Mathe-Magie: Verblüffende Tricks für blitzschnelles Kopfrechnen und ein phänomenales Zahlengedächtnis, 3. Auflage

Arthur Benjamin Michael Shermer

ATHE AGIE Verblüffende Tricks für blitzschnelles Kopfrechen und ein phänomenales Zahlengedächtnis Aus dem Amerikanischen von Martin Bauer

WILHELM HEYNE VERLAG MÜNCHEN

J;;S

--FSC

Milc ......... "....,..,._ .... ...... ~~

tWI..fill.$tOHO>das einzigartigste Phänomen in der Geschichte des menschl ichen Geistes« bezeichnet, >>das viel­ leicht je existiert hat«. Egal, wo er hinkam, i m mer begegnete er den Herausforderern mit Geschwindigkeit und Präzision. ln seiner Autobiographie berich­ tet er von einem Bündel Aufgaben, die er im Juni 1 81 1 in New Hampshire gestellt bekam: >>Wie viele Tage und Stunden ist es her, seit die christliche Zeitrechnung vor 1 8 1 1 Jahren begann? Antwort nach zwanzig Sekunden: 661 .01 5 Tage, 1 5.864.360 Stun­ den. Frage: Wie viele Sekunden passen i n 1 1 Jahre? Antwort nach vier Sekunden: 346.896.000.« Colburn verwendete genau die Me­ thoden, die in diesem Buch beschrieben werden, um alle ihm ge­ stellte Aufgaben im Kopf zu lösen. Beispielsweise zerlegte er große Zahlen in kleinere und m u ltiplizierte dann diese. Colburm rechnete einmal 21 .734 x 543, i ndem er 543 in 1 81 x 3 zerlegte. Dann m ultiplizierte er 2 1 . 734 mit 1 81 , erhielt 3.933 .854 und nahm d iese Zahl mal 3 , um zum Endergebnis von 1 1 .801 .562 zu gelangen. Wie das bei Kopfrechenkünstlern oft der Fall ist, ließ mit der Zeit das I nteresse an Colburns erstaunlichen Fähigkeiten nach. I m Alter von zwanzig kehrte er nach Amerika zu rück und wurde Methodistenprediger. Er starb im jugendlichen Alter von 35. Colburn fasste seine Fähigkeiten als Rechenkünstler und die damit verbundenen Vorteile so zusam men: >>Klar, meine Metho­ de erfordert es, sich viel mehr Zahlen zu merken, als normaler­ weise empfohlen. Aber man wird sich daran erinnern, dass Zerah nur seh r geringe Ausgaben für Stifte, Tinte und Papier hatte, wenn er rechnete.«

75

_

•

A' P I T

- ··

'·

.'

.

Neue und noch bessere Produkte

:.._

Multiplikation

mit Zwischenprodukten

M wirklich aufregend, wenn man sie vor Publikum auf­

athematische Zauberkunststücke werden erst dann

führt. Ich hatte meinen ersten öffentlichen Auftritt in der achten Klasse, im reifen Alter von dreizehn. Viele Mathema­ giker fangen noch früher an. Zerah Colbum (1804-1839) bei­ spielsweise betätigte sich schon als Blitzrechner, bevor er lesen oder schreiben konnte, und trat schon im Alter von sechs Jahren vor Publikum auf. Als ich dreizehn war, schrieb meine Mathelehrerin eine Aufgabe an die Tafel, deren Lö­ sung 1082 war. Damit gab ich mich noch nicht zufrieden und platzte heraus: ))108 zum Quadrat ist einfach 11.664!« Die Lehrerin machte die Berechnung an der Tafel und kam zur gleichen Lösung. Ein wenig verwundert sagte sie: »Ja, das stimmt. Wie hast du das gemacht?« Also verriet ich ihr: »Ich ging wn 8 auf 100 hinunter und um 8 auf 116 hinauf. Dann multiplizierte ich 116 x 100, was 11 .600 ergibt, addierte ein­ fach das Quadrat von 8 und erhielt 1 1.664.« Sie hatte noch nie zuvor von dieser Methode gehört. Ich war ganz aufgeregt. Ich träumte schon davon, mit »Benjamins Theorem(( berühmt zu werden. Ich dachte wirklich, ich hätte etwas Neues entdeckt. Als ich ein paar Jahre später in einem 76

ZWE I STELLIG MAL ZW E I STELLIG

Buch von Martin Gardner über vergnügliche Mathematik, Mathematical Carnival (1965), auf »meine« Methode stieß, versaute mir das den ganzen Tag. Trotzdem war ich noch immer sehr stolz darauf, dass ich ganz allein draufgekom­ men war. Auch Sie können Ihre Freunde (und Lehrerinnen) mit ziem­ lich verblüffenden Kopfrechenkunststücken beeindrucken. Am Ende des vorigen Kapitels haben Sie gelernt, eine zwei­ stellige Zahl mit sich selbst zu multiplizieren. In diesem Ka­ pitel werden Sie lernen, wie Sie zwei verschiedene zweistelli­ ge Zahlen miteinander malnehmen, eine schwierigere, aber auch spannendere Herausforderung. Dann werden Sie noch Hand (oder eher Hirn) an die Quadrierung dreisteHiger Zah­ len legen. Dafür brauchen Sie nicht mal wissen, wie man zwei zweistellige Zahlen multipliziert, Sie können diese zwei Kunststücke also in beliebiger Reihenfolge lernen. M U LT I P L I KAT I O N E N ZW E I E R ZW E I ­ STE L L I G E R ZA H L E N

Wenn man zweistellige Zahlen quadriert, geht man immer auf die gleiche Weise vor. Bei der Multiplikation zweier zwei­ stelliger Zahlen können Sie mehrere verschiedene Methoden anwenden (und immer das richtige Ergebnis bekommen). Für mich wird's hier allmählich interessant. Als erstes werden Sie die Additionsmethode kennenlernen, mit der man alle Aufgaben dieser Art lösen kann. Die Additionsmethode Bei dieser Methode teilt man das Problem schlicht in zwei Teilaufgaben, bei denen je eine zweistellige Zahl mit einer t·instelligen multipliziert wird. Zum Beispiel:

77

M U LTI PLI KATION M IT ZWISCH E N PRO D U KTEN

46 42 (40 + 2) 1 .840 + 92 1 .932 X

40 X 46 2 X 46

Hier bricht man die 42 in 40 und 2 auf, Zahlen, mit denen sich leicht multiplizieren lässt. Zuerst nimmt man 40 x 46, was schlicht 4 x 46 ist, mit einer drangehängten 0, also 1.840. Dann rechnet man 2 x 46 = 92 und addiert die Teilergebnis­ se 1.840 + 92 = 1.932, wie oben gezeigt. Die gleiche Aufgabe könnte man aber auch so lösen: 46 (40 + 6) 42 1 .680 + 252 1 .932 X

40 6

X X

42 42

Der Haken bei diesem Weg liegt darin, dass 6 x 42 schwieri­ ger zu rechnen ist als 2 x 46, wie wir es bei der ersten Metho­ de taten. Weiterhin ist es schwieriger, 1.680 + 252 zu rechnen, als 1.840 + 92. Wie also entscheiden Sie, welche Zahl aufzuspalten ist? Ich versuche, diejenige zu wählen, die zur einfacheren Additi­ onsaufgabe führt. In den meisten - aber nicht allen - Fällen sind Sie besser dran, wenn Sie die Zahl mit der kleineren Endziffer aufspalten, denn so bekommen Sie ein kleineres zweites Teilergebnis, das Sie zum ersten Teilergebnis addie­ ren müssen. Versuchen Sie sich nun an folgenden Aufgaben, wobei Sie beide Methoden nutzen sollten: 78

ZWEISTELLICi MAL ZWEISTELLICi

70 X 48 3 X 48

48 X 73 (70 + 3) 3.360 + 1 44 3. 504

80 X 59 1 X 59

81 (80 + 1 ) X 59 4.720 + 59 4. 779

Die rechte Aufgabe illustriert, warum Zahlen mit Endziffer 1 besonders schön aufzuspalten sind. Enden beide Zahlen auf die gleiche Ziffer, sollten Sie die größere Zahl aufspalten, wie unten gezeigt:

80 4

X X

34 34

84 (80 + 4) X 34 2.720 + 1 36 2.856

Wenn eine Zahl viel größer ist als die andere, lohnt es sich oft, die größere Zahl aufzuspalten, auch wenn sie eine höhe­ re letzte Ziffer hat. Sie werden verstehen, was ich meine, wenn Sie die folgende Aufgabe auf zwei verschiedene Arten angehen: 74 (70 + 4) 13 91 0 + 52 962 X

70 X 1 3 4 X 13

1 0 x 74 3 X 74

74 1 3 (1 0 + 3) 740 + 222 962 X

Haben Sie die erste Methode als schneller empfunden? Ich schon. Hier folgt eine weitere Ausnahme von der Regel, dass rnan die Zahl mit der kleineren Endziffer aufspaltet: Wenn rnan eine Fünfziger-Zahl mit einer geraden Zahl multipli­ ziert, sollte man die Fünfziger-Zahl aufspalten: 79

M U LTIPLI KATIO N M IT ZW I SC H E N PRO D U KTEN

84 X 50 84 X 9

84 � (50 + 9) 4200 + 756 4956

Die Endziffer von 84 ist niedriger als die Endziffer von 59, aber wenn Sie 59 aufspalten, wird das erste Produkt ein Viel­ faches von 100 sein, im obigen Beispiel 4.200. Das macht die folgende Additionsaufgabe viel leichter. Versuchen Sie jetzt eine einfache Aufgabe anderer Art:

42 X 1 0 42 X 1

42 � (1 0 + 1 ) 420 + 42 462

Obwohl die Berechnung ziemlich einfach ist, gibt es noch einen einfacheren und schnelleren Weg, eine zweistellige Zahl mit 11 zu multiplizieren. Das ist feinste Mathe-Magie - Sie werden Ihren Augen nicht trauen (außer, wenn Sie sich noch vom 0. Kapitel daran erinnern). Und so geht's: Angenommen, Sie haben eine zweistellige Zahl, deren Ziffern zusammen 9 oder weniger ergeben. Um diese Zahl mit 11 zu multiplizieren, addieren Sie einfach die beiden Ziffern und schieben das Ergebnis zwischen die zwei ursprünglichen Ziffern. Um 42 x 1 1 zu berechnen, errechnet man 4 + 2 = 6. Das Ergebnis setzt man dann zwischen die 4 und die 2 und erhält die Lösung, 462! X

42 11

4_2 6

= 462

ZWEISTELLIG MAL ZWEISTELLIG

Versuchen Sie 54 x 11 mit dieser Methode. 5

54 )( 1 1

4

_

= 594

9

Was könnte einfacher sein? Sie mussten lediglich die 9 zwi­ schen die 5 und die 4 setzen, um das Endergebnis 594 zu er­ halten. jetzt fragen Sie sich vielleicht, was passiert, wenn die zwei Ziffern der Zahl zusammen mehr als 9 ergeben. In diesem Fall erhöht man die vordere Stelle der Zahl um 1 und fügt dann wie gehabt die Endziffer der Summe zwischen die bei­ den Ziffern ein. Multipliziert man beispielsweise 76 x 11, rechnet man 7 + 6 13. Man erhöht die 7 in 76 um eins aufS, fügt die übrig bleibende 3 zwischen 8 und 6 ein und erhält das Endergebnis 836. Im Diagramm sieht das so aus: =

76 x 11

7_6 1 3

= 836

Sie sind dran. Versuchen Sie 68 x 1 1 68 x 11

6 8 1 4 _

= 748

Wenn Sie erst mal den Bogen raus haben, werden Sie nie mehr anders mit 1 1 multiplizieren als mit dieser Methode. Machen Sie noch ein paar Aufgaben und überprüfen Sie Ihre Ergebnisse anhand der Lösungen am Ende des Buchs. Obung: Multiplikation mit 1 1 1. X

35 11

2.

48 )( 1 1

3.

94 )( 1 1 81

M U LTI PLI KATION M IT ZWISC H E N PRODU KTEN

Kehren wir zur Additionsmethode zurück. Die nächste Auf­ gabe wird Ihnen beim ersten Versuch vermutlich richtig schwer fallen. Versuchen Sie 89 x 72 im Kopf zu rechnen. Schauen Sie notfalls zwischendrin wieder auf die Angabe. Wenn Sie ein paar Mal von vorne anfangen müssen, ist das auch okay. 89 70 )( 89 2 )( 89

� (70 + 2) 6.230 + 1 78 6.408

Wenn Sie die Lösung im ersten oder zweiten Versuch hinbe­ kommen haben, dürfen Sie sich auf die Schulter klopfen. Schwieriger werden Multiplikationen zweier zweistelliger Zahlen nicht. Keine Angst, wenn Sie die Lösung nicht gleich gefunden haben. In den nächsten beiden Abschnitten werde ich Ihnen ein paar Kniffe beibringen, wie Sie Aufgaben wie die letzte viel einfacher anpacken. Aber üben Sie zuerst die Additionsmethode anband der folgenden Multiplikationsauf­ gaben, bevor Sie weiterlesen. Obung: M ultiplikation zweier zweistelliger Zahlen mit der Additionsmethode 1.

31 )( 41

2.

27 )( 1 8

7.

62 )( 94

8.

88 )( 76

82

3.

9.

59 )( 26 92 )( 35

4.

10.

53 )( 58

5.

77 )( 43

34 )( 1 1

11.

85 )( 1 1

6.

23 )( 84

ZWEISTELLIG MAL ZWEISTELLIG

Die Subtraktionsmethode

Die Subtraktionsmethode ist vor allem dann praktisch, wenn eine der zu multiplizierenden Zahlen aufS oder 9 endet. Die folgende Aufgabe illustriert, was ich meine: 59 (60 - 1 ) 17 1 .020 - 17 1 .003

X

60 X 1 7 -1 X 17

Zwar fallen fast allen Leuten Additionen leichter als Subtrak­ tionen, dennoch ist es normalerweise einfacher, kleine Zah­ len zu subtrahieren, als große zu addieren. (Hätten wir diese Aufgabe mit der Additionsmethode gelöst, hätten wir gerech­ net: SSO + 153 1.003) Packen wir jetzt die knifflige Multiplikation vom Ende des letzten Abschnitts an: =

90 -1

X X

72 72

89 (90 - 1 ) X 72 6.480 - 72 6.408

War das nicht viel einfacher? Hier eine Aufgabe, wo eine Zahl aufS endet:

90 X 23 - 2 X 23

88 (90 - 2) X 23 2.070 - 46 2.024

In diesem Fall sollte man SS als 90 2 behandeln und zuerst -

S3

M U LTIPLI KATI O N M IT ZWISC H E N PRODU KTEN

90 x 23 = 2.070 berechnen. Jetzt hat man aber mit einer zu großen Zahl multipliziert. Um wie viel liegt das Zwischener­ gebnis zu hoch? Um 2 x 23, also um 46 zu hoch. Ziehen Sie daher 46 von 2.070 ab, dann erhalten Sie das Endergebnis 2.024. Ich möchte hier betonen, wie wichtig es ist, dass Sie diese Aufgaben im Kopf lösen und nicht einfach im Diagramm nachsehen, wie wir es gemacht haben. Arbeiten Sie sich durch die Aufgaben und sagen Sie sich die einzelnen Schrit­ te im Geist oder laut vor, um Ihren Gedankengang zu unter­ stützen. Ich verwende die Subtraktionsmethode nicht nur für Zahlen, die auf 8 oder 9 enden, sondern auch für Zahlen hoch in den Neunzigern, weil sich mit 100 so gut multiplizieren lässt. Würde mich jemand auffordern, 96 x 73 zu rechnen, würde ich 96 sofort auf 100 aufrunden: 96 (1 00 - 4) 73 7.300 - 292 7.008 X

1 00 4 -

X X

73 73

Wenn die Teilaufgabe mit der Subtraktion es erfordert, dass Sie eine Zahl borgen, kann Ihnen die Verwendung von Kom­ plementen (siehe 1. Kapitel) dabei helfen, schneller zur Lö­ sung zu gelangen. Sie werden erkennen, was ich damit meine, während Sie sich durch die nachstehenden Aufgaben arbeiten. Nehmen Sie beispielsweise 340 - 78. Wir wissen, dass die Lösung in den 200ern liegen wird. Die Differenz zwi­ schen 40 und 78 ist 38. Nehmen Sie jetzt das Komplement von 38 - das ist 62. Und schon haben wir die Antwort: 262!

ZWEISTELLIC MAL ZWEISTELLIC

340 - 78 262

78 - 40 = 38 Komplement von 38

=

62

Versuchen wir eine weitere Aufgabe:

90 )( 76 - 2 )( 76

88 (90 - 2) )( 76 6.840 - 1 52

Es gibt zwei Arten, die Teilaufgabe mit der Subtraktion zu lösen. Beim »langen(( Weg zieht man erst 200 ab und addiert dann wieder 48 hinzu: 6.840 - 1 52 (erst 200 abziehen)

6.640 + 48

6.688

(dann 48 addieren)

Die »Abkürzung(( nimmt man, wenn man erkennt, dass die Lösung bei 6.600 und irgendwas liegt. Um irgendwas zu be­ stimmen, rechnen wir 52 - 40 = 12 und ermitteln dann das Komplement zu 12, nämlich 88. Die Antwort lautet also 6.688. Versuchen Sie diese:

60 )( 67 - 1 )( 67

67 )( 59 (60 - 1 ) 4.020 - 67 3.953

Sie werden wieder erkennen, dass die Antwort in den 3.900em liegt. Nun gilt 67 - 20 = 47, das Komplement dazu ist 53, und folglich heißt das Endergebnis 3.953. Sie haben vielleicht schon verstanden, dass Sie diese Metho­ de bei jeder Subtraktion verwenden können, bei der Sie eine 85

M U LTIPLI KATION M IT ZWISCH E N PROD U KTEN

Zahl borgen müssen. Das zeigt wieder einmal, dass Komple­ mente ein sehr mächtiges Instrument für Mathemagiker sind. Lernen Sie es zu beherrschen, und sehr bald werden Sie Komplimente von anderen Leuten erhalten! Übung: Multiplikation zweier zweistelliger Zahlen mithilfe der Subtraktionsmethode 2.

X

29 45

8.

X

37 19

1.

7.

X

98 43

X

87 22

J. X

47 59

X

85 38

9.

4.

5.

X

68 38

11.

X

57 39

10.

X

96 29

X

88 49

6. X

79 54

Die Faktorisierungsmethode

Diese Methode ist meine Lieblingsart, zweistellige Zahlen miteinander zu multiplizieren, denn sie erfordert weder Ad­ ditionen noch Subtraktionen. Man verwendet sie, wenn eine der beiden Zahlen einer solchen Aufgabe in einstellige Fakto­ ren zerlegt werden kann. Eine Zahl in Faktoren zu zerlegen heißt, zwei einstellige Zah­ len zu ermitteln, die, miteinander multipliziert, die Aus­ gangszahl ergeben. Die Zahl 24 beispielsweise kann in 8 x 3 oder 6 x 4 faktorisiert werden (oder in 2 x 12, aber wir ver­ wenden lieber einstellige Faktoren) Hier sind einige weitere Beispiele für faktorisierte Zahlen: 42 = 7 63 = 9 84 = 7

X X X

6 7 6

X

2 oder 7

X

4

X

3

An der folgenden Aufgabe erkennt man, wie Faktorisierung das Malnehmen vereinfacht: 86

ZWEISTELLlei MAL ZWEISTELLlei

46 )( 42 (7 )( 6) Weiter oben lösten wir diese Aufgabe, indem wir 46 x 40 rechneten, dann 46 x 2 und die beiden Teilergebnisse addier­ ten. Bei der Faktorisierungsmethode behandelt man 42 als 7 x 6 und beginnt, indem man 46 x 7 = 322 rechnet. Dann multipliziert man 322 mit 6 und erhält das Endergebnis 1 .932. Sie wissen schon, wie man zwei- und dreisteilige Zah­ len mit einer einstelligen multipliziert; die Berechnung dürf­ te Ihnen also nicht zu schwer fallen: 46 )( 42 = 46 )( (7 )( 6)

=

(46 )( 7) )( 6 = 322

X

6 = 1 .932

Natürlich ließe sich diese Aufgabe auch lösen, wenn man die beiden Faktoren von 42 vertauscht: 46

X

42 = 46

X

(6

X

7) = (46

X

6)

X

7 = 276

X

7 = 1 .932

Bei dieser Aufgabe ist es einfacher, 322 x 6 zu nehmen, als 276 x 7. In den meisten Fällen multipliziere ich zuerst mit dem größeren Faktor und hebe mir den kleineren für die Multiplikation mit dem (meist) dreisteiligen Zwischenresul­ tat auf. Der Vorteil der Faktorisierungsmethode liegt beim Kopfrech­ nen darin, dass man sich nicht viel merken muss. Betrach­ ten wir ein weiteres Beispiel, 75 x 63: 75

X

63 = 75

X

(9

X

7) = (75

X

9)

X

7 = 675

X

7 = 4.725

Wie zuvor vereinfachen wir diese Multiplikation zweier zwei­ stelliger Zahlen, indem wir 63 in 9 x 7 faktorisieren und dann 75 mit diesen beiden Faktoren multiplizieren. (Der Grund, warum wir im zweiten Schritt die Klammern verschieben dürfen, heißt Assoziativgesetz der Multiplikation.) Beim letz87

M U LTIPLI KATI O N M IT ZW I SC H E N PRO D U KTEN

ten Beispiel hätten wir übrigens auch die zweite Zahl faktori­ sieren können: 63 )( 75 = 63 )( (5 )( 5 )( 3 ) = (63 )( 5) )( 5 )( 3 = 3 1 5 )( 5 )( 3 = 1 5 75 )( 3 = 4.725 Versuchen Sie zur Übung mal die folgende Aufgabe: 57 )( 24 = 5 7 )( 8 )( 3 = 456 )( 3 = 1 .368 Sie hätten 24 auch in 6 x 4 faktorisieren können und hätten folgende leichte Berechnung erhalten: 57 )( 24 = 57 )( 6 )( 4 = 342 )( 4 = 1 .368 Vergleichen Sie dieses Vorgehen mit der Additionsmethode:

20 )( 5 7 4 )( 57

57 � (20 + 4) 1 .1 40 + 228 1 .368

oder

50 )( 24 7 )( 24

57 (50 + 7) )( 24 1 .200 + 1 68 1 .368

Bei der Additionsmethode multipliziert man zweimal eine zweistellige Zahl mit einer einstelligen und addiert die Teiler­ gebnisse. Bei der Faktorisierungsmethode hat man lediglich zwei Multiplikationen, bei denen ebenfalls immer ein Faktor einstellig ist, und schon ist man fertig. Mit der Faktorisie­ rungsmethode sparen Sie also Ihrem Gedächtnis in der Regel Arbeit. Erinnern Sie sich an die schwierige Multiplikation weiter oben? Hier ist sie noch mal: 89 )( 72 Mit der Subtraktionsmethode sind wir der Aufgabe einfach

ZWEISTELLIC MAL ZWEISTELLIC

genug zu Leibe gerückt, aber mit der Faktorisierung geht's noch schneller: 89

X

72 = 89

X

9

X

8 = 801 X 8 = 6.408

Besonders einfach wird das Rechnen dadurch, dass die 801 in der Mitte eine 0 hat. Am nächsten Beispiel sieht man, dass es sich manchmal auszahlt, die Zahlen derart zu faktorisie­ ren, dass man zu genau einer solchen Situation gelangt. Be­ trachten wir die zwei Wege, 67 x 42 zu berechnen: 67 67

X X

42 = 67 42 = 67

X X

7 6

X X

6 = 469 7 = 402

X X

6 = 2.81 4 7 = 2.81 4

Normalerweise sollte man 42 in 7 x 6 aufspalten, wie in der oben Zeile geschehen, wenn man der Regel folgt, den größe­ ren Faktor voranzustellen. Doch die Aufgabe lässt sich leich­ ter lösen, wenn man 42 in 6 x 7 aufbricht, weil man so eine Zahl mit 0 in der Mitte bekommt, die man leicht multiplizie­ ren kann. Ich nenne solche Zahlen freundliche Produkte. Suchen Sie in folgender Aufgabe, die wir aufzwei Wegen ge­ löst hab en, nach dem freundlichen Produkt: 43 43

X X

56 = 43 56 = 43

X X

8 X 7 = 344 7 X 8 = 301

X X

7 = 2.408 8 = 2.408

Finden Sie, dass der zweite Weg einfacher war? Wenn man die Faktorisierungsmethode verwendet, zahlt es sich aus, wo immer möglich freundliche Produkte aufzuspü­ ren. Die folgende Liste kann Ihnen dabei helfen. Ich erwarte nicht, dass Sie sie auswendig lernen, aber Sie sollten sich mit ihr vertraut machen. Mit zunehmender Übung werden Sie immer öfter freundliche Produkte erschnüffeln, und die Liste wird größere Bedeutung für Sie bekommen. 89

M U LTI PLI KATION M IT ZW I SC H E N PRODU KTEN

Zahlen mit freundlichem Produkt

1 2: 1 3: 1 5: 1 7: 18: 21: 23: 25: 26: 27: 29: 34: 35: 36: 38: 41 : 43: 44:

45: 51 : 52: 53: 54: 56: 61 : 63: 67: 68: 72: 76: 77: 90

12 x l3 x 15 X 17 X 18 X 21 X 23 X 25 X 26 X 27 X 29 X 34 X 35 x 36 X 38 X 41 X 43 X 44 X 45 X 51 x 52 X 53 X 54 X 56 X 61 X 63 X 67 X 68 X 72 X 76 X 77 X

9 = 1 08 8 = 1 04 7 = 1 05 6 = 1 02 6 = 1 08 5 = 1 05 9 = 207 4 = 1 00, 25 X 4 = 1 04, 26 X 4 = 1 08 7 = 203 3 = 1 02, 34 X 3 = 1 05 3 = 1 08 8 = 304 5 = 205 7 = 301 7 = 308 9 = 405 2 = 1 02, 51 x 2 = 1 04, 52 X 2 = 1 06 2 = 1 08 9 = 504 5 = 305 8 = 504 3 = 201 , 67 X 3 = 204, 68 X 7 = 504 4 = 304, 76 X 4 = 308

8 = 200 8 = 208

6 = 204, 34

X

9 = 306

4 = 204, 5 1 x 6 = 306, 5 1 x 8 = 408 4 = 208

6 = 402 , 67 6 = 408 8 = 608

X

9 = 603

ZWEISTELLIG MAL ZWEISTELLIG

78: 81: 84: 88: 89:

78 81 84 88 89

X X X X X

9 = 702 5 = 405 6 = 504 8 = 704 9 = 801

Weiter oben in diesem Kapitel haben Sie gelernt, wie einfach es ist, mit 1 1 zu multiplizieren. Normalerweise lohnt es sich, die Faktorisierungsmethode zu verwenden, wenn eine der Zahlen ein Vielfaches von 1 1 ist, wie bei den unten stehenden Beispielen. 52 83

X X

33 = 52 66 = 83

X X

11 11

X X

3 = 5 72 6 = 91 3

X X

3 = 1 .71 6 6 = 5.478

Übung: Multiplikation zweier zweistelliger Zahlen mit der Faktorisierungsmethode 2.

