Kombinatorische kommutative Algebra 001

KOMBINATORISCHE KOMMUTATIVE ALGEBRA STEFAN FUMASOLI

1. Monomialideale 1.1. Terme. Festsetzung 1.1. N := {0, 1, 2, . . . }. Unter einem Ring verstehen wir immer einen kommutativen Ring mit Eins ungleich Null. Wir fixieren im folgenden einen Ring R, eine nat¨ urliche Zahl n ∈ N und einen Polynomring u ¨ber R in n Unbestimmten S := R[X1 , . . . , Xn ]. Die leere Vereinigung von Mengen sei leer. Der leere Durchschnitt von Teilmengen T einer festen T Menge M sei M . Ist M eine Menge von M engen, so schreiben wir M := A∈M A. Notation 1.2. Sind M ein R-Modul und N ⊂ M eine Teilmenge, so bezeichnet hN iR ⊂ M den von N in M erzeugten R-Untermodul.

Definition 1.3. Ein Monoid ist ein Paar (M, ∗), bestehend aus einer Menge M und einer assoziativen und kommutativen Verkn¨ upfung ∗ : M × M → M , so dass ein f¨ ur diese Verkn¨ upfung neutrales Element e ∈ M existiert. Seien (M, ∗) und (M 0 , ∗0 ) zwei Monoide. Eine Abbildung µ : M → M 0 ist ein Homomorphismus von Monoiden, wenn µ(u ∗ v) = µ(u) ∗0 µ(v) f¨ ur alle u, v ∈ M gilt und wenn µ(e) ∈ M 0 das neutrale Element von M 0 ist, wo e ∈ M das neutrale Element von M ist. Das Monoid (M 0 , ∗0 ) heisst Untermonoid von (M, ∗), falls M 0 eine Teilmenge von M und die Inklusion ein Homomorphismus von Monoiden ist. Beispiele 1.4. A) Die Menge Nn zusammen mit der komponentenweisen Addition + : Nn × Nn → Nn , (a, b) 7→ (a1 + b1 , . . . , an + bn ) ist ein Monoid. B) Jede abelsche Gruppe ist ein Monoid. C) Jeder Ring ist ein Monoid bez¨ uglich seiner Multiplikation. D) Es bestehen die Untermonoide (Nn , +) ⊂ (Zn , +) ⊂ (Qn , +) ⊂ (Rn , +). Notation 1.5. Sei (M, ∗) ein Monoid. F¨ ur zwei Teilmengen A, B ⊂ M setze A ∗ B := {a ∗ b | a ∈ A, b ∈ B}. Definition 1.6. Definiere den Homomorphismus von Monoiden X . : Nn → S, Q n a 7→ X a := ni=1 Xiai . Die Elemente der Menge T(R, n) := X N heissen Terme Date: 9. Februar 2006.

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von S. Es besteht somit ein kanonischer Isomorphismus von Monoiden Nn ∼ = T(R, n). Besteht u ¨ber R und n keine Unklarheit, so schreiben wir T statt T(R, n). Definition 1.7. Die Menge M := R · T heisst Menge der Monome von S. P Definition 1.8. Ist f ∈ S, so k¨onnen wir f = u∈T γR (f, u) u schreiben mit eindeutigen Koeffizienten γR (f, u) ∈ R, wovon nur endlich viele von 0 verschieden sind. Ist f ∈ S, so heisst die Menge suppR (f ) := {u ∈ T(R, n) | γR (f, u) 6= 0} der Tr¨ager von f . Ist f ∈ M ein Monom der Gestalt f = γu mit γ ∈ R \ {0} und u ∈ T, so setze Lt(f ) := u und Lc(f ) := γ. Ferner setze Lc(0) := 0. Beispiel 1.9. Betrachten wir f := x2 z + y 5 zt3 + xy 2 z 3 t4 + y 3 z 5 t7 ∈ R[x, y, z, t]. Es gilt • • • • •

suppR (f ) = {x2 z, y 5 zt3 , xy 2 z 3 t4 , y 3 z 5 t7 }; suppR[x] (f ) = {z, y 5 zt3 , y 2 z 3 t4 , y 3 z 5 t7 }; suppR[x,y] (f ) = {z, zt3 , z 3 t4 , z 5 t7 }; suppR[x,y,z] (f ) = {1, t3 , t4 , t7 }; suppR[x,y,z,t] (f ) = {1}.

Lemma 1.10. Seien A ⊂ Nn eine nicht leere Teilmenge und f ∈ hX A iS ∩ M ein Monom. Dann existiert a ∈ A, so dass X a |f . Beweis. Ohne Einschr¨ankung sei f 6= 0. Es existieren endlich Pr vieleai a1 , . . . , ar ∈ A und Monome f1 , . . . , fr ∈ M \ {0}, so dass f = ist. Ini=1 fi X dem wir die u ussigen Summanden streichen, k¨onnen wir ferner annehmen, ¨berfl¨ dass suppR (f1 X a1 ) = · · · = suppR (fr X ar ) = {Lt(f )} gilt. Es folgt Lt(f ) = Lt(f1 X a1 ) = Lt(f1 ) X a1 und damit f = Lc(f ) Lt(f1 ) X a1 .  1.2. Monomialideale. Definition 1.11. Ein Ideal a ⊂ S heisst Monomialideal, wenn a von einer Teilmenge von M erzeugt wird. Definition 1.12. Seien (G, ∗) ein Monoid und deg : Nn → G ein Homomorphismus von Monoiden. Dieser induziert ur g ∈ G setze Lauf S eine G-Graduierung: F¨ −1 Sg := hX deg (g) iR . Dann gilt S = g∈G Sg und Sg · Sh ⊂ Sg∗h f¨ ur g, h ∈ G. Sei a ⊂ S ur g ∈ G setze ag := a∩Sg . Das Ideal a heisst G-graduiert, Lein Ideal. F¨ wenn a = g∈G ag . P Beispiele 1.13. A) Der Homomorphismus deg : Nn → Z, a 7→ ni=1 ai induziert die Standard-Z-Graduierung. B) Der identische Homomorphismus deg = idNn induziert die Standard-Multigraduierung. Die standard-multigraduierten Ideale sind genau die Monomialideale.

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1.3. Termideale. Definition 1.14. Ein Ideal a ⊂ S heisst Termideal, wenn a von einer Teilmenge von T erzeugt wird. Bemerkung 1.15. Jedes Termideal ist ein Monomialideal. Ist R ein K¨orper, so sind die Termideale genau die Monomialideale. Definition 1.16. Sei (M, ∗) ein Monoid. Eine Teilmenge A ⊂ M heisst Monoidideal, wenn M ∗ A ⊂ A. Die Menge der Monoidideale von Nn bezeichnen wir mit M(n). Bemerkung 1.17. Sei (M, ∗) ein Monoid. Beliebige Durchschnitte und Vereinigungen von Monoididealen von M sind wieder Monoidideale von M . Sind A, B ⊂ M Monoididieale, so ist auch A ∗ B ein Monoidideal. Lemma 1.18. Es besteht eine Bijektion I : M(n) → {a ⊂ S | a ist ein Termideal}, A 7→ hX A iS . Dabei gilt f¨ ur alle A, B ∈ M(n): • • • •

I(A ∩ B) = I(A) ∩ I(B), I(A ∪ B) = I(A) + I(B), I(A + B) = I(A) · I(B), A B ⇒ I(A) I(B).

