Mathematik mit Mathcad: Arbeitsbuch für Studierende, Ingenieure und Naturwissenschaftler, 3. Auflage

Hans Benker

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Hans Benker

Mathematik mit MATHCAD Arbeitsbuch fur Studierende, Ingenieure und Naturwissenschaftler Dritte, neu bearbeitete und aktualisierte Auflage

^QS Springer

Professor Dr. HANS BENKER

Mar tin-Luther-Universitat Halle-Wittenberg Fachbereich Mathematik/Informatik Institut fiir Optimierung/Stochastik Theodor-Lieser-Str. 5 06099 Halle

ISBN 3-540-20424-5 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet liber aufrufbar Dieses Werk ist urheberrechtlich geschiitzt. Die dadurch begriindeten Rechte, insbesondere die der Ubersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfaltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen,bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfaltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulassig. Sie ist grundsatzlich vergiitungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer-Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media © Springer-Verlag Berhn Heidelberg New York 1996,1999 und 2004 Printed in Germany www.springer.de Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dafi solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher von jedermann benutzt werden diirften. Solltein diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze,Vorschriften oder Richthnien (z.B. DIN,VDI,VDE) Bezuggenommen oder aus ihnen zitiert werden sein, so kann der Verlag keine Gewahr fiir Richtigkeit, Vollstandigkeit oder Aktualitat iibernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls fiir die eigenen Arbeiten die vollstandigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils giiltigen Fassung hinzuzuziehen. Einbandgestaltung: Kiinkel & Lopka, Heidelberg Satz: Camera-ready-Vorlage vom Autor 7/3020uw- Gedruckt auf saurefreiem Papier-5 4 3 2 1 0

Vorwort

Die vorliegende 3. Ausgabe des Buches Mathematik mit MATHCAD ist eine Neubearbeitung und Erweiterung der 1996 und 1999 erschienenen 1. bzw. 2. Ausgabe [2,31, in denen die Losung mathematischer Aufgaben mittels Computer unter Verwendung des Programmsystems MATHCAD behandelt wird. Im Buch werden alle Gebiete betrachtet, die zu mathematischen Grundlagen technischer, natur- und wirtschaftswissenschaftlicher Fachrichtungen gehoren. Hinzu kommen weiterfiihrende Gebiete der Mathematik, die fur eine Reihe praktischer Aufgabenstellungen benotigt werden. Das Buch ist aus Vorlesungen und Seminaren entstanden, die der Autor fiir Studenten der Mathematik, Wirtschaftsmathematik, Informatik und Technikwissenschaften an der Universitat Halle halt. Wahrend MATHCAD neben MATLAB urspriinglich ein reines Programmsystem fiir numerische mathematische Rechnungen (Anwendung von Naherungsmethoden) war, besitzen beide in ihren neueren Versionen in Lizenz eine Minimalvariante des Symbolprozessors des Computeralgebrasystems MAPLE fiir exakte (symbolische) Rechnungen. Damit hat sich MATHCAD zu einem ebenbiirtigen Partner der bekannten Computeralgebrasysteme AXIOM, DERIVE, MACSYMA, MAPLE, MATHEMATICA, MuPAD und REDUCE entwickelt, wobei MATHCAD einige Vorteile besitzt: • •

MATHCAD ist neben DERIVE und MATHEMATICA ein System, fiir das deutschsprachige Versionen existieren. Die bei exakten (symbolischen) Rechnungen etwas geringeren Fahigkeiten von MATHCAD gegeniiber MAPLE und MATHEMATICA, die als die am weitesten entwickelten Systeme gelten, werden von MATHCAD durch iiberlegene numerische Fdbigkeiten ausgeglichen.

•

Alle Rechnungen konnen im Arbeitsblatt von MATHCAD in der iiblichen mathematischen Symbolik {mathematischen Standardnotatiori) durchgefiihrt werden. Des weiteren ist die Anwendung von Mafieinheiten moglich.

•

Dank der uniibertroffenen Gestaltungsmoglichkeiten im Arbeitsblatt kann man Ausarbeitungen und Veroffentlichungen direkt mittels MATHCAD erstellen.

•

Es existieren fiir MATHCAD iiber 50 Erweiterungspakete, mit deren Hilfe man Aufgaben aus Technik, Natur- und Wirtschaftswissenschaften losen

VI

Vorwort

kann. Diese Erweiterungspakete werden in MATHCAD auch als Elektronische Bucherbeieichnet. Sie enthalten erforderliche Standardformeln und Berechnungsmethoden fur die entsprechenden Gebiete, die ausfiihrlich durch Beispiele, begleitenden Text und Grafiken erlautert sind und die der Anwender problemlos in seine Rechnungen integrieren kann. Diese Vorteile haben einen wesentlichen Anteil daran, daJS sich MATHCAD neben MATLAB zu einem bevorzugten System fiir Ingenieure und Naturwissenschaftler entwickelt hat, um anfallende mathematische Aufgaben zu losen. Da MATHCAD ein universelles System ist, konnen auch Aufgaben aus der Wirtschaftsmathematik gelost werden, wie im Verlauf des Buches illustriert wird. Das vorliegende Buch wendet sich sowohl an Studenten, Dozenten und Professoren von Fachhochschulen und Universitdten als auch in der Praxis tatige Ingenieure, Natur- und Wirtschaftswissenschaftler. Um den Rahmen des Buches nicht zu sprengen, wird die mathematische Theorie der betrachteten Aufgaben nur soweit behandek, wie es fiir eine Losung mittels MATHCAD erforderlich ist. Deshalb werden jegliche Beweise weggelassen. Das soil aber nicht bedeuten, dalS auf mathematische Strenge verzichtet wird, wie es in zahlreichen Blichern uber Computeralgebrasysteme zu beobachten ist. Ein Schwerpunkt des Buches liegt auf der Umsetzung der zu losenden mathematischen Aufgaben in die Sprache von MATHCAD und der Interpretation der von MATHCAD gelieferten Ergebnisse. Dabei wird Wert auf eine kurze Darstellung gelegt, um den Anwender langes Blattern und Suchen bei der Losung einer Aufgabe zu ersparen. Alle behandelten mathematischen Aufgaben werden durch Beispiele illustriert, die dem Anwender Moglichkeiten und Grenzen bei der Anwendung von MATHCAD aufzeigen. MATHCAD kann wie andere Computeralgebrasysteme nicht die Mathematik ersetzen. Es kann aber von langwierigen und komplizierten Rechnungen befreien und Rechenfehler vermeiden, so dalS der Anwender Zeit und Moglichkeiten hat, seine mathematischen Modelle zu verbessern und mit ihnen zu experimentieren. MATHCAD existiert fiir verschiedene Computerplattformen, so u.a. fur IBMkompatible Personalcomputer, Workstations unter UNIX und APPLE-Computer. Das Buch verwendet Version 11 fiir IBM-kompatible Personalcomputer, die unter WINDOWS lauft. Aufbau der Benutzeroberflache und Struktur der vordefinierten Funktionen von MATHCAD unterscheiden sich fiir verschiedene Computerplattformen nur unwesentlich, so dalS die im Buch gegebenen Grundlagen von MATHCAD allgemein anwendbar sind. Da Benutzeroberflache und Struktur der im Buch behandelten Version 11 gegeniiber den vorhergehenden Versionen nur geringfiigig geandert wur-

Vorwort

VII

den, lassen sich die meisten im Buch behandelten Aufgaben auch mit friiheren Versionen von MATHCAD berechnen. Bei friiheren Versionen ist allerdings zu beachten, daJS ihre Leistungsfahigkeit geringer ist und dalS weniger vordefinierte Funktionen als in der Version 11 zur Verfligung stehen. Das Buch kann auch bei zukiinftigen Versionen von MATHCAD herangezogen werden, wenn man sich iiber die Verbesserungen in der Hilfe von MATHCAD informiert. AbschlieJSend mochte ich mich bei alien bedanken, die mich bei der Realisierung des vorliegenden Buchprojekts unterstiitzten: •

Bei Frau Hestermann-Beyerle und Frau Lempe vom Springer-Verlag Heidelberg und Berlin fiir die gute Zusammenarbeit.

•

Bei Frau Diane Ashfield von MathSoft in Bagshot (GroEbritannien) fiir die kostenlose Bereitstellung der neuesten Version 11 von MATHCAD.

•

Bei meiner Gattin Doris, die grolSes Verstandnis fiir meine Arbeit an den Abenden und Wochenenden aufgebracht hat.

•

Bei meiner Tochter Uta, die das Manuskript kritisch gelesen und die Reproduktionsvorlage auf dem Computer erstellt hat.

tJber Fragen, Hinweise, Anregungen und Verbesserungsvorschlage wiirde sich der Autor freuen. Sie konnen an folgende E-Mail-Adresse gerichtet werden: [email protected]

Merseburg, Sommer 2003

Hans Benker

Inhaltsverzeichnis

Einleitung 1.1 Fahigkeiten von MATHCAD 1.2 Einsatzgebiete von MATHCAD 1.3 MATHCAD im Vergleich mit anderen Systemen 1.4 Entwicklung von MATHCAD 1.5 Hinweise zur Benutzung des Buches InstaUation, Struktur und Arbeitsweise v o n MATHCAD 2.1 Installation 2.1.1 Voraussetzungen 2.1.2 Vorgehensweise 2.1.3 Dateien 2.2 Struktur 2.2.1 Benutzeroberflache 2.2.2 Kern 2.2.3 Erweiterungspakete 2.2.4 Hilfesystem 2.2.5 MATHCAD im Internet 2.3 Arbeitsweise 2.3.1 Interaktive Arbeit 2.3.2 Exakte und numerische Rechnungen 2.3.3 Vektororientierung 2.3.4 Zusammenarbeit mit anderen Systemen Benutzeroberflache v o n MATHCAD 3.1 Grundlagen 3.2 Menuleiste 3.3 Symbolleiste 3.4 Formatleiste 3.5 Rechenpalette 3.6 Ressourcen 3.7 Steuerelemente 3.8 Lineal 3.9 Arbeitsblatt 3.10 Statusleiste MATHCAD-Arbeitsblatt 4.1 Grundlagen 4.2 Einfiigen von Text 4.3 Durchftihrung von Rechnungen

1 3 4 5 6 8 9 9 9 9 10 11 12 12 13 13 13 14 14 14 16 16 19 19 20 23 24 25 30 32 33 33 34 37 37 42 44

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12

4.3.1 Eingabe von Ausdriicken 4.3.2 Anordnung und Korrektur von Ausdriicken 4.3.3 Anwendung von Funktionen 4.3.4 Auslosung der Rechnung 4.4 Einfiigen von Grafiken 4.5 Verwaltung von Arbeitsblattern 4.5.1 Offnen, Speichern und Drucken 4.5.2 Layout 4.5.3 Verweise und Hyperiinks 4.5.4 Einfiigen von Objekten 4.5.5 Einfiigen von Komponenten Erweiterungspakete 5.1 Installation und Offnen 5.2 Aufbau 5.3 Eigenschaften 5.4 Vorhandene Erweiterungspakete Hilfesystem v o n MATHCAD 6.1 Einfiihrnng 6.2 Hilfefenster 6.3 Ressourcen 6.4 Fehlermeldungen 6.5 Weitere Hilfen 6.6 Hilfe aus dem Internet Zahlendarstellungen 7.1 ReelleZahlen 7.2 Komplexe Zahlen Variablen 8.1 Einfache und indizierte Variablen 8.2 Bereichsvariablen Zeichenketten 9.1 Einfiihrung 9.2 Zeichenkettenfunktionen Vordefinierte Konstanten, Variablen und Funktionen 10.1 Vordefinierte Konstanten 10.2 Vordefinierte Variablen 10.3 Vordefinierte Funktionen Datenverwaltung 11.1 Einfiihrung 11.2 Felder ; 11.3 Lesen von Daten 11.4 Schreiben von Daten Exakte und numerische Rechnungen 12.1 Einfiihrung 12.1.1 Computeralgebra 12.1.2 Numerische Mathematik

45 47 48 49 50 50 50 52 53 54 54 57 58 60 6I 65 67 67 67 68 68 69 70 71 72 74 77 77 78 85 85 86 89 89 90 91 93 93 94 94 100 105 105 107 110

Inhaltsverzeichnis

12.1.3 Computeralgebra und Numerik in MATHCAD Exakte Rechnungen 12.2.1 Einfiihrung 12.2.2 Anwendung des Mentis Symbolik 12.2.3 Symbolisches Gleichheitszeichen 12.2.4 Schliisselworter 12.3 Numerische Rechnungen 12.3.1 Einfiihrung 12.3.2 Numerisches Gleichheitszeichen 12.3-3 Numerikfunktionen 12.3.4 Genauigkeit 12.4 Steuerung von Rechnungen 12.4.1 Automatikmodus 12.4.2 Manueller Modus 12.4.3 Abbruch von Rechnungen 12.4.4 Deaktivierung von Ausdriicken 12.4.5 Optimierung von Rechnungen 13 Prograniniierung 13.1 Einfiihrung 13.2 Vergleichsoperatoren und logische Operatoren 13.3 Definition von Operatoren 13.4 Zuweisungen 13.5 Verzweigungen 13.6 Schleifen 13.7 Programmstruktur 13.7.1 Einfiihrung 13.7.2 Programmsteuerung 13.7.3 Fehlersuche 13.7.4 Beispiele 14 Rechnen mit MaBeinheiten 15 MATHCAD als Taschenrechner 16 Umformung v o n Ausdriicken 16.1 Einfiihrung 16.2 Vereinfachung 16.3 Partialbruchzerlegung 16.4 Potenzieren 16.5 Multiplikation 16.6 Faktorisierung 16.7 Auf gemeinsamen Nenner bringen 16.8 Substitution 16.9 Umformung trigonometrischer Ausdriicke 17 Endliche Sununen und Produkte 17.1 Einfiihrung 17.2 Berechnung 18 Vektoren und Matrizen 12.2

XI

110 Ill Ill 112 113 116 120 120 121 122 122 123 124 124 125 126 126 131 131 133 135 139 141 145 154 154 156 157 158 167 173 177 177 180 182 184 186 187 189 189 191 193 193 193 199

Xil

inhaltsverzeichnis

18.1 18.2

Einflihrung Eingabe 18.2.1 Eingabe von Vektoren 18.2.2 Eingabe von Matrizen 18.3 Zugriff auf Vektorkomponenten und Matrixelemente 18.4 Vektorisierung 18.5 Vektor- und Matrixfunktionen 18.5.1 Vektorfunktionen 18.5.2 Matrixfunktionen 18.5.3 Koordinatenumwandlungen 18.6 Rechenoperationen 18.6.1 Addition und Mukiplikation 18.6.2 Transponieren 18.6.3 Inverse 18.6.4 Skalar-, Vektor- und Spatprodukt 18.7 Determinanten 18.8 Eigenwertaufgaben 19Funktionen 19.1 Einflihrung 19-2 Allgemeine Funktionen 19.3 Mathematische Funktionen 19.3.1 Elementare Funktionen 19.3.2 Hohere Funktionen 19.3.3 Definition von Funktionen 19.3.4 Approximation von Funktionen 19.3.5 Weitere mathematische Funktionen 20Grafik 20.1 Einflihrung 20.2 Kurven 20.2.1 Ebene Kurven 20.2.2 Raumkurven 20.3 Flachen 20.4 Punktgrafiken 20.5 Diagramme 20.6 Animationen 20.7 Import und Export von Grafiken 21 Gleichungen und Ungleichungen 21.1 Einflihrung 21.2 Lineare Gleichungssysteme 21.3 Analytische Geometrie 21.4 Polynome 21.5 Matrixgleichungen 21.6 Nichtlineare Gleichungen 21.7 Ungleichungen 21.8 Numerische Losungsmethoden

199 201 201 205 211 215 218 218 220 224 225 226 229 230 232 234 237 241 241 243 248 250 252 253 260 268 271 271 271 273 285 288 298 304 306 309 311 311 311 321 325 333 334 342 347

Inhaltsverzeichnis

22 Differentialrechnung 22.1 Einfuhrung 22.2 Ableitungen 22.3 Taylorentwicklung 22.4 Fehlerrechnung 22.5 Grenzwerte 22.6 Kurvendiskussion 23 Integralrechnung 23.1 Einfuhrung 23.2 Unbestimmte Integrale 23.3 Bestimmte Integrale 23.4 Uneigentliche Integrale 23.5 Mehrfache Integrale 23.6 Numerische Methoden 24 Unendliche Reihen und Produkte 24.1 Einfuhrung 24.2 Zahlenreihen und -produkte 24.3 Potenzreihen 24.4 Fourierreihen 25 Vektoranalysis 25.1 Einfuhrung 25.2 Felder und ihre grafische Darstellung 25.3 Gradient, Rotation und Divergenz 25.4 Kurven- und Oberflachenintegrale 26 Transformationen 26.1 Einfuhrung 26.2 Laplacetransformation 26.3 Fouriertransformation 26.4 Z-Transformation 26.5 Wavelet-Transformation 26.6 Anwendung zur Losung von Gleichungen 27 Differenzengleichungen 27.1 Einfuhrung 27.2 Lineare Differenzengleichungen 27.3 Losung mittels Z-Transformation 28 Differentialgleichungen 28.1 Einfuhrung 28.2 Gewohnliche Differentialgleichungen 28.2.1 Lineare Differentialgleichungen 28.2.2 Anfangswertaufgaben 28.2.3 Randwertaufgaben 28.2.4 Losung mittels Laplacetransformation 28.3 Partielle Differentialgleichungen 28.4 Erweiterungspakete zu Differentialgleichungen 29 Optimierung

XIII

357 357 357 368 374 377 381 389 389 389 397 401 404 406 413 413 413 419 420 425 425 425 429 433 435 435 436 440 441 444 446 447 447 448 452 457 457 458 460 461 481 489 495 506 507

XIV

Inhaltsverzeichnis

29.1 29.2

30

31

32

33 34

Einfuhrung Extremalaufgaben 29.2.1 Einfuhrung 29.2.2 Aufgaben ohne Nebenbedingungen 29.2.3 Aufgaben mit Gleichungsnebenbedingungen 29.2.4 Exakte und numerische Losung 29.2.5 Gradientenmethode 29.3 Lineare Optimierung 29.3.1 Einfuhrung 29.3.2 Eigenschaften 29.3.3 Losungsmethoden 29.4 Nichtlineare Optimierung 29.4.1 Einfuhrung 29.4.2 Numerische Methoden 29.4.3 Strafmethoden 29.5 Erweiterungspakete zur Optimierung Wahrscheinlichkeitsrechnung 30.1 Einfuhrung 30.2 Kombinatorik 30.3 Wahrscheinlichkeit und ZufallsgrolSe 30.4 Verteilungsfunktionen 30.4.1 Diskrete Verteilungen 30.4.2 Stetige Verteilungen 30.5 Erwartungswert und Varianz/Streuung 30.6 Zufallszahlen 30.7 Erweiterungspakete zur Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik 31.1 Einfuhrung 31.2 Grundgesamtheit und Stichproben 31.3 Beschreibende Statistik 31.3.1 Grafische Darstellungen 31.3.2 Statistische MaJSzahlen 31.4 Schlie£ende Statistik 31.5 Schatz- und Testtheorie 31.6 Korrelation und Regression 31.6.1 Einfuhrung 31.6.2 Korrelation 31.6.3 Lineare Regression 31.6.4 Nichtlineare Regression 31.7 Erweiterungspakete zur Statistik Simulation 32.1 Einfuhrung 32.2 Monte-Carlo-Simulation Finanzmathematik Zusammenfassung

507 510 510 511 513 516 526 532 532 533 535 542 542 544 545 548 551 551 553 556 562 564 571 576 577 580 581 581 583 587 588 592 596 597 602 602 603 6O6 617 6I8 625 625 626 633 637

Inhaltsverzeichnis

Literaturverzeichnis Sachwortverzeichnis

XV

641 645

1 Einleitung

MATHCAD war wie MATLAB zu Beginn seiner Entwicklung ein reines Numenksystem, d.h., es bestand aus einer Sammlung numerischer Methoden (Naherungsmethoden) unter einer einheitlichen Benutzeroberflache zur numerischen indherungsweiseri) Losung mathematischer Aufgaben mittels Computer. In die neueren Versionen von MATHCAD und MATLAB wurde in Lizenz eine Minimalvariante des Symbolprozessors des Computeralgebrasystems MAPLE zur exakten (symbolischeri) Losung mathematischer Aufgaben aufgenommen. Deshalb kann MATHCAD in seinen neueren Versionen neben numerischen Rechnungen auch exakte Rechnungen durchfiihren. Da die urspriinglich reinen Computeralgebrasysteme fiir exakte Rechnungen wie DERIVE, MATHEMATICA, MAPLE und MuPAD in ihre neueren Versionen numerische Methoden aufgenommen haben, bestehen keine groJSen Unterschiede mehr zwischen den einzelnen Systemen. Sie besitzen alle folgende Moglichkeiten zur Losung mathematischer Aufgaben mittels Computer: * Anwendung der Computeralgebra zur exakten (symbolischen) Man spricht hier auch von Formelmanipulation. * Bereitstellung numerischer Standardmethoden sung.

Losung.

zur ndherungsweisen

Lo-

* Umfangreiche Moglichkeiten fur grafische Darstellungen. Somit kann man MATHCAD ebenfalls zur Klasse der Computeralgebrasysteme zahlen, die wir im folgenden kurz als Systeme bezeichnen. Dabei iiberwiegen in den Systemen AXIOM, DERIVE, MACSYMA, MAPLE, MATHEMATICA, MuPAD und REDUCE die Methoden der Computeralgebra, wahrend in den Systemen MATHCAD und MATLAB numerische Methoden stark vertreten sind und die Computeralgebra von einem anderen System (MAPLE) iibernommen wird.

isr Die Notwendigkeit, Methoden zur naherungsweisen Losung in alle Systeme aufzunehmen, liegt darin begrlindet, daJS die exakte Losung einer mathematischen Aufgabe einen endlichen Losungsalgoritbmus erfordert, der sich fiir viele Aufgabenstellungen nicht finden lalSt. Hierunter versteht man einen Algorithmus, der die exakte Losung einer Aufgabe in endlich vielen Schritten liefert.

1

Einleitung

Der Unterschied zwischen exakter und ndherungsweiser Losung einer mathematischen Aufgabe wird im Kap.l2 diskutiert und an Beispielen illustriert. • Das vorliegende Buch ist in zwei Telle aufgetellt: I. Kap. 1 - 15: Einfuhrung: Einleitung, Installation, Aufbau, Benutzeroberflache und grundlegende Elgenschaften von MATHCAD. II. Kap. 16 - 32: Hauptteil: Losung mathematlscher Aufgaben aus Technlk, Natur- und Wlrtschaftswlssenschaften mlttels MATHCAD. • Im Rahmen des vorllegenden Buches 1st es nlcht mogllch, alle mathematlschen Geblete umfassend zu behandeln. Es werden mathematische Grundaufgaben und wichtige Spezialaufgaben mlttels MATHCAD gelost, die In Technlk und Naturwlssenschaften aber auch Wlrtschaftswlssenschaften auftreten. Die ausfiJhrllche Behandlung umfangrelcher Anwendungsgeblete wle Statlstlk, Optlmlerung und Dlfferentlalglelchungen muJS spezlellen Blichern vorbehalten blelben (slehe [5,26,27]). •

isr

Um den Rahmen des Buches nlcht zu sprengen, wlrd die mathematische Theorie der betrachteten Aufgaben nur sowelt behandelt, wle es fiir elne Losung mlttels MATHCAD erforderllch 1st. Deshalb werden jegllche Bewelse weggelassen. Das soil aber nlcht bedeuten, dalS auf mathematische Strenge verzlchtet wlrd, wle es In zahlrelchen Biichern liber Computeralgebrasysteme zu beobachten 1st. Eln Schwerpunkt des vorllegenden Buches Uegt auf der Umsetzung der zu losenden mathematischen Aufgaben In die Sprache von MATHCAD und der Interpretation der gelieferten Ergebnisse. Dabel wlrd Wert auf elne kurze Darstellung gelegt, um dem Anwender elne schnelle Anwendung zu ermogllchen. Wenn belm Anwender Unklarhelten mathematlscher Natur auftreten, so sollten entsprechende Fachbiicher (slehe Llteraturverzelchnls) herangezogen werden. •

1.1

FShigkeiten von MATHCAD

1^ Im Buch werden alle mit MATHCAD durchgefiihrten Rechnungen direkt aus dem MATHCAD-Arbeitsblatt ubernommen, wobei der von MATHCAD gelieferte erlauternde Text kursiv gesetzt ist. Damit lassen sich die Rechnungen fiir den Anwender einfach nachvollziehen, indem zu berechnende Ausdrticke auf die gleiche Art in das Arbeitsblatt eingegeben werden. • Da von MATHCAD sowohl eine engliscb- als auch eine deutschsprachige Version existieren, betrachten wir beide Versionen, wobei zuerst die Bezeichnungen fiir Meniifolgen und Funktionen der englischen Version und anschlie£end der deutschen Version (in Klammern) angegeben sind. Beispiele werden meistens mit der englischen Version berechnet. Wir stellen absichtlich die englischsprachige Version in den Vordergrund, da eine * neue Version immer zuerst in englischer Sprache erscheint, * deutschsprachige Version auch die Funktionen der englischsprachigen Version versteht, * deutschsprachige Version durch Ubersetzung des englischsprachigen Textes erstellt wird, so da£ Ubersetzungsfehler auftreten. •

1.1 Fahigkeiten von MATHCAD Zu den Fahigkeiten von MATHCAD lassen sich folgende Gesichtspunkte anfiihren: •

MATHCAD besitzt analog wie andere Systeme und alle modernen Computerprogramme eine leicht zu bedienende WINDOWS-Benutzeroberflache, uber die man mit MATHCAD in Dialog tritt und die die Arbeit wesentlich erleichtert (siehe Kap.3). Die Benutzeroberfldche von MATHCAD gestattet es, Arbeitsbldtter/Rechenbldtter so zu gestalten, wie es bei Rechnungen per Hand iiblich ist (siehe Kap.4).

•

In der Gestaltung der Arbeitsbldtter ist MATHCAD alien anderen Systemen iiberlegen, da es samtliche Rechnungen in matbematischer Standardnotation darstellt (siehe Kap.4).

•

Die Arbeit mit MATHCAD geschieht wie bei alien Computeralgebrasystemen interaktiv (siehe Abschn.2.3.1). Dies ist ein grolSer Vorteil im Gegensatz zu Numerikprogrammen, die mit herkommlichen Programmiersprachen (BASIC, C, FORTRAN, PASCAL usw.) ersteUt werden.

1

•

Einleitung

Wenn die exakte (symbolische) Rechnung mittels Computeralgebra versagt, kann man die in MATHCAD integrierten Algorithmen zur numerischen (naherungsweisen) Rechnung heranziehen. Damit lassen sich mit MATHCAD wie mit den anderen Computeralgebrasystemen wesentliche Techniken realisieren, die man zur Losung mathematischer Aufgaben benotigt: * Umformung und exakte Berechnung von Ausdriicken. * Anwendung von Formeln und Gleichungen aus verschiedenen mathematischen Disziplinen. * Anwendung numerischer Methoden. * Grafische Darstellungen.

•

Man kann von MATHCAD wie auch den anderen Computeralgebrasystemen keine Wunder erwarten: * Es lassen sich nur solche Aufgaben exakt losen, fiir die die mathematische Theorie endliche Losungsalgorithmen bereitstellt. * Fiir die numerische Losung werden (moderne) Standardmethoden angeboten, die haufig akzeptable Naherungen liefern, jedoch auch versagen konnen. Die Ursachen fiir das Versagen konnen vielfaltig sein, wie aus der numerischen Mathematik bekannt ist.

•

MATHCAD und die anderen Computeralgebrasysteme befreien bei erfolgreicher Anwendung von aufwendigen Rechnungen, vermeiden die iiblichen Fehler von Handrechnungen und lassen sich vom Anwender durch eigene Programme erganzen.

•

Zusatzlich gestattet MATHCAD die druckreife Abfassung durchgefiihrter Rechnungen. Damit hat sich MATHCAD zu einem wirksamen Hilfsmittel fiir die Losung mathematischer Aufgaben in Technik, Natur- und Wirtschaftswissenschaften entwickelt.

1.2 Einsatzgebiete von MATHCAD Die Einsatzgebiete von MATHCAD sind sehr umfangreich. Dies ist durch die • •

in Abschn.1.1 beschriebenen Fahigkeiten fiir exakte und numerische Rechnungen,

iiber 50 existierenden Erweiterungspakete zu verschiedenen Gebieten aus Mathematik, Technik, Natur- und Wirtschaftswissenschaften (siehe Kap.5) begriindet.

1.3

MATHCAD im Vergleich mit anderen Systemen

Zusammenfassend bietet, die

laEt sich sagen, dalS sich MATHCAD flir diejenigen an-

*

neben exakten Rechnungen haufig mathematische Aufgaben 2u bearbeiten haben, die sich nur naherungsweise losen lassen,

*

Wert auf eine druckreife Darstellung der durchgeflihrten Rechnungen in der liblichen mathematischen Standardnotation legen,

*

Rechnungen mit MalSeinheiten benotigen.

Aufgrund dieser und weiterer im Buch besprochener Eigenschaften hat sich MATHCAD neben MATLAB zu einem bevorzugten System fiir Ingenieure und Naturwissenschaftler entwickelt. Die neueren Versionen von MATHCAD konnen auch zur Losung von Aufgaben der Wirtschaftsmathematik eingesetzt werden, da Funktionen und Erweiterungspakete zur Finanzmathematik, Statistik und Optimierung aufgenommen wurden. • Da in Zukunft die Anwendung der Mathematik hauptsachlich mittels Computer realisiert wird (Computermathematik), gewinnt der Einsatz von MATHCAD und anderer Computeralgebrasysteme standig mehr an Bedeutung. Deshalb gehen die Bestrebungen in der Weiterentwicklung der Computermathematik dahin, in MATHCAD und den anderen Systemen die Methoden von Computeralgebra und Numerik weiterzuentwickeln: * Die Methoden der Computeralgebra bilden einen aktuellen Forschungsschwerpunkt, um fiir immer gro£ere Klassen von Aufgaben effektive endliche Losungsalgorithmen zu entwickeln. * In die neuen Versionen werden wirkungsvolle neu entwickelte numerische Methoden aufgenommen, die man heranziehen kann, wenn die exakte Rechnung mittels Computeralgebra scheitert. * Es wird daran gearbeitet, symbolische und numerische Losungsmethoden zu kombinieren. Erste Erfolge sind bereits in MATHCAD zu sehen, wie im Abschn. 12.4.5 bei der Optimierung von Rechnungen naher erlautert wird. •

1,3 MATHCAD im Vergleich mit anderen Systemen MATHCAD stellt in seinen Rechenfdhigkeiten ein ebenbiirtiges System im Vergleich zu den bekannten Systemen AXIOM, DERIVE, MACSYMA, MAPLE, MATHEMATICA, MATLAB, MuPAD und REDUCE dan

1

Einleitung

* In der Leistungsfdhigkeit bzgl. exakter (symbolischer) Rechnungen ist MATHCAD den universellen Systemen AXIOM, MACSYMA, MAPLE, MATHEMATICA und MuPAD etwas unterlegen, da es nur eine Minimalvariante des Symbolprozessors von MAPLE enthalt. * Beziiglich der enthaltenen Ndberungsmetboden sen Systemen iiberlegen.

ist MATHCAD daflir die-

* Obwohl die anderen Systeme inzwischen ebenfalls verbessert wurden, steht MATHCAD in der Nutzetfreundlicbkeitweiterhin an ersterStelle, da die Gestaltungsmoglichkeiten des Arbeitsblatts von keinem anderen System erreicht werden. Dies betrifft auch die Darstellung der Rechnungen in mathematischer Standardnotation. In den Biichern [22,23,24,25] des Autors werden ein Uberblick liber Funktionsweise, Haupteinsatzgebiete und Geschichte von Computeralgebra- und Mathematiksystemen gegeben, wichtige Systeme wie AXIOM, DERIVE, MACSYMA, MAPLE, MATHEMATICA, MATHCAD, MATLAB und MuPAD vorgestellt und bei der Losung mathematischer Aufgaben miteinander verglichen. •

1.4 Entwicklung von MATHCAD MATHCAD war ursprunglich ein System fiir numerische Rechnungen. Die neueren Versionen unter WINDOWS (ab Version 3) besitzen zusatzlich eine Lizenz von MAPLE fiir exakte (symbolische) Rechnungen (Computeralgebra), d.h., sie enthalten eine Minimaivariante des Symbolprozessors von MAPLE.

IS" Im vorliegenden Buch wird die aktuelle Version 11 unter WINDOWS fiir IBM-kompatible Personalcomputer (PCs) zugrunde gelegt. MATHCAD existiert auch fiir APPLE-Computer und Computer, die unter dem Betriebssystemen LINUX und UNIX laufen. Die Bedienung ist unter den verschiedenen Betriebssystemen analog. • Die aktuelle Version 11 von MATHCAD besitzt neue Leistungsmerkmale gegeniiber der Vorgangerversion 20011, so u.a.: * zusatzliche mathematische Funktionen * verbesserter Datenimport und -export * Optimierung der Berechnungsmethoden * verbesserte Internetanbindung * verbesserte Nutzerfreundlichkeit

1.4

Entwicklung von MATHCAD

Die Gesamtheit der Neuerungen kann man aus der Hilfe mittels der Menlifolge Help => Tutorials => New Features in Mathcad 11 (deutsch: Hilfe => Lernprogramme =:> Was gibts neues in Mathcadll?) erhalten. MATHCAD wird von der 1984 gegrlindeten Firma MATHSOFT aus den USA entwickelt und vermarktet. So wurden seit 1986 die Versionen * 1 (1986) * 2(1988) * 3(1991) * 4(1993) * 5(1994) * 6(1995) * 7(1997) * 8(1998) * 2000 (2000) * 2001 (2001) * 2001i (2002) * 11 (2002/2003) erstellt. Fiir den kleinen Geldbeutel gibt es eine billige Studentenversion mit verringertem Funktionsumfang. Da die Benutzeroberflache der im Buch behandelten Version 11 gegenuber den Vorgangerversionen nur geringfiigig geandert wurde, lassen sich die meisten im Buch behandeken Aufgaben auf die gleiche Art mit diesen Versionen losen. Bei friiheren Versionen ist allerdings zu beachten, da£ ihre Leistungsfahigkeit geringer ist und dalS weniger vordefinierte Funktionen als in der Version 11 zur Verfiigung stehen. Eine ausfiihrliche Behandlung der Versionen 5 und 8 findet man in der 1. bzw. 2. Auflage des vorliegenden Buches (siehe [2,3]). Da bei der Entwicklung von MATHCAD die Benutzeroberflache und die Bezeichnungen der vordefinierten Funktionen nur geringfiigig von Version zu Version geandert werden, kann das vorliegende Buch auch bei zuklinftigen Versionen verwendet werden. Die Hauptgesichtspunkte bei der Weiterentwicklung von MATHCAD liegen in der Verbesserung der Effektivitat der vorhandenen Funktionen und in der Aufnahme neuer Methoden, liber die man sich in der Hilfe einer vorliegenden neuen Version von MATHCAD informieren kann. •

1

Einleitung

1.5 Hinweise zur Benutzung des Buches AbschlieEend geben wir noch einige Hinweise zur Benutzung des vorliegenden Buches: * Neben Uberschriften werden Erweiterungspakete, Befehle, Funktionen, Kommandos und Mentis von MATHCAD im Fettdruck dargestellt. Dies gilt auch fur die Kennzeichnung von Vektoren und Matrizen. * Programm-, Datei- und Verzeichnisnamen und die Namen von Softwarefirmen werden in Grofibuchstaben dargestellt. * Abbildungen, Beispiele, Satze und Definitionen werden in jedem Kapitel von 1 beginnend durcbnumeriert, wobei die Kapitelnummer vorangestellt wird. So bezeichnen z.B. Abb.4.2, Beisp.5.11, Satz 3-1 und Def.2.1 Abbildung 2 aus Kapitel 4 bzw. Beispiel 11 aus Kapitel 5 bzw. Satz 1 aus Kapitel 3 bzw. Definition 1 aus Kapitel 2. Beispiele, Satze und Definitionen werden mit dem Symbol • beendet. * Wichtige Hinweise und Erlduterungen werden durch das vorangehende Symbol

isr gekennzeichnet und mit dem Symbol • beendet. * Wichtige Begriffe und Bezeichnungen werden kursiv geschrieben. Dies gilt auch fiir Anzeigen und Fehlermeldungen von MATHCAD im Arbeitsblatt. * Einzelne Mentis einer Mentifolge werden mittels eines Pfeils => getrennt, der gleichzeitig ftir einen Mausklick steht.

2 Installation, Struktur und Arbeitsweise von MATHCAD

2.1 Installation Die Installation von MATHCAD vollzieht sich analog wie die aktueller WINDOWS-Programme menligesteuert, so dafS wir uns im folgenden auf das Wesentliche beschranken konnen. 2.1.1 Voraussetzungen Fur die vollstandige Installation von MATHCAD 11 unter WINDOWS benotigt man einen Personalcomputer (PC) mit CD-Laufwerk und Pentium-Prozessor ab 233 MHz, der 96 MB RAM (besser 256 MB) und ca. 150 MB freien Speicherplatz auf der Festplatte besitzt. Als Betriebssystem mulS WINDOWS 98 oder eine neuere Version wie ME, 2000 oder XP installiert sein. 2.1.2 Vorgehensweise Die Installation von MATHCAD 11 geschieht unter WINDOWS steuert in folgenden Schritten:

menilge-

I. Falls die Installation nicht automatisch nach dem Einlegen der Programm-CD von MATHCAD startet und sich das Installationsfenster offnet, mulS man die Datei SETUP.EXE auf dieser CD starten. II. Im Installationsfenster klickt man Mathcad 11 an, um die Installation auszulosen. III. Danach wird die Eingabe der Seriennummer gefordert und man kann durch Driicken von Install die Installation starten, wenn man die Lizenzvereinbarung akzeptiert. IV. Ein Name fur das Verzeichnis auf der Festplatte wird vorgeschlagen bzw. kann gewahlt werden, in das die Dateien von MATHCAD durch die Installation kopiert werden. V. Man kann zwischen einer vollstdndigen bzw. benutzerdefinierten Installation wahlen. Fiir den Einsteiger wird die vollstandige Installation empfohlen, bei der samtliche Programmdateien fiir MATHCAD installiert werden.

10

2

Installation, Struktur und Arbeitsweise von MATHCAD

VI. Um dauerhaft mit MATHCAD arbeiten 2u konnen, mu£ man sich noch bei MATHSOFT registrieren lassen. Dies kann automatisch iiber das Internet oder durch Kontakt zu MATHSOFT geschehen.

i^ Nach erfolgreicher Installation von MATHCAD offnet sich durch Aktivierung der Meniifolge Start => Programme => MathSoftApps (deutsch: Start => Programme => MathSoft-Anwendungen) das Fenster der Programmgruppe, aus der man folgendes aktivieren kann: Mittels * Mathcad 11 das System MATHCAD. * MathcadUserGuide (deutsch: MATHCAD-Benutzerhandbuch) das Benutzerhandbuch von MATHCAD. Um dieses Handbuch lesen zu konnen, benotigt man ein Programm zum Lesen von PDF-Dateien wie z.B. den ADOBE ACROBAT READER. •

isr Auf der MATHCAD-Installations-CD befinden sich noch folgende Programme, die man bei Bedarf installieren kann.* Das Programm ADOBE ACROBAT READER 5 zum Lesen von PDF-Dateien. Hiermit kann man z.B. das mitinstallierte Benutzerhandbuch von MATHCAD lesen. * Der INTERNET EXPLORER 6 von MICROSOFT, den man installieren kann, falls dies nicht bereits bei der Installation von WINDOWS geschehen ist. Selbst wenn der Computer keinen InternetanschlulS besitzt, benotigt man den EXPLORER oder einen anderen Web-Browser (InternetBrowser) zur Arbeit mit den Mathcad Resources (deutsch: MathcadRessourcen) und neueren Erweiterungspaketen (siehe Abschn.3.6 und 5.1). • 2.1.3 Dateien Nach der Installation befindet sich die Dateien von MATHCAD auf der Festplatte im gewahlten Verzeichnis: * Hier steht u.a. die Datei MCAD.EXE (ausftihrbare Programmdatet) Start von MATHCAD.

zum

* Weiterhin stehen hier eine Reihe von Unterverzeichnissen, so z.B. das Unterverzeichnis

2.2

Struktur

*

11

MAPLE

das eine Minimalvariante des Symbolprozessor von MAPLE zur Durchfiihrung exakter (symbolischer) Rechnungen enthalt. *

QSHEET das die Dateien des Erweiterungspakets QuickSheets mit Beispielen und Erlduterungen zur Programmierung und zur Losung mathematischer Aufgaben enthalt (siehe Abschn.3.6 und 5.4). Diese Dateien besitzen die Endung .MCD.

* TEMPLATE das Dateien mit Vorlagen fiir Arbeitsblatter enthalt. Diese Dateien besitzen die Endung .MCT. *

HANDBOOK Hier befinden sich die Verzeichnisse der installierten Erweiterungspakete und Dateien mit der Endung .HBK zum Aufruf dieser Pakete.

2.2 Struktur Wie alle aktuellen Computeralgebra- und Mathematikprogrammsysteme besitzt MATHCAD folgende Struktur: •

Benutzeroberfldche (englisch: Workspace) Sie erscheint nach dem Programmstart auf dem Bildschirm des Computers und dient der interaktiven Arbeit zwischen Anwender und MATHCAD (siehe Abschn.2.2.1 und Kap.4). Sie wird auch als Benutzerscbnittstelle/Benutzerinterface/Bedieneroberfldcbe bezeichnet. Sie pa£t sich in Aufbau und Form dem Standard aktueller WINDOWS-Programme an.

•

Aufteilung in Kern und Erweiterungspakete * Der Kern (englisch: Kernel) -

enthalt die Grundoperationen von MATHCAD (siehe Abschn. 2.2.2).

-

wird bei jedem Start von MATHCAD in den Hauptspeicher des Computers geladen, da MATHCAD ihn fiir alle Arbeiten benotigt.

-

kann vom Anwender nicht verandert werden.

* Die Erweiterungspakete (englisch: Extension Packs) losen weiterfiihrende Aufgaben aus Mathematik, Technik, Natur- und Wirtschaftswissenschaften und miissen nur bei Bedarf geladen werden. Wir gehen hierauf ausfiihrlicher im Kap.5 ein.

12

2

Installation, Struktur und Arbeitsweise von MATHCAD

§^ Die Struktur von MATHCAD hat wesentlichen Anteil bei der Einsparung von Speicherplatz im Hauptspeicher und la£t laufende Erweiterungen durch den Anwender zu, indem fiir zu losende Aufgaben eigene Erweiterungspakete erstellt werden. •

2.2.1 Benutzeroberflache Die Benutzeroberflache (siehe Abb.3.1) wird in MATHCAD als MATHCADArbeitsbereich (englisch: MATHCAD-Workspace) bezeichnet. Sie enthalt eine Reihe von Leisten und als Hauptbestandteil das Arbeitsblatt (englisch: Worksheet), das auch als Arbeitsfenster bezeichnet wird. Hieriiber wird die gesamte Arbeit mit MATHCAD abgewickelt, wie wir ausfiihrlicher im Kap.3 und 4 beschreiben.

2.2.2 Kern Im Kern (englisch: Kernel) von MATHCAD, der bei jedem Aufruf geladen wird, sind folgende Hauptbestandteile enthalten: * Die Programmiersprache von MATHCAD Sie gestattet das Schreiben von Funktionsprogrammen. * Die

MATHCAD-Arbeitsumgebimg

Hierzu zahlt man alle Hilfsmittel, die dem Nutzer von MATHCAD die Arbeit erleichtern. Dazu gehoren u.a. die Verwaltung der Variablen, der Ex- und Import (Ausgeben und Einlesen) von Daten. * Das MATHCAD-Grafiksystem Einen Einblick in die umfangreichen grafischen Moglichkeiten von MATHCAD erhalten wir im Kap.20. * Die

MATHCAD-Fimktionsbibliothek

Hierin sind sowohl die elementaren und hoheren matbematischen Fiinktionen als auch eine umfangreiche Sammlung von Funktionen zur exakten bzw. numerischen Losiing mathematischer Aufgaben und weitere allgemeine Funktionen enthalten. Diese Funktionen werden als vordefinierte Funktionen bezeichnet. * Die

MATHCAD-Programmschnittstelle

Diese Anwenderschnittstelle gestattet das Erstellen von Programmen in C, die in MATHCAD eingebunden werden konnen.

2.2

Struktur

13

2.2.3 Erweiterungspakete Zu MATHCAD gibt es iiber 50 Erweiterungspakete (englisch: Extension Packs), die auch als Elektronische Biicher (englisch: Electronic Books) bzw. Elektronische Bibliotheken (englisch: Electronic Libraries) bezeichnet werden. Diese Erweiterungspakete gibt es zu verschiedenen Gebieten der Mathematik, Technik, Natur- und Wirtschaftswissenschaften und enthalten relevante Formeln, Berechnungsmethoden und Beispiele, die der Anwender in sein Arbeitsblatt einbeziehen kann. Im Kap.5 werden wir Struktur und Handhabung dieser Erweiterungspakete ausfiihrlicher kennenlernen. 2.2.4 Hilfesystem Die Arbeit mit MATHCAD wird durch umfangreiche integrierte Hilfen wesentlich erleichtert: * Auftretende Fragen und Unklarheiten werden beantwortet. * Samtliche vordefinierte Funktionen werden ausflihrlich erlautert und durch Beispiele illustriert. * Umfangreiche Fehleranzeigen weisen den Anwender auf Probleme hin, die wahrend der Rechnung aufgetreten sind. * Zusatzliche Hilfe kann iiber das Internet erhalten werden. Da das Hilfesystem fiir ein effektives Arbeiten mit MATHCAD unentbehrlich ist, gehen wir hierauf ausfiihrlicher im Kap.6 ein. 2.2.5 MATHCAD im Internet Aus dem Internet kann man zahlreiche Informationen und Hilfen zu MATHCAD erhalten: * ijber die Internetadresse http://www.niathsoft.coin offnet man die Hauptinternetseite (Homepage) der Firma MATHSOFT. * Uber die Internetadresse http://collab.iiiathsoft.coin/ offnet man eine Internetseite der Firma MATHSOFT, aus der man viele Informationen zu MATHCAD erhalt. * Uber die Internetadresse http://www.inathsoft.coiii/~inathcad2000/ kann man auf mehrere Foren zuriickgreifen, in denen man viele Informationen zu MATHCAD erhalt und auch Fragen stellen kann.

14

2

Installation, Struktur und Arbeltsweise von MATHCAD

Man kann auch direkt aus der Benutzerobetfldche von MATHCAD mittels des Mentis Help (deutsch: Hilfe) auf das Internet zugreifen. So lassen sich z.B. mittels der Meniifolge Help => Mathcad Update

(deutsch: Help => Mathcad-Aktualisierung)

neuentwickelte Programmteile (Updates) von MATHCAD herunterladen. Im Abschn.6.6 werden wir bei der Besprechung der Hilfefanktionen auf den Internetzugriff in MATHCAD zuriickkommen.

2.3 Arbeltsweise Einzelheiten der Arbeltsweise mit MATHCAD bllden den Inhalt des gesamten Buches. In diesem Abschnitt werden wir nur Grundlagen dleser Arbeltsweise kennenlernen. 2.3.1 Interaktive Arbeit Die Arbeit mit MATHCAD bei der Losung einer Aufgabe vollzieht sich interaktiv. Sie ist dadurch charakterisiert, dalS liber die Benutzeroberflache von MATHCAD ein laufender Dialog zwischen Anwender und Computer besteht, wobei sich folgender Zj;^/w5wiederhok: I. Eingabe der zu losenden Aufgabe in das Arbeitsblatt von MATHCAD durch den Anwender. II. Auslosung der Recbnung zur Losung der Aufgabe mittels MATHCAD durch den Anwender. III. Ausgabe der von MATHCAD berechneten Ergebnisse in das Arbeitsblatt. IV. Die von MATHCAD ausgegebenen Ergebnisse stehen flir weitere Rechnungen zur Verfiigung. Die beiden grundlegenden Tatigkeiten beim interaktiven Arbeiten * Eingabe der zu berechnenden Ausdriicke * Auslosung der Rechnung betrachten wir naher im Kap.l2. 2.3.2 Exakte und numerische Rechnungen Wie wir bereits im Kap.l erfahren haben, sind in MATHCAD zwei Arten von Rechnungen moglich: * Exakte (symbolische) Rechnungen im Rahmen der Computeralgebra. Dies geschieht in MATHCAD durch eine integrierte Minimalvariante des Symbolprozessors des Computeralgebraprogramms MAPLE. Mittels exak-

2.3

Arbeitsweise

15

ter Rechnung konnen nur Aufgaben gelost werden, fiir die sich im Rahmen der Computeralgebra ein endlicher Losungsalgorithmus finden lafSt. Hierunter fallt u.a. die Losung folgender Aufgaben: * Berechnung und Umformung von Ausdriicken * Losung von Gleichungen, fur die ein endlicher Losungsalgorithmus existiert, wie 2.B. der GaulSsche Algorithmus fiir Systeme linearer Gleichungen. *

Matrizenoperationen

* Berechnung von Ableitungen * Berechnung gewisser Integrale, fiir die eine Integrationsregel zum Erfolg fiihrt. * Losung gewisser Differentialgleichungen, fiir deren Losung ein endlicher Losungsalgorithmus existiert. Dies ist z.B. bei linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten der Fall. •

Numerische indherungsweise) Rechnungen durch Anwendung numerischer Methoden (Naherungsmethoden). Die numerischen Methoden sind universell anwendbar, liefern aber i.allg. nur eine Naherung fiir die gesuchte Losung. Die numerische Mathematik entwickelt fiir praktisch auftretende mathematische Aufgaben derartige numerische Losungsmethoden und verbessert diese laufend. Neben dem Vorteil der universellen Einsetzbarkeit besitzen numerische Methoden aber auch nicht zu iibersehende Nachteile: * Die Rechnungen sind oft sehr umfangreich, so da£ Probleme auch beim heutigen Stand der Computertechnik auftreten konnen. * Bei erfolgreicher Anwendung einer numerischen Methode werden i.allg. nur Ndherungslosungen erhalten. Es gibt aber nicht fur alle Methoden Fehlerabschatzungen fiir die Abweichungen zur exakten Losung. * Numerische Methoden miissen nicht immer erfolgreich sein. Sie brauchen z.B. nicht konvergieren (Iterationsmethoden) oder liefern durch EinflulS von Rundungsfehlem falsche Ergebnisse. * Zahlreiche numerische Methoden arbeiten iterativ. Sie miissen auch im Falle der Konvergenz nach endlich vielen Schritten abgebrochen werden, so daB Abbruchfehler auftreten, fiir die nicht immer Fehlerabschatzungen existieren.

Ausfiihrlichere Information zu beiden Rechnungsarten von MATHCAD erhalt man im Kap.l2.

16

2

Installation, Struktur und Arbeltsweise von MATHCAD

2.3.3 Vektororientierung MATHCAD ist vektororientiert, d.h., alle Eingaben von Zahlen werden auf der Basis von Vektoren realisiert, wobei nur Spaltenvektoren als Vektoren akzeptiert werden. Damit wird von MATHCAD jede Variable als Vektor gedeutet, so daiS eine einzelne eingegebene Zahl als Spaltenvektor mit einer Komponente interpretiert wird. Dies bringt fur die Arbeit mit MATHCAD eine Reihe von Vorteilen, wie wir im weiteren sehen. Illustrieren wir die Vektororientierung an einem einfachen Beispiel. Beispiel 2.1: Der Vorteil der Vektororientierung von MATHCAD zeigt sich schon bei der Funktionswertberechnung. Bei praktischen Aufgabenstellungen miissen oft Funktionswerte f (x) fiir eine Reihe von x-Werten berechnet werden. Dies lalSt sich einfach realisieren, wenn man die Vektororientierung von MATHCAD ausnutzt: Mochte man z.B. die Sinusfunktion fiir die Werte zwischen 1 und 1.5 mit der Schrittweite 0.1 berechnen, so kann man einen Vektor mit diesen Werten erzeugen und dann die Sinusfunktion anschlielSend auf diesen Vektor anwenden, d.h.: f

1

f 0.841 ^

1.1

0.891

1.2 1.3

sin(v)

0.932 0.964

1.4

0.985

Vl.5

V 0.997

Eine weitere effektive Methode zur Funktionswertberechnung wird durch die Anwendung von Bereichsvariablen geliefert, wie im Beisp.S.lb illustriert wird.

2.3.4 Zusammenarbeit mit anderen Systemen Die Funktionalitat von MATHCAD laiSt sich durch die Zusammenarbeit mit anderen Programmsystemen erweitern. MATHCAD arbeitet sowohl mit weiteren Programmsystemen der Softwarefirma MATHSOFT als auch anderer Softwarefirmen zusammen, so u.a. mit •

AXUM einem von MATHSOFT neben MATHCAD entwickeltem Programmsystem zur

2.3

Arbeitsweise

*

17

Datenanalyse

* Erstellung von Grafiken Hiermit kann man die Grafikfahigkeiten von MATHCAD erweitern. •

EXCEL dem bekannten Tabellenkalkulationsprogramm aus dem OFFICE-Paket von MICROSOFT. So kann man in MATHCAD auf Zellen und Formeln von EXCEL-Tabellen zugreifen.

•

MATLAB dem neben MATHCAD am haufigsten von Ingenieuren und Naturwissenschaftlern angewandten Programmsystem (siehe [251), das von der Softwarefirma MATHWORKS entwickek wird.

•

SMARTSKETCH einem von der Softwarefirma INTERGRAPH entwickekem Grafikprogramm zur Erstellung von 2D-Grafiken.

Wir werden im Rahmen des Buches auf einige Moglichkeiten der Zusammenarbeit von MATHCAD mit diesen Programmsystemen naher eingehen. Ausflihrlichere Informationen erhalt man aus der Hilfe von MATHCAD.

3 Benutzeroberflache von MATHCAD

3.1 Grundlagen Die Benutzeroberflache (englisch: Workspace) der Version 11 von MATHCAD wurde gegeniiber den Vorgangerversionen nur geringfugig verandert. In den folgenden Abschnitten dieses Kapitels diskutieren wir wesentliche Eigenschaften. Im Verlaufe des Buches werden wir zur Losung der einzelnen Aufgaben weitere spezielle Eigenschaften der Benutzeroberflache kennenlernen. Wer schon mit WINDOWS-Programmen gearbeitet hat, wird keine gro/Sen Schwierigkeiten mit der Benutzeroberflache von MATHCAD haben, da sie den gleichen Aufbau hat: *

Meniileiste

* Symbolic iste *

Formatleiste

*

Lineal

*

Arbeitsblatt

*

Statusleiste/Nachrichtenleiste

Hinzu kommen noch *

Rechenpalette

* Leiste der Ressourcen und Steuerelemente Nach dem Starten der Version 11 von MATHCAD unter WINDOWS erhalt man die in Abb.3-1 dargestellte Benutzeroberflache, wobei die englische Version mit eingeblendeter Menii-, Symbol-, Format- und Nachrichtenleiste, Leiste der Ressourcen und Steuerelemente, Lineal und Rechenpalette zu sehen ist. Im folgenden werden wir einzelne Bestandteile der Benutzeroberflache naher kennenlernen.

3

20

Benutzeroberflache von MATHCAD

^S iZSiE£L2±^£^A:;^n.^^>i^^^^^^M^M^ D' 1^y # H ^ Normal

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•'^llO 'Tutorials

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^'^ '^n ;ioo% v' \^ i^l^ M

:E ?E

v ^Go ' ' j;? Toolbars => Standard (deutsch: Ansicht => Symbolleisten => Standard) ein- Oder ausgeblendet werden.

3.4 Formatleiste Unterhalb der Symbolleiste gibt es eine Formatleiste (englisch: Formatting Toolbar) zur Einstellung der Schriftarten und -formen, wie man sie aus

3.5

Rechenpalette

25

Textverarbeitungssystemen kennt, so daE wir hier nicht naher darauf eingehen brauchen. Zusatzlich sind hier die beiden Symbole

zur Bildung von Potenzen

zur Indizierung mit dem Feldindex enthalten. Die Formatleiste wird auch als Symbolleiste Formatierung bezeichnet und kann mittels der Meniifolge \ierw •=> Toolbars => Formatting (deutsch: Ansicht =^ SymboUeisten => Formatierung) ein- oder ausgeblendet werden.

3.5 Rechenpalette Die Rechenpalette (englisch: Math Toolbar)

13 ^ ^ ^ wird haufig bei der Arbeit mit MATH CAD eingesetzt, da man sie * fur alle mathematischen

Operationen

* zur Erzeugung von Grafiken * zur

Programmierung

benotigt. Die Rechenpalette wird auch als Symbolleiste Rechnen bezeichnet und kann mittels der Meniifolge View =^ Toolbars => Math

26

3

Benutzeroberflache von MATHCAD

(deutsch: Ansicht => Symbolleisten => Rechnen) ein- oder ausgeblendet werden und la£t sich im Arbeitsblatt verschieben. Die Rechenpalette von MATHCAD enthalt die Symbole von neun Operatorpaletten, mittels der diese Paletten durch Mausklick geoffnet werden. Im folgenden zeigen wir diese Palettensymbole, wobei der Palettenname mit angegeben wird: 1. Calculator Toolbar

(deutsch: Symbolleiste "Taschenrechner")

2. Graph Toolbar

(deutsch: Symbolleiste "Diagramm")

f\ 3. Vector and Matrix Toolbar

(deutsch: Symbolleiste ''Matrix")

4. Evaluation Toolbar

(deutsch: Symbolleiste "Auswertung'O

B

(deutsch: Symbolleiste ''Differential/Integral")

5. Calculus Toolbar

6. Boolean Toolbar

(deutsch: Symbolleiste "Boolesche Operatoren'O

7. -^^gg^^^^^^^ Toolbar

(deutsch: Symbolleiste "Programmierung")

^ 8. Greek Symbol Toolbar

(deutsch: Symbolleiste "Griechisch")

a0 9. Symbolic Keyword Toolbar

(deutsch: Symbolleiste "Symbolische Operatoren'O

«i Falls man den Namen eines Palettensymbols nicht weiB, so kann man ihn einblenden lassen, wenn man den Mauszeiger auf dem entsprechenden Symbol stehen laiSt.

3.5

Rechenpalette

27

Durch Mausklick auf eines der neun Symbole der Rechenpalette erscheint im Arbeitsblatt die entsprechende Operatorpalette mit den zugehorigen Operatoren, die durch Mausklick an der durch den Kursor im Arbeitsblatt markierten Stelle eingefligt werden konnen. Des weiteren lassen sich die Operatorpaletten mittels der Menufolge View => Toolbars =>...

(deutsch: Ansicht => SymboUeisten =>...)

einblenden. Mit der gleichen Menufolge laJ^t sich noch die Keyword Modifier Toolbar ( deutsch: Symbolleiste "Modifikator")

i^a^K^i ^ann^hnt.

reell

Reelierafoh

tHg

englisch

deutsch

einblenden. Dies ist zusatzlich moglich durch Anklicken von

Modifiers

bzw.

Mdditlk^or

in der Operatorpalette Nr.9. Die neun Operatorpaletten der Rechenpalette enthalten * mathematische Operatoren so u.a. Differentiations-, Grenzwert-, Integral-, Summen-, Produkt-, Wurzelzeichen, Matrixoperator * Operatoren zur Erzeugung von Grafikfenstern * Boolesche Operatoren * griechische Buchstaben *

Programmierungsoperatoren

* Schllisselworter (symbolische Operatoren) und sind bis auf wenige Ausnahmen unmittelbar verstandlich. Im Hauptteil des Buches werden die benotigten Operatoren ausfuhrlich erlautert. Falls man die Bedeutung eines Operators einer Operatorpalette nicht erkennt, so kann man sie einblenden lassen, wenn man den Mauszeiger auf dem entsprechenden Operator stehen la£t. Im folgenden zeigen wir die neun Operatorpaletten in der gleichen Reihenfolge wie ihre eben behandelten Symbole:

28

3

Benutzeroberflache von MATHCAD

1. Calculator Toolbar

(deutsch: Symbolleiste "Taschenrechner)

2. Graph Toolbar

(deutsch: Symbolleiste "Diagramm")

3.

(deutsch: Symbolleiste "Matrix")

Vector and Matrix Toolbar

[•::] \

x' M

Jt-v XXV

SM

^

I

4. Evaluation Toolbar

(deutsch: Symbolleiste "Auswertung")

xf 3cfy x% 5. Calculus Toolbar

^^H ^B

w 1

J ? ? 1 IJITJ

IJITK

1 -*a -*a+

Km 1

(deutsch: Symbolleiste "Differential/Integral")

3.5

Rechenpalette

29

6. Boolean Toolbar

7. Programming

(deutsch: Symbolleiste "Boolesche Operatoren")

Toolbar

(deutsch: Symbolleiste "Programmierung")

+1Zeil8

X

V^ (O

r A I K O n <J> X

E A P ^

A B H e N 5 T Y

TZ

p

O %

Z M S Q

30

3

Benutzeroberflache von MATHCAD

Symbolic Keyword Toolbar (deutsch: Symbolleiste "Symbolische Operatoren'O

m^M^^^^

^^^^^M^8

j "^^"

«-*

Modifiers

""^ 0leit

• -*

Noc^lflk^or

komplex

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1

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1

solve

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substitute

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1

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entwii^k,

1 collect

series

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1

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fourler

laplace

itrans

fourler

1 invfourler invlaplace invztrans f^-1^

i ,

im ^

Invfourler invlaplace

tf^

englisch

^'^

koeff

Invztrans JMl "-»

deutsch

1^ Im Rahmen des Buches werden wir die Operatorpaletten immer durch die gegebene Nummer kennzeichnen. Die geoffneten Operatorpaletten bleiben im Arbeitsblatt stehen, wenn man sie nicht wieder schlieEt. So kann man im Prinzip alle Operatorpaletten offnen. Da bei mehreren geoffneten Operatorpaletten im Arbeitsblatt wenig Platz verbleibt, empfiehlt es sich, nur bei laufenden Rechnungen mehrfach benotigte Paletten geoffnet zu lassen. Die Operatoren der Operatorpaletten dienen sowohl zur Durchfuhrung exakter als auch numeriscber Recbnungen und werden im Laufe des Buches bei der Losung einzelner Aufgaben ausflihrlich erlautert.

3.6 Ressourcen Zum Offnen der Telle * Lernprogramme (englisch: Tutorials) *

QuickSheets

* Verweistabellen (englisch: Reference Tables) der MATHCAD-Ressourcen (englisch: Mathcad Resources) bestehen zwei Moglichkeiten I. Anklicken von

3.6

Ressourcen

31

^60 in der Symbolleiste Ressourcen (englisch: Resources Toolbar)

Diese Leiste kann mittels der Meniifolge Vie^v =^ Toolbars => Resources (deutsch: Ansicht => SymboUeisten => Ressourcen) ein- oder ausgeblendet werden. 11. Anwendung einer der Meniifolgen * Help => Tutorials

(deutsch: Hilfe => Lernprogramme)

* Help ^ QuickSheets

(deutsch: Hilfe => QuickSheets)

* Help => Reference Tables

(deutsch: Hilfe i=> Verweistabellen)

Diese drei Teile der Ressourcen besitzen die Form von Erweiterungspaketen und enthalten: *

Lernprogramme fiir MATHCAD. Die Titelseite mit Inhaltsverzeichnis der einzelnen Programme ist in Abb.3.2 zu sehen.

*

Beispiele fiir alle in MATHCAD vordefinierten Funktionen in den QuickSheets, die man auch zur Losung eigener Aufgaben heranziehen kann.

* Konstanten und Formeln aus Mathematik, Technik und Naturwissenschaften in den Reference Tables, die das Nachschlagen in Taschenbiichern und Formelsammlungen ersparen, wenn man eine Konstante oder Formel vergessen hat. Wir werden im Rahmen des Buches ofters auf die Ressourcen hinweisen.

32

3

Benutzeroberflache von MATHCAD

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:^.M1MM

fialp i,mMkwi ^mkhl &'iluwn ¥mm^i Egsm §^mbA BM^^ &h

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rncitfispft.. Zusammenfassung und kurze Vorstellung von Mathcad Was gibt's neues in Mathcad 11? Einfuhrende Lernprogramme Vertiefende Lernprogramme Weitere Hilfsangebote

Verkniipfuhg nM der Starts^ita des hfofmations^enlfuiM

jAufoM^r^r "in*" ^

Abb.3.2.Titelseite der Lernprogramme der deutschen Version von MATHCAD

3.7 Steuerelemente Mit den Steuerelementen (englisch: Controls) kann man Schaltflachen, Textfelder, Listenfelder und Schieberegister in das Arbeitsblatt von MATHCAD einfligen. Die Leiste der Steuerelemente hat folgende Form

F Toolbars => Controls (deutsch: Ansicht =^ SymboUeisten => Steuerelemente)

3.8

Lineal

33

ein- oder ausgeblendet werden. Des weiteren lassen sich Steuerelemente mittels der Meniifolge Insert => Control

(deutsch: Einfiigen => Steuerelement)

einfiigen. Die Steuerelemente von MATHCAD haben ahnliche Eigenschaften wie die Formularsteuerelemente von MICROSOFT. Fiir ausfiihdichere Informationen verweisen wir den Anwender auf die Hilfe von MATHCAD, die mittels der Meniifolge Help i^ Developer's Reference => MathSoft Controls (deutsch: Hilfe => Developer's Reference => MathSoft Controls) geoffnet wird.

3.8 Lineal Uber dem Arbeitsblatt liegt das aus WINDOWS-Programmen bekannte Lineal (englisch: Rider), mit dem man das Arbeitsblatt formatieren kann (z.B. durch Setzen von Tabulatoren). Das Lineal kann mittels der Meniifolge View :=> Ruler

(deutsch: Ansicht => Lineal)

ein- oder ausgeblendet werden. •

3.9 Arbeitsblatt Das Arbeitsblatt (englisch: Worksheet) wird auch als Arbeitsfensterhezeichnet. In Abb.3-3 illustrieren wir am Beispiel der Losung einer nichtlinearen Gleichung eine mogliche Gestaltung des Arbeitsblatts. Ein weiteres Beispiel findet man in Abb.4.1. Ein Arbeitsblatt lalSt sich folgenderma£en charakterisieren: •

Es schlielSt sich an das Lineal an und wird nach unten durch die Statusleiste begrenzt.

•

Es nimmt den Hauptteil der Benutzeroberflache ein und dient der Hauptarbeit mit MATHCAD, d.h. zur * Eingabe mathematischer Ausdriicke, Formeln und Gleichungen * Durchfiihrung von Rechnungen * Erstellung von Grafiken * Eingabe von Text

34

•

3

Benutzeroberflache von MATHCAD

Es kann wie ein Rechenblatt gestaltet werden, das gekennzeichnet ist durch eine Sammlung von *

Textbereichen zur Eingabe von Text, der die Rechnungen erlautert.

*

Rechenbereichen zur Durchfiihrung samtlicher Rechnungen und Eingabe von Ausdriicken, Formeln und Gleichungen.

*

Grafikbereichen zur Darstellung von 2D- und 3D-Grafiken.

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Text Region

(deutsch. Einfugen => Textbereich)

* Falls man im Rechenmodus bereits Zeichen eingegeben hat, durch Driicken der Leertaste ( 1. Man erkennt den Textmodus am Textbereich (Textfeld), in dem der Einfugebalken | steht und der von einem Rechteck (AuswahlrecbtecM) umrahmt ist. Wahrend der Texteingabe wird der Textbereich laufend erweitert und der Einfligebalken befindet sich hinter dem zuletzt eingegebenen Zeichen. Die Texteingabe kann nicht mit der Eingabetaste P ^ beendet werden. Dies bewirkt nur einen Zeilenwechsel im Text. Das Verlassen des Textmodus geschieht auf eine der folgenden beiden Arten: * Mausklick aulSerhalb des Textbereichs * Eingabe der Tastenkombination |Strg][^nr^

Die wichtigsten aus Textverarbeitungssystemen unter WINDOWS bekannten Funktionen sind auch in MATHCAD realisiert. Man findet diese in * den Mentis File, Edit, View, Insert, Format (deutsch: Datei, Bearbeiten, Ansicht, Einfugen, Format) der Menuleiste * bekannten (standardisierten) Symbolen der Symbol- und Formatleiste. • Da die Textverarbeitiingsfunktionen in MATHCAD die gleiche Bedeutung wie bei Textverarbeitungssystemen haben, betrachten wir im folgenden nur einige wichtige bzw. MATHCAD-spezifische: *

Scbriftarten und Scbriftgrqfien konnen in der Formatleiste eingestellt werden.

4.2

Einfijgen von Text

43

Man kann in den laufenden Text Formeln oder Gleichungen einfiigen, indem man folgende Schritte durchfiihrt: I. Zuerst aktiviert man die Meniifolge zur Erzeugung eines Rechenbereichs Insert => Math Region

(deutsch: Einfiigen => Rechenbereich)

II. Danach kann man die gewiinschte Gleichung/Formel eingeben. III. Abschlie^end klickt man wieder auf den Text, um in den Textmodus zuriickzukehren. Falls sich die einzufugende Gleichung/Formel bereits im Arbeitsblatt befindet, kann man sie auf die libliche Art an die gewiinschte Textstelle kopieren. Hat die eingefiigte Gleichung/Formel nur illustrativen Charakter, d.h., sie soil nicht berechnet werden, so kann sie nach Markierung mit einer Bearbeitungslinie deaktiviert werden, wie im Abschn. 12.4.4 beschrieben wird. Im Arbeitsblatt befindlicher Text kann * geloscht werden, indem er mit gedriickter Maustaste markiert bzw. mit einem Auswahlrechteck umgeben und anschlielSend die Loschtaste [ Entf) oder ( Rechenbereich)

oder durch Mausklick aui^erhalb des Textbereichs in den Rechenmodus umschalten.

isr Man erkennt den Rechenmodus nach Eingabe des ersten Zeichens am Rechenbereich (Rechenfeld), in dem eine Bearbeitungslinie steht und das von einem Rechteck (Auswahlrechteck) umrahmt ist. Wahrend der Eingabe wird der Rechenbereich laufend erweitert und die Bearbeitungslinie befinden sich hinter dem zuletzt eingegebenen Zeichen (siehe Beisp.4.2). Samtliche durchzufiihrenden Rechnungen mlissen in einem Rechenbereich durchgefiihrt werden, d.h., alle notwendigen Formeln, Funktionen, Gleichungen usw. sind hier einzugeben, die wir im weiteren als {mathematische) Ausdriicke bezeichnen. Im folgenden betrachten wir die Problematik der Eingabe von Ausdriicken und Auslosung der Rechnung etwas ausfiihrlicher. Weitere Details hierzu findet man in den entsprechenden Kapiteln des Buches. • Bei MATHCAD ist zu beachten, da£ Rechenbereiche in einem Arbeitsblatt von links nach rechts und von oben nach iinten abgearbeitet werden. Dies mu£ man bei der Verwendung definierter GroEen (Funktionen, Variablen) beriicksichtigen. Sie konnen fiir Rechnungen erst genutzt werden, wenn diese rechts oder unterhalb der Definition (Zuweisung) durchgefuhrt wer-

4.3

Durchfuhrung von Rechnungen

45

den. GrofSen, die bei der Verwendung noch nicht definiert sind, werden von MATHCAD in einer anderen Farbe dargestellt und es wird eine Fehlermeldung ausgegeben. • 4.3.1 Eingabe v o n Ausdriicken Fiir die Eingabe mathematischer Ausdriicke in den Rechenbereich eines Arbeitsblatts stehen verschiedene * mathematische Operatoren * mathematische Symbole * mathematische Funktionen * griechische Buchstaben aus den Operatorpaletten der Rechenpalette per Mausklick zur Verfugung. Die Operatoren und Symbole erscheinen gegebenenfalls mit Platzhaltern fiir benotigte Werte bzw. Variablen. Die Eingabe eines zu berechnenden mathematischen Ausdrucks in das aktuelle Arbeitsblatt kann auf folgende zwei Arten geschehen: I. iiber die Tastatur, wobei Funktionen zusatzlich liber die Dialogbox Insert Function

(deutsch: Funktion einfiigen)

(siehe Abschn.4.3.3) eingefiigt werden konnen, die mittels der Meniifolge Insert =^ Function... (deutsch: Einfiigen => Funktion) aufgerufen wird. II. durch Kopieren aus anderen Arbeitsblattern oder Erweiterungspaketen (iiber die Zwischenablage). Des weiteren benotigt man fiir die Eingabe eines Ausdrucks Bearbeitiingslinien, die wir bereits im Abschn.4.1 kennenlernten. Im folgenden Beisp.4.2 findet man eine Illustration ihrer Anwendung bei der Eingabe eines Ausdrucks.

isr Falls bei der Eingabe von Ausdriicken ein Zeilenwechsel gewiinscht oder erforderlich wird, so geschieht dies bei MATHCAD unter Verwendung der Tastenkombination [StrglP^. So erhalt man z.B. den Ausdruck 1 -f 2 + 3 ... = 10 • +4 wenn man nach der Eingabe von 3 diese Tastenkombination anwendet. •

46

4

MATHCAD-Arbeitsblatt

Weitere Details der Eingabe werden wir in den entsprechen Abschnitten des Buchs kennenlernen. Beispiel 4.2: Um den mathematischen Ausdruck x + 1 ^^ , x-1 in ein Arbeitsblatt einzugeben, sind folgende Schritte erforderlich: I. Man beginnt mit der Eingabe von x+1 und erhalt 3 C + 1|

wobei die zuletzt eingegebene Zahl 1 von einer Bearbeitungslinie markiert wird. II. Danach wird der gesamte Ausdruck durch Driicken der Leertaste [ mit einer Bearbeitungslinie markiert, d.h. x + 1)

1

III. Anschlie^end ist der Bruchstrich / und danach x-1 einzugeben und man erhalt x + 1 IV. Um 2" zu addieren, mulS durch zweimaliges Driicken der Leertaste [ 1 der gesamte Atisdnj^ck durch eine Bearbeitungslinie markiert werden, d.h. x + ll V. Jetzt kann man + 2Ax

eingeben und erhalt

!l±i + 2^ 3C-

1

VI. Um noch 1 addieren zu konnen, mulS 2"^ durch Driicken der Leertaste [ ner Bearbeitungslinie markiert werden, d.h. x + 1 X - 1

2J

AbschlieEend ist +1 einzugeben. •

1 mit ei-

4.3

Durchfiihrung von Rechnungen

47

Das letzte Beispiel la£t schon erkennen, daJS Bearbeitungslinien bei der Eingabe von Ausdrlicken dazu dienen, den Ausdruck aufzubauen, d.h., in das gewunschte Niveau des Ausdrucks zuriickzukehren. Statt der Leertaste [ I die immer funktioniert, kann man die Eingabe von Bearbeitungslinien auch durch Mausklick versuchen. • 4.3.2 Anordnung und Korrektur v o n Ausdriicken MATHCAD stellt umfangreiche Moglichkeiten zur Anordnung und Korrektur mathematischer Ausdriicke bereit, von denen wir im folgenden wichtige skizzieren. Ein im Arbeitsblatt befindlicher Rechenbereich kann •

geloschtund

verschoben werden:

Das Verschieben geschieht genauso wie flir Text (siehe Abschn.4.2). Zum Loschen wird der gesamte zu loschende Teil mit einer Bearbeitungslinie markiert anschlie£end die Loschtaste [ Entf 1 oder [

Funktion... )

* durch Anklicken des Symbols

in der Symbolleiste. Diese Dialogbox gibt zu jeder Funktion eine kurze Erlauterung, wie aus Abb.4.2 zu sehen ist. Weiterhin kann man in dieser Dialogbox auswahlen, ob alle Funktionen oder nur Funktionen einer Klasse (englisch: Function Category) angezeigt werden soUen.