X

27 14

8.

X

72 17

1.

7.

86 X 28 X

85 42

3. X

57 14

X

33 16

9.

4.

5.

X

81 48

11.

X

62 77

10.

56 )( 29

X

45 36

X

83 18

X

48 37

6.

12.

K R EAT I V E S H E RA N G E H E N A N M U LT l P L I KAT I 0 N E N

Ich erwähnte am Anfang des Kapitels, Multiplikationsaufga­ ben seien amüsant, weil sie auf mehrere Arten gelöst werden könnten. Nun, da Sie wissen, was ich gemeint habe, lassen Sie uns alle drei in diesem Kapitel vorgestellten Methoden auf eine Aufgabe anwenden, 73 x 49. Wir beginnen mit der Additionsmethode: 91

M U LTIPLI KATION M IT ZWISC H E N PRO D U KTEN

73 (70 + 3) 49 70 X 49 = 3.430 3 X 49 = + 1 4 7 3.577 X

Versuchen Sie nun die Subtraktionsmethode:

50 -1

X

X

73 49 (50 1 ) 73 = 3.650 73 = - 73 3.577 X

-

Beachten Sie, dass die zwei letzten Stellen der Subtraktion da­ durch erhalten werden konnten, dass man 50 + (Komplement von 73) rechnete, also 50 + 27 = 77. Alternativ hätte man auch einfach das Komplement von (73 - 50) nehmen können, also das Komplement von 23; dies ist 77. Versuchen Sie zum Schluss die Faktorisierungsmethode: 73 X 49 = 73 X 7 X 7 = 51 1 X 7 = 3.577 Glückwunsch! Sie haben die Multiplikation zweier zweistel­ liger Zahlen im Griffi Sie verfügen über alle Kenntnisse, um schnell im Kopf zu rechnen. Um ein blitzschneller Kopfrech­ ner zu werden, brauchen Sie lediglich Übung! Obung: M ultiplikation zweistelliger Zahlen im Freistil - alles ist erlaubt!

Viele der nachfolgenden Übungen können auf mehr als eine Weise gelöst werden. Versuchen Sie, sie auf so viele Arten zu lösen, wie Ihnen einfallen, und überprüfen Sie Lösungswege und Lösungen im Anhang des Buches. Wir schlagen ver92

ZWEISTELLIG MAL ZWEISTE LLIG

schierlene Lösungswege vor und beginnen jeweils mit demjenigen, den ich für den einfachsten halte. 1.

6.

53 )( 39

2.

81 )( 5 7

92 )( 53

7.

87 )( 87

3.

8.

73 )( 1 8

�.

89 )( 55

5.

67 )( 58

9.

56 )( 37

10.

77 )( 36 59 )( 21

Folgende Multiplikationen zweistelliger Zahlen treten als Teilaufgaben späterer Berechnungen auf, wenn wir dreisteilige Zahlen mit zwei- und dreisteiligen Zahlen multiplizieren oder fünfstellige mit fünfstelligen. Sie können diese Aufgaben jetzt zur Übung anpacken und später darauf zurückkommen, wenn sie bei schwierigeren Aufgaben wieder auftauchen. 11.

1 6.

21.

26.

31.

37 )( 72 74 )( 62

1 2.

17.

57 )( 73 61 )( 3 7

l l.

18 .

1 5.

43 )( 75

38 )( 63

1�.

43 )( 76

36 )( 41

1 9.

54 )( 53

20.

53 )( 53

29 )( 26

25.

41 )( 1 5

30.

65 )( 47

83 )( 58

22.

91 )( 46

23.

52 )( 47

2�.

65 )( 1 9

27.

34 )( 2 7

28.

69 )( 78

29.

65 )( 69

32.

95 )( 26

33.

41 )( 93

95 )( 81

93

M U LTIPLI KATION M IT ZWISC H E N PRODU KTEN

Q U A D R I E R E N D R E I ST E L U G E R Z A H L E N

DreisteHige Zahlen im Kopf zu quadrieren ist ein beeindru­ ckendes Kunststück geistiger Akrobatik. Genau wie man zweistellige Zahlen quadriert, indem man zum nächsten Vielfachen von 10 auf- oder abrundet, quadriert man dreistel­ lige Zahlen, indem man zum nächsten Vielfachen von 100 auf- oder abrundet. Nehmen Sie 193: ;J--'1"'" 2 00 1 932 ........_ 3 7.200 + 72 = 37.249 ....... . _7 ...... 1 86

�

Indem Sie auf 200 aufgerundet und auf 186 hinuntergegan­ gen sind, haben Sie die Multiplikation zweier dreisteiliger Zahlen in eine deutlich einfachere Multiplikation einer drei­ steiligen mit einer einstelligen Zahl umgewandelt. Schließ­ lich ist 200 x 186 einfach 2 x 186 = 372, an das man hinten zwei Nullen anhängt. Fast fertig! Jetzt müssen Sie nur noch 72 49 addieren und gelangen zum Endergebnis 37.249 Versuchen Sie jetzt, 706 zu quadrieren: =

7062

�

� - 6 ......

71 2

� � 498.400 + 62 = 498.436 . 700 ........-

Wenn Sie einerseits auf 700 abrunden, müssen Sie beim an­ deren Faktor um 6 nach oben gehen, auf 712. Da 712 x 7 = 4.984 (eine einfache Multiplikation einer dreisteiligen Zahl mit einer einstelligen), ist 712 x 700 = 498.400. Jetzt addieren Sie 62 = 36 und erhalten das Endergebnis 498.436. Die beiden obigen Aufgaben waren nicht besonders schwer, weil keine echte Addition nötig war. Außerdem wissen Sie längst auswendig, wie viel 62 und 72 sind. Haariger wird es, 94

QUADR I E R E N DREISTELL I C E R ZA H LE N

wenn man eine Zahl quadrieren muss, die weiter vom nächs­ ten Vielfachen von 100 entfernt ist.

Zur Berechnung dieser Aufgabe geht man gleichzeitig um 14 nach unten, auf 300, und nach oben, auf 328. Dann multipli­ ziert man 328 x 3 984, hängt zwei Nullen an und erhält 98.400. Dann addiert man das Quadrat von 14. Wenn Sie blitzartig sehen, dass 142 1 96 (weil Sie das auswendig wis­ sen oder sofort errechnet haben), sind Sie gut in Form. Jetzt zählen Sie nur noch 98.400 und 1 96 zusammen, was 98.596 ergibt. Wenn Sie ein wenig Zeit brauchen, 142 zu errechnen, sollten Sie sich die Zahl 98.400 ein paar Mal vorsagen, bevor Sie weitermachen. (Sonst berechnen Sie 142 196, haben aber mittlerweile vergessen, zu welcher Zahl Sie das addie­ ren müssen.) Je weiter man sich von einem Vielfachen von 1 00 entfernt, desto schwieriger wird das Quadrieren dreistelliger Zahlen. Versuchen Sie 5292: =

=

=

Wenn Sie vor einem Publikum stehen, das Sie beeindrucken 95

M U LTI PLI KATIO N M IT ZWISC H E N PRODU KTEN

wollen, können Sie die 279.000 schon aussprechen, bevor Sie 292 berechnet haben. Aber das geht nicht immer, wie zum Beispiel bei 6362: 672 + 636� y � � 403.200 + 362 = 404.496 / 600 362 1 .280 + 42 = 1 .296 32

�

s:: ">

Jetzt ist Ihr Gehirn wirklich warm gelaufen, stimmt's? In die­ sem Fall liegt der Schlüssel darin, sich die 403.200 ein paar Mal vorzusagen. Dann quadriert man 36 und erhält auf dem üblichen Weg 1 .296. Schwierig wird es, wenn man 1 .296 zu 403.200 addieren muss. Tun Sie das Stelle für Stelle, von links nach rechts, um zum Endergebnis zu gelangen: 404.496. Ich verspreche Ihnen, dass Ihnen Aufgaben dieser Art immer leichter fallen werden, je vertrauter Sie mit den Quadraten zweistelliger Zahlen werden. Jetzt kommt eine noch schwierigere Aufgabe, 8632: 8632


>Zweitausend(( laut aus und dividiert dann 2.352 durch 3 wie gewohnt.

109

DIVISION I M KOPF

D I V I S I O N D U R C H ZW E I ST E L L I G E ZA H L E N

I n diesem Abschnitt gehen wir davon aus, dass Sie die Kunst beherrschen, durch eine einstellige Zahl zu teilen. Natürlich werden Divisionen immer schwieriger, je länger die Zahlen werden, durch die man teilt. Glücklicherweise habe ich ein wenig Magie im Ärmel, um Ihnen das Leben zu erleichtern. Beginnen wir mit einer relativ einfachen Aufgabe: 597 + 1 4 Da 597 zwischen 1 4 x 1 0 = 140 und 1 4 x 100 = 1.400 liegt, be­ findet sich die Lösung (auch Quotient genannt) zwischen 10 und 100. Auf dem Weg zur Lösung fragt man sich als erstes, welches Vielfache von 10, mit 14 multipliziert, gerade noch in 597 passt. Da 14 x 40 = 560, weiß man, dass die Lösung in den Vierzigern liegt. Ziehen Sie nun 560 von 597 ab. Sie bekommen 37, was die Aufgabe darauf reduziert, 37 durch 14 zu teilen. Da 14 x 2 = 28, lautet die Antwort 42. Nachdem man 28 von 37 abgezo­ gen hat, bleibt ein Rest von 9. Im Diagramm sieht der Lö­ sungsweg so aus: 597 - 560 37 - 28 9

14

42

=

�

Ergebnis : 42 1

Die folgende Aufgabe ist ein bisschen schwieriger, weil der zweistellige Divisor (hier 23) größer ist. 682 + 23 1 10

D IV I S I O N DURCH ZWEISTELLI G E ZAH LEN

Die Lösung dieser Aufgabe wird eine zweistellige Zahl sein, weil 682 zwischen 23 x 10 = 230 und 23 x 100 = 2.300 liegt. Um die Zehnerstelle der Lösung zu ermitteln, fragen Sie sich, welches Vielfache von 10, multipliziert mit 23, noch in 680 passt. Wenn Sie 30 probieren, werden Sie feststellen, dass das ein wenig zu groß ist, weil ja 23 x 30 = 690. Also muss die Lösung in den Zwanzigern liegen. Subtrahieren Sie nun 23 x 20 = 460 von 682; das gibt 222. Da 23 x 9 = 207, lautet die Ant­ wort 29, mit einem Rest von 222 - 207 = 15. 682 + 23 = 29 - 460 222 - 207 15 Ergebn i s : 29

i�

Betrachten Sie nun 491 + 62

Da 491 weniger ist als 10 x 62 = 620, wird ihre Lösung nur eine Stelle haben (und eventuell einen Rest). Vielleicht pro­ bieren Sie mal 8, aber 62 x 8 = 496, ein bisschen zu viel. Also 7; da 62 x 7 = 434, bleibt ein Rest von 491 - 434 = 57. 491 + 62 = 7 - 434 57 Ergebn i s : 7

�;

Nun gibt es aber einen gewitzten Trick, wie man sich bei Auf­ gaben dieser Art das Leben vereinfacht. Erinnern Sie sich, wie Sie zuerst 62 x 8 gerechnet haben, aber feststellen muss­ ten, dass Sie mit 496 ein wenig zu hoch lagen? Nun, das war 111

DIVISION I M KOPF

keine vergebene liebesmüh'. Sie sahen nämlich sofort, dass die Antwort 7 sein musste, und auch den Rest hätten Sie so­ fort berechnen können. Da 496 um 5 über 491 liegt, wird der Rest um 5 unter 62 (dem Divisor) liegen. Da 62 - 5 = 57, lau­ tet Ihre Antwort 7 �� . Dieser Trick funktioniert, weil 491 = (62 X 8) - 5 = 62 X (7 + 1) - 5 = (62 X 7 + 62) - 5 = (62 X 7) + (62 5) = 62 X 7 + 57. Probieren Sie jetzt, 380 + 39 zu berechnen, indem Sie die eben vorgestellte Abkürzung nehmen. 39 x 10 = 390, was um 10 zu hoch ist. Die Lösung ist also 9, mit einem Rest von 39 10 = 29. Ihre nächste Herausforderung wird, eine vierstellige Zahl durch eine zweistellige zu teilen: 3 .657 + 54 Da 54 x 100 = 5.400, wissen Sie, dass Ihre Lösung zweistellig wird. Um die vordere Stelle zu ermitteln, müssen Sie heraus­ bekommen, wie oft 54 in 3.657 passt. Da 54 x 70 = 3.780 zu viel ist, muss die Lösung in den 60em liegen. Multiplizieren Sie als nächstes 54 x 60 = 3.240 und rechnen Sie 3.657 - 3.240 = 417. Die Aufgabe hat sich nun darauf re­ duziert, 417 + 54 zu ermitteln. Da 54 x 8 = 432 zu hoch liegt, ist die letzte Stelle eine 7, der Rest ist 54 - 15 = 39. 3.657 + 54 = 67 - 3.240 41 7 - 3 78 39 Ergebnis : 67

��

Versuchen Sie sich jetzt an einer Aufgabe mit einer dreistel­ ligen Lösung: 112

DIVISION D U R C H ZWEISTELLI C E ZAH LE N

9.467 + 1 3 9.467 + 1 3 = 728 - 9. 1 00 367 260 1 07 - 1 04 3 Ergebnis : 728 133

Vereinfachen von Divisionsaufgaben Ist Ihr Hirn mittlerweile heiß gelaufen? Nur keine Panik. Wie versprochen, werde ich Ihnen ein paar Tricks verraten, wie man bestimmte Divisionsaufgaben vereinfacht. Diese Tricks beruhen darauf, dass man beide Teile der Aufgabe durch einen gemeinsamen Faktor teilt. Sind beide Zahlen gerade, können Sie die Schwierigkeit der Aufgabe halbieren, indem sie beide Zahlen durch 2 teilen, bevor Sie anfangen. Bei­ spielsweise besteht 858 + 16 aus zwei geraden Zahlen. Teilt man beide durch 2, erhält man die viel einfachere Aufgabe 429

+

8:

858 + 1 6 - 800 58 - 48 10 Erge bnis: 53

��

=

5 3 durch 2 teilen 429 + 8 - 400 29 - 24 5 Lösung 53

=

53

�

Offenkundig unterscheidet sich der Rest, 10 bzw. 5, bei bei­ den Rechenwegen. Aber wenn man den Rest in Form eines Bruchs ausdrückt, bekommt man �� und � , was das glei­ che ist. Wenn man diese Methode benutzt, muss man die 113

DIVISION I M KOPF

Lösung daher immer in Form eines »gemischten Bruchs« angeben (also in Form einer ganzen Zahlen und einer ange­ hängten Bruchzahl). Wir haben beide Berechnungen durchgeführt, um zu zeigen, wie viel einfacher die rechte ist. Versuchen Sie zur Übung jetzt selbst eine: 3.61 8 + 54 3 .61 8 + 54 = 67 - 3 .240 3 78 - 3 78 0

1 .809 + 27 = 67 1 - .620 1 89 - 1 89 0

durch 2 teilen

Lösung 67 Die rechte Aufgabe ist viel einfacher im Kopf zu rechnen. Wenn Sie ganz schnell im Kopf sind, könnten Sie beide Sei­ ten auch durch 18 teilen und zu der noch einfacheren Aufga­ be 201 -:- 3 = 67 gelangen. Achten Sie darauf, ob bei Aufgaben zweimal durch 2 geteilt werden kann, wie bei 1.652 -:- 36. 1 .652 + 36 = 826 + 1 8 = + 2

+2

Lösung 45

41 3 + 9 = 45 - 3 60 53 - 45 8

�

Normalerweise fällt es mir leichter, eine Aufgabe zweimal durch 2 zu teilen, als beide Zahlen durch 4 zu dividieren. Wenn beide Zahlen auf 0 enden, können Sie sie durch 10 teilen: 114

D IVISION D U R C H ZWEISTELLI C E ZAH LE N

580 + 70

=

58 + 7 = 8 56 2

+ 10

�

Lösung 8

Wenn beide Zahlen auf 5 enden, verdoppeln Sie sie und tei­ len dann durch 10, um sich das Leben einfacher zu machen. Beispielsweise: 475 + 35

=

)( 2

950 + 70

=

95 + 7 = 1 3 - 70 25 - 21 4

+10

Lösung 1 3

j

Und schließlich: Falls der Divisor auf 5 endet und der Divi­ dend auf 0, multiplizieren Sie beide mit 2 und teilen dann durch 10, genau wie oben: 890 + 45 )(=2 1 . 780 + 90+ = 1 78 + 9 = 1 9 10 - 90 88 - 81 7 Lösung 1 9

�

Übung: Division durch eine zweistellige Zahl

Hier finden Sie eine ganze Reihe von Divisionsaufgaben, die Ihre geistige Fitness auf die Probe stellen werden. Verwen­ den Sie die Vereinfachungstechniken, die weiter oben im Ka­ pitel vorgestellt wurden. Am Schluss des Buches finden Sie Lösungen und Erklärungen. 115

DIVI S I O N I M KOPF

738 + 1 7 4.268 + 28

1. 4.

2.

5.

J.

591 + 24 7.2 1 4 + 1 1

6.

321 + 79 3 .074 + 1 8

G EG E N D E N TAS C H E N R E C H N E R A N T R ET E N : LE R N E N , W l E M A N B R Ü C H E I N D EZ I M A LB R Ü C H E U M WA N D E LT

Wie Sie vielleicht schon erraten haben, wende ich gern ein wenig Zauberei an, wenn ich Bruchzahlen in Dezimalzahlen umwandle. Im Fall von Brüchen mit einstelligem Zähler und Nenner merkt man sich folgende Brüche - von einem Hal­ ben bis zu einem Elftel - am besten auswendig. Das klingt schlimmer, als es ist. Unten werden Sie sehen, dass die meis­ ten »einstelligen« Brüche spezielle Eigenheiten haben, die sie unvergesslich machen. Wann immer Sie einen Bruch zu einem bereits bekannten Bruch reduzieren können, be­ schleunigen Sie den Rechenprozess. Vermutlich kennen Sie bereits das dezimale Gegenstück zu folgenden Brüchen: 1

T = 0,5

1 T = 0,333

2 T = 0,666

Ebenso: 1

4 = 0,25

Die Fünftel kann man sich leicht merken:

+ = 0,2

� = 0,4

� = 0,6

4 s = 0,8

Bei den Sechsteln muss man sich nur zwei neue Zahlen merken: 1 6 = 0,1 666 2 4 6 = T = 0,666

1 16

2 1 6 = T = 0,333 5

6 = 0,83 3 3

B R 0 C H E I N D EZ I M ALBR0 C H E U M WAN DELN

Auf die Siebentel komme ich gleich. Die Achtel gehen wie im Flug: 1 2 8 = 4 = o,2 5 4 1 8 = 2 = 0,5

1 8 = 0, 1 25 1 3 8 = 0,3 75 (3 )( 8 = 3 )( 0, 1 25 = 0,3 75) 1 5 8 = 0,675 (5 )( 8 = 5 )( 0, 1 25 = 0,675) 7 1 8 = 0,875 (7 )( 8 = 7 )( 0, 1 25 = 0,875)

� = ! = 0,7 5

Die Neuntel haben ihre ganz eigene Magie: 1

-

g- = 0, 1 5 g- = 0,5

-

2 g- = 0,2 6

4 g- = 0,4 8 g- = 0,8

3 g- = 0, 3 7 g- = 0,7

-

g- = 0,6

Der Strich über der Zahl bedeutet dabei, dass sich dieser Teil unendlich wiederholt. Zum Beispiel gilt: � = 0,4 = 0,444... Die Zehntel kennen Sie schon: 1 0 = 0,1

1

1 0 = 0,2

2

1 0 = 0,3

3

4 1 0 = 0, 4 7 1 0 = 0,7

5 1 0 = 0,5 8 1 0 = 0,8

6 1 0 = 0,6 9 1 0 = 0,9

Bei den Elftein muss man sich nur merken, dass ,t\ = 0,0909 ist, der Rest ist einfach: ...

1 TI = 0,09 = 0,0909

-

2 TI = 0,1 8 (2 x 0,0909) 3 4 0,3 5 0,27 (3 x 0,0909) 6 0,45 = = = TI TI TI 6 7 8 TI = 0,54 TI = 0,72 TI = 0,63 10 9 TI = 0,81 TI = 0,90 -

-

-

117

DIVIS ION I M KOPF

Die Siebtel sind wirklich bemerkenswert. Merkt man sich einmal + = 0,142857, bekommt man all die anderen Siebtel, ohne sie berechnen zu müssen: 1

---------

7 = 0, 1 42857

4

2

---------

3

5

---

7 = 0,428571

7 = 0,28571 4

6

7 = 0,5 7 1 428 7 = 0,71 4285

7 = 0,85 7 1 42

Beachten Sie, dass sich das gleiche Zahlenmuster in jeder Dezimalzahl wiederholt. Nur die Ausgangszahl zu Beginn ändert sich. Die Startzahl bekommen sie sofort, wenn Sie 0,14 mit dem Zähler multiplizieren. Im Fall von � gilt 2 x 0,14 = 0,28, also muss man die Abfolge mit 0,28 beginnen: 0,285 714. Das gleiche gilt für � , da 3 X 0,14 = 0,42. Man fangt also mit 0,42 an und fahrt wie gehabt fort: 0,428571. Der Rest ergibt sich auf die gleiche Weise. Natürlich werden Sie Brüche mit größeren Zählern und Nen­ nern berechnen müssen als ��· Halten Sie trotzdem die Augen offen, ob Sie solche Aufgaben weiter vereinfachen können. Beispielsweise kann man den Bruch l! verein­ fachen, indem man beide Zahlen durch 2 teilt. Man er­ hält {7 , was einfacher zu berechnen ist. Wenn der Nenner eines Bruchs gerade ist, können Sie den Bruch durch Halbieren von Zähler und Nenner vereinfa­ chen, auch wenn der Zähler ungerade ist. Zum Beispiel: �- Q

14

-

7

Durch die Teilung von Zähler und Nenner haben wir Siebtel erhalten. Obwohl die ganzzahligen Siebtel weiter oben keinen Wert für 1f- angeben, werden die bekannten Zahlen bald auftauchen, sobald Sie sich an die Rechnung machen: 1 18

B R 0 C H E I N DEZ I M ALBR 0 C H E U M WAN DELN

4 , 5000000

+

7

=

0,6428571

- 4,2 3

Wie Sie sehen, mussten wir gar nicht die ganze Aufgabe be­ rechnen: Sobald man sie darauf reduziert hat, dass man 3 durch 7 teilt, kann man die ganze Zahlenreihe herunterrat­ tern und sein Publikum schwer beeindrucken. Wenn der Nenner aufS endet, lohnt es sich fast immer, Zäh­ ler und Nenner zu verdoppeln und dann durch 10 zu teilen. Zum Beispiel: 29

45

>< 2

58 � 90 +�0 9

=

6 , 44

Nenner, die auf 25 oder 75 enden, sollten mit 4 multipliziert werden, bevor man durch 100 teilt:

Man kann diesen Trick sogar mitten in der Berechnung einer Aufgabe anwenden. Sehen Sie, was passiert, wenn Sie a n 1� knobeln: 3 ,000

+

1 6 = 0,1

� 14

Sobald die Aufgabe auf �: reduziert ist, kann man weiter zu � vereinfachen, und Sie wissen bereits, dass das 0,875 ist. Also gilt 1� 0,1875. =

119

D I V I S I O N I M KOPF

Obung: Umwandlung in Dezimalzahlen

Vergessen Sie nicht, bei der Umwandlung folgender Brüche in Dezimalzahlen Ihr Wissen über B rüche mit einstelligem Zähler und Nenner anzuwenden. Vereinfachen Sie die Brü­ che, wo immer möglich, bevor Sie sie in Dezimalzahlen um­ wandeln. 1.

2

2.

7.

14 24

8.

4

3.

T

T

13

27

3

4.

9.

18 48

10.

9

5.

10 14

11.

TI

8

5

6.

6

12.

