Methoden der Computeranimation (eXamen.press)

eXamen.press

eXamen.press ist eine Reihe, die Theorie und Praxis aus allen Bereichen der Informatik für die Hochschulausbildung vermittelt.

Dietmar Jackèl · Stephan Neunreither Friedrich Wagner

Methoden der Computeranimation Mit 243 Abbildungen und 18 Farbtafeln

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Dietmar Jackèl Universität Rostock Fachbereich Informatik Albert-Einstein-Str. 21 18059 Rostock [email protected]

Stephan Neunreither Grunewaldstr. 79 10823 Berlin [email protected]

Friedrich Wagner Grote Raak 202 22417 Hamburg [email protected]

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ISSN 1614-5216 ISBN-10 3-540-26114-1 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-26114-8 Springer Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006 Printed in Germany Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Text und Abbildungen wurden mit größter Sorgfalt erarbeitet. Verlag und Autor können jedoch für eventuell verbliebene fehlerhafte Angaben und deren Folgen weder eine juristische Verantwortung noch irgendeine Haftung übernehmen. Satz: Druckfertige Daten der Autoren Herstellung: LE-TEX, Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig Umschlaggestaltung: KünkelLopka Werbeagentur, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier 33/3142 YL – 5 4 3 2 1 0

Im Gedenken an Cosima“ ” Dietmar Jack`el F¨ur meine Eltern, meinen Bruder und f¨ur Sylvia Stephan Neunreither

Vorwort

Dieses Buch wurde in seinen wesentlichen Teilen aus der Vorlesung Computeranimation entwickelt, die seit acht Jahren am Fachbereich Informatik der Universit¨ at Rostock gehalten wird. Es ist in elf Kapitel gegliedert. Kapitel 1 f¨ uhrt in das Fachgebiet Computeranimation ein, indem zuerst ein ¨ geschichtlicher Uberblick u ¨ber diese Thematik gegeben wird. Dieser Exkurs f¨ uhrt von den Wurzeln der Computeranimation, die in der Zeichentrickfilmtechnik liegen, bis zu heutigen hohen Entwicklungsstand, der sich besonders in den großen Filmproduktionen widerspiegelt. Wie derartige Filme entstehen, wird im Unterabschnitt 1.2.2 detailliert diskutiert. Abschließend werden die k¨ unstlerischen Grundregeln f¨ ur die Gestaltung von Animationsfilmen vorgestellt. Im Kapitel 2 sind jene Methoden zusammengefasst, die seit vielen Jahren zum Standard der Animationssysteme geh¨ oren. Hierzu z¨ahlen vor allem die Methoden zur Spezifikation einfacher Bewegungsabl¨aufe unter Verwendung sog. Keyframes. Zur Erzeugung kontrollierter Bewegungsabl¨aufe von gelenkigverbundenen Strukturen dienen oftmals auch kinematische Verfahren. Mit der im Abschn. 2.2 diskutierten direkten Kinematik erfolgt die Berechnung der Positionen der Glieder einer solchen Figur unter Vorgabe der Gelenkwinkel. Verwendet man hingegen Verfahren, die auf der inversen Kinematik (Abschn. 2.3) beruhen, so gibt man Zielstellung von ausgew¨ahlten Gelenken einer kinematischen Kette vor und approximiert die Gelenkwinkel¨anderungen, die erforderlich sind, um die gew¨ unschten Gelenkstellungen zu erreichen. Im Rahmen der inversen Kinematik werden mehrere alternative Verfahren diskutiert, sowie ihre Vor- und Nachteile besprochen. Zu den im Kap. 3 diskutierten Animationstechniken z¨ahlen die Deformationen, mit denen es m¨ oglich ist, Objekte dynamisch in ihrer Form zu ver¨ andern, um beispielsweise den Einfluss von Kr¨aften darzustellen. Wir unterscheiden hierbei zwischen den geometrischen und den dynamischen Deformationsmethoden, die in den Abschn. 3.1 und 3.2 behandelt werden. Zu den einfachsten geometrischen Deformationstechniken z¨ahlen die globalen Deformationen, die sich auf die gesamte Geometrie eines Objektes auswirken. Im

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Gegensatz dazu sind Freiformdeformationen begrenzbar und hinsichtlich der gew¨ unschten Verformung wesentlich besser zu steuern. Eine weitere, gleichfalls behandelte, Freiformdeformationsmethode ist die Wire-Technik. Dieses Verfahren zeichnet sich dadurch aus, dass die gew¨ unschte Deformation mittels parametrischer Kurvenpaare definiert wird. Weitere Themen dieses Abschnittes sind Skinning-Techniken sowie die Aspekte der Animation von geometrischen Deformationen. Im Zusammenhang mit den dynamischen Deformationen werden vor allem jene K¨ orper behandelt, die aus Feder-Masse-Systemen konstruiert sind und die sich besonders f¨ ur den interaktiven Einsatz in Echtzeit eignen. Mit Hilfe der Finiten-Elemente-Methode lassen sich deformierbare Objekte im Unterschied zu den quasi diskreten Feder-Masse-Modellen als Kontinuum behandeln und dadurch genauere Ergebnisse erzielen. Zu den weiteren Verfahren, die im Kontext der dynamischen Deformationen pr¨asentiert werden, z¨ahlen die diskretisierten, deformierbaren K¨ orper sowie die Modalen Deformationen, die zum Ende dieses Kapitels vorgestellt werden. Zu den gebr¨ auchlichen Deformationstechniken z¨ahlen auch die im Kap. 4 diskutierten Morphing-Techniken, deren Ziel es ist, kontrollierte Transmutationen zwischen Ursprungs- und Zielobjekten durchzuf¨ uhren. Hierbei werden die 2D-, 3D- und Volume-Morphing-Verfahren in separaten Abschnitten behandelt. Morphing-Verfahren basieren auf den sog. Warping-Methoden. Im Abschnitt 4.1 werden mit dem Mesh-Warping sowie dem Warping mit Markierungsvektoren und radialen Feldfunktionen die gebr¨auchlichsten bildbasierten Methoden vorgestellt. Oberfl¨ achenbasierte Verfahren sind Gegenstand des Abschn. 4.2. Das zentrale Problem dieser Verfahren besteht in der Herstellung einer m¨ oglichst plausiblen Korrespondenz zwischen den polygonalen Netzen des Start- und Zielobjektes. Es werden unterschiedliche Konzepte zur L¨osung dieses Korrespondenzproblems behandelt. Von etwas geringerer Bedeutung als bild- und oberfl¨ achenbasiertes Morphing oder Warping sind die volumenbasierten Methoden. Diese Verfahren werden aus Gr¨ unden der Vollst¨andigkeit und um den Themenkomplex abzurunden im Abschn. 4.3 vorgestellt. Die im Kap. 5 diskutierten Facial-Animation-Methoden, die auch als spezielle dynamische Deformationstechnik zu betrachten sind, dienen zur Erzeugung differenzierter und m¨ oglichst nat¨ urlich erscheinender Gesichtsausdr¨ ucke. Die in diesem Kapitel behandelten Verfahren sollen lediglich einen Einblick in das große Gebiet der Gesichtsanimation vermitteln, ohne vertieft in die Materie einzudringen. Im Wesentlichen werden in diesem Kontext die klassischen Ans¨ atze der parametrischen und der muskelgesteuerten Gesichtsanimation behandelt. Animationen, die von speziellen Funktionen oder Programmen erzeugt werden, z¨ ahlen zu den prozeduralen Animationstechniken. Sie werden im Kap. 6 vorgestellt. Die von diesen Prozeduren erzeugten Animationen laufen autonom ab, wobei der Benutzer das Animationsverhalten der Prozedur mit unterschiedlicher Parametrisierung bestimmen kann. Prozedurale Animationstechniken werden f¨ ur einfache Effekte z.B. zur Erzeugung von Partikelsystemen

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genutzt. Beispiele hierf¨ ur sind Feuer, verspritzende Fl¨ ussigkeiten, Explosionserscheinungen, aber auch Stoffe oder Naturszenarios wie W¨alder oder Graslandschaften. Prozedurale Animationen dienen aber auch zur Steuerung von einzelnen autonomen Akteuren, Schw¨ armen und Herden. Die Performance Animation ist Thema des Kap. 7. Hierbei werden beispielsweise die K¨ orperbewegungen eines Menschen mit Hilfe mechanischer, optischer oder elektromagnetischer Sensoren aufgezeichnet und auf ein virtuelles Modell u ¨bertragen. Die Positionen und Orientierungen von signifikanten K¨ orperteilen werden mit einem als Motion Capturing bezeichneten Verfahren registriert. Anschließend erfolgt mit den aufgezeichneten Bewegungsdaten die Steuerung eines computergrafischen Modells, unter Verwendung von Methoden der direkten Kinematik. Die Performance Animation ist geeignet, sehr nat¨ urlich wirkende Bewegungsabl¨ aufe zu erzeugen. Die Modellierung und Animation von Naturerscheinungen geh¨oren zu den aktuellsten Problemstellungen in der Computergrafik. Das Kapitel 8 soll unter dem Gesichtspunkt der Modellierung und Animation einen Einblick in dieses umfassende Gebiet vermitteln, in dem einige der grundlegenden Verfahren zum Stand der Technik vorgestellt werden. Im Einzelnen wird die Modellierung und Animation von Gasen behandelt, wobei das Schwergewicht auf eine m¨ oglichst verst¨ andliche Darstellung der CFD-Methode gelegt wird. Neben dem Naturph¨ anomen Feuer wird vor allem die Darstellung atmosph¨arischer Erscheinungen, wie z.B. Sonnenaufg¨ ange oder Halos diskutiert. Des Weiteren wird die Modellierung und Animation von Wolkensystemen, Fl¨ ussigkeiten und Meereswellen ausf¨ uhrlich behandelt. Da uns die Erscheinungsformen und das Bewegungsverhalten von Naturph¨ anomenen vertraut sind, kann unser visuelles System nur in eingeschr¨ anktem Maße mit vereinfachten Geometrieund Bewegungsmodellen get¨ auscht werden. Um plausible Animationen zu erzielen, ist es daher vielfach notwendig, komplexe dynamische Prozesse mit rechenaufw¨ andigen Methoden zu simulieren. Die Modellierung und Animation von Stoffen und Geweben wird im Kap. 9 behandelt. Die ersten Ans¨ atze dieser Disziplin stammen aus der Mitte der 80er Jahre, wobei die meisten davon versuchen, sehr spezielle Probleme zu l¨osen. Im Rahmen dieses Kapitels werden geometrische und physikalisch-basierte Methoden behandelt. Kapitel 10 befasst sich mit der Animationssteuerung durch neuronale Netze. K¨ unstliche neuronale Netze k¨ onnen in der Computer-Animation zur L¨ osung von Problemen der inversen Kinematik oder zur Emulation von ur diephysikalisch-basierten Bewegungsmodellen verwendet werden. Speziell f¨ se, die vielfach ein nicht-lineares, dynamisches Systemverhalten aufweisen, lassen sich neuronale Netze effizient einsetzen. Nach einer kurzen Einf¨ uhrung in die Grundlagen der k¨ unstlichen neuronalen Netze, wird hier ihre Einsatzm¨ oglichkeit f¨ ur Probleme der inversen Kinematik und der inversen Dynamik diskutiert. Die physikalisch-basierte Animation mechanischer Systeme ist das zentrale Thema im Kap. 11. Im Einzelnen wird der Ablauf einer Simulation von

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der Erstellung des Modells, der Aufstellung der Bewegungsgleichungen bis zur Durchf¨ uhrung und Evaluierung vorgestellt. Nach der Abgrenzung von physikalisch-basierter Simulation zur physikalisch-basierten Animation wird die Dynamik von Punktteilchen und starren K¨orpern behandelt. In einem separaten Abschnitt folgt die Erkennung und Behandlung von Kollisions- und Ruhekontakten. Da auch die mathematische Formulierung und Behandlung von Zwangsbedingungen (Constraints) f¨ ur die Erstellung eines physikalischen Bewegungsmodells von großer Bedeutung ist, wird auch f¨ ur diesen Themenbereich im Abschn. 11.5 hinreichend Platz einger¨aumt. Dieses Buch ist f¨ ur Studierende der Fachrichtung Informatik oder Medientechnik gedacht, die besonderes Interesse an der Computergrafik und an dem thematischen Schwerpunkt Computeranimation haben. Des weiteren empfiehlt es sich f¨ ur Programmierer mit dem Aufgabenbereich Computergrafik, die sich mit den Grundlagen, den Methoden und Algorithmen der Computeranimation vertraut machen m¨ ochten. Außerdem werden Computeranimateure angesprochen, die bislang Computeranimationssysteme nur aus der Sicht des Anwenders kennen gelernt haben und die daran interessiert sind, auch die Methoden zu verstehen, die innerhalb dieser Systeme verwendet werden. Auf die Behandlung von Rendering-Verfahren wird in diesem Buch bewusst verzichtet, sofern diese nicht f¨ ur die Aspekte der Computer-Animation unmittelbar von Bedeutung sind. Dem Leser w¨aren daher Grundkenntnisse auf dem Gebiet der Computergrafik und hier speziell der Rendering-Methoden dienlich. An dieser Stelle m¨ ochten wir uns bei allen Kollegen, Mitarbeitern und Studenten bedanken, die zum Gelingen dieses Buches beigetragen haben. Unserer besonderer Dank gilt vor allem Herrn Bertram Walter und Herrn Frank Pagels f¨ ur ihre Implementierungen zur Simulation atmosph¨arischer Ph¨anomene sowie von Meereswellen und Gasen. Frau Prof. Schumann sowie den Herren Dr. Karsten, Thomas Nocke, Herrman und Peter Birkholz sei gedankt f¨ ur ihrer wichtigen Hinweise und Korrekturen und auch ihre f¨ ur wertvolle Anregungen und Diskussionen. Nicht zuletzt m¨ ochten wir unseren aufrichtigen Dank Frau Iris Heiligers f¨ ur ihren großen Einsatz bei der Durchsicht des Manuskripts sowie Frau Sylvia Neunreither f¨ ur ihre vorz¨ uglichen Lektoratsarbeiten aussprechen. Malchow, Berlin, Hamburg im Januar 2006

Dietmar Jack`el Stephan Neunreither Friedrich Wagner

Inhaltsverzeichnis

Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII 1

Einf¨ uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Geschichte der Computeranimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Produktionsphasen eines Computeranimationsfilms . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Pre-Production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Post-Production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Grundregeln der Animation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

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Globale Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Keyframes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Parametergesteuerte Keyframe-Transformationen . . . . . . 2.1.2 Kamerafahrten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Direkte Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Kinematische Ketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Denavit-Hartenberg-Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Inverse Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Geometrische Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 3D-Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Secondary Task . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Kombination von inverser und direkter Kinematik . . . . . 2.3.5 Alternative Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.6 Ausrichtung gelenkig-verbundener Strukturen an mehreren Zielpositionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Deformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Geometrische Techniken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Globale Deformationstechniken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Freiformdeformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Wires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Inhaltsverzeichnis

3.1.4 Skinning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5 Aspekte der Animation geometrischer Deformationen . . 3.2 Dynamische Deformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Feder-Masse-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Finite Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Elastisch-deformierbare Kurven, Fl¨achen und K¨orper . . 3.2.4 Hybride Verfahren f¨ ur dynamische Deformation . . . . . . . 3.2.5 Modale Deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.6 Vor- und Nachteile dynamischer Animationstechniken . .

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Warping und Morphing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.1 Image-Warping und Image-Morphing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.1.1 Mesh-Warping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.1.2 Two-Pass Mesh-Warping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.1.3 Warping mit Markierungsvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.1.4 Warping mit Feldfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.2 Ober߬ achenbasierte Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.2.1 Verfahren von Kanai, Suzuki und Kimura . . . . . . . . . . . . 100 4.2.2 Weitere ober߬ achenbasierte Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.3 Volumenbasierte Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.3.1 Verfahren von Hughes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.3.2 Verfahren von He, Wang und Kaufmann . . . . . . . . . . . . . 112

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Gesichtsanimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.1 Anwendungsbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.2 Parametergesteuerte Gesichtsanimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.2.1 Erweiterte parametergesteuerte Verfahren . . . . . . . . . . . . 121 5.3 Muskelgesteuerte Gesichtsanimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.3.1 Gesichtsmuskelsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.3.2 Das Facial-Action-Coding System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.3.3 Muskelmodell von K. Waters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.4 Gesichtsanimation mit parametrischen Fl¨achen . . . . . . . . . . . . . . 130 5.5 Gesichtsanimation mit Federmodellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.5.1 Muskel- und Hautmodell von K¨ahler et al. . . . . . . . . . . . . 132 5.6 Visual Speech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.6.1 Animation von Gesichtern in MPEG-4 . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.6.2 Digital Story Teller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

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Prozedurale Animationstechniken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.1 Partikelsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.2 Stochastische Partikelsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.2.1 Partikelsystemdynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.3 Strukturierte Partikelsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.4 Thermale und orientierte Partikelsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.5 Animation von Massenszenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Inhaltsverzeichnis

XIII

6.6 Schw¨ arme und Herden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.7 Akteure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.7.1 Aufbau autonomer Akteure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.7.2 Lernmodelle autonomer Akteure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.7.3 K¨ unstliche Fische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.7.4 Evolution von Akteuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.7.5 Verkettete Steuereinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6.7.6 Weitere Entwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 7

Motion Capturing und Motion Editing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 7.1 Aufnahmetechniken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 7.1.1 Elektromechanische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 7.1.2 Lichtleitersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 7.1.3 Elektromagnetische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 7.1.4 Akustische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 7.1.5 Optische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 7.1.6 Roboter, Animatronik und Waldos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 7.2 Praxis des Motion Capturing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 7.2.1 Vorbereitung und Planung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 7.2.2 Aufnahme der Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 7.2.3 Bereinigung der Daten und Nachbearbeitung . . . . . . . . . . 173 7.2.4 Abbildung der Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 7.2.5 Wiederverwendung von MoCap -Daten . . . . . . . . . . . . . . . 175 7.3 Motion Editing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 7.3.1 Editieren mit Zwangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.3.2 Editieren mit globalen Kontrollen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 7.3.3 Zuk¨ unftige Trends des Motion Editing . . . . . . . . . . . . . . . 192

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Modellierung und Animation von Naturerscheinungen . . . . . 193 8.1 Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 8.1.1 Partikelbasierte Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 8.1.2 Gitterbasierte Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 8.1.3 Hybride Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 8.1.4 Physikalisch-basierte Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 8.2 Atmosph¨ arische Erscheinungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 8.2.1 Visuelle Simulation der Atmosph¨are . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 8.2.2 Regenbogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 8.2.3 Halo-Erscheinungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 8.2.4 Zur Theorie der Halo-Erscheinungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 8.2.5 Simulation und Darstellung der Halo-Erscheinungen . . . 220 8.3 Wolken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 8.3.1 Prozedurales 2D-Wolkenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 8.3.2 Texturierte Ellipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 8.3.3 Volumetrische Wolken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 8.3.4 Fraktale Wolken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

XIV

Inhaltsverzeichnis

8.3.5 Wolkenerzeugung und Animation mit Zellenautomaten . 229 8.4 Fl¨ ussigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 8.4.1 H¨ ohenfeldverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 8.4.2 3D-Verfahren zur Fl¨ ussigkeitsanimation . . . . . . . . . . . . . . 235 8.5 Wasserwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 8.5.1 Bump-Mapping-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 8.5.2 Parametrisierbare Wellenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 8.5.3 Fourier-Synthese von Meereswellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 9

Modellierung und Animation von Stoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 9.1 Erste geometrische Stoffmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 9.1.1 Das Verfahren von Weil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 9.1.2 Das Verfahren von Agui et al. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 9.2 Physikalisch-basierte Stoffmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 9.2.1 Fr¨ uhe physikalisch-basierte Ans¨atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 9.2.2 Das Verfahren von Breen et al. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 9.2.3 Das Verfahren von Provot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 9.2.4 Das Verfahren von Baraff und Witkin . . . . . . . . . . . . . . . . 257 9.2.5 Weitere physikalisch-basierten Techniken . . . . . . . . . . . . . 260 9.2.6 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

10 Animationen mit neuronalen Netzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 10.1 K¨ unstliche Neuronale Netze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 10.1.1 Lernregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 10.2 Inverse Kinematik mit Neuronalen Netzen . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 10.3 Inverse Dynamik mit Neuronalen Netzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 10.3.1 Bestimmung der Steuerkr¨ afte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 11 Physikalisch-basierte Animation mechanischer Systeme . . . . 279 11.1 Ablauf der physikalisch-basierten Animation . . . . . . . . . . . . . . . . 280 11.1.1 Auswahl eines physikalischen Modells . . . . . . . . . . . . . . . . 280 11.1.2 Formulierung der Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . 281 11.1.3 Festlegung der Simulationsparameter . . . . . . . . . . . . . . . . 282 11.1.4 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 11.1.5 Grafische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 11.1.6 Evaluierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 11.2 Von der Simulation zur Animation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 11.3 Modellierung mechanischer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 11.3.1 Dynamik von Punktteilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 11.3.2 Dynamik starrer K¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 11.4 Automatische Kontaktbehandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 11.4.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 11.4.2 Kontaktbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 11.4.3 Kollisionssimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 11.4.4 Behandlung von Ruhekontakten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

Inhaltsverzeichnis

XV

11.5 Constraints und ihre Behandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 11.5.1 Mathematische Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 11.5.2 Behandlung von Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 11.5.3 Vergleich der L¨ osungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 11.6 Techniken zur Bewegungssteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 11.6.1 Direkte und Inverse Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 11.6.2 Controller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 11.6.3 Steuerung mit Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 11.6.4 Optimierungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 11.6.5 Weitere Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 A

L¨ osungsverfahren f¨ ur Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 331 A.1 Numerische L¨ osung von Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . 331 A.2 Der Lagrange-Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 A.3 Erg¨ anzungen zur Lagrange-Faktoren-Methode . . . . . . . . . . . . . . . 335 A.4 Simulationsverfahren f¨ ur beliebige Zustandsgr¨oßen . . . . . . . . . . . 338

B

Quaternionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

C

L¨ osungsverfahren f¨ ur lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . 345 C.1 Gauß-Seidel-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 C.2 SOR-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 C.3 CG-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

1 Einfu ¨ hrung

1.1 Geschichte der Computeranimation Eine Vielzahl von Verfahren, die auch heute noch in der Computeranimation angewendet werden, haben ihren Ursprung in den Techniken der traditionellen Zeichentrickanimation, die zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts entwickelt wurden. Als Vater der traditionellen Zeichentrickanimation kann Winsor McCay angesehen werden, der 1914 den ersten Zeichentrickfilm Ger” tie the Trained Dinosaur“ (s. Abb. 1.1) produzierte. McCay zeichnete die ca. 10.000 Einzelbilder dieses Films per Hand, ohne dass er sich spezieller Techniken behalf. Im gleichen Jahr entwickelte Earl Hurd, Angestellter des John Bray Filmstudios, mit der sog. Cel Animation bereits ein Verfahren, das die manuelle Erstellung von Bildsequenzen erheblich erleichterte. Hierbei wurden Bildvordergrund und Bildhintergrund voneinander getrennt. W¨ahrend die Erzeugung des statischen Bildhintergrundes nur einmal erfolgte, wurden

Abb. 1.1. Szenen aus den Kurzfilmen (links) Gertie the Trained Dinosaur“,(rechts) ” Steamboat Willie“ (aus [1]) ”

2

1 Einf¨ uhrung

Abb. 1.2. Erste Farbkamera mit drei separaten Filmstreifen (aus [2])

die Vordergrundobjekte mit all ihren Bewegungsphasen auf transparente Celluliodfolien gezeichnet. Indem diese Folien u ¨ ber den Bildhintergrund gelegt und anschließend fotografiert wurden, konnte das wiederholte Zeichnen des gleichen Bildhintergrundes vermieden werden. Ein weiterer Meilenstein in der Entwicklung der traditionellen ZeichentrickAnimation waren die ab 1916 von Otto Messner in den Pat Sullivan Studios geschaffenen Filme von Felix the Cat“. Im Gegensatz zum Dinosau” rier Gerti war Felix bereits ein sog. Studio Character, dem ein spezielles Pers¨ onlichkeitsprofil zugeordnet war, das beim Publikum breiten Zuspruch fand und dadurch den Pat Sullivan Studios u ¨ ber Jahre hinweg viel Geld in die Kasse brachte. In den zwanziger Jahren begann auch Walt Disney mit der Erstellung von Zeichentrickfilmen, wobei sein bekanntester Cartoon Mickey Mouse“ erst” mals 1928 in dem Kurzfilm Steamboat Willie“ (s. Abb. 1.1) mit einer L¨ange ” von sieben Minuten zu sehen war. Steamboat Willie“ war der erste verton” te Trickfilm und damit ein weiterer Meilenstein in der Filmgeschichte, der zudem auch die Grundlage des gesch¨ aftlichen Erfolgs von Walt Disney wurde. Walt Disney setzte auch als erster Produzent das 3-Farben-TechnicolorVerfahren f¨ ur Trickfilme ein. Disney´s erste farbige Zeichentrickfilme Flowers ” and Trees“ und Three Little Pigs“ entstanden 1932. Zur Bildaufzeichnung ” wurden Kameras mit drei separaten Filmstreifen eingesetzt, die mit entsprechenden Farbfiltern ausgestattet waren (s. Abb. 1.2). Die traditionelle Zeichentrickanimation erreichte 1937 mit dem Oskar-pr¨amierten, abendf¨ ullenden Spielfilm Snow White and the Seven Dwarfs“ einen ersten H¨ohepunkt. Es ” folgten weitere Filme wie: Fantasia“ und Pinocchio“ (1940), Lady and the ” ” ” Tramp“ (1955) oder The Jungle Book“ (1967), die heute zu den Klassikern ” des Zeichentrickfilms gez¨ ahlt werden.

1.1 Geschichte der Computeranimation

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Die Entwicklung der Computer Animation begann 1949. Am Massachusetts Institute of Technology (MIT) war der erste elektronische, noch mit R¨ohren ausgestattete Computer mit dem Namen Whirlwind“ entstanden, der als ” Ausgabeger¨ at ein Oszilloskop aufwies. Mit dem Whirlwind-Computer“ ent” wickelte Charly Adams ein Programm, das einen springenden Ball in Echtzeit berechnen und darstellen konnte und das sowohl als erste Computergrafik, als auch als erste Computeranimation bezeichnet wird. In den nachfolgenden Jahren zeigte vor allem das Milit¨ ar verst¨ arktes Interesse an der Computergrafik, das vor allem an der Entwicklung des SAGE“-Computersystems (s. ” Abb. 1.3) zum Ausdruck kam. Dieses System, das von 1951 bis 1955 von IBM zur Luftraum¨ uberwachung entwickelt wurde, bestand aus 82 Grafikkonsolen und erlaubte das interaktive Arbeiten mit Hilfe eines sog. Lightpen, mit dem der Benutzer direkt am Bildschirm grafische Manipulationen, wie das L¨oschen oder Verschieben von Bildlinien, ausf¨ uhren konnte. Im milit¨ arischen Auftrag stellte Edward E. Zajac 1963 den ersten an einem IBM Großrechner erstellten Animationsfilm vor, um damit die Bewegungen und unterschiedlichen Ausrichtungen eines Erdsatelliten im Weltraum zu illustrieren (s. Abb. 1.4). Im gleichen Jahr pr¨ asentierte auch Ivan Sutherland mit seinem Sketchpad“-System (s. Abb. 1.4) das erste interaktiv arbeitende ” CAD-System, dessen Konzept richtungsweisend f¨ ur das gerade entstehende Fachgebiet Computergrafik werden sollte. Sutherlands Sketchpad-System“ ” brachte auch den wissenschaftlichen Durchbruch der Computergrafik. So entstanden, beginnend mit dem 1968 gegr¨ undeten Computer Graphics Department an der Universit¨ at Utah, an zahlreichen Universit¨aten in den USA und Europa Forschungsaktivit¨ aten auf dem neuen Gebiet der digitalen Grafik. Ab Mitte der sechziger Jahre entstanden auch zahlreiche Firmen, deren Ziel es war, grafische Rechnersysteme zu entwickeln. So wurde 1965 die Firma Adage gegr¨ undet, die zwei Jahre sp¨ ater ihren ersten echtzeitf¨ahigen Grafikrechner auf den Markt brachte. 1968 entstanden weitere Firmen, wie Evans & Sutherland, Calma, Computek, Houston Instruments und Imlac sowie Com-

Abb. 1.3. (links) Sage-Luftraum¨ uberwachungssystem, (rechts) Lightpen (aus [2])

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1 Einf¨ uhrung

Abb. 1.4. (links) Zajac´s Satellitensimulation, (rechts) Sketchpad-System“ (aus ” [2])

puterVision, Applicon und Vector General, die 1969 gegr¨ undet wurden. Drei Jahre sp¨ ater, 1972, erfolgte die Gr¨ undung von Megatek und Summagraphics. Ein Meilenstein war auch die Entwicklung eines echtzeitf¨ahigen und voll farbt¨ uchtigen Außensichtsystems des ersten interaktiven Flugsimulators der NASA, der im gleichen Jahr seinen Betrieb aufnahm. Von universit¨arer Seite wurden 1972 von Edwin A. Catmull die Animation einer Hand ( Utah hand“) ” auf der Grundlage des skriptbasierten Animationssystems MOVIE“ , sowie ” die ersten Gesichtsanimationen von Frederic I. Parke pr¨asentiert. Gemessen am damaligen Stand der Technik, waren die Arbeiten von Catmull und Parke sehr beeindruckend und wurden vielfach der staunenden, gerade entstehenden Grafikszene in den USA und Europa vorgef¨ uhrt. Bereits im Jahr 1973 fand die erste SIGGRAPH Konferenz statt, die sich heute als eine der wichtigsten wissenschaftlichen Tagungen auf dem Gebiet der Computergrafik etabliert hat. Auch aus k¨ unstlerischer Sicht hinterl¨asst die Computeranimation ihre Spuren. Die von Peter Foldes produzierte Computeranimation Hunger“ gewinnt 1974 auf dem Filmfestival von Cannes den ” Preis der Jury f¨ ur Animationen. Foldes verwendete f¨ ur diese Arbeit ein von Burtnyk und Wein entwickeltes zweidimensionales Keyframing Verfahren f¨ ur Bilder. Ende der achtziger Jahre entstanden am Jet Propulsion Lab mit den Arbeiten von Jim Blinn eine Serie vielbeachteter Computeranimationen, mit denen der Vorbeiflug der Voyager- und Pioneer-Raumsonden an den Planeten Jupiter und Saturn simuliert und veranschaulicht wurde. F¨ ur diese Animationen wurden erstmalig Texturierungsverfahren, wie das zuvor von Blinn entwickelte Bump-Mapping, eingesetzt, mit der eine bislang nicht erreichte Realit¨atsn¨ahe erzielt wurde. Der erste Spielfilm, in dem Computeranimation ausgiebig eingesetzt wurde, war der in den Walt Disney Studios von 1980 bis 1982 produzierte Film Tron“. Tron“ enthielt ausschließlich synthetisch erzeugte Filmszenen in der ” ”

1.1 Geschichte der Computeranimation

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L¨ ange von 15 Minuten sowie weitere sog. Mixed-Media-Filmsequenzen in gleicher L¨ ange, in denen reale Schauspieler und synthetisch erzeugte Objekte kombiniert wurden. Dieses Filmprojekt wurde jedoch wegen seiner hohen Produktionskosten und des sehr geringen wirtschaftlichen Erfolges ein Desaster f¨ ur den bereits erwarteten Siegeszug der Computeranimation in der Filmindustrie. Hollywood wandte sich f¨ ur l¨ angere Zeit von der Computeranimation ab und setzte wieder ausschließlich auf manuelle Zeichentricktechnik. Computeranimationen wurden hingegen lediglich f¨ ur k¨ urzere Filmsequenzen eingesetzt. Beispiele hierf¨ ur sind Filme wie: The Last Starfighter“ (1985), The Abyss“ ” ” (1989), die Star Wars“-Trilogie und in die Star Trek“- Serienfilme. Beson” ” ders bemerkenswert ist in diesem Zusammenhang der Film Star Trek II - The ” Wrath of Khan“, in dem erstmalig f¨ ur den Genesis-Effekt“ Partikelsysteme ” eingesetzt wurden. Auch die synthetische Wasserkreatur aus dem Film The ” Abyss“, die Gesichter der Mannschaft einer Unterwasserstation imitiert, gilt als Meilenstein der Computeranimation. Ein großes Manko bei der Darstellung animierter virtueller Charaktere waren ihre unnat¨ urlichen, roboterartigen Bewegungen. Jim Henson (Erfinder der Muppets“) f¨ uhrte 1986 bei Digital Productions“ ein Ger¨at namens ” ” Waldo“ vor, das f¨ ur die Fernsteuerung von Puppen entwickelt wurde. Die ” Ingenieure von Digital Productions“ verbanden Waldo“ mit ihren Rechner” ” systemen und erzeugten einige Testanimationen. Es entstand eine Methode, um Bewegungen der mechanischen Eingabeger¨ate auf das Computermodell zu u ater als Performance Animation bezeichnet ¨bertragen; eine Technik die sp¨ wurde. Vor allem in Kurzfilmen zeigten sich in der zweiten H¨alfte der achtziger Jahre die rasanten Fortschritte auf dem Gebiet der Computeranimation. Als Beispiele sind vor allem die von PIXAR produzierten Filme, wie Luxo ” Jr.“ (1986), Red‘s Dream“ (1987) oder auch Tin Toy“ (1988) zu erw¨ahnen, ” ” wobei der letztgenannte Computeranimationsfilm sogar einen Oscar erhielt. Aufgrund dieser Erfolge erhielt Pixar 1991 von den Walt Disney Studios den andig computeranimierten Spielfilm Toy Story“ zu Auftrag, den ersten vollst¨ ” erstellen, der 1995 fertig gestellt wurde. F¨ ur die Herstellung dieses Films mit einer L¨ ange von 70 Minuten waren 800.000 Stunden Rechenzeit verteilt auf 177 Sun Sparc 20 Workstations erforderlich. Im Gegensatz zu Disney´s Tron“ ” wurde Toy Story“, der drei Oskar Nominierungen erhielt, ein Kassenerfolg. ” Der wirtschaftliche Erfolg von Toy Story“ war zugleich der Ausl¨oser f¨ ur ” die Produktion weiterer abendf¨ ullender Computeranimationsfilme, wie Toy ” Story 2“ (1999), Shrek“ (2001), Monsters Inc.“ (2001). In Final Fanta” ” ” sy“ (2001) wurden erstmalig virtuelle Charaktere pr¨asentiert, die von realen Schauspielern kaum noch zu unterscheiden waren. Zu den Hauptanwendungen der Computeranimation in der Spielfilmproduktion geh¨oren allerdings die Spezialeffekte, die vielfach zu den gesch¨ aftlichen Erfolgen von Spielfilmen beitrugen. Einige Beispiele hierf¨ ur sind die Filme Jurassic Park I-III“, Titanic“, ” ” Gladiator“, A.I.“, Harry Potter“, Pearl Harbor“, Lord of the Rings“ usw. ” ” ” ” ” Obgleich die Computeranimation heute einen sehr hohen technischen Stand

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1 Einf¨ uhrung

erreicht hat und zur Erzeugung von Spezialeffekten unverzichtbar geworden ist, konnte sich der manuell erstellte Zeichentrickfilm bislang behaupten. Das liegt vor allem an dem unverwechselbaren Erscheinungsbild der von Hand gezeichneten Bildsequenzen, das von vielen Freunden des Cartoon-Films den rein synthetisch erzeugten Computeranimationfilmen vorgezogen wird [3]. Um den Eindruck eines handgezeichneten Trickfilms zu bewahren, werden oftmals die am Computer generierten Bildsequenzen in entsprechender Weise nachtr¨ aglich manipuliert, um den gew¨ unschten Cartoon-Touch zu erhalten.

1.2 Produktionsphasen eines Computeranimationsfilms Bevor nachfolgend die Produktionsphasen eines Computeranimationsfilms diskutiert werden, soll in diesem Zusammenhang der enorme Aufwand, der f¨ ur die Durchf¨ uhrung eines derartigen Projektes erforderlich ist, kurz erw¨ahnt werden. Es ist ein Irrglaube anzunehmen, dass die am Computer erstellten Filme kosteng¨ unstiger sind. Zwar ist der Aufbau der Kulissen einfacher und virtuelle Schauspieler verlangen schließlich keine Gagen, aber f¨ ur die erfolgreiche Durchf¨ uhrung eines derartigen Projektes ist eine wesentlich exaktere und damit auch zeitaufwendigere Produktionsplanung (Pre-Produktion) erforderlich. Weiterhin sind eine Vielzahl von Spezialisten sowie eine sehr umfangreiche Ger¨ ateausstattung und im Vergleich zu konventionellen Spielfilmen oftmals wesentlich l¨ angere Produktionszeiten notwendig. So kann die Produktion eines derartigen Films bis zu vier Jahre dauern, wobei in den Hauptproduktionsphasen neben dem Management bis zu 200 Computeranimateure, Computerspezialisten, Techniker und Programmierer t¨atig sein k¨onnen. Nachfolgend werden die Produktionsphasen eines Computeranimationsfilms diskutiert, die in großen Teilen mit denen eines traditionellen Zeichentrickfilms u ¨ bereinstimmen. Der Produktionsprozess l¨asst sich grob in drei Stufen aufteilen: Pre-Production, Production und Post-Production. Von dem hier pr¨asentierten Schema k¨ onnen in der Praxis durchaus Abweichungen auftreten. 1.2.1 Pre-Production Von der Filmidee zum Storyboard. Am Anfang dieses Prozesses steht immer die Idee, die Geschichte und die darzustellende Handlung. Diese Filmidee wird als kurze Beschreibung der Handlung, die auch als Synopsis bezeichnet wird, fixiert. Sie ist in der Regel nicht l¨ anger als eine Seite. Auf der Grundlage der Synopsis wird das Storyboard erstellt, in dem die gesamte Handlung detailliert beschrieben ist. Die Erstellung des Storyboard ist ein sehr aufwendiger Prozess, der als Storyboarding bezeichnet wird. Im Storyboard ist der Handlungsablauf detailliert in einzelne Szenen unterteilt, die bereits aus einer Reihe von Hand gezeichneten Schnappsch¨ ussen bestehen. Diese Handskizzen stellen die Schl¨ usselbilder

1.2 Produktionsphasen eines Computeranimationsfilms

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Abb. 1.5. Ausschnitt aus dem Storybook des Films Jurassic Quark“ ”

der Szenen dar und sind, wie in Abb. 1.5 dargestellt, mit entsprechenden Kommentaren und Dialogen versehen. Der zeitliche Ablauf der Handlung, einschließlich der L¨ ange der einzelnen Szenen, sind nach der Fertigstellung des Storyboards hierin exakt festgelegt. Weiterhin werden in dieser Produktionsphase auch die Sound-Effekte und die Begleitmusik aufgezeichnet. W¨ ahrend bei der Erstellung traditioneller Zeichentrickfilme die Bild- auf die Tonsequenzen abgestimmt werden m¨ ussen, besteht bei computeranimierten Filmen die M¨oglichkeit, Musik, Gesang oder akustische Effekte nachtr¨aglich an bereits bestehende Bildfolgen anzupassen. Wie bei der Drehbucherstellung wird das Storyboard ebenfalls iterativ in mehreren Durchl¨aufen vom Preliminary Storyboard u ¨ ber das Presentation Storyboard bis zum Production Storyboard verfeinert. Im Preliminary Storyboard werden die Bewegungen der Akteure, sowie der Kamera in ihrem zeitlichen Ablauf grob und skizzenhaft dargestellt. Das Presentation Storyboard stellt eine Zusammenfassung der geplanten Filmproduktion dar. Es enth¨ alt bereits großformatige, farbige Bilddarstellungen von den wichtigen Schl¨ usselszenen und dient letztendlich als Hilfe f¨ ur den Produzenten, Auftrags- oder Geldgeber, Entscheidungen u uhrung ¨ ber die Fortf¨ des Projektes zu treffen. Das Production Storyboard ist das verbindliche Dokument, an dem sich die Filmproduktion zu orientieren hat. Es enth¨ alt in detaillierter Form Anweisungen u ¨ ber die einzelnen Aktionen, Bewegungs- und Zeitabl¨aufe einschließlich der Schnittanweisungen, sowie der Beleuchtungs- und Kameraparameter. Im Production Storyboard ist jedes Frame nummeriert und mit Zeitparametern versehen. Weiterhin sind in jedem Bild Anweisungen f¨ ur die Kamerabewegung und den Schnitt vorhanden. Character Sheets. Zus¨ atzlich zum Storyboard werden auch die sog. Character Sheets erstellt. Hierin wird die Pers¨ onlichkeit der einzelnen virtuellen Charaktere beschrieben, sowie Anweisungen f¨ ur ihre Animation gegeben.

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1 Einf¨ uhrung

Ein sorgf¨ altiger und wohl u ¨berlegter Entwurf der handelnden Charaktere ist f¨ ur den wirtschaftlichen Erfolg eines Computeranimationsfilms von entscheidender Bedeutung. Vor allem ist es notwendig, den virtuellen Charakteren glaubw¨ urdige Pers¨ onlichkeiten zu verleihen. Dies bedeutet, dass ein Charakter die Emotionen vermitteln muss, die seine Rolle innerhalb der Filmhandlung ausdr¨ ucken soll. Hierzu sind eine Vielzahl von Charakter- und Bewegungsstudien erforderlich, um mit unterschiedlichen Posen und Gesichtsmimiken die Ausdrucksf¨ ahigkeit des virtuellen Akteurs zu u ufen. Gegebenenfalls ¨berpr¨ muss dessen Erscheinung korrigiert oder auch v¨ollig neu entworfen werden. Von gleichrangiger Bedeutung sind auch produktionstechnische Aspekte. So ist beispielsweise die 3D-Animation, sowie das Rendering eines Zauberers mit langem Bart, langen Haaren und einem zerfurchten Gesicht, der zudem noch einen wallenden Umhang tr¨ agt, viel aufwendiger als die Darstellung eines Charakters mit eng anliegender Kleidung, kurzen Haaren und glattem Gesicht. Weiterhin ist die erforderliche Gelenkigkeit der Figur f¨ ur die Animation von großer Bedeutung. So ist auch die Skelettstruktur eines Charakters einschließlich der Freiheitsgrade seiner Gelenke, sowie die Einschr¨ankungen der Gelenkwinkel in den Character Sheets vorzugeben und an die geforderte Ausdrucksf¨ ahigkeit anzupassen. Wichtig ist, dass beim Entwurf der virtuellen Akteure das zur Verf¨ ugung stehende Produktionsbudget streng beachtet wird. Ein zu komplexer Charakterentwurf kann den Produktionsaufwand, das heißt den Aufwand f¨ ur die sp¨ atere Animation und das Rendering, extrem steigern, somit verteuern und letztendlich das gesamte Projekt gef¨ ahrden. Modellierung. W¨ ahrend beim traditionellen Zeichentrickfilm nach dem Storyboarding von erfahrenen Animateuren, den sog. Senior Animators die Keyframes und von den Junior Animators die Zwischenbilder, die Inbetweens, gezeichnet werden, sind bei der dreidimensionalen Computeranimation die virtuellen Charaktere erst als Modelle zu erzeugen. Neben den Charakter-Modellen, sind nat¨ urlich auch die Modelle der Hintergrundszenen anzufertigen, welche innerhalb der Filmhandlung vorkommen. Ein wirtschaftlicher Nebeneffekt ist, dass die einmal erzeugten Modelle beliebig oft f¨ ur andere Produktionen verwendbar oder auch vermarktbar sind. So hat sich hierf¨ ur bereits ein Markt entwickelt, der im stetigen Wachsen begriffen ist. 1.2.2 Production Animation. Nach der Modellierung kann der eigentliche Animationsprozess ar- und Sekund¨aranimation unerfolgen, wobei in der Regel zwischen Prim¨ terschieden wird. Unter der Prim¨ aranimation ist die Animation weitr¨aumiger Bewegungsabl¨ aufe wie beispielsweise Lauf- oder Kampfbewegungen zu verstehen. Die Sekund¨ aranimationen sind zwar den Prim¨aranimationen u ¨ berlagert, sie k¨ onnen jedoch v¨ ollig autonom ausgef¨ uhrt werden. Beispiele sind das Ver-

1.2 Produktionsphasen eines Computeranimationsfilms

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zerren des Gesichtes w¨ ahrend eines Kampfvorgangs oder die Atmung eines virtuellen L¨ aufers. Die Festlegung der prim¨ aren Bewegungsabl¨aufe erfolgt in der Regel mit sehr stark vereinfachten Geometriemodellen, wobei auch einfache RenderingVerfahren verwendet werden. Oftmals sind, um bestimmte Bewegungssequenzen zu erzeugen, viele Versuche erforderlich. Der hierzu notwendige Aufwand wird durch die große Anzahl der Animateure deutlich, die bei großen Featurefilm-Produktionen, wie Shrek“ oder Final Fantasy“, zwischen 20 und ” ” 30 liegen kann. Die Animation der in der Filmhandlung agierenden virtuellen Figuren und Objekte kann mit einer Anzahl unterschiedlicher Techniken erfolgen, die nachfolgend beschrieben werden. Stop-Motion-Technik. Eine h¨ aufig verwendete Methode ist die Stop-MotionTechnik. Sie ist dadurch gekennzeichnet, dass die Positionen und Orientierungen der Glieder eines Charakters schrittweise ver¨andert werden, wobei die Animations- und Rendering-Schritte wechselseitig ausgef¨ uhrt werden. Die Ausf¨ uhrung der Objektbewegungen erfolgt hierbei mit kinematischen Verfahren. Die Anwendung der Stop-Motion-Technik erfordert sehr viel Sorgfalt und Erfahrung. Da sich einzelne Bewegungsschritte nicht mehr nachtr¨aglich korrigieren lassen, ist es im Fall einer fehlerhaften Animation notwendig, den gesamten Bewegungsablauf eines Charakters neu zu erstellen. Motion Capturing. Motion Capturing ist eine Methode, um sehr nat¨ urlich wirkende Bewegungssequenzen zu erzeugen. Hierbei gibt ein Darsteller, an dessen K¨ orper Sensoren angebracht sind, den gew¨ unschten Bewegungsablauf vor. Die Sensorpositionen werden hierbei fortlaufend mit mechanischen, optischen, elektromagnetischen oder akustischen Verfahren aufgezeichnet. In der Regel ist eine Nachbearbeitung der Bewegungsdaten erforderlich, bei der neben der Gl¨ attung und der Erg¨ anzung der Koordinatensequenzen auch eine Anpassung an die Geometrie des virtuellen Charakters erfolgt. Anschließend stehen die Bewegungsdaten zur Steuerung des virtuellen Akteurs zur Verf¨ ugung. Entsprechend den Geometriemodellen werden auch die beim Motion Capturing gewonnenen Bewegungsdaten zum Zweck der Wiederverwendung in Bibliotheken archiviert und auch vielfach vermarktet. Prozedurale Animation. Die prozedurale Animation dient zur Erzeugung spezieller Animationen, bei der ein Bewegungsablauf von einer Prozedur vorgegeben ist oder durch ein System von Regeln bestimmt wird. Beispiele f¨ ur eine einfache prozedurale Animation ist der klassische, mit Hilfe von Partikelsystemen erzeugte Genesis Effekt im Film Star Trek II - The Wrath of ” Khan“ aber auch die Massenkampfszenen in Lord of the Rings“, wo sogar ” den einzelnen Rittern ein individuelles, regelbasiertes Bewegungsrepertoire zur Ausf¨ uhrung von Kampfaktionen [4] zugeordnet wurde.

10

1 Einf¨ uhrung

Physikalisch-basierte Animation. Der dynamische Bewegungsablauf vieler Objekte in der realen Welt, beispielsweise durch Einwirkung externer Kr¨ afte, wird durch die Gesetze der Physik bestimmt. Damit auch virtuelle Objekte, wie beispielsweise Gelenksysteme, plausible Bewegungen ausf¨ uhren k¨onnen, sind die physikalischen Gesetzm¨ aßigkeiten zu ber¨ ucksichtigen. Die physikalisch-basierte Modellierung ist jedoch, ¨ahnliche wie bei der prozeduralen Animation, auf eine sehr begrenzte Anzahl von Anwendungen eingeschr¨ ankt, da der Aufwand f¨ ur eine physikalisch korrekte Beschreibung komplexer Szenarien sehr hoch ist. Spezialisierte Animationsverfahren. Hierunter sind beispielsweise jene Methoden zu verstehen, mit denen oftmals Naturerscheinungen, wie Meereswellen, Wolken oder auch Fl¨ ussigkeiten dargestellt werden. Desgleichen f¨allt die Gesichtsanimation oder die Animation von Stoffen in diese Kategorie. Diese sehr speziellen Verfahren sind oftmals prozedural oder physikalisch-basiert. Rendering. Nachdem die Animation innerhalb einer in sich abgeschlossenen Bildfolge festgelegt ist, muss mit der Positionierung der Lichtquellen die Ausleuchtung der Szenen festgelegt werden. Um die Lichtverteilung mit unterschiedlichen Beleuchtungskonfigurationen beurteilen zu k¨onnen, erfolgt ein schnelles Rendering der Bildsequenzen mit geringerer Aufl¨osung und geringerer Qualit¨ at, d.h. ohne Anti-Aliasing, Motion-Blur, Caustics oder Depth ¨ of Field. F¨ allt die abschließende Uberpr¨ ufung der Animation und Szenenausleuchtung zufriedenstellend aus, so wird der finale Rendering-Prozess ausgef¨ uhrt. Hierbei werden die Szenen mit zumeist sehr hoher Aufl¨osung und Bildqualit¨ at berechnet. Im Fall komplexer Szenarien werden diese in einzelne Layer unterteilt, separat gerendert“ und in der nachfolgenden Post-Processing-Phase mittels ” Image Compositing zusammengef¨ ugt. Im Film Final Fantasy“ wurden bei” spielsweise die ¨ außerst aufwendig modellierten Charaktere auf separaten Layern gerendert“. Die komplexen Hintergrundszenen mussten nach [5] sogar auf ” sechs verschiedene Layer aufgeteilt werden. Das finale Rendering erfolgt in der Regel auf verteilten Rechnersystemen, ur die aus mehreren hundert PC´s bestehen k¨ onnen. Jeder dieser Rechner ist f¨ das Rendering eines kompletten Layers oder Bildes zust¨andig und transferiert sein Ergebnis zu einem Zentralsystem, das die dezentral berechneten Bilder in ihrer korrekten Reihenfolge f¨ ur den nachfolgenden Video- oder Film-Schnitt abspeichert. 1.2.3 Post-Production Image Compositing. In der Post-Production-Phase erfolgt mit dem Image Compositing das Zusammenf¨ ugen der einzelnen Layer eines Bildes. Die Technik des Image Compositing l¨ asst sich anhand eines sehr einfachen Beispiels, das in der Abb. 1.6 dargestellt ist, in seinen Grundz¨ ugen verdeutlichen. In

1.2 Produktionsphasen eines Computeranimationsfilms synthetischer Saurier

reale Landschaft

a) Saurierschatten

b) inverse Sauriermaske

d)

c) Sauriermaske

11

Hintergrund + Saurier

f)

e) Schattenmaske

inverse Schattenmaske

h)

g)

Hintergrund + Saurier + Schatten

i)

Abb. 1.6. Prinzip des Image Compositing (s. Farbtafel I)

diesem Beispiel wird das synthetisierte Bild eines Sauriers mit Hilfe einer zuvor erzeugten bin¨ aren Maske kombiniert. Diese Maskierung hat den Sinn, dass nur die Teile der Saurierszene selektiert werden, die in das Gesamtbild eingef¨ ugt werden sollen. Die Pixelwerte des Saurierbildes in den schwarzen Bereichen der Maske werden hierbei auf den Wert Null gesetzt, w¨ahrend sie in den weißen Gebieten unver¨ andert bleiben. In umgekehrter Weise wird mit dem Landschaftsbild verfahren. Dort wird mit der inversen Sauriermaske jener Bereich maskiert, der vom Saurier u ¨ berdeckt wird. Die Komposition aus

12

1 Einf¨ uhrung

Saurier- und Hintergrundbild erfolgt durch Addition beider Bildmatrizen. Das Hinzuf¨ ugen des Schattens, den der Saurier auf den Boden wirft, wird in analoger Weise ausgef¨ uhrt. Um einen realistischen Bildeindruck zu erzielen, ist es erforderlich, die Lichtverh¨ altnisse der separat erzeugten Bilder aufeinander abzugleichen. Hierzu ist es mitunter notwendig, die Helligkeit der einzelnen Bildteile, und zwar Bild f¨ ur Bild, manuell einzustellen. Wesentlich aufwendiger gestaltet sich das Image Compositing wenn ein virtueller Charakter sehr eng mit einem realen Schauspieler interagiert. Stellen wir uns als Beispiel eine Szene vor, in der ein virtueller Charakter, der beispielsweise eine l¨ angst verstorbene Darstellerin repr¨asentiert, mit einem bekannten Schauspieler tanzt. Um dies zu realisieren, sind f¨ ur das Image Compositing zus¨ atzliche Schritte erforderlich. Zuerst wird die Tanzszene mit einer realen Darstellerin ausgef¨ uhrt, die m¨ oglichst in ihrer Gr¨oße und in ihren Proportionen dem Vorbild entspricht. Damit diese Darstellerin bei Verwendung der Color Keying-Methode einfacher maskiert und aus der Tanzszene entfernt werden kann, tr¨agt sie in der Regel ein Trikot und Handschuhe in der Farbe eines Farbschl¨ ussels (color key). Auch ihr Kopf ist in der gleichen Farbe eingeh¨ ullt. Infolge dieser farblichen Auskleidung ist es mittels Farbseparierung leichter m¨oglich, die reale Person aus der Tanzszene zu entfernen und durch den virtuellen Charakter zu ersetzen. Die Einpassung des virtuellen Charakters in die maskierten Bereiche der Bildsequenz erfolgt anschließend Bild f¨ ur Bild von Hand. Bei diesem Verfahren sind vielfach aufwendige Nachbearbeitungsschritte unumg¨anglich. Video/Film-Schnitt. Der Filmschnitt mit linear auf Magnetband oder Film aufgezeichneten Material wird zunehmend durch die seit wenigen Jahren aufkommende Technik des nicht-linearen Schnitts verdr¨angt (Non-Linear Editing – NLE ). Hierzu ist es notwendig, das gesamte f¨ ur den Schnitt ben¨otigte Filmmaterial auf einen Plattenspeicher zu transferieren, der im Gegensatz zum Magnetband, einen wesentlich schnelleren, wahlfreien Zugriff auf einzelne Bilder erm¨ oglicht. Hierdurch ergibt sich die M¨oglichkeit, kurze Bildfolgen an beliebigen Stellen eines Films einzuf¨ ugen, zu kopieren, zu manipulieren oder zu l¨ oschen. Weiterhin k¨ onnen die Bildsequenzen in beliebiger Folge und ¨ aneinandergereiht werden. unterschiedlichen Uberblendungen Die hierf¨ ur ben¨ otigten Speicherkapazit¨ aten sind allerdings enorm. So hat ein Film von 90 Minuten L¨ ange und einer Aufl¨ osung im Cineonformat in unkomprimierter Form einen Speicherbedarf von 6.5 TeraByte. In ungeschnittener Form ist f¨ ur das gesamte Filmmaterial, das beim Produktionsprozess entstanden ist, ein noch erheblich gr¨ oßerer Speicherplatz erforderlich. Um diese Datenmenge mit vertretbarem Aufwand speichern zu k¨onnen, ist es notwendig, das Filmmaterial beispielsweise entsprechend dem MPEG-2 Standard zu komprimieren. Um die MPEG-2 Kodierung bzw. Dekodierung (Codec) in Echtzeit ausf¨ uhren zu k¨ onnen, sind f¨ ur das Non-linear Editing Schnittpl¨atze mit leistungsf¨ ahigen Prozessoren erforderlich.

1.3 Grundregeln der Animation

13

Vertonung. Die Dialoge, sowie Musik und Ger¨auscheffekte, wurden bereits w¨ahrend der Pre-Production-Phase im Einzelnen festgelegt. In der PostProduction-Phase erfolgt die Feinabstimmung mit den korrespondierenden Bildsequenzen, wobei bei der Gesichtsanimation besonders auf eine lippensynchrone Abstimmung von Bild und Ton zu achten ist. Hierzu ist es oftmals notwendig, mit Hilfe sog. Sound Morphing-Verfahren die geforderte Synchronit¨ at zu erreichen. Belichtung. Kinofilme werden vielfach im 35mm-Format aufgezeichnet. Bei dem hierzu h¨ aufig verwendeten digitalen Cineonformat ist eine Aufl¨osung von 4.096 × 3.112 Bildpunkten mit einer Farbtiefe von 3 × 10 Bit erforderlich. Das Datenvolumen eines Bildes betr¨ agt somit 48 MByte. F¨ ur die Belichtung des Films wird ein Laserbelichter eingesetzt, der die Filmebene zeilenweise beschreibt. Die Belichtung eines Bildes mit der o.g. Aufl¨osung dauert nach [6] drei Sekunden. F¨ ur die Belichtung eines Kinofilms, der aus ungef¨ahr 135.000 Einzelbildern besteht und der eine Spiell¨ ange von anderthalb Stunden besitzt, sind demnach circa 113 Stunden (ca. 5 Tage) erforderlich.

1.3 Grundregeln der Animation Die wichtigsten Grundregeln f¨ ur die Gestaltung von Animationen, die auch noch heute aktuell sind, wurden in den zwanziger und dreißiger Jahren in den Disney Studios entwickelt. F. Thomas und O. Johnston stellten diese Gestaltungsregeln, die aus der Beobachtung der Natur entstanden sind, in ihrem Buch Disney Animation: The Illusion of Life“ vor. Insgesamt wurden 11 Re” geln festgelegt, die nachfolgend aufgef¨ uhrt sind: Squash and Stretch. Die Squash and Stretch-Regel besagt, dass ein elastischer K¨ orper beim Aufprall auf einen anderen Gegenstand gestaucht und beim Abprallen wieder gestreckt wird. Dieser Effekt der Gestaltver¨anderung, der dazu dient, die Geschwindigkeit zu betonen, wird um so deutlicher, je elastischer der K¨ orper ist. Wichtig ist jedoch, dass das Volumen des Objektes hierbei konstant bleibt. Timing and Motion. Die Geschwindigkeit, mit der eine Handlung ausgef¨ uhrt wird, hat sowohl eine emotionale als auch eine physische Bedeutung. So wird von der Art der Bewegung ein Eindruck vom Gewicht eines K¨orpers vermittelt. Das Aufheben einer schweren Bowlingkugel erfolgt beispielsweise viel langsamer als das Greifen nach einem leichten Tennisball. Der Animateur muss dar¨ uber hinaus die Bewegung innerhalb eines angemessenen Zeitablaufs gestalten. Das f¨ ur die Bewegung vorgesehene Zeitintervall, darf zum einen nicht so kurz sein, dass der Zuschauer den Bewegungsablauf nicht richtig wahrnehmen kann; zum anderen darf die Bewegung auch nicht zu stark ausgedehnt werden, weil sonst die Aufmerksamkeit verloren geht.

14

1 Einf¨ uhrung

Anticipation. Eine Aktion kann in ihre Vorbereitungsphase, in ihre Ausf¨ uhrung sowie in eine Abschlussphase aufgeteilt werden. Unter Anticipation wird hierbei die Vorbereitung der eigentlichen Aktion verstanden. Ein Beispiel ist das Zur¨ uckziehen des Fußes bevor ein Ball getreten wird. Die Anticipation l¨ asst den Zuschauer eine bestimmte Handlung erwarten und bereitet ihn vor, damit er schnelle Aktionen besser wahrnehmen kann. Mit der Anticipation kann beispielsweise auch die Schwere eines Gegenstandes betont werden. So geht ein virtueller Charakter zuerst in die Knie, bevor er ein schweres Paket anhebt, w¨ ahrend er sich bei einem leichten Gegenstand lediglich b¨ ucken w¨ urde. Staging. Unter Staging wird die unmissverst¨ andliche Darstellung einer Handlungsidee verstanden. Ein wichtiges Ziel des Staging ist es, die Aufmerksamkeit des Zuschauers in das Zentrum der Handlung zu lenken. Ein im Zentrum der Handlung befindlicher Charakter sollte sich daher vom Rest der Szene besonders gut abheben. Dies kann beispielsweise durch Bewegung geschehen, da in einer u ¨berwiegend statischen Szene sich die Aufmerksamkeit vorzugsweise auf ein bewegtes Objekt richtet. Ist hingegen alles in einer Szene bewegt, so wird ein ruhendes Objekt besonders gut wahrgenommen. Auch mit Farbe l¨asst sich die Aufmerksamkeit auf das Zentrum einer Handlung fokussieren. In einer u ¨berwiegend grauen Szene wird beispielsweise ein buntes Objekt besonders gut registriert. Follow Through and Overlapping Action. Follow through ist der abschließende Teil einer Aktion. Ein Beispiel ist das Werfen eines Balls. Die Hand des Werfers bewegt sich auch dann noch weiter, nachdem der Ball sie bereits verlassen hat. Overlapping bedeutet, dass die Nachfolgeaktion ausgel¨ost wird, bevor die Vorg¨ angeraktion beendet ist. Hierdurch werden L¨ ucken zwischen den einzelnen zusammenh¨ angenden Aktionen vermieden und das Interesse der Zuschauer aufrecht erhalten. Zum Overlapping traf Walt Disney die folgende Feststellung: It is not neces” sary for an animator to take a character to one point, complete that action completely, and then turn to the following action as if he had never given it a thought until after completing the first action. When a character knows, what he is going to do, he doesn’t have to stop before each individual action and think to do it. He has it planned in advance in his mind“. Straight Ahead Action and Pose-to-Pose Action. Straight Ahead Actions in den von Hand gezeichneten Animationen sind Bildfolgen, die von einem Animationszeichner vom Anfang einer Szene bis zur ihrem Ende in einem Zug gezeichnet werden. Diese Technik wird verwendet, um beispielsweise spontan wirkende, wilde Raufszenen zu erzeugen. Im Gegensatz hierzu steht Pose-toPose Action. Hierbei wird eine Bildfolge sehr sorgf¨altig mit Keyframes, den Start- und Endposen, sowie nach einem genauen Zeitablauf geplant.

1.3 Grundregeln der Animation

15

Slow In and Out. Das Slow In and Out-Prinzip bedeutet, dass die bewegten Objekte abgebremst und beschleunigt werden m¨ ussen. Ein Bewegungsablauf erscheint plausibler, wenn die Geschwindigkeit eines Objektes etwas variiert. So ist es in der Trickfilmtechnik sinnvoll, die Geschwindigkeit eines Balles vor dem Auftreffen auf den Boden etwas abzubremsen und nach dem Abprallen zu beschleunigen. Die Abbrems- und Beschleunigungsvorg¨ange sind dabei m¨ oglichst kurz zu halten. Arcs. Die Arcs-Regel besagt, dass die Bewegungsabl¨aufe einer Aktion den nat¨ urlichen Bewegung entsprechen m¨ ussen. Die Bewegungen sollten daher nicht eckig, sondern rund und gleichm¨ aßig verlaufen. ¨ Exaggeration. Exaggeration erf¨ ullt den Zweck der Uberbetonung bestimmter Bewegungen, um die Aufmerksamkeit des Zuschauers f¨ ur bestimmte Aktionen mit besonders hoher Bedeutung zu erwecken. Hiervon sollte jedoch sparsamer Gebrauch gemacht werden, da sonst sehr leicht der gesamte Bewegungsablauf zu unrealistisch erscheint. Secondary Action. Eine Secondary Action ist das direkte Resultat einer zuvor erfolgten prim¨ aren Aktion. Sie wird eingesetzt, um eine Animation nat¨ urlicher und lebendiger erscheinen zu lassen und entspricht der im Abschn. 1.2.2 erw¨ ahnten Sekund¨ aranimation. Appeal. Appeal bedeutet, dass Handlung und Charaktere dem Zuschauergeschmack entsprechen m¨ ussen. Die Charaktere sollten lebendig erscheinen und eine Pers¨ onlichkeit besitzen, die m¨ oglichst vergleichbar mit dem Charisma realer Schauspieler ist. Die Szenen d¨ urfen weder zu simpel und langweilig, noch zu komplex und unverst¨ andlich sein. Spiegelsymmetrien sind in den Szenen m¨oglichst zu vermeiden.

2 Globale Bewegungen

In diesem Kapitel werden die Techniken zur Erzeugung von globalen Bewegungsabl¨ aufen behandelt. Eine h¨ aufig hierf¨ ur verwendete Methode, die im ersten Teil dieses Kapitels diskutiert wird, ist die Keyframe-Interpolation. Wie im nachfolgenden Abschnitt gezeigt, lassen sich Keyframes verwenden, um Objekte in einfacher Weise global zu verformen oder ihre r¨aumliche Bewegung mit Hilfe geometrischer Transformationen festzulegen. Dies trifft auch auf komplexere Rotationsbewegungen mit Hilfe von Quaternionen zu, die anschließend behandelt werden. Auch f¨ ur Kamerafahrten, die sehr h¨aufig in Computeranimationen Anwendung finden, erfolgt die Festlegung des Bewegungsablaufs mit Hilfe von Keyframes. In diesem Fall sind es die Start- und Zielpositionen der Segmente des Kamerapfades mit den korrespondierenden Ausrichtungen ¨ und Offnungswinkel des Kameraobjektivs. Die kinematischen Methoden geh¨ oren zum zweiten Themenbereich. Im Zusammenhang mit der Vorw¨ artsberechnung von kinematischen Ketten wird hier die Denavit-Hartenberg-Methode vorgestellt. Von großer Bedeutung sind auch die Methoden der inversen Kinematik, die gleichfalls ausf¨ uhrlich behandelt werden. Neben dem klassischen Ansatz zur L¨osung inverser kinematischer Probleme mit Hilfe der Jacobi-Matrix werden auch alternative Verfahren auf der Basis der transponierten Jacobi-Matrix sowie des CCD-Ansatzes erkl¨art.

2.1 Keyframes Die Keyframe-Interpolation wird bereits seit mehr als 60 Jahren zur manuellen Erstellung von Zeichentrickfilmen verwendet und geh¨ort damit zu den altesten noch gebr¨ auchlichen Animationsverfahren. Bis heute wird immer ¨ noch ein erheblicher Anteil aller Computeranimationen mit dieser Technik realisiert. In ihrer urspr¨ unglichen Form wird ein Bewegungsablauf mit Hilfe von Basisbildern – den sog. Keyframes – vorgegeben. Die Festlegung dieser Keyframes, auch Hauptphasen genannt, mit der ein Bewegungsvorgang f¨ ur

18

2 Globale Bewegungen

Keyframe 2 Keyframe 1

Keyframe 3 Keyframe 4

Inbetweens Abb. 2.1. Bestimmung des Bewegungsablaufs einer gelenkig verbundenen Figur mit Hilfe von Keyframes

gr¨ oßere Zeitschritte festgelegt wird, erfolgt bei der manuellen Zeichentrickfilmerstellung durch den Hauptphasenzeichner. Das Zeichnen aller in den Zwischenphasen befindlichen Bildern ist die Aufgabe eines weiteren Spezialisten, des Inbetweener. In ¨ ahnlicher Weise erfolgt auch die rechnergest¨ utzte Keyframe-Animation. Keyframes sind hier die Hauptbewegungsphasen, die wir jeweils als Start- und Zielkonfiguration eines interpolierten Bewegungsablaufs betrachtet k¨onnen. Sie werden vom Benutzer mit Hilfe von Parameter- oder Koordinatenfolgen, die diskreten Zeitpunkten entlang einer Zeitachse zugeordnet sind, festgelegt. Bei einer Figur, die aus starren gelenkig verbundenen Segmenten besteht, kann dies, wie Abb. 2.1 zeigt, durch die Festlegung der Gelenkkoordinaten erfolgen. Diese Geometriekoordinaten werden in einen durch die Zeitachse erweiterten Koordinatenraum eingetragen. Um nat¨ urlich wirkende Bewegungsabl¨ aufe zu erzeugen, sind abrupte Richtungs¨ anderungen der Objektsegmente zu vermeiden. Dies l¨asst sich dadurch erreichen, dass die Koordinatentupel durch Spline-Kurven verbunden werden, an denen sich die Inbetweens ausrichten. Hierbei ist zu beachten, dass die Abst¨ ande zwischen den Hauptphasen vom Bewegungsablauf abh¨angen. Schnelle Bewegungs¨ anderungen werden mit kurzen Keyframe-Abst¨anden, im Extremfall ohne Zwischenphasen, festgelegt. Die Definition langsamer und gleichm¨ aßiger Bewegungsabl¨ aufe kann hingegen mit sehr großen Abst¨anden zwischen den Schl¨ usselbildern erfolgen. 2.1.1 Parametergesteuerte Keyframe-Transformationen Eine einfache M¨ oglichkeit, Keyframes f¨ ur die Erzeugung von Computeranimationen einzusetzen, bieten die parametergesteuerten Keyframe-Transformationen. So l¨ asst sich die Form eines Objektes, durch Parameter gesteuert, in Zeitschritten ver¨ andern. Dies ist in einfachster Weise mit Hilfe der achsenunabh¨ angigen Skalierung der Fall. Allerdings ist hier die parametergesteuerte Form¨ anderung auf die Variation der Seitenverh¨altnisse begrenzt. Vielf¨altigere

2.1 Keyframes

19

M¨oglichkeiten bieten hingegen die Superquadriken. Die Abbildung 2.2 zeigt einen Superellipsoid, dessen Form implizit mit der Gleichung

KF1 Kf12

Kf2


=3.0 =1.0

Kf11


=3.0 =2.0


=3.0 =3.0


=2.0 =0.2

Kf10

Kf3
=2.0 =3.0


=3.0 =0.2


=1.0 =3.0

t


=1.0 =0.2

Kf4


=0.2 =3.0
=0.2
=0.2 =0.2
=0.2 =2.0 =1.0

Kf9

Kf5

Kf6

Kf8 Kf7 3.0






2.0 1.0 0.2 t1 Kf1

t2

t3

t4

t 6

t5 t

t 7

t 8

t9

t10

t11

t12 Kf12

Abb. 2.2. Parametergesteuerte Keyframes-Transformation mit Superellipsoiden: Keyframes Kf1,..., Kf12 (oben), Verlauf der linearen sowie mit Splines interpolierten (gestrichelt) Transformationsparameter (unten)

20

2 Globale Bewegungen




x rx

2/ν



y + ry

2/ν ν/µ



z + rz

2/µ =1

(2.1)

bestimmt wird. Die Keyframes werden hier mit den Parametern µ und ν festgelegt, die diskreten Zeitpunkten ti zugeordnet sind. Diese Parameter lassen sich als St¨ utzstellen betrachten, mit denen sich im einfachsten Fall der Werteverlauf durch lineare Interpolation bestimmen l¨asst. Hierbei wird jedoch der kontinuierliche Ablauf der Objektbewegungen infolge der Diskontinuit¨aten an den St¨ utzstellen der Parameterkurven gest¨ ort. Um einen kontinuierlichen Ablauf der Objektbewegung zu erhalten, wenden wir die Spline-Interpolation an. In Abbildung 2.2 sind oben die mit den Keyframe-Parametern µ1 bis ν12 deformierten Superellipsoiden, dargestellt. Sie werden als Keyframes Kf1 bis Kf12 den Zeitpunkten t1 bis t12 zugeordnet. Auf dem unteren Teil von Abb. 2.2 sind die Kurven der linear sowie mit Splines interpolierten Parameterverl¨aufe von µ und ν aus Glg. 2.1 gezeigt. Neben den Superquadriken gibt es eine Vielzahl weiterer Verfahren, um Objekte mit Hilfe parametergesteuerter Keyframe-Transformationen in kontrollierter Weise dynamisch zu deformieren. Im Kapitel 3 werden diese Methoden separat behandelt.

Rotationstransformationen Logos oder Schriftz¨ uge, die im Raum um beliebige Achsen rotierten oder die sich, durch Keyframes gesteuert, auf vorgegebenen Raumkurven bewegen, sind

Y

Y

Z

Z

X

X

(a)

(b)

¨ Abb. 2.3. Mehrdeutigkeiten bei Rotationsbewegungen durch inkrementelle Anderungen der Euler-Winkel: (a) Rotation um die X-Achse, (b) Rotation um die Y und Z-Achse

2.1 Keyframes

21

1.0

0.8 a00,a11,a22 0.6

a02,a10,a21

0.4

a01,a12,a20

0.2 .0

 [rad]

1.0

2.0

3.0

4.0

-0.2

¨ Abb. 2.4. Anderung der Koeffizienten der Transformationsmatrix in Glg. 2.2 abh¨ angig vom Drehwinkel β. Es wird eine 270◦ Rotation um eine diagonal im Raum ausgerichtete Drehachse ausgef¨ uhrt

h¨ aufige Anwendungen der Computer Animation. Nachfolgend sollen die hierbei auftretenden Probleme sowie ihre L¨ osungen diskutiert werden. Um ein Objekt beliebig im Raum ausrichten zu k¨ onnen, m¨ ussen hierzu die Drehwinkel um die X-,Y- und Z-Achse bestimmt werden. Die Bestimmung dieser sog. Euler-Winkel ist jedoch nicht eindeutig. Nach [7] kann die gleiche Ausrichtung eines 3D-Objektes mit zw¨ olf verschiedenen Winkelkombinationen erreicht werden. Wegen dieser Mehrdeutigkeiten f¨ uhrt eine lineare Interpolation zwischen zwei gleichen, mit Keyframes definierten Objektorientierungen zu unterschiedlichen Bewegungspfaden. So soll zum Beispiel der Buchstabe R“ 180◦ um die X-Achse gedreht ” werden. Im einfachsten Fall wird, wie in der Abb. 2.3a dargestellt, der Winkelparameter einer Matrix, welche die Rotation um die X-Achse bewirkt, in gleichen Schritten von 0, ..., π ver¨ andert. Alternativ hierzu kann aber auch die gleiche Endposition dieses Zeichens mit einer inkrementellen Drehung im positiven Richtungssinn um die Z-Achse bei gleichzeitiger Rotation im negativen Richtungssinn um die Y -Achse erreicht werden (s. Abb. 2.3b). In jenen F¨ allen, in denen ein beliebiger Punkt P = (x, y, z) um eine frei im Raum ausgerichtete Achse rotieren soll, ist es erforderlich, die Euler-Winkel – und damit die Parameter der Transformationsmatrix – nach jedem Rotationsschritt neu zu bestimmen. Die Abbildung 2.4 zeigt am Beispiel einer diagonal im Raum ausgerichteten Drehachse und einer Rotation um 270◦ den Werteverlauf der Parameter in der Transformationsmatrix: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ xrot x a00 a01 a02 ⎣ yrot ⎦ = ⎣ a10 a11 a12 ⎦ ⎣ y ⎦ . (2.2) zrot a20 a21 a22 z

22

2 Globale Bewegungen

Mit Quaternionen lassen sich derartige Transformationen wesentlich eleganter durchf¨ uhren. Quaternionen-Rotationen. Ein Quaternion ist eine komplexe Zahl, die aus einem reellen und drei imagin¨ aren Anteilen besteht. Sie wurden 1843 von dem irischen Mathematiker Sir William Hamilton definiert. Mittels Quaternionen1 ist es in einfacher Weise m¨ oglich, eine Koordinatenrotation um eine beliebig im Raum ausgerichtete Achse auszuf¨ uhren. Der reelle Anteil s des Quaternions q = (s, v) = s + bi + cj + dk steht f¨ ur den Drehwinkel, w¨ahrend die drei imagin¨ aren Anteile des Vektors v die Ausrichtung der Rotationsachse bestimmen. Die Quaternionen-Rotation erfolgt mit: Rq (P) = qe p q−1 e . Hierbei ist qe ein Einheitsquaternion qe = (cos α, n sin α) = (cos α, nx sin α, ny sin α, nz sin α)

mit |n| = 1,

die den Drehwinkel sowie die Ausrichtung des Drehachsenvektors repr¨asentiert. p = (0, r) ist hingegen ein Quaternion, dessen Skalarteil den Wert Null aufweist und dessen Imagin¨ arteil die zu transformierenden Koordinaten des = q ¯e . Die Punktes P darstellt. Die Inverse2 von qe erhalten wir mit q−1 e Multiplikation dieser drei Quaternionen nach den im Anhang vorgestellten Regeln ergibt:

Drehachse p



Y

n X r

Z

Abb. 2.5. Quaternionen-Rotation 1 2

Die Rechenregeln f¨ ur Quaternionen sind im Anhang B erkl¨ art. Ist q ein Einheitsquaternion, so ist die Inverse gleich des komplement¨ aren Qua¯e ternions q−1 e = (s, −v) = q

2.1 Keyframes

23

Rq (P) = (0, (s2 − v2 )r + 2 v(v · r) + 2 s v × r). Mit den Festlegungen f¨ ur qe und p erhalten wir die Quaternionen-Rotation mit: Rq (P) = (0, r(cos2 α − sin2 α) + 2 n(n · r) sin2 α + 2 cos α sin α(n × r)) = (0, r cos 2α + (1 − cos 2α) n(n · r) + sin 2α(n × r)). Dieses Ergebnis l¨ asst sich wie folgt interpretieren: Wird die Operation qe (. . .)q¯e auf das Quaternion p = (0, r) angewendet, so erhalten wir, wie die Abb. 2.5 zeigt, die Drehung eines durch den Vektor r bestimmten Punktes P um die Achse n (hier n=Einheitsquaternion) mit dem Winkel 2α: Rq (p)

qe =(s,v)

q¯e =(s,−v)

p=(0,r)

⎡

 ⎤

 ⎤ ⎡  ⎡  ⎤ ⎡ ⎤ nx sin α/2 −nx sin α/2 x´ x α α (0, ⎣y´⎦) = (cos , ⎣ny sin α/2⎦) (0, ⎣y ⎦) (cos , ⎣−ny sin α/2⎦) . 2 2 nz sin α/2 −nz sin α/2 z´ z

(2.3)

In vielen F¨ allen ist es erforderlich, die Quaternionen-Rotation in die korrespondierende Matrixtransformation zu u uhren. Wir erhalten mit den ¨berf¨ Komponenten der Einheitsquaternion ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ vx nx sin α/2 α qe = (cos , ⎣ny sin α/2⎦) = (s, ⎣vy ⎦) 2 vz nz sin α/2 die Koeffizienten der korrespondierenden Transformationsmatrix ⎡

⎤ a00 a01 a02 M = ⎣a10 a11 a12 ⎦ a20 a21 a22 mit a00 = 1 − 2 (vy2 + vz2 ),

a01 = 2 (vx vy − s vz ), 2 (vx2

a02 = 2 (vx vz + s vy ),

a10 = 2 (vx vy + s vz ),

a11 = 1 −

vz2 ),

a12 = 2 (vy vz − s vx ),

a20 = 2 (vx vz − s vy ),

a21 = 2 (vy vz + s vx ),

a22 = 1 − 2 (vx2 + vy2 ).

+

Die Bestimmung der Parameter des Quaternions mit den Parametern der Transformationsmatrix ist gleichfalls in einfacher Weise m¨oglich. Mit den Diagonalelementen der √ Transformationsmatrix erhalten wir den Skalarteil des Quaternions s = 0.5 a00 + a11 + a22 + 1, mit dem sich die drei Vektorkomponenten von q berechnen lassen:

24

2 Globale Bewegungen

a21 − a12 a02 − a20 a10 − a01 , vy = , vz = . 4s 4s 4s Beispiel. Anhand eines einfachen Beispiels soll nun die Anwendung der Quaternionen-Rotation verdeutlicht werden. Ein Punkt P mit den Koordinaten (2, 1, 0) soll um einen Vektor n rotiert werden, der kollinear zur Raumdiagonalen ausgerichtet ist. Die Koordinaten von P sind in inkrementellen Schritten |q| = 1 zu erf¨ ullen, von 0◦ bis 270◦ (s = 3π/4) zu rotieren.

Um die Forderung

muss n auf die Einheitsl¨ ange n = ( 1/3, 1/3, 1/3) skaliert werden. Wir setzen diese Parameter in Glg. 2.3 ein und erhalten: vx =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ x ´ 2

1/3 sin(t 3π/4) (0, ⎣y´⎦) =(cos(t 3π/4), ⎣ 1/3 sin(t 3π/4)⎦)(0, ⎣1⎦) z´ 0 1/3 sin(t 3π/4) ⎤ ⎡ − 1/3 sin(t 3π/4) (cos(t 3π/4), ⎣− 1/3 sin(t 3π/4)⎦) mit − 1/3 sin(t 3π/4)

Z n

d

1 3, 1 3, 1 3

i

0 ≤ t ≤ 1.

vb

v(u) Y

a2

(1-u)



Z

v

P: (2,1,0)

ve

X

X Y

Abb. 2.6. Beispiel zur Quaternionen-Rotation

Abb. 2.7. Sph¨ arische Vektorinterpolation

Indem wir den Parameter t mit konstanten Schritten von 0 bis 1 inkrementieren, erhalten wir den in der Abb. 2.6 dargestellten Raumkurvenverlauf. Vielfach ist es erforderlich, zeitgleich zur Koordinatenrotation auch die Orientierung der Drehachse zu ¨ andern. Hierzu bietet sich die in der Abb. 2.7 dargestellte sph¨ arische Vektorinterpolation an, bei der der normalisierte Drehachsenvektor einen Kreisbogen auf einer Kugeloberfl¨ache beschreibt. Mit Glg. 2.4 kann diese Interpolation in einfacher Weise durchgef¨ uhrt werden:

2.1 Keyframes

25

sin(1 − u)Ω sin uΩ + ve , u = 0, ..., 1. (2.4) sin Ω sin Ω Hierin ist v(u) der interpolierte Vektor und Ω der Winkel zwischen Anfangsund Endvektor vb und ve . Der Drehachsenvektor beschreibt auf seinem Weg vom Anfangs- zum Endpunkt eine sph¨ arische Raumkurve mit minimaler L¨ange. v(u) = vb

2.1.2 Kamerafahrten Bei Kamerafahrten bewegt sich eine virtuelle Kamera innerhalb einer 3DSzene auf einer zuvor festgelegten Raumkurve und erzeugt dabei eine Bildfolge aus unterschiedlichen Positionen und Richtungen. Die Keyframes sind in diesem Fall die zuvor festgelegten Kameraparameter. Zu diesen Parametern ¨ geh¨ oren neben der Kameraposition, die Projektionsrichtung, der Offnungswinkel des virtuellen Objektivs und der Orientierungswinkel, die jeweils diskreten Orten auf der Raumkurve zugeordnet sind. In Abbildung 2.8 tragen diese Orte, die den Verlauf der Raumkurve bestimmen, die Bezeichnungen K1 bis K5 . Nachfolgend soll ein einfaches Beispiel zur Implementierung einer Kamerafahrt diskutiert werden. Hierzu sind die folgenden Schritte erforderlich: 1. Festlegung des durch die 3D-Szene f¨ uhrenden Kamerapfades mit Hilfe der Schl¨ usselpositionen.

Abb. 2.8. Der Verlauf der Raumkurve wird mit den Kamerapositionen K1 bis ur jede der Schl¨ usselpositionen wird die Ausrichtung der Kamera K5 bestimmt. F¨ festgelegt

26

2 Globale Bewegungen

2. Bestimmung der Pfadl¨ ange und Einteilung des Pfades in ¨aquidistante Abschnitte (bei gleichbleibender Geschwindigkeit). 3. Bestimmung der Kameraausrichtung. 4. Abbildungstransformation. Bestimmung des Kamerapfades In dem vorliegenden Beispiel, Abb. 2.9, wurden die Kontrollpunkte P0 bis P9 mit den Koordinaten: P0 = (0.2, 0.2, 0.2), P1 = (0.4, 0.2, 0.2), P2 = (0.7, 0.4, 0.2), P3 = (0.8, 0.6, 0.2), P4 = (1.0, 1.0, 0.2), P5 = (0.8, 1.0, 0.2), P6 = (0.4, 0.8, 0.8), P7 = (0.44, 0.6, 0.2), P8 = (0.2, 0.3, 0.2) und P9 = (0.0, 0.2, 0.2) vorgegeben. Mit Hilfe der Kontrollpunkte wird der Kamerapfad unter Verwendung von B-Splines berechnet. Alternativ hierzu kann der Pfad auch mit anderen geeigneten Spline-Kurven bestimmt werden2 . Bei dem in diesem Beispiel verwendeten kubischen B-Splines B(u) = [B0,3 (u) B1,3 (u) B2,3 (u) B3,3 (u)]T , werden nach Glg. 2.5 jeweils vier Kontrollpunkte zur Berechnung eines Kurvensegmentes ben¨ otigt. Wir erhalten die Koordinaten des erste Kurvensegment S0 (u) mit den Kontrollpunkten: P0 = (0.2, 0.2, 0.2), P1 = (0.4, 0.2, 0.2), P2 = (0.7, 0.4, 0.2) und P3 = (0.8, 0.6, 0.2): P6

Z Y 1 P5 P9

P7

P8

P4

P3

P0 P1

P2

1

X

Abb. 2.9. Festlegung der Kontrollpunkte des Kamerapfades 2

Splines werden ausf¨ uhrlich in der Grundlagenliteratur zur Computergrafik [8], [9] behandelt

2.1 Keyframes

27

P6

Z Y

P5

S6

P9 P0

P8

S4

S5

1

P7

P4

S2

S1

S0

S3

P3

P2

P1

1

X

Abb. 2.10. Berechneter Kamerapfad bestehend aus den Segmenten s0 bis s6

⎡

⎤ B0,3 (u) ⎢ B1,3 (u) ⎥ ⎥ S0 (u) = [P3 P2 P1 P0 ] ⎢ ⎣ B2,3 (u) ⎦ B3,3 (u)  ⎤ ⎡ u3 6 ⎡ ⎤   0.8 0.7 0.4 0.2 ⎢ −3u3 + 3u2 + 3u + 1 6 ⎥ ⎥ ⎢  3  = ⎣ 0.6 0.4 0.2 0.2 ⎦ ⎢ ⎥. 3u − 6u2 + 4 6 ⎦ ⎣  0.2 0.2 0.2 0.2 3 (1 − u) 6

(2.5)

In gleicher Weise werden die Koordinaten der Kurvensegmente S1 bis S6 bestimmt:     S1 (u) = P4 P3 P2 P1 · B(u), S2 (u) = P5 P4 P3 P2 · B(u),     S3 (u) = P6 P5 P4 P3 · B(u), S4 (u) = P7 P6 P5 P4 · B(u),     S5 (u) = P8 P7 P6 P5 · B(u), S6 (u) = P9 P8 P7 P6 · B(u). Das Ergebnis ist die in Abb. 2.10 dargestellte Raumkurve. Pfadl¨ ange. Um zu erreichen, dass sich die Kamera mit konstanter Geschwindigkeit auf der zuvor berechneten Raumkurve bewegt, k¨onnte der Gedanke aufkommen, f¨ ur jedes der sieben Segmente den Parameter u mit konstanten

28

2 Globale Bewegungen

Schritten, entsprechend der Reihenfolge in Abb. 2.10, zu inkrementieren. Dies w¨ urde allerdings voraussetzen, dass alle Kurvensegmente die gleiche L¨ange besitzen. Da dies nicht der Fall ist, muss die Gesamtl¨ange des Kamerapfades berechnet und anschließend in n ¨ aquidistante Abschnitte unterteilt werden, wobei n der Anzahl der inkrementellen Bewegungsschritte der virtuellen Kamera entspricht. F¨ ur jeden Schritt auf der Raumkurve ist die Nummer des jeweilige Kurvensegmentes sowie dessen u-Parameter in Glg. 2.5 zu bestimmen, um die Kameraposition zu berechnen. Indem wir die Raumkurve, wie in Abb. 2.11 dargestellt, durch gerade Strecken approximieren, l¨ asst sich die Kurvenl¨ange s n¨aherungsweise berechnen. Wir erhalten die Absch¨ atzung:  ∆sk s≈ k

mit ∆sk =

 ∆x2k + ∆yk2 + ∆zk2 ,

sowie die exakte L¨ osung mit:  s= 0

1

  dx 2 du

+

 dy 2 du

+

 dz 2 du

du.

In das Kurvenintegral werden f¨ ur die Koordinaten der Kurve x, y und z die kubischen B-Spline Funktionen eingesetzt:  si =

0

1



 2  3 2 d( 3k=0 Bk,3 (u)xi+k ) d( k=0 Bk,3 (u)yi+k ) + du du  +

3 2 d( k=0 Bk,3 (u)zi+k ) du

(2.6) 1/2

du.

Mit den ersten Ableitungen der drei Terme aus Glg. 2.6 erhalten wir: 1 u2 dx = (xi+2 − xi ) + u(xi − 2xi+1 + xi+2 ) + (−xi + 3xi+1 − 3xi+2 + xi+3 ) du 2 2 dy 1 u2 = (yi+2 − yi ) + u(yi − 2yi+1 + yi+2 ) + (−yi + 3yi+1 − 3yi+2 + yi+3 ) du 2 2 1 dz u2 = (zi+2 − zi ) + u(zi − 2zi+1 + zi+2 ) + (−zi + 3zi+1 − 3zi+2 + zi+3 ). du 2 2 Mit Hilfe der numerischen Integration l¨ asst sich Glg. 2.6 l¨osen. Im vorliegenden Fall erhalten wir mit den St¨ utzstellen P0 , P1 , P2 und P3 die L¨ange von Segment s0 :

2.1 Keyframes

29

si 1

Z si

yi

xi

si 1

zi

Y

X

Abb. 2.11. Bestimmung der Kurvenl¨ ange

 s0 =

1

0

 ((0.25 + 0.1u − 0.15u2 )2 + (

u u2 1 + + ))du = 0.3022. 10 5 10

F¨ ur alle weiteren Segmente erhalten wir: s1 = 0.3022, s2 = 0.2788, s3 = 0.3237, s4 = 0.4602, s5 = 0.3899, s6 = 0.3412 sowie die Gesamtl¨ange des Kamerapfades ssum = 2.3291, die auf die Einheitsl¨ange skaliert wird: 1

s∗sum =

ssum

n 

si = 1.

Um die st¨ uckweise definierte Raumkurve gleichm¨aßig durchfahren zu k¨onnen, muss der Kamerapfad, wie bereits eingangs erw¨ahnt, in gleiche Zeitschritte unterteilt werden. Hierzu f¨ uhren wir die Variable v ein, die quasi als Zeitvariable fungiert. Wir erhalten mit v den jeweiligen Segmentindex i sowie die Laufvariable u des dazugeh¨ origen Kurvensegmentes (v → i, u). Die Bestimmung von i erfolgt mit i−1 i   s∗k ≤ v < s∗k . (2.7)

0

0

u

10

0.1

u

0.2

10

u

0.3

10

0.4

u

v

10

0.5

s4

u

0.6

10

0.7

0.8534

s3

0.6860

s2

k=0

0.4884

s1

0.3884

s0

0.2494

0

0.1297

k=0

s5

u

0.8

s6

u

10

0.9

1.0 1

1.0

Abb. 2.12. Darstellung der Zusammenh¨ ange zwischen den Variablen v, u sowie dem Segmentindex i

30

2 Globale Bewegungen

1

v

bg

bg

v  f1 t

v  f2 t

0

0

1

t

Abb. 2.13. Hilfsfunktionen f¨ ur unterschiedlich beschleunigte Kamerabewegungen

Mit dem Segmentindex i, der die Glg. 2.7 erf¨ ullt und der Hilfsvariablen 0 ≤ v ≤ 1 erhalten wir anschließend u mit u≈

v−

i−1

∗ k=0 sk . s∗i

Bei der Bestimmung von v gehen wir von der vereinfachenden Annahme aus, dass eine st¨ uckweise lineare Beziehung zwischen u und v besteht (s. Abb. 2.12). Dies ist bei genauer Betrachtung jedoch nicht der Fall. Der hierbei auftretende Fehler wird in Kauf genommen, da er f¨ ur die meisten Applikationen unerheblich ist. Eine gleichm¨ aßige Bewegung entlang der Raumkurve ist zur exakten Kontrolle des Bewegungsablaufs Voraussetzung. Um beispielsweise am Anfang und am Ende der Raumkurve die Kamerabewegung abbremsen zu k¨onnen, ist eine Hilfsfunktion erforderlich. Hierzu wird die v als Funktion einer weiteren Hilfsvariable 0 ≤ t ≤ 1 so gesteuert, dass sich ihr zeitlicher Anstieg am Anfang und am Ende des Kamerapfades entsprechend verringert, wie in Abb. 2.13 dargestellt. Unter Verwendung derartiger Kontrollfunktionen ist es auch m¨oglich, die Bewegung mehrerer Kameras so aufeinander abzustimmen, dass sie sich zu einem bestimmten Zeitpunkt in einer zuvor vom Benutzer festgelegten Konstellation befinden. Bestimmung der Kameraausrichtung Nach der Festlegung des Kamerapfades und dessen Unterteilung in ¨aquidistante Teilst¨ ucke, wird die Ausrichtung der virtuellen Kamera abh¨angig von der Position auf der Raumkurve bestimmt. Vielfach wird hierzu die Sichtachse (zk Achse) des Kamerakoordinatensystems entweder tangential zum Kamerapfad oder auf einen Punkt P im Weltkoordinatensystem ausgerichtet (s. Abb. 2.14).

2.1 Keyframes

31

Kamerapfad Y

t5

P zk xk

t1

yk

xk

yk

t4 zk

t3 Z Kamerakoordinatensystem

t2

X

Abb. 2.14. Ausrichtung des Kamerakoordinatensystems

W¨ahrend die Bestimmung der zk -Achse zum Fixpunkt P einfach ist, muss f¨ ur die tangentiale Ausrichtung der zk -Achse die erste Ableitung der Raumkurve zk = dS(u)/du bestimmt werden. Wir erhalten den Tangentenvektor f¨ ur das Segment i an der Stelle u mit: ⎡   ⎤ 3 Bj,3 (u) xi−j+3 du d j=0 ⎢   ⎥ dSi (u) ⎢ ⎥ 3 du ⎥ . = ⎢d B (u) y zk (u) = j,3 i−j+3 du  ⎦ ⎣ j=0 3 d du j=0 Bj,3 (u) zi−j+3 Um das Kamerakoordinatensystem festzulegen, wird sowohl die Ausrichtung der zk -Achse, als auch die Orientierung der yk - und der xk -Achse bestimmt. Die Ausrichtung der yk -Achse ist zwar frei w¨ahlbar, sie soll sich jedoch in diesem Beispiel an der Y -Achse orientieren. Unter der Vorgabe, dass die zk und yk -Achse zusammen mit der Y -Achse des Weltkoordinatensystems in einer Ebene liegen, erhalten wir die Koordinatenachsen der virtuellen Kamera als Einheitsvektoren mit: z∗k = zk /zk , x∗k = (xk × Y)/xk × Y, yk∗ = x∗k × z∗k . Kameraschwenks Um Kamerafahrten lebendiger zu gestalten, werden oftmals Kameraschwenks durchgef¨ uhrt. Dabei werden oft Rotationen der virtuellen Kamera um alle drei Achsen des Kamerakoordinatensystems synchron zu den Schritten entlang der Raumkurve verwendet. Ein Beispiel verdeutlicht, wie diese Rotation implementiert wird. Hierbei gehen wir davon aus, dass am Anfang eines Segments die zk -Achse auf den Punkt P = (0.5, 0.5, 0.1) zeigt und am Ende tangential zum Pfad ausgerichtet ist, wie in Abb. 2.15 dargestellt.

32

2 Globale Bewegungen

Y

zke

yke

xke yk

X

zk xk

Z yka zka

P

xka

Abb. 2.15. Kameraschwenk

Zuerst werden die Achsen der Kamerakoordinatensysteme am Anfang und am Ende des vierten Raumkurvensegmentes berechnet. Wir erhalten mit den Startkoordinaten des Kurvensegmentes Pa4 = [0.933, 0.933, 0.2] die zum Fokuspunkt P ausgerichtete zk -Achse des Kamerakoordinatensystems als Einheitsvektor mit: z∗ka =

P − Pa4 = [−0.6978, −0.6978, −0.1610]. P − Pa4 

Die yk -Achse soll in der Ebene liegen, die durch die zk -Achse und die Y Achse des Weltkoordinatensystems aufgespannt wird. Hierdurch l¨asst sich die xk - und die yk -Achse in einfacher Weise berechnen: zka × Y = [0.2249, 0.0, −0.9744] zka × Y = x∗ka × z∗ka = [−0.68, 0.7162, −0.1569].

x∗ka = ∗ yka

Um das Kamerakoordinatensystem am Ende des Kurvensegmentes zu berechnen, wird die tangential zum Kamerapfad ausgerichtete zke -Achse (Sichtachse) bestimmt. Wir erhalten die Vektorkomponenten von zke = dS4 (u)/du f¨ ur u = 1 mit

zkex =

t(t − 4) t − 4t + t2 3t2 = −0.3, zkey = = −0.1, zkez = = 0.3, 10 10 10

die wie auch xke und yke in Einheitsvektoren umgeformt werden:

2.1 Keyframes

33

z∗ke = [−0.3, −0.1, 0.3]/0.4359 = [−0.6882, −0.2294, 0.6882] zke × Y = [−0.7071, 0.0, −0.7071] x∗ke = zke × Y ∗ yke = x∗ke × z∗ke = [−0.1622, 0.9733, 0.1622]. Nach der Bestimmung der Kamerakoordinatensysteme am Anfang und am Ende des Kurvensegmentes, werden die interpolierten Kameraorientierungen berechnet. Hierzu wird das mit den Achsenvektoren xka , yka und zka definierte Anfangskoordinatensystem abh¨ angig vom Parameter u in das durch xke , yke und zke gebildete Endkoordinatensystem u uhrt. ¨ berf¨ Dies erfolgt mit der bereits in Abschn. 2.1.1 diskutierten sph¨arischen Vektorinterpolation. Nach der Bestimmung des Winkels zwischen dem Einheitsur u = 0, ..., 1 der interpolierte Einheitsvektorpaar ∠(z∗ka , z∗ke ) = Ωz , wird f¨ vektor z∗k mit z∗k (u) = z∗ka

sin(1 − u)Ωz sin uΩz + z∗ke sin Ωz sin Ωz

berechnet. Diese Interpolation wird in gleicher Weise auch mit den Y -Achsenvektoren durchgef¨ uhrt, wobei die Z- und die Y -Achse mit yk∗ = x∗k × z∗k x∗k = (zk × yk )/zk × yk  orthogonal zueinander ausgerichtet werden. Abbildungstransformation Die Aufgabe der Abbildungstransformation ist es, jene Teile einer 3D-Szene, die sich innerhalb des Sichtvolumens der virtuellen Kamera befinden, auf deren Projektionsebene abzubilden. Die Abbildung 2.16 zeigt, dass dieses Sichtvolumen einen Pyramidenstumpf bildet, der sich, vom Projektionszentrum PRP (Projection Reference Point) ausgehend, ¨ offnet. Er ist in Richtung der zk Achse sowohl durch eine vordere als auch durch eine hintere Fl¨ache, den sog. Front- und Back-Clipping Planes, begrenzt. Die Projektionsebene sowie die vordere Begrenzungsfl¨ ache liegen vor dem im Ursprung des Kamerakoordinatensystems befindlichen VRP (View Reference Point). Mit der Festlegung des Sichtfensters erfolgt die seitliche Begrenzung des Pyramidenstumpfes. Ausgehend von diesen Festlegungen l¨ asst sich die Abbildungstransformation, wie nachfolgend beschrieben, in f¨ unf Schritte3 unterteilen. 3

F¨ ur den Fall, dass die Z-Achse des Kamerakoordinatensystems nicht das Projektionszentrum PRP schneidet, ist zus¨ atzlich eine Scherungstransformation erforderlich.

34

2 Globale Bewegungen

Abb. 2.16. Festlegung des Sichtvolumens

Schritt 1: Translation des Kamerakoordinatensystems. Mit dem ersten Transformationsschritt (s. Abb. 2.17) werden entsprechend Glg. 2.8 die Objekt- und Kamerakoordinaten verschoben4 , so dass das Zentrum des Kamerakoordinatensystems (VRP) mit dem Ursprung des Weltkoordinatensystems (WKS) u ¨bereinstimmt.

Z Z yk Y

Y

yk

VRP

VRP zk

X zk

X

xk xk

Abb. 2.17. Translation des VRP in den Ursprung des WKS

⎛

⎞ ⎛ x(1) 10 ⎜ y (1) ⎟ ⎜ 0 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ z (1) ⎠ = ⎝ 0 0 00 1 4

⎞⎛ ⎞ 0 −xvrp x ⎜y ⎟ 0 −yvrp ⎟ ⎟⎜ ⎟ 1 −zvrp ⎠ ⎝ z ⎠ 0 1 1

(2.8)

Die geklammerten Indizes kennzeichnen die ge¨ anderten Koordinaten nach den jeweiligen Transformationsschritten.

2.1 Keyframes

35

Schritt 2: Rotation des Kamerakoordinatensystems. Der zweite Transformationsschritt (s. Abb. 2.18) richtet entsprechend der Glg. 2.9 die Achsen des Kamerakoordinatensystems durch Drehung parallel zu denen des WKS aus. Z Z=zk* Y

yk

Y=yk* VRP X zk

VRP X=xk*

Abb. 2.18. Ausrichtung der Achsen des Kamerakoordinatensystems auf die des Weltkoordinatensystems

⎛

⎞ ⎛ x(2) u1 ⎜ y (2) ⎟ ⎜ v1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ z (2) ⎠ = ⎝ n1 0 1

u2 v2 n2 0

u3 v3 n3 0

⎞ ⎛ (1) ⎞ x 0 ⎜ y (1) ⎟ 0⎟ ⎟ ⎟⎜ 0 ⎠ ⎝ z (1) ⎠ 1 1

(2.9)

mit n = [ n1 n2 n3 ] = −zk /|zk | , u = [ u1 u2 u3 ] = (yk × −zk )/|yk × −zk | , v = [ v1 v2 v3 ] = n × u. Schritt 3: Translation des PRP in den Ursprung des WKS. Der dritte Transformationsschritt (s. Abb. 2.19) verschiebt entsprechend der Glg. 2.10 das Projektionszentrum (PRP) in den Ursprung des Weltkoordinatensystems. Dieser Transformationsschritt bestimmt mit dem Parameter zprp und der ¨ Gr¨ oße des Sichtfensters (wx , wy ) den Offnungswinkel und damit den Zoom der virtuellen Kamera. ⎞ ⎛ x(3) 1 ⎜ y (3) ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ z (3) ⎠ = ⎝ 0 0 1 ⎛

⎞ ⎛ (2) ⎞ x 00 0 ⎜ y (2) ⎟ 10 0 ⎟ ⎟ ⎟⎜ 0 1 −zprp ⎠ ⎝ z (2) ⎠ 00 1 1

(2.10)

36

2 Globale Bewegungen Z Z

Projektionsebene

Y

Y

VRP VRP

zprp

PRP X

PRP

X

Abb. 2.19. Translation des PRP in den Ursprung des Weltkoordinatensytems

Schritt 4: Transformation in das perspektivisch-projizierte, kanonische Sichtvolumen. Der vierte Transformationsschritt (s. Abb. 2.20) u uhrt mit Hilfe der Skalierungstransformation Glg. 2.11 das pyrami¨ berf¨ denf¨ ormige Sichtvolumen in die sog. perspektivisch projizierte, kanonische Form ⎛ (4) ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ (3) ⎞ x x sx 0 0 0 ⎜ y (4) ⎟ ⎜ 0 sy 0 0 ⎟ ⎜ y (3) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ (2.11) ⎝ z (4) ⎠ = ⎝ 0 0 sz 0 ⎠ ⎝ z (3) ⎠ 0 0 0 1 1 1 mit sx = 2zprj /(zbcp wx ),

Z

sy = 2zprj /(zbcp wy ),

"back clipping plane” [-1,-1,1] zbcp

sz = 1/zbcp .

Z [1,1,1]

[-1,1,1] [1,-1,1] z*prj

Y -zprp=zprj

Y

"front clipping plane"

wx

Projektionsebene PRP=[0,0,0]

PRP

X

X

Abb. 2.20. Transformation des Sichtvolumens in die perspektivisch- projizierte, kanonische Form

2.1 Keyframes

37

Schritt 5: Transformation in das parallel-projizierte, kanonische Sichtvolumen. Mit dem f¨ unften und letzten Transformationsschritt (s. Abb. 2.21) wird nach Glg. 2.12 eine perspektivische Transformation durchgef¨ uhrt, die das gesuchte parallel-projizierte, kanonische Sichtvolumen erzeugt. ⎞ ⎛ (4) ⎞ ⎛ (5) ⎞ ⎛ x x 10 0 0 ⎜ y (5) ⎟ ⎜ 0 1 0 0 ⎟ ⎜ y (4) ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ (2.12) ⎝ z (5) ⎠ = ⎝ 0 0 p1 p2 ⎠ ⎝ z (4) ⎠ 00 1 0 w 1 mit p1 =

1 1 − zf∗cp

und p2 =

−zf∗cp . 1 − zf∗cp

Abb. 2.21. Transformation des perspektivisch-projizierten Sichtvolumens auf das parallel-projizierte, kanonische Sichtvolumen

Ausgehend vom parallel-projizierten, kanonischen Sichtvolumen kann die Abbildung des 3D-Objektes auf die Projektionsebene in sehr einfacher Weise mittels Parallelprojektion erfolgen. Ein weiterer großer Vorteil besteht darin, dass sich Objekte, die sich nur zum Teil innerhalb dieses Sichtvolumens befinden, mit einfachen 2D-Verfahren an den parallel verlaufenden Grenzfl¨ achen kappen lassen. Die Verwendung von homogenen Koordinaten5 erlaubt die Zusammenfassung der vier Transformationsmatrizen Glg. 2.8 bis Glg. 2.12 zur Glg. 2.13. 5

homogene Koordinaten werden ausf¨ uhrlich in der Grundlagenliteratur zur Computergrafik [8], [10] behandelt.

38

2 Globale Bewegungen

⎛

⎞ ⎛ x(5) sx u 1 ⎜ y (5) ⎟ ⎜ sy v1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ z (5) ⎠ = ⎝ p1 sz n1 −sz n1 w

sx u 2 sy v2 p 1 sz n 2 −sz n2

sx u 3 sy v3 p 1 sz n 3 −sz n3

⎞⎛ ⎞ k1 x ⎜y⎟ k2 ⎟ ⎟⎜ ⎟ k3 ⎠ ⎝ z ⎠ k4 1

(2.13)

hierin ist: k1 = −sx (u1 xvrp + u2 yvrp + u3 zvrp ) k2 = −sy (v1 xvrp + v2 yvrp + v3 zvrp ) k3 = p2 − p1 sz (n1 xvrp + n2 yvrp + n3 zvrp + zprp ) k4 = −sz (n1 xvrp + n2 yvrp + n3 zvrp + zprp )

2.2 Direkte Kinematik Kinematik ist die Lehre von der geometrischen Beschreibung einer Bewegung, ohne dass die Ursachen der Bewegung durch ¨außerlich wirkende Kr¨afte ber¨ ucksichtigt werden. 2.2.1 Kinematische Ketten Eine einfache M¨ oglichkeit, um gelenkig verbundene Strukturen zu animieren, wie beispielsweise die Armsegmente eines Roboters, bietet die Koordinatentransformation. Dazu stellt man sich lokale Koordinatensysteme in den jeweiligen Gelenken vor. Betrachtet man nun eines dieser Koordinatensysteme als Basis, so ergibt sich eine Hierarchie von Koordinatensystemen, wobei die Basis die Wurzel der Hierarchie bildet. Die Koordinatensysteme k¨onnen dann relativ zueinander definiert werden. Eine kinematische Kette ist dann ein Pfad von der Wurzel bis zu einem bestimmten Segment. Die endg¨ ultige Position dieses Segments ergibt sich dann aus der Multplikation der Transformationen, die

Y

BKS

X (a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Abb. 2.22. Zerlegung einer skelettalen Struktur (a) in kinematische Ketten (b–e)

2.2 Direkte Kinematik

39

die relativen Stellungen der Gelenkkoordinatensysteme repr¨asentieren, in der Reihenfolge entlang des Pfades. Die Definition der Segmentgeometrien erfolgt hierbei innerhalb der lokalen Koordinatensysteme. Am Beispiel einer vereinfachten Skelettstruktur des Bewegungsmodells eines Menschen l¨ asst sich, wie die Abb. 2.22 illustriert, die Zerlegung dieses Modells in vier kinematische Ketten darstellen. Jede dieser kinematischen Ketten hat eine Verankerung in einem Basiskoordinatensystem (BKS). Koordinatentransformationen wirken sich hierbei innerhalb einer Kette nur auf jene lokalen Koordinatensysteme (LKS) aus, die bez¨ uglich des BKS eine niedrigere Hierarchie aufweisen. Anhand einer kinematischen Kette, die nur aus drei Segmenten besteht (s. Abb. 2.23), l¨ asst sich die Berechnung der Segmentkoordinaten als Funktion der Drehwinkel α1 , α2 und α3 verdeutlichen. Die Drehachse von Segment 1 befindet sich im Ursprung des BKS. Die Koordinaten der Drehachsen der beiden weiteren Segmente sind x1join , y1join sowie x2join , y2join . Mit diesen Vorgaben erfolgt die Transformation der Koordinaten der Segmente 1 bis 3 mit den Glgn.: (1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

[x1 y1 ] = [Rot(α1 )][x1 y1 ]T , [x2 y2 ] = [Trans(x1join y1join )][Rot](α2 )][Rot(α1 )][x2 y2 ]T , [x3 y3 ] = [Trans(x2join y2join )][Rot(α3 )][Rot(α2 )][Rot(α1 )][x3 y3 ]T .

Abb. 2.23. (a) Geometrische Beschreibung der Segmente einer kinematischen Kette innerhalb der lokalen Koordinatensysteme, (b) Darstellung der transformierten Segmente innerhalb des BKS

40

2 Globale Bewegungen

Dieses einfache Beispiel verdeutlicht, dass die Koordinatenberechnung im dreidimensionalen Raum bei l¨ angeren kinematischen Ketten komplex werden kann, zumal oftmals weitere Gelenktypen wie Schiebe- oder Kugelgelenke zu ber¨ ucksichtigen sind. Eine M¨ oglichkeit, die Berechnung komplexer kinematischer Ketten erheblich zu vereinfachen, bietet die Denavit-HartenbergNotation [11]. 2.2.2 Denavit-Hartenberg-Notation Die Denavit-Hartenberg-Notation (DH-Notation) wurde urspr¨ unglich von Jacques Denavit und Richard S. Hartenberg zur kinematischen Synthese von Robotergelenken entwickelt. Sie basiert auf einer einheitlichen Notation der Gelenkverbindungen. Mit Hilfe der DH-Notation kann, ausgehend von dem lokalen Gelenkkoordinatensystem i, die Lage und die Orientierung des nachfolgenden Koordinatensystems i + 1 unter Verwendung der in Abb. 2.24 dargestellten Parameter bestimmt werden. Hierin haben θi , ai , di und αi die folgende Bedeutung: • • • •

θi : Drehung um die zi -Achse. ai : Distanz zwischen zwei benachbarten Gelenkverbindungen in Richtung der xi+1 -Achse. di : Distanz zwischen zwei benachbarten Gelenkverbindungen in Richtung der zi+1 -Achse. αi : Verdrehung der benachbarten Gelenke um die xi+1 -Achse.

Die Transformation vom Gelenkkoordinatensystem i nach i + 1 erfolgt mit der upfung mit den elementaren Matrix DHi,i+1 , die durch multiplikative Verkn¨

Zi+1 Zi Gelenkverbindung i+1

Gelenkverbindung i

Gelenkverbindung i+2

di Zi+1

Yi Gelenkkoordinatensystem i

ai

ai

Zi Xi

di

Xi

Xi+1 Gelenkkoordinatensystem i+1

i

Abb. 2.24. Darstellung der DH-Gelenkparameter

2.2 Direkte Kinematik

41

Transformationsmatrizen Rotz (θi ), Transz (di ), Transx (ai ) und Rotx (αi ) erzeugt wird. Wir erhalten: DHi,i+1 = [Rotx (αi )] [Transx (ai )] [Transz (di )] [Rotz (θi )] Hierin haben die einzelnen Transformationsmatrizen die folgenden Funktionen: Die Rotationsmatrix Rotz (θi ) bewirkt eine Drehung um die z-Achse des Gelenkkoordinatensystems i mit dem Winkel θi . θi ist der Winkel zwischen den lokalen Koordinatenachsen xi und xi+1 . ⎛ ⎞ cos θi − sin θi 0 0 ⎜ sin θi cos θi 0 0 ⎟ ⎟ Rotz (θi ) = ⎜ ⎝ 0 0 1 0⎠ 0 0 01 Die Translationsmatrix

⎛

1 ⎜0 Transz (di ) = ⎜ ⎝0 0

00 10 01 00

⎞ 0 0⎟ ⎟ di ⎠ 1

erzeugt eine Verschiebung mit dem Distanzwert di in Richtung der positiven zi -Achse. Die Translationsmatrix ⎛ ⎞ 1 0 0 ai ⎜0 1 0 0 ⎟ ⎟ Transx (ai ) = ⎜ ⎝0 0 1 0 ⎠ 000 1 verursacht eine Verschiebung mit dem Distanzwert ai in Richtung der positiven xi+1 -Achse und die Rotationsmatrix ⎞ ⎛ 1 0 0 0 ⎜ 0 cos αi − sin αi 0 ⎟ ⎟ Rotx (αi ) = ⎜ ⎝ 0 sin αi cos αi 0 ⎠ 0 0 0 1 bewirkt eine Drehung um die x-Achse des Gelenkkoordinatensystems i+1 mit dem Winkel αi zwischen den Koordinatenachsen zi und zi+1 . Als Ergebnis der multiplikativen Verkn¨ upfung erhalten wir die Verbundmatrix ⎛

⎞ − sin θi 0 ai cos θi ⎜ sin θi cos αi cos θi cos αi − sin αi −di sin αi ⎟ ⎟ DHi,i+1 (θi , di , ai , αi ) = ⎜ ⎝ sin θi sin αi cos θi sin αi cos αi di cos αi ⎠ . 0 0 0 1 (2.14)

42

2 Globale Bewegungen

Jede Transformation zwischen zwei benachbarten Gelenkkoordinatensystemen erfolgt mit einer DH-Matrix, die entsprechend parametrisiert wird. Um die lokalen Koordinaten eines beliebigen Segments auf das Basiskoordinatensystem (BKS) abzubilden, werden die DH-Matrizen, die den einzelnen Gelenkverbindungen zugeordnet sind, miteinander multipliziert. Die Reihenfolge der multiplikativen Verkn¨ upfung entspricht der Hierarchiefolge der lokalen Gelenkkoordinatensysteme. ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x x ⎝y⎠ = [DH0,1 ][DH1,2 ] . . . [DHn−2,n−1 ][DHn−1,n ] ⎝ y ⎠ z BKS z LKS

n

Die Abbildung 2.25 verdeutlicht diese Zusammenh¨ange an einer aus vier Segmenten bestehenden kinematischen Kette. Da jedem Segment eine gleich strukturierte Transformationsmatrix besitzt und die Reihenfolge der multiplikativen Verkn¨ upfungen vorgegeben ist, kann die Koordinatenberechnung schematisiert werden. Diese Schematisierung erfolgt in der Weise, dass die DH-Parameter aller Gelenkverbindungen in eine Tabelle eingetragen werden. Die kinematische Beschreibung eines einfachen in Abb. 2.26a dargestellten Robotermodells mit Hilfe der DH-Spezifikation zeigt die Tabelle 2.1. Das in Abb. 2.26b dargestellte Gelenkschema zeigt die geometrische Bedeutung der Parameter. Da die Parameter di , ai und αi Konstanten sind, lassen sich die Bewegungen des Roboterarms nur mit den Gelenkvariablen θ0 bis θ4 beschreiben. Zur Bestimmung der Segmentkoordinaten werden hierzu die DH-Parameter aus der Tabelle 2.1 in die korrespondierende Transformationsmatrix Glg. 2.14 eingesetzt. Wir erhalten die Koordinaten der Segmente 1 bis 5 mit:

DH1,2 X1

LKS1

Y1

Y2 LKS2 X2

Y4 DH2,3

LKS4 Y3

Y

DH0,1 BKS X

X4

LKS3 X3

Abb. 2.25. Transformationen zwischen den lokalen Koordinatensystemen innerhalb einer aus vier Segmenten bestehenden kinematischen Kette

2.2 Direkte Kinematik Segment 2 Segment 1

y2

L1 Segment 3

L2 x2

y1

1 y4

z1 z4

z0 y0

43

y3

2

z2

3

x1 L3

z0

z3

x3 z4

4

x4

x4

y0

Segment 4

0 x0

x0 (a)

(b)

Abb. 2.26. Robotermodell (a) sowie dessen schematische Gelenkdarstellung (b) anhand der in Tabelle 2.1 dargestellten DH-Spezifikation

Tabelle 2.1. DH-Spezifikation des Roboters aus Abb. 2.26 Transfor– mations– matrix DH0,1 DH1,2 DH2,3 DH3,4 DH4,5

Drehung θi um Z-Achse θ0 θ1 θ2 θ3 θ4

Translation di die in Richtung der Z–Achse H 0 0 0 0

Translation ai in Richtung der X–Achse 0 L1 L2 L3 0

Drehung αi um X-Achse 90◦ 0 0 90◦ 0

[x y z]BKS = DH(θ0 , H, 0, 90◦ ) [x y z]LKS1 T

[x y z]BKS = DH(θ0 , H, 0, 90◦ ) DH(θ1 , 0, L1 , 0◦ ) [x y z]TLKS2 [x y z]BKS = DH(θ0 , H, 0, 90◦ ) DH(θ1 , 0, L1 , 0◦ ) DH(θ2 , 0, L2 , 0◦ ) [x y z]LKS3 T

die

44

2 Globale Bewegungen

[x y z]BKS = DH(θ0 , H, 0, 90◦ ) DH(θ1 , 0, L1 , 0◦ ) DH(θ2 , 0, L2 , 0◦ ) DH(θ3 , 0, L3 , 90◦ ) [x y z]LKS4 T

[x y z]BKS = DH(θ0 , H, 0, 90◦ ) DH(θ1 , 0, L1 , 0◦ ) DH(θ2 , 0, L2 , 0◦ ) DH(θ3 , 0, L3 , 90◦ ) DH(θ4 , 0, 0, 0◦) [x y z]TLKS5

¨ Bestimmung der Gelenkvariablen. W¨ ahrend sich die zeitlichen Anderungen der Gelenkvariablen an k¨ unstlichen mechanischen Systemen in der Regel berechnen lassen, ist dies bei nat¨ urlichen kinematischen Systemen, die das Bewegungsverhalten des Menschen oder von Tieren realistisch darstellen sollen, außerst schwierig. Speziell die realistische Darstellung der Lauf- und Gehbewe¨ gungen des Menschen ist problematisch, da sich derartige Bewegungsvorg¨ange in unser visuelles Ged¨ achtnis fest eingepr¨ agt haben. Selbst kleinste Abweichungen, eines mit Methoden der Kinematik definierten Bewegungsmodells vom nat¨ urlichen, bekannten Bewegungsverhalten, werden wahrgenommen und als fehlerhaft registriert. Weiterhin kann ein Bezugskoordinatensystem nicht eindeutig festgelegt werden, da entweder nur der linke oder der rechte Fuß Bodenber¨ uhrung hat oder beim schnellen Laufen beide F¨ uße vom Boden gel¨ost sein k¨onnen. In diesem Fall ist es sinnvoll, das BKS als Fixpunkt außerhalb des K¨orpermodells zu ¨ definieren (s. Abb. 2.27). Die zeitlichen Anderungen der Gelenkvariablen werden direkt von einem realen Akteur, der den gew¨ unschten Bewegungsablauf vorf¨ uhrt, mit Hilfe von Sensoren registriert. Unter Verwendung von Bildverarbeitungsmethoden lassen sich die mit dem sog. Motion-Capturing (s. Kap. 7) ermittelten Bewegungsrohdaten aufbereiten und zur Parameterisierung des kinematischen Bewegungsmodells verwenden.

l

r Y

Y X BKS

r

Y

l

X

X BKS

r l

BKS

Abb. 2.27. Festlegung des Bezugskoordinatensystems zur Bestimmung der Laufbewegungsparameter

2.3 Inverse Kinematik

45

2.3 Inverse Kinematik Im Gegensatz zur direkten Kinematik, bei der die Position einer Gelenkverbindung oder die Koordinaten (xe , ye , ze ) am Ende einer kinematischen Kette (Effektor) als Funktion der Gelenkvariablen Θ = (θ1 , ..., θn ) bestimmt werden, ¨ geht man bei der inversen Kinematik (IK) von einer vorgegebenen Anderung der Position und Orientierung des Effektors aus und bestimmt, wie in Abb. 2.28 dargestellt, die hierzu notwendigen Ver¨ anderungen der Gelenkwinkelvektors Θ∗ = Θ + ∆Θ. Da bereits bei einer geringen Anzahl von maximal f¨ unf Gelenken eine analytische L¨ osung nicht m¨ oglich ist, muss sie mit Hilfe von numerischen Verfahren wie z.B. der Taylor-Entwicklung approximiert werden. Um diese Zusammenh¨ ange etwas einfacher darzustellen, betrachten wir vorerst nur den zweidimensionalen Fall. Wir erhalten die N¨aherungen f¨ ur x und y mit: x = fx (Θ) = fx (θ1 , . . . , θn ) = fx (Θa + ∆Θ) ∂fx (Θ) ∂fx (Θ) ∂fx (Θa ) ≈ fx (Θ) + ∆θ1 + ∆θ2 + . . . + ∆θn ∂θ1 ∂θ2 ∂θn y = fy (Θ) = fy (θ1 , . . . , θn ) = fy (Θa + ∆Θ) ∂fy (Θ) ∂fy (Θ) ∂fy (Θa ) ∆θ1 + ∆θ2 + . . . + ∆θn ≈ fy (Θ) + ∂θ1 ∂θ2 ∂θn Hieraus lassen sich die Positions¨ anderungen des Effektors ∆P = (∆x, ∆y) bestimmen: ∂fx (Θ) ∂fx (Θ) ∂fx (Θa ) ∆θ1 + ∆θ2 + . . . + ∆θn ∂θ1 ∂θ2 ∂θn ∂fy (Θ) ∂fy (Θ) ∂fy (Θa ) ∆y = ∆θ1 + ∆θ2 + . . . + ∆θn . ∂θ1 ∂θ2 ∂θn

∆x =

* = ?