1^ Die Funktionen von MATHCAD konnen auch per Hand mittels Tastatur oder durch Kopieren eingegeben werden. Sie benotigen i.allg. Argumente, die in runde Klammern einzuschlielSen sind. Bei Eingabe einer Funktion mittels der Dialogbox aus Abb.4.2 erscheinen fur die benotigten Argumente bereits leere Platzhalter, die auszufiillen sind. Falls bei der Eingabe der Argumente ein Zeilenwechsel erforderlich ist, so fuhrt die gleiche Verfahrensweise wie bei Ausdrlicken aus Abschn.4.3.1 2um Ziel. •

4.3

49

Durchfuhrung von Rechnungen

Bessel Complex Numbers Curve Fining and Smoothing Differential Equation Solving Expression Type File Access Finance

acosh acot acoth acsc acsch Ai angle

acos(2] Returns the angle (in radians) whose cosine is t. Principal value for complex z.

Insert

OK

Cancel

Abb.4.2.Dialogbox zum Einfiigen von Funktionen 4.3.4 Auslosung der Rechnung Nach Eingabe der entsprechenden Werte in die Platzhalter und Markierung des gesamten zu berechnenden mathematischen Ausdrucks bzw. einer Variablen des Ausdrucks mit einer Bearbeitungslinie gibt es zwei Moglichkeiten zur Auslosung einer exakten (symbolischen) bzw. ndherungsweisen (numerischeri) Rechnung, wenn sich MATHCAD im Automatikmodus (siehe Abschn. 12.4.1) befindetI. Aktivierung des Mentis Symbolics

(deutsch: Symbolik)

d.h., mittels dieses Mentis ist eine Mentifolge mittels Mausklick auszuwahlen. Erforderliche Mentifolgen werden im Rahmen des Buches in der Form Menii 1 => Menu 2

Menii n

geschrieben, wobei der Pfeil ^=> jeweils ftir einen Mausklick steht und die gesamte Mentifolge ebenfalls durch Mausklick abgeschlossen wird. II. Eingabe des * symbolischen tion fstijin

Gleichheitszeichens

z.B. mittels der Tastenkombina-

50

4

*

MATHCAD-Arbeitsbiatt

numerischen Gleichheitszeichens = mittels Tastatur

mit abschlielSender Betatigung der Eingabetaste P ^ oder Mausklick auEerhalb des Ausdrucks. In MATHCAD lassen sich bei einer Reihe von Aufgaben beide Moglichkeiten I. und II. anwenden. Im Kap.l2 werden wir ausflihrlicher hierauf eingehen. Weitere zusatzliche Details findet man in den entsprechenden Kapiteln des Buches.

4.4 Einfiigen von Grafiken Wie bereits erwahnt, lassen sich Grafiken neben Text und Rechnungen an jeder beliebigen Stelle des Arbeitsblatts einfiigen. Dies geschieht unter Verwendung von Grafikfenstern fur 2D und 3D-Grafiken, die sich auf zwei Arten offnen lassen: * mittels der Menlifolge Insert =^ Graph

(deutsch: Einfiigen => Diagramm)

* durch Anklicken der Operatorpalette Nr.2

in der Rechenpalette. Einzelheiten fiir das Erstellen von Grafiken lernen wir im Kap.20 kennen.

4.5 Verwaltung von Arbeitsblattern Nachdem wir schon wesentliche Eigenschaften von MATHCAD-Arbeitsblattern kennengelernt haben, behandeln wir im folgenden einige globule Eigenschaften, wie Offnen, Speichern und Drucken, das Layout, Verweise und Hyperlinks und das Einfiigen von Objekten. 4.5.1 Offnen, Speichern und Drucken Das Offnen, Speichern und Drucken von Dateien (Arbeitsblattern) gehort bei MATHCAD wie bei alien WINDOWS-Programmen zu den Standardoperationen. MATHCAD kann eine Datei •

offnen auf folgende zwei Arten: * durch Anklicken des in WINDOWS-Programmen bekannten Symbols

4.5

Verwaltung von Arbeitsblattern

51

m in der Symbolleiste. * durch Aktivierung der bei WINDOWS-Programmen iiblichen Meniifolge File => Open...

(deutsch: Datei => Offnen)

wobei zwischen -

Arbeitsblattern (Dateiendung .MCD)

-

Vorlagen (Dateiendung .MCT)

-

Zusatzpaketen (Dateiendung .HBK)

-

HTML-Dateien

unterschieden wird. speichem mittels der bei WINDOWS-Programmen iiblichen Meniifolge File => Save As...

(deutsch: Datei => Speichern unter...)

auf Diskette oder Festplatte mit folgenden Endungen : * .MCD Stellt die Standardendimg CAD-Document.

fiir Arbeitsblatter dar und steht fiir MATH-

* .MCT Hiermit wird das Arbeitsblatt als Vorlage abgespeichert und steht fiir MATHCAD-Template * .RTF Hiermit wird das Arbeitsblatt in der Form Rich Text Format abgespeichert, die auch von Textverarbeitungssystemen gelesen werden kann. * .HTM Hiermit wird das Arbeitsblatt im HTML-Format mit eingebetteter MathML (Mathematical Markup Language) abgespeichert, die von einem Internet-Browser gelesen werden kann. drucken auf folgende zwei Arten: * durch Anklicken des in WINDOWS-Programmen bekannten Symbols

52

4

MATHCAD-Arbeitsblatt

in der Symbolleiste. * durch Aktivierung der bei WINDOWS-Programmen iiblichen Meniifolge File => Print...

(deutsch: Datei => Drucken...)

Ein neues Arbeitsblatt wird bei jedem Start von MATHCAD geoffnet. Weitere neue Arbeitsblatter lassen sich auf eine der folgenden beiden Arten offnen: * durch Anklicken des in WINDOWS-Programmen bekannten Symbols

D in der Symbolleiste. •

durch Aktivierung der bei WINDOWS-Programmen Iiblichen Menlifolge File => New...

(deutsch: Datei => Neu...)

In der erscheinenden Dialogbox kann die Form bzw. Vorlage fiir das neue Arbeitsblatt ausgewahlt werden. • 4.5.2 Layout Unter Layout verstehen wir das iibliche Einrichten des Arbeitsblattes vor dem Ausdrucken. Das bedeutet die Festlegung von Seitenrdndem, Seiteniimbrucben, Kopf- und FufSzeilen. Dies geschieht bei MATHCAD analog zu Textverarbeitungssystemen folgenderma^en: Mittels der Menufolge •

File => Page Setup...

(deutsch: Datei => Seite einrichten...)

konnen in der erscheinenden Dialogbox die *

SeitengroEe

*

Seitenrander

*

Seitenausrichtung

eingesteUt werden. •

Insert => Page Break

(deutsch: Einfiigen => Seitenumbruch)

kann ein manueller Seiteniimbnicb eingefiagt werden. MATHCAD fiigt ansonsten automatisch einen Seitenumbruch nach den fiir die Seite eingerichteten Gro£en ein.

4.5

•

Verwaltung von Arbeitsblattern

53

Vie^w => Headers/Footers... (deutsch: Ansicht => Kopf- und Fufizeile...) kann in der erscheinenden Dialogbox die Seitenzahl und Text fiir Kopfund FiiJSzeile eingegeben werden.

4.5.3 Verweise und Hyperlinks MATH CAD gestattet zwei Arten von Verbindimgen beitsblattern: *

zwischen seinen Ar-

Verweise Hier kann auf ein anderes Arbeitsblatt zugegriffen werden, ohne es zu offnen, d.h., man kann die in diesem Arbeitsblatt vorhandenen Ausdriikke, Formeln und Gleichungen anwenden, ohne sie neu eingeben bzw. kopieren zu miissen.

*

Hyperlinks Diese kann man in ein Arbeitsblatt einfiigen, um hieraus andere Arbeitsblatter zu offnen.

Im folgenden betrachten wir die Erzeugung und wesentliche Eigenschaften von Verweisen und Hyperlinks: •

Verweis Er kann an einer beliebigen Stelle des Arbeitsblattes mittels der Meniifolge Insert => Reference...

(deutsch: Einfiigen => Verweis...)

eingefiigt werden, indem in der erscheinenden Dialogbox der Pfad der betreffenden Datei eingetragen wird. MATHCAD fiigt an der Stelle das Symbol Reference

0

Rcfc rcncc: A: \ TE&T.mjctl

mit dem eingetragenen Pfad ein. Hier wird z.B. auf das Arbeitsblatt TEST.mcd verwiesen, das sich auf Diskette im Laufwerk A befindet. Unterhalb dieses Verweises konnen jetzt alle Berechnungen und Ergebnisse aus TEST.mcd verwendet werden, ohne TEST.mcd offnen zu miissen. Der Verweis kann sich auch auf eine Datei im Internet beziehen, wenn man die entsprechende Internetadresse (URL) als Pfad eingibt. Hyperlink Er kann an einer beliebigen Stelle des Arbeitsblattes mittels der Meniifolge

54

4

Insert => Hyperlink

MATHCAD-Arbeitsblatt

(deutsch: Einfiigen => Hyperlink)

erzeugt werden, wenn man in der erscheinenden Dialogbox den Pfad des MATHCAD-Arbeitsblattes angibt, auf das die Verbindung verweisen soil. Diese Meniifolge ist aber erst anwendbar, wenn vorher im MATHCAD-Arbeitsblatt eine der folgenden Aktivitaten durchgefiihrt wurden: * ein Stuck Text markieren, * den Einfijgebalken in einem Textbereich plazieren, * die Bearbeitungslinie in einem Rechenbereich plazieren, * einen Grafikbereich anklicken. Man erkennt einen gesetzten Hyperlink an der erscheinenden Hand, wenn man den Mauszeiger an der entsprechenden Stelle plaziert. Ein doppelter Mausklick auf einen gesetzten Hyperlink offnet das bezeichnete Arbeitsblatt.

1^ Der Vorteil von Verweisen und Hyperlinks liegt auf der Hand. Man kann mehrere Arbeitsblatter miteinander verbinden und damit gleichzeitig nutzen. Wir empfehlen dem Anwender, hiermit zu experimentieren und bei eventuell auftretenden Unklarheiten die Hilfe von MATHCAD heranzuziehen. • 4.5.4 Einfiigen v o n Objekten Das Einfugen von Objekten geschieht in MATHCAD analog zu Textverarbeitungssystemen auf eine der folgenden Arten: * iiber die Zwischenablage * mittels der Meniifolge Insert => Object...

(deutsch: Einfugen => Objekt...)

iiber die erscheinende Dialogbox. Hiermit konnen z.B. Bilder oder EXCEL-Tabellen und -Diagramme eingefiigt werden. 4.5.5 Einfugen v o n Komponenten Das Einfugen von Komponenten geschieht in MATHCAD mittels der Menufolge Insert ^=> Component...

(deutsch: Einfugen :=> Komponente...)

iiber den erscheinenden Kompo72entenassiste72te?2 (englische Version: Component Wizard).

4.5

Verwaltung von Arbeitsbiattern

55

Hiermit kann man u.a. mit den Programmsystemen AXUM, EXCEL und MATLAB zusammenarbeiten. Weitere Informationen hieriiber erhalt man aus der Hilfe bzw. dem MATHCAD-Benutzerhandbuch.

5 Erweiterungspakete

Die Struktur von MATHCAD und anderer Systeme haben wir bereits im Abschn.2.2 kennengelernt. Wir geben sie nochmals an, um die Problematik der Erweiterungspakete 2u illustrieren: *

Benutzeroberfldcbe zur interaktiven Arbeit zwischen Anwender und MATHCAD.

*

Kern wird bei jedem Start von MATHCAD geladen. Hier befinden sich die Funktionen zur Losung von Grundaufgaben.

*

Erweiterungspakete dienen zur Erweiterung von MATHCAD und brauchen nur bei Bedarf geladen/geoffnet werden.

In MATHCAD werden Erweiterungspakete (englisch: Extension Packs) auch unter folgenden Namen gefiihrt; * Elektronische Biicher (englisch: Electronic Books) * Elektronische Bibliotheken (englisch: Electronic Libraries) Hier sind jeweils mehrere Elektronische Biicher flir technische Gebiete zusammengefalSt. *

Add-Ons

Erweiterungspakete losen weiterfuhrende bzw. komplexe Aufgaben. Sie * bestehen aus einer Sammlung von Arbeitsblattern zu einzelnen Gebieten aus Mathematik, Technik, Natur- und Wirtschaftswissenschaften, die iiber Hyperlinks miteinander verknupft sind. * sind in Form eines Buches erstellt, d.h., in Kapitel unterteilt, und enthalten grundlegende Formeln, Berechnungsmethoden, Sachverhalte und Erlauterungen der entsprechenden Gebiete. Im Laufe der Entwicklung von MATHCAD wurden liber 50 Erweiterungspakete zur Losung von Aufgaben aus Mathematik, Technik, Natur- und Wirtschaftswissenschaften von Spezialisten der jeweiligen Gebiete erstellt (siehe Abschn.5.4). Diese werden laufend aktualisiert und erganzt und es kommen neue hinzu.

58

5

Erweiterungspakete

Deshalb sollte man zuerst in vorhandenen Erweiterungspaketen nachsehen, wenn man fur eine zu losende Aufgabe keine unmittelbare Realisierung in MATHCAD findet. Ein zusatzliches Gebiet zur Erstellung von Erweiterungspaketen liegt in der Ausarbeitung von Lehrveranstaltungen mittels MATHCAD. Als Vorlage hierzu konnen die Erweiterungspakete von MATHCAD fur Ausbildung und Lehre dienen, die unter dem Namen Education Library vevirieben werden. •

5.1 Installation und Offnen Erweiterungspakete gehoren i.allg. nicht zum Lieferumfang von MATHCAD, sondern mussen extra gekauft und folglich auch extra installiert werden. Die Installation von Erweiterungspaketen geschieht folgenderma^en: * Bei alteren Paketen kopiert man die zugehorigen Dateien mit den Arbeitsblattern (Endung .MCD) in ein Verzeichnis (z.B. HANDBOOK) von MATHCAD. * Bei neuen Paketen geschieht die Installation meniigesteuert.

Offnen lassen sich Erweiterungspakete mittels einer der Meniifolgen * File =^ Open...

(deutsch: Datei => Offnen...)

* Help => E-books...

(deutsch: Hilfe => E-Books...)

indem man in der erscheinenden Dialogbox entweder den Namen des Erweiterungspaketes anklickt bzw. den Pfad der Datei mit der Endung .HBK eingibt, mittels der das gesuchte Buch aufgerufen wird. Wenn man ein neueres Paket installiert, wird i.allg. von MATHCAD in der Dialogbox von E-books der Name des Pakets eingetragen, so dalS es durch Anklicken aufgerufen werden kann. Bei Paketen alteren Datums ist diese Vorgehensweise nicht immer anwendbar. Hier mussen die einzelnen Arbeitsblatter des Pakets, die als Dateien mit der Endung .MCD vorliegen, auf die iibliche Art geoffnet werden.

5.1

Installation und Offnen

59

Matricad S o l v i n g and Optimization Extension Pack (EKpert Solver) Click Ui»rm ii» «j»«« ihm

Abschnitt speichem)

* Book => Save All Changes (deutsch: Buch => Alle Anderungen speichern) heranzieht. Mochte man das so abgespeicherte geanderte Buch wieder lesen, so ist die Meniifolge Book => View Edited Section (deutsch: Buch => Geanderte Abschnitte einsehen)

62

5

Erweiterungspakete

anzuwenden. •

Die Arbeit mit Erweiterungspaketen gestaltet sich interaktiv, d.h., fiir spezielle Rechnungen konnen Parameter, Konstanten und Variablen geandert werden und MATHCAD berechnet dann im Automatikmodus das dazugehorige Ergebnis (siehe Abschn.12.4.1). So ist im Beisp.5.1 ein Abschnitt aus dem Erweiterungspaket Quick Sheets zur Losung einer Gleichung zu sehen. Hier kann man fiir die gegebene Beispielgleichung eine andere zu losende Gleichung einsetzen und MATHCAD berechnet die entsprechenden Losungen.

Beispiel 5.1: Im folgenden zeigen wir den Abschnitt zur Losung einer Gleichung mit einer Unbekannten aus dem Erweiterungspaket Quick Sheets, das bei der Installation von MATHCAD automatisch mitinstalliert wird:

SOD/ING EQUATIONS

S&lving an Equation in a Single Unlcnown

This OuickSheet can be used to find a solution to the equation f(x) = 0 for a function f(x) you specify, using the built-in root ftmction. Enter a function f(x):

f(x)>x^ + e'' Enter a guess value for the solution (modify as necessary):

soln := root(f(s)3s) Note: For a compleK solution, input a complex guess value. Solution: soln = -0.773

5.3

Elgenschaften

63

Real Solution of f(x) 1 > 1 1

20

1

1

sdln X

1 1

10 [-

« 1

1 1 1

V

1

1

-ID

1 :

-2

1

1

-1

Mote: In the case of an imaginary solution, only the real part of the solution is shown on the plot. Man kann den gegebenen Abschnitt verwenden, um eine beliebige Gleichung 2u losen. Dazu braucht man nur in der Funktionsdefinition

f(x) := x^ + e"" den neuen Funktionsausdruck einzusetzen und gegebenenfalls die Anfangsnahemng zu verandern (z.B. x := 2). Danach berechnet MATHCAD im Automatikmodus eine zugehorige Losung, wie z.B. der folgende Ausschnitt zeigt: f(x):=x^ + X - 2 X:=2 soln := root ( f ( x ) , x ) soln = 1

64

5

Erweiterungspakete

Real Solution of f(x)

iS#|# # I S i l i i i l ! % H S i © m

Units-

ilsmg y ^ l h e t d p t h Q l H t r Applications

CalDulus and P P Q s

BressFlforl'^|i«

AOTO:

Abb.5.3.Titelseite mit Inhaltsverzeichnis des Erweitemngspaketes QuickSheets

5.4

Vorhandene Erweiterungspakete

65

5.4 Vorhandene Erweiterungspakete Mehr als 50 Erweiterungspakete stehen gegenwartig fiir die Gebiete Elektrotechnik, Maschinenbau, Mathematik, Wirtschafts- und Naturwissenschaften zur Verfiigung. Einige dieser Erweiterungspakete lassen sich kostenlos aus dem Internet herunterladen, andere mu£ man zusatzlich kaufen. Sie werden sowohl von der Firma MATHSOFT als auch von anderen Firmen angeboten. Ausfiihrliche Informationen hierzu findet man auf den Internetseiten der Firma MATHSOFT (siehe Abschn.2.2.5). Einen ersten Eindruck von MATHCAD-Erweiterungspaketen erhak man durch folgende Pakete: * Tutorials

(deutsch: Lernprogramme)

liefert eine Einfuhrung in MATHCAD und erlautert Moglichkeiten, um bei Unklarheiten Hilfe zu bekommen. * Quick Sheets ermoglicht den Zugriff auf MATHCAD-Arbeitsblatter (siehe Abb.5.3), in denen die Losung zahlreicher Aufgaben mittels der vordefinierten Funktionen illustriert wird. * Reference Tables

(deutsch: Verweistabellen)

Die Verweistabellen enthalten wichtige Formeln und Konstanten aus Mathematik, Technik- und Naturwissenschaften. Diese Pakete sind kostenlos und werden zusammen mit MATHCAD installiert. Aufrufen lassen sie sich mittels der Leiste Ressourcen oder des Menus EHlfe (siehe Abschn.3.6). Zum Lesen ist allerdings erforderlich, da£ ein Internet-Browser auf dem Computer installiert ist. •

6 Hilfesystem von MATHCAD

6.1 Einfiihrung Das Hilfesystem wird bei der Entwicklung von MATHCAD kontinuierlich ausgebaut, so daiS der Anwender zu alien auftretenden Fragen und Problemen Antworten bzw. Hilfen erhalt. In den folgenden Abschnitten dieses Kapitels betrachten wir grundlegende Moglichkeiten des Hilfesystems von MATHCAD. Da die Hilfen von MATHCAD sehr komplex sind, wird dem Anwender empfohlen, damit zu experimentieren, um sie wirkungsvoU einsetzen zu konnen.

6.2 Hilfefenster Das Hilfefenster (siehe Abb.6.1) Mathcad Help

(deutsch: Mathcad Hilfe)

wird am haufigsten bei auftretenden Fragen und Problemen herangezogen. Es la£t sich auf eine der folgenden Arten offnen: * Anklicken des Symbols

(D in der SymboUeiste. * Driicken der (TTj-Taste * Aktivierung der Meniifolge Help =» Mathcad Help

(deutsch: Hilfe =» Mathcad-HUfe)

In dem geoffneten Hilfefenster von MATHCAD kann man mittels * Contents

(deutsch: Inhalt)

Informationen zu einzelnen Gebieten, *

Index Erlauterungen zu alien in MATHCAD verwendeten Begriffen und vordefinierten Funktionen,

68

6

* Search

Hilfesystem von MATHCAD

(deutsch: Suchen)

Informationen zu einem eingegebenen Suchbegriff erhalten. ^101XI

WMM^M^i':^^, AwsWenden niMfUt'-k

\kmk\i

Startsefte

Diuckert

Optbnen

^3

Inhalt j y e H I iMchenl

mothsoft^ Tent Lajiout-Hllftsmftte} 1 ^ Verwaltung von Arbeitsblaltern j l ^ Vektoren und Matrizen 1^ 1^ 1^ k|^ 1^ 1^ 1^ 1% 1^

Zeichenfolgen Funklionen Operatoren Libsen und 0 ptimieren Ddtenverwaltung Datenanalyse • Statistik Diagramme Symbolische Berechnung Einheiten und Dimensionen Programmierung

Author's Reference bzw.

Help => Developer's Reference

* Wenn man den Mauszeiger auf ein Symbol der Symbol-, Formatleiste oder Rechenpalette stellt, wird dessen Bedeutung angezeigt und zusatzlich in der Nachrichtenleiste eine kurze Erklarung gegeben. * Des weiteren werden in der Nachrichtenleiste die Untermeniis der Menlileiste (siehe Abschn.3.3) kurz erklart, wenn man den Mauszeiger auf das entsprechende Menli stellt. * Wenn sich die Bearbeitungslinie auf einer Funktion oder Fehlermeldung befindet, kann durch Driicken der Taste [n] eine Hilfe im Arbeitsblatt eingeblendet werden. * Hilfe zu Untermeniis der Menlileiste und Symbolen der Symbol- und Formatleiste erhalt man folgenderma£en: L Durch Driicken der Tastenkombination fonfFT] wird der Kursor in ein Fragezeichen verwandelt. IL Durch Klicken mit diesem Fragezeichen auf ein Untermenii bzw. Symbol wird das Hilfefenster Mathcad Help hierzu angezeigt. in. Durch Driicken der Taste (|sc] verwandelt sich das Fragezeichen wieder zum normalen Kursor.

6.6 Hilfe aus dem Internet Wichtige Internetadressen haben wir schon im Abschn.2.2.5 kennengelernt, um bei auftretenden Fragen und Problemen Hilfe aus dem Internet zu bekommen. Man kann auch direkt aus MATHCAD heraus Kontakte zum Internet aufnehmen, indem man bei vorhandenem InternetanschlulS folgende Meniifolgen aktiviert: * Help => Mathcad.coni

(deutsch: Hilfe =:> Mathcad.coni)

Hiermit kommt man zu einer Internetseite der Firma MATHSOFT, die viele Informationen liefert, von der man auf Elektronische Biicher der Web-Bibliothek zugreifen kann und von der man interessierende Arbeitsblatter herunterladen kann. * Help => User Forums

(deutsch. Hilfe ^ Benutzerforen)

Hierdurch kann man am Anwender-Forum von MATHCAD teilnehmen, Fragen stellen und Probleme diskutieren.

7 Zahlendarstellungen

Im folgenden beschaftigen wir uns mit der Darstellung von Zahlen im Rahmen von MATHCAD. MATHCAD * kennt sowohl reelle als auch komplexe Zahlen, deren mogliche Darstellungen wir in den folgenden beiden AbschnJ.l bzw. 7.2 beschreiben. * interpretiert jede Bezeichnung als Zahl, die mit einer Ziffer beginnt. * kennt die Zahlenwerte einer Reihe von Konstanten, wichtige im Abschn.10.1 kennenlernen.

von denen wir

•llllliMlll HmbBt Farmat I DMaj^ OpBom j Unil: Di^pfe^^ | Tolerance |. £orm4 .mi. 1

NuiBberrftkmtd places^ j 3

General Decimal Scientific Engineering Fraction

23

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mmtmmmmi^mmtimmmLmmmi^mmmmmmmmmmMm^

OK

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Abb.y.l.Dialogbox Result Format zur Einstellung des Zahlenformats

1^ Das Zahlenformat kann man in MATHCAD ftir alle Zahlenarten mittels der Meniifolge Format => Result...

(deutsch: Format =^ Ergebnis...)

in der erscheinenden Dialogbox Result Format

(deutsch: Ergebnisformiat)

einstellen. Diese in Abb.7.1 zu sehende Dialogbox wird uns im Laufe des Buches ofters begegnen. •

72

7

Zahlendarstellungen

7.1 Reelle Zahlen Reelle Zahlen konnen in MATHCAD folgenderma£en dargestellt werden: •

symbolisch (exakt) als Symbole, wenn sie irrational sind wie z.B. * e (Eulersche Zahl) * n (Pi)

* V2 V3+ln(2)

(algebraischer Ausdruck mit reellen Zahlen in symbolischer Darstellung) •

symbolisch (exakt) als Bruch, wenn sie rational sind, d.h., sich in der Form m n darstellen lassen, wobei m und n ganze Zahlen sind.

•

numerisch (ndherungsweise) in *

Dezimaldarstellung

*

Binardarstellung

*

Oktaldarstellung

*

Hexadezimaldarstellung

Die Einstellung hierzu ist in der Dialogbox Result Format

(deutsch: Ergebnisformat)

bei Display Options (deutsch: Anzeige-Optionen) mittels *

Decimal

*

Binary

*

Octal

*

Hexadecimal

vorzunehmen. Im Rahmen des vorliegenden Buches verwenden wir in Rechnungen fiir reelle Zahlen die Dezimaldarstellung, die in der Dialogbox bei Number

7.1

Reelle Zahlen

73

Format (deutsch: Zahlenfortnat) Decimal eingestellt wird. Hierfiir verwendet MATHCAD statt des Dezimalkommas den Dezimalpunkt und gibt das Ergebnis ohne Exponenten aus. Die Problematik der Rechnung mit reellen Zahlen ist auch Gegenstand von Abschn.12.3 und Kap.l5. • Bei der Dezimaldarstellung reeller Zahlen ist zu beachten, da£ hier Ndherungswerte auftreten konnen, da ihre Darstellung auf dem Computer nur durch endlich viele Ziffern moglich ist. MATHCAD gestattet die Annaherung durch maximal 4000 Dezimalstellen. Die gewunschte Anzahl von Dezimalstellen kann z.B. bei Verwendung der Meniifolge Symbolics ^ Evaluate => Floating Point... (deutsch: Symbolik => Auswerten => Gleitkomma...) in der Dialogbox Floating Point Evaluation

(deutsch: Gleitkommaauswertung)

eingestellt und berechnet werden (siehe auch Abschn. 12.3.4). In der Dialogbox Result Format

(deutsch: Ergebnisformat)

lassen sich fiir die Dezimaldarstellung reeller Zahlen u.a. Einstellungen flir die Anzahl von Dezimalstellen und nachfolgenden Nullen vornehmen: •

Number Format

(deutsch: Zahlenformat)

* Hier konnen in Number of decimal places (deutsch: Anzahl Dezimalstelleii) maximal 15 Dezimalstellen (Standardwert=3) fur die Genauigkeit bei Verwendung des numerischen Gleichheitszeichens = (numerische Rechnung) eingestellt werden. * Wenn Show trailing Zeros (deutsch: Nachfolgende Nullen anzeigen) aktiviert ist, werden nachfolgende Nullen bis maximal 15 angezeigt. •

Tolerance

(deutsch: Toleranz)

Hier kann bei Zero threshold (deutsch: Niillschwelle) eine ganze Zahl n zwischen 0 und 307 eingegeben werden (Standardwert=15), die bewirkt, da£ MATHCAD reelle Zahlen, die kleiner als 10 ~" sind, als Null darstellt.

In der Dialogbox Result Format (deutsch: Ergebnisformat) lassen sich bei Number Format (deutsch: Zahlenformat) au£er der im Buch verwandten Dezimaldarstellung Decimal noch weitere Darstellungsformen fiir reelle Zahlen wahlen, wie z.B. die Exponentialdarstellung, die bei der Einstellung Scientific oder Engineering Anwendung findet. Wir iiberlassen es dem Anwender, welche Darstellungsform er bevorzugt. •

74

7

Zahlendarstellungen

7.2 Komplexe Zahlen Komplexe Zahlen 2 miissen in MATHCAD in einer der Formen * 2 := a + bi *

2 := a + bj

eingegeben werden, d.h., die imagindre Einheit la£t sich durch i oder j darstellen. Dabei ist 2u beachten, da£ 2wischen dem Imaginarteil b und der imaginaren Einhieit kein Multiplikations2eichen und auch kein Leer2eichen stehen darf. Ob MATHCAD die imaginare Einheit bei der Ausgabe im Arbeitsblatt durch i oder j darstellt, kann in der Dialogbox Result Format

(deutsch: Ergebnisformat)

bei Display Options

(deutsch: Anzeige-Optionen)

eingestellt werden. • MATHCAD kann folgende Operationen fiir komplexe Zahlen 2 = a + bi durchflihren: * Bestimmung des Realteils a mittels Re(2) * Bestimmung des Imagindrteils b mittels Im(2) * Berechnung des Arguments

(p = arc tan— mittels a

arg ( 2 ) * Berechnung des Betrags

i2|= i a ^ + b ^ mittels des Betragsoperators

aus der Operatorpalette Nr. 1 oder 3Bildung der 2u 2 konjiigiert komplexen Zahl 2 = a - bi, indem man nach der Eingabe 2 mit einer Bearbeitungslinie markiert und danach die Taste Anfuhrungs2eichen Q driickt.

7.2

Komplexe Zahlen

75

Die Operationen fur komplexe Zahlen lassen sich in MATHCAD sowohl exakt als auch numerisch durchfiihren, d.h. durch Eingabe des symbolischen bzw. numerischen Gleichheitszeichens (siehe Beisp.7.1). Wenn es mehrere Ergebnisse fur eine Rechenoperation mit komplexen Zahlen gibt, so wird von MATHCAD i.allg. der HaiiptweH ausgegeben (siehe Beisp.y.lc). • MATHCAD fuhrt fiir komplexe Zahlen die Grundrechenarten und die gegebenen Operationen problemlos durch, wie wir im folgenden Beispiel illustrieren. Beispiel 7.1: Wir definieren im Arbeitsblatt zwei komplexe Zahlen z . : = 2 + 3i

Z2'=l-5i

und fiihren hiermit Operationen unter Verwendung des numerischen bzw. symbolischen Gleichheitszeichens durch: a) Realteil:

^^(^l)

=2

R e f z i ^ -> 2

Imagindrteil:

Argument:

Imfz^) = 3

Konjugierte:

Refzo^ -^ 1

lm.(z2)^~^

I m ( z i ) -^ 3

I m ( z 2 ) ^ -5

arg^z^) =0.983

arg(^Z2) = 1 . 3 7 3

a r g ( z i ) ^ atan ,2, Betrag:

Re ("z 2) = 1

arg(z2) ^

-atan(5)

| z i | =3.606

[ z 2 | =5.099

| z i | ^ ^13

| z 2 | ~^ ^26

Z2=2

3i

z 1 -> 2 - 3i

Z2 = l + 5 i z 2 ^ 1 + 5i

76

7

Zahlendarstellungen

b) Im folgenden fiihren wir die Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durch: 2 ^ ^ 2 2 = 3-2i

Z 2 - Z 2 = l+8i

z 2 -h z 2 ^ 3 - 2i

z 2 ~ z 2 "^ 1 + 8i

z i Z 2 = 17- 7i

— = -0.5+0.51 z

Z2-Z2 "^ 17 - 7i

z1 _1 I — ^ — -h --i 22

2

2

c) Wenn es mehrere Ergebnisse fiir eine Rechenoperation mit komplexen Zahlen gibt, so wird i.allg. der Haiiptwert ausgegeben: zi = 1.674 + 0.8961 ^'z2 = 1.746- 1.4321 Bei der Berechnung der n-ten Wurzel ist folgendes zu beobachten, wie an einem Beispiel illustriert wird: Fiir die Kubikwurzel von - 1 wird das Ergebnis in Abhangigkeit von der Schreibweise geliefert: In der Form (-1)3 = 0.5 + 0.866 i wird der Hauptwert berechnet, wahrend unter Verwendung des Wurzeloperators aus der Operatorpalette Nr.l ^

= -1

das reelle Ergebnis - 1 geliefert wird. Dies liegt an der Eigenschaft des Wurzeloperators, der immer ein reelles Ergebnis liefert (falls vorhanden). •

8 Variablen

MATHCAD gestattet fiir die Darstellung von Variablen eine Reihe von Moglichkeiten, wobei zwischen folgenden Variablenarten unterschieden wird: * einfache Variablen * indizierte Variablen mit Literalindex (englisch: Literal Subscript) * indizierte Variablen mit Feldindex * Bereichsvariablen (englisch: Range Variables) * vordefinierte Variablen (englisch: Built-in Variables) Im folgenden und im Abschn.10.2 diskutieren wir w^esentliche Eigenschaften dieser von MATHCAD verwendeten Variablenarten.

8.1 Einfache und indizierte Variablen Variablen spielen bei alien mathematischen Aufgaben eine grolSe Rolle, wobei zwischen einfachen und indizierten Variablen unterschieden wird. MATHCAD beriicksichtigt dies und kann diese Variablenarten darstellen. In MATHCAD lassen sich Namen (Bezeichnungen) von Variablen folgenderma£en schreiben: *

einfache Variablen als Kombination von Buchstaben (auch griechischen), Zahlen und gewissen Zeichen wie Unterstrich _ usw., so z.B. X, y, xl, y2, ab3, x_3

*

indizierte Variablen in indizierte Form wie z.B. x^, y^^, z^ , a^ j^

Dabei unterscheidet MATHCAD zwischen GroJS- und Kleinschreibung und jeder Variablenname mulS mit einem Buchstaben beginnen. Bei MATHCAD ist weiterhin zu beachten, dal^ nicht zwischen Namen von Variablen, Konstanten und Funktionen unterschieden wird. Deshalb sollte man bei der Festlegung von Variablennamen berlicksichtigen, dal^ man keine Namen in MATHCAD vordefinierter Konstanten, Variablen und Funktionen (siehe Kap.lO) verwendet, da diese dann nicht mehr verfugbar sind. •

78

8

Variablen

Bei der Darstellung indizierter Variablen bietet MATHCAD in Abhangigkeit vom Verwendungszweck zwei Moglichkeiten: I. Mochte man eine Variable x^ als Komponente eines Vektors x interpretieren, so mulS man diese unter Verwendung des Operators fiir den Feldindex (Indexoperators) \

aus der Operatorpalette Nr. 3 erzeugen, indem man in die erscheinenden Platzhalter X und den Index (Feldindex) i eintragt und damit X. 1

erhalt. Des weiteren lassen sich Variable mit Feldindex mittels des Symbols aus der Formatleiste erzeugen. II. 1st man nur an einer Variablen x mit tiefgestelltem Index i interessiert, so erhalt man diese, indem man nach der Eingabe von x mittels Tastatur einen Punkt eingibt. Die anschlie£ende Eingabe von i erscheint jetzt tiefgestellt und man erhalt ^i Man bezeichnet diese Art von Index als Literalindex im Gegensatz zum Feldindex aus I. Variablen konnen durch die Zuweisungsoperatoren := und ^ Zahlen oder Konstanten zugewiesen werden. Dies behandeln wir ausflihrlicher im Abschn.13.4. •

8.2 Bereichsvariablen Im Unterschied zu anderen Systemen kennt MATHCAD zusatzlich sogenannte Bereichsvariablen (englisch: Range Variables), denen man mehrere Zahlenwerte aus einem Bereich (Intervall) zuweisen kann. Diese lassen sich in vielen Rechnungen effektiv einsetzen, v^'ie im Verlaufe des Buches zu sehen ist. Da derartige Variablen in der Mathematik nicht explizit betrachtet werden, gehen wir hierauf im folgenden ausfuhrlicher ein und illustrieren die Problematik im Beisp.8.1.

8.2

Bereichsvariablen

79

Definiert werden Bereichsvariable v in MATHCAD folgendermaEen: V := a, a + Av.. b ( a - Anfangswert, Av - Schrittweite , b - Endwert) wobei die beiden Punkte .. auf eine der folgenden Arten eingegeben werden miissen: Anklicken des Operators n).j

in der Operatorpalette Nr.3. •

Eingabe des Semikolons mittels Tastatur.

Statt des lokalen Zuweisungsoperators := kann man auch den globalen Zuweisungsoperator = (siehe Abschn.13.4) zur Definition von Bereichsvariablen verwenden. Zu Bereichsvariablen ist folgendes zu bemerken: •

Eine in MATHCAD definierte Bereichsvariable v zwischen Anfangswert a und Endwert b mit der bei die Schrittweite negativ sein kann, wenn b Function... aufgerufen werden.

(deutsch: Einfiigen => Funktion...)

92

10

Vordefinierte Konstanten, Variablen und Funktionen

Man sieht, daJ§ in dieser Dialogbox die Fuktionen bei Function Category (deutsch: Funktionskategorie) in Anwendungskiassen eingeteilt sind. Wahlt man die Kategorie All (deutsch: Alle), so werden alle Funktionen aufgelistet. Vordefinierte elementare Funktionen (siehe Abschn.19.3.1) lassen sich zusatzlich unter Verwendung der Operatorpalette Nr.l sin m$ tan In tog

n! i M gX

i

IT

n

0 e

m

t\m

X^

X^

9 / 7 If 4 5 6 X -r 1 2 3 + srs ^ 0 >--^ = aus der Rechenpalette einfiigen (sielie Abschn.3.5). •'U^M;/^:'d2'kx^'^''^»/hCx.

Function M^me

Function C^^^S^J^ Bessel CompIeK Numbers Curve Fitting and Smoothing Differential Equation Solving EKpre5«ion Type File Access Finance

•y I

acosh acot acoth acsc acsch Ai angle

d

acoists:) Returns the angle fin radians) whos;e cosine \% t. Principal valua for

^

COmpi0K 2L . Data => File Input... (deutsch: Einfiigen => Daten => Dateieingabe...) bzw. Insert => Data => File Output... (deutsch: EinfUgen => Daten => Dateiausgabe...) gesteuert, wobei in die erscheinende Dialogbox File Options folgendes einzutragen ist:

(deutsch. Dateioptionen)

94

11

Datenverwaltung

* das Dateiformat * der vollstandige Pfad der Datei, d.h. Dateiname mit Dateiendung und das Laufwerk, wie z.B. E:\DATEN.TXT fiir die Datei DATEN.TXT im Laufwerk E. Die Dateiendung hangt vom gewahlten Dateiformat ab. Bei ASCII-Dateien lautet sie .TXT. Neben dieser allgemeinen Form lernen wir im Abschn.11.3 und 11.4 eine weitere Moglichkeit fur die Ein- und Ausgabe von Daten im Detail kennen. Diese zweite Moglichkeit besteht in der Anwendung von Lese- und Schreibfunktionen (Ein- und Ausgabefunktionen), die auch als Dateizugriffsfiinktionen bezeichnet werden.

isr Fiir die weitere Arbeit benotigen wir den Begriff der stniktiirierten Datei: In diesen Dateien miissen die Daten (Zahlen) in strukturierter Form (Matrixform mit Zeilen und Spalten) angeordnet sein, d.h., in jeder Zeile mu£ die gleiche Anzahl von Daten (Zahlen) stehen, die durch Trennzeichen *

Leerzeichen

*

Tabulator

zu trennen sind. Das Trennzeichen Zeilenvorschiib wird hier zur Markierung der Zeilen benotigt. •

11.2 Felder In den folgenden Abschnitten dieses Kapitels beschaftigen wir uns mit der Eingabe und Ausgabe von Daten (Zahlen) zwischen Datentragern (Festplatten, Disketten usw.) und MATHCAD-Arbeitsblatt. Hierbei spielen Felder eine wichtige Rolle. Der Begriff des Feldes wird in MATHCAD als Oberbegriff fiir Vektoren und Matrizen verwendet. Setzen sich die einzelnen Elemente eines Feldes iFeldelemente) aus Daten (Zahlen) zusammen, so spricht man von Datenfeldem (Zahlenfelderri). Feldelement konnen in MATHCAD wieder Felder sein, d.h., Felder lassen sich verschachteln. Im Kap.l8 werden Rechenoperationen zwischen Feldern behandelt.

11.3 Lesen von Daten Wie bereits zu Beginn dieses Kapitels erwahnt, kann MATHCAD Daten in Form von Dateien von Datentragern in einer Reihe von Formaten lesen, wobei wir uns im folgenden auf den wichtigen Fall von strukturierten

11.3

Lesen von Daten

95

ASCII-Dateien konzentrieren, die meistens in Form von Zahlendateien vorliegen. Das Lesen anderer Dateiformate gestaltet sich analog, wie wir im Beisp. 11.1c fiir eine EXCEL-Datei zeigen. Beim Lesen von Dateien mulS natlirlich bekannt sein, wo MATHCAD die betreffende Datei zu lesen hat. Ohne weitere Vorkehrungen sucht MATHCAD die Datei im Arbeitsverzeichnis. Dies ist das Verzeichnis, aus dem das aktuelle MATHCAD-Arbeitsblatt geladen oder in das zuletzt gespeichert wurde. Wenn sich die Datei in einem anderen Verzeichnis befindet, so mu£ man MATHCAD den Pfad mitteilen, wie im folgenden beschrieben wird. • 2um Lesen von Daten stehen zwei Moglichkeiten zur Verfiigung: L Verwendung der Meniifolge Insert => Data => File Input... (deutsch: Einfiigen :=> Daten => Dateieingabe...) wobei in die erscheinende Dialogbox File Options

(deutsch: Dateioptionen)

folgendes einzutragen ist: * das Dateiformat (Text bei ASCII-Dateien) * der vollstandige Pfad der zu lesenden Datei, d.h. Dateiname mit Dateiendung und Laufwerk, wie z.B. E:\DATEN.TXT fiir die Datei DATEN.TXT, die aus dem Laufwerk E gelesen werden soil. In das abschlie^end erscheinende Symbol ist in den freien Platzhalter der Name der Matrix einzutragen, der die eingelesene strukturierte Datei zugewiesen werden soil, so z.B. wenn die Datei DATEN.TXT im Laufwerk E gelesen und der Matrix B zugewiesen werden soil: B :=

u E:\DATEN.T)(T

Das Lesen wird abschlie£end mit einem Mausklick au/^erhalb des Symbols oder Betatigung der Eingabetaste P ^ ausgelost. II. Verwendung der Lesefunktion (Eingabefunktion): READPRN ( DATEN )

(deutsch: PRNLESEN ( DATEN))

96

11

Datenverwaltung

die die strukturierte Datei DATEN in eine Matrix liest, d.h., jeder Zeile bzw. Spake der Matrix wird eine Zeile bzw. Spalte der Datei DATEN zugewiesen. Fiir DATEN ist die vollstandige Bezeichnung der zu lesenden Datei mit Dateiendung und der Pfad als Zeichenkette einzugeben: Soil z.B. die strukturierte Datei DATEN.TXT vom Laufwerk E gelesen und einer Matrix B zugewiesen werden, so ist B := READPRN ( "E:\ DATEN.TXT " ) in das Arbeitsblatt einzugeben. Das Lesen wird abschlief^end mit einem Mausklick aulSerhalb der Eingabe oder Betatigung der Eingabetaste [ Result...

(deutsch: Format :=> Ergebnis...)

indem man in der erscheinenden Dialogbox Result Format

(deutsch: Ergebnisformat)

bei Display Options

(deutsch. Anzeigeoptionen)

bei Matrix display style (deutsch: Matrixanzeigeformaf) entweder Table (deutsch: Tabelle) fiir Tabellendarstellung oder Matrix ftir Matrixdarstellung einstellt. • Die Eingabe von Daten (Zahlen) wird im folgenden Beispiel illustriert. Da die hier verwendeten Matrizen erst im Kap.18 eingefuhrt werden, ist bei Unklarheiten dort nachzusehen.

11.3

Lesen von Daten

97

Beispiel 11.1: Im folgenden werden zwei Dateien eingelesen und das Ergebnis als Tabelle bzw. Matrix dargestellt. Flir die dazu verwendete Matrix B haben wir als Startindex den Wert 1 eingestellt, d h ORIGIN:=l a) Im Laufwerk E des Computers befinde sich die strukturierte Zahlendatei DATEN.TXT folgender Form (19 Zeilen, 2 Spaken): 1 20 2 21 3 22 4 23 5 24 6 25 7 26 8 27 9 28 10 29 11 30 12 31 13 32 14 33 15 34 16 35 17 36 18 37 19 38 Diese Datei soil gelesen und im aktuellen Arbeitsblatt einer Matrix B zugewiesen werden. Hierzu konnen die beiden behandelten Lesemoglichkeiten folgendermalSen herangezogen werden: I. Anwendung der Meniifolge Insert =::> Data => File Input... (deutsch: Einfiigen => Daten => Dateieingabe...) wobei in die erscheinende Dialogbox folgendes einzutragen ist: * das Dateiformat Text * derPfad E:\DATEN.TXT In das abschlie^end erscheinende Symbol ist in den freien Platzhalter der Name der Matrix B einzutragen, der die eingelesene Datei zugewiesen werden soil. Damit ergibt sich im Arbeitsblatt folgendes:

11

98

Datenverwaltung

3 :=

EADATEN.DCr 11. Anwendung der Lesefunktion (Eingabefunktion); B := READPRN ( "E:\DATEN.TXr' ) Beide Vorgehensweisen werden mit einem Mausklick au^erhalb des Ausdrucks oder Betatigung der Eingabetaste r < ^ ausgelost und zeigen die eingelesene strukturierte Zahlendatei im Arbeitsblatt als Tabelle (mit Indizes) oder in Matrixform, jenachdem ob man in der Dialogbox Result Format bei Display Options in Matrix display style die Darstellung Table bzw. Matrix gewahlt hat. 20 ^

1 12

I

•I

•

1

2

21

3

22

p

2

LL LL

1 20

M

1 20

4

23

2 21

2

2 21

5

24

[F

3 22

3 ~

'TT

6

25

LL

4 23

4

4 23

7

26

ill

5 24

5

5 24

8

27

6 25

9

28

LL [T B= LL LL

6

6 25

7 26

7

T Id'

8 27

B= . 8

8 27

1I '

9 28

9

" T "28"

1

B =

10 29 11 30 12 31

h? 10

29

10 10 29

\w 11

30

13 32

11 11 30

14

33

12 31

12 12 31

15

34

\U

fe 13

32

13 13 32

RT 14

33

14 14 33

W£ 15

34

15 15: 34

[TFTe" 35 i

"l?1?$MM fTTTTy

16 35 17 36 18 37

i

wy 38 J

In der obigen Abbildung steht links die Darstellung als Tabelle, daneben die Darstellung als rollende Tabelle und rechts die Darstellung als Matrix. Man sieht, da£ nur bei der Matrixform alle Zahlen direkt angezeigt

11.3

Lesen von Daten

99

werden. Aus der Tabellenform erhalt man durch Anklicken der Tabelle eine rollende Tabelle, in der man sich alle Zahlen durch ScroUen ansehen kann (siehe auch Beisp.b). b) Im Laufwerk E des Computers befindet sich die strukturierte Zahlendatei DATEN.TXT folgender Form (2 Zeilen, 19 Spalten): 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 Die Datei soil gelesen und im Arbeitsblatt einer Matrix B zugewiesen werden. Die Vorgehensweise ist die gleiche wie im Beisp.a. MATHCAD liefert folgendes Ergebnis bei gewahlter Tabellenform: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 tli 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 Wenn man die angezeigte Tabelle im Arbeitsblatt anklickt, erscheint die folgende rollende Tabelle, in der man sich alle eingelesenen Zahlen durch ScroUen anzeigen lassen kann. 11

•

•

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 g . .. . ^ 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 ^ ^ / 1 4% jd

\i

1

f

.„

. , ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

s

. ^

Eine Darstellung der eingelesenen Datei in Matrixform (d.h. ohne Indizes) erhalt man im Arbeitsblatt, indem man in der Dialogbox Result Format bei Display Options bei Matrix display style die Option Matrix einstellt. Bei der Darstellung in Matrixform werden alle Zahlen direkt angezeigt: B=

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

c) Die im folgenden zu sehende EXCEL-Tabelle

100

11

Datenverwaltung

ist als Datei DATEN.XLS im Laufwerk E gespeichert. MATHCAD kann diese Datei analog wie in Beisp.a und b mittels der Methode I. lesen und einer Matrix B zuweisen. Man mufS nur in der Dialogbox File Optio n s bei File Format (Dateiformat) Microsoft Excel einstellen und B in das erscheinende Symbol eintragen: •B : =

E:\DATEN.XLS Das Ergebnis der Leseoperation von MATHCAD ist im folgenden zu sehen:

n B=

5 ^9

2

3

4A

6

7

8

10 11

12;

11.4 Schreiben von Daten Wie bereits zu Beginn dieses Kapitels erwahnt, kann MATHCAD Daten in Form von Dateien in einer Reihe von Formaten auf Datentrager schreiben, wobei wir uns im folgenden auf den wichtigen Fall von strukturierten ASCII-Dateien konzentrieren, die meistens in Form von Zahlendateien vorliegen: * MATHCAD kann Matrizen mit Elementen im ASCII-Format in strukturierte Dateien schreiben. * Das Schreiben anderer Dateiformate gestaltet sich analog, wie wir im Beisp.ll.2c fiir eine EXCEL-Datei illustrieren. Beim Schreiben von Dateien muB natiirlich bekannt sein, wohin MATHCAD die betreffende Datei zu schreiben hat. Ohne weitere Vorkehrungen schreibt MATHCAD die Datei in das Arbeitsverzeichnis. Dies ist das Verzeichnis, aus dem das aktuelle MATHCAD-Arbeitsblatt geladen oder in das zuletzt gespeichert wurde. Wenn die Datei in einem anderen Verzeichnis stehen soil, so muJ^ man MATHCAD den Pfad mitteilen, wie wir im folgenden beschreiben. • Zum Schreibefz stehen zwei Moglichkeiten zur Verfiigung: I. Verwendung der Meniifolge Insert => Data => File Output...

11.4

Schreiben von Daten

101

(deutsch: Einfiigen => Daten => Dateiausgabe...) wobei in die erscheinende Dialogbox File Options

(deutsch: Dateioptionen)

folgendes einzutragen ist: * das Dateiformat: Formatted Text (deutsch: Formatierter Text) bei ASCII-Dateien * der vollstandige Pfad der zu schreibenden Datei, d.h. Dateiname mit Dateiendung und Laufwerk, wie z.B. E:\DATEN.TXT fiir die Datei DATEN.TXT, die in das Laufwerk E geschrieben werden soil. In das abschliel^end erscheinende Symbol ist in den freien Platzhalter der Name der zu schreibenden Matrix einzutragen, so z.B. wenn die Matrix B in die Datei DATEN.TXT im Laufwerk E geschrieben werden soil:

E:\DATEN.TXT B Das Schreiben wird abschlielSend mit einem Mausklick auEerhalb des Symbols oder Betatigung der Eingabetaste ( (siehe Abschn. 12.2.3). III. Anwendung eines Schlusselworts (siehe Abschn.12.2.4). Jede dieser Vorgehensweisen lost mit abschlie^ender Betatigung der Eingabetaste l-e-'l die Arbeit des von MAPLE iibernommenen Symbolprozessors aus. Welche der Moglichkeiten anwendbar sind, hangt von der zu losenden Aufgabe ab. Bei einer Reihe von Aufgaben konnen alle Moglichkeiten angewandt werden. Wir iiberlassen es dem Anwender, welche er bevorzugt. Ausftihrlicher beschreiben wir die gegebenen Vorgehensweisen bei der Losung einzelner Aufgaben in den entsprechenden Abschnitten des Buches. 12.2.2 Anwendung des Menus Symbolik Die meisten exakten Rechnungen lassen sich in MATHCAD mit dem Menii Symbolics (deutsch: Symbolik) durchftihren. Die Einzelheiten hierzu werden wir in den entsprechenden Kapiteln kennenlernen. Weitere Moglichkeiten zur Durchflihrung exakter Rechnungen sind durch die Anwendung des symbolischen Gleichheitszeichens und von Schliisselwortern gegeben (siehe Abschn. 12.2.3 und 12.2.4). Letztere arbeiten dynamisch, wahrend das

12.2

Exakte Rechnungen

113

Menii Symbolics nicht dynamisch arbeitet, d.h. bei Anwendung des Menti Symbolics werden keine Definitionen berucksichtigt und keine Aktualisierungen durchgeflihrt. 12.2.3 Symbolisches Gleichheitszeichen Das symbolische Gleichheitszeichefj —> bringt eine Reihe von Vorteilen bei der Durchfiihrung exakter (symbolischer) Rechnungen, da es * im Unterschied zum Menii Symbolics (deutsch: Symbolik) dynamisch arbeitet, d.h., es werden Definitionen berucksichtigt und Aktualisierungen durchgeflihrt. * zusammen mit Schllisselwortern anwendbar ist (siehe Abschn. 12.2.4). * zur exakten Berechnung von Funktionswerten herangezogen werden kann (siehe Beisp.12.20. * eine Dezimalnaherung flir einen mathematischen Ausdruck liefert, wenn man alle im Ausdruck vorkommenden Zahlen in Dezimalschreibweise eingibt (siehe Beisp.l2.2g). * bei Verwendung mit dem Schllisselwort float (deutsch: gleit) eine Dezimalnaherung mit einer Genauigkeit von maximal 250 Stellen fiir einen mathematischen Ausdruck liefert (siehe Beisp.l2.2g). Zur Eingabe des symbolischen Gleichheitszeichens -> gibt es zwei Moglichkeiten: I. Anklicken des Operators

in der Operatorpalette Nr.4 oder 9 II. Eingabe der Tastenkombination

nachdem der damit zu berechnende Ausdruck in das Arbeitsblatt eingegeben und mit einer Bearbeitungslinie markiert wurde. Man kann auch zuerst das symbolische Gleichheitszeichen eingeben und anschlie^end in den erscheinenden Platzhalter den Ausdruck eintragen. Wenn man nach Eingabe des symbolischen Gleichheitszeichens eine der folgenden Aktivitaten durchfiihrt: * Mausklick aulSerhalb des Ausdrucks * Driicken der Eingabetaste [^^ wird die exakte (symbolische) Rechnung ausgelost, falls der Automatikmodus (siehe Abschn.12.4.1) eingeschaltet ist. Wenn man im manuellen Modus arbeitet, so lost das Driicken der Taste

114

12

Exakte und numerische Rechnungen

die Rechnung aus. Erste Illustrationen zur Anwendung des symbolischen Gleichheitszeichens werden wir im folgenden Beispiel kennenlernen. Weitere Hinweise findet man in den entsprechenden Kapiteln des Buches. Beispiel 12.2: Losen wir Aufgaben unter Verwendung des symbolischen Gleichheitszeichens: a) •2

ri x^dx->

x^ dx

Dieses Integral kann MATHCAD nicht exakt berechnen und wird nach Eingabe des symbolischen Gleichheitszeichens unverandert wieder ausgegeben. Die zugrundeliegende Problematik haben wir im Beisp.l2.1d diskutiert. b) 5 x^-e^dx -> 6745-exp(5)

720

0 Dieses Integral wird mit dem symbolischen Gleichheitszeichen exakt berechnet (siehe auch Abschn.23.3). c)

jd^

1

^

_ 32

dx2 x \ l

( x S 1)^

6

12

2

(xVl)'

Diese Differentiation wird mit dem symbolischen Gleichheitszeichen exakt durchgefiihrt (siehe auch Abschn.22.2). d)

n

1 k+-4

.

24 r(ni5)

Dieses Produkt wird mit dem symbolischen Gleichheitszeichen exakt berechnet (siehe auch Abschn.17.2). e) Definierte Funktionen lassen sich unter Verwendung des symbolischen Gleichheitszeichens el) exakt differenzieren (siehe auch Abschn.22.2):

12.2

Exakte Rechnungen

115

f(x) = sin(x) -h ln(x) ^ x i- 1 — f(x) "^ cos(x) -I- r 1 dx X e2) exakt integrieren (siehe auch Abschn.23.2): f(x) -" sin(x) -h ln(x) -f x -h 1 1

f(x) dx '^ -cos(x) + x-ln(x) + - -x 2

2

e3) zur Grenzwertberechnung (siehe auch Abschn.22.5) verwenden: f(x)

2-x -t- sin(x) X ^- 3-ln(x ^ 1)

lim f(x) x^ 0

^> 4

f) Berechnen wir den Wert der Funktion sin X an der Stelle K

* exakt unter Verwendung des symbolischen Gleichheitszeichens:

s.n|-J-.-.3 * numerisch unter Verwendung des numerischen Gleichheitszeichens: sini - I = 0.866025403784439 • g) Reelle (irrationale) Zahlen in symbolischer Schreibweise werden mittels des symbolischen Gleichheitszeichens nicht verandert, wie z.B.

42-^4^

71 ^

71

Dasselbe gilt fiir mathematische Ausdrlicke, die reelle Zahlen in symbolischer Schreibweise enthalten, wie z.B.

116

12

^/5 + ln(7) ^

•

Exakte und numerische Rechnungen

3 ^ + ln(7)

^

^

exp(3) + 2^ Da sich in diesem Ausdruck die enthaltenen reellen Zahlen nicht weiter exakt vereinfachen lassen, wird mit dem symbolischen Gleichheitszeichen der gleiche Ausdruck zuriickgegeben, wobei MATHCAD nur die Schreibweise etwas andert. Man kann auch mittels des symbolischen Gleichheitszeichens eine Dezimalndherung erhalten: * Andert man in den Ausdriicken die Schreibweise der enthaltenen Zahlen, indem man sie in Dezimalschreibweise eingibt, so werden folgende Dezimalnaherungen geliefert: 2.0 -> 1.4142135623730950488 5.0 -»-ln(7.0)

19591887566098330253

e3-%^j2.0 Bei Anwendung des Schlusselworts float erhalt man eine Dezimalnaherung, flir die man im rechten Platzhalter die Stellenanzahl (maximal 250) einstellen kann: yjl float, 30 -> 1.41421356237309504880168872421 71 float, 40 -> 3.141592653589793238462643383279502884197 >/5 + ln(7)

float, 20 -^.19591887566098330253

•

12.2.4 Schlusselworter Symbolische Schlusselworter (kurz: Schlusselworter), die in MATHCAD auch als symbolische Operatoren bezeichnet werden, bieten eine weitere Moglichkeit, um in MATHCAD mittels des symbolischen Gleichheitszeichens -> exakte Rechnungen durchzufuhren. Die symbolischen Schlusselworter/Operatoren (englisch: Symbolic Keywords) beflnden sich in der Operatorpalette Nr.9, die man durch Anklicken des Symbols

12.2

Exakte Rechnungen

117

in der Rechenpalette offnet:

^^^H

^^^^m

1

1 "^ 1 i 1 1

float

solve factor

^^^^^^m

HI^^B

• -s-

Modifiers j

complex

assume I

sjmpllly

substitute 1

^^SM^f^'l MoMkiskm

^

m '^

gliit

kompteK

mmhm.

vereinf

irsetzif^

QuflDsen

koeff

expand

coetfs

1

faktor

1 collect

series

parfrac

1

sammtio

reihe

teJIbruch

1

laplace

ztrans

i

fmrlBt

taplice

tmm

invfouflar

itivlaplaise

\rMmm

fourier

j jnvfourier

1 "^"^

Invlaplace M-^-^

Invztrans j |M|

^

englisch

n' ^

entwick.

t('^

m^

deutsch

Diese Palette dient zur Aktivierung der Schliisselworter, woflir zwei Moglichkeiten bestehen: I. Verwendung des Operators

der ein symbolisches Gleichheitszeichen mit zwei Platzhaltern • 1

^

erzeugt, wobei der zu berechnende Ausdruck in den ersten und das verwendete Schliisselwort in den zweiten Platzhaker einzugeben sind. II. Anklicken des entsprechenden Schltisselworts, wobei ein Ausdruck der folgenden Form an der im Arbeitsblatt durch den Kursor bestimmten Stelle erscheint • Schliisselwort "^ in dem fiir Schliisselwort das ausgewahlte steht. In den Platzhalter links neben dem Schliisselwort ist i.allg. der zu berechnende Ausdruck einzutragen. Es gibt auch Schliisselworter, die mehrere Platzhalter besitzen (siehe Beisp.12.3). Aus beiden Vorgehensweisen ist ersichtlich, dalS Methode II. vorzuziehen ist, da hier das Schliisselwort bereits von MATHCAD eingetragen wird. Wenn man nach der eben beschriebenen Eingabe eines Schliisselworts eine der folgenden Aktivitaten durchfiihrt: * Mausklick aufSerhalb des Ausdrucks * Drijcken der Eingabetaste P ^

118

12

Exakte und numerische Rechnungen

wird die exakte (symbolische) Berechnung ausgelost, falls der Automatikmodus eingestellt ist. Wenn der Automatikmodus ausgeschaltet ist (manueller Modus), so lost das Driicken der Taste (?9] die Rechnung aus. Betrachten wir die Vorgehensweise an zwei Schliisselwortern zur Umformung von Ausdriicken (siehe auch Kap.l6): * Vereinfachung von Ausdriicken durch Anklicken des Operators simpltiy

vareiiifv

englisch

deutsch

fiir das Schliisselwort simplify

(deutsch: vereinfachen)

wobei in den Platzhalter links neben dem erscheinenden Schlusselwort der zu vereinfachende Ausdruck einzutragen ist (siehe Beisp.12.3). Entwickeln (Ausmultiplizieren/Potenzieren) von Ausdriicken durch Anklicken des Operators iKpand

^nt^ok.

englisch

deutsch

fur das Schliisselwort expand

(deutsch: entwickeln)

wobei in den linken Platzhalter des erscheinenden Schliisselworts der zu entwickelnde Ausdruck und in den rechten Platzhalter die Entwicklungsvariablen (durch Komma getrennt) einzutragen sind (siehe Beisp.12.3). Schliisselworter zur Umformung von Ausdriicken werden im Kap.l6 ausfiihrlicher behandelt. Im Hauptteil des Buches werden wir weitere Schliisselworter zur Losung verschiedener Aufgaben kennenlernen. Zur Anwendung von Schliisselwortern ist folgendes zu bemerken: * Mit dem symbolischen Gleichheitszeichen allein konnen Ableitungen, Grenzwerte, Integrale, Produkte und Summen berechnet werden, wie man in den Beisp.l2.2a-e sieht. Dagegen lassen sich Ausdriicke mit dem symbolischen Gleichheitszeichen nur umformen, wenn man ein entsprechendes Schlusselwort verwendet (siehe Beisp.12.3). * Im Abschn. 12.2.3 haben wir das Schliisselwort float (deutsch: gleit) kennengelernt, das keine symbolische Operationen durchfiihrt, sondern Deziamalnaherungen berechnet.

12.2

Exakte Rechnungen

119

* Es konnen auch mehrere Schliisselworter gleichzeitig verwendet warden, wie im Beisp. 12.3c illustriert wird. Im folgenden Beispiel geben wir eine erste Illustration fur die Anwendung von Schliisselwortern. Beispiel 12.3: Bei den folgenden beiden Aufgaben werden die Schliisselworter simplify und expand zur Umfonniing von Ausdriicken angewandt: a) Durch Verwendung des Schlusselworts simplify werden Ausdrucke mit dem symbolischen Gleichheitszeichen vereinfacht, wobei der Ausdruck in den linken Platzhalter zu schreiben ist, wie z.B. x^-1 simplify —> x^ - x ^ + X - 1 x +1 Verwendet man das symbolische Gleichheitszeichen ohne Schliisselwort, so wird der Ausdruck nicht vereinfacht: x^-1

(x^-1)

x+1

(x + 1)

b) Durch Verwendung des Schlusselworts expand werden Ausdriicke mit dem symbolischen Gleichheitszeichen entwickelt bzw. ausmultipliziert bzw. potenziert, wobei der Ausdruck in den linken und die Variablen in den rechten Platzhalter zu schreiben sind, wie z.B. (a + b)^ expand,a ,b -> a^^ + 3 • a^ • b + 3 • a • b^ + b^ Verwendet man das symbolische Gleichheitszeichen ohne Schlusselwort, so wird der Ausdruck nicht potenziert: (a + b)^ -^ (a + b)^^ c) Es konnen auch mehrere Schliisselworter gleichzeitig verwendet werden: Mochte man in einem entwickelten Ausdruck die Koeffizienten als fiinfstellige Dezimalzahlen darstellen, so gelingt dies durch gleichzeitigen Einsatz der Schliisselworter expand und float, wie z.B. - + xj

expand, X, float, 5 -^ 1.2346-10"^+ .14815-x + .66667-x^ + 1.3333-x^ + x^

120

12

Exakte und numerische Rechnungen

12.3 Numerische Rechnungen 12.3.1 EinfiJhrung MATHCAD war urspriinglich ein reines System fiir numerische Rechnungen. Deshalb besitzt MATHCAD hier gegeniiber anderen Systemen wie MATHEMATICA und MAPLE Vorteile. In MATHCAD sind moderne numerische Methoden integriert, die die Losung zahlreicher praktischer Aufgaben ermoglichen und damit den Anwender von der Arbeit befreien, eigene Computerprogramme schreiben zu miissen. Bei numerischen (?tdheni?tgsweise?i) Rech?iiinge?t unterscheidet MATHCAD zwischen zwei Moglichkeiten: I. Gewisse im Arbeitsblatt befindliche mathematische Ausdrlicke konnen unmittelbar niimerisch (naherungsweise) berechnet werden, wenn man nach Markierung mit einer Bearbeitungslinie eine der folgenden Operationen durchfiihrt: * Eingabe des numerischen Gleichheitszeichens = * Aktivierung der Menufolge Symbolics => Evaluate ^:> Floating Point... (deutsch: Symbolik => AusTrerten => Gleitkonuna...) Dies ist u.a. bei der Berechnung von algebraischen und transzendenten AusdriJcken, Integralen, Summen, Produkten und Rechnungen mit Matrizen anwendbar. II. Eine vordefinierte Numenkfunktio?2 wird zur numerischen Losung einer mathematischen Aufgabe herangezogen. Nachdem die entsprechende Numerikfunktion mit einer Bearbeitungslinie markiert wurde, lost die Eingabe des numerischen Gleichheitszeichens =: die Rechnung aus. Dies ist u.a. bei der Losung von Gleichungen und Differentialgleichungen, bei Interpolation, Methode der kleinsten Quadrate und Optimierungsaufgaben anwendbar. Welche Moglichkeiten der numerischen Losung fiir eine gegebene Aufgabe in MATHCAD anzuwenden sind, wird in den entsprechenden Kapiteln des Buches beschrieben.

1^ Ein numerisch berechnetes Ergebnis kann in MATHCAD durch Aktivierung der Menufolge Format => Result... (deutsch: Format => Ergebnis...)

12.3

NumerischeRechnungen

121

in der erscheinenden Dialogbox Result Format

(deutsch: Ergebnisformat)

formatiert werden, wie im Abschn.7.1 beschrieben wird. Wir empfehlen dem Anwender, mit diesen Formatierungsmoglichkeiten zu experimentieren, um die fiir seine Zwecke giinstigste Form zu finden. •

12.3.2 Numerisches Gleichheitszeichen Die Verwendung des niimerischen Gleichheitszeichens = ist aufgrund der einfachen Handhabung zu empfehlen, wenn die durchzufuhrenden Rechnungen dies zulassen. Seine Eingabe kann auf folgende zwei Arten geschehen: * mittels Tastatur * durch Anklicken des Operators

in der Operatorpalette 1 oder 4 Bei eingeschaltetem Automatikmodus wird die Rechnung unmittelbar nach Eingabe des numerischen Gleichheitszeichens ausgelost. Wenn der Automatikmodus ausgeschaltet ist (manueller Modus), so lost das DriJcken der Taste (F9) die Rechnung aus.

1^ Das numerische Gleichheitszeichen = darf man nicht mit dem symbolischen Gleichheitszeichen

oder dem Gleichheitsoperator

verwechseln, die sich in der Operatorpalette Nr.4, 6 bzw. 9 befinden. • Im Beisp.l2.2g haben wir gesehen, daE man das symbolische Gleichheitszeichen -> auch zur numerischen Berechnung eines mathematischen Ausdrucks heranziehen kann. Dies funktioniert dann, wenn alle im Ausdruck vorkommenden Zahlen in Dezimalschreibweise geschrieben sind. •

122

12

Exakte und numerische Rechnungen

12.3.3 Numerikfunktionen Neben dem numerischen Gleichheitszeichen ist in MATHCAD eine weitere Moglichkeit zur Durchfiihrung numerischer Rechnungen durch vordefinierte Numerikfunktiofjen gegeben. Das numerische Gleichheitszeichen wird hier allerdings ebenfalls zur Auslosung der Rechnung benotigt. Wichtige Numerikfunktionen von MATHCAD werden wir im Verlauf des Buches kennenlernen. Sie sind in der Dialogbox Insert Function

(deutsch: Funktion einfiigen)

aufgelistet und erklart. 12.3.4 Genauigkeit Fiir numerische (naherungsweise) Rechnungen besitzt MATHCAD folgende Moglichkeiten, um Anzahl der Kommastelleft der ausgegebenen Dezimalnaherungen bzw. Genauigkeit der von MATHCAD angewandten numerischen Methoden einzustellem I. Die Anzahl der Kommastellen fiir das Ergebnis (Dezimalnaherung) kann mittels der Meniifolge Format =^ Result...

(deutsch: Format => Ergebnis...)

in der erscheinenden Dialogbox Result Format

(deutsch: Ergebnisformat)

bei Number Format (deutsch: Zahlenformat) auf maximal 15 Stellen bei Number of decimal places

(deutsch: A nzahl der Dezimalstelleri)

eingestellt werden (Standardwert 3). Bei einer Dezimahtdheni?tg hier bei Format Decimal

mu£

(deutsch: Dezimal)

eingestellt sein. II. Mochte man das Ergebnis einer exakten Rechnung oder eine reelle Zahl als Dezimalndheniftg darstellen, so markiert man den betreffenden Ausdruck zuerst mit einer Bearbeitungslinie. Danach bietet MATHCAD zwei Moglichkeiten: 1. Aktivierung der Meniifolge Symbolics =^ Evaluate => Floating Point... (deutsch: Symbolik ^ Aus^verten ^> Gleitkonuna...) In der erscheinenden Dialogbox Floating Point Evaluation

(deutsch: Gleitkommaausw^ertung)

12.4

Steuerung von Rechnungen

123

kann die gewiinschte Genauigkeit bis 4000 Dezimalstellen eingestellt werden (Standardwert 20). 2. Anwendung des Schlusselworts float (deutsch: gleit) mit einer Genauigkeit bis 250 Dezimalstellen (siehe Beisp.l2.2g) III. Die gewiinschte Genauigkeit der von MATHCAD verwendeten schen Methoden kann mit der Meniifolge

numeri-

Tools => Worksheet Options... (deutsch: Extras => Arbeitsblattoptionen...) in der erscheinenden Dialogbox Worksheet Options

(deutsch: Arbeitsblattoptionen)

in BuUt-In Variables

(deutsch: Vordefinierte Variablen)

bei Convergence Tolerance (deutsch: Konvergenztoleranz) eingestellt werden (Standardwert 0.001). Das gleiche wird lokal durch Eingabe der Zuweisung TOL := in das Arbeitsblatt erreicht. Man darf allerdings nicht erwarten, da/^ das von MATHCAD berechnete Ergebnis die eingestellte Genauigkeit besitzt. Man weiiS nur, dalS die angewandte numerische Methode abbricht, wenn die Differenz zweier aufeinanderfolgender Naherungen kleiner als TOL ist.

isr Der Unterschied zwischen den Genauigkeiten in I., 11. und III. besteht darin, da£ I. und II. Formatierungsanweisungen sind, wahrend III. die Genauigkeit des von MATHCAD berechneten Ergebnisses beeinflulSt.

12.4 Steuerung von Rechnungen Im folgenden betrachten wir Methoden, mit denen man in MATHCAD durchzufiihrende Rechnungen steiiern kann. Hierzu gehoren * automatische Durchfiihrung von Rechnungen (Automatikmodus) * manuelle Durchfiihrung von Rechnungen (manueller Modus) * Abbruch von Rechnungen * Deaktivierung von Ausdriicken * Optimierung der Zusammenarbeit von exakter (symbolischer) und numerischer (naherungsweiser) Rechnung.

