E. Martinelli ( E d.)
Funzioni e varietà complesse Lectures given at the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.), held in Varenna (Como), Italy, June 25-July 5, 19633
C.I.M.E. Foundation c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini” Viale Morgagni n. 67/a 50134 Firenze Italy
[email protected] ISBN 978-3-642-11008-5 e-ISBN: 978-3-642-11009-2 DOI:10.1007/978-3-642-11009-2 Springer Heidelberg Dordrecht London New York
©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 Reprint of the 1st ed. C.I.M.E., Ed. Cremonese, Roma, 1963 With kind permission of C.I.M.E.
Printed on acid-free paper
Springer.com
CENTRO INTERNATIONALE MATEMATICO ESTIVO (C.I.M.E)
Reprint of the 1st ed.- Varenna, Italy, June 25-July 5, 1963
FUNZIONI E VARIETÀ COMPLESSE
H. Cartan:
Faisceaux analytiques coherents...........................................
1
P. Lelong:
Fonctions plurisousharmoniques et formes différentielles positives ........................................................ 91
E. Vesentini:
Coomologia sulle varietà complesse, I ................................ 231
A. Andreotti:
Coomologia sulle varietà complesse, II................................ 265
CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO ( C.l. M.E. )
HENRICARTAN
FAISCEAUX ANALYTIQUES COHERENTS
ROMA - Istituto Matematico dell'Universita
1
FAISCEAUX ANALYTIQUES COHERENTS par Henri Cartan
1. -
Th~oreme
des syzygies pour l'anneau des
s~ries
convergentes
a. n variables. Soit K un .:orps (commutatif)
valu~
l' anneau des
complet, non discret. On
s~ries
entieres convergentes
a. n variables x , ••. , x ,c'est-a.-dire des s~ries qui convergent au I n vOisinage de l'origine. C'est un anneau integre et noetherien; de plus, c'est un anneau local: l'unique id~al maximal 'YYt
A
t
=K
xl' ...
,Xn
1
(A ) de
se compose des series dont Ie terme con-
stant est nul, c'est-a.-dire des ~l~ments non-inversibles de
d~al
,~,
A
est engendre par Xl' .•. ,xn' et l'on a la
'rf'r; (A)
(Pn)-si J k xl' •••
l'anneau
alors, pour 0
z~ro dans l' anne au (En effet,
(pour O:! k
.d~signe ~
k
~
~
n) l'ideal
L "1-
propri~te:
engendr~
par
n-l, xk+1 n'est pas diviseur de
A /Jk ' A. /J k s'identifie
a. K
f \+1' ... ,xn J
,qui
est un anneau integre). Pour tout anneau d'un
form~e
.A
de
A
,on a. la notion de r~solution libre
-module M : c'est une suite exacte (infinie
.It
-modules et d'applications
3
A
a gauche)
-lineaires, les X.
1
- 2 H, Cartan
A
etant des
-modules libres, 11 existe toujours de telles resolutions
(pour un M donne); en effet, M est quotient d'un module libre, donc on a une suite exacte
o
---+Y1~Xo~ M~O,
puis on a une suite exacte
o~
Y2---+ Xl ~ Y 1 ----+ 0,
et ainsi de suite; en mettant bout
a bout
ces suites exactes, on obtient
la suite (I, I), On dit que la resolution 0,1) est de longueur X
n
= 0 pour n
Si
>p , A est
noetherien,
~
p si
et si M est un module de type fini,
il existe une resolution libre de type fini, c'est-a-dire dans laquelle les modules libres X. ont chacun une base finie: en effet on peut choisir pour 1
Xo un module libre de base finie, et alors Y1 est de type fini (car tout sous-module d'un module de type fini est
lui-m~me
de type fini quand
l' anneau est noetherien), On peut en suite choisir pour Xl un module libre
de base finie, et ainsi de suite, On se propose de montrer les deux theoremes: Theoreme 1,1 - Soit faisant a la condition (P ), Tout n
A
un anneau local noetherien satis-
A
-module de type fini possede une
resolution libre, de type fini. et de longueur
$
n, Plus precisement.
pour toute suite exacte
X
f n-1
Xn- 2 ~'"
4
~Xo~
M~O,
- 3 H. Cartan
ou les X. sont libres de base finie, Ie noyau de f est un module libre (de
--
1
-
[LorSqUe n= 1, f designe l' application Xo
base finie).
Theor~me 1.2. - Soit
A
A
~
p, alors, pour toute suite exacte
X
p-1
.
un anneau comme dans Ie theor~me
,!. Si un ~
~ M]
-module M de type fini poss~de une resolution libre de lon-
-----'~~
X 2 p-
----+ . •. -+ Xo
~
M~0,
ou les X. sont libres de base finie, Ie noya:u de f est libre •
--
1
-
Ces
theor~mes s'appliqueront notamment ~ l'anneu K
\ J . ainsi qu'a l'anneau des series formelles K lC
xl' ••• '
demontre, en fait, que les anneaux locaux pour. lesquels Ie
1Xl' .•• xn~
theor~me
• On 1
est vrai (pour un n convenable) sont les anneaux locaux reguliers, c'est-adire dont Ie complete est isomorphe a un anneau de series formelles (cf.
[15] ). On va donner, des se les foncteurs T or~
0/'n (A, B) est,
1 et 2, une demonstration qui utili-
(A, B), ou A et B designent deux
[5] ).
et n un entier ~ O. (cf. que T
theor~mes
On a seulement besoin de savoir ici
pour chaque n, un
de A et B; que TorA (A, B)=O lorsque n n
dules A et Best libre; que
A
-module, foncteur covariant
~ 1 et que l'un au moins des mo-
Tor!" (A, B) n'est autre que le produit tenso-
riel A ®,A B; que, pour toute suite exacte de
0.2)
A -modules,
I
O~ A -~A
A
-modules:
~ A"~ 0,
on a des applications lineaires
5
,
- 4 H. Cartan
bn :Toll.n (A",B) ~Tor.An- I (I': ,B) qui
d~pendent
fonctoriellement de la suite exacte (2); et que la suite illi-
mit~e
.••
~
A ( , Tor A ,B) n
fn
A,B --+TorA (AII ,B)--+ n
.A ( )
~Tor
n
-.Tor An-l (A' ,B ) ~ ••• ~TorA I (AI I,B) ~ A1f!1\ ~A B~
est une suite exacte. B, et qu'on
consid~re
Propri~t~
analogue lorsqu'on travaille sur la variable
une suite exacte
I O~B ~B
La
d~monstration
des
--+B
th~or~mes
II
~O.
I et 2 va alors
r~sulter
de
plusieurs lemmes: Lemme I ("lemme de Nakayama"). - Soit
d'id~al
maximal
d~r~ comme
.A
iW'(.
,et soit K=
A
/'WC
-module. Soit M un
M
®,A
A
Ie corps
un anneau local,
r~siduel,
consi-
A -module de type fini; si
K = M/'frr.. M
est nul, alors M=O • Par l'absurde: soit (xl' ••• ,xk ) un syst~me minimal de g~n~ra teurs du
A
-module M; puisque M=
6
~. M, on a
- 5 -
H. Cartan k
, ~,x,' x = ~ 11 1 i= 1 k
d'ou
~
(1 -
)x
1 1
2-
=
~,x, 1
i=2
1
•
~ 1 a un inverse dans l'anneau local A ,done xl est combinaison lineaire de x 2' ••• ' \ ' contrairement a I'hypothese de minimalite.
Or 1-
Corollaire du lemme 1. -
Soient xi €: M des elements en nom-
Ji dans l'espace K-vectoriel M ®,ft. K=MI 'n'(.M
bre fini, dont les images
A-module M est de type fini,
engendrent cet espace vectoriel, Si Ie
les
x, l'engendrent. 1
En effet, soit M' Ie sous-module de M engendre par les x,; on 1
a une suite exacte
M
I
®.A,
f
K ~ M
®,A.
K ~ (M/M') ~ K ~ 0 ,
et puisque f est surjective par hypothese, on a (MIM') ®,A. KeO, donc
MIM' =0 d'apres Ie lemme 1, puisque MIMI est de type fini. Lemme 2 - Soit.A un anneau local, de corps residuel K. Pour qu'un
A-
module Y, de type fini, soit libre, il faut et 11 suffit que Tor~ (y, K)=O. La condition est evidemment necessaire. Pour '{oir qu'elle est suffisante, on choisit des Yi £ Y dont les images
'~t €
Y
®,A K forment
une base de cet espace vectoriel; les y, sont en nombre Hni, et engendrent --
1
A
Y (corollaire du lemme 1). Soit X Ie
-module libre ayant pour base
des elements x, en correspondance bijective avec les y,; on a done une ap1
plication lineaire surjective X duit un isomorphisme
X
~
1
Y, qui par passage aux quotients in-
®Jl K ~ 7
Y
®,A
K . Soit N Ie noyau de f •
- 6 H. Cartan
La suite exacte des foncteurs Tor donne ici:
Puisque g est un isomorphisme, et que TO~ (y, K)=O par hypoth~8e, on obtient N QP", K=O, donc (lemme 1) N=O; par suite, f:X -
Y est un isomor-
phisme, et puisque X est libre, Y est libre.
C.Q.F.D. Lemme 3. -
Soit
A
Alors on a, pour tout
un anneau local satisfaisant
.It. -module M,
°a la condition (P n)
•
pour i) k,
0.3)
et en particulier, pour k=n,(J = n
'We. (
A ) ):
A Tor n+l (M,K) = O.
0.4)
En effet,
consid~rons,
pour chaque entier k tel que 1 $r kEn,
la suite exacte
0.5)
A /J k _1 sur son quotient A/J k ,
OU vk est l'application canonique de et Uk
la multiplication par xk ' qui par hypoth~se est une injection. La suite exacte des Tor noils donne ici des suites exactes d~signe
8
- 7 H. Cartan
0.6)
On va alors prouver (3) par recurrence sur k: c'est trivial si k=O, car
Tor~1 (M,A
)=0 pour i
> O.