32

6

'IT

TI

19

45

Wl E M A N A U F T E l L BA R K E I T T E ST ET

Im letzten Abschnitt sahen wir, wie sich Brüche vereinfachen ließen, wenn Zähler und Nenner durch einen gemeinsamen Faktor teilbar waren. Wir beenden dieses Kapitel mit einer kurzen Abhandlung darüber, wie man herausfindet, ob eine Zahl ein Faktor einer anderen ist. Die Fähigkeit, Faktoren auf­ zuspüren, hilft uns dabei, Divisionsaufgaben zu vereinfa­ chen, und kann die Berechnung vieler Multiplikationsaufga­ ben beschleunigen. Sie wird sich auch auszahlen, wenn wir zur fortgeschrittenen Multiplikation gelangen, wo man oft mitten in einer Multiplikation nach Faktoren einer zwei-, drei- oder sogar fünfstelligen Zahl sucht. Natürlich kommt es einem dann zupass, wenn man Zahlen rasch in Faktoren zer­ legen kann. Und darüber hinaus finde ich die Regeln einfach wunderschön. Es ist einfach zu testen, ob eine Zahl sich (glatt) durch 2 tei­ len lässt. Man muss lediglich nachsehen, ob die letzte Ziffer gerade ist. Steht an letzter Stelle eine 0, 2, 4, 6 oder 8, ist die ganze Zahl durch 2 teilbar. 120

A U F TE I LBA R K E I T TESTEN

Ob eine Zahl durch 4 teilbar ist, sieht man daran, ob die letz­ ten zwei Stellen durch 4 teilbar sind. 57.852 lässt sich durch 4 teilen, weil 52 = 1 3 x 4. Die Zahl 69.346 ist kein (ganzzahli· ges) Vielfaches von 4, weil 46 kein (ganzzahliges) Vielfaches von 4 ist. Dieser Test funktioniert, weil 100 ein Vielfaches von 4 ist und deswegen auch jedes Vielfache von 100 sich restlos durch 4 teilen lässt. Da sich 57.800 restlos durch 4 teilen lässt und 52 ebenfalls, wissen wir, dass sich auch die Summe der beiden Zahlen, 57.852, glatt durch 4 teilen lässt. Da sich 1.000 restlos durch 8 teilen lässt, überprüft man ana­ log, ob eine Zahl durch 8 teilbar ist, indem man die letzten drei Stellen der Zahl ansieht. Bei 14.918 versucht man, 918 durch 8 zu teilen. Da ein Rest übrig bleibt (918 -;- 8 = 1 14 � ) , kann man die gesamte Zahl nicht glatt durch 8 teilen. Das hätten Sie auch daran erkennen können, dass die 18 an den letzten beiden Stellen der Zahl sich nicht durch 4 teilen lässt. Wenn die Zahl 14.918 aber nicht durch 4 teilbar ist, kann sie nicht durch 8 teilbar sein. In Sachen Teilbarkeit durch 3 gibt es eine coole Regel, die sich leicht merken lässt: Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme - die Summe aller Ziffern in einer Zahl - durch 3 teilbar ist. Um zu überprüfen, ob 57.852 durch 3 teilbar ist, addiert man einfach 5 + 7 + 8 + 5 + 2 = 27. Da 27 ein Vielfaches von 3 ist, muss auch 57.852 ein Vielfa­ ches von 3 sein. Die gleiche verblüffende Regel gilt für die Teilbarkeit durch 9. Jede Zahl lässt sich genau dann durch 9 teilen, wenn ihre Quersumme 9 beträgt. 57.852 ist also ein Vielfaches von 9, während 31.416, dessen Quersumme 15 ist, keines ist. Dieser Trick funktioniert deshalb, weil die Zahlen 1 , 10, 100, 1.000, 10.000 usw. alle um 1 größer sind als ein Vielfaches von 9. 121

DIVISION I M KOPF

Man kann eine Zahl genau dann durch 6 teilen, wenn sie ge­ rade und durch 3 teilbar ist. Eine Teilbarkeit durch 6 lässt sich also leicht überprüfen. Noch einfacher ist es festzustellen, ob eine Zahl durch 5 teil­ bar ist. Egal, wie groß sie ist: Sie ist einzig dann ein Vielfa­ ches von 5, wenn sie auf 5 oder 0 endet. Probieren Sie es ein­ fach aus! Die Teilbarkeit durch 1 1 ist fast so leicht zu bestimmen wie die Teilbarkeit durch 3 oder 9. Eine Zahl ist genau dann glatt durch 1 1 teilbar, wenn man als Ergebnis entweder 0 oder ein Vielfaches von 11 erhält, nachdem man die Ziffern einer Zahl abwechselnd subtrahiert und addiert. Beispielsweise lässt sich 73.958 nicht durch 1 1 teilen, weil 7 - 3 + 9 - 5 + 8 = 16. Die Zahlen 8.492 und 73.194 allerdings sind Vielfache von 11, weil 8 - 4 + 9 - 2 = 11 und 7 - 3 + 1 - 9 + 4 = 0. Dieser Test be­ ruht, ähnlich wie der Test für 3er und 9er, auf der Tatsache, dass 1, 100, 10.000 und 1.000.000 um 1 über einem Vielfachen von 11 liegen, während die Zahlen 10, 1.000 und 100.000 um 1 unter einem Vielfachen von 1 1 liegen. Der Test auf Teilbarkeit durch 7 ist ein bisschen diffiziler. Man erhöht oder senkt die zu prüfende Zahl um ein Vielfa­ ches von 7, und wenn die verbleibende Zahl ein Vielfaches von 7 ist, fällt der Test positiv aus. Ich wähle das Vielfache von 7 immer so, dass eine Zahl entsteht, die auf 0 endet. Wenn die zu prüfende Zahl beispielsweise 5.292 ist, subtrahiere ich 42 (ein Vielfaches von 7), um 5.250 zu erhalten. Jetzt streiche ich die 0 (da eine Division durch 10 nicht beeinflusst, ob die Zahl durch 7 teilbar ist), es bleibt 525. Dann wiederhole ich den Vorgang, addiere 35 (ein Vielfaches von 7) und bekom­ me 560. Wenn ich die 0 streiche, bekomme ich 56, von dem ich weiß, dass es ein Vielfaches von 7 ist. Die ursprüngliche Zahl 5.292 ist also durch 7 teilbar. 122

A U F TEILBAR K E I T TESTEN

Diese Methode funktioniert nicht nur für 7, sondern für jede ungerade Zahl, die nicht auf 5 endet. Um beispielsweise zu testen, ob 8.792 durch 1 3 teilbar ist, zieht man 52 (4 x 13) von 8.792 ab und erhält 8.740. Das Streichen der Null führt zu 874. Man addiert 2 x13 = 26 und kommt zu 900. Man streicht die zwei Nullen und bekommt 9, offenkundig kein Vielfaches von 13. Daher ist 8.792 kein Vielfaches von 13. Übung: Testen aufTeilbarkeit

Passen Sie in dieser abschließenden Übungseinheit beson­ ders auf, wenn Sie aufTeilbarkeit durch 7 und 17 prüfen. Der Rest sollte Ihnen leicht fallen. Teilbarkeit durch 2

5 3.428

4.

9.846

358

8.

57.929

11.

248

12.

6.1 1 1

293

1 5.

7.241

1 6.

9.846

67.386

19.

248

20.

5.991

8.469

23.

43.762

27.

2.

293

3.

7.241

6.

67.348

7.

10.

73.488

14.

18.

Teilbarkeit durch 4

3.932 Teilbarkeit durch 8 9.

59.366

Teilbarkeit durch 3 13.

5 3.428

Teilbarkeit durch 6 1 7.

5.334

Teilbarkeit durch 9 21.

1 .234 22

4.425.575 24. 3 1 4.1 59.265

Teilbarkeit durch 5 25.

47.830

26.

56.785 28.

37.21 0

123

D I V I S I O N I M KOPF

Teilbarkeit durch 1 1 29.

5 3.867

)0.

4.969

)1.

3.828

12.

941 .369

)�.

7.336

JS .

875

)6.

1 .1 83

)8.

629

)9.

8.273

�0.

1 3.855

Teilbarkeit durch 7 )).

5. 784

Teilbarkeit durch 1 7

694

BRÜCH E

Wenn Sie mit ganzen Zahlen umgehen können, wird Ihnen das Rechnen mit Brüchen fast genauso leicht fallen. In die­ sem Abschnitt wiederholen wir die grundlegenden Metho­ den der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division sowie des Kürzens von Brüchen. Diejenigen, denen vertraut ist, wie man mit Brüchen umgeht, können diesen Abschnitt bedenkenlos überspringen. Multiplizieren von Brüchen Um zwei Brüche miteinander zu multiplizieren, multipli­ ziert man einfach die oberen Zahlen (die Zähler) miteinan­ der, dann multipliziert man die unteren Zahlen (die Nenner) miteinander. Zum Beispiel: 2 4 8 T X 5 = IT

1

2

X

5 = 5 18

9

Was könnte einfacher sein! Versuchen Sie folgende Aufga­ ben, bevor Sie weiterlesen. Übung: Multiplikation von Brüchen 1.

124

3 2 5x7

2.

4

11

gX]

)

3 6 7x4

�.

BAOCHE

Division von Brüchen Die Division von Brüchen ist so einfach wie die Multiplika­ tion. Es ist nur ein zusätzlicher Schritt erforderlich: Man stellt den zweiten Bruch auf den Kopf (man bildet den Kehr­ wert) und multipliziert erst dann jeweils die oberen und un­ teren Zahlen miteinander. Der Kehrwert von � beispiels­ weise ist � . Deswegen gilt: 2 . 4

2

5

10

1

1

9 = 9 10

T � 5 = T >< 4 = u

. 5

T � 9 = Tx 5

Übung: Division von Brüchen

Jetzt sind Sie dran. Dividieren Sie folgende Brüche: 2

I.

•

1

5�2

2•

1

•

6

T�5

3.

Kürzen von Brüchen Man kann Brüche als kleine Divisionen betrachten. � ist beispielsweise das gleiche wie 6 -7- 3 = 2. Der Bruch ! bedeu­ tet das gleiche wie 1 -7- 4 (was in Dezimalschreibweise 0,25 ist). Nun wissen wir, dass eine Zahl unverändert bleibt, wenn wir sie mit 1 multiplizieren. Zum Beispiel gilt: � = + x 1. Wenn wir nun 1 durch � ersetzen, bekommen wir � = + x 1 =f x = 160 . Analog erhalten wir, wenn wir 1 durch + er3 = 15 • setzen, T 9 . M"1t anderen \TT worten. \Tl wenn wu 3 =5 3 xT Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multiplizieren, be­ kommen wir einen Bruch, der mit dem ursprünglichen Bruch äquivalent ist. Diesen Vorgang nennt man Erweitern. Ein weiteres Beispiel:

�

•

125

DIVISION I M KOPF

Nun gilt aber auch: Wenn wir den Zähler und den Nenner durch die gleiche Zahl dividieren, erhalten wir einen Bruch, der mit dem ursprünglichen Bruch äquivalent ist. Zum Beispiel: 4

4

2

.

2

6 = 6�T = T

25 25 5 5 35 = 35 � s = T •

Diesen Vorgang nennt man Kürzen.

Obung: Erweitern und Kürzen von Brüchen

Können Sie zu den folgenden Brüchen einen äquivalenten Bruch finden, dessen Nenner 12 ist? 1

l.

T

5

6

2.

Kürzen Sie: 5.

8

w

6

5

6.

3

4

3.

24 36

7.

5

�-

T

8.

36

20

Addition von Brüchen Im einfachen Fall haben beide Brüche den gleichen Nenner. Dann addieren wir die Zähler und behalten den Nenner. Zum Beispiel: 3

1

4

s+s=s

Manchmal kann man die Lösung noch vereinfachen. Bei­ spielsweise:

Obung: Addition von (gleichnamigen) Brüchen 1.

126

2 g

5

+ g

2.

5

4

IT + IT

3.

5

6

18 + 18

�-

BR0CH E

Der schwierigere Fall: ungleiche Nenner. Wenn die Nenner nicht gleich sind, ersetzen wir unsere Brüche durch solche, wo die Nenner gleich sind. Um beispielsweise zu addieren 2

1

T + TI

wandeln wir um

Es gilt: 1

2

5

2

7

7

11

T + TI = TI + TI = TI ·

Um folgendes zu berechnen

_l_ + _l_

2

erweitern wir

8

Also gilt 1

7

4

T + s = s + s = s·

Um folgendes zu addieren

_l_ + .l..

3

erweitern wir 1

so

dass

5

T = TI

5

2

6

und 5 = TI

127

DIVISION I M KOPF

Übung: Addition von (ungleichnamigen) Brüchen 1

1

2

5

s + TO

1.

T + 2i

4.

1

5

6 + 18

2.

1._ + ]_

5.

3

4

3.

_l 5 3 + _l

l_ 7 + ]_ 5

6.

2 5 TI + 9

7.

Subtraktion von Brüchen Die Subtraktion von B rüchen funktioniert ähnlich wie die Addition. Das haben wir mit ein paar Beispielen illustriert; danach folgen Übungen für Sie. 4 2 2 3 1 2 -s - s = s y - -=r = T 1 4 1 5 8-8=3=2 1 2 5 2 3 1 T - 15 = 15 - 15 = 15 = s 7 1 7 4 3 8-2=8-8=8 1 7 4 7 3 2-8=8-8=-8 2 1 8 7 1 T - 4 = 28 - 28 = 28 2 5 16 15 1 T - 8 = 24 - 24 = 24

Übung: Subtraktion von Brüchen 1.

4.

7.

128

8

3

4

1

TI - TI -s - 15

1 7 8 - 16

1.. 5.

8.

12

8

T-7

3 9 1 0 - -s 2 4

T-5

3.

6.

9.

13

5

3

2

18 - 18 4-T

1 8 9-2

·.1;

.

KAPITE L

Passt schon - die Kunst des

»

Überschlagens«

B genaue Lösung zu einer Aufgabe zu finden. Oft genug is jetzt haben Sie die geistige Fähigkeit perfektioniert, die

braucht man aber eigentlich nur eine ungefähre »Hausnum­ mer« des Ergebnisses. Angenommen, Sie holen von mehre­ ren Banken die Zinssätze für die Finanzierung Ihres Hauses ein. In dieser Phase der Informationssammlung benötigen Sie eigentlich nur eine grobe Schätzung, wie hoch Ihre mo­ natliche Belastung ausfallen wird. Oder angenommen, Sie gehen mit Freunden ins Restaurant und teilen sich danach die Rechnung, aber nicht auf den letzten Cent genau. Mit den hier vorgestellten Methoden, wie man »über den Daumen peilt«, erleichtert man sich das Leben bei zahlreichen Pro­ blemstellungen ungemein. Ob bei Addition, Subtraktion, Di­ vision und Multiplikation - überall lassen sich Näherungs­ methoden einsetzen. Wie gewohnt, werden Sie Ihre Berechnungen von links nach rechts durchführen.

Ü B E R S C H LAG E N

VO N S U M M E N

Mit einer überschlägigen Berechnung macht man sich das Leben viel einfacher, wenn die Zahlen einer Aufgabe so groß sind, dass man sie sich nicht mehr merken kann. Der Trick besteht darin, die Ausgangszahlen auf- oder abzurunden: 129

D I E K U N ST DES »0 BERSCH LACi E N S«

8.367

+ 5.81 9

...

1 4.1 86

8.000 + 6.000 1 4.000 ( � bedeutet »ist un gefähr«)

Beachten Sie, dass wir die erste Zahl auf den nächsten Tau­ sender abgerundet und die zweite Zahl aufgerundet haben. Das genaue Ergebnis war 14.186, unser relativer Fehler war also klein. Wenn Sie genauer rechnen wollen, können Sie auch jeweils zum nächsten Hunderter statt zum nächsten Tausender auf­ bzw. abrunden: 8.367 5.81 9 1 4. 1 86

+

+

8.400 5.800 1 4.200

Unsere Schätzung liegt nur 14 vom exakten Ergebnis weg, eine Abweichung von weniger als 0,1 %. Das nenne ich mal eine gute Schätzung! Versuchen wir eine Aufgabe mit fünfstelligen Zahlen; wir runden auf die nächsten Hunderter: 46.1 87 + 1 9.378 65.565

46.200

+ 1 9.400 65.600

Wenn wir auf Hunderter runden, wird unsere Schätzung immer weniger als 100 daneben liegen. Bei einem Ergebnis, das über 10.000 ist, beträgt der relative Schätzfehler also immer unter 1 %. Probieren wir jetzt etwas Abgefahrenes: 23.859.379 7.426.087 31 .285.466

+

130

23,9 M illionen

24.000.000

+ 7.000.000

31 .000.000

oder

+ 7,4 M i llionen 3 1 ,3 M illionen

0BERSCHLAC E N VO N S U M M E N

Rundet man auf die nächste Million, bekommt man 31 Mil­ lionen als Lösung, etwa 285.000 daneben. Nicht schlecht, aber genauer wird es, wenn Sie auf die nächsten Hunderttausen­ der runden, wie in der rechten Spalte gezeigt. Wieder wird Ihre Schätzung weniger als 1 % vom exakten Ergebnis abwei­ chen. Wenn man also nicht zu grob vereinfacht, kann man für jede beliebige Summe eine gute Schätzung abgeben. Oberschlagen im Supermarkt Nehmen wir ein Beispiel aus dem Alltag. Haben Sie sich je beim Einkaufen gefragt, ob Sie genug Geld dabei haben, um die Sachen im Einkaufswagen zu bezahlen? Meine Technik in einem solchen Fall ist, jeden Preis auf die nächsten 50 Cent zu runden. Wahrend die Kassiererin die exakten Preise (links) eingibt, addiere ich im Kopf die Zahlen auf der rechten Seite: 1 ,39 € 0,87 € 2,46 € 0,61 € 3,29 € 2,99 € 0,20 € 1 ,1 7 € 0,65 € 2,93 € 3,1 9 € 1 9,75 €

1 ,50 € 1 ,00 € 2,50 € 0,50 € 3 ,50 € 3 ,00 € 0,00 € 1 ,00 € 0,50 € 3 ,00 € 3 ,00 € 1 9,50 €

der Regel liegt meine Schätzung keinen Euro vom exakten Ergebnis weg. In

131

D I E KU N ST DES ,.QBERSC H LACi E N S«

George Parker Bidder: Der rechnende I ngenieur Auch die Briten hatten ihre Blitz-Kopfrechner, und die Vorführun­ gen des i n Devonshire geborenen George Parker Bidder (1 8061 878) waren so leicht nicht zu ü bertrumpfen. Wie die meisten Kopfrechenakrobaten begann Bidder schon als j unger Bub, sich mit Kopfrechnen zu beschäftigen. Beim Spielen mit M urmeln lernte er Addieren, Subtrahieren, Multipl izieren und Dividieren. Im Alter von neun Jahren ging er aufTour, begleitet von seinem Vater. Fast keine Aufgabe war zu schwer für ihn. »Der Mond ist 1 23 .256 Meilen von der Erde entfernt, Schall bewegt sich mit vier Meilen in der M inute fort. Wie lang bracht der Schall, um von der Erde zum Mond zu gelangen?« Der junge Bidder legte seine Stirn fast eine M i nute lang in Falten, dann antwortete er: »Einundzwanzig Tage, neun Stunden, vierunddreißig M i n uten.« (Heute wissen wir, dass die Entfernung eher bei 240.000 Meilen liegt und Schall sich durch das Vakuum des Weltalls n icht fortsetzen kann.) I m Alter von zehn Jahren berechnete Bidder i m Kopf d i e Wurzel von 1 1 9.550.669.1 2 1 in gerade mal dreißig Sekunden: 345 . 761 . I m Jahr 1 81 8 traten Bidder u n d der amerikanische Blitzrechner Zerah Colburn zu einem Rechend uell an. Wenn Colburn gedacht hatte, er könnte Bidder schlagen, hatte er sich verrechnet: Bidder ge­ wann. Auf den Wogen seines Ruhms schrieb sich George Bidder i n der Un iversität Edinburgh ein und wurde zu ei nem der angesehens­ ten I ngenieure Englands. Das Parlament zog ihn oft als Experten hinzu, wenn es um Eisenbahnfragen ging - zum Schrecken der Gegenseite. Ein Oppositioneller beschwerte sich: >>Die N atur hat ihn mit so außerordentlichen Fähigkeiten ausgestattet, dass seine Gegenspieler kei ne fai re Chance haben.> ller-Probe« bekannt ist. Sie läuft ähnlich wie die 9er-Probe, nur dass man die Ziffern einer Zahl von rechts nach links ge­ hend abwechselnd subtrahiert und addiert. Ein eventuelles Komma ignoriert man einfach. Falls das Ergebnis negativ ist, addiert man 11. (Es mag verführerisch sein, bei dieser Probe 166

l l ER•PROBE

von links nach rechts vorzugehen, wie man es bei Quersum­ men tut, aber das funktioniert hier nicht.) Zum Beispiel: 234,8 7 _____.. 7 - 8 + 4 - 3 + 2 = 2 _____.. 2 + 58,61 ---. 1 - 6 + 8 - 5 = - 2 ---. 9 293 ,48 ---. 8 - 4 + 3 - 9 + 2 = o ---.n ---.

o

Die gleiche Methode funktioniert auch bei Subtraktionen: 65.71 7 _____.. 3 1 4 _____.. ____ _. . - 38.491 ____._. - (- 9) +9 -_____.. 1 2 _____.. 1 27.226

+

Sie funktioniert sogar mit Multiplikationen: 853 762 649.986 X

+ +

-4

_____.. _____.. _____..

6 X 3 --

18

+ 7

7

Wenn die Zahlen nicht übereinstimmen, haben Sie irgend­ wo einen Fehler gemacht. Allerdings könnte weiter ein Feh­ ler existieren, selbst wenn die Zahlen übereinstimmen. Im Schnitt entdeckt diese Methode 10 von 11 Fehlern. Ein Schnitzer hat also eine Chance von 1 in 1 1, durch die 11er­ Probe zu rutschen, und eine Chance von 1 in 9, die 9er-Probe zu überstehen. Wenn Sie beide Proben anwenden, haben Schnitzer nur noch eine Chance von 1 in 99, unentdeckt zu bleiben. Mehr darüber und über weitere faszinierende 167

R EC H N E N M IT PAPI ER U N D STIFT

Mathe-Themen finden Sie in den Büchern Martin Gardners über unterhaltsame Mathematik, die ich Ihnen sehr ans Herz lege. Sie sind jetzt vorbereitet für die ultimative Zettel-und-Stift­ Aufgabe in diesem Buch: eine Multiplikation zweier zehn­ stelliger Zahlen! Anfangen können Sie in der Praxis damit gar nichts - außer angeben. (Ich persönlich finde ja, dass die Multiplikation zweier fünfstelliger Zahlen schon beeindru­ ckend genug ist, da das Ergebnis die Kapazität der meisten Taschenrechner sprengt.) Wir demonstrieren die Aufgabe hier nur um zu beweisen, dass sie lösbar ist. Die Kreuzmul­ tiplikationen folgen dem gleichen Grundschema wie bei den fünfstelligen Zahlen. Wir werden 19 Schritte durchführen müssen, und beim zehnten Schritt bekommen wir es mit 10 Kreuzmultiplikationen zu tun. Auf geht's! 2. 766.829.451 X 4.425.575.21 6

Und so machen wir es: 1 . Schritt l. Schritt 3. Schritt 4. Schritt 5. Schritt 6. Schritt 7. Schritt 8. Schritt

168

6 x 1 =6 (6 x 5) + (1 x 1 ) = 3l 3 + (6 x 4) + (2 x 1 ) + (1 x 5) = 3� 3 + (6 X 9) + (5 X 1 ) + (1 X 4) + (2 X 5) = 7§_ 7 + (6 X 2) + (7 X 1 ) + (1 X 9) + (5 X 5) + (2 X 4) = 68 6 + (6 X 8) + (5 X 1 ) + (1 X 2) + (7 X 5) + (2 X 9) + (5 X 4) = 1 3� 1 3 + (6 x 6) + (5 x 1 ) + (1 x 8) + (5 x 5) + (2 X 2) + (7 X 4) + (5 X 9) = 1 6� 1 6 + (6 x 6) + (2 x 1 ) + (1 x 6 ) + (5 x 5) + (2 X 8) + (5 X 4) + (5 X 2) + (7 X 9) = 1 9�

M U LTI PLI KATION

9. Schritt

1 9 + (6 X 7) + (4 X 1 ) + (1 X 6) + (2 X 5)+ (2 X 6) + (5 X 4) + (5 X 8) + (5 X 9) + (7 X 2) 21 f 21 + (6 x 2) + (4 x 1 ) + (1 x 7) + (4 x 5) + (2 X 6) + (2 X 4) + (5 X 6) + (5 X 9) + (7 X 8) + (5 X 2) 22� 22 + (1 X 2) + (4 X 5) + (2 X 7) + (4 X 4) + (5 X 6) + (2 X 9) + (7 X 6) + (5 X 2) + (5 X 8) 2 1 � 21 + (2 x 2) + (4 x 4) + (5 x 7) + (4 x 9) + (7 X 6) + (2 X 2) + (5 X 6) + (5 X 8) 22� 22 + (5 X 2) + (4 X 9) + (7 X 7) + (4 X 2) + (5 X 6) + (2 X 8) + (5 X 6) = 20! 20 + (7 x 2) + (4 x 2) + (5 x 7) + (4 x 8) + (5 X 6) + (2 X 6) = 1 5! 1 5 + (5 x 2) + (4 x 8) + (5 x 7) + (4 x 6) + (2 X 6) = 1 2� 1 2 + (5 x 2) + (4 x 6) + (2 x 7) + (4 x 6) = 8� 8 + (2 x 2) + (4 x 6) + (4 x 7) = 6� 6 + (4 x 2) + (4 x 7) = 4.f 4 + (4 x 2) 1 2 =

1 0. Schritt

=

1 1 . Schritt

=

1 2. Schritt

=

1 3. Schritt 1 4. Schritt 1 5. Schritt 1 6. Schritt 1 7. Schritt 18. Schritt 1 9. Schritt

=

Falls Sie es geschafft haben sollten, diese extrem schwierige Aufgabe im ersten Anlauf zu bewältigen, sind Sie aufbestem Weg, vom Zauberlehrling zum Mathemagiker aufzusteigen! Die Antwort können Sie anhand der Mod-Summen-Methode überprüfen: 2. 766.829.451 X 4.425.575.21 6 1 2.244.81 1 .845.244.486.41 6