Y *2 = ?

2 

P*

* = ?

P P



 X Abb. 2.28. Darstellung des IK-Problems

46

2 Globale Bewegungen

Y

P*

Dqe = q*e - qe

q*e

Dq2

P qe

Dq3

X Dq1 Abb. 2.29. Ausrichtung des Effektors an die Zielorientierung

Zus¨ atzlich zur schrittweisen Ann¨ aherung des Effektors an seine Zielposition wird auch die Orientierung des Effektors θe an die vorgegebene Zielorientierung θZiel ausgerichtet, wie in Abb. 2.29 dargestellt. Im zweidimensionalen Fall bestimmen wir die hierf¨ ur notwendige Winkel¨anderung des Effektors ∆θe = θZiel − θe , indem wir alle Gelenkwinkel¨anderungen der kinematischen Kette addieren: ∆θe =

n 

∆θi .

Unter Einbeziehung dieser Orientierungstransformation erhalten wir das Gleichungssystem zur Bestimmung von ∆P und ∆θe in Matrixnotation ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ∆θ ⎞ 1 ∂fx (Θ)/∂θ1 · · · ∂fx (Θ)/∂θn ∆x . ⎟ ⎝ ∆y ⎠ = ⎝ ∂fy (Θ)/∂θ1 · · · ∂fy (Θ)/∂θn ⎠ ⎜ ⎝ .. ⎠ , 1 ··· 1 ∆θe ∆θn ⎛

die sich in der kompakten Form 

∆P ∆θe

(2.15)

 = J ∆Θ

(2.16)

darstellen l¨ asst, in der J die sog. Jacobi-Matrix ist6 . Um den gesuchten Differenzwinkelvektor zu separieren, werden beide Seiten von Glg. 2.16 mit der inversen Jacobi-Matrix multipliziert. Da die Jacobi-Matrix in der Regel nicht quadratisch ist, kann man traditionelle Verfahren zur Matrixinvertierung hier nicht anwenden. Es gibt aber ein Verfahren, das rechteckige Matrizen (Zeilenanzahl = Spaltenzahl) invertieren kann – die Pseudoinvertierung. Wir erhalten: 6

Die Jacobi-Matrix kann im Allgemeinen als die Koeffizientenmatrix eines linearisierten Gleichungssystems betrachtet werden, das zur iterativen L¨ osung des urspr¨ unglich nichtlinearen Gleichungssystems dient. Sie wird dadurch gebildet, dass eine nicht-lineare Funktion partiell nach ihren Variablen abgeleitet wird.

2.3 Inverse Kinematik

∆Θ = J−1 [∆P ∆θe ]T .

47

(2.17)

Der Algorithmus zur Bestimmung des Differenzwinkelvektors ∆Θ, mit dem, ausgehend von der jeweils aktuellen Effektorposition, P = f (Θ) = f (θ1 , θ2 , ..., θ3 ) die gew¨ unschte Zielposition P∗ = f (Θ + ∆Θ) = f (θ1 + ∆θ1 , θ2 + ∆θ2 , ..., θn + ∆θn ) erreicht wird (s. Abb. 2.29), l¨ asst sich als Algorithmus wie folgt formulieren: 1. Bestimme die pseudoinvertierte Jacobi-Matrix J−1 mit den aktuellen Gelenkwinkeln der kinematischen Kette. 2. Berechne den Differenzwinkelvektor ∆Θ = J−1 ∆P mit ∆P = P∗ − P und ∆θe = θe∗ − θe . 3. Korrigiere die Gelenkwinkel Θ := Θ + ∆Θ und bestimme die neue Effektorposition mit einer Methode der direkten Kinematik (z.B. DH-Methode) P = f (Θ). 4. Bestimme mit der Positions- und der Winkeldifferenz (∆P = P∗ − P, ∆θe = θe∗ − θe ) die Abweichung von den Zielvorgaben. 5. Falls |∆P| < ε, dann ist Θ der gesuchte Gelenkwinkelvektor, der die Zielposition P∗ mit hinreichender Genauigkeit approximiert, anderenfalls werden die Schritte 1 bis 4 wiederholt. Singularit¨ aten. Ein Problem, das mitunter bei dem zuvor diskutierten L¨ osungsverfahren auftritt, sind Singularit¨ aten in der Jacobi-Matrix. Sie entstehen immer dann, wenn zwei benachbarte Segmente einer kinematischen Kette, und somit auch ihre Tangentenvektoren (s. Abb. 2.31), die gleiche Ausrichtung aufweisen. Dies f¨ uhrt dazu, dass die Winkelgeschwindigkeit und somit auch die Winkel¨ anderung der Gelenkverbindung zwischen den betreffenden Segmenten unendlich groß wird. In der Praxis l¨asst sich dieser Effekt dadurch verhindern, dass im Fall einer problematischen Segmentausrichtung eine derartige Konstellation durch eine kleine, kaum sichtbare Stellungs¨anderung an dem betreffenden Gelenk vor der Bestimmung der Jacobi-Matrix eingef¨ ugt wird. Beispiel. Anhand des nachfolgenden Beispiels soll verdeutlicht werden, wie die gew¨ unschte Zielposition des Effektors in mehreren Schritten erreicht wird. Die Effektororientierung bleibt hierbei unber¨ ucksichtigt. Bei dem in Abb. 2.30a,b dargestellten Beispiel, befindet sich der Effektor an der Ausgangsposition x = 9.33 und y = 16.16. Die zu erreichenden Zielkoordinaten sind x = 5.0 und y = 13.0. Nach der ersten Approximation erhalten wir mit ∆P = (4.33, 3.16) die Gelenkwinkel

48

2 Globale Bewegungen

θ0 = 142.6◦, θ1 = 331.91◦, θ2 = 316.48◦, θ3 = 310.42◦, θ4 = 315.36◦. Mit der Matrix M, die entsprechend der DH-Notation parametrisiert wird, erfolgt die Bestimmung der neuen Effektorposition: M = DH (θ0 , 0, a0 , 0◦ ) DH(θ1 , 0, a1 , 0◦ ) DH (θ2 , 0, a2 , 0◦ ) DH(θ3 , 0, a3 , 0◦ ) DH(θ4 , 0, a4 , 0◦ )

mit

a0 = a1 = a2 = a3 = a4 = 5.0, θ0 = 120◦, θ1 = θ2 = θ3 = θ4 = 330◦ . Wir erhalten die neuen Effektorkoordinaten x = 4.81 und y = 12.18, die jedoch von der gew¨ unschten Zielposition zu weit entfernt sind und einen weiteren Approximationsschritt erforderlich macht. In Abbildung 2.30a erfolgte mit dem zweiten Approximationsschritt eine Neuberechnung der inversen Jacobi-Matrix mit den ge¨anderten Winkelwerten. In Abbildung 2.30b wurde die Approximation mit der unver¨anderten JacobiMatrix durchgef¨ uhrt. Die Ergebnisse weichen nur geringf¨ ugig voneinander ab. Im ersten Fall erhalten wir mit ∆P = (−0.19, −0.82) die Gelenkwinkel θ0 = 141.15◦, θ1 = 332.22◦, θ2 = 318.37◦, θ3 = 312.95◦, θ4 = 317.06◦ und hiermit die Effektorposition x = 4.97 und y = 13.00. Im Fall der gleichen Jacobi-Matrix bestimmen wir die Gelenkwinkel: Ausgangskonfiguration der kinematischen Kette P: Ausgangsposition Konfiguration nach des Effektors 2ter Interpolation P*: Zielposition des Effektors Konfiguration nach 1ter Interpolation Y approximierte Effektorposition P*

Y

approximierte Effektorposition P*

X (a)

X (b)

Abb. 2.30. Bestimmung der Zielposition des Effektors mit zwei Interpolationsschritten: (a) mit Korrektur der Jacobi-Matrix nach erstem Iterationsschritt, (b) ohne Korrektur

2.3 Inverse Kinematik

49

θ0 = 140.31◦, θ1 = 332.31◦, θ2 = 318.77◦, θ3 = 313.33◦, θ4 = 317.43◦, mit denen die etwas weiter vom Zielpunkt entfernt liegenden Koordinatenwerte x = 5.12 und y = 13.10 erreicht werden. F¨ ur die meisten Anwendungen in der Computeranimation ist diese Abweichung v¨ollig unerheblich, wodurch die zweite Variante wegen ihres geringeren Rechenaufwandes vorteilhafter ist. 2.3.1 Geometrische Interpretation Zum vertieften Verst¨ andnis soll anhand der Abb. 2.31 das zuvor beschriebene N¨ aherungsverfahren zur L¨ osung von IK-Problemen geometrisch interpretiert werden. Im 2D-Fall setzt sich der Weg, den der Effektor als Funktion der Drehwinkel¨ anderungen beschreibt, aus n Rotationsbewegungen zusammen, wobei n die Anzahl der Gelenke ist. Wegen dieses nicht-linearen Bewegungsverhaltens ist es nicht m¨ oglich, die Drehwinkel¨ anderungen ∆θ1 , ∆θ2 und ∆θ3 direkt zu berechnen, die erforderlich sind, um von der Position P den Zielpunkt P∗ zu erreichen. Indem wir die partiellen Ableitungen nach θ1 ,..., θn bilden, approximieren wir die zusammengesetzte Rotationsbewegung durch eine Kombination linearer Bewegungen. Hierzu leiten wir im vorliegenden Beispiel die Funktion f (θ1 , θ2 , θ3 ) zur Bestimmung der Position P der in Abb. 2.31 dargestellten kinematischen Kette nach θ1 , θ2 und θ3 ab und erhalten die Tangentenvektoren: v1 = ∂f (θ1 , θ2 , θ3 )/∂θ1 , v2 = ∂f (θ1 , θ2 , θ3 )/∂θ2 , v3 = ∂f (θ1 , θ2 , θ3 )/∂θ3 . Die Vektorl¨ angen von v1 , v2 und v3 sind gleich den korrespondierenden Rotationsradien

Y P* P2

Dq2

v1

Dq3

v v2 3 P

P3

P1

X Dq1

Abb. 2.31. Geometrische Interpretation des N¨ aherungsverfahrens (v1 , v2 und v3 sind maßstabsgerecht gezeichnet)

50

2 Globale Bewegungen

|v1 | = |P − P1 | , |v2 | = |P − P2 | und |v3 | = |P − P3 | . Das IK-Problem hat sich somit f¨ ur die in Abb. 2.31 dargestellte Gelenkkonfiguration auf die L¨ osung des linearen Gleichungssystems P∗ − P = ∆P = v1 θ1 + v2 θ2 + v2 θ2 nach θ1 , θ2 und θ3 vereinfacht, mit der schrittweise die Ann¨ aherung an die Zielposition bestimmt wird. 2.3.2 3D-Fall Analog zum 2D-Fall, l¨ asst sich das N¨ aherungsverfahren auf den allgemeineren 3D-Fall u bertragen, bei dem sich die Gelenke um die drei Achsen ihrer lokalen ¨ Koordinatensysteme drehen k¨ onnen. Dies bedeutet, dass die Funktionen zur Bestimmung der Effektorkoordinaten fx , fy und fz sowie der Effektororientierungen Ox , Oy und Oz partiell nach 3 × n Gelenkwinkeln abgeleitet werden. Wir erhalten, ohne Ber¨ ucksichtigung von Translationsgelenken, das f¨ ur den 3D-Fall g¨ ultige Gleichungssystem mit: ⎡ ⎤ ⎡ ∂fx ∂fx ∂fx ∂fx ∂fx ∂fx ⎤ ∆θx1 ⎡ ⎤ ∂θx1 ∂θy1 ∂θz1 .. ∂θxn ∂θyn ∂θzn ∆x ∂fy ∂fy ∂fy ⎥ ⎢ ∆θy1 ⎥ ⎢ ∂fy ∂fy ∂fy ⎥ ⎢ ∆y ⎥ ⎢ ∂θx1 ∂θy1 ∂θz1 ... ∂θxn ∂θyn ∂θzn ⎥ ⎢ ⎢ ∆θz1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∂fz ∂fz ∂fz ∂fz ∂fz ∂fz ⎥ ⎢ ⎢ ∆z ⎥ ⎢ ∂θ ⎥ ... ∂θxn ∂θyn ∂θzn ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ x1 ∂θy1 ∂θz1 .. ⎥ ⎥ ⎢ ∆θxe ⎥ = ⎢ ∂Ox ∂Ox ∂Ox ... ∂Ox ∂Ox ∂Ox ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∂θ ∂θ ∂θ ∂θxn ∂θyn ∂θzn ⎥ ⎢ ⎥ ∆θ ⎥ ⎣ ∆θye ⎦ ⎢ ∂Ox1y ∂Oy1y ∂Oz1y xn ⎥ ∂Oy ∂Oy ∂Oy ⎢ ⎣ ∂θx1 ∂θy1 ∂θz1 ... ∂θxn ∂θyn ∂θzn ⎦ ⎣ ⎦ ∆θ yn ∆θze ∂Oz ∂Oz ∂Oz ∂Oz ∂Oz ∂Oz ... ∆θ ∂θx1 ∂θy1 ∂θz1 ∂θxn ∂θyn ∂θzn zn Alle weiteren Schritte erfolgen analog zum 2D-Fall. berechnete Konfiguration

Zielposition

Y Hindernis gewünschte Konfiguration X Abb. 2.32. Inverse Kinematik unter der Vorgabe von Zwangsbedingungen

2.3 Inverse Kinematik

w=(0, 0, 0, 0, 0.3)

51

Zielposition w=(0, 0, 0, 0.3, 0.3) Y

Ausgangskonfiguration

w=(0, 0.2, 0, 0, 0) w=(0, 0, 0.3, 0, 0)

X

Abb. 2.33. Darstellung der Wirkung von vier unterschiedlichen Projektionsvektoren auf eine kinematische Kette

2.3.3 Secondary Task Die gleiche Effektorposition l¨asst sich mit beliebig vielen unterschiedlichen Gelenkwinkelkombinationen erreichen. Mit dem oben beschriebenen Iterationsverfahren erhalten wir nur dann eine L¨osung aus einer unendlich großen L¨osungsmenge, wenn zus¨atzlich Kriterien definiert werden, die die Eindeutigkeit erzwingen. Es liegt nahe, diese L¨osung so zu beeinflussen, dass eine vorgegebene Zwangsbedingung erf¨ ullt wird. So kann beispielsweise gefordert werden, dass, wie in Abb. 2.32 dargestellt, die kinematische Kette nicht mit Hindernissen im Raum kollidiert. Eine M¨ oglichkeit, die gew¨ unschte Zielposition des Effektors zu erreichen und zugleich die geometrische Zwangsbedingung zu erf¨ ullen, bietet ein Projektionsoperator, der in der Literatur auch als Secondary Task bezeichnet wird. Der Secondary Task ist ein Term, der zum ∆Θ-Vektor addiert wird: ∆Θ = J−1 ∆P + (I − JJ−1 )∆w.

(2.18)

Hierin ist I die Einheitsmatrix und ∆w der Projektionsvektor, der in der gew¨ unschten Weise den Gelenkwinkelvektor beeinflusst. Mit Hilfe dieses Operators ist es m¨ oglich, einzelne Gelenkwinkel so zu beeinflussen, dass eine kinematische Kette die vorgegebenen geometrischen Bedingungen erf¨ ullt, ohne die Position des Effektors zu ver¨andern. Anhand der bereits im vorherigen Beispiel behandelten kinematischen Kette l¨asst sich die Wirkung des Projektionsvektors darstellen. Die Abbildung 2.33 zeigt, wie sich mit vier unterschiedlich gewichteten Projektionsvektoren die kinematische Kette bez¨ uglich ihrer Ausgangsform ver¨ andert. Anhand dieses Bildes ist ersichtlich, dass der Vektor ∆w = oßert. Die (0, 0, 0, 0, 0.3), in Glg. 2.18 eingesetzt, den Gelenkwinkel θ5 vergr¨ Vektoren ∆w = (0, 0.2, 0, 0, 0) und ∆w = (0, 0, 0.3, 0, 0) bewirken vor allem unschte Segmentkoneine Vergr¨ oßerung der Gelenkwinkel θ2 bzw. θ3 . Die gew¨ figuration, mit der die in Abb. 2.32 dargestellte Objektkollision vermieden

52

2 Globale Bewegungen

wird, kann beispielsweise mit dem Projektionsvektor ∆w = (0, 0, 0, 0.3, 0.3) erzielt werden. Eine Methode, bei der sich mit vorgegebenen geometrischen Zwangsbedingungen die Projektionsvektoren direkt berechnen lassen, ist nicht bekannt. Ihre Bestimmung erfolgte hier intuitiv. 2.3.4 Kombination von inverser und direkter Kinematik Die Kombination von direkter und inverser Kinematik ist nach [12] eine weitere M¨ oglichkeit, Bewegungsabl¨ aufe zu steuern. Hierbei werden die Gelenkwinkel der kinematischen Kette auf eine Konfiguration eingestellt, die sich aus den vorgegebenen Winkeln und den invers-kinematisch berechneten Gelenkwinkelwerten ergibt. Wir erhalten den Differenzwinkelvektor mit: ∆Θ = J−1 (f ∆P + (1 − f )J∆w) + (I − JJ

−1

)∆w.

(2.19)

Hierin ist f die sog. Transitionsfunktion, die Werte zwischen 0 und 1 annehmen kann. F¨ ur den oberen Extremwert f = 1 erhalten wir aus Glg. 2.19 die bereits bekannte invers-kinematische Gleichung: ∆Θ = J−1 ∆P + (I − JJ

−1

)∆w.

Mit dem unteren Extremwert f = 0 ergibt sich ∆Θ = J−1 J∆w + (I − JJ −1

∆Θ = J J∆w − JJ ∆Θ = ∆w.

−1

−1

)∆w

∆w + ∆w

Der Projektionsvektor ∆w ¨ andert somit unmittelbar die urspr¨ ungliche Gelenkwinkelkonstellation Θalt in Θneu = Θalt + ∆w. Mit der Funktion f er¨ folgt ein gleitender Ubergang zwischen der invers- und der direkt-kinematisch berechneten Konfiguration der kinematischen Kette. Boulic und Thalmann schlagen zur Steuerung von f und ∆w die Vorgabe von Referenzbewegungen sowie planare, zylinder- oder kugelf¨ ormige Halbraum-Constraints vor [12], die jene Bereiche definieren, in die der Effektor nicht eindringen darf. 2.3.5 Alternative Verfahren Die J T -Methode. Um den großen Rechenaufwand zu vermeiden, der f¨ ur die Pseudoinvertierung der Jacobi-Matrix notwendig ist, verwenden Wolovich und Elliot in [13] zur L¨ osung des IK-Problems die transponierten Jacobi-Matrix. Hierbei wird anstelle der Differenz zwischen Soll- und Ist-Position (P∗ − P) des Effektors ∆P eine von P nach P∗ wirkende Kraft F eingesetzt, die aus dem Zugkraftvektor f und dem Drehmomentvektor m besteht:

2.3 Inverse Kinematik

P* + -P

F f()

JT()





53

t+1=t+D



Abb. 2.34. Signalflussdiagramm der J T -Methode nach Wolovich und Elliot [14]

F = {f , m} = {fx , fy , fz , mx , my , mz } . Die externe Kraft F verursacht interne Zug- und Drehkr¨afte auf die Gelenke der kinematischen Kette. Unter Anwendung des Prinzips der virtuellen Arbeit l¨ asst sich eine Beziehung zwischen F und dem Vektor der internen generalisierten Kr¨ afte mit der Gleichung ¨ = JT F Θ ¨ den Beschleunigungsvektor des Gelenkwinkels repr¨asenherstellen, in der Θ tiert. Da jedoch nicht die Dynamik der Gelenkanordnung, sondern das kinematische Verhalten unter dem Einfluss externer Kr¨afte von Interesse ist, wird unter der bewussten Verletzung des Newtonschen Kraftgesetzes, und somit ¨ durch die Winder Inkaufnahme von Fehlern, die Winkelbeschleunigung Θ ˙ ersetzt: kelgeschwindigkeit Θ ˙ ≈ JT F. Θ

(2.20)

Mit der iterativen Berechnung von Glg. 2.20 erhalten wir f¨ ur jeden Zeitschritt ∆t einen neuen Geschwindigkeitsvektor des Gelenkwinkels, der eine Effektorbewegung in Richtung der Zielposition P∗ bewirkt. Aus dem in Abb. 2.34 ¨ dargestellten Signalfluss geht hervor, dass nach jeder inkrementellen Anderung der Gelenkwinkel die Jacobi-Matrix korrigiert werden muss. Mit dem neuen Kraftvektor F, den wir mit der (P∗ − P)-Differenz erhalten, bestimmen wir ˙ den ge¨ anderten Θ-Vektor, der wiederum zur Modifikation der Gelenkwinkel und dadurch zu einer weiteren Ann¨ aherung des Effektors an die Zielposition dient. Der Algorithmus terminiert, wenn die Differenz zwischen Soll- und Ist-Wert eine vorgegebene Fehlergrenze unterschritten hat. Der wesentliche Vorteil dieser Methode ist vor allem der erheblich geringere Rechenbedarf, da die zeitaufw¨ andige Pseudoinvertierung entf¨allt. Hierdurch l¨ asst sich auch das Auftreten von Singularit¨aten weitgehend vermeiden. Nachteilig ist, im Vergleich zu dem eingangs diskutierten klassischen L¨ osungsansatz, die etwas schlechtere Konvergenzeigenschaft. Die Cyclic-Coordinate Descent-Methode. Die von Wang und Chen in [15] vorgestellte Cyclic-Coordinate Descent-Methode (CCD-Methode) basiert auf einem iterativen, heuristischen Suchverfahren. Mit dieser Methode werden

54

2 Globale Bewegungen

die Differenzen der Effektorposition und -ausrichtung zur gew¨ unschten Zielkonfiguration schrittweise minimiert, wobei mit jedem Suchschritt nur jeweils ein Gelenkwinkel ver¨ andert wird. Es besteht somit die Aufgabe, sowohl die aktuelle Effektorposition Pc an die Zielposition Pd , als auch die aktuelle Orientierung des Effektors Uc an die Zielorientierung Ud optimal anzupassen (s. Abb. 2.36). Diese Anpassung ¨ erfolgt durch sequentielle Anderung der Gelenkwinkel, f¨ ur den Fall, dass die kinematische Kette nur durch Rotationsgelenke3 verbunden ist. Sie wird mit allen Gelenken der kinematischen Kette durchgef¨ uhrt und solange wiederholt, bis die Ann¨ aherung an die Zielposition und Zielausrichtung einen Schwellenwert unterschreitet oder die maximale Anzahl der vorgegebenen Iterationen erreicht ist. Die Abbildung 2.35 veranschaulicht diesen Iterationsprozess anhand eines einfachen Beispiels. Die beste Ann¨ aherung wird mit der Summe aus Positions- und Orientierungsfehlern E(q) = Ep (q) + Eo (q) als Funktion des Gelenkparameters q bestimmt. Ep (q) = Pd − Pc 2 ist der Positionierungsfehler, der aus der Differenz vom Zielort zur aktuellen Effektorposition errechnet wird. Den Orientierungsfehler Eo (q) erhalten wir mit:

Effektor

Ziel Ausgangsposition

1.3-ter Schritt

1.1-ter Schritt

1.4-ter Schritt

1.2.ter Schritt

2.1-ter Schritt

Ziel 2.2-ter Schritt

2.3-ter Schritt

2.4-ter Schritt

Endposition

Abb. 2.35. Veranschaulichung der CCD-Methode nach Wang und Chen [15]

3

Neben den Rotationsgelenken gibt es auch Translationsgelenke, die jedoch seltener verwendet werden.

2.3 Inverse Kinematik

55

Abb. 2.36. CCD-Iteration f¨ ur Gelenk Gi

Eo (q) =

3 

((udj · ucj ) − 1)2 .

j=1

Hierin sind Uc = [uc1 , uc2 , uc3 ] und Ud = [ud1 , ud2 , ud3 ] die lokalen Koordinatensysteme des Effektors in der aktuellen sowie der Zielorientierung. Die Bestimmung der Parameter f¨ ur kinematische Ketten mit Rotationsgelenken soll anhand Abb. 2.36 erkl¨ art werden. Die Drehung eines Rotationsgelenks wird durch einen beliebig im Weltkoordinatensystem ausgerichteten Drehachsenvektor axisi sowie durch einen Drehwinkel festgelegt. Um den Positionierungsfehler Ep zu minimieren, wird der Vektor Pic mit dem Winkel φ um die Drehachse von Gi rotiert. Wir erhalten den rotierten Vektor mit P ci = Rotaxisi (φ)Pci . Der Positionierungsfehler ist minimal, wenn g1 (φ) = Pdi · P ci den Maximalwert erreicht. Dies ist der Fall, wenn Pdi und P ci m¨ oglichst parallel zueinander ausgerichtet sind. In analoger Weise erfolgt die Minimierung des Orientierungsfehlers, indem die Gleichung g2 (φ) =

3 

udj · ucj

j=1

maximiert wird. Die Minimierung des Gesamtfehlers E(q) = Ep (q) + Eo (q) bedeutet, dass g(φ) = wp g1 (φ) + wo g2 (φ)

(2.21)

zu maximieren ist. Hierin sind wp und wo die Gewichte f¨ ur den Positionierungsund Orientierungsfehler, die empirisch zu ermitteln sind. Wang und Chen schlagen in [15] f¨ ur w0 = 1 und wp = α (1 + ρ) vor. Hierin ist ρ =

56

2 Globale Bewegungen

min(Pdi , Pci)/max(Pdi , Pci), w¨ ahrend α ein von der Gelenkl¨ange abh¨ angiger Skalierungsfaktor ist. Mit einer weiteren Umformungen der Glg. 2.21 (s. [15]) erhalten wir die Zielfunktion g(φ) = k1 (1 − cos(φ)) + k2 cos(φ) + k3 sin(φ)

(2.22)

mit den Konstanten

k1 = wp (Pdi · axisi )(Pci · axisi ) + wo

3 

(udj · axisi )(ucj · axisi )

j=1

k2 = wp (Pdi · Pci ) + wo ⎡

3 

(udj · ucj ) und

j=1

k3 = axisi · ⎣wp (Pci × Pdi ) + wo

3 

⎤ (ucj × udj )⎦ .

j=1

Wir bestimmen den Maximalwert von g(φ) mit der ersten und zweiten Ableitung der Zielfunktion Glg 2.22. Sind die beiden Gleichungen d g(φ) = (k1 − k2 ) sin φ + k3 cos φ = 0, dφ d2 g(φ) = (k1 − k2 ) cos φ − k3 sin φ < 0 dφ2 erf¨ ullt, so ergibt sich der gesuchte Drehwinkel mit φ = − tan−1

k3 . k2 − k1

Das CCD-Verfahren ist einfach zu implementieren und infolge des geringen Rechenaufwandes sehr schnell. Es ist besonders effektiv einsetzbar, wenn sich die Anzahl der Gelenke in engen Grenzen h¨alt. Nachteilig ist ein h¨aufiges abruptes Abknicken des Effektorsegmentes, das vor allem bei l¨angeren Ketten auftritt. 2.3.6 Ausrichtung gelenkig-verbundener Strukturen an mehreren Zielpositionen In praktischen Anwendungen der inversen Kinematik geht man in der Regel nicht nur von immer erreichbaren Zielpositionen aus. Vielfach sind, wie beispielsweise bei der skelettalen Struktur eines Menschen, mehrere miteinander verbundene kinematische Ketten vorgegeben, deren Effektoren zum Teil gegens¨ atzliche Ziele anstreben. Die Abbildung 2.37 verdeutlicht, wie im Fall von multiplen Zielen g1 , ..., g4 , die niemals zugleich erreichbar sind, prinzipiell

2.3 Inverse Kinematik

g1 g3

g3 g2

57

g1

w1 w3

l3

BKS

l1

w2

I2

g2

BKS l4

g4

w4 g4

Y X

Abb. 2.37. Miteinander verbundene kinematische Ketten, deren Effektoren gleichzeitig und zum Teil gegens¨ atzliche Ziele anstreben

verfahren wird. Hierbei wird jedem Ziel ein Gewicht zugeordnet, welches als Zugkraft einer Feder aufgefasst werden kann. Es soll sich eine Konfiguration einstellen, bei der sich die Summe der Zugkr¨ afte von w1 bis w4 gegenseitig aufheben. Eine invers-kinematische Methode, die auf diesem Prinzip basiert, wurde von Badler, Manoocheri und Walter in [16] vorgestellt. Sie l¨asst sich in vier Schritte unterteilen:

g1 linker Fuß

g3 g2

Y

rechter Fuß

rechte Hand

linker Unterschenkel

rechter Unterschenkel

rechter Unterarm

linker Oberschenkel

rechter Oberschenkel

rechter Oberarm

linke Hand

Hals

linker Unterarm

g3

linker Oberarm

g1

g2

oberer Torso

g4

BKS X

Kopf g4

(a)

unterer Torso

(b)

Abb. 2.38. Konstruktion des Body Tree. Aus der gelenkig-verbundenen Struktur (a) wird der Body Tree (b) extrahiert

58

2 Globale Bewegungen

Schritt 1: Konstruktion des Body Tree. Im ersten Schritt wird der Body Tree konstruiert. Er repr¨ asentiert die baumartige Struktur des gelenkigverbundenen Systems. Die Wurzel des Baumes liegt im Ursprung des BKS. Jeder Knoten eines Gelenksegmentes, dem ein Ziel zugeordnet ist, wird als Effektor betrachtet (s. Abb. 2.38). Schritt 2: Konstruktion der Reach Trees. Der Body Tree wird anschließend in Reach Trees aufgeteilt. Ein Reach Tree ist eine Teilstruktur des Body Tree. Er repr¨ asentiert die in Abb. 2.39 dargestellen kinematischen Ketten vom BKS zu den markierten Effektoren.

rechter Unterarm

linker Unterarm

rechter Oberarm

linker Oberarm oberer Torso

unterer Torso

Abb. 2.39. Konstruktion eines Reach Tree

Schritt 3: R¨ uckw¨ artsrechnung mit allen kinematischen Ketten der reach trees. Mit Hilfe der inversen Kinematik werden nacheinander die Gelenkwinkel der einzelnen Ketten entsprechend der Zielpositionen (hier g1 bis g4 ) berechnet. Hierbei m¨ ussen die Gelenkwinkel der jeweils zuvor berechneten kinematischen Ketten entsprechend ver¨ andert werden. Schritt 4: Berechnung des gewichteten Fehlers. Mit dem vierten Schritt werden Abst¨ ande der Effektoren di zu ihren Zielpositionen mit den Gewichten wi multipliziert und zu einem Fehlerbetrag F summiert: F =

n 

|di wi |.

¨ Uberschreitet F einen vorher festgelegten Grenzwert, so erfolgt eine erneute Berechnung mit Schritt 3 sowie die Grenzwert¨ uberpr¨ ufung mit Schritt 4. Diese Schritte werden solange ausgef¨ uhrt, bis sich der Fehlerbetrag nach jeder Iteration nicht weiter verringert oder eine vorher definierte Anzahl von Berechnungsdurchl¨ aufen erreicht ist.

3 Deformationen

Die dynamische Form¨ anderung eines Objektes spielt eine wichtige Rolle in der Computeranimation. Beispiele f¨ ur den Einsatz von Verformungstechniken finden sich speziell bei der Animation der Haut, der Muskulatur oder des Haares, aber auch bei der Verformung von beliebigen plastischen oder elastischen Objekten. Bei den Deformationstechniken sind zwei generelle Entwicklungstrends erkennbar. Eine Entwicklung bewegt sich hin zum Realismus, um beispielsweise Spezialeffekte f¨ ur die Filmproduktion zu erzeugen. Der andere Trend verfolgt die Entwicklung schneller Verfahren, die f¨ ur die interaktive Echtzeitanwendung in den Bereichen Virtual Reality, Computerspiele oder interaktive WebAnwendungen ben¨ otigt werden. Die Grenze zwischen Realismus und Echtzeit ist fließend und wird durch immer bessere Techniken und durch die rasante Entwicklung der Computerhardware bestimmt. Es ist zu erwarten, dass diese beiden Entwicklungslinien in Zukunft konvergieren. ¨ In diesem Kapitel wird ein Uberblick u ¨ ber einige grundlegende Techniken gegeben, die zur Deformation eingesetzt werden. Sie lassen sich in drei Kategorien unterteilen. Die erste Kategorie beschreibt rein geometrische Techniken. Die Zweite behandelt physikalisch-basierte Methoden und zur Dritten z¨ahlen die gemischten Verfahren. Die Verfahren dieser letztgenannten Gruppe basieren zwar auch auf physikalischen Grundlagen, jedoch sind sie in Verbindung mit geometrischen Methoden stark vereinfacht. Hierdurch sind sie weniger pr¨ azise als die rein physikalisch-basierten Ans¨atze. Sie besitzen jedoch eine h¨ohere Flexibilit¨ at und eine gr¨ oßere Effizienz. Die Wahl einer geeigneten Deformationstechnik h¨angt von dem erw¨ unschten Verformungseffekt, von der Repr¨ asentationsform und vom erforderlichen Genauigkeitsgrad ab, der wiederum von der Anwendung bestimmt wird. Um eine geeignete Auswahl treffen zu k¨ onnen, muss man neben der Funktionsweise des Verfahrens auch seine Nachteile und Grenzen kennen. Einige Deformationsverfahren sind eng an bestimmte Repr¨asentationsformen gebunden. Andere hingegen sind auf eine ganze Klasse von Darstellungsformen, wie die der Oberfl¨ achenrepr¨ asentationen, anwendbar. Wird bei-

60

3 Deformationen

spielsweise ein Modell durch Spline-Fl¨ achen dargestellt, so kann dessen Form direkt u andert werden. Diese Art von Deforma¨ber die Kontrollpunkte ver¨ tionsoperation steht in unmittelbarem Bezug zur verwendeten Repr¨asentationsform. Hierbei ist zu bedenken, dass derzeit die meisten kommerziellen Graphikkarten noch Polygone als Ausgabeprimitivum f¨ ur Fl¨achen bevorzugen. Ist die zu deformierende Repr¨ asentation nicht mit jener identisch, die f¨ ur das Rendering eingesetzt wird, so muss nach der Deformation das Resultat zus¨ atzlich auf die Ausgaberepr¨ asentation abgebildet werden. Diese hierf¨ ur notwendigen Kosten sind bei den meisten Echtzeitanwendungen nicht tragbar. Ein wichtiger Aspekt bei Deformationen ist der Grad der Kontrolle u ¨ ber die Verformung. Auf der einen Seite ist oft eine genaue Spezifikation aller Details einer Deformation erw¨ unscht, was jedoch einen hohen Arbeitsaufwand zur Folge haben kann. Auf der anderen Seite ist eine gr¨obere Kontrolle oft einfacher und schneller zu handhaben, weil weniger Parameter einzustellen sind. Allerdings lassen sich hierdurch bestimmte Details und Effekte nicht modellieren. Um einen Kompromiss zwischen einfacher Handhabung und Kontrolle u atze mit hierarchisch organisierten Defor¨ ber Details zu erreichen, sind Ans¨ mationsfunktionen entwickelt worden. Diese Verfahren geh¨ oren zur Gruppe der Pyramiden-Algorithmen, denen auch die sog. Multi-Resolution-Algorithmen zugeordnet werden. Es gibt auch heterogene Hierarchien, bei denen auf unterschiedlichen Abstraktionsebenen verschiedene Techniken eingesetzt werden. Jede Ebene steuert dabei die Paur diese rameter der n¨ achsten tiefer1 liegenden Ebene. Ein einfaches Beispiel f¨ Technik ist die Free-Form-Deformation, die im Abschn. 3.1.2 behandelt wird. Die meisten der hier vorgestellten Deformationstransformationen enthalten zeitabh¨ angige Terme und k¨ onnen direkt f¨ ur die Computer Animation eingesetzt werden. Alternativ hierzu ist auch eine zeitliche Interpolation ihrer Parameter (z.B. Keyframing) oder deren Umformulierung in zeitabh¨angige Versionen m¨ oglich. Spezielle Techniken, die mit den Deformationsverfahren verwandt sind, wie beispielsweise die Animation von Gesichtsausdr¨ ucken (facial animation) oder Stoffen, bzw. die Transmutationen, werden in separaten Kapiteln behandelt.

3.1 Geometrische Techniken Die meisten geometrischen Deformationstechniken wurden urspr¨ unglich f¨ ur die interaktive geometrische Modellierung entwickelt. Sie sind in der Regel einfach zu handhaben und wegen ihres geringen bis mittleren Rechenaufwandes auch f¨ ur Echtzeitanwendungen geeignet. Der Nachteil dieser Verfahren ist, dass sie viel Geduld erfordern, um unerw¨ unschte Effekte, wie Knicke“ ” oder Falten“, zu vermeiden, die w¨ ahrend einer Animation auftreten k¨onnen. ” 1

tiefer“ bedeutet hier in der Hierarchie weiter unten, also z.B. bei einer Baum” struktur in Richtung der Blattknoten.

3.1 Geometrische Techniken

61

Bei geometrischen Verfahren werden alle Deformationen vollst¨andig spezifiziert. Dar¨ uber hinaus steht keine Information u ¨ ber die Eigenschaften des zu verformenden Objektes zur Verf¨ ugung, weshalb die Plausibilit¨at des Animationsergebnisses ungewiss ist. Dies hat zur Folge, dass alle gew¨ unschten Deformationsbeschr¨ ankungen explizit anzugeben sind. 3.1.1 Globale Deformationstechniken In diesem Abschnitt werden einige globale Techniken f¨ ur die Deformation von Oberfl¨ achenrepr¨ asentationen vorgestellt. Diese Techniken heißen global, weil sie den Raum transformieren (wie beispielsweise die Abbildung von rechteckigen in krummlinige Koordinaten) und sich damit auf die gesamte Form des Objektes auswirken, das sich innerhalb dieses Raumes befindet. Alan H. Barr [17] stellte 1984 eine Gruppe von einfachen, global wirkenden Transformationen vor, die er Tapering (Verj¨ ungung), Twisting (Verdrehung) und Bending (Verbiegung) nannte. Carole Blanc pr¨ asentierte in [18] eine Verallgemeinerung dieser Verformungstechniken, die sie Axial Deformation Techniques nannte. Diese Deformationsfunktionen sind in der Hinsicht generisch, dass sie nicht auf eine bestimmte Repr¨ asentationsform beschr¨ ankt sind. Tapering. Bei der Verj¨ ungungsoperation (tapering) wird entlang der Z-Achse eine Skalierung der x- und y-Koordinaten, abh¨angig vom Funktionswert von uhrt: ftaper (z), durchgef¨ ⎡ ⎤⎡ ⎤ 0 0 ftaper (z) x 0 ftaper (z) 0 ⎦ ⎣ y ⎦ . Ttaper = ⎣ 0 0 1 z ungungsfunktion genannt. Der Funktionswert ftaper (z) = ftaper (z) wird Verj¨ 1 l¨ asst das Objekt undeformiert. Mit ftaper (z) > 1 expandiert und mit ftaper (z) < 1 kontrahiert das Objekt. In Abbildung 3.1 wird ein Ellipsoid mit einer Tapering-Transformation kontinuierlich entlang der Z-Achse deformiert. Die Abbildung 3.1 zeigt vier Ellipsoide, wobei von links nach rechts die undeformierte Form sowie drei Verj¨ ungungsdeformationen dargestellt sind. Hierzu wurde die Tapering-Funkur z = 0, ..., 1 mit den Gewichten a = 1/3, a = 2/3 tion ftaper (z) = 1 − az f¨ und a = 1 verwendet. Twisting. Das Twisting entspricht einer Koordinatenverdrehung, wobei sich der Drehwinkel proportional zu seiner Z-Koordinate ver¨andert. Durch den Proportionalit¨ atsfaktor kann die Anzahl der Windungen kontrolliert werden: ⎤⎡ ⎤ ⎡ x cos fangle (z) − sin fangle (z) 0 Ttwist = ⎣ sin fangle (z) cos fangle (z) 0 ⎦ ⎣ y ⎦ . 0 0 1 z

62

3 Deformationen

(a)

(b)

(c)

(d)

Abb. 3.1. Tapering eines Ellipsoids mit den Parametern: (a) a = 0, (b) a = 1/3, (c) a = 2/3 und (d) a = 1

(a)

(b)

(c)

(d)

Abb. 3.2. Twisting eines Ellipsoids mit den Parametern: (a) a = 0, (b) a = 1, (c) a = 2, (d) a = 3

3.1 Geometrische Techniken

63

In Abbildung 3.2 wird ein Ellipsoid kontinuierlich um die Z-Achse verdreht, wobei von links nach rechts zuerst die undeformierte Form, sowie Verdrehungen um π, 2π und 3π f¨ ur z = 0, ..., 1 dargestellt sind. Als Twisting-Funktion wurde fangle (z) = πaz mit den Gewichten a = 0, a = 1, a = 2 und a = 3 verwendet. Beim sog. Twisting lassen sich interessante Effekte erzielen, wenn die Achse, um die gedreht wird, versetzt wird. Wir erhalten die Twisting-Deformation mit der Transformationsmatrix ⎡ ⎤⎡ ⎤ cos fangle (z) − sin fangle (z) 0 a1 x ⎢ sin fangle (z) cos fangle (z) 0 a2 ⎥ ⎢ y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Ttwist2 = ⎣ 0 0 1 0 ⎦⎣z ⎦ 0 0 0 1 1

(a)

(b)

(c)

(d)

Abb. 3.3. Twisting eines Ellipsoids mit den Parametern: (a) a = 1, (b) a = 2, (c) a = 3, (d) a = 4

mit

a1 = cos fangle (z)dx − sin fangle (z)dy

und

a2 = cos fangle (z)dx + sin fangle (z)dy, worin dx und dy den Koordinatenversatz zur Drehachse bezeichnen. Um die Translation der Deformationsachse ausf¨ uhren zu k¨onnen, ist die Erweiterung auf eine 4 × 4 Matrix erforderlich. In Abbildung 3.3 wird ein Ellipsoid kontinuierlich mit einem Versatz von jeweils 0.2 Einheiten in X-Richtung um die Z-Achse verdreht, wobei die Verdrehungen mit π, 2π, 3π und 4π f¨ ur z = 0, ..., 1 dargestellt sind. Als TwistingFunktion wurde fangle (z) = πaz verwendet. Bending. Die Bending-Transformation erzeugt eine Verbiegung der Geometrie, indem die Koordinaten, hier abh¨ angig vom Koordinatenwert z, um die Y - oder die X-Achse gedreht werden.

64

3 Deformationen

⎡

Tbend

(a)

⎤⎡ ⎤ cos fangle (z) 0 sin fangle (z) x ⎦⎣y⎦. 0 1 0 =⎣ − sin fangle (z) 0 cos fangle (z) z

(b)

(c)

(d)

Abb. 3.4. Bending eines Ellipsoids mit den Parametern: (a) a = 1/10, (b) a = 2/10, (c) a = 3/10, (d) a = 4/10

Die Abbildung 3.4 zeigt Ellipsoide unter dem Einfluss einer Biegetransformaur z = 0, ...1. tion mit fangle (z) = πaz f¨ Pinching und Shearing. Bei der Pinching-Operation wird beispielsweise entlang der Z-Achse eine ver¨ anderliche Skalierung der X-Koordinaten als Funktion der Z-Koordinate durchgef¨ uhrt: ⎤⎡ ⎤ ⎡ x fpinch (z) 0 0 0 1 0⎦⎣y ⎦. Tpinch = ⎣ 0 01 z Die Funktion fpinch (z) = 1 − az f¨ ur z = 0, ..., 1 wird Pinching-Funktion genannt. Die Kontraktion bzw. Expansion der Koordinaten erfolgt analog zum Tapering. Der Effekt ist ¨ ahnlich wie beim Tapering, nur dass hier lediglich eine Koordinate ver¨ andert wird. Hierdurch wird der Eindruck erweckt, als w¨ urde das Objekt in einer Richtung gestaucht oder gestreckt. Mit der Shearing-Operation erfolgt eine Scherung, hier beispielsweise entlang der X-Koordinate und abh¨ angig vom Z-Koordinatenwert: ⎡ ⎤⎡ ⎤ 1 0 fshear (z) x ⎦⎣y⎦. 0 Tshear = ⎣ 0 1 00 1 z Die Funktion fshear (z) = az ist hier die Scherungsfunktion. Die Konstante a gibt die Gr¨ oße und die Richtung der Scherung an.

3.1 Geometrische Techniken

65

Kombination von Deformationen. Die oben aufgef¨ uhrten Transformationen lassen sich in einfacher Weise kombinieren, indem sie sequentiell ausgef¨ uhrt werden.

(a)

(b)

(c)

(d)

Abb. 3.5. Tapering, Bending und Twisting eines Ellipsoids eines Ellipsoids mit den ur alle,(a) atwist = 0, (b) atwist = 1, (c) Parametern: ataper = 2/3, abend = 1/3 f¨ atwist = 2 und (d) atwist = 3

(a)

(b)

(c)

(d)

Abb. 3.6. Tapering, Twisting und Bending eines Ellipsoids mit den Parametern: ur alle, (a) abend = 0, (b) abend = 1/5, (c) abend = 2/5 und ataper = 3, atwist = 2/3 f¨ (d) abend = 3/5

Die Abbildung 3.5 zeigt an vier Beispielen eine Kombination der TaperingBending- und Twisting-Funktionen. Hierbei betragen die Gewichte f¨ ur die

66

3 Deformationen

Verj¨ ungungsoperation ataper = 2/3 und die Biegeoperation abend = 1/3. Die Gewichte f¨ ur die Koordinatenverdrehung weisen die Werte atwist = 0, 1, 2 sowie 3 auf. Die Abbildung 3.6 zeigt eine weitere Kombination dieser drei Transforur mationen. Das Gewicht f¨ ur die Tapering-Operation betr¨agt ataper = 3, f¨ ahrend f¨ ur die Bending-Operation die die Twisting-Operation atwist = 2/3, w¨ Werte abend = 0, 1/5, 2/5 sowie 3/5 verwendet werden. Lokalisierung von Deformationen. Wie bereits erw¨ahnt, wirken sich die Deformationen auf den gesamten Koordinatenraum aus. Soll die Auswirkung der Deformationen begrenzt werden, so ist der Koordinatenbereich, der den Einflussbereich ihrer Transformationsfunktionen definiert, auf den gew¨ unschten Bereich einzuschr¨ anken. Die Beschr¨ankung des Wirkungsbereichs der Transformationsfunktionen f¨ uhrt jedoch oft zu Diskontinuit¨aten auf der Oberfl¨ ache, die in Knicke“ oder Farbspr¨ ungen zum Ausdruck kommen. ” 3.1.2 Freiformdeformationen Mit der Freiformdeformation (FFD) wurde eine weitere Methode f¨ ur die Objektdeformation von Sederberg und Parry in [19] vorgestellt. Die Deformationen werden hierbei indirekt auf das Modell u ¨ bertragen, das von einem sog. Berandungsk¨ orper in Form eines Parallelepipeds (axis aligned bounding box bzw. hier ein Quader) umgeben ist. Seine sechs Seitenfl¨achen werden in regelm¨ aßige (rechteckige) Gitter unterteilt. Die Schnittpunkte der Gitterlinien bilden die Kontrollpunkte zur Steuerung der Verformung und k¨onnen interaktiv oder im Falle einer Animation durch prozedurale Methoden ver¨andert werden. Um das eingebettete Objekt zu deformieren, ist es erforderlich, die Verschiebung der Kontrollpunkte des Gitters auf das Objekt zu u ¨ bertragen, dessen neue Oberfl¨ achenkoordinaten durch Spline-Approximation ermittelt werden. Hierzu wird das umschließende Parallelepiped von drei orthonormalen Vektoren S, T und U aufgespannt, die von dem Eckpunkt P0 ausgehen. Die Betr¨ age dieser drei Vektoren entsprechen den Kantenl¨angen des Berandungsk¨ orpers. Jeder Punkt P innerhalb des Parallelepipeds kann durch die Linearkombination P = P0 + s · S + t · T + u · U mit 0 ≤ s ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 1 und 0 ≤ u ≤ 1 dargestellt werden. Die Parameter s, t und u f¨ ur einen beliebigen Punkt P innerhalb des Parallelepipeds werden mit den Gleichungen

s=

S × U(P − P0 ) S × T(P − P0 ) T × U(P − P0 ) , t= , u= T×U·S S×U·T S×T·U

(3.1)

ermittelt. Das Kontrollgitter besitzt (l + 1) × (m + 1) × (n + 1) Ebenen in Richtung der Vektoren S, T und U. Aufgrund dieser Festlegungen erhalten

3.1 Geometrische Techniken

67

wir die Position eines Kontrollpunktes Pijk mit: Pijk = P0 +

j k i ·S+ · T + · U. l m n

Die Deformation wird durch Verschiebung der Kontrollpunkte Pijk spezifiziert und beispielsweise durch Bezier-Spline-Approximation auf die Koordinaten des zu transformierenden Punktes P u ¨ bertragen. Hierzu werden zuerst die Koordinaten des Punktes P mit den Glgn. 3.1 in die korrespondierenden Parameter s, t und u umgerechnet. Die Berechnung des deformierten Punktes Pf f d (s, t, u) erfolgt mit: Pf f d

l   m   n      l i m j n k l−i m−j = s (1 − s) t (1 − t) u (1 − u)n−k Pijk . i j k i=0 j=0 k=0

Die Berechnungen vereinfachen sich, wenn X0 in den Koordinatenursprung verschoben und das Berandungsobjekt zum Einheitsw¨ urfel transformiert wird. Nach der Deformation ist die hierzu notwendige Translation und Skalierung wieder r¨ uckg¨ angig zu machen. Der Vorgang wird in Abb. 3.7 dargestellt. Die

Z

Weltkoordinaten Z

Y X

Y X Translation & Skalierung

1,0,1 1,1,1 0,1,0

Kontrollgitter FFD

u U

1,1,0 0,0,0 T S

U

t s 1,0,0

Parameterraum

T S

Abb. 3.7. Prinzip der FFD

inverse Skalierung & Translation

68

3 Deformationen

zus¨ atzliche Verschiebung und Skalierung muss bei der Bestimmung des Rechenaufwandes ber¨ ucksichtigt werden. Die Freiformdeformationen sind nicht auf spezielle geometrische Repr¨asentationen beschr¨ ankt. Sederberg und Parry verwenden als Basisfunktionen Bernstein-Polynome, die jedoch auch durch andere Basen ersetzbar sind. Erweiterungen der Freiform-Deformation. Einer der Nachteile der oben diskutierten FFD-Technik ist die Beschr¨ ankung auf quaderf¨ormige Gitter. Mit einer Erweiterung dieses Verfahrens, der von Sabine Coquillard entwickelten Extended-FFD (EFFD) [20], konnte die Freiform-Deformation auch auf Gitterformen, wie z.B. in Abb. 3.8 dargestellt, angewendet werden. Mit dieser neuen Technik lassen sich Deformationen als Formgeneratoren (shaped warps) einsetzen. Die Koordinatentransformation des Modells, die eine Verschiebung der Punkte des Kontrollgitters hervorruft, erfolgt, wie in [19], durch Linearkombination von Tensorprodukten der Bezier-Kurven. Eine andere Erweiterung der FFD-Technik auf Gitter mit beliebiger Topologie wurde von Ron MacCracken und Kenneth I. Joy [21] entwickelt. Sie verwenden ein Catmull-Clark Unterteilungsschema f¨ ur Fl¨achen und erhalten dadurch eine wohldefinierte topologische Struktur, mit der sich neue Gitter durch Vereinigung von Fl¨ achen erzeugen lassen. Die Anwendung dieser Verformungsgitter vollzieht sich analog zu der Technik von Coquillard. r1 s1 t1

zylinderförmiges Kontrollgitter

s1 t1 r1 t2

s2 r2

toroidales Kontrollgitter

Abb. 3.8. Kontrollgitter f¨ ur die EFFD

3.1.3 Wires Die Wire-Deformationstechnik von Singh und Fiume [22] ist eine FreiformDeformationstechnik, die lokalere Eigenschaften als die FFD oder die EFFD hat. Dazu werden zwei parametrische Kurven – eine Deformationskurve und eine Referenzkurve – definiert, die an eine Objektgeometrie gebunden werden. Bewegt man die Deformationskurve bez¨ uglich der Referenzkurve, wird die assoziierte Objektgeometrie verformt. Wires lassen sich zu Netzen verbinden,

3.1 Geometrische Techniken

69

mit denen man kombinierte Deformationen ausf¨ uhren kann. So ist es auch m¨oglich, die FFD z.B. durch ein Gitter von Wires nachzubilden.

c Abb. 3.9. Deformationen mit Wires (mit Genehmigung von [22],
ACM 1998)

Deformation mit der Wire-Technik. Ein Wire ist als Tupel W, R, s, r, f  definiert. Hierin sind W und R parametrische Kurven, s ist ein radialer Skalierungsfaktor, r bezeichnet den Einflussradius um R und f : R+ → [0, 1] ist eine mindestens C 1 kontinuierliche Dichtefunktion. Die Dichtefunktion f ist monoton fallend, wobei die folgenden Bedingungen gelten: f (0) = 1, f (x) = 0 f¨ ur x ≥ 1, f  (0) = 0 und f  (1) = 0. Die Festlegung der Kurven R und W erfolgen durch den Benutzer, wobei W zun¨ achst eine Kopie von R ist. Die Parameter s und r lassen sich ebenfalls vom Benutzer einstellen. Der Einfluss eines Wires auf eine Objektgeometrie wird durch den Radius r um die Referenzkurve R beschr¨ ankt. Die Dichtefunktion f beschreibt dabei den Einfluss auf Punkte innerhalb des in Abb. 3.10 grau dargestellten r¨aumlichen Gebietes. Die Unterschiede der Deformationskurve W zur Referenzkurve R beschreibt die Art der Deformation auf die Koordinaten der Objektgeometrie, die sich im Einflussbereich der Dichtefunktion f befinden. Der Einfluss von f auf einen Punkt P der Objektgeometrie wird mit   P − R(pr ) F (P, R) = f r definiert. Aus den Eigenschaften von f lassen sich folgende Aussagen f¨ ur F (P, R) treffen: • •

Wenn P − R ≥ r dann ist F (P, R) = 0. Der Punkt P ist in diesem Fall außerhalb des Einflussbereiches, der durch R und r definiert wird. Wenn P − R = 0 dann ist F (P, R) = 1. Der Punkt P befindet sich in diesem Fall auf der Referenzkurve R.

70

3 Deformationen

Die Transformation von P wird durch den Abstand von dem auf der Referenzkurve R befindlichen Punkt R(pr ) zum korrespondierenden Punkt W(pr ) auf der Deformationskurve W bestimmt. Singh und Fiume benutzen eine direkte Referenz von W und R in Abh¨ angigkeit von den Kurvenparametern. Eine Korrespondenz auf Basis der Bogenl¨ ange beider Kurven ist ebenfalls m¨oglich. Wenn die W -Kurve bewegt wird, werden alle Punkte der Objektgeometrie, f¨ ur die F (P, R) > 0 gilt, verschoben. Die Wire-Deformation l¨asst sich hierbei in drei Schritte unterteilen: 1. Der Punkt P wird mit R(pR ) skaliert, woraus der Punkt Ps = P + (P − R(pR )) · (1 + (s − 1) · F (P, R)) resultiert. ˙ R ) und R(p ˙ R ) an den Kurvenpunkten 2. Mit den Tangentenvektoren W(p W(pR ) und R(pR ) wird der Zwischenwinkel θ bestimmt. Ps wird anschlie˙ R) ˙ R ) × R(p ßend mit dem Winkel θ · F (P, R) um den Achsenvektor W(p gedreht, der durch den Punkt R(pR ) verl¨ auft. Hierdurch erhalten wir den Punkt Pr . 3. Indem wir im letzten Schritt Pr mit dem Vektor (W(pR )−R(pR ))·F (P, R) verschieben, erhalten wir den neuen Punkt Pdef = Pr +(W(pR )−R(pR ))· F (P, R). Die Deformationen eines Punktes P kann auch mit einer Kombination mehur die folgende Deforrerer Wires Wi , Ri , si , ri , fi  erfolgen. In [22] ist hierf¨ mationsgleichung angegeben: ' |m| j=i ∆Pj  i=1 ∆Pi . . n ' |m| i=1 j=i ∆Pj 

n Pdef = P +

W W(pr) f=0

W(pr)

q

f>0 R

R(pr)

r

R(pr) Pdef

gewichtete Translation

P 1.

3.

Pr

2.

radiale Skalierung: s>1

Ps Rotation um R(pr) mit gewichtetem Winkel F(P,R) q

Abb. 3.10. Deformation des Punktes P nach Pdef

3.1 Geometrische Techniken

71

Hierin ist ∆Pi = Pdefi − P, worin Pdefi jener Punkt ist, der durch das i-te Wire deformiert wird. Ist m = 0, so erh¨alt man den Mittelwert aller Deformationen; ist m < 0, k¨ onnen Singularit¨aten entstehen. Eine einfache L¨ osung besteht darin, entweder nur positive Werte f¨ ur m zuzulassen oder jene ∆P -Werte, die den Wert 0 aufweisen, bei der Berechnung von Pdef zu ignorieren. 3.1.4 Skinning Mit Skinning werden Verfahren bezeichnet, die H¨ ullfl¨achen, die Skelette ummanteln, bei Dehnungen der skelettalen Gelenke so deformieren, dass weder Risse, ungewollte Falten oder Knicke enstehen. Wie der Begriff Skinning schon andeutet, sind diese Verfahren f¨ ur die Deformation der Haut entwickelt worden. Das Skinning erfolgt auf der Ebene der H¨ ullfl¨achengeometrie, wobei zwei Operationen, das Vertex-Tweening und das Vertex-Blending, zur Anwendung kommen: Vertex-Tweening. Beim Vertex-Tweening wird eine neue Position eines polygonalen Eckpunktes v durch eine lineare Interpolation zwischen den Positionen v1 und v2 mit dem sog. Tweenfactor α (0 ≤ α ≤ 1) berechnet. Dieses Verfahren ist im Prinzip nichts anderes als ein Keyframing auf der Basis von Oberfl¨ achengittern, wobei die Vertex-Tweening Operation mit v = v1 · (1 − α) + v2 · α definiert ist. Vertex Blending. Das Vertex-Blending funktioniert ¨ahnlich dem Vertex Tweening. Der Unterschied besteht lediglich darin, dass beim Vertex-Blending die Interpolation mit mehr als zwei Eckpunkten erfolgen kann2 , die auch unterschiedlich gewichtet sind. Hierdurch l¨ asst sich eine bessere Steuerung des Interpolationsprozesses erzielen. Die Vertex-Blending Operation ist mit der Gleichung  n−1  αi , v = v1 · α1 + · · · + vn−1 · αn−1 + vn 1 − definiert, wobei die Bedingung

2

 i

i=1

αi < 1 gilt.

Vertex-Blending sowie auch Vertex-Tweening wird durch graphische API’s, wie TM R von Microsoft unterst¨ utzt. z.B. DirectX“
”

72

3 Deformationen

3.1.5 Aspekte der Animation geometrischer Deformationen Prinzipiell l¨ asst sich jede Verformungstechnik f¨ ur die Computeranimation einsetzen. Um die globalen Verformungstechniken in Animationen einsetzen zu k¨onnen, muss jedoch die Transformationsfunktion f der Deformationstransformation kontinuierliche Werte in Abh¨ angigkeit eines Zeitparameters liefern. Die Bending-Transformation w¨ urde dann beispielsweise den Biegewinkel der Funktion fangle (z, a, ft , t) = πft (a, t)z u ¨ ber den Parameter t kontinuierlich ver¨ andern. Chadwick, Haumann und Parent [23] setzen Freiformdeformationen f¨ ur die Simulation von Muskelkontrakionen ein. Hierzu werden FFD-Gitter um das polygonale Modell eines Oberarms gelegt, mit dem Ziel, den Eindruck eines kontrahierenden Armmuskels zu erzeugen. Abh¨angig vom Armgelenkwinkel wird, wie in Abb. 3.11 dargestellt, durch lokale Skalierung und Verschiebung des FFD-Gitters der Effekt eines anschwellenden Oberarmmuskels erzeugt. Sabine Coquillart [24] beschreibt mit der animierten FFD (AFFD) eine Methode, um dynamische Verformungen mit zwei Kontrollgittern darzustellen. Im einfachsten Fall l¨ asst sich das eine Kontrollgitter als eine Verformung des anderen Gitters betrachten, wobei sich diese durch eine zeitabh¨angige Keyframe-Interpolation wechselseitig ineinander u uhren lassen. ¨berf¨ Eine weitere M¨ oglichkeit besteht darin, ein Objekt innerhalb eines feststehenden Kontrollgitters zu bewegen, wodurch die Verformung des Objektes von der lokalen Gitterstruktur abh¨ angt. Beide Methoden, die Animation des Kontrollgitters und die Bewegung des Objektes relativ zum Gitter, lassen sich kombinieren.

 Abb. 3.11. Darstellung einer Muskelkontraktion des Oberarms mit Hilfe der AFFD

3.2 Dynamische Deformationen In diesem Abschnitt wird eine Reihe von Verfahren vorgestellt, die f¨ ur die Deformationen eines Modells Gesetze der Newton’schen Mechanik verwenden. Diese Verfahren sind Adaptionen f¨ ur die Computeranimation von bew¨ahrten mathematischen Techniken aus den Ingenieursdisziplinen. Sie unterscheiden

3.2 Dynamische Deformationen

73

sich untereinander hinsichtlich der modellierten Eigenschaften des Modells, der Genauigkeit, Robustheit und Stabilit¨ at sowie dem ben¨otigten Rechenaufwand. Da kein einzelnes Verfahren alle Kriterien gleich gut modelliert, ist die Entscheidung f¨ ur ein Verfahren ein Kompromiss zwischen verschiedenen Anforderungen an die Animation. Die mechanischen Eigenschaften eines K¨ orpers kann man mit Hilfe einer Funktion beschreiben, die dessen momentanen Zustand auf eine Anordnung von im K¨ orper wirkenden Kr¨ aften abbildet. In den meisten (nicht-trivialen) F¨ allen wird diese Funktion sowohl nicht-linear sein, als auch eine große Anzahl von Variablen enthalten. Das wiederum bedeutet, dass man zur Beschreibung eines neuen zeitabh¨ angigen Zustands dieses K¨orpers eine große Anzahl von nicht-linearen Differentialgleichungen l¨ osen muss. Die Komplexit¨at dieser Gleichungssysteme l¨ asst eine analytische L¨ osung nicht zu, weshalb sie numerisch gel¨ ost werden m¨ ussen. Die Stabilit¨ at und die Genauigkeit der verwendeten L¨ osungsmethoden bestimmen dann im Weiteren die Qualit¨at der L¨osung. Die nun im Folgenden vorgestellten, f¨ ur die Computeranimation adaptierten Verfahren zur dynamischen Deformation, machen fast alle Abstriche bei der Pr¨ azision zu Gunsten der Effektivit¨ at. Das vorrangige Ziel dabei ist, visuell plausibel bez¨ uglich der angestrebten Anwendungsklasse zu bleiben. 3.2.1 Feder-Masse-Systeme Feder-Masse-Systeme liefern eine effektive Methode, elastische Deformationen eines K¨ orpers zu simulieren. Sie sind nicht nur einfach zu konstruieren, sondern auch in den meisten F¨ allen f¨ ur den interaktiven Einsatz geeignet, da sich die resultierenden Differentialgleichungen selbst f¨ ur Zehntausende von Verbindungen in Echtzeit l¨ osen lassen. Anwendungen von Feder-Masse-Systemen sind beispielsweise in Gesichtsmodellen [25, 26] oder der Stoffanimation zu finden [27]. F¨ ur den Aufbau eines Feder-Masse-Systems wird eine Anzahl von Massepunkten auf den K¨orper ver¨ teilt und mit mechanischen Federmodellen verbunden. Ublicherweise werden, wie Abb. 3.12 zeigt, regelm¨ aßige Gitterstrukturen aufgebaut, um ein einfach zu implementierendes Modell zu erhalten. F¨ ur die Federn wird meistens ein lineares (Hooke’sches) Modell verwendet, angenver¨ anderungen der Realit¨at entspricht3 . ur kleine L¨ das allerdings nur f¨ Die statische Federkraftkomponente Fstat repr¨asentiert die einfache Beziehung zwischen der linearen Federkonstanten k, die die Steifigkeit der Feder gegen¨ uber ihrer L¨ angen¨ anderung ∆x bezogen auf die Ruhel¨ange L darstellt. Fstat = −k(∆x − L).

(3.2)

Die dynamische Verhalten eines ged¨ ampften, gitterf¨ormig angeordneten FederMasse-Systems l¨ asst sich demnach wie folgt beschreiben: 3

Es gibt auch Beispiele, bei denen nichtlineare Federmodelle verwendet wurden (z.B. bei der Modellierung von Haut, die oft nicht-elastische Merkmale aufweist).

74

3 Deformationen

mi x ¨i =



kij (|xi − xj | − Lij )

j∈Si

xj − xi − ci x˙ i + fi |xj − xi |

(3.3)

Abb. 3.12. Gitterf¨ ormiges Zellensystem mit Feder-Masse-D¨ ampfer-Elementen

Auf der linken Seite der Gleichung 3.3 ist mi die Masse des Punktes i mit ¨i 4 . Auf der rechten Seite stehen die der Position xi und der Beschleunigung x Kr¨ afte, die auf die Punktmassen wirken. Hier werden im ersten Term alle Federkr¨ afte summiert, die den Massepunkt i mit anderen, benachbarten Masur den aktusepunkten verbindet. Diese Federn seien Elemente der Menge Si f¨ ellen Massepunkt i. Die Federkonstante ist hier durch kij und die Ruhel¨ange der Feder zwischen Punkt i und Punkt j mit Lij bezeichnet. Der zweite Term ist ein skalare D¨ ampfungskraft, die von der momentanen Geschwindigkeit des Massepunktes abh¨ angt und daf¨ ur sorgt, dass dem System Energie entzogen wird und dadurch die Bewegungen nach einiger Zeit zum Stillstand kommen. alt man den Eindruck, die MassepunkW¨ ahlt man einen hohen Wert f¨ ur ci , erh¨ te seien in eine z¨ ahfl¨ ussige Substanz eingebettet. Der letzte Term bezeichnet eine Kraft, die auf den Massepunkt i von außen einwirkt. Das kann z.B. die Gravitation, Windkraft oder ein direkter Impuls sein. Zur L¨ osung des Differentialgleichungssystems lassen sich verschiedene numerische Integrationstechniken verwenden. Vielfach wird hierzu das bez¨ uglich der Zeitschrittweite adaptive Euler- bzw. Runge-Kutta-Integrationsverfahren eingesetzt. Das System l¨ asst sich in iterativer Weise jedoch auch vorw¨arts-entwickeln“, ” in dem f¨ ur die Integration feste Zeitinkremente eingesetzt werden. Die Glei4

Zweites Newton’sches Gesetz.

3.2 Dynamische Deformationen

75

chung 3.3 wird dann direkt f¨ ur jeden Zeitschritt gel¨ost, der dann als Ausgangspunkt f¨ ur die n¨ achste Iteration dient. Diese Vorgehensweise bietet sich f¨ ur einfache interaktive Simulationen an. Sie entspricht dem Euler-Verfahren mit nicht-adaptiver Schrittweite und birgt deshalb die Gefahr, dass das System instabil wird. Obwohl Feder-Masse-Systeme leicht zu konstruieren sind, haben sie eine Reihe von Nachteilen, die ihren Einsatz beschr¨ anken. Zun¨achst ist die Konzentration der Masse in wenigen Punkten eine starke Vereinfachung von kontinuierlichen Materialien. Die spezielle Verteilung von Material mit verschiedenen Eigenschaften innerhalb eines K¨ orpers l¨ asst sich zwar durch eine unterschiedliche Einstellung der Federkonstanten erreichen, es ist jedoch sehr aufwendig, selbst f¨ ur einfache Materialverteilungen eine geeignete Kalibrierung der Federkonstanten zu finden. Auch lassen sich d¨ unne Schalen und W¨ande nur schwer mit einem Federmodell beschreiben. In einigen F¨ allen kann man sich mit zus¨ atzlichen Federn, die als Verstrebungen dienen, behelfen. Wenn diese Systeme starre Materialien repr¨asentieren oder wenn starre Verbindungen vorhanden sind, m¨ ussen den entsprechenden Federkonstanten sehr hohe Werte zugewiesen werden. Dies f¨ uhrt bei der L¨ osung des Differentialgleichungssystems zu sog. Steifigkeitsproblemen5 . Die damit verbundene numerische Instabilit¨ at ist nur mit sehr aufwendigen L¨osungsverfahren beherrschbar, deren hoher Rechenaufwand einen Echtzeiteinsatz verhindern w¨ urde. Um die Deformationen darstellen zu k¨ onnen, ist das dynamische Modell mit einem geometrischen Modell zu verkn¨ upfen. So l¨asst sich eine explizite Zuordnung zwischen den beiden Repr¨ asentationen schaffen und in einem gesonderten Schritt die Bewegungen auf das Geometriemodell u ¨ bertragen. Alternativ hierzu kann auch ein gemeinsames Modell erzeugt werden, indem wir f¨ ur die Positionen der Massepunkte die Eckpunkte einer polygonalen Oberfl¨achenrepr¨ asentation verwenden. 3.2.2 Finite Elemente Die Finite Elemente Methode (FEM) ist ein leistungsf¨ahiges Berechnungsverfahren, das in den 50er Jahren urspr¨ unglich nur zur Untersuchung von Belastungsproblemen in der Strukturmechanik und an Festk¨orpern entwickelt wurde. Sp¨ ater fand dieses Verfahren auch Anwendung f¨ ur viele weitere Problemklassen, wie der Str¨ omungsmechanik oder bei der L¨osung von W¨armeleitungsproblemen. Es gibt eine Vielzahl von B¨ uchern, die das Thema ausgiebig behandeln [28], [29]. In diesem Abschnitt soll nur die prinzipielle Vorgehensweise der FEM skizziert werden. Bei der auf der Kontinuumsmechanik basierenden Finite Elemente Methode l¨ asst sich das physikalische Verhalten elastischer Festk¨orpermodelle, 5

Steifigkeitsprobleme bewirken numerische Instabilit¨ aten bei Simulationen. Diese wirken sich so aus, als ob der simulierte K¨ orper explodiert.

76

3 Deformationen

Ausgangsobjekt

FE-Struktur Diskretisierung

Volumenelement Elementknoten

Abb. 3.13. Transformation einer Kugel in ihre FE-Struktur

bei denen Masse und Energie kontinuierlich im Material verteilt sind, wesentlich genauer als mit Feder-Masse-Modellen beschreiben. Kontinuumsmodelle betrachten das Gleichgewicht von allgemeinen K¨orpern, die sich unter dem Einfluss externer Kr¨ afte befinden. Eine Deformation wird hierbei als eine Funktion der Materialeigenschaften sowie der Kr¨afte betrachtet, die auf einen elastischen K¨ orper einwirken, dessen Gesamtpotential Π aus der Form¨ anderungsarbeit Πi und dem Potential der a¨ußeren Kr¨afte Πa besteht: Π = Πi + Πa . Die Arbeit, die durch die externen Belastungen entsteht, teilt sich in die lokal wirkenden Kr¨ afte (z.B. Kontaktkr¨ afte), in allgemeine Kr¨afte, die u ¨ber den ganzen K¨ orper verteilt sind (z.B. Gravitationskr¨afte) sowie in Fl¨achenkr¨afte, die auf die Oberfl¨ ache des Objekts einwirken (z.B. Druckkr¨afte). Um die Form eines K¨ orpers zu bestimmen, der sich im Kr¨aftegleichgewicht befindet, werden Πi und Πa als Funktion der Deformationen des K¨orpers ausgedr¨ uckt, die sich als Funktion der Materialverschiebungen darstellen lassen6 . Wir erhalten das Kr¨ aftegleichgewicht, wenn die erste Ableitung des Gesamtpotentials bez¨ uglich den sog. virtuellen Verschiebungen zu Null wird. Um die Verformung eines elastischen K¨ orpers basierend auf der oben genannten Gleichgewichtsbedingung zu berechnen, wird dieser durch ein r¨aumliches Netz diskretisiert (s. Abb. 3.13). Die Diskretisierung des K¨orpers mit einer endlichen (finiten) Anzahl von z.B. Stabelementen, denen geometrische (L¨ ange, Querschnitt) sowie physikalische Eigenschaften (z.B. Festigkeit) zugeordnet sind, erm¨ oglicht es, seine Verformung unter Einwirkung ¨außerer Kr¨ afte zu berechnen. Die Angriffspunkte, an denen diese Kr¨afte auf ein Element einwirken k¨ onnen, werden als Knoten bezeichnet. Je feinmaschiger das Netz ist, umso exakter l¨ asst sich die Kr¨ afteverteilung innerhalb des K¨orpers sowie seine Verformung bestimmen. Sein Gesamtpotential ist nach der Diskretisierung die Summe der Gesamtpotentiale seiner Elemente. 6

Im Fall eines diskretisierten K¨ orpers, der durch ein Netz miteinander interagierender Massenpunkte repr¨ asentiert wird, lassen sich die Materialverschiebungen durch die r¨ aumliche Ver¨ anderung der Positionen der Massenpunkte darstellen.

3.2 Dynamische Deformationen

Π = Πi + Π a =

n 

77

(πij + πaj ).

j

Im Folgenden betrachten wir das Gesamtpotential eines einzelnen Elementes (FE) etwas genauer. Es wird von dem externen Kraftvektor F, den virtuellen Verschiebungen d = ∆x des Ortsvektors x sowie der Steifigkeitsmatrix K mit 1 T d Kd − dT F (3.4) 2 bestimmt. Die Steifigkeitsmatrix bestimmt die Verformbarkeit eines Elementes. Sie repr¨ asentiert die linearisierten elastischen Materialeigenschaften, die Geometrie des Elementes sowie die Freiheitsgrade der Knoten hinsichtlich ihrer Verschiebungen. Die oben angef¨ uhrte Gleichgewichtsbedingung (Π˙ = 0) f¨ ur das Gesamtpotential des diskretisierten elastischen K¨ orpers muss nat¨ urlich auch f¨ ur seine einzelnen Elemente gelten. Wir erhalten somit aus Glg. 3.4 mit π = πi + πa =

∂π = Kd − F = 0, ∂d die Gleichgewichtsbeziehung f¨ ur ein einzelnes Element: F = K d. Beispiel. Diese Zusammenh¨ ange lassen sich an einem einfachen Beispiel verdeutlichen, das in Abb. 3.14 dargestellt ist: Ein Gewicht mit der Masse m ist an einer Feder mit der Steifigkeit k angeh¨angt, die an einem Fixpunkt befestigt ist. Die L¨ angen¨ anderung der Feder d (virtuelle Verschiebung) soll bestimmt werden, die durch die Gravitationskraft mg verursacht wird. Wir erhalten das Gesamtpotential dieser Anordnung entsprechend Glg. 3.4 mit π = πi + πa =

1 2 kd − m g d, 2

den station¨ aren Zustand mit ∂π = kd − mg = 0 ∂d

(3.5)

und die gesuchte, station¨ are L¨ angen¨ anderung mit dstat = mg/k. Neben zwei- und dreidimensionalen Stabelementen werden zur Diskretisierung auch Balken- und Scheibenelemente sowie Platten- und Schalenelemente verwendet. Die FE-Modellierung von K¨ orpern erfolgt vorzugsweise mit Tetraeder-, Pentaeder- oder auch mit Hexaederelementen. Jedem dieser Elementtypen ist eine spezielle Steifigkeitsmatrix zugeordnet, die entsprechend den oben genannten Eigenschaften parametrisiert ist. Diese Matrizen lassen

78

3 Deformationen

k k g m Ustat =

mg k

m

Abb. 3.14. Beispiel zum Prinzip des Gesamtpotentials

sich wie Bausteine behandeln, mit denen die Gesamtsteifigkeitsmatrix K einer komplexen FE-Struktur nach einem formalen Schema entsprechend ihren ¨ r¨ aumlichen Beziehungen (Knotenverbindungen) durch additive Uberlagerung konstruiert wird. Da auf die Knoten einer FE-Struktur, die in K formalisiert ist, Kr¨ afte einwirken, m¨ ussen diese als Randbedingungen definiert werden. Diese Kr¨ afte lassen sich außer in die globalen Knotenkr¨afte P, auch in Auflagekr¨ afte A sowie in Volumenkr¨ afte V unterteilen. Mit den Auflagekr¨aften erfolgt die Fixierung eines Knotens an einer festen Position; d.h. es tritt keine Verschiebung des betreffenden Knotens auf. Die Volumenkr¨afte stellen die Eigengewichte der Elemente dar. Analog zum station¨ aren Zustand eines einzelnen Elementes (s. Glg. 3.5) erhalten wir f¨ ur das Gesamtsystem, unter Vorgabe der Randbedingungen f¨ ur die Knotenverschiebung, die Gleichgewichtsbeziehung: K D = A + P + V. Dieses lineare Gleichungssystem muss nach dem Knotenverschiebungsvektor D, der die Materialverschiebungen repr¨ asentiert, gel¨ost werden. Dies k¨onnte nat¨ urlich theoretisch durch Invertieren der Steifigkeitsmatrix K und der Multiplikation mit den Kr¨ aftevektoren erfolgen. Da aber die Genauigkeit einer Finite Elemente Analyse von der Feinheit der Diskretisierung abh¨angt, kann dieses Gleichungssystem in der Praxis sehr groß werden (z.B. mehr als 105 Freiheitsgrade bei großen Strukturen) und der erforderliche Rechenaufwand einen derartig einfachen L¨ osungsweg nicht zulassen. Es ist daher von ganz wesentlicher Bedeutung, wie effizient das lineare Gleichungssystem gel¨ost werden kann. Zusammenfassend lassen sich die einzelnen Schritte der Methode der Finiten Elemente wie folgt darstellen: 1. Diskretisierung der realen Struktur mittels geeigneter Elementtypen. Die einzelnen Elemente sind an den Knotenpunkten miteinander verbunden.

3.2 Dynamische Deformationen

79

2. Festlegung der unbekannten Knotenpunktverschiebungen. Die Gesamtheit dieser Verschiebungen beschreibt das Steifigkeitsverhalten der diskretisierten Gesamtstruktur. 3. Aufstellen des linearen Gleichungssystems der Gesamtstruktur unter Ber¨ ucksichtigung der vorgegebenen Gleichgewichtsbedingungen f¨ ur die Knotenkr¨ afte. 4. Berechnung der Knotenverschiebungen entsprechend den Gleichgewichtsbedingungen. 5. Darstellung des FE-Netzes unter Ber¨ ucksichtigung der Knotenverschiebungen. Nichtlineare FEM. Bei den obigen Betrachtungen wurde, um die Problemstellung zu vereinfachen, davon ausgegangen, dass die Gleichgewichtsbedingungen u ¨ ber die Zeit konstant bleiben und dass sich die Randbedingungen nicht ¨ andern. Die ermittelten Gleichungen entsprechen somit einer linearen Strukturberechnung, wobei die ermittelten Knotenverschiebungen eine lineare Funktion der wirkenden Kr¨ afte sind. Dies kann jedoch n¨aherungsweise nur bei kleinen Knotenverschiebungen angenommen werden, da dort ein weitgehend linearer Zusammenhang zwischen Kr¨ aften und Verschiebungen der Netzknoten besteht. Bei großen Knotenverschiebungen oder Verdrehungen gehen wir von nichtlinearen strukturmechanischen Problemstellungen aus. Diese k¨onnen auch durch nichtlineare Randbedingungen, die beispielsweise durch Reibung und Kontaktkr¨ afte entstehen sowie durch materialbedingte Nichtlinearit¨aten oder durch instation¨ ares Strukturverhalten erzeugt werden. Die Berechnung der Knotenverschiebungen erfolgt hierbei in vielen F¨allen mit partiellen, nichtlinearen Differentialgleichungssystemen, die aufgrund ihrer großen Komplexit¨ at hier nicht diskutiert werden k¨onnen. Nichtlineare Finite-Elemente-Methoden werden ausf¨ uhrlich in [30] behandelt. Interpolation. Die Verschiebung eines Punktes, der sich zwar innerhalb einer FE-Struktur, jedoch an keiner Knotenposition befindet, kann mit Hilfe der Interpolationsgleichung  h(di ) d≈ i

bestimmt werden. Hierbei ist h die Interpolationsfunktion, w¨ahrend di die Knotenverschiebungsvektoren jenes FE-Volumenelementes repr¨asentieren, das diesen Punkt enth¨ alt. Die Verschiebung von d ist demnach die gewichtete Produktsumme der korrespondierenden Verschiebevektoren. Aspekte der Computeranimation. Der Einsatz der FEM in der Computeranimation war bislang wegen ihres hohen Rechenaufwandes begrenzt. So m¨ ussten bei dynamischen Objektverformungen die Kr¨aftevektoren und die Steifigkeitsmatrix des Systems nach jedem Verformungsschritt neu aufgestellt

80

3 Deformationen

Abb. 3.15. Lokalisierte FEM nach Debunne et al. (mit Genehmigung von [31], c
ACM 2001, s. Farbtafel II)

werden. Diese sehr aufwendige Neuberechnung wird dadurch vermieden, indem nur kleine Deformationen dargestellt werden. Bei starken Deformationen k¨onnen sich zudem leicht lokale Ver¨ anderungen in der Topologie, wie die gegenseitige Durchdringung von Elementen ergeben. Je feiner das Objekt in entsprechend kleine Elemente aufgel¨ ost ist, desto h¨aufiger treten derartige Effekte auf. Debunne et al. [31] beschreiben eine andere Methode, die Auswertung zu beschleunigen, indem sie die eigentlich globalen Berechnungen lokalisieren. Dazu werden hierarchische Gitter unterschiedlicher Aufl¨osung erzeugt, die den Krafteinfluss lokalisieren und die damit zusammenh¨angenden Werte in den Steifigkeitsmatrizen identifzieren helfen (s. Abb. 3.15). Diese Vorgehensweise ist allerdings nicht sehr exakt und wird daher vorrangig nur bei interaktiven Anwendungen verwendet.

3.2.3 Elastisch-deformierbare Kurven, Fl¨ achen und K¨ orper Die von Terzopoulos et al. in [32] vorgestellte Methode zur Darstellung des dynamischen Verhaltens elastisch-deformierbarer Kurven, Fl¨achen und K¨orper basiert auf der Elastizit¨ atstheorie. Dieser Ansatz erlaubt die Simulation des dynamischen Verhaltens von Objekten, die aus Materialien mit sehr unterschiedlichem Dehnungsverhalten, wie Gummi, Stoff oder Papier bestehen k¨ onnen. Die Deformation des geometrischen Objektes ist hierbei von der Verformungsenergie abh¨ angig.

3.2 Dynamische Deformationen

81

Die grundlegende Idee dieses Verfahrens l¨ asst sich anhand der Deformation einer Kurve (s. Abb. 3.16) am einfachsten erkl¨ aren. Wir betrachten hierzu ein im Ruhezustand befindliches, diskretes Kurvenmodell (gestrichelt dargestellt), das sich durch die extern einwirkenden Kr¨ afte Fi auf einer Ebene ver¨andern kann. Diese Ver¨ anderung wird durch Biegung, Dehnung oder Stauchung der Verbindungen zwischen den massebehafteten Knotenelementen bewirkt. Ein stabiler Zustand stellt sich ein, wenn sich die durch die lokalen Dehnungsund Biegekr¨ afte an den Knotenelementen erzeugte potentielle Energie mit den angreifenden Kr¨ aften im Gleichgewicht befinden. Die einzelnen Kraftkomponeten Fi , die an einem Knotenelement angreifen, bewirken lokale Verbiegungen und Dehnungen an den betreffenden Knotenverbindungen, bis ein Gleichgewichtszustand erreicht ist. Fi = −ei ≈ α (∆si ) + β (∆κi ) .

(3.6)

Hierin sind α und β Federkonstanten, die den Widerstand der Kurve gegen Biegung und Streckung darstellen. ∆si und ∆κi repr¨asentieren die L¨angenbzw. Winkel¨ anderungen der Verbindungselemente aus der Ruhelage. Um das Zeitverhalten der dynamisch deformierten Kurve zu berechnen, ist diese als eine Kette (s. Abb. 3.16) mit ged¨ ampften, elastisch verformbaren Gelenkverbindungen sowie mit elastisch verbiegbaren Gelenken zu betrachten. Die Federkraft ei , die entgegen der einwirkenden Kraft Fi gerichtet ist, kann als Produkt (ei = ki ui ) der Federkonstanten ki und der Verschiebung ui des auf den Knotenpunkt i weisenden Ortsvektors xi dargestellt werden. Den Gelenkknoten wird die Masse mi zugewiesen. Die Beschreibung des dynamischen Verhaltens der gesamten Kette erfolgt mit der im Abschn. 3.2.1 eingehend erkl¨ arten Bewegungsgleichung. Das dynamische Deformationsverhalten von Fl¨achen und K¨orpern l¨asst sich prinzipiell in gleicher Weise simulieren, wobei die 2D- oder 3D-Objekte als Gitter diskretisiert werden. Die kinetische Energie und die D¨ampfungskr¨ afte werden an allen massebehaftenen Gitterpunkten ausgewertet, mit der die Verteilung der Materialdichte dargestellt wird. Die dynamischen VerschieDeformation

m3

f1 x2

m2

m5

f4

m1 xi f 2

f3

x1

c

f5

m4

Ruhezustand

m6 f6

c



 c

m  Gelenkmodell

Abb. 3.16. Deformation einer Kurve unter Einwirkung externer Kr¨ afte

82

3 Deformationen

bungen der Ortsvektoren d werden mit den u ur ¨ blichen L¨osungsverfahren f¨ gekoppelte Differentialgleichungen bestimmt. 3.2.4 Hybride Verfahren f¨ ur dynamische Deformation Die diskreten Bewegungsgleichungen sind umso schlechter bestimmbar, je starrer das Objekt wird. Dieser Effekt ist dem Steifigkeitsproblemen bei den Feder-Masse-Modellen sehr ¨ ahnlich. Ein anderes Problem, das bei vielen Repr¨asentationen deformierbarer K¨ orper auftritt, betrifft die Zustandsvektoren, die die diskreten dynamischen Modelle repr¨ asentieren. Diese werden sehr groß und damit nur schwer handhabbar. Hybride Ans¨atze versuchen, dieses Problem durch Unterteilung des Modells in starre und deformierbare Komponenten zu l¨ osen. In [33] wird ein deformierbarer K¨ orper mit einem festen Referenzk¨orper f¨ ur die Verschiebungs- und Drehbewegungen sowie einer diskretisierten Verschiebungsfunktion dargestellt, welche die Positionen der Gitterpunkte relativ zu ihren Referenzpunkten auf dem starren Modell beschreibt. Die Bewegung des Referenzmodells wird mit Standardverfahren f¨ ur die Bewegung starrer K¨orper (rigid body motions) bestimmt. Durch die explizite Modellierung des Ruhezustandes (undeformiert) ist es nicht mehr n¨otig, diesen in der Gleichung des Energiezustandes nach Glg. 3.6 zu ber¨ ucksichtigen. Anstelle des Ruhezustandes wird nun die potentielle Energie als gewichtete Summe der quadratischen Betr¨ age der partiellen Ableitungen (niedriger Ordnung) der Verschiebungsfunktionen betrachtet. Die potentielle Energie ist minimal, wenn der Wert der Verschiebungsfunktion Null und der K¨orper somit undeformiert ist. Der Wert der Verschiebungsfunktion erh¨oht sich monoton, wenn die Deformation zunimmt. Terzopoulos und Fleischer [34] verallgemeinerten diesen Ansatz, um viskoelastische Zust¨ ande (z.B. Zerfließen) und Materialbr¨ uche in deformierbaren K¨orpern modellieren zu k¨ onnen. Dieses wird dadurch erreicht, dass aufwendigere Modelle f¨ ur die Repr¨ asentation der internen Kraftbez¨ uge verwendet werden. F¨ ur viskoses – d.h. fließendes – Verhalten h¨angen die internen Kr¨afte von den zeitlichen Ableitungen der Verschiebungsfunktion ab, das heißt von der Geschwindigkeit der Gitterpunkte und ihren partiellen r¨aumlichen Ableitungen. ucksichtigt die Entwicklung der Deformation Plastisches Verhalten ber¨ u uche werden dadurch modelliert, dass Verbindun¨ ber die Zeit und Materialbr¨ gen zwischen Gitterpunkten gel¨ ost werden, indem die entsprechenden Bez¨ uge in den Gleichungssystemen entfernt werden. 3.2.5 Modale Deformation Die Modale Analyse ist eine Methode, mit der das Schwingungsverhalten und die Eigenfrequenzen elastischer K¨ orper bestimmt werden.

3.2 Dynamische Deformationen

83

Aus unserer Erfahrung wissen wir, dass große H¨angebr¨ ucken bei bestimmten periodischen Erregungen in Schwingung geraten k¨onnen. Die Frequenz und Art der Schwingung (Schwingungsmodus) ist nicht beliebig, sondern durch die spezielle Br¨ uckenkonstruktion vorgegeben. Eine Br¨ uckenkonstruktion kann jedoch, abh¨ angig von der Anregungsfunktion, mit vielen unterschiedlichen Frequenzen (Eigenfrequenzen) und den hiermit korreskondierenden Modi (Eigenformen) schwingen. Die Modale Analyse wurde durch die Arbeit von Alex Pentland und John Williams [35] f¨ ur die Computeranimation adaptiert. Pentland et al. benutzten einen hybriden Ansatz, der zuvor von Terzopoulos et al. beschrieben wurde (siehe oben). Dieser unterteilt die Bewegung eines deformierbaren K¨orpers in einen starren und einen dynamischen Anteil. Der deformierbare Anteil wird dabei in ein Koordinatensystem eingebettet, das sich mit dem K¨orper mitbewegt. Um die Kosten f¨ ur die Berechnung der Vibrationsmodi zu verringern, benutzten sie nur lineare und quadratische Deformationsfelder, die u ¨ber einem rechteckigen Umgebungsvolumen definiert sind, anstelle die Modi des aktuellen Objekts direkt zu berechnen. Das Objekt wird dann in dieses Gitter eingebettet und in gleicher Weise deformiert, wie es bei Freiform-Deformationen geschieht. Die angen¨ aherten Modi liefern allerdings nur bei kompakten K¨orpern zufriedenstellende Ergebnisse, die durch die Gitter hinreichend approximiert werden. Von Hauser, Shen und O’Brien [36] wurde eine neuere Adaption der Technik f¨ ur den interaktiven Einsatz vorgestellt, die sich auch f¨ ur die Spieleindustrie eignet [37]. Ihr Ansatz l¨ asst sich in Kurzform wie folgt beschreiben: Zuerst wird die nicht-lineare Beschreibung des Objektes durch ein diskretes lineares Modell angen¨ ahert. Danach wird ein neues Koordinatensystem gesucht, in dem diese Approximation diagonalisiert wird, d.h. die Matrizen der linearen Beschreibungen sind nur noch entlang der Hauptdiagonalen besetzt. Dadurch werden auch die linearen Gleichungen voneinander entkoppelt. Die Vorteile dieses Verfahrens sind eine effiziente Berechnung und gute Stabilit¨ at, da die linearen Gleichungen analytisch gel¨ost werden k¨onnen. Jede dieser Gleichungen kann auf ihren Beitrag zur Deformation des K¨orpers untersucht werden und es k¨ onnen unerw¨ unschte Terme einfach eliminiert werden. Ein Nachteil des Verfahrens ist, dass die Linearisierung ein bedeutender ur die EntEinschnitt in die Genauigkeit ist. Ein weiterer Nachteil ist, dass f¨ kopplung der linearen Gleichungssysteme eine Eigenwertanalyse vorgenommen werden muss, die oft sehr rechenaufwendig ist. Diese muss allerdings f¨ ur jedes Objekt nur einmal vorgenommen werden und kann dann zusammen mit dem Modell des Objektes gespeichert und bei Bedarf wieder eingelesen werden. Ausgangspunkt ist die linearisierte Bewegungsgleichung ¨=F Kd + Cd˙ + Md

(3.7)

84

3 Deformationen

in der d als Punktverschiebung zu betrachten ist. Indem die D¨ampfungsmatrix C in Glg. 3.7 durch die als Rayleigh-D¨ ampfung bekannte Linearkombination7 C = c1 K + c2 M substituiert wird, erhalten wir ˙ + M(c2 d˙ + d) ¨ =F K(d + c1 d)

(3.8)

Zur Bestimmung der Modi des Systems wird das allgemeine symmetrische Eigenwertproblem Kφ = λMφ gel¨ ost. Als Ergebnis erhalten wir die in der Diagonalmatrix Λ angeordneten Eigenwerte (λ1 , ..., λn ) sowie die zugeh¨origen Eigenvektoren (φ1 , ..., φn ), die spaltenweise in der Matrix W angeordnet sind. Da die Eigenvektoren modal orthonormal sind gilt WT KW = Λ und WT MW = I [29]. Mit diesen Beziehungen l¨ asst sich Glg. 3.8 in Form der modalen, generalisierten Verschiebevektoren darstellen. Wir multiplizieren hierzu Glg. 3.8 mit WT und erhalten ˙ + WT M(c2 d˙ + d) ¨ = WT F. WT K(d + c1 d)

(3.9)

Indem wir den kartesischen Verschiebevektor d in das Modale Koordinaten” system“ u uhren und durch den Vektor z = W−1 d bzw. d = Wz ersetzen ¨berf¨ und den externen Kraftvektor F in Modale Koordinaten“ g = WT F bzw. ” F = W−T g abbilden, erhalten wir: Λz + (c1 Λ + c2 )˙z + ¨ z = g.

(3.10)

Jede Zeile der Glg. 3.10 ist eine Differentialgleichung der Form λi zi + (c1 λi + c2 )z˙i + z¨i = gi deren analytische Auswertung +

−

zi = a1 etωi + a2 etωi .

(3.11)

ergibt. Hierin repr¨ asentiert t die Zeit, a1 und a2 komplexe Konstanten, die sp¨ater durch die Anfangswerte von zi bestimmt werden (worauf hier nicht weiter eingegangen wird) und ωi die komplexe Frequenz des jeweiligen Vibrationsmodus, der durch

−(c1 λi + c2 ) ± (c1 λi + c2 )2 − 4λi ± ωi = 2 bestimmt ist. Der Absolutwert des imagin¨ aren Anteils von ωi ist gleich der Frequenz des Vibrationsmodus (rad/s). Jeder der Modi korrespondiert mit einer Spalte in der Matrix W. Ver¨ andert sich zi , so wird auch eine entsprechende Ver¨ anderung des Objekts bewirkt. Jede Verschiebung oder Geschwindigkeit, die einer Skalierung eines Modus entspricht, resultiert in einer Beschleunigung, die ebenfalls eine skalare Multiplikation des Modus ist. Diese Eigenschaft bedeutet, dass die Modi voneinander unabh¨ angig betrachtet werden k¨onnen. 7

c1 und c2 werden als Rayleigh-Koeffizienten bezeichnet.

3.2 Dynamische Deformationen

ti

ti+1

ti+2

85

ti+3

Abb. 3.17. Typische Anwendung der Modalen Deformation: Infolge der Kollision einer Kugel mit einem elastischen Stab ger¨ at dieser in Biegeschwingungen

Die Gleichung 3.11 muss f¨ ur jeden Zeitschritt t = t + ∆t ausgewertet werden, was einen hohen Aufwand bedeutet. Mit der Regel ea+b = ea eb , beschr¨ankt sich die inkrementelle Aktualisierung auf die Multiplikation mit einem komplexen Wert +

−

+

+

−

−

a1 e(t+∆t)ωi + a2 e(t+∆t)ωi = a1 etωi e∆tωi + a2 etωi e∆tωi . F¨ ur konstante ∆t k¨ onnen die Werte sogar vorausberechnet werden. O’Brien + − schl¨ agt deshalb vor, mit jedem Modus vier Werte σi+ = a1 etωi , σi− = a2 etωi , + − ∆tωi ∆tωi ϕ+ und ϕ− abzuspeichern. i =e i = e Um die Simulation zu starten, werden die Anfangswerte z = W−1 (x − x0 ) ur jeden Modus und z˙ = W−1 x˙ vorgegeben, wobei die entsprechenden Werte f¨ i von σi− und σi+ durch σi± =

(c1 λi + c2 )zi + 2z˙i zi ± 2 2 (c1 λi + c2 )2 − 4λi

(3.12)

bestimmt werden. In einer Simulation k¨ onnen Modi, deren Effekte entweder zu klein oder zu groß sind, vernachl¨ assigt werden. Dadurch ergibt sich eine effizientere Auswertung des Systems. Typischerweise werden oft nicht mehr als 50 Modi verwendet, um eine realistische Deformation zu simulieren. Pro Zeitschritt m¨ ussen Krafteinwirkungen von außen in das Modale Ko” ordinatensystem“ gebracht werden (sind Modi entfernt worden, muss das hierbei ebenfalls ber¨ ucksichtigt werden). Die Kr¨ afte werden dann innerhalb eines Zeitschritts als konstant angesehen, d.h. der Impuls entspricht ∆t F. Der Impuls wird dann in das Modale Koordinatensystem“ wie folgt transformiert ” andert die Geschwindigkeit ∆z˙ = ∆t g. ∆t g = WT ∆t F und ver¨ ¨ Weil das System linear ist, k¨ onnen die Anderungen von σi− und σi+ mit Hilfe der Glg. 3.12 leicht berechnet werden, indem zi = 0 und z˙i = ∆t g gesetzt wird und die Ergebnisse zu den bisherigen Werten von σi− und σi+ addiert werden. Weil die Modi voneinander entkoppelt sind, kann man den Ansatz von Terzopoulos et al. [33] einsetzen und die Simulation in die Modi f¨ ur eine

86

3 Deformationen

starre Bewegung und die Deformation aufteilen. Man erh¨alt so eine hybride Simulation. Die Deformationssimulation ist dann in das lokale Objektkoordinatensystem des K¨ orpers eingebettet und externe Kr¨afte werden auf die Simulation der starren Bewegung und auf die der Deformation angewendet. Das adaptierte Verfahren der Modalen Analyse f¨ ur den Echtzeiteinsatz gliedert sich in zwei Teile. Die erste Phase ist rechenzeitaufwendig und wird als Vorverarbeitung genutzt. Die Berechnungsergebnisse werden zusammen mit dem Modell gespeichert. Obwohl die Gleichungen f¨ ur die Beschreibung der Modalen Analyse relativ kompliziert sind, stellt sich eine Implementierung recht einfach dar, wenn man z.B. frei verf¨ ugbare numerische Bibliotheken wie LAPACK verwendet. Die zweite Phase ist dagegen sehr schnell und kann zur Simulation und Darstellung in Echtzeit benutzt werden. O’Brien schl¨agt dazu die folgende Vorgehensweise vor: I. W¨ ahrend der Modellierphase wird die modale Beschreibung der Objekte vorberechnet: 1. Erzeuge eine Feder-Masse- oder eine FEM-Simulation der Objekte. 2. Aus diesem Simulationsmodell werden die Systemmatrizen K, C, und M f¨ ur eine bestimmte Ruheposition bestimmt. 3. Berechne die Eigenvektoren und Eigenwerte (W und Λ). ur 4. Entferne die Modi, die nicht gebraucht werden und bestimme ωi± f¨ die restlichen Modi. + 5. Wenn die Bildrate konstant ist, berechne die Werte von ϕ− i und ϕi . II. W¨ ahrend der Echtzeitanwendung wird die Simulation ausgewertet: 1. Berechne den Anfangszustand der Simulation (d.h. die Anfangswerte f¨ ur x und x). ˙ ur jeden 2. Benutze die Glgn. 3.12, um die Anfangswerte f¨ ur σi− und σi+ f¨ Modus zu berechnen. 3. Mit jedem Animationsschritt: a. Bestimme alle externen Kr¨ afte f , die auf das Objekt einwirken. b. Berechne ∆z˙ = WT ∆t f und bestimme mit Glg. 3.12 die Inkremente f¨ ur jedes der σi− und σi+ c. Der n¨ achste Zeitschritt wird bestimmt, indem σi± := σi± ϕ± i gesetzt wird. d. Berechne neue Werte f¨ ur z. e. Aktualisiere x = x0 + W z. f. Stelle das Objekt unter der Verwendung der neuen Koordinaten x dar. Die Vorteile der Modalen Analyse gegen¨ uber anderen Verfahren f¨ ur die Modellierung von dynamischer Deformation sind ihre Robustheit in Verbindung mit verschiedenen, auch harten Materialien (hohe Steifigkeit) und die hohe Geschwindigkeit, mit der sie sich berechnen l¨ asst.

3.2 Dynamische Deformationen

87

3.2.6 Vor- und Nachteile dynamischer Animationstechniken Die dynamischen Deformationen sind wegen ihrer Zeitabh¨angigkeit f¨ ur den Einsatz in einer Animation besonders geeignet. Die Kontrolle der Deformation muss u ¨ber Kraftfelder realisiert werden, die sich auch lokal begrenzen lassen. In Kombination mit anderen Bewegungstechniken (kinematisch oder dynamisch) lassen sich so realistische Deformationseffekte erzielen, die mit anderen Interpolationstechniken, wie z.B. dem Keyframing, nur schwer erreichbar sind. Nachteilig ist jedoch der hohe Rechenaufwand, der durch die numerischen Integrationsverfahren zur L¨ osung der partiellen Differentialgleichungen bedingt ist. Weiterhin k¨ onnen, abh¨ angig von den modellierten Materialeigenschaften und den einwirkenden Kr¨ aften, Instabilit¨aten bei den numerischen L¨osungsverfahren (Steifigkeitsproblem) auftreten.

4 Warping und Morphing

Warping und Morphing sind Techniken, die in der Computergrafik und speziell in der Computeranimation weit verbreitet sind. Unter Warping ist ganz allgemein die zielgerichtete Verformung eines Objektes zu verstehen. Morphing ist von dem Begriff Metamorphose abgeleitet. Hierunter wird die Verwandlung eines Objektes in eine andere Gestalt verstanden, wobei die Umwandlung des Ursprungsobjektes in ein vorgegebenes Zielobjekt mit mehreren Transformationsschritten erfolgt. Die Erzeugung derartiger Metamorphosen in Trickfilmen, mit der beispielsweise die zeitgeraffte Alterung eines Menschen oder dessen Transformation in den K¨ orper eines Tieres dargestellt werden kann, l¨asst sich bereits auf den Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts durch den franz¨osischen Filmpionier Georges M´eli´es zur¨ uckf¨ uhren. M´eli´es Star-Film“ Studio produ” zierte eine Vielzahl kurzer Trickfilme mit Morphing-Effekten, die er durch ¨ Uberblendungen erzielte. Klassische Beispiele, in denen Transmutationen eine wichtige Rolle einnehmen, sind der 1941 entstandene Film Dr. Jekyll und ” Mr. Hyde“, der M¨ archenfilm Der Dieb von Bagdad“ (1948) oder der Spiel” film American Werewolf“ der 1979 entstand. W¨ahrend in den Anfangstagen ” des Films Morphing-Effekte sehr zeitaufwendig in Handarbeit erzeugt werden mussten, werden heutzutage rechnergest¨ utzte Verfahren eingesetzt, mit denen sich Transmutationen weitgehend automatisch durchf¨ uhren lassen. In den letzten drei Jahrzehnten wurden eine Vielzahl rechnergest¨ utzter Warping- bzw. Morphing-Verfahren entwickelt, die sich in zwei Hauptgruppen einteilen lassen: die zweidimensionalen, bildbasierten Verfahren und die dreidimensionalen, geometriebasierten Methoden. Die bildbasierten Verfahren haben ihren Ursprung in den Arbeiten zur geometrischen Bildkorrektur, die zu Beginn der Siebzigerjahre entstanden. Hierbei handelt es sich vorwiegend um die geometrische Korrektur von Satelliten- und Luftbildaufnahmen. Das urspr¨ ungliche Ziel der bildbasierten Warping-Verfahren war es, Bildmatrizen so zu verzerren, dass diese f¨ ur weitere Verarbeitungsprozesse geeignet sind. Beispiele hierf¨ ur sind die oben erw¨ ahnten Satelliten- und Luftbildaufnahmen, die zum Zweck einer speziellen Kartenprojektion geometrisch entzerrt und zusam-

90

4 Warping und Morphing

Abb. 4.1. Gegen¨ uberstellung von Warping (Bildgruppe oben) und Morphing (Bildgruppe unten).

mengef¨ ugt werden, um diese anschließend auf eine Ebene oder zylinderf¨ormige Projektionsfl¨ ache abzubilden. Weitere Beispiele f¨ ur das Warping von 2D- und 3D-Objekten sind im Bereich der 2D/3D-Bildverarbeitung und hier speziell in der medizinischen Bildanalyse zu finden. In der Computeranimation werden Warping-Verfahren haupts¨ achlich im Zusammenhang mit der zumeist k¨ unstlerisch-motivierten Transmutation von Bildern oder 3D-Objekten, also f¨ ur das Morphing, eingesetzt. Morphing-Verfahren k¨ onnen als Erweiterung der Warping-Verfahren betrachtet werden. Hierbei ist immer ein Zielobjekt vorgegeben, in welches das Urspungsobjekt zu transmutieren ist. Neben der geometrischen Transmutation werden beim Morphing auch die Attribute (z.B. die Pixelfarben) des Urspungsobjektes in mehreren Schritten in das gew¨ unschte Zielobjekt u uhrt. ¨ berf¨ In etwas vereinfachender Weise l¨ asst sich Morphing als Warping plus Farbinterpolation beschreiben (Blending). Abbildung 4.1 verdeutlicht in einer Gegen¨ uberstellung den Unterschied zwischen Warping und Morphing. In den nachfolgenden Abschnitten werden die Konzepte der bildbasierten Methoden in ihren wesentlichen Grundz¨ ugen behandelt und einige Verfahren detaillierter vorgestellt.

4.1 Image-Warping und Image-Morphing

91

4.1 Image-Warping und Image-Morphing Das einfache Grundprinzip des Image-Morphing, das zugleich den Unterschied zum Image-Warping illustriert, zeigt die Abb. 4.2. Beginnen wir in dem folgenden Beispiel mit einem Ursprungsbild und dem gew¨ unschten Zielbild. Die markanten Stellen beider Bilder, dies sind in dem vorliegenden Beispiel die Augen, der Mund, die Nase sowie die Konturen beider Gesichter, werden unter Verwendung von Gittern, Kontrollvektoren oder durch Kontrollpunkte markiert. Durch Warping wird das Ursprungsbild so verzerrt, dass es sich dem Zielbild ann¨ ahert. Vom Zielbild erfolgt durch inverses Warping die Verzerrung in Richtung des Ursprungsbildes, bis die Gitter, Vektoren oder Referenzpunkte beider Bilder deckungsgleich sind. Diese Deformationsprozesse erfolgen so, als ob die beiden Bilder auf zwei Gummit¨ ucher gedruckt w¨ aren, die sich beliebig zusammenziehen oder strecken lassen, bis die korrespondierenden Referenzen u ¨bereinstimmen. Wie sich diese Warping-Prozesse im Einzelnen realisieren lassen, wird in den nachfolgenden Abschnitten detailliert behandelt. Die auch als Color Blending bezeichnete Farbinterpolation schließt sich den Warping-Prozessen an. Hierbei wird oftmals eine lineare Interpolation zwischen den beiden deformierten Bildern durchgef¨ uhrt.

Warping

Ursprungsbild Blending

Morphingergebnis für t=0.5

CBlend  1 - t CWarp + t CInv _Warp

Zielbild Inverses Warping

Abb. 4.2. Prinzipieller Ablauf des Morphing-Prozesses (s. Farbtafel III)

92

4 Warping und Morphing

4.1.1 Mesh-Warping Die Mesh-Warping-Methode hat ihren Ursprung in der Bildverarbeitung. Sie basiert auf der bilinearen Interpolation und wird vielfach zur geometrischen Korrektur von Bildmatrizen eingesetzt. Die Festlegung der Warping-Transformation erfolgt, wie in der Abb. 4.3 dargestellt, durch jeweils vier korrespondierende Punktpaare im Ursprungsund Zielbild. Wir erhalten die Transformationen Tx (x, y) : R2 → R, sowie Ty (x, y) : R2 → R, mit den Tensorprodukten der linearen Funktionen Tx1 (x), Tx2 (x) und Ty1 (x), Ty2 (x), die wie folgt definiert sind: x = Tx (x, y) = Tx1 (x) · Tx2 (y) = (m1 x + n1 )(p1 y + q1 ) = a1 xy + b1 x + c1 y + d1

(4.1)



y = Ty (x, y) = Ty1 (x) · Ty2 (y) = (m2 x + n2 )(p2 y + q2 ) = a2 xy + b2 x + c2 y + d2

(4.2)

Die Bestimmung der Koeffizienten a1 , b1 , c1 , d1 und a2 , b2 , c2 , d2 erfolgt, indem in die Transformationsgleichungen Glg. 4.1 und Glg. 4.2 f¨ ur x, y und x , y  die Eckpunktkoordinaten eingesetzt werden: x1 = Tx (x1 , y1 ) , . . . , x4 = Tx (x4 , y4 ) sowie y1 = Ty (x1 , y1 ) , . . . , y4 = Ty (x4 , y4 ). In der Computeranimation sind vielfach komplizierte geometrische Verzerrungen auszuf¨ uhren. Hierzu wird, wie die Abb. 4.4 zeigt, das zu transformierende Ursprungsbild in quadrilaterale Bildsegmente unterteilt, die jeweils separat zu transformiert werden. Bei dieser Unterteilung ist darauf zu achten, dass die aufeinander abzubildenden Segmente in m¨oglichst sinnvoller, k¨orperlicher Beziehung zueinander stehen.

x1, y1

x4, y4

x2, y2

E

x3 , y3

x1, y1 x2 , y2

x3 , y3

x4 , y4

Abb. 4.3. Image-Warping mit vier korrespondierenden Punktpaaren

4.1 Image-Warping und Image-Morphing

93

Abb. 4.4. Unterteilung von Ziel- und Ursprungsbild in Bildsegmente

Zur Erzeugung einer Warping- oder Morphing-Animationssequenz ist es notwendig, dass der Transformationsprozess vom Ursprungsbild in das Zielbild in kleinen Schritten erfolgt. Dazu muss eine gr¨oßere Anzahl Zwischenbilder berechnet werden. Die Bestimmung der Zwischenbilder erfolgt durch Interpolation zwischen den korrespondierenden Koordinatenpaaren des Ursprungsbildes Pu und des Zielbildes Pz . Im einfachsten Fall bietet sich hierf¨ ur eine lineare Interpolation an: Pi (t) = (1 − t) Pu + tPz . 4.1.2 Two-Pass Mesh-Warping Der von D. Smithe 1990 vorgestellte two-pass mesh-warping Algorithmus [38] basiert auf der Interpolation mit eindimensionalen Splines und besteht aus zwei Phasen. In der ersten Phase (Pass eins) wird mit Hilfe von SplineFunktionen ein nur in horizontaler Richtung deformiertes Zwischenbild erzeugt, dargestellt in Abb. 4.5. Mit diesem Zwischenbild erfolgt anschließend die vertikale Warping-Transformation. Die Aufteilung in zwei eindimensionale Transformationsprozesse macht diese Methode sehr effizient. Das Prinzip der Warping-Transformation unter Verwendung von Splines verdeutlicht die Abb. 4.6, in der die Transformation einer Bildzeile in Richtung der X-Achse dargestellt ist. Die Abbildung der Koordinaten einer Bildzeile des Ursprungsbildes in den Koordinatenraum des Zielbildes wird mit einer Transformationsfunktion ausgef¨ uhrt. Deren Konstruktion erfolgt in der Weise, dass zuerst f¨ ur die betreffende Bildzeile die Schnittpunkte zwischen den vertikalen Linien des Ursprungsbildes und den Spline-Kurven des Zielbildes bestimmt werden (s. Abb. 4.6a). Die X-Koordinaten der Schnittpunktpaare der korrespondierenden vertikalen Linien sowie der Spline-Kurven bilden die Koordinatenpaare (xt , xs ). Diese werden als Kontrollpunkte zur Konstruktion der Transformationsfunktion (Abb. 4.6b) mit Hilfe eines Interpolationsverfahrens verwendet. In gleicher Weise werden alle weiteren Bildzeilen transformiert. F¨ ur jede Zeile muss hierzu eine separate Transformationsfunktion gebildet werden. Das

94

4 Warping und Morphing

Abb. 4.5. Prinzip des Two-Pass Mesh Warping“ ”

Zielbild erhalten wir, nachdem mit dem zweiten Pass das horizontal verzerrte Zwischenbild auch in vertikaler Richtung entsprechend deformiert ist. Nachteil dieses Verfahrens ist der Informationsverlust, der dann entsteht, wenn das Zwischenbild so stark verzerrt wird, dass Bildregionen nahezu verschwinden. Im Fall einer Expandierung im zweiten Warping-Pass treten dann oftmals unerw¨ unschte Artefakte auf.

