten Ablaufplanungsprobleme nicht in polynomialer Zeit gelöst werden können. Auch das Job-ShopScheduling-Problem ist bis auf sehr wenige Spezialfälle N P-schwer. So ist es 7

P von polynomial, N P von nondeterministic-polynomial time. LP steht f¨ ur Lineares Programm. 9 Bei einem Anstieg der Problemgröße wächst bei derartigen Problemen aufgrund der Kombinatorik der Lösungsraum exponentiell. Dies hat wiederum unmittelbar zur Folge, dass die Rechenzeit ebenfalls mit der Problemgröße ansteigt. 10 Vgl. Kistner/Steven(2001), S. 114f. 11 Zugegriffen am 28.02.2010. 8

94

5 Lösungsverfahren f¨ ur Job-Shop-Probleme

z. B. möglich, ein Job-Shop-Problem mit zu minimierender Zykluszeit, zwei Maschinen und maximal zwei Operationen je Auftrag (J2|Ok ≤ 2|Z) in polynomialer Zeit zu lösen.12 Aber bereits eine Erweiterung um eine Arbeitsganganzahl (J2|Ok ≤ 3|Z) oder eine Maschine (J3|Ok ≤ 2|Z) erzeugt N P-schwere Problemtypen.13 Gehört das Problem J2|pkm = 1|Z noch zur Klasse P, so ist J3|pkm = 1|Z bereits nicht mehr in Polynomialzeit lösbar.14 Ist f¨ ur einen Problemtyp seine N P-Schwere nachgewiesen, sind von ihm auch alle Verallgemeinerungen und Varianten mit komplizierteren Zielfunktionen15 i.A. schwierig zu lösen. Auch das klassische Job-Shop-Scheduling-Problem J//Z ist N P-schwer. Es kann zwar in der Größenordnung der Fallstudie FS1 mit drei Aufträgen und vier Maschinen noch exakt gelöst werden. Wie in Abschnitt 2.4.1 auf S. 35 beschrieben, gibt es in diesem Fall (K!)M = (3!)4 = 1296 mögliche Auftragsfolgekombinationen. Aber bereits bei einer Verdoppelung der Anzahl Maschinen und Aufträge sind (6!)8 = 7, 2 · 1022 Auftragsfolgekombinationen möglich. Dies macht deutlich, dass realistische Problemgrößen nicht mehr in u ¨berschaubarer Zeit gelöst werden können. Flexible Shop-Probleme sind Verallgemeinerungen ihrer einfachen“ Gegen” st¨ ucke.16 Der in der betrachteten Fallstudie FSH vorliegende Problemtyp M F J|nzkm , T, 0k 4, rzkm , azm |F (SN, T A+ , Z, A) gehört daher ebenfalls zur Klasse der N P-schweren Optimierungsprobleme. Diese Tatsache macht eine exakte Lösung mit vertretbarem Zeitaufwand leider unmöglich. Aufgrund dieser soeben beschriebenen Komplexität von Ablaufplanungsproblemen gelang es in der Vergangenheit nat¨ urlich nicht, exakte Verfahren zu entwickeln, die insbesondere im Hinblick auf praktische Problemstellungen befriedigende Lösungen lieferten. In Folge dessen trat die Suche nach heuristischen Lösungsverfahren in den Vordergrund. Auch heutzutage liegt der Forschungsschwerpunkt hauptsächlich auf der (Weiter- )Entwicklung und Anwendung ge12

Vgl. Jackson(1955) und Brucker et al.(1997). Siehe auch Brucker(1994). Vgl. der Reihenfolge nach erstens Lenstra et al.(1977) und Hefetz/Adiri(1982) sowie zweitens Gonzales/Sahni(1978). Vgl. auch f¨ ur den Problemtyp J2||Z Lenstra/Rinnooy Kan(1979). 14 Vgl. der Reihenfolge nach Hefetz/Adiri(1982) und Lenstra/Rinnooy Kan(1979). Hinweis: Auch J2|pkm = 1|T Amax gehört zur Klasse P, vgl. Brucker/Neyer(1981). 15 Die Komplexität eines multikriteriellen Problems α|β|γ1 , . . . , γZ ist mindestens so hoch, wie die höchste Komplexität der jeweiligen monokriteriellen Probleme α|β|γ1 bis α|β|γZ . Vgl. Chen/Bulfin(1993); T’Kindt/Billaut(2002). 16 Daher gilt jedes N P-Komplexitätsergebnis, das f¨ ur ein Shop-Problem gilt, auch f¨ ur das dazugehörige flexible Shop-Problem. Das heißt zum Beispiel, dass der Problemtyp F J3|pkm = 1|Z N P-schwer ist, weil bereits sein Spezialfall J3|pkm = 1|Z N P-schwer ist. Vgl. Garey et al.(1976) und Lenstra/Rinnooy Kan(1979). 13

¨ 5.2 Uberblick u ¨ber exakte und heuristische Lösungsansätze

95

eigneter heuristischer Verfahren. Außerdem konzentriert sich die Forschung aufgrund der Komplexität i. d. R. nur auf wenige Spezialprobleme mit meist monokriteriellen Zielfunktionen. Insbesondere das auch hier betrachtete statischdeterministische klassische Job-Shop-Problem spielt dabei eine wichtige Rolle bei der Entwicklung und Bewertung neuer Verfahren. Die bei den Spezialproblemen getroffenen restriktiven Annahmen spiegeln allerdings aufgrund von immer flexibler werdenden Produktionssystemen, komplexen Auftragsstrukturen und i. d. R. multikriteriellen Zielsetzungen selten die Realität wider. Viele bez¨ uglich der simplifizierten Probleme entwickelten Verfahren sind daher den Anspr¨ uchen realer, meist viel komplexerer Probleme nicht gewachsen.

¨ 5.2 Uberblick u ¨ ber exakte und heuristische L¨ osungsans¨ atze Da zur Lösung des Job-Shop-Scheduling-Problems zahlreiche Verfahren existie¨ ren, wird in diesem Abschnitt ein Uberblick u ¨ber bekannte exakte und heuristische Lösungsansätze gegeben. Die Verfahren unterscheiden sich hauptsächlich durch ihre Lösungsprinzipien. Die meisten dieser Prinzipien sind auch zur Lösung anderer Optimierungsprobleme geeignet.17

5.2.1 Exakte Verfahren Exakte Verfahren streben eine optimale Lösung eines Problems in einer endlichen Anzahl von Schritten an. Sie finden entweder eine optimale Lösung oder stellen fest, dass das Problem unlösbar oder unbeschränkt ist. Job-ShopScheduling-Probleme können, wie in Kapitel 4 beschrieben, als gemischt-ganzzahlige lineare Programme formuliert werden. Da es sich bei ihnen um kombinatorische Optimierungsprobleme handelt und somit ihr jeweiliger zulässiger Lösungsbereich eine endliche Menge ist, können zu ihrer Lösung enumerative Verfahren angewendet werden.18 Bei der von ihrer Arbeitsweise einfachsten Methode der vollst¨ andigen Enumeration werden zunächst alle möglichen Lösungen berechnet. Aus diesen wird anschließend durch den Vergleich der Zielfunktionswerte die beste Lösung ausgewählt. Aufgrund der Komplexität des Job-Shop-Scheduling-Problems ist dieses Vorgehen aber nur bei sehr kleinen Probleminstanzen anwendbar. Daher werden i. d. R. zur Verringerung des Rechenaufwandes Verfahren der impliziten Enumeration eingesetzt. Diese 17

¨ In folgenden Artikeln wird ebenfalls ein Uberblick u ¨ber Lösungsverfahren des JSP gegeben: Lawler et al.(1982); Rodhammer/White(1988); Bla˙zewicz et al.(1996); Jones/Rabelo(1998); Jain/Meeran(1999); Dorndorf et al.(2003). 18 Ausf¨ uhrlich dazu vgl. Garfinkel/Nemhauser(1972), S. 108ff.; Salkin(1975), S. 165ff.; Minoux(1986), S. 248ff.; Wolsey(1998), S. 91ff.

96


betrachten zunächst allen denkbaren Lösungskombinationen und schließen sukzessive diejenigen Kombinationen aus der Untersuchung aus, die f¨ ur die optimale Lösung nicht (mehr) in Betracht kommen.19 Dies erfolgt meist mit Hilfe eines Such- bzw. Wurzelbaumes, dessen Knoten Teilmengen des Lösungsraumes entsprechen (vgl. Abbildung 5.1).20 Daher werden diese Verfahren auch als Entscheidungsbaumverfahren bezeichnet.

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1

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14

Abbildung 5.1: Entscheidungsbaum und das Branch-and-Bound-Prinzip Durch das Bounding können bestimmte Verzweigungsäste des Lösungsbaumes von der näheren Betrachtung ausgeschlossen werden. Im skizzierten Beispiel m¨ ussen so nur die grau dargestellten Knoten explizit generiert werden. Das zur Lösung von Job-Shop-Problemen populärste implizite Enumerationsverfahren ist das Branch-and-Bound-Verfahren (B&B).21 Es beruht auf den drei Prinzipien Separation, Relaxation und Auslotung. Ein zu lösendes Problem (Π0 ) wird in zwei oder mehrere (möglichst disjunkte) Teilprobleme Πs (s = 1, . . . , S) separiert, wobei die Vereinigung der Alternativenmenge X aller Teilprobleme wieder die des urspr¨ unglichen Problems ergibt (Branching): X (Π0 ) =

S

X (Πs ) und möglichst

X (Πs1 ) ∩ X (Πs2 ) = Ø ∀s1 = s2

s=1 19

Vgl. Siegel(1974), S. 74. Zu den Begriffen u ¨ber Wurzelbäume vgl. z. B. Neumann/Morlock(2002), S. 183ff. 21 A. H. Land und A. G. Doig formulierten 1960 erstmals die Idee von Branch-and-Bound (vgl. Land/Doig(1960)). 1963 wurde sie erstmals zur Lösung eines ganzzahligen Optimierungsproblems (Traveling Salesman Problem) angewendet (vgl. Little et al.(1963)). R. J. Dakin veröffentlichte 1965 einen einfach zu implementierenden Algorithmus (vgl. Dakin(1965)). Vgl. zudem Lawler/Wood(1966) und Mitten(1970). Die folgenden Erläuterungen zum B&BVerfahren basieren auf: Nemhauser/Wolsey(1999), S. 355ff.; Martin(1999), S. 319ff.; Pinedo(2005), S. 402ff.; Domschke/Drexl(2007), S. 125ff. 20


97

Die Teilprobleme Π1 , Π2 , . . . , ΠS sind ihrerseits weiter verzweigbar, wodurch ein Baum von Problemen mit der Wurzel Π0 entsteht (vgl. Abbildung 5.1).22 Zur Beschränkung des Verzweigungsprozesses werden untere und obere Schranken f¨ ur Zielfunktionswerte berechnet, um mit deren Hilfe zu entscheiden, ob Teilprobleme weiter verzweigt werden m¨ ussen oder nicht. Bei der Initialisierung des Verfahrens kann die obere Schranke (upper bound, U B) unendlich gesetzt werden (U B := ∞) oder eine schärfere obere Schranke bestimmt werden, indem ein heuristischen Verfahren auf das Ausgangsproblem Π0 angewendet wird. Der so ermittelte Zielfunktionswert stellt eine Obergrenze dar, da ein optimaler Zielfunktionswert nie schlechter als diese bereits bekannte zulässige (Minimal)Lösung sein kann. Die U B wird im Laufe des Verfahrens durch die jeweils beste bekannte, zulässige Lösung von Π0 ersetzt. Daneben werden untere Schranur die optimalen Zielfunktionswerte der Probleme Πs ken (lower bounds) LBs f¨ (s = 0, . . . , S) berechnet, indem die jeweiligen Relaxationen ΠR s von Πs gebildet werden. Ein Problem wird relaxiert, indem einige (oder alle) Nebenbedingungen des Optimierungsproblems weggelassen oder gelockert“ werden.23 ” Ein Problem ΠR s min f R (x)|x ∈ X (ΠR s) bildet genau dann eine Relaxation von dem Optimierungsproblem Πs min {f (x)|x ∈ X (Πs )} , R 24 wenn X (Πs ) ⊆ X (ΠR Der optimale s ) und f (x) ≤ f (x) ∀x ∈ X (Πs ) gilt. uglich Zielfunktionswert einer Relaxation Πs , dessen optimale Lösung auch bez¨ ur den optimalen des Ausgangsproblems Π0 zulässig ist, stellt eine Untergrenze f¨ Zielfunktionswert von Π0 dar. Die Relaxation sollte dabei sowohl (wesentlich) leichter lösbar sein als das Ausgangsproblem, als auch eine möglichst gute Approximation des Ausgangsproblems darstellen, um brauchbare Informationen u ¨ber optimale Lösungen des Ausgangsproblems zu liefern. Denn je besser die Schranken sind, desto mehr Zweige können von der weiteren Betrachtung ausgeschlossen werden und desto effizienter gestaltet sich somit das Verfahren. F¨ ur jedes generierte Teilproblem wird anhand seiner dazugehörigen Relaxation ΠR s u uft, ob es eine f¨ ur Π0 optimale Lösung enthalten kann und daher eine ¨berpr¨ weitere Verzweigung sinnvoll ist. Ein Teilproblem Πs muss nicht mehr separiert 22

Die Art der Aufspaltung hängt vom betrachteten Problem ab. Es muss aber mindestens ein Lösungswert je Teilproblem so festgelegt werden, dass unterschiedliche Teilprobleme enstehen. 23 Bei der Betrachtung von Job-Shop-Problemen können dies z. B. disjunktive Restriktionen oder die Ganzzahligkeitsforderung f¨ ur die Binärvariablen sein. Eine andere Möglichkeit ist die Relaxation mit Ein-Maschinen-Problemen oder Zwei-Auftrags-Problemen. Vgl. Domschke et al.(1997), S. 404ff. 24 Der Zulässigkeitsbereich der Relaxation ist größer und der optimale Zielfunktionswert von ΠR s ist kleiner oder gleich dem optimalen Wert von Πs .

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werden, wenn es ausgelotet ist, d. h., wenn einer der folgenden drei Fälle zutrifft (Bounding, Terminierung): • Fall der Wertdominanz: LBs ≥ U B In X (Πs ) kann es keine Lösung geben, die besser als die beste bisher bekannte zulässige Lösung ist. • Fall der Unzulässigkeit: X (Πs ) = Ø assig, womit X (Πs ) keine optimale Lösung Die Relaxation ΠR s ist unzul¨ enthalten kann. • Fall der Optimalität: LBs < U B und die optimale Lösung von Πs ist ur Π0 . zulässig f¨ ur Πs und damit auch f¨ Es wurde eine neue beste zulässige Lösung f¨ ur das Ausgangsproblem Π0 gefunden. Diese stellt eine verbesserte obere Schranke dar (U B := LBs ). Der Verzweigungsprozess wird so lange weitergef¨ uhrt, bis alle Teilprobleme ausgelotet sind. Dann ist die soweit gefundene beste zulässige Lösung eine optimale Lösung f¨ ur das Ausgangsproblem Π0 bzw. steht die Unzulässigkeit von Π0 fest. Es gibt verschiedene Ansätze zur Anwendung von Branch-and-Bound-Verfahren auf JSP in der Literatur.25 Einerseits wird versucht, Job-Shop-Scheduling-Probleme direkt u ¨ber B&B-Verfahren zu lösen. Andererseits werden sie zunächst in ein gemischt-ganzzahliges lineares Programm umformuliert, die wiederum u ¨ber B&B-Verfahren gelöst werden sollen.26 Häufig bilden die in Kapitel 4.1 beschriebenen disjunktive Graphen die Grundlage f¨ ur die B&B-Algorithmen.27 Die verschiedenen entwickelten Verfahren unterscheiden sich v. a. in der Art der Ermittlung der unteren und oberen Schranken f¨ ur den Zielfunktionswert ¨ und in den Verzweigungsregeln. Ein ausf¨ uhrlicher Uberblick ist in Bla˙zewicz et al.(1996) gegeben. Weitere Verfahren der impliziten Enumeration, die mit dem B&B-Verfahren in enger Beziehung stehen, sind die begrenzte Enumeration und die dynamische Optimierung.28 Wird der Enscheidungsbaum auf der Suche nach der 25

Vgl. u. a. Brooks/White(1965); Greenberg(1968); Balas(1969); Charlton/Death(1970); Florian et al.(1971); Ashour/Hiremath(1973); Lageweg et al.(1977); Barker/McMahon(1985); Carlier/Pinson(1989); Carlier/Pinson(1990); Applegate/Cook(1991); Brucker/Jurisch(1993); Brucker et al.(1994); Perregaard/Clausen(1995). 26 Die erste Variante f¨ uhrt tendenziell zu besseren Ergebnissen, da bei der Schrankenberechnung die Eigenschaften von Ablaufplänen ber¨ ucksichtigt und dadurch schärfer berechnet werden können. Vgl. French(1982), S. 132. 27 Bei auf disjunktiven Graphen beruhenden B&B-Verfahren ist die Lösungsidee, sukzessive disjunktive Kanten durch zulässige konjunktive Kanten zu ersetzen und somit die Auftragsfolgen auf den Maschinen festzulegen. Vgl. Baker(1984), S. 193ff.; Lawler et al.(1989), S. 47ff.; Bla˙zewicz et al.(2000), S. 181ff. 28 Vgl. Coffman(1976), S. 286.


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dem optimalen Ablaufplan beim B&B-Verfahren gemischt parallel und sequentiell durchlaufen, ist der Entscheidungsprozess bei der dynamischen Optimierung (rein) parallel und bei der begrenzten Enumeration (rein) sequentiell organisiert. Die beiden letztgenannten Verfahren stellen somit Extremfälle des uller-Merbach 1965 entwickelte Branch-and-Bound-Verfahrens dar.29 Die von M¨ begrenzte Enumeration30 entspricht der vollständigen Enumeration, bei der jedoch das sequentielle Verfahren der Lösungsbestimmung abgebrochen wird, sobald bessere als eine schon bekannte Lösung nicht mehr zu erwarten sind.31 F¨ ur die Arbeitsweise ist die sog. Reduzierung des Problems von entscheidender Bedeutung, die das Analogon zur Bestimmung der Unterschranke LB beim B&B-Verfahren darstellt. Durch eine problemindividuelle Differenzierung in auf jeden Fall entstehende Grundkosten und lösungabhängige Kosten wird erreicht, dass nicht optimale Lösungen fr¨ uhzeitig erkennbar und dadurch von einer weiteren Betrachtung ausgeschlossen werden können. Bei der dynamischen Optimierung32 erfolgt die Lösung des Problems u ¨ber das separate Lösen kleinerer Teilprobleme. Sie ist das älteste Entscheidungsbaum-Verfahren und geht auf Bellmann zur¨ uck.33 Das Bellmansche Optimalitätsprinzip besagt, dass, wenn ein Problem aus vielen gleichartigen Teilproblemen besteht, sich eine optimale Lösung f¨ ur das Problem aus optimalen (Teil-)Lösungen seiner kleineren Teilprobleme zusammensetzt. Das Verfahren arbeitet daher stufenweise und baut die Lösungen parallel zueinander auf.34 Auch bei diesem Verfahren werden Teillösungen, die im Vergleich zu einer bereits vorhandenen Teillösung nicht eindeutig zu einer besseren Lösung f¨ uhren, von der weiteren Betrachtung ausgeschlossen.35 Neben diesen enumerativen Verfahren kann zur exakten Lösung gemischt-ganzzahliger linearer Programme – und damit auch von Job-Shop-Scheduling-Problemen – eine Reihe weiterer Methoden angewendet werden, deren Grundidee 29

Vgl. M¨ uller-Merbach(1970), S. 25ff. Auch unvollständige Enumeration. 31 Sequentiell organisiert bedeutet, dass eine Auftragsfolgekombination komplett aufgebaut, dann wieder schrittweise abgebaut und erneut zu einer neuen Folge vervollständigt wird. Bei jedem Zwischenschritt wird das aktuelle Ergebnis mit der Obergrenze verglichen. Eine ausf¨ uhrliche Darstellung der begrenzten Enumeration findet sich in M¨ uller-Merbach(1966) uller-Merbach(1970), S. 31ff. und M¨ 32 Auch dynamische Programmierung. 33 Vgl. Bellmann(1957). 34 Bei der parallelen Organisation werden in der ersten Stufe gleichzeitig alle x einstufigen Folgen aufgebaut, dann in der zweiten Stufe alle x(x − 1) zweistufigen usw. Auf jeder Stufe sind verschiedene Zustände möglich, die durch die Knoten repräsentiert werden. Zuerst werden die Zustände der ersten Stufe, d. h. die optimalen Lösungen, der kleinsten Teilprobleme direkt berechnet. Die Zustände der nächsten Stufe bauen dann auf den Zuständen der aktuellen Stufe auf. 35 Ausf¨ uhrlich dazu vgl. Coffman(1976), S. 282ff.; Bradley et al.(1977), S. 453ff.; Denardo(1982); French(1982), S. 87ff.; Minoux(1986), S. 375ff.; Bertsekas(1987); Nemhauser/Wolsey(1999), S. 417ff.; Bla˙zewicz et al.(2000), S. 27; Michalewicz/Fogel(2000), S. 93ff.; Neumann/Morlock(2002), S. 593ff.; Pinedo(2005), S. 396ff. 30

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darin besteht, von einem Teil zu abstrahieren, der das Problem schwierig macht.36 In Abhängigkeit davon, wie der gelöschte“ Teil wieder in das Problem zur¨ uck” gef¨ uhrt wird, können drei verschiedene Ansätze unterschieden werden: Schnittebenenverfahren, Lagrange-Relaxierung und Dekompositionsverfahren. Bei den Schnittebenenverfahren handelt es sich um ein analytisches Verfahren zur Lösung (gemischt-)ganzzahliger linearer Optimierungsprobleme mit der Grundidee, die Ganzzahligkeitsbedingungen zu vernachlässigen: Statt des ganzzahligen linearen Programms wird seine so genannte LP-Relaxierung betrachur den tet.37 Deren Lösung ist i. d. R. nicht ganzzahlig, kann aber als Schranke f¨ Optimalwert des (gemischt-)ganzzahligen linearen Programms ((G)GLP) gesehen werden. Wenn die Lösung nicht ganzzahlig ist, wird versucht, diese durch Hinzuf¨ ugen von so genannten Schnittebenen zu erreichen. Bei einer Schnittebene handelt es sich um eine Ungleichung, die von allen zulässigen Punkten des ugen GLPs, aber nicht von der aktuellen LP-Lösung erf¨ ullt wird.38 Durch Hinzuf¨ derartiger Ungleichungen wird diese Schranke schrittweise verschärft, bis eine ganzzahlige und damit f¨ ur das GLP optimale Lösung gefunden oder die Nichtexistenz einer ganzzahligen Lösung festgestellt wird. Einen anderen Ansatz, ein schweres Problem zu vereinfachen“, verfolgt die ” Methode der Lagrange-Relaxation: Bei dieser Methode wird ein Teil der Nebenbedingungen gelöscht“ und diese in die Zielfunktion versehen mit ei” nem Strafparameter f¨ ur Nichteinhaltung der Bedingungen transferiert.39 Dem Verfahren liegt die Annahme zu Grunde, dass jedes Modell eine Struktur aufweist und insbesondere Teilstrukturen darin vorhanden sind, f¨ ur die es effiziente Algorithmen gibt. Diese Tatsache soll ausgenutzt werden, indem diejenigen Nebenbedingungen entfernt werden, die die gutartige“ Modellstruktur ” zerstören, so dass das verbleibende Problem leicht lösbar ist. Eine Verletzung der weggelassenen störenden“ Nebenbedingungen wird mit Strafkosten bewer” tet und entsprechend in die Zielfunktion aufgenommen. Ein zentrales Problem 36

Es handelt sich somit um Relaxierungen. Die ersten Arbeiten dazu stammen von Dantzig, Fulkerson und Johnson zum Traveling Salesman Problem (Dantzig et al.(1954)) und von Gomory zur Ganzzahligen ¨ Programmierung (Gomory(1963)). Einen Uberblick u ¨ber polyedrische Methoden zur Lösung kombinatorischer Optimierungsprobleme ist in Aardal/Van Hoesel(1995) gegeben. Ausf¨ uhrlich dazu vgl. Garfinkel/Nemhauser(1972), S. 154ff.; Salkin(1975), S. 31ff.; Bradley et al.(1977), S. 402ff.; Hoffman/Padberg(1985); Minoux(1986), S. 285ff.; Applegate/Cook(1991); Queyranne/Schulz(1994); Nemhauser/Wolsey(1999), S. 367ff.; Martin(1999), S. 542ff.; Eiselt/Sandbloom(2000), S. 187ff.; Neumann/Morlock(2002), S. 386ff.; Sawaya/Grossmann(2005). 38 Das Problem, eine derartige Ungleichung zu finden, heißt Separierungsproblem. 39 Das Verfahren stammt urspr¨ unglich aus der nichtlinearen Optimierung, kann aber auch auf die ganzzahlige Optimierung angewendet werden. Vgl. Geoffrion(1974); Shapiro(1979); Fisher(1981); Minoux(1986), S. 258ff.; Van de Velde(1991); Wolsey(1998), S. 167ff.; Nemhauser/Wolsey(1999), S. 323ff.; Martin(1999), S. 393ff.; Eiselt/Sandblom(2000), S. 224ff.; Lemaréchal(2001); Neumann/Morlock(2002), S. 520ff.; Domschke/Drexl(2007), S. 137ff. 37


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der Lagrange-Relaxation stellt die Bestimmung der Strafkosten dar. Die Nebenbedingungen werden mit so genannten Lagrange-Multiplikatoren gewichtet in die Zielfunktion aufgenommen. Sehr hohe Strafkosten bewirken zwar einerseits die Einhaltung der entfernten Nebenbedingungen, f¨ uhren aber andererseits meistens auch dazu, dass das eigentliche Ziel (z. B. Zykluszeitminimierung) bei der Optimierung eine untergeordnete Rolle spielt. Daher werden die LagrangeMultiplikatoren zunächst gering gehalten, wodurch eine Lösung des Lagrangerelaxierten Problems meistens die in die Zielfunktion relaxierten Nebenbedingungen nicht erf¨ ullt. Die Lagrange-Multiplikatoren werden dann iterativ mit Hilfe eines Subgradientenverfahrens abhängig von der aktuellen (unzulässigen) Lösung so angepasst, dass beim erneuten Lösen Lösungen von geringerer Unzulässigkeit entstehen. Dies wird so lange wiederholt, bis eine zulässige Lösung gefunden wird.40 Dekompositionsverfahren eignen sich f¨ ur speziell strukturierte lineare Optimierungsprobleme, die die Eigenschaft aufweisen, dass die Menge von Variablen und Nebenbedingungen derart in Cluster unterteilt werden kann, dass die Variablen jeweils fast ausschließlich in einer Teilmenge der Nebenbedingungen auftreten und alle Variablen gleichzeitig nur in wenigen Nebenbedingungen vorkommen. Bei den Dekompositionsmethoden wird ein Teil der Nebenbedingungen bzw. Variablen aus dem Ausgangsproblem entfernt und auf einer u ¨bergeordneten Ebene (Masterproblem) betrachtet. Dies erfolgt in der Weise, dass das resultierende untergeordnete Problem (Subproblem) effizienter gelöst werden kann. Nun wird abwechselnd auf dem Master- und Subproblem gearbeitet, wobei iterativ Informationen zwischen den beiden Problemen ausgetauscht werden: Um eine optimale Lösung zu bestimmen, wird das (kleinere) Subproblem optimal gelöst. Daraus wird eine Lösung f¨ ur das Ausgangsproblem generiert, deren Optimalität mit Hilfe des Masterproblems u uft wird. Liegt keine ¨berpr¨ Optimalität vor, ist das Subproblem in geeigneter Weise zu modifizieren und erneut zu lösen. Dies wird solange fortgesetzt, bis eine optimale Lösung des Ausgangsproblems gefunden wird oder deren Nichtexistenz feststeht. Zwei bekannte Methoden sind die Dantzig-Wolfe- und die Benders-Dekomposition.41 Ein entscheidender Faktor f¨ ur die Effizienz der Verfahren der impliziten Enumeration ist die Qualität der Schranken f¨ ur den Zielfunktionswert. Je besser diese ist, umso mehr Teilbäume können von der weiteren Betrachtung aus40

Lagrange-Relaxationen werden auch in Verbindung mit B&B-Verfahren eingesetzt, um bessere Schranken zu bestimmen. Vgl. Pinedo(2005), S. 400f. 41 Bei der Dantzig-Wolfe-Dekomposition wird ein Teil der Nebenbedingungen gelöscht und anschließend wieder mittels Spaltengenerierung erneut eingef¨ ugt (vgl. Dantzig/Wolfe(1960); Mason(2001); Winston(2007), S. 569ff.). Bei der Benders-Dekomposition wird dagegen ein Teil der Variablen gelöscht und danach wieder mittels Schnittebenen eingef¨ uhrt (vgl. Benders(1962); Nemhauser/Wolsey(1999), S. 337ff.; Neumann/Morlock(2002), S. 327ff.).

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geschlossen werden. Branch-and-Bound-Verfahren werden aus diesem Grund z. B. mit Schnittebenenverfahren kombiniert. Bei diesen sog. Branch-andCut-Verfahren (B&C) wird in jedem Knoten des Branch-and-Bound-Baumes gepr¨ uft, ob Schnittebenen eingef¨ ugt werden können.42 Ist dies der Fall, so werden diese Ungleichungen der LP-Relaxation hinzugef¨ ugt und diese erneut gelöst. Dies wird analog zum Schnittebenenverfahren so lange wiederholt, bis eine zulässige, ganzzahlige Lösung gefunden wird bzw. nachgewiesen wird, dass keine derartige existiert. Dann wird der Baum weiter verzweigt. Durch dieses Vorgehen kann die Konvergenzeigenschaft erhöht und der Speicherbedarf verringert ¨ werden. Ahnlich wie die B&C-Verfahren gehen die so genannten Branch-andPrice-Verfahren (B&P) vor, die speziell f¨ ur ganzzahlige Programme entwickelt wurden, die eine sehr große Anzahl an Variablen benötigen.43 Sie kombinieren Branch-and-Bound-Verfahren mit einem Spaltengenerierungs-Ansatz. Die Methode der Spaltengenerierung ist ein Verfahren zur Lösung hochdimensionaler linearer Optimierungsprobleme.44 Bei der Spaltengenerierung wird das Ausgangsproblem zunächst mit einer kleinen (reduzierten) Teilmenge von Variablen (Spalten) gelöst (Masterproblem). Im nächsten Schritt wird u uft, ¨berpr¨ ob mit dieser optimalen Lösung des Masterproblems auch das Ausgangsproblem optimal gelöst wurde. Dazu wird ein Pricing-Problem (Subproblem) betrachtet: Unter Verwendung der Opportunitätskosten der optimalen Lösung des Masterproblems kann entschieden werden, ob zur Optimierung des Ausgangsproblems weitere Spalten im Masterproblem nötig sind, und wenn ja, welche Variablen konkret aufgenommen werden m¨ ussen, um zur Verbesserung des Zielfunktionswertes beizutragen. Dieser Prozess wird wiederholt, bis keine Variablen mehr hinzugef¨ ugt werden m¨ ussen. Die letzte berechnete Lösung des Masterproblems ist eine optimale Lösung des Ausgangsproblems. Da die Methode der Spaltengenerierung nicht sicher stellt, dass die optimale Lösung auch ganzzahlig ist, wird die Methode im Rahmen des B&P-Verfahrens in ein Branchand-Bound-Verfahren eingebettet. Dar¨ uber hinaus können B&C-Verfahren mit 42

Vgl. u. a. Hoffman/Padberg(1985); Hoffman/Padberg(1993); Bixby/Lee(1998); Nemhauser/Wolsey(1999), S. 386ff.; Martin(1999), S. 555ff.; Johnson et al.(2000); Elf et al.(2001); Martin(2001); Padberg(2001); Neumann/Morlock(2002), S. 529ff.; Rixby(2002); Klose(2003). Vgl. dazu auch die Homepage www.branchandcut.org (zugegriffen am 15.04.2010). 43 Vgl. u. a. Johnson(1989); Vance et al.(1994); Desrosiers et al.(1995); Barnhart et al.(1996); Savelsbergh(1997); Vance(1998); Martin(1999), S. 601ff.; Lad´ anyi et al.(2001); Lancia et al.(2007). 44 Die Spaltengenerierung wird eingesetzt, wenn die Anzahl Variablen sehr hoch ist und die Anzahl der Nebenbedingungen um ein weites u ¨bersteigt. Durch die Anzahl an Variablen kann es passieren, dass ein lineares Programm nicht mehr gelöst werden kann, wenn alle Variablen mit aufgenommen werden. Da in einer Lösung aber nur relativ wenige Variablen von Null verschiedene Werte annehmen werden, ist die Idee der Spaltengenerierung daher, nur diejenigen Variablen zu generieren, die wirklich benötigt werden. Vgl. zur Spaltengenerierung u. a. Lasdon(1970), S. 144ff.; Bradley et al.(1977), S. 540ff.; Vanderbeck(1994); Vanderbeck/Wolsey(1996); Soumis(1997); Wolsey(1998), S. 185ff.; Nemhauser/Wolsey(1999), S. 409ff.; Van den Akker(1999); Neumann/Morlock(2002); Oguz(2002); L¨ ubbecke/Desrosiers(2005); Domschke/Drexl(2007), S. 33; Domschke/Scholl(2010).


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Pricing-Strategien kombiniert werden. Bei derartigen sog. Branch-and-Cutand-Price-Verfahren (B&C&P) werden dann im Laufe des B&B-Verfahrens sowohl die Lösungsvariablen als auch die Schnittebenen dynamisch generiert.45 Es sind außerdem diverse Konstruktionsverfahren f¨ ur die Generierung von Ablaufplänen entwickelt worden. Diese schränken die Lösungsmenge dahingehend ein, dass sie nur eine Teilmenge von Lösungen generieren, in denen sich optimale Lösungen befinden m¨ ussen. Bei der Verfolgung von regulären Zielkriterien hat insbesondere das Verfahren nach Giffler und Thompson große Bedeutung erlangt, mit Hilfe dessen alle aktiven Ablaufpläne erzeugt werden können und daraus der optimale ausgewählt werden kann.46 Auf das Verfahren wird im folgenden Abschnitt 5.3 näher eingegangen. Außerdem wurden wie bereits im vorherigen Abschnitt 5.1 erwähnt f¨ ur einige (einfache) Spezialprobleme der Ablaufplanung analytische und graphische, polynomiale Algorithmen entwickelt, die an dieser Stelle allerdings nicht weiter vertieft werden sollen.47 Aufgrund der im vorherigen Abschnitt beschriebenen Komplexität von JobShop-Scheduling-Problemen spielen exakte Verfahren bei Problemstellungen, die die Realität ausreichend abbilden, f¨ ur die betriebliche Praxis nur eine geringe Rolle. Sie werden nur f¨ ur kleine Probleminstanzen oder zur Lösung von Teilproblemen wie die Berechnung von Schranken verwendet.

5.2.2 Heuristische Verfahren Eine Heuristik ist eine i. d. R. auf ein spezielles Problem zugeschnittenes, näherungsweises Lösungsverfahren, das mit vern¨ unftigem“ Rechenaufwand gute ” Lösungen sucht.48 Nach Streim(1975) ist ein heuristisches Lösungsverfahren dadurch gekennzeichnet, dass es (1) auf nichtwillk¨ urliche Art und Weise (2) potentielle Lösungen vom Suchprozess ausschließt und (3) f¨ ur das aufgrund eines fehlenden Konvergenzbeweises keine Garantie f¨ ur die Optimalität der Lösung gegeben werden kann.49 Bei Einsatz von heuristischen Verfahren kann keine Aussage dar¨ uber gemacht werden, ob das Optimum erreicht wurde bzw. wie weit die Lösung von diesem entfernt ist. 45

Vgl. Barnhart et al.(1996); Johnson et al.(2000); Pinedo(2005), S. 401f. Vgl. Giffler/Thompson(1960). 47 F¨ ur weiterf¨ uhrende Informationen siehe u. a. Siegel(1974), Bla˙zewicz et al.(2000) und Brucker(2005). 48 Heuristiken sind Näherungsverfahren. Der Name geht auf das griechische Wort heuristkein – finden, entdecken zur¨ uck. 49 Vgl. Streim(1975), S. 151. Siehe auch M¨ uller-Merbach(1976). 46

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Heuristiken können nach unterschiedlichen Kriterien klassifiziert werden.50 Domschke et al.(1997) teilen sie in folgende Gruppen ein:51 (1) (2) (3) (4) (5)

Eröffnungsverfahren Verbesserungsverfahren/Lokale Suchverfahren Unvollständig ausgef¨ uhrte exakte Verfahren Relaxionsbasierte Verfahren Kombinationen aus (1)-(4), u ¨blicherweise aus (1) und (2)

Zudem kann zwischen deterministischen und stochastischen heuristischen Verfahren unterschieden werden. Bei deterministischen Verfahren f¨ uhrt die mehrfache Anwendung auf ein und dasselbe Problem bei gleichen Startbedingungen immer zur selben Lösung. Stochastische Verfahren beinhalten eine zufällige Komponente, so dass bei deren wiederholten Anwendung in Abhängigkeit von der Erzeugung der benötigten Zufallszahl identische, aber auch unterschiedlichen Lösungen erzeugt werden können. Heuristiken können problemspezifisch oder universell sein. Erstere nutzen spezielle Eigenschaften der Problemstruktur aus und sind daher i. d. R. sehr effizient. ¨ Allerdings sind sie bei Anderungen der Problemstruktur nicht mehr einsetzbar. Dagegen sind universelle Heuristiken auf unterschiedliche Problemstellungen u ¨bertragbar, erweisen sich aber oft als weniger effiziente Verfahren.

5.2.2.1 Er¨ offnungsverfahren Bei Eröffnungsverfahren handelt es sich um spezifische (auf ein Problem zugeschnittene) heuristische Verfahren, mit denen auf direktem Weg, d. h. ohne den Umweg u ¨ber andere Lösungen, nach bestimmten Prinzipien jeweils eine einzige (zulässige) Lösung ermittelt wird.52 Ein grundlegender Verfahrensschritt ist i. d. R. die schrittweise Vervollständigung bisheriger Teillösungen zur Gesamtlösung.53 Eröffnungsverfahren werden als uniformiert bezeichnet, wenn sie einen starren Ablauf aufweisen, der nicht von den konkreten Problemdaten abhängt. Derartige Heuristiken sind zwar in der Regel sehr einfach, erzeugen jedoch häufig keine guten und manchmal sogar nicht einmal zulässige Lösungen. Eröffnungsverfahren sind greedy oder myopisch (gierig, kurzsichtig), wenn sie in 50

Eine ausf¨ uhrliche Darstellung möglicher Klassifikationsansätze gibt u. a. Streim(1975). Vgl. Domschke et al.(1997), S. 44ff. 52 Vgl. M¨ uller-Merbach(1970), S. 34. 53 Eine Teillösung ist eine unvollständige, noch zu komplettierende Lösung f¨ ur ein Optimierungsproblem. In einer Teillösung im Rahmen von Job-Shop-Scheduling-Problemen sind f¨ ur einige, aber nicht alle, Operationen bereits Positionen bzw. Reihenfolgebeziehungen innerhalb der Auftragsfolge festgelegt, während f¨ ur die u ¨brigen Operationen die Reihung noch offen ist. Vgl. Zäpfel/Braune(2005), S. 23f. 51


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jedem Verfahrensschritt nach dem bestmöglichen Zielfunktionswert (der bisherigen Teillösung) und/oder der bestmöglichen Erf¨ ullung von Nebenbedingungen streben, ohne auf zuk¨ unftige Schritte R¨ ucksicht zu nehmen. Im Gegensatz dazu schätzen sog. vorausschauende Heuristiken in jedem Schritt ab, welche Auswirkungen die Zuordnung eines Lösungselements54 zur aktuellen Teillösung auf die in nachfolgenden Schritten noch möglichen Zuordnungen anderer Lösungselemente und damit auf die erzielbare Lösungsg¨ ute besitzt.55 Eröffnungsverfahren werden, wie der Name zum Ausdruck bringt, häufig zur Ermittlung einer Ausgangslösung f¨ ur die Verbesserungsverfahren eingesetzt, die von dieser aus startend die schrittweise Verbesserung bestehender Lösungen versuchen.56 Zu den Eröffnungsverfahren gehören die Prioritätsregel- und die Engpass-Veratsregelverfahren stellen die in der Praxis wahrscheinlich fahren.57 Priorit¨ am häufigsten eingesetzte Heuristik zur Lösung von Job-Shop-Scheduling-Problemen dar. Im Rahmen einer Werkstattfertigung entstehen häufig Konfliktsituationen, wenn mehrere Aufträge gleichzeitig auf einer Maschine bearbeitet werden können. In diesem Fällen können durch den Einsatz von Prioritätsregeln Dringlichkeitsziffern f¨ ur die um die relevante Maschine konkurrierenden Aufträge erstellt werden. Es wird derjenige Auftrag zur Bearbeitung ausgewählt, der die höchste Dringlichkeit aufweist. Heuristiken mit Hilfe von Prioritätregeln sind leicht verständlich und liefern trotz ihrer Einfachheit schnell Ergebnisse von angemessener Qualität. Aus diesem Grund soll zur Lösung der Fallstudie ein problemspezifisches, prioritätsregelbasiertes Lösungsverfahren entwickelt werden. Daher erfolgt in Abschnitt 5.3 eine separate, ausf¨ uhrliche Darstellung der Prioritätsregelverfahren. Bei der Lösung von Job-Shop-Problemen fällt oft auf, dass oben beschriebene Konfliktsituation nur bei einem Teil der Maschinen auftritt, während die restlichen Maschinen nur zeitweise f¨ ur die Bearbeitung von Aufträgen eingesetzt werden m¨ ussen. Maschinen mit einem großen Bestand an wartenden Aufträgen werden als Engpassmaschinen bezeichnet. Engpass-Verfahren (Shif54

Unter einem Lösungselement bzw. einer Lösungskomponente wird die kleinste Einheit verstanden, aus der (Teil-)Lösungen bestehen können. Im Falle des JSP sind dies Operationen Okm , deren Auftragsfolgen auf den einzelnen Maschinen bestimmt werden sollen. Vgl. Zäpfel/Braune(2005), S. 24. 55 Vgl. Domschke/Drexl(2007), S. 120. 56 Der Verzicht auf Lösungsverbesserung durch Verbesserungsverfahren kann aus verschiedenen Gr¨ unden gerechtfertigt sein: Erstens kann ein Problem derart umfangreich sein, dass eine iterative Verbesserung mit hohen Rechenaufwand verbunden ist. Zweitens existieren oft viele (fast) gleich gute Lösungen, so dass die Wahrscheinlichkeit groß ist, eine dieser Lösungen mit dem Eröffnungsverfahren zu bestimmen. Drittens können (die meist sehr einfachen) Eröffnungsverfahren oft leicht dezentral und somit organisatorisch vorteilhaft angewendet werden. Vgl. M¨ uller-Merbach(1970), S. 34f. 57 Eröffnungsverfahren werden häufig auch als Konstruktionsverfahren bezeichnet und sind eng mit den Entscheidungsbaumverfahren verwandt.

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ting Bottleneck Heuristics) verfolgen den Ansatz, die Planung f¨ ur diese Engpassmaschinen im Vergleich zu den Nicht-Engpassmaschinen zu intensivieren.58 Dazu sind zunächst die Engpassmaschinen zu identifizieren und diese als EinMaschinenprobleme zu lösen,59 wobei die Abhängigkeiten zwischen den EinMaschinenproblemen zu beachten sind, die durch Vor- und Nachfolgerbeziehungen von Operationen u ¨ber Maschinengrenzen hinweg entstehen. Das EngpassVerfahren nach Adams et al.(1988) sowie seine Verbesserungen durch DauzèrePérès/Lasserre(1993) und Balas et al.(1995) stellen die wahrscheinlich erfolgreichsten Heuristiken zur Lösung von Job-Shop-Scheduling-Problemen dar.60 Allerdings sind diese Verfahren trotz z. T. sehr guter Ergebnisse f¨ ur verschiedene kleinere Testinstanzen f¨ ur praktische Job-Shop-Probleme ungeeignet, vor allem weil sie einige sehr restriktive Bedingungen an die Problemstruktur stellen.61

5.2.2.2 Verbesserungsverfahren/Lokale Suchverfahren Verbesserungsverfahren starten mit einer zulässigen Lösung des Problems und versuchen, diese iterativ hinsichtlich einer Bewertungsfunktion zu verbessern.62 Die Startlösung kann entweder durch Anwendung eines Eröffnungsverfahrens oder zufällig bestimmt werden. In jedem Verfahrensschritt wird von einer zulässigen Lösung aus versucht, diese durch kleine Veränderungen zu verbessern. Um ¨ den Lösungsraum systematisch zu erschließen, ist an die Anderungen die Bedingung gekn¨ upft, dass sie zu so genannten benachbarten Lösungen f¨ uhren: Die Nachbarschaft N B(x) einer Lösung x ∈ X entspricht der Menge aller Lösungen, die von x aus durch einfache Modifikation erreichbar sind.63 Sie werden mit Hilfe einer problemspezifischen so genannten Nachbarschaftsfunktion64 bestimmt, die festlegt, wie viele und welche Modifikationen an einer Lösung x erlaubt sind, um die daraus resultierenden Lösungen als benachbart bezeichnen zu können.65 58

Eine Darstellung von Engpass-Verfahren ist z. B. gegeben in: Dorndorf/Pesch(1995), S. 29ff.; Bla˙zewicz et al.(1996), S. 12ff.; Alvehus(1997); Demirkol et al.(1997); Rixen(1997), S. 48ff.; Schutten(1998); Jain/Meeran(1999), S. 399f.; Eiselt/Sandblom(2004), S. 411ff.; Pinedo(2005), S. 87ff. 59 Zur Lösung von Ein-Maschinenproblemen eignen sich z. B. die Verfahren von Jackson(1955) oder Carlier(1982). 60 Vgl. Dorndorf/Pesch(1995), S. 25. 61 Vgl. Teich(1998), S. 66. Vergleichende Analysen zur Leistungsfähigkeit der Engpassverfahren finden sich auch in Demirkol et al.(1996). 62 Daher werden Verbesserungsverfahren auch als ((sub-)optimierende) Iterationsverfahren bezeichnet. Sie werden erfolgreich f¨ ur kombinatorische Optimierungsprobleme im Allgemeinen (vgl. Vaessens(1995)) und Job-Shop-Scheduling-Probleme im Speziellen eingesetzt (vgl. Reeves(1995)). 63 Lin(1965) und Reiter/Sherman(1965) haben als erste den Begriff der Nachbarschaft eingef¨ uhrt. 64 Auch als Nachbarschaftsoperator bezeichnet. 65 Vgl. Zäpfel/Braune(2005), S. 27.


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Diese hat einen maßgeblichen Einfluss auf den Erfolg des Suchprozesses.66 F¨ ur das klassische Job-Shop-Scheduling-Problem wurden in der Literatur mehrere Nachbarschaften vorgeschlagen, die auf Modifikationen des kritischen Pfades basieren. Exemplarisch ist die Umkehrung eines disjunktiven Pfeiles zu nennen, die unter dem Namen N1“ bekannt ist.67 ” In Abbildung 5.2 auf S. 108 ist das Prinzip der lokalen Nachbarschaftssuche veranschaulicht. Der Kasten stellt einen fiktiven Lösungsraum dar. Die grauen Punkte entsprechen beliebigen Lösungen. Die roten Punkte repräsentieren diejenigen Lösungen, die im Laufe des Suchprozesses erreicht werden. Ihre jeweilige Nachbarschaft N B(x) wird durch die großen Kreise veranschaulicht. Sie ordnet jeder Lösung eine Teilmenge aus dem Lösungsraum zu und enthält diejenigen Lösungen, die im Lösungsraum in der Nähe“ von x liegen.68 Eine Transfor” mation, bei der aus einer Lösung x eine Nachbarlösung x ∈ N B(x) entsteht, wird als Zug (engl. Move) bezeichnet.69 Im Laufe der Nachbarschaftssuche wird, bildlich betrachtet, entlang einer Kette von benachbarten Lösungen gewandert – von x1 startend u ¨ber x2 bis zu x5 . Neben der Definition der Nachbarschaft ist festzulegen, in welcher Reihenfolge die Nachbarlösungen untersucht werden sollen. Diese kann zufällig oder systematisch gewählt werden. Außerdem ist eine Auswahlstrategie festzulegen, d. h., zu welcher der untersuchten Nachbarlösungen letztendlich u ¨bergegangen werden soll. Dazu m¨ ussen die Lösungen bewertet werden. Im einfachsten Fall erfolgt uglich wird zwischen reinen Verbessedies u ¨ber die Zielfunktionswerte.70 Diesbez¨ rungsverfahren und lokalen Suchverfahren unterschieden. Bei reinen Verbesserungsverfahren wird nur dann zu einer Nachbarlösung u ¨bergegangen, wenn diese besser ist.71 Bei der Auswahl akzeptabler Nachbarn kann die Strategie des First-Improvement oder des Best-Improvement verfolgt werden. Im ersten Fall wird jeweils die erste gefundende verbessernde Nachbarlösung verwendet (first fit). Dagegen muss im zweiten Fall zunächst die komplette Nachbarschaft un66

Die Gestaltung der Nachbarschaft beeinflusst die Erreichbarkeit der Lösungselemente und kann den Verbesserungsprozess beschleunigen. Sie ist somit f¨ ur die Effektivität und die Effizienz des Verfahren von Bedeutung. Vgl. Glover/Laguna(1993) und Siedentopf(2002), S. 82f. 67 Daneben werden in der Literatur vier weitere Nachbarschaften N2“ bis N5“ definiert. Vgl. ” ” Rixen(1997), S. 53ff.; Geiger(2005), S. 86ff. 68 Je größer eine Nachbarschaft ist, desto mehr Suchaufwand ist nötig, desto gr¨ undlicher kann aber auch die Suche erfolgen. 69 Vgl. Domschke/Drexl(2007), S. 121. 70 Die Ber¨ ucksichtigung zusätzlicher Bewertungskriterien oder die Skalierung der Zielfunktionswerte kann es ermöglichen, auf den Suchprozess effektiv einzuwirken. In Verbindung mit der Selektion von Lösungen können diejenigen bevorzugt ausgewählt werden, die eine als gut bzw. schlecht erachtete Eigenschaft aufweisen bzw. gerade eben nicht aufweisen. Vgl. z. B. Glover/Laguna(1993) und Goldberg(2009). 71 Reine Verbesserungsverfahren werden auch als Hill-climbing-Verfahren oder iterative improvement bezeichnet. Vgl. Pearl(1984), S. 35f. und Michalewicz/Fogel(2000), S. 43.

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Abbildung 5.2: Allgemeines Prinzip der lokalen Nachbarschaftssuche, Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Zäpfel/Braune(2005), S. 28 tersucht und daraus die Lösung mit dem besten Zielfunktionswert ausgewählt werden (best fit).72 Wenn keine verbessernde Nachbarlösung gefunden werden kann, terminiert das Verfahren. Es wurde ein Optimum erreicht, das aber nicht notwendigerweise das globale Optimum sein muss. Dies ist in Abbildung 5.3 auf S. 109 f¨ ur ein Minimierungsproblem veranschaulicht. Das Verfahren startet ¨ zum in x1 . Im ersten Schritt kann der Zielfunktionswert durch den Ubergang Nachbarn x2 verringert werden. In der nächsten Iteration bricht der Algorithmus allerdings ab, da keine in der Nachbarschaft von x2 aufgesuchte Lösung eine Verbesserung der aktuellen Lösung darstellt. Der Suchprozess bleibt daher in einem lokalen Optimum hängen.73 Um die potentielle Gefahr zu u ¨berwinden, in einem lokalen Optimum steckenzubleiben, das nicht mit dem globalen Optimum u ¨bereinstimmt, werden verschiedene Ansätze verfolgt, die im Folgenden unter dem Begriff lokale Suchverfahren zusammengefasst werden.74 Eine Möglichkeit zur Vermeidung der vorzeitigen Termination der Suche besteht in der Erlaubnis, zwischenzeitlich auch Nachbarn mit schlechteren Zielfunktionswerten auszuwählen. Die Auswahlstra72

Das Best-Improvement-Verfahren wird daher bei Minimierungs- bzw. Maximierungsproblemen auch als Methode des steilsten Ab- bzw. Anstiegs bezeichnet (steepest descent bzw. steepest ascent). 73 Es besteht keine Information dar¨ uber, wie weit dieses lokale Optimum vom globalen Optimum oder evtl. anderen lokalen Optima entfernt ist. 74 Vgl. Domschke et al.(1997), S. 47.


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ZF(x) x4 x1 x3 x2 Lokales Minimum

x5=x* Globales Minimum

x

Abbildung 5.3: Lokale und Globale Minima, Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Domschke et al.(1997), S. 48 tegien m¨ ussen in diesem Fall modifiziert werden. Bei First-Improvement-Verfahren d¨ urfen verschlechternde Lösungen zufällig, in Abhängigkeit vom Ausmaß der Verschlechterung oder nur unter der Bedingung realisiert werden, dass es keine verbessernde Lösung gibt. Beim Best-Improvement-Verfahren wird die Nachbarlösung mit der größten Verbesserung oder kleinsten Verschlechterung ausgewählt. Im betrachteten Beispiel (Abbildung 5.3) kann durch den Einsatz eines lokalen Suchverfahrens u. U. das lokale Minimum in x2 u ¨berwunden werden, indem zwei verschlechternde Lösungen (x3 und x4 ) zugelassen werden, so dass das globale Minimum in x5 und damit die optimale Lösung x5 = x∗ erreicht werden kann. Lokale Suchverfahren weisen das Problem auf, dass es im Laufe der lokalen Suche es zum Kreisen“ des Verfahrens kommen kann. So w¨ urde ” die nächstes Iteration bei Verfolgung einer Best-Improvement-Strategie von der uckf¨ uhren. Lösung x3 aus wieder zur Lösung x2 zur¨ Neben der Akzeptanz schlechterer Lösungen wurden weitere Techniken entwickelt, um lokale Suchprozesse so zu steuern, dass sie in der Lage sind, lokale Optima wieder zu verlassen, ein Kreisen zu vermeiden und die Suche in anderen Teilen des Lösungsraumes möglicherweise erfolgreicher fortzusetzen. Die Ansätze zielen i. d. R. darauf ab, Mehrfachkonsultation von Lösungen zu vermeiden, Teile des Lösungsraumes vollständig von der Suche auszuschließen75 oder variable Bewertungsfunktionen oder Nachbarschaftsstrukturen zu verwen75

Ziel ist dabei, die Suchräume effizient und effektiv abzuarbeiten, wobei zwischen einer Intensivierung der Suche in vielversprechenden Teilräumen (auch Exploitation) und einer Diversifizierung der Suche i. S. einer möglichst umfassenden Abdeckung des Suchraumes (auch Exploration) abzuwägen ist. Vgl. Siedentopf(2002), S. 84. Eine ausf¨ uhrliche Darstellung zu den Konzepten der Exploitation und Exploration geben Hoffmeister/Bäck(1990).