Beweis. Sei a ⊂ S ein Termideal. Setze A := {a ∈ Nn | X a ∈ a}. Man sieht leicht, dass A ⊂ Nn ein Monoidideal ist mit I(A) = a. Dies zeigt, dass I surjektiv ist. Sei B ⊂ Nn ein Monoidideal. Setze A := {a ∈ Nn | X a ∈ I(B)}. Offensichtlich gilt B ⊂ A. Die umgekehrte Inklusion folgt aus Lemma 1.10. Dies zeigt, dass I auch injektiv ist. Die zus¨atzlichen Eigenschaften sind leicht zu u ufen.  ¨ berpr¨ Korollar 1.19 (Rechenregeln f¨ ur Termideale). Seien a, b, c ⊂ S Termideale. Dann gilt • (a ∩ b) + c = (a + c) ∩ (b + c), • (a + b) ∩ c = (a ∩ c) + (b ∩ c). Korollar 1.20 (Dicksons Lemma). Jedes Termideal besitzt genau ein endliches aus Termen bestehendes minimales Erzeugendensystem. Insbesondere wird jede aufsteigende Kette a1 ⊂ a2 ⊂ a3 ⊂ . . . von Termidealen station¨ar. Beweis. Folgt aus Lemma 1.18, Bemerkung 2.12 B) und Satz 2.13. Definition 1.21. Ein echtes Ideal q √ die Inklusion (q :S a) ⊂ q gilt.



S heisst prim¨ar, wenn f¨ ur alle a ∈ S \ q

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Lemma 1.22. Es sei ( P :=

) r, s ∈ N, i1 , . . . , ir ∈ {1, . . . , n}, hXia11 , . . . , Xiarr , u1 , . . . , us iS a1 , . . . , ar ∈ N \ {0}, . u1 , . . . , us ∈ T ∩ R[Xi1 , . . . , Xir ]

a) Jedes prim¨are Termideal von S liegt in P . b) Ist R ein Integrit¨atsbereich, so ist jedes echte Ideal in P prim¨ar.

Beweis. a) Sei q ⊂ S ein prim¨ares Termideal. Nach Dicksons Lemma existiert eine endliche, minimale, aus Termen bestehende Erzeugendenmenge M von q. Sei u ∈ M . Schreibe u = Xia11 · · · Xiarr mit 0 < i1 0. W¨ahle j ∈ {1, . . . , r}. Weil M minimal ist, ist k6=j Xiakk ∈ / q. Weil q prim¨ar ist, ist dann aber eine Potenz von Xij in q. Dann ist aber auch eine Potenz von Xij in M . b) Sei q ∈ P ein echtes Ideal. Schreibe q = hXia11 , . . . , Xiarr , u1 , . . . , us iS mit 0 < i1 < · · · < ir ≤ n, a1 , . . . , ar ≥ 1, u√ 1 , . . . , us ∈ T ∩ R[Xi1 , . . . , Xir ] \ {1}. Dann gilt q ⊂ p := hXi1 , . . . , Xir iS und p ⊂ q. Setze R0 := R[Xj | j ∈ {1, . . . , n} \ {i1 , . . . , ir }].

0 Es gilt :S a). Wir m¨ ussen √ S = R [Xi1 , . . . , Xir ]. Seien a ∈ S \ q und b ∈ (q b ∈ q zeigen. Schreibe a = e + g, b = f + h mit e, f ∈ R0 und g, h ∈ p. Es gilt ef = ab − eh − f g − gh ∈ p, woraus ef = 0 folgt. Wir zeigen nun, dass f ein Nullteiler von S ist. Ist e 6= 0, so stimmt dies wegen ef = 0. Sei also e = 0. Es gilt dann a ∈ p \ q. Schreibe a = p + q mit q ∈ q und p ∈ S, so dass suppR (p) ∩ q = ∅ ist. Es folgt pf + ph = pb = ab − qb ∈ q. Wegen suppR (pf ) ∩ q = ∅ wird folglich jeder Summand von pf weggek¨ urzt durch einen Summanden von ph. Es muss daher suppR (pf ) ⊂ suppR (ph) gelten. Nach Voraussetzung ist p 6= 0. Ist pf = 0, so ist f eine Nullteiler. Nehmen wir nun an, es gelte Pr pf 6= 0. Definiere den Homomorphismus von Monoiden deg : T → N, c ahle u ∈ suppR (pf ), so dass deg(u) minimal ist. W¨ahle v, X → j+1 cij . W¨ v 0 ∈ suppR (p), w ∈ suppR (f ) und w 0 ∈ suppR (h), so dass u = vw = v 0 w 0 ist. Wegen h ∈ p ist deg(w 0 ) ≥ 1. Es folgt deg(v 0 ) < deg(u) und wegen f ∈ R0 auch deg(v 0 x) < deg(u) f¨ ur alle x ∈ suppR (f ). Wegen der Minimalit¨atseigenschaft von deg(u) folgt daraus γR (p, v 0 ) v 0 f = 0, wo γR (p, v 0 ) wie in 1.8 definiert ist. Also ist auch in diesem Fall f ein Nullteiler von S. Wenn nun R ein Integrit¨ √ atsbereich ist, so ist auch S integer, und es folgt f = 0 und damit b = h ∈ p ⊂ q. 

Definition 1.23. Eine endliche Menge M von Idealen von S heisst irredundante Prim¨arzerlegung eines Ideals a ⊂ S, wenn gilt: • • • •

Die Elemente von M sind prim¨ √ar; √ ∀q ∈TM , ∀p ∈ M : q 6= p ⇒ q 6= p; a = q∈M q; T a 6= q∈M \{p} q ∀p ∈ M .

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Eine aus Termidealen bestehende irredundante Prim¨arzerlegung M eines Ideals a ⊂ S heisst maximal, wenn f¨ ur jede weitere aus Termidealen bestehende irredundante Prim¨arzerlegung M 0 von a gilt √ √ • ∀q ∈ M , ∀p ∈ M 0 : q = p ⇒ q ⊃ p. Beispiel 1.24. Es sei a := hx2 z, y 5 zt3 , xy 2 z 3 t4 , y 3 z 5 t7 i ⊂ Q[x, y, z, t]. Die Menge {hzi, hx2 , xy 2 , y 3 i, hx2 , t3 i, hx2 , y 5 , z 5 , xy 2 z 3 i, hx2 , y 5 , xy 2 t4 , t7 i}

ist eine irredundante Prim¨arzerlegung von a. Sie ist aber nicht maximal, denn auch {hzi, hx2 , xy 2 , y 3 i, hx2 , t3 i, hx2 , y 5 , z 5 , xz 3 i, hx2 , y 5 , xt4 , t7 i} ist eine irredundante Prim¨arzerlegung von a. Diese ist sogar maximal. Es gibt unendliche Familien von irredundanten Prim¨arzerlegungen von a, n¨amlich zum Beispiel
{hzi, hx2 , xy 2 , y 3 i, hx2 , t3 i, hx2 , y 5 , z 5 , xy 2 z 3 i, hx2 , y 5 , xy 2 t4 , y 2 t7 , t7+k i} k∈N . Definition 1.25. Sei a ⊂ S ein Ideal. Die Menge der zu S/a assoziierten Primideale ist definiert als Ass(S/a) := {p ∈ Spec(S) | ∃f ∈ S : p = (a :S f )}.