8i 0.3) est vrai pour k-l (k
~
1), et si i :> k,
les deux termes extr@mes de la suite exacte 0.6) sont nuls, done Ie terme median est nUl. C.Q.F.D. Nous pouvons maintenant demontrer Ie par
hypoth~se,
0-... y
o
A
n-
1.1. Nous avons,
des suites exaetes
o --... y 1 -+ Xo --+ M
oil X , ••• , X
theor~me
n
-+-X
n-
0
~1 Y ~1 0
n-
1 sont libres de base finie.
A
~
A
On en deduit des suites exactes
A
Tor +1 (X , K) ~ Tor 1 (M, K) ~ Tor (Yl' K) -+ Tor (X ,K) 0 n+ n n • n A J.. .}.. A. Tor n (X 1,K) ~Tor n (Y 1,K) ~ Tor n_l(Y 2 ,K) ~Tor n-l (X 1,K)
Dans ehacune de ces lignes, les termes extr@mes sont nuls, puisque les X, sont des modules libres; on obtient done 1
9
- 8 H. Cartan
Or,
J.
Ie Iemme 3, Tor
d'apr~s
n+
I (M,K)=O. Done
A Tor .. (y ,K) ,;a
n
= 0,
et eomme Y est de type fini, eeci entrafne que Y est libre (lemme 2). n
Ceci
n
d~montre
D~montrons
Ie
th~or~me
enfin Ie
1.
tMor~me
1.2. Supposons l'existenee de
suites exaetes
0-+ BI ---'Ao--+ M ~ 0 0-+B2~Al~BI~ 0
o ~B P~A p-~I oj) A , .. ., A I et B sont libres (non o p_ p -raisonnant eomme ei-dessus, on trouve
B
p-
-""PI
0,
n~eessairement
...
~
de type fini). En
.A
Tor 1 (B ,K) ='0 • p
Done Tor J,. 1 (M, K) = 0 • Soit maintenant une suite exaete eomme dans
p+
l'~none~
du
tMor~me
2 (les X., pour i 1
~
p-l,
~tant
libres de base finie),
et soit Y Ie noyau de X 1 ~ X 2 (resp. de X p
m~me
p-
p-
•
raisonnement que ei-dessus montre que
10
M si p=l) • Le
- 9 H. Cartan .A
.A
:::s Tor 1 (Yp,K) ,
Tor p+l (M,K) .A
et par suite Tor 1 (Yp,K) = 0; d'apr~s Ie lemme 2, Yp est libra, et Ie th~or~me
2.
1. 2 est
Pr~faisceaux,
d~montr6.
faisceaux et espaces
~tal~s.
On rappelle ici lIuccinctement les notions essentielles; pour plus de d~tails on renvofe au livre de Godement T
d~signe
un espace topologique,
Un prMaisceau G de greupes
donn~
[7] . une fois pour toutes.
sur T, est
ab~liens,
pour chaque ouvert U C T, d'un groupe
ab~lien
d~fini
o~
Y 1 ----+ Xo ~ F
Y2
q
~
1 .
la resolution (6, 1) en petites suites
exactes
o~ o ---?
-.~
Y n-l
Xl
--')00
.-+
0
Yl ~ 0
X· ~ Y ~ 0 n-2 n-2
Xn-~ Xn_l~ Yn_l~O
35
4),
- 34 H. Cartan
On a r H (P, X.) 1
=0
pour r
parce que chaque X. est isomorphe 1
isomorphes
a (f ,
et que Hr (P,
~
a une
1
(i=O, ... ,n),
sommeqirecte de faisceaux
rr )= 0 pour r ::,. 1 (cf.
fin du
n~ 5,
corollaire). Alors les suites exactes de cohomologie relatives aux suites exactes (6.2) donnent successivement, pour q
;r.
1,
q( q+l() q+2( ) _. _. q+n )_ H P,F) ~ H P'Y l ~ H P'Y 2 ~ ... ~H (P,Xn -0, ce qui demontre Ie theoreme. Proposition 6.2. - Si on applique Ie foncteur F ~
r (P, F)
~
la suite exacte (6. l), la suite que l' on obtient
est exacte
[on obtient donc un "theoreme des syzygies" pour Ie modu-
r (P, F) sur l' anne au r (P, if ) des fonctions holomorphes sur l~ cube compact P J
le
Demonstration: on applique Ie foncteur-section aux petites suites exactes (6.2); on obtient des suites O~
(6.3)
I
f(p,y l ) ~ r(p,X o ) ---. f(P,F)
~O
0---. r(p'Y2) ~r(p,Xl) --+f(p,y 1 )---.. 0
.. .......... . ... . ..... ... .. 36
- 35 H. Cartan
qui sont exactes, parce que
HI (P, X ) = 0 n en vertu du
theor~me
B ci-dessus. En composant les suites exactes
(6.3), on obtient la proposition 6.2. On va maintenant prouver Ie
theor~me
theoreme suivant, qui depend d'un entier p . ) Theor~me \6.3 • -
cr
un faisceau pOint x
e
~
6. 1. II result era du
0.
n Soient P un cube compact de ([ , et F
p
--
-
-coherent au voisinage de P; Supposons que, en chaque
rfx -module
P, Ie
F x admette une resolution libre de type
fini et de longueur ~ p (cf. n~
1). Alors Ie faisceau F poss~de, dans
un voisin age de P, une resolution libre de type fini et de longueur Admettons pour un istant ce 1.1, Ie module F
x
theor~me.
theor~me
theor~me
p. Donc Ie
theor~me (6.3)
6. 1. II nous reste donc seulement
p
a chaque
fini, de longueur ~ p, du
U
theor~me
a prouver
n Ie
(6.3) , pour chaque p. Attachons
du
Ie
theor~me
point x E P une resolution libre de type
ifx-module
d'Oka, chaque point x E P
F
x
. 0' apr~s Ie corollaire
poss~de
un voisinage ouvert
dans lequel existe une resolution libre de type fini, de longueur
~ p, du faisceau F
Iv.
Vn raisonnement de compacite et un quadril-
lage convenable du cube montre alors que Ie theor~me (6.3)
p
sera de-
montre si nous savons resoudre Ie probl~me elementaire de "recollement" que voici : Probl~me
p.
admet une resolution libre de type fini et de longueur
~ n, et ceci quel que soit Ie point x E
entrafne Ie
D'apr~s
~
(p) . -
Consicterons, dans IR
37
2n
= lR x IR
2n-l
,deux
- 36 H, Cartan
cubes P " = I x Q et P "=" I x Q,
.\ OU
. I I et I " d~t'slgnent deux segments con-
tigus de JR, et Q un cube compact de lR 2n-1; soit P = pi U p" = I x Q , avec I = I' U I" (P est donc un cube compact, et I' () I" est r~duit
1a 1
un point ~, de sorte que pi ("\ p" est un cube
x Q), Soit F un
faisceau coherent au voisinage de P, Supposons :.onnue une libre, de type fini et de longueur
~
~
r~solution
p, du faisceau F dans un voisina-
ge de p' ; et de m~me dans un voisinage de p", dans un voisinage de P, une
a
r~solution
n s'agit
de constuire,
libre, de type fini et de longueur
p, du faisceau F, On va prouver, par
est soluble, La
r~currence
r~currence
sur p,
commence avec p
probleme (0) n'est nullement
~vidente.
= 0;
que Ie probleme (p) mais la solution du
Dire que Ie probleme (0) est so-
luble, c' est dire que tout faisceau coh~rent F dont la restriction et la restriction
a p"
a pi
sont des faisceaux libres, est lui-m~me un fais-
ceau libre au voisinage de p, La solution du probleme (0), puis la
d~monstration
de la
r~-
currence, utilisent Ie : Lemme sur les matrices holomorphes inversibles, les notations
pr~c~dentes,
soit M une matrice
carr~e (a
Avec
q lignes et q
colonnes) holomorphe au voisinage de p' ("\ p", et inversible (i, e, dont Ie d~terminant est
f
0 en tout point de pi" p", donc en tout point d'un
voisinage), Alors il existe une matrice M' (a q lignes et q colonnes) holomorphe et inversible au voisin age de pI, et une matrice M" (a q lignes et q colonnes) holomorphe et inversible au voisinage de p", telles que l' on ait
M = M"
0
M' -1
dans un voisinage convenable de p'" p",
38
- 37 H, Cartan
Nous ne d{!montrons pas ce lemme ici, et renvoyons a [3] ' ainsi qu'a un livre annonc{! de Gravert -Remmert, qui contient une d{!monstration simplifi{!e de ce lemme, On va maintenant r{!soudre Ie probleme (0), Soit
If': dql~F un isomorphisme de faisceaux au voisinage de pI, et soit
If "
/'f'q"
V
---9>'
F
un isomorphisme de faisceaux au voisinage de p", Dans un voisinage convenable de p',.. pI!, on peut consid{!rer l'isomorphisme
L'existence d'un tel isomorphisme implique d'abord ql =q"; soit q leur
Cf ,,-1 0 'P':
valeur commune, Alors sections continues de
(fq
-dq
est dMini par q
(Jq au voisinage de pI f"I p", c'est-a-dire par
une matrice holomorphe M (a q lignes et q colonnes) au voisinage de P I,.. p",Comme
ID,,-I ... ,. ..
lDI T
"lsomorp h"lsme, M es t"mv e rSl"ble , estun
D'apres Ie Iemme pr{!cMent, on a M = M"
(0" "f
0
M" --
lD' ... M' 1"
0
(j q -+ 39
,d'ou
" " de pi" au vOlsmage , 1 p"
Or Ie premier membre est un isomorphisme pI, et Ie second un isomorphisme
1-1
M
if q ~ F
,
au voisinage de
F au voisinage de p",
- 38 H. Cartan
Puisque ces deux isomorphismes coincident au vOlsmage de p' f'I pI!, ils dMinissent, dans un voisinage convenable de P
(J q -+ F, Ceci resout Ie probleme
morphisme
Soit maintenant p
= pi U pI!, un iso(0).