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den.76 Dabei spielen neben problemspezifischen lokalen Suchverfahren die sog. Metaheuristiken eine große Rolle. Diese basieren auf allgemeing¨ ultigen, problemunabhängigen Lösungsprinzipien, so dass sie (theoretisch) auf beliebige Problemstellungen angewendet werden können. Sie sind dadurch gekennzeichnet, dass eine u ¨bergeordnete Strategie eine andere, meist problemspezifische Heuristik steuert und modifiziert, um auf diese Weise bessere Lösungen zu finden, als es mit der untergeordnete Heuristik alleine möglich wäre.77 Im Rahmen dieser Arbeit wird nur eine kleine Auswahl an metaheuristischen Verfahren herausgegriffen und im Folgenden grob skizziert. Ausf¨ uhrlichere Darstellungen zu den lokalen Suchverfahren bzw. Metaheuristiken sowie ihrer Anwendung auf Ablaufplanungsprobleme und insb. das Job-Shop-Problem finden sich z. B. in Pirlot(1991), Storer et al.(1992), Morton/Pentico(1993), Aarts et al.(1994), Louren¸co(1995), Pesch/Voß(1995), Reeves(1995),Osman/Kelly(1996), Vaessens et al.(1996), Reese/Urban(1999), Voß et al.(1999), Michalewicz/Fogel(2000), Siedentopf(2002), Geiger(2005) und Zäpfel/Braune(2005).78 Die Metaheuristik Iterated Local Search versucht nach der Termination der lokalen Suche in einem (vermutlich) lokalen Optimum, durch Stören“ die ak” tuelle Lösung so zu verändern, dass ein erneutes Durchf¨ uhren einer lokalen Suche nicht wieder zum gleichen lokalen Optimum f¨ uhrt. Das Zusammenspiel von Störung, der lokalen Suche und dem Akzeptanzkriterium bzgl. der neu generierten Lösungen ist maßgeblich f¨ ur die Leistungsfähigkeit dieser Metaheuristik.79 Welcher begrenzte Bereich des Lösungsraumes im Rahmen einer lokalen Suche in der Umgebung einer g¨ ultigen Lösung zu durchsuchen ist, hängt von der gewählten Nachbarschaftsdefinition ab. Ein lokales Optimum bez¨ uglich einer Nachbarschaftsdefinition ist dabei nicht notwendigerweise auch lokal optimal bez¨ uglich einer anderen. Ein globales Optimum muss dagegen immer auch ein lokales Optimum bez¨ uglich aller Nachbarschaftsstrukturen sein. Zudem haben sehr viele Probleme die Eigenschaft, dass lokale Optima verschiedener Nachbarschaftsdefinitionen nahe“ beieinander liegen.80 Dies Tatsachen versucht die ” Metaheuristik Variable Neighborhood Search auszunutzen, indem sie unterschiedliche Nachbarschaftsdefinitionen während der Suche benutzt. Nach Generierung einer Startlösung wird zunächst die Nachbarschaft gemäß der Defini76

Ein lokales Optimum ist zielfunktions- und nachbarschaftsspezifisch definiert. Daher kann es u. U. verlassen werden, wenn die Elemente einer gegebenen Nachbarschaft anders bewertet werden oder die gegebene Bewertungsfunktion auf eine andere Nachbarschaft angewendet wird. 77 Vgl. Zäpfel/Braune(2005), S. 25. 78 ¨ Einen guten Uberblick zum Thema Metaheuristik gibt auch die Homepage www.metaheuristics.net (zugegriffen am 10.05.2010). 79 Ausf¨ uhrlich dazu vgl. Balas/Vazacopoulos(1998); Kreipl(2000); Louren¸co et al.(2002); Watson et al.(2003). 80 Vgl. Hansen/Mladenović(2003a).


111

tion N B 1 durchsucht, bis keine Verbesserung mehr erzielt werden kann. Dann wird die Suche unter Verwendung der Nachbarschaftsdefinition N B 2 fortgesetzt, usw., bis alle festgelegten Nachbarschaftsdefinitionen abgearbeitet wurden. Durch das Wechseln der Nachbarschaften wird versucht, eine Lösung zu finden, die optimal bzgl. aller betrachteten Nachbarschaften ist.81 Die Metaheuristik Tabu Search untersucht in jeder Iteration gemäß der BestImprovement-Strategie die komplette Nachbarschaft N B(x) einer Lösung x und wählt denjenigen Nachbarn x aus, der den Zielfunktionswert am meisten verbessert bzw., im Falle der Nichtexistenz einer besseren Nachbarlösung, am wenigsten verschlechtert.82 Um im Falle der Akzeptanz einer schlechteren Lösung eine R¨ uckkehr zur zuvor besuchten, besseren Lösungen (Kreisen) zu vermeiden, werden derartige Lösungen verboten, d. h., tabu“ gesetzt. Zur Aufzeichnung ” ur deren Verwalder Historie wird eine so genannte Tabu-Liste eingef¨ uhrt.83 F¨ tung muss festgelegt werden, wie viele und welche Lösungen f¨ ur wie lange gespeichert werden.84 Dabei ist grundsätzlich zu beachten, dass das Verfahren umso eher ins Kreisen gerät, je k¨ urzer die Tabuliste ist. Je länger sie allerdings gewählt wird, umso eher besteht die Gefahr, dass es keine erlaubten zulässigen Nachbarlösungen mehr gibt. Die geeignete Tabulistenlänge ist in Abhängigkeit von der Art und Größe des betrachteten Problems zu bestimmen. Da das Spei¨ chern und Uberpr¨ ufen von vollständigen Lösungen meistens sehr aufwendig ist, können alternativ z. B. nur Informationen u uckliegenden Iteratio¨ber die in zur¨ nen ausgef¨ uhrten Z¨ uge gespeichert werden.85

81

Ausf¨ uhrlich dazu vgl. Mladenović/Hansen(1997); Hansen et al.(2003); Hansen/Mladenović(2003a); Hansen/Mladenović(2003b); Sevkli/Aydin(2006); MorenoVega/Melián(2008); Amiri et al.(2009); Yazdani et al.(2010). 82 In der hier beschriebenen Grundform ist Tabu Search ein deterministisches Verfahren. Sowohl die Untersuchung der Nachbarschaft als auch die Auswahl der nächsten Lösung erfolgen deterministisch. 83 Die Idee des Tabu Search beruht auf der Nachbildung einer Art von Gedächtnis, das durch Lernen und Vergessen gekennzeichnet ist. Die Tabu-Liste spiegelt in dem Sinne ein Kurz” zeitgedächtnis“ wider. Zudem können in einem Langzeitgedächtnis“ vielversprechende ” während des Suchprozesses ermittelt Lösungen oder Modifikationen abgelegt werden, die wurden. Durch R¨ uckgriff auf diese Speicherstrukturen kann der Suchprozess je nach Bedarf intensiviert oder diversifiziert werden. Vgl. Siedentopf(2002), S. 91f. 84 ¨ Es existieren verschiedene Varianten zum Tabulisten-Management. Ein grober Uberblick wird z. B. in Domschke et al.(1997), S. 50f. oder Homberger(2000), S. 33ff. gegeben. 85 Vgl. Domschke et al.(1997), S. 49f. Weiterf¨ uhrende Literatur zum Tabu Search vgl. u. a. De Werra/Hertz(1989); Glover(1989); Glover(1990a); Glover(1990b); Dell’Amico/Trubian(1993); Glover et al.(1993); Taillard(1994); Glover et al.(1995); Løkketangen(1995); Barnes/Chambers(1996); Domschke et al.(1996); Nowicki/Smutnicki(1996); Brucker/Neyer(1998); James/Buchanan(1998); Michalewicz/Fogel(2000), S. 115ff.; Glover/Laguna(2002); Gendrau(2003); Zäpfel/Braune(2005), S. 89ff.; Yong/Li(2007).

112


Die so genannten Schwellenwertverfahren86 sind dadurch gekennzeichnet, dass sie die Akzeptanz schlechterer Lösungen auf Schwellenwertvergleiche zur¨ uckf¨ uhren.87 Der Schwellenwert ist eine nicht-negative, deterministische oder stochastisch bestimmte und im Verfahrensverlauf veränderbare Größe.88 Der Schwellenwert wird i. A. so gestaltet, dass er zu Beginn relativ groß ist und im Verlauf des Verfahrens immer kleiner wird. Hohe Schwellenwerte ermöglichen ¨ das Uberqueren hoher Gebirgsz¨ uge“ im Lösungsraum und verhindern so eine ” vorzeitige Termination des Verfahrens. Indem gegen Ende des Verfahrens immer kleinere Verschlechterungen akzeptiert werden, soll sichergestellt werden, dass ein bereits gefundenes, ab er noch nicht endg¨ ultig erkanntes Optimum nicht wieder verlassen wird. Zu den deterministischen Schwellenwertverfahren gehören das Threshold Accepting und der Great Deluge Algorithmus. Beim Threshold Accepting werden die Zielfunktionswerte der aktuellen und der vorherigen Lösung miteinander verglichen. Ist deren Differenz kleiner als der Schwellenwert, wird die Lösung angenommen.89 Beim Great Deluge Algorithmus wird dagegen der Zielfunktionswert der neuen Lösung direkt mit dem Schwellenwert verglichen.90 Ein bekanntes stochastisches Schwellenwertverfahren ist das Simulated Annealing91 , bei dem eine schlechtere Lösung mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit akzeptiert wird.92 Ausgehend von einer zuässigen Lösung x beträgt der Wert der Akzeptanzwahrscheinlichkeit einer zufällig gewählten Nachbarlösung x ∈ N B(x) im Falle einer Verschlechterung93 e−

ZF (x )−ZF (x) Tι

.

Ob eine Verschlechterung akzeptiert wird, hängt somit ab sowohl vom Grad der Verschlechterung, der Differenz der beiden Zielfunktionswerte, als auch von einem externen Parameter, der Temperatur“ Tι im Iterationsschritt ι.94 Die ” 86

Engl. Threshold Algorithms. Vgl. Vaessens et al.(1996), S. 6. und Jain/Meeran(1999), S. 401. 88 Bei Schwellenwertverfahren werden verbessernde Lösungen immer akzeptiert. Somit handelt es sich bei den reinen Verbesserungsverfahren ebenfalls um Schwellenwertverfahren (mit dem Schwellenwert Null). 89 Vgl. Dueck/Scheuer(1990). Eine Variante des Threshold Accepting stellt das Record-toRecord-Travel-Verfahren dar, bei dem die Differenz der aktuellen Lösung nicht zur vorherigen Lösung, sondern zur besten jeweils bisher gefundenen Lösung berechnet wird. Vgl. Dueck(1993). 90 Dieses Verfahren wird auch als Flood Method bzw. Sintflut-Methode bezeichnet. In der Analogie wird der Schwellenwert auch als Water Level bzw. Wasserstand bezeichnet. Das reine Verbesserungsverfahren stellt den Spezialfall dieses Algorithmus dar, bei dem der Schwellenwert jeweils gerade dem Zielfunktionswert der vorherigen Lösung entspricht. 91 Dt. simulierte Abk¨ uhlung. 92 ˇ y entwickelten unabhängig voneinander dieses VerKirkpatrick, Gellat und Veccki sowie Cern´ fahren, das auf der Simulation eines in der Natur vorkommenden Prozesses, des Abk¨ uhlens ˇ y(1985), S. 41ff. von Stoffen, basiert. Vgl. Kirkpatrick et al.(1983), S. 671ff. und Cern´ 93 Bessere Lösungen werden immer angenommen. 94 Die Annahme einer schlechteren Lösung erfolgt dann, wenn eine gleichverteilte Zufallszahl aus dem Intervall [0;1] kleiner als die Akzeptanzwahrscheinlichkeit ist. So besteht auch f¨ ur extrem schlechte Lösungen eine, wenn auch geringe, Annahmewahrscheinlichkeit. Das 87


113

Temperatur wird im Laufe des Algorithmus schrittweise reduziert. Die genaue Festlegung des sog. K¨ uhlplans, der die Anfangstemperatur, die Dauer des Verharrens auf einem Temperaturniveau und die jeweilige Höhe der Temperaturreduktion festlegt, ist von entscheidender Bedeutung f¨ ur die Leistungsfähigkeit des Verfahren.95 Haben die bisher vorgestellten Metaheuristiken jeweils mit nur einer Lösung gearbeitet, betrachten populationsbasierte Verfahren gleichzeitig mehrere Lösungen. Zu ihnen zählen u. a. die Evolution¨ aren Algorithmen, bei denen die Generierungs- und Selektions-Mechanismen wie beim Simulated Annealing in Anlehnung an nat¨ urliche Phänomene erfolgen.96 Es gibt drei Hauptströmungen – die Evolutionsstrategien, die Genetischen Algorithmen und die Genetische Programmierung. Die Grundidee der Evolutionären Algorithmen besteht darin, eine Menge von Lösungen, die sog. Population, zu erzeugen und iterativ zu reproduzieren (d. h., identische zu u ¨bernehmen), zu kreuzen (d. h., eine zufällige Kombination zweier Lösungen zu bilden) bzw. zu mutieren (d. h., zufällig elementweise zu verändern).97 In Abschnitt 5.4 werden die Genetischen Algorithmen ausf¨ uhrlich dargestellt. Auch diese sollen zur Lösung der betrachteten Fallstudie angewendet werden, weil es sich bei Ihnen um leistungsfähige, stochastische Suchverfahren handelt, die bereits häufig im Bereich der kombinatorischen Optimierung erfolgreich eingesetzt wurden.

Simulated Annealing stellt somit einen bekannten Vertreter der Monte Carlo Methode dar. Ausf¨ uhrlich dazu vgl. Matsuo et al.(1988); Aarts/Korst(1990); Eglese(1990); Yamada/Nakano(1990); Kuhn(1992); Van Laarhoven/Aarts(1992); Van Laarhoven et al.(1992); Downsland(1993); Jeffcoat/Bulfin(1993); Krishna et al.(1995); Kurbel/Rohmann(1995); Kolonko(1999); Michalewicz/Fogel(2000), S. 115ff.; Zäpfel/Braune(2005), S. 71ff. 96 Es handelt sich um so genannte naturanaloge Verfahren. Zu ihnen gehören auch (a) die ebenfalls populationsbasierten Schwarmintelligenzien, wie die Ameisenalgorithmen (engl. Ant Colony Optimization, vgl. u. a. Colorni et al.(1994); Dorigo et al.(1996); Dorigo/Di Caro(1999); Van der Zwaan/Marques(1999); Blum/Sampels(2004); Dorigo/St¨ utzle(2004); Zäpfel/Braune(2005), S. 105ff.; Rossi/Dini(2007); Debasish(2009)) und die Partikelschwarmoptimierung (engl. Particle Swarm Optimization, vgl. u. a. Kennedy/Eberhart(1995); Clerc(2006); Lian et al.(2006); Tu et al.(2006); Poli et al.(2007); Blum/Merkle(2008); Kennedy et al.(2009); Pongchairerks(2009)), (b) die K¨ unstlichen Neuronalen Netze (engl. Artificial Neural Network, vgl. u. a. Hopfield(1982); Corsten/May(1995); Corsten(1996); Nauck et al.(1996); Rojas(1996); Corsten/Gössinger(1997); Heuer(1997); Jain/Meeran(1998); Zöller-Greer(2007)) oder (c) die Fuzzy Logik (vgl. u. a. Zadeh(1994); Bandemer/Gottwald(1996); Nauck et al.(1996); Bilkay et al.(2004); Zöller-Greer(2007)), die alle bereits erfolgreich auf das Job-Shop-Scheduling-Problem angewendet werden konnten. 97 Vgl. Domschke et al.(1997), S. 51. Eine gute Einf¨ uhrung in die Evolutionären Algorithmen wird in Bäck(1996) sowie in Nissen(1997) gegeben. Die Evolutionsstrategien gehen auf Rechenberg und Schwefel zur¨ uck (vgl. Rechenberg(1973) bzw. Neuauflage Rechenberg(1994), Schwefel(1975), Schwefel(1977), Schwefel(1995)). Ihre Anwendung auf JSP ist z. B. in Kost(2003) auf S. 191ff. beschrieben. Ein ausf¨ uhrliches Werk zu den Genetischen Programmierung ist z. B. Koza(1992). 95

114


5.2.2.3 Weitere Verfahren Neben den im den vorherigen beiden Abschnitten beschriebenen Verfahren zählen auch unvollst¨ andig ausgef¨ uhrte exakte sowie relaxationsbasierte Verfahren zur Gruppe der Heuristiken.98 Viele exakte Verfahren – insb. das B&B-Verfahren – liefern oft schon während ihrer Ausf¨ uhrung mehrere zulässige Lösungen. So besteht die Möglichkeit, ein exaktes Verfahren bei Erreichen einer zulässigen Lösung oder nach einer bestimmten Rechenzeit abzubrechen. Bei B&B-Verfahren kann zudem als Abbruchkriterium das Erreichen einer vorgegebenen Mindestlösungsg¨ ute angegeben werden, da während der Ausf¨ uhrung Schranken f¨ ur den Zielfunktionswert bestimmt werden. Eine weitere Möglichkeit, heuristisch Lösungen zu gewinnen, besteht darin, ein vereinfachtes (relaxiertes) Problem zu lösen und die gewonnene Lösung auf das Ausgangsproblem zu u ¨bertragen. Dazu wird versucht, bislang verletzte, relaxierte Bedingungen nach und nach durch Ergänzung oder Veränderung von Lösungselementen zu erf¨ ullen. So kann z. B. bei einem ganzzahligen Modell die Forderung nach Ganzzahligkeit der Variablen fallengelassen werden, die entstehende LPRelaxation mit dem Simplex-Algorithmus gelöst und nichtganzzahlige Werte durch Runden in ganzzahlige u uhrt werden, um eine zulässige Lösung zu ¨berf¨ erhalten. Bei Lösung von Lagrange-Relaxationen mit Hilfe des Subgradientenverfahrens sind die meisten relaxierten Nebenbedingungen bereits erf¨ ullt, so dass nur noch geringe Veränderungen und infolgedessen eine geringe Erhöhung des Zielfunktionswertes zur Generierung einer zulässigen Lösung nötig sind (Lagrange-Heuristik). Auch in diesem Fall kann die Lösungsg¨ ute mit Hilfe der bereits berechneten Schranken abgeschätzt werden. Abschließend wird die Struktur der in den vorangegangenen Abschnitten skizzierten heuristischen Lösungsverfahren in der Abbildung 5.4 auf S. 115 zusammengefasst dargestellt.

5.3 Priorit¨ atsregelverfahren 5.3.1 Einfache Konstruktionsverfahren Zur Generierung von Ablaufplänen muss bestimmt werden, welcher Auftrag zu welchem Zeitpunkt auf welcher Maschine eingelastet wird. Hierzu können die sog. einfachen Konstruktionsverfahren (engl. dispatching procedures) eingesetzt werden. Sie ermitteln eine zulässige Lösung des Problems, indem sukzessive jede Operation einzeln in der Reihenfolge ihrer Ausf¨ uhrung auf den Maschinen einge98

Vgl. Domschke/Drexl(2007), S. 51f.

5.3 Prioritätsregelverfahren

115

Heuristische Lösungsverfahren

Eröffnungsverfahren

Verbesserungsverfahren

Unvollständig ausgeführte exakte Verfahren

Relaxationsorientierte Verfahren

Prioritätsregelverfahren Engpass-Verfahren

Reine Verbesserungsverfahren

Lokale Suchverfahren / Metaheuristiken Tabu Search Simulated Annealing Genetische Algorithmen

Abbildung 5.4: Heuristische Lösungsverfahren f¨ ur Job-Shop-Probleme plant wird (vgl. Abbildung 5.5 auf S. 116).99 Dabei spielt das Konzept der Menge der einplanbaren Operationen Oe eine große Rolle: Um die Erzeugung unzulässiger Lösungen zu vermeiden, besteht die Menge Oe nur aus den technologisch abarbeitbaren Operationen, d. h. aus all denjenigen Operationen, die an erster Stelle einer Maschinenfolge stehen oder deren technologische Vorgänger bereits eingeplant sind.100 Diese Menge der einplanbaren Operationen kann ihrerseits maschinenorientiert so in disjunkte Teilmengen zerlegt werden, dass jede Teilmenge alle an der jeweiligen Maschine einplanbaren Operationen enthält.101 Eine maschinenspezifische Teilmenge der einplanbaren Operationen setzt sich somit zusammen aus allen zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Warteschlange vor der Maschine befindlichen Aufträgen sowie allen sich aktuell in Bearbeitung befindlichen Aufträgen, deren nächste Bearbeitung auf der betrachteten Maschine erfolgen muss. Wenn diese Teilmenge mehr als ein Element enthält, konkurrieren mehrere Aufträge um die Maschine.102 Um diese Konfliktsituation 99

Da die Einplanungsentscheidungen im Laufe des Verfahrens nicht wieder revidiert werden, handelt es sich bei den einfachen Konstruktionsverfahren um sog. single-pass-Verfahren. Im Gegensatz dazu sind die sog. adjusting-Verfahren zur Generierung von Ablaufplänen durch die Revidierbarkeit von Einplanungsentscheidungen charakterisiert. Vgl. dazu Conway et al.(1967), S. 112f. und Baker(1974), S. 187f. 100 Vgl. Conway et al.(1967), S. 113. 101 Neben dieser maschinenorientierten Zerlegung kann die Menge Oe auch auftragsorientiert so in disjunkte Teilmengen zerlegt werden, dass jede Teilmenge die als nächstes einplanbare Operation eines Auftrags enthält. Diese Teilmengen sind entweder leer oder einelementig. Vgl. Conway et al.(1967), S. 114. 102 Ein Nachteil dieser Konstruktionsverfahren ist, dass die Menge der alternativ einplanbaren Operationen im Verlauf des Verfahrens abnimmt und dadurch die Wahrscheinlichkeit steigt,

116


aufzulösen, kann ein Auftrag entweder zufällig oder zielgerichtet mit Hilfe einer sog. Prioritätsregel ausgewählt werden. Eine Prioritätsregel103 ordnet jedem Auftrag k aus der Warteschlange vor der Maschine eine Wertzahl zu, den sog. Prioritätswert Φk .Es wird derjenige Auftrags mit dem höchsten bzw. niedrigsten Prioritätswert ausgewählt. Erfolgt die Konfliktlösung mittels Prioritätswerten, werden die Konstruktionsverfahren als Priorit¨ atsregelverfahren bezeichnet. Wie derartige Prioritätsregeln ausgestaltet sein können, wird im folgenden Abschnitt 5.3.2 näher erläutert.

0

1

4

7

8

5

10

11

6

12

13

14

Abbildung 5.5: Entscheidungsbaum und das Prinzip einfacher Konstruktionsverfahren Im Laufe eines einfachen Konstruktionsverfahrens werden Lösungselemente sukzessive in eine bisher vorliegende Teillösung aufgenommen, bis ein vollständiger Lösungsweg – hier grau dargestellt –im Suchbaum festgelegt ist. Die Anwendung eines einfachen Konstruktionsverfahren schließt viele Lösungswege aus (vgl. Abbildung 5.5 auf S. 116) und kann dadurch eine unbefriedigende Lösung erzeugen, die weit vom Optimum entfernt ist. Da sich dieses Verfahren aber durch einen geringen Rechenzeitbedarf auszeichnet und zudem einfach zu implementieren ist, liegt es nahe, es einfach mehrmals hintereinander durchzuf¨ uhren und die Lösung mit dem besten Zielfunktionswert auszuwählen.104 I. d. R. wird bei diesen sog. Multistartverfahren (engl. multi pass heuristic) das Konstruktionsverfahren solange wieder aufgerufen, bis eine vorgegebene eine hinsichtlich der verfolgten Zielsetzung ung¨ unstige Entscheidung in Kauf nehmen zu m¨ ussen. Vgl. Domschke et al.(1997), S. 406. Diese werden auch als als Vorrangsregeln bezeichnet; engl. dispatching rule, scheduling rule oder sequencing rule. Vgl. M¨ uller-Merbach(1970), S. 175; Baker(1974); Panwalkar/Iskander(1977); Blackstone et al.(1982). 104 Vgl. Silver et al.(1998), S. 693. 103


117

Anzahl X an Durchgängen erreicht ist. Es besteht aber auch die Möglichkeit, das Verfahren nach Erreichen einer vorab festgelegten Rechenzeit abzubrechen. Damit sich die erzeugten Lösungen voneinander unterscheiden, sind verschiedene Vorgehensweisen möglich. Baker differenziert Multistartverfahren in folgende drei Arten:105 Beim Random Sampling wird in jeder Konfliktsituation ein Auftrag zufällig ausgewählt, wobei jeder der wartenden Aufträge die gleiche Auswahlwahrscheinlichkeit besitzt. Beim Probabilistic Dispatching oder Multi-Prioritätsregelverfahren wird ein festgelegtes Konstruktionsverfahren wiederholt mit Hilfe von unterschiedlichen Prioritätsregeln gelöst.106 Das Biased Random Sampling kombiniert die beiden oben genannten Verfahren dahingehend, dass die Auswahlwahrscheinlichkeiten der konkurrierenden Aufträge in Abhängigkeit von ihren Prioritätswerten bestimmt werden. Je höher der Prioritätswert eines Auftrags ist, umso höher ist dessen Auswahlwahrscheinlichkeit. Eine andere Möglichkeit besteht darin, nur eine (oder mehrere) Prioritätsregel(n) einzusetzen, die Prioritätswerte aber mit Hilfe von Zufallszahlen zu verzerren.107 Je mehr Lösungen mit Hilfe von einfachen Konstruktionsverfahren erzeugt werden, umso höher ist die Wahrscheinlichkeit, eine optimale Lösung zu finden. Theoretisch kann sich die Einsatzhäufigkeit des Verfahren zwischen den beiden Extrema bewegen, nur eine einzige Lösung oder alle möglichen Lösungen zu erzeugen. Einfache Konstruktionsverfahren können daher sowohl als exakte als auch als heuristische Lösungsverfahren eingesetzt werden.108 Dieser Sachverhalt ist in der Abbildung 5.6 auf S. 118 graphisch veranschaulicht. Bei der vollst¨ andige Enumeration werden alle Ablaufpläne erzeugt, indem nacheinander alle während des Konstruktionsverfahrens auftauchenden Konflikte in jeder denkbaren Weise gelöst werden.109 Aufgrund der bereits geschilderten Komplexitäts¨ uberlegungen ist die vollständige Enumeration bei größeren Pro105

Vgl. Baker(1974), S. 200ff. Vgl. dazu auch Conway et al.(1967), S. 124ff. 107 Eine weitere Möglichkeit ist, in jedem Durchlauf unterschiedliche Konstruktionsverfahren zu verwenden. So können z. B. serielle (one at a time-Strategie) oder parallele (M-at-a-time-Strategie) Konstruktionsverfahren eingesetzt werden. Vgl. Kunz(1982); Kolisch/Drexl(1996), S. 25f. 108 Wie bereits in Abschnitt 5.1 erwähnt gibt es f¨ ur spezielle Problemstellungen problemspezifische exakte Lösungsverfahren, die ebenfalls zu den Konstruktionsverfahren hinzuzuzählen sind. Auf diese soll im Rahmen dieser Arbeit allerdings nicht weiter eingegangen werden. Ausf¨ uhrlich dazu vgl. Johnson(1954); Jackson(1956); Mensch(1968), S. 64ff.; Siegel(1974), S. 77ff. und 139ff.; Seelbach(1975), S. 138ff.; Brucker/Neyer(1981); Hefetz/Adiri(1982); Lawler et al.(1989), S. 39ff. 109 Es ist anzumerken, dass mit den hier beschriebenen Konstruktionsverfahren nur alle zulässigen Ablaufpläne generiert werden können, da diese das Konzept der Menge der einplanbaren Operation anwenden. Indem dieses aber fallen gelassen wird und dadurch auch die Maschinenfolgen der Aufträge verletzt werden können, ist es möglich alle denkbaren (d. h. zulässigen und unzulässigen) Ablaufpläne zu erzeugen. 106

118


Abbildung 5.6: Einsatzmöglichkeiten von einfachen Konstruktionsverfahren blemstellungen allerdings nicht anwendbar. Bei der impliziten Enumeration werden nur sinnvolle“ Ablaufpläne konstruiert. Dies kann z. B. durch Kombi” nation von B&B-Verfahren mit Prioritätsregelverfahren erfolgen110 , oder indem zwar nur eine Teilmenge der Ablaufpläne erzeugt wird, von der aber bekannt ist, dass in dieser mindestens ein optimaler Ablaufplan vorhanden ist. Eine naheliegende Einschränkungen ist z. B., im Falle einer regulären Zielfunktion nur die Menge der aktiven Ablaufpläne zu generieren, da ein optimaler Ablaufplan immer aktiv ist. Alternativ könnte die kleinere Menge der unverzögerten Ablaufpläne erzeugt werden, die bei regulären Zielfunktionen häufig eine optimale Lösung enthält. Da ein optimaler Ablaufplan aber nicht zwingend unverzögert sein muss, bekommt das Verfahren durch diese Einschränkung allerdings wieder einen heuristischen Charakter. Es wurden verschiedene Konstruktionsverfahren zur Generierung zulässiger Ablaufpläne entwickelt. Im Folgenden werden drei einfache Konstruktionsverfahren vorgestellt, die mit den in Abschnitt 2.4 beschriebenen Arten von Ablaufplänen in engem Zusammenhang stehen: Das Heller&Logemann-Verfahren (H&L) zur Generierung semiaktiver, das Giffler&Thompson-Verfahren (G&T) zur Generierung aktiver sowie ein weiteres Konstruktionsverfahren zur Generierung unverzögerter Ablaufpläne. F¨ ur ihre Anwendung wird jeweils die Kenntnis der Maschinenfolgen der Aufträge sowie ihrer Bearbeitungszeiten auf den einzelnen Maschinen vorausgesetzt. F¨ ur das weitere Verständnis werden vorab folgende Notationsvereinbarungen getroffen: Ein vorläufig aus der Menge K ausgewählter Auftrag heißt k , der letztendlich einzuplandene Auftrag k ∗ . mas bezeichnet diejenige Maschine, auf ussen, und vm bzw. nm die vorheder k bzw. k ∗ aktuell bearbeitet werden m¨ 110

Vgl. M¨ uller-Merbach(1970), S. 189f.; Zäpfel(1982), S. 266ff.; Domschke et al.(1997), S. 413ff.


119

rige bzw. nächste Maschine in der jeweiligen Maschinenfolge. V akm und V ekm entsprechen dem vorläufigen Anfangs- bzw. Endzeitpunkt der Bearbeitung von Auftrag k auf Maschine m. Mit dem von Heller und Logemann entwickelten Verfahren können systematisch zulässige und semiaktive Ablaufpläne aufgebaut werden, indem ausgehend von einem Leerzustand des Maschinenparks unter Ber¨ ucksichtigung der Maschinenfolgen sukzessive alle Operationen fr¨ uhestmöglich eingeplant werden.111 Es wir jeweils in den Zeitpunkten die Einplanung eines Auftrags auf einer Maschine versucht, in denen ein Auftrag oder eine Maschine frei werden, weil die vorhergehende Bearbeitung abgeschlossen ist. Die Einplanung erfolgt immer fr¨ uhestmöglich, so dass semiaktive Ablaufpläne erzeugt werden.112 Das Vorgehen ist mit einer Vorwärtsterminierung in einem Gantt-Diagramm vergleichbar. Das H&L-Verfahren ist schematisch in der folgenden Abbildung 5.7 dargestellt: Initialisierung: Bestimme die Menge der einplanbaren Operationen Oe = {Ok[1] |k ∈ K}. Iteration: uhestmöglichen (vorläufiI. Bestimme f¨ ur alle Okm ∈ Oe jeweils den fr¨ gen) Anfangszeitpunkt V akm und Endzeitpunkt V ekm . II. Bestimme zufällig eine Operation Ok∗ mas aus Oe . III. Plane Ok∗ mas ein: ak∗ mas = V ak∗ mas und ek∗ mas = V ek∗ mas . IV. Aktualisiere Oe , indem die eingeplante Operation Ok∗ mas gelöscht und bei Existenz die nachfolgende Operation Ok∗ nm von Auftrag k ∗ an der in seiner Maschinenfolge nächsten Maschine nm aufgenommen wird: Oe = Oe \ {Ok∗ mas } ∪ {Ok∗ nm }. V. Wenn Oe = {}, gehe zu I., ansonsten beende das Verfahren. Abbildung 5.7: Ablauf des Heller&Logemann-Verfahrens zur Generierung semiaktiver Ablaufpläne Gemäß dem in Abbildung 5.7 dargestellten Verfahren werden unter Ber¨ ucksichtigung der Maschinenfolgen sukzessive alle Operationen eingeplant, beginnend mit den Operationen ohne Vorgänger. Nach der Initialisierung wird die Iteration so lange wiederholt, bis die Menge der einplanbaren Operationen leer ist (d. h. O-mal). Nach der Bestimmung der fr¨ uhestmöglichen vorläufigen Anfangsund Endzeitpunkte der einplanbaren Operationen wird von diesen zufällig eine ausgewählt und endg¨ ultig eingeplant. Anschließend wird die Menge der einplanbaren Operationen aktualisiert, indem die eingeplante Operation gelöscht und, 111

Vgl. Heller/Logemann(1962); Seelbach(1975), S: 89ff.; Kistner/Steven(1990); Kistner/Steven(2001), S. 115ff. 112 Da neben der Bestimmung der Auftragsfolgen auch eine zeitliche Einplanung mit Ber¨ ucksichtigung der Bearbeitungszeiten erfolgt, handelt sich um ein numerisches Verfahren. Vgl. Seelbach(1975), S. 81.

120


falls der betreffende Auftrag noch nicht fertig gestellt ist, die in seiner Maschinenfolge nachfolgende Operation aufgenommen wird. Die beiden nachfolgend beschriebenen Verfahren unterscheiden sich hinsichtlich der Auswahl der als nächstes einzuplanenden Operation (hier II.). Giffler und Thompson entwickelten ein Verfahren, mit dem aktive Ablaufpläne erzeugt werden können.113 Der Ablauf des G&T-Verfahrens ist in folgender Abbildung 5.8 ersichtlich:114 Initialisierung: Bestimme die Menge der einplanbaren Operationen Oe = {Ok[1] |k ∈ K}. Iteration: uhestmöglichen (vorläufiI. Bestimme f¨ ur alle Okm ∈ Oe jeweils den fr¨ gen) Anfangszeitpunkt V akm und Endzeitpunkt V ekm . uhestmögliII. Bestimme diejenige Operation Ok mas aus Oe mit dem fr¨ chen Endzeitpunkt V ek mas = min e {V ekm }. Okm ∈O

III.

IV. V. VI. VII.

(Bei Mehrdeutigkeit zufällige Auswahl aus diesen.) Bestimme die Konfliktmenge OKF ⊆ Oe : Diese enthält alle Operationen, a) die auf derselben Maschine mas bearbeitet werden und b) deren fr¨ uhestmögliche Anfangszeitpunkte kleiner als der fr¨ uhestmögliche Endzeitpunkt von k sind. Wähle endg¨ ultig einen Auftrag k ∗ aus mit Ok∗ mas ∈ OKF. Plane Ok∗ mas ein: ak∗ mas = V ak∗ mas und ek∗ mas = V ek∗ mas . Aktualisiere Oe . Wenn Oe = {}, gehe zu I., ansonsten beende das Verfahren.

Abbildung 5.8: Ablauf des Giffler&Thompson-Verfahrens zur Generierung aktiver Ablaufpläne Wie beim H&L-Verfahren wird die Iteration nach der Initialisierung und Bestimmung der fr¨ uhestmöglichen Anfangs- und Endzeitpunkte so lange wiederholt, bis die Menge der einplanbaren Operationen leer ist. Die nächste Einplanung findet jeweils auf derjenigen Maschine statt, auf der fr¨ uhestmöglich die Bearbeitung eines Auftrags beendet werden kann.115 In jeder Iteration wird daher aus Menge der einplanbaren Operationen zunächst diejenige Operation aus113

Zur Erinnerung – bei einem aktiven Ablaufplan kann keine Operation fr¨ uher starten, ohne eine andere Operation zu verzögern bzw. eine Maschinenfolge zu verletzen. Vgl. Abschnitt 2.4, S. 33. 114 Vgl. Giffler/Thompson(1960). Vgl. dazu auch Conway et al.(1967), S. 115; Baker(1974), S. 196; French(1982), S. 158f. 115 Um einen aktiven Ablaufplan zu erzeugen, darf eine Einplanung nur zulässig sein, falls keine Operation existiert, die innerhalb des durch eine Leerzeit gekennzeichneten Zeitintervalls vollständig ausgef¨ uhrt werden könnte.


121

gewählt, die den kleinsten vorläufigen Fertigstellungszeitpunkt besitzt. Danach werden alle Operationen bestimmt, die ebenfalls auf derselben Maschine wie die ausgewählte Operation einplanbar sind und deren vorläufige fr¨ uhestmögliche Anfangszeitpunkte vor dem vorläufigen fr¨ uhestmöglichen Endzeitpunkt von k liegen. Diese könnten zumindest teilweise zeitgleich auf der betrachteten Maschine bearbeitet werden und stehen daher zueinander in Konflikt. Aus dieser Konfliktmenge OKF wird eine Operation entweder zufällig oder mit Hilfe einer Prioritätsregel ausgewählt und endg¨ ultig eingeplant. Abschließend wird die Menge der einplanbaren Operationen aktualisiert. Jeder mit dem beschriebenen G&T-Algorithmus erzeugte Ablaufplan ist aktiv und jeder Ablaufplan, der nicht mit diesem Konstruktionsverfahren generiert wird, ist nicht aktiv. Durch die vollständige alternative Lösung jedes Konfliktes können mit dem G&T-Algorithmus enumerativ alle, jeweils individuell verschiedenen, aktiven Ablaufpläne erzeugt werden.116 Durch Modifikationen in den Schritten II. und III. entsteht ein Konstruktionsverfahren, das unverzögerte Ablaufpläne generiert. Da ein unverzögerter Ablaufplan dadurch gekennzeichnet ist, dass keine Maschine leer bleibt, wenn auf ihr ein Auftrag bearbeitet werden kann, findet die nächste Einplanung immer auf derjenigen Maschine statt, auf der als nächstes mit der Bearbeitung eines Auftrags begonnen werden kann. Die Konfliktmenge enthält diejenigen Operationen, die auf der betreffenden Maschine einplanbar sind und deren fr¨ uhestmögliche Anfangszeitpunkte genau demjenigen des ausgewählten Auftrags entsprechen.117 Der Ablauf des Verfahrens ist in der folgenden Abbildung 5.9 auf S. 122 dargestellt.118 Mit den beschriebenen einfachen Konstruktionsverfahren kann unabhängig vom Schwierigkeitsgrad einer Problemstellung sehr schnell eine zulässige Lösung gefunden werden. Sie sind wenig rechenaufwendig und zudem f¨ ur den Entscheidungsträger leicht nachvollziebar. Daher werden sie in der betrieblichen Praxis insb. in Form von Prioritätsregelverfahren häufig eingesetzt: Sie dienen auf der einen Seite – wie im Rahmen dieser Arbeit – der zentralen Planung eines Produktionsprozesses im Sinne einer vollständigen Festlegung der zuk¨ unftigen Auftragsfolgen auf den einzelnen Maschinen, und werden auf der anderen Seite auch zu dessen dezentralen Steuerung verwendet:119 Einerseits werden in der betrieblichen Realität z. T. zentral gar keine Belegungspläne erarbeitet, andererseits muss auf Plankorrekturen oder Planerneuerungen dezentral reagiert 116

Beweise vgl. Rinnooy Kan(1976), S. 33f. Vgl. Conway et al.(1967), S. 115; Rinnooy Kan(1976), S. 34.; French(1982), S. 162f. Mit diesem können ebenfalls enumerativ alle unverzögerten Ablaufpläne erzeugt werden. Vgl. French(1982), S. 162. 119 Vgl. Vogt/Kaiser(1996). 117 118

122


Initialisierung: Bestimme die Menge der einplanbaren Operationen Oe = {Ok[1] |k ∈ K}. Iteration: uhestmöglichen (vorläufiI. Bestimme f¨ ur alle Okm ∈ Oe jeweils den fr¨ gen) Anfangszeitpunkt V akm und Endzeitpunkt V ekm . uhestmögliII. Bestimme diejenige Operation Ok mas aus Oe mit dem fr¨ chen Anfangszeitpunkt V ak mas = min e {V akm }. Okm ∈O

III.

IV. V. VI. VII.

(Bei Mehrdeutigkeit zufällige Auswahl aus diesen.) Bestimme die Konfliktmenge OKF ⊆ Oe : Diese enthält alle Operationen, a) die auf derselben Maschine mas bearbeitet werden und b) deren fr¨ uhestmögliche Anfangszeitpunkte gleich der von k sind. Wähle endg¨ ultig einen Auftrag k ∗ aus mit Ok∗ mas ∈ OKF. Plane Ok∗ mas ein: ak∗ mas = V ak∗ mas und ek∗ mas = V ek∗ mas . Aktualisiere Oe . Wenn Oe = {}, gehe zu I., ansonsten beende das Verfahren.

Abbildung 5.9: Ablauf eines einfachen Konstruktionsverfahrens zur Generierung unverzögerter Ablaufpläne

werden, indem immer dann, wenn eine Maschine frei wird, aus der Menge der wartenden Aufträge einer zur Ausf¨ uhrung ausgewählt wird.120 Im folgenden Abschnitt 5.3.2 werden verschiedene Prioritätsregeln vorgestellt. Da ein prioritätsregelbasierte Giffler&Thompson-Algorithmus zur Lösung der betrachteten Fallstudie aus der Halbleiterindustrie (FSH) angewendet werden soll, wird dieser ausf¨ uhrlicher in Abschnitt 5.3.3 dargestellt. Dazu wird er zur Lösung der Fallstudie FS1 angewendet.

5.3.2 Priorit¨ atregeln Mit Hilfe der Prioritätregeln sollen die Auftragsfolgen an den einzelnen Maschinen festgelegt werden. Es wird jeweils derjenige Auftrag zur weiteren Bearbeitung auf einer Maschine ausgewählt, der in der Warteschlange die höchste Priorität gemäß einer angewendeten Prioritätsregel hat.121 Im Folgenden wird eine Auswahl von wichtigen Prioritätsregeln dargestellt (vgl. Tabelle 5.1-5.4). 120

In diesem Fall wird meist nicht vorausschauend entschieden, so dass die maschinenspezifischen Teilmengen der einplanbaren Operationen nur die in der Warteschlange tatsächlich physisch anwesenden Aufträge enthält. 121 Dies kann je nach Regel der kleinste oder größte Prioritätswert sein.


123

Die Liste ließe sich noch erheblich erweitern. Die zufällige Auswahl wird im Folgenden ebenfalls zu den Prioritätsregel – im Folgenden als Zufall“ bezeich” net –, obwohl sie nicht zielgerichtet arbeitet. F¨ ur eine ausf¨ uhrlichere Darstellung wird auf weiterf¨ uhrende Literatur wie z. B. auf Blackstone et al.(1982), Chang et al.(1996), Gere(1966), Haupt(1989), Panwalkar/Iskander(1977) oder Seelbach(1975) verwiesen. Es gibt zahlreiche Klassifikationsmöglichkeiten f¨ ur Prioritätsregeln. Die folgende Einteilung in vier Gruppen erfolgt in Anlehnung an Blackstone et al.(1982). (1) Einfache, bearbeitungzeitbezogene Prioritätsregeln

Regel KOZ LOZ KOZnM LOZnM KRBZ LRBZ KGBZ GGBZ KOn GOn

Erl¨ auterung K¨ urzeste Operationszeit Längste Operationszeit K¨ urzeste Operationszeit an der in der Operationsfolge des ausgewählten Auftrags nachfolgenden Maschine Längste Operationszeit an der in der Operationsfolge des ausgewählten Auftrags nachfolgenden Maschine K¨ urzeste Restbearbeitungszeit Längste Restbearbeitungszeit Kleinste Gesamtbearbeitungszeit auf allen Maschinen Größte Gesamtbearbeitungszeit auf allen Maschinen. Kleinste Anzahl noch durchzuf¨ uhrender Operationen Größte Anzahl noch durchzuf¨ uhrender Operationen

Tabelle 5.1: Einfache, bearbeitungzeitbezogene Prioritätsregeln

Die Restbearbeitungszeit RBZk eines Auftrags k ist die Summe der Bearbeitungs- und Nachlaufzeiten, die bis zur Fertigstellung noch durchlaufen werden m¨ ussen: RBZk = m∈ON (pkm + nzk ).122 k

(2) Einfache, fertigstellungsterminbezogene Prioritätsregeln Die Schlupfzeit SZk eines Auftrags k ist die Differenz zwischen Lieferteruglich der Summe der restlichen min Fk∗ und aktuellem Zeitpunkt t abz¨ Bearbeitungszeiten des Auftrags RBZk : SZk = Fk∗ − RBZk − t. 122

Dies steht im Widerspruch zur Definition in Zäpfel(1982), S. 273: Dort bezeichnet die Restbearbeitungszeit nur die Summe der noch ausstehenden Bearbeitungszeiten. Die zusätzliche Ber¨ ucksichtigung von Nachlaufzeiten, etc. heißt dort dagegen Restfertigungszeit.

124

5 Lösungsverfahren f¨ ur Job-Shop-Probleme Regel

Erl¨ auterung

SZ FLT FOLT

Kleinste Schlupfzeit Fr¨ uhester Liefertermin Fr¨ uhester Operations-Liefertermin (F¨ ur jede Operation eines Auftrags wird gleichmäßig u ¨ber die Wunschlaufzeit verteilt ein Liefertermin bestimmt.) Kleinste zulässige Restdurchlaufzeit

ZRDLZ

Tabelle 5.2: Einfache, fertigstellungsterminbezogene Prioritätsregeln

(3) Sonstige einfache Prioritätsregeln123

Regel

Erl¨ auterung

FCFS

Längste Wartezeit in der Schlange (First Come First Serve) Fr¨ uheste Ankunft im Betrieb (First Arrival First Serve) Zufällige Auswahl aus den vor der Maschine wartenden Aufträgen Fr¨ uhester Freigabetermin (ERD, Earliest Release Date) K¨ urzeste Warteschlangenlänge an der in der Operationsfolge des ausgewählten Auftrags nachfolgenden Maschine (Anzahl an wartenden Aufträgen) Kleinste Summe der Operationszeiten an der in der Operationsfolge des ausgewählten Auftrags nachfolgenden Maschine Kleinste Summe der Operationszeiten an der in der Operationsfolge des ausgewählten Auftrags nachfolgenden Maschine beim Eintrittszeitpunkt in deren Warteschlange ( zuk¨ unftig“) ” K¨ urzeste R¨ ustzeit Höchster Wert

FAFS Zufall FFT WSLnM

GOZWSLnM zGOZWSLnM

RZ WR

Tabelle 5.3: Sonstige einfache Prioritätsregeln Die Prioritätsregel WR wird häufig als Wertregel bezeichnet. Bei ihrem Einsatz erhält derjenige Auftrag den höchsten Prioritätswert, der den 123

Weder bearbeitungs- noch fertigstellungsterminbezogen.


125

höchsten Produktendwert hat oder dessen Produktwert vor Ausf¨ uhrung der jeweiligen Operation der höchste ist (dynamische Wertregel).124 Es handelt sich somit um eine kostenorientierte Prioritätsregel.125

(4) Kombinierte Prioritätsregeln Bei einfachen Prioritätsregeln kommt jeweils nur ein Reihenfolgekriterium zur Anwendung, um die Prioritäten zu vergeben. Alle der in den Tabellen 5.1-5.3 genannten Regeln können je nach Situation variiert oder verkompliziert werden. Es besteht außerdem die Möglichkeit, zwei oder mehrere dieser elementaren Prioritätsregeln zu kombinieren.126 Dies erfolgt häufig, wenn mehrere Ziele verfolgt werden. Durch eine Kombination wird außerdem versucht, die guten“ Eigenschaften der einzelnen Regeln miteinander ” zu verbinden und die schlechten“ zu verringern oder sogar zu eliminieren. ” Die Kombination der einzelnen Prioritätsregeln kann auf unterschiedliche Art und Weise erfolgen. Die einfachsten Formen der Kombination sind die Addition und die Multiplikation. Häufig werden Prioritätsregeln zueinander ins Verhältnis gesetzt, wie bei den in der Tabelle 5.4 auf der folgenden Seite aufgef¨ uhrten kombinierten Prioritätsregeln. Insbesondere wenn die Bewertungsmaßstäbe der verkn¨ upften elementaren Prioritätsregeln unterschiedlich sind, ist eine Gewichtung erforderlich. Sie kann im additiven Falle durch die Multiplikation mit einem konstanten Faktor oder – wie im Falle der multiplikativen Verkn¨ upfung ausschließlich – durch die Exponentation erfolgen. Die Gewichte sind im Einzelfall näher zu bestimmen und können neben der Normierungsfunktion auch die relative Wichtigkeit zum Ausdruck bringen. Eine weitere Kombinationsmöglichkeit ist die alternative Verkn¨ upfung von Prioritätsregeln. Im Unterschied zur additiven und multiplikativen Verkn¨ upfung kommen nicht alle Regeln gleichzeitig zur Geltung, sondern es ist immer nur eine Regel entscheidend. Dies erfordert die Festlegung von deterministischen oder stochastischen Auswahlbedingungen, nach der die einfachen Prioritätsregeln wirksam werden. So könnte z. B. die Regel gelten, dass nur im Falle einer Termin¨ uberschreitung die SZ-Regel, ansonsten die KOZ-Regel gelten soll. Ein anderes Beispiel stellt die Prioritätsregel KOZ∗ dar, die der Tendenz der KOZ-Regel entgegenwirken soll, Aufträge mit langen Operationszeiten erst sehr spät auszuwählen.127 Sie definiert 124

Vgl. Zäpfel(1982), S. 274. Vgl. u. a. Aggarwal et al.(1973); Hoffmann/Scudder(1983); Paulik(1984), S. 143ff. 126 Diese Kombination verschiedener Prioritätsregeln kann deterministisch oder stochastisch erfolgen. Vgl. Giffler/Thompson(1960). 127 Vgl. Conway et al.(1967), S. 226f. (dort unter der Abk¨ urzung SPT-T, wobei T f¨ ur truncated, dt. gestutzt, steht). 125

126

5 Lösungsverfahren f¨ ur Job-Shop-Probleme Regel

Erl¨ auterung

OZ/RBZ

Kleinstes Verhältnis aus Operationszeit und Restbearbeitungszeit des Auftrags OZ/GRBZ Kleinstes Verhältnis aus der Operationszeit und der gesamten Restbearbeitungszeit aller Aufträge CR Kleinstes Verhältnis aus zulässiger Restdurchlaufzeit (Fk∗ − t) und Restbearbeitungszeit ( critical ratio“) ” ZRDLZ/On Kleinstes Verhältnis aus zulässiger Restdurchlaufzeit und Anzahl noch durchzuf¨ uhrender Operationen SZ/ZRDZ Kleinstes Verhältnis aus Schlupfzeit und zulässiger Restdurchlaufzeit SZ/On Kleinstes Verhältnis aus Schlupfzeit und Anzahl noch durchzuf¨ uhrender Operationen SZ/RBZ Kleinstes Verhältnis aus Schlupfzeit und Restbearbeitungszeit des Auftrags Tabelle 5.4: Kombinierte Prioritätsregeln Bei Erreichen dieser f¨ ur die Wartezeit vor einer Maschine eine Grenze W. Grenze wird die alternative Prioritätsregel FCFS aktiv, so dass der betroffene Auftrag vorgezogen wird. Eine weitere, sehr leistungsfähige Prioritätsregel ist CoverT nach Carroll(1965).128 Diese Prioritätsregel priorisiert Aufträge in der Warteschlange, deren Verhältnis aus erwarteter ” Verspätung“ in Form eines Verspätungsfaktors ck zur Bearbeitungszeit pkm an der Maschine am größten ist. Um die erwartete Verspätung zu ¨ berechnen, wird mit Hilfe von statistischen Uberlegungen aus den Daten der Vergangenheit die erwartete Wartezeit ermittelt, die ein Auftrag bis zu seiner Fertigstellung hinnehmen muss, und mit seiner Schlupfzeit verglichen. Der Verpätungsfaktor nimmt den Wert Null (ck = 0) an, falls die Schlupfzeit größer als die erwartete Wartezeit ist, den Wert Eins (ck = 1), falls die Schlupfzeit kleiner als Null ist, und berechnet sich im restlichen Fall als Verhältnis aus der Differenz zwischen erwarteter Wartezeit und Schlupfzeit zur erwarteten Wartezeit (0 < ck < 1). Die Priorität Φk eines Auftrags k ist umso höher, je dringender der Auftrag zu fertigen ist und 1 ). je kleiner seine Bearbeitungszeit ist (0 ≤ Φk ≤ pkm Die Anwendung einfacher oder kombinierter Prioritätsregeln kann statisch oder dynamisch erfolgen. So können Regeln im Laufe des Verfahrens modifiziert oder 128

Vgl. dazu auch Buffa/Miller(1979) und Russell et al.(1987).