Erinnerung 1.26. Ist S ein G-graduierter Ring bez¨ uglich einer geordneten abelschen Gruppe (G, 1. Definiere N := {(a1 , . . . , an−1 ) ∈ Nn−1 | (a1 , . . . , an ) ∈ M 0 }. Ist N endlich, so existieren nach dem Schubfachprinzip ein Element (a1 , . . . , an−1 ) ∈ N und eine unendliche Teilmenge M 00 ⊂ M 0 mit (b1 , . . . , bn−1 ) = (a1 , . . . , an−1 ) f¨ ur alle 00 00 (b1 , . . . , bn ) ∈ M . Nach dem Fall n = 1 ist dann M wohlgeordnet. Nehmen wir nun an, N sei unendlich. Nach Induktionsvoraussetzung existiert eine unendliche, echt aufsteigende Kette a(0) < a(1) < a(2) < . . . von Elementen (i) (i) a(i) ∈ N . F¨ ur jedes i ∈ N w¨ahle ein ai ∈ N, so dass (a1 , . . . , an−1 , ai ) ∈ M 0 . N¨ahmen wir f¨alschlicherweise an, es g¨alte a ≮ b f¨ ur alle a, b ∈ M 0 mit a 6= b, so g¨alte a0 > a1 > a2 > . . . , was aber unm¨oglich ist.  2.2. Monoidideale von Nn sind endlich erzeugt. Bemerkung 2.9. Seien (M, ∗) ein Monoid und A ⊂ M eine Teilmenge. Dann ist M ∗ A ein Monoidideal.

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Definition 2.10. Seien (M, ∗) ein Monoid und A ⊂ M eine Teilmenge. Wir setzen hAi := M ∗ A und sagen, das Monoidideal hAi sei von A erzeugt. Sind a1 , . . . , ar ∈ M endlich viele Elemente, so schreiben wir ha1 , . . . , ar i := h{a1 , . . . , ar }i.

Bemerkung 2.11. Sei M ein Monoid. A) Sei A ⊂ M eine Teilmenge. Dann ist hAi der Durchschnitt aller Monoidideale von M , welche A enthalten. B) Seien A ⊂ M eine Teilmenge und B ⊂ M ein Monoidideal. Es gilt B = hAi genau dann, wenn A ⊂ B ⊂ hAi ist. S C) Sei A ⊂ M eine Teilmenge. Dann gilt hAi = a∈A hai. D) Seien A, B ⊂ M zwei Teilmengen, so dass A ⊂ B ist. Dann gilt hAi ⊂ hBi. Bemerkung 2.12. Sei A ⊂ Nn eine Teilmenge. A) Es gilt hAi = {b ∈ Nn | ∃a ∈ A mit a ≤ b}. B) Es gilt hX hAi iS = hX A iS .

Satz 2.13 (Dicksons Lemma). Ist A ⊂ Nn eine Teilmenge, dann ist hAi = hMin Ai, wobei Min A endlich ist. Insbesondere gilt: a) Jedes Monoidideal von Nn ist endlich erzeugt. b) Jede aufsteigende Kette A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ . . . von Monoididealen Ai ⊂ Nn wird station¨ar. c) Jede nicht leere Menge von Monoididealen besitzt ein bez¨ uglich Inklusion maximales Element. Beweis. Sei A ⊂ Nn eine Teilmenge. Nach Lemma 2.8 und Lemma 2.5 ist Min A endlich. Aus Bemerkung 2.12 A) folgt, dass hAi von Min A erzeugt wird. Daraus folgt auch a). b) Betrachten wir eine aufsteigende Kette S A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ . . . von Monoididealen von Nn . Die Vereinigung A := i∈N Ai ist ein Monoidideal und daher erzeugt von der endlichen Menge Min A. Wir finden i ∈ N, so dass Min A ⊂ Ai ist. Es folgt Aj = Ai f¨ ur alle j ≥ i. c) Sei M ⊂ M(n) eine nicht leere Menge von Monoididealen. Bes¨asse M kein maximales Element, so k¨onnte man eine echt aufsteigende Kette von Monoididealen konstruieren.  2.3. Zerlegungen. Lemma 2.14. Seien A, B ⊂ Nn zwei Teilmengen. Dann gilt hAi∩hBi = hA∨Bi.

Beweis. Mit den Bemerkungen 2.12 und 2.3 E) sieht man sofort, dass A ∨ B ⊂ hAi ∩ hBi ⊂ hA ∨ Bi gilt. 

Notation 2.15. F¨ ur i ∈ {1, . . . , n} definiere ei ∈ Nn durch ( 1, falls i = j, (ei )j = 0, sonst.

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Ist a ∈ Nn , so bezeichne supp(a) := i ∈ {1, . . . , n} ai 6= 0 den Tr¨ager von a. Ist A ⊂ Nn eine Teilmenge, so setze  bAc := i ∈ {1, . . . , n} ∃k ∈ N \ {0} : kei ∈ A . 

Es bezeichne (

P(n) :=

) r, s ∈ N, i1 , . . . , ir ∈ {1, . . . , n}, ha1 ei1 , . . . , ar eir , u1 , . . . , us i ∈ M(n) a1 , . . . , ar ∈ N\{0}, u1 , . . . , us ∈ Nn : supp(u1 ), . . . , supp(us ) ⊂ {i1 , . . . , ir }

die Menge der prim¨aren Monoidideale. Es bezeichne n die Potenzmenge von {1, . . . , n}.

Definition 2.16. Eine Abbildung Z : n → P(n) heisst Zerlegung, wenn f¨ ur n jedes I ∈ Z(I) = Nn oder bZ(I)c = I n gilt. → P(n) heisst Zerlegung von A ∈ M(n), wenn T Eine Zerlegung Z : I∈ n Z(I) = A ist. Sei M eine Menge. Eine Abbildung Z : M → P(n) heisst irredundant, wenn f¨ ur alle J ∈ M gilt \ Z(I) ⊂ Z(J) ⇒ Z(J) = Nn .


I∈M \{J}

Definiere Z(n) := {Z :

n

→ P(n) | Z ist eine irredundante Zerlegung}.

Bemerkung 2.17. A) Es gilt X ei = Xi f¨ ur alle i ∈ {1, . . . , n}. Es gilt bNn c = {1, . . . , n} = bhe1 , . . . , en ic, aber he1 , . . . , en i Nn . T T B) Sei M ⊂ M(n) eine endliche Menge. Dann gilt b A∈M Ac = A∈M bAc. n Sind insbesondere alle Elemente von M prim¨ar, ist M 6= ∅ und T gibt es ein I ∈ mit ur alle A ∈ M , so ist nach Lemma 2.14 auch A∈M A prim¨ar mit T bAc = I f¨ b A∈M Ac = I. n pC) Ist der Ring R reduziert und ist A ∈ P(n) \ {N }, so gilt hXi | i ∈ bAciS = hX A iS . D) Ist R ein Integrit¨atsbereich, so entsprechen die prim¨aren Termideale von S genau den echten prim¨aren Monoididealen von Nn (vgl. Lemma 1.22). Ist A ∈ M(n), so entsprechen die irredundanten Prim¨arzerlegungen von hX A iS genau den irredundanten Zerlegungen von A. Lemma 2.18. Sei Z : n → P(n) Dann existiert eine irredunT eine Zerlegung. T dante Zerlegung Y ∈ Z(n) mit I∈ n Y (I) = I∈ n Z(I).