1, et supposons que Ie probleme (p-l) soit
~
resoluble pour tout faisc eau coherent F au voisinage de P
= pI V pI!,
On va montrer que Ie probleme (p) est resoluble, Par hypothese, on a deux suites exactes de faisceaux:
(6,3)
j ° ~ Nt ° Nil ~
c.p'
~
o-ql --'--"""''''
F
-'---t-)o
rJ ql! _-=----+,. c.p"
F ~
11" If 1/
-+0 au
voisinage de pI,
°au voisinage de pI!,
et Ie faisceau N' possede une resolution libre de type fini, de longueur ~ p-l, au voisinage de pI, tandis que NI! possede une resolution libre,
de type fini, de. longueur ~ p-l, au voisinage de pI!, Passant aux sections continues au-dessus de p' () pI!, on obtient deux applications surjectives
(cf, proposition 6,2) f' pI! , 0' qI ) ~ r(p' f'I P",F)
pI! , (J ql!)
II existe donc une application
g:
telle que fl!
0
r (p' "
pI!,
-4 r (pJ"
r (pi 0" q
I
fl
)~
pl!,F) ,
if )-lineaire
pI!,
r (P n I
pI!,
if q
I!
)
g. = f' ; une telle g est definie par les images des q' ele-
ql ), ments de base (1,0, ... ,0), (0,1,0, ... ), .. ,,(0, .. ,,0,1) de r(p'(,,\ pI!, I! qui sont q' sections de ()' q au-dessus de p'" pI! (donc au-dessus d'un
cr
40
- 39 H. Cartan
voisinage de pi" pll). Ces ql sections definissent un morphisme de faisceaux
t '1 es t 'Imm","'d'lat que dans un VOl'sl'nage de p'" • lpll, eI
If"o'A ='f'
(6.4)
au voisinage de p' () pll.
Pour la m@me raison il existe, au voisinage de p' f'\ pll, un morphisme
tel que
If' 0 f
(6.5)
\f"
=
au voisinage de pI" pll.
Des suites exactes (6.3) on deduit les suites exactes
O~N'$ (J'q (6.6)
o~ (} q'•
II
N
II
(
I
1)
I
If,~ (J~e (/q
(1, ",")
I'q'
> V
II
(..,'
,
0)
~F-+OauvoisinagedeP:
. .-tI" (0, 'l' ") ,, II $ (, ,. F -'" 0 au vOlsmage de P • II
Observons que, au vblsinage de pI, Ie faisceau N'. (/q solution libre de type fini, de longueur ceau
d qI ~
~
p-l; de
m~me
admet une repour Ie fais-
Nil au voisinage de p".
J e dis que, au voisinage de pI" pll, il existe un isomor-
41
- 40 H. Cartan
tel que
(0. lp ") 0 J)
(6.7)
Pour dMinir
= (
'P' .0) au voisinage de
)) • il suffit de dire comment il I
(x' • x") de sections de
(/ q et
(J q
pI" p".
op~re
sur les couples
II
; posons
V(x'.x") = (x'- IAx". '>.x'+x"- Afx ll ). ou ~
et
ont ~t~ d~finis plus haut. On v~rifie aussitllt (6,7) en uti-
fA"
lisant (6,4) et (6.5); et on prouve que exhibant l'isomorphisme
r~ciproque
(x'.x")-... (x'+ D'apr~s
vest un isomorphisme. en
fA x"- f-A x'. x"-
'),x/).
Ie lemme sur les matrices holomorphes inversibles. on a
v = Mil
0
M
1-1
au voisinage de p'" pll.
ou M I (resp. Mil) est une matrice holomorphe inversible (fl. q lignes et q colonnes. q=q' +q") au voisinage de pI (resp. pll). La relation (6,7) donne alors
(0.
'P")
0
Mil = (0.
'P')
0
42
M' au voisinage de p'
n p".
- 41H. Cartan
II existe done, dans un vOlsmage de p=p I U pll, un morphisme
oq-+
t.p ")
F, qui coincide avec (0,
avec (0,1/' )
0
M' au voisinage de
pl.
Mil au voisinage de pll, et
0
Ce morphisme
If
tif; soit N son noyau. Au voisinage de pI, Nest isomorphe au voisinage de pll, Nest isomorphe
aN
la solution du
probl~me
If:
,
a (Jq e
est surjec-
aq;
a N' $
Nil. Appliquons alors
(p-1):. on voH que N admet, au voisinage de
P, une resolution libre de type fini et de longueur p-l. La suite exacte
o
O'q ---+
-+- N ~
F
---+
0
fournit alors une resolution de F au voisin age de P, resolution qui est Hbre, de type fini et de longueur
~
p.
Nous avons ainsi demontre Ie en particulier Ie
7.
Theor~mes
theor~me
(6.3)
p
pour tout p;
6.1 est etabE,
theor~me
A et B : passage
a
la'limit.e •
Au numero precedent, nous avons etabli deux
theor~mes,
de-
signes sous Ie nom de l'theor~me A" et de "theor~me B", pour les cubes compacts de tn, On se propose d'etablir des theor~mes analogues dans d'autres cas. Nous adopterons Ie langage suivant: nous dirons que les
theor~mes
A et B sont vrais pour un ouvert U (d'une variete analy-
tique complexe X) et un faisceau coherent F sur U, si Ies assertions suivantes sont vraies: (a) l'image de F , quel que soit x
x
(£
r
(U, F)
-~ F engendre Ie x
{/' - module
x
U;
(b) Hq (U, F) = 0 pour q ~ 1 • Proposition 7.1 -
Si U est un polydisque relativement compact
43
- 42 H. Cartan
de (];n, et si F est un faisceau coherent au voisinage de I' adherence U, les theoremes A ~ B sont vrais pour U ~ En effet, on sait que Hr (U, ()' )
FI U •
= 0 pour r ~ 1 (cf. la fin
du n~ 5), Par ailleurs, tout voisinage V de U contient un produit de disques ouverts U1 x.•• x Un contenant U; par une transformation conforme sur chacune des variables complexes, on se ramene au cas ou U1" " , Un sont des carres ouverts; il existe donc un cube compact P
-
contenu dans V et contenant U • Si F est un faisceau coherent au voisinage de U, F est COherent dans un V, donc au voisinage d'un cube compact P contenant U, D'apres Ie tMoreme 6.1, il existe, au voisinage de P (donc au voisinage de et de longueur
~
'IT)
une resolution libre de F, de type fini
n, ·On peut la restreindre
Ie theoreme A est vrai pour U et phisme surjectif de faisceaux (
a l' ouvert
11 U parce
U, Cela etant,
que, dans U, on a un mor-
d IU)p --+ FI U,
Quant au theoreme B,
il se demontre comme dans Ie cas du cube (cf. n~ 6), compte tenu du
fait que HZ(U,
if) = 0 pour
r ~ I,
La proposition 7,1 n' a qu'un
inter~t
transitoire. On verra en
effet plus loin que les theoremes A et B sont vrais pour tout polydisques ouvert U (non necessairement borne) et tout faisceau coherent F sur U, Mais, pour Ie demontrer, il reste celle du passage
a la
a surmonter
une nouvelle difficulte:
limite, D'une fa
th~or~me
que si Ie
Best vrai pour un espa-
ce analytique X (r~union d~nombrable de compacts), X satisfait
a (i),
(ii) et (iii), autrement dit X est un espace de Stein; pour la demonstration, il suffit de supposer que 1 H (X, I)
=0
pour tout faisceau coh~rent d'id~aux.
La demonstration est d'ailleurs facile. Ce ce
r~sultat
entratne
l'~quivalen
des conditions (iii) et (iii'), lorsque 0) et (ii) sont satisfaites. Pour prouver Ie
theor~me
13.1, on
~tablit
d'abord un lemme :
Lemme 1 - Pour tout compact K C X. il existe un ouvert relativement compact U ::> K, et un syst~me (f l' ••• ,fk ) de fi € dont les restrictions
aU
dMinissent un
r (X, cJ),
isomorphisme de l'espace ana-
~ U sur un sous-espace analytique d'un polydisque born~ P C ~k. La
d~monstration
du lemme est relativement facile. En utili-
sant (iii'), on d~montre d'abord qu'il existe un ouvert relativement compact U ;) K, et un syst~me fini (gl"'" gp) de fonctions holomorphes dans X, dont les restrictions
aU
d~finissent
une application propre de
U dans un polydisque borne P' C ~p. Puis, en utilisant les conditions (i) et (ii), on montre qu'il existe un syst~me fini (hI"'" hql de fonc-
tions holomorphes dans X, qui s~pare les points de
if et
fournissent,
au voisinage de chaque x e U, une r~alisation de X. Soit P" C (1;q un polydisque
born~,
assez grand pour contenir l'image de U par l' applica-
66
- 65 H. Cartan
tion definie par (hI"'" hq ). Alors Ie systeme (gl"'" gp' hI'"'' hq ) dMinit une application holomorphe et propre de U dans P = p' x- p" C (:p x Cq = = ([
k
(k=p+q)' et realise globalement U comme sous-espace analytique
(ferme) de p. C.Q. F. D. Puisque, grAce au lemme, U est isomorphe
a un sous-espace
analytique de P, et puisque les theoremes A et B sont vrais pour P (corollaire du theoreme 7.2), ils sont vrais pour U (theoreme 12.2). On va voir que l'on se trouve dans les conditions d'application du theoreme 7.2. Mais auparavant, nous observons
que Ie theoreme 7.2 n' a ete
formule et demontre que pour les varietes analytiques, alors qu'ici X est seulement un espace analytique • II est donc necessaire de generaliser d' abord Ie theoreme 7.2 au cas des espaces analytiques. Or la demonstration du tMoreme 7.2 reposait notamment sur la consideration d'une topologie d'espace de Frechet sur
r (X, F),
sque F est un faisceau coherent sur une variete analytique X (cf. On va montrer maintenant comment on dMinit la topologie de
n~
lor9).
