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Dialog Parameters -^ Prompt: Angabe der zum Benutzen des Blockes erforderlichen Parame-
3 Einfiihrung in Simulink
54
ter; Parameters —> Dialog Parameters —>• Variable: Variablennamen; Documentation —>• Mask type: Kiirztitel; Documentation —> Mask description: Funktionsbeschreibung; Documentation —>• Mask help: Hinweise ziir Hilfe fiir den maskierten Block. Beispiel 3.6 Der im Beispiel 3.5 durch die S-Function gsl_motor beschriebene Block fur den GleichstromScheibenlaufer-Motor ist zu maskieren. Es sind im Mask editor einzutragen: Icon —>• Drawing Command: Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motor mit Seilscheibe; Parameters —> Dialog Parameters —> Prompt: Systemmatrix, Eingangsmatrix und Ausgangsmatrix; -^ Variable: A, B, C; —> Type: edit; Documentation —> Mask type: Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motor mit Seilscheibe; —> Mask description: Der Block lost die Vektor-Matrix-Differenzialgleichung fur die Ankerspannung Ua{t) als SteuergroBe und die Seilzugkraf^ F{t) als StorgroBe und gibt den Ankerstrom i{t), die Seilgeschwindigkeit v{t), die Drehzahl n{t) und das Moment M{t) aus; -^ Mask help: Es sind die Systemmatrix A, die Eingangsmatrix B imd die Ausgangsmatrix C fiir das Motorsystem einzutragen. Losung: Gleichstrom-Scheibenlaufer Motor mit Seilscheibe
CI>
Out1
In1
S-Function Bild 3.17 Der maskierte S-Function-QXock des Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motors Eg Mask editor: S-FuiKtmn Icon I Parameters i Initialization Documentation Dialog parameters
id
I\
Prompit
Variable
Type
Evalu... Tunable
Systemmatrix
A
edit
Eingangsmatrix
B
edit
"
Ausgangsmatrix
C
edit
"
w w F
R W W
-Options for selected parameter— Popups (one per line): ^ •r\
Unmask
In dialog: | ~ Show parame...
| ~ Enable param...
Dialog callback:
OK
Cancel
Help
Apply
Bild 3.18 Das Dialog Parameters Fenster des S-Function-Qlock fiir den GSL-Motor
3.6 Maskieren von Systemen
55
.JnJiSj
Ea Mask editor: S-Function Icon ] Parameters | Initialization [Pll^liiyi^eniartionjl -Mask type Gleichstrom-Scheibenlauf er-Motor mit Seilscheibe -Mask description-
Der Block lost die Vektor-Matrix-Differenzial-Gleichung fur die Ankerspannung uafl) als SteuergroBe und die Seilzugkraft F(t) als StorgroUe und gibt den Ankerstrom iafl), die Seilgeschwindigkeit vft), die Drehzahl nft) und das Moment M(t) aus. -Mask helpEs sind die Systemmatrix A, die Eingangsmatrix B und die Ausgangsmatrix C fLJr das Motorsystem einzutragen.
Unmask
OK
Cancel
Help
t
Apply
Bild 3.19 Das Documentation Mask Fenster des S-Function-Q\ock fur den GSL-Motor
2il
P : Function Block Parameters S-Function -Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motormit Seilscheibe (mask) Der Block lost die Vektor-Matrix-Differenziai-GJeichung fur die Ankerspannung uaft) als SteuergroEe und die Seilzugkraft Fft) als StorgriJEe und gibt den Ankerstrom iaft), die Seilgeschwindigkeit vft), die Drehzahl nft)und das Moment Mft)aus. r-ParametersSystemmatrix
F Bngangsmatrix
f^ Ausgangsmatrix
f^
d OK
Cancel
•JHiip'
Apply
Bild 3.20 Die Function Block Parameters des S-Function-Block fur den GSL-Motor
56
3.7
3 Einfiihrung in Simulink
Embedded MATLAB Functions
Der Embedded MATLAB Function-Block kann fur komplizierte Rechenablaufe, wie z.B. die Berechnung der dynamischen Nichtlinearitaten eines nichtlinearen DifferenzialgleichungsSystems, die bei jedem Simulationsschritt auszufiihren sind, genutzt werden. Beispiel 3.7 Filr das System Stab-Wagen, siehe Kapitel 5.1, wird folgendes nichtlineare Differenzialgleichungs-System angegeben: Die nichtlineare Vektor-Matrix-Differenzialgleichung: , v] und M3 = [F\. Die zeitlichen Verlaufe des Winkels und des Weges sind graphisch darzustellen, dazu ist ein M-script-file zu schreiben. Fiir die Simulation soil F{t) = 0 und XQ = [TI/IOOO; 0; 0; 0] gelten, d.h. der Winkel des senkrecht auf dem Wagen stehenden Stabes zur Senkrechten betragt 1/1000°. Wenn der Stab senkrecht nach unten hangt, betragt der Winkel 180°. Losung:
Iterationen
Bild 3.21 Signalflussplan des nichtlinearen Systems Stab-Wagen siehe Beispiel3_07.m und den Embedded fiinction-Block nlf.m Graphische Darstellung: siehe Beispiel3_07a.m zur graphischen Darstellung des Winkels und des Weges
58
3 Einfahrung in Simulink Freie Bewegung des Stab-Winkels (j) in [°]
270
_ i — 1 - \ - - •*
225
_,_ 1 — 1 _ 1
1
1
••-
1
'
••
1
1
^
,
,
1
1
1
1
X
1
1
J
1
1
I
1
T
1
1
1
1
4
6
8
10 t in [s]
12
14
L\- _ |
180
_i J
135
90
-I I
Ij. J
45
0
2
16
18
20
Bild 3.22 Verlauf des Stab-Winkels von 10'^° in der freien Bewegung nach 180° Freie Bewegung des Wagen-Weges s in [m] 0.25 0.2
^--j-T-T
0.15
1
^-T--|-T--rr-i
1
T
1
r
1
1
1
T
1
r
r
1
I
i
I
I
L
I
1
I
I
J
I
10
12
14
16
18
0.1 0.05 0 -0.05 -0.1
uJ
i_|
-0.15
Jji
L J
I
I
4
6
8
y.1
-0.2 0
2
20
t in [s]
Bild 3.23 Verlauf des Wagen-Weges von 0 w in der freien Bewegung nach annahemd 0 m
4. Modellbildung
4.1
Das mathematische Modell
Soil zur Simulation ein Computer verwendet werden, wie es Gegenstand dieses Buches ist, so muss das Modell ein mathematisches bzw. ein abstraktes sein, welches nachfolgende Bestandteile und Eigenschaften aufweist.
4.1.1
Variable
Jedes System wird durch cine gewisse Menge unabhangiger und abhangiger Variablen gepragt. 4.1.1.1 Unabhangige Variable Sic sind EingangsgroBen, die unabhangig von dem im System ablaufenden Prozess sind, sic lassen sich untergliedem in: SteuergroBen frei wahlbare GroBen, mit denen das System gesteuert werden kann. StorgroBen nicht frei wahlbare GroBen, die auf das System einen ungewoUten, also storenden Einfluss ausilben. Jede Anlage besitzt eine bestimmte Anzahl von unabhangigen Variablen, oft auch als Freiheitsgrade bezeichnet, die bei beliebiger Wahl ihrer Werte innerhalb bestimmter Grenzen stets eine Anlage ergeben, die die an sie gestellte Leistung erbringt. 4.1.1.2 Abhangige Variable ZustandsgroBen dies sind GroBen, die das innere Verhalten eines Systems, also seinen Zustand, widerspiegeln. AusgangsgroBen sie stehen im fanktionellen Zusammenhang zu den Eingangs- und ZustandsgroBen. 4.1.1.3 Konstruktive und technologische GroBen Sie sind die Grundlage fur die konstruktive und technologische Auslegung einer Anlage und flieBen gewohnlich in die konstanten Koeffizienten der hier betrachteten Modelle ein.
4.1.2
Gleichungen
Das Abbild der Wirkimgsweise des Systems wird durch eine Gesamtheit von Gleichungen bzw. sonstigen funktionellen Zusammenhangen der einzelnen Variablen untereinander beschrieben.
60
4 Modellbildung
Die Gleichungen umfassen den Bereich der gewohnlichen und partiellen Differenzial- und Differenzengleichungen. Sie konnen sowohl lineares als auch nichtlineares Verhalten aufweisen und auch mit Totzeit-Gliedem behaftet sein. Ihre numerische Losung mit MATLAB bzw. unter Simulink wird im Abschnitt 4.1.9 behandelt.
4.1.3
Nebenbedingungen
Nebenbedingungen beschreiben den zulassigen Bereich der fur das einwandfreie Arbeiten des Systems zustandigen Variablen.
4.1.4 Arten der Simulation mit mathematischen Modellen -
-
Deterministische Simulation Alle das Verhalten eines mathematischen Modells bestimmenden GroBen sind bekannt bzw. berechenbar. Stochastische Simulation Neben den bekannten und/oder berechenbaren ModellgroBen werden noch stochastische, also zufallig gewahlte, Werte verwendet.
4.1.5 Mathematische Modelle und Systeme Das Aufstellen mathematischer Modelle ist im Allgemeinen ein recht komplizierter Prozess und sollte durch ein Team von Vertretem verschiedener Ingenieur- und WissenschaftsDisziplinen erfolgen. Mathematische Modelle von technischen Prozessen lassen sich nach dem mit ihrer Aufgabenstellung verfolgten Ziel in Auslegungs- imd Betriebsmodelle einteilen. 4.1.5.1 Auslegungsmodelle Sie beinhalten die konstruktive und technologische Auslegung von Anlagen eines Prozesses. Sie sind nicht Gegenstand dieses Buches. 4.1.5.2 Betriebsmodelle Sie sind zur Erfiillung einer Vielzahl von Aufgaben notwendig, so z.B. zur statischen und/oder dynamischen Optimierung der Fahrweise, zur optimalen Wahl der Struktur und Einstellparameter der Automatisierungsanlage sowie zur Bestimmung des optimalen Steuergesetzes. 4.1.5.3 Automatisierungsanlage Sie ist die technische Realisierung des Automatisierungssystems und stellt im Grunde genommen ein Hilfssystem fur das Automatisierungsobjekt bzw. die technologische Anlage dar. Sie entsteht aus dem entworfenen Automatisierungssystem durch Projektierung und dient der Realisierung bestimmter Automatisierungsfunktionen. 4.1.5.4 Automatisierungssystem Die Gesamtheit der technischen Mittel, die der Informationserfassung, Informationsverarbeitung und Informationsnutzung sowie der Informationsubertragung dienen, bildet das Automatisierungssystem. Siehe Bild 1.3 Wechselwirkungen zwischen einem System zur Energieund/oder Stoffwandlung und einem System zur Informationswandlung.
4.1 Das mathematische Modell
61
4.1.5.5 Konkrete und abstrakte Systeme Eine Anlage in der ein technischer Prozess ablauft wird ganz allgemein als ein konkretes System bezeichnet und das dazugehorende mathematische Modell der o.a. Art ist dann das abstrakte System.
4.1.6 Mathematisches Modell zweier konkreter linearer Systeme
m
R
C
^Uc = y(t)
-UR
-U = Ku{t) Bild 4.1 Konkretes System - Widerstand-Kondensator
^^ v{t)
i
i
CF
-->A/VV-|
I
-FK
F = Ku{t)
Bild 4.2 Konkretes System - Dampfungskolben-Feder Der Anordnung nach Bild 4.1 wird bei spannungslosem Kondensator eine Spannung U, der Anordnung nach Bild 4.2 bei entspannter Feder die Kraft F aufgeschaltet. Gesucht sind die Gleichungen, die die zeitliche Veranderung der AusgangsgroBe - Kondensatorspannimg Uc bzw. Federkraft Fp - in Abhangigkeit von der EingangsgroBe - Spannung U bzw. Kraft F — beschreiben. 4.1.6.1 Mathematische Modelle der beideii konkreten linearen Systeme Die Eingangsspannung bzw. die aufgegebene Kraft entspricht ft)lgenden Teilspannungen bzw. Teilkraften: U = U„+ Uc
(4.1)
F = F^+F,
Der Strom bzw. die Geschwindigkeit berechnen sich aus der Kondensatorspannung bzw. der Federkraft:
U,=^]i{T)dT
c,
F,= —1 'r\v{T)dr ^F
0
(4.2)
i{t) = C
, -.
^
dFp
dt
Mit dem Strom bzw. der Geschwindigkeit ergeben sich die Spannung iiber dem Widerstand
62
4 Modellbildung
bzw. die der Geschwindigkeit proportionale Kraft des Dampfungskolbens: U,=Ri{t)
F,=D,v{t) dt
dt
Die Gleichungen (4.3) in (4.1) eingesetzt und entsprechend umgeformt liefert: RC^^
+ Uc=U
D^C,^
dt
+ F,=F
(4.4)
dt
4.1.6.2 Abstraktes System - mathematisches Modell der linearen Systeme Die in (4.4) dargestellten Gleichungen werden mit nachfolgenden Beziehungen wie folgt umgeschrieben. Mit: U = Ku{t)
F = Ku{t)
Uc=y[t)
F,=y{t)
(4.5) (4.6)
und den Zeitkonstanten: T = RC
[^^
= s]
T = D,C,
[^f
= s]
(4.7)
ergibt sich flir die beiden konkreten Systeme, ein und dasselbe abstrakte System in Form einer gewohnlichen linearen Differenzialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten und einer Storfunktion: T ^
+ y{t) = Ku{t)
(4.8)
4.1.6.3 Abstraktes System - Losung der linearen Differenzialgleichung 1. Ord. Die analytische Losung der in Gleichung (4.8) angefflhrten Differenzialgleichung lautet, aufgeteilt in die Anteile aus der freien Bewegung und aus der erzwungenen Bewegung: y{t) = yf{t) + y,{t) -
(4.9)
Freie Bewegung Die Storfimktion, bzw. hier die Steuerfiinktion, wird zunachst null gesetzt, d.h. u{t) = 0: Tyj\t)
+ y^{t) = (i
(4.10)
Mit dem Ansatz flir die freie Bewegung: yj\t) = Ce'" und damit fur die 1. Ableitung:
(4.11)
4.1 Das mathematische Modell j , ( ? ) = pCe'"
63 (4.12)
ergibt sich fur die Gleichung (4.10): T pCe"' +Ce"' =Q
(4.13)
Nach der Division der Gleichung (4.13) mit C ^' folgt fur den Operator/?: P = -\;
(4.14)
Der Wert des Operators aus Gleichung (4.14) in Gleichung (4.11) eingesetzt, liefert die Losung fflr den Anteil der freien Bewegung bis auf die Konstante C: yf{t) = Ce^ -
(4.15)
Erzwungene Bewegung Da die EingangsgroBe u{t) - Storfunktion - eine Zeitfunktion ist, wird die Konstante C in der Losung der freien Bewegung durch eine Zeitfunktion C{t) ersetzt und die entsprechend erganzte Gleichung (4.15) als Ansatz fur die erzwungene Bewegung gewahlt: y,{t) = C{t)i'^
(4.16)
Woraus fiir die 1. Ableitung folgt: y,{t) = C[t)e~^-^C[t)e~^
(4.17)
Die Gleichungen (4.16) und (4.17) in die zu losende Differenzialgleichung (4.8) eingesetzt: _i_
1^
_t_
TC{t)e~^-C{t)e~^+C{t)e~'^ =Ku{t) =>
(4.18)
ergibt die gesuchte Zeitfunktion C{t) durch Integration der unteren Gleichung von (4.18): C{t) = jr\e'u[t)dt
(4.19)
0
Die Gleichung (4.19) in die Gleichung (4.16) eingesetzt, liefert die allgemeine Losung fur die erzwungene Bewegung:
64
4 Modellbildung
4.1.6.4 Gesamtbewegung in allgemeiner Form Die Gesamtbewegung ergibt sich aus der Summe der mit den Gleichungen (4.15) und (4.20) ermittelten Terme flir die Teilbewegungen: y {t) = Ci^+fje'^^''%{T)dT
(4.21)
In der Gleichung (4.21) ist noch die Konstante C zu bestimmen. Da die Gleichimg zu jeder Zeit stimmen muss, wird die Konstante C flir / = 0 aus der Anfangsbedingimg fur>'(0) bestimmt: y{0) = Ce°
^
C = y{0)
(4.22)
Mit der Gleichung (4.22) ergibt sich die Gesamtbewegung in allgemeiner Form: y{t) = y{0)e'^ +f je"^*'"'M(T)t^r
(4.23)
4.1.6.5 Symbolische Losung mit der M-function dsolve Eigenschaft von dsolve: Lost symbolisch lineare und nichtlineare Differenziaigleichungen. Syntax: y = t/TO/ve('Dgl','AB',V) Beschreibung: Dgl: zu iSsende Differenzialgleichung AB: Anfangsbedingung v: unabhangige Variable, "default" ist es die Zeit t Beispiel 4.1 Die mit Gleichung (4.8) gegebene lineare Differenzialgleichung ist symbolisch mit der Mfimction dsolve ftir den Anfangswert ^^(O) = To und der Storfunktion u{t) zu losen. Losung: » y = dsolve('T*Dy + y = K*u(t)','y(0) = YO','t') » pretty(y) IX _zl \ I / Ku(_zl)exp( ) I II T I 11 d_zl + Y0| exp(- t/T) II T I 1/ I \ 0 / Wird in der Losung _z\ = x gesetzt und exp{-tlT) unter das Integral verschoben, stimmt sie mit der Gleichung (4.23), erwartungsgemaB, iiberein.
4.1 Das mathematische Modell
65
4.1.7 Signalflussplan eines abstrakten linearen Systems 1. Ord. Zur numerischen Losung des abstakten Systems einer gewohnlichen linearen Differenzialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten und einer Storfunktion nach Gleichung (4.8) durch Simulation wird die Gleichung (4.8) wie folgt umgeformt und durch ein Signalflussplan dargestellt: dyjt) dt
1
•-y{t)
K
+ Yu{t)mxiy{Q)
(4.24)
= Y,
u(t) y{t)
Integrator
— = ^^cpj
(4.52)
{t)
0
Daraus folgt die im Torsionsstab gespeicherte potentielle Energie: V = — = X2,j) = X 3 , . . . , y " " ' ' =X„
(4.101)
Damit ergibt sich ein System von n Differenzialgleichungen 1. Ordnung:
:
(4.102)
y =x^ Aus der Theorie der Differenzialgleichimg ist bekannt, dass bei Vorgabe dieser Werte an der Stelle / = /o die Losung eindeutig bestimmt ist [Burmeister_6-1984].
4.6.5
ZustandsgroBen
Die Wahl der ZustandsgroBen ist keinesfalls eindeutig, d.h. ein und dasselbe System kann durch verschiedene Satze von ZustandsgroBen beschrieben werden. Dies hangt unter anderem von der bei der theoretischen Prozessanalyse gewahlten Methode ab. So kann z.B. ein mechanisches System mit Hilfe des Prinzips von d'Alembert, des Impulssatzes oder des Erhaltungssatzes der Energie beschrieben werden. Entsprechendes gilt fur elektrische Systeme, je nachdem, ob Stroma, Spannungen oder Ladungen bzw. nur eine Art davon als ZustandsgroBen gewahlt werden. Dies alles liefert aber gewohnlich physikalische ZustandsgroBen. Dagegen ergeben die Phasenvariablen bei Systemen deren Ordnung groBer als zwei ist, ab der dritten Phasenvariablen, mathematische ZustandsgroBen, da sie physikalisch nicht mehr direkt interpretiert werden konnen. Entsprechendes trifft fur die spater noch zu behandelnden Normalformen zu. In der Praxis treten meist keine Differenzialgleichungen hoherer Ordnung auf, sondem vielmehr Systeme von Differenzialgleichungen 1. imd 2. Ordnimg. G. Doetsch" [Doetsch-1989] bemerkt dazu: "Wenn in einem physikalischen System mehrere Zeitfunktionen vorkommen, die mehrere Differentialgleichungen erftillen, in denen Jeweils alle oder einige dieser Funktionen auftreten (simultane Differentialgleichungen), so wird in der Technik hdufigftir eine bestimmte, besonders interessierende von diesen Funktionen durch Elimination eine einzige Differentialgleichung abgeleitet, die im allgemeinen von hoherer Ordnung als die urspriinglichen Gleichungen ist und fur die sich dann die heikle Frage nach den Anfangswerten der hoheren Ableitungen stellt." Die M-functions ode... gehen davon aus, dass fiir die numerische Losung von gewohnlichen Differenzialgleichungen, egal ob linear oder nichtlinear, diese als eine Differenzialgleichung " Doetsch, Gustav Heinrich Adolf *29.n.1892 Koln t9.6.1977 Freiburg i.B., Mathematiker
4.6 Beschreibung im Zustandsraum
85
bzw. als ein Satz von Differenzialgleichungen erster Ordnung vorliegen, die allgemein wie folgt angegeben werden konnen.
4.6.6
Systemgleichungen nichtlinearer dynamischer Systeme
Die mittels der Theoretischen Prozessanalyse gefundenen Systemgleichungen - Differenzialund Koppel-Gleichungen - sind gewohnlich nichtlinear. Das nichtlineare Verhalten resultiert aus Termen dieser Gleichungen, die aus nichtlinearen Verknilpflingen der Systemvariablen, also der Eingangs- und ZustandsgroBen, bestehen. Diese Terme werden als dynamische Nichtlinearitaten bezeichnet. Weiterhin liegt ein nichtlineares System vor, wenn es mindestens ein Ubertragungsglied mit einer nichtlinear statischen Kennlinie enthalt. 4.6.6.1 Nichtlinear zeitvariables System Tritt in den Systemgleichungen die Zeit explizit auf, bzw. unterliegen die Systemkoeffizienten zeitlichen Anderungen, so handelt es sich um ein nichtlinear zeitvariantes System. Es besteht aus nichtlinearen Funktionen, die Satze nichtlinearer Differenzial- und nichtlinearer Ausgangsgleichungen sowie die Zeit enthalten: ^ -^ ^ ' y{t) = g{x,\\,z,t)
(4.103)
4.6.6.2 Nichtlinear zeitinvariantes Systems Bei nichtlinear zeitinvarianten Systemen fehlt in den Funktionen der Differenzial- und Ausgangsgleichungen die Zeit: x(/) = f(x,u,z) \ \ y(?) = g(x,u,z)
(4.104)
Das durch die Gleichungen (4.104) beschriebene nichtlineare zeitinvariante System lasst sich in Anlehnung an [Scheel-1968], wie im Bild 4.7 gezeigt, darstellen. Kemstiicke dieses Modells zur Nachbildung eines nichtlinearen zeitinvarianten Systems sind neben dem Block zur Integration der nichtlinearen Zustands-Differenzialgleichungen die Matrizen, der Koppelvektor k(/), der nichtlineare Funktionsbildner sowie der Nichtlinearitatenvektor v(0. Aus dem Vektor-Matrix-Signalflussplan im Bild 4.7 ergeben sich nachfolgende Gleichimgen. Die Vektor-Matrix-Differenzialgleichung: x(/) = A„x(?) + B„u(0 + B,„z(?) + B,,v(?)
x(? = 0) = X„
(4.105)
86
4 Modellbildung
Bild 4.7 Vektor-Matrix-Signalflussplan eines nichtlinearen MehrgroBensystems, aufgespalten in einen linearen und einen nichtlinearen Anteil Die Vektor-Matrix-Ausgangsgleichung: y(?) = C„x(?) + D„u(/) + D,„z(?) + C „ v ( 0
(4.106)
Der Nichtlinearitatenvektor v(/): Der in den Gleichungen (4.105) und (4.106) auftretende Nichtlinearitatenvektor v(0 besteht aus Funktionen, die durch nichtlineare Verkniipfungen der Zustands-, Steuer- und StorgroBen, gebildet sind. Die fur die nichtlinearen Fimktionen benotigten: die Zustande X/(t) werden mit Hilfe der x-Koppelmatrix Kx imd des Zustandsvektors x(/) in dem Teilvektor: k.(0 = K.x(/)
(4.107)
die SteuergroBen Uj{t) werden mit Hilfe der M-Koppelmatrix K„ und des Steuervektors u(f) im Teilvektor:
4.7 Linearisierung nichtlinearer zeitinvarianter Systeme
k„(/) = K„u(0
87 (4.108)
die StorgroBen ZiJ^i) werden mit Hilfe der z-Koppelmatrix K^ imd des Storvektors z(?) in dem Teilvektor:
abgebildet und zum Koppelvektor k(?) wie folgt zusammengefasst:
k(0 = [k,(?)|k„(/)|k,(0]'
(4.109)
Der Koppelvektor k(/) wird dann dem im Kapitel 3.7 beschriebenen Embedded MATLAB Function-Block zum Bilden der einzelnen Nichtlinearitaten, die im Nichtlinearitatenvektor v(/) zusammengefasst sind, iibergeben: V = V[K,X(?),K„U{0,K,Z(?)]
4.7
(4.110)
Linearisierung nichtlinearer zeitinvarianter Systeme
4.7.1 Ableitung der Matrizen des linearisierten Systems Die oben beschriebenen nichtlinearen Systemgleichungen konnen vielfach um einen stationaren Punkt - Arbeitspunkt mit genugender Genauigkeit linearisiert werden, wodurch die umfangreichen Methoden der linearen Theorie auch auf diese Systeme angewendet werden konnen. Voraussetzung fur die Giiltigkeit der Linearisierung nichtlinearer Systeme um einen stationaren Punkt ist, dass im untersuchten dynamischen Vorgang die Abweichungen der Variablen von den stationaren Werten stets hinreichend klein sind.
S*^
Bild 4.8 Linearisierung einer nichtlinearen Kennlinie um einen Arbeitspunkt Diese Forderung durfte bei automatisierten Systemen durch das Grundprinzip der Regelungstechnik "Kleine Abweichungen vom Arbeitspunkt sindzugelassenV erfullt sein. Die nichtlineare Vektorfunktion f der Vektor-Matrix-Differenzialgleichung (4.103) lasst sich fur einen Arbeitspunkt: AP = ^ P ( x ^ ^ = X , u ^ ^ = U , z ,
(4.111)
4 Modellbildung wie folgt schreiben: (4.112) = f [ X + Ax(?),U + A u ( ? ) , Z + Az(?)] Die Vektoren Ax(/), Au(/) und Az(?) beinhalten die zeitlichen Abweichungen der Zustands-, Steuer- und StorgroBen vom Arbeitspunkt (X, U, Z). Da es sich hierbei um Abweichungsvariable handelt, werden sie mit dem A-Vorsatz versehen, worauf spater, im Sinne der besseren Schreibweise, so auch unter MATLAB, verzichtet wird. Entsprechend kann fur die nichtlineare Vektorfunktion g die Vektor-Matrix-Ausgabegleichung (4.103) geschrieben werden: y{t) =
g[x{t),u{t),z{t)]
(4.113)
= g[X + Ax(?),U + Au(?),Z + Az(?)]