Beweis. Wir machen Induktion nach r := #{I ∈ n | Z(I) 6= Nn }. F¨ ur r = 0 ist die Aussage trivial. Sei also r > 0. Ist Z nicht irredundant, so existiert J ∈ n T mit I∈ n \{J} Z(I) ⊂ Z(J). Definiere die Zerlegung ( Nn , falls I = J; W : n → P(n), I 7→ Z(I), sonst.


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Dann gilt nat¨ urlich setzung auf W an.

T

I∈

n


W (I) =

T

I∈

n


Z(I). Wende nun die Induktionsvoraus

Algorithmus 2.19. Der Beweis von Lemma 2.18 liefert unmittelbar einen – wenn auch ineffizienten – Algorithmus zur Irredundierung“ von Zerlegungen. Im ” folgenden ist eine Implementierung in CoCoA3 angegeben. Um Beispiele besser lesbar zu machen, arbeiten wir mit Idealen in einem Polynomring u ¨ ber einem K¨orper statt mit Monoididealen: Define IsSubideal(A,B); -- Input: Zwei Ideale A und B -- Output: Falls A Teilmenge von B ist -> TRUE, sonst -> FALSE Return HIntersection(A,B)=A; EndDefine; Define Irredundiere(L); -- Input: Eine Liste L von Idealen -- Output: Eine irredundante Liste W von Idealen mit demselben Durchschnitt. -Ist L eine Zerlegung, so ist auch W eine Zerlegung. For I:=1 To Len(L) Do If Not(L[I]=Ideal(1)) Then W:=WithoutNth(L,I); If IsSubideal(HIntersectionList(W),L[I]) Then Insert(W,I,Ideal(1)); Return Irredundiere(W) EndIf; EndIf; EndFor; Return L; EndDefine; -------------------------------

Satz 2.20. Jedes Monoidideal besitzt eine irredundante Zerlegung. Beweis. Sei A ∈ M(n). Nach Satz 2.13 ist A erzeugt von endlich vielen Elementen u(1) , . . . , u(r) ∈ Nn . F¨ ur k ∈ {1, . . . , n}r setze Bk :=

r [

i=1

F¨ ur I ∈

n

setze Y (I) :=

(i)

huki eki i. \

Bk .

k∈{1,...,n}r {k1 ,...,kr }=I

Sei J ∈ n . Man sieht sofort, dass Bk = Nn oder bBk c = J gilt f¨ ur alle k ∈ {1, . . . , n}r mit {k1 , . . . , kr } = J. Nach Bemerkung 2.17 B) ist insbesondere Y (J) ∈ P(n) mit Y (J) = Nn oder bY (J)c = J. Also ist Y eine Zerlegung. Nach Lemma 2.14 gilt f¨ ur jedes i ∈ {1, . . . , r} (i)

(i)

(i) hu(i) i = hu1 e1 ∨ · · · ∨ u(i) n en i = hu1 e1 i ∩ · · · ∩ hun en i. 3CoCoATeam:

CoCoA: Ein System f¨ ur Computations in Commutative Algebra“, erh¨ altlich ” unter http://cocoa.dima.unige.it.

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Es folgt (1)

(r)

A = hu , . . . , u i = =

\

r [

k∈{1,...,n}r i=1

r [

i=1

(i)

(i)

hu i =

huki eki i =

\

I∈

n




r \ n [

i=1 j=1

(i)

huj ej i

\

Bk =

k∈{1,...,n}r {k1 ,...,kr }=I

\

I∈

Y (I).

n




Nach Lemma 2.18 existiert somit eine irredundante Zerlegung von A.



Algorithmus 2.21. Der Beweis des vorhergehenden Satzes ist konstruktiv. Das heisst er liefert einen Algorithmus zur Bestimmung von irredundanten Zerlegungen: -- Hilfsfunktionen, die in CoCoA 4.5 neuerdings implementiert sind. ------------------------------Define Tupels(L,M); -- Input: eine Menge L und eine natuerliche Zahl M -- Output: die Produktmenge L^M If M=0 Then Return [[]] EndIf; Return [Concat([I[1]],I[2])|I In L> 0 und ak ek ≤ c. Es folgt ak ≤ ck . W¨ahle (l) (l) l ∈ {1, . . . , r} mit jl = k und ck = bjl . Aus ak ≤ bjl und ak ek ∈ A folgt der (l) Widerspruch bjl ejl ∈ A.  Notation 2.52. F¨ ur a, b ∈ N mit b ≤ a schreibe ( a − b + 1, falls b ≥ 1, a \ b := 0, sonst. F¨ ur a, b ∈ Nn mit b ≤ a schreibe a \ b := (a1 \ b1 , . . . , an \ bn ) und a − b := (a1 − b1 , . . . , an − bn ). Bemerkung 2.53. Sind a, b ∈ Nn mit b ≤ a, so gilt a \ b ≤ a und a \ (a \ b) = b. Definition 2.54. F¨ ur a ∈ Nn und A ∈ M(n) mit b ≤Ta f¨ ur alle b ∈ Min A [a] definiere das Alexanderdual von A bez¨ uglich a als A := b∈Min A ea\b .

Beispiel 2.55. Seien S := Q[x, y, z, t], a := hx2 z, y 5 zt3 , xy 2 z 3 t4 , y 3 z 5 t7 iS und f := x2 y 5 z 5 t7 . Dann ist in der entsprechenden Notation f¨ ur Termideale statt f¨ ur Monoidideale a[f ] = hx, z 5 iS ∩ hy, z 5 , t5 iS ∩ hx2 , y 4 , z 3 , t4 iS ∩ hy 3 , z, tiS = hxyt4 , xt5 , x2 y 3 , xy 4 , xyz 3 , z 5 , x2 yz, x2 ytiS ,

(a[f ] )[f ] = hx2 , y 5 , t4 iS ∩ hx2 , t3 iS ∩ hx, y 3 iS ∩ hx2 , y 2 iS

∩ hx2 , y 5 , z 3 iS ∩ hziS ∩ hx, y 5 , z 5 iS ∩ hx, y 5 , t7 iS

= hx2 z, y 5 zt3 , xy 2 z 3 t4 , y 3 z 5 t7 iS = a.

Lemma Seien a ∈ Nn und A ∈ M(n) mit b ≤ a f¨ ur alle b ∈ Min A. Dann T 2.56.a−b+1 gilt b∈Min A e = ea+1 ∪ A[a] . Beweis. Es gilt

ea+1 ∪ A[a] = ea+1 ∪

\

ea\b =

b∈Min A

\

b∈Min A

(ea+1 ∪ ea\b ).

Sei b ∈ Min A. Es gen¨ ugt ea−b+1 = ea+1 ∪ ea\b zu zeigen.