124

12

Exakte und numerische Rechnungen

12.4.1 Automatikmodus Der Automatikmodus ist die Standardeinstellung von MATHCAD. Man erkennt seine Aktivierung im Menii Tools => Calculate

(deutsch: Extras =^ Berechnen)

am Hakchen bei Automatic Calculation

(deutsch: Automatische Berechnung)

Hier kann man durch Mausklick den Automatikmodus ein- oder ausschalten. Den eingeschaketen Automatikmodus erkennt man am Wort Auto in der Statusleiste (siehe Abschn.3.10). Ist der Automatikmodus ausgeschaket, so spricht man vom manuellen Modus (sielie Abschn. 12.4.2).

1^ Der Automatikmodus * flihrt jede Rechnung nach Eingabe des symboiischen oder numerischen Gleichheitszeichens oder einer Menlifoige aus dem Menii Syinbolics (deutsch: Symbolik) sofort aus, wobei eventuell ein abschlieEender Mausklick erforderlich ist. * berechnet das gesamte aktuelle Arbeitsblatt neu, wenn Konstanten, Variablen oder Funktionen verandert werden. * wird im Rahmen des Buches bei alien Rechnungen vorausgesetzt. • Mochte man ein Arbeitsblatt rmx durchbldttern, kann sich der Automatikmodus hemmend auswirken, da man auf die Berechnung samtlicher im Dokument enthaltener Ausdrlicke warten mu£. In diesem Fall empfiehlt sich der Ubergang zum manuellen Modus (siehe Abschn. 12.4.2).

12.4.2 Manueller Modus Der manuelle Modus wird durch Ausschalten des Automatikmodus erhalten (siehe Abschn. 12.4.1). Den eingeschaketen manuellen Modus erkennt man am Wort Calc F9 (deutsch: Rechner F9) in der Statusleiste. Er ist durch folgende Eigenschaften gekennzeichnet: * Fine Rechnung wird erst dann ausgelost, wenn man das Symbol in der Symbolleiste anklickt oder die Taste drlickt. Werden Variable oder Funktionen im Arbeitsblatt verandert, so bleiben alle darauf aufbauenden Rechnungen unverdndert, wenn man diese Rechnungen nicht wie eben beschrieben auslost.

12.4

Steuerung von Rechnungen

125

1^ Der manuelle Modus ist zu empfehlen, wenn man * ein Arbeitsblatt nur durchblattern mochte ohne alle Rechnungen durchzufuhren, * Auswirkungen von Anderungen nur flir einige Ausdrlicke im aktuellen Arbeitsblatt untersuchen mochte. Der Vorteil des manuellen Modus liegt folglich darin, daE man bei der Eingabe von Ausdrlicken, Formeln und Gleichungen oder beim Blattern im Arbeitsblatt nicht auf die Rechnungen dufch MATHCAD warten mu£.

12.4.3 Abbruch von Rechnungen Mochte man laufende Rechnungen von MATHCAD aus irgendwelchen Griinden unterbrechen bzw. abbrechen, so ist die Taste zu drucken und in der erscheinenden Dialogbox Interrupt processing

(deutsch: Verarbeitung unterbrechen)

iiiSJ 9j

Verarbeitung urtetbrechen.

Interrupt processing ^ OK

Abbrechen

englisch

OK

Abbreohen

deutsch

OK anzuklicken. Daraufhin zeigt MATHCAD eine Meldung an, da£ die Rechnung unterbrochen wurde. Mochte man unterbrochene Rechnungen fortsetzen, so mu^ man den entsprechenden Ausdruck anklicken und anschlieiSen eine der folgenden Aktivitaten durchfuhren: * Anklicken des Symbols

in der Symbolleiste. * Drucken der Taste fF9l

126

12

Exakte und numerische Rechnungen

12.4.4 Deaktivierung von Ausdrucken Mochte man im Arbeitsblatt die Berechnii7tg einzelner Ausdriicke ausschalten (d.h. deaktivieren), obwohl man im Automatikmodus (siehe Abschn. 12.4.1) ist, empfiehlt sich folgende Vorgehensweise, nachdem der zu deaktivierende Ausdruck mit einer Bearbeitungslinie markiert wurde: Nach Aktivierung der Mentifolge Format =:> Properties...

(deutsch: Format => Eigenschaften...)

ist in der erscheinenden Dialogbox Properties

(deutsch: Eigenschaften)

bei Calculation

(deutsch: Berechnung)

in Calculation Options

(deutsch: Berechnungsoptionen)

folgendes anzuklicken (zu markieren): Disable Evaluation

(deutsch: Atiswertung

deaktivieren)

Zur Deaktivierung ist folgendes zu bemerken: * Die Deaktivierung wird von MATHCAD mit einem kleinen schwarzen Rechteck hinter dem entsprechenden Ausdruck angezeigt. * Mochte man eine Deaktivierung wieder rilckgdngig machen, d.h., die Berechnung eines Ausdrucks wieder aktivieren, so ist die gleiche Vorgehensweise wie bei der Deaktivierung erforderlich, wobei nun bei Calculation Options

(deutsch: Berechnungsoptionen)

die Markierung bei Disable Evaluation

(deutsch: Auswertung

deaktivieren)

durch Mausklick zu entfernen ist. Danach verschwindet das Rechteck der Deaktivierung. 12.4.5 Optimierung von Rechnungen In MATHCAD werden exakte und numerische Rechnungen i.allg. unabhangig voneinander durchgefiihrt und zwar mittels des Symbol- bzw. Numerikprozessors. Man kann allerdings MATHCAD dazu veranlassen, vor einer numerischen Rechnung erst eine symbolische (exakte) Rechnung bzw. eine symbolische Vereinfachung zu versuchen. Dies wird bei MATHCAD als Optimierung von Rechnungen bezeichnet und stelk eine Zusammenarbeit zwischen Symbolund Numerikprozessor her.

12.4

Steuerung von Rechnungen

127

Eine Optimiennjg der von MATHCAD durchgefiihrten Rechnungen kann durch Aktivierung folgender Meniifolgen ein- oder ausgeschaket werden: * Tools => Optimize => Equation Cdeutsch: Extras => Optimieren => Gleichung) ftir die Optimierung der Berechnung eines einzelnen Ausdrucks, der mit einer Bearbeitungslinie markiert ist. * Tools i^ Optimize => Worksheet (deutsch: Extras => Optimieren => Arbeitsblatt) fur die Optimierung der Berechnung des gesamten Arbeitsblatts. Die Optimierung ist eingeschaket, wenn sich neben Equation bzw. Worksheet ein Hakchen befindet. Die Optimierung der Berechnung eines einzelnen Ausdrucks kann nach dessen Markierung mit einer Bearbeitungslinie auch folgenderma£en erreicht werden: Nach Aktivierung der Mentifolge Format => Properties... (deutsch: Format => Eigenschaften...) ist in der erscheinenden Dialogbox Properties

(deutsch: Eigenschaften)

bei Calculation

(deutsch: Berechnung)

in Calculatioft Options

(deutsch:

Berechmingsoptioneri)

folgendes anzuklicken: Enable Optimization

(deutsch: Optimiemng

aktivieren)

v^ Die eingeschaltete Optimierung ist in MATHCAD durch folgende Eigenschaften charakterisiert: * Sie versucht vor der numerischen eine symbolische Rechnung bzw. Vereinfachung, wenn man den zu berechnenden Ausdmck in einer Zuweisung (Ergibtanweisung) stehen hat (siehe Beisp.12.4). * Wenn nach Aktivierung der Zuweisung neben dem zu berechnenden Ausdmck ein rotes Sternchen erscheint, so war eine exakte Berechnung oder Vereinfachung erfolgreich, andernfalls erscheint ein andersfarbiges (blaues) Sternchen.

12

128

Exakte und numerische Rechnungen

* Durch zweifaches Anklicken des roten Sternchens erscheint die Dialogbox Optimized Result in der das exakte Ergebnis der Rechnung angezeigt wird. • Illustrieren wir die Optimierung einer von MATHCAD durchgefiihrten Rechnung im folgenden Beisp.12.4. Beispiel 12.4: Bei den folgenden Aufgaben wird eine Optimierung der Rechnung durchgefiihrt: a) Berechnen wir ein in einer Ergibtanweisung stehendes Integral numerisch mit al) ausgeschalteter

Optimierung: 3C d x

a2) eingeschalteter

a = 0.7SS4

Optimierung: a = 0.7SS4

Das neben dem eingegebenen Integral erscheinende rote Sternchen zeigt an, daJ§ eine exakte Losung fiir das Integral gefunden wurde. Das danebenstehende Ergebnis fiir a ist eine Dezimalnaherung des exakten Ergebnisses a = Tc/4 das durch Doppelklick auf das Sternchen in der Dialogbox Optimized Result angezeigt wird:

b) Berechnen wir einen in einer Ergibtanweisung stehenden Ausdruck numerisch mit

12.4

Steuerung von Rechnungen

b l ) ausgeschalteter

129

Optimierung:

VS4 + sini "71 + 5 a = 9.^7601

b2) eingeschalteter

Optimierung: ami ~ I + 5 a = 9.67601

ooa

(?)^'^

Das neben dem eingegebenen Ausdruck erscheinende rote Sternchen zeigt an, da£ ein exaktes Ergebnis fiir den Ausdruck gefunden wurde. Das danebenstehende Ergebnis fiir a ist eine Dezimalnaherung des exakten Ergebnisses 66

1 rr

das durch Doppelklick auf das Sternchen in der Dialogbox Optimized Result angezeigt wird:

c) Berechnen wir einen in einer Ergibtanweisung stehenden Ausdruck numerisch mit eingeschalteter Optimierung: hr

yg + kC2)

h = 1.377S4

Hier erscheint ein blaues Sternchen, dessen Anklicken keine Dialogbox anzeigt, obwohl sich

130

12

Exakte und numerische Rechnungen

Kf] = i^ umformen lalSt. Dies mag darin begrlindet liegen, da£ diese Umformung wieder eine reelle Zahl liefert, so daf^ sich der gesamte Ausdruck exakt nicht weiter vereinfachen la£t. Die Eingabe des symbolischen Gleichheitszeichens liefert allerdings das vereinfachte Ergebnis

b->

5^ +ln(2) 1

1

2

1 3

13 Programmierung

13.1 Einfiihrung MATHCAD bietet dem Anwender Programmiermoglicbkeiten an, um eigene Programme zu erstellen. Das Schreiben von Programmen wird erforderlich, wenn fiir eine anfallende Aufgabe in MATHCAD keine Funktion zur Losung vordefiniert ist. In den Computeralgebrasystemen AXIOM, MACSYMA, MAPLE und MATHEMATICA lassen sich *

prozedurales

*

rekursives bzw. regelbasiertes

*

funktionales

*

objektorientiertes

Programmieren vei'wirklichen. Diese Systeme werden auch als Programmiersprachen bezeichnet, die zusatzlich den Vorteil haben, da£ samtliche vordefinierten Funktionen einbezogen werden konnen. MATHCAD besitzt nicht so umfangreiche Programmiermoglicbkeiten, beherrscht aber die prozedurale Programmiening mit den Grundbausteinen *

Zuweisungen

*

Verzweigungen

*

Schleifen

Des weiteren lassen sich in MATHCAD einfache Aufgaben der rekursiven Programmiening realisieren (siehe Beisp. 13.4c und 19.4g). Diese Programmiermoglicbkeiten reicben fiir den Anwender aus, MATHCAD zu erweitern und eigenen Bedtirfnissen anzupassen. Die Programmierung komplexerer Algoritbmen, wie man sie in zablreicben Erweiterungspaketen von MATHCAD findet, wird durcb Einbindung von Programmen gelost, die in der Programmierspracbe C gescbrieben sind.

isr Eine Besonderbeit von MATHCAD bzgl. der Programmierung bestebt darin, dais alle Programme in Form von Fimktionsprogrammen gescbrieben werden miissen. Dieser aus der Programmierung bekannte Programmtyp liefert als Ergebnis eine Zabl, ein Feld (Vektor oder Matrix), ein verscbacbteltes Feld oder eine Zeicbenkette.

13

132

Programmierung

Zusatzlich konnen bei der Programmierung in MATHCAD wie in den anderen Systemen die vordefinierten Funktionen einbezogen werden. Dies stellt einen groEen Vorteil gegenliber der Programmierung mit herkommlichen Programmiersprachen wie BASIC, C, FORTRAN und PASCAL dar. • Seit der Version 6 besitzt MATHCAD eine Programmierungspalette, die die Programmierung erleichtert da sie die einzelnen Operatoren fur Zuweisungen, Verzweigungen und Schleifen enthak, die durch Mausklick eingefiigt werden konnen. Die Programmierungspalette (Operatorpalette Nr.7 der Rechenpalette) ist in Abb. 13.1 zu sehen. Sie wird auch als Symbolleiste Programmierung bezeichnet (englisch: Programming Toolbar). Die einzelnen Operatoren {Programmierungsoperatoreri) dieser Palette werden im Laufe dieses Kapitels erlautert. Die in der Programmierungspalette vorhandenen Programmierungsoperatoren diirfen nur durch Mausklick auf den entsprechenden Operator im Arbeitsblatt eingefiigt werden. Eine Eingabe mittels Tastatur ist nicht moglich.

^^^mm^^.m M4Um

^: \ ^ ^

^M

Arbeitsblattoptionen...=> Vordefinierte Variablen) bei

-

Konvergenztoleranz.

Durch eine Zuweisung der Form TOL := vor dem Aufruf von QROOT.

* Verwendung einer Genauigkeitsschranke e, die beim Funktionsaufruf mit eingegeben wird: QROOr(a,g)

return 'Zohl klcincr Null' X ^

if a < 0

fiL

while x5

i(-^)

QROOr(2,lO -^^j = 1.4142135^2374^9 QROOr(-2 , lO" •^^) = 'Zahl kleifier Null' In diesem Programm haben wir zusatzlich den Operator return verwendet, um eine Fehlermeldimg auszugeben, wenn man versehentlich eine negative Zahl fur die Quadratwurzelberechnung eingibt. e) Illustrieren wir im folgenden einen Laufbereich fiir eine for-Schleife, der aus Vektoren und/oder einzelnen Zahlen bestehen kann. Dazu schrei-

13

154

Programmierung

ben wir ein Funktionsprogramm VEKTOR, der einen Vektor bildet, dessen Komponenten aus drei Vektoren und/oder Zahlen r, s, t zusammengesetzt werden: VEKTOR(r,s,t) := I k ^ O for X e r , s , t VEKTORk Programming (deutsch: Hilfe => QuickSheets => Programmierung) geoffnet.

13.7

Programmstruktur

157

13.7.3 Fehlersuche Bei den im Buch erstellten Programmen spielt die Fehlersuche keine Rolle, da die darin verwendeten Algorithmen iiberschaubar sind. Bei grolSeren Programmen ist dagegen der Fehlersuche groBe Aufmerksamkeit 2u widmen, da MATHCAD natiirlich logische Fehler in einem programmierten Algorithmus {Programmierfehler) im Gegensatz zu syntaktischen Fehlem nicht erkennen kann. Derartige Programmierfehler erkennt man daran, da£ * falsche Ergebnisse geliefert werden, * eine von MATHCAD angezeigte Division diirch Null auftritt, * die Rechnung nicht beendet wird. Ab der Version 7 von MATHCAD sind zusatzlich die beiden Operatoren return und o n error enthaken, die zur Fehlersuche eingesetzt und mittels

t return

on error

in der Operatorpalette Nr.7 (Programmierungspalette) aktiviert werden. Dem Operator return begegnen wir in den Beisp.l3.5d2 und 13.8a. Der Operator o n error funktioniert folgendermalSen: * Nach Anklicken des Operators in der Programmierungspalette erscheint der folgende Ausdruck mit zwei Platzhaltern im Arbeitsblatt • on error • * In den rechten Platzhalter ist der im Programm auszuwertende Ausdruck einzutragen. Treten hierbei Fehler auf, so wird der in den linken Platzhalter eingetragene Ausdruck ausgewertet. Die Anwendung dieser Art der Fehlersuche tiberlassen wir dem Leser. Weiterhin bietet MATHCAD noch die vordefinierte Zeichenkettenfunktion error ( " Zeichenkette " )

(deutsch: Fehler ( " Zeichenkette " ) )

die man zur Fehlersuche einsetzen kann. Diese Funktion gibt die im Argument stehende Zeichenkette aus, wie im folgenden Beispiel illustriert wird. Beispiel 13.6: Definieren wir eine Funktion f ( x ) f ( x ) := if ( x >0, Vx , error ("xistnegativ")) die die Quadratwurzel aus x berechnet und im Falle eines negativen Wertes von X die Fehlermeldung x ist negativ ausgibt:

13 Programmierung

158

K:-2)| = X ist negativ

13.7.4 Beispiele Betrachten wir im Beisp.13.7 und 13.8b und c weitere Anwendungen von Verzweigungen und Schleifen und geben im Beisp. 13.8a einige Programmvarianten fiir die Newton-Methode zur Bestimmung von Nullstellen. Weitere Programmbeispiele findet man im Beisp.29.3 fur die klassische Gradientenmethode zur Bestimmung eines Minimums einer Funktion und im Beisp. 32.1 fur eine Monte-Carlo-Methode zur Berechnung bestimmter Integrale. Die im Buch gegebenen Beispiele sollen den Anwender anregen, *

mit den Programmiermoglichkeiten zu experimentieren,

*

auftretende Programmierprobleme zu meistern.

Beispiel 13.7: a) Von zwei Vektoren a und b (der gleichen Dimension) ist die Anzahl der Komponenten von a zu bestimmen, die kleiner oder gleich denen von b sind: Zuerst werden die beiden Vektoren a und b eingelesen, deren Komponenten sich in den strukturierten Dateien DATEN_a bzw. DATEN_b auf Diskette oder Festplatte befinden. Die genaue Vorgehensweise fiir das Lesen findet man im Abschn.11.3: a := READPRN ( DATEN_a )

(3] 4 5 7 1 a = 2 4 8 9

b)

b := READPRN ( DATEN_b )

f^l2 4 5 7 b= 8 9 2 9

l^J

Im folgenden diskutieren wir mogliche

Programmvarianten:

13.7

Programmstruktur

159

Die Anzahl der Komponenten von a, die kleiner oder gleich denen von b sind: •

erhalt man unter Verwendung der if-Funktion und des Summenoperators aus der Operatorpalette Nr.5 * mittels der vordefinierten Funktion rows (Zeilenanzahl): rows( a) Anzahl-

^

if(a. 5 fCx)

3C ^

X

•fC=0 dx Diese Variante hat folgende Nachteile: I. Die Rechnung wird nicht beendet, falls das Verfahren nicht konvergiert. II. Es kann eine Division durch Null auftreten, wenn die Ableitung der Funktion in einem berechneten Punkt Null wird. a2)In der folgenden Programmvariante wird der Nachteil II. aus Beisp.al behoben: N£WrON(s,f,5) while

(|fCx) I > 5)

dx

> 5

fCx)

X -f- X

IfCx) dx

a3)Gegenuber der Variante aus Beisp.a2 wird hier eine Meldung unter Verwendung des Befehls return ausgegeben, wenn eine berechnete Ableitung Null ist: NEWrON(s,f,5)

X ^

S

while

|fCx) 1 > 5

return • f ' C X ) - 0 • if

^fCx) dx

< 5

fCx) X N" if i > N

Verwenden wir die letzte Programmvariante aus Beisp.aS zur Bestimmung der einzigen reellen Nullstelle der Polynomfunktion f ( x ) : = x"^ + X + 1 Eine Anfangsnaherung fiir die Newtonsche Methode kann man aus der folgenden mit MATHCAD erstellten Grafik entnehmen:

13

164

Programmlerung

X :=-1,-0.99.. 1

f(x)

Die Anwendung des Programms NEWTON gestaltet sich folgenderma£en, wenn wir als * Startwert s = 0, * Anzahl der Iterationen N = 100, * Genauigkeitsschranke 8 = 0.0001 nehmen:

NEWTONCO, f, 0.0001 ,100) =

•0.796544857980085 ^ 5

Man sieht, dal^ die Nullstelle -0.796544857980085 nach 5 Iterationen berechnet wurde. b) Schreiben wir ein Funktionsprogramm MAXIMUM (A), das ein maximales Element einer beliebigen Matrix A mit den zugehorigen Indizes berechnet. Dazu stellen wir den Startindex fiir die Indizierung auf 1 ein, d.h. ORIGIN := 1 und verwenden eine geschachtelte Schleife (siehe Abschn.13.6) und die vordefinierten Matrixfunktionen rows und cols. Dieses Programm liefert ein Beispiel daftir, da£ man vordefinierte Funktionen von MATHCAD effektiv in die Programmierung einbinden kann, wie hier die Funktionen zur Bestimmung der Spalten- bzw. Zeilenanzahl der Matrix A. Ohne diese Funktionen muEte man Zeilen- und Spaltenanzahl von A als weitere Argumente bei MAXIMUM mit eingeben.

13.7

Programmstruktur

MAXIMUMCA)

165

MAXIMUM ( 2 - y + l ) - x + ya-y +b-yy-x + c 2

2

2

2

/

2

^

2

x + 2-y-x + a-x-y •+• b-x-y + c collect,y -^ a-x-y + \2-x +b-x/-y + x •

+c

16.3 Partialbruchzerlegung Es wird vorausgesetzt, da£ der von der Variablen x abhangende algebraische Ausdruck A(x) gebrochenrational ist, d.h., sich als Quotient aus zwei Polynomen in x darstellt. Mochte man einen derartigen im Arbeitsblatt befindlichen Ausdruck A(x) in Panialbniche zerlegen, so bietet MATHCAD zwei Moglichkeiten: I. Nachdem eine Variable x im Ausdruck A(x) mit einer Bearbeitungslinie markiert wurde, kann man die Mentifolge Symbolics => Variable => Convert to Partial Fraction (deutsch: Symbolik => Variable ==> Partialbruchzerlegung) anwenden.

16.3

Partialbruchzerlegung

183

II. Anklicken des Operators

parfw^

teiirtii^h

englisch

deutsch

flir das Schliisselwort parfrac

(deutsch: teilbruch)

in der Operatorpalette Nr.9, wobei folgendes erscheint: • convert, parfrac, • "^

la konvert, teilbruch, • -^

englisch

deutsch

Hier ist in den linken Platzhalter der Ausdruck A(x) und in den rechten die Variable x einzutragen. Abschlief^end losen die Betatigung der Eingabetaste f^^ oder ein Mausklick (auBerhalb) die Partialbruchzerlegung aus. Da die Partialbruchzerlegung mit der Nullstellenbestimmung fiir das Nennerpolynom zusammenhangt, ist es nicht verwunderlich, wenn MATHCAD diese Aufgabe nicht immer losen kann. Dies liegt darin begrlindet, da£ es flir die Nullstellenbestimmung fiir Polynome ab 5-Grades keinen endlichen Algorithmus gibt (siehe Abschn.21.3). Bei ganzzahligen Nullstellen ist MATHCAD in vielen Fallen auch fur Nennerpolynome hoheren Grades erfolgreich. Des weiteren hat MATHCAD Schwierigkeiten mit der Partialbruchzerlegung, wenn das Nennerpolynom komplexe Nullstellen besitzt (siehe Beisp. I6.11a). • Beispiel 16.11: a) MATHCAD scheitert an der einfachen Funktion 1 die die Partiaiorucnzerlegung 1

X + V2

2V2 X H V 2 - X + 1

1

X-V2

2V2 x^-V2-x + l

besitzt, da das Nennerpolynom komplexe Nullstellen hat. MATHCAD gibt die Funktion unverandert zurtick: —

1

X + 1

, 1 convert, parfrac, x -> — X + 1

184

16

Umformung von Ausdriicken

Dagegen werden problemlos folgende Partialbruchzerlegungen geliefert, wobei wir beide gegebenen Moglichkeiten anwenden: b) Anwendung von Methode I x^-x^-x- 1

, . . _ .. 1 2 expands in partial fractions to x -|- — -h — -

3-.x2

x^

X

2 (x-1)

c) Anwendung von Methode 11.: x^ -H x^ -h X -h 2

convert, parfrac, x

xV3-x^-h2

(x^i-l)

(x^-i-2)

16.4 Potenzieren MATHCAD bietet folgende Moglichkeiten zum Potenzieren eines Ausdrucks A, nachdem der Gesamtausdruck mit einer Bearbeitungslinie markiert wurde: I. Anwendung der Menufolge Symbolics =» Expand

(deutsch: Symbolik => Erweitem)

bzw. Symbolics => Simplify

(deutsch: Symbolik => Vereinfachen)

wobei in der deutschen Version Expand im Gegensatz zu friiheren Versionen schlecht iibersetzt wurde. Besser ware die Bezeichnung Entwickeln, die auch fiir das Schliisselwort verwendet wird. II. Anklicken des Operators

in der Operatorpalette Nr.9 und Eintragen des Schliisselwortes expand

(deutsch: entwickeln)

bzw. simplify

(deutsch: vereinfachen)

in den freien Platzhalter. AbschlielSend berechnen die Betatigung der Eingabetaste [ Factor

(deutsch: Symbolik => Faktorisieren)

II. Anklicken des Operators

in der Operatorpalette Nr.9 und Eintragen des Schlusselwortes

188

16

factor

Umformung von Ausdrucken

(deutsch: faktor)

in den freien Platzhalter. Abschlie/Send losen die Betatigung der Eingabetaste [ Floating Point... (deutsch: Symbolik ^:^ Auswerten ^ Gleitkomma...)

-

Eingabe des numerischen Gleichheitszeichens =.

Zur Berechnung endlicher Summen und Produkte ist folgendes zu bemerken: •

Fur die numerische Berechnung lassen sich zusatzlich die Operatoren

1n

bzw.

i]

aus der Operatorpalette Nr.5 heranziehen: * Nach dem Anklicken des entsprechenden Operators erscheinen folgende Symbole im Arbeitsblatt: bzw.

n •

in denen der Platzhalter hinter dem Symbol die gleiche Bedeutung wie oben hat. * Da in den Platzhalter unter dem Symbol nur die Indexbezeichnung eingetragen wird, mulS oberhalb des Symbols der Index als Bereichs-

17.2

Berechnung

195

variable definiert werden. Dabei ist auch eine Summierung bzw. Produktbildung liber nichtganzzahlige Indizes zugelassen. Diese Summen und Produkte werden als Bereichssummen bzw. Bereichsprodukte bezeichnet und werden nur numerisch durch Eingabe des numerischen Gleichheitszeichens = berechnet. Anwendungen hierfiir findet man im Beisp.17.1. •

Summen und Produkte konnen durch mehrfaches Anklicken der entsprechenden Operatoren geschachtelt werden, wie im Beisp.l7.1d bei der Berechnung einer Doppelsumme zu sehen ist.

•

Wahrend fur eine numerische Berechnung von Summen und Produkten alien Gro^en konkrete Zahlenwerte zugewiesen werden mussen, lassen sich exakt isymboliscb) auch allgemeine Summen und Produkte berechnen (siehe Beisp.17.1c).

Beispiel 17.1: a) Nach dem Anklicken des Summenoperators in der Operatorpalette Nr.5 erscheint im Arbeitsblatt das Symbol

I = I

und man kann z.B. die Summe 30 Z J 7k k = 12

durch Ausfiillen der entsprechenden Platzhalter * mittels Eingabe des symbolischen Gleichheitszeichens -^ mit abschlieBender Betatigung der Eingabetaste [^^ exakt berecbnen: 30 1073741823 Z J ^k 1073741824 k= 1 2 * mittels Eingabe des numerischen Gleichheitszeichens = berechnen: 30 \ Z k= 1 2

^k

numerisch

= 0.999999999068677

Das gleiche numerische Ergebnis erzielt man mittels Bereichssumme auf folgende Art:

196

17

Endliche Summen und Produkte

1..30

2 ^

= 0.999999999068677

b) Nach dem Anklicken des Produktoperators in der Operatorpalette Nr.5 erscheint im Arbeitsblatt das Symbol

n und man kann z.B. das Produkt

k = 1 durch Ausfullen der entsprechenden Platzhalter * mittels Eingabe des symbolischen Gleichheitszeichens -> mit abschlieSender Betatigung der Eingabetaste f^^ exakt berechnen: 10 5\^ _^ 277555756156289135105907917022705078125 1 1 \^j 6285195213566005335561053533150026217291776 k = 1 * durch Eingabe des numerischen Gleichheitszeichens = numerisch berechnen: 10 [~j

^ 5\^

_=4.416024430827729*10' . . . . . . . _ _ _ ..-5

k= 1 ^ Das gleiche numerische Ergebnis erzielt man mittels Bereichsprodukt auf folgende Art: k := 1..10 Y\[^\

= 4.416024430827729 ^lO"^

k c) Mittels exakter Berechnung lassen sich allgemeine Summen und Produkte hexechnen, wie folgende Beispiele zeigen: cl)

E4

k= 0 ^

k

^_,1\^"^^^ \a/

a ( - 1 -I- a )

(-1 + a)

17.2

Berechnung

197

c2)

,-l-J- ^

kj

r(n+i)

k = 2

Hier steht F fiir die Gammafunktion, die fur ganzzahliges positives n den Wert r(n+l) = n ! liefert. d) Berechnen wir die Doppelsumme 2

3

Z Z ( i + k) i=l k=l

durch Schachtelung des Summenoperators: *

exakt mittels symbolischem Gleichheitszeichen: 2

Z

3

Z (i+k)^21

i=1k= 1 *

numerisch mittels numerischem Gleichheitszeichen: 2 3 ^ ^ (i+k)=21. i = 1k= 1

e) Mit MATHCAD konnen auch Summen bzw. Produkte liber beliebige Bereichsvariablen, d.h. Bereichssummen bzw. Bereichsprodukte realisiert werden: * Berechnen wir die Summe der Quadrate der Zahlen 0.1, 0.2, ... , 1 : x : = 0.1,0.2.. 1

Z x ' = 3.85 X

* Berechnen wir das Produkt der Zahlen 0.1, 0.2, ... , 1 : x:= 0.1,0.2.. 1 [ ^ x = 3.629'10 X

•

-4

18 Vektoren und Matrizen

18.1 Einfiihrung Vektoren und Matrizen gehoren neben linearen Gleichungssystemen (siehe Abschri.21.2) zu Grundbestandteilen der linearen Algebra. Sie spielen sowohl in Wirtschafts- als auch Technik- und Naturwissenschaften eine fundamentale Rolle. Deshalb sind in MATH CAD umfangreiche Moglichkeiten zur Rechnung mit Vektoren und Matrizen enthalten, die wir im folgenden kennenlernen. Wir betrachten allgemeine Matrizen vom Typ (m,n), d.h. Matrizen mit m Zeilen und n Spalten der Gestalt ^11

^12

•••

^in

^21

^22

•••

^2n

die auch als mxn- Matrizen bezeichnet werden. Die Elemente ajj^

( i = 1, 2, ... , m , k = 1, 2, ... , n )

einer Matrix konnen beliebige Ausdrticke sein, sind aber in vielen Anwendungsaufgaben reelle Zahlen. In MATHCAD ist zu beachten, da£ die Elemente einer Matrix A im Unterschied zur mathematischen Schreibweise mit Aji^

( i = 1, 2, ... , m , k = l , 2, ... , n )

bezeichnet werden.

1^ Vektoren bilden Sonderfalle von Matrizen: *

Zeilenvektoren x sind Matrizen vom Typ (l,n), d.h., Matrizen mit einer Zeile und n Spalten, die man in folgender Form schreibt: V X 2 , X 2 ,..., X ^ j

*

Spaltenvektoren x

200

18

Vektoren und Matrizen

sind Matrizen vom Typ (n,l), d.h., Matrizen mit n Zeilen und einer Spalte, die man in folgender Form schreibt:

Deshalb gelten die gegebene Fakten fur Matrizen auch fiir Vektoren, falls es deren Typ zula^t. Das betrifft Eingabe, Addition, Multiplikation und Transponieren. • In MATHCAD ist beziiglich Vektoren und Matrizen folgendes zu beachten: •

Vektoren und Matrizen flihrt MATHCAD unter dem Oberbegriff Felder.

•

Bei speziell fiir Vektoren vorgesehenen Rechenoperationen werden von MATHCAD nur Spaltenvektoren akzeptiert.

•

Bei Rechnungen mit Vektoren und Matrizen ist zu beriicksichtigen, da£ MATHCAD bei der Indizierung der Komponenten bzw. Elemente in der Standardeinstellung mit 0 beginnt. In der Mathematik wird aber die Indizierung i. allg. mit dem Startindex 1 begonnen. Deshalb bietet MATHCAD nach dem Offnen eines Arbeitsblatts die Moglichkeit, mittels der Meniifolge Tools => Worksheet Options... (deutsch: Extras ^=> Arbeitsblattoptionen...) in der erscheinenden Dialogbox Worksheet Options

(deutsch: Arbeitsblattoptionen)

bei Built-in Variables

(deutsch: Vordefinierte Variablen)

im Eingabefeld (Textfeld) Array Origin (deutsch: Startindex) fiir die vordefinierte Variable ORIGIN den Standardstartindex 0 durch einen anderen Startindex (i.allg. 1) zu ersetzen. Damit ist die Indizierung fiir das gesamte Arbeitsblatt wirksam. Lokal kann man durch die Zuweisung ORIGIN := 1 den Startindex auf 1 stellen.

18.2

Eingabe

201

18.2 Eingabe Bevor man mit Vektoren und Matrizen rechnen kann, mlissen sie in das Arbeitsblatt eingegeben werden. Fiir diese Eingabe stelk MATHCAD zwei Moglichkeiten zur Verfiigung: * Einlesen von einem Datentragern (z.B. Festplatte, Diskette, CD-ROM) * Eingabe mittels Tastatur Das Einlesen von Vektoren und Matrizen von Datentragern haben wir bereits im Abschn.11.3 kennengelernt. Im folgenden behandeln wir Moglichkeiten, die MATHCAD bei der Eingabe mittels Tastatur bietet.

18.2.1 Eingabe von Vektoren Fur die Eingabe eines (Spalten-) Vektors mit n Komponenten in das Arbeitsblatt mittels Tastatur bietet MATHCAD folgende drei Moglichkeiten: L Nach Aktivierung der Menufolge Insert => Matrix...

(deutsch: Einfiigen => Matrix...)

oder Anklicken des Operators {Matrixoperators)

in der Operatorpalette Nr.3 erscheint die Dialogbox Insert Matrix

(deutsch: Matrix einfiigen)

in die im Eingabefeld (Textfeld) Rows:

(deutsch: Zeilen-)

die Anzahl n der Komponenten des Vektors und im Eingabefeld (Textfeld) Colums:

(deutsch: Spalteni)

eine 1 einzutragen sind, da Vektoren in MATHCAD als Spaltenvektoren betrachtet werden. Danach erscheint durch Anklicken der Schaltflache (Button) OK im Arbeitsblatt an der durch den Kursor bestimmten Stelle ein Vektor der Gestalt (z.B. bei vier Komponenten):

K\

in dessen Platzhalter die konkreten Komponenten des Vektors mittels Tastatur einzugeben sind, wobei zwischen den Platzhaltern mittels

202

18 Vektoren und Matrizen

Mausklick oder Tabulatortaste [ ^ ] gewechselt wird. Diese Methode ist flir Vektoren mit maximal 100 Komponenten anwendbar. Die Dialogbox Insert Matrix dient auch zum Einfugen bzw. Loschen von Komponenten in einem gegebenen Vektor durch Anklicken der Schaltflache (Button) Insert bzw. Delete

(deutsch: Einfugen bzw. Loschen)

11. Wenn der einzugebende Vektor x n Komponenten hat, ist zuerst der Index als Bereichsvariable in der Form i := 1 .. n in das Arbeitsblatt einzugeben. Danach kann der Vektor unter Verwendung des Operators flir den Feldindex (Indexoperators)

H

aus der Operatorpalette Nr.3 folgendermalSen erzeugt werden: •

In die erscheinenden Platzhalter I

I

werden der Name des Vektors (z.B. x) und der Feldindex (z.B. i) eingetragen, d.h. die allgemeine Komponente Xj. •

AnschlieiSend konnen mittels der Zuweisungsoperatoren := oder = (siehe Abschn.13.4) den Komponenten des Vektors x Werte zugewiesen werden: Dies kann durch * eine Funktionf (i)geschehen, falls die Komponenten des Vektors eine Funktion des Index sind (siehe Beisp.18.lb), d.h. Xi:=f(i)

* Eingabe eines Kommas nach jeder Zahl hinter dem Zuweisungsoperator geschehen, falls man den Komponenten mittels Tastatur Zahlen zuweisen mochte (Eingabe als Zahlentabelle). Man erhalt hier eine Tabelle (Eingabetabelle ), wie im Beisp. 18.1c illustriert wird. III. Im Unterschied zur Methode II. kann man die Komponenten eines Vektors ohne Definition des Index als Bereichsvariable auch einzeln in der Form Xi-

flir die entsprechenden Indizes i durch Anwendung des Operators flir den Feldindex (Indexoperators)

18.2

Eingabe

203

aus der Operatorpalette Nr.3 eingeben (siehe Beisp.18.ld). Dies ist die aufwendigste Methode, so da£ sie seltener Anwendung findet. Bei der Eingabe von Vektoren ist folgendes zu beachten: •

Wenn eine Komponente eines Vektors nicht definiert wurde, so setzt MATHCAD sie gleich Null (siehe Beisp.18.ld).

•

Es empfiehlt sich auch bei der Methode I., einem Vektor mittels der Zuweisungsoperatoren := bzw. = einen Vektomamen (i.allg. Kleinbuchstaben a , b , ... , X , y , z) zuzuweisen (siehe Beisp.18.1), mit dem dann im weiteren gerechnet wird. Dabei wird die Zuweisung durch := lokal und durch = global durchgefuhrt (siehe Abschn.13.4).

•

Im Beisp.l8.1b werden drei Darstellungsmoglichkeiten fur Vektoren illustriert, die MATHCAD nach abschliel^ender Eingabe des numerischen Gleichheitszeichens = im Arbeitsblatt gestattet: * Als rollende Tabelle (Ausgabetabelle) nach der Eingabe des Vektornamens mit Index. Diese Darstellung funktioniert nur, wenn vorher der Index als Bereichsvariable definiert wurde. * Als rollefzde Tabelle {Ausgabetabelle) mit Zeilen- und Spaltennummer nach der Eingabe des Vektornamens. * Als Spaltenvektor mit Unterdrlickung der Zeilen- und Spaltennummer, indem man die Meniifolge Format => Result...

(deutsch: Format => Ergebnis...)

aktiviert und in der erscheinenden Dialogbox Result Format

(deutsch: Ergebnisformiat)

bei Display Options

(deutsch: Anzeige-Optionen)

im Eingabefeld Matrix display style

(deutsch:

Matrix-Anzeigeformaf)

Matrix einstellt. Beispiel 18.1: Im folgenden wird immer ORIGIN:=l vorausgesetzt, d.h., die Indizierung wird mit dem Startindex 1 begonnen. a) Die Methode I. zur Erzeugung von Vektoren wird am haufigsten angewandt. Ein nach ihr eingegebener Vektor mit 4 Komponenten mit der Bezeichnung x hat im Arbeitsblatt z.B. folgende Gestalt:

18

204

Vektoren und Matrizen

b) Erzeugen wir einen Vektor x nach der Methode II., dessen Komponenten sich als eine Funktion des Index i darstellen lassen wie z.B.: i := 1..17 Xi := i^ und zeigen die drei verschiedenen Darstellungsmoglichkeiten: Die Darstellung als Tabelle bzw. rollend Tabelle wird durch Eingabe des numerischen Gleichheitszeichens = nach Xj bzw. x erreicht. Die Darstellung als Spaltenvektor geschieht, nachdem bei Matrix display style (deutsch: Matrix-Anzeigeformaf) der Dialogbox Result Format

(deutsch: Ergebnisformat)

Matrix eingestellt wurde. Im folgenden sehen wir die drei moglichen Darstellungen eines Vektors im Arbeitsblatt: rollende Tabelle 314

rollende Tabelle mit Zeilen- und Spaltennummer •

•

-

,

•

/

1 \ 4

4

1 2

1 4

9

9

3

9

16

16

4

16

25

25

5

25

36

6

36

36 49

49

7

49

64

64

Je

64

/

81

9

81

144

ml 144

169

13 169

196

14 196

225

15 225

1

.1.1Hi

|l? n

256 jin^^

SI 100

100

121

256

n

him^

100

•

,•

\ 1

Spaltenvektor

-' >" •^

\

1 1 1

121 144 169 196 225

.'1 jm

256 V2S9;

18.2

Eingabe

205

c) Erzeugen wir einen Vektor x nach der Methode 11. durch eine Zahlentabelle mit 6 Werten. Dazu konnen wir die von MATHCAD angebotenen Eingabetabellen verwenden: i:=1..6

f^l

^

4 6

EI

tr

X =

\f_

S ?.

u>

p"

Die Eingabetabelle wird durch Eingabe eines Kommas nach jeder Zahl hinter dem Zuweisungsoperator erhalten. Fijr dieses Beispiel wurde die Darstellung als Matrix eingestellt. d) Erzeugen wir einen Vektor x nach der Methode III., dessen Komponenten einzeln eingegeben werden, wie z.B.: X3:=3

X5:=7

^0^ 0 X =

3 0 7

Da flir den Vektor x nur die dritte und fiinfte Komponente eingegeben (definiert) wurden, werden die fehlenden Komponenten 1, 2 und 4 von MATHCAD gleich Null gesetzt.

18.2.2 Eingabe von Matrizen Wir betrachten Matrizen vom Typ (m,n), d.h. Matrizen mit m Zeilen und n Spalten der Gestalt 12

In •2n

206

18

Vektoren und Matrizen

Fiir die Eingabe von Matrizen in das Arbeitsblatt mittels Tastatur bietet MATHCAD folgende vier Moglichkeiten: I. Nach Aktivierung der Meniifolge Insert ^ Matrix...

(deutsch: Einfugen => Matrix...)

oder Anklicken des Operators (Matrixoperators)

M in der Operatorpalette Nr.3 erscheint die Dialogbox Insert Matrix

(deutsch: Matrix einfiigen)

in die im Eingabefeld (Textfeld) Rows:

(deutsch: Zeileri)

die Anzahl m der Zeilen und im Eingabefeld (Textfeld) Coliims:

(deutsch: Spalteri)

die Anzahl n der Spalten einzutragen sind. Danach erscheint durch Anklicken der Schaltflache (Button) OK im Arbeitsblatt an der durch den Kursor bestimmten Stelle eine Matrix der Gestalt, z.B. fiir den Typ (5,6):

in deren Platzhalter die konkreten Elemente der Matrix mittels Tastatur einzugeben sind, wobei zwischen den Platzhaltern mittels Mausklick oder Tabulatortaste {^%]gewechselt werden kann. Diese Methode ist fiir Matrizen mit maximal 100 Elementen (d.h. m*n = 100) anwendbar. Die Dialogbox Insert Matrix dient auch zum Einfugen bzw. Loschen von Zeilen und Spalten in einer gegebenen Matrix durch Anklicken der Schaltflache (Button) Insert bzw. Delete

(deutsch: Einfugen bzw. Loschen)

11. Wenn die einzugebende Matrix vom Typ (m,n) ist, werden zuerst die Indizes i und k als Bereichsvariable in der Form i := 1 .. m

k := 1 .. n

definiert, so dalS zwei geschachtelte Schleifen erzeugt werden. Danach kann die Matrix unter Verwendung des Operators fiir den Feldindex (/ndexoperators)

18.2

Eingabe

207

aus der Operatorpalette Nr.3 folgendermalSen erzeugt werden: •

In die erscheinenden Platzhalter I •

werden der Name der Matrix (z.B. A) und die Indizes (Feldindizes) durch Komma getrennt eingetragen (z.B. i,k), d.h. das allgemeine Element A-^y. •

AnschlieEend konnen mittels der Zuweisungsoperatoren := oder = (siehe Abschn.13-4) den Elementen Ai,k

der Matrix A Werte zugewiesen werden: Dies kann durch * eine Funktion f ( i , k ) geschehen, falls die Elemente der Matrix eine Funktion der Indizes sind (siehe Beisp. 18.2c), d.h. A,y.=

f(i,k)

* Eingabe eines Kommas nach jeder Zahl hinter dem Zuweisungsoperator geschehen, falls man den Elementen mittels Tastatur Zahlen zuweisen mochte (Eingabe als Zahlentabelle). Dabei ist zeilenweise vorzugehen. Mit dieser Vorgehensweise konnen auch Matrizen eingegeben werden, die mehr als 100 Elemente besitzen. Ill.Im Unterschied zur Methode II. kann man die Elemente einer Matrix ohne Definition der Indizes als Bereichsvariable auch einzeln in der Form Ai,k •=

unter Verwendung des Operators fiir den Feldindex (Indexoperators) ^n aus der Operatorpalette Nr.3 fiir die entsprechenden Indizes i und k eingeben (siehe Beisp. 18.2b). IV. Eingabe mittels der Meniifolge Insert => Data => Table

(deutsch: Einfiigen => Daten => Tabelle)

die im Arbeitsblatt eine Tabelle mit einem Platzhalter erscheinen la/^t. In den Platzhalter ist die Bezeichnung der Matrix einzutragen. Die Anzahl der Zeilen und Spalten der Tabelle wird durch die eingetragenen Elemente bestimmt, wobei zwischen den Zeilen mittels der Kursortasten gewechselt werden kann (siehe Beisp. 18.2d). Mit dieser Vorgehensweise konnen auch Matrizen eingegeben werden, die mehr als 100 Elemente besitzen.

208

18

Vektoren und Matrizen

Bei der Eingabe von Matrizen ist folgendes zu beachten: •

Wenn ein Element einer Matrix nicht definiert wurde, so setzt MATHCAD es gleich Null (siehe Beisp.18.2b).

•

Es empfiehlt sich auch bei der Methode I., einer Matrix mittels der Zuweisungsoperatoren := bzw. = einen Matrixnamen (Gro/^buchstaben A, B, ...) zuzuweisen (siehe Beisp. 18.2), mit dem dann im weiteren gerechnet wird. Dabei wird die Zuweisung durch := lokal und durch = global durchgefuhrt (siehe Abschn.13.4).

•

Im Beisp. 18.2c werden die drei Darstellungsmoglichkeiten fiir Matrizen illustriert, die MATHCAD nach abschlie£ender Eingabe des numerischen Gleichheitszeichens = im Arbeitsblatt gestattet, wobei die Analogic zu Vektoren zu sehen ist: * Als eindime?2sionale rollende Tabelle {Ausgabetabelle) bei Eingabe des Matrixnamens mit Indizes. Diese Darstellung funktioniert nur, wenn vorher die Indizes als Bereichsvariable definiert wurden. Diese Darstellungsform ist nicht zu empfehlen, da hier die Matrixform nicht beibehalten wird, sondern die einzelnen Spalten untereinander als eindimensionale rollende Tabelle geschrieben werden. * Als rollende Tabelle (Aiisgabetabelle) mit Zeilen- und Spaltennummer bei Eingabe des Matrixnamens. * Als Matrix bei Eingabe des Matrixnamens durch Unterdrlickung der Zeilen- und Spaltennummer, indem man die Meniifolge Format => Result...

(deutsch: Format => Ergebnis...)

aktiviert und in der erscheinenden Dialogbox Result Format

(deutsch: Ergebnisformat)

bei Display Options

(deutsch: Anzeige-Optionen)

im Eingabefeld Matrix display style

(deutsch: Matrix-A nzeigefofmat)

Matrix einstellt. Hier kann auch die Darstellung als Tabelle eingestellt werden. Beispiel 18.2: Im folgenden Beispielen wird immer ORIGIN:=l vorausgesetzt, d.h., die Indizierung wird mit dem Startindex 1 begonnen. a) Die Methode I. zur Erzeugung von Matrizen wird am haufigsten angewandt. Sie funktioniert allerdings nur fiir Matrizen bis zu 100 Elementen. Eine nach ihr eingegebene Matrix A hat im Arbeitsblatt z.B. folgende Gestak:

18.2

Eingabe

A:=

209

1 3

5^

v7 9

2)

b) Erzeugen wir nach der Methode III. eine Matrix A 1,1-=2

A2,3:=l

A=

2 0 0 0 0 1

Da flir die Matrix A vom Typ (2,3) nur zwei Elemente definiert wurden, setzt MATHCAD die nichtdefinierten Elemente gleich Null. c) Erzeugen wir nach der Methode II. eine Matrix A mit 14 Zeilen und 12 Spalten, deren Elemente sich als Differenz zwischen Zeilennummer und Spaltennummer berechnen: i : = l . . 18

k : = l . . 12

Aii,:=i-k

und geben die moglichen Ausgabeformen an: * Darstellung als rollende Tabelle.

Man sieht, dal5 diese Darstellungsform nicht vorteilhaft ist, da hier die Matrixform nicht beibehalten wird, sondern die einzelnen Spalten untereinander als rollende Tabelle geschrieben werden.

18

210

Vektoren und Matrizen

* Darstellung als rollende Tabelle mit Zeilen- und Spaltennummer: [

2

1

A = B

1i

11

If

3

4

5

6

7

8

9

1 '*' 1

10

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

3

2

1

,0

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

-6 \

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

a

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

7

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

8

7

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

4

3

2

1

0

-1

9

m

8$ 9

10

^ 6

5

8

-9 1 1

1

1 1 k1

7

6

5

4

3

2

1

0

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

1

^1

>• i

11

Zl.M i....z'r.'

Data =:> Table eine Matrix A mit 4 Zeilen und 3 Spalten, indem wir die Elemente der Matrix in die erscheinende Tabelle und den Namen der Matrix in den linken oberen Platzhalter eintragen: 1

i1

2

3

12

1 4

2 5

3 6

:3

7

8

9

4

10

11

12

Wir erhalten folgende Matrix:

A =

^1

2

4

5

3^ 6

7 8 9 10 11 12

18.3 Zugriff auf Vektorkomponenten und Matrixelemente Bevor wir Rechenoperationen mit Matrizen im Rahmen von MATHCAD diskutieren, miissen wir uns noch damit beschaftigen, wie man auf einzelne Elemente, Zeilen oder Spalten einer im Arbeitsblatt definierten Matrix zugreifen kann: •

Auf die Komponenten eines im Arbeitsblatt definierten Vektors x wird mit Vektornamen x mit entsprechendem Index (als Feldindex) zugegriffen (siehe Beisp. 18.3a), d.h. Xj =

oder

Xj - >

In MATHCAD ist zu beachten, da£ als Vektoren nur Spaltenvektoren akzeptiert werden. Bei Zeilenvektoren ist der Zugriff wie bei Matrizen zu handhaben, d.h. als Matrix mit einer Zeile (siehe Beisp. 18.3b). •

Auf die Elemente einer im Arbeitsblatt definierten Matrix A wird mit Matrixnamen A mit entsprechendem Zeilen- und Spaltenindex (als Feldindex) zugegriffen, wobei beide Indizes durch Komma zu trennen sind (siehe Beisp. 18.3c), d.h.

212

18

Ai,k

- Oder

Vektoren und Matrizen

Aj 1^ ->

bzw. ^(i,k) =

Oder

A(i 1^) - ^

Die Indizes werden mittels des Operators fiir den Feldindex (Indexoperators) \ aus der Operatorpalette Nr.3 erzeugt, wobei die Indizes zusatzlich noch in Klammern eingeschlossen werden konnen. Auf Spalten einer im Arbeitsbiatt definierten Matrix A kann man zugreifen, indem man den Operator

„

in der Operatorpalette Nr.3 anklickt. Es erscheint im Arbeitsbiatt das folgende Symbol •

In seinen unteren grolSen Platzhalter sind der Name der Matrix A und in seinen oberen kleinen Platzhalter die Nummer der gewiinschten Spalte einzutragen. AbschlieEend markiert man den Ausdruck mit einer Bearbeitungslinie, gibt das symbolische oder numerische Gleichheitszeichen ein und driickt die Eingabetaste f^. Mochte man Zeilen (Zeilenvektoren) aus einer Matrix A herausziehen, so kann man die eben beschriebene Methode ebenfalls anwenden, wenn man die Matrix vorher transponiert (siehe Abschn. 18.6.2) Beim Zugriff auf Matrixelemente ist folgendes. zu beachten: * Im Unterschied zur mathematischen Standardnotation werden in MATHCAD die Elemente einer Matrix A nicht mit Kleinbuchstaben a, sonder mit GrolSbuchstaben A bezeichnet. * MATHCAD erkennt automatisch, wenn man Elemente/Zeilen/Spalten aulSerhalb der definierten Indizes verwendet und gibt eine Fehlermeldung aus. Aus dem folgenden Beispiel ist die Vorgehensweise bei Zugriffsoperationen ersichtlich. Beispiel 18.3: In den folgenden Beisp.a und b wird der Startindex fur die Indizierung als 1 vorausgesetzt (d.h. ORIGIN:=l), wahrend im Beisp.c auch der Startindex 0 betrachtet wird (d.h. ORIGIN:= 0).

18.3

Zugriff auf Vektorkomponenten und Matrixelemente

213

a) Betrachten wir den Zugriff auf die dritte Komponente des (Spalten-) Vektors f 4 ^ 2 1

Da ein Vektor mit n Komponenten ein Spezialfall einer Matrix mit n Zeilen und einer Spake ist, kann man auf seine Komponenten auch mit Zeilen- und Spaltenindex zugreifen, d.h. X3 1 = 1

Man wird fur praktische Rechnungen jedoch den Zugriff mit nur einem Index bevorzugen, wie er in der mathematischen Standardnotation iiblich ist, d.h. X3=l

b) Betrachten wir den Zugriff auf die dritte Komponente des Zeilenvektors x:=(4

2 1 7)

1,3

=1

Da ein Zeilenvektor eine Matrix mit einer Zeile ist, mu£ als Zeilenindex 1 geschrieben werden und als Spaltenindex der gewunschte Komponentenindex. Dies ist erforderlich, da MATHCAD nur Spaltenvektoren als Vektoren akzeptiert. c) Betrachten wir folgende Matrix: r3 A :=

12

6

9

0^

1

23 35

2

7

9

2

43

3

8

3

5

71 27 49

cl)Mit dem Startindex 0 fiir die Indizierung, d.h. ORIGIN := 0 ergeben sich beim Zugriff auf •

einzelne Elemente folgende Moglichkeiten: * mit numerischem Gleichheitszeichen -^1,2 ~ ^5 ^(1,2

) = 35

AQ 0 -

•(0,0)

3

= 3

A3 4 = 49 '(3,4 ) = 4 9

* mit symbolischem Gleichheitszeichen

214

18

4,2

35

^ ( 1 , 2 ) ^->35 -'-'

Ao,()->3

^3,4

^ ( 0 , 0 ) ->3 "^^

->49

^(3,4)

49

einzelne Spalten folgende Moglichkeiten: * mit numerischem Gleichheitszeichen

A

v3y

* mit symbolischem Gleichheitszeichen

f6^ 35 A =

f 35^ l 43

I71J

Vektoren und Matrizen

18.4

Vektorisierung

215

* mit symbolischem Gleichheitszeichen ^3^ A^'^^

(6^ A^'>-^

l3j

35 43 v71/

18.4 Vektorisierung Mit der Vektorisierung bietet MATHCAD ein effektives Mittel, um Ausdriicke vektorwertig berechnen zu konnen, d.h. fiir die einzelnen Komponenten von Vektoren, wobei alle verwendeten Vektoren die gleiche Anzahl von Komponenten besitzen miissen. Unter Verwendung des Operators {Vektorisierungsoperators)

i^ aus der Operatorpalette Nr.3 ist es in MATHCAD moglich, Ausdriicke fiir die Komponenten von Vektoren zu berechnen. Dazu mulS der Ausdruck zuerst mit einer Bearbeitungslinie markiert und anschlielSend der Vektorisierungsoperator aktiviert werden. Danach zeigt ein Pfeil iiber dem betreffenden Ausdruck an, dalS die Vektorisierung wirksam ist. Die Vektorisierung laJSt sich effektiv einsetzen, wenn z.B. Ausdriicke fiir mehrere Zahlenwerte zu berechnen sind. Da eine derartige Vektorisierung in der mathematischen Notation nicht vorkommt, illustrieren wir die Vorgehensweise im folgenden Beispiel. Beispiel 18.4: a) Die Wirkungsweise der Vektorisierung ist schon aus der einfachen Aufgabe der Produktberechnung c = a •b zu erkennen, wenn diese fiir die Komponenten zweier im Arbeitsblatt definierter Vektoren a und b durchzuftihren ist, wobei das Ergebnis in einem Vektor c stehen soil. Es ist in MATHCAD nicht moglich, diese Aufgabe mittels c := a • b zu losen, da MATHCAD hiermit das Skalarprodukt der beiden Vektoren a und b berechnet (siehe Abschn. 18.6.4). Betrachten wir die Aufgabe fiir die konkreten im Arbeitsblatt definierten Vektoren

216

18

(2^ 1

b:=

Vektoren und Matrizen

PI9 0

5 4

3i

Eine erste Moglichkeit zur Berechnung der Produkte ftir die einzelnen Komponenten der Vektoren a und b besteht in der Anwendung einer Schleife, indem der Schleifenindex i als Bereichsvariable definiert wird: i := 1 .. 4

Ci:=ai-bi

9 0 12 Eleganter lafSt sich diese Aufgabe in MATHCAD jedoch mittels Vektorisieni7ig durch Anwendung des Vektorisieningsoperators losen: c:=(a-b) ^10^ c =

9 0 12

b) Bestimmen wir eine Losung der quadratischen Gleichung a-x^ + b - x + c = 0 mittels der bekannten Formel - b + ^ b ^ - 4 a -c 2-a ftir verschiedene Zahlenwerte der Konstanten a, b und c. Als konkretes Beispiel berechnen wir die Losung fur die vier Zahlentripel (2,6,3),(5,4,2),(1,2,6),(8,7,1) ftir die Konstanten a , b und c. In MATHCAD gelingt dies auf effektivem Wege, indem man die Zahlentripel als Komponenten von Vektoren a, b bzw. c definiert und auf die zu berechnende Formel den Vektorisieni?tgsoperator anwendei:

18.4

Vektorisierung

217

fr^\

^2^ 5

^3^ 2

b :=

a := 1

C :=

8

7 V

•b +

1 J

w~2

MATH CAD liefert fur die vier gegebenen Zahlentripel folgende vier L6sungen in Form eines Spaltenvektors: (

-0.634

^

-0.4 + 0.49i -1 + 2.2561 -O.IS Ohne den Vektorisierungsoperator ist die Berechnung der Formel fiir die Vektoren a, b und c nicht moglich (Fehlermeldung durch MATHCAD), da nicht alle enthaltenen Operationen (z.B. Division) fiir Vektoren definiert sind bzw. die Produkte b-b und a-c als Skalarprodukte interpretiert werden. Ohne Vektorisierungsoperator kann MATHCAD die Formel nur fiir einzelne Zahlenwerte fiir die Konstanten a, b und c berechnen. c) Betrachten wir die Aufgabe, den Ausdruck a^+a + 1 A^ + 2

fiir die Werte a = l, 2, 3, ... , 10 2u berechnen. Im Beisp.8.1d haben wir dies unter Verwendung einer Bereichsvariablen durchgefiihrt. Im folgenden wenden wir die Vektorisierung an, indem wir einen Vektor a mit den Komponenten 1, 2, 3, ... , 10 erzeugen und hierfiir den vektorisierten Ausdruck berechnen. Die Erzeugung des entsprechenden Vektors a kann auf verschiedene Arten geschehen, wie im Abschn. 18.2.1 beschrieben wird. Wir verwenden eine Schleife, indem der Schleifenindex i als Bereichsvariable definiert wird: := 1 .. 10

a,-

18

218

1

"'i""

1 2.05

,1 "i""

3.483

„,„.„

+ a+ 1 ^fa^¥2

s

Vektoren und Matrizen

!

5.25 7.318

9.664 "i" 12.269

r

\T

15.119

\%

18.2

10 21.502

18.5 Vektor- und Matrixfunktionen In MATHCAD sind Vektor- und Matrixfunktionen vordefiniert, mit deren Hilfe man fur Vektoren v und Matrizen A, B, ... eine Reihe von Rechnungen effektiv durchflihren kann. Vor der Anwendung dieser Funktionen mlissen v, A, B, ... die entsprechenden Vektoren/Matrizen zugewiesen oder statt v, A, B, ... die Vektoren/Matrizen direkt in das Argument der Funktionen eingegeben werden. Das von den Funktionen berechnete Ergebnis erhak man, indem man den Funktionsausdruck mit einer Bearbeitungslinie markiert und anschlielSend die numerische Berechnung mittels des numerischen Gleichheitszeichens = oder der Meniifolge Symbolics => Evaluate => Floating Point... (deutsch: Symbolik •=^ Auswerten => Gleitkonuna...) auslost. Die exakte Berechnung mittels des symbolischen Gleichheitszeichens -^ oder durch Aktivierung der Meniifolge SymboUcs => Evaluate => Symbolically (deutsch: Symbolik => Auswerten => Symbolisch) funktioniert nicht bei alien Vektor - und Matrixfunktionen, so dalS man die numerische Berechnung vorziehen sollte.

18.5.1 Vektorfunktionen Da Vektoren Spezialfalle von Matrizen darstellen, konnen hierfiir ebenfalls die entsprechenden Matrixfunktionen aus Abschn. 18.5.2 herangezogen wer-

18.5

Vektor-und Matrixfunktionen

219

den. Im folgenden listen wir vordefinierte Funktionen auf, die speziell auf Vektoren v anwendbar sind, wobei zu beachten ist, dafS MATHCAD Vektoren als Spaltenvektoren voraussetzt: * last ( V )

(deutsch: letzte ( v ) )

bestimmt den Index der letzten Komponente des Vektors v. * length ( V )

(deutsch: lange ( v ) )

berechnet die Anzahl der Komponenten des Vektors v. * rows ( V )

(deutsch: zeilen ( v ) )

berechnet die Anzahl der Komponenten des Vektors v. *

max ( V )

berechnet das Maximum der Komponenten des Vektors v. * min ( v ) berechnet das Minimum der Komponenten des Vektors v. Die Funktionen length und rows liefern fiir Vektoren das gleiche Ergebnis. Die Funktion last liefert ebenfalls dieses Ergebnis, wenn als Startindex 1 (d.h. ORIGIN := 1) eingestellt ist.. In den Funktionen max und min konnen mehrere Vektoren als Argumente verwendet werden • Illustrieren wir die Anwendung der Vektorfunktionen im folgenden Beispiel. Beispiel 18.5: Wenden wir auf die Vektoren ^1^ V:=

(2^ W

=

9 4

v^ die betrachteten vordefinierten Vektorfunktionen an, wobei ORIGIN := 1 eingestellt ist: a) Berechnen wir die Anzahl der Komponenten (Index der letzten Komponente) von V: length ( V ) = 4

last ( v ) = 4

rows ( v ) = 4

b) Berechnen wir Minimum und Maximum der Komponenten von v: min ( V ) = 1

max ( v ) = 8

220

18

Vektoren und Matrizen

c) Berechnen wir Minimum und Maximum der Komponenten von v und W:

min ( V , w ) = 1 •

max ( v , w ) = 9

18.5.2 Matrixfunktionen In MATHCAD sind eine Reihe von Funktionen vordefiniert, die auf Matrizen anwendbar sind und als Matrixfunktionen bezeichnet werden. Im folgenden erklaren wir wichtige: * augment ( A , B )

(deutsch: erweitern ( A , B ))

bildet eine neue Matrix, in der die Spaken der Matrizen A und B nebeneinander geschrieben werden. Diese Funktion ist nur anwendbar, wenn A und B die gleiche Anzahl von Zeilen besitzen. * cols ( A )

(deutsch: spalten ( A ) )

berechnet die Anzahl der Spaken der Matrix A. * diag ( V ) erzeugt eine quadratische Matrix, deren Hauptdiagonale vom Vektor v gebildet wird und deren restliche Elemente Null sind, d.h. eine Diagonalmatrix. * identity ( n )

(deutsch: einheit ( n ) )

erzeugt eine Einheitsmatrix mit n Zeilen und n Spalten. * match ( z , A )

(deutsch: vergleich ( z , A ) )

sucht in der Matrix A nach einem Element mit dem Wert z und gibt gegebenenfalls seine Zeilen- und Spaltennummer aus. * matrix ( m , n , f ) erzeugt eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten, deren Elemente durch die Funktion f ( i , k ) berechnet werden, wobei i die Zeilen- und k die Spaltennummer darstellen. Die Funktionf ( i , k ) mu£ vor der Anwendung von matrix definiert werden. Weiterhin ist zu beachten, da£ MATHCAD hier immer den Startindex 0 verwendet, der nicht verandert werden kann. Man kann sich hier helfen, da/^ man bei der Definition der Funktion f ( i , k ) zum Index i und k jeweils eine 1 addiert, wie im Beisp. 18.6k illustriert wird. * max ( A ) berechnet das Maximum der Elemente der Matrix A. * min( A)

18.5

Vektor- und Matrixfunktionen

221

berechnet das Minimum der Elemente der Matrix A. * rank ( A )

(deutsch: rg ( A ) )

berechnet den Rang der Matrix A. * rows ( A )

(deutsch: zeilen ( A ) )

berechnet die Anzahl der Zeilen der Matrix A. * stack ( A , B )

(deutsch: stapeln ( A , B ))

bildet eine neue Matrix, in der die Zeilen von A und B untereinander geschrieben werden. Diese Funktion ist nur anwendbar, wenn A und B die gleiche Anzahl von Spalten besitzen. * submatrix ( A , i , j , k , 1 ) bildet eine Untermatrix der Matrix A, die die Zeilen i bis j und die Spalten k bis 1 enthalt, wobei i < j und k < 1 gelten miissen. * tr ( A )

(deutsch: sp ( A ))

berechnet die Spur der quadratischen Matrix A, d.h. die Summe der Elemente der Hauptdiagonale. In den Funktionen max und min konnen mehrere Matrizen als Argumente verwendet werden Beispiel 18.6: Wenden wir die gegebenen Matrixfunktionen auf folgende Matrizen A, B, C und D an, wobei wir die Indizierung mit dem Startindex 1 beginnen, d.h. ORIGIN := 1 Zuerst definieren wir die Matrizen im Arbeitsblatt von MATHCAD: fl

2 3

A:= 4 5 6 7 8 9

B:=

3 4 7\ 1

5 2

(9

n\

C:= 21 34

J

[7 43 J

^5

D:= 21 45 9

a) Bestimmen wir die Anzahl der Zeilen der Matrizen B und C: rows ( B ) = 2

rows ( C ) = 3

b) Bestimmen wir die Anzahl der Spalten der Matrizen A und D: cols ( A ) = 3

cols ( D ) = 3

c) Erzeugen wir eine vierreihige Einheitsmatrix:

7 3

11^ 7 1

J

222

18

Vektoren und Matrizen

^1 0 0 O^i 0

identity ( 4 )

1 0

0 0

0 1 0

0 0 0 1 d) Berechnen wir den Rang der Matrizen A, B, C und D: rank ( A ) = 2 rank ( B ) = 2 rank ( C ) = 2 rank ( D ) = 3 e) Erzeugen wir eine Diagonalmatrix, deren Hauptdiagonale von einem vorgegebenen Vektor v gebildet wird: f4\

U

8

0 0^

diag(v)= 0 8 0

3 ^

0 0 3

V /

V

.

0 Bestimmen wir maximale und minimale Elemente: max ( D ) = 45

max ( C ) = 43

max ( A , B , C , D ) = 45

min ( A ) = 1

min ( A , B , C , D ) = 1

g) Erweitern wir die Matrix A durch den Vektor v aus Beisp.e: (l

augment ( A , v ) =

2

4

?> A\

5 6 8

7 8 9 3 h) Vereinen wir die beiden Matrizen A und D zu einer neuen Matrix: ^1

2

3^

stack (A,D) = 21 45 9

3

i) Bilden wir eine Untermatrix der Matrix A mit den Zeilen 2 und 3 und den Spaken 1 und 2 mittels: \ ^^1 2 3^ (A 5^ submatrix 4 5 6 , 2 , 3 , 1 , 2 7 Oder

8 9

18.5

Vektor- und Matrixfunktionen

fi

223

2 5^

4

submatrix (A, 2,3,1,2)

5 6

7 8 9 j) Suchen wir unter den Elementen der Matrix A nach einer gegebenen Zahl 2: Bei der Suche nach der Zahl 4 wird die Position zweite Zeile und erste Spake ausgegeben: match ( 4 , A ) = ( 1 2 , 1 1 ) 1st die gegebene Zahl (z.B. 0) kein Element der Matrix, so gibt MATHCAD eine Meldung aus: m bzw. numerischen Gleichheitszeichens = mit abschlielSender Betatigung der Eingabetaste f Evaluate => Symbolically (deutsch. SymboUk =:> Auswerten => Symbolisch) bzw. Symibolics => Evaluate => Floating Point... (deutsch: Symbolik => Auswerten => Gleitkonuna...) liefert nur ein Ergebnis, wenn die Matrizen direkt eingegeben wurden.

pr MATHCAD gestattet die * Multiplikation einer Matrix A mit einem Skalar (Zahl) t, d.h. t•A

oder

A •t

* Addition einer Matrix A mit einem Skalar (Zahl) t, d.h. t+A

oder

A+t

Dabei wird bei der Multiplikation jedes Element von A mit dem Skalar t multipliziert und bei der Addition zu jedem Element von A der Skalar t addiert.

18.6

Rechenoperatlonen

227

Die DurchfiJhrung dieser Operationen vollzieht sich in MATHCAD analog zu den zwischen zwei Matrizen. Man mu£ nur statt einer Matrix den entsprechenden Skalar eingeben. Beispiel 18.8: a) Betrachten wir die Addition und Multiplikation von Matrizen, deren Elemente Zahlen sind:

p ?,^

fl 2 3^ A := 4 5 6 '6

A+B =

(5 8 5] B := 8 9 2 C := 3 4 ^ J v7 8 /

10 8

AC

12 14 8

=

("28 34 61 76

Wenn wir statt des numerischen Gleichheitszeichens das symbolische Gleichheitszeichen verwenden, so erhalten wir bei ganzen Zahlen die gleiche Form des Ergebnisses: A +

1^12 14

A C

S)

|'28 34^1 1^61 76j

b) Falls die Matrizen nicht nur ganze Zahlen sondern auch Bruche als Elemente enthalten, erkennt man den Unterschied zwischen der Anwendung des numerischen und symbolischen Gleichheitszeichens:

2

A :=

2^

3

B :=

U 5) A + B

A- B =

^f

15

" [3.25

(15

0.619'j

2.2 J

0.81 "^

i^O.85 O.471J

7 2

5 A+B-> 2 13

A

13 "l 21 11

r 32 B -^ 17 L20

17 21 33 70.

c) Betrachten wir die Addition und Multiplikation einer Matrix A mit einem Skalar:

18

228

Vektoren und Matrizen

1+ A

1 + A ->

A + 1 -^

_^ f6 12 is"! "" 1,24 30 36; f6

6 • A -^

A.6

12 18^

A •6

1,24 30 36;

_ /'6 12 IS^I [24 30 36; ^

(6 12 18"! [24 30 36j

Statt eines Zahlenwertes kann man bei Verwendung des symbolischen Gleichheitszeichens auch eine Variablenbezeichnung (z.B. t) benutzen:

t + A -^

1

2

1+t 2+t 3+t 4+t 5+t 6+t 3]

[1+t

^ "*" 4 5 6J 1 2

2+t

A + t -^

1+t

2+t

3+t

4+t

5+t

6+t

2-t

3-t

5-t

6-t

3+t

4+t 5 +t 6+t

3]

n +t

2+ t 3+ t

4 5 61"^ ^ ^ l4 + t 5 + t 6 + t

t • A -^

1 2

t

2-t

3-t

4-t

5-t

6-t

3]

f i

2't

A- t - ^

3-t

^* ' 4 5 6 J ^ U - t 5-t 6-t 1 4

2 5

3 6

t ->

t

2-t

3-t

4-t

5-t

6-t

t [^4't

18.6

Rechenoperationen

229

d) Wenn man das Ergebnis einer Addition oder Multiplikation von Matrizen einem neuen Matrixnamen zuweist, so konnen diese Operationen auch folgendermalSen iiber ihre Definition durchgefiihrt werden:

=(;:) = 1..2

' = ( ' : ) k := 1..2

C;i,k,. :=A.U + B;K • "^i,k ^ -^ijk

_(6 "•[lO

S^ I2J

D ;i,k , , ':= . ^ ^ Ai.j; - B\M ^iM -= >S^i.

_ A 9 22"! ^ " [ 4 3 5oJ

18.6.2 Transponieren Eine weitere Operation fiir Matrizen ist das Transponieren, d.h. das Vertauschen von Zeilen und Spaken. Dies kann in MATHCAD fiir eine Matrix A auf eine der folgenden Arten geschehen: I. Markierung der direkt eingegebenen Matrix mit einer Bearbeitungslinie und Anwendung der Menufolge Symbolics => Matrix => Transpose (deutsch: Symbolik => Matrix =» Achsen vertauschen) liefert das Ergebnis exakt. Die deutsche Ubersetzung ist hier im Gegensatz zu den Vorgangerversionen schlecht durchgefiihrt worden. Statt Achsen vertauschen wird im Deutschen Transponieren verwandt. II. Bei der Anwendung des Operators

(Transpofjierungsoperators)

h' aus der Operatorpalette Nr.3 erscheint an der gewiinschten Stelle im Arbeitsblatt das Symbol T I

in dessen Platzhaker A eingetragen wird. Danach wird der gesamte Ausdruck mit einer Bearbeitungslinie markiert. AbschlieEend liefern die * Eingabe des symbolischen -^ bzw. numerischen Gleichheitszeichens = mit abschliefSender Betatigung der Eingabetaste [ Evaluate => Symbolically (deutsch: SymboUk => Auswerten => Symbolisch) bzw. Symbolics => Evaluate => Floating Point... (deutsch: Symbolik => Auswerten => Gleitkonuna...) nur ein Ergebnis, wenn die Matrix direkt eingegeben wurde.