r (X, F)
dans Ie cas ou X est un espace analytique, en general. Rappelons d'abord que, lorsque X est une variete, cette topologie a ete caracterisee par les proprietes (a), (b), (c) enoncees au
n~
9; d'autre part on voit
facilement qu'eUe possede la propriete suivante : (d) si la variete analytique complexe X est plongee comme sous-variete (fermee) d'une variete analytique complexe Y, si F est un faisceau coherent sur Y, et si G designe Ie faisccau induit par F sur X (G est
o'(X)-coherent d'apres la prop. 12.3), alors l'application de
restriction
67
- 66 H. Cartan
r
(Y, F)
---+-
1" (X, G)
est une application continue d'espaces de Frechet. Pour definir une topologie d'espace de Frechet sur l'(X,F) dans Ie cas des espaces analytiques, on va imposer les conditions (b), (e), (d) en les formulant pour les espaces analytiques (et non plus seu-
lement pour les varietes), et en formulant en outre (a) dans Ie cas Oll U est un ouvert d'une variete • 11 est facile de voir (en utilisant des realisations locales d'un espace analytique comme sous-espace analytique d'une variete) que Ie probleme ainsi pose admet une solution et une seule : Ie raisonnement est analogue a celui fait dans Ie cas des varie tes. En particulier, si analytique X,
(/ est Ie faisceau structural d'un espace
r (X, rf) se trouve muni d'une topologie d'espace de
Frechet. Mais il n'est pas evident que cE!tte topologie soit justement, celle de la convergence, uniforme sur tout compact, des fonctions holomorphes. C'est d'ailleurs vrai (autrement dit la condition (a) est satisfaite aussi pour les espaces analytiques); mais il s' agit la d'un theoreme assez profond, dO a Granert et Remmert. Nous n'en aurons pas besoin, Maintenant qu'on dispose de la topologie des espaces vectoriels
r (X, F), on peut recopier,
dans Ie cas des espaces analytiques, la de-
monstration du theoreme 7.2 donnee au numero 10: il n'y a rien a y changer, Revenons enfin a la demonstration du theoreme 13,1. Nous avons deja prouve que l'espace de Stein X est reunion d'une suite croissante d'ouverts U., relativement compacts, tels que U. C U. l' et que 1
1
68
1+
- 67 H. Cartan
les
theor~mes
A et B sont vrais pour chaque V. (et tout faisceau cohe1
rent). 11 reste donc simplement, pour pouvoir appliquer Ie 7.2,
a montrer
que l'hypothese (i) du
theor~me
theor~me
7. 1 est verifiee iei.
C' est ce que dit Ie Lemme 2 - Sf l'ouvert V, relativement compact, de X est, comme au lemme 1, realis~ comme sous':'espace analytique d'un polydisque ouvert et borne P C q:k. alors !'image de I' application de re striction
est dense dans
l' (v, d),
(il s' agit de la topologie de
.r (v, (1)
qu'on vient de definir ci-dessu~ En effet, considerons, dans Ie polydisque P, l'application de restriction
r
(13.1)
(P, if(p) ) ~
f' (V,
c:1 (V)
),
qui est une application continue d' espaces de Frechet (propriete (d) ). D'apr~s
Ie
jective
(cf. theor~me 11.
enti~re
theor~meB
applique au polydisque ouvert P, elle est sur-
O.
Or Ie classique developpement en serie
des fonctions holomorphes dans un polydisque P nous dit que
tout element de cet espace) de
1"" (P, d (P) polyn~mes
) est limite (au sens de la topologie de k
sur l'espace C • Or Ie plongement
a ete defini par k .fonctions (f l' ••• ,fk ) holomorphes dans X tout entier
69
.
- H~
(c!. lemme 1). Il en r6sulte que tlUt 616Ql,Rt de
(au sens de la topologie de
r
(0,
Cartan
r (u, (/ ) elt limite
ff) ) de tanctions in~it81 Iur
U par
des polynOmea par rapport aux f i, done d. tonction. induitu aur U par des tonctiona holomorphea dana X. tit I'I ..enUel du th6or&me
[c.ot
d'approlimation de Oka-wen] • Et 1. leram.
a 88t
d6montr6.
En meme tempI, la d6mpitraUoil du th6or&me 13.1 e.t ache-
v6e. 14. Quelques
exemp~es
d'ea,.c,a d, Stein •
Noul mentionnonl lia,ll.ent iei, pour 1Il6moire, quelquee taits bien connul. Le produ1t d. d,,,x .a'lc,a ft Stein eat un espaee de Stein (c' est 6vident aur la
d6t1n~t1oll).
Tout sous-elpaee ant!Y!l!ut (ferm6) d'un eapace de Stein eat un espaee de Stein (meme ab.ervation). Toute vari6t6 de Stein de dimenlir n eat r61Ulable (,lobalemant) comme sous-vlr16t' de l'tlp.c.
t: 2n'"
(th'or&me de Remmert et
Narasimhan [10J ). Le ell d.a tI,aclI de Stein 81t plua compllqu6. Tout ouvert U C .: eat de Stein (cela r61ulte enenUeUement du th6or&me d'approximatil" de Run" : toutt foncUon holomorphe dans U peut 8tre arbitrairement approch6.,
IU
Hnl de 11 convertence unifor-
me sur les compacts de 11, per de. fonctiOlll rationneUea dont lea pOles appartlennent aux compoaantes connu.. compactes de .: ~ U). Done: Tout "polycylindrt" "t c: n (i, e, I ,rodu1t U1 x, •• x Un de n n ouverts situ6s resptctivement dlDl II. n flcteurl c: de ( ) est une VIri6t6 de Stein.
n
Les ouverts de G! ,u1 slnt de Stein sont exactement lea 70
~-
- 69 H. Cartan
verts d'holomorphie.
15. Structure d'un faisceau coherent (l). On se place sur un espace analytique X, muni de son faisceau structural
if.
Soit F un faisceau coherent
sur X. En un point x
e
X,
est un module de type fini sur l'anneau local if; on definit Ie x x rang du module F , note rg (F ): c'est la dimension du ~-espace vecx x toriel F
F
F
x
x
/'WL x ·F x
,
designe l'ideal maximal de l'anneau (/ (cf. n~ 1; ici, C x x est Ie corps residuel m ). Puisque F est de type fini, l'espaou
IW(,
rfx/
ce vectoriel F
.'\
®"...
Vx
x
x
It est de dimension finie : rg (F x) est fini. .
On a rg (F x ) = 0 si et seulement si F x = 0: c'est Ie lemme de Nakayama (n~ 1, lemme 1). Plus generalement, Ie corollaire du lemme 1
(n~ 1) montre qu'il existe un systeme de generateurs du
Ie F
x
ifx-modu-
en nombre egal a rg (F ). D'une fac;:on precise: rg (F ) est Ie x
x
nombre d' elements de tout systeme minimal de generateurs de F • x
Puisque F, qui est coherent par hypothese, est de type fini, on voit que si rg (F ) = p, il €xiste, dans un voisinage de x, un morx (JP ~ F, et par suite rg (F ) , p pour tout point phis me surjectif y
y assez voisin de x. Autrement dit, l'ensemble des x € X tels que
(1) Les questions trait€>es dans ce numero ont deja fait I' objet d'une con-
ference de G. Scheja i Oberwolfach. Voir aussi
71
OJ].
- 70 H. CaMan
rg (F x)
pest ouvert. On a un resultat plus precis:
~
Theoreme 15.1. - L'ensemble
E (x
I
rg (F ) x
>
m)
est un sous-ensemble analytique (ferme) de X. Comme la question est locale, on se place au voisinage d'un x, € X, et on ecrit, dans ce voisinage, un debut de resolution libre (de type fini) du faidceau coherent F
f
05.1)
~
(fP
g)o
F ~ 0
En chaque point x voisin de xo ' on peut tensoriser par suite exacte de
x
x
(parce que Ie produit tensoriel est un fonc-
a droite") : ~x
05.2) et
f/!>(J 4: la
(( -modules:
on obtient une suite exacte teur "exact
(suite exacte) •
--~> F
If x s'interprete comme suit :
h~
x
morphisme f de (15) est defini
par q sections continues fl, ••• , fq de (j P, c' est- a-dire par q fonc1 q P tions holomorphes f , ••• , f a valeurs dans (f: • Alors la valeur de t.p x sur Ie i-ieme
~ecteur
de la base canonique de 4: q est egale
a i(x) :
valeur, au point x, de la fonction holomorphe fi. Ainsi, f1, ••• , f q de-
72
- 71 H. Cartan
finissent une matrice holomorphe M (x) a. p lignes et q colonnes; et la matrice de l' application
lin~aire
'f' x est
la valeur. au point x. de
cette matrice. Cela dit. l'exactitude de la suite (15.2) donne, en comptant les dimensions des espaces vectoriels :
(15.3)
>m
Les points x 011 rg (F x)
m est un sous -ensemble analytique Y x distinct de X. Si X est irreductible (c'est-a-dire si X n'est pas reunion de deux sous-espaces analytiques Xl et X" tous deux distincts de X), l'ouvert X - Y est dense dans X. Dans Ie cas general (ou X n'est plus necessairement irreductible), un raisonnement facile montre que l'on a encore Ie resultat suivant : Theoreme 15.3. - L'ensemble des points x ~ X
~F x n'est
pas libre est un sous-espace analytique, dont Ie complementaire est un ouvert D partout dense.