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⊂“: Sei i ∈ {1, . . . , n}. Falls bi = 0 ist, ist (ai − bi + 1)ei = (ai + 1)ei ∈ ea+1 . ” Andernfalls ist (ai − bi + 1)ei = (ai \ bi )ei ∈ ea\b . ⊃“: Wegen 1 ≤ a−b+1 ≤ a+1 ist klar, dass ea+1 ⊂ ea−b+1 ist. Sei c ∈ Min ea\b . ” Dann existiert i ∈ {1, . . . , n} mit c = (ai \bi )ei , so dass ai \bi 6= 0 ist. Insbesondere  ist dann bi 6= 0 und es folgt c = (ai − bi + 1)ei ∈ ea−b+1 . Lemma 2.57. Seien a ∈ Nn und A ∈ M(n) mit b ≤ a f¨ ur alle b ∈ Min A. Sei n b ∈ N mit b ≤ a. Es gilt b ∈ / A genau dann, wenn a − b ∈ A[a] ist.

Beweis. Es gilt b ∈ / A genau dann, wenn c  b ist f¨ ur alle c ∈ Min A, genau dann, wenn a − b  a − c ist f¨ ur alle c ∈ Min A, nach Lemma 2.46 genau T dann, wenn a − b ∈ ea−c+1 ist f¨ ur alle c ∈ Min A, genau dann, wenn a − b ∈ c∈Min A ea−c+1 ist, nach Lemma 2.56 genau dann, wenn a − b ∈ ea+1 ∪ A[a] ist. Nun ist aber a − b ≤ a, also a − b ∈ / ea+1 . Darum ist a − b ∈ ea+1 ∪ A[a] genau dann, wenn a − b ∈ A[a] ist.  Satz 2.58 (Dualit¨at). Seien a ∈ Nn und A ∈ M(n) mit b ≤ a f¨ ur alle b ∈ Min A. [a] [a] [a] Dann gilt b ≤ a f¨ ur alle b ∈ Min(A ) und (A ) = A. Beweis. Ist b ∈ Min A, so ist mit b ≤ a auch a \ b ≤ a. Insbesondere sind dann die minimalen Erzeuger von ea\b kleiner gleich a. Die erste Aussage folgt nun direkt aus Lemma 2.14. Insbesondere gilt auch b ≤ a f¨ ur alle b ∈ Min((A[a] )[a] ). Sei b ∈ Nn mit b ≤ a. Dann gilt auch a − b ≤ a. Zweimalige Anwendung des Lemmas 2.57 liefert b ∈ A ⇐⇒ b = a − (a − b) ∈ (A[a] )[a] . Da sowohl die minimalen Erzeuger von A als auch die minimalen Erzeuger von (A[a] )[a] kleiner gleich a sind, folgt somit die Aussage.  Lemma 2.59. Seien a, b, c ∈ Nn mit b ≤ a und c ≤ a. Dann gilt a \ b ≤ a \ c genau dann, wenn eb ⊂ ec ist. Beweis. ⇒“: Sei a \ b ≤ a \ c. Sei i ∈ {1, . . . , n} mit bi 6= 0. Wegen ai \ bi ≤ ai \ ci ” ist dann auch ci 6= 0. Es folgt bi ≥ ci und damit bi ei ∈ ec . ⇐“: Es gelte nun eb ⊂ ec . Sei i ∈ {1, . . . , n}. Ist bi = 0, so ist nat¨ urlich ” ai \ bi ≤ ai \ ci . Ist bi 6= 0, so ist wegen bi ei ∈ ec auch ci ≥ 1, und es gilt bi ≥ ci . Auch dann folgt ai \ bi ≤ ai \ ci .  Satz 2.60 (Minimale Erzeuger versus irreduzible Komponenten). Sei A ∈ M(n). W¨ahle a ∈ Nn mit b ≤ a f¨ ur alle b ∈ Min A. Dann ist {ea\b | b ∈ Min(A[a] )} eine irredundante irreduzible Zerlegung von A. Beweis. Setze Z := {ea\b | b ∈ Min(A[a] )}. Nach Satz 2.58 gilt A = (A[a] )[a] = T Z. Also ist Z eine irreduzible Zerlegung von A. Nehmen wir an, Z sei nicht irredundant. Dann existiert c ∈ Min(A[a] ), so T dass (Z \ {ea\c }) = A ⊂ ea\c ist. Nach Satz 2.51 existiert b ∈ Min(A[a] ) \ {c} mit ea\b ⊂ ea\c . Nach Lemma 2.59 und Bemerkung 2.53 folgt b = a \ (a \ b) ≤ a \ (a \ c) = c, was in Widerspruch steht zu c ∈ Min(A[a] ). 

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Satz 2.61 (Eindeutigkeitssatz f¨ ur irreduzible Zerlegungen). Jedes Monoidideal besitzt genau eine irredundante irreduzible Zerlegung. Beweis. Sei A ∈ M(n). Seien Z und Z 0 zwei irredundante irreduzible Zerlegungen von A. Schreibe Z = {eb | b ∈ B} und Z 0 = {eb | b ∈ B 0 } mit zwei geeigneten endlichen Mengen B, B 0 ⊂ Nn . W¨ahle a ∈ Nn , so dass b ≤ a ist f¨ ur alle b ∈ B ∪B 0 . Setze C := ha \ b | b ∈ Bi. Sind b, c ∈ B zwei verschiedene Elemente, so gilt eb 6⊂ ec wegen der Irredundanz von Z. Aus Lemma 2.59 folgt dann T a \ b  aa\c\ c. [a] Dies zeigt die Gleichheit Min C = {a \ b | b ∈ B}. Es folgt C = c∈Min C e = T T T a\(a\b) = b∈B eb = Z = A und mit Satz 2.58 auch C = (C [a] )[a] = A[a] . b∈B e Dies zeigt B = {a \ (a \ b) | b ∈ B} = {a \ c | c ∈ Min C} = {a \ c | c ∈ Min A[a] }. Genau gleich zeigt man B 0 = {a \ c | c ∈ Min A[a] }. Daraus folgt sofort Z = Z 0.  Bemerkung 2.62. Satz 2.61 zeigt insbesondere, dass die in Satz 2.60 angegebene irreduzible Zerlegung nicht von der Wahl von a abh¨angt. 2.7. Assoziierte. Definition 2.63. Sind A ⊂ Nn eine Teilmenge und b ∈ Nn , so schreiben wir A − b := {a ∈ Nn | a + b ∈ A}. F¨ ur A ∈ M(n) definiere Ass(A) := {I ∈ n | ∃b ∈ Nn : A − b = hei | i ∈ Ii}. Lemma 2.64. Sei A ∈ M(n) \ Nn . Dann gilt ∃I ∈

n

: A = hei | i ∈ Ii ⇐⇒ a + b ∈ / A ∀a, b ∈ Nn \ A.

Beweis. ⇒“: Sei I ∈ n mit A = hei | i ∈ Ii. Sind a, b ∈ Nn \ A, so gilt ” ai = bi = 0 f¨ ur alle i ∈ I, also auch (a + b)i = 0 f¨ ur i ∈ I. Daraus folgt a + b ∈ / A.