18.6.3 Inverse Die Inverse A-' einer Matrix A bestimmt sich als Losung X=A-' aus der Matrixgleichung A-X = X - A = E

( E - Einheitsmatrix)

und ist nur fiir quadratische (n-reihige) Matrizen A definiert, wobei zusatzlich fur die Determinante IAI

^0

erfuHt sein muE, d.h., A ist regular (nichtsingular).

ISDie zur Berechnung von Matrixinversen vorhandenen Algorithmen werden mit wachsendem n sehr aufwendig. MATHCAD leistet bei der Berechnung eine groEe Hilfe, solange n nicht allzugro£ ist. • Die Berechnung geschieht in MATHCAD auf eine der folgenden Arten: I. Markierung der direkt eingegebenen Matrix A mit einer Bearbeitungslinie und anschlielSende Anwendung der Menufolge Symbolics => Matrix =^ Invert (deutsch: Symbolik => Matrix => Invertieren) bewirken die exakte Berechnung. II. Die Eingabe von A-^ erfolgt in der Darstellung als Potenz, d.h., - 1 ist als Exponent von A einzugeben, z.B. mittels des Operators

18.6

Rechenoperationen

231

aus der Operatorpalette Nr.3. Danach wird der gesamte Ausdruck mit einer Bearbeitungslinie markiert. AbschlieJSend liefern die * Eingabe des symbolischen -> bzw. numerischen Gleichheitszeichens = mit abschlie^ender Betatigung der Eingabetaste f ^ das Ergebnis exakt bzw. numerisch, wenn A vorher die entsprechende Matrix zugewiesen oder statt A die Matrix direkt eingegeben wurde. * Meniifolge zur exakten bzw. numerischen Berechnung Symbolics => Evaluate => Symbolically (deutsch: Symbolik => Aviswerten => Sym^bolisch) bzw. Symbolics => Evaluate => Floating Point... (deutsch: Symbolik ^=> Auswerten => Gleitkomma...) nur ein Ergebnis, wenn die Matrix direkt eingegeben wurde. Zur Berechnung der inversen Matrix mittels MATHCAD ist folgendes zu beachten: •

Falls die zu invertierende Matrix singtildr oder nichtquadratisch MATHCAD eine Fehlermeldung aus.

ist, gibt

•

Es empfiehlt sich, nach der Berechnung der Inversen zur Probe die Produkte A-A~^ bzw. A~^- A zu berechnen, die die Einheitsmatrix E liefern miissen.

•

Die Berechnung der Inversen ist ein Spezialfall der Bildung von ganzzahligen Potenzen A" einer Matrix A, die MATHCAD ebenfalls gestattet (siehe Beisp.18.9b).

Beispiel 18.9: Verwenden wir die regulare Matrix 1

2^ ,

5

4;

A :-- ,

a) Berechnen wir ihre Inverse nach den Methoden II.: -1

i i M - 2 > ( _ ! _ / -0.667 0.333 "^ 6 \ - 5 1 J " 1 ^ 0.833 -0.167 Bei der Probe ist zu beachten, da£ bei numerischer Rechnung die Einheitsmatrix aufgrund von Rundungsfehlern nur naherungsweise erhalten wird:

232

18

1 2

-1/^4-2

1

0^

5 4

6 t-5

0

ij

(I

1

2\ /^-0.667 5 4A

0.833

0.333

0.999

-0.167

- 3 X 10"^

Vektoren und Matrizen

- 1 X 10

3A

0.997

j

b) Potenzen von Matrizen werden von MATHCAD problemlos berechnet:

[11 10] ) ^ -> 25 26 1

A-^^

61

62

155 154

18.6.4 Skalar-, Vektor- und Spatprodukt Fiir beliebige n-dimensionale (Spalten-) Vektoren ^a,^

rb,^ b =

a=

^1

c = V^ny

V^ny

lassen sich folgende Produkte berechnen: *

Skalarprodiikt a o b = 2 ^ a i • bj i=l

*

Vektorprodiikt (flir n=3) i

j

k

bi

b2

b3

axb

= *

(a2 -b^ - a 3 • b 2 ) i + (a3 -b^ - a j -b-^)) + (a[ •b2 - a 2 -b^ ) k

Spatprodukt (fiir n=3) (a X b) o c = b]

b2

b3

MATHCAD berechnet Skalar - und Vektorprodukte folgendermaiSen, wenn die Vektoren a und b vorher als Spakenvektoren in das Arbeitsblatt eingegeben wurden:

18.6

Rechenoperationen

233

Berechnung des Skalarprodiikts: Direkte Eingabe von a* b oder mittels des Operators t*-? aus der Operatorpalette Nr.3. Hier tragt man in die beiden erscheinenden Platzhalter • '• die Vektoren a und b ein, d.h. a-b Berechnung des Vektorprodukts: Direkte Eingabe von aXb wobei das Mukiplikationszeichen x liber die Tastenkombination [Strg]|Tl oder mittels des Operators

M aus der Operatorpalette Nr.3 realisiert wird. Hier tragt man in die beiden erscheinenden Platzhalter die Vektoren a und b ein, d.h. aXb Die Markierung des eingegebenen Skalar- oder Vektorprodukts mit einer Bearbeitungslinie, das Eingeben des symbolischen —> oder numerischen Gleichheitszeichens = und das abschlie/Sende Betatigen der Eingabetaste r < ^ liefern das Ergebnis.

t^ Das Spatprodukt dreier Vektoren a, b und c erfordert kein gesondertes Vorgehen, da es iiber die Berechnung der gegebenen Determinante oder durch Berechnung des Vektorprodukts a x b mit anschlie£ender skalarer Multiplikation mit dem Vektor c erhalten werden kann (siehe Beisp.18.10c). Beispiel 18.10: Berechnen wir fiir die Vektoren

234

18

^f a= 3

b=

'^31

(9] c= 6

J.

.5j

Vektoren und Matrizen

.sj

a) Skalarprodukt a o b b) Vektorprodukt a x b c) Spatprodukt (a> Matrix ^=> Determinant (deutsch: Symbolik => Matrix => Determinante) liefert die exakte Berechnung. II. Nach der Eingabe von |A| wird der gesamte Ausdruck mit einer Bearbeitungslinie markiert. AbschlieEend liefern die * Eingabe des symbolischen -> bzw. numerischen Gleichheitszeichens = mit abschlie£ender Betatigung der Eingabetaste f Evaluate ^=> Symbolically (deutsch: Symbolik => Ausw^erten => Symbolisch) bzw. Symbolics => Evaluate => Floating Point... (deutsch: Symbolik => Auswerten => Gleitkomma...) nur die Determinante, wenn die Matrix direkt eingegeben wurde. Zur Berechnung von Determinanten ist folgendes zu bemerken:

236

18

Vektoren und Matrizen

•

Die zur Berechnung von Determinanten vorhandenen Algorithmen (z.B. Umformung auf Dreiecksgestalt, Anwendung des Laplaceschen Entwicklungssatzes) werden mit wachsendem n sehr aufwendig. MATHCAD leistet bei der Berechnung eine gro£e Hilfe, solange n nicht allzugroE ist.

•

Falls man versehentlich die Determinante einer nichtquadratischen Matrix berechnen mochte, so gibt MATHCAD eine Fehlermeldung aus.

Illustrieren wir die gegebenen Moglichkeiten zur Berechnung von Determinanten mittels MATHCAD im folgenden Beispiel. Beispiel 18.11: a) Die exakte Berechnung der Determinante einer Matrix mittels der Methode I. gelingt nur bei direkt eingegebener Matrix:

A 2 3^ 4 6 5 1 3;

has

determinant

b

-55

b) Im folgenden wird, die Determinante der Matrix aus Beisp.a unter Verwendung des symbolischen Gleichheitszeichens -^ exakt berechnet (Methode II.). Dies funktioniert sowohl mittels:

h 2 5\ A := 4 6 5 17 1 5)

|A|^-55

als auch durch direkte Anwendung auf die eingegebene Determinante:

A 2 3^ 4 6 5 -^-55 1 V

b

c) Im folgenden fiihren wir die numerische Berechnung der Determinante fur die Matrix aus Beisp.a durch (Methode II.). Dies funktioniert durch Eingabe des numerischen Gleichheitszeichens = sowohl mittels:

A = - 55 als auch durch direkte Anwendung auf die eingegebene Determinante:

fl 2 3\\ 4 6 5 = -55

b

1 3J

•

18.8

Eigenwertaufgaben

237

18.8 Eigenwertaufgaben Eine wichtige Aufgabe fiir quadratische Matrizen A besteht in der Berechnung von Eigenwerten X und den dazugehorigen Eigenvektoren x, d.h. in der Losung der Gleichung A•X =X•X

oder aquivalent

( A - X • E) - n. - 0

fiir X ?t 0, wobei E fiir die Einheitsmatrix steht. Dabei sind die Eigenwerte der Matrix A diejenigen reellen oder komplexen Zahlen fur die das lineare homogene Gleichungssystem (A-;^^ •E)-x* = 0 nichttriviale (d.h. von Null verschiedene) Losungsvektoren x' besitzt, die als Eigenvektoreft bezeichnet werden. Diese Aufgabe ist sehr rechenintensiv, da sich die Eigenwerte X, als Losungen des charakteristischen \X-X'E\

Polynoms

=0

ergeben und anschlie£end fiir jeden Eigenwert das gegebene Gleichungssystem gelost werden mu£, um die zugehorigen Eigenvektoren zu erhalten. In MATHCAD sind folgende Funktionen zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren einer Matrix A vordefiniert, d.h., zur Losung von Eigenwertai4fgabe?t: •

eigenvals ( A )

(deutsch: eigenwerte ( A ) )

zur Berechnung der Eigenwerte. •

eigenvec ( A, X)

(deutsch: eigenvek( A,

X))

zur Berechnung des zum Eigenwert X gehorigen Eigenvektors. •

eigenvecs ( A )

(deutsch: eigenvektoren ( A ) )

zur Berechnung aller Eigenvektoren. Vor der Anwendung dieser Funktionen mulS A die gegebene Matrix zugewiesen oder statt A muf^ die Matrix direkt eingegeben werden. Die Eingabe des numerischen Gleichheitszeichens = nach der Funktion liefert das numerische Ergebnis. Bei der Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren ist in MATHCAD folgendes zu beachten: •

Da sich Eigenwerte als Nullstellen des charakteristischen Polynoms vom Grade n (bei einer n-reihigen Matrix A) berechnen, fiihrt dies zu den im Abschn.21.4 geschilderten Schwierigkeiten fiir n > 5.

238

•

18

Vektoren und Matrizen

Eigenwerte lassen sich nur exakt berechnen, wenn man nach der Funktion eigenvals ( A ) (deutsch: eigenwerte ( A ) ) das symbolische Gleichheitszeichen -^ eingibt. Diese Berechnungsart ist aber nicht zu empfehlen, da aufgrund der geschilderten Problematik die exakte Berechnung haufig versagt.

•

Eigenvektoren sind nur bis auf einen Faktor bestimmt und konnen mit MATHCAD auf die Lange 1 normiert werden.

Illustrieren wir die Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren im folgenden Beispiel. Beispiel 18.12: a) Berechnen wir Eigenwerte und zugehorige Eigenvektoren fur folgende Matrix

eigenvals (A) =

f 11

, , f0.981 0.707"^ eigenvecs(A) = ^

1,-3J eigenvec (A, 1) =

^

("-0.98 A /

1,0.196 0.707J

^ ('0.707'| eigenvec (A, - 3) =

1,-0.196 J

^

(,0.707 J

b) Fiir die Matrix A mit dem dreifachen Eigenwert 2

A

^3

4

3'

-1

0

-1

2

3,

,1 erhak MATHCAD Function .,.

(deutsch: Einfugen => Funktion ,..)

* durch Anklicken des Symbols

in der SymboUeiste (siehe auch Abschn.10.3). In dieser Dialogbox werden rechts die Funktionen bei Function Category (deutsch: Funktionskategorle) in Kategorien eingeteilt und links findet man die zugehorigen Funktionen bei Functio7i Name (deutsch: Funktionsname). Bei der Kategorie All (deutsch: Alle) werden alle vordefinierten Funktionen in alphabetischer Reihenfolge aufgelistet. •

242

19

Funktionen

Die Bezeichnimgen der in MATHCAD vordefinierten Funktionen kann man im Arbeitsblatt an der durch den Kursor markierten Stelle auf zwei verschiedene Arten eingeben: I. Direkte Eingabe mittels Tastatur. II. Einfiigen durch Mausklick auf die gewlinschte Funktion in der Dialogbox Insert Function (deutsch: Funktion einfiigen) Die vordefinierten Funktionen benotigen i.allg. Argumente, die in rund Klammern einzuschlieBen und durch Kommas zu trennen sind. Dem Anwender wird empfohlen, die Methode II. zu verwenden, da man hier neben der Schreibweise der Funktion zusatzlich eine kurze Erlauterung erhalt und die benotigten Argumente durch Platzhalter dargestellt werden (siehe Beisp.19.1). • Beispiel I9.I: Illustrieren wir das Einfiigen von Funktionen mittels der Dialogbox Insert Function an zwei Beispielen: a) Mochte man die Sinusfunktionen im Arbeitsblatt verwenden, so klickt man in der Dialogbox z.B. bei der Kategorieeinstellung Allhei Function Name auf sin und es erscheint im Arbeitsblatt an der durch den Kursor bestimmten Stelle die Funktion sin in der Form LC|i)

in deren durch eine Bearbeitungslinie markierten Platzhalter das Argument einzutragen ist, wie z.B. stni —

3 b) Mochte man die Matrixfunktion submatrix zur Berechnung einer Teilmatrix aus Abschn. 18.5.2 im Arbeitsblatt verwenden, so klickt man in der Dialogbox z.B. bei der Kategorieeinstellung All bei Function Name auf submatrix und sie erscheint im Arbeitsblatt an der durch den Kursor bestimmten Stelle in der Form suLmatrbcCli , • , • , • , • )

wobei man in die fiinf Platzhalter noch die benotigten Argumente eintragen muB. •

19.2

Allgemeine Funktionen

243

19.2 Allgemeine Funktionen In MATHCAD sind zahlreiche allgemeine Funktionen vordefiniert, von denen wir bereits einige kennengelernt haben, so z.B. im Kap.9 Zeichenkettenfunktionen und im Kap.ll Funktion zum Lesen und Schreiben von Daten (Dateizugriffsfunktionen). Im folgenden betrachten wir noch Sortierfunktionen, die man bei der Arbeit ofters benotigt. MATHCAD enthalt eine Reihe von Sortierfunktiofje^t mit deren Hilfe man die Komponenten von Vektoren x bzw. die Elemente von Matrizen A sortieren kann. Wichtige dieser Funktionen sind: •

sort ( X ) sortiert die Komponenten eines Vektors x in aufsteigender Reihenfolge ihrer Zahlenwerte.

•

csort ( A , n )

(deutsch: spsort ( A , n ) )

sortiert die Zeilen einer Matrix A so, dalB die Elemente in der n-ten Spake in aufsteigender Reihenfolge stehen. •

rsort ( A , n )

(deutsch: zsort ( A , n ) )

sortiert die Spalten einer Matrix A so, da£ die Elemente in der n-ten Zeile in aufsteigender Reihenfolge stehen. •

reverse ( x )

(deutsch: umkehren ( x ) )

ordnet die Komponenten eines Vektors x in umgekehrter Reihenfolge an, d.h., das letzte Element wird das erste usw. •

reverse ( A )

(deutsch: umkehren ( A ) )

ordnet die Zeilen einer Matrix A in umgekehrter Reihenfolge an, d.h., die letzte Zeile wird die erste usw. •

reverse ( sort ( x ) )

(deutsch: umkehren ( sort ( x ) ) )

Diese geschachtelten Funktionen sortieren die Komponenten Vektors x in absteigender Reihenfolge.

eines

Die Anwendung der Sortierfunktionen gestaltet sich folgendermalSen: •

Zuerst wird die Funktion mit ihren Argumenten in das Arbeitsblatt eingegeben.

•

Danach wird die Funktion mit einer Bearbeitungslinie markiert.

•

Die Eingabe des numerischen Gleichheitszeichens = liefert das Ergebnis.

Betrachten wir die Funktionsweise der beschriebenen Sortierfunktionen im folgenden Beispiel.

244

19

Funktionen

Beispiel 19.2: Im folgenden ist zu beachten, daB Vektoren in MATHCAD immer als Spaltenvektoren einzugeben sind. Weiterhin wird bei alien verwendeten Vektoren und Matrizen der Startindex 1 fiir die Indizierung verwendet, d.h. ORIGIN := 1 a) Die Komponenten der drei Vektoren -3 -9 -11 4 5 23 21 17 -21 -31 4 13 -19 -26 -15 25

1.23 -7.65 2.34 6 87 -56 34 7.31 23 1 7 -9 2.94

werden mit der Funktion sort der GroBe nach geordnet (aufsteigende Reihenfolge):

HZ]

\L„

rrn -31

,1,

-26

H,,,

3

i4

-21 I

r [^

3

5 -15

4

7

4

,1,;:, 1 2„„;

2 1 1

3 2

sort ( X )

sort ( y )

S- 5

]9 ^^

m^ 7

b„„ 8 mlJ

j

1

i',:

-9 „.,„ -7.65

-19

-11 il z,„ -9 r

^ l^••^]

:,l:„. -56

-3

-1 1

1

sort ( z ) =

il 11.23 i 2.34

i,, 7

r

2.94 6 7 7.31 23

b„„ 4

il, P^ il,!,

p„„ 5 b„„ 1^ I

bT 87

11

10 • 4

ii, 21

17

1 116 .23 1

p

j I

ii„„ 34 1

19.2

Allgemeine Funktionen

245

* der Funktion reverse in umgekehrter Reihenfolge dargestellt:

11 I

11 1 1,1 4

\r

8

'?,.„

7

i"' n:

4 6 3

i

reverse ( x )

2

[l,,,!

1

2.94

2""

•15 -26

it K. -19

"^

1„ 7

i: 231 t" 7.31 reverse ( z) = reverse ( y ) = wu i i'Z,„;-' [' \ ^^ .Z,..r3i S j-21 i 87-56

2

III s

ill,:

••""•'i

25

5jl3 j

2

?ll7

5"" 9 10 5 3 iT 1

?'"

m\2i

b:,

j

11 6 2.34 iii K|,

II123 12 j 5

i£

fel4

1 -7.65 1 23 1

Mi-11

51-9

iil-3 1 * den geschachtelten Funktionen reverse ( sort ( ) ) in absteigender Reihenfolge angeordnet:

"in

"

2. 8

2 123

Untmt

\L i„

[£

reverse( sort(x) ) = PJ.l

i 43 i"

9

^

m

2 2

•

23""" E7.31

7 6

\L 45

1

1 87 34

1„ 9

\L reverse ( sort( 2))

j reverse( sort(y) )

p E11

i"

7 6 2.94 2.34

I i'' i: 1.23

il 1

11 -7.65 -9

h3l-i5

i' fe -56.....]

U\ -26

Man beobachtet im vorangehenden wieder den Effekt, dal§ bei der Darstellung als Tabelle nicht alle Komponenten der Ergebnisvektoren direkt im Arbeitsblatt angezeigt werden. In dieser Darstellungsform wird eine rollende Tabelle ausgegeben. Dies zeigt sich am Vektor y, der 17 Komponenten besitzt. Bei der Darstellung des Ergebnisses mit Angabe

19

246

Funktionen

der Indizes werden nur 16 Komponenten direkt in der rollenden Tabelle angezeigt. Mochte man bei den Ergebnissen die Angabe der Indizes unterdriicken, d.h. die Ergebnisse in Matrixform anzeigen lassen, so erreicht man dies, indem man die Meniifolge Format => Result...

(deutsch: Format =^ Ergebnis...)

aktiviert und in der erscheinenden Dialogbox Result Format

(deutsch: Ergebnisformat)

bei (deutsch: Anzeige-Optionen)

Display Options im Eingabefeld

(deutsch:

Matrix display style

Matrix-Anzeigeformaf)

Matrix einstellt (siehe Abschn.18.2). Die Darstellungsweise als Matrix ist vorzuziehen, wenn man alle Elemente angezeigt haben mochte, wie wir im folgenden illustrieren:

r_3f -26

2 2 3 3

sort(y) =

sort(x) =

5 6 7 8

l9j

-21

^-56^

-19 -15 -11

-9 -7.65 1

-9 -3 -1

1.23 2.34 sort(z) =

2.94

4

6

4

7

5

7.31

13 17 21

23 34

23

I 25,

, 87 J

19.2

Allgemeine Funktionen

247

25^ -15

8

^ 2.94 "i

-19

-9 7 1

13 4

7 2

-31 -21

4 reverse(x) =

-26

6

reverse(y) =

3 2 9 5 3 .1.

23 7.31 reverse(z) =

17 21

34 -56 87

23 5 4

2.34

-11

-7.65

-9

I 1-23 J

6

-3 -1

^9^ 7 6 5 4 reverse(sort(x)) = 4 3 3 2 2

^25^ 23 21

87 17 34 23 13 7.31 5 4 7 4 6 reverse(sort(y)) = - 1 reverse(sort(2)) = 2.94 -3 2.34 -9 1.23 -11 1 "15 -7.65 -19 -9 -21 1-56J -26 ^-31J

248

19

Funktionen

b) Wenden wir die gegebenen Sortierfunktionen fiir Matrizen auf die folgende Matrix A an: (4

f7 9 8^ 1 5 3 2 6)

2 6^ reverse(A) =

A := 1 5 3 7 9 8

h 5 3^ csort(A,3) = 4 2 6 9

b

u

fi

6

2^

rsort(A,2) = 1

3 5

7

8 9

sj

19.3 Mathematische Funktionen In MATHCAD sind eine Vielzahl mathematischer Fii7iktionen vordefiniert, von denen wir im Abschn. 19.3-1 und 193.2 reelle Funktionen mit reellen Variablen betrachten, die man in zwei Gruppen aufteilt: *

elementare Funktionen

(Elementarfimktionen)

Hierzu zahlen Potenz-, Logarithmus- und Exponentialfunktionen, trigonometrische und hyperbolische Funktionen und deren inverse Funktionen (Umkehrfunktionen), die alle in MATHCAD vordefiniert sind. *

hohere Funktionen Hiervon sind in MATHCAD die Besselfunktionen vordefiniert.

Von diesen Funktionen spielen die Elementarfu?2ktio7jen die dominierende Rolle, da sie in vielen Anwendungen auftreten.

1^ Fiir die Betrachtungen im Rahmen des vorliegenden Buches setzen wir voraus, daB der Anwender Grundkenntnisse uber reelle Funktionen besitzt. Deshalb geben wir keine mathematisch exakte Definition dieser Funktionen. Fiir unsere Anwendungen ist folgende anschauliche Definition ausreichend: Eine Vorschrift f, die jedem n-Tupel reeller Zahlen Xi,X 2 '

aus einer gegebenen Menge A (Definitionsbereich) des n-dimensionalen Raumes R " genau eine reelle Zahl (Funktionswert) z zuordnet, heilSt reelle Funktion f von n reellen Variablen und man schreibt z = f(x1 '^2

'

Xn)

19.3

Mathematische Funktionen

249

Eine reelle Funktion ist folglich eine eindeutige Abbildung aus dem Raum R"" in den Raum R ^ In Lehrbiichern wird fiir eine Funktion haufig statt der Bezeichnung f die nicht exakte Bezeichnung 1 CXj ,X2 , .-. ,Xj^ )

verwendet. Diese letzte Bezeichnung steht eigentlich fiir den Funktionswert z, stellt aber anschaulich den Sachverhalt besser dar, dalS eine Funktion von n Variablen vorliegt. • Fiir reelle Funktionen verwenden wir im Rahmen des Buches folgende Bezeichnungen: * Funktionen einer reellen Variablen x y= f(x) * Funktionen von zwei reellen Variablen x , y 2= f ( x , y ) * Funktionen von n reellen Variablen x^ ,X2, •.. ,x^ Z = f ( X | , X 2 , ... ,Xn )

wobei wir uns der mathematisch nichtexakten Schreibweise anschlielSen und die Funktionswerte anstelle von f als Funktion bezeichnen. Diese Schreibweise wird auch in MATHCAD verwendet. Bei der Darstellung von Funktionen mit n Variablen Z = f ( X i , X 2 , ... , X „ )

gestattet MATHCAD drei Moglichkeiten fiir die Schreibweise von Variablen: * Variable ohne Indizes , z.B. in der Form xl, x2, ... , xn, d.h. z = f (xl, x2, ... , xn) *

indizierte Variable mit Feldindex Xj ,X2 , ... ,Xn , d . h . Z = f (Xi ,X2 , ... ,Xn )

*

indizierte Variable mit Literalindex x^,X2,...,x^

, d.h. z = f(x ^,X2,...,x ^ )

ijber diese Darstellungsmoglichkeiten fiir Variable sprechen wir ausfiihrlicher im Abschn.8.1.

1^ Zur Untersuchung von Eigenschaften reeller Funktionen stellt MATHCAD umfangreiche Hilfsmittel zur Verfiigung, die wir im Laufe des Buches kennenlernen. Hierzu zahlen u.a. * grafische Darstellungen (Kap.20)

250

19

Funktionen

* NuUstellenbestimmung (Kap.21) * Differentiation (Abschn.22.2) * Grenzwertberechnung (Abschn.22.5) * Kurvendiskussion (Abschn.22.6) •

19.3.1 Elementare Funktionen Zu elementaren mathematischen Funktionen (Elementarfunktionen) folgende Funktionen reeller Variablen gezahlt:

werden

* Potenzfunktionen und ihre Inversen (Wurzelfunktionen) * Exponentialfunktionen und ihre Inversen (Logarithmusfunktionen) * trigonometrische Funktionen und ilire Inversen * hyperbolische Funktionen und ihre Inversen Die Schreibweise dieser Funktionen brauchen wir flir MATHCAD nicht anzugeben, da man diese aus der Dialogbox Insert Function

(deutsch: Funktion einfugen)

entnehmen kann, wie bereits zu Beginn des Kapitels beschrieben wurde.

ISNachdem sich eine Funktion mit ihrem Argument im Arbeitsblatt befindet und mit einer Bearbeitungslinie markiert ist, liefern die Eingabe des *

symbolischen Gleichheitszeichens -^ mit abschlieJSender Betatigung der Eingabetaste r < ^ den exakten

* numerischen Gleichheitszeichens = den

numerischen

Funktionswert. • Bei der Anwendung elementarer Funktionen ist in MATHCAD folgendes zu beachten: *

Darstellung * Potenz- und Exponentialfunktionen x"

bzw. a^

lassen sich mittels des Operators

• aus der Operatorpalette Nr.l in das Arbeitsblatt eingeben. Dazu existieren noch folgende Eingabemoglichkeiten:

19.3

Mathematische Funktionen

251

-

Fiir Potenzfunktionen ist zusatzlich die Form x^n fiir die Eingabe moglich.

-

Fur allgemeine Exponentialfunktionen mit beliebiger Basis a>0 a^ ist zusatzlich die Form a^x fiir die Eingabe moglich.

-

Die e-Funktion kann zusatzlich durch e^x, die vordefinierte Funktion exp(x) oder mittels des Operators

aus der Operatorpalette Nr.l eingegeben werden. * Fiir Wiirzelfiinktionen existieren keine Funktionsbezeichnungen, sondern sie werden durch Anklicken der Wurzeloperatoren

r r

(Quadratwurzel)

(n-te Wurzel) in der Operatorpalette Nr.l erzeugt. Zusatzlich kann eine Wurzelfunktion auch als Potenzfunktion mit gebrochenem Exponenten eingegeben werden. * Fiir die Betragsfunktion existiert keine Funktionsbezeichnung, sondern sie wird durch Anklicken des Betragsoperators ill

aus der Operatorpalette Nr.l oder 3 erzeugt. •

Argumente Die Argumente fiir trigonometrische Funktionen sind im BogenmaJS (MalSeinheit rad) einzugeben. Mochte man sie in GradmaJS eingeben, so ist das Argument mit deg (deutsch: Grad) zu multiplizieren (Beisp. 19.3a). Die Funktionswerte ihrer inversen Funktionen werden im BogenmalS ausgegeben. Mochte man sie in Grad umrechnen, so ist der Ausdmck mit einer Bearbeitungslinie zu umrahmen und in den erscheinenden Einheitenplatzhalter ist deg (deutsch: Grad) einzutragen (Beisp. 19.3b). Ausfiihrlichere Informationen iiber das Rechnen mit MalSeinheiten findet man im Kap.l4.

252

19

Funktionen

Beispiel 1 9 3 : a) Berechnen wir die Sinusfunktion fiir 90 Grad, zuerst in Bogenmafi und anschlie£end in Gradmafi:

[A 1 sin — = 1 • \2) sin(90-deg) = 1 . b) Die Funktionswerte der Arkusfunktionen werden im Bogenmafi ausgegeben: asin(l) = 1.571 • acos(O) = 1.5711 Benotigt man sie im GradmaJS, so ist in den Einheitenplatzhalter (schwarzes Kastchen) (i^^einzutragem asin(l) = 90- deg

acos(O) = 90'deg

c) Die Umrechnung von Bogen- in GradmaJS und umgekehrt ist im folgenden zu sehen: n cl)— • rad = 90 • deg Dazu gibt man - - r a d = 1.571 • ein und tragt in den Einheitenplatzhaker deg ein c2)180-deg =3.l42Tad Dazu gibt man 180'deg = 3.142 • ein und tragt in den Einheitenplatzhakerrat^iein.

19.3.2 Hohere Funktionen Von den hoheren Funktionen sind in MATHCAD die Besselschen Funktionen vordefiniert, die u.a. zur Losung von Differentialgleichungen benotigt werden. Die Schreibweisen dieser Funktionen brauchen wir nicht anzugeben, da man diese aus der Hilfe von MATHCAD bekommt, wenn man den Suchbegriff Bessel eingibt. Des weiteren kann man in der Dialogbox Insert Function bei der Funktionskategorie Bessel nachsehen.

19.3

Mathematlsche Funktionen

253

19.3.3 Definition von Funktionen Obwohl in MATHCAD eine Vielzahl von Funktionen vordefiniert sind, ist es fiir ein effektives Arbeiten erforderlich, weitere Funktionen zu definieren. Einen ersten Eindruck hiervon haben wir bereits im Beisp.l3.4a gewonnen. Betrachten wir zwei charakteristische Falle, bei denen eine Fimktionsdefinition in MATHCAD zu empfehlen ist: I. Wenn man im Vedaufe einer Arbeitssitzung Formeln oder Ausdriicke ofters anwenden mochte, die nicht in MATHCAD vordefiniert sind. II. Wenn man als Ergebnis einer Rechnung (z.B. Differentiation oder Integration einer Funktion) Ausdriicke erhalt, die in weiteren Rechnungen benotigt werden. Derartige Funktionsdefinitionen haben den Vorteil, daB man bei weiteren Rechnungen nur noch die gewahlte Funktionsbezeichnung verwendet, anstatt jedes Mai den gesamten Ausdruck eingeben zu miissen. Funktionsdefinitionen Zuweistmgsoperatoren *

:=

* =

werden

in

MATHCAD unter

Verwendung

der

(lokal) (global)

durch Eingabe des Doppelpunktes bzw. mittels der Operatorpalette Nr.4 realisiert, wobei lokale und globale Definitionen die gleichen Eigenschaften wie bei Variablen besitzen (siehe Abschn.8.1 und 13.4). Bei den gewahlten Funktionsbezeichnungen ist zu beachten, da£ MATHCAD zwischen GrofSund Kleinschreibung unterscheidet. Im folgenden fassen wir die beiden Vorgehensweisen bei Funktionsdefinitionen in MATHCAD zusammen: I. Der Funktion f wird ein gegebener Ausdruck ACXj, X2,...,

Xj^j

mittels H X j , X 2 , . . . , XpjJ : =

A ( X j , X 2 , . . . , XpjJ

bzw. f C X j , X 2 , . . . , Xj^)

=

A ( X | , X 2 , . . . , Xpj)

lokal bzw. global zugewiesen. Falls sich die zu definierende Funktion aus mehreren analytischen Ausdriicken zusammensetzt, wie z.B. fA|(Xi,X2,...,x„) f(Xi,X2,...,X„) = i lA2(Xi,X2,...,Xn)

wenn (xi,X2,...,x„) G Dj wenn (Xi,X2,...,Xj,) 6 D2

254

19

Funktionen

oder r(X|,X2,..., x^) —

A,(Xi,X2,...,x„)

wenn (Xi,X2,...,x„) G Dj

A2(xi,X2,...,Xn)

wenn (xi,X2,...,Xn) e D2

A3(Xi,X2,...,Xn)

wenn (Xi,X2,...,Xn) e D3

kann man sie unter Verwendung des Befehls if definieren (siehe Beisp. 13.4a, 19.4b und c). II. Wenn man einer Funktion einen Ausdruck zuweisen mochte, der aus einer durchgeftihrten Rechnung stammt, so gibt es in MATHCAD zwei Moglichkeiten: * Man kann analog zur eben beschriebenen Verfahrensweise I. vorgehen. Dabei braucht aber der Funktionsausdruck nicht erneut einzugeben werden, sondern man markiert ihn mit einer Bearbeitungslinie und kopiert ihn auf die iibliche WINDOWS-Art z.B. durch Anklicken des Kopiersymbols aus der Symbolleiste in die Zwischenablage. Das Einftigen in die Zuweisung an der gewiinschten Stelle geschieht anschlieiSend ebenfall auf die iibliche WINDOWS-Art durch Anklicken des Einfiigesymbols in der Symbolleiste. * Einfacher als eben beschrieben la£t sich diese Funktionszuweisung realisieren, wenn man Rechnungen mit dem symbolischen Gleichheitszeichen durchfiihrt. Hier liefert die Berechnung eines Ausdrucks Aiisdnick_l durch Eingabe des symbolischen Gleichheitszeichens -> den Ausdruck Ausdruck_2, d.h. Aiisdnick_l

-> Aiisdnick_2

Durch f ( X , y, ... ) := Aiisdnick_l

-> Aiisdnick_2

wird der Funktion f ( x , y, ... ) das Ergebnis Aiisdnick_2 zugewiesen. Die genaue Vorgehensweise ist aus Beisp. 19.4e ersichtlich. • Zur Definition von Funktionen mittels MATHCAD ist folgendes zu bemerken: •

Die Funktionswerte definierter Funktionen kann man ebenso wie der in MATHCAD vordefinierten Funktionen durch Eingabe des symbolischen bzw. numerischen Gleichheitszeichens exakt bzw. numerisch berechnen (siehe Beisp.19.4a), d.h. mittels f(xi,X2,...,x„) ->

•

bzw.

f(Xi,X2,...,x„) =

Bei der Definition von Funktionen ist darauf zu achten, dalS nicht Namen vordefinierter Funktionen (reservierte Namen) wie z.B. sin, cos. In, floor verwendet werden, da diese dann nicht mehr verfiigbar sind.

19.3

•

Mathematische Funktionen

255

Des weiteren ist zu beachten, da£ MATHCAD nicht zwischen Funktionsund Variablennamen unterscheidet. Wenn man beispielsweise eine Funktion v(x) und anschliel^end eine Variable v definiert, so ist die Funktion v(x) nicht mehr verfligbar (siehe Beisp. 19.40.

•

MATHCAD gestattet auch die Definition periodischer Funktionen, indem man die rekursiven Programmiermoglichkeiten (siehe Kap.l3) ausnutzt, wie im Beisp. 19.4g illustriert wird. • Beispiel 19.4: a) Betrachten wir die verschiedenen Moglichkeiten bei der Funktionsdefinition am Beispiel einer Funktion dreier Variablen: aDDefinition unter Verwendung nichtindizierter Variabler wie z.B. u, v und w: f ( u , v , w ) := u-v

-sin(w)

Die exakte bzw. numerisch Berechnung von Funktionswerten geschieht hierfiir folgendermafSen: f ( 1 , 2 , 3 ) -> 4 • sin (3)

bzw.

f ( 1 , 2 , 3 ) = 0.564

a2)Mochte man indizierte Variablen mit Feldindex fiir die Definition verwenden, so kann dies nicht in der folgenden Form geschehen:

f(x,....^,x^J

1

\2 K:'^2J

The expression to the left of the equal sign cannot be defined.

Da beim Feldindex die Variablen als Komponenten eines Vektors x aufgefaBt werden, muiS folgenderma/Een vorgegangen werden: Definition der Funktion:

f(x)

^ri^2; -^^^l^r

Exakte und numerische Berechnung von Funktionswerten ORIGIN =1): fl I 22 11 -> 4 • sin(3)

bzw.

(bei

f1122 11 = 0.564

a3)Wenn man Variable mit Literalindex (siehe Abschn.8.1) verwendet, so kann man folgendermaJSen vorgehen:

256

19

Funktionen

Definition der Fiinktion : f(xi,X2,X3 ^ ^

2)\ -^11(^x3^

Exakte und numerische Berechnung von Funktionswerten: f ( 1 , 2 , 3 ) ~» 4-sin (3)

bzw.

f ( 1 , 2 , 3 ) = 0.564

b) Wenn sich eine Funktion aus zwei analytischen Ausdrucken zusammensetzt, wie z.B. x +1

wenn x < 0

f (X) =

+3

wenn x > 0

die im Nullpunkt eine Unstetigkeit (Sprung) besitzt, so kann sie in MATHCAD auf eine der folgenden Arten definiert werden: * durch Anwendung der vordefinierten if-Funktion f(x) := if x < 0 , X + 1 , — + 3 2 * durch Anwendung des if- und otherwise-Operators aus der Operatorpalette Nr.7 f(x) := Ix-h 1 if x < 0 — 4-3 2

otherwise

Die grafische Darstellung ergibt X

2, 1.9999 ..2 5

fCx)

c) Wenn eine Funktion durch drei analytische Ausdrucke definiert ist, wie z.B.

19.3

Mathematische Funktionen

257

wenn x < 0 f(x)

1

wenn 0 < x < 1 wenn1< x

die im NuUpunkt eine Unstetigkeit (Sprung) besitzt, kann sie in MATHCAD durch * Schachtelung der vordefinierten if-Funktion f ( x ) := if ( x < 0 , 0 , i f ( x < l , l , x ^ ) ) * durch Anwendung des if- und otherwise-Operators aus der Operatorpalette Nr.7

f(x) - II0 if x l 1 otherwise definiert und grafisch dargestellt werden: x:=-2,-1.999..3

fCx)

d) In der Zinsrechnung berechnet sich das Endkapital Kn

nach n Jahren Verzinsung (mit Zins und Zinseszins) bei einem Zinssatz 100

( p - ZinsfuE in Prozent)

aus dem Anfangskapital durch die bekannte Formel (siehe Beisp.27.1)

258

19

Funktionen

K, = K o - ( l + i ) " Wenn man diese Formel haufig anwenden mu/S, empfiehlt sich die Definition einer Funktion K , ( K o , i , n ) = Ko-(l + i)" mit den drei unabhangigen Variablen Ko , i , n die als Funktionswert das Endkapital Kn liefert. Diese Funktion kann man in MATHCAD auf eine der folgenden Arten definieren: * Ohne Verwendung von Indizes mittels K N ( K O , i , n ) := KO- (l + i f Man berechnet z.B. das Endkapital nach 10 Jahren Verzinsung mit 4% (d.h. i = 0.04) aus dem Anfangskapital von 25 000 Euro mit dieser definierten Funktion zu: KN( 25000 , 0.04 , 10) = 3.7006-lo"* d.h., das Kapital hat sich auf 37 006 Euro vergro/Sert. * Mochte man Anfangs- und Endkapital in indizierter Form darstellen, so empfiehlt sich der Literalindex: K „ ( K o , i , n ) := K o - ( l + i r e) Im folgenden zeigen wir die Moglichkeiten der Funktionsdefinition fur Ergebnisse von Rechnungen, die mit dem symbolischen Gleichheitszeichen —> erhalten werden: el)Ergebnisse von Differentiationen (siehe auch Abschn.22.2) f ( x ) := — (e"^ + s i n ( x ) ) -^ exp ( x ) + cos ( x ) dx Falls man das Ergebnis nicht gleich im Arbeitsblatt anzeigen mochte, genligt die Funktionsdefinition f ( x ) := — ( e ^ + s i n ( x ) ) dx Wenn man spater die so definierte Funktion anzeigen mochte, ist das symbolische Gleichheitszeichen einzugeben: f ( X ) -> exp (X ) + cos ( X )

19.3

Mathematische Funktionen

259

e2)Ergebnisse von Integrationen (siehe auch Abschn.23.2) ^x X2 -e^ dx -^ X -expCx) - 2-x-exp(x) -i- 2-exp(x)

h(x)

h(x) "^ X -expCx) - 2'X-exp(x) -t- 2-exp(x) Bei diesen Funktionsdefinitionen mit dem symbolischen Gleichheitszeichen ist zu beachten, da£ sich di\e Rechnung nur auslosen la£t, wenn nur der zu berechnende Ausdruck mit einer Bearbeitungslinie markiert wird. 0 Im folgenden illustrieren wir die Auswirkung, wenn man fiir eine Funktion und eine Variable die gleiche Bezeichnung benutzt: • «

vC5) = 26

:= X + 1

V :=

'C3|) Illegal function value.

Man sieht, da£ nach der Definition der Variablen v die zuerst definierte Funktion v(x) nicht mehr zur Verfiigung steht. g) Definieren wir zwei periodische Fimkionen g ( x ) unter Verwendung der rekursiven Programmiermoglichkeiten von MATHCAD g l ) g ( x ) habe die Periode n und werde im Intervall Funktion f ( x ) = x dargestellt: f(x) := X

(0,TC)

durch die

Periode := n g(x) := if(x < Periode, f(x) , g(x - Periode))

Die grafischer Darstellung der definierten Funktion g ( x ) folgender Abbildung zu sehen:

12

16

20

ist aus

19

260

Funktionen

g 2 ) g ( x ) habe die Periode 2 und werde im Interval! [0,1] durch die Funktion f(x) = x und im Intervall [1,2] durch die Funktion h(x) = - x + 2 dargestellt, d.h., wir haben eine sogenannte f(x) := X g(x) :=

h(x) := - x + 2 f(x)

if x
-H

/

0 0

2

4 X, vx.

\i

19.3

Mathematische Funktionen

267

b4)Mittels der vordefinierten Funktion bspUne ergibt sich fiir die im Vektor u gewahken Knotenpunkte folgendes:

2.5 u :=

3.5

vs := bspline ( vx, vy, u, 2 ) X 1=0,0.001 ..6

i:=1..5

interp(vs, vx, vy, x) ODD

X,VXi

1^ MATHCAD besitzt keine vordefinierte Numerikfunktion zur Polynominterpolation, man findet sie aber im Erweiterungspaket Numerical Recipes im Kapitel 2.1 unter dem Namen polint, die wir im folgenden Beispiel anwenden. Beispiel 19.6: Wir nahern die Punkte aus Beisp.19.5 durch ein Intetpolationspolynom vierten Grades an und verwenden dazu die vordefinierte Funktion polint aus dem Erweiterungspaket Numerical Recipes: polint ( v x , vy , X ) liefert fiir die x-Werte (Vektor vx) und y-Werte (Vektor vy) der gegebenen Punkte/Zahlenpaare als Ergebnis einen Vektor, der als erste Komponente den Funktionswert des Interpolationspolynoms an der Stelle x enthak. Die zweite Komponente enthak eine Fehlerabschatzung. Wir stellen das berechnete Interpolationspolynom vierten Grades und die gegebenen Punkte im Interval! [ 0 , 6 ] grafisch dar:

268

19

Funktionen

vy

vx

V

.% x : = 0,0.001 ..6

i:=l.. 5

AH

6 polint( VX, vy,x)^ vYi

DDP

/^

PW

4 2 0 0

t

/'

^

4

2

ii

X , VXj

19.3.5 Weitere mathematische Funktionen In MATHCAD sind weitere Funktionen vordefiniert, so u.a. * Funktionen komplexer Variablen * Statistische Funktionen *

Matrixfunktionen

*

Numerikfunktionen

die ebenfalls zu den mathematischen Funktionen zahlen und die wir in den entsprechenden Kapiteln kennenlernen. In diesem Abschnitt betrachten wir noch Rundungsfunktionen, die man haufig bei Anwendungsaufgaben benotigt und die zu den Numerikfunktionen zahlen. Zu den Rundungsfunktionen von MATHCAD gehoren folgende Funktionen, die Zahlen auf- oder abrunden bzw. Reste berechnen: * ceil ( X ) berechnet die kleinste ganze Zahl > x * floor ( X ) berechnet die groEte ganze Zahl * mod ( x , y )

<x

19.3

Mathematische Funktionen

269

berechnet den Rest bei der Division x : y (yv^O), wobei das Ergebnis das gleiche Vorzeichen wie x hat. * round ( x , n )

(deutsch: rund ( x , n ) )

rundet die Zahl x auf n Dezimalstellen. * trunc ( X ) berechnet den ganzzahligen Anteil der Zahl x. Die Anwendung dieser Rundungsfunktionen gestaltet sich folgendermaBen: *

Zuerst wird die Funktion mit ihren Argumenten in das Arbeitsblatt eingegeben. Als Argumente konnen Variablen, Konstanten oder Zahlen auftreten, wobei Variablen vorher ein Zahlenwert zugewiesen sein mulS.

* Anschlie^end wird die Funktion mit einer Bearbeitungslinie markiert. * Die abschlieEende Eingabe des numerischen Gleichheitszeichens = liefert das Ergebnis. Die Wirkungsweise der Rundungsfunktionen ist aus folgendem Beispiel ersichtlich. Beispiel 19.7: x:=5.87 floor (x) = 5

y:=-11.57 floor

(y) = -12

mod ( X , y ) = 5.87 mod ( 5 , 2 ) = 1

ceil (x) = 6

ceil (y) = -11

mod ( 6 , 3 ) = 0 mod ( 3 , 6 ) = 3

round ( x , 1 ) = 5.9

round ( y , 1 ) = - 11.6

trunc ( X ) = 5

trunc ( y ) = - 11

20 Grafik

20.1 Einfuhrung MATHCAD bietet umfangreiche grafische Moglichkeiten, wobei sowohl 2Dals auch 3D-Grafiken gezeichnet werden. Dazu gehort die Darstellung von * Kurven (Abschn.20.2) * Flachen (Abschn.20.3) * Punktgrafiken (Abschn.20.4) * Diagrammen (Abschn.20.5) * bewegten Grafiken (Abschn.20.6) die wir im folgenden behandeln: * Grafiken werden von MATHCAD in gesonderten Grafikfenstern erzeugt. * MATHCAD besitzt umfangreiche Gestaltungsmoglichkeiten bei der grafischen Darstellung, von denen wir wichtige kennenlernen. * In jeder von MATHCAD erzeugten Grafik lassen sich Text und andere Objekte einfugen, die sich im Arbeitsblatt befinden. Dies geschieht durch Umrahmung mittels Mausklick und anschlieiSendem Ziehen mit gedriickter Maustaste an die entsprechende Stelle des Grafikfensters. Ein Beispiel hierfiir findet man in Abb.20.2. Da wir nicht alle Details der Grafikmoglichkeiten von MATHCAD erklaren konnen, wird dem Anwender empfohlen, mit den gegebenen Hinweisen und durch Wahl verschiedener Optionen zu experimentieren. Dazu konnen auch weitere Informationen aus der Hilfe von MATHCAD erhalten werden. •

20.2 Kurven Wir betrachten in MATHCAD die grafische Darstellung von Kurven * im zweidimensionalen Raum (Ebene) R^

iebene Kurueri)

272

20

* im dreidimensionalen Raum R^

Grafik

(Raumkuruen)

die wir in den Abschn.20.2.1 und 20.2.2 naher eriautern.

IS" Von MATHCAD gezeichnete Kurven lassen sich vom Anwender auf vielfaltige Art verandern. Im folgenden beschreiben wir einige Moglichkeiten hierfiir: •

Nachdem die entsprechende Kurve durch Mausklick mit einem Auswahlrahmen (Auswahlrechteck) umrahmt ist, la£t sich folgendes durchfiihren: * Nach Anwendung einer der Meniifolgen -

Format => Graph =>X-Y Plot... (deutsch: Format =^ Diagramm => X-Y-Diagramim...) bei ebenen Kurven in kartesischen Koordinaten

-

Format i=> Graph i=> Polar Plot... (deutsch: Formiat =^ Diagramim => Kreisdiagramm...) bei ebenen Kurven in Polarkoordinaten

-

Format => Graph =:> 3D Plot... (deutsch: Formiat => Diagramim =^ 3D-DiagramLm...) bei Raumkurven

oder nach zweifachem Mausklick auf die Kurve kann man in der erscheinenden Dialogbox die erzeugte Kurve formatieren, d.h. Skalierung der Achsen, Farbe und Darstellung der Kurve bestimmen, ihr eine Uberschrift zuordnen, die Koordinatenachsen beschriften usw. Da die einzelnen Formatierungsmoglichkeiten einfach durch Probieren erkundet werden konnen, iiberlassen wir dies dem Anwender. * Mittels der Meniifolge Format => Graph => Trace... (deutsch: Format =^ Diagramm => Koordinaten ablesen...) oder durch Anklicken des Operators

in der Operatorpalette Nr.2 kann man die Koordinaten eines mit dem Kursor markierten Punktes einer ebenen Kurve anzeigen lassen. * Mittels der Meniifolge Format => Graph => Zoom... (deutsch: Format => Diagramm => Zoom...) oder durch Anklicken des Operators

20.2

Kurven

273

in der Operatorpalette Nr.2 kann man Telle elner ebenen Kurve vergroJSem, indem der zu vergroEernde Ausschnltt mit gedriickter Maustaste marklert und In der erschelnenden Dialogbox der Zoom-Knopf angekllckt wlrd. * Gezelchnete Kurven lassen slch vergrdJSem bzw. verkleinem, Indem mlt gedriickter linker Maustaste den Auswahlrahmen In bekannter WINDOWS-Art vergroEert bzw. verklelnert. Raumkurven lassen slch zusatzllch mlttels gedriickter Maustaste drehen. * Text und Symbole kann man in eine Grafik elnfiigen, indem man diese im Arbeltsblatt erzeugt und anschlie£end mit gedriickter Maustaste in das Grafikfenster verschlebt. •

20.2.1 Ebene Kurven Fiir die analytische Beschreibung ebener Kurven gibt es verschledene Moglichkeiten, von denen wir mit der bekanntesten beginnen: Funktionen f (X) elner reellen Variablen x beschreiben in einem kartesischen Koordinatensystem der Ebene eine ebene Kurve, indem man die Punktmenge { ( x , y ) e R V y = f(x) , xGD(f)} zeichnet, in der D ( f ) fiir den Definltlonsberelch der Funktlon f ( x ) steht und haufig eln Intervall ist. Fiir die grafische Darstellung der Funktlon f ( X ) 1st eine der folgenden Bezeichnungen iiblich: * Graph (der Funktlon) *

Funktionskurve

* Kurve (der Funktlon) Die gegebene Beschreibung erfa£t nlcht alle moglichen ebenen Kurven, da eine Funktlon f(x) als eindeutlge Abbildung deflniert ist (siehe Abschn.19.3), so daB geschlossene Kurven wle z.B. Kreise und Ellipsen, aber auch Hyperbeln damit nlcht beschrleben werden konnen: * Man bezelchnet eine durch y=f(x)

274

20

Graflk

beschriebene ebene Kurve als Kurve mit einer Funktionsgleichung in expliziter DaTstellung. * Eine weitere Moglichkeit besteht in der impliziten Darstellung. Eine implizit durch die Funktionsgleichung F(x,y) = 0 beschriebene ebene Kurve besteht aus alien Punkten der Menge { (x,y) € R V F ( x , y ) = 0 , x G D ) Hiermit lassen sich auch geschlossene Kurven darstellen. Illustrieren wir die Problematik ebener Kurven im folgenden Beispiel. Beispiel 20.1: a) Ein Kreis mit Mittelpunkt in 0 und Radius a > 0 besitzt in kartesischen Koordinaten die Gleichung 2

,

2

2

X + y

= a

d.h., eine Funktionsgleichung F ( x , y ) = x^ + y^ - a^

=0

in impliziter Darstellung, die nicht eindeutig nach y auflosbar ist. Eine explizite Darstellung in der Form y = f ( x ) ist deshalb fur den Kreis nicht moglich. Bei der Auflosung nach y erhalt man die beiden Halbkreise y = -y/a^ - x^

und

y = - Va^ - x^

d.h. zwei verschiedene Funktionen der Form y = f ( x ) . b) Die ganzrationale Funktion (Polynomfunktion)

in expliziter Darstellung

y = f ( x ) = x ^ - 5-x^ - 5-x^ + 25-x^ + 4 - x - 20 deren Nullstellen wir im Beisp.21.4a berechnen, wird in Abb.20.2 grafisch dargestellt. In dieser Grafik beschriften wir zusatzlich die Nullstellen. c) Die gebrochenrationale Funktion in expliziter Darstellung ^, . y = f(x)=

x'^-x^-x-l x

-x

haben wir im Beisp.l6.11b in Partialbriiche zerlegt. Die zugehorige Funktionskurve ist in Abb.20.3 dargestellt. d) Obwohl MATHCAD bei der grafischen Darstellung von Kurven sehr zuverlassig ist, sollte man jede erzeugte Grafik kritisch betrachten, um eventuelle Ungenauigkeiten bzw. Fehler zu erkennen. Illustrieren wir dies an zwei Beispielen:

20.2

Kurven

275

Aus der folgenden Grafik ist nicht zu ersehen, da£ die gezeichnete Funktion im Nullpunkt nicht definiert ist. x : = - 2 , - 1 . 9 7 ..10

ln(|x|)-t-x

^L

Die folgenden beiden Grafiken unterscheiden sich, obwohl wir die gleiche Funktion verwenden, allerdings in unterschiedlichen, aber mathematisch exakten Schreibweisen. Aus unerklarlichen Griinden zeichnet MATHCAD Potenzen mit gebrochenem Exponenten nur flir positive X

x:=-3,-2.99.. 3 5 1

/^

/ 1 x^-f-x^-l

5

4

-

2

0

2

4

X

5

5 - 4 - 2

0 X

2

4

276

20

Grafik

Von den bisher betrachteten Darstellungen fiir ebene Kurven in kartesischen Koordinaten kann MATHCAD nur die mit einer Funktionsgleicliung in expliziter Darstellung zeichnen. • Betrachten wir weitere wichtige analytische Beschreibungen fiir ebene Kurven, die in MATHCAD anwendbar sind: •

Parameterdarstellungen X=X(t) ,y=y (t)

der Form t 6 [a, b]

in kartesischen Koordinatensystemen. •

Darstellung in Polarkoordinaten der Form r=r(9 )

(p e [a, b]

Diese gehoren zu den krummlinige Koordinaten, die anstatt von kartesischen Koordinaten eingesetzt werden, um ebene Kurven einfach beschreiben zu konnen. Dabei stehen *

f

*

(p

fiir den Radius fiir den Winkel (zwischen Radius und positiver x-Achse) d.h., der Radius r ist als Funktion des Winkels cp gegeben. lUustrieren wir die verschiedenen Darstellungsmoglichkeiten fiir ebene Kurven im folgenden Beispiel. Beispiel 20.2: a) Fine mogliche Parameterdarstellung lung

fiir den Kreis in impliziter Darstel-

x^ + y^ = a^ aus Beisp.20.1a lautet; x(t) = a • cos t , y(t) = a • sin t worin der Parameter t den Winkel zwischen dem Radius und der positiven x-T^chse darstellt und von 0 bis 2% (360°) lauft, d.h. 0 < t < 27r. b) Der Kreis 2ius Beisp.a hat in Polarkoordinaten die einfache Darstellung r ( (p) = a c) Fine mogliche Parameterdarstellung lung y = 1 - cos(x + ^ y - ( 2 - y ) ) lautet:

der Zykloide in impliziter Darstel-

20.2

Kurven

x(t) = t - sin t , y(t) = 1 - cos t

277

(-oo < t < oo)

Die grafische Darstellung der Kurve ist in Abb.20.5 zu sehen. d) Eine Lemniskate lalSt sich in folgenden Formen analytisch beschreiben: *

impliziter Darstellung

*

Parameterdarstellung x ( t ) = a-cost-^2-cos2t , y ( t ) = a-sint • ^2-cos2t

*

( 0 < t < 27C )

Polarkoordinaten r((p) = a--^2-cos2(p

( 0 < cp < 271 )

Die grafische Darstellung der Kurve ist in Abb.20.7 fiir a=l zu sehen. • MATHCAD hat die Grafikfunktionen von MAPLE nicht iibernommen. Man entwickelte ein eigenes System fiir grafische Darstellungen, auf das wir im folgenden ausfuhrlicher eingehen. Fiir die grafische Darstellung einer gegebenen Funktion y= f(x) d.h. zur Zeichnung der zugehorigen Funktionskurve in der Ebene, sind in MATHCAD folgende Schritte erforderlich: I. Zuerst erzeugt man mittels einer der folgenden Aktivitaten * Aktivierung der Meniifolge Insert =^ Graph => X-Y Plot (deutsch: Einfiigen => Diagramm => X-Y-Diagraimn) * Anklicken des Operators

in der Operatorpalette Nr.2

m im Arbeitsblatt an der durch den Kursor bestimmten Stelle ein Grafikfenster, dessen Gestalt aus Abb.20.1 zu entnehmen ist. II. Danach sind in diesem Grafikfenster in den mittleren Platzhalter der xAchse X

und in den mittleren Platzhalter der y-Achse die Funktionsbezeichnung

278

20

Grafik

f(x) einzutragen, wenn diese Funktion vorher definiert wurde. Anderenfalls mu£ statt f ( x ) der entsprechende Funktionsausdruck eingetragen werden (siehe Abb.20.2-20.4). Die restlichen (aulSeren) Platzhalter dienen zur Festlegung des MaJSstabs (Acbsenskalierung). Tragt man hier keine Werte ein, so wahk sie MATHCAD. III. AnschlieEend kann iiber dem Grafikfenster unter Verwendung des Operators

aus der Operatorpalette Nr.3 der gewiinschte x-Bereich (Definitionsbereich, z.B. a < x < b) in der Form X := a , a + Ax .. b mit der Schrittweite Ax eingegeben, d.h. x als Bereichsvariable definiert werden (siehe Abb.20.2-20.4). Falls man x iiber dem Grafikfenster nicht als Bereichsvariable definiert, erzeugt MATHCAD einen sogenannten Quick-Plot flir den x-Bereich [-10,10]. IV. AbschlieEend zeichnet MATHCAD die gewiinschte Funktionskurve durch einen Mausklick aulSerhalb des Grafikfensters oder durch Driicken der Eingabetaste [^J, falls man sich im Automatikmodus befindet, ansonsten ist die Funktionstaste (F9] ZU betatigen.

Abb.20.1.Grafikfenster fiir ebene Kurven in kartesischen Koordinaten Zu der gegebenen grafischen Darstellung ebener Kurven mittels MATHCAD ist folgendes zu bemerken: •

MATHCAD zeichnet die Funktionskurve durch Berechnung der Funktionswerte f ( x ) i n den Werten der als Bereichsvariablen definierten Variablen x und verbindet die so erhaltenen Punkte durch Geradenstiikke.

20.2

Kurven

279

Wenn die von MATHCAD gezeichnete Grafik zu grob erscheint, kann man bei der Definition der Bereichsvariablen x die Schrittweite Ax verkleinern, um die Anzahl der zu zeichnenden Punkte zu erhohen. Die Vorgehensweise ersehen wir aus den Abb.20.2, 20.3, 20.4, 20.5 und 20.7, in denen wir als Schrittweite 0.01, 0.00003, 0.01 bzw. 0.001 verwenden. Weiterhin kann eine passende Schrittweitenwahl Ax beim Auftreten von Polstellen der Funktion f ( x ) erforderlich werden, um diese bei der Funktionswertberechnung auszuschlielSen (siehe Abb.20.3). •

MATHCAD besitzt noch nicht die Eigenschaft wie andere Systeme, in impliziter Form F ( x , y ) = 0 gegebene ebene Kurven darstellen zu konnen. Man mul§ hier auf Parameterdarstellungen oder Polarkoordinaten zuriickgreifen (siehe Beisp.20.2c und d).

•

Wie wir bereits im Abschn.8.2 gesehen haben, kann man die fur die grafische Darstellung einer Funktion f ( x ) benotigte Definition der unabhangigen Variablen x als Bereichsvariable zusatzlich zur Ausgabe der definierten x-Werte und der dazugehorigen Funktionswerte f ( x ) verwenden. Man braucht hierzu nur x und f ( x ) in das Arbeitsblatt und abschlieJSend das numerische Gleichheitszeichen = einzugeben, wie im folgenden Beisp.20.3 illustriert wird.

•

Wenn man die Funktionskuwen

mehrerer

Funktionen

f(x),g(x),... in das gleiche Koordinatensystem zeichnen mochte, so sind diese im Grafikfenster in den Platzhalter der y-Achse durch Komma getrennt einzutragen. Aus Abb.20.4 ist die grafische Darstellung von drei Kurven in einem kartesischen Koordinatensystem ersichtlich. MATHCAD stellt die einzelnen Kurven durch unterschiedliche Linienformen bzw. Farben dar, deren Form man in der Dialogbox bei Traces

(deutsch: Spuren)

bestimmen kann, die durch zweifachen Mausklick auf die Grafik erscheint. •

Man kann mittels MATHCAD auch Kurven grafisch darstellen, deren Funktionsgleichung sich aus mehreren Ausdriicken zusammensetzt (siehe Beisp.l9-4b und c).

280

20

Grafik

x:=-3,-2.99..6

3C1

=^.^

^5

Nullspllen i'-5i'*-51^+251^+43^20 •IQO

•200

-4

"2

0

4

2

Abb.20.2.Funktionskurve mit Beschriftung der Nullstellen aus Beisp.20.1b

x : = - 2 , - 1 . 9 9 9 9 7 ..3

20 4

^

X -a: - 1 ^ 1

+

+

+

0

J -^

Abb.20.3.Funktionskurve aus Beisp.20.1c

D

\i 2

6

20.2

Kurven

281

3 c : = - l 0 , - 9 . 9 9 . . 10 50

*r

—

•i ^

*

r

/

-•••

•

-50 _ IQ

0

:0

X

Abb.20.4.Drei Funktionskurven in einem kartesischen Koordinatensystem Beispiel 20.3: Fiir die im Arbeitsblatt definierte Funktion f(x):=-xH2 definieren wir die unabhangige Variable x im Intervall [-2,2] als Bereichsvariable mit der Schrittweite 0.5: X := - 2 , -1.5 .. 2 AnschlielSend kann man nach der besprochenen Vorgehensweise die dazugehorige Funktionskurve zeichnen, die im folgenden zu sehen ist:

Cx)

Da die Schrittweite fur x mit 0.5 relativ grolS gewahlt wurde, hat die von MATHCAD gezeichnete Grafik nicht die beste Form.

282

20

Grafik

Bei dieser Vorgehensweise lassen sich zusatzlich sowohl die Werte der Bereichsvariablen x als auch die dazugehorigen Funktionswerte f ( x ) durch Eingabe des numerischen Gleichheitszeichens = berechnen: f(x) =

X =

-2 -1.5

I

-2 -0.25

-1

1

-0.5

1.75

0

2

0.5

1.75

1

1

1.5

-0.25

2

-2!

Wird eine ebene Kurve durch die x = x(t) , y = y(t)

Parameterdarstellung

t G [a, b]

beschrieben, so geschieht die grafische Darstellung mittels MATHCAD in folgenden Schritten: I. Zuerst erzeugt man auf die gleiche Art wie vorangehend im Arbeitsblatt ein Grafikfenster an der durch den Kursor bestimmten Stelle (siehe Abb.20.1). II. Danach werden in die mittleren Platzhaiter der x und y-Achse die Funktionsbezeichnungen x(t) bzw. y(t) der Parameterfunktionen eingetragen, falls diese vorher definiert wurden. Andernfalls sind statt x(t) und y(t) die entsprechenden Funktionsausdriicke einzutragen (siehe Abb.20.5). III. AnschlielSend kann liber dem Grafikfenster unter Verwendung des Operators

aus der Operatorpalette Nr.3 der gewiinschte t-Bereich (Parameterbereich, z.B. a < t < b) in der Form t := a , a + At.. b mit der Schrittweite At eingegeben, d.h. t als Bereichsvariable definiert werden (siehe Abb.20.5). Falls man t nicht als Bereichsvariable definiert, erzeugt MATHCAD einen sogenannten Quick-Plot fur den t-Bereich [-10,10].

20.2 Kurven

283

IV. AbschlielSend erhalt man die gewiinschte Funktionskurve durch einen Mausklick auEerhalb des Grafikfensters oder durch Driicken der Eingabetaste [ ^ , falls man sich im Automatikmodus befindet, ansonsten ist die Funktionstaste [F9) ZU betatigen. t : = - 2 0 , - 1 9 . 9 9 9 ..20 Zykloide in Parameterdarstellung 2

1 — cos( t)

0

•20

20

t— sin(t)

Abb.20.5.Kurve der Zykloide aus Beisp.20.2c Wird eine ebene Kurve durch r = r (cp)

Polarkoordinaten

(p G [a, b]

beschrieben, so geschieht die grafische Darstellung mittels MATHCAD in folgenden Schritten: Zuerst wird mittels einer der folgenden Aktivitaten * Aktivierung der Meniifolge Insert => Graph => Polar Plot (deutsch: Einfiigen => Diagramm => Kreisdiagranim) * Anklicken des Operators

Iwl in der Operatorpalette Nr.2 ^ ein Grafikfenster fiir Polarkoordinaten im Arbeitsblatt an der durch den Kursor bestimmten Stelle erzeugt, dessen Form aus Abb.20.6 ersichtlich ist. 11. Danach sind in das Grafikfenster in den unteren Platzhalter und in den linken Platzhalter

284

20

Grafik

r((p) einzutragen, falls die Funktion r (cp) vorher definiert wurde. Andernfalls ist hier der entsprechende Funktionsausdruck einzutragen. Die restlichen (aulSeren) Platzhalter dienen zur Festlegung des Mafistabs (Achsenskaliemng). Tragt man hier keine Werte ein, so wahlt sie MATHCAD. III. AnschlieJSend kann liber dem Grafikfenster unter Verwendung des Operators m^^n

aus der Operatorpalette Nr.3 der gewlinschte cp-Bereich (a < cp < b) in der Form (p := a , a + Acp .. b mit der Schrittweite A(p eingegeben, d.h. cp als Bereichsvariable definiert werden (siehe Abb.20.7). Falls man cp nicht als Bereichsvariable definiert, erzeugt MATHCAD einen sogenannten Quick-Plot fur den cp-Bereich [0,27i]. IV. AbschlieEend erhalt man die gewiinschte Funktionskurve durch einen Mausklick aufSerhalb des Grafikfensters oder durch Driicken der Eingabetaste [*

»* W

II i l t » r f * i » i

.

^

*

#•

* *^ #• » * • * * * #

'# «

«

*

#

*

.^.-w*

••

Cac^f ^n)

Abb.20.8.Raumliche Spirale aus Beisp.20.4

Beispiel 20.4: Betrachten wir die rdumliche Spirale als eine bekannte Raumkurve, die auch als Schraubenlinie bezeichnet wird. Sie kann durch die Parameterdarstellung: x(t) = a • cos t y(t) = a • sin t 2(t) = b . t

( a>0 , b>0 ) beschrieben werden. In Abb.20.8 und 20.9 ist ihre von MATHCAD gezeichnete Grafik fiir a=l und b=l zu sehen, wobei der Quick-Plot in Abb.20.9 nicht ausreicht, um die Kurve anschaulich darzustellen. Wir haben bei beiden Abbildungen als Darstellung die Punktform gewahlt. Die Punkte lassen sich auch durch Geraden verbinden, wenn man dies in der Dialogbox einstellt, die durch zweifachen Mausklick auf die Grafik erscheint.

288

20

xCO := oDsCt)

y W := sinCiD

Grafik

s M := t

4. 2•"

i.

1 * * • 1

H

-t * 1

^4

•

#

4^if ^

oi o.s /

•

•

^ " t " •• • •

•

l /

CK,y,!s} Abb.20.9.Quick-Plot der raumlichen Spirale aus Beisp.20.

20.3 Flachen Im folgenden betrachten wir die grafische Darstellung von Flachen im dreidimensionalen Raum i3D-Grafiken), deren Funktionsgleichungen in einem kartesischen Koordinatensystem eine der folgenden Formen haben kann (man vergleiche die Analogie zu Kurven in der Ebene): *

explizite Darstellung 2 = f(x,y)

*

mit (x,y) e D (Definitionsbereich)

implizite Darstellung F(x,y,z)=0

mit (x,y) e D

(Definitionsbereich)

Eine weitere analytische Beschreibung fur Flachen, die in MATHCAD anwendbar ist, besteht in einer Parameterdarstellung der Form X = X (u,v) , y = y (u,v) , z = z (u,v)

mit a < u < b , c < v < d

Illustrieren wir die Problematik von Flachen im Raum im folgenden Beispiel.

20.3

Fiachen

289

Beispiel 20.5: a) Ein Ellipsoid mit den Halbachsen a, b und c la£t sich nur durch eine Funktionsgleichung in impliziter Darstellung x' y' 2' -- + ^ + — = 1 a' b' c' beschreiben. Unter Verwendung von Kugelkoordinaten ergibt sich die stellung (mit 0 < u < 2 7 c , 0 < v < 7 c )

Parameterdar-

X (u,v) = a • cos u • sin V , y (u,v) = b • sin u • sin v , z (u,v) = c • cos v In Abb.20.11 sehen wir die grafische Darstellung eines Ellipsoiden mittels MATHCAD unter Verwendung dieser Parameterdarstellung fiir a = 1, b = 2 und c = 3. b) Ein hyperbolisches Paraboloid iSattelfldche) la£t sich durch eine Funktionsgleichung in expliziter Darstellung der Form 2 = f ( x , y ) = x^ - y^ beschreiben. In Abb.20.12 stellen wir es mit MATHCAD liber dem Quadrat D

-5<xyx N

:=

20

X .

:«

- 5

M . ^ ,

i H:«

0.5

-i- y :=

0

..

-i

f (;x . , y ,

—

1

N y j^

:=

otiierwise k

:=

0

_ 5

-«-

0.5

..

N -k

)

6

2

0 0=-^

>C^ lu

•

15 - — - •

^0 ^

^^ 1 •• 20

!.>

M

Abb.20.l4.Grafische Darstellung der Flache aus Beisp.20.5d

0

1

20

296

Grafik

Abb.20.15.Hohenlinien des hyperbolischen Paraboloiden aus Beisp.20.5b x ( u , v ) := 2-cos(u)-sin(v) X(u,v) := cos(u) y ( u , v) := 2 -sinCu) -sinCv) Y(u, v) := sin(u) z ( u , v ) := 2-cos(v) 2 ( u , v ) :=v

. J . — ^ - ^

Abb.20.l6.Qick-Plot der Flachendurchdringung zwischen Kugel und Zylinder

20.3

Flachen

297

In MATHCAD ist es moglich, mehrere Flachen in ein Koordinatensystem zu zeichnen. In Abb.20.16 geben wir einen Qick-Plot der Durchdringung zwischen einer Kugel mit dem Radius 2 x(u,v) = 2 • cos u • sin V y(u,v) = 2 • sin u • sin V z(u,v) = 2 • cos V und einem Zylinder liber dem Einheitskreis X(u,v) = cos u Y(u,v) = sin u Z(u,v) = V Des weiteren kann man eine Flache mit ihren Hohenlinien in ein gemeinsames Grafikfenster zeichnen, wie in Abb.20.17 illustriert wird, in der die beiden Abb.20.12 und 20.15 zusammengeflihrt sind. Man erreicht dies nach der Definition der zu zeichnenden Funktion im Arbeitsblatt, indem man ein Grafikfenster fiir Hohenlinien wie oben beschrieben offnet und in den Platzhalter den Funktionsnamen zweimal durch Komma getrennt eintragt. f (x, y) := X - y

1 0 >^

J^hk

mW4mh

xC®iw^ *

f,f Abb.20.17.Qick-Plot des hyperbolischen Paraboloids aus Beisp.20.5b und seiner Hohenlinien

298

20

Grafik

20.4 Punktgrafiken Bei praktischen Aufgabenstellungen trifft man haufig den Sachverhalt an, daE eine gegebene Funktion (funktionaler Zusammenhang) * einer Variablen y= f(x) * zweier Variablen 2= f(x,y) nicht analytisch gegeben ist, sondern nur in Form von n Punkten (Me£punkten), d.h. bei Funktionen * einer Variablen durch n Zahlenpaare (Punkte der Ebene) (Xi,yi),(x2,y2),...,(xn,yn) *

zweier Variablen durch n Zahlentripel (Punkte des Raumes) (Xi,yi,2i),(X2,y2,22)v,(Xn,yn,2n)

Es gibt in der Mathematik eine Reihe von Moglichkeiten, vorliegende Punkte durch analytisch gegebene Funktionen (z.B. Polynome) anzunahern, so u.a. durch Interpolation oder Methode der kleinsten Quadrate. Dies behandeln wir im Abschn.19.3.4 bzw. 31.6. Im folgenden beschreiben wir die grafische Darstellung von Punkten, fiir die MATHCAD folgende Moglichkeiten bietet: •

Die grafische Darstellung von n Punkten {Zahlenpaareri) in ebenen kartesischen Koordinatensystemen vollzieht sich in folgenden Schritten: I. Zuerst werden die x-Werte einem Vektor x und die y-Werte einem Vektor y mit jeweils n Komponenten zugewiesen. II. Danach kann unter Verwendung des Operators fit.>n

aus der Operatorpalette Nr.3 der Indexbereich fur die Komponenten der beiden Vektoren in der Form i := 1 .. n eingegeben, d.h. der Index i fiir die Vektorkomponenten als Bereichsvariable definiert werden (siehe Abschn.8.2). III. AnschlieJSend erzeugt man mittels einer der folgenden zwei Moglichkeiten * Aktivierung der Meniifolge

20.4

Punktgrafiken

299

Insert =^ Graph =^ X-Y Plot (deutsch: Einfiigen => Diagramm =^ X-Y-Diagranun) * Anklicken des Operators

in der Operatorpalette Nr.2 # im Arbeitsblatt an der durch den Kursor bestimmten Stelle ein Grafikfenster fur kartesische Koordinaten, dessen Gestalt aus Abb. 20.1 zu entnehmen ist. IV. Danach sind in diesem Grafikfenster in den mittleren Platzhalter der x-Achse die Komponenten des Vektors x in der Form und in den mittleren Platzhalter der y-Achse die Komponenten des Vektors y in der Form Yi

unter Verwendung des Operators (Indexoperators) Xn aus der Operatorpalette Nr.3 einzutragen (Komponentenschreibweise), wenn fiir i ein Indexbereich definiert wurde. Wenn man keinen Bereich fiir den Index i (Bereichsvariable) definiert hat, tragt man in die beiden Platzhalter nur die Bezeichnung x bzw. y der Vektoren ein (siehe Beisp.20.6a). V. AbschlielSend erhalt man die gewiinschte Punktgrafik durch einen Mausklick au£erhalb des Grafikfensters oder durch Driicken der Eingabetaste l-^i falls man sich im Automatikmodus befindet, ansonsten ist die Funktionstaste (F9) ZU betatigen. Die grafische Darstellung von n Punkten (Zablentripeln) in raumlichen kartesischen Koordinatensystemen vollzieht sich in folgenden Schritten: I. Zuerst werden die x-Werte einem Vektor x, die y-Werte einem Vektor y und die z-Werte einem Vektor 2 mit jeweils n Komponenten zugewiesen. II. AnschlieEend erzeugt man mittels einer der folgenden zwei Moglichkeiten * Aktivierung der Meniifolge Insert => Graph => 3D Scatter Plot

300

20

Grafik

(deutsch: Einfiigen => Diagramm => SD-Streuungsdiagramm) Anklicken des Operators

in der Operatorpalette Nr.2

im Arbeitsblatt ein Grafikfenster an der durch den Kursor bestimmten Stelle, dessen Form aus Abb.20.8 ersichtlich ist. III. Danach sind in diesem Grafikfenster in den unteren Platzhalter die Bezeichnungen der drei Vektoren (durcii Komma getrennt) in der Form (x,y,2) einzutragen. IV. Abschlie^end erhalt man die gewlinschte Punktgrafik durch einen Mausklick auJSerhalb des Grafikfensters oder durch Driicken der Eingabetaste P ^ , falls man sich im Automatikmodus befindet, ansonsten ist die Funktionstaste [F9) ZU betatigen. Zu Punktgrafiken ist folgendes zu bemerken: •

Wie bei alien grafischen Darstellung in MATHCAD kann man auch fur Punktgrafiken verschiedene Darstellungsarten wahlen. So lassen sich z.B. durch zweifachen Mausklick auf die Punktgrafik in der erscheinenden Dialogbox die gezeichneten Punkte * durch Geraden verbinden. * isoliert in verschiedenen Formen darstellen.