+

79

�

16

�

�

�

5 X 5 25

-

+

7

169

RECH N E N M IT PA PIER U N D STIFT

Shakuntala Devi: Kaum zu glauben! 1 976 berichtete die New York Times von ei ner I nderi n namens Shakuntala Devi (geboren 1 939), die 25 .842 + 1 1 1 .201 . 721 + 370.247.830 + 55.5 1 1 .3 1 5 rechnete, die Summe mit 9.878 m u lti­ plizierte und das korrekte Ergebnis von 5 . 5 59.369.456.432 erhielt - all das in unter zwanzig Sekunden. Schwer zu glauben, auch wenn diese ausbildungslose Tochter armer Eitern sich in den Ver­ einigten Staaten und Europa einen Namen als Blitzrech nerin ge­ macht hatte. Unglücklicherweise sind die meisten von Devis wirklich bemer­ kenswerten Kunststücken (also denjenigen, die nicht mithilfe der gängigen Tricks vollführt werden konnten) nur schlecht doku­ mentiert. I h re angeblich größte Leistung - die mit der Uhr ge­ stoppte M ultiplikation zwei er dreizehnstelliger Zahlen auf Papier - registrierte das Guiness-Buch der Weltrekorde unter der R ubrik »menschl iche Computer«. Ob die gestoppte Zeit aber sti m men kann, ist höchst fragwürdig. Devi, eine Meisterin der Kreuzmulti­ plikation, rechnete am 1 8. Juni 1 980 angeblich 7.686. 369.774.870 mal 2.465.099. 745.799, zwei von der Computerfakultät des I m pe­ rial College in London zufällig generierte Zahlen. Ihre korrekte Lö­ sung, 1 8.947.668.1 77.995.426.773.730, erm ittelte sie angeblich in unglaublichen 20 Sekunden. Das Guiness-Buch fügte folgende Einschränkung hinzu: »Einige berühmte Autoren auf mathemati­ schem Gebiet melden Zweifel an den Bedi ngungen an, u nter denen diese Leistung offenbar erbracht wurde, und sagen voraus, dass Devi dieses Kunststück unter scharf kontrollierten Bedin­ gungen n icht wird wiederholen können.« Da sie 1 69 M ulti plika­ tionen und 1 67 Additionen durchführen m usste, insgesamt 336 mathematische Operationen, hätte sie jede Berechnung in weni­ ger als einer Zehntelsekunde schaffen m ü ssen; die Zeit für das korrekte H i nschreiben der 26 Ziffern der Lösung ist dabei noch gar nicht eingerechnet. Wen n man allein die Reaktionszeit be­ denkt, fällt d ieser Rekord wahrlich in die Kategorie: >> Kaum zu glauben!>Eigentum« von M rs. Eliza­ beth Cox, brachte sich selbst bei, bis 1 00 zu zählen und erweiter­ te sein Zahlenspektrum, i ndem er Di nge des Alltags zählte: die Zahl der Körner i n einem Scheffel Weizen, der Saatkörner in einem Scheffel Flachs, der H aare an einem Kuhschwanz (2.872) Vom reinen Abzählen ging er zum Hochrechnen über und lernte, die Zahl an Dachziegeln zu errech nen, d i e man zum Decken eines Daches brauchen würde, oder auszurechnen, wie viele Dachbalken man brauchte, um es zu stützen. Bald wusste er zu ermitteln, wie viel Baumaterial man für jedes beliebige Projekt brauchte. Seine außergewöhnlichen Fäh igkeiten entwickelten sich fort u nd sein Ruhm wuchs. Als er schon alt war, forderten ihn zwei Pennsylvanier heraus, Zahlen i m Kopf zu berechnen, die den besten Blitzrechner ins Schwitzen gebracht hätten . Sie stellten ihm Aufgaben wie diese: >>Angenommen ein Bauer hat sechs Säue und alle Säue bekom men im ersten Jahr sechs weibl iche Ferkel, und alle pflanzen sich mit der gleichen Rate weiter fort, wie viele Säue hat der Bauer dann nach acht Jahren? Die Aufgabe kan n als 78 X 6 formuliert werden, also (7 X 7 X 7 X 7 X 7 X 7 X 7 X 7) X 6. I n nerhalb von zehn Minuten gab Fuller seine Antwort: 34.588.806. Das stim mte. Nach Fullers Tod im Jahr 1 790 berichtete der Columbian Centi­ nel: >>er konnte angeben, wie viele Pfosten, Yards, Feet, Zoll oder Gerstenkörner in jede beliebige Strecke passten, zum Beispiel in den Durchmesser der U mlaufbahn der Erde. Nach jeder Berech­ nung gab er die richtige Antwort, schneller, als es 99 von 1 00 Männern es mit Stift und Papier hätten tun können.« Als Fuller gefragt wurde, ob er es nicht bereut hätte, nie eine klassische Ausbildung erhalten zu haben, antwortete er: >> Nein, M assa, ist besser, wen n ich keine Ausbildung nicht bekomme. Den n viele gebildete M änner sind große Narren.«

190

D R E I STELUG MAL ZWEISTE LLIG

M U LT I P L I KAT I O N VO N D R E I ST E L U G E N M I T Z W E I ST E L L I G E N ZA H L E N

Bei der Multiplikation zweier zweistelliger Zahlen sahen wir, dass es mehrere verschiedene Wege gibt, eine Aufgabe anzu­ greifen. Die Vielfalt der Methoden wächst noch weiter, wenn Sie längere Zahlen miteinander multiplizieren. Bei der Mul­ tiplikation von dreisteHigen mit zweistelligen Zahlen zahlt es sich meiner Ansicht nach aus, die Aufgabe einige Augenbli­ cke lang anzusehen, um den einfachsten Rechenweg heraus­ zufinden. Faktorisieren

Am leichtesten sind diejenigen Aufgaben mit zwei- und drei­ steHigen Faktoren zu lösen, deren zweistellige Zahl faktori­ sierbar ist. Zum Beispiel: 637 X 56 (8 637

X

56 = 637

X

8

X

X

7)

7 = 5 .096

X

7 = 35 .672

Das läuft prima, weil man nichts addieren muss. Man fakto­ risiert einfach 56 in 8 und 7, multipliziert eine dreisteilige Zahl mit einer einstelligen (637 x 8 = 5.096) und dann eine vierstellige Zahl mit einer einstelligen (5.096 x 7 = 35.672). Es gibt keine Schritte mit Additionen und man muss sich keine Zwischenergebnisse merken. Über die Hälfte aller zweistelligen Zahlen lässt sich in Fakto­ ren spalten, die unter 12 liegen, Sie werden diese Methode also bei vielen Aufgaben dieses Typs anwenden können. Hier ist ein Beispiel: 191

M U LTIPLI KAT I O N F 0 R FORTGESC H R ITTE N E

X

853 44 (1 1 X 4)

853 X 1 1 X 4 = 9.383 X 4 = 3 7.532 Um 853 x 11 zu rechnen, behandeln Sie 853 als 850 + 3 und gehen wie folgt vor: 850 X 1 1 3 X 11

9.350 33 9.383

+

Berechnen Sie nun 9.383 x 4, indem Sie wie folgt 9.383 als 9.300 + 83 behandeln: 9.300 X 4 83 X 4

= =

37.200 + 332 3 7.532

Lässt sich die zweistellige Zahl nicht in kleine Faktoren auf­ spalten, untersuchen Sie die dreisteHige Zahl, ob diese zer­ legt werden kann: 1 44 (6 X 6 X 4) X 76 76 X 1 44

=

76 X 6 X 6 X 4 456 X 6 2.736 X 4 1 0.944 =

X

4

=

=

Beachten Sie, dass zuerst eine zweistellige Zahl mit einer ein­ stelligen multipliziert wird, dann eine dreisteHige und schließlich eine vierstellige. Da Sie Aufgaben dieser Art in­ zwischen locker beherrschen, dürfte dieser Typ von Multipli­ kationen einer zwei- und einer dreisteiligen Zahl überhaupt kein Problem darstellen. Hier ist ein weiteres Beispiel dafür, dass die zweistellige Zahl nicht faktorisierbar ist, dafür aber die dreistellige: 192

D R E I STELUG MAL ZWEISTELLIG

X

53

X

11

X

7

X

6

462 (1 1 53

=

583

X

7

X

7

X

X

6)

6 4.081 =

X

6 24.486 =

Hier ist die Abfolge eine Multiplikation zweier zweistelliger Zahlen, dann einer dreisteiligen Zahl mit einer einstelligen, dann einer vierstelligen mit einer einstelligen. Wenn die drei­ steilige Zahl durch 1 1 teilbar ist, können Sie die Elfer-Metho­ de hernehmen und eine sehr einfache erste Multiplikation bekommen (53 x 1 1 = 583). Es zahlt sich also aus, wenn man erkennt, dass eine Zahl durch 1 1 teilbar ist. Die Methode dafür haben wir im 4. Kapitel beschrieben. Lässt sich die zweistellige Zahl nicht faktorisieren und die dreisteilige nur in einen einstelligen und einen zweistelligen Faktor zerlegen, löst man das Problem immer noch relativ mühelos, indem man die zweistelligen Zahlen miteinander multipliziert und das (vierstellige) Ergebnis mit dem einstel­ ligen Faktor multipliziert:

83

X

47

X

423 (47 83

X

9 3.901 =

X

9) X

9 35 . 1 09 =

Hier muss man erkennen, dass 423 durch 9 teilbar ist, was die Aufgabe zu 83 x 47 x 9 vereinfacht. Die vordere Multipli­ kation ist nicht so einfach, aber wenn man 83 als 80 + 3 be­ handelt, bekommt man: 83 (80 + 3) X 47 3.760 80 X 47 3 X 47 + 1 41 3.901 =

=

193

M U LTI PLI KATION F O R FORTCiESCH RITTE N E

Dann rechnet man nur noch 3.901 x 9 und erhält das End­ ergebnis 35.109 Die Additionsmethode

Wenn sich in einer Aufgabe dieser Art weder die zweistellige noch die dreisteHige schön zerlegen lässt, können Sie immer auf die Additionsmethode zurückgreifen:

720 X 3 7 1 X 37

721 (720 + 1 ) X 37 26.640 (wobei m a n 7 2 als 9 x 8 auffasst) + 37 26.677

Bei dieser Methode müssen Sie das Produkt zweier zweistel­ liger Zahlen zum Produkt einer zweistelligen und einer ein­ stelligen Zahl addieren. Aufgaben dieser Art sind in der Regel schwieriger als Aufgaben, wo man faktorisieren kann, weil man eine zweistellige Zahl mit einer einstelligen multi­ pliziert, sich gleichzeitig eine fünfstellige Zahl merken muss, und am Ende die beiden Teilergebnisse addiert. Tatsächlich lässt sich diese Aufgabe vielleicht einfacher lösen, indem man 721 in 103 x 7 faktorisiert und dann rechnet 37 x 103 x 7 = 3.811 X 7 = 26.677. Hier ist noch ein Beispiel: 732 (730 + 2) X 57 730 X 57 = 41 .610 (man behandelt 7 3 als 70 + 3) 2 )( 5 7 = + 1 1 4 41 .724 Normalerweise sollten Sie bei Verwendung der Additionsme­ thode die dreisteHige Zahl runden, doch gelegentlich lohnt es 194

D R E I STELUG MAL ZWEISTELLIG

sich, stattdessen die kleinere Zahl zu runden, insbesondere, wenn sie auf 1 oder 2 endet, wie im folgenden Beispiel: 386 � (50 + 1 ) 1 9.300 + 386 1 9.686

50 X 386 1 X 386

Damit multipliziert man im ersten Schritt nur eine dreistel­ lige mit einer einstelligen Zahl, und der zweite Schritt ist be­ sonders einfach, weil man nur mit 1 multipliziert. Beachten Sie auch, dass es uns geholfen hat, 5 mit einer geraden Zahl zu multiplizieren. Dies ergibt eine zusätzliche Stelle mit 0 im Zwischenergebnis, so dass man bei der Addition nur an einer Stelle wirklich rechnen muss. Die folgende Aufgabe ist ein Beispiel dafur, wie 5 mit einer geraden Zahl multipliziert wird:

60 X 835 2 X 835

835 62 (60 + 2) 50.1 00 + 1 .670 5 1 .770 X

=

Wenn Sie die 6 in 60 mit der 5 in 835 multiplizieren, fuhrt das zu einer weiteren 0 im Zwischenergebnis, was die Addition besonders leicht macht. Die Subtraktionsmethode

Wie im Fall der Multiplikation zweier zweistelliger Zahlen, ist es auch bei der Multiplikation einer dreisteiligen mit einer zweistelligen Zahl manchmal bequemer, mit einer Subtrak­ tion zu arbeiten statt mit einer Addition. Das zeigen die fol­ genden Beispiele: 195

M U LTI PLI KATION F O R FORTGESCH RITTE N E

629 (630 1 ) X 38 38 = 23 .940 (63 9 X 7) 38 38 23.902 -

630 X 1 X -

760 X 43 -2 X 43

=

=

-

758 (760 - 2) )( 43 32.680 (43 40 + 3) 86 32.594 =

Vergleichen Sie das Vorgehen im letzten Beispiel mit der Ad­ ditionsmethode für die gleiche Aufgabe:

750 X 43 8 X 43

758 (750 + 8) 43 32.250 (75 5 X 5 X 3) + 344 32.594 X

=

Bei dieser Aufgabe würde ich die Subtraktionsmethode vor­ ziehen, weil ich immer versuche, am Ende des Lösungs­ weges eine möglichst einfache Subtraktion oder Addition zu bekommen. In diesem Fall wäre es mir lieber, 86 zu subtra­ hieren, als 344 zu addieren, auch wenn die Multiplikations­ aufgabe bei der Subtraktionsmethode oben etwas schwieri­ ger ist als diejenige bei der Additionsmethode. Die Subtraktionsmethode kann auch angewendet werden, wenn die dreisteilige Zahl nur knapp unter einem Vielfachen von 100 oder nahe bei 1.000 liegt, wie in den nächsten beiden Beispielen: 196

D R E I STELLIC MAL ZWE I STELLI C

300 X 87 - 7 x 87

1 .000 X 68 -1 2 X 68

293 (300 - 7) 87 26. 1 00 - 609 25.491 X

=

=

988 (1 000 - 1 2) X 68 68.000 - 81 6 (1 2 = 6 x 2 ) 67. 1 84

Die letzten drei Stellen der beiden Ergebnisse wurden ermit­ telt, indem die Komplemente von 609 - 100 509 bzw 816 ge­ nommen wurden. In der folgenden Demonstration schließlich brechen wir die zweistellige Zahl auf und verwenden die Subtraktionsmetho­ de. Beachten Sie, wie wir 736 abziehen, indem wir 1 .000 sub­ trahieren und dann das Komplement wieder hinzu addieren. =

60 X 736 - 1 X 736

736 59 (60 - 1 ) 44.1 60 - 736 43 .424 X

=

=

44.1 60 - 1 .000 43.1 60 + 264 43.424

(Komplement von 736)

Obung: Multiplizieren mit der Faktorisierungs-, der Additions- und der Subtraktionsmethode

Lösen Sie die folgenden Multiplikationsaufgaben mit einer der drei behandelten Methoden. Normalerweise ist Paktori­ sieren am einfachsten, aber eben nicht immer möglich. Die Lösungen finden Sie am Ende des Buchs. 197

M U LTI PLI KATION F O R FORTGESC H R ITTE N E

1.

6.

858 X 15 952 X 26

11.

16.

21.

157 X 33 538 X 53 281 X 44

2.

7.

12.

1 7.

22.

796 X 19 41 1 X 93 61 6 X 37

3.

8.

13.

81 7 X 61

18.

988 X 22

23.

773 X 42

5.

484 X 75

10.

1 48 X 62

4.

967 X 51

9.

841 X 72

14.

361 X 41

668 X 63

1 9.

499 X 25

X

X 1 5.

906 46 1 26 87

21 8 X 68

20.

X

1 44 56

383 X 49

Die folgenden Multiplikationen werden in späteren Aufgaben wieder auftauchen, wo fünfstellige Zahlen quadriert oder zwei fünfstellige Zahlen miteinander multipliziert werden. 24.

29.

589 X 87

25.

1 54 X 19

30.

34.

X

198

822 95

286 X 64 834 X 34

26.

31.

853 X 32 545 X 27

27.

32.

878 X 24 653 X 69

X

423 45

X

21 6 78

28.

33 .

FO N FSTE LLI C E ZA H LE N QUAD R I E R E N

Q U A D R I E R E N F Ü N F STE L L I G E R ZA H L E N

Bis man die Multiplikation dreisteiliger Zahlen mit zweistel­ ligen beherrscht, braucht es eine ziemliche Übung, aber so­ bald Sie den Bogen raus haben, können Sie sich an das Qua­ drieren fünfstelliger Zahlen machen. Denn das lässt sich vereinfachen zu einer Multiplikation einer dreisteiligen Zahl mit einer zweistelligen plus dem Quadrat einer zweistelligen Zahl und dem Quadrat einer dreisteiligen Zahl. Sehen Sie selbst: 46.7922 Behandeln Sie das als: 46.000 + 792 )( 46.000 + 792 Mithilfe des Distributivgesetzes können wir das aufspalten in: 1.

2.

46.000 )( 46.000 + 2 (46.000) (792)

3. +

792 )( 792

Dies kann vereinfacht geschrieben werden als: 462 x 1 M i l l ion + (46) (792) (2000) + 7922

Aber ich rechne das nicht in dieser Reihenfolge. Stattdessen fange ich in der Mitte an, weil die Multiplikation einer drei­ steiligen Zahl mit einer zweistelligen die härteste Nuss bei der Lösung dieser Aufgabe sein wird. Wir halten uns also an den Grundsatz, die harte Arbeit als erstes zu erledigen, be­ ginnen mit 792 x 46 x 2 und hängen hinten drei Nullen an. So geht's: 199

M U LTI PLI KATI O N F O R FORTCi ESC H R ITTE N E

800 X 46 - 8 X 46

= =

792 (800 - 8) 46 3 6.800 - 368 >>Fischer« 36.432 X 2.000 72.864.000 X

=

Berechnen Sie 792 x 46 36.432 mit der Subtraktionsmetho­ de, wie oben gezeigt, und verdoppeln Sie diese Zahl zu 72.864. Wenden Sie den phonetischen Code aus dem letzten Kapitel auf die Zahl 864 an und merken Sie sich die Zahl als 72 Fischer. Als nächstes errechnen Sie 462 x 1 Million, was 2.116.000.000 ist. Jetzt können Sie laut aussprechen: »Zwei Milliarden...« Erinnern Sie sich an die 72 aus 72 Fischer und addieren Sie 116 Millionen. Das gibt 188 Millionen; doch bevor Sie diese Zahl laut aussprechen, müssen Sie überschlagen, ob sich das noch ändert, wenn Sie Fischer, oder 864 zu 7922 addieren. (Das tun Sie, indem Sie betrachten, dass 8002 gleich 640.000 ist, was zusammen mit 864.000 locker über eine Million er­ gibt. Sie erhöhen die 188 daher um eins und verkünden: » ... 189 Millionen. . .« . ) Merken Sie sich Fischer weiterhin, während Sie das Quadrat von 792 berechnen. Dafür verwenden Sie die Methode für das Quadrieren dreistelliger Zahlen (Sie runden um 8 auf, sen­ ken den anderen Faktor um 8 usw.) und erhalten 627.264. Ad­ dieren Sie zum Schluss 627 und Fischer, bzw. 864, was 1 .491 ergibt. Da Sie die 1 schon übertragen haben, lassen Sie sie weg und sagen: »491 tausend 264«. Manchmal entfallen mir die letzten drei Stellen des Ergebnis­ ses, weil ich von den schwierigeren Berechnungen so abge­ lenkt wurde. Bevor ich meine letzte Addition mache, merke ich mir die 2 mit den Fingern und versuche, mir die 64 ein=

200

F O N FSTELL I G E ZAH LE N QUADR I E R E N

zuprägen. Das schaffe ich normalerweise auch, weil uns die zuletzt gehörten Dinge am besten im Gedächtnis bleiben. Falls es mir nicht gelingt, kann ich die letzten zwei Stellen er­ mitteln, indem ich die zwei letzten Stellen der Ausgangszahl quadriere. 922 = 8.464; die beiden letzten Stellen des Ergeb­ nisses sind die Ziffern, nach denen ich suchte: 64. (Alterna­ tiv können Sie die 264 auch in ein Wort umwandeln, z.B. Na­ scher.) Ich bin mir bewusst, dass das eine ganze Menge auf einmal war. Hier zeige ich noch einmal in einem Diagramm, wie ich 46.7922 berechnet habe: 792 (800 - 8) X 46 800 X 46 36.800 - 8 X 46 = - 368 »Fischer« 36.432 X 2.000 = 72.864.000 =

72.864.000 / 800 46.0002 = + 2.1 1 6.000.000 "" 627.200 2.1 88.864.000 / 7922 � / 627.264 # 7922 = + - B 784 + 64 (82) 2.1 89.491 .264 627.264 Betrachten wir ein anderes Beispiel einer fünfstelligen Qua­ dratzahl: 83 .5222 Wie zuvor berechnen wir das Ergebnis in dieser Reihenfolge: 83 x 522 x 2.000. 832 x 1 M i l l ion, dann 5222 Beachten Sie bei der ersten Teilaufgabe, dass 522 ein Vielfa­ ches von 9 ist. Es gilt 522 = 58 x 9. Wir behandeln 83 als 80 + 3 und erhalten: 201

M U LTIPLI KATI O N F0R FORTC ESCH R I TTE N E

522 (58 )( 9) )( 83 83 )( 58 )( 9 = 4.81 4 )( 9 = 43.326 Man verdoppelt 43.326 und erhält 86.652, was als 86 Schulen gespeichert werden kann. Da 832 = 6.889, können wir verkün­ den: ))Sechs Milliarden... «. Die Addition von 889 und 86 gibt uns 975. Bevor wir aber ))975 Millionen« aussprechen kön­ nen, müssen wir überprüfen, ob das Quadrat von 522 und ju­ lian (652.000) zusammen mehr als eine Million ergeben. Wir überschlagen 5222 als etwa 270.000 (500 x 540), es kommt also keine Million mehr zusammen. Deswegen können Sie gefahrlos aussprechen: )) ... 975 Millionen ... « Quadrieren Sie schließlich 522 auf die gewohnte Weise. Ad­ dieren Sie das Ergebnis, 272.484, zu Julian (652.000), um den Rest des Endergebnisses zu erhalten: )) ...924.484«. Im Diagramm sieht der Lösungsweg so aus: 83.5222 522 )( 83 83 )( 58 )( 9 = 4.81 4 )( 9 = 43.326 43.326 X 2.000 = 86.652.000 »Schulen« +/ 544 """ 272.200 83.0002 = + 6.889.000.000 / + 484 (222) 6.975.652.000 ./ 5222 � - 22 500 272.484 5222 = + 272.484 � 6.975.924.484 Übung: Quadrieren fll nfstelliger Zahlen 1.

4.

202

45.7952 62.45 72

2. 5.

21 .23 1 2 89.8542

3. 6.

58.3242 76.9342

D REISTELUG MAL D R E I STELUG

M U LT I P L I KAT I O N ZW E I E R D R E I ST E L L I G E R ZAH L E N

In der Vorbereitung auf das große Finale - die Multiplikation zweier fünfstelliger Zahlen - stellt die Multiplikation zweier dreisteiliger Zahlen die letzte Hürde dar. Auch hier gibt es, wie oben, eine ganze Palette von Möglichkeiten, wie man die Eigenschaften der Zahlen im Vereinfachungsprozess ausnüt­ zen kann. Faktorisieru ng

Wir wollen mit der Faktorisierung beginnen. Unglücklicher­ weise lassen sich die meisten dreisteiligen Zahlen nicht in einstellige Faktoren zerlegen. Wenn das aber möglich ist, geht die Berechnung relativ einfach: 829 X 288 (9 X 8 X 4) 829 X 9

X

8 X 4 7.461 X 8 X 4 59.688 X 4 = 238.752 =

=

Beachten Sie die Abfolge. Sie vereinfachen die Aufgabe, indem Sie eine dreisteilige Zahl mit einer einstelligen multi­ plizieren, die resultierende vierstellige Zahl ebenfalls, und die resultierende fünfstellige Zahl wiederum. Das geht, weil Sie 288 in 9 x 8 x 4 aufsplitten konnten. Dieses Vorgehen war deswegen so elegant, weil Sie nichts addieren oder im Kopf behalten mussten. Wenn Sie bei der letzten Multiplikation angekommen sind, sind Sie schon fast fertig. Diese Multiplikation einer fünfstelligen Zahl mit einer ein­ stelligen lässt sich in zwei Schritten durchführen: Man be­ handelt 59.688 als 59.000 + 688, bildet die zwei Produkte 19.000 x 4 und 688 x 4 und addiert sie: 20 3

M U LTI PLI KAT I O N F O R FORTGESCH RITTE N E

59.688 (59.000 + 688) 4 59.QQQ X 4 = 236.QQQ 688 X 4 = + 2. 752 238.752 Wenn beide Ausgangszahlen sich in ein- und zweistellige Faktoren aufteilen lassen, kann die Aufgabe in eine Folge von Multiplikationen aufgeteilt werden: eine Multiplikation zwei­ er zweistelliger Zahlen, multipliziert mit einer einstelligen und noch einmal multipliziert mit einer einstelligen: X

X

5 1 3 (57 X 9) 246 (41 X 6)

57 X 41 X 9 X 6

2.337 X 9 X 6 21 .033 X 6 = 1 26.1 98 =

=

Wie üblich, schafft man sich anfangs am besten gleich den schwierigsten Teil der Aufgabe vom Hals, die Multiplikation zweier zweistelliger Zahlen. Sobald man dieses Produkt hat, muss man nur noch zweimal mit einer einstelligen Zahl multiplizieren. Meistens wird sich aber maximal eine der Ausgangszahlen faktorisieren lassen, dann reduziert sich die Schwierigkeit darauf, eine dreisteilige Zahl mit einer zwei­ stelligen zu multiplizieren und das Ergebnis mit einer ein­ stelligen zu multiplizieren: X

459 (51 X 9) 526

526 X 459

=

=

= =

204

526 X 5 1 X 9 526 (50 + 1 ) X 9 26.826 X 9 241 .434

D R E I STELUG MAL D R E I STELU G

Die nächste Multiplikation zweier dreisteHiger Zahlen ist in Wahrheit nur eine getarnte Multiplikation einer dreisteiligen Zahl mit einer zweistelligen: 624 X 435 Indem wir die 624 halbieren und die 435 verdoppeln, erhalten wir ein äquivalentes Problem: X

87 X 52

X

3 1 2 (52 X 6) 8 70 (8 7 X 1 0)

6 X 1 0 = 87 X (50 + 2) X 6 = 4.524 X 6 X 1 0 = 27. 1 44 X 1 0 = 271 .440

X

10

Die Nahe-beieinander-Methode

Sind Sie bereit für etwas Leichteres? Die nächste Abkürzung bei Multiplikationen, die wir im 0. Kapitel bereits erwähnt haben, beruht auf der folgenden algebraischen Formel: (z + a) (z + b)