127

ersetzt werden. Die Entscheidung dar¨ uber kann deterministisch oder stochastisch erfolgen.129 Prioritätsregeln können auch präemptiv eingesetzt werden, indem ein Auftrag, der bei seiner Ankunft an seiner Maschine eine höhere Priorität als ein sich im Augenblick in Bearbeitung befindender Auftrag aufweist, diesen verdrängt.130 Prioritätsregeln werden häufig auch hinsichtlich der Art der zur Ermittlung verwendeten Daten klassifiziert:131 • Statische vs. dynamische Prioritätsregeln Prioritätsregeln werden in Abhängigkeit von ihrem Bezug zum Faktor Zeit als statisch oder dynamisch bezeichnet. Kann sich der Prioritätswert während des Aufenthalts in einer Warteschlange ändern und muss daher in jedem aktuellen Zeitpunkt neu bestimmt werden, handelt es sich um eine dynamische Prioritätsregel (z. B. SZ, CoverT). Statische Prioritätsregeln sind dagegen zeitunabhängig, so dass die Prioritätswerte einmalig im Vorhinein bestimmt werden können (z. B. FCFS, KOZ). • Lokale vs. globale Prioritätsregeln Es werden außerdem in Abhängigkeit von der Information, die sie gebrauchen, lokale und globale Prioritätsregeln unterschieden. Lokale Prioritätsregeln benutzen nur Informationen, die sich auf die betreffende Maschine und die vor dieser wartenden Aufträge beziehen (z. B. KOZ). Globale Prioritätsregeln ber¨ ucksichtigen dagegen den Zustand des Gesamtsystems (z. B. FLT). Sie benutzen daher auch Informationen, die die anderen Maschinen betreffen wie z. B. die Prozesszeit der Aufträge an ihrer nächsten Maschine oder die Warteschlangenlänge an der nächsten Maschine. • Vorausschauregeln Als Vorausschauregeln werden Prioritätsregeln bezeichnet, die wie z. B. die WSLnM-Regel die Konsequenzen einer Reihenfolgeentscheidung und der Möglichkeit einer Entscheidungsrevision im Falle ung¨ unstiger Resultate mit ber¨ ucksichtigen.132 Die Forschung im Bereich der Prioritätsregeln wurde mehrere Jahrzehnte aktiv betrieben. Neben der Entwicklung zahlreicher verschiedener Regeln hat sich ein Großteil der Literatur mit der Frage beschäftigt, welche Prioritätsregeln f¨ ur unterschiedliche Zielsetzungen am geeignetsten sind. Zur Messung der Effizienz der Prioritätsregeln wurden zahlreiche Simulationsstudien mit meist unterschied129

Vgl. Vgl. Vgl. 132 Vgl. 130 131

O’Grady/Harrison(1985). Paulik(1984), S. 49. Morton/Pentico(1993), S. 373; Pinedo(2005), S. 414f. Gere(1966) und Blackstone et al.(1982).

128


lichen Ergebnissen durchgef¨ uhrt.133 Eine Vergleichbarkeit der Simulationsergebnisse ist aufgrund unterschiedlicher Simulationstechniken nur eingeschränkt möglich, dennoch lassen sich tendenziell u ¨bereinstimmende Ergebnisse feststellen. So bestätigt sich in verschiedenen Simulationsstudien, dass die KOZ-Regel hinsichtlich der Optimierungsziele Mimimierung der Durchlaufzeit, Maximierung der Kapazitätsauslastung und Minimierung der Terminabweichung sehr gute Ergebnisse erzielt, und die SZ-Regel im Vergleich zu den anderen Regeln die besten Ergebnisse hinsichtlich der Termineinhaltung liefert. Nach Tangermann(1973) liefert in realen Problemstellungen mit komplexen Zielfunktionen allerdings keine Prioritätsregel mit Sicherheit die besten Ergebnisse.134 Kombinierte Regeln, die eine Ber¨ ucksichtigung mehrerer Einflussfaktoren ermöglichen, weisen zwar tendenziell bessere Ergebnisse auf als einfache Prioritätsregeln. Bei Kombination von mehr als zwei einfachen Prioritätsregeln kann allerdings häufig keine Aussage mehr dar¨ uber getroffen werden, wie die kombinierte Regel wirkt. Durch Verkn¨ upfungen können sich die Ergebnisse sogar verschlechtern.135 Abschließend lässt sich festhalten, dass Prioritätsregeln nicht ohne Pr¨ ufung auf Eignung hinsichtlich der Bedingungen der Maschinenbelegung im betreffenden Betrieb u ¨bernommen sollten, sondern vielmehr durch eigene Simulationsstudien die betriebsindividuell am besten geeignete Regel ermittelt werden sollte.136

5.3.3 Anwendung des Giffler&Thompson-Verfahrens auf die Fallstudie FS1 Weil im weiteren Verlauf der Arbeit zur Lösung der Fallstudie ein Prioritätsregelverfahren auf Basis des Giffler&Thompson-Algorithmus entwickelt wird, wird dieses Verfahren an dieser Stelle ausf¨ uhrlicher erläutert und auf die Fallstudie FS1, ein klassisches Job-Shop-Scheduling-Problem, angewendet. Der Ablauf des Giffler&-Thompson-Algorithmus ist im Struktogramm [G&T] formal dargestellt (vgl. Abbildung 5.10 auf S. 129).

133

Vgl. dazu z. B. Jackson(1957); Baker/Dzielinski(1960); Conway(1965a); Conway(1965b); Hoss(1965); Conway et al.(1967); Keck(1968); Buzi(1971); Hauk(1973); Haupt(1974). Weitere werden genannt in: M¨ uller-Merbach(1970), S. 176; Zäpfel(1982), S. 275ff.; Baker(1984); Vepsalainen/Morton(1987); Montazer/Van Wassenhove(1990); Dorndorf/Pesch(1995). Vgl. dazu auch Morton/Pentico(1993), S. 386ff. 134 Allerdings können vereinzelt f¨ ur spezielle einfache“ Problemstellungen bestimmte Prioritäts” z. B. die FLT-Regel f¨ regeln optimale Ablaufpläne erzeugen, wie ur das Problem 1|Fk∗ |T A+ max . Vgl. T‘Kindt/Billaut(2006), S. 21. 135 Vgl. Gräßler(1968); Tangermann(1973); Berr/Tangermann(1976). 136 Dabei kann auch die Methode der Data Envelopment Analysis eingesetzt werden. Vgl. z. B. Chang et al.(1996).


129

Abbildung 5.10: Struktogramm [G&T] F¨ ur jede Maschine m existiert eine Menge vor ihr wartender Aufträge AWS m mit der Anzahl W Sm . Diese Menge enthält sowohl die tatsächlich wartenden Aufträge als auch diejenigen Aufträge, die zwar physisch“ noch nicht anwesend ” sind, weil sie sich im Augenblick noch in Bearbeitung auf der Vorgängermaschine befinden, gemäß ihrer technologischen Maschinenfolge aber als nächstes auf m bearbeitet werden m¨ ussen. Der Zeitpunkt Bbm , bis zu dem die Maschine

130


belegt ist, wird im Verlauf des Verfahrens aktualisiert.137 Nach der Auswahl der einzuplanenden Operation ist die Menge der einplanbaren Operationen zu aktualisieren: Einerseits betrifft dies die auf mas mit k ∗ konkurrierenden Aufträge (13-16), andererseits k ∗ im Falle einer folgenden Operation auf seiner Nachfolgermaschine nm (17-21). Zur Lösung der Fallstudie FS1 wird zunächst die Prioritätsregel K¨ urzeste Ope” rationszeit (KOZ)“ eingesetzt, weil sie sich in diversen Simulationsstudien g¨ unstig auf die Minimierung der Zykluszeit ausgewirkt hat.138 Das G&T-Verfahren f¨ uhrt in Kombination der KOZ-Regel139 iterativ zu dem in Tabelle 5.5 auf S. 131 dargestellten Verlauf bei der Einplanung der zwölf Operationen. Der Algorithmus beginnt mit der Initialisierung (Zeile 1 im Struktogramm [G&T]): • Die vorläufigen und tatsächlichen Anfangs- und Endzeitpunkte aller Operationen werden Null gesetzt: akm = ekm = V akm = V ekm = 0. • Die Anzahl der vor Maschine m wartenden Aufträge wird auf 0 gesetzt: W Sm = 0. • Die Menge der Aufträge, die vor Maschine m warten, ist leer: AWS m = {}. • Der Zeitpunkt, bis zu dem die Maschine m belegt ist, ist 0: Bbm = 0. • Die Anzahl fertiger Aufträge ist Null: Anzf A = 0. • Die Anzahl fertiger Operationen von Auftrag k ist 0: OSk = 0. • Die Anzahl an Konflikten ist 0: AnzKF = 0. • Die Menge der am Konflikt beteiligten Aufträge ist leer: AKF = {}. • Die Menge der einplanbaren Operationen ist leer: Oe = {}. Nach der Initialisierung ist f¨ ur die Menge der einplanbaren Operationen Oe – zu Beginn bestehend aus den jeweils ersten Operationen in den Maschinenfolgen der einzelnen Aufträge: Oe = {O11 , O22 , O31 } – auf ihrer jeweiligen Maschine der vorläufige Anfangs- und Endzeitpunkt (V akm , V ekm ) zu bestimmen. Jeder der Aufträge kann zum Zeitpunkt t0 eingeplant werden. Auftrag k = 1 und k = 3 m¨ ussen beide zunächst auf Maschine m = 1 bearbeitet werden, so dass sie beide Elemente der Warteschlangenmenge AWS 1 = {1, 3} sind. Die Anzahl vor der Maschine wartender Aufträge ist somit W S1 = 2. Auftrag k = 2 muss dagegen zuerst auf Maschine m = 2 bearbeitet werden (AWS 2 = {2} und W S2 = 1). Der vorläufige Endzeitpunkt berechnet sich jeweils aus dem vorläufigen An137

Im Laufe des Verfahrens wird die Zeit nicht gleichförmig abgebildet, sondern nur die entscheidungsrelevanten Zeitpunkte betrachtet, d. h. diejenigen Zeitpunkte, in denen eine Maschine frei ist und mindestens ein Auftrag zur Bearbeitung auf dieser Maschine bereit steht. Aus diesem Grund muss einerseits f¨ ur jede Maschine der Zeitpunkt gef¨ uhrt werden, bis zu dem sie belegt ist und anschließend f¨ ur weitere Einplanungen zur Verf¨ ugung steht (Bbm ). Andererseits muss f¨ ur jeden Auftrag derjenige Zeitpunkt gespeichert werden, an dem er fr¨ uhestens weiter verarbeitet werden kann (ekvm bzw. V aknm ). Vgl. Siedentopf(2002), S. 57. 138 Vgl. z. B. Hoss(1965) und Haupt(1974). 139 Im Falle der Nichteindeutigkeit dieser Regel erfolgt eine zufällige Auswahl eines Auftrags.

5.3 Prioritätsregelverfahren Auftrag k 1 Maschine mas V akmas V ekmas

2

3

4

5

6

1 1 0 7

131 2 2 0 6

3 1 0 5 X pkmas 7 5 Maschine mas 1 2 2 V akmas 5 0 5 V ekmas 12 6 10 X pkmas 6 5 Maschine mas 1 2 3 V akmas 5 10 10 V ekmas 12 16 13 X kein Konflikt Maschine mas 2 2 3 V akmas 12 10 10 V ekmas 16 16 13 X kein Konflikt Maschine mas 2 2 4 V akmas 12 10 13 V ekmas 16 16 20 X pkmas 4 6 Maschine mas 4 2 4 V akmas 16 16 13 V ekmas 17 22 20 X pkmas 1 7

7

8

9

Auftrag k 1 Maschine mas 3 V akmas 17 V ekmas 21 X kein Konflikt Maschine mas V akmas V ekmas kein Konflikt Maschine mas V akmas V ekmas

kein Konflikt 10 Maschine mas V akmas V ekmas kein Konflikt 11 Maschine mas V akmas V ekmas kein Konflikt 12 Maschine mas V akmas V ekmas

2 2 16 22

3 4 17 24

2 4 16 17 22 24 X 3 4 22 17 31 24 X 3 22 31 X 4 31 35 X 1 35 42 X

kein Konflikt

Tabelle 5.5: Ablauf des Giffler&Thompson-Verfahrens mit der Prioritätsregel KOZ-Zufall (Fallstudie FS1)

fangszeitpunkt und der benötigten Operationszeit, so dass V e11 = 0 + 7 = 7, V e22 = 0 + 6 = 6 bzw. V e31 = 0 + 5 = 5 gilt (Zeile 2). Gemäß dem G&TAlgorithmus zur Erzeugung aktiver Ablaufpläne ist zunächst derjenige Auftrag auszuwählen, dessen vorläufiger Endzeitpunkt minimal ist. Im betrachteten Beispiel wird daher Auftrag k = 3 mit V e31 = 5 ausgewählt (Zeile 4).140 140

In der Tabelle 5.5 durch Fettdruck gekennzeichnet.

132


Im nächsten Schritt muss u uft werden, ob andere Aufträge zu k im Kon¨berpr¨ flikt stehen. Warten noch andere Aufträge vor der Maschine (Zeile 5), ist f¨ ur jeden dieser wartenden Aufträge zu u ufen, ob sie zumindest teilweise zeit¨berpr¨ gleich mit k auf der Maschine mas bearbeitet werden könnten (Zeile 7+8). Jeder Auftrag, f¨ ur den dies zutrifft, wird in die Menge der Aufträge, die zu k in Konflikt stehen – AKF – aufgenommen (Zeile 6 und 9).141 In diesem Fall steht ein Auftrag, Auftrag k = 1, in Konflikt zu Auftrag k = 3. Der Zähler f¨ ur die Anzahl Konfliktaufträge AnzKF wird daher um eins erhöht und die Menge der Konfliktaufträge aktualisiert (AKF = {1, 3}) (Zeile 9). Wenn mindestens ein Konflikt besteht (Zeile 10), ist aus der Menge der konfliktionären Aufträge ein Auftrag gemäß der Prioritätsregel auszuwählen (Zeile 11). Welcher der beiden Aufträge endg¨ ultig auf Maschine mas = 1 eingeplant wird, hängt in diesem Fall von ihrer Operationszeit ab: Da der dritte Auftrag mit p31 = 5 eine k¨ urzere Operationszeit hat als der erste Auftrag mit p11 = 7, wird k ∗ = 3 ultiger Anfangs- und Endzeitpunkt der endg¨ ultig eingeplant (Zeile 12).142 Endg¨ ¨ Bearbeitung von Auftrag k = 3 entsprechen ihren vorläufigen Aquivalenten, d. h., a31 = V a31 = 0 und e31 = V e31 = 5; sein Auftragsstatus wird um eins auf S3 = 1 erhöht. Die Warteschlangenlänge vor der Maschine mas = 1 verringert sich um eins (W S1 = 1) und die Menge der wartenden Aufträge wird aktualisiert (AWS 1 = {1}). Die Operation O31 wird aus der Menge der einplanbaren Operationen entfernt (Oe = {O11 , O22 }). Außerdem wird der Zähler f¨ ur die Anzahl an Konflikten auf null gesetzt (AnzKF = 0) und die Menge der Konfliktaufträge geleert (AKF = {}). Es ist f¨ ur alle vor der Maschine mas wartenden Aufträge zu u ufen, ob ¨berpr¨ sie zum endg¨ ultig ausgewählten Auftrag in Konflikt stehen. Ist dies der Fall, m¨ ussen ihre vorläufigen Anfangs- und Endzeitpunkte aktualisiert werden. Im vorliegenden Fall wartet Auftrag k = 1 ebenfalls vor der Maschine mas = 1 (AWS 1 = {1}) und steht in Konflikt zu Auftrag k ∗ = 3 (Zeilen 13+14). Er kann daher erst fr¨ uhestens nach Bearbeitungsende von Auftrag k ∗ = 3 auf der Maschine mas = 1 zum Zeitpunkt V a11 = e31 = 5 beginnen und nach seiner Bearbeitungszeit zum Zeitpunkt V e11 = 5 + 7 = 12 enden (Zeilen 15+16). F¨ ur den Fall, dass der Auftrag k ∗ noch nicht fertig gestellt ist (Zeile 17), muss er in die Menge der vor seiner nächsten Maschine nm wartenden Aufträge und die entsprechende Operation in die Menge der einplanbaren Operationen aufgenommen werden (Zeile 18). Außerdem ist der vorläufige Anfangs- bzw. Endzeitpunkt zu berechnen (Zeilen 19-21). Ansonsten erhöht sich der Zähler f¨ ur die Anzahl fertig gestellter Aufträge Anzf A um eins. Im betrachteten Fall sind f¨ ur den drit141

In der Konfliktmenge AKF werden an dieser Stelle Aufträge erfasst, in OKF, wie sie in Abschnitt 5.3.1 verwendet wurde, dagegen Operationen. 142 In der Tabelle 5.5 durch das Kreuz (X) gekennzeichnet.

5.4 Genetische Algorithmen

133

ten Auftrag noch drei weitere Arbeitsgänge auszuf¨ uhren ((S3 = 1) < (O3 = 4)). Die nächste Maschine, auf der er bearbeitet werden muss, ist nm = 2. Damit ist AWS 2 = {2, 3}, W S2 = 2 und Oe = {O11 , O22 , O32 }. Da Maschine nm = 2 bisher noch nicht belegt war (Bb2 = 0), könnte Auftrag k ∗ = 3 unmittelbar nach seiner Ankunft bei der Maschine weiter verarbeitet werden, d. h., V a32 = e31 = 5 und V e32 = 5 + 5 = 10. Diese Schleife wird weitere elfmal wiederholt, bis alle vier Aufträge fertig gestellt sind (Zeile 3). Das Ergebnis ist als Gantt-Diagramm in folgender Abbildung 5.11 dargestellt.

Abbildung 5.11: Gantt-Diagramm zur Fallstudie FS1 f¨ ur das Ergebnis gelöst mit Hilfe des Giffler&Thompson-Verfahrens mit der Prioritätsregel KOZ-Zufall

5.4 Genetische Algorithmen 5.4.1 Hintergrund und Ablauf Bei den Genetischen Algorithmen (GA) handelt es sich um eine Metaheuristik, die 1975 von Holland entwickelt wurde.143 Sie bilden den Hauptvertreter der Klasse der Evolutionären Algorithmen. Wie in Abschnitt 5.2 beschrieben basieren diese auf dem Modell der nat¨ urlichen Evolution, wie es von Darwin 1859 beschrieben wurden.144 In der Darwin’schen Evolutionstheorie stellt die Ent143

Vgl. Holland(1975). Eine gute Einf¨ uhrung in die Genetischen Algorithmen geben Davis(1996), Mitchell(1996), Michalewicz(1999) und Goldberg(2009). 144 Vgl. Darwin(1859).

134


wicklung einer Spezies einen Anpassungs- bzw. Optimierungsprozess an eine gegebene Umwelt dar. Die Evolution verläuft dabei kontinuierlich, teils zufällig und teils deterministisch bestimmt ab. Den Hauptmechanismus der Evolution stellt die nat¨ urliche Selektion dar. Im ¨ täglichen Uberlebenskampf u urlichen Umgebung hauptsäch¨berleben in der nat¨ lich diejenigen Lebewesen, die besonders gut an die Umwelt angepasst sind. Der Grad der Anpassung an die Umwelt und die damit einhergehende Fähigkeit zu u ¨berleben wird als Fitness bezeichnet. Der oben beschriebene Selektionsmechanismus ist als survival of the fittest“ bekannt. Individuen, die sich durch eine ” hohe Fitness auszeichnen, leben dadurch tendenziell länger und können sich so u ¨berdurchschnittlich häufig fortpflanzen. Ein fittes Individuum erzeugt somit nicht nur mehr Nachkommen, sondern vererbt auch seine an die Umweltbedingungen gut angepassten Eigenschaften an seine Nachkommen. Wie die Vererbung dieser Eigenschaften vonstatten geht, kann mit Hilfe der auf Mendel zur¨ uckgehenden Genetik erklärt werden, die sich mit der Evolution auf molekularer Ebene beschäftigt:145 Die Erbanlagen sind in Form von Genen auf Chromosomen gespeichert. Alle Erbanlagen eines Individuums bilden den Genotyp. Dieser legt den Rahmen f¨ ur das äußere Erscheinungsbild des Individuums, den Phänotyp, fest. Aber erst durch Ber¨ ucksichtigung der Umweltbedingungen wird der Phänotyp detailliert ausgebildet. Bei der Erzeugung der Nachkommen findet ein Austausch von Genen bzw. Genfolgen der Eltern statt, der als Crossover bezeichnet wird. Durch diese geschlechtliche Vermehrung entstehen neue Individuen mit neuen Genotypen und evtl. auch neuen Phänotypen. Je nachdem, wie gut diese Nachkommen an die Umwelt angepasst sind, können auch diese sich weiter fortpflanzen oder nicht. Eine Spezies entwickelt sich also dadurch weiter, dass die Gene der bestangepassten Individuen in den nachfolgenden Generationen häufiger auftauchen als zuvor. Bei der Reproduktion von Nachkommen können zudem Erbinformationen durch eine Mutation verändert werden. Diese Veränderungen sind zwar meist nur sehr klein und häufig ohne Auswirkung auf den Phänotyp, tragen aber zur Artenvielfalt bei.146

145

Der naturwissenschaftlich interessierte Augustinermönch Gregor Mendel untersuchte in den 1860er Jahren anhand anhand von Kreuzungsversuchen an Erbsenplanzen, wie die Vererbung von Merkmalen abläuft und veröffentlichte dies in Mendel(1865). Mit der von August Weismann, Walter Sutton und Theodor Boveri entwickelten und empirisch begr¨ undeten Chromosomentheorie der Vererbung konnten die Mendelschen Regeln 1904 erklärt werden. Vgl. Weismann(1885); Boveri(1902); Sutton(1903). 146 Dies stellt eine sehr komprimierte Zusammenfassung der biologischen Hintergr¨ unde der Genetischen Algorithmen dar. Weit ausf¨ uhrlichere Darstellungen des biologischen Hintergrundes finden sich z. B. in Heistermann(1994), S. 31ff., in Bäck(1996), S. 8ff. sowie in Feldmann(1999), S. 59ff.


135

Da die biologische Evolutionsmethode als eine optimale Strategie zur Anpassung von Lebewesen an ihre Umwelt angesehen werden kann, wird im Rahmen der Evolutionären Algorithmen versucht, die Prinzipien der biologischen Evolution auch zur Optimierung von anderen Fragestellungen anzuwenden. So lassen sich bei Genetischen Algorithmen viele der oben beschriebenen Elemente und Mechanismen wiederfinden. Selbst die Terminologie orientiert sich in der einschlägigen Literatur u ¨blicherweise an den biologischen Begriffen. Dies wird auch im Folgenden so angewendet, u. a. auch, weil diese Begriffe eine große Anschaulichkeit besitzen. In Tabelle 5.6 sind einige wesentliche Fachbegriffe und ihrer Bedeutung im Kontext von Genetischen Algorithmen kurz dargestellt. Fachbegriff Individuum (Chromosom)

Genotyp Phänotyp Fitness

Population (von Individuen) Eltern Nachkommen (Kinder) Selektion Crossover Mutation

Bedeutung alternative Struktur (enthält die in geeigneter Weise repräsentierten Elemente einer Lösung), (zulässiger) Lösungskandidat oder Alternative (i ∈ X ) kodierte Lösung (chromosomale Darstellung, Erbinformation) dekodierte Lösung (äußeres Erscheinungsbild) gibt in Abhängigkeit von der zielbezogenen Lösungsg¨ ute (ZF (i)) die SelektionsWahrscheinlichkeit an (F it(i)) Menge von Alternativen/Lösungen (I = {1, . . . , I}) zwei zur Reproduktion ausgewählte Lösungen (E1 , E2 ) aus den Eltern erzeugte Lösungen (N1 , N2 ) strategischer Operator, der u ¨ber die Zusammensetzung der Population entscheidet konstruktiver (Such-)Operator, der Elemente verschiedener Individuen vermischt konstruktiver (Such-)Operator, der einzelne Individuen modifiziert

Tabelle 5.6: Wichtige Fachbegriffe bei Genetischen Algorithmen, Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Nissen(1997), S. 13

Im Laufe eines Genetischen Algorithmus werden die Grundmechanismen des Evolutionsprozesses – Selektion, Crossover und Mutation – iterativ auf eine größere Anzahl von unterschiedlichen Lösungskandidaten angewendet, die als Individuen einer Population bezeichnet werden. Im Genotyp eines Individuums

136


ist in einer problemspezifischen Form die entsprechende Lösung des betrachteten Optimierungsproblems gespeichert, u ¨blicherweise auf einer Zeichenkette (String) oder in einen Vektor, dem Chromsom. Der Phänotyp gibt im Prinzip die Lösung des Problems an, d. h. die Werte der Entscheidungsvariablen sowie den Zielfunktionswert. Dieser spiegelt die Fitness des Individuums wider. In jeder Iteration des Verfahrens wird aus einer Population mittels der drei genannten Mechanismen eine neue Population generiert. Jede Population stellt somit eine Generation dar. Im Laufe des Evolutionsprozesses werden iterativ neue Generationen von Populationen erzeugt und betrachtet. Ein Genetischer Algorithmus kann als stochastischer Suchprozess im Lösungsraum verstanden werden, der den Lösungsraum simultan an mehreren Stellen untersucht (populationsbasierte Nachbarschaftssuche). Jedes Individuum stellt einen Punkt im Lösungsraum dar. Eine Population bildet damit eine Punktwolke, die im Laufe des Evolutionsprozesses durch den Lösungsraum wandert. Durch Anwendung der mehr oder weniger zufälligen Prozesse des Crossover, der Mutation und der Selektion soll erreicht werden, dass sich diese Punktwolke dabei sukzessive in Richtung besserer Regionen bewegt, so dass die vielversprechendsten Gebiete des Lösungsraums durchsucht werden.147 In der folgenden Abbildung 5.12 ist der grundlegende Ablauf eines klassischen Genetischen Algorithmus dargestellt:148

Abbildung 5.12: Grundstruktur eines Genetischen Algorithmus 147

Eine theoretische Fundierung der Genetischen Algorithmen liefert Holland(1975) mit dem Schema-Theorem, das durch Goldberg(2009) mit der Building-Block-Hypothese erweitert wurde. 148 Dabei wird von allereinfachsten Annahmen ausgegangen. So kann ein Individuum prinzipiell unendlich lange leben und Nachkommen erzeugen (ungeschlechtlich) und die Umwelt bzw. das Fitnesskriterium ist konstant. Vgl. dazu auch Schwefel(1977), S. 124.


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Im ersten Schritt muss eine Ausgangspopulation vorgegebener Größe erzeugt werden (vgl. Zeile 1). Dies erfolgt häufig zufällig, kann aber auch mit Hilfe (vorzugsweise stochastischer) Eröffnungsverfahren geschehen. Die Individuen dieser ersten Generation m¨ ussen anschließend bewertet werden (Zeile 2), so dass ihr Fitnesswert ermittelt werden kann. Der Fitnesswert korrespondiert mit der Lösungsqualität (Zielfunktionswert). Der folgende Generationszyklus wird solange wiederholt, bis ein vorgegebenes Abbruchkriterium (z. B. eine maximale Anzahl an Generationen) erf¨ ullt ist (Zeile 3). Bei jedem Durchlauf wird eine neue Generation vollständig erzeugt.149 Eine neue Population (Nachfolgegeneration) wird nun durch die Anwendung der genetischen Operatoren aus der aktuellen Population abgeleitet. Zunächst m¨ ussen diejenigen Individuen aus der aktuellen Population ausgewählt werden, die f¨ ur die Erzeugung der Nachkommen eingesetzt werden sollen (Zeile 4). Dazu ist ein Selektionsverfahren festzulegen. In der Literatur werden viele verschiedene Selektionsverfahren beschrieben, die aber alle gemeinsam haben, dass die Auswahlwahrscheinlichkeit eines Individuums von seinem Fitnesswert abhängt: Je besser dessen Lösungsqualität ist, desto höher ist sein Fitnesswert und damit auch seine Auswahlwahrscheinlichkeit. Diese Form der Selektion soll das Prinzip des survival of the fittest“ abbilden und ist damit daf¨ ur verantwort” lich, dass ein Genetischer Algorithmus im Durchschnitt seinen Zielfunktionswert optimiert. Zur Produktion von (i. d. R.) zwei Nachkommen können die Eltern direkt paarweise aus der aktuellen Generation entnommen werden oder aus einem so genannten Mating-Pool, in dem in einem vorherigen Schritt zunächst alle benötigten Elternteile gesammelt“ wurden. ” Das Ziel des Crossover besteht darin, gute (fittere) neue Individuen (Nachkommen) zu erzeugen, indem die Gene von beiden Eltern gemischt bzw. ausgetauscht werden (Zeile 5). Durch die Kombination der elterlichen Teillösungen können verschiedene Bereiche im Lösungsraum erreicht werden, wodurch dem Steckenbleiben in lokalen Optima entgegengewirkt wird. Indem die guten Eigenschaften gemischt werden, steigt die durchschnittliche Fitness der gesamten Population u ¨ber mehrere Generationen.150 Die Mutation ist ein Variationsoperator, der die Information eines Individuums mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit zufällig abändert (Zeile 6). Diese Erzeugung neuen genetischen Materials (Innovationen) f¨ uhrt dazu, dass der Algorithmus in der Lage ist, neue Gebiete im Lösungsraum zu erkunden (Exploration). Dadurch soll ein vorzeitiges Hängenbleiben in einem lokalen Optimum 149

Im Prinzip gibt es eine innere Schleife, mit der die einzelnen Nachkommen erzeugt werden, und die abbricht, wenn die Folgepopulation vollständig ist. 150 Eben diese horizontale Informationsverarbeitung stellt einen grundlegenden Vorteil eines Genetischen Algorithmus gegen¨ uber anderen Verfahren dar. Vgl. Heistermann(1994), S. 107.

138


verhindert werden. Ohne diesen Operator w¨ urde das Erbmaterial nach und nach ausged¨ unnt, so dass sich die Individuen einer Population immer ähnlicher w¨ urden und es letztendlich zu einer verfr¨ uhten Konvergenz des Verfahrens käme. Die so erzeugten Nachkommen m¨ ussen ebenfalls bewertet werden (Zeile 7). Im letzten Schritt ist wieder eine der Populationsgröße entsprechende Anzahl an Individuen zu selektieren, die dann die Population der nachfolgenden Generation bilden (Zeile 8). Es wurden in der Vergangenheit viele verschiedene Varianten des Genetischen Algorithmus entwickelt. Ein Ansatz ber¨ ucksichtigt z. B. eine Alterung der Individuen, so dass diese nach einer gewissen Zeit aus der Population ausscheiden.151 Eine andere Weiterenwicklung stellt die Parallelisierung Genetischer Algorithmen dar, zu denen auch die sog. Migrationsmodelle (auch Inselmodelle) gehören. Bei diesen wird die Population in Unterpopulationen aufgeteilt. Eine Unterpopulation umfasst einen Teil der Individuen einer Population, der vom Rest der Population zeitweilig oder immer isoliert ist. Der Selektionspool umfasst dann nur die Individuen einer Unterpopulation, so dass nur Individuen aus derselben Unterpopulation miteinander Nachkommen bilden können. Von Zeit zu Zeit findet aber durch die Migration von Individuen ein Austausch von Informationen zwischen den Unterpopulationen statt. Die Ausbreitung der Informationen kann beeinflusst werden, indem festgelegt wird, welche Unterpopulationen austauschen, wie häufig ein Austausch stattfindet und wie viele Individuen ausgetauscht werden.152 Ein letzter Ansatz, der erwähnt werden soll, besteht in der Kombination des Genetischen Algorithmus mit anderen, meist problemspezifischen Lösungsverfahren (Hybridisierung).153 Häufig werden mit einem problemspezifischen Suchverfahren die lokalen Optima bestimmt oder approximiert und der Genetische Algorithmus operiert im Anschluss daran auf der Menge der lokalen Optima. Eine andere Variante besteht darin, lokale Suchverfahren zur Nachoptimierung der GA-Ergebnisse zu benutzen.154

5.4.2 Konstruktion Genetischer Algorithmen Die Metaheuristik Genetischer Algorithmus kann auf verschiedenste Problemstellungen angewendet werden. Voraussetzung ist allerdings, dass es mindes151

Vgl. Rechenberg(1973); Pohlheim(2000), S. 60ff. Vgl. Bierwirth(1993); Schöneburg et al.(1993), S. 242.; Affenzeller/Wagner(2004). Vgl. Glover et al.(1995); Affenzeller(2003); Brucker(2005). 154 Z. T. wird bereits die Verwendung problemspezifischer Verfahren zur Initialisierung der Startpopulation als hybride Strategie bezeichnet. 152 153


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tens eine Form der Lösungskodierung gibt, die ein Crossover und eine Mutation ermöglichen. Im Bereich der kombinatorischen Optimierungsprobleme konnten Genetische Algorithmen bereits mehrfach erfolgreich eingesetzt werden. Auch f¨ ur das Job-Shop-Scheduling-Problem wurden v. a. in den 1990er Jahren zahl¨ reiche Ansätze entwickelt. Einen Uberblick wird in Yamada/Nakano(1997) ge155 geben. Im vorherigen Abschnitt wurde das prinzipielle Vorgehen eines Genetischen Algorithmus erläutert. Um den Genetischer Algorithmus auf ein spezifisches Problem anwenden zu können, muss er allerdings noch konkret ausgestaltet werden. Zunächst ist eine geeignete Kodiervorschrift festzulegen. Von dieser hängen wiederum mögliche Crossover- und Mutationsverfahren ab. Auch bez¨ uglich dieser muss festgelegt werden, welche Verfahren mit welcher Wahrscheinlichkeit eingesetzt werden sollen, usw. In diesem Abschnitt werden am Beispiel von Job-Shop-Problemen alle relevanten Komponenten und Parameter beschrieben, die zur Konstruktion eines Genetischen Algorithmus nötig sind. Ziel dabei ist ¨ nicht, einen vollständigen, erläuternden Uberblick u ¨ber alle Möglichkeiten der Ausgestaltung zu geben. Es wird lediglich eine Auswahl derjenigen Ansätze beschrieben, die zur Lösung der Fallstudie FSH eingesetzt werden.156 5.4.2.1 Kodierung Am Anfang jedes Genetischen Algorithmus steht die Frage nach einer geeigneten Kodierung. Die Kodierung muss ermöglichen, dass Operationen, wie sie bei der Fortpflanzung oder der Mutation an Chromosomen geschehen, auch an Lösungen vorgenommen werden können. Daher wird jede Lösung durch einen Vektor (String) repräsentiert, in dem die Werte der Variablen direkt oder indirekt kodiert sind. Jedes Segment des Chromosoms heißt Gen, und die möglichen Ausprägungen des Zustandes eines Gens werden Allele bezeichnet. Die kodierte Version einer möglichen Lösung heißt chromosomale Darstellung oder Genotyp, seine äußere Erscheinung wird Phänotyp genannt. Wie bei den Suchverfahren ist die Art und Weise, wie ein Lösungskandidat kodiert wird, ein zentraler, wenn nicht sogar der zentrale Faktor f¨ ur den Erfolg eines Genetischen Algorithmus.157 Die Art der Kodierung ist stark problemabhängig. Jedoch ist die Feststellung der besten Kodierung meist sehr aufwendig und es sollte darauf geachtet werden, dass sie nicht aufwendiger wird wie die Lösung des Problems selbst.158 155

Vgl. zudem Yamada/Nakano(1992); Dorndorf/Pesch(1993). Die Konstruktion Genetischer Algorithmen hängt von sehr vielen Parametern ab. Es muss daher darauf geachtet werden, dass die Bestimmung der einzelnen Komponenten und Parameter nicht aufwendiger wird als die Lösung des eigentlichen Problems selbst. 157 Vgl. Mitchell(1996), S. 156. 158 Vgl. Mitchell(1996), S. 158. 156

140


F¨ ur Job-Shop-Probleme wurde in der Literatur eine Vielzahl von Kodierungsformen veröffentlicht. In z. B. Teich(1998), Zäpfel/Braune(2005) und Rixen(1997) ¨ wird jeweils ein Uberblick u ¨ber diese gegeben und es werden die jeweiligen Vorund Nachteile der unterschiedlichen Kodierungsformen diskutiert.159 Nakano und Yamada verwenden z. B. eine binäre Problemrepräsentation 160 , bei der jedes Gen die beiden Werte 0 und 1 annehmen kann und inhaltlich ein disjunktives Pfeilepaar in einem Graphen repräsentiert.161 Häufig finden allerdings symbolische Repräsentationsformen Einsatz, da sie sich insb. f¨ ur Reihenfolgeprobleme eignen. Bei diesen werden die Lösungen in Permutationschromosomen kodiert. Jedes Gen repräsentiert einen Platz in der Reihenfolge und das konkrete Allel bezeichnet das Element, welches diesen Platz einnimmt. Zur Lösung von JobShop-Problemen schlägt Syswerda eine einfache Permutation vor, bei der ein Symbol zur Darstellung einer Operation verwendet wird.162 Im Chromosom ist somit eine Permutation von Operationen dargestellt, die die Reihenfolge widerugt werden (Plaspiegelt, in der die Operationen Okm dem Ablaufplan hinzugef¨ nungsreihenfolge). Das Chromosom hat somit die Länge O = K · M. Die beiden genannten Verfahren haben das Problem, dass sie ung¨ ultige Lösungen zulassen, d. h. Lösungen, die durch Zyklen zwischen den Auftragsfolgen auf verschiedenen Maschinen entstehen. Zur Erkennung und Reparatur dieser sind rechenzeitintensive Algorithmen nötig, die zu einer Laufzeiterhöhung f¨ uhren. Die von Fang, Ross und Corne sowie Bierwirth unabhängig von einander entwickelte Kodierungsform der Permutationskodierung mit Wiederholung“ garantiert dagegen ” die Zulässigkeit der Lösungen.163 Auch hier wird die Planungsreihenfolge der Operationen kodiert, aber die Permutation besteht nicht mehr aus konkreten Operationen, sondern nur noch aus den Auftragsnummern k = 1, . . . , K. Jeder Auftrag taucht in der Permutation so oft auf, wie er Arbeitsgänge aufweist, alur ein 3 × 4-JSP ist ein Ablaufplan beispielsweise durch folgendes so Ok -mal. F¨ aus O Genen bestehendes Permutationschromosom darstellbar (vgl. Abbildung 5.13): Abbildung 5.13: Kodierung eines 3 × 4-JSP nach Bierwirth(1995) Erst bei der Dekodierung werden den Auftragssymbolen die entsprechenden Operationen zugeordnet, die dann entsprechend der Permutation eingeplant werden. 159

Vgl. Rixen(1997), S. 86ff.; Teich(1998), S. 233ff.; Zäpfel/Braune(2005), S. 46ff. und 58ff. Matt¨ feld stellt eine Ubersicht u ¨ber die Leistungsfähigkeit der unterschiedlichen Kodierungsform an zwei Benchmark-Problemen zusammen. Vgl. Mattfeld(1996), S. 74. 160 Sie stellt die klassische Kodierungsform dar, die im ersten Werk zu den Genetischen Algorithmen Holland(1975) eingef¨ uhrt wurde. Vgl. Holland(1975). 161 Vgl. Nakano/Yamada(1991). 162 Vgl. Syswerda(1991); Bierwirth/Mattfeld(1999). 163 Vgl. Fang et al.(1993); Bierwirth(1995); Bierwirth et al.(1996).


141

Im Rahmen dieser Arbeit wird die Permutationskodierung mit Wiederholung nach Bierwirth(1995) ausgewählt, da sie nur zulässige Lösungen generiert. Da von der Kodierungsform mögliche Crossover- und Mutationoperatoren abhängen, werden im Folgenden nur solche Operatoren beschrieben, die auf die Permutationskodierung mit Wiederholung angewendet werden können. 5.4.2.2 L¨ osungsevaluierung Da bei der Permutationskodierung mit Wiederholung auf Genotyp-Ebene gearbeitet wird, sagt allein die Kenntnis des Chromosoms nichts u ¨ber die Qualität der Lösung aus.164 Die Lösungsevaluierung erfordert daher die Dekodierung der Genotypen in ihre jeweils zugehörigen Phänotypen. Dies soll exemplarisch an dem im vorherigen Abschnitt dargestellten Chromosom veranschaulicht werden (vgl. folgende Abbildung 5.14):

Abbildung 5.14: Bestimmung der Operationen durch Zuordnung der Aufträge zu den relevanten Maschinen Im Chromosom sind die Auftragsnummern abgespeichert. Jeder Auftrag k taucht genau Ok -mal im Chromosom auf. Im Folgenden gibt W (h) den Wert des Chromosoms im Gen h (Allel) an. Das Chromosom hat die Länge H = O, d. h. h = 1 . . . H. Bei der Dekodierung muss zunächst durch einen auftragsbezogenen Zählindex, den Operationszähler OSk , die exakte Operation ermittelt werden. Durch OSk können die Aufträge den relevanten Maschinen zugeordnet werden. Im Folgenden gibt W O (h) den Wert des Operationszählers von Auftrag k an der Stelle h im Chromosom an. Daraus lassen sich die in folgender Tabelle 5.7 dargestellten Auftragsfolgen ableiten: m=1 m=2 m=3 m=4 [1]m 3 3 3 1 [2]m 1 2 2 2 [3]m 2 1 1 3 Tabelle 5.7: Resultierende Auftragsfolgen [k] 164

Dies bezieht sich sowohl auf die Zulässigkeit als auch auf den Zielfunktionswert einer Lösung. Der erste Aspekt der Zulässigkeit ist bei der Permutationskodierung mit Wiederholung aber von vornherein gegeben.

142


Die Operationen sind nun entsprechend der ermittelten Auftragsfolgen von vorne nach hinten einzuplanen. Wird die Zielsetzung der Zykluszeitminimierung verfolgt, muss diese Einplanung fr¨ uhestmöglich erfolgen. F¨ ur diesen Fall ist in Abbildung 5.15 der Ablaufplan-Generator [Dekod] dargestellt.165

Abbildung 5.15: Struktogramm Ablaufplan-Generator [Dekod] Der Algorithmus beginnt mit der Initialisierung (Zeile 1): • Die vorläufigen und tatsächlichen Anfangs- und Endzeitpunkte aller Operationen werden Null gesetzt: akm = ekm = V akm = V ekm = 0. • Der Zeitpunkt, bis zu dem die Maschine m belegt ist, ist 0: Bbm = 0. • Die Anzahl fertiger Operationen von Auftrag k ist 0: OSk = 0. • Der Anfangswert des Zählers f¨ ur die Gene h ist 1: h = 1. Nach der Initialisierung ist f¨ ur jedes Gen des Chromosoms (Zeile 2) die korrespondierende Operation einzuplanen (Zeilen 3-10). Hierzu ist zunächst der Auftrag k ∗ und u ¨ber den Operationszähler OSk die betreffende Maschine mas zu ermitteln (Zeilen 3-5). Je nachdem, ob die Maschine frei ist, wenn der Auftrag ankommt, oder nicht, kann mit der Bearbeitung des Auftrags k auf Maschine mas direkt bei seiner Ankunft bearbeitet werden oder erst nachdem diese frei geworden ist (Zeilen 6-8). Die Bearbeitungsendzeitpunkt wird in Zeile 9 berechnet. 165

Dies ist nur ein mögliches Verfahren. In der Literatur finden sich weitere Varianten, bei denen z. B. auch Hybridisierungen mit anderen Lösungsverfahren zum Einsatz kommen. So nutzen sowohl Fang et al.(1993) als auch Bierwirth(1995) dazu den G&T-Algorithmus zur Erzeugung aktiver Ablaufpläne, um die Lösungsqualität zu verbessern.


143

Wird dies auf das betrachtete Chromosom angewendet, ergibt sich der in folgender Abbildung 5.16 dargestellte Ablaufplan.166 Der Zielfunktionswert entspricht im Beispiel der Zykluszeit und beträgt daher ZF = Z = 36 Zeiteinheiten.

Abbildung 5.16: Resultierendes Gantt-Diagramm Mit der Zielfunktion ist das eigentliche Optimierungsziel festgelegt, das ein Genetischer Algorithmus zu finden bzw. approximieren versucht. Die Zielfunktionswert gibt an, wie nahe ein Individuum dem Optimum ist, und ist damit ein Maß f¨ ur die G¨ ute einer Lösung. Aus dem Zielfunktionswert kann jedem Individuum durch eine Fitnesszuweisung sein Fitnesswert zugewiesen werden. Die Fitness spiegelt die Fortpflanzungs- bzw. Selektionswahrscheinlichkeit eines Individuums wider und wird aus dem Zielfunktionswert des Individuums und den Zielfunktionswerten aller anderen Individuen des Selektionspools167 unter Verwendung einer Fitnessfunktion gebildet. Die Fitnessfunktion transformiert die Zielfunktionswerte derart in Werte, dass bessere Individuen eine höhere Fitness zugewiesen bekommen als schlechte Individuen (von geringerer G¨ ute). Bei Maximierungszielen kann der Zielfunktionswert direkt als Fitnesswert u ¨bernommen werden. Wird dagegen ein Minimierungsziel verfolgt, muss der Zielfunktionswert u ¨ber eine Skalierungsfunktion in den Fitnesswert umgerechnet werden. 166

Ein Chromosom repräsentiert immer genau einen Ablaufplan. Anzumerken ist aber, dass es bei symbolische Repräsentationsformen zu Redundanzen in der Form kommen kann, dass ein Ablaufplan durch mehr als ein Chromosom dargestellt werden kann. D. h., verschiedene Genotypen können den gleichen Phänotyp haben. Der Suchraum f¨ ur einen Genetischen Algorithmus ist damit größer als der tatsächliche Lösungsraum des konkreten Problems. Vgl. Bierwirth et al.(1993); Mattfeld(1996), S. 72.; Teich(1998), S. 244f. 167 Im Selektionspool sind alle Individuen enthalten, die zusammen zur Auswahl der Eltern in Betracht gezogen werden. Die Fitness eines Individuum hängt im Gegensatz zum Zielfunktionswert immer von allen anderen Individuen des Selektionspools ab.

144


Prinzipiell kann zwischen einer proportionalen und einer reihenfolgebasierten Fitnesszuweisung unterschieden werden. Im ersten Fall wird jedem Individuum ein Fitnesswert zugewiesen, der proportional zu seinem Zielfunktionswert ist.168 Dazu können verschiedene Fitnessfunktionen eingesetzt werden, wie z. B. eine lineare oder logarithmische Skalierung.169 Eine proportionale Fitnesszuweisung weist allerdings zwei Probleme auf: Im Falle der Existenz weniger, u ¨berdurchschnittlich guter und vieler schlechter Individuen besteht die Gefahr der vorzeitigen Konvergenz, verursacht durch die Tatsache, dass die wenigen guten Individuen sehr viele und die vielen schlechten Individuen nur wenige Nachkommen produzieren. Tritt die umgekehrte Situation ein, dass sehr viele ähnlich gute und nur wenige schlechte Individuen auftreten, kommt es zu einer geringen Unterscheidung in den Fitnesswerten der guten Individuen, so dass die Selektion zwischen den Individuen eher einer zufälligen Auswahl entspricht und der Evolutionsprozess steckenbleibt“. Im ersten Fall ist ein zu hoher und im ” zweiten Fall ein zu geringer Selektionsdruck Ursache des Problems: Der Selektionsdruck gibt die Wahrscheinlichkeit der Auswahl des besten Individuums, verglichen mit der durchschnittlichen Selektionswahrscheinlichkeit aller Individuen des Selektionspools an.170 Diese Probleme treten bei einer reihenfolgebasierten Fitnesszuweisung (Ranking) nicht auf. Dort werden die Individuen des Selektionspools nach ihrem Zielfunktionswert sortiert, und ein Individuum bekommt in Abhängigkeit von seinem Rang in der sortierten Liste seinen Fitnesswert zugewiesen.171 Im Rahmen der Arbeit wird daher die reihenfolgebasierte Fitnesszuweisung verwendet. Bei einem linearen Ranking mit einem Selektiondruck SD berechnet sich der Fitnesswert F it(i) von Individuum i folgendermaßen:172 F it(i) = 2 − SD + 2 · (SD − 1) ·

(P (i) − 1) (I − 1)

wobei I die Anzahl der Individuen im Selektionspool ist (hier die gesamte Population einer Generation). P (i) gibt die Position/den Rang von Individuum i im sortierten Selektionspool an: Das schlechteste Individuum bekommt die erste Position zugewiesen, das Beste die letzte. Der Selektionsdruck SD kann dabei Werte im Bereich [1,0;2,0] annehmen. Dies soll an einem kleinen Zahlenbeispiel mit vier Individuen und einem Selektionsdruck von SD = 1, 2 veranschaulicht werden. ZF (i) gibt den Zielfunk168

Vgl. Goldberg(2009). Ausf¨ uhrlich dazu vgl. Grefenstette/Baker(1989) und Goldberg(2009). 170 Vgl. Baker(1987); Blickle/Thiele(1995). 171 Vgl. Baker(1985). 172 Alternativ existiert ein nichtlineares Ranking, vgl. Pohlheim(1995). 169


145

tionswert von Individuum i an. Die Zykluszeit soll minimiert werden. Damit ergeben sich folgende Fitnesswerte (vgl. Tabelle 5.8): i

ZF (i) P (i) F it(i)

1

30000

1

2 − 1, 2 + 2 · (1, 2 − 1) ·

2 3

25000 20000

2 4

0, 8 + 0, 4 · 0, 8 + 0, 4 ·

4

25000

3

0, 8 + 0, 4 ·

(2−1) 3 (4−1) (4−1) (3−1) 3

(1−1) (4−1)

= 0, 8 + 0, 4 ·

(1−1) 3

= 0, 8

= 0, 93 = 1, 2 = 1, 06

Tabelle 5.8: Beispiel zur Fitnesswertberechnung Individuum i = 3 hat den geringste Zielfunktionswert, ist damit das beste Individuum und bekommt deshalb den Rang P (3) = 4 zugewiesen. Die beiden Individuen i = 2 und i = 4 haben den identischen Zielfunktionswert 25000. In diesem Fall erfolgt die Positionszuweisung zufällig:173 i = 2 vor i = 4. Damit ist P (2) = 2 und P (4) = 3. Individuum i = 1 ist am schlechtesten und hat deshalb den Rang P (1) = 1.

5.4.2.3 Ausgangspopulation Zu Beginn des Genetischen Algorithmus (Generation g = 0) ist eine Ausgangspopulation Ig = I0 bestehend aus I Individuen i zu erzeugen. Dazu ist einerseits die Populationsgröße I und andererseits das Verfahren zur Erzeugung der Aus¨ gangspopulation festzulegen. Ubliche Größenordnungen f¨ ur die Anzahl Indiviur jedes betrachtete duen einer Population sind 100-200 St¨ uck.174 Allerdings ist f¨ Problem eine geeignete Populationsgröße individuell zu bestimmen. Die Startpopulation wird i. d. R. stochastisch per Zufallsgenerator erzeugt. Es sind aber ur Job-Shop-Probleme bieten auch Varianten mit Startheuristiken möglich.175 F¨ sich z. B. die Multistartverfahren an.176 Ein Nachteil dieser gezielten Initialisiernng der Startpopulation ist allerdings, dass sie manchmal die Lösungsvielfalt von vornherein einschränkt und dadurch eine vorzeitige Konvergenz fördern kann. Im weiteren Verlauf der Arbeit soll die Ausgangspopulation zufällig erzeugt werden. Das entsprechende Vorgehen ist auf der nächsten Seite in Abbildung 5.17 dargestellt. 173

Dies wird auch im weiteren Verlauf der Arbeit so gehandhabt. Vgl. Rixen(1997), S. 111. Vgl. dazu auch Grefenstette(1986); Goldberg(1989); Goldberg et al.(1992); Goldberg et al.(1993). 175 Diese bieten sich insbesondere dann an, wenn bei einer Kodierweise durch die zufällige Erzeugung häufig unzulässige Lösungen generiert w¨ urden. Dies ist bei der Permutationskodierung mit Wiederholungen allerdings nicht der Fall. 176 Eignung Vgl. Reeves(1995) und Teich(1998), S. 253. 174

146


Abbildung 5.17: Struktogramm f¨ ur die zufällige Erzeugung der Ausgangspopulation Nach der Initialisierung (Zeile 1) wird die Schleife so lange wiederholt, bis I Individuen i erzeugt sind (Zeile 2). F¨ ur jedes zu erzeugende Individuum wird zunächst f¨ ur jeden herzustellenden Auftrag k ∈ K die Anzahl an Operationen OSk , die bereits stattgefunden haben, auf Null gesetzt (Zeile 3). Nun wird iterativ f¨ ur jedes Gen h eine gleichverteilte, ganzzahlige Zufallszahl ζ gezogen, die den Auftrag k bestimmt (Zeile 5). Dieser Auftrag kann allerdings nur dann ins Chromosom u ¨bernommen werden, wenn von ihm nicht bereits alle Operationen im Chromsom abgespeichert wurden (Zeile 6). Ist dies der Fall, bekommt das Gen h den Wert k zugewiesen und der entsprechende Operationszähler OSk wird um eins erhöht (Zeile 7). Wurden auf diese Weise allen H Genen ihre Werte zugewiesen, ist das Chromosom vollständig und das korrespondierende Individuum i kann in die Menge Ig aufgenommen werden (Zeile 8). Nun ist das nächste Individuum zu generieren (Zeile 9). 5.4.2.4 Selektion Bei der Selektion handelt es sich um einen strategischer Operator, der u ¨ber die Zusammensetzung der Populationen entscheidet. Die Selektion findet an verschiedenen Stellen im Laufe eines Genetischen Algorithmus statt: bei der Elternselektion und der Generationsselektion. Die Elternselektion 177 bestimmt, welche Individuen zur Produktion von Nachkommen zugelassen sind. Es gibt prinzipiell zwei Herangehensweisen. Einerseits kann ein Elternpaar direkt aus der Population einer Generation selektiert werden. Andererseits kann eine Vorauswahl getroffen werden, bei der in einem ersten Schritt geeignete Individuen in einem Mating-Pool gesammelt werden. Nur diese werden zur Fortpflan177

Im Struktogramm 5.12 auf S. 136 als Selektion zur Reproduktion“ bezeichnet. ”


147

zung zugelassen.178 Die Generationsselektion 179 legt fest, welche Individuen die nat¨ urlich Selektion u urfen. Dies erfolgt in Verbindung mit einem Er¨berleben d¨ setzungsschema, das in Abschnitt 5.4.2.7 näher erläutert wird. Zur Selektion sind ebenfalls zahlreiche unterschiedliche Selektionsverfahren ent¨ wickelt worden. Ein Uberblick wird z. B. in Bäck/Hoffmeister(1991) und Goldberg/Deb(1991) geben. An dieser Stelle werden nur zwei Verfahren herausgegriffen, die zur Lösung der Fallstudie FSH Anwendung finden: die Turnier- sowie die Zeiger-Selektion.180 Turnier-Selektion181 Bei der Turnier-Selektion wird eine vorzugebende Anzahl Individuen zufällig (gleichverteilt) aus der Population gezogen. Diese treten wie in einem Turnier gegeneinander an. Es gewinnt dasjenige Individuum, das den besten Zielfunktions- bzw. Fitnesswert hat. Der genaue Ablauf ist in Abbildung 5.18 dargestellt.