•

Die beschriebene Vorgehensweise ist auch anwendbar, wenn man zwei gegebene Vektoren mit gleicher Anzahl n von Komponenten in ebenen kartesischen Koordinaten gegeneinander darstellen mochte. Dies bedeutet weiter nichts, als n Punkte grafisch in der Ebene darzustellen, deren Koordinaten sich aus den Komponenten der beiden Vektoren ergeben (siehe Beisp. 20.6d).

•

Des weiteren kann man die Komponenten eines einzelnen Vektors als Funktion des Index in der Ebene grafisch darstellen, wie im Beisp.20.6b illustriert wird.

Beispiel 20.6: Im folgenden setzen wir 1 als Startwert fiir die Indizierung voraus, d.h.

20.4

Punktgrafiken

301

a) Es sind funf Punkte (1,2) , (2,4) , (3,3) , (4,6) , (5,5) gegeben. Die x- und y-Komponenten dieser Punkte werden getrennt als Vektoren x bzw. y definiert bzw. eingelesen:

X :=

2

4

3 4

y := 3 6

5

5

* Im folgenden stellen wir nur die Punkte grafisch als Quadrate dar, indem wir die Grafik zweimal mit der Maus anklicken und dies in der erscheinenden Dialogbox einstellen:

Das gleiche ergibt sich mittels Komponentenschreibweise der Vektoren folgendermalSen: i:= 1..5

* Im folgenden verbinden wir die Punkte durch Geraden, indem wir die Grafik zweimal mit der Maus anklicken und dies in der erscheinenden Dialogbox einstellen:

302

20

Grafik

b) Stellen wir die Komponenten des folgenden Vektors x in Abhangigkeit vom Index i grafisch dar:

X .'•

i := 1.. 5

X. 1

c) Stellen wir die fiinf Punkte (1,2,8),(2,4,5),(3,3,6),(4,6,4),(5,5,9) in einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem grafisch dar:

20.4

Punktgrafiken

303

X .

z ;:

Cx,y,2)

d) Stellen wir die beiden im Arbeitsblatt definierten Vektoren

X :=

p]6

(9\

8 2

y: = 5

W

7

3

llj

grafisch in ebenen kartesische Koordinaten gegeneinander dar. Dies bedeutet, da/S wir die 5 Punkte (3,9),(6,7),(8,5),(2,3),(5,1) in der Ebene grafisch darstellen. Damit konnen wir die gleichen Vorgehensweisen wie im Beisp.a anwenden:

304

20

Grafik

20.5 Diagramme MATHCAD kann sogenannte SD-Sdulendiagramme (englisch: 3D bar plot) erzeugen. In diesen Diagrammen werden die Elemente einer gegebenen Matrix M durch Saulen dargestellt. Dazu sind in MATHCAD folgende Schritte erforderlich: I. Zuerst mulS die erforderliche Matrix M erzeugt werden. II. AnschlieEend offnet man durch Anklicken des Operators

in der Operatorpalette Nr.2

i¥*

LM

im Arbeitsblatt an der durch den Kursor bestimmten Stelle ein Grafikfenster fiir Saulendiagramme. III.Danach ist in diesem Grafikfenster in den unteren Platzhaker die Bezeichnung M fiir die Matrix einzutragen. IV. AbschlielSend erhalt man das gewiinschte Saulendiagramm durch einen Mausklick aulSerhalb des Grafikfensters oder durch Driicken der Eingabetaste [ 3 , falls man sich im Automatikmodus befindet, ansonsten ist die Funktionstaste [F9) ZU betatigen.

IS" Zur grafischen Darstellung einer Funktion z= f(x,y) zweier Variablen kann man eine Matrix verwenden, deren Elemente von den Funktionswerten gebildet werden, wie im Abschn.20.3 beschrieben wird. Deshalb besteht die Moglichkeit, Funktionen f ( x , y ) s t a t t durch eine

20.5

Diagramme

305

Flache durch ein Saulendiagramm grafisch darzustellen, wie im Beisp.20.7b illustriert wird. Man erreicht auch einen Quick-Plot fiir dieses Saulendiagramm, wenn man die Funktion im Arbeitsblatt definiert und dann den Funktionsnamen in den Platzhalter des Grafikfensters fur Saulendiagramme eintragt. Beispiel 20.7: a) Erzeugen wir eine Matrix M und stellen ihre Elemente als Saulen dar: i;=l.. 5

k:=l.. 5

Mj.k'=i + k

1^

1

8-J H

4-J 2—

' "Sr ^iL 2U—Jr~^

/^~~-i/r—ill ~^fii

r~—J^—TIT

Hltljl^ il

3-

A

w

J\

Titlljr------.My 1u

\f

n\ V

uu '

'\

\

M

b) Stellen wir das hyperbolische Paraboloid (Sattelflache) 2 = fx,y) = x^-y^ aus Beisp.20.5b liber dem Quadrat D -5<x Animation => Aufzeichnen...) Nach dem Erscheinen der Dialogbox Record Animation (deutsch: Animation aufzeichnen) kann man hier den Laufbereich fur die vordefinierte Variable FRAME festlegen.

•

AbschlielSend umrahmt man im Arbeitsblatt den entsprechenden Grafikbereich mit einem Auswahlrechteck und klickt auf Animale

I bzw.

Animieren

In dem daraufhin erscheinenden Fenster Play Animation

(deutsch: Animation abspielen)

kann man dann die Animation durch Anklicken von

auslosen. lUustrieren wir die Vorgehensweise bei der Erzeugung von Animationen an einem einfachen Beispiel. Beispiel 20.8: Verwenden wir die Sinusfunktion im Intervall [-27r,27c] mit einem Parameter p, d.h. sin ( X + p ) und lassen uns diese fur die verschiedenen Parameterwerte p := 0 , 1 , 2 , ... , 9 als bewegte Grafik anzeigen. Dafur geht man folgendermaJSen vor: * Die Funktion wird definiert, wobei fiir den Parameter p die vordefinierte Variable FRAME zu verwenden ist. Daran anschlie£end wird die grafische Darstellung wie bei Funktionen einer Variablen durchgefiihrt: f(x) := sin(x + FRAME) x:=-2-7c,-2-7i+ 0.001 ..2-71

308

20

Grafik

f(x)

* AnschlielSend offnet man mittels der Mentifolge Tools => Animation => Record... (deutsch: Extras => Animation => Aufizeichnen...) die Dialogbox (deutsch: Animation aufzeichnen)

Record Animation

Framsi/Sac FRAME- 9 Select an area of i«aur worksheet whose contents are based an the FRAME variable, enter starting and ending FRAME values, and chooie Animate.

in der wir den Laufbereich fiir den Parameter FRAME von 0 bis 9 festlegen. Weiterhin haben wir eingestellt, dalS 10 Bilder pro Sekunde angezeigt werden. Nach Umrahmung der bereits gezeichneten Grafik mit einem Auswahlrechteck mittels gedriickter Maustaste klickt man auf Animatis

bzw.

Animieren

* In dem daraufhin erscheinenden Fenster

20.7

Import und Export von Grafiken

Play Animation

309

(deutsch: Animation abspielen)

kann man dann die Animation durch Anklicken von

ablaufen lassen.

20.7 Import und Export von Grafiken Im Abschn.4.5 haben wir uns bereits kurz mit dem Einfiigen von Objekten und Komponenten beschaftigt, das liber die Meniifolgen Insert => Component...

(deutsch: Einfiigen => Komponente...)

bzw. Insert => Object...

(deutsch: Einfiigen => Objekt...)

gesteuert wird. Mit diesen Meniifolgen lassen sich auch Grafiken und Bilder in MATHCAD einfiigen, die hier bearbeitet werden konnen. Da im vorliegenden Buch mathematische Aufgaben im Vordergrund stehen, verweisen wir bzgl. dieser Probleme auf das Handbuch bzw. die Hilfefunktionen von MATHCAD.

1^ Wenn man im MATHCAD-Arbeitsblatt befindliche Grafiken und Bilder in andere WINDOWS-Anwendungen exportieren mochte, so geht dies am einfachsten auf die bekannte WINDOWS-Art iiber die Zwischenablage mittels Kopieren und Einfiigen. Auf diese Art wurden auch die Grafiken von MATHCAD in das vorliegende Buch iibernommen. •

21 Gleichungen und Ungleichungen

21.1 Einfiihrung Gleichungen und Ungleichungen spielen sowohl in Technik und Naturwissenschaften als auch Wirtschaftswissenschaften eine fundamentale Rolle. Wahrend in den Wirtschaftswissenschaften uberwiegend lineare Gleichungen/Ungleichungen auftreten, sind in Technik und Naturwissenschaften auch nichtlineare Gleichungen/Ungleichungen anzutreffen. In praktischen Anwendungen treten meistens nicht nur eine sondern mehrere Gleichungen/Ungleichungen mit mehreren Variablen (Unbekannten) auf, die man als Gleichungssysteme bezeichnet. Die Variablen dieser Gleichungssysteme falSt man i.allg. als Komponenten eines Vektors auf, die Werte aus dem Bereich der reellen oder komplexen Zahlen annehmen konnen. Deshalb kommen bei Gleichungssystemen fiir die Variablen meistens indizierte Variablen zur Anwendung. MATHCAD beriicksichtigt diese Darstellung, indem es zwei Formen fiir indizierte Variablen zulaEt (siehe Abschn.8.1). Im Abschn.21.5 lernen wir in Form von Matrixgleichungen noch einen allgemeineren Gleichungstyp kennen, bei dem die Unbekannten durch Matrizen realisiert werden.

i^ Wahrend fiir lineare Gleichungssysteme endliche Algorithmen zur Bestimmung exakter Losungen existieren, gilt dies fiir nichtlineare Gleichungen nur fiir einige Spezialfalle. Deshalb stellt MATHCAD fur nichtlineare Gleichungen zusatzlich numerische Methoden zur Bestimmung von Naherungslosungen zur Verfiigung, die wir im Abschn.21.8 kennenlernen. •

21.2

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme gehoren neben Vektoren und Matrizen (siehe Kap.18) zu Grundbestandteilen der linearen Algebra. Fin allgemeines lineares Gleichungssystem, das aus m linearen Gleichungen mit n Variablen X2,...,Xj^

21

312

Gleichungen und Ungleichungen

besteht, schreibt sich in der Form

aoi'Xi 2 1 ^ 1 ^+ao9-X9 ^22 ^2 +..- + a9r,-x 2n ^ n

=

^ m l ' ^ 1 + ^ m 2 " ^ 2 + ••• + ^ m n * ^ n

"

b ^m

und lautet in Matrixschreibweise A x = b wobei In

*

2n

A =

die Koeffizientenmattix

vom Typ (m,n)

mriy/

^x ^ *

den Vektor der n Variablen (Unbekannten)

x=

^A *

den Vektor der rechten Seiten

b V^my

bezeichnen. Dabei konnen m und n beliebige positive, ganze Zahlen sein. Fiir die Losungstheorie benotigt man die um den Vektor der rechten Seiten b erweiterte Koeffizientenmatrix ( A l b ) , die vom Typ (m,n+l) ist und die man in folgender Form schreibt:

(Alb)

=

21

bi

12

In I

22

2n I ^ 2

^mn

^m

Da lineare Gleichungssysteme in jedem Grundkurs der Mathematik im Rahmen der linearen Algebra behandelt werden, gehen wir im folgenden

21.2

Lineare Gleichungssysteme

313

nur kurz auf diese Problematik ein und verweisen den Anwender bei eventuellen Unklarheiten auf Lehrbiicher der linearen Algebra. Fiir lineare Gleichungssysteme A x

= b

gibt es eine umfassende Losungstheorie, aus der wir wesentliche Fakten skizzieren: •

In Abhangigkeit von der Koeffizientenmatrix A vom Typ (m,n) und der erweiterten Koeffizientenmatrix ( A l b ) vom Typ (m,n+l) ergeben sich Bedingungen fiir die Losbarkeit eines linearen Gleichungssystems: * Es existiert genau eine Losung x , wenn Rang ( A ) = Rang ( ( A I b ) ) = n gilt. * Es existiert keine Losung x , wenn Rang ( A ) < Rang ( ( A l b ) ) gilt, d.h., hier widersprechen sich Gleichungen. * Es existieren beliebig viele Losungen x , wenn Rang ( A ) = Rang ( ( A l b ) ) = r < n gilt. Diese Aussagen gelten fiir beliebige Anzahlen m und n von Gleichungen bzw. Variablen. In praktischen Anwendungen liegt haufig der Fall vor, da£ m < n gilt, d.h., es sind hochstens so viele Gleichungen wie Variable gegeben.

•

Im Falle der Losbarkeit werden Algorithmen bereitgestellt, die Losungen in einer endlichen Anzahl von Schritten liefern. Ein universeller Losungsalgorithmus fiir lineare Gleichungssysteme ist der bekannte GauJSsche Algorithmus, dessen Grundprinzip darin besteht, die erweiterte Koeffizientenmatrix durch Umformungen der Zeilen auf eine Dreiecksgestalt zu bringen, aus der die Losungen im Falle der Losbarkeit in endlich vielen Schritten zu erhalten sind.

•

Falls ein lineares Gleichungssystem keine Losung besitzt, so kann dies zwei Ursachen haben: * Bei der Aufstellung des Gleichungssystems als Modell fiir eine praktische Aufgabe wurden Fehler begangen (Modellierungsfehler). * Die durch das Gleichungssystem modellierte praktische Aufgabe la£t keine Losung zu. In diesem Fall kann man verallgemeinerte Losungen des Gleichungssystems betrachten. Diese Problematik behandeln wir im Abschn.21.8.

Betrachten wir die drei moglichen Falle bei der Losung linearer Gleichungssysteme im folgenden Beispiel.

314

21

Gleichungen und Ungleichungen

Beispiel 21.1: a) Das lineare Gleichungssystem 3 • Xj + 2 • X2 = 14 4-Xi - 5 - X 2 = - 1 2 besitzt die eindeutige Losung Xi= 2, X2 = 4

b) Das lineare Gleichungssystem Xi+3-X2 = 3 3-Xi+9-X2 = 9 besitzt beliebig viele Losungen der Gestalt Xi = 3 - 3 - ^ , X 2 = ^ ,

( ^ beliebige reelle Zahl),

da die zweite Gleichung ein Vielfaches der ersten ist. c) Das lineare Gleichungssystem Xi+3-X2=3 3-Xi+9-X2=4 besitzt keine Losung, da sich beide Gleichungen widersprechen. • Aufgrund existierender endlicher Losungsalgorithmen stellt die exakte Losung linearer Gleichungssysteme an MATHCAD keine Schwierigkeiten, wenn die Anzahl der Gleichungen und Variablen nicht allzu gro£ ist (maximal 200 Gleichungen mit 200 Unbekannten). Bei der exakten Losung hat man den Vorteil, da£ keine Rundungsfehler auftreten, die bei numerischen Methoden eine gro£e Rolle spielen. MATHCAD bietet folgende drei Moglichkeiten zur exakten Losung linearer Gleichungssysteme an: L Fiir Systeme mit quadratischer und reguldrer Koeffizientenmatrix A (d.h. m=n und Rang(A) = n), fiir die genau eine Losung existiert, besteht eine Losungsmoglichkeit in der Berechnung der inversen Matrix A~^ (siehe Beisp.21.2a). Der Losungsvektor x ergibt sich als Produkt von A~^ und b, d.h. x = A"' b II. Eine effektive Losungsmoglichkeit in MATHCAD voUzieht sich in folgenden Schritten: 1. Man gibt given

(deutsch: Vorgabe)

21.2

Lineare Qleichungssysteme

315

in das Arbeitsblatt ein. Dabei ist zu beachten, daiS dies im Rechenmodus geschehen mu£. 2. Darunter ist anschlielSend das zu losende Gleichungssystem einzutragen. Dabei mul^ das Gleichheitszeichen in den einzelnen Gleichungen unter Verwendung des Operators (Gleichheitsoperators)

aus der Operatorpalette Nr.6 oder der Tastenkombination eingegeben werden. 3. Unter dem zu losenden Gleichungssystem ist die vordefinierte Funktion find ( ... )

(deutsch: Suchen ( ... ))

ebenfalls im Rechenmodus einzugeben, wobei im Argument die Variablen durch Komma getrennt erscheinen miissen, nach denen aufgelost werden soil. Der durch given und find im Arbeitsblatt begrenzte Bereich wird als Losungsblock bezeichnet. 4. Die Eingabe des symbolischen Gleichheitszeichens -> nach find und abschlieJSende Betatigung der Eingabetaste f ^ liefern die exakte L6sung, falls das Gleichungssystem losbar ist und man sich im Automatikmodus befindet. Man kann das berechnete Ergebnis auch mittels der Zuweisung *

x:=find(...)^ mit Angabe des Ergebnisses

*

x:=find(...) ohne Angabe des Ergebnisses

einem Losungsvektor x zuweisen (siehe Beisp21.2b und d). IILEine weitere effektive Losungsmoglichkeit ist in MATHCAD durch das Schllisselwort solve gegeben, dessen Anwendung folgendermalSen geschieht: 1. Zuerst aktiviert man das Schllisselwort solve (deutsch: auflosen) durch Anklicken des Operators

solve

bzw.

auflosen

in der Operatorpalette Nr.9 der Rechenpalette 2. Danach schreibt man in den erscheinenden Ausdruck • solve, I -^

|32w.

• auflosen, • -»

316

21

Gleichungen und Ungleichungen

in den linken Platzhalter das zu losende Gleichungssystem und in den rechten Platzhalter die Variablen, wobei diese jeweils als Komponenten eines Vektors einzugeben sind (siehe Beisp.21.2b). Das Gleichheitszeichen in den einzelnen Gleichungen muJ^ unter Verwendung des Operators {Gleichheitsoperators)

aus der Operatorpalette Nr.6 oder der Tastenkombination [Strg][+] eingegeben werden. Man kann das berechnete Ergebnis auch mittels der Zuweisung X := • solve, • -^

h7:w.

x := • auflosen, • ->

einem Losungsvektor x zuweisen (siehe Beisp.21.2b). 3. Die Eingabe des symbolischen Gleichheitszeichens -> und die abschlieEende Betatigung der Eingabetaste [-^l liefern die exakte L6sung, falls das Gleichungssystem losbar ist und man sich im Automatikmodus befindet (siehe Beisp.21.2b). Bei der Eingabe der einzelnen Gleichungen in das Arbeitsblatt konnen die Variablen in MATHCAD * sowohl indiziert Xi,X2,X3,...

* als auch nichtindiziert in der Form X, y, z, ...

oder

xl, x2, x3, ...

geschrieben werden. Bei der Verwendung indizierter Variablen lassen sich beide im Abschn.8.1 beschriebenen Formen (Feld- oder Literalindex) anwenden. • Illustrieren wir die verschiedenen Losungsmoglichkeiten von MATHCAD im folgenden Beispiel. Beispiel 21.2: a) Losen wir das lineare Gleichungssystem Xj + 3 - X 2 + 3 ' X 3 = 2 Xl + 3 ' X 2 + 4 - X 3 = 1 Xl + 4 - X 2 + 3 - X 3 = 4

mit regularer, quadratischer Koeffizientenmatrix mittels Methode I.:

21.2

Lineare Gleichungssysteme

317

* Zuerst wird die inverse Koeffizientenmatrix 18.6.3): f l 3 3 " -1 1" 7 - 3 - 3 1 3

-^

4

[l 4 3 .

-1

0

1

-1

1

0

berechnet (siehe Abschn.

* AbschlielSend ergibt die Multiplikation der berechneten Inversen mit dem Vektor der rechten Seite (siehe Abschn. 18.6.1) : (1 -1

l-i

-3 0 1

(-\\ - 3 ^ (1\ 1 1 -> 2

oj

w

l-lj

die folgende Losung:

b) Losen wir das lineare Gleichungssystem aus Beisp.a mit bDMethode II.: Dafiir ist der folgende Losungsblock in das Arbeitsblatt einzugeben: given xl + 3-x2 + 3-x3 = 2 xl + 3-x2 + 4-x3 = 1 xl + 4-x2 + 3-x3 = 4

(-\\ 2

find (xl, x2, x3) ->

l-v o d e r bei einer Zuweisung an einen Losungsvektor x * mit Angabe des Ergebnisses X := find (xl, x2, x3) -^ 1 * ohne Angabe des Ergebnisses X := find ( x l , x2 , x3)

21

318

Gleichungen und Ungleichungen

Der so definierte Losungsvektor enthalt die berechnete Losung des Gleichungssystems und la£t sich mit dem symbolischen Gleichheitszeichen anzeigen:

r-^\ V h b2)Methode III.: Die Anwendung des Schliisselworts solve gestaltet sich durch Anklicken des entsprechenden Operators in der Operatorpalette Nr.9 und Ausflillen der beiden Platzhaker folgenderma£en, wobei die auftretenden drei Gleichungen und drei Variablen jeweils als Vektoren mit drei Komponenten einzugeben sind: 'xl "

[xl •f3-x2 -H3-X3 = 2 '

xl -h3-x2 -i-4-x3 = l

solve, x2

[xl -h4-x2 -h3-x3 = 4 _

(-1

2 -1)

.x3.

Die Zuweisung an einen Losungsvektoi "xl -h3-x2 -|-3.x3=2 • X !=

xl -I-3-X2 ^ 4 - x 3 = l xl -f-4'x2 -I-3-X3 =4_

"xl solve, x2

(-1

2 -1)

.x3

wobei sich der Losungsvektor x mit dem symbolischen Gleichheitszeichen anzeigen lalSt: x^(-l

2 -1)

c) Betrachten wir das lineare Gleichungssystem Xj +2-X2 +X3 = 1 2-Xi +X2 + 3 ' X 3 = 0

mit beliebig vielen Losungen (eine Variable ist frei wahlbar) und verwenden die Methode 11. Hierfur ist folgender Losungsblock in das Arbeitsblatt einzugeben: given x l + 2'X2 + x3 = 1 2-xl + x2 + 3-x3 = 0

21.2

Lineare Gleichungssysteme

319

3

find(xl,x2,x3)

1 2 - • x3 + 3 3

->

x3

Da ein unterbestimmtes Gleichungssystem vorliegt, ist eine Variable frei wahlbar, fiir die MATHCAD x3 gewahlt hat. d) Im folgenden losen wir ein Gleichungssystem mittels Methode 11., fiir dessen Darstellung indizierte Variable eingesetzt werden (siehe Abschn. 8.1): dl)Verwendung indizierter Variablen als Komponenten eines Vektors x, d.h., Anwendung des Feldindex. given Xj + X2 =

1

Xj - X2 =

0

findCxj ,X2) ^

M

o d e r bei einer Zuweisung an den Losungsvektor x X :=

find(Xi,X2)

-^

v^y Erst nach dieser Zuweisung an den Losungsvektor werden den einzelnen Variablen die Losungswerte zugewiesen, so dalS gilt: 1 Xj ^ -

^

2

1 , X2

^

^ -

2

bzw.

Xj = 0 . 5 , X;

d2)Verwendung indizierter Variablen mit Literalindex: given x i + X2 = 1 xi -X2 = 0

0.5

21

320

Gleichungen und Ungleichungen

^^

find ( X 2 J X 2 )->

o d e r bei einer Zuweisung an einen Losungsvektor x

X := find (x 2, X 2) -^

2 1

Erst nach dieser Zuweisung an den Losungsvektor werden den einzelnen Variablen die Losungswerte zugewiesen, so da£ gilt: 1 Xi ^

^

1

— , Xo ^

—

2

2

^

bzw.

Xi = 0.5 , X2 = 0.5

e) Im folgenden betrachten wir ein unlosbares lineares Gleichungssystem. Dies wird von MATHCAD richtig erkannt und eine Fehlermeldung ausgegeben: given x l + x2 = 1 2 • x l + 2 • x2 = 0

findCxl aSgi)!"^ NQ gymbolio result was found •

Die Losung linearer Gleichungssysteme ist mittels MATHCAD problemlos moglich, solange die Anzahl der Gleichungen und Variablen nicht grower als 200 ist. Es wird empfohlen, die Methoden II. oder III. anzuwenden. Diese Methoden sind am einfachsten zu handhaben und auf alle Typen von Gleichungssystemen anwendbar. Bei der dem Autor zur Verfligung stehenden Version 11 traten bei der Verwendung des Feldindex fiir die Indizierung der Variablen Probleme auf, so dafS man bei diesem Effekt auf den Literalindex ausweichen kann.

21.3

Analytische Geometrie

321

21.3 Analytische Geometrie Viele Aufgaben der analytischen Geometrie konnen problemlos mit MATHCAD gelost werden. Hierzu gehoren: •

Bestimmung der Schnitte von *

Geraden

* Geraden und Ebenen *

Ebenen

Dies fiihrt auf die Losung linearer Gleichungssysteme, die im Abschn. 21.2 behandelt wird (siehe Beisp.21.3a-c). •

Berechnung des Abstands von *

Punkt-Gerade

*

Punkt-Ebene

*

Gerade-Gerade

*

Gerade-Ebene

Dies geschieht unter Verwendung der Hesseschen NorTnalform (siehe Beisp.21.3d) bzw. vorhandener Berechnungsformeln. •

Hauptachsentransformationen

fiir

Kegelschnittgleichungen.

Diese lassen sich mittels MATHCAD unter Verwendung der vordefinierten Funktionen zur Eigenwertberechnung von Matrizen durchflihren. Die Losung einiger dieser Aufgaben der analytischen Geometrie mittels MATHCAD illustrieren wir im folgenden Beispiel. Beispiel 21.3: a) Bestimmen wir den Schnittpunkt der beiden Geraden in der Ebene: Gl:y=2-x + 3

und

G2: y = - x - 1

HierfiJr ist das folgende lineare Gleichungssystem (2 Gleichungen mit 2 Variablen x,y) mittels MATHCAD zu losen: given y = 2-x + 3

-X- 1

322

21

find(x,y)

->

Gleichungen und Ungleichungen

3 1

k3 J Der berechnete Schnittpunkt laJSt sich in MATHCAD auch grafisch durch Zeichnung der beiden Geraden darstellen (siehe Abschn.20.2): x:=-2,-1.999-0

b) Untersuchen wir die Lagebeziebungen der beiden Geraden im Raum: X+ y + 2 = 1

Gl:

2-x + y - 2 =

0

G2:

X - y -2 = 3 X - 2-y + 3-2 = 2

Dies flihrt auf die Losung des folgenden linearen Gleichungssystems (4 Gleichungen mit 3 Variablen x, y, 2): given X -h y -t- 2 = 1

2 x -t- y - 2 = 0 X- y-

2=3

X - 2-y -h 3 - 2 = 2

foidCx.y,;^]!--^ No symbolic result was found.

Da MATHCAD keine Losung gefunden hat, sind die beiden Geraden Gl und G2 windscbief, d.h., sie besit2en keinen Schnittpunkt. c) Man bestimme den Schnittpunkt beiden Punkte

der Geraden G, gegeben durch die

21.3

Analytische Geometrie

323

PI ( 1 , 2 , 3 ) und P2 ( 2 , 4 , 5 ) mit der Ebene E, gegeben durch die drei Punkte P3 ( 2 , 3 , 1 ) , P4 ( 3 , 0 , 2 ) und P5 ( 4 , 5 , 6 ) Die folgende elegante Losungsmethode unter Verwendung der Vektorrechnung lalSt sich leider nicht realisieren, da MATHCAD die entstandenen Gleichungen in vektorieller Form nicht losen kann: Den gegebenen Punkten werden Ortsvektoren zugewiesen:

fl^ a := 2

(2) b: = 4

UJ

[v

C :=

(2) 3

w

(5^ d: = 0

(4^ e := 5

U)

[v

Damit haben die Gerade G die Parameterdarstellung (Parameter t): a + t• (b-a) und die Ebene ^ die Parameterdarstellung (Parameter u und v): c + u-(d-c)

+v-(e-c)

Der Schnittpunkt zwischen beiden ergibt sich als Losung der Vektorgleichung mit den Variablen t, u und v : given c + u-(d - c) + v-(e - c) - a - t-(b - a) = 0 Fiii^Ct,u,y3--» 1 1 M&^^i:3lfe r^^ Da MATHCAD diese Gleichung mit Vektoren (Vektorgleichung) nicht losen kann, mu£ man sie komponentenweise schreiben. Dies lalSt sich folgendermalSen mit MATHCAD realisieren: ( c + u-(d - c) + v-(e - c) - a - t-(b - a)

1 + u + 2-v - t 1 - 3-U+ 2-v - 2-t - 2 + u + 5 - v - 2-t

AnschlieEend kann man das lineare Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen t, u, v losen:

21

324

Gleichungen und Ungleichungen

given 1 -H u -H 2-v - t = 0 1 - 3-u ^- 2-v - 2 - t = 0

2 + u 4- 5-v - 2-t=0 ^6^

-9

find(t,u,v) -^ 7

7

Der Schnittpunkt la£t sich damit z.B. folgenderma£en bestimmen: /43^

a + — - ( b - a ) -^

d) Man bestimme den Abstand des Punktes P = ( 3 , 3, 4 ) von der Ebene x+y+2-l=0 unter Verwendung der Hesseschen Normalform: Die Hessesche Normalform der Ebene lautet: x+y+2-1

fi

= 0

Der Abstand eines Punktes P = ( p i , p2 , p3 ) von dieser Ebene berechnet sich mittels der Funktion

21.4

Polynome

325

Abstand(pl,p2,p3) := P^ + P^ ^^ P^—1 Diese Funktion kann man im Arbeitsblatt von MATHCAD definieren und damit den Abstand berechnen: Mittels Abstand(3,3,4)-> 3-32 = 5.196 berechnet MATHCAD den Abstand 5.196 des Punktes (3,3,4) von der gegebenen Ebene. •

21.4 Polynome Polynomfunktionen

(kurz Polynome) n-ten Grades

P„(x) mit reellen Koeffizienten

schreiben sich in der Form Pn(x) =

S ak • x^ = a^ • x"" + a^-i • x"""^ +...+ aj • x + aQ k=0

Sie werden auch als ganzrationale Funktionen bezeichnet. Fine wichtige Aufgabe fiir Polynome liegt in der Berechnung der reellen und komplexen NuUstellen, d.h. der Losungen Xj der zugehorigen Polynomgleichung Pn(x)=0 Dies werden wir in diesem Abschnitt mittels MATHCAD durchfiihren. Betrachten wir zuerst wichtige Eigenschaften von Polynomen: •

Fs lalSt sich beweisen, da£ ein Polynom n-ten Grades n Nullstellen hat, die reell, komplex und mehrfach sein konnen.

•

1st der Grad eines Polynoms ungerade, dann existiert mindestens eine reelle Nullstelle.

•

1st eine komplexe Zahl Nullstelle, so ist auch ihre konjugiert komplexe Zahl Nullstelle.

326

21

Gleichungen und Ungleichungen

Zur Bestimmung der Nullstellen existieren Berechnungsformeln nur fur Polynome bis zum vierten Grad (d.h. bis n=4). Die bekannteste ist die fiir n=2 iquadratische Gleichung) x^ + a^ -x + aQ = 0 Hier lautet die Berechnungsformel fiir die beiden Nullstellen: 4

^'

Fiir n=3 und 4 sind die Berechnungsformeln komplizierter. Ab n=5 gibt es keine Formeln mehr fur die Nullstellenberechnung, da allgemeine Polynome ab dem 5. Grad nicht durch Radikale losbar sind. Deshalb kann man von MATHCAD nicht immer erwarten, dalS es fiir n>5 exakte Losungen findet. Unter der Faktorisierung versteht man bei Polynomen die Schreibweise als Produkt von * Linearfaktoren (fiir reelle Nullstellen), * quadratischen Polynomen (fiir komplexe Nullstellen), d.h. (fur an=l) n

,

l a ^ x^ = k=o

( x - X j ) - ( x - X 2 ) - - . . - ( x - X f ) - ( x ^ + b i • x + Ci)-...-(x^ +bj, -x + Cg) wobei die reellen Nullstellen sind (in ihrer eventuellen Vielfachheit gezahlt). Eine derartige Faktorisierung ist nach dem Fundamentalsatz der Algebra gesichert und hangt eng mit der Bestimmung der Nullstellen zusammen. Deshalb ist es nicht verwunderlich, daJ§ MATHCAD die Faktorisierung nicht immer durchfiihren kann (siehe Beisp.l6.l4). Bei ganzzahligen Nullstellen kann MATHCAD bei der Faktorisierung auch fiir Polynome hoheren Grades erfolgreich sein (siehe Abschn. 16.6 und Beisp.l6.l4e und 21.4a). MATHCAD kann die exakte Berechnung der Nullstellen von Polynomen auf folgende Arten in Angriff nehmen: Mittels * Faktorisierung zur Bestimmung der reellen Nullstellen (siehe Abschn. 16.6)

21.4

Polynome

327

* vordefinierter Funktionen flir allgemeine nichtlineare Gleichungen (siehe Abschn. 21.6), da Polynomgleichungen einen Spezialfall bilden. • Im Beisp.21.4 illustrieren wir die Problematik der exakten Berechnung von Nullstellen fur Polynome mittels MATHCAD, wobei wir folgende vier Methoden anwenden: I.

Faktorisierung (siehe Abschn. 16.6): Durch Anwendung der Meniifolge Symbolics => Factor

(deutsch: SymboUk => Faktorisieren)

Oder des Schliisselworts factor

(deutsch: faktor)

II. Aktivierung der Meniifolge Symbolics => Variable => Solve (deutsch: Symibolik => Variable =^ Auflosen) zur Bestimmung von Nullstellen fiir Gleichungen mit einer Unbekannten (siehe Abschn.21.6) III. Anwendung des Schliisselworts solve (siehe Abschn.21.6): 1. Zuerst aktiviert man das Schliisselwort solve

(deutsch: auflosen)

durch Anklicken des Operators

Bolve

bzw.

ayflQsen

in der Operatorpalette Nr.9 Danach wird in den erscheinenden Ausdruck . BOIYC, j

-^

^ ^

, auflosen, j

-^

in den linken Platzhalter die Polynomgleichung und in den rechten Platzhalter die Variable x eingetragen. Das Gleichheitszeichen in der Polynomgleichung muJS unter Verwendung des Operators iGleichheitsoperators)

aus der Operatorpalette Nr.6 oder der Tastenkombination eingegeben werden. Es ist auch moglich statt der Polynomgleichung nur das Polynom (ohne Gleichheitszeichen) einzutragen.

21

328

Gleichungen und Ungleichungen

3. Die abschlieEende Betatigung der Eingabetaste [-^1 liefert die exakte Losung, falls MATHCAD erfolgreich ist und man sich im Automatikmodus befindet. IV. Anwendung der Methode mittels given und find zur Losung allgemeiner Gleichungen (siehe Abschn.21.6). Beispiel 21.4: a) Das Polynom x^ - 5 • x^ - 5 • x^ + 25 • X V 4 • X - 20 besitzt die Nullstellen -1, -2, 1, 2, und 5. Diese berechnet MATHCAD mittels * Methode L: Faktorisierung mittels der Meniifolge Symbolics => Factor liefert x^ - 5'X^ - 5-x^ ^ 25-x^ + 4-x - 20

by factoring, yields

(x - 5) -(x - 1) -(x - 2) -(x -f 2) -(x + 1) * Methode 11.: Anwendung der Meniifolge Symbolics => Variable => Solve liefert ^5^ 1 x^ - 5 • x^ - 5 • x^ + 25 • x^ + 4 • X - 20

has solution(s) v-1.

* Methode III.: Anwendung des Schliisselworts solve liefert 5 1 x5 . 5 -x^ _ 5 -x^ 4- 25 -x^ -f. 4 -x - 20 = 0 solve, x

^

2 -2 -1

* Methode IV.: Anwendung von given und find liefert

21.4

Polynome

329

given x^ - 5 •x'^ - 5 -x^ + 25 -x^ -h 4 -x - 20 = 0

find(x) ^ (5

1 2 -2 -1 )

b) Fiir das Polynom x^ + X + 1 findet MATHCAD eine reelle und acht komplexe Nullstellen z.B. mittels des Schllisselworts solve oder given und find, wahrend die Faktorisierung versagt. Die einzige reelle NuUstelle liegt zwischen -1 und -0.5, wie die folgende Grafik zeigt: X :=-1,-0.999 ..0

x^^x-i-l

Die Anwendung des Schllisselworts solve liefert folgende Losungen: X + X + 1 auflosen,x -> ^

-.82430056322968701271 -.78815677587643473001

- .50285258764546612087

•li

-.78815677587643473001

+ .50285258764546612087

•li

-.28138444440632605813

- .98259597890434460256

•li

-.28138444440632605813

+ .98259597890434460256

•li

.47229060916692797336

- .95393081242028581325

li

.47229060916692797336

+ .95393081242028581325

li

1.0094008927306763211

- .39206252357421550811

li

1.0094008927306763211

+ .39206252357421550811

li J

21

330

Gleichungen und Ungleichungen

Hier ist der Effekt zu beachten, dalS mittels solve und symbolischen Gleichheitszeichen von MATHCAD ein numerisches Ergebnis berechnet wird. c) Betrachten wir das Polynom ^ -x^ +x' -1 dessen Funktionskurve die folgende Gestalt hat x:=-l,-0.999..1.5

7 6 2 , _^c. X -X + x - 1 ^ . 5

Man sieht, dafS die einzige reelle Nullstelle bei 1 liegt. Versuchen wir die Nullstellenbestimmung mittels *

Faktorisierung: x^ - X + x^ - 1 by factoring, yields (x - 1) -(x + x -h 1) Die restlichen komplexen Nullstellen werden nicht ermittelt.

* Mittels der Meniifolge Symbolics => Variable => Solve x

7

- x

6 , 2 , + X - 1

has solution(s) 1

- .79066718881441764450

- .30050692030955162512

-li

- .79066718881441764450

+ .30050692030955162512

-li

-.15473514449684284196

- 1.0383807544584604268

-li

-.15473514449684284196

+ 1.0383807544584604268

-li

.94540233331126048646

- .61183669378100866782

-li

.94540233331126048646

+ .61183669378100866782

-li

21.4

Polynome

331

bzw. mittels des Schliisselworts solve 6

7

.

2

,

1

X - X + X - 1 solve, X ^ -.79066718881441764450

- .30050692030955162512

•li

- .79066718881441764450

+ .30050692030955162512

•li

-. 15473514449684284196

- 1.0383807544584604268

•li

-.15473514449684284196

+ 1.0383807544584604268

•li

.94540233331126048646

- .61183669378100866782

•li

.94540233331126048646

+ .61183669378100866782

•li J

Im Unterschied zur Faktorisiemng werden bei diesen Methoden alle Nullstellen berechnet. d) Fur das Polynom x^+1 findet MATHCAD mittels der Menufolge Symbolics =^ Variable => Solve zwar die folgenden vier komplexen Nullstellen:

l-V^ + i . i - V 2 l 2

2

zl.v^ + i.i.V^ x^+1

has solution(s) 2 2

2 2

V2 2 kann aber nicht die daraus resultierende Faktorisiemng ( x 2 - x - V 2 + l ) - ( x % x - V 2 ^ l) angeben, sondern gibt das Polynom unverandert zuriick: 4

4

x + 1 by factoring, yields x + 1 e) Fiir das Polynom x^-1 berechnet MATHCAD die Nullstellen mittels der Menufolge Symbolics => Variable •=> Solve

21

332

X

4

--

1

Gleichungen und Ungleichungen

-1

has solution(s)

i bzw^ mittels des Schlusselworts solve " 1 x ^ - - 1 = 0 solve, X "^

-1 li -li

und fiihrt die Faktorisierung durch: X - 1

by factoring, yields

( x - l ) - ( x i - l)-(x^ ^ 1)

0 MATHCAD lost die Polynomgleichung x^-x + l = 0 Die einzige reelle Nullstelle ist aus der folgenden Grafik ersichtlich: x:=-1.5,-1.499..!

MATHCAD liefert die Losungen: x^ - X -h 1

has solution(s) -1.1673039782614186843

-.18123244446987538390

- 1.0839541013177106684

-li

-.18123244446987538390

-h 1.0839541013177106684

-li

.76488443360058472603

- .35247154603172624932

-li

.76488443360058472603

-I- .35247154603172624932

-li

21.5

Matrixgleichungen

333

Bei der Faktorisierung ist MATHCAD nicht erfolgreich, da die reelle Nullstelle nicht ganzzahlig und die restlichen Nullstellen komplex sind. • Selbst wenn MATHCAD Nullstellen eines Polynoms berechnet, ist das Ergebnis kritisch zu betrachten. Es empfiehlt sich, die Funktionskurve der Polynomfunktion zeichnen zu lassen und hieraus Naherungswerte fiir die reellen Nullstellen abzulesen, die man mit den berechneten vergleichen kann. Des weiteren ist eine Probe zu empfehlen, d.h., die berechneten Nullstellen sollten in das Polynom eingesetzt werden. • Wenn die exakte Losung einer Polynomgleichung mittels MATHCAD versagt, so erscheinen die gleichen Meldungen, wie bei der Losung nichtlinearer Gleichungen (siehe Abschn.21.6). In diesem Fall kann auf numerische Methoden zuriickgegriffen werden, die wir im Abschn.21.8 besprechen. •

21.5 Matrixgleichungen In Verallgemeinerung der bisher betrachteten Gleichungen spielen in der Mathematik auch Gleichungen eine Rolle, in der die Variablen (Unbekannten) durch Matrizen X dargestellt werden. Derartige Gleichungen bezeichnet man als Matrixgleichungen. Eine erste Matrixgleichung der Gestalt A-X = X-A=E

( E - Einheitsmatrix )

haben wir bereits im Abschn. 18.6.3 kennengelernt. Unter Voraussetzungen an die gegebene Matrix A ist diese Gleichung eindeutig losbar und liefert als Losung die inverse Matrix von A, d.h. X = A-> Allgemeinere Matrixgleichungen treten z.B. bei stationaren Riccatigleichungen der Form (A, B, C, D - gegebene Matrizen) X A X

+ X B

+ C X + D = 0

in der Steuerungstheorie auf. MATHCAD kann Matrixgleichungen numerisch losen, wie im Beisp.21.10h illustriert wird.

334

21

Gleichungen und Ungleichungen

21.6 Nichtlineare Gleichungen Betrachten wir zuerst die Problematik fur eine nichtlineare Gleichung der Gestalt u(x)=0 mit einer Variablen (Unbekannten) x, flir die reelle und/oder komplexe Losungen auftreten konnen. Dabei werden reelle bzw. komplexe Zahlen x als Losungen bezeichnet, wenn sie die Gleichung identisch erflillen, d.h. u(x) =0 Diese Aufgabe ist zur Bestimmung der Nullstellen der Funktion u(x) aquivalent. Im Gegensatz zu Spezialfallen linearer Gleichungen und Polynomgleichungen (siehe Abschn.21.2 und 21.4) existieren bei allgemeinen nichtlinearen Gleichungen keine Aussagen liber die Gesamtheit bzw. Existenz von Losungen. Hier existieren nur Aussagen zu einzelnen Losungen, wie der bekannte Nullstellensatz fur stetige Funktionen u ( x ) : Die stetige Funktion u ( x ) besitzt im Intervall (a,b) mindestens eine reelle Nullstelle c oder aquivalent die Gleichung u ( x ) = 0 besitzt mindestens die reelle Losung c, d.h. u(c) = 0 falls die Funktionswerte u ( a ) und u ( b ) unterschiedliches Vorzeichen haben.

1^ Bis auf Spezialfdlle linearer Gleichungen und Polynomgleichungen (bis zum Grade 4), die wir im Abschn.21.2 bzw. 21.4 betrachten, existieren keine allgemeingliltigen endlichen Algorithmen, die alle Losungen einer beliebigen nichtlinearen Gleichung exakt bestimmen. Deshalb darf man hier von MATHCAD keine Wunder erwarten. • MATHCAD bietet folgende drei Moglichkeiten (siehe Beisp21.5a) zur exakten Losung einer nichtlinearen Gleichung der Form u(x) =0 Diese drei Moglichkeiten haben wir bereits bei Polynomgleichungen kennengelernt: L Anwendung des Mentis Symbolik: 1. Zuerst wird die Gleichung unter Verwendung des Operators iGleichheitsoperators)

0

21.6

Nichtlineare Gleichungen

335

aus der Operatorpalette Nr.6 in das Arbeitsblatt eingegeben, d.h. u(x)=0 Es geniigt auch, nur die Funktion u ( x ) einzugeben. 2. Danach wird eine Variable x in dem Funktionsausdmck u ( x ) mit einer Bearbeitungslinie markiert. 3. Die abschlielSende Eingabe der Menlifolge Symbolics => Variable => Solve (deutsch: Symbolik => Variable => Auflosen) lost die Rechnung aus. II. Anwendung des Schliisselworts solve: 1. Zuerst aktiviert man das Schltisselwort solve

(deutsch: auflosen)

durch Anklicken des Operators

solve

bzw.

auflosen

in der Operatorpalette Nr.9 Danach schreibt man in den erscheinenden Ausdruck

in den linken Platzhalter die zu losende Gleichung und in den rechten Platzhalter die Variable x (siehe Beisp.21.5a). Das Gleichheitszeichen in der Gleichung mulS unter Verwendung des Operators (Gleichheitsoperators)

aus der Operatorpalette Nr.6 oder der Tastenkombination eingegeben werden. Es ist auch moglich statt der Gleichung u ( x ) = 0 nur die Funktion u ( x ) (ohne Gleichheitszeichen) einzutragen. 3. Die abschlie£ende Betatigung der Eingabetaste [ L * Mittels des Schltisselwortes solve; x^ -h y"^ 4-3-x -i-y=0 cos(x) -t- e^=2

solve ,

X

.y.

->(0

0)

342

21

Gleichungen und Ungleichungen

1^ Die gerechneten Beispiele lassen erkennen, da/S MATHCAD Schwierigkeiten bekommen kann, sobald transzendente Gleichungen auftreten. • Wenn von MATHCAD keine exakte Losung eines Gleichungssystem gefunden wird, kann eine der folgenden Reaktionen auftreten: * Es erscheint die Meldung, dalS das Ergebnis MAPLE-spezifisch ist und ob es in die Zwischenablage gespeichert werden soil. Der Inhalt der Zwischenablage la£t sich anschlie£end auf die iibliche WINDOWS-Art in das Arbeitsblatt kopieren. Aus der in MAPLE-Syntax geschriebenen Anzeige kann man manchmal SchluJSfolgerungen auf die Losungen Ziehen. Haufig wird aber lediglich die zu losende Gleichung nochmals angezeigt. * Es erscheint die Meldung, da£ keine Losung erhalten wurde. * Die Rechnung wird nicht beendet. Ein Abbruch ist durch Drucken der Taste (Isc) moglich. •

21.7 Ungleichungen Betrachten wir eine Ungleichung der Gestalt u (x) < 0 bzw. Systeme von Ungleichungen der Gestalt Ui(Xi,X2 ,...,Xj,) < 0 U2(Xi,X2 , . . . , X n ) < 0

U^(Xi,X2 ,...,Xn) < 0

Die exakte und numerische Losung dieser Ungleichungen geschieht in MATHCAD analog zur Losung von Gleichungen. Man mu£ nur die Gleichungen durch die entsprechenden Ungleichungen ersetzen, wobei die Ungleichungen unter Verwendung der Operatoren (Ungleichungsoperatoren) oder aus der Operatorpalette Nr.6 in das Arbeitsblatt eingegeben werden. Es ist aber zu beachten, dafS MATHCAD keine exakte Losungen von Ungleichungen mittels given und find findet (siehe Beisp.21.8f)-

21.7

Ungleichungen

343

Wenn keine exakte Losung einer Ungleichung gefunden wurde, reagiert MATHCAD analog wie bei Gleichungen. Dieser Fall tritt haufig auf, da fiir die Losung allgemeiner nichtlinearer Ungleichungen ebenfalls kein endlicher Losungsalgorithmus existiert. Man kann in diesem Fall die numerischen Methoden von MATHCAD zur naherungsweisen Losung von Gleichungen heranziehen (siehe Abschn. 21.8). Des weiteren kann man bei einer Ungleichung die Funktion u ( x ) grafisch darstellen (siehe Abschn.20.2), um Aussagen liber Losungen zu erhalten. Betrachten wir die Problematik bei der Losung von Ungleichungen im folgenden Beispiel. Beispiel 21.8: Die folgenden Ungleichungen werden mittels der Meniifolge Symbolics => Variable => Solve (deutsch: Synabolik => Variable => Auflosen) bzw. des Schliisselwortes (deutsch: auflosen )

solve gelost. a) Die Ungleichung

x
0

2

2

has solution(s) 2

2

x^ - 9-x -h 2 >0 solve , x 2

2

2 ^ 2 ^

wird mit beiden Methoden problemlos gelost. Die grafische Darstellung bestatigt das erhaltene Ergebnis:

21

344

Gleichungen und Ungleichungen

x : = - 1 , - 0 . 9 9 9 ..10

x ^ - 9-x-i-2 -10

-20

b) Die folgende Ungleichung wird mit beiden Methoden gelost: -3 x ~ l | - h | x - f - l |>3

hassolution(s) — <x 2 ^x

| x - l

| - i - | x - | - l |>3 solve , X •

-3

X^i.

Die grafische Darstellung bestatigt dies: x : = - 3 , - 2 . 9 9 9 ..3

I X- 1

IH-I

x-l-l 1-3

0

-3

c) Die folgende Ungleichung wird mit beiden Methoden gelost:

21.7

Ungleichungen

345

r

^ 3

^

X
0 hinzufugen, so dalS ein Ungleichungssystem zu losen ist. Versuchen wir die exakte Losung mittels * given und find given

X +7

=17

3E:>0

y

> 0

fiiidC^^yS-^

Illegal constraint. * des Schliisselworts solve: x2-.y2=:3 " solve,

X 1

^ ( 2 1 )

x>0 y>0 Hier wird der Fakt bestatigt, daiS mit given und find Ungleichungen nicht exakt losbar sind. Man kann diese nur zur numerischen Berechnung heranziehen, wie im Beisp.21.10g illustriert wird. • Da far die Losung von Ungleichungen die NuUstellen der Funktionen benotigt w^erden, treten bei der Losung von Ungleichungen die gleichen Probleme wie bei Gleichungen auf. Man sieht dies am Beisp.21.8e, das von MATHCAD nicht gelost wird.

21.8

Numerische Losungsmethoden

347

21.8 Numerische Losungsmethoden Bei vielen praktischen Aufgabenstellungen stellen numerische Methoden die einzige Moglichkeit dar, um Naherungslosungen fiir nichtlineare Gleichungen zu erhaken Obwohl fiir lineare Gleichungen endliche Losungsalgorithmen existieren, besitzt MATHCAD zur Losung eines linearen Gleichungssystems (siehe Abschn.21.2) A x = b mit quadratischer, regularer Koeffizientenmatrix A die vordefinierte Numerikfunktion Isolve ( A , b )

(deutsch: llosen ( A , b ))

die als Ergebnis einen Losungsvektor liefert, wenn man das numerische Gleichheitszeichen = eingibt. Beispiel 21.9: Wenden wir die vordefinierte Numerikfunktion Isolve auf das lineare Gleichungssystem Xi + 3 - X 2 + 3 ' X 3 = 2 Xj + 3 - X 2 + 4 - X 3 = 1 Xj + 4 - X 2 + 3 - X 3 = 4

aus Beisp.21.2a an:

((I Isolvelll

3 3^ (2\\ 3 4 ,1 1

1 4 i]

y\-

v4..

2 .-1

Ubersichtlicher gestaltet sich die Rechnung, wenn man der Koeffizientenmatrix und dem Vektor der rechten Seiten die Namen A bzw. b zuweist: ^l 3 3' A := 1 3 4 ,1 4 3, •

r-i

(2" b :=

1

k

Isolve (A, b) =

2 eingegeben werden.

Gleichheitszei-

Damit ergibt sich folgende Vorgehensweise, d.h., der Losungsblock hat fur die numerische Losung von Gleichungssystemen folgende Gestalt: Zuweisung von Startwerten an alle Variablen

350

21

Gleichungen und Ungleichungen

given Eingabe der Gleichungen £ i n d ( x i , X2 , ... , Xn) =

isr MATHCAD verwendet zur numerischen Losung mittels given und find automatisch eine Methode aus den drei Naherungsmethoden LevenbergMarquardt, Quasi-Newton und konjugierte Gradienten. Durch Mausklick mit der rechten Taste auf Bnd kann man in dem erscheinenden Pop-upMenii die anzuwendende Methode selbst auswahlen. Bei der Anwendung von given und find zur numerischen Losung konnen neben Gleichungen auch Ungleichungen auftreten (siehe Beisp. 21.10g). • Wenn ein Gleichungssystem keine Losungen besitzt, kann die vordefinierte Numerikfunktion minerr (x^ , X2 , ... , x^^)

(deutsch: MinfehlCx^ , X2 , ... , Xj^))

anstatt von find (deutsch: Suchen) angewandt werden. minerr minimiert die Quadratsumme aus den linken Seiten der Gleichungen des gegebenen Systems, d.h. m

Q

X u . ( Xi , X2 ,..., Xn ) -^ Minimum i=l

Xi,X2,—,Xn

und bestimmt damit eine Losung im verallgemeinerten Sinne (siehe Beisp.21.100. Im Falle der Losbarkeit des Gleichungssystems liefert minerr eine Losung, wie man sich leicht iiberlegt.

1^ Die gegebenen Numerikfunktionen liefern im Falle der Konvergenz nach Eingabe des numerischen Gleichheitszeichens = einen berechneten Losungsvektor. Statt Eingabe dieses Gleichheitszeichens kann man das berechnete Ergebnis auch einem Losungsvektor 2 zuweisen, z.B. 2 := root ( u(x) , x ) bzw. 2 := polyroots ( a ) bzw. 2 :=find(xi , X2 , ... , x^,)

21.8

Numerische Losungsmethoden

351

bzw. 2 := minerr (Xj , X2 , ... , x^^) • Betrachten wir die Wirkungsweise der Numerikfunktionen von MATHCAD im folgenden Beispiel. Beispiel 21.10: a) Wir versuchen, Nullstellen der Funktion u ( x ) = 2-x + | x - l | - | x + l | durch Zuweisung verschiedener Startwerte numerisch zu berechnen, da MATHCAD nur eine exakte Losung 1 erhak. Fiir diese Funktion sind jedoch alle x-Werte aus dem Intervall [-1,1] Nullstellen, wie die folgende Grafik zeigt: x : = - 2 , - 1 . 9 9 9 ..2

2-x + l X - 1 l - l x-f-1

-2

Beginnen wir mit dem Startwert 0: MATHCAD erhalt mittels *

root: x:= 0

root(2 -x - | - | x - l | - | x - f l | , x ) = l -10'- 3 * given und find: x:=0 given

2.X + I X - 1 l - l x-t-1 1=0 find(x) = 0

21

352

•

Gleichungen und Ungleichungen

Flir Startwerte ungleich Null werden auch Nullstellen berechnet, z.B. mit root: X :=-2

root(2 -x - | - | x - l | - | x - | - l | , x ) = - l x:= 2 root(2 -x 4 . | x - l | - | x 4 - l | , x ) = l b) Flir die Polynomgleichung (siehe Beisp.21.4c) x^ - x ^ + x^ - 1 = 0 wird von MATHCAD keine exakte Losung erhalten. Die vordefinierte Numerikfunktion polyroots liefert sechs komplexe Losungen und eine reelle Losung 1. Zur Berechnung des Koeffizientenvektors a verwenden wir das Schllisselwort coeffs: . X 7 6 . 2 u ( x ) := X - X + X

-1

f-O

a := u ( x ) coeffs , x ->

0

( -0.791 + 0.301i ^

1

-0.791 -0.301i

0

-0.155 - 1.038i

0

polyroots (a) =

-0.155 + 1.038i

0

0.945 - 0 . 6 l 2 i

-1

0.945 + 0.6l2i

I 1)

I

1

J

c) Fiir die Gleichung e"" + Inx = 0 wird im Beisp.21.5e von MATHCAD keine exakte Losung berechnet. Die vordefinierte Numerikfunktion root berechnet mit verschiedenen Startwerten einen Naherungswert fur die Losung: X := 1

root(e^ -h ln(x) , x) = 0.2698744 bzw. X := 0.1

root(e^ +. ln(x) , x) = 0.2698328

21.8

Numerische Losungsmethoden

353

d) Im Beisp.21.7c werden von MATHCAD bei exakter Rechnung keine reellen Losungen erhalten, auch nicht (0,0). Numerisch liefern given und find fiir die Startwerte (2,5):

given sin(x) -j- e^=l 2-cos(x) -t- ln(y -f- 1) = 2 find(x,y) = d.h. die reelle Losung (0,0). e) Betrachten wir die Wirkungsweise der vordefinierten Numerikfunktion root bei der Vorgabe von reellen bzw. komplexen Startwerten am Beispiel von quadratischen Gleichungen: el) Fiir die quadratische Gleichung x^ - 2 - x + 2 = 0

die die komplexen Losungen 1 - i und 1 + i besitzt, liefert die numerische Losung mittels root: * Bei Vorgabe reeller Startwerte: die Losung 1 + i * Bei Vorgabe komplexer Startwerte, z.B. X •= i

root(x - 2 - x + 2 , x ) = l + i bzw. X := - i

root(x

-2-x-h2,x)=l~i

jeweils eine komplexe Losung. e2) Fiir die quadratische Gleichung x^ - 3 - x + 2 = 0

die die reellen Losungen 1 und 2 besitzt, liefert die numerische Losung mittels root:

354

21

Gleichungen und Ungleichungen

* Bei Vorgabe reeller Startwerte, z.B. x:= 5 root(x^ - 3-x -f- 2 , x) = 2 bzw. X := - 1

root(x^ - 3-x 4- 2 , x ) = 1 * Bei Vorgabe komplexer Startwerte, z.B. X := - i

root(x^ - 3-x -h 2 , x ) = 1 Die Beispiele zeigen, da£ es vorteilhaft ist, bei der Suche reeller bzw. komplexer Losungen mittels root reelle bzw. komplexe Startwerte zu benutzen. Die quadratischen Polynome dienen in diesem Beispiel nur zu Demonstrationszwecken. Die numerische Losung von Polynomgleichungen wird man zuerst mit polyroots versuchen, da hierfur keine Startwerte erforderlich sind. Fiir unsere beiden Beispiele bedeutet dies U -yW polyroots

-2

= (!+l!j

p°iy-H -3 =(2] Vv " J J

0 Betrachten wir ein uberbestimmtes Gleichungssystem (ohne Losung), indem wir zum Gleichungssystem aus Beisp.21.6a eine weitere (widersprechende) Gleichung hinzufiigen und bestimmen eine verallgemeinerte Losung mittels minerr : X := 2 y ;= 1 given y^=3 xVy^=17 X -h y = 5 minerr (x , y) =

1.976

1.17 Die erhaltene verallgemeinerte Losung

X = 1.976 y = 1.17 kann naturlich nicht die drei Gleichungen erfullen, sondern sie liefert ein Minimum der Quadratsumme

21.8

Numerische Losungsmethoden

f(x,y)

355

:= ( x 2 - y 2 _ 3 ) 2 + ( x 4 + y 4 _ i 7 ) 2 + ( x ^ y _ 5 ) 2

Man kann dies mit der vordefinierten Minimierungsfunktion minimise (siehe Kap.29) nachpriifen: 1.976 Minimize(f,x,y) = • 1.17 Ohne die dritte widersprechende Gleichung liefert minerr eine Losung des in Beisp.21.6a betrachteten Gleichungssystems: X := 0 y := 0 given X 2 - y 2 a: 32

X + y

a 17

minerr(x, y) =

•

g) Berechnen wir numerisch mittels given und find eine Losung flir das Ungleichungssystem aus Beisp.21.8f unter Verwendung des Startwertes (3,4):

given x^ - y2=3

xVy^=17 x>0

y>0

find(x,y) = r ] h) Berechnen wir numerisch mittels given und find die Losung fiir eine einfache Matrixgleichung, um die Vorgehensweise in MATHCAD zu illustrieren. Dazu bestimmen wir die Inverse der Koeffizientenmatrix A aus Beisp. 21.2a, indem wir die Matrixgleichung A

X=E

356

21

Gleichungen und Ungleichungen

numerisch losen, in der E fiir die Einheitsmatrix und X ftir die gesuchte inverse Matrix stehen. Ms Startwert fur X nehmen wir die NuUmatrix:

fl

1 3 3"^

0 0^

E := 0 1 0 0 1 V0

A := 1 3 4 1 4 3

X

[0 0 0\ 0 0 0 0 0 0 V

given AX=E f 7 find(X) =

-3

- 1 0 V-1

-3 ^ 1

1

0 y

•

Zusammenfassend kann zur numerischen Losung nichtlinearer Gleichungen und Ungleichungen mittels MATHCAD festgestellt werden, dalS sie nicht immer erfolgreich sein wird. Dies ist nicht anders zu erwarten, da man aus der numerischen Mathematik weil^, da£ die verwendeten Methoden nicht notv^endigerweise konvergieren, selbst wenn die Startwerte nahe bei einer Losung liegen. Des weiteren konnen Rundungs- und Abbruchfehler eine berechnete Losung verfalschen. Die Beispiele lassen erkennen, da£ es vorteilhaft ist, ein Gleichungssystem fiir verschiedene Startwerte numerisch zu losen. Des weiteren sollte ein gegebenes Gleichungssystem mit den verschiedenen in MATHCAD enthaltenen numerischen Methoden gelost und die Ergebnisse verglichen werden. Zusatzlich wird noch empfohlen, mit den von MATHCAD berechneten Losungen eine Probe durchzuflihren.

22 Differentialrechnung

22.1 Einfuhrung MATHCAD liefert fiir die Differentialrechnung wirkungsvoUe Hilfsmittel und befreit von langwierigen Rechnungen per Hand, wie wir im folgenden sehen: * Im Abschn.22.2 besclireiben wir die Vorgehensweise bei der Berechnung von Ableitungen mittels MATHCAD. * Anschlie£end werden in den Abschn.22.3-22.6 wichtige Anwendungen der Differentialrechnung behandelt, die ebenfalls mittels MATHCAD realisierbar sind.

22.2 Ableitungen Wie bereits in der Einleitung erwahnt, lal^t sich fur die Berechnung von Ableitungen differenzierbarer Funktionen, die sich aus Elementarfunktionen zusammensetzen, ein endlicher Algorithmus angeben, so dalS alle Computeralgebrasysteme und damit auch MATHCAD diese Funktionen ohne Miihe exakt (symbolisch) differenzieren konnen. MATHCAD berechnet * partielle Ableitungen beliebiger Ordnung

= iL "^

3x1 ' '^'^

a'f

=i!L 3xi' '

'^'^

3xi3x2

' '••

fiir Funktionen 1 (^ X | , X 2 , ... , Xj^ )

von n Variablen Xi,X2,.--,Xj^

und als Spezialfalle * Ableitungen heliehiger Ordnung (m = 1, 2, ... ) f ' ( x ) , f"(x) ,..., f^^'^x)

358

22

Differentialrechnung

fur Funktionen f(x) einer Variablen X

* partielle Ableitungen beliebiger Ordnung

" " ax ' ^

ax^ ' ^" axay'"'

fur Funktionen f(x,y) von zwei Variablen x,y

Fiir die exakte (symbolische) Berechnung von Ableitungen Funktionen

differenzierbarer

r Cx^, X 2 , . . . , Xj^ j

von n Variablen stellt MATHCAD folgende drei Vorgehensweisen zur Verfiigung; I. Fine Variable, bzgl. der differenziert werden soil, wird im Funktionsausdruck mit einer Bearbeitungslinie markiert. AnschlieBend ist die Menlifolge Symbolics => Variable =^ Differentiate (deutsch: Symbolik => Variable => Differenzieren) zu aktivieren. Als Ergebnis erhalt man die erste Ableitung der Funktion nach der markierten Variablen. Mochte man hiermit eine hohere Ableitung berechnen, so mul^ die beschriebene Vorgehensweise wiederholt ausgefiihrt werden. II. Die erste Ableitung einer Funktion nach einer Variablen wird geliefert, wenn man den Operator iDifferentiationsoperator) i

fur Ableitungen erster Ordnung aus der Operatorpalette Nr.5

durch Mausklick aktiviert und in dem erscheinenden Ausdruck d — • d.

22.2

Ableitungen

359

die beiden Platzhalter wie folgt ausfiillt — rCX|,X2,...,Xj^ j dXi

wenn man die Funktion f(xi,X2,...,Xn) nach der Variablen x^ differenzieren mochte. Benotigt man eine hohere Ableitung, so ist der Differentiationsoperator entsprechend oft zu schachteln (siehe Beisp.22.1d2). III. Unter Verwendung des Operators

(Differentiationsoperators)

Jx«

aus der Operatorpalette Nr.5 lassen sich Ableitungen beliebiger (m-ter) Ordnung (m = 1, 2, 3, ...) einer Funktion direkt berechnen, indem man die Platzhalter des erscheinenden Ausdrucks d" d.i

folgendermaEen ausfiillt d^ dxj m

f(Xi,X2,.-.,Xn)

wenn man die Funktion f(xi,X2,...,Xn) nach der Variablen x^ m-mal differenzieren mochte. Bei gemischten Ableitungen hoherer Ordnung mulS dieser Operator geschachtelt werden (siehe Beisp.22.1)2). Bei den Methoden II. und III. wird die exakte Berechnung nach Markierung des gesamten Ausdrucks mit einer Bearbeitungslinie durch eine der folgenden Aktivitaten ausgelost: * Aktivierung der Meniifolge Symbolics => Evaluate => Symbolically (deutsch: SymboHk => Auswerten => Symbolisch) * Aktivierung der Meniifolge Symbolics =^ Simplify (deutsch: Sym^bolik => Vereinfachen) * Eingabe des symbolischen Gleichheitszeichens -> und abschlielSende Betatigung der Eingabetaste [ ^ , falls man sich im Automatikmodus befindet. Diese Vorgehensweise ist universell einsetzbar und wird deshalb fur die Anwendung empfohlen.

360

22

Differentialrechnung

Bei der Verwendung des symbolischen Gleichheitszeichens kann man das mittels eines Differentiationsoperators berechnete Ergebnis auch mittels g(xi,X2,...,x„):=

d"" — f(xi,X2,...,Xn) - > . . . dXi"'

einer Funktion g(x-^,X2,.--,x^) zuweisen, die dann flir weitere Rechnungen zur VerfQgung steht. Falls das Ergebnis nicht angezeigt werden soil, geniigt die Zuweisung (siehe Beisp22.1b und f2) g(xi,X2,...,Xn):=

d"" — f(xi,X2,...,Xn) dxi

Zur Berechnung von Ableitungen mittels MATHCAD ist folgendes zu bemerken: •

Die Methoden I. und II. sind nur zu empfehlen, wenn man Ableitungen erster Ordnung bestimmen mochte.

•

Die Methode III. ist vorzuziehen, wenn man hohere Ableitungen benotigt. Bei gemischten partiellen Ableitungen sind die Differentialoperatoren aus II. bzw. III. entsprechend zu schachteln, wie wir im Beisp.22.1j2 illustrieren.

•

Bei der numerischen Berechnung von Ableitungen (numerische Differentiation) flir einzelne Werte der Variablen sind ebenfalls die Differentiationsoperatoren aus den Methoden II. und III. anzuwenden. Es mu£ nur vorher eine Zuweisung der entsprechenden Werte an die Variablen erfolgen. Die abschlie£ende Eingabe des numerischen Gleichheitszeichens = liefert das Ergebnis (siehe Beisp.22.1e). MATHCAD besitzt allerdings den Nachteil, da£ numerisch nur Ableitungen bis zur fiinften Ordnung berechnet werden. Wie man sich bei hoheren Ableitungen helfen kann, sehen wir im Beisp.22.1f.

•

Obwohl MATHCAD vektororientiert ist, kann es weder Vektoren noch Matrizen differenzieren. Dies gelingt nur komponenten- bzw. elementweise, wie im Beisp.22.1k illustriert wird. • Beispiel 22.1: a) Differenzieren wir die Funktion arcsin

nach der Methode L:

l^l + xj asin

by differentiation, yields 1 -hx

22.2

Ableitungen

361

(H-x) 1 -

(l4.x)2

(1-hx)'

Dieses Ergebnis vereinfacht MATHCAD mit der im Abschn.l6.2 gegebenen Moglichkeit noch etwas: simplifies to

(1 + x)

^

1-

^

(n.x)2

I(lt2-x)

•(1 + x)2

N(i- f x ) ^

(1+xy 1

Die weitere Vereinfachung zu

Vl + 2-x • (l + x)

wird von MATHCAD

nicht erkannt. b) Differenzieren wir die Funktion x'^ nach * Methode I. 2

X

(2)

by differentiation, yields

x^ ^ •(2-x-ln(x)-h x)

* Methode II. Die Anwendung des Differentiationsoperators gestaltet sich wie folgt und liefert das Ergebnis: — x"" -^ x"" • ( 2 - x - l n ( x ) + x ) dx Mochte man das von MATHCAD berechnete Ergebnis der Differentiation, d.h. die berechnete Ableitung, einer neuen Funktion g ( X ) zuweisen, so kann dies folgendermalSen geschehen: * Mit Angabe des Ergebnisses unter Verwendung des symbolischen Gleichheitszeichens d x^ x^ g(x) :=—X -> X •(2-x-ln(x) + x) dx *

Ohne Angabe des Ergebnisses

g(x):=—X^ dx Bei beiden Vorgehensweisen kann man sich jederzeit die Funktion g ( x ) im Arbeitsblatt unter Verwendung des symbolischen Gleichheitszeichens anzeigen lassen:

362

22

Differentialrechnung

g(x) ^ x ^ •(2.x.ln(x) + x) c) Falls man die Quotientenregel zur Differentiation der Funktion y(x) = — 8(x) vergessen hat, so liefert sie uns MATHCAD mittels Methode I.: — f(x) —^ g(x)

by differentiation, yields g(x)

; g(x)^

g(x) dx

und nach Vereinfachung mit der im Abschn.l6.2 gegebenen Moglichkeit

simplifies to

^ f ( x ) VgCx) - f ( x ) - ^ g ( x ) dx / dx g(x)^

Die Methode 11. liefert ebenfalls das Ergebnis: ^f(x) . dx -^ dxg(x) g(x)

d

f(x)

f(x)

d

. . gCx)

g(x)2 d x

d) Berechnen wir eine fiinfte Ableitung dl)durch Anwendung des Differentiationsoperators aus Methode III.: d^

, .. 2. ^ x-ln(l -H x^) ->

dx5

720 2 l^l^-x^ (1-HxV

60 .,,^ x^ . ^^^ X —— - 1440. -H 768 (H-xV (1-HxV (H-x')^

d2)durch funffaches Schachteln des Differentiationsoperators aus Methode 11.: d d d d d dxdxdxdxdx

, ,. 2, ^ x-ln(l -h x ) ^

720 (1-hxT

2 --x

60

./.x^ ^_._ x^ - 1440J -h 768(l + x V (1-t-x^) ( l + x^)

Man sieht, dalS sich die Schachtelung des Differentiationsoperators fiir Ableitungen erster Ordnung in Beisp.d2 aufwendiger gestaltet als die Anwendung des Differentiationsoperators fiir Ableitungen beliebiger Ordnung in Beisp.dl, so da£ der Differentiationsoperator fiir Ableitungen erster Ordnung nur bei Ableitungen erster Ordnung zu empfehlen ist. e) Berechnen wir die Ableitung fiinfter Ordnung der Funktion aus Beisp.d numerisch fur den Wert x=3:

22.2

Ableitungen

363

X := 3

^ x l n ( l i-x^) =-0.185 dx5 0 Berechnen wir eine Ableitung sechster Ordnung mittels des Differentiationsoperators aus Methode III: *

exakt 720

dx6 1-x

(l-x)^

* numerisch flir x:=2 Es miiEte das Ergebnis -720 erscheinen. Man erhalt aber die Anzeige: x:=2

6^

1

= ••

d ^ l - This number must be between 0 and 5.

da MATHCAD Ableitungen numerisch nur bis zur fanften Ordnung berechnen kann. Man kann sich in diesem Fall auf zwei verschiedene Arten helfen: fl) Schachtelung des Differentiationsoperators: X := 2

d^ d^ dx3 dx3

= -720

1-x

f2) Zuweisung der Ableitung sechster Ordnung an eine neue Funktion g ( x ) und anschlie^ende Berechnung ihres Funktionswertes fiir den gewlinschten x-Wert: g(x):= oder

d°

1

dx^^

1-x

364

22

Differentialrechnung

720

g ( x ) :=

dx6 1 -

X

(1-x)^

gC2) = -720 g) Definierte Funktionen, wie 2.B. f(x) := sin(x) + ln(x) + x + 1 lassen sich mit dem symbolischen Gleichheitszeichen -^ differenzieren, wahrend die anderen Methoden nicht funktionierem f(x) := sin(x) + ln(x) + x + 1 — f(x)-^cos(x) + — + 1 dx

X

h) Betrachten wir das Verhalten von MATHCAD, wenn man versucht, eine Funktion zu differenzieren, die nicht in alien Punkten des Definitionsbereichs differenzierbar ist. Wir nehmen die Funktion f(x) := | x | deren Ableitung die Form f'(x) = .