4.7.2
Die nichtlineare Vektorfunktion f der Differenzialgleichung
Unter der Voraussetzung, dass die Vektorfunktion f stetig differenzierbar ist, kann Gleichung (4.112), wie folgt, in einer nach dem linearen Glied abgebrochenen, nach Taylor'* benannten, Reihe entwickelt werden, siehe auch Gregory": x(/)*f(X,U,Z) +
Ax(?)-
df_
Au(?)-
df_ Az{t) "dz
(4.114)
Der Abbruch nach dem linearen Glied, d.h. die Vernachlassigung der Terme hoherer Ordnung, ist gerechtfertigt, da von genugend kleinen Abweichungen vom Arbeitspunkt ausgegangen werden kann. Die drei letzten Terme der Gleichung (4.114) entsprechen der zeitlichen Anderung der Abweichung des Zustandsvektors vom Arbeitspunkt:
Ax(0 = — Ax(t) + — ^'
dx
,
Au(t) + — ^ ' dz
Az{t)
(4.115)
Diesen Vorgang auf die Gleichung (4.105) angewendet, liefert: x(?)~f(X,U,Z) + A + B . r
B+B
9v
dv_ dx
Ax{t)
(5v Au(?)+ B,„+B 'dz
(4.116) Az{t)
Die letzten drei Terme der Gleichung (4.116) entsprechen der Gleichung (4.115). Die partiellen Ableitungen der nichtlinearen Vektorfunktion v, mit ihren / nichtlinearen Funktionen, nach den Vektoren der Zustands-, Steuer- und StorgroBen addiert mit den bereits vorhandenen Matrizen, ergeben die Systemmatrix A, die Steuermatrix B und die Stormatrix B^. Die Matrizen Ap, Bp ' Taylor, Brook *18.8.1685 Edmonton, England t29.12.1731 London, Mathematiker ' Gregory, James *11.1638 Drumoak, Schottland fl0.1675 Edinburgh, Mathematiker, ihm war nach [Lexikon-NW-2000] die nach Taylor benannte Reihe schon bekannt.
4.7 Linearisierung nichtlinearer zeitinvarianter Systeme
89
und B^n weisen eine groBe Anzahl von Nullelementen auf.
4.7.3 Die nichtlineare Vektorfunktion g der Ausgangsgleichung Bei der nichtlinearen Vektorfunktion g der Ausgangsgleichung ist die Vorgehensweise zur Linearisierung, wie flir die nichtlineare Vektorfunktion f der Differenzialgleichung beschrieben. Somit ergibt sich flir die Gleichung (4.113):
y(0-g(X,U,Z) + ^
Ax{t) + ^
U\
in
Cll
,
Au(03 ^'
dz
Az{t)
(4.117)
und damit fur die Gleichung (4.106): y(/)-g(X,U,Z) +
c +c^ n
/
D +C
Sv
V
\ AP J
4.7.4
Ax(^)
^ OX AP
(4.118)
f Au(/) + D + C \
5v
Az(?)
Systemmatrix A
Die Systemmatrix A ist eine Jacobi-°-Matrix, welche aus den n ZustandsgroBen und / Nichtlinearitaten auf der Grundlage von Gleichung (4.116) mit Hilfe der nichtlinearen EingangsMatrix Bv gebildet wird: A = A +B
9v
ra-, *vll
Ko
• ••
Ki
*v21
*v22
• ••
K21
Knl
K2
• ••
dxi
avi dx.
5V|
dx„
dv2
^n2\
a ,
^n22
a
C/i 1
U] -
t/')i
Ct'i-
b,nl_
5t7
A=
' Jacobi, Carl Gustav Jacob *10.12.1801 Potsdam tl8.2.1851 Berlin, Mathematiker
dv,
dv,
8x2
dx„
(4.119)
90
4 Modellbildung
4.7.5 Steuermatrix B Die Steuermatrix B wird entsprechend Gleichung (4.119) aus den m SteuergrSBen und / Nichtlinearitaten auf der Gmndlage von Gleicliung (4.116) mit Hilfe der nichtlinearen Eingangsmatrix Bv gebildet: B
=
=
+ B ^ on AP
Kn
Kn
••
^n2\
"n22
_"mil
"nn2
4.7.6
^nlm
nnm _
bu
•••
hm
K
•••
b^n,
A. -
n\m
+
'Kn
b,l2
*v21
^v22
K\
b,n2
du,„
(4.120) dv, du,„
i nm _
Stormatrix Bz
Die Stormatrix wird entsprechend Gleichung (4.120) aus den k StorgroBen und / Nichtlinearitaten auf der Grundlage von Gleichung (4.116) mit Hilfe der nichtlinearen Eingangsmatrix By gebildet: 5v dz
B, = B , +B
B,
B,
"znll
"znl2
bzn2\
b^„22
znn\
znn2
Ku~ ft,,,,
b^.
KnX K„2
Kn
• ••
*zlt
bz2i
• ••
^z2*
*z«l
• ••
*z«t_
b,2,
K„i_
ft', dz,
ft, "I az,
a..
dv2
dz,
•ST
ft) dz.
ft, Szk \
(4.121)
4.7.7 Ausgangsmatrix C Die Ausgangsmatrix wird auf der Grundlage der Gleichung (4.118) flir die r AusgangsgroBen aus den n ZustandsgroBen und / Nichtlinearitaten mit Hilfe der nichtlinearen Ausgangsmatrix
4.7 Linearisierung nichtlinearer zeitinvarianter Systeme
91
Cv wie folgt gebildet: C = C +C — OX
-«U
'^n\2
C = c ,
^11
Cj.1
c
^vr\
^vrl
c,„.,
5v,
avi
d\\
dx\
dxj
dx„
dvj
dv2
dvj
dx\
dxj
"^
dv,
d\'i
dv,
dx\
dxj
dx„
(4.122)
A'
C^
4.7.8 Durchgangsmatrix D der SteuergroBe Entsprechend Gleichung (4.122) wird die Durchgangsmatrix D der SteuergroBe aus den m EingangsgroBen und / Nichtlinearitaten mit Hilfe der nichtlinearen Ausgangsmatrix Cv auf der Grundlage der Gleichung (4.118) fur die r AusgangsgroBen gebildet: D = D„ +
d„u
du
AP
"nl2
"n\m
D=
+ '^m\
'(0 [A -
+ 2lm^s{t)g){t)cosq){t)
(5-11)
Gesamte kinetische Energie T{t) = Tr{t) + T,{t)
(5.12)
98 -
5 Systeme und ihre mathematischen Modelle Mit dem Satz von Steiner' - Huygens^ - ergibt sich das auf den Drehpunkt des Stabes bezogene Massentragheitsmoment: J,^^=J^+l'm,
[kgm'~\
(5.13)
und damit die gesamte kinetische Energie: r(?) = ^r(w, +m^)s^{t) + 2lm^s{t)(p{t)cos(p{t)
+ J-,^(p^{t)]
(5.14)
5.1.2.3 Potentielle Energie V =0
(5.15)
5.1.2.4 Dissipation der Energie D{t) = D^^[410_
(5.37)
VsW
v.(0 _v,o (0_
Die in der Gleichung (5.37) enthaltenen Nichtlinearitaten und die dazugehorenden Koeffizienten, haben folgenden Aufbau: v,(?) = sin(2^)ft)-(?)#(?) V2{t) = co^{(p)v{t)N{t)
Ki\ =-0,5(/w2) h^22 =dlm2 k-23 =-Sm
V4(?) = sin((p)#(?)
^24= 8N I mm2 K25 =-lm2
v , ( 0 = sin(9.)«^ (?)#(?)
^46=-^2jfn2
v^{t) = zo%{(p)co{t)N {{)
b^„ = 811712
V8(/) = sin (2 )#(/)
*v48 = - 0 , 5 g ^ ( / »
^v410 ~
(5.38)
''2„
mit dem Nenner: N{t) =
(5.39) J2^ m-\lm2
cos(^)]
102
5 Systeme und ihre mathematischen Modelle
Die Vektor-Matrix-Ausgangsgleichung hat folgenden Aufbau:
cp°{t)
L^oJ
cp{t) 180/;r 0 0 0 co{t) 0 0 1 0_ s{t)
(5.40)
v(0
Die Embedded-MATLAB-Function, einschlieBlich Signalflussplan und die Zeitantworten der freien Bewegung des Systems Stab-Wagen ftir den Winkel und den Weg, konnen dem Kapitel 3.7, Beispiel 3.7, entnommen werden.
5.1.4
System Stab-Wagen - linearisiertes Modell
Die lineare Regelungstheorie setzt voraus, dass die betrachteten Systeme linear sind und damit auch ihre Modelle bzw. bei nichtlinearen Systemen, die Modelle in linearisierter Form vorliegen. Aus diesem Grund soil das nichtlineare mathematische Modell des Systems Stab-Wagen linearisiert werden. Grundlage sind die Gleichungen (5.37) bis (5.40) und die Betrachtungen im Kapitel 4.7. Siehe auch die in Kapitel 8.7.4 behandelte M-function linmod und dazu das Beispiel 8.26. 5.1.4.1 Linearitatsbereich Der Linearitatsbereich fiir den Winkel (p{t) wird wie folgt vereinbart: 18
^ '
-10°^ dt dt
dq)^ dt (5.56)
v{t) = r„ft)„(?) = r,ffl,{t) = rift),(t) = r^ co^ (?) Fiir den Zusammenhang zwischen der Winkelgeschwindigkeit des Ankers, die der Winkelgeschwindigkeit der Scheibe entspricht, und der Geschwindigkeit eines Seilpunktes gilt somit folgende Beziehung:
uo=>w
ft),
(5.57)
5.2 Antrieb - Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motor
107
5.2.1.3 Im Motor induzierte Spannung Fiir die Kopplung zwischen der elektrischen und mechanischen Seite gilt unter Beachtung von Gleichung (5.57) mit der elektrischen Motorkonstante ke[Vs]: e^[t) = k^a„{t) = ^v{t)
(5.58)
5.2.1.4 Differenzialgleichung fiir den Ankerstrom Aus den Gleichungen (5.54) und (5.58) folgt die lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten fur den Ankerstrom:
^'
5.2.2
^"
^"''
^"
(5.59)
Grundgleichungen - mechanische Seite
5.2.2.1 Mechanisch-elektrische Kopplung des Motors Die Grundgleichungen der mechanischen Seite beschreiben das vom Motor abgegebene Moment als die Differenz zwischen dem elektrisch erzeugten und dem Dampfiingsmoment. Mit Gleichung (5.55) folgt: M{t) = K h {t)-k, «„ (?) = k„ /„ {t)-^v{t)
(5.60)
Mit der mechanischen Motorkonstante k„ [N m ^''] imd der geschwindigkeitsproportionalen Dampfungskonstante kd [N m s]. In der Dampfungskonstante sind alle Dampfungsverluste die im Motor auftreten, wie z.B. Eisenverluste, Reibung, Luftverwirbelung, enthalten. 5.2.2.2 Beschleunigungsmoment Das Beschleunigungsmoment ist die Summe der Momente, die zur Beschleunigung aller beweglichen Massenteile, wie Anker, Seilscheibe und UmlenkroUen, vom Motor aufgebracht werdenmuss: MAt) = J,„—- + J,—- + J,—- + J2—(5.61) "^ ' '" dt ' dt ' dt ' dt Mit den Massentragheitsmomenten J, [Nm s^ = kg m^] der bewegten Telle. Unter der Annahme, dass die beiden UmlenkroUen gleich sind und mit den Zwangsbedingungen nach Gleichung (5.55) ergibt sich das Beschleunigungsmoment des Motors zu:
MM-
J^+J^2jAdv{t) - . ^ 1 ^
(5.62)
108
5 Systeme und ihre mathematischen Modelle
5.2.2.3 Lastmoment Das Lastmoment entsteht durch die an der Seilscheibe angreifende Seilkraft F(t): M,{t) = r,F{t)
(5.63)
5.2.2.4 Gesamtmoment des Motors Das Gesamtmoment ist die Summe aus Beschleunigungsmoment und Lastmoment, entsprechend Gleichung (5.62) imd (5.63):
M[t)
(5.64)
—[i K +-^, +2'-,. •^.]-^+': ^ 0 r.r,
-'at
5.2.2.5 Differenzialgleichung fiir die Geschwindigkeit eines Seilpunktes Mit der nacli der Besclileunigung eines Seilpunktes umgestellten Gleichung (5.64) und der Gleichung (5.60) fur das Motormoment ergibt sich die gesuchte lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten fur die Geschwindigkeit eines Seilpimktes: dv[t) dt dv{t)
• K,Kr,nia
{t)-kakjf,v{t)-k,r^r^F{t) (5.65)
aania{t)
dt
+ aa22v{t)
+
b^^,F{t)
mit: r, ( J , „ + j J + 2r,J|
(5.66)
kgm
5.2.3 Zustandsbeschreibung des Antriebs Das Modell des Antriebs wird aus den Gleichungen (5.59) und (5.65) gebildet. Der Ankerstrom ijj) und die Geschwindigkeit v{t) eines Seilpunktes sind dabei die ZustandsgroBen Xa{t). Die Ankerspannung Uaif) ist die steuerbare EingangsgroBe Ua{t) und die Seilkraft F{t) wirkt als StorgroBe Za{t). 5.2.3.1
Vektor-Matrix-Differenzialgleichung d_ dt v[t)
.11
^an
al\
aaii_
raoi +
'*«ii'
\ym [ 0 J
w, ( 0+
0
k.2ij
F{t)
(5.67)
5.2.3.2 Vektor-Matrix-Ausgangsgleichung Als AusgangsgroBen interessieren die beiden ZustandsgroBen, die Drehzahl des Motors und das vom Motor abgegebene Moment. Die Drehzahl ergibt sich aus:
5.2 Antrieb - Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motor
v(t) = — ^
30
W
nr^.
V(0 = '^»32V(0
109 (5.68)
[M
und das Motormoment aus der Gleichung (5.60) mit: (5.69) Mit den Gleichungen (5.68) und (5.69) folgt die Vektor-Matrix-Ausgangsgleichung zu: 1 v{t) n{t)
0 0
M{t)
^a4l
0 " 1 ^-032
UM
L-wJ
(5.70)
'^cA2 _
Der Aufbau der Koeffizienten und die Werte der Konstanten konnen der function antrieb.m, Abschnitt 5.2.4.7, entnommen werden. 5.2.3.3 Signalflussplan des Antriebs Mit den Gleichungen (5.67) und (5.70) ergibt sich der Signalflussplan des Antriebs:
•CD ia(t)
Bild 5.5 Signalflussplan des Antriebs 5.2.3.4 Eigenwerte des Antriebs Der Antrieb - Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motor mit Seilscheibe und Umlenkrollen - wird durch zwei ZustandsgroBen beschrieben, d.h. er ist ein System 2. Ordnung und hat zwei Eigenwerte, die mit den M-functions eig berechnet und mit esort der GroBe nach geordnet ausgegeben werden: » Poa = esort(eig(Aa))
110
5 Systeme und ihre mathematischen Modelle Poa = -713.52 -21425.45
Die Eigenwerte entsprechen den Polen, d.h. den Losungen des Nennerpolynoms der Ubertragungsfunktion, sie bestimmen maBgeblich das dynamische Verhalten des Systems. Die Betrage der Kehrwerte der Pole sind die Zeitkonstanten des Systems.
5.2.4
Vereinfachtes Modell des Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motors
5.2.4.1 Mechanische und elektrische Zeitkonstante Der Betrag des Kehrwerts des betragsmaBig kleineren Pols entspricht der mechanischen Zeitkonstante: ^
0,0014s
(5.71)
Ki^) Sie bestimmt maBgeblich das dynamische Verhalten des Systems, denn sie betragt das 30fache der elektrischen Motorzeitkonstante: T, = -.—^-—j = 4,6673e-005s
(5.72)
die der ZustandsgroBe Ankerstrom 4(/) zuzuordnen ist. Die wesentlich kurzere Zeit ergibt sich aus der gegenuber den anderen, die Motordynamik bestimmenden Konstanten, um GroBenordnungen kleineren Ankerinduktivitat: Z„ = 45,7 MH = 0,0000457^ Die in Henry' gemessene Ankerinduktivitat tritt in den Nennem der drei Koeffizienten der Gleichung (5.59) fur die zeitliche Anderung des Ankerstromes auf, so dass diese sehr groB werden, was u.a. zu dem so weit links liegenden Pol fuhrt. Es handelt sich hier um ein steifes Differenzialgleichungs-System, wie in Kapitel 4.1.9 beschrieben. 5.2.4.2 Grundgleichungen - elektrische Seite Wird fur die weitere Rechnung die Differenzialgleichung (5.59) des Ankerstromes mit La multipliziert und anschlieBend die Ankerinduktivitat La = 0 gesetzt, so geht die Differenzialgleichung in die folgende algebraische Gleichimg tlber:
4(0 = - ^ v ( 0 + ^ « „ ( 0 Damit ergeben sich nachfolgend aufgefuhrte vereinfachte Grundgleichungen.
Henry, Joseph *17.12,1797 Albany (USA) tl8.5.1878 Washington, Uhmiacher, Mathematiker, Physiker
(5.73)
5.2 Antrieb - Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motor
111
5.2.4.3 Differenzialgleichung des reduzierten Antriebsmodells Wird in die Differenzialgleichung (5.65), sie folgt aus der mechanischen Gmndgleichung fiir die Geschwindigkeit eines Seilpunktes, die algebraische Gleichung (5.73) fur den Ankerstrom eingesetzt, so ergibt sich: dv(t) -
^
,, = aruV{t)
,, + brU«a{t)
,, + br.nF{t)
(5.14)
Nachdem die zeitliche Anderung des Ankerstroms vemachlassigt wurde, wird das dynamische Verhalten des Antriebs - Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motor mit Seilscheibe - nur noch durch das gegeniiber dem elektrischen Teilsystem wesentlich tragere und damit dominierendere mechanische Teilsystem beschrieben. Die Koeffizienten, sie wurden mit der function antrieb.m berechnet, weisen folgende Werte auf
K„
(5.75)
*.n = ^ ' V ' ' ^ ' = 22,55^
Z),,„ = -k, r, r^ = -10,10^
5.2.4.4 Eigenwert des reduzierten Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motors » Por = eig(Ar) Por = -702.8577 Der Eigenwert ist geringfugig, d.h. um 1,49 %, gegentiber dem dominierenden Eigenwert von -713.52 des nicht reduzierten Modells in Richtung Stabilitatsgrenze verschoben. Die Reduzierung ist somit vollig berechtigt. 5.2.4.5 Reduzieren der Modellordnung mit den M-functions modred und ssdelete Das bereits abgeleitete Ergebnis der Reduzierung der Modellordnung des Antriebs um die erste ZustandsgroBe soil mit der M-fUnction modred nachvollzogen werden. Eigenschaft von modred: Reduziert die Ordnung eines Zustandsmodells. Syntax: [Ar,Br,Cr,Dr] = modred(A,B,C,D,elim) Beschreibung: Reduziert die Ordnung eines Zustandsmodells durch die Eliminierung der im Vektor elim durch ihre Indizes vorgegebenen Zustande unter Berilcksichtigung der urspriinglichen Zusammenhange zwischen den Zustanden sowie den Relationen zwischen Ein- und Ausgang. siehe Gleichung5_74.m
112
5 Systeme und ihre mathematischen Modelle
Durch die Elimination des Ankerstroms ijj) als ZustandsgroBe, aber Beibehalten des Ankerstroms und des von ihm abhangigen Motormoments als AusgangsgroBen sind die betreffenden Elemente der Durchgangsmatrix verschieden von null. Es handelt sich folglich um ein sprungfahiges System. Ein Vergleich der Simulationsergebnisse beider Modelle ergibt nur wahrend des Starts geringfiigige Abweichungen, die aus dem sprungfahigen Verhalten des Ankerstromes bei dem reduzierten Modell herriihren. Auf eine graphische Darstellung wird verzichtet. Die Werte der Koeffizienten der Matrizen A^ und B^ stimmen mit den Werten der Gleichung (5.75) iiberein. Da im Weiteren nur die Geschwindigkeit als AusgangsgroBe interessiert, ist von der VektorMatrix-Ausgangsgleichimg (5.70) nur die zweite Zeile zu iibemehmen. Fiir die Elimination der iiberflilssigen AusgangsgroBen wird die M-function ssdelete verwendet. Eigenschaft von ssdelete: Loscht Eingangs-, Ausgangs- und ZustandsgroBen eines Zustandsmodells. Syntax: [Ard,Brd,Crd,Drd] = ssdelete(A,B,C,D,ein,aus,zust) Beschreibung: Die zu loschenden GroBen sind in ein, aus bzw. zust festzulegen. EingangsgroBen sind nicht zu streichen, somit ist fur ein eine Leermatrix [ ] zu setzen. Von den AusgangsgroBen sind die 1., 3. und 4. zu streichen, d.h. es ist aus = [1 3 4] zu setzen: siehe Gleichung5_74.m Es ergibt sich das erwartete Ergebnis. 5.2.4.6 Signalflussplan des reduzierten Modells
Bild 5.6 Das reduzierte Modell des Antriebs - GSL-Motor mit Seilrolle und UmlenkroUen 5.2.4.7 Funktion zur Berechnung der Modellgleichungen siehe function antrieb.m
5.3 Inverses Pendel
5.3
113
Inverses Pendel
Das Inverse Pendel ist durch seine charakteristischen Systemeigenschaften ein in der Literatur haufig anzutreffendes Beispiel. Die Vereinigung der Modelle des Systems Stab-Wagen und des Antriebs bilden das Model! Inverses Pendel mit der Kraft F{t) als KoppelgroBe.
5.3.1 Die Seilkraft als KoppelgroBe zwischen den Teilsystemen Die im System Stab-Wagen auftretende Geschwindigkeit v{t) entspricht im reduzierten Modell des Antriebs der Geschwindigkeit eines Seilpunktes. SteuergroBe des Systems Inverses Pendel ist die Ankerspannung des Motors Ua{t). Ein Zusammenhang zwischen der Seilkraft, der Geschwindigkeit und der Ankerspannung des reduzierten Antriebs-Modells besteht ilber die Differenzialgleichung (5.74). Fur die Seilkraft ergibt sich durch Umformen von (5.74): F{t)-.
1
dv[t)
' ,,
dt
1
CD y(t)
Bild 5.8 Signalflussplan des Inversen Pendels
5.4
Modellregelkreis
Der nachfolgend beschriebene, vereinfachte elektrische Modellregelkreis soil den Zusammenhang zwischen der durch einen Laststrom gestorten Regelstrecke, der Einrichtung zum Bilden des Regelfehlers - Soll-lstwert-Vergleich, dem Regler und dem Stellglied veranschaulichen. Die Regelstrecke wird durch ein elektrisches Netzwerk - RLC-Schaltxing mit vorgeschaltetem RC-Glied - 3. Ordnung beschrieben. StorgroBe ist ein Laststrom. Der Istwert der zu regelnden Ausgangs-Spannung Uc{t) = y(,t) wird dem als Subtrahierer aufgebauten nichtinvertierenden Operationsverstarker neben der Sollspannung Ugoiiit) = w{t) zum Zwecke des SoU-IstwertVergleichs imd dem Bilden des Regelfehlers zugefflhrt. tran 0 500m 0 1 u
Bild 5.9 Vereinfachtes Schaltbild des Modellregelkreises Der Regler besteht aus einer Schaltung von zwei nichtinvertierenden Operationsverstarkem. Mit den Parametem des ersten Operationsverstarkers wird die Reglerverstarkung und mit den
5.4 Modellregelkreis
117
Parametem des zweiten wird die Nachstellzeit eingestellt. Der zweite Operationsverstarker ist iiber ein RC-Glied rilckgekoppelt. Die Gesamtschaltung der zwei Operationsverstarker mit ihren Bauteilen, d.h. der Regler, weist /'/-Verhalten auf. Als Stellglied wird ein aus zwei Transistorstufen bestehender Leistungsverstarker - Darlington-Sclialtung - verwendet. Besonders von Bedeutung ist der als StorgroBe z{t) wirkende Laststrom 4(0- Ausgehend von dem vereinfachten Schaltbiid werden die einzelnen Bauteile im Hinblick auf die Beschreibung ihres dynamisclien Verhaltens untersucht.
5.4.1
Die Regelstrecke
Bild 5.10 Netzwerk der Regelstrecke 5.4.1.1 Die SystemgrolJen Das Netzwerk in Bild 5.10 besteht aus den drei Energiespeichem Ci, C2 und L. Die Kondensatorspannungen sowie der Spulenstrom werden als die drei ZustandsgroBen gewahlt:
^i(0 = "r, (0 Xj ( ? ) = M,.^ ( ? )
(5.83)
X3 ( ? ) = /j ( ? )
Die EingangsgroBen sind die Spannung Us,{t) nach dem Leistungsverstarker - Q3/Q2 - und der Laststrom iXt):
«i (0 ="«(0
(5.84)
«2 (0 = h (0 Als AusgangsgroBen werden die Kondensatorspannung iiber C2 und der Gesamtstrom ii(t) gewahlt: (5.85) y, (?) = ?, (?)
118
5 Systeme und ihre mathematischen Modelle
5.4.1.2 Die Zustandsgleichungen Fiir den Gesamtstrom ii{t) ergibt sich mit der ZustandsgroBe xj{t) = 12(1) und dem Strom durch den Kondensator Ci, beschrieben durch die Ableitung der ersten ZustandsgroBe: 4. {t) = C, M,. {t) = CiXi (t)
(5.86)
folgende Beziehung:
h (0 = 'c, {t) + h (0 = ^1^1 (0 + ^3 (0
(5-87)
Fiir die Spannung, die ilber dem Widerstand Ri abfallt, folgt:
««, (0="st{0-"c, (0 RJj{t) = u{t)-Xi{t)
(5.88)
= C,i?,x, (/) + 7?,X3(?) Aus der Gleichung (5.88) ergibt sicii durcli Umstellen die Differenzialgleichung fiir die erste ZustandsgroBe:
Fiir den Strom 12(1) gilt unter Beachtung, dass er als dritte Zustandsgr5Be festgelegt und die Summe aus dem Strom durch den Kondensator C2 und dem Laststrom 4(?) ist: h (t) = -^3 ( 0 = ^2^2 ( 0 + "2 ( 0
(5.90)
Aus der Gleichung (5.90) folgt die Differenzialgleichung fur die Spannung uber dem Kondensator C2 als zweite ZustandsgroBe: ^2(0 = - ^ ^ 3 ( 0 - ^ " 2 ( 0
(5-91)
Die Spannung iiber der Spule: , , dL (t) u(t) = L-^^-^ '^ ' dt = u^^{t)-u^^{t)-u^^{t)
(5.92)
liefert die Differenzialgleichung fiir die dritte ZustandsgroBe:
^3(0 = 7^1(0-7^2(0-^^3(0
(5-93)
5.4 Modellregelkreis
119
5.4.1.3 Die Ausgangsgleichungen Als AusgangsgroBen wurden die Spannung uber dem Kondensator C2 und der Gesamtstrom ii(t) ausgewahlt. Die Spannung uber dem Kondensator C2 entspricht der zweiten ZustandsgroBe. Der Gesamtstrom ergibt sich aus den Gleichungen (5.87) und (5.89): (5.94)
h{t) = - — x,{t) +—"t{t) R, R,
5.4.1.4 Das mathematische Modell im Zustandsraum Die Vektor-Matrix-Differenzialgleichimg folgt aus den Gleichungen (5.89), (5.91) und (5.93): 1
X, ( / ) "
^2(0 = X3{t)_
-i i -f
0
0
0
1 L
1 L
1
0 "
"x,(0" QR, ^2(0 + 0 _x,{t)_ 0
1
c. 0
"2 (0.