=

z2 + za + zb + a b

Was wir umschreiben zu: (z + a) ( z + b) = z (z + a + b) + a b Diese Formel gilt für beliebige Werte von z, a und b. Wir wer­ den das ausnutzen, wenn beide Faktoren (z + a) und (z + b) einer Multiplikation nahe bei einer einfachen Zahl z liegen, typischerweise einer Zahl mit vielen Nullen. X

1 07 111 205

M U LTI PLI KATION F O R FORTCESC H R ITTE N E

Wir behandeln diese Aufgabe als (100 + 7)(100 + 11). Mit z = 100, a = 7 und b = 1 1 ergibt die Formel: 1 00 (1 00 + 7 + 1 1 ) + 7 )( 1 1 = 1 00 )( 1 1 8 + 77 = 1 1 .877 Im Diagramm sieht das so aus: 1 07 (7) � (1 1 ) 1 00 )( 1 1 8 = 1 1 .800 7 >< 1 1 = + 77 1 1 .877 Die Zahlen in Klammem zeigen den Abstand zwischen der Zahl und der bequemen »Basiszahl« (hier ist z = 100). Die Zahl 118 erhält man, indem man entweder 107 + 1 1 rechnet oder 111 + 7. Beide Summen sind immer gleich groß, weil (z + a) + b = (z + b) + a. Ganz schnell noch mal ein Beispiel, diesmal mit weniger Worten: 1 09 (9) )( 1 04 (4) 1 00 )( 1 1 3 = 1 1 .300 9 )( 4 = + 36 1 1 .336 Cool! Erhöhen wir den Einsatz ein bisschen und wählen wir eine höhere Basiszahl: 408 (8) )( 409 (9) 400 )( 41 7 = 1 66.800 72 8 >< 9 = + 1 66.872 206

D R E I STELLIC MAL D R E I STELLIC

Obwohl diese Methode normalerweise für die Multiplikation zweier dreisteHiger Zahlen angewendet wird, können wir sie auch bei der Multiplikation von zweistelligen Zahlen einsetzen: 78 (8) )( 73 (3) 70 )( 81 = 5.670 8 )( 3 = + 24 5.694 Hier ist die Basiszahl 70, die wir mal 81 (78 + 3) nehmen. Selbst die Additions-Teilaufgabe ist üblicherweise sehr einfach. Wir können diese Methode auch anwenden, wenn beide Zah­ len unter der Basiszahl liegen, wie in der folgenden Aufgabe:

400 )( 383 -4 )( - 1 3

=

=

396 (-4) )( 387 (- 1 3) 1 53.200 + 52 1 53.252

Die Zahl 383 errechnet sich entweder aus 396 - 13 oder aus 387 - 4. Ich würde diese Methode für Aufgaben wie die folgenden einsetzen: 97 (-3) )( 94 (-6) 1 00 )( 91 9.1 00 - 3 )( - 6 = + 1 8 9.1 1 8 =

79 (-1 ) )( 78 (-2) 80 )( 77 = 6.1 60 - 1 )( -2 = + 2 6.1 62 207

M U LTI PLI KAT I O N FOR FORTCESC H R ITTE N E

I n unserem nächsten Beispiel fallt die Basiszahl zwischen die zwei Zahlen: 396 (-4) � (13) 400 X 409 = 1 63.600 -4 X 1 3 = - 52 1 63 .548 Die Zahl 409 ergibt sich aus 396 + 13 oder 413 - 4. Beachten Sie, dass - 4 und 1 3 unterschiedliche Vorzeichen haben, wes­ halb man hier 52 subtrahieren muss. Erhöhen wir den Einsatz noch mal ein bisschen, bis man beim zweiten Schritt zwei zweistellige Zahlen multiplizieren muss: 621 (21 ) X 637 (3 7) 600 X 658 = 394.800 21 x 3 7 = + 777 (37 x 7 x 3) 395.577 Hier sei vermerkt, dass schon der erste Schritt der Multiplika­ tion (600 x 658) einen guten Überschlagswert ergibt. Unsere Methode erlaubt Ihnen, von der Schätzung zum exakten Er­ gebnis zu gelangen. 876 (- 24) X 853 (-47) 900 X 829 = 746.1 00 -24 x -47 = + 1 .1 28 (47 x 6 x 4) 747.228 Beachten Sie auch, dass in all diesen Beispielen die beiden Faktoren, die wir im ersten Schritt multiplizieren, zusam208

D R E I STELU G MAL D R E I STELUG

men die gleiche Summe ergeben wie die Ausgangszahlen. Im obigen Beispiel: 900 + 829 = 1.729, ebenso wie 876 + 853 = 1.729. Das gilt, weil: z + ( (z + a) + b] = (z + a) + (z + b)

Um die Zahl zu bekommen, die mit 900 multipliziert werden soll, müssen Sie nur auf die letzten zwei Stellen von 76 + 53 = 129 sehen: Da die Zahl in den 800em liegen muss, kann es sich nur um 829 handeln. Im nächsten Beispiel verrät uns 827 + 761 = 1.588, dass wir einfach 800 x 788 rechnen müssen und dann 27 x 39 ab­ ziehen: 827 (+ 27) � (- 39) 800 X 788 = 630.400 -39 X 27 = - 1 .053 (39 X 9 X 3) 629.347 Diese Methode ist so effektiv, dass es sich bei Aufgaben die­ ser Art lohnen kann, Zahlen, die nicht nahe beieinander lie­ gen, so zu manipulieren, dass sie näher zusammen kom­ men. Dies macht man, indem man einen Faktor mit einer Zahl multipliziert und den anderen durch den gleichen Wert dividiert. 672 x 157 kann beispielsweise so gelöst werden: X

672 1 57

+ x

22= X

336 (36) 3 1 4 (1 4) 300 X 350 = 1 05.000 36 X 1 4 = + 504 (36 X 7 X 2) 1 05.504

Wenn die miteinander zu multiplizierenden Zahlen iden­ tisch sind (näher beisammen können sie nicht liegen), führt 209

M U LTIPLI KAT I O N F O R FORTGESC H R ITTE N E

die Nahe-beieinander-Methode zu den exakt gleichen Re­ chenschritten wie unsere traditionelle Methode beim Qua­ drieren von Zahlen:

300

X

394 472

347 (47) 347 (47) 1 1 8.200 + 2.209 1 20.409 X

=

=

Additionsmethode

Wenn keine der oben dargestellten Methoden anwendbar ist, suche ich nach einer Anwendungsmöglichkeit für die Addi­ tionsmethode, insbesondere, wenn sich mit den ersten zwei Stellen einer Zahl leicht arbeiten lässt. Im untenstehenden Beispiel etwa ist die 64 in 641 zerlegbar zu 8 x 8. Ich würde die Aufgabe wie folgt lösen: 3 73 ' 641 (640 + 1 ) 640 X 3 73 238.720 (373 X 8 X 8 1 X 3 73 = + 3 73 239.093 X

=

X

1 0)

Aufähnliche Weise ist im nächsten Beispiel die 42 von 427 in 7 x 6 zerlegbar, man kann also die Additionsmethode anwen­ den und 427 als 420 und 7 behandeln:

420 X 7X

210

656 427 (420 + 7) 656 = 275.520 (656 X 7 X 6 X 1 0) 656 = + 4.592 280.1 1 2 X

D R E I STELLICi MAL D R E I STELLICi

Oft teile ich mir die letzte Addition in zwei Schritte auf: 7 X 600 7 X 56

275.520 4.200 279.720 + 392 280.1 1 2

= + =

Da Aufgaben, bei denen man die Additionsmethode anwen­ det, sehr kniffiig sein können, unternehme ich normalerwei­ se große Anstrengungen, um eine Möglichkeit zu finden, wie ich am Ende einen leichten Rechenschritt bekomme. Das obige Beispiel etwa hätte mit der Faktorisierungsmethode ge­ löst werden können. Und das hätte ich auch getan: X

656 X 61 X 7

656 427 (61 X 7)

656 X (60 + 1 ) X 7 40.01 6 X 7 = 280.1 1 2 =

=

Die einfachsten Aufgaben bei der Additionsmethode sind diejenigen, wo eine Zahl in der Mitte eine 0 hat, wie hier:

300 X 732 = 8 X 732 =

732 X 308 (300 + 8) 21 9.600 + 5.856 225.456 ---

Aufgaben dieser Art sind so viel leichter als andere mit der Additionsmethode zu rechnen, dass es sich nachzuprüfen lohnt, ob sich eine Multiplikationsaufgabe mit zwei dreistel­ ligen Zahlen in eine Aufgabe dieser Art umwandeln lässt. 211

M U LTI PLI KATI O N F0R FORTGESC H R ITTE N E

Die Aufgabe 732 x 308 etwa hätte man aus folgenden Auf­ gaben »ohne Null« erhalten können: X

244 X 3 = 924 + 3 =

X

732 308

oder X

366 61 6

X

+

2 = 732 2 = X 308

Es sei erwähnt, dass sich diese Aufgabe auch als 308 x 366 x 2 rechnen ließe, wobei man die Nähe von 308 und 366 aus­ nützen würde. Versuchen wir eine tückische Aufgabe: 739 X 443 (440 + 3) 440 X 739 = 325.1 60 (739 X 1 1 3 X 700 = + 2 . 1 00 327.260 3 X 39 = + 1 1 7 327.377

X

4 X 1 0)

Die Subtraktionsmethode

Die Subtraktionsmethode wende ich manchmal an, wenn eine der dreisteiligen Zahlen auf ein »angenehmesPhase Panama« 80.923.000 80.923 )( 1 .000 = + 3 .555.000.000 M i l lion 79 x 45 x 1 = 3 .635.923.000 838 )( 547 = + 458.386 3 .636.381 .386 Übung: Multiplikation zweier fll nfstelliger Zahlen 1.

65.1 54 )( 1 9.423

2.

34.545 )( 27.834

3.

69.21 6 )( 78.653

4.

95.393 )( 81 .822

•

KA

IT

'

,

Ohne Kaninchen und Zylinder die Kunst der Mathe-Magie

D

as Spielen mit Zahlen hat mir im Leben viel Freude be· reitet. Ich finde Arithmetik genauso unterhaltsam wie Magie. Aber um die magischen Geheimnisse der Arithmetik zu verstehen, braucht man ein wenig Algebra. Natürlich gibt es auch andere Gründe, Algebra zu lernen (man will sich z. B. auf Schulaufgaben vorbereiten). Aber ich begann mich erst für Algebra zu interessieren, als ich herausfinden wollte, wie einige mathematische Zaubertricks funktionieren, die ich Ihnen jetzt vorstelle. M AT H E M AT I S C H E S G E DA N K E N L E S E N

Bitten Sie einen Ihrer Zuschauer, sich eine beliebige Zahl auszudenken. Fügen Sie aber an: »Aber nehmen Sie eine ein­ oder zweistellige Zahl, um es sich nicht zu schwer zu ma­ chen.« Betonen Sie ausdrücklich, dass es natürlich völlig un­ möglich ist, dass Sie die Zahl kennen, die er sich ausgedacht hat. Bitten Sie ihn dann, 1. die Zahl zu verdoppeln 2. 12 zu addieren 3. das Ergebnis durch 2 zu teilen und

4. die Ausgangszahl abzuziehen. 221

D I E KU NST D E R M AT H E·MAC I E

Dann sagen Sie: »Denken Sie jetzt an die Zahl sechs?« Pro­ bieren Sie diesen Trick erst mal an sich selbst, und Sie wer­ den erkennen, dass diese Abfolge immer die Zahl 6 hervor­ bringt, egal. mit welcher Zahl Sie anfangen. Warum dieser Trick funktioniert

Dieser Trick beruht auf einfacher Algebra. Tatsächlich führe ich ihn oft vor, um Studenten in die Algebra einzuführen. Die geheime Zahl. die Ihr Freiwilliger wählt, kann durch den Buchstaben x dargestellt werden. Hier sind die Operationen, die Sie nacheinander ausgeführt haben: 1. 2x (Zahl verdoppeln) 2. 2x + 12 (12 addieren) 3. (2x + 12) -:- 2 = x + 6 (durch 2 teilen) 4. x + 6 - x = 6 (Ausgangszahl abziehen). Egal welche Zahl Ihr Freiwilliger wählt, das Ergebnis der Be­ rechnung wird immer 6 sein. Wenn Sie diesen Trick wieder­ holen: Lassen Sie den Freiwilligen beim 2. Schritt eine ande­ re Zahl addieren (z. B. 18). Am Ende der Berechnung kommt dann die Hälfte dieses Werts als Ergebnis heraus (nämlich 9). D I E M AG I S C H E 1 .089!

Jetzt kommt ein Trick, der schon seit Jahrhunderten kursiert. Bitten Sie Ihren Freiwilligen, Zettel und Stift zu nehmen und 1 . eine geheime dreisteilige Zahl aufzuschreiben, deren Zif­ fern immer kleiner werden (wie 851 oder 973) 2. diese Zahl umzudrehen und von der ersten Zahl abzu­ ziehen 222

D I E MACISC H E

1089

3. das Ergebnis aufzuschreiben, umzudrehen und diese zwei Zahlen zu addieren. Am Ende dieser Abfolge ergibt sich wie durch Magie immer die Zahl 1089 als Ergebnis, unabhängig von der Zahl, die Ihr Freiwilliger gewählt hat. Zum Beispiel: 851 - 1 58 693 + 396 1 089 Warum dieser Trick funktioniert

Egal, welche dreisteilige Zahl Sie oder Ihre Freiwilligen wäh­ len, bei diesem Spiel wird das Endergebnis immer 1089 sein. Warum? Nennen wir die unbekannte Zahl abc. Algebraisch lässt sich das als l OOa + l Ob + c ausdrücken. Dreht man diese Zahl um, so erhält man l OOc + l Ob + a Zieht man das von der Ausgangszahl ab, bekommt man l OOa + l Ob + c - (l OOc + l Ob + a) = 1 00 (a - c) + (c - a) = 99 (a - c) Nach diesem 2. Schritt muss man also eines der folgenden Vielfachen von 99 haben: 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792 oder 891. Jede dieser Zahlen ergibt, zu ihrer Umkehrung addiert, 1089. Genau das passiert in Schritt 3. 223

D I E K U N ST D E R MAT H E·MACi i E

T R I C KS M I T F E H L E N D E N Z l F F E R N

Verwenden Sie die Zahl 1.089 vom letzten Trick, reichen Sie einem Freiwilligen einen Taschenrechner und bitten Sie ihn, 1089 mit einer beliebigen dreisteiligen Zahl zu multiplizie­ ren, diese Zahl aber nicht zu verraten. (Angenommen, er rechnet 1.089 x 256 = 278.784). Fragen Sie, wie viele Stellen das Ergebnis hat. Er antwortet: »Sechs«. Als nächstes sagen Sie: »Lesen Sie mir fünf ihrer sechs Zah­ len in beliebiger Reihenfolge vor, ich versuche dann, die feh­ lende Zahl zu bestimmen. Angenommen, er verkündet: »Zwei ... vier ... sieben ... acht ... acht.« Dann können Sie ihm (korrekt) auf den Kopf zusagen, dass er die Ziffer sieben ausgelassen hat. Das Geheimnis beruht darauf, dass eine Zahl genau dann ein Vielfaches von 9 ist, wenn ihre Ziffern zusammen ein Vielfa­ ches von 9 ergeben. Da 1 + 0 + 8 + 9 = 18 ein Vielfaches von 9 ist, ist 1089 ebenfalls eines - und jedes (ganzzahlige) Vielfa­ che von 1089 auch. Da die verkündeten Zahlen zusammen 29 ergeben und das nächste Vielfache von 9 bei 36 liegt, muss der Freiwillige die Zahl 7 verschwiegen haben (da 29 + 7 = 36). Es gibt auch subtilere Möglichkeiten, den Freiwilligen schließlich mit einem Vielfachen von 9 dastehen zu lassen. Hier sind einige meiner Lieblingsmethoden: 1. Lassen Sie den Freiwilligen eine zufällige sechsstellige Zahl wählen, deren Ziffern durcheinander würfeln und die kleinere sechsstellige Zahl von der größeren abziehen. Da wir zwei Zahlen mit der gleichen Mod-Summe (und auch der gleichen Quersumme) voneinander abziehen, wird die Differenz eine Mod-Summe von 0 haben und deswegen ein Vielfaches von 9 sein. Machen Sie dann weiter wie oben, um die fehlende Zahl heraus zu finden. 224

TRICKS M IT F E H LE N D E N ZAH LEN

2. Lassen Sie den Freiwilligen eine vierstellige Zahl wählen, umdrehen und die kleinere Zahl von der größeren abzie­ hen (Das gibt ein Vielfaches von 9.) Multiplizieren Sie das mit einer beliebigen dreisteiligen Zahl und gehen Sie wei­ ter vor wie gehabt. 3. Bitten Sie den Freiwilligen, so lange einstellige Zahlen zu einer eimtelligen Zahl hinzu zu multiplizieren, bis das Produkt sieben Stellen hat. Damit bekommen Sie zwar nicht »garantiert« ein Vielfaches von 9, aber in der Praxis doch in mindestens 90% der Fälle (die Chancen liegen gut, dass unter den einstelligen Zahlen, mit denen multipliziert wird, eine 9 oder zwei Dreien oder zwei Sechsen oder eine 3 und eine 6 sind). Diese Methode verwende ich oft vor einem mathematisch gebildeten Publikum, das meine an­ deren Methoden durchschauen könnte. Vor einer Schwierigkeit muss ich Sie aber warnen. Ange­ nommen, die Zahlen, die verkündet werden, addieren sich zu einem Vielfachen von 9 (beispielsweise 18). Dann haben Sie keine Möglichkeit zu unterscheiden, ob die fehlende Zahl 0 oder 9 ist. Wie behelfen Sie sich? Ganz einfach - Sie schummeln! Sie sagen einfach: >>Sie haben keine 0 weggelassen, oder? Wenn der Freiwillige eine 0 wegließ, haben Sie den Trick erfolgreich abgeschlossen. Wenn nicht, sagen Sie: »Oh, es schien mir, als hätten Sie an nichts gedacht! Sie haben auch keine Eins, Zwei, Drei oder Vier weggelassen, oder?(( Der Freiwillige wird den Kopf schütteln oder nein sagen. Sie machen nun weiter mit: »Und auch keine Fünf, Sechs, Sieben oder Acht. Sie haben die Zahl neun weggelassen, stimmt's?(( Der Freiwilli­ ge wird das schließlich bestätigen, und Sie bekommen ihren wohlverdienten Applaus! 225

D I E KU NST D E R MATH E·MAG I E

A D D I T I O N S-S P R Ü N G E

Bei diesem Trick können Sie sich als Blitzrechner und als Hellseher profilieren. Sie reichen einem Freiwilligen eine Karte mit zehn Zeilen, die von 1 bis 1 0 durchnummeriert sind, bitten ihn, sich zwei positive Zahlen zwischen 1 und 20 auszudenken und in die Zeilen 1 und 2 der Karte einzutra­ gen. Lassen Sie den Freiwilligen dann die Summe der beiden Zahlen in Zeile 3 eintragen, die Summe aus Zeile 2 und 3 in Zeile 4 und so weiter, wie in der Abbildung unten. 2 3 4 5 6 7 8 9 10

9 2 11 13 24 37 61 98 1 59 257

---

---

Bitten Sie den Freiwilligen nun, Ihnen die Karte zu zeigen. Sie können sofort sagen, wie viel alle Zahlen zusammen er­ geben. Bei unserem Beispiel könnten Sie verkünden, dass die Zahlen addiert 671 ergeben, viel schneller, als er es mit dem Taschenrechner könnte. Als Dreingabe können Sie ihn bit­ ten, mit einem Taschenrechner die Zahl in Zeile 10 durch diejenige in Zeile 9 zu dividieren. In unserem Beispiel ist der Quotient ��� = 1,616 .. Lassen Sie den Freiwilligen die ersten drei Zahlen des Quotienten vorlesen und drehen Sie dann die Karte um (wo Sie bereits Ihre Vorhersage aufgeschrieben .

226

ADDITION S·SPR O N G E

haben). Erstaunt wird er feststellen, dass dort bereits die Zahl 1,61 steht. Warum dieser Trick funktioniert

Um die Blitz-Addition vorzunehmen, multiplizieren Sie ein­ fach die Zahl in Zeile 7 mit 1 1 . Im Beispiel: 61 x 1 1 = 671. Warum das geht, illustrieren wir in der nächsten Abbildung. Wir bezeichnen die Zahlen in Zeile 1 und 2 allgemein mit x bzw. y. Die Summe aller Zahlen auf der Karte muss dann SSx + 88y ergeben, was 11 mal (Sx + 8y) entspricht, also elf Mal die Zahl in Zeile 7. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Gesamt:

X � X+� X + 2� 2x + 3� 3x + 5� 5x + 8� 8x + 1 3� 1 3x + 21 � 2l x + 34� 55x + 88�

Nun zu unserer Vorhersage: Hier nutzen wir die Tatsache aus, dass für alle positiven Zahlen a, b, c und d mit t < d gezeigt werden kann, dass die Zahl, die man durch »fal­ sches« Addieren der Brüche (d. h. durch Addition der Zähler bzw. der Nenner) bekommt, zwischen den zwei Ausgangs­ brüchen liegt. Also: a a+c c -< >Gesetz der großen Zahl«, besagt, dass ein Ereignis, das bei einer kleinen Anzahl Versu­ che nur mit geringer Wahrscheinlichkeit auftritt, bei einer großen Anzahl Versuche mit hoher Wahrscheinlichkeit auf­ tritt. Oder, wie ich gerne sage: Dinge, die einem mit einer Chance von eins zu einer Million passieren, geschehen in Amerika täglich 295 mal - weil es eben 295 Millionen Ein­ wohner gibt. Fangen wir mit vorgeahnten Todesfällen an. Hier eine kurze Überschlagsrechnung, die ich gemacht habe: Psychologen sagen, im Durchschnitt habe man am Tag fünfTräume, eine Zahl, die sich über das Jahr auf 1.825 summiert. Selbst wenn wir uns nur an jeden zehnten Traum erinnern, sind das immer noch 182,5 Träume im Jahr, an die wir uns erinnern. Bei 295 Millionen Amerikanern macht das 53,8 Milliarden Träume pro Jahr, an die man sich erinnert. Nach Auskunft von Anthropologen und Soziologen kennt jeder von uns etwa 150 Leute recht gut (der Durchschnittsmensch hat also etwa die Namen von 150 Leuten in seinem Adressbüchlein, die ihm persönlich bekannt sind). Zwischen den 295 Millionen Amerikanern besteht also ein Geflecht von 44,3 Milliarden persönlichen Bekanntschaften. Die Sterblichkeit beträgt 0,008 pro Jahr, über alle Altersstufen und für alle Todesursa­ chen; es sterben also 2,6 Millionen Leute im Jahr. Unvermeid­ licherweise müssen einige der 53,8 Milliarden Träume, an die 246

C ES ETZ DER C ROSSEN ZA H L

sich jemand erinnert, von diesen 2,6 Millionen Todesfallen unter den 295 Millionen Amerikanern handeln, die über ein Geflecht von 44,3 Milliarden persönlichen Beziehungen mit­ einander verbunden sind. Tatsächlich wäre esfast ein Wunder, wenn kein einziger dieser Todesahnungs-Träume sich erfüllen würde. Auch wenn ich mit meinen Zahlen falsch liege, auch wenn ich schwer daneben liege, bleibt die Logik intakt: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Traum mit Todesahnung wahr wird? Antwort: verdammt hoch. In diesem Fall kommt zusätzlich ein psychologischer Faktor ins Spiel. der selektive Wahrnehmung genannt wird: Wenn es um unsere liebsten Überzeugungen geht, nehmen wir jede Bestätigung unserer Theorien wahr und ignorieren alle Dinge, die ihr widersprechen. Verschwörungstheorien bei­ spielsweise basieren auf dem Mechanismus der selektiven Wahrnehmung. Leute, die einer bestimmten Verschwö­ rungstheorie anhängen (z. B. der 1 1 . September wurde von der Regierung Bush organisiert, um einen Krieg in Nahost anzetteln zu können) suchen erfolgreich nach winzigen Fak­ ten-Splittern, die darauf zu verweisen scheinen, dass die Theorie stimmt (Bush etwa saß zum Zeitpunkt der Anschlä­ ge ganz gelassen in einem Klassenzimmer und las den Kin­ dem was über Ziegen vor, als ob er genau wüsste, dass ihm nichts passieren kann). Die überwältigenden Beweise für eine wahrscheinlichere Erklärung (dass nämlich Osama bin Laden und seine Bande internationaler Terroristen für den Anschlag verantwortlich waren) ignorieren sie. Mithilfe der selektiven Wahrnehmung lässt sich auch erklären, warum Astrologen, Tarotkarten-Leger und Hellseher so erfolgreich darin scheinen, in Leuten zu »lesen((. Leute, denen Voraussa­ gen gemacht werden, erinnern sich vornehmlich an die we247

MAT H E MATI K U N D OBERS I N N LI C H ES

nigen Treffer und vergessen die zahlreichen falschen Vorher­ sagen. Wenn Treffer und Fehler tatsächlich gezählt werden ­ was ich einmal für ein Special des Fernsehsenders ABC über Hellseher gemacht habe -, stellt sich heraus, dass einfach nur geraten wird, mal richtig, mal falsch, ganz nach den Ge­ setzen der Wahrscheinlichkeit. Im Falle der Todesahnungs-Träume scheint an übersinnli­ chen Phänomenen »doch etwas dran zu sein((, sobald nur ein paar der Leute, denen das passiert ist, ihre wundersamen Er­ zählungen in der Öffentlichkeit (demnächst bei Oprah Win­ frey!) ausbreiten. In Wirklichkeit arbeitet hier schlicht das Ge­ setz der großen Zahl. Der mathematische Ansatz, dem Übersinnlichen zu begeg­ nen, führte mich zu einer weiteren Überschlagsrechnung in Sachen »Wunder((. Typischerweise verwenden Leute das Wort Wunder für äußerst ungewöhnliche Ereignisse, die nur mit der Wahrscheinlichkeit von »eins zu einer Million(( ge­ schehen. Nehmen wir das mal als Ausgangsdefinition. Ein Wunder sei ein Ereignis, das nur mit der Wahrscheinlichkeit von eins zu einer Million eintritt. Nun ist es aber im Alltag so, dass wir unablässig wahrnehmen, wie zahllose Dinge pas­ sieren, etwa eines pro Sekunde. Daten über die Welt und die Geschehnisse darin strömen also mit der Rate von einem Er­ eignis pro Sekunde über unsere Sinne auf uns ein. Wenn wir uns wach und aufmerksam acht Stunden täglich in der Welt da draußen bewegen, macht das dreißigtausend Datenbits pro Tag oder etwa eine Million Ereignisse im Monat, die wir wahrnehmen. Die überwältigende Mehrheit dieser Informa­ tionen und Ereignisse bedeuten uns natürlich überhaupt nichts. Unser Gehirn ist so geschaltet, dass diese Daten weg­ gefiltert und vergessen werden, damit wir nicht mit Informa­ tionen überflutet werden. Aber über einen Monat gesehen 248