Abbildung 5.18: Struktogramm f¨ ur die Turnier-Selektion Bei der Turnier-Selektion beginnt der Algorithmus mit der Initialisierung: Die ur das zu selekMenge der selektierten Individuen IS ist leer und der Zähler f¨ tierende Individuum iS wird auf eins gesetzt (Zeile 1). Die folgende Schleife wird solange wiederholt, bis die gew¨ unschte Anzahl IS Individuen selektiert wurde (Zeile 2). Die Anzahl der Turnierteilnehmer IT ist gegeben. Um die entsprechende Anzahl unterschiedlicher Turnierteilnehmer aus der Population zu 178

Vgl. Deb/Goldberg(1989). Im Struktogramm 5.12 auf S. 136 als Selektion zur Ersetzung“ bezeichnet. ” Beide ausgewählten Selektionsverfahren haben bei dem von Blickle und Thiele durchgef¨ uhrten Vergleich gut abgeschnitten (vgl. Blickle/Thiele(1995)). 181 Vgl. Goldberg/Deb(1991). 179 180

148


ziehen, werden diese zufällig bestimmt. Dazu werden IT Zufallszahlen gezogen (Zeile 3). Die Turnierteilnehmer treten der Reihe nach gegen das erste Individuum an. Sobald ein sich messendes Individuum einen besseren Fitnesswert aufweist, gilt er im Folgenden als Vergleichsmaßstab (Zeilen 4-8).182 Das siegende Individuum wird in die Selektionsmenge eingef¨ ugt und der Selektionszähler um eins erhöht (Zeile 9).183 Zeiger-Selektion184 Bei der Zeiger-Selektion werden die Individuen entsprechend ihrer absoluten Fitness aus dem Selektionspool ausgewählt (fitnessproportionale Selektion). Der genaue Ablauf ist in folgender Abbildung 5.19 dargestellt:

Abbildung 5.19: Struktogramm f¨ ur die Zeiger-Selektion Nach der Initialisierung der Zeiger-Selektion (Zeile 1) muss zunächst der Abstand LZ zwischen den Zeigern bestimmt werden. Er berechnet sich als Kehrwert der Anzahl zu selektierender Individuen (Zeile 2). Anschließend muss per Zufallsgenerator die Stelle SZ im Chromosom bestimmt werden, an der der erste Zeiger startet. Diese befindet sich im Intervall [1;LZ[ (Zeile 3). Die kumulierte relative Fitness F itkum wird mit der relativen Fitness des ersten Individuums F it(i)initialisiert (Zeile 4). Um die IS zu selektierenden Individuen zu bestimmen, muss wiederholt u uft werden, ob der aktuell betrachtete Pfeil auf ¨berpr¨ eine Stelle zeigt, deren Wert kleiner als die kumulierte relative Fitness ist (Zeile 7). Ist dies der Fall, ist das entsprechende Individuum zu selektieren, der 182

Prinzipiell ist die Bestimmung des Fitnesswertes nicht nötig, ein Vergleich der Zielfunktionswerte reicht aus. So kann auf eine rechenaufwendige Sortierung der Population bei einer rangbasierten Fitnesszuweisung verzichtet werden. 183 Am Ende des Turniers gehen alle Turnierteilnehmer wieder in die Ausgangspopulation zur¨ uck. 184 Vgl. Baker(1987) ( Stochastical universal sampling“). ”


149

Selektionszähler iS um eins zu erhöhen und der nächste Zeiger zu betrachten (rechte Spalte Zeilen 7+8). Andernfalls ist das nächste Individuum zu betrachten (i = i + 1) und dementsprechend die kumulierte relative Fitness zu erhöhen (linke Spalte ab Zeile 7).185 In Abbildung 5.20 ist exemplarisch veranschaulicht, wie mittels der ZeigerSelektion acht Individuen fitnessproportional aus acht Individuen ausgewählt 3 startet. Die Individuen werden, wenn der erste Pfeil an der Stelle SZ = ζ = 32 3 und 5 werden aufgrund ihrer schlechten relativen Fitness nicht ausgewählt, die Individuen 4 und 6 dagegen jeweils gleich zweimal.

Abbildung 5.20: Beispiel zur Zeiger-Selektion 5.4.2.5 Crossover Das Crossover ist ein konstruktiver Operator, durch den das genetische Material von zwei Chromosomen mit hoher Fitness kombiniert werden soll, um neue, bessere Individuen zu erzeugen. Durch die Kombination der Gene der Eltern werden aus zwei Elternindividuen ein oder zwei Nachkommen gebildet. Im Laufe der Zeit wurden in Abhängigkeit von der Kodiervorschrift und den zu lösenden Problemen viele verschiedene Crossover-Verfahren entwickelt. In Starkweather ¨ et al.(1991) ist eine Ubersicht u ¨ber Crossover-Verfahren gegeben, die in der Literatur speziell f¨ ur Reihenfolgeprobleme vorgestellt wurden.186 Dort wird u. a. das Order Crossover nach Davis (OX), das Partially Mapped Crossover nach Goldberg und Lingle (PMX), das Cycle Crossover nach Oliver et al. (CX) und das Order Crossover (OX2) sowie das Position Based Crossover nach Syswerda (PBX) vorgestellt.187 185

Die Zeiger-Selektion ähnelt dem der sehr bekannten Roulette-Selektion. Bei dieser zeigt ein Pfeil auf ein Roulette-Rad, das dann IS -mal gedreht werden muss. Das Vorgehen bei der Zeiger-Selektion entspricht einem Roulette-Rad mit IS Zeigern, das nur einmal gedreht werden muss. Dadurch sinkt die Wahrscheinlichkeit f¨ ur die Auswahl identischer Individuen, sog. Dubletten, deren häufiges Auftreten die Vielfalt innerhalb des Genpools reduzieren und dadurch zu einer vorzeitigen Konvergenz f¨ uhren können. 186 Dort wird u. a. herausgearbeitet, dass jeder Crossover-Operator bestimmte Eigenschaften hat in Bezug auf die Bewahrung von Informationen bei der Weitergabe an die Nachkommen. Je nachdem, welcher Informationsaspekt f¨ ur die Lösung eines Reihenfolgeproblems wichtig ist, sollte ein dementsprechend geeigneter Operator gewählt werden. 187 Vgl. der Reihe nach Davis(1985), Goldberg/Lingle(1985), Oliver et al. (1987) und Syswerda(1991). Vgl. dazu auch Rixen/Kopfer(1994).

150


Im Folgenden werden zwei Crossover-Verfahren näher erläutert, die auch später zur Lösung der Fallstudie FSH eingesetzt werden: das Generalized Order Crossover und das Position Based Crossover.188 Generalized Order Crossover189 Beim Generalized Order Crossover (GOX) wird aus dem ersten Elternteil (Geber-Chromosom) an einer zufälligen Stelle ein Teilst¨ uck (Substring) zufälliger Länge entnommen. Dieses wird beim zweiten Elternteil (Nehmer-Chromosom) an der Stelle ins Chromosom eingef¨ ugt, an der die an der zuerst im Substring stehende Operation vorkommt. Die im Substring vorkommenden Operationen werden anschließend im Nehmer-Chromosom gelöscht. Das Vorgehen ist in Abbildung 5.21 auf S. 151 f¨ ur den Fall dargestellt, dass ein Nachkomme N erzeugt wird, wobei E1 das Geber- und E2 das Nehmer-Chromosom ist. Im Folgenden wird das Vorgehen ausf¨ uhrlicher erläutert: Nachdem zwei Elternteile E1 und E2 aus dem Mating-Pool selektiert wurden, muss zunächst durch das Ziehen einer Zufallszahl ζ1 ermittelt, ob zwischen diesen beiden Individuen u ¨berhaupt ein Crossover stattfinden soll. Dies erfolgt u ¨ber den Vergleich mit einer vorab vorzugebenden sog. Crossover-Wahrscheinlichkeit pC (Zeilen 1-3). Laut Bäck(1992) nimmt die Crossover-Wahrscheinlichkeit u ¨blicherweise Weruhrt werden te zwischen 60% und 100% an.190 Wenn ein Crossover durchgef¨ soll, ist im nächsten Schritt die Länge des auszutauschenden Teilst¨ ucks LS festzulegen. Hier wird dem Vorschlag von Gorges-Schleuter(1989) gefolgt, der f¨ ur die Substring-Länge einen Wert zwischen einem Drittel und der Hälfte der Chromosomenlänge vorschlägt (Zeile 4). Anschließend ist die Entnahmestelle ugestelle ES im Geber-Chromosom SS zu bestimmen (Zeile 5).191 Um die Einf¨ ussen sowohl der Auftrag (W ) als im Nehmer-Chromosom E2 zu bestimmen, m¨ auch die Anzahl bereits durchgef¨ uhrter Operationen dieses Auftrags (W O ) bei ¨ =1), d. h., es muss sich um dieselbe Opebeiden Elterteilen u ¨bereinstimmen (UE ugestelle ES bekannt, wird zunächst ration handeln (Zeilen 6-9).192 Ist die Einf¨ 188

Beiden Verfahren erhalten die relative Ordnung der Elemente in den Eltern, d. h. es handelt sich um sog. reihenfolgebewahrenden Crossover-Verfahren. Dies bringt mit sich, dass bei beiden Verfahren implizit eine Mutation durchgef¨ uhrt wird, um die Syntax der symbolischen Repräsentation zu erhalten. Es werden daher nicht nur bekannte Informationen kombiniert, sondern auch neue Informationen erzeugt. 189 Das Generalized Order Crossover stellt eine Verallgemeinerung des Order Crossover nach Davis (OX) dar, das häufig f¨ ur Permutationskodierungen anderer Optimierungsprobleme (z. B. Travelling-Salesman-Problem) angewendet wird. 190 Im Gegensatz dazu gibt die Reproduktionswahrscheinlichkeit pR an, wie viele Individuen direkt aus dem Mating-Pool u ¨bernommen werden: pR = 100% − pC . Vgl. Koza(1992). 191 Hier ist abgebildet, dass das Teilst¨ uck nicht u ¨ber das Ende des Chromosoms hinaus reichen darf. Es wäre auch möglich, dies zuzulassen. 192 Da bei der Permutationkodierung mit Wiederholungen nach Bierwirth keine Operationen, sondern nur die Auftragsnummern auf einem Chromosom gespeichert werden, m¨ ussen bei der Anwendung von GOX die jeweiligen Operationszähler OSk der Aufträge bestimmt und in W (h) abgelegt werden.


151

ein verlängertes Chromosom der Länge H + LS erzeugt, das zu Beginn und am Ende zusammen alle Gene des Nehmer-Chromosoms E2 (Zeilen 10+11 sowie 14+15) sowie ab der Stelle ES den einzuf¨ ugenden Substring von E1 (Zeilen 12+13) enthält. Zuguterletzt sind alle Gene, die urspr¨ unglich aus dem NehmerChromosom kommen, aus dem verlängerten Chromosom zu löschen, die den aus dem Geber-Chromosom eingef¨ ugten Operationen entsprechen (Zeilen 17-25).

Abbildung 5.21: Struktogramm f¨ ur Generalized Order Crossover (GOX)

152


In folgendem Beispiel werden mit dem Crossover-Verfahren GOX aus einem Elternpaar zwei Nachkommen, N1 und N2 , erzeugt, indem E1 und E2 jeweils einmal Nehmer und einmal Geber sind. Die Startstelle des Substrings SS ist vier und dessen Länge LS f¨ unf. Die Einf¨ ugestelle in E2 ist damit nach dem f¨ unften und in E2 nach dem zweiten Gen (vgl. folgende Abbildung 5.22):

Abbildung 5.22: Beispiel zur Bestimmung der Einf¨ ugestelle beim NehmerChromosom (GOX) In der nachfolgenden Abbildung 5.23 ist die Erzeugung der beiden Nachkommen N1 und N2 veranschaulicht:

Abbildung 5.23: Beispiel zur Generierung der Nachkommen (GOX) Position Based Crossover193 Beim Position Based Crossover (PBX) wird nicht ein Substring bestimmter Länge ersetzt, sondern es werden einzelne Elemente f¨ ur den Austausch ausgewählt. Sowohl die Anzahl als auch ihre Position wird dabei zufällig bestimmt. Die ausgewählten Elemente werden direkt unter Beibehaltung der Positionen im Nachkommen u ¨bertragen. Anschließend werden die verbleibenden Elemente aus dem zweiten Elternteil entsprechend ihrer Sequenz vervollständigt. Der prinzipielle Ablauf ist in Abbildung 5.24 auf der nächsten Seite dargestellt. 193

Vgl. Syswerda(1991); Bierwirth et al.(1996); Teich(1998), S. 271f.


153

Abbildung 5.24: Struktogramm f¨ ur Position Based Crossover (PBX) Nachdem ein Elternpaar aus dem Mating-Pool ausgewählt und die Durchf¨ uhrung eines Crossover bejaht wurde (Zeilen 1-3), ist die zufällige Anzahl HS der zu tauschenden Gene (von E1 ) zu bestimmen. Analog zur Bestimmung der Länge des Substrings beim Crossover-Verfahren GOX liegt diese Anzahl zwischen 1/3 und 1/2 der Chromosomenlänge (Zeile 4).194 Welche Gene im Chromosom dies konkret sein sollen, wird ebenfalls per Zufallsgenerator bestimmt (Zeile 5). Diese ausgewählten Elemente werden direkt unter Beibehaltung der Positionen in den Nachkommen kopiert. Die verbleibenden Elemente werden in der Reihenfolge in den Nachkommen kopiert, wie sie im zweiten Elternteil vorkommen (Zeilen 6-19). Auch dieses Crossover-Verfahren ist an einem Beispiel veranschaulicht, bei dem HS = 4 Gene an den Stellen 2, 5, 8 und 9 direkt in die beiden Nachkommen 194

Prinzipiell gilt, dass die Breitensuche umso stärker ist, je mehr Gene getauscht werden.

154


N1 und N2 entsprechend ihrer Sequenz in E1 bzw. E2 u ¨bertragen werden sollen (vgl. folgende Abbildung 5.25):

Abbildung 5.25: Beispiel zum PBX 5.4.2.6 Mutation Genetische Algorithmen nutzen einerseits die Informationen in bereits ermittelten guten Lösungspunkten aus (Exploitation) und halten andererseits nach erfolgversprechenden Regionen im Suchraum Ausschau (Exploration). Im Verlauf des Verfahrens sinkt die Diversität der Suche insb. durch die Selektion nach dem Prinzip des survival of the fittest“. Die Mutation ist daher ein wichtiges ” Instrument, um diese Diversität der Suche wieder zu erhöhen und dadurch eine verfr¨ uhte Konvergenz zu verhindern. Eine Mutation ist mit einer bestimmten uhren, die problemspezifisch zu bestimmen ist. Wahrscheinlichkeit pM durchzuf¨ Je höher sie ist, umso geringer ist die Gefahr einer vorzeitigen Konvergenz.195 Es existieren ähnlich wie beim Crossover mehrere Mutationsoperatoren. Im Folgenden wird eine Auswahl aus diesen vorgestellt:196 • Shift-Operator: Es wird zufällig eine Position ausgewählt und um eine zufällige Anzahl Positionen nach links oder rechts verschoben. • Inversions-Mutation: Durch Auswahl einer zusammenhängenden Teilmenge und der Inversion der Positionen der ausgewählten Gene wird ein neues Chromosom erzeugt. 195

Wenn sie allerdings zu hoch gewählt wird, wird aus dem Genetischen Algorithmus eine Art zufälliger Suchalgorithmus. 196 Vgl. dazu auch Teich(1998), S. 272ff. und Pohlheim(2000), S. 54ff.


155

• Scramble Sublist Mutation: Hier wird ebenfalls eine zusammenhängende Teilmenge ausgewählt. Innerhalb dieses Teilst¨ ucks wird die Reihenfolge der Elemente stochastisch neu festgelegt. • Position Based Mutation: Es werden zwei Elemente zufällig ausgewählt und das hintere direkt vor das vordere eingeplant.197 • Random Mutation: Die betrachtete Lösung wird vollständig zerstört. Das Individuum wird durch ein neues, zufällig erzeugtes Individuum ersetzt. • Order Based Mutation: Es werden zufällig zwei Elemente ausgewählt und miteinander vertauscht.198 Im weiteren Verlauf der Arbeit sollen zur Lösung der Fallstudie FSH die beiden Operatoren Oder Based Mutation (OBM) sowie Random Mutation (RM) eingesetzt werden. OBM schnitt in Tests am besten ab und RM ermöglicht es, auch weit entfernte Teile des Suchraumes zu erreichen.199 In Abbildung 5.26 ist das Vorgehen beschrieben, das zur Lösung von FSH eingesetzt wird.

Abbildung 5.26: Struktogramm f¨ ur die Mutation Zunächst wird u uft, ob eine Mutation u ¨berpr¨ ¨berhaupt stattfinden soll. Dazu wird eine Zufallszahl gezogen und mit der Mutationswahrscheinlichkeit pM verglichen (Zeilen 1+2). Falls eine Mutation durchgef¨ uhrt werden soll, wird je 197

Vgl. Syswerda(1991). Vgl. Starkweather et al.(1991); Syswerda(1991). 199 Vgl. Starkweather et al.(1991). 198

156


nach gezogener Zufallszahl in Abhängigkeit von der gegebenen Wahrscheinlichkeit pM V der Mutationsoperator OBM oder RM angewendet (Zeilen 3+4).200 Ist eine Order Based Mutation durchzuf¨ uhren, werden zufällig zwei Gene bestimmt (linke Spalte ab Zeile 5) und anschließend die beiden Gene getauscht (ab Zeile 8). Das Vorgehen ist in Abbildung 5.27 veranschaulicht. Ist ein völlig neues Chromosom zu erzeugen (rechte Spalte ab Zeile 5), werden wie bei der Erzeugung der Ausgangspopulation iterativ alle H Gene bestimmt.

Abbildung 5.27: Beispiel zur OBM

5.4.2.7 Ersetzungsschema Nachdem die geforderte Anzahl Nachkommen erzeugt wurden, stellt sich die Frage, wie viele und welche der Nachkommen in die Population eingef¨ ugt werden und welche Individuen der Population durch diese einzuf¨ ugenden Individuunglich von Holland(1975) vorgestellten Genetien ersetzt werden.201 Der urspr¨ schen Algorithmus verfolgt die Strategie des Generational Replacement“, bei ” der die Ausgangspopulation vollständig durch die Nachkommen ersetzt wird. Dieses Vorgehen hat aber den Nachteil, dass die bisher beste Lösung verloren gehen und auch die durchschnittliche Fitness in der Folgegeneration sinken kann. Dies verlangsamt die Konvergenz des Algorithmus. Dem kann entgegengewirkt werden, indem eine Elitismusstrategie verfolgt wird. Bei dieser wird aus der Ausgangspopulation direkt eine vorgegebene Anzahl der besten Individuen in die nächste Generation kopiert.202 Eine weiteres Ersetzungsschema – es wird im Folgenden Competition (C) genannt – bildet das Prinzip des survivial of ” the fittest“ vollständig ab: Alle erzeugten Nachkommen sowie die komplette Ausgangspopulation werden nach ihrem Fitnesswert sortiert, und davon bilden die I besten Individuen die Population der nächsten Generation. Prinzipiell muss bei der Generationsselektion darauf geachtet werden, dass nicht nur gute, sondern auch ein angemessener Anteil schlechter Chromosomen in die nächste Population u ¨bernommen wird, da sonst die Gefahr besteht, dass das Verfahren zu rasch auf lokale Optimierung zuläuft. 200

Indem die Wahrscheinlichkeit f¨ ur das Mutationsverfahren pM V auf 100% bzw. 0% gesetzt wird, ist OBM bzw. RM jeweils der alleinige Mutationsoperator. Vgl. Pohlheim(2000), S. 57. 202 Dieser Ansatz geht auf De Jong(1975) zur¨ uck. 201


157

5.4.2.8 Abbruchkriterium Die prinzipielle Anforderung an ein Abbruchkriterium ist, dass es die Optimierung erst beenden sollte, wenn er ein ausreichend gutes Ergebnis erreicht hat, allerdings auch nicht mehr Berechnungen durchf¨ uhren sollte, als dazu notwendig sind.203 Mögliche Abbruchkriterien sind:204 • • • • •

¨ Uberschreitung einer vorab fixierten Generationszahl, Erreichen einer festen Anzahl von bewerteten Individuen, ¨ Uberschreitung einer maximalen Rechenzeit (absolut oder CPU), Erreichen eines vorgegebenen ausreichend guten Zielfunktionswertes, ¨ Höhe der Leistungsverbesserung zwischen den Generationen, z. B. Uberschreitung einer festen Anzahl aufeinander folgender Generation ohne Verbesserung der bisher besten Lösung sowie ¨ • Erreichen einer bestimmten Ahnlichkeit“ der Individuen, diese wird i. d. R. ” durch die Entropie der Genotypen (aber auch Phänotypen oder Fitness) gemessen.205 Im weiteren Verlauf der Arbeit werden zwei Abbruchkriterien betrachtet: Das ¨ Uberschreiten einer maximalen Anzahl an G Generationen und einer maximalen Anzahl an GOV aufeinander folgender Generationen ohne Verbesserung der bisher besten Lösung. In folgender Abbildung 5.28 ist das entsprechende Vorgehen dargestellt. Dort können beide Kriterien kombiniert oder einzeln eingesetzt werden, indem entweder G oder GOV hinreichend groß gesetzt wird.

Abbildung 5.28: Struktogramm f¨ ur das Abbruchkriterium 203

Vgl. Pohlheim(2000), S. 63. Vgl. Pohlheim(2000), S. 63f. 205 Vgl. Mattfeld(1996), S. 82ff. und Rixen(1997), S. 114. Nachteilig bei diesem Verfahren ist der hohe Rechenaufwand, weshalb häufig auf die Standardabweichung der Fitness ausgewichen wird. Pohlheim(2000) beschreibt dazu auf S. 65ff. verschiedene weitere sog. abgeleitete Abbruchkriterien. 204

158


Der Generationszähler g beginnt mit dem Wert eins, der sich mit jeder erzeugur die Anzahl ten Generation um eins erhöht (Zeilen 1+6). Der Zähler goV f¨ Generationen ohne Verbesserung beginnt mit dem Wert Null (Zeile 1) und wird im Laufe des Evolutionsprozesses immer um eins erhöht, wenn in einer Generation kein besseres Individuum als das bisher Beste (F it∗ ) gefunden wurde (Zeile 4). Ansonsten wird der Zähler wieder auf null gesetzt und der verbesserte Fitnesswert abgespeichert (Zeilen 4+5). Der Evolutionsprozess bricht ab, wenn einer der beiden maximalen Anzahlen u ¨berschritten wird (Zeile 2).

5.4.3 Veranschaulichung an der Fallstudie FS1 Das grundlegende Vorgehen eines Genetischen Algorithmus soll abschließend an der Fallstudie FS1 veranschaulicht werden.206 Die Parametereinstellungen werden folgendermaßen festgelegt: Kodierung: Populationsgröße: Ausgangspopulation: Selektion Mating-Pool: Selektion Elternpaare: Anzahl Kinder: Crossover: Crossover-Wahrscheinlichkeit: Mutation: Mutations-Wahrscheinlichkeit: Evolutionsstrategie: Abbruchkriterium:

Permutationskodierung mit Wiederholung I=4 zufällig erzeugt Zeiger-Selektion mit linearer, rangbasierter Fitnesswertzuweisung (SD = 1, 2) stochastische Selektion Double GOX pC = 95% RM (pM V = 0%) pM = 3% C G10

Initialisierung und Bewertung der Individuen der Ausgangspopulation: Da es sich um ein 3 × 4-JSP handelt, wird eine Lösung des Problems durch ein Chromosom der Länge 3 · 4 = 12 repräsentiert. Um die Ausgangspopulation I0 zu erzeugen, werden zufällig I = 4 Individuen erzeugt (vgl. Abbildung 5.29 auf folgender S. 159): 206

Vgl. Abschnitt 2.4.1 auf S. 33.


159

Abbildung 5.29: Individuen der Ausgangspopulation (Fallstudie FS1) Um den Zielfunktionswert – hier die Zykluszeit – der vier Individuen zu bestimmen, m¨ ussen diese mit Hilfe des Ablaufplan-Generators [Dekod] dekodiert werden (vgl. Abbildung 5.30):

Abbildung 5.30: Dekodierung der Ausgangspopulation (Fallstudie FS1)

160


Erste Iteration / Generation: • Selektion zur Reproduktion Da ein Elternpaar zwei Nachkommen erzeugt und keine Elitismus-Strategie verfolgt wird, sind vier geeignete Individuen als Elternteile in den MatingPool zu selektieren. Dies erfolgt mit der Zeiger-Selektion. Dazu m¨ ussen zunächst die relativen Fitnesswerte der Individuen mit Hilfe der linearen Rang-Selektion mit Selektionsdruck von 1,2 berechnet werden (vgl. Tabelle 5.9): i 1 2 3 4

ZFi Rang P osi 36 3 2 40 4 1 27 1 4 31 2 3

F it(i) F it(i) 0, 93 0, 23 0,8 0,2 1,2 0,3 1, 06 0, 26

Tabelle 5.9: Fitnesswerte (Fallstudie FS1) Da die Zufallszahl ζ = 0, 22 gezogen wird, werden die Individuen IS = {1, 3, 3, 4} selektiert (vgl. Abbildung 5.31):

Abbildung 5.31: Zeiger-Selektion (Fallstudie FS1) • Crossover Aus dem Mating-Pool werden zufällig die beiden Individuen i = 1 und i = 4 gezogen. Sie bilden das erste Elternpaar. Da die erneut gezogene Zufallszahl ζ = 0, 67 kleiner als die Crossover-Wahrscheinlichkeit von 95% ist, muss ein General Order Crossover durchgef¨ uhrt werden. Es ergeben sich dabei die in Abbildung 5.22 auf S. 152 bestimmten Nachkommen N1 und N2 . Die beiden letzten Individuen im Mating-Pool bilden das zweite Elternpaar. Da sie identisch sind, muss kein Crossover durchgef¨ uhrt werden. Sie gehen ohne Veränderung als die Nachkommen N3 und N4 zur Mutationsabfrage.


161

• Mutation Da die gezogenen Zufallszahlen größer als die Mutations-Wahrscheinlichkeit von 3% sind, werden die Nachkommen N1 und N2 nicht mutiert. Aber sowohl der Nachkomme N3 als auch N4 sind durch neue, zufällig erzeugte Individuen zu ersetzen. • Bewertung der Nachkommen Durch die beschriebene Selektion der Eltern, das durchgef¨ uhrte Crossover bzw. die erfolgte Mutation wurden letztendlich folgende vier Nachkommen erzeugt (vgl. Abbildung 5.32):

Abbildung 5.32: Nachkommen der ersten Generation (Fallstudie FS1) Auch diese m¨ ussen bewertet werden, indem mit Hilfe des AblaufplanGenerators [Dekod] ihre zugehörigen Ablaufpläne und Zykluszeiten bestimmt werden. Diese sind auf der folgenden Seite in Abbildung 5.33 dargestellt. • Selektion zur Ersetzung Es sollen nur die fittesten Individuen u ¨berleben. Dazu werden alle Individuen der urspr¨ unglichen Generation sowie die erzeugten Nachkommmen gemeinsam betrachtet. Sie werden nach ihrer G¨ ute geordnet und von diesen die besten vier Individuen in die nächste Generation u ¨bernommen (vgl. Tabelle 5.10): i ZFi 3 27 N3 27 4 31 N1 34 1 36 N2 37 2 40 N4 42 Tabelle 5.10: Ausgangspopulation sowie deren Nachkommen sortiert nach der G¨ ute ihrer Zielfunktionswerte (Fallstudie FS1) In diesem Fall handelt es sich um jeweils zwei Individuen von den uspr¨ unglichen sowie den Nachkommen, d. h. I1 = {3, N3 , 4, N1 }

162


Abbildung 5.33: Dekodierung der Nachkommen (Fallstudie FS1) Weitere Iterationen / Generationen: Diese Schleife ist noch weitere 9-mal zu wiederholen, d. h., bis das Abbruchkriterium zutrifft.

6 Zweiphasen-Heuristik fu ¨ r die Fallstudie aus der Halbleiterindustrie F¨ ur die in Kapitel 3 beschriebene Problemstellung, ein flexibles Job-ShopProblem mit mehreren Maschinentypfolgen, ist ein geeignetes Lösungsverfahren zu entwickeln, das sehr gute Ablaufpläne in vertretbarer Rechenzeit erzeugen kann. Da aus Gr¨ unden der Komplexität eine optimale Lösung durch die Lösung des in Abschnitt 4.3 formulierten Totalmodells GGLP-Komplett nicht möglich ist, wird ein zweistufiger, hierarchischer Dekompositionsansatz verfolgt:1 • 1. Phase: Zunächst werden in einer ersten Phase die Maschinenfolgen f¨ ur alle Aufträge heuristisch bestimmt. Dies kann zufällig oder zielgerichtet erfolgen. Im letztgenannten Fall erfolgt die Wahl der Maschinenfolgen mit der Zielsetzung, Kapazitäts¨ uberschreitungen einzelner Maschinen zu vermeiden und alle Maschinen möglichst gleichmäßig auszulasten. Um dies zu erreichen, wird ein entsprechendes gemischt-ganzzahliges lineares Programm formuliert und gelöst (vgl. Abschnitt 6.1). • 2. Phase: Diese in der ersten Phase bestimmten Maschinenfolgen fließen als feste Größen in das Problem ein, so dass in einer zweiten Phase das resultierende Job-Shop-Scheduling Problem gelöst werden muss. Dazu werden ein Prioritätsregelverfahren (vgl. Abschnitt 6.2) sowie ein Genetischer Algorithmus (vgl. Abschnitt 6.3) angewendet. Der Aufbau der Zweiphasen-Heuristik ist auf der nächsten Seite in Abbildung 6.1 schematisch dargestellt.2 1

Die Hierarchisierung ist ein typisches Vorgehen bei komplexen Problemstellungen. Derartige Ansätze werden im Rahmen der Ablaufplanung z. B. auch bei Batch Scheduling Problemen (vgl. Jordan(1996); Potts/Kovalyov(2000); Trautmann(2005).) oder bei Multi-Mode Project Scheduling Problemen verfolgt (vgl. Heilmann(2000); Neumann et al.(2003), S. 177ff.). 2 Alternativ könnte in einer ersten Stufe anstelle der Maschinenfolgeauswahl lediglich eine Maschinentypfolgeauswahl erfolgen. Dann m¨ usste in der zweiten Stufe allerdings ein flexibles Job-Shop gelöst werden. I. J. Acker, Methoden zur mehrstufi gen Ablaufplanung in der Halbleiterindustrie, DOI 10.1007/978-3-8349-6731-2_6, © Gabler Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

164

6 Zweiphasen-Heuristik f¨ ur die Fallstudie aus der Halbleiterindustrie

Abbildung 6.1: Phasen des Lösungsverfahrens

6.1 1. Phase – Auswahl der Maschinenfolgen 6.1.1 Ein gemischt-ganzzahliges lineares Programm zur Auswahl der Maschinenfolgen Entsprechend dem hierarchischen Ansatz sollen in einer ersten Phase des problemspezifischen Lösungsverfahrens die Maschinenfolgen bestimmt werden, mit denen die einzelnen Chargen der verschiedenen Endmessdiodentypen herzustellen sind. Dies soll mit Hilfe eines gemischt-ganzzahligen linearen Programms erfolgen, das im Folgenden als GGLP-Auswahl bezeichnet wird.3 Es ist bei einem zu hohen zeitlichen Rechenaufwand denkbar, das exakte Verfahren nicht vollständig auszuf¨ uhren, sondern als Auswahlheuristik“ einzusetzen. ” Bei der Auswahl der Maschinenfolgen sollen zwei Zielsetzungen verfolgt werden: 1.) Keine Kapazit¨ ats¨ uberschreitung einzelner Maschinen Es ist sinnvoll, die Maschinenfolgen, in denen die einzelnen Chargen hergestellt werden sollen, so zu wählen, dass möglichst bei keiner Maschine die verf¨ ugbare Kapazität u ¨berschritten wird. Im GGLP-Auswahl wird daher als oberstes Ziel modelliert, die Anzahl der Kapazitäts¨ uberschreitungen bei den einzelnen Maschinen zu minimieren. Eine Kapazitäts¨ uberschreitung liegt vor, wenn die Kapazitätsbelegung einer Maschine (KBm ) die verf¨ ugbare Kapazität dieser Maschine (KVm ) u ¨berschreitet. Kommt dies bei mindestens einer der 24 Maschinen vor, ist von vornherein klar, dass der Auftragsbestand nicht wie vorgesehen vollständig im Planungszeitraum T hergestellt werden kann. Dies macht eine Reduktion der Auftragsanzahl erforderlich. GGLP-Auswahl ist erneut zu optimieren. Dies muss so lange wiederholt werden, bis es zu keiner Kapazitäts¨ uberschreitung mehr kommt (siehe folgende Abbildung 6.2, S. 165). Die Herstellung der reduzierten Aufträge muss in den folgenden Planungszeitraum verschoben werden. 3

Im Rahmen der Erläuterungen im folgenden Abschnitt 6.1.4 wird ersichtlich, weshalb ganzzahlige Variablen erforderlich sind.

6.1 1. Phase – Auswahl der Maschinenfolgen

165

Abbildung 6.2: Iteratives Vorgehen bei der Maschinenfolgeauswahl 2.) Gleichm¨ aßige Kapazit¨ atsauslastung aller Maschinen Es ist sinnvoll, die Maschinen zeitlich möglichst gleichmäßig auszulasten4 , da hierdurch das Auftreten von den Produktionsfluss störenden Engpassmaschinen reduziert werden kann. Zudem sind im Falle eines unerwarteten Maschinenausfalls bei einer gleichmäßigen Kapazitätsauslastung tendenziell weniger Aufträge von Verzögerungen oder Lieferausfällen betroffen. Bei der Berechnung der Kapazitätsauslastung einer Maschine ist zu ber¨ ucksichtigen, dass die Maschinen unterschiedlich lange zur Verf¨ ugung stehen. Jede Maschine hat damit eine Kapazitätsauslastung KAT m , die sich aus dem Verhältnis der Kapazitätsbelastung KBm (in Minuten) zur verf¨ ugbaren Kapazität KVm (in Minuten) ergibt.5 Damit lässt sich die T durchschnittliche Kapazitätsauslastung aller Maschinen KA berechnen: M

KBm KAT m = KVm

T

KA =

m=1

KAT m M

Im folgenden Abschnitt wird das gemischt-ganzzahlige lineare Programm zur Auswahl der Maschinenfolgen erläutert. Nach der Zusammenfassung aller Notationsvereinbarungen wird das Modell GGLP-Auswahl formuliert und erläutert. Im anschließenden Abschnitt wird die 1. Phase an einer modifizierten Fallstudie – FS3 – veranschaulicht. 4 5

Es ist nicht die Anzahl der Aufträge, sondern die zeitliche Belastung (Prozesszeiten inklusive evtl. R¨ ustzeiten) entscheidend. Im Gegensatz zur Definition der Kapazitätsauslastung KAm bzw. KA gemäß Abschnitt 2.3.3 auf S. 19, bei der der Bezugszeitraum von t0 bis zum Ende der Bearbeitung der letzten Operation geht, wird bei KAT m der Zeitraum von t = 0 bis zum Ende des Planungszeitraums T betrachtet. Die Kapazitätsbelastung KBm beinhaltet die Bearbeitungszeiten sowie eine angenäherte R¨ ustzeit. Die verf¨ ugbare Kapazität beinhaltet den Zeitraum von t = 0 bis T abz¨ uglich der Maschinenstillstands- und Anlaufzeiten.

166


6.1.2 Notationsvereinbarungen An dieser Stelle werden alle Notationsvereinbarungen in der Tabelle 6.1 zusammengefasst, die f¨ ur das Verständnis des Modells von Bedeutung sind: Indizes: j Endmessdiodentyp (j=1,. . . ,J) c Charge (in Bezug auf den Endmessdiodentyp j: c = 1, . . . , Cj ) e alternative Maschinenfolge (in Bezug auf den Endmessdiodentyp j: e = 1, . . . , Ej ) m Maschine (m=1,. . . ,M) Daten: J Ej Cj M KVm pjm rzjm xjem X gg gAG gAG

Anzahl Endmessdiodentypen Anzahl alternativer Maschinenfolgen e vom Endmessdiodentyp j Anzahl herzustellender Chargen c vom Endmessdiodentyp j Anzahl Maschinen verf¨ ugbare Kapazität von Maschine m Bearbeitungszeit von Endmessdiodentyp j auf Maschine m R¨ ustzeit von Endmessdiodentyp j auf Maschine m =1, wenn Endmessdiodentyp j auf Maschine m bearbeitet werden muss, wenn er mit Maschinenfolge e hergestellt wird (0 sonst) hinreichend große Zahl großes“ Zielgewicht ” Faktor zur Korrektur der Kapazitätsbelastung der Montagemaschinen m ∈ MAG Faktor zur Korrektur der Kapazitätsbelastung der (Nicht-Montage-)Maschinen m ∈ (M\MAG )

Entscheidungsvariablen: gjce =1, wenn Charge c vom Endmessdiodentyp j mittels Maschinenfolge e hergestellt wird (0, sonst) =1, wenn KBm > KVm (0, sonst) km ¨ Uberschreitung der durchschnittlichen Kapazitätsauslastung bei d+ m Maschine m Unterschreitung der durchschnittlichen Kapazitätsauslastung bei d− m Maschine m Kapazitätsbelastung der Maschine m KBm T KA Durchschnittliche Kapazitätsauslastung ZF Zielfunktionswert Tabelle 6.1: Deklarationen f¨ ur das Modell (GGLP-Auswahl)


167

6.1.3 Modellierung der Maschinenfolgeauswahl: GGLP-Auswahl min ZF

(6.1)

u. d. N. ZF = gg ·

M

km +

m=1

M

− (d+ m + dm )

M 1 KBm T · = KA M m=1 KVm T

− d+ m − dm + KA Cj Ej J

(6.2)

m=1

=

KBm KVm

(6.3) (∀m ∈ M)

(pjm + gAG · rzjm ) · xjem · gjce = KBm

(6.4) (∀m ∈ MAG ) (6.5)

j=1 c=1 e=1 Cj Ej J

(pjm + gAG · rzjm ) · xjem · gjce = KBm (∀m ∈ (M\MAG ))(6.6)

j=1 c=1 e=1

KVm + X · km ≥ KBm Ej

gjce = 1

(∀m ∈ M)

(∀j ∈ J ; ∀c ∈ Cj )

(6.7)

(6.8)

e=1

gjce ∈ {0; 1} km ∈ {0; 1}

(∀j ∈ J ; ∀c ∈ Cj ; ∀e ∈ Ej ) (∀m ∈ M)

− KBm , KVm , d+ m , dm ≥ 0 T

KA , ZF ≥ 0

(6.9) (6.10)

(∀m ∈ M)

(6.11) (6.12)

168


6.1.4 Erl¨ auterungen Berechnung der Abweichung von der durchschnittlichen prozentualen Auslastung (6.3 und 6.4): T

Die durchschnittliche Kapazitätsauslastung KA berechnet sich als Mittelwert der Kapazitätsauslastungen KAT m aller m Maschinen. Eine Abweichung von T KA – sowohl eine geringere als auch eine höhere Auslastung der Maschinen m – ist unerw¨ unscht. Die Abweichung kann durch zwei gegenläufige Schlupfva+ und d− riablen d+ m m modelliert werden. Die Abweichungsvariable dm gibt dabei ¨ eine Uberschreitung der durchschnittlichen Kapazitätsauslastung bei Maschine m an, d− m dagegen eine Unterschreitung: T

T

T

T

+ T KA < KAT m → KA + dm = KAm − T KA > KAT m → KA − dm = KAm

Die zwei gegenläufigen Schlupfvariablen nehmen also folgende Werte an: T

T d+ m := max{KAm − KA ; 0} T

T d− m := max{KA − KAm ; 0}

Mit Nebenbedingung 6.4 können somit die Abweichungsvariablenwerte berechnet werden. Diese fließen u ¨ber Nebenbedingung 6.2 in den Zielfunktionswert (vgl. 6.1) ein. Kapazit¨ atsbelastung der einzelnen Maschinen (6.5 und 6.6): Die tatsächliche Kapazitätsbelastung der Maschinen lässt sich nicht exakt berechnen. Zwar ist genau bekannt, wie viele Minuten ein Endmessdiodentyp auf einer Maschine bearbeitet werden muss, aber es ist nicht bekannt, ob f¨ ur ihn ger¨ ustet werden muss. Deshalb muss vorab f¨ ur den R¨ ustzeit-Kapazitätsverbrauch der einzelnen Maschinen ein Korrekturfaktor geschätzt werden. Hierbei wird zwischen den Montagemaschinen (MAG , vgl. 6.5) und den restlichen Maschinen (M\MAG ), vgl. 6.6) unterschieden, weil auf den Montagemaschinen aufgrund der Auftragsgruppen seltener ger¨ ustet werden muss. Kapazit¨ ats¨ uberschreitung (6.7): Zur Bestimmung der verf¨ ugbaren Kapazität einer Maschine wird f¨ ur jede Maschine ihre Anzahl verf¨ ugbarer Schichten mit der Dauer der Schicht multipliziert und anschließend um die mit ihrer entsprechenden Anlaufzeit multiplizierten Anzahl Stillstände verringert. Auf diese Weise wird f¨ ur jede Maschine die Zeit bestimmt, die sie im Planungszeitraum T insgesamt verf¨ ugbar ist. Die Binärvaur eine Kapazitäts¨ uberschreitung auf der Maschine riable km wird als Schalter f¨


169

m eingef¨ uhrt. Sobald die benötigte Kapazität auf einer Maschine größer ist als die zur Verf¨ ugung stehende Kapazität, erzwingt die Nebenbedingung 6.7, dass uhrt u die Binärvariable km den Wert 1 annimmt. Dies f¨ ¨ber Nebenbedingung 6.2 zu einer Verschlechterung des Zielfunktionswertes (vgl. 6.1). Auswahl der Maschinenfolge (6.8): Diese Bedingung erzwingt die Auswahl genau einer Maschinenfolge. Die Binärvaur jede Charge eines Endmessdiodentyps an, mit welcher Mariable gjce gibt f¨ schinenfolge sie herzustellen ist. Zielfunktion (6.1 und 6.2): Die beiden in Abschnitt 6.1.1 beschriebenen Zielsetzungen werden in Nebenbedingung 6.2 additiv verkn¨ upft und entsprechend ihrer Bedeutung gewichtet.6 Keine Kapazitäts¨ uberschreitungen zu erzeugen, hat höchste Priorität. Deshalb wird dieses Ziel im ersten Summanden mit einem großen Zielgewicht gg stärker gewichtet als der zweite Summand. Um eine gleichmäßige Kapazitätsauslastung zu erreichen, sollen die Kapazitätsauslastungen KAT m der Maschinen von der T durchschnittlichen Kapazitätsauslastung KA möglichst wenig abweichen. Mit dem zweiten Summanden, wird die Abweichungen von der durchschnittlichen ¨ Kapazitätsauslastung minimiert. Uber die Zielfunktion 6.1 wird ZF minimiert. Wertebereiche der Variablen (6.9-6.12): Die Nebenbedingungen 6.9, 6.10, 6.11 und 6.12 geben die Wertebereiche der im Modell verwendeten Variablen an.

6.1.5 Fallstudie FS3 Die im Abschnitt 4.3.4 auf S. 87 dargestellte Fallstudie FS2 konnte die Wirkungsweise des gemischt-ganzzahligen linearen Programms GGLP-Komplett sehr gut veranschaulichen. Es bildet die Begebenheiten der betrachteten Fallstudie aus der Halbleiterindustrie (FSH) allerdings nicht vollständig ab. Um diesen Umstand zu beheben, wird sie im Folgenden modifiziert und als Fallstudie FS3 bezeichnet. In der betrachteten Fallstudie aus der Halbleiterindustrie (FSH) m¨ ussen alle Aufträge zunächst montiert werden. Die erste Maschine wird immer eine Montagemaschine (m ∈ MAG ) sein, so dass die Nachlaufzeit nur im Anschluss an die erste Operation nötig ist. Im Modell GGLP-Komplett kann die Maschinen6

Es handelt sich um ein mehrkriterielles Optimierungsproblem. Es wird das Kompromissmodell der Zielgewichtung angewendet.

170


folgebedingung 4.24 durch die folgenden beiden Nebenbedingungen 6.13 und 6.14 ersetzt werden:7 ajce[2] ≥ ajce[1] + pj[1] + nzj[1] − X · (1 − njce ) (∀j ∈ J ; ∀c ∈ Cj ; ∀e ∈ Ej ) ajce[m] ≥ ajce[m−1] + pj[m−1] − X · (1 − njce ) (∀j ∈ J ; ∀c ∈ Cj ; ∀e ∈ Ej ; m = 3, . . . , Mje )

(6.13) (6.14)

In der Realität stehen Maschinen zwischen zwei Stillständen nur zur Verf¨ ugung, wenn die Zeit zwischen zwei Stillständen mindestens so groß ist, dass wenigstens eine Operation auf ihr vollständig bearbeitet werden kann. D. h., die Zeit zwischen dem Ende eines Stillstands und dem Anfang des darauf folgenden Stillstands ist in diesem Fall immer größer als der Zeitbedarf, der f¨ ur den Anlauf, den R¨ ustvorgang sowie die Bearbeitung von mindestens einem Auftrag benötigt wird. Formal ausgedr¨ uckt bedeutet dies: StAmv − StEmu ≥ azm + rzkm + pkm

; (u < v)

In der Fallstudie FS2 aus Abschnitt 4.3.4 wurde zunächst auf diese Forderung verzichtet, um die Wirkungsweise des gemischt-ganzzahligen linearen Programms anschaulicher darstellen zu können. Dementsprechend verändern sich in der Fallstudie FS3 sowohl die Maschinenstillstandszeiten als auch die alternativen Maschinenfolgen wie in den folgenden beiden Tabellen 6.2 und 6.3 auf S. 171 dargestellt. Außerdem wird der Planungshorizont T auf 80 ZE gesetzt. Wird die Fallstudie FS3 mit GGLP-Komplett exakt gelöst, ergibt sich das in Abbildung 6.3 auf S. 171 dargestellte optimale GanttDiagramm.

Maschine m=1 m=2 m=3 m=4

1. Stillstand 2. Stillstand 0-0 15-20 0-20 40-45 0-50 0-45 -

Tabelle 6.2: Stillstandszeiträume der Maschinen in ZE (Fallstudie FS3) 7

Die Aufträge durchlaufen die Maschinen auch in aufsteigender Reihenfolge, d. h., es kann nicht vorkommen, dass ein Auftrag erst auf Maschine m = 3 und anschließend auf Maschine m = 1 bearbeitet werden muss (vgl. dagegen z. B. bei Fallstudie FS2 Maschinenfolge 3 von Endmessdiodentyp 1).

6.1 1. Phase – Auswahl der Maschinenfolgen Produkt Maschinenfolge j=1 e=1 e=2 e=3 j=2 e=1 e=2 e=3 j=3 e=1 e=2 e=3

171

[1]je [2]je [3]je [4]je 1 3 4 1 2 3 4 1 2 3 1 3 4 1 2 4 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 1 3 4

Tabelle 6.3: Alternative Maschinenfolgen (Fallstudie FS3)

Abbildung 6.3: GGLP-Komplett: Gantt-Diagramm eines optimalen Ablaufplans von der Fallstudie FS3 Wird obige Fallstudie FS3 nicht simultan mit Hilfe des GGLP-Komplett gelöst, sondern mit dem hierarchischen Ansatz, ist in der 1. Phase das GGLP-Auswahl zu lösen. Dazu m¨ ussen zunächst die verf¨ ugbaren Kapazitäten der vier Maschinen und Korrekturfaktoren f¨ ur die R¨ ustzeiten bestimmt werden.

172


Der Planungshorizont beträgt 80 ZE. Maschine m = 1 steht zu Beginn und von 15-20 ZE still, d. h., sie muss zweimal anlaufen, wobei die Anlaufzeit 5 ZE beträgt. Damit ergibt sich eine verf¨ ugbare Kapazität der ersten Maschine von KV1 = 80 − 5 − 2 · 5 = 65. Analog kann KV2 = 51, KV3 = 29 und KV4 = 31 berechnet werden. In FS3 sind vier Aufträge herzustellen. Es gibt drei verschiedene Endmessdiodentypen, wobei zwei auf Maschine m = 1 eine Auftragsgruppe bilden und daher vom identischen Montagediodentyp sind, so dass bei einem Wechsel zwischen diesen beiden auf Maschine m = 1 nicht ger¨ ustet werden muss. Es sind von Endmessdiodentyp j = 1 zwei Chargen und von den anderen beiden Endmessdiodentypen jeweils eine Charge herzustellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass es auf Maschine 1 zu einem Auftragsgruppenwechsel kommt, ist 50 %. Die Wahrscheinlichkeit, dass es zu einem Endmessdiodenypwechsel auf den Maschinen m = 2, 3, 4 kommt, ist 83,3 %. Die Korrekturfaktoren nehmen damit die Werte gAG = 0, 5 und gAG = 0, 833 an. Die Lösung des GGLP-Auswahl f¨ uhrt zu folgendem Ergebnis: g113 = 1,

g121 = 1,

g212 = 1,

g311 = 1

Das bedeutet, dass die erste Charge des Endmessdiodentpys j = 1 mit Maschinenfolge 3 hergestellt werden sollen, die zweite dagegen mit Maschinenfolge 1. Der Endmessdiodentyp j = 2 ist mit Maschinenfolge 2 und der Endmessdiodentyp j = 3 mit Maschinenfolge 1 zu produzieren. Die Maschinenfolgeauswahl weicht somit von der des Simultanansatzes ab, bei der die beiden Chargen des Endmessdiodentyps j = 1 mit der Maschinenfolge 1 und die Endmessdiodentypen j = 2 und j = 3 jeweils mit der Maschinenfolge 2 herzustellen sind. Es wird von keiner Maschine die verf¨ ugbare Kapazität u ¨berschritten. Die durchT schnittliche Kapazitätsauslastung KA beträgt 52,95 %, die Kapazitätsauslastung der einzelnen Maschinen betragen: KAT 1 = 50, 77%,

KAT 2 = 53, 91%,

KAT 3 = 52, 29%,

KAT 4 = 54, 83%

Damit ergeben sich folgende Werte f¨ ur die Abweichungsvariablen: d− 1 d− 2 d− 3 d− 4

= = = =

0, 0218 0 0, 0066 0

d+ 1 d+ 2 d+ 3 d+ 4

= = = =

0 0, 0096 0 0, 0188

Der Zielfunktionswert ZF beträgt 0, 0569 Zielfunktionseinheiten. Auf der Maschine m = 1 werden alle 4 Aufträge bearbeitet, auf den Maschinen m = 2,

6.2 2. Phase – das Prioritätsregelverfahren

173

m = 3 und m = 4 nur 3 Aufträge. Die Kapazitätsbelastung (in ZE) der einzelnen Maschinen beträgt ungefähr: KB1 = 33,

KB2 = 27, 495,

KB3 = 15, 165,

KB4 = 16, 998

Diese Maschinenfolgeauswahl gilt nun als Input f¨ ur die folgende 2. Phase des entwickelten problemspezifischen Lösungsverfahrens. In den beiden folgenden Abschnitten 6.2 und 6.3 wird die Fallstudie FS3 weiter verfolgt.

6.2 2. Phase – das Priorit¨ atsregelverfahren 6.2.1 Einleitung Die in der 1. Phase bestimmten Maschinenfolgen fließen nun als gegebene Größen in die 2. Phase des Lösungsverfahrens ein. Wurde bisher ein Auftrag durch die drei Indizes jec“ dargestellt, wird im Folgenden unter einem Auftrag ” k eine Charge eines Endmessdiodentyps verstanden, deren Maschinenfolge e festgelegt ist. In diesem Abschnitt soll in der 2. Phase des Lösungsverfahrens ein Prioritätsregelverfahren angewendet werden. Da bei der Fallstudie aus der Halbleiterindustrie (FSH) eine reguläre Zielfunktion zu optimieren ist, ist ein optimaler Ablaufplan immer aktiv. Daher wird ein Prioritätsregelverfahren entwickelt, das auf dem in Abschnitt 5.3.3 beschriebenen Giffler&Thompson-Algorithmus basiert. Dieser muss an die realen Gegebenheiten in der Fallstudie angepasst werden, die durch Auftragsgruppen, Maschinenstillstände mit anschließenden kapazitätsreduzierenden Anlaufzeiten, R¨ ustzeiten sowie Nachlaufzeiten gekennzeichnet ist. In den folgenden Abschnitten dieses Kapitels wird erläutert, inwiefern der Giffler&Thompson-Algorithmus modifiziert werden muss. Dieses an die Problemstellung adaptierte Prioritätsregelverfahren wird zur Erzeugung von jeweils nur einem einzigen Ablaufplan angewendet. Nach M¨ uller-Merbach ist dies bei komplexen Ablaufplanungsproblemen gerechtfertigt, weil häufig viele gleich (oder fast gleich) gute Lösungen existieren, von denen deshalb nur eine erkannt werden muss.8 Um die f¨ ur die betrachtete Problemstellung geeignetste Prioritätsregel zu bestimmen, werden im Rahmen einer Simulationsstudie die in der Tabelle 6.4 auf S. 174 aufgezählten zwölf Prioritätsregeln9 auf ihre Leistungsfähigkeit unter8 9

Vgl. M¨ uller-Merbach(1970), S. 34f. Sie bilden die Menge PRIO: PRIO = {FCFS;FLT;KOZ;LRBZ;RZ;SZ;SZ/On; SZ/RBZ;WSLnM;Zufall;ZRDLZ;ZRDLZ/On}.