(5.95)
X, (?) = AgXg (?) + B ^ u , (?)
Mit der Gleichung (5.94) wird die Vektor-Matrix-Ausgangsgleichung gebildet: 1 0
"x,(?)"
0 0 ^2(0
.72(0.
_X3 ( ? ) _
0 0
M,(?)
i- 0
M2 ( ? )
(5.96)
5.4.1.5 Ausgangsgleichung und Matrixubertragungsfunktion Im Kapitel 6 wird gezeigt werden, dass zwischen der Beschreibung eines Systems durch ein Zustandsmodell - Zeitbereich - und durch eine Ubertragungsfunktion - Frequenzbereich folgender Zusammenhang gilt: Y(s) = r c ( 5 l - A ) " ' B + D l u ( 5 )
(5.97)
Da die EingangsgroBen und die AusgangsgroBen in Form von Vektoren vorliegen konnen, wie es auch in dem hier behandelten Beispiel der Fall ist, ergibt sich aus der Gleichung (5.97) die Matrixiibertragungsfunktion: (5.98) Mit den Gleichungen (5.95) und (5.96) in allgemeiner Form:
a„
0
«13
"x, (?)"
^2(0 = 0
0
'^23
^2(0
X, ( / ) "
X3(?)_
_«31
«32
« 3 3 _ _X3(?)_
0
'bu + 0
*22
0
0
M, ( ? )
"2 (0.
(5.99)
120
5 Systeme und ihre mathematischen Modelle
0 Cj,
x,(/)'
1 0 0
0 0 d-,, 0
^2(0
0
«i(0 "2(0
X3 ( ? )
(5.100)
folgt die Losung mit der Symbolic Math Toolbox ftir den gemeinsamen Nenner: (5.101) mit:
•*o
c,«,c,i
5.4.1.6 AusgangsgroBe Kondensatorspannung iiber C2 Filr die Kondensatorspannung yi(t) = Uait) tiber Ci ergibt sich unter Anwendimg der Gleichung (5.97) auf die Gleichungen (5.99) und (5.100) folgende Ausgangsgleichung als Funktion der Steuerspannung und des Laststroms: Y,{s)^U,^{s)
1
= K,
YA^) =
uAs)-
Ns{s)
Ns{^)
bj^s +b,,s + b,
Nsi'^)
M^) (5.102)
4(^)
mit: K..
1 t',«,C2i '
• ^^23 "^31 ''1 I
1 o
^^22
,a
bu ={an+aAt>2:
('^11'^33
'^i 3'^31 j "2;
C|/(|C2i
Die Ausgangsgleichung (5.102) liefert die zwei Ubertragungsflinktionen 3. Ordnung: Kondensatorspannung uciit) in Abhangigkeit von der Eingangsspannung MS,(0 und Kondensatorspannung uciit) in Abhangigkeit vom Laststrom 4(0- Durch den Laststrom ergibt sich fur die zweite libertragungsfunktion noch ein Zahlerpolynom 2. Ordnung, d.h. ein Vorhaltverhalten. Sie ist negativ, da der Laststrom versucht, die Eingangsspannung zu verringern.
rv^ K-LJ
^
IZ(S)
bL2.s2+bLl.s+bL0 | s3+a2.s2+al.s+a0 | Storung
r~r^ LJ_J Ust(s)
KS w
1
s3+a2.s2+al.s+a0 |
^(^ >
—KT3 UC2(S) = Y1(S)
Regelstrecke Bild 5.11 Signalflussplan der Regelstrecke, AusgangsgroBe Kondensatorspannung uber C2
5.4 Modellregelkreis
121
5.4.1.7 AusgangsgroBe Gesamtstrom der Regelstrecke Fiir den Gesamtstrom der Regelstrecke >'2(0 = hiO ergibt sich unter Anwendung der Gleichung (5.97) auf die Gleichungen (5.99) und (5.100) folgende Ausgangsgleichung als Funktion der Steuersparmimg und des Laststroms: 7, (.) = / , ( . ) :
b^.s^ -\-bj2S^
+bi^s-\-b,^
uM-
K,. Ns{s)
L{s)
(5.103)
mit: '^SI ~ '^U^^l'^ll'^lX
^/3 ~ ^21
~ QRC^L
*/2=*llC21-(a„+«33)^21 = - ^
*/0=«23«32(an^21-*llC2l) = 0
Auch diese Ubertragungsfunktionen sind von 3. Ordnung, deren Nenner iibereinstimmen. Der Zahler der Ubertragungsfunktionen Strom zu Spannung hat zusatzlich noch ein Vorhaltverhalten 3. Ordnung. KSl s3+a2.s2+al.s+a0
Iz(s)
Storung bI3.s3+bI2.s2+bIl.s s3+a2.s2+al.s+a0 I
(X>-
•XT)
I(s) I(; = Y2(s) Regelstrecke Bild 5.12 Signalflussplan der Regelstrecke, AusgangsgroBe Gesamtstrom Ust(s)
5.4.2 Soll-Istwert-Vergleicher R
w{t)
k w(t)
Bild 5.13 Soll-Istwert-Vergleicher zum Bilden des Regelfehlers
122
5 Systeme und ihre mathematischen Modelle
Der als Soll-Istwert-Vergleicher wirkende gegengekoppelte nichtinvertierende Operationsverstarker des Bildes 5.13 ist als Differenzbildner beschaltet. Er gibt die Differenzspannung, die sich aus den auf die beiden Eingange geflihrten Spannungen w(t) und y(t) bildet, als Regelfehler aus. Mit Ry = R„ folgt aus: w(t) —
kw{t) — der Riickkoppelfaktor k -
R ' R.+R...
R., R.+R..
(5.104)
und damit wird: y{t)-kw{t)
y{t) = R/^{t) + kw{t)
e{t)-kw[t)
4(0 = e{t) = RJ^{t) + kw{t)
^(t)-kw[t)
y{t)-kw(t)
R„
R..
KO
kw{t)-^y{t) V
RRyj
Ry
^
e{t) =
(5.105)
R,
:^w{t)-^y{t) Ry
Ry
Die sich ergebende Ausgangsspannung entspricht dem Regelfehler e{t) und folgt aus der rechten Gleichung der vierten Zeile von Gleichung (5.105):
ilt) = ^'^ '
dt
R
—i «,
(5.135)
C,^-C,^-C,R^ dt dt
Fiir den Gesamtstrom gilt:
,, ^'
1 R + R^
1 R + R^
QR . R + R^
QR . R + R^
QRRdi R + R^ dt
(5.136)
Die noch storende Ableitung des Gesamtstromes nach der Zeit folgt aus der rechten Teilgleichung der Gleichung (5.134), so dass sich fur den Gesamtstrom mit dem Nenner:
C,R^{R + R,)-C,R^R ergibt:
5.5 Elektrisches Netzwerk - sprungfahiges System /(/) = C2 R^ Nu^+C^ R^ C2 R^Nii^-C^ R^ Nu^ -C^ R^ Q {R^+R)Nu^
5.5.2
129 (5.137)
Lineare, zeitinvariante Differenzialgleichung 2. Ordnung
Die Gleichung (5.137) flir den Strom und ihre Ableitung nach der Zeit liefert die gesuchte Differenzialgleichung des sprungfahigen Netzwerkes. Es soil der Koeffizient der hochsten Ableitung zu eins werden, damit ergibt sich folgende Differenzialgleichung: ii^ ( ? ) + a j M„ ( / ) + «gM„ ( ? ) = ^2 W'c ( 0 + ^1 " e ( O ' ' ~ ^ o " e ( 0
(5.138)
mit den Koeffizienten: ""'^CRC
(R + R )
b^ = Og
«I='^O[Q^I+C2(^ + «I+«2)] Z), = a^ (C,i?, + C2R2)
^2 =
R. R + R^
Die Gleichung (5.138) ist eine inhomogene, lineare, zeitinvariante Differenzialgleichung 2. Ordnung, deren Eingangsfunktion - Storfunktion - ebenfalls eine lineare, zeitinvariante Differenzialgleichung 2. Ordnung ist. Sie stellt eine Relation zwischen der Ausgangs- und Eingangsspannung des Netzwerkes her.
5.5.3
Ubertragungsfunktion des sprungfahigen Netzwerkes
Aus der Differenzialgleichung (5.138) folgt die Ubertragungsfunktion: n( \ ^a{s) b,s^+b,s + b, G[s) = — T T " 2 ^mit« = w = 2
/c1,o^ (5.139)
Die Werte der Koeffizienten kormen mit der function nw_spf.m ermittelt werden.
5.5.4
Zustandsraummodell
Die im vorhergehenden Abschnitt abgeleitete Differenzialgleichimg wurde durch die Elimination einer weiteren Differenzialgleichung, z.B. der Spannimg der Parallelschaltung oder des Stromes, gewonnen. Nachfolgend soUen fur diese beiden GroBen die simultanen Differenzialgleichungen 1. Ordnung als Zustandsmodell dargestellt werden. Die Spannung ui{t) und der Strom i{t) werden als ZustandsgroBen ausgewahlt. Aus dem Gesamtstrom: i{t) = \{t) ., ^
1
+ icSt) ,^
^du,[t)
(5.140)
130
5 Systeme und ihre mathematischen Modelle
folgt flir die erste ZustandsgroBe durch entsprechendes Umstellen, die gesuchte Differenzialgleichung 1. Ordnung: du^ (?) dt
1 QR,
(5.141)
(0+-^'(0
Aus der Gleichung (5.130) folgt ebenfalls durch Umformen unter Verwendung von Gleichung (5.131) die Gleichung flir die Ausgangsspannung: M„ (t) = -u^{t)-Ri{t)
+ u^ [t]
(5.142)
die gleichzeitig die Ausgangsgleichung des Zustandsmodells ist. Die zeitliche Ableitung der Gleichung (5.142) gleichgesetzt mit der Gleichung (5.134) liefert unter Verwendimg der ersten Zustandsgleichung (5.142) die Zustands-Differenzialgleichung fur die zweite ZustandsgroBe: di{t)
1 du^, (?) 1 c,+c i+-u. dt ~~C,R,{R + R^)"' qC^{R + R,y ' R + R
(5.143)
Diese Differenzialgleichung beinhaltet auf der rechten Seite u.a. die Eingangsfunktion in ihrer 1. Ableitung, was der Beschreibung im Zustandsraum widerspricht. Abhilfe kann die Wahl einer anderen ZustandsgroBe schaffen. Zunachst soil aber das gewonnene System in der Vektor-Matrix-Form dargestellt werden. Wird der Zustandsvektor mit z(t) bezeichnet, wobei:
«i(0
^(0
i(t)
gilt, dann ergeben sich als Vektor-Matrix-Differenzialgleichung: a,2
u,{t)-
0
M,, [t]
«22
(5.144)
z(?) = A z ( / ) + biM^(/) + b2M, (?)
und als Vektor-Matrix-Ausgangsgleichung nach Gleichung (5.142):
"
i^ — 'm = '2
(5.152)
und damit lasst sich der Gesamtstrom wie folgt beschreiben: (5.153)
5.6 RLC-Netzwerk als Bruckenschaltung
133
5.6.1.2 Zustandsgrofien Die Wahl der ZustandsgroBen ist bekanntlich nicht eindeutig, wird aber vom Energiekonzept ausgegangen, dann ergeben sich fiir die Spule der durch sie flieBende Strom ii(t) und fiir den Kondensator die iiber ihm anstehende Spannung uC(t) als ZustandsgroBen, d.li. es soil gelten: X, (t) = i, (t) ' '^/
(5.154)
5.6.1.3 Differenzialgleichungen der ZustandsgroBen Aus den Maschengleichungen berechnet sich mit den Gleichungen (5.152) bis (5.154) und: "c ( 0 = ~ \hdt => Wf ( 0 = ~h ( 0
(5.155)
der Strom i2 = in = im wie folgt: J
R
1
h (0 = ^ ^ 1 (O + ^ ^ i ( 0 - ^ ^ 2 [t) /v^
K-^
(5.156)
K^
Nach einigen Umformungen ergibt sich aus der Gleichung (5.156) die Differenzialgleichung fur den Strom in der Spule ii(t), als erste ZustandsgroBe: X,(t) = '^ '
; ^ L(R,+RA
L{R,+R,)
r
^X, ( n + ^ ' '^ ' L(R,+R.)
rXjt) -^ '
'^>
Mit den Gleichungen (5.155) bis (5.157) ergibt sich nach einigen Umformungen die Differenzialgleichung fiir die Spannung ilber dem Kondensator Uc{t), als zweite ZustandsgroBe:
'^ '
CiR+RA H
'^ '
C(R,+RA
'^ '
U (t)
C{R,+R,)
'^>
5.6.1.4 Ausgangsgleichung AusgangsgroBe soil die Spannung Ua(t) zwischen den beiden Knoten 3 imd 2 sein. Die Abhangigkeit der Ausgangsspannung von den beiden ZustandsgroBen beschreibt die Gleichung (5.151), so dass gilt: u^{t) = -R2Xi{t) + X2{t)
(5.159)
134
5.6.2
5 Systeme und ihre mathematischen Modelle
Vektor-Matrix-Gleichungen des Zustandsmodells
Mit Hilfe der Gleichungen (5.157) bis (5.159) und der Koeffizienten: R,R,+R,{R,+R,) L{R,+R,)
_
R^ L{R,+R,) 1
R C{R,+R,) R.
K=""
k,=" L{R,+Rj)
1 C{R,+Rj)
C„=-i?2
ergeben sich mit u(t) = u^t) die Vektor-Matrix-Differenzialgleichung: x,(?)" x, (t)
Ct') 1
C/T'
x, (t)
u{t)
(5.160)
und mit y(t) = Ua{t) die Vektor-Matrix-Ausgangsgleichung:
[j^W] = h. 1] x, (?) -[o]«(0 5.6.3
(5.161)
Signalflussplan der Briickenschaltung
Die Gleichungen (5.160) und (5.161) lassen sich wie folgt als Signalflussplan darstellen:
Bild 5.18 Signalflussplan der Briickenschaltung
5.6 RLC-Netzwerk als Bruckenschaltung
5.6.4
135
Funktion zur Berechnung der Modellgleichungen siehe function bruecke.m
5.6.5
Ubertragungsfunktion der Bruckenschaltung
Die Laplace-Transformierte der Gleichung (5.160) in die Laplace-Transformierte der Gleichung (5.161) eingesetzt, liefert die Ubertragungsflinktion der Bruckenschaltung: A, s
G{S):
5.6.6
(5.162)
Parameterproportionen der Bruckenschaltung
Es soil untersucht werden, fur welche Parameterkonfiguration die Bruckenschaltung konjugiertkomplexe Eigenwerte aufweist, so dass ihre AusgangsgroBe schwingt. Ausgangsbasis flir die Ermittlung dieses Zusammenhanges ist die Systemmatrix A nach Gleichung (5.160): (5.163) und deren charakteristische Gleichung: det(5l-A) = |5l-A| = 0
(5.164)
Die charakteristische Gleichung ergibt sich aus: s
0"
[u
s
[5I-A]:
«ii _'^2l
«I2 (722 _
^
(5.165) —flji
und berechnet sich zu: [ i ' l - A ] = S^ -(>(/): g{t) u{t)
I I
•CI3 y{t)
Bild 6.1 Lineares Ubertragungsglied als kleinste Einheit eines linearen Systems
138
6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System
In (6. l)entspricht g(t) die das System beschreibende Gewichtsfunktion, es gilt: y{t) = g{t)*u{t) y{t)=]g{T)u{t-T)dT 0
Der '*' in Gleichung (6.1) bedeutet die Faltungsoperation, wie sie in der zweiten Zeile durch das Faltungsintegral beschrieben ist. Das Verhalten eines Ubertragungsgliedes wird durch den stationaren und den dynamischen Zustand beschrieben. Bin dynamischer Zustand liegt stets zwischen zwei stationaren Zustanden. Grundlage dieser Beschreibung ist das Kausalitatsprinzip von Ursache und Wirkung. Die zeitlichen Anderungen der EingangsgroBen u(t) - steuerbare EingangsgroBen bzw. SteuergroBen - und z{t) - nicht steuerbare EingangsgroBen bzw. StorgroBen - sind die Ursachen. Die darauf folgenden zeitlichen Anderungen der AusgangsgroBe y(t) sind die Wirkungen auf o.a. Ursachen. Der mathematische Zusammenhang kann ganz allgemein wie folgt dargestellt werden:
y{t) = f[u{t)]
(6.2)
Dieser funktionale Zusammenhang kann sowohl linear als auch nichtlinear sein. Im Weiteren werden Systeme untersucht, deren funktionale Zusammenhange durch lineare bzw. linearisierte Gleichungen beschrieben werden konnen. Bei linearen Ubertragungsgliedem besteht ein eindeutiger und linearer Zusammenhang des Ausgangssignals mit dem Eingangssignal. 6.1.1.1 Eindeutigkeit Eingangssignal imd Ausgangssignal sind stets gleich zugeordnet, d.h. Nichtlinearitaten wie Hysterese, Lose, Reibung, Sattigung usw. sind, weim uberhaupt vorhanden, von vemachlassigbarer GroBe. 6.1.1.2 Linearitat Der Zusammenhang zwischen den AusgangsgroBen und Eingangsgr5Ben kann durch eine lineare Gleichung, zumindest in einem kleinen betrachteten Bereich, beschrieben werden. Bei Linearitat gilt das welter unten beschriebene Uberlagerungsgesetz bzw. Superpositionsgesetz.
6.1.2
Aktive und passive tJbertragungsglieder
6.1.2.1 Aktive tJbertragungsglieder Aktiven Ubertragungsgliedem wird Hilfsenergie zugefuhrt. Das von u(t) gesteuerte Ausgangssignal y(t) bezieht seine Leistung aus der Hilfsenergie, z.B. Verstarker, hier bleibt die EingangsgroBe u{t) beim Steuem unbelastet.
6.1 Lineare Ubertragungsglieder
139
6.1.2.2 Passive Ubertragungsglieder Das Ausgangssignal y(t) bezieht seine Leistung ausschlieBlich vom Eingangssignal u(t), z.B. Hebeliibertragungen, Federsysteme zur Umwandlung von Wegen in Krafte sowie die Kombination von ohmschen Widerstanden, Spulen und Kondensatoren in elektrischen Netzwerken.
6.1.3
Speichervermogen von Ubertragungsgliedern
Die Eigenschaften der Ubertragungsglieder werden wesentlich von den in ihnen vorhandenen Widerstandselementen und Speicherelementen gepragt. In Widerstanden tritt ein Verlust an Signalenergie auf, wogegen diese in Speicherelementen in Form von potentieller oder kinetischer Energie gespeichert wird, d.h. es gibt potentielle und kinetische Speicherelemente. Siehe hierzu Kapitel 4.4.
6.1.4
Prinzipien linearer Ubertragungsglieder
6.1.4.1 Prinzip der Zeitinvarianz Das Prinzip der Zeitinvarianz beniht auf der zeitlichen Unveranderbarkeit der Koeffizienten bzw. Parameter der Signalgleichungen. Bewirkt das Eingangssignal u(t) das Ausgangssignal y{t), dann liefert ein zeitinvariantes System, das mit dem Eingangssignal u{t-x) beaufschlagt wird, das Ausgangssignal ^^(/-T). Vorausgesetzt wird, dass die jeweiligen Anfangswerte gleich sind. 6.1.4.2 Prinzip der Homogenitat Das Prinzip der Homogenitat entspricht der Proportionalitat zwischen Ursache und Wirkung. Weim das als Ursache wirkende Eingangssignal u(t) das als Wirkung auftretende Ausgangssignal y(t) hervorruft, d.h. wenn Gleichung (6.2) gilt, dann bewirkt die Ursache a-u{t) {a = const, und geniigend klein) das Ausgangssignal a-y(t). 6.1.4.3 Prinzip der Superposition Das Prinzip der Superposition besagt, dass mehrere Signale iiberlagert werden dilrfen, ohne sich gegenseitig zu beeinflussen. Es gilt fur lineare Systeme und erlaubt eine Strukturumformung.
g(t)
g(t) u2(t)
h h
y1(t) g(t) u(t) = u1(t)+u2(t)
J y ( t ) = y1(t)+y2(t)
CZ3 y2(t)
Bild 6.2 Darstellung des Prinzips der Superposition (6.3)
140
6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System
Wenn das Eingangssignal Ui(t) das Ausgangssignal yi(t) imd das Eingangssignal U2(t) das Ausgangssignal j2(0 hervorruft, dann ist die Antwort des Systems auf das kombinierte Eingangssignal: M(/) = M,
(/) + M2(?)
(6.4)
das Ausgangssignal; y{t) = y,{t) + y,{t)
(6.5)
6.1.4.4 Prinzip der Riickwirkungsfreiheit Das Ausgangssignal y(t) eines Ubertragungsgliedes wirkt nicht auf das Eingangssignal u(t) zuriick, d.h. das Signal kann das Ubertragungsglied nur vom Eingang zum Ausgang durchlaufen und nicht umgekehrt. 6.1.4.5 Prinzip der Linearitat Linearitat liegt vor, wenn als Eingangssignal eines Ubertragungsgliedes die Linearkombination zweier Teil-Eingangssignale:
am Ausgang des Ubertragungsgliedes die Linearkombination der beiden Teil-Ausgangssignale: y{t) = k,y,{t) + k,y,{t)
(6.7)
hervorruft, d.h. es gilt das Superpositionsprinzip. Kleine Anderungen am Eingang bewirken kleine Anderungen am Ausgang. 6.1.4.6 Prinzip der Ortsunabhangigkeit der Systemparameter Fiir das betrachtete Ubertragungsglied gelten unabhangig vom Ort bzw. von den Ortskoordinaten, dass die Parameter konstant oder auch konzentriert sind. 6.1.4.7 Grundeigenschaften eines Systems Unter Beriicksichtigung der aufgefuhrten Prinzipien lassen sich die folgenden Systemeigenschaften unterscheiden: - linear und nichtlinear - zeitinvariant und zeitvariant - mit konzentrierten und mit verteilten Parametem. Zeitinvariante lineare ortsunabhangige Systeme werden durch lineare Differenzialgleichimgen mit konstanten Koeffizienten beschrieben. Die Systeme mit verteilten Parametem werden beschrieben durch partielle Differenzialgleichungen, die nichtlinearen durch nichtlineare Differenzialgleichungen und die zeitvarianten Systeme durch Differenzialgleichungen, deren Koeffizienten Funktionen der Zeit sind.
6.2 Lineare Differenzialgleichungen und ihre Losung
6.2
Lineare Differenzialgleichungen und ihre Losung
6.2.1
Grundlagen
141
Das dynamische Verhalten eines linearen, zeitinvarianten Ubertragungsgliedes wird durch eine lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten folgender Art beschrieben: >>*"' (?) + «,_,>>*""'' (?) + ••• + a,y{t) + a,j>(f) + «„>'(r) n>m
(6.8)
6^,M*"^ (?) + 6^, |M*""'^ (?) + ••• + &,«(?) + 6,M (?) + &„M (?)
Die Koeffizienten von Gleichung (6.8) ergeben sich aus den physikalischen Parametem der betrachteten Systeme. Es erleichtert den Rechengang, wenn der zur hochsten Ableitung der AusgangsgroBe gehorende Koeffizient eins ist, was aber gewohnlich erst durch entsprechendes Umformen erreicht wird. Fiir eine gegebene EingangsgroBe u(t) im Zeitraum ? > 0, mit den Anfangswerten y{t = 0) = yo der AusgangsgroBe y(t) sowie ihren Ableitungen: y{+0),y{+0),y{+0),...,/"-\+0)
(6.9)
besitzt die Differenzialgleichung (6.8) eine eindeutige Losung. Es interessiert der zukunftige Verlauf der AusgangsgroBe y{t) in Abhangigkeit von der EingangsgroBe u{t). Einfliisse von u{t) auf >'(?) fur die Zeit ? < 0 spiegeln sich in den Anfangswerten wider.
6.2.2
Numerische Losung von Differenzialgleichungen
Allgemeine Aussagen zur numerischen Losung von Differenzialgleichungen mit den odefunctions sind unter Kapitel 4.1.9 und zur symbolischen Losung mit dsolve sind unter Kapitel 4.1.6.5 zu finden. Wie eine Differenzialgleichung K-ter Ordnung in einen Satz von n Differenzialgleichungen 1. Ordnung iiberfuhrt werden kann ist unter 4.6.4 fur den allgemeinen Fall aufgezeigt, wenn die EingangsgroBe nicht in ihren Ableitungen auftritt. Dazu wird nachfolgend ein Beispiel angegeben, um die notwendige Voraussetzung fur die Anwendung der ode-function zu schaffen. Beispiel 6.1 Gegeben ist die lineare, zeitinvariante Differenzialgleichung 3. Ordnung mit der SteuergroBe u{t): y[t) + a^y[t) + a^y[t) + a^y[t) = b^u{t)
(6.10)
Gesucht ist die Beschreibung im Zustandsraum mit den Phasenvariablen als ZustandsgroBen. Der zu u{t) gehorende Koeffizient im Eingangsvektor soil den Wert 1 aufweisen.
142
6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System
Losung: Als ZustandsgrSBen werden die mit bo dividierten Phasenvariablen - die Wahl der ZustandsgroBen ist nicht eindeutig - wie folgt bestimmt: 1 1 . --—y; x^=—y;
1 .. x^=—y
On
Of,
(6.11)
0„
Daraus ergeben sich die Differenzialgleichungen 1. Ordnung fur die beiden ersten ZustandsgroBen: ^' ~ ^ '
(6.12)
Diese beiden Differenzialgleichungen und die Tatsache, dass ^y{t)
= x,{t)
(6.13)
OQ
gilt, liefert mit der nach:
umgestellten Ausgangsgleichung die noch fehlende dritte Differenzialgleichung 1. Ordnung: —y{t) = - — aoy{t)- — a,y{t)-—a^y{t) Ofl
0(1
OQ
+ u{t)
OQ
X, (?) = -flgX, (?)-(3,X2 (t^-ajX,^
(6.14)
(?) + M(?)