W U N D E R U N D WA H RSC H E I N LIC H K E IT

sollte man erwarten, mindestens ein Ereignis wahrzuneh­ men, für das die Chancen eins zu einer Million stehen. Neh­ men Sie dazu noch die selektive Wahrnehmung - unge­ wöhnliche Dinge merken wir uns, den Rest vergessen wir ­ und es wird ganz unvermeidlich, dass irgendjemand irgend­ wo jeden Monat ein Wunder berichtet. Und die Boulevard­ blätter stehen bereit, das Wunder zu verkünden! Das war eine kleine Einführung, wie man wissenschaftlich denkt. In unserem Streben zu verstehen, wie die Welt funk­ tioniert, müssen wir unterscheiden lernen, was real ist und was nicht, was zufällig passiert und was aufgrund einer spe­ zifischen Ursache. Dabei haben wir damit zu kämpfen, dass das menschliche Gehirn von der Evolution daraufhin ge­ trimmt wurde, die wirklich ungewöhnlichen Dinge wahrzu­ nehmen und den ganzen Wust unnützer Daten zu ignorie­ ren, der auf uns einströmt. Deswegen ist uns der Umgang mit Wahrscheinlichkeiten auch nicht in die Wiege gelegt. Wissenschaftliches Vorgehen ist uns nicht in die Wiege ge­ legt. Wir brauchen also Ausbildung und Übung. Und dann sind da noch diese penetranten Wahrnehmungs­ verzerrungen, die ich erwähnt habe, wie die selektive Wahr­ nehmung. Es gibt noch weitere. Daten sprechen nicht für sich selbst, sie werden von sehr subjektiven und voreinge­ nommenen Hirnen gefiltert. Die selbstwertdienliche Wahr­ nehmung (Self-Serving Bias) etwa macht, dass wir uns selbst in positiverem licht sehen, als andere das tun. Landesweite Untersuchungen zei�n etwa, dass die meisten Geschäftsleu­ te sich für moralischer als andere Geschäftsleute halten. Auch Psychologen, die sich mit moralischer Intuition be­ schäftigen, halten sich für moralischer als ihre Kollegen, die sich mit der gleichen Materie beschäftigen. In einer Studie, die 829.000 Eintrittsprüfungen zum College auswertete, fan249

MATH E M ATI K U N D O B ERSI N N LICH ES

den 0 Prozent der Teilnehmer, sie kämen nur >>Unterdurch­ schnittlich« mit anderen Leuten zurecht, volle 60 Prozent sahen sich hinsichtlich ihrer sozialen Fähigkeiten in den »obersten 10%«. 1997 befragte U.S. News and World Report Amerikaner, wer wohl wahrscheinlich in den Himmel käme. 52 Prozent mein­ ten Bill Clinton, 60 Prozent Prinzessin Diana, 65 Prozent waren für den Basketballspieler Michael Jordan, 79 Prozent stimmten für Mutter Theresa. Die Person aber, die mit 87 Prozent am wahrscheinlichsten in den Himmel kommt: der Antwortende selbst. Emily Pronin, eine Psychologieprofessorin an der Princeton University, testete eine Wahrnehmungsverzerrung namens blinder Fleck. Die Probanden konnten sehr wohl beurteilen, inwieweit andere Personen einer Reihe von acht verschiede­ nen Wahrnehmungsverzerrungen unterlagen, aber es gelang ihnen nicht, diese Verzerrungen bei sich selbst wahrzuneh­ men. Im Rahmen einer Studie an der Stanford University wurden Studenten gebeten, sich hinsichtlich einiger Charak­ tereigenschaften mit ihren Mitstudenten zu vergleichen. Wenig überraschend: In Kategorien wie Freundlichkeit oder Uneigennützigkeit stuften sich alle überdurchschnittlich gut ein. Selbst als die Probanden vor der Tendenz gewarnt wur­ den, sich zu gut einzuschätzen, und gebeten wurden, ihre ur­ sprüngliche Einschätzung zu überprüfen, blieben 63 Prozent dabei - und 13 Prozent behaupteten sogar, sie seien anHing­ lich zu bescheiden gewesen! In einer zweiten Studie wies Pronin Personen zufällige hohe oder niedrige Werte in einem Test auf soziale Intelligenz zu. Wenig überraschend: Diejenigen mit den guten Ergebnissen fanden den Test fai­ rer und nützlicher als diejenigen mit den schlechten Werten. Als sie befragt wurden, ob sie nicht möglicherweise vom Test250

VERZERRTE WAH R N E H M U N G

ergebnis in ihrer Bewertung beeinflusst worden seien, ant­ worteten die Teilnehmer, dass andere Teilnehmer viel vorein­ genommener gewesen seien als sie selbst. In einer dritten Studie befragte Pronin die Teilnehmer, welche Methoden sie benutzten, um Wahrnehmungsverzerrungen bei sich selbst und bei anderen zu bewerten. Sie fand heraus, dass Men­ schen bei der Bewertung anderer allgemeine Verhaltenstheo­ rien anwendeten, aber Nabelschau (Introspektion) betrieben, wenn sie sich selbst einschätzen sollten. Allerdings - und das ist die lntrospektions-Illusion - glauben Leute nicht, dass man diese Selbsterkenntnis anderen Leuten zutrauen darf. Ihre Einstellung lautet: Für mich ist das okay, du darfst das aber nicht. Frank J. Sulloway, Psychologe an der University of California in Berkeley, und ich machten eine ähnliche Entdeckung einer Attributions-Verzerrung. Im Rahmen einer Untersuchung fragten wir Menschen, warum sie an Gott glaubten und warum andere Leute ihrer Ansicht nach an Gott glaubten. Allgemein rechtfertigen Menschen ihren Glauben mit ratio­ nalen Gründen wie der Schönheit und der Komplexität der Schöpfung, während sie den Glauben anderer Leute aufemo­ tionale Motiven zurückführen: Glaube tröste, stifte einen Sinn, und überhaupt seien die Leute einfach zum Glauben erzogen worden. Politikwissenschaftler haben auf dem Ge­ biet der politischen Überzeugungen etwas Ähnliches festge­ stellt: Republikaner rechtfertigen ihre konservative Einstel­ lung mit rationalen Gründen, behaupten aber, Demokraten seien »bleeding-heart liberals« (die wörtliche Übersetzung »Weichherzige Sozialdemokraten« drückt die Verachtung nicht annähernd aus). Gleichzeitig behaupten Demokraten, ihre fortschrittliche Einstellung sei die vernünftigste, und werfen den Republikanern vor, »herzlos« zu sein. 251

MAT H E M AT I K U N D O BERSI N N LI C H ES

Wie geht die Wissenschaft mit solchen Wahrnehmungsver­ zerrungen um? Wie finden wir heraus, ob eine Behauptung Unfug ist oder zutreffend? Wir müssen offen genug sein, um radikal neue Konzepte akzeptieren zu können, die hin und wieder in Erscheinung treten. Aber wir dürfen nicht so offen sein, dass wir hirnlos alles glauben, was uns vorgesetzt wird. Dieses Dilemma veranlasste uns von der Skeptics Society, einen Werkzeugkasten zusammenzustellen, den wir Un­ sinn-Detektor-Kasten nannten, inspiriert von Carl Sagans wunderbarem Buch darüber, wie man Nonsens aufdeckt (Der Drache in meiner Garage oder die Kunst der Wissenschaft, Un­ sinn zu entlarven). In diesem Unsinn-Detektor-Kasten stellen wir einen Katalog von 10 Fragen vor, wie man angesichts einer Behauptung überprüft, ob man sie zu bereitwillig glaubt oder zu leichtfertig ablehnt. Daniel Kevles hat in seinem 1999 erschienenen Buch The Baltimore Affair ein­ drücklich gezeigt, dass es bei der Untersuchung von Schum­ meleien in der Wissenschaft ein Abgrenzungsproblem gibt. Es ist schwierig, absichtlichen Betrug aus dem Hintergrund­ rauschen von Fehlern und Schlampereien herauszufiltern, das unvermeidlicherweise auftritt, wo Wissenschaft betrie­ ben wird. Bei einer Oberprüfung von Forschungsaufzeichun­ gen eines Labors, das mit dem Nobelpreisträger David Salti­ more zusammen arbeitete, stieß ein unabhängiges, vom Kongress eingesetztes Komitee auf eine verblüffende Anzahl von Fehlern, aber aufkeine Anzeichen für absichtlichen Be­ trug. Wissenschaft läuft chaotischer ab, als die meisten Leute sich klarmachen. Saltimore wurde entlastet, als sich heraus­ stellte, dass keine Daten absichtlich manipuliert worden waren. 1 . Wie glaubwürdig ist die Quelle der These?

252

DER U N S I N N -DETEKTOR

2. Stellt diese Quelle oft ähnliche Thesen auf? Pseudowissen­ schaftler haben die Angewohnheit, weit über die belegten Fakten hinaus Behauptungen aufzustellen. Wenn Einzelne also häufig sensationelle Ergebnisse präsentieren, sind sie nicht unbedingt Genies. Diese Frage erlaubt nur eine qualita­ tive Einordnung, kein endgültiges Urteil, da viele große Geis­ ter in ihren kreativen Spekulationen über das hinausschie­ ßen, was sie auch handfest belegen können. Thomas Gold etwa von der Cornell University ist für seine radikalen Ideen berüchtigt. Aber er hat oft genug Recht behalten, so dass an­ dere Wissenschaftler weiterhin zuhören, was er zu sagen hat. Beispielsweise glaubt Gold, dass Erdöl kein fossiler Brenn­ stoff ist, sondern das Nebenprodukt einer tiefen, heißen Bio­ sphäre. Kaum ein Geologe, mit dem ich gesprochen habe, nimmt diese Theorie ernst, trotzdem hält man Gold nicht für einen Spinner. Was wir mit dieser Frage aufzuspüren versu­ chen, ist eine ganze Ansammlung grenzwertiger Theorien, bei deren Erstellung Daten rigoros ignoriert oder verzerrt wurden. 3. Wurde die These von unabhängiger Seite erfolgreich über­ prüft? Pseudowissenschaftler stellen in der Regel Behauptun­

gen auf, die unbewiesen sind oder nur von Leuten aus ihrem eigenen Umfeld verifiziert wurden. Wir müssen uns fragen, wer den Wahrheitsgehalt von Behauptungen überprüft, und sogar, wer die Prüfer überprüft. Das größte Problem etwa beim Debakel um die kalte Kernfusion lag nicht darin, dass die Wissenschaftler Stanley Pons und Martin Fleischmann sich täuschten, sondern darin, dass sie ihre spektakuläre Ent­ deckung auf einer Pressekonferenz ausposaunten, bevor sie von anderen Labors überprüft werden konnte. Schlimmer noch: Auch als die kalte Fusion sich im Experiment nicht wie253

MATH E M ATI K U N D O BERSI N N LICHES

derholen ließ, beharrten die beiden weiterhin auf ihrer Be­ hauptung. 4. Wie verträgt sich die These mit unserem Wissen darüber, wie die Welt funktioniert? Jede außergewöhnliche These muss

in einen weiteren Kontext gestellt werden. Wenn Leute etwa behaupten, die Pyramiden und die Sphinx seien vor über zehntausend Jahren von einer hochentwickelten Kultur er­ richtet worden, bieten sie keinerlei Kontext für diese angebli­ che Zivilisation. Wo sind ihre Kunstwerke, ihre Waffen, Klei­ der, Werkzeuge, ihre Abfälle? So läuft Archäologie einfach nicht. 5. Hat jemand sich Mühe gegeben, die These zu widerlegen oder wurde nur nach Indizien gesucht, die ftlr sie sprechen?

Es geht hier um den Confirmation Bias, also um die Tendenz, nach Beweisen für etwas zu suchen und alle Indizien zu ver­ werfen oder zu ignorieren, die gegen eine These sprechen. Diese Versuchung ist sehr groß; fast niemand kann sich ihr entziehen. Deswegen sind die Regeln des wissenschaftlichen Vorgehens auch so streng: Daten müssen überprüft und nochmals überprüft werden, Theorien verifiziert werden, Ex­ perimente wiederholbar sein. Eine besonders wichtige Rolle spielt darin der Versuch, eine These zu widerlegen (also nach Gründen und Indizien dafür zu suchen, dass sie nicht stimmt). 6. Konvergiert ein Großteil der Fakten darauf hin, dass die Schlussfolgerung einer Person richtig ist, oder eher in eine an­ dere Richtung? Die Evolutionstheorie beispielsweise wird

durch die Konvergenz von Hinweisen aus einer Reihe von unabhängigen Forschungsrichtungen bewiesen. Aufkeinem 254

D E R U N SI N N - D ETE KTOR

Fossil, aufkeinem biologischen oder paläontologischen Fund steht ))Evolution«, stattdessen gibt es eine Konvergenz von Hinweisen aus zehntausenden Beweisstückchen, die sich zu einem Bild von der Evolution des Lebens zusammenfügen. Kreationisten blenden diese Konvergenz aus, weil sie ihnen nicht in den Kram passt, und verbeißen sich stattdessen in triviale Anomalien und in bisher unerklärte Phänomene in der Geschichte des Lebens. 7. Hält derjenige, der die Behauptung aufstellt, sich an die all­ gemein anerkannten Argumentationsregeln und Forschungs­ methoden, oder wurden diese zugunsten anderer Methoden über Bord geworfen, die zum gewünschten Ergebnis führen?

UFOlogen gehen in diese Denk-Falle: Sie konzentrieren sich auf eine Handvoll unerklärter atmosphärischer Phänomene und die fragwürdigen Aussagen einiger Augenzeugen. Gleichzeitig ignorieren sie die Tatsache, dass die überwälti­ gende Mehrheit der so genannten UFO-Sichtungen (nämlich 90 bis 95 Prozent) mit ganz prosaischen Umständen erklärt werden kann. 8. Hat jemand, der eine existierende, akzeptierte Erklärung ftlr ein beobachtetes Phänomen zurückweist, eine bessere? Das ist eine klassische Debatten-Strategie: Kritisiere deinen Wi­ dersacher, aber verrate nie, was du selbst denkst - dann kann dich keiner dafür kritisieren. Doch in der Wissenschaft ist ein solches Vorgehen inakzeptabel. Kritiker der weitgehend aner­ kannten Urknalltheorie beispielsweise verbeißen sich in die wenigen Lücken im anerkannten Modell, ignorieren die Kon­ vergenz der Hinweise auf das kosmologische Modell, bieten aber keine Altemativtheorie, die von einem Großteil der Fak­ ten gestützt würde. 255

MATH E M ATI K U N D O BERSI N N LI C H ES

Kann eine neu aufgestellte Theorie genauso viele Phänome­ ne erklären wie die Vorgänger-Theorie? Skeptiker der H IV­

9.

Theorie behaupten, nicht H IV, sondern ein Lebensstil verur­ sache AIDS. Um eine solche These aufstellen zu können, muss man aber die Konvergenz der Hinweise aufHIV als Ur­ sache für AIDS ignorieren und gleichzeitig so offensichtliche Umstände ignorieren wie den signifikanten Anstieg von AIDS-Fällen unter Blutern, nachdem HIV unbeabsichtigt über Blutkonserven weiter verbreitet worden war. Darüber hi­ naus erklärt die alternative Theorie bei weitem nicht so viele Phänomene wie die HIV-Theorie. 10. Beeinflussen persönliche Ansichten und Vorurteile des Forschers das Ergebnis? Jeder Wissenschaftler hat soziale, po·

litische und ideologische Überzeugungen, die seine Interpre­ tation der Daten beeinflussen könnte. Aber wie wirken sich diese Überzeugungen auf die Ergebnisse aus? Normaler­ weise werden im Laufe des wissenschaftlichen Prozesses Vor·Urteile dieser Art herausgefiltert, meist während der Überprüfung der Ergebnisse durch Forscherkollegen (im Peer-Review-System). Ohne eine solche Überprüfung wird kein Text gedruckt. Deswegen sollte niemand in einem intel­ lektuellen Vakuum arbeiten. Wenn Sie Ihre eigene Voreinge­ nommenheit nicht erkennen, wird das ganz bestimmt ein anderer für Sie erledigen. Es gibt keinen endgültigen Maßstab dafür, wie offen wir für neue Ideen oder Behauptungen sein sollten. Aber wenn wir mithilfe der Mathematik die Wahrscheinlichkeit für außerge· wöhnliche Ereignisse überprüfen und uns die oben skizzier­ ten Fragen stellen, wenn wir auf etwas Ungewöhnliches sto­ ßen, haben wir schon einen wichtigen ersten Schritt gemacht zum Verständnis unserer seltsamen und wunderbaren Welt. 256

LÖ S U N G E N 1 . KAPITEL:

Ein bisschen Geben und Neh men: Addition u nd Su btraktion im Kopf Addition zweistelliger Zahlen (S. 38) 1. 23 + 1 6 = 23 + 1 0 + 6 = 33 + 6 = 39 2.

64 + 43 = 64 + 40 + 3 = 1 04 + 3 = 1 07

). 95 + 3 2 = 95 + 30 + 2 = 1 25 + 2 = 1 27

4. 34 + 26 = 34 + 20 + 6 = 54 + 6 = 60 5.

89 + 78 = 89 + 70 + 8 = 1 59 + 8 = 1 67

6.

73 + 58 = 73 + 50 + 8 = 1 23 + 8 = 1 3 1

7.

4 7 + 3 6 = 4 7 + 3 0 + 6 = 7 7 + 6 = 83

8. 1 9 + 1 7 = 1 9 + 1 0 + 7 = 29 + 7 = 36 9.

55 + 49 = 55 + 40 + 9 = 95 + 9 = 1 04

10.

39 + 38 = 39 + 30 + 8 = 69 + 8 = 77

Addition dreisteiliger Zahlen (S. 44) 1. 242 + 1 3 7 = 242 + 1 00 + 30 + 7 = 342 + 30 + 7 = 372 + 7 = 3 79 2.

3 1 2 + 256 = 3 1 2 + 200 + 50 + 6 = 5 1 2 + 50 + 6 = 562 + 6 = 568

). 635 + 8 1 4 = 635 + 800 + 1 0 + 4= 1 .435 + 1 0 + 4 = 1 .445 + 4 = 1 .449

4. 457 + 241 = 457 + 200 + 40 + 1 = 6 5 7 + 40 + 1 = 697 + 1 = 698

s.

91 2 + 475 = 91 2 + 400 + 70 + 5 = 1 .3 1 2 + 70 + 5 = 1 .382 + 5 = 1 .387

6.

852 + 3 78 = 852 + 300 + 70 + 8 = 1 .1 52 + 70 + 8 = 1 .222 + 8 = 1 .230

257

7.

45 7 + 269 = 45 7 + 200 + 60 + 9 = 65 7 + 60 + 9 = 71 7 + 9 = 726

8.

878 + 797 = 878 + 700 + 90 + 7 = 1 5 78 + 90 + 7 = 1 .668 + 7 = 1 .675 oder 878 + 797 = 878 + 800 - 3 = 1 .678 - 3 = 1 .675

9.

276 + 689 = 276 + 600 + 80 + 9 = 876 + 80 + 9 = 956 + 9 = 965

10.

877 + 5 3 9 = 877 + 500 + 30 + 9 = 1 3 7 7 + 30 + 9 = 1 .407 + 9 = 1 .41 6

11.

5 .400 + 252 = 5.400 + 200 + 52 = 5.600 + 52 = 5.652

1 2.

1 .800 + 855 = 1 .800 + 800 + 5 5 = 2.600 + 55 = 2.655

n.

6. 1 20 + 1 36 = 6.1 20 + 100 + 30 + 6 = 6.220 + 30 + 6 = 6.250 + 6 = 6.256

14.

7.830 + 348 = 7.830 + 300 + 40 + 8 = 8.1 30 + 40 + 8 = 8.1 70 + 8 = 8.1 78

15.

4.240 + 371 = 4.240 + 300 + 70 + 1 = 4.540 + 70 + 1 = 4.61 0 + 1 = 4.61 1

Subtraktion von zweistelligen Zahlen (S. 46) 1.

38 - 23 = 38 - 20 - 3 = 1 8 - 3 = 1 5

2.

84 - 59 = 84 - 60 +

1

= 24 + 1 = 25

+

3.

92 - 34 = 92 - 40 + 6 = 52

4.

67 - 48 = 67 - 50 + 2 = 1 7 + 2 = 1 9

5.

79 - 29 = 79 - 20 - 9 = 59 - 9 = 50 oder 79 - 29 = 79 - 30 + 1 = 49 + 1 = 50

6.

63 - 46 = 63 - 50 + 4 = 1 3 + 4 = 1 7

6 = 58

7.

51 - 27 = 51 - 30 + 3 = 21 + 3 = 24

8.

89 - 48 = 89 - 40 - 8 = 49 - 8 = 41

9.

1 25 - 79 = 1 25 - 80 + 1 = 45 + 1 = 46

10.

1 48 - 86 = 1 48 - 90 + 4 = 58 + 4 = 62

258

Subtraktion von dreisteiligen Zahlen (S. 5 1 ) 1.

5 8 3 - 2 7 1 = 583 - 200 - 70 - 1 = 383 - 70 - 1 = 313 - 1 = 312

2.

936 - 725 = 936 - 700 - 20 - 5 = 236 - 20 - 5 = 21 6 - 5 = 21 1

3.

587 - 298 =

587 - 300 + 2 = 287 + 2 = 289

4.

763 - 486 =

763 - 500 + 1 4 = 263 + 1 4 = 277

5.

204 - 1 85 =

204 - 200 + 1 5 =

04 + 1 5 = 1 9

6.

793 - 402 =

793 - 400 - 2 = 393 - 2 = 391

7.

21 9 - 1 76 =

2 1 9 - 200 + 24 =

8.

978 - 784 =

978 - 800 + 1 6 = 1 78 + 1 6 = 1 94

9.

455 - 3 1 9 =

455 - 400 + 81 =

10.

772 - 596 =

772 - 600 + 4 = 1 72 + 4 = 1 76

11.

873 - 357 =

873 - 400 + 43 = 473 + 43 = 5 1 6

12.

564 - 228 =

564 - 300 + 72 = 264 + 72 = 336

1 9 + 24 = 43 55 + 81 = 1 36

13.

1 .428 - 5 71 = 1 .428 - 600 + 29 = 828 + 29 = 857

14.

2.345 - 678 = 2.345 - 700 + 22 = 1 645 + 22 = 1 .667

15.

1 .776 - 987 = 1 .776 - 1 .000 + 1 3 = 776 + 1 3 = 789

259

2. KAPITEL:

Das Ergebnis ei ner verschwendeten J ugend: einfache M ultiplikation Multiplikation zweistelliger Zahlen mit einer einstelligen (S. 58) 1.

82 9 720 + 18 738

X

6.

2.

49 49 oder X 9 X 9 360 450 + 81 - 9 441 441

11.

97 4 360 + 28 388

12.

16.

37 6 1 80 + 42 222

17.

X

X

260

3.

43 7 280 + 21 301

X

7.

67 5 300 + 35 335

4.

X

28 4 80 + 32 112

8.

53 5 250 + 15 265

9.

13.

96 9 81 0 + 54 864

14.

46 2 80 + 12 92

18.

76 8 560 + 48 608

19.

X

X

X

5.

84 5 400 + 20 420

10.

58 6 300 + 48 348

X

75 X 4 280 + 20 300

1 5.

29 3 60 + 27 87

20.

X

93 8 720 + 24 744

X

X

X

X

78 2 1 40 + 6 1 56

X

71 3 21 0 + 3 21 3

X

57 7 350 + 49 399

X

64 8 480 + 32 512

X

Multiplikationen dreisteiliger Zahlen mit einstelligen Zahlen (S. 66) 1.

431 X 6 2.400 + 1 80 2.580 + 6 2.586

2.

637 X 5 3 .000 + 1 50 3 . 1 50 + 35 3 . 1 85*

3.

862 X 4 3.200 + 240 3.440 + 8 3.448

4.

957 X 6 5.400 + 300 5.700 + 42 5.742

5.

927 X 7 6.300 + 1 40 6.440 + 49 6.489

6.

728 X 2 1 .400 + 40 1 .440 + 16 1 .456

7.

328 X 6 1 .800 + 1 20 1 .920 + 48 1 .968

8.

529 X 9 4.500 + 1 80 4.680 + 81 4.761

9.

807 X 9 7.200 + 63 7.263

10.

587 X 4 2.000 + 320 2.320 + 28 2.348.

11.

1 84 7 700 + 560 1 .260 + 28 1 .288

12.

214 X 8 1 .600 + 80 1 .680 + 32 1 .71 2

757 X 8 5.600 + 400 6.000 + 56 6.056

1 3.

259 X 7 1 .400 + 350 1 .750 + 63 1 .81 3

14.

297 X 8 1 .600 + 720 2.320 + 56 2.376

X

1 5.

oder 300 X 8 = -3 X8=

297 8 2.400 - 24 2.376

X

751 9 6.300 + 450 6.750 + 9 6.759

16.

X

*Bei dieser Art von Aufgaben können Sie die Antwort schon teilweise laut aussprechen während Sie rechnen.

261

1 7.

21.

457 X 7 2.800 + 350 3.1 50 + 49 3 . 1 99

18.

578 9 X 4.500 + 630 5 . 1 30 + 72 5.202

499 X 9 3.600 + 810 4.4 10 + 81 4.491

22.

25.

29.

oder

500 X 9 = -1 X9=

285 X 6 1 .200 + 480 1 .680 + 30 1 . 710

30.