K¨ urzeste Operationszeit

Längste Restbearbeitungszeit

K¨ urzeste R¨ ustzeit

Kleinste Schlupfzeit

Kleinstes Verhältnis aus Schlupfzeit und Anzahl noch durchzuf¨ uhrender Operationen

KOZ

LRBZ

RZ

SZ

SZ/On

Kleinstes Verhältnis aus zulässiger Restdurchlaufzeit und Anzahl noch durchzuf¨ uhrender Operationen

Kleinste zulässige Restdurchlaufzeit

ZRDLZ

ZRDLZ/On

Zufällige Auswahl aus den vor der Maschine wartenden Aufträgen

Zufall

WSLnM

Kleinstes Verhältnis aus Schlupfzeit und Restbearbeitungszeit des Auftrags K¨ urzeste Warteschlangenlänge an der in der Operationsfolge des ausgewählten Auftrags nachfolgenden Maschine (Anzahl an wartenden Aufträgen)

Fr¨ uhester Liefertermin

FLT

SZ/RBZ

First Come First Serve

Erl¨ auterung

FCFS

Regel

pkm RBZk =

max

k∈K

min

k∈K

min

k∈K

min

k∈K

min

k∈K

min

ZRDLZk F ∗ − V aPk = k ONk ONk

Fk∗ − V aPk

ζ = rank(k) ∀k ∈ AKF mit ζ ∈ {0; AnzKF + 1}

W S[OSk +1]k

SZk F ∗ − RBZk − t = k RBZk RBZk

SZk F ∗ − RBZk − t = k ONk ONk

SZk = Fk∗ − RBZk − t

k∈K

k∈K

rzkm

(pkm + nzkm )

min

m∈ONk

(pkm + wkm + nzkm )

Priorit¨ atswert Φk

min

k∈K

k∈K

k∈K

min

m∈OSk

Fk∗

A∗k +

min

k∈K

min

174 6 Zweiphasen-Heuristik f¨ ur die Fallstudie aus der Halbleiterindustrie

Tabelle 6.4: Die in der Simulationsstudie verwendeten zwölf Prioritätsregeln


175

sucht.10 Davon sind neun einfache und drei kombinierte Prioritätsregeln, von denen sechs lieferterminbezogen und zwei operationszeitbezogen sind.11 Es kann im Verlauf des Prioritätsregelverfahrens die Situation auftreten, dass mindestens zwei Aufträge den gleichen, besten Prioritätswert aufweisen. Auf diese bez¨ uglich der ersten“ Prioritätsregel gleich guten Aufträge wird in einem ” zweiten Schritt die Prioritätsregel FLT angewendet. Wurde bereits FLT als erste Prioritätsregel angewendet, wird als zweite Regel KOZ eingesetzt. Zur Beurteilung der G¨ ute eines Ablaufplans m¨ ussen entsprechend der Zielsetzung verschiedene Kriterien bestimmt werden, die ihrerseits wiederum aggregiert werden können. Der Zielfunktionswert ZF setzt sich in Anlehnung an die Zielfunktion des in Abschnitt 4.3 formulierten GGLP-Komplett aus drei gewichteten Summanden zusammen:12 ZF = S >T + GZ + GT A+ Im Gegensatz zum GGLP-Komplett findet bei den beiden zu untersuchenden Lösungsverfahren keine Entscheidung statt, ob ein Auftrag im Planungszeitraum hergestellt wird oder nicht. Es kann nur festgestellt werden, wie viele Aufträge erst nach dem Ende des Planungszeitraums fertig gestellt werden. Diese Anzahl ist aber nicht gleichbedeutend mit der Anzahl nicht erf¨ ullter Aufträge.13 Um diese Problematik zu umgehen, fließt in den Zielfunktionswert daher nur die ¨ Information ein, dass es zu einem Uberschreiten des Planungshorizontes kommt. >T Der Strafterm S wird dabei umso stärker gewichtet, je mehr die Zykluszeit den Planungshorizont u ¨berschreitet: S >T = max{Z − 28800; 0} Die Zykluszeit Z wird mit dem Kehrwert aus des der Dauer des Planungszeitraums gewichtet: GZ = 10

Z 28800

Siehe Abschnitt 7.3 auf S. 217ff. Die Modifikationen der Schlupfzeit-Regel sollen Verletzungen von Lieferterminen verhindern, ¨ ¨ und im Falle einer Uberschreitung die Uberschreitungszeit möglichst gering zu halten. Vgl. Le Grande(1963). 12 In (Zielfunktions-)Einheiten. Es handelt sich im Prinzip um gewichtete Minutenwerte. 13 Die Anzahl nach dem Ende des Planungszeitraums fertig gestellter Aufträge stellt eine Obergrenze f¨ ur die Anzahl nicht innerhalb des Planungszeitraums erf¨ ullbarer Aufträge dar. Durch schrittweises Weglassen einzelner Aufträge und anschließendes Reoptimieren in der ersten Phase kann sich schrittweise der Anzahl nicht erf¨ ullter Aufträge angenähert werden (vgl. dazu Fußnote (7) auf Seite 211). Dies wird im Rahmen dieser Simulationsstudie jedoch nicht gemacht. 11

176


Die gewichtete Summe der Termin¨ uberschreitungen berechnet sich folgendermaßen:14 K

Fk − Fk∗ + GT A+ = GT A+ mit GT A = max ; 0 k k 2 · 28800 − Fk∗ k=1

6.2.2 Erweiterungen Bei der Anpassung des Giffler&Thompson-Verfahrens m¨ ussen folgende Sachverhalte ber¨ ucksichtigt werden: 6.2.2.1 Nachlaufzeit Jeder Diodentyp muss zunächst montiert werden. Unmittelbar im Anschluss an den Montagevorgang muss jeder Auftrag eine Nachlaufzeit durchlaufen, so dass er erst im Anschluss an diese weiterverarbeitet werden kann. Diese Nachlaufzeit ist bei der Berechnung der vorläufigen Anfangszeitpunkte der jeweils zweiten Operation zu ber¨ ucksichtigen (vgl. folgende Abbildung 6.4). ekm gibt den Endzeitpunkt der Bearbeitung sowie der potentiellen anschließenden Nachlaufzeit der Operation Okm an und entspricht damit dem Zeitpunkt, ab dem der Auftrag k auf der nächsten Maschinen in seiner Maschinenfolge weiter bearbeitet werden kann.

Abbildung 6.4: Nachlaufzeit 6.2.2.2 R¨ ustzeit und Auftragsgruppen Damit eine Maschinen einen bestimmten Diodentyp bearbeiten kann, muss sie einen entsprechenden R¨ ustzustand aufweisen. Da ein R¨ ustzustand nicht u ¨ber einen Maschinenstillstand erhalten bleibt, muss im Anschluss an diesen immer ger¨ ustet werden. Wenn zwei aufeinander folgende Aufträge i und k einen unterschiedlichen Endmessdiodentyp EDi = EDk aufweisen, ist außerdem in jedem Fall ein R¨ ustvorgang nötig. Auf den Montagemaschinen m = 1, . . . , 6 14

¨ Da ein Uberschreiten des Planungshorizontes möglich ist, muss im Gegensatz zu Formel 4.12 auf S. 81 im GGLP-Komplett T mit 2 multipliziert werden.


177

kann dieser allerdings entfallen, wenn die beiden aufeinander folgende Aufträge (i vor k) derselben Auftragsgruppe angehören, d. h., denselben Montagediodentyp aufweisen (M Di = M Dk ). Diese Aspekte sind in folgender Abbildung 6.5 zusammengefasst:

Abbildung 6.5: R¨ ustabfrage 6.2.2.3 Maschinen – Stillst¨ ande und Anlaufzeit Wenn ein Auftrag bei einer Maschine ankommt, kann sich diese in einem der in der folgenden Abbildung 6.6 dargestellten Zustände befinden.15

Abbildung 6.6: Möglichen Zustände der Maschine m 15

Ein • • • •

Auftrag k kann sich in folgenden vier Zuständen befinden: Er ist fertig. Er wartet vor einer Maschine. Er befindet sich in der Nachlaufzeit. Er wird auf einer Maschine bearbeitet.

178


Im Anschluss an einen Maschinenstillstand ist eine Anlaufzeit nötig, der immer ugbarkeitszeitraumes ein ein R¨ ustvorgang folgen muss.16 Ob innerhalb des Verf¨ (weiterer) R¨ ustvorgang zur Bearbeitung eines Auftrags k folgen muss, hängt von den im vorherigen Abschnitt erläuterten Bedingungen ab (vgl. insb. Abbildung 6.5). Bei der vorläufigen Einplanung eines Auftrages k muss zunächst der relevante Verf¨ ugbarkeitszeitraum der betreffenden Maschine m ermittelt werden. Beim erweiterten G&T-Algorithmus sind die beiden aufeinander folgenden Stillstände u∗ und v ∗ dadurch gekennzeichnet, dass der vorläufige Anfang von k nach dem Anfang des u∗ -ten Stillstands und vor dem Anfang des v ∗ -ten Stillstands liegt. Dies ist in der folgenden Abbildung 6.7 veranschaulicht:

Abbildung 6.7: Relevante Stillstände Im Folgenden enthält die Menge AST diejenigen Aufträge, die ebenfalls im gleichen Verf¨ ugbarkeitszeitraum wie der vorläufig ausgewählte Auftrag k vor der betreffenden Maschine mas warten. Außerdem muss bei der Einplanung des Auftrags immer darauf geachtet werden, dass er noch vor dem Beginn des kommenden Maschinenstillstands v ∗ fertig wird. Ist dies nicht der Fall, kann der Auftrag erst nach dem Ende des nächsten Stillstands eingeplant werden. 6.2.2.4 Konflikt-Begriff Beim Giffler&Thompson-Algorithmus spielt die Frage, ob ein Auftrag zu anderen Aufträgen auf einer Maschine in Konflikt steht, eine entscheidende Rolle. ¨ Ein Konflikt ist dabei im klassischen Fall die Uberschneidung der Prozesszeit, d. h., ein Konflikt liegt vor, falls mindestens ein anderer Auftrag zumindest teilweise zeitgleich auf derselben Maschine bearbeitet werden könnte. In vorliegender Problemstellung beansprucht ein Auftrag, wenn er auf einer Maschine 16

Die Maschinenstillstände sind so gelegt, dass die Zeit zwischen zwei Stillständen immer reicht, um mindestens eine Operation eines Auftrags mit vorheriger Anlauf- und R¨ ustzeit bearbeiten zu können.


179

ausgef¨ uhrt wird, nicht nur eine Prozesszeit, sondern er kann auch f¨ ur einen eventuell nötigen R¨ ustvorgang Kapazitäten der Maschine binden. Es wird deshalb im Folgenden zwischen der Belegungszeit und der Prozesszeit unterschieden. Die Belegungszeit bkm eines Auftrags k auf einer Maschine m wird definiert als die Summe der R¨ ust- und Prozesszeiten:17 bkm = rzkm + pkm Ist kein R¨ ustvorgang nötig, sind Belegungszeit und Prozesszeit identisch. Der vorläufige Anfang der Belegungszeit des Auftrags k auf der Maschine m wird V aBkm bezeichnet, das vorläufige Ende V eBkm . V ePkm und V eBkm sind immer identisch. Es muss aber zwischen V aPkm und V aBkm unterschieden werden. Der Sachverhalt ist in folgender Abbildung 6.8 graphisch veranschaulicht.

Abbildung 6.8: Belegungszeit vs. Prozesszeit mit und ohne R¨ ustvorgang Nachdem der Auftrag k ausgewählt wurde, ist zu u ufen, ob ein Konflikt ¨berpr¨ vorliegt. Im Gegensatz zum klassischen G&T-Algorithmus, bei dem der potentielle Anfang und das potentielle Ende unabhängig vom Vorgänger auf der Maschine ist, hängen diese beiden Werte nun vom Vorgänger ab: Je nachdem, wer der Vorgänger auf einer Maschine ist, muss zum Nachfolgeauftrag ger¨ ustet werden oder nicht. Die bisher berechneten Anfangs- und Endzeiten gehen vom 17

Der Begriff der Belegungszeit Bm einer Maschine m wurde bereits in Abschnitt 2.2.2 auf S. 18 definiert als die Zeitspanne vom Planungszeitpunkt t0 bis zum Abschluss der letzten Operation auf Maschine m. Sie setzt sich aus R¨ ust-, Bearbeitungs- und Leerzeiten zusammen. Bei der dortigen Definition geht es um die Erzeugung eines Auftragsbestandes. Im Gegensatz dazu bezieht sich die Belegungszeit an dieser Stelle nur auf einen Auftrag bzw. eine Operation bkm und beinhaltet daher nicht die Leerzeit vor oder nach der Belegung durch den Auftrag, sondern nur die evtl. nötige R¨ ustzeit rzkm und die eigentliche Bearbeitungszeit pkm .

180


bereits fest eingeplanten Vorgänger i aus. Nun sind sie unter der Annahme, dass k vor k bearbeitet wird, neu zu berechnen. Wenn sich dadurch das vorläufige Ende von k verschiebt, liegt ein Konflikt vor. Im Folgenden liegt also ein Konflikt vor, wenn sich die in Abhängigkeit vom Vorgänger k aktualisierten Belegungszeiten von mindestens zwei konkurrierenden Aufträgen u ¨berlappen. In Abbildung 6.9 ist dazu ein Beispiel skizziert. Bei Durchf¨ uhrung des G&T-Verfahrens wurde k als derjenige Auftrag mit dem minimalen vorläufigen Endzeitpunkt ermittelt. Neben ihm sind vier weitere Aufträge auf der betreffenden Maschine mas einplanbar. Die dargestellten Belegungszeiten der f¨ unf Aufträge, bestehend aus den R¨ ust- und Prozesszeiten, sind in Abhängigkeit von dem direkten Vorgänger i auf der Maschine mas angegeben. F¨ ur Auftrag k ist zu untersuchen, ob er zu anderen Aufträgen auf mas in Konflikt steht. Ein Konflikt kann nur entstehen, wenn vor der relevanten Maschine mas noch andere Aufträge im gleichen Verf¨ ugbarkeitszeitraum der Maschine warten.18 Zwischen Auftrag k = 5 und k besteht deshalb kein Konflikt. Es liegt – wie beim klassischen G&T-Algorithmus – immer ein Konflikt vor, sobald sich die die Prozesszeiten u ¨berlappen. Ist dies nicht der Fall, ist die Belegungszeit von k f¨ ur den potentiellen Zustand k vor k“ zu berechnen. ” Im gezeigten Beispiel steht k auf jeden Fall zu k = 2 in Konflikt, da sich die Prozesszeiten u ¨berschneiden. Ob zwischen k und k = 3 bzw. k = 4 ein Konflikt ustet werden besteht, hängt davon ab, ob von k zu k = 3 bzw. k = 4 umger¨ muss und wie lange dieser eventuelle R¨ ustvorgang dauert. Eine ausf¨ uhrliche Darstellung möglicher Situationen erfolgt im Abschnitt 6.2.3.

Abbildung 6.9: Veranschaulichung möglicher Konfliktfälle Dargestellt ist die Ausgangssituation an der Maschine mas, an uhestmöglich fertig wird. der k fr¨

18

Es muss daher immer der vorherige und folgende Stillstand u∗ und v ∗ auf der Maschine bestimmt werden.


181

6.2.3 Der Ablaufplan-Generator [G&T-ext] Im Folgenden wird der erweiterte Ablaufplan-Generator [G&T-ext] ausf¨ uhrlich beschrieben. Zu Beginn sind alle relevanten Informationen bekannt: Auf Auftragsseite die Anzahl Aufträge K sowie f¨ ur jeden Auftrag k sein Endmess- und Montagediodentypen (EDk , M Dk ), sein Fertigstellungstermine (Fk∗ ) und seine Maschinenfolgen mit der jeweiligen Anzahl Operationen (Ok ) und den jeweiligen R¨ ust-, Prozess- und Nachlaufzeiten (rzkm , pkm , nzkm ) und auf Maschinenseite die Stillstände (StAmv , StEmv ) der Maschinen und ihre Anlaufzeiten (azm ).

Abbildung 6.10: Struktogramm [G&T-ext] Der f¨ ur die in der Fallstudie aus der Halbleiterindustrie beschriebenen Problemstellung erweiterte (extended) Giffler&Thompson-Algorithmus ist von der Struktur genau wie der klassische Algorithmus aufgebaut (vgl. Abbildung 6.10). Der Algorithmus beginnt mit der Initialisierung (Zeile 1). • Die vorläufigen und tatsächlichen Anfangs- und Endzeitpunkte der Bearbeitungs- und Prozesszeit aller Operationen sowie der Verf¨ ugbarkeitszeitpunkt von Auftrag k auf Maschine m werden Null gesetzt: akm = ekm = V aPkm = V ePkm = V aBkm = V eBkm = ekm = 0.

182


• Die Anzahl der vor Maschine m wartenden Aufträge wird auf 0 gesetzt: W Sm = 0. • Die Menge der Aufträge, die vor Maschine m warten, ist leer: AWS m = {}. • Der Zeitpunkt, bis zu dem die Maschine m belegt ist, ist 0: Bbm = 0. • Die Menge der zwischen den Stillständen u∗ und v ∗ wartenden Aufträgen ist leer: AST = {}. • Die Anzahl fertiger Aufträge ist Null: Anzf A = 0. • Die Anzahl fertiger Operationen von Auftrag k ist 0: OSk = 0. • Die Anzahl an Konflikten ist 0: AnzKF = 0. • Die Menge der am Konflikt beteiligten Aufträge ist leer: AKF = {}. • Die Menge der einplanbaren Operationen ist leer: Oe = {}. Nach der Initialisierung muss die Menge einplanbarer Operationen Oe mit ihren fr¨ uhestmöglichen (vorläufigen) Anfangszeitpunkten – V aPkm und V aBkm – und Endzeitpunkten – V ePkm = V aBkm – bestimmt werden. 19 Hierbei werden die Verf¨ ugbarkeit der Maschinen, deren Anlaufzeiten azm sowie die zu Beginn ucksichtigt.20 Damit ist bekannt, wie viele immer nötigen R¨ ustzeiten rzkm ber¨ und welche Aufträge vor einer Maschine m warten (W Sm bzw. AWS m ) (vgl. Zeile 2). Nach der Initialisierung und dem Aufstellen des Starttableaus ist eine Schleife zu durchlaufen, bis alle K Aufträge fertig eingeplant sind (vgl. Zeile 3: Solange bis Anzf A = K). Die Schleife besteht aus den folgenden drei Hauptpunkten: 1. Bestimme den einzuplanenden Auftrag k ∗ (Zeile 4 sowie das Struktogramm [Konflikt] in Zeile 5) und plane ihn ein (Zeile 6)! Bestimme zudem seinen Verf¨ ugbarkeitszeitpunkt ek∗ mas (Zeilen 7+8)! 2. Aktualisiere die vorläufigen Anfangs- und Endzeitpunkt aller Aufträge k, die auch auf mas bearbeitet werden (Zeile 9)! Hierzu gibt es das Struktogramm [k, mas]. 3. Bestimme den vorläufigen Anfangs- bzw. Endzeitpunkt von k ∗ auf seiner nächsten Maschine nm f¨ ur den Fall, dass der Auftrag k ∗ noch nicht fertig ist (Zeile 10)! Hierzu gibt es das Struktogramm [k ∗ , nm]. 19

Das genaue Vorgehen wird an dieser Stelle nicht ausf¨ uhrlich erläutert. Hinweis: Die Berechnung von V aB und V aP wird im Prinzip nicht benötigt. Zwar wird V aP manchmal f¨ ur Abfragen verwendet, es könnte aber auch mit V eP − p substituiert werden. F¨ ur Entscheidungen sind die Anfangszeitpunkte aber nicht relevant und werden nur f¨ ur eine leichtere Reproduzierbarkeit bestimmt. 20 Da zu Beginn kein anderer Auftrag vorher auf der entsprechenden Maschine war, ist in diesem Zustand nicht zu u ufen, ob die verf¨ ugbare Zeit bis zum nächsten Stillstand f¨ ur eine ¨berpr¨ Einplanung reicht und ein R¨ ustvorgang nötig ist.


183

Zu 1.: Gemäß Zeile 4 im Struktogramm [G&T-ext] ist diejenige Operation Ok mas ausgewählt worden, deren vorläufiges Ende minimal ist (Auftrag k , Maschine mas). F¨ ur diesen Auftrag muss nun u uft werden, ob ein Konflikt im ¨berpr¨ Sinne der in Abschnitt 6.2.2.4 getroffenen Definition vorliegt. Hierzu ist das Struktogramm [Konflikt] (vgl. Abbildung 6.11) zu durchlaufen:

Abbildung 6.11: Struktogramm [Konflikt] Ein Konflikt kann nur entstehen, wenn vor der relevanten Maschine mas noch andere Aufträge im selben Verf¨ ugbarkeitszeitraum der Maschine warten. Zuerst muss also abgefragt werden, ob u ¨berhaupt noch andere Aufträge vor mas warten: W Smas > 1? (Zeile 1). Ist dies der Fall, wird k in AST aufgenommen. Das vorläufige Ende von k befindet sich zwischen den Stillständen u∗ und v ∗ (Zeile 3). Jeder andere Auftrag k, der vor mas wartet, endet nach k . So kann es sein, dass k ebenfalls zwischen den beiden Stillständen u∗ und v ∗ auf mas bearbeitet werden kann oder erst nach v ∗ (Zeile 5). Im zweiten Fall stehen k und k auf keinen Fall im Konflikt zueinander. Im ersten Fall kann es sein, und k wird daher in die Menge AST aufgenommen. Es besteht tatsächlich ein Konflikt zwischen dem Auftrag k und den Aufträgen der Menge AST , wenn ein

184


Auftrag k mit seiner Belegungszeit auf Maschine mas beginnen könnte, bevor k zu Ende bearbeitet wurde (Zeile 10): V aBkmas 0 (Zeile 12), muss der endg¨ ultig einzuplanende Auftrag k ∗ gemäß der vorgegebenen Prioritätsregel ausgewählt werden; ansonsten gilt k ∗ = k (Zeile 13). Anschließend ist k ∗ aus der Menge AST zu entfernen (Zeile 14). Damit ist das Struktogramm [Konflikt] durchlaufen und gemäß Zeile 6 im Struktogramm [G&T-ext] wird k ∗ eingeplant. Anfangs- und Endzeitpunkt der Prozesszeit werden endg¨ ultig festgelegt (ak∗ mas = V aPk∗ mas und ek∗ mas = V ePk∗ mas ). Der Zähler der bereits von k ∗ bearbeiteten Operationen Sk∗ wird um 1 erhöht.


185

Abbildung 6.12: Konfliktabfrage beim erweiterten G&T-Algorithmus (ohne Betrachtung von potentiellen Nachlaufzeiten) k ∗ ist aus den Mengen AWS mas und Oe zu löschen. Bbmas wird auf den Endzeitpunkt von k ∗ aktualisiert, und die Warteschlangenlänge vor mas W Smas um 1 erniedrigt. Die Menge der Konfliktaufträge AKF ist zu leeren und die Anzahl Konflikte AnzKF auf Null zur¨ uckzusetzen. Wenn es sich bei der Maschine mas um eine Montagemaschine gehandelt hat, dann muss k ∗ erst noch eine Nachlaufzeit nzk∗ mas durchlaufen, bevor er auf der in seiner Maschinenfolge nächsten Maschine nm bearbeitet werden kann. Er ist ugbar (Zeilen 7+8). dann erst zum Zeitpunkt ek∗ mas verf¨ Zu 2.: In Zeile 9 im Struktogramm [G&T-ext] wird das Struktogramm [k, mas] aufgerufen, das im Folgenden besprochen wird (vgl. Abbildung 6.13 auf S. 186). Wenn vor Maschine mas zwischen den relevanten Stillständen u∗ und v ∗ noch ussen andere Aufträge als der nun endg¨ ultig eingeplante k ∗ warten (Zeile 1), m¨ die vorläufigen Anfangs- und Endzeitpunkte dieser Aufträge eventuell angepasst ustzeit potentiell werden. Sie können nun erst nach k ∗ und einer evtl. nötigen R¨ eingeplant werden. F¨ ur diese Aufträge ist analog zum Struktogramm [Kon-

186


Abbildung 6.13: Struktogramm [k, mas] flikt] der vorläufige Anfangs- und Endzeitpunkt hinsichtlich der Belegungszeit und der Prozesszeit zu bestimmen. Entscheidend ist auch hier, ob von k ∗ zu k ger¨ ustet werden muss oder nicht: Sind Endmessdiodentyp bzw. auf den Montagemaschinen Montagediodentyp von k und k ∗ identisch (Zeilen 3-5), dann muss nicht umger¨ ustet werden. Es können wiederum die vier Fälle a-d unterschieden werden (Zeile 6). Es reicht in diesem Fall nicht nur die Feststellung eines Konfliktes wie im Struktogramm [Konflikt] aus, sondern es m¨ ussen auch die neuen vorläufigen Anfangs- und Endzeitpunkte der Belegungs- und der Prozesszeit dieser Konfliktaufträge berechnet werden (vgl. Abbildung 6.12, S. 185, analog f¨ ur k ∗ anstelle k ): • Fall a: Es muss ger¨ ustet werden. Die Belegungszeit von k beginnt aber erst nach dem Ende von k ∗ auf mas. Da die Zeit zwischen dem Ende von k ∗ auf mas und der Ankunft von k von der Vorgängermaschine vm reicht, um den R¨ ustvorgang durchzuf¨ uhren, kann k sofort auf mas bearbeitet werden, wenn es an die Maschine kommt. Dies entspricht dem Beginn der Prozesszeit. Der Anfang der Belegungszeit ist rzkmas Minuten davor. • Fall b: Es muss ger¨ ustet werden. Die Belegungszeit von k könnte bereits beginnen, während k ∗ noch auf mas bearbeitet wird. Das kann bereits ¨ eine Uberlappung mit der Prozesszeit oder – wie graphisch dargestellt – nur der R¨ ustzeit von k sein. Da die Zeit zwischen dem Ende von k ∗ auf mas und der Ankunft von k von der Vorgängermaschine vm nicht reicht,


187

um den R¨ ustvorgang durchzuf¨ uhren, schließt sich der R¨ ustvorgang und damit der Beginn der Belegungszeit V aBkmas sofort an das Ende von k ∗ auf mas an. Die Prozesszeit V aPkmas beginnt erst rzkmas Minuten danach. • Fall c: Es muss nicht ger¨ ustet werden. Die Belegungszeit (entspricht hier der Prozesszeit) von k beginnt aber erst nach dem Ende von k ∗ auf mas. Die Bearbeitung von k kann also sofort bei seiner Ankunft bei mas beginnen. • Fall d: Es muss nicht ger¨ ustet werden. Die Belegungszeit von k könnte bereits beginnen, während k ∗ noch auf mas bearbeitet wird. Hierbei han¨ delt es sich um eine Uberlappung der Prozesszeiten. Da Auftrag k vor ∗ dem Ende von k auf mas ankommt, kann k erst nach dem Ende von k ∗ beginnen. Das vorläufige Ende von k berechnet sich, indem zum vorläufigen Anfang der Prozesszeit die Prozesszeit dazu addiert wird (Zeile 8). Unter diesen neuen Gegebenheiten kann es sein, dass der Auftrag nun nicht mehr vor Beginn des uft werden (Zeile 9). Ist nächsten Stillstandes v ∗ fertig wird. Dies muss u ¨berpr¨ dies der Fall, kann der Auftrag k erst nach dem nächsten Stillstand eingeplant werden, so dass die vorläufigen Anfangs- und Endzeitpunkte noch einmal entsprechend angepasst werden m¨ ussen (Zeile 10). Dieser sog. Fall h ist in folgender Abbildung 6.14 veranschaulicht. Abschließend wird AST wieder als leere Menge definiert (Zeile 11).

h VePk mas>StAmas v* pk mas

pk mas v*

VaPk mas

azmas

rzk mas

VaBk mas

t

VaPk mas

Abbildung 6.14: Stillstandskollision k, mas Zu 3.: Der endg¨ ultig eingeplante Auftrag k ∗ ist bei Bedarf an seiner nachfolgenden Maschine nm einzuplanen. Dazu wird im Struktogramm [G&T-ext] in Zeile 10 das Struktogramm [k ∗ , nm] aufgerufen (vgl. Abbildung 6.15 auf der folgenden Seite).

188


Abbildung 6.15: Struktogramm [k ∗ , nm] Ist der Auftrag k ∗ fertig (Zeile 1), so wird der Zähler Anzf A um 1 erhöht. Ansonsten muss die nachfolgende Operation Ok∗ nm von Auftrag k ∗ auf der nachfolgenden Maschine nm eingeplant werden. Dazu wird k ∗ in die Menge der vor nm wartenden Aufträge AWS nm sowie die Menge der einzuplanenden ur die vor nm wartenden Operationen Oe aufgenommen und der Zähler W Snm f¨


189

Aufträge um 1 erhöht (Zeile 2). Zunächst wird als erster Wert f¨ ur den vorläufige ugbarkeit von Auftrag k ∗ nach seiner BearAnfangszeitpunkt V aPk∗ nm die Verf¨ beitung auf mas gesetzt. Der vorläufige Endzeitpunkt V ePk∗ nm berechnet sich, in dem zum vorläufigen Anfangszeitpunkt die Prozesszeit addiert wird (Zeile 3).

Abbildung 6.16: Mögliche Situationen an der nächsten Maschine nm bei Ankunft von Auftrag k ∗ Im nächsten Schritt muss sicher gestellt werden, dass diese Einplanung nicht mit einem Stillstand kollidiert. Wenn Auftrag k ∗ bei Maschine nm ankommt, kann sich diese Maschine in den in Abschnitt 6.2.2.3 und Abbildung 6.6 auf

190


S. 177f. beschriebenen Zuständen befinden. Daraus können sechs f¨ ur das erweiterte Giffler&Thompson-Verfahren relevante Fälle abgeleitet werden, die in Abbildung 6.16 auf S. 189 auf der linken Seite graphisch dargestellt sind. Auf der rechten Seite ist die Auswirkung auf die vorläufigen Anfangs- und Endzeitpunkte ersichtlich. Prinzipiell sind im erster Schritt immer die relevanten ur die gilt (Zeile 4):21 Stillstände u∗ und v ∗ zu bestimmen, f¨ StAnmu∗ ≤ V aPk∗ nm ≤ StAnmv∗ . Im nächsten Schritt wird in Zeile 5 gefragt, ob bei Ankunft von k ∗ auf nm etwas bearbeitet wird. Wenn ja, liegt Fall e vor. Wenn nein, ist zu u ufen, ob die ¨berpr¨ Maschine nm leer (Fall g) oder still (Fall f) steht (Zeile 6 links). Die weiteren Auswirkungen sowie Unterfälle werden im Folgenden ausf¨ uhrlicher dargestellt: • Fall e: nm ist verf¨ ugbar, aber belegt. Auf nm wird bei der Ankunft von Auftrag k ∗ Auftrag i bearbeitet. Dies impliziert, dass die Maschine zu diesem Zeitpunkt verf¨ ugbar ist. k ∗ kann erst nach dem Ende von i potentiell eingeplant werden. Entscheidend ist, ustet werden muss. Da eine Nachfolgemaschine nm ob von i nach k ∗ ger¨ nie eine Montagemaschine sein kann, sind nur die Endmessdiodentypen der beiden Aufträge zu vergleichen (Zeile 6 rechts). – Fall e1: Die beiden Aufträge haben identische Endmessdiodentypen. k ∗ kann sofort nach dem Ende von i auf nm eingeplant werden.22 – Fall e2: Die beiden Aufträge haben unterschiedliche Endmessdiodentypen. Der R¨ ustvorgang nach k ∗ kann erst nach dem Ende von i auf nm beginnen. • Fall f: nm steht still. Der Auftrag k ∗ kommt während eines Stillstands u∗ zur Maschine nm. Er kann vorläufig erst nach Ende dieses Stillstands mit Ber¨ ucksichtigung der Anlauf- und R¨ ustzeit eingeplant werden. • Fall g: nm ist verf¨ ugbar und frei. Um unnötigen Rechenaufwand zu vermeiden, wird in diesem Fall in Zeile uck7 eine Abfrage eingef¨ uhrt, um zu u ufen, ob k ∗ auch ohne Ber¨ ¨berpr¨ sichtigung eventueller R¨ ustzeiten vor Beginn des nächsten Stillstandes v ∗ fertig gestellt werden könnte (V ePk∗ nm > StAnmv∗ ?). Wenn die Zeit nicht reicht, muss k ∗ nach Stillstand v ∗ eingeplant werden (siehe Fall h). Im ustet werden anderen Fall, muss u uft werden, ob f¨ ur k ∗ auf nm ger¨ ¨berpr¨ muss. Es gibt zwei Fälle, in denen ger¨ ustet werden muss – erstens, wenn 21 22

Die Bestimmung von u∗ und v ∗ ist hier im Struktogramm nicht näher dargestellt. Die vorläufigen Anfangszeitpunkte der Belegungszeit und der Prozesszeit sind identisch.


191

die Maschine nm seit dem letzten Stillstand u∗ noch nicht belegt war, und zweitens, wenn der Vorgänger i auf nm ein anderer Diodentyp wie k ∗ ist. Es ist also entscheidend, ob nach dem letzten Stillstand u∗ bereits ein anderer Auftrag auf nm bearbeitet wurde oder nicht (vgl. Abfrage Zeile 8: Bbnm < StEnmu∗ ?). Insgesamt sind folgende Fälle zu unterscheiden: – Fall g1: Maschine nm ist verf¨ ugbar, frei und war seit dem letzten Stillstand noch nicht belegt, wenn Auftrag k ∗ ankommt. Das bedeutet, dass ustet werden muss. Entscheidie Maschine anlaufen und f¨ ur k ∗ ger¨ dend f¨ ur die potentielle Einplanung von k ∗ ist, ob die Zeit (Δ) zwischen der Ankunft von k ∗ bei nm und dem Ende des letzten Stillustzeit zu durchlaufen standes StEnmu∗ reicht, um die Anlauf- und R¨ (Zeilen 9+10). Je nachdem ist der vorläufige Anfangszeitpunkt der Belegungs- und Prozesszeit zu bestimmen. ∗ Fall g11: Die Zeit reicht nicht. Die Belegungszeit beginnt nach der Anlaufzeit und die Prozesszeit nach der Anlauf- und R¨ ustzeit. ∗ Fall g12: Die Zeit reicht. V aPk∗ nm kann beibehalten werden und die Belegungszeit beginnt rzk∗ nm Minuten davor. – Fall g2: Maschine nm ist verf¨ ugbar, frei und war seit dem letzten Stillstand bereits mindestens einmal belegt, wenn Auftrag k ∗ ankommt. Es ist zu u ufen, ob ein R¨ ustvorgang vom Vorgänger i auf k ∗ nötig ist ¨berpr¨ (Zeile 9) und ob die Zeit zwischen dem Ende von i und der Ankunft ustvorgang durchzuf¨ uhren (Zeilen 10+11). von k ∗ reicht, um den R¨ ∗ Fall g21: ustvori und k ∗ haben denselben Endmessdiodentyp. Es ist kein R¨ gang nötig. Die Belegungs- und Prozesszeit kann sofort bei Ankunft von k ∗ auf nm beginnen. ∗ Fall g22: i und k ∗ haben unterschiedliche Endmessdiodentypen. Die Zeit reicht, um den R¨ ustvorgang durchzuf¨ uhren. V aPk∗ nm kann beibehalten werden und die Belegungszeit beginnt rzk∗ nm Minuten davor. ∗ Fall g23: i und k ∗ haben unterschiedliche Endmessdiodentypen. Die Zeit reicht nicht, um den R¨ ustvorgang durchzuf¨ uhren. Die Belegungszeit beginnt nach dem Belegungsende von i und die Prozesszeit nach der R¨ ustzeit.

192


• Fall h: Sobald k ∗ nicht direkt nach einem Stillstand auf nm eingeplant wird, ist nicht mehr gewährleistet, dass die Zeit bis zum nächsten Stillstand uhren. Daher muss im Falle, dass nm verf¨ ugbar und reicht, um k ∗ auszuf¨ belegt ist, u uft werden, ob das vorläufige Ende von k ∗ bereits im ¨berpr¨ nächsten Stillstand liegt (Zeilen 14 rechts). Trifft dies zu, kann k ∗ erst nach Stillstand mit entsprechender Anlauf- und R¨ ustzeit potentiell eingeplant werden (Zeile 15). Ist nm ist zwar verf¨ ugbar und frei, die Zeit bis zum nächsten Stillstandsanfang reicht aber nicht (Zeile 7 links), dann ist k ∗ ebenfalls nach dem nächsten Stillstand einzuplanen (Feld ab Zeile 12). Damit stehen neben den vorläufigen Anfangs- auch die vorläufigen Endzeitpunkte (Zeile 16) der Prozess- und Belegungszeit f¨ ur k ∗ an nm fest. Nun wird die Schleife im Struktogramm [G&T-ext] von Neuem durchlaufen, falls noch nicht alle Aufträge erf¨ ullt sind.

6.2.4 L¨ osung der Fallstudie FS3 Zur Veranschaulichung wird in diesem Abschnitt der erweiterte Giffler&Thompson-Algorithmus zur Lösung der Fallstudie FS3 angewendet. Die vier herzustellenden Aufträge sind mit den in der 1. Phase ausgewählten Maschinenfolgen herzustellen (vgl. Abschnitt 6.1.5 auf S. 169). Nach der Initialisierung durchläuft der Algorithmus die Schleife, bis alle Aufträge vollständig eingeplant sind. Bei der Fallstudie FS3 m¨ ussen 4 Aufträge mit jeweils 3 Operationen und damit insgesamt 12 Operationen eingeplant werden. In Anlehnung an die tabellarische Darstellung des Lösungsweges beim klassischen Giffler&Thompson-Algorithmus in Abschnitt 5.3.3 auf S. 128 ist der Ablauf der erweiterten Variante in Tabelle 6.5 auf S. 193 dargestellt und wird im Folgenden ausf¨ uhrlich erläutert. F¨ ur die Einplanung der ersten Operation sind f¨ ur jeden der vier Aufträge der vorläufige Anfang sowie das vorläufige Ende der Belegungs- bzw. Prozesszeit auf der jeweiligen Maschine mas zu bestimmen. Wie dies erfolgt, wird am Beispiel von Auftrag k = 1 dargestellt: Der Auftrag k = 1 muss zuerst auf Maschine m = 1 bearbeitet werden. Da es sich um die erste Operation handelt, ist ekvm = 0. Maschine m = 1 steht zu Beginn des Planungszeitraums still. Die Anlaufzeit beträgt 5 ZE, die R¨ ustzeit f¨ ur k = 1 auf dieser Maschine dauert 3 ZE, die Prozesszeit 7 ZE. Damit ist der vorläufige Anfang der Belegungszeit in t = 5. Da der Auftrag als erster nach einem Stillstand auf der Maschine bearbeitet wird, muss ger¨ ustet werden. Die Prozesszeit beginnt damit vorläufig nach der R¨ ustzeit in t = 5 + 3 = 8. Das vorläufige Ende ist nach 7 ZE in t = 8 + 7 = 15.


1

2

3

4

5

6

7

Auftrag k EDk M Dk Maschine mas ekvm V aBkmas V aPkmas V eBkmas

1 1 1 1 0 5 8 15

2 1 1 1 0 5 8 15

3 2 1 1 0 5 8 15

RBZk RV nötig? Maschine mas ekvm V aBkmas V aPkmas V eBkmas

20 RV 1 0 25 28 35

17 RV 1 0 25 28 35

22 RV 1 0 25 28 35

kein Konflikt RV nötig? Maschine mas ekvm V aBkmas V aPkmas V eBkmas

RV 1 0 25 28 35

RV 1 0 25 28 35

RV 3 33 51 52 55

20 RV 1 0 35 35 42 X 20

17 RV 1 0 35 35 42

RV 1 0 25 28 35 X 22 RV 2 40 47 52 58 RV 2 40 47 52 58

RV 3 33 51 52 55 RV 3 33 51 52 55

RBZk RV nötig? Maschine mas ekvm V aBkmas V aPkmas V eBkmas RBZk RV nötig? Maschine mas ekvm V aBkmas V aPkmas V eBkmas

2 47 47 51 55

4 3 2 1 0 5 10 15 X 23 RV 2 18 22 28 33 X

RV 3 33 51 52 55

8

9

10

11

17 1 0 42 42 49 X


RV 2 47 47 51 55

3 54 52 54 58


8 RV 2 47 58 62 66

RV 3 54 52 54 58

RV 2 40 47 52 58 X 10 RV 4 58 56 58 62

RBZk RV nötig?

RV

5 RV

RV

RV 3 33 51 52 55 X 10 RV

12

13

193 Auftrag k EDk M Dk Maschine mas ekvm V aBkmas V aPkmas V eBkmas

1 1 1 2 47 58 62 66

2 1 1 3 54 55 57 61 X

3 2 1 4 58 56 58 62

4 3 2 4 55 53 55 62


RV 2 47 58 62 66

RV 4 61 59 61 62

RV 4 58 56 58 62


RV 2 47 58 62 66

1 RV 4 61 62 64 65

4 RV 4 58 62 64 68 X 4 RV

RV 4 55 53 55 62 X 7 RV

RBZk RV nötig? Maschine mas ekvm V aBkmas V aPkmas V eBkmas kein Konflikt RV nötig? Maschine mas ekvm V aBkmas V aPkmas V eBkmas kein Konflikt RV nötig? Maschine mas ekvm V aBkmas V aPkmas V eBkmas kein Konflikt RV nötig?

RV 2 47 58 62 66 X RV 3 66 66 66 70 X

1 RV 4 61 68 70 71 RV 4 61 68 70 71 RV 4 61 68 70 71 X RV

Tabelle 6.5: Ablauf des erweiterten Giffler&Thompson-Algorithmus mit Prioritätsregel LRBZ-FLT (Fallstudie FS3)

194


Nach dem Giffler&Thompson-Algorithmus muss derjenige Auftrag ausgewählt werden, dessen vorläufiges Ende minimal ist. In der ersten Iteration enden alle vier Aufträge nach 15 ZE vorläufig. Per Zufall wird der Auftrag k = 1 auf m = 1 ausgewählt.23 Nun wird u uft, ob ein Konflikt besteht, d. h., ob ein anderer Auftrag eben¨berpr¨ falls zumindest teilweise zeitgleich mit k = 1 auf m = 1 bearbeitet werden könnte. Hier stehen alle anderen drei Aufträge zum ersten Auftrag in Konflikt. Der Konflikt wird hier mit Hilfe der Prioritätsregel Längste Restbearbeitungszeit“ ” gelöst. Hierzu wird f¨ ur jeden der Konfliktaufträge die Restbearbeitungszeit bestimmt, d. h., die Summe der noch zu durchlaufenden Prozesszeiten und der evtl. noch zu durchlaufenden Nachlaufzeit (in der Tabelle in der Zeile RBZ ersichtlich), und daraus derjenige Auftrag mit der längsten Restbearbeitungszeit gewählt.24 In diesem Fall handelt es sich um Auftrag k = 4, dessen Restbearbeitungszeit sich auf RBZ4 = 23 ZE beläuft. Daher wird dieser Auftrag nun endg¨ ultig eingeplant. F¨ ur die Einplanung der zweiten Operation m¨ ussen die vorläufigen Anfangs- und Endzeitpunkte aktualisiert werden. Die Aufträge k = 1, k = 2 und k = 3 können nun erst nach dem Ende von Auftrag k = 4 auf Maschine m = 1 bearbeitet werden. Da es sich bei Maschine m = 1 um eine Montagemaschine handelt, sind in Bezug auf nötige R¨ ustvorgänge die Montagediodentypen entscheidend. Die Aufträge k = 1, k = 2 und k = 3 haben den Montagediodentyp 1 (siehe Zeile 2 der Tabelle). Der eingeplante Auftrag k = 4 ist aber vom Montagediodentyp 2, so dass bei einem Wechsel von k = 4 zu einem der anderen Aufträge k = 1, 2, 3 umger¨ ustet werden muss. Die anderen Aufträge könnten also jeweils fr¨ uhestens nach 3 ZE R¨ ustzeit in t = 15 + 3 = 18 auf m = 1 bearbeitet werden. Da der nächste Stillstand aber bereits in t = 15 beginnt, können die drei Aufträge erst nach dem Ende des Stillstands und der nötigen Anlaufzeit in t = 20 + 5 die Maschine belegen sowie nach dem R¨ ustvorgang in t = 25 + 3 auf der Maschine bearbeitet werden. Da Auftrag k = 4 noch nicht fertig gestellt ist, muss er seinerseits auf seiner Nachfolgermaschine vorläufig eingeplant werden. Nachdem er seine Nachlaufzeit von 3 ZE durchlaufen hat, kommt er bei Maschine m = 2 in t = 18 an. Da die Maschine zu diesem Zeitpunkt still steht und der Stillstand erst in t = 20 endet, kann die Belegungszeit erst nach Beendigung der Anlaufzeit (2 ZE) in t = 20 + 2 = 22 beginnen. Der Auftrag muss noch weitere 6 ZE aufgrund des R¨ ustvorganges bis zum Beginn seiner vorläufigen Prozesszeit in t = 28 warten. 23 24

In der Tabelle 6.5 durch Fettdruck gekennzeichnet. In der Tabelle 6.5 durch das Kreuz (X) gekennzeichnet.


195

Da noch nicht alle Aufträge eingeplant sind, beginnt die Schleife von vorne. Im nächsten Schritt wird wiederum Auftrag k = 4 ausgewählt, da dessen vorläufiges Ende minimal ist und kein Konflikt besteht. Wiederum werden die vorläufigen Anfangs- und Endzeitpunkte der Nachfolgeoperation von Auftrag k = 4 bestimmt. Der Algorithmus fährt in der bis dahin skizzierten Art fort, bis alle Aufträge vollständig eingeplant sind. Die genaue Einplanung kann anhand der folgenden Tabelle 6.6 und Abbildung 6.17 auf S. 196 nachvollzogen werden.25 Alle Aufträge sind nach 71 ZE fertig. Es werden alle vier Aufträge zwar verspätet, aber innerhalb des Planungshorizontes fertig gestellt. Dazu sind zehn R¨ ustvorgänge nötig, die insgesamt 32 ZE dauern. k 1 2 3 4

ak1 35 42 28 10

ek1 ak2 42 62 49 35 52 15 28

ek2 ak3 66 66 57 58 33 52

ek3 ak4 70 61 70 64 55 55

ek4 71 68 62

nzAk nzEk 42 47 49 54 35 40 15 18

Tabelle 6.6: Anfangs- und Endzeiten f¨ ur FS3 bei Anwendung von [G&T-ext] mit der Prioritätsregel LRBZ-FLT Wird die Fallstudie FS3 alternativ mit den anderen ausgewählten Prioritätsregeln berechnet, ergeben sich die in Tabelle 6.7 dargestellten Ergebnisse. AnzF nT gibt dabei die Anzahl der Aufträge an, deren Fertigstellungszeitpunkt nach dem Ende des Planungszeitraums T liegt. FCFS FLT KOZ LRBZ RZ SZ SZ/On SZ/RBZ WSLnM Zufall ZRDLZ ZRDLZ/On

ZF

Z

T A+

T A−

AnzT A+

AnzT A−

RZ

AnzRV

AnzF nT

1,67 1,74 1,57 1,64 1,67 1,77 1,62 1,68 1,83 8,92 1,77 1,67

79 77 72 71 79 77 73 74 78 87 77 74

78 88 76 86 78 91 82 87 98 95 91 86

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

35 37 32 32 35 37 34 34 37 38 37 34

11 12 10 10 11 12 11 11 12 12 12 11

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

Tabelle 6.7: Ergebnisse des erweiterten Giffler&Thompson-Verfahrens bei Anwendung verschiedener Prioritätsregeln f¨ ur die Fallstudie FS3 mit Maschinenfolgen gemäß GGLP-Auswahl 25

nzAk (nzEk ) gibt den Anfang (das Ende) der Nachlaufzeit von Auftrag k an.

196


Abbildung 6.17: Gantt-Diagramm f¨ ur die Fallstudie FS3 bei Anwendung von [G&T-ext] mit der Prioritätsregel LRBZ-FLT (Maschinenfolgen gemäß GGLP-Auswahl) Bei der optimalen Lösung mittels GGLP-Komplett ist der Zielfunktionswert 1,29 und die Zykluszeit Z = 65. Jeder Auftrag ist verspätet (T A+ = 55) und es sind 9 R¨ ustvorgänge nötig (RZ = 29).26

6.3 2. Phase – der Genetische Algorithmus Alternativ zu dem im vorigen Abschnitt beschriebenen Prioritätsregelverfahren wird in der 2. Phase auch ein Genetischer Algorithmus angewendet werden. Wie beim Prioritätsregelverfahren fließen auch in diesen die in der 1. Phase bestimmten Maschinenfolgen als gegeben in den Algorithmus ein. In den folgenden Abschnitten wird beschrieben, wie der Genetische Algorithmus f¨ ur die Anwendung auf die Fallstudie ausgestaltet wird. Im Folgenden werden einzelne noch nicht endg¨ ultig festgelegte Komponenten ebenfalls als Parameter bezeichnet. 26

Mit den gemäß GGLP-Auswahl ermittelten Maschinenfolgen kann bestenfalls der Zielfunktionswert ZF = 1, 44 bei einer Zykluszeit von 70 ZE mit vier verspäteten Aufträgen (T A+ = 60 ZE) erzielt werden. Es sind 12 R¨ ustvorgänge (RZ = 37 ZE) durchzuf¨ uhren. Das entsprechende Gantt-Diagramm ist im Anhang ersichtlich (vgl. A.9 auf S. 259).

6.3 2. Phase – der Genetische Algorithmus

197

6.3.1 Problemspezifische Ausgestaltung des Genetischen Algorithmus F¨ ur die betrachtete Problemstellung ist ein geeigneter Genetischer Algorithmus zu entwerfen. Ein Teil der Parameter wird direkt festgelegt. Die restlichen Parameter sind noch mit Hilfe von einer Simulationsanalyse zu bestimmen. Dazu werden im Folgenden Mengen definiert, die diejenigen Varianten der Parameter enthalten, die auf ihre Eignung gepr¨ uft werden sollen. Deren Elemente stellen somit die einzelnen Parametereinstellungen dar. Welche Parameter im Einzelnen betrachtet werden, wird im Folgenden in Anlehnung an die Reihenfolge in Abbildung 5.12 auf S. 136 beschrieben. 0) Kodierung Wie in Kapitel 5.4 bereits vorab vermerkt, wird als Lösungskodierung die Permutationskodierung mit Wiederholung festgelegt. Die Anzahl Gene eines Chromosoms hängen somit von der Anzahl Operationen ab, die durch die ausgewählte Maschinenfolge festgelegt wird.27 1) Ausgangspopulation Die Individuen der Ausgangspopulation werden zufällig erzeugt. Hinsichtlich der Populationsgröße werden vier Varianten untersucht. Die Populationsgröße I beträgt 50, 120, 200 oder 500 Individuen: POP = {50; 120; 200; 500} 2) Lösungsevaluation F¨ ur die Bewertung der Individuen muss das Chromosom decodiert werden. Dazu wird ein Verfahren entwickelt, das die problemspezifischen Eigenschaften des Produktionsprozesses ber¨ ucksichtigt – der AblaufplanGenerator [Decod-ext]. Dessen genaue Ausgestaltung wird in Abschnitt 6.3.2 ausf¨ uhrlich beschrieben. Die Beurteilung der G¨ ute des erzeugten Ablaufplans erfolgt wie im Rahmen des Prioritätsregelverfahrens28 mit dem Zielfunktionswert ZF = S >T + GZ + GT A+ . Die Fitnesswerte der Individuen werden rangbasiert linear zugewiesen. Es werden zwei verschiedene Varianten des Selektionsdrucks getestet: SD = {1, 2; 1, 95} 27 28

Gemäß GGLP-Auswahl – siehe Abschnitt 6.1, S. 164ff. Vgl. Abschnitt 6.2.1, S. 173f..