Die drei Differenzialgleichungen 1. Ordnung in der Form einer Vektor-Matrix-Gleichung dargestellt, ergibt den gesuchten Satz von Differenzialgleichungen:
"x,(/)" x^{t) = _X3 ( / ) _
0 0
1 0 -a,
0 1
r^iW"
"0"
x^{t) + 0 u[t)
[x, {t)_
1
(6.15)
x[t) = Ax[t) + \yu[t) Die Ausgangsgleichung folgt aus dem Ansatz der ZustandsgroBen: 'x,{t) y{t) = b,X,{t) = [b, 0 0] x^{t) x^{t)
-[o]«(0
(6.16)
6.2 Lineare Differenzialgleichungen und ihre Losung
143
Diese Darstellung wird als Regelungsnormalform bezeichnet. Die darin enthaltene Systemmatrix A ist die Frobenius'- oder Begleitmatrix. 6.2.2.1 Zustandsgleichungen fiir sprungfahige EingroBensysteme Der zum Beispiel 6.1 kompliziertere Fall tritt bei Differenzialgleichungen «-ter Ordnung auf, wenn neben der EingangsgroBe auch noch ihre Ableitungen vorhanden sind und deren hochste Ableitung mit der der AusgangsgroBe iibereinstimmt, d.h. m = n gilt. Diese Systeme sind sprungfahig, da sie auf einen Eingangssprung mit einem Sprung am Ausgang antworten. Nachfolgend sind die zur Umrechnung notwendigen Beziehungen angegeben. Diese Gleichung wird nach dem Einfuhren der Laplacetransformation imd der Ubertragungsfunktion abgeleitet. Aus Gleichung (6.8) ergibt sich mit m = n folgendes System von n Differenzialgleichungen 1. Ordnung in der Vektor-Matrix-Darstellung: • X, ( ? ) "
0
1
0
0
0
0
\ ^i ( 0 ' "0" x^{t)
0 +
0
0 -a.
0 -a.
^„-, (0
Wt)\
u[t)
(6.17)
0 1
und der Vektor-Matrix-Ausgangsgleichung: (6.18) Aus den Gleichungen (6.17) und (6.18) ist ersichtlich, dass bei dem hier gewahlten Ansatz die Ableitungen der EingangsgroBe lediglich Einfluss auf die Ausgangsgleichung austlben, die Systemmatrix ist auch hier eine Frobenius-Matrix. Die Koeffizienten der Differenzialgleichung des Beispieles 6.1 hier eingesetzt, liefert ebenfalls das dort gefundene Ergebnis. 6.2.2.2 Losung der Dgl. eines EingroBensystems mit der M-function odeAS Die Vorgehensweise wird anhand eines Beispiels erlautert. Beispiel 6.2 Die in Kapitel 5.5 gefiindene Differenzialgleichung 2. Ordnimg: ])(?) +a, j ( ? ) + a p j ( ? ) = Z)2M(?) + ^,M(?) + ^QM(?)
(6.19)
fur ein sprungfahiges elektrisches Netzwerk, ist fur einen Sprung u{t) = f/o = 1 mit Hilfe der function odeAS numerisch zu losen, d.h. es sind die Zeitantworten zu berechnen. Losimg: Die Losung erfordert es, diese Differenzialgleichung zuvor in ein System von zwei Differenzialgleichungen 1. Ordnung nach Gleichung (6.17) und (6.18) zu iiberfuhren.
Frobenius, (Ferdinand) Georg *26.10.1849 Berlin ^3.8.1917 Berlin-Charlottenburg, Mathematilcer
144
6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System i, (t)
0
1
u{t) (6.20) 'x,{t)'
3(0.
-[*2]«(0
siehe function Beispiel6_02.m und Beispiel6_02a.m Das Programm zur numerischen Losung der Differenzialgleichung 2. Ordnung wird durch Eingabe von Beispiel6_02a J im Command Window gestartet. Verlauf der Zustandsgrb(Jen des sprungfahigen Systems 0.08
Xi{t) 0.06
1—"
•"•
1
1
1
r
0.04 0.02 0
~-~—_i 0
0.5
1
1.5
2
"2^'^ i 2.5
3
Verlauf der AusgangsgroUe y(t) des sprungfahigen Systems
0.9
0.8
0.7
0.5
1.5 t[s]
2.5
Bild 6.3 Losungsverlaufe zum Beispiel 6.2
6.3
Die Laplacetransformation
Mit Hilfe der Laplace^-Transformation wird eine Zeitflmktion J{t) in eine Frequenzfunktion F(s) einer komplexen Veranderlichen transformiert, d.li. es wird eine Funktion des Zeit- bzw. Oberbereichs in eine Funktion des Bild-, Unter- oder Frequenzbereichs uberfflhrt. Bei dem Vorgang der Abbildung wird der Zeitflinktion eine entsprechende oder auch korrespondierende Unterfunktion des Frequenzbereichs zugeordnet. Folglich muss fur jede Operation im Zeitbereich eine korrespondierende Operation im Bildbereich existieren.
' Laplace, Pierre Simon Marquis de (seit 1817) *28.3.1749 Baumont-en-Auge (Calvados) t5.3.1827 Paris, Mathematiker und Physiker. Diese Transformation wurde Laplace zu ehren, nach ihm benannt.
6.3 Die Laplacetransformation
145
Der Vorteil der Transformation einer Funktion aus dem Zeitbereich in den Frequenzbereich tritt besonders deutlich bei der Losung von linearen Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten hervor. Die korrespondierende Funktion im Unterbereich ist gewohnlich eine algebraische Gleichung. Die Losung dieser algebraischen Gleichung wird durch Riicktransformation in den Zeitbereich uberfuhrt und stellt die gesuchte Losung der Ausgangsgleichung dar.
6.3.1
Definition der Laplacetransformation
Fiir die Laplacetransformation C{f{t)} einer Oberfunktion y(0> die im Zeitintervall 0 < t < co definiert ist, gilt fur die gesuchte Unterflmktion F(s) im Frequenzbereich die Abbildungsvorschrift: F{s)= jf{t)e-"dt
(6.21)
0
mit der komplexen Variablen s^: s = 8 + ja
(6.22)
wobei S und o reelle Variable sind und fur:
gilt. Mit Hilfe des Integrals in Gleichung (6.21) wird eine Zeitflinktion y(0 aus dem Oberbereich in eine Frequenzflinktion F{s) des Unterbereichs transformiert. Die Frequenzfunktion F{s) = F{5^j(o) ergibt sich durch die Laplacetransformation der Zeitfunktiony(0» dargestellt durch: F{s) = £{f{t)]
(6.23)
Mit dem Korrespondenzzeichen -• wird zum Ausdruck gebracht, dass aus der Zeitfimktion J{i) die Frequenzfunktion F{s) entsteht: f{t)
^
F(s)
(6.24)
Fiir die Riicktransformation der Frequenzfunktion in die Zeitfunktion, was als LaplaceRticktransformation bezeichnet wird, gilt folgende Vereinbarung:
f(t) = J'-'{F(s)} ^ ' F{s)
^
^ ^ '^ f{t)
(6.25)
Die Rucktransformation entspricht dem Aufsuchen der zu der Frequenzfunktion F{s) korrespondierenden Zeitfunktion/(t).
Vielfach wird statt "s" der Buchstabe "p" verwendet, der nach [Doetsch-1989] aus dem Heaviside-Kalkiil stammt.
146
6.3.2
6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System
Die M-functions laplace und ilaplace
Mit der M-function laplace der Symbolic Math Toolbox kann eine in symbolischer Form vorliegende Zeitfunktion in die dazugehorende Frequenzfunktion iiberfiihrt werden. Dies wird an Hand einiger bekannter Zeitflinktionen im nachfolgenden Beispiel gezeigt. Beispiel 6.3 Gesuciit ist die Laplacetransformierte fiir folgende Funktionen: • e
f,{t)
= U,{\-e-'^')
f,{t) = t
/ , ( 0 = cos(0
Losimg: Vereinbarung der symbolischen Variablen: » syms a s t T UO Die Sprungfunktion a(t), sie entspricht der M-function Heaviside\t): » fl = feaviside(t)
fl= heaviside(t) »Fl=laplace(n) Fl= 1/s
/ (0 = ^(0 -• i ^(^) = '
Der Einheitsimpuls d{t), er entspricht der M-flinction Dirac\t): » f 2 = dirac(t)
f2= dirac(t) » F2 = laplace(f2) F2=
m
= 5[t)
o-» p IA-^ ^2l^j-i
1 Die e-Funktion: » G = exp(a*t)
f3= exp(a*t) » F3 = laplace(f3) F3= l/(s-a)
m = e"' »-• 1 F,{s) =
^ ^ '^
Die Antwortflinktion eines Verzogemngsgliedes 1. Ordnung: »f4=U0*(l-exp(-t/T)) * Heaviside, Oliver *18.5.1850 Camden Town t3.2.1925 Paignton, Pliysiker und Elelctroingenieur ' Dirac, Paul Adrien Maurice * 18.8.1902 Bristol f 20.10.1984 Tallahassee (Florida), Physiker
(6.26)
6.3 Die Laplacetransformation f4 = UO*(l-exp(-t/T)) » F4 = laplace(f4) F4= U0*T*Beta(2,s*T) »F4 = expand(F4) F4 = U0/s/(s*T+l)
147
'^ Ua s(Ts + l) ^ ^
^'^^^^
Die Rampenflinktion: » f5 = t f5= t » F5 = laplace(f5) F5= l/s^2
f5{t) = t ^ ^5(^) = -T 5
Die Kosinusfunktion: » f6 = cos(t) f6= cos(t) » F6 = laplace(f6) F6= s/(s^2+l)
/ 6 ( 0 = cos(0 c^-« „ ^6(^) = ^ s'+l
Die M-fiinction ilaplace der Symbolic Math Toolbox transformiert die in symbolisciier Form vorliegenden Frequenzflmktionen zurilck in den Zeitbereicli. Es wird zur Ubung empfohlen, die im Beispiel 6.3 gefundenen Unterfunktionen durch Anwenden der M-function ilaplace in den Zeitbereich zu tiberfflhren.
6.3.3
Regeln fiir das Rechnen mit der Laplacetransformation
Mit Hilfe der nachfolgend angegebenen Regeln werden mathematische Operationen des Oberbereiches nach Anwendung der Laplacetransformation zu entsprechenden Operationen im Unterbereich. Es soil gelten: f,[t)
^
F,{s) unA f,{t)
^
F,[s)
(6.27)
6.3.3.1 Additionssatz Die Laplacetransformation ist eine lineare Transformation zwischen Fimktionen im Zeitbereich flj) und im Frequenzbereich F{s), daraus ergibt sich mit den Konstanten k\ und k2. kj,{t) + kj,[t)
^
k,F,{s) + k,F,{s)
Beispiel 6.4 Die Beziehung (6.28) ist auf/i(?) und^(?) des Beispiels 6.3 anzuwenden.
(6.28)
148
6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System
Losimg: f(t) = t(j(t) + LS(t) J^
»symsklk2 » F = laplace(kl*fl+k2*f2)
F(s) = '^ + k,
kl/s+k2
5
6.3.3.2 Ahnlichkeits$atz Aus: f{t)
-,
F{s)
(6.29)
folgt die 1. Variante des Ahnlichkeitssatzes: fiat)
o^
-F\-] a>0 a \a)
(6.30)
Beispiel 6.5 Gesucht ist die Laplacetransforaiierte vonXO = cos(a /) unter Anwendung des Ahnlichkeitssatzes auf die Funktiony^(/) des Beispiels 6.3. Losimg: Im Beispiel 6.3 wurde fury^(/) folgende Laplacetransformierte gefiinden: / , ( 0 = cos(?)
c^
F,{s) = ^
(6.31)
damit wird unter Anwendung der 1. Variante des Ahnlichkeitssatzes: f{t) = cos (a/)
J7( \
1
i
» F = laplace(cos(a*t)) F= s/(s^2+a^2) '
Die 2. Variante des Ahnlichkeitssatzes:
Beispiel 6.6 Gesucht ist die Laplacetransformierte von: / ( 0 = ie"'/' unter Anwendung des Ahnlichkeitssatzes auf die Funktiony^(^) des Beispiels 6.3.
(6.33)
6.3 Die Laplacetransformation
149
Losimg: Im Beispiel 6.3 ergab sich fur die Fun]-'o"'" ) der Anfangsbedingungen der EingangsgroBe nach s geordnet U^ {s) = -b^u^s'"-^ (6.58) - [b,u,+b^ii,+b,u,+...+ft„,_,M
Losung Y{s)
Bild 6.4 Schema zum Losen von Differenzialgleichungen mittels Laplacetransformation
6.3 Die Laplacetransformation
155
Beispiel 6.13 Die im Kapitel 4.1.6 beschriebene DifFerenzialgleichung (4.8): T^^
+ y{t) = Ku[t)
(6.61)
mit der Anfangsbedingung ^^(O) = Y^ ist durcii Laplacetransformation in den Frequenzbereich zu ilberflihren, nach Y{s) umzustellen und ftir u{t) = UQ durch Laplace-Rilcktransformation zu losen, d.h. y{t) ist fur einen Eingangssprung UQ ZU bestimmen. Losung: Die Differenzialgleiciiung wird wie folgt der Laplacetransformation unterzogen: Ty{t) + y{t) = Ku{t)
c^
T SY{S)-TY„+Y{S)
= KU{s)
(6.62)
Das Ergebnis ist cine algebraische Gleichimg. Das Ausklammem und Umstellen nach der gesuchten Variablen Y(s) liefert die Losung im Frequenzbereich: 7(s) = — ^ { / ( 5 ) + ^ — 7 „
(6.63)
Y(s) ist eine algebraische Funktion der EingangsgroBe U(s), der Anfangsbedingung Yg und der beiden Konstanten. Mit der Zeitfunktion/i(/) = a{t) des Beispiels 6.3 ergibt sich fur den Eingangssprung: u(t) = U„cr{t) '(0 = ^2" ( 0 "*" ^1" ( 0 "*" *o" ( 0
(6.76)
ist mit Hilfe der Laplacetransformation fiir einen Sprungeingang u{t) = UQ a{t) zu losen. Samtliche Anfangswerte sind null. Losung: Mit den Anfangswerten null ergibt die Laplacetransformation der Differenzialgleichung 2. Ordnung: (5' +a,s + a„)Y{s) = [b,s' +b,s + b„)u{s)
(6.77)
Umstellen der Gleichung (6.77) nach ¥{$):
y.^bZ^hllKuis) s +a,s + a„
(6.78)
158
6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System
und Einsetzen der Laplacetransformierten des Eingangsspmnges: u{t) = U„(j{t)
U(s) = U,s
(6.79)
ergibt die Laplacetransformierte der AusgangsgroBe: (6.80) sis +a,s + a,, Es ist eine gebrochene rationale Funktion der komplexen Variablen i' mit einem Zahlerpolynom und einem Nennerpolynom. Dieses Ergebnis entspricht der Gleichung (6.69) fur den Fall, dass samtliche Anfangsbedingungen identisch null sind. Fiir das Auffinden der Zeitfunktion y{t) aus der Frequenzfiinktion Y(s) - LaplaceRiicktransformation - fmdet sich in den einschlagigen Transformationstabellen gewohnlich keine geschlossene Formel. Vielmehr ist es notwendig Y(s) in Partialbruche bekannter Teilfiinktionen zu zerlegen. Es gilt: Y{s) = U„
Ls +b,s + b,. -U, m s^ +a,s + a,) - - # ( . )
(6.81)
A
Voraussetzung fur die Zerlegung in Partialbriiche ist die Bestimmung der Wurzeln bzw. Pole des Neimerpolynoms N{s). Mit den unter 5.5 ermittelten Werten folgt: N{s) = s[s
>)-o
p, =0
Pir. = -
/?! = 0
/^z = -2
«!__!_ (a,
«o ft
Pir. = - 5 + ^ 2 5 - 1 6
(6.82)
= -8
Da alle drei Pole reell und verschieden sind, kann fur Y{s) geschrieben werden: (6.83) [S-P2)
{S-Pi),
Fiir Y{s) lasst sich durch Laplace-Rucktransformation folgende Zeitfunktion angeben: y{t) = U,[r,+r,e''^- +r,e''')
(6.84)
Die Koeffizienten bzw. Residuen der Pole berechnen sich mit: " '
z{p^ ^^'^ mit N'iP.)
,, , N'{p,)-
dNis) ^ ' ds
(6.85)
6.3 Die Laplacetransformation
159
Ennittlung der zu den Residuen gehorenden Nenner: dN{s) ds
N'[p,)N'{P,)-
:flg=16 =Pi=0
dN{s) ds
3p2 +2a,/>2 +"20 = ~12
dN{s) ds
(6.86)
j=ft=-2
: 3 /73 +2a^pj+ag =48 .v=ft=-8
Berechniing der Residuen: j . _ ^ ( A ) _0,8pf+7,2;7i+16_^ ''' N'{p,) 16 ^ ^ Z(;;,) ''
^0,Hpl+7,2p,+l6
N'{P2)
-0,4
-12
_ Z ( f t ) _ 0,8/^3^+7,2/^3+16
(6.87)
0,2
48
Damit ergibt sich: Y{s) = U,
N{s)
-•u.
0,4
s
0,2 • + -
{s + 2)
(s + S)
(6.88)
und durch Laplace-Riicktransformation in den Zeitbereich die analytische Funktion des Verlaufes der Ausgangsspannung des sprungfahigen Netzwerkes: >'(?) = t / „ ( l - 0 , 4 e - " + 0 , 2 e - " )
(6.89)
Aus der Gleichung (6.89) ergibt sich flir ? ^ 0 y(0) = UQ, ein Zeichen fur die Sprungfahigkeit des Systems. Mit der function nw_spf.m ergeben sich die tJbertragungsfunktion sowie der Zahler und Nenner der zur Gleichung (6.80) gehorenden gebrochenen rationalen Funktion in s. Der Nenner A^ ist noch, entsprechend Gleichung (6.80), mit s aus dem Nenner des Eingangssprunges zu multiplizieren, was zu einem Polynom 3. Ordnung fuhrt. Dies lasst sich leicht durch eine Stellenverschiebung nach links, wie folgt realisieren: Die Matrix K ist eine Leermatrix, da der Grad des Nenners groBer als der des Zahlers ist. Die Schritte sind: Riicktransformation mit ilaplace, Festlegen der Variablenzahl auf eine Stelle nach dem Komma mit vpa und Multiplikation des Ergebnisses mit UQ. siehe Beispiel6_14.m Ein Vergleich der Ergebnisse der Funktionen lasst die Ubereinstimmung erkennen.
160
6.4
6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System
Die Ubertragungsfunktion
Mit der Ubertragungsfunktion wird das dynamische Eingangs-Ausgangs-Verhalten eines linearen Ubertragungsgliedes im Frequenzbereich beschrieben.
G{s) U{s)
I I
•CX) Y{s)
Bild 6.5 Signalflussplan eines Ubertragungsgliedes Fiir das in Bild 6.5 dargestellte Ubertragungsglied, auch als System bezeichnet, gilt mit verschwindenden Anfangsbedingungen - AB - die Ubertragungsfunktion: , , ^{y{t)} Y(s) G(s)= Y)[{=^-1
^ ' £{u{t)}
AB^O
(6.90)
U{s)
Voraussetzung fur das Bilden einer Ubertragungsfunktion ist die Laplacetransformation der Differenzialgleichung des zu beschreibenden Systems unter der Bedingung, dass die Anfangsbedingungen gleich null sind. Die Ubertragungsfunktion ist fur ein lineares Ubertragungsglied defmiert als der Quotient der Laplacetransformierten des Ausgangssignals zu der Laplacetransformierten des Eingangssignals. Die Ubertragimgsfunktion ist fur beliebige Eingangssignale definiert. Sie kann in der Polynomform, Pol-Nullstellen-Form und Zeitkonstantenform dargestellt werden.
6.4.1
Ubertragungsfunktion in der Polynomform
Bei einem beliebigen Eingangssignal und Anfangsbedingimgen die gleich null sind, ergibt sich die Ubertragungsfunktion in Polynomform durch die Laplacetransformation der in (6.8) dargestellten linearen Differenzialgleichung: Gis)=
bj"-b s---....b,.^ s"+a^_^s" +... + a2S +a^s + a^
^^^
als eine gebrochene rationale Funktion der komplexen Variablen: s = 5 + ja
^^^^^
6.4 Die Ubertragungsilinktion
161
6.4.1.1 Polynomform mit der M-function tf Eigenschaft von tf: Bildet die UbertragungsfUnktion in Polynomform. Syntax: G = tf(Z,N) Beschreibung: Mit der M-function (fwird aus je einem Zahlerpolynom und einem Nennerpolynom die Ubertragungsfimktion in Polynomform gebildet. Weitere Fimktionen siehe help /doc tf. Die Ubertragimgsfunktion in Polynomform besteht aus einem Zahlerpolynom: Z{s) = b„s'"+b„^_^s"-' +... + b^s + ba=0
(6.92)
welches die Nullstellen rij liefert und einem Nennerpolynom: #(.?) = .s"+a„_,s""' +... + a2.?^+a,5 + a|, =0
(6.93)
dessen Losungen oder Wurzeln als Polepi bezeichnet werden. VereinbarungsgemaB wurde der Koeffizient der hochsten Potenz von s in N{s) zu eins gemacht, d.h. a„= \. Das Nennerpolynom wird entsprechend seiner Bedeutung fur das Systemverhalten als charakteristisches Polynom des Ubertragungsgliedes bezeichnet. Die Gleichung (6.93) ist die dazugehorende charakteristische Gleichung des Systems. Die Eingabe der Ubertragungsfiinktion in Polynomform geschieht in folgender Form: fur den Zahler 2 = [b„, b„_,
••• b, bb,]
(6.94)
fur den Nenner N = [\ a„_, • ••
flj
''
_,-' 1
,'
,'''
'
u'' ^''
,-'', 1
/^
/ '
'
/'
/
1 1
'/' /
;
V '
/>
,
/
;
-
0.8 1 ^ ' '
0.989-'
1 ^'l'' 1 ^•'1 ! 0.978^ ',
!
'l' /''I 0.9^ '
/ 0.^
,'' I > \
/ / 0.§2
)\ / S 0.95 \
-1 -5
-4 Real Axis
Bild 6.6 PN-Bild zu Beispiel 6.17
6.4,2
Ubertragungsfunktion in der Pol-NuUstellen-Form
Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat jede Gleichung K-ten Grades, deren Koeffizienten reelle oder komplexe Zahlen sind, genau n reelle oder komplexe Wurzeln, wobei die A:-fachen Wurzeln ^-mal gezahlt werden. Sind, wie es hier der Fall ist, die Koeffizienten konstant, so treten die komplexen Wurzeln nur paarweise konjugiert auf und fur das Zahlerpolynom gilt: Z{s) = b^{s-n,){s-n^)---{s-n^)
=
b^Y{[s-ni)
(6.96)
Fiir den Fall eines konjugiertkomplexen Nullstellen-Paars wird mit:
-*,. von 0 bis oo aufgetragen, so ergibt sich der positive Teil der Ortskurve. Der negative Teile der Ortskurve ist spiegelbildlich zum positiven Teil. Fiir die Amplitude des komplexen Frequenzganges gilt: F{(o) = \F{jco)\ = ^%e[F{j(o)]
+:im[F[jcD)]
(6.114)
Da der komplexe Frequenzgang eine gebrochene rationale Funktion mit einem Zahlerpolynom und einem Nennerpolynom ist, kann auch geschrieben werden:
F[co) = — ^yie{N{jco)f+^m{N{jco)f
(6.115)
Fiir die Phase gilt: 9j(ft)) = arctan
:im{F{jco)] ^e{F{jo))
bzw. aufgeteilt nach Zahler und Nenner, wobei der Zahler ein Voreilen und der Nenner ein Nacheilen der Phase hervorruft: C3(ffl) = arctan ' ; '\ -arctan ^^ ' 91e Z >
6.5.3
; 'l ^e{N{ja)}
(6.116)
Berechnung der Ortskurve mit der M-function nyquist Eigenschaft von nyquist:'' Berechnet die Ortskurve eines Frequenzganges und stellt sie graphisch dar. Syntax: [Re,Im,w] = nyquist(System,w) Beschreibung: 'System' kann eine Ubertragungsflinktion oder ein Zustandsmodell sein. Bei Zustandsmodellen mit 'w' EingangsgroBen und 'r' AusgangsgroBen ergeben sich fur jede Frequenz a mxr Werte fiir die Realachse und die Imaginarachse. Die Ortskurve wird als Graphik ausgegeben, wenn nur der Teil rechts des Gleichheitszeichens angegeben ist. Zur Berechnung des Realteils die und des Imaginarteils 3m fiir spezielle Frequenzen sind diese im Vektor w anzugeben. Weitere Funktionen siehe help / doc nyquist.
' Nyquist, Harry *7.2.1889 Nilsby, Schweden t4.4.1976 Harlingen Texas USA, Elektrotechniker
6.5 Der Frequenzgang
6.5.4
171
Spezielle Punkte der Ortskurve
6.5.4.1 CD = 0 bei Ubertragungsgliedern mit Ausgleich Mit 0 = 0 folgt aus Gleichung (6.112): F{jO) = \F{jO)\ = F{co = 0) = ^ = V
(6.117)
d.h., der Frequenzgang ist eine reelle Zahl, welche dem Betrag bzw. der Zeigerlange entspricht und gleich der stationaren Verstarkung ist. Da der Imaginarteil gleich null ist, wird die dazugehorende Phase (p = 0°, d.h. der Startpunkt liegt auf der positiven reellen Achse. Beispiel 6.21 Gegeben ist der Frequenzgang eines Verzogerungsgliedes 1. Ordnung:
F(7fi)) = — L = _^^iZ^ Ja> + a^
(6.118)
J CO + 0 , 5
Es ist der Startpunkt der Ortskurve zu berechnen. Losung: siehe Beispiel6_21 .m Der Startpunkt liegt bei (Re,Im) = (1.5,0)! Es betragen, die Amplitude =1.5 imd die Phase = 0°! 6.5.4.2 0 = 0 bei Ubertragungsgliedern ohne Ausgleich Filr den Frequenzgang eines /-Gliedes - Ubertragungsglied ohne Ausgleich - ist der Koeffizient tzo = 0. Dafur strebt der Betrag gegen co und der Winkel betragt (p = -90°. Beispiel 6.22 Gegeben ist der Frequenzgang eines /-Gliedes 1. Ordnung: '^(7») = - ^ = — - J = JCO
CO
J
(6.119)
CO
d.h. der Frequenzgang ist eine komplexe Zahl dessen Realteil null ist. Es ist der Startpunkt der Ortskurve zu berechnen. Losung: siehe Beispiel6_22.m Der Startpunkt liegt bei (Re,Im) = (0,-75000)! Es betragen, die Amplitude = 7.5e+004 und die Phase = -90°!