1

wenn 0 < x

- 1 wenn 0 > x hat und die im Nullpunkt nicht differenzierbar ist. Fiir die numerische Differentiation im Nullpunkt x=0 liefert MATHCAD das falsche Ergebnis x:=0

^f(x) = 0 dx Bei exakter Berechnung liefert MATHCAD das Ergebnis —f(x) -> abs(l ,x) dx das MATHCAD nicht weiter erlautert. i) Betrachten wir eine differenzierbare Funktion, die sich aus verschiedenen analytischen Ausdriicken zusammensetzt: 1

wenn x < 0

0 mit

f(x) x^ + 1 wenn x > 0

wenn x < 0

f'(x) =

[2x 12 • x

wenn x > 0

22.2

Ableitungen

365

Diese Funktion kann man in MATHCAD mit dem if-Befehl definieren (siehe Abschn.13.5 und 19.3.3): * Verwendung der if-Funktion f ( x ) : = i f ( x < 0 , 1 , x^ + 1 ) * Verwendung des if-Operators aus der Operatorpalette Nr.7 f(x) :=

1 if x < 0 x^ -h 1 if x> 0

Flir so definierte Funktionen berechnet MATHCAD Ableitungen analog wie Integrale nicht exakt (symbolisch) sondern nur numerisch, wie im folgenden 2u sehen ist:

j) Die Berechnung partieller Ableitungen geschieht analog zu Ableitungen von Funktionen einer Variablen, wie die folgenden Beispiele zeigen. Der einzige Unterschied besteht darin, dalS bei gemischten Ableitungen die Differentiationsoperatoren aus den Methoden 11. bzw. III. zu schachteln sind: jl) Bei der exakten Berechnung partieller Ableitungen nach einer Variablen von Funktionen mehrerer Variablen besteht keinerlei Unterschied zu Funktionen einer Variablen, wie im folgenden zu sehen ist: 8

8 gX-y ^ y 8 . e x p ( x - y )

dx8

.x-y -^

^8.

X -expCx-y)

dy

j2) Die exakte Berechnung einer gemischten partiellen Ableitung hoherer Ordnung ist durch Schachtelung des Differentiationsoperators aus Methode III. moglich: d2

d3

gX-y -^ 6-x-exp(x-y) -h 6-x -y-expCx-y) -t-x^-y -expCx-y)

d x^ d y 3 j3) Berechnen wir die Ableitung aus Beisp.j2 an der Stelle x=2 und y=l numerisch:

366

22

y:=l

X := 2

d2

Differentialrechnung

d3

e^->^ = 325.118

d x^ d y3 j4) Wenn bei numerischen Berechnungen partielle Ableitungen ab der Ordnung 6 auftreten , so gilt das im Beisp.f gesagte, wie wir im folgenden illustrieren: Die Berechnung mittels X := 2 y:= 1

= I •

This number must he between D and 5.

funktioniert nicht, wahrend sie mit folgenden Kunstgriffen erfolgreich ist: y:=l

x:= 2

d l _di ^x.y dv3

945.794

dv^

o d e r durch Zuweisung an eine neue Funktion: g ( x , y ) :=

,x -y

dy^

oder g ( x , y ) :=

e''*^-> x^-exp(x-y) dy7

g ( 2 , l ) =945.799 k) MATHCAD kann keine Vektoren oder Matrizen differenzieren. Dies geht nur komponenten- bzw. elementweise, wie im folgenden illustriert wird: V(X):=

sin (x)

A(X)::

X

sin (x)

ln(x)

Die Differentiation des von x abhangigen Vektors v(x) bzw. der Matrix A(x) ist mit MATHCAD nicht moglich. Es wird eine Fehlermeldung ausgegeben:

22.2

Ableitungen

^

367

r ^ -^

AC^i' -^ d-x.

No symbolic result was found.

No symbolic result was found.

Die Differentiation gelingt nur komponenten- bzw. elementweise, wie 2.B.: * bzgl. der zweiten Komponente des Vektors v(x) —v(x)2 -> cos(x) dx * bzgl. des Elements der ersten Zeile und zweiten Spalte der Matrix A(x) —A(x) 1, 2 -> cos(x) dx oder bei Vektoren zusatzlich durch Definition des Index als Bereichsvariable i := 1 .. 2 dx

v(x)i ->

^

/ cos(x)

Flir Matrizen liefert MATHCAD bei dieser Vorgehensweise als Ergebnis keine Matrix, sondern die Spalten der Ergebnismatrix werden untereinander zu einem Ergebnisvektor zusammengefaEt, wie im folgenden zu sehen ist: 1..2

k : = l ..2 1

- - A ( x ) i , k -> dx

X

cos(x) \^ exp (x)

• MATHCAD arbeitet bei der Differentiation effektiv, wie die gegebenen Beispiele zeigen. Es befreit bei der Differentiation komplizierter Funktionen von der oft muhsamen Rechnung per Hand und liefert das Ergebnis in Sekundenschnelle. Man mu£ allerdings vor einer Differentiation nachpriifen, ob die Funktion differenzierbar ist, da dies MATHCAD nicht immer erkennt (siehe Beisp.22.1h).

368

22

Differentialrechnung

Aus den Beisp.22.1b, f2 und j4 ist ersichtlich, wie man das Ergebnis einer Differentiation einer Funktion zuweisen kann. •

22.3 Taylorentwicklung Nach dem Satz von Taylor besitzt eine Funktion f(x) die in der Umgebung ( r > 0 ) (xo-r,Xo+r) eines Entwicklungspunktes (x-Wertes) Xo

stetige Ableitungen bis einschlie£lich (n+l)-ter Ordnung hat, die Darstellung ^Taylorentwicklung)

f(x) = £ ^ ^ ( x - X o ) ' ' + R „ ( x ) wobei das Restglied Rn(x) in der Form von Lagrange (0<Sl-x~

+ — • x + —7—x + 6 360 15120

x

22.4 Fehlerrechnung Da bei praktischen Untersuchungen die benotigten GroEen in vielen Fallen durch Messungen gewonnen werden, tritt das Problem der MeJSfehler auf. Mit den Mitteln der Differentialrechnung lassen sich die Auswirkungen dieser MeJSfehler abschatzen, wenn die gemessenen GroEen die unabhangigen Variablen eines funktionalen Zusammenhangs darstellen, d.h., die gemessenen GroJSen xj sind die unabhangigen Variablen einer vorliegenden Funktion Z = f(Xi,X2,...,Xn)

Fiir den Anwender stellt sich die Frage, wie sich die Me£fehler in den Xj auf den liber den funktionalen Zusammenhang f (xi,X2,.--,x^) (z.B. physikalisches Gesetz) berechneten Funktionswert z auswirken. Betrachten wir die Problematik an einem einfachen Beispiel. Beispiel 22.3: Bekanntlich berechnet sich das Volumen V einer Kiste mit der Breite b, Hohe h und Lange 1 aus V = V ( b, h, 1 ) = b . h • 1 d.h., das Volumen V ist eine Funktion der drei Variablen b, h und 1. Mochte man das Volumen einer vorhandenen Kiste durch Messung von Lange, Breite und Hohe bestimmen, so sind diese mit Me£fehlern behaftet und folglich ergibt die Berechnung durch die gegebene Formel einen fehlerhaften Wert fiir das Volumen V.

22.4

Fehlerrechnung

375

Da sich flir die Mef^fehler Schranken angeben lassen, ist man daran interessiert, auch fiir das berechnete Volumen V eine Fehlerschranke zu erhalten. • Das gegebene Beispiel lalSt bereits die zu losende Aufgabe erkennen: Wie wirkt sich ein Fehler (Anderung) Axj in der Variablen Xj, d.h. die durch fehlerbehaftete Messung fur Xj erhaltene Naherung x^ : Xj = Xj + Axj

(vektoriell: x = x + A x )

auf den daraus resukierenden Fehler (Anderung) Az der Funktion z = f(xi,X2,...,x„) aus, d.h., welche Genauigkeit hat der erhaltene Naherungswert z = z + A z = f (xj + Axi,X2 + Ax2,...,x„ + Ax„) = f (xi,X2,...,Xn) Da man fur die MeEfehler Axj i.allg. nicht den exakten Wert kennt, sondern nur Schranken fur den absoluten Fehler la£t sich fur den erhaltenen Naherungswert 2 = Z + Az ebenfalls nur eine Schranke fiir den absoluten Fehler angeben: |Az| < 5 Fiir die Berechnung einer derartigen Schranke kann man die Taylorentwicklung erster Ordnung mit Vernachlassigung des Restgliedes auf Az = f ( X i + A X i , X 2 + A X 2 , . . . , X n + ^ n ) "

^ ^^l ' X 2 , . . . , Xj,)

= f(x)-f(x) anwenden und erhalt die Ndherungsformel |Az|

af

S|^(x)-Ax, ^E a . ^^ i=i 3xi I /-IV

I

6, «5

mit deren Hilfe sich eine Naherung fiir die Schranke 5 des absoluten Fehlers von z berechnen lalSt. Eine Schranke fiir den relativen Fehler

N z erhalt man problemlos aus dieser Formel. Im folgenden geben wir Beispiele zur Berechnung des absoluten Fehlers fiir Funktionen von zwei Variablen (Beisp.22.4a) bzw. drei Variablen (Beisp.22.4b). Diese beiden Beispiele kann man als allgemeine Vorlagen verwenden, da wir den Fehler als Funktion

376

22

Differentialrechnung

abs_Fehler definieren, so da£ man bei konkreten Aufgaben nur die Argumente beim Funktionsaufruf entsprechend einsetzen und den betrachteten funktionalen Zusammenhang neu definieren mu£. Beispiel 22.4: a) Berechnen wir eine obere Schranken fiir den absoluten Fehler bei der Bestimmung des elektrischen Widerstandes R mittels des Ohmschen Gesetzes, wobei Spannung U und Stromstarke I durch (fehlerbehaftete) Messungen bestimmt werden: * Zuerst definieren wir die Funktion, fiir die der Fehler zu berechnen ist. In unserem Beispiel ergibt sich aus dem Ohmschen Gesetz fiir den Widerstand R als Funktion von U und I folgende Funktionsdefinition: R(I,U)

- J

* AnschlielSend definieren wir eine Schranke fiir den absoluten Fehler einer beliebigen Funktion f(xi,X2) zweier Variablen mittels der Funktion abs Fehler: abs _ Fehler ( f, Xj , X2, 5 i , 82 ) : =

f(Xi,X2)

dx^

5i +

dx2

f(Xi,X2)

•82

* Abschlie£end berechnen wir mittels der definierten Funktion abs_Fehler eine Schranke fiir die Funktion R(I,U) fiir folgende Zahlenwerte, wobei wir Ma£einheiten weglassen: 1=20 , U=100 , 61 = 51 = 0.02 , 82 = 6U = 0.01: abs_Fehler(R, 20 , 100 , 0.02 , 0.01) = 5.5•lO'"^

•

b) Berechnen wir eine obere Schranke fiir den absoluten Fehler des Volumens V= b-h-l einer Kiste, wenn die obere Schranke 5=0.001m der MeEfehler fiir Breite b=10m, Hohe h=5m und Lange 1=15m bekannt ist, wobei wir als Ma£einheit Meter (m) nehmen.

22.5 Grenzwerte

377

Wir verwenden die gleiche Vorgehensweise wie im Beisp.a, indem wir fiir eine beliebige Funktion dreier Variablen mittels der definierten Funktion abs_Fehler eine Fehlerschranke fiir den absoluten Fehler berechnen: V ( b , h , l ) :=b-h.l abs_Fehlei(f ,Xi ,X2 ,x^ ,8^ ,82 ,83 ) : =

1(^X2, X2 , X3 ) dxj

81 +

-—f(Xi,X2,X3)

dxo

82 +

dx.

r C X | ,X2 ,x^

)

•8=

abs_Fehlei(V, 10 -m, 5 -m, 15 -m, 0.001 -m, 0.001 -m, 0.001 -m) = 0.275 -m^ Bei beiden Beispielen empfiehlt sich fiir die indizierten wendung des Literalindex.

•

Variablen die An-

22.5 Grenzwerte Im folgenden berechnen wir Grenzwerte einer Funktion f ( x ) bzw. eines Ausdrucks A ( n ) an der Stelle x=a bzw. n=a, d.h. lim f ( x )

bzw.

X—>a

lim A ( n ) n—>a

Bei der Grenzwertberechnung konnen unbestimmte Ausdrilcke der Form 0

00

0

00

, o V ooo, r

auftreten. Fiir diese Falle la£t sich die Kegel von de VHospital unter gewissen Voraussetzungen anwenden. Diese Kegel mulS aber nicht in jedem Fall ein Ergebnis liefern. Deshalb ist nicht zu erwarten, dalS MATHCAD bei der Grenzwertberechnung immer erfolgreich ist. Mittels MATHCAD fiihrt man die exakte Berechnung eines Grenzwertes in folgenden Schritten durch: I. Zuerst wird mittels des Operators {Grenzwertoperators)

^a aus der Operatorpalette Nr.5 durch Mausklick folgendes Grenzwertsymbol an der durch den Kursor bestimmten Stelle im Arbeitsblatt erzeugt: lim

I

378

22

Differentialrechnung

dessen Platzhalter folgenderma£en auszufullen sind: lim f ( x )

bzw.

X—>a

lim A ( n ) n—>a

II. AbschlieBend markiert man den gesamten Ausdruck mit einer Bearbeitungslinie und fiihrt eine der folgenden Aktivitaten durch, um die exakte Berechnung auszulqsen: * Aktivierung der Meniifolge Symbolics => Evaluate => Symbolically (deutsch: Symbolik => Auswerten => Symbolisch) * Aktivierung der Meniifolge Sym^bolics => Simplify^ (deutsch: Symtbolik r^ Vereinfachen) * Eingabe des symbolischen Gleichheitszeichens -^ und abschlielSende Betatigung der Eingabetaste [ 3 , falls man sich im Automatikmodus befindet. Diese Methode ist universell einsetzbar und wird deshalb fur die Anwendung empfohlen. Zur Berechnung von Grenzwerten mittels MATHCAD ist folgendes zu bemerken: •

MATHCAD gestattet neben der Berechnung von Grenzwerten auch die Berechnung einseitiger (dh. linksseitiger oder rechtsseitiger) Grenzwerte mittels der beiden Operatoren (Grenzwertoperatoren) lim 1 •43*1 ii

111-11

bzw.

4r)

aus der Operatorpalette Nr.5 Die Berechnung von Grenzwerten mittels des numerischen Gleichheitszeichens = ist in MATHCAD nicht moglich. Ftir a kann in MATHCAD Unendlich mittels des Operators

aus der Operatorpalette Nr.5 in den entsprechenden Platzhalter eingetragen werden, so da£ auch Grenzwertberechnungen fur X - > 00

bzw.

n - > 00

moglich sind. Falls die Grenzwertberechnung versagt oder man das gelieferte Ergebnis uberpriifen mochte, empfiehlt es sich, f ( x ) bzw. A ( n ) von MATHCAD zeichnen zu lassen.

22.5

Grenzwerte

379

Im folgenden Beispiel berechnen wir eine Reihe von Grenzwerten, um die Anwendung von MATH CAD zu illustrieren. Beispiel 22.5: a) Links- und rechtsseitiger Grenzwert werden fur die folgende Funktion von MATHCAD berechnet: lim

^

-> 0

lim

l+e''

^

^ 2

1+e''

und man sieht, da£ beide verschieden sind, d.h., der Grenzwert existiert nicht, wie MATHCAD richtig erkennt: lim x-^ 0

2

"^ undefined

— 1 -fe^

b) Die folgenden Grenzwerte, die auf unbestimmte Ausdrucke fiihren, werden von MATHCAD problemlos berechnet bl) lim x^^'^^"^ x-> 0

->1

b2) lim

tan(x)^°^^"^

^ 1

xi-1^"-^^ (—L—) vx-1

^exp(2)

2

b3) lim X ^ ^ b4) ,. x-ln(x) ~ X -I- 1 ^ 1 lim "^ — x-^ I X'ln(x) - ln(x) 2 c) MATHCAD berechnet den Grenzwert lim X

^

i-^'^^o^^^ CO

^ 3

X

obwohl er nicht durch Anwendung der Kegel von de I'Hospital erhalten werden kann, sondern nur durch Umformung der Funktion in

380

22

Differentialrechnung

cos(x) X

und anschlieEender Abschatzung von cos(x) < 1 d) MATHCAD berechnet die folgenden beiden Grenzwerte, obwohl diese nicht mittels der Kegel von de I'Hospital berechenbar sind, wie man leicht nachprlifen kann. lim

5^ — - > 00

lini

X ~ ^ 00 4

4X —

-^0

X ~ ^ 00 5

e) MATHCAD berechnet auch Grenzwerte fiir Funktionen mit symbolischen Parametern, wie das folgende Beispiel zeigt: X- a

1

lim -> -— x->ax^-a2 2.a 0 Fur die Berechnung von Grenzwerten definierter Funktionen wird die Verwendung des symbolischen Gleichheitszeichens empfohlen: Fiir die definierte Funktion 2-x 4- sin(x) f(x) := x-|-3-ln(x-|- 1) berechnet MATHCAD mit dem symbolischen Gleichheitszeichen -^ den Grenzwert:

lim

f(x)

x ^ 0

^ 1 4

wahrend es mit den Meniifolgen Symbolics => Evaluate => Symbolically (deutsch: Symbolik => Aus^verten => Symibolisch) bzw. (deutsch: Symbolik =:> Vereinfachen)

Symibolics => Sim^plify

nur in der folgenden Form geschrieben wird: lim f(x) x ^ 0

yields

f(0)

bzw. lim f(x) x ^ 0

simplifies to

f(0)

22.6

Kurvendiskussion

381

Die Beispiele zeigen, daf^ MATHCAD bei der Berechnung von Grenzwerten effektiv arbeitet.

22.6 Kurvendiskussion Kurvendiskussionen (in der Ebene) dienen dazu, Eigenschaften einer analytisch gegebenen Funktion f ( x ) und die Form ihrer Funktionskurve zu bestimmen. Dazu dienen * Ermittlung des Definitions- und Wertebereichs * Untersuchung von Symmetrieeigenschaften * Bestimmung von Unstetigkeitsstellen (Polstellen, Sprungstellen,...) und Stetigkeitsintervallen * Untersuchung auf Differenzierbarkeit * Bestimmung von Schnittpunkten mit der x-Achse (Nullstellen) und der y-Achse * Bestimmung von Extremwerten (Minima und Maxima) * Bestimmung von Wendepunkten * Bestimmung von Monotonie- und Konvexitatsintervallen * Untersuchung des Verhaltens im Unendlichen (Bestimmung der Asymptoten) * Berechnung gewisser Funktionswerte Unter Verwendung der bereits behandeken Grafikeigenschaften von MATHCAD (siehe Abschn.20.2) la£t sich fur beliebige Funktionen f ( x ) die Funktionskurve zeichnen, aus der man Informationen liber die Eigenschaften von f (X) erhaken kann. Aus der Grafik lassen sich auch Startwerte fiir eventuell zu verwendende Naherungsmethoden entnehmen, z.B. zur Bestimmung von Nullstellen, Minima, Maxima und Wendepunkten, falls deren exakte (symbolische) Berechnung versagt. • Man sollte sich aber bei einer Kurvendiskussion nicht ausschlieJSlich auf die von MATHCAD gelieferte grafische Darstellung verlassen, sondern auch die aufgezahlten Eigenschaften analytisch unter Verwendung der von MATHCAD zur Verfiigung gestellten Moglichkeiten fiir die * Losung von Gleichungen (zur Bestimmung von Nullstellen, Extremwerten, Wendepunkten),

22

382

Differentialrechnung

* Differentiation (zur Bestimmung von Monotonie- und Konvexitatsintervallen, zur Aufstellung der Gleichungen fiir die Bestimmung von Extremwerten und Wendepunkten) untersuchen, da eine von MATHCAD gelieferte Grafik fehlerbehaftet sein kann. Dies zeigt sich im Beisp.22.6a fur den Quick Plot und bei zu grolS gewahker Schrittweite. lUustrieren wir die Durchfiihrung von Kurvendiskussionen mittels MATHCAD im folgenden Beispiel. Beispiel 22.6: Fur die im folgenden gegebenen Funktionen zeichnen wir zuerst die Kurven und untersuchen anschlielSend analytisch die Eigenschaften: a) Untersuchen wir die gebrochenrationale f(x)

Funktion

x +1 ^ +6-x^ +11-X + 6

fiir die MATHCAD im Intervall [-4, 4] durch Berechnung von Funktionswerten ( mit der Schrittweite 0.3 ) die folgende Funktionskurve zeichnet, indem die Funktionswerte durch Geradenstiicke verbunden werden (siehe Abschn.20.2):

a::=-4,-3.7..4 10

aH-1

II m

"*-^

a^+6-a:^+lli+6 -5 -10.

•4^-2-1

0

1 2 S

4

Diese Zeichnung ist ungenau bzw. falsch, da die Polstellen nicht ersichtlich sind. Dieser Effekt liegt hauptsachlich an der zu grolS gewahlten Schrittweite. Deshalb zeichnen wir die Funktion im Intervall [-4, 4] nochmals mit der kleineren Schrittweite 0.001 und erhalten folgende Funktionskurve:

22.6

Kurvendiskussion

383

x:=-4.-3.999..4

'mil

-

4-

vi

J

J

M ^

* * *

-

/\

nfrn X

Die letzte Abbildung zeigt die Funktionskurve in einer wesentlich besseren Form, wie die folgenden Untersuchungen zeigen, d.h., die Gestalt der Kurve wird wesentlich von der Wahl der Schrittweite fiir die Funktionswertberechnung beeinflu£t. Der Quick Plot liefert eine falsche Funktionskurve 3CH- 1

fC^d :=

3C^ + 6 3C^ 4- 1 1 3 E +

e

ffl

ftxi

-1

-10

10

Prlifen wir mittels analytischer Untersuchungen nach, ob die gezeichnete Kurve wirklich die gesuchte Funktionskurve darstellt: * Dazu bestimmen wir zuerst durch Faktorisierung (siehe Abschn.l6.6 und 21.4) die NuUstellen des Nennerpolynoms:

384

22

x^ -h 6 -x^ -h 11 -x -h 6

by factoring, yields

Differentialrechnung

(x -h 3) -(x -h 2) -(x -h 1)

Damit ist ersichtlich, dafS die gegebene Funktion in x = - 1 , - 2 und - 3 Unstetigkeiten besitzt. Mit dem Ergebnis der Faktorisierung kann man sie in folgender Form schreiben: x+1 (x + 3)(x + 2)(x + l)

f(x) =

Hieraus ist ersichtlich, dalS in x = - 1 eine hebbare Unstetigketi (Liicke) vorliegt, die allerdings aus der von MATHCAD gezeichneten Grafik nicht zu erkennen ist. Wenn man diese Unstetigkeit beseitigt, indem man Zahler und Nenner der Funktion durch x+1 dividiert, hat die neue Funktion die folgende einfachere Gestak: 1 (x + 3)(x + 2)

f(x) =

Aus dieser Funktionsgleichung laJSt sich sofort erkennen, dalS Polstellen bei - 3 und - 2 auftreten und keinerlei Nullstellen existieren. Weiterhin folgt, dalS die Funktion im Intervall (-oo,-3) und (-2,+oo) positiv und im Intervall (-3,-2) negativ ist und sich asymptotisch Null nahert (fur x gegen ±oo). Zur Bestimmung der Extremwerte (Maxima und Minima) berechnen wir die erste Ableitung, setzen diese gleich Null (notwendige Optimalitatsbedingung - siehe Abschn.29.2) und losen die entstandene Gleichung exakt mittels solve (siehe Abschn.21.6): A

1

-5

c i x ( x + 3 ) - ( x + 2 ) = 0 solve, X -^ —— 2 Mittels der zweiten Ableitung (hinreichende Optimalitatsbedingung siehe Abschn.29.2) uberpriifen wir die gefundene Losung:

^*

2

d x 2 ( x - h 3 ) - ( x + 2)

Damit ist gezeigt, daB im Punkt x=-5/2 ein Maximum mit dem Funktionswert f (-5/2 ) = - 4 vorliegt. Mit diesen Untersuchungen la£t sich die zweite Grafik fiir die betrachtete Funktion bestatigen.

22.6

Kurvendiskussion

385

b) Betrachten wir eine Kurve, deren Gleichung in impliziter Form gegeben ist: y^(l + x ) = x^(l - x ) Da MATHCAD die grafische Darstellung von implizit gegebenen Kurven nicht erlaubt, kann man sich bei diesem Beispiel dadurch helfen, dalS man die Kurven fur die beiden Funktionen xVl-x y = —I

vr + x

, xVl-x und y = -

vr + x

die sich durch Auflosen der Kurvengleichung nach y ergeben, in das gleiche Koordinatensystem zeichnet: X := -0.8 ,-0.79 .. 1 2

V,

X V l •- X

X'Vl — X

Vl-hx

/ 2

1.5

0

1 .5

X

Aus der Grafik und den Gleichungen sieht man, da£ die beiden Zweige (Aste) der Kurve symmetrisch sind, so dalS man nur einen untersuchen mulS: * Man erkennt aus der Funktionsgleichung den

Definitionsbereich

-l<x 2

Vl + x

2

Differentialrechnung

2 2

Damit liegt an der Stelle X =

- 1 + V5

ein Maximum fiir den oberen Zweig, wie man mittels der zweiten Ableitung iiberpriifen kann:

4r2

-1.758

2

und wegen der Symmetrie ein Minimum fiir den unteren Zweig. Somit haben wir die wesentlichen Eigenschaften der Kurve iiberpriift und die von MATHCAD gegebene Grafik kann bestatigt werden. c) Betrachten wir die ganzrationale Funktion

(Polynomfunktiori)

0.025x5+ 0.05 x^ 0.6x^ -0.55x^ + 2.575X - 1.5 f(x) Ganzrationale Funktionen stellen die wenigsten Schwierigkeiten an eine Kurvendiskussion. Sie sind fiir alle x-Werte stetig. Deshalb hat MATHCAD auch keine Schwierigkeiten bei der grafischen Darstellung der Funktionskurve: x:=-6,-5.99.. 5

0.025-x5-t-0.05-x^- 0.6-x^- 0.55-x^-h 2.575-x- 1.5

-30

Das einzige Problem besteht in der exakten (symbolischen^ Berechnung der Nullstellen und Extremiverte, da fiir Polynome ab dem fiinften Grad keine Losungsformel mehr existiert. Bei der gegebenen Funktion liefert MATHCAD folgende Ergebnisse: Nullstellen

22.6

Kurvendiskussion

387

0.025 -x^ -h 0.05 -x^ - 0.6 -x^ - 0.55 -x^ 4- 2.575 -x - 1.5 by factoring, yields

— • ( x - H 5 ) < x - h 3 ) - ( x - 4 ) < x - 1)

d.h. die Funktion besitzt die Nullstellen - 5 , - 3 , 1, 4, wobei 1 eine doppelte ist. *

Extremwerte: ergeben sich als Nullstellen der ersten Ableitung der Funktion, d.h. —(o.025-x^ + 0.05-x^ - 0.6-x^ - 0.55-x^ + 2.575-x - I.5) = 0 solve,x -> dx ^

1. -4.2374443319589008081 -1.5332401597623140424 3.1706844917212148504

Es existieren vier reelle Nullstellen fiir die erste Ableitung, wie aus folgender Abbildung zu ersehen ist:

MATHCAD berechnet auEer x = 1 die Naherungswerte -4.24 , -1.53 , 3.17

388

22

Differentialrechnung

fiir die restlichen Extremwerte. *

Wendepunkte: ergeben sich als Nullstellen der zweiten Ableitung der Funktion, d.h. -^(o.025-x^ + 0.05-x^ - 0.6-x^ - 0.55-x^ + 2.575-x - I.5) = 0 solve,x -> dx"^ ^- 3.2224590675394149679^ - .29463937582589282499 2.3170984433653077929 MATHCAD berechnet die Naherungen -3.22, -0.29, 2.32. fiir die drei Wendepunkte •

23 Integralrechnung

23.1 Einfuhrung Wie bereits in der Einleitung erwahnt, existiert zur exakten Berechnung beliebiger Integrale kein endlicher Algorithmus. Deshalb kann man von MATHCAD keine Wunder erwarten. Bei berechenbaren Integralen leistet MATHCAD jedoch eine groBe Hilfe, da die oft sehr umfangreichen Rechnungen in Sekundenschnelle durchgefiihrt werden. Wenn MATHCAD ein Integral nicht exakt berechnen kann, so zeigt sich dies auf eine der folgenden Arten: * Es erscheint eine Meldung, wie z.B. No closedform found for integral * Das zu berechnende Integral wird unverandert als Ergebnis ausgegeben (siehe Beisp.23.11 und m). * Die Berechnung wird nicht beendet. Der Abbruch kann durch Driicken der Taste (Esc] geschehen. • Bei der Berechnung von Integralen mittels MATHCAD ist zu beachten, daJ^ keine mit Feldindex indizierten Variablen verwendet werden diirfen. •

23.2 Unbestimmte Integrale Die Bestimmung einer Funktion F(x) deren Ableitung F'(x) gleich einer gegebenen Funktion f(x)

390

23

Integralrechnung

ist, fuhrt 2ur Integralrechnung. Eine so berechnete Funktion F ( x ) wird als Stammfunktion f ( x ) bezeichnet.

der Funktion

Betrachten wir einige wesentliche Gesichtspunkte der Integralrechnung: •

Aus der Theorie ist bekannt: * Alle fiir eine Funktion f (x)existierenden Stammfunktionen unterscheiden sich nur um eine Konstante.

F(x)

* Die Gesamtheit der Stammfunktionen einer Funktion f ( x ) w i r d als unbestimmtes Integral bezeichnet und in der Form

J f(x)

dx

geschrieben, wobei f ( x ) als Integrand und x als ble bezeichnet werden.

Integrationsvaria-

Es sind zwei wesentliche Fragen zu beantworten: I. Besitzt jede gegebene Funktion f ( x ) eine Stammfunktion F ( x ) ? Diese Frage ist fiir viele Funktionen positiv zu beantworten, da jede auf einem endlichen Intervall [a,b] stetige Funktion f ( x ) eine Stammfunktion F ( X ) besitzt. Diese Aussage ist jedoch nur eine Existenzaussage, wie man sie haufig in der Mathematik antrifft. Derartige Aussagen liefern keinen Losungsalgorithmus, um zu einer gegebenen stetigen Funktion f ( x ) , die sich z.B. aus Elementarfunktionen x", e^, Inx, sinx,... zusammensetzt, eine Stammfunktion explizit zu konstruieren. Man weilS, da£ eine Stammfunktion F ( x ) existiert, aber nicht, ob und wie F ( x ) durch elementare Funktionen gebildet werden kann. II. Mit welcher Methode kann fur eine gegebene Funktion f ( x ) eine Stammfunktion F ( x ) bestimmt werden? Diese Frage ist nur fiir gewisse Klassen von Funktionen f ( x ) positiv zu beantworten, da kein allgemeingiiltiger endlicher Algorithmus zur Berechnung einer Stammfunktion existiert. Obwohl kein endlicher Algorithmus zur Bestimmung einer Stammfunktion F ( X ) fiir eine beliebige stetige Funktion f ( x ) existiert, sind jedoch Methoden (Integrationsmethoderi) bekannt, um fiir spezielle Funktionen f ( x ) e i n e StammfunktionF(x)zu konstruieren. Hierzu gehoren als bekannteste die * partielle Integration

23.2

Unbestimmte Integrale

* Partialbruchzerlegung *

391

(fiir gebrochenrationale Funktionen)

Substitution

die auch von MATHCAD herangezogen werden. Wenn derartige Methoden zum Erfolg fuhren, so ist MATHCAD bei der exakten Berechnung von Integralen meistens erfolgreich und befreit von aufwendiger Rechenarbeit per Hand. Fiir die exakte Berechnung unbestimmter Integrale

j f(x) dx gibt es in MATHCAD zwei Moglichkeiten: I. Die 2u integrierende Funktion (Integrand) f ( x ) w i r d in das Arbeitsblatt eingegeben, danach eine Variable x mit einer Bearbeitungslinie markiert und abschlielSend die Meniifolge Symbolics => Variable => Integrate (deutsch: Symbolik => Variable => Integrieren) aktiviert. II. Nach Anklicken des Operators fur die unbestimmte Integration (Integrationsoperators)

in der Operatorpalette Nr.5 erscheint ein Integralsymbol der Form

im Arbeitsblatt an der durch den Kursor bestimmten Stelle. AnschlieBend tragt man in die beiden Platzhalter den Integrand f ( x ) und die Integrationsvariable x in der iiblichen mathematischen Schreibweise ein, d.h. f(x) dx und markiert den gesamten Ausdruck mit einer Bearbeitungslinie. Die abschlieEende Durchfiihrung einer der folgenden Aktivitaten * Aktivierung der Meniifolge Symbolics =^ Evaluate => Symbolically (deutsch: Symbolik =^ AusTverten =^ Symbolisch) * Aktivierung der Meniifolge Symbolics => Sim^plify

(deutsch: Symbolik => Vereinfachen)

392

23

Integralrechnung

* Eingabe des symbolischen Gleichheitszeichens —> und abschlielSende Betatigung der Eingabetaste {^], falls man sich im Automatikmodus befindet. lost die exakte Berechnung des unbestimmten Integrals aus. Es wird bei der Methode II. empfohlen, das symbolische Gleichheitszeichen zu verwenden, da sich dies am einfachsten gestaltet. Des weiteren kann man das berechnete Ergebnis

g(x) := j f(x) dx ->... einer Funktion g ( x ) zuweisen, die dann fiir weitere Rechnungen zur Verfiigung steht (siehe Beisp23.1n). Falls das Ergebnis nicht angezeigt werden soil, geniigt die Zuweisung:

g(x) := Jf(x)dx In einigen Fallen la£t sich das Scheitern der exakten Berechnung von Integralen durch MATHCAD vermeiden, wenn man den Integranden f ( x ) v o r der Anwendung der Integration vereinfacht. Betrachten wir zwei dieser Falle: *

Gebrochenrationale Funktionen kann man vorher unter Verwendung der Vorgehensweise aus Abschn.l6.3 in Fartialbriiche zerlegen.

* Gangige Substitutionen kann man vorher durchflihren (siehe Beisp. 23.11). • Beispiel 23.1: Die Beisp.a, b, c und d konnen mittels partieller Integration gelost werden und bilden fiir MATHCAD keine Schwierigkeiten: a) Das folgende Integral wird von MATHCAD berechnet: x^-e^'^'dx^ i-x^-6X0(2-x) ~ l-x^-exp(2-x) H-l-x-exp(2.x) - l-exp(2-x)

2

4

4

8

b) Das folgende Integral wird von MATHCAD berechnet: asin(x) dx "^ x-asin(x) -f- >^1 - x c) Das folgende Integral wird von MATHCAD berechnet: x^-cos(x) dx "^ x^-sin(x) -h 3'X^-cos(x) - 6'Cos(x) - 6-x-sin(x)

23.2

Unbestimmte Integrate

393

d) Das folgende Integral wird von MATHCAD berechnet: sin(ln(x)) dx "^ —-x-CsinClnCx)) - cos(ln(x))) 2 Die Losung der Beisp.e, f, g und h ist mittels Partialbruchzerlegung moglich. Aufgrund der Schwierigkeiten bei der Partialbruchzerlegung kann MATHCAD diese Aufgaben nur losen, wenn das Nennerpolynom hinreichend einfach ist (siehe Abschn.l6.3): e) Das Integral 2 -x^ H- 2 -x -h 13

dx-

x^ - 2 -x^ -h 2 -x^ - 4 -x^ -I- X - 2

ln(x - 2) - i.lnCx^ -h 1) - 4.atan(x) -

--^^——

wird von MATHCAD berechnet. 0

Das Integral x^ -h 7 'X^ 4- 13 -x^ -t- 32 -x^ -h 23 x^ -h 23 -x - 3

dx^

x^ ^. 2 -x^ -h 7 -x^ 4- 8 -x^ -h 13 -x^ -h 10 -x^ -|- 13 -x^ + 4 -x -h 4

ln(x' + 1) -

- l n ( x ^ + x - h 2 ) 4^ (x'-hl)

1 (X'H-X-H2)

wird von MATHCAD berechnet. g) Das Integral 1

dx-

xVl

l-Vi. In

x^-f-x-V2 -1-1

-h--V2-atan(x-/^2 -f- 1) -h - •/^2-atan^x •/\/2 - 1

L(x^-x-V2-hi wird berechnet, obwohl MATHCAD den Integranden nicht in Partialbruche zerlegen kann, wie im Beisp.l6.11a zu sehen ist.

394

23

Integralrechnung

h) Das Integral

dx

I x^ -h 2 x^ -h X -h 1

wird von MATHCAD nicht berechnet, obwohl das Nennerpolynom nur den Grad 3 besitzt. Die Ursache hierfiir ist, das es eine reelle nichtganzzahlige Nullstelle besitzt. Bei nichtganzzahligen Nullstellen des Nennerpolynoms hat MATHCAD Probleme, wie im Abschn.l6.3 im Rahmen der Partialbruchzerlegung illustriert wird. Die Beisp.i, j , k und 1 konnen mittels Substitution gelost werden. Substitutionen werden nicht immer von MATHCAD erkannt (siehe Beisp.i). Dies ist jedoch nicht verwunderlich, da das Finden einer geeigneten Substitution nicht algorithmisierbar ist: i) Das folgende Integral wird von MATHCAD berechnet: — AJI

dx "^ - 2 •artanhl^^yl - x - X

j) Das Integral

£ ^ d x - ^.^/^TT^ - 3-:/^77^^ wird von MATHCAD berechnet. Hier fiihrt z.B. die Substitution t = 3/l + V^

X = (t^-1)^

zum Ziel. k) Das folgende Integral wird von MATHCAD berechnet:

2-hcos(x)

dx "^ — •A/3 -atan —-tan —-X •A/3 3 ^ \3 \2 / ^

1) Das folgende Integral kann MATHCAD in der gegebenen Form nicht berechnen: 2

asin(x) dx "^

asin(x)^dx

23.2

Unbestimmte Integrale

395

Wenn man es aber mittels der Substitution x = sin t per Hand auf die Form

1

t^ cos t dt

bringt, berechnet es MATHCAD: t ^ - c o s ( t ) d t - ^ t^-sin(t) - 2-sin(t) + 2-t-cos(t) Die Rlicksubstitution t = arc sin x laJSt sich ebenfalls mit MATHCAD unter Verwendung des Schliisselwortes substitute (siehe Abschn.l6.8) durchfiihren: t^-sin(t) - 2-sin(t) -f- 2-t-cos(t) substitute, t=asin(x) "> 2 asin(x) -sinCasinCx)) - 2-sin(asin(x)) + 2-asin(x)-cos(asin(x)) Das erhaltene Ergebnis la£t sich mittels des Schliisselworts simplify' noch vereinfachen: 2 asin(x) -sinCasinCx)) - 2-sin(asin(x)) + 2-asin(x)'Cos(asin(x)) simplify

_^ asin(x) -x - 2-x + 2-asin(x)-Vl - x j m) Das folgende Integral x dx

X dx

wird von MATHCAD nicht berechnet. Zu seiner Berechnung ist keine Integrationsmethode zu erkennen. n) Mochte man das Ergebnis einer unbestimmten Integration, d.h. eine berechnete Stammfunktion, einer neuen Funktion g ( x ) zuweisen, so kann dies folgendermaEen geschehen: * Mit Angabe des Ergebnisses unter Verwendung des symbolischen Gleichheitszeichens g ( x ) :=

x-e^dx "^ x - e x p ( x ) -- exp(x)

* Ohne Angabe des Ergebnisses g(x) :=

x-e dx

23

396

Integralrechnung

Bei beiden Vorgehensweisen kann man sich jederzeit die Funktion g ( X ) im Arbeitsblatt unter Verwendung des symbolischen Gleichheitszeichens anzeigen lassem g(x) -> x-exp(x) - exp(x) o) Betrachten wir die Integration von definierten

Funktionem

ol)Fur definierte Funktionen wie z.B. f(x) := sin(x) -h ln(x) -h x -f- 1 1

f ( x ) d x - ^ -cos(x) -t- x-ln(x) -f —-x 2

?

fiihrt das symbolische Gleichheitszeichen zum Ziel. o2)Funktionen, die sich aus mehreren Ausdriicken zusammensetzen, wie z.B. die stetige Funktion X

wenn x < 0

f(x) = sonst lassen sich in MATHCAD folgendermalEen definieren (siehe Abschn. 13.5 und 19.3.3): * Mit der vordefinierten if-Funktion f(x) := if ( X < 0 , X , xA2 )

* oder dem if-Operator aus der Operatorpalette Nr.7 f(x) :=

X if x Symbolically (deutsch: Symbolik => AusTverten => Symbolisch) * Aktivierung der Menlifolge Symbolics => Simplify^

(deutsch: Symbolik => Vereinfachen)

* Eingabe des symbolischen Gleichheitszeichens -> und abschlie^ende Betatigung der Eingabetaste {^}, falls man sich im Automatikmodus befindet. lost die exakte Berechnung des bestimmten Integrals aus. Es wird empfohlen, das symbolische Gleichheitszeichen zu verwenden, da sich dies am einfachsten gestaltet.

pr Man kann bestimmte Integrale zur Berechnung einer Stammfunktion F ( x ) flir eine gegebene Funktion f ( x ) verwenden, indem man die Formel X

J

F(x) = Jf(t)dt a

heranzieht, die unmittelbar aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung folgt. Die auf diese Art berechnete Stammfunktion besitzt die Eigenschaft F ( a ) = 0 (siehe Beisp.23.2c). • Da bei der Berechnung bestimmter Integrale mittels MATHCAD die gleichen Probleme wie bei unbestimmten auftreten, beschranken wir uns im folgenden Beispiel auf einige Aufgaben, bei denen die Spezifik bestimmter Integrale im Vordergrund steht. Beispiel 23.2: a) Das Ergebnis der exakten Berechnung des folgenden bestimmten Integrals •3 e^-sin(x) d x " ^ 1 1 1 1 1 — •exp(3)-cos(3) -h —•exp(3)'Sin(3) -f- —-expCl)'CosCl) - —-expCl)-sinCl) ist wenig anschaulich, da die enthaltenen reellen Zahlen nicht anders exakt dargestellt werden konnen. Mochte man eine Dezimalnaherung als Ergebnis, so ist der erhaltene Ausdruck numerisch zu berechnen (siehe Abschn. 12.3.2). Wir fiihren dies hier durch Eingabe des numerischen Gleichheitszeichens durch:

400

23

Integralrechnung

1 1 1 1 — •exp(3)-cos(3) -h —•exp(3)-sin(3) -h —-exp (1)-cosC 1) - —-expCl)-sinCl) = 10.95017031468552 b) Das folgende bestimmte Integral wird ebenso wie das zugehorige unbestimmte nicht exakt berechnet: ^3 x^dx "^

X dx

Hier bleibt nur die numerische Berechnung (siehe Beisp.23.6a) c) Unter Verwendung des bestimmten Integrals sin(ln(t))dt->—-x-C-sinClnCx)) -h cos(ln(x))) H-i 2 2

F(x) :--

erhalt man fiir die Funktion f ( x ) = s i n ( l n ( x ) ) eine Stammfunktion F ( x ) , die sich von der mittels unbestimmter Integrale berechneten um die Konstante 1/2 unterscheidet (siehe auch Beisp.23.1d): sin(ln(x)) dx "^ —-x-CsinClnCx)) - cos(ln(x))) 2

F(x) :=

d) Bestimmte Integrale von definierten Funktionen lassen sich ebenso wie unbestimmte mit dem symbolischen Gleichheitszeichen -^ berechnen: f(x) := sin(x) -I- ln(x) + x -h 1 2 f ( x ) d x ^ - c o s ( 2 ) -|-~-|-2-ln(2) -t-cos(l) 2 e) Fiir eine definierte Funktion, die sich aus mehreren Ausdriicken zusammensetzt, wie z.B. f(x) :=

X if X

x — X

3

2

b) Fiir das divergente Integral ^ l+x dx •' 1 +

1—

das den Hauptwert n besitzt, liefert MATHCAD kein Ergebnis 1-hx

(x-hl)

dx^

dx

(x^-hl)

1 -hx^ c) Fiir das divergente Integral oo

jxMx das den Hauptwert 0 besitzt, liefert MATHCAD kein Ergebnis x^dx

x^dx ^-oo

d) Das folgende konvergente Integral wird von MATHCAD problemlos berechnet e'^dx-> exp(-l) Jl e) Wir iiberpriifen das Ergebnis oo

x^-e"^dx-> 6 0 mittels Grenzwertberechnung: X -e'^dx ~^ 6

lim S " ^ oo •

0

23.4

Uneigentliche Integrate

403

Schwieriger gestaltet sich in MATHCAD die Berechnung uneigentlicher Integrale mit unbeschranktem Integranden f ( x ) und beschranktem Integrationsintervall. Dieser Fall wird nicht immer von MATHCAD erkannt, so dalS falsche Ergebnisse auftreten konnen. Beispiel 23.4: a) Wenn man das uneigentliche Integral

-1

formal integriert, ohne zu erkennen, dalS der Integrand bei x=0 unbeschrankt ist, erhalt man das falsche (unsinnige) Ergebnis - 2 . In Wirklichkeit ist das Integral divergent. Dies wird von MATHCAD richtig erkannt: 1 d x "^ oo x^

-1 b) Fiir das divergente Integral 1

J idx X

-1

dessen Cauchyscher Hauptwert 0 betragt, liefert MATHCAD kein Ergebnis: •1 fl — dx ^^ —dx X

-1

X

J-1

c) Bei dem folgenden von MATHCAD berechneten uneigentlichen Integral sind sowohl der Integrationsbereich als auch der Integrand unbeschrankt: ln(x) , ^ ^ dx ^ 0 1 4-x^ 0

d) Das folgende konvergente Integral wird von MATHCAD berechnet 1 — dx^2 '^X

404

23

Integralrechnung

Zusammenfassend la£t sich zur Berechnung uneigentlicher Integrale mittels MATHCAD sagen, daJS auch fiir Falle, fiir die Ergebnisse geliefert werden, eine Uberprlifung angeraten ist. Es empfiehlt sich eine zusatzliche Berechnung als bestimmtes (eigentliches) Integral mit anschlielSender Grenzwertberechnung (wie im Beisp.23.3e). •

23.5 Mehrfache Integrale Nachdem wir bisher Integrale fiir Funktionen einer Variablen (als einfache Integrale bezeichnet) berechnet haben, wird im folgenden die Berechnung mehffacher Integrale in der Ebene und im Raum, d.h. zweifacber und dreifacher Integrale der Gestalt f (x, y) dx dy D

bzw.

f (x, y, z) dx dy dz G

an einigen Beispielen diskutiert, wobei D und G beschrankte Gebiete in der Ebene bzw. im Raum sind. Die Berechnung dieser Integrale lafSt sich auf die Berechnung mehrerer (zwei bzw. drei) einfacher Integrale zuriickfiihren, wenn die Gebiete D und G sogenannte Normalbereiche sind. In MATHCAD kann man exakte und numerische Berechnungen mehrfacher Integrale durch Schachtelung des Integrationsoperators fiir bestimmte Integrationen aus der Operatorpalette Nr.5 durchfiihren. Der Integrationsoperator wird dabei analog wie im Abschn.23.3 bzw. 23.6 angewandt. Eine mogliche per Hand vorgenommene Koordinatentransformation erhoht haufig die Effektivitat der Berechnung (siehe Beisp.23.5b und c). • Betrachten wir die Problematik bei der Berechnung mehrfacher Integrale im folgenden Beispiel. Beispiel 23.5: a) Die Berechnung des Volumeninhaltes des raumlichen Bereiches, der durch die Ebenen z = x + y, z = 6 , x = 0 , y = 0 , z = 0 begrenzt wird, fiihrt auf das folgende dreifache Integral, dessen Berechnung MATHCAD unter Verwendung der dreifachen Schachtelung des Integrationsoperators fiir bestimmte Integrale problemlos durchfiihrt: *

exakte Berechnung

23.5

Mehrfache Integrate

r

•60

0

405

l d 2 d y d x - > 36

* numerische Berechnung

^6

•6 - X

1 d z d y d x = 36 0

0

x-hy

b) Die Volumenberechnung flir das im ersten Oktanden liegende Gebiet, das durch die Flachen 2 = 0 (xy-Ebene) , z = x^ + y^ (Paraboloid) , x^ + y ^ = l (Zylinder) begrenzt wird, fiihrt auf das folgende von MATHCAD exakt berechnete dreifache Integral: r>^l - x^

X -f-y

I d z d y d x "^ —•% 0

0

0

Indem man per Hand eine Koordinatentransformation mittels Zylinderkoordinaten durchfuhrt erhalt man das einfachere Integral:

rdzdrd(|) ~> —•% 0

0

c) Das folgende zweifache Integral kann MATHCAD in dieser Form nicht exakt losen

•V0

0

i

2

2

X -H y d y d x

Die numerische Berechnung (siehe Abschn.23.6) mittels MATHCAD ergibt

'V0

A/?7 y ' ^ d y d x =

14.135

0

Erst die Durchfiihrung einer Koordinatentransformation (Polarkoordinaten) per Hand liefert ein Integral, das MATHCAD exakt berechnet:

406

23

0

i^drdd) ^ - - T C = 14.137 2

Integralrechnung

•

• Die Beispiele lassen erkennen, daJS bei der Berechnung mehrfacher Integrale in MATHCAD keine zusatzlichen Probleme auftreten, falls die enthaltenen einfachen Integrale berechenbar sind. Wenn eine Koordinatentransformation existiert, die das Integral vereinfacht, dann sollte man diese vor der Berechnung mittels MATHCAD per Hand durchfiihren.

23.6 Numerische Methoden Wenn die exakte Berechnung bestimmter Integrale b

Jf(x)dx a

versagt, so kann sie MATHCAD ndherungsweise berechnen, wofur mehrere numerische Methoden zur Verfiigung gestellt werden.

i^ Stammfunktionen F ( x ) (und folglich unbestimmte Integrale) lassen sich mit MATHCAD auch naherungsweise fiir einzelne x-Werte berechnen, wenn man die im Abschn.23.3 gegebene Formel

F(x) = j f ( t )

dt

benutzt und das darin enthaltene bestimmte Integral fiir gewiinschte x-Werte numerisch ermittelt. Man erhalt somit eine Liste von Funktionswerten einer Stammfunktion F ( x ) mit F ( a ) = 0, die man grafisch darstellen kann, um einen Uberblick liber den Funktionsverlauf von F ( x ) zu erhalten (siehe Beisp.23.6c). • Die numerische Berechnung von bestimmten Integralen geschieht mittels MATHCAD in folgenden Schritten: I. Zuerst wird durch Anklicken des Operators (Integrationsoperators) die bestimmte Integration

fiir

23.6

Numerische Methoden

407

in der Operatorpalette Nr.5 im Arbeitsblatt an der durch den Kursor bestimmten Stelle folgendes Integralsymbol I

.d. mit vier Platzhaltern erzeugt. II. AnschlieEend tragt man in die entsprechenden Platzhalter die Integrationsgrenzen a und b, den Integranden f ( x ) und die Integrationsvariable X in der liblichen mathematischen Schreibweise ein und erhalt •b f(x) dx a Wenn man den Mauszeiger auf das Integralzeichen stellt und anschlieISend die rechte Maustaste druckt, erscheint eine Dialogbox, in der man die numerische Methode aussuchen kann. Als Standard verwendet MATHCAD AutoSelect, d.h., die verwendete Methode wird von MATHCAD automatisch ausgewahlt. Der Benutzer kann jedoch selbst durch Mausklick z.B. zwischen einer Romberg Methode (Romberg oder einer adaptiven Quadraturmethode (Adaptive) wahlen. III. Danach markiert man den gesamten Ausdruck mit einer Bearbeitungslinie. IV. Die abschlie£ende Durchfiihrung einer der folgenden Aktivitaten * Aktivierung der Meniifolge Symbolics => Evaluate => Floating Point... (deutsch: Symbolik => Auswerten => Gleitkomma...), * Eingabe des numerischen Gleichheitszeichens = lost die numerische Berechnung des bestimmten Integrals aus, falls man sich im Automatikmodus befindet. Die Genauigkeit kann mittels der vordefinierten Variablen TOL (siehe Abschn.10.2 und 123A) eingestellt werden. Da sich in MATHCAD exakte und numerische Berechnung bestimmter Integrale nur im AbschluE unterscheiden, empfiehlt sich folgende Vorgehensweise fiir die Berechnung: * Zuerst wird durch Eingabe des symbolischen Gleichheitszeichens -^ mit abschlieEender Betatigung der Eingabetaste f^^ die exakte Berechnung versucht.

23

408

Integralrechnung

* Schlagt die exakte Berechnung fehl, so entfernt man anschlielSend das symbolische Gleichheitszeichen und gibt dafiir das numerische = ein, das die 7iiimerische Berechnung auslost. • Falls die von MATHCAD vei-wendeten numerischen Integrationsmethoden keine befriedigende Ergebnisse fiir ein zu berechnendes Integral liefern, konnen eigene Programme geschrieben werden, wenn man die im Kap.l3 betrachteten Programmiermoglichkeiten heranzieht. • Beispiel 23.6: a) Das folgende bestimmte Integral ist nicht exakt (siehe Beisp.23.2b) sondern nur numerisch berechenbar: ^^ x'^dx = 11.675 • 2 b) Das folgende bestimmte Integral ist exakt berechenbar. Wir vergleichen das Ergebnis mit dem numerisch berechneten: *

exakte Berechnung: (•3 e^-sin(x) dx'

— •exp(3)-cos(3) -|---exp(3)'sin(3) -t-i-exp( 1)-cosC 1) - i'expC 1)-sinC 1) = 10.95 2 2 2 2

*

itumerische Berechnung: 3 e''-sin(x)dx = 10.95

Man sieht, dafS hier die numerische Berechnung effektiv arbeitet und das gleiche Ergebnis wie die exakte Berechnung liefert. c) Das folgende unbestimmte Integral berechnet MATHCAD nicht exakt

sin(x) -t- 2

dx

exp(x) (sin(x) -f 2)

Mittels der Formel X

y = F(x)

= J f ( t ) dt

(x

>a)

dx

23.6

Numerische Methoden

409

la£t sich eine Stammfunktion F ( x ) mit F ( a ) = 0 liber die numerische Berechnung bestimmter Integrale in einer vorgegebenen Anzahl von xWerten naherungsweise berechnen. Diese berechneten Punkte kann man grafisch darstellen, wie im Abschn.20.4 beschrieben wird: Wir berechnen die Stammfunktion im Intervall [0,2] naherungsweise in den x-Werten 0, 0.1, 0.2, ... , 2 : Diese Berechnung gestaltet sich in MATHCAD einfach, wenn man x als Bereichsvariable definiert: X := 0,0.1.. 2

F(x) := sin(t) -h 2

dt

0

Hierdurch wird die Stammfunktion F ( x ) mit F ( 0 ) = 0 in folgenden xWerten naherungsweise berechnet: X

F(x)

[o

0 0.051 0.105 0.163 0.223 0.288 0.356 0.43 0.509 0.594 0.686 0.785 0.894 1.012 1.142 1.285 1.442 1.616 1.809 2.023 2.264

loT

fe" m

\0A \03

E6 \0J 108

m rT" [13 \1A

\TJ

hi \ij

[L8

23

410

Integralrechnung

Die grafische Darstellung der berechneten Naherungswerte fur die Stammfunktion F ( x ) mit F ( 0 ) = 0 in den x-Werten 0, 0.1, 0.2, ... , 2 ist aus der folgenden Abbildung 2u ersehen:

a a a

Verbindung der berechneten Naherungswerte durch Geradenstiicke: 2.5

Da a

d) Ftir Funktionen, die sich aus mehreren Ausdriicken zusammensetzen, wie z.B.

23.6

Numerische Methoden

f(x) :=

411

X if x < 0 x^ otherwise

kann MATHCAD das bestimmte ebenso wie das unbestimmte Integral nicht exakt berechnen (siehe Beisp.23.1o2 und 23.2e). Man kann das bestimmte Integral jedoch numerisch berechnen, wie z.B. f ( x ) d x = 2.167 -1 e) Berechnen wir ein bestimmtes Integral flir eine Funktion, die nur durch folgende Punkte (Zahlenpaare)

vx .=

0

3

0.1

5

0.2

7

0.3

5

0.4

9

0.5

vy := 8

0.6

7

0.7

1

0.8

4

0.9 1

6 8

gegeben ist, wobei die Vektoren v x und vy die x- bzw. y-Koordinaten der Punkte enthalten. Wir nahern die gegebenen Punkte durch einen Polygonzug bzw. kubische Splinefunktion an, die wir im Abschn. 19.3-4 kennengelernt haben und * stellen das Ergebnis grafisch dan

23

412

vs := cspline ( vx , vy )

Integralrechnung

x := 0 , 0.01 .. 1

linterp ( v x , v y , x ) interp ( vs , v x , vy, x )

* berechnen das bestimmte Integral im Intervall [0,1] iiber diese Naherungsfunktionen 1 linterpC vx, vy, x) dx = 574997540742708

interpCvs, vx, vy, x) dx = 5.70618513630292

24 Unendliche Reihen und Produkte

24.1 Einfuhrung Nachdem wir im Kap.17 die Berechnung endlicher Summen/Reihen und Produkte besprochen haben, die MATHCAD keinerlei Schwierigkeiten bereitet, behandeln wir im folgenden die Berechnung unendlicher Reihen und Produkte. Dafiir betrachten wir Moglichkeiten von MATHCAD zur •

Berechnung unendlicher Zahlenreihen und -produkte,

•

Entwicklung von Funktionen in Funktionenreihen, wendungen wichtigen Spezialfalle

wobei wir die flir An-

* Potenzreihen (Abschn.24.3), * Fourierreihen (Abschn.24.4) behandeln.

24.2 Zahlenreihen und -produkte Im Kap.17 werden endliche Summen/Reihen Sn=

S^ und Produkte V^ der Form

X ^1,= aj^+aj^+1+...+ an bzw. P,, = | | a^ = a^^ • a^^+i •... • a^, k=m

k = m

mittels MATHCAD berechnet, wobei die Glieder aj^

( k = m , ... , n >m )

reelle Zahlen sind. Fiir diese Berechnung sind in MATHCAD folgende Schritte erforderlich: I. Aus der Operatorpalette Nr.5 werden Summen- bzw. durch Mausklick ausgewahlt,

Produktoperator

II. In die Platzhalter des erscheinenden Summen- bzw. Produktzeichens

t• = •

[ibzw.

• == •

414

24

Unendliche Reihen und Produkte

werden * hinter dem Summenzeichen/Produktzeichen das allgemeine Glied * unter dem Summenzeichen/Produktzeichen k und m, * uber dem Summenzeichen/Produktzeichen n in der iiblichen mathematischen Schreibweise eingetragen. III. Danach wird der gesamte Ausdruck mit einer Bearbeitungslinie markiert. IV. AbschlieJSend kann die Berechnung der Summe bzw. des Produkts auf eine der folgenden Arten geschehen: * Exakte Berechnung durch eine der folgenden Aktivitaten: -

Aktivierung der Meniifolge Symbolics => Evaluate => Symbolically (deutsch: Symbolik => Auswerten =:> Symiboliscli)

-

Aktivierung der Meniifolge

-

Symbolics => Simplify (deutsch: Symbolik => Vereinfachen) Eingabe des symbolischen Gleichheitszeichens -> und abschlie^ende Betatigung der Eingabetaste [-^l

* Numerische Berechnung durch - Aktivierung der Meniifolge Symbolics => Evaluate => Floating Point... (deutsch: Symbolik => Auswerten => Gleitkomma...) -

Eingabe des numerischen Gleichheitszeichens =

falls man sich im Automatikmodus befindet. Die Vorgehensweise zur Berechnung unendliche Summen reeller Zahlen, die man als unendliche Reihen {unendliche Zahlenreiheri) bezeichnet und unendliche Produkte reeller Zahlen {unendliche Zahlenprodukte) der Form oo

J,\ k =m

= a ^ + a^n+i + ...

bzw.

£ | a k = a^^ • a^^+i • ... k=m

ist in MATHCAD analog zur Berechnung endlicher Summen/Produkte. Man mul§ nur in den oberen Platzhalter des Summen- bzw. Produktzeichens statt n das Symbol Unendlich

24.2

Zahlenreihen und-produkte

415

aus der Operatorpalette Nr.5 per Mausklick eintragen. Im Unterschied 2u endlichen Reihen/Produkten ist hier eine Berechnung nur sinnvoll, wenn die entspreche Reihe bzw. das Produkt konvergent sind, d.h., die Folge der Partialsummen bzw. -produkte n JL. lim Sfj = lim ^ \ = ^ bzw. lim Pj^ = lim I I ^k = ^ n->«»

n—>«> , k = m

n—>oo

n-^oo , '*• k=m

konvergiert, wobei S und P reelle Zahlen sind. • Zur Berechnung unendlicher Zahlenreihen/Zahlenprodukte bemerken: •

ist folgendes zu

Es treten zwei wesentliche Schwierigkeiten auf, die von der Theorie kommen und die somit auch MATHCAD nicht beheben kann: * Es existieren keine universell einsetzbaren Konvergenzkriterien, mit deren Hilfe man fiir beliebig gegebene Reihen/Produkte die Konvergenz bzw. Divergenz feststellen kann. * Auch im Falle nachgewiesener Konvergenz existiert i.allg. kein endlicher Berechnungsalgorithmus, so dalS MATHCAD schnell an Grenzen stoEt. In gewissen Fallen kann man statt oo hinreichend groiSe Zahlen verwenden und die berechneten Werte fiir die entstehenden endlichen Reihen/Produkte als Naherungen verwenden: -

Dies ist fur altemierende

Reihen

S = X ^-^^^~^'\

™^

^k>0

k =1

erfolgreich, die das Kriteriums von Leibniz erfullen: Gelten a^ > ai^+j und

lim a|^ = 0

SO konvergiert die Reihe und der Fehler bei der Annaherung durch die endliche Reihe

k =1

ist dem Betrage nach kleiner als das erste vernachlassigte Glied, d.h.

Bei Erfiillung des Kriteriums von Leibniz lafSt sich aus a„ii

^= £

416

24

Unendliche Reihen und Produkte

eine untere Schranke fiir n berechnen, um fiir die alternierende Reihe S eine Naherung mit vorgegebener Genauigkeit z mittels der endlichen Summe S^^ zu erhalten (siehe Beisp.24.1e). -

•

Bei Produkten und nichtalternierenden Reihen ist Vorsicht geboten, da die so erhaltenen Werte vollig falsch sein konnen, wie aus der Theorie bekannt ist.

Es ist zu beachten, daiS MATHCAD nur die exakte Berechnung unendlicher Zahlenreihen/Zahlenprodukte durchfiihren kann. Fiir numerische Berechnungen wie z.B. fiir alternierende Reihen, sind in MATHCAD keine Funktionen vordefiniert.

lUustrieren wir die Problematik im folgenden Beispiel. Beispiel 24.1: a) Die Divergenz der folgenden Reihe wird von MATHCAD erkannt:

s-^

k = 1 'Vk

b) Fur die Reihe

I k-ln(k) 2 deren Divergenz man mittels des Integralkriteriums nachpriifen kann, trifft MATHCAD keine Entscheidung iiber die Konvergenz oder Divergenz. Die Reihe wird unverandert zuriickgegeben:

^ k-ln(k) k= 2

^ (k-ln(k)) k= 2

c) Der Reihe

(-1)' - > i k= 0 die offensichtlich divergiert, da das notwendige Konvergenzkriterium nicht erfiillt ist, ordnet MATHCAD nach der Abelschen Summationsmethode den Wert 1/2 zu. d) Die Summen der folgenden konvergenten Reihen werden von MATHCAD berechnet:

24.2

Zahlenreihen und -produkte

417

dl) oo

k2

6

k= 1 d2) oo

^ (2-k-l)
«*.

j«

*

Si

%

X

'^

Nfc

••*»•'**•

:i^

*

%

%

>

'(fc

•% - x

1

1

% % V

*f • « '

•«

^

**«.

"^

^ % •% ^^ *% ' % \ x ^ -^

\ .0" ^ tf -it -0 $ 4 1 1 1 1 % \ ^ if 1^^ ^ 4 1 1 1 % % % •^ % X X X \ ^ if./ .1^ # # 1 1 1 1 1 % % \\%% l,--„,|-„,-„„-„-„„r„,-T..,.„„.„,|„

0

$

••

•'•

1

•'•'•"•

1^

C¥l,¥2>

Abb.25.2.Grafische Darstellung des zweidimensionalen Vektorfeldes aus Beisp.25.1b

25.3

Gradient, Rotation und Divergenz

429

25.3 Gradient, Rotation und Divergenz Die folgenden Differentialoperatoren spielen in der Vektoranalysis zur Charakterisierung von Feldern eine grundlegende RoUe, wobei die Differenzierbarkeit der entsprechenden Funktionen vorausgesetzt wird: •

Mittels des Gradienten grad wird jedem Skalarfeld u=u(x,y,z)=

u(r)

ein Vektorfeld grad u ( r ) = u ^ ( r ) - i + Uy(r) • j + u^Cr)-k zugeordnet, das als Gradientenfeld bezeichnet wird, falls die Funktion u ( r ) partielle Ableitungen 3u 3u 9u besitzt. •

Die Rotation eines Vektorfelds v = v ( x , y, z ) = v ( r ) = Vi(x,y,z)- i + V2(x,y,z) • j + V3(x,y,z) • k berechnet sich aus

rot V ( r ) =

8x

a

3

9y 3z

1.

a

ra

- V 3 - - V , U 4 - | az - V ', -ax -V3M^ •

ra —

ax

d V2

\. •k

Vj

ay

I

Die Divergenz des Vektorfelds v = v ( x , y , z ) = v ( r ) = Vi(x,y,z)- i + V2(x,y,z) • j + V3(x,y,z) • k berechnet sich aus ^

N

^^

^^2

av.

dx

dy

dz

d i v v ( r ) = —^ + — ^ + — ^

isr Fine wichtige Rolle bei praktischen Anwendungen spielen Vektorfelder v(r)

430

25

Vektoranalysis

die sich als Gradientenfeld eines Skalarfeldes u ( r ) darstellen lassen, das als Potential bezeichnet wird, d.h. V ( r ) = grad u ( r ) Nachpriifen lalSt sich dies unter Verwendung der Rotation mittels der Bedingung rot V ( r ) = 0 die unter gewissen Voraussetzungen notwendig und hinreichend fur die Existenz eines Potentials ist. Derartige Felder hei^en Potential/elder. • Flir die Berechnung von Gradient, Rotation und Divergenz stellt MATHCAD im Gegensatz zu anderen Computeralgebrasystemen keine vordefinierten Funktionen zur Verfiigung. Sie konnen in MATHCAD nur bestimmt werden, indem man die entsprechenden Ausdriicke berechnet. Zur Vereinfachung kann man sich hierfiir Funktionen definieren, wie im Beisp.25.2 illustriert wird. Beispiel 25.2: a) Die Berechnung des Gradienten Funktion u ( x , y , z ) = u(r)

einer gegebenen

differenzierbaren

kann in MATHCAD unter Verwendung des Matrixoperators und des Differentiationsoperators aus der Operatorpalette Nr.3 bzw. 5 folgendermaJSen geschehen: -—u(x,y,z) dx

g r a d ( u , x , y , z ) : = dy

u(x,y,z)

-—u(x,y,z) dz Die so definierte Vektorfunktion grad (u, X, y, z) ist allgemein anwendbar, man mufS nur vorher die Funktion u ( x, y, z ) definieren, wie z.B.

25.3

Gradient, Rotation und Divergenz

431

^y•2^

u ( x , y , 2 ) := x-y-2

g r a d ( u , x , y , z ) -^

X-2

b) Die Rotation eines Vektorfeldes v = v ( x , y , 2)= v ( r ) = Vi(x,y,2)- i + V2(x,y,2)-j + V3(x,y,2)- k laJSt sich in MATHCAD mittels des Matrixoperators und des Differentiationsoperators aus den Operatorpaletten Nr.3 b2w. 5 2.B. folgenderma£en berechnen: —-V2(x,y,2) - — V2(x,y,2) dy -* d2 ^

r o t _ v ( v ^ , V 2 , V 3 , x , y , 2 ) :=

— v^(x,y,2) - -—Vo(x,y,2) d2 ^ dx -^ —•V2(x,y,2) - —-v-,(x,y,2) dx ^ dy -^

Die so definierte Vektorfunktion rot_v(v-^, V 2 , V 3 , x , y , 2 ) ist allgemein anwendbar, wenn man vorher die Komponenten des vorliegenden Vektorfeldes v-^(x,y,2):=... , V2X,y,2):=... , V3(x,y,2):=... definiert hat, wobei sich fiir die Indi2ierung der Literalindex empfiehlt. Dies gilt sowohl fiir zwei- und dreidimensionale Felder. Im Falle zweidimensionaler Felder sexzi man einfach V3(x,y,2) :=0 So berechnet man fiir die konkreten 2wei- b2w. dreidimensionalen Felder V j ^ ( x , y , 2 ) :- x

V 2 ( x , y , 2 ) := x

V 2 ( x , y , z ) := y

V 2 ( x , y , 2 ) := y

V 3 ( x , y , 2 ) := 0

V 3 ( x , y , 2 ) .- 2

432

25

Vektoranalysis

je^weils rot_v(v ^ , V 2 , V 3 , x , y , z )

-^ 0

d.h., beide Felder sind Potentialfelder. c) Die Berechnung der Divergenz eines Vektorfeldes v = v ( x , y , 2 ) = v ( r ) = Vi(x,y,2)- i + V2(x,y,2) • j + V3(x,y,z) • k kann man in MATHCAD unter Verwendung des Differentiationsoperators aus der Operatorpalette Nr. 5 z.B. folgendermalSen durchfiihren: A

A

A

d i v _ v ( v . , V 2 , V 3 , x , y , 2 ) : = -—V2(x,y,2)+-—V2(x,y,2)+— V3(x,y,2) ^ ^ ^ dx dy d2 -^ Die so definierte Funktion div_v(v2,V2,V3,x,y,2) ist allgemein anwendbar. Man mulS vorher nur die Komponenten des gegebenen Vektorfeldes definieren, wie 2.B. V 2 ( x , y , 2 ) := x-y

V 2 ( x , y , 2 ) ;= x-2

V 3 ( x , y , 2 ) := y-e^

Dann erhak man das Ergebnis d i v _ v ( v ^ , V 2 , V 3 , x , y , 2 ) - ^ y + y-exp(2) • In den Beisp.25.2b und c wurde fiir die Indi2ierung der Literalindex verwendet, da der Feldindex in der dem Autor 2ur Verfiigung stehenden Version von MATHCAD nicht funktionierte. • Falls fiir ein Vektorfeld v(r) ein Potential u(r) vorliegt, d.h. rotv(r) = 0 gilt, so gestaltet sich die Berechnung des Potentials liber die Integration der Be2iehungen

25.4

du

Kurven- und Oberflachenintegrale

433

, .

ay — = V3(r)

dz

i.allg. schwierig. Im Gegensatz zu anderen Computeralgebrasystemen besitzt MATHCAD keine Funktionen zur Berechnung des Potentials. Man kann hier nur die Integrationen der drei Gleichungen mittels der im Abschn.23.2 gegebenen Integrationsmethoden versuchen. Beispiel 25.3: Fiir das Coulombfeld (C - Konstante) v(x,y,z) = v ( r )

r = C-— =

C g--(x-i + y-j + z - k ) (x^+y^+z^)2

berechnet MATHCAD mit der im Beisp.25.2b definierten Funktion rot_v (0^ rot_v ( v - . , V 2 , V 2 , x , y , z ) -> 0 0

d.h., es ist ein Potentialfeld. Man erhalt das zugehorige Potential durch Integration zu u(r)

u(r)

=

- r Diese Berechnung mittels MATHCAD iiberlassen wir dem Leser. •

25.4 Kurven- und Oberflachenintegrale Ein weiterer wichtiger Gegenstand der Vektoranalysis ist die Berechnung von Kurven- und Oberfldchenintegralen. Hierflir existieren in MATHCAD keine vordefinierten Funktionen. Man kann derartige Integrale aber trotzdem mit MATHCAD berechnen, indem man sie vorher nach den entsprechenden Berechnungsformeln auf einfache bzw. zweifache Integrale per Hand zuriickfiihrt und diese anschlieJSend mittels MATHCAD berechnet. Im folgenden Beispiel illustrieren wir diese Vorgehensweise, indem wir je ein Kurven- und Oberflachenintegral berechnen. •

434

25

Vektoranaiysis

Beispiel 25.4: a) Berechnen wir das Kuwenintegral: J 2 X y dx + (x - y) dy c langs der Parabel zwischen den Punkten (0,0) und (2,4) Nach der Berechnungsformel fiir Kurvenintegrale erhalt man das bestimmte Integral

I

(2 • X • X + ( x - X ) • 2 • x ) dx

0

indem man fiir y die Parabelfunktion einsetzt. Dieses bestimmte Integral berechnet MATHCAD problemlos: 2

2 -x-x^ -h ( x - x^) -2 -xdx ^ 0

— 3

b) Berechnen wir ein Oberfldchenintegrah Es ist der Flacheninhalt der Kegelflache K

2u berechnen, der zwischen den Ebenen z = 0 und z = 1 liegt. Das zu berechnende Oberflachenintegral erster Art wird durch die Berechnungsformel auf ein zweifaches Integral zurlickgefiihrt 1 Vl-x^ 1 Vl-x^ J j dS = j j J l + z ^ + z ^ dydx = J J V2 d y d x K

-1 -Vl-x" _Ji_ 2

-1^ -Vl-x'

das MATHCAD berechnet 1

I >\/l - x^ ^2 d y d x "^ % '^2

-1

x2

26 Transformationen

26.1 Einfiihrung Im folgenden befassen wir uns mit wichtigen Vertretern von Integraltransformationen *

Laplacetransformation

*

Fouriertransformation

und ihren diskreten Vertretern und verwandten Transformationen wie *

Z-Transformation

* Wavelet-Transformation die ein breites Anwendungsspektrum besitzen. Im Rahmen des vorliegenden Buches konnen wir nicht auf Details dieser Transformationen eingehen, sondern illustrieren nur die Anwendung von MATHCAD: * In den Abschn.26.2-26.5 zeigen wir die Vorgehensweise in MATHCAD bei der Durchfuhrung dieser Transformationen und skizzieren im Abschn.26.6 die Grundidee bei ihrer Anwendung zur Losung von Gleichungen. * Im Abschn.27.3 und 28.2.4 losen wir mittels 2-Transformation bzw. Laplacetransformation *

Differenzengleichungen

*

Differentialgleichungen

im Rahmen von MATHCAD. Das Grundprinzip der betrachteten Transformationen besteht darin, gegebene Funktionen, die als Originalfunktionen oder Urbildfunktionen bezeichnet werden, in Funktionen zu transformieren, die als Bildfunktionen bezeichnet werden. Das Ziel derartiger Transformationen ist, Operationen im Rahmen der Originalfunktionen auf einfachere Operationen im Rahmen der Bildfunktionen zuriickzufuhren, wie dies z.B. bei der Anwendung auf die Losung von Differenzen- und Differentialgleichungen der Fall ist. •

436

26

Transformationen

26.2 Laplacetransformation Bei der Laplacetransformation wird eine Funktion f(t) die man als Originalfunktion oder Urbildfunktion bezeichnet, in eine Bildfunktion F(s) mittels der Integraltransformation

F(s) =Jf(t)e-'Mt 0

transformiert. Die Bildfunktion hei£t Laplacetransformierte und man schreibt formal F(s) = L [ f ] Die Durchfuhrung der Laplacetransformation ist nur unter gewissen Voraussetzungen an die Originalfunktion f ( t ) moglich. Die inverse Laplacetransformation (Rilcktransformation), d.h. die Berechnung der Originalfunktion aus der Bildfunktion, bestimmt sich unter gewissen Voraussetzungen aus c + ioo

f(t) = — 2ni

fe''F(s)ds C-loo

Wir illustrieren im Rahmen dieses Buches die Anwendung der Laplacetransformation zur Losung von Differentialgleichungen (siehe Abschn.28.2.4). Auf die mathematischen Grundlagen der Laplacetransformation konnen wir jedoch nicht naher eingehen und verweisen den interessierten Leser auf die Literatur. Im folgenden beschreiben wir die Vorgehensweise in MATHCAD zur Durchfuhrung der Laplacetransformation und inversen Laplacetransformation: •

Die Laplacetransformation vollzieht sich in folgenden Schritten: I. Zuerst gibt man die zu transformierende Funktion Urbildfunktion) f ( t ) in das Arbeitsblatt ein.