339 8 X 2.400 + 240 2.640 + 72 2.71 2 247 X 5 1 .000 + 200 1 .200 + 35 1 .235" 499 X 9 4.500 9 4.491

488 X 9 3.600 + 720 4.320 + 72 4.392

19.

1 34 8 800 + 240 1 .040 + 32 1 .072

20.

X

1 88

23.

24.

�

600 + 480 1 .080 + 48 1 . 1 28

670 X 4 2.400 + 280 2.680

26.

31.

429 X 3 1 .200 + 60 1 .260 + 27 1 .287

968 X 6 5 .400 + 360 5 .760 + 48 5.808 862 5 X 4.000 + 300 4.300 + 10 4.310"

27.

693 X 6 3 .600 + 540 4.1 40 + 18 4.1 58

61 1 3 X 1 .800 + 33 1 .833

28.

32.

722 �

6.300 + 1 80 6.480 + 18 6.498

*Bei dieser Art von Aufgaben können Sie die Antwort schon teilweise laut aussprechen während Sie rechnen.

262

33.

4579 +4.3.450060050 +4.1 6313

X

3129 6913 7673 +2.2.211800080 +2.2.77009090 +2.1.082700070 +2.30121 +2.80818 +2.0733 72) 18 ----... 1 80+4'= 196 14'� � 10 � 30 ----... 720 + 3' 729 27' � � 24 � 70 65'< >4.200+5'=4.225 60 90 89' < > 7.920 + = 7.921 88 100 98'< >9.600+2'=9.604 96 34.

36.

35.

X

X

X

--

Quadrieren zweistelliger Zahlen (S.

1.

2.

3.

4.

5.

=

l'

263

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

264

32 ----... 960 + 1' = 961 31' � � 30 � 42 41'� >1.680+1'�1.681 40 60 59'� > 3.480 + � 3.481 58 30 26' � ----... 660 + 4' = 676 �22 � 56 53' < > 2.800 + 3' � 2.809 50 22 � ----... 440+ 1'=441 21' � 20 � 68 64' < >4.080+4'�4.096 60 p

14.

15.

16.

1 7.

18.

19.

60 55' < >3.000+5'�3.025 50 80 75' < > 5.600 + 5' � 5.625 70 50 45' < > 2.000 + 5' � 2.025 40 84' 7.040 + 4' � 7.056 80 70 67' < > 4.480 + 3' � 4.489 64 ] 0� 103� � 10.600+3' � 10.609 100 265

20.

�16 + 208'� >43.200+8'�43.264 200

3· KAPITEL: Neue und noch bessere Produkte

81) X 3511 3 8 5 385 X 9411 9 13 4 = 1.034 82) 31 (30 + 1) X 41 301 XX 4141 == +1.23041 1.27127 (20 + 7) 207 XX 1818 == X+ 36012618 48653 (50+ 3) +2.90058 503 XX 58= 58= +3.017474

Multiplikation mit 11 (S. 1.

).

__

=

2.

X 4811 4 12 8 = 528 __

__

Multiplikation zweier zweistelliger Zahlen mit der Additionsmethode (S.

31 (40+ 1) 401 XX 3131 == +1.24031 1.25971 (50+ 9) 509 XX 2626 == X+1.32340026 1.53477 401 XX 4177 == �( 3.+ 023180 40+3) 3.311

1.

oder

2.

3.

4.

5.

266

�

23 (20 3) 2384 (80 4) X 84 X 203 XX 8484 1.252680 804 XX 2323 1.84092 1.932 1.932 8876 (80 8) 62 (60 2) X X 94 602 XX 9494 5.618840 808 XX 7676 6.060880 6.688 5.828 9235 (90 2) X 902 XX 3535 3.1 5070 3.220 X 3411 3 7 4 374 34037434 X 8511 8 13 5 935 85093585 liger Zahlhodeen 86) miMulthitilpfelikderatioSubtn zweiraktistelonsmet 29 (30-1) 2. X 4398 (100-2) X 45 1-200 XX 4343 -4.30086 -130 XX 4545 -1.1.33055045 4.214 +

6.

oder

=

=

=

=

+

+

7.

+

+

8.

=

=

=

+

=

+

+

+

9.

=

=

10.

+

__

=

oder

+

11.

__

=

oder

+

(S.

1.

=

=

= =

267

47 60- 1) 68 (70-2) X 43 �( -160 XX 4747 -2.2.87204773 -270XX 3838== -2.2.65608476 9629 (1 00-4) 96 30-1) X �( 30 XX9696 == -2.88096 100-4 XX 2929 == -116 2.900 -1 2.784 2.784 79 (80-1) 37 20- 1) X 54 �( -180 XX54=54= -4.4.23206654 -201 XX 3737 == - 70374037 85 40- 2) 8722 (90- 3) X �( -240 XX 8585 == -3.3.421700030 -390 XX 2222 == -1.1.99668014 57 40-1) 8849 (50-1) �( X X 88 -4.40088 -140 XX 57=57= -2.2.22802357 -501 X88= 4.3 12 Mulmit tderiplikFaktor ationizweisierustngsmethode elliger Zahlen 91) 27X 1414=27X7X2= 189X2=378 X 27 = 14 X 9 X 8657 XX 2814 ==5786 XX 77 XX 42 == 6023993 =XX12642 ==X2.79834=08378 81 X 4848 X= 8181 X 488 XX69=X6489 =X4326 =X3.98=8 3.888

].

4.

= =

5.

oder

6.

7.

8.

9.

10.

11.

=

(S.

1.

oder

2. 3.

4.

oder

268

=

5. 6. 7. 8. 9.

10. 11.

12.

56 X 29 = 29 X 7 X 8 = 203 X 8 = 1 .624 83 X 1 8 = 83 X 6 X 3 = 498 X 3 = 1 .494 72 X 1 7 = 1 7 X 9 X 8 = 1 53 X 8 = 1 .224 85 X 42 = 85 X 6 X 7 = 5 1 0 X 7 = 3.570 33 X 1 6 = 33 X 8 X 2 = 264 X 2 = 528 oder 1 6 X 33 = 1 6 X 1 1 X 3 = 1 76 X 3 = 528 62 X 77 = 62 X 1 1 X 7= 682 X 7= 4.774 45 X 36 = 45 X 6 X 6 = 270 X 6 = 1 .620 oder 45 X 36 = 45 X 9 X 4 = 405 X 4 = 1 .620 oder 36 X 45 = 36 X 9 X 5 = 324 X 5 = 1 .620 oder 3 6 X 45 = 36 X 5 X 9 = 1 80 X 9 = 1 .620 3 7 X 48 = 3 7 X 8 X 6 = 296 X 6 = 1 .776

Multiplikation zweistelliger Zahlen im Freistil 53 � (40 - 1 ) 40 X 53 = 2.1 20 - 1 X 53 = - 53 2.067

1.

81 ( 80 + 1 ) X 57 80 X 57 = 4.560 1 X 57 = + 57 4.61 7

2.

3.

73 X 1 8 (9 X 2)

4.

90 X 55 = 1 X 55 =

(S. 92/93)

oder

53 (50 + 3) X 39 50 X 39 = 1 .950 3 X 39 = + 1 1 7 2.067

oder 5 7 X 81 = 57 X 9 X 9 = 5 1 3 X 9 = 4.61 7

73 X 1 8 = 73 X 9 X 2 = 657 X 2 = 1 .3 1 4 oder 73 X 18 = 73 X 6 X 3 = 438 X 3 = 1 .3 1 4

89 (90 - 1 ) X 55 4.950 - 55 4.895

oder 89 X 55 = 89 X 1 1 X 5 = 979 X 5 = 4.895

269

X 3677 (4 X 9) 7777 XX 3636 = 7777 XX 49 XX 94 == 308693 XX 94 == 2.2.777272 92 (50+3) � 503 XX 9292 == +4.627600 4.876 90 87'� >7.560-3'=7.569 84 67 60- 2) �( 60 X 67 = -4.015420 -2X67= 3.886 37 X 8 X 7 = 296 X 7 = 2.072 X 5637 (8 X 7) 3377 XX 56= 56 = 37 X 7 X 8 = 259 X 8 = 2.072 5921 (60-1) 59 20+1) X �( 20X59= -160X21X 21 == -1.1.22602139 1 X 59= +1.1.21 598039 59 X 21 =59 X 7 X 3 = 413 X 3 = 1.239 57 X 7237 (9 X 8) �( 7 0+3) 57= +3.917190 37 X 9 X 8 = 333 X 8 = 2.664 703 XX 57= 4.1 61

5.

oder

=

6.

'·

�

9.

oder

1�

oder

oder 11.

270

lL

n.

38 X 63 (9 X 7)

38 X 63 = 38 X 9 X 7 = 342 X 7 = 2.394 1 5.

43 X 75 (5 X 5 X 3)

60 X 37 = 1 X 37 =

19.

61 (60 + 1 ) X 37 2.220 + 37 2.257

54 (9 X 6} X 53

74 � (60 + 2) 60 X 74 = 4.440 2 X 74 = + 1 48 4.588

16.

43 X 75 = 43 X 5 X 5 X 3 = 2 1 5 X 5 X 3 = 1 .075 X 3 = 3.225 1 7.

43 (40 + 3} X 76 40 X 76 = 3.040 3 X 76 = + 228 3.268

14.

36 (6 X 6} X 41

18.

41 X 36 = 41 X 6 X 6 = 246 X 6 = 1 .476

54 X 53 = 53 X 9 X 6 = 477 X 6 = 2.862

56

"·

53'

2.800 +

l'

= 2.809

50 21

.

80 X 58 = 3 X 58 =

23.

50 X 47 = 2 X 47 =

91 (90 + 1 ) X 46 90 X 46 = 4.1 40 1 X 46 = + 46 4.1 86

83 (80 + 3} X 58 4.640 + 1 74 4.81 4

22.

52 (50 + 2} X 47 2.350 + 94 2.444

24.

30 X 26 = - 1 X 26 =

29 (30 - 1 ) X 26 780 - 26 754

271

25.

41 X 1 5 (5 X 3)

65 � (20 - 1 ) 20 X 65 = 1 .300 - 1 X 65 = - 65 1 .235

26.

41 X 1 5 = 41 X 5 X 3 = 205 X 3 = 61 5 27.

34 X 27 (9 X 3)

�

70 X 78 = 5.460 - 1 X 78 = - 78 5.382

34 X 27 = 34 X 9 X 3 = 306 X 3 = 91 8 29.

95 X 81 (9 X 9)

65 (60 + 5) X 47 60 X 47 = 2.820 5 X 47 = + 235 3.055

30.

95 X 81 = 95 X 9 X 9 = 855 X 9 = 7.695 31.

70 X 65 = -1 X 65 =

33.

40 X 93 = 1 X 93 =

69 (70 - 1 )

28.

65 X 69 (70 - 1 ) 4.550 - 65 4.485

95 � (20 + 6) 20 X 95 1 .900 6 X 95 = + 570 2.470

32.

=

41 (40 + 1 ) X 93 3.720 + 93 3.81 3

Quadrieren dreisteiliger Zahlen (S. 98)

41 8

'·

409'

400

272

1 67.200 + 9' = 1 67.281

810 < 805'

----.....

25 0 648. 5' + 00 0 648. 800� 234--� 3. 21 7' � � 46.800 + 17' 47.089 20 200 c:)( 1 � �/ 280 + 3' � 289 14 900 802.200 + 4' 802.816 896' � 892390 11 7.000 + 45' 119.025 5. 345' 300�\...� 45,;;/ � �40'-../2.000 + ,, � 2.025 392 117.600+ 46' 119. 7 16 . 346' 50 300 \...� 46AC+,� V �42�/2.1 00+4' � 2.1 16

2.

--...

4.

----.....

----.....

6

--� � � �

=

=

=

=

=

273

7

300----...---::.. 75.600 + 24' = 76.1 76 . 276' � � - ,. "'.--28 , . GA 24�� / . +4' = "' 700--- 20 . 682' �....---GA ---:: 464.80020+ 18' = 465.1 24 18�� / ". +,, = ,,. 462--- 16 431' � --...---::.. 1 84.800+ 31' = 185.761 � .--32 . GA 31 �'0... / . +l'= 961 30 80Q___ �609.600+ 19' = 609.961 781' 20 ,GA -- 19� � . + " = 361 18/ -.....

B

9·

..

. .

,.

, .

10.

274

11.

975'

+25

1 . 00Q__

�

950

�

----... 950.000 + 25' = 950.625 �

� Q( 30

_.

y-"'�600 + 5' = 625 -�/

25+,

20

Kubieren zweistelliger Zahlen (S. 1 02) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 1 3. 14. 15. 16.

1 2' = (1 0 X 1 2 X 1 4) + (2' X 1 2) = 1 .680 + 48 1 .728 1 7' = (14 X 1 7 X 20) + (3' X 1 7) = 4.760 + 1 53 = 4.91 3 21 ' (20 X 21 X 22) + (1 ' X 21 ) = 9.240 + 21 = 9.261 28' = (26 X 28 X 30) + (2' X 28) = 21 .840 + 1 1 2 = 21 .952 33' = (30 X 33 X 36) + (3' X 33) = 35.640 + 297 = 35.937 39' (38 X 39 X 40) + (1 ' X 39) = 59.280 + 39 = 59.3 1 9 40' = 40 X 40 X 4 0 = 64.000 44' = (40 X 44 X 48) + (4' X 44) = 84.480 + 704 = 85.1 84 52' = (50 X 52 X 54) + (2' X 52) = 1 40.400 + 208 = 1 40.608 56' = (52 X 56 X 60) + (4' X 56) = 1 74.720 + 896 1 75.61 6 65' = (60 X 65 X 70) + (5' X 65) = 273.000 + 1 .625 = 274.625 71 ' = (70 X 71 X 72) + (1 ' X 71 ) = 3 57.840 + 71 = 357.91 1 78' = (76 X 78 X 80) + (2' X 78) = 474.240 + 3 1 2 = 474.552 85' = (80 X 85 X 90) + (5' X 85) = 61 2.000 + 2.1 25 = 614.1 25 87' = (84 X 87 X 90) + (3' X 87) = 657.720 + 783 = 658.503 99' = (98 X 99 X 1 00) + (1 ' X 99) = 970.200 + 99 = 970.299 =

=

=

=

275

4· KAPITEL: Tei le u nd herrsche: Division im Kopf Division durch eine einstellige Zahl (S. 1 07) 1.

...

31879

35t - 27 48 - 45 3

=

289 +8 = 36t - 24 49 - 48

2.

5.

726 + 5 = 1 45t - 5 22 - 20 26 - 25 1

3.

1 .328 + 3 = 442t - 12 12 - 12 08 - 6 2

6.

428 7 7

6l t - 42 0 - 7 1

=

--

2.782+4 = 695t - 24 38 - 36 22 - 20 2

Division durch eine zweistellige Zahl (S. 1 1 5{1 1 6) 1.

738 + 1 7 = 43 ,Z, - 68 58 - 51 7

4. 4.268 +28

276

1 52* - 28 1 46 - 1 40 68 - 56 12

=

2.

591 + 24

24* 48 111 - 96 15

3.

655 ,\ - 66 61 - 55 64 - 55 9

6.

=

-

5.

7.21 4 + 1 1

=

321 + 79 = 4 19 - 316 5

3.074 + 1 8

1 70ti - 18 1 27 - 1 26 14

=

Umwandlung in Dezimalzahlen (S. 1 20) 1.

5

2

= 0,40

2.

4

= 0,571 428

3.

3

7

8

= 0,3 75

4.

9

= 0,75

5.

5

IT

IT

= 0,41 66

6.

TI

6

= 0,5454

0,5833

8.

7.

14 24

=

9.

18 48

= 0,3 75

10.

1 1.

6 32

= 0,1 875

12.

13

= 0,481

10

= 0,71 4285

19 45

= 0,422

27

14

Testen aufTeilbarkeit (S. 1 23) Teilbarkeit durch 2 1. 5 3 .428 ja

2.

293 nein

3.

7.241 nein

4.

9.846 ja

Teilbarkeit durch 4 3 .932 5. ja

6.

67.348 ja

7.

358 nein

8.

57.929 nein

Teilbarkeit durch 8 59.366 9. nein

1 0.

73.488 ja

1 1.

248 ja

1 2.

6.1 1 1 nein

Teilbarkeit durch 3 13. 83.671 nein: 8 + 3 + 6 + 7 + 1 = 25 15. 7.359 ja: 7 + 3 + 5 + 9

=

24

Teilbarkeit durch 6 17. 5.334 ja: 5 + 3 + 3 + 4 = 1 5

14.

94.737 ja: 9 + 4 + 7 + 3 + 7 = 30

16. 3.267.486 ja: 3 + 2 + 6 + 7 + 4 + 8 + 6 = 36 18. 67.386 ja: 6 + 7 + 3 + 8 + 6 = 30

277

19.

248 nein : 2 + 4 + 8 = 1 4

Teilbarkeit durch 9 21. 1 .234 nei n: 1 + 2 + 3 + 4 = 1 0 23.

24.

26.

43.762 nein

3 .828 ja: 3 - 8 + 2 - 8

8.469 ja: 8 + 4 + 6 + 9

875 ja:

30.

- 11

=

Teilbarkeit durch 1 7 37. 694 nein: 694 - 34

=

=

34.

=

36

56.785 ja

28.

4.969 nein: 4 - 9 + 6 - 9

3 7. 2 1 0 ja

=

-8

7.336 ja: 7.336 + 14 = 7.350 735 - 35 700 7 =

840 70 7

1 . 1 83 ja: 1 . 1 83 + 7 1 .1 90 1 1 9 + 21 = 1 40 14 =

38.

660 66

27

941 .369 ja: 9 - 4 + 1 - 3 + 6 - 9 = 0

36.

875 - 35 84 - 1 4

=

32

=

27.

32. =

Teilbarkeit durch 7 5 . 784 33. nein: 5 . 784 - 7 = 5.777 5 77 - 7 = 5 70 57

278

22.

3 1 4.1 59.265 ja: 3 + 1 + 4 + 1 + 5 + 9 + 2 + 6 + 5

Teilbarkeit durch 1 1 29. 53.867 ja: 5 - 3 + 8 - 6 + 7 = 1 1

35.

5.991 nein: ungerade

4.425.575 nein: 4 + 4 + 2 + 5 + 5 + 7 + 5

Tei l barkeit d u rch 5 25. 47.830 ja

31.

20.

629 ja: 629 + 51

=

680 68

40.

8.273

)9.

nein: 8.273 + 1 7 = 8.290

1 3 .855 1 3 .855 + 85 = 1 3 .940 1 .394 - 34 = 1 .360 1 36 + 34 = 1 70 17

ja:

829 + 5 1 = 880 88

Multiplikation von Brüchen (S. 1 24) 6 1• 35

2•

18 - 9 ). 28 14

44 63

63

4• 80

Division von Brüchen (S. 1 25) 1.

4

5

5

2. 18

)

10 2 . 15 = 3

Erweitern und Kürzen von Brüchen (S. 1 26) 4 1 . 31 TI 8 4 5. 10 - 5

5 - 10

. 2

6.

6 - 12

6

15

2 5

� . 1. 4 = 12 24 2 . 7 36 3

4.

)

a.

1 = ��

5 20 36 = 9

Addition von (gleichnamigen Brüchen) (S. 1 26) 3 5 + 4 = 9 TI TI = 4 6 3 + 3 3 4 · 10 10 = 10 = 5

5 2 7 1· 9 +9 =9

2• TI

5 11 6 3 · 18 + 1 8 = 18

Addition von (ungleichnamigen) Brüchen (S. 1 28) 1 + 1 _ 2 + 1 _ 3 1· 5 1 0 - 10 10 - 10 1 _ 5 1 3 _ 8 ) . 3 + 5 - 15 + 15 - 15

5• 7•

2

3

8

9

17

3 + 4 - TI + 1 2 - 1 2

2 5 18 + 55 73 IT + 9 = 99 99 = 99

2•

1

5 _ 3

5 _ 8 _ 4

6 + 18 - 18 + 1 8 - 18 - 9

2 + 5 _ 6 + 5 _ " 4. 7 21 - 21 21 - 21 6·

3 3 1 5 + 21 = 36 35 35 7 + 5 = 35

279

Subtraktion von Brl.lchen (S. 1 28)

8 3 5 TI - TI = TI 13 5 _ 8 _ 4 18 - 1 8 - 18 - 9 9 3 9 6 3 5· 10 - 5 = 10 - 10 = 10 7 1 14 1 13 8 - 1 6 = 16 - 1 6 = 16 8 1 16 9 7 9· 9 - 2 = 1 8 18 = 1 8 1·

3

•

7·

2.

}l _ ! = .i 7 7 7

4 1 12 1 11 4· 5 - 15 = 15 - 15 = 15 3 2 9 8 1 6· 4 - 3 = u - u = u 8· 74 - 52 3205 - 3145 365 =

=

-

5 · KAPITEL: Passt schon Oberschlagen von Summen (S. 1 50) Exakte Ergebn isse: 1 .479 2. 5 7.293 + 1 .1 05 + 3 7.421 94.71 4 2.584

1.

Ü berschlagswerte: 1 .500 1 .480 oder + 1 .1 00 + 1 .1 00 2.580 2.600

1.

3.

3 1 0.000 + 80.000 390.000

oder 3 1 2.000 + 79.000 391 .000 oder

3.

2.

4.

+

3 1 2.025 79.41 9 391 .444

8.971 .01 1 + 4.01 6.367 1 2.987.378

5 7.000 + 3 7.000 94.000

oder

9 Mill. 4 Mill. 1 3 Mill.

oder

+

8,97 Mill.

+ 4,02 Mill. 1 2,99 Mill.

280

4.

5 7.300

+ 3 7.400 94. 700 8,9 M ill.

+ 4,0 M ill. 1 2,9 M i l l .

Exakt

Geru ndet

2,67 € 1 ,95 7,35 9,21 0,49 1 1 ,21 0,1 2 6,1 4

2,50 € 2,00 7,50 9,00 0,50 1 1 ,00 0,00 6,00 8,50 47,00 €

_.!d!

47,35 €

Oberschlagen von Differenzen (S. 1 5 1 ) Exakte Ergebnisse: 1.

4.926 - 1 .659 3.267

2.

67.221 - 9.874 5 7.347

8.349.241 - 6.1 03.839 2.245.402

3.

526.978 - 42.009 484.969

4.

2.

67.000 - 1 0.000 5 7.000

oder

4.

8.3 Mill. 6.1 Mill. 2.2 M i ll.

Ü berschlagswerte: 1.

4.900 - 1 .700 3.200

3.

530.000 - 40.000 490.000

oder 527.000

- 42.000 485.000

-

67.200 - 9.900 57.300

oder 8.35 M ill. - 6.10 Mill. 2.25 Mill.

Oberschlagen von Quotienten (S. 1 5 1 ) Exakte Ergebnisse: 1. 3. 5.

4379 + 7 625,57 549.21 3 + 13 42.247, 1 5 8.329.483 +203.637 40,90 =

=

2. 4.

23.958 + 5 4.791 ,6 5 . 1 02.357+289 1 7.655,21 =

=

=

Überschlagswerte: 1. 3. 5.

4400+ 7 630 2. 24.000 + 5 4.800 550.000 + 1 3 42.000 4. 5.1 00.000 + 300 5 1 .000 + 3 8.000.000 + 200.000 8000+ 200 40 =

=

=

=

=

=

1 7.000

=

281

Oberschlagen von Produkten (S. 1 51 ) Exakte Ergebnisse: 98 2. X 27 2.646

1.

312 98 30.576

5.

X

6.

3.

639 1 07 68.373

7.

88 88 7. 744

4.

428 31 3 1 33.964

8.

X

539 17 9.1 63

X

X

1 04.972 1 1 .201 1 .1 75. 791 .3 72

9.

76 42 3 . 1 92

X

X 10.

X

X

5 1 .276 489 25.073.964

5 .462.741 203 .41 3 1 .1 1 1 . 1 92.535.033

X

Oberschlagswerte: 1.

1 00 25 2.500

2.

90 86 7. 740

4.

310 1 00 3 1 .000

6.

430 310 1 3 3.300

8.

78 40 3.1 20

X

3.

X

5.

646 1 00 64.600

X

7.

X

9.

1 05 .000 1 1 .000 1 . 1 55 M illionen 1 , 1 55 M i l l iarden

X =

282

540 17 9.1 80

X

X

ODER

X

5 1 .000 490 24.990.000

X 10.

5.500.000 200.000 1 .1 00 Milliarden 1 , 1 Billionen

X =

640 110 70.400

X

Oberschlagen von Wurzeln (S. 1 52) Exakte Ergebnisse (auf zwei Nachkommastellen): 1.

4 12 m=

5 91 �

2.

1 2 76

v'l63

3.

4.

65 41 Y4.'iJ9

5.

89 66 vs:o39

Teile und mittle: 1. 3.

1 7 +4

=

1 63 + 1 0

/

4 + ·2

4,2

=

4,1

+ 1 6, 3 1 0 1 6·3 2 71 60

=

4.

4.279 + 60

=

71

5.

8.03 9 + 90

=

89

;

90 + 89 2

=

2.

35+6

=

5,8

6 + 5 ·8

=

2

5,9

1 3, 1 5

=

65,5

=

89 ' 5

Mathematik ftlr den Alltag (S. 1 52) 1.

8,80 € + 4,40 €

2.

5,30 € + 2,65 €

). 74+ 2 + 2

=

=

=

37+2

1 3,20 € 7,95 € =

1 8,50 €

4.

Sieben Jahre (70 + 1 0

5.

Es dauert etwa 1 2 Jahre, bis sich das Kapital verdoppelt (70 + 6 1 1 ,67).

=

7)

=

6.

Es dauert 16 J ahre, bis sich das Kapital verdreifacht hat (1 1 0 + 7 1 5, 7 1 4) . =

7.

D a 70+ 7 1 0, dauert e s 1 0 Jahre, b i s e s sich verdoppelt hat, dann nochmal zehn J ahre. I nsgesamt dauert es also 20 Jahre, bis sich das Kapital vervierfacht hat. =

8

- 1 00.000 (0.0075)(1 .0075)'20 € - 750(2,451 ) € - 1 267 € . M - . (1 .00333)'20 - 1 1 ,451 30. 000 (0.0041 6 7)(1 .004 1 6 7)" € - 1 25 (1 ,22) € . M 0,22 (1 .003 3 3 ) 120 1

9

_

_

=

693 €

283

6. KAPITEL: M athe für die Tafel Zahlenkolonnen (S. 1 71 ) 672 ---+ 6 1 .367 ---+ 8 1 07 ---+ 8 7.845 ---+ 6 358 ---+ 7 21 0 ---+ 3 + 91 6 ---+ 7 1 1 .475 ---+ 9

1.