Bildzeile Xt

vertikale Splines

(a)

(b)

Xs

Abb. 4.6. Warping einer Bildzeile: (a) Bestimmung der Kontrollpunkte, (b) Konstruktion der Transformationsfunktion

4.1 Image-Warping und Image-Morphing

95

4.1.3 Warping mit Markierungsvektoren Eine Image-Warping-Methode unter Verwendung von Markierungsvektoren, mit der auch der bekannte Videoclip zu Black and White“ von Michael Jack” son erzeugt wurde, pr¨ asentieren Beier und Neely in [39]. Bei diesem weit verbreiteten Verfahren werden signifikante Bilddetails (z.B. Objektkanten oder Konturen) markiert, die sich zur Spezifikation der Warping-Transformation eignen. Das Grundprinzip ist in Abb. 4.7 dargestellt. Im einfachsten Fall wird zur Warping-Transformation ein Vektor V = (Q − P ) im Ursprungsbild sowie ein Vektor V = (Q − P) im Zielbild festgelegt. F¨ ur jeden Punkt im Zielbild X wird nach den Koordinaten im Ursprungsbild X gesucht, deren Pixelwert ins Zielbild u ¨ bertragen werden soll. Zur Bestimmung der X -Koordinaten sind die Parameter u und v mit Hilfe der Zielkoordinaten X sowie des Zielbildvektors V = (Q − P) zu berechnen: u=

(X − P) · P erp (Q − P) (X − P) · (Q − P) . und v = Q − P2 Q − P

Hierbei variiert der Parameter u zwischen 0 und 1, der Parameter v bezeichnet den Abstand des Punktes X zur Linie (Q − P). Mit diesen Parametern und dem Markierungssvektor V = (Q − P ) erhalten wir mit Glg. 4.3 die korrespondierende X Koordinate im Ursprungsbild: X = P + u · (Q − P ) +

v · P erp (Q − P ) . Q − P 

(4.3)

Die Funktion P erp1 bewirkt, dass die Vektoren V bzw. V in gleicher Richtung um 90◦ gedreht werden, so dass diese senkrecht zu ihren Markierungsvektoren orientiert sind. Abbildung 4.8 illustriert die Transformation eines Zeichens mit Hilfe eines Markierungsvektorpaares.

Q´

y´

y

Q X

V´ u´

v´

V

X´

v u

P´

Ursprungsbild x´

P

Zielbild

Abb. 4.7. Berechnung von X´ mit einem Merkmalsvektorpaar 1

P erp (x, y) = (y, −x)

x

96

4 Warping und Morphing Q

P

Q

P

Abb. 4.8. 2D-Morphing mit einem Merkmalsvektorpaar

Zur Durchf¨ uhrung komplexerer Warping-Prozesse sind, wie die Abb. 4.9 zeigt, mehrere Markierungsvektorpaare erforderlich. F¨ ur jeden Ort X im Zielbild werden f¨ ur die Zahl der Markierungsvektorpaare n die entsprechende Anzahl an Orten X 1 , ..., X n im Ursprungsbild berechnet. Um einen gemeinsamen Ort im Ursprungsbild bestimmen zu k¨onnen, werden die X-Koordinaten des Zielbildes in das Ursprungsbild u ¨ bertragen. Ausgehend von X, der als Bezugspunkt dient, werden anschließend die Differenzvektoren Di = X i − X bestimmt. Die Differenzvektoren werden anschließend addiert, wobei ihre L¨ ange mit einem individuellen Gewichtsfaktor multipliziert wird. Dieser Gewichtsfaktor w wird mit lenp b ). (4.4) a + dis berechnet. Hierin ist len die L¨ ange des Vektors im Ursprungsbild und dis die k¨ urzeste Entfernung vom Punkt X zu dem jeweiligen Markierungsvektor. Die Parameter a, b und p sind Gewichte, die den jeweiligen Markierungsvektoren zugeordnet sind und die ihren individuellen Einfluss innerhalb der WarpingTransformation festlegen (a < 0, b : [0, 5...2, 0], p : [0, ..., 1]). Der Faktor w bestimmt die St¨arke des Einflusses, den das entsprechende Merkmalsvektorpaar beim Warping-Prozess auf die umgebenden Koordinaten aus¨ ubt. Aus Glg. 4.4 ist ersichtlich, dass sich der Einfluss eines Merkmalsvektors mit wachsender L¨ ange und mit geringerem Abstand zum Punkt X verst¨arkt. Mit den Parametern a, b und p l¨ asst sich die Warping-Transformation zus¨atzlich individuell, beispielsweise nach k¨ unstlerischen Gesichtspunkten, beeinflussen. Die Koordinaten des gesuchten Punktes X im Ursprungsbild erhalten wir, indem wir die Summe der gewichteten Distanzvektoren durch die Summe der Gewichte wi dividieren und mit den Zielbildkoordinaten addieren:  n n Di wi wi . X = X + w=(

i=1

i=1

4.1 Image-Warping und Image-Morphing

97

Abb. 4.9. Berechnung von X´ mit zwei Merkmalsvektorpaaren

Das Ergebnis der Warping-Transformation mit zwei Merkmalsvektorpaaren ist in Abb. 4.10 dargestellt. Bei der Verwendung von mehreren Merkmalsvek¨ toren ist es wichtig, darauf zu achten, dass keine Uberschneidungen entstehen, weil sonst sog. Phantomerscheinungen“ auftreten. Hierbei k¨onnen w¨ahrend ” der Animation Bildartefakte quasi aus dem Nichts“ auftauchen. ” Abbildung 4.11 zeigt an einem Beispiel die Platzierung der Merkmalsvektoren im Ursprungs- und Zielbild zur Durchf¨ uhrung eines komplexen MorphingProzesses.

P1

Q1

Q2

P2

E

P1

Q1

Q2

P2

Abb. 4.10. 2D-Warping mit zwei Merkmalsvektorpaaren

Das auf Merkmalsvektoren basierende Verfahren l¨asst sich algorithmisch wie folgt beschreiben:

98

4 Warping und Morphing

1

2

4

3

5 6 7

8

4

2

5

3 9

1

6

7

8

9

10 11 12 10 1112 Abb. 4.11. Markierung der signifikanten Bilddetails im Ursprungsbild (links) und Zielbild (rechts) mit Merkmalsvektorpaaren (s. Farbtafel IV)

F¨ ur jedes Pixel im Zielbild: DSUM = (0,0) WSUM = 0 F¨ ur jeden Merkmalsvektor: berechne u,v f¨ ur PQ (Vektor von P nach Q) und X berechne X´ mit u,v f¨ ur P´Q´ berechne den Distanzvektor: d = X´- X berechne die k¨ urzeste Distanz von X nach P´Q´ berechne den Gewichtsfaktor: w = (len^p/(a+dis))^b berechne die gewichtete Distanzvektorsumme: DSUM+=Di*w berechne die Summe der Gewichte: WSUM += w bestimme X´ im Ursprungsbild: X´= X+DSUM/WSUM Zielbild(X) = Ursprungsbild(X) Algorithmus 4.1. 2D-Morphing-Algorithmus von Beier und Neely.

4.1.4 Warping mit Feldfunktionen Bei einem von Arad und Riseman [40] vorgeschlagenen Verfahren wird die WarpingTransformation durch Kontrollpunktpaare festgelegt, wie die Abb. 4.12 zeigt. Die Warping-Transformation basiert hierbei auf sog. Feldfunktionen, W(p) = p = A(pi ) + R(p, pi ) die aus einer affinen und einer radialen Komponente bestehen. Mit dem affinen Anteil A = M·pi +b erfolgt das globale Warping, wobei Translations-, Skalierungs- und Rotationstransformationen verwendet werden. Die Berechnung der Koeffizienten der Matrix M sowie des Vektors b erfolgt durch L¨ osung eines linearen Gleichungssystems mit drei frei definierten Kontrollpunktpaaren. F¨ ur den Fall, dass keine affine Transformation zwischen dem Ursprungsbild und dem Zielbild erforderlich ist, wird A(pi ) = pi gesetzt. Mit dem zweiten Term der Transformationsfunktion R(p, pi ) wird die Bildfunktion elastisch deformiert. Wir erhalten:

4.2 Ober߬ achenbasierte Verfahren p1

99

p2 p1 p2

p3

p4

p3

p4

Abb. 4.12. 2D-Morphing mit radialen Feldfunktionen n

axi g(p − pi ),

Rx = Ax (pi ) +

(4.5)

i=1 n

ayi g(p − pi ).

Ry = Ay (pi ) + i=1

Hierin ist g(p − pi ) =

1
p−pi
2 σ2

e eine radiale Basisfunktion, deren lokale Ausdehnung durch σ bestimmt wird. Um die axj - und ayj -Koeffizienten zu berechnen, muss das lineare Gleichungssystem 4.5 mit ost werden. Zur eindeuden interaktiv definierten Kontrollpunktpaaren (p i , pi ) gel¨ tigen Bestimmung des Gleichungssystems, muss die Zahl der Kontrollpunktpaare der Anzahl der (axi , ayi )-Koeffizientenpaare entsprechen. Dieses auf radialen Feldfunktionen basierende Warping-Verfahren ist zwar elegant handhabbar, jedoch im Vergleich zu den zuvor behandelten Methoden f¨ ur das Image-Morphing nur mit Einschr¨ ankungen einsetzbar. Die Ursache hierf¨ ur liegt darin, dass sich die gew¨ unschte Deformation nicht mit der erforderlichen Pr¨ azision steuern l¨ asst. Das direkt deformierte Ursprungsbild und das invers deformierte Zielbild lassen sich nicht immer mit hinreichender Genauigkeit aufeinander anpassen, um ein genaues Zwischenbild zu erzeugen.

4.2 Oberfl¨ achenbasierte Verfahren Das Ziel dieser 3D-Verfahren ist die geometrische Transmutation zwischen unterschiedlichen dreidimensionalen polygonalen Oberfl¨ achenmodellen. Die hierbei auftretenden Probleme lassen sich anhand der Abb. 4.13 erkl¨ aren. Hierin sind zwei einfache Objekte dargestellt, wobei jeder dieser beiden K¨ orper in die Form des anderen K¨ orpers transmutiert werden soll. Diese Transmutation soll durch Interpolation zwischen den Eckpunkten beider K¨ orper erfolgen. Da beide Objekte jedoch eine unterschiedliche Anzahl von Eckpunkten besitzen, ist es notwendig, diese so zu tesselieren, dass die Anzahl der Fl¨ achenelemente und Eckpunkte beider Objekte gleich ist. Dieser Tesselierungsprozess sollte m¨ oglichst automatisch erfolgen und

100

4 Warping und Morphing P6B P5A P7B P4A

P3A

P5B P4B P3B

P1A

P2A

P1B

P2B

Abb. 4.13. 3D-Morphing-Prozess am Beispiel einfacher geometrischer Objekte

dabei sinnvolle Korrespondenzen zwischen den Eckpunkten beider Objekte ergeben. Nach Anpassung der beiden Polygonnetze werden die Eckpunkte der Pyramide schrittweise in die des Prismas transformiert, wobei der Interpolationsprozess nat¨ urlich auch in umgekehrter Richtung ablaufen kann. Mittels Interpolation erfolgt ausgehend vom Ursprungsobjekt eine allm¨ ahliche Form¨ anderung bis zum Erreichen des Zielobjektes. Die automatische Tesselierung und die damit verbundene Festlegung der Eckpunktkorrespondenzen ist das zentrale Problem der oberfl¨ achenbasierten 3D-Morphing-Verfahren. Es gibt vielf¨ altige Ans¨ atze zur L¨ osung dieses Korrespondenzproblems, die in der Regel auf der Erzeugung einer einheitlichen Zwischenrepr¨ asentation basieren, mit der es m¨ oglich ist, die geometrischen Nachbarschaften zwischen den Eckpunkten der beiden polyedrischen Objekte festzustellen.

4.2.1 Verfahren von Kanai, Suzuki und Kimura Ein Verfahren, das zur Erzeugung dieser Zwischenrepr¨ asentation sog. harmonische Karten verwendet, wird von Kanai, Suzuki und Kimura in [41] vorgestellt. Hierbei werden die 3D-Koordinaten der Objekte auf eine Einheitskreisscheibe abgebildet. Anschaulich l¨ asst sich dieses Abbildungsverfahren wie folgt beschreiben: Wir stellen uns vor, dass die Kanten der zu transformierenden 3D-Objekte aus Federn bestehen, die an den Eckpunkten des K¨ orpers miteinander verbunden sind und deren Zugkr¨ afte mit Federkonstanten bestimmt werden, die von der Geometrie des Objektes abh¨ angen. Wir erhalten die Konstante einer Feder mit der Gleichung: κi,j =

2 2 2 2 2 2 li,k li,k + lj,k − li,j + lj,k − li,j 1 1 2 2 + . Ai,j,k1 Ai,j,k2

Hierin sind Ai,j,k1 und Ai,j,k2 die Inhalte zweier benachbarter Dreiecksfl¨ achen (s. Abb. 4.14), deren gemeinsame Kante die Eckpunkte mit den Indizes i und j verbinasentieren die L¨ angen der Kanten zwischen den det. li,j , li,k1 , lj,k1 , li,k2 und lj,k2 repr¨ Punkten Pi , Pj , Pk1 und Pk2 . Wird diese Konfiguration an mindestens drei Punkten verankert, auf eine Ebene gespannt, so richten sich ihre Knotenpunkte V auf der Ebene so aus, dass die Summe der Federenergie Eharm (V) minimal wird:

4.2 Ober߬ achenbasierte Verfahren

Pk1

lj,k1

101

Pj

Ai,j,k1

i,j

li,k1

li,j

Pi

lj,k2 Ai,j,k2

li,k2

Pk2

Abb. 4.14. Bestimmung der Federkonstanten k κi,j (vi − vj )2 .

Eharm (V) = 0.5

(4.6)

i,j∈ Edges H

Wir erhalten das Minimum von Eharm (V) indem wir die partielle Ableitung ∂Eharm (V)/∂V = 0 mit V = {v1 , v2 , v3 , . . . , vn } bilden. Um die Koordinaten der Knotenpunkte zu bestimmen, wird Glg. 4.6 in die Form Eharm (V) = VT HV u uhrt. Weiterhin muss ber¨ ucksichtigt werden, dass der Knotenvektor V in va¨ berf¨ riable und feste Knotenpunkte unterteilt wird. Die festen Knotenpunkte dienen zur Verankerung der als harmonische Karte bezeichneten Federkonfiguration und werden interaktiv vorgegeben. Die Variablen richten sich entsprechend der minimalen Federenergie aus. Unter der Voraussetzung, dass Vα der variable Teil und Vβ die feste Komponente des Knotenvektors ist, wird die Federenergie Eharm (V) = [VαT VβT ]

Hαα Hαβ Hβα Hββ







Vα . Vβ

Da Eharm (V) lediglich vom variablen Teil von V abh¨ angt, werden die Knotenkoordinaten mit ∂Eharm (V) = 2Hαα Vα + 2Hαβ Vβ = 0 ∂Vα bestimmt. Die Abbildung 4.15 zeigt die harmonischen Karten der in Abb. 4.13 dargestellten Pyramide (a) sowie des Prismas (b), die jeweils an den Knotenpunkten v1 bis v4 deckungsgleich verankert sind. Um beide Objekte in gleicher Weise zu tesselieren, ist es notwendig, beide harmonische Karten zu vereinigen (s. Abb. 4.15c). Da hierbei auch Fl¨ achenelemente mit mehr als drei Seitenfl¨ achen entstehen, ist eine nachfolgende Dreieckszerlegung dieser Fl¨ achenteile erforderlich. Das Ergebnis einer Triangulierung, die in unterschiedlicher Weise durchgef¨ uhrt werden kann, zeigt die Abb. 4.16. Im diesem Beispiel ist eine Karte mit 15 Knotenpunkten entstanden, welche auf die korrespondierenden 3D-Koordinaten des Prismas und der Pyramide abgebildet werden sollen. F¨ ur jene Koordinatenpunkte der zweidimensionalen Karte, die sich auf einer Geraden befinden, die mit einer Objektkante eines der 3D-Objekte korrespondiert, erfolgt die Koordinatenbestimmung wie folgt: Die Streckenverh¨ altnisse

102

4 Warping und Morphing

v 8c

v 6b

v 5a v1a

v 4c

v 4b

v 4a

v 3a v1b

v 3b v1c

v 7b

v 3c

v 7c v 5c

v 5b v 2a (a)

v 6c

v 2b

v 2c

(b)

(c)

Abb. 4.15. harmonische Karte:(a) der Pyramide, (b) des Prismas, (c) Vereinigung aus Pyramide und Prisma

der harmonischen Karte werden direkt auf die entsprechenden 3D-Objektkanten u alle zu behandeln, in de¨ bertragen (s. Abb. 4.17a). Etwas schwieriger sind jene F¨ nen sich ein Knotenpunkt auf einer Fl¨ ache befindet (s. Abb. 4.17b). Hierbei erfolgt die Bestimmung der korrespondierenden 3D-Koordinaten mit Hilfe baryzentrischer Koordinaten, die wir gleichfalls mit der harmonischen Karte bestimmen. Mit der in Abb. 4.17b dargestellten vereinigten harmonischen Karte erhalten wir die baryzenosung des Gleichungsytrischen Koordinaten [u, v, w] des Eckpunktes v5c durch L¨ stems v5c = u v2c + v v3c + w v8c , u + v + w = 1.

(4.7)

Indem wir die Eckpunkte der korrespondierenden Pyramiden߬ ache mit den aus den Glgn. 4.7 berechneten baryzentrischen Koordinaten multiplizieren, erhalten wir den gesuchten Punkt P = u P2A + v P3A + w P5A .

v 4c

v 8c v1c

v 7c

v 6c

v 3c v 5c

v 2c Abb. 4.16. Zerlegung der harmonischen Karte in dreiecksf¨ ormige Fl¨ achenelemente

4.2 Ober߬ achenbasierte Verfahren

103

P5A

v 8c P4A

P3A

(a) P1A

v 2c

P2A P5A

v 8c P4A

v 3c v 5c v 2c

P3A

(b) P1A P2A

Abb. 4.17. Die Tesselierung der vereinigten harmonischen Karte wird auf beide 3D-Objekte u ¨ bertragen. Hierzu werden, ausgehend von den 2D-Koordinaten der harmonischen Karte, die korrespondierenden 3D-Objektkoordinaten f¨ ur (a) Kantenpunkte mit linearer Interpolation und (b) f¨ ur Fl¨ achenpunkte mit baryzentrischen Koordinaten berechnet Nachdem die 3D-Koordinaten beider K¨ orper bestimmt wurden, weisen Pyramide und Prisma die gleiche Zahl von Dreiecksfl¨ achen auf, deren n-Eckpunkte miteinander korrespondieren und in einfacher Weise interpoliert werden k¨ onnen:

Abb. 4.18. 3D-Morphing zwischen Prisma und Pyramide: Die Abbildungen (a) und (e) zeigen die Start- und Zielobjekte, die entsprechend der vereinigten harmonischen Karte tesseliert wurden. Die Abbildungen (b), (c) und (d) zeigen linear interpolierte Zwischenstufen des 3D-Morphing-Prozesses

104

4 Warping und Morphing Pinterp = t PiA + (1 − t)PiB , i = 1, ..., n.

Abbildung 4.18 illustriert mehrere Zwischenschritte der linearen Interpolation der Pyramide in das Prisma.

4.2.2 Weitere oberfl¨ achenbasierte Verfahren In ¨ ahnlicher Weise, wie das 3D-Morphing-Verfahren von Kanai, Suzuki und Kimura, arbeiten eine Vielzahl weiterer oberfl¨ achenbasierter Morphing-Methoden. Ihre Unterschiede bestehen im Wesentlichen in der Erzeugung der gemeinsamen Zwischenrepr¨ asentation, die zur Bestimmung der geometrischen Korrespondenzen dienen. Die Behandlung, der in den nachfolgenden Abschnitten vorgestellten 3D-MorphingVerfahren erfolgt deshalb in einer verk¨ urzten Form, wobei lediglich ihre wichtigsten Merkmale diskutiert werden. Verfahren von Z¨ ockler, Stalling und Hege. In dem Ansatz von Z¨ ockler, Stalling und Hege [42] erfolgt die Erzeugung einer parametrischen Repr¨ asentation mit Hilfe der sog. baryzentrischen Abbildung auf eine Kreisscheibe oder auf eine Zylinderfl¨ ache. Wie bei [41] werden am Rand der Kreisscheibe bzw. Zylinderfl¨ ache parametrische Koordinaten v1 , ..., vk festgelegt, die den signifikanten Punkten P1 , ..., Pk auf der Objektfl¨ ache zugeordnet werden. Alle inneren Punkte des Parameterraums osung des linearen Gleichungssystems: vk+1 , ..., vn lassen sich einfach durch L¨ n

vi =

λi,j vj ,

i = k + 1, ..., n

j=1

mit λi,j =

(Ni )-1 : falls i und j Eckpunktindizes der gleichen Kante. 0 : falls i und j Eckpunktindizes unterschiedlicher Kanten.

berechnen. Hierin ist Ni die Anzahl der Nachbarn des Eckpunktes mit dem Index i. Um sowohl eine bessere Tesselierung als auch eine genauere geometrische Korrespondenz zwischen den Eckpunktkoordinaten beider Objekte zu erreichen, sind

Abb. 4.19. Warping im Parameterraum nach Z¨ ockler, Stalling und Hege (mit Gec nehmigung von [42],
Springer 2000)

4.2 Ober߬ achenbasierte Verfahren

105

die baryzentrischen Abbildungen zueinander auszurichten. Hierzu werden interaktiv einige parametrische Koordinatenpaare innerhalb beider Kreisscheiben als Merkmalspunkte ausgewiesen. Mit Hilfe lokaler Warping-Prozesse erfolgt eine Verschiebung aller inneren Punkte, bis die jeweils korrespondierenden Merkmalspunkte deckungsgleich sind. Alle weiteren Schritte entsprechen im Wesentlichen dem Verfahren von Kanai, Suzuki und Kimura. Verfahren von Kent, Carlson und Parent. Zur Bestimmung der geometrischen Korrespondenz zwischen Ursprungs- und Zielobjekt werden von Kent, Carlson und Parent [43] die Eckpunkte eines polyedrischen K¨ orpers und damit das polygonale Fl¨ achennetz auf eine Kugelfl¨ ache projiziert, wie die Abb. 4.20 zeigt. Hierzu wird ein zentraler Punkt gew¨ ahlt, der sich im Inneren des K¨ orpers befindet und von dem aus ¨ alle Eckpunkte sichtbar sind. Durch die Uberlagerung der polygonalen Fl¨ achennetze des Ursprungs- und des Zielobjektes, die auf die gleiche Kugeloberfl¨ ache projiziert werden, erhalten wir ein gemeinsames Fl¨ achennetz und damit eine eindeutige Korrespondenz zwischen den Oberfl¨ achenkoordinaten der beiden terminalen Objekte (s. Abb. 4.21). Mit diesem Ansatz sind nur konvexe, sog. sternf¨ ormige“ Objekte (Star-Shaped ” Objects) transformierbar. Eine Erweiterung dieses Verfahrens [44] auf der Basis eines Federmodells hebt diese Einschr¨ ankungen jedoch weitgehend auf. Die umschließende Projektionsfl¨ ache besteht hierbei, anstelle einer Kugelfl¨ ache, aus zylinderf¨ ormigen Ringsegmenten. Bei dieser erweiterten Methode werden die Polygonkanten als Federn betrachtet. Diese Federn sind sowohl an den Eckpunkten des zu transmutierenden K¨ orpers als auch an dem oberen und unteren Rand eines umschließenden Ringsegmentes verankert. Um ein langes gekr¨ ummtes Objekt einzuschließen, sind mehrere dieser Ringsegmente erforderlich. Werden die virtuellen Federn von den Eckpunkten des polygonalen Oberfl¨ achennetzes gel¨ ost, so werden diese zur Mantelfl¨ ache der Ringsegmente gezogen und erzeugen damit die Projektionen der polygonalen Oberfl¨ achennetze von Start- und Zielobjekt. Die Bestimmung der geometrischen Korrespondenz zwischen ihren Polygoneckpunkten erfolgt in der bekannten Weise mit der Bildung eines gemeinsamen polygonalen Oberfl¨ achennetzes und der anschließenden R¨ uckprojektion.

Projektionsfläche Objekt A Objekt B Interpolation

Abb. 4.20. Bestimmung der geometrischen Korrespondenz

106

4 Warping und Morphing

Projektion auf Einheitskugel

Interpolation

Abb. 4.21. Projektion der polygonalen Fl¨ achennetze vom Ursprung- und Zielobjekt auf die gleiche Kugeloberfl¨ ache

Verfahren von Lazarus und Verroust. Das von Lazarus und Verroust in [45] vorgestellte Verfahren ist vorzugsweise f¨ ur das Morphing von langgestreckten Objekten geeignet. Hierzu wird f¨ ur jedes der beiden terminalen 3D-Objekte ein Zentralpolygon festgelegt. Weiterhin wird jedem Eckpunkt dieses Zentralpolygons eine Schnittebene zugeordnet, zu dem das jeweilige polygonale Liniensegment senkrecht ausgerichtet ist (s. Abb. 4.22a). Das Zentralpolygon bildet die Mittelachse von lokalen, einander anschließenden Zylinderkoordinatensystemen, dessen untere Basis die entsprechende Schnittebene ist. Alle Abtaststrahlen, die vom Zentralpolygon ausgehend die Polygoneckpunkte der K¨ orper sowie das lokale Zylinderkoordinatensystem durchdringen, m¨ ussen das oben diskutierte Star-Shape Object-Kriterium erf¨ ullen (s. Ansatz von Kent et al.). Jeder Eckpunkt auf der K¨ orperoberfl¨ ache, den ein Abtaststrahl durchdringt, kann demnach auf dem in der Abb. 4.22c dargestellten Zylinderkoordinatensystem durch den Winkel θ und dem Streckenparameter s bestimmt werden. F¨ ur die Anfangs- und Endpunkte des Zentralpolygons werden anstelle von Zylinderkoordinatensystemen Kugelkoordinatensysteme verwendet. Basierend auf den o.g. Festlegungen ist es m¨ oglich, die kartesischen Koordinaten eines K¨ orpers auf Zylinderkoordinaten [x, y, z] → f (s, θ) und Kugelkoordinaten [x, y, z] → f (φ, θ) abzubilden (s. Abb. 4.22c). Unter der Voraussetzung, dass die Koordinatenraster der terminalen Objekte identisch sind, kann mit Hilfe der Koordinatenindizes eine eindeutige Abbildung zwischen beiden K¨ orpern festgelegt werden. Infolge der hiermit geschaffenen eindeutigen Korrespondenz ist eine Interpolation zwischen den Zylinder- bzw. Kugelkoordinaten IZ (s1 , s2 , θ1 , θ2 , t) = (st , θt ) IS (φ1 , φ2 , θ1 , θ2 , t) = (φt , θt ) sowie den dazugeh¨ origen Funktionswerten von If (f1 (s1 , θ1 ), f2 (s2 , θ2 ), t) = ft (st , θt ) If (f1 (φ1 , θ1 ), f2 (φ2 , θ2 ), t) = ft (φt , θt )

4.2 Ober߬ achenbasierte Verfahren

107

 q



q

s

s

q

q  a)

b)

c)

Abb. 4.22. Abbildung der kartesischen Koordinaten auf Zylinder- [x, y, z] → f (s, θ) und Kugelkoordinaten [x, y, z] → f (φ, θ)

m¨ oglich. Um die Oberfl¨ achenkoordinaten des Interpolationsobjektes zu erhalten, werden ft (φt , θt ) bzw. ft (st , θt ) wieder in kartesische Koordinaten umgerechnet. Das Verfahren ist in der oben dargestellten Form nicht direkt anwendbar. Der Grund hierf¨ ur ist in der Abb. der Eckpunktkoordinaten der 3D-Objekte auf ihre aquidistanten φ, θ- bzw. s, θ-Koordinaten zu finden. Um die Form eines Objektes ¨ m¨ oglichst exakt abzutasten, ist es erforderlich, dass seine Kanten und Eckpunkte exakt erfasst werden. Deren Projektion stimmt jedoch in der Regel nicht mit ¨ den Koordinatenraster u herzustellen, werden die ¨ berein. Um diese Ubereinstimmung Koordinatengitter an die projizierten, signifikanten Eckpunkte und Kantenverl¨ aufe angepasst, wie in Abb. 4.23 dargestellt. Kantenverlauf im Parameterraum

 abgetastete Oberflächenkoordinaten

q justiertes Gitter



Abb. 4.23. Anpassung der Koordinatengitter an die signifikanten Eckpunkte und Kantenverl¨ aufe

108

4 Warping und Morphing

Da sich bei diesen justierten Gittern lediglich die Koordinatenwerte, nicht jedoch ihre Indizes ver¨ andern, bleibt auch die geometrische Korrespondenz zwischen den terminalen Objekten erhalten. Die Interpolation kann somit problemlos ausgef¨ uhrt werden. Verfahren von Alexa. Ein 3D-Morphing-Verfahren, das gleichfalls darauf basiert, dass das Kantennetz eines beliebigen polyedrischen K¨ orpers auf die Oberfl¨ ache einer Einheitskugel abgebildet wird, stellt Alexa in [46] vor. Die hierbei entstehenden ¨ Uberlappungen des projizierten polygonalen Netzes lassen sich mit einem Relaxationsprozess beseitigen. Mit jedem Relaxationsschritt werden hierbei die auf die Kugeloberfl¨ ache projizierten Eckpunkte eines polygonalen Netzes entsprechend der Gleichung n vn n ∈ Nachbar von vi vi = | n vn |

 

auf die Koordinatenmittelwerte ihrer Nachbarschaft verschoben. Der Relaxationsprozess terminiert, wenn die Positions¨ anderung der Eckpunkte unterhalb eines vorgegebenen Schwellwertes liegt. Die Abbildung 4.24 illustriert die Relaxation eines planaren Netzes unter Verwendung der obigen Relaxationsgleichung. Um ein Kollabieren zu verhindern, sind die Randknoten dieses Netzes fixiert. ¨ Bereits nach der ersten Iteration sind die im Startnetz vorhandenen Uberlappungen aufgel¨ ost und nach der zweiten Iteration haben die Netzknoten ihre Endposition nahezu erreicht. Allerdings sind bei komplexen sph¨ arischen Netzen, wie sie beispielsweise bei den mit der Abb. 4.25 dargestellten Objekten entstehen, bis zur Terminierung des Relaxationsprozesses oftmals u ¨ ber 10.000 Iterationen erforderlich. Ein Nachteil dieses Verfahrens ist, dass große Netze, die durch die Projektion komplexer polyedrischer Objekte entstehen, ¨ ortlich zum Kollabieren neigen. Dies l¨ asst sich jedoch weitgehend vermeiden, indem mehrere Startpunkte f¨ ur den Relaxationsprozess gew¨ ahlt werden. Von Alexa werden hierf¨ ur vier Startpunkte vorge-

Startnetz

1te Iteration

2te Iteration

3te Iteration

4te Iteration

5te Iteration

Abb. 4.24. Darstellung des Relaxationsprozesses am Beispiel eines planaren Netzes mit 4 × 4 freien Knoten

4.2 Ober߬ achenbasierte Verfahren

initial embedding

initial embedding

warping

109

rotating & warping

merging

reconstruction

reconstruction

interpolation

¨ Abb. 4.25. Der Morphing-Prozessablauf von M. Alexa im Uberblick (mit Genehc migung von [46],
Springer 2000)

110

4 Warping und Morphing

schlagen, die gegenseitig in gr¨ oßtm¨ oglicher geometrischer Distanz auf der Projektionskugel platziert werden. F¨ ur das Ursprungs- und das Zielobjekt wird jeweils ein sph¨ arisches polygonales Netz erzeugt. Vor der Vereinigung beider Netze werden diese zueinander ausgerichtet und angepasst. Diese Ausrichtung erfolgt durch interaktiv bestimmte Merkmale. Merkmale sind Eckpunkte innerhalb beider Netze, die mit signifikanten Punkten auf den polygonalen Objektoberfl¨ achen korrespondieren. Dies sind beispielsweise die in Abb. 4.25 dargestellten F¨ uße, K¨ opfe und Augen der beiden Tiermodelle. Die Anpassung der Netze erfolgt in zwei Schritten. Mit dem ersten Schritt werden die Einheitskugelnetze so zueinander verdreht, dass die Merkmalspaare, die zusammen geh¨ oren, m¨ oglichst geringe Abst¨ ande zueinander aufweisen. Als Abstandsmaß dient die Summe der quadratischen Distanzen aller Merkmalspaare.

­ ­ ­vObjekt A − vObjekt B ­ ­ M erkmali M erkmali ­

Sdist = i

Mit dem zweiten Schritt werden die Eckpunkte auf der Kugeloberfl¨ ache so verschoben, dass die Merkmalspunktpaare deckungsgleich sind. Dieser Prozessschritt entspricht dem in [42] vorgeschlagenen Warping im Parameterraum (s. Verfahren von Z¨ ockler et al.).

4.3 Volumenbasierte Verfahren Volumenbasierte Morphing-Verfahren werden auf implizite r¨ aumliche Funktionen f (x, y, z) mit x, y, z ∈ R oder auf eine Anordnung von unit¨ aren Zellen f (x, y, z) mit x, y, z ∈ N angewendet, die man sich als eine r¨ aumliche Bildmatrix vorstellen kann. Sind die Funktionen von zwei unterschiedlichen Volumenmodellen vorgegeben, so erhalten wir im einfachsten Fall das interpolierte Volumenobjekt mit fmorph (t) = (1 − t) f1 (x, y, z) + t f2 (x, y, z) mit t = 0, ..., 1. Dieser Morphing-Ansatz erzeugt bei komplexeren Volumenobjekten vielfach nur unzureichende Transmutationsergebnisse, so dass dieses einfache Interpolationsverfahren in der Praxis nicht zum Einsatz kommt.

4.3.1 Verfahren von Hughes Bessere Ergebnisse erhalten wir mit der r¨ aumlichen Interpolation im Frequenzbereich in Verbindung mit der Filterung der hochfrequenten Bildanteile. Bei diesem von Hughes in [47] vorgestellten Verfahren werden die mit den diskreten Funktionen f1 (x, y, z) und f2 (x, y, z) definierten Voxelmodelle mit Hilfe der 3D-FourierTransformation F T in ihre Frequenzrepr¨ asentation u uhrt und anschließend mit ¨ berf¨ den Funktionen W1 (t, J) und W2 (t, J) gewichtet und addiert. Nach der Addition, die der Interpolation im Fourier-Raum entspricht, erfolgt mit Hilfe der inversen Fourierucktransformation in den Ortsbereich. Der vollst¨ andige Transformation F T −1 die R¨ Morphing-Prozess l¨ asst sich in einfacher Weise mit der Gleichung fmorph = F T −1 (W1 (t, J)(F T (f1 (x, y, z))) + W2 (t, J)(F T (f2 (x, y, z)))

4.3 Volumenbasierte Verfahren

W(t,J)

111

W(t,J)

t=0.05 t=0.95

t=0.65

t=0.35

t=0.05

t=0.65

t=0.35

t=0.95 J

J

1.5 n

1.5 n

Abb. 4.26. Gewichtsfunktionen f¨ ur n = 256 und (a) K = 32 und (b) K = 64. K ist vom Benutzer einstellbar und bestimmt den Zeitverlauf der Gewichtsfunktionen mit t = 0, ..., 1 beschreiben. Hierin ist J = |u| + |v| + |w| die Betragssumme der Frequenzkomponenten u, v und w. Die von den Parametern J und t abh¨ angigen Gewichtungsfunktionen erhalten wir mit: W1 (t, J) = max(0, min(a(t, J), 1.0)) und W2 (t, J) = 1 − W1 (t, J) hierin ist

J 3n 1 − t )( )− . 2 K K Zwei Beispiele dieser Gewichtungsfunktionen f¨ ur K = 32 und K = 64 zeigt die Abb. 4.26. Hierin ist erkennbar, dass die Interpolation durch wechselseitige Unterdr¨ uckung der Frequenzanteile der beiden Objekte erfolgt. Zum Zeitpunkt t = 0.05 werden lediglich die h¨ ochsten Frequenzanteile des Startobjektes abgeschw¨ acht und a(t, J) = (K +

a

b

c

d

e

f

Abb. 4.27. Volumen-Morphing mit Hilfe der 3D-Fourier-Transformation nach c Hughes (mit Genehmigung von [47],
ACM 1992)

112

4 Warping und Morphing

zu den niedrigsten Frequenzkomponenten des Zielobjektes addiert. Da die beiden Gewichtungsfunktionen zueinander komplement¨ ar sind, verringern sich mit wachsendem t die hohen Frequenzanteile des Startobjektes, w¨ ahrend die des Zielobjektes umgekehrt proportional zunehmen. Die Frequenzrepr¨ asentation des interpolierten Objektes ist demnach eine Mischung aus den Fourier-Komponenten beider terminalen Objekte, wobei das Mischungsverh¨ altnis mit den zeitabh¨ angigen Gewichtungsfunktionen bestimmt wird. Ein Interpolationsergebnis dieses Verfahrens ist in der Bildfolge Abb. 4.27 dargestellt, in der die Transmutation einer Teekanne in einen W¨ urfel und weiter in zwei Toroide dargestellt ist.

4.3.2 Verfahren von He, Wang und Kaufmann Bei dem volumenbasierten Morphing-Verfahren, das He, Wang und Kaufmann in [48] vorstellen, wird anstelle der Fourier-Transformation die Wavelettransformation verwendet. Zus¨ atzlich werden die Korrespondenzen zwischen den beiden terminalen Volumenobjekten ausgenutzt. Die Korrespondenzen sind hier, wie die Abb. 4.28 veranschaulicht, zusammenh¨ angende Voxelgruppen im Start- und Zielobjekt, die sich durch lineare Interpolation eindeutig aufeinander abbilden lassen. Unter Ber¨ ucksichtigung der Korrespondenzen erzeugt der Interpolationsprozess wesentlich bessere Transmutationsergebnisse als der eingangs beschriebene einfache Morphing-Prozess. Die Abb. 4.29 zeigt das Prinzip der korrespondenzbasierten Voxelinterpolation f¨ ur den eindimensionalen Fall. Die eindimensionale Voxelinterpolation l¨ asst sich in einfacher Weise auf den 3D-Fall erweitern. Hierzu wird die eindimensionale Voxelinterpolation nacheinander in drei Koordinatenrichtungen ausgef¨ uhrt. Im ersten Schritt erfolgt die Interpolation mit den korrespondierenden Voxelebenen der beiden terminalen Volumenobjekte. Anschließend wird zwischen den korrespondierenden Voxelzeilen und zuletzt zwischen den Volumenelementen interpoliert. Das Ergebnis dieses Interpolationsprozesses, das in Abb. 4.30 dargestellt ist, zeigt das Entstehen von separaten Voxelgruppen, die mit Hilfe der Wavelettransformation beseitigt werden. Die Wavelettransformation bewirkt, dass sich die Volumenmatrizen in der ersten Transformationsstufe in sieben Hochpassanteile D11,...,7 und einen Tiefpassanteil H1 aufspalten. Die nachfolgende Transformationsstufe zerlegt diesen ersten Tiefpassanteil H1 wiederum in weitere sieben Hochpassanteile D21,...,7

Startvolumenobjekt

Zielvolumenobjekt

Abb. 4.28. Korrespondenzen zwischen den terminalen Volumenobjekten

4.3 Volumenbasierte Verfahren

113

Startsegment t=0 t=0.25 interpolierte Segmente

t=0.5 t=0.75 Zielsegment t=1 Abb. 4.29. Eindimensionale Voxel-Interpolation

sowie den neuen Tiefpassanteil H2 . Die Hochpassanteile der ersten Transformationsstufe bleiben erhalten. In gleicher Weise erfolgen weitere Zerlegungen, wie die Abb. 4.31 zeigt. Die Voxelmodelle werden somit hierarchisch in Hoch- und Tiefpasskomponenten zerlegt, wobei sich mit jedem Transformationsschritt die r¨ aumliche Aufl¨ osung vergr¨ obert. Der Tiefpassanteil der letzten Zerlegungsstufe repr¨ asentiert das Volumenmodell in seiner gr¨ obsten Aufl¨ osung, w¨ ahrend sich in den sieben Hochpassanteilen der ersten Zerlegungsstufe die Details des Volumenobjektes in feinster Aufl¨ osung befinden. Die Bestimmung der Korrespondenzen erfolgt in der oben dargestellten Weise mit den Tiefpassanteilen der letzten Zerlegungsstufe, welche die

Abb. 4.30. Morphing im Ortsraum mit Objektkorrespondenzen nach He, Wang c und Kaufmann (mit Genehmigung von [48],
IEEE 1994)

114

4 Warping und Morphing

Level 2

Level 1

D D D D A D D

D D A D

Volumenobjekt

H: Tiefpaß G: Hochpaß

H

A1

H

A2

G

D11,..., D17

G

D12 ,..., D27

Abb. 4.31. Prinzip der Waveletzerlegung

Formen der terminalen Objekte lediglich in grober N¨ aherung repr¨ asentieren. Unter Ber¨ ucksichtigung der Korrespondenzbeziehungen wird der Morphing-Prozess analog dem in der Abb. 4.28 dargestellten Interpolationsprozess durchgef¨ uhrt. Diese Interpolation ist separat f¨ ur jede Aufl¨ osungsstufe getrennt f¨ ur die Hoch- und Tiefpassanteile auszuf¨ uhren: , D21,...,7 , t), AMn = I(A1n , A2n , t). DMn = I(D11,...,7 n n Anschließend erfolgt mit den interpolierten Hoch- und Tiefpasskomponenten die Rekonstruktion der Tiefpasskomponente der n¨ achsth¨ oheren Aufl¨ osungsstufe AMn−1 . unschten Alle weiteren Tiefpasskomponenten AMn−2 , ..., AM1 werden bis zum gew¨ Transmutationsergebnis M durch identische Rekonstruktionsschritte berechnet. Das Rekonstruktionsschema, das auch die Struktur des Wavelet-Morphing-Algorithmus darstellt, zeigt die Abb. 4.32.

AMn

Korrespondenzanalyse

Interpolation

AMn -1

H-1 +

AMn -2

H-1 +

G-1

AMn -3

H-1 +

G-1

AM1

H-1 +

G-1

G-1

DMn1,...,7 DMn1,...,7 DMn1,...,7 -1 -2 InterInterInterpola. pola. pola. A1n

A 2n

Hochpaßkomponenten

D 21,...,7 n

D11,...,7 n

D 21,...,7 n -1

D11,...,7 n -1

D 21,...,7 n -2

D11,...,7 n -2

M

DM01,...,7 Interpola. D 21,...,7 0

D11,...,7 0

Auflösung Tiefpaßkomponenten

Abb. 4.32. Struktur des Wavelet-Morphing-Algorithmus

4.3 Volumenbasierte Verfahren

115

Abb. 4.33. Wavelet-Morphing nach He, Wang und Kaufmann (mit Genehmigung c von [48],
IEEE 1994)

Um ein m¨ oglichst kompaktes Zwischenobjekt zu erzeugen, werden die in der Abb. 4.30 noch deutlich erkennbaren separaten Voxelgruppen eliminiert. Hierzu werden wie bei dem Verfahren von Hughes die hochfrequenten Anteile aus den interpolierten Zwischenobjekten abgeschw¨ acht. Diese Abschw¨ achung erfolgt bei der R¨ ucktransformation in den Objektraum, wobei neben den o.g. separaten Voxelgruppen auch die Details in den Zwischenobjekten unterdr¨ uckt werden. Wie die Abbildung 4.33 zeigt, stellen sich die Zwischenobjekte mit einer stark gegl¨ atteten Oberfl¨ ache dar. Je gr¨ oßer die Distanz zu den terminalen Volumenobjekten ist, um so gr¨ oßer ist hierbei die Abschw¨ achung. Dies bedeutet, dass die hochfrequenten Anteile in der Mitte der Transmutation am st¨ arksten reduziert sind. Am Anfang und am Ende des Morphing-Prozesses werden diese Abschw¨ achungen schrittweise zur¨ uckgenommen, um hierdurch wieder die Objektdetails mit hinreichender Genauigkeit herzustellen.

5 Gesichtsanimation

¨ Unsere Gef¨ uhlsregungen oder sprachlichen Außerungen zeichnen sich in zumeist sehr differenzierter Form in unseren Gesichtsausdr¨ ucken ab. Da wir st¨ andig verbal oder auch nonverbal mit Mimik kommunizieren, haben wir die Bedeutung vielf¨ altiger Gesichtsausdr¨ ucke (s. Abb. 5.1) erlernt und in unserem visuellen Ged¨ achtnis gespeichert. Hierdurch k¨ onnen wir die Gef¨ uhlslage unseres Gegen¨ uber richtig einsch¨ atzen ¨ und bei entsprechender Ubung zum Teil die Worte von den Lippen unseres Kommunikationspartners ablesen. Die visuell im Ged¨ achtnis eingepr¨ agten und sehr fein abgestuften Mimiken stellen f¨ ur die Modellierung und Animation von Gesichtsmodellen mit den Methoden der Computergrafik ein erhebliches Problem dar, weil selbst eine geringf¨ ugige Abweichung zum nat¨ urlichen Vorbild leicht als Fehler registriert wird.

5.1 Anwendungsbereiche F¨ ur die Gesichtsanimation gibt es vielf¨ altige Anwendungsbereiche. Hierzu geh¨ oren beispielsweise k¨ unstliche Akteure f¨ ur Werbe- oder Spielfilme. Beeindruckende Beispiele f¨ ur die Gesichtsanimation in Spielfilmen sind u.a. in den Filmen Shrek“ oder ” Final Fantasy“ zu finden. Infolge der anhaltend rasanten Leistungssteigerung der ” Hardware hat schon seit Jahren die 3D-Grafik Einzug in den großen Markt der Computerspiele gehalten. Hierbei werden große Anstrengungen unternommen, um die virtuellen Figuren m¨ oglichst realistisch erscheinen zu lassen. Die in Echtzeit durchgef¨ uhrte Gesichtsanimation findet daher in diesem Anwendungsfeld weite Verbreitung. Durch das Internet wurden seit Mitte der Neunzigerjahre durch die synchrone ¨ Ubertragung von Text-, Bild- und Grafikdaten sowie Sprache neue Kommunikationsformen geschaffen, die von einer breiten Masse weltweit genutzt werden. Eine dieser M¨ oglichkeiten ist die Kommunikation mit Hilfe von sog. Avataren. Als Avatar bezeichnet man im Hinduismus die Verk¨ orperung von G¨ ottern, die auf die Erde herabsteigen. Ein Avatar ist mittlerweile zu einer gebr¨ auchlichen Bezeichnung f¨ ur die grafische Repr¨ asentation eines Benutzers geworden, also f¨ ur seine Verk¨ orperung in der virtuellen Welt. So ist es m¨ oglich, dass sich Kommunikationspartner als Avatare in virtuellen Besprechungsr¨ aumen zur Diskussion zusammenfinden. Derartige Szene-

118

5 Gesichtsanimation

¨ Abb. 5.1. H¨ aufige Gesichtsausdr¨ ucke: (a) Traurigkeit, (b) Arger, (c) Freude, (d) Furcht, (e) Ekel, (f) Erstaunen

rien werden vereinzelt beim sog. Internet-Chatting praktiziert. Die k¨ orperliche Darstellung der virtuellen Diskussionspartner erfolgt derzeit noch mit einfachen Avataren, die vorwiegend als symbolische Beschreibungen des realen Diskussionsteilnehmers anzusehen sind. Von zuk¨ unftigen Systemen (s. Abb. 5.2) ist zu erwarten, dass Avatare die Teilnehmer einer virtuellen Gespr¨ achsrunde mit den Gesichtern und der Mimik realer Akteure darstellen k¨ onnen. Synchron zu der sprachlich u ¨ bermittelten Information kann hierbei die Steuerung der Lippenbewegungen mit den Methoden der Gesichtsanimation erfolgen. Aus der Vielzahl der in den letzten drei Jahrzehnten entwickelten Techniken zur Gesichtsanimation sollen in den folgenden Abschnitten einige Facial AnimationVerfahren exemplarisch vorgestellt werden.

5.2 Parametergesteuerte Gesichtsanimation Die ersten Versuche, realistisch wirkende Gesichter zu synthetisieren, wurden bereits am Anfang der Siebzigerjahre von Parke [49], [50] mit der parametergesteuerten Gesichtsanimation unternommen. Dieser Ansatz gestattet unter Verwendung eines ¨ groben polygonalen Kopfmodells das Offnen und Schließen der Augen und des Mundes. Das Polygonnetz des Kopfes (s. Abb. 5.3a) wurde hierbei mit photogrammetrischen Methoden erfasst oder direkt mechanisch vermessen.

5.2 Parametergesteuerte Gesichtsanimation

Bildanalyse

119

Bildsynthese

Monitor

Gesichtsmodell Enkoder

Gesichtsmodell Dekoder

Abb. 5.2. Bildkommunikation mit Hilfe von Avataren Die Animation erfolgt, indem die Koordinaten, welche die Mund- oder Augenregion repr¨ asentierten, durch Interpolation sowie durch Rotations-, Translations- und Skalierungstransformationen ver¨ andert werden. Um beispielsweise den Mund zu ¨ offnen (s. Abb. 5.3), erfolgt eine Koordinatenrotation im Unterkieferbereich des Gesichtsmodells um die Achse des Unterkiefers, die, wie in Abb. 5.3b dargestellt, ungef¨ ahr durch die Mitte der Wangenregionen verl¨ auft. Die zu transformierenden Koordinaten befinden sich zwischen den beiden in Abb. 5.3b gestrichelt gezeichneten Begrenzungslinien. Durch Angabe eines Parameters ¨ kann der Rotationswinkel und damit die Offnungsweite des Mundes eingestellt wer-

Drehachse des Unterkiefers

(a)

(b)

Abb. 5.3. Erzeugung des Polygonnetzes des menschlichen Kopfes: (a) Kopfmodell, (b) Polygonnetz

120

5 Gesichtsanimation Tabelle 5.1. Parameter zur Steuerung der Mundregion Parameter beeinflusst Wertebereich Kieferrotation 0,..., 20 Mundweite 0.5,..., 1.5 Lippenverschiebung 0.0,..., 20 Mundausdruck 0.0,..., 1.0 Oberlippenposition 0.0,..., 20 Lippendicke 0.0,..., 25 X-,Y-,Z-Mundwinkeleckenversatz -25,..., 25 F-Laut Lippenverschiebung -25,..., 0

den. Weitere Parameter1 , die zur Steuerung der Mundregion dienen, sind in Tab. 5.1 aufgef¨ uhrt. Die Mundweite wird bei Parke mit einer Skalierungsoperation ver¨ andert. Der Parameter Lippenverschiebung bewirkt mittels einer Translationsoperation eine Lippenbewegung nach vorn und vergr¨ oßert damit den Abstand zu den Z¨ ahnen. Das Anheben der Oberlippenposition erfolgt gleichfalls mit Hilfe von Translationsoperationen. Der Parameter Lippendicke steuert hierbei die Dicke der Lippen im Bereich der Mundwinkelecken. Die Translationsparameter X-,Y- und Z- Mundwinkeleckenversatz gestatten die Verschiebung der Mundwinkelecken in den drei Koordinatenhauptrichtungen. Der Parameter F-Laut-Lippenverschiebung schiebt die Unterlippe u ahne, so als ob ein F-Laut geformt w¨ urde. ¨ ber die Vorderz¨ Alle durch die oben genannten Parameter gesteuerten Transformationen wirken nur auf die Koordinaten bestimmter Gesichtsregionen. Um m¨ oglichst kontinuierli¨ che Uberg¨ ange zwischen den transformierten und den unver¨ anderten Regionen des Gesichtes zu schaffen, ist der Einfluss einer Transformation an den Grenzen ihres Wirkungsbereichs entsprechend abzuschw¨ achen.

¨ Abb. 5.4. Offnen des Mundes durch Rotation der Unterkieferkoordinaten 1

Die Parameterwerte in Tab. 5.1 bezeichnen die prozentualen L¨ angen¨ anderungen der Basiswerte, bezogen auf den neutralen Gesichtsausdruck.

5.2 Parametergesteuerte Gesichtsanimation

121

Obgleich das Prinzip der parametergesteuerten Gesichtsanimation recht einfach erscheint, ist die praktische Anwendung dieses Verfahrens ¨ außerst m¨ uhselig, da keine direkte Beziehung zur Einstellung der Parameter und dem gew¨ unschten Gesichtsausdruck besteht, zumal sich dieser bei Animationen dynamisch ver¨ andern muss.

5.2.1 Erweiterte parametergesteuerte Verfahren DiPaola [51], [52] erweiterte das Gesichtsanimationsverfahren von Parke, indem er die Anzahl der Parameter zur Steuerung der Gesichtsausdr¨ ucke erheblich vergr¨ oßert. Im Unterschied zu Parke stehen hier besonders W¨ unsche und Bed¨ urfnisse von Animateuren nach mehr Flexibilit¨ at hinsichtlich der m¨ oglichen Gesichtsausdr¨ ucke im Vordergrund. Dazu verwendet er etwa 80 Parameter, die mittels Interpolationsoperationen sowie Translations-, Rotations- und Skalierungstransformationen auf Teilregionen des Kopfmodells wirken. DiPaola´s Verfahren erm¨ oglicht mittels lokal wirkender Transformationen, Stauchung oder Streckung bestimmter Gesichtspartien und erreicht dadurch karikaturhafte Gesichtsverformungen. Weiterhin lassen sich relevante Gesichtsmerkmale so skalieren, dass beispielsweise die Augen die halbe Gr¨ oße des Kopfes einnehmen. Derartige Operationen wirken auf das gesamte Gesichtsmodell und ver¨ andern somit auch die Polygone der Nachbarregionen wie Stirn- oder Wangenbereiche. Mit Hilfe einfacher Interpolationen sind Morphing-Operationen zwischen unterschiedlich verzerrten Gesichtern m¨ oglich. Mit der Verwendung weiterer parametergesteuerter Transformationen, die aufgeblasene Backen, ger¨ umpfte Nasenfl¨ ugel oder schielende Augen erm¨ oglichen, l¨ asst sich die Ausdrucksvielfalt ebenfalls steigern. Die meisten Parameter, die zur Ver¨ anderung des Gesichtsausdrucks dienen, sind bei diesem Ansatz paarweise vorhanden und wirken unabh¨ angig voneinander auf die linke bzw. rechte Gesichtsh¨ alfte. Hierdurch ist es m¨ oglich, Asymmetrien, die nahezu jedes nat¨ urliche Gesicht aufweist, nachzubilden. In dem Gesichtsanimationssystem von DiPaola wird besonderes Schwergewicht auf die Modellierung und Animation der Augen gelegt. Um diese realistisch wirken zu lassen, erfolgte die Texturierung des Augenmodells mit Bildmatrizen, die mit Fotografien von realen Augen erzeugt wurden. Die Augenbewegungen werden gleichfalls mit Parametern gesteuert, welche die Aug¨ apfel skalieren, rotieren oder die Position der Augenlider ver¨ andern. Im Gegensatz zum Gesichtsmodell von Parke, das lediglich eine Gesichtsmaske darstellt, wird beim DiPaola’schen System der vollst¨ andige Kopf, einschließlich der Kopfbehaarung sowie der Augenbrauen, modelliert. F¨ ur die Haarmodellierung werden sog. Hair Globs verwendet. Dies sind kleine, sich gegenseitig u are Fl¨ achenelemente, die mit dem Polygonnetz ¨ berdeckende, irregul¨ des Kopfes flexibel verbunden sind. Die Einbindung der Gesichtsanimation in ein durch Keyframes gesteuertes K¨ orperanimationssystem ist eine weitere Eigenschaft, die f¨ ur die Produktion von Animationsfilmen besonders wichtig ist. Hierbei wird zuerst das K¨ orpermodell animiert, wobei ein Dummy-Objekt als Platzhalter dient, mit der die Position und Ausrichtung des Kopfes festgelegt wird. Diese Geometriedaten werden ben¨ otigt, um das orpermodell Kopfmodell mit den nachfolgenden Arbeitsschritten korrekt auf das K¨ platzieren zu k¨ onnen. Eine Bibliothek zur Speicherung und Verwaltung der Parameters¨ atze unterschiedlicher Mimiken ist eine weitere wichtige Eigenschaft dieses Gesichtsanimationssystems.

122

5 Gesichtsanimation

Erweiterung von Pearce, Wyvill und Hill. Die Erweiterung des urspr¨ unglichen Parke’schen Gesichtsanimationsverfahrens durch Pearce, Wyvill und Hill [53] betrifft vor allem die phonembasierte Steuerung der Lippenbewegungen. Jedes Phonem2 korrespondiert hierbei mit einer bestimmten Mundstellung, der wiederum spezielle Parametrisierungen zugeordnet sind. Mit Hilfe nicht-linearer Interpolation wird ein ¨ gleitender Ubergang zwischen den jeweils unterschiedlichen Mundstellungen, den Visemen, erzeugt, wie sie bei der Generierung von Phonemfolgen auftreten. Hierdurch ist es m¨ oglich, die synchron zur Lautfolge generierten Lippenbewegungen nat¨ urlich erscheinen zu lassen. Erweiterung von Cohen und Massaro. Die Erweiterung durch Cohen und Massaro [54], [55] besteht vor allem in der Verbesserung der visuellen Sprachartikulation. Hierzu werden speziell Parameter zur Steuerung der Lippen eingef¨ uhrt. Da auch ¨ die Zungenbewegungen zur visuellen Interpretation von sprachlichen Außerungen wichtig sind, wird von Cohen und Massaro auch ein dynamisch ver¨ anderbares Zungenmodell implementiert und Parameter zur Zungensteuerung vorgesehen. Durch die Verwendung von Gesichtstexturen kann das realistische Aussehen des Gesichtes verbessert werden. Mit Hilfe von Schiebereglern, welche die interaktive Ver¨ anderung s¨ amtlicher Parameterwerte erm¨ oglichen, wird eine einfache Bedienbarkeit des Animationssystems erreicht.

5.3 Muskelgesteuerte Gesichtsanimation Die muskelgesteuerte Gesichtsanimation basiert auf der Kenntnis der Mechanik von Haut und Muskeln, der Anatomie des menschlichen Gesichtsmuskelsystems sowie dem Zusammenwirken der einzelnen Gesichtsmuskeln. In dem nachfolgenden Abschnitt soll in einer verk¨ urzten Form die Anatomie des Gesichtsmuskelsystems vorgestellt werden. Anschließend wird das Facial Action Coding System (FACS) diskutiert, mit dem sich die Interaktionen der einzelnen prim¨ aren Muskelaktionen beschreiben lassen, die f¨ ur die Erzeugung einer begrenzten Anzahl von Gesichtsausdr¨ ucken erforderlich sind. Das wegweisende Modell von K. Waters, das auf der Anatomie der Gesichtsmuskulatur und des FAC–Systems basiert, wird abschließend als ein Beispiel f¨ ur die muskelgesteuerte Gesichtsanimation vorgestellt.

5.3.1 Gesichtsmuskelsystem Die Abbildungen 5.5a–c zeigen die wichtigsten Muskelpartien, die f¨ ur die Mimik oder das Sprechen relevant sind. Wir unterscheiden drei Muskeltypen: die Linearmuskeln, die Schließmuskeln, die auch als Sphinktermuskeln bezeichnet werden sowie die Fl¨ achenmuskeln. Die Linearmuskeln sind am h¨ aufigsten im Muskelsystem des Gesichtes vertreten. Sie erzeugen eine Kontraktion in Richtung eines Fixpunktes. Die Schließmuskeln, die Mund und Augenlider umgeben, sind ring- bzw. ellipsenf¨ ormig und kontrahieren in Richtung eines Zentralpunktes. Fl¨ achenmuskeln sind breite Muskelb¨ ander, die aus einer Vielzahl von parallelen Linearmuskeln gebildet werden. Ein typischer 2

Ein Phonem ist die kleinste bedeutungsunterscheidende lautsprachliche Einheit

5.3 Muskelgesteuerte Gesichtsanimation

123

Abb. 5.5. Darstellung der Gesichtsmuskulatur aus Frontal- (a) und Lateralrichtung (b). Das Teilbild (c) zeigt ein Schnittbild des Unterkiefers mit den Kaumuskeln medial pterygoid r und m. lateral pterygoid s

Fl¨ achenmuskel ist der Frontalis (a) (s. Abb. 5.5), der die Stirn zum großen Teil u ¨ berdeckt. Im nachfolgenden Abschnitt werden die gekennzeichneten Muskelb¨ ander diskutiert, deren Aufz¨ ahlung nicht vollst¨ andig ist und deren prim¨ are Muskelaktionen sicherlich nicht immer anatomisch korrekt beschrieben werden. Weiterhin ist zu beachten, dass immer mehrere Muskeln zur Erzeugung bestimmter Gesichtsausdr¨ ucke zusammenwirken, wie sie beispielsweise in der Abb. 5.1 dargestellt sind.

Muskeln im Augenbereich • •

Der m. orbicularis oculi (b) (Abb. 5.5a,b) umschließt als Ringmuskel das Auge. Er bewirkt den Lidschluss oder Lidschlag. Der m. corrugatur supercilii (c) (Abb. 5.5a) verl¨ auft vom Stirnbein dicht oberhalb der Nasenwurzel zum medialen Bereich der Augenbrauen. Eine Muskelkontraktion bewirkt die Ausbildung von senkrechten Falten zwischen den Augenbrauen.

124

5 Gesichtsanimation

Muskeln im Nasenbereich • • •

Der m. nasalis (d) (Abb. 5.5a,b) verl¨ auft von den oberen Schneidez¨ ahnen zum Nasenr¨ ucken und verursacht dabei eine Erweiterung oder Verengung der Nasenl¨ ocher. Der m. procerus (e) (Abb. 5.5a,b) verl¨ auft von der Glabella (unbehaarte Stelle zwischen den Augenbrauen) zum Nasenr¨ ucken. Er verursacht das Herabziehen der Stirnhaut und dadurch die Bildung der Querfalten an der Nasenwurzel. Der m. levator labii superioris alaeque nasi (f ) (Abb. 5.5a,b) ist an der obersten Stelle des Oberkiefers (etwas unterhalb der Nasenwurzel) fixiert und verl¨ auft von dort zur Oberlippenhaut sowie zum Nasenfl¨ ugel. Er bewirkt das Anheben der Nasenfl¨ ugel und der Oberlippe.

Muskeln im Kieferbereich sowie Kaumuskeln •

•

•

• •

• •

•

•

Der m. orbicularis oris (g) (Abb. 5.5a) verl¨ auft ausgehend vom Wangenmuskelknoten an den Mundwinkeln ringf¨ ormig um die Mund¨ offnung mit Anheftungsstellen an Ober- und Unterkiefer. Der Muskel schließt die Mund¨ offnung und beeinflusst die Lippenstellung. Er ist zust¨ andig f¨ ur die Artikulation von Lauten, dient zum Sch¨ urzen der Lippen oder kann diese gegen die Z¨ ahne dr¨ ucken. Er ist unterst¨ utzt den Kauvorgang, indem er die Nahrung gegen die Z¨ ahne dr¨ uckt. Der m. buccinator (h) (Abb. 5.5a) ist ein d¨ unnes und breites Muskelband, das vom Mund zum Wangenbereich verl¨ auft und diesen zum gr¨ oßten Teil u ¨berdeckt. Dieser Muskel erm¨ oglicht das Ausblasen der Luft, wirkt beim Lachen und Weinen und dem Ausdruck von Genugtuung mit. Der m. levator labii superioris (i) (Abb. 5.5a,b) besteht aus mehreren Muskelb¨ andern, die von der Haut der Oberlippe und des Nasenfl¨ ugels zum Jochbogen, zum Oberkiefer und dem Orbit (innerhalb der Augenh¨ ohle nahe der Nasenwurzel) verlaufen. Er dient zum Anheben der Oberlippe und des Nasenfl¨ ugels. Der m. levator angulo oris (j) (Abb. 5.5a) setzt an den Mundwinkeln an und ist am Oberkiefer in der H¨ ohe der Nasen¨ offnung fixiert. Der Muskel bewirkt das Heben der Mundwinkel. Der m. zygumaticus major k (Abb. 5.5a,b) setzt an der Haut des Mundwinkels sowie der Oberlippe an und ist am Jochbogen des Sch¨ adels fixiert. Er bewirkt das Ziehen der Mundwinkel nach außen und nach oben. Seine Kontraktion dr¨ uckt Lachen oder Vergn¨ ugen aus. Der m. risorius (l) (Abb. 5.5a) verl¨ auft von der Wangenhaut zu den Mundwinkeln. Durch laterales Verziehen der Mundwinkel erzeugt er Lachgr¨ ubchen und wird deshalb auch als Lachmuskel bezeichnet. Der m. mentalis (m) (Abb. 5.5a,b) verl¨ auft von den seitlichen unteren Schneidez¨ ahnen und des Eckzahns zur Kinnhaut. Er bewirkt ein Anheben der Kinnhaut und tritt beim Ausdruck von Zweifel und Unentschlossenheit auf, indem er die Kinn-Lippen-Furche erzeugt. Er tritt beispielsweise auch beim Trinken in Aktion. Sowohl der m. depressor labii inferioris (n) als auch der m. depressor anguli oris (o) (Abb. 5.5a,b) sind am Unterrand des Unterkiefers fixiert und verlaufen zur Haut der Unterlippe. Beide bewirken ein Herabziehen der Unterlippenhaut und verursachen einen traurigen Gesichtsausdruck. Der m. temporalis (p) (Abb. 5.5a,b) ist ein breites f¨ acherf¨ ormiges Muskelband, das im gesamten Schl¨ afenbereich des Sch¨ adelknochens fixiert ist.

5.3 Muskelgesteuerte Gesichtsanimation •

• •

•

125

Der m. masseter (q) (Abb. 5.5a,b) ist ein breites und dickes Muskelband, das vom Jochbogen zum unteren Bereich des Unterkiefers verl¨ auft. Er ist f¨ ur das Schließen des Unterkiefers zust¨ andig, den er dabei zur¨ uckzieht. Dieser Muskelf¨ acher wird am Unterkiefer an der Stelle unterhalb des Jochbogens zusammengef¨ uhrt. Der m. medial pterygoid (r) (Abb. 5.5a) befindet sich innerhalb des Kieferraums und verl¨ auft in Richtung des m. masseter als dessen Gegen¨ uber. Der Muskel besteht aus zwei B¨ andern, die den Unterkiefer anheben. Der m. lateral pterygoid (s) (Abb. 5.5c) befindet sich innerhalb des Kieferraums und setzt in der N¨ ahe des Unterkiefergelenks an. Er besteht aus zwei Muskelb¨ andern, mit denen der Unterkiefer nach vorne oder auch seitlich verschoben wird. Der m. platysma (t) (Abb. 5.5a) ist ein flacher Hautmuskel, der oberhalb des Unterkieferrandes in der Gesichtshaut entspringt und sich bis zur Brusthaut der zweiten Rippe zieht. Dieser Muskel zieht den ¨ außeren Teil der Unterlippe sowie den Unterkiefer nach unten. Diese Muskelaktion vermittelt den Ausdruck des Erschreckens.

5.3.2 Das Facial-Action-Coding System Das Facial-Action-Coding System (FACS) ist ein Schema zur Beschreibung von Gesichtsausdr¨ ucken, das in der Gesichtsanimation weite Verbreitung gefunden hat. Es wurde von Paul Eckman und Wallace Friesen [56] entwickelt und beschreibt den Ausdruck eines Gesichtes mit Hilfe sog. Action Units (AU´s) . Die AU´s sind elementare, nicht weiter teilbare Muskelaktionen, die den Gesichtsausdruck ver¨ andern, wie beispielsweise der Lidschluss des Auges. Insgesamt wurden 46 unterschiedliche AU´s bestimmt, deren Kombination die Erzeugung beliebiger Gesichtsausdr¨ ucke ¨ erlaubt. Obgleich zur Anderung des Gesichtsausdrucks lediglich eine Action Unit erforderlich ist, k¨ onnen theoretisch bis zu 20 AU´s miteinander kombiniert werden. Das FACS wurde urspr¨ unglich mit dem Ziel entwickelt, jene Muskelaktionen ¨ zu bestimmen, die f¨ ur die Erzeugung bestimmter elementarer Anderungen im Gesichtsausdruck verantwortlich sind. Die Analyse dieser Muskelaktionen, die auf der Anatomie des menschlichen Gesichtsmuskelsystems basiert, geht von der Annah¨ me aus, dass jede Anderung der Mimik ihre Ursache in Muskelaktionen hat. Mit dem FACS werden somit nur die Kontraktionen der Gesichtsmuskeln erfasst, die zu sichtbaren Ausdrucksver¨ anderungen f¨ uhren. Hierbei kann der Fall auftreten, dass die Aktion des gleichen Muskels unterschiedliche Gesichtsausdr¨ ucke verursacht. Als ein Beispiel sei der Frontalis genannt, dem zwei Aktionseinheiten, die AU1 und die AU2, zugeordnet sind. Abh¨ angig davon, ob der mediale oder laterale Bereich dieses Fl¨ achenmuskels aktiv ist, werden entweder die inneren oder die ¨ außeren Bereiche der Augenbrauen aktiviert. In der Tabelle 5.2, in der die Zuordnungen der AU´s zu den jeweiligen Gesichtsmuskeln dargestellt ist, sind weitere Muskeln aufgef¨ uhrt, die analoge Eigenschaften aufweisen.

126

5 Gesichtsanimation Tabelle 5.2. Facial Action Units AU 1 2 4

FACS Name Inner Brow Raiser Outer Brow Brow Lowerer

5 6 7 8 9 10

Upper Lid Raiser Cheek Raiser Lid Tightener Lips Toward Nose Wrinkler Upper Lip Raiser

11 12 13 14 15 16 17 18

Nasolabial Furrow Lip Corner Puller Cheek puffer Dimpler Lip Corner Depressor Lower Lip Depressor Chin Raiser Lip Puckerer

20 22 23 24 25

Lip Stretcher Lip Funneler Lip Tightner Lip Pressor Lips Part

26

Jaw Drop

27 28 38 39

Mouth Stretch Lip suck Nostril Dilator Nostril Compressor

41 42 43 44 45

Lid Droop Slit Eyes Closed Squint Blink

46

Wink

Muscular Basis Frontalis, Pars Medialis Raiser Frontalis, Pars Lateralis Depressor Glabellae; Depressor Supercilli; Corrugator Levator Palebrae Superioris Orbicularis Oculi, Pars Orbitalis Orbicularis Oculi, Pars Palebralis Orbicularis Oris Each Other Levator Labii Superioris, Alaeque Nasi Levator Labii Superioris, Caput Infraorbitalis Zygomatic Minor Deepener Zygomatic Major Caninus Buccinnator Triangularis Depressor Labii Mentalis Incisivii Labii Superioris; Incisivii Labii Inferioris Risorius Orbicularis Oris Orbicularis Oris Orbicularis Oris Depressor Labii, or Relaxation of Mentalis or Orbicularis Oris Masetter; Temporal and Internal Pterygoid Pterygoids; Digastric Orbicularis Oris Nasalis, Pars Alaris Nasalis, Pars Transversa and Depressor Septi Nasi Relaxation of Levator Palpebrae Superioris Orbicularis Oculi Relaxation of Levator Palpebrae Superioris Orbicularis Oculi, Pars Palpebralis Relaxation of Levator Palpebrae and Contraction o Orbicularis oculi, Pars Palpebralis Orbicularis Oculi

5.3 Muskelgesteuerte Gesichtsanimation

127

Abb. 5.6. Erzeugung der AU2 – d.h. Action Unit Nr. 2 aus Tabelle 5.2 – mit einem Linearmuskel

5.3.3 Muskelmodell von K. Waters Zu den Pionieren der muskelgesteuerten Gesichtsanimation geh¨ ort Keith Waters. In dem von ihm entwickelten Muskelmodell [57] werden die drei bekannten Muskeltypen Linear-, Schließ- und Fl¨ achenmuskel durch Funktionen nachgebildet. Die Linearund Fl¨ achenmuskeln sind als sog. Muskelvektoren realisiert. Ihre Wirkung l¨ asst sich mit einem Gummiband vergleichen, das die Eckpunkte eines Polygonnetzes, die sich in seinem Einflussbereich befinden, in Richtung seines Fixpunktes zieht. Dieser Fixpunkt entspricht dem Ansatz eines nat¨ urlichen Muskels, der durch den Muskelvektor nachgebildet wird. Die Wirkungsweise von Linear- und Fl¨ achenmuskeln ist prinzipiell identisch, sie unterscheidet sich jedoch in der Form ihrer Einflussbereiche. Nachfolgend werden speziell die Eigenschaften der Linear- und Schließmuskeln detaillierter behandelt. Linearmuskeln. Der Wirkungsbereich des von K. Waters verwendeten Linearmuskelmodells hat, wie die Abb. 5.7a zeigt, die Form eines Kreissegmentes. Im Fall einer Muskelkontraktion werden die Eckpunkte des polygonalen Gesichtsmodells, die sich im Einflussbereich des Kreissegmentes befinden, in Richtung des Wirkungszentrums gezogen. Die Abb. 5.6 zeigt als Beispiel die Wirkung eines Linearmuskels, der mit den Eckpunktkoordinaten im Bereich der Augenbrauen die Aktion Outer Brow Raiser (AU2), Anheben der Augenbrauen, verursacht. Hierin erfolgt die Verschiebung (Displacement) der Eckpunktkoordinaten nicht gleichm¨ aßig, sondern sie verl¨ auft symmetrisch zur Hauptrichtung des Muskelvektors und geht an den Randbereichen gegen Null (s. Abb. 5.7b). Ihr Maximum befindet sich an der Stelle d = rs . Die Verschiebung der Position der Eckpunktkoordinaten von p nach p wird mit

128

5 Gesichtsanimation

disp

d W

rs



1

p¢

35 o

p 0

disp rf

0 

0

Ausrichtung des Muskelvektors

d rs = 10

Wirkungsbereich des Muskelvektors

35 o

r f = 14

(a)

(b)

Abb. 5.7. (a) Einflussbereich des Linearmuskels, (b) Displacement des Linearmuskels disp = f (d, θ) mit Ω = 35◦ , rs = 10, rf = 14, k = 1 p = p (1 − adisp rdisp k)

(5.1)

bestimmt. Hierin ist: adisp = 0.5π cos(θ/Ω) rdisp =

0.5π cos(1 − d/rs ) 0.5π cos((d − rs )/(rf − rs ))

: −Ω ≤ θ ≤ Ω : :

0 < d ≤ rs rs < d ≤ rf .

Hierin erfolgt die Verschiebung ls auf die Koordinaten eines planaren Gitters zeigen die Abb. 5.8a,b.

(a)

(b)

Abb. 5.8. Deformation der Koordinaten eines planaren Gitters mit Hilfe eines Muskelvektors: (a) Kontraktionsfaktor k=0,2, (b) Kontraktionsfaktor k=0,4

5.3 Muskelgesteuerte Gesichtsanimation

129

Schließmuskeln. Die Schließmuskeln oder Sphinktermuskeln werden durch ellipsenf¨ ormige Regionen dargestellt. Im Fall einer Muskelkontraktion verschieben sich die in ihrem Einflussbereich befindlichen Polygoneckpunkte in Richtung eines fiktiven Wirkungszentrums pc . Der Einflussbereich eines Schließmuskelmodells (Abb. 5.9) ist kreis- oder ellipsenf¨ ormig.

Y Wirkungsbereich pc

p p l2

l1

X

Abb. 5.9. Wirkungsbereich des Schließmuskels ¨ Die Anderung der durch die Kontraktion ver¨ anderten Eckpunktpositionen von p nach p = p disp kann mit der Gleichung3 bestimmt werden, wobei disp Werte zwischen 0 und 1 annehmen kann. Die Abb. 5.10a,b veranschaulicht ihre Wirkung bei einer Kontraktion an einem planaren Gitter.

(a)

(b)

Abb. 5.10. Wirkung der Schließmuskelkontraktion mit (a) k=0,8 und (b) k=0,5

3

Die Bestimmung des Displacement disp weicht hier von der in [58] vorgeschlagenen Berechnung ab.

130

5 Gesichtsanimation

1.0

Ausgabe: Displacement Factor

Ausgabe: Displacement Factor

1.0

0

0 0

Eingabe: Displacement Factor 1.0

0

Eingabe: Displacement Factor 1.0

Abb. 5.11. Modellierung der Displacement-Faktoren

disp = (1 − k cos(0.5 q π)),

q=

l2 /l1 : l2 ≤ l1 1 : l2 > l 1

¨ An den Uberg¨ angen von den deformierten zu den unbeeinflussten Bereichen treten ¨ bei starken Kontraktionen oftmals unnat¨ urlich erscheinende, kantige Uberg¨ ange auf. Um diese unerw¨ unschten Effekte zu vermeiden, muss die Displacement-Funktion so gestaltet werden, dass ihr Einfluss an den Randbereichen entsprechend abgeschw¨ acht wird. Dies l¨ asst sich mit frei definierten Tabellenfunktionen disp = ftab (disp) (s. Abb. 5.11) erreichen. Mit Hilfe dieser Funktionen ist es m¨ oglich, die Displacement¨ Funktion so zu gestalten, dass glatte Uberg¨ ange an Randgebieten der Einflussbereiche entstehen. F¨ ur den Fall, dass sich die Wirkungsbereiche der Muskelmodelle u ¨ berlagern, erfolgt eine vektorielle Addition der Displacement-Vektoren.

5.4 Gesichtsanimation mit parametrischen Fl¨ achen Polygonale Gesichtsmodelle haben den Nachteil, dass eine Vielzahl von Fl¨ achenelementen erforderlich ist, um Diskontinuit¨ aten bei der Darstellung des Gesichtes zu vermeiden. Diese k¨ onnen vor allem dann entstehen, wenn sich Gesichtspartien mit grober polygonaler Aufl¨ osung durch Muskelaktionen stark verformen. Als Beispiel sei hier die Hautfaltenbildung beim Runzeln der Stirn angef¨ uhrt. Dieses Problem wird dadurch versch¨ arft, weil bei der Erzeugung des polygonalen Modells die Stellen zumeist unbekannt sind, an denen durch Muskelaktionen st¨ arkere Verformungen auftreten. Mit Hilfe parametrischer Fl¨ achen, die zumindest C2 -kontinuierlich sind, lassen sich diese Schwierigkeiten umgehen. Diese Bedingung erf¨ ullen die bikubischen B-Splines, die von Waite [59] zur Erzeugung des Gesichtsmodells verwendet werden. Die Steuerung der Gesichtsmuskeln erfolgt gleichfalls unter Verwendung des Facial Action Coding Systems mit einem sog. Facial Expression Editor. Zur Modellierung der Spline-Fl¨ achen ist ein regul¨ ares Kontrollgitter erforderlich, das den Verlauf der Gesichtsoberfl¨ ache approximiert. Waite verwendet, wie in Abb. 5.12 dargestellt, zur Erzeugung der Gesichtsoberfl¨ ache ein Gitter mit 16 × 12

5.4 Gesichtsanimation mit parametrischen Fl¨ achen

131

Kontrollpunkten mit Aussparungen an den Mund-, Augen- und Nasenl¨ ochern. Gesichtsfurchen, wie sie beispielsweise an den Seiten der Nasenfl¨ ugel auftreten, wird durch die Verdoppelung der Kontrollpunkte modelliert, wodurch die Kontinuit¨ at der Oberfl¨ ache an diesen Stellen reduziert wird (siehe Abb. 5.12). Die Positionen der in Abb. 5.12 mit • gekennzeichneten Kontrollpunkte werden mit den Muskelaktionen ver¨ andert. Die Zahlen an den Kontrollpunkten dienen zur Markierung der Action Units. Die Ver¨ anderung des Gesichtsausdrucks erfolgt auch hier, analog dem Verfahren von Waters, durch Verschiebung der Kontrollpunktpositionen mit Hilfe der Action Units: 1, 2, 4, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 und 20. Nachteilig bei der Verwendung von B-Splines ist, dass sich mit einem einheitlichen Kontrollgitter der komplexe Verlauf der Gesichtsoberfl¨ ache nur unzureichend nachbilden l¨ asst. Dieses Manko wird dadurch ausgeglichen, dass eine hierarchische B-Spline Verfeinerung [60] durchgef¨ uhrt werden kann, die es erlaubt, Kontrollgitter mit unterschiedlicher Aufl¨ osung zu verwenden. Auch mit Catmull-Rom-Splines k¨ onnen die hohen Anforderungen erf¨ ullt werden, die an Geometriemodellierung gestellt werden. So wurden kubische Catmull-RomSplines in dem von Pixar produzierten Computeraninmationsfilm Tin Toy“ zur ” Modellierung des Gesichtes vom Baby Billy“ verwendet. Tin Toy“ wurde 1988 ” ” als beste Computeranimation mit dem Academy Award“ ausgezeichnet. Die f¨ ur ” damalige Verh¨ altnisse sehr realit¨ atsnahe Gesichtsanimation mit 43 Linear- und 4 Ringmuskeln, deren Steuerung auf der Grundlage des Facial Action Coding Systems erfolgte, hatte hieran den entscheidenden Anteil. 15 14 13 12 11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0 0 1

4 2,4

6 6

12

2,6

4 2,4

1,4 6 2,10 1,4

6

6,9

12

12

6,9

12

12

6,9

12 15 20 12 20

2

1

3

1,4

4 5 6 7

12 10,11

8

13 14 12,15 11,14 14

16 14

9 17 16

17

17

17

10 11

Abb. 5.12. Schematische Darstellung des Kontrollgitters zur Modellierung und Steuerung des Gesichtsausdrucks

132

5 Gesichtsanimation

5.5 Gesichtsanimation mit Federmodellen Federmodelle zur Darstellung des elastischen Verhaltens der Gesichtshaut sind in der Gesichtsanimation weit verbreitet. Ein fr¨ uher Ansatz, der auf einem Federsystem basiert, wird bereits 1981 von Platt und Badler vorgestellt [61]. Das polygonale Netz der Gesichtshaut besteht aus einem einschichtigen Federnetz, dessen Eckpunkte u ¨ ber elastische Muskelfasern an Fixpunkten verankert sind. Diese Fixpunkte stellen die Ansatzpunkte der Gesichtsmuskeln an einem Sch¨ adelknochen dar. Bei diesem einfachen Modell treten jedoch oftmals unnat¨ urliche Verzerrungen der Gesichtshaut auf, ¨ die infolge lokaler Uberlappungen des Gesichtshautnetzes bei gr¨ oßeren Muskelkontraktionen entstehen. Wesentlich bessere Resultate liefert das Gesichtsanimationsverfahren von Lee, Terzopoulos und Waters. Diese schlagen in [25] ein zweischichtiges Feder-MasseSystem vor, das den Schichtenaufbau der Haut aus Epidermis, Fettgewebe, Muskelschicht und dem Sch¨ adelknochen nachbildet. Ihr Gewebemodell besteht aus prismatischen Elementen, deren Eckpunkte, wie in Abb. 5.13 dargestellt, mit Federn verbunden sind. Mit Hilfe von Kraft-Constraints wird erreicht, dass das durch die Prismen gebildete Hautvolumen konstant bleibt und auch das Eindringen der Gesichtshaut in den virtuellen Sch¨ adelknochen weitgehend vermieden wird. Mit diesem physikalisch-basierten Verfahren lassen sich auch realistische Darstellungen (s. Abb. 5.13b) bei der Bildung von Gesichtsfalten erzielen. Die Darstellung von ausdrucksvollen Gesichtsfalten sowie die Alterungserscheinungen der Haut ist auch ein besonderes Merkmal des Gesichtsmodells von Wu et al. [62]. Die viskoelastischen Eigenschaften der Haut werden hier durch eine Mikrostruktur in Form eines feinen, elastischen Dreiecksnetzes nachgebildet.

5.5.1 Muskel- und Hautmodell von K¨ ahler et al. Nachfolgend soll eine j¨ ungere, von K¨ ahler, Haber und Seidel vorgestellte Methode zur Gesichtsanimation [63], [64] etwas detaillierter diskutiert werden. Das hier verwendete Modell f¨ ur die Gesichtsanimation, das sich durch einfache Anwendbarkeit und ihre hervorragenden Ergebnisse auszeichnet, besteht aus drei Schichten: Epidermal Nodes 2 1,2,3 Fascia Nodes 4,5,6 Bone Nodes 7,8,9

1

Epidermal Surface Dermal-fatty Layer 4

3 5 7

Fascia Surface Muscle Layer Skull Surface

8 6 9

(a)

(b)

Abb. 5.13. Konstruktion des Hautgewebes nach Lee et al.: (a) prismatische Gewebezelle, (b) Verformung eines Gewebebereiches infolge der Einwirkung von mehreren unterschiedlich wirkenden Muskelkr¨ aften nach [25]

5.5 Gesichtsanimation mit Federmodellen • • •

133

Einer Haut-/Gewebeschicht, die die Epidermis darstellt sowie das unter der Haut befindliche Fettgewebe. Einer Schicht von Muskeln, die am Sch¨ adel verankert und mit der Haut verbunden sind. Dem Gesichtssch¨ adel, bestehend aus dem unbeweglichen Sch¨ adelknochen und dem beweglichen Unterkiefer.

Erzeugung des Kopfmodells. Die Erzeugung des Kopfmodells erfolgt automatisch auf der Basis eines Referenzkopfes, der aus den anatomisch korrekten Sch¨ adelknochen, dem virtuellen Muskelapparat und der Hautoberfl¨ ache besteht. Zur Anpassung dieses Referenzkopfes an das Gesichtsmodell einer realen Person wird ein 3D-Warping Verfahren“ verwendet, das auf radialen Basisfunktionen basiert. ” Hierzu werden die anthropometrisch relevanten Orte auf der Hautoberfl¨ ache von Referenz- und Zielkopf markiert. ¨ Um eine hinreichende Ubereinstimmung zwischen den miteinander korrespondierenden Markierungen zu erzielen, sind mehrere Iterationen erforderlich. Nach jedem Iterationsschritt wird an jeder Stelle automatisch eine neue Markierung platziert, an der die Abweichung zwischen der Geometrie von Referenz- und Zielkopf einen Schwellenwert u ¨ berschreitet. Hierdurch entsteht eine fortlaufende Verfeinerung des verformten Referenzmodellgitters, bis eine korrekte Anpassung an die Zielkopfmarkierungen und damit an die exakte Form des gew¨ unschten Zielkopfes erreicht ist. Die Knoten des polygonalen Hautnetzes und des Sch¨ adelknochennetzes sind durch Distanzvektoren miteinander verbunden. Der Warping-Prozess, der die Kopfhaut des Referenzmodells entsprechend den Zielmarkierungen verformt, passt somit auch den zugeh¨ origen Sch¨ adelknochen anatomisch korrekt in den Zielkopf ein. Die Ein- und Anpassung des Muskelapparates zwischen Hautschicht und Sch¨ adelknochen erfolgt gleichfalls automatisch, wobei sich der Verlauf der Muskelbahnen an der Sch¨ adelform ausrichtet. Dieser Anpassungsprozess ber¨ ucksichtigt auch eine unterschiedliche St¨ arke der Hautdicke.

a) (a)

b) (b)

c) (c)

d) (d)

Abb. 5.14. Prozessschritte zur Gesichtsrekonstruktion nach K¨ ahler et al. (s. Farbtafel V): (a) Geometrieerfassung des Sch¨ adels, (b) virtuelles Sch¨ adelmodell wird mit virtuellen Landmarks versehen, (c) Anpassung des Referenzkopfmodells mit geeigneten Weichteildicken, (d) fertige Rekonstruktion mit leichter Mimik, (mit Genehmigung von J. Haber)

134

5 Gesichtsanimation

Die weiteren Bestandteile des Gesichtes, wie Augen, Z¨ ahne und Zunge werden mittels affiner Transformationen an die Geometrie des Zielkopfes manuell angepasst, obgleich auch hier nach [64] prinzipiell eine automatische Adaption unter Verwendung des Warping-Prozesses m¨ oglich ist. Eine interessante Anwendung dieser Methode zur Gesichtsrekonstruktion mit dem Sch¨ adelknochen toter Personen stellen K¨ ahler, Haber und Seidel in [65] vor. Diese Identifikation, die bislang sehr zeitaufwendig manuell ausgef¨ uhrt werden musste, kann mit dem Verfahren von K¨ ahler et al. zum großen Teil automatisiert und dadurch erheblich beschleunigt werden. Hierzu wird die Geometrie des realen Sch¨ adels mit einem 3D-Scanner erfasst und ein 3D-Sch¨ adelmodell erzeugt. Dieses Sch¨ adelmodell wird an anthropometrisch relevanten Positionen markiert. Weiterhin werden die Distanzen zu den Punkten auf der Hautoberfl¨ ache, die mit den Sch¨ adel-Landmarks korrespondieren, interaktiv festgelegt. Diese Abstandswerte h¨ angen vom vermuteten Alter, dem Geschlecht oder auch der vermeintlichen k¨ orperlichen Beschaffenheit ab. Sie werden statistisch bestimmt und stehen tabellarisch zur Verf¨ ugung. Die so ermittelten Markierungen auf der Hautoberfl¨ ache sind die Zielpunkte f¨ ur den anschließenden 3D-Warping-Prozess, der, wie oben beschrieben, mit den Geometriedaten der Gesichtshaut des Referenzkopfes ausgef¨ uhrt wird. Die Einpassung des Gesichtsmuskelsystems erfolgt auch hier automatisch. Die Abbildungen 5.14a–d illustrieren den Rekonstruktionsprozess auf der Basis des Gesichtssch¨ adels. Hautmodell. Die Gesichtsanimation basiert auf einem Federsystem, dessen prinzipieller Aufbau mit der Abb. 5.15a dargestellt ist. Es besteht aus einem Federnetz, das die Oberfl¨ ache der Gesichtshaut repr¨ asentiert. Die Knoten dieses Netzes sind mit dem Sch¨ adel und den Muskelsegmenten verbunden.

Abb. 5.15. Aufbau des Federsystems: (a) im Zustand eines entspannten Muskelsegments, (b) im Zustand einer Muskelkontraktion

5.5 Gesichtsanimation mit Federmodellen Haut l i (3 -

(a)

Muskelsegmente

(b)

135

2l icontract ) l irelax

li

Abb. 5.16. Muskelmodell: (a) Aufbau eines Linearmuskels durch Verkn¨ upfung einzelner Muskelsegmente, (b) Verdickung der Muskelsegmente infolge ihrer L¨ angen¨ anderung verbunden mit leichter Anhebung der Hautschicht

Um zu erreichen, dass die Knoten des Federnetzes bei einer Muskelanspannung auf der Oberfl¨ ache des Sch¨ adels entlang gleiten und nicht in diesen eindringen sind Spiegelfedern vorgesehen. Die Spiegelfedern kompensieren die in Richtung des Sch¨ adelknochens wirkenden Kraftkomponenten und unterst¨ utzen somit die lateralen Bewegungen des Federnetzes. Muskelmodell. Das Gesichtsmuskelsystem ist aus vielen miteinander verketteten ellipsoidalen Muskelsegmenten aufgebaut (Abb. 5.15a). Im Fall einer Kontraktion verk¨ urzen sich die Segmente, wodurch zugleich, abh¨ angig von der St¨ arke der Kontraktion, eine Verdickung der Ellipsoiden entsteht (Abb. 5.15b). Ein Muskel kann sich entweder in Richtung eines am Sch¨ adel fixierten Punktes (Linearmuskel) oder in Richtung eines zentralen Punktes (Schließmuskel) zusammenziehen (s. Abschn. 5.3.3). Um m¨ oglichst ein konstantes Muskelvolumen einzuhalten, erfolgt eine l¨ angenabh¨ angige Verdickung des Muskelsegments bis zum dreifachen Wert der urspr¨ unglichen Muskeldicke im Zustand der Entspannung (s. Abb. 5.16). Der Effekt des Anschwel-

Abb. 5.17. Gesichtsmuskelsystem (mit Genehmigung von J. K¨ ahler)

136

5 Gesichtsanimation

lens der Muskelb¨ ander wird hierbei unmittelbar auf die Oberfl¨ ache der Gesichtshaut u ¨ bertragen. Die Muskeln sind in Schichten aufgebaut, die frei u ¨ bereinander gleiten. Sie k¨ onnen sich verschlingen und ineinander u ¨ bergehen, so dass sie in der Lage sind, miteinander zu interagieren. Auf der Basis dieses Segmentmodells lassen sich alle Muskeln des menschlichen Gesichtes modellieren. Die Abbildung 5.17 zeigt das aus diesen einheitlichen Segmenten gebildete Muskelsystem der Ober- und Unterkieferregion. Hierbei ist gut erkennbar, wie die ellipsoidalen Muskelsegmente zu d¨ unnen Str¨ angen, breiten Bl¨ attern oder auch zu Ringmuskeln formiert werden. Gesichtsanimation. Die Variation der Gesichtsmimik unter dem Einfluss von Kontraktion und Relaxation der Muskelfaserb¨ undel wird mit Hilfe des oben vorgestellten Federsystems (s. Abb. 5.15) gesteuert. Die Knoten des polygonalen Netzes der Gesichtshaut sind mit den Knoten des Federsystems verbunden und folgen dadurch dessen Verformungen. Da die Federn biphasisch sind, d.h. unter hoher Belastung steifer werden, bilden sie die nicht-linearen elastischen Eigenschaften der Haut grob nach. Die Aufgabe der in Abb. 5.15 dargestellten Spiegelfedern ist es, die in Richtung des Sch¨ adelknochens wirkenden Kraftkomponenten zu neutralisieren. Hierdurch bleibt das Hautvolumen beim Zusammenziehen der Federn erhalten. Aufgrund ¨ dieser Zwangsbedingung wird weitgehend eine Uberlappung der Federn vermieden, obwohl diese Effekte bei großen Kr¨ aften nicht v¨ ollig ausgeschlossen sind. Eine weitere hervorzuhebende Eigenschaft der Spiegelfedern ist ihre nahtlose Integration in das Federmaschensystem, die keine spezielle Behandlung der Constraints erforderlich macht. Die Berechnung der Bewegungsgleichungen des Federsystems erfolgt mit Hilfe eines expliziten vorw¨ artsgerichteten Integrationsschemas. Um die Stabilit¨ at dieses Algorithmus zu optimieren, wird die Rechenzeit f¨ ur jeden Simulationsschritt gemessen und die Schrittweite dynamisch eingestellt. Die in der Abb. 5.18 dargestellte Bildsequenz zeigt die Darstellungsergebnisse der Gesichtsanimation nach der Methode von K¨ ahler et al. f¨ ur Visual SpeechAnwendungen.

Abb. 5.18. Darstellung von links nach rechts: Neutraler Gesichtsausdruck sowie die Viseme der korrespondierenden Phoneme: /f/, /i/, /o/, /u/ (mit Genehmigung von [66])

5.6 Visual Speech

137

5.6 Visual Speech Visual Speech ist eine Anwendung der Gesichtsanimation, bei der die Lippenbewegungen eines virtuellen Kopfes synchron zur Erzeugung der Sprachlautfolge ausgef¨ uhrt werden. Hierbei werden aus der Sprachlautfolge die Phoneme extrahiert und die korrespondierende Visemfolge ermittelt, mit denen wiederum die Bestimmung der Parameter zur Steuerung der Lippenbewegungen eines virtuellen Kopfes erfolgt. Dieses Prinzip ist Bestandteil des MPEG-4 Standards und gestattet, mit einer sehr geringen Daten¨ ubertragungsrate (< 1KBit/Sek.), die Bild- und Sprachkommunikation mit virtuellen Sprechern. Diese Sprecher k¨ onnen personalisierte Agenten, virtuelle Vorleser (Digital Story Teller), die virtuellen Teilnehmer einer Videokonferenz oder auch beliebige Avatare in Chat-Rooms sein. Anstelle einer Bildfolge werden hier lediglich die Parameter u ¨ bertragen, die zur Steuerung der Lippenbewegungen sowie zur Erzeugung der Gesichtsmimik des virtuellen Sprechers dienen. Das Modell des virtuellen Sprechers befindet sich auf der Empf¨ angerseite und kann an den Kopf eines realen Kommunikationspartners angepasst werden. Im Idealfall sollte beispielsweise bei einem Bildtelefonat kein Unterschied zwischen einem realen und einem virtuellen Sprecher erkennbar sein. Der Multi-Media-Standard MPEG-4 erlaubt die Steuerung der Gesichtsanimation mit Hilfe sog. Facial Animation Parameter (FAP). Mit den FAPs ist es m¨ oglich, s¨ amtliche Muskelaktionen eines synthetischen Gesichtes, einschließlich der Augen-, Zungen- und Lippenbewegungen, darzustellen. MPEG-4 bietet die M¨ oglichkeit, das Gesichtsmodell um ein Kopf- und Schultermodell zu erweitern.

5.6.1 Animation von Gesichtern in MPEG-4 Um ein individuelles Gesicht zu formen, werden die Face Definition Parameter (FDP) ben¨ otigt, die nur einmal zu u ¨ bertragen sind. Dieser Parametersatz definiert ein polygonales dreidimensionales Kopfmodell mit 84 Feature Points, deren 11.5

11.5

11.4

11.4

11.1 11.2

11.1 4.4

10.2

4.6

4.2 4.1

11.3 4.3 4.5

10.8

10.6

5.1

9.12 10.8

10.5 2.13

2.10

X

10.10

10.4

10.3

10.6

Y

2.14

Z

9.6

10.2

5.3 10.7

5.2

Y

10.1

10.9 5.4

2.12 2.1

2.11

4.4 4.6

10.10

10.4

11.2

2.14 2.7

9.4

9.3 9.2

X Z

2.10 2.1 2.12

Abb. 5.19. Positionen der Feature Points im Gesichtsmodell

138

5 Gesichtsanimation Tabelle 5.3. FAP Gruppen Nr. Einfluss auf Anzahl FAPs 1 Viseme, Elementarausdr¨ ucke 2 2 Kiefer, Kinn, Lippen, Mundwinkel 16 3 Augen, Augenlider 12 4 Augenbrauen 8 5 Wangen 4 6 Zunge 5 7 Kopfrotation 3 außere Lippenposition 8 10 ¨ 9 Nase 4 10 Ohren 4

Positionen die Abb. 5.19 zeigt. Zu den weiteren optionalen gesichtsbeschreibenden Parametern z¨ ahlen die Gesichtstextur sowie pers¨ onliche Merkmale wie: Geschlecht, Alter, Haare und Brille. Zur Anpassung der FAPs an die unterschiedlichen virtuellen Kopfformen sind diese mit den sog. Face Animation Parameter Units (FAPUs) zu skalieren. Die FAPUs werden hierbei mit den in Abb. 5.20 dargestellten Distanzen zwischen Nase, Mund und Augen definiert. Insgesamt sind f¨ ur die Gesichtssteuerung 68 Parameter vorgesehen, die, wie in Tab. 5.3 dargestellt, in 10 Gruppen eingeteilt sind. Die FAPs bewirken Verschiebungen der Feature Points, die einen neutralen Gesichtsausdruck so ver¨ andern, dass die gew¨ unschten Lippenstellung oder Mimik entsteht. Von besonderer Bedeutung ist die FAP-Gruppe 5.3. Sie enth¨ alt nur zwei abstrakte FAPs, die zur Erzeugung elementarer Gesichtsausdr¨ ucke und Viseme dienen. Viseme sind die visuellen Entsprechungen der Phoneme. Ein Phonem entspricht dem-

Abb. 5.20. Die FAPUs

5.6 Visual Speech

139

Tabelle 5.4. Korrespondenz zwischen Phoneme und Viseme Visem Nr. Phonem Beispiel Visem Nr. Phonem Beispiel 1 p,b,m put, bet, mill 8 n,l lot, not 2 f,v far, voice 9 r red 3 T,D think, that 10 A car 4 t,d tip, doll 11 e bed 5 k,g call, gas 12 I tip 6 tS, dZ, S chair, join, she 13 Q top 7 s,z sir, zeal 14 U book

nach einer bestimmten Lippenstellung, wobei jedoch unterschiedliche Phoneme dem gleichen Visem zugeordnet werden k¨ onnen. Demnach sind in MPEG-4 lediglich 14 Viseme vorgesehen, um beispielsweise mehr als 50 Phoneme, die in der englischen Sprache vorhanden sind, bildhaft darzustellen. Die Tabelle 5.4 sowie die Abb. 5.21 zeigt die Korrespondenz zwischen einigen Phonemen und ihren Visemen. Die Lippenbewegungen werden jedoch nicht nur von dem jeweils aktuellen Phonem, sondern auch durch die sog. Koartikulation ¨ bestimmt. Der Ubergangs zwischen unterschiedlichen Phonemen verursacht jedoch eine gleichzeitige Beeinflussung des selben Feature Points durch unterschiedliche FAPs und k¨ onnen zur unerw¨ unschten Faltenbildung im Gesichtsmodell f¨ uhren. In MPEG-4 lassen sich diese Diskontinuit¨ aten dadurch vermeiden, indem die Transitionen zwischen den Visemen, durch Interpolation mit entsprechenden Gewichtsfaktoren, gegl¨ attet werden.

a

b

c

d

e

f

Abb. 5.21. Darstellungen der Lippenstellungen bei den Lauten: (a) uw“ wie ” boot“, (b) uh“ wie book“, (c) ao“ wie caught“, (d) aa“ wie father“, (e) ah“ ” ” ” ” ” ” ” ” wie above“, (f) ih“ wie bit“ ” ” ”

140

5 Gesichtsanimation

5.6.2 Digital Story Teller Eine interessante Anwendung der Sprachvisualisierung ist der sog. Digital Story Teller. Bei diesem Konzept erfolgt die direkte Umsetzung von Text in Sprache unter Verwendung eines virtuellen Kopfes (Talking Head), der zur synchronen Visualisierung der Sprachlautfolge dient. Die Abbildung 5.22 verdeutlicht das Funktionsprinzip. Aus einem Text werden mit Hilfe der lexikalischen Analyse die Phoneme extrahiert, die sowohl zur Erzeugung der Viseme als auch zur Synthetisierung der Sprachlautfolge dienen. Die synthetische Erzeugung der Sprache erfolgt im oberen Pfad von Abb. 5.22. Die derzeit gebr¨ auchlichsten Verfahren zur Sprachsynthese basiert auf der Konkatenation von Diphonen. Ein Diphon beschreibt in der Konkatenativen Sprachsynthese“ den kur” zen Abschnitt gesprochener Sprache, der in der Mitte eines Phons4 beginnt und in der Mitte des folgenden Phons ended. Diese werden zuvor von einem nat¨ urlichen Sprecher erzeugt und stehen quasi als Bausteine“ in einer Lautbibliothek“ f¨ ur ” ” das Zusammenf¨ ugen beliebiger S¨ atze zur Verf¨ ugung. Ein weiterer Ansatz, der sich jedoch noch im Forschungsstadium befindet, basiert auf der Nachbildung unseres Sprechapparats durch ein m¨ oglichst physikalisch korrektes Modell des Vokaltraktes, mit dem die Sprachlautbildung simuliert wird. Der untere Pfad dient zur Erzeugung der Lippenbewegungen eines virtuellen Kopfes. Hierzu ist es notwendig, die Phoneme auf ihre korrespondierenden Viseme abzubilden und aus diesen wiederum die FAPs zur Steuerung eines polygonalen Kopfmodells zu erzeugen. F¨ ur die lippensynchronen Spracherzeugung generiert die Sprachsyntheseeinheit Zeitmarken, die zur Zeitsteuerung der FAPs dienen.

Lexikalische Analyse Phoneme

Text

Phonem/ Visem Konverter Viseme Visem/FAP Konverter

Sprachsynthese

D/AKonverter Sprache

Kopfmodell “Talking Head” Synch. FAPs

FaceRenderer

Abb. 5.22. Prinzip des Digital Story Teller

4

Im Unterschied zum Phonem ist dem Phon keine sprachliche Bedeutung zugeordnet. Er somit kann als kleinster, unteilbarer Sprachbaustein angesehen werden.

6 Prozedurale Animationstechniken

Unter dem Begriff Prozedurale Animationstechniken“ werden die Animationsver” fahren zusammengefasst, die auf algorithmischen Beschreibungen basieren und s¨ amtliche Details einer Animation enthalten. Diese Funktionen kann man als Blackbox betrachten, deren Ausgabe allein u ¨ ber Parameter definiert wird. Die Parameter k¨ onnen dabei zum Beispiel u ¨ ber ein User Interface oder von anderen Programmen festgelegt werden. Nachdem die Parameter f¨ ur die prozedurale Animation bestimmt sind, generiert ein Programm alle weiteren Daten f¨ ur die Animation. Anstatt eine Animation in allen ihren Details zu spezifizieren und abzuspeichern, wird eine prozedurale Animation bei Bedarf durch Funktionen erzeugt. Die Erzeugung der Animationsdetails wird dadurch auf den Computer verlagert. Die Parameter fungieren in diesem Zusammenhang als Kontrollregler f¨ ur die Animation, mit denen ein Animationsdesigner experimentieren kann. Die Anzahl der Parameter f¨ ur diese Funktionen ist gew¨ ohnlich deutlich geringer als die Informationsmenge, die f¨ ur die explizite Beschreibung aller Feinheiten einer Animation notwendig ist. In diesem Zusammenhang spricht man auch von Datenvermehrung (database amplification). Dieses Prinzip ist eines der wichtigsten Merkmale aller prozeduralen Techniken. Der Unterschied zwischen prozeduralen und nicht-prozeduralen Techniken l¨ asst sich formal nicht ganz eindeutig definieren. Das Adjektiv prozedural unterscheidet lediglich die durch Algorithmen bestimmten Animationsabl¨ aufe von jenen, die ¨ durch die Datenstrukturen festgelegt wurden, wobei die Uberg¨ ange fließend sind. Bei Key-Framing-Techniken wird die Interpolation der Key-Frames ebenfalls durch Funktionen durchgef¨ uhrt. Auch werden bei diesen Techniken die Daten der Zwischenstellungen erzeugt, was sich auch als Database Amplification bezeichnen l¨ asst. Dennoch spricht man in diesem Fall von Key-Framing und nicht von prozeduraler Animation. Der Grund daf¨ ur liegt darin, dass die wesentlichen Charakteristika bzw. Daten der Animation, die Key-Frames, nicht von einer Funktion generiert sondern vorgegeben werden. Wenn eine prozedurale Animation initiiert wird, bestehen nur geringe M¨ oglichkeiten die Ergebnisse w¨ ahrend der Berechnung direkt zu beeinflussen, was als Kontrollproblem der prozeduralen Animation bezeichnet wird. Entsprechen die Ergebnisse nicht den Erwartungen, gibt es im Wesentlichen zwei L¨ osungsstrategien:

142 •

•

6 Prozedurale Animationstechniken Die Funktionen k¨ onnen so angepasst werden, dass zus¨ atzliche Zwangsbedingungen (Constraints) ber¨ ucksichtigt werden. Dazu muss, wenn die Funktion diese nicht bereits vorgesehen hat, der Programmcode ver¨ andert werden. Das erfordert zum einen Programmierkenntnisse und zum anderen den Zugriff auf den Quellcode der Funktion. Die Einf¨ uhrung von zus¨ atzlichen Bedingungen kann auch dazu f¨ uhren, dass keine L¨ osung f¨ ur das gew¨ unschte Ergebnis erzeugt werden kann. Zus¨ atzliche Beschr¨ ankungen f¨ uhren außerdem oftmals zu einer großen Anzahl von Parametern, was dem Verst¨ andnis der Funktion entgegenwirkt. Einige prozedurale Animationstechniken erlauben die Parameterisierung durch R¨ uckrechnung von einem definierten Ziel auf die Anfangsbedingungen. Diese werden als inverse Techniken bezeichnet. Die Funktion wird mit ver¨ anderten Parametereinstellungen mit dem Ziel wiederholt, das Ergebnis zu verbessern. Diese Methode (Versuch und Irrtum) ist jedoch nur dann sinnvoll einsetzbar, wenn die Animation mit jeweils ge¨ anderten Parametern sehr schnell erzeugt werden kann.

In vielen F¨ allen ist die vorw¨ artsgerichtete Natur der prozeduralen Animationstechniken genau das, was gew¨ unscht wird. Die M¨ oglichkeit, Zufallselemente in die Algorithmen aufzunehmen, hat weiterhin den Vorteil, dass Animationen nie genau gleich aussehen. Die Vor- und Nachteile von prozeduralen Techniken lassen sich wie folgt zusammenfassen. Vorteile: •

• •

Die Repr¨ asentation ist kompakt. Der Speicherplatzbedarf f¨ ur eine Funktion ist gew¨ ohnlich deutlich geringer als die Datenmenge f¨ ur eine explizite Spezifikation einer Animation. Dieser Vorteil wird verringert, wenn Daten zur Leistungsverbesserung durch sog. Cashing vorgehalten werden. Die Aufl¨ osung ist nicht von vornherein festgelegt. Prozedurale Techniken k¨ onnen sich dynamisch an die ben¨ otigte Genauigkeit adaptieren. Eine geeignete Parameterwahl und -benennung unterstreicht den konzeptionellen Aspekt der Animation.

Nachteile: • • •

• •

Prozedurale Techniken sind oftmals schwer zu implementieren und zu testen und otigen einen hohen Entwicklungsaufwand. ben¨ ur neue Animationseffekte m¨ ussen jeweils spezielle Funktionen entwickelt werF¨ den. Die wiederholte Auswertung einer Prozedur kann bei komplexen Animationsmodellen sehr aufwendig sein. Dieses Problem kann zu Lasten des Speicherplatzes durch Cashing teilweise wieder aufgewogen werden. Es ist außerdem m¨ oglich, Daten f¨ ur komplexe Animationen zu berechnen und diese durch einfachere Methoden zu approximieren (s. Kap. 10). Es k¨ onnen unerwartete Ergebnisse auftreten. Um die gew¨ unschten Animationseffekte zu erzielen, sind mitunter Informationen u ¨ber die Implementierungsdetails der prozeduralen Methode notwendig. Durch punktuelle Auswertung k¨ onnen Aliaseffekte auftreten.

Mittlerweile sind f¨ ur fast jeden der angesprochenen Nachteile Methoden entwickelt worden, die eine Verbesserung darstellen. Allerdings werden dann die prozeduralen

6.1 Partikelsysteme

143

Methoden sowie deren Implementierungen erheblich komplizierter. Es gibt viele Anwendungen, in denen vorwiegend prozedurale Animationstechniken praktikabel sind. Sie sind dann besonders effektiv einsetzbar, wenn eine große Anzahl von Objekten zu animieren sind, wie z.B. die Wassertropfen eines Springbrunnens, das Verhalten einer Herde von Tieren oder Wolkenpartikel. Außerdem werden prozedurale Animationen h¨ aufig eingesetzt, wenn komplexe Bewegungsabl¨ aufe darzustellen sind, bei denen ein hoher Grad an Realismus verlangt wird. In den folgenden Abschnitten werden einige ausgew¨ ahlte prozedurale Animationstechniken vorgestellt, die vorwiegend in der Echtzeitanimation und in der Filmproduktion eingesetzt werden.

6.1 Partikelsysteme Naturerscheinungen wie Feuer, Rauch und turbulent fließende Fl¨ ussigkeiten bieten keine glatte oder klar abgrenzbare Oberfl¨ ache, die man durch Oberfl¨ achenrepr¨ asentationen modellieren k¨ onnte. Zur Modellierung dieser Effekte bieten sich Partikelsysteme an, die auch f¨ ur die Modellierung anderer nat¨ urlicher Objekte und Ph¨ anomene, wie z.B. Wolken, Fl¨ ussigkeiten und Stoffe einsetzbar sind. Partikelsysteme sind dynamische Repr¨ asentationen, die eine Vielzahl elementarer Partikel kontrollieren. Die erste Anwendung der klassischen“ Partikelsysteme ” in der Computergrafik, sind in den Arbeiten von W.T. Reeves [67] zu finden. Reeves arbeitete im Jahre 1982 bei der Spezialeffektabteilung ILM von Lucasfilm Ltd. an den Effekten f¨ ur die Filmproduktion Star Trek II – The Wrath of Kahn“ ” von Paramount Pictures. In einer Szene des Films sollte eine Computersimulation des sog. Genesiseffekts“ dargestellt werden. Dieser sollte durch eine spezielle Bombe ” entfacht werden, die einen unbelebten Planeten innerhalb weniger Stunden mit einer erd¨ ahnlichen Flora u ¨ berzieht. Die Abteilung f¨ ur Spezialeffekte entschied, diesen Prozess als eine Feuerwand darzustellen, die sich konzentrisch u ache des Planeten ausbreitet. ¨ ber die gesamte Fl¨ Hinter dieser Wand sollte auf der Oberfl¨ ache des Planeten eine erd¨ ahnlichen Flora entstehen. F¨ ur die computergrafische Darstellung der Feuerwand und deren Ausbreitung entwickelte Reeves die von ihm so genannten Partikelsysteme. Die Animation des Genesis-Effekts markiert einen Meilenstein in der Filmgeschichte, denn erstmalig wurde eine gesamte Szene in einem Kinofilm vollst¨ andig von einem Computer erzeugt. Seit Reeves Ver¨ offentlichung von 1983 gelten Partikelsysteme als eigenst¨ andige Technik f¨ ur die Modellierung unscharfer Objekte und nat¨ urlicher Ph¨ anomene (Fuzzy Objects). In den nachfolgenden Jahren wurden Partikelsysteme in einer Vielzahl unterschiedlicher Applikationen eingesetzt. Alvy Ray Smith und James Blinn benutzten Partikel, um die Entstehung von Galaxien und Sternen f¨ ur die Fernsehserie Kosmos“ von Carl Sagan (Public Broad” casting System, 1980) zu veranschaulichen. Blinn beschrieb im Rahmen seiner Arbeiten die Darstellung der Saturnringe, die er mit Partikelschichten erzeugte, die von Lichtstrahlen durchdrungen wurden und Reeves und Blau [68] verwendeten strukturierte Partikelsysteme f¨ ur die Darstellung von Wald- und Grasszenen im Film The Adventures of Andr´e and Wally B.“. ”

144

6 Prozedurale Animationstechniken

Fournier und Reeves [69] sowie Peachey [70] verwendeten Partikelsysteme f¨ ur die Modellierung von Gischt und Schaum zur Visualisierung von Wellen und Brandung. Gavin Miller und Andrew Pearce [71] modellierten mit interagierenden Partikelsystemen viskose Fl¨ ussigkeiten. Die Beziehungen der Partikel untereinander wurden mit Funktionen realisiert, die an die Potentialfunktionen der Molekulardynamik angelehnt waren. Tonnesen stellte 1991 ein Partikelmodell vor, um das Verhalten von Materialien unter dem Einfluss von W¨ arme zu simulieren [72] und f¨ ur die dynamische, physikalisch-basierte Simulation von Stoff wurden 1992 von D. Breen, D. House und P. Getto [73] sog. Gebundene Partikelsysteme“ entwickelt. ”

6.2 Stochastische Partikelsysteme Stochastische Partikelsyteme sind Kollektionen von Partikeln, deren Verhalten unabh¨ angig voneinander durch ein Regelsystem definiert ist. Eine erste gute N¨ aherung f¨ ur die geometrische Repr¨ asentation eines einzelnen Partikels ist ein Punkt im Raum, dem zeitlich ver¨ anderliche Attribute zugeordnet werden k¨ onnen. Stochastische Partikelsysteme lassen sich wie folgt charakterisieren: •

Ein K¨ orper wird durch H¨ aufungen von Partikeln beschrieben, die ein Volumen ausf¨ ullen. Ein Modell, das durch ein Partikelsystem beschrieben wird, hat somit keine eindeutige geometrische Form. • Partikelsysteme sind dynamische Systeme. Die Attribute und Positionen der Partikel ver¨ andern sich zeitabh¨ angig, zugleich entstehen st¨ andig neue Partikel w¨ ahrend alte“ gel¨ oscht werden. ” Das Partikelsystem von Reeves ber¨ ucksichtigt keinerlei Interaktionen zwischen Partikeln, wodurch der Rechenaufwand zur Aktualisierung seines Systemzustandes linear mit der Anzahl seiner Partikel steigt.