198


3) Abbruchkriterium Es wird eine Vielzahl von Abbruchkriterien getestet, die sich aber alle auf zwei Strategien zur¨ uckf¨ uhren lassen. Im ersten Fall wird der Genetische Algorithmus abgebrochen, nachdem er eine bestimmten Anzahl G an Generationen durchlaufen hat. Hierbei werden 25, 100, 300, 400 und 1000 Generationsdurchläufe getestet. Im zweiten Fall endet der Algorithmus, wenn mehr als eine bestimmte Anzahl GOV an Generationen – hier 10, 25 oder 50 – keine Verbesserung des Zielfunktionswertes erreicht werden konnte. Zudem werden diese beiden Abbruchkriterien miteinander kombiniert (BG) mit den Parameterwerten G-GOV 50-5, 50-10, 100-25, 100-50, 300-100. AB = {BG50-5; BG50-10; BG100-25; BG100-50; BG300-100; GOV10; GOV25; GOV50; G25; G100; G300; G400; G1000} 4) Selektion zur Reproduktion Zur Selektion von geeigneten Individuen aus der aktuellen Generation wird zunächst ein Mating-Pool erzeugt. Zur Generierung des MatingPools werden die Turnier- und die Zeiger-Selektion eingesetzt. Im Falle der Turnier-Selektion treten entweder 3 oder 5 Individuen gegeneinander an. Die Menge der eingesetzten Selektionsverfahren beinhaltet damit drei Elemente: SV = {3-Turnier; 5-Turnier; Pointer} In einem zweiten Schritt werden aus dem generierten Mating-Pool zufällig jeweils zwei Individuen als Eltern ausgewählt. Da diese aus dem MatingPool entfernt werden, hängt dessen Größe davon ab, ob ein Elternpaar nur ein Kind (Single) oder zwei Kinder (Double) erzeugt: AN ZKI = {Single; Double} 5) Crossover Es werden zwei Crossover-Verfahren getestet – das Position Based Crossover (PBX) und das General Order Based Crossover (GOX): CV = {PBX; GOX} Die Anzahl der zu vertauschenden Gene im Falle des PBX wird ebenso wie die Länge des auszutauschenden Substrings im Falle des GOX zufällig bestimmt. Sie liegt zwischen 1/3 und 1/2 der Länge eines Chromosoms. Als Crossover-Wahrscheinlichkeit pC werden die Werte 60, 95 und 100% getestet: PC = {60; 95; 100}


199

6) Mutation Es wird getestet, ob in diesem Problemfall der Genetische Algorithmus mit oder ohne (ohneM) Mutation besser ist. Als Mutations-Variante werden Random Mutation (RM) und Order Based Mutation (OBM) sowie eine Kombination aus beiden (Both Mutation, BM) betrachtet, bei der in 90% der Fälle OBM durchgef¨ uhrt wird. Eine Mutation neuer Individuen soll mit der Mutations-Wahrscheinlichkeit pM von 3 und 10% erfolgen. Damit ergeben sich folgende sieben Varianten: GAM = {BM3; BM10; OBM3; OBM10; ohneM; RM3; RM10} 7) Bewertung vgl. 2) 8) Evolutionsstrategie Bei der Frage, welche Individuen die nächste Generation bilden d¨ urfen, werden zwei Evolutionsstrategien analysiert. Im ersten Fall ersetzen die Kinder die Eltern unabhängig von ihrer Fitness komplett (Replacement, R). Dabei kann eine Elitismus-Strategie verfolgt werden, d. h., von den aktuellen Generation wird sofort eine vorgegebene Anzahl an Individuen in die Nachfolgegeneration kopiert. Hier werden die Elitismus-Anzahlen 0, 2, 6 und 12 getestet (R0, R2, R6, R12). Im zweiten Fall findet ein ¨ Wettbewerb zwischen allen Eltern und Kindern statt, der ein Uberleben der Fittesten sicherstellt (Competition, C).29 Insgesamt werden folglich f¨ unf Varianten betrachtet: ES = {R0; R2; R6; R12; C}

6.3.2 Der Ablaufplan-Generator [Decod-ext] Jedes Chromosom stellt einen Ablaufplan dar. Die Informationen, die in einem Chromosom enthalten sind, m¨ ussen mit Hilfe eines Ablaufplan-Generators dekodiert werden. Im Folgenden wird beschrieben, wie der in Abschnitt 5.4 beschriebene Generator [Dekod] erweitert werden muss, dass er aus einem Chromosom unter Ber¨ ucksichtigung der Maschinenstillstände, Anlauf- und R¨ ustzeiten einen Ablaufplan erzeugt. Das in Abbildung 6.18 auf S. 200 dargestellte Struktogramm entspricht sog. Ablaufplan-Generator [Decod-ext], der im Genetischen Algorithmus implementiert wurde. 29

Hinweis: Die Abk¨ urzung C ist nicht mit dem Symbol f¨ ur die Anzahl herzustellender Chargen zu verwechseln.

200


Abbildung 6.18: Struktogramm Ablaufplan-Generator [Decod-ext] Nach der Initialisierung (Zeile 1) wird die Schleife solange durchlaufen, bis alle Gene des Chromosoms der Reihe nach abgearbeitet sind (Zeile 2). Jedes Gen enthält die Informationen u ¨ber den jeweiligen Auftrag k ∗ (Zeile 3). Aufgrund der Permutationscodierung mit Wiederholung kann ermittelt werden, die wie vielte Operation von k ∗ nun zu bearbeiten ist (Zeile 4). Dadurch kann bestimmt werden, auf welcher Maschine mas diese zu bearbeiten ist (Zeile 4) und wer der


201

Vorgängerauftrag i auf mas ist. Es ist der Reihe nach bekannt, ob und, wenn ja, auf welcher Vorgängermaschine k ∗ fertig bearbeitet wurde (ek∗ vm ), und wann die Maschine mas verf¨ ugbar ist (Bbmas ) (Zeile 5). Es stellt sich die Frage, ob die Maschine oder der Auftrag fr¨ uher verf¨ ugbar ist (Zeile 6). Ist der Auftrag später verf¨ ugbar als die Maschine, entsteht möglicherweise eine Leerzeit. Umgekehrt muss der Auftrag auf jeden Fall vor der Maschine warten. Es wird zunächst der Fall betrachtet, dass der Auftrag später verf¨ ugbar ist. Es muss im ersten Schritt das relevante Pausensegment bestimmt werden (Zeile 8). Wenn die Maschine in dem jeweiligen Pausensegment bereits belegt war, hängt ein R¨ ustvorgang davon ab, ob i und k ∗ unterschiedliche Endmessdiodentypen und bei Montagemaschinen unterschiedliche Montagediodentypen haben (Zeilen 10-12). Muss nicht ger¨ ustet werden, kann der Auftrag sofort eingelastet werden, wenn er bei der Maschine ankommt. Muss ger¨ ustet werden, ist zu u ufen, ob die Leerzeit f¨ ur den R¨ ustvorgang reicht (Zeile 13). Wenn ¨berpr¨ nicht, verschiebt sich die vorläufige Anfangszeit um die zeitliche Differenz. War die Maschine im Pausensegment noch nicht belegt, hat der Auftrag k ∗ keinen Vorgänger auf mas. Es muss nur u uft werden, ob die Zeit zwischen dem ¨berpr¨ Ende des Stillstands und der Ankunft des Auftrags f¨ ur die Anlauf- und R¨ ustzeit reicht (Zeilen 10-11). Wenn nicht, verzögert sich die vorläufige Anfangszeit wieder um die Differenz. Ist dagegen die Maschine später verf¨ ugbar (Zeile 7), wartet der Auftrag vor der Maschine. Die Maschine ist mit einer einzigen Ausnahme belegt. Bei der Ausnahme handelt es sich um den ersten Stillstand: Jede Maschine steht zu Beginn still, manche laufen gleich an, andere stehen noch länger still. Kommt der Auftrag k ∗ während des ersten Stillstandes u = 1 bei der Maschine mas an, kann er erst nach dessen Ende sowie der Anlauf- und R¨ ustzeit eingeplant werden. Ansonsten ist zu u ufen, ob vom Vorgängerauftrag i zu Auftrag k ∗ ¨berpr¨ ger¨ ustet werden muss. Dabei spielen wieder die Endmess- und bei Montagemaschinen die Montagediodentypen eine Rolle (Zeilen 10-12). Entweder kann der Auftrag sofort im Anschluss an seinen Vorgänger bearbeitet werden oder der vorläufige Anfang verschiebt sich um die R¨ ustzeit. Ist der vorläufige Anfangszeitpunkt bekannt, kann durch Addition der Prozesszeit der vorläufige Endzeitpunkt berechnet werden (Zeile 15). Es stellt sich die Frage, ob die Bearbeitung des Auftrages noch rechtzeitig vor dem nächsten Stillstandsanfang beendet werden kann (Zeile 16). Da die Bearbeitung nicht unterbrochen werden darf, kann der Auftrag im Bedarfsfall erst nach dem nächsten Stillstand eingeplant werden. Damit sind der endg¨ ultige Anfangs- und Endzeitpunkt bekannt und der Auftrag kann fest eingeplant werden. Bbmas wird aktualisiert (Zeilen 17+18).

202


Da nach dem Montieren eine Nachlaufzeit zu ber¨ ucksichtigen ist, ist der Auftrag nicht direkt zu seinem Endzeitpunkt auf der Maschine zur weiteren Bearbeitung verf¨ ugbar. Der Endzeitpunkt des Auftrags wird in diesem Falle um die Nachugbarkeit des Auftrages laufzeit nzk∗ mas erhöht, so dass ek∗ mas wieder die Verf¨ zum Ausdruck bringt (Zeilen 19+20). Indem die Anzahl der betrachteten Gene um eins erhöht wird, wird im nächsten Schritt das nächste Gen (Zeile 21). Der Prozess wird solange wiederholt, bis alle Operationen eingeplant sind. Dies soll an einem konkreten Chromosom exemplarisch veranschaulicht werden. Hierzu wird ein Chromosom f¨ ur die Fallstudie FS3 betrachtet. Zur Erinnerung – beim FS3 sind 4 Aufträge zu erf¨ ullen, deren Maschinenfolgen gemäß GGLP-Auswahl festgelegt wurden. Zur Herstellung der ersten drei Aufträge sind jeweils drei Arbeitsgänge und f¨ ur den vierten Auftrag vier Arbeitsgänge nötig. Insgesamt sind 13 Operationen abzuarbeiten. Wird die Permutationskodierung mit Wiederholungen nach Bierwirth angewendet, setzt sich das Chromosom aus 13 Genen zusammen, die Werte im Bereich von 1-4 annehmen. Ein mögliches Chromosom ist in folgender Abbildung 6.19 dargestellt:

Abbildung 6.19: Dekodierung des betrachteten Chromosoms (Fallstudie FS3) Die Gennummer gibt den jeweiligen Auftrag k an, dem u ¨ber den Operationszähler OSk die entsprechende Maschine m zugeordnet werden kann. Damit können die Auftragsfolgen der einzelnen Maschinen ermittelt werden. Sie sind in der folgenden Tabelle 6.8 dargestellt.

m=1 m=2 m=3 m=4

[1]m [2]m [3]m [4]m 3 4 2 1 4 3 1 2 4 1 3 2 4 -

Tabelle 6.8: Auftragsfolgen [k ] des betrachteten Chromosoms (Fallstudie FS3)


203

Der Ablauf zur Erzeugung des dazugehörigen Ablaufplans mit Hilfe des in Abbildung 6.18 auf S. 200 dargestellten Ablaufplan-Generators [Decod-ext] kann anhand der folgenden Tabelle 6.9 nachvollzogen werden: Gennr

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

3 0 2 1

4 0 3 2

4 38 3 2

3 20 2 1

2 0 1 1

2 50 1 1

3 69 2 1

4 58 3 2

1 0 1 1

1 57 1 1

1 77 1 1

2 57 1 1

4 61 3 2

Auftrag k∗ ek∗ vm EDk∗ M Dk ∗ Maschine mas Bbmas azmas u∗ v∗

1 1 2 2 1 3 4 3 1 2 3 4 4 0 15 0 58 35 0 0 57 45 69 61 73 76 5 5 2 2 5 1 4 1 5 2 1 4 4 0-0 0-0 0-20 40-45 15-20 0-50 0-45 0-50 15-20 40-45 0-50 0-45 0-45 15-20 15-20 40-45 -

pk∗ mas rzk∗ mas

7 3

5 5

5 6

6 5

7 3

4 2

4 2

3 1

7 3

4 4

4 2

1 2

7 2

Vorg¨ anger i EDi M Di

-

3 2 1

-

4 3 2

4 3 2

-

-

2 1 1

2 1 1

3 2 1

4 3 2

3 2 1

2 1 1

8 15 20

30 35 38

53 58 58

63 69 69

38 45 50

53 57 57

69 73 73

58 61 61

45 52 57

73 77 77

77 81 81

75 76 76

78 85 85

ak∗ mas ek∗ mas ek∗ mas

Tabelle 6.9: Iteratives Vorgehen zur Generierung des zum betrachteten Chromosom korrenspondierenden Ablaufplans (Fallstudie FS3) Es ergibt sich eine Zykluszeit von 85 ZE. Es m¨ ussen 12 R¨ ustvorgänge durchgef¨ uhrt, die eine gesamte R¨ ustzeit von 37 ZE benötigen.30 Die gesamte Termin¨ uberschreitung beträgt 130 ZE.31 Es handelt sich um einen schlechten Ablaufplan mit dem Zielfunktionswert 7,18 Zielfunktionseinheiten.32 Er ist graphisch noch auf der nächsten Seite in Abbildung 6.20 als Gantt-Diagramm veranschaulicht. 30

M1: 3 St¨ uck – 11 ZE, M2: 3 St¨ uck – 15 ZE, M3: 3 St¨ uck – 5 ZE, M4: 3 St¨ uck – 6 ZE. A1: 41 ZE, A2: 26 ZE, A3: 23 ZE, A4: 40 ZE. Fk −Fk∗ 32 = 5 + 1, 0625 + ZF = S >T + GZ + GT A+ = max{0; Z − T} + ZT + K k=1 max 0; 2·T−Fk∗ 1, 118 = 7, 1805. 31

204


Abbildung 6.20: Gantt-Diagramm des zum betrachteten Chromosom korrespondierenden Ablaufplans (Fallstudie FS3)

6.3.3 L¨ osung der Fallstudie FS3 Abschließend wird die Fallstudie FS3 mit Hilfe des Genetischen Algorithmus gelöst. Dazu werden folgende Parametereinstellungen gewählt: Kodierung: Populationsgröße I: Ausgangspopulation: Selektion Mating-Pool: Selektion Elternpaare: Anzahl Kinder: Crossover: Crossover-Wahrscheinlichkeit: Mutation: Mutations-Wahrscheinlichkeit: Evolutionsstrategie: Abbruchkriterium:

Permutationskodierung mit Wiederholung 12 zufällig erzeugt Turnier-Selektion mit 3 Teilnehmern stochastische Selektion Single PBX pC = 95% RM (pM V = 10%) pM = 10% R BG15-5


205

In der folgenden Abbildung 6.21 ist die Entwicklung der Zielfunktionswerte im Verlauf der Generationen dargestellt. Der durchschnittliche Zielfunktionswert ZF sowie die Standardabweichung σ nehmen, mit Ausnahme von Generation 7, kontinuierlich ab. Der jeweils beste Zielfunktionswert ZF ∗ ist bereits zu Beginn mit 1,60598 nahe an dem bei den gegebenen Maschinenfolgen minimal zu erreichenden Wert von 1,44318. Er verkleinert sich bis zu Generation 4 auf den Wert 1,56828. Da sich dieser Wert in den folgenden f¨ unf Generationen nicht weiter verringert, bricht der genetische Algorithmus in der neunten Generation ab. 9

ZF

s V

ZF*

8

Zielfunktionswert

7 6 5 4 3 2 1,443 1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

ZF

8,56635

5,06961

3,6243

1,75149

1,70635

1,58776

2,12963

1,56983

1,5898

ZF*

1,60598

1,6126

1,57093

1,56828

1,56828

1,56828

1,56828

1,56828

1,56828

sV

5,5517

5,5491

3,8738

0,3762

0,3654

0,0204

1,8412

0,0013

0,0706

Generation

Abbildung 6.21: Entwicklung der Zielfunktionswerte im Verlauf der Generationen (Fallstudie FS3) Ein Chromosom, das den besten Zielfunktionswert aufweist, sieht folgendermaßen aus (vgl. Abbildung 6.22):

Abbildung 6.22: Ein Chromosom mit bestem Zielfunktionswert ZF ∗ (Fallstudie FS3) Der dazugehörige Ablaufplan in folgendem Gantt-Diagramm abgebildet (vgl. Abbildung 6.23 auf der nächsten Seite): Alle Aufträge werden innerhalb des Planungshorizontes fertig gestellt. Es sind dazu 10 R¨ ustvorgänge nötig, die insgesamt 32 ZE in Anspruch nehmen. Jeder Auftrag wird verspätet fertig gestellt, die gesamt Termin¨ uberschreitung beträgt 76 ZE.

206


Abbildung 6.23: Gantt-Diagramm des zum obigen Chromosom mit bestem Zielfunktionswert ZF ∗ korrespondierenden Ablaufplans (Fallstudie FS3)

7 Evaluation In diesem Kapitel erfolgt eine Evaluation der in Kapitel 6 entwickelten Lösungsverfahren. Die ausf¨ uhrliche Betrachtung von Ablaufplanungsproblemen und insbesondere des Job-Shop-Scheduling Problems in der Literatur hat zur Entwicklung von sog. Benchmark-Problemen unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade gef¨ uhrt, in denen umfangreiche und allgemein anerkannte Testdatensätze zusammengefasst sind, die zum Vergleich der Effizienz verschiedener Lösungsver¨ fahren herangezogen werden. Ein Uberblick u ¨ber die in der Literatur häufig verwendeten Benchmark-Probleme findet sich u. a. in Demirkol et al.(1996) und Jain/Meeran(1999). Dabei spielt insbesondere das 1963 von Fisher und ur die betrachtete Thompson beschriebene 10 × 10-Problem eine große Rolle.1 F¨ Problemstellung in der Fallstudie FSH existiert im Gegensatz zum simplifizierten Job-Shop-Problem allerdings kein Benchmark. Zunächst werden deshalb in Abschnitt 7.1 die Realität abbildende Daten generiert und geeignete Szenarien definiert. Auf Basis dieser erfolgt in Abschnitt 7.2 eine Untersuchung der 1. Phase zur Auswahl der Maschinenfolgen der jeweiligen Aufträge. Um f¨ ur die Problemstellung geeignete Prioritätsregeln bzw. Parametereinstellungen des Genetischen Algorithmus zu bestimmen, werden in Abschnitt 7.3 zahlreiche Simulationsrechnungen durchgef¨ uhrt. Die Ergebnisse der beiden Verfahren werden abschließend in Abschnitt 7.4 miteinander verglichen.

7.1 Bestimmung und Generierung der Daten und Szenarien fu ¨ r die Simulationsstudie Bei der Simulationsstudie soll die Realität so weit wie möglich abgebildet werden. Die Daten, die in die Simulation einfließen, m¨ ussen die realen Gegebenheiten daher bestmöglich widerspiegeln. Es gibt einerseits unveränderliche Daten wie z. B. die Prozesszeiten der einzelnen Aufträge auf den Maschinen, die technologisch vorgegeben sind. Andererseits sind manche Daten wie z. B. die nachgefragte Menge an Endmessdiodentypen variabel. Deshalb m¨ ussen f¨ ur diese veränderlichen Daten diverse realitätsnahe Datensätze generiert werden. 1

Vgl. Fisher/Thomspon(1963). Es dauerte u ¨ber 20 Jahre, bis Lageweg eine exakte Lösung gelang (vgl. Lageweg(1984)), deren Optimalität aber erst 1989 nachgewiesen wurde (vgl. Carlier/Pinson(1989)).

I. J. Acker, Methoden zur mehrstufi gen Ablaufplanung in der Halbleiterindustrie, DOI 10.1007/978-3-8349-6731-2_7, © Gabler Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

208

7 Evaluation

7.1.1 Unver¨ anderliche Daten Alle unveränderlichen Daten, die in der Fallstudie FSH gegeben und damit bekannt sind, werden direkt u ¨bernommen.2 Dazu gehören • • • • •

Prozesszeiten pjm R¨ ustzeiten rzjm Nachlaufzeiten nzjm Auftragsgruppen (Montagediodentypen) Alternative Maschinenfolgen der Endmessdiodentypen

Es ist außerdem bekannt, dass nach jedem Maschinenstillstand eine kapazitätsreduzierende Anlaufzeit nötig ist. Die Leistungsfähigkeit steigt in einem bekannten Zeitraum von keiner zur vollen langsam an. In der Simulationsstudie wird die Realität dahingehend vereinfacht, dass von einem linearen Anstieg in einem gewissen Zeitraum ausgegangen wird. Die erste Hälfte dieses Intervalls wird auf 0, die zweite Hälfte auf 1 gesetzt. Damit ergeben sich die in folgender Tabelle 7.1 angegebenen Anlaufzeiten der einzelnen Maschinen. m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 azm 24 30 26 40 40 40 45 45 20 20 20 35 m 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 azm 35 35 35 35 35 35 20 20 20 24 30 28 Tabelle 7.1: Anlaufzeiten azm der Maschinen m in Minuten

7.1.2 Ver¨ anderliche Daten 7.1.2.1 Planungshorizont Der Planungszeitraum T (t = 1, . . . , T) dauert in der Fallstudie immer ein Monat. Es soll ein minutenscharfer Ablaufplan erstellt werden. Der Planungshorizont T variiert somit in Abhängigkeit vom betrachteten Monat. Weil er aber nur in einem geringen Umfang schwankt, werden im Rahmen der Simulation f¨ ur einen Planungszeitraum pauschal vier Wochen angesetzt. Da an jeweils 5 Werktagen in der Woche in 3 Schichten a` 8 Stunden produziert wird, umfasst ein Planungszeitraum somit konstant 4 · 5 · 3 · 8 = 480 Stunden und damit 480 · 60 = 28800 Minuten. 2

Z. T. sind sie in Kapitel 3 auf S. 43ff. dargestellt.

7.1 Bestimmung und Generierung der Daten und Szenarien

209

7.1.2.2 Nachfrage Zu Beginn des Planungszeitraums ist eine Nachfrage nach den einzelnen Endmessdiodentypen gegeben. Diese variiert von Planungszeitraum zu Planungszeitraum. F¨ ur die Simulationsstudie werden daher mehrere Datensätze d erzeugt. Bei jedem Datensatz d ist die Nachfrage nach bestimmten Endmessdiodentypen bereits in die entsprechende Anzahl an Chargen umgerechnet.3 Es werden 100 Datensätze (d = 1, . . . , 100) generiert, die den realistischen Gegebenheiten entsprechen. Dar¨ uber hinaus werden weitere 20 k¨ unstliche“ Da” tensätze mit erhöhter Nachfrage erzeugt (d = 101 − 120).4 Damit lassen sich folgende Datensatz-Mengen (Nachfragemengen) (D = {1; . . . ; D}) mit der jeweiligen Anzahl Datensätze D unterscheiden: Menge der realistischen“ Datensätze D100 = {1; . . . ; 100} ” unstlichen“ Datensätze D20 = {101; . . . ; 120} Menge der k¨ ” Menge aller untersuchten Datensätze D120 = {1; . . . ; 120} Anzahl realistischer“ Datensätze D100 = 100 ” Anzahl k¨ unstlicher“ Datensätze D20 = 20 ” 120 = 120 Anzahl aller Datensätze D F¨ ur den Pretest beim Genetischen Algorithmus wird aufgrund des mit dem Rechenbedarf einhergehenden Zeitaufwandes auf eine geringere Anzahl an Datensätzen bzgl. der Nachfrage zur¨ uckgegriffen. Es werden folgende Teilmengen unstbetrachtet, die sich aus folgenden D25 = 25 realistischen“ bzw. D5 = 5 k¨ ” ” lichen“ und somit insgesamt D30 = 30 Datensätze zusammensetzen: Menge der realistischen“ Datensätze D25 ={1; . . . ; 25} ” Menge der k¨ unstlichen“ Datensätze D5 ={100; 105; 110; 115; 120} ” D30 ={1; . . . ; 25; 100; 105; 110; 115; 120} Menge aller untersuchten Datensätze 7.1.2.3 Liefertermine F¨ ur die entwickelten Lösungsverfahren werden Liefertermine f¨ ur die einzelnen Chargen benötigt. Bei der Festlegung dieser Liefertermine sind zwei Bedingungen zu ber¨ ucksichtigen: • Gleichmäßige Verteilung der Gesamtzahl der nachgefragten Chargen u ¨ber den Planungszeitraum T • Gleichmäßige Verteilung der Nachfrage nach einem bestimmten Endmessdiodentyps u ¨ber den Planungszeitraum T 3 4

Vgl. Abschnitt 3.5, S. 55. Bei Durchf¨ uhrung der Simulationsstudie zeigte sich, dass die realen Gegebenheiten die Algorithmen nicht an die Grenzen ihrer Leistungsfähigkeit brachten, wodurch die Ergebnisse nur wenig aussagekräftig hinsichtlich der G¨ ute der Algorithmen waren. Durch eine k¨ unstlich Erhöhung der Nachfrage kann die Situation deutlich verschärft werden.

210

7 Evaluation

Eine Gleichverteilung der Liefertermine u ¨ber den kompletten Planungszeitraum macht allerdings nur bedingt Sinn: Ein Liefertermin kann zu Beginn des Planungszeitraums von vornherein nicht eingehalten werden, da f¨ ur die Fertigstellung eines Auftrags eine Mindestzeit nötig ist. Deshalb wird von einer gleichmäßigen Verteilung aller Chargen u ¨ber den Planungszeitraum T abgesehen. Es wird nur darauf geachtet, dass die Liefertermine der Chargen eines Endmessdiodentyps möglichst gleichverteilt u ¨ber den Planungszeitraum hergestellt werden. Grob bedeutet dies, dass, wenn z. B. von einem Endmessdiodentyp vier Chargen herzustellen sind, in jeder der vier Wochen jeweils eine Charge hergestellt werden soll. Bei der Festlegung der Liefertermine wird ber¨ ucksichtigt, dass die Herstellung eines Auftrags einen gewissen zeitlichen Vorlauf, bestehend aus den Prozesszeiten, der Nachlauf- sowie eventuellen R¨ uszeiten, benötigt. Mit diesem Vorgehen werden f¨ ur alle Datensätze Liefertermine bestimmt.5 7.1.2.4 Maschinenstillst¨ ande Da das Personal zum Bedienen der Maschinen schichtweise zugeteilt wird, steht eine Maschine in einer Schicht zur Verf¨ ugung oder nicht. Im Planungszeitraum gibt es insgesamt 60 Schichten (4 Wochen a` 5 Tage a` 3 Schichten). Durch die fr¨ uhzeitige Personaleinsatzplanung ist der Maschinenbestand, wie in Kapitel 3 beschrieben, fest vorgegeben, d. h., die auf den Planungszeitraum von T = 28800 T Minuten bezogene durchschnittliche Verf¨ ugbarkeit der Maschinen KV steht zum Planungszeitpunkt fest. Sie berechnet sich folgendermaßen: M

KV

T

=

m=1

KVmT M

M KV m T = m=1 , M

wobei KVm die verf¨ ugbare Kapazität der Maschine m absolut und KVmT relativ bezogen auf den Planungszeitraum angibt. Unter realen Bedingungen liegt die durchschnittliche Verf¨ ugbarkeit bei ca. 70-75%. Es werden zwei realisti” sche“ (Masst.1 und Masst.2) sowie zwei k¨ unstliche“ (Masst.3 und Masst.4) ” ugbarkeit Maschinenstillstands-Varianten generiert.6 Die durchschnittliche Verf¨ der Maschinenkapazitäten beträgt bei Masst.1 70,4%, bei Masst.2 73,1%, bei Masst.3 58,1% und bei Masst.4 49,9%.7 Die Menge der Maschinenstillstands5

Untersuchungen mit verschiedenen erzeugten Liefertermindatensätzen hatten ergeben, dass es keine signifikanten Veränderungen gab. Deshalb beschränkt sich die Arbeit im Folgenden nur auf eine Liefertermin-Variante. 6 Analoge Argumentation wie bei der Festlegung der k¨ unstlichen“ Datensätze: Bei den Be” rechnungen wurde ersichtlich, dass die aktuell verf¨ ugbaren Kapazitäten viel zu hoch waren. Dies liegt daran, dass durch das bisher praktizierte erfahrungsbasierte manuelle Einplanen sehr suboptimal eingeplant wird, wodurch ein unnötig hoher Kapazitätsbedarf nötig ist. 7 Es ist zu beachten, dass in manchen Szenarien von vornherein bei Masst.4 nicht gen¨ ugend Kapazitäten gegeben sind, um den entsprechenden Auftragsbestand zu erf¨ ullen. Dies ist bei den Datensätzen 101, 108, 114 und 117 der Fall. Es kommt jeweils bei einer Maschine zu

7.1 Bestimmung und Generierung der Daten und Szenarien

211

Varianten besteht somit aus vier Elementen: MASST = {Masst.1; Masst.2; Masst.3; Masst.4}.8 Es macht aus produktionstechnischen Gr¨ unden nicht immer Sinn, dass bestimmte Maschinen zu bestimmten Zeitpunkten verf¨ ugbar sind. So werden Montagemaschinen z. B. am Ende des Planungszeitraums nicht benötigt: Die Montage stellt immer die erste Operation einer Maschinenfolge dar, an die sich immer noch die Nachlaufzeit sowie mindestens die Endmessung anschließen. Im besten Fall dauert die Nachlaufzeit 3600 Minuten und das Endmessen 2625 Minuten. Nach 28800-3600-2625=22525 Minuten macht die Verf¨ ugbarkeit einer Montagemaschine daher keinen Sinn mehr. Es ist zudem zu ber¨ ucksichtigen, dass auf der Montage mindestens zwei Schichten am St¨ uck laufen m¨ ussen: Anlauf-, R¨ ust- und minimale Prozesszeit auf einer Montagemaschine erfordern mindestens einen Zeitbedarf von 670 Minuten und somit mehr als in einer Schicht (480 ¨ ¨ Minuten) zur Verf¨ ugung steht. Ahnliche Uberlegungen werden auch f¨ ur die Maschinen der Produktionsstufen Loading, Endmessen und Sichtpr¨ ufen angestellt und bei der Generierung der MaschinenstillstandsVarianten ber¨ ucksichtigt. Wird die die Verf¨ ugbarkeit einer Maschine nicht wie bisher auf den kompletten Planungszeitraum von T = 28800 Minuten, sondern auf die Zeit bezogen, die die Maschine sinnvollerweise zur Verf¨ ugung stehen sollte (Tm ), dann stehen die Tm Maschinen im Durchschnitt (KV ) mit 85,1% (Masst.1), 88,2% (Masst.2), 70,2% (Masst.3) bzw. 60,3% (Masst.4) ihrer sinnvollen“ Zeit zur Verf¨ ugung. ” Tm KV lässt sich folgendermaßen berechnen: M

KV

Tm

=

m=1

KVmTm M

M KV m T m = m=1 M

wobei KVm die verf¨ ugbare Kapazität der Maschine m absolut und KVmTm relativ bezogen auf die sinnvolle“ Zeit Tm angibt. In folgender Tabelle 7.2 auf S. 212 ” sind die Maschinenkapazitäten der einzelnen Varianten noch einmal zusammengefasst. Zusätzlich wird angegeben, in welcher Bandbreite sich die Anzahl der Stillstände Vm der einzelnen Maschinen m bewegt.

einer Kapazitäts¨ uberschreitung. In der praktischen Umsetzung w¨ urde dies bedeuten, dass der Auftragsbestand so lange zu reduzieren wäre, bis wieder alle Maschinenkapazitäten ausreichend wären. In der Simulationsanalyse werden diese Datensätze dennoch untersucht. 8 Die Schreibweise der Elemente innerhalb dieser Menge ist entgegen der in der Arbeit sonst u ¨blichen Vorgehensweise nicht kursiv.

212

7 Evaluation Szenario Masst.1 Masst.2 Masst.3 Masst.4

T

KV 70,4 % 73,1 % 58,1 % 49,9 %

KV 85,1 88,2 70,2 60,3

Tm

% % % %

Vm 4-9 5-8 4-7 3-7

Tabelle 7.2: Kapazitäten und Anzahl Stillstände der Maschinen bei den vier Maschinenstillstands-Varianten Masst.1 – Masst.4

7.1.2.5 Maschinenfolgen Jede Charge eines Endmessdiodentyps kann durch verschiedene Maschinenfolgen hergestellt werden. F¨ ur jeden Datensatz muss daher f¨ ur jeden seiner Aufträge eine Maschinenfolge bestimmt werden.9 In der Simulationsstudie werden f¨ unf verschiedene Maschinenfolge-Varianten betrachtet. In den ersten vier Varianten werden mit Hilfe des Programms GGLP-Auswahl (Phase 1) in Abhängigkeit von den Maschinenstillstands-Varianten Masst.1 – Masst.4 die Maschinenunften Variante Masfolge-Varianten Masfo.1 – Masfo.4 bestimmt.10 In der f¨ fo.Zufall erfolgt die Auswahl der Maschinenfolgen zufällig.11 MASFO ist Vereingigungsmenge von der Menge der Maschinenfolge-Varianten gemäß Auswahl nach GGLP-Auswahl A = {Masfo.1;Masfo.2;Masfo.3;Masfo.4} und der Menge der Maschinenfolge-Varianten gemäß Auswahl nach Zufall Z = {Masfo.Zufall}.

7.1.3 Betrachtete Szenarien In der Simulationsstudie werden vier Maschinenstillstands-Varianten (Masst.1 – Masst.4) unterschieden. Die Auswahl der Maschinenfolgen erfolgt entweder zufällig oder zielgerichtet mit Hilfe des gemischt-ganzzahligen linearen Programms GGLP-Auswahl. Daraus lassen sich f¨ unf Szenarien ableiten, die im Folgenden mit A1, A2, A3, A4 und Z1 bezeichnet werden (vgl. Tabelle 7.3, S. 213).12 Sie sind in der Menge VAR = {A1;A2;A3;A4;Z1} zusammengefasst. Werden alle 120 Datensätze betrachtet, erfordern f¨ unf Szenarien 5 · 120 = 600 Berechnungen. 9

Dies gehört zu den Aufgaben, denen das Lösungsverfahren gerecht werden muss. Siehe Abschnitt 7.2. 11 Mit Hilfe von gleichverteilten Zufallszahlen in Excel. 12 A“ in Anlehnung an die zielgerichtete Auswahl der Maschinenfolge (bei Auswahl-Masfo ”alle 4 Masst.-Varianten betrachtet), Z“ steht f¨ ur zufällig. Masfo.Zufall wird nur mit der ” simuliert, da die Berechnungen beim Pretesting erMaschinenstillstands-Variante Masst.1 geben haben, dass die Ergebnisse bei zufälliger Maschinenauswahl signifikant schlechtere Ergebnisse liefern. 10

7.2 Simulationsablauf und -ergebnisse der 1. Phase MaschinenstillstandsVarianten Masst.1 Masst.2 Masst.3 Masst.4

213

Maschinenfolge-Varianten Masfo.1 Masfo.2 Masfo.3 Masfo.4 Masfo.Zufall A1 Z1 A2 A3 A4 Tabelle 7.3: Szenarien

7.2 Simulationsablauf und -ergebnisse der 1. Phase Geeignete Maschinenfolgen können mit Hilfe des in Abschnitt 6.1 beschriebenen gemischt-ganzzahligen linearen Programms GGLP-Auswahl bestimmt werden. Im Folgenden wird dies f¨ ur alle vier Maschinenstillstands-Varianten Masst.1Masst.4 jeweils f¨ ur alle 120 Datensätze der Menge D120 gemacht. Es sind 4·120 = 480 Berechnungen nötig, um die jeweiligen Maschinenfolge-Varianten Masfo.1 – Masfo.4 zu bestimmen. Um die Kapazitätsbelastung der Maschinen zu schätzen, m¨ ussen vorab Korrekturwerte f¨ ur die simulierten Datensätze berechnet. Zur Vereinfachung wird ¨ alle 120 jeweils ein durchschnittlicher Wert f¨ ur gAG und gAG bestimmt. Uber Datensätze m¨ ussen im Durchschnitt 28,18 verschiedene Endemssdiodentypen und 40 Chargen je Datensatz hergestellt werden. Da 28,18 40 = 0, 7, ist im Durchschnitt ist jede 0,7-te Charge ein neuer Endmessdiodentyp, so dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% ger¨ ustet werden muss. Deshalb gehen in die Kapazitätsbelastung die R¨ ustzeiten mit dem Faktor gAG = 0, 7 ein (vgl. Nebenbedingung 6.6). Bei 63 Endmessdiodentypen gibt es 40 Montagediodentypen. Damit ergeben sich bei durchschnittlich 28,18 Endmessdiodentypen 17,9 Montagediodentypen.13 Mit 17,9 40 = 0, 4475 ist im Durchschnitt nur jede 0,4475-te Charge ein neuer Montagediodentyp, weshalb die R¨ ustzeiten in Nebenbedingung 6.5 mit dem Faktor gAG = 0, 4475 multipliziert werden. Zur Bestimmung der verf¨ ugbaren Kapazität einer Maschine wird f¨ ur jede Maschine ihre Anzahl verf¨ ugbarer Schichten mit der Dauer von 480 Minuten multipliziert und anschließend um die mit ihrer entsprechenden Anlaufzeit multiplizierten Anzahl Stillstände verringert. Auf diese Weise wird f¨ ur jede Maschine die Zeit bestimmt, die sie im Planungszeitraum T = 28800 Minuten insgesamt verf¨ ugbar ist. Ist z. B. Maschine m = 1 39 Schichten verf¨ ugbar, ergeben sich daraus zunächst 39 · 480 = 18720 Minuten. Wenn diese Maschine im Pla13 40 63

=

x 28,18

→ x = 17, 9.

214

7 Evaluation

nungszeitraum 6-mal still steht, reduziert sich die Zeit, in der auf Maschine produziert werden kann, um 6-mal die Anlaufzeit von in diesem Fall az1 = 24 Minuten, d. h. 6 · 24 = 144 Minuten. Die Maschine steht somit insgesamt nur noch 18720 − 144 = 18576 Minuten zur Verf¨ ugung. Das gemischt-ganzzahlige lineare Programm wird mit Hilfe von der Optimierungssoftware LINGO gelöst.14 Das Problem ist zu komplex, um es in angemessener Zeit bis zur sicheren Optimalität hin berechnen zu können. Somit wird die gemischt-ganzzahlige Programmierung als Heuristik eingesetzt, wodurch die Bestimmung mancher Maschinenfolgen nur suboptimal erfolgt. Dennoch kann das Verfahren der Anforderung gerecht werden, die Maschinenfolgen so auszuwählen, dass die Maschinen tendenziell gleichmäßig belastet sind und es nicht von vornherein zu einem oder mehreren Engpässen auf Maschinen kommt. Zur Analyse der Ergebnisse werden drei Kenngrößen betrachtet: T

• KA gibt die durchschnittliche auf den Planungszeitraum von T Minuten bezogene Kapazitätsauslastung u ¨ber alle 24 Maschinen wieder (dimensionslose Verhältniszahl). • KB entspricht der durchschnittlichen Kapazitätsbelastung aller 24 Maschinen ([Minuten]).15 • Der Zielfunktionswert ZF setzt sich aus der Summe der Abweichungen T aller Maschinen von der durchschnittlichen Kapazitätsauslastung KA und einem Strafterm f¨ ur Kapazitäts¨ uberschreitungen zusammen (dimensionslos).16 Die Ergebnisse werden getrennt f¨ ur die Menge der realistischen“ Datensätze ” unstlichen“ Datensätze D20 sowie die vier MaschinenD100 und die Menge der k¨ ” stillstand-Varianten Masst.1 – Masst.4 aggregiert. In Tabelle 7.4 auf S. 215 ist der Durchschnitt Dd aller in d angegebenen Datensätze bzgl. der jeweiligen Kenngröße angegeben.17 Anhand der Ergebnisse sollen drei Aspekte näher betrachtet werden: • Wie wirkt sich eine steigende Auftragsanzahl aus? Dies kann durch den Vergleich der Ergebnisse von D100 und D20 eruiert werden. Bei der Menge D20 sind bei jedem Datensatz mehr Chargen als bei der Menge D100 herzustellen. Eine steigende Auftragsanzahl geht 14

Hierzu wird die Version LINGO Release 9.0 von LINDO Systems Inc. verwendet. Vgl. auch Haase/Kolisch(1997). 1 15 KB = M · M m=1 KBm . 16 F¨ ur genauere Erläuterungen des Zielfunktionswertes vgl. Abschnitt 6.2. 17 Im Anhang sind neben dem Durchschnitt Dd auch das das Minimum M ind , das Maximum M axd sowie die Standardabweichung σ d aller in d angegebenen Datensätze bzgl. der jeweiligen Kenngröße dargestellt. Vgl. Tabelle A.3 – A.6 auf den Seiten 261 – 262.

7.2 Simulationsablauf und -ergebnisse der 1. Phase

D

d

Masst.1 Masst.2 Masst.3 Masst.4 Masst.1 Masst.2 Masst.3 Masst.4

nach GGLP-Auswahl T ZF KA KB 1,2669 1,1492 1,4870 1,7234 2,0783 1,8335 2,4141 200002,88

215

gemäß Masfo.Zufall T ZF KA KB

0,2202 0,2108 0,2669 0,3095

d ∈ D100 4433,96 4432,19 4439,43 4425,50

17,4487 16,2287 20,9336 24,3912

0,2437 0,2309 0,2937 0,3409

4859,78 4859,78 4859,78 4859,78

0,3852 0,3693 0,4674 0,5426

d ∈ D20 7752,85 7750,75 7760,58 7752,16

850005,67 550005,23 2315796,20 4333341,24

0,4236 0,4015 0,5093 0,5910

8426,07 8426,07 8426,07 8426,07

Tabelle 7.4: Auswertung der Ergebnisse der 1. Phase bzgl. der vier Maschinenstillstands-Varianten f¨ ur d ∈ D100 und d ∈ D20

mit einer steigenden durchschnittlichen Kapazitätsbelastung und damit – bei gleich bleibender verf¨ ugbarer Kapazität – Kapazitätsauslastung der Maschinen einher. Der Vergleich der Ergebnisse von D100 und D20 zeigt, dass im Durchschnitt u ¨ber alle vier Maschinenstillstands-Varianten bei der Festlegung der Maschinenfolge mit Hilfe von GGLP-Auswahl die Kapazitätsauslastung von 25,2% auf 44,1% (also um 75,1%) und die Kapazitätsbelegung von 4432,77 auf 7754,09 Minuten (d. h. um 74,9%) steigen; bei der Festlegung gemäß Masfo.Zufall steigen die Kapazitätsauslastung von 27,7% auf 48,1% (73,6%) und die Kapazitätsbelegung von 4859,8 auf 8426,1 Minuten (73,4%). Mit steigender Auftragsanzahl steigt zudem das Risiko f¨ ur eine Kapazitäts¨ uberschreitung bei einzelnen Maschinen. Außerdem verringert sich mit steigender Auftragsanzahl der Spielraum“ f¨ ur eine gleichmäßige Ka” pazitätsauslastung bei allen Maschinen. Dies spiegelt sich im Zielfunktionswert wider: Im Durchschnitt u ¨ber alle vier MaschinenstillstandsVarianten erhöht sich der Zielfunktionswert bei den “realistischen“ Daunstlichen“ Datensätzen D100 von 1,4066 auf 5002,3 und bei den “k¨ ur die Kapazitäts¨ ubertensätzen D20 aufgrund des hohen Strafterms f¨ schreitungen von 19,75 auf 2012287,09.18 • Wie wirkt sich eine Reduzierung der verf¨ ugbaren Kapazität aus? Diese Frage kann durch den Vergleich der Ergebnisse der einzelnen Maschinenstillstands-Varianten Masst.1 – Masst.4 beantwortet werden. Die 18

Bei den Datensätzen D20 ist die Auftragsanzahl f¨ ur die verf¨ ugbare Kapazität zu hoch.

216

7 Evaluation verf¨ ugbare Kapazität der Maschinen ist bei den Maschinenstillstands-Varianten Masst.1 und Masst.2 nahezu gleich, nimmt aber bei Masst.3 und Masst.4 zunehmend ab. Die Maschinenstillstands-Variante Masst.2 hat die meiste verf¨ ugbare Kapazität und f¨ uhrt unabhängig von der Festlegung der Maschinenfolge bei allen Kriterien zu den besten Ergebnissen.19

Eine abnehmende verf¨ ugbare Kapazität f¨ uhrt zu steigender durchschnittlicher Kapazitätsaus- und -belastung. Die durchschnittliche Kapazitätsbelastung schwankt innerhalb einer Datensatz-Menge nur wenig, weil auch bei veränderter Maschinenfolge eines Auftrags sein Kapazitätsbedarf nur ugbarer Main begrenztem Umfang veränderbar ist.20 Mit sinkender verf¨ schinenkapazität steigt das Risiko f¨ ur eine Kapazitäts¨ uberschreitung bei einzelnen Maschinen. Außerdem verringert sich der Spielraum“ f¨ ur ei” ne gleichmäßige Kapazitätsauslastung bei allen Maschinen. Beides erhöht den Zielfunktionswert. Er steigt bei den realistischen“ Datensätzen D100 ” von 1,1492 bei Masst.2 auf 1,7234 bei Masst.4 (bzw. 16,2287 auf 24,3912 gemäß Masfo.Zufall) und bei den k¨ unstlichen“ Datensätzen D20 von ” 1,8335 bei Masst.2 auf 200002,88 bei Masst.4 (bzw. gemäß Masfo.Zufall von 850005,67 auf 4333341,24). • F¨ uhrt die Auswahl der Maschinenfolgen mit Hilfe des GGLP-Auswahl zu besseren Ergebnissen? Um diese Frage zu beantworten, m¨ ussen die Ergebnisse, wenn die Maschinenfolgen mit Hilfe von GGLP-Auswahl bestimmt werden, mit denjenigen von Masfo.Zufall verglichen werden. Durch Anwendung von GGLP-Auswahl kann der Zielfunktionswert im Durchschnitt u ¨ber alle MaschinenstillstandsVarianten um 92,87% bei D100 bzw. 98,85% bei D20 gesenkt werden. Die durchschnittliche Kapazitätsaus- und -belastung reduziert sich bei D100 um 9,17% bzw. 8,79%. Bei D20 beträgt die Reduktion 8,37% bzw. 7,98%. Werden die Maschinenfolgen mit Hilfe von GGLP-Auswahl bestimmt, kommt es nur bei Masst.4 bei den k¨ unstlichen“ Datensätzen ” bei vier Datensätzen jeweils zu einer einmaligen Kapazitäts¨ uberschreitung. Werden die Maschinenfolgen dagegen zufällig gemäß Masfo.Zufall bestimmt, kommt es zwar auch nur bei den k¨ unstlichen“ Datensätzen ” zu Kapazitäts¨ uberschreitungen, aber dies in weit höherem Maße: Bei Masst.1 – Masst.4 kommt es bei jeweils 12, 10, 18 und 18 Datensätzen zu Kapazitäts¨ uberschreitungen. Falls es bei einem Datensatz zu Kapazitäts¨ uberschreitungen kommt, sind im Durchschnitt 1,3, 1,1, 2,4 bzw. 4,3 Aufträge davon betroffen. Die Untersuchung macht deutlich, dass die Auswahl der Maschinenfolgen mit Hilfe der gemischt-ganzzahligen linearen Programmierung einer zufälligen Festlegung eindeutig u ¨berlegen ist. 19 20

Bei Masst.1 und Masst.2 ist die verf¨ ugbare Kapazität nahezu gleich, allerdings ist sie unterschiedlich verteilt. Dies hat jedoch auf die Ergebnisse kaum messbaren Einfluss. Bei der zufälligen Festlegung ist der Wert immer gleich, da die Maschinenfolgen fest vorgegeben und dadurch die Kapazitätsbelastung unverändert ist.


217

7.3 Simulationsablauf und -ergebnisse der 2. Phase 7.3.1 Allgemeines Die Ergebnisse der 1. Phase – Maschinenfolge-Varianten Masfo.1 - Masfo.4 – fließen in die 2. Phase ein. Zusammen mit Masfo.Zufall m¨ ussen in der Simulationsstudie jeweils f¨ unf Szenarien f¨ ur das Prioritätsregelverfahren und den Genetischen Algorithmus berechnet werden. Beim Prioritätsregelverfahren werden die zwölf in Abschnitt 6.2.1 in Tabelle 6.4 auf S. 174 aufgef¨ uhrten Prioritätsregeln betrachtet und auf ihre Eignung bei diesem speziellen Problem gepr¨ uft. Mit jeder dieser Prioritätsregeln wird uhrt. Insgef¨ ur alle 120 Datensätze der Menge D120 eine Simulation durchgef¨ samt sind somit 12 · 120 · 5 = 7200 Simulationsdurchläufe nötig. Beim Genetischen Algorithmus werden die in Abschnitt 6.3.1 auf S. 197ff. dargestellten Parametereinstellungen betrachtet und auf ihre Eignung bei diesem speziellen Problem gepr¨ uft. Sie sind noch einmal in Tabelle 7.5 auf S. 218 zusammengefasst. Alle 41 verschiedenen Parametereinstellungen werden in der Simulationsstudie ausgehend von der Standardeinstellung ceteris paribus getestet. D. h., in jedem Testlauf gibt es von der Standardeinstellung nur eine abweichenden Parametereinstellung. Die Standardeinstellung ist in Tabelle 7.5 durch Fettschrift hervorgehoben. F¨ ur das Pretesting zur Eruierung der besten Parametereinstellung werden nur die 30 Datensätze der Menge D30 verwendet. Insgesamt sind damit 41 · 30 · 5 = 6150 Simulationsdurchläufe nötig. Wenn nach Analyse der Ergebnisse die endg¨ ultige Parametereinstellung feststeht, werden mit dieser f¨ ur die Datensätze uhrt.21 der Menge D120 120 weitere Simulationsrechnungen durchgef¨ F¨ ur jeden Datensatz wird eine Vielzahl von Kenngrößen berechnet. Das Hauptaugenmerk wird im Rahmen dieser Arbeit zur Darstellung der Ergebnisse auf folgende sechs Kriterien gelegt: • AnzF nT gibt die Anzahl der Aufträge an, deren Fertigstellungszeitpunkt nach dem Ende des Planungszeitraums T liegt (in St¨ uck). • Z gibt die Zykluszeit wieder (in Minuten). • Bei der Beurteilung der Termin¨ uberschreitung ist sowohl die Anzahl als auch die Höhe der Termin¨ uberschreitung von Interesse. 21

Insgesamt sind beim Genetischen Algorithmus somit 6270 Berechnungen nötig.

218

7 Evaluation Parameter

Korrespondierende Mengen

Populationsgröße

POP

Anzahl Kinder

AN ZKI ={Single; Double}

Evolutionsstrategie

ES

={R0; R2; R6; R12; C}

Abbruchkriterium

AB

={BG50-5; BG50-10; BG100-25; BG100-50; BG300-100; GOV10; GOV25; GOV50; G25; G100; G300; G400; G1000}

Selektion des Mating-Pool Selektionsverfahren Selektionsdruck

SV SD

={3-Turnier; 5-Turnier; Pointer} ={1, 2; 1, 95}

Crossover Crossover-Verfahren Crossover-Wahrscheinlichkeit

CV PC

={PBX; GOX} ={60; 95; 100}

Mutation

GAM

={BM3; BM10; OBM3; OBM10 ohneM; RM3; RM10}

={50; 120; 200; 500}

Tabelle 7.5: Parameter des Genetischen Algorithmus in der Simulationsstudie; die Standardeinstellung ist fett dargestellt

uberschreitungen – Die Kenngröße AnzT A+ gibt die Anzahl Termin¨ des Auftragsbestandes an (in St¨ uck). Eine Angabe kann auch prozentual erfolgen, indem sie auf die Anzahl Aufträge K bezogen wird (in Prozent). – Bzgl. der Höhe der Termin¨ uberschreitung wird im Folgenden der Durchschnittswert betrachtet (in Minuten). Jeder Datensatz besteht aus einer bekannten festen Anzahl an K Aufträgen, die in der Menge K zusammengefasst ist. K+ ist eine Teilmenge von K, die diejenigen + K+ Aufträge, bei denen eine Termin¨ uberschreitung vorkommt. T AK entspricht der durchschnittlichen Termin¨ uberschreitung aller K Auf+ träge. T AK+ ber¨ ucksichtigt dagegen bei der Durchschnittsbildung uberschreinur diejenigen K+ Aufträge, bei denen es zu einer Termin¨ tung kommt.22

22

+

+

K+ ∈ K und T AK+ ≥ T AK .


219

• Der Zielfunktionswert ZF setzt sich aus drei gewichteten Summanden zusammen (in (Zielfunktions-)Einheiten23 ):24 ZF = S >T + GZ + GT A+ mit S >T = max{Z − 28800; 0} Z GZ = 28800 K

+ GT A+ mit GT A = max GT A+ = k k k=1

Fk − Fk∗ ; 0 2 · 28800 − Fk∗

Die oben beschriebenen Kriterien sind Datensatz-spezifisch. Zur Analyse der Ergebnisse werden aber mehrere Datensätze gemeinsam betrachtet und f¨ ur jedes Kriterium der Durchschnitt Dd , die Standardabweichung σ d , das Minimum M ind und das Maximum M axd von allen betrachteten Datensätzen berechnet. Im Falle des Prioriätsregelverfahrens werden die Datensatz-Mengen D100 , D20 und D120 und im Falle des Genetischen Algorithmus die Datensatz-Mengen D25 , D5 und D30 aggregiert. Dd Z in Verbindung mit d ∈ D100 gibt z. B. die durchschnittliche Zykluszeit der 100 Datensätze an, die in der Menge D100 enthalten sind. Im Folgenden wird hierf¨ ur auch eine Kurzbezeichnung verwendet, bei der der Exponent die betrachtete Datensatz-Menge zum Ausdruck bringt: D100 Z. Derartig aggregierte Kennzahlen sind Prioritätsregel- bzw. Parameterspezifisch. Da wie im vorherigen Abschnitt 7.2 auf S. 213ff. beschrieben die Ergebnisse bei Auswahl der Maschinenfolgen mit Hilfe des GGLP-Auswahl nachweislich viel besser sind als bei Masfo.Zufall, werden bei den folgenden Auswertungen nur noch die Szenarien A1-A4 betrachtet. Es werden aber weiterhin die unrealis” tischen“ Datensätze D20 bzw. D5 und Maschinenstillstands-Varianten Masst.3 und Masst.4 ber¨ ucksichtigt, da ein Lösungsverfahren generiert werden soll, das auch bei diesen härtere“ Situationen mit einer erhöhten Nachfrage und/oder ” verringerten Maschinenkapazität noch in der Lage ist, gute Lösungen zu liefern. Derartige Situationen sind durchaus realistisch. Sollte aufgrund von unvorhergesehenen Maschinenausfällen Aufträge aus dem vorherigen Planungszeitraum in den aktuellen verschoben werden m¨ ussen, sollte das neue Lösungsverfahren in der Lage sein, eine Lösung zu erzeugen, bei der diese Aufträge möglichst gemeinsam mit dem kompletten regulären Auftragsbestand in der aktuellen Planungsperiode hergestellt werden können. Daher gehen Datensätze mit einem erhöhten Auftragsbestand mit einer Gewichtung von 16 in die Auswertungen mit ein. 23 24

Es handelt sich im Prinzip um gewichtete Minutenwerte. Vgl. Erläuterungen in Abschnitt 6.2.1 auf S. 173.