Le rang de F • aux points x E D. est constant x
si X est irreducible. Supposons maintenant que X soit une variete analytique complexe de dimension n. Alors Ie theoreme des syzygies (theoreme 1.1) s'applique au
ifx-module
F
• x Definition: on appelle dimension hoinologique de F x' et on
note dh (F x), Ie plus petit des entiers m tels que F x possede une resolution libre, de type fini, et de longueur m (cf. n2 1). On con'ient que si F x = 0, dh (F x) = -00; sinon, dh (F x) est un entier
~
0 et
~
n;
dh (F ) = 0 si et seulement si Fest libre et! 0 • x x -Si FrO, Ie theoreme 1.2 donne Ie critere suivant : choisisx 74
- 73 -
H. Cartan
sons arbitrairement une suite exacte
et soit N Ie noyau de f
x
[Si m = 0, la suite se compose uniquement
x
de F -+ 0, et N = F ; si m = I, f d~signe ( (J )PO ~ F ] x x x x x x ~ dh (F ) .. m, il faut et il suffit que N soit libre.
x
x
Th~oreme ri~te
' Pour
15.4, -
Soit F un faisceau coherent sur une va-
analytique X. L'ensemble des x E X tels que
dh (F ) x
'>
m
est un sous-espace analytique de X. En effet, c'est vrai si m des x tels que F
x
f
m)
> m.
ou 1'espace analytique X n'est plus
nec~s
sairement une variete, on introduit une notion autre que celle de dimension homologique (celle-ci pourrait
~tre
X comme sous-espace a.'lalytique d'une F est un faisceau
infinit:), variet~
(f (X)-cohCrer.t, llo~ons ~ Ie
"
ir.duit F sur X et est nul hers de X; F doit
75
Realisons localement Y de dimer,sion N; si faisceau, sur Y, qui
~trc c(Jl'sideI'~
comme fais-
- 74 H. Cartan
rr (Y)-coh~rent.
ceau
On a, pour x e X,
(f'x) ~
dh
[ dh
(F'x)est
N
consid~r~ comme module x (Y), et non comme module
la dimension homologique de F
sur l'anneau de
s~ries
sur l' anne au quotient
ifx
convergentes
0:
• On montre que la
(X) ]
diff~rence
;...
N-dh(F) x ne
pas du choix du plongement de X (au voisinage de x) dans
d~pend
une vari~t~. Cet entier
S' appelle
la profondeur du
{/ -module F , x
x
et se note
prof (F ). x
II est ~gal
a + 00
Le
si
Fx = 0;
th~or~me
Flo. x
15.4 a pour : Soit F un faisceau coMrent sur un espace ana-
Corollaire. ~
il est fini et ~ 0 si
X. L' ensemble des x tels que prof (F )
m), on voit que I' espace analytique du
0, avec
:
1) 0( (x) est COO en x sur X, on a 0 , r 2) On a
3)
d~fini
ot. r(x)
0(. (x) r
= 1 sur un ouvert
W
r
c:I( (x) '" 1. r .
contenant E •
d~croit quand r d~croit et on a lim
113
0{ r(x)
=
f
(x)
- 22 -
p. Lelong
fonction
de E.
caract~ristique
Alors si l'on
consid~re
I (x);: n si
une suite r
rj.
rn
(x) - 0(,
n
d~croissante
r n+1
(x)
b (x) est une fonction COO valant 1 sur Ie support S(
j3 j
compact on pourra l choisir la partition
et
f)
et
a support
en posant
b (x) l.(x) J et ron aura
= lim /"oJ
(21 )
t
o
= lim
t(1-o(
r=O
r
)
qui definit encore l'extension simpleS: partir d'une famille Fr de noyaux oL r(x) ayant les
propri~t~s indiqu~es.
2 ) On a une
propri~t~ caract~ristique
Proposition 4.
Pour que
t
Eo
Do'
de l' extension simple:
(X) qui prolonge t
~
D: en)
en soit l'extension simple, il faut et il suffit qu'on ait sur tout do maine
Gee X: (22)
114
- 23 -
p. Lelong
c'est-a-dire que t On a suffisante, soit On va
~
#oJ
t n'augmente pas la norme.
la condition
~tabli
t€
-
donn~
~tant donn~ positif,il existe
(.
Pour
~tablir
la condition
DO (X) prolongeant t et v~rifiant (22) pour tout _G C" X.
que t est bien
~tablir
n~cessaire.
par (21), donc
f e DCn) telle
coincid~ra
qu'on ait
avec t D
lilt' II'
1 et
(23)
Soit
cp a:
D(X~
nant Ie 'Support S(f ) noyaux
et G un domaine d'adMrence compacte conte-
suppos~
non vide. On
0( r (x) relative a E 1 =
G- ( n r)
consid~re
G), et on choisit
petit pour que Ie support S( 0( r) ne coupe pas S( et
~r
cp
une fa mille F r de
r)
ont alors des supports disjoints. On
pour r
consid~re
r,
0 assez f
r e:
pour r
< r0
les deux formes
On all t(
cp 111
'1,
'f 1 €-
f ) a valeurs r~elles.
D(X). Supposons de plus dans ce qui suit
On a
On choisit Ie signe a prendre devant Ie second terme de re qu'il ait marne signe que t(
r).
On a alors
115
mani~
- 24 -
P, Lelong
ce qui,
d'apr~s
(23) donne
et montre qu' on a N
lim t ( t/( r r=O
(24)
f )=
0
On a alors
t
et montre
l'unicit~
= lim
,.J
r=O
t( 1- 0(
r
)
= t,
sous la condition de non augmentation de la norme,
n.
Dans la suite on dira que t est born~ dans tion (20) est
v~rifi~e,
Cas d'un courant ferm~, Si l'on part de tED et ferm~, on aura de plus Cherchons alors
m~. Soit
f
~
b t( cP ) = t(d
si la condi-
,0
f ) = 0 sur toute,
(.n); born~
r'
D(
n),
queUe condition l'extension simple est un courant fer-
t DO (X), F une famille de noyaux
0( r relatifs
On aura, en consid~rant la forme diff~rentielle d 0(
t (d 0( r /I. = t(d
cp ) = t
f '), - t
[d( q r
[d 0- 0( r)
116
cP
~]
r
e D(n):
a E = x-ll ,
U - t( Q( r d f - t(
ar
r)
)
- 25 -
P. Lelong
Le second terme au second membre est nul car on a (1-
ar) f '
D(!l).
I1 reste
roJ
S1 maintenant test l'extension simple to ' on a
On remarquera que Ie courant tIl), do( r appartient ~
bt ~ On a ainsi Th~or~me
dre z~ro sur
= lim
a D"
d'apr~s (24)
(12). On a
r=O
:
~tabli
1. Pour qu'un courant t
ferm~,
born~,
continu d'or-
n c X ait pour extension simple a X un courant ferm~,
11
faut et 11 suffit que I' on ait
lim
(25)
r=O
pour une famille F de noyaux
0(
tA d ri.. r r
relatives
Remarques. 1) Lorsque E = X vide, on pent d'abord prolonger t
a E", fronti~re pris relatifs a E*'.
en suite etre
de
n
=0
o
aE
-.n.
117
.n .
0
a un int~rieur E
non
pour Ie courant nul et prolonger
relativement
2) Si t est l'int~gration de ~
aE=X-
sur
aX:
les noyaux
n,
0(
on a ainsi un
r
peuvent
compl~-
- 26 -
p. Lelong
ment au
th~oreme
de Stokes donnant une condition
Pour 1'application
a la
definition du courant
un ensemble analytique complex (cf. chap. IV ) en faisant intervenir une majoration de
/I t II
d'int~gration
pr~cisons
s
0( 1(x"), COO, 0' a( ,
/I x ' 1/ ~ t . On
s+
la condition (25)
s+
1='" =x =OJ m
. 1""'x ), et on consld~rera
m
I, de support 1/ x" 1/ it 1 et valant 1 sur
pose
Si L majore les
d~riv~es
I 'do( I, '0 xk
Lr
En notant
sur
au voisinage de E*, en
d'abord Ie cas ou E est un sous espace RS [x
d e Rm • On posera x 1_( - x 1' ... ,x ), x"_( - X
un noyau
et suffisan-
b t = O.
te pour que
consid~rant
n~cessaire
on aura
-1
, on ob-
la nor me de t dans
tient Corollaire 1.
....,
s
Dans Ie cas ou E = R , 0 ~ s 'm-l, pour que
1'extension simple to soit
ferm~,
t
~tant ferm~
et
born~,
il suffit qu'on
ait
lim
(26 )
r=O
r
-1
II til
r G
=0
s
Toujours dans Ie cas E = R , on a l' ~nonc~ Corollaire 2. ~tant ferm~
et
born~,
....,
Pour que l'extension simple to soit
il suffit que
a tout 118
ferm~e,
t
do maine G relativement compact
- 27 -
p. Lelong
dans R
m
on puisse associer k(G) positif fini tel qu' on ait dans toute
I
boule B C. G
" t/IB'
(27)
k(G)
J
avec ~ > s+ 1 r ~tant Ie rayon de B. I
II suffit en effet de recouvrir Rm par un pavage dont les ~l~ ments sont des cubes de
cot~
r, l'origine
~tant
sommet du pavage; un
domaine
est recouvert par un nombre N(r)
< Ar -s
et (26) montre que la condition
Y>
pav~s;
alors (27) entraine
s+1 est suffisante pour que l'on
,v
b to = O.
ait
Remarques. 1) L'hypotMse que X soit une COO peut @tre
remplac~e
par celIe que X soit
o de remplacer D(X) par D (X) et de prendre 2) Dans Ie cas ou E = X ,-
11
vari~t~
a structure
a structure C1;
il suffira 1
0 0,
rr , de centre z~,
dHini par rapport
a des
axes orthonormes quelconques, entraine que V soit plurisousharmonique. 3 ) La limite d'une famille ctecroissante de fonctions plurisousharmoniques est de
m~me
nature
ou la constante -00; cela resulte du
theoreme 3. 4 ) 5i V(X, t) est une famille sousharmonique (respectivement plurisousharmonique), finie, et si l' on a
V·
sommable en t,
IV(X, t) I < 'P (x), f W(x) =
V etnnt une mesure positive sommable localement,
J
V(X, t) d)) (t)
est encore semi-continue superieurement et, par suite, sousharmonique (plurisousharmonique) . Demonstration en considerant les moyennes spheriques
135
- 42 -
p. Leiong
A [V(X, t) I
x, rJ
=V
r
(x, t)
r
Elles forment une famille egalement continue en x; V (x, t) -+ V(x, t),
e
en decroissant quand
~
O. On a donc
W(x) = lim
J
Vr(x, t) d ')) (t)
r=O
l'integrale est continue en x; W(x) est donc semi continue et verifie (13). Dans Ie cas pl.!risousharmonique, on utilise Ie theor~me 1 pour
etablir que l'integrale est plurisousharmonique.