{Originalfunktion/

IL Danach markiert man eine Variable t im Funktionsausdruck von f ( t ) mit einer Bearbeitungslinie. IIL Abschlie£end liefert die Menlifolge Symbolics •=> Transform => Laplace (deutsch: Symbolik => Transformation => Laplace) die Laplacetransformierte iBildfunktiori) F ( s ) .

26.2

•

Laplacetransformation

Die inverse Laplacetransformation folgenden Schritten:

437

(Rticktransformation)

voUzieht sich in

I. Zuerst wird eine Variable s im Funktionsausdruck der Bildfunktion F ( s ) mit einer Bearbeitungslinie markiert. II. AbschlieEend liefert die Meniifolge Symbolics => Ti-ansform => Inverse Laplace (deutsch: Symbolik => Transformation => Laplace invers) die inverse Transformation (Riicktransformation), d.h. die Originalfunktion f ( t ) .

¥^ Die Laplacetransformation und ihre inverse Transformation lassen sich in MATHCAD auch mittels der Schlusselworter

inviaplaci

laplacB

bzw. aus der Operatorpalette Nr.9 realisieren, indem man in die im Arbeitsblatt erscheinenden Ausdrlicke • laplace, • - ^

h7N•

in den linken Platzhalter die zu transformierende Funktion und in den rechten die Variable eintragt und abschlieBend die Eingabetaste [ —

.ST

(22-3-z-hl)

b) Losen wir analog zu Beisp.a die Differenzengleichung zweiter Ordnung y, - 1 0 - y , _ i + 24-7^.2 = 30

( t = 2 , 3 , ... )

aus Beisp.27.2b mit den Anfangsbedingungen Yo = 3 , Yi = 12 mittels MATHCAD, wobei man beachten muJS, dalS die Gleichung in folgender Form zu schreiben ist: y(n+2) - 10 • y(n+l) + 24 • y(n) = 30

( n = 0 , 1 , ... )

Wir iiberlassen die einzelnen Schritte dem Leser und geben nur die inverse Z-Transformation, die die Losung liefert: 2

z - 7 - Z + 16 3-z

^ ^ ^n ^ /n invztrans,z - ^ 2 + 3-6 - 2-4

z^-ll-z^ + 34-z-24 c) Losen wir analog zu Beisp.a die einfache Differenzengleichung erster Ordnung aus der Zinsrechnung mittels MATHCAD, die wir im Beisp.27.1 kennengelernt haben: k(n+l) - k(n) • (1+i) ztrans , n ^ z- ztrans(k(n),n,z) - k(0) • z - ztrans(k(n),n,z) - i • ztrans(k(n),n,z) z - K ( n ) - k ( 0 ) - z - K ( n ) - i - K ( n ) solve,K(n) ^ k(0) k(0)

z-1 -i

invztrans, z -^ k(0) • ( ! + i)^ z- 1- i d) Losen wir eine Differenzengleichung, bei denen das charakteristische Polynom die dreifache Nullstelle X=2 besitzt. Hieraus ist zu ersehen, welche Gestalt bei diesen Fallen die allgemeine Losung hat: Im folgenden geben wir nur die inverse Z-Transformation, die die Losung liefert, wobei y(0), y(l) und y(2) fiir die 3 frei wahlbaren reellen Konstanten stehen:

27.3

2

Losung mittels Z-Transformation

y(0) -z^ + y d ) -2 + y(2) - 6-y(0) -z - 6-y(l) + 12-yCO)

455

invztrans,z

z^-6-z^+ 12-Z-8

i-2".y(0).n^---2"-y(0)-n+ Z^'-yCO) - i.2"-y(l)-n^ + 2''-y(l)-n + i-2''-y(2)-n^ - ^•2''.y(2)-n 2 2 2 8 8

Man sieht hieraus, dalS die allgemeine Losung die folgende Form mit den frei wahlbaren Konstanten a, b und c liat: y ( n ) = 2 ' ' - ( a - n ^ + b - n + c) •

28 Differentialgleichungen

28.1 Einfuhrung Differentialgleichungen spielen eine wichtige RoUe in Technik und Naturwissenschaften, da sich viele technische Prozesse und Naturgesetze durch sie modellieren lassen. Es gibt inzwischen auch zahlreiche Anwendungen in den Wirtschaftswissenschaften. Differentialgleichungen sind Gleichungen, in denen Funktionen und deren Ableitungen vorkommen. Die Aufgabe bei der Losung von Differentialgleichungen besteht darin, die gesuchten (unbekannten) Funktionen so zu bestimmen, da£ eine gegebene Differentialgleichung identisch erflillt wird. Derartig bestimmte Funktionen bezeichnet man als Losungsfunktionen. Man unterscheidet bei Differentialgleichungen zwischen gewohnlichen und partiellen Differentialgleichungen, in denen die auftretenden Funktionen * nur von einer (unabhangigen) Variablen (gewohnliche Differentialgleichungen) * von mehreren (unabhangigen) Variablen (partielle Differentialgleichungen) abhangen. • Bei den bisher behandelten Gleichungen - algebraischen Gleichungen in Kap.21 und Differenzengleichungen in Kap.27 - haben wir gesehen, dalS eine umfassende Losungstheorie nur im linearen Fall vorliegt. Dies ist bei alien Gleichungen der Fall, so auch bei Differentialgleichungen, wie im folgenden illustriert wird. Fiir nichtlineare Differentialgleichungen lassen sich nur fiir Spezialfalle Losungsfunktionen exakt berechnen. Wie bei alien Gleichungen stellt sich die Frage nach der Existenz von Losungen auch bei Differentialgleichungen. Da Differentialgleichungen Gleichungen in Funktionenraumen sind, ist hier diese Problematik wesentlich komplizierter. Unter einer Reihe von Voraussetzungen lassen sich fiir gewisse Differentialgleichungstypen Existenzaussagen fiir Losungsfunktionen beweisen. Den interessierten Leser verweisen wir diesbeziiglich auf die Literatur. Bei unseren Betrachtungen setzen wir im folgenden immer die Existenz von Losungsfunktionen voraus.

458

28

Differentialgleichungen

Wir konnen im Rahmen dieses Buches die komplexe Problematik gewohnlicher und partieller Differentialgleichungen nicht umfassend behandeln. Hierzu verweisen wir auf die zahlreiche Literatur. Wir illustrieren im Rahmen des Buches nur die Anwendung von MATHCAD zur Losung gewohnlicher Differentialgleichungen und geben einen Ausblick auf partielle Differentialgleichungen. Selbst bei der Anwendung von Computeralgebrasystemen ist die Problematik der Differentialgleichungen so umfangreich, dalS sie nur im Rahmen spezieller Abhandlungen ausfiihrlich dargestellt werden kann (siehe [27]). • MATHCAD besitzt im Gegensatz zu anderen Computeralgebrasystemen keine Moglichkeiten zur exakten Losung von Differentialgleichungen. Die entsprechenden Funktionen aus dem System MAPLE wurden nicht iibernommen. Die einzige Moglichkeit zur exakten Losung besteht bei MATHCAD in der Anwendung von Laplace- und Fouriertransformation (siehe Abschn.28.2.4). MATHCAD besitzt verschiedene vordefinierte Funktionen zur numerischen Losung, womit Anfangs- und Randwertaufgaben fiir Differentialgleichungen gelost werden konnen. Diese besprechen wir in den Abschn. 28.2.2, 28.2.3 und 28.3. Es empfiehlt sich, eigene Arbeitsbldtter zur Losung von Differentialgleichungen zu schreiben und diese abzuspeichern. Als Vorlage hierfiir konnen die folgenden Beispiele dienen. Dadurch erspart man sich Arbeit, da man in den erstellten Arbeitsblattern lediglich die Differentialgleichung, die Anfangs- und Randbedingungen und das Losungsintervall andern muE. Des weiteren kann man bereits vorhandene Arbeitsblatter zur Losung von Differentialgleichungen heranziehen, die sich in den Erweiterungspaketen befinden (siehe Abschn.28.4). •

28.2 Gewohnliche Differentialgleichungen Gewohnliche Differentialgleichungen sind dadurch charakterisiert, da£ die vorkommenden Funktionen nur von einer (unabhangigen) Variablen abhangen. Man unterscheidet hier zwischen einer Differentialgleichung und einem System von Differentialgleichungen, deren Ordnung von der hochsten auftretenden Ableitung der gesuchten Funktionen bestimmt wird. Bei Systemen gewohnlicher Differentialgleichungen betrachtet man vor allem Systeme erster Ordnung, die auch bei der Anwendung von MATHCAD eine Rolle spielen. Man sieht sofort, dai§ sich eine allgemeine Differentialgleichung n-ter Ordnung der Form

28.2

Gewohnliche Differentialgleichungen

y^"\x) =

459

f(x,y(x),y'(x),...,y^^-l\x))

mit der gesuchten Funktion y(x) durch Setzen von y(x) = yi(x) auf ein System von n Differentialgleichungen yi'(x) y2'(x)

erster Ordnung der Form

= y2(x) = y3(x)

yn-i'(x) = yn'(x) =

yn(x) f(x,yi(x),y2(x),...,yj,(x))

mit den gesuchten Funktionen yi(x),...,yn(x) zurtickfuhren lalSt, wobei y(x) = y i ( x ) die gesuchte Funktion der gegebenen Differentialgleichung n-ter Ordnung ist (siehe Beisp.28.1). Diese einfache Umformung einer Differentialgleichung hoherer Ordnung in ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung brauchen wir im folgenden ofters, da in MATHCAD eine Reihe vordefinierter Funktionen zur Losung von Differentialgleichungen nur auf Differentialgleichungen erster Ordnung anwendbar ist. • Beispiel 28.1: a) Die Differentialgleichung zweiter Ordnung y"(x) - 2 . y(x) = 0 la£t sich auf das System erster Ordnung yi'(x)

=

y2(x)

y2'(x)

=

2-yi(x)

zuriickfuhren. Die Funktion yi(x) dieses Systems liefert die Losung der gegebenen Differentialgleichung zweiter Ordnung. b) Die Differentialgleichung dritter Ordnung

460

28

Differentialgleichungen

y'"(x) + y"(x) + y'(x) + y(x) = 0 la£t sich auf das System erster Ordnung y i ' ( x ) = y2(x) y2'(x) = yjCx) yj'Cx) = - y 3 ( x ) - y 2 ( x ) - yjCx) zuriickfuhren. Die Funktion yi(x) dieses Systems liefert die Losung der gegebenen Differentialgleichung dritter Ordnung. • 28.2.1 Lineare Differentialgleichungen Fiir lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung, die die Form a^(x).y^"^(x) + a„_i(x).y^"-^^(x) +...+ ai(x)-y'(x) + ao(x)-y(x) = f(x) haben (mit der gesuchten Funktion y(x)), existiert die umfassendste Losungstheorie. Es lassen sich analoge Eigenschaften wie bei linearen algebraischen Gleichungen und Differenzengleichungen beweisen. Im folgenden skizzieren wir einige wesentliche Gesichtspunkte dieser Theorie: •

Die allgemeine Losung einer linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung hangt von n reellen Konstanten ab.

•

1st die Funktion f ( x ) der rechten Seite der Differentialgleichung identisch gleich Null (d.h. f ( x ) = 0), so spricht man von einer homogenen Differentialgleichung, ansonsten von einer inhomogenen.

•

Die allgemeine Losung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung ergibt sich als Summe aus der allgemeinen Losung der homogenen und einer speziellen Losung der inhomogenen Differentialgleichung.

•

Wenn die Koeffizienten ak(x)

( k = 0 , 1 , ... , n )

einer linearen Differentialgleichung gewisse Bedingungen erflillen, wie Z.B.: *

ai^(x) = aj^ = konstant ( k = 0 , 1 , ... , n ) d.h., es liegt eine Differentialgleichung mit konstanten vor,

Koeffizienten

28.2

*

Gewohnliche Differentialgleichungen

aj^(x)= bi^ • x^

461

(t>k - konstant, k = 0 , 1 , ... , n )

d.h., es liegt eine Eulersche Gleichung vor, so fiihren Ansatzmethoden zur Konstruktion von Losungsfanktionen fiir die homogene Differentialgleichung zum Ziel, wie z.B. bei konstanten Koeffizienten der Ansatz y ( x ) = e^-^ mit dem Parameter A,, der die charakteristische Gleichung (charakteristisches Polynom n-ten Grades) a„ • X," + a^.i • X""^ + ... + a^ • X + ao = 0 liefert. Der einfachste Fall liegt vor, wenn dieses charakteristische Polynom n paarweise verschiedene reelle Nullstellen

besitzt. In diesem Fall lautet die allgemeine Losung der homogenen Differentialgleichung ( C j - beliebige Konstanten): y(x)

= Cj-e^i"^ + C2'e^2-^ + C3-e^^'' + ... + c ^ - e ^ " ' '

Bzgl. der Losungskonstruktion bei mehrfachen bzw. komplexen Losungen des charakteristischen Polynoms verweisen wir den interessierten Leser auf die Literatur. Man kann sich die entsprechenden Losungsfunktionen auch von MATHCAD berechnen lassen, wenn man die LaplaceTransformation (siehe Abschn.26.2) anwendet. Im Beisp.28.8d findet man dies fiir eine mehrfache reelle Losung des charakteristischen Polynoms.

1^ Bei inhomogenen linearen Differentialgleichungen (d.h.f(x)9t o) darf die Funktion f ( x ) der rechten Seite nicht allzu kompliziert sein, um die allgemeine Losung exakt bestimmen zu konnen. Fiir nichtlineare gewohnliche Differentialgleichungen existieren nur fiir Spezialfalle wie z.B. Bernoullische, Riccatische, Lagrangesche, Clairautsche, Besselsche, Legendresche Differentialgleichungen Theorien zur exakten Bestimmung von Losungsfunktionen. • 28.2.2 Anfangswertaufgaben Man spricht bei gewohnlichen Differentialgleichungen von Anfangswertaufgaben, wenn fiir die gesuchten Funktionen (Losungsfunktionen) nur Bedin-

28

462

Differentialgleichungen

gungen fiir einen Wert der unabhangigen Variablen x vorgegeben sind, die als Anfangsbedingungen bezeichnet werden: * Fiir eine Differentialgleichung n-ter Ordnung der Form y^^\x) =

f(x,y(x),y'(x),...,y^^-l\x))

bedeutet dies, daJ^ n Bedingungen (Anfangsbedingungen) fiir die gesuchte Funktion y(x) und ihre Ableitungen nur fiir einen x-Wert x = a vorgegeben sind, wie z.B. im einfachsten Fall die Anfangsbedingungen y(a) = yo, y'(a) = yi , ... , y^^'^^a) = y^_i mit vorgegebenen Zahlenwerten (Anfangswerten) Yo , Yl , - , Yn-l * Fiir SySterne von n Differentialgleichungen erster Ordnung der Form (in vektorieller Schreibweise) y'(x) = f(x,y(x)) bedeutet dies die Anfangsbedingungen (fiir x = a) y ( a ) = y* wobei - y (x) (Vektor der gesuchten Funktionen) -

y*

(Vektor der gegebenen Anfangswerte)

-

f(x,y(x))(Vektor der rechten Seiten des Differentialgleichungssystems)

die n-dimensionalen Vektoren ^fi(x,y(x))^

TYICX)"!

y(x) =

Y2(x) Yn(x)

bzw. ,Yn-l,

f(x,y(x))

f2(x,y(x)) fn(x,y(x))

bezeichnen. MATHCAD kann Anfangswertaufgaben fiir Differentialgleichungen n-ter Ordnung und Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung numerisch (naherungsweise) losen, wofiir folgende Numerikfunktionen vordefiniert sind: rkfixed (y, a, b, punkte, D)

(deutsch: rkfest (y, a, b, punkte, D))

Diese vordefinierte Funktion ist auf Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung anwendbar und verwendet eine Methode von RungeKutta vierter Ordnung, wobei die Argumente folgende Bedeutung haben:

28.2

Gewohnliche Differentialgleichungen

463

* y bezeichnet den Vektor der Anfangswerte an der Stelle yi= a, dem diese vorher in der Form y : = y* im Arbeitsblatt zuzuweisen sind. *

a und b (b>d) sind die Endpunkte des Losungsintervalls [a,b] auf der x-Achse, wobei a der Anfangswert fiir x ist, fiir den der Funktionswert y(^)=y" des gesuchten Funktionenvektors (Losungsvektors) y(x) gegeben ist.

* punkte bezeichnet die Anzahl der gleichabstandigen x-Werte im Interval! [a,JA, in denen Naherungswerte fiir den Losungsvektor berechnet werden. * D bezeichnet den Vektor der rechten Seiten des Differentialgleichungssystems, dem diese vorher in der Form D(x,y):=f(x,y) im Arbeitsblatt zuzuweisen sind. Am einfachsten la£t sich die Numerikfunktion rkfixed auf e i n e Differentialgleichung erster Ordnung (d.h. n=l) der Gestalt y' (x) = f ( X , y(x) ) mit der Anfangsbedingung yia) = y" anwenden, die hierfiir eine Ergebnismatrix mit zwei Spalten liefert. Darin stehen in der * ersten Spalte die vorgegebenen x-Werte, * zweiten Spalte die fiir die x-Werte der ersten Spalte berechneten Naherungswerte der Losungsfunktion y(x). Die Anzahl der Zeilen dieser Ergebnismatrix wird durch das Argument punkte bestimmt, d.h. von der Anzahl der vorgegebenen x-Werte. Wenn man nur eine Differentialgleichung und damit auch nur eine Anfangsbedingung hat, so mu£ in MATHCAD diese Anfangsbedingung einem Vektor y mit einer Komponente zugewiesen werden. Die genaue Vorgehensweise ist aus Beisp.28.2 ersichtlich. •

odesolve ( x , ^ , punkte )

(deutsch: gdglosen ( x , ^ , punkte ))

Diese vordefinierteFunktion ist auf beliebige Differentialgleichungen und Differentialgleichungssysteme mit Anfangs- und Randbedingungen anwendbar, wobei b (>d) und punkte die gleiche Bedeutung wie bei rkfi-

464

28

Differentialgleichungen

x e d besitzen. Der Anfangspunkt a des Losungsintervalls ist nicht explizit einzugeben. Er ergibt sich aus den eingegebenen Anfangsbedingungen. Die Anwendung vollzieht sich in einem Losungsblock analog zur Losung von Gleichungen (siehe Kap.21) in folgenden Schritten: I. Zuerst gibt man given

(deutsch: Vorgabe)

in das Arbeitsblatt ein. Dabei ist zu beachten, daf^ dies im Rechenmodus geschehen mulS. II. AnschlieJSend sind darunter die zu losenden Differentialgleichungen mit den Anfangs- und Randbedingungen einzugeben. Dabei mu£ das Gleichheitszeichen in den einzelnen Gleichungen unter Verwendung des Gleichheitsoperators

aus der Operatorpalette Nr.6 oder der Tastenkombination eingegeben werden. Die Ableitungen in der Differentialgleichung konnen mittels der Differentiationsoperatoren

^

171

1 Jx" aus der Operatorpalette Nr.5 oder mittels Strichnotation y'(x) , y"(x) , y"'(x) , ... eingegeben werden, wobei die Striche durch die Tastenkombination fStrglfFTl

zu erzeugen sind. Die Ableitungen in den Anfangs- und Randbedingungen konnen nur mittels Striche gebildet werden. III. AbschlieBend ist unter den zu losenden Differentialgleichungen mit Anfangs- und Randbedingungen die vordefinierte Funktion odesolve in der Form y := odesolve ( x , ^ , punkte ) im Rechenmodus einzugeben, wobei punkte weggelassen werden kann, wenn MATHCAD diese selbst wahlen soil. Der durch given und odesolve begrenzte Bereich wird als Losungsblock bezeichnet. Wie odesolve auf Systeme von Differentialgleichungen anzuwenden ist, illustrieren wir im Beisp.28.3a2.

28.2

Gewohnliche Differentialgleichungen

465

IV. Die von odesolve berechnete Naherung fiir den Funktionswert y(x) der Losungsfunktion y im Punkt xe[a,b] kann man im Arbeitsblatt ausgeben, indem man y(x) = eingibt (siehe Beisp.28.2a2). Die Funktion odesolve ist einfacher zu handhaben als rkfixed. Au£erdem ist sie auf beliebige Differentialgleichungen mit Anfangs- und Randbedingungen anwendbar. odesolve verwendet bei Anfangswertaufgaben RungeKutta-Methoden. Durch Klicken mit der rechten Maustaste auf odesolve erscheint eine Dialogbox, in der man bei Anfangswertaufgaben zwischen Methoden mit fester {Fixed) oder adaptiver {Adaptive) Schrittweite bzw. fiir steife Differentialgleichungen iStifj) auswahlen kann. • Illustrieren wir die Anwendung der beiden vordefinierten Numerikfunktionen odesolve und rkfixed auf Differentialgleichungen erster Ordnung im folgenden Beispiel. Beispiel 28.2: a) Die Losung der linearen inhomogenen Differentialgleichung erster Ordnung y' (x) = - 2 X • y(x) + 4 • x mit der Anfangsbedingung y(0) = 3 la£t sich exakt berechnen und lautet y(x) = 2 + e"""' Numerisch (naherungsweise) kann die Losungsfunktion im Intervall [0,2] mittels MATHCAD folgendermalSen berechnet werden: al)Durch Anwendung der vordefinierten Numerikfunktion rkfixed, mit der wir im Intervall [0,2] in 10 Punkten Naherungen fiir die Losungsfunktion berechnen: Im folgenden wird die Ergebnismatrix in Matrixform angezeigt. Wir haben dies eingestellt, wie im Kap.18 beschrieben wird. Die Indizierung der auftretenden Vektoren und Matrizen wird mit 0 begonnen, d.h. ORIGIN := 0. yo:=3

D ( x , y ) : = - 2 - x - y -h 4

u := rkfixed ( y , 0 , 2 , 10 , D )

466

28

Differentialgleichungen

Die von MATHCAD berechnete Ergebnismatrix u enthalt in der ersten Spake die vorgegebenen x-Werte, fiir die die zugehorigen Funktionswerte y(x) der Losung der Differentialgleichung in der zweiten Spake naherungsweise berechnet wurden: 0 0.2

3 2.96

0.4

2.85 2.7

0.6 u =

0.8 1 1.2

2.53 2.37 2.24

1.4

2.14

1.6

2.08

1.8 2

2.04 2.02

Die grafische Darstellung der exakten und naherungsweise berechneten Losungsfunktion y(x) lalSt die gute Ubereinstimmung beider erkennen. Da die Indizierung mit 0 beginnt, befinden sich in der Ergebnismatrix u in der Spake 0 die x-Werte und in der Spake 1 die daftir berechneten Naherungswerte der Funktion y(x): x:= 0,0.001.. 2

111 u

-h-h-h

.

a2)Anwendung der vordefinierten Numerikfunktion odesolve: given y'(x) = -2-x-y(x) + 4-x

y(0) = 3

y := odesolve ( x , 2 , 10 )

28.2

Gewohnliche Differentialgleichungen

467

Die grafische Darstellung der exakten und naherungsweise berechneten Losungsfunktion y(x) laJSt ebenso wie im Beisp.al die gute Ubereinstimmung beider erkennen:

2+e y(x)

2.5 h

Von odesolve berechnete Naherungswerte fiir die Losungsfunktion y(x) kann man sich im Arbeitsblatt anzeigen lassen, indem man x als Bereichsvariable definiert, wie z.B. X := 0, 0.2 .. 2 y(x) =

2.96 2.85 2.7 2.53 2.37 2.24

2.14 2.08 2.04 2.02

b) Die nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung y'(x) = y^(x)-(cosx - sinx) - y(x) mit der Anfangsbedingung y(0) = 1/2 hat die exakte Losung

468

28

Differentialgleichungen

1

y(x)

2e^-sinx bl)MATHCAD liefert im Intervall [0,4] mittels rkfixed eine Naherungslosung: 1

2 D ( x , y ) :=y -(cosCx) - sin(x)) - y

Yo . _ £

x:=0,0.4..4

u := rkfixedCy, 0 , 4 , 1 0 , D) In der von rkfixed gelieferten Ergebnismatrix u stehen die vorgegebenen x-Werte in der ersten Spalte und die berechneten Naherungswerte fiir die Losungsfunktion y(x) in der zweiten Spalte. ^ 0

05^

0.4

0.385

0.8

0.268

1.2

0.175

1.6

0.112

2

0.072

2.4

0.047

2.8

0.031

3.2

0.02

3.6

0.014

4

0.009

Im folgenden sind die exakten Werte der Losungsfunktion y(x) mit den zugehorigen x-Werten zu sehen. Der Vergleich mit der Ergebnismatrix u zeigt eine gute Ubereinstimmung der von MATHCAD berechneten Naherungswerte mit den exakten Werten der Losungsfunktion: y(x):=

^ 2-e - sin(x)

28.2

Gewohnliche Differentialgleichungen

X =

rr

469

y(x) = 0.5

roT

0.385

0.8

0.268

TJ

0.175

FTi"

0.112

2

0.072

2.4

0.047

2.8

0.031

3.2

0.02

3.6

0.014

4

0.009

b2)MATHCAD liefert im Intervall [0,4] mittels odesolve in der Form given r\

9

— y ( x ) = y ( x ) -(cosCx) dx

sin(x)) - y(x)

y(0) = ^ y := odesolve ( x , 4 , 10 ) eine Naherungslosung fiir y(x), die wir in 10 Punkten berechnen und die mit der im Beisp.bl berechneten iibereinstimmt: x:=0,0.4..4 x =

y(x) =

I 0

0.5

0.4

0.385

0.8

0.268

1.2

0.175

1.6

0.112

2

0.072

2.4

0.047

2.8

0.031

3.2

0.02

3.6

0.014

4

0.009

28

470

Differentialgleichungen

Wenden wir die beiden vordefinierten Funktionen rkfixed und odesolve an, um Anfangswertaufgaben fiir Differentialgleichungen hoherer Ordnung und Systeme von n Differentialgleichungen erster Ordnung der Form y i ' ( x ) = f i ( x , y i ( x ) ,...,yn(x)) y2'(x) = f2(x,yi(x) ,...,yn(x)) y n ' ( x ) = f n ( x , y i ( x ) ,...,yn(x)) mit Anfangsbedingungen yi(a) = yo . y2(a) = y? ,...,yn(a) = y^_i im Intervall [a, b] zu losen. Man geht hier analog wie vorangehend bei einer Differentialgleichung erster Ordnung vor: •

Anwendung von rkfixed Diese Funktion ist nur auf Differentialgleichungen erster Ordnung anwendbar. Bei Differentialgleichungen hoherer Ordnung mulS man diese vorher auf ein System erster Ordnung zuriickfuhren, wie zu Beginn beschrieben wurde (siehe Beisp.28.1 und 28.3bl). Man mu£ den beiden Argumenten y und D von rkfixed vorher im Arbeitsblatt den Vektor der Anfangsbedingungen bzw. der rechten Seiten des Systems zuweisen, d.h. ffi(x,yi,.,yn)'l

Yo D ( x , y ) := Jn-l,

f2(x,yi,..,yn) (^fn(x,yi,.-,yn)

rkfixed berechnet eine Ergebnismatrix mit n+1 Spalten, wobei in * der ersten Spalte die vorgegebenen x-Werte * den restlichen n Spalten die dafiir berechneten Naherungswerte fiir die Losungsfunktionen yi(x),...,y„(x) stehen (siehe Beisp.28.3). Anwendung von odesolve Wie bereits beschrieben, ist diese Funktion auf beliebige Differentialgleichungen mit Anfangs- und Randbedingungen anwendbar. Wie bei der Anwendung auf Systeme von Differentialgleichungen vorzugehen ist, illustrieren wir im Beisp.28.3a2.

28.2

Gewohnliche Differentialgleichungen

471

Beispiel 28.3: a) Das Differentialgleichungssystem yi'(x) = 72'(X) =

yi(x) 2 - y i ( x ) + 3-y2(x) 72 (x) 2 - y i ( x ) + 3-y2(x)

mit den Anfangsbedingungen yi(0) = 1 , y2(0) = 2 besitzt die exakte Losung yi(x) = - + 1

y2(x) = - + 2

O

Die naherungsweise Losung mittels MATHCAD gestaltet sich folgenderma£en: al)Anwendung von rkflxed

D(x,y) : =

y :=

Yi 2 • Yi + 3 • y2 Y2 2-Yi + 3-Y2J

Y := rkfixed (y , 0 , 2 , 10 , D) 0

1

0.2 1.025 0.4

Y==

2 2.05

1.05

2.1

0.6 1.075 0.8 1.1

2.15

1

1.125

2.2 2.25

1.2

1.15

2.3

1.4

1.175

2.35

1.6

1.2

2.4

1.8

1.225

2.45

2

1.25

25)

MATHCAD berechnet in der Ergebnismatrix Y fiir die vorgegebenen x-Werte der ersten Spake aus dem Intervall [0,2] in den Spalten 2 und 3 die Naherungswerte fiir die Losungsfunktionen YiCx) und y2(x)

472

28

Differentialgleichungen

a2)Anwendung von odesolve given

yr(x) =

yi(x) 2-yl(x) + 3-y2(x)

y2'(x)

y2(x) 2-yl(x) + 3-y2(x)

y l ( 0 ) = 1 y2(0) = 2

:= odesolve

yi

x,2,10

> •'»• 5 * *

)

Die berechneten Naherungswerte fiir die Losungsfunktionen sind die gleichen wie im Beisp.al: x:=0,0.2..2 yl(x) : 1

y2(x) 2|

1.025

2.05

1.05

2.1

1.075

2.15

1.1

2.2

1.125

2.25

1.15

2.3

1.175

2.35

1.2

2.4

1.225

2.45

1.25

2.5

28.2

Gewohnliche Differentialgleichungen

473

b) Losen wir die Anfangswertaufgabe fiir die Differentialgleichung zweiter Ordnung y" (x) - 2 . y(x) = 0

, y(0) = 2 , y' (0) = 0

in MATHCAD numerisch (naherungsweise) mittels rkfixed und odesolve. Die exakte Losungsfunktion dieser Aufgabe lautet y(x) = e ^ ^ + e " ^ ^ bl)Fur die Anwendung von rkfixed mu£ die gegebene Aufgabe auf die folgende Anfangswertaufgabe fiir Systeme erster Ordnung zuriickgefiihrt werden: y i ' ( x ) = y2(x)

, yi(0)=2

y2'(x) = 2-yi(x)

, y2(0)=0

Die Funktion YiCx) dieses Systems liefert die gesuchte Funktion y(x) der Differentialgleichung zweiter Ordnung. Wir fiihren die Rechnung im Intervall [0,4] mit der Schrittweite 0.4 durch und zeichnen die exakte und naherungsweise berechnete Losung in ein Koordinatensystem. Die von rkfixed berechnete Ergebnismatrix Y enthalt in der ersten Spake die vorgegebenen x-Werte aus dem Intervall [0,4] und in der zweiten und dritten Spalte die berechneten Naherungswerte fiir yi(x) bzw. y2(x) da in diesem Beispiel die Indizierung mit 1 (d.h. ORIGIN := 1) begonnen wurde:

Y := rkfixed (y , 0 , 4 , 10 , D)

474

28

0 0.4 0.8 1.2 Y =

1.6 2

2 2.329 3.421

0 1.685 3.924

5.637 9.702

7.452 13.426

16.953 29.768

2.4 2.8

Differentialgleichungen

3.2

52.355 92.128

3.6

162.144

4

285.386

23.807 42.003 73.987 130.258 229.289 403.587

Die folgende Grafik la£t die gute Ubereinstimmung der von MATHCAD in der zweiten Spalte der Ergebnismatrix Y berechneten Naherung mit der exakten Losungsfunktion erkennen: X := 0,0.001 ..4 1 200

eV2x_^^-V2x y

-h -H -h

0

1.. 1 . rl—H-'~'T"'^ — 1 1 T 1

0

1

1

2

4

b2)Bei der Anwendung von odesolve braucht die gegebene Differentialgleichung nicht umgeformt werden, sondern kann direkt eingegeben werden: given y"(x)-2-y(x) = 0

y(0) = 2

y := odesolve ( x , 4 , 10 ) x:=0,0.4..4

y'(0) = 0

28.2

Gewohnliche Differentialgleichungen

X =

475

yCxj) =

2

0

2.329 3.421 5.637

1.6 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4

9.702 16.953 29.768 52.355 92.128 162.144 285.386

Man sieht, dalS die gleichen Naherungen wie im Beisp.bl berechnet werden. Neben den universellen Funktionen odesolve zur Losung beliebiger Differentialgleichungen mit Anfangs- und Randbedingungen und rkfixed zur Losung von Anfangswertaufgaben fiir Differentialgleichungssysteme erster Ordnung sind in MATHCAD noch weitere Funktionen zur naherungsweisen Losung von Differentialgleichungssystemen erster Ordnung vordefiniert. Diese Funktionen erweisen sich bei der Anwendung auf spezielle Typen von Differentialgleichungen wie z.B. steife Differentialgleichungen als vorteilhaft. Sie verwenden neben den Argumenten von rkfixed gegebenenfalls noch weitere Argumente. Im folgenden stellen wir diese Funktionen kurz vor: •

Bulstoer Diese Funktion benutzt die Methode von Bulirsch-Stoer.

•

Rkadapt Im Gegensatz zu rkfixed werden hier die gesuchten Funktionen mit der Runge-Kutta-Methode nicht in gleichabstandigen x-Werten berechnet. Die Schrittweite in der Funktionswertberechnung wird in Abhangigkeit von der Funktionsanderung gewahlt. Das Ergebnis wird allerdings in gleichabstandigen x-Werten ausgegeben.

•

Radau Diese Funktion verwendet eine implizite zur Losung steifer Differentialgleichungen. Stiffb und Stiffr

Runge-Kutta-Radau5-Methode

(deutsch: Steifb und Steifr)

476

28

Differentialgieichungen

Diese Funktionen verwenden die Methode von Bulirsch-Stoer bzw. Rosenbrock zur Losung steifer Differentialgieichungen. In diesen Funktionen erscheint an letzter Stelle als zusatzliches Argument der Matrixname J, der flir eine Matrix J(x,y) vom Typ (n,n+l) steht, die vorher definiert werden mu£ und die als * erste Spalte

—

* restliche n Spalten

(k = 1, 2, ... , n)

enthalt, wobei D die Matrix D(x,y) der rechten Seiten des Differentialgleichungssystems erster Ordnung bezeichnet. Wenn man nur am Wert der Losung am Intervallende b interessiert ist, so kann man die eben behandeken Funktionen mit kleinem Anfangsbuchstaben bulstoer, rkadapt, radau, stiffb und stiffr heranziehen, die bis auf die Argumente mit denen mit GrolSbuchstaben identisch sind: * bulstoer ( y , a , b, gen , D , punktemax,

min )

* rkadapt ( y , a , b, gen , D , punktemax,

min )

* radau ( y , a , b, gen , D , punktemax,

min )

* stiffb ( y , a, b, gen , D , J , punktemax,

min )

* stiffr ( y , a , b, gen , D , J , punktemax,

min )

Hierbei besitzen die zusatzlichen Argumente folgende Bedeutung: *

gen steuert die Genauigkeit der Losung durch Veranderung der Schrittweite. Es wird hierfiir der Wert 0.001 vorgeschlagen.

*

punktemax gibt die maximale Anzahl von Punkten im Intervall [a,b] an, in denen Naherungswerte berechnet werden.

*

min bestimmt den minimalen Abstand von x-Werten, in den Naherungswerte berechnet werden.

28.2

Gewohnliche Differentialgleichungen

477

Illustrieren wir die Anwendung der Numerikfunktionen von MATHCAD im folgenden Beispiel. Beispiel 28.4: Losen wir ein in der Literatur betrachtetes Beispiel einer steifen Differentialgleichung y' = -10 (y - arctan x) +

l + x"^

mit der Anfangsbedingung y(0) = 1 das die exakte Losung y(x) = e~^^^ + arctan X besitzt. Zur naherungsweisen Losung im Intervall [0,5] werden wir die besprochenen vordefinierten Numerikfunktionen von MATHCAD anwenden und die Ergebnisse mit der exakten Losung vergleichen: a) Anwendung von rkfixed y^ := 1

D ( x , y ) ;= - 1 0 - ( y - atan(x)) ^ 1 -h x^

u l := rkfixed(y,0,5,20,D) X := 0 , 0 . 0 1 ..5

nr 1 , ^ r \ e-10-x -|-atanCx)

-^

r*"''"/^

ul

-h-h-h

1

0 0

1 4

2 i

b) Anwendung von Bulstoer Yo

D ( x , y ) := -lO'Cy - atan(x)) -h

u2 := BulstoerCy, 0, 5 , 20 , D)

1 4-x^

478

28

Differentialgleichungen

X := 0 , 0 . 0 1 ..5

e-l^'^^atanCx) u2 •|- + -h

x,u2, c) Anwendung von Rkadapt YQ ;= 1

D ( x , y ) := - 1 0 < y - atan(x)) -h 1 +x'

u3 := RkadaptCy, 0 , 5 , 20 , D) X := 0 , 0 . 0 1 ..5

1 re-l^'^-l-atan(x) 2

x,u3 d) Anwendung von Radau: YQ := 1

D ( X , Y ) := - 1 0 - ( Y - atan(x))

1 ^x' u := Radau(Y, 0, 5, 20, D)

28.2

Gewohnliche Differentialgleichungen

479

x:= 0,0.01 ..5

e'^^'^'+atanCx) -(-;.)

Y := rkfixed ( y , a , b , 10 , D ) Die grafische Darstellung der erhaltenen Naherungslosung und der exakten Losung zeigt die gute Ubereinstimmung (siehe auch Beisp.28.6b): X := 0,0.001.. 2

28.2

Gewohnliche Differentialgleichungen

489

2-cos(x)+3'Sin(x) Y

(2-sH-a) (s' + l)

(2-s-ha)

invlaplace, s ~^ 2 -cosCt) -h a-sinCt)

(s' + l) Nach Einsetzen der gegebenen Randbedingung in die erhaltene Losung kann der unbekannte Parameter a unter Verwendung des Schliisselworts solve 2ur Losung von Gleichungen: 2-cos — -t-a-sin — = 3 solve, a " ^ 3 \2/

\2/

berechnet werden. Damit wird die Losungsfunktion y(t) = 2 • cos(t) + 3 • sin(t) fiir die gegebene Randwertaufgabe erhalten. d) Bestimmen wir mittels Laplacetransformation die allgemeine Losung der homogenen linearen Differentialgleichung dritter Ordnung y"'(t) - 3 • y"(t) + 3 • y'(t) - y(t) = 0 mit konstanten Koeffizienten, deren charakteristisches Polynom die dreifache Nullstelle 1 besitzt. Dazu schreiben wir fiir die unbekannten Anfangswerte y(0), y'(0) und y"(0) die Parameter a,b bzw. c. Die Transformation der Originalgleichung in die Bildgleichung iiberlassen wir dem Leser. Im folgenden losen wir mittels MATHCAD nur die erhaltene Bildgleichung und geben die Rlicktransformation, die die allgemeine Losung liefert: s-[s-(s-Y(s) - a ) - b ] -c-3-s-(s.Y(s) - a ) + 3-b+ 3-sY(s) - 3-a-Y(s) solve,Y(s) ->

s •a+s-b+c - 3-s-a-3-b+3'a 5^-3-5^+3.5-1

28.3

Partielle Differentialgleichungen

2

s •a+s-b+c - 3-s-a-3-b+3-a

495

, , invlaplace,s

s^-3-s^+3-s-l

2

1 2

1 2

-t -expCt) -b + — -t -expCt) -a + ~ -t -expCt) -c + t-exp(t) -b - t-exp(t) -a + a-exp(t) Durch Ausklammern der e-Funktion und Zusammenfassung erhalt man das von MATHCAD berechnete Ergebnis in der Gestalt y(t) = (A + B-t + C-t^ )-e^ und bestatigt damit die aus der Theorie fiir eine dreifache reelle Nullstelle des charakteristischen Poiynoms folgende Form der allgemeinen L6sung. • Beispiel 28.8c zeigt die Vorgehensweise bei der Losung von Randwertaufgaben mittels Laplacetransformation: Die gegebene Randwertaufgabe wird als Anfangswertaufgabe mit unbekannten Anfangsbedingungen mittels Laplacetransformation gelost, wobei fiir die unbekannten Anfangsbedingungen Parameter a , b , ... eingesetzt werden. AnschlielSend werden mittels der gegebenen Randbedingungen die unbekannten Parameter a , b , ... in der berechneten Losung bestimmt. •

28.3 Partielle Differentialgleichungen Zahlreiche Phanomene in Technik und Naturwissenschaften lassen sich nicht auf befriedigende Weise durch gewohnliche Differentialgleichungen beschreiben, wahrend partielle Differentialgleichungen die Problematik wesentlich besser widerspiegeln. Dies betrifft auch die Wirtschaftswissenschaften, wo in neueren Untersuchungen ebenfalls partielle Differentialgleichungen anzutreffen sind. Man kann einschatzen, dafS viele fundamental Naturgesetze in der Sprache partieller Differentialgleichungen formuliert sind. Beispiele hierfiir bilden * Stromungsmechanik (Navier-Stokes Gleichungen), * Warmeleitungsprozesse (Warmeleitungsgleichungen), * Schwingungsvorgange (Schwingungsgleichungen), * Diffussion chemischer Substanzen (Diffusionsgleichungen), * Wellen (Wellengleichungen), * Elektromagnetismus (Maxwellsche Gleichungen).

496

28

Differentialgleichungen

Hieraus resultiert die Wichtigkeit partieller Differentialgleichungen bei der Modellierung in Technik und Naturwissenschaften. Die Theorie partieller Differentialgleichungen ist wesentlich komplexer als die gewohnlicher Differentialgleichungen, so da£ wir im Rahmen des Buches nicht darauf eingehen konnen. Wie bei Gleichungen nicht anders 2u erwarten, werden hier die weitreichendsten Aussagen fur den linearen Fall geliefert, wobei diese wesentlich vom Typ der Differentialgleichung abhangen. Durch die Entwicklung immer leistungsstarkerer Computer gewinnt die numerische (naherungsweise) Losung partieller Differentialgleichungen immer mehr an Bedeutung, da sich eine exakte Losung schwierig und aufwendig gestaltet. Deshalb ist es nicht verwunderlich, da£ MATHCAD zur exakten Losung keine vordefinierten Funktionen zur Verfiigung stellt. Man kann aber die Entwicklung in Fourierreihen, die Fourier- und Laplacetransformation verwenden, um mittels MATHCAD spezielle lineare partielle Differentialgleichungen exakt zu losen. In MATHCAD sind zur numerischen (naherungsweisen) Losung gewisser Klassen partieller Differentialgleichungen Numerikfunktionen vordefiniert: •

relax und multigrid (deutsch: tnultigit) zur naherungsweisen Losung von Poissonschen der Ebene 3^u(x,y)

3^u(x,y)

ax'

ay'

Differentialgleichungen

= f(x,y)

die liber einem quadratischen Gebiet als Randwertaufgaben definiert sind. Diese gehoren zu den elliptischen Differentialgleichungen zweiter Ordnung und treten vor allem bei statischen (zeitunabhangigen) Prozessen auf, wie bei stationaren Diffusionen und Wellen und in der Elektrostatik (elektrisches Potential). Zur Anwendung von MATHCAD ist die Differentialgleichung mittels Differenzenmethoden in eine Differenzengleichung zu iiberfiihren, die sich dann mittels der beiden Funktionen numerisch losen la£t. Die Vorgehensweise ist aus den Beispielen im Erweiterungspaket QuickSheets ersichtlich (siehe auch Beisp.28.9b) pdesolve ( u , x , x-Bereich , t , t-Bereich , punkte) Diese Funktion ist auf Systeme von hyperbolischen oder parabolischen partiellen Differentialgleichungen fiir Funktionen u(x,t) mit zwei unabhangigen Variablen (x,t) mit Anfangs- und Randbedingungen (Dirichletoder Neumann-Bedingungen) anwendbar, wobei die Argumente folgende Bedeutung haben: *

x-Bereich

28.3

Partielle Differentialgleichungen

497

Spaltenvektor mit den beiden Endpunkten des x-Intervalls *

t-Bereich Spaltenvektor mit den beiden Endpunkten des t-Intervalls

*

punkte Anzahl der Punkte in x-Richtung und t-Richtung in der Form M,N. Dies dient zur Festlegung der Gitterpunkte, in denen die gesuchte Funktion u(x,t) naherungsweise berechnet wird.

Die Anwendung dieser Funktion pdesolve vollzieht sich in einem L6sungsblock mit given analog zur Funktion odesolve flir gewohnliche Differentialgleichungen (siehe Abschn.28.2.2), wobei die partiellen Ableitungen durch Indizes einzugeben sind (siehe Beisp.28.9c und d). Bei der dem Autor vorliegenden MATHCAD-Version funktionierte hierfur der Literalindex. Als numerische Methode wendet pdesolve eine Linienmethode an. *

numol Diese Funktion ist auf Systeme von hyperbolischen oder parabolischen partiellen Differentialgleichungen flir Funktionen u(x,t) mit zwei unabhangigen Variablen (x,t) mit Anfangs- und Randbedingungen (Dirichletoder Neumann-Bedingungen) anwendbar und verwendet eine Linienmethode. Die Anwendung dieser Funktion wird im Beisp.28.9d2 illustriert.

i^ Um sich die Arbeit zu erleichtern, sollte man auf bereits erstellte MATHCAD-Arbeitsblatter zur Losung partieller Differentialgleichungen zuriickgreifen, die sich in Erweiterungspaketen wie z.B. * Numerical Recipes Extension Pack im Abschnitt 15.4 Relaxation Methods for Boundary Value Problems *

QuicliSheets im Abschn. liber Differentialgleichungen

befinden. Im folgenden Beispiel zeigen wir Ausschnitte aus derartigen Arbeitsblattern zur Losung partieller Differentialgleichungen, um den Anwender einen Einblick zu vermitteln. Zur Losung anfallender Aufgaben sollten diese Arbeitsblatter herangezogen werden, indem die konkreten Gleichungen und Anfangs- und Randbedingungen eingesetzt werden. Dazu mu£ vom Anwender flir eine zu losende Aufgabe zuerst der Typ der Differentialgleichungen und die Form der Anfangs- und Randbedingungen bestimmt werden, da die in MATHCAD vordefinierten Funktionen nur bestimmte Typen von Differentialgleichungen losen. •

498

28

Differentialgleichungen

Beispiel 28.9: a) Im Abschn.15.4 des Erweiterungspakets Numerical Recipes Extension Pack findet man folgendes Arbeitsblatt mit der vordefinierten Funktion sor zur numerischen Losung der Poissonschen Differentialgleichung, wenn man diese in die angegebene Differenzengleichung liberflihrt.

i

HBBH-

C: 869

solves a partial differential equation by performing successive overrelaxation to find a solution to the equation ^j,L-^j^ 1,L ^ b j , L - ^ j - 1,L ^ ^j,L-"j,L^ 1 ^- dj,L-"j,L> 1 ^ ej,L-^j,L-fj,L

Its arguments are: #

square matrices a, b, c, d, e, f o f coefficients, all the same size

# #

an initial guess at the solution u, a square matrix of the same size rjac, the spectral radius of the Jacobi iteration matrix

The output is the solution matrix u. R := 16

j:=O..R

L := 0 .. R

grid, the coefficients are a. , := 1

b. , := 1

c. , := 1 J>L

e. , : = - 4

^•,L - 0

fR

R ^= 1

2 2

"" ] -ij

u. , := 0

S := sor ( a , b , c, d, e, f, u, rjac )

d. , := 1 j,L

28.3

Partielle Differentialgieichungen

499

b) Der folgende Arbeitsblattauszug ist aus dem Erweiterungspaket Quick Sheets entnommen. Hier wird mit der Numerikfunktion relax eine Poissonsche Differentialgleichung gelost:

Solving Poisson's Equation Now, let's solve the heat equation where values of the source function are known and the boundary conditions are non-zero. For this situation, we use relax, which is based on an entirely differently solving method, and hence requires a different set of arguments. First, define five square matrices a,b,c,d,e containing the coefficients for the Laplacian approximation a -ui+i , j + b - u i - i j +

c -Ui^j+i + d - u i ^ j - i + e - u i j

These arrays are of any size you specify. The larger they are, the finer the mesh in the solution, the smaller the step size. Define the size of the grid, R:

R := 32 i:=O..R J-O..R and use the standard sets of coefficients: a i j := 1

b:=a Then, define the position and strength of the source. In this case, the source is constant:

Sij:=0.05

500

28

Differentiaigleichungen

But, it could also be defined as above. Next, define a square matrix, f, the same size as our grid, containing the known boundary values of the function F(x,y) and guesses for the unknown interior values. For our boundary conditions we will use: along the top

t),j := 0 along the bottom a cosine wave

fe,j:=2-cosU-7f^j along the edges a linear function fi,0:=2

'

R

Finally, define a real number r, usually between 0 and 1, called the Jacobi spectral radius. This is a parameter that controls convergence of the algorithm. If you see the error message "too many iterations," try reducing r. A good choice for r is usually: r := 1 -

2'% R

Now, call the relax function: F := relax

(a,b,c,d,e,S,f,r)

28.3

Partielle Differentialgleichungen

501

c) Wenden wir die Numerikfunktion pdesolve zur Losung einer AnfangsRandwertaufgabe fiir eine lineare parabolische Differentialgleichung zweiter Ordnung an: given U|-(x,t) = Uxx(x,t)

u ( 0 , t) = e

u(7i, t) = - e

u ( x , 0) = cos(x)

0^

u := pdesolve

50,50

Die Grafik der von MATHCAD berechneten Naherungslosung ist im folgenden zu sehen:

Die folgende Grafik zeigt die gute Ubereinstimmung der berechneten Naherungslosung mit der exakten Losung: g(x,t):=e

-cosCx)

502

28

Differentialgleichungen

8 d) Der folgende Arbeitsblattauszug ist aus dem Erweiterungspaket QuickSheets entnommen. Hier wird mit den Numerikfunktionen pdesolve und numol eine Anfangsrandwertaufgabe fiir eine lineare parabolische Differentialgleichung zweiter Ordnung gelost: dl)PDE Solve Block To solve the one-dimensional wave equation —.v(x,t) = a dt

•

^w(x,t) dx

use the constraint

—w(x,t) = v(x,t) St to cast the first equation as a system of two partial differential equations. Set up a PDE solve block: given Vt(x,t) = a .Wxx(x,t)

28.3

Partielle Differentialgleichungen

503

w^(x,t) = v(x,t)

w (X , 0) B sin

n

x I

v(x,0) = 0

w(0,t) = 0 w(L,t) = 0 a = 3 L = 2-71

T = 2-n w

\

V J

A„,A

:= pdesolve

w

^0^ X,

VJ-y

,t,

Tj

Create a grid of solutions to be plotted three dimensionally using the constraints defined above: M := CreateMesh ( w , 0 , L , 0 , T )

M

504

28

Differentialgleichungen

d2)Using numolO This system can also be solved with the command-line solver numol, should you need to include the calculation in a program, or have other reasons for not using the solve block implementation. First, define the number of partial differential equations and algebraic constraints in your system:

num_pde:= 2 num_pae:= 0 The function for evaluating the right hand side of the PDEs, in this case, a system of equations, will be a vector of length num_pde + num_pae. Likewise, the boundary conditions will be defined as a column vector of length num_pde + num_pae. Vector of PDEs: rhs ( x , t , u , U x , u ^ ^ ) :=

a

2

-u XX

0

;

So, here, u^ = v from above, and UQ = w. Vector of initial conditions: '

init(x) :=

^ K - X ^ ^

sin 0

It is assumed that each left-hand side is the first-order time derivative of the unknown function vector u. The function has as its variables x (space), t (time), the solution u, which can, itself, be a vector of solutions for a system of equations, Ux, which is the first derivative of each solution u in the vector, and u^x, which is the second spatial derivative of everything in the solution vector u. Note that you MUST use vector subscripts to address the individual entries in u, Ux, and The vector of boundary conditions can have three types of rows. Each row will be determined by one of the following: • rhs contains second-order spatial derivatives: 2 boundary conditions (either Dirichlet "D" or Neumann "N") required, one for each side of the integration region

28.3

Partielle Differentialgleichungen

505

rhs contains first-order spatial derivatives: 1 Dirichlet boundary condition at left or right side of the integration region, the other is "NA" no spatial derivatives, no boundary conditions required Boundary conditions at the left and right borders, follov^ing the codes above: ^init(0)o

bc_func (t) :=

init(L)o

"D" ^

"NA" Now, define the solution: ^0 ^ 30

sol := numol

20 , num_pde

, num_pae

, rhs , init, bc_func

V A J

The result of numol is a matrix that represents each point in space as a row, and each point in time as a column. This facilitates animation of solutions by allowing you to pick off one column at a time, representing the solution over all space at a single point in time. When solving a system of equations, the solution matrix for each unknown function is appended to the side of the previous matrix.

rows(sol) = 30 cols(sol) = 40 For the current example, there are 20 points in time for each function, so the matrix will be 40 columns wide. Pick off just the first solution, UQ: SOL

:= submatrix

i:=0..30 L = 6.283 iL Xi : =

—

30

tO:= 1

(sol , 0 , 29 , 0 , 20 )

28

506

Differentialgleichungen

m 20-

SOL •

28.4 Erweiterungspakete zu Differentialgleichungen Es wird dem Anwender empfohlen, fiir eine zu losende Differentialgleichung zuerst in den Erweiterungspaketen von MATHCAD nachzusehen, ob bereits ahnliche Klassen betrachtet werden. Falls dies der Fall ist, konnen diese Arbeitsblatter herangezogen werden, um vorliegende Gleichungen einfach zu losen. Es ist hier nur die konkrete Gleichung mit Anfangs- und Randbedingung einzutragen. Derartige Arbeitsblatter findet man in den Erweiterungspaketen * Differential Equations Function Pack * Numerical Recipes * Numerical Methods *

QuickSheets

Im Beisp.28.9 findet man einige Ausziige aus Arbeitsblattern zur Losung partieller Differentialgleichungen, die einen ersten Einblick in Aufbau und Gestaltung liefern.

29 Optimierung

29.1 Einfiihrung Die Begriffe minimal, maximal, optimal, Minimum, Maximum und Optimum trifft man haufig an, ohne Gedanken iiber ihre exakte Bedeutung anzustellen. Man verwendet sie, wenn es sich um kleine oder groiSe Werte handek. Eine exakte Definition dieser Begriffe wird in der mathematischen Optimierung gegeben, die Gegenstand dieses Kapitels ist. Bei Aufgaben in Technik, Natur- und Wirtschaftswissenschaften werden haufig maximale Ergebnisse unter minimalem Aufwand gesucht. Deshalb gewinnt die mathematische Optimierung sowohl fiir Wirtschaftswissenschaftler als auch Ingenieure und Naturwissenschaftler zunehmend an Bedeutung. Optimiemngsaufgaben (Minimierungs- bzw. Maximierungsaufgaben) sind in der Praxis dadurch gekennzeichnet, dalS fiir ein Kriterium (Optimierungskriteriuni) ein kleinster (minimaler) bzw. grolSter (maximaler) Wert *zu bestimmen ist, wobei gewisse Beschrdnkungen zu berlicksichtigen sind. Das Gebiet der Mathematik, das sich mit Optimiemngsaufgaben beschaftigt, heilSt mathematische Optimierung oder kurz Optimierung. Aufgaben der mathematischen Struktur:

Optimierung

haben folgende allgemeine

•

Das Optimierungskriterium, das man meistens als Zielfunktion bezeichnet, wird durch mathematische Funktionen bzw. Funktionale dargesteUt, die von gewissen Variablen abhangen. Die Zielfunktion ist zu minimieren oder maximieren, d.h., es ist ihr kleinster Wert {Minimuni) oder groEter Wert (Maximum) zu berechnen, wobei die Begriffe Minimum und Maximum exakt definiert werden. Man spricht von optimieren bzw. der Bestimmung eines Optimums oder Extremums, wenn nur der Sachverhalt ausgedriickt und nicht zwischen Minimum und Maximum unterschieden wird.

•

Zusatzlich sind gewisse Beschrdnkungen fiir die auftretenden Variablen zu berlicksichtigen, die man meistens als Nebenbedingungen bezeichnet. Diese Nebenbedingungen werden mathematisch durch Gleichungen und Ungleichungen dargestellt und bestimmen den zuldssigen Bereich B

508

29

Optimierung

der Optimierungsaufgabe, d.h., die Zielfunktion ist nur fiir Variablenwerte 2u untersuchen, die in B liegen. •

Wenn man die in einer Optimierungsaufgabe auftretenden Variablen als Koordinaten eines Punktes x bzw. Komponenten eines Vektors x in einem gewissen Raum E (z.B. n-dimensionalen Raum R") auffaEt, so schreibt sich mathematisch eine allgemeine Optimierungsaufgabe in folgender einfacher Form: f ( x ) -^ Optimum/Extremum XGB

wobei f ( x ) fiir die Zielfunktion steht und B den zulassigen Bereich bezeichnet, der eine Teilmenge des zugrundeliegenden Raumes E ist.

ISBei einer gegebenen mathematischen Optimierungsaufgabe ist es von Interesse, ob liberhaupt ein Optimum/Extremum (Minimum oder Maximum) existiert, da man bei Nichtexistenz die Aufgabe nicht weiter zu untersuchen braucht. Es gibt drei wesentliche Gninde fiir die Nichtexistenz: I. Der durch die Nebenbedingungen bestimmte zuldssige Bereich B ist leer, d.h. es wurden sich widersprechende Nebenbedingungen formuliert. II. Der durch die Nebenbedingungen bestimmte zuldssige Bereich B ist unbeschrdnkt. Hier hangt die Existenz eines Optimums/Extremums von der Gestalt der Zielfunktion ab. III. Die Zielfunktion ist auf dem zulassigen Bereich B

unbeschrdnkt.

Bei den von uns betrachteten Aufgaben setzen wir die Existenz von Losungen voraus. • In der mathematischen Optimierung unterscheidet man zwischen lokalen und globalen Optima/Extrema (d.h. Minima und Maxima), die folgenderma£en definiert sind. Definition 29.1: Die Funktion f ( x ) hat iiber dem zulassigen Bereich B im Punkt x" * e in lokales (^relatives) Optimum/Extremum, f(x)

>f(x^)

wenn

fur ein lokales {relatives) Minimum

bzw. f (X) < f (x ^) in einer Umgebung

fiir ein lokales {relatives) Maximum

29.1

Einfuhrung

509

U(x^) = Ug(x^)nB des Punktes x^ im Bereich B gelten, wobei mit U ( x ^ ) die bekannte 8-Umgebung bezeichnet wird. * ein globales {absolutes) Optimum/Extremum, f ( X ) > f (X^ )

wenn

flir ein globales (absolutes)

Minimum

bzw. f(x)

0

> 0

Minimum, fxx(x,y)3 (d.h. ab drei Variable) gestaltet sich die Anwendung hinreichender Optimalitatsbedingungen schwieriger, da man die aus den Ableitungen 2weiter Ordnung der Zielfunktion f ( x ) gebildete n-reihige Hesse-Matrix auf positive Definitheit untersuchen muJS.

29.2

Extremalaufgaben

513

29.2.3 Aufgaben mit Gleichungsnebenbedingungen Kommen bei Extremalaufgaben noch Nebenbedingungen in Form von Gleichungen hinzu, so haben sie folgende Gestalt: * Eine gegebene Zielfunktion mieren/maximieren, d.h.

f ( x ) ist beziiglich n Variabler x zu mini-

z = f ( x ) = f ( X j , X2, ... , Xj^) -> Minimum/Maximum X|,X2,...,Xj^

* Die Variablen miissen noch Nebenbedingungen in Form von gen (Gleichungsnebenbedingungen) erfiillen, d.h. g.(x) = gi(xi,X2,...,x„) = 0

Gleichun-

( i = 1, 2, ... , m )

Fa£t man die Funktionen gj (x) der Gleichungsnebenbedingungen als Komponenten der Vektorfunktion g ( x ) auf, d.h. ^8i(x)^ g(x)

=

g2(x)

so schreibt sich die Aufgabe vektoriell in der Form z = f ( x ) -^ Minimum/Maximum XGB

B = {XG

R V

g(x)= 0 )

wobei der zuldssige Bereich B von alien Punkten x gebildet wird, die die Gleichungsnebenbedingungen erfiillen. Fiir die Gleichungsnebenbedingungen fordert man i.allg.: * m < n, d.h. weniger Gleichungen als Variable (Unbekannte), um zu gewahrleisten, dalS der zulassige Bereich unendlich viele Punkte enthalt. Falls m=n unabhangige Gleichungen vorliegen, gibt es genau so viele Gleichungen wie Variable (Unbekannte). Fiir diesen Fall gibt es meistens nur endlich viele Losungen, so dalS eine diskrete Aufgabe vorliegt und der zulassige Bereich nur endlich viele Punkte enthalt. * da£ sich die Gleichungen nicht widersprechen, so da£ der zulassige Bereich B nicht leer ist. Diese Forderung ist bei praktischen Aufgaben mit zahlreichen Nebenbedingungen schwierig zu liberpriifen. •

29

514

Optimierung

Fiir Extremalaufgaben mit Gleichungsnebenbedingungen bestehen zwei Moglichkeiten zur exakten Losung mittels Optimalitdtsbedingungen: I. Falls man die Gleichungen der Nebenbedingungen nach gewissen Variablen auflosen kann, werden diese in die Zielfunktion eingesetzt und man erhalt eine Extremalaufgabe ohne Nebenbedingungen. Diese Vorgehensweise wird als Eliminations- oder Reduktionsmethode bezeichnet. Auf die so erhaltene Extremalaufgabe ohne Nebenbedingungen konnen die Optimalitatsbedingungen aus Abschn.29.2.2 angewandt werden (siehe Beisp.29.lbl). II. Man kann die Lagrangesche Multiplikatorenmethode als universelle Losungsmethode heranziehen (siehe Beisp.29.1b2). Sie beruht auf folgender Vorgehensweise: * Aus der Zielfunktion und den Funktionen der Gleichungsnebenbedingungen wird die Lagrangefunktion L ( x ^ , X2 , ... , Xj^ ; Aj , A2 , ... , Aj^ ) =

f(Xi,X2,...,X^)

+ £

mit den Lagrangeschen

Xj • g i ( X i , X 2 , . . . , X ^ )

Multiplikatoren

gebildet. In Vektorschreibweise hat die Lagrangefunktion die Form L ( x ; A ) = f(x) + A^-g(x) wenn man die Lagrangeschen Multiplikatoren und die Funktionen der Nebenbedingungen als Komponenten von Spaltenvektoren schreibt, d.h.

X =

bzw.

g(x)

=

82 (x) 8m (X)

* Man betrachtet die Extremalaufgabe L ( X i , X 2 , . . . , X n ; X i , A 2'

A™) -^

Minimum/Maximum ^n ' ^1 ' ^2

fiir die Lagrangefunktion als Ersatzaufgabe fiir die gegebene Extremalaufgabe mit Gleichungsnebenbedingungen. Dies ist eine Extremalaufgabe ohne Nebenbedingungen, auf die die Optimalitatsbedin-

29.2

Extremalaufgaben

515

gungen aus Abschn.29.2.2 angewandt werden konnen, die folgende nm Gl eichungen mit n+m Variablen (Unbekannten) x und X liefern: L ( x i , X 2 , . . . , X n ; ^ i A2»--M^m) = 0

( k = 1 ,..., n )

dXk L(Xi,X2,...,Xn;^l A2>---Am)

= gi(Xi,X2,...,Xj, )

=0

( i = 1 ,..., m ) Diese Gleichungen der Optimalitatsbedingungen haben in Vektorschreibweise unter Verwendung des Gradienten folgende Form: m

grad f ( x )

+ ^ X j -gradgiCx) = 0 i=l

g(x) = 0 Unter gewissen Voraussetzungen kann man zeigen, da£ diese notwendigen Optimalitatsbedingungen fiir die Ersatzaufgabe notwendige Optimalitatsbedingungen fiir die urspriinglich gegebene Extremalaufgabe mit Gleichungsnebenbedingungen liefern. Diese Vorgehensweise wird als Lagrangesche Multiplikatorenmethode bezeichnet.

ISAuEer der Lagrangeschen Multiplikatorenmethode existieren noch Naherungsmethoden, um Extremalaufgaben mit Gleichungsnebenbedingungen auf Extremalaufgaben ohne Nebenbedingungen zuriickzufuhren. Dies geschieht durch Anwendung von Strafmethoden: Fiir die Extremalaufgabe z = f ( x ) = f ( x j , X2 , ... , x^) ->

Minimum X | , X 2 , ... ,Xj^

mit Gleichungsnebenbedingungen g.(x) = gi(xi,X2,...,x„) = 0

( i = 1, 2, ... , m )

werden die Gleichungsnebenbedingungen in Form geeigneter Straffunktionen zur Zielfunktion addiert. Fine einfache Version dieser Strafmethoden liefert folgende Extremalaufgabe ohne Nebenbedingungen: m

F ( X i , X 2 , . . . , X „ , X ) = f(Xi,X2 ,...,Xn) + ? l - ^ gf ( X i , X 2 , . . . , X „ )

->

Minimum

516

29

Optimierung

Die numerische Mathematik liefert Aussagen iiber die Konvergenz von Strafmethoden flir monoton wachsende StrafparameterX (>0). 29.2.4 Exakte und numerische Losung Exakte und numerische Losung von Extremalaufgaben MATHCAD folgendermaJSen: •

voUziehen sich in

Zur exakten Berechnung lokaler Minima und Maxima ist folgende Vorgehensweise erforderlich: I. Zuerst werden die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Zielfunktion i ( X j , X2 , . . . , Xj^)

bzw. bei Gleichungsnebenbedingungen der

Lagrangefunktion

L(x;A,)=L(Xi,X2,...,X„;A,i,>.2,-Am) = 111

f(Xi,X2,...,Xn)

+ ^X.^

•gi(Xi,X2,...,X„)

i=l

unter Verwendung der im Abschn.22.2 gegebenen Vorgehensv^eise mittels MATHCAD berechnet und diese gleich Null gesetzt. Damit hat man die Gleichungen der notwendige Optimalitdtsbedingung erhalten. II. AnschlieJSend kann man versuchen, die so entstandenen Gleichungen der Optimalitatsbedingungen mittels MATHCAD exakt zu losen. Da diese Gleichungen i.allg. nichtlinear sind, konnen hier Schwierigkeiten auftreten, wie aus Kap.21 zu sehen ist. Die so erhaltenen Losungen (stationaren Punkte) sind noch auf Optimalitdt zu uberpnifen, da die verwendeten Optimalitatsbedingungen nur notwendig sind. Zur numerischen Berechnung lokaler Minima und Maxima sind in MATHCAD die Numerikfunktionen minimize und maximize vordefiniert, die folgendermalSen anzuwenden sind: * Bei Extremalaufgaben nierten Funktionen

ohne Nebenbedingungen

minimize und maximize im Arbeitsblatt folgendermafSen angewandt: I. Definition der Zielfunktion:

werden die vordefi-

29.2

Extremalaufgaben

517

f ( xl , x2 , ... , xn ) := II. Zuweisung von Startwerten an die Variablen: xl :=... x2:=

xn :=...

Die Startwerte werden von der von MATHCAD eingesetzten numerischen Methode benotigt. Falls man keine Naherungswerte fiir die Losung kennt, empfiehlt es sich, die Rechnung fiir verschiedene Startwerte durchzufuhren. III. AbschlielSend werden die vordefinierten Funktionen in der Form -

minimize ( f , xl , x2 , ... , xn ) = zur Minimierung

-

maximize ( f , x l , x2 , ... , xn ) = zur Maximierung

in das Arbeitsblatt eingegeben, die als Argumente Zielfunktionsname und die Variablenbezeichnungen enthalten. Die Eingabe des numerischen Gleichheitszeichens lost im Automatikmodus die Rechnung aus. Bei Extremalaufgaben mit Gleichungsnebenbedingungen vordefinierten Funktionen

werden die

minimize und maximize im Arbeitsblatt folgendermafSen angewandt: I. Definition der Zielfunktion: f ( x l , x2 , ... , xn ) := II. Zuweisung von Startwerten an die Variablen: xl :=... x2:=

xn :=...