6.2.1 Partikelsystemdynamik Ein zufallsgesteuerter Prozess bestimmt die Anzahl der neu zu erzeugenden Partikel zum Zeitpunkt t, wobei die Zahl der jeweiligen Partikel die Dichte des Modells bestimmt. Die Anzahl der aktuell erzeugten Partikel l¨ asst sich in unterschiedlicher Weise bestimmen: •

Die mittlere Anzahl der neu zu erzeugenden Partikel nmittel und deren Varianz var(nmittel ) bestimmen zusammen mit der Zufallsfunktion rand() die Anzahl der neuen Partikel: nneu = nmittel (t) + rand() · var(nmittel )

•

oße des Modells in Bildkoordinaten ScreenArea Zus¨ atzlich kann nneu von der Gr¨ abh¨ angig sein. F¨ ur ein Partikelsystem, das nur geringe Ausmaße auf dem Bildschirm hat, ist demnach eine entsprechend geringere Partikelzahl ausreichend: nneu = (nmittel (t) + rand() · var(nmittel ))ScreenArea

6.2 Stochastische Partikelsysteme

145

Um die Dichte des Partikelsystems ver¨ andern zu k¨ onnen, wird nmittel u ¨ ber eine zeitabh¨ angige Funktion ndelta (t − t0 ) bestimmt: nmittel (t) = ninitial + ndelta (t − t0 ) F¨ ur jedes neu erzeugte Partikel m¨ ussen auch die Parameter der Attribute bestimmt werden. Attribute k¨ onnen hierbei die Anfangsposition, die Anfangsgeschwindigkeit und -richtung, die Anfangsgr¨ oße, die Anfangsfarbe, die Anfangstransparenz, die Form sowie die Lebensdauer sein. Die Anfangsposition eines Partikels wird durch eine Generatorregion mit beliebiger Form eingegrenzt (s. Abb. 6.1). Die Bestimmung seiner initialen Geschwindigkeit erfolgt mit: vinit = vmittel (t) + rand() · var(vmittel ) In analoger Weise k¨ onnen auch initiale Richtung, Farbe, Form und Transparenz der einzelnen Partikel festgelegt werden. Nach der Erzeugung eines Partikels wird seine Lebensdauervariable auf einen Zahlenwert gesetzt. Nach jeder neuen Zustandsberechnung des Partikelsystems werden die Z¨ ahlervariablen von allen Partikeln vermindert. Erreichen sie den Wert Null, so wird das betreffende Partikel gel¨ oscht. Die L¨ oschung eines Partikels kann auch erfolgen, wenn sein Helligkeitswert unter einen bestimmten Schwellwert f¨ allt oder wenn es eine zuvor definierte Region of Interest verl¨ asst. Rendering. Das Rendering stochastischer Partikelsysteme erfolgt mit vereinfachenden Annahmen. Jedes Partikel wird als Punktlichtquelle angesehen, das kumulativ zur Helligkeit des u agt. Das Partikelsystem l¨ asst sich da¨berdeckten Pixels beitr¨ durch getrennt von der Umgebung darstellen und u ¨ ber Bildmischverfahren (Image Compositing) beispielsweise mit Hintergrundszenen kombinieren.

Abb. 6.1. Beispiel eines Partikelsystems mit konischem Auswurftrichter, wie es f¨ ur Explosionen verwendet werden kann

146

6 Prozedurale Animationstechniken

6.3 Strukturierte Partikelsysteme F¨ ur die Simulation der Feuerwand des erw¨ ahnten Genesiseffektes mussten, wie die Abb. 6.2 zeigt, verschiedene Explosionsherde simuliert werden, die ihrerseits weitere Explosionen entfachen konnten. Reeves entwickelte hierf¨ ur Partikelsysteme in Form einer hierarchischen Baumstruktur, deren Blattknoten wiederum einzelnen Subpartikelsystemen entsprachen. Alle weiteren Knoten dieser Baumhierarchie waren gleichfalls Partikelsysteme, die selbst wieder Partikelsysteme verwalten konnten. Partikelsysteme sind so konzipiert, dass sie keinen Unterschied machen, ob die verwalteten Einheiten Partikel oder Partikelsysteme sind. Sie m¨ ussen mindestens mit einem Ursprungspunkt ausgestattet sein. Mit diesem Konzept lassen sich dynamisch neue Partikelsysteme erzeugen und l¨ oschen, die ihrerseits entweder Partikel oder ganze Partikelsysteme generieren und kontrollieren k¨ onnen. William T. Reeves und Ricki Blau [68] entwickelten eine Variante der strukturierten Partikelsysteme, um W¨ alder und Graslandschaften zu modellieren und darzustellen. Diese Technik wurde speziell f¨ ur die Produktion der Computeranimation The ” Adventures of Andr´e and Wally B.“ entwickelt. Die Platzierungspunkte f¨ ur die einzelnen B¨ aume wurden auf einem Gitter nach einer Zufallsfunktion verteilt. Dabei wurde lediglich auf einen Mindestabstand zwischen den B¨ aumen und auf die ungef¨ ahre Zusammensetzung des Waldes durch Baumarten geachtet. Die Verzweigungsstruktur eines Baumes wurde durch einen rekursiven Algorithmus erzeugt. Hierzu wurde f¨ ur jeden Baum zuerst die H¨ ohe und Breite festgelegt. Abh¨ angig von der H¨ ohe des Stammes wurde ein Verzweigungsmuster gew¨ ahlt, dessen Ver¨ astelungen bestimmte Winkel zum Gabelungsort aufwiesen. Jeder Zweig hatte eine durchschnittliche L¨ ange, die von seinem Vorg¨ anger abhing. Um identisch aussehende B¨ aume zu vermeiden, wurden alle Geometriedaten um ihre Durchschnittswerte statistisch verteilt. Auf der untersten Ebene wurden dann Partikel hinzu-

Abb. 6.2. Schematische Sicht eines hierarchischen Partikelsystems, wie es f¨ ur den Genesiseffekt benutzt wurde. Das oberste Partikelsystem der Hierarchie steuert konzentrische Ringe auf der Oberfl¨ ache einer Kugel, deren Radien sich in Ausbreitungsrichtung vergr¨ oßern. Entlang dieser Ringe werden Partikel verteilt, die ihrerseits Partikelsysteme mit konischem Auswurftrichter repr¨ asentieren (s. Abb. 6.1)

6.4 Thermale und orientierte Partikelsysteme

147

gef¨ ugt, die mit Attributen wie Form, Ausrichtung und Farbe ausgestattet wurden. Zus¨ atzlich wurden die B¨ aume durch Prozesse gestaltet, mit denen sich Effekte wie die vorherrschende Sonneneinstrahlung oder Windrichtung erzeugen ließen. Gr¨ aser wurden ¨ ahnlich wie B¨ aume erzeugt, wobei ein Grashalm aus einer Reihe von linearen Segmenten bestand. Eine solche Segmentliste repr¨ asentierte Partikel und verk¨ orperte die typischen Merkmale eines Halms, wie Breite, Biegung, L¨ ange und F¨ arbung. Rendering. Im Gegensatz zu den Partikelsystemen, die Feuereffekte simulieren, reflektieren Bl¨ atter und Grashalme einfallendes Licht und werfen Schatten auf sich und ihre Umgebung. Es ist allerdings zu beachten, dass eine Waldszene aus vielen Millionen Partikeln besteht und deshalb eine Entfernung verdeckter und deshalb nicht sichtbarer Szenenteile vorab in akzeptabler Zeit nicht m¨ oglich ist. Reeves und Blau entschieden sich daf¨ ur, die Beleuchtungsberechnung mit Wahrscheinlichkeitsmodellen zu realisieren. F¨ ur jedes Partikel wird in Abh¨ angigkeit seiner Position und dem Ort der Lichtquelle eine Sichtbarkeits- und eine Abschattungswahrscheinlichkeit durch Selbstverdeckung bestimmt. Ein Problem war der Schattenwurf anderer B¨ aume. Hierf¨ ur wurde mit dem Einfallswinkel des Sonnenlichts und der H¨ ohe eines schattenwerfenden Baumes ein H¨ ohenwert bestimmt. Oberhalb dieses Wertes wurden die Bl¨ atter (Partikel) des beschatteten Baumes direkt beleuchtet.

6.4 Thermale und orientierte Partikelsysteme Tonnesen entwickelte 1991 [72] ein Partikelmodell f¨ ur die dynamische Simulation von K¨ orpern, die sich unter Temperatureinwirkung ver¨ andern. Seine Beispielmodelle werden durch relativ wenige Molek¨ ul“-Partikel repr¨ asentiert (weniger als ” 200), die v¨ ollig isotrope Eigenschaften aufweisen. F¨ ur die intermolekularen Beziehungen benutzte er ausschließlich Modelle des Lennard-Jones-Potentials φLJ (r) = Br −n − Ar −m (s. Abb. 6.3). Die Temperaturver¨ anderung wird u ¨ ber die Skalierung der Potentialfunktionen modelliert. Nimmt die kinetische Energie der Partikel gegen¨ uber den Bindungspotentialen zu, wird das Material weicher bzw. fl¨ ussiger. Nimmt die kinetische Energie hingegen ab, kommt es zur Erh¨ artung des Materials. Tonnesens Realisierung ist eine stark vereinfachte Simulation der Molekulardynamik, die ausschließlich f¨ ur computergrafische Zwecke gedacht ist. Die Kr¨ aftebeziehung zwischen zwei Molek¨ ulen mit dem Abstand r wird u ¨ ber die Potentialfunktion fij = −∇r φLJ (  rij  ) bestimmt. Wenn derartige Potential- und D¨ ampfungsfunktionen die einzigen vorherrschenden Funktionen sind, wird sich das System zu niedrigeren Energiezust¨ anden hin entwickeln. Sind keine signifikanten externen Kr¨ afte vorhanden, wird sich ein solches System in Richtung maximaler Packungsdichte entwickeln, um so die Ge¨ samtenergie zu minimieren. Uberwiegen externe Kr¨ afte, wird sich das Modell wie eine z¨ ahe Fl¨ ussigkeit verhalten. Allerdings wird immer die Tendenz erhalten bleiben, sich zusammenzuklumpen.

148

6 Prozedurale Animationstechniken

40

fLJ(r)

30 20 10

r 0.5

1

1.5

2

-10

Abb. 6.3. Lennard-Jones Potential als Funktion des Molek¨ ulabstandes r: φLJ (r) = urlich Br −12 − Ar −6 . Die Werte der Parameter A und B (A = 10,B= 20) sind willk¨ gew¨ ahlt, um den prinzipiellen Verlauf darzustellen

Mit diesem Modell kann man das Schmelzen und Erh¨ arten von Objekten simulieren. Eine Erweiterung dieses Ansatzes haben Tonnesen und Szeliski [74] 1992 entwickelt, in dem sie die Flexibilit¨ at von Partikelsystemen f¨ ur die Modellierung von lokal verformbaren Oberfl¨ achen einsetzten. Daf¨ ur schlugen sie zus¨ atzliche Potentialfunktionen vor, die ein r¨ aumliches Zusammenballen der Partikel aufgrund der Lennard-Jones-Potentiale verhindern sollen, um die Partikel an die zu modellierende Oberfl¨ ache zu binden. Zu diesem Zweck wurde der Partikelbeschreibung ein lokales Koordinatensystem hinzugef¨ ugt, um den Partikeln eine Orientierung zuzuordnen. Hierbei ist die Z-Achse die Richtung der Normale und die X- und Y-Achsen spannen eine Tangentialebene zu lokalen Fl¨ ache auf. F¨ ur die Steuerung der Partikel auf Fl¨ achen wurden mit dem Koplanarit¨ ats-, dem Konormalit¨ ats- und dem Kozirkularit¨ atspotential drei neue Potentiale definiert, die jeweils f¨ ur alle Partikelpaare zu minimieren sind. Das Koplanarit¨ atspotential wird dann minimal, wenn benachbarte Partikel sich gegen¨ uber auf ihren Tangentialebenen befinden. Diese Bedingung wird durch φP (ni , nij ) = (ni · rij )2 ψ (  rij  ) definiert. Hierin ist ψ (r ) eine monotone Gewichtungsfunktion, die den Wirkungsradius der Potentialfunktionen begrenzt. In der Grafik, Abb. 6.4a, wird deutlich, dass das Skalarprodukt zwischen ni · rij dann Null wird, wenn das zweite Partikel in der Tangentialebene des ersten liegt. Das Konormalit¨ atspotential erreicht sein Minimum, wenn die benachbarten Normalenvektoren gleich ausgerichtet sind. Dadurch wird die lokale Verdrehung der Oberfl¨ ache minimiert. Sind die Normalen ¨ ahnlich, geht die Differenz zwischen ihnen gegen Null (s. Abb. 6.4b). Wir erhalten diese Bedingung mit der Gleichung φN (ni , nij , rij ) =  ni − nj 2 ψ (  rij  )

6.4 Thermale und orientierte Partikelsysteme

149

Abb. 6.4. Illustration der Potentialdefinitionen: (a) Koplanarit¨ atspotential, (b) Konormalit¨ atspotential, (c) Kozirkularit¨ atspotential

Das dritte Potential dr¨ uckt die Kozirkularit¨ at aus, die minimal wird, wenn zwei benachbarte Normalen antisymmetrisch zum verbindenden Vektor der beiden Partikel ausgerichtet sind. Dadurch werden konstante Kr¨ ummungen der Oberfl¨ ache bevorzugt. Hierzu wird die Abweichung der Summe der Normalen von der Tangentialebene des ersten Partikels bestimmt (s. Abb. 6.4c). Diese Bedingung wird mit der Gleichung φC (ni , nj , rij ) = ((ni + nj ) · rij )2 ψ (  rij  ) erf¨ ullt. Durch die gewichtete Summe Eij = αLJ φLJ (  ri j  ) + αP φP (ni , ri j ) + αN φN (ni , nj , ri j ) + αC φC (ni , nj , ri j ) dieser drei Potentiale sowie des Lennard-Jones-Potentials wird die Kr¨ ummung und Steifigkeit der Oberfl¨ ache insgesamt kontrolliert. Die Gesamtenergie des Systems l¨ asst sich als Summe der Interpartikelpotentiale schreiben: Eint =

Eij i

j

Aus den Potentialfunktionen lassen sich auf einfache Weise die dynamischen Bewegungsgleichungen f¨ ur die Partikel ableiten. Die Kr¨ afte und Momente werden f¨ ur alle interagierenden Partikel aufsummiert. Aus den dynamischen Gleichungen werden mittels numerischer Integration die neuen Zust¨ ande der Partikel berechnet. Das Resultat ist eine aus Partikeln modellierte Oberfl¨ ache, die sich lokal verformen, auftrennen und wieder verschließen l¨ asst und beispielsweise auf thermische Einfl¨ usse reagieren kann.

150

6 Prozedurale Animationstechniken

6.5 Animation von Massenszenen Wenn eine Stampede von Sauriern u ugel des Jurassic Parc donnert, tau¨ ber die H¨ sende von Kriegern sich in Starwars Episode 3“ eine Schlacht liefern oder Heu” schrecken ihren Weg durch eine Ansammlung Ameisen bahnen, wie in dem Film A ” Bug’s Life“, stehen die Animateure vor der schwierigen Aufgabe, jede Figur einzeln zu animieren. Nicht nur die große Anzahl der zu animierenden Figuren stellt ein Problem dar, sondern auch das Zusammenwirken der einzelnen Figuren untereinander. Jede Figur in den oben genannten Filmen verh¨ alt sich etwas anders, interagiert mit anderen Figuren und passt sich den Gegebenheiten der physikalischen Umgebung an. Konventionelle Animationstechniken f¨ uhren in solchen Situationen zu enormen Kosten, wie beispielsweise in der Szene von James Cameron’ s Film Titanic“, in der ” hunderte von Passagieren auf der auslaufenden Titanic den Zur¨ uckbleibenden am Kai winken. F¨ ur diese Szene wurde jede einzelne Figur von Hand animiert, obwohl die Sequenz relativ kurz ist und die Figuren durch die dynamische Kamerafahrt im Einzelnen nicht immer klar auszumachen sind. Digital Domain sprach hier sp¨ ater von Overanimation“, weil die Kosten f¨ ur diese und andere Animationssequenzen ” die Produktion in finanzielle Schwierigkeiten gebracht hatte. Bei Disney und Pixar wurden hingegen Techniken entwickelt, um Probleme der Animation von Massenszenen besser zu beherrschen. F¨ ur den Film A Bug’s Life“ ” waren laut John Lasseter [75, S.100 ff] u ¨ ber 400 Massenszenen geplant, in denen zwischen 25 bis mehrere tausend Ameisen vorkommen. Jede dieser Ameisen sollte eine eigene Pers¨ onlichkeit besitzen, auf ihre Umgebung reagieren und als Gemeinschaft handeln k¨ onnen. Diese Insekten einzeln und per Hand zu animieren, w¨ are zu aufwendig gewesen. Statt dessen wurden von Pixar Techniken zur verhaltensbasierten Animation entworfen, mit denen ein großer Teil der Aufgaben automatisiert werden konnte. Zu diesem Zweck wurden Akteure entwickelt und mit einer Vielzahl von Verhaltensweisen ausgestattet. Um zu vermeiden, dass identisch animierte Ameisen gleichartige Bewegungsmuster bilden, erhielt jeder Akteur einige individuelle Merkmale, die sein sein Verhalten beeinflussten. Jede Szene wurde in eine Reihe von ¨ ortlich begrenzten Zust¨ anden zerlegt, die miteinander interagierten. Jeder dieser Zust¨ ande stellt eine Ausgangsbasis f¨ ur das Verhalten der Ameisen in ihrer Umgebung dar. Mit dem von Pixar entwickelten System Fred“ wurden die Szenen dann mit Ameisen ” bev¨ olkert, wobei Pers¨ onlichkeit, Geschlecht, Gr¨ oße etc. variiert wurden. Um zu bestimmen, wo die Ameisen in einer Szene hinschauen sollten, wurden jeweils einige Ziele pro Szene animiert und als Punkt des gr¨ oßten Interesses an die Ameisen u oglichkeit, in ¨ bermittelt. Auf diese Weise erhielt das Animationsteam die M¨ jeder Szene die Aufmerksamkeit einer Gruppe von Ameisen unabh¨ angig voneinander zu steuern. unschte Balance zwischen Kontrolle und AuEs ist in der Regel schwer, die gew¨ tomatisierung zu treffen: Zu viel Kontrolle bedeutet mehr Intervention und damit mehr Aufwand, zu viel Automatisierung kann auf eine Trial-and-Error Strategie hinauslaufen. In den nachfolgenden Abschnitten werden mit Schw¨ armen, Herden sowie Akteuren die Techniken und Konzepte zur verhaltensbasierten Animation diskutiert, die sich auch in die Gruppe der prozeduralen Animation einordnen lassen.

6.6 Schw¨ arme und Herden

151

6.6 Schw¨ arme und Herden Die ersten Arbeiten zur verhaltensbasierten Animation gehen auf C. Reynolds [76] zur¨ uck, der den beeindruckenden Animationsfilm Stanley und Stella: Breaking the ” Ice“ 1987 auf der SIGGRAPH zeigte. In diesem Film waren lange Animationssequenzen von Vogel- und Fischschw¨ armen zu sehen, die automatisch erzeugt wurden. Reynolds war von den fließenden und immer wieder u ¨ berraschenden Bewegungsmustern fasziniert, die von Schw¨ armen fliegender V¨ ogel erzeugt werden. Das Gesamtverhalten des Schwarms wurde dabei von den Verhaltensmustern weniger V¨ ogel verursacht. Reynolds schuf ein Computermodell, das in der Lage war, die komplexen Bewegungen von Schw¨ armen aus einer Ansammlung einfacher Akteure aufzubauen. Die Akteure hatten eine einfache geometrische Gestalt in Form eines Vogels bzw. Fisches und konnten elementare Bewegungen wie Fl¨ ugel- oder Flossenschl¨ age ausf¨ uhren. Das Bewegungsmodell der Akteure bestand aus einem Geschwindigkeitsvektor, der den Akteur mit jedem Zeitschritt verschob. Dessen Bewegungen konnte mit nachgeordneten Animationen gekoppelt werden. Je schneller beispielsweise ein Vogel flog, desto schneller schlugen seine Fl¨ ugel. Zus¨ atzlich konnten die V¨ ogel beim Kurvenflug eine leichte Rollbewegung um ihre Flugachse ausf¨ uhren. Zus¨ atzlich zu den Bewegungsm¨ oglichkeiten des geometrischen Modells, erhielten die Akteure noch Steuereinheiten f¨ ur die verhaltensbasierte Animation. Dies waren Prozeduren zur Ausf¨ uhrung einfacher Verhaltensregeln. F¨ ur die Simulation des Schwarmverhaltens wurden nur drei Regeln verwendet: • • •

Kollisionsvermeidung: Die V¨ ogel versuchen Kollisionen mit ihren Nachbarn sowie Hindernissen zu vermeiden. Geschwindigkeitsanpassung: Jedes Mitglied eines Schwarms versucht sich der Bewegungsrichtung und der Geschwindigkeit seiner Nachbarn anzupassen. Schwarmzentrierung: Jedes Schwarmmitglied versucht in der N¨ ahe seiner Nachbarn zu bleiben.

Aus diesen einfachen Regeln ergeben sich komplexe dynamische Gesamtmuster f¨ ur den Schwarm. Zur Kollisionsvermeidung wurden mehrere Methoden entwickelt: Das erste Verfahren umgibt die Hindernisse mit einem Feld, das einer Bewegung in Richtung auf dieses Hindernis eine R¨ uckstoßkraft entgegensetzt. Dabei steigt die Kraft, umgekehrt proportional zum Abstand, exponentiell an. Dieser Ansatz hat f¨ ur Akteure, obwohl leicht zu modellieren, einige Nachteile. Wenn ein Akteur dem Kraftfeld genau entgegen fliegt, kann die Abstoßungskraft dessen Bewegung zum Stillstand bringen, anstatt ihn zu zwingen, das Hindernis zu umfliegen. Die Abstoßungskraft wirkt zudem auch noch von der Seite, wenn dem Hindernis bereits ausgewichen wurde dieses jedoch in geringem Abstand umflogen wird. Die exponentielle Kraftwirkung f¨ uhrt dazu, dass bei einer Ann¨ aherung an at und pl¨ otzlich abgebremst wird und sich dadurch ein Hindernisse ein Akteur zu sp¨ unnat¨ urliches Bewegungsverhalten ergibt. Das zweite Modell zur Kollisionsvermeidung ist ein vorausschauend es Steuern (Steer-to-avoid). Hierbei werden nur die Hindernisse ber¨ ucksichtigt, die sich in der Flugrichtung befinden. Mit Hilfe eines Berandungsk¨ orpers (z.B. Kugel, Zylinder etc.), der das Hindernis umgibt, wird ein Tangentenvektor berechnet, der den Ausweichkurs bestimmt.

152

6 Prozedurale Animationstechniken

Die Verhaltensregel Anpassen der Geschwindigkeit sorgt daf¨ ur, dass einzelne Mitglieder in ihrer Gesamtheit die typische Schwarmbewegung ergeben. Zusammen mit der Kollisionsvermeidung und der Schwarmzentrierung ergibt sich dann die Dynamik, die es V¨ ogeln erlaubt, zu Tausenden auf engem Raum zu fliegen. Da die Akteure des Schwarms nur wenige Verhaltensregeln kennen, kann es zu Konflikten kommen. Die Kollisionsvermeidung schl¨ agt einen Ausweichkurs vor, wohingegen die Schwarmzentrierung einen Ann¨ aherungskurs berechnet. Um diese Konflikte zu bew¨ altigen, besitzt jeder Akteur eine Entscheidungseinheit, die von jedem Verhaltensmuster die Vorschl¨ age f¨ ur eine Bewegung abfragt. Eine einfache L¨ osung ist, s¨ amtliche Bewegungsvektoren, die von den Regeln bestimmt wurden, zu summieren. Dabei kann zus¨ atzlich eine Gewichtung der einzelnen Verhaltensregeln erfolgen. In Reynolds Modell werden keine Wahrnehmungsmodelle nachgebildet, sondern nur die Information u ¨ber die simulierte Welt direkt an die Akteure u ¨ bermittelt. Die Akteure erhalten nicht nur die exakten Ausmaße und Positionen aller passiven Hindernisse sondern auch die aller anderen Akteure. Aus dieser Informationsmenge sucht sich der Akteur die relevante Information heraus, welche sein weiteres Bewegungsvehalten bestimmt. Schwarmmodelle und Partikelsysteme. Die von Reynolds vorgestellten Schwarmmodelle sind denen der Partikelsysteme sehr ¨ ahnlich. Beide Modelle steuern eine große Anzahl von Objekten: Bei Partikelsystemen sind dies die Partikel und bei einem Schwarmmodell die Akteure. Der dynamische Eindruck wird in beiden F¨ allen von der Gesamtheit ihrer Objekte bestimmt. Zwischen beiden Modellen gibt es einige Unterschiede: • •

• •

Partikel von Partikelsystemen haben nur eine begrenzte Lebenszeit. In einem Schwarmmodell existieren die Mitglieder solange wie der Schwarm besteht. Bei Partikelsystemen ist der visuelle Gesamteindruck eines sich dynamisch ver¨ andernden Gesamtobjektes maßgebend. Bei Schwarmmodellen steht der dynamische Eindruck im Vordergrund, der durch das Bewegungsvehalten der einzelnen Mitglieder eines Schwarms erzeugt wird. Partikel sind eher einfacher Natur, wohingegen die Akteure in einem Schwarm in der Regel wesentlich komplexer sind. Partikel verhalten sich vorwiegend passiv. Wenn es Partikelinteraktionen gibt, werden diese von den Partikeln nicht selbst verwaltet. Die Akteure eines Schwarms benutzen hingegen aktive Sensoren (z.B. zur Kollisionsvermeidung) und bestimmen ihr Verhalten autonom.

Das einfache Schwarmmodell von Reynolds hat bereits alle wesentlichen Eigenschaften eines Akteurs. Akteure, die im nachfolgenden Abschnitt behandelt werden, haben Zugang zu Information aus ihrer Umgebung, interne Zust¨ ande, die ihr Verhalten bestimmen und verf¨ ugen u ¨ ber ein Repertoire an Verhaltensmustern. R. Parent stellt in [77] tabellarisch die Charakteristiken von Partikelsystemen, Schwarm-Modellen und autonomen Akteuren in Tab. 6.1 gegen¨ uber.

6.7 Akteure

153

Tabelle 6.1. Charakteristik von Partikelsystemen, Schw¨ armen und Akteuren nach R. Parent [77]. Mit Anzahl der Elemente“ wird indirekt etwas u at ¨ ber die Komplexit¨ ” der Elemente ausgesagt. Unter eingebettete Physik“ ist der direkte Einfluss der ” Physik auf das Bewegungsvehalten der Elemente zu verstehen. Unter Intelligenz“ ” ist die F¨ ahigkeit zu verstehen, auf Ereignisse der Umgebung zu reagieren

Typ

Anzahl der Elemente Partikelsysteme sehr hoch (104 − 109 ) Schw¨ arme hoch (102 − 105 ) autonome Akteu- gering (−102 ) re

eingebettete Physik

Intelligenz

Systemverhalten u. Interakti- keine on mit der Umgebung Interaktion mit der Umge- begrenzt bung u. anderen Elementen Interaktion mit der Umge- hoch bung u. anderen Elementen

6.7 Akteure Die Weiterentwicklung der autonomen Akteure verlief in mehrere Richtungen. Zum einen wurden die Geometrie- als auch die Bewegungsmodelle der Akteure komplexer und realistischer. Zum anderen ging das Interesse in Richtung soziale Interaktion“, ” was zum differenzierten Verhalten eines Akteurs zu seiner Umwelt f¨ uhrte. Speziell bei autonomen Akteuren werden eine Reihe von Techniken aus unterschiedlichen Wissensgebieten verwendet, wobei die Computeranimation nur ein Teilbereich ist. So werden Methoden aus so unterschiedlichen Gebieten wie Biomechanik, Wahrnehmungspsychologie, K¨ unstliche Intelligenz usw. eingesetzt. F¨ ur die Animation von virtuellen Menschen kommen die meisten der in diesem Buch angesprochenen Techniken zum Einsatz. Hierzu geh¨ oren speziell die kinematische und physikalisch-basierte Animation, die Gesichtsanimation, die Haar- und Stoffanimation. Weiterhin werden Verfahren zur Mustererkennung und sogar Ans¨ atze aus der Evolutionsstrategie verwendet. Eine der wesentlichen Eigenschaften, auf die sich die aktuelle Forschung fokussiert, ist das Verhalten von einzelnen Akteuren und Gruppen autonomer Akteure als Reaktion auf ihre Umwelt (Emergent Behavior). Die Entwicklungen im Bereich der autonomen Akteure werden auch von der Fachrichtung Artificial Life beg¨ unstigt, welche eine Symbiose aus Biologie und Informatik ist. Die Pyramide in Abb. 6.5 stellt diese Entwicklung nach Funge [78] dar, an deren Spitze die kognitiven Prozesse stehen. Autonome Akteure finden verst¨ arkten Einsatz in virtuellen Umgebungen, bei der Produktion von Spielfilmen in Crowd-Animations sowie in Spielen. Die ersten, und mit einigen Millionen Installationen auch sehr erfolgreichen Computerspiele, in denen autonome Akteure agierten, waren die Spiele Creatures“ und Die Sims“. ” ” Im Spiel Creatures“ waren die Norns autonome Akteure – kleine Wesen, die sich ” von einem Ei bis hin zu erwachsenen Tieren individuell entwickelten. Der Spieler hatte dabei Pflege- und Lehraufgaben und konnte auch mit seinen Norns spielen.

154

6 Prozedurale Animationstechniken

Abb. 6.5. K¨ unstliches Leben und die Hierarchie der Computeranimationstechniken nach J. Funge, (nach [78])

Bei Die Sims“ bestand die Spielhandlung aus der Simulation von virtuellen Men” schen in der Nachbarschaft einer kleinen Vorstadt. Die Sims“ ist bislang eines der ” komplexesten Spiele mit autonomen Akteuren. In den nachfolgenden Abschnitten liegt der Schwerpunkt der Betrachtung auf dem Verhalten von autonomen Akteuren und den daraus resultierenden Bewegungen.

6.7.1 Aufbau autonomer Akteure Ein klassisches Beispiel f¨ ur den Aufbau von autonomen Akteuren ist der Asynchronous Hierarchical Agent (AHA) von Bruderlin et al. [79]. Seine Struktur besteht aus den Ebenen: • • • • • •

Motive Pl¨ ane Verhalten (zielgerichtete Sequenz von Aktionen) Aktionen (automatisierte Sequenz von atomaren Aktionseinheiten) Aktionseinheiten (Mengen von Freiheitsgraden) Freiheitsgrade (Effektoren und Sensoren, die mit der Welt interagieren)

Jede Ebene kommuniziert u ¨ ber einen Wissensmonitor mit seinen Nachbarn. Der Wissensmonitor besteht aus • • •

einer Wissensbasis, die globale Zustandsvariablen enth¨ alt, die von allen Ebenen zugegriffen werden k¨ onnen, einem Ressourcen-Manager, der die Vergabe von Ressourcen u ¨ berwacht und einem Aktivit¨ aten-Manager, der alle Aktivit¨ aten auflistet, Ereignisse registriert und eine Liste von Wahrnehmungsfiltern verwaltet, die spezielle Ereignisse oder Aktivit¨ aten selektieren.

Durch den hierarchischen Aufbau entstehen klare, voneinander getrennte Strukturen, die bei der Systementwicklung hilfreich sind.

6.7 Akteure

155

Abb. 6.6. Schematischer Aufbau eines hierarchischen Agenten nach dem AHA Konzept, (nach [79])

6.7.2 Lernmodelle autonomer Akteure Die Entwicklung von Lernmodellen f¨ ur autonome Akteure ist Schwerpunkt in der Synthetic Character Group“ des MIT1 . Hier entwickelte Bruce Blumberg 1995 ein ” hierarchisches Konzept f¨ ur die Steuerung von Akteuren [80], die er als Agenten bezeichnete und deren Struktur in Abb. 6.7 dargestellt ist. Das Lernverhalten autonomer Akteure ist seitdem in verschiedenen Auspr¨ agungen implementiert und weiterentwickelt worden: •

•

1

Im ALIVE-System kann ein Benutzer mit Hilfe von Gesten mit einem simulierten Hund namens Silas [80] interagieren. Die Bewegungen und Posen des Benutzers werden von einer Kamera aufgezeichnet und von ALIVE interpretiert. Der Benutzer kann sich zusammen mit dem virtuellen Hund auf einer Leinwand sehen. Der Hund Silas kann auf ca. ein Dutzend Gesten und Posen des Benutzers reagieren und zus¨ atzlich eigenen Interessen“ nachkommen. ” In der Installation Duncan the Highland Terrier“ ist Duncan – ein kleiner Hir” tenhund – ein Akteur der entwickelt wurde, um eine Reihe von Untersuchungen durchzuf¨ uhren, zu denen r¨ aumliches Lernen, Gegenw¨ artigkeit von Objekten und zeitliche Repr¨ asentation f¨ ur autonome Charaktere z¨ ahlen. Duncan kann Objekte wahrnehmen und unterscheiden und so etwas wie r¨ aumliches Allgemeinwissen“ ” zeigen. Das heißt, er sucht z.B. nicht u ¨ berall nach Schafen, sondern nur dort, wo sie vermutlich anzutreffen sind. Hierbei u ¨ bernimmt ein Spieler die Rolle eines Sch¨ afers, der eine Anzahl von Schafen, die gleichfalls autonome Akteure http://characters.media.mit.edu/

156

6 Prozedurale Animationstechniken Sensorisches System

Motivationen/ Ziele

Verhaltenssystem

Motorsteuerung Motoren (Motor Skills)

Freiheitsgrade Geometrie

Abb. 6.7. Steuerungskonzept f¨ ur die synthetischen Charaktere nach Blumberg, (nach [80])

•

•

darstellen, mit Hilfe von Duncan bewachen soll. Duncan reagiert hierbei auf Sprachkommandos wie: Bye, Away, Steady, Down etc. Das System kann mit jeder Sprache und unabh¨ angig von Geschlecht und Alter benutzt werden. Alpha Wolf“ ist ein System zum Erlernen von sozialem Verhalten. Die Akteure ” sind in diesem Fall W¨ olfe, die nach einem einfachen sozialen Modell interagieren, das zus¨ atzlich zu dem oben genannten Lernen, Emotionen, Wahrnehmung sowie Weiterentwicklung mit einbezieht. Bei Alpha Wolf“ geht es in erster Linie um ” eine soziale Rangordnung unter den virtuellen W¨ olfen. Der Alpha Wolf bildet dabei die Spitze der Hierarchie, wobei drei Spieler mit dem Wolfsrudel gleichzeitig interagieren k¨ onnen. Jeder Spieler u ¨ bernimmt die Rolle eines Welpen in einem Wurf. Dabei dirigieren sie ihre Welpen mit einem Mikrophon, indem sie typische Wolfslaute von sich geben und einem Cursor, mit dem sie ihren Welpen den Weg weisen. Mit Dobie the Coyote“ soll das Lernverhalten eines jungen Coyoten auf der Ba” sis von Lernverst¨ arkung (Reinforcement Learning) in Echtzeit imitiert werden. Das System orientiert sich an dem Hund Terence“ aus [81]. Bei diesem Lern” modell wurden Erfahrungen aus dem tats¨ achlichen Training von echten Hunden ber¨ ucksichtigt. Dazu wird ein akustischer Signalgeber, ein sog. Klicker“ benutzt. ” Das Modell soll den Lernaufwand f¨ ur die Charaktere durch Erkennen von Regelm¨ aßigkeiten in ihrer Welt und durch Signale eines Trainers vereinfachen. Das Modell kann dahingehend trainiert werden, bestimmte Signale zu erkennen und entsprechende Aktionen auszul¨ osen. Außerdem kann es auch neue Bewegungen aus einem bestehenden Bewegungsrepertoire synthetisieren.

6.7.3 K¨ unstliche Fische In ihrer Arbeit u ¨ ber autonome Akteure hat Xiaoyuan Tu’s ein Modell entwickelt, das die verhaltensbasierte Animation von Fischen zeigt [82]. Die Fische wurden realistisch modelliert und mit einem physikalisch-basierten Bewegungsmodell ausgestattet.

6.7 Akteure Gewohnheiten

157

Lernen Optimierung

Sensoren

Sensordaten

Fokussiereinheit

Absichtsgenerator

Wahrnehmung

Absicht

Verhaltenssteuerung

gefilterte Sensordaten

Motorsteuerung

Parameter Aktuatoren/Muskeln

Verhalten Physikalisches Modell

Bewegung Abb. 6.8. Die Architektur des k¨ unstlichen Fisches, (nach Tu [82])

Sie konnten ihre Umwelt u ¨ber simulierte Fischaugen wahrnehmen und die Objekte in ihrer Umgebung mit einfachen Bildverarbeitungsmethoden erkennen“. Diese ” Eigenschaft unterscheidet Tu’s Modell von den skriptbasierten Ans¨ atzen, bei denen Positionen der umgebenden Objekten sonst direkt vorgegeben werden. Der Vorteil dieses Ansatzes ist, dass die hiermit erzeugten Animationen sehr realistisch wirken, da diese von den Konstellationen der Akteure untereinander abh¨ angen. Zudem ist nur ein geringer Aufwand f¨ ur die Animationserstellung notwendig. Traditionelle skriptbasierte Ans¨ atze k¨ onnen sich hingegen auf Ver¨ anderungen ihrer Umgebung nicht einstellen, so dass das Verhalten der Akteure vorhersagbar ist und ihre Bewegungsabl¨ aufe oftmals unnat¨ urlich erscheinen. Das biomechanische Fischmodell von Tu ist mit Hilfe sog. Motoren bzw. Muskeln aufgebaut, die durch Motorsteuerungen (Motor Controllers) bewegt werden, wobei jeweils ein Motor f¨ ur die Animation eines speziellen Teils des Fisches zust¨ andig ist. Die Fische besitzen f¨ ur die Simulation der Schwimmbewegung drei verschiedene Motorsteuerungen. Eine Motorsteuerung erzeugt eine vorw¨ arts gerichtete Schwimmbewegung, sowie eine Links- und eine Rechtsdrehung. Die Steuerungen arbeiten direkt auf dem mechanischen Modell und u ¨bersetzen dabei die Steuerparameter in direkte Muskelbewegungen, die mit einem Feder-D¨ ampfer-Modell simuliert werden. Die Steuerfunktionen sind hierbei denen realer Fische nachempfunden und wurden direkt programmiert. Die Architektur des k¨ unstlichen Fisches von Tu ist in Abb. 6.8 dargestellt. Das Verhaltensmodell setzt sich sowohl aus internen triebgesteuerten Verhaltensmustern (z.B. Nahrungs- und Partnersuche, Umherstreifen) sowie von Verhaltensweisen zusammen, die externe Ursachen (z.B. Fluchtverhalten vor Raubfischen) haben. Um zwischen verschiedenen Verhaltensmustern zu entscheiden, sind die Fische mit einem Absichtsmodell (Intention Generator) ausgestattet, das auch ihre Wahrnehmung und Aufmerksamkeit steuern kann.

158

6 Prozedurale Animationstechniken

Ein weiterer Aspekt dieser Arbeit ist die realistische Modellierung der Umgebung, die notwendig ist, damit die Fische ein glaubw¨ urdiges Verhalten zeigen k¨ onnen. Dazu geh¨ ort neben der Modellierung der Unterwasserwelt mit Pflanzen und dem Meeresboden auch ein Modell f¨ ur das Wasser selbst. Radek Grzeszczuk und Demetri Terzopoulos entwickelten das von Tu noch manuell definierte Bewegungsmodell weiter, so dass Bewegungen automatisch gelernt werden k¨ onnen [83]. Aufgrund der Tatsache, dass Tiere in der Regel ihre Bewegungen energieeffizient ausf¨ uhren, ließen sich Optimierungsverfahren entwickeln, die zur Verbesserung der Parameter der Motorsteuerungen des Tu’schen Modells beitrugen. Dieser Ansatz wurde 1999 von Radek Grzeszczuk f¨ ur komplexere Aufgaben mit Hilfe Neuronaler Netze zum Neuroanimator-System weiterentwickelt, das beliebige Bewegungen erlernen und ausf¨ uhren kann (s. Kap. 10).

6.7.4 Evolution von Akteuren Karl Sims verwendete die Evolutionsstrategie f¨ ur die Entwicklung autonomer Ak¨ teure [84]. Ein Evolutionsmodell erzeugt das nach dem Prinzip Uberleben des ” T¨ uchtigsten“ Akteure, die sich u ¨ber mehrere Generationen dahingehend entwickeln, dass sie einfache Aufgaben erf¨ ullen k¨ onnen. Die Evolution sorgt dabei nicht nur f¨ ur die Bewegung der Kreaturen, sondern auch f¨ ur ihre Morphogenese (Formwerdung). Ausgehend von einem Prototypen – dem Genotyp – wird mittels genetischer Algorithmen ein Ph¨ anotyp generiert, der dann in seiner Umwelt nach speziellen Kriterien getestet wird. Nach diesen Kriterien wird entschieden, ob die Kreatur in Richtung der zu erf¨ ullenden Aufgabe weiter entwickelt wird oder nicht. Genotyp und Ph¨ anotyp. Ein Genotyp2 wird, wie die Abb. 6.9 zeigt, durch einen gerichteten Graphen dargestellt. Dieser Graph ist quasi der Bauplan der Kreatur. Seine Knoten beschreiben die K¨ orperteile der Kreatur, die die Funktionselemente der Steuerung enthalten, w¨ ahrend die Kanten den Signalfluss zwischen den Knoten festlegen. Die miteinander verschalteten Sensoren, Neuronen und Effektoren bilden lokale Steuerwerke der Kreatur. Diese Steuerwerke werden zusammen mit der im Ph¨ anotyp verk¨ orperten morphologischen Struktur der Kreatur entwickelt. Dies bedeutet, dass die neuronalen Kontrollschaltkreise zusammen mit jedem K¨ orperteil der Kreatur repliziert werden, wobei jedes duplizierte Segment ein gleichartiges, unabh¨ angiges, lokales Kontrollsystem besitzt. Die miteinander kommunizierenden Steuereinheiten werden von Sims als Brain bezeichnet. Ein Ph¨ anotyp (s. Abb. 6.9) ist somit die Verk¨ orperung der Kreatur und besteht aus seinem Graphen, seiner geometrischen Struktur sowie des generierten Nervensystems mit den Sensoren, Neuronen und Effektoren. Sensoren. Jeder Sensor ist einem bestimmten Teil des K¨ orpers zugeordnet und misst entweder den gesamten Einfluss der simulierten Umwelt oder nur einen Teilaspekt. Es gibt drei Arten von virtuellen Sensoren: 2

Die aus der Biologie abgeleiteten Begriffe haben die folgende Bedeutung: Der Genotyp eines Organismus repr¨ asentiert seine exakte genetische Ausstattung, die er im Zellkern in sich tr¨ agt. Beim Ph¨ anotyp handelt es sich hingegen um seine tats¨ achlichen k¨ orperlichen Merkmale, wie Gr¨ oße, Gewicht, usw.

6.7 Akteure Genotypen

159

Phänotypen

leg segment

body segment

head

body

limb segment

Abb. 6.9. Beispiele von Genotypgraphen und ihren korrespondierenden Ph¨ anotypen, (nach [84]) • • •

Winkelmesser, die einen Freiheitsgrad von gelenkig verbundenen Glieder u ¨ berwachen, Kontaktsensoren, die innerhalb eines bestimmten Bereichs feststellen, ob ein Kontakt erfolgte und Fotosensoren, die die Position von Lichtquellen messen.

Nicht alle Sensortypen sind immer gleichzeitig aktiv. K¨ onnen die Akteure den Boden ber¨ uhren, so sind beispielsweise die Kontaktsensoren zu aktivieren. Die Aktivierung der Fotosensoren erfolgt, wenn die Kreaturen einer Lichtquelle folgen sollen. Neuronen. Die Neuronen geben den Akteuren ein individuelles Verhalten. Ein Neuuhren und diese ron kann eine bestimmte Funktion3 auf einem Eingabewert ausf¨ dann an angeschlossene Neuronen weitergeben. Einige der Neuronen geben die berechneten Werte direkt weiter, wogegen andere sich einen Zustand merken (z.B. die Oscillate Functions). Die Anzahl der auf maximal drei begrenzten, gewichteten Eingabewerten h¨ angt von seiner Funktion ab. Jedes Neuron ist entweder mit einem anderen Neuron oder einem Sensor verbunden, von dem es seine Eingaben bezieht. Effektoren. Jeder Effektor besitzt eine Verbindung zu einem Neuron und einem Sensor. Die von den Sensoren erhaltenen Eingabewerte werden mit konstanten Faktoren gewichtet und bewirken u afte die Bewegungen des Akteurs. Es ¨ ber Gelenkkr¨ werden in diesem Modell nur Effektoren verwendet, die Kr¨ afte erzeugen. Jeder Effektor ist f¨ ur die Steuerung jeweils eines Freiheitsgrades von je einem Gelenk zust¨ andig. Die maximale Kraft, die ein Effektor aus¨ uben kann, ist proportional zum Querschnitt des Gliedes, an dem er befestigt ist. 3

Die folgenden mathematischen Funktionen sind ausf¨ uhrbar: sum, product, divide, sum-threshold, greater-than, sign-of, min, max, abs, if, interpolate, sin, cos, atan, log, expt, sigmoid, integrate, differentiate, smooth, memory, oscillate-wave, and oscillate-saw.

160

6 Prozedurale Animationstechniken Sensoren

Neuronen Effektoren

P1 C0

*

E0

P0

s+?

E1

C0

*

E0

P0

s+?

E1

a)

Q0

C0 P1

P0

*

E0

s+?

E1

Q0 Q0 b)

c)

Abb. 6.10. Beispiel einer einfachen Kreatur nach Sims: (a) Ph¨ anotypische Darstellung der Kreatur; (b) Genotyp der Kreatur, dessen Morphologie durch den ¨ außeren Graphen dargestellt wird. Der innere Graph beschreibt seine neuronale Verschaltung. (c) Vereinfachte Darstellung des aus (b) heraus entwickelten Ph¨ anotypen Brain, (nach [84])

Morphologie und Steuerung. Mit der Traversierung des Genotypgraphen erfolgt der Aufbau seines virtuellen Nervensystems, das gleichzeitig mit dem K¨ orper konstruiert wird. Die lokalen Steuereinheiten sind untereinander verbunden und erzeugen so ein verteiltes Nervensystem, das untereinander kommunizieren kann. Um eine zentrale Steuerung konstruieren zu k¨ onnen, besteht auch die M¨ oglichkeit, sog. innere Neuronenschaltungen zu generieren, die nicht replizierbar sind. In Abbildung 6.10b ist der Ph¨ anotyp eines Neuronennetzes einer einfachen Kreatur (s. Abb. 6.10a) abgebildet, die durch zyklische Paddelbewegungen seiner beiden Flossen Schwimmbewegungen ausf¨ uhren soll. Die fett umrandeten Schaltungen werden zusammen mit der Geometrie und seinen Gelenkverbindungen sowie den Sensoren (C0, P0 und Q0), den Neuronen (*= Produktfunktion, s+?= sum-thresholdFunktion) und den Effektoren (E0 und E1) repliziert. Die Neuronen der verteilten Knoten sind untereinander verschaltet. Den Ph¨ anotyp Brain, der aus dem im Genotyp eingebetteten Nervensystem“ generiert wurde, zeigt Abb. 6.10c. Es ist schwer, ” das Verhalten der Kreatur anhand der Verschaltung des Nervensystems direkt zu verstehen. Allerdings ist dies nach Sims [84], aufgrund der Verwendung des evolution¨ aren Ansatzes, auch nicht erforderlich. Physikalische Simulation. Die Welt, in der die Akteure nach der Morphogenese agieren, ist vollst¨ andig dynamisch simuliert. Artikulierte Figuren, wie die Kreaturen, werden hier mit Hilfe des Verfahrens von Featherstone animiert und Kollisionen ¨ mit einem Penalty-Verfahren behandelt, das auch f¨ ur die Uberpr¨ ufung der Strukamlich m¨ oglich, dass die Gliedmaßen tur der Kreaturen verwendet wird. Es ist n¨

6.7 Akteure

(a)

(b)

161

(c)

Abb. 6.11. Darstellung einiger Ph¨ anotypen: f¨ ur (a) Schwimmen, (b) Laufen und (c) Springen. Zu beachten ist, dass sowohl die Bewegung als auch die Struktur durch Evolution entstanden ist, (nach [84])

nach der Generierung einer Kreatur miteinander kollidieren oder sich durchdringen. Das Kollisionsverfahren wird dazu benutzt, um g¨ ultige Positionen f¨ ur alle Elemente zu finden. Gelingt dieses nicht, wird die Kreatur sofort als defekt aussortiert. Bei der physikalischen Simulation kommt es besonders auf Korrektheit an. Alle Ungleichgewichte in der Energiebilanz f¨ uhren zu Fehlern bei der Entwicklung neuer Populationen. Evolution. Jede Kreatur, die geschaffen wurde, muss sich in ihrer physikalischsimulierten Umgebung bew¨ ahren, wobei ihre F¨ ahigkeit, die vorgegeben Aufgaben zu erf¨ ullen, gemessen wird. Diese Leistungskriterien bestimmen die Entwicklung der Ph¨ anotypen. In der Abbildung 6.11 sind in 6.11a Akteure f¨ ur eine Schwimmbewegung, in 6.11b f¨ ur eine Laufbewegung und in 6.11c f¨ ur eine Sprungbewegung abgebildet. Die Generation mit der h¨ ochsten Bewertung wird f¨ ur die Weiterentwicklung ausgew¨ ahlt, jene mit schlechter Bewertung gel¨ oscht. Alternativ k¨ onnen auch Wettk¨ ampfe zwischen den Kreaturen veranstaltet werden, bei denen nur die Sieger weiter kommen. Die n¨ achste Entwicklungsstufe kann durch Rekombination der Genotypgraphen entstehen. Dazu werden die Graphen nach einem bestimmten Schema gekreuzt oder transplantiert, um neue Genotypen zu erzeugen. Die Kontrolle u ¨ ber das Animationsergebnis hat man bei diesem Ansatz nur durch ¨ die Definition der Uberlebensbedingungen. Karl Sims Entwicklungen stellen einen Meilenstein in der Sparte Evolution¨ ares Design“ dar. Wegen ihrer mangelhaften ” Steuerbarkeit ist dieses Verfahren f¨ ur die Produktion von Filmen oder Computerspielen nur sehr eingeschr¨ ankt verwendbar. Allerdings zeigt Sims Ansatz auf einfache und kreative Weise alle Eigenschaften eines k¨ unstlichen Wesens und ein enormes Pour weitere Entwicklungen, wenn sie mit anderen Techniken verbunden wird. tential f¨

6.7.5 Verkettete Steuereinheiten Faloutsos, van de Panne und Terzopoulos stellen in [85] ein System vor, mit dem die Steuerung von virtuellen Akteuren mit Hilfe verketteter Steuereinheiten, dem sog. Controller, erfolgt. Diese Controller sind f¨ ur die Ausf¨ uhrung einfacher, jeweils sehr spezieller Aktionen eines virtuellen Stuntmans zust¨ andig. Einige Beispiele f¨ ur derartige Aktionen sind:

162

6 Prozedurale Animationstechniken

rise sit protective step

sitting to standing

balance fall

prone to standing supine to sitting

dive kip

rollover default

: erfolgreich : fehlerhaft : vom Benutzer ausgelöse Aktion

Abb. 6.12. Typische Transitionen f¨ ur einen 3D-Akteur. Die Controller Protective ” Step“ und Fall“ werden vom System aktiviert, falls der Gleichgewichtszustand des ” virtuellen Akteurs nicht aufrecht erhalten werden kann, (nach [85]) • • • • • •

sit: Der Akteur setzt sich nieder. sitting to standing: Der Akteur steht von der Sitzposition auf. balance: Der Akteur h¨ alt stehend das Gleichgewicht. prone to standing: Der Akteur steht aus der Bauchlage auf. supine to standing: Der Akteur steht aus der R¨ uckenlage auf. rollover: Der Akteur dreht sich von der Bauch- in die R¨ uckenlage oder in umgekehrte Richtung.

Durch Verkettung derartiger Aktionen lassen sich komplexe Bewegungsabl¨ aufe ausf¨ uhren, wozu es jedoch erforderlich ist, die Controller funktional miteinander zu verkn¨ upfen. Um die Transitionen zwischen den einzelnen Aktionen zu erm¨ oglichen, wird jeweils eine Pre-Condition, eine Post-Condition sowie ein Erwartungswert f¨ ur die Ausf¨ uhrung der durchzuf¨ uhrenden Aktion, die Expected Performance, festgelegt. Unter Pre-Condition sind die Gelenkkoordinaten und deren Geschwindigkeiten, die Kontaktpunkte von Akteur und Boden und die hierzu korrespondierenden Normalenvektoren zusammengefasst. Desweiteren ist der Zielzustand bzw . die Zielregion vorgegeben, die der Akteur erreichen sollte. Zus¨ atzliche Parameter dienen zur Aufrechterhaltung des Gleichgewichts. Eine erfolgreiche Aktion des Controllers u uhrt den Akteur von seinem durch ¨ berf¨ unschten Zielzudie Vorbedingung definierten initialen Zustand R(qi ) in den gew¨ ullt damit die Poststand oder in die Zielregion des Zustandsraums R(qo ) und erf¨ condition. Die Zielregion ist dabei Teil der Pre-condition der Steuereinheit, welche die nachfolgende Aktion ausf¨ uhrt. Die Abbildung 6.12 zeigt den Transitionsgraphen f¨ ur einen typischen Bewegungsablauf eines 3D-Akteurs. Weil sich die Bedingungen der Umgebung ver¨ andern k¨ onnen, kann diese Zustandstransition auch misslingen. Das f¨ uhrt zum Begriff der Expected Performance. W¨ ahrend der Controller seine Aktionen ausf¨ uhrt, muss er zu jedem Zeitpunkt des Aktionsverlaufs mit Hilfe der Expected Performance in der Lage sein zu u ufen, ¨ berpr¨ ob die weitere Ausf¨ uhrung der Aktion noch m¨ oglich ist. Ist dies nicht der Fall,

6.7 Akteure

Supervising Controller At every time step: if (no active controller) for all controllers i = 1:N if (controller[i] can handle() == true) put controller[i] into canditates endif end_for active_controller = arbitrate(candidates) else status = active_controller.getStatus() endif

163

Controller Preconditions Postconditions Expected Performance

Abb. 6.13. Auswahl der Controller, (nach [85])

so kann die weitere Steuerung des Akteurs von einer anderen, besser geeigneten Steuereinheit u ¨ bernommen werden. Alle Controller sind in einem Pool zusammengefasst, die von einer zentralen ¨ Uberwachungseinheit, dem Supervising Controller, verwaltet werden. Sind alle Controller inaktiv, so fragt der Supervising Controller in zyklischer Folge alle Steuereinheiten ab, ob sie die Transition eines virtuellen Akteurs von dessen aktuellem Zustand, z.B. einer Sitzposition, in den erw¨ unschten Zielzustand, z.B. aufrecht stehend, ausf¨ uhren k¨ onnen. Die Controller antworten mit Zahlenwerten von 0 bis 20. Der Zahlenwert 0 bedeutet, dass der Controller hierf¨ ur v¨ ollig ungeeignet ist. Zahlenwerte von 1 bis 10 bedeuten, dass zwar eine Transition, ausgehend vom initialen Zustand des Akteurs, ausgef¨ uhrt werden kann, jedoch der erw¨ unschte Zielzustand nicht erreicht wird. Liegen diese Zahlenwerte im Intervall [11, 20], so kann der jeweilige Controller aufgrund der vorgegebenen Pre- und Post-condition die vorgegebene Aufgabe erf¨ ullen. K¨ onnen mehrere Controller die Aufgabe erf¨ ullen, so wird jener ausgew¨ ahlt,

Abb. 6.14. Beispiel einer Animation mit verkettetem Controller : Ein virtueller Stuntman f¨ allt r¨ uckw¨ arts auf den Boden, dreht sich auf den Bauch und erhebt c sich wieder in die stehende Position, (mit Genehmigung von [85],
ACM 2001, s. Farbtafel VI)

164

6 Prozedurale Animationstechniken

der den h¨ ochsten Zahlenwert abliefert und dadurch als am besten geeignet erscheint (s. Abb. 6.13). Die Ausf¨ uhrung der einzelnen Aktionen erfolgt mit DANCE, einem SoftwarePaket zur physikalisch-basierten Character Animation. DANCE steht f¨ ur Dynamic Animation and Control Environment und wurde gleichfalls von Ng und Faloutsos altlich. DANCE wurde entwickelt. Es ist als Freeware (GPL) u ¨ ber das Internet4 erh¨ speziell zum Testen von Steuertechniken f¨ ur die Animation virtueller menschlicher Akteure entwickelt. Die Bildfolge, Abb. 6.14, zeigt die einzelnen Bewegungsphasen einer mit DANCE erzeugten Animation, die mit dem oben beschriebenen Verfahren erzeugt wurde.

6.7.6 Weitere Entwicklungen Abschließend sollen noch einige weitere wichtige Entwicklungen auf dem Gebiet der autonomen Akteure Erw¨ ahnung finden. Hier ist vor allem das System Jack von Norman Badler [86] zu erw¨ ahnen, das die direkte Steuerung k¨ unstlicher Menschen erlaubt. Norman Badler versucht mit Jack“ ” eine Figur mit Hilfe von Anweisungsskripten direkt zu steuern. Hierzu werden die textuellen Anweisungen inhaltlich interpretiert und in Aktionen umgesetzt. Eines der wesentlichen Merkmale des von Ken Perlin entwickelten Systems Improv [87] ist, dass die autonomen Akteure soziales Verhalten“ aufweisen. Improv ” wurde im Laufe der 90er Jahre entwickelt und erstmals 1996 am Beispiel eines Akteurs gezeigt, der nach einem Vogel greifen soll und dabei selber entscheidet, wann er dieses tut. Die dazu notwendigen Bewegungen werden hierbei aus Teilanimationen zusammengesetzt, wobei die Transitionen zwischen den einzelnen Bildsequenzen weich u ¨berblendet werden. Improv verwendet zur Auswahl der Animationen und Transitionen eine Skriptsprache, wobei die autonomen Akteure selber entscheiden, welche Skripte sie aktivieren. Zufallsbedingte Variationen bei der Skriptauswahl bewirken ein abwechslungsreiches Animationsverhalten. John D. Funge stellt in [78] ein System vor, in dem autonome Akteure mit Probleml¨ osungsstrategien ausgestattet sind. Daf¨ ur wurde eine auf der Basis von Prolog entwickelte Sprache namens CML (Cognitive Modeling Language) entwickelt. Mit Hilfe von CML k¨ onnen Akteure Situationen analysieren und unter Anwendung logischer Regelsysteme einfache Verhaltensstrategien verfolgen. Funge’s Arbeit findet in innovativen Game Engines Anwendung. Die Zukunft der autonomen Akteure wird nach Funge vor allem in dem großen Bereich der Computerspiele Anwendung finden.

4

http://www.cs.ucla.edu/magix/projects/dance/

7 Motion Capturing und Motion Editing

Realistische Bewegungen von Menschen und Tieren gelten als sehr schwer zu konstruieren. Das liegt zum einen an der Komplexit¨ at der Aufgabe und zum anderen daran, dass einem Betrachter, vor allem bei menschlichen Bewegungen, selbst kleinste Abweichungen von einem nat¨ urlichen Bewegungsvorgang auffallen. Eine Methode, beide Probleme gleichzeitig zu l¨ osen, besteht darin, die Bewegung direkt vom Original“ abzunehmen: Ein Darsteller f¨ uhrt die Bewegungen vor, ” die dann mit speziellen Techniken auf ein Modell u ¨bertragen werden. Diese Techniken fasst man unter dem Begriff Performance Animation zusammen. In diesem Abschnitt werden alle anderen Verfahren zur Erzeugung von Animationen, die nicht auf der Aufzeichnung nat¨ urlicher Vorlagen basieren, als synthetische Animationstechniken bezeichnet. Zur Performance Animation z¨ ahlt man eine Reihe von Verfahren, die als Ausgangspunkt die Bewegung eines Menschen oder Tieres haben: Motion Capturing (MoCap). Laut David Sturman [88] ist Motion-Capturing, vielfach auch MoCap genannt, das ... Aufzeichnen von Bewegung f¨ ur die direkte ” oder sp¨ atere Analyse oder zum Abspielen“. Hierbei wird ein Darsteller mit einer begrenzten Anzahl von Sensoren oder Markern versehen, deren Position - bei einigen Techniken auch die Orientierung - verfolgt werden kann. Die Position der markierten Stellen am K¨ orper des Darstellers werden auf ein entsprechendes Computermodell u ¨ bertragen. ¨ Digital Puppeteering. Digital Puppeteering ist die direkte Ubertragung der durch ¨ MoCap erzeugten Daten auf eine virtuelle Puppe. Ahnlich einem Puppenspieler steuert ein realer Akteur ein virtuelles Objekt in Echtzeit, das beispielsweise eine Comic-Figur darstellt. Einerseits gibt es die Version, in der ein Darsteller die gesamte Figur verk¨ orpert, was einem kost¨ umierten Schauspieler entsprechen w¨ urde, andererseits gibt es die Version, bei der ein Darsteller eine Figur u ¨ ber mechanische Hilfen steuert, was eher einer Marionette entspricht. Die letztere Variante wird gew¨ ahlt, wenn die zu steuernde Computerfigur nicht menschen¨ ahnlich ist. Channel Animation. Unter Channel Animation versteht man eine einfache Version des Motion Capturing bzw. des Puppeteering. Hier werden bestimmte Freiheitsgrade einer Figur mit Hilfe spezieller Eingabeger¨ ate, wie z.B. Drehkn¨ opfe oder

166

7 Motion Capturing und Motion Editing

Joysticks, direkt gesteuert. Im Animationssystem verbinden dabei spezielle Ports die Freiheitsgrade der Animation mit den Treiberprogrammen der Ger¨ ate. Channel-Animation-Techniken werden oft auch als Erg¨ anzung zu anderen MotionCapturing-Verfahren eingesetzt, um Aspekte einer Figur zu steuern, die nicht direkt von einem Darsteller abgenommen werden k¨ onnen. Dazu geh¨ ort z.B. die Bewegung der Augenlider einer Figur oder die Bewegung spezieller K¨ orperteile bei einer Fantasiefigur. Rotoscoping. Rotoscoping ist haupts¨ achlich aus der Trickfilmtechnik bekannt. Hierbei werden von einem Film die Konturen von Darstellern manuell mit Markierungen versehen. Diese werden anschließend als Referenzen zur Steuerung eines computergenerierten Akteurs verwendet. Rotoscoping kann als Motion Capturing per Hand bezeichnet werden. Die meisten MoCap-Verfahren k¨ onnen in sehr schneller Folge die Marker-Positionen eines Darstellers bestimmen. Diese k¨ onnen in Echtzeit auf das Modell eines virtuellen Akteurs u ¨bertragen werden, wobei der Eindruck einer kontinuierlichen Bewegung entsteht. Alternativ hierzu lassen sich die Marker-Positionen auch aufzeichnen, um anschließend mit Hilfe der Keyframing-Methoden zur Erzeugung einer Animation wieder verwendet zu werden. Auf diese Weise lassen sich umfangreiche Bibliotheken von Datensequenzen mit den unterschiedlichsten Bewegungsabl¨ aufen erzeugen. Allerdings gehen hierbei die Feinheiten der Bewegung verloren, die bei einer fortlaufenden Aufzeichnung registriert werden. Das Verfahren der Positionsaufzeichnung entspricht der Stop-Motion-Technik. In diesem Kapitel wird immer von einer kontinuierlichen Aufzeichnung ausgegangen. Ein wesentlicher Aspekt beim Motion Capturing ist, dass eine aufgezeichnete Bewegung in der Regel nicht so verwendet werden soll, wie sie urspr¨ unglich abgespeichert wurde. Die Abbildung auf ein Computermodell erfordert schon deshalb Ver¨ anderungen an den Bewegungsdaten, weil der Darsteller oftmals nicht genau die gleichen Proportionen wie das zu animierende Computermodell hat. Die Bewegungen des realen Akteurs m¨ ussen daher an die des k¨ unstlichen Akteurs angepasst werden. ¨ Ein weiterer Gesichtspunkt ist die Ubertragung bestimmter Charakteristika einer ¨ Bewegung auf andere Bewegungen. Beide Aspekte, die Ubertragung von aufgezeichneten Bewegungen auf Modelle mit anderen Maßen oder sogar anderer Topologie ¨ und die Ubertragung von Stilelementen einer Bewegung, sind Gegenstand aktueller Forschungsbem¨ uhungen. Das Ziel dieser Arbeiten ist es, Animationsbibliotheken zu schaffen, um eine breite Ausgangsbasis f¨ ur komplexe Computeranimationen zu erhalten. Die Arbeit des Animateurs w¨ are dann auf die Auswahl und Anpassung bereits existierender Animationsdaten sowie der Zuordnung von Bewegungsstilen begrenzt. Motion-Capture-Verfahren werden oftmals durch sekund¨ are Animationen zu erg¨ anzt. Die Bewegung der Finger einer Hand werden selten beim Motion Capturing erfasst, sondern erst sp¨ ater mit speziellen Techniken hinzugef¨ ugt. Komplexe Figuren werden in sog. Animationsschichten (animation layer) unterteilt. Jede dieser Schichten l¨ asst sich im Prinzip durch eine andere Animationstechnik steuern. Die Synchronisation zwischen diesen Techniken wird vom Animateur zumeist manuell festgelegt.

7.1 Aufnahmetechniken

167

Eine der wesentlichen Vorteile des Motion Capturing – die Erfassung sehr nat¨ urlicher Bewegungsabl¨ aufe – ist auch gleichzeitig eine Einschr¨ ankung, wenn es um k¨ unstlerisch verfremdete Bewegungsabl¨ aufe geht. Diese Akzentuierungen m¨ ussen in der Regel in separaten Schritten den MoCap-Bewegungsdaten hinzugef¨ ugt werden. Weiterhin ist das Verfahren auf die F¨ ahigkeiten des Darstellers beschr¨ ankt, bestimmte Bewegungsabl¨ aufe auszuf¨ uhren. Diese lassen sich zwar durch spezielle Hilfskonstruktionen erweitern, wobei jedoch oftmals die Bewegungsaufnahme beeintr¨ achtigt oder unm¨ oglich wird. Ein Beispiel hierf¨ ur sind Seilkonstruktionen, die einen Darsteller bef¨ ahigen, zu schweben oder Kunstst¨ ucke zu vollf¨ uhren, die in der Realit¨ at sonst nicht m¨ oglich sind.

7.1 Aufnahmetechniken Die f¨ ur das Motion Capturing eingesetzten Aufnahmesysteme lassen sich im Wesentlichen in die folgenden drei Gruppen einteilen: •

•

•

Inside-In Systeme. Systeme dieser Kategorie verwenden Datenquellen und Sensoren, die auf dem K¨ orper eines Darstellers angebracht sind. Ein Beispiel f¨ ur ein solches System ist ein elektromechanisches Außenskelett, das einem Darsteller angelegt wird und wobei die Gelenkstellungen u ¨ber Potentiometer abgenommen werden. Inside-Out Systeme. Hierbei handelt es sich um Systeme, bei denen die Sensoren auf dem K¨ orper des Darstellers angebracht sind, aber die Quelle des zu messenden Signals sich in deutlicher Entfernung zum Darsteller befindet. Ein Beispiel hierf¨ ur sind Sensoren, die eine extern generierte magnetische Feldst¨ arke messen und mittels Datenkabel u ¨ bertragen. Allerdings gibt es inzwischen die M¨ oglichkeit, hierf¨ ur leistungsf¨ ahige Funknetze zu verwenden. Die hierf¨ ur ben¨ otigte Hardware ist inzwischen so klein, leicht und leistungsf¨ ahig geworden, dass ihr portabler Einsatz keine Probleme bereitet. Outside-In Systeme. Bei den Outside-In Systemen befinden sich die Sensoren nicht auf dem K¨ orper des Darstellers, sondern sind hier auf den Darsteller oder einen eng begrenzten Raum gerichtet, in dem sich der Akteur bewegt. Ein Beispiel hierf¨ ur sind optische Systeme, bei denen Kameras reflektierende Marker verfolgen, mit denen der Darsteller versehen ist.

7.1.1 Elektromechanische Systeme Ein beliebtes und einfaches Verfahren, um die Bewegungen eines Darstellers aufzuzeichnen, ist die Bewegungserfassung u uge oder Exo¨ ber elektromechanische Anz¨ Skelett-Systeme. Diese Systeme enthalten eine Reihe von gelenkig-verbundenen Segmenten, die gegeneinander bewegt werden k¨ onnen. Die Bestimmung der Relativbewegungen dieser Segmente erfolgt meist mit Potentiometern, wobei die Drehwinkel bestimmt werden. Die besondere Attraktivit¨ at dieser Systeme liegt in ihrem geringen Gewicht und den geringen Kosten gegen¨ uber anderen MoCap-Systemen. Neuere Exo-SkelettSysteme bestehen aus sehr leichten Materialien (z.B. Kohlefasern). Ein weiterer Vorteil solcher Systeme ist, dass es keine Verdeckungsprobleme gibt. Es ist auch

168

7 Motion Capturing und Motion Editing

Abb. 7.1. Exo-Skelett-System GYPSY-4TM (mit Genehmigung von Meta Motion, c
Meta Motion)

m¨ oglich, mehrere Darsteller gleichzeitig zu tracken und so ihre kooperativen Aktionen aufzuzeichnen. Der wesentlichste Nachteil der Exo-Skelett-Systeme liegt in der Behinderung der Darsteller durch die Begrenzungen des Skeletts. Ein weiterer Nachteil liegt darin, dass sich die Sensorpositionen nicht leicht ver¨ andern lassen. Hierzu muss zus¨ atzlich das gesamte Skelett ver¨ andert werden. Die meisten dieser Systeme sind zwar auf die Gr¨ oße des Darstellers einstellbar, jedoch die relativen Positionen und die Anzahl der Sensoren sind fest vorgegeben. Die Daten der Sensoren am K¨ orper des Darstellers m¨ ussen vielfach mit einer Kabelverbindung u atzlich auch der Bewegungsraum ein¨ bertragen werden, wodurch zus¨ geschr¨ ankt werden kann. Wegen ihrer unproblematischen Handhabung sind jedoch elektromechanische Systeme f¨ ur den Echtzeiteinsatz sehr beliebt.

7.1.2 Lichtleitersysteme Einige Systeme messen die Beugungswinkel an den Gelenken auf optischem Wege. Dazu werden Glasfaserkabel benutzt. Mit einer Leuchtdiode wird in das eine Ende des Glasfaserkabels Licht gesandt, dessen Intensit¨ at am anderen Ende mit einem Fotosensor gemessen wird. Werden die Glasfaserkabel gebogen, entweicht Licht. Am ¨ Sensor kann die Anderung der Lichtintensit¨ at in Relation zum Biegeradius gemessen werden. Solche auf Glasfaserkabeln beruhenden Systeme sind oft in Datenhandschuhen zu finden, wo sie die Biegung der Fingergelenke messen. Es sind aber auch schon Ganzk¨ orperanz¨ uge mit Glasfaserkabeln ausgestattet worden. Diese werden aber zunehmend von den elektromechanischen Systemen verdr¨ angt.

7.1 Aufnahmetechniken

169

Da bei solchen Systemen ohne zus¨ atzliche Vorkehrungen nicht genau festgestellt werden kann, wo das Kabel gebogen wird, muss eine feste Zuordnung vom Glasfaserkabel zu der Biegestelle am K¨ orper des Darstellers hergestellt werden. Ist diese Zuordnung einmal festgelegt, so spielen kleine Verschiebungen keine große Rolle, da lediglich der Beugungswinkel registriert wird.

7.1.3 Elektromagnetische Systeme Elektromagnetische Systeme verwenden eine Reihe von Sendern, die ein elektromagnetisches Feld erzeugen. Eine Reihe von Empf¨ angern wird am K¨ orper des Darstellers angebracht, die in der Lage sind, sowohl Position als auch Orientierung zu messen. Die Abbildung 7.2 zeigt den Aufbau eines MoCap-Systems auf der Basis magnetischer Sensoren. Auch bei diesen Systemen gibt es keine Probleme mit ge-

Abb. 7.2. Prinzip des Motion Capturing mit Magnetsensoren

genseitiger Verdeckung zwischen Signalquelle und Empf¨ angern. Von Nachteil aber ist der in der Regel kleinere Bewegungsraum, der im Vergleich zu den optischen Systemen f¨ ur die Bewegungsaufzeichnung zur Verf¨ ugung steht. Des Weiteren m¨ ussen diese Systeme oftmals aufwendig kalibriert werden. Metallische Gegenst¨ ande und leitende Kabel k¨ onnen das magnetische Feld verzerren und die Kalibrierung erheblich beeintr¨ achtigen. Da die Sensoren am K¨ orper des Darstellers angebracht sind, werden diese in ihrer Bewegung unter Umst¨ anden durch Datenkabel behindert oder eingeschr¨ ankt.

170

7 Motion Capturing und Motion Editing

7.1.4 Akustische Systeme Akustische MoCap-Systeme ben¨ otigen mindestens drei Ultraschallempf¨ anger, die im Aufzeichnungsbereich, m¨ oglichst weit voneinander entfernt, angeordnet sind. Kleine Ultraschallsender, die am K¨ orper des Darstellers befestigt sind, senden der Reihe nach kurze Impulse aus, die von allen Empf¨ angern registriert werden. Aus den Laufzeiten des Schalls von einem Sender zu mindestens drei Empf¨ angern l¨ asst sich die Position des jeweiligen Senders durch einfache geometrische Berechnung ermitteln. Bei diesem Verfahren k¨ onnen Fehler infolge Verdeckung und Reflektion auftreten. Zus¨ atzlich sind die Messfehler zu ber¨ ucksichtigen, die durch die Lufttemperaturabh¨ angigkeit der Schallgeschwindigkeit entstehen. Die Zeit, die zwischen dem ersten und dem letzten Sendeimpuls vergeht, bestimmt die Anzahl der einsetzbaren Sender: Je k¨ urzer das Intervall zwischen zwei Messsequenzen definiert ist, desto geringer kann die Anzahl der Sensoren sein. Wie bereits bei anderen Systemen beschrieben, k¨ onnen auch hier Kabel die Bewegungen eines Akteurs behindern.

7.1.5 Optische Systeme Optisches Ganzk¨ orper Motion Capturing erfordert Spezialkameras, die am Rand des Aufnahmeraums so angeordnet sind, dass sie die Akteure in der Szene bzw. die Marker, die auf ihnen angebracht sind, jederzeit erfassen k¨ onnen. Eine Form eines optischen MoCap-Systems erlaubt zwei Modi: Im ersten Modus, f¨ ur den ein abgedunkelter Aufnahmeraum vorhanden sein muss, werden pulsierende Leuchtdioden als Marker auf dem K¨ orper des Darstellers angeordnet, deren Lichtsignale von der Kameraanordnung registriert und deren Positionen per Software berechnet werden. Der zweite Modus arbeitet unter Normallichtbedingungen. Hierzu werden reflektierende Marker verwendet, die mit infraroten Lichtimpulsen (IR-Lichtimpulse) beleuchtet werden. Zu diesem Zweck sind leistungsstarke IR-Leuchtdioden, in mehreren Ringen um das Objektiv der Kamera herum, angeordnet. Um Messfehler zu

c Abb. 7.3. MoCap-Kamera (mit Genehmigung von VICON Peak,
VICON Peak)

7.1 Aufnahmetechniken

171

Abb. 7.4. Prinzip des Facial Animation Tracking

verhindern, sind diese Kameras zus¨ atzlich mit IR-Filtern ausgestattet, die jedoch nur f¨ ur den Normallicht-Modus erforderlich sind. Eine spezielle Form optischer MoCap-Systeme sind die sog. Facial Tracker, die zur Erfassung von Gesichtsausdr¨ ucken dienen. Eine typische Anordnung eines Facial Tracker, bei dem Reflexionsmarker verwendet werden, die von einer in der Kamera befindlichen IR-Lichtquelle beleuchtet werden, ist in Abb. 7.4 dargestellt. Dieses Tracking-System l¨ asst sich in Kombination mit anderen MoCap-Systemen f¨ ur Channel Animation Applikationen in Echtzeit verwenden. Ein Vorteil der optischen Systeme ist der große Messbereich, in dem die Bewegungserfassung erfolgt. Zudem ist die Platzierung der Marker an den Darstellern sehr einfach und flexibel. Eine Behinderung der Darsteller durch die Markeranordnung findet kaum statt. Neben den hohen Kosten f¨ ur die ben¨ otigte Hardware, ist ein Hauptnachteil des optischen Motion Capturing die Notwendigkeit, Licht- und Hintergrundverh¨ altnisse genau zu kontrollieren, was oft nur in speziellen MoCap-Studios m¨ oglich ist. St¨ orungen bei der Aufnahme und Rauschen der Sensoren verursachen unter Umst¨ anden erhebliche Nachbearbeitungskosten. Ein weiterer Nachteil ist die große Datenmenge, die durch das Verfahren produziert wird, die gespeichert und verarbeitet werden muss. Marker k¨ onnen außerdem entweder durch den Schauspieler selbst oder durch Gegenst¨ ande auf dem Set verdeckt werden. Einige dieser Verdeckungsprobleme lassen sich durch die Aufstellung zus¨ atzlicher Kameras oder durch Heuristiken in der Tracking-Software ausgleichen.

7.1.6 Roboter, Animatronik und Waldos F¨ ur bestimmte Anforderungen werden besondere Puppen oder animatronische Maschinen gebaut, deren Bewegungsdaten direkt u ¨ bertragbar sind. Animatronik ist eine Technik, bei der ganz oder teilweise elektronisch ferngesteuerte Puppen bewegt

172

7 Motion Capturing und Motion Editing

werden, die nicht notwendigerweise f¨ ur das Motion Capturing verwendet werden sondern im eigentlichen Sinn maschinell gesteuerte Darsteller sind. Ein Waldo ist die Bezeichnung f¨ ur ein spezielles Eingabeger¨ at in Form einer Puppe, die von Puppenspielern gehandhabt wird und die ihre Bewegungsdaten direkt an ein Aufzeichnungsger¨ at in digitaler Form u agt. Der Name leitet sich von der ¨ bertr¨ Figur Waldo C. Graphic ab, die in Jim Hensons Show1 , die Jim Henson Hour“, ” zu sehen war. Diese Aufnahme-Techniken fallen sowohl in den Bereich des Digital Puppeteering als auch in das Gebiet Channel Animation.

7.2 Praxis des Motion Capturing Die generelle Vorgehensweise beim Motion Capturing kann grob in die folgenden Schritte unterteilt werden: • • • • •

Planung der Motion-Capturing-Sitzung und der Produktion. Dieser Schritt wird von vielen Praktikern als entscheidend f¨ ur das Gelingen der MoCap-Sitzung angesehen. Aufzeichnung der Bewegung - das eigentliche Motion Capturing Bereinigen der Daten Nachbearbeiten der Daten Abbilden der Bewegungen auf die zu animierende Figur

7.2.1 Vorbereitung und Planung Die Planung einer Motion-Capturing-Sitzung h¨ angt von den Zielen, der verf¨ ugbaren Technik, den F¨ ahigkeiten des MoCap-Teams und nicht zuletzt vom Budget ab. Vor der Aufnahme der Bewegung wird zun¨ achst genau festgelegt, unter welchen Aspekten die Bewegung aufgezeichnet werden soll. Dann wird das Modell definiert und implementiert, wobei die verf¨ ugbare Sensortechnik ber¨ ucksichtigt wird. In den meisten F¨ allen werden sog. Character Rigs aufgebaut, die zur Vereinfachung der Animationssteuerung dienen. Hierunter versteht man eine Hilfskonstruktion, mit der die Steuerung der Bewegung einer Computerfigur einfacher und transparenter gestaltet werden kann. W¨ ahrend der Planungsphase sollten die folgenden Fragen gekl¨ art werden: • • • • • • 1

Was soll aufgezeichnet werden? Ist es eine menschliche Bewegung, die eines Tieres oder soll eine Fantasiefigur animiert werden? Welche F¨ ahigkeiten haben die Darsteller? Wof¨ ur wird die Animation gebraucht? Ist sie Teil eines Feature-Films, soll eine interaktive Spielfigur animiert oder soll diese in einer Live Show gesteuert werden? Wie groß muss der von den Sensoren abgedeckte Bewegungsbereich sein? Sollen weitr¨ aumige Aktionen aufgezeichnet werden oder sind diese eng begrenzt? Wie viele Darsteller sollen aufgezeichnet werden? Wie genau m¨ ussen die aufgezeichneten Daten sein? Wird eine fiktive Figur animiert oder werden die Daten f¨ ur eine wissenschaftliche Auswertung gebraucht? Jim Henson ist unter anderem als Erfinder der Muppet Show bekannt.

7.2 Praxis des Motion Capturing • • •

173

Wie gut kann oder muss die Umgebung kontrolliert werden? Welche MoCap -Systeme stehen zur Verf¨ ugung? Welche Systeme sind f¨ ur das Projekt angemessen und welche kann das Team handhaben? Welche Freiheitsgrade besitzt die zu animierende Computerfigur?

Die oben aufgef¨ uhrte Liste ist sicherlich nicht vollst¨ andig. Die Priorit¨ aten der Fragen richten sich nach den Erfordernissen der Projekte und k¨ onnen deshalb nicht a priori in eine Reihenfolge gebracht werden. Die Fragen sind auch teilweise voneinander abh¨ angig. So h¨ angt die Frage nach der Kontrolle der Umgebung direkt von den verf¨ ugbaren MoCap-Systemen ab.

7.2.2 Aufnahme der Bewegung Die eigentliche Aufnahme der Bewegung besteht darin, dass der Darsteller den gew¨ unschten Bewegungsablauf ausf¨ uhrt. Dabei muss darauf geachtet werden, dass er eventuelle Markierungen, z.B. auf dem Boden, trifft und das Timing sowie die Choreographie korrekt einh¨ alt. Dar¨ uber hinaus darf der Sensorbereich nicht verlassen werden. Ist der Sensorbereich klein, wie z.B. bei magnetischen Aufzeichnungstechniken, so werden die Bewegungen in mehrere Phasen aufgeteilt und nacheinander aufgezeichnet. Diese Vorgehensweise kann ebenfalls erforderlich sein, wenn mehrere Personen aufzuzeichnen sind, diese Anforderung aber durch das MoCap nicht unterst¨ utzt wird. Die St¨ uckelung der Aufzeichnung kann zu Anschluss- und Synchronisationsproblemen f¨ uhren, die in der Nachbearbeitung zus¨ atzliche Kosten produzieren. Eine Aufteilung in mehrere Aufzeichnungsphasen kann ebenfalls notwendig sein, wenn verschiedene Aspekte einer Figur mit unterschiedlichen Techniken getrennt erfasst werden m¨ ussen. So kann beispielsweise die Gesichtsanimation eines Darstellers mit einem Facial Tracker und seine K¨ orperbewegungen mit einem Ganzk¨ orper MoCap-System aufgezeichnet werden. Die Datens¨ atze m¨ ussen dann anschließend zeitlich zueinander korreliert werden2 .

7.2.3 Bereinigung der Daten und Nachbearbeitung Die aufgezeichneten Rohdaten m¨ ussen in einer weiteren Stufe bereinigt und nachbearbeitet werden. Dies hat, abh¨ angig vom verwendeten Aufzeichnungsverfahren, unterschiedliche Gr¨ unde: •

•

2

Verdeckungsprobleme. Diese Probleme treten vornehmlich bei optischen Systemen auf. Hierbei werden einige Marker oder Leuchtdioden durch den Darsteller selbst oder Teile des Set verdeckt. Jeder Marker muss zu jedem Zeitpunkt von mindestens drei Kameras erfasst werden. Entstehende L¨ ucken im Bewegungsablauf m¨ ussen manuell geschlossen werden. Interferenzen und St¨ orsignale. Diese Effekte treten bei fast allen sensorischen Systemen auf. Die Sensoren empfangen Signale, die von externen St¨ orquellen stammen oder durch Reflexion entstehen. Besonders anf¨ allig f¨ ur Reflexionen sind akustische Systeme. Bei optischen Systemen k¨ onnen sich Marker Bei professionellen MoCap-Sitzungen ist u ¨ blicherweise hierzu der Regisseur anwesend.

174

• •

7 Motion Capturing und Motion Editing so nahe kommen, dass sie sich in einem Bild nicht mehr unterscheiden lassen. Dieses Problem l¨ asst sich mit Marker-Leuchtdioden l¨ osen, die mit unterschiedlichen Lichtimpulsfrequenzen arbeiten. Rauschen der Sensoren. Die meisten Sensoren erzeugen zus¨ atzlich zu den aufgezeichneten Nutzsignalen ein Hintergrundrauschen sowie ab und zu ein paar Signalausreißer, die gefiltert oder manuell entfernt werden m¨ ussen. Aussetzer (Drop-Outs). Sensoren k¨ onnen zeitweise aussetzen oder im Extremfall ganz ausfallen. Aussetzer und Messst¨ orungen k¨ onnen aber auch entstehen, ohne dass eine Sensorst¨ orung die Ursache ist: Signale k¨ onnen sich gegenseitig ausl¨ oschen und damit Aussetzer produzieren.

Weitere Probleme sind damit verbunden, dass die Darsteller nicht genau die gew¨ unschten Ergebnisse liefern. Sei es, weil sie die Bodenmarkierungen innerhalb des Set nicht treffen, ihre Darbietung fehlerhaft ist oder dass sie an k¨ orperliche Grenzen stoßen. Nach Gleicher [89] gibt es eine Reihe weiterer Gr¨ unde f¨ ur eine Nachbearbeitung des Datenmaterials: • • • • •

Bereits aufgenommene Daten sollen f¨ ur eine geringf¨ ugig ver¨ anderte Aufgabe wieder verwendet werden. Es m¨ ussen Bewegungen erzeugt werden, die ein Darsteller nicht ausf¨ uhren kann. Manchmal sind allerdings u ¨ berzeichnete und unrealistische Bewegungen ¨ erw¨ unscht, die nur durch manuelle Anderung des Datenmaterials erzeugbar sind. Die realen Bewegungen sind nicht perfekt. Darsteller halten ihre Vorgaben nicht ein oder ihre Bewegung ist nicht genau zyklisch und m¨ ussen deshalb korrigiert werden. Die Anforderungen an die Bewegungsabl¨ aufe ver¨ andern sich oftmals w¨ ahrend eines Projektes. Nicht immer k¨ onnen alle Aspekte der Animation w¨ ahrend einer MoCap -Sitzung aufgezeichnet werden und m¨ ussen nachtr¨ aglich auf manuellem Wege zeitsynchron ugt werden. zusammengef¨

Viele Probleme, die bei der Nachbearbeitung von MoCap-Daten auftreten, sind auch bei den synthetischen Animationstechniken bekannt. Allerdings ist im Gegensatz zu synthetischen Verfahren die Nachbearbeitung der aufgezeichneten Bewegungsdaten wegen der folgenden technisch-bedingten Gr¨ unde schwieriger: •

•

•

Die Daten liegen oft in einer Form vor, die f¨ ur die Nachbearbeitung ungeeignet ist. Die Daten wurden zu fein getaktet aufgezeichnet und erfassen zu jedem Zeitpunkt die Stellung des Darstellers unabh¨ angig davon, ob er gerade eine Schl¨ usselposition einnimmt, eine Bewegung durchf¨ uhrt oder still steht. Die Beschreibung der Bewegungsdaten ist unzureichend. Es gibt f¨ ur die Nachbearbeitung nur wenig Information dar¨ uber, welche Eigenschaften der Bewegung von welchen Daten beeinflusst wurden und demnach ver¨ andert werden k¨ onnen, um die gew¨ unschten Animationseffekte zu erreichen. Die Fehler, die durch den technischen Aufnahmeprozess entstanden sind, k¨ onnen nur schwer bewertet werden, weil ihre Ursache oft unbekannt ist. Es ist daher mitunter schwer zu entscheiden, ob die MoCap -Daten tats¨ achlich falsch sind und vor allem, wodurch sie zu ersetzen sind.

7.2 Praxis des Motion Capturing

175

7.2.4 Abbildung der Bewegung Die erste Voraussetzung f¨ ur die Animation ist eine geeignete Modellrepr¨ asentation der Figur, die in der Planungsphase entworfen und konstruiert wird. Hierbei sind vor allem die Gelenke des Modells und deren Freiheitsgrade festzulegen. Nachdem die Daten bereinigt und erg¨ anzt worden sind, werden sie f¨ ur jeden Freiheitsgrad interpretiert und auf die entsprechenden Gelenke der Figur abgebildet. Dies sind meistens Translations- und Rotationsbewegungen. Reicht die Zahl der Marker nicht aus, um alle Gelenke des Modells direkt zu steuern, muss deren Bewegung beispielsweise mit den in Abschn. 2.3 diskutierten Methoden der inversen Kinematik ermittelt werden. Eine besondere Herausforderung stellt in diesem Zusammenhang das Digital Puppeteering dar, weil hier die Aufnahme der Daten, die Filterung des Datenstroms ¨ und die Ubertragung auf die Figur in Echtzeit erfolgen muss. In jedem Fall muss hierbei die Zuordnung der Datenkan¨ ale zu den Freiheitsgraden der Gelenke, die Umrechnung in die verschiedenen lokalen Koordinatensysteme, die erneute Parametrisierung der Daten, d.h. die Anpassung an die unterschiedlichen Datenbereiche, sowie Transformation der Bewegungsdaten auf die Gelenkparameter des Modells ohne weitere Interaktion erfolgen.

7.2.5 Wiederverwendung von MoCap -Daten Einer der Forschungsschwerpunkte der letzten Jahre im Bereich Computeranimati¨ on befasst sich mit der Ubertragbarkeit der Bewegungsdaten auf andere Figuren. Diese Anpassungsprobleme auf Figuren mit anderen Proportionen tritt schon bei der Aufnahme auf, da es unwahrscheinlich ist, dass der Darsteller genau die gleichen Proportionen wie die Computerfigur hat. Bei kleinen Abweichungen lassen sich die Bewegungsdaten zumeist direkt verwenden. Vielfach ist jedoch eine Anpassung erforderlich. Die Methoden, mit denen eine solche Anpassung m¨ oglich ist, nennt man Motion Retargeting. Zusammenfassung. Performance Animation und Motion Capturing sind, trotz ihrer scheinbaren Einfachheit, Verfahren, die viel Sorgfalt und technischen Sachverstand bei der Planung und Durchf¨ uhrung ben¨ otigen. Es existiert derzeit eine Vielzahl professioneller MoCap -Systeme mit verschiedenen Erfassungstechniken. Viele dieser Systeme liefern zus¨ atzliche Werkzeuge, um die Bewegungen aufzuarbeiten und zu erweitern. Zus¨ atzlich bieten sie Schnittstellen f¨ ur den Import von MoCap -Daten sowie Werkzeuge zur Abbildung auf Computerfiguren an. F¨ ur die Erzeugung von Spezialeffekten in Spiel- oder Werbefilmen, gibt es zur Zeit keine Alternative zum Motion Capturing. Der zeitliche und technische Aufwand f¨ ur die Aufzeichnung und Bearbeitung richtet sich nach dem Bedarf, dem verf¨ ugbaren Budget sowie der Qualifikation der Mitwirkenden. Die Erstellung von Bewegungsbibliotheken und die M¨ oglichkeiten, Bewegungsstile aus Bewegungsdaten zu extrahieren, um mit diesen neue Bewegungen zu editieren und auf neue Charaktere anzupassen, sind Perspektiven, die einen effizienten Einsatz von MoCap -Daten auch f¨ ur kleine Produktionen oder im privaten Bereich zuk¨ unftig m¨ oglich werden lassen.

176

7 Motion Capturing und Motion Editing

7.3 Motion Editing Motion Capturing ist nur der erste Schritt bei der Erstellung einer Bewegung f¨ ur eine animierte Figur. Danach schließt sich eine Phase der Nachbearbeitung der aufgezeichneten Daten an. Das bedeutet nicht, dass hier nur die Fehler beseitigt werden, die bei der Datenaufzeichnung entstehen, sondern es k¨ onnen noch eine Anzahl weiterer Schritte notwendig werden, um die aufgezeichneten Daten f¨ ur die gew¨ unschte Animation zu verwenden. Motion-Capture-Animationen werden oft in einem speziell daf¨ ur eingerichteten Studio aufgenommen und m¨ ussen anschließend mit den Hintergrundaufnahmen in Einklang gebracht werden. Weiterhin kommt es vielfach vor, dass das Timing nicht genau mit den vorher aufgenommenen Hintergrundaufnahmen u ¨ bereinstimmt, die Animateure nicht mit dem Ergebnis zufrieden sind oder der Regisseur nachtr¨ agliche ¨ Anderungsw¨ unsche hat. Das Motion Capturing ist deshalb in der Regel ein iterativer Prozess. Dar¨ uber hinaus entstehen Probleme bei der Aufnahme selbst. So wird die Computeranimation oft in Situationen eingesetzt, in denen das Bewegungsrepertoire der Schauspieler nicht ausreicht, um die gew¨ unschten Bewegungsabl¨ aufe darzustellen. In solchen F¨ allen nehmen speziell trainierte Stuntmen ihren Platz ein. Da deren K¨ orpermaße vielfach nicht den Proportionen der Schauspieler entsprechen, k¨ onnen Abweichungen in den Bewegungsabl¨ aufen entstehen, die sich st¨ orend bemerkbar machen. Einige interaktive Anwendungen wie Computerspiele oder Virtual Reality Systeme erfordern, dass die Bewegungen der virtuellen Akteure, abh¨ angig vom jeweiligen Ereignis erzeugt werden k¨ onnen. Hierzu m¨ ussen geeignete Bewegungssequenzen entsprechend den jeweiligen Erfordernissen neu zusammengesetzt werden. In Computerspielen, die Motion Capturing verwenden, werden dazu Bewegungsgraphen manuell erstellt, wobei die Kanten des Graphen Teilbewegungen repr¨ asentieren. An den Knotenpunkten entstehen dann M¨ oglichkeiten, den Bewegungsablauf zu ¨ andern. F¨ ur den ¨ Ubergang einer Bewegung zu einer anderen werden dann spezielle Zwischensequen¨ zen aufgenommen, die einen plausiblen Ubergang erm¨ oglichen [90] oder entsprechende Interpolationsverfahren (Motion Blending) [91] verwenden. Die Ziele der Nachbearbeitung von Motion-Capture-Daten lassen sie wie folgt zusammenfassen: •

• • •

Bereinigung. Alle st¨ orenden Artefakte, die durch das Aufnahmetechniken, durch technische Beschr¨ ankungen oder durch Fehlbedienung entstanden sind, m¨ ussen entfernt werden. Weiterhin sind Ungenauigkeiten in der Choreographie und Fehler der Darsteller zu korrigieren. Anpassung an die Geometrie. Da die mit den realen Akteuren ermittelten Bewegungsdaten an die virtuellen Figuren im Animationsraum angepasst werden m¨ ussen, ist eine Koordinatentransformation notwendig. Wiederverwendung. Die aufgezeichneten Daten sollen f¨ ur eine neue Figur anpasst und wiederverwendet werden. Das Ziel kann auch eine Bibliothek von Clips sein, wobei die Daten in einer generischen Form vorliegen m¨ ussen. Erweiterung. Anpassung an Situationen, die bei der Erfassung der Bewegungsabl¨ aufe nicht m¨ oglich waren. Die animierte Figur soll hierbei Aktionen ausf¨ uhren, die nicht realisierbar sind oder die zu gef¨ ahrlich f¨ ur eine MoCap-Sitzung w¨ aren.

7.3 Motion Editing •

177

Verfeinerung. Die aufgezeichneten prim¨ aren Bewegungsdaten m¨ ussen oftmals durch sekund¨ are Animationen erg¨ anzt werden. Dazu z¨ ahlen z.B. die Bewegung der Kleidung, der Haare, die Atembewegung, die Deformation von Muskeln usw.

Zur L¨ osung der obigen Problemstellungen werden oftmals Verfahren verwendet, die unter Motion Editing zusammengefasst werden. Motion Editing sind nach Gleicher [89] die Techniken zur Erstellung und Ver¨ anderung von Bewegungen. Nach Grassia [92] lassen sie sich wie folgt klassifizieren: •

• •

•

•

Verfahren der Signalverarbeitung. Verschiedene Verfahren der Signalverarbeitung werden auf Bewegungsdaten angewendet, um neue, ¨ ahnliche Bewegungen zu erzeugen. Diese Ans¨ atze gehen davon aus, dass sich alle Bewegungen in kontinuierliche, zeitabh¨ angige 1D-Signale zerlegen lassen. Displacement Mapping. Diese Techniken sind auch unter der Bezeichnung Motion Warping bekannt. Dabei wird eine Bewegung ver¨ andert, indem eine Verschiebung mit niedriger Frequenz3 auf den Bewegungsablauf addiert wird. Spacetime Constraints. Spacetime Constraints sind Zwangsbedingungen, die an jedem Ort und zu jedem Zeitpunkt eines Bewegungsablaufs – daher die Bezeichnung Spacetime – erf¨ ullt sein m¨ ussen. Um Animationen zu ver¨ andern, werden Optimierungsverfahren aus der Familie der Spacetime-Algorithmen verwendet, wobei die kinematischen Beschr¨ ankungen und die dynamischen Eigenschaf¨ ten der urspr¨ unglichen Bewegung erhalten bleiben [93]. Ahnlich dem Motion Warping erzeugen diese Verfahren eine Verschiebung. Dazu wird die Ableitung der Trajektorien bestimmt, die den Bewegungsablauf festlegen. ¨ Motion Blending. Mit dem Motion Blending wird der Ubergang von zwei unterschiedlichen Bewegungsabl¨ aufen interpoliert. Motion Blending kann zum Mischen von zwei Bewegungen dienen, um hierdurch einen neuen Bewegungsablauf zu generieren. Statistische Analyseverfahren. Die aufgezeichneten Daten werden nach ver¨ schiedenen Kriterien analysiert, um eine Extraktion und Ubertragung von Eigenschaften der Bewegungsdaten zu erm¨ oglichen.

Nachfolgend wird ein Einblick in einige Arbeiten aus dem Gebiet des Motion Editing gegeben.

7.3.1 Editieren mit Zwangsbedingungen Motion-Editing -Verfahren mit Zwangsbedingungen zeichnen sich dadurch aus, dass bestimmte Bewegungsabl¨ aufe durch die Vorgabe bestimmter geometrischer Bedingungen a priori festgelegt werden. Derartige Constraints k¨ onnten beispielsweise die Positionen der H¨ ande sowie die Blickrichtung eines virtuellen Akteurs zu einem bestimmten Zeitpunkt vorschreiben, die von dem Bewegungsablauf einzuhalten sind.

Spacetime Editing Ein einfaches Verfahren f¨ ur das Editieren von bestehenden Animationsdaten ist das Spacetime Editing [93]. Ziel dieses Verfahrens ist es, eine einfache und schnelle 3

Hierbei werden Bewegungen als zeitabh¨ angige Funktionen der Freiheitsgrade (eindimensionale Signale) interpretiert.

178

7 Motion Capturing und Motion Editing

Methode f¨ ur die interaktive Ver¨ anderung von Animation zur Verf¨ ugung zu stellen, wobei gleichzeitig m¨ oglichst viele Eigenschaften der urspr¨ unglichen Animation erhalten bleiben sollen. Hierbei werden interaktiv eine Reihe von geometrischen Zwangsbedingungen definiert, die w¨ ahrend der gesamten Animation eingehalten werden m¨ ussen. Das System berechnet daraufhin einen Bewegungsablauf einer Gelenkfigur, der zum einen die interaktiv definierten Zwangsbedingungen sowie ein zus¨ atzliches Optimierungskriterium erf¨ ullt. Als Optimierungskriterium kann hier die Summe der kleinsten Abst¨ ande zu den korrespondierenden Gelenkpositionen aus der urspr¨ unglichen Animation festgelegt werden. Ein Beispiel soll das Prinzip verdeutlichen: Ein Animateur ver¨ andert die Handposition seiner Figur (s. Abb. 7.5). Das System reagiert hierauf, indem es den Bewegungsablauf so ver¨ andert, bis alle Zwangsbedingungen wieder erf¨ ullt sind. Um die Interaktivit¨ at des Spacetime-Systems zu gew¨ ahrleisten, wurden die Constraints vielfach vereinfacht. Animationen, die infolge dieser Vereinfachungen als nicht plausibel erscheinen, werden durch Hinzuf¨ ugen zus¨ atzlicher Constraints korrigiert. Bewegungsabl¨ aufe, die stilistische Feinheiten oder Emotionen ausdr¨ ucken, sind mit diesem relativ einfachen Verfahren nicht darstellbar. Weiterhin sind die Bewegungsabl¨ aufe physikalisch nicht korrekt und damit vielfach auch nicht plausibel, da diese nur kinematisch erfolgen.

Abb. 7.5. Beispiel zur Ver¨ anderung einer Animation: Die Positionen der urspr¨ unglichen Bewegung sind in der oberen Reihe abgebildet. In der unteren Reihe werden drei Ziehoperationen dargestellt. Der Animateur zieht die Hand in Frame 20, die H¨ ufte in Frame 24 und das Knie in Frame 37. In Frame 20 wird die Hand als Constraint erhalten, w¨ ahrend alle anderen K¨ orperteile bewegt wurden, um die Zwangsbedingung zu erf¨ ullen. Die Figur in grau zeigt die jeweilige Position vor der c Ziehoperation, (mit Genehmigung von [93],
ACM 1997)

7.3 Motion Editing

179

Motion Retargeting Das Ziel des Motion Retargeting [94] ist es, Animationen von einer Figur auf eine andere mit unterschiedlichen Proportionen zu u ¨ bertragen (s. Abb. 7.6). Dabei sollten die Eigenschaften der urspr¨ unglichen Animation m¨ oglichst gut erhalten bleiben. Hierbei wird vorausgesetzt, dass beide Figuren die gleiche Gelenkstruktur, die gleiche Anzahl von Gliedern, die gleichen Freiheitsgrade sowie die gleichen Gelenktypen und Gelenkbeschr¨ ankungen aufweisen. Original und Zielfigur sind als hierarchische Baumstrukturen dargestellt, welche die Bewegungsskelette definieren. Ein ausgezeichneter Knoten - der Wurzelknoten -

(a)

(b) Abb. 7.6. Motion Retargeting: In den Bildserien (a) und (b) werden jeweils drei Frames aus einer Tanz-Animation mit unterschiedlicher Anpassung gezeigt): Links ist jeweils das Original zu sehen, in der Mitte ist nur die weibliche Figur angepasst c und rechts sind beide Figuren angepasst, (mit Genehmigung von [94],
ACM 1998)

180

7 Motion Capturing und Motion Editing

definiert die Position der Figur. Alle weiteren Knoten beschreiben die Drehgelenke zwischen den Gliedern. ¨ Eine direkte Ubertragung der Bewegungsdaten auf eine Gelenkfigur mit unterschiedlichen Gliedmaßen f¨ uhrt dazu, dass diese Zielfigur ihre Glieder entsprechend dem Original bewegt. Die unterschiedlichen L¨ angen der Gliedmaßen bewirken jedoch, dass die Zielfigur nicht mehr korrekt mit ihrer Umgebung interagiert. Dies bedeutet, dass die F¨ uße bei einer Laufbewegung nicht mehr den Boden ber¨ uhren oder auch diesen durchdringen, die Greifbewegungen ins Leere gehen und der Zeitablauf der Bewegung unplausibel erscheint. Der Zustand von Original- und Zielfigur zum Zeitpunkt t wird durch jeweils einen zeitabh¨ angigen Vektor q(t) (z.B. Gelenkwinkel, Positionen der Gelenkachsen) repr¨ asentiert. Eine Bewegung m(t) ist demzufolge eine Vektorfunktion, die einen solchen Zustandsvektor q(t) f¨ ur einen bestimmten Zeitpunkt t erzeugt. Ausgehend vom originalen Bewegungsablauf m0 (t) erhalten wir mit dem Motion Retargeting die gew¨ unschte Bewegung der Zielfigur mit m(t) = m0 (t) + d(t). Hier ist d(t) der andig ist. sog. Displacement Vector, der f¨ ur die Anpassung von m0 (t) an m(t) zust¨ Es besteht somit die Aufgabe, den zeitabh¨ angigen Vektor d(t) unter Verwendung von Zwangsbedingungen zu bestimmen. Diese werden mit der Funktion f (m(t)) = c (c=const.) festgelegt und begrenzen oder fixieren in ¨ aquidistanten Zeitabst¨ anden den Bewegungsablauf. Beispiele hierf¨ ur sind: • • •

der Bewegungsbereich der Gelenkwinkel oder Gelenkkoordinaten, der Abstand zwischen zwei Punkten oder die Orientierung des Vektors zwischen zwei korrespondierenden Punkten.

Mit diesen als Spacetime Constraints bezeichnete Zwangsbedingungen, besteht die M¨ oglichkeit, die Animation als Gesamtheit zu betrachten und gleichzeitig eine Anzahl von Beschr¨ ankungen zu definieren. Damit die Methode praktikabel bleibt, schr¨ ankt Gleicher die Anzahl und die Art der m¨ oglichen Beschr¨ ankungen ein. Zus¨ atzlich zu den Zwangsbedingungen ist die Zielfunktion g(m) =

(m(t) − m0 (t))δt =

d(t)δt = min

zu erf¨ ullen. Zielfunktion und Zwangsbedingung ergeben gemeinsam das nicht-lineare Optimalisierungsproblem Minimiere g(m) unter Einhaltung von f (m(t)) = c Die L¨ osung dieses Gleichungssystems ergibt die Koordinatenwerte der B-Spline Kontrollpunkte, mit denen die Kurvenverl¨ aufe des Displacement Vectors d(t) bestimmt werden. Der Motion Retargeting -Algorithmus von Gleicher [94] stellt sich in seiner Struktur wie folgt dar: 1. Starte mit der initialen Bewegung m0 (t) und den definierten Zwangsbedingungen. atzung von m(t) durch Skalierung und 2. Bestimme m1 (t) als eine erste Absch¨ Translation der Originalbewegung m0 (t). aquidistanten Kontrollpunkte der als B-Splines re3. Bestimme mit m1 (t) die ¨ pr¨ asentierten Parameterverl¨ aufe von d(t).

7.3 Motion Editing

181

4. L¨ osung des Optimalisierungsproblems: Bestimme hierzu d(t), so dass der Displacement Vector die Zwangsbedingung erf¨ ullt, wenn er wie im Schritt 2 zur Bewegungsabsch¨ atzung verwendet wird. 5. Falls die Zwangsbedingung nicht hinreichend genau erf¨ ullt ist, verwende m1 (t)+ d(t) als Ausgangskonfiguration und f¨ uhre den Algorithmus ab Schritt 2 mit einem entsprechend geringeren Abstand der Kontrollpunkte durch.

Hierarchisches Editieren Eine andere L¨ osung f¨ ur die Adaption der Animation von menschen¨ ahnlichen Figuren wurde von J. Lee und S.Y. Shin [95] vorgeschlagen. Dieser Ansatz kombiniert eine Kurvenapproximationstechnik unter Verwendung hierarchischer B-Splines (hierarchical curve fitting ) mit einem neuartigen L¨ osungsverfahren f¨ ur Probleme der inverse Kinematik (IK-Solver). Mit dem IK-Solver lassen sich die Parameter, die den Zustand einer artikulierten Figur beschreiben, so anpassen, dass sie die gew¨ unschten Zwangsbedingungen in den vorgegeben Keyframes erf¨ ullen. Der zeitabh¨ angige Zustandsvektor m(t) = p(t), q1 (t)), ..., qn (t), der die Bewegung der Gelenkfigur in Quaternionennotation beschreibt, besteht hier aus der Position und der Orientierung des Wurzelsegmentes p(t) und q1 (t) sowie aus den Orientierungen q2 (t) bis orpersegmente. Ein Displacement Vector d(t) = v0 (t), ..., vn (t), qn (t) der weiteren K¨ der mit Hilfe des IK-Solvers bestimmt wird, dient auch hier zur Abbildung des originalen Bewegungsablaufs m0 (t) an die Zielbewegung.



m(t) = m (t) ⊕ d(t) =
 0

p0 q10 .. . qn 0

 v 

v  ⊕
 .. .

0 1

vn

  p +v 
) 
q exp(v  =
 ..   .   1 0

0

0

1

n qn 0 exp(v )

Hierin ist exp(v) nach [96] eine 3D-Quaternionenrotation um die Achse v/v mit dem Winkel v. Um die Abbildung der Parameter des originalen Bewegungsablaufs m0 auf die der Zielbewegung m unter Verwendung hierarchischer B-Splines durchf¨ uhren zu k¨ onnen, muss der Displacement Vector d in die Subvektoren d1 , ..., dh zerlegt werden. Hierdurch l¨ asst sich Glg. 7.3.1 durch eine Folge inkrementeller Abbildungsschritte m = (...((m0 ⊕ d1 ) ⊕ d2 ) ⊕ ... ⊕ dh ) ersetzen. Die Parameter der inkrementell erzeugten Vektoren dienen hierbei als St¨ utzstellen f¨ ur eine Multilevel B-Spline Approximation, deren Funktionsweise in Abb. 7.7 dargestellt ist. Mit diesem Approximationsverfahren wird die Verschiebung der Bewegung interpoliert und auf die zwischen den Keyframes befindlichen Interframes u ¨ bertragen. Mit Hilfe dieser hierarchischen Approximationstechnik werden dem Bewegungsablauf schrittweise weitere Details hinzugef¨ ugt, bis die vorgegebenen Zwangsbedingungen erf¨ ullt sind. Weiterhin wurden von Lee und Shin eine geschlossene L¨ osung f¨ ur die Berechnung der Gelenkwinkel zwischen Gliedern entwickelt, die sie von der Notwendigkeit

182

7 Motion Capturing und Motion Editing





f0 + f1 + f2

f0 + f1

f0

f1

f2

Abb. 7.7. Prinzip der hierarchischen Approximation mit Hilfe von Multi-Level B-Splines: Die senkrechten Abst¨ ande einer kubischen B-Spline Kurve f1 zu ihren Kontrollpunkten lassen sich wiederum als Satz von Differenzkontrollpunkten auffassen. Diese bestimmen die zweite B-Spline Kurve f2 , die zur Kurve f1 addiert wird, wodurch eine bessere Ann¨ aherung an die Kontrollpunkte (obere Bildreihe) erreicht wird. Nachdem erneut die senkrechten Abst¨ ande bestimmt wurden, wird hiermit ande f3 bestimmt und zu f1 + f2 addiert. Der Prozess terminiert, wenn die Abst¨ zwischen der Multi-Level B-Spline-Kurve und den urspr¨ unglichen Kontrollpunkten einen vorgegeben Grenzwert unterschreiten, (nach [95])

befreit, eine numerische L¨ osung mit Optimierungsverfahren u ¨ ber alle Freiheitsgrade ihrer Figur berechnen zu m¨ ussen. Das Verfahren ist sowohl f¨ ur das Retargeting als auch f¨ ur die Anpassung der Bewegungen an unterschiedliche Umgebungen (z.B. Unebenheiten auf dem Terrain) geeignet. Infolge der B-Spline-Approximation wird der Bewegungsablauf auch zugleich gefiltert. Der Vorteil des Ansatzes von Lee und Shin besteht darin, dass sie eine Aufteilung in kleine, effizient l¨ osbare Teilprobleme durchf¨ uhren, um den Abbildungsprozess nicht als ein großes nicht-lineares Optimierungsproblem behandeln zu m¨ ussen. Die hierarchischen B-Splines erlauben außerdem noch eine beschleunigte Interpolationsberechnung.

Physikalisch-basierte Bewegungstransformation Witkin und Popovic [97] entwickelten ein Verfahren f¨ ur die Ver¨ anderung von Animationssequenzen, bei dem die wesentlichen dynamischen Eigenschaften einer Bewegung erhalten bleiben. Der Algorithmus erh¨ alt den Realismus der urspr¨ unglichen Animation durch dynamische Spacetime Constraints, ohne dass der Animateur die Kontrolle u ¨ber den Editierprozess verliert. Im Gegensatz zu den meisten physikalisch-basierten Ans¨ atzen, welche die Bewegungen vollst¨ andig erzeugen, st¨ utzen sie sich auf die Transformation von bereits bestehenden Bewegungsdaten. Dadurch k¨ onnen sie die Ausdrucksst¨ arke von Animation, die beispielsweise mit Motion Capturing erzeugt wurden, mit SpacetimeOptimierungen kombinieren und somit eine Anzahl unterschiedlicher, realistischer Animationen generieren. Außerdem gestattet die Spacetime-Optimierung intuitive

7.3 Motion Editing

183

Konzepte auf h¨ oherer Ebene, wie die Platzierung von Schritten, die L¨ ange und Masse von Gliedmaßen als auch ¨ außere Kr¨ afte, wie die Gravitation, zu spezifizieren. Das Herzst¨ uck ihres Verfahrens ist ein Spacetime-Optimierer, der die dynamische Integrit¨ at der Bewegung erh¨ alt und gleichzeitig eine intuitive Steuerung erm¨ oglicht. Solche Verfahren galten bislang f¨ ur menschliche Bewegungsmodelle als wenig praktikabel, da sie schnell eine Komplexit¨ at erreichen, die eine interaktive Steuerung sehr erschwert. Witkin und Popovic l¨ osten dieses Problem, indem sie das Modell vereinfachten. Der Transformationsprozess erfolgt bei ihrem Ansatz mit folgenden Schritten: 1. Vereinfachung der Figur. Es wird eine abstrakte Version der zu bewegenden Figur erzeugt, die eine minimale Anzahl von Freiheitsgraden enth¨ alt, die notwendig sind, um den Charakter der Ausgangsanimation zu beschreiben. Die Vereinfachung bewirkt, dass beispielsweise der Oberk¨ orper einer Figur durch einen einzigen starren K¨ orper ersetzt wird, dessen Masse und Tr¨ agheitsmomente m¨ oglichst genau den Gliedmaßen der Originalfigur entsprechen sollten. 2. Formulierung der Spacetime Constraints. Hierzu erfolgt die Formulierung eines Optimierungsproblems, dessen L¨ osung die vereinfachte Bewegung der Figur darstellt. Bei dieser Optimierung wird von einer Zielfunktion E(q(t), t) ausgegangen. Diese Zielfunktion ist unter Einhaltung von kinematischen und dynamischen Zwangsbedingungen zu minimieren:


C (q(t), t) = 0 (q(t), t) = 0  CC (q(t), t) = 0 p

Minimiere E(q(t), t) unter Einhaltung von

m d

angigen Hierin repr¨ asentiert Cp die sog. Pose Constraints, mit denen die zeitabh¨ Stellungen der Figur festgelegt werden. Cm sind die mechanischen Zwangsbedingungen, mit denen beispielsweise die aufrechte Haltung der Gelenkfigur und der Bodenkontakt der F¨ uße erzwungen werden. Die dynamischen Constraints ur alle Freiheitsgrade die phyCd stellen sicher, dass zu allen Zeitpunkten und f¨ sikalischen Bewegungsgesetze erf¨ ullt werden. Die zu minimierende Zielfunktion setzt sich aus dem Integral der gewichteten Differenzen von komplexer Originalbewegung und vereinfachter Modellbewegung Ed = [m0 − ms ]2 sowie dem afte repr¨ asentiert, zusammen: Term Em , der die Muskelkr¨



E = wd



Ed +

Em .

3. Editieren der Spacetime-Parameter. Unter dem Editieren der SpacetimeParameter, ist die Ver¨ anderung der Pose Constraints sowie der kinematischen Constraints oder der Zielfunktion zu verstehen. Hierdurch kann beispielsweise die Bewegungscharakteristik (Lauf-, Geh- oder Schleichbewegung) ver¨ andert werden oder auch das Einwirken ¨ außerer Kr¨ afte (Schwerkraft) dargestellt werden. 4. Rekonstruktion der Bewegung. Zum Schluss werden die Funktionen der Bewegungsparameter, die unter Verwendung der Spacetime Optimization ht (qt ) sowie durch das nachfolgende Editieren der Spacetime Constraints entstanden sind hs (qs ), auf die Original-Animation h0 (q0 ) abgebildet. hf (qf ) = h0 (q0 ) + (ht (qt ) − hs (qs ))

184

7 Motion Capturing und Motion Editing vereinfachtes Modell

Originalbewegung

Anpassung

Komplexes Modell

h0 (q0 )

Abb. 7.8. (nach [97])

‘’Spacetime’’ Bewegungsmodell

Editieren

Transformiertes ‘’Spacetime’’ Bewegungsmodell

hs (qs ) Zielbewegung

ht (qt )

Struktur des Transformationsalgorithmus von Popovic und Witkin,

Die Abbildung 7.8 verdeutlicht die oben dargestellten algorithmischen Zusammenh¨ ange zur Bewegungstransformation. Wesentliche Nachteile dieses Verfahrens sind, dass in den beiden ersten Stufen sowohl die Modellvereinfachung als auch die Bewegungsanpassung manuell erfolgen muss. Allerdings ist der Vereinfachungsprozess nach [97] intuitiv und einfach zu handhaben und muss pro Animation nur ein einziges Mal durchgef¨ uhrt werden. Damit lassen sich in ¨ ahnlicher Weise, wie bei anderen bisher besprochenen Verfahren, Bibliotheken bauen, die als Ausgangspunkt f¨ ur die Erzeugung einer Vielzahl von Animationen dienen.