5 ) De la Remarque 4 on deduit une demonstration simple de l' enonce suivant : Theoreme 4. Dans l'enonce du
theor~me
3, 2b) peut
~tre
rem-
place par 2d)
vIz l' ••• ,z n) bornee superieurement sur tout compact.
Pour l'etablir on posera: Definition 2. Une fonction V(X, y)
= V(x 1' .... xp' YI" .. ,Yq)
sera ditp doublement sousharmonique ou de classe S dans un domaine xy D = D'X D" , DIe RP, D" C Rq , si elle verifie 2d , est a valeurs reelles
-00
~ V
< +00,
V;
-00,
et quand on fixe l'un des groupes de varia-
bles, est localement fonction sousharmonique ou la constant - 00 par rapport
a l'autre
(cette classe S est definie dans r3 Jet xy ~ g
Ii]).
l'
On a Proposition 3.
Si Vest doublement sousharmonique (au sens
de la dMinition 2), Vest semi-continue superieurement. Soient
(xl"'" x), (\ (y , .•• , y ) deux approximations, p)"t 1 q (Coo) des mesures de Dirac, +1 a l'origine, dans RP(x), Rq(y) respecti0(
r
136
- 43 P, Lelong
vement, Alors si VA = sup (V, -A), VA faite
ay
'* o(r'
OU la convolution est
constant, est (Coo) de x, et est sousharmonique de y d'apres
la Remarque 4 , Formons
Elle est fonction (C r
~
de
00
) de (x,y); elle tend en d~croissant vers VA quand
0, t -to 0, Donc VA est semi-continue
m~me
de V = lim
sup~rieurement
et il en est
VA' quand A -++00 ,
On en deduit Ie theoreme 4, par pour n-l, on pose x = (zl"'" z
n-
: s'iI est vrai
r~currence
I)' y = (z ) et on applique la Proposin
tion 3, Exemples - Fonctions plurisousharmoniques parttculieres :
1~) Si f(z 1" , , , zn) est holomorphe dans D, a
> 0,
a log , f
I
est plurisousharmonique dans D, 2t)Les fonctions plurisousharmoniques de C
i
sont les fonctions
, h armomques, . R 2-sous 3~)
Les fonctions plurisousharmoniques V qui ne
d~pendent
que
des ~ = RZ k sont les fonctions convexes de l'ensemble des (xk ), On a l' ~nonc~ plus
pr~cis,
Proposition 4. SI V (x, x') est plurisousharmonique dans un domaine D =
(x,
d,
Ix'/
p, V l'est aussi dans e •
o
est plurisousharmonique dans e P C en,
.
7 ) Si des F. (zl"'" 1
1 , i ~ N,
~ F .F. et log 1 1
n
Z )
E.
n
sont holomorphes dans Dee,
F .F. sont plurisousharmoniques dans 1 1
D. R~sulte de 40 , 50 et de la Proposition 5.
2. Les familles
born~es sup~rieurement
localement.
Nous appellerons famille F une famille
born~e sup~rieurement
sur toilt compact. Les familles F de fonctions plurisousharmoniql1es possedent des
propri~t~s
simples bien connues. Remarquons d' abord que
si VIet V2 sont plurisousharmoniques, il en est de meme de sup (VI' V2), et de aV l + b V2, a> 0,
b
>o.
Des lors la recherche de sup V , V n
n
~
F dans un domaine
D, se ramene 8, celIe de la limite d'une suite croissante
F'.
Dans Ie cas sousharmonique cette- limite n'est une fonction sousharmonique que si elle est semi-continue. Toutefois on a : TMoreme 5. Si Vt est une famille F de fonctions sousharmoniques (respectivement plurisousharmoniques), W = sup Vt petite majorante semi continue
sup~rieurement
a pour plus it
une fonction W qui est
sousharmonique (respectivement plurisousharmonique). Definition:
On appellera
plus petite majorante semi-continue La pr~sentation
d~monstration
potentielle.
r~gularis~e sup~rieure (not~e sup~rieurement
directe du
a partir
des
th~oreme propri~t~s
d'une fonction W.
5 sans passer par la redes moyennes est clas-
sique (cf •. T.Rado: Subharmonic functions, Etg.der Math. dans Ie cas SDusharn'lonique. (cf. [4]),
E. ,n.1,
19'37)
Dans Ie cas plurisoushatmonique
on remarque alors que Ie passage
139
It
W ) la
a
Ia limite et
- 46 p. Lelong
la regularisation , W --+ W" permutent avec les changements Uneaires de variables utilises au theoreme 1 : celu1-ci permet donc d' affirmer que s1
Vest plurisousharmonique, W~ l'est aussi.
t
.
On peut d' ailleurs se ramEmer au cas un lemme de Choquet (cf. Lemme: nombrable d' ouverts, les sur E.
n existe
d'une suite V d' apres n
[2J):
Soit E un espace topologique, ayant une base de-
fy-
i (: I une fa mille de fonctions
a valeurs
reel-
une sous-famille denombrable 10 C I, telle que si
g(x) est semi continue inferieurement et verifie
g(x) ' fr (x)
•
= inf.
f. (x),
i
l'
e
10
on ait aussi
g(x) ~ fI (x) = inf. f.(x)
~ I
1
Demonstration:
Au besoin en posant
supposer -1 ~ f ~ +1. On utilise une suite
f = ~ 1 1+ft,
WI' .... W p''''
de E formant une base des ouverts sur E, chaque
on peut d'ouverts
W k etant repete dans
la suite une infinite de fois, Alors pour chaque on, 11 existe i ' I , sahsn
faisant
inf
(14)
f. n
On posera g ~ fi
[in~ = I~, ~n
In
1 fr(y)(n'
(y) - inf n
montrant que pour g(x) semi continue,
' pour tout ix, entraine g.( fr La semi-continuite de g entraine n
140
- 47 P, Lelong
que pour tout x
E-
E. et
c> o.
g(y)
done un
wp CU.x
avee
il
existe un voisinage U tel qu'on ait
x
e. > g(x) - -2
.L = W* 1 '
et
donc
W ( W (. W* 1~ 1
= W*
et
Etude des suites croissantes - Cas sousharmonique.
V p =
Soit
e F(D),
Jl::l
lim V = W J, W*, On voit que la mesure U. (cO) = p r"p I Vp d -e = fj VP au sens des distributions converge vague-
f
ment car si
lim f'p
r
(f )
1 ~ ~ (D), Cf I '
lim
on a
Jb.
Vp,/, d'J: 'lim
Or West mesl1rable; si l'on pose sur les
€- ~ (D)
f" ( o. dont Ie potentiel GII =
#(a) g(a, x) soit continuo En eUet la convergence vague
JG~d f
p
J
1" p ....
~ d~(a) g(a,x) dfp (x) -
qui entraine :
On a alors
143
~
donne
J ~J Mdfp
Gf dli
- 50 p. Lelong
d'ou
qui montre que telle que
G~
~
<WI)
(w
est de }J - me sure nulle pour toute 1.»
t
soit continue. En particulier
nir un ouvert; on a 'lonc WI
(w
-
0,
tellt que Ie potentiel
soit une fonction continue caracterise les ensembles de capacite in-
terieure nulle , On rappelle que la capacite d'un compact K est Ie sup des jA.(K) pour les
G)k"
f' > 0,
portees par K, verifiant
Gf'5:.
1 sur K (et donc
1 partout); la capacite interieure de E est Ie sup des capacites
des compacts K C. E;. Proprietes de l'ensemble W nique:
On considerera Definition,
leurs reelles,
-00 ~
[cf,
< W* dans
3d et 3i ]
Ie cas plurisousharmo-
la clas se suivante de fonctions :
On designe par (Me,) une classe de fonctions V
< +00,
a va-
comprenant les fonctions plurisousharmoni-
ques et fermees pour les operations suivantes, effectuees une infinite denombrable de fois dans Ie domaine de
d~finition:
a) Construction de sup V , V € (M O )' les V etant une suite p p p localement . bornee superieurement dans
/J. ,
b) Construction de lim V = w, (W , p
croissante,
144
- (0) pour une suite de-
- 51 P, Lelong Si We (M ~).
w· = reg. sup. West
plurisousharmonique, On
peut passer de W Ii W"par des "r~gularisationsll successives.
W L'ensemble
coup~
~k
=
~
=W (W k
0"
W1 ~ ". "W n
< Wk+l ) est
de
= Wt't
R2n_capacit~
nulle et est
par les plans e I(Zk+l) suivant une section de R 2.capacit~ nulle,
D'oll :
~
Proposition 7,
= U"'lk '
(W ) compact assez petit,
Ie produit de convolution oJ "" ~ appartient
a
(D 1).
Definition.
On dira qu'une me sure 1,) positive,
SO) ) compact, est regularisante pour la classe
146
A
a support
(D 2), D2 '
R P, et
- 53 p. Lelong Ie noyau g de la th~orie du potentiel, dans RP, si pour toute famille p cp de mesures ~ (D 2), born~es uniform~ment sur tout compact
1" 1\
K C. D2' Ie produit de convolution
soit
fv ~ (~x)
fonctions
associ~
~galement
a la
'f
famille
de mesures une famille de
continues dans DI •
On suppose S( \J) assez petit pour que Ie produit de convolution soit defini dans D I; si )) est
r~gularisante,
))' dMuit de lJ par
homothetie l' est aussi. Proposition 9. L' ensemble W
< w*",
oli W = lim)' V , V
P
P
plurisousharmonique dans D2, ne peut contenir dans DI Ie support (compact) d'une mesure
r~gularisante
pour la classe P(D2) des fonctions
plurisousharmoniques. En effet dans DI' pour S()) ) assez petit, les forment une suite croissante de fonctions
Hmp
J
~
d lila) V pIx+a}
J
la derniere ~galit~ r~sultant de la definition de W*
G)h'
donn~e
> 0,
~
J~ d
a partir
la} W"I.+.} du potentiel
plus haut.