172
6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System
6.5.4.3 o —> 00 bei Ubertragungsgliedern mit oder ohne Ausgleich Strebt co^-x, dann gilt flir den Betrag: f0 Xim F[jco) = \ ,
fur
m 0 = 0,1 C()k » L = -20*logl0((l+0.1^2r(l/2)) L= -0.0432 » Phi = -atan2(0.1,l)*180/pi Phi = -5.7106 Betragt die Frequenz 0 = 0,1 cok, mit der Knickfrequenz a)k= T"', dann ist die Abweichung von der als Approximation angenommenen Null-dB-Achse -0,0432 dB, eine fur den schnellen Uberblick durchaus vernachlassigbare Abweichung. Der dazugehorende Winkel von -5,7106° ist durch die Darstellung des Graphen der Arcustangens-Funktion beriicksichtigt. - T (0=1 ^> (0= (Of Knickfrequenz » L = -20*logl0((l+l)^(l/2)) L= -3.0103 » Phi = -atan2(l,l)*180/pi Phi = -45 An der Knickfrequenz bettagen die Werte des Amplitudenganges L{(d) « -3 dB und des Phasenganges 0(ft)) = -45°. Der Fehler, der die Approximation des Amplitudenganges durch seine Asymptote - Gerade auf der Null-dB-Achse - von co ^ 0 bis zur Knickfrequenz ergibt, betragt damit -3,0103 dB. - T (o=\0^ (o=\Q o\ » L = -20*logl0((l+(10r2)'^(l/2)) L= -20.0432 » Phi = -atan2(10,l)*180/pi Phi = -84.2894
6.6 Das Frequenzkennlinien-Diagramm
179
Fiir Frequenzen von der Knickfrequenz bis o ^ co kann der Amplitudengang wiederum mit geniigender Genauigkeit dnrch seine Asymptote mit einem Gefalle von 20 dB/Dekade dargestellt werden. - T ffl=10'» 1 ^ f t ) = 10^ ft)t » L = -20*logl0((l+(le5)^2)^(l/2)) L= -100.0000 » Phi = -atan2(le5,l)*180/pi Phi = -89.9994 Bei dem Sfachen der Knickfrequenz weiBt der Amplitudengang erwartungsgemaB einen Wert von 5 Dekaden*(-20dB/Dekade) = -\QQ dB auf. Der Phasengang hat die fur ein Verzogerungsglied 1. Ordnung maximal mogliche Phasendrehung von -90° erreicht. Nachfolgend die graphische Darstellung des Amplitudenganges und des Phasenganges: » b o d e ( l , [ l 1]), grid
Bode Diagram
« 3 dB bei co = 1/T
Frequency (rad/sec)
Bild 6.9 Amplituden- und Phasengang - Bode-Diagramm - eines Ti-Gliedes Der Amplitudengang des Verzogerungsgliedes 1. Ordnung kann mit geniigender Genauigkeit durch seine zwei Asymptoten: Einer Geraden auf der Null-dB-Achse von « ^^ 0 bis zur Knickfrequenz o^ = \IT und einer Geraden mit 20 dB/Dekade Gefalle von der Knickfrequenz o^ bis « ^^ CXD approximiert werden. Der Phasengang verlauft von 0° bis -90°, an der Knickfrequenz o^ befragt er -45°.
180
6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System
6.6.4.3 Das Integrierglied, / - d i e d Der Frequenzgang des /-Gliedes ist eine komplexe Zahl, deren Realteil null ist: T,s
(6.140)
T,jco
Aus Gleichung (6.136) ermitteln sich fur den logarithmischen Amplitudengang: L,(ft)) = 201gl-201g^(7;ft))' =-20lgT,co
(6.141)
und fur den logarithmischen Phasengang: $,(«) = arctan — arctan —— = - arctan co = -90° '^ ^ 1 0
(6.142)
Der Amplitudengang fallt mit steigender Frequenz kontinuierlich um 20 dB/Dekade. Die Phasendrehung betragt unabhangig von der Frequenz -90°. Bode Diagram 10
1
1
1
1
1
1
5 0
^ 3
= 1/T,i=2s-^ i
i
-5 -10 -15 -89
89.5
-90
90.5
-91
10
10 Frequency (rad/sec)
Bild 6.10 Bode-Diagramm eines /-Gliedes mit der Integralzeit // = 0,5 s Interessant ist die Frequenz bei der die Null-dB-Achse von dem Amplitudengang geschnitten wird: 1 (o.
6.6 Das Frequenzkennlinien-Diagramm
181
Fiir eine Integralzeit von 7} = 0,5 s, was einer Schnittfrequenz von 0)^ = 2 s"' entspricht, ergibt sich das Bode-Diagramm im Bild 6.10 mit: »bode(l,[0.5 0]), grid 6.6.4.4 Vorhaltglied 1. Ordnung, Jfli-Glied Der ideale Frequenzgang eines Vorhaltgliedes 1. Ordnung ergibt sich zu: Gm{s)^l
+ Ti,^s => Fo,{j(o) = \ + TaJCO
(6.143)
Der Frequenzgang ist eine komplexe Zahl. Aus dem in Gleichung (6.143) angegebenen Frequenzgang ermittelt sich fur den logarithmischen Amplitudengang: z„,(ffl) = 20ig^i^+(r„,«f
(6.144)
und fur den logarithmischen Phasengang: O^, (ffl) = arctan—2^— = arctan(r^,ffl)
(6.145)
Bode Diagram
30
J
|_4.-I-I-I-14-I
1
1 1
i - - t - i -1-1-1 i-i 1 1 1 1 1 1 1 1
1— 1 • - ^ - t - l - n - l - t 1 -p^-\rrrni 1 1 1 1 1 1 1 11 y ^
\
III;
i
i
1 1 1 1 1 1 1 1 r 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
i i i i i 11 1 1 1 1 1 1 1 1 n 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 n 1 1 1 1
1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 111 111 1 r n 1 1 1 1 1111 1 111 1 111
4 - - 1--t-1-1. 4-U
U_|_l_4-4-U J
V- - ^ ^ _I_UI-I-|.
r — i - - i -i-i-i-i -r 1 1 J 1 J 1 1 1
1 1 l l j i i h ^ ^ ;^ 3 dB bei (0 = 1/Tp^ = 1 s"'' i
i 1
1 1 i
1 1 1
i i i i 1 11
i
i
i i i 1 iij
r
i
i i i i i i
1
1 1 1 1 1 1 1 1 I I i^j-rXTi 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 > ^ l III! 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 j T i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 'v^i 1 I I 1 1 1 I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 >f 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 / 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 \ \ \ \ \ \\ / 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i/ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 r r r T r r y f T I I I r n r r r i r n r n T r 1 1 1 1 1 \jr\ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I I I y r 1 II 1 1 1 1 1 1 111 1 1 1 1 1 1 1 1 I I y \ 1 1 11 1 1 1 1 1 1 111 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i X i 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 111 1 1 1 1 1 11 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1^,.—-—•'T I I I -L-U'-rr^'^ 1 1
10
1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11
1
10 Frequency (rad/sec)
1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 111 1
10
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
10
Bild 6.11 Bode-Diagramm eines Toi-Gliedes mit der Vorhaltzeit To = Is » b o d e ( [ l 1],1), grid Amplitudengang und Phasengang sind spiegelbildlich zu denen des Verzogerungsgliedes erster Ordnung, bezogen auf die Null-dB-Achse. Bis zur Knickfrequenz stimmen der Amplitudengang mit der Null-dB-Achse iiberein, danach wird er durch eine Gerade mit einem Anstieg von
182
6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System
20 dB/Dekade approximiert. Der Phasengang verlauft von 0° bis +90°, an der Knickfrequenz betragter+45°. 6.6.4.5 Differenzierglied, ideales Z)-Glied Der Frequenzgang ergibt sich zu: GD{S) = T^S
=^
F^{jo))^TJo
(6.146)
Er ist eine komplexe Zahl, deren Realteil null ist. Aus dem Frequenzgang in (6.146) ermitteln sich fflr den Amplitudengang: z , ( « ) = 20ig^(r,«)
=20igr„«
(6.147)
und fiir den logarithmischen Phasengang: 0 „ (ft)) = arctan—^— = arctanoo = 90°
(6.148)
»bode([0.5 0],l), grid Bode Diagram 15
1
1
1
1
1
1
1
\
10 5 0 -5
^^,..^-^^^^7^
^
i 1 i M i_
C03 = 1/Tp = 2 s - 1
1
i
1
1
i
1 i i
-10 91
90.5
90
89.5
10"
10' Frequency (rad/sec)
Bild 6.12 Bode-Diagramm eines idealen £)-Gliedes mit T^ = 0,5* 6.6.4.6 Schwingungsglied, 7'2d-Glied Der Frequenzgang eines Schwingungsgliedes ergibt sich mit der Dampfung d und der Zeitkonstante T als dem Kehrwert der Eigenkreisfrequenz coo des ungedampften Systems zu:
6.6 Das Frequenzkennlinien-Diagramm
183
1 \ + 2dTs + T^s^
Grid (-s)
(6.149) 1 \ + 2dTj(o + T^[ja)
\-[Ta)
+2dT jco
Aus Gleichung (6.149) ermittelt sich der logarithmische Amplitudengang: '^r2rf(®) = -2Olg^(7'0) + 2 ( 2 ^ ' - l ) ( r » ) +1
(6.150)
und der logarithmische Phasengang: ^ / \ 0 2dT(o 2dTco ^^-.^.^ O^,, tt)) = arctan — arctan = -arctan (6.151) ^ ' 1 \-{Tco)' \-{Ta)' Beispiel 6.25 Gesucht sind die Resonanzfrequenz und die maximale Amplitude eines Schwingungsgliedes unter Verwendung der Gleichungen (6.150) und (6.151). Losung: siehe Beispiel6_25.m Die Frequenz, fur den die Amplitude ihren maximalen Wert annimmt - Resonanzfrequenz, ist von wrl_3 die zweite Losung: (o^=-^\-2d^
Achtung! Es gilt: d^ < | V 2 = 0,7071
(6.152)
Maximalwert der Amplitude des Frequenzganges: F^.M)
=
^ ^ 2d^\-d^
(6-153)
Maximaler Wert des Amplitudenfrequenzganges:
\ni2^d^-d'] L^H)
= -20I—^'
'-' =-2Q\g\2d^\-d'y = -201g(2^VW
(6.154)
Der zum Maximalwert der Amplitude gehorende Phasenwinkel: 0 ( ( » J = - a r c t a n - ^ 1 - 2 c/'
', in MATLAB = In im deutschen Sprachraum, es gilt ln(a) = ln{W) x /g(a)
(6.155)
184
6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System
Beispiel 6.26 Fiir drei Schwingungsglieder mit der Zeitkonstante T = Is imd den Dampfungswerten di = 0,007; d2 = 0,07 und d^ = 0,7 sind die Resonanzfrequenzen cOri, 0^2 undffl^ssowie die dazugehorenden Amplitudenwerte imd Phasenwerte zu berechnen und in einem gemeinsamen Bode-Diagramm darzustellen. LQsung: siehe Beispiel6_26.m Bode Diagram
-135 -180 Frequency (rad/sec)
Bild 6.13 Bode-Diagramme von 3 Schwingungsgliedem mit di • 0,007; d2 = 0.07 und d^ = 0,7 sowie T= Is Zusammenfas sung: Der Amplitudengang des Schwingungsgliedes kann fur den Bereich: - 0 co: 1
m
n
n(^-«.>-^n(^-A)=o
(6.173)
so ist zu erkennen, dass die Losungen den Nullstellen der offenen Kette entsprechen: Die Pole des geschlossenen Systems wandem fur ein veranderlichen Verstarkungsfaktor K auf Kurven, den so genannten Wurzelortskurven, die fur AT = 0 in den n Polen />, des offenen Systems beginnen imd fur AT —> oo in den dazugehorenden m endlichen Nullstellen rij sowie den (n-m) Nullstellen im Unendlichen enden. Jeder Punkt der Wurzelortskurve entspricht einem Pol des geschlossenen Systems fljr einen bestimmten Verstarkungsfaktor K. Diese Punkte s = Py,„t(Re,Im) milssen die Gleichung (6.172) erflillen. Sie lasst sich in ihren Betrag, den Verstarkungsfaktor K:
ni(^.»*-ft)i |GO (5)1 = 1 ^
K =^
= K,K,
(6.174)
n|(^™*-"/)| ./=i
welcher ein Produkt der Verstarkungsfaktoren des Reglers KR und der Strecke Ks ist, und ihre Phase: m
n
Z'?'A?-Z'?'« ,/=i
=±(2^-1)180° ^ = 1,2,3,...
(6.175)
1=1
zerlegen. In der Gleichung (6.175) bedeuten: cp^^: Winkel zwischen der reellen Achse und dem von dery-ten Nullstelle zum betrachteten Punkt der Wurzelortskurve gezogenen Zeiger.
6.7 Das Wurzelortverfahren (p;,,:
191
Winkel zwischen der reellen Achse und dem von dem /-ten Pol zum betrachteten Pimkt der Wurzelortskurve gezogenen Zeiger.
Die Wurzelortskurve hat soviel Aste wie die Ubertragungsfunktion der offenen Kette Pole besitzt. Fur den ublichen Fall, dass es weniger Nullstellen im Endlichen als Pole gibt, d.h. m 2
Wenn die Ubertragungsfunktion der offenen Kette einen Pol p = 0 besitzt, dann ist das Produkt der Pole des geschlossenen Kreises proportional dem Verstarkimgsfaktor K:
Y\p. Kegel 12:
fiir
cK
Ein Punkt v„ auf einem reellen Teil der Wurzelortskurve ist ein Verzweigungspunkt dieser Wurzelortskurve, wenn nachfolgende Beziehung gilt: dG^is)
=0
Eine weitere, recht niitzliche Beziehung bei der Anwendung des Wurzelortsverfahrens ist die Moglichkeit den zu einem Punkt Py,ok der Wurzelortskurve gehorenden Ubertragungsfaktor K mit Hilfe der Gleichung (6.174) zu berechnen: -Pi,
K =^
(6.178) I
I
n|(^w„*-«,)| .7=1
Fiir den Fall, dass keine Nullstellen im Endlichen existieren, wird der Zahler von Gleichung (6.164) zu eins, woraus folgt, dass sich fur den Nenner von Gleichung (6.178) ebenfalls eins ergibt und somit sich der Ubertragungsfaktor wie folgt berechnet:
^=ni(^--AOi Beispiel 6.32 Fiir die Ubertragungsfunktion einer offenen Kette:
(6.179)
6.7 Das Wurzelortverfahren
Go{s)=
;
(5 + 0,75) ; '
197
(6.180)
5(5+1) ( 5 + 2 )
sind nachfolgende Aufgaben zu losen: a) Die Pole, nach der GroBe als Zeilenvektor sortiert, sowie die NuUstelle. b) Die Ordnung des Zahlerpolynoms und des Nennerpolynoms. c) Der Schnittpunkt Sy, der Asymptoten auf der reellen Achse nach Kegel 7. d) Die Neigungswinkel der Asymptoten. e) Der Schnittpunkt der Asymptote mit der imaginaren Achse. f) Die Winkel der aus den Polen austretenden Aste und der Winkel des in die NuUstelle eintretenden Wurzelortskurvenastes nach Regel 8. g) Die kritische Verstiirkung mit Hilfe der Regel 10 - Summe der Realteile der Pole - imd mit Hilfe der Gleichung (6.178). h) Die nach Regel 11 berechnete Konstante fiir die kritische Verstarkung. i) Der Abhebepunkt v„ der Wurzelortskurve von der reellen Achse nach Regel 12. Losimg: siehe Beispiel6_32.m zu a) Die Pole hegen bei pi = 0, p2/3 = -1, p4 = -2! und die NuUstelle liegt bei nl=-0.75! zu b) Der Grad des Nenners betragt n = 4 und der des Zahlers m = 1! zu c) Der Schnittpunkt auf der reellen Achse liegt bei sw = -1.0833! Die Asymptoten schneiden sich im Wurzelschwerpunkt (-1.0833;0j)! zu d) Die Neigungswinkel der Asymptoten liegen bei gammal = 60°, gamma2 = 180°, gamma3 = 300°! zu e) Der Schnittpunkt der Asymptote mit der imaginaren Achse liegt im Punkt: (0;1.8764j)! zu f) Die Winkel der die Pole verlassenden Aste betragen: phi(pl) = 180°, phi(p2) = 90°, phi(p3) = 270°, phi(p4) = 180° Der Winkel des in die NuUstelle eintretenden Astes betragt: phi(nl) = 0° zu g) Da die Anzahl der Pole um drei groBer ist, als die Anzahl der NuUstellen, gilt Regel 10! Die Summe der Realteile aller Wurzelorte betragt SRe = -4.0 Es wird angenommen, dass der 4. Pol bei pw4 - -3.25 liegt! Der Verstarkungsfaktor fur den 4. Pol betragt K = 8,2266! Das Nennerpolynom von Gw: Nwkr = 4 3 2 s + 4 s + 5 s + (Kkrs + 2) s + 3/4 Kkrs Die kritische Verstarkung betragt Kkr = 8,3246! Die Pole fur die kritische Verstarkung betragen: Powkr = -0.0000+1.60661 -0.0000 - 1.60661 -0.7426 -3.2574 zu h) Der Proportionalitatsfaktor nach Regel 11 betragt ckr = 0.75! zu i) Der Abhebepunkt liegt bei vw = -1.0!
198
6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System
Bemerkungen zur Losung von Punkt g: Fiir jede Verstarkimg ergibt die Summe der Realteile der Pole des geschlossenen Systems -4. Fur den kritischen Fall betragt folglich die Summe der beiden Pole, die ausschlieBlich auf der reellen Achse wandern, />„3 + Av4 = ~4. Somit ist eine relativ genaue Bestimmung dieser beiden Pole moglich. Der Pol/^ws muss vor -0,75 liegen, denn diesen Wert erreicht/'w3 erst fiir K ^ co. Somit wird/7„4 « -3,25 angenommen, da er auf eine Andenmg des Verstarkungskoeffizienten viel unempfindlicher reagiert, als der Polp„3. Fiir diesen angenaherten Wert berechnet sich mit Hilfe der Gleichung (6.178) der Verstarkungsfaktor an der Stelle/)„4: - Pl\\P.4
K\I A , 4 = - 3 , 2 5
- PIWP.A
-
Pi\\P..
= 8,2266
kw4-«l|
Der exakte Wert ergibt sich mit Hilfe des Hurwitz"-Kriteriums - siehe Kapitel 8.4.1.1, angewendet fiir den Fall, dass mindestens eine Losung der charakteristischen Gleichung (6.171) des geschlossenen Kreises auf der imaginaren Achse liegt: Yl{s-P.)
+ KUs-n,)
= s'+4s'+5s'+{2
+ K^)s + 0J5K,.
= 0
(6.181)
s* +a,s^ +a-,s^ +a,i„s + an Aus Gleichung (6. 181) ergibt sich folgende Hurwitz-Determinante: «ifr H'ikr
=
H^h- =
a^
0
aw
0
^Okr
0
0
1
0 - a^i^a^a-^ 0 1
flj
^oh-^T,
^w ~ ^
(6.182)
3b + AK^--Kl = ()
Von den beiden Losungen der Gleichung (6.182) kommt nur der positive Wert in Frage, s.o.
6.7.3
Die Wurzelortskurve mit der M-function rltool Eigenschaft von rltool: Die M-function rltool offhet einen Tool zum interaktiven graphischen Entwurf der Regeleinrichtung fur ein EingroBensystem auf der Grundlage der Wurzelortskurve der vorgegebenen Regelstrecke. Syntax: rltool(System) Beschreibung: 'System' kann eine Ubertragungsfunktion oder ein Zustandsmodell sein. Es muss mit den M-functions tf, zpk oder ss gebildet worden sein. Als Zustandsmodelle sind nur EingroBensysteme, d.h. Modelle mit einer EingangsgroBe und einer AusgangsgroBe, zugelassen. Weitere Funktionen siehe help / doc rltool.
Hurwitz, Adolf *26.3.1859 Hildesheim f 18.11.1919 Zurich, Mathematiker
6.7 Das Wurzelortverfahren
199
Beispiel 6.33 Gesucht ist die Wurzelortskurve zum Beispiel 6.32 mit der M-fonction rltool. Losung: » GO = zpk(-0.75,[0 -1 -1 -2],1); » rltool(GO)
-inlxl
1 *> SISO Design Tool File
Edit
y
View
Compensators
X o -g- -§• ^ I
Analysis
U •N I
X
Tools
Window
Help
^
Current Compensartor C(s)=
b.42|
Root Locus Editor (C) —I
r-
2 at
II ni
E -2 -
-3
-2 Real Axis
-1
Loop gain changed to 8.42
Bild 6.20 Wurzelortskurve der Beispiele 6.32 und 6.33 mit den Polen an der Stabilitatsgrenze
6.7.4
Das Wurzelortverfahren fiir beliebige Parameter
Im vorhergehenden Abschnitt wurde davon ausgegangen, dass die Wurzelortskurve den Verlauf der Pole des geschlossenen Systems fur einen veranderlichen Verstarkungsfaktor beschreibt. Das Verfahren berechnet aber fur jeden beliebigen Parameter, z.B. fiir die Nachstellzeit des _P/-Reglers einer offenen Kette, den gesuchten Verlauf. Fiir diesen Fall lasst sich die Gleichung (6.164) wie folgt umformen:
200
6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System m
m
G,{s) = K,^
=
•'-' „
1=1
(6.183)
1=1
Werden die Bezeichnungen der Ubertragungsfanktionen des im Bild 6.20 oben rechts dargestellten Signalflussplanes bei der Verwendung der M-function rltool fur die Losung der Aufgabe verwendet, was zu empfehlen ist, so gilt fur die einzelnen Telle der Gleichung (6.183): m
G{s)--
^ ; C{s) = -n, Ylis-p,) + K,sYl{s-nj) ;=i
(6.184)
,/=2
F{s) = -—{s-n,);
'^(*) = 1
"i
Mit den Gleichungen in (6.184) kann die fiir die Untersuchung mit dem Verfahren der Wurzelortskurve relevante Fiihrungsiibertragungsfunktion nach Gleichung (6.169) wie folgt geschrieben werden: m
,,
, ,
C{s)G{s)
^o(^-«i)n(-«/)
1=1
j=2
(6.185)
^on(^-«.) Yl{s-p,) + K,Yl{s-nj) '=1
./=i
Das Ergebnis von Gleichung (6.185) stimmt mit der Gleichung (6.170) iiberein. Zur Ermittlung des gesuchten Parameters mit der M-fLinction rltool ist die gegebene Ubertragungsfunktion der offenen Kette Go(s) in die Gleichungen von (6.184) zu uberfiihren. Nachfolgend ein Beispiel, welches den in diesem Abschnitt vorgetragenen Sachverhalt so erlautert, dass auf weitere allgemeine Aussagen verzichtet werden kaim. Der Parameter, flir welchen die Wurzelortskurve berechnet und gezeichnet werden soil ist die Nachstellzeit Tff eines PI-Reglers, d.h. die Ubertragungsflmktion der offenen Kette ist entsprechend umzuformen. Beispiel 6.34 Im Kapitel 5.4 wurde fur die Regelstrecke des Modell-Regelkreises - mod_rk.m - folgende Ubertragungsfunktion ermittelt:
6.7 Das Wurzelortverfahren
Gs{s) =
201
5-10^ (^ + 45,36)(^'+50055 + 1,102-10') (6.186)
Gs{s) =
{S - P,)[s^ -{P2+ P3)S + P2Pi~\
An diese Regelstrecke ist ein PI-Regler mit der Ubertragungsfunktion: G,{s) = K,^
'^ = K,^ s
^
(6.187)
s
anzupassen. Die Reglerverstarkung ist mit K^ = 6,3824 vorgegeben. Fiir das noch zu bestimmende TV = -l/«i ist zur Bewertung die Ubergangsfunktion fur einen Fuhmngssprung heranzuziehen. Die Uberschwingweite soil bei einmaligem Uberschwingen ca. 4 % vom Endwert betragen. Hinweise zur Losung: Fiir die Losung ist die function mod_rk.m zu verwenden. Es ist die Wurzelortskurve fxir die Ubertragungsfunktion der offenen Kette mit dem Kehrwert der Nachstellzeit TV als Parameter zu zeichnen, als Startwert fiir Tf^ soil 1/58,9 gewahlt werden. Die sich ergebende Fiihrungsilbertragungsfunktion und die dazugehorenden Pole und die Nullstelle sind anzugeben. Die Nullstelle des geschlossenen und die des offenen Kreises sind zu vergleichen. Losung: Aus der offenen Kette - Reihenschaltung von Regler und Strecke: G.{s) = K,\ " ^ 5(.?-/i|)L5 -[P2+P^)S + P^P^
(6.188)
mit: Kfl = Ki,Kg
ergeben sich die Gleichungen in (6.184) mit HQ = 4 undOTQ= 1 zu: "•0
G{ C(5) = - « ,
(6.189)
H{s) = \ Aus den Gleichungen (6.189) folgen die Ubertragungsfunktionen fiir die Variation von: (6.190) T,
6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System
202
als Parameter fur die Wurzelortskurve. siehe Beispiel6_34.m Mit Beispiel6_34.m ergibt sich der SISO Design Tool nach Bild 6.21 Die Werte der Kompensatoren C und F ergeben sicli aus der Gleichung (6.189). Sie sind in den Bildem 6.23 und 6.24 dargestellt. Nach Variation von C und F ergibt sich die Wurzelortskurve im Bild 6.21 -} SISO Design Tool File
Edit
View
[^ X o ^ -I- ^ —
.slQjJSi
Compensators
Analysis
t4 m I
Tools
X
Window
Help
^?