7.3.2 Editieren mit globalen Kontrollen Charakteristisch f¨ ur die Motion-Editing-Techniken mit globalen Kontrollm¨ oglichkeiten ist, dass hier keine explizit einzuhaltenden Randbedingungen vorgegeben sind. Diese Verfahren betrachten die Bewegung entweder als zeitabh¨ angiges Signal oder als zeitliche Datenanordnung, wobei in der Regel keine Zusammenh¨ ange zwischen den Daten ber¨ ucksichtigt werden m¨ ussen. Der Vorteil dieser Techniken ist, dass ein reichhaltiges Repertoire an Algorithmen aus der Signalverarbeitung zur Verf¨ ugung steht. Weiterhin sind die meisten dieser Verfahren sehr schnell, was sie speziell f¨ ur den Einsatz in Echtzeitumgebungen, wie Virtual Environments oder Computerspielen interessant macht. Der Nachteil dieser Techniken ist, dass die Kontrolle ohne das nachtr¨ agliche Einf¨ ugen von Zwangsbedingungen schlecht beherrschbar ist.

Motion Signal Processing Bruderlin und Williams [98] verwenden Techniken aus der Bildverarbeitung, um bestehende Animationen zu ver¨ andern und zu neuen Animationen zusammenzusetzen. Mit ihrer Methode lassen sich Ver¨ anderungen der Bewegung auf hoher Ebene interaktiv durchf¨ uhren. Die hierbei eingesetzten Techniken werden in [98] als MultiTarget Motion Blending, Time Warping, Wave Shaping und Motion Displacement Mapping bezeichnet.

7.3 Motion Editing

185

Die Bewegungsabl¨ aufe s¨ amtlicher Freiheitsgrade werden hier als eindimensionale Signale betrachtet. Ein solches Signal kann beispielsweise den zeitlichen Verlauf von Knie- oder Armwinkelstellungen w¨ ahrend eines Schrittzyklus erfassen. Die tiefen Frequenzanteile der Signale repr¨ asentieren die gr¨ oberen Aspekte einer Bewegung, die hohen Frequenzanteile enthalten hingegen die feineren Bewegungsdetails. Das Ziel dieses Ansatzes ist, die verschiedenen Aspekte einer Bewegung voneinander zu trennen, indem die jeweiligen Frequenzb¨ ander voneinander isoliert verarbeitet werden. Um diesen Ansatz auf Bewegungen anwenden zu k¨ onnen, wird zuerst f¨ ur die Anzahl der Keyframes m, die Zahl der ben¨ otigten Frequenzb¨ ander f b mit wenn 2n ≤ m ≤ 2n+1 , dann ist f b = n bestimmt. F¨ ur die nachfolgende Tiefpassfilterung werden Faltungskerne, hier beispielsweise mit f¨ unf Filterkoeffizienten, nach folgendem Schema w1 = [c b a b c] , w2 = [c 0 b 0 a 0 b 0 c] , w3 = [c 0 0 0 b 0 0 0 a 0 0 0b 0 0 0 c] , · · · mit a = 3/8, b=1/4 und c = 1/16 konstruiert. Das Expandieren der Filterkerne w2 und w3 durch das Einf¨ ugen von Nullen bewirkt, dass ihre Grenzfrequenz in Stufen verringert und dadurch ihre Gl¨ attungswirkung erh¨ oht wird. Der Algorithmus f¨ ur die Multi-Resolution-Bandpassfilterung unter Verwendung der Tiefpassfilter l¨ asst sich wie folgt beschreiben: 1. Berechne die tiefpassgefilterten Sequenzen f¨ ur alle Frequenzb¨ ander durch wiederholte Faltung4 mit den erweiterten Filterkernen w1 bis wn+f b : Gk+1 = wk+1 ◦ Gk 2. Berechne das Bandpassfiltersignal durch Bildung der Differenz der Tiefpassfiltersignale Gk+1 und Gk : Lk = Gk − Gk+1 3. Bestimme f¨ ur jedes Signal Lk einen Gewichtsfaktor und multipliziere die Bandpassfiltersignale mit diesen empirisch ermittelten Werten. 4. Mische im Fall von Multi-Target-Interpolationen korrespondierende Frequenzb¨ ander von unterschiedlichen Bewegungen. 5. Rekonstruiere das Originalsignal mit: f b−1

G0 = Gf b +

Lk k=0

Wenn zwei Bewegungen miteinander vermischt werden sollen, so f¨ uhrt das nur dann ohne spezielle Anpassung zum Erfolg, wenn die beiden Signale unterschiedliche Freiheitsgrade der Bewegung betreffen. Eine Armbewegung kann beispielsweise direkt einer Laufbewegung u ¨berlagert werden. Sind jedoch die gleichen Freiheitsgrade betroffen, so erhalten wir in der Regel unerw¨ unschte Ergebnisse. Um ein Mischen zweier Signale mit dem gleichen Freiheitsgrad zu erzeugen, muss vorab eine Korrespondenz zwischen ihnen hergestellt werden. F¨ ur die Suche nach korrespondierenden Punkten 4

◦ = Faltungsoperator

186

7 Motion Capturing und Motion Editing

benutzten Bruderlin und Williams eine Variante von Sederbergs [99] Verfahren zum ¨ Uberblenden von zweidimensionalen Figuren. Dieser Ansatz bestimmt die Deformationsenergie, die ben¨ otigt wird, um eine Kurve A“ in eine andere Kurve B“ zu transformieren. Dazu werden die beiden ” ” Signale diskretisiert und die Distanz zwischen aufeinanderfolgenden Punkten gemessen. Mit einer Kostenfunktion wird die Deformationsenergie bestimmt, die erforderlich ist, um die korrespondierenden Kurvensegmente einander anzupassen. Im zweiten Teil des Verfahrens wird eine Deformationstransformation (Warping) auf eine der beiden Kurven angewendet, wobei die Korrespondenzen zwischen den Eckpunkten von A“ und B“ ausgenutzt werden. Dieser Warping-Prozess erfolgt in ” ” mehreren Zeitschritten, wobei die Kurve A“ nach B“ oder auch B“ nach A“ ” ” ” ” transformiert werden kann. Hierbei werden Punkte der zu transformierenden Kurve entweder ersetzt, gel¨ oscht oder neu eingef¨ ugt. Das Resultat ist eine Mischung der beiden Bewegungen, die zeitlich korreliert ist. Weitere Techniken, welche die Autoren in ihrem System zur Verf¨ ugung stellen, ist das Wave Shaping und das Displacement Mapping. Beim Wave Shaping werden Kurven auf die Bewegungsverl¨ aufe angewandt, um z.B. neue Beschr¨ ankungen zu definieren oder eine charakteristische Bewegung auf eine andere zu u ¨ bertragen. Beim Displacement Mapping wird ausgehend von einer Sequenz manuell definierter Keyframes jeweils eine Spline-Kurve f¨ ur jeden zu ver¨ andernden Freiheitsgrad berechnet, der durch die St¨ utzpunkte der Keys geht. Diese Kurven werden dann als Verschiebung auf die entsprechenden Signalverl¨ aufe addiert, ohne das dabei die Kontinuit¨ at der Bewegung verletzt wird. Die Techniken von Bruderlin und Wiliams bilden die Grundlage f¨ ur eine Reihe von Verfahren, um Animationssequenzen miteinander zu verbinden. Im Fall von autonomen Akteuren k¨ onnen diese auch automatisch ausgew¨ ahlt und angewendet werden.

Fourier Methoden Eine Methode zur Ver¨ anderung von Bewegungen einer menschlichen Figur mit Hilfe von Fourierreihen, stellen Unuma et al. in [100] vor. Die urspr¨ unglichen Bewegungsdaten, die zu modifizieren sind, werden zuvor von einem realen Akteur mittels Motion Capturing aufgezeichnet. Bei dieser Aufzeichnung werden die Daten von unterschiedlichen Laufarten, wie beschwingter Lauf, langsamer Lauf, schneller Lauf, m¨ ude Gangart usw. erfasst. Die Bewegungsdaten jeder dieser Laufarten sind zeitabh¨ angige Parameters¨ atze, z.B. in der Form Θm (i ∆t) = [(Θmx (i ∆t), Θmy (i ∆t), Θmz (i ∆t))|i = 1, 2, ..., n]. Hierin repr¨ asentiert Θm den Drehwinkelvektor von Gelenk m und ∆t das Zeitinterasst sich durch vall der MoCap -Abtastung. Jeder der drei Freiheitsgrade von Θm l¨ einen separaten, zeitabh¨ angigen Parameterverlauf darstellen, der sich wiederum als Fourierreihe ausdr¨ ucken l¨ asst:







amx0 + n amxk sin(k t + φmxk ) Θmx (t) k=1 n

Θm (t) = Θmy (t) = amy0 + k=1 amyk sin(k t + φmyk )  . Θmz (t) amz0 + n k=1 amzk sin(k t + φmzk )

7.3 Motion Editing

187

Die Voraussetzung hierf¨ ur ist jedoch, dass, wie beim Gehen oder Laufen, zyklische Bewegungsverl¨ aufe und damit auch 2π-periodische Parametersequenzen vorliegen. ¨ Um die Uberg¨ ange zwischen zwei unterschiedlichen Laufarten, wie langsames Gehen und schnelles Laufen, zu erzeugen, schlagen Unuma et al. eine lineare Interpolation zwischen den korrespondierenden Fourier-Koeffizienten dieser beiden Laufaufe des arten vor. Unter der Annahme, dass Θm (t) und Ψm (t) die Parameterverl¨ langsamen Gehens sowie des schnellen Laufens sind, erhalten wir die Parameter¨ sequenz f¨ ur den Ubergang zwischen beiden Laufarten (Motion Blending) f¨ ur das Gelenk m mit: Ψ Φm (t, s) = (1 − s)aΘ m0 + s am0 + ... n Ψ Θ Ψ ((1 − s)aΘ mk + s amk ) sin(k t + (1 − s)φmk + s φmk )

+

k=1

Neben dem Motion Blending ist dieses Verfahren auch geeignet, um bestimmte Bewegungsstile zu extrahieren. So ist es m¨ oglich, aus einer beschwingten Laufbewegung die hierf¨ ur charakteristischen Fourierkoeffizienten zu bestimmen, indem diese Gangart mit einer neutralen Gehbewegung verglichen wird. Werden die so extrahierten Fourierkoeffizienten mit den Koeffizienten einer normalen Gehbewegung verkn¨ upft, so erh¨ alt diese Gangart einen fr¨ ohlichen und beschwingten Charakter. Ausgehend von den empirisch ermittelten MoCap-Daten lassen sich vielf¨ altige Stimmungen“ extrahieren und zur Modifikation anderer Bewegungsdaten verwen” den. Allerdings m¨ ussen hierbei auch kinematische Bewegungsaspekte ber¨ ucksichtigt werden. Aus diesem Grund sind auch Parameter, wie die Schrittweite, die Schrittgeschwindigkeit oder Position der H¨ ufte interaktiv einstellbar, um die Stimmung sowie die kinematischen Eigenschaften der Bewegung beeinflussen zu k¨ onnen. Gedacht ist dieses Verfahren f¨ ur die Unterhaltungs- oder Werbeindustrie, weshalb auf die Echtzeiteigenschaften besonderer Wert gelegt wurde. Einer der gr¨ oßten Nachteile dieses Verfahrens ist seine eingeschr¨ ankte Verwendbarkeit f¨ ur zyklische Bewegungen. Ein weiterer Nachteil ist die nicht vorhandene Invertierbarkeit. So kann ¨ zwar ein plausibler Ubergang von einer Geh- zu einer Laufbewegung erzeugt werden, die Umkehrung von einer Lauf- zu einer Gehbewegung wirkt hingegen unnat¨ urlich. Die Ursache hierf¨ ur resultiert aus der gew¨ ahlten Superpositionsmethode.

Motion Warping Witkin und Popovic stellten in [101] mit der Bezeichnung Motion Warping eine einfache Technik vor, um Bewegungsdaten zu u ¨ berarbeiten, ohne dabei die feinen Details der Originalanimation zu verlieren. Zu diesem Zweck wurden Keyframes von einem Animateur interaktiv definiert, an die die urspr¨ ungliche Animation angepasst wurde. Witkin und Popovic konnten mit dieser Technik eine Reihe von neuen, realistisch wirkenden Animationen mit den Daten aus einer einzigen MoCap-Sitzung erzeugen, die sie mit einer geringen Anzahl von Keyframes jeweils modifizierten. Bei der Animation einer Gelenkfigur wird davon ausgegangen, dass diese aus einer Hierarchie von Drehgelenken besteht, deren Drehbewegungen als eine Menge von zeitabh¨ angigen Kurven θ(t) aufgefasst werden kann (s. Abb. 7.9). Diese Kurven sind voneinander unabh¨ angig und beschreiben den Parameterverlauf jeweils eines Freiheitsgrades. Mittels interaktiv bestimmter Keyframe-Parameter, die als St¨ utzstellen

188

7 Motion Capturing und Motion Editing

Abb. 7.9. Bewegungskurven des Laufzyklus eines Menschen, (mit Genehmigung c von [101],
ACM 1995)

f¨ ur Cardinal Splines dienen, lassen sich diese Kurvenverl¨ aufe beliebig ver¨ andern. Die Keyframes sind hierbei die diskreten Gelenkwinkel θi eines Freiheitsgrades zum atzlich werden noch sog. Time Warp Bedingungen der Form (ti , ti ) Zeitpunkt ti . Zus¨ angegeben, die eine zeitliche Deformation der Kurvenverl¨ aufe bewirken. Der ver¨ anderte Bewegungsverlauf f¨ ur einen Freiheitsgrad θ (t) wird durch zwei Funktionen θ (t ) = f (θ, t) und t = g(t ) definiert, wobei die Funktion g(t ) die zeitliche Verzerrung der Parameterkurven bestimmt (s. Abb. 7.10a). F¨ ur die Signaldeformation (Signal Warping) wird die Funktion θ (t) = a(t)θ(t)+b(t) verwendet (s. Abb. 7.10b). Hierin ist a(t) eine Skalierungsfunktion und b(t) eine Verschiebungsfunktion. Weil diese Funktionen a(t) und b(t) nicht gleichzeitig eindeutig bestimmbar sind, muss vorab entschieden werden, zu welchem Anteil Skalierung und Verschiebung verwendet werden sollen. Diese Entscheidung wird dem Animateur u ¨berlassen. Wenn zum Beispiel die Skalierung dominieren soll, erhalten wir a(ti ) mit a(ti ) =

t´

θi (ti ) − b(ti ) θ(ti )

q(t),q(t) g(t´)

q´(t) = f(q,t)= a(t) q(t) + b(t)

(t , t ) j

j

t

t (a)

(b)

Abb. 7.10. Transformationsfunktion f¨ ur (a) Time Warping, (b) Signal Warping

7.3 Motion Editing

189

q q1 qBlend

q2

t Abb. 7.11. Motion Blending

Ist hingegen die Verschiebung dominant, so wird die Transformationsgleichung f¨ ur die Signaldeformation nach b aufgel¨ ost, wobei der Parameter a als konstant betrachtet wird. Um zwei Bewegungen zu u ur ¨ berblenden, werden die Bewegungskurven f¨ ¨ den gew¨ unschten Ubergangszeitraum u ¨berlagert (s. Abb. 7.11). Dieses sog. Motion Blending ist eine lineare Interpolation und erfolgt mit der Funktion θblend (t) = w(t)θ1 (t) + (1 − w(t))θ2 (t). Hierbei ist w eine normalisierte, zeitabh¨ angige Gewichtungsfunktion. Sind die zu u ucke der beiden Animationen nicht von gleicher Dauer, muss ¨ berlagernden Teilst¨ zus¨ atzlich noch eine Time Warp -Funktion definiert werden, die zur Zeitanpassung an die der Zielanimation dient. Die Abbildung 7.12 zeigt als Beispiel modifizierte Laufbewegungen, die mit oben dargestellten Motion Warping-Verfahren erzeugt wurden.

Abb. 7.12. Beispiel f¨ ur mit Motion Warping modifizierte Laufbewegungen. Im Uhrzeigersinn von links oben: Das Original; auf einen Block steigend; Tragen eines schweren Klotzes; Laufen auf Zehenspitzen; durch einen T¨ urrahmen beugen; um einen Pfeiler herumlaufen; Fahren mit einem imagin¨ aren Auto und u ¨ ber ein c Hindernis steigen, (mit Genehmigung von [101],
ACM 1995)

190

7 Motion Capturing und Motion Editing

Die Technik des Motion Warping hat die gleichen Schwierigkeiten wie herk¨ ommliche Keyframing-Techniken; n¨ amlich das Durchsetzen von geometrischen Randbedingungen zwischen zwei Keys. Ein weiterer Nachteil dieser Methode ist, dass bei starken Ver¨ anderungen der urspr¨ unglichen Bewegungen unrealistische Animationsergebnisse entstehen k¨ onnen. Dynamische Korrektheit ist ebenfalls nicht gegeben, da dieses Verfahren keine physikalischen Randbedingungen ber¨ ucksichtigt.

Style Machines Die von Brand und Aaron in [102] vorgestellten Style Machines sind statistische Modelle, mit denen die in Motion-Capturing-Sequenzen enthaltenen signifikanten Bewegungsstile erkannt und auf ein einfaches generisches Zustandsmodell abgebildet werden kann. Dieses generische Zustandsmodell ist die einheitliche Darstellungsform von unterschiedlichen Variationen einer Bewegungsart, die jedoch zu einer gemeinsamen Familie geh¨ oren. Ein Beispiel sind unterschiedliche Laufstile, die alle innerhalb einer gewissen Variationsbreite zur Familie der Bewegungsart Laufen geh¨ oren. Das generische Zustandsmodell, das quasi ein normiertes Bewegungsmodell repr¨ asentiert, kann mit Hilfe sog. Stilparameter gesteuert werden. Hiermit ist es beispielsweise m¨ oglich, die Bewegungen einer unge¨ ubten T¨ anzerin aufzuzeichnen und diese mit den extrahierten Stilparametern einer Primaballerina zu verbessern. Mit den Style Machines k¨ onnen mittels Videos oder auch Ger¨ auschen neue Choreographien generiert und Bewegungsabl¨ aufe in unterschiedlichen Stilrichtungen synthetisiert werden. Potentielle Anwendungen dieses Verfahrens sind: • • • • •

Erstellung neuer Animationen aus alten Daten. Ausgehend von einer kleinen Anzahl von Bewegungsdaten, l¨ asst sich eine Style Machine trainieren, um die Bewegungsdaten von neuen Animationen zu erstellen. Cast of thousands. Hierunter wird die zuf¨ allige Variation der Parameter einer Style Machine verstanden, wobei eine Vielzahl von plausiblen Bewegungen erzeugt wird. Verbesserung von aufgezeichneten Bewegungen. Sequenzen k¨ onnen mit dem Stil von bereits vorhandenen Bewegungen verbessert werden. Retargeting. Die Animationsdaten k¨ onnen z.B. f¨ ur ver¨ anderte Stimmungen, f¨ ur ein anderes Geschlecht, f¨ ur einen anderen K¨ orpertyp usw. neu synthetisiert werden. Vereinfachte Datenakquisition: Style Machines k¨ onnen Daten aus vielf¨ altigen, zum Teil auch wenig geeigneten Eingabeger¨ aten (Computermaus) beziehen und bieten damit eine kosteng¨ unstige Alternative zum Motion Capturing.

Statt das generische Modell direkt zu konstruieren, wird diese Problemstellung als Ziel eines nicht-¨ uberwachten Lernverfahrens formuliert. Das Lernverfahren gruppiert oglichst kleine Anzahl von Bewegungsprimitiva, einen die Bewegungsdaten in eine m¨ Bewegungsstil sowie in Regeln, die bestimmen, wie die Bewegungsphasen aufeinander folgen oder innerhalb einer Sequenz zu ver¨ andern sind. Zur formalen Beschreibung einer Bewegungsart sind Hidden-Markov-Modelle (HMMs), die oftmals zur Zeitreihenanalyse verwendet werden, geeignet. Ein HMM ist ein stochastisches Modell, das durch zwei Zufallsprozesse definiert wird. Der erste ¨ Zufallsprozess beschreibt die Ubergangswahrscheinlichkeiten zwischen den diskreten, von außen verdeckten Zust¨ anden einer endlichen Zustandsmaschine. Der zweite

7.3 Motion Editing Zustandsraum

individuell geschätztes Zustandsmodell

191

generisches Zustandsmodell

Zusammenfassung der minimierten Zustandsmodelle

1

4

1

+v

2

2 3

3

(a)

(b)

(c)

(d)

Abb. 7.13. Erzeugung des generischen Zustandsmodells: (a) Darstellung der Parameterverl¨ aufe von drei variierenden und als Trainingsmuster dienenden Laufzyklen im Zustandsraum (z.B. 2D-Gelenkkoordinaten bez¨ uglich eines Bewegungszentrums). (b) Mit Hilfe eines Lernprozesses l¨ asst sich das Modell eines Zustandsgraphen an die Parameterkurven im Zustandsraum abbilden. Die Konturen der Ellipsen weisen hier die gleichen Zustandswahrscheinlichkeiten des HMM auf; die Pfeile geben die Transitionen an. (c) Mit Hilfe der Minimierung der Entropie werden die Modelle zur Ausbildung ¨ ahnlicher qualitativer Strukturen gezwungen und k¨ onnen auch die drei ¨ ahnlichen Phasen der Laufzyklen erkennen. (d) Durch die Zusammenfassung der drei Laufzyklen erh¨ alt man das generische Modell, dass das Verhalten der gesamten Familie der trainierten Bewegungsmuster abdeckt. Mit den unterschiedlichen Einstellungen der Stilvariablen v“ lassen sich alle spezifischen Bewegungsmodelle ” wieder herstellen, (nach [102])

Zufallsprozess emittiert f¨ ur jeden Zustand Signale, deren Auftrittswahrscheinlichkeit wiederum vom jeweiligen Zustand abh¨ angt. Die Zust¨ ande des Hidden-MarkovModells, die sich aus dem Parameterverlauf im Zustandsraum (s. Abb. 7.13a) gewinnen lassen, repr¨ asentieren hierbei eine Pose einer Figur. Das direkt aus dem Parameterraum extrahierte HMM (s. Abb. 7.13b) ist zu individuell an die einzelnen Laufzyklen der drei variierenden Trainingsmuster angepasst, als dass es eine neue Bewegungsart aus der gleichen Familie erkennen k¨ onnte. Außerdem teilen sich die Transitionen unterschiedlich auf und k¨ onnen daher nicht angepasst oder verglichen werden. Es ist daher erforderlich, dieses Modell mit Hilfe der Minimierung der inh¨ arenten Entropie, die sich als Mehrdeutigkeit der Wahrscheinlichkeitsverteilung des HMM darstellt, soweit zu vereinfachen, dass eine Vergleichbarkeit m¨ oglich ist (s. Abb. 7.13c). Die Minimierung dieser Entropien erfolgt mit un¨ uberwachten Lernverfahren und kann als Suche nach ihrem generischen Modell betrachtet werden (s. Abb. 7.13d). Weil die Style Machine alle Unterschiede der Daten als signifikant einstuft, m¨ ussen diejenigen Eigenschaften einer Animationen normiert werden, die nicht als Stil einer Bewegung gelten sollen. So werden derartige Bewegungen mit einem ahnlichen Ansatz wie Gleichers Motion Retargeting (s. Abschn. 7.3.1) auf ein ein¨ heitliches Normskelett angepasst. Dies ist erforderlich, damit die unterschiedlichen Proportionen bei der Analyse der Animation nicht als Stilvariablen aufgefasst und extrahiert werden. Außerdem m¨ ussen die Freiheitsgrade der Skelette vereinheitlicht werden, um die Zustandsvektoren zu vereinheitlichen. Hierzu wurde ein Skelett mit 20 Gelenken gew¨ ahlt. Mit der Normierung werden u ahlige Freiheitsgrade elimi¨ berz¨

192

7 Motion Capturing und Motion Editing

niert oder hinzugef¨ ugt. Die Frame-Rate muss ebenfalls bei allen zu analysierenden Animationen aneinander angepasst werden. Alle Anpassungen und Normierungen erfolgen hierbei mit einem Vorverarbeitungsschritt. Ein Nachteil dieses Verfahrens ist das Fehlen jeglicher Zwangsbedingungen. Insbesondere k¨ onnen durch Interpolation und Extrapolation leicht Bewegungen entstehen, die physikalisch nicht mehr plausibel sind. Ein weiterer Nachteil ist, dass ein Animateur zwar den Stil der Bewegungen steuern und mit anderen Bewegungen verkn¨ upfen kann, dass er jedoch keinen Zugriff auf die Details der Bewegung hat.

7.3.3 Zuk¨ unftige Trends des Motion Editing Ein zuk¨ unftiges Ziel des Motion Editing k¨ onnte es sein, eine allgemein zug¨ angliche Bibliothek von Bewegungsdaten aus unterschiedlichen Quellen aufzubauen. Die zugeh¨ origen Geometrien, wie beispielsweise Skelettmodelle des Menschen, m¨ ussten in diesem Fall in einem einheitlichen Format vorliegen. Die Web3D Standardisierungskommission hat mit dem H-Anim Format zur Vereinheitlichung der Bewegungsmodelle bereits einen Versuch unternommen. Zwangsbedingungen m¨ ussten f¨ ur dieses Vorhaben ebenfalls vereinheitlicht werden. Es ist zu erwarten, dass dann Motion Capturing zuk¨ unftig seltener zum Einsatz kommen wird und stattdessen Techniken des Motion Editing verst¨ arkt angewendet werden. Neue Animationen k¨ onnten dann z.B. zunehmend aus alten Sequenzen synthetisiert werden. Dabei k¨ onnten dann sowohl der Bewegungsstil u ¨ bertragen, Bewegungen gemischt und neue Constraints f¨ ur die Bewegung spezifiziert werden. Diese Bewegungen werden dann in der Regel dynamisch plausibel sein; sie k¨ onnen jedoch bei Bedarf u ¨bersteigert oder akzentuiert werden.

8 Modellierung und Animation von Naturerscheinungen

Die Modellierung und Animation von Naturerscheinungen geh¨ ort mit zu den aktuellen Problemstellungen in der Computergrafik. Die Schwierigkeiten, die speziell in der Computeranimation beim Umgang mit Naturerscheinungen auftreten und die Gegenstand vielf¨ altiger Forschungsaktivit¨ aten sind, haben folgende Ursachen: Naturerscheinungen, die als geometrische Objekte darstellbar sind, besitzen in der Regel Formen von hoher Komplexit¨ at, deren Topologie sich w¨ ahrend einer Animation in beliebiger Weise ¨ andern kann. Beispiele sind Rauch, Feuer, verspritzende Fl¨ ussigkeiten oder auch Wolken, die sich am Himmel bewegen. Ihre vereinfachte Darstellung f¨ uhrt vielfach zu einem unrealistischen Aussehen oder zu einer Einschr¨ ankung des Anwendungsbereiches, wenn beispielsweise von r¨ aumlichen Ph¨ anomenen nur zweidimensionale Projektionen erzeugt werden. Naturerscheinungen, wie Wolkensysteme oder Meereswellen, k¨ onnen im Gegensatz zu k¨ unstlichen Objekten (z.B. mechanische CAD-Modelle) nahezu unbegrenzte Ausmaße annehmen, so dass sie nur durch eine Kombination von unterschiedlichen Repr¨ asentationen darstellbar sind. So werden oftmals polygonale Repr¨ asentationen in Verbindung mit Partikelsystemen verwendet, was ihre Handhabbarkeit bei Animationsprozessen erschwert. Die Animation von Naturerscheinungen, wie beispielsweise die Partikelbewegung in einer Gaswolke, die Form¨ anderung eines Fl¨ ussigkeitsvolumens unter der Einwirkung externer Kr¨ afte oder die Darstellung der Bewegungen von Wolken- und Wellensystemen, sind vielfach nur mit physikalisch-basierten, str¨ omungsmechanischen Simulationsverfahren m¨ oglich. Da unserem Ged¨ achtnis die Erscheinungsformen und das Bewegungsverhalten von Naturph¨ anomenen sehr vertraut sind, kann unser visuelles System nur in eingeschr¨ anktem Maße mit vereinfachten Geometrie- und Bewegungsmodellen get¨ auscht werden. Um plausible Animationen zu erzielen, ist es daher vielfach unvermeidlich, komplexe dynamische Prozesse mit rechenaufw¨ andigen Methoden zu simulieren. Die nachfolgenden Abschnitte sollen unter dem Gesichtspunkt der Modellierung und Animation einen Einblick in dieses umfassende Gebiet vermitteln, indem lediglich einige der grundlegenden Verfahren zum Stand der Technik vorgestellt werden.

194

8 Modellierung und Animation von Naturerscheinungen

8.1 Gase Die Darstellung des dynamischen Verhaltens von Gasen, die zusammen mit Fl¨ ussigkeiten unter dem Begriff Fluide zusammengefasst werden, z¨ ahlt zu den anspruchsvollsten Aufgaben der Computeranimation. Dies ist dadurch bedingt, dass Gase keine definierbare Oberfl¨ ache besitzen. Ihre Form wird nach den Gesetzen der Str¨ omungsmechanik von Schwerkraft, Wind und Reibungskr¨ aften und vor allem durch thermische Einfl¨ usse bestimmt. Die genaue Berechnung der zeitlichen Form¨ anderung einer Gaswolke, als Folge der Einwirkung von a ussen, er¨ußeren Einfl¨ fordert einen großen Aufwand. Unter Verzicht auf physikalische Korrektheit wurden jedoch auch vereinfachte Verfahren entwickelt, mit denen ein hinreichend plausibles dynamisches Verhalten dieses Mediums darstellbar ist. In den nachfolgenden Unterabschnitten wird eine Auswahl unterschiedlicher Methoden zur Animation von Gasen vorgestellt. Der Schwerpunkt wurde jedoch auf den relativ anspruchsvollen physikalisch basierten Computational-Fluid-Dynamics-Ansatz gelegt.

8.1.1 Partikelbasierte Methoden Ihren Ursprung haben die partikelbasierten Animationsverfahren in den stochastischen Partikelsystemen zur Modellierung und Animation von Explosionsereignissen oder Feuerausbr¨ uchen [67]. Bei diesen Methoden bewegen sich Partikel oder gr¨ oßere Objekte, die zumeist kugelf¨ ormig sind, entlang den Trajektorien vorgegebener Str¨ omungsfelder. Um diese von Jos Stam in [103] als Blobs (Blasen) bezeichneten Objekte dem amorphen Erscheinungsbild des Gases besser anzupassen, k¨ onnen sie halbtransparent texturiert und entsprechend dem Str¨ omungsfeld verformt wer¨ den [104]. Die Modellierung dieser Str¨ omungsfelder kann durch Uberlagerung von Str¨ omungsprimitiva [105], [106] erfolgen, deren Form (uniform, sink, source oder vortex) sowie die Position, Gr¨ oße und St¨ arke interaktiv vorgegeben werden. Bei den partikelbasierten Ans¨ atzen hat der Animateur die vollst¨ andige Kontrolle u ¨ber das dynamische Verhalten der Objekte, die sich innerhalb des Feldes bewegen. Nachteil dieser Methode ist allerdings der hohe Zeitaufwand, der erforderlich ist, um einen hinreichend plausiblen Str¨ omungsverlauf, der beispielsweise um Hindernisse herum gef¨ uhrt werden muss, interaktiv zu modellieren. Es ist daher naheliegend, dieses Verfahren auf statische Szenen zu beschr¨ anken. Weiterhin sind sehr viele Partikel erforderlich, um eine nat¨ urlich wirkende Dichteverteilung des Gases darzustellen.

8.1.2 Gitterbasierte Methoden Die gitterbasierten Methoden sind dadurch gekennzeichnet, dass der Animationsraum in Zellen unterteilt ist, dessen Feinheit die r¨ aumliche Aufl¨ osung der Gaswolke bestimmt. Eine fr¨ uhe gitterbasierte Methode variiert innerhalb eines Zeitintervalls jene Parameter, die eine r¨ aumliche Textur (solid texture) so ver¨ andern [107], dass der Eindruck einer sich dynamisch ver¨ andernden Gaswolke entsteht. Die Ergebnisse dieses einfachen Verfahrens weichen jedoch betr¨ achtlich von der Form und dem dynamischen Verhalten einer realen Gaswolke ab. Bessere Ergebnisse werden mit statistischen Ans¨ atzen erzielt, welche die Dichteverteilung oder das Energiespektrum der Turbulenzen innerhalb eines Gases beschreiben [108]. Das dynamische

8.1 Gase

195

Verhalten kann hierbei mit Hilfe der Dichtegradienten oder der Geschwindigkeitskomponenten in den einzelnen Zellen nachgebildet werden. Aus der Verteilung der Dichtewerte in den Zellen l¨ asst sich w¨ ahrend des Rendering-Prozesses die Lichtstreuung und die Lichtabschw¨ achung eines Gases bestimmen. Der Nachteil dieses Ansatzes besteht in der statischen Struktur der Zellenaufteilung. In den verwirbelten Randbereichen einer Gaswolke, die sich st¨ andig ver¨ andern, ist es erforderlich, dass die Zellenzerlegung hinreichend fein ist. Dies ist nur mit einer dynamischen Zellenstruktur m¨ oglich, die sich st¨ andig an die Form der Gaswolke anpasst und dadurch einen hohen Rechenaufwand verursacht.

8.1.3 Hybride Methoden Hybride Methoden sind Kombinationen aus partikel- und gitterbasierten Verfahren, wobei der allgemeine Str¨ omungsverlauf mit Hilfe von Str¨ omungsprimitiva (s. Abb. 8.1) vorgegeben wird, w¨ ahrend die Turbulenzen mit Gittermethoden erzeugt werden. In [103] erfolgt die Erzeugung der kleinskaligen Turbulenzen mit Hilfe der vielfach verwendeten Energiespektralfunktion nach Kolmogorov. Da sich eine Turbu¨ lenz als Uberlagerung r¨ aumlicher, sinusf¨ ormiger Basisfunktionen mit unterschiedlichen Frequenzen betrachten l¨ asst, repr¨ asentiert das Energiespektrum die Verteilung der kinetischen Energie einer Turbulenz, abh¨ angig von den Frequenzen ihrer Basisfunktionen. Mit Hilfe der inversen Fourier-Transformation werden nach [103] die Spektralkomponenten der Energieverteilung im Frequenzbereich auf die korrespondierenden Geschwindigkeitskomponenten im Ortsbereich abgebildet.

Abb. 8.1. Str¨ omungsprimitiva

Um auch eine zeitliche Varianz der ¨ ortlichen Geschwindigkeitskomponenten zu errei¨ chen, erfolgt nach [103] zus¨ atzlich mit komplexen Zufallsvariablen eine Uberlagerung der Spektralanteile. Die Werte dieser komplexen Variablen weisen eine Gaussverteilung auf, deren Phasenwinkel uniform verteilt sind. Das Ergebnis ist somit ein Geschwindigkeitsfeld in Form eines r¨ aumlichen Gitters, wobei sich die Geschwindigkeitskomponenten sowohl r¨ aumlich als auch zeitlich periodisch wiederholen. Die Aufl¨ osung dieses Gitters bestimmt die erreichbare Aufl¨ osung der Turbulenz.

196

8 Modellierung und Animation von Naturerscheinungen

8.1.4 Physikalisch-basierte Methoden Um eine physikalisch hinreichend korrekte Animation von Fl¨ ussigkeiten und Gasen zu erhalten, ist es notwendig, Simulationsmethoden der numerischen Str¨ omungsmechanik zu verwenden, die bereits seit Anfang der f¨ unfziger Jahre entwickelt wurden und als CFD-Methoden (CFD = Computational Fluid Dynamics) bekannt sind. CFD-Methoden sind rechenaufwendig und waren bis vor wenigen Jahren eine Dom¨ ane von Großrechnern. Heutzutage sind sie mit leistungsf¨ ahigen PCs in akzeptabler Rechenzeit zu bew¨ altigen und dadurch auch f¨ ur Anwendungen in der Computeranimation praktikabel. Die CFD-Methode ist inzwischen fester Bestandteil der Publikationen, die sich mit dem Thema Animation von Fluiden besch¨ aftigen ( [109], [110]). In den nachfolgenden Unterabschnitten sollen ihre Grundlagen und Realisierungsans¨ atze verst¨ andlich gemacht werden und dazu beitragen, CFD-Konzepte leichter zu verstehen. Eine ausf¨ uhrliche Darstellung der CFD-Verfahren, einschließlich detaillierter Implementierungsvorschl¨ age, ist in [111] zu finden. Grundlagen. Die physikalisch korrekte Simulation von Gasen und Fl¨ ussigkeiten basiert im Wesentlichen auf den Newton’schen Gesetzen sowie auf den Erhaltungss¨ atzen der Energie und der Masse. Im einfachsten Fall erfolgt die Beschreibung des dynamischen Verhaltens von inkompressiblen und reibungsfreien Str¨ omungen (ideale Fluide) mit Hilfe der Euler’schen Gleichung: ∂v dv = ρ((∇ · v)v + ) = f − ∇p (8.1) dt ∂t Auf der rechten Seite dieser Gleichung befindet sich die auf das Fluid einwirkende Kraft f pro Volumeneinheit (z.B. Gravitation) sowie der Druckgradient ∇p. Auf der linken Seite steht die vollst¨ andige Ableitung des Geschwindigkeitsfeldes nach Ort und Zeit, multipliziert mit der Dichte p des Fluids1 . Weiterhin gilt f¨ ur inkompressible Fluide auch der Massen-Erhaltungssatz, der durch die differentielle Form der Kontinuit¨ atsgleichung mit ρ

∂vy ∂vz ∂vx + + =0 (8.2) ∂x ∂y ∂z ausgedr¨ uckt wird. Diese Kontinuit¨ atsgleichung besagt, dass ein Volumenstrom, der in einem Zeitintervall in einen infinitesimal kleinen Bereich hineinfließt, gleich dem Volumenstrom ist, der in diesem Zeitintervall wieder herausfließt. Die Masse des Str¨ omungsvolumens bleibt somit konstant. Da eine reale Str¨ omung jedoch Reibung aufweist, muss dieser Effekt gleichfalls ber¨ ucksichtigt werden. ∇·v =

1

Definition der Gradienten- und Divergenz-Operatoren: ∇p = (∂p/∂x, ∂p/∂y, ∂p/∂z), ∇ · v =

∂vx ∂x

 ∂/∂x  v  (∇ · v) v =

 ·
∂/∂y 
v  v ∂/∂z  v ∂v /∂x + v ∂v /∂y + v ∂v /∂z =
v ∂v /∂x + v ∂v /∂y + v ∂v /∂z  vx vy vz

x y z

x

x

y

x

z

x

x

y

y

y

z

y

vx ∂vz /∂x + vy ∂vz /∂y + vz ∂vz /∂z

+

∂vy ∂y

+

∂vz ∂z

8.1 Gase

197

Unter Beachtung des Reibungseffektes wird die Euler-Gleichung zur Navier-StokesGleichung : ∂v dv (8.3) = ρ((∇ · v) v + ) = f − ∇p + η ∇2 v dt ∂t at η repr¨ asentiert die Reibungskraft Der Term η ∇2 v mit der dynamischen Viskosit¨ des Fluids2 . Nach einer weiteren Umformung erhalten wir mit ρ

1 ∂v = −(∇ · v)v − ∇p + ν ∇2 v + fρ (8.4) ∂t ρ die gebr¨ auchliche Form der Navier-Stokes-Gleichung, die auch als Impulsgleichung bezeichnet wird. Hierin ist fρ die Volumenkraft fρ = f /ρ und ν die kinematische Viskosit¨ at , die das Verh¨ altnis von dynamischer Viskosit¨ at zur Dichte des Fluids ν = η/ρ darstellt. Diskretisierung und L¨ osung der Navier-Stokes-Gleichung. Um ein NavierStokes-Gleichungssystem l¨ osen zu k¨ onnen, wird die Differentialgleichung 8.4 in eine Differenzengleichung u uhrt. Wir approximieren hierzu die partielle zeitliche ¨ berf¨ Ableitung von v durch die Geschwindigkeits¨ anderung v(t+∆t) − vt innerhalb des Zeitschritts3 ∆t mit v(t+∆t) − vt ∂v ≈ ∂t ∆t und erhalten 1 (8.5) ∇p(t+∆t) + fρ ) ρ Die L¨ osung von Glg. 8.5 erfolgt in drei Schritten. In dem ersten Schritt wird das Geschwindigkeitsfeld ohne den Druckterm ∇pt+∆t/ρ bestimmt: v(t+∆t) = vt + ∆t (ν ∇2 vt − (∇ · vt ) vt −

vt∗ = vt + ∆t (ν ∇2 vt − (∇ · vt ) vt + fρ )

(8.6)

Das neue Geschwindigkeitsfeld zum Zeitpunkt (t + ∆t) v(t+∆t) = vt∗ −

∆t ∇p(t+∆t) ρ

(8.7)

l¨ asst sich allerdings erst berechnen, wenn der korrespondierende Druck bekannt ist. Hierzu wird Glg. 8.7 in die Kontinuit¨ atsgleichung, Glg. 8.2, eingesetzt und wir erhalten 2

Der Laplace-Operator wird sehr h¨ aufig mit dem ∆-Symbol bezeichnet. Um eine Verwechslung mit dem Differenz-Symbol zu vermeiden, wird im Nachfolgenden hierf¨ ur das Symbol ∇2 mit der Definition ∇2 = (

3

∂2 ∂2 ∂2 + + 2) ∂x2 ∂y 2 ∂z

verwendet. Wird ∆t zu groß gew¨ ahlt, entstehen Instabilit¨ aten. Hinweise zur Zeitschrittsteuerung sind in [111] zu finden.

198

8 Modellierung und Animation von Naturerscheinungen ∇ · v(t+∆t) = ∇ · vt∗ − ∇2 p(t+∆t) =

∆t 2 ∇ p(t+∆t) = 0 ρ

ρ ∇ · vt∗ ∆t

(8.8)

Die Gleichung 8.8 ist die Poisson-Gleichung f¨ ur den Druck p(t+∆t) des (t + ∆t)ten Zeitschritts. Um diese Gleichung l¨ osen zu k¨ onnen, ist es erforderlich, zuerst die am Rand des Simulationsgebietes befindlichen Druckwerte mit vorgegebenen Anfangsbedingungen zu berechnen. Es ist sinnvoll, die rechte Seite der Druck-PoissonGleichung 8.8 separat zu bestimmen und in einem dreidimensionalen Datenfeld rs(i, j, k) abzuspeichern: ρ ∇ · vt∗ (i, j, k) (8.9) ∆t Wir erhalten f¨ ur die Berechnung der (i × j × k) Druckwerte die entsprechende Zahl linearer Gleichungen, die mit Verfahren f¨ ur schwach besetzte, lineare Gleichungssysteme effektiv l¨ osbar sind (s. C). Abschließend werden die Druckterme p(t+∆t) (i, j, k) mit der Poisson-Gleichung 8.8 bestimmt und die mit Glg. 8.6 berechneten dreidimensionalen Geschwindigkeitskomponenten vt∗ nach der Glg. 8.7 korrigiert. rs(i, j, k) =

v x (0,0...5 )

v x (1,0...5 )

v x (3,0...5 ) v x (5,0...5 ) v x (4,0...5 ) v x (2,0...5 )

v y (0...5,5 )

p0,5

p1,5

p2,5

p3,5

p4,5

p5,5

p0,4

p1,4

p2,4

p3,4

p4,4

p5,4

p0,3

p1,3

p2,3

p3,3

p4,3

p5,3

p0,2

p1,2

p2,2

p3,2

p4,2

p5,2

p0,1

p1,1

p2,1

p3,1

p4,1

p5,1

v y (0...5,4 )

v y (0...5,3 )

v y (0...5,2 )

v y (0...5,1)

v y (0...5,0 )

p0,0

p1,0

p2,0

p3,0

Abb. 8.2. MAC-Gitter

p4,0

p5,0

8.1 Gase

199

Das MAC-Verfahren. Zur Str¨ omungssimulation auf der Basis der diskretisierten Navier-Stokes-Gleichungen hat sich das sog. MAC-Verfahren (MAC = Marker And Cell) bew¨ ahrt, das bereits 1965 von Harlow und Welch [112] in seiner Grundform entwickelt wurde. Es handelt sich hier um ein einfaches Finite-DifferenzenVerfahren mit einer Zeitdiskretisierung erster Ordnung. Hierzu wird der Simulationsraum in ein regul¨ ares Gitter unterteilt, in das, wie die Abb. 8.2 zeigt, die aquidistanten Geschwindigkeits- und Druckkomponenten jeweils versetzt eingetra¨ gen werden. Diese Methode ist einfach, flexibel und leistungsstark. Sie ist sowohl f¨ ur die Str¨ omungssimulation in statischen Geometrien als auch zur Simulation der sog. freien Randwertprobleme geeignet, bei denen sich das Gebiet, das vom Fluid eingenommen wird, zeitlich ver¨ andert. Wie die Abbildung 8.2 zeigt, wird das eigentliche Simulationsgebiet von einer Randschicht umgeben, die zur Initialisierung der Geschwindigkeits- und Druckkomponenten dient. Mit diesen Werten kann jede Seite des Simulationsgebietes in unterschiedlicher Weise mit Rutsch-, Haft-, Ein- und Ausstr¨ ombedingungen sowie einer periodischen Randbedingung initialisiert werden. Um Hindernisse in das Simulationsgebiet einzuf¨ ugen, sind diese gleichfalls mit R¨ andern zu umgeben, wobei deren Randbedingungen in analoger Weise festgelegt werden. Eine detaillierte Beschreibung, wie die Bestimmung der oben genannten Randbedingungen erfolgen kann, ist in [111] zu finden. Thermodynamische Einfl¨ usse. Bei der CFD-basierten Simulation von Gasen ist es erforderlich, auch die thermodynamischen Einfl¨ usse auf Fluid und Str¨ omung zu ber¨ ucksichtigen. Analog zu der Impulsgleichung erhalten wir nach [111] die Energiegleichung mit 1 ∂T = ∇2 T − (∇ · v)T + q  ∂t Re Pr

(8.10)

Hierin ist T die Temperatur, q  die Energie der W¨ armequelle, Re die dimensionslose Reynoldszahl und P r die Prandelzahl, die als gleichfalls dimensionslose Konstante das Verh¨ altnis zwischen Impuls und W¨ armeausbreitung beschreibt. Die typischen P r-Werte f¨ ur Gase liegen im Wertebereich von 0.7 bis 1.0 und f¨ ur Fl¨ ussigkeiten im Bereich von 3 bis 300. Die Diskretisierung von Glg. 8.10 ergibt mit T(t+∆t) − Tt ∂T ≈ ∂t ∆t die Gleichung 1 ∇2 Tt − (∇ · vt )Tt + q  ), (8.11) Re Pr wobei die Temperaturwerte wie die Druckwerte im Zellenmittelpunkt des versetzten Gitters eingetragen werden. Da der W¨ armefluss die Str¨ omungsgeschwindigkeit direkt beeinflusst, m¨ ussen die Geschwindigkeitsvektoren v innerhalb des Gitters korrigiert werden. Das Temasst sich direkt mit Tt und vt bestimmen und zur peraturfeld T(t+∆t) (i, j, k) l¨ Korrektur des vt∗ -Feldes verwenden. Das korrigierte Geschwindigkeitsfeld ohne Ber¨ ucksichtigung der Druckterme lautet nach [111]: T(t+∆t) = Tt + ∆t(

200

8 Modellierung und Animation von Naturerscheinungen ∗∗ ∗ (i, j, k) = vx,t (i, j, k) + ∆t β gx (T(t+∆t) (i, j, k) vx,t

+ T(t+∆t) (i + 1, j, k))/2 ∗∗ ∗ (i, j, k) = vy,t (i, j, k) + ∆t β gy (T(t+∆t) (i, j, k) vy,t

+ T(t+∆t) (i, j + 1, k))/2 ∗∗ ∗ (i, j, k) = vz,t (i, j, k) + ∆t β gz (T(t+∆t) (i, j, k) vz,t

+ T(t+∆t) (i, j, k + 1))/2

(8.12)

β ist hierbei der Volumenexpansionskoeffizient. Indem wir den Geschwindigkeitsterm andert sich die zeitdiskrete Impulsgleichung unter vt∗ in Glg. 8.9 durch vt∗∗ ersetzen, ¨ Ber¨ ucksichtigung der Temperatureinfl¨ usse zu ∆t (8.13) ∇p(t+∆t) ρ Zusammenfassend l¨ asst sich das oben beschriebene Verfahren in einer PseudoProgrammiersprache folgendermaßen formulieren: v(t+∆t) = vt∗∗ −

Setze die Inkremente t := 0; Bestimme die Anfangswerte f¨ ur v, p und T ; Solange die Bedingung ullt ist; t < tend erf¨ Bestimme die Simulationsschrittweite ∆t; Belege nach den Randbedingungen die Randwerte des Simulationsraums mit den Geschwindigkeiten v den Druckwerten p sowie den Temperaturwerten T ; Berechne das Temperaturfeld T(t+∆t) (i, j, k); Glg. 8.11 Berechne f¨ ur alle Zellen nach den Glgn. 8.6 und 8.12 die vt∗∗ (i, j, k)-Werte; Berechne f¨ ur alle Zellen nach Glg. 8.9 die rechte Seite der Druckgleichung; Setze it := 0 und bestimme mit der Poisson-Gl. das Druckfeld p(t+∆t) (i, j, k); Bis zum Erreichen des Abbruchkriteriums ( it > itmax ): F¨ uhre einen Zyklus des iterativen Gleichungsl¨ osers durch; it := it + 1 Berechne mit p(t+∆t) (i, j, k) und vt∗∗ (i, j, k) das Geschwindigkeitsfeld v(t+∆t) (i, j, k) nach Glg. 8.13; t := t + ∆t; Algorithmus 10.1. Vereinfachter CFD-Algorithmus Rendering. Ist das zeitabh¨ angige Str¨ omungsfeld mit Hilfe des CFD-Algorithmus bestimmt, so kann man f¨ ur die Bilderzeugung des Gases die u ¨ blichen Standardmethoden des Volume-Rendering einsetzen. Hierbei werden die Gaspartikel oftmals als masselose, kugelf¨ ormige Objekte innerhalb des Simulationsraums betrachtet. Die ¨ Anderung der jeweiligen Partikelpositionen h¨ angt von den ¨ ortlichen Geschwindigkeitsvektoren des diskretisierten Str¨ omungsfeldes ab: x(t+∆t) = xt + ∆t vt (x, y, z). Infolge der zeitdiskreten Bewegungen ballen sich die Partikel im Simulationsgebiet

8.1 Gase

201

in verschiedenen Regionen mit unterschiedlicher Dichte zusammen, wobei die Dichteverteilung als Wolke sichtbar gemacht werden kann. Hierzu werden virtuelle Lichtstrahlen durch das Simulationsgebiet geschickt. Die von der Partikelwolke abgegebene sichtbare Lichtstrahlung, die als Wolkenbild dargestellt wird, h¨ angt im Wesentlichen von der Lichtabschw¨ achung sowie der Lichtstreuung an den Zellen des diskretisierten Simulationsgebietes ab. Unterschiedliche Verfahren zur Darstellung von Gaswolken werden in [113, 114, 106, 109] behandelt. Im Abschnitt 8.2 wird im Zusammenhang mit der Darstellung von atmosph¨ arischen Erscheinungen vertieft auf diese Thematik eingegangen.

Der Stable-Fluids-Algorithmus Die im Abschnitt 8.1.4 beschriebene klassische CFD-Methode zur zeitdiskreten, str¨ omungsmechanischen Simulation von inkompressiblen Fluiden zeichnet sich durch einen hohen Rechenaufwand aus, der Echtzeitanwendungen nur eingeschr¨ ankt zul¨ asst. Eine Beschleunigung dieses Verfahrens, beispielsweise durch große Schrittweiten, f¨ uhrt in der Regel zu numerischen Instabilit¨ aten. Auf der anderen Seite ist in der Computeranimation, im Gegensatz zu den Anforderungen der Str¨ omungsmechanik, eine genaue Simulation von Fluiden nicht unbedingt erforderlich, wenn ihr dynamisches Verhalten nur hinreichend plausibel erscheint. Es ist naheliegend, die im vorherigen Unterabschnitt vorgestellte Methode unter dem Gesichtspunkt geringerer Genauigkeit so zu modifizieren, dass zum einen eine schnellere Simulation und zum anderen ein stabiles numerisches Verhalten auch bei großen Simulationsschrittweiten gew¨ ahrleistet wird. Ein Verfahren, das diese Forderung in hervorragender Weise erf¨ ullt, ist der Stable-Fluids-Algorithmus, der von Jos Stam in [110] vorgestellt wird. Grundlagen. Stam geht von den Kontinuit¨ ats- und Navier-Stokes-Gleichungen“ ” Glg. 8.2 und Glg. 8.4 aus, die er unter Verwendung der Helmholtz-Hodge-Zerlegung“ ” umformt. Die Helmholtz-Hodge-Zerlegung“ besagt, dass sich ein nicht-divergenzfreies ” Vektorfeld w in ein divergenzfreies Vektorfeld v und ein divergentes Gradientenfeld ∇ q zerlegen l¨ asst: w = v + ∇ q. (8.14) Infolge der Divergenzfreiheit von v gilt ∇ · v = 0. Wir definieren einen Operator P , der jedes Vektorfeld w auf seine divergenzfreie Komponente v = P (w) abbildet und der damit die in der Kontinuit¨ atsgleichung (Glg. 8.2) geforderte Divergenzfreiheit herstellt. Divergenzfreiheit bedeutet, dass in dem Feld keine Str¨ omungssenken oder -quellen vorhanden sind. Wir erhalten den P -Operator implizit, indem wir beide Seiten von Glg. 8.14 mit dem Divergenzoperator multiplizieren: ∇·w = ∇·v+∇·∇q. Mit ∇ · v = 0 ergibt sich die Poisson-Gleichung ∇ · w = ∇ · ∇ q = ∇2 q

(8.15)

mit dem unbekannten Skalarfeld q, die sich jedoch effektiv l¨ osen l¨ asst. Ist mit Glg. 8.15 das Vektorfeld ∇q berechnet, so kann dieses anschließend von w subtrahiert v = P (w) = w − ∇q und damit das divergenzfreie Vektorfeld v bestimmt werden.

202

8 Modellierung und Animation von Naturerscheinungen

sequentielle Berechnung der Geschwindigkeitsgleichung

Initialisierung des Gewindigkeits- und Dichtefeldes

Erzwingung der Kontinuitätsbedingung

sequentielle Berechnung der Dichtegleichung

Abb. 8.3. Stable Fluid-Algorithmus

Mit dem P-Operator l¨ asst sich auch die Navier-Stokes-Gleichung vereinfachen. Wenden wir P auf beide Seiten von Glg. 8.3 an, so erhalten wir mit P (v) = v und P (∇p) = 0 1 ∂v ) = P [−(∇ · v) v − ∇ p + ν∇2 v + fρ ] ∂t ρ (8.16) ∂v = −(∇ · v) v + ν∇2 v + fρ ∂t Analog vom Zeitverhalten des Geschwindigkeitsfeldes Glg. 8.16 beschreibt Stam das Zeitverhalten des skalaren Dichtefeldes mit P(

∂ρ = −(∇ · v) ρ + ν ∇2 ρ + S ∂t

(8.17)

Hierin ist S die St¨ arke der emittierenden Quelle und ν die Diffusionsrate. Die Analogie des Zeitverhaltens von Geschwindigkeits- und Dichtefeld ist allerdings leicht erkennbar, wenn wir uns den Dichtewert durch die Zahl der Rauchpartikel vorstellen, die sich in den Zellen eines diskretisierten Raumvolumens befinden. Die Partikelbewegung erfolgt hierbei entlang der Richtung und den Betr¨ agen der Geschwindigkeitsvektoren. Die L¨ osung dieser beiden Differentialgleichungssysteme 8.16 und 8.17 erfolgt in vereinfachter Weise, indem ihre einzelnen Terme separat berechnet werden. Dieses Vorgehen erlaubt eine wesentlich schnellere Simulation, wobei infolge der sequentiellen Berechnung jedoch Fehler in Kauf genommen werden. Der generelle Ablauf des Stable Fluids-Algorithmus, dessen algorithmische Umsetzung nachfolgend detailliert diskutiert wird, zeigt die Abb. 8.3. Sequentielle Berechnung der Geschwindigkeitsgleichung. Der erste Schritt besteht in der Addition der externen Volumenkr¨ afte. Hierbei werden entweder die Zellen des Simulationsgitters mit einem Geschwindigkeitsvektorfeld initialisiert oder zu einem bereits vorgegebenen Geschwindigkeitsfeld addiert: v(t+∆t) (i, j, k) = vt (i, j, k) + ∆t fρ (i, j, k) Im zweiten Schritt erfolgt die Diffusion des nach Schritt 1 bestehenden Geschwindigkeitsfeldes, wobei die einzelnen skalaren Richtungskomponenten der Geschwindigkeitsvektoren separat behandelt werden. Der Diffusionsprozess findet zwischen den benachbarten Zellen statt, die unterschiedliche Werte aufweisen. Wir k¨ onnen uns diesen Prozess, der durch den zweiten Term ν∇2 v“ in Glg. 8.16 dargestellt wird, ” als Geschwindigkeitsanpassung vorstellen. F¨ ur den zweidimensionalen Fall l¨ asst sich der Diffusionsschritt mit

8.1 Gase

vx (i, j) vy (i, j)


= (t+∆t)

vx (i, j) vy (i, j)


+ t

∆vx (i, j) ∆vy (i, j)

203


(8.18) t

vereinfacht beschreiben. Hierin ist: ∆vx,(t+∆t) (i, j) = ν∆t(vx,t (i − 1, j) + vx,t (i + 1, j) + vx,t (i, j − 1) + vx,t (i, j + 1) − 4vx,t (i, j))/h2 ∆vy,(t+∆t)(i, j) = ν∆t(vy,t(i − 1, j) + vy,t (i + 1, j) + vy,t (i, j − 1) + vy,t (i, j + 1) − 4vy,t (i, j))/h2 Aus der obigen Gleichung ist erkennbar, dass sich die Geschwindigkeitskomponenten der Zelle (i,j) mit denen, die sich in den Nachbarzellen befinden, ausgleichen, wobei die Ausgleichsgeschwindigkeit von dem kinematischen Viskosit¨ atsfaktor ν abh¨ angt. Allerdings k¨ onnen bei großen Simulationsschritten numerische Instabilit¨ aten entstehen. −∆t Dieser Effekt l¨ asst sich mit negativen Zeitschritten (vt ← v(t+∆t) ) vermeiden. Hierbei wird von der Dichteverteilung ausgegangen, die vor dem Diffusionsschritt bestand. Analog zur Glg. 8.18 erhalten wir die Diffusionsgleichung f¨ ur negative Zeitschritte mit:


vx (i, j) vx (i, j) ∆vx (i, j) = − (8.19) vy (i, j) t vy (i, j) (t+∆t) ∆vy (i, j) (t+∆t) In diesem Fall m¨ ussen die v(i, j)(t+∆t) -Werte auf der rechten Seite von Glg. 8.19 durch L¨ osung zweier linearer Gleichungssysteme bestimmt werden. F¨ ur den 3DFall m¨ ussen somit drei Gleichungssysteme berechnet werden, deren Gr¨ oße gleich der Anzahl der Zellen des Simulationsgitters entspricht. Diese lassen sich durch schwachbesetzte Diagonalmatrizen beschreiben, die mit Standardmethoden (s. Anhang C) effektiv l¨ osbar sind. Mit dem dritten Schritt werden die Komponenten des Geschwindigkeitsfeldes entsprechend dem ersten Term (∇ · v)v“ aus Glg. 8.16 quasi mit sich selbst im ” Simulationsgitter bewegt. Um Instabilit¨ aten zu vermeiden, erfolgt der Transport gleichfalls mit negativen Zeitschritten. Hierzu werden, wie die Abb. 8.4a zeigt, ausgehend von den Zellenzentren des Simulationsgitters f¨ ur den Zeitpunkt t + ∆t jener Orte bestimmt, die zum Zeitpunkt t gegeben sein m¨ ussten. Dies l¨ asst sich durch Partikel veranschaulichen, die sich Schritt f¨ ur Schritt durch das Simulationsgitter bewegen. Bei jedem Schritt wird von einem vorgegebenen Zielort ausgehend nach dem Ausgangsort des Partikels gesucht, mit dem dieses, unter Ber¨ ucksichtigung eines vorgegebenen Geschwindigkeitsfeldes, sein Ziel im Zentrum einer Gitterzelle erreicht. Da der zur¨ uckgerechnete Ort in der Regel vom Zentrum einer Zelle abweicht, die Geschwindigkeitskomponenten jedoch immer f¨ ur die Mittelpunkte berechnet werden, ist es erforderlich, die Werte des zur¨ uckgerechneten Ortes durch Interpolation zu bestimmen. Hierzu bietet sich die bilineare (2D-Fall) oder trilineare (3D-Fall) Interpolation mit jenen zentralen Geschwindigkeitskomponenten an, die den Ort des Partikels zum Zeitpunkt t umgeben, wie in der Abb. 8.4b dargestellt. F¨ ur die Wegberechnung wird oftmals die Euler-Integration oder das Runge-Kutta-Verfahren angewendet. Da jedoch v(t+∆t) (i, j) mit negativen Zeitschritten berechnet wird, muss f¨ ur alle Zellen das Gleichungssystem

204

8 Modellierung und Animation von Naturerscheinungen 1

Partikelpositionen Partikel- bei t+1 positionen bei t

x

v 00

v10 1

y

v

v11

v 01

v x = v 00x (1 - x )(1 - y ) + v10x x (1 - y ) + v 01x (1 - x )y + v11x xy , v y = v 00y (1 - x )(1 - y ) + v10y x (1 - y ) + v 01y (1 - x )y + v11y xy .

a)

b)

Abb. 8.4. Transportschritt: (a) Backtracing der Geschwindigkeitskomponenten, (b) Interpolation

x y


= t

x i − ∆ t( ∆v + ∆x x j − ∆ t( ∆v + ∆x

∆vy )vx ∆y ∆vy )vy ∆y


(t+∆t)

bestimmt werden. Erzwingung der Kontinuit¨ atsbedingung. Um die Divergenzfreiheit des Geschwindigkeitsvektorfeldes herzustellen, muss die Kontinuit¨ atsgleichung ∇·v berechnet werden. Die Divergenzfreiheit von v l¨ asst sich mit Hilfe der bereits erw¨ ahnten Helmholtz-Hodge-Zerlegung w = v + ∇ q erreichen. Hierin ist w das Vektorfeld, das durch die schrittweise Berechnung der Dichte- und Geschwindigkeitsgleichung entstanden ist. Um die erforderliche Divergenzfreiheit zu erreichen, ist es notwendig, das noch unbekannte Gradientenfeld ∇ q zu berechnen und von w zu subtrahieren: v = w − ∇ q. Die Berechnung von q erfolgt mit der als Poisson-Gleichung bekannten Beziehung ∇ · q, die sich f¨ ur den zweidimensionalen Fall in einfacher Weise diskretisieren l¨ asst. Wir erhalten: ∇ w(i, j) = ∇2 q(i, j) mit ∇ w(i, j) = (u(i + 1, j) − u(i − 1, j) + v(i + 1, j) − v(i − 1, j)) und ∇2 q(i, j) = (q(i + 1, j) + q(i − 1, j) + q(i + 1, j) + q(i − 1, j) − 4 q(i, j))/h2

8.1 Gase

205

Dieses Gleichungssystem ist gleichfalls schwach besetzt und kann, wie die Diffusiost werden. onsgleichung, mit der SOR4 oder CG-Methode5 gel¨ Sequentielle Berechnung der Dichtegleichung. Die Berechnung der Dichte erfolgt mit Glg. 8.19, die der Geschwindigkeitsgleichung sehr ¨ ahnlich und deren L¨ osung somit in analoger Weise durchf¨ uhrbar ist. Hierbei werden die Dichtewerte in analoger Weise wie die Komponenten des Geschwindigkeitsvektors behandelt. Es werden somit die gleichen Schritte: Addition, Diffusion und Translation der Dichtewerte durchgef¨ uhrt. Im Additionsschritt werden die Dichtewerte, die als Partikelpopulation zu betrachten sind, aus einer oder mehreren Partikelquellen in das Simulationsgitter eingetragen: d(t+∆t) (i, j, k) = dt (i, j, k) + ∆tS(i, j, k). Die nachfolgende Diffusion der Dichtewerte erfolgt gleichfalls mit negativen Zeitschritten entsprechend der Gleiasst sich chung dt (i, j, k) = d(t+∆t) (i, j, k) − ∆d(t+∆t) (i, j, k). Die Dichtediffusion l¨ als Ausgleich der unterschiedlichen Partikelh¨ aufigkeiten zwischen den benachbarten Zellen veranschaulichen. Abschließend werden die mit den Dichtewerten behafteten Partikel mit den jeweils korrespondierenden Vektoren des zuvor berechneten Geschwindigkeitsfeldes im Simulationsgitter transliert. Auch in diesem Fall wird mit negativen Transportschritten – analog zur Bestimmung des Geschwindigkeitsfeldes – verfahren. Dies bedeutet, dass ein translierter Dichtewert, wie in Abb. 8.4 dargestellt, durch lineare Interpolation bestimmt wird. F¨ ur diesen Transportschritt ist in Glg. 8.17 der Term −(∇ · v) ρ zust¨ andig. Einige Simulationsergebnisse, die auf dem Ansatz von J. Stam basieren, sind in den Abb. 8.5 und 8.6 dargestellt. Bei den hier dargestellten Rauchquellen, die st¨ andig Partikel emittieren, hat es sich als sinnvoll erwiesen, die Partikeldichte im

Abb. 8.5. Simulationsergebnisse nach dem Stable Fluid-Ansatz. (links) Feuer, (rechts) Rauchentwicklung mit zwei Quellen, (aus [115], s. Farbtafel VII)

4

5

SOR bedeutet Successive Over Relaxation und ist eine Methode, iterative Verfahren, die divergieren, durch einen Korrekturschritt (Mittelung mit einem vorhergehenden Wert) zur Konvergenz zu bringen. CG-Methode bedeutet Conjugate Gradient-Methode.

206

8 Modellierung und Animation von Naturerscheinungen

Abb. 8.6. Sequenz einer Rauchsimulation in Echtzeit nach dem Stable FluidsAnsatz. (obere Bildreihe) Eine Rauchquelle bewegt sich von links nach rechts und (untere Bildreihe) wieder zur¨ uck in die Ausgangsposition, (aus [115])

Simulationsgitter zu begrenzen. Die erfolgt dadurch, dass die inkrementell anwachsenden Dichtewerte mit einem Dissipationsfaktor diss < 1 multipliziert werden.

8.2 Atmosph¨ arische Erscheinungen Allt¨ agliche atmosph¨ arische Erscheinungen, wie ein Regenbogen, die r¨ otliche Verf¨ arbung der tiefstehenden Sonne oder die bl¨ auliche Verf¨ arbung des Zenits sind das Ergebnis komplexer physikalischer Prozesse, die beim Eindringen von Lichtstrahlen in die Erdatmosph¨ are auftreten. Um beispielsweise einen Sonnenaufgang in seinem zeitlichen Verlauf als Computeranimation plausibel darstellen zu k¨ onnen, sind Simulationsmodelle erforderlich, mit denen die Streuung und die Abschw¨ achung der Lichtstrahlung abh¨ angig vom Stand der Sonne nachgebildet werden k¨ onnen. F¨ ur eine exakte Simulation ist die Kenntnis u ¨ ber die chemische und physikalische Beschaffenheit der Lufth¨ ulle erforderlich. Weiterhin m¨ ussen auch die vielf¨ altigen Interaktionsprozesse, die beim Auftreffen der Lichtstrahlung auf die Lufth¨ ulle entstehen, bekannt sein. Um den Rechenaufwand in Grenzen zu halten, der f¨ ur die Simulation dieser Prozesse erforderlich ist, sind vereinfachte Modelle notwendig, mit denen hinreichend realit¨ atsnahe Darstellungen von atmosph¨ arischen Erscheinungen, einschließlich ihres zeitlichen Verlaufes erzeugbar sind. In den nachfolgenden Abschnitten werden unter Verwendung vereinfachter Atmosph¨ arenmodelle und Streuprozesse Verfahren beschrieben, die geeignet sind, um vielf¨ altige Naturerscheinungen nachzubilden.

8.2 Atmosph¨ arische Erscheinungen

207

8.2.1 Visuelle Simulation der Atmosph¨ are Tritt Sonnenlicht in die Erdatmosph¨ are ein, so wird die Strahlungsintensit¨ at durch Streuung und Absorption entsprechend der Gleichung I = I0 exp(−s p γ) exponentiell vermindert. Hierin ist I0 die Anfangsintensit¨ at, s die durchstrahlte Wegstrecke, p die Dichte der Atmosph¨ are und γ der sog. Extinktionskoeffizient, der von den Eigenschaften sowie der Zusammensetzung der Atmosph¨ are abh¨ angt. Die Strahlung, die ein Betrachter wahrnimmt, setzt sich aus allen Strahlungsanteilen zusammen, die in seine Richtung gestreut werden. Zur einfacheren Bestimmung der wahrnehmbaren Strahlung ist die Atmosph¨ are in Zellen unterteilt. Jede dieser Zellen, die wir als Streuvolumen betrachten k¨ onnen, werden die erforderlichen Parameter zur Bestimmung der Absorption und Streuung zugeordnet. Wie aus der Abb. 8.7 zu entnehmen ist, werden zur Berechnung eines projizierten Punktes nur jene Zellen betrachtet, die von dem jeweiligen Sehstrahl geschnitten werden. F¨ ur jedes dieser Volumina wird nach Glg. 8.2.1 die Eingangsintensit¨ at bestimmt und damit die zum Betrachter ausgerichtete Streustrahlung ermittelt. angt von Die Lichtintensit¨ at Is , die in Richtung des Betrachters gestreut wird, h¨ der Intensit¨ at der Lichtstrahlung Ia ab, die in das Streuvolumen eindringt. Weiterhin ist Is von der zuvor berechneten und tabellarisch gespeicherten Phasenfunktion D[θ, λ] sowie von der Dichte des Streuvolumens p abh¨ angig: Is = Ia D[θ, λ]p. Die Phasenfunktion D[θ, λ] ist bezogen auf den einfallenden Lichtstrahl rotationssymmetrisch, wobei θ der Streuwinkel und λ die Lichtwellenl¨ ange ist. F¨ ur den Fall, dass die Streuung an Luftmolek¨ ulen erfolgt, kann die Rayleigh’sche Streuformel verwendet werden. Wie in Abb. 8.8 dargestellt, ist die Streufunktion in diesem Fall achsensymmetrisch, so dass die r¨ uckw¨ arts und vorw¨ arts gerichteten Streuanteile gleich groß sind. ¨ Uberschreitet die Partikelgr¨ oße 10% der Lichtwellenl¨ ange, so bildet sich eine nach vorw¨ arts ausgerichtete Streukomponente heraus. In diesem Fall muss die Streuung

einfallender Lichtstrahl s0

Atmosphäre sa

Streuvolumen SV am Schnittpunkt scp Ia zwischen dem Sicht und dem einfallenden Lichtstrahl

I0 p(sa), g

streuendes und absorbierendes Medium p(sb),  sb

Iv sv

Is = Ia p(scp) D[q]: Intensität der in Blickrichtung gestreuten Lichtanteile

Abb. 8.7. Der Weg eines Lichtstrahls von der Sonne zum Betrachter, (aus [116])

208

8 Modellierung und Animation von Naturerscheinungen

gestreute Lichtstrahlen einfallender Lichtstrahl

q

Phasenfunktion Abb. 8.8. Rayleigh’sche Streufunktion

mit einem wesentlich gr¨ oßeren Aufwand nach Mie (Mie-Streuung) berechnet werden. Auf eine verst¨ andliche Darstellung des komplexen Formalismus zur Berechnung der Mie-Streuung muss in diesem Zusammenhang verzichtet werden, da dies u ¨ber den thematischen Rahmen dieses Buches hinaus gehen w¨ urde. Interessenten an dieser Thematik seien auf die Arbeiten von van de Hulst [117], Bohren und Huffmann [118] sowie von Barber und Hill [119] verwiesen. Ein Programm f¨ ur die Berechnung der Mie-Streufunktionen ist unter [120] zu finden. In einigen F¨ allen l¨ asst sich die Mie-Streuung durch die Anwendung der Streuformel nach Henney und Greenstein approximieren. Da diese Streuformel jedoch die Abh¨ angigkeit von der Lichtwellenl¨ ange λ nicht ber¨ ucksichtigt, k¨ onnen hiermit keine Dispersionseffekte dargestellt werden. Die Abbildung 8.9 veranschaulicht, wie die in die Atmosph¨ are eintretende Sonnenlichtstrahlung gestreut und von einem virtuellen Betrachter wahrgenommen wird. Die Strahlungsanteile werden hierbei entlang des Projektionsstrahls summiert, wobei die Strahlungsabschw¨ achung mit wachsender Wegl¨ ange zum Betrachter zu-

s eindringende Sonnenstrahlen Streuvolumen

einfallender Strahl n

streuendes und absorbierendes Medium

gestreuter Strahl n

einfallender Strahl n+1

q Streuvolumen n

beim Betrachter ankommende Lichtstrahlen

sv

gestreuter Strahl n+1 + gestreuter und abgeschwächter Strahl n

Streuvolumen n+1

Abb. 8.9. Akkumulation des in Richtung des Betrachters gestreuten Lichtes

8.2 Atmosph¨ arische Erscheinungen

209

at der Sonnenlichtstrahlung. Die Dichte p und der nimmt. I0 ist die Anfangsintensit¨ Extinktionsfaktor γ entlang des gesamten Strahlenweges (sa + sb ) wird als konstant betrachtet, wobei p(scp ) der Dichtewert des Streuvolumens, am Kreuzungspunkt zwischen dem Lichtstrahl und dem Sichtvektor ist. Mit diesen Festlegungen erhalten wir die vom Betrachter wahrgenommen Lichtintensit¨ at mit: Iv(1) = I0 p(scp ) D[λ, θ ] exp[−(γ sa + γ sb ) p ]

(8.20)

Allerdings k¨ onnen wir in der Realit¨ at nicht von homogenen Verh¨ altnissen ausgehen. So nimmt die Dichte der Atmosph¨ are mit wachsendem Abstand zur Erdoberfl¨ ache exponentiell ab. Ber¨ ucksichtigen wir nur die h¨ ohenabh¨ angige Dichte des streuenden Mediums, so erhalten wir aus Glg. 8.20 die Gleichung:

Iv(2) = I0 p(scp )D[λ, θ] exp


−γ



scp

   p(s )ds  exp
−γ

sv

a

a

s0

  p(s )ds  b

b

(8.21)

scp

Um den Betrag der vom virtuellen Betrachter wahrgenommenen Lichtintensit¨ at aus einer Sichtrichtung zu bestimmen, ist die Ber¨ ucksichtigung nur eines Streuvolumens, nach Glg. 8.21 unzureichend. Hierzu sind s¨ amtliche Lichtintensit¨ atsanteile, die in Richtung des Betrachters gestreut werden, wie in der Abb. 8.9 dargestellt, entlang des Sichtvektors zu integrieren:



Iv(3) = I0 D[λ, θ]

   ) exp −γ

scp

sv

p(scp

scp =s



sv

p(sa ) dsa − γ

s0

 p(s ) ds ds b

b

cp

(8.22)

scp

In Gleichung 8.22 gehen wir bislang nur von einer einzigen atmosph¨ arischen Komponente aus. Die Lufth¨ ulle enth¨ alt jedoch eine Vielzahl unterschiedlicher gasf¨ ormiger Bestandteile wie Aerosole, Ozon oder Wasserteilchen mit ungleichf¨ ormigen Dichteverteilungen, die das Licht unterschiedlich stark streuen und abschw¨ achen. Unter Ber¨ ucksichtigung mehrerer Komponenten Ns mit unterschiedlichen Dichten qi , Extinktionskoeffizienten γi und Phasenfunktionen Di [θ, λ] erhalten wir:

 sv

Iv(4)

= I0

Ns −1

Di [λ, θ] pi (scp )·

   exp − scp =s

i=0

Ns −1



scp

i=0 s 0

sv

γi pi (sa ) dsa +

 γ p (s ) ds ds i

i

b

b

(8.23) cp

scp

Um diese Gleichung effizient implementieren zu k¨ onnen, verwenden wir ein vereinfachtes Atmosph¨ arenmodell, das aus konzentrischen, sich gegenseitig u ¨berlagernden Schalen besteht. Dieses Modell hat den Vorteil, dass sich die einzelnen Komponenten der Atmosph¨ are in beliebiger Weise innerhalb der einzelnen Schalen verteilen lassen. Die Abbildung 8.10 zeigt als Beispiel eine Modellatmosph¨ are, die nur aus den

210

8 Modellierung und Animation von Naturerscheinungen

50 Km 8 Km

Klarluftschalen

Aerosolschalen

Kombination von Aerosol- und Klarluftschalen

Abb. 8.10. Atmosph¨ arenmodell ¨ Komponenten Klarluft sowie einem Aerosol besteht. Infolge der Uberlagerung beider Komponenten vergr¨ oßert sich die Anzahl der Schalen, in denen jeweils konstante Dichte- und Mischungsverh¨ altnisse bestehen: sj+1 Ns −1

Isj ≈ Iaj sj


 pi,j (sv ) Di [λ, θ] exp −

sv

Ns −1

i=0

γi

i=0

  pi,j (s) ds dsv

(8.24)

sj

Hierin ist Ns die Anzahl der streuenden und absorbierenden Komponenten der Atmosph¨ are. pi,j und γi sind die Dichten sowie die Absorbtionskoeffizienten der jeweiligen atmosph¨ arischen Komponenten. Unter der Annahme, dass pi,j innerhalb des Streuvolumensegmentes konstant ist, l¨ asst sich Glg. 8.24 weiter vereinfachen. Wir erhalten: Isj = Iaj

1 − exp[(sj − sj+1 )

Ns −1 i=0

diskrete Dichtefunktionen zweier unterschiedlicher atmospherischer Komponenten p0 , p1 s8 s4 s9 s7 s6 s5 s10

s3

SV9

Ns −1 i=0

pi,j γi

p0,5

0 “a”

p1,9 p0,9

p0,6

p1,4



Ns −1

p1,2

pi,j Di [λ, θ]

p1,0

einfallende Sonnenstrahlen s4 s3

SV2

Streuvolumen

p0,0

I0

Ia

s2 s1

p1

s0

(a)

Dichteverlauf entlang des Sichtvektors

(8.25)

i=0

“a” Sichtvektor SV9 s10 s9 s8 s7 s6 s2 s1 s5 SV0 SV2 p0 p0,2

p0,4

pi,j γi ]

s “b”

(b)

SV0 “b”

Ivsum Betrachter

Abb. 8.11. Bestimmung des vom Betrachter wahrgenommenen Strahlungsanteils: uckweise konstante Dichtefunk(a) Erzeugung der Streuvolumensegmente durch st¨ tionen, (b) Approximation des wahrgenommenen Strahlungsanteils durch die Streuvolumensegmente SV0 bis SV9

8.2 Atmosph¨ arische Erscheinungen

211

Wie in Abbildung 8.11 dargestellt, durchdringt die von SVj in Richtung des Betrachters ausgesendete Strahlung auf ihrem Weg entlang des Sichtvektors die Segmente der Streuvolumen SVj−1 bis SV0 . Hierdurch wird die Strahlungsdichte entsprechend der Glg. 8.26 soweit vermindert, dass den virtuellen Betrachter nur noch den Anteil




=

Isj

exp −






Nk −1

Ns −1

Ivj

γi

i=0

pi,j (sj+1 − sj )

(8.26)

j=0

erreicht. Die Strahlungsdichte am Ende eines Sichtstrahls ergibt sich durch die Addition s¨ amtlicher Strahlungsanteile, die beim virtuellen Betrachter entsprechend abgeschw¨ acht eintreffen.


Nsv

IvΣ =

Ivj

(8.27)

j=0

Die Berechnung des gesamten Bildes entspricht dem Ray-Casting Verfahren. Vom Blickpunkt ausgehend werden in der zuvor beschriebenen Weise die Strahlungsdichten aller Sichtstrahlen u are ¨ber den gesamten Bereich der sichtbaren Hemisph¨ agt. Da die Strahlungsdichte auch berechnet, wobei die Winkelaufl¨ osung 0,25◦ betr¨ von der Lichtwellenl¨ ange abh¨ angt, muss dieser Abbildungsprozess mit mindestens 20 Spektralb¨ andern von 400nm bis 720nm in Abst¨ anden von je 15nm erfolgen. Die Berechnung dieser 20 Spektralb¨ ander ist notwendig, um die Dispersionseffekte darstellen zu k¨ onnen. Wir erhalten somit f¨ ur jeden Bildpunkt die diskrete Verteilung der einzelnen Spektralkomponenten als Funktion der Lichtwellenl¨ ange I Σ (λ). Mit dieser Spektralverteilung erfolgt anschließend die Bestimmung der RGB-Farbanteile. Transformation des diskreten Lichtspektrums in die RGB-Farbkomponenten. Die Transformation der diskreten Spektralfunktion eines Bildpunktes in seine RGB-Farbkomponenten erfolgt mit Hilfe der sog. Normfarbwerte (X, Y, Z). Wir erhalten die im CIE-System definierten Normfarbwerte, indem wir die diskreten Spektralwerte eines Bildpunktes I Σ (λ) mit den von der CIE festgelegten Normfarbmischfunktionen x ¯(λ), y¯(λ) und z¯(λ) (s. Abb. 8.12) multiplizieren und den Mittelwert der Produktsumme bestimmen:

X=

1 n

n


x ¯ (λi )IvΣ (λi ) , Y =

i=1

1.5

1 n

n


y¯ (λi )IvΣ (λi ) , Z =

i=1

1 n

z

1.0

y

x

0.5 0.0

400

500

nm 600

700

Abb. 8.12. Normfarbmischfunktionen

n
i=1

z¯ (λi )IvΣ (λi )

212

8 Modellierung und Animation von Naturerscheinungen

Die X−, Y − und Z−Werte sind Koordinaten des sog. Normfarbraums, der jeden beliebigen RGB-Farbraum einschließt. Um diese Normfarben darstellen zu k¨ onnen, muss eine XYZ/RGB-Transformation der Normfarbraumkoordinaten in die jeweils ger¨ atespezifischen RGB-Farbkoordinaten durchgef¨ uhrt werden.

8.2.2 Regenbogen Die atmosph¨ arisch-optische Erscheinung des Regenbogens wird durch die Brechung und innere Reflexion der Sonnenstrahlen an den Wassertropfen einer Regen- oder Nebelwand auf der Gegenseite zur Sonne erzeugt. Am auff¨ alligsten ist der Hauptregenbogen , der durch innere Reflexion an den kugelf¨ ormigen Grenzfl¨ achen der Wassertr¨ opfchen entsteht. Hierbei werden die Sonnenstrahlen um 138◦ bis 180◦ zur Einfallsrichtung gedreht, wobei, wie die Abb. 8.13 zeigt, eine signifikante H¨ aufung der reflektierten opfchen, welche diese abLichtstrahlen im Bereich von 138◦ auftritt. Alle Wassertr¨ gelenkten Lichtstrahlen zum Betrachter senden, befinden sich auf einem Kegel¨ mantel, der einen Offnungswinkel von 42◦ aufweist. Der Betrachter nimmt diese R¨ uckstreuung als leuchtenden Ringbogen wahr, der sich auf der Mantelfl¨ ache eines Kegels ausbildet. Eine zweite, weniger auff¨ allige Strahlenh¨ aufung tritt bei einem R¨ uckstreuwinkel von 129◦ auf, der als Nebenregenbogen, 51◦ oberhalb des Hauptregenbogens befindlich, wesentlich schw¨ acher wahrgenommen wird. Mit den Abbildungen 8.14a,b werden diese Zusammenh¨ ange illustriert. Dieses einfache Erkl¨ arungsmodell zur Entstehung des Regenbogens geht auf den franz¨ osischen Philosophen und Mathematiker Ren´e Descartes zur¨ uck. Es basiert auf dem Fermat’schen Prinzip von der geradlinigen Ausbreitung des Lichtes und dem Brechungsgesetz von Snellius. Allerdings m¨ usste bei der Theorie von Descartes die Helligkeit und Breite der einzelnen Farbstreifen immer gleich sein. Bei genauer Beobachtung sieht man jedoch, dass dies nicht zutrifft. Die Farbstreifen besitzen eine unterschiedliche Breite, wobei innerhalb des Hauptregenbogens mitunter Kreisb¨ ogen unterschiedlicher Helligkeit zu erkennen sind. Der britische Mathematiker und Astronom George Airy konnte diese Ph¨ anomene mit dem Wellencharakter des Lichtes erkl¨ aren. In seiner Theorie wurden Interferenz¨ effekte sowie die Gr¨ oße der Regentropfen ber¨ ucksichtigt. Er stellte Uberlegungen an

138°

Abb. 8.13. Ablenkung des Lichtstrahls in einem Wassertropfen

8.2 Atmosph¨ arische Erscheinungen

213

Regentropfenwolke len enstrah

erster Regenbogen

onn

51° S 42°

51°

(a)

n

nstrahle

Sonne

42°

Betrachter

42° (b)

Abb. 8.14. Lichtstreuung an einer Wolke aus Regentr¨ opfchen: (a) R¨ uckstreuung an den Wassertr¨ opfchen im Winkel von 42◦ und 51◦ , (b) Entstehung des Hauptregenbogens

einem einzigen beliebig großen Wassertropfen an. Hiervon ausgehend schloss er auf die Verh¨ altnisse in einem Raum mit unendlich vielen Wassertropfen unterschiedlicher Gr¨ oße. Diese beiden Ans¨ atze basierten auf dem Korpuskelmodell also der Vorstellung, Lichtstrahlen als Teilchenstrom zu betrachten. Zwar l¨ asst sich hiermit die Erscheinung des Regenbogens plausibel erkl¨ aren, jedoch ist dieses Modell zur synthetischen Erzeugung und Simulation, z.B. mit Hilfe eines Strahlenverfolgungsverfahrens, ungeeignet. Wesentlich eleganter kann der Regenbogen mit Hilfe der Mie-Streuung simuliert und mit den Methoden der Computergrafik dargestellt werden. Nach der Mie’schen Streuungstheorie, die f¨ ur den gesamten Bereich der elektromagnetischen Strahlung gilt, l¨ asst sich die Lichtstreuung von kugelf¨ ormigen, homogenen und isotropen Teilchen berechnen, wobei theoretisch keine Einschr¨ ankung hinsichtlich ihrer Teilchengr¨ oße gegeben ist. Somit ist es m¨ oglich, auch von einem einzigen Wassertropfen das Verh¨ altnis von eingestrahlter zu ausgestrahlter Lichtintensit¨ at als Funktion des Reflektionswinkels zu berechnen. Hierbei wird vereinfa-

Abb. 8.15. Streudiagramm eines Wassertr¨ opfchens f¨ ur: λ = 555nm, Partikelradius=200µm, (aus [116])

214

8 Modellierung und Animation von Naturerscheinungen

einfallende Sonnenstrahlen

Streuvolumen

gestreute Sonnenstrahlen Abb. 8.16. Lichtstreuung an einem Partikelvolumen

chend angenommen, dass die Streufunktion rotationssymmetrisch um die Achse des einstrahlenden Sonnenlichtvektors verl¨ auft6 . Die Abbildung 8.15 zeigt f¨ ur eine Lichtwellenl¨ ange von 500nm die Streufunktion eines Wassertr¨ opfchens mit dem Radius von 0,2mm und dem Lichtbrechungsindex 1.3334 + i0“. ” Allerdings ist es nicht m¨ oglich, mit der Phasenfunktion eines einzelnen Wassertr¨ opfchens die Erscheinung des Regenbogens darzustellen. Der in der Abb. 8.15 dargestellte Funktionsverlauf zeigt zwar bei den Streuwinkeln von 138◦ und 129◦ gut erkennbare Spitzenwerte, jedoch sind auch daneben zahlreiche weitere Peaks zu sehen, die es unm¨ oglich machen, die Erscheinung des Regenbogens plausibel darzustellen. Die entscheidende Idee, die zu u uhrt, besteht darin, ¨ berzeugenden Ergebnissen f¨ nicht die Phasenfunktion eines einzelnen Wassertr¨ opfchens zu berechnen, sondern die Lichtstreuung eines Partikelgemisches, das sich innerhalb eines Streuvolumens

4 10 -6 Rain L 3 10 -6 Partikel “n/cm3”

Rain M

10 -6 Radius r [
m]

200

400

600

800

Abb. 8.17. Typische nach Glg. 8.28 berechnete Gr¨ oßenverteilung der Regentropfen in einem Streuvolumen (Parameter f¨ ur Rain L: N = 10−3 , rc = 70µm, cD = 0.2438µm, α = 2.0, γ = 0.5 und f¨ ur Rain M: N = 10−3 , rc = 50µm, cD = 0.0267µm, α = 1.0, γ = 0.5), (aus [116]) 6

Diese Annahme ist nicht ganz korrekt, da die horizontal und vertikal polarisierten Streufunktionen etwas voneinander abweichen.

8.2 Atmosph¨ arische Erscheinungen

215

Abb. 8.18. Streudiagramm eines Wassertr¨ opfchenvolumens, (aus [116])

befindet (s. Abb. 8.16), zu bestimmen. Hierzu muss jedoch bekannt sein, wie die Gr¨ oßenverteilung der Wasserpartikel innerhalb des Streuvolumens beschaffen ist. F¨ ur Regentropfen kann nach [121] die Verteilungsfunktion n(r) = N cD

r rc


α



exp −

α γ

r rc


γ 

(8.28)

verwendet werden. Hierin ist n(r) die Anzahl der Partikel pro cm−3 als Funktion des Partikelradius r[µm], N die Gesamtzahl der Partikel pro Volumeneinheit [cm−3 ], aufigsten auftretende Partikelradius. cD [µm−1 ], α und γ sind emrc [µm] der am h¨ pirisch bestimmte Konstanten, wobei die beiden Letzteren dimensionslos sind. Die Abbildung 8.17 zeigt einige typische Verteilungsfunktionen f¨ ur Regentropfen. Um die Phasenfunktion des Partikelgemisches zu erhalten, m¨ ussen die Mie’schen Gleichungen mit der Verteilungsfunktion, Glg. 8.28, multipliziert und u ¨ ber die Partikelgr¨ oßenverteilung integriert werden. Unter Ber¨ ucksichtigung der Gr¨ oßenstreuung entsteht das in der Abb. 8.18 dargestellte Streudiagramm eines Gemisches von Wassertr¨ opfchen, deren Radius zwischen 1 bis 800µm variiert. Auff¨ allig ist der im Vergleich mit Abb. 8.15 wesentlich glattere Verlauf der Phasenfunktion, in der besonders die beiden Spitzen bei den agt sind. Diese beiden Spitzen erzeugen die Streuwinkeln von 138◦ und 129◦ ausgepr¨ Streustrahlung, die wir als Regenb¨ ogen (erster und zweiter Regenbogen) unter den Sichtwinkeln von 180◦ -138◦ = 42◦ und 180◦ -129◦ = 51◦ wahrnehmen. Abh¨ angig von der Wellenl¨ ange λ verschieben sich die Streuwinkel dieser beiden Spitzen. Diese Verschiebung, die nur wenige Grad betr¨ agt und auch von der mittleren Gr¨ oße der Wassertr¨ opfchen abh¨ angt, erzeugt das bekannte Farbspektrum des Regenbogens. Wie bereits im Abschn. 8.2.1 dargestellt, ist es erforderlich, u ¨ ber das gesamte Spektrum der Lichtwellen die Phasenfunktionen in Abst¨ anden von 15nm bis 20nm zu ermitteln und als Tabellen abzuspeichern. Dieser Prozess muss f¨ ur jedes Partikelgemisch nur einmal ausgef¨ uhrt werden, um anschließend als Tabellenfunktion f¨ ur das Atmosph¨ arenrendering zur Verf¨ ugung zu stehen. Mit dem in [120] referenzierten Programm zur Erzeugung von Mie-Plots k¨ onnen die oben beschriebenen Zusammenh¨ ange in einfacher Weise u uft werden. ¨ berpr¨ Die Abbildung 8.19 zeigt einige Ergebnisse des oben beschriebenen Verfahrens zur Simulation und Visualisierung der Atmosph¨ are, die hier jeweils unterschiedliche Zusammensetzungen aus Aerosolen und Wasserdampf aufweist.

216

8 Modellierung und Animation von Naturerscheinungen

Abb. 8.19. Darstellung der Atmosph¨ are: (a) Klarluft, Sonnenstandsh¨ ohe 45◦ , (b) ohe 45◦ , (d) Klarluft, Sonnenstandsh¨ ohe 5◦ , (c) verschmutzte Luft, Sonnenstandsh¨ erster und zweiter Regenbogen, (aus [122], s. Farbtafel VIII)

8.2.3 Halo-Erscheinungen Unter Halos werden jene atmosph¨ arisch-optischen Erscheinungen zusammengefasst, die durch Spiegelung und Brechung des Sonnenlichts an Eiskristallen entstehen. Die Art einer Halo-Erscheinung h¨ angt von der Form der Eiskristalle, des Einfallswinkel der Lichtstrahlen sowie von der Rotationsbewegung ab, mit der die Eiskristalle zur Erde fallen. Die vielf¨ altige Art der Beeinflussung von Brechung und Reflexion der Lichtstrahlen erkl¨ art die sehr unterschiedlichen Erscheinungsformen der Halos. Obgleich mehr als 30 unterschiedliche Halo-Arten, die einzeln oder auch in Kombination auftreten k¨ onnen, bekannt sind, werden bis auf drei Grundformen alle weiteren nur sehr selten beobachtet. Zu den h¨ aufigsten Halos, die zusammen ca. 95 Prozent aller beobachteten Erscheinungen ausmachen, geh¨ ort nach [123] der kleine 22◦ Halo-Ring, der Nebensonnenhalo sowie der umschriebene Halo. ¨ Außerst selten beobachtete Halo-Ph¨ anomene, die in der Literatur erw¨ ahnt sind, tragen Namen wie das R¨ omische Ph¨ anomen (beobachtet 1630), das Danziger Ph¨ anomen (beobachtet 1661) oder auch das St. Petersburger Ph¨ anomen (beobachtet 1794). Vom Altertum bis zum Mittelalter wurde das Auftreten seltener Halo-Erscheinungen als g¨ ottliche Botschaft interpretiert. Vermutlich haben Halos oftmals die Menschen in ihrem Handeln und mitunter auch den Ablauf der Geschichte beeinflusst.

8.2 Atmosph¨ arische Erscheinungen

217

Zenit d

h

l

g

o

b k

n

c

i

h p

g

a

l

e Sonne

b

f

k o

Horizont c Abb. 8.20. R¨ aumliche Darstellung der Halos: (a) kleiner Haloring von 22◦ , (b) Nebensonnenhalos, (c) umschriebener Halo, (d) Zirkumzenitalbogen, (e) Lichts¨ aule, (f) Horizontalkreis, (g) großer Haloring von 46◦ , (h) Nebengegensonnen, (i) Gegensonne, (k) Lowitzsche schiefe B¨ ogen, (l) Nebensonnen 90◦ , (n) Parrys Halo, (o) seitliche Ber¨ uhrungsb¨ ogen des großen Haloringes, (p) B¨ ogen der Gegensonne, (nach [123]) Obgleich die f¨ ur das Entstehen der Halo-Ph¨ anomene verantwortlichen physikalischen Ursachen seit langer Zeit bekannt sind, war ihre Simulation wegen des damit verbundenen Rechenaufwandes bislang nur eingeschr¨ ankt m¨ oglich. Erst durch den enormen Zuwachs an Rechenleistung in den letzten zehn Jahren ist es heute m¨ oglich, einen Teil dieser Leuchterscheinungen zu simulieren und mit Hilfe computergrafischen Methoden realistisch darzustellen. Hierdurch erhalten wir zum einen die M¨ oglichkeit, derartige Naturerscheinungen, u ¨ ber die in der Literatur berichtet wurde, auf Plausibilit¨ at zu u ufen. Zum anderen sind wir in der Lage, diese ¨ berpr¨ Naturph¨ anomene physikalisch-basiert zu modellieren und realit¨ atsnah zu visualisieren, deren Sch¨ onheit wir in unser realen Umwelt mit wahrscheinlich sonst nicht zu Gesicht bekommen w¨ urden.

8.2.4 Zur Theorie der Halo-Erscheinungen Die Eiskristallpartikel, die zur Bildung von Halo-Erscheinungen f¨ uhren, haben zumeist eine prismatische Nadel- oder Pl¨ attchenform. Ihre Gr¨ oße schwankt zwischen 0.2 und 5mm. Sie treten in der Regel in Cirrostratuswolken, in tiefer liegenden Eisnebeln auf. Um Halo-Effekte erkl¨ aren zu k¨ onnen, gehen wir von der vereinfachten Annahme aus, dass die Hauptachsen der Eiskristallpartikel zum u ¨ berwiegenden Teil gleichartig ausgerichtet sind. F¨ ur den Fall, dass die Luftbewegung in den Eisnebelwolken nicht oder nur geringf¨ ugig turbulent ist, richten sich die Hauptachsen der pl¨ attchenf¨ ormigen Eiskristalle unter dem Einfluss der Fallbeschleunigung senkrecht aus und bieten damit den maximalen Luftwiderstand (s. Abb. 8.21a). Die Hauptachsen der Eiskristallnadeln sind hingegen horizontal ausgerichtet (s. Abb. 8.21b). Das Entstehen von Halos kann durch Lichtbrechung und durch Lichtspiegelung erkl¨ art werden.

218

8 Modellierung und Animation von Naturerscheinungen

Abb. 8.21. Rotation der Eiskristallpartikel in nicht-turbulenter Luft: (a) Rotationsachse in Fallrichtung orientiert, (b) Rotationsachse senkrecht zur Fallrichtung orientiert Brechungshalos. Die durch Lichtbrechung entstehenden Haloeffekte werden in der Regel mit zwei Arten von Dispersionsprismen erkl¨ art. Bei der einen Prismenart sind die lichtbrechenden Seitenfl¨ achen im Winkel von 60◦ zueinander angeordnet (s. Abb. 8.22a). Bei der anderen Prismenart erfolgt die Brechung eines Lichtstrahls an einer der sechs Seitenfl¨ achen und an einer der beiden Basisfl¨ achen (s. Abb. 8.22b). Die Seiten- und Basisfl¨ achen stehen in diesem Fall im Winkel von 90◦ zueinander. In beiden F¨ allen werden die Haloerscheinungen im Wesentlichen von jenen Lichtstrahlen erzeugt, die beim Durchdringen der Dispersionsprismen am wenigsten abgelenkt werden. ur rotes Licht Bei den 60◦ Prismen variieren die Ablenkungswinkel von 21.6◦ f¨ ur blauviolettes Licht (λ = 400nm). Bei den 90◦ Prismen (λ = 700nm) bis zu 22.4◦ f¨ oßer. Der ist die Variation der Ablenkwinkel¨ anderung von 45.4◦ bis 47.3◦ etwas gr¨ gr¨ oßeren Dispersion (spektrale Zerlegung) der 90◦ Prismen steht allerdings ihre im arke entgegen. Dieser Vergleich zur 22◦ Grad Ablenkung wesentlich geringere Lichtst¨ Sachverhalt wird auch dadurch unterstrichen, dass Brechungshalos, die durch 90◦ Halos hervorgerufen werden, wesentlich seltener in Erscheinung treten. Am Beispiel des relativ h¨ aufig auftretenden 22◦ Halorings soll die Entstehung einer Halo-Erscheinung erkl¨ art werden, die durch Lichtbrechung erfolgt. In diesem Fall treffen die Lichtstrahlen auf Eiskristallpartikel und werden durch deren 60◦ Prismenform um ca. 22◦ (siehe Abb. 8.23a) abgelenkt. Die abgelenkten Strahlen jener Eiskristallpartikel, die sich auf der Mantelfl¨ ache eines Kegels befinden, dessen ¨ Offnungswinkel 44◦ betr¨ agt, treffen hierbei ins Auge eines Betrachters, wenn dieser in Richtung der Sonne blickt. Die Strahlungsintensit¨ at, die sich im Luftvolumen auf

Abb. 8.22. Brechung der Lichtstrahlen an (a) 60◦ und (b) 90◦ Prismen

8.2 Atmosph¨ arische Erscheinungen

219

Abb. 8.23. Entstehung des kleinen 22◦ Halorings

dieser Kegelfl¨ ache ausbildet, nimmt der Betrachter, wie in der Abb. 8.23b dargestellt, als eine ringf¨ ormige Leuchterscheinung wahr, die innen scharf begrenzt ist und dessen ¨ außere Konturen wesentlich unsch¨ arfer erscheinen. Auch hierbei treten, wie beim Regenbogen Dispersionseffekte auf, wenn auch wesentlich schw¨ acher ausgepr¨ agt. Spiegelhalos Spiegelhalos werden durch innere und ¨ außere Spiegelreflexionen an den Basis- und Seitenfl¨ achen der Eiskristalle verursacht. So entsteht durch ¨ außere Spiegelung an den Seitenfl¨ achen und bei vertikaler Ausrichtung der Hauptachse des Kristalls ein Horizontalkreis. Sind die Hauptachsen der Eiskristalle hingegen horizontal orientiert, so ist gleichfalls der Horizontalkreis wahrnehmbar, der in diesem Fall jedoch durch ¨ außere Spiegelung an den Basisfl¨ achen entsteht. Die in der Abb. 8.20e dargestellte vertikale Lichts¨ aule hat ihre Ursache durch die ¨ außere Spiegelung an den Seitenfl¨ achen bei gleichzeitiger Rotation der Kristalle um die Hauptachse. Infolge der doppelten inneren Spiegelung an den Seitenfl¨ achen (s. Abb. 8.24a) wird die Nebengegensonne erzeugt (s. Abb. 8.20h). Die Gegensonne (s. Abb. 8.20i) entsteht gleichfalls durch doppelte innere Spiegelung, jedoch wird in diesem Fall der

Abb. 8.24. Entstehung von Spiegelhalos durch (a) innere Reflektion an den Seitenfl¨ achen und (b) doppelte innere Spiegelung

220

8 Modellierung und Animation von Naturerscheinungen

Lichtstrahl an einer Basis- und an einer Seitenfl¨ ache reflektiert (s. Abb. 8.24b). Die Entstehung aller weiteren Halos, die sich in ¨ ahnlicher Weise erkl¨ aren lassen, sind in [123] beschrieben.

8.2.5 Simulation und Darstellung der Halo-Erscheinungen Die Simulation und Darstellung der Halo-Erscheinungen erfolgt prinzipiell in der gleichen Weise, wie bei der physikalisch-basierten Visualisierung der Atmosph¨ are, die im vorherigen Abschnitt beschrieben ist. Der wesentliche Unterschied besteht in der Bestimmung der Phasenfunktion, die sich nicht wie im Fall der sph¨ arischen Luftmolek¨ ule oder Wassertr¨ opfchen analytisch berechnen l¨ asst. Bestimmung der Phasenfunktion. Die Bestimmung der Phasenfunktion erfolgt hier auf der Grundlage der geometrischen Optik. Hierbei wird der Weg der Lichtstrahlen durch ein beliebiges Eiskristall simuliert, das sich im Zentrum einer Kugel befindet. F¨ ur jeden Strahl, der in das Kristall eindringt, wird nach [124] der Ort bestimmt, an dem der simulierte Lichtstrahl wieder aus der Kugel austritt (s. Abb. 8.25), wobei an dieser Austrittsstelle die St¨ arke des reflektierten Lichtstrahls eingetragen wird. Wir erhalten die Phasenfunktion eines Kristalls mit jeweils einer Orientierung, indem wir aus allen Richtungen Strahlen auf den Kristall schicken und den Ort sowie die Strahlungsst¨ arke jedes austretenden Strahls auf der Kugeloberfl¨ ache ermitteln. Die Winkelaufl¨ osung betr¨ agt hierbei durchschnittlich 0.25◦ und wird adaptiv an die zu bestimmende Phasenfunktion angepasst. Um diese f¨ ur das gesamte Streuvolumen (Eiskristallwolke) bestimmen zu k¨ onnen, muss der Kristall nach der Berechnung einer Funktion, entsprechend seiner vorgegebenen Rotations- oder Taumelbewegung, die Orientierung ¨ andern. Anschließend erfolgt die erneute Berechnung der Phasenfunktion, deren Werte mit den zuvor empirisch ermittelten Werten akkumuliert werden. Zur Bestimmung der Phasenfunktion eines Streuvolumens wird dieser Berechnungsvorgang mit ca. einer Million Eiskristallorientierungen mit einer abschließenden Mittelwertbildung durchgef¨ uhrt. Um auch die Dispersionseffekte darstellen zu k¨ onnen, werden die Phasenfunktionen f¨ ur mindestens 20 Lichtwellenl¨ angen λ von 400nm bis 720nm bestimmt. Der gesamte Prozess zur Bestimmung einer λdas im Zentrum der Kugel positionierte Eiskristall wird unterschiedlich ausgerichtet Lichtstrahlen

kugelförmige Projektionsfläche

Abbildungen der gebrochenen oder reflektierten Lichtstrahlen auf die sphärische Projektionsfläche

Abb. 8.25. Prinzip der Bestimmung von Phasenfunktionen an Eiskristallen

8.3 Wolken

221

Abb. 8.26. Ergebnisse: (a) kleiner und großer Haloring (22◦ und 46◦ ), (b) kleiner aule mit Nebensonnenhalos, (d) umschriebener Halo mit 22◦ Haloring, (c) Lichts¨ Zirkumzenitalbogen, (aus [125], s. Farbtafel IX)

abh¨ angigen Phasenfunktion erfordert nur einmalig einen hohen Rechenaufwand, da die Phasenfunktion tabellarisch gespeichert und f¨ ur alle nachfolgenden Simulationsprozesse immer wieder verwendet werden k¨ onnen. Die Abbildung 8.26 zeigt einige Ergebnisse der oben beschriebenen Methode zur Simulation und Visualisierung bekannter Halo-Ph¨ anomene.

8.3 Wolken Seit Anfang der achtziger Jahre wurde eine Vielzahl von Wolkenmodellen entwickelt und in der Computergrafikliteratur vorgestellt. Die Verfahren, die am h¨ aufigsten zur Modellierung von Wolken verwendet wurden, basieren auf zwei- oder dreidimensionalen prozeduralen Texturen, welche die Leuchtdichteverteilung in einer Wolke

222

8 Modellierung und Animation von Naturerscheinungen

nachbilden, die ein weit entfernter Betrachter wahrnimmt. Obgleich mit diesen Methoden oftmals realistisch erscheinende Wolkengebilde darstellbar sind, unterliegen sie in der Regel großen Einschr¨ ankungen bez¨ uglich der Blickrichtung sowie der Entfernung des virtuellen Betrachters zum Wolkenmodell. Physikalisch-basierte Wolkenmodelle lassen sich hingegen nur mit einem relativ großen Aufwand durch Simulation unter Verwendung partieller Differentialgleichungssysteme nachbilden. Der 3D-Simulationsraum kann hierzu in uniforme Zellen unterteilt werden. F¨ ur jede dieser Zellen wird dann das dynamische Verhalten der einzelnen Wolkenpartikel bestimmt, wobei in der Regel f¨ ur jede Raumzelle das zeitliche Verhalten der Dichte, der Temperatur sowie ein Geschwindigkeitsvektor berechnet wird. Derzeit sind diese Verfahren jedoch nur zur Darstellung einzelner, lokal begrenzter Wolkensysteme verwendbar. Um das komplexe Wolkensystem einer gesamten Himmelsbew¨ olkung mit der notwendigen r¨ aumlichen Aufl¨ osung zu simulieren und darzustellen, ist der Speicher- und Rechenaufwand noch zu hoch. Die Bestimmung der Leuchtdichte, basierend auf der Physik der Lichtstreuung, ist ein weiterer Aspekt, der f¨ ur die realit¨ atsnahe Wolkendarstellung von großer Bedeutung ist. Eine Methode zur Berechnung der einfachen Partikelstreuung wurde bereits im Abschn. 8.2.1 diskutiert. Prinzipiell ist dieses Verfahren auch zur Wolkenvisualisierung anwendbar. Die hierbei erzielten Ergebnisse sind jedoch oft unbrauchbar, da die Verwendung der Methoden zum Visualisieren der aus Wasserdampf bestehenden Wolken ein großes Albedo aufweisen. Bei der Verwendung der einfachen Partikelstreuung f¨ uhrt das zu unrealistisch wirkenden dunklen Schatten. Bessere Ergebnisse erhalten liefert die Ber¨ ucksichtigung der Mehrfachstreuung. Allerdings steigt der hierf¨ ur erforderliche Rechenaufwand an.

8.3.1 Prozedurales 2D-Wolkenmodell Das erste prozedurale Wolkenmodell wurde 1981 von Nelson Max [126] im Zusammenhang mit der Modellierung, Visualisierung und Animation einer Inselwelt (Carla´s Island) vorgestellt. Indem sich die Sonnenh¨ ohe oder die Stellung des Mondes dynamisch ver¨ andern ließ, konnte ein Tag/Nacht-Zyklus in dieser synthetischen Inselwelt als Animation erzeugt werden. Die Wolken wurden hierbei als eine horizontale Texturebene dargestellt, wobei die Texturfunktion durch Addition eines quadratischen Polynoms mit der trigonometrischen Reihe n

F (x, y) = d − a(x − x0 )2 − b(y − y0 )2 +

sin(pi x + qi y + ri )

(8.29)

i=1

gebildet wurde. Die Kappung der Funktionswerte von F (x, y) an einer oberen und einer unteren Grenze erfolgt mit: f (x, y) = min(1, max(0, F (x, y))) Bei der Betrachtung einer Wolkenbank, die sich u ¨ ber einen weiten Bereich hinstreckt, k¨ onnen oftmals periodisch erscheinende Dichteverteilungen beobachtet werden. Dieser Effekt l¨ asst sich mit dem trigonometrischen Summenterm von Glg. 8.29 in einfacher Weise nachbilden. Das quadratische Polynom in Glg. 8.29 beschreibt unterschiedliche Dichteverteilungen der Wolkenbank. F¨ ur den Fall, dass F (x, y) negativ

8.3 Wolken

223

Abb. 8.27. Prozedurales Wolkenmodell erzeugt mit Hilfe eines oberen und unteren H¨ ohenfeldes: (a) Schnitt durch ein H¨ ohenfeld, (b) Kombination der Hintergrundfarbe mit der Wolkenfarbe (s. Farbtafel X)

wird, erh¨ alt f (x, y) den Funktionswert 0 und das Wolkengebiet erscheint vollst¨ andig transparent. Die negativen Funktionswerte treten in den Randbereichen auf und begrenzen damit das Wolkengebiet. Die Darstellung der Wolkenbank erfolgt durch Mischung der Hintergrundfarbe mit der Wolkenfarbe entsprechend der Gleichung: Color = f (x, y)CloudColor + (1 − f (x, y))SkyColor Mit Hilfe eines oberen und unteren H¨ ohenfeldes, die aus der Funktion F (x, y) ableitbar sind, kann in einfacher Weise ein dreidimensionales wolken¨ ahnliches Gebilde erzeugt werden. Das obere H¨ ohenfeld wird hierbei mit der Funktion
1/2

g (x, y) = F (x, y)2 + 2 c F (x, y)

generiert, w¨ ahrend die Erzeugung des unteren Feldes mit der Gleichung h (x, y) = −

g(x, y) 2

F (x, y) + 2 c F (x, y) + 2 c2


1/2

erfolgt.

8.3.2 Texturierte Ellipsoide Gardner modellierte Wolken unter Verwendung von texturierten Ebenen oder Ellipsoiden [127]. Die Schattierung der Oberfl¨ ache des Ellipsoids basierte auf der Phong’schen Beleuchtungsgleichung, wobei zus¨ atzlich eine Texturfunktion zur Modellierung der Leuchtdichtewerte verwendet wurde: I = (1 − t)[(1 − s) Id + s Is ] + t IT .

224

8 Modellierung und Animation von Naturerscheinungen

Abb. 8.28. Wolkendarstellung mit Hilfe texturierter Ellipsoide Hierin sind: Id : diffus reflektierende Leuchtdichte Is : spiegelnd reflektierende Leuchtdichte s : Anteil der spiegelnd reflektierenden Leuchtdichte IT : Leuchtdichte der Texturfunktion t : Anteil der Leuchtdichte der Texturfunktion Die Berechnung der Texturfunktion erfolgte mittels der Fourier-Reihe

IT (x, y, z) = k c

n


−i/2

2

i=1

× c

n
i=1

−i/2

2



i

    π sin 2 x + sin 2i−1 y + π sin 2i−1 z +d 2 

i

    π sin 2 y + sin 2i−1 x + π sin 2i−1 z +d 2

 (8.30)



Da√die Amplituden der Sinus-Funktionen mit wachsendem i im Multiplikationsterm c/ 2i abfallen, entsteht eine scheinbar fraktale 3D-Textur. Die Terme

        π π sin 2i−1 y + π sin 2i−1 z sin 2i−1 x + π sin 2i−1 z und (8.31) 2 2 bewirken eine stark variierende Phasenverschiebung der Sinusfunktionen und f¨ uhren dadurch zum Aufl¨ osen der sonst zu glatten Wolkenfronten. Mit dem Parameter d wird der Kontrast der Texturfunktion eingestellt, w¨ ahrend k zur Skalierung dient, um IT (x, y, z) auf den Maximalwert von 1 einzustellen. Eine Schwellwertfunktion dient zur Bestimmung der Wolkentransparenz. Der hiermit berechnete Schwellenwert h¨ angt sowohl vom Wert der Textur als auch vom Ort der Texturkoordinate innerhalb des auf die Projektionsebene abgebildeten Wolkenellipsoids ab. Unterschreitet der Texturwert diesen Schwellenwert, so erscheint die Wolke vollst¨ andig transparent. 8.3.3 Volumetrische Wolken Das volumetrische Wolkenmodell von Ebert [128] basiert auf der Erzeugung von r¨ aumlichen Dichteverteilungen mit Hilfe von impliziten Funktionen. Um dieses Verfahren zu veranschaulichen, stellen wir uns als Zentrum einer Wolke einen Punkt

8.3 Wolken

225

im Raum vor, an dem eine fiktive Dichte ihren Maximalwert annimmt. Von diesem Zentrum ausgehend f¨ allt dieser Dichtewert nach allen Richtungen bis zum Wert 0 ab. Ebert verwendet hierf¨ ur die Funktion F (r) aus [129], die einen symmetrischen Verlauf aufweist und die im mittleren Wertebereich rasch abf¨ allt (siehe Abb. 8.29a): 17 r 4 22 r 2 4 r6 + − + 1. (8.32) 9 R6 9 R4 9 R2 Hierin ist r (0 ≤ r ≤ R) die Distanz zum Zentrum der Funktion und R ihre maximale Ausdehnung. Die besondere Eignung impliziter Funktionen zur Modellierung der Makrostruktur von Wolkengebilden besteht darin, dass sich diese in beliebiger Weise u ¨ berlagern lassen. Befindet sich, wie in der Abb. 8.29b dargestellt, ein Punkt p im Ausdehnungsbereich mehrerer Funktionen, so addieren sich die mit wi gewichteten Funktionswerte entsprechend der Gleichung: F (r) = −

wi Fi (|qi − p|)

D (p) =

(8.33)

i

Die Abbildung 8.30 zeigt als Beispiel den Verlauf der Summenfunktion mit den impliziten Basisfunktionen F1 , F2 und F3 , deren Anordnung in der Abb. 8.29b dargestellt ist. Die Makrostruktur, mit der die Grundform und die Ausdehnung der Wolke festgelegt wird, reicht jedoch nicht aus, um ein Wolkengebilde mit seinen Turbulenzen und ausgefaserten Randbereichen hinreichend realistisch darzustellen. Hierzu ist zus¨ atzlich eine Mikrostruktur der Wolke erforderlich. Diese wird dadurch erzeugt, dass der kontinuierliche Verlauf der Dichteverteilung innerhalb einer Wolke durch ¨ additive Uberlagerung mit prozeduralen Turbulenz- und St¨ orfunktionen ver¨ andert wird. Die Bestimmung der Dichte dens eines Punktes p nach dem volumetrischen Ansatz l¨ asst sich demnach in folgende Schritte unterteilen: ¨ 1. Andere die Koordinaten des Punktes p mit Hilfe einer prozeduralen St¨ orfunktion: pNoise = fNoise (p). 2. Berechne die Dichte f¨ ur pNoise mit Hilfe der impliziten Wolkenfunktionen entsprechend Glg. 8.33: dI = D(pNoise ).

Abb. 8.29. Dichteverteilungsfunktion: (a) Verlauf der Dichteverteilungsfunktion, (b) Bestimmung der Dichtewerte mit u ¨ berlagerten Dichteverteilungsfunktionen

226

8 Modellierung und Animation von Naturerscheinungen

D(p)

Abb. 8.30. Dichteverteilung mehrerer impliziter Basisfunktionen

3. Bestimme die Dichte der Turbulenz an dem Punkt p: pT urb = T (p). 4. Addiere die Anteile von pNoise und pT urb unter Verwendung des Mischungsfakur den Faktor blend werden tors blend: d = blend · dNoise + (1 − blend) · dT urb . F¨ Werte zwischen 0.6 bis 0.8 vorgeschlagen. 5. Die mit pNoise und pT urb ermittelte Mischungsdichte d wird abschließend mit einem Exponenten a versehen, der interaktiv ver¨ andert werden kann, um eine Wolke generell dichter oder zerfaserter erscheinen zu lassen: dens = da .