⇐“: Sei I := {i ∈ {1, . . . , n} | ei ∈ A}. Dann gilt nat¨ urlich hei | iP∈ Ii ⊂ A. ” Sei a ∈ Nn \ hei | i ∈ Ii. Wir zeigen a ∈ / A mit Induktion nach r := ni=1 ai . Ist r = 0, so ist a = 0 ∈ / A wegen A 6= Nn . Sei nun r ≥ 1 und j ∈ supp(a). Es ist dann a0 := a − ej ∈ Nn \ hei | i ∈ Ii. Somit gilt nach Induktionsvoraussetzung a0 ∈ / A. Wegen a ∈ / hei | i ∈ Ii ist j ∈ / I, also ej ∈ / A. Nach Voraussetzung gilt dann a = a0 + ej ∈ / A.  Bemerkung 2.65. Seien R ein Integrit¨atsbereich und A ∈ M(n). A) F¨ ur b ∈ Nn gilt hX A−b iS = (hX A iS :S X b ). B) Ein Termideal a ⊂ S ist genau dann ein Primideal, wenn I ∈ n existiert mit a = hXi | i ∈ IiS . C) Nach Lemma 1.27 gilt darum Ass(S/hX A iS ) = {hXi | i ∈ IiS | I ∈ Ass(A)}. Satz 2.66 (Erster Eindeutigkeitssatz f¨ ur Prim¨arzerlegungen). Sei A ∈ M(n) n und sei Z : → P(n) eine irredundante Zerlegung von A. Dann gilt Ass(A) = {I ∈ n | Z(I) 6= Nn }.

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Beweis. Setze A := {I ∈ n | Z(I) 6= Nn }. Wir machen Induktion nach r := #A. Ist r = 0, dann ist A = Nn . F¨ ur jedes b ∈ Nn gilt dann A − b = Nn . Also ist Ass(A) leer. Sei zun¨achst r = 1. Dann gilt A = {bAc}, und A ist ein echtes prim¨ares Monoidideal. Wir m¨ ussen {bAc} = Ass(A) zeigen. ⊂“: Setze T := {a ∈ Nn | supp(a) ⊂ bAc}. Die Menge T \ A ist endlich und ” nicht leer. W¨ahle b ∈ Max (T \ A). Es gilt dann ei + b ∈ A f¨ ur alle i ∈ bAc. Dies zeigt A − b ⊃ hei | i ∈ bAci. Ist andererseits a ∈ Nn mit supp(a) ∩ bAc = ∅, so gilt a + b ∈ / A. Dies zeigt A − b ⊂ hei | i ∈ bAci. Also ist bAc ∈ Ass(A). ⊃“: Seien J ∈ Ass(A) und b ∈ Nn , so dass A − b = hei | i ∈ Ji. Ist j ∈ bAc, ” so existiert k ∈ N mit kej ∈ A. Insbesondere ist dann kej + b ∈ A und damit kej ∈ A − b = hei | i ∈ Ji. Dies zeigt j ∈ J und damit bAc ⊂ J. Nehmen wir an, diese Inklusion sei echt. W¨ahle j ∈ J \ bAc. Wegen ej + b ∈ A gilt dann b ∈ A. Daraus folgt der Widerspruch A − b = Nn . T Sei nun r > 1. W¨ahle J ∈ A und setze B := I∈ n \{J} Z(I). Definiere die Zerlegung ( Nn , falls I = J, Y : n → P, I 7→ Z(I), sonst


von B. Aus Z ⊂ Y folgt sofort, dass Y irredundant ist. Nach Induktionsvoraussetzung gilt Ass(B) = A \ {J}. Setze B := {I ∈ n | ∃b ∈ B \ A : A − b = hei | i ∈ Ii}. Wir zeigen zuerst B ⊂ Ass(Z(J)). Seien I ∈ B und b ∈ B \ A, so dass A − b = hei | i ∈ Ii ist. Wegen A ⊂ Z(J) ist die Inklusion A − b ⊂ Z(J) − b klar. Ist umgekehrt a ∈ Z(J) − b, dann ist wegen b ∈ B auch a + b ∈ Z(J) ∩ B = A, also a ∈ A − b. Dies zeigt Z(J) − b = A − b = hei | i ∈ Ii und damit I ∈ Ass(Z(J)). Nach dem Fall r = 1 gilt Ass(Z(J)) = {J}. Also ist B entweder leer, oder es gilt B = Ass(Z(J)). Weil Z irredundant ist, gilt A B. Beachte, dass f¨ ur alle b ∈ Nn die Menge A−b ein Monoidideal ist. Die Menge I := {A−b ∈ M(n) | b ∈ B\A} ist somit nicht leer. Nach Satz 2.13 c) existiert ein bez¨ uglich der Inklusion maximales Element C ∈ I. W¨ahle b ∈ B \ A mit C = A − b. Seien c, d ∈ Nn \ C. Dann ist b + d ∈ B \ A. Wegen C = A − b ⊂ A − (b + d) und wegen der Maximalit¨at von C in I muss C = A − (b + d) gelten. W¨are nun c + d ∈ C, so w¨are c ∈ A − (b + d) = C, was nach Wahl von c nicht m¨oglich ist. Also finden wir mit Lemma 2.64 ein I ∈ n mit C = hei | i ∈ Ii. Es gilt dann I ∈ B. Insgesamt haben wir damit B = Ass(Z(J)) gezeigt.

Als n¨achstes wollen wir Ass(A) ⊂ Ass(B)∪Ass(Z(J)) zeigen: Seien I ∈ Ass(A) und b ∈ Nn, so dass A − b = hei | i ∈ Ii ist. Nehmen wir an, es gelte I ∈ / Ass(B). Dann gilt nat¨ urlich A − b 6= B − b. Wegen A − b ⊂ B − b existiert also ein a ∈ Nn , so dass a + b ∈ B \ A ist. Wir zeigen A − b = A − (a + b): Sei c ∈ A − (a + b). Es gilt also a + b + c ∈ A und damit a + c ∈ A − b = hei | i ∈ Ii. Nach Voraussetzung ist a + b ∈ / A, also a ∈ / A − b = hei | i ∈ Ii. Nach Lemma 2.64

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ist also c ∈ hei | i ∈ Ii = A − b. Weil die andere Inklusion trivial ist, ist nun A − b = A − (a + b) bewiesen. Es folgt I ∈ B = Ass(Z(J). Insgesamt haben wir bis jetzt Ass(A) ⊂ A gezeigt. F¨ ur den Nachweis der umgekehrten Inklusion gen¨ ugt es, J ∈ Ass(A) zu zeigen. Dies folgt aber sofort aus J ∈ Ass(Z(J)) = B ⊂ Ass(A).  Notation 2.67. F¨ ur eine endliche Teilmenge Z ⊂ I(n) definiere \ YZ : n → P(n), I 7→ {B ∈ Z | bBc = I}.

Lemma 2.68. Sei Z ⊂ I(n) eine irredundante endliche Teilmenge. Dann ist YZ eine irredundante Zerlegung. Beweis. Es ist klar, dass YZ eine Zerlegung ist. Nehmen wirTan, YZ sei nicht irredundant. Dann existiert J ∈ n mit YZ (J) 6= Nn , so dass I∈ n \{J} YZ (I) ⊂ T YZ (J) ist. Folglich existiert B ∈ Z mit bBc = J und {C ∈ Z | bCc 6= J} ⊂ B. Dann ist aber Z nicht irredundant. 