Current Compensator
C(s5=
f\
Root Locus Editor (C) 5000
en E
I
-5000 -SOOG
^000
-4000
-2000
0
2000
4000
RealAjfis Loop gain changed to 71
Bild 6.21 Wurzelortskurve zum Beispiel 6.34 fiir 7)v = 0,0141 s Das Kriterium fur den geeigneten Wert von TV ist der Verlauf der Sprungantwort, sie wird im Fenster 575*0 Design Tool - Bild 6.21 - wie folgt gefunden: Analysis -^ Response to Step Command, es offiiet sich das Fenster LTI Viewer for SISO Design Tool - Bild 6.22. Die Prozedur wird so oft wiederholt, bis die gestellte Forderung "Die Uberschwingweite soil bei einmaligem iJberschwingen ca. 4 % vom Endwert betragen." erfullt ist. Die Pole kSnnen im Fenster SISO Design Tool - Bild 6.21 - unter View -^ Cloesd-Loop Poles abgelesen werden, sie liegen bei: Pi
\\,2;
/72 =-277,8; /^^ =-2.345,5 ±2.010,5/
Bei EingroBensystemen wird die Nullstelle durch das SchlieBen des Kreises nicht verandert, d.h. fur das offene und geschlossene System liegt sie bei:
6.7 Das Wurzelortverfahren «, = - 7 1
^JnJisJ
} LTI Viewer for SISO Design Tool File
Edit
Window
D a «.€!,
Help
0 step Response
System: Closed Loop: rto y I/O: r t o y Peak amplitude: 1.04 Overshoot (%}: 4.14 I At time (sec): 0.0159
0
0.005
0.01
0.015
0.02 0.025 Time [sec)
0.03
LTI Viewer
p
0.035
0.04
Real-Time Update
Bild 6.22 Sprungantwort des Modell-Regelkreises mit Ah = 4,07 % Die Sprungantwort erfullt die Forderung nach ca. 4 % Uberschwingen. J Edit Compensator C Gain:
.
j/l
Format: ZeroiPole Location Zeros
Delete
-Inlxi
Poles
Real
Add Real Zero
d
Imaginary Add Complex Zero OK
Cancel
Delete
Real
Add Real Pole Help
Imaginary Add Complex Pole
Apply
Bild 6.23 Wahl des Verstarkungsfaktors des Kompensators C
203
204
6 Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter System
^ ^ ^ ^ r.lnlxi
' ^ Edit Compenisator F Gain:
|l /711
Zeros Delete
r
Poles
Real
Imaginary
Delete
Real
Imaginary
1-71 Add Real Zero Add Complex Zero
I
J
Format: Zero^ole Location
OK
Cancel
Add Real Pole Help
Add Complex Pole
Apply
Bild 6.24 Wahl des Verstarkungsfaktors und der Nullstelle des Kompensators F
7. Testsignale und Zeitantworten In diesem Kapitel werden die zeitlichen Verlaufe der AusgangsgroBe eines linearen Systems in Abhangigkeit von verschiedenen Signalen, so genannten Testsignalen, beliandelt. Typische Eingangssignale sind meist ein momentaner Sprung der GroBe UQ von einem Arbeitspunkt zu einem anderen oder ein Impuls. Ebenso sind alle mogliclien anderen Signalverlaufe denkbar. Die typischen Einwirkungen in der Gestalt eines Sprunges oder eines Impulses haben den Charakter von Einheitssignalen. Durch die Wahl von Einheitssignalen lassen sich die Ergebnisse leicht durch Multiplikation mit der wahren GroBe des Sprunges bzw. Impulses umrechnen. Auch ist es moglich, aus der Reaktion eines Systems auf den Einheitsimpuls Schlusse iiber die Vorgange bei anderen Einwirkungen zu ziehen. Andere gebrauchliche Einwirkungen sind zum Beispiel Rampenfunktionen und harmonische Schwingungen. Mathematisch gesehen sind die Zeitantworten eines Systems die Losimg der das System beschreibenden Differenzialgleichung fur eine konkrete Storfunktion. Die mathematische Storfunktion ist aus systemtheoretischer Sicht das Eingangssignal eines Systems welches sowohl eine SteuergroBe als auch eine StorgroBe sein kann. Jede dieser Losungen setzt sich aus einem Anteil der freien und einem Anteil der erzwungenen Bewegung an der Gesamtbewegung zusammen. Der freie Anteil an der Gesamtbewegung, die Eigenbewegung, ist eine Folge der Anfangsbedingungen. Die erzwungene Bewegung ergibt sich als Folge eines Eingangssignals. Die dazugehorenden Antworten werden entsprechend mit Sprungantwort, Ubergangsfunktion, Impulsantwort usw. bezeichnet.
7.1
Anfangswertantwort mit der M-function initial Eigenschaft von initial: Berechnet die Ausgangsfunktionen beim Vorliegen von Anfangswerten imd fehlenden Eingangssignalen. Syntax: [y,t,x] = initial(System,xO,t) Beschreibung: Berechnet fur das in der Zustandsraumbeschreibung vorliegende 'System' den Vektor der Ausgangsfiinktionen y beim Vorhandensein von Anfangswerten XQ und dem Fehlen von Eingangssignalen. Der Vektor x enthalt die Werte der ZustandsgroBen. Fiir den Zeitvektor t gilt: t = 0:dt:Tfmal
206
7 Testsignale und Zeitantworten Werden nur die Angaben rechts des Gleichheitszeichens angegeben, so wird die Anfangswertantwort graphisch auf dem Bildschirm ausgegeben. Weitere Funktionen siehe help / doc initial.
Beispiel 7.1 Gegeben ist das im Kapitel 5.1 beschriebene System Stab-Wagen. Fiir dieses sind bei einem Anfangswert des Winkels von 1° = 71/I8O die zeitlichen Veranderungen des Winkels und des Weges fur die Zeitspanne von einer Sekunde graphisch darzustellen. Die Ergebnisse sind zu diskutieren. Losung: siehe Beispiel7_01 .m
Anfangswertverlauf des Winkels i^(i i n n 15
1
1
1
1
1
1
1
10
5
0
0
()
1
1
1
1
0,1
0.2
0.3
0.4
1
—1
0.1
0.2
0.5 0.6 0.7 0.8 t in [s] Anfangswertverlauf des Weges s(t) in [m] 1
'~———!—__
0.9
1
1
0.8
0.9
1
0.02
0.04
n riR
0.3
0.4
0.5 t in [s]
0.6
0.7
Bild 7.1 Anfangsantwort des Winkels und des Weges des Systems Stab-Wagen Das System Stab-Wagen ist instabil, siehe Kapitel 8, so dass eine geringe Anfangsauslenkung des Stabes aus der Senkrechten eine standige VergroBerung des Winkels, d.h. ein Umfallen des Stabes, zur Folge hat. Die dabei auftretenden Krafte bewirken eine Verschiebung des Wagens nach hinten, also in negativer Richtung. Was deutlich zu erkennen ist.
7.2 Sprungantwort - Ubergangsfunktion
7.2
Sprungantwort - Ubergangsfunktion
7.2.1
Einheitssprung
207
Der Einheitssprung o(?) ist wie folgt defmiert: fO flir ? < 0 Die Linearitat eines Ubertragungsgliedes erlaubt es, vom Verhalten eines durch einen Einheitssprung beaufschlagten Systems, auf den Veriauf bei einer behebigen Sprunghohe zu schheBen, in dem das Ergebnis des Einheitssprunges nur mit der wahren Sprunghohe multiphziert wird. Die Laplacetransformierte des Einheitssprunges lautet: a{t)
7.2.2
^
-
(7.2)
Sprungantwort
Die Sprungantwort ist der zeitHche Veriauf des Ausgangssignals 3^(0 als Ergebnis einer sprungformigen Anderung des Eingangssignals u{t) des Systems vom Wert null auf den Wert UQ, was wie folgt definiert ist: , , f 0 fur u(t) = \ ^ M M„ fur
7.2.3
^0
(7.3)
Ubergangsfunktion
Aus der allgemeinen Sprungantwort geht die Ubergangsfunktion h{t) durch Bilden des Quotienten aus dem zeitlichen Veriauf des Ausgangssignals y{t) mit der Sprunghohe UQ, wie folgt hervor: h{t) = ^^^
(7.4)
bzw. wird aus y{t) die Ubergangsfunktion h{t), wenn das Eingangssignal u{t) gleich dem Einheitssprung a{t) ist: , , fO fur u{t) = (j{t) = \ ^ ^' ^ ^' [l fur
?0
(7.5)
Die Ubergangsfunktion eines linearen Ubertragungsgliedes ist seine Antwort auf den Einheitssprung (7(t). Die Antwort auf ein beliebiges Eingangssignal lasst sich bestimmen, wenn die Ubergangsfunktion des Ubertragungsgliedes bekannt ist.
7 Testsignale und Zeitantworten
208
7.2.4
Die Ubergangsfunktion mit der M-function step Eigenschaft von step: Berechnet fur ein System die Sprungantwort. Syntax: [h,t,x] = step(System,t) Beschreibung: Berechnet ftlr ein 'System' die Ubergangsfunktion h{i), bzw. fur ein Zustandsmodell die Ubergangsfiinktionen entsprechend der Anzahl der Ausgangs- und EingangsgroBen. Der Vektor x enthalt die Werte der ZustandsgroBen. Filr den Zeitvektor t gilt: t = 0:dt:Tfmal Werden nur die Angaben rechts des Gleichheitszeichens angegeben, so wird die Ubergangsfianktion graphisch auf dem Bildschirm ausgegeben. Weitere Funktionen siehe help / doc step.
Beispiel 7.2 Filr das im Kapitel 5.5 beschriebene Netzwerk ist mit fiinction nw_spf.m die Ubertragungsfiinktion zu ermitteln. Mit ihr ist mit Hilfe der M-fiinction step die Ubergangsflinktion h(t) graphisch darzustellen. Der Anfangswert und der Endwert sind mit den Grenzwertsatzen zu berechnen und mit denen der Ubergangsfunktion zu vergleichen. Losung: siehe Beispiel7_02.m Ubergangsfunktion des sprungfahigen Netzwerkes
0.95
^
^
1.
0.9
E
, ein Eigenwert von A ist und ein oder mehrere linear unabhangige Vektoren r, ^ 0 existieren, die die Gleichung (8.27) erfullen. Die Systemmatrix A bestimmt die dynamischen Eigenschaften des Systems. Mit der Kenntnis der Rechtseigenvektoren nach Gleichung (8.28) und den Eigenwerten p, ist der Anteil der freien Bewegung an der Gesamtbewegung, bis auf die Werte von x, bestimmt: X,j\t)
v(0 =
= Ke'=RTe"
.v(0. bzw. x^- {t) = T^ r, e''' + T2 rj e'''+••• + T„ r„ e'"'
(8.32)
Die Gleichung (8.32) kann ganz allgemein wie folgt geschrieben werden: Xf{t) = e^'x,=0
^
y^ ( ? ^ c o ) = limCe" =
Q
yf{t —>oo) = lime'" [C, coso^ + Cj sino?] = ±oo
;.44)
Die Aussage, ob ein lineares System stabil, grenzstabil oder instabil ist, kann folglich nicht eine Frage der von auBen auf das System einwirkenden Signale sein, sondem ist vielmehr im System selbst begrundet. Ein lineares dynamisches System ist asymptotisch stabil, wenn alle seine Eigenwerte - Pole - einen negativen Realteil aufweisen, d.h. 9ie < 0 gilt.
230
8 Systemeigenschaften
Aus systemtheoretischer Sicht entspricht der erste Fall einem PTi-G\ied, der zweite einem Schwingungsglied und der dritte Fall einem /-Glied. Durch eine Rtlckkopplung lasst sich das /-Glied in ein /T,-Glied, also ein stabiles System, iiberflihren. Bei der im Kapitel 9 behandelten Reihenschaltung von Ubertragungsgliedem und anschlicBender Riickkopplung, wie es bei der Bildung eines Regelkreises aus der Regelstrecke und dem Regler geschieht, besteht die Gefahr, dass aus stabilen Einzelgliedem ein instabiler Regelkreis entsteht. Das Problem der moglichen Instabilitat riickgekoppelter Systeme fuhrte schon friih zu seiner Untersuchung, so z.B. Routtf (1860) [Routh-1898], Ljapunow [Ljapunow-1892], Hurwitz [Hurwitz-1895], Nyquist [Nyquist-1932] u.a. Bis auf das Verfahren von Nyquist, welches von der Ortskurve der offenen Kette Aussagen iiber die Stabilitat des geschlossenen Kreises macht, haben die anderen Verfahren die Differenzialgleichung bzw. ihre Koeffizienten als Grundlage zur Beurteilung des Stabilitatsverhaltens. MATLAB stellt fur die Beurteilung des Stabilitatsverhaltens die M-functions margin, nyquist und rlocus mit rlocfind zur Verfligung. Mit diesen Funktionen konnen die kritischen Werte bestimmt werden, die das System an die Grenze der Stabilitat fuhren. Selbstverstandlich konnen auch die M-flinctions impulse oder step sowie eig, pzmap und roots zur Beurteilung des Stabilitatsverhaltens genutzt werden.
8.4.2
Das Hurwitz-Kriterium
Das Hurwitz-Kriterium geht von den Koeffizienten der charakteristischen Gleichung (8.29) bzw. (8.30) aus imd lautet wie folgt: Das System (8.19) ist asymptotisch stabil, wenn: - alle Koeffizienten OQ ... a„.\ des charakteristischen Polynoms (8.29) bzw. (8.30) positiv sind und a„=\ vorausgesetzt wird, - der Wert der nachfolgenden Determinanten (8.45) und (8.46) groBer als null ist.
H,
H,
a,
flj
«5
«o 0
flij
a^
0 0
a,
a,
0
0 0
a„-3
a«-i
0
0
«„-4
a„-2
1
a, > 0; H,=
a, C/rj
flj
>0;
>0
H,=
(8.45)
a,
a.
Cf n
Cf-^
C/T
a, a. >0
^„-,>0
(8.46)
Das Hurwitz-Kriterium wurde im Beispiel 6.32 angewendet.
• Routh, Edward John *20.01.1831 Quebec Canada t07.06.1907 Cambridge England, Mathematiker und Mechaniker
8.4 Stabilitat linearer Systeme
8.4.3
231
Von der offenen Kette zum geschlossenen Kreis
Grundlage zur Erlauterung des Zusammenhangs zwischen der offenen Kette und dem geschlossenen Kreis ist nachfolgender Signalflussplan 8.4:
CD Z(s)
ci>>0—•
GR{s)
W(s) Regler
h
GS{s)
-
^
Y(s)
Regelstrecke
Bild 8.4 Regelkreis in der Standardform, StorgroBe am Ausgang der Regelstrecke Aus ihm lasst sich fur die AusgangsgroBe des Regelkreises mit der Ubertragimgsfunktion Go(s) der offenen Kette folgende Gleichung ableiten: Y{s
Gois) W{s)l + G„{s)
1 -Z{s) l + G„{s)
mit
G„{s) = G^{s)G,{s)
(8.47)
Wird aus der Gleichimg (8.47) die charakteristische Gleichung des geschlossenen Kreises: \ + G„{s) = 0
(8.48)
in den Frequenzgang uberfuhrt und wie folgt umgestellt: l + G,{s = jo)) = l + F,{j(o) = 0 => F,{jw) = -l
(8.49)
so lasst sich die Beurteilung der Stabilitat des geschlossenen Kreises auf die offene Kette iibertragen. Da, wie oben festgestellt, die Stabilitat eine dem linearen System innewohnende Eigenschaft ist, gilt nach der Selbsterregungsbedingung von Barkhausen" folgendes: Bin von auBen zum Schwingen angeregtes lineares System schwingt welter, wenn die auBere Erregung entfemt und dafur das Ausgangssignal gegengekoppelt auf den Systemeingang geschaltet wird. Diese Aussage in einen Zusammenhang mit der Gleichung (8.49) gebracht, bedeutet, dass das geschlossene System sich an der Grenze der Stabilitat befmdet, wenn der dazugehorende Frequenzgang der offenen Kette '-1' ist. Da der Frequenzgang in seine Amplitude, Gleichung (6.115), imd in seine Phase, Gleichung (6.116), zerlegt werden kaim, gilt: Betragen bei einer offenen Kette die Amplitude des Frequenzganges |Fo(/o)l = 1 und die Phasendrehung (p = arg|Fo(/'(B)| = -n, dann befindet sich das dazugehorende geschlossene System, der Regelkreis, an der Grenze der Stabilitat. Aus der imaginaren Achse in der komplexen i'-Ebene, als Grenze zur Beurteilung der Stabilitat, ist der Barkhausen, Heinrich Georg *2.12.1881 Bremen •['20.2.1956 Dresden, Prof, fur Schwachstromtechnik
232
8 Systemeigenschaften kritische Punkt (-1,70) geworden.
Nachfolgend werden die beiden Formen des Nyquist-Kriteriums behandelt.
8.4.4
Das Nyquist-Kriterium
Das Nyquist-Kriterium dient zur Beurteilung der Stabilitat linearer Regelkreise, indem es vom Verlauf der Ortskurve - Kapitel 6.5.2 - der offenen Kette auf die Stabilitat des geschlossenen Kreises schlieBt. Die M-function nyquist ist im Kapitel 6.5.3 beschrieben. Fiir Ubertragungsfonktionen der offenen Kette Go(s), die aus Grundgliedem entsprechend der Punkte 1 und 2 - stabile Systeme - sowie 3 - grenzstabiles System - des Abschnitts 8.4.1 gebildet sind, lautet das vereinfachte Nyquist-Kriterium, auch als Linke-Hand-Regel bezeichnet: Wenn die tJbertragungsfunktion der offene Kette Ga{s) stabil oder grenzstabil ist", dann ist fur die Stabilitat des zugehorigen geschlossenen Systems notwendig und hinreichend, dass beim Durchlaufen der Ortskurve von FoQct}) in Richtung wachsender Frequenzen 0 < « < oo der kritische Punkt (-1,70) links von ihr liegt. Das Nyquist-Kriterium macht neben der Aussage iiber der Art der Stabilitat auch Angaben iiber den Stabilitatsvorrat eines im offenen Zustand stabilen Systems bezogen auf die Amplitude: Der Amplitudenrand Am^ ist ein MaB fiir die relative Stabilitat und berechnet sich aus dem Kehrwert des Betrages des Frequenzganges der offenen Kette fur die Frequenzft)|.igo°bei der der Phasenwinkel (p = -180° betragt. Er gibt an, um welchen Faktor die Kreisverstarkung vergroBert werden kann, ehe die Stabilitatsgrenze erreicht wird. Am„
1
1 - = K,,
(8.50)
^ o ( CO]
und iiber den Stabilitatsvorrat bezogen auf die Phase: Der Phasenrand Phu ist ein MaB fur die relative Stabilitat und bezeichnet die Winkeldifferenz zwischen der negativen reellen Achse der komplexen F-Ebene und dem Punkt, an dem die Ortskurve der offenen Kette mit der Schnittfrequenz (0^ in den Einheitskreis eintritt, d.h. wo \FQ(J(OS)\ = 1 wird. Er gibt an, um welchen Winkel die Phase noch in Richtung ^ = -180° verdreht werden kann, bis die Stabilitatsgrenze erreicht wird. P/!^ =180°-U(fflJ|
(8.51)
' Mit anderen Worten, wenn in der charakteristischen Gleichung der offenen Kette No = 0 keine Wurzeln mit positivem Realteil auftreten, wohl aber Nullwurzeln vorlianden sein konnen. [Popow-1958]
8.4 Stabilitat linearer Systeme
233
Nyquist Diagram
Real Axis Bild 8.5 Phasenrand PHu und Kehrwert des Amplitudenrandes a eines im geschlossenen Zustand stabilen Systems, dargestellt an der Ortskurve einer offenen Kette
8.4,5
Das allgemeine Nyquist-Kriterium
Die Ubertragungsfunktion Go(s) des aufgeschnittenen Regelkreises besteht aus einem gebrochenen rationalen Teil und gegebenenfalls einem Totzeitglied. Sie iiat auBer den Polen in der linken Halfte der komplexen 5-Ebene noch rip Pole mit positivem Realteil und «,„ Pole auf der imaginaren Achse: G,{s)-
1
Z),,,*" +... + \s + i + a„_(^^^i)S" ''*'* + ... + a^s^ +a|5' + a„
(8.52)
mit q ) = — ^ e " " " i^-TJco)
(8.58)
l + (7^fi))
Ersetzen des Totzeitanteils in der Gleichung (8.58) durch die Eulersche Formel: e"'''^"' =cos(7;»)-7sin(7;e;)
(8.59)
So folgt der durch seinen Reaheil und Imaginarteil beschriebe komplexe Frequenzgang: FpT,{J^^) = — : -^[cos{T,co)-T^Q}&m{T,o})] l + {T,co) ^^ ' z -Y[sm{T,6)) + T^acos{T,a)]j
(8.60)
l + (7^ffiij
Fiir das Totzeitglied ist der Betrag des Frequenzganges, d.h. die Amplitude, iiber alien Frequenzen gleich eins, siehe Kapitel 6.6.5.2, so dass der Betrag des Gesamtfrequenzganges dem Betrag des Frequenzganges des /Ti-Gliedes entspricht: \PpT,{j(o)\ = K^
,
,
(8-61)
und fur die Phase ergibt sich: 0°(«) = -7;«-^arctan(7;«) O ( 0 ) = -7^ft)^-arctan(7J0)
[°] [rad]
^^^^2)
238
8 Systemeigenschaften
Fiir die Berechnung der Realteile und Imaginarteile wird die Gleichung (8.60) herangezogen, hierbei ist zu beachten, dass die Argumente der cos- und sin-Funktionen in BogenmaB [rad] anzugeben und folglich durch die Erweiterung mit dem Faktor 7r/180 umzurechnen sind: Re{co)--
K
-[cos{T,co-^)-T,(osm{T,(o^)'] (8.63)
K
[sm{T,w^)
+ T,cocos{T,o}^)]
siehe Beispiel8_07.m Ortskurven eines FT -Gliedes mit T = 0.025s, einer Totzeit T = 1,5s und 3 Verstarkungen
0
0.5 Real Axis
1
Bild 8.8 Losung zum Beispiel 8.7 Aus Bild 8.8 ist mit Hilfe der Linken-Hand-Regel deutlich zu erkennen, dass ein geschlossenes System, dessen offene Kette aus einem /Ti-Glied mit Totzeitanteil besteht, durch VergroBerung der Verstarkung, aber auch durch VergroBerung der Totzeit, instabil werden kann. Bekannthch hat der geschlossene Kreis, der aus einem riickgekoppelten PTi-G\ied gebildet wird, wieder/TpVerhalten und ist fur alle Verstarkungswerte stabil. Die Zusammenhange, die das Bild 8.8 wiedergibt, batten auch mit der function bodejitt.m, Beispiel 6.29, gefunden werden konnen.
8.5 Normalformen der Systemmatrix
8.5
239
Normalformen der Systemmatrix
Wie bereits im Kapitel 4.6.4 - Das Zustandsmodell - beschrieben, ist die Wahl der ZustandsgroBen nicht eindeutig. Gewohnlich werden die ZustandsgroBen im Zusammenhang mit der theoretischen Prozessanalyse aus den Energiebilanzen abgeleitet und weisen damit einen physikalischen Charakter auf. Die so gewonnenen Zustandsgleichungen bilden die Standardform: x(/) = Ax(?) + Bu(?) x(? = 0) = x„ y{t) = Cx{t) + T)u{t) Vielfach ist es wiinschenswert Zustandsgleichungen in einer anderen, fur den entsprechenden Einsatzfall giinstigeren, als der Standardform darzustelien. Dies erfordert eine Transformation der gegebenen Zustandsgleichungen in die gewiinschte Form, was voraussetzt, dass geeignete Transformationsverfahren gegeben sind. Die so gewonnenen neuen Formen der Darstellung des Zustandes werden als Normalformen bezeichnet. Die Transformation der Zustandsgleichungen in eine Normalform lasst aus den urspriinglichen ZustandsgroBen neue ZustandsgroBen entstehen. Dies ist auch verstandlich, denn von den EingangsgroBen, ZustandsgroBen und AusgangsgroBen des Systems sind nur die ZustandsgroBen nicht eindeutig bestimmt, also weitestgehend frei wahlbar. Grundlage dieser Untersuchungen sind die in der Standardform mit Gleichung (8.64) vorliegenden Vektor-MatrixDifferenzialgleichungen und Vektor-Matrix-Ausgangsgleichungen des Zustandsmodells. Sie beschreiben ein lineares, zeitinvariantes System vollstandig. Nachfolgend werden die Diagonalform sowie die Regelungsnormalform und Beobachtungsnormalform behandelt, dem schlicBt sich ein gemeinsames Beispiel an.
8.5.1
Transformation der Zustandsgleichungen in die Diagonalform
8.5.1.1 Die Systemmatrix A Wenn es gelingt, eine reelle quadratische Matrix A durch eine nichtsingulare Transformationsmatrix in eine Diagonalmatrix zu iiberfuhren, dann gehort die Systemmatrix A als Spezialfall zur Klasse der diagonaliihnlichen Matrizen. Dies ist immer dann moglich, wenn A keine mehrfachen Eigenwerte besitzt. In der numerischen Mathematik und in den hier behandelten technischen Anwendungen gibt es keine scharfe Grenze zwischen den Fallen einfacher und mehrfacher Eigenwerte. Durch kleine Anderungen an den Elementen ay der Systemmatrix kann diese in eine Matrix mit einfachen Eigenwerten iibergehen. Damit kann der bei technischen Anwendungen hochst seltene Fall von mehrfachen Eigenwerten uberfuhrt werden in eine Systemmatrix mit dicht benachbarten Eigenwerten [Faddej ew/Faddej ewa-1964]. Die Anderungen an den Elementen der Systemmatrix sind sicher bei der Vielzahl von Koeffizienten aus denen sie zusammengesetzt sind, ohne Qualitatsverlust moglich. Durch die geringfugige Veranderung eines oder mehrerer Elemente ay der Systemmatrix andem sich die Koeffizienten der zu A gehorenden charakteristischen Gleichung und damit ihre Eigenwerte. Liegt also der gewohnlich anzunehmende Fall vor, dass die in der Standardform vorliegende Systemmatrix A nur verschiedene Eigenwerte besitzt, dann existiert stets eine nichtsingulare
240
8 Systemeigenschaften
Matrix mit der die Systemmatrix in eine Diagonalform transformiert werden kann. Als Transformationsmatrix, die diese Bedingungen erfullt, ergibt sich die bereits weiter oben behandelte Matrix der Rechtseigenvektoren R, auch als Modalmatrix bezeichnet. Mit Hilfe der Modalmatrix R und ihrer Inversen R"', gebildet aus den Linkseigenvektoren, kann die Systemmatrix A in eine Diagonalmatrix A^, mit Blocken auf der Hauptdiagonalen in denen die Eigenwerte von A entlialten sind, transformiert werden. Diese Matrix entspricht einem Sonderfall der Jordarf-Normalform weiche auch als Diagonalform bezeichnet wird: Diese Normalform stellt, neben noch anderen Normalformen, eine gunstige Ausgangsbasis fur den Entwurf von Regeleinrichtungen im Zustandsraum dar. 8.5.1.2 Transformation der Standardform in die Diagonalform Mit der Modalmatrix R wird der Zustand x{t) der Standardform in den Zustand xj^t) der Jordan-Normalform bzw. Diagonalform transformiert. Mit dem Ansatz: (8.65)
x(0 = RXrf(0 folgt flir die Zustandsgleichungen aus den Gleichimgen (8.64): x(/) = Rx,, (/) = ARx^ (/) + Bu(?)
x(0) = Rx^ (O)
y(?) = C R x , ( 0 + Du(?)