Die Startwerte werden von der von MATHCAD eingesetzten numerischen Methode benotigt. Falls man keine Naherungswerte fiir die Losung kennt, empfiehlt es sich, die Rechnung fiir verschiedene Startwerte durchzufuhren. III. Darunter beginnt der Losungsblock mit given analog wie bei der Losung von Gleichungssystemen (siehe Kap.21). Unterhalb von given werden die Gleichungsnebenbedingungen geschrieben. Den AbschlulS des Losungsblocks bildet die Eingabe von minimize bzw. maximize, die als Argumente den Zielfunktionsnamen und die Variablenbezeichnungen enthalten. Die Rechnung wird im Automatikmodus durch Eingabe des numerischen Gleich-

518

29

Optimierung

heitszeichens = ausgelost. Der Losungsblock hat damit folgende Form: given Unter given werden die Gleichungsnebenbedingungen durch Verwendung des Gleichheitsoperators

aus der Operatorpalette Nr.6 oder der Tastenkombination eingegeben. minimize bzw. maximize ( f , x l , x2 , ... , xn ) = Wenn man den Mauszeiger auf minimize bzw. maximize stellt und anschlieEend die rechte Maustaste drtickt, erscheint eine Dialogbox, in der man die numerische Methode aussuchen kann. Als Standard verwendet MATHCAD AutoSelect, d.h., die verwendete Methode wird von MATHCAD automatisch ausgewahlt. Der Benutzer kann jedoch selbst durch Mausklick bei Nonlinear zwischen einer Methode der konjugierten Gradienten oder einer Quasi Newton Methode wahlen. • Die Vorgehensweisen bei der Losung von Extremalaufgaben mittels MATHCAD ist aus folgendem Beispiel ersichtlich, in dem wir einfache praktische Aufgaben exakt und mit den vordefinierten Numerikfunktionen minimize und maximize numerisch (ndherungsweise) losen. Beispiel 29.1: a) Die Lagerhaltungskosten einer Firma fur einen bestimmten Artikel sollen minimiert werden. Die Firma hat pro Woche einen Bedarf von 400 Stuck dieses Artikels. Die Transportkosten fur die Anlieferung des benotigten Artikels belaufen sich pro Lieferung auf 100 Euro, unabhangig von der gelieferten Anzahl. Der Firma entstehen flir diesen Artikel Lagerkosten von 2 Euro pro Stuck und Woche. Die Aufgabe, die Lagerhaltungskosten fur den Artikel zu minimieren, laJSt sich mathematisch folgendermalSen formulieren: Wenn pro Transport x Stuck geliefert werden, so benotigt man insgesamt L = 400/x Lieferungen pro Woche und die Transportkosten betragen pro Stiick 100/x. Setzt man voraus, dafS sich der Bestand des Artikels linear verringert, so kann man flir jedes Stuck die gleiche Lagerzeit annehmen. Sie betragt die halbe Zeit zwischen zwei Lieferungen, d.h. 1/2L Wochen. Da man pro Woche 2 Euro Lagerkosten hat, entstehen bei

29.2

Extremalaufgaben

519

L Lieferungen pro Stiick Kosten von 1/L Euro. Damit ergibt sich als Zielfunktion die Kostenfunktion ,,

.

f(^) =

100

X

+ 77^ X 400

die bzgl. X > 0 zu minimieren ist. Das Minimum von f ( x ) wird flir X = 200 angenommen. Damit sind pro Transport 200 Stiick zu liefern, d.h., man benotigt zwei Lieferungen, um die Lagerkosten zu minimieren. Wir berechnen diese Losung mittels MATHCAD durch al)Losung der Gleichung der notwendigen

Optimalitdtsbedingung:

Zur exakte Bestimmung der Nullstellen der ersten Ableitung der Kostenfunktion f ( x ) verwenden wir den Differentiationsoperator und das Schliisselwort solve zur Gleichungslosung: 200 d_/l00 . x \ -H —1^ 1 =0 solve, X -^ 400/ dx\ X -200

Man erhalt hier das Ergebnis x=200, da fur die gegebene Aufgabe nur positive Losungen einen Sinn ergeben. a2) Anwendung der Numerikfunktion niininiize: Es ist folgendes in das Arbeitsblatt einzugeben: cr N .- 100 . X f(x) := -h —-X 400

_ ^. X := 20

minimize(f,x) = 200 d.h. vor der Anwendung von minimize sind die zu minimierende Funktion f ( x ) zu definieren und der Variablen x ein Startwert zuzuweisen, wofiir wir 20 genommen haben. Die hinreichende

Bedingung

H(x) = f "(x) > 0 flir ein Minimum liefert unter Anwendung von MATHCAD: H(x) :=

d^ (100 X - ^ + dx^ I X 400

H(200) = 2.5 • 10"^ Damit ist x = 200 ein lokaler Minimalpunkt, wie auch der Graph der Zielfunktion f ( x ) bestatigt:

29

520

Optimierung

X := 150 .. 250 1.06

1.04 100 400

1.02

b) Die Aufgabe, unter alien Rechtecken mit gleichem Umfang U diejenigen mit dem grolSten Flacheninhalt F auszuwahlen, fuhrt auf die Extremalaufgabe F ( x , y ) = x-y -^ Maximum mit der Gleichungsnebenbedingung 2. (x + y) = U wobei die Variablen x und y fur die Lange bzw. Breite des Rechtecks stehen. Aus der Aufgabenstellung folgt, da£ nur positive Werte fur x und y sinnvoll sind. Diese zusatzlichen Positivitatsforderungen X > 0 und y > 0 vernachlassigen wir im folgenden (siehe auch Abschn.29.4). Zur Losung dieser Extremalaufgabe mit Gleichungsnebenbedingung unter Verwendung von MATHCAD lassen sich die beiden beschriebenen Moglichkeiten anwenden: bl)Eine erste Moglichkeit zur exakten Losung besteht darin, die Nebenbedingung nach einer Variablen aufzulosen, z.B. nach y U y = —- x und in die 2ielfunktionF(x,y) einzusetzen. Dies liefert eine Extremalaufgabe ohne Nebenbedingungen ftir eine Zielfunktion f ( x ) , die nur noch von der Variablen x abhangt: f ( x ) = x-(

U

x)

Maximum X

Jetzt konnen wir MATHCAD heranziehen, um die notwendige Optimalitatsbedingung fur die Funktion f ( x ) zu losen, wozu wir den Differentiationsoperator und das Schlusselwort solve anwenden:

29.2

Extremalaufgaben

^ x - ( H - X 1=0 solve,X

dx

\2

y

521

->i-U

4

Wir haben als Losung ein Quadrat mit der Kantenlange x = y erhalten.

U/4

b2)Eine zweite Moglichkeit zur exakten Losung besteht in der Anwendung der Lagrangeschen Multiplikatorenmethode: Dazu wird die zugehorige

Lagrangefunktion

L (x, y; W = X . y + ?i • (2- (x + y) - U) gebildet und diese bzgl. der Variablen x, y und X maximiert. Dies ist eine Aufgabe ohne Nebenbedingungen, die man durch Losen der notwendigen Optimalitatsbedingungen berechnen kann, wozu wir in MATHCAD den Differentiationsoperator und das Schliisselwort solve anwenden:

dx

(x.y-hX f(x^) > f(x^) >

29.2

Extremalaufgaben

527

x^-'^ = x^ - a k - g r a d f ( x ^ )

( k = 1, 2, 3, ... )

worin grad f ( x ) fiir den Gradienten der Funktion f ( x ) steht und die Schrittweite darsteUt, fiir die es mehrere Berechnungsmethoden denen im folgenden drei vorgestellt werden:

gibt, von

1. Bestimmung durch die eindimensionale Minimierungsaufgabe f ( x ^ - a ^ - g r a d f C x ^ ) ) = Minimum f ( x ^ - a - g r a d f ( x ^ ) ) a>0

Diese Methode ist aufwendig, da die Minimierung bzgl. a > 0 i.allg. numerisch durchgefiihrt werden muB. oo

2. 0 < a^ -^ 0

und

^ a ^ = oo k=i

Fiir konvexe Funktionen la£t sich hiermit die Konvergenz der Gradientenmethode beweisen. Diese Berechnungsmethode wird beispielsweise durch 1

"^ = k realisiert. 3. Fine heuristische Methode, die haufig praktiziert wird, besteht in der Vorgabe einer festen Schrittweite a . Falls der Funktionswert hierfur nicht kleiner wird, verkleinert man sie (usw.). Diese Methode wird durch die Eigenschaft gerechtfertigt, dalS der negative Gradient in Richtung des starksten Abstiegs der Funktion zeigt. Die Gradientenmethode konvergien unter gewissen Voraussetzungen gegen ein lokales bzw. globales Minimum, worauf wir aber nicht eingehen wollen. Wir benutzen nur die Tatsache, dafS vom Startpunkt ausgehend der Wert der Zielfunktion f ( x ) verkleinert wird. Die Gradientenmethode wird nur nach endlich vielen Schritten enden, wenn der Gradient in einem Iterationspunkt Null wird, d.h., die notwendige Optimalitatsbedingung erfiillt ist. Dieser Fall ist aber nicht der Regelfall, so daJS man noch ein Abbruchkriterium fiir die Iteration verwenden mufS. Dafiir gibt es mehrere Moglichkeiten: Man kann die Methode beispielsweise beenden, wenn 1. die Differenz zweier aufeinanderfolgender Iterationspunkte bzw. Zielfunktionswerte hinreichend klein ist. 2. der Betrag des Gradienten hinreichend klein ist.

528

29

Optimierung

3. eine vorgegebene Anzahl von Iterationsschritten erreicht ist (falls keine oder sehr langsame Konvergenz vorliegt). Im folgenden Beispiel schreiben wir ein MATHCAD-Programm zur Realisierung der gegebenen Gradientenmethode fiir Funktionen zweier Variablen, wobei Schrittweite und Abbruchkriterium jeweils nach der Methode 2. bestimmt werden. Beispiel 29.3: a) Es ist ein lokales Minimum der Funktion f(x,y): = ( l - x ) ' + x ' + y 2 - 4 - y mittels der Gradientenmethode zu berechnen. Im folgenden schreiben wir fiir die Gradientenmethode in MATHCAD ein Funktionsprogramm GRADMIN ( f , xO , yO , 8 , N ) das allgemein fiir Funktionen f ( x , y ) von zwei Variablen anwendbar ist. Man muB nur die entsprechende Funktionsdefinition ersetzen und gegebenenfalls andere Startpunkte (xO,yO) und Abbruchschranken 8 verwenden. Als Scbrittweite verwenden wir ttk =l/k und geben als weiteren Parameter ein obere Schranke N fiir die Anzahl der durchzufiihrenden Iterationen vor, um im Falle der Nichtkonvergenz die Methode abzubrechen. Eine mogliche Programmvariante ist im folgenden zu sehen: Zuerst definieren wir den Gradienten fiir eine Funktion f ( x , y ) durch die Funktionsdefinition — f(x,y) g r a d ( f , x , y ) := dx

-ff(x,y) dy

Mit dieser Vektorfunktion grad ( f , x , y ) lalSt sich ein Funktionsprogramm GRADMEV ( f , xO , yO , 8 , N ) zur Gradientenmethode in folgender Form schreiben:

29.2

Extremalaufgaben

GRADMIN(f, xO, yO, 8, N)

529

X N xA y ) Dieses Funktionsprogramm kann zur Minimierung beliebiger Funktionen zweier Variablen herangezogen werden. Falls ein Maximum berechnet werden soil, ist die Funktion mit - 1 zu multiplizieren. Wir wenden das Programm auf die zu Beginn gegebene Funktion an: f ( x , y ) : = ( l - x ) ^ + x^ + y^

4.y

Fiir die Startwerte xO=0, yO=0, die Abbruchschranke s=0.001 und fiir maximal N=5 Iterationen liefert das Funktionsprogramm folgende Losung GRADMINCf, 0,0,0.001 , 5) =

• V 2 ) d.h. den Minimalpunkt x = 0.5 , y = 2. b) Losen wir eine weitere Aufgabe mit dem Programm aus Beisp.a, das auf Minimierungsaufgaben fiir beliebiger Funktionen zweier Variablen anwendbar ist. Man mulS lediglich die Funktionsdefinition fiir f ( x , y ) , eventuell Startpunkt und Abbruchschranke s verandern: Bestimmen wir ein lokales Minimum der Funktion g ( x, y ) = sin xy: g ( x , y ) :=sin(x-y) GRADMINCg ,1,1,0.001 ,170) = Es wird fiir den Startpunkt

-1.195 1.314

530

29

Optimierung

xO = 1 , yO = 1 und die Abbruchschranke eps = 0.001 bei maximal 170 Iterationen naherungsweise ein Minimum der Funktion im Punkt x=-1.195undy=1.3l4 bestimmt, wie man leicht durch Uberiegung bestatigt, da sin (-7i/2) ein Minimalwert der Funktion g ist. c) Losen wir die Minimierungsaufgabe fr ^ ( x - 2 ) ^ ^ ( y - 2 ) ^ r(x,y) = +— 2

-^

Mmimum x,y

2

mit der Gleichungsnebenbedingung x+y=1 die die exakte Losung x=0.5, y=0.5 besitzt, mittels des im Beisp.a gegebenen Funktionsprogramms GRADMIN, d.h. mittels Gradientenmethode. Da eine Gleichungsnebenbedingung vorliegt, wenden wir die besprochene Strafmethode an, indem wir die Funktion T:r

1^

(x-2)^ , (y-2)^ , ,

F(x,y:A) =

^—

, ^

^ .

+ A-(x + y - l )

2 2 minimieren, die sich aus Zielfunktion und Straffunktion additiv zusammensetzt. Wir andern das im Beisp.a gegebene Programm leicht ab, indem wir den Strafparameter X mit als Argument aufnehmen:

grad(f, x , y , X) •=

dx

:ff(x,yA) dy

29.2

Extremalaufgaben

GRADMIN(f, xO , yO , A., s, N)

531

X < - xO

y s grad(f,x,y,A,)l

X ^— X — - - ^ ^ - - — — — —

100 grad(f,x,y,A,)2

^""^

loo

k N

return "i>N" if k > N \ V V

Es wird fiir den Startpunkt xO = 0 , yO = 0, die Abbruchschranke eps = 0.001 und den Strafparameter X = 50 eine Naherung fur den Minimalpunkt der Funktion bestimmt, der naherungsweise auch die Gleichungsnebenbedingung erfullt: F(x,y

A)

•= ^ ' [ ( X - 2)^ + (y - 2)^] + X<x + y - 1)^

GRADMINCF, 0 , 0 , 50 ,0.001 ,600) =

0.508 ^ 0.507

Fiir die Schrittweitenwahl a=l/k ist die Methode nicht erfolgreich, so dalS wir die konstante Schrittweite a=l/100 wahlten, die zum Erfolg fuhrt. Dieses einfache Beispiel zeigt schon die Problematik bei der Anwendung von Strafmethoden. Es konnen hier leicht falsche Ergebnisse berechnet werden, wenn der Srafparameter X ungeeignet gewahlt wird. Es empfiehlt sich deshalb, mit verschiedenen Werten fiir X und der Schrittweite a 2u experimentieren. Da wir nur eine klassische Variante der Strafmethoden betrachtet haben, sollten auch moderne Methoden herangezogen werden, die bessere Eigenschaften besitzen.

532

29

Optimierung

29.3 Lineare Optimierung 29.3.1 Einfijhrung Okonomische Fragestellungen, bei denen Kosten und Verbrauch minimiert bzw. Gewinn und Produktionsmenge maximiert werden sollen, lassen sich durch mathematische Modelle der linearen Optimierung beschreiben und losen. Hierzu zahlen u.a. Aufgaben der Transportoptimierung, Produktionsoptimierung, Mischungsoptimierung, Gewinnmaximierung, Kostenminimierung, Verbrauchsminimierung. Diese kleine Auswahl von Anwendungsgebieten la£t schon erkennen, daE die lineare Optimierung flir praktische Anwendungen sehr wichtig ist. Sie zahlt zu den haufig benotigten Optimierungsaufgaben. Die mathematische Theorie der linearen Optimierung wurde seit ihrer Begrundung in den dreilSiger und vierziger Jahren des 20. Jahrhunderts durch den russischen Mathematiker Kantorowitsch und den amerikanischen Mathematiker Dantzig stark weiterentwickelt. Aufgaben der linearen Optimierung besitzen folgende Struktur: Eine gegebene lineare Zielfunktion ist bezliglich der n Variablen x zu minimieren/maximieren, d.h. z = f(x) =

Cj -Xj + C2 •X2 + . . . + c^ -x^ -^ Minimum/Maximum Xi,X2,...,Xj^

wobei die Variablen x noch Nebenbedingungen in Form von linearen Ungleichungen (_Ungleichungsnebenbedingungen) erfullen miissen, d.h. a i i - x i + a i 2 - X 2 + . . . + ain-Xn

< bi

a2i-xi + a22'X2+...+a2n-Xn

< b2

^ml ' ^1 + ^m2 • ^ 2 + ••• + ^^^^ " ^ n -

Xk>0

^m

(k=l,...,n)

In Matrixschreibweise stellt sich eine lineare Optimierungsaufgabe folgendermalSen dar: z = f(x)= A x

< b

c -x ,

-> Minimum/Maximum X > 0

29.3

Lineare Optimierung

533

wobei die Vektoren CG R" , x e R" und b e R'" und die mxn Matrix A (d.h. mit m Zeilen und n Spalten) folgende Gestalt haben: •In

,

c =

X =

^2

b2

, b=

21

•22

2n

Der durch die Nebenbedingungen bestimmte zulassige Bereich B e R" la£t sich ebenfalls mittels Matrixschreibweise darstellen, so da£ man die gegebene lineare Optimierungsaufgabe folgenderma/Sen schreiben kann: Z = f ( x ) = c ^ - x -> Minimum/Maximum XGB

mit dem zulassigen Bereich B

=

{XGR''/

A-X 0 } c R ' '

aus dem n-dimensionalen Euklidischen Raum R'^. Jede Aufgabe der linearen Optimierung la£t sich auf die gegebene Form durch einfache Umformungen zuruckflihren: * Ungleichungen mit > werden mit - 1 multipliziert. * Gleichungen lassen sich durch zwei Ungleichungen beschreiben.

1^ Im Unterschied zu den im Abschn.29.2 betrachteten Extremalaufgaben treten bei der linearen Optimierung nur lineare Funktionen auf und unter den Nebenbedingungen muJS mindestens eine Ungleichungsnebenbedingung sein. • 29.3.2 Eigenschaften Aufgrund ihrer einfachen Struktur besitzen lineare

Optimierungsaufgaben

z = f ( x ) = c - x -> Minimum/Maximum XGB

mit dem zulassigen Bereich B

=

{XGR"/

A-X < b

,

x>0}cR''

eine Reihe von Eigenschaften, die sich nutzbringend fiir Losungsmethoden anwenden lassen. Im folgenden zahlen wir wichtige auf:

534

29

Optimierung

Im Gegensatz zu den Extremalaufgaben aus Abschn.29.2 sind bei linearen Optimierungsaufgaben alle Optima global (absolut). Da die Zielfunktion linear ist, fallen lokale und globale Optima zusammen, wenn man die Def.29.1 zugrundelegt. •

Wenn der durch die Nebenbedingungen der linearen Optimierungsaufgabe bestimmte zuldssige Bereich B nicht leer ist, bildet er ein konvexes Polyeder mil hochstens endlich vielen Eckpunkten und ist abgeschlossen. Samtliche existierenden Minimal- und Maximalpunkte der linearen Zielfunktion liegen auf dem Rand des konvexen Polyeders, wobei mindestens ein Eckpunkt (Minimaleckpunkt bzw. Maximaleckpunkt) darunter sein mulS.

•

Wenn nur ein Minimal- oder Maximalpunkt existiert, so wird dieser genau in einem Eckpunkt des Polyeders angenommen. Da lineare Zielfunktionen stetig sind, existiert aufgrund des Satzes von Weierstrass ein Minimalpunkt/Maximalpunkt, wenn der durch die linearen Nebenbedingungen bestimmte abgeschlossene zulassige Bereich B beschrankt und nichtleer ist. Die linearen Nebenbedingungen konnen jedoch so gestellt sein, da£ die lineare Optimierungsaufgabe keine Minimalpunkte bzw. Maximalpunkte besitzt, d.h. unlosbarisi. Hier sind folgende zweiFdlle zu unterscheiden: I. Der durch die Nebenbedingungen bestimmte zuldssige Bereich B ist leer, d.h., die Nebenbedingungen widersprechen sich. II. Die Zielfunktion ist auf dem durch die Nebenbedingungen bestimmten zuldssigen Bereich B nicht nach unten bzw. oben beschrankt, d.h. inf f ( x ) = -00 XGB

bzw.

sup f ( x ) = 00 xeB

Dieser Fall tritt ein, wenn der zulassige Bereich B unbeschrankt ist. Wenn derartige Falle der Unlosbarkeit bei praktischen Aufgaben vorkommen, so haben sich entweder Schreib- oder Modellfehler eingeschlichen oder die untersuchte Problematik gestattet keine optimalen Werte. Bei hoherdimensionalen Aufgaben wird man dies jedoch nicht sofort erkennen, sondern erst bei der Losung mittels Computer bemerken. Deshalb soUten effektive Computerprogramme zur Losung linearer Optimierungsaufgaben unlosbare Falle erkennen.

29.3

Lineare Optimierung

535

29.3.3 Losungstnethoden Falls eine Aufgabe der linearen Optimierung losbar ist, wird laut Theorie ein Minimalpunkt/Maximalpunkt der Zielfunktion in mindestens einem Eckpunkt des zulassigen Bereichs (Polyeders) angenommen. Deshalb braucht man im Fall der Losbarkeit folglich nur die Zielfunktionswerte in alien Eckpunkten zu berechnen und vergleichen. Da bei hoherdimensionalen Aufgaben die Bestimmung aller Eckpunkte eine miihsame Arbeit ist, hat sich folgende Vorgehensweise zur Losungsbestimmung als giinstig erwiesen, wenn man Entartungsfalle ausschlielSt. Sie besteht aus vier Schtitten: I. Ein Eckpunkt des durch die Nebenbedingungen bestimmten zulassigen Bereichs (Polyeders) wird als Startpunkt (Starteckpunkt, Anfangseckpunkt) benotigt. Falls kein Eckpunkt bekannt ist, mu£ einer bestimmt werden. II. In dem bestimmten Eckpunkt wird eine Kante des Polyeders (zulassige Kante) ausgewahlt, langs der die Zielfunktion fdllt bzw. wdchst. III. Langs dieser Kante wird bis zum ndchsten Eckpunkt des zulassigen Bereichs (Polyeders) gegangen, falls ein derartiger Eckpunkt existiert. IV. Die Schritte II. und III. werden solange wiederholt, bis keine Kanten mehr gefunden werden, langs der die Zielfunktion fallt bzw. wachst, oder die Aufgabe als unlosbar erkannt wird. Die Schritte I.-IV. liegen auch der Simplexmethode zugrunde, d.h., die Simplexmethode setzt diese Vorgehensweise des Ubergangs von einem Eckpunkt zu einem anderen in mathematische Operationen bzgl. der gegebenen linearen Optimierungsaufgabe um.

1^ Da der zulassige Bereich hochstens endlich viele Eckpunkte besitzt, gelangt man mit der Simplexmethode bei losbaren Aufgaben in endlich vielen Schtitten zum Minimal- bzw. Maximalpunkt, wenn man von wenigen Entartungsfallen absieht Die Simplexmethode ist eine Standardmethode zur Losung von Aufgaben der linearen Optimierung. Obwohl sie die meisten praktischen Aufgaben (auch mit vielen Variablen) lost, besitzt sie aber auch Nachteile. Nachdem der amerikanische Mathematiker Dantzig 1947 eine erste Variante der Simplexmethode entwickelt hatte, setzte eine stiirmische Entwicklung in der linearen Optimierung ein, wobei zum einen die Simplexmethode verbessert und zum anderen weitere Methoden entwickelt wurden, die der Simplexmethode in gewissen Fallen iiberlegen sind.

536

29

Optimierung

In MATHCAD sind folgende Funktionen vordefiniert, die die Simplexmethode anwenden: •

Anwendung der Numerikfunktionen ininiimze und maximize, die wir bereits im Abschn.29.2 kennenlernten. Bei ihrer Anwendung auf lineare Optimierungsaufgaben ist im MATHCAD-Arbeitsblatt folgender Vorgehensweise erforderlich: I. Definition der Zielfunktion: f ( x l , x2 , ... , xn ) :=... II. Zuordnung von Startwerten an die Variablen: x l :=... X2:= xn :=... Falls man keine Naherungswerte fur die Losung kennt, empfiehlt es sich, die Rechnung flir verschiedene Startwerte durchzuflihren. III. Darunter beginnt der Losungsblock mit given Unterhalb von given werden die linearen Ungleichungsnebenbedingungen geschrieben. Den AbschluJS des Losungsblocks bildet die Eingabe von minimize bzw. maximize die als Argumente den Zielfunktionsnamen und die Variablenbezeichnungen haben. Die Rechnung wird durch Eingabe des numerischen Gleichheitszeichens = ausgelost, wenn man sich im Automatikmodus befindet. Wenn man den Mauszeiger auf minimize bzw. maximize stellt und anschlieEend die rechte Maustaste driickt, erscheint eine Dialogbox, in der man die numerische Methode aussuchen kann, die angewendet werden soil. Als Standard verwendet MATHCAD AutoSelect, d.h., die verwendete Methode wird von MATHCAD automatisch ausgewahlt. Zur Anwendung auf lineare Optimierungsaufgaben kann man Linear wahlen.

•

Anwendung der Numerikfunktion simplx aus dem Erweiterungspaket Numerical Recipes, die ohne Startwerte fiir die Variablen auskommt.

29.3

Lineare Optimierung

537

Im folgenden geben wir den erlauternden Text aus diesem Buch: 8.6

Linear Prograimning and the Simplex Method

simplx

uses the simplex algorithm to maximize an objective function subject to a set of inequalities. Its arguments are:

I

C: 439 p. 432

• the submatrix of the first tableau containing the original objective function and inequalities written in restricted normal form • nonnegative integers m l andin2, giving the number of constraints of the form < and > ; the number of equality constraints is equal tor - m l - m2 - 1 , where r is the number of rows in the matrix The output is either: • a vector containing the values of the variables tliat maximize tlie objective function; or • an error message if no solution satisfies the constrainfisr the objective function is unbounded

Das folgende Beispiel illustriert die Anwendung vordefinierter Funktionen von MATHCAD zur Losung linearer Optimierungsaufgaben. Beispiel 29.4: In alien Beispielen ist zu beachten, da£ wir Variable mit Literalindex verwenden: a) Betrachten wir die einfache Aufgabe -2-X1+2-X2 + 1—> Minimum X1.X2

-2-Xi+X2 bestehen, wobei die erste Spalte der Matrix fiir die rechten Seiten der linearen Ungleichungen reserviert ist (in der ersten Zeile ist hier eine Null einzutragen). Wir iibernehmen den Berechnungsteil aus dem Erweiterungspaket Numerical Recipes und setzen die Koeffizienten fiir unser Beispiel ein: Objective function:

Ob 1 x ^ , X2) '•= -2-x-^-hl-x

Constraints:

-2'Xi+

X2 ^ 0

X2 + X2 ^ 2 X2>0

2+^

29.3

Lineare Optimierung

V := simplx

0

539

2 - 1

2 -1 0

-1

,2,1

V =

0 - 1

Minimum value of objective function: Ob(vi,V2)=

-3

Wie die Matrix im Argument der Funktion simplx flir eine konkrete Aufgabe zu bilden ist, laJSt sich gut erkennen. * Die erste Zeile enthalt die beiden Koeffizienten der Zielfunktion mit umgekehrten Vorzeichen, da die Funktion simplx die Zielfunktion immer maximiert und fur unser Beispiel die Minimierung gefordert wird. * Die erste Spalte enthalt die rechten Seiten der Nebenbedingungen. Beim ersten Element ist eine Null einzutragen, da in der ersten Zeile die Zielfunktion steht. * Die Art der Eingabe fiir die Koeffizienten der Nebenbedingungen (mit umgekehrten Vorzeichen) la£t sich unmittelbar aus dem Vergleich dieser Bedingungen und der zweiten bis vierten Zeile der Matrix entnehmen. Die beiden restlichen Argumente der Funktion simiplx bezeichnen die Anzahl der Ungleichungen mit < (2) und > (1). Die berechnete Losung Xj = 2 , X2 = 0 steht im Vektor v und abschliefSend wird der Optimalwert (hier Minimum) - 3 der Zielfunktion berechnet. a2)Anwendung der Funktion minimize, wobei wir als Startwerte flir die Variablen Null verwenden:

540

29

f^x 1'

Optimierung

2) : = - 2 - x i -I-2-X2-I-1

xi:=0

X2 : = 0

given - 2 - x i -fX2^0 xj^-hX2^2

X2^0

minimize (^f, x ^^, x 2) b) Losen wir ein einfaches Mischungsproblem mittels linearer Optimierung: Man hat drei verschiedene Getreidesorten Gl, G2 und G3 zur Verfligung, um hieraus ein Futtermittel zu mischen. Jede dieser Getreidesorten hat einen unterschiedlichen Gehalt an den erforderlichen Nahrstoffen A und B, von denen das Futtermittel mindestens 42 bzw. 21 Mengeneinheiten enthalten muJS. Die folgende Tabelle liefert die Anteile der Nahrstoffe in den einzelnen Getreidesorten und die Preise/Mengeneinheit: G2

Gl Nahrstoff A Nahrstoff B Preis/Einheit

G3

1 5 18

Die Kosten fiir das Futtermittel sollen minimal werden. Dies ergibt folgende Aufgabe der linearen Optimierung, wenn fiir die verwendeten Mengen der Getreidesorten die Variablenxj ,X2 ,X3 benutzt werden: 6 • x^ + 8 • X2 + 18 • X3 -^ Minimum 6- Xj + 7- X2 + X3 > 42 Xj + 4-X2 + 5-X3 > 21 Xj > 0

X2 > 0

X3 > 0

b l ) Die Anwendung von simplx liefert nach der gleichen Vorgehensweise wie im Beisp.al:

Objective function:

Objx2,X2, x J := 6-X2+ 8'X2 + 18*^3

29.3

Lineare Optimierung

541

Constraints:

6'X2+7-X2+ X;^ + 4 ' X 2 + x;^> 0

xa>42 5'X3>21

X2^0

X3>0

/Yo

-6 - 8 -18^ 42 - 6 - 7 - 1

: = simplx

^v

21 - 1 0 -1

-4 0

-5 0

0

0

-1

0

0

0

0

-1

ri.235'i v = 4.941 0

,0,5

/

Minimum value of objective function:

J

Ob (y ^, v 2, v 3 j = 46.941

b2)Die Anwendung von minimize liefert fiir die Startwerte Null: f (x 1, X 2, X 3) := 6 -x 1 -H 8 'X 2 -H 18 -x 3 x i := 0

X2 := 0

X3 := 0

given 6-X2+7-X2-I-X3 >42 xi-H4-X2-I-5-X3>21

X ^ >0

X2^0

X3>0

1.235 minimize (^f,X2,X2,X3^ = 4.941 0 Das berechnete Ergebnis fiir die Kostenminimierung lautet, da£ das Futtermittel von den Getreidesorten Gl, G2 und G3 1.235, 4.941 bzw. 0 Mengeneinheiten enthalten muE und der Futtermittelpreis 46.94 betragt.

542

29

Optimierung

29.4 Nichtlineare Optimierung 29.4.1 EinfiJhrung Tritt mindestens eine Ungleichung unter den Nebenbedingungen einer Optimierungsaufgabe im R" auf, so spricht man von einer Aufgabe der nichtlinearen Optimierung, die sich in folgender Form schreiben laJSt: Eine gegebene Zielfunktion ren/maximieren, d.h.

ist bezliglich der n Variablen x zu

minimie-

2 = f ( x ) = f ( x ^ , X2 , ... , Xj^) -> Minimum/Maximum Xj,X2, .•.,X^

wobei die Variablen noch Nebenbedingungen in Form von (Ungleichungsnebenbedingungen) erfiillen miissen, d.h. gi(xi,X2,...,Xn) < 0

Ungleichungen

( i := 1, 2, ... , m )

In Vektorschreibweise hat diese Aufgabe die Form: z = f ( X ) -> Minimum / Maximum XGB

mit dem zuldssigen Bereich B =

{ xeR" /

g ( x ) < 0 } c R"

aus dem n-dimensionalen Euklidischen Raum R*^. Die gegebene Aufgabenstellung ist hinreichend allgemein, d.h., sie enthalt alle auftretenden Falle: * Falls eine Gleichungsnebenbedingung vorkommt, so kann sie durch zwei Ungleichungsnebenbedingungen beschrieben werden: g ( x ) = 0 ist dquivalent zu g ( x ) < 0 und - g ( x ) < 0. * Falls Ungleichungen mit > vorkommen, so konnen sie durch Multiplikation mit - 1 in Ungleichungen mit < transformiert werden: g ( X ) > 0 ist dquivalent zu - g ( x ) < 0 Zu nichtlinearen Optimierungsaufgaben ist folgendes zu bemerken: * Wenn bei Aufgaben der nichtlinearen Optimierung sowohl die Zielfunktion als auch die Funktionen der Ungleichungsnebenbedingungen linear sind, so spricht man von linearer Optimierung. Da dieser Spezialfall eine Reihe zusatzlicher Eigenschaften besitzt, wird er in einer gesonderten Theorie betrachtet, die endliche Losungsalgorithmen liefert (siehe Abschn.29.3). Fine Reihe von Optimierungsaufgaben aus Technik, Natur-

29.4

Nichtlineare Optimierung

543

und Wirtschaftswissenschaften la£t sich jedoch nicht zufriedenstellend durch lineare Modelle beschreiben, d.h., die lineare Optimierung ist nicht immer anwendbar. Deshalb ist es notwendig, sich mit Aufgaben der nichtlinearen Optimierung zu beschaftigen. Neben der linearen Optimierung existierten weitere Spezialfalle der nichtlinearen Optimierung mit weitreichenderen Eigenschaften und effizienten Losungsmethoden. Hierzu gehoren quadratische Optimierungsaufgaben, die durch quadratische Zielfunktion und lineare Nebenbedingungen gekennzeichnet sind. Streng genommen sind bereits viele Extremalaufgaben Aufgaben der nichtlinearen Optimierung, da oft praktisch erforderliche Beschrankungen weggelassen werden. So sind die Aufgaben aus Beisp.29.1a und b nichtlineare Optimierungsaufgaben, da die Variablen x und y nicht negativ werden dlirfen. So miil^te man fiir das Beisp.29.1b die Ungleichungen X>0

und

y>0

hinzufiigen, so dalS wir eine Aufgabe der nichtlinearen Optimierung erhalten: F(x,y) = x-y -> Maximum unter den Nebenbedingungen 2-(x + y) = U ,

x>0,y>0

•

Die fiir nichtlineare Optimierungsaufgaben aufgestellten Optimalitdtsbedingungen (Kuhn-Tucker-Bedingungen) eignen sich nur zur exakten Losung spezieller Aufgaben, so da£ wir im Rahmen des Buches nicht hierauf eingehen. In den meisten praktischen Aufgabenstellungen ist man auf numeriscbe Methoden angewiesen ist, die wir im folgenden bei der Anwendung von MATHCAD betrachten.

•

Im Gegensatz zu Extremalaufgaben (siehe Abschn.29.2) sind bei Aufgaben der nichtlinearen Optimierung ebenso wie beim Spezialfall der linearen Optimierung (siehe Abschn.29.3) globule Optima gesucht. Wahrend bei der linearen Optimierung lokale und globale Optima zusammenfallen, konnen bei der nichtlinearen Optimierung auch lokale Optima auftreten. Gesucht sind jedoch meistens globale, well diese fur den Anwender den "grolSten Nutzen " realisieren.

•

Der zulassige Bereich B =

{ XG R" / g ( x ) < 0 | e R"

ist fiir stetige Funktionen g ( x ) offensichtlich abgeschlossen. Wenn B zusatzlich beschrankt und nichtleer und die Zielfunktion f ( x ) stetig

544

29

Optimierung

sind, dann ist nach dem Satz von Weierstrass die Existenz eines Minimalbzw. Maximalpunktes der Zielfunktion liber dem zulassigen Bereich gesichert. Nebenbedingungen und Zielfunktion konnen in einem Modell jedoch so formuliert sein, dafS die Optimierungsaufgabe unlosbar ist. Die Problematik ist hier analog zur linearen Optimierung (siehe Abschn.29.3) 29.4.2 Numerische Methoden Aufgaben der nichtlinearen Optimierung sind i.allg. nicht durch einen endlichen Algorithmus zu losen und damit nicht mit Methoden der Computeralgebra. Man ist meistens auf numerische Methoden angewiesen, die einen Forschungsschwerpunkt in der mathematischen Optimierung darstellen und sich in gewisse Klassen einteilen lassen (z.B. Strafmethoden, Methoden der zulassigen Richtungen). MATHCAD stellt zur Losung nichtlinearer Optimierungsaufgaben die vordefinierten Numerikfunktionen minimize und maximize zur Verfligung, die wir bereits in den vorangehenden Abschnitten zur Losung von Extremalaufgaben und Aufgaben der linearen Optimierung kennengelernt haben und die hier auf die gleiche Weise angewandt werden. Wir verzichten auf eine nochmalige Beschreibung der allgemeinen Vorgehensweise und geben statt dessen eine Illustration im folgenden Beispiel. Wenn man den Mauszeiger auf minimize bzw. maximize stellt und anschlielSend die rechte Maustaste drlickt, erscheint eine Dialogbox, in der man die numerische Methode aussuchen kann, die angewendet werden soil. Als Standard verwendet MATHCAD AutoSelect, d.h., die verwendete Methode wird von MATHCAD automatisch ausgewahlt. Zur Anwendung auf nichtlineare Optimierungsaufgaben kann man Nonlinear bzw. Quadratic wahlen. Beispiel 29.5: Losen wir die Aufgabe 2

f

o^^

f(x,y) = — + —

-^ Minimum

2

2

^

^

x,y

mit den Ungleichungsnebenbedingungen y - X - 1 < 0 und y+x - 10). Beispiel 29.6: Losen wir die Aufgabe der nichtlinearen Optimierung f(x,y) = — + — 2 2 ^

-^ Minimum

^

x,y

mit den Ungleichungsnebenbedingungen y - X- 1< 0

und

y+x - 1 0 moglich ist. * Beim Zufallsexperiment der pro Minute von einer radioaktiven Substanz ausgestoJSenen Teilchen treten abzdhlbar viele Elementarereignisse C0i = i auf.

( i = l, 2, 3, 4, ...)

* Die zufallige Entnahme von Produkten aus einer Produktion und die Ermittlung ihrer Qualitat stellt eine Hauptaufgabe der Qualitdtskontrolle dar, wobei in Massenproduktionen nicht alle hergestellten Produkte untersucht werden konnen, sondern nur Stichproben. Hier treten offensichtlich die beiden Elementarereignisse brauchbar oder nicht brauchbar (defekt) auf. • Die Wahrscheinlichkeitsrechnung * untersucht Zufallsereignisse mit den Mitteln der Mathematik, indem sie unter Verwendung der Begriffe Wahrscheinlichkeit, ZufallsgroJSe und

30.2

Kombinatorik

553

Vetteilungsfunktion quantitative Aussagen liber sie gewinnt, d.h., es werden mathematische Modelle aufgestellt und analysiert, um Gesetzma£igkeiten von Zufallsereignissen zu untersuchen. * bildet die Grundlage der mathematischen Statistik (siehe Kap.31) * wird zusammen mit der mathematischen Statistik unter dem Oberbegriff Stochastik geflihrt. Im Rahmen des vorliegenden Buches werden wichtige Standardaufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik mittels MATHCAD gelost. Eine umfassende Abhandlung der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik unter Verwendung der Erweiterungspakete von MATHCAD mulS aufgrund der groJSen Stoffiille einem gesonderten Buch vorbehalten bleiben (siehe [5]). Es gibt eine Reihe spezieller Systeme wie SAS, UNISTAT, STATGRAPHICS, SYSTAT und SPSS, die nur zur Losung von Aufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik erstellt wurden und deshalb i.allg. wesentlich umfangreichere Moglichkeiten bieten. Dies bedeutet aber nicht, da£ Computeralgebrasysteme und damit auch MATHCAD fur diese Art Aufgaben untauglich sind, wie im folgenden zu sehen ist. Bevor wir Aufgaben aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung in den Abschn. 30.3-30.6 mittels MATHCAD losen, betrachten wir im folgenden Abschn. 30.2 grundlegende Formeln der Kombinatorik, die man zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten benotigt.

30.2 Kombinatorik Die klassische Kombinatorik befaEt sich mit GesetzmalSigkeiten der Anordnung und Auswahl von Elementen aus endlichen Mengen. Zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten benotigt man die Kombinatorik, so dais wir kurz hierauf eingehen und die Anwendung von MATHCAD besprechen. Formeln der Kombinatorik benotigen den Binomialkoeffizienten a - ( a - l ) - . . . - ( a - k + l)

^.. ^ ^ fur k > 0

k! 1

fiir k = 0

in dem a eine reelle und k eine positive ganze (d.h. natlirliche) Zahl darstellen und k! die Fakultdt bezeichnet, die folgendermaBen definiert ist:

554

30

k-(k-l)-(k-2)-...-l

furk>0

1

fiir k = 0

Wahrscheinlichkeitsrechnung

k! =

Fiir den Fall, dalS a=n ebenfalls eine natiirliche Zahl ist, lalSt sich die Formel fiir den Binomialkoeffizienten auch in folgender Form schreiben:

k!-(n-k)! 0

furn>k>0

fiir k > n > 0

In MATHCAD kann die Berechnung •

der Fakultdtkl auf eine der folgenden Arten geschehen, nachdem k! mittels Tastatur oder durch Anklicken des Operators in der Operatorpalette Nr.l in das Arbeitsblatt eingegeben und mit einer Bearbeitungslinie markiert wurde: * exakte Berechnung -

Aktivierung der Meniifolge Symbolics => Evaluate => Symbolically (deutsch: Symbolik => Auswerten => Sym^bolisch)

-

Aktivierung der Meniifolge Symbolics => Simplifj^ (deutsch: Symbolik => Vereinfachen)

-

Eingabe des symbolischen Gleichheitszeichens -> mit abschlieEender Betatigung der Eingabetaste [ ^ , falls man sich im Automatikmodus befindet.

* numerische Berechnung Eingabe des numerischen Gleichheitszeichens = n des Binomialkoeffizienten

,

auf eine der folgenden Arten geschehen: * durch Berechnung der angegebenen Formel, wobei das Produkt a • (a - 1 ) • • • (a - k +1)

30.2

Kombinatorik

555

mittels des Produktoperators (siehe Kap.l7) zu berechnen ist. Im folgenden Beispiel definieren wir zu Ubungszwecken in MATHCAD die Funktion Binomial, mit deren Hilfe man Binomialkoeffizienten berechnen kann. * durch Anwendung der vordefinierten Funktion combin ( n , k ). Beispiel 30.2: a) Definieren wir in MATHCAD die Funktion Binomial k-i

Binomial(a,k)

= -^

k! die den Binomialkoeffizienten fur reelles a und ganzzahliges k>l berechnet, wie folgende Beispielrechnungen illustrieren: * numerische Berechnung Binomial ( 6 , 1 ) = 6

Binomial ( 25 , 3 ) = 23 • 10^

Binomial ( 5 , 2 ) = 10

Binomial ( 12 , 11 ) = 12

* exakte Berechnung Binomial ( 6 , 1 ) -> 6

Binomial ( 25 , 3 ) -> 2300

Binomial ( 5 , 2 ) -» 10

Binomial ( 12 , 11 ) -> 12

b) Unter Verwendung der im Abschn.13.5 vorgestellten if-Funktion kann man den Binomialkoeffizienten flir k>0 berechnen, d.h., der Fall k=0 ist mit eingeschlossen, wenn die Funktion Binomial folgendermalSen definiert ist: k-i

Binomial (a , k) := if ( k = 0 , 1 , ^

)

k! Die folgenden Beispielrechnungen illustrieren dies: Binomial (5 , 0) = 1 Binomial (0 , 0) = 1 • Fakultat und Binomialkoeffizient benotigt man in der Kombinatorik zur Berechnung der Formeln flir •

Permutationen: Anordnung von n verschiedenen Elementen mit Berucksichtigung der Reihenfolge: n!

•

Variationen:

556

30

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Auswahl von k Elementen aus n verschiedenen Elementen mit Beriicksichtigung der Reihenfolge n! * ohne Wiederholune: ^ (n-k)! * mit Wiederholung: n^ •

Kombinationen: Auswahl von k Elementen aus n verschiedenen Elementen ohne Beriicksichtigung der Reihenfolge * ohne Wiederholung: ("n + k - 1 * mit Wiederholung:

In der Literatur werden die Begriffe Kombinationen und Variationen unterschiedlich benutzt, so daJS man sich ihre Definitionen ansehen mu£. • In MATHCAD sind zwei Funktionen zur Kombinatorik vordefiniert: •

permut ( n , k ) flir Variationen ohne Wiederholung.

•

combin ( n , k ) fiir Kombinationen ohne Wiederholung und damit auch zur Berechnung von Binomialkoeffizienten. Mittels combin ( n + k - l , k ) konnen Kombinationen mit Wiederholung berechnet werden.

30.3 Wahrscheinlichkeit und Zufallsgrofte Da es bei Zufallsexperimenten ungewi£ ist, welches der moglichen Ereignisse eintritt, reicht es nicht aus, alle Ereignisse anzugeben. Um anwendbare Aussagen zu erhalten, mu£ man die Zufdlligkeit ihres Auftretens quantifizieren. Deshalb hat man fur Zufallsereignisse als MalSzahl die Wahrscheinlichkeit P(A) eingefiihrt, die die Chancen fiir das Eintreten eines Ereignisses A beschreibt. Fiir die Wahrscheinlichkeit P(A) bietet sich eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 an, wobei die Zahlen 0 und 1 folgendermaiSen vergeben werden: •

0

als Wahrscheinlichkeit fiir das unmogliche Ereignis 0 , das nie eintritt, d.h. P(0)=O.

30.3

•

Wahrscheinlichkeit und Zufallsgrofle

557

1 als Wahrscheinlichkeit fur das sichere Ereignis Q, das immer eintritt, d.h. P(Q)=1.

Die Wahrscheinlichkeit wird somit als Funktion definiert, die Ereignissen reelle Zahlen aus dem Intervall [0,1] zuordnet. Diese Zuordnung kann nicht willkurlich erfolgen, wenn man ein MaJS fiir das Eintreten eines Ereignis erhalten mochte. Eine erste Begegnung mit dem Begriff Wahrscheinlichkeit fiir ein Zufallsereignis A hat man bei der •

klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit P(A) als Quotient aus Anzahl der gtinstigen und moglichen Falle fiir ein Zufallsereignis A. Derartige Wahrscheinlichkeiten lassen sich unter Verwendung der Formeln der Kombinatorik berechnen. Die klassische Definition ist nur beschrankt einsetzbar, da folgende starke Voraussetzungen erfullt sein miissen: * Gleichwahrscheinlichkeit der Elementarereignisse * endliche Anzahl von Elementarereignissen Man spricht bei diesen Voraussetzungen von einem Laplace-Experiment. Die klassische Wahrscheinlichkeit ist eine a priori Definition, da sie aufgrund logischer Schliisse gegeben wird.

•

relativen Hdufigkeit fiir n durchgefiihrte Zufallsexperimente. Als Ndherung fiir die Wahrscheinlichkeit P(A) eines Zufallsereignisses A kann bei m-maligen Auftreten von A und hinreichend groiSer Anzahl n von Experimenten der Quotient H,(A) = — (n>m) n verwendet werden, der als relative Hdufigkeit bezeichnet wird. Dies bezeichnet man als statistische Definition der Wahrscheinlichkeit Sie liefert eine a posteriori Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, da man erst eine grolSere Anzahl von Zufallsexperimenten durchfiihren mu£, um zu einem Wert zu gelangen.

Diese beiden anschaulichen Definitionen reichen fur einfache Falle aus. Bei der weiteren Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsrechnung hat sich jedoch herausgestellt, daJS man nur mit einer axiomatischen Definition eine allgemein anwendbare Theorie aufbauen kann. Hierzu verweisen wir auf die Literatur. Unter Verwendung der Formeln der Kombinatorik lassen sich klassische Wahrscheinlichkeiten fiir das Auftreten von Ereignissen berechnen, wie im folgenden Beispiel illustriert wird.

558

30

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Beispiel 30.3: a) Man wahle zufallig 2 Telle (ohne Zurucklegen) aus einer Menge von 12 Teilen aus, in der sich 4 defekte Telle befinden. Ftir dieses Experiment mochte man die Wahrscheinllchkeiten fur folgende Ereignisse berechnen: * Erelgnis A: Die zwei ausgewahlten Telle slnd defekt. * Erelgnis B: Die 2wel ausgewahlten Telle sind nlcht defekt. * Erelgnis C: Von den zwei ausgewahlten Teilen ist mlndestens eln Tell defekt. Die Anzahl der * mogllchen Falle, um 2 Telle aus 12 Teilen auszuwahlen, berechnet man mittels der Formel fur Komblnationen ohne Wlederholungen. Man erhalt hlerfur: combin (12,2) = 66 * giinstigen Falle fur die Ereignisse A und B berechnen sich mittels der Formel fiir Komblnationen ohne Wiederholung: combin (4,2) = 6 bzw. combin (8,2) = 28 Damit ergeben sich fiir die Ereignisse A und B die Wahrscheinllchkeiten: 6 28 P(A) = - ^ bzw. P(B) = - ^ 66

66

Daraus lalSt sich die Wahrscheinllchkelt P(C) = 1 - P(B) fur das Erelgnis C berechnen:

P(C) = 1-H=19 33 33 b) Betrachten wir das Werfen mit zwei idealen Wurfeln, wobel diese als unterscheidbar angesehen werden (z.B. unterschiedllche Farbe). Mittels Kombinatorik bzw. durch Uberlegung erhalt man, dal^ 36 mogllche Falle (Elementarereignisse) auftreten konnen: (1,1) , ... , (1,6) , (2,1) , ... , (2,6) , (3,1) , ... , (3,6) , (4,1) , ... , (4,6) , (5,1) , ... , (5,6) , (6,1) , ... , (6,6) Diese Anzahl erglbt sich mittels der Formel fiir Variationen, die die Anzahl der Auswahlmoglichkelten von zwei Zahlen aus sechs Zahlen mit

30.3

Wahrscheinlichkeit und Zufallsgrode

559

Berucksichtigung der Reihenfolge und mit Wiederholung berechnet (siehe Abschn.30.2): 6^=36 Berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafiir, dalS beim Werfen mit zwei unterscheidbaren Wiirfeln die Augenzahl bei einem Wurf grol^er oder gleich 10 ist: Das zugehorige Ereignis A besteht aus den Elementarereignissen (4,6) , (5,5), (5,6) , (6,4), (6,5) , (6,6) d.h., es gibt 6 giinstige Falle fiir das Auftreten von A, so da£ die Formel der klassische Wahrscheinlichkeit P(A) = 6/36 = 1/6 die Zahl 1/6 fiir die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A liefert. c) Berechnen wir Wahrscheinlichkeiten fiir einen Gewinn beim Lotto 6 aus 49: Als Modell fur die Ziehung der Lottozahlen kann man einen Behalter verwenden, der 49 durchnumerierte Kugeln enthalt. Die Ziehung der 6 Lottozahlen geschieht nun durch zufallige Auswahl von 6 Kugeln aus diesem Behalter ohne Zuriicklegen der gezogenen Kugeln. Die Anzahl der moglichen Falle fiir die gezogenen Zahlen berechnet sich als eine Kombination ohne Wiederholung (siehe Abschn.30.2), d.h., als Auswahl von 6 Zahlen aus 49 Zahlen ohne Beriicksichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholung, so dalS man folgende Anzahl erhalt: '49^ . = 1 3 983 816 6 Damit berechnet sich die Wahrscheinlichkeit fiir * 6 richtig getippte Zahlen zu 1/13 983 816, da es hier nur einen giinstigen Fall gibt. * das Ereignis Aj^, da£ k Zahlen (k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) richtig getippt wurden, aus der Formel

.k)l6~k ''^^'=

^49 6

die wir im Rahmen der hypergeometrischen Verteilung besprechen (siehe Abschn.30.4.1). •

560

30

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Der Begriff Zufallsgrofie (Zufallsvariable) spielt in der Wahrscheinlichkeitsrechnung eine grundlegende Rolle. Er wird eingefuhrt, um mit Zufallsereignissen rechnen zu konnen. Man bezeichnet ZufallsgroiSen meistens mit groEen Buchstaben, wie z.B. X , Y , ... Eine exakte Definition der Zufallsgrofie ist mathematisch anspruchsvoU. Fiir die Anwendung geniigt es zu wissen, da£ eine (eindimensionale) ZufallsgroJSe X als Funktion definiert ist, die den Ergebnissen (Elementarereignissen) CO eines Zufallsexperiments eindeutig reelle Zahlen zuordnet. Diese Zuordnung kann auf verschiedene Weise geschehen, so dalS man fiir ein Zufallsexperiment verschiedene ZufallsgrolSen erhalten kann. Man wird eine der praktischen Aufgabe angepafSte ZufallsgrolSe wahlen, wie im Beisp.30.4 illustriert wird. Man unterscheidet zwischen zwei AHen von Zufallsgrofien: *

diskrete Zufallsgrofie: nimmt nur endlich oder abzahlbar unendlich viele Zahlenwerte an.

* stetige Zufallsgrofie: nimmt beliebig (liberabzahlbar) viele Zahlenwerte an. • Bei einer Reihe von Zufallsexperimenten treten als Ergebnisse (Ereignisse) bereits Zahlenwerte auf. Man spricht hier von quantitativen Ergebnissen, die man zur Definition von Zufallsgro^en heranziehen kann. Es gibt aber auch Zufallsexperimente, deren Ergebnisse qualitativen Charakter besitzen, so dais man hier bei der Definition von ZufallsgroEen Zahlenwerte festlegen mulS. Illustrieren wir die moglichen Vorgehensweisen im folgenden Beispiel. Beispiel 30.4: a) Betrachten wir das Standardbeispiel des Werfens mit einem idealen Wiirfel, bei dem ein Zufallsexperiment mit quantitativen Cbarakter vorliegt. Hier treten sechs Elementarereignisse C0i= i

( i = l , 2, ... , 6 )

auf, die dem Werfen der einzelnen Zahlen 1, 2, ... , 6 entsprechen. Als diskrete ZufallsgroJSe X

fiir dieses zufallige Experiment kann man z.B. die der Aufgabe angepalSte Funktion verwenden, die dem Elementarereignis cOj des Werfens der Zahl i genau die Zahl i zuordnet. Damit ist die so gewahlte Zufallsgro£e X eine Funktion, die die Werte 1,2,3,4,5,6

30.3

Wahrscheinlichkeit und Zufallsgrode

561

annimmt, wobei gilt X(cOi)=i

( i = l, 2, ... , 6 )

Bei diesem Beispiel ist die Uberflihrung der Elementarereignisse in Zahlen leicht moglich, da diese bereits durch Zahlen reprasentiert werden. Die gewahlte ZufallsgroJSe X kann deshalb als der Aufgabe angepa£t bezeichnet werden. b) Betrachten wir die Anzahl der taglich in einer Firma in einem bestimmten Zeitraum produzierten Teile. Dieses Zufallsexperiment hat ebenfalls quantitativen Charakter. Die Elementarereignisse C 0 i , C 0 2 , . . . , CO^

stellen die moglichen Anzahlen der produzierten Teile dar, d.h. C0i= i

( i = 1, 2, ... , n )

Als diskrete Zufallsgrofie X kann man z.B. die der Aufgabe angepalSte Funktion verwenden, die dem Elementarereignis cOj (Anzahl i produzierter Teile) genau die Zahl i zuordnet, d.h., die so gewahlte ZufallsgroEe X ist eine Funktion, die die Werte 1 , 2 , ... , n annehmen kann, wobei gilt X(C0i)=i ( i = l, 2, ... , n ) Bei diesem Beispiel ist die Uberflihrung der Elementarereignisse in Zahlen leicht moglich, da diese bereits durch Zahlen reprasentiert werden. Die gewahlte ZufallsgroEe X kann deshalb als der Aufgabe angepa£t bezeichnet werden. c) Betrachten wir das Zufallsexperiment des Mlinzwurfs, bei dem die beiden Elementarereignisse coi (Wappen W)

CO2 (Zahl Z)

auftreten konnen, d.h., dieses Zufallsexperiment hat nur qualitativen Charakter. Bei diesem Zufallsexperiment liegt im Unterschied zu Beisp. a und b keine natlirliche Vorgabe von Zahlen vor, so da£ man eine diskrete ZufallsgrdJSe X hierflir willkiirlich definieren kann, die fiir die Elementarereignisse Wappen und Zahl gewisse Zahlenwerte annimmt. Beispielsweise kann man flir Wappen 0 und fiir Zahl 1 nehmen, so da£ gilt X(cOi) = 0 und X(C02) = 1 Es konnten aber fiir Wappen und Zahl auch andere Zahlenwerte genommen werden, wie z.B. 10 bzw. 20, so dalS gilt X(cOi) = 10 und X(C02) = 20

562

30

Wahrscheinlichkeitsrechnung

d) Die Temperatur eines zu bearbeitenden Werkstlicks kann als stetige Zufallsgrofie X aufgefaJSt werden, der man als Zahlenwerte alle Werte zuordnet, die die Temperatur in einem gewissen Intervall annehmen kann, das fur die Bearbeitung erforderlich ist (Toleranzintervali). e) Der Benzinverbrauch eines Pkw kann als stetige Zufallsgrofie X aufgefaEt werden, der man als Zahlenwerte alle Werte innerhalb eines gewissen Intervalls zuordnet. • Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrofien gehoren neben Verteilungsfunktionen (Abschn.30.4) zu grundlegenden Begriffen der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die mit Mitteln der Mathematik quantitative Aussagen liber Zufallsereignisse gewinnt, d.h., es werden mathematische Modelle aufgestellt und analysiert, um GesetzmaEigkeiten von Zufallsereignissen zu untersuchen.

30.4 Verteilungsfunktionen Im Abschn.30.3 haben wir gesehen, da£ bei der Verwendung von (eindimensionalen) ZufallsgrofSen die Ereignisse auf reelle Zahlen abgebildet werden. Ist eine ZufallsgroEe X gegeben, so stellt sich die Frage, mit welchen Wahrscheinlichkeiten ihre Zahlenwerte realisiert werden. Die Gesamtheit der Wahrscheinlichkeiten einer ZufallsgroEe X hei£t Wahrscheinlichkeitsverteilung (kurz Verteilung) von X. Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten hat man Verteilungsfunktionen eingefiihrt, die im folgenden betrachtet werden. Definition 30.1: Die Verteilungsfunktion

F ( x ) einer ZufallsgroBe X ist durch

F ( x ) =P(X<x) definiert, wobei P(X<x) die Wahrscheinlichkeit dafiir angibt, daJS die ZufallsgrofSe X einen Wert kleiner oder gleich x (reelle Zahl) annimmt, d.h. einen Wert aus dem Intervall ( -00 , X ]

• Zu Verteilungsfunktionen ist folgendes zu bemerken: •

In der Literatur wird fiir Verteilungsfunktionen neben der im Buch gegebenen noch die Definition F ( x ) =P(X<x) mit dem strengen Kleinerzeichen angewandt.

30.4

Verteilungsfunktionen

563

Da MATHCAD die Definition F ( x ) = P(X<x) verwendet, haben wir uns dieser angeschlossen. Man unterscheidet zwischen diskreten und stetigen Verteilungsfunktionen, jenachdem ob diskrete oder stetige ZufallsgroEen zugrunde liegen (siehe Abschn.30.4.1 und 30.4.2). In Anwendungen spielen inverse Verteilungsfunktionen eine gro£e Rolle (siehe Beisp.30.6c). Man bezeichnet den Zahlenwert x^ als s-Quantil, fur den gilt F(X3) = P ( X < X 3 )

=

s

d.h., Xg ermittelt sich aus X =F-i(s)

wobei s eine vorgegebene Zahl aus dem Intervall (0,1) ist und vorausgesetzt wird, dalS die inverse Verteilungsfunktion existiert. * Flir Verteilungsfunktionen F(x) lassen sich folgende Eigenschaften beweisen, die sowohl flir diskrete als auch stetige 2ufallsgr6£en gelten: * F ist monoton wacbsend, d.h., es gilt F(a) < F(b) , falls a < b * Es gelten lim

F(x) = 0 und

lim F(x) = 1

* F(x) ist rechtsseitig stetig * P ( X > a ) = l - F(a) * P(a < X < b ) = F(b) - F(a) In den folgenden beiden Abschnitten behandeln wir wichtige diskrete und stetige Verteilungsfunktionen und ihre Realisierung innerhalb von MATHCAD. Die Gesamtheit der in MATHCAD vordefinierten diskreten und stetigen Verteilungsfunktionen findet man in der Hilfe von MATHCAD oder in der Dialogbox Insert Function (deutsch: Funktion einfiigen). Dies betrifft auch inverse Verteilungsfunktionen (Quantile), die in MATHCAD zu alien Wahrscheinlichkeitsverteilungen vordefiniert sind. In MATHCAD vordefinierte Funktionen zu Wahrscheinlichkeitsverteilungen beginnen mit *

d bei Wahrscheinlichkeiten und Dichten

*

p bei Verteilungsfunktionen

564

30

Wahrscheinlichkeitsrechnung

bei inversen Verteilungsfunktionen (Quantilen) 30.4.1 Diskrete Verteilungen Flir diskrete Zufallsgrofien X mit abzahlbaren Werten (reellen Zahlen) ^ 1 > ^ 2 »• • • ) ^ n »• • •

ergibt sich fur die F(x)=

Verteilungsfunktion

IPk xi^<x

wobei liber alle k zu summieren ist, fur die xj^ < x gik und Pk=P(X = Xk) die Wahrscheinlichkeit dafiir ist, da£ die ZufallsgroEe X den Wert X]^ annimmt. Diese Verteilungsfunktionen sind Treppenfunktionen mit Sprunghohen p k . Ihre grafische Darstellung besitzt die Form von Treppenkuwen (siehe Beisp.30.5). Fur praktische Anwendungen wichtige diskrete Verteilungen sind: •

Binomialverteilung

(Bernoulli-Verteilung) B(n,p):

Eine diskrete Zufallsgro£e X, die die n Zahlen 0 , 1 , 2 , 3 , ... , n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X = k) = r j . p k . ( i _ p ) n - k

(k = 0 , l , 2 , 3 , . . . , n )

annimmt, heilSt binomialverteilt mit den Parametern n und p. Zur Erklarung der Binomialverteilung zogen werden:

kann folgendes Modell herange-

Zufdllige Entnahme von Elementen aus einer Gesamtheit mit Zurilcklegen. Dieses Modell beinhaltet folgendes: Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(X=k) ( k = 0 , 1 , 2 , 3 , ... , n ) dafS bei n unabhangigen Zufallsexperimenten, bei denen nur das Ereignis A

(mit der Wahrscheinlichkeit p)

oder das zu A komplementare Ereignis

30.4

Verteilungsfunktionen

A

565

(mit der Wahrscheinlichkeit 1-p)

eintreten kann, das Ereignis A k-mal eintritt. Anschaulich kann hierflir ein Umenmodell herangezogen werden: Man hat eine Urne mit M Kugeln, wobei K davon eine bestimmte Farbe (z.B. schwarz) und M-K eine andere Farbe (z.B. wei£) haben. Bei zufalliger Entnahme einer Kugel mit Zurlicklegen treten die beiden Ereignisse A (schwarze Farbe) oder A (wei£e Farbe) mit den Wahrscheinlichkeiten K p = — M auf.

^ bzw.

, i-p =

M-K M

Derartige Zufallsexperimente heiEen Bemoulli-Experimente und werden z.B. zur Qualitdtskontrolle herangezogen. Hier bestehen Zufallsexperimente darin, aus einem gro£en Warenposten von Erzeugnissen (z.B. Schrauben, Werkstlicke, Fernsehgerate, Radios, Computer) zufallig einzelne Erzeugnisse nacheinander auszuwahlen und auf Brauchbarkeit (Ereignis A) oder AusschuJS (Ereignis A) zu untersuchen (siehe Beisp. 30.5b). Die Unabhangigkeit der einzelnen Experimente wird dadurch erreicht, dalS man das herausgenommene Erzeugnis nach der Untersuchung wieder in den Warenposten zurlicklegt und den Posten gut durchmischt. Man spricht von einem Experiment Ziehen mit ZuriXcklegen. Bei grofSem n ist die Unabhangigkeit naherungsweise auch ohne Zurlicklegen gegeben. • •

Hypergeometrische Verteilung H (M, K, n): Eine diskrete Zufallsgrol^e X, die die Zahlen 0,1,2,3,... mit den Wahrscheinlichkeiten K"! I'M- K

kJU

k p ( x = k ) = ^ ' ; ^—M

(k = 0 , 1 , 2 , 3 , . . . )

annimmt, hei£t hypergeometrisch verteilt mit den Parametem M, K und n, wobei zwischen den Werten k, M, K und n folgende Relationen bestehen:

566

30

Wahrscheinlichkeitsrechnung

* k < Minimum ( K , n ) *

n-k<M-K

*

1 Minimum i=l

ao,ai,..,anj

Diese Minimierungsaufgabe liefert ein lineares Gleichungssystem zur Bestimmung der Parameter, das exakt losbar ist. Deshalb bereitet MATHCAD die allgemeine lineare Regression keinerlei Schwierigkeiten, wie im folgenden zu sehen ist. Uber die Form der zu wahlenden Regressionsfunktion erhalt man erste Informationen aus der grafischen Darstellung der n Stichprobenpunkte. Wenn man Potenzfunktionen verwendet, d.h. eine lineare Regressionsfunktion der Form y ( x ) = f(x;ao,ai,...,aj^) = ao+a^ • x + . . . + a ^ • x"" so spricht man von einem Regressionspolynom m-ten Grades. Offensichtlich ist die lineare Regression ein Spezialfall der allgemeinen linearen Regression und die Regressionsgerade ist ein Regressionspolynom ersten Grades. Man erhalt sie, indem man m=l setzt und in der Regressionskurve y = f ( x ; a o , a i ) = ao -foCx) + aj -fjCx) die beiden Funktionen fo (x) = 1

und

f1 (x) = X

verwendet. • Zur Konstruktion empirischer allgemeiner linearer Regressionsfunktionen stellt MATHCAD folgende vordefinierten Funktionen zur Verfugung: •

Unfit ( v x , v y , F )

(deutsch: linanp ( v x , vy , F ) )

Im Argument von Unfit bezeichnet F einen Spaltenvektor, dem vorher die Funktionen fi(x) aus der verwendeten Regressionsfunktion in folgender Form zugewiesen werden miissen:

ffoCx)^ F ( x ) :=

fl(x) ,fm(x)

31

612

Statistik

Die Spaltenvektoren v x und vy enthalten die x- bzw. y-Koordinaten der vorliegenden Stichprobenpunkte. linfit erzeugt einen Spaltenvektor mit m+1 Komponenten, der die berechneten Parameter enthak. •

regress ( v x , vy , m ) dient zur Berechnung von Regressionspolynomen m-ten Grades. Die Spakenvektoren v x und vy miissen die x- bzw. y-Koordinaten der gegebenen Stichprobenpunkte enthaken. regress erzeugt einen Spakenvektor, dem wir die Bezeichnung vs zuweisen, d.h. vs := regress ( v x , vy , m ) Diesen Vektor vs benotigt die in MATHCAD vordefinierte Interpolationsfunktion interp ( vs , v x , vy , x ) um das Regressionspolynom vom Grade m an der Stelle x zu berechnen. Die Funktion regress liefert folglich in Anwendung mit der Funktion interp das Regressionspolynom m-ten Grades. Mit regress kann man auch die empirische Regressionsgerade berechnen, wenn man m = 1 setzt.

Illustrieren wir die Vorgehensweise bei der allgemeinen linearen Regression im folgenden Beispiel. Beispiel 31.7: a) Fiir die Stichprobenpunkte (1, 2) , (2, 4) , (3, 3) , (4, 6) , (5,5) aus Beisp.31.6 kann die empirische Regressionsgerade y(x) = a-x + b in MATHCAD auch mit den vordefinierten Funktionen Unfit oder regress berechnet werden: * Anwendung von linfit: ^2^ 4

2 v x :=

3 4

vy

a := linfit (vx , vy , F)

3

F ( x ) :=

6

y(x) := F(x)- a

31.6 Korrelation und Regression

613

x;= 0..6

* Anwendung von regress:

VX : =

^1^

^2^

2

4 3 6

3

vy :

.V

vs := regress ( vx, vy, 1)

v5y

X := 0.. 6

vy D D D interp ( vs, vx, vy, X)

b) Nahern wir die Zahlenpaare aus Beisp.a durch eine Regressionsparabel an, indem wir die vordefinierten Funktionen linfit und regress anwenden: * Anwendung von Unfit:

614

31

f^l 4

f^1 2 3 4

VX :=

v y :=

ri ^ F ( x ) :=

3 6

a := Unfit (vx , vy , F)

X

xM

w

w

Statistik

y(x) := F(x)- a

x:= 0.. 6

* Anwendung von regress: 1 2 vx : =

(2\ vy : =

3 4

iv

I5J X

4 3 6

: = 0 . .6 10

vy

nan interpC vs, vx, vy, x)

5

vs := regress ( vx, vy, 2)

31.6

Korrelation und Regression

615

c) Im folgenden gehen wir davon aus, dalS die Stichprobenpunkte aus Beisp.a und b als ASCII-Datei PUNKTE.PRN auf Diskette im Laufwerk A vorliegen. Nach dem Einlesen in eine Matrix A (mit Startindex 1, d.h. ORIGIN:=l) mochten wir diese Zahlenpaare durch eine Regressionskurve der Form y ( x ) = 2iQ + 2i^ • cosx + 2i2 • sinx + a3 • e^ annahern, indem wir die vordefinierte Funktion linQt anwenden: A := READPRN ( "A:\PUNKTE.PRN" ) (\ 2^ 2 4 A =

1 cos(x)

F(X) :=

3 3 4 6 15 5

sin(x)

a := linfitCA^^^ ,A^^^ , F)

y ( x ) := F(x)-a

- 0 , 0.001 •• 6 8

1

1

D

6

A D D D y(x)

4

-

J

-1

D D D

2

0

1 0

1

2

4 A

A

,x

d) Nahern wir die fiinf Stichprobenpunkte aus den vorangehenden Beispielen durch ein Regressionspolynom vom Grade 4 an. Nach der Theorie mulS man das gleiche Ergebnis wie bei der Interpolation durch Polynome erhaken. Wir verwenden dazu die vordefinierten Funktionen Unfit und regress:

616

31 Statistik

* Anwendung von Unfit:

f^l2 VX : =

3 4

(2\ 4 vy : = 3 6

bJ

I5J

r 1 \

F(X) : = x^

a. '.- lyLnfitCvx, vy^ F) :npNd;j](jfe):N?Jtfe^

Hier zeigt sich, dalS MATHCAD bei gleicher Anzahl von Stichprobenpunkten und Funktionen fi(x) in der Regressionsfunktion die Berechnung mittels Unfit ablehnt. In diesem Spezialfall der Annaherung durch Polynome kann man auf die vordefinierte Interpolationsfunktion polint (siehe Beisp.19.6) oder die Funktion regress zuriickgreifen, die das gleiche Ergebnis liefern. * Anwendung von regress: ^2^ 4

2 VX : =

3

vy : =

3

4

6

5J

15

vs := regress(vx, vy ,4)

vy

D DO interpC vs, vx, vy, x)

x := 0, 0.001 .. 6

31.6

Korrelation und Regression

617

31.6.4 Nichtlineare Regression Es treten in der Praxis Falle auf, die sich nicht hinreichend gut durch allgemeine lineare Regressionsfunktionen beschreiben lassen. Deshalb warden in der Regressionsanalyse zusatzlich weitere Formen fiir Regressionsfunktionen betrachtet: *

nichtlineare

Regressionsfunktionen

Hier gehen die Parameter im Unterschied zur linearen Regression in nichtlinearer Form in die Regressionsfunktion ein, d.h. y = f(x;ao,ai,...,aj^) ist eine nichtlineare Funktion in den Parametern. Bei der Losung mittels Methode der kleinsten Quadrate ist die entstehende Minimierungsaufgabe im Gegensatz zur linearen Regression i.allg. nicht mehr exakt losbar, so dafS numerische Methoden einzusetzen sind. MATHCAD lost derartige Aufgaben numerisch, benotigt aber Schatzwerte fur die einzelnen Parameter. *

nichtparametrische Regressionsfunktionen Hier sind in der Regressionsfunktion keine Parameter enthalten, sondern die gesamte Regressionsfunktion ist unbekannt. Es wird nur verlangt, dais sie hinreichend glatt ist.

Zur Konstruktion empirischer nichtlinearer Regressionsfunktionen sind in MATHCAD zahlreiche Funktionen vordefiniert, von denen wir im folgenden einige vorstellen: * genfit ( v x , vy , vs , F )

(deutsch: genanp (vx , vy , vs , F ) )

Im Argument von genfit bezeichnet F einen Spaltenvektor mit m+2 Komponenten, dem vorher als * erste Komponente die verwendete Regressionsfunktion * weitere Komponenten die partiellen Ableitungen erster Ordnung der verwendeten Regressionsfunktion bzgl. der einzelnen Parameter in der folgenden Form zugewiesen werden mlissen: ( f(x;ao,ai,...,an,)

^

fa^ ( x ; a o , a i , . . . , a n , ) F ( x , a ) := L V

(x;ao,ai,...,ain) m '"

/

618

31

Statistik

Die Spaltenvektoren v x und vy enthalten die x- bzw. y-Koordinaten der vorliegenden Stichprobenpunkte, wahrend der Spaltenvektor vs Schatzwerte fiir die m+1 Parameter enthalt. •

expfit ( v x , v y , vs )

(deutsch: expanp ( v x , v y , vs ) )

berechnet die drei Parameter fiir die folgende exponentielle Regressionsfunktion ao-e^i-^ + a2 wobei die Argumente die gleiche Bedeutung wie bei genfit haben. Der Schatzvektor vs kann weggelassen werden. •

logfit ( v x , v y , vs )

(deutsch: loganp ( v x , v y , vs ) )

berechnet die drei Parameter fiir die folgende logarithmische Regressionsfunktion 2.Q -InCx + aj ) + a2 wobei die Argumente die gleiche Bedeutung wie bei genfit haben. Die Anwendung dieser vordefinierten Funktionen zu nichtlinearen Regression gestaltet sich in MATHCAD analog zur linearen Regression, so da£ wir auf weitere Ausfiihrungen verzichten. Bei eventuellen Unklarheiten kann der Anwender die Beispiele aus den QuickSheets heranziehen.

31.7 Erweiterungspakete zur Statistik Erste Informationen und Beispiele zur Statistik findet man in MATHCAD in den QuickSheets (siehe Abschn.3.6 und 5.4) Zusatzlich besitzt MATHCAD Erweiterungspakete zur Statistik, die die Losung weiterfuhrender und komplexer Aufgaben gestatten: * Practical Statistics (auch unter dem Namen Applied Statistics vertrieben) * The Mathcad Treasury of Statistics, Volume I ,11 *

Statistics

Im folgenden werden wir Titelbilder dieser Pakete zeigen, die beim Aufruf erscheinen und ihre Inhaltsverzeichnisse angeben: •

Beim Aufruf von Practical Statistics erscheint das folgende Titelbild (erste Seite des Buches):

31.7

Erweiterungspakete zur Statistik

619

M Practical Statistics: Welcome fite

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Practical Statistics

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© 1998 MathSofl, Inc. All rights reseived.

Durch Mausklick erhalt man das folgende Inhaltsverzeichnis: HHHHHHHHHHH^ mrn^m^rnl^^^m^^mTm ,,„ |S#l^>.^^

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620

31

Statistik

Aus dem Inhaltsverzeichnis ist ersichtlich, dalS u.a. Tests, Regression und Zeitreihen behandelt werden. •

Beim Aufruf von The Mathcad Treasury of Statistics (Volume I) erscheint das folgende Titelbild (erste Seite des Buches), aus dem man entnehmen kann, dalS Tests von Hypothesen durchgefuhrt werden: File

Edit

Jext

Mathcad PLUS - IStatistics Treasury I: Welcome!] Math Graphics Symbolic Window Books Help

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