Satz 2.69. Sei A ∈ M(n). Sei Z ⊂ I(n) die irredundante irreduzible Zerlegung von A. Dann ist YZ die maximale Zerlegung von A. Beweis. Sei Y 0 : n → P(n) eine Zerlegung von A. F¨ ur jedes I sei S WI ⊂ I(n) 0 0 die irredundante irreduzible Zerlegung von Y (I). Dann ist Z := I∈ n WI eine irreduzible Zerlegung von A. Weil Z irredundant ist, folgt Z ⊂ Z 0 und damit {B ∈ Z | bBc = I} ⊂ {B ∈ Z 0 | bBc = I} f¨ ur alle I ∈ n . Sei J ∈ n . Nach Lemma 2.68 ist YWJ eine irredundante Zerlegung von Y 0 (J). Nach Satz 2.66 gilt {bBc ∈ n | B ∈ WJ } = {I ∈ n | YWJ (I) 6= Nn } = Ass(Y 0 (J)). Eine zweite Anwendung von Satz 2.66 auf die irredundante Zerlegung ( Y 0 (J), falls I = J, n → P(n), I 7→ 0, sonst,


liefert Ass(Y 0 (J)) ⊂ {J}. Das heisst, es gilt bBc = J f¨ ur alle B ∈ WJ . Es folgt WI = {B ∈ Z 0 | bBc = I} und damit W ⊃ {B ∈ Z | bBc = I} f¨ ur I T T n 0 0 jedes I ∈ . Dies zeigt Y (I) = WI ⊂ {B ∈ Z | bBc = I} = YZ (I) f¨ ur alle I ∈ n und damit die Maximalit¨at von YZ .  Bemerkung 2.70. A) Mit 2.69 haben wir einen weiteren Beweis f¨ ur die Eindeutigkeit der maximalen Zerlegungen. B) Satz 2.69 liefert eine positive Antwort auf die Frage in Problem 2.25 C). Mit Hilfe von Satz 2.51 kann in dem dort angegebenen Algorithmus der Schritt B0:=Irredundiere(B) erheblich beschleunigt werden. Ferner ist wegen Lemma 2.68 klar, dass man sich den letzten Schritt Z:=Irredundiere(Y) schenken kann. C) Die S¨atze 2.60 und 2.69 liefern einen andern Algorithmus zur Bestimmung von maximalen Zerlegungen.

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Problem 2.71. A) Verbessere den Algorithmus von 2.25 C) im Sinne von Bemerkung 2.70 B). B) Implementiere einen Algorithmus zur Bestimmung von maximalen Zerlegungen im Sinne von Bemerkung 2.70 C). C) Welcher der beiden Algorithmen ist effizienter? Problem 2.72. Inwiefern ist 2.60 und 2.69 eine Verallgemeinerung von 2.40 und 2.42 f¨ ur beliebige Monoidideale? 2.8. Maclagans Lemma.

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Satz 2.73. Sei I ⊂ M(n) eine unendliche Teilmenge. Dann existieren A, B ∈ I mit A B. Insbesondere existiert eine unendliche echt absteigende Kette A 1 ! A2 ! A3 ! . . . von Monoididealen Ai ∈ I. Beweis. 1) Nehmen wir zuerst an, dass jede unendliche Teilmenge von I zwei Elemente A, B ∈ I mit A B enth¨alt. Nach Satz 2.13 c) besitzt jede nicht leere Teilmenge von I ein bez¨ uglich Inklusion maximales Element. Damit sind die Voraussetzungen von Lemma 2.7, angewandt auf die unendliche geordnete Menge (I, ⊃), erf¨ ullt und es existiert eine unendliche echt absteigende Kette A1 ! A2 ! A3 ! . . . von Monoididealen Ai ∈ I. 2) Da die Menge {Ass(A) | A ∈ I} endlich ist, existiert nach dem Schubfachprinzip eine Menge A ∈ {Ass(A) | A ∈ I} und eine unendliche Teilmenge J ⊂ I, so dass Ass(A) = A ist f¨ ur alle A ∈ J. Es gen¨ ugt, die Aussage des Satzes f¨ ur J zu beweisen. Wir tun dies mit Induktion nach r := #A. Es ist klar, dass r ≥ 1 ist.

3) Sei zun¨achst r = 1. Schreibe A = {J}. Nach Satz 2.66 gilt dann A ∈ P(n) f¨ ur alle A ∈ J. Definiere T := {a ∈ Nn | supp(a) ⊂ J}. Ist A ∈ J, dann ist nach Definition der prim¨aren Monoidideale wegen bAc = J die Menge T \ A endlich. Nach 1) gen¨ ugt es zu zeigen, dass jede unendliche Teilmenge von J zwei Elemente A, B mit A B besitzt. Nehmen wir an, dies sei nicht der Fall: Es gelte also A 6⊂ B f¨ ur alle A, B ∈ J0 mit A 6= B f¨ ur eine unendliche Teilmenge J0 ⊂ J. Im folgenden konstruieren wir eine absteigende Kette J0 T ⊃ J1 ⊃ J2 ⊃ T . . . von 0 unendlichen Teilmengen Ji ⊂ J mit der Eigenschaft, dass A∈Ji A A∈Ji+1 A f¨ ur alle i ∈ N gilt. Das steht dann aber im Widerspruch zu Satz 2.13 b). Setze J0 := J0 . Sei i ∈ N. Wir nehmen an, die unendliche Menge Ji sei bereits konstruiert. W¨ahle B ∈ Ji . Ist A ∈ J0 \ {B}, so ist nach Voraussetzung A 6⊂ B, also Min A 6⊂ B. Wegen Min A ⊂ T ist dann A ∩ T \ B nicht leer. Weil T \ B nur endlich viele Teilmengen besitzt, existieren nach dem Schubfachprinzip eine nicht leere Teilmenge M ⊂ T \ B und eine unendliche Teilmenge Ji+1 ⊂ Ji , so dass A ∩ T \ B = M ist f¨ ur alle A ∈ Ji+1 . Wegen M ⊂ A f¨ ur alle A ∈ Ji+1 gilt 5Vgl.

D. Maclagan: Antichains of monomial ideals are finite. Proc. amer. math. soc. 129(6), 1609–1615 (2000).

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T

T M ⊂ A∈Ji+1 A. Andererseits ist A∈Ji A ⊂ B ⊂ Nn \ M . Weil M nicht leer ist, T T folgt daraus A∈Ji A A∈Ji+1 A.

4) Sei jetzt r ≥ 2. F¨ ur jedes A ∈ J k¨onnen wir nach Satz 2.20 eine T irredundante J Zerlegung ZA ∈ Z(n) von A w¨ahlen. F¨ ur J ∈ A setzen wir A := I∈ n \{J} ZA (I). F¨ ur J ∈ A und L ⊂ J definieren wir ferner LJ := {AJ | A ∈ L}. Nach Satz 2.66 gilt {Ass(AJ ) | A ∈ J} = A \ {J}. Seien F¨ ur jedes A ∈ J gilt dann T J0 , J1 ∈ ATzwei verschiedene Elemente. T A = I∈ n ZA (I) = I∈ n \{J0 } ZA (I) ∩ I∈ n \{J1 } ZA (I) = AJ0 ∩ AJ1 . Es folgt J ⊂ {A ∩ B | A ∈ JJ0 , B ∈ JJ1 }. Es k¨onnen also JJ0 und JJ1 nicht beide endlich sein. W¨ahlen wir also J ∈ A, so dass JJ unendlich ist. Nach Induktionsvoraussetzung finden wir eine unendliche, bez¨ uglich der Inklusion total geordnete Teilmenge J0 ⊂ JJ . Setze K := {A ∈ J | AJ ∈ J0 }. Es gen¨ ugt, die Aussage des Satzes f¨ ur K zu beweisen. Setze KJ := {ZA (J) ∈ P(n) | A ∈ K}.