(8.66)
Da R eine nichtsingulare Matrix ist, existiert ihre Inverse R"', so dass sich damit das Zustandsmodell in die Diagonalform uberflihren lasst: Xrf(/) = R"'ARx^(^) + R"'Bu(/)
(8.67)
Mit der Systemmatrix: (8.68)
A^ = R AR und der Eingangsmatrix:
(8.69)
B,=R B folgt die Vektor-Matrix-Differenzialgleichung in der Diagonalform:
0
Pi
0" 0
0
0
Pn_
0
^d\ ^d2
_'*'*_
+
Mit der Ausgangsmatrix:
' Jordan, Marie Ennemond Camille *5.1.1838 CroixRousse •['21.1.1922 Paris, Mathematiker
(8.70)
8.5 Normalformen der Systemmatrix Crf=CR
241 (8.71)
und der unveranderten Durchgangsmatrix: D,=D
(8.72)
folgt die Vektor-Matrix-Ausgangsgleichung: y(/) = C,x,(/) + D,u(/)
(8.73)
Das Ergebnis der Transformation liefert eine besonders einfache Struktur der Differenzialgleichungen, da in jeder Gleichung nur die zur Ableitung gehorende ZustandsgroBe auftritt. Damit sind die einzelnen Zustande untereinander nicht verkoppelt und nnr von den EingangsgroBen abhangig. Filr das entkoppelte System von Differenzialgleichungen kann jede unabhangig von den anderen gelost werden. Die Eingangsmatrix B^ der Diagonalform gibt Auskunft dariiber welche Zustandsgrofien von welchen der einzelnen SteuergroBen gesteuert werden. 8.5.1.3 Von der Standard- in die Diagonalform mit der M-function canon Eigenschaft von canon: Transformiert ein in der Standardform vorliegendes Zustandsmodell in die Diagonalform. Syntax: ZMd = canon(ZM,'modal') Beschreibung: Die Kommandofolge 'ca«o«(ZM,'modar)' iiberfuhrt ein in der Standardform vorliegendes Zustandsmodell in die Diagonalform, wie durch die Gleichungen (8.70) imd (8.73) beschrieben. 'modal' bezieht sich auf die im Abschnitt 8.1.1 berechnete Modalmatrix R, sie spiegelt die Art und Weise - Modi - des dynamischen Verhaltens eines Systems wider, womit der Einfluss jedes Eigenwertes auf das Systemverhalten beurteilt werden kann. Weitere Funktionen siehe help / doc canon. Beispiel 8.8 Das Zustandsmodell des Inversen Pendels nach Kapitel 5.3 ist aus der Standardform in die Diagonalform zu iiberfuhren. Der dazugehorende Signalflussplan ist darzustellen. Filr die Ermittlimg der Modellmatrizen ist die fimction invpendel.m zu verwenden. Losung: » ZM = invpendel('IP'); ZMd = canon(ZM,'modal') a= 1 2 3 4
xl 0 0 0 0
x2 0 2.934 0 0 0
x3 0 0 -3.336
x4 0 0 0 -71.68
242
8 Systemeigenschaften b= ul xl 0.03203 x2 -0.04455 x3 0.06215 x4 3.253 c= xl x2 x3 x4 0 0.3226 -0.2871 0.009904 1 -0.002967 -0.003348 -0.009825 -0.7734 -44 0 0.6082
yi y2 y3 d=
ul 0 yi 0 y2 2.005 y3 Continuous-time model. bd11
^^2^>Q^^^^
>©—KID *
: 1 > u(t)
y2(t)
bd31
•€>KD bd41
dxd4/d
cd34
-KT) y3(t)
Bild 8.9 Signalflussplan des Inversen Pendels in Diagonalform
8.5 Normalformen der Systemmatrix
243
Da das System vier reelle Eigenwerte hat, entsprechen diese den Elementen der Hauptdiagonalen der Systemmatrix A^, alle ilbrigen Werte sind null. Natiirlich auch der Wert des ersten Diagonalelementes, da ja dieser Eigenwert null ist. Wie aus dem Signalflussplan im Bild 8.9 zu ersehen ist, wirkt das Eingangssignal u{t) = uJJ) - Ankerspannung des Motors - auf jeden Zustand des Inversen Pendels in der Diagonalform. Zwischen den Zustanden existiert keine Kopplung. Die Ausgangssignale y\(t) = (p(t) und yiit) = s{t) - Winkel und Weg - sind, im Gegensatz zur Standardform, wo sie jeweils einem Zustand entsprechen, eine Linearkombination der neuen Zustande. Die dritte AusgangsgroBe y^{t) = F{t) - Antriebskraft - ist eine Linearkombination des zweiten bis vierten Zustandes und der EingangsgroBe. In der Standardform ist die AusgangsgroBe y^{t) dagegen eine Linearkombination des ersten, zweiten und vierten Zustandes sowie ebenfalls der EingangsgroBe.
8.5.2
Regelungsnormalform fiir EingroBensysteme
Die Beschreibung der Zustandsgleichungen in der Regelungsnormalform wird hier nur fur Systeme mit einer EingangsgroBe behandelt, daraus folgen die Vektor-Matrix-Differenzialgleichung: x,(?) = A,x,.(0 + b,M(/)
(8.74)
und die Ausgangs-Gleichimg: y[t) = c^x^{t) + d^u[t)
(8.75)
Es existieren zwei grundsatzliche Moglichkeiten zum Erzeugen dieser Normalform, je nachdem ob das entsprechende System als Ubertragungsflinktion oder als Zustandsmodell in der Standardform vorliegt. In der Regelungsnormalform besteht die letzte Zeile der Systemmatrix aus den negativen Koeffizienten der zur Systemmatrix A gehorenden Koeffizienten der charakteristischen Gleichung Qj, wenn a„ = 1 gilt. Ihre Bedeutung ergibt sich aus dem Umstand, dass der Einfluss der Polverschiebung in einem Regelsystem durch ein Steuergesetz in der Form von Ruckfuhrungen der ZustandsgroBen besonders iibersichtlich nachvollzogen werden kann. 8.5.2.1 Regelungsnormalform aus der Standardform - Transformationsvorschrift Der Zustandsvektor fur die Regelungsnormalform ergibt sich aus der Transformation: x^(?) = Tx(?) -
(8.76)
Transformationsmatrix ^
->//), dass ihr maximaler Beobachtbarkeitsindex byj^^ = n, d.h. gleich der Systemordnung ist, dann ist das System streng zustandsbeobachtbar. ->
S.A-
^
b_yj^^=Rg ^
(8.110)
8.6.4.2 Beobachtbarkeitstest mit der M-function obsv und anderen M-functions Eigenschaft von obsv: Berechnet aus der Systemmatrix und Ausgangsmatrix eines Zustandsmodells, bzw. aus dem kompletten Zustandsmodell, die Beobachtbarkeitsmatrix nach Kalman. Syntax: Sb = obsv(A,C) Sb = obsv(System) nb = length(A) - rank(Sb) Sbyj = obsv(A,Ca,:)) byj = rank(Sbyj) Beschreibung: Der Funktionsaufruf Sb = obsv{A,C) = ctrb(ZM.a,ZM.c) bzw. Sb = ctrb{Systcm) gibt die in Gleichung (8.108) angegebene Beobachtbarkeitsmatrix S^ aus. Mit dem Kommando nb = length(A) - rank{Sh) wird die Anzahl der nichtbeobachtbaren Zu-
8.6 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit
257
stande berechnet. Sby^ ist die auf die j-te AusgangsgroBe yj{t) bezogene Beobachtbarkeitsmatrix. byj = rank(Shy}) berechnet die Anzahl von ZustandsgroBen, die von dery-ten AusgangsgroBe _>>//) beobachtet werden konnen. Weitere Funktionen siehe help /doc obsv. Beispiel 8.17 Fiir das in Beispiel 8.16 behandelte System sind die Beobachtbarkeitsmatrizen fur das Gesamtsystem und fur die beiden AusgangsgroBen zu bereciinen. Die Anzaiil der nicht beobachtbaren Zustande ist anzugeben. Mit den Beobachtbarkeitsmatrizen ist die mogliche Anzahl der durch die beiden AusgangsgroBen zu beobachtenden Zustande zu ermitteln. Die Ergebnisse sind mit denen des Beispiels 6.16 zu vergleichen. Losung: siehe Beispiel8_17.m Da die Anzahl der nichtbeobachtbaren Zustande null ist, konnen alle Zustande beobachtet werden. Uber die AusgangsgroBe y[(t) koimen nur zwei Zustande, dagegen koimen iiber die AusgangsgroBe y2(t) alle drei Zustande beobachtet werden. Diese Ergebnisse bestatigen die Ergebnisse von Beispiel 8.16.
8.6.5
Kanonische Zerlegung eines Systems
Wie aus den vorhergehenden Abschnitten dieses Kapitels zu ersehen ist, kann unter Bezugnahme auf die Eigenschaften der Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit ein System in folgende vier Teilsysteme mit den Eigenschaften: - steuerbar und beobachtbar - steuerbar aber nichtbeobachtbar - nichtsteuerbar aber beobachtbar - nichtsteuerbar und nichtbeobachtbar zerlegt werden. Die Zerlegung ist aus der Darstellung in der Diagonalform gut zu ersehen. Mit den Mfiinctions ctrbfsowie ofcv/'gelingt die Zerlegung in einen steuerbaren und einen nichtsteuerbaren Teil. Entsprechendes gilt fur die Beobachtbarkeit. 8.6.5.1 Zerlegung nach seiner Steuerbarkeit mit der M-function ctrbf Eigenschaft von ctrbf. Zerlegt ein durch sein Zustandsmodell beschriebenes System in einen steuerbaren und einen nichtsteuerbaren Teil, fur den Fall, dass der Rang r der Steuerbarkeitsmatrix kleiner oder gleich der Ordnung « des Systems ist, d.h. wenn r >| 1.41 y2(t)
Ul(t)
Bild 8.13 Signalflussplan eines Systems mit den Teilen nichtsteuerbar und steuerbar 8.6.5.2 Zerlegung nach seiner Beobachtbarkeit mit der M-function obsvf Eigenschaft von obsvf: Zerlegt ein durch sein Zustandsmodell beschriebenes System in einen beobachtbaren und einen nichtbeobachtbaren Teil, fur den Fall, dass der Rang r der Beobachtbarkeitsmatrix kleiner oder gleich der Ordnimg n des Systems ist, d.h. wenn r
U{s)
l-G^.{s)G^{s)
(9.12)
mit der fur beide Falle geltenden Signalverzweigung: Y{s) = Y,{s) = U,.{s)
(9.13)
Eigenschaft \on feedback: Bildet von je einem im Vorwartszweig und im Riickflihrzweig befindlichen Ubertragungsglied die gemeinsame Ubertragungsfunktion. Syntax: G = feedback(Gv,Gr,sign) Beschreibung: Bei Vorgabe der Ubertragungsfiinktionen der Ubertragungsglieder im Vorwartszweig und Riickflihrzweig wird nach dem Prinzip Vorwdrts durch Eins plus Vorwdrts mal Riickwdrts bei einer Gegenkopplung imd Vorwdrts durch Eins minus Vorwdrts mal Riickwdrts bei einer Mitkopplung die Ubertragungsfunktion gebildet. Fur eine Gegenkopplung gilt sign = -1 oder es kann entfallen. Bei einer Mitkopplung ist fur sign = 1 zu setzen. Weitere Funktionen siehe help / doc feedback.
9.2 Beschreibung durch Zustandsgleichungen
279
Beispiel 9.3 Die in den beiden vorhergehenden Beispielen verwendeten Ubertragungsfunktionen eines PGliedes und eines /-Gliedes sind wechselseitig als Gegenkopplung zu verschalten. Die Ergebnisse sind zu vergleichen und in der Standardform darzustellen. Was liefert eine Mitkopplung? Losung: siehe Beispiel9_03.m Im Vorwartszweig ein P-Glied und im gegengekoppelten Riickfuhrzweig ein /-Glied liefert ein Z)ri-Glied - Z)-Glied mit Verzogerung 1. Ordnung: G«12 {') •
0,0217^ ^ 6,382.; 0,0034^ + 6,382" 5 + 1877
(9.14)
Im Vorwartszweig ein /-Glied und im gegengekoppelten Ruckfuhrzweig ein P-Glied liefert ein PTI-GMQA - Verzogerung 1. Ordnung. Fur beide Falle ergibt sich der gleiche Neimer. ^«21 {s) =
1 0,0034.5 + 6,382
294,1 .? + 1877
(9.15)
Bei einer Mitkopplung, sign = 1, ist der Koeffizient GQ des Nenners negativ, so dass der dazugehorende Pol in der rechten Halfte der GauBschen Zahlenebene liegt: 6,3825 G,„n («) = 5-1877
(9.16)
und damit ist das System instabil! Siehe Hurwitz-Kriterium.
9.2
Beschreibung durch Zustandsgleichungen
Nachfolgend wird die Verkniipfung dynamischer Systeme, beschrieben durch Zustandsmodelle, behandelt. Gnmdlage ist ein Zustandsmodell mit seinen Zustandsgleichungen:
x,(0 = A,x,(?)+B,u^(0 mit / = 1,2, • • •,«
(9.17)
y,(/) = C,x,.(/)+D,u,(?)
und dem dazugehorenden Signalflussplan:
u(t)
x' = Ax+Bu y = Cx+Du
y(t)
state-Space Bild 9.6 Signalflussplan eines Ubertragungsgliedes im Zeitbereich - Zustandsmodell
280
9 Zusammenschalten von Systemen
9.2.1 Vereinigung nicht gekoppelter Systeme mit der M-function append Zwei nicht untereinander verkoppelte Systeme, entsprechend Gleichung (9.17), lassen sich wie folgt zu einem Gesamtsystem vereinigen. Die Vektor-Matrix-Differenzialgleichung: "x,(/)"
"A,
[^2[t)\
L»
0 " \,{t)
+
B,
A J 1^2 Wj [o
0 " \,{t)
(9.18)
BJ L"2(0j
Die VeJitor-Matrix-Ausgangsgleichung:
"y.(0" "c, Ly2(0j [o Der Signalflussplan:
0 " \,{t)
"".(0" cj 1^2 (Oj [o D J L"2(oJ +
D,
0"
(9.19)
x' = Ax+Bu y = Cx+Du u1(t)
y1{t) System ZM1
ay
x' = Ax+Bu y = Cx+Du
u2(t)
•KID y2(t)
System ZM2
Bild 9.7 Nichtgekoppelte Parallelschaltung der Systeme ZMi imd ZM2 Eigenschaft von append: Bildet aus n nicht untereinander verkoppelten Teilsystemen ein neues System mit den Eigenschaften der n Teilsysteme. Syntax: ZM = append(ZMl,ZM2, ... ,ZMn) Beschreibung: n einzelne Systeme, beschrieben durch einen Satz von zueinander unabhangigen Vektor-Matrix-Gleichungen, entsprechend Gleichung (9.18) und (9.19) sowie Bild 9.6, werden zu einem System verbunden. Es werden Diagonalmatrizen gebildet, deren Elemente auf der Hauptdiagonale aus den entsprechenden Matrizen der Teilsysteme bestehen. Weitere Funktionen siehe help /doc append.
9.2.2 Reihenschaltung mit der M-function series Fijr den Fall, dass die Anzahl der Ausgange yi von System eins gleich der Anzahl der Eingange U2 von System zwei ist, gilt:
9.2 Beschreibung durch Zustandsgleichungen "x,(0
x,(0
B,D,
_x,(?)
BjC,
u,(?) mit
y,{t)^[D,C, C,]
x,(0"
281
M2(?) = >'i(?)
(9.20)
•[D,D,]u,(/)
Hierfiir haben die Ausfflhrungen des Abschnitts 9.1.1 Giiltigkeit, wenn die Ubertragungsfiinktionen durch die Zustandsmodelle ersetzt werden. Fiir den Fall, dass nicht alle AusgangsgroBen yi(/) des ersten Systems gleich EingangsgroBen U2{t) des zweiten Systems sind, wird fur yi(?) und 02(1) folgende Aufgliederung angenommen: y.W^
yuW'
"21(0 "22 ( 0
'.{')••
yi2(0
mit
(9.21)
U2,(/) = y , 2 ( ? )
Mit den Gleichungen in (9.21) ergibt sich der in Bild 9.8 angegebene Zustand. Nur die zum Teilausgangsvektor yuit) gehorenden Ausgange sind gleichzeitig Eingange fiir das zweite System und im Teilvektor U2i(0 vereinigt. Daneben existiert fur System eins noch der Ausgangsvektor yii(0 und fur System zwei noch der Eingangsvektor U22(0x' = Ax+Bu y = Cx+Du
-t n
y11(t)
y12{t) = u21(t)
System ZM1 ^ ^ L . fc r ^
X' = Ax+Bu y = Cx+Du y2(t)
u22(t) System ZM2
Bild 9.8 Reihenschaltung der Systeme ZMl und ZM2 iiber juit) = U2i(/) gekoppelt Als Ergebnis des in Bild 9.8 dargestellten Gesamtsystems ergeben sich als Zustandsgleichungen:
\Jt)~ x,{t)_
vuity = y.(0_
[A, "21^12
D C
0 1[5^1(0 K,_
3(0_
0
"x,(?)"
3(0_
+
[B, B,,D,2
+ D2,D,2
0 1" " i ( 0 ' B22
_"22 (0_
0
"u,(0"
D22
_"22(0_
(9.22)
Die nachfolgend angefuhrte M-fiinction series liefert nicht die kompletten in der Gleichung (9.22) angegebenen Systemmatrizen, sondem nur den zu Ui(/) imd y2(0 gehorenden Anteil:
282
9 Zusammenschalten von Systemen
x,(0"
=
"x,(0"
0
"A,
+
A2.
y.W -
C2]
.^21*^12
"x,(0"
82,0,2
u,(?)
(9.23)
+[D2,D,2]
Eigenschaft von series: Bildet von zwei hintereinander geschalteten Systemen im Zustandsraum die resultierenden Zustandsgleichungen. Syntax: [A,B,C,D] = series(ZMl,ZM2,ausl,em2) Beschreibung: Mit der M-function series wird nur der Teil berechnet der die direkte Kopplimg zwischen den beiden Teilsystemen herstellt, wenn in ausl die Ausgange yi2 des 1. Systems und in einl die Eingange U21 des 2. Systems eingetragen werden, die miteinander korrespondieren. Das Ergebnis ist wie in der Gleichung (9.23) angegeben. Fiir den Fall, dass die Anzahl der Ausgange yi von System eins gleich der Anzahl der Eingange U2 von System zwei ist, gilt: [A,B,C,D] = series(ZMl,ZM2) Weitere Funktionen siehe help / doc M-ftmction series. Beispiel 9.4 Fiir die nachfolgend gegebenen zwei Systeme sind die Zustandsgleichungen des Gesamtsystems gesucht. Zwischen ihnen soil die Eingangs-Ausgangs-Beziehungen M21 =yi3 und M22 = yu gelten. Das Ergebnis ist mit der M-function linmod und einem Signalflussplan entsprechend Bild 9.8 zu tiberpriifen. - System eins
x,(0 = A,x,( ^) + BiUiW x„ (/) _X,2 {t)_ / \
yiW =
>'n(0 yn (0 y7{t)
M^)_
"-1 2
"c„" ^12
1 0
0" x^^{t) -4
X,2 ( ? )
"1 0" M,,(?) 0 2
(9.24)
M,2 ( ? )
Du / \ / \ X,1V( n/ + u, it ) D,2 1 V /
0" 1 x„(?)
~r~ ~~\ _X,2 {t)_ -2
+
1
"0 2" 1 0 «ii(0 +
o"o 0 1
System zwei X2(?) = A2X2(?) + [B2, JB22]U2(?)
_M,2 {t)_
(9.25)
9.2 Beschreibung durch Zustandsgleichungen
X2, (t)
0
r
X22 [t)
-12
-7_
x,, (/) X22 ( f j _
+
"1 0
0
0 2 -1
"21 ( 0 "22(0 "23 ( 0
283
(9.26)
y2it) = C2^2{t) + [^2^ !D22]"2(0
y,{t) = [0 1]
X21 ( ? ) X22 ( ? )
"21 ( 0
-[1 0 | 0 ] "22(0
(9.27)
«23 ( 0
Losung: siehe Beispiel9_04.m und ZMReihe.mdl Der Vergleich der Ergebnisse ergibt: - Die Systemmatrizen stimmen iiberein. - In den Matrizen B und D fehlt jeweils die Spalte i^r die EingangsgroBe M23 des zweiten Systems. - In den Matrizen C und D fehlt jeweils die zu den Ausgangen >'i 1 und^'n des ersten Systems gehorenden Zeilen. Es treten bei dem mit der M-function series berechneten System nur die Eingange des ersten und die Ausgange des zweiten Systems auf, was zu erwarten war.
9.2.3
Parallelschaltung mit der M-function parallel
Fiir den Fall, dass fur die Eingange: (9.28)
U.(0 = "2W = "W und fiir den gemeinsamen Ausgang:
(9.29)
y(0 = yi(0+y2W gilt, ergibt sich als Zustandsmodell des Gesamtsystems:
x,{t) X2(0
A, 0
0 A,
x,{t) x,{t)
u(0
x,{t) y(0 = [Ci C2] x,{t) + [D,+J),]u{t)
(9.30)
Hierfiir gelten die Ausfflhrungen des Abschnitts 9.1.2 und das Bild 9.3 sinngemaB, wenn die Ubertragungsfunktionen durch die Zustandsmodelle ersetzt werden. Fiir den Fall, dass die parallelgeschalteten Systeme neben den durch die Gleichungen (9.28) und (9.29) beschriebenen Eingangsvektoren und Ausgangsvektoren noch separate Eingangsvektoren:
284
9 Zusammenschalten von Systemen
u,(?) =
""„(0"
^u(?) ^ und
(9.31)
Uj (?) =
_u(0 _
_U22 (0_
sowie Ausgangsvektoren: "y.iW"
"y2.(0"
(9.32)
y,W = _yi2(0_ und Yj (?) = 722 (0_ besitzen, ergibt sich mit dem 1. System: x,(?) = A,x,(?)+B,u,(?)
= A,x,(?) + [B„ jB,,]
(9.33)
u(7)
y,(?) = C,x,(?)+D,u,(/)
lu{t) ynlt)
'-'11.1
(0
" 1 1 . 1 1
I
" 1 1
D,
!D,.
(9.34)
^11 (t)
u(7)
und mit dem 2. System: ^2 ( 0 = ^2^2 (0+^2"2 ( 0 = A2X2(?) + [B2, j B,,]
u(0_-
(9.35)
U22 ( 0 y2(?) = C2X2(/)+D2U2(?)
c ^-"21.2
x,{t)-
y22(0
^^21
I -*^21.22
«(0_
-^^22
j -^22.22
"22(0
(9.36)
fur das Gesamtsystem die Vektor-Matrix-Differenzialgleichung:
fiW' _X2"(0.
"A, 1 0 ""x,(?)" B„_^B_,,_jO__ 0 ^ A,_ _x;("o_ + 0 rB„iB,
UllW
u(0_
(9.37)
«22 ( 0
und die Vektor-Matrix-Ausgangsgleichung: y ( 0 = yi2(0+y2i(0 y.iW yW_ y22 ( 0
r
'0
— L ' L L '__
r '-12.1
~i r I '-'21.2
o""Tc~~
x,(0 x,("0
D
'D
"11.11
I
"12.11
I " 1 2 + " 2 1
I "21.22
I D,.
i D,.
"11
!_o_
^n(0 «22 ( 0
(9.38)
9.2 Beschreibung durch Zustandsgleichungen
(JD u11(t)
rh • ^
x' = Ax+Bu y = Cx+Du
+y-^ClD
System ZM1
(X> u22(t)
:h
285
y(t) = y12 + y21
x' = Ax+Bu y = Cx+Du System ZM2
Bild 9.9 Parallelschaltung der Systeme ZMl und ZM2 mit zusatzlichen Eingangsvektoren und Ausgangsvektoren Eigenschaft von parallel: Bildet die resultierenden Zustandsgleichungen von zwei parallel geschalteten Systemen im Zustandsraum ZM = parallel(ZMl,ZM2,einl,ein2,ausl,aus2) Beschreibung: Mit der M-fiinction parallel werden fiir den Fall, dass die parallelgeschalteten Systeme Eingangsvektoren nach Gleichung (9.31) und Ausgangsvektoren nach Gleichung (9.32) aufweisen, die Zustandsgleichungen des resultierenden Modells entsprechend der Gleichungen (9.37) und (9.38) berechnet. Mit ein\ werden die zu Ui2 und mit einl die zu U21 gehorenden EingangsgroBen, die den gemeinsamen Eingangsvektor u bilden, festgelegt. Entsprechendes gilt fur aus\= y\2 und aus2 = y2i als gemeinsamer Ausgangsvektor nach Bild 9.9. Fiir den Fall, dass die Systeme einen gemeinsamen Eingangsvektor nach Gleichung (9.28) haben imd sich der Ausgangsvektor nach der Gleichung (9.29) berechnet, gilt: ZM = parallel(ZMl,ZM2) Weitere Funktionen siehe help / doc parallel. Beispiel 9.5 Gegeben sind die Systemmatrizen der beiden parallelgeschalteten Systeme mit zusatzlichen Eingangen und Ausgangen: - Das 1. System hat drei Eingange und vier Ausgange. " 1 A,=
"-1 0" 2 -4
B,=
"1 j 0 2" 0
1 0_
c,=
0 1
0" 1 -1
-2
1
"0 1 2 0" 1 0 Di =
0
0 ! 0 0 0 1 0 1
(9.39)
286
9 Zusammenschalten von Systemen
Das 2. System hat drei Eingange und Ausgange.
A,=
r 0
-r;
11 -7
[0 «2 =
2 1 Ol
1 01 1
0 1
0 21 0
1 II i 0
D,= 1 0 1 0
1
c,=
(9.40)
0 ol"o 1 _
Die Eingange zwei und drei vom 1. System sowie eins und zwei vom 2. System sind die gemeinsamen Eingange u. Die Ausgange drei imd vier vom 1. System sowie eins und zwei vom 2. System bilden den gemeinsamen Ausgang y. Gesucht sind die resultierenden Gleichungen nach (9.37) und (9.38). Das Ergebnis ist mit der M-function linmod imd einem Signalflussplan entsprechend Bild 9.9 zu iiberprufen. Losung: siehe Beispiel9_05.m und ZMParallel.mdl Die Ergebnisse stimmen iiberein.