Comme ~
d)) (a)V p(x+a)
continues, et· Ton a
~galement
d" lo} WIx+a}
J
a support
cons~quence
de la definition
pr~c~dente,
on dira que
S( ~) compact est une mesure r~gularisante pour. la
classe Sxy (D), D = dlX d2, z=(x,y), dIE R.n, d2 £. Rq si V ~
....Sd ~ (a) V(z+a) transforme
toute famille }'
de fonctions : V, Sxy(D),
localement born~e sup~rieurement et minor~e par une fonction
147
't (z),
- 54 -
P. Lelong
locaknent sommable, en une fa mille egalement continue dans ,
n'
=
I
I
=d l Xd 2 , d1 (e d l , d 2 ((d 2 • On peut construire, par des produits tensoriels, des mesures regularisantes. On a en effet.
'V 1
Proposition 10. Soient santes,
)) 1 l'etant dans Rn,
et
}/2 deux mesures regulari-
)) 2 dans Rq pour les noyaux gp et
g respectivement et toutes les mesures positives. Alors q
est regularisant pour la classe S
et il
-00;
en resulte que
est continue, et m~me egalement 'continue pour x Alors pour x
e dl ' I
et y G k
I
E d2 ,
c
I dl , V
la mesure
eF .
)k 2(xl
posi-
tive qui figure dans la decomposition de Riesz de V1 ' (considere,
a
x constant, comme une fonction sousharmonique de yl est majoree, independamment de x, et de V t y
€: d~
C, d~ ,
.F .11
en resulte que pour x
"
E d1 (( d1, '
si l' on pose
que V ..... V I transforme
r
en une famille egalement continue en Y.'
148
- 55 p. Lelong
Le
m~me
argument vaut par rapport a x=(x 1' .... xp) et l'{monce est
etabU. Quand la classe
J\. .contient toutes ~
(donc aussi la me sure de Dirac) les j) ment celles dont Ie potentiel
G»
les mesures positives
regularisantes sont exacte-
est continuo Mais dans Ie cas de
la classe plurisouharmonique P(D), i1 n'en est plus ainsi, et la proposition 10 permet de former des ))
> 0 dans
en, dont Ie support est de
R2n _capacite nulle et qui sont regularisantes pour la classe P(D): i1 ,; = )) 1.' ~ 2
suffit par exemple ae prendre
t ...
,y n'
les ~ k
R2 -sousharmoniques dans les
etant regularisantes pour les fonctions 1 plans coordonnes e (zk)'
3. Les lsingularites impropres. On supposera que D est un domaine d'une variete analytique complexe Wn, E une partie fermee de D ayant la propriete : (A). - L'ouvert
!l
= D - E est un domaine connexe.
En fait les proprietes etudiees ici pour les fonctions holomorppes ou plurisousharmoniques seront des proprietes locales et l'on pourra se limiter au cas Oll D est un do maine de en ; l'ensemble E sera toujours un ensemble ferme polaire (donc un ensemble ferme de capa2n cite nulle) dans l'espace reel R ; un tel ensemble a la propriete (A). Prolongement - Exemples. Soit L(D) une classe de fonctions verifiant dans Dune propriete locale. Prolonger f E Un) aD, c'est trouver restriction a
Jl
soit f. Si tout f
e.
149
L(
n)
r€
UD) dont la
est prolongeable
a D, et
- 56 p. Lelong -.I
si Ie prolongement f
est unique, on dira que E est un ensemble singulier
impropre pour la classe L dans On
~tudiera
phes ou celle
. 0, W (, (M) = V(M) + ~ U(M)
tende vers
-00
quand
MEn
tend vers un point P quelconque de E •
On pourra choisir en particulier U(M) potentiel d'une mesure portee par E, On etablit
a partir
TMoreme 4 , -
de la propriete precedente etdu theoreme 1 : Avec les hypotheses des_ theoremes .3 a Q!! 3b ,
de plus V est plurisousharmonique; il en est de
m~me
~i
de V obtenu par Ie§. pro-
cedes (A) ou (B), La demonstration se fait Remarque, -
a partir
du tMoreme 1 •
D' autre part on etablit aisement en consider ant
la suite
Vq = sup [V. -q
J
que si V, est sousharmonique (ou plurisousharmonique) en tout point de D ou V
f
-co. Vest sousharmonique (ou plurisousharmonique) dans D , Theoreme 5 ,-
-
Si fest holomorphe et uniforme dans
n
=
= D - E, o~ E est une partie fermee, R2n _polaire, de D. f se prolonge par continuite en f holomorphe dans D, En effet on prolonge les parties reelles et imaginaires de f, et l'on observe que les relations de Cauchy sont verifiees dans tout D , Les ensembles R 2n -polaires fermes sont 'ainsi des sirtgularites impropres des fonctions holomorphes bornees,
154
- 61 P, Lelong
Th~or~me
de Rado, -
holomorphe en tout point oil f m~me
! 0.
ne supposer au lieu de la
If I
sup~rieure de
Si ff est
d~finie
et continue dans D •
f est holomorphe dans D. On peut
continuit~
de f que la
dans D , En effet, ou bien f .
semi-continuit~
°
dans 0 , ou bien
I f I est plurisousharmonique dans 0 (cf, Remarque pr~c~dente), Alors t [f=OJ est R 2n -polaire et de plus ferm~ comme compl~mentaire log
de I' ouvert f 4.
!
°;
on applique en suite Ie th~or~me 5,
G~n~ralisa~ Ions Th~or~me
6• -
• Si f est
d~finie
et continue dans D • holomor-
phe en tout point oil la valeur prise f n' appartient pas ferm~
a un
ensemble
plan polaire e, Lest holomorphe dans O. Le graphe G de w = f(z1, .. "zn) dans l'espace C
est ferm~ au-dessus de tout compact de
n +1
1 n = Cw)(C
D, On va supposer que
f
a
est holomorphe en tout point z , D pour lequel (z, w) n' appartient pas un ensemble E
ferm~,
Cn +1 _polaire (au sens de
Cn +1 ). Au voisinage de (zO , wO) ,
complexe polaire dans
G, E appartient aux infinis
n~ga
tifs d'une fonction U(z l' . , • , z n' w) plurisousharmonique, et alors ou
=
bien on a U(z "",z , f) = ...., (z , •• "z ) -00 au voisinage de zO, 1 n I 1 n ou bien est plurisousharmonique. Dans ce dernier cas, l'ensemble
'f
f
=
-00
de D oil
est R 2n -polaire
't'
!
-00 ,
ferm~
et comme fest holomorphe aux points
°
Ie th~or~me 5 montre que fest holomorphe en z ,
0' autre part si E se projctte sur C~
selon un ensemble ne contenant
aucun continu (c'est Ie cas si e est R 2 -polaire), et si sinage de zO, on a f
f
=
-00
au voi-
==
wO pour z voisin de zO , n+1 . En remplac;ant l'hypoth~se que E est C -polalre par l'hypo-
th~se plus pr~cise que E est un ensemble localement analytique dans Ie
155
- 62 p. Lelong
domaine D XC I , on obtient w TMoreme 7 • -
8i f est definie et continue dans D
phe sauf peut-Nre aux points z , D pour lesquels Ie point (z graphe G appartient
a un
I
I
holomorW
= f)
ensemble localement analytique E, alors f
hOlomorphe dans D • La demonstration du tMoreme 7 (d. que que l'une au moins des equations F =
du ~
r
5] ) part de la remar-
°qui dMinissent
E au voisi-
nage de (zO, wO) peut se mettre sous la forme w = g(z), g holomorphe, sauf pour les z appartenant
a un
ensemble R2n - polaire au voisin age de
zOo On etudie ensuite comme plus haut les deux cas ou, au voisinage de zO
I
'f
(zl' .... zn)
= F(zl, ... ,zn'
f) vaut identiquement zero, ou est
une fonction holomorphe ne s' annulant que sur un sous-ensemble analytique ; on conclut en appliquant Ie theoreme 5 •
Remarque. -
Les .resultats precedents etant locaux sont va-
lables sur une variete Wn : on appellera ensemble polaire sur Wn un ensemble qui sur chaque carte locale a pour restriction un ensemble polaire (relativement aux coordonnees locales). Un ensemble ferme qui appartient
a l'intersection
de deux cartes et possede cette propriete sur
l'une d'elles la possede aussi sur l'autre (d. Ie theoreme 2). Le cas de Ia classe 8 est
II est evident qu'une fonction P. s.h.
xy
de classe 8
de plusieures manieres possibles •. Or par celle~ci xy on a l'enonce suivant si x E R P, Y € Rq, f ~ 8 (R P+q ) : xy TMoreme 8 • -
8i E est RP+q-polaire et ferme et si Vest
de classe 8xy dans D - E) D = d 1 X d2, d 1 f: RP, d2 E Rq, si E verifie Ie s conditions
156
- 63 P, Lelong
a) la projection n'est
'yt
de E sur d2 a un complementaire qui
Rq-effile en aucun point de b) la section
Nt.