Fall 1: Die Menge KJ ist endlich. Nach dem Schubfachprinzip existieren B ∈ KJ und eine unendliche Teilmenge L ⊂ K, so dass ZA (J) = B ist f¨ ur alle A ∈ L. Ist A ∈ L, so gilt A = AJ ∩ B mit AJ ∈ J0 . Folglich ist L bez¨ uglich der Inklusion total geordnet, und wir sind in diesem Fall fertig.

Fall 2: Die Menge KJ ist unendlich. Nach Satz 2.66 gilt Ass(A) = {J} f¨ ur alle A ∈ KJ . Nach dem Fall r = 1 finden wir eine unendliche, bez¨ uglich der Inklusion total geordnete Teilmenge K0 ⊂ KJ . Setze L := {A ∈ K | ZA (J) ∈ K0 }. Da L unendlich ist, gen¨ ugt es, die Aussage des Satzes f¨ ur L zu beweisen. Nach 1) gen¨ ugt es zu zeigen, dass jede unendliche Teilmenge von L zwei Elemente A, B mit A B besitzt. Nehmen wir an, dies sei nicht der Fall: Es gelte also A 6⊂ B f¨ ur alle A, B ∈ L0 mit A 6= B f¨ ur eine unendliche Teilmenge L0 ⊂ L. Setze M0 := {ZA (J) | A ∈ L0 }. Die Menge M0 ⊂ K0 ist bez¨ uglich der Inklusion total geordnet. Es gilt (L0 )J ⊂ (L)J ⊂ KJ ⊂ J0 , also ist auch M1 := (L0 )J bez¨ uglich der Inklusion total geordnet. Wegen L0 ⊂ {A ∩ B | A ∈ M0 , B ∈ M1 } ist mindestens eine der beiden Mengen M0 , M1 unendlich. Sei j ∈ {0, 1}, so dass Mj unendlich ist. Weil Mj bez¨ uglich der Inklusion total geordnet ist, existiert nach Satz 2.13 b) eine echt absteigende Kette A0 ! A1 ! A2 ! . . . von Monoididealen Ai ∈ Mj . F¨ ur jedes i ∈ N w¨ahle Bi ∈ M1−j , so dass Ai ∩ Bi ∈ L0 ist. Wegen Ai ∩ Bi 6⊃ Ai+1 ∩ Bi+1 f¨ ur alle i ∈ N nach Voraussetzung 0 an L folgt Bi 6⊃ Bi+1 f¨ ur alle i ∈ N. Weil auch M1−j bez¨ uglich der Inklusion total geordnet ist, folgt daraus B0 B1 B2 . . . , was im Widerspruch zu Satz 2.13 b) steht. 

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3. Ordnungen auf Nn 3.1. Termordnungen. Definition 3.1. Seien (M, ∗) ein Monoid und ≤ eine Ordnung auf M . Diese Ordnung heisst Monoidordnung, wenn sie total ist und wenn sie mit der Monoidstruktur vertr¨aglich ist, dass heisst, wenn f¨ ur alle a, b, c ∈ M gilt a ≤ b ⇒ a ∗ c ≤ b ∗ c, und sie heisst Termordnung, wenn das neutrale Element e f¨ ur ∗ das einzige minimale Element ist, das heisst, wenn e ≤ a ist f¨ ur alle a ∈ M . Die Menge der Termordnungen von Nn bezeichnen wir mit TOn . Sind ≤1 , ≤2 zwei Ordnungen auf M , so sagen wir ≤1 verfeinert ≤2 , wenn f¨ ur alle a, b ∈ M mit a ≤2 b auch a ≤1 b gilt. Beispiel 3.2. F¨ ur die in 2.2 definierte Ordnung auf Nn ist mit der Monoidstruktur vertr¨aglich, und es gilt Min Nn = {0}. Sie ist somit genau dann eine Termordnung, wenn n ∈ {0, 1}. Wir nennen diese Ordnung kanonische Ordnung von Nn und bezeichnen sie weiterhin mit ≤. Lemma 3.3. Sei ≤τ eine Monoidordnung auf Nn . a) Genau dann ist ≤τ eine Termordnung, wenn sie die kanonische Ordnung verfeinert. b) F¨ ur alle a, b, c ∈ Nn gilt a + c ≤τ b + c ⇒ a ≤τ b. c) Seien a, b ∈ Nn und c ∈ N \ {0}. Dann gilt a ≤τ b ⇐⇒ ca ≤τ cb. d) Ist ≤τ eine Termordnung, so ist ≤τ eine Wohlordnung. Beweis. a) ⇒“: Sei ≤τ eine Termordnung, und seien a, b ∈ Nn mit a ≤ b. Sei ” c := b − a. Es gilt 0 ≤τ c. Daraus folgt a = 0 + a ≤τ c + a = b. ⇐“: Es verfeinere ≤τ die kanonische Ordnung. Ist c ∈ Nn , dann ist 0 ≤ c und ” damit 0 ≤τ c. b) Seien a, b, c ∈ Nn mit a + c ≤τ b + c. W¨are a >τ b, so w¨are a + c >τ b + c.

c) Indukton nach c: Aus a ≤τ b folgt dann (c − 1)a ≤τ (c − 1)b und damit ca = a + (c − 1)a ≤τ b + (c − 1)a ≤τ b + (c − 1)b = cb. Aus a >τ b folgt ebenso ca >τ cb. d) Sei ≤τ eine Termordnung. Sei A ⊂ Nn eine nicht leere Teilmenge. Dann ist Min≤ A endlich nach Dicksons Lemma. Setze b := min≤τ (Min≤ A). Wir zeigen nun b ≤τ a f¨ ur alle a ∈ A: Sei a ∈ A. W¨ahle c ∈ Min≤ A mit c ≤ a. Nach Teil a) folgt dann b ≤τ c ≤τ a.  Definition 3.4. Seien M ein Monoid mit einer Monoidordnung ≤σ und N ⊂ M ein Untermonoid mit einer Monoidordnung ≤τ . Wir sagen dann, ≤σ sei eine Erweiterterung von ≤τ und ≤τ sei eine Einschr¨ankung von ≤σ , falls f¨ ur alle a, b ∈ N gilt: a ≤σ b ⇐⇒ a ≤τ b.

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Lemma 3.5. Sei ≤τ eine Monoidordnung auf Nn . Dann gibt es auf Qn und auf Zn je genau eine Monoidordnung, die ≤τ erweitert.

Beweis. Definiere ≤σ folgendermassen: Seien a, b ∈ Qn . Setze c := b − a. W¨ahle r ∈ N \ {0} und d ∈ Nn , so dass d + rc ∈ Nn gilt. Es gelte a