Abb. 8.31. Synthetische Cirrus-Wolke, (mit Genehmigung von D. S. Ebert, http://dynamo.ecn. purdue.edu/ ebertd/, s. Farbtafel XI)

8.3 Wolken

227

Die Animation einer Wolke oder einer Wolkengruppe kann in einfacher Weise dadurch erfolgen, dass die Mittelpunkte der Basisfunktionen als Partikel betrachtet werden, deren Positionen innerhalb eines Windfeldes entsprechend der jeweils vorgegebenen Partikeldynamik variieren. Weiterhin sind auch die Gewichte wi sowie die Ausdehnungsbereiche Ri der Basisfunktionen variabel, wodurch sich die Form und Gr¨ oße der Wolke im Verlauf der Animation st¨ andig ver¨ andern kann. Die zeitliche ¨ Anderung der Mikrostruktur erfolgt mit Hilfe vordefinierter Turbulenzpfade. Der Ansatz von Ebert erm¨ oglicht die prozedurale Modellierung und Animation realistisch erscheinender unterschiedlicher Cumulus-, Cirrus- oder Stratuswolken. Die Abbildung 8.31 zeigt als Beispiel eine mit Hilfe impliziter Dichtefunktionen modellierte Cirruswolke.

8.3.4 Fraktale Wolken Zur Erzeugung fraktaler 2D- oder 3D-Wolken schlagen G. Sakas und R. Westermann in [108] und [130] die Verwendung von Fourier-Spektren vor. F¨ ur den 2D-Fall lassen sich die Amplituden- und Phasenwerte der Spektralfunktion F (u, v) in einfacher Weise ermitteln. Der zentrale Spektralkoeffizient F (0, 0) bestimmt hier als Mittelwert der Bildfunktion f (x, y) die Bildhelligkeit und damit auch die Helligkeit der fraktalen Wolke. Wir erhalten: F (0, 0) =

1 MN

M −1 N−1

f (x, y)

(8.34)

x=0 y=0

F¨ ur alle u ¨ brigen als Helligkeiten zu interpretierenden Amplitudenwerte gilt: F (u, v) = r u2 + v 2 F (u, v) = 0

fu ¨r


−β



fu ¨r



u2 + v 2 ≥ km

(8.35)

u2 + v 2 < km

Die Konstante r bestimmt hierin den Kontrast der fraktalen Wolke, w¨ ahrend mit dem Exponenten β ihre Rauheit festgelegt wird. Es ist sinnvoll, f¨ ur β Werte zwischen ur die Granularit¨ at der 1.3 bis 2.0 zu w¨ ahlen. Der Schwellwert km ist ein Maß f¨ Wolke. Sie entsteht durch eine Hochpassfilterung, indem die Amplitudenwerte f¨ ur acht werden. Aufgrund der Symmetrie von die Wellenl¨ angen λ < 2π/km abgeschw¨ F (u, v) ist es lediglich erforderlich, nur einen Quadranten von u = −M/2 bis u = M/2 − 1 sowie von v = −N/2 bis v = N/2 − 1 zu berechnen. Die Abbildung 8.32 illustriert, wie die Ver¨ anderung von β, r und km das Wolkenbild beeinflusst. Die Animation der Wolken basiert auf dem sog. Shift-Theorem, das besagt, dass eine Translation der Bildpunkte im Ortsbereich fSHIF T (x, y) = f (x − a, y − b) lediglich eine Phasenverschiebung der Spektralwerte F (u, v) verursacht: FSHIF Ta,b (u, v) = F (u, v) exp (−i 2π(au + bv)/M ) Das Prinzip der Wolkenanimation basiert darauf, dass sich die Phasenwerte inkrementell von Bild zu Bild ver¨ andern. Hierdurch l¨ asst sich die durch den Windeinfluss bewirkte Wolkenwanderung durch eine einheitliche Phasenverschiebung atzlich auftretenden Tur∆φW ind (u, v) im gesamten Fourier-Raum erreichen. Die zus¨ bulenzen innerhalb einer Wolke werden durch Phasenverschiebungen der einzelnen

228

8 Modellierung und Animation von Naturerscheinungen

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Abb. 8.32. Fraktale Wolkenbilder mit den Parametern: (a) β = 1.3, r = 20, km = 2.0, (b) β = 1.65, r = 20, km = 2.0, (c) β = 2.0, r = 20, km = 2, 0, (d) β = 1.3, r = 20, km = 4.0, (e) β = 1.65, r = 20, km = 4.0, (f) β = 2.0, r = 20, km = 4.0

Spektralanteile ∆φT urbulenz (u, v) nachgebildet, die von der Wellenl¨ ange abh¨ angig sind. Die inkrementellen Phasen¨ anderungen bestehen aus der Summe dieser beiden Komponenten: ∆φ (u, v) = ∆φW ind (u, v) + ∆φT urbulenz (u, v) Mit der Translationsrichtung und -geschwindigkeit der Wolke ergibt sich die inkrementelle Phasen¨ anderungskomponente: ∆φW ind = 2π

u Ux v Uy + M N




F¨ ur die Phaseninkremente der turbulenten Windstr¨ omung gilt hingegen: ∆φT urbulent (u, v) = 0

fu ¨r

∆φT urbulent (u, v) = 2π uφ fu ¨r und



 √

u2 + v 2 < kφ

u2 + v 2 kφ

u2 + v 2 ≥ k


−κ

ux (u, v) u uy (u, v) v + M N

mit

ux (u, v) = ux (−v, u)




u2x + vy2 = 1 bzw.

uy (v, u) = uy (−v, u)

Die Geschwindigkeit der turbulenten Bewegung wird durch den Term

8.3 Wolken

229

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Abb. 8.33. Wolkenanimation mit Hilfe der Phasenverschiebung im Frequenzbereich. Der Pfeil stellt die globale Windrichtung dar: (a) 1te Iteration, (b) 12te Iteration, (c) 25te Iteration, (d) 37te Iteration, (e) 50te Iteration, (f) 63te Iteration

uφ (

Ôu

2

º

+ v 2 kφ )−κ ,

√ der von der Wellenl¨ ange u2 + v 2 abh¨ angt, bestimmt. Der Schwellenwert kφ hat die Funktion, die gr¨ oßte auftretende turbulente Str¨ omung festzulegen. Mit der Verrinasentiert gerung von kφ dehnt sich die Wolkenturbulenz aus. Der Koeffizient uφ repr¨ die Geschwindigkeit der gr¨ oßten turbulenten St¨ orung, w¨ ahrend der Exponent κ die Dominanz der großen Strukturen beeinflusst. Dies bedeutet, dass ein großer κ-Wert die St¨ orungen hervorhebt, die durch kleine Wellenl¨ angen erzeugt werden, wodurch sich die Bewegungen der großen Strukturen verst¨ arken. Die Richtungen dieser Bewegungen ux (u, v) und uy (u, v) sind zufallsverteilt. Um zu verhindern, dass die Geschwindigkeitskomponenten den Richtungsvektor beeinflussen, wird dieser normalisiert. Die Bildfolge, Abb. 8.33, veranschaulicht die Animation des Wolkensystems mit den Parametern β = 1.65, r = 30, km = 0, Ux = −1, Uy = −0.5, kφ = 2.8, uφ = −0.5, κ = 1.

8.3.5 Wolkenerzeugung und Animation mit Zellenautomaten Dobashi et al. schlagen in [114] Zellenautomaten zur Erzeugung und Animation von Wolkensystemen vor. Bei dieser Methode, die auf einem Verfahren von Nagel und Raschke basiert [131], wird das Simulationsgebiet in einheitliche Zellen unterteilt, denen jeweils drei Zust¨ ande, die f¨ ur die Wolkenerzeugung maßgeblich sind, zugeordnet werden. Diese Zust¨ ande werden durch die logischen Variablen hum(i, j, k, t),

230

8 Modellierung und Animation von Naturerscheinungen

0

1

cld hum act ti

t i +1 Abb. 8.34. Transitionsregeln

cld(i, j, k, t) und act(i, j, k, t) dargestellt. Die Variable hum repr¨ asentiert die Luftfeuchtigkeit, cld stellt den gasf¨ ormigen Wolkenzustand in einer Zelle dar, w¨ ahrend ¨ der Transitionszustand act den Ubergang der Wolkenteilchen vom fl¨ ussigen in den gasf¨ ormigen Zustand (cld) darstellt. Zur Generierung der Wolken werden diese drei Zustandsvariablen unter Verwendung eines Regelsystems mit logischen Operationen verkn¨ upft. Es gelten die folgenden sequentiell auszuf¨ uhrenden Transitionsregeln: hum(i, j, k, ti+1 ) = hum(i, j, k, ti ) ∧ act(i, j, k, ti ) cld(i, j, k, ti+1 ) = cld(i, j, k, ti ) ∨ act(i, j, k, ti ) act(i, j, k, ti+1 ) = act(i, j, k, ti ) ∧ hum(i, j, k, ti ) ∧ fact (i, j, k). Die dritte Regel wertet mit der Booleschen-Funktion fact (i, j, k) die Transitionszust¨ ande in der Zellenumgebung aus: fact (i, j, k) = act(i + 1, j, k, ti ) ∨ act(i, j + 1, k, ti ) act(i, j, k + 1, ti ) ∨ act(i − 1, j, k, ti ) ∨ act(i, j − 1, k, ti ) act(i, j, k − 1, ti ) ∨ act(i − 2, j, k, ti ) ∨ act(i + 2, j, k, ti ) act(i, j − 2, k, ti ) ∨ act(i, j + 2, k, ti ) ∨ act(i, j, k − 2, ti ). Die Initialisierung des zellul¨ aren Wolkenerzeugungsgebietes erfolgt durch Zuweisung der Booleschen-Variablen cld mit dem Wert 0. Die Variablen hum und act erhalten die Zufallswerte 0 oder 1. Die Abbildung 8.34 illustriert den regelbasierten Simulationsprozess zur Wolkenerzeugung in einer vereinfachten zweidimensionalen Darstellung mit einem Zellengebiet von nur 3 × 4 Elementen. Ist beispielsweise die logische Variable act = 1, so erhalten wir in Folge den Zustand cld = 1 (Regel 2). Ist hingegen act = 1 und hum = 1, so ¨ andert sich hum im Folgezustand zu hum = 0 (Regel 1), wodurch wiederum, entsprechend der Regel 3, ein R¨ ucksetzen des Zustandes act von 1 nach 0 erfolgt. Weitere Details zu diesem Verfahren sind in [131] zu finden. Bei der urspr¨ unglichen Methode von Nagel kann der Zustand cld = 1 nicht mehr zur¨ uckgesetzt und damit Wolkenbereiche nicht mehr aufgel¨ ost werden. Um diesen Nachteil zu umgehen, wurden in [114] die Transitionsregeln aus [131] erweitert. Die ur Erweiterung besteht in der Einf¨ uhrung von Wahrscheinlichkeitsfaktoren phum f¨

8.3 Wolken

231

ur cld und pact f¨ ur act. Die Wahrscheinlichkeitsfaktoren werden mit Zuhum, pext f¨ fallszahlen rnd = 0, .., 1 verglichen und das Ergebnis mittels Boolescher-Operationen mit den urspr¨ unglichen Zustandsvariablen verkn¨ upft: cld (i, j, k, ti+1 ) = cld (i, j, k, ti ) ∧ IS (rnd > pext (i, j, k, ti )) hum (i, j, k, ti+1 ) = hum (i, j, k, ti ) ∨ IS (rnd > phum (i, j, k, ti )) act (i, j, k, ti+1 ) = act (i, j, k, ti ) ∨ IS (rnd > pact (i, j, k, ti )) Diese Erweiterung erm¨ oglicht es, Wolkenbewegungen zu steuern und somit auch Windeinfl¨ usse darzustellen. In [114] werden hierzu die Details ausf¨ uhrlich diskutiert. Rendering. Die mit cld = 1 gekennzeichneten Zellen markieren die Wolkenregionen. Um diese Gebiete zu rendern, ist es notwendig, eine kontinuierliche Dichteverteilung des Wolkensystems zu bestimmen. Diese Bestimmung erfolgt durch eine r¨ aumliche und zeitliche Mittelwertbildung der mit cld = 1 bewerteten Zellen. Um den gegl¨ atteten Dichtewert zum Zeitpunkt ti am Ort (i, j, k) zu berechnen, wird nach [114] um die Zellenkoordinaten (i, j, k) eine Region von (2i0 + 1)(2j0 + 1)(2k0 + 1) Zellen sowie ein Zeitbereich von (2t0 + 1) Schritten festgelegt und mit cld ein gewichteter arithmetischer Mittelwert gebildet: q (i, j, k, ti ) = (1/((2t0 + 1)(2k0 + 1)(2j0 + 1)(2i0 + 1))) t0

k0

j0

i0




w i , j  , k , t cld(i + i , j + j  , k + k , t + t ).

t =−t0 k =−k0 j  =−j0 i =−i0

Hierin ist w(i , j  , k , t ) eine frei definierbare Gewichtungsfunktion. arischen Feldfunktion Mit einem weiteren Schritt wird q(i, j, k, ti ) mit einer sph¨ f (|x − xi,j,k |) gewichtet ρ(x, ti ) =

N 

q(i, j, k, ti ) f (|x − xi,j,k |).

(8.36)

i,j,k∈Ω(x,R)

Hierin ist xi,j,k ist der Mittelpunkt, der sich mit wachsendem Abstand |x − xi,j,k | verringert und beim Grenzwert R den Wert 0 erreicht. Ω(x, R) ist eine Region mit insgesamt N Zellen, mit der die Bildung der Produktsumme in Glg. 8.36 erfolgt.

Sonnenlicht Hintergrundlicht

Streulicht

Abb. 8.35. Wolken-Rendering mit Hilfe von Metaballs

232

8 Modellierung und Animation von Naturerscheinungen

Sonnenlicht ProjektionsA ebene A B C

Metaball C

Abb. 8.36. Sonnenlichteinfall auf die Projektionsebenen der Metaballs

Nach diesem zweiten Schritt ist es m¨ oglich, die Wolkengebiete mit einer relativ geringen Anzahl kugelf¨ ormiger Feldfunktionen zu definieren, die in [114] als Metaballs bezeichnet werden. Die Abbildung 8.35 verdeutlicht das Wolken-Rendering mit Hilfe der Metaballs. Hierf¨ ur ist die direkte Sonnenlichteinstrahlung, das vom Himmel einfallende Hintergrundlicht sowie das Licht relevant, das an den Metaballs gestreut wird. Um den Rendering-Prozess zu vereinfachen, sind in den Metaball-Zentren kreisf¨ ormige Projektionsebenen platziert, deren Normalen in Richtung der SonnenLichtquelle weisen. In die als 2D-Tabellen realisierten Projektionsebenen werden die f¨ ur die jeweiligen Metaballs maßgeblichen kumulativen Dichtewerte sowie die Lichtabschw¨ achungsfaktoren eingetragen, die das Verh¨ altnis von Austritts- zur Eintrittsstrahlung wiedergeben. Unter der Voraussetzung, dass s¨ amtliche Metaballs die gleiche Gr¨ oße aufweisen, ist die Anzahl dieser Tabellen durch die Zahl der diskretisierten Dichtewerte q begrenzt. In [114] ist das Kontinuum von q in 64 Intervalle unterteilt. Da sich die ¨ Metaballs u der Projektionsebenen und so¨ berlagern, tritt auch eine Uberdeckung mit auch der Tabelleneintr¨ age auf, die den jeweiligen Lichtstrahlen zugeordnet sind. In der Abbildung 8.36 wird der Lichteinfall auf den Projektionsebenen B und C durch die u achungsfaktoren jener ¨berdeckende Ebene A reduziert, indem die Abschw¨ Metaballs miteinander multipliziert werden, die von den Lichtstrahlen nacheinander durchdrungen werden. Die tabellarischen Projektionsebenen der Metaballs enthalten somit individuelle Leuchtdichteverteilungen, die zus¨ atzlich mit den Farbwerten des Sonnenlichts multipliziert werden. Anschließend erfolgt die Ausrichtung der Ebenen lotrecht zur Betrachtungsrichtung (s. Abb. 8.37). Die von den Metaball-Ebenen ausgehenden und in Richtung des Betrachters gestreuten Strahlen, die auf ihrem Weg zur Bil-

Hintergrund und Hintergrundlicht Bildebene Abb. 8.37. Ausrichtung der Ebenen lotrecht zur Betrachtungsrichtung

8.4 Fl¨ ussigkeiten

ti = 0

ti = 50

ti = 100

233

ti = 150

Abb. 8.38. Inkrementelle Wolkenerzeugung mit 50, 100 und 150 Simulationsschritc ten, (mit Genehmigung von [114], s. Farbtafel XII,
ACM 2000)

debene weitere Metaballs durchdringen, werden zus¨ atzlich durch deren Lichtabschw¨ achungskoeffizienten reduziert. Somit erreicht lediglich ein sehr geringer Anteil der urspr¨ unglichen Sonnenlichtstrahlung den Betrachter. Zus¨ atzlich trifft auch die vom Hintergrund ausgehende Lichtstrahlung die Bildebene, wobei nat¨ urlich auch dieser Strahlungsanteil beim Durchdringen der Metaballs verringert wird. Die Abbildung 8.38 illustriert an einem Beispiel die inkrementelle Wolkenerzeugung zu unterschiedlichen Zeitpunkten. Weitere Details zu diesem Verfahren sind in [114] zu finden.

8.4 Flu ¨ ssigkeiten Wir interagieren in unserem allt¨ aglichen Leben in vielfacher Weise mit Fl¨ ussigkeiten. Wir gießen Kaffee in eine Tasse, versch¨ utten Milch oder w¨ assern mit einer Gießkanne Pflanzen. Diese scheinbar einfachen und v¨ ollig unspektakul¨ aren Vorg¨ ange geh¨ oren, wenn sie simuliert und synthetisch dargestellt werden sollen, mit zu den schwierigsten Herausforderungen der Computeranimation. Dies wird belegt durch Jeffrey Katzenberg, dem Produzenten des Computeranimationsfilms Shrek“, in dem zahl” reiche Animationseffekte mit Wasser, Bier und Schlamm gezeigt wurden. Auf die Frage, welches die technisch schwierigste Szene und somit sinngem¨ aß das schwierigste Animationsproblem in diesem Film gewesen sei, antwortete Katzenberg: It was ” the pouring of milk into a glass“ 7 [132]. Erschwert wird die L¨ osung dieses Animationsproblems dadurch, dass das Verhalten von Fl¨ ussigkeiten unterschiedlicher Viskosit¨ at sehr gut bekannt ist: So erkennen ¨ oder Wasser in ein Glas gießen. Geringe wir anhand des Fließverhaltens, ob wir Ol Abweichungen eines Animationsmodells von dem gewohnten Verhalten einer realen Fl¨ ussigkeit werden von uns sofort bemerkt. Wie bei der Animation von Gasen eignet sich die bereits im Abschn. 8.1.4 vorgestellte CFD-Methode recht gut f¨ ur die plausible Animation von Fl¨ ussigkeiten. Allerdings sind außer der 50- bis 100-fachen h¨ oheren Viskosit¨ at von Wasser, im Vergleich zur Luft, einige Randbedingungen maßgebend, die zu speziellen L¨ osungen f¨ ur die Animation von Fl¨ ussigkeiten f¨ uhren. Um den hohen Rechenaufwand zu reduzieren, der zur L¨ osung r¨ aumlicher CFD Probleme erforderlich ist, wurde die Behandlung spezieller dreidimensionaler Animationsaufgaben auf der Grundlage von 2D-Methoden durchgef¨ uhrt. 7

Es war das Sch¨ utten von Milch in ein Glas.“ ”

234

8 Modellierung und Animation von Naturerscheinungen

Kass und Miller [133] verwendeten einen 2D-Ansatz, um mit Hilfe von Flachwassergleichungen die H¨ ohenfelder auf der Oberfl¨ ache von Fließgebieten mit geringen, wechselnden Wassertiefen zu bestimmen. Dieses Modell erlaubt die Darstellung der Refraktionen und Reflektionen der Wellen, die in Flussl¨ aufen auftreten. Das Modell gestattet jedoch nicht die Einbeziehung von Objekten (z.B. Schwimmk¨ orpern), die sich innerhalb des Str¨ omungsgebietes dynamisch ver¨ andern. Auch Chen, Lobo, Hughes und Moshell [134] sowie O’Brien und Hodgins [135] verwendeten H¨ ohenfelder, um mit 2D-Methoden das dynamische Fließverhalten von Wasser in Str¨ omungsgebieten mit Hindernissen darzustellen. Die Berechnung der H¨ ohenfelder basierte bei Chen et al. auf der Bestimmung einer fl¨ achenhaften Druckverteilung mit Hilfe von 2D-Navier-Stokes-Gleichungen. O’Brien und Hodgins kombinierten ihr H¨ ohenmodell mit einem Partikelsystem, um auch verspritzende Fl¨ ussigkeiten darzustellen. Die Verwendung von H¨ ohenfeldern ist jedoch auf horizontal verlaufende Str¨ omungen wie Flussl¨ aufe begrenzt. Die Darstellung von u urzenden Wellen oder ¨ berst¨ beispielsweise das von Katzenberg erw¨ ahnte Animationsproblem, n¨ amlich des Ein” gießens von Milch in ein Glas“, ist mit dieser Methode nicht m¨ oglich. Hierzu sind dreidimensionale CFD-Verfahren erforderlich. Foster und Metaxas benutzten in [136] die klassische Marker-And-Cell Methode von Harlow und Welch [112] (s. Abschn. 8.1.4), um echte“ 3D-Animationen von Fl¨ ussigkeiten zu erzeugen, wobei die ” M¨ oglichkeiten zur Steuerung des dynamischen Verhaltens noch relativ gering waren. Katzenbergs Problem konnte jedoch erst mit den Arbeiten von Foster und Fedkiw sowie von Enright et al. zufriedenstellend gel¨ ost werden, mit deren Verfahren es m¨ oglich ist, auch komplexe Animationen mit Fl¨ ussigkeiten effizient zu steuern und ihr dynamisches Verhalten plausibel darzustellen. In den nachfolgenden Unterabschnitten wird, exemplarisch f¨ ur die Fl¨ ussigkeitsanimation mit H¨ ohenfeldern, die Arbeit von Chen et al. behandelt und als Beispiel f¨ ur die echte 3D-Fl¨ ussigkeitsanimation, der Ansatz von Foster und Fedkiw in seinen Grundz¨ ugen vorgestellt.

8.4.1 H¨ ohenfeldverfahren Das Verfahren von Chen, Lobo, Hughes und Moshell zur dynamischen 3D-Darstellung von Str¨ omungsverl¨ aufen l¨ asst sich in die Berechnung eines 2D-Str¨ omungsfeldes und der anschließenden Bestimmung der hiermit korrespondierenden 3D-Wasseroberfl¨ ache mit Hilfe eines H¨ ohenfeldes unterteilen. Die Berechnung des Str¨ omungsfeldes, welches das dynamische Fließverhalten beschreibt, erfolgt mit einem gebr¨ auchlichen L¨ osungsverfahren f¨ ur Navier-Stokes-Gleichungssysteme unter Verwendung eines regul¨ aren Simulationsgitters. Das Simulationsgebiet liegt somit als 2D-Gitter vor. Den Kanten des Gitters sind (s. Abb. 8.2) die lokalen Geschwindigkeitskomponenten u und v zugewiesen wohingegen die Knoten die Druckwerte p enthalten. Die entscheidende Idee dieses Ansatzes ist die Bestimmung eines H¨ ohenfeldes, das mit Hilfe der Bernoulli´schen Gleichung u ¨ ber die zuvor berechnete Druckverteilung erfolgt. Das Gesetz von Bernoulli, das mit der Gleichung 1 ρ V 2 + ρ g h = const 2 formuliert ist, sagt aus, dass die Energie eines Fl¨ ussigkeitsteilchens, das sich entlang einer Stromlinie bewegt, konstant ist. In der Bernoulli-Gleichung ist g die Erdbep+

8.4 Fl¨ ussigkeiten

235

Oberfläche P1,p1 der Flüssigkeit h1

P2,p2

Ebene der 2D-CFD Simulation

Strömungslinien h2=const.

Abb. 8.39. Zusammenh¨ ange zwischen Druck und H¨ ohe, (nach [134])

schleunigung, p der statische Druck, ρ die Dichte, V die Geschwindigkeit und h die H¨ ohe eines Fl¨ ussigkeitsvolumens. Wenden wir diese Gleichung auf die in der Abb. 8.39 vorgegebene Anwendung an, so kann die Aussage getroffen werden, dass die Energie der Fl¨ ussigkeitsteilchen an den Punkten P1 und P2 gleich groß ist, wenn sich diese auf der gleichen Str¨ omungslinie befinden: 1 1 ρ V 2 + ρ g h1 = p2 + ρ V22 + ρ g h2 2 1 2 Diese Gleichung l¨ asst sich durch die Annahme vereinfachen, dass die Geschwindigkeiten V an den Punkten P1 und P2 gleich groß sind. Mit V1 = V2 gilt: p1 +

p2 − p1 (8.37) + h2 ρg Da g, ρ, h2 sowie der Luftdruck p1 konstant sind, ist aus der Glg. 8.37 leicht erangt. Dies bedeutet, dass sich kennbar, dass h1 von der Differenz (p2 − p1 ) abh¨ die Druckwerte, die zuvor mit der 2D-CFD-Methode berechnet wurden, direkt auf H¨ ohenkoordinaten abbilden lassen. Das hierdurch entstehende H¨ ohennetz, repr¨ asentiert somit die 3D-Oberfl¨ ache des fließenden Mediums und kann mit den u ¨ blichen computergrafischen Methoden bildhaft dargestellt werden. h1 =

8.4.2 3D-Verfahren zur Fl¨ ussigkeitsanimation Foster und Fedkiw stellten in [137] ein Verfahren vor, das in vollem Umfang die r¨ aumliche Simulation von Fl¨ ussigkeiten erm¨ oglicht. Hierbei wird mit Partikeln der Anfangszustand des zu simulierenden Fl¨ ussigkeitsvolumens festgelegt. Die Partikel nehmen beliebige Positionen innerhalb eines regul¨ aren 3D-Simulationsgitters ein und dienen zur Definition der Oberfl¨ ache des Fl¨ ussigkeitsvolumens. Jedem Partikel wird eine sph¨ arische Funktion φc (p) =

(x − x ) c

2

+ (y − yc )2 + (z − zc )2 − r

mit dem Radius r und der Partikelposition pc als Mittelpunkt zugeordnet. Alle Koordinaten p = (x, y, z), f¨ ur die φc (p) = const gilt, befinden sich auf einer kugelf¨ ormigen Isofl¨ ache. Um das Fl¨ ussigkeitsvolumen zu bestimmen, sind eine Vielzahl dieser impliziten Funktionen erforderlich, die sich u ¨ berlagern und dadurch die Form

236

8 Modellierung und Animation von Naturerscheinungen

Fluid

Luft a)

b)

Abb. 8.40. Festlegung von Oberfl¨ achen mit Markerpartikel: (a) ungegl¨ attete, (b) gegl¨ attete impliziten Oberfl¨ achenfunktion

der Oberfl¨ ache des Fl¨ ussigkeitsk¨ orpers nachbilden. Ihre Anzahl ist mit 64 f¨ ur jede Zelle des Simulationsgitters angegeben, die sich im Grenzbereich der Oberfl¨ ache des Fl¨ ussigkeitsvolumens befinden. Der Radius der Kugelfunktionen liegt hierbei zwischen 10% bis 50% des kleinsten Abstandes M in(∆x , ∆y , ∆z ) im Simulationsgitter. Die sph¨ arischen Funktionen, deren Zentren als Markerpartikel bezeichnet werden, sind nur im inneren Bereich an der Oberfl¨ ache des Fl¨ ussigkeitsk¨ orpers posi¨ tioniert. Durch die Uberlagerung der Funktionen entsteht, wie in Abb. 8.40a dargestellt, aus der Vielzahl kleiner Kugelfl¨ achen eine zusammenh¨ angende implizite Oberfl¨ achenfunktion, die jedoch sehr viele Kanten aufweist und daher gegl¨ attet werden muss. Das Resultat dieses Gl¨ attungsprozesses, der im Detail in [137] diskutiert wird, ist die implizite Oberfl¨ achenfunktion φ des zu animierenden Fl¨ ussigkeitsvolumens, bei der die Diskontinuit¨ aten beseitigt sind. Mit dem Gradientenfeld von f (x, y, z) = const erhalten wir die Normalen der Isofl¨ ache, die in der Literatur auch als Level Set bekannt ist. Das dynamische Verhalten der impliziten Oberfl¨ achenfunktion, unter der Einwirkung von Kr¨ aften, l¨ asst sich mit der Gleichung ∂φ + v ∇φ = 0 (8.38) ∂t beschreiben. In [138] wird nachgewiesen, dass unter dem Einfluss eines Bewegungsvektorfeldes eine implizite Funktion, mit der Bedingung f (x, y, z) = 0 (Zero Level Set), in jedem Zeitschritt die Glg. 8.38 selbst dann erf¨ ullt, wenn sich das hiermit definierte Volumen tempor¨ ar aufteilt und wieder vereinigt. Um das dynamische Verhalten des Fl¨ ussigkeitsvolumens m¨ oglichst zeiteffizient zu berechnen, wird in [137] ein hybrides Simulationsmodell angewendet. Das dynamische Verhalten der sog. Markerpartikel wird mit Hilfe der LagrangeMethode bestimmt. Diese Methode dient vielfach zur Berechnung des dynamischen Verhaltens von Massenpunkten, die untereinander in Wechselbeziehung stehen. Gebundene Partikelsysteme oder Masse-Feder-Netze sind Anwendungsbereiche f¨ ur dieses Verfahren. Neben dem Lagrange-Ansatz wird parallel hierzu der Euler-Ansatz verwendet. Hierbei wird, wie bereits in Abschn. 8.1.4 dargestellt, der Simulationsraum in ein festes r¨ aumliches Gitter unterteilt, wobei nur f¨ ur die Gitterknoten und -kanten die diskreten Zust¨ ande des Fluids, wie Druck, Temperatur und Geschwindigkeit zu bestim-

8.4 Fl¨ ussigkeiten

237

Abb. 8.41. Beispiel einer Fl¨ ussigkeitsanimation: Der Simulationsraum besteht aus c 55 × 120 × 120 Gitterzellen (mit Genehmigung von [139],
ACM 2000, s. Farbtafel XIII)

men sind. Um die zeitliche Ver¨ anderungen der Oberfl¨ ache des Fl¨ ussigkeitsk¨ orpers zu ermitteln, erfolgt die Berechnung des jeweils neuen Bewegungsvektorfeldes mit dem Euler-Ansatz unter Verwendung großer Zeitschritte. Zwischen diesen großen Zeitschritten wird jeweils eine Serie von f¨ unf kurzen Zeitintervallen eingef¨ ugt, mit denen, basierend auf dem Lagrange-Ansatz, die Positions¨ anderungen der Markerpartikel neu ermittelt sowie mit Glg. 8.38 die inkre¨ mentellen Anderungen der Oberfl¨ ache des Fl¨ ussigkeitsvolumens bestimmt werden. Dieses Vorgehen f¨ uhrt zu einer erheblichen Ersparnis an Rechenzeit. Die zeitaufwendige Berechnung des Druckfeldes im Simulationsgitter, die erforderlich ist, um das Fl¨ ussigkeitsvolumen entsprechend der Kontinuit¨ atsgleichung 8.2 zu korrigieren, erfolgt hierbei nur in gr¨ oßeren Zeitabst¨ anden. Ein Simulationsfehler, der zwischen diesen Intervallen auftritt, bleibt innerhalb tolerierbarer Grenzen, da bei der Anwendung des Lagrange-Ansatzes eine Massenkorrektur nicht durchgef¨ uhrt wird. Von wesentlicher Bedeutung bei der Simulation von Fl¨ ussigkeiten ist die Interaktion mit starren Objekten. Beispiele sind K¨ orper, die sich im Fl¨ ussigkeitsvolumen bewegen oder auch die Interaktion mit der Wand eines Glases, in das die Fl¨ ussigkeit hineinfließt. Um auch hier eine plausible Animation zu erzielen, m¨ ussen bei der Berechnung der Oberfl¨ ache des Fl¨ ussigkeitsk¨ orpers eine Anzahl von Regeln eingehalten werden. So darf beispielsweise Fl¨ ussigkeit nicht in ein starres Objekt eindringen. Diese Bedingung wird dadurch erf¨ ullt, dass beim Kontakt zwischen den Markerpartikeln und der Objektoberfl¨ ache die Geschwindigkeitskomponente des Fluids, die in entgegengesetzter Richtung zur Oberfl¨ achennormalen wirkt, auf Null gesetzt wird. Die tangentiale Komponente bleibt hingegen unver¨ andert. Was f¨ ur Markerpartikel

238

8 Modellierung und Animation von Naturerscheinungen

gilt, ist auch f¨ ur die implizite Oberfl¨ achenfunktion g¨ ultig, welche die Geometrie des starren K¨ orpers ebenfalls nicht durchdringen darf. Zusammenfassend l¨ asst sich das Verfahren aus [137] wie folgt algorithmisch formulieren: 1. Modellierung der statischen Simulationsumgebung innerhalb eines 3D-Simulationsgitters. 2. Modellierung des Fl¨ ussigkeitsvolumens unter Verwendung der Markerpartikel als implizite Oberfl¨ ache. F¨ ur jeden großen Simulationsschritt sind iterativ die folgenden Aktionen auszuf¨ uhren: 3. Neuberechnung des Geschwindigkeitsfeldes durch L¨ osung der Navier-StokesGleichungen in Kombination mit dem Lagrange-Ansatz f¨ ur die Neupositionierung der Markerpartikel. 4. Anwendung der Regel bez¨ uglich der Interaktion mit starren und bewegten Objekten. 5. Berechnung des Druckfeldes, um die Massenerhaltung mit Hilfe der Kontinuit¨ atsgleichung zu erzwingen. 6. Ausgehend von dem unter Schritt 3 ermittelten Geschwindigkeitsfeld sowie den Positionen der Markerpartikel erfolgt mit jeweils kleineren Zeitschritten innerhalb des großen Zeitintervalls die Berechnung der impliziten Oberfl¨ ache des Fl¨ ussigkeitsvolumens nach Glg. 8.38. Zur Bestimmung der Positionen der Markerpartikel innerhalb der kleinen Zeitintervalle wird der Lagrange-Ansatz verwendet. Eine Verbesserung dieses Verfahrens, das sich durch eine pr¨ azisere Darstellung des sich dynamisch ¨ andernden Fl¨ ussigkeitsvolumens z.B. auch unter dem Einfluss von Wind auszeichnet, ist in [139] zu finden. Dies wird dadurch erreicht, dass die Markerpartikel auch an der Außenseite (Luftseite) der impliziten Oberfl¨ achenfunktion platziert werden. Die Abbildung 8.41 illustriert die mit diesem Verfahren derzeit erreichte Realit¨ atsn¨ ahe der Fl¨ ussigkeitssimulation.

8.5 Wasserwellen Die Darstellung von bewegten Wasserwellen geh¨ ort zwar grunds¨ atzlich zur Fl¨ ussigkeitsanimation, jedoch wurden f¨ ur diesen speziellen Zweck eine Vielzahl eigenst¨ andiger Methoden entwickelt. Str¨ omungsmechanische Ans¨ atze, wie im Abschn. 8.4 diskutiert, sind wegen der enormen Gr¨ oße des Simulationsgitters, das zur Berechnung der Dynamik eines Meereswellengebietes erforderlich ist, nicht verwendbar, da hierf¨ ur ein zu hoher Rechenaufwand notwendig ist. Wie die Methoden zur Darstellung von dynamischen Wolkensystemen werden deshalb auch die Verfahren zur Animation von Wellenszenarien in einem separaten Abschnitt behandelt. Einer der ersten Versuche Wellenbilder zu erzeugen, sind in dem Film The ” Compleat Angler“ zu sehen, in dem Turner Whitted mit Hilfe der Bump-MappingMethode die gekr¨ auselte Wasseroberfl¨ ache eines kleinen Teichs darstellt [140]. Dieses Verfahren wurde auch von Ken Perlin in [141] zur Darstellung von Meereswellen aus der Sicht eines Flugzeugpassagiers verwendet. Neben diesem sehr einfachen, auf wenige Anwendungsbereiche eingeschr¨ ankten Verfahren, mit dem lediglich eine animierte Wellentextur erzeugbar ist, wurden

8.5 Wasserwellen

239

sp¨ ater leistungsf¨ ahigere Methoden zur Wellenanimation entwickelt. Hierzu geh¨ oren die Ans¨ atze von Peachey [70] sowie von Fournier und Reeves [69], die auf parametrischen Wellenfunktionen basieren. Der Methode von Mastin, Watterberg und Mareda [142] liegt die Fourier-Synthese zugrunde, bei der das Fourier-Spektrum aus der empirisch ermittelten Energieverteilung von Wellensystemen verwendet wird. Das Fourier-Synthese Verfahren, das von Tessendorf [143] weiter entwickelt wurde, erlaubt die Darstellung von Meereswellen mit einem hohen Grad an Realit¨ atsn¨ ahe. Dieser Spektralansatz repr¨ asentiert den derzeitigen Stand der Technik“ und wurde ” auch als Spezialeffekt zur Darstellung synthetischer Wellenszenarien in Filmen wie Waterworld“ oder Titanic“ eingesetzt. ” ” ¨ Die nachfolgenden Unterabschnitte vermitteln einen Uberblick u ¨ ber die wesentlichen Ans¨ atze zur Modellierung und Animation von Wasserwellen, wobei jedoch kein Anspruch auf Vollst¨ andigkeit gestellt wird.

8.5.1 Bump-Mapping-Verfahren Ein Wasserwellenbild kann in einfacher Weise mit Hilfe der Bump-Mapping-Methode erzeugt und animiert werden. Wie in der Abb. 8.42 dargestellt, l¨ asst sich bei diesem Ansatz eine Wasseroberfl¨ ache durch Variation der Ausrichtung der Normalen auf einer planaren Oberfl¨ ache vort¨ auschen. Das scheinbar r¨ aumliche Wellenbild wird hierbei als Leuchtdichteverteilung wahrgenommen, die im Wesentlichen eine Funktion der Winkel α und β ist, die entsprechend der in Abb. 8.42 dargestellten Beleuchtungsgeometrie ermittelt wird. Um einen Animationseffekt zu erzielen, erfolgt ¨ die zeitliche Anderung der Normalenvektoren mit Hilfe einer geeigneten Prozedur. Dadurch, dass bei diesem trivialen Verfahren nur eine Helligkeitsmodulation auf einer Ebene erfolgt, kann nur eine leicht gekr¨ auselte Wasseroberfl¨ ache hinreichend realistisch dargestellt werden.

B=f()

V R

 -

N



L

fiktive Oberflächennormalen

Abb. 8.42. Erzeugung von Wellenbildern mit Hilfe des Bump-Mappings (L=Lichtvektor, N=Normalenvektor, R=Reflektionsvektor, V=Sichtvektor)

240

8 Modellierung und Animation von Naturerscheinungen

8.5.2 Parametrisierbare Wellenfunktionen Einen weiteren pragmatischen Ansatz zur Modellierung von Meereswellen stellen Fourier und Reeves, auf der Grundlage der sog. Gerstner Wellen, in [69] vor. Franz Joseph von Gerstner (1756-1832) entwickelte bereits vor 200 Jahren eine Theorie zur Wellenausbreitung [144]. Gerstner ging davon aus, dass sich (siehe Abb. 8.43) die Wasserteilchen in Kreisen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung bewegen und in Folge dieser Orbitalbewegung trochoidenf¨ ormige Wellenformen erzeugen. Fourier und Reeves verwendeten diese Theorie zur prozeduralen Beschreibung der Bewegung eines Punktes auf der Oberfl¨ ache eines sich mit konstanter Geschwindigkeit ausbreitenden Wellensystems. Der trochoidenf¨ ormige Verlauf eines Partikels auf der Oberfl¨ ache eines Wellensystems wird hierbei mit den Gleichungen α − r sin (α) , z = −r cos (α) κ beschrieben. Die Abbildung 8.44a verdeutlicht die geometrischen Zusammenh¨ ange. Das Produkt der Parameter r und κ bestimmt, wie in der Abb. 8.44b dargestellt, die Steilheit der Wellenform. In Flachwassergebieten kann sich die Orbitalstr¨ omung der Wasserteilchen nicht mehr ungehindert ausbilden; es entstehen Refraktionen. In [69] wird dieser Effekt dadurch nachgebildet, dass sich die Kreisbewegung der Wasserteilchen, wie das Bild 8.45a zeigt, zu einer Ellipsenform ver¨ andert. Hierdurch lassen sich Refraktionseffekte nachbilden, wie sie in Ufern¨ ahe oftmals zu beobachten sind. Die Trochoide nimmt hierbei die Form von brechenden Wellenk¨ ammen an. Da das Wellenmodell parametrisch gesteuert ist, kann mit diesem Ansatz der Effekt der Wellenbrechung in einfacher Weise nachgebildet werden, der an den Stellen geringer Wassertiefe auftritt. Darwyn R. Peachey stellt in [70] einen ¨ ahnlichen geometrischen Ansatz zur Wellenerzeugung vor. Er verwendet Basisfunktionen Wi (x, z, t) die mit dem Faktor Ai gewichtet werden und als lineare Traversalwellen zu betrachten sind. Aus der ¨ additiven Uberlagerung dieser elementaren Wellenfunktionen ergibt sich das gesamte Wellensystem f (x, z, t) mit der Gleichung: x=−

n

Ai Wi (x, z, t)

f (x, z, t) = i=1

Abb. 8.43. Orbitalbewegung der Wasserteilchen

8.5 Wasserwellen

241

Abb. 8.44. Erzeugung der Wellenform: (a) Trochoide, (b) Wellen unterschiedlicher Steilheit Die Basisfunktionen besitzen zwei Grundformen (s. Abb. 8.45b), um unterschiedlich steile Wellen zu erzeugen. So erfolgt die Generierung eines flachen Wellenprofils mit einer Sinusfunktion und die Darstellung steiler Wellen mit einer quadratischen Funktion. Die Erzeugung aller Zwischenformen erfolgt durch lineare Interpolation zwischen diesen beiden Grundformen. Die Basisfunktionen Wi (x, z, t), die unterschiedliche Urspr¨ unge und Orientierungen aufweisen, bestehen aus zwei Teilen, einer Phasenfunktion und einer Wellenprofilfunktion: Wi (x, z, t) = wi (f ract [θi (x, z, t)]) Mit Hilfe der Phasenfunktion θi (x, z, t) lassen sich unterschiedliche Periodenl¨ angen angig vom und Geschwindigkeiten der Wellenfronten modellieren, w¨ ahrend wi , abh¨ Nachkommawert der Phasenfunktion (0 < f ract(θi ) ≤ 1) das Wellenprofil kontrolliert. Die Gischteffekte, die beim Brechen von Wellenk¨ ammen auftreten, werden von Peachey mit Hilfe von Partikelsystemen dargestellt. Details hierzu sind in [70] zu finden.

Abb. 8.45. Wellenprofile: (a) Ansatz von Fourier und Reeves [69], (b) Ansatz von Peachey [70]

242

8 Modellierung und Animation von Naturerscheinungen

8.5.3 Fourier-Synthese von Meereswellen Die besten Ergebnisse zur Darstellung von Meereswellen werden zur Zeit mit der Fourier-Synthese erreicht. Dieser Ansatz, der bereits 1987 von Mastin, Watterberg und Mareda in [142] vorgestellt wurde, geht davon aus, dass ein Wellensystem durch ¨ Uberlagerung von sinusf¨ ormigen Basisfunktionen entsteht. Das Spektrum der im Wellensystem enthaltenen kinetischen Energie dient hierbei zur Gewichtung dieser Grundfunktionen. Mastin et al. verwenden hierzu das Energiespektrum von Pierson und Moskowitz, das auf der Basis von 460 Messungen der Energiespektralverteilungen von voll ausgebildeten Windseen, mit unterschiedlichen, konstanten Windgeschwindigkeiten entwickelt wurden. Das von Pierson und Moskowitz entwickelte Spektralmodell (PM-Spektrum) l¨ asst sich mit der Gleichung αg 5 exp − FP M (f ) = 4 (2π)4 f 5


f −4  fm

beschreiben. Hierin ist FP M (f ) das frequenzabh¨ angige Leistungsspektrum in der Windrichtung, g die Gravitationskonstante, f die Wellenfrequenz in Hz, α die Phillips Konstante (0.0081) und fm die Frequenz, bei der die Spektralverteilung ihren Maximalwert aufweist. Wir erhalten den Wert von fm mit der Gleichung ohe gemessene Windgeschwindigfm = 0.13g/U10 , worin U10 die in 10 Meter H¨ keit ist. Da sich das Leistungsspektrum in Abweichung von der Hauptwindrichtung verringert, ist es notwendig, auch diesen Einfluss zu ber¨ ucksichtigen. Das richtungsabh¨ angige Wellenenergiespektrum E(f, θ) l¨ asst sich durch Multiplikation von F (f ) mit der Gewichtungsfunktion D(f, θ) nach Mitsuyasu et al. beschreiben. Wir erhalten:

Abb. 8.46. Wellenenergie und Fourier-Spektrum nach [142]: (a) 2D-Verteilung der Wellenenergie f¨ ur U10 = 5m/s5, (b) das zu (a) korrespondierendes idealisiertes Fourier-Spektrum W avespec ohne weißes Rauschen

8.5 Wasserwellen

E(f, θ) = F (f ) D(f, θ)

(8.39)

mit Γ (s + 1) D (f, θ) = √ 2 πΓ (s + 0.5)

cos2

243

θ 2


2

Die Bestimmung des Parameters s erfolgt mit der Gleichung8 : s sm


 (f /fm )−2,5 =

(f /fm )5

f ≥ fm f < fm

,

sm = 0.116

U10 fm g


−2,5

In [142] wird die richtungsabh¨ angige Verteilungsfunktion der Wellenenergie E(f, θ) (s. Abb. 8.46a) direkt als Filter im Frequenzbereich verwendet. Hierzu wird eine Bildfunktion mit sog. weißen Rauschen erzeugt. Diese wird anschließend in den Ortsfrequenzbereich transformiert und mit E(f, θ) multipliziert. Es werden hierbei allerahrend dings nur die Amplitudenwerte M AGnoise des Rauschspektrums gefiltert, w¨ ucksichtigt bleibt: M AGf iltered = E(f, θ)· die Phaseninformation P HASEnoise unber¨ M AGnoise . In einem weiteren Schritt erfolgt die Skalierung der gefilterten Amplitudenmatrix M AGf iltered = s · M AGf iltered . Die reellen Zahlenwerte der skalierten Matrix werden anschließend mit der zuvor separierten Phaseninformation in komplexe Zahlen umgewandelt: W avespec = M AGf iltered (cos(P hasenoise ) + i sin(P hasenoise ))

Die Abbildung 8.46b zeigt die Amplitudenverteilung innerhalb der W avespec -Matrix. Um dem Wellenbild eine gewisse Rauhigkeit zu verleihen, kann die skalierte Amatzlich mit einer Rauschfunktion u plitudenmatrix M AGf iltered zus¨ ¨berlagert werden. Die Erzeugung des synthetischen Wellenbildes Wave erfolgt abschließend mit Hilfe der inversen Fourier-Transformation: W ave = F T −1 (W avespec ) Die Bestimmung der Fourier-Koeffizienten erfolgt in [142] mit Hilfe der zweidimensionalen Verteilungsfunktion der Wellenenergie F (f, θ). In den Fourier-Raum werden hierbei nur die Amplitudenwerte eingetragen. In [122] ist die Ableitung der Beziehung zwischen Wellenenergie F (λ, θ) und Wellenamplitude a(λ, θ) zu finden:



F (λ, θ) λ g kΩ Æ Hierin ist k = 4π 2 gλ2 die Wellenzahl, w¨ ahrend Ω die Gr¨ oße einer Meeresteilfl¨ ache ur das der mittlere Amplitudenwert a gilt. Die Abbildung 8.48b in [m2 ] darstellt, f¨ zeigt die richtungs- und wellenl¨ angenabh¨ angige Amplitudenverteilung der Windsee innerhalb des Fourier-Raums, dessen Energieverteilung in Abb. 8.46a darstellt ist. a (λ, θ) = π

8

In [142] wird ein ¨ ahnlicher Ansatz verwendet.

244

8 Modellierung und Animation von Naturerscheinungen

Abb. 8.47. Wellensystem (a) ohne, (b) mit Kapillarwellen, (mit Genehmigung von [143], s. Farbtafel XIV)

Die in [142] und [122] vorgestellten spektral-basierten Methoden ignorieren, dass neben den Gravitations- oder Tiefwasserwellen auch die sog. Kapillarwellen speziell zum realistischen Aussehen des Wellenbildes einer Sturmsee beitragen. Die sehr kurzen Kapillarwellen, die eine rauhe Wasseroberfl¨ ache bewirken, werden durch die Windstr¨ omung erzeugt, die unmittelbar u ache des Tiefwasser¨ ber die glatte Oberfl¨ ¨ wellensystems streicht. Mit der Uberlagerung des Fourier-Spektrums der Tiefwasserwellen mit weißem Rauschen k¨ onnen die Kapillarwellen nur unzureichend nachgebildet werden. In [143] wird ein Verfahren vorgestellt, das zu realit¨ atsnahen Ergebnissen unter Verwendung von Kapillarwelleneffekten f¨ uhrt. Animation von Wellensystemen. Zu den Eigenschaften einer Fourier-Transformierten geh¨ ort der Verschiebungssatz . Er besagt, dass die Translation einer Bildfunktion im Ortsbereich einer Phasendrehung im Ortsfrequenzbereich entspricht: f (x + x0 , y + y0 ) = 1 MN

M −1 N−1

F (u, v) exp [−j2π ((x + x0 ) u/M + (y + y0 ) v/N )] v=0 u=0

Diese Eigenschaft l¨ asst sich zur Animation von Wellensystemen nutzen, indem proportional zu den Distanzwerten x0 und y0 die beiden Phasenwinkel 2p(x + x0 )u und 2p(y + y0 )v variiert werden. Allerdings entspricht das hierbei erzielte Resultat nicht den tats¨ achlichen Wellenbewegungen, da sich die Funktionswerte der Matrix Wave lediglich verschieben und ansonsten unver¨ andert bleiben. ¨ In der Realit¨ at tritt jedoch bei der Wellenfortpflanzung eine st¨ andige Anderung des Wellenbildes auf. Die Ursache hierf¨ ur liegt in den unterschiedlichen Fortpflan-

8.5 Wasserwellen

245

Abb. 8.48. (a) Dispersionsschalen im Fourier-Raum, (b) Amplitudenverteilung

zungsgeschwindigkeiten der jeweiligen Elementarwellen. Wir k¨ onnen beobachten, dass sich lange Wellen mit einer h¨ oheren Geschwindigkeit als kurze ausbreiten. Infolge der Interferenzen der Wellen mit unterschiedlicher L¨ ange und unterschiedlicher Phasengeschwindigkeit entsteht ein sich st¨ andig ¨ anderndes, in Windrichtung bewegtes Wellenbild. In der allgemeinen Gleichung f¨ ur die Phasengeschwindigkeit einer Welle c ist diese, von der Wellenl¨ ange λ, der Wassertiefe h und der Gravitationskonstanten g abh¨ angig: c=

 gλ 2π

tanh(

2πh ) λ

(8.40)

F(u,v,c)

f(x,y,t)

Inverse 3D-FFT

c

t

u

v

x

Abb. 8.49. Erzeugung eines animierten Wellensystems mit Hilfe der inversen 3DFFT

y

246

8 Modellierung und Animation von Naturerscheinungen

Abb. 8.50. Darstellung eines sich periodisch ausbreitendes Wellensystems zu unterschiedlichen Zeitpunkten, (aus [122], s. Farbtafel XV) Im Tiefwasserbereich (h  λ), in dem der Einfluss von Bodeneffekten entf¨ allt, nimmt die hyperbolische Tangensfunktion den Wert 1 an, so dass sich Glg. 8.40 f¨ ur Tiefwasserwellen, die auch als Gravitationswellen bezeichnet werden, vereinfacht: c=

 gλ

2π Um eine realistische Wellenbewegung zu erhalten, ist es somit erforderlich, auch die Phasengeschwindigkeit c zu ber¨ ucksichtigen. Dies kann dadurch erreicht werden, dass die Elementarwellen mit ihren konjugiert komplexen Amplituden- und Phasenwerten in einen dreidimensionalen Fourier-Raum eingetragen werden, dessen dritte Koordinate die Phasengeschwindigkeit c ist. Die Spektralwerte werden hierbei √ so organisiert, dass sich im Zentrum des Fourier-Raums die Wellenl¨ ange λ = λ2u + λ2v = 0 ergibt. Die Funktion c(λ) bildet, wie in Abb. 8.48a dargestellt, einen nach oben und unten ge¨ offneten Trichter, in dessen Fl¨ achenkoordinaten die komplexen FourierKoeffizienten der Matrix W avespec eingetragen werden. Wenden wir auf dieses r¨ aumliche Datenfeld F (λu , λv , c) eine inverse 3D-Fourier-Transformation an, so erhalten wir, wie mit der Abb. 8.49 veranschaulicht, wiederum ein dreidimensionales Datenfeld f (x, y, t), dessen dritte Koordinate die Zeit repr¨ asentiert. Das bedeutet, dass jede Ebene dieses Datenfeldes die Amplitudenverteilung eines Wellensystems zu einem bestimmten Zeitpunkt beschreibt, das sich in Abh¨ angigkeit von der Phasengeschwindigkeit c periodisch ausbreitet. Das Zeitintervall von der ersten zur letzten Ebene entspricht der Periodendauer der l¨ angsten Elementarwelle. Die Bildfolge 8.50 zeigt ein Wellensystem, das mit dem oben beschriebenen Verfahren erzeugt wurde.

9 Modellierung und Animation von Stoffen

Die Modellierung und Simulation von Stoff in der Computergrafik ist eine verh¨ altnism¨ aßig junge Disziplin. Erste Ans¨ atze stammen aus der Mitte der achtziger Jahre, wobei die meisten davon versuchen, eher spezielle Probleme aus diesem Bereich zu l¨ osen. Die Fortschritte bei der Entwicklung neuer Simulationsverfahren in Verbindung mit immer leistungsf¨ ahigeren Prozessoren machen es seit wenigen Jahren m¨ oglich, Stoff in Echtzeit zu animieren. F¨ ur die Computeranimation ist vor allem ein glaubw¨ urdiges Bewegungsverhalten und eine m¨ oglichst hochwertige grafische Darstellung von Stoffen von Bedeutung. Die Textil- und Modeindustrie ist hingegen haupts¨ achlich daran interessiert, die Form und den Faltenwurf von Kleidung m¨ oglichst genau wiederzugeben, um mit Hilfe von CAD/CAM-Systemen exakte und materialsparende Kleidungszuschnitte zu erhalten. Um den Faltenwurf eines Tuches m¨ oglichst plausibel darzustellen, ist ein detailliertes geometrisches Stoffmodell sowohl f¨ ur die Simulation als auch f¨ ur die grafische Darstellung notwendig. Ein weiteres zentrales Problem, das bei Simulation von Stoffen auftritt, ist die Verformung des Gewebes bei Kontakten mit sich selbst oder anderen K¨ orpern. Bei der Simulation der Kleidung virtueller Figuren kommt noch erschwerend hinzu, dass sich der Stoff st¨ andig in Kontakt mit der Figur befindet, die oftmals selber eine hohe geometrische Komplexit¨ at aufweist. Aus der Vielzahl der Ver¨ offentlichungen zur Kleidungssimulation wurden einige interessante Arbeiten ausgew¨ ahlt, die im folgenden vorgestellt werden. Insgesamt kann man die bisher existierenden Verfahren in drei Kategorien unterteilen: Geometrische Techniken, physikalisch-basierte und hybride Techniken, die den Mittelweg zwischen Realismus und Geschwindigkeit beschreiten. Die ersten Arbeiten zur rechnergest¨ utzten Stoffsimulation wurden Mitte der Achtzigerjahre ver¨ offentlicht. Ein ¨ guter Uberblick u ¨ ber die Geschichte der Kleidungssimulation ist in [145] zu finden.

9.1 Erste geometrische Stoffmodelle Bei geometrischen Techniken zur Stoffmodellierung wird weitgehend von den physikalischen Eigenschaften von Stoff abstrahiert. Dazu werden geometrische Modelle,

248

9 Modellierung und Animation von Stoffen

die den Stoff repr¨ asentieren, mit Hilfe dieser Techniken so verformt, dass sie Form und Verhalten von realem Stoff m¨ oglichst gut entsprechen. Geometrische Techniken z¨ ahlen zu den schnellsten Verfahren, deren Ergebnissen jedoch die geringste Realit¨ atsn¨ ahe aufweisen.

9.1.1 Das Verfahren von Weil Eines der ersten Verfahren f¨ ur die realistische Modellierung von Stoff wurde von Jerry Weil [146] 1986 vorgestellt. Bei diesem Verfahren handelt es sich um eine Methode, die f¨ ur die Modellierung von h¨ angenden Stoffen, wie z.B. von Vorh¨ angen in dreidimensionalen Szenen, gedacht ist. Mit Einschr¨ ankungen l¨ asst sich diese Methode auch f¨ ur die Computeranimation einsetzen, indem man die Aufh¨ angepunkte animiert und das Modellierverfahren den Faltenwurf berechnen l¨ asst. Das Verfahren besteht aus zwei Teilen: Einer ersten Approximation der Gestalt des Stoffes und einer darauf folgenden Verfeinerung. Ein rechteckiges Tuch wird hierbei an mehreren Punkten aufgeh¨ angt. Zwischen den Aufh¨ angepunkten werden Kettenlinien (auch Katenoide oder Seilkurven genannt) definiert. Ein Katenoid ist die nat¨ urliche Form eines h¨ angenden Seils oder einer Kette, die zwischen zwei Punkten aufgeh¨ angt ist, deren Verlauf die Gleichung: x y = a · cosh( ) a beschreibt, in der a > 0 den Abstand von der X-Achse zum tiefsten Punkt der Kettenlinie bezeichnet (s. Abb. 9.1). Diese Seilkurven werden auf ein zweidimensionales rechteckiges Gitter projiziert, das sich in der X/Z-Ebene des Koordinatensystems befindet(s. Abb. 9.3). Die auf die X/Z-Ebene abgebildeten Punkte werden anschließend auf ihre n¨ achstliegenden Gitterpunkte verschoben. Wenn sich zwei Linien kreuzen und damit am Kreuzungspunkt einen gemeinsamen Gitterpunkt besitzen, wird jene Linie entfernt, die zur tieferen Seilkurve geh¨ ort (s. Abb. 9.2). Die obere Seilkurve wird nun gleichm¨ aßig in Geradenst¨ ucke unterteilt, die der Anzahl ihrer Punkte auf

Abb. 9.1. Kettenlinie

Abb. 9.2. Zwei Katenoide, die sich auf der Projektionsebene schneiden

9.1 Erste geometrische Stoffmodelle

249

dem Gitter entspricht. Nach dem ersten Unterteilungsschritt entstehen, wie die Abb. 9.4b zeigt, die Konturen von zwei Dreiecksfl¨ achen, deren Kanten entsprechend dem Kettenlinienverlauf gebogen sind. Da den meisten Rasterpunkten nach diesem ersten Schritt noch keine Seilkurve und damit keine Z-Koordinate zugeordnet werden k¨ onnen, m¨ ussen die Dreiecke auf dem Raster weiter unterteilt werden. F¨ ur jedes der beiden Dreiecke werden daher Seilkurven von den drei Eckpunkten zum Mittelpunkt der gegen¨ uberliegenden Kante gezogen. Von diesen Kurven wird die k¨ urzeste ausgew¨ ahlt, wobei die Bestimmung der Bogenl¨ angen l zwischen den auf der Seilkurve befindlichen Punkten P (0, a) und P (x1 , f (x1 )) mit der Gleichung l = a · sinh(

x1 ) a

erfolgt. Die ausgew¨ ahlte Seilkurve wird anschließend auf das X/Y-Raster projiziert, diskretisiert und wie oben beschrieben in Geradenst¨ ucke unterteilt. Dieser Vorgang wird solange wiederholt, bis alle Punkte des Gitters, die innerhalb der konvexen H¨ ulle der vier Aufh¨ angepunkte liegen, jeweils einer Seilkurve zugeordnet sind. Durch dieses Vorgehen erh¨ alt Weil eine erste Approximation des Faltenwurfs, dessen Feinheit durch die Aufl¨ osung des Gitters bestimmt wird. Infolge der Platzierung der Punkte der diskretisierten Seilkurven auf das X/YGitter entstehen lokale Verzerrungen, die in realen Stoffen nicht m¨ oglich sind. Aus diesem Grund wird ein Relaxationsverfahren auf die Gitterpunkte angewendet, das die Punktpositionen korrigiert. Diese Korrektur hat das Ziel, alle Punkte m¨ oglichst aquidistant zu ihren umgebenden Nachbarpunkten zu platzieren. Hierzu werden, ¨ bezogen auf den zentralen Punkt, die Korrekturvektoren zu den korrespondierenden Nachbarpunkten bestimmt. Mit der geometrischen Summe der Korrekturvektoren erfolgt anschließend eine Verschiebung des Bezugspunktes. Dieser Relaxationsschritt wird so lange wiederholt, bis der gr¨ oßte Verschiebewert kleiner als ein experimentell bestimmter Toleranzwert ist. Die Bestimmung der Gr¨ oße des Verschiebungsvektors ist problematisch, weil die Verschiebung von Punkten ber¨ ucksichtigt werden m¨ usste, die erst noch bearbeitet werden. Aus diesem Grund werden die Quadrate aller Verschiebungsdistanzen gemittelt und die radizierten Werte zur Skalierung des Verschiebungsvektors verwendet, wodurch gr¨ oßere Verschiebungen ein h¨ oheres Gewicht erhalten. Das Verfahren von Weil ist einfach und schnell. Außerdem kann bereits die erste Stufe des Verfahrens den Faltenwurf eines Tuches oftmals befriedigend erzeugen. Beide Eigenschaften sind f¨ ur den Einsatz in Echtzeitanwendungen interessant. Bei einer Animation kann das Entfernen von Seilkurven, f¨ ur den Fall einer Kreuzung, zu abrupten Ver¨ anderungen der Geometrie f¨ uhren. Das Verfahren ber¨ ucksichtigt

Abb. 9.3. Diskretisierung einer Linie anhand eines Projektionsgitters

250

9 Modellierung und Animation von Stoffen

Abb. 9.4. Iterative Unterteilung: (a) Aufh¨ angepunkte des Tuches, (b) erste Unterteilung (wobei eine der Katenoide bereits entfernt ist), (c) und (d) weitere Unterteilungen eines Dreiecks, das im Schritt zuvor erzeugt wurde

zudem keinerlei Materialeigenschaften von Geweben. Um verschiedene Stoffarten zu modellieren, m¨ ussen zus¨ atzliche geometrische Bedingungen eingef¨ uhrt werden. Weiterhin werden keinerlei Kollisionen der Tuchfl¨ ache mit sich selbst1 oder anderen Objekten ber¨ ucksichtigt. Kontakte mit anderen Gegenst¨ anden sind werden dazu explizit u angepunkte modelliert. ¨ ber Aufh¨

9.1.2 Das Verfahren von Agui et al. Agui et al. stellen in ihrem Artikel [147] eine Technik vor, mit der man Stoff¨ armel ¨ modellieren kann, die einen sich biegenden Arm umgeben. Ein Armel wird dabei als ein hohler Zylinder repr¨ asentiert, der in eine Reihe von kreisf¨ ormigen Ringen unterteilt wird (in Abb. 9.5a als Ri bezeichnet). Falten werden hier als eine Folge der Kr¨ ummungsunterschiede zwischen den ¨ inneren und ¨ außeren Teilen des Armels betrachtet. In der Abbildung 9.5b ist ein Ring Ri vor und nach einer Verschiebung zu sehen. L(i, j) bezeichnet den Abstand zwischen den Punkten Pi,j und Pi−1,j und ∆L(i, j) bezeichnet die Differenz der Distanz zwischen den Ringen vor und nach der Deformation: ∆L(i, j) = L(i, j) − L0 

(9.1)

Eine Falte entsteht als Folge der Deformation des Stoffes dann, wenn ∆L(i, j) mi¨ nimal wird. Die Abbildung 9.5c zeigt einen Querschnitt durch den Armel bei Ring asentieren. Auf der linken Ri . Der dunklere Kreis in der Mitte soll den Arm repr¨ Seite ist der noch nicht deformierte Ring zu sehen. Zur Vereinfachung liegt der Ring symmetrisch um die Y-Achse der X-Y-Ebene. Um Falten entstehen zu lassen, werden die Ringe Ri in Polygone unterteilt. oßer als ein vorher Dazu wird der Punkt Na gesucht, dessen Differenz ∆L(i, j) gr¨ bestimmter Schwellwert ∆La ist 2 . Die Region unterhalb dieses Wertes wird nicht ver¨ andert und beh¨ alt ihre kreisf¨ ormige Form. Der Vorgang wird mit dem N¨ achsten Wert N1 und dem Schwellwert ∆L1 und N2 und ∆L2 etc. fortgesetzt (∆L2 > ∆L1 > ∆La ). 1 2

Das Relaxationsverfahren kann bereits zu Selbstdurchdringungen der Stoffoberfl¨ ache f¨ uhren. Die Schwellenwerte ∆Ln werden experimentell bestimmt.

9.2 Physikalisch-basierte Stoffmodelle

251

¨ Abb. 9.5. (a) Kreisf¨ ormiger Armel, (b) Verschiebung eines Ringes, (c) Konvertierung in Polygone

Ein gerades Segment am oberen Ende der Unterteilung (hier bei j/2) wird in der ¨ Annahme vorausgesetzt, dass reale Falten bei Armeln oben immer flach sind. ¨ Dieser Prozess wird f¨ ur jeden Ring des Armelmodells wiederholt. Dabei k¨ onnen scharfe Kanten entstehen, die durch geometrische Mittelung mit den jeweils vier Nachbarn der Punkte eines Ringes abgeflacht werden. Die Methode von Agui et al. ¨ ist nur f¨ ur den Fall von biegenden Armeln ausgelegt und damit sehr speziell. Die Methode ist sehr effizient und f¨ ur Echtzeitanwendungen geeignet.

9.2 Physikalisch-basierte Stoffmodelle Die physikalisch-basierten Modellierverfahren verwenden dynamische Gewebemodelle, um damit Kr¨ afte zu modellieren, die innerhalb eines Stoffes auftreten oder außen darauf einwirken. Hierdurch kann ein plausibles, dynamisches Verhalten des Stoffes erreicht werden. Der Aufwand dieser Verfahren ist im Gegensatz zu den geometrischen Verfahren hoch. Deshalb ist es das Ziel vieler Verfahren, den f¨ ur die Stoffsimulation ben¨ otigten Rechenaufwand deutlich zu reduzieren.

9.2.1 Fr¨ uhe physikalisch-basierte Ans¨ atze Verfahren von Feynman. Im Jahre 1987 wurde von C. Feynman in seiner Master Thesis [148] ein erster physikalisch-basierter Ansatz zur Kleidungssimulation vorgestellt. Das Gewebe wird hier durch ein zweidimensionales Gitter dargestellt, das in den dreidimensionalen Raum eingebettet ist. Eine Kraftfunktion wird aus

252

9 Modellierung und Animation von Stoffen

Abb. 9.6. Physikalisch basierte Stoffsimulation von C.Feynman, (aus [148])

dem Elastizit¨ ats-, dem Steifigkeits- und dem Gravitationspotential konstruiert. Aus dem Minimum dieser Funktion werden dann die statischen Endpositionen des Gewebes bestimmt. Feynman demonstrierte sein Verfahren mit der Simulation eines h¨ angenden Gewebes und einer von Gewebe bedeckten Kugel (s. Abb. 9.6). Das Verfahren von Haumann. Im selben Jahr wurde von Haumann [27] das erste Feder-Masse System zur Kleidungssimulation vorgestellt. Das darzustellende Gewebe wird mit Hilfe von Punktmassen diskretisiert und die Physik des Gewebes mit zwei Arten von Federn dargestellt: Edge- und Hinge3 -Springs. Diese entsprechen den im Abschn. 9.2.3 vorgestellten Stretch- und Shear-Springs. Haumanns System unterst¨ utzt Luftreibung, Kollisionserkennung und benutzt zur Integration die in Abschn. 9.2.3 vorgestellte explizite Euler-Methode. Haumanns Arbeit kann als eine der grundlegenden Verfahren zur Kleidungssimulation angesehen werden, weil viele der darin enthaltenen Prinzipien in neueren Ans¨ atzen noch Verwendung finden. Zahlreiche weitere Arbeiten folgten in den n¨ achsten Jahren, wobei sich ein Teil der Forschung darauf bezog, Verfahren zur verbesserten und vereinfachten Modellierung von realer Kleidung oder Prozesse zur Verbesserung des Realismus, wie z.B. des Faltenwurfs zu entwickeln.

9.2.2 Das Verfahren von Breen et al. David Breen, Donald House und Phillip Getto stellen in [73] ein kr¨ aftebasiertes Verfahren zur physikalisch-basierten Stoffanimation vor, das speziell f¨ ur die Drapierung von Gegenst¨ anden (z.B. M¨ obel) mit T¨ uchern geeignet ist. Die Stoffmodelle bestehen hier aus waagerecht und senkrecht verlaufenden sog. Schuss- und Kettf¨ aden, die je nach Webart so miteinander verflochten sind, dass sie sich untereinander fixieren. Die Art der Verflechtung wird als Bindung bezeichnet. Die einfachste Bindung ist die Leinenbindung, bei der in wechselnder Folge die Schussf¨ aden u aden hindurch gef¨ uhrt wird. ¨ber und unter den Kettf¨ Breen et al. gehen davon aus, dass Kr¨ afte, die die charakteristische Form des Gewebes ver¨ andern, nur an den Kreuzungspunkten von Schuss- und Kettenfaden entstehen. 3

Scharnier, Angelpunkt

9.2 Physikalisch-basierte Stoffmodelle

253

Abb. 9.7. Mechanische Interaktion innerhalb des Stoffmodells: (a) Fadenstauchung und Fadenausdehnung, (b) Fadenbiegung, (c) Fadendrehung um die Kontaktpunkte in der Stoffebene (trellising)

Indem die Kreuzungspunkte der F¨ aden als Partikel betrachtet werden, l¨ asst sich das Gewebe als sog. gebundenes Partikelsystem“ abstrahieren. Die inneren Partikel ” haben je zwei Nachbarn in Schuss- und Kettrichtung. Die Partikel am Rand bzw. an den Ecken des Stoffes dementsprechend nur drei bzw. zwei Partikel. Die im Partikelsystem auftretenden Kr¨ afte werden mit Hilfe lokal wirkender Kraftfunktionen dargestellt. Hierbei werden vier grundlegende mechanische Effekte unterschieden: die Fadenstauchung, die Fadenausdehnung, die Fadenbiegung und die Fadendrehung um die Kontaktpunkte in der Stoffebene (trellising). Fadenstauchung und Fadendehnung (s. Abb. 9.7a) sind Funktionen der Partikelabst¨ ande, wohingegen die Verbiegung und Verdrehung (s. Abb. 9.7b,c) Funktionen verschiedener Winkelbeziehungen zwischen den Partikeln sind. Die Gesamtheit der Interaktionen der F¨ aden auf lokaler Ebene ergibt das gew¨ unschte Verhalten, das dem eines realen Gewebes ¨ ahnelt. Die Nachbarschaftsbeziehungen der Partikel lassen sich nach [73] mit Hilfe von vier Kraftfunktionen beschreiben: Frepeli =

R(rij ) ,

Fstrechi =

S(rij ) ,

i=j

Fbendi =

j

B(θij ) , Ftrellisi = j

T (φij ) . j

Frepeli ist die gemeinsame Kraft mit der ein Partikel i von anderen Partikeln abgestoßen wird und dadurch eine Selbstdurchdringung des Stoffes verhindert. Die Funktion Æ
C0 (σ − rij )5 rij rij ≤ σ R (rij ) = 0 rij > σ repr¨ asentiert die Abstoßungskraft zwischen den Partikeln i und j als Funktion ihres Abstandes rij . Hierin bezeichnet σ den Partikelabstand, der sich im Ruhezustand einstellt. Fstretchi stellt die Ausdehnungs- und Stauchkraft dar, die von den Nachbarpartikeln u aden ausge¨ ubt wird (s. Abb. 9.7a). Die empirisch ¨ ber die Verbindungsf¨

254

9 Modellierung und Animation von Stoffen

Abb. 9.8. Animationssequenz nach Stoffsimulationsmethode von Breen et al., (aus www.cs.drexel.edu/∼david/cloth mod.html) ermittelte Funktion S(rij ) S (rij ) =

0   C0 ((rij − σ)/σ)5

rij ≤ σ rij > σ

stellt hierbei die Streck- bzw. Stauchkraft zwischen den Knotenpunkten i und j dar. asentiert die Summe der Biegekr¨ afte des Fadens, wenn sich ein Partikel Fbendi repr¨ aus der Stoffebene bewegt (s. Abb. 9.7b). Die Bestimmung einer Biegekraftkomponente erfolgt mit der Funktion: C1 tan(π − θij ) 2 Ftrellisi ist die gemeinsame Scherungskraft, die entsteht, wenn sich die Partikelanordnung, wie in Abb. 9.7c dargestellt, innerhalb der Ebene verdreht, wobei jede einzelne Komponente mit T (φij ) = C2 tan(φij ) B(θij ) =

bestimmt wird. Die Summe aller auf das Partikel i einwirkenden Kr¨ afte Fi sind somit: Fi = Frepeli + Fstretchi + Fbendi + Ftrellisi Alternativ k¨ onnen die Funktionen S(rij ), B(θij ) und T (φij ) auch empirisch bestimmt werden. Hierzu wird das Kawabata-System [149] verwendet, das f¨ ur verschiedene Fadentypen exakte Messwerte f¨ ur die Dehnungs-, Scherungs- und Biegekraft liefert. Die Stoffsimulation nach Breen et al. vollzieht sich in zwei Phasen: 1. Zun¨ achst werden alle Kr¨ afte ber¨ ucksichtigt (z.B. die Gravitation), die auf die Partikel einwirken. Dabei werden Selbst- und Umgebungskollisionen berechnet und die Position und Geschwindigkeit jedes einzelnen Partikels berechnet. 2. Danach werden die Kr¨ afte zwischen den Partikeln bestimmt, wobei versucht wird, ein lokales Minimum des gesamten Partikelsystems zu erreichen. Diese Phase ver¨ andert die Positionen aller Partikel als Reaktion auf Kr¨ aftebeziehungen innerhalb des Partikelsystems und dessen Umgebung. Anschließend werden die Geschwindigkeiten der Partikel an die ver¨ anderte Kr¨ aftesituation angepasst. Zur L¨ osung des Minimierungsproblems wurde eine als Stochastic Gradient Descent“ ” bezeichnete Methode entwickelt, die einer verbesserten Version des Optimierungsverfahrens entspricht, das als Simulated-Annealing bekannt ist. Die Abbildung 9.8 zeigt einige Bewegungsphasen eines Tuches, unter Anwendung des oben dargestellten Stoffanimationsverfahrens.

9.2 Physikalisch-basierte Stoffmodelle

255

9.2.3 Das Verfahren von Provot Der Ansatz von Provot [150] ist ein klassisches mechanisches Verfahren zur Simulation von Stoffen unter dem Einfluss von Zwangsbedingungen. Ein St¨ uck Stoff wird hierbei durch ein Gitter von Partikeln repr¨ asentiert, die durch masselose Federn verkn¨ upft sind. Wie in der Abb. 9.9 dargestellt, werden drei Verbindungsarten unterschieden: 1. Strukturelle Federn verbinden ein Partikel mit seinen unmittelbaren Nachbarn in horizontaler und vertikaler Richtung. Das heißt, ein Partikel an der Position (x, y) wird durch strukturelle Federn mit den benachbarten Partikeln an den Positionen (x − 1, y), (x + 1, y), (x, y − 1), (x, y + 1) verbunden. 2. Scherungsfedern verbinden ein Partikel mit seinen n¨ achsten Nachbarn in diagonaler Richtung. Ein Partikel an der Gitterposition (x, y) wird durch Scherungsfedern mit den Partikeln (x − 1, y − 1), (x + 1, y + 1), (x + 1, y − 1), (x − 1, y + 1) verbunden. 3. Biegefedern verbinden ein Partikel mit seinen u achsten Nachbarn in hori¨ bern¨ zontaler und vertikaler Richtung. Ein Partikel an der Gitterposition (x, y) wird durch Biegefedern mit Partikeln (x − 2, y), (x + 2, y), (x, y − 2), (x, y + 2) verbunden. Die strukturellen Federn bestimmen die grunds¨ atzliche Form des Stoffes und repr¨ asentieren die F¨ aden in Schuss- und Kettrichtung als grobe Ann¨ aherung. Diese Federn reichen jedoch alleine nicht aus, dass der Stoff seine Form beh¨ alt. H¨ alt man asst den Stoff z.B. unter dem Einfluss von Schwerkraft herein Partikel fest und l¨ abh¨ angen, so verformt sich das Gewebe zu einer einzigen geraden Linie. Die Ursache daf¨ ur ist, dass sich die strukturellen Federn beliebig um die Partikel drehen k¨ onnen. Um dies zu verhindern, werden zus¨ atzlich Scherungsfedern eingesetzt, die einer Verdrehung Widerstand entgegensetzen. Der Stoff kann sich jedoch immer noch entlang der horizontalen und vertikalen Achsen beliebig falten. Das f¨ uhrt im Fall einer Kollision zu einem unrealistischen Zusammenballen des Stoffes am Kollisionsort. Um auch diesen Effekt zu verhindern, werden weitere Federn in das Modell eingef¨ ugt, mit der sich die Biegung um die horizontalen und vertikalen Achsen steuern l¨ asst. Diese Federn setzten der Verbiegung aus der Stoffebene Widerstand entgegen. Alternativ kann man auch f¨ ur die horizontalen und vertikalen Winkel zu den Nachbarpartikeln eine geometrische Beschr¨ ankung festlegen. Der Vorteil dieses Federmodells liegt in der einheitlichen Behandlung des gesamten Systems mit Hilfe von Kr¨ aften.

Abb. 9.9. Von links nach rechts: (a) Strukturelle Federn, (b) Scherungsfedern, (c) Biegefedern und (d) volle Federkonfiguration f¨ ur ein innenliegendes Partikel

256

9 Modellierung und Animation von Stoffen

Provot unterscheidet zwischen internen und externen Kr¨ aften. Interne Kr¨ afte sind Federkr¨ afte, die von den umgebenden Nachbarpartikel Pk,l ∈ R auf das Partikel Pi,j wirken: 0 ki,j,k,l li,j,k,l − li,j,k,l ·

Fint (Pi,j ) = − (k,l)∈R

li,j,k,l li,j,k,l 




Hierin repr¨ asentiert ki,j,k,l die Federkonstante einer Verbindungsfeder zwischen Pi,j 0 und Pk,l mit der Ruhel¨ ange li,j,k,l . Der Vektor zwischen Pi,j und Pk,l wird mit li,j,k,l bezeichnet. Externe Kr¨ afte sind die von außen auf die Partikel einwirkenden Kr¨ afte, wie z.B. Gravitation, D¨ ampfung oder Viskosit¨ at. Die Gravitationskraft erhalten wir mit: Fgrav (Pi,j ) = mi,j · g Hierin ist mi,j die Masse des Partikels Pi,j und g die Gravitationskonstante. Die D¨ ampfung wird als lineare Kraft modelliert, die der Geschwindigkeit vi,j des Partiampfungskraft kels Pi,j proportional entgegenwirkt. Wir erhalten die D¨ Fd (Pi,j ) = −cd · vi,j mit dem D¨ ampfungskoeffizienten cd . Die Viskosit¨ atskraft Fv , die das umgebende Fluid (Luft) auf die Partikel aus¨ ubt und quasi eine Partikeltr¨ agheit senkrecht zur Stofffl¨ ache bewirkt, wird bestimmt mit: Fv (Pi,j ) = cv · ni,j · (uf luid − vi,j ) · ni,j Hierin ist ni,j die Normale der Stofffl¨ ache am Ort des Partikels Pi,j . Der Term uf luid − vi,j ist die Geschwindigkeitsdifferenz zwischen dem Fluid und dem Parasentiert die Gr¨ oße des Einflusses der Viskosit¨ at tikel Pi,j . Der Koeffizient cv repr¨ senkrecht zur Gewebefl¨ ache. Die internen und externen Kr¨ afte werden f¨ ur jedes Partikel bestimmt. Aus diesen Kr¨ aften lassen sich mit dem zweiten Newtonschen Bewegungsgesetz (F = m · a) die Beschleunigungen berechnen. Die entsprechenden Geschwindigkeiten und Positionen der Partikel werden von Provot nach dem Euler-Verfahren bestimmt: 1 Fi,j (t) m vi,j (t + ∆t) = vi,j (t) + ∆t · ai,j (t + ∆t) ai,j (t + ∆t) =

Pi,j (t + ∆t) = Pi,j (t) + ∆t · vi,j (t + ∆t) Hiernach bewegen sich alle Partikel durch Einwirkung von Kr¨ aften. Es gibt allerdings auch Partikel, deren Positionen anders bestimmt werden. Dies sind Partikel, die explizit im Raum platziert werden. Hierzu z¨ ahlt beispielsweise die interaktive Positionierung der Partikel oder ihre explizite Behandlung infolge einer Kollision. Die Position dieser speziellen Partikel wird damit außerhalb des Kr¨ aftesystems bestimmt und kann bei der L¨ osung des obigen Gleichungssystems ignoriert werden. Die linearen Federmodelle f¨ uhren zu einem Problem, das als super-elastischer Effekt bekannt ist. Hierbei dehnen sich einige der Federn st¨ arker aus, als es ein realer Stoff zulassen w¨ urde. Zur L¨ osung dieses Problems k¨ onnte man die Federkonstanten erh¨ ohen – also die Federn steifer machen. F¨ ur den Zeitschritt ∆t existiert nach

9.2 Physikalisch-basierte Stoffmodelle

257

ur die Federkonstante, der die numeriBathe [29] jedoch ein kritischer Wert Kc f¨ ¨ sche Stabilit¨ at des Systems beschr¨ ankt. Bei Uberschreitung dieses Wertes wird das System divergent, es sei denn, die L¨ ange des Zeitschritts wird unter die nat¨ urliche Schwingungsperiode T0 des Systems reduziert. Wir erhalten Kc mit: T0 ≈ π

m

Kc

⇒ Kc ≈ m

π2 T02

Die Verringerung des Zeitschritts ∆t w¨ urde allerdings dazu f¨ uhren, dass die L¨ osung des Gleichungssystems wesentlich mehr Zeit beansprucht. Die lineare Elastizit¨ at der Federn bewirkt dar¨ uber hinaus, dass das System in der N¨ ahe des Gleichgewichts der Kr¨ afte zu stark schwingt, sich also zu langsam beruhigt. Mit einer starken viskosen Reibungskraft l¨ asst sich dieser Effekt allerdings auf Kosten eines unrealistisch tr¨ agen Bewegungsverhaltens des Stoffes verringern. Provot schl¨ agt zur Verringerung des super-elastischen Effektes eine Begrenzung der Federausdehnung auf maximal 10% der Ruhel¨ ange vor. Nach der Bestimmung der Partikelpositionen werden alle Federn, deren Ausdehnung den Schwellenwert von 10% u ¨ berschreiten, auf ihre maximale Ausdehnung ¨ gesetzt. Dieser Prozess wird solange wiederholt, bis keine Uberschreitung dieses Wertes mehr feststellbar ist. Bei der Anpassung der Federl¨ ange wird unterschieden, ob die Partikel, die mit der Feder verbunden werden, frei beweglich oder fixiert sind. Sind beide Partikel frei beweglich, werden sie in Richtung der Federmitte verschoben. Der Betrag der Verschiebung ist dabei jeweils die H¨ alfte der Differenz zur maximal erlaubten Ausdehnung. Ist nur eines der beiden Partikel verschiebbar, so wird nur dieses in Richtung des festen Partikels bewegt. Der Ansatz von Provot ist relativ schnell und einfach zu implementieren. Die Methode erlaubt wesentlich gr¨ oßere Zeitschritte als eine unbeschr¨ ankte numerische Integration. Trotzdem muss die Stabilit¨ at des Systems in Zusammenhang mit den Einstellungen f¨ ur die Federkonstanten sorgf¨ altig u ¨ berwacht werden.

9.2.4 Das Verfahren von Baraff und Witkin David Baraff und Andrew Witkin [151] stellten 1998 eine Stoffsimulationsmethode vor, die große Zeitschritte bei der Integration der Differentialgleichungen mit einem einfachen numerischen L¨ osungsverfahren zul¨ asst. Hierzu wurde ein implizites Integrationsverfahren entworfen, das im Folgenden diskutiert werden soll. Wir gehen zun¨ achst von der auf dem zweiten Newtonschen Bewegungsgesetz basierenden Gleichung d dt

x x




=

d dt

x v




=

M

−1

v F(x, v)




(9.2)

aus, in der M−1 eine Matrix der inversen Partikelmassen ist. Um mit dem expliziten Euler-Verfahren die obige Gleichung numerisch berechnen zu k¨ onnen, m¨ ussen die Differentiale in Glg. 9.2 durch Differenzen approximiert werden, wodurch wir die Gleichung ∆x ∆v




=h

v0 M−1 F0




(9.3)

258

9 Modellierung und Animation von Stoffen

mit dem Kraftvektor F0 = F(x0 , v0 ), der Geschwindigkeit ∆x = x(t0 + h) − x(t0 ) sowie der Beschleunigung ∆v = v(t0 + h) − v(t0 ) erhalten. Hier ist x0 = x(t0 ) die Position und v0 = v(t0 ) die Geschwindigkeit der Massepartikel zum Zeitpunkt at des Systems sicherzustellen, ist der Zeitschritt h sehr klein zu t0 . Um die Stabilit¨ w¨ ahlen. Die implizite Version des Euler-Verfahrens stellt sich dagegen wie folgt dar: ∆x ∆v




=h

v0 + ∆v M−1 F (x0 + ∆x, v0 + ∆v)




(9.4)

Der Unterschied zwischen den beiden Verfahren besteht darin, dass die explizite Integration von einem bekannten Zustand aus einen Zeitschritt in die Zukunft“ ” geht. Die implizite Integration beschreibt hingegen den Zustand des Systems, als w¨ are dieser Zeitschritt bereits ausgef¨ uhrt. Sie geht somit einen Zeitschritt zur¨ uck und versucht von dort aus, den aktuellen Zustand zu erreichen. F¨ ur die explizite Integration muss der Kraftvektor F bekannt sein, w¨ ahrend bei der impliziten Integration die Werte f¨ ur ∆x und ∆v zu berechnen sind, um Glg. 9.4 erf¨ ullen zu k¨ onnen. Da Glg. 9.4 nicht-linear ist, schlagen Baraff und Witkin ihre Linearisierung unter Verwendung der Taylor-Approximation vor: ∂F ∂F ∆x + ∆v (9.5) ∂x ∂v In Glg. 9.5 sind die partiellen Ableitungen ∂F/∂x und ∂F/∂v f¨ ur den Zustand des Systems bei (x0 , v0 ) zu bestimmen. Setzen wir Glg. 9.5 in Glg. 9.4 ein, so erhalten wir ein lineares Gleichungssystem der Form: F (x0 + ∆x, v0 + ∆v) = F0 +

∆x ∆v




=h

M

−1



v0 + ∆v F0 + ∂F ∆x + ∂x

∂F ∆v ∂v






(9.6)

Ersetzen wir in der unteren Zeile von Glg. 9.6 ∆x durch h (v0 + ∆v), so erhalten wir die Gleichung: ∆v = h M−1 F0 +

∂F ∂F h (v0 + ∆v) + ∆v ∂x ∂v

die wir nach I − h M−1

∂F ∂F − h2 M−1 ∂v ∂x







∆v = h M−1 F0 + h

∂F v0 ∂x


(9.7)

asst sich jetzt umformen und anschließend nach ∆v aufl¨ osen. ∆x = h(v0 + ∆v) l¨ in einfacher Weise berechnen, indem wir die L¨ osung f¨ ur ∆v in die obere Zeile von Glg. 9.6 eintragen. F¨ ur die implizite Euler-Integration m¨ ussen somit F0 , ∂F/∂x und ∂F/∂v bestimmt werden, bevor Glg. 9.7 gel¨ ost werden kann4 . Bestimmung der inneren Kr¨ afte. F¨ ur die Beschreibung der inneren Kr¨ afte werden sog. Zustandsvektoren C(x) benutzt, deren Wert Null ist. Diesen Zustandsvektoren wird kinetische Energie zugeordnet, die mit der Gleichung 0.5 k C(x)T C(x) bestimmt wird, wobei k die Federkonstante ist. Die Beziehung zwischen Kraftvektor und Zustandsvektor erhalten wir mit 4

F¨ ur die Repr¨ asentation des linearen Gleichungssystems k¨ onnen schwachbesetzte Matrizen benutzt werden.

9.2 Physikalisch-basierte Stoffmodelle

259

Abb. 9.10. Ergebnisse des Verfahrens von Baraff und Witkin: (links) Stofftuch mit zwei Aufh¨ angepunkten, (rechts) Mann mit Hemd und Hose, (mit Genehmigung von c [151],
ACM 1998, s. Farbtafel XVI)

Fi = −k

∂C(x) C(x), ∂x

wobei Fi dreidimensionale Subvektoren des Kraftvektors F sind. Daraus leitet sich die partielle Ableitung des Kraftvektors wie folgt ab: Ki,j =

∂Fi = −k ∂xi




∂ 2 C(x) ∂C(x) ∂C(x)T + C(x) ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj

(9.8)

Die Matrix K ist eine symmetrische Matrix der Dimension 3×3 (K ∈ R3n×3n ). Nach diesem Schema muss f¨ ur alle benutzten Kr¨ afte (Biege-, Zug-, Scherungsund D¨ ampfungskr¨ afte, etc.) die Beziehung ∂F/∂v aufgestellt werden. Beschr¨ ankungen werden hierbei u ur jedes Partikel existiert in ¨ ber die Massenmatrix M definiert. F¨ dieser Matrix eine 3×3-Untermatrix. Setzen wir in dieser Matrix die Eintr¨ age eines Freiheitsgrades auf Null“, so ” werden die Kraftkomponenten eliminiert, welche in Richtung des jeweiligen Freiheitsgrades wirken. Um die Bewegung eines Partikels in einer bestimmten Richtung p zu sperren, so muss die Untermatrix f¨ ur die Masse dieses Partikels durch die Matrix m1i (I − ppT ) ersetzt werden. Wenn das Partikel sich weder in die Richtung p oder q bewegen soll (d.h. das Partikel ist auf Bewegungen beschr¨ ankt, die senkrecht zu den beiden Vektoren verlaufen), muss die Untermatrix f¨ ur die Masse dieses Partikels durch die Matrix 1 (I − ppT − qqT ) ersetzt werden. F¨ ur eine komplette Blockierung der Bewegung mi setzt man die Untermatrix gleich der Nullmatrix. Das lineare Gleichungssystem wird mit einem modifizierten konjugierten Gradientenverfahren gel¨ ost. Die Abbildung 9.10 zeigen einige Resultate dieses Ansatzes. Sie entstammen Animationssequenzen und wurden (inkl. Kollisionerkennung und Rendering) deutlich unter einer Minute pro Frame berechnet5 . 5

Baraff et al. beschreiben nicht die f¨ ur die Animation benutzte Hardware-Basis.

260

9 Modellierung und Animation von Stoffen

Die von Baraff und Witkin in die Kleidungssimulation eingef¨ uhrte implizite Integration erm¨ oglicht es, wesentlich steifere Feder-Masse Systeme bei gr¨ oßeren Zeitschritten zu simulieren. Dadurch k¨ onnen die extremen Dehnungen des Gewebes, die mitunter bei expliziten Verfahren auftreten, stark reduziert und sehr realistisch anmutende Simulationsergebnisse erzielt werden.

9.2.5 Weitere physikalisch-basierten Techniken Basierend auf der impliziten Integration wurden zahlreiche weitere Arbeiten ver¨ offentlicht, die einige Verbesserungen aufwiesen. Zus¨ atzlich wurden hybride Techniken entwickelt, die geometrische und dynamische Ans¨ atze koppeln. In einer ersten Phase wird zumeist ein erster grober Rahmen f¨ ur eine nachfolgende zweite Phase geschaffen, bei der eine Verfeinerung der Darstellung im Mittelpunkt steht. Diese Techniken versuchen eine Balance zwischen Realismus auf der einen Seite und Geschwindigkeit auf der anderen Seite zu erreichen. Nachfolgend werden einige Arbeiten skizziert, die speziell f¨ ur die Echtzeitsimulation von Kleidung von Bedeutung sind. Das Verfahren von Desbrun et al. In der Arbeit Interactive Animation of ” Structured Deformable Objects“ [152] wird eine Methode vorgestellt, die mit der Einf¨ uhrung eines Post-Prozesses gute Ergebnisse auch in interaktiven Umgebungen erzielt. Mit dem Konzept des Post-Prozesses kann im Besonderen das Problem des super-elastischen Effektes behoben werden. Dabei wird nach dem eigentlichen Zeitschritt ein inverser Dynamikschritt angewendet. Hierbei wird eine Maximalausdehnung f¨ ur alle Federn definiert. In dem Post-Prozess werden alle Federl¨ angen ¨ u uft und ihre Position wird iterativ bei Uberschreitung der erlaubten Ma¨ berpr¨ ximall¨ ange reduziert (s. Abschn. 9.2.3). Mit dieser Methode kann es nicht mehr zu extrem ausgedehnten Federl¨ angen kommen, die ihrerseits keinerlei Entsprechung bei realer Kleidung oder realem Gewebe finden. In der Arbeit Interactive Animation of Cloth-like Objects in Virtual Reality“ ” [153] der gleichen Arbeitsgruppe wird ein hybrides Modell vorgestellt, welches eine Kombination aus explizitem und implizitem Integrationsverfahren verwendet. Hiermit wird eine gute Stabilit¨ at erreicht, die eine interaktive Animation von kleineren Stoffteilen erm¨ oglicht. In einer weiteren Arbeit u ¨ ber verformbare Objekte [31] wird ein zeitadaptiver Ansatz vorgestellt, in dem abh¨ angig von den jeweiligen Positionsver¨ anderungen nach einem Zeitschritt entschieden wird, ob der Zeitschritt verkleinert werden muss. Dieses Vorgehen beschleunigt die Berechnung vor allem in F¨ allen, in denen noch keine Kollisionen erfolgt sind. Die Arbeit von Wang. In der Arbeit Adaptive Cloth Simulation“ [154] wird ein ” raumadaptiver Ansatz zur Kleidungssimulation vorgestellt, der die Beschr¨ ankung eines statisch unterteilten Gewebes aufhebt. Abh¨ angig von den Kr¨ ummungswinkeln ¨ zwischen den einzelnen Elementen wird bei Uberschreitung eines Grenzwertes eine weitere Unterteilung dynamisch eingef¨ ugt. Als Basis dient wiederum die implizite Integration. Mit diesem Vorgehen kann eine erhebliche Beschleunigung der Stoffsimulation erreicht werden, da in der Regel weniger Partikel zu behandeln sind, als bei einer homogenen Unterteilung des Simulationsgitters.

9.2 Physikalisch-basierte Stoffmodelle

261

Die Arbeit von Villard und Borouchaki. Die Arbeit Adaptive Meshing for ” Cloth Animation“ [155] stellt ebenfalls ein adaptives Meshing-Verfahren“ vor. Es ” besitzt keinerlei Nachteile im Vergleich zu einer homogenen Gitterunterteilung. Der vorgestellte Algorithmus halbiert etwa die Anzahl der zu behandelnden Partikel. Die Rechenzeit f¨ ur das Rendering verringert sich etwa um den Faktor 8 gegen¨ uber einer statischen Unterteilung bei gleichen Visualisierungsergebnissen, da wesentlich weniger Partikel und Federn zur Darstellung des Gewebes verwendet werden (s. Abb. 9.11).

Abb. 9.11. Adaptive Mesh-Unterteilung nach Villard, (mit Genehmigung von c [155],
ACM 2002

Die Arbeit von Oshita und Makinouchi. In der Arbeit Real-Time Cloth Si” mulation with Sparse Particles“ [156] wird ein Verfahren vorgestellt, welches mit vergleichsweise deutlich weniger Partikeln im Vergleich zu den bisher vorgestellten Ans¨ atzen gute Ergebnisse liefert (s. Abb. 9.12). Das Verfahren verwendet eine Kombination aus dynamischen und geometrischen Techniken. Zun¨ achst wird das Gewebe mit einer geringen Anzahl (einigen Hundert) von Partikeln repr¨ asentiert, deren Positionen und Geschwindigkeiten dynamisch bestimmt werden. Damit kann ein Bewegungsverhalten wie Bauschen und Flattern erreicht werden. Danach wird jedes Dreieck durch eine dreiseitige kubische B´ezier-Fl¨ ache ersetzt. Diese Ersetzung dient der effektiveren Gl¨ attung des Partikelgitters unter Verwendung der Partikelnormalen. Indem die Normalen an den Partikeln und die Abst¨ ande zwischen benachbarten Partikeln gesteuert werden, kann eine lokale Gl¨ attung erzielt werden. Die Normale eines Partikels wird aus den elastischen Kr¨ aften berechnet, die auf das Partikel von den Nachbarfl¨ achen her einwirken. Diese Kr¨ afte haben den Effekt, dass sie den Tangentenvektor der Stofffl¨ ache parallel zur Wirkrichtung der elastischen Kr¨ afte ausrichten. Die Normalenrichtung wird bestimmt, indem die Vektoren, die orthogonal zu den elastischen Kraftvektoren ausgerichtet sind, ausbalanciert werden. Bei der Kontrolle der Abst¨ ande zwischen Partikeln wird eine Verschiebe-Technik verwendet, die der von Provot sehr ¨ ahnlich ist. Zus¨ atzlich k¨ onnen mit diesem Verfah-

262

9 Modellierung und Animation von Stoffen

Abb. 9.12. Stoffsimulation mit wenigen Partikeln nach Oshita und Makinouchi: (links) grobmaschiges Netz mit geringer Partikelzahl, (rechts) grobmaschiges Netz c mit Bezier-Aproximation, (mit Genehmigung von [156],
IEEE 2001, s. Farbtafel XVII)

ren, das f¨ ur Echtzeitanwendungen geeignet ist, auch feinere Falten erzeugt werden, als es das grobmaschige Partikelsystem erlauben w¨ urde. Die Arbeit von Heidrich, Seidel et al. In der Arbeit Efficient Cloth Modeling ” and Rendering“ [157] wird ein Modell zur Stoffsimulation vorgestellt, das sowohl blickpunktabh¨ angige Effekte, wie Verdeckung und Selbstschattierung, als auch Beleuchtungseffekte ber¨ ucksichtigt. Ziel ist es, strukturierte Gewebe, wie z.B. Strickwaren, zu animieren und darzustellen. Als Basis dient eine zus¨ atzliche Datenstruktur, in der Parameter f¨ ur ein Lafortune-Reflektionsmodell, eine Zuordnungstabelle sowie Normalen und Tangenten abgespeichert sind. Diese Vorgehensweise gestattet es, verschiedene Strick- oder H¨ akelmuster plastisch darzustellen. Die Arbeit von Cheng, Xu, Shi und Shum. In der Arbeit Physically-based ” Real-time Animation of Draped Cloth“ wird ein Verfahren vorgestellt, welches sich explizit mit h¨ angenden Geweben, wie z.B. Gardinen, besch¨ aftigt. Der Ansatz besteht darin, die Gardine als eine Aneinanderreihung von vertikalen Pendeln zu modellieren, die sich unabh¨ angig voneinander bewegen (s. Abb. 9.13). Nach jedem Zeitschritt werden diese Pendel mit Kurvenfunktionen, wie z.B. Splines, interpoliert. Dadurch ist der n¨ otige Rechenaufwand wesentlich geringer als bei einem 2D-Netz - dennoch werden sehr u ¨berzeugende Ergebnisse erzielt. Die Arbeit von Etzmuss, Keckeisen und Straßer. Die Arbeit A Fast Fini” te Element Solution for Cloth Modelling“ [159] ist eine der wenigen Arbeiten, die sich mit der Finite-Elemente-Methode in Bezug auf Kleidungssimulation besch¨ aftigt. Das Prinzip reduziert das nichtlineare Elastizit¨ atsproblem f¨ ur jeden Zeitschritt auf ein ebenes, lineares Problem. Damit wird eine relativ schnelle Berechenbarkeit im Vergleich zu herk¨ ommlichen Finite-Elemente-Methoden erreicht. Dennoch ist diese Methode sehr rechenaufwendig.

9.2 Physikalisch-basierte Stoffmodelle

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Abb. 9.13. Stoffsimulation mit Semi-rigid rods“ nach dem Ansatz von Cheng et ” c al., (mit Genehmigung von [158],
IEEE 2001)

Die Arbeit von Vassilev, Spanlang und Chrysanthou. Die Arbeit Fast Cloth ” Animation on Walking Avatars“ [160] zeichnet sich durch zwei wichtige Details aus. Zum einen wird die Funktionalit¨ at der Vertex- und Fragmentshader von Grafikkarten genutzt, um nicht nur die Normalen von kollidierenden Objekten zu bestimmen, sondern auch um die Geschwindigkeiten der einzelnen Vertexes in Bezug auf die Partikel zu interpolieren. Damit wird eine verh¨ altnism¨ aßig schnelle Simulation erreicht. Der vorgestellte Algorithmus ben¨ otigt mit einem 1-GHz P3-Prozessor f¨ ur die Berechnung eines aus 672 Partikeln bestehenden Rocks 0.25s/F rame und 0.3s/F rame f¨ ur ein Kleid, das aus 2300 Partikeln besteht. Die Angaben schließen eine bildbasierte Kollisionserkennung mit ein, wobei die erforderlichen Koordinatenvergleiche mit dem Z-Buffer der Grafikkarte durchf¨ uhrt werden. Die Arbeit pr¨ asentiert weiterhin auch ein neues Konzept zur Beseitigung des super-elastischen Effektes. Falls eine Feder eine vorgegebene Maximall¨ ange u ¨ berschreitet, werden die Geschwindigkeiten in Richtung der Feder auf den Wert Null gesetzt, so dass eine weitere Ausdehnung nicht m¨ oglich ist. Die Arbeiten von Kang, Choi und Cho. In der Arbeit Fast and Stable Anima” tion of Cloth with an Approximated Implicit Method“ [161] wird ein approximierendes, implizites Integrationsverfahren vorgestellt, mit dem ein Gewebe, das aus mehreren hundert Partikeln dargestellt ist, interaktiv animiert werden kann. angigen Terme Die wesentliche Idee dieses Ansatzes besteht darin, alle von h2 abh¨ in Glg. 9.7 (s. Abschn. 9.2.4) zu vernachl¨ assigen und damit den Rechenaufwand zu verringern. Trotz dieser Approximation zeigt der Algorithmus ein stabiles Verhalten. Einige einfache Animationsbeispiele nach dem Ansatz von Kang et al. zeigt die Abb. 9.14. ¨ Um den super-elastischen Effekt zu reduzieren, werden bei Uberschreitung der Maximall¨ ange einer Feder die Positionen wie in [150] an die Maximall¨ ange angepasst. Die L¨ angenanpassung erfolgt abh¨ angig von der L¨ ange der Federn mit Hilfe einer sortierten Liste. Das Problem, dass die Positionsver¨ anderung eines Partikels die L¨ ange einer anderen Feder u oßert, tritt hierbei ¨ ber den Maximalwert hinaus vergr¨ mit wesentlich geringerer H¨ aufigkeit auf.

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9 Modellierung und Animation von Stoffen

Abb. 9.14. Ergebnisse des Verfahrens von Kang, Choi und Cho: (a) ein Aufh¨ angeknoten, (b) mehrfache Aufh¨ angeknoten, (c) Gewebe mit geringer Steifigkeit und zwei Aufh¨ angeknoten, (d) Gewebe mit hoher Steifigkeit und zwei c Aufh¨ angeknoten, (mit Genehmigung von [161],
ACM 2000, s. Farbtafel XVIII)

In der weiterf¨ uhrenden Arbeit An Efficient Animation of Wrinkled Cloth With Ap” proximated Implicit Integration“ [163] wird ein Approximationsansatz vorgestellt, der auf dem impliziten Integrationsverfahren basiert. Die Idee dieses Verfahrens, mit dem realistische Faltenw¨ urfe erzeugt werden k¨ onnen, besteht darin, ein grobes Partikelsystem mit leicht u ¨ berschwingenden Freiformkurven zu interpolieren. Dieser Ansatz wird in der Arbeit Bilayered Approximate Integration for Rapid ” and Plausible Animation of Virtual Cloth with Realistic Wrinkles“ [162] zu einer Zwei-Layer-Methode weiterentwickelt. Das globale Verhalten des zu simulierenden Gewebes wird mit einem groben Netz (Partikelsystem) implizit simuliert. Ein weiteres sehr feines Netz wird erzeugt, wobei dessen Parameter mit Hilfe des groben Netzes interpoliert werden. Dieses feine Netz betrachtet nur interne Kr¨ afte des Gewebes und wird mit einem expliziten Integrationsverfahren simuliert. Somit k¨ onnen feine Faltenw¨ urfe dargestellt werden, ohne dass ein sehr feines Netz global mit allen

Abb. 9.15. Zwei-Layer-Technik von Kang, Choi und Cho: (links) Global simuliertes, grobes Mesh, (rechts) Feines Mesh f¨ ur realistischen Faltenwurf, (mit Genehmigung c von [162],
ACM 2002)

9.2 Physikalisch-basierte Stoffmodelle

265

wirkenden externen Kr¨ aften simuliert werden muss (s. Abb. 9.15). Diese Methode gestattet realistisch wirkende, interaktive Animationen in Echtzeit. Die Arbeiten von Volino, Magnenat-Thalman et al. Die Arbeitsgruppe um P. Volino und N. Magnenat-Thalman ist seit langem im Bereich der Stoffsimulation t¨ atig und hat bereits zahlreiche Arbeiten zu diesem Thema ver¨ offentlicht (u.a. [164], [165], [166], [167]). Der u ¨ berwiegende Teil der Arbeiten bezieht sich auf die realistische Darstellung von Geweben und Kleidung. In [167] wird ein hybrides Verfahren vorgestellt, welches, um die Rechenzeit zu verringern, physikalische mit geometrischen Ans¨ atzen verbindet und damit auch in interaktiven Umgebungen genutzt werden kann. So wird die Annahme getroffen, dass Kleidung meistens in einem gewissen Rahmen vom K¨ orper herunter h¨ angt. Man ¨ denke an einen Armel eines Pullovers bei einem ausgestreckten Arm. Daf¨ ur wird die aus der Physik bekannte Formel f¨ ur eine Seilkurve Glg. 9.1.1 auf den dreidimensionalen Fall erweitert (s. Abschn. 9.1.1). Dieser Ansatz wird mit einem Partikelsystem kombiniert, wobei sehr gute Ergebnisse bei Kleidungssimulation erzielt werden.

9.2.6 Ausblick Aus der Sicht der Computergrafik ist Stoff ein komplexes und allgegenw¨ artiges Material. Im Hinblick auf die aktuellen Bem¨ uhungen, virtuelle Menschen plausibel darzustellen, ist eine realistische Stoffsimulation von großer Bedeutung. Stoff ist einerseits flexibel und andererseits speziell bei Zugbeanspruchungen von großer Festigkeit. Traditionelle Integrationsverfahren zur L¨ osung dynamischer Gleichungssysteme m¨ ussen deshalb vielfach speziell modifiziert werden. Die meisten der vorgestellten Arbeiten zur Stoffsimulation sind noch nicht f¨ ur einen Routine-Einsatz in Echtzeitanwendungen geeignet. Trotz erheblicher Beschleunigung der Verfahren und Leistungssteigerung der Hardware sind Stoffsimulationen in Echtzeit derzeit nur bei relativ einfachen Anwendungen gebr¨ auchlich. Komplexere und zugleich realistisch wirkende Simulationen von Stoffen sind Gegenstand der Forschung. Hierf¨ ur sind im Wesentlichen die sog. Selbstkollisionen, die vielfach bei derartigen Materialien auftreten, verantwortlich. Ihre sehr aufwendige Erkennung und Vermeidung ist notwendig, um beispielsweise das Durchdringen von Stoffbahnen bei Faltenw¨ urfen zu verhindern und f¨ uhrt dazu, dass vielfach Kompromisse zwischen Geschwindigkeit und Korrektheit der Stoffsimulation notwendig sind.

10 Animationen mit neuronalen Netzen

K¨ unstliche neuronale Netze k¨ onnen in der Computer-Animation zur L¨ osung von Problemen der inversen Kinematik oder zur Emulation von physikalisch-basierten Bewegungsmodellen verwendet werden. Speziell f¨ ur den zweiten Anwendungsbereich, der physikalisch-basierten Simulation von Modellen, die vielfach ein nicht-lineares, dynamisches Systemverhalten aufweisen, lassen sich neuronale Netze effizient einsetzen. Die physikalisch-basierte Animation, die in Kap. 11 ausf¨ uhrlich behandelt wird, bedingt, dass das Bewegungsverhalten eines K¨ orpers mit aufwendigen Differentialgleichungssystemen formal beschrieben wird. Um einen Bewegungsablauf zu simulieren, ist es notwendig, f¨ ur jeden Zeitschritt diese Gleichungssysteme, oftmals mit ge¨ anderten Anfangswerten, numerisch zu l¨ osen. Diese Bewegungssimulation, die meist hohen Rechenaufwand erfordert, l¨ asst sich mit Hilfe eines neuronalen Netzes effizient nachbilden. Speziell in der Computer-Animation, in der Interaktivit¨ at und Echtzeitverhalten den exakten Ergebnissen einer korrekten physikalisch-basierten Simulation vorgezogen werden, k¨ onnen neuronale Netze eingesetzt werden. In den nachfolgenden Abschnitten werden in knapper Form einige Grundlagen der neuronalen Netze behandelt, die zum Verst¨ andnis ihrer speziellen, in den Abschn. 10.2 und 10.3 vorgestellten Anwendungen erforderlich sind. Im Einzelnen wird vor allem die Funktionsweise der sog. Feed-Forward Netze einschließlich der Delta-Lernregel sowie der Back-Propagation-Algorithmus behandelt. Diese kurze Exkursion auf das Gebiet der K¨ unstlichen neuronalen Netze soll nicht als Einf¨ uhrung in dieses Fachgebiet verstanden werden. Dem interessierten Leser steht hierf¨ ur ein umfangreiches Angebot spezieller Fachliteratur zur Verf¨ ugung.

10.1 Ku ¨ nstliche Neuronale Netze K¨ unstliche neuronale Netze (KNN) werden seit Ende der f¨ unfziger Jahre aus Untersuchungen zur Informationsverarbeitung in biologischen Systemen entwickelt. Sie orientieren sich an Modellen, mit denen das Verhalten biologisch intelligenter Systeme, wie beispielsweise Teile der Gehirnfunktionen, nachgebildet wird. Das Ziel ist, L¨ osungen f¨ ur Problemstellungen aus technischen Anwendungsbereichen, wie der

268

10 Animationen mit neuronalen Netzen o1 j

o2 j o3 j o4 j

o5 j

okj

w1 j w2 j w3 j w4 j w5 j

wkj

x1

k i =1

N11

wij oij = net j

a (jt 1) = f act net j , j

d

o j = f out a (jt 1)

e

x2

N13

j

i

x3

j

nachfolgende Neuronen: ..,i-1,i,i+1,.. o jk 1 o jk o jk 1

N12

N14

N 21

y1

N 22

y2

N15

Neuron j (a)

x4

(b)

Abb. 10.1. (a) Aufbau eines Neurons, (b) Beispiel f¨ ur ein Feed-Forward-Netz

Mustererkennung, der Sprach- und Zeitreihenanalyse sowie der Modellierung komplexer, nicht-linearer Systeme zu finden oder auch Entscheidungsprozesse im betriebswirtschaftlichen Umfeld zu unterst¨ utzen. Ein KNN ist kein System, das sein biologisches Vorbild exakt beschreibt, sondern nur eine grobe Approximation, von der man jedoch erhofft, dass wesentliche Teile der biologischen Funktionalit¨ at nachgebildet werden. Es besteht aus den Neuronen“, den neuronalen Verschaltungen ” sowie aus Lernregeln, die das KNN bef¨ ahigen, sich so zu konfigurieren, dass es zur L¨ osung einer vorgegebenen Aufgabe bef¨ ahigt ist. Den Aufbau eines Neurons“ zeigt ” Abb. 10.1. Die Eingangssignale o1j bis okj des Neurons werden mit Hilfe der Gewichte arkt, abgeschw¨ acht oder auch negiert und anschließend summiert w1j bis wkj verst¨ i=k o w . Die Aktivierungsfunktion fact bildet mit dem Ergebnis der netj = ij ij i=1 Propagierungsfunktion netj und dem Schwellenwert θ den neuen Aktivierungszu. Hiermit erhalten wir das Eingabesignal der nachfolgenden stand des Netzes at+1 j ). Die Eigenschaften eines Neurons k¨ onnen durch unNeuronen mit oj = fout (at+1 j ¨ terschiedliche Gestaltung der Aktivierungsfunktion (s. Abb. 10.2), durch Anderung von Schwellenwerten sowie der Ausgabefunktion ver¨ andert werden. Die Eigenschaften eines KNN werden haupts¨ achlich durch die neuronale Verschaltung (Netztopologie) bestimmt. Wir unterscheiden zwischen ein- und mehrstufigen Feed-Forward-Netzen (FF-Netze) oder Feedback-Netzen (FB-Netze). Der Signalfluss der Feed-Forward-Netze verl¨ auft nur in einer Richtung, vom Eingang zum Ausgang. Im Gegensatz hierzu wird in Feedback-Netzen die Information wieder in Richtung des Eingangs zur¨ uckgef¨ uhrt. Diese Charakterisierung bezieht sich nur auf die Richtung des Informationsflusses w¨ ahrend der Aktionsphase des KNN. W¨ ahrend der Lernphase kann auch in FF-Netzen die Information wieder zur¨ uckgef¨ uhrt wer¨ den, um durch Anderung der Gewichte das Neuronale Netz entsprechend den Lernregeln zu konfigurieren. Die Neuronen k¨ onnen auch innerhalb einer Schicht interne R¨ uckkopplungen aufweisen oder mit lateralen Signalpfaden verkn¨ upft sein. Die Lernregeln beinhalten die Intelligenz“ des KNN. Ein KNN lernt, indem es ” f¨ ur eine Vielzahl vorgegebener Eingangsvektoren x = x1 , x2 , ..., xn die Ausgangsvektoren y = y1 , y2 , ..., yn bestimmt.



10.1 K¨ unstliche Neuronale Netze f act (a )

f act (a )

1

f act (a )

1

a -1

-1

-1 f act (a ) 1

f act (a ) 1

f act (a ) 1

a

0

1

a

a

(a)

269

0 (b)

a

0 (c)

a

Abb. 10.2. Aktivierungfunktionen: (a) bin¨ ar, (b) begrenzt-linear, (c) sigmoidal

Diese werden anschließend, wie in Abb. 10.3 dargestellt, mit den gleichfalls vorgegebenen Sollvektoren s = s1 , s2 , ..., sn verglichen. Mit Hilfe der Lernregeln werden die Gewichte des KNN so lange ver¨ andert, bis die Differenz d zwischen den Soll- und Ausgangsvektoren ein lokales Minimum erreicht oder das Maximum der vorgegebenen Zahl der Iterationen u ur dieses Verfahren, das ¨ berschritten wird. F¨ als u ¨berwachtes Lernen bezeichnet wird, ist es notwendig, dass zuvor eine Anzahl von Testdatens¨ atzen erzeugt wird, die zum Konditionieren des KNN dienen. Neben dem u uberwachten Lernverfahren Erw¨ ahnung ¨ berwachten Lernen sollen auch die un¨ finden. Hierbei werden die Gewichte entsprechend den vorgegebenen, in einem Algorithmus formulierten Lernregeln, ohne die Verwendung von Musterdatens¨ atzen eingestellt.