2.

€ 21 ,56 ---+ 5 1 9,38 ---+ 3 21 1 ,02 ---+ 6 9, 1 6 ---+ 7 26,1 7 ---+ 7 1 43 ---+ 3 € 288, 72 ---+ 9

Subtraktion auf dem Papier (S. 1 71 ) 1.

75.423 ---+ 3 - 46.298 ---+ 2 29. 1 25 ---+ 1

2.

876.452 ---+ 5 - 593.876 ---+ 2 282.576 ---+ 3

3.

3.249.202 ---+ 4 - 2.903.445 ---+ 9 345.757 ---+ 4

...

45.394.358 ---+ 5 - 36.472.659 ---+ 6 8.921.699 ---+ 8

2.

vso2.oooo

Wurzeln ziehen (S. 1 72) 3 8 7

v1 s:oooo

1.

3' =

9 600

6! X ! = � 5.600 767 X 7 5.369 =

284

2 2,

4

0

2' = 4 1 02 42 X 2 = 84 1 .800 444 X 4 = 1 .776 2.400 4480 X 0 = 0

2 0, 9 5 v'439.2000 2' = 4-'o 3__9 40 X 0 = __;;0 � 3.920 409 X 9 = 3.681 23.900 4485 X 5 = 22.425

).

1 9

4.

v'36l

1' = 1 261 29 X 9 = 261 0

_ _

Multiplikation auf dem Blatt (S. 1 72) 54 ____. 9 37 __"". 1 1 998 ____. 9

2.

725 ____. 5 X 609 __"". 6 441 .525 ____. 3

4.

52.81 9 ____. 7 47.820 __"". 3 2.525.804.580 ____. 3

6.

1.

X )

.

5.

X

273 ____. 3 X 21 7 ----. 1 59.241 ____. 3 X

X

3.309 ____. 6 2.868 __"". 6 9.490.21 2 ____. 9

3.923.759 ____. 3 2.674.093 __"". 4 1 0.492.496.475.587 ____. 3

8. KAPITEL M u ltiplikation fLir Fortgeschrittene Quadrieren vierstelliger Zahlen (S. 1 89)

1.

/ 1 .234' \ + 234 - 234

\ »Urschiff« 268 1 .468.000 / \ 53 .600 1 .000 I 54.756 (234')• 234' \ 1 .522.756 \ + 1 .1 56 (34') I 54.756 200

1 .468

+

+

34

- 34

285

2.

9.000\ > leasen« / 8.639'\ / 74.502.000 400\ / 8.278 74.6130.32.332121 (361') • 361' 128.1.850021 (39') 322 130.321 5./ 624 \ > DNS« 324 \ 5.3 12' \ /28.1 20.000 / 28.297.17.334444(312')• 312' \300 I 97.97.321444400 (1 2') lO.<XlC\ > Nachos« / 174 \ 9.863'\ /97.260.000 / 9. 726 97.278.18.776969(1 37') •137' \ I 17.1.430069 (37') 18. 7 69 100 4.000\ > Bohrer< / 400\ 3.618'\ / 12.944.000 / 3.236 13.0145.89.992424 (382')• 382' \ / 145.632400 (1 8') , /000\(keine Gedächtnisstütze nöti364g) 145.924 2.971\ I 8.826.084100 (29') 2.942 8.826.841 (S. 197f198) 79619 (800 -4) 858 5 X 3) X �( 4.858290XX153 85812.870X 5 X 3 800-4 XX 1919 - 15.15.21 002476 + 36 1

- 3 61

+ 39

+

-

3.

+ 12

5.ooo +

- 12

+

\

+ 137

- 1 37

+ 37

+

-

5.

+

37

+ 382

- 382

+ 18

+

+

- 18

,_

/,

f:i"

+ 312

- 31 2

4.

\

39 \

+ 29/

- 29 \

+

Multiplizieren mit der Faktorisierungs-, der Additions- und der Subtraktionsmethode 1.

2.

=

=

286

=

=

=

1 48 � (60 + 2) 1 48 X 60 = 8.880 1 48 X 2 + 296 9.1 76

1 48 (74 X 2) X 62 (60 + 2) 62 X 1 48 62 X 74 X 2 = 4.588 X 2 9.1 76

oder

3.

=

=

=

773 X 42 (7 X 6) 773 X 42 = 773 X 7 X 6 5.41 1 X 6 32.466

906 (900 + 6) X 46 41 .400 + 2 76 41 .676

5.

4.

900 X 46 6 X 46

=

=

=

=

41 1 (41 0 + 1 ) X 93 38. 1 30 + 93 38.223

952 (950 + 2) X 26 950 X 26 24.700 2 X 26 = + 52 24.752

7.

967 � (50 + 1 ) 50 X 967 = 48.350 1 X 967 = + 967 49. 3 1 7

484 X 75 (5 X 5 X 3) 484 X 75 484 X 5 X 5 X 3 = 2.420 X 5 X 3 = 1 2. 1 00 X 3 = 36.300

6.

4 1 0 X 93 = 1 X 93 =

=

8.

9.

=

1 57 X 3 3 (1 1 X 3) 1 5 7 X 3 3 = 1 57 X 1 1 X 3 = 1 . 727 X 3 5.1 81

1 26 (9 X 7 X 2) X 87 1 26 X 87 = 87 X 9 X 7 X 2 783 X 7 X 2 5.481 X 2 1 0.962

11.

61 6 (61 0 + 6) X 37 61 0 X 3 7 22.570 6 X 3 7 = + 222 22.792

13.

10.

=

=

12.

=

=

=

841 X 72 (9 X 8) 841 X 72 = 841 X 9 X 8= 7.569 X 8 = 60.552

287

21 8 X 68 (70 - 2) 70 X 21 8 = 1 5.260 - 2 X 2 1 8 = - 436 1 4.824

361 (360 + 1 ) X 41 360 X 41 = 1 4.760 1 X 41 = + 41 1 4.801 14.

1�

538 (540 - 2) X 53 540 X 53 = 28.620 - 2 X 53 = - 1 06 28. 5 1 4

oder

81 7 � (60 + 1 ) 60 X 81 7 49.020 1 X 81 7 =±......lli 49.837

11.

16.

530 X 53 = 8 X 53 =

1�

538 (530 + 8) X 53 28.090 + 424 28.5 1 4 668 X 63 (9 X 7)

=

668 X 63 = 668 X 9 X 7 = 6.01 2 X 7 = 42.084

499 (500 - 1 ) X 25 500 X 25 = 1 2. 500 - 1 X 25 = 25 1 2.475

20.

19.

281 X 44 (1 1 X 4) 281 X 44 = 281 X 1 1 X 4 = 3 .091 X 4 = 1 2.364

21.

1 44 X 56 = 1 44 X 7 X 8 = 1 .008 X 8 = 8.064

288

281 (280 + 1 ) X 44 280 X 44 = 1 2.320 1 X 44 = + 44 1 2.364

oder

988 (1 .000 - 1 2) 22 X 1 .000 X 22 = 22.000 - 1 2 X 22 = - 264 2 1 . 736

22.

1 44 X 56 (7 X 8)

2J.

383 X 49 (7 X 7) 383 X 49 = 383 X 7 X 7 = 2.681 X 7 = 1 8.767

589 (600 - 1 1 ) X 87 600 X 87 = 52.200 1 1 X - 87 = - 957 51 .243

25.

26.

853 X 32 (8 X 4) 853 X 32 = 853 X 8 X 4 = 6.824 X 4 = 27.296

27.

28.

29.

24.

423 (47 X 9) X 65 423 X 65 = 65 X 47 X 9 = 3.055 X 9 = 27.495

834 (800 X 34 800 X 34 = 27.200 34 X 34 = + 1 .1 56 28.356 30.

+

34)

653 (650 + 3) X 69 650 X 69 = 44.850 3 X 69 = + 207 45.057

32.

34.

286 X 64 (8 X 8) 286 X 64 286 X 8 X 8 = 2.288 X 8 = 1 8.304 =

31.

878 X 24 (8 X 3) 878 X 24 = 878 X 8 X 3 = 7.024 X 3 = 21 .072 1 54 (1 1 X 1 4) X 19 1 54 X 1 9 = 1 9 X 1 1 X 1 4 = 209 X 7 X 2 = 1 .463 X 2 = 2.926 545 X 27 (9 X 3) 545 X 27 = 545 X 9 X 3 = 4.905 X 3 X 1 4.71 5

2 1 6 (6 X 6 X 6) X 78 2 1 6 X 78 = 78 X 6 X 6 X 6 = 468 X 6 X 6 = 2.808 X 6 = 1 6.848

33.

822 � (1 00 - 5) 1 00 X 822 = 82.200 - 5 X 822 = - 4.1 1 0 78.090

289

Quadrieren ftlnfstelliger Zahlen (S. 202) 1.

45.795' 800 X 45 = - 5 X 45 =

45.000' = 795' =

2.

795 (800 - 5) X 45 36.000 >>Loll ies« - 225 35.775 X 2.000 = 71 .550.000 800 71 .550.000 + 2.025.000.000 +5 2.096.550.000 / 795' \ 632.000 + 5 25 (5') + 632.025 .K \ 2.097.1 82.025 790 632.025 -

; \ /

21 .23 1 '

231 � (7 X 3) 231 X 7 X 3 = 1 .61 7 X 3 4.851 =

>>Cousin«

4.851 X 2.000 = 21 .000' = +

9.702.000 262 441 .000.000 450.702.000 / 231+\ 23 1 ' = -'--+ 53.361 .K - 3\ ----::-:::o-=�:--":-::':'200 4 5 . 7 5 5 . 3 61

3.

1 \ I

+

52.400 961 (31') 53 . 3 61

58.324'

324 (9 X 6 X 6) X 58 324 X 58 = 58 X 9 X 6 X 6 = 522 X 6 X 6 = 3.1 32 X 6 = 1 8.792 >>Liefere!«

348 3 7.584.000 1 8.792 X 2.000 = 58.0002 = + 3.364.000 .000 + 3.401 .584.000 / 324' \ 1 04.400 (348 X 24 \ + 576 (24') 324' = + 1 04.976 .K 300 1 04.976 3.401 .688.976 -

290

21 \ /

4. 62.457'

60 X 457 2 x 457

= =

457 � (60 + 2) 27.420 + 91 4 »Schi-Chef« 28.334 X 2.000 56.668.000 500 56.668.000 + 3.844.000.000 + 43 3 .900.668.000 _......4 I 207.000 (500 X 41 4) . 5 7' 43 + 208.849 Jtt' Ii" 1 .849 (43') 3.900.876.849 4 1 4 208.849 =

5.

62.000'

=

4572

=

/ \ - \

89.8542 854 89 (90 - 1 ) 76.860 854 »Stein« 76.006 X 2.000 1 52.01 2.000 900 1 52.01 2.000 + 7.921 .000.000 + 46 8.073.01 2.000 _..,... 8542 \ I 727.200 (900 X 808) Ii" 2.1 1 6 (46') 46 \ + 729.31 6 Jtt' 808 729. 3 1 6 8.073.741 .31 6

X 90 X 854 - 1 X 854

=

=

=

6.

89.000'

=

8542

=

-

/ \

76.9342 930 X 76 4 X 76

= =

934 (930 + 4) 76 X 70.680 + 304 >>beschaffe!« 70.984 X 2.000 1 41 .968.000 968 1 41 .968.000 + 5.776.000.000 + 3 5.91 7.968.000 _..,... 9342 \ J8 71 .200(968 X 900) + 872.356 Jtt' /i... 1 .1 56 (34') 34 \ 5.91 8.840.356 900 872.356 =

76.000'

=

9342

=

-

'l \

291

Multiplikation zweier dreisteiliger Zahlen (S. 2 1 4) 1.

2.

644 (7 X 92) 644 (640 + 4 ) oder X X 286 286 640 X 286 = 1 83.040 {8 X 8 X 1 0) 4 X 200 = + 800 684 X 286 = 286 X 7 X 92 = 1 83.840 2.002 X 92 = 1 84.1 84 4 X 86 = + 344 1 84.184 853 596 (600 - 4) 3. X 1 67 X 325 (320+ 5) 600 X 1 67 = 1 00.200 320 X 853 = 272.960 5 X 800 = + 4.000 - 4 X 1 67 = - 668 99.532 276.960 5 X 53 = + 265 277.225

4.

X

343 (7 X 7 X 7) 226

343 X 226 = 226 X 7 X 7 X 7 = 1 .582 X 7 X 7 = 1 1 .074 X 7 = 77.5 1 8 5.

809 (800 + 9) X 527 800 X 527 = 421 .600 9 X 527 = + 4.743 426.343

6.

942 (+42) X 879 (-21 ) 900 X 921 = 828.900 21 X 42 = - 882 828.01 8

292

692 ( + 8) X 644 (-56) 700 X 636 = 445.200 448 (-8) X (-56) =+ 445.648

7.

8.

X

446 1 76 (1 1 X 8 X 2)

446 X 1 76 = 446 X 1 1 X 8 X 2 = 4.906 X 8 X 2 = 39.248 X 2= 78.496 9.

X

658 (47 X 7 X 2) 468 (52 X 9)

658 X 468 = 52 X 47 X 9 X 7 X 2 = 2.444 X 9 X 7 X 2 = 21 .996 X 7 X 2 = 1 5 3.972 X 2 = 307.944 10.

X

273 (91 X 3) 1 38 (46 X 3)

273 X 1 38 = 91 X 46 X 9 = 4. 1 86 X 9 = 3 7.674 824 X 206 400 X 424 = 1 69.600 1 44 12 X 1 2 = + 1 69.744

11.

12.

X

642 (107 X 6) 249 (83 X 3)

642 X 249 = 1 07 X 83 X 18 = 8.881 X 9 X 2 = 79.929 X 2 = 1 59.858

783 (87 X 9) X 589

13.

783 X 589 = 589 X 87 X 9 = 5 1 .243 X 9 = 461 . 1 87 871 (-29) X 926 (+ 26) 900 X 897 = 807.300 -29 X 26 = - 754 806.546

14.

341 71 5 7 X 341 = 2.387 3 X 15 = + 45 2.432 X 1 00 = 243.200 41 X 1 5 = + 61 5 243.81 5 41 7 16. X 298 (300 - 2) 300 X 41 7 = 1 25.100 - 2 X 41 7 = - 834 1 24.266

1 5.

X

17.

X

557 756 (9 X 84)

557 X 756 = 557 X 9 X 84 = 5.01 3 X 7 X 6 X 2= 35.091 X 6 X 2 21 0.546 X 2 = 421 .092 =

976 (1 000 - 24) X 878 878 X 1 .000 = 878.000 - 878 X 24 = - 21 .072 856.928

18.

294

765 X 350 (7 X 5 X 1 0)

19.

765 X 350 = 765 X 7 X 5 X 1 0 = 5.355 X 5 X 1 0 = 26.775 X 1 0 = 267.750 1 54 (1 1 X 1 4) X 423 (47 X 9)

20.

1 54 X 423 = 47 X 1 1 X 9'X 1 4 = 51 7 X 9 X 7 X 2 = 4.653 X 2 X 7 = 9.306 X 7 = 65. 1 42 545 (109 X 5) 834 1 00 X 834 = 83 .400 9 X 834 = + 7.506 90.906 X 5 = 454.530

21.

X

22.

21 6 (6 X 6 X 6) X 653

216 X 653 = 653 X 6 X 6 X 6 = 3.91 8 X 6 X 6 = 23.508 X 6 = 1 41 .048 393 (400- 7) X 822 400 X 822 = 328.800 - 7 X 822 = - 5.754 323.046

23.

Multiplikation zweier ftlnfstelliger Zahlen (S. 220) 1.

65 . 1 54 X 1 9.423 »N ick Rüpel«

423 X 65 = 27.495 1 54 X 1 9 = + 2.926 30.421 X 1 .000 65 X 1 9 X 1 M i llionen

»mosernd«

30.421 .000 + 1 .235.000.000 1 .265.421 .000 1 54 X 423 = + 65. 1 42 1 .265.486.1 42

2.

=

34.545 X 27.834 »nie vom Lech«

834 3 34 = 28.356 »Rom is gut!« 545 3 27 = + 1 4.71 5 43.071 .000 43.071 X 1 .000 34 X 27 X 1 M I LLI Onen = + 9 1 8.000.000 961 .071 .000 834 X 545 = + 454.530 961 .525.530 ].

69.21 6 X 78.653 »roll-selig«

653 X 69 = 45.057 21 6 X 78 = + 1 6.848 61 .905 X 1 .000 69 X 78 X 1 M i llionen = 2 1 6 X 653 =

296

»Stab-Esel
Kaufe Saabs!«

822 X 95 = 78.090 393 X 81 = + 3 1 .833 »das ab Panama« 1 09.923 X 1 .000 1 09.923.000 95 X 81 X 1 Mil lionen = + 7.804.000.000 7.804.923.000 393 X 822 = + 323.046 7.805.246.046 Ein Tag fUr jedes Datum (S. 244) Der 1 9. Januar 2007 ist ein Freitag: 1 9 + 6 + 1 = 26; 26 - 21 = 5 2. Der 1 4. Februar 201 2 ist ein Dienstag: 14 + 1 + 1 = 1 6; 1 6 - 14 = 2 3. Der 20. Juni 1 993 war ein Son ntag: 20 + 3 + 5 = 28; 28 - 28 = 0 4. Der 1 . September 1 983 war ein Donnerstag: 1 + 4 + 6= 11; 11 - 7=4 5. Der 8. September 1 954 war ein M ittwoch: 8 + 4 + 5 = 1 7; 1 7 - 1 4 = 3 6. Der 1 9. November 1 863 war ein Donnerstag: 1 9 + 2 + 4 = 25; 25 - 21 = 4 7. Der 4. J uli 1 776 war ein Donnerstag: 4 + 5 + 2= 11; 11 - 7=4 8. Der 22. Februar 2222 ist ein· Freitag: 22 + 2 + 2 = 26; 26 - 21 = 5 9. Der 3 1 . Juni 2468 existiert nicht (der J uni hat nur 30 Tage)! Doch der 30. J uni 2468 ist ein Samstag, der nächste Tag wäre 1.

also ein Sonntag. 10.

Der 1 . Januar 2358 ist ein M ittwoch: 1 + 6 + 3 = 1 0; 1 0 - 7 = 3

297

Bibliographie

Blitz-Rechnen

Cutler, Ann und Rudolph McShane: Die Trachtenberg­ Schnellrechenmethode Freiburg i. Br. : Hyperion-Verl., 1963 Devi, Shakuntala: Figuring: The ]oys ofNumbers. New York: Basic Books, 1964. Doerfler. Ronald W: Dead Reckoning: Calculating Without Instruments. Houston: Gulf Publishing Company, 1993. Flansburg, Scott und Victoria Hay: Math Magie. New York: William Morrow and Co., 1 993. Handley. Bill: Speed Mathematics: Secrets ofLightning Mental Calculation. Queensland, Australia: Wrightbooks, 2003 . Julius, Edward H.: Rapid Math Tricks and Tips: 3 0 Days to Number Power. New York: John Wiley & Sons, 1992. Lucas, Jerry: Becoming a Mental Math Wizard. Crozet, Virginia: Shoe Tree Press. 1991. Menninger, K.: Rechenkniffi: lustiges und vorteilhaftes Rechnen Göttingen: Vandenhoeck und Ruprecht, 13. Aufl. 1992 Smith, Steven B.: The Great Mental Calculators: The Psycho­ logy. Methods. and Lives of Calculating Prodigies. Past and Present. New York: Columbia University Press, 1983. Sticker, Henry: How to Calculate Quickly. New York: Dover, 1955. Stoddard, Edward: Speed Mathematics Simpli.fied. New York: Dover, 1994. Tirtha, Jagadguru Swami Bharati Krishna, Shankaracharya of Govardhana Pitha. Vedic Mathematics or »Sixteen Simple Mathematica! Formulaefrom the Vedas.« Benares, Indien: Hindu University Press, 1965. 298

B I B LIOGRAP H I E

Gedächtnis

Lorayne, Harry and Jerry Lucas: The Memory Book. New York: Ballantine Books, 1974. (Andere Bücher von H . Lorayne zum Thema Gedächtnis wurden auch ins Deutsche übersetzt.) Sanstrom, Robert: The Ultimate Memory Book. Los Angeles: Stepping Stone Books, 1990. Vergnügliche Mathematik

Gardner, Martin: Mathematische Zaubereien Köln: DuMont, 2004 ders.: Mathematischer Karneval. Berlin, Ullstein, 1 993 ders.: Mathematische Hexereien. Berlin: Ullstein, 1 979 ders.: Logik unter dem Galgen. Braunschweig, Wiesbaden: Vieweg: 2. Aufl. , 1 982 Huff, Darrell: Wie lügt man mit Statistik. Zürich: Sanssouci Verlag, 1956 Paulos, John Allen: Zahlenblind: mathematisches Analpha­ betentum und seine Konsequenzen. München: Heyne, 1993 Stewart, Ian: Spiel, Satz und Siegfor die Mathematik. Frank­ furt am Main, Leipzig: Insel-Verlag, 1997 Höhere Mathematik (von Arthur Benjamin)

Benjamin, Arthur T.und Jennifer J. Quinn: Prooft That Really Count: The Art oJCombinatorial ProofWashington Mathematical Association of America, 2003. Benjamin, Arthur T. und Kan Yasuda: >>Magie >Squares< Indeed!« The American Mathematical Monthly 106, Nr. 2 (Februar 1999), S. 1 52-56.

299

Sachregister A Addieren, Tricks 29 Addition dreisteiliger Zahlen 38 Addition mit überlappenden Stellen 56 Addition von Brüchen 126 Addition von links nach rechts 35 Addition zweier zweistelliger Zahlen 36 Additionsmethode 57, 77, 82, 91, 194, 210[ Additions-Sprünge 226 f. Aitken, A. C. 182 Algebra 221 Arithmetik 16 Assoziativgesetz 87 Auf- und Abrunden 57, 70 f. 8

Baltimore, D. 252 Basiszahl 206 Bidder. G. P. 1 32 Blitz-Kopfrechner 12 Blitzrechner 226 Brüche kürzen 125 Brüche dividieren 125 300

Brüche in Dezimalbrüche umwandeln 1 16 ff. Brüche multiplizieren 1 24 Brüche 124 ff. c

Colburn, Z. 75

D Daumenregel 107 f. Denken, kreatives 23 Devi, S. 1 70 Digits 1 1 Distributivgesetz 72, 163, 199 Division durch eine einstelli­ ge Zahl 104 Division durch zweistellige Zahlen l lO ff. Division i m Kopf 103 ff. Divisionsaufgaben vereinfa­ chen 1 1 3 [ Divisor 1 1 5

E Elfermethode 193 Elferprobe 166f. Erweitern von Brüchen 126 Evolutionstheorie 254

SAC H REGISTER

F Faktorisieren 191, 203 Faktorisierungsmethode 86f., 92, 217 Fleck, blinder (Wahmeh­ mungsverzerrung) 250 Fleischmann, M. 253 Fuller, T. 190

G Galois, E. 145 Gardner, M. 77, 168 Gauß, C. F. 43 Gedächtnis-Magie 183 f. Gedankenlesen, mathematisches 221 f. Gehirnfunktionen 1 3 Gold, T. 253

Kevles, D. 252 Komplemente 48 [, 84 Kopfrechnen 14, 22 Kreationismus 255 Kreuzmultiplikation 16, 1 60 [ Krumme Hunde 144 [ Kubieren 98 ff. Kubikwurzeln, schnelle 232f.

L Links-nach -rechts-Methode 103 Logarithmus, natürlicher 148 Lösungswege 23

M H Hellseher 226 HIV-Theorie 256 Hundertzehnerregelung 148

Introspektion 251

Jahrescode 239

K Kernfusion, kalte 253

Magie Castle 19 Magische 1 ,089 222 f. Magische Quadrate 228 Mathemagiker 1 3 Mnemonik 180 f. Mnemotechniken 173 fT. Mod-Summe 155, 163 Monatscode 238 Monolog, innerer 40 Monty Hall Problem 99 Multiplikand 65 Multiplikation auf Papier 160[ 301

Multiplikation von Drei­ steHigen mit zweistelligen Zahlen 191 ff. Multiplikation zweier drei­ steiliger Zahlen 203 ff. Multiplikation zweier fünf­ stelliger Zahlen 215 ff. Multiplikation, einfache 52ff. Multiplikationen von zwei­ stelligen Zahlen mit ein­ stelligen 53 Multiplikationen mit drei­ steiligen Zahlen 59 ( Multiplikationen zweier einstelliger Zahlen 77 ff. Multiplikationstabelle 53 Multiplikator 65

Pronin, E. 250 Pseudowissenschafiler 253

Q Quadrate, magische 228 Quadrieren dreisteiliger Zahlen 94 Quadrieren fünfstelliger Zahlen 199 ff. Quadrieren vierstelliger Zahlen 1 85 f. Quadrieren zweistelliger Zahlen 67ff. Quadrieren 27 ( Quersumme 121, 1 56

R Randi, J. 235 Rundungen 1 36

N Nahe-beieinander-Methode 29, 100, 205 f. Näherungsmethode 147 Nenner 1 18 Neunerprobe 16, 1 56

p Peer-Review-System 256 Phonetischer Code 174 f. Pi 174 Pons, S. 253 Produkte, >>freundliche>Readers Digest bezeichnete ihn 2005 als den besten Mathe-Könner der USA«. Dr. Michael Shermer, Mitherausgeber und monatlicher

Kolumnist von >>Scientific American«, Herausgeber der Zeitschrift >>Skeptic« sowie leitender Direktor der >>Skeptic Society«, ist Autor bzw. Co-Autor zahlreicher wissenschaft­ licher und populärwissenschaftlicher Bücher, die sich mit dem Grenzbereich zwischen Wissenschaft und Magie be­ fassen und in den USA zu Bestsellern wurden.