9.2.4
Riickfiihrschaltung mit der ^-{unction
feedback
Die verschiedenen Moglichkeiten der Ruckfuhrschaltung wurden im Abscimitt 0 behandelt. ^
Ul(t) ^
x' = Ax+Bu y = Cx+Du
y1(t)
u(t)
y{t) System ZM1 x' = Ax+Bu y = Cx+Du y2{t)
u2{t)
Bild 9.10 Ruckfuhrschaltung der Systeme ZMl und ZM2 Grundlage der weiteren Betrachtungen ist der Vektor-Matrix-Signalflussplan 9.10 mit dem Vorzeichenfaktor: -1 = Gegenkopplung +1 = Mitkopplimg
(9.41)
Es gelten folgende Beziehungen: n,{t) = n{t) + vj^{t)-
y , ( 0 = y ( 0 und ix^{t) = y{t)
(9.42)
Die Ausgangsgleichung des Systems ergibt sich zu: (9.43)
9.2 Beschreibung durch Zustandsgleichungen
287
In der Gleichung (9.43) ist die Ausgangsgleichung: (9.44)
= D,C,x,(?) + C,x,(^) + D,D,u(?) + KD,D,y,(?)
zu ersetzen. Die Terme flir y2(t) werden zusammengefasst und mittels der vorausgesetzt nichtsinguldren Matrix: E = (l-v,D,D,)"
(9.45)
vereinfacht, so dass y2(0 nur noch von den beiden Zustandsvektoren und dem Eingangsvektor abhangt: y2(?) = ED2C,x, (?) + EC2X2(?) + ED2D,u(?)
(9.46)
Damit ergibt sich die Ausgangsgleichung des Systems zu: y(/) = [(l + v,D,ED,)C, ]+D,EC2
•D,(l + v^ED2D,)u(/)
(9.47)
Mit der Gleichung (9.47) lasst sich dann die Vektor-Matrix-Differenzialgleichung des riickgekoppelten Systems wie folgt angeben:
\,{t)_ x,{t)
\,{t)_ B2(l + v^D,ED2)C, ^(A,+v_B,D,EC2) x,{t)
^^J^l^J^P.fAi
+v^BiEC2
(9.48)
B,(l + v,ED2D,)
B;D;(frv;E'D7Dj 'W y1.1(t) x' = Ax+Bu y = Cx+Du System ZM1 x' = Ax+Bu y = Cx+Du
1.
•A
yi,2(t)
1
-
•(X) y(t)
u2{t) = y1. 2(t)
Bild 9.11 Riickfuhrschaltung der Systeme ZMl und ZM2 mit einemzusatzlichen Eingangsvektor und Ausgangsvektor von ZMl Fiir den Fall, dass das System im Vorwartszweig noch einen zusatzlichen Eingangsvektor und Ausgangsvektor entsprechend Bild 9.11 aufweist, werden folgende Beziehungen abgeleitet.
288
9 Zusammenschalten von Systemen
Die Gleichimgen des Systems im Vorwartszweig:
".(0 =
»...(0 "1.2(0
"1.2(0="(0+^.y2(0
u(0+^zy2(0
x , ( 0 = A , x , ( 0 + [B,,i IB,,^]
(9.49)
Uu_(_0" (9.50)
"1.2(0 X, (t) = A,x, (?) + B, „ u , , (?) + B, ,2u(/) +v,B, ,2y2 (?) D, yi(0^
,(0-
yi.2 ( 0
D,
1.1i ( 0 '
u,' 1 . 2,(0 ' (9.51)
yi.i ( 0 = Ci.iix, ( 0 + D,„u,,, ( 0 + D,,2u(?) + v,D,,,2y2 ( 0 yi.2 ( 0 " C,.2,X, (?) + D, 2,U, , (?) + D, 22U ( 0 + K-D, 22y2 ( 0 Die Gleichungen des Systems im Ruckfuhrzweig: "2(0=y(0=yi.2(0
(9.52)
" 2 ( 0 = C,.2,X,(0 + D,.2,",.,(0 + D,.22"(0 + ^zD,.22y2(0 X2 ( 0 = AjXj (?) + B2U2 (?)
x,(?y X2 (?) — [B2CJ21 I A2J X2("0
"i.i (0" + [B2DI,21 1 62^1,22]
u(0
(9.53) + V^B2D,22y2(0
y 2 ( 0 = C2X2(0 + D2U2(?)
(9.54)
y2 (?) = C2X2 (?) + D2 [C,,2,Xi + D, 2,u,,, (?) + D, 22U (?) + v,D, 22y2 ( 0 ] Mit der vorausgesetzt nichtsingularen
Matrix: (9.55)
E = (l-v,D,D,„)-' und den folgenden Zusammenfassungen: F = I + v,ED2D,22
(9.56)
und G = I + v^D,22ED2
ergeben sich fur das Gesamtsystem die Vektor-Matrix-Differenzialgleichung:
X2(0
A,+v^B, ijEDjCjj
^zBi.nECj
B2GC,^2i
A2 + v^B2Dj 22E C2
X2("0
(9.57) Bi.ii+VzB,^,2ED2D,^2i ! B,^,2F '^1.1 ( 0 +B2G D^ 21 I B2G D, 22
"(0
9.2 Beschreibung durch Zustandsgleichungen
289
und die Vektor-Matrix-Ausgangsgleichung:
y,., (0 y(0
x,(/)
Ci.ii+i'zDi.i2ED2Ci,2i I v^Di^ijECs GC, ! v_D,„EC,
(9.58) Di.ii+v.D,,2ED2D,2, j D,,2F GD,
I FD,.22
u(t)
Die Ergebnisse der Gleichungen (9.57) und (9.58) lassen sich mit der M-function feedback berechnen. Eigenschaft von feedback: Bildet die resultierenden Zustandsgleichungen von je einem im Vorwarts- und Riickfuhrzweig befindlichen System. Syntax: ZM = feedback(ZMl,ZM2,einl,ausl,sign) Beschreibung: Die in den Gleichungen (9.57) und (9.58) angeiuhrten Ergebnisse ergeben sich mit der o.a. Befehlsfolge, wenn in einl alle Eingange vom 1. System, die gleich den Ausgangssignalen des 2. Systems sind, angegeben werden. Alle Ausgange vom 1. System, die Eingange des 2. Systems sind, werden in aus\ definiert. Fiir eine Gegenkopplung gilt sign = -1 bzw. kann es entfallen. Eine Mitkopplung ist durch sign = 1 gekennzeichnet. Die Ergebnisse der Gleichimgen (9.48) und (9.47) berechnen sich mit: ZM = feedback(ZMl,ZM2,sign) Fiir sign gelten die oben gemachten Aussagen. Weitere Funktionen siehe help / doc feedback. Liegen die Systeme als Simulink-Signalflussplane vor, so empfiehlt sich die Ermittlung der Systemgleichungen mit Hilfe der M-function linmod. Beispiel 9.6 Gegeben sind die Systemmatrizen der beiden Systeme: - Das 1. System hat drei Eingange und vier Ausgange, es liegt im Vorwartszweig. " 1 "-1 2
0" -4
"1 I 0 2 B,= 0 10
c,
0 =1 -2
0^ 1 -1 1
^0 1 2 0^ D,=
1 0 0 0 ! 0 0
(9.59)
0 1 0 1_
Das 2. System hat zwei Eingange und zwei Ausgange, es liegt im Riickfuhrzweig. " 0
L-12
1 " -7
"0 2 Bj =
\\ oj
C2 =
"0 r
[i oJ
"0 2" D2 =
[} oJ
(9.60)
290
9 Zusammenschalten von Systemen
Die Ausgiinge drei und vier vom 1. System sind die beiden Eingange des 2. Systems. Die beiden Ausgange des 2. Systems werden negativ auf die Eingange zwei und drei des 1. Systems geschaltet. Gesucht sind die resultierenden Gieichungen nach (9.57) und (9.58). Das Ergebnis ist mit der M-function linmod und einem Signalflussplan entsprechend Bild 9.11 zu uberpriifen. siehe Beispiel9_06.m und ZMGegen.mdl Die Ergebnisse stimmen iiberein.
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Verzeichnisse Stichworter Algebra, Fundamentalsatz der 156 Algebraic Constraint-Block 51 Algebraic Loops 47ff Algebraische Schleifen 47ff Allpassanteil 174 Allpassglied 174, 185 Amplitude 229 Amplitudenrand 232 Anfangswert 209 - antwort 205 - probleme 67 Ankerstrom, Dgl. des 107 Anlage 2 Antrieb 105 -Eigenwerte 109 - Signalflussplan 109 - Zustandsmodell 108 Arbeit 70 Arbeitspunkt 87, 88, 103 Array 44 Ausgabeblock 43 AusgangsgroBen 82 - matrix 90 Ausschubarbeit 80 Automation 1, Automatisierung 1, 3 Automatisierimgsanlage 60 - funktion 60 -objekt60 - system 60 - technik 6 B Barkhausen, Selbsterregungsbed. 231 Behalterfllllstand 65 Beobachtbarkeit 254ff - nach Kalman 256ff B eobachtungsnormal form - Analogien zur Regelungsnormalf. 248
Beschreibung, mathematische 137 Bewegung, erzwungene 62 - freie 62 Bilanzgleichungen 69 - raume 69 Binominalkoeffizient 15 Bode-Diagramme 174 - 177ff, 179-184 - nichtminimaler Phase 185 - 188 Briickenschaltung 131, 212 Buchstaben, griechische 39 D DAEs 67 Data Viewers 43 DDEs 67 Dekade 176 Dekomposition 69 Demux-Block 45 Determinante 15, 225 Dezimalkomma 14 -punkt 14 Differenzengleichung 60 Differenzialgl. 62, 67, 82, 84, 118, 137 - Losung von linearen 141ff, 153ff, 228 - nichtlineare 88 - Signalflussplan 65 - simultane 84 - steife und nicht steife 67 - symbolische Losung 64 D-Glied50, 175, 182 Differenzierglied 50, 175, 182 Diracimpuls 210 Dissipation 70, 98 Durchgangsmatrix der SteuergroBe 91 - StorgroBe 91 E Eigenkreisfrequenz 183, 218 - vektor 225 Eigenwert 224
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Verzeichnisse
Eindeutigkeit 138 Eingabeblock 42 Eingaben, direkte, indirekte 8 Eingangsblock 42 - groBen 82 - steuerbare und nichtsteuerbare 82 - system 93, 143, 202 EingroBensysteme - Beobachtungsnormalform 248ff - Regelimgsnormalform fur 243 ff Einheitssprung 207ff Elektrisches Netzwerk 127 Embedded MATLAB Function-Block 87 - Fimctions 56 Energie, auBere 78 - Dissipation der 75 - elektromagnetische 74 - elektrostatische 72 - innere 78 - kinetische 73, 78, 97 -potentielle71,98 - -Masse-Beziehung 70 Enthalpie 79 Erhaltimgssatz der Masse 69
Faltungsintegral 211 Feder 72 Fehlerilinktionen 126 Felder 44 Frequenzgang 168ff -Amplitude 175 - Imaginarteil 175 -Phase 175 -Realteil 175 Frequenzkennlinien-Diagramm 174ff Fiihrungsilbertragungsfunktion 125, 189 Funktionen, haufig benotigte 1 Iff Funktionsblock 41 - datei 8 G Gain-Block 48 Gegenkopplung 48, 277ff, 286ff Geschwindigkeit, verallgemeinerte 77 Geschwindigkeitsvektor 83
Gewichtsfunktion 209, 21 Iff - eines Schwingungsgliedes 219 Gleichung, charakteristische 190, 225, - Losungen der charakteristischen 228 Gleichungen 59 Graphiken 37ff Grenzwertsatze 209, 212 Grundoperationen, mathematische lOff GSL-Motor53, 105,214,223 -elektrische Seite 105 - mechanische Seite 107 -vereinf Modell 110 H Hurwitz-Kriterium 23 Off I I-Gliedl75, 180,215 Impuls, Erhaltungssatz des 81, 84 - antwort 209 - fimktion 209ff Information 4 Informationsaustausch 82 - erfassung 60 - nutzung 60 - tibertragung 60 - verarbeitung 60 - wandlung 60 Integrierglied 175, 180 Inverses Pendel 112, 241, 249 -Eigenwerte 115 - Signalflussplan 115 K Kanonische Zerlegung 257ff Kette,offene231 - Ortskurve einer offenen 233 Knickfrequenz 178 Kommandos, nutzliche 9ff Kondensator 71, 77 Koordinaten, verallgemeinerte 76, 96, 97 Koppelmatrix 86 Kopplungen - wesentliche 4, 82 - unwesentliche 4, 82 Kopplungsgleichungen 69
Stichworter Kreis, geschlossener 231 Kybemetik 3
Lagrange'sche Bewegungsgl. 2. Art 76ff Laplace-Riicktransformation 154 Laplacetransformation 144ff -Losen V. Dgl's 153 - Rechenregeln 147 Leistung 70 Leistungsverstarker 117, 123 Linearitat 138 Linearitatsbereich 102 Logarithmischer Amplitudengang 175 - Phasengang 175 LTI Viewer 216ff M Maschengleichung 132 Mask editor 54 Massentragheitsmoment 97 Matlab Editor 8 MATLAB-Grundoperationen lOff - Kommandos, niltzliche 9 Matrix, charakteristische 224 - Diagonalelemente einer 18 - inverse 17 - Rang einer 16, 253 - singulare quadratische 15, 287 - nichtsingulare quadratische 15, 288 - spezielle 18 - Spur einer 18 - transponierte 17 - Untermatrizen einer 15 -operationen 19 - iibertragungsfiinktion 119, 261 Matrizen 12ff - erweiterte 22 - Operationen mit 20ff -quadratische 14 - spezielle 18ff Mechanisierung 3 MehrgroBensystem 92 - nichtlineares 86 MEX-file 53 Mitkopplung 278, 286
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Modalmatrix 239 Modell, mathematisches 59, 95, 108, 110, 118,127, 131 - bildung 66 -regelkreis 116 N Nachstellzeit 116 Nadelimpuls 210 Netzwerk, sprungfahiges 117, 208, 250 Nichtlinearitaten 56, 101 - vektor 85 Null-dB-Achse 178 -Grad-Achse 178 -stellenl61, 174, 190,202 - bei EingroBensystemen 202 Nyquist-Kriterium 232ff - das allgemeine 233 O ODEs 67 Oktave 176 Operation Division links 27 - Invers 27 Operationsverstarker 116 optimal control 254 Ortskurve 169 - vektor 83
Parallelschaltung 276 Partialbruch 270 -zerlegung 156 PDEs 67 P-Glied 175, 177 Phase 232 Phasenminimumanteil 174 - rand 232 - variable 84 PI-Reglerll6, 122 Pole 161, 174, 190 -Residuender 158 Polynom, Ableitung eines 36 - charakteristisches 225 -Grad eines 33 - Nullstellen eines 35
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Verzeichnisse
Polynom, Wert eines 36 - Wurzeln eines 35 - Eingabe von 33 - Operationen mit 33 Polynome 32ff Potentiale 98 Prinzips von d'Alembert 84 Proportionalglied 175, 177 Prozess, technologischer 2 - analyse 68 R RC-Glied 116 Rechtseigenvektor 225 Regelkreis, einschleifiger 3, 125 Regelstrecke 117 Regelung, modale 254 Regelungsnormalform 143 - aus der Ubertragungsfunktion 244ff - Analogien zur Beobacht.-normalf. 248 Reibung 73 Reihenschaltung 275 Residuensatz 270 Resonanzfrequenz 183 RLC-Netzwerkl31 Rtickkopplungsschaltung 277
Satz von Steiner 97 Schnittfrequenz 181 Schwingkreis 134 Schwingungsglied 134, 217ff - KenngroBen eines 218 Seilkraftsll2 -pnnkts, Geschwindigkeit eines 106 Selbsterregungsbed. von Barkhausen, 231 S-Function 53 Signal, Antwort auf beleibiges 213 - virtuelles 45 Signalbuss 45 - flussplan 45, 105, 109, 112, 115, 120, 121, 124, 134, 160, 188, 242, 252, 255, 259, 264, 265, 272ff, 275 Signalverbindungen 44 - verzweigung 45 Simulation 3
Simulation, Arten der 60 Sinks 43 Skalar 23ff -produkt25, 28, 30 Skript-Dateien 8 Soll-Istwert-Vergleicher 121 Spaltenvektor 24 Sprungantwort 207ff Spule 74 Stabilitat 105, 115 - linearer Systeme 227ff Stabilitatsaussage 229 - grenze 229, 232 - vorrat 232 Stabschwerpunkt 96 Stab-Wagen 206 - lineares Modell 102 - nichtlineares Modell 97 - Signalflussplan 105 Standardform 92 Stationare Verstarkung 221 Stellglied 123 Steuerbarkeit 25 Iff - nach Kalman 253 Steuerbarkeitsindex 253 Steuermatrix 89 Steuerung, Prinzip der optimalen 254 StorgroBen 82 - matrix 90 -ubertragungsfunktion 125 Sto6funktion210ff Structure 44 Summierglied 44 Superpositionsgesetz 211 Symbole, mathematische 39 System 2 - Stab-Wagen 56, 95 - Eigenwerte 104 - zur Energie- und/oder Stoffwandlung 5 -abstraktes 61 - Eigenbewegung 224 - Grundeigenschaften 140 -konkretes 1, 61, 82 System, Maskieren von 54 - Minimalkonfiguration eines 262fF - nichtlinear 65
Stichworter System, nichtlinear zeitinvariant 85 - nichtlinear zeitvariabl 85 - Signalflussplan des nichtlinearen 66 - sprungfahig 48, 127, 143, 208 - thermodynamisches 78 - minimaler Phase 174 - Beschreibung konkreter 81 - Linearisierung nichtl.. zeitinvari. 87 - stabile offene mit Totzeit 236 - eigenschaften 217ff - gleichungen, lineare 92 - matrix 89, 223 - Normalformen der 238ff
Ti-Glied 175, 177 Tzd-Glied 175, 183 Taylorreihe 88 TDi-Glied 175, 181 Technische Arbeit 79, 80 Theoretischen Prozessanalyse 85 Torsionsstab 72 Totzeitghed - TrGlied 186 Trajektorie 83 Transformationen 266ff Transformationsmatrix 244 U Ubergangsflinktion 207ff - eines Schwingungsgliedes 219 Ubertragungsfaktor 48 tJbertragungsfunktion 120, 124, 129, 137, 160ff - offene Kette 188 - Pol-Nullstellen-Form 164, 189 - Polynomform 160, 269, 271 - Zeitkonstantenform 167 - Parallelschaltung 276ff - Reihenschaltung 275ff - RiickfiJhrschaltungen 277ff - Zusammenschaltung von 275ff Ubertragungsglied 211, 275 -aktives 138 -Homogenitat 139 -lineares 137ff -Linearitat 140
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Ubertragungsg., Ortsunabhangigkeit 140 -passives 138 - Ruckwirkungsfreiheit 140 - Speicherverm5gen 139 - Superposition 139 - Zeitinvarianz 139 V Variable 59 - abhangige 59 - unabhangige 59 Vektor 23 - Betrag 25 - Eingabe 24 Vektoren 23ff - Winkel zwischen zwei 29 - Operationen mit 31 Vektorfunktion, nichtlineare 88,89 - Matrix-Ausgangs-Gleichung 92 - Darstellung 82 - - D g l . 85,92, 114 - Signalflussplan 93 - operationen 24 - produkt 25, 29 Verdrangungsarbeit 80 Verfahren nach Runge-Kutta-Fehlberg 68 Verstarkung, stationaren 189 Verstarkungsfaktor 48 189 Verzogemngsglied 1. Ordnung, 175, 177 Volumenanderungsarbeit 79 Vorhaltglied 1. Ordnung 175, 181 W Warmeenergie 78 - iibergang 79 Weg, nichtlineare Dgl. 99 Werte, spezielle 11 ff Widerstand, ohmscher 76 Winkel, nichtlineare Dgl. 98 Wurzelortskurve 190, 191ff, 193, 194 Wurzelortverfahren 188ff, 192ff Wurzelortverf £ beliebige Parameter 199
Zahlen, komplexe 12ff Zeilenvektor 24
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Verzeichnisse
Zustand 82 Zustandsbahn 83 - gedankens, Darstellung des 83 - gleichungen, Diagonalform der 239ff - groBen 82, 84, 132 -modell84, 118,129, 133,266 Zustandsmodelle - Parallelschaltung 276ff, 283ff - Reihenschaltung 280ff, - Riickfllhrschaltung 286ff - Zusammenschaltung von 278ff Zustandsraum, Beschreibung im 81ff - geometrische Deutung 83 Zustandsvektor 82
Namen B Baridiausen, Heinrich Georg 231 Bode, Hendrik Wade 174 Brown, Robert 78
Cayley, Arthur 21 Coriolis, Gaspard Gustave de 70 D d'Alembert, Jean Le Rond 76 Diebold, John 1 Dirac, Paul Adrien Maurice 146 Doetsch, Gustav Heinrich Adolf 84 E Einstein, Albert 70 Euler, Leonhard 168 Evans, Walter R. 191
Fehlberg, Erwin 67 Frobenius, (Ferdinand) Georg 143 G GauB, Carl Friedrich 35 Gilbert, Elmer Grant 251 Gregory, James 88
H Hamilton, William Rowan 225 Harder, Del S. 1 Heaviside, Oliver 146 Henry, Joseph 111 Hurwitz, Adolf 198 Huygens, Christiaan
Jacobi, Carl Gustav Jacob 89 Jordan, Marie Ennemond Camille 240 Joule, James Prescott 71, 78 K Kalman, Rudolf Emil 251 Kirchhoff, Gustav Robert 76 Kutta, Wilhelm 67
Lagrange, Joseph Louis de 76 Laplace, Pierre Simon Marquis de 144 Ljapimov, Alexandr Michajlowitsch 82 M Mayer, Julius Robert 78 N Nyquist, Harry 170
M-functions R Rayleigh, John William Strutt 77 Rothe, Rudolf 24 Routh, Edward John 230 Runge, Carl David Tolme 67
Steiner, Jakob 97 Sylvester, James Joseph 12
Taylor, Brook;
Veltmann, Wilhelm 77
M-functions A antan2 172 append 279ff axis 194 B bode 177ff C canon 24 Iff celldisp 162ff conv 33 cos 147 cross 30 ctrb 253ff ctrbf 257ff, 261 D damp 220ff dcgainl89, 222ff deconv 34 diag 18 dirac 146 diff97 dot 28 dsolve 64ff
E eigl04, 110, 115,227ff,230 esort 104, 110, 115 exp 146
feedback 278ff, 286ff function 9ff G grid 163 H heaviside 146 I impulse 212ff, 230 initial 205ff ilaplace 146, 159 isempty 9ff L laplace 146 legend 215 length 33, 254, 256 linmod 102, 273ff linmod zur Linearisierung 272ff
301
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Verzeichnisse
lsim213ff ltiview216ff M margin 230, 234ff minreal 262ff modred 11 Iff N nargeout 9ff nargin 9ff nchoosek 15 norm 25, 28, 30 nyquist 170ff, 172,230 O obsv 256ff obsvf 259ff 261 ode... 85 odell3 67 -15s 67 -15s 67 -23 67 -23s 67 - 23t 67 - 23tb 67 - 4 5 67, 143 odeset 68
parallel 276ff, 283ff pdepe 68 persistent 9ff poly 35, 226ff polyder 36 polyval 36 pzmap 163ff, 230 R rank 253, 256 residue 270ff rlocfmdl92ff,230 rlocusl91ff,230 rltool 198ff, 202 roots 35, 226ff, 230
series 275ff, 282ff sflintmpl 53 SISO Design Tool 202 solver 68ff ss 94ff ss2ss 25Iff ss2tf266ff ss2zp 269ff ssdelete 112ff step 208ff, 230 summe.m 9 tfl61ff,267ff tfZss 269ff tfZzp 270ff tfdata 162ff trace 18 V vpal59 Z zp2ss271ff zp2tf271ff zpkl65ff zpkdata 166ff
Beispiele und Gleichungen
Beispiele und Gleicliungen B Beispiel2_01.m 8 -2_13.m25 -2_15.m30 - 2_26.m 39 - 2_27.m 40 Beispiel3_02.m 48 - 3_07.m 57 - 3_07a.m 57 Beispiel4_01.m64 - 4_02.m 68 Beispiel6_02.m 144 - 6_02a.m 144 -6_10.ml51 -6_ll.ml52 -6_12.ml52 -6_13.ml56 -6_14.ml59 -6_20.ml67 -6_21.ml71 -6_22.ml71 -6_23.ml72 -6_24.ml72 -6_25.ml83 -6_26.ml84 -6_27.ml85 - 6_30.m 193 -6_31.ml94 - 6_32.m 197 - 6_34.m 202 Beispiel7_01.m206 - 7_02.m 208 -7_03.m212 -7_04.m214 -7_05.m215 Beispiel8_01.m220 - 8_04.m 227 - 8_05.m 234 - 8_06.m 235 - 8_07.m 238 -8_ll.m250 -8_12.m250 - 8 14.m252
- 8 15..m254 - 8 16..m255 - 8 17..m257 - 8 20.,m261 - 8 21.,m263 - 8 22.,m266 - 8 23.,m268 - 8 25.,m270 - 8 26..m273 -8_ 27..m273 BeispieI9 01.m276 - 9 02.,m277 - 9 03. m279 - 9 04.,m283 - 9 05. m286 - 9 06.m290 G Gleichung5 01.m97 - 5 31. mlOO - 5 ' 74,m i l l
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Verzeichnisse
Eigene functions und Signalflussplane
antrieb.m 112ff, 223 Antrieb 109 -reduziert 112 Algebraische Schleife 48, 50 Algebraic Constrain Block 52 B bn_form.m 249ff bode_ap.m 185ff bodelitt.m ISSff bodejt.m 187ff bmecke.m 134ff, 261, 273 Briickenschaltung 134, 273 D dglfst.m 68ff
Gegenkopplung 277 gsl_motor.m 53
invpendel.m 104ff, 115, 266, 273 Inverses Pendel, Diagonalform 242 - Regelimgsnormalform 247 - Zustandsmodell 115 M MehrgroBensystem, linear 93 - nichtlinear 86 Mitkopplung 278 mod_rk.m 127ff Modellregelkreis 120, 121 N nl_f.m 57ff nw_spf.m 13 Iff
Parallelschaltung 276 - nichtgekoppelte 280 R Regelkreis 188 - Standardform 231 - mit Storung 124 Reihenschaltung 275 mform.m 246ff S Signal - Summation 44 - Verzweigung 45 Signalbus 45, 46 Superposition 139 System - 1. Ord. m. einer algebrai. Schleife 48 - 2. Ord. m. einer algebrai. Schleife 50 - linear 1. Ordnung 65 - mit aufgelo. algebrai. Schleife 49, 51 - nichtlinear 1. Ordnung 67 - nicht steuer- u. beobachtbar 263 System, nicht vollstandig steuerbar 252 - nicht volst. steuer- und beobachtbar 255 - reduziert 264 - steuer- und beobachtbar 265 - teilw. beobacht- u. n. beobachtbar 260 - teilweise steuer- u. nicht steuerbar 259 System Stab-Wagen - linearisiert 105 - nichtlinear 57, 272
Zustandsmodell 279 - Parallelschaltung 285 - Reihenschaltung 281 - Riickfuhrschaltung 286, 287