10.1.1 Lernregeln Delta-Lernregel. Eines der bekanntesten regelbasierten Verfahren f¨ ur u ¨ berwachtes Lernen wurde von Bernard Widrow und Marcian E. Hoff [168] entwickelt und ist

Testdaten (xp,sp)

x

Lernregeln w

e

s

+ y

w w KNN

Abb. 10.3. Prinzip des u ¨ berwachten Lernens

270

10 Animationen mit neuronalen Netzen

als Delta-Lernregel bekannt. Die Delta-Lernregel ist nur f¨ ur einstufige FF-Netze geeignet und arbeitet nach dem folgenden Prinzip: W¨ ahrend der Lernphase des Netzes wird f¨ ur jeden vorgegebenen Testdatensatz die Aktivierung ai = f (neti ) berechnet und die Differenz dj = sj − aj zur korrespondierenden Sollaktivierung si des Neurons bestimmt. Anschließend werden die Verbindungsgewichte wij f¨ ur den Fall einer sigmoidalen1 Aktivierungsfunktion nach der Regel wij = wij + ∆wij = wij + η oi (sj − f (netj ))f  (netj ) iterativ ge¨ andert. Der Algorithmus terminiert, wenn die Differenz dj ein lokales Minimum erreicht. Back-Propagation-Regel. Die Back-Propagation-Lernregel ist eine von Rumelhart, Hinton und Williams [169] entwickelte Erweiterung der Delta-Lernregel f¨ ur mehrstufige FF-Netze. Das Problem bei den mehrstufigen FF-Netzen besteht darin, dass keine Sollausgabe f¨ ur jene Schichten vorgegeben werden kann, die sich zwischen den Ein- und Ausgabeschichten des KNN befinden. Um die Gewichtsverteilung in den mittleren Schichten korrekt bestimmen zu k¨ onnen, muss der Fehler, der an den Ausgabeneuronen registriert wird, zur¨ uckpropagiert werden. Die Back-PropagationMethode basiert auf dem Gradientenabstiegsverfahren. Hierbei wird das Minimum einer Fehlerfunktion gesucht, indem die Gewichte des KNN entsprechend der vorgegebenen Regelbasis ver¨ andert werden. Die Funktionsweise des Back-PropagationAlgorithmus stellt sich wie folgt dar: 1. Die Verbindungsgewichte des KNN werden mit Zufallszahlen belegt. 2. Anschließend werden die Aktivit¨ aten der Neuronen schichtweise von der Eingabeschicht bis zur Ausgabeschicht berechnet. F¨ ur jeden Eingabevektor x erhalten wir einen Ausgabevektor y, der mit der Sollausgabe s, die mit dem Eingabevektor korrespondiert, verglichen wird2 . 3. Wir berechnen mit der Summe der Soll-Ist-Differenzen den Lernfehler der gesamten Testdatenmenge (xp , sp ) mit ε = p εp = p j (spj − ypj )2 . 4. F¨ ur den Fall, dass der Lernfehler ein lokales Minimum erreicht, terminiert der Algorithmus, anderenfalls wird der Schritt 5. ausgef¨ uhrt. 5. Die Verbindungsgewichte wij werden entsprechend der Gleichung andert. Hierin ist wij (t + 1) = wij (t) + η oi δj ge¨



δj =

Fj (netj )(sj − oj ) Fj (netj )Σk (δk wjk )

: :



falls j ein Ausgabeneuron sonst.

(10.1)

In neuronalen Netzen, die nach der Back-Propagation-Methode lernen, wird die Aktivierungs- und Ausgabefunktion zu der differenzierbaren, sigmoiden Funktion F (netj ) = 1/(1 + e−netj ) zusammengefasst (s. Abb. 10.2c), deren Ableitung ur ein NichtF  (netj ) = F (netj )(1 − F (netj )) ergibt. Um mit Glg. 10.1 δj f¨ ” Ausgabeneuron“ bestimmen zu k¨ onnen, muss zuvor die Variable δk bestimmt werden. Dies ist allerdings trivial, da die Bewertung von δk immer von der Ausgabeschicht zur Eingabeschicht erfolgt und daher vor der Berechnung von δj bereits vorliegt. 1 2

sigmoidal bedeutend s-f¨ ormig nach dem griechischen Buchstaben Sigma. Mit x und y werden hier die Ein- bzw. Ausgabevektoren des neuronalen Netzes bezeichnet. Mit o hingegen werden die Ein- bzw. Ausgabevektoren innerhalb des neuronalen Netzes benannt.

10.2 Inverse Kinematik mit Neuronalen Netzen

271

6. F¨ ur den Fall, dass die maximale Anzahl der Iterationen und damit das Abbruchkriterium nicht erreicht ist, wird die Variable t := t + 1 erh¨ oht und der Algorithmus mit den ge¨ anderten Verbindungsgewichten an der Stelle b) fortgesetzt.

10.2 Inverse Kinematik mit Neuronalen Netzen Ein Ansatz zur L¨ osung invers-kinematischer Problemstellungen mit Hilfe neuronaler Netze, wird von R. Brause in [170] vorgestellt. Das Verfahren ben¨ otigt zwei Schritte, um f¨ ur die vorgegebene Zielposition des Effektors einer kinematischen Kette Pe = (xe , ye , ze ) die korrespondierenden Gelenkvariablen Θ = (θ1 , θ2 , . . . , θn ) zu bestimmen. Mit dem ersten Schritt erfolgt eine Grobpositionierung. Hierzu wird der Raum, der von einem Effektor erreicht werden kann, in Zellen unterteilt. Jede Zelle, die mit den Indizes i, j, k gekennzeichnet ist, besitzt ein lokales Koordinatenur die die Werte der system mit den Ursprungskoordinaten Pijk = (xijk , yijk , zijk ), f¨ Gelenkvariablen Θijk = (θ1 , θ2 , . . . , θn ) vorausberechnet (s. Abschn. 2.2) und den jeweiligen Zellen zugeordnet werden. Die Grobpositionierung der kinematischen Kette erfolgt, indem wir mit einem einfachen Abstandsvergleich die Indizes jener Zelle bestimmen, in der sich die angestrebte Zielposition Pe des Effektors befindet. Mit dem vorausberechneten Gelenkvariablenvektor, der dieser Zelle zugeordnet ist, erfolgt die Grobpositionierung der kinematischen Kette, indem der Effektor auf die Position Pijk = f (Θijk ) ausgerichtet wird. F¨ ur die anschließende Feinpositionierung wird der Differenzwinkelvektor ∆Θ bestimmt, der erforderlich ist, um ausgehend von Pijk die Zielposition Pe = f (Θijk + ∆Θ) zu erreichen. Die Bestimmung von ∆Θ erfolgt nach [170] mit einem einstufigen FF-Netz unter Verwendung der im Abschn. 10.1.1 10 xe

4 x 28

8

3

6

1

2

j 4

2

0

0

2

4

6

8

10

i

Abb. 10.4. Unterteilung des Effektoraktionsraumes in Zellen

272

10 Animationen mit neuronalen Netzen

b

Pe ! i , j , k

g

Pe

Grobpositionierung

xe ye ze

Lw11 A = MM M NMw51

w12 O w52

OP P w53 QP w13 M

w11 w12 w13

 1

w21 w22 w23

 2

w31 w32 w33

 3

w41 w42 w43

 4

w51 w52 w53

 5

Q

+

Q

Qijk

Feinpositionierung

A

Abb. 10.5. Bestimmung des Gelenkwinkelvektors (Prinzip)

vorgestellten Delta-Lernregel. F¨ ur jede Raumzelle werden hierzu Lerndatens¨ atze (x, Θ)p erstellt. Hierbei wird in gleicher Weise, wie bei der Bestimmung der Θijk Gelenkwinkelvektoren verfahren. Beim Erstellen der Lerndatens¨ atze ist darauf zu achten, dass die Lernkoordinaoglichst gleichm¨ aßig verteilt sind. Nach Abschluss ten xp innerhalb einer Zelle m¨ des Lernprozesses erhalten wir f¨ ur jede Zelle eine separate Gewichtungsmatrix, mit der das neuronale Netz initialisiert wird. Das KNN emuliert anschließend das vorw¨ artsgerichtete kinematische Verhalten jener Kette, dessen Zielposition sich in der betreffenden Zelle befindet.

10.3 Inverse Dynamik mit Neuronalen Netzen Die Simulation komplexer dynamischer Systeme erfordert einen erheblichen Rechenaufwand und f¨ uhrt oftmals zu Problemen, wenn Echtzeitanforderungen zu erf¨ ullen sind. Diese Probleme versch¨ arfen sich f¨ ur den Fall, dass eine interaktive Steuerung des Simulationsablaufes erforderlich ist, wie sie beispielsweise bei inversdynamischen Problemstellungen auftreten k¨ onnen. Hierzu zeigt die Abb. 10.6 ein einfaches Beispiel: Ein physikalisches Pendel, das sich im Ruhezustand befindet, soll unter der Einwirkung von externen Drehmomenten, die direkt an den Gelenken einwirken, in einen vorgegebenen Schwingungszustand u uhrt werden. Dies ist nur m¨ oglich, ¨ berf¨ wenn sich die Drehkr¨ afte im zeitlichen Verlauf der Pendelschwingungen kontrolliert ver¨ andern lassen. Die Problemstellung besteht darin, den zeitlichen Verlauf dieser Kr¨ afte zu bestimmen, die notwendig sind, um das Pendel in den gew¨ unschten Endzustand zu versetzen. Ohne Randbedingungen ist dieses Problem nicht eindeutig l¨ osbar, denn es existieren unendlich viele Variationen von Drehmomentverl¨ aufen, mit denen der gew¨ unschte Systemzustand erreicht werden kann. Mit Hilfe eines

10.3 Inverse Dynamik mit Neuronalen Netzen

vorgegebener Anfangszustand

273

vorgegebener Endzustand u0

externe Drehmomente

u1 u0 u1

u2

t

u2

Abb. 10.6. Problemstellung bei der inversen Dynamik

neuronalen Netzes ist es jedoch m¨ oglich, quasi durch systematisches Probieren, in kurzer Zeit eine hinreichend genaue L¨ osung zu finden. In [171] und [172] wurde hierzu ein Emulationssystem mit der Bezeichnung Neuro-Animator“ entwickelt. Das neuronale Netz des Neuro-Animator“ basiert ” ” auf einem dreischichtigen FF-Netz. Dieses lernt das Verhalten eines dynamischen ¨ Modells, indem es die Anderung von Systemzust¨ anden s unter dem Einfluss von Steuerungsgr¨ oßen u und extern wirkenden Kr¨ aften f registriert und das physikalische Verhalten des Modells adaptiert. Dazu wird die in Abschn. 10.1.1 vorgestellte Back-Propagation-Methode verwendet. ¨ Die Anderung der Systemzust¨ ande wird nicht in einer zeitlich linearen Abfolge, wie etwa bei der Datenaufzeichnung beim Motion Capturing verarbeitet, sondern sie ur eine reentspricht eher einer Zufallsverteilung von st , ft und ut . Hierzu werden f¨ lativ geringe Anzahl von beliebig verteilten Eingangskonfigurationen (st , ut , ft ) die jeweiligen Systemzust¨ ande (st+∆t ), die sich zum Zeitpunkt t+∆t einstellen, auf konventionellem Wege berechnet. Wir erhalten n Paare von Ausgangs- und Eingangssignalen [(st+∆t ), (st , ut , ft )]p (p : 0, . . . , n − 1), die das Verhalten des dynamischen Systems beschreiben, welches das neuronale Netz lernen soll. Ist der Lernprozess mit Erfolg abgeschlossen, so verh¨ alt sich das neuronale Netz im Idealfall wie das vorgegebene dynamische Modell und ist in der Lage, f¨ ur beliebige, zuvor nicht gelernte Eingangszust¨ ande die korrekte Systemantwort zu liefern. Die Abb. 10.7 zeigt das einfache Beispiel eines physikalischen Pendels, dessen dynamisches Verhalten mit Hilfe eines dreischichtigen FF-Netzes nachgebildet wird. Der Systemzustand st des Pendels zum Zeitpunkt t wird mit den Gelenkpositionsvektor Pt = (p0 , p1 , p2 )t , dem Gelenkwinkelvektor Θt = (θ0 , θ1 , θ2 )t sowie den Translations- und Winkelgeschwindigkeitsvektoren Vt = (v0 , v1 , v2 )t und atzlich zum Einfluss der Schwerkraft g wirken die Ωt = (ω0 , ω1 , ω2 )t bestimmt. Zus¨ Reibungskr¨ afte (hier nicht dargestellt) sowie die Zugkraftvektoren Ft = (f0 , f1 , f2 )t . Die interaktive Steuerung der Pendelbewegungen erfolgt im vorliegenden Fall mit ur die physikalisch-basierte den Drehmomenten Ut = (u0 , u1 , u2 )t . Um ein KNN f¨ Animation einsetzen zu k¨ onnen, ist es erforderlich, die Werte des Eingangsvektors xt , der sich aus den oben beschriebenen Komponenten zusammensetzt, auf den

274

10 Animationen mit neuronalen Netzen

zentralen Definitionsbereich der Aktivierungsfunktion abzubilden. Grzeszczuk [171] geht, wie in der Abb. 10.8 dargestellt, hierbei in drei Schritten vor: Mit dem ersten Schritt werden die Gelenkkoordinaten mittels Translations- und Rotationsoperationen auf das lokale Koordinatensystem des Pendelmodells abgebildet. Zur Ausrichtung der Drehwinkel sowie der Translations-Geschwindigkeitskomponenten an das Koordinatensystem des Modells, dessen Zentrum durch den Modellschwerpunkt festgelegt ist, sind nur Rotationstransformationen erforderlich. Diese Abbildungen sind zul¨ assig, da das physikalische Bewegungsverhalten invariant bez¨ uglich der o.g. Geometrietransformationen ist. Bei den skalaren Winkelgeschwindigkeiten entf¨ allt die Transformation: x∗t = Trans(xt ) Da die Werte der Variablen des Eingangsvektors auch nach den Geometrietransformationen noch ungleichm¨ aßig verteilt sein k¨ onnen, ist eine Normalisierung erforderlich: xσt = Norm(x∗t ) Die Normalisierung erfolgt in der Weise, dass f¨ ur jede Eingangsvariable xn,k,i die amtlicher Variablen einer Gruppe (Index k) Abweichung vom Durchschnittswert µk s¨ u ¨ ber alle Lernmuster (Index p) bestimmt und durch die Varianz σk dividiert wird. Der Index i kennzeichnet eine einzelne Variable aus einer Gruppe. Wir erhalten: xσp,k,i =

xp,k,i − µk σk

mit dem arithmetischen Durchschnittswert µk =

1 NK

xp,k,i p

i

sowie der Varianz σk =

p0

1 (N − 1) (K − 1)

f0

p1

i

Systemzustand Qt st Pt Wt

u0

 0 ," 0

(xp,k,i − µk )2 p

u1

externe Kräfte ft

f1 u2

 1," 1 p2

 2 ," 2

g

(a)

Systemfolgezustand Q t t

f2

Pt t W t t

interaktiv variable Kräfte ut

(b)

Abb. 10.7. Emulation eines physikalischen Pendels

st t

10.3 Inverse Dynamik mit Neuronalen Netzen

xt

ft ut

x#t

x*t

st Trans

Norm

KNN

y#t

Norm 1

y*t

Trans 1

y t

+

275

y t = st y t

KNN

Abb. 10.8. Verarbeitungskette

Die Konstanten N und K stehen f¨ ur die Anzahl der Lerndatens¨ atze sowie f¨ ur die Anzahl der Variablen einer Gruppe. Als dritte und wichtigste Maßnahme wird das KNN nicht mit den Absolutwerten des am Ausgang anliegenden Zustandsvektors sondern mit den Abweichungen vom Eingangszustand trainiert. Nach der Verarbeitung der Eingangsvariablen erhalten wir am Ausgang des neuronalen Netzes den Differenzvektor: ∆ytσ = ∆KNN(xσt ) Die Normalisierung und die Geometrietransformation wird in umgekehrter Reihenfolge mit dem Ausgabevektor des KNN unter Anwendung der entsprechenden inversen Transformationen wieder r¨ uckg¨ angig gemacht: ∆yt∗ = Norm−1 (∆ytσ ) und ∆yt = Trans−1 (∆yt∗ ) Da das KNN mit den Differenzzust¨ anden trainiert wurde, liegen am Ausgang der Verarbeitungskette die Abweichungen ∆yt des am Eingang anliegenden Zustandsvektors st . Um den Ausgangszustand und somit den inkrementellen Folgezustand ussen die beiden Terme addiert werden: st+1 = yt zu erhalten, m¨ yt = ∆yt + st

10.3.1 Bestimmung der Steuerkr¨ afte Bislang wurde nur der Fall betrachtet, wie das neuronale Netz das vorw¨ artsgerichtete Verhalten eines dynamischen Modells erlernt. Das eingangs definierte Problem bestand jedoch darin, eine zeitliche Folge von Systemzust¨ anden zu erzeugen, mit denen der gew¨ unschte Sollzustand des Pendels erreicht wird. Da sich das KNN nach dem Abschluss des Lernvorgangs wie das physikalische Pendel verhalten sollte, besteht die nachfolgende Aufgabe darin, eine Sequenz zeitdiskreter Steuerkr¨ afte uhren, dessen (u0 , u1 , u2 , . . . , uM ) zu ermitteln, die zu einem Systemzustand sM+1 f¨ ahnlich der Abweichung von der Vorgabe sd hinreichend klein ist. Das Vorgehen ist ¨ im Abschn. 10.1.1 vorgestellten Back-Propagation-Methode, wobei der Lernprozess mit der Zielfunktion J(u) = µu Ju (u) + µs Js (s) = − durchgef¨ uhrt wird.

µu 2

M

u2i + i=1

µs (sM+1 − sd )2 2

(10.2)

276

10 Animationen mit neuronalen Netzen

$s1

$s1

$s M

$s M 1

$u1

$s M 1

$u M 1

$u 2

Steuersignale

$u M

u0 u1 u2

Abb. 10.9. Back-Propagation u ¨ ber die Zeit

Der erste Term von Glg. 10.2 ist ein Kriterium f¨ ur die Genauigkeit der Emulation, w¨ ahrend der zweite Term die Effizienz der Emulation bestimmt. Als Effizienzkriterium wird hier beispielsweise die Summe der zeitdiskret einwirkenden Drehkr¨ afte verwendet. Der Lernprozess beginnt, indem eine Folge beliebig gew¨ ahlter Drehimpulse (u0 , u1 , u2 , . . . , uM ) das Pendel in einen Systemzustand sM+1 versetzt, der achsten Drehimmit gr¨ oßter Sicherheit vom Sollzustand sd abweicht. Um mit der n¨ pulsfolge eine bessere Ann¨ aherung zu erreichen, muss diese korrigiert werden. Nach [171] erfolgt diese Korrektur mit dem Gradienten der Zielfunktion ∇J. Wir erhalten den Gradienten f¨ ur den Endzustand und somit den differenziellen Fehler δsM+1 , indem wir Glg. 10.2 nach sM+1 ableiten: ∂Js = µs (sd − sM+1 ) = δsM+1 ∂sM+1 Zur Korrektur von uM bis u0 muss δsM+1 u ¨ ber die zeitliche Folge der Systemzust¨ ande zur¨ uckpropagiert werden. Wir erhalten: ∇s J(sM+1 ) = µs

δsM+1 ⇒ (δsM δuM )

⇒ ul+1 = ulM + η δuM M

l δsM ⇒ (δsM−1 δuM−1 ) ⇒ ul+1 M−1 = uM−1 + η δuM−1

.. .

.. .

.. .

δs2 ⇒ (δs1 δu1 )

⇒ ul+1 = ul1 + η δu1 1

δs1 ⇒ (δs0 δu0 )

⇒ ul+1 = ul0 + η δu0 0

Das Schema der Zur¨ uckpropagierung u ande ¨ ber den zeitlichen Verlauf der Systemzust¨ verdeutlicht die Abb. 10.9. Die n¨ achste Iteration l + 1 erfolgt mit den verbesserten ” Steuersignalen“: (u0 + η δu0 , u1 + η δu1 , u2 + η δu2 , . . . , uM + η δuM )

10.3 Inverse Dynamik mit Neuronalen Netzen $ in1 $ ini

HN1

IN1

$ hid1 vi1

IN i

vij viq

$ inq

IN q

Eingangsschicht

$ hid j

HN j

$ hid q

$ out1

ON1 w j1

w jl

277

$ out l

ON l

w jr $ out r

HN q

ON r

verdeckte Schicht

Ausgangsschicht

Abb. 10.10. Back-Propagation des differenziellen Fehlers mit einem dreistufigen FF-Netz

Hierbei ist darauf zu achten, dass die Geometrie- und Normierungstransformationen in inverser Weise auch auf differentielle Fehler anzuwenden sind. Diese Iterationen werden so lange durchgef¨ uhrt, bis der Funktionswert von J(u) sein Minimum erreicht hat. Wie die zur¨ uckpropagierten differentiellen Fehler δM bis δ0 bestimmt werden, die zur Verbesserung des Konvergenzverhaltens mit der Lernrate η zu multiplizieren sind, h¨ angt von den verwendeten Lernregeln ab. Unter Verwendung eines dreischichtigen KNN, in dem die Aktivierungsfunktion der Ein- und Ausgabeschicht linear (Identit¨ atsfunktion) und die mittlere Schicht (verdeckte Schicht) einen sigmoidalen Verlauf mit der Ableitung g(net) = g(net)(1 − g(net)) besitzt, erhalten wir den differenziellen zur¨ uckpropagierten Fehler: q

r

δhidj vij gj (1 − gj ) mit δhidj =

δini = j=1

wjk δoutk . k=1

Hierin entspricht δout beispielsweise dem Systemzustand δM , der am Ausgang des neuronalen Netzes (s. Abb. 10.10) anliegt. Der differentielle Fehler δin entspricht den Eingangszust¨ anden δM −1 bzw. δu−1 . Die Konstanten r und q bezeichnen die Anzahl der Neuronen in der Ausgabeschicht und in der verdeckten Schicht. vij und wjk sind die Verbindungsgewichte zwischen Eingabe- und verdeckter Schicht bzw. zwischen verdeckter Schicht und der Ausgabeschicht. Prinzipiell kann ein neuronales Netz jedes dynamische System beliebiger Komplexit¨ at emulieren. In der Praxis sind derartige Netze jedoch nur schwer zu handhaben, da die Anzahl ihrer Neuronen sowie der neuronalen Verschaltungen so stark anw¨ achst, dass der Lernaufwand zu groß wird. Es ist daher sinnvoll, die Emulation komplexer dynamischer Systeme mit hierarchisch strukturierten Netzen durchzuf¨ uhren. Hierzu wird das zu emulierende System in Teilstrukturen segmentiert, deren dynamisches Verhalten wiederum durch Subnetze emuliert wird. Diese Subnetze werden durch ein u ¨ bergeordnetes neuronales Netz gesteuert.

11 Physikalisch-basierte Animation mechanischer Systeme

Die Animation von mechanischen Systemen, also festen, dreidimensionalen K¨ orpern, war eines der ersten Ziele der Computeranimation und z¨ ahlt auch heute noch zu ihren wichtigsten Teilbereichen. Gerade f¨ ur komplexe Systeme wurden dabei bald die Grenzen der klassischen Animationstechniken wie dem Keyframing deutlich, die es dem Geschick des Animateurs u ¨ berlassen, realistisch wirkende Bewegungen zu erzeugen. Der Ansatz der physikalisch-basierten Animation geht daher einen anderen Weg: Er nutzt physikalische Modelle, die sich f¨ ur die Beschreibung realer Systeme bew¨ ahrt haben, f¨ ur die Generierung von Bewegungen oder anderen zeitlichen Ver¨ anderungen mit Hilfe einer grafisch dargestellten Simulation. Neben den direkt sichtbaren Eigenschaften werden bei diesem Ansatz auch die dynamischen Eigenschaften der Szenenobjekte wie Masse oder Massenverteilung ber¨ ucksichtigt, die ihre zeitliche Entwicklung beeinflussen. Die Auswahl eines physikalischen Modells und die Festlegung dynamischer Eigenschaften bezeichnet man auch als physikalisch-basierte Modellierung. Auf der Grundlage dieser Modellierung kann dann eine automatische Simulation durchgef¨ uhrt werden, die anschließend (oder auch w¨ ahrend des Simulationsablaufes) grafisch dargestellt wird. Aus diesem Vorgehen resultieren zwei wichtige Vorteile gegen¨ uber traditionellen Techniken wie dem Keyframing: • •

Die Bewegungen wirken ¨ außerst realistisch. Die Bewegungen k¨ onnen automatisch generiert werden.

Selbst f¨ ur komplexe Bewegungsabl¨ aufe sind dabei h¨ aufig nur wenige Vorgaben seitens des Animateurs erforderlich, was zu einem hohen Maß an Wiederverwendbarkeit f¨ uhrt. Im folgenden Abschnitt wird zun¨ achst der grundlegende Ablauf zur Erstellung einer physikalisch-basierten Animation erl¨ autert und eine Abgrenzung zur rein technischen Verwendung von Simulationen vorgenommen. Anschließend wird die physikalische Modellierung von mechanischen Systemen in Form von massenbehafteten Punktteilchen und dreidimensionalen starren K¨ orpern vorgestellt. Der Abschnitt 11.4 beschreibt die automatische Behandlung von K¨ orperkontakten, mit der sich Durchdringungen dreidimensionaler K¨ orper verhindern lassen und realistisch wirkende Kollisionen nachgestellt werden k¨ onnen. Das vielschichtige Thema der Bewegungssteuerung bildet dann den Abschluss dieses Kapitels.

280

11 Physikalisch-basierte Animation mechanischer Systeme

11.1 Ablauf der physikalisch-basierten Animation F¨ ur die Erstellung einer physikalisch-basierten Animation m¨ ussen die folgenden, aufeinander aufbauenden Teilaufgaben gel¨ ost werden: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Auswahl eines physikalischen Modells Formulierung der Bewegungsgleichungen Festlegung der Simulationsparameter Auswertung der Bewegungsgleichungen (Simulation) Grafische Darstellung Evaluierung

Dieser Ablauf ist in Abb. 11.1 schematisch dargestellt, wobei die grau hinterlegten Bereiche diejenigen Schritte anzeigen, die sich weitgehend automatisieren lassen. Als Ergebnis der Evaluierung kann dabei auch ein R¨ ucksprung zu einem fr¨ uheren Schritt erforderlich sein. Die einzelnen Teilaufgaben werden im Folgenden genauer erl¨ autert. Als Voraussetzung zu ihrem Verst¨ andnis soll aber zun¨ achst gekl¨ art werden, was unter einem physikalischen Modell zu verstehen ist.

Physikalisches Modell

Bewegungsgleichungen Simulation

Graphische Darstellung

Evaluierung

Ergebnis

Simulationsparameter

Abb. 11.1. Prozesskette zur Erstellung einer physikalisch-basierten Animation

11.1.1 Auswahl eines physikalischen Modells Physikalische Theorien wie die Klassische (Newton’sche) Mechanik liefern eine idealisierte Beschreibung realer Vorg¨ ange in der Natur mit Hilfe von Modellen. Ein Modell ist eine vereinfachte, idealisierte Entsprechung eines realen Systems, das bestimmte Eigenschaften dieses Systems nachbildet. Ein wesentlicher Bestandteil sind dabei Bewegungsgleichungen, die die zeitliche Entwicklung festlegen. Die bekannte Newton’sche Bewegungsgleichung F = m a, die Kr¨ afte und Beschleunigungen miteinander in Beziehung setzt, ist hierf¨ ur ein Beispiel. Jede physikalische Theorie hat zudem einen bestimmten Anwendungsbereich, d.h. einen Bereich, in dem sie G¨ ultigkeit beanspruchen kann. F¨ ur die Klassische Mechanik sind dies z.B. makroskopische Objekte mit Geschwindigkeiten weit unterhalb der Lichtgeschwindigkeit. F¨ ur ein physikalisch modelliertes System l¨ asst sich nun eine computerunterst¨ utzte Simulation durchf¨ uhren, bei der die Bewegungsgleichungen automatisch ausgewertet werden. Auf diese Weise ergibt sich ein zeitlicher Ablauf, der die Entwicklung des realen Systems in idealisierter Form widerspiegelt. Dabei muss zwischen allgemeinen Gesetzen und konkreten Vorgaben unterschieden werden:

11.1 Ablauf der physikalisch-basierten Animation • •

281

Allgemeine Gesetze. Die Bewegungsgleichungen sind in ihrem Anwendungsbereich allgemeing¨ ultig, d.h. sie gelten unabh¨ angig von den speziellen Eigenschaften des betrachteten Systems. Konkrete Vorgaben. F¨ ur die Nachbildung von Bewegungsabl¨ aufen m¨ ussen außerdem konkrete Systemeigenschaften ber¨ ucksichtigt werden, z.B. die Massen der beteiligten Objekte oder der Anfangszustand des Systems. Dies sind die Simulationsparameter.

Diese Trennung kann als Versuch angesehen werden, die vielf¨ altigen Erscheinungsformen der Natur mit Hilfe r¨ aumlich und zeitlich invarianter Gesetze zu beschreiben, was sich in den Naturwissenschaften als ¨ außerst erfolgreich erwiesen hat. So k¨ onnen z.B. die Bewegungen vieler Objekte, die bez¨ uglich Gr¨ oße und Zusammensetzung grundverschieden sind, n¨ aherungsweise durch ein einziges, noch dazu einfaches, Entwicklungsgesetz in Form der Newton’schen Bewegungsgleichung beschrieben werden. Diese kompakte Beschreibung komplexer Naturvorg¨ ange ist der Hauptgrund, weshalb physikalische Techniken so erfolgreich f¨ ur die Erstellung von Computeranimationen eingesetzt werden k¨ onnen. Die daf¨ ur notwendigen Schritte werden nun im Einzelnen vorgestellt.

11.1.2 Formulierung der Bewegungsgleichungen Die Bewegungsabl¨ aufe mechanischer Systeme werden durch Kr¨ afte beeinflusst. Ein wichtiges Beispiel f¨ ur eine solche Kraft ist die Schwerkraft, die einem frei fallenden K¨ orper eine konstante Beschleunigung verleiht. Im Gegensatz zur Kinematik, die eine reine Bewegungslehre darstellt, wird dieser Einfluss von Kr¨ aften in der Dynamik ber¨ ucksichtigt. Die Bewegungsgleichungen legen dabei fest, wie Kr¨ afte und Bewegungsgr¨ oßen (wie Position, Geschwindigkeit oder Beschleunigung) miteinander in Beziehung stehen. Sie liegen in fast allen physikalischen Theorien in Form von Differentialgleichungen vor. In der Klassischen Mechanik sind dies gew¨ ohnliche Differen¨ F = m¨ r werden die Kr¨ afte und die zweite tialgleichungen zweiter Ordnung1 : Uber zeitliche Ableitung des Ortsvektors r miteinander verkn¨ upft. Die L¨ osungsfunktion, d.h. die Funktion r(t), welche die jeweilige Differentialgleichung erf¨ ullt, l¨ asst sich aber nicht eindeutig aus ihr ableiten. Allgemein gilt, dass zur eindeutigen L¨ osung einer Differentialgleichung n-ter Ordnung n Punkte der L¨ osungsfunktion bekannt sein m¨ ussen. Bei mechanischen Systemen entsprechen diesen L¨ osungspunkten Bewegungsvorgaben, die Beispiele f¨ ur die anschließend besprochenen Simulationsparameter darstellen. Ein ganz eigenes Problem ist das Aufstellen der Bewegungsgleichungen f¨ ur ein konkretes physikalisches System. In Abschn. 11.3 wird gezeigt, welche Form diese Gleichungen f¨ ur die Klasse der mechanischen Systeme annehmen.

1

Die Ordnung einer Differentialgleichung gibt den gr¨ oßten in der Gleichung auftretenden Ableitungsgrad an. Von gew¨ ohnlichen im Gegensatz zu partiellen Differentialgleichungen spricht man, wenn nur Ableitungen bez¨ uglich einer einzigen Variablen auftreten (s. hierzu auch Anhang A.1).

282

11 Physikalisch-basierte Animation mechanischer Systeme

11.1.3 Festlegung der Simulationsparameter Um mit Hilfe der Bewegungsgleichungen konkrete Bewegungen generieren zu k¨ onnen, m¨ ussen eine Reihe von Parametern bekannt sein, ohne die eine eindeutige L¨ osung nicht m¨ oglich ist. Die Wertebelegung dieser Simulationsparameter ist dabei nicht durch das jeweilige physikalische Modell festgelegt. Sie kann stattdessen realen Systemen abgeschaut“ oder auch frei vorgegeben werden. Diese Parameter lassen sich ” in drei Gruppen unterteilen: dynamische Objekteigenschaften, Kr¨ afteparameter sowie Anfangs- und Randwerte.

Dynamische Objekteigenschaften F¨ ur die physikalisch-basierte Animation sind Eigenschaften eines Objektes wichtig, die einen Einfluss auf seine Dynamik haben, d.h. auf seine Bewegung unter der Einwirkung ¨ außerer Kr¨ afte. F¨ ur die Simulation mechanischer Systeme sind vor allem folgende Eigenschaften relevant: •

•

• •

Masse und Dichte. Die Masse stellt f¨ ur mechanische Systeme eine besonders wichtige Eigenschaft dar. Je gr¨ oßer die Masse eines K¨ orpers ist, umso tr¨ ager verh¨ alt er sich, d.h. umso schwerer ist er aus dem Zustand der gleichf¨ ormigen Bewegung zu bringen. Eng verkn¨ upft mit dieser Gr¨ oße ist die Dichte eines K¨ orpers, die dem Quotienten aus Masse und Volumen entspricht. Massenverteilung. Die Bewegung eines dreidimensionalen K¨ orpers wird nicht nur von der Gr¨ oße seiner Gesamtmasse, sondern auch von der Verteilung der Masse beeinflusst. In Abschn. 11.3.2 wird mit dem sog. Tr¨ agheitstensor ein Maß f¨ ur diese Eigenschaft vorgestellt. Reibungskoeffizienten. Reibungseffekte bewirken in erster Linie eine Abbremsung von bewegten K¨ orpern und k¨ onnen ebenfalls einen großen Einfluss auf das Bewegungsverhalten haben. Elastizit¨ atskoeffizienten. Diese Parameter legen fest, wie stark sich ein deformierbarer K¨ orper unter der Einwirkung ¨ außerer Kr¨ afte verformt.

Zu unterscheiden sind die dynamischen Objekteigenschaften dabei von den Zustandsvariablen eines Systems wie Position oder Geschwindigkeit, deren Werte sich aus der L¨ osung der Bewegungsgleichungen ergeben.

Kr¨ afteparameter Auch die im jeweiligen System wirksamen Kr¨ afte sind in der Regel mit bestimmten physikalischen Parametern verkn¨ upft. Die Schwerkraft ist z.B. proportional zur Gr¨ oße der Fallbeschleunigung g, die auf der Oberfl¨ ache der Erde ungef¨ ahr 9.8 m s−2 betr¨ agt. Durch eine Variation dieses Parameters k¨ onnten somit auch Bewegungen generiert werden, wie sie sich auf anderen Himmelsk¨ orpern wie z.B. dem Mond ergeben w¨ urden. Besonders wichtig sind solche Parameter f¨ ur Kr¨ afte, die zur gezielten Beeinflussung des Systems eingesetzt werden, d.h. zur Bewegungssteuerung. Beispiele hierf¨ ur werden in Abschn. 11.6.2 vorgestellt.

11.1 Ablauf der physikalisch-basierten Animation

283

Anfangs-und Randwerte Als L¨ osung der Newton’schen Bewegungsgleichung F = m ¨ r ist die Funktion r(t) in ohnliche einem bestimmten Zeitintervall [t0 , t1 ] gesucht. Diese Gleichung ist eine gew¨ Differentialgleichung zweiter Ordnung, f¨ ur ihre eindeutige L¨ osung m¨ ussen demnach zwei L¨ osungspunkte vorgegeben werden. Je nachdem, ob diese Punkte am Anfang oder an den Grenzen des betrachteten Zeitintervalls festgelegt werden, spricht man von einem Anfangs- oder einem Randwertproblem: • •

Anfangswertproblem. Zum Zeitpunkt t0 werden sowohl die Positionen als auch die Geschwindigkeiten der im System vorhandenen K¨ orper festgelegt. Randwertproblem. Es werden die K¨ orperpositionen zum Zeitpunkt t0 und zum Zeitpunkt t1 festgelegt.

y

y r1 = (9.0,6.0)

r0 = (1.0,1.0) v0 = (1.0,1.5)

x

r0 = (1.0,1.0)

x

Abb. 11.2. Ein Anfangs- (links) und ein Randwertproblem (rechts)

Diese beiden Ausgangssituationen sind in Abb. 11.2 f¨ ur das Beispiel des schiefen Wurfes dargestellt. Mit Hilfe dieser Vorgaben, die sich frei w¨ ahlen lassen, kann bei bekannten ¨ außeren Kr¨ aften eine eindeutige L¨ osung auf dem gesamten Zeitintervall abgeleitet werden. Dies geschieht im n¨ achsten Teilschritt.

11.1.4 Simulation Die Simulation entspricht im Rahmen der physikalisch-basierten Animation der automatischen Auswertung der Bewegungsgleichungen. Wie schon erw¨ ahnt wurde, liegen diese bei fast allen physikalischen Modellen in Form von Differentialgleichungen vor. In besonders einfachen F¨ allen (z.B. bei zeitinvarianten linearen Systemen) lassen sich diese Gleichungen analytisch, d.h. durch rein mathematische Umformungen l¨ osen. In der Regel ist das aber nicht m¨ oglich, so dass der Einsatz automatischer L¨ osungsverfahren erforderlich ist. Diese Verfahren lassen sich in zwei Klassen unterteilen: •

Symbolische (computeralgebraische) Verfahren. Hierunter versteht man die computerunterst¨ utzte Anwendung mathematischer Umformungen, durch die die Gleichungen so lange vereinfacht werden, bis sie einer direkten L¨ osung zug¨ anglich sind, die f¨ ur jeden Zeit-Parameter t den Zustand des Systems angibt.

284 •

11 Physikalisch-basierte Animation mechanischer Systeme Numerische Verfahren. Diese Verfahren gehen auf eine v¨ ollig andere Weise vor. Bei einem Anfangswertproblem wird die zum Anfangszeitpunkt t0 vorgegebene L¨ osung durch schrittweise Auswertung der Differentialgleichungen bis zum Endwert t1 weiterentwickelt. Bei Randwertproblemen, die sich in der Regel viel schwieriger behandeln lassen, wird eine iterative Ann¨ aherung an die L¨ osung vorgenommen. Das Ziel dieser Verfahren ist die Bestimmung einer L¨ osungskurve, die der exakten L¨ osung m¨ oglichst genau entspricht.

Symbolische Verfahren haben den Vorteil, zu einer exakten L¨ osung zu f¨ uhren und wesentlich zeiteffizienter zu sein. Sie erfordern aber einen enormen Speicheraufwand, lassen sich schwieriger implementieren und sind auch, im Gegensatz zu numerischen Verfahren, nicht f¨ ur alle Systeme anwendbar. H¨ aufig werden sie daher nur als Erg¨ anzung f¨ ur numerische Verfahren eingesetzt, um spezielle Gleichungssysteme in kurzer Zeit l¨ osen zu k¨ onnen.

11.1.5 Grafische Darstellung ¨ Die grafische Darstellung der generierten Bewegungen geschieht durch eine Ubertragung der simulierten Zustandswerte auf entsprechende virtuelle Objekte. Dabei bestehen zwei M¨ oglichkeiten: ¨ • Ubertragung nach Abschluss der Simulation. In diesem Fall werden die Ergebnisse der Simulation in geeigneter Weise abgespeichert und erst nach ihrem Abschluss f¨ ur die grafische Darstellung verwendet. ¨ • Ubertragung w¨ ahrend der Simulation. Bei einer schrittweisen Simulation, wie sie z.B. bei der numerischen L¨ osung von Anfangswertproblemen vorgenom¨ men wird, kann diese Ubertragung auch fortlaufend, d.h. nach jedem n-ten Simuur eine Simulation in Echtzeit steht f¨ ur die Simulation lationsschritt erfolgen2 . F¨ nur die Zeit zwischen zwei Frames zur Verf¨ ugung. In beiden F¨ allen kann zus¨ atzlich ein Nachbearbeitungsschritt erforderlich sein, um z.B. fotorealistische Einzelbilder zu erzeugen. Zuvor muss aber entschieden werden, ob die generierten Bewegungen den gew¨ unschten Zielvorgaben entsprechen.

11.1.6 Evaluierung Die Evaluierung im Anschluss der Simulation besteht in der Analyse, ob die gesteckten Ziele mit der generierten Animation erf¨ ullt wurden. Bei einem nicht zufriedenstellenden Ergebnis muss zu der Festlegung der Simulationsparameter zur¨ uckgegangen werden, um eine neue Simulation unter ver¨ anderten Bedingungen durchzuf¨ uhren (vergl. Abb. 11.1). Da der Einfluss dieser Faktoren auf die Zeitentwicklung des gew¨ ahlten Modells nicht leicht einzusch¨ atzen ist, kann dieser R¨ ucksprung h¨ aufig erforderlich sein. Zuweilen muss sogar das zu Grunde gelegte physikalische Modell modifiziert werden, was in der Regel eine vollst¨ andige Neubelegung der physikalischen Parameter erfordert und somit zu einem großen Mehraufwand f¨ uhrt. Sobald man diesen iterativen Prozess zu einem positiven Ergebnis 2

¨ Der Fall n > 1 entspricht einer zeitlichen Uberabtastung (oversampling), da zwischen zwei Frames mehrere Simulationsschritte durchgef¨ uhrt werden. Ein solches Vorgehen ist h¨ aufig erforderlich, um die Stabilit¨ at des mathematischen L¨ osungsverfahrens zu gew¨ ahrleisten.

11.3 Modellierung mechanischer Systeme

285

gef¨ uhrt hat, hat man dann aber die M¨ oglichkeit, die gew¨ unschten Bewegungsabl¨ aufe ¨ jederzeit auf Knopfdruck generieren und durch kleine Anderungen der Simulationsparameter geeignet modifizieren zu k¨ onnen.

11.2 Von der Simulation zur Animation Das im vorigen Abschnitt skizzierte Ablaufschema der physikalisch-basierten Animation ist auch f¨ ur Simulationen in einem rein technischen Umfeld g¨ ultig. Bei einer solchen Anwendung werden mit Hilfe der Simulation bestimmte Informationen u ¨ ber die dynamischen Eigenschaften des physikalischen Modells gewonnen. Das Modell mitsamt der Simulationsparameter ist dabei fest vorgegeben, w¨ ahrend das Ziel in der m¨ oglichst exakten Bestimmung des resultierenden Zeitverlaufes liegt. Die Aufgabenstellung bei der physikalisch-basierten Animation besteht dagegen in der Erstellung realistisch wirkender Animationen nach den Vorgaben und W¨ unschen des Animateurs. Hieraus resultieren zwei wichtige Abgrenzungskriterien zur rein technischen Verwendung von Simulationen: •

•

Wahrgenommene statt physikalische Korrektheit. Der Anspruch von Computeranimationen liegt in ihrer visuellen Glaubw¨ urdigkeit bzw. in ihrer ¨ Asthetik. An die grafische Darstellung werden daher hohe Anspr¨ uche gestellt, w¨ ahrend physikalisch unkorrekte Ergebnisse toleriert werden k¨ onnen, wenn sie nicht wahrnehmbar sind oder den Gesamteindruck der Animation nicht beeintr¨ achtigen. Bewegungssteuerung. Um den Vorstellungen des Animateurs gerecht werden zu k¨ onnen, muss eine geeignete Steuerung der Bewegungen erm¨ oglicht werden. Der Animateur kann z.B. daran interessiert sein, Zielkonfigurationen f¨ ur bestimmte Teile des Systems vorzugeben, spezielle Objektbeziehungen festzulegen oder Bewegungen zu erhalten, die durch einen minimalen Kraftaufwand gekennzeichnet sind. Die Konzeption und Anwendung geeigneter Steuertechniken stellt daher eine zentrale Aufgabe im Rahmen der physikalisch-basierten Animation dar.

Im Abschnitt 11.6 wird das komplexe Problem der Bewegungssteuerung, das sich in vielen Aspekten mit der Formulierung der Bewegungsgleichungen und der Festlegung der Simulationsparameter u uhrlich besprochen. Zun¨ achst soll aber ¨ berschneidet, ausf¨ die konkrete physikalische Modellierung von mechanischen Systemen beschrieben werden.

11.3 Modellierung mechanischer Systeme In diesem Abschnitt werden zun¨ achst die grundlegenden physikalischen Gesetzm¨ aßigkeiten f¨ ur die Simulation punktf¨ ormiger, massenbehafteter Teilchen erl¨ autert. Diese Ausf¨ uhrungen bilden auch die Grundlage f¨ ur die anschließend besprochene Modellierung von Punktteilchen-Systemen und von dreidimensionalen starren K¨ orpern. Deformierbare K¨ orper werden an dieser Stelle nicht behandelt (s. hierzu Abschn. 3.2).

286

11 Physikalisch-basierte Animation mechanischer Systeme

11.3.1 Dynamik von Punktteilchen Newtons Bewegungsgesetz f¨ ur ein einzelnes Punktteilchen mit dem Impuls p unter ¨ ˙ Die zeitliche Anderung dem Einfluss einer ¨ außeren Kraft F lautet F = p. des Impulses ist also genauso groß wie die Kr¨ afte, die auf das Teilchen wirken. Der Impuls setzt sich dabei aus der Masse des Teilchens m und seiner Geschwindigkeit v := r˙ zusammen, wobei r den Ortsvektor des Teilchens bezeichnet: p := m v. Bei einer konstanten Masse, was in den meisten F¨ allen gegeben ist und im Folgenden stets angenommen werden soll, erh¨ alt man somit die bekannte Form F(t) = m ¨ r(t) oder F(t) = m a(t) mit der Beschleunigung a(t) := ¨ r(t). Diese Beziehung stellt eine gew¨ ohnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung bez¨ uglich r(t) dar. F¨ ur ihre L¨ osung, d.h. f¨ ur die Bestimmung des Bahnverlaufes r(t) von einem ussen die Teilchenmasse und die Startzeitpunkt t0 bis zu einem Endzeitpunkt t1 , m¨ einwirkenden Kr¨ afte f¨ ur jeden Zeitpunkt im Intervall [t0 , t1 ] bekannt sein. Außerdem m¨ ussen zwei Punkte der L¨ osungskurve vorgegeben werden, u ¨ blicherweise z.B. die Anfangswerte der Position und der Geschwindigkeit r(t0 ) und r˙ (t0 ) oder auch die Anfangs- und Endwerte der Position r(t0 ) und r(t1 ) (vgl. Abschn. 11.1.3). Der gesuchte Bahnverlauf kann dann mit Hilfe numerischer Verfahren automatisch ermittelt werden, wie in Anhang A.1 genauer beschrieben wird. In bestimmten F¨ allen l¨ asst sich die Differentialgleichung F(t) = m ¨ r(t) auch direkt l¨ osen. Ein wichtiges Beispiel hierf¨ ur soll nun er¨ ortert werden. Viele Kr¨ afte sind zeitlich konstant, d.h. sie h¨ angen nicht von der Zeitvariablen t ab. In diesem Fall l¨ asst sich eine analytische L¨ osung f¨ ur die obige Bewegungsgleichung angeben. Wie man leicht durch Einsetzen nachpr¨ ufen kann, ist r(t) =

F (t − t0 )2 + v0 (t − t0 ) + r0 2m

der gesuchte Zeitverlauf f¨ ur r, der die Gleichung F = m ¨ r(t) erf¨ ullt. Die Funktion r(t) gibt f¨ ur jeden Zeitpunkt die Teilchenposition und damit den kompletten Bahnverlauf an, wobei die frei w¨ ahlbaren Simulationsparameter r0 und v0 die Position bzw. Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t0 festlegen: r0 = r(t0 ) , v0 = v(t0 ). Ein Beispiel f¨ ur eine derartige Kraft ist die Schwerkraft. Sie hat die Form: Fg = −m g [0 0 1]T Dabei entspricht g der Fallbeschleunigung (≈ 9.8 m s−2 ) und es wurde angenommen, dass die Schwerkraft in Richtung der negativen z-Koordinatenachse ( unten“) wirkt. ” Die Funktion r(t) ergibt sich in diesem Fall als: r(t) = (t − t0 )

2




0 0 −g/2

   vx0 r x0  + (t − t0 )
vy0  +
ry0  vz0

rz0

Die Bewegung h¨ angt also unter diesen idealen Bedingungen, insbesondere unter Vernachl¨ assigung von Reibungseffekten, nicht von der Masse des Teilchens ab, worauf bekanntermaßen bereits Galileo Galilei am Ende des 16. Jahrhunderts hingewiesen hatte. Zwei Bewegungskurven, die sich aus dieser Gleichung f¨ ur verschiedene Anfangsbedingungen ergeben, sind in Abb. 11.3 dargestellt.

11.3 Modellierung mechanischer Systeme

287

z

z r0 = (2.0,5.0) v0 = (0.0,0.0)

r0 = (1.0,1.0) v0 = (1.0,1.5)

x

x

Abb. 11.3. 2D-Bewegungen von Punktteilchen unter dem Einfluss der Schwerkraft f¨ ur zwei verschiedene Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt t0 : freier Fall (links), Wurf (rechts)

Drehimpuls und Drehmoment Jedem bewegten Teilchen kann man einen Drehimpuls und ein Drehmoment zuordnen. Sie stellen die analogen Gr¨ oßen zu Impuls und Kraft dar, bezogen auf die Drehbewegung des Teilchens bez¨ uglich eines bestimmten Punktes im dreidimensionalen Raum. F¨ ur die physikalisch-basierte Animation punktf¨ ormiger Teilchen sind diese Gr¨ oßen von untergeordneter Bedeutung. Anhand dieses K¨ orpertyps lassen sich aber einige wichtige Aussagen gewinnen, die zu einem besseren Verst¨ andnis der Dynamik starrer K¨ orper beitragen, bei denen der Drehimpuls und das Drehmoment eine zentrale Rolle spielen, wie Abschn. 11.3.2 zeigen wird. Der Drehimpuls eines Teilchens bezieht sich auf die Drehbewegung bzgl. eines beliebigen Punktes P. Er ist definiert als: L(t) := (r(t) − P) × p(t) Der Drehimpuls steht somit senkrecht zum Impuls p und zur Geschwindigkeit v und ist proportional zur Teilchenmasse m (wegen p = m v). Er ist zudem umso gr¨ oßer, je weiter das Teilchen vom Punkt P entfernt ist. Das Drehmoment von P steht dagegen senkrecht zur Kraft, die auf das Teilchen einwirkt und ist durch N(t) := (r(t) − P) × F(t) festgelegt. Zwischen dem Drehimpuls L und dem Drehmoment N l¨ asst sich eine wichtige Beziehung ableiten. Bildet man die erste Ableitung der Gleichung f¨ ur L und setzt die Newton’sche Beziehung F = p˙ darin ein, ergibt sich ˙ + (r − P) × F = (r − P) × F L˙ = r˙ × p + (r − P) × p˙ = r˙ × (m r) und somit L˙ = N Diese Gleichung ist vor allem als Gesetz der Drehimpulserhaltung bekannt: Bei verschwindenden a ¨ußeren Drehmomenten bleibt der Drehimpuls konstant.

288

11 Physikalisch-basierte Animation mechanischer Systeme

Systeme von Punktteilchen Es soll nun ein System aus n Punktteilchen betrachtet werden. Das i-te Teilchen dieses Systems mit der Masse mi und der Beschleunigung ai kann dabei sowohl von aften Fij , die von einem anderen Teilchen einer ¨ außeren Kraft Fi als auch von Kr¨ j herr¨ uhren, beeinflusst werden. F¨ ur die inneren Kr¨ afte muss dabei aus Symmeur jedes Teilchen i hat dann die Newton’sche triegr¨ unden Fij = −Fji gelten3 . F¨ Bewegungsgleichung die Form: n

Fi +

Fij = mi ai ,

i = 1, ..., n

(11.1)

j=1

Aus dieser Gleichung l¨ asst sich eine Aussage u ¨ ber die Bewegung des Massenschwerpunktes des Systems, im Folgenden kurz Schwerpunkt genannt, gewinnen. Der Ortsvektor dieses Punktes rsp ist durch rsp :=

  

1 mΣ

n

n

mi ri ,

mΣ :=

i=1

mj j=1

definiert. Der Gesamtimpuls des Systems erh¨ alt mit dieser Gr¨ oße die Form p := n ˙ i = mΣ r˙ sp . Summiert man nun Glg. (11.1) u alt man zudem ¨ ber alle i, erh¨ i=1 mi r n n n ri . In dieser Gleichung verschwindet der Term i=1 Fi + i,j=1 Fij = i=1 mi ¨ n afte wegen Fij = −Fji gegenseitig aufheben. Setzt man i,j=1 Fij , da sich die Kr¨ nun noch die obige Definitionsgleichung f¨ ur den Schwerpunktvektor rsp ein, ergibt sich





n

rsp = mΣ ¨

Fi

(11.2)

i=1

Auf diese Weise wurde ein wichtiges Ergebnis abgeleitet: Der Schwerpunkt eines Punktteilchensystems bewegt sich wie ein einzelnes Punktteilchen, in dem die ganze Masse des Systems konzentriert ist. Die inneren Kr¨ afte haben keinen Einfluss auf seine Bewegung. Eine m¨ ogliche Anwendung dieser Eigenschaft ist die Animation einer PunktteilchenWolke (s. Abb. 11.4). Die physikalische Simulation jedes einzelnen Punktteilchens w¨ urde einen grossen Rechenaufwand erfordern und ließe sich außerdem nur schwer nach den W¨ unschen des Animateurs steuern. Ein alternatives Vorgehen besteht nun darin, die relativen Bewegungen der Teilchen um den Schwerpunkt rsp regelbasiert, z.B. mit Hilfe eines Zufallsprozesses, zu generieren und nur f¨ ur die Bewegung des Schwerpunkts selber eine physikalische Simulation vorzunehmen. Auf diese Weise l¨ asst sich ein guter Kompromiss zwischen Rechenzeit und Steueraufwand auf der einen Seite und dem Anspruch realistisch wirkender Bewegungen auf der anderen Seite erzielen.

3

Diese Bedingung l¨ asst sich als Anwendung des actio = reactio“- Gesetzes sehen: ” Jede Kraft erzeugt eine betragsgleiche, ihr entgegengerichtete Gegenkraft.

11.3 Modellierung mechanischer Systeme

289

y

rsp

x Abb. 11.4. Animation einer Punktteilchenwolke

11.3.2 Dynamik starrer K¨ orper Dreidimensionale K¨ orper, deren geometrische Form zeitlich konstant bleibt, nennt man starre K¨ orper. F¨ ur die Computeranimation haben sie eine besonders große Bedeutung, da sich viele allt¨ agliche Objekte n¨ aherungsweise wie starre K¨ orper verhalten und ihre physikalische Beschreibung wesentlich einfacher als die von deformierbaren K¨ orpern ist. Bevor ihre Dynamik erl¨ autert werden kann, d.h. ihr Bewegungsverhalten unter dem Einfluss a afte, muss zun¨ achst gekl¨ art werden, wie ¨ußerer Kr¨ der Bewegungszustand eines starren K¨ orpers beschrieben werden kann und durch welche dynamische Eigenschaften er sich auszeichnet.

Zustandsbeschreibung eines starren K¨ orpers Ein starrer K¨ orper hat 6 Freiheitsgrade, 3 bez¨ uglich der Translation und 3 bez¨ uglich der Rotation. In den sog. Referenzpunktkoordinaten wird sein Zustand durch die Ortsangabe eines K¨ orperpunktes und durch den Rotationszustand relativ zu diesem Punkt beschrieben. Normalerweise wird der (Massen-)Schwerpunkt des K¨ orpers als ein solcher Referenzpunkt gew¨ ahlt, da er eindeutig ausgezeichnet ist und eine einfachere Beschreibung der Rotation erlaubt. Ein starrer K¨ orper l¨ asst sich dann, wie in Abb. 11.5 gezeigt, durch die folgenden Gr¨ oßen beschreiben: • • •

Ortsvektor des Schwerpunktes. Dieser Ortsvektor r gibt die r¨ aumliche Position des Schwerpunktes bez¨ uglich des WKS an. Translationsgeschwindigkeit des Schwerpunktes. Dieser Vektor bezeichnet die Geschwindigkeit des Schwerpunktes bez¨ uglich des WKS und entspricht der zeitlichen Ableitung des Schwerpunktvektors: v = r˙ . Rotation um den Schwerpunkt. Die Rotation kann z.B. mit Hilfe der (3×3)dimensionalen Drehmatrix Rot ausgedr¨ uckt werden. Die drei Spaltenvektoren der Matrix Rot entsprechen dabei den Koordinatenachsen des k¨ orperfesten Koordinatensystems bez¨ uglich des WKS und lassen sich z.B. durch die drei EulerWinkel parametrisieren (s. hierzu Anhang B). Eine f¨ ur viele Zwecke g¨ unstigere

290

•

11 Physikalisch-basierte Animation mechanischer Systeme Beschreibung der K¨ orperrotation l¨ asst sich allerdings mit Quaternionen q erreichen, wie ebenfalls in Anhang B gezeigt wird. Rotationsgeschwindigkeit bez¨ uglich des Schwerpunktes. Eine gebr¨ auchliche Gr¨ oße zur Beschreibung der Drehgeschwindigkeit ist die Winkelgeschwindigkeit ω. Dieser dreidimensionale Vektor legt durch seine Richtung die Drehachse fest, w¨ ahrend sein Betrag die Gr¨ oße der Drehgeschwindigkeit angibt.

Die Beziehungen zwischen ω und der Rotationsmatrix Rot bzw. dem Quaternion q ist dabei komplizierter als im Fall der linearen Geschwindigkeit. Hierf¨ ur gelten die Glgn. (s. Anhang B) ˙ P = ω × (Rot P) Rot f¨ ur einen beliebigen Punkt P bzw.: q˙ =

1 ωq 2

Neben diesen zeitver¨ anderlichen Zustandsgr¨ oßen besitzt ein starrer K¨ orper aber auch eine Masse und eine durch die geometrische Form bestimmte Massenverteilung. Auch diese Eigenschaften m¨ ussen bei der physikalisch-basierten Modellierung ber¨ ucksichtigt werden.

Impuls, Drehimpuls und Tr¨ agheitstensor Man kann einen starren K¨ orper als Grenzfall eines Vielteilchensystems mit unendlich vielen punktf¨ ormigen Teilchen ansehen, deren relativer Abstand zeitlich konstant bleibt. Analog zu den Ausf¨ uhrungen in Abschn. 11.3.1 l¨ asst sich dann die Beziehung p = mv ableiten, wobei p dem Impuls und m der Gesamtmasse des K¨ orpers entspricht. Der lineare Impuls eines starren K¨ orpers entspricht somit dem eines Punktteilchens, in dem die gesamte Masse des K¨ orpers konzentriert ist. Die Beschreibung des Drehimpulses stellt eine etwas kompliziertere Aufgabe dar. Im Gegensatz zum linearen Impuls muss dabei beachtet werden, dass Massen einen

Abb. 11.5. Zustandsbeschreibung eines starren K¨ orpers: (links) aktuelle Position und Ausrichtung, (rechts) Translations- und Rotationsbewegungen des K¨ orpers

11.3 Modellierung mechanischer Systeme

291

gr¨ oßeren Beitrag zum Drehimpuls liefern, wenn sie weit von der Drehachse entfernt sind. Auf diesen Sachverhalt wurde schon in Abschn. 11.3.1 bei der Beschreibung des Drehimpulses f¨ ur punktf¨ ormige Teilchen hingewiesen. Bei starren K¨ orpern wirkt sich also nicht nur die Gesamtmasse, sondern auch die r¨ aumliche Verteilung der Masse auf seine Bewegung aus. Man kann zeigen (s. z.B. [173]), dass zwischen dem Drehimpuls L und der Winkelgeschwindigkeit ω die folgende Beziehung besteht: ˆω L=J ˆ stellt dabei keinen Skalar, sondern eine symmetrische (3 × 3)-Matrix Die Gr¨ oße J dar, den sog. Tr¨ agheitstensor. Auf diese nicht sehr intuitive, aber f¨ ur die dynamische Beschreibung starrer K¨ orper unerl¨ assliche Gr¨ oße soll nun genauer eingegangen werden. Der Tr¨ agheitstensor spiegelt die Massenverteilung eines dreidimensionalen K¨ orpers und damit indirekt seine geometrische Form wieder. Mathematisch entspricht er einer (3×3)-Matrix, deren Komponenten durch die Volumenintegrale Jˆij :=

ρ(r) (|r|2 δij − ri rj ) dr

ur i = j, 0 f¨ ur u orperpunkte mit Ortsvektoren r definiert sind (δij : 1 f¨ ¨ ber alle K¨ i = j). Hierin ist ρ(r) die (i.A. ortsabh¨ angige) Massendichte des K¨ orpers. Wie jede ˆ durch eine orthogonale Transformation auf reelle symmetrische Matrix l¨ asst sich J Diagonalform bringen, d.h. man kann ein Koordinatensystem w¨ ahlen, in dem ˆ J die Form  Jˆ1 0 0 ˆ =
0 Jˆ2 0  J 0 0 Jˆ3 hat. Die Diagonalelemente dieser Matrix nennt man (Haupt-) Tr¨ agheitsmomente. Der Nullpunkt dieses Koordinatensystems liegt im K¨ orperschwerpunkt, w¨ ahrend die Achsen auf den sog. Haupttr¨ agheitsachsen liegen, die bei symmetrischen K¨ orpern mit den Symmetrieachsen zusammenfallen. In den meisten F¨ allen ist außerdem die Massendichte konstant und kann somit vor das Integral gezogen werden. Die Tr¨ agheitsmomente haben dann die Form Jˆ1 = m K12 , Jˆ2 = m K22 , Jˆ3 = m K32 , oßen wobei m die Gesamtmasse des K¨ orpers ist und K1 , K2 , K3 rein geometrische Gr¨ darstellen, die nur von der geometrischen Form des K¨ orpers abh¨ angen. Einige Beispiele f¨ ur diese Formfaktoren sind in Abb. 11.6 dargestellt. N¨ utzlich ist schließlich noch die folgende Eigenschaft, die man aus der Definiˆ ableiten kann, da die Tr¨ tionsgleichung von J agheitsmomente Jˆij linear von der Massendichte ρ abh¨ angen: Der Tr¨ agheitstensor eines K¨ orpers, der durch das Zusammenf¨ ugen mehrerer starrer K¨ orper entsteht, ist gleich der Summe der Tr¨ agheitstensoren dieser K¨ orper (jeweils bezogen auf den Schwerpunkt des zusammengesetzten K¨ orpers). F¨ ur die Transformation in ein anderes Koordinatensystem, d.h. f¨ ur die Wahl eines anderen Bezugspunktes f¨ ur den Tr¨ agheitstensor, gilt der Satz von Steiner:

292

11 Physikalisch-basierte Animation mechanischer Systeme

l

c a

r

b

r

2 2 r 5 2 2  r 5 2 2  r 5

1 2 1 2 l r + 12 4 1 2 1 2 l r +  12 4 1 2 r  2

K1 

K1 

K

2

K

2

K

3

K

3

1 2 (b + c 2 ) 12 1 2 (a + c 2 ) K2  12 1 2 (a + b 2 ) K3  12 K1 

Abb. 11.6. Tr¨ agheitstensoren einiger einfacher geometrischer K¨ orper ˆ der Tr¨ Wenn J agheitstensor eines K¨ orpers mit Masse m bzgl. eines k¨ orperfesten Koordinatensystems mit dem Schwerpunkt als Nullpunkt ist, so gilt f¨ ur den ˆ bzgl. eines um den Vektor a verschobenen achsenparalTr¨ agheitstensor J lelen Koordinatensystems:  Jˆij = Jˆij + m (a2 δij − ai aj )

Auf der Grundlage dieser Ausf¨ uhrungen l¨ asst sich nun die Dynamik starrer K¨ orper formulieren.

Dynamik starrer K¨ orper In Abschn. 11.3.1 wurde gezeigt, dass sich der Schwerpunkt eines Punktteilchensystems unabh¨ angig von der relativen Bewegung der Teilchen bewegt. Eine ganz analoge Aussage kann man auch f¨ ur starre K¨ orper ableiten: Der Schwerpunkt eines starren K¨ orpers bewegt sich unabh¨ angig von seiner Rotation wie ein Punktteilchen, in dem die gesamte K¨ orpermasse konzentriert ist. Die Bewegung des Schwerpunktes ergibt sich somit bei konstanter Masse m als: F = p˙ = m v˙

(11.3)

F¨ ur die Rotation des K¨ orpers unter einem ¨ außeren Drehmoment N gilt ganz analog die Beziehung ˆ ω(t)) , ˙ = d (J(t) (11.4) N=L dt ˆ den oben erl¨ wobei J auterten Tr¨ agheitstensor darstellt. Diese Gleichung ist allerdings schwer auszuwerten, da sich die darin vorkommenden Gr¨ oßen sowie die zeitliche Ableitung auf das WKS beziehen. Ein g¨ unstigeres Bezugssystem ist ein k¨ orperfestes Koordinatensystem mit dem Schwerpunkt des K¨ orpers als Nullpunkt.

11.3 Modellierung mechanischer Systeme

293

Fext

d Fext Next

F = Fext N = Next

Next

F = Fext N = Next + d x Fext

Abb. 11.7. Krafteinwirkung auf einen starren K¨ orper: (links) Eine ¨ außere Kraft, die im Schwerpunkts angreift, verursacht nur eine translatorische Bewegung, (rechts) Eine ¨ außere Kraft, die an einem Punkt außerhalb des Schwerpunkts angreift, erzeugt ein zus¨ atzliches Drehmoment Der Tr¨ agheitstensor ist in k¨ orperfesten Koordinaten zeitunabh¨ angig, da die Massenverteilung des K¨ orpers zeitlich konstant ist (bei der Wahl der Haupttr¨ agheitsachsen als Koordinatenachsen ist, er wie schon erw¨ ahnt, sogar diagonal). Die hierf¨ ur notwendige Koordinatentransformation liefert die folgende Beziehung, die als EulerGleichung bekannt ist (s. z.B. [173]): ˆ ω(t) ˆ ω(t)) N=J ˙ + ω(t) × (J

(11.5)

Im Gegensatz zu Glg. 11.4 beziehen sich dabei alle Gr¨ oßen auf das k¨ orperfeste Koorˆ ist ein Beispiel f¨ dinatensystem. Der Term ω×(Jω) ur sog. Schein- oder Inertialkr¨ afte, die feste Bestandteile der dynamischen Beschreibung darstellen und unabh¨ angig von den ¨ außeren Kr¨ aften sind. In diesem Zusammenhang muss noch ein weiterer Aspekt ber¨ ucksichtigt werden, der in Abb. 11.7 illustriert ist: Eine ¨ außere Kraft kann zu einem zus¨ atzlichen Drehmoment beitragen. Auf diese Beziehung zwischen ¨ außeren Kr¨ aften und Drehmoment wurde bereits orperpunkt mit dem in Abschn. 11.3.1 hingewiesen: Wenn eine Kraft F auf einen K¨ Drehvektor d relativ zum K¨ orperschwerpunkt einwirkt, entsteht ein Drehmoment der Gr¨ oße d × F bez¨ uglich des Schwerpunktes. Zusammen mit dem ¨ außeren Drehmoment Next geht in die linke Seite von Glg. 11.5 somit der Term N = Next + d × Fext

(11.6)

ein. Wenn die ¨ außere Kraft genau am Schwerpunkt des K¨ orpers angreift (d = 0) oder auf alle K¨ orperpunkte gleichzeitig einwirkt, wie es bei der Schwerkraft der Fall ist, entsteht dieser Effekt dagegen nicht. Die Schwerkraft is das wichtigste Beispiel f¨ ur eine ¨ außere Kraft Fext . Eine nat¨ urliche, von außen vorgegebene Drehkraft“ gibt es dagegen nicht, so dass das ” außere Drehmoment Next in der Regel gleich 0 gesetzt werden kann. Auch diese ¨ Gr¨ oße kann aber im Rahmen der Bewegungssteuerung wichtig werden, um z.B. eine gezielte, von außen vorgegebene Auslenkung von Gelenken vorzunehmen (vgl. Abschn. 11.6.2).

294

11 Physikalisch-basierte Animation mechanischer Systeme

Mit Hilfe der Beziehungen (11.3), (11.5) und (11.6) kann das Bewegungsverhalten starrer K¨ orper eindeutig abgeleitet werden, wenn die Masseneigenschaften in Form des Tr¨ agheitstensors, die ¨ außeren Kr¨ afte, die ¨ außeren Drehmomente und geeignete Anfangs- oder Randwerte bekannt sind (zur numerischen L¨ osung von Differentialgleichungen s. Anhang A.1). Diese Gleichungen bilden somit die Basis f¨ ur die physikalisch-basierte Animation von dreidimensionalen K¨ orpern.

11.4 Automatische Kontaktbehandlung Die automatische Behandlung von K¨ orperkontakten ist ein besonders wichtiges Teilgebiet der physikalisch-basierten Animation. Dabei werden vor allem zwei Ziele verfolgt: • •

Vermeidung von K¨ orperdurchdringungen. Das Durchdringen von dreidimensionalen K¨ orpern stellt ein unplausibel wirkendes Bewegungsverhalten dar und ist daher h¨ aufig unerw¨ unscht. Simulation von Kollisionen. Im Falle eines Zusammenstoßes sollen die K¨ orper in realistisch wirkender Weise aufeinander reagieren z.B. von einander abprallen.

In diesem Abschnitt werden die Probleme bei der Durchf¨ uhrung dieser Aufgaben er¨ ortert und grundlegende Verfahren zu ihrer L¨ osung vorgestellt.

11.4.1 Grundlagen Eine unverzichtbare Grundlage f¨ ur die Kontaktbehandlung ist die automatische Bestimmung von Kontakten. Im Rahmen der physikalisch-basierten Animation m¨ ussen hierf¨ ur die beiden folgenden, aufeinander aufbauenden Teilaufgaben gel¨ ost werden: • •

Kontakterkennung. Automatische Erkennung, welche K¨ orper miteinander in Kontakt stehen. Bestimmung der Kontaktgeometrie. Automatische Erkennung, wie die K¨ orper miteinander in Kontakt stehen, d.h. welche Form die Kontaktgeometrie hat.

F¨ ur die Behandlung der Kontakte m¨ ussen mindestens die Anzahl und die Position aller Kontaktpunkte bekannt sein sowie f¨ ur jeden Kontaktpunkt die senkrecht zur Kontaktebene stehende Fl¨ achennormale n ermittelt werden, die als Kontaktnormale bezeichnet wird. In Abb. 11.8 ist ein Kontakt zweier K¨ orper schematisch dargestellt. Zum Kontaktzeitpunkt fallen die K¨ orperpunkte PA und PB mit den relativen Koordinaten dA bzw. dB zusammen, d.h. es gilt PA = PB . Die Geschwindigkeiten an diesen ˙ B , weisen i.a. aber unterschiedliche Werte auf. Mit Hilfe dieser ˙ A und P Punkten, P Gr¨ oßen l¨ asst sich eine Relativgeschwindigkeit in der folgenden Form definieren: ˙A−P ˙ B) vrel := n (P ur die relative Geschwindigkeit der beiden K¨ orper am Dieser Skalar vrel ist ein Maß f¨ Kontaktpunkt in Richtung der Kontaktnormalen. Je nach dem Wert dieser Gr¨ oße k¨ onnen nun drei verschiedene F¨ alle eintreten, wobei angenommen wurde, dass die Kontaktnormale n in Richtung des K¨ orpers A zeigt:

11.4 Automatische Kontaktbehandlung

PB dB

B

A

dA PA

rBsp

295

rAsp n

Abb. 11.8. Geometrie eines Punktkontaktes zweier K¨ orper: Die K¨ orperpunkte PA und PB ber¨ uhren sich in der Ebene mit der Normalen n • •

•

vrel > 0 (abbrechender Kontakt). Bei einer positiven Relativgeschwindigkeit bewegen sich die K¨ orper voneinander weg, so dass keine Kollision auftritt. Eine Kontaktbehandlung ist in diesem Fall nicht erforderlich. vrel < 0 (Kollision). Eine negative Relativgeschwindigkeit bedeutet, dass sich die K¨ orper aufeinander zubewegen, es liegt also eine Kollision (ein Stoß) vor. In diesem Fall sollte z.B. ein realistisch wirkendes Abprallverhalten der K¨ orper simuliert werden. Ein einfaches Verfahren hierzu wird in Abschn. 11.4.3 erl¨ autert. vrel = 0: (Ruhekontakt). Bei einer verschwindenden Relativgeschwindigkeit sind die K¨ orper relativ zueinander in Ruhe oder bewegen sich nur in der gemeinsamen Kontaktebene. Beim Auftreten ¨ außerer Kr¨ afte kann dann im unmittelbar folgenden Simulationsschritt eine Durchdringung der K¨ orper erfolgen, so dass auch dieser Fall behandelt werden muss. Einige grundlegende Ans¨ atze hierzu werden in Abschn. 11.4.4 vorgestellt.

Die Kontaktbehandlung gliedert sich somit mit der Kollisionssimulation und der Ruhekontaktbehandlung in zwei verschiedene Teilprobleme, die ganz unterschiedliche L¨ osungsverfahren erfordern. In Abb. 11.9 ist dieser Zusammenhang noch einmal veranschaulicht.

Kontaktbestimmung

Kontakterkennung

KontaktgeometrieBestimmung

Kontaktbehandlung

vrel < 0

vrel = 0

Kollisionssimulation

Ruhekontaktbehandlung

Abb. 11.9. Teilprobleme bei der automatischen Behandlung von K¨ orperkontakten

296

11 Physikalisch-basierte Animation mechanischer Systeme

Im Folgenden soll zun¨ achst auf das Problem der Kontaktbestimmung eingegangen werden, w¨ ahrend die eigentliche Kontaktbehandlung Thema der Abschn. 11.4.3 und 11.4.4 ist.

11.4.2 Kontaktbestimmung Die automatische Kontaktbestimmung unterteilt sich, wie im vorigen Abschnitt beschrieben, in zwei Teilaufgaben: die Detektion von K¨ orperkontakten, die auch als Durchdringungen vorliegen k¨ onnen, und die Bestimmung der Kontaktgeometrien in Form der in Abb. 11.8 dargestellten Gr¨ oßen, die f¨ ur die Kontaktbehandlung ben¨ otigt werden. Die L¨ osung dieser Aufgaben kann sich als durchaus schwierig erweisen. Im Rahmen der physikalisch-basierten Animation stellt die Kontaktbestimmung kein statisches, sondern ein dynamisches Problem dar, da die r¨ aumlichen und zeitlichen Bahnen der K¨ orper zum Simulationsbeginn noch gar nicht bekannt sind. Bei einer schrittweise durchgef¨ uhrten Simulation kann außerdem das Problem auftreten, dass der Kontakt zweier K¨ orper erst dann detektiert wird, wenn bereits eine Durchdringung stattgefunden hat. In diesem Fall l¨ asst sich eine iterative Ann¨ aherung an den exakten Kontaktzeitpunkt durchf¨ uhren, was allerdings einen zus¨ atzlichen Rechenaufwand erfordert. Ebenfalls m¨ oglich ist eine Verkleinerung der SimulationsSchrittweite, was in der Regel die einfachste Methode darstellt (vgl. Anhang A.1). Auch diese Maßnahme f¨ uhrt aber zu einer schlechteren zeitlichen Effizienz. Ein grundlegender Ansatz zur schnellen Ermittlung der nicht miteinander in Kontakt stehenden K¨ orper ist die Festlegung von umschließenden K¨ orpern (bounding volumes), z.B. Quader oder Kugeln, deren jeweilige Durchdringungen schnell getestet werden k¨ onnen. In [174] und [175] werden z.B. achsenparallele Quader einge¨ setzt, deren Uberlappungen durch eine Sortierung der Quaderkoordinaten ermittelt werden. Ein zus¨ atzlicher Effizienzgewinn l¨ asst sich durch eine Raumzerlegung erzielen, bei der ausgenutzt wird, dass zwei K¨ orper nur dann in Kontakt stehen k¨ onnen, ¨ wenn sie sich in gleichen oder benachbarten Raumzellen befinden. Eine Ubersicht u ¨ ber diese Techniken wird in [176] gegeben. F¨ ur die Kontaktbestimmung dynamisch ver¨ anderlicher K¨ orper, also insbesondere im Rahmen der physikalisch-basierten Animation, ist es außerdem wichtig, zeitliche Koh¨ arenzen auszunutzen. Die Position eines K¨ orpers ¨ andert sich von eiandert. nem Simulationsschritt zum n¨ achsten nur sehr wenig oder bleibt sogar unver¨ Diese Eigenschaft l¨ asst sich als geometrische Koh¨ arenz ausnutzen, indem z.B. durch die Analyse der relativen Geschwindigkeiten und Beschleunigungen ermittelt wird, welche K¨ orper sich im darauffolgenden Zeitschritt nicht ber¨ uhren k¨ onnen. Die exakte Bestimmung der Kontaktgeometrie f¨ ur die durch diese Techniken nicht aussortierten K¨ orperpaare h¨ angt dann stark von der geometrischen Struktur ¨ der K¨ orper ab. In [176] findet sich eine Ubersicht u ¨ ber entsprechende Techniken. Viele Bestimmungsverfahren sind z.B. auf polygonale K¨ orper und somit auf konvexe oder konkave Polyeder oder auf unstrukturierte Polygon-Mengen (polytope soups) zugeschnitten. Auch f¨ ur diesen Zweck lassen sich neben einer ganzen Reihe anderer Verfahren hierarchisch strukturierte Begrenzungsk¨ orper einsetzen (s. z.B. [177]).

11.4 Automatische Kontaktbehandlung

297

11.4.3 Kollisionssimulation Es sollen nun die Grundlagen f¨ ur die Simulation von Kollisionen (St¨ oßen) vorgestellt werden. Zun¨ achst lassen sich die folgenden F¨ alle unterscheiden: •

•

Zentrische St¨ oße. Bei geraden, zentrischen St¨ oßen (s. Abb. 11.10a) sind die Bewegungsrichtungen unmittelbar vor der Kollision senkrecht zur Kontaktebene ausgerichtet. Die Stoßnormale verl¨ auft durch beide K¨ orperschwerpunkte. Bei schiefen St¨ oßen (s. Abb. 11.10b) ist die Bewegungsrichtung mindestens eines K¨ orpers nicht senkrecht zur Kontaktebene ausgerichtet. Die Stoßnormale verl¨ auft auch hier durch beide K¨ orperschwerpunkte. In beiden F¨ allen werden keine Drehkr¨ afte erzeugt. Exzentrische St¨ oße. Bei exzentrischen St¨ oßen (s. Abb. 11.10c) verl¨ auft die vom Kontaktpunkt ausgehende Normale der Kontaktebene nicht durch die Massenschwerpunkte der beiden K¨ orper. In diesem Fall werden bei der Kollision Drehmomente frei, die zu einer Rotation der K¨ orper f¨ uhren.

Hilfreich ist die Betrachtung der realen physikalischen Vorg¨ ange bei einer Kollision. ubt, die eine Kompression Beim Zusammenstoß wird zun¨ achst eine Kraft FK ausge¨ der K¨ orper bewirkt. Bei der R¨ uckbildung der Verformung wird dann eine Kraft FR frei, die die K¨ orper auf andere Bewegungsbahnen zwingt. Das Verh¨ altnis zwischen FK und FR steht in direktem Zusammenhang mit der Elastizit¨ at der Kollision: • • •

uckstellkraft liegt eine ideal plastische FR = 0. Bei einer verschwindenden R¨ Kollision vor, bei der die Bewegungsenergie vollst¨ andig in Verformungsenergie umgewandelt wird. 0 < FR < FK . In diesem Fall wird ein Teil der Bewegungs- in Verformungsenergie umgewandelt und man spricht von einer teilelastischen Kollision. FR = FK . Dieser Grenzfall entspricht einer ideal elastischen Kollision, bei der die Bewegungsenergie vollst¨ andig erhalten bleibt.

Die Elastizit¨ at der Kollision, aber auch die Dauer des Stoßvorganges t∆ , h¨ angt im Wesentlichen vom Material der K¨ orper ab. Weiter unten wird mit der sog. Stoßzahl ein quantitatives Maß f¨ ur diese Eigenschaft eingef¨ uhrt.

A

n

vA

B vB

n

A

vB

n

A

vB

vA

(a)

B

B

vA

(b)

(c)

Abb. 11.10. Stoßarten: (a) gerader, zentrischer Stoß, (b) schiefer, zentrischer Stoß, (c) exzentrischer Stoß

298

11 Physikalisch-basierte Animation mechanischer Systeme

In der Regel gilt: je h¨ arter die kollidierenden K¨ orper sind, – – –

umso elastischer ist die Kollision, d.h. umso gr¨ oßer ist das Verh¨ altnis FR /FK umso gr¨ oßer sind die Absolutwerte der Kr¨ afte FR und FK umso kleiner ist die Kontaktzeit t∆

Wenn m1 , m2 , v1 und v2 die Massen bzw. Geschwindigkeiten der beiden K¨ orper bezeichnen, l¨ asst sich außerdem die folgende wichtige Aussage treffen: Der Gesamtimpuls des Systems pges = m1 v1 + m2 v2 bleibt bei Kollisionen stets erhalten. Die kinetische Gesamtenergie Eges =

m1 2 m2 2 v + v 2 1 2 2

bleibt dagegen nur bei ideal elastischen Kollisionen erhalten. Auf dieser Grundlage l¨ asst sich nun darlegen, wie sich eine Simulation von Kollisionen verwirklichen l¨ asst.

Simulation von Kollisionen Um eine Simulation von kollidierenden dreidimensionalen K¨ orpern durchf¨ uhren zu k¨ onnen, m¨ ussen zun¨ achst, wie bei jeder physikalischen Modellierung, bestimmte vereinfachende Annahmen gemacht werden, um das Problem handhabbar zu machen. Im Rahmen der Computeranimation haben sich folgende Voraussetzungen als sinnvoll erwiesen: – – – –

keine Form¨ anderungen der kollidierenden K¨ orper keine Positions¨ anderungen der K¨ orper w¨ ahrend der Kontaktzeit Vernachl¨ assigung von ¨ außeren Kr¨ aften, die nicht aus der Kollision resultieren Vernachl¨ assigung von Reibungseffekten

Diese Annahmen sollen auch hier getroffen werden. Im Folgenden wird ein Verfahren zur Kollisionssimulation vorgestellt, das sich effektiv anwenden l¨ asst und trotz dieser Vereinfachungen zu einem realistisch wirkenden Kollisionsverhalten starrer K¨ orper f¨ uhrt. Das Ziel besteht dabei in der Bestimmung neuer Geschwindigkeitswerte f¨ ur die kollidierenden K¨ orper bei bekannten Anfangsgeschwindigkeiten. Auch ein teilelastisches oder sogar ideal plastisches Verhalten wird daf¨ ur zugelassen. Die Grundidee des Verfahrens besteht in der Berechnung von Kraftst¨ oßen, wie nun genauer erl¨ autert wird. Die Dauer des Stoßvorganges ∆t ist bei weichen Materialien l¨ anger als bei ur die Sih¨ arteren, w¨ ahrend die auftretenden Kontaktkr¨ afte FKoll kleiner sind. F¨ mulation starrer K¨ orper kann man sich die durch die Kollision verursachte Abstoßungskraft daher als den Grenzfall einer unendlich großen Kraft vorstellen, die in einem unendlich kleinen Zeitintervall wirkt. F¨ ur die Beschreibung dieses Prozesses verwendet man den Begriff des Kraftstoßes: K := lim (FKoll · ∆t) ∆t→0

Er hat die Dimension eines Impulses und stellt die durch den Stoß verursachte Impulsdifferenz dar. Bei einem K¨ orper mit der Masse m und der anf¨ anglichen Ge¨ der linear wirkenden Geschwindigkeit in schwindigkeit v0 bewirkt er eine Anderung der Form:

11.4 Automatische Kontaktbehandlung

299

1 K (11.7) m Diese Gr¨ oße K muss demnach bestimmt werden, um die modifizierten Geschwindigkeitswerte zu erhalten. Zu diesem Zweck kann man sich einige grundlegende physikalische Eigenschaften von Kollisionen zu Nutze machen, die auf dem Impulserhaltungsgesetz beruhen: v = v0 +

•

•

Die Kollisionskraft wirkt bei allen Kollisionen senkrecht zur Kontaktebene. Wenn n die Fl¨ achennormale dieser Ebene darstellt (vgl. hierzu auch Abb. 11.8), hat K demnach die Form K = k n, in der k eine zun¨ achst unbekannte skalare Gr¨ oße darstellt. Aufgrund der Impulserhaltung muss der Impuls¨ ubertrag f¨ ur beide K¨ orper A und B symmetrisch sein. F¨ ur die jeweiligen Kraftst¨ oße KA und KB folgt daher KA = −KB

Aus der Tatsache, das K nur in Richtung der Fl¨ achennormale wirkt, ergibt sich eine wichtige Aussage: Die Geschwindigkeitskomponenten senkrecht zur Fl¨ achennormale bleiben bei der Kollision unver¨ andert. Zusammen mit Glg. (11.7) erh¨ alt man aus den beiden Eigenschaften des Kraftstoßes zudem die folgenden Gleichungen f¨ ur die neuen K¨ orpergeschwindigkeiten: vA = vA0 +

k k n und vB = vB0 − n mA mB

(11.8)

Dabei sind vA0 und vB0 die Geschwindigkeiten der K¨ orper A bzw. B vor dem orpermassen. Die Gr¨ oßen vA und vB lassen Stoß und mA und mB die jeweiligen K¨ sich daher bei bekannten Massenwerten eindeutig bestimmen, wenn der Wert von k bekannt ist. Die Berechnung der Gr¨ oße k ist somit der zentrale Teilschritt dieses auf Kraftst¨ oßen basierten Ansatzes. Zur L¨ osung dieser Aufgabe l¨ asst sich das folgende empirische Gesetz f¨ ur rei¨ bungslose Kollisionen heranziehen, das die Anderung der Relativgeschwindigkeit vrel := n (vA − vB ) durch den Stoß beschreibt: vrel = − vrel0

(11.9)

Der Parameter  stellt dabei die Stoßzahl dar. Der Wert dieser Gr¨ oße liegt zwischen 0 und 1 mit den folgenden Grenzf¨ allen: • •

 = 0: ideal plastische Kollision. In diesem Fall resultiert vrel = 0, d.h. beide K¨ orper bewegen sich nach dem Stoß (entlang der Kontaktnormalen) mit der gleichen Geschwindigkeit.  = 1: ideal elastische Kollision. In diesem Fall ist vrel = −vrel0 , es findet also eine genaue Umkehrung der relativen Geschwindigkeit statt.

Obwohl die Stoßzahl keine reine Materialkonstante ist (ihr Wert wird z.B. auch in geringem Maße von der Aufprallgeschwindigkeit beeinflusst), h¨ angt sie im Wesentlichen von den K¨ orpern selbst ab: Je h¨ arter die kollidierenden K¨ orper sind, umso

300

11 Physikalisch-basierte Animation mechanischer Systeme Tabelle 11.1. Typische Zahlenwerte f¨ ur die Stoßzahl Material Stoßzahl

Holz/Holz ca. 0.5

Kork/Kork Stahl/Stahl 0.5 - 0.6 0.6 - 0.8

Glas/Glas 0.94

Abb. 11.11. Geschwindigkeitsaustausch bei elastischen Kollisionen von K¨ orpern gleicher Masse

gr¨ oßer ist in der Regel . Einige typische Werte f¨ ur die Stoßzahl sind in Tabelle 11.1 aufgelistet. Mit Hilfe der Beziehung (11.9) kann nun auch die Gr¨ oße k bestimmt werden. Dies soll zun¨ achst f¨ ur den wichtigen Spezialfall des zentrischen Stoßes erfolgen, bei dem keine Drehmomente auftreten: − vrel0 = vrel = n (vA − vB ) k k n) − (vB0 − n)) (aus Gl. (11.8)) = n ((vA0 + mA mB k k + ) (n · n) = n (vA0 − vB0 ) + ( mA mB 1 1 + )k = vrel0 + ( mA mB Aufgel¨ ost nach k erhalten wir: k=−

(1 + ) vrel0 1 + m1B mA

(11.10)

Die Gr¨ oße k ergibt sich also eindeutig aus den Massen und den Anfangsgeschwindigkeiten der kollidierenden K¨ orper. Zusammen mit Glg. 11.8 lassen sich die neuen Geschwindigkeiten vA und vB dann direkt berechnen. Numerische Verfahren werden hierf¨ ur nicht ben¨ otigt, so dass sich dieser Ansatz effizient umsetzen l¨ asst. H¨ aufig tritt der Fall auf, dass alle K¨ orper die gleichen Massen haben und ein ideal elastischer Stoß vorliegt. Ein bekanntes Beispiel f¨ ur ein solches System zeigt Abb. 11.11. In diesem Fall folgt aus Glg. 11.10 wegen mA = mB = m und  = 1 die Beziehung k = −m vrel0 . Eingesetzt in Glg. 11.8 erhalten wir somit

11.4 Automatische Kontaktbehandlung

dB

wB

P

301

A

dA

wA

rAsp

B

rBsp

n

Abb. 11.12. Ein exzentrischer Stoß, der zu neuen Winkelgeschwindigkeiten f¨ uhrt vA = vA0 − vrel0 n ⇔

vA n = vA0 n − vrel0

⇔

vA n = vA0 n − (vA0 − vB0 ) n

⇔

vA n = vB0 n

und analog hierzu: vB n = vA0 n. Wie man diesen Beziehungen entnehmen kann, findet in diesem Fall somit ein reiner Austausch der Geschwindigkeiten entlang der Kontaktnormalen statt.

Simulation von exzentrischen Kollisionen Die grundlegenden physikalischen Beziehungen K = k n, KA = −KB und vrel = oßen erhalten. Zus¨ atzlich zum (linearen) − vrel0 bleiben auch bei exzentrischen St¨ Kraftstoß K wirkt in diesem Fall aber ein Drehmomentstoß“ ” N = (P − rsp ) × K auf die beiden K¨ orper (vgl. Abschn. 11.3.1). Dabei bezeichnet P den Kontaktpunkt orperschwerpunktes. Dieser Term verschwinund rsp den Ortsvektor des jeweiligen K¨ det nur f¨ ur zentrische St¨ oße, bei denen der Vektor P − rsp parallel zur Kontaktnormalen n und damit zum Kraftstoß K verl¨ auft. ¨ Der Drehmoment-Stoß f¨ uhrt nun zu einer Anderung der Winkelgeschwindigkeit ˆ−1 N, wobei J ˆ den der K¨ orper. Die genaue Beziehung hierf¨ ur lautet ω = ω0 + J Tr¨ agheitstensor des jeweiligen K¨ orpers darstellt (vgl. Abschn. 11.3.2). Zusammengenommen ergeben sich somit die Beziehungen J−1 ωA = ωA,0 + ˆ A (dA × n) k ˆ−1 ωB = ωB,0 − J B (dB × n) k

(11.11)

mit dA := P − rAsp und dB := P − rBsp (vgl. Abb. 11.12). Auch in diesem Fall reduziert sich das Problem somit auf die Berechnung der skalaren Gr¨ oße k. ˙ = v + ω × (P − rsp ), Ein Ausdruck f¨ ur k kann unter Beachtung der Gleichung P die eine grundlegende geometrische Beziehung darstellt (s. z.B. [173]), nach dem

302

11 Physikalisch-basierte Animation mechanischer Systeme

gleichen Muster wie im Fall des zentrischen Stoßes hergeleitet werden. Sie kann z.B. in [178] nachgelesen werden und liefert das folgende Ergebnis: k=−

1 mA

+

1 mB

(1 + ) vrel0 ˆ−1 (dA × n)) × dA ) + n ((J ˆ−1 (dB × n)) × dB ) + n ((J A B

(11.12)

Mit Hilfe dieser Gleichung kann somit auch das Problem des exzentrischen Stoßes in geschlossener Form gel¨ ost werden. Gleichung 11.10 ist ein Spezialfall dieser Beziehung f¨ ur den Fall dA × n = 0 und dB × n = 0.

Einbindung in die physikalisch-basierte Animation Es soll nun erl¨ autert werden, wie sich die Kollisionssimulation in den allgemeinen Ablauf der physikalischen Simulation und damit der physikalisch-basierten Animation eingegliedert. Dabei wird eine schrittweise Auswertung der Bewegungsgleichungen vorausgesetzt, die sich auf numerische L¨ osungsverfahren st¨ utzt. F¨ ur jeden Simulationsschritt m¨ ussen dann die folgenden Aufgaben abgearbeitet werden, wie in Abb. 11.13 schematisch dargestellt ist: • •

•

Kontaktbestimmung. Es wird ermittelt, welche K¨ orper miteinander in Kontakt stehen und welche Kontaktpunkte und Kontaktnormalen vorliegen. Bestimmung neuer Geschwindigkeiten. Im Fall einer Kollision werden mit Hilfe der Glgn. 11.8 und 11.10 (f¨ ur zentrische St¨ oße) bzw. 11.8, 11.11 und 11.12 (f¨ ur exzentrische St¨ oße) neue Werte f¨ ur die Geschwindigkeiten der kollidierenden K¨ orper bestimmt und entsprechend zugewiesen. Auf diese Weise wird eine ¨ unstetige Anderung des Systemzustandes vorgenommen. Fortf¨ uhrung der Simulation. Die Simulation wird mit den ge¨ anderten Geschwindigkeitswerten fortgef¨ uhrt. Viele numerische Integrationsverfahren setzen ¨ allerdings stetige Zustands¨ anderungen voraus, d.h. minimale Anderungen der Positionen und Geschwindigkeiten von einem Simulationsschritt zum n¨ achsten. In diesem Fall ist nach jedem Kollisionsereignis ein Neustart des Integrationsverfahrens mit den berechneten Geschwindigkeiten als neuen Anfangswerten vorzunehmen.

11.4.4 Behandlung von Ruhekontakten Es sollen nun Konstellationen von K¨ orpern betrachtet werden, die sich an N Kontaktpunkten ber¨ uhren und an diesen Punkten eine verschwindende Relativgeschwindigkeit haben. Auch dieser Fall muss bei der automatischen Kontaktbehandlung ber¨ ucksichtigt werden, denn beim Vorhandensein ¨ außerer Kr¨ afte (z.B. der Schwerkraft) kann es zu einer ungewollten Durchdringung der K¨ orper im unmittelbar folgenden Zeitschritt kommen. Aufgrund der verschwindenden Relativgeschwindigkeit ist es nicht m¨ oglich, die in Abschn. 11.4.3 vorgestellte Kollisionssimulation f¨ ur dieses Problem heranzuziehen. Zur Behandlung von Ruhekontakten lassen sich drei grundlegende Ans¨ atze unterscheiden, die nun genauer vorgestellt werden: das Federmodell, die Berechnung von Kompensationskr¨ aften und der Ansatz der k¨ unstlichen Kollisionen. Anschließend wird die Einbindung von Reibungseffekten besprochen.

11.4 Automatische Kontaktbehandlung

F=M a

303

v® vneu F=M a

t = t0 - Dt

t = t0 + Dt t = t0

Abb. 11.13. Einbindung der Kollisionssimulation. Bei einer detektierten Kollision ¨ wird eine unstetige Anderung der Geschwindigkeiten vorgenommen

Federmodell Bei diesem Ansatz werden, wie in Abb. 11.14 gezeigt, Federkr¨ afte definiert, die ihrer Kontraktion eine Gegenkraft entgegensetzen und auf diese Weise eine Durchdringung der K¨ orper an den jeweiligen Punkten verhindern. Der Vorteil dieses Ansatzes liegt in der einfachen Anwendbarkeit. Die an jedem Kontaktpunkt definierten Federkr¨ afte k¨ onnen unabh¨ angig voneinander berechnet und anschließend den anderen außeren Kr¨ aften des Systems hinzuaddiert werden. ¨ Ein Problem stellt allerdings die Auswahl g¨ unstiger Federparameter dar. Um deutlich sichtbare Durchdringungen zu verhindern, m¨ ussen die Federn eine kurze Ruhel¨ ange und eine hohe Federst¨ arke haben. Derartige Konfigurationen f¨ uhren aber zu sog. steifen Differentialgleichungen, die sich nicht mehr effizient l¨ osen lassen (vgl. Anhang A.1). Aus diesen Gr¨ unden hat das Federmodell nur einen eingeschr¨ ankten Anwendungsbereich.

F

grav

Abb. 11.14. Ruhekontaktbehandlung mit dem Federmodell

304

11 Physikalisch-basierte Animation mechanischer Systeme

Bestimmung von Kompensationskr¨ aften Physikalisch gesehen werden durch ¨ außere Kr¨ afte Kompensationskr¨ afte an den Kontaktstellen erzeugt, die ihnen entgegenwirken und eine Durchdringung der K¨ orper verhindern (vgl. Abb. 11.15). Ein grundlegender Ansatz besteht nun in der mathematischen Berechnung und anschließenden Anwendung dieser Kompensationskr¨ afte. Auf diese Weise wird das Ruhekontaktproblem exakt (zumindest prinzipiell) und ohne Zuhilfenahme k¨ unstlich eingef¨ uhrter Kr¨ afte gel¨ ost.

F

grav

Abb. 11.15. Ruhekontaktbehandlung mit abgeleiteten Kompensationskr¨ aften

Die Bestimmung der Kompensationskr¨ afte ist allerdings keine ganz einfache Aufgabe, da sich die an einem Kontaktpunkt angreifende Kraft auch auf alle anderen Kontaktpunkte auswirken kann. Diese Kr¨ afte k¨ onnen somit nicht wie beim Federmodell unabh¨ angig voneinander berechnet werden. Ein Verfahren zur L¨ osung dieses Problems soll nun vorgestellt werden. ¨ Uber die kompensierenden Kr¨ afte l¨ asst sich zun¨ achst eine wichtige Aussage treffen: Sie m¨ ussen senkrecht zur jeweiligen Kontaktebene wirken, da sie ansonsten K¨ orperbewegungen parallel zu dieser Ebene erzeugen w¨ urden. Wenn ni die Kontaktnormale f¨ ur den jeweiligen Kontaktpunkt darstellt, haben diese Kr¨ afte daher die Form i = 1, ..., N . Fi = Fi ni , Das Problem reduziert sich somit auf die Berechnung der Skalare Fi f¨ ur jeden Kontaktpunkt. Zur L¨ osung dieser Aufgabe lassen sich drei Bedingungen f¨ ur eine plausible Behandlung von Ruhekontakten formulieren. Eine wichtige Hilfsgr¨ oße ist dabei das Abstandsmaß B disi := ni (rA i − ri ) B zwischen zwei K¨ orpern A und B, bei dem rA i und ri die Ortsvektoren des i-ten Kontaktpunktes relativ zum Schwerpunkt des K¨ orpers A bzw. B darstellen. Zum ˙ i = virel = 0, Zeitpunkt des Kontakts ist somit nach Voraussetzung disi = 0 und dis ¨ aber i.a. disi = 0. Die Bedingungen haben nun die folgende Form:

•

¨ i ≥ 0. Eine negative Relativbeschleunigung w¨ urde im n¨ achsten Zeitschritt die dis K¨ orper aufeinander zustreben lassen, so dass es zu einer Durchdringung k¨ ame. Dieser Fall muss daher ausgeschlossen werden.

11.4 Automatische Kontaktbehandlung • •

305

afte sollen nur abstoßend auf die K¨ orper wirken. Fi ≥ 0. Die Kompensationskr¨ Eine Kontaktkraft, die die K¨ orper wie ein Gummiband zusammenh¨ alt, w¨ are h¨ ochst unplausibel. ¨ i = 0. Diese Beziehung sagt aus, dass entweder die Kontaktkr¨ afte Fi oder Fi dis ¨ i verschwinden m¨ ussen. Auf diese Weise stellt die Relativbeschleunigungen dis ¨ i > 0, also bei einem abbrechenden Konman sicher, dass im Falle von dis takt, keine Kr¨ afte erzeugt werden, die die physikalische Simulation verf¨ alschen w¨ urden.

Um diese Bedingungen erf¨ ullen zu k¨ onnen, ben¨ otigt man noch eine Beziehung zwi¨ i . In schen den skalaren Kontaktkr¨ aften Fi und den Relativbeschleunigungen dis diese Beziehung gehen die dynamischen Eigenschaften und Zustandswerte der K¨ orper sowie die Geometrie der Kontaktpunkte ein. Außerdem muss hierf¨ ur das Newton’sche Bewegungsgesetz F = m a ber¨ ucksichtigt werden, das Kr¨ afte und Beschleunigungen miteinander in Beziehung setzt. Als allgemeine Form ergibt sich hierf¨ ur bei n Kontaktpunkten die Gleichung

 ¨1  F1 dis
 ...  = H
 ...  +b . ¨ Fn disn Dabei ist H eine (n × n)-Matrix und b ein n-dimensionaler Vektor. Die Herleitung dieser Gleichung und die explizite Ausformulierung der Terme H und b l¨ asst sich (mitsamt einer Programmcode-Umsetzung) in [178] nachlesen und soll an dieser Stelle nicht ausgef¨ uhrt werden. Das so formulierte Problem, das in der Bestimmung der Kraftskalare Fi unter Ber¨ ucksichtigung der oben angef¨ uhrten Bedingungen besteht, stellt ein sog. Quadratic Programming Problem dar. Zu seiner Bew¨ altigung k¨ onnen spezielle numerische Verfahren eingesetzt werden (s. z.B. [179]), mit deren Hilfe sich explizite Werte f¨ ur ur die Kontaktkr¨ afte Fi gewinnen lassen. Die Durchdrindie Gr¨ oßen Fi und damit f¨ gungen der K¨ orper k¨ onnen dann durch eine einfache Addition dieser Kr¨ afte zu den anderen ¨ außeren Kr¨ aften verhindert werden.

K¨ unstliche Kollisionen Ein eigenst¨ andiger Ansatz, der in [180] und [181] vorgestellt wurde, ist die Behandlung von Ruhekontakten mit Hilfe k¨ unstlich eingef¨ uhrter Kollisionen, die a ¨hnlich wie in Abschn. 11.4.3 u oßen simuliert werden. An ¨ ber die Berechnung von Kraftst¨ jedem Kontaktpunkt werden hierzu eine ganze Reihe kleiner Kollisionen in Richtung der Kontaktnormalen modelliert, die eine Durchdringung der K¨ orper verhindern. Im Vergleich zur Berechnung der Kompensationskr¨ afte ist diese Vorgehensweise wesentlich zeiteffizienter, was f¨ ur große Systeme einen entscheidenden Vorteil darstellen kann. Die Werte der Relativgeschwindigkeiten m¨ ussen allerdings f¨ ur jeden Kontaktpunkt geeignet angepasst werden1 , da sie sich nicht aus dem Systemzustand 1

Bei der Kombination mit Constraint-basierten Steuerverfahren m¨ ussen zudem explizite Regeln f¨ ur das Umschalten zwischen den beiden Methoden spezifiziert werden, welche die Anwendung dieses Ansatzes erschweren k¨ onnen (s. [182]).

306

11 Physikalisch-basierte Animation mechanischer Systeme

ergeben (der ja nach Voraussetzung durch eine verschwindende Relativgeschwindigkeit gekennzeichnet ist). Das Verfahren stellt aber auf jeden Fall eine interessante eigenst¨ andige M¨ oglichkeit dar.

Simulation von Reibungseffekten Reibungseffekte sind ein bekanntes Ph¨ anomen bei Bewegungen ausgedehnter K¨ orper. Sie k¨ onnen sich z.B. in Form einer stetigen Abbremsung der relativen Bewegungen bis zum Stillstand auswirken. Man unterscheidet zwei Arten von Reibung: •

Die Haftreibung tritt bei (relativ zueinander) ruhenden K¨ orpern auf und entspricht der Kraft, die notwendig ist, um einen K¨ orper in Bewegung zu setzen. Die Gleitreibung erzeugt bei K¨ orpern, die sich relativ zueinander bewegen, eine der Bewegung entgegengerichtete Kraft und f¨ uhrt somit zu einer stetigen Abbremsung.

•

Nach dem sog. Coulomb-Modell ist die auftretende Widerstandskraft in beiden orper auf die KonF¨ allen proportional zum Normalkraftskalar F n , mit der der K¨ taktfl¨ ache dr¨ uckt: F haf t = µh F n , F gleit = µg F n . Die Proportionalit¨ atsfaktoren µh und µg h¨ angen dabei vom Material der K¨ orper ab und werden als Haftreibungskoeffizient bzw. Gleitreibungskoeffizient bezeichnet. orper mit der Masse Unter dem Einfluss der Schwerkraft ist die Kraft F n bei einem K¨ m und einer Oberfl¨ ache mit dem Neigungswinkel α gleich F n = m g cos α , wobei g der Fallbeschleunigung entspricht (vgl. Abschn. 11.3.1). F¨ ur die Einbindung der Reibungseffekte m¨ ussen somit an jedem Kontaktpunkt die Normalkr¨ afte ermittelt und anschließend, nach den obigen Gleichungen, die Haftbzw. Gleitreibungskr¨ afte bestimmt werden. Im Falle der Haftreibung sind ihre Wirkungsrichtungen der von außen wirkenden Kraft und, im Falle der Gleitreibung, der tangentialen Geschwindigkeit der K¨ orper entgegengesetzt. Die Reibungskr¨ afte lassen sich dann als zus¨ atzliche Kr¨ afte zu den außeren Kr¨ aften addieren. Anschließend kann das Differentialgleichungssystem wie ¨ gewohnt gel¨ ost werden2 .

Einbindung in die physikalisch-basierte Animation Die Einbindung des Federmodells und des Modells der berechneten Kompensationskr¨ afte wird in der folgenden Reihenfolge ausgef¨ uhrt (s. Abb. 11.16): 1. Kontaktbestimmung. Bestimmung der in Kontakt stehenden K¨ orper, der Kontaktpunkte und der Kontaktnormalen. 2

Beim Modell der Kompensationskr¨ afte muss dabei auch die Wirkung der Reibungskr¨ afte auf die anderen Kontaktkr¨ afte ber¨ ucksichtigt werden, wie z.B. in [183] genauer ausgef¨ uhrt wird.

11.5 Constraints und ihre Behandlung

F

grav

F F

+F K = M a

grav

t = t0

307

grav

FK

t = t0 + Dt

Abb. 11.16. Einbindung der Ruhekontaktbehandlung. Die Simulation wird mit den atzlichen ¨ außeren Kr¨ aften weitergef¨ uhrt berechneten Kr¨ aften FK als zus¨ 2. Bestimmung von kompensierenden Kr¨ aften. F¨ ur s¨ amtliche Kontaktpunkte werden die kompensierenden Kr¨ afte festgelegt, die je nach Modell k¨ unstlich eingef¨ uhrt oder exakt berechnet sein k¨ onnen. 3. Fortf¨ uhrung der Simulation. Die Simulation wird mit den zus¨ atzlichen Kr¨ aften, die den anderen a aften sowie den ggf. modellierten Rei¨ußeren Kr¨ ¨ bungskr¨ aften hinzuaddiert werden, fortgef¨ uhrt. Eine unstetige Anderung der Zustandswerte findet hierbei nicht statt, so dass auch kein Neustart des Integrationsverfahrens erforderlich ist. F¨ ur den Ansatz der k¨ unstlichen Kollisionen ergibt sich dagegen das gleiche Ablaufschema wie in Abschn. 11.4.3. Die Ausgangsdaten f¨ ur die Bestimmung der Kraftst¨ oße, insbesondere die Relativgeschwindigkeiten, ergeben sich in diesem Fall allerdings nicht allein aus den Kontaktdaten, sondern m¨ ussen in einem zus¨ atzlichen Teilschritt ermittelt werden.

11.5 Constraints und ihre Behandlung Unter Constraints versteht man ganz allgemein Bedingungen oder Beschr¨ ankungen, die bei der L¨ osung eines Problems ber¨ ucksichtigt werden m¨ ussen. Im Rahmen der physikalisch-basierten Animation spielen sie sowohl f¨ ur die Modellierung komplexer Systeme als auch f¨ ur die flexible Bewegungssteuerung eine wesentliche Rolle. Genauer charakterisieren lassen sich Constraints mit Hilfe des Begriffes der Zustandsvariablen. Dies sind Bewegungsgr¨ oßen wie z.B. die in Abschn. 11.3.2 beschriebenen Referenzpunktkoordinaten, die den Zustand des jeweiligen Systems eindeutig festlegen und deren Werte sich aus den physikalischen Gesetzm¨ aßigkeiten wie den Newton’schen Bewegungsgleichungen ergeben. Im Rahmen der physikalisch-basierten Animation lassen sich Constraints nun wie folgt definieren: Constraints: Zus¨ atzlich zu den dynamischen Abh¨ angigkeiten festgelegte Bedingungen f¨ ur die Zustandsvariablen, die bei der Simulation ber¨ ucksichtigt werden m¨ ussen. Constraints stellen somit kinematische Nebenbedingungen dar und werden daher auch als Zwangsbedingungen bezeichnet. In Abschn. 11.5.2 wird gezeigt, wie diese

308

11 Physikalisch-basierte Animation mechanischer Systeme

Bedingungen bei der automatischen Auswertung der physikalischen Bewegungsgleichungen ber¨ ucksichtigt werden k¨ onnen. Ein Beispiel eines Constraints ist das Vorhandenseins eines Bodens“, der f¨ ur ” die Objekte der Szene undurchdringlich sein soll. Mit Constraints lassen sich aber auch kinematische Beziehungen zwischen einzelnen K¨ orpern realisieren. Insbesondere stellen s¨ amtliche Gelenkarten, wie Kugel-, Scharnier- oder Gleitgelenke Beispiele f¨ ur Constraints dar. F¨ ur die Modellierung komplexer mechanischer Systeme sind sie daher ein unverzichtbares Hilfsmittel. Constraints stellen aber auch ein flexibles Hilfsmittel zur Steuerung der K¨ orperbewegungen dar. Vorgaben in Form von Bewegungsendpunkten, unpassierbare Bewegungsgrenzen und exakte Pfadvorgaben f¨ ur Teile des Systems sind Beispiele f¨ ur diese Art der Steuerung. Die Grenze zur Modellierung ist dabei fließend: Ein Constraint, der zwei K¨ orper durch ein Kugelgelenk verbindet, l¨ asst sich auch als Steueranweisung sehen, mit der sich ihre Bewegungen in gew¨ unschter Weise beeinflussen lassen. Um Constraints bei der physikalisch-basierten Animation als Hilfsmittel nutzen zu k¨ onnen, m¨ ussen sie in eine mathematische Form gebracht werden. Im folgenden Abschnitt wird gezeigt, wie sich diese Aufgabe durchf¨ uhren l¨ asst.

11.5.1 Mathematische Formulierung In Abb. 11.17a ist eine schiefe Ebene dargestellt, auf der sich ein punktf¨ ormiges Teilchen befindet. Der Constraint soll in dem Beispiel darin bestehen, dass sich das Punktteilchen nur auf dieser Ebene bewegen darf. Wie eine einfache geometrische ¨ Uberlegung zeigt, ist dies genau dann der Fall, wenn der Ortsvektor des Teilchens r = (rx , ry , rz ) (als einzige Zustandsvariable dieses Systems) der folgenden Gleichung gen¨ ugt: rx · tan ϕ = ry Diese Beziehung ist eine exakte mathematische Entsprechung des Constraints: Er ist genau dann erf¨ ullt, wenn diese Gleichung zutrifft. Ein anderes einfaches Beispiel ist in Abb. 11.17b skizziert. Die beiden starren K¨ orper mit den Schwerpunkt-Ortsvektoren r1 bzw. r2 sollen dem Constraint unterliegen, sich an den K¨ orperpunkten mit den relativen Koordinaten s1 bzw. s2 (d1 = ||s1 ||, uhren. Der Constraint entspricht somit einem Kugelgelenk. Wenn d2 = ||s2 ||) zu ber¨ die Rotation eines starren K¨ orpers bez¨ uglich des Schwerpunktes mit dem Ortsvektor r durch die Drehmatrix Rot beschrieben wird (vgl. Anhang B), hat ein k¨ orperfester Punkt mit dem (zeitlich konstanten) relativen Ortsvektor s im WKS die Form r + Rot s. Der hier festgelegte Constraint entspricht daher der Beziehung: r1 + Rot1 s1 = r2 + Rot2 s2 Ein anderer wichtiger Constraint stellt die Bedingung an zwei Teilchen dar, einen festen Abstand d voneinander einzuhalten. Dieser Bedingung kann durch die Gleichung |r1 − r2 | = d Rechnung getragen werden, wobei r1 und r2 die Ortsvektoren der beiden Teilchen sind. F¨ ur Constraints zwischen zwei K¨ orpern mit Fl¨ achenkontakt lassen sich genau 6 verschiedene Gelenktypen angeben. Dies sind

11.5 Constraints und ihre Behandlung

309

d2

d1

r2

y r1

j

z y

x

x

(a) f(t)

(b) f(t1)

f(t0)

z

y x

(c)

(d)

Abb. 11.17. Beispiele f¨ ur Constraints: (a) schiefe Ebene, (b) Kugelgelenkverbindung ( Punkt-zu-Punkt Constraint“), (c) zeitabh¨ angiger Constraint ( Punkt-zu” ” Pfad Constraint“), (d) nicht-holonomer Constraint

– – – – –

Kugel- und Scharniergelenk, prismatische Gelenke, die eindimensionale translatorische Relativbewegungen erlauben, Schraubengelenke, die eine eindimensionale, schraubenf¨ ormige Relativbewegung zulassen, zylindrische Gelenke, die den prismatischen Gelenken einen Rotationsfreiheitsgrad senkrecht zur Translationsachse hinzuf¨ ugen, und planare Gelenke, die man durch den Kontakt zweier planarer Fl¨ achen modellieren kann und die zwei Translations- und einen Rotationsfreiheitsgrad besitzen.

Die mathematische Beschreibung dieser Gelenke ist z.B. in [184] zu finden. Constraints d¨ urfen auch explizit von der Zeit abh¨ angen3 . So ist der Aufh¨ angepunkt des in Abb. 11.17c dargestellten K¨ orpers dem Constraint unterworfen, der Trajektorie f = f (t) zu folgen. Wenn s der relative Ortsvektor dieses Aufh¨ angepunktes ist, ergibt sich demnach analog zum Kugelgelenk-Constraint die Gleichung: r + Rot s = f (t) 3

Solche Constraints bezeichnet man auch als rheonome im Gegensatz zu nicht explizit zeitabh¨ angigen skleronomen Constraints.

310

11 Physikalisch-basierte Animation mechanischer Systeme

Die Beziehungen zwischen den Zustandsvariablen k¨ onnen auch in Form von Ungleichungen vorliegen. Ein solches Beispiel, das in Abb. 11.17d skizziert ist, ist die Forderung an ein Teilchen, sich innerhalb einer quaderf¨ ormigen Box zu bewegen: 0 < rx < xmax , 0 < ry < ymax , 0 < rz < zmax

Holonome Constraints Die meisten der bislang vorgestellten Constraints lassen sich als Gleichung der Zustandsvariablen x und der Zeit t schreiben. Eine solche Beziehung l¨ asst sich stets in die Form C(x, t) = 0 (11.13) mit einer Constraint-Funktion“ C bringen. Bei den obigen Beispielen w¨ urde diese ” Form z.B. mit den Festlegungen C(r) := rx tan ϕ − ry

(schiefe Ebene)

C(r) := r1 + Rot1 s1 − r2 − Rot2 s2 C(r, t) := r + Rot s − f (t)

(Kugelgelenk)

(Aufh¨ angepunkt)

resultieren. Solche Constraints, mit denen sich auch s¨ amtliche Gelenkverbindungen modellieren lassen, nennt man holonom. Eine wichtige Eigenschaft von holonomen Constraints ist die durch sie bedingte Einschr¨ ankung der Freiheitsgrade eines Systems. Ein Punktteilchen im dreidimensionalen Raum hat z.B. drei Freiheitsgrade, die den drei Komponenten seines Ortsvektors entsprechen. Durch die Beschr¨ ankung auf eine Ebene geht nun aber ein Freiheitsgrad verloren, da das Teilchen auf einen zweidimensionalen Unterraum gezwungen wird. Der Zustand des Teilchens l¨ asst sich dann durch nur zwei Zustandswerte beschreiben. Der oben vorgestellte Kugelgelenk-Constraint reduziert das freie System, das aus zwei starren K¨ orpern besteht und somit 12 Freiheitsgrade aufweist, sogar um drei Freiheitsgrade, da die Constraint-Funktion C(x, t) aus drei voneinander unabh¨ angigen Komponenten besteht, die jeweils einen Freiheitsgrad eliminieren.

Nicht-holonome Constraints Einige Constraints lassen sich nicht in die Form von Glg. 11.13 bringen. Solche nicht-holonomen Constraints entsprechen beispielsweise Ungleichungen vom Typ C(x, t) > 0 wie bei dem Beispiel des in der Box eingesperrten Teilchens. Auch explizite Bedingungen bez¨ uglich der zeitlichen Ableitungen der Zustandsvariablen ˙ t) = 0, die auch als Geschwindigkeits-Constraints bezeichnet in der Form C(x, x, werden, geh¨ oren zu dieser Klasse. Ein Beispiel ist die Forderung r˙x2 + r˙y2 + r˙z2 − k2 = 0 an ein Teilchen mit dem Ortsvektor r, wodurch der Betrag der Geschwindigkeit auf den Wert k festlegt wird. Der oben erw¨ ahnte Zusammenhang mit den Freiheitsgraden des Systems besteht bei nicht-holonomen Constraints nicht. Die Bewegung des in der Box eingesperrten Punktteilchens (s. Abb. 11.17d) muss z.B. wie im freien System mit Hilfe von drei Zustandswerten beschrieben werden.