220

7 Evaluation

Außerdem ist davon auszugehen, dass die Maschinenkapazitäten mittelfristig knapper werden: Durch das voraussichtlich bessere Einplanen aufgrund des neuen Lösungsverfahrens wird ersichtlich werden, dass die aktuell verf¨ ugbaren Maschinenkapazitäten zu hoch sind. In diesem Fall werden daher die Maschinenkapazitäten mittelfristig reduziert werden, um das Kosteneinsparungspotential durch geringere Personalkosten (Schichtbetrieb) zu nutzen. Daher sollen Szenarien mit knapperen Maschinenkapazitäten bereits jetzt bei der Entwicklung und Bewertung eines geeigneten Lösungsverfahrens mit ber¨ ucksichtigt werden. In den folgenden Abschnitten 7.3.2 und 7.3.3 werden zunächst die einzelnen Prioritätsregeln bzw. Parametereinstellungen des Genetischen Algorithmus auf Basis des Zielfunktionswertes hinsichtlich ihrer Eignung f¨ ur das betrachtete Praur die Datensätze D120 xisproblem beurteilt.25 Dazu werden die Ergebnisse f¨ bzw. D30 dargestellt. Nach den realistischen“ und k¨ unstlichen“ Datensätzen ” ” differenzierte Ergebnisse können f¨ ur das Prioritätsregelverfahren dem Anhang ur den Genetischen Algorithmus dem Anhang A.4.2 A.4.1 (D100 bzw. D20 ) und f¨ (D25 bzw. D5 ) entnommen werden. Nach Auswahl der besten Prioritätsregel PRIO∗ bzw. besten Parametereinstellung GA∗ werden in Abschnitt 7.4 die beiden Lösungsverfahren miteinander verglichen.

7.3.2 Priorit¨ atsregelverfahren In diesem Abschnitt soll anhand der Ergebnisse der Simulationen entschieden werden, welche der zwölf angewendeten Prioritätsregeln am besten f¨ ur das betrachtete Praxisproblem geeignet ist. Tabelle 7.6 auf S. 221 gibt f¨ ur jede Prioritätsregel den durchschnittlichen D120 ZF , minimalen M in120 ZF und maximalen M ax120 ZF Zielfunktionswert sowie die dazugehörige Standardabweichung ur alle vier Szenarien an. Zur optischen Veranschaulichung sind in Abσ 120 ZF f¨ bildung 7.1 auf S. 222 die durchschnittlichen Zielfunktionswerte D120 ZF von allen Prioritätsregeln f¨ ur die vier Szenarien dargestellt.26 Der Zielfunktionswert schwankt insgesamt zwischen 0,45 (RZ) und 12711,64 (Zufall) Einheiten, wobei der minimale Zielfunktionswert zwischen 0,45 (RZ) und 1,10 (FCFS) und der maximale Zielfunktionswert zwischen 1601,63 (SZ) 25

Im Zielfunktionswert ZF sind die anderen f¨ unf oben dargestellten Kriterien bereits entsprechend ihrer Bedeutung gewichtet mit enthalten. F¨ ur eine differenzierte Betrachtung sind die + + Ergebnisse von AnzF nT, Z, AnzT A+ (absolut und prozentual), T AK bzw. T AK+ zusätzlich im Anhang A.4.1 und A.4.2 dargestellt. 26 Analoge Abbildungen zu den einzelnen Kriterien sind im Anhang dargestellt: • Zu AnzF nT vgl. Abbildung A.10 (S. 263). • Zu Z vgl. Abbildung A.11 (S. 263). A.12 (S. 264). • Zu AnzT A+ vgl. Abbildung + + • Zu T AK bzw. T AK+ vgl. Abbildung A.13 (S. 264) und A.14 (S. 265).


Varianten FCFS

FLT

KOZ

LRBZ

RZ

SZ

SZ/On

SZ/RBZ

WSLnM

Zufall

ZRDLZ

ZRDLZ/On

d ∈ D120 Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd

A1 62,40 0,49 3133,62 410,81 80,54 0,46 3130,83 413,80 97,92 0,49 4225,91 527,16 51,22 0,47 2169,90 279,90 89,46 0,45 3132,37 423,29 49,99 0,46 1601,63 239,57 36,45 0,46 2132,40 235,93 54,79 0,46 2130,91 272,42 116,68 0,48 4329,59 612,21 177,32 0,56 7323,10 890,30 89,33 0,46 3131,54 423,16 62,81 0,46 2132,31 344,42

ZF A2 A3 74,68 467,64 0,50 0,75 2672,68 5229,68 383,65 1212,97 184,09 478,32 0,49 0,67 5320,28 5234,14 728,09 1216,98 281,08 745,74 0,54 0,66 5321,21 6321,77 1002,34 1666,50 144,64 527,80 0,53 0,76 5321,26 6398,14 660,17 1170,09 156,50 572,11 0,54 0,67 5320,56 5321,46 713,23 1381,69 164,83 477,21 0,49 0,65 4329,41 5234,33 663,43 1213,50 152,23 490,48 0,48 0,65 2670,87 4226,79 591,74 1138,12 161,15 525,72 0,48 0,65 3896,28 5226,35 641,49 1258,08 232,40 621,95 0,48 0,70 5320,50 9483,36 921,76 1618,20 200,89 677,59 0,55 0,82 7971,21 7349,90 934,74 1610,67 210,64 478,33 0,49 0,67 5320,28 5234,14 752,86 1217,00 198,21 514,19 0,47 0,65 5320,25 5227,35 797,67 1247,50

221

A4 820,49 1,10 9514,04 1844,57 1187,57 0,85 11985,20 2708,76 1267,67 0,93 11985,45 2734,23 953,27 0,93 11061,18 2135,44 1012,57 0,74 11236,06 2196,86 1114,90 0,85 11985,37 2522,42 1004,00 0,74 10615,88 2408,01 1072,23 0,87 11505,68 2526,90 1090,03 0,80 11246,57 2514,04 1398,49 1,03 12711,64 2963,44 1201,89 0,85 11985,30 2745,29 1001,60 0,74 11964,33 2385,55

Tabelle 7.6: Simulationsergebnisse in Abhängigkeit von der Prioritätsregel und dem Szenario (in Zielfunktionseinheiten)

222

7 Evaluation

und 12711,64 (Zufall) Einheiten liegt. Der durchschnittliche Zielfunktionswert nimmt Werte im Bereich von 36,45 (SZ/On) und 1398,49 (Zufall) Einheiten an. 1600

1400

Durchschnittlicher Zielfunktionswert

1200

1000

800

600

400

200

0

FCFS

FLT

KOZ

LRBZ

RZ

SZ A1

SZ/On A2

A3

SZ/RBZ

WSLnM

Zufall

ZRDLZ

ZRDLZ/On

A4

Abbildung 7.1: Durchschnittlicher Zielfunktionswert D120 ZF in Abhängigkeit von der Prioritätsregel und dem Szenario (in Einheiten) Die Prioritätsregeln Zufall und FLT schneiden am schlechtesten ab. Die beste Prioritätsregel ist FCFS mit Zielfunktionswerten zwischen 62,4 und 820,49 Einheiten. FCFS liefert in drei Szenarien die besten durchschnittlichen Zielfunktionswerte: Bei A2 74,68 (σ 383,65), bei A3 467,64 (σ 1212,97) und bei A4 820,49 (σ 1844,57) Einheiten. Allerdings ist SZ/On in Szenario A1 mit 36,45 (σ 235,93) 41,6% besser als FCFS mit 62,4 (σ 410,81). Bei FCFS ergibt sich in Szenario A4 der geringste maximale Zielfunktionswert von allen Prioritätsregeln. Hinsichtlich des Zielfunktionswerte liefert die Anwendung der Prioritätsregel FCFS die besten Ergebnisse von allen. FCFS schneidet zwar bei den Termin¨ uberschreitungskriterien nicht sehr gut ab. Jedoch erweist sich die Regel, vor einer Maschinen wartende Aufträge nach der Motto first come, first serve“ ” abzuarbeiten, hinsichtlich der Zykluszeit und der Anzahl an Aufträgen, die erst nach dem Ende des Planungszeitraums fertig gestellt werden, als äußerst gut.27 Durch die hohe Gewichtung vom Kriterium AnzF nT im Zielfunktionswert kann sich FCFS gegen¨ uber den anderen Prioritätsregeln durchsetzen. Daher wird f¨ ur die betrachtete Problemstellung als beste Prioritätsregel PRIO∗ FCFS festge27

Vgl. Anhang A.4.1.


223

legt. Abschließend sind in Tabelle 7.7 alle sechs Kriterien f¨ ur die DatensatzMengen D100 , D20 und D120 differenziert dargestellt. Diese Ergebnisse werden später denen des Genetischen Algorithmus gegen¨ ubergestellt. A1 PRIO∗

Dd

A2 σd

A3

A4

Dd

σd

Dd

σd

Dd

σd

112,82 23280,07 11,17 1199,45 4360,98 0,05

630,26 3260,97 4,39 475,71 1134,96 0,2598

143,6 24810,91 12,60 1460,75 4762,73 0,11

506,5 2659,30 4,95 523,75 995,76 0,3974

ZF Z AnzT A+ + T AK + T AK+ AnzF nT

1,2495 19174,06 7,94 653,37 3344,44 0

0,4194 2855,25 3,50 311,94 1130,51 0

14,7 18545,96 7,24 548,09 3072,50 0,01

d ∈ D100 135,1 2953,96 3,35 276,96 1031,62 0,0995


368,1 26199,55 23,35 1641,33 4918,44 0,2

948,9 2350,78 3,65 368,82 689,82 0,5099

374,6 26508,60 22,25 1475,69 4669,24 0,2

d ∈ D20 827,0 2446,48 3,82 326,09 735,34 0,4

2241,7 30669,15 30,40 2656,07 6100,18 1,3

1750,7 2347,69 5,27 616,99 721,48 1,005

4205,1 2320,6 32834,55 2695,19 34,30 6,16 3533,55 826,26 7234,64 1018,51 4,8 2,8566

74,7 19873,07 9,74 702,69 3338,62 0,0417

d ∈ D120 383,7 4132,21 6,56 448,50 1153,73 0,1998

467,6 1213,0 24511,58 4166,93 14,38 8,49 1442,22 739,40 4650,84 1257,11 0,2583 0,6645

820,5 1844,6 26148,18 4005,67 16,22 9,60 1806,21 969,08 5174,72 1359,35 0,8917 2,1323


62,4 20344,98 10,51 818,03 3606,77 0,0333

410,8 3817,06 6,74 489,21 1220,02 0,2211

Tabelle 7.7: Ergebnisse (Durchschnitt Dd und Standardabweichung σ d ) des Prioritätsregelverfahrens mit der besten Prioritätsregel PRIO∗ – FCFS der in d angegebenen Datensätze in Abhängigkeit vom Szenario Wie zu erwarten f¨ uhrt eine steigende Auftragsanzahl bzw. eine Reduzierung der verf¨ ugbaren Kapazität bei allen Kriterien zu einer Verschlechterung der Ergebnisse.28 Wird exemplarisch der Zielfunktionswert ZF betrachtet, zeigt der Vergleich der Ergebnisse von D100 und D20 , dass bei zunehmender Auftragsanzahl der Zielfunktionswert im Durchschnitt u ¨ber alle vier Szenarien A1 bis A4 von 68,1 auf 1797,4 Einheiten (d. h. um 2640%) steigt. Um den Einfluss einer abnehmenden verf¨ ugbaren Maschinenkapazität zu bestimmen, m¨ ussen die Ergebnisse der einzelnen Szenarien A1 bis A4 miteinander verglichen werden: So verschlechtert sich z. B. f¨ ur D120 der Zielfunktionswert von 62,4 auf 820,5 Einheiten (also um 1316%). 28

Vgl. dazu auch die Erläuterungen in Abschnitt 7.2 auf S. 214f.

50

A3 A1

50

OBM10 ohneM RM3 RM10

OBM10

ohneM

RM3

RM10

BM3 BM10 OBM3

BM10

OBM3

95 100

BM3

60

95

100

60

PBX GOX

PBX

1,2 1,95

GOX

Pointer

G400

G300

G100

G25

GOV50

GOV25

GOV10

BG300_100

BG100_50

BG100_25

BG50_10

BG50_5

C

R12

R6

R2

R0

Double

Single

500

200

120

1,95

0 5-Turnier

100

1,2

200 3-Turnier

300

Pointer

400

5-Turnier

500

3-Turnier

A2 G1000

600

G1000

G400

G300

G100

G25

GOV50

GOV25

GOV10

BG300_100

BG100_50

BG100_25

BG50_10

BG50_5

C

R12

R6

R2

R0

Double

Single

500

200

120

Durchschnittlicher Zielfunktionswert Durchschnittlicher Zielfunktionswert

224 7 Evaluation

7.3.3 Genetischer Algorithmus 2

1,6

1,2

0,8

0,4

0

A4

Abbildung 7.2: Durchschnittlicher Zielfunktionswert D30 ZF in Abhängigkeit von der Parametereinstellung und dem Szenario (in Einheiten)

F¨ ur den Genetischen Algorithmus muss entschieden werden, wie f¨ ur die konkret betrachtete Problemstellung die verschiedenen Parameter festgelegt werden sol-


225

len. Wie bei der Bestimmung der Prioritätsregel werden dazu die Zielfunktionswerte herangezogen. In Abbildung 7.2 auf der vorangegangenen Seite sind die durchschnittlichen Zielfunktionswerte D120 ZF aller 41 Parametereinstellungen jeweils f¨ ur die Szenarien A1 und A2 bzw. A3 und A4 dargestellt.29 Es sind neun Parameter festzulegen. In der Abbildung 7.2 sind die jeweils zu einem bestimmten Parameter gehörenden getesteten Varianten durch vertikale Linien voneinander abgetrennt. Die Standardeinstellung wird bei jedem Parameter separat und dadurch mehrfach aufgef¨ uhrt, um den optischen Vergleich innerhalb eines Parameters zu erleichtern. 7.3.3.1 Populationsgr¨ oße Es muss entschieden werden, welche Populationsgröße dem Genetischen Algorithmus vorgegeben werden soll. Es werden mit POP = {50; 120; 200; 500} vier Varianten getestet, wobei 120 Individuen der Standardeinstellung entsprechen. In der folgenden Tabelle 7.8 ist f¨ ur jede Populationsgröße der durchschnittliche D120 ZF , minimale M in30 ZF und maximale M ax30 ZF Zielfunktionswert sowie ur alle vier Szenarien angegeben. die dazugehörige Standardabweichung σ 30 ZF f¨ ZF Varianten 50

120

200

500

d ∈ D30 Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd

A1 0,97 0,54 2,39 0,48 0,92 0,52 2,47 0,42 0,92 0,52 2,74 0,44 0,91 0,52 2,43 0,40

A2 0,83 0,47 2,00 0,38 0,78 0,47 1,81 0,32 0,76 0,47 1,91 0,31 0,76 0,47 1,99 0,32

A3 72,45 0,62 2133,47 382,72 72,41 0,62 2133,55 382,74 72,59 0,62 2133,44 382,69 72,45 0,62 2133,42 382,71

A4 245,38 0,82 4071,32 827,98 245,14 0,80 4071,02 827,66 211,85 0,80 3070,78 679,90 246,05 0,80 4093,94 831,42

Tabelle 7.8: Simulationsergebnisse in Abhängigkeit von der Populationsgröße und dem Szenario (in Zielfunktionseinheiten) 29

Im Anhang sind die Ergebnisse zu den anderen Kriterien analog veranschaulicht: • Zu AnzF nT vgl. Abbildung A.15 (S. 265). • Zu Z vgl. Abbildung A.16 (S. 266). A.17 (S. 266). • Zu AnzT A+ vgl. Abbildung + + • Zu T AK bzw. T AK+ Abbildung A.18 (S. 267) und A.19 (S. 267).

226

7 Evaluation

Der Zielfunktionswert schwankt insgesamt zwischen 0,47 (alle) und 4093,94 (500) Einheiten, wobei der größte minimale Wert in Höhe von 0,82 Einheiten bei einer Populationsgröße von 50 Individuen vorkommt und der kleinste maximale Wert in Höhe von 1,81 Einheiten bei einer Populationsgröße von 120 Individuen. Der durchschnittliche Zielfunktionswert nimmt Werte im Bereich von 0,76 (500)30 und 246,05 (500) Einheiten an. Die Populationsgröße von 50 Individuen schneidet am schlechtesten ab. Zwischen 120, 200 oder 500 Individuen gibt es kaum Unterschiede. In den Szenarien A1 und A2 liefern 500 Individuen mit 0,91 (σ 0,41) bzw. 0,76 (σ 0,32) Einheiten die geringsten durchschnittlichen Zielfunktionswerte; in Szenario A3 sind es 120 Individuen (72,41 und σ 382,75) und in A4 200 Individuen (211,85 und σ 679,90). Allerdings sind die prozentualen Abweichungen zwischen diesen drei Populationsgrößen nur minimal. Nur die Populationsgröße von 200 Individuen konnte sich gegen¨ uber 120 bzw. 500 Individuen um ca. 16% verbessern. Aus diesem Grund und wegen des im Vergleich zu 500 Individuen sehr reduzierten Rechenaufwandes31 wird als beste Populationsgröße 200 Individuen festgelegt. 7.3.3.2 Anzahl Kinder Es werden zwei Varianten betrachtet. Entweder erzeugt ein Elternpaar einen Nachkommen (Single) oder zwei (Double, Standardeinstellung): AN ZKI = {Single;Double}. Tabelle 7.9 gibt wieder die jeweiligen durchschnittlichen, minimalen und maximalen Zielfunktionswerte ZF sowie die dazugehörigen Standardabweichungen an (in Einheiten). ZF Varianten Single

Double

d ∈ D30 Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd

A1 0,91 0,52 2,40 0,39 0,92 0,52 2,47 0,42

A2 0,80 0,47 1,90 0,37 0,78 0,47 1,81 0,32

A3 72,44 0,62 2132,91 382,62 72,41 0,62 2133,55 382,74

A4 214,26 0,80 3140,16 689,75 245,14 0,80 4071,02 827,66

Tabelle 7.9: Simulationsergebnisse in Abhängigkeit von der Anzahl Kinder und dem Szenario (in Zielfunktionseinheiten) 30

Die Rundung auf 2 Nachkommastellen in der Tabelle lässt nicht erkennen, dass nur die Populationsgröße von 500 Individuen den geringsten durchschnittlichen Zielfunktionswert hat, nämlich 0,75827 Einheiten; bei der Populationsgröße liegt er mit 0,76072 dar¨ uber. 31 Die Rechenzeit spielt keine entscheidende Rolle beim betrachteten Praxisproblem. Allerdings spricht nichts dagegen, sie gering zu halten, wenn durch einen erhöhten Rechenaufwand keine Verbesserung des Zielfunktionswertes erzielt werden kann.


227

Der Zielfunktionswert schwankt insgesamt zwischen 0,47 und 4071,02 Einheiten, wobei der minimale Zielfunktionswert Werte zwischen 0,47 (Single) und 0,8 (beide) Einheiten und der maximale zwischen 1,81 (Double) und 4071,02 (Double) annimmt. Der durchschnittliche Zielfunktionswert liegt im Bereich von 0,78 und 245,14 Einheiten. Beide Parametereinstellungen können sich nicht richtig voneinander abheben. Double f¨ uhrt in den Szenarien A2 und A3 mit 0,92 (σ 0,32) bzw. 72,41 (σ 382,75) Einheiten zu besseren durchschnittlichen Zielfunktionswerten, Single aber in den Szenarien A1 und A4 mit 0,91 (σ 0,39) bzw. 214,26 (σ 689,75) Einheiten. Ausschlaggebend soll daher hier die benötigte Rechenzeit sein. Die ist beim Parameter Double geringer, so dass f¨ ur den Parameter Anzahl Kinder “ Double ” festgelegt wird. 7.3.3.3 Evolutionsstrategie Als Möglichkeiten der Reinsertion werden Replacement mit vier verschiedenen Elitismus-Parametern sowie Competition betrachtet: ES = {R0;R2;R6;R12;C}. Auch f¨ ur diese sind in Tabelle 7.10 die durchschnittlichen, minimalen und maximalen Zielfunktionswerte und jeweiligen Standardabweichungen f¨ ur die vier Szenarien angegeben (in Einheiten). ZF Varianten R0

R2

R6

R12

C

d ∈ D30 Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd

A1 1,76 0,57 5,69 1,36 1,40 0,52 4,83 1,06 1,32 0,52 4,49 1,06 1,24 0,52 4,64 0,96 0,92 0,52 2,47 0,42

A2 1,46 0,55 4,83 1,07 1,21 0,47 3,86 0,88 1,12 0,47 3,65 0,82 1,01 0,47 2,85 0,68 0,78 0,47 1,81 0,32

A3 A4 284,03 537,64 0,78 0,99 4196,42 6128,60 900,33 1493,29 107,91 346,91 0,70 0,86 2136,44 4092,86 421,27 935,06 107,85 386,94 0,64 0,82 2136,49 5589,65 421,37 1138,53 107,72 289,48 0,62 0,80 2135,86 4091,93 421,27 851,08 72,41 245,14 0,62 0,80 2133,55 4071,02 382,74 827,66

Tabelle 7.10: Simulationsergebnisse in Abhängigkeit von der Evolutionsstrategie und dem Szenario (in Zielfunktionseinheiten)

228

7 Evaluation

Der minimale Zielfunktionswert liegt zwischen 0,47 (alle bis auf R0) und 0,99 (R0) Einheiten, der maximale Zielfunktionswert zwischen 1,81 (C) und 6128,6 (R0). Damit schwankt der Zielfunktionswert insgesamt zwischen 0,47 und 6128,6. Durchschnittlich nimmt er Werte zwischen 0,78 (C) und 537,64 (R0) Einheiten an. Im Gegensatz zu den beiden vorherigen Parametern fällt hier die Entscheidung eindeutig aus: Die Standardeinstellung Competition schneidet am besten ab. In jedem Szenario wird durch diese Evolutionsstrategie der geringste durchschnittliche, minimale und maximale Zielfunktionswert sowie die geringste Standardabweichung erreicht. Replacement ist hinsichtlich des durchschnittlichen Zielfunktionswertes bis zu viermal schlechter als Competition, wobei Replacement umso schlechter wird, je weniger elitäre Individuen in die neue Generation u ¨bernommen werden. F¨ ur die Problemstellung wird daher die Evolutionsstrategie Competition festgelegt.

7.3.3.4 Abbruchkriterium Die Zielfunktionswerte (Durchschnitt, Minimum und Maximum sowie die dazugehörige Standardabweichung) der 13 betrachteten Abbruchkriterien AB = {BG50-5;BG50-10;BG100-25;BG100-50; BG300-100;GOV10;GOV25;GOV50;G25; G100;G300;G400;G1000} sind f¨ ur alle vier Szenarien in den beiden Tabellen 7.11 und 7.12 auf S. 229 dargestellt. ZF Varianten BG50-5

BG50-10

BG100-25

d ∈ D30 Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd

A1 1,34 0,52 5,19 1,10 1,07 0,52 3,61 0,71 0,92 0,52 2,47 0,42

A2 1,10 0,47 4,13 0,84 0,99 0,47 3,98 0,80 0,78 0,47 1,81 0,32

A3 A4 160,75 346,82 0,62 0,86 2677,10 5590,46 535,75 1094,23 126,12 386,67 0,68 0,84 2135,79 5166,31 428,52 1093,10 72,41 245,14 0,62 0,80 2133,55 4071,02 382,74 827,66

Tabelle 7.11: Simulationsergebnisse in Abhängigkeit vom Abbruchkriterium und Szenario (in Zielfunktionseinheiten) – Teil 1


229

ZF Varianten BG100-50

BG300-100

GOV10

GOV25

GOV50

G25

G100

G300

G400

G1000

d ∈ D30 Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd

A1 0,92 0,52 2,45 0,41 0,87 0,52 2,23 0,33 1,05 0,52 4,51 0,75 0,88 0,52 1,88 0,31 0,88 0,52 1,88 0,31 1,25 0,52 4,81 0,98 0,92 0,52 2,39 0,41 0,87 0,52 1,99 0,30 0,86 0,52 1,96 0,29 0,87 0,52 1,74 0,30

A2 0,78 0,47 1,93 0,33 0,74 0,47 1,53 0,24 0,84 0,47 2,84 0,53 0,74 0,47 1,41 0,23 0,74 0,47 1,39 0,23 1,04 0,47 3,63 0,78 0,77 0,47 1,80 0,31 0,75 0,47 1,76 0,28 0,74 0,47 1,53 0,25 0,73 0,47 1,33 0,22

A3 72,35 0,62 2134,21 382,88 72,23 0,62 2132,63 382,61 72,56 0,62 2135,28 383,04 72,23 0,62 2132,05 382,50 72,24 0,62 2132,06 382,50 107,95 0,62 2135,59 421,83 72,34 0,62 2133,37 382,72 72,22 0,62 2131,93 382,48 72,19 0,62 2132,80 382,65 72,19 0,62 2132,00 382,50

A4 211,84 0,80 3070,91 679,88 244,98 0,80 4069,40 827,29 212,16 0,82 3072,68 680,50 211,77 0,80 3069,58 679,79 211,62 0,80 3069,59 679,42 369,06 0,84 5588,66 1120,12 211,88 0,80 3071,91 680,05 245,00 0,84 4070,81 827,54 211,55 0,80 3068,93 679,31 211,57 0,80 3069,25 679,37

Tabelle 7.12: Simulationsergebnisse in Abhängigkeit vom Abbruchkriterium und Szenario (in Zielfunktionseinheiten) – Teil 2 Der durchschnittliche Zielfunktionswert nimmt Werte zwischen 0,73 (G1000) und 386,67 (BG50-10) Einheiten an. Das Minimum bewegt sich im Bereich von 0,47 (alle) bis 0,86 (BG50-5), das Maximum von 1,33 (G1000) bis 5590,46 (BG50-5) Einheiten.

230

7 Evaluation

Es lässt sich sagen, dass der Zielfunktionswert tendenziell umso besser wird, je mehr Generationen durchlaufen werden. Die Standardeinstellung BG100-25 schneidet daher nur mittelmäßig ab. G25 und BG50-5 liefern die schlechtesten, G400 und G1000 die besten Ergebnisse. Der Unterschied zwischen diesen beiden Abbruchkriterien ist sehr gering. Der durchschnittliche Zielfunktionswert ist in den Szenarien A1 und A4 beim Abbruchkriterium G400 mit den Werten 0,86 (σ 0,3) bzw. 211,55 (σ 679,31) am geringsten, wobei G1000 nur 1,34% bzw. 0,01% schlechter ist. In den Szenarien A2 und A3 ist G1000 dagegen mit 0,73 (σ 0,22) und 72,19 (σ 382,5) Einheiten 1,6% bzw. 0,002% besser als G400. Es kann daher nicht eindeutig bestimmt werden, welches von diesen beiden Abbruchkriterien insgesamt besser ist. Die Entscheidung fällt auf G400, weil es sich durch eine geringere Rechenzeit auszeichnet. Es erreicht zudem immer das minimale Minimum und in A4 das minimale Maximum. 7.3.3.5 Selektion des Mating-Pool F¨ ur die Selektion des Mating-Pool ist einerseits ein Selektionsverfahren und andererseits der Selektionsdruck festzulegen. Selektionsverfahren ¨ Die Tabelle 7.13 gibt wieder einen Uberblick u ¨ber die Zielfunktionswerte der drei betrachteten Selektionsverfahren SV = {3-Turnier;5-Turnier;Pointer}, wobei Pointer der Standardeinstellung entspricht. ZF Varianten 3-Turnier

5-Turnier

Pointer


A1 0,94 0,52 2,41 0,42 0,95 0,52 2,62 0,46 0,92 0,52 2,47 0,42

A2 0,82 0,47 2,11 0,38 0,83 0,47 2,04 0,38 0,78 0,47 1,81 0,32

A3 72,36 0,62 2133,62 382,77 72,42 0,62 2133,03 382,65 72,41 0,62 2133,55 382,74

A4 211,74 0,80 3069,80 679,53 280,56 0,82 4088,58 841,30 245,14 0,80 4071,02 827,66

Tabelle 7.13: Simulationsergebnisse in Abhängigkeit vom Verfahren zur Selektion des Mating-Pool und dem Szenario (in Zielfunktionseinheiten) Insgesamt schwankt der Zielfunktionswert zwischen 0,47 (alle) und 4088,58 (5-Turnier) Einheiten, wobei das größte Minimum 0,82 von 5-Turnier und das kleinste Maximum 1,81 von Pointer erzielt wird.


231

Auch bei der Auswahl des geeignetsten Selektionsverfahrens kann keine eindeutige Aussage getroffen werden. 5-Turnier ist eindeutig am schlechtesten. 3Turnier und Pointer können jeweils in zwei Szenarien am meisten u ¨berzeugen. Pointer hat in A1 und A2 jeweils den geringsten durchschnittlichen Zielfunktionswert: Mit 0,92 (σ 0,42) in A1 bzw. 0,78 (σ 0,32) in A2 ist dieses Selektionsverfahren 1,7% bzw. 5,3% besser als 3-Turnier. Dagegen ist Pointer in A3 0,08 und in A4 15,8% schlechter als 3-Turnier, das durchschnittliche Zielfunktionswerte von 72,36 (σ 382,77) bzw.245,14 (σ 827,66) erzielen kann. Da Pointer bei den realistischen“ Nachfragemengen bessere Ergebnisse erzie” len kann und dies bei einer generell niedrigeren Rechenzeit als 3-Turnier, wird Pointer als Selektionsverfahren festgelegt. Pointer erreicht zudem immer das geringste Minimum und in A2 auch das geringste Maximum. Selektionsdruck Neben dem Selektionsverfahren ist der Selektionsdruck festzulegen. Es werden zwei Varianten SD = {1, 2; 1, 95} getestet. Die Ergebnisse sind in folgender Tabelle 7.14 zusammengefasst. ZF Varianten 1,2

1,95


A1 0,91 0,52 2,40 0,39 0,92 0,52 2,47 0,42

A2 0,80 0,47 1,90 0,37 0,78 0,47 1,81 0,32

A3 72,44 0,62 2132,91 382,62 72,41 0,62 2133,55 382,74

A4 214,26 0,80 3140,16 689,75 245,14 0,80 4071,02 827,66

Tabelle 7.14: Simulationsergebnisse in Abhängigkeit vom Selektionsdruck und Szenario (in Zielfunktionseinheiten) Der Zielfunktionswert nimmt Werte zwischen 0,47 (bei beiden) und 4071,02 ( 1,95“) Einheiten an. Der minimale Zielfunktionswert ist maximal 0,80 (bei ” beiden), der maximale Zielfunktionswert minimal 1,81 ( 1,95“) Einheiten. Die ” durchschnittlichen Werte liegen zwischen 0,78 ( 1,95“) und 245,14 ( 1,95“) Ein” ” heiten. Beide Varianten sind in jeweils zwei Szenarien besser als die andere: 1,2“ mit ” 0,91 (σ 0,39) in A1 und mit 214,26 (σ 689,75) in A4; 1,95“ mit 0,78 (σ 0,32) ” in A1 und mit 245,14 (σ 827,66) in A4. Der Selektionsdruck von 1,2 ist in den Szenarien A1 und A4 1,8% bzw. 14,4% besser und in A2 und A3 2,4% bzw. 0,04% schlechter als der Selektionsdruck von 1,95. Da 1,2 in A4 signifikant

232

7 Evaluation

bessere Ergebnisse als 1,95“ erzielt und immer das minimale Minimum und ” dreimal das minimale Maximum erreicht, wird f¨ ur den Selektionsdruck 1,2“ ” festgelegt, wie es bereits der Standardeinstellung entsprach. 7.3.3.6 Crossover F¨ ur das Crossover muss ein Crossover-Verfahren sowie die Crossover-Wahrscheinlichkeit bestimmt werden. Crossover-Verfahren Es muss entschieden werden, welches Crossover-Verfahren dem Genetischen Algorithmus vorgegeben werden soll. Es werden zwei Varianten getestet – X = {PBX; GOX} –, wobei GOX der Standardeinstellung entspricht. In Tabelle 7.15 sind f¨ ur beide Verfahren jeweils die durchschnittlichen D120 ZF , minimalen 30 M in ZF und maximalen M ax30 ZF Zielfunktionswerte sowie die dazugehöriur alle vier Szenarien angegeben. gen Standardabweichungen σ 30 ZF f¨ ZF Varianten PBX

GOX


A1 0,92 0,52 2,47 0,42 0,91 0,52 2,87 0,44

A2 0,78 0,47 1,81 0,32 0,76 0,47 1,70 0,28

A3 72,41 0,62 2133,55 382,74 72,36 0,62 2133,22 382,69

A4 245,14 0,80 4071,02 827,66 245,24 0,80 4071,32 827,83

Tabelle 7.15: Simulationsergebnisse in Abhängigkeit vom Crossover-Verfahren und Szenario (in Zielfunktionseinheiten) Der Zielfunktionswert schwankt insgesamt zwischen 0,47 (alle) und 4071,32 (GOX) Einheiten, wobei der größte minimale Wert in Höhe von 0,8 Einheiten bei beiden Crossover-Verahren vorkommt und der kleinste maximale Wert in Höhe von 1,7 Einheiten nur bei GOX. Der durchschnittliche Zielfunktionswert nimmt Werte im Bereich von 0,76 (GOX) und 245,24 (GOX) Einheiten an. GOX schneidet besser als PBX ab. In den Szenarien A1 bis A3 liefert GOX mit 0,91 (σ 0,44), 0,76 (σ 0,28) bzw. 72,36 (σ 382,69) Einheiten die maximal 3% besseren durchschnittlichen Zielfunktionswerte als PBX; in Szenario A4 ist dagegen PBX mit 245,14 (σ 827,66) besser, allerdings nur 0,04%. Aus diesem Grund wird als bestes Crossover-Verfahren GOX festgelegt.


233

Crossover-Wahrscheinlichkeit Neben dem Crossover-Verfahren muss auch die Crossover-Wahrscheinlichkeit festgelegt werden. Es werden mit PC = {60; 95; 100} drei Wahrscheinlichkeiten pC getestet. Die Ergebnisse bzgl. dem Zielfunktionswert sind in folgender Tabelle 7.16 zusammengefasst. ZF Varianten 60

95

100


A1 0,99 0,52 2,26 0,46 0,92 0,52 2,47 0,42 0,94 0,52 2,71 0,47

A2 0,83 0,47 1,90 0,38 0,78 0,47 1,81 0,32 0,79 0,47 1,98 0,38

A3 107,27 0,62 2132,82 420,64 72,41 0,62 2133,55 382,74 72,47 0,62 2134,35 382,88

A4 245,21 0,84 4070,47 827,56 245,14 0,80 4071,02 827,66 211,99 0,84 3072,51 680,35

Tabelle 7.16: Simulationsergebnisse in Abhängigkeit von der Crossover-Wahrscheinlichkeit pC und dem Szenario (in Zielfunktionseinheiten)

Die minimalen Zielfunktionswerte liegen im Bereich von 0,47 (alle) und 0,84 (60 und 100), die maximalen von 1,81 (95) und 4071,02 (95). Der durchschnittliche Zielfunktionswert schwankt zwischen 0,78 (95) und 245,21 (60). Die 60-prozentige Crossover-Wahrscheinlichkeit f¨ uhrt in jedem Szenario zu den schlechtesten Ergebnissen. In drei der vier Szenarien liefert die Wahrscheinlichkeit von 95% (Standardeinstellung) die niedrigsten durchschnittlichen Zielfunktionswerte: in A1 0,92 (σ 0,42), in A2 0,78 (σ 0,32) und in A3 72,41 (σ 382,74) Einheiten. Nur in Szenario A4 ist sie 13,5% schlechter als die 100prozentige Crossover-Wahrscheinlichkeit mit dem durchschnittlichen Zielfunktionswert von 211,99 (σ 680,35) Einheiten. Bei einer 95-prozentigen CrossoverWahrscheinlichkeit wird außerdem immer der kleinste minimale und in A2 der kleinste maximale Zielfunktionswert erreicht. Da die Crossover-Wahrscheinlichkeit in den meisten und v. a. in allen realistischen“ Szenarien zu besseren Er” gebnissen f¨ uhrt, wird pX = 95% festgesetzt. 7.3.3.7 Mutation In diesem Abschnitt soll anhand der Ergebnisse der Simulationen entschieden werden, ob und wie die Mutation erfolgen soll. Es werden neben der Standardversion BM3 sechs weitere Varianten auf ihre Eignung f¨ ur das Praxisproblem

234

7 Evaluation

getestet – GAM = {BM3;BM10;OBM3;ohneM;RM3;RM10}. Tabelle 7.17 gibt f¨ ur jede Variante den durchschnittlichen D30 ZF , minimalen M in30 ZF und maximalen M ax30 ZF Zielfunktionswert sowie die dazugehörige Standardabweiur alle vier Szenarien an. chung σ 30 ZF f¨ ZF Varianten BM3

BM10

OBM3

OBM10

ohneM

RM3

RM10

d ∈ D30 Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd

A1 0,92 0,52 2,47 0,42 0,94 0,52 2,47 0,46 0,93 0,52 2,39 0,45 0,93 0,52 2,37 0,43 0,95 0,52 2,85 0,50 0,91 0,52 2,55 0,42 0,94 0,52 2,60 0,47

A2 0,78 0,47 1,81 0,32 0,77 0,47 1,65 0,31 0,77 0,47 1,82 0,30 0,78 0,47 1,62 0,33 0,79 0,47 2,11 0,38 0,81 0,47 2,21 0,41 0,79 0,47 2,06 0,35

A3 72,41 0,62 2133,55 382,74 72,37 0,62 2132,82 382,62 72,39 0,62 2133,40 382,72 72,37 0,62 2132,90 382,63 72,38 0,62 2133,81 382,80 107,30 0,62 2134,30 420,96 72,45 0,62 2133,63 382,75

A4 245,14 0,80 4071,02 827,66 248,12 0,80 4160,94 841,53 211,78 0,80 3071,03 679,81 245,17 0,80 4071,41 827,71 287,01 0,80 4110,73 850,49 211,84 0,80 3071,13 679,81 288,57 0,80 4071,84 847,97

Tabelle 7.17: Simulationsergebnisse in Abhängigkeit von der Mutation und dem Szenario (in Zielfunktionseinheiten))

Der Zielfunktionswert schwankt insgesamt zwischen 0,47 und 4160,94 Einheiten, wobei der minimale Zielfunktionswert zwischen 0,47 (alle) und 0,8 (alle) und der maximale Zielfunktionswert zwischen 1,62 (OBM10) und 4160,94 (BM10) Einheiten liegt. Der durchschnittliche Zielfunktionswert nimmt Werte im Bereich von 0,77 (BM10)32 und 288,57 (RM10) Einheiten an. 32

Die Rundung auf 2 Nachkommastellen in der Tabelle lässt nicht erkennen, dass nur BM10 den geringsten durchschnittlichen Zielfunktionswert hat, nämlich 0,76707 Einheiten; OBM3 liegt mit 0,76856 dar¨ uber.


235

Die beste Variante der Mutation ist BM10 mit Zielfunktionswerten zwischen 0,77 und 248,12 Einheiten. BM10 erzeugt in Szenario A1 den geringsten minimalen und in A3 den geringsten maximalen Zielfunktionswert. Außerdem erreicht diese Variante in zwei Szenarien die geringsten durchschnittlichen Zielfunktionswerte: Bei A2 0,77 (σ 0,31) und bei A3 72,37 (σ 382,62) Einheiten. Zwar ist in Szenario A1 RM3 mit 0,91 (σ 0,42) Einheiten 3,3% und in Szenario A4 OBM3 mit 211,78 (σ 679,81) Einheiten 14,7% besser als BM10. Da BM10 aber insgesamt besser ist, wird dennoch f¨ ur die Mutation BM10 festgelegt. 7.3.3.8 Zusammenfassung An dieser Stelle wird noch einmal die endg¨ ultige Auswahl (GA∗ ) der jeweiligen Parametereinstellungen in folgender Tabelle 7.18 zusammengefasst:

Populationsgröße Anzahl Kinder Evolutionsstrategie Abbruchkriterium Selektion des Mating-Pool Selektionsverfahren Selektionsdruck

200 Double C G400 Pointer 1,2

Crossover Crossover-Verfahren Crossover-Wahrscheinlichkeit

GOX 95

Mutation

BM10

∗

Tabelle 7.18: GA – Endg¨ ultige Parametereinstellung des Genetischen Algorithmus

Diese Parametereinstellungen haben sich in der ceteris paribus Betrachtung als f¨ ur die Problemstellung am geeignetsten erwiesen und werden daher abschließend gemeinsam bei der Berechnung der Datensätze D120 angewendet. Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle 7.19 auf S. 236 f¨ ur alle sechs Kriterien f¨ ur die Datensatz-Mengen D100 , D20 und D120 dargestellt.33 Diese Ergebnisse werden im folgenden Abschnitt mit denen des Prioritätsregelverfahrens verglichen. 33

Eine identische Tabelle, Tabelle A.7, f¨ ur die Datensätze D30 findet sich im Anhang auf S. 268.

236

7 Evaluation A1

GA∗

Dd

A2 σd

A3 Dd

A4

Dd

σd

σd

Dd

σd

d ∈ D100 135,0 2993,65 2,11 97,53 983,46 0,0995

49,5 282,6 21183,52 3552,27 6,86 3,31 400,15 215,66 2345,63 778,31 0,03 0,1706

59,6 349,2 23398,81 2600,11 9,34 4,22 711,51 291,41 3201,35 893,99 0,04 0,2417


0,7678 0,1783 17653,74 2587,67 3,54 2,04 181,61 129,81 2006,00 1106,11 0 0

14,2 16848,41 2,96 98,47 1254,49 0,01


56,7 240,0 25156,95 2455,91 13,95 5,30 570,70 355,40 2724,05 982,97 0,05 0,2179

d ∈ D20 336,1 832,2 25263,05 2877,68 11,50 5,30 356,19 182,36 2218,16 998,13 0,15 0,3571

984,0 1010,7 28691,10 2523,82 22,25 5,86 1268,87 503,95 3930,97 814,98 0,7 0,7141

2925,2 2660,6 31485,50 2960,51 29,15 5,84 2367,72 888,69 5570,64 1322,54 2,4 2,2891

10,1 100,2 18904,28 3795,32 5,28 4,82 246,46 236,90 2125,67 1110,24 0,0083 0,0909

d ∈ D120 380,8 4322,34 4,30 150,65 1034,65 0,1795

205,3 598,4 22434,78 4405,16 9,43 6,91 544,93 431,16 2609,85 982,13 0,1417 0,4142

537,2 1556,3 24746,59 4022,08 12,64 8,66 987,54 763,79 3596,23 1318,02 0,4333 1,3021


67,9 18250,85 4,38 141,42 1415,10 0,0333

Tabelle 7.19: Ergebnisse (Durchschnitt Dd und Standardabweichung σ d ) des Genetischen Algorithmus mit der besten Parametereinstellung GA∗ der in d angegebenen Datensätze in Abhängigkeit vom Szenario

Wie beim Prioritätsregelverfahren verschlechtern sich auch hier erwartungsgemäß die Ergebnisse aller Kriterien durch eine steigende Auftragsanzahl bzw. eine Reduzierung der verf¨ ugbaren Kapazität. Dies soll wieder exemplarisch am Zielfunktionswert ZF gezeigt werden. Bei zunehmender Auftragsanzahl steigt der Zielfunktionswert im Durchschnitt u ¨ber alle vier Szenarien A1 bis A4 von 31 auf 1757,5 Einheiten, d. h. um 3467%. Durch die Reduktion der verf¨ ugbaren Maschinenkapazität verschlechtert sich f¨ ur D120 der Zielfunktionswert von 10,1 um 5319% auf 537,2 Einheiten.

7.4 Ergebnisvergleich der beiden Lösungsverfahren

237

7.4 Ergebnisvergleich der beiden L¨ osungsverfahren Im Folgenden werden die jeweils besten Varianten des Prioritätsregelverfahur alle 120 Datensätze rens (PRIO∗ ) und des Genetischen Algorithmus (GA∗ ) f¨ miteinander verglichen. Hierzu werden in den folgenden Tabellen nochmals die Durchschnittswerte sowie die Standardabweichung f¨ ur die Szenarien A1 - A4 und die Datensatz-Mengen D100 , D20 und D120 angegeben sowie in Abbildung 7.3 auf S. 243 nur f¨ ur D120 als Balkendiagramm dargestellt.

7.4.1 Zielfunktionswert A1 Varianten

PRIO GA∗

∗

Dd

A2 σd

1,2495 0,7678

0,4194 0,1783

PRIO∗ GA∗

368,1 56,7

948,9 240,0

PRIO∗ GA∗

62,4 10,1

410,8 100,2

Dd

A3 σd

σd

Dd

σd

112,8 49,5

630,3 282,6

143,6 59,6

506,5 349,2

d ∈ D20 827,0 2241,7 1750,7 832,2 984,0 1010,7

4205,1 2925,2

2320,6 2660,6

d ∈ D100 14,7 135,1 14,2 135,0 374,6 336,1

A4

Dd

d ∈ D120 74,7 383,7 67,9 380,8

467,6 1213,0 205,3 598,4

820,5 1844,6 537,2 1556,3

Tabelle 7.20: Vergleich der Ergebnisse bzgl. dem Zielfunktionswert (Dd ZF und σ d ZF ) der in d angegebenen Datensätze (in Einheiten)

Aus obiger Tabelle 7.20 ist ersichtlich, dass der Genetische Algorithmus in jedem Szenario durchschnittlich besser ist als das Prioritätsregelverfahren. Die durchschnittliche Verbesserung f¨ ur die Datensatz-Menge D100 ist 37,1 Einheiur D120 ten (das entspricht 39,1%), f¨ ur D20 ist 721,9 Einheiten (45,4%) und f¨ ist 151,2 Einheiten (45,9%).34 Werden die einzelnen Datensätze betrachtet, ist PRIO∗ in Szenario A1 5-mal, in A2 1-mal, in A3 3-mal und in A4 4-mal besser als GA∗ .35 Es wird bei keinem Datensatz ein identischer Zielfunktionswert er34

Anmerkung: Die durchschnittliche absolute Verbesserung berechnet sich, indem der Mittelwert der Differenzen der vier Szenarien durchschnittlichen Zielfunktionswerte von PRIO∗ und GA∗ bildet. Die durchschnittliche prozentuale Verbesserung berechnet sich, indem der Mittelwert der prozentualen Verbesserung der vier Szenarien von GA∗ im Vergleich zu PRIO∗ gebildet wird. Vgl. dazu auch Tabelle 7.27 auf S. 244. 35 Die einzelnen Ergebnisse sind zwar in dieser Arbeit wegen der hohen Datenmenge nicht aufgef¨ uhrt. Es wird aber versucht, an relevanten Stellen alle interessante Informationen zu geben.

238

7 Evaluation

zielt. Damit ist der Genetische Algorithmus in 97,3% der Datensätze36 besser als das Prioritätsregelverfahren.

7.4.2 Fertigstellung nach dem Ende des Planungszeitraums Auch wenn das Kriterium AnzF nT einzeln betrachtet wird (vgl. Tabelle 7.21), liefert der Genetische Algorithmus bessere Ergebnisse. Das Prioritätsregelverfahren ist in jedem Szenario und bei jeder Datensatz-Menge schlechter als der Genetischen Algorithmus. Die durchschnittliche Verbesserung f¨ ur die Datensatzur D20 0,8 Aufträge (49%) und Menge D100 beträgt 0,0225 Aufträge (25,9%), f¨ f¨ ur D120 0,152 Aufträge (47,9%). PRIO∗ ist in Szenario A1 bei keinem Datensatz besser, in A2 bei einem, in A3 bei f¨ unf und in A4 bei zwei Datensätzen. Allerdings erzeugen beide Lösungsverfahren sehr häufig eine identische Anzahl an Aufträgen, die erst nach dem Planungszeitraum fertig sind. In den Szenarien A1 und A2 ist dies bei 117 von 120 Datensätzen der Fall, in den Szenarien A3 und A4, etwas seltener, bei 101 bzw. 93 Datensätzen. Damit ist das Prioritätsregelverfahren in 90,8% der Datensätze mindestens so gut wie der Genetische Algorithmus.

A1 Varianten

PRIO GA∗ PRIO GA∗

∗

∗

PRIO∗ GA∗

Dd

A2 σd

Dd

A3 σd

Dd

A4 σd

Dd

σd

0 0

d ∈ D100 0,01 0,0995 0,01 0,0995

0,05 0,03

0,2598 0,1706

0,11 0,04

0,3974 0,2417

0,2 0,5099 0,05 0,2179

d ∈ D20 0,2 0,4 0,15 0,3571

1,3 0,7

1,005 0,7141

4,8 2,4

2,8566 2,2891

d ∈ D120 0,0417 0,1998 0,0333 0,1795

0,2583 0,1417

0,6645 0,4142

0,8917 0,4333

2,1323 1,3021

0 0

0,0333 0,0083

0,2211 0,0909

Tabelle 7.21: Vergleich der Ergebnisse bzgl. der Anzahl nach T fertig gestellter Aufträge (Dd AnzF nT und σ d AnzF nT) der in d angegebenen Datensätze (in St¨ uck)

36

Im Durchschnitt u ¨ber alle 4 Szenarien.


239

7.4.3 Zykluszeit Bei Betrachtung der in der Tabelle 7.22 dargestellten Ergebnisse kann konstatiert werden, dass auch bei der Zykluszeit durch den Genetischen Algorithmus im Vergleich zum Prioritätsregelverfahren in jedem Szenario und bei jeder Datensatz-Menge durchschnittlich eine Verbesserung erzielt werden kann. Allerdings ist die Verbesserung bei der Zykluszeit im Vergleich zu den anderen Kriterien am geringsten: Die durchschnittliche Verbesserung f¨ ur die Datensatzur D20 mit 1403,8 Minuten Menge D100 beträgt mit 1681,6 Minuten nur“ 7,9%, f¨ ” 4,8% und f¨ ur D120 mit 1635,3 Minuten 7,3%. Die Zykluszeit ist bei PRIO∗ in Szenario A1 bei 17 (17) Datensätzen besser als (gleich wie) beim Genetischen Algorithmus, in A2 bei 11 (15), in A3 bei 7 (21) und in A4 bei 19 (20) Datensätzen. Im Durchschnitt u ¨ber alle vier Szenarien ist PRIO∗ damit bei 26,5% der Datensätze mindestens so gut wie GA∗ . A1 Varianten

PRIO GA∗ PRIO GA∗ PRIO GA∗

∗

∗

∗

Dd

19174,06 17653,74 26199,55 25156,95 20344,98 18904,28

A2 σd

Dd

A3 σd

Dd

A4 σd

Dd

σd

2855,25 2587,67

d ∈ D100 18545,96 2953,96 16848,41 2993,65

23280,07 3260,97 21183,52 3552,27

24810,91 2659,30 23398,81 2600,11

2350,78 2455,91

d ∈ D20 26508,60 2446,48 25263,05 2877,68

30669,15 2347,69 28691,10 2523,82

32834,55 2695,19 31485,50 2960,51

3817,06 3795,32

d ∈ D120 19873,07 4132,21 18250,85 4322,34

24511,58 4166,93 22434,78 4405,16

26148,18 4005,67 24746,59 4022,08

Tabelle 7.22: Vergleich der Ergebnisse bzgl. der Zykluszeit (Dd Z und σ d Z) der in d angegebenen Datensätze (in Minuten)

7.4.4 Terminu ¨ berschreitung 7.4.4.1 Anzahl Termin¨ uberschreitungen Die Anzahl der Termin¨ uberschreitungen kann absolut und prozentual bezogen auf die Anzahl herzustellender Aufträge betrachtet werden. In beiden Fällen erzielt der Genetische Algorithmus in jedem Szenario und bei jeder DatensatzMenge durchschnittlich eine geringere Anzahl an Aufträgen, deren Fertigstellungszeitpunkte ihre Fertigstellungstermine u ¨berschreiten, und ist somit besser als das Prioritätsregelverfahren.

240

7 Evaluation A1 Varianten


∗

∗

∗

Dd

A2 Dd

A3 σd

A4

Dd

σd

Dd

σd

3,50 2,04

d ∈ D100 7,24 3,35 2,96 2,11

11,17 6,86

4,39 3,31

12,60 9,34

4,95 4,22

23,35 3,65 13,95 5,30

d ∈ D20 22,25 3,82 11,50 5,30

30,40 22,25

5,27 5,86

34,30 29,15

6,16 5,84

10,51 6,74 5,28 4,82

d ∈ D120 9,74 6,56 4,38 4,30

14,38 9,43

8,49 6,91

16,22 12,64

9,60 8,66

7,94 3,54

σd

Tabelle 7.23: Vergleich der Ergebnisse bzgl. der Anzahl Termin¨ uberschreitungen (Dd AnzT A+ und σ d AnzT A+ ) der in d angegebenen Datensätze (in St¨ uck)

Wird die absolute Anzahl betrachtet (vgl. obige Tabelle 7.23), gibt es eine Verbesserung bei der Datensatz-Menge D100 von durchschnittlich 4,1 Aufträgen (44,8%), bei D20 von 8,4 Aufträgen (32,6%) und bei D120 von 4,8 Aufträgen (40,3%). In Szenario A1 erzielt PRIO∗ bei 3 (5) Datensätzen eine geringere (gleiche) Anzahl wie GA∗ , in A2 bei 1 (2), in A3 bei 1 (6) und in A4 bei 6 (10) Datensätzen. Im Durchschnitt u ¨ber alle vier Szenarien und alle Datensätze erreicht das Prioritätsregelverfahren nur bei 7,1% der Datensätze eine mindestens so geringe Anzahl oder eine geringere Anzahl als der Genetische Algorithmus.