11.5 Constraints und ihre Behandlung

311

11.5.2 Behandlung von Constraints In diesem Abschnitt wird erl¨ autert, wie sich Constraints in die Simulation dynamischer Systeme einbinden lassen. Hierf¨ ur muss zun¨ achst die Dynamik freier Systeme, die bereits in Abschn. 11.3 beschrieben wurde, in eine etwas formalere Form gebracht werden. Anschließend werden die wichtigsten Ans¨ atze f¨ ur die Simulation mechanischer, Constraint-behafteter Systeme vorgestellt.

Dynamik freier Systeme Ein freies (nicht Constraint-behaftetes) mechanisches System l¨ asst sich durch einen k-dimensionalen Zustandsvektor x beschreiben, welcher der Zeitentwicklung ¨ = F(x, x, ˙ t) M(x) x

(11.14)

unterworfen ist. In der (k×k)-dimensionalen Matrix M sind dabei die Masseneigenschaften und in dem k-dimensionalen Vektor F die Kraftwirkungen festgelegt4 . Die Zustandsvariablen xi , also die Komponenten von x, werden als generalisierte Koordinaten bezeichnet, da sie beliebige Koordinaten zur eindeutigen Festlegung des Systemzustandes darstellen (kartesische Koordinaten beziehen sich dagegen immer auf den u ¨ blichen dreidimensionalen Raum). Der Zustand eines massebehafteten Punktk¨ orpers l¨ asst sich durch seinen Ortsvektor r festlegen. Die f¨ ur diesen K¨ orpertyp geltende Bewegungsgleichung Fext = m¨ r mit den ¨ außeren Kr¨ aften Fext entspricht daher unter den Festlegungen



m 0 0 x := r , M := m I =
0 m 0 , F := Fext 0 0 m der Form von Glg. 11.14. Die Gleichung 11.14 l¨ asst sich wie jede gew¨ ohnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung auch als ein System aus zwei Differentialgleichungen erster Ordnung schreiben. Hierzu f¨ uhrt man den n-dimensionalen Geschwindigkeitsvektor v als zus¨ atzliche Gr¨ oße ein, die nicht identisch mit x˙ sein muss: M(x) v˙ = F(x, v, t)

(11.15)

x˙ = f (x, v) Die Funktion f spiegelt dabei die Beziehung zwischen x und v wieder. Zu beachten ist dabei, dass M die Dimension (n × n) und F genauso wie v die Dimension n hat, ˙ k-dimensional ist. w¨ ahrend der Zustandsvektor x (und damit auch x) Diese Form der Bewegungsgleichungen erweist sich insbesondere f¨ ur die Beschreibung starrer K¨ orper als g¨ unstig. Wie in Abschn. 11.3.2 ausgef¨ uhrt wurde, l¨ asst sich der Zustand eines starren K¨ orpers am einfachsten mit Hilfe der sog. Referenzpunkt” koordinaten“ 4

Neben ¨ außeren Kr¨ aften, wie z.B. der Schwerkraft, geh¨ oren hierzu auch die im System wirkenden Inertialkr¨ afte (vgl. Abschn. 11.3.2).

312

11 Physikalisch-basierte Animation mechanischer Systeme x :=

rsp q


, v :=

r˙ sp ω




festlegen. Da das Quaternion q vier Komponenten aufweist (vgl. Anhang B), wird der Zustand demnach durch einen 7-dimensionalen Zustandsvektor und einen 6dimensionalen Geschwindigkeitsvektor beschrieben. Rotations-Quaternion und Winupft. kelgeschwindigkeit sind dabei u ¨ ber die Beziehung q˙ = 12 ω · q miteinander verkn¨ F¨ ur die Anwendung des Penalty-Verfahrens und der Lagrange-Faktoren-Methode, die in den folgenden Abschnitten vorgestellt werden, ergeben sich aus dieser Art der ¨ Beschreibung geringf¨ ugige Modifikationen, die aus Ubersichtsgr¨ unden in Anhang A.4 aufgef¨ uhrt sind. ˆ ω˙ = Die Zeitentwicklung der Rotationskomponenten wird durch die Gleichung J ˆ ω) beschrieben, wobei Next dem ¨ ˆ dem außeren Drehmoment und J Next − ω × (J Tr¨ agheitstensor des K¨ orpers entspricht (vgl. Abschn. 11.3.2). Die Gleichung (11.15) resultiert in diesem Fall aus den Zuweisungen






mI 0 , M := 0 ˆ J

F :=



Fext   , Next − ω × ˆ Jω




f :=

r˙ sp , 1 ωq 2

mit der Gesamtmasse m des K¨ orpers. Es soll nun erl¨ autert werden, wie das freie System f¨ ur die Einbindung der in Abschn. 11.5.1 beschriebenen Constraints modifiziert werden muss. Mit dem PenaltyVerfahren, der Lagrange-Faktoren-Methode und der Reduktionsmethode werden hierzu drei der wichtigsten L¨ osungsans¨ atze vorgestellt, wobei der Einfachheit halber nur skalare Constraint-Funktionen betrachtet werden5 . Diese Verfahren lassen sich f¨ ur alle mechanischen Systeme anwenden, deren Dynamik durch Glg. 11.14 bzw. der hierzu ¨ aquivalenten Glg. 11.15 beschrieben wird.

Penalty-Verfahren Der Penalty-Ansatz stellt die einfachste M¨ oglichkeit zur Einbindung von Constraints dar. Die Grundidee besteht dabei in der Einf¨ uhrung k¨ unstlicher Federkr¨ afte“, die ” den Abweichungen von den festgelegten Constraints entgegenwirken und als PenaltyKr¨ afte bezeichnet werden. Jedem Constraint wird hierzu ein solcher Kraftterm zugeordnet. Falls die Constraints erf¨ ullt sind, d.h. wenn C(x, t) gleich 0 ist (vgl. Abschn. 11.5.1), m¨ ussen diese Kr¨ afte verschwinden. Ihr Betrag wird daher proportional zur Constraint-Funktion C(x, t) und damit proportional zur Abweichung von der Constraint-Bedingung gew¨ ahlt. Ihre Richtung ergibt sich dagegen aus der partiellen Ableitung der Conafte straint-Funktion nach den Zustandsvariablen xi . Man kann zeigen, dass die Kr¨ auf diese Weise keine Arbeit verrichten, so dass die Systemdynamik nicht verf¨ alscht wird. Zu diesem Zweck f¨ uhrt man den n-dimensionalen Vektor JT als Transponierte des Zeilenvektors     ∂C ∂C ∂C J := = , ... , (11.16) ∂x ∂x1 ∂xn 5

Diese Voraussetzung stellt keine Einschr¨ ankung dar, da ein n-dimensionaler Constraint auch als ein System von n einzelnen, skalaren Constraints angesehen werden kann.

11.5 Constraints und ihre Behandlung

313

ein und definiert die Penalty-Kr¨ afte als F = −α C(x, t) JT . Der Parameter α, der die St¨ arke der Feder“ festlegt, ist dabei eine positive Konstante. Zusammen mit ” dem negativen Vorzeichen wird damit sichergestellt, dass die Kr¨ afte den ConstraintAbweichungen entgegengerichtet sind. Aus Stabilit¨ atsgr¨ unden wird den PenaltyKr¨ aften außerdem noch ein zus¨ atzlicher Term als D¨ ampfungsfaktor hinzugef¨ ugt, der proportional zur zeitlichen Ableitung der Constraint-Funktion ist: ˙ ˙ t)) JT x, FP enalty := −α (C(x, t) + β C(x,

(11.17)

Die St¨ arke der D¨ ampfung wird durch die positive Konstante β festgelegt. Den Term ˙ ˙ t) erh¨ C(x, x, alt man aus ˙ ˙ t) = C(x, x,

∂C ∂C x˙ + ∂x ∂t




.

(11.18)

Die Abbildung 11.18 stellt die Wirkungsweise einer solchen Kraft am Beispiel der schiefen Ebene dar. Die senkrecht zur Ebene wirkende Kraft FP enalty verhindert, dass der K¨ orper die Ebene durchdringt. ˙ t) = 0 k¨ Auch nicht-holonome Geschwindigkeits-Constraints C(x, x, onnen mit dem Penalty-Verfahren eingebunden werden. Hierzu definiert man in ganz analoger Weise eine Penalty-Kraft enalty ˙ t) := −γ C(x, x, FP G

∂C ∂ x˙




(11.19)

mit einer positiven Konstante γ. Vor Beginn der Simulation m¨ ussen die Parameter α und β bzw. γ der Glg. 11.17 und Glg. 11.19 konkrete Werte erhalten. Der allgemeine Ablauf des PenaltyVerfahrens besteht dann aus der folgenden Schrittfolge, die f¨ ur jeden Simulationsschritt durchzuf¨ uhren sind. ur alle Constraints (i = 1, ..., m) mit 1. Bestimmung der Gr¨ oßen Ci , Ji und C˙ i f¨ Hilfe der von (11.16) und (11.18). enalty f¨ ur alle Constraints u 2. Berechnung der Penalty-Kr¨ afte FP ¨ ber (11.17) bzw. i (11.19).

F penalty y

j

x

F

grav

¨ Abb. 11.18. Außere Kr¨ afte und Penalty-Kr¨ afte bei der schiefen Ebene

314

11 Physikalisch-basierte Animation mechanischer Systeme

3. Durchf¨ uhren des n¨ achsten Simulationsschritts mit den Penalty-Kr¨ aften als zus¨ atzlichen ¨ außeren Kr¨ aften gem¨ aß der Bewegungsgleichung: m

¨ = M−1 (F + x

enalty FP ) i

(11.20)

i=1

Ein System gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen wie in Glg. (11.20), das auch bei einem freien System gel¨ ost werden muss, resultiert bei allen hier vorgestellten Methoden zur Constraint-Einbindung. In Anhang A.1 werden numerische Verfahren vorgestellt, mit denen sich diese Gleichungssysteme auf automatische Weise l¨ osen lassen. Das Penalty-Verfahren ist dadurch besonders gekennzeichnet, dass die L¨ osung der Glg. 11.20 lediglich zu einer n¨ aherungsweisen Erf¨ ullung der Constraints f¨ uhrt. Nur f¨ ur den Grenzfall eines unendlich großen Penalty-Terms α (bzw. γ) w¨ are das Verfahren exakt. In Abschn. 11.5.3 wird dieser Sachverhalt eine wichtige Rolle bei der Beurteilung des Verfahrens spielen. Beispiel. Als ein einfaches Beispiel f¨ ur die Anwendung des Penalty-Verfahrens im zweidimensionalen Raum soll wieder die in Abb. 11.18 abgebildete schiefe Ebene dienen. Auf dieser Ebene befindet sich ein punktf¨ ormiges Masseteilchen mit den Ortsvektorkomponenten x und y sowie der Masse m unter dem Einfluss des Erdschwerefeldes mit der Fallbeschleunigung g. Die Massenmatrix und die externe Kraft, d.h. die Schwerkraft, sind von dem Ebenen-Constraint unabh¨ angig und ergeben sich als:

m 0 0 , F= M= 0 m −m g Der (hier eindimensionale) Constraint f¨ ur die schiefe Ebene mit dem Neigungswinkel ϕ hat die Form (vgl. Abschn. 11.5.1): C(x, y) := x tan ϕ − y = 0 F¨ ur die zeitliche Ableitung gilt demnach: ˙ x, C( ˙ y) ˙ = x˙ tan ϕ − y˙ und aus Glg. 11.16 folgt:

 J :=

∂C ∂C , ∂x ∂y

 = (tan ϕ , −1)

Als Penalty-Kraft ergibt sich daher: ˙ ˙ t)) JT x, FP enalty = −α (C(x, t) + β C(x, = −α ((x tan ϕ − y) + β (x˙ tan ϕ − y)) ˙

tan ϕ −1




Eingesetzt in die Bewegungsgleichungen folgt schließlich:
















1 0 0 + Fpenalty = + Fpenalty −m g −g m Dies ist das gew¨ unschte System aus gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen, das sich standardm¨ aßig l¨ osen l¨ asst (s. Anhang A.1). x ¨ 1/m 0 = y¨ 0 1/m

11.5 Constraints und ihre Behandlung

315

Die Lagrange-Faktoren-Methode (LFM) Physikalisch betrachtet werden Constraints durch das Wirken von Kr¨ aften erf¨ ullt. Beim Beispiel der schiefen Ebene wirkt die durch den Constraint verursachte Zwangskraft FC z.B. senkrecht zur Ebene und verhindert so das Durchdringen des K¨ orpers (s. Abb. 11.19). Bei der Lagrange-Faktoren-Methode (LFM) wird dieser Umstand ausgenutzt, indem die Zwangskr¨ afte (Constraint-Kr¨ afte) explizit berechnet und anschließend dem System als zus¨ atzliche Kr¨ afte hinzugef¨ ugt werden. Ein physikalisches Prinzip sagt dabei aus, dass derartige Zwangskr¨ afte keine Arbeit leisten k¨ onnen. Die mathematische Entsprechung dieser Forderung ist die Beziehung FC = λ JT

(11.21)

mit dem in Glg. 11.16 definierten Zeilenvektor J und einem (zun¨ achst noch unbestimmten) Faktor λ, der als Lagrange-Faktor bezeichnet wird. Die Bestimmung asst sich somit auf die Berechnung dieses des dreidimensionalen Kraftvektors FC l¨ skalaren Faktors zur¨ uckf¨ uhren. Gleichung 11.21 bleibt auch bei mehr als nur einem Constraint bestehen. F¨ ur m skalare Constraints und einem n-dimensionalen Kraftvektor ist λ dann ein Vektor, der aus m einzelnen Lagrange-Faktoren λi besteht, und J eine (m×n)-Matrix. Die Constraint-Kr¨ afte k¨ onnen wie ¨ außere Kr¨ afte behandelt werden, so dass sie sich zu den anderen wirkenden Kr¨ aften hinzu addieren lassen. Die Bewegungsgleichungen erhalten somit bei m Constraints Ci die Form: m

¨ = M−1 (F + x

FC i )

(11.22)

i=1

Eine derartige Beziehung ergibt sich auch bei der Anwendung des Penalty-Verfahrens (vgl. Glg. 11.20). Im Unterschied zu diesem Ansatz entstammen die Lagrangeafte FC unstlichen FederFaktoren λi und damit die Constraint-Kr¨ i aber keinem k¨ modell, sondern ergeben sich aus der Systemdynamik und k¨ onnen (zumindest vom Prinzip her) exakt berechnet werden. Wie sich diese Berechnung durchf¨ uhren l¨ asst, soll nun erl¨ autert werden. Die Zeitentwicklung eines Constraint-behafteten mechanischen Systems wird, wie in Anhang A.3 gezeigt, durch das folgende Gleichungssystem beschrieben:

F

C

y

j

x

F

grav

¨ Abb. 11.19. Außere Kr¨ afte und Zwangskr¨ afte bei der schiefen Ebene

316

11 Physikalisch-basierte Animation mechanischer Systeme (J1 M−1 JT1 ) λ1 = −J1 M−1 F − c1 .. .

(11.23)

(Jm M−1 JTm ) λm = −Jm M−1 F − cm Bei holonomen Constraints C(x, t) = 0 sind Ji und ci dabei als

ci :=

n  j=1







∂Ci ∂Ci , ... , ∂x1 ∂xn ∂ C˙ i ∂ C˙ i x˙ j + + 2α C˙ i + β 2 Ci ∂xj ∂t

∂Ci ∂x

Ji :=

=

(11.24) (11.25)

definiert, wobei α und β zwei positive Konstanten darstellen. Bei Geschwindigkeits˙ t) = 0 gilt dagegen Constraints C(x, x,

Ji := ci :=

∂Ci ∂ x˙




n  ∂Ci j=1

∂xj

=

∂Ci ∂Ci , ... , ∂ x˙ 1 ∂ x˙ n

x˙ j +

∂Ci + γ Ci ∂t


(11.26) (11.27)

mit einer positiven Konstante γ. Die Terme 2α C˙ i + β 2 Ci bzw. γ Ci werden dabei aus Stabilit¨ atsgr¨ unden eingef¨ uhrt (vgl. Anhang A.3). Diese Gr¨ oßen, die vor Beginn der Simulation geeignete Werte erhalten m¨ ussen, haben eine ¨ ahnliche Interpretation wie die Parameter in Glg. 11.17 und Glg. 11.19 beim Penalty-Verfahren. W¨ ahrend α und γ festlegen, wie schnell der jeweilige Constraint erf¨ ullt wird, beeinflusst β die D¨ ampfung dieses Vorgangs. In der Regel wird β = α gew¨ ahlt, was einer kritischen D¨ ampfung entspricht, w¨ ahrend β > α zu einem Einschwingvorgang f¨ uhrt. Das lineare Gleichungssystem 11.23 dient zur Bestimmung der m Lagrangeoßen bekannt bzw. aus den ConstraintFaktoren λi . Hierin sind alle anderen Gr¨ Funktionen abzuleiten. F¨ ur die L¨ osung eines solchen Systems lassen sich numerische Verfahren anwenden, die eindeutige Werte f¨ ur die Lagrange-Faktoren und damit ur derartiauch f¨ ur die Constraint-Kr¨ afte FC i (nach Glg. 11.21) liefern. Beispiele f¨ ge Verfahren finden sich z.B. in [179]. Die effiziente L¨ osung von schwachbesetzten Gleichungssystemen wird in Anhang C aufgezeigt. Zusammengenommen ergibt sich somit der folgende Verfahrensablauf f¨ ur die LFM, der bis auf die Berechnung der Constraint-Kr¨ afte dem Ablauf des PenaltyVerfahrens gleicht: 1. Bestimmung der Constraint-Funktionen Ci und ihrer Ableitungen, die in Glg. 11.23 eingehen. osen des linearen Gleichungs2. Berechnung der Lagrange-Faktoren λi durch Aufl¨ systems 11.23, in der Regel mit Hilfe numerischer Verfahren. Anschließend Bestimmung der Constraint-Kr¨ afte mit Glg. 11.21. 3. Addition der Constraint-Kr¨ afte zu den anderen ¨ außeren Kr¨ aften und Durchf¨ uhren des n¨ achsten Simulationsschritts gem¨ aß der Bewegungsgleichung 11.22. Beispiel. Das bei der Vorstellung des Penalty-Verfahrens angef¨ uhrte Beispiel der schiefen Ebene mit der Constraint-Gleichung

11.5 Constraints und ihre Behandlung

317

C(x, y) := x tan ϕ − y = 0 l¨ asst sich auch mit der LFM l¨ osen. Gem¨ aß den Gleichungen 11.24 und 11.25 resultiert zun¨ achst J = (tan ϕ , −1) und c :=

∂ C˙ ∂ C˙ ∂ C˙ x˙ + y˙ + =0, ∂x ∂y ∂t

da C˙ nur von x˙ und y˙ abh¨ angt. Die Bestimmung des zum Constraint geh¨ orenden Lagrange-Faktors λ wird mit Hilfe der Beziehung (11.23) durchgef¨ uhrt. Hierf¨ ur erhalten wir zun¨ achst: J M−1 JT = (tan ϕ , −1)

1/m 0 0 1/m

J M−1 F + c = (tan ϕ , −1)

1/m 0 0 1/m








tan2 ϕ + 1 tan ϕ = −1 m




0 +0=g −mg

Diese beiden Terme k¨ onnen nun in Glg. 11.23 eingesetzt werden. Die Aufl¨ osung nach λ ist in diesem Fall trivial und liefert das Ergebnis: λ=−

mg = −m g cos2 ϕ tan2 ϕ + 1

Der Wert f¨ ur λ kann nun mit JT multipliziert und in die Bewegungsgleichung eingesetzt werden:




x ¨ 1/m 0 = y¨ 0 1/m













0 tan ϕ −g sin ϕ cos ϕ + (−m g cos2 ϕ) = −mg −1 −g sin2 ϕ




Die beiden Differentialgleichungen k¨ onnen in diesem Fall sogar analytisch gel¨ ost werden, wobei insgesamt 4 Integrationskonstanten x0 , x˙ 0 , y0 , y˙ 0 festzulegen sind: x(t) = x0 + x˙ 0 t −

g sin ϕ cos ϕ 2 g sin2 ϕ 2 t , y(t) = y0 + y˙ 0 t − t 2 2

Die Reduktionsmethode Die Reduktionsmethode macht sich die in Abschn. 11.5.1 erw¨ ahnte Eigenschaft von holonomen Constraints zu Nutze, die Anzahl der Freiheitsgrade zu reduzieren. Wenn ein punktf¨ ormiger K¨ orper z.B. dem Constraint unterworfen wird, sich auf einer zweidimensionalen Ebene zu bewegen, geht ein Freiheitsgrad verloren. Wie in Abb. 11.20 dargestellt ist, l¨ asst sich seine Position dann durch lediglich zwei Zustandsgr¨ oßen festlegen, f¨ ur die man z.B. die z-Komponente des Ortsvektors und die Wegl¨ ange auf der Ebene s w¨ ahlen kann. Die Wegl¨ ange stellt ein Beispiel f¨ ur eine generalisierte Koordinate dar. Allgemein werden n Freiheitsgrade eines freien Systems durch m holonome Constraints auf n − m Freiheitsgrade reduziert. Man kann daher ein solches System durch n − m unabh¨ angige, generalisierte Koordinaten qi beschreiben. Die Zustandsvariablen xi

318

11 Physikalisch-basierte Animation mechanischer Systeme

des freien Systems lassen sich dann als Funktion der unabh¨ angigen Koordinaten formulieren: x1 = x1 (q1 , ..., qn−m ) .. . xn = xn (q1 , ..., qn−m )

(11.28)

Beim Beispiel der schiefen Ebene mit der Wegl¨ ange s als generalisierter Koordinate (vgl. Abb. 11.20) h¨ atten die Transformationsgleichungen z.B. die Form rx = s cos ϕ und ry = s sin ϕ, wie leicht geometrisch abgeleitet werden kann. Auf dieser Art der Beschreibung mit unabh¨ angigen Koordinaten beruht die Reduktionsmethode. Sie besteht aus den folgenden Schritten, wobei von n Freiheitsgraden und m Constraints ausgegangen wird: 1. Auswahl von n − m unabh¨ angigen, generalisierten Koordinaten qi . 2. Ersetzen der Zustandsvariablen des freien Systems durch die generalisierten Koordinaten gem¨ aß Glg. 11.28. Dieser Schritt entspricht einer expliziten Parametrisierung des Systems und erfordert die Aufl¨ osung der (i.a. nichtlinearen) Constraint-Gleichungen nach den Zustandsvariablen. 3. Aufstellen von n − m Bewegungsgleichungen bez¨ uglich der qi . Dieser Schritt uhrt werden, der kann z.B. mit Hilfe des sog. Lagrange-Formalismus6 durchgef¨ ein schematisch anwendbares und weit verbreitetes Verfahren darstellt (s. hierzu Anhang A.2). 4. Standardl¨ osung des resultierenden (n−m)-dimensionalen Systems gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen. In Anhang A.2 wird gezeigt, wie sich die Reduktionsmethode unter Zuhilfenahme des Lagrange-Formalismus f¨ ur das Beispiel des Punktteilchens auf der schiefen Ebene anwenden l¨ asst. Die durch die Constraints verursachten Kr¨ afte tauchen bei der Reduktionsmethode im Gegensatz zu den anderen Verfahren nicht explizit in den Bewegungsgleichungen auf. Dies stellt in vielen F¨ allen einen Vorteil dar, da normalerweise nur der resultierende Zeitverlauf x(t) von Interesse ist und zus¨ atzliche Kraftterme nur eine Verkomplizierung der Bewegungsgleichungen darstellen w¨ urden. Im Gegensatz zum

y s

j

x

F

grav

Abb. 11.20. Zustandsbeschreibung in reduzierten Koordinaten 6

Nicht zu verwechseln ist der Lagrange-Formalismus mit der zuvor beschriebenen Lagrange-Faktoren-Methode, bei der er aber ebenfalls als alternative Form f¨ ur die Bewegungsgleichungen angewandt werden kann.

11.5 Constraints und ihre Behandlung

319

Penalty-Verfahren und zur Lagrange-Faktoren-Methode hat das resultierende Differentialgleichungssystem außerdem die Dimension n − m statt n. Zwei nicht leicht zu automatisierende Teilaufgaben sind allerdings die Auswahl der unabh¨ angigen Zustandskoordinaten und die explizite Parametrisierung in Form von Glg. 11.28, worauf im folgenden Abschnitt bei der Bewertung dieser Methode genauer eingegangen wird.

11.5.3 Vergleich der L¨ osungsverfahren F¨ ur ihre Anwendung im Bereich der physikalisch-basierten Animation weisen die oben beschriebenen L¨ osungsverfahren eine Reihe charakteristischer Vor- und Nachteile auf, die in diesem Abschn. genauer beleuchtet werden sollen. Die wichtigsten Punkte sind in Tabelle 11.2 zusammengefasst. Penalty-Verfahren. Dieses Verfahren eignet sich f¨ ur computergrafische Anwendungen vor allem durch seine einfache Umsetzbarkeit. Dieser Ansatz ist aber mit einem grunds¨ atzlichen Problem behaftet: Die Constraints werden nur n¨ aherungsweise erf¨ ullt, nur f¨ ur einen unendlich großen Penalty-Term k¨ onnten sie exakt gel¨ ost werden. Der Grad der Constraint-Erf¨ ullung ist dabei schwer vorherzusagen oder gar zu steuern, da die Penalty-Kr¨ afte mit allen anderen Kr¨ aften des Systems interagieren. Um m¨ oglichst geringe Abweichungen von dem gew¨ unschten Verhalten zuzulassen, muss der Penalty-Term daher sehr groß gew¨ ahlt werden. In diesem Fall k¨ onnen aber sog. steife Differentialgleichungen resultieren (vgl. Anhang A.1), die nur mit speziellen numerischen Methoden gel¨ ost werden k¨ onnen und einen großen Rechenaufwand erfordern.

Tabelle 11.2. Einige grundlegende Eigenschaften der L¨ osungsverfahren. Mit zus¨ atzlich“ werden dabei Eigenschaften bezeichnet, die nur durch zus¨ atzliche Auf” wendungen erzielt werden k¨ onnen. Die zeitliche Effizienz des Penalty-Verfahrens bezieht sich auf einen Penalty-Term, der groß genug ist, um eine mit den anderen Verfahren vergleichbare Exaktheit zu erreichen

Zeitliche Effizienz Stabilisierung erforderlich holonome Constraints GeschwindigkeitsConstraints andere nicht-holonome Constraints beliebige ZustandsKoordinaten Systeme mit geschl. Schleifen

Penalty

LFM

Reduktion

niedrig

hoch

hoch

ja (integriert)

ja (zus¨ atzlich)

nein

ja

ja

ja

ja

ja

nein

zus¨ atzlich

zus¨ atzlich

nein

ja

ja

nein

ja

ja

zus¨ atzlich

320

11 Physikalisch-basierte Animation mechanischer Systeme

Lagrange-Faktoren-Methode. Eine bessere Alternative stellt daher in der Regel die Lagrange-Faktoren-Methode dar, die sich ebenfalls in schematischer Weise anwenden l¨ asst. Als zus¨ atzlicher Verfahrensschritt muss hierbei die Bestimmung der Lagrange-Faktoren als L¨ osung des linearen Gleichungssystems 11.23 durchgef¨ uhrt werden. Bei einer großen Anzahl von Constraints kann diese Berechnung relativ zeitaufwendig sein. Die resultierenden Differentialgleichungen haben aber im Vergleich zu den anderen Verfahren g¨ unstige numerische Eigenschaften und k¨ onnen daher zeiteffizient gel¨ ost werden. Insbesondere f¨ ur den Fall, dass nur kleine Abweichungen von den festgelegten Constraints erlaubt sein sollen, ist diese Methode daher eindeutig dem Penalty-Verfahren vorzuziehen. Mittlerweile wird die LFM außerdem durch verbesserte Verfahren zur Aufl¨ osung von Glg. 11.23 (vgl. [185], [186]) als ebenso effizient wie die Reduktionsmethode angesehen. Reduktionsmethode. Diese Methode basiert auf einem v¨ ollig anderen Ansatz und erm¨ oglicht eine elegante mathematische Beschreibung von Constraint-behafteten Systemen. Insbesondere m¨ ussen bei m Constraints statt der urspr¨ unglichen n Differentialgleichungen des freien Systems nur n − m Gleichungen gel¨ ost werden. Diese Methode galt daher lange Zeit als das effizienteste Verfahren und hat im Bereich der Computeranimation eine große Verbreitung gefunden. Eine nicht leicht zu automatisierende Aufgabe stellt allerdings die Auswahl und Transformation der unabh¨ angigen Koordinaten dar. Hierf¨ ur muss ein nichtlineares Gleichungssystem aufgel¨ ost werden. Durch Singularit¨ aten, die in der Regel erst w¨ ahrend der Simulation auftreten, kann ein Satz unabh¨ angiger Koordinaten zudem inad¨ aquat werden, so dass er durch einen anderen Satz ersetzt werden muss. Außerdem erfordern nichthierarchische Systeme, also Systeme mit geschlossenen kinematischen Schleifen, eine gesonderte Behandlung. Ein weiterer Nachteil dieses Ansatzes ist die Beschr¨ ankung auf holonome Constraints. Mit dem Penalty-Verfahren und der Lagrange-Faktoren-Methode k¨ onnen dagegen auch nicht-holonome Constraints, die Bedingungen f¨ ur die zeitlichen Ableitungen der Zustandsvariablen enthalten (vgl. Abschn. 11.5.1), problemlos eingebunden werden. Zus¨ atzliche Aspekte ergeben sich, wenn Simulationsverfahren als Grundlage f¨ ur ein allgemeines Animationssystem eingesetzt werden, das Anforderungen wie Geneuhrliche Anaralit¨ at, Modularit¨ at und Interaktivit¨ at zu erf¨ ullen hat. Wie eine ausf¨ lyse in [187] zeigt, ist die LFM besonders gut f¨ ur eine solche Anwendung geeignet. Mit dem in dieser Arbeit pr¨ asentierten Animationssystem EMPHAS (Easy-touse, Modular, PHysically-based Animation System) werden die speziellen Eigenschaften der LFM f¨ ur eine einfache, vollst¨ andig interaktive Erstellung physikalischbasierter Animationen ausgenutzt.

11.6 Techniken zur Bewegungssteuerung Ein zentrales Problem bei der physikalisch-basierten Animation ist die Steuerung der generierten Bewegungen. Dem Animateur muss erm¨ oglicht werden, eine Animation nach seinen Vorgaben und W¨ unschen zu erstellen, ohne dabei auf die visuelle Plausibilit¨ at der Bewegungen verzichten zu m¨ ussen. In diesem Abschnitt wird beschrieben, welche Ans¨ atze sich zur Erf¨ ullung dieser Aufgabe anbieten. Zun¨ achst soll hierzu eine Klassifikation verschiedener Steuertechniken u uhrung von ¨ ber die Einf¨

11.6 Techniken zur Bewegungssteuerung

321

High-Level-Verfahren

Ereignisbasierte Prozeduren

Controller

Constraints

Optimierung

Direkte Dynamik

Inverse Dynamik

Kinemat. Techniken

Dynamisches System

Abb. 11.21. Hierarchie der Steuertechniken vier Abstraktionsebenen vorgenommen werden. Diese an David Zeltzer angelehnte Klassifikation7 ist in Abb. 11.21 dargestellt. Auf der untersten Abstraktionsebene befindet sich die Beschreibung des dynamischen Systems, in die auch die dynamischen Objekteigenschaften wie Masse oder Massenverteilung einfließen. In der dar¨ uberliegenden Ebene sind grundlegende Techniken zur Einflussnahme auf die zeitliche Entwicklung dieses Systems angesiedelt. Neben kinematischen Techniken, wie der Direkten und der Inversen Kinematik, geh¨ oren hierzu die Ans¨ atze der Direkten und Inversen Dynamik, die in Abschn. 11.6.1 erl¨ autert werden. Sie stellen keine Steuertechniken im eigentlichen Sinne dar, sondern bezeichnen zwei Einsatzm¨ oglichkeiten der dynamischen Systemgleichungen: Die Bewegungsgenerierung auf der Grundlage von Kr¨ aften oder aber die Bestimmung von Kr¨ aften auf der Grundlage von Bewegungsdaten. Die konkrete Anwendung dieser Verfahren auf die Elemente des dynamischen Systems geschieht dann mit Hilfe der drei Arten allgemeiner Steuertechniken: Controller, Constraints und Optimierungstechniken. Sie werden in den Abschn. 11.6.2, 7

In [188] wird von Zeltzer eine Klassifikation von Verfahren f¨ ur die Steuerung von biomechanischen Systemen eingef¨ uhrt, die zwischen einer strukturalen, einer prozeduralen, einer funktionalen und einer agentenbasierten Ebene unterscheidet.

322

11 Physikalisch-basierte Animation mechanischer Systeme

11.6.3 und 11.6.4 erl¨ autert, wobei die Bedeutung von Constraints und ihre Einbindung in die Bewegungsgleichungen bereits in Abschn. 11.5 ausgef¨ uhrt wurde. Controller und Constraints bilden auch die Grundlage f¨ ur die in Abschn. 11.6.5 vorgestellten ereignisbasierten Prozeduren. Auf der h¨ ochsten Ebene k¨ onnen dann autonom agierende Agenten, die u ¨ ber eine Szenen-Wahrnehmung und die M¨ oglichkeit zu regelbasierten Aktionen verf¨ ugen, oder andere abstrakte Steuertechniken, wie z.B. die Steuerung mit Hilfe nat¨ urlichsprachlicher Befehle, eingeordnet werden. Sie stellen keine Alternative zu den grundlegenden Steuerverfahren dar, sondern st¨ utzen sich auf diese, um komplexe Bewe¨ gungsmuster zu generieren. Ein Uberblick u ¨ ber diese High-Level-Verfahren, auf die im Folgenden nicht weiter eingegangen wird, ist z.B. in [189] zu finden.

11.6.1 Direkte und Inverse Dynamik Direkte Dynamik. Unter der Direkten Dynamik versteht man die Bestimmung des Bewegungsverhaltens auf der Grundlage bekannter Kr¨ afte. Diese auch als Vorw¨ artssimulation bezeichnete Auswertung der Bewegungsgleichungen ist das Standardverfahren bei der Simulation physikalischer Systeme. Globale Kraftfelder wie z.B. die Schwerkraft k¨ onnen dabei ebenso unproblematisch eingebunden werden wie Kr¨ afte, die an ganz bestimmten K¨ orperpunkten angreifen, wie z.B. benutzerspezifizierte Federn. Die Kr¨ afte d¨ urfen auch eine explizite Abh¨ angigkeit vom Systemzustand oder von der Zeit besitzen. F¨ ur die Realisierung einer flexiblen Bewegungssteuerung ist jedoch das Problem zu l¨ osen, welche Kr¨ afte anzuwenden sind, um das gew¨ unschte Bewegungsverhalten zu erzielen. Eine m¨ ogliche Strategie besteht darin, die Parameter von standardm¨ aßig vorhandenen oder eigens eingef¨ uhrten Kr¨ aften zu variieren und das dadurch erzielte mit dem gew¨ unschten Bewegungsverhalten abzugleichen. Auf diese Weise k¨ onnten die gesuchten Kr¨ afte durch Probieren gefunden werden. Es stellt sich allerdings heraus, dass ein solches Vorgehen in den allermeisten praktischen F¨ allen nicht in einem akzeptablen Zeitrahmen durchf¨ uhrbar ist. Als Steuertechnik hat die Direkte Dynamik daher einen begrenzten Anwendungsbereich. Als allgemeines Prinzip zur Auswertung der Bewegungsgleichungen bei bekannten ¨ außeren Kr¨ aften bildet sie aber die zentrale Grundlage f¨ ur die Generierung physikalisch-basierter Animationen. Inverse Dynamik. Die Inverse Dynamik ist eine direkte Umkehrung der Direkten Dynamik. Sie geht von einer gegebenen Konfiguration aus und zielt auf die Berechnung der Kr¨ afte, die bei einer Vorw¨ artssimulation zu dieser Konfiguration f¨ uhren w¨ urden. Auf diesen Ansatz st¨ utzen sich viele Steuertechniken. Bei Gelenkk¨ orpern k¨ onnen den gesuchten Kr¨ aften z.B. Federn zur Auslenkung der Gelenke entsprechen. Mit Hilfe der Inversen Dynamik l¨ asst sich dann ermitteln, welche Gelenkkr¨ afte erforderlich sind, um eine bestimmte Konfiguration oder einen bestimmten Bewegungsafte verlauf zu erzielen. Durch die Anwendung und gezielte Modifikation dieser Kr¨ kann dann eine effiziente Kontrolle u orper erreicht werden. F¨ ur den ¨ ber den Gelenkk¨ Ansatz der Inversen Dynamik ergeben sich allerdings auch einige Probleme, die nicht leicht zu l¨ osen sind: •

Anstelle eines Differentialgleichungssystems muss f¨ ur die Bestimmung der Kr¨ afte i.A. ein nichtlineares Gleichungssystem gel¨ ost werden, da die Gesamtkraft h¨ aufig in komplizierter Weise von den einzelnen Wirkungskr¨ aften abh¨ angt. Die Inverse

11.6 Techniken zur Bewegungssteuerung

• •

323

Dynamik erfordert daher in der Regel einen wesentlich gr¨ oßeren Rechenaufwand als die Direkte Dynamik. Die gew¨ ahlte Zielkonfiguration kann sich als physikalisch inkonsistent herausstellen (¨ uberbestimmtes Gleichungssystem). In diesem Fall ließen sich keine Wirkungskr¨ afte angeben, die zur vorgegebenen Konstellation f¨ uhren w¨ urden. Eine Zielkonfiguration kann h¨ aufig nicht nur durch eine, sondern durch eine Vielzahl von Kr¨ aftekombinationen erreicht werden (unterbestimmtes Gleichungssystem). Hier stellt sich das Problem der geeigneten Auswahl einer L¨ osung. Bei der oben angesprochenen Gelenkk¨ orper-Steuerung durch Federkr¨ afte k¨ onnen sich bei der Anwendung der Inversen Dynamik z.B. unrealistisch große Kr¨ afte ergeben, die zwar zur vorgegebenen Konfiguration f¨ uhren w¨ urden, aber nicht f¨ ur eine plausibel wirkende Bewegungssteuerung geeignet sind.

Als alleinige Grundlage zur Generierung von Animationen stellt die Inverse Dynamik außerdem keine Hilfe f¨ ur die visuelle Plausibilit¨ at der generierten Bewegungen dar. Der Zeitverlauf muss hier vorgegeben werden und resultiert nicht, wie bei der ¨ Direkten Dynamik, aus dem physikalischen System. Uber die Kombination mit dem Ansatz der Direkten Dynamik ist die Inverse Dynamik aber ein grundlegendes Hilfsmittel, um ganz bestimmte Bewegungsvorgaben bei der Simulation ber¨ ucksichtigen zu k¨ onnen. Mit Controller, Constraints und Optimierungsverfahren, die sich auf die in diesem Abschnitt beschriebenen Ans¨ atze st¨ utzen, sollen nun die wichtigsten Methoden zur Steuerung mechanischer Systeme vorgestellt werden. Sie bilden das Grundger¨ ust f¨ ur eine flexible Steuerung im Rahmen der physikalisch-basierten Animation.

11.6.2 Controller Als Controller bezeichnet man Kontrolleinheiten, die eine explizit zeitabh¨ angige oder vom Systemzustand abh¨ angige Kraft aus¨ uben. Diese Kr¨ afte k¨ onnen z.B. vor Simulationsbeginn als direkte Funktion der Zeit festgelegt werden, um einen direkten Einfluss auf die Szenendynamik zu nehmen. Wesentlich flexibler ist die Anwendung zustandsabh¨ angiger Controller. Bei dieser Variante h¨ angen die Kr¨ afte von den Zustandsvariablen des modellierten Systems ab und ergeben sich somit erst zur Simulationszeit. Man spricht dann auch von einer R¨ uckkopplungskontrolle (State Feedback Control) oder von einem Closed Loop-Verfahren gegen¨ uber einem Open LoopVerfahren, bei dem diese R¨ uckkopplung nicht stattfindet. In Abb. 11.22 sind die beiden Verfahrensweisen schematisch dargestellt. Das Open Loop-Verfahren erm¨ oglicht dabei eine stabile Steuerung, die nicht durch kleine a orungen außer Kraft ¨ußere St¨ gesetzt werden kann. Verbreitet sind Controller vor allem in der Robotik, wo sie das Standardverfahren zur Steuerung gelenkig verbundener Systeme darstellen. Hier wird jedes Gelenk durch einen Controller gesteuert, der Zugriff auf bestimmte Systemgr¨ oßen wie der Gelenkauslenkung hat. Aus diesen errechnet er dann eine Kraft, die auf das Gelenk angewandt wird. Wenn x den Zustandsvektor eines dynamischen Systems und xE eine Fehlerfunktion darstellt, z.B. die Abweichung von einer Zielfunktion ur eine Kraft proportional zu xE festgelegt, die xE (t) := xZiel − x(t), wird hierf¨ der Abweichung vom gew¨ unschten Bewegungsverlauf entgegengerichtet ist. Um eine Stabilisierung der Kraftwirkung zu erreichen, werden bei dem h¨ aufig eingesetzten

324

11 Physikalisch-basierte Animation mechanischer Systeme

Parameter K Controller F=F(t,K)

Direkte Dynamik

Controller F=F(x,t,K)

Direkte Dynamik

Ergebnis

Anfangswerte

Parameter K x(t)

Ergebnis

Anfangswerte

Abb. 11.22. Wirkungsweise von Controller als Open Loop- (oben) oder als Closed Loop-Verfahren (unten)

PID-Controller zus¨ atzlich ein differentieller Term und ein Integralterm hinzugenommen: (11.29) F = −KX xE + KV x˙ E − KI x˙ E dt Die Parameter KV , KX und KI stellen dabei Diagonalmatrizen mit positiven Elementen dar, denen vor Beginn der Simulation geeignete Werte zugewiesen werden m¨ ussen. Verbreitet sind auch PD-Controller und PI-Controller, bei denen der Integral- bzw. Differentialterm unber¨ ucksichtigt bleibt. In dieser Form gehen die Eigenschaften des dynamischen Systems, insbesondere die Massenverh¨ altnisse, nicht in die Bestimmung der Kontrollkr¨ afte ein. Schwere K¨ orper erfahren also die gleiche Kraft wie leichte, was zu unnat¨ urlich wirkenden Bewegungsabl¨ aufen f¨ uhren kann. Mit Hilfe des sog. Dynamic Control-Ansatzes, auf den an dieser Stelle nicht n¨ aher eingegangen werden soll, lassen sich die dynamischen Eigenschaften aber unter bestimmten Voraussetzungen f¨ ur die Bestimmung der Kr¨ afte einbeziehen (s. hierzu [190]). Controller werden in der Computeranimation h¨ aufig eingesetzt. Die berechneten Kr¨ afte werden dabei einfach den ¨ außeren Kr¨ aften hinzuaddiert, so dass die Bewegungsgleichungen wie gewohnt mit Hilfe der Direkten Dynamik gel¨ ost werden k¨ onnen. Sie wurden daher schon in den fr¨ uhen Arbeiten zur physikalisch-basierten Animation von Gelenkk¨ orpern f¨ ur die Modellierung von Gelenkgrenzen und Bodenkontakten eingesetzt. Mit speziell auf die jeweiligen Bewegungsformen angepassten Controller konnten auch koordinierte Bewegungen wie Spr¨ unge oder Gehbewegungen erzeugt werden. Der Ansatz der Inversen Dynamik wird dabei h¨ aufig als Hilfsmittel f¨ ur die Festlegung der Kr¨ aftefunktionen angewandt. In [191] wird ein speziell angepasster Controller eingesetzt, um kinematische Trajektorien f¨ ur starre K¨ orper vorgeben zu k¨ onnen, ohne das dynamische Verhalten des K¨ orpers auszuschalten. Trifft ein K¨ orper, der einer solchen Trajektorie folgt, auf einen anderen K¨ orper, wird er zun¨ achst durch eine physikalisch-basierte Kontaktbehandlung abgelenkt, dann aber wieder mit Hilfe des Controllers auf die gew¨ unschte Bahn gebracht (vgl. Abb. 11.23). Auf diese Weise wird ein interessanter

11.6 Techniken zur Bewegungssteuerung

x

1.6

325

1

1.4

2

1.2

3

1 0.8

y

0.6 0

0.5

1

1.5

2

2.5

Abb. 11.23. Anwendung von Controller nach Lamouret et al: Die Flugbahn eines Balls wird durch vorgegebenen Trajektorien gesteuert

Kompromiss zwischen kinematischer und dynamischer Steuerung erzielt. Eine um Synchronisierungs-Constraints erg¨ anzte Weiterentwicklung findet sich in [192]. In [193] werden PD-Controller f¨ ur die Gelenkauslenkung zweidimensionaler Gelenkk¨ orper eingesetzt, die der direkten Kontrolle des Benutzers unterliegen. Dies kann z.B. u ¨ ber die Zuordnung von Controller-Parametern zu Mauskoordinaten geschehen. Obwohl diese Art der Steuerung einen gewissen Lernaufwand erfordert und die Controller f¨ ur jedes Modell einzeln angepasst werden m¨ ussen, l¨ asst sich auf diese Weise eine direkte und intuitive Bewegungssteuerung erreichen. Wie diese Beispiele zeigen, bieten Controller als Mittel zur Bewegungssteuerung zwei wichtige Vorteile: •

•

Allgemeiner Einsatz. Controller lassen sich in einer Vielzahl verschiedener Systeme einsetzen. Die einmal festgelegten Kraftterme in Form von Glg. 11.29 k¨ onnen sogar oftmals unver¨ andert in ein anderes dynamisches System u ¨ bernommen werden. Auch eine Kombination mit anderen Steuertechniken ist problemlos m¨ oglich. Einfache Anwendung. F¨ ur die Einbindung von Controller in die Systemdynamik m¨ ussen die Kraftterme aus Glg. 11.29 lediglich den anderen ¨ außeren Kr¨ aften wie der Schwerkraft hinzuaddiert und in die Bewegungsgleichungen eingef¨ ugt werden. Das resultierende Differentialgleichungssystem kann dann wie gewohnt gel¨ ost werden.

Allerdings unterliegt dieser Ansatz auch einigen Einschr¨ ankungen: •

•

Keine Ber¨ ucksichtigung von mechanischen Kopplungen. Jeder Controller reagiert unabh¨ angig von anderen im System wirksamen Controller. Die Auswirkungen, die z.B. aus der Auslenkung eines Gelenkes f¨ ur den gesamten Gelenkk¨ orper resultieren, werden also nicht ber¨ ucksichtigt, so dass das resultierende Bewegungsverhalten oftmals schwer vorherzusagen ist. Bestimmte Bewegungsziele k¨ onnen aus diesem Grund nur in sehr ineffizienter Weise oder u ¨ berhaupt nicht erreicht werden. Keine Ber¨ ucksichtigung der K¨ orpermassen. Die K¨ orpermassen (und Massenverteilungen) gehen bei PD- und PID-Controllern nicht in die Kraftterme von Glg. 11.29 ein. Daher erfahren leichte K¨ orper eine ebenso große Kraft wie uhren schwere K¨ orper, was zu einem unplausibel wirkenden Bewegungsverhalten f¨

326

•

11 Physikalisch-basierte Animation mechanischer Systeme kann. Mit dem bereits angesprochenen Dynamic Control Ansatz l¨ asst sich dieses Problem zum Teil l¨ osen. Problematische Anpassung der Controller-Parameter. Die Parameter eines Controllers, bei einem PID-Controller z.B. die Komponenten der Diagonalmatrizen Kv , Kx und KI , resultieren nicht aus den Systemeigenschaften. Sie m¨ ussen daher f¨ ur jedes System und f¨ ur jedes gew¨ unschte Bewegungsverhalten geeignet angepasst werden, was zeitaufwendig sein kann und viel Erfahrung erfordert.

Controller stellen aber trotz dieser Einschr¨ ankungen eine grundlegende und ¨ außerst n¨ utzliche M¨ oglichkeit zur Bewegungssteuerung dar, die in vielen physikalisch-basierten Animationen Anwendung findet.

11.6.3 Steuerung mit Constraints Den h¨ ochsten Grad an Flexibilit¨ at besitzen Steuerverfahren auf der Grundlage von Constraints. In Abschn. 11.5 wurde bereits beschrieben, welche vielf¨ altigen M¨ oglichkeiten Constraints f¨ ur die Modellierung, aber auch f¨ ur die Steuerung komplexer Systeme bieten. F¨ ur den Einsatz im Bereich der Computeranimation sind Constraints durch folgende Vorteile ausgezeichnet: • •

•

Flexibilit¨ at. Vorgaben in Form von Constraints stellen allgemeine Bedingungen an die Zustandsvariablen des Systems dar und erlauben somit ein enormes Spektrum von Einflussm¨ oglichkeiten. Allgemeiner Einsatz. Es gibt im Grunde kein System, f¨ ur das sich Constraints nicht anwenden lassen. Einfache Constraint-Typen, wie z.B. das Aufeinanderfallen zweier K¨ orperpunkte, stellen zudem allgemeine Steuereinheiten dar, die in einer Vielzahl von Systemen in unver¨ anderter Form angewandt werden k¨ onnen. Einheitlichkeit. Constraints lassen sich in gleicher Weise f¨ ur die Objektmodellierung wie auch f¨ ur die Bewegungssteuerung einsetzen. Sie erm¨ oglichen somit einen einheitlichen Zugang f¨ ur diese beiden grundlegenden Teilaufgaben der physikalisch-basierten Animation.

Constraints stellen somit eine besonders wichtige Technik zur Bewegungssteuerung dar. Sie bilden auch die Grundlage f¨ ur viele Steuertechniken mit h¨ oherem Abstraktionsgrad, wie die in Abschn. 11.6.5 besprochenen ereignisbasierten Prozeduren und High-Level-Verfahren. Auch die Bewegungssteuerung mit Constraints ist aber gewissen Beschr¨ ankungen unterlegen. F¨ ur koordinierte Bewegungen, die auf komplexen Abh¨ angigkeiten beruhen und f¨ ur die nur bestimmte globale Eigenschaften bekannt sind, wie z.B. die Minimierung eines Energieterms, bieten Constraints nur unzureichende Steuerm¨ oglichkeiten. F¨ ur diese Art von Bewegungen hat sich die Steuerung mit Hilfe von Optimierungsverfahren bew¨ ahrt.

11.6.4 Optimierungsverfahren Anstatt wie bei Constraints und Controller bestimmte kinematische Bedingungen oder Kraftwirkungen vorzugeben, f¨ uhren Optimierungsverfahren zu Bewegungen, die durch die Minimierung einer Kostenfunktion ausgezeichnet sind. Damit eignen sie sich vor allem f¨ ur die Nachbildung nat¨ urlicher Bewegungsabl¨ aufe: Viele biomechanische Bewegungen wie der menschliche Gang, das Kriechverhalten eines Wurms

11.6 Techniken zur Bewegungssteuerung

327

Tabelle 11.3. Die wichtigsten Eigenschaften von Controller, Constraints und Optimierungsverfahren als Methoden zur Bewegungssteuerung

vorzugebene Gr¨ oße Online Verfahren lokales Verfahren allgemeiner Einsatz komplexe Bewegungen einfache Anwendung Modellierungshilfe

Controller Kraftfkt. ja ja ja bedingt ja bedingt

Constraints Optimierung Kinem. Bedingung Kostenfkt. ja nein nein nein ja bedingt bedingt ja bedingt nein ja nein

oder die Schwimmbewegungen eines Fisches sind durch die Minimierung bestimmter physikalischer oder biologischer Parameter ausgezeichnet, wie z.B. die Summe der aufgewandten Muskelkr¨ afte. In der Robotik werden Optimierungsverfahren zur Vorausplanung optimaler Trajektorien verwandt, die dann mit Hilfe von Controller realisiert werden. F¨ ur ein System, das durch Zustandsvariablen x und Geschwindigkeitsvariablen v beschrieben wird, besteht ein h¨ aufig aufgestelltes Optimierungsproblem darin, f¨ ur gegebene Anfangs- und Endzeiten t0 und t1 die Funktion t1

J = f (x(t1 ), v(t1 )) +

g(x(t), v(t), t) dt t0

unter Ber¨ ucksichtigung der Newton’schen Bewegungsgleichungen zu minimieren. Dabei stellt g eine Kostenfunktion dar, z.B. die Summe der aufgewandten Kr¨ afte, und f ein Funktional, das am Ende des Simulationszeitraums ausgewertet wird, z.B. die Differenz zu einem vorgegebenen Zielzustand |x(t1 ) − xZiel |. Die Vorgehensweise zur L¨ osung dieses Problems ist dabei iterativ. Anstatt den berechneten Bewegungsverlauf schrittweise von einem bestimmten Anfangszeitpunkt aus zu entwickeln, wird zun¨ achst eine N¨ aherungsl¨ osung f¨ ur den gesamten Verlauf bestimmt, die dann mit jedem Iterationsschritt verfeinert wird. Abgebrochen wird dieser Prozess erst dann, wenn eine maximale Anzahl von Iterationen erreicht ist oder ein vorher festgelegtes Abbruchkriterium erf¨ ullt ist. Man kann dabei zwischen lokalen und globalen Optimierungsverfahren unterscheiden. W¨ ahrend erstere von einem bestimmten Anfangszustand ausgehen, um auf iterative Weise zu einer optimalen L¨ osung zu gelangen, operieren letztere auf dem gesamten Zustandsraum und suchen nach einer global optimalen L¨ osung. Der wichtigste Vorteil von Optimierungsverfahren wurde bereits angesprochen: •

Erzeugung komplexer Bewegungsabl¨ aufe. Mit Optimierungsverfahren lassen sich nat¨ urliche Abl¨ aufe nachbilden, die komplexe und koordinierte Bewegungen erfordern.

Es lassen sich aber auch einige Probleme und Einschr¨ ankungen aufzeigen: •

Fehlende Interaktivit¨ at. Optimierungsverfahren erlauben keinen interaktiven Eingriff in den Prozess der Bewegungsgenerierung. Sie geh¨ oren damit zu OfflineVerfahren im Gegensatz zu Online-Verfahren wie der auf Controller und Constraints basierenden Steuerung. Hierf¨ ur gibt es zwei Gr¨ unde. Zum einen m¨ ussen

328

•

11 Physikalisch-basierte Animation mechanischer Systeme zur L¨ osung des Optimierungsproblems iterative Verfahren eingesetzt werden, die zeitaufwendig sind und in der Regel keine Bewegungsgenerierung in FastEchtzeit erlauben. Zum anderen wird die Kostenfunktion u ¨ ber den gesamten Zeitverlauf minimiert, so dass die Szene f¨ ur ein optimales Ergebnis w¨ ahrend der Bewegungsgenerierung nicht ge¨ andert werden darf. Komplizierte Anwendung. In vielen F¨ allen ist nicht klar, welche Parameter zu minimieren oder zu maximieren sind, um das gew¨ unschte Bewegungsverhalten zu erzielen. Die geeignete Aufstellung der Kostenfunktion kann daher ein außerst schwieriges Problem darstellen, das h¨ aufig Anleihen an anderen wissen¨ schaftlichen Bereichen wie z.B. der Biomechanik erfordert. Zus¨ atzlich muss jede Kostenfunktion genau auf das jeweilige dynamische System und das gew¨ unschte Bewegungsverhalten abgestimmt sein. Optimierungsverfahren sind daher in der Regel anwendungsspezifisch und k¨ onnen nicht ohne weiteres auf andere Systeme oder andere Bewegungsvorgaben u ¨ bertragen werden.

Controller, Constraints und Optimierungsverfahren weisen somit ganz unterschiedliche Vor- und Nachteile auf. Die wichtigsten Eigenschaften dieser Steuertechniken sind noch einmal in Tabelle 11.3 zusammengefasst.

11.6.5 Weitere Verfahren Ereignisbasierte Prozeduren. Steuertechniken auf der Basis von Controller und Constraints sind zustandsbasierte Verfahren, die in stetiger Weise von den aktuellen Werten der Zustandsvariablen abh¨ angen. Eine ereignisbasierte Steuerung wird dagegen nur bei genau festgelegten Bedingungen f¨ ur einen bestimmten Zeitraum aktiv. Ein spezielles Beispiel hierf¨ ur ist die Simulation von Kollisionen starrer oder deformierbarer K¨ orper. Im Falle einer Kollision m¨ ussen hier Kollisionskr¨ afte oder Kraftst¨ oße berechnet und angewandt werden, um ein realistisches Verhalten zu erzielen (vgl. Abschn. 11.4.3). Controller und Constraints k¨ onnen bei ereignisbasierten Prozeduren aber durchaus als Hilfsmittel eingesetzt werden, indem sie z.B. bei bestimmten Bedingungen aktiviert oder deaktiviert werden. Spacetime Constraints. Eine spezielle Verwendung von Optimierungsverfahren beinhaltet das in [194] vorgestellte und in [195], [196] weiterentwickelte Konzept der Spacetime Constraints“. Die Bewegungsgleichungen werden bei diesem Ansatz ” nicht als dynamische Entwicklungsgleichungen, sondern als Nebenbedingungen eines Optimierungsproblems angesehen, die zu jedem Zeitpunkt und an jedem Ort (daher der Name Spacetime“) erf¨ ullt sein m¨ ussen. F¨ ur die Bewegung der springenden ” Tischlampe Luxo“, die einen hohen Bekanntheitsgrad erlangt hat, wurde z.B. die ” Energie der Muskel“-Kr¨ afte minimiert, die die Gelenke der Lampe auslenken. ” Dieses Konzept l¨ asst sich an dem folgenden (aus [194] entnommenen) Beispiel erl¨ autern: Gegeben sei ein Punktteilchen mit dem Ortsvektor r und der zeitlich konstanten Masse m, das unter dem Einfluss der Gravitationskraft Fg und einer zus¨ atzlichen, zeitver¨ anderlichen Antriebskraft F(t) steht: r(t) F(t) + Fg = m ¨ Gesucht ist nun ein Bewegungsverlauf f¨ ur dieses Teilchen vom Ort ra zum Zeitpunkt t0 bis zu einem Ort rb zum Zeitpunkt t1 , bei dem die Funktion

11.6 Techniken zur Bewegungssteuerung t1

R :=

329

|F(t)|2 dt

t0

minimiert wird. Diese Funktion k¨ onnte man als Treibstoffverbrauch“ der Antriebs” kraft F(t) interpretieren. r(t) Zur L¨ osung dieses Problems wird die Bewegungsgleichung F(t) + Fg = m ¨ als Nebenbedingung (Constraint) gesehen, die bei dem oben formulierten Minimierungsproblem zu jedem Zeitpunkt und an jedem Ort erf¨ ullt sein muss. Zu diesem Zweck wird eine Diskretisierung vorgenommen, d.h. die stetigen Funktionen r(t) und F(t) werden durch diskrete Werte r0 , ... , rn bzw. F0 , ... , Fn auf dem Intervall asentiert. F¨ ur die zweite Ableitung von r und die Funktion R gilt dann: [t0 , t1 ] repr¨ ri+1 − 2ri + ri−1 d2 ri = , dt2 h2

h :=

t1 − t0 n

n

|Fi |2

R=h i=1

Die Bewegungsbestimmung l¨ asst sich auf diesen Weise als allgemeines Optimierungsproblem formulieren: bestimme die 2 (n + 1) unabh¨ angigen Variablen r0 , ... , rn und 2 F0 , ... , Fn , die die Funktion R = h n i=1 |Fi | unter den n Nebenbedingungen



r0 − ra = 0 rn − rb = 0 ri+1 − 2ri + ri−1 =0, Fi + F − m h2 g

i = 2, ... , n − 1

minimieren. In dieser Form kann das Problem von numerischen oder computeralgebraischen Standardverfahren gel¨ ost werden. Diese Methode erfordert allerdings schon bei relativ einfachen Systemen einen großen Rechenaufwand, da die Anzahl der unabh¨ angigen Variablen sehr groß werden kann. Als n¨ utzlich hat sich dieser Ansatz aber f¨ ur die Modifikation und Kombination vorhandener Bewegungsabl¨ aufe erwiesen (s. z.B. [197], [198], [199]).

A L¨ osungsverfahren fu ¨r Bewegungsgleichungen

A.1 Numerische L¨ osung von Differentialgleichungen Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen sind Gleichungen, die eine gesuchte Funktion x(t) mit der Variablen t und den Ableitungen dieser Funktion in Beziehung setzen. Sie sind ein unverzichtbares Hilfsmittel f¨ ur die Beschreibung physikalischer Systeme. Die Ordnung einer Differentialgleichung gibt dabei den gr¨ oßten auftretenden Ableitungsgrad an. Derartige Gleichungen lassen sich stets auf ein System erster Ordnung zur¨ uckf¨ uhren, das durch eine Aufl¨ osung nach dem Differentialterm1 die folgende allgemeine Form hat: d x(t) = f (x, t) . dt

(A.1)

Dabei ist f (x, t) gegeben und x(t) ist auf einem Intervall [t0 , t1 ] gesucht. Liegt eine Gleichung h¨ oherer Ordnung vor, kann diese Form durch Einf¨ uhrung zus¨ atzlicher d2 asst Variablen erreicht werden. Die Newton’sche Bewegungsgleichung F = m dt 2 r l¨ sich z.B. in die Form d d v = m−1 F , r=v dt dt bringen, indem man r und v als voneinander unabh¨ angige Gr¨ oßen behandelt. Zur eindeutigen L¨ osung eines n-dimensionalen Systems von Differentialgleichungen erster Ordnung m¨ ussen n L¨ osungspunkte bekannt sein. Wenn diese durch die Variablenwerte an den Intervallr¨ andern t0 und t1 gegeben sind, spricht man von einem Randwertproblem. Zur numerischen L¨ osung dieses Problems ist der Einsatz von Optimierungsverfahren erforderlich. Sind alle n L¨ osungspunkte und damit der komplette Zustand des Systems f¨ ur t = t0 bekannt, liegt dagegen ein Anfangswertproblem vor. F¨ ur diesen besonders wichtigen Fall kann die L¨ osung durch schrittweise Auswertung der Differentialgleichungen bis zu dem Endwert tE entwickelt werden. Hierzu u uhrt man Glg. A.1 in eine algebraische Form mit Hilfe der Diskretisie¨ berf¨ durch ∆x , erh¨ alt man ∆x = f · ∆t und mit rung der Variablen t. Ersetzt man dx dt ∆t h := ∆t, ti := t0 + i · h und xi := x(ti ) somit 1

Wenn diese Aufl¨ osung nicht m¨ oglich ist, spricht man von impliziten im Gegensatz zu expliziten Differentialgleichungen.

332

A L¨ osungsverfahren f¨ ur Bewegungsgleichungen xi+1 = xi + f (xi , ti ) · h .

Dies ist die N¨ aherungsgleichung des Euler-Verfahrens, mit dem ausgehend von den osung bis zum gew¨ ahlten Endzeitpunkt entwickelt werden Anfangswerten x(t0 ) die L¨ kann. Dieses Verfahren w¨ urde allerdings nur f¨ ur den unerreichbaren Grenzfall h → 0 eine exakte L¨ osung liefern. Man kann zeigen, dass der hieraus resultierende Fehler, d.h. die Abweichung vom exakten L¨ osungsverlauf, proportional zu h2 ist. Ein besseres Konvergenzverhalten haben die sog. Runge-Kutta-Verfahren, die Terme mit h¨ oherer Ordnung von h ber¨ ucksichtigen. Das Runge-Kutta-Verfahren zweiter Ordnung ist z.B. durch die Gleichung k1 := f (xi , ti ) h 1 1 k2 := f (xi + k1 , ti + h) h 2 2 xi+1 = xi + k2 definiert und hat ein Konvergenzverhalten von O(h3 ). Sehr h¨ aufig wird auch das Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung eingesetzt, das einen O(h5 )-Fehler aufweist: k1 := f (xi , ti ) h 1 1 k2 := f (xi + k1 , ti + h) h 2 2 1 1 k3 := f (xi + k2 , ti + h) h 2 2 k4 := f (xi + k3 , ti + h) h 1 1 1 1 xi+1 = xi + k1 + k2 + k3 + k4 6 3 3 6 Ein besonders hoher Grad an Effizienz und Robustheit l¨ asst sich oftmals durch sog. Mehrschrittverfahren erzielen. Sie legen die Gr¨ oße der Schrittweite h an jedem Integrationsschritt neu fest. Dadurch k¨ onnen numerisch unproblematische Bereiche mit einem großen h-Wert durchschritten werden, w¨ ahrend beim Auftreten von Instabilit¨ aten kleinere Schrittweiten gew¨ ahlt werden. Spezielle Techniken erfordern außerdem steife Differentialgleichungen. Sie sind durch L¨ osungsterme gekennzeichnet, die ein extrem unterschiedliches Zeitverhalten aufweisen. Ein solcher Fall tritt z.B. h¨ aufig bei der Anwendung steifer Federn auf, da sich die zeitlichen Ver¨ anderungen des mechanischen Systems i.a. auf einer sehr viel gr¨ oßeren Zeitskala als die Schwingungszust¨ ande der Federn abspielen. Um die Stabilit¨ at der numerischen L¨ osungsverfahren aufrechterhalten zu k¨ onnen, m¨ ussen dann extrem kleine Schrittweiten angewandt werden, was den L¨ osungsprozess sehr ineffizient macht. In [179] und [200] werden einige sog. impliziter Verfahren vorgestellt, die auf steife Differentialgleichungen zugeschnitten sind und eine robuste numerische L¨ osung erm¨ oglichen.

A.2 Der Lagrange-Formalismus

333

A.2 Der Lagrange-Formalismus Der Lagrange-Formalismus ist eine g¨ angige Methode zur einfachen und schematischen Formulierung von Bewegungsgleichungen, die aus der Mechanik, aber auch aus anderen Bereichen der Physik stammen k¨ onnen. Er beruht auf der Zustandsbeschreibung eines dynamischen Systems mit generalisierten Koordinaten qi und ihren Ableitungen q˙i . Im Gegensatz zu kartesischen Koordinaten, die sich auf den u ¨ blichen 3D-Raum beziehen, k¨ onnen generalisierte Koordinaten beliebige Gr¨ oßen darstellen, die den Zustand des Systems eindeutig festlegen. Bei einem System, das nur durch holonome Constraints (vergl. Abschn. 11.5.1) eingeschr¨ ankt wird, l¨ asst sich hierf¨ ur sogar ein Satz unabh¨ angiger Koordinaten ausw¨ ahlen. Aus Gr¨ unden der Einfachheit soll dies im Folgenden vorausgesetzt werden2 . Die zentrale Gr¨ oße in dem Lagrange-Formalismus ist die sog. Lagrange-Funktion L. Sie ist definiert als Differenz von kinetischer Energie T und potentieller Energie V: L := T − V . Die Gr¨ oßen T und V und damit auch L werden dabei als Funktion der Zeit sowie der angige VaKoordinaten qi und q˙i formuliert, diese werden also als voneinander unabh¨ riablen behandelt. In einem System mit n Freiheitsgraden hat die Lagrange-Funktion dann die allgemeine Form L = L(q1 , ..., qn , q˙1 , ..., q˙n , t) . Man kann nun zeigen (s. z.B. [173]), dass man mit Hilfe dieser Funktion ein Gleichungssystem aufstellen kann, das physikalisch gesehen mit dem Newton’schen Bewegungsgesetz ¨ aquivalent ist (d.h. die gleichen L¨ osungen liefert). Diese Lagrange’schen Bewegungsgleichungen lauten d dt

∂L ∂ q˙i




−

∂L =0, ∂qi

i = 1, ..., n .

Die im System vorhandenen (holonomen) Constraints werden bei diesen Gleichungen automatisch ber¨ ucksichtigt. Die zu ihnen geh¨ orenden Kr¨ afte tauchen daher im Gegensatz zu anderen Verfahren nicht explizit in den Bewegungsgleichungen auf, was ihre Aufstellung sehr erleichtert. Wenn die Lagrange-Funktionen L1 , ..., Lk einzelner unabh¨ angiger Systeme bekannt sind, l¨ asst sich das hieraus zusammengesetzte Gesamtsystem zudem in einfacher Weise durch die Lagrange-Funktion L = L1 + ... + Lk beschreiben. Neben der Auswahl der unabh¨ angigen Koordinaten qi ist daher lediglich das Problem zu l¨ osen, die Gr¨ oßen der kinetischen und potentiellen Energie zu bestimmen. Dies soll nun f¨ ur die Klasse der punktf¨ ormigen und starren K¨ orper genauer beschrieben werden. Die kinetische Energie eines Punktteilchens mit der Masse m und der Geschwindigkeit v ist gleich 2

In diesem Fall spricht man auch vom Lagrange-Formalismus 2. Art. Mit dem Lagrange-Formalismus 1. Art k¨ onnen dagegen auch nicht-holonome Geschwindigkeits-Constraints (vergl. Abschn. 11.5.1) eingebunden werden.

334

A L¨ osungsverfahren f¨ ur Bewegungsgleichungen

1 m |v|2 . 2 Bei einem starren K¨ orper spaltet sich die kinetische Energie in einen Translationsund einen Rotationsanteil auf: T =

T =

1 1 ˆω . m |v|2 + ω T J 2 2

ˆ sein Tr¨ Dabei ist ω die Winkelgeschwindigkeit des K¨ orpers, J agheitstensor, m seine Gesamtmasse und die Geschwindigkeit v bezieht sich auf seinen Schwerpunkt (vergl. Abschn. 11.3.2). Die Energie, die ein K¨ orper durch ein konservatives Kraftfeld F erh¨ alt, wird dagegen als potentielle Energie bezeichnet. Konservative Kr¨ afte sind dadurch gekennzeichnet, dass sie sich als Gradient eines Skalars in der Form F = −∇ V = −

∂V ∂V ∂V , , ∂x ∂y ∂z


T

schreiben lassen3 . Die Gravitationskraft ist ein Beispiel f¨ ur eine solche Kraft, Reibungskr¨ afte sind dagegen nicht-konservative Kr¨ afte. Dieser Skalar V entspricht nun der potentiellen Energie des K¨ orpers. Der Nullpunkt von V ist dabei beliebig, da die Addition eines konstanten Terms zu V auf die gleiche Kraft f¨ uhrt. Ein Punktteilchen oder starrer K¨ orper in der H¨ ohe z hat in einem Gravitationsfeld mit der Fallbeschleunigung g z.B. die potentielle Energie V = mgz , wie man leicht durch Einsetzen pr¨ ufen kann. Nicht-konservative Kr¨ afte FNK lassen sich ebenfalls im Lagrange-Formalismus ber¨ ucksichtigen. Wenn diese an einem Punkt r angreifen, gehen sie u ¨ ber die Transformation Qi := F

∂r ∂qi

direkt in die Lagrange-Gleichungen ein: d dt

∂L ∂ q˙i




−

∂L = Qi , ∂qi

i = 1, ..., n .

Beispiel. Ein Punktteilchen mit der Masse m l¨ asst sich im zweidimensionalen Raum durch die Koordinaten seines Ortsvektors r = (x, y) beschreiben. In einem Gravitationsfeld mit der Fallbeschleunigung g besitzt ein solches Teilchen die kinetische und potentielle Energie 1 1 m v 2 = m (x˙ 2 + y˙ 2 ) 2 2 V = mg y . T =

Ein solches Teilchen soll nun dem Constraint unterworfen sein, auf einer schiefen Ebene zu liegen, wie in Abb. A.1 dargestellt ist. In diesem Fall l¨ asst sich die Wegl¨ ange 3

Konservative Kr¨ afte verrichten daher auf geschlossenen Wegen keine Arbeit, was ebenfalls als definierende Bedingung verwandt werden kann.

A.3 Erg¨ anzungen zur Lagrange-Faktoren-Methode

F

335

C

y

j

x

F

grav

Abb. A.1. Ein Punktteilchen auf einer schiefen Ebene entlang der Ebene s als generalisierte Koordinate ausw¨ ahlen. Aus x = s cos ϕ, y = s sin ϕ ergeben sich dann die Ausdr¨ ucke 1 1 m (x˙ 2 + y˙ 2 ) = m s˙ 2 2 2 V = m g y = m g s sin ϕ 1 L = T − V = m s˙ 2 − m g s sin ϕ . 2 T =

Mit den Zwischenrechnungen ∂L ∂L = −m g sin ϕ , = m s˙ ∂s ∂ s˙ f¨ uhrt die Lagrange-Gleichung d dt

∂L ∂ s˙




−

∂L =0 ∂s

somit auf die Bewegungsgleichung m s¨ + m g sin ϕ = 0 . Diese Differentialgleichung l¨ asst sich in diesem Fall sogar analytisch durch die folgende Funktion l¨ osen: 1 s = − g sin ϕ t2 + k1 t + k2 . 2 Dabei sind k1 und k2 Integrationskonstanten, welche die Anfangsgeschwindigkeit bzw. die Anfangsposition des Teilchens angeben.

A.3 Erg¨ anzungen zur Lagrange-Faktoren-Methode Die Lagrange-Faktoren-Methode (LFM) stellt eine Erweiterung der physikalischen Bewegungsgleichungen dar, die die Einbindung von Constraints erm¨ oglicht. Ihr Einsatz bei der Simulation mechanischer Systeme wurde in Abschn. 11.5.2 beschrieben. Im Folgenden werden die wichtigsten Gleichungen dieser Methode hergeleitet und es wird auf das sog. Stabilisierungsproblem eingegangen.

336

A L¨ osungsverfahren f¨ ur Bewegungsgleichungen

Die LFM erm¨ oglicht die Einbindung aller Constraints, die sich in die folgende Form bringen lassen: ˙ t) · x ¨ + c(x, x, ˙ t) = 0 . J(x, x, (A.2) J und c stellen dabei in einem n-dimensionalen System mit einem m-dimensionalen Constraint (gleichbedeutend mit m skalaren Constraints) eine (m×n)-Matrix bzw. einen m-dimensionalen Vektor dar. Ein Spezialfall dieser Klasse sind holonome Constraints (vergl. Abschn. 11.5.1), die die Form C(x, t) = 0 haben. Ersichtlich wird dies, wenn die zweite Ableitung der Constraint-Gleichung nach der Zeit betrachtet wird: d2 C dt2 d ∂C ∂C = ( ) x˙ + dt ∂x ∂t ˙ ˙ ∂C ∂C ∂C ¨+ = x x˙ + . ∂x ∂x ∂t

0=

Diese Beziehung ist offensichtlich ein Spezialfall von Glg. A.2. Die Matrix J erh¨ alt dabei die Interpretation der Jacobi-Matrix von C:

J=

∂C = ∂x





∂C1 ∂x1

...

.. .

∂Cm ∂x1

∂C1 ∂xn

.. .

...

∂Cm ∂xn

   .

(A.3)

F¨ ur den Vektor c ergibt sich aus dem Vergleich mit Glg. A.2 c=

˙ ˙ ∂C ∂C = x˙ + ∂x ∂t

 ∂ C˙ n

i=1

∂xi

x˙ i +

˙ ∂C . ∂t

(A.4)

Die zweite wichtige Klasse von Constraints, die von der LFM eingebunden werden k¨ onnen, sind die ebenfalls in Abschn. 11.5.1 angesprochenen Geschwindigkeits-Con˙ t) = 0. Die Gr¨ straints C(x, x, oßen J und c haben dann eine etwas andere Gestalt, wie man der ersten Ableitung der Constraint-Gleichung entnehmen kann: 0=

d ∂C ∂C ∂C ¨+ x˙ + x C= . dt ∂x ∂ x˙ ∂t

Gleichung A.2 resultiert hier mit den Zuweisungen ∂C ∂ x˙ ∂C ∂C . c= x˙ + ∂x ∂t

J=

Die Bewegungs- und Constraint-Gleichungen bilden zusammen das Gleichungssystem ¨ − F − JT λ = 0 Mx ¨+c = 0. Jx

(A.5) (A.6)

A.3 Erg¨ anzungen zur Lagrange-Faktoren-Methode

337

Dies ist ein differentiellalgebraisches Gleichungssystem, das bei n Zustandsvariablen und m Constraints aus n + m Gleichungen besteht. Die Grundidee der LFM besteht nun in der expliziten Berechnung der Lagrange-Faktoren. Hierzu wird zun¨ achst Glg. A.5 mit M−1 multipliziert: ¨ − M−1 F − M−1 JT λ = 0 . x In Gleichung A.6 eingesetzt folgt




J M−1 F + M−1 JT λ + c = 0 , was sich umformen l¨ asst zu J M−1 JT λ = −J M−1 F − c . Mit Hilfe dieses linearen Gleichungssystems l¨ asst sich λ bestimmen. Durch Einsetzen des berechneten Wertes in Glg. A.5 erh¨ alt man dann ein gew¨ ohnliches Differentialgleichungssystem, das sich standardm¨ aßig l¨ osen l¨ asst. Das Stabilisierungsproblem. Bei Verfahren wie der LFM, die Constraints in der Form von Glg. A.2 ber¨ ucksichtigen, muss eine zus¨ atzliche Stabilisierung durchgef¨ uhrt werden. Bei holonomen Constraints entspricht dieser Gleichung n¨ amlich wie ¨ oben gezeigt die Beziehung C(x, t) = 0, die auch mit der Funktion C(t) = a t + b vertr¨ aglich ist, die einer st¨ andig wachsenden Verletzung der Constraint-Bedingung C(t) = 0 entspricht! Die L¨ osungen des Gleichungssystems (A.5, A.6) sind also unterbestimmt und f¨ uhren nicht notwendigerweise zu der gew¨ unschten Annullierung der Constraint-Funktion. Eine M¨ oglichkeit zur L¨ osung dieses Problems ist die Verwendung der Gleichung ¨ + 2αC ˙ + β2 C = 0 C ¨ = 0. Auf diese Weise erh¨ mit zwei positiven Parametern α und β anstelle von C alt man ein stabiles L¨ osungsverhalten f¨ ur die Constraint-Gleichung C(x, t) = 0. Gleichung A.4 ist dann zu ersetzen durch4 c=

˙ ˙ ∂C ∂C ˙ + β2 C . + 2αC x˙ + ∂x ∂t

(A.7)

Ganz analog verf¨ ahrt man bei Geschwindigkeits-Constraints. Sie k¨ onnen in Form ˙ + γ C = 0 mit einer positiven Konstante γ ber¨ der stabilen Beziehung C ucksichtigt werden. Die Einbindung in die LFM geschieht dann u ¨ ber die Gleichung c=

4

∂C ∂C x˙ + +γC. ∂x ∂t

(A.8)

Ein alternativer Ansatz besteht darin, die Lagrange-Faktoren zun¨ achst wie gewohnt zu ermitteln. Bei der Aufstellung des Differentialgleichungssystems A.6 ˙ + β 2 C bzw. λS := γ C dann u werden die Stabilisierungsterme λS := 2 α C ¨ ber ucksichtigt. die Gleichung v˙ = M−1 (F + JT (λ + λS )) ber¨

338

A L¨ osungsverfahren f¨ ur Bewegungsgleichungen

A.4 Simulationsverfahren fu ¨ r beliebige Zustandsgr¨ oßen H¨ aufig ist es g¨ unstiger, die Bewegungsgleichungen bez¨ uglich der ersten Ableitung des Geschwindigkeitsvektors v˙ anstelle der zweiten Ableitung des Zustandsvektors ¨ zu formulieren, wobei zwischen x˙ und v die Beziehung x x˙ = f (x, v) mit einer beliebigen Funktion f besteht. Ein Beispiel hierf¨ ur ist die Beschreibung von starren K¨ orpern in Referenzpunktkoordinaten (vergl. Abschn. 11.5.2), bei der zwischen den Quaternionen q und den Winkelgeschwindigkeiten ω die Beziehung ur die Anwendung des Penalty-Verfahrens aus Abschn. 11.5.2 q˙ = 12 ω · q gilt. F¨ und der Lagrange-Faktoren-Methode (LFM) aus Abschn. 11.5.2 bzw. A.3 ergeben sich aus dieser Art der Beschreibung geringf¨ ugige Modifikationen, wie nun genauer ausgef¨ uhrt wird. Bei der LFM muss Glg. A.2 aus Abschn. A.3 in diesem Fall ebenfalls bez¨ uglich ¨ formuliert werden: v˙ statt x ˜ J(x, v, t) · v˙ + ˜ c(x, v, t) = 0 .

(A.9)

˜ und c ˜ kann die zeitliche Ableitung von f betrachtet Zur Bestimmung der Gr¨ oßen J werden: ∂f ∂f ¨ = f˙ = x˙ + v˙ . (A.10) x ∂x ∂v ¨ + c = 0 ein, ergibt sich Setzt man diese Beziehung in die Gleichung J x ∂f ∂f ˙ +c = 0 x˙ + v) ∂x ∂v ∂f ∂f ˙ =0. J v˙ + (c + J x) ∂v ∂x J(

⇔

Die gesuchten Terme f¨ ur Glg. A.9 sind somit ˜ = J ∂f J ∂v ˜ c = c+J

(A.11) ∂f x˙ . ∂x

Eine ganz analoge Modifikation ergibt sich auch f¨ ur das Penalty-Verfahren: Die Jacobi-Matrix J = ∂C/∂x ist durch J=

∂C ∂f · ∂x ∂v

(A.12)

zu ersetzen. Es bleibt somit die Aufgabe, die Ableitungen der Funktion f zu bestimmen. F¨ ur das Beispiel des starren K¨ orpers gilt 1 ω · q˙ + 2 1 = ω · q˙ + 2

¨= q

mit der (3×4)-Matrix

1 ω˙ · q 2 1  q ω˙ 2

A.4 Simulationsverfahren f¨ ur beliebige Zustandsgr¨ oßen

 q
q  =
q  0

q



1 2




:=


q3

−q1 q0 q3 −q2

−q2 −q3 q0 q1

−q3 q2 −q1 q0

   .

339

Aus dem Vergleich mit Glg. A.10 folgt somit 1 ∂f = q , ∂v 2

∂f 1 x˙ = ω · q˙ . ∂x 2

Dies sind die gesuchten Ableitungen, die in Glg. A.11 bzw. A.12 eingesetzt werden k¨ onnen. Alle anderen Beziehungen und Verfahrensschritte bleiben beim PenaltyVerfahren und der LFM unver¨ andert.

B Quaternionen

Eine sehr verbreitete Art zur Beschreibung dreidimensionaler Rotationen ist die Verwendung einer (3×3)-dimensionalen Rotationsmatrix R, mit der ein Vektor p u ¨ ber p = R p in den transformierten Vektor p u uhrt wird. Die 9 Komponenten dieser Matrix ¨ berf¨ lassen sich durch die 3 Euler-Winkel α, β und γ parametrisieren, die orthogonalen Rotationen bez¨ uglich der x-, y- und z-Achse des Weltkoordinatensystems entsprechen. Mit der Winkelgeschwindigkeit ω stehen diese Gr¨ oßen u ¨ ber die Gleichungen ωx = −α˙ sin β cos γ + β˙ sin γ ωy = α˙ sin β sin γ + β˙ cos γ ωz = α˙ cos β + γ˙ in Beziehung. F¨ ur die zeitliche Ableitung der Rotationsmatrix l¨ asst sich zudem die folgende Gleichung ableiten (s. z.B. [201]): ˙ p = ω × (R p) . R

(B.1)

Diese Art der Rotationsbeschreibung ist allerdings durch eine Reihe von Problemen gekennzeichnet, die insbesondere f¨ ur computergrafische Anwendungen ins Gewicht fallen: •

•

•

Koordinatensingularit¨ aten. Wenn zwei der durch die Euler-Winkel beschriebenen Rotationsachsen aufeinanderfallen, geht ein Freiheitsgrad verloren, es liegt also eine Koordinatensingularit¨ at vor. Dieses Problem kann bei allen dreiparametrigen Rotationsbeschreibungen auftreten. Interpolierbarkeit. Rotationen auf der Grundlage von Euler-Winkeln lassen sich sehr schlecht interpolieren. Die lineare Interpolationen dieser Winkel f¨ uhrt zu einer ¨ außerst unregelm¨ aßigen Rotation, da die Abh¨ angigkeiten zwischen den Rotationsachsen nicht ber¨ ucksichtigt werden. Numerische Drift. Bei der numerischen Berechnung von Rotationsmatrizen, z.B. im Zuge einer Integration von Differentialgleichungen, sind kleine Ungenauigkeiten unvermeidbar. Sie k¨ onnen zu einer Matrix R f¨ uhren, die keine Rotation beschreibt und somit eine numerische Drift verursachen, die zu einer st¨ andig wachsenden Abweichung vom exakten L¨ osungsverlauf f¨ uhrt.

342

B Quaternionen

Ein f¨ ur viele Anwendungen besser geeigneter Ansatz stellt die Rotationsbeschreibung mit Quaternionen q := ( s , v ) dar, die aus einem skalaren Realteil s und drei skalaren Imagin¨ arteilen vx , vy , vz bestehen. Eine Rotation um den Winkel θ, die bez¨ uglich einer beliebig im Raum orientierten Achse entlang des Einheitsvektors u durchgef¨ uhrt wird, kann durch ein Einheitsquaternion (d.h. |q| = 1) q = ( cos

θ θ , sin u ) 2 2

beschrieben werden. Die Rotationstransformation eines Punktes p in einen Punkt asst sich dann durch p l¨ ¯ p = q p q ¯ := ( s , −v ) ausdr¨ mit q ucken. Die zeitliche Ableitung von q erh¨ alt man aus q˙ =

1 ωq 2

mit der Winkelgeschwindigkeit ω. F¨ ur diese Gleichungen ist eine vereinfachende Schreibweise angewandt worden: Wenn ein dreidimensionaler Vektor a mit Quaternionen multipliziert wird, steht a f¨ ur das Quaternion ( 0 , a ). Ein Quaternion q = ( s , v ) l¨ asst sich auch direkt in eine Rotationsmatrix umrechnen: 1 − 2vy2 − 2vz2 2vx vy − 2svz 2vx vz + 2svy R = 2vx vy + 2svz 1 − 2vx2 − 2vz2 2vy vz − 2svx 2vx vz − 2svy 2vy vz + 2svx 1 − 2vx2 − 2vy2




 

Diese Umrechnung kann eine n¨ utzliche M¨ oglichkeit darstellen, um Quaternionen als interne Rotationsbeschreibung zu verwenden, z.B. im Rahmen einer physikalischen Simulation, ohne auf die u ¨bliche Anwendung von Rotationen in der Form p = R p verzichten zu m¨ ussen. Im Gegensatz zu den drei Parametern der Euler-Winkel bestehen Quaternionen aus 4 Komponenten. Bei einer Integration der zeitlichen Ableitungen dieser Komponenten, wie sie z.B. im Rahmen einer physikalischen Simulation notwendig ist, m¨ ussen daher 4 statt 3 Gleichungen gel¨ ost werden. Diesem Nachteil stehen aber gewichtige Vorteile gegen¨ uber. Zum einen f¨ uhrt die Normierung |q| = 1, die im Anschluss eines Integrationsschritts durchgef¨ uhrt werden kann, zu einem Einheitsquaternion, das eine reine Rotation beschreibt. Die oben angesprochene Drift kann daher nicht entstehen. Quaternionen k¨ onnen auch nicht zu Koordinatensingularit¨ aten f¨ uhren und lassen sich direkt u ¨ ber den Wert des Winkels θ interpolieren, was ihre Verwendung wesentlich vereinfacht. Rechenregeln f¨ ur Quaternionen • Addition zweier Quaternionen q1 = (s1 , v1 ) und q2 = (s2 , v2 ): q1 + q2 = (s1 + s2 , v1 + v2 ). • Multiplikation zweier Quaternionen q1 = (s1 , v1 ) und q2 = (s2 , v2 ): q1 q2 = (s1 s2 − v1 v2 , s1 v1 + s2 v2 + s3 v3 ).

B Quaternionen • Konjugiert-komplexe Wert eines Quaternions q = (s, v): ¯ = (s, −v). q • Quadratischer Betrag eines Quaternions q = (s, v): ¯ x + vy v ¯ y + vz v ¯ z ). |q|2 = s2 + (vx v • Inverse eines Quaternions q = (s, v): ¯ /|q|2 , falls |q| = 1 gilt: q−1 = q ¯. q−1 = q

343

C L¨ osungsverfahren fu ¨r lineare Gleichungssysteme

Große Gleichungssysteme der Form A x = b sind vielfach nur schwach besetzt. Das kann beispielsweise bedeuten, dass nur das Diagonalband der Matrix A mit Werten ungleich Null belegt ist. Standardalgorithmen zur L¨ osung linearer Gleichungssysteme sind aus folgenden Gr¨ unden f¨ ur Berechnungen mit schwach besetzten Matrizen zumeist ungeeignet: •

•

ur Die Matrix A kann mitunter aus mehr als 105 × 105 Koeffizienten bestehen. F¨ schwach besetzte Matrizen ist es jedoch lediglich notwendig, die Elemente ungleich Null abzuspeichern. Es ist somit sinnvoll L¨ osungsmethoden zu verwenden, die es nicht erfordern, die gesamte Matrix im Speicher resident zu halten. Standardalgorithmen sind sehr ineffizient, da bei den Matrix-Vektorprodukten viele Terme mit Null multipliziert werden. Schwach besetzte, lineare Gleichungssysteme k¨ onnen effizienter mit iterativen Verfahren gel¨ ost werden. Die Matrizen, die man beispielsweise in der Str¨ omungsmechanik erh¨ alt, sind symmetrisch und positiv definit. Dieses beg¨ unstigt die Anwendung iterativer Verfahren, wie die Gauß-Seidel Iteration, das SOR-Verfahren oder das Verfahren der konjugierten Gradienten, die nachfolgend vorgestellt werden.

C.1 Gauß-Seidel-Verfahren Es ist davon auszugehen, dass alle Werte des Vektors x, bis auf den zu berechnenden i-ten Wert, bekannt sind. L¨ osen wir die i-te Gleichung des Systems Ax = b nach der i-ten Komponente von x auf, so erh¨ alt man: i−1

= xk+1 i

n

bi aik k+1 aik k − x − xj . aii j=1 aii j aii j=i+1

Hierin ist k der Iterationsschritt. Zur Berechnung der k-ten Ann¨ aherung der Variablen xi verwendet man die im k-ten Iterationsschritt berechneten x1 , ..., xi−1 -Werte sowie die mit dem (k − 1)-Iterationsschritt bestimmten Werte: xi+1 , ..., xn . Beispiel. Das folgende lineare Gleichungssystem ist vorgegeben:

346

C L¨ osungsverfahren f¨ ur lineare Gleichungssysteme

3
1

0

0

0

0

0
0 0

1 3 1 0 0 0 0 0 0

0 1 3 1 0 0 0 0 0

0 0 1 3 1 0 0 0 0

0 0 0 1 3 1 0 0 0

0 0 0 0 1 3 1 0 0

0 0 0 0 0 1 3 1 0

0 0 0 0 0 0 1 3 1







0 x1 3

x2  0 4  



x 0 5 3  



x4  0 6  


x5  0 7 =
 



x6  0 6  



x7  0 5  

1   x8   4  x9 3 3

(C.1)

Mittels der Gauß-Seidel-Iteration“ sollen die Komponenten des L¨ osungsvektors ” (x1 , ..., x9 ) bestimmt werden, dessen Startwerte mit x1 , ..., x9 = 1 vorgegeben sind. Wir erhalten die Zwischenvektoren der ersten f¨ unf Iterationen sowie den terminalen L¨ osungsvektor mit:









x1 (x2 − 3)/−3 = 0.666 0.740 0.757



x − 4)/−3 = 0.777 (0.666 + x 0.728 0.751  2 3







x − 5)/−3 = 1.074 (0.777 + x 0.987 1.032  3 4







x4  (1.074 + x5 − 6)/−3 = 1.308  1.149  1.132 




x5  (1.308 + x6 − 7)/−3 = 1.563  1.568  1.569  =
⇒
⇒
⇒







 x − 6)/−3 = 1.145 (1.563 + x 1.160 1.126 6 7







x7  (1.145 + x8 − 5)/−3 = 0.951  1.052  1.049 



 x8   (0.951 + x9 − 4)/−3 = 0.682   0.725   0.730   x9 (0.692 − 3)/−3 =0.772 0.785 0.756

 

T T



T

⇒ 0.749 0.739 1.042 1.129 1.581 1.123 1.049 0.732 0.756 ⇒ 0.753 0.734 1.045 1.124 1.584 1.122 1.049 0.732 0.756 .. .

⇒ 0.756 0.732 1.049 1.122 1.585 1.122 1.049 0.732 0.756

Das Gauß-Seidel-Verfahren konvergiert, falls die Matrix A streng diagonal dominant ist. Das bedeutet, dass jedes Diagonalelement von A gleich oder gr¨ oßer als die Summe seiner u ¨ brigen Zeilen- oder Spaltenelemente sein muss (Zeilen- oder Spaltensummenkriterium).

C.2 SOR-Verfahren Das Successive-Over-Relaxation“-Verfahren (SOR) ist eine Erweiterung der ”Gauß” Seidel”-Methode. Der Vorteil dieses Iterationsverfahrens besteht in der Steigerung der Konvergenzgeschwindigkeit. Hierbei wird die Schrittweite mit dem Relaxationsfaktor ω abh¨ angig von der Matrix des linearen Gleichungssystems angepasst. Der Parameter ω in der SOR-Iterationsgleichung



xk+1 i

=

xkj

(1 − ω) + ω

aik k+1 aik k bi − x − xj aii j=1 aii j aii j=i+1 i−1

n



C.3 CG-Verfahren

347

wird aus dem Intervall [0, 2] gew¨ ahlt. Seinen optimalen Wert erhalten wir mit Hilfe der Eigenwertabsch¨ atzung des linearen Gleichungssystems. Ein in Praxis vielfach verwendeter Richtwert ist ω = 1.7. F¨ ur ω = 1.0 erhalten wir das Gauß-SeidelVerfahren. Beispiel. Die Gleichung C.1 soll mit der SOR-Methode bestimmt werden. Als Startur die werte sind wiederum x1 , ..., x9 = 1 vorgegeben. Mit ω = 1.5 erhalten wir f¨ ersten f¨ unf Iterationen die Zwischenvektoren:







x1 −0.5 + 1.5 (x2 − 3)/−3 = 0.5 0.875


x2  −0.5 + 1.5 (0.5 + x3 − 4)/−3 = 0.75  0.625 





x − 5)/−3 = 1.125 −0.5 + 1.5 (0.75 + x 0.906  3 4





x4  −0.5 + 1.5 (1.125 + x5 − 6)/−3 = 1.437  0.937 



−0.5 + 1.5 (1.437 + x6 − 7)/−3 = 1.781  x5  =
⇒
⇒ 1.585 





 x − 6)/−3 = 1.109 −0.5 + 1.5 (1.781 + x 1.179 6 7





x7  −0.5 + 1.5 (1.109 + x8 − 5)/−3 = 0.945  1.173 


 x8   −0.5 + 1.5 (0.945 + x9 − 4)/−3 = 0.527   0.781   x9 −0.5 + 1.5 (0.527 − 3)/−3 =0.736 0.741

 T  T ⇒ 0.695 0.648 1.019 1.141 1.634 1.158 1.053 0.723 0.759  T

⇒ 0.750 0.859 1.148 1.164 1.535 1.056 0.995 0.741 0.759 ⇒ 0.828 0.752 1.044 1.091 1.559 1.115 1.054 0.732 0.755 .. .

C.3 CG-Verfahren Das Verfahren der konjugierten Gradienten eignet sich speziell zur effizienten L¨ osung von symmetrischen, positiv definiten Gleichungssystemen. Das Verfahren basiert auf der Verwendung von Korrekturgradientenrichtungen, um die Iterationen und Residuen zu aktualisieren, wobei lediglich eine geringe Anzahl von Vektoren gespeichert werden muss. Damit bestimmte Orthogonalit¨ atsbedingungen der Vektorfolgen erhalten bleiben, werden bei jeder Iteration zwei innere Produkte zur Berechnung von skalaren Korrekturgr¨ oßen gebildet. Bei symmetrischen, positiv definiten Gleichungssystemen bewirken diese Bedingungen, dass der Abstand zur exakten L¨ osung in der verwendeten Norm minimal wird. Anstelle des linearen Gleichungssystems Ax = b wird hierbei iterativ die ¨ aquivalente Minimierungsaufgabe 1 |Ax − b|2 2 gel¨ ost. Gesucht wird der Vektor x, bei dem F (x) = 0 wird. Der CG-Algorithmus l¨ asst sich wie folgt beschreiben: F (x) =

Schritt 1. Ausgehend von einem beliebig gew¨ ahlten Startpunkt, der durch den Vektor x0 definiert ist, wird der lokale Gradient g0 = −∇F (x0 ) = −AT · [A · x0 − b] sowie die Schrittweite

(C.2)

348

C L¨ osungsverfahren f¨ ur lineare Gleichungssysteme

Æ

λ1 = |g0 |2 |A · g0 |2

(C.3)

berechnet und hiermit der Startvektor x0 korrigiert. Die Korrektur erfolgt mit: x1 = x0 + λ1 g0 .

(C.4)

Schritt 2. Am Ort, der mit dem neuen Koordinatenvektor x1 festgelegt ist, wird wiederum der lokale Gradientenvektor g1 = −∇F (x1 ) = −AT · [A · x1 − b]

(C.5)

bestimmt und hiermit weiter der konjugierte Gradientenvektor h1 = g1 − sowie die Schrittweite

g1 · A · g0 g0 g0 · A · g0

Æ

λ2 = |g1 · h1 | |A · h1 |2

(C.6)

(C.7)

ermittelt. Den korrigierten Koordinatenvektor x2 erhalten wir mit x2 = x1 + λ2 h1 . F¨ ur alle weiteren Schritte (f¨ ur i > 2) werden die Koordinatenvektoren analog dem Schritt 2 xi = xi−1 + λi hi−1

(C.8)

berechnet. Hierin ist

Æ

λi = |gi−1 · hi−1 | |A · hi−1 |2 .

(C.9)

und hi−1 = gi−1 −

gi−1 · A · hi−2 hi−2 hi−2 · A · hi−2

(C.10)

mit gi−1 = −AT · [A · xi−1 − b] .

(C.11)

Die Schritte werden solange wiederholt, bis F (x) = 0 erreicht ist. Die Vorteile des CG-Verfahrens sind vor allem die rasche Konvergenz. So sind bei einer Gr¨ oße der Matrix A von n × n Elementen in der Regel nur n-Iterationen erforderlich. Beispiel. Die Gleichung C.1 soll mit dem CG-Verfahren berechnet werden. Wir bestimmen ausgehend von x0 nach Glg. C.2 den Gradientenvektor g0 = [−4.0 − 4.0 0.0 5.0 8.0 5.0 0.0 − 4.0 − 4.0]T sowie mit (C.3) die Schrittweite λ1 = 0.0549. Wir setzen diese Werte in Glg. C.4 ein und erhalten den korrigierten x-Vektor mit:

x1 = [ 0.780 0.780 1.000 1.274 1.439 1.274 1.000 0.780 0.780 ]T .

C.3 CG-Verfahren

349

Die n¨ achste Korrektur erfolgt mit dem konjugierten Gradientenvektor h1 , der mit den Gleichungen C.5, C.6 bestimmt wird und dessen Skalierung mit Glg. C.7 mit λ2 erfolgt. Wir erhalten mit g1 = −[ 0.483 0.538 0.549 0.713 0.130 0.713 0.549 0.538 0.483 ]T , h1 = −[ 0.513 0.568 0.549 0.676 0.071 0.676 0.549 0.568 0.513 ]T sowie mit λ1 = 0.0467 den korrigierten x-Vektor: x2 = [ 0.756 0.753 0.974 1.243 1.436 1.243 0.974 0.753 0.756 ]T . Die weiteren mit den Gleichungen C.8, C.9, C.10 und C.11 berechneten Iterationen ergeben: x3 = [ 0.729 0.770 0.999 1.189 1.542 1.189 0.999 0.770 0.729 ]T x4 = [ 0.732 0.770 1.000 1.166 1.537 1.167 1.000 0.770 0.732 ]T x5 = [ 0.745 0.764 1.021 1.156 1.552 1.156 1.021 0.764 0.745 ]T .

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Sachverzeichnis

J T -Methode, 52 Dispersion, 218 Markerpartikel , 236 Absorbtionskoeffizient, 210 Action Units, 125 Akteure autonome, 153–164 Lernmodelle f. autonome, 155 Aktivierungsfunktion, 268 Algorithmus CFD, 200 ALIVE, 155 Alpha Wolf, 156 Amplitudenmatrix, 243 Analyse Modale, 82–86 Anfangswertproblem, 283, 284, 331 Animation Cel, 1 Crowds, 153 Performance, 165 physikalisch-basierte, 279–329 prim¨ ar, 177 prozedurale, 11, 141–164 sekund¨ are, 16, 166, 177 skript-basiert, 164 Stoff(, 247, 265 verhaltensbasiert, 151–158 Animationsschichten, 166 Animatronik, 171 Anticipation, 15 Appeal, 16

Approximation Taylor, 258 Arcs-Regel, 16 Asynchronous Hierarchical Agent, 154 Atmosph¨ arenmodell, 209 Ausgabefunktion, 268 schicht, 270 Avatar, 117 Back-Propagation-Lernregel, 270, 271 baryzentrische Abbildung, 104 Koordinaten, 102 Basisfunktionen, 195 Basiskoordinatensystem, 42 Bending, 64 Bewegungsgleichungen, 280–281, 292, 302, 306, 311, 322 Bewegungssteuerung, 285, 320–322, 325–327 Body Tree, 58 Cashing, 142 CCD-Methode, 53 Channel Animation, 165 Character Sheets, 9 Charaktermodellierung, 9 Cineonformat, 14 Color Blending, 91 Keying, 12 Constraints, 307–310, 321, 326, 328 Geschwindigkeits-, 310, 316, 336

362

Sachverzeichnis

holonome, 310, 316 nicht-holonome, 310, 320 Spacetime, 177 Controller, 321, 323–326, 328 DANCE, 163 Database Amplification, 141 Deformationskurve, 70 Delta-Lernregel, 269 Denavit-Hartenberg Matrix, 42 Notation, 40 Parameter, 42, 43 Dichtegleichung, 205 Digital Puppeteering, 165 Digital Story Teller, 140 Direkte Dynamik, 321–322 Dispersion, 211 Dispersionsschalen, 244 Displacement, 127 Funktion, 130 Vektoren, 130 Divergenzfreiheit, 201 operator, 201 Dobie, 156 Drehimpuls, 287, 290–292 moment, 287, 293, 301 Druckterm, 197 Duncan, 155 Dynamik, 281, 311 Inverse, 272–277 Dynamische Objekteigenschaften, 279, 282 Editing Non-Linear, 13 Effekt super-elastischer, 257 Effektor, 45, 158, 271 Eigenform, 83 frequenz, 82, 83 Eigenwertanalyse, 84 Eingabeschicht, 270 Einheitsquaternion, 23 Eiskristallpartikel Ausrichtung der Achsen, 217

Formen, 217 EMPHAS, 320 Energiegleichung, 199 spektrum, 241 Ereignisbasierte Prozeduren, 328 Euler-Integration, 203 Evolutionsmodell, 158 strategie, 158 Exaggeration, 16 Extinktion, 208 Extinktionskoeffizient, 207 Face Animation Parameter Unit, 138 Face Definition Parameter, 137 Facial Action Coding, 122 Facial Animation Parameter, 137 Farbraumkoordinaten, 211 FB-Netz, 268 Feature Points, 137 Feder Biegungs-, 255 Scherungs-, 255 strukturelle, 255 Federenergie, 100, 101 konstante, 75, 257 Masse-Systeme, 73–75 Federmodell Hooke’sches, 73 lineares, 257 Feed-Forward-Netz, 268 Feedback-Netz, 268 Feldfunktion sph¨ arische, 231 FEM, 75–79, 262 nichtlineare, 79 Fermatsche Prinzip, 212 FF-Netz, 268 FFD, 66–68 Animated, 72 Extended, 68 Finite Elemente Methode, siehe FEM Fl¨ achenmuskeln, 127 Fluide ideale, 196

Sachverzeichnis Follow through, 15 Fotosensoren, 159 Fourier3D-Raum, 246 Koeffizienten, 243 Raum, 243 Transformation, 110, 243 Freiformdeformation, siehe FFD Fuzzy Objects, 143 Gelenkvariablen, 44 Genesiseffekt, 143 Genotyp, 158 Genotypgraph, 160, 161 Gesamtpotential, 77 Geschwindigkeitsfeld, 197 gleichung, 202 Geschwindigkeitsfeld korrigiert, 199 Gesichtsanimation, 117–136 muskelgesteuerte, 122–130 parametergesteuerte, 118, 122 Gewichtungsfunktion, 111, 231 Gleichung Bernoulli, 234 Euler, 196–197 Navier-Stokes, 197 Poisson, 198, 204 Gravitationswellen, 245 H¨ ohenkoordinaten, 235 Hair Globs, 121 Halos, 216–220 Dispersionseffekte, 218, 220 Entst. d. Lichtbrechung, 217–218 Entst. Spiegelung, 219 Erscheinungsformen, 216 seltene Ph¨ anomene, 216 harmonische Karte, 100–104 Hauptregenbogen, 212 Helmholtz-Hodge-Zerlegung, 201, 204 Hochpass, 113 Holonome Constraints, 336 Image Compositing, 12 Improv, 164 Impuls, 290–292 Impulsgleichung, 197

363

Integration explizite, 258 implizite, 257–260, 263 Inverse Dynamik, 321–324 Iso-Fl¨ ache, 236 Jack, 164 K¨ orper visko-elastische, 82 K¨ unstliche neuronale Netze, 267–277 Kapillarwellen, 243 Katenoide, siehe Seilkurve Keyframe-Interpolation, 17–22 Kinematik, 281, 321 kinematische Viskosit¨ at, 203 KNN, 267–277 Knotenvektor, 101 verschiebungsvektor, 78 Kollisionssimulation, 294, 297–302, 305 Kolmogorov-Energiespektrum, 195 Kontaktbehandlung, 294–307 bestimmung, 294–296, 302, 306 normale, 294 sensoren, 159 Kontinuit¨ atsgleichung, 196, 204 Koordinaten Generalisierte , 317 Unabh¨ angige , 317 Korrespondenzproblem, 100 Kraftfunktion, 253 gleichung, 196 stoß, 298 Kugelfl¨ achen, 236 Kugelkoordinaten, 106 LagrangeFaktor, 315 Faktoren-Methode, 315–317, 319, 320, 335–338 Formalismus, 318, 333–335 Lernfehler, 270 Level Set, 236 Lichtbrechungsindex, 213

364

Sachverzeichnis

intensit¨ at, 207 wellenl¨ ange, 207, 211 Lichtstreuung an Luftmolek¨ ulen, 207 Mie, 207 Mie’sche, 213 nach Henney und Greenstein, 208 Rayleigh, 207 Lightpen, 3 Linearmuskeln, 127 Manager Aktiv¨ aten, 154 Ressourcen, 154 Markerpartikel, 235, 237 MassenErhaltungssatz, 196 korrektur, 237 Massenmatrix, 259 Meereswellen, 240 Metaball, 231–233 Methode Bump-Mapping, 239 CFD, 196–201 Euler, 236 Lagrange, 236 MAC, 199–200 Runge-Kutta, 203 MoCap, siehe Motion Capture Modellierung physikalisch-basierte, 279, 280 Morphing, 89 Image, 91 Sound, 14 Motion Capture, 6, 10, 165–175 Retargeting, 175, 179–180 Motorsteuerung, 157 MOVIE, 4 MPEG-4, 137, 139 Muskelkontraktion, 127 Muskeln Augenbereich, 123 Kieferbereich, 124 Nasenbereich, 124 Muskelvektor, 127 Nebenregenbogen, 212 Neuronen, 159, 268

Normfarbraum, 211 farbwerte, 211 Norns, 153 Oberfl¨ achenfunktion implizite, 236 Operation Boolsche, 230 Operator Laplace, 197 Optimierungsverfahren, 321, 326–328 Orbitalstr¨ omung, 240 Ortsvektor, 286 Overlapping, 15 Partikelsystemdynamik, 144 Partikelsysteme, 143–149, 254 Gebundene, 253 Rendering, 145, 147 Strukturierte, 146–147 Thermale, 147, 149 Partikelsyteme Stochastische, 144 Penalty-Verfahren, 312–314, 319, 338 Ph¨ anotyp, 158 Phasenfunktion, 207, 209, 220 von Partikelgemisch, 216 von Wassertr¨ opfchen, 214 von Wassertr¨ opfchengemisch, 216 Phasengeschwindigkeit, 244 Phonem, 138, 140 phonem-basierte Steuerung, 122 Pinching, 64 Poisson-Gleichung, 201 Pose-to-Pose Action, 16 Prandelzahl, 199 Pre-Production, 8 Prim¨ aranimation, 10 Projektionsvektor, 51 Propagierungsfunktion, 268 Punktteilchen, 286 Quaternion, 289, 311, 342–343 Quaternionen-Rotation, 22–25 R¨ uckstreuung, 212 Randbedingungen, 199

Sachverzeichnis schicht, 199 wertproblem, 283, 331 Rauschspektrum, 243 Rayleight-D¨ ampfung, 84 Reach Tree, 58 Reduktionsmethode, 317–320 Referenzkurve, 70 Referenzpunktkoordinaten, 289, 311 Reflexion innere, 212 Regenbogen Farbspektrum, 212 Regenbogenspektrum, 216 Reibung, 306 Relaxationsprozess, 108, 249 Rendering, 11 Reynoldszahl, 199 RGB-Farbraum, 211 Rotationsmatrix, 289, 341–342 Rotoscoping, 166 Ruhekontakte, 294, 302–307 SAGE-Computer, 3 Schließmuskeln, 127, 129 Schwarmverhalten, 151 Secondary Action, 16 Task, 51 Seilkurve, 248 Sekund¨ aranimation, 10 Shearing, 64 Shift-Theorem, 227 SIGGRAPH, 4 Sims, 154 Simulationsgebiet, 199 parameter, 282–284 raum, 199 Simulationsmodell hybrides, 236 Sketchpad-System, 4 Skinning, 71 Slow In and Out-Prinzip, 16 Spacetime Constraints, 328–329 Spektralmodell, 242 Spektralverteilung, 211 Sphinktermuskeln, 129 Splines B-, 130, 131

365

Catmull-Rom, 131 Squash and Stretch-Regel, 14 Stable-Fluids-Algorithmus, 201–205 Staging, 15 Star-Shaped Objects, 105 Starre K¨ orper, 289–294, 311 Steife Differentialgleichungen, 303, 332 Steifigkeitsmatrix, 77 Stoßzahl, 297, 299 Stochastic Gradient Descent, 254 Stoffmodell, 252 Stop-Motion-Technik, 10 Storyboard, 8 Str¨ omungsfeld, 194 primitiva, 194 Strahlungsdichte, 210 intensit¨ at, 206 Straight Ahead Actions, 16 Streuvolumen, 207 volumensegment, 210 winkel, 207, 216 Streudiagramm von Wassertr¨ opfchengemisch, 216 Stuntman virtuell, 162 System akustisches, 170 elektromagnetisches, 169 Exo-Skelett, 167 Feder-Masse, 252 Inside-In, 167 Inside-Out, 167 Kawabata, 254 Lichtleiter, 168 optisches, 170 Outside-In, 167 von Punktteilchen, 288 Tapering, 61 Temperaturfeld, 199 Textur fraktale, 224 Tiefpass, 113 Tiefwasserwellen, 243 Timing and Motion-Regel, 15 Tr¨ agheitstensor, 290–293

366

Sachverzeichnis

Transitionsregeln, 230 Traversalwellen, 240 Trochoide, 240 Tron, 5 Twisting, 61 Utah hand, 4 Vektorinterpolation sph¨ arische, 24 Verbindungsgewicht, 270 Verfahren Euler explizit, 258 Euler implizit, 258 kraftbasiert, 252 Verschiebungssatz, 244 Vertex Blending, 71 Tweening, 71 Vibrationsmodus, 84 Visem, 138, 140 Viskosit¨ at dynamische, 197 kinematische, 197 Visual Speech, 137–139 Volumenexpansionskoeffizient, 200 kraft, 197 strom, 196 W¨ armefluss, 199 Waldo, 5, 172

Warping, 89 Image, 91–99 Markierungsvektoren, 95–98 Mesh, 92–93 radialen Feldfunktionen, 98–99 Two-Pass Mesh-, 93–94 Wavelet-Transformation, 112 Wellenenergie, 243 energiespektrum, 242 formen, 240 frequenz, 242 modell, 240 profilfunktion, 240 zahl, 243 Whirlwind-Computer, 3 Wires, 68–71 Wissensmonitor, 154 Wolken fraktale, 227 Wolkengranularit¨ at, 227 modell prozedurales, 222 regelbasiertes, 230 turbulenz, 229 Zellenautomaten, 229 Zero Level Set, 236 Zustandsvektor, 259 Zylinderkoordinaten, 106

Farbtafeln

synthetischer Saurier

reale Landschaft

a) Saurierschatten

b) inverse Sauriermaske

d)

c) Sauriermaske

Hintergrund + Saurier

f)

e) Schattenmaske

inverse Schattenmaske

h)

g)

Hintergrund + Saurier + Schatten

i)

Farbtafel I. Prinzip des Image Compositing

368

Farbtafeln

Farbtafel II. Lokalisierte FEM nach Debunne et al., (mit Genehmigung von c [31],
ACM 2001)

Warping

Ursprungsbild Blending

Morphingergebnis für t=0.5

CBlend  1 - t CWarp + t CInv _Warp

Zielbild Inverses Warping

Farbtafel III. Prinzipieller Ablauf des Morphing-Prozesses

Farbtafeln

2

4

3

5 6 7

1

8

4

2

5

3 9

1

6

7

9

8

10 11 12 10 1112 Farbtafel IV. Markierung der signifikanten Bilddetails im Ursprungsbild (links) und Zielbild (rechts) mit Merkmalsvektorpaaren

a) (a)

b) (b)

369

c) (c)

d) (d)

Farbtafel V. Prozessschritte zur Gesichtsrekonstruktion: (a) Geometrieerfassung des Sch¨ adels, (b) virtuelles Sch¨ adelmodell wird mit virtuellen Landmarks versehen, (c) Anpassung des Referenzkopfmodells mit geeigneten Weichteildicken, (d) fertige Rekonstruktion mit leichter Mimik, (mit Genehmigung von J. Haber)

Farbtafel VI. Beispiel einer Animation mit verkettetem Controller: Ein virtueller Stuntman f¨ allt r¨ uckw¨ arts auf den Boden, dreht sich auf den Bauch und erhebt sich wieder in die stehende Position, (mit Genehmigung von [85], c
ACM 2001)

370

Farbtafeln

Farbtafel VII. Simulationsergebnisse nach dem Stable Fluid-Ansatz: (links) Feuer, (rechts) Rauchentwicklung mit zwei Quellen, (aus [115])

Farbtafel VIII. Darstellung der Atmosph¨ are: (a) Klarluft, Sonnenstandsh¨ ohe ohe 5◦ , (c) verschmutzte Luft, Sonnen45◦ , (b) Klarluft, Sonnenstandsh¨ standsh¨ ohe 45◦ , (d) erster und zweiter Regenbogen, (aus [122])

Farbtafeln

Farbtafel IX. Ergebnisse: (a) kleiner und großer Haloring (22◦ und 46◦ ), (b) aule mit Nebensonnenhalos, (d) umschriebener kleiner 22◦ Haloring, (c) Lichts¨ Halo mit Zirkumzenitalbogen, (aus [125])

Farbtafel X. Prozedurales Wolkenmodell erzeugt mit Hilfe eines oberen und unteren H¨ ohenfeldes: (a) Schnitt durch ein H¨ ohenfeld, (b) Kombination der Hintergrundfarbe mit der Wolkenfarbe

371

372

Farbtafeln

Farbtafel XI. Synthetische Cirrus-Wolke, (mit Genehmigung von D. S. Ebert, http://dynamo.ecn.purdue.edu/ ebertd/)

ti = 0

ti = 50

ti = 100

ti = 150

Farbtafel XII. Inkrementelle Wolkenerzeugung mit 50, 100 und 150 Simulac tionsschritten, (mit Genehmigung von [114],
ACM 2000)

c Farbtafel XIII. Fl¨ ussigkeitsanimation, (mit Genehmigung von [139],
ACM 2002)

Farbtafeln

Farbtafel XIV. Wellensystem (a) ohne, (b) mit Kapillarwellen, (mit Genehmigung von [143])

Farbtafel XV. Darstellung eines sich periodisch ausbreitendes Wellensystems zu unterschiedlichen Zeitpunkten, (aus [122])

Farbtafel XVI. Ergebnisse des Verfahrens von Baraff und Witkin: (links) Stofftuch mit zwei Aufh¨ angepunkten, (rechts) Mann mit Hemd und Hose, (mit c Genehmigung von [151],
ACM 1998)

373

374

Farbtafeln

Farbtafel XVII. Stoffsimulation mit wenigen Partikeln nach Oshita und Makinouchi: (links) grobmaschiges Netz mit geringer Partikelzahl, (rechts) grobmaschiges Netz mit Bezier-Aproximation, (mit Genehmigung von [156], c
IEEE 2001)

Farbtafel XVIII. Ergebnisse von Kang, Choi und Cho aus [161]: (a) ein Aufh¨ angeknoten, (b) mehrfache Aufh¨ angeknoten, (c) Gewebe mit geringer Steifigkeit und zwei Aufh¨ angeknoten, (d) Gewebe mit hoher Steifigkeit und c zwei Aufh¨ angeknoten, (mit Genehmigung von [161],
ACM 2000)