A1 Varianten


∗

∗

∗

Dd

A2 σd

Dd

A3 σd

Dd

A4 σd

Dd

σd

19,06 6,29 8,63 4,55

d ∈ D100 17,32 6,16 7,10 4,59

26,96 7,70 16,80 6,85

30,35 22,49

8,20 7,74

33,07 4,02 19,73 7,12

d ∈ D20 31,49 4,27 16,33 7,46

43,05 6,17 31,41 7,34

48,42 41,27

6,52 7,45

21,39 7,93 10,48 6,54

d ∈ D120 19,68 7,90 8,64 6,22

29,64 9,57 19,23 8,82

33,37 25,62

10,41 10,40

Tabelle 7.24: Vergleich der Ergebnisse bzgl. der Anzahl Termin¨ uberschreitungen (Dd AnzT A+ und σ d AnzT A+ ) der in d angegebenen Datensätze (in Prozent)


241

Wird die prozentuale Anzahl betrachtet (vgl. Tabelle 7.24 auf der vorherigen Seite), sind die Ergebnisse den obigen sehr ähnlich. Die durchschnittliche Verbesserung bei der Datensatz-Menge D100 beträgt mit 9,7% der Aufträge 44,3%, bei D20 mit 11,8% der Aufträge 32,6% und bei D120 mit 10% der Aufträge 41,4%. In Szenario A1 erzielt PRIO∗ bei 5 (0) Datensätzen eine geringere (gleiche) Anzahl wie GA∗ , in A2 bei 2 (0), in A3 bei 4 (1) und in A4 bei 10 (3) Datensätzen. Damit erzielt das Prioritätsregelverfahren im Durchschnitt u ¨ber alle vier Szenarien und alle Datensätze nur bei 5,2% der Datensätze eine gleichen oder geringeren Prozentsatz an verspäteten Aufträgen. 7.4.4.2 H¨ ohe Termin¨ uberschreitung Auch hinsichtlich der Höhe der Termin¨ uberschreitung liefert das Prioritätsregelverfahren in jedem Szenario und bei jeder Datensatz-Menge schlechtere Ergebnisse als der Genetische Algorithmus, unabhängig davon, ob die durch+ schnittliche Termin¨ uberschreitung von allen K Aufträgen berechnet wird (T AK ) + oder nur auf die verspäteten K+ Aufträge bezogen wird T AK+ ).

A1 Varianten PRIO∗ GA∗ PRIO∗ GA∗ PRIO GA∗

∗

A2 σd

653,37 181,61

311,94 129,81

d ∈ D100 548,09 276,96 98,47 97,53

1641,33 368,82 570,70 355,40

d ∈ D20 1475,69 326,09 356,19 182,36

818,03 246,46

489,21 236,90

Dd

A3

Dd

σd

d ∈ D120 702,69 448,50 141,42 150,65

Dd

A4 σd

Dd

σd

1199,45 475,71 400,15 215,66

1460,75 523,75 711,51 291,41

2656,07 1268,87

3533,55 2367,72

616,99 503,95

1442,22 739,40 544,93 431,16

826,26 888,69

1806,21 969,08 987,54 763,79

Tabelle 7.25: Vergleich der Ergebnisse bzgl. der auf alle K Aufträge bezogenen + + durchschnittlichen Termin¨ uberschreitung (Dd T AK und σ d T AK ) der in d angegebenen Datensätze (in Minuten)

Im ersten Fall zeigt der Genetische Algorithmus im Vergleich zu allen anderen Kriterien die größte Verbesserung gegen¨ uber den Ergebnissen beim Prioritätsregelverfahren (vgl. Tabelle 7.25). Die durchschnittliche Verbesserung f¨ ur die ur D20 mit 1185,8 Datensatz-Menge D100 beträgt mit 617,5 Minuten 68%, f¨ Minuten 56,6% und f¨ ur D120 mit 712,2 Minuten 64,3%. Werden die einzelnen Datensätze betrachtet, kann PRIO∗ nur in Szenario A1 3-mal und in A4 2-mal

242

7 Evaluation

bessere Werte als GA∗ erzielen. Außerdem wird bei keinem Datensatz ein identischer Zielfunktionswert erzielt. Damit ist der Genetische Algorithmus beim Kriterium der durchschnittlichen Höhe der Termin¨ uberschreitung in 99% der Fälle besser als das Prioritätsregelverfahren. Wird die durchschnittliche Termin¨ uberschreitung der verspäteten Aufträge berechnet (vgl. Tabelle 7.26), verbessert sich das Kriterium f¨ ur die Datensatzur D20 um 2119,7 Menge D100 durchschnittlich um 1683,3 Minuten (44,6%), f¨ + Minuten (38,9%) und f¨ ur D120 um 1756 Minuten (43,3%). T AK+ ist beim Prioritätsregelverfahren in Szenario A1 bei 15 Datensätzen besser als beim Genetischen Algorithmus, in A2 bei 9, in A3 bei 4 und in A4 bei 11 Datensätzen. Nur in Szenario A3 kann PRIO∗ bei einem einzigen Datensatz ein identisches Ergebnis wie GA∗ erzielen. Im Durchschnitt u ¨ber alle vier Szenarien ist PRIO∗ damit nur bei 8,3% der Datensätze mindestens so gut wie GA∗ . A1

A2

Dd

σd

Dd

PRIO∗ GA∗

3344,44 2006,00

1130,51 1106,11

3072,50 1254,49

PRIO∗ GA∗

4918,44 2724,05

689,82 982,97

4669,24 2218,16

Varianten

PRIO GA∗

∗

3606,77 2125,67

1220,02 1110,24

A3 σd

A4

Dd

σd

Dd

σd

d ∈ D100 1031,62 983,46

4360,98 2345,63

1134,96 778,31

4762,73 3201,35

995,76 893,99

d ∈ D20 735,34 998,13

6100,18 3930,97

721,48 814,98

7234,64 5570,64

1018,51 1322,54

d ∈ D120 3338,62 1153,73 1415,10 1034,65

4650,84 2609,85

1257,11 982,13

5174,72 3596,23

1359,35 1318,02

Tabelle 7.26: Vergleich der Ergebnisse bzgl. der auf alle K+ Aufträge bezogenen + + durchschnittlichen Termin¨ uberschreitung (Dd T AK+ und σ d T AK+ ) der in d angegebenen Datensätze (in Minuten)

7.4.5 Abschlussbemerkungen Der Genetische Algorithmus ist im Durchschnitt u ¨ber jedes Szenario und jede betrachtete Datensatz-Menge bei jedem der untersuchten sechs Kriterien besser als das Prioritätsregelverfahren, weist dabei zudem eine geringere Standardabweichung aus und findet in fast allen Datensätzen und Szenarien das bessere Ergebnis. Dies ist nicht verwunderlich, da beim Prioritätsregelverfahren eine einzige Lösung und beim Genetischen Algorithmus dagegen eine Vielzahl von

D120 Z +

D120 T AK D120 AnzF nT

+

D120 T AK+

D120 AnzT A+

D120 ZF


Abbildung 7.3: Vergleich der Ergebnisse f¨ ur D120

243

244

7 Evaluation

Lösungen berechnet wird.37 In der folgenden Tabelle 7.27 ist die prozentuale Verbesserung bei den in d angegebenen Datensätzen in Abhängigkeit vom Szenario dargestellt, wenn anstelle des Prioritätsregelverfahrens mit der besten Prioritätsregel PRIO∗ der Genetische Algorithmus mit der besten Parametereinstellung GA∗ als Lösungsverfahren verwendet wird: A1

A4

Ø

D ZF DdZ Dd AnzT A+ + Dd T AK + Dd T AK+ Dd AnzF nT

d ∈ D100 38,55 3,15 56,13 7,93 9,15 9,01 55,42 59,12 38,59 72,20 82,03 66,64 40,02 59,17 46,21 0 0 40,00

58,49 5,69 25,87 51,29 32,78 63,64

39,1 7,9 44,8 68,0 44,6 25,9

Dd ZF DdZ Dd AnzT A+ + Dd T AK + Dd T AK+ d D AnzF nT

84,58 3,98 40,26 65,23 44,62 75,00

d ∈ D20 10,27 4,70 48,31 75,86 52,49 25,00

56,10 6,45 26,81 52,23 35,56 46,15

30,44 4,11 15,01 32,99 23,00 50,00

45,4 4,8 32,6 56,6 38,9 49,0

Dd ZF DdZ Dd AnzT A+ + Dd T AK + Dd T AK+ d D AnzF nT

d ∈ D120 83,82 9,10 56,11 7,08 8,16 8,47 49,80 55,00 34,43 69,87 79,87 62,22 41,06 57,61 43,88 75,00 20,00 45,16

34,53 5,36 22,05 45,33 30,50 51,40

45,9 7,3 40,3 64,3 43,3 47,9

d

A2

A3

Tabelle 7.27: Prozentuale Verbesserung bei den in d angegebenen Datensätzen in Abhängigkeit vom Szenario, wenn anstelle des Prioritätsregelverfahrens mit der besten Prioritätsregel PRIO∗ der Genetische Algorithmus mit der besten Parametereinstellung GA∗ als Lösungsverfahren verwendet wird. Die geringsten Unterschiede zwischen den Ergebnissen von PRIO∗ und GA∗ gibt es bei der Zykluszeit Z (zwischen 3,98% und 9,15%). Da einerseits durch 37

Bei GA∗ werden 200 Individuen u ¨ber 400 Generationen dekodiert, d. h., dass bis zu 80.000 unterschiedliche Lösungen berechnet werden.


245

die festgelegten Maschinenfolgen die benötigte Prozesszeit fest vorgegeben und andererseits die verf¨ ugbaren Kapazitäten durch die Maschinenstillstände mit anschließenden Anlaufzeiten determiniert sind, ist ein zeitlicher Spielraum“ ” zur Reduktion der Gesamtbearbeitungszeit nur begrenzt gegeben. Der Genetische Algorithmus ist im Vergleich zum Prioritätsregelverfahren zwar in der Lage, die Zykluszeit durchschnittlich zu verringern und damit mehr Pufferzeit f¨ ur potentielle Maschinenausfälle zu generieren, aber nicht in einem so großen Maße wie bei den anderen Kriterien, wie z. B. den Kriterien zur Termin¨ uberschreitung. Dort gelingt es dem Genetischen Algorithmus, die Auftragsfolgen so zu bestimmen, dass sie die internen Liefertermine besser erf¨ ullen. Im Falle eines unvorhergesehenen Maschinenausfalls sinkt damit das Risiko, dass ein Diodentyp vollständig als Fehlmenge auftritt. Die Anzahl an Aufträgen mit Termin¨ uberschreitung sinkt um durchschnittlich 40,3%, wobei sie sich die prozentuale Verbesserung in Abhängigkeit vom betrachtetem Szenario und der jeweiligen Datensatz-Menge zwischen 15,01% und 59,12% bewegt. Die größte Verbesserung erzielt der Genetische Algorithmus gegen¨ uber dem Prioritätsregelverfah+ + ren bei der durchschnittlichen Termin¨ uberschreitung (T AK bzw. T AK+ ): Sie beträgt auf alle K (K+ ) Aufträge bezogen 64,3% (43,3%) und bewegt sich im Bereich von 32%-82,03% (23%-59,17%). Der Planungshorizont T entspricht im Prinzip einem universellen Liefertermin, so dass das Kriterium AnzF nT, die Anzahl nach dem Ende des Planungszeitraums T fertig gestellter Aufträge, ebenfalls einer Anzahl f¨ ur Termin¨ uberschreitung entspricht. Dem Genetischen Algorithmus gelingt es auch hier durch die Bestimmung einer besseren Auftragsfolgenkombination, dieses Kriterium im Vergleich zum Prioritätsregelverfahren um durchschnittlich 47,9% und maximal sogar 75% zu verbessern. Der Zielfunktionswert ZF setzt sich, wie bereits in Abschnitt 6.2.1 auf S. 78 beschrieben, aus der gewichteten Zykluszeit GZ, der gewichteten Termin¨ uber¨ ur das Uberschreiten des Planungshoschreitung GT A+ sowie einem Strafterm f¨ rizontes S >T zusammen.38 Der Genetische Algorithmus kann eine durchschnittliche Verbesserung im Vergleich zum Prioritätsregelverfahren von 45,9% erzielen (minimal 3,15% und maximal 84,58%). Da in der Fallstudie möglichst alle 38

Der Zielfunktionsterm S >T geht mit dem höchsten Gewicht in die Zielfunktion ein, da auf jeden Fall alle Aufträge innerhalb des Planungszeitraums fertig gestellt werden sollen. Im zweiten Schritt soll antizipativ auf stochastische Maschinenausfälle R¨ ucksicht genommen werden: Es soll nicht zu einem Totalausfall bei der Lieferbereitschaft einzelner Diodentypen kommen, weshalb Liefertermine gesetzt und u ¨ber den Zielfunktionsterm GT A∗ Terminabweichungen minimiert werden sollen. Die (gewichtet) Zykluszeit wird minimiert, um f¨ ur den worst-case Fall Pufferzeiten zu schaffen, um auf diese unvorhergesehene Maschinenausfälle reagieren zu können.

246

7 Evaluation

Aufträge innerhalb des Planungszeitraumes erf¨ ullt werden sollen, geht der Strafterm S >T mit dem höchsten Gewicht in die Zielfunktion ein. Wenn es zu einer ¨ Planungshorizont-Uberschreitung kommt, hat daher der Zielfunktionsterm S >T ein so hohes Gewicht, dass die anderen Zielfunktionsterme sich nur noch gering im Zielfunktionswert widerspiegeln. Da das Kriterium AnzF nT inhaltlich mit S >T zusammen hängt, ist eine Parallelität bei den Ergebnissen von ZF und AnzF nT erkennbar (siehe f¨ ur den Fall D120 Abbildung 7.3 auf S. 243). Beim Vergleich der Ergebnisse der realistischen“ Szenarien A1/A2 und der ” k¨ unstlichen , kapazitätsreduzierten Szenarien A3 und A4 lässt sich feststellen, ” ” dass die durchschnittliche prozentuale Verbesserung mit wenigen Ausnahmen durch Anwendung des Genetischen Algorithmus anstelle des Prioritätsregelverfahrens in den härteren Szenarien geringer ist. Dies bestätigt sich auch beim Vergleich der realistischen“ Datensatz-Menge D 100 zur Datensatzmenge D20 , ” die durch eine erhöhte Nachfrage gekennzeichnet ist: Auch hier verringert sich die durchschnittliche prozentuale Verbesserung bei höheren Nachfragemengen. Das bedeutet, dass der Genetische Algorithmus v. a. dann in der Lage ist, die Ergebnisse im Vergleich zu denen des Prioritätsregelverfahrens zu verbessern, wenn er mehr Spielraum“ hat, wie es bei den realistischen Szenarien A1 bzw. ” A2 und der Datensatz-Menge D100 der Fall ist. Beide Lösungsverfahren zeichnen sich durch eine kurze Rechenzeit aus. Selbst f¨ ur den Durchlauf des Genetischen Algorithmus, bei dem die Anzahl der Rechenschritte viel höher ist als beim Prioritätsregelverfahren, wird maximal 3 Minuten Zeit benötigt.39 Der Rechenaufwand ist damit kein ausschlaggebendes Kriterium zur Auswahl eines der beiden Verfahren, zumal eine längere Rechenzeit bei einem Planungszeitraum von einem Monat sogar akzeptabel wäre. Abschließend lässt sich sagen, dass mit dem zweistufigen Lösungsverfahren, insbesondere in Kombination mit dem Genetischen Algorithmus, f¨ ur die konkret betrachtete Problemstellung aus der Praxis ein neues, geeignetes und erfolgreiches Lösungsverfahren entwickelt wurde.

39

Das Prioritätsregelverfahren wurde mittels Microsoft Basic Version 6.0 und der Genetische Algorithmus mittels Microsoft Visual C++ 6.0 implementiert, und beide Lösungsverfahren wurden unter Microsoft Windows XP getestet. Der angegebene Zeitbedarf wurde auf einem AMD AthlonT M XP3000+ 2,17GHz Prozessor benötigt.

8 Schlussbetrachtung 8.1 Zusammenfassung Im Rahmen der Arbeit wurde eine konkrete Problemstellung der operativen Ablaufplanung in der Diodenfabrik eines Unternehmens der Halbleiterindustrie betrachtet: Ein f¨ ur einen Planungszeitraum gegebenes Auftragsvolumen, bestehend aus verschiedenen Diodentypen, ist auf einem gegebenen Maschinenpark unter Ber¨ ucksichtigung unvorhergesehener Maschinenausfälle so herzustellen, dass es die gegebenen Unternehmensziele möglichst gut erf¨ ullt. Das Ziel der Arbeit bestand darin, f¨ ur diese konkrete reale Problemstellung ein geeignetes individuelles Lösungsverfahren zu entwickeln. Zunächst wurde die Ablaufplanung in den Produktionsprozess eingeordnet. Es wurde festgelegt, dass unter dem Begriff der Ablaufplanung im weiteren Verlauf der Arbeit die Maschinenbelegungsplanung verstanden wird. Sie setzt sich aus der Bearbeitungs-, Reihenfolge- und Terminplanung zusammen und liefert als Ergebnis den so genannten Ablaufplan. Es wurde dargestellt, worin sich die primale und duale, deterministische und stochastische bzw. statische und dynamische Ablaufplanung unterscheiden. Des Weiteren wurden notwendige Definitionen und Notationsvereinbarungen eingef¨ uhrt. Da aufgrund der großen Anzahl von Parametern und Zielen eine Vielzahl von Ablaufplanungsproblemen unterschieden werden kann, wurde zu ihrer Strukturierung in Anlehnung an Graham et al. (1979) ein Klassifikationsschema eingef¨ uhrt, das hinsichtlich der drei Aspekte Maschinen- und Auftragseigenschaften sowie Zielkriterien differenziert. Dar¨ uber hinaus wurden die unterschiedlichen Arten von Ablaufplänen beschrieben und erläutert, wie es mit Hilfe dieser bei regulären Zielfunktionen möglich ist, bei der Suche nach dem optimalen Ablaufplan den Lösungsraum dahingehend einzugrenzen, dass er nur potentiell optimale Ablaufpläne enthält. Es wurde eine kleine Fallstudie (FS1) eingef¨ uhrt, um mit ihrer Hilfe das Beschriebene zu veranschaulichen. Es handelt sich dabei um ein klassisches Job-Shop-Problem, das eine wichtige Rolle bei der Entwicklung und Bewertung neuer Verfahren spielt. Nach der Darstellung der theoretischen Grundlagen stand das konkrete Praxisbeispiel aus der Halbleiterindustrie, das im Folgenden als Fallstudie FSH bezeichnet wurde, im Fokus der Ausf¨ uhrungen. Der Produktionsprozess in der I. J. Acker, Methoden zur mehrstufi gen Ablaufplanung in der Halbleiterindustrie, DOI 10.1007/978-3-8349-6731-2_8, © Gabler Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

248

8 Schlussbetrachtung

Diodenfertigung des betrachteten Unternehmens wurde genau analysiert und ausf¨ uhrlich dargestellt: Gegenstand der Betrachtung sind die beiden letzten Produktionsstufen – die Montage und die Endmessung der Dioden. Die Montage ist nach der Fließfertigung und die Endmessung nach der Werkstattfertigung organisiert. Der Maschinenpark besteht aus insgesamt 24 z. T. parallelen Maschinen. Zur Bedienung der Maschinen ist speziell ausgebildetes Personal erforderlich, das gemäß eines Schichtplans nur zu bestimmten Zeiten eingesetzt werden kann. Daher kommt es zu Maschinenstillständen mit anschließenden kapazitätsreduzierenden Anlaufzeiten. Die f¨ unf planungsrelevanten Arbeitsvorgänge in der Montage lassen sich aufgrund ihrer gegenseitigen kapazitätsmäßigen Anpassung auf einen planungsrelevanten Arbeitsgang mit einer entsprechenden Nachlaufzeit reduzieren. In der Montage können 40 verschiedene so genannte Montagediodentypen erzeugt werden. Aufgrund einer divergierenden Produktionsstruktur können daraus in der Endmessung in bis zu drei Arbeitsgängen 63 verschiedene so genannte Endmessdiodentypen erzeugt werden. Daf¨ ur stehen insgesamt 18 Maschinen zur Verf¨ ugung. Es entstehen bei einem Diodentypwechsel auf einer Maschine signifikante R¨ ustzeiten.Vor allem ist zu beachten, dass nicht eine Maschinenfolge a priori festgelegt ist, sondern f¨ ur einen Endmessdiodentyp eine Vielzahl alternativer Maschinenfolgen gegeben ist. Dadurch gibt es f¨ ur einen Auftrag bis zu 108 mögliche Wege, den zweistufigen Produktionsprozess zu durchlaufen. Da zur langfristigen Aufrechterhaltung der Wettbewerbsposition neben technologischem Know-how-Vorsprung und der Kostenf¨ uhrerschaft auch die Einhaltung von Liefervereinbarungen von besonderer Bedeutung ist, ist es wichtig, dass ein f¨ ur den Planungszeitraum gegebenes Produktionsprogramm unter Ber¨ ucksichtigung unvorhergesehener Maschinenausfälle termingerecht abgeschlossen wird. Bei unzureichender Kapazität sollte es außerdem möglichst zu keinem vollständigen Ausfall der Lieferbereitschaft bei einem einzelnen Diodentyp kommen. Abschließend lässt sich das betrachtete Praxisbeispiel von seiner Struktur her als Job-Shop-Problem charakterisieren, weshalb sich die Arbeit im weiteren Verlauf ausschließlich auf diesen Problemtyp konzentriert. Die Analyse zeigte, dass es sich bei der betrachteten Problemstellung der Fallstudie FSH um ein komplexes statisch-deterministisches Maschinenbelegungsplanungsproblem handelt, das durch folgende Eigenschaften gekennzeichnet ist: • • • • •

Multikriterielle Zielsetzung Chargenproduktion Auftragsgruppen (Montagediodentypen) Alternative Maschinenfolgen Nachlaufzeiten (nicht unterbrechbar)

8.1 Zusammenfassung

249

• Parallele Maschinen • R¨ ustzeiten (nicht unterbrechbar) • Maschinenstillstände mit Anlaufzeiten und Anfangsr¨ usten (nicht unterbrechbar, R¨ ustzustand bleibt nach einem Stillstand nicht erhalten) • fester Planungszeitraum mit Möglichkeit der Nichterf¨ ullung (komplette Charge oder gar nicht) Die Problemstellung weist in dreierlei Hinsicht Flexibilität auf: durch die Existenz paralleler Maschinen und alternativer Maschinenfolgen sowie die Möglichkeit der Nichterf¨ ullung von Aufträgen. Da zur Bearbeitung einer Operation nicht nur eine einzige Maschine, sondern eine Menge an identischen, parallelen Maschinen gegeben ist – diese entsprechen einem Maschinentyp –, handelt es sich um ein flexibles Job-Shop-Problem. Es wurde der Unterschied zwischen einer Maschinenfolge und einer Maschinentypfolge herausgearbeitet: Eine Maschinentypfolge eines Auftrags gibt an, auf welchen Maschinentypen die einzelnen Operationen dieses Auftrags in welcher Reihenfolge bearbeitet werden m¨ ussen. Erst die Maschinenfolge nennt konkret f¨ ur jede Operation die einzelnen Maschine, auf der sie zu bearbeiten ist. Die Anzahl benötigter Operationen zur Herstellung eine Diodentyps ist nicht konstant, sondern kann in Abhängigkeit von der Maschinentypfolge variieren. Die Problemstellung konnte nicht in das Klassifikationsschema eingeordnet werden. Deshalb wurden zwei neue Problemtypen definiert – das Job-Shop-Problem mit mehreren Maschinentypfolgen (M J) und das Flexible Job-Shop-Problem mit mehreren Maschinentypfolgen (M F J). Bei der Fallstudie FSH handelt es sich um Problem vom Typ M F J, das dadurch gekennzeichnet ist, dass einerseits jedem Auftrag eine Maschinentypfolge zuzuordnen ist und andererseits jeder Operation innerhalb dieser eine der parallelen Maschinen eines Maschinentyps. Im Anschluss an die Problemanalyse konzentrierte sich die Arbeit auf die JobShop-Modelle der Ablaufplanung. Da Reihenfolgeprobleme sehr anschaulich als Graphen dargestellt werden können, wurde zunächst das von Roy und Sussman 1964 eingef¨ uhrte Prinzip des disjunktiven Graphen vorgestellt und mit Hilfe der Fallstudie FS1 veranschaulicht. Darauf aufbauend wurde die Modellformulierung nach Manne hergeleitet, die mit dem disjunktiven Graphen in engem Zusammenhang steht, und auf die Fallstudie FS1 angewendet. Dies war Basis der gemischt-ganzzahligen linearen Modellformulierung GGLP-komplett, die die problemspezifischen Eigenschaften der Fallstudie FSH vollständig abbildet. Hierzu war es nötig, weitere Notationsvereinbarungen zu treffen. Es wurde eine weitere kleine Fallstudie (FS2) eingef¨ uhrt, um die Funktionsweise des Modells exemplarisch darzustellen.

250


¨ Im weitere Verlauf wurde ein Uberblick u ¨ber exakte und heuristische Lösungsverfahren f¨ ur deterministisch-statische Job-Shop-Probleme gegeben. Exakte Verfahren streben eine optimale Lösung eines Problems in einer endlichen Zahl von Schritten an. Heuristische Lösungsverfahren verzichten dagegen auf die Garantie, ein Optimum zu finden bzw. als solches zu erkennen und geben sich damit zufrieden, lediglich gute Lösungen zu bestimmen. Sie gehen nach bestimmten Regeln zur Lösungsfindung und -verbesserung vor, die hinsichtlich der betrachteten Zielsetzung und der Nebenbedingungen eines Problems als zweckmäßig, sinnvoll und erfolgversprechend erscheinen. Neben der Definition des Begriffs, wurden auch Klassifikationsschemata f¨ ur Heuristiken vorgestellt. Es wurde in der Literatur noch kein Verfahren veröffentlicht, das ohne Anpassungsbedarf zur Lösung der betrachteten Fallstudie angewendet werden konnte. Daher musste ein problemspezifisches Lösungsverfahren entwickelt werden. Eine Komplexitätsbetrachtung machte zudem deutlich, dass der in der betrachteten Fallstudie FSH vorliegende Problemtyp zur Klasse der N P-schweren Optimierungsprobleme gehört. Diese Tatsache macht eine exakte Lösung in praxisrelevanter Größenordnung mit vertretbarem Zeitaufwand unmöglich. Daher wurden f¨ ur die Entwicklung eines problemspezifischen Lösungsverfahrens zwei Heuristiken herausgegriffen: ein Prioritätsregelverfahren sowie ein Genetischer Algorithmus. Diese wurden zunächst am Beispiel des klassischen Job-Shop-Problems erläutert. Prioritätsregelverfahren stellen die in der Praxis wahrscheinlich am häufigsten eingesetzte Heuristik zur Lösung von Job-Shop-Scheduling-Problemen dar. Im Rahmen einer Werkstattfertigung entstehen häufig Konfliktsituationen, wenn mehrere Aufträge gleichzeitig auf einer Maschine bearbeitet werden können. In diesem Fällen können durch den Einsatz von Prioritätsregeln Dringlichkeitsziffern f¨ ur die um die relevante Maschine konkurrierenden Aufträge erstellt werden. Es wird derjenige Auftrag zur Bearbeitung ausgewählt, der die höchste Dringlichkeit aufweist. Heuristiken mit Hilfe von Prioritätregeln sind leicht verständlich und liefern trotz ihrer Einfachheit schnell Ergebnisse von angemessener Qualität. Aus diesem Grund wurde zur Lösung der Fallstudie ein problemspezifisches, prioritätsregelbasiertes Lösungsverfahren entwickelt. Zunächst wurden verschieden einfache Konstruktionsverfahren beschrieben, die mit den vorher beschriebenen Arten von Ablaufplänen in engem Zusammenhang stehen. Im Anschluss daran wurden verschiedene Prioritätsregeln vorgestellt und auf unterschiedliche Klassifikationsmöglichkeiten eingegangen. Da sich das Giffler&Thompson-Verfahren zur Erzeugung aktiver Ablaufpläne zur Lösung von FSH als zweckmäßig erwies, wurde dieses Konstruktionsverfahren ausf¨ uhrlich beschrieben und zur Veranschaulichung auf die Fallstudie FS1 angewendet.

8.1 Zusammenfassung

251

Der Genetische Algorithmus, eine Metaheuristik, die auf Holland (1975) zur¨ uckgeht, ist ein leistungsfähiges, stochastisches Suchverfahren und an die Prinzipien der biologischen Evolution angelehnt. Weil es sich bei ihm um ein leistungsfähiges, stochastisches Suchverfahren handelt, das bereits häufig im Bereich der kombinatorischen Optimierung erfolgreich eingesetzt wurde, wurde auch dieser zur Lösung der betrachteten Fallstudie ausgewählt. Zunächst wurde das prinzipielle Vorgehen dargestellt. Darauf aufbauend wurde ausf¨ uhrlich erläutert, wie die einzelnen Komponenten und Parameter des Genetischen Algorithmus ausgestaltet werden können bzw. m¨ ussen, um f¨ ur die Lösung von Job-ShopProblemen eingesetzt werden zu können. Auch hier diente die Fallstudie FS1 zur Veranschaulichung des dargestellten Inhalts. Daran anschließend erfolgte die Entwicklung eines problemspezifischen Lösungsverfahren f¨ ur das betrachtete Praxisbeispiel FSH. Aufgrund der Komplexität der Problemstellung wurde ein hierarchischer Dekompositionsansatz verfolgt: In einer ersten Phase sind zunächst die Maschinenfolgen f¨ ur alle Aufträge zu bestimmen. Die Maschinenfolgen wurden in einer ersten Variante zufällig ausgewählt. In einer zweiten Variante erfolgte die Auswahl der Maschinenfolgen zielgerichtet mit der Zielsetzung, eine Kapazitäts¨ uberschreitung einzelner Maschinen zu vermeiden und alle Maschinen möglichst gleichmäßig auszulasten. Um dies zu erreichen, wurde ein entsprechendes gemischt-ganzzahliges lineares Programm (GGLP-Auswahl) formuliert. An dieser Stelle wurde eine weitere kleine Fallstudie (FS3) eingef¨ uhrt, um die Wirkungsweise von GGLP-Auswahl zu veranschaulichen. Diese in der ersten Phase bestimmten Maschinenfolgen fließen als feste Größen in das Problem ein, so dass sich der Problemtyp von einem M F J auf ein (reines) Job-Shop-Problem vereinfacht. Zu dessen Lösung werden in einer zweiten Phase die beiden ausgewählten heuristischen Lösungsverfahren angewendet. Dazu war es erforderlich, diese noch an die problemspezifischen Eigenschaften von FSH anzupassen. Es wurde ausf¨ uhrlich beschrieben, inwiefern der Giffler&Thompson-Algorithmus [G&T] bzw. die Dekodierungsvorschrift beim Genetischen Algorithmus [Dekod] erweitert werden mussten: Aufgrund der R¨ ustzeiten musste u. a. der Konflikt-Begriff neu definiert werden. Ein Konflikt liegt nicht mehr nur dann vor, wenn sich die Prozesszeiten von mindestens zwei Aufträgen auf einer Maschine u ¨berlappen, sondern deren Belegungszeiten, die sich aus der R¨ ust- und Prozesszeit zusammensetzen. Die erweiterten AblaufplanGeneratoren [G&T-ext] und [Dekod-ext] wurde jeweils in Form eines Struktogramms beschrieben und ausf¨ uhrlich erläutert. Mit beiden an die Fallstudie FSH adaptierten Verfahren wurde wiederum zur Veranschaulichung die Fallstudie FS3 gelöst.

252


Die Arbeit konzentrierte sich zu guter Letzt auf die numerische Analyse der entwickelten Lösungsverfahren. Dazu wurden zunächst die Realität abbildende Daten generiert und geeignete Szenarien definiert. Auf Basis dieser wurden zahlreiche Simulationsrechnungen durchgef¨ uhrt. Zunächst erfolgte eine Untersuchung der ersten Phase zur Auswahl der Maschinenfolgen der jeweiligen Aufträge. Dabei wird deutlich, dass die Auswahl der Maschinenfolgen mit Hilfe des gemischt-ganzzahligen linearen Programms MILP-Auswahl einer zufälligen Festlegung u ur die ¨berlegen ist. Im nächsten Schritt wurden durch Pretests die f¨ Problemstellung geeignetste Prioritätsregel (PRIO∗ ) bzw. geeignetsten Parametereinstellungen des Genetischen Algorithmus (GA∗ ) bestimmt. Zur Beurteilung wurden sechs Kriterien herangezogen, wobei das Hauptaugenmerk auf den Zielfunktionswert ZF gelegt wurde. Dieser setzt sich additiv aus einem Strafterm ¨ f¨ ur die Uberschreitung des Planungshorizontes, einer gewichteten Zykluszeit und einer gewichteten Termin¨ uberschreitung zusammen. Weitere Simulationsrechnungen mit PRIO∗ und GA∗ zeigten, dass beide Lösungsverfahren in der Lage sind, sehr gute Ablaufpläne in vertretbarer Rechenzeit zu erzeugen. Sie erf¨ ullen damit die Zielsetzung der Arbeit. Der Genetische Algorithmus liefert dabei im Durchschnitt um 46% bessere Ergebnisse als das Prioritätsregelverfahren. Dies ist nicht verwunderlich, da beim Prioritätsregelverfahren eine einzige Lösung und beim Genetischen Algorithmus dagegen eine Vielzahl von Lösungen berechnet wird (im betrachteten Fall bis zu 80.000). Mit dem zweistufigen Lösungsverfahren, insbesondere in Kombination mit dem Genetischen Algorithmus, ist f¨ ur die konkret betrachtete Problemstellung aus der Praxis ein neues, geeignetes und erfolgreiches Lösungsverfahren entwickelt worden.

8.2 Ausblick Wie beschrieben wurde ein hierarchischer Dekompositionsansatz gewählt. Durch die Auswahl geeigneter Maschinenfolgen in der ersten Phase wird verhindert, dass in Gebieten des Lösungsraumes mit schlechten Zielfunktionswerten gesucht wird. Kritisch anzumerken ist jedoch, dass dabei eventuell von vornherein bessere Lösungen blockiert werden. So kann es z. B. vorkommen, dass eine Maschinenfolgekombination ausgewählt wird, bei der ein Auftrag auf einer dadurch f¨ ur ihn bestimmten Maschinenfolge vor einer Maschine warten muss, obwohl er rein technisch gesehen auf einer anderen, freien Maschine sofort weiter bearbeitet werden könnte. Die Reduktion der Komplexität kann somit auf Kosten eines relativen oder sogar absoluten Optimums erfolgen. Interessant wäre es zu untersuchen, inwieweit ein simultaner Ansatz zu einer Lösungsverbesserung f¨ uhrt.

8.2 Ausblick

253

Im Rahmen des Fallstudie FSH wurde von der zeitlichen Entwicklung des Systems abstrahiert und von einem statischen Modell ausgegangen. In Realität verändert sich jedoch in der Diodenfertigung der Auftragsbestand dynamisch u ¨ber die Zeit. Aufgrund der geringen benötigten Rechenzeit sollte eine rollierende Planung in Betracht gezogen werden: Dabei wird die Planung von Zeit zu Zeit mit sich verschiebendem Planungshorizont und aktualisierten Informationen wiederholt. Wie im Rahmen der Arbeit beschrieben kann es im Laufe des Planungszeitraums zu unvorhergesehenen Maschinen- oder Personalaufällen kommen. Auf diese Unsicherheit wurde durch eine robuste Planung im Sinne einer deterministischen Planung mit Erweiterungen zur Ber¨ ucksichtigung der Unsicherheiten reagiert. Da es in der betrachteten Fallstudie FSH von immenser Bedeutung ist, dass das Auftragsvolumen termingerecht erf¨ ullt wird, könnten hierzu auch die Konzepte der robusten Optimierung angewendet werden. Unter robuster Optimierung im weitesten Sinne werden sämtliche Modellierungsmöglichkeiten und Optimierungsmethoden verstanden, die f¨ ur Entscheidungssituationen unter Unsicherheit bei grundsätzlicher Risikoscheu der Entscheidungsträger besonders geeignet sind und auf die Ermittlung robuster Lösungen abzielen.1 Bisher wurde im betrachteten Praxisbeispiel aus der Halbleiterindustrie davon ausgegangen, dass die vorgelagerte Wafer-Fabrik die zur Herstellung der Dioden notwendigen Chips in ausreichender Menge liefert und das der Diodenfertigung nachfolgende Lager immer ausreichend Kapazität aufweist. Diese vereinfachende Modellannahme entspricht nicht der Realität. Daher sollten diese beiden Aspekte ins Modell integriert werden. Dadurch könnten die Produktions- und Auslierferungstermine detaillierter abgestimmt werden, so dass die Produktion und Lagerbestände effizienter als bisher gesteuert werden könnten. Die beschriebenen Eigenschaften der betrachteten Fallstudie FSH, wie Auftragsgruppen, R¨ ustzeiten, Maschinenstillstände mit anschließenden Anlaufzeiten, Nachlaufzeiten, etc., finden sich häufig auch in anderen Bereich der Indus¨ trie. Daher erscheint eine Ubertragung der Methodik auf andere Problemstellungen der Industrie (z. B. Lebensmittelproduktion) ohne weiteres denkbar.

1

Vgl. Scholl(2001), S. 173.

A Anhang A.1 Weitere Ablaufgraphen und -pl¨ ane zu den Fallstudien A.1.1 Beispiel fu assigkeit ¨ r Unzul¨ Die in folgendem Auftragsfolgegraph (vgl. Abbildung A.1) dargestellte Auftragsfolgekombination f¨ uhrt zu einem unzulässigen Ablaufgraphen (vgl. Abbildung A.2):

Abbildung A.1: Auftragsfolgegraph zur Fallstudie FS1 der zu einem unzulässigen Ablaufgraphen f¨ uhrt

Abbildung A.2: Unzulässiger Ablaufgraph zur Fallstudie FS1 I. J. Acker, Methoden zur mehrstufi gen Ablaufplanung in der Halbleiterindustrie, DOI 10.1007/978-3-8349-6731-2, © Gabler Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

256

A Anhang

A.1.2 Aktiv Der folgende Ablaufgraph korrespondiert zu dem in Abschnitt 2.6 auf S. 39 dargestellten aktiven Ablaufplan (vgl. Abbildung A.3):

Abbildung A.3: Aktiver Ablaufgraph zur Fallstudie FS1

A.1.3 Unverz¨ ogert Der folgende Ablaufgraph korrespondiert zu dem in Abschnitt 2.7 auf S. 40 dargestellten unverzögerten Ablaufplan (vgl. Abbildung A.4):

Abbildung A.4: Unverzögerter Ablaufgraph zur Fallstudie FS1

A.1 Weitere Ablaufgraphen und -pläne zu den Fallstudien

257

A.1.4 Optimal L¨ osungsvariante 2: y121 = 1 y122 = 0 y123 = 0 y124 = 0 y131 = 0 y132 = 0 y133 = 0 y134 = 1 y231 = 0 y232 = 1 y233 = 1 y234 = 1 Tabelle A.1: Werte der Binärvariablen beim optimalen Ablaufgraphen zur Fallstudie FS1 bei der Lösungsvariante 2

Abbildung A.5: Optimaler Ablaufgraph zur Fallstudie FS1 – Lösungsvariante 2

Abbildung A.6: Gantt-Diagramm eines optimalen Ablaufplans von Fallstudie FS1 mit semiaktiver Einplanung – Lösungsvariante 2

258

A Anhang

L¨ osungsvariante 3: y121 = 1 y122 = 0 y123 = 0 y124 = 0 y131 = 1 y132 = 1 y133 = 0 y134 = 1 y231 = 0 y232 = 1 y233 = 1 y234 = 1 Tabelle A.2: Werte der Binärvariablen beim optimalen Ablaufgraphen zur Fallstudie FS1 bei der Lösungsvariante 3

Abbildung A.7: Optimaler Ablaufgraph zur Fallstudie FS1 – Lösungsvariante 3

Abbildung A.8: Gantt-Diagramm eines optimalen Ablaufplans von Fallstudie FS1 mit semiaktiver Einplanung – Lösungsvariante 3

A.1 Weitere Ablaufgraphen und -pläne zu den Fallstudien

259

A.1.5 Optimales Gantt-Diagramm von Fallstudie FS3 mit den Maschinenfolgen gem¨ aß GGLP-Auswahl

Abbildung A.9: Gantt-Diagramm eines optimalen Ablaufplans von Fallstudie FS3 mit den Maschinenfolgen gemäß GGLP-Auswahl

260

A Anhang

A.2 Modellformulierung nach Manne fu ¨r Fallstudie FS1 Zielfunktion min Z Zykluszeitbedingungen Z Z Z

≥ a13 ≥ a21 ≥ a34

+ + +

4 7 7

Maschinenfolgebedingungen a12 a14 a13 a23 a24 a21 a32 a33 a34

≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥

a11 a12 a14 a22 a23 a24 a31 a32 a33

+ + + + + + + + +

7 4 1 6 9 4 5 5 3

Auftragsfolgebedingungen a21 a31 a22 a32 a24 a34 a23 a33 a32 a33 a34 a31 a11 a11 a12 a12 a14 a14 a13 a13 a22 a23 a24 a21

≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥

a11 a11 a12 a12 a14 a14 a13 a13 a22 a23 a24 a21 a21 a31 a22 a32 a24 a34 a23 a33 a32 a33 a34 a31

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

7 7 4 4 1 1 4 4 6 9 4 7 7 5 6 5 4 7 9 3 5 3 7 5

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

100 · (1 − y121 ) 100 · (1 − y131 ) 100 · (1 − y122 ) 100 · (1 − y132 ) 100 · (1 − y124 ) 100 · (1 − y134 ) 100 · (1 − y123 ) 100 · (1 − y133 ) 100 · (1 − y232 ) 100 · (1 − y233 ) 100 · (1 − y234 ) 100 · (1 − y231 ) 100 · y121 100 · y131 100 · y122 100 · y132 100 · y124 100 · y134 100 · y123 100 · y133 100 · y232 100 · y233 100 · y234 100 · y231

A.3 Simulationsergebnisse zur 1. Phase

261

A.3 Simulationsergebnisse zur 1. Phase Masst.1 T KA

ZF

KB

ZF

Masst.2 T KA

KB

100

Dd M ind M axd σd Dd M ind M axd σd

1,2669 0,4287 2,2250 0,3534 2,0783 1,6287 2,9985 0,2972

d∈D 0,2202 4433,96 1,1492 0,2108 4432,19 0,1222 2460,26 0,4809 0,1154 2459,56 0,3707 7438,09 2,0971 0,3554 7474,22 0,0407 816,29 0,31133 0,03914 820,32 0,3852 0,3193 0,4271 0,0324

d ∈ D20 7752,85 1,8335 6446,44 1,3876 8582,04 2,6911 641,20 0,2887

0,3693 0,3064 0,4086 0,0308

7750,75 6443,36 8577,98 641,28

Tabelle A.3: Auswertung der Ergebnisse von GGLP-Auswahl bzgl. der Maschinenstillstands-Varianten Masst.1 und Masst.2 f¨ ur d ∈ D100 und 20 d∈D

ZF d

D M ind M axd σd Dd M ind M axd σd

1,4870 0,6740 2,6123 0,4001 2,4141 1,9290 3,4020 0,3589

Masst.3 T KA

KB

ZF

Masst.4 T KA

KB

100

0,2669 0,1463 0,4507 0,0493

d∈D 4439,43 2459,56 7438,28 817,12

0,4674 0,3844 0,0397 0,0324

d ∈ D20 7760,58 200002,8840 6441,63 2,2822 8580,71 1000004,0627 648,92 400000,3135

1,7234 0,8812 2,7216 0,4444

0,3095 4425,50 0,1668 2459,56 0,5167 7398,56 0,0570 812,11 0,5426 7752,16 0,4508 6442,31 0,6001 8579,38 0,0455 638,41

Tabelle A.4: Auswertung der Ergebnisse von GGLP-Auswahl bzgl. der Maschinenstillstands-Varianten Masst.3 und Masst.4 f¨ ur d ∈ D100 und 20 d∈D

262

A Anhang

ZF d

D M ind M axd σd d

D M ind M axd σd

Masst.1 T KA

17,4487 2,0462 5,4179 0,6869 850005,6701 5,2932 3000005,9294 852936,1249

KB

ZF

Masst.2 T KA

1,2183 0,1310 0,3961 0,0461

d ∈ D100 24298,91 2614,88 7876,22 912,01

0,4236 0,3479 0,4694 0,0358

d ∈ D20 8426,07 550005,2339 6992,41 4,4821 9394,25 2000005,3962 701,92 589491,3392

16,2287 1,9676 5,1474 0,8212

KB

1,1546 24298,91 0,1223 2614,88 0,3759 7876,22 0,0549 912,01 0,4015 0,3304 0,4463 0,0343

8426,07 6992,41 9394,25 701,92

Tabelle A.5: Auswertung f¨ ur Masfo.Zufall bzgl. der Maschinenstillstands-Varianten Masst.1 und Masst.2 f¨ ur d ∈ D100 und d ∈ D20

ZF d

D M ind M axd σd d

D M ind M axd σd

Masst.3 T KA

20,9336 2,3843 6,4538 0,8212 2315796,1959 6,4641 4000007,8754 1172161,2237

KB

ZF

Masst.4 T KA

1,4686 0,1582 0,4740 0,0549

d ∈ D100 24298,91 2614,88 7876,22 912,01

24,3912 2,8859 7,5677 0,9667

0,5093 0,4238 0,5672 0,0420

d ∈ D20 8426,07 6992,41 9394,25 701,92

4333341,2412 3000006,5803 8000009,1464 1201850,8572

KB

1,7044 24298,91 0,1811 2614,88 0,5501 7876,22 0,0643 912,01 0,5910 0,4837 0,6617 0,0503

8426,07 6992,41 9394,25 701,92

Tabelle A.6: Auswertung f¨ ur Masfo.Zufall bzgl. der Maschinenstillstands-Varianten Masst.3 und Masst.4 f¨ ur d ∈ D100 und d ∈ D20


263


Durschnittliche Anzahl der nach dem Planungszeitraum fertig gestellten Aufträge

A.4.1 Simulationsergebnisse zum Priorit¨ atsregelverfahren 1,4

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0

FCFS

FLT

KOZ

LRBZ

RZ

SZ A1

SZ/On A2

A3

SZ/RBZ

WSLnM

Zufall

ZRDLZ

ZRDLZ/On

A4

Abbildung A.10: Durchschnitt der Anzahl nach T fertig gestellter Aufträge D120 AnzF nT in Abhängigkeit von der Prioritätsregel und dem Szenario (in St¨ uck) 28000

27000

26000

Durchschnittliche Zykluszeit

25000

24000

23000

22000

21000

20000

19000

18000 FCFS

FLT

KOZ

LRBZ

RZ

SZ A1

SZ/On A2

A3

SZ/RBZ

WSLnM

Zufall

ZRDLZ

ZRDLZ/On

A4

Abbildung A.11: Durchschnittliche Zykluszeit D120 Z in Abhängigkeit von der Prioritätsregel und dem Szenario (in Minuten)

264

A Anhang 20

Durchschnittlicher Anzahl Terminüberschreitungen

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

FCFS

FLT

KOZ

LRBZ

RZ

SZ A1

SZ/On A2

A3

SZ/RBZ

WSLnM

Zufall

ZRDLZ

ZRDLZ/On

A4

Abbildung A.12: Durchschnittliche Anzahl an Termin¨ uberschreitungen D120 AnzT A+ in Abhängigkeit von der Prioritätsregel und dem Szenario (in St¨ uck)

Durchschnittliche Höhe der Terminüberschreitung (alle)

2500

2000

1500

1000

500

0

FCFS

FLT

KOZ

LRBZ

RZ

SZ A1

SZ/On A2

A3

SZ/RBZ

WSLnM

Zufall

ZRDLZ

ZRDLZ/On

A4

Abbildung A.13: Durchschnitt der auf alle K Aufträge bezogenen durchschnitt+ lichen Termin¨ uberschreitung D120 T AK in Abhängigkeit von der Prioritätsregel und dem Szenario (in Minuten)


265

Durchschnittliche Höhe der Terminüberschreitung (TÜ-Fälle)

7000

6000

5000

4000

3000

2000

1000

0

FCFS

FLT

KOZ

LRBZ

RZ

SZ A1

SZ/On A2

SZ/RBZ

A3

WSLnM

Zufall

ZRDLZ

ZRDLZ/On

A4

Abbildung A.14: Durchschnitt der auf alle K+ Aufträge bezogenen durch+ schnittlichen Termin¨ uberschreitung D120 T AK+ in Abhängigkeit von der Prioritätsregel und dem Szenario (in Minuten)

1,4

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

A1

RM3

RM10

ohneM

OBM10

BM10

OBM3

95

BM3

60

100

PBX

GOX

1,2

1,95

Pointer

5-Turnier

G1000

G400

A3

3-Turnier

G25

A2

G300

G100

GOV50

GOV25

GOV10

BG300_100

BG50_10

BG100_50

BG100_25

C

BG50_5

R6

R12

R2

R0

500

Single

Double

50

200

0 120

Durchschnittliche Anzahl der nach dem Planungsende fertig gestellten Aufträge

A.4.2 Simulationsergebnisse zum Genetischen Algorithmus

A4

Abbildung A.15: Durchschnitt der Anzahl nach T fertig gestellter Aufträge D30 AnzF nT in Abhängigkeit von der Parametereinstellung und dem Szenario (in St¨ uck)

A1

A2

A3

G1000

RM10

RM3

ohneM

OBM10

OBM3

BM10

BM3

100

95

60

GOX

PBX

1,95

1,2

Pointer

A3

5-Turnier

3-Turnier

A2

G400

G300

Durchschnittliche Anzahl Terminüberschreitungen

A1

G100

G25

GOV50

GOV25

GOV10

BG300_100

BG100_50

BG100_25

BG50_10

BG50_5

C

R12

R6

R2

R0

Double

Single

500

200

120

50 50

RM10

RM3

ohneM

OBM10

OBM3

BM10

BM3

100

95

60

GOX

PBX

1,95

1,2

Pointer

5-Turnier

3-Turnier

G1000

G400

G300

G100

G25

GOV50

GOV25

GOV10

BG300_100

BG100_50

BG100_25

BG50_10

BG50_5

C

R12

R6

R2

R0

Double

Single

500

200

120

Durchschnittliche Zykluszeit

266 A Anhang

27000

25000

23000

21000

19000

17000

15000

A4

Abbildung A.16: Durchschnittliche Zykluszeit D30 Z in Abhängigkeit von der Parametereinstellung und dem Szenario (in Minuten)

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

A4

Abbildung A.17: Durchschnittliche Anzahl an Termin¨ uberschreitungen D30 AnzT A+ in Abhängigkeit von der Parametereinstellung und dem Szenario (in St¨ uck)


267

Durchschnittliche Höhe der Terminüberschreitung (alle)

2000

1500

1000

500

A1

A2

RM3

RM10

ohneM

BM10

OBM3

OBM10

95

BM3

60

100

GOX

1,2

1,95

PBX

Pointer

5-Turnier

G400

G1000

A3

3-Turnier

G25

G300

G100

GOV50

GOV25

GOV10

BG100_50

BG100_25

BG300_100

C

BG50_5

BG50_10

R6

R2

R12

R0

500

Single

Double

50

200

120

0

A4

Abbildung A.18: Durchschnitt der auf alle K Aufträge bezogenen durchschnitt+ lichen Termin¨ uberschreitung D30 T AK in Abhängigkeit von der Parametereinstellung und dem Szenario (in Minuten)

Durchschnittliche Höhe der Terminüberschreitung (TÜ-Fälle)

5500

5000

4500

4000

3500

3000

2500

2000

1500

A1

A2

RM3

RM10

ohneM

BM10

OBM3

OBM10

BM3

100

95

60

GOX

PBX

1,2

1,95

Pointer

5-Turnier

G1000

G400

A3

3-Turnier

G300

G25

G100

GOV50

GOV25

GOV10

BG100_50

BG100_25

BG300_100

BG50_5

BG50_10

C

R12

R6

R2

R0

500

Single

Double

50

200

120

1000

A4

Abbildung A.19: Durchschnitt der auf alle K+ Aufträge bezogenen durch+ schnittlichen Termin¨ uberschreitung D30 T AK+ in Abhängigkeit von der Parametereinstellung und dem Szenario (in Minuten)

268

A Anhang A1

GA∗ ZF Z AnzT A+ + T AK + T AK+ AnzF nT

Dd

A2 σd

0,7562 0,1551 17073,04 1680,29 3,84 2,17 189,64 143,25 1983,94 899,86 0 0

A3 σd

0,6557 16489,68 2,88 100,12 1487,89 0

d ∈ D25 0,1132 1982,20 2,05 96,50 1007,74 0

1,0097 0,2155 20438,60 2783,74 6,60 2,83 344,86 147,80 2114,04 498,58 0 0

1,4240 0,3281 23287,08 2337,38 8,76 3,61 709,41 294,62 3338,38 1056,53 0 0

d ∈ D5 0,2846 3222,14 2,86 139,51 693,42 0

427,91 851,83 26631,80 3635,35 15,80 7,39 754,69 430,97 2997,22 1179,45 0,2 0,4

1262,36 1202,02 28466,20 3340,70 24,80 8,28 1806,29 635,04 4822,09 951,34 1,2 1,1662

72,16 382,42 21470,80 3739,98 8,13 5,25 413,17 269,24 2261,24 739,82 0,0333 0,1795

211,58 679,44 24150,27 3184,07 11,43 7,62 892,22 553,76 3585,67 1177,63 0,2 0,6532


1,4156 0,3792 22750,80 1938,99 10,40 6,34 440,96 202,73 3147,57 866,42 0 0

1,0959 21778,40 5,80 235,99 2748,03 0


0,8661 0,3231 18019,33 2730,71 4,93 4,07 231,53 180,89 2191,73 998,91 0 0

d ∈ D30 0,7291 0,2261 17371,13 2981,51 3,37 2,46 122,77 116,48 1721,25 1075,24 0 0

Dd

A4

Dd

σd

Dd

σd

Tabelle A.7: Ergebnisse (Durchschnitt Dd und Standardabweichung σ d ) des Genetischen Algorithmus mit der besten Parametereinstellung GA∗ der in d angegebenen Datensätze (Pretestmenge) in Abhängigkeit vom Szenario

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