E () [Y =yo]
= e(yO ) est d'adMrence compac-
te dans d1, Arors. E est singularite impropre de la c1asse des fonctions plurisousharmoniques dans D, On peut remplarer b) par la cor..dition qu'il existe un domaine • 0 d 1 pour cpaque y
I
d 1 ( (d 1 dont la frontiere soit arbitrairement voi-
sine de celle de d 1 et ne porte pas de point de e(y 0 se si l'on a p
):
ceci sera reali-
= 2, et si l'on remplace b) par la condition que e(y D )
soit de R2 -capacite nulle, La condition sera quant
a elle
verifiee si l'on suppose
'Y}, de
Rq capacite nulle. On est alors conduit a definir une classe d'ensembles qui sont des singularites impropres dans un domaine de en ou sur une variete Wn •
On definira des classes d'ensembles fermes L .
n
(sur en),
An
(sur c~ ou sur WO), cette derniere invariante par les homeomorphismes analytiqbes complexes. La classe L , par contre, est definie relativement
a un
n
systeme d'axes precise de en (y compris l'ordre des variables
zl"'" zn)' Les ensembles E des classes Ln ' An' sont des ensembles fermes, polaires, mais particulierement minces; ils sont des singularites impropres des fonctions analytiques et plurisousharmoniques 't-sans hypothese relative au comportement de la fonction au voisinagede E); Us possedent la propriete topologique suivante; si D est simplement connexe, Ie complementaire
n=
Definition 1 ,-
D - E est encore simplement connexe, . D de en Une partie fermee E d'un domame
157
- 64 P, Lelong est dite
de classe L si: n
Pour n = 1,
E est vide
selon un ensemble e qui est R2 -polaire; la section de E par un plan C1(z2) est soit vide, soit R2-polaire, Pour n
.> 2 : pour
D et dMini par des
tout polycercle P d' adMrence compacte dans
in~galit~s
P = la projection e de E () P sur Cn- 1 (z I' , " , zn_l) est R2n- 2- polaire; la section de Ie disque
Ell P
par un plan C1(zn) est soit vide, soit R 2-polaire, soit
Izn - z~ 1 0 dans D telle qu'on ait
m~mes z~ros).
Alors pour que
au voisin age de xo ' soit ~quivalente dans un voisinage de
fonction strictement plurisousharmonique d~rivable' V, il faut et
il suffit que soient satisfaites les conditions de Levi-Kroszka :
ucp»o
:-+ pour tout dz ,v~rifiant
167
f
1
dZ i =
r
-i dzi=O
- 74 p. Lelong
La
d~monstration
est classique : on peut prendre pour U Ie
polynome
les
cp i
~tant calcul~es en z
•
> 0,
; 0(
Al est Ie coefficient du d~velop-
pement
On a
' i
.
pos~ d cp = cP dZ i ' d" cP = cp 1 dZi • On obtient ainsi une autre definition de la classe
ment on a
~tabli
(C~).
Finale-
:
(5 )
(r ") ;
On a d'autre part (C 3)C on l'~tablit a partir de la notion suivante. On appellera agr~gat (de dimension n-l dans Cn) une r~u nion d'ensembles
'U1! n e~1 = e., 1
ferm~s
e., dont chacun est 1
constitu~
par l'intersection
~tant un ensemble analytique de dimension homo gene n-l d~fini dans un domaine U. et U. C U. un domaine compact dans U. ; 1 1 1 1 e.' 1
on appellera point int~rieur
sur e. , un point x E U.' () e! • 11 est clair 1
1
1
qu'a partir des ensembles analytiques not~s plus haut S(zo), attach~s a chaque point zO sont pas
€.
bD, D C (C~), on construit un agr~gat (les e i ne
suppos~s d~nombrables) et que la distance
6(z ,7) de
z € D
a b D paralielement a ~t est la distance de z a l'agr~gat. On a alors (cf.
[2bJ ) Proposition. - Si E = Je., 1
168
i
E (I)
I
est un agr~gat de di-
- 75 p. Lelong
mension n-1, D un domaine tel que D () E
z, qui est point interieur pour l'un des e.,
existe sur E un point que
t,
OU
S(z, t)
= ~, si pour tout z Eo D,
-7 = t £(z , t), -t
tel
1
vecteur unitaire, alors
est la distance de z
~
D
a l'agregat
-log
S (z, "t)
E parallelement
a
-r.
est une fonction plurisousharmonique dans D • Seule la classe (C 2) definie par la propriete du disque n'est pas incluse dans la suite (5). On etablit (C 2)C (("'!II) directement (cf. r1a]
et [2bJ) en s'appuyant sur la propriete du maximum pour les
fonctions sousharmoniques. On enoncera Theoreme. -
Les classes de domaines dans Cn considerees
successivement et fermees par Ie passage
a la
limite d'une suite crois-
sante de domaines sont identiques. Passage du local au global pour la P-convexite dans Cn • - On dira que D , do maine de Cn est localement P-convexe couvrement de D par des D.,
eux-m~mes
1
s'n existe un re-
P-convexes, de maniere que
D () Di ait ses composantes P-convexes. Soit Xo ~ bD; i1 existe alors une boule de centre x santes P-convexes.
, soit B de maniere que B () D ait ses compo-
• Supposons
D borne: il existe alors un recouvrement
de bD par des boules B l' ••• ,BN satisfaisant existe a
>0 tel que les boules B~)
a la
condition enoncee ; il
B~ concentrique a Bk ayant un
rayon r ~
= r k - a, recouvrent encore bD. Soit 1 Ie minimum de
pour z E
lJ B~
, et 11
distance de z, D
a
= inf
bD, et
(1,
~
frontiere de cet ensemble, on a
Sk(Z)
8 (z) eta~t la z E Bk n D a la ,-
) ; il est _ci,ir que,
~k (z) la distance de
a
(z)
169
8(z) ,
- 76 p. Lelong
des qu'on a nique pour
8(z) < 11 ; autrement dit :-log $ (z) est plurisousharmo8(z) < 11 ' des lors V(z) = sup [ - log 8(z), -log \ J
est une fonction V £ P (D) qui tend vers too quand z -+bD : Ie domaine
S(z) est plurisousharmonique
D est P-convexe ; en particulier -log dans D.
Le passage du local au global se fait donc sans toutes les
propri~t~s ~nonc~es
plus haut,
propri~t~s
difficult~
pour
qui expriment la
convexit~ de D, Cn ;par' rapport a. la classe P(D) des fonctions plurisousharmoniques.
2. Le probleme de Levi pour les espaces analytiques • Rappelons que si M est un sous ensemble analytique d'un domaine D d'un cn, une fonction f dMinie sur M est dite analytique (respectivement (Coo), respectivement plurisousharmonique) sur M si tout point xo ~ M a un voisinage U dans Cn suI lequel est dMinie une fonction monique, respectivement]
(c'est-a.-dire dans l'espace ambient)
r analytique
[(Coo) - plurisoushar-
et telle que la restriction de
7
a. M soit f.
En particulier une application holomorphe d'un ensemble ana.
I
,
lyhque M dans un M CDC C m est la application
'f',
donn~e
x 0 £ M ~f(x 0) E. M'
pour tout Xo
~
M d'une
d~finie et holomorphe sur
un U(x o ) de l'espace ambiant Cn • Les espaces qui suivent seront ni. Un espace analytique X pst un espace a un voisinage U(x) tel que U(x)
suppos~s annel~
denomQrables a. l'infi-
dont chaque point x E X
n X soit isomorphe a. un sous-ensemble
analytique coIhplexe M mum du faiscea.'u d'anneaux des germes de fonctions holdmorphes: plus pr~ci's~ment il existe un recouvrement
170
- 77 -
p. Lelong
de X par des ouverts U., et des isomorphismes (f). [U.] = M., M. 1 TIl 1 1 ~tant dMini comme sous ensemble analytique d'un certain Cni ; la con-
If
"" Ui fi Uj f 'f' i 0 ~ j -1 . est un isomorphisme d'ensembles analytiques appliquant (/) . [ u. () U.1 C M. I J 1 J J sur CD .W. () U.) C M .• r 1 1 J 1 Une fonction R sera dite analytique (respectivement (COO), plu-
dition de compatibilit~ s'~nonce
Sl.
:
risousharmonique) sur un domaine 0
C X,
X ~tant un espace analytique,
si l'on a
,..., f = f.
1
sur U.
1
n 0, f.~tant analytique
ment]
crJ. T1
0
[(Coo), plurisousharmonique respective-
1
sur M., c'est-a.-dire restriction a. M. de telles fonctions dMi1
1
nies dans un ouvert de Cni • On v~rifie: l'invarlance de cette d~finition par rapport a. la "r~alisation" M., qui constitue la carte de U. 1
1
ex.
On a en effet : Proposition. X et Y
~tant
Soit f une application analytique de X dans Y ,
des espaces analytiques; si pest plurisousharmonique sur
Y, alors po f' est plurisousharmonique sur X • En effet soit x. ~ X ; il existe un isomorphisme analytique
1': V ~ M d'un voisinage V de f(x o ) sur un ensemble analytique M 0 CN • II existe aussi un isomorphisme 'f' d'un voisinage U de Xo
.
sur un ensemble analyt1que
M, ,
G
CCm ,ou
'f
0 et G ont des do-
If
maines de CN et Cm respectivement. Alors 0 f 0 -1 est une application holomorphe de A dans CN et (quitte a. restreindre G) cette application F est d~finie dans G : G --. CN • Par ailleurs p
0
f
-1
est la' restriction d'une fonction plurisousharmonique P dMinie dans 0
171
- 78 -
p. Lelong
(en restreignant ~ventuellement D). Finalement Po Fest une exten-1 m sion de (p 0 f) 0 ~ a un voisinage de (x,,) dans e • ce qui
r
~tablit
la proposition. En particulier
dMinition des fonctions plurisous-
l~
harmoniques donn~e ne d~pend pas du .. plongement X f'\
u.1 -+ M.1 (
Fonctions strictement piurisousharmoniques • -
'f .
X.
d~finie sur un espace analytique
Une fonction
est dite strictement plurisous~
a valeurs
harmonique, si pour toute fonction h.
eni,
port compact dans X, il existe un nombre r~el
r~elles. (Coo), et
e>
a sup-
0 tel que
r:p+£h
-e 1 1
1
en
1 sur K ; puisque bU est compact on trouve un
nombre fini de telles f. • On defiilira alors : 1
Y
=
l
x
eUI 174
sup
I fi (y) I ~
1
j
- 81 P, Lelong
""
Y sera de Runge, et l'on aura Key
CU.
Si X est un espace de Stein, Yk ( Yk+1 nes de Runge dans X, lim Yk Enfin, suppos~
r~sultat
=Y
est encore de
qui remonte
un espace analytique, les Yk
a K.. Stein ~tant
une suite de domaim~me
nature,
: Si X est seulement
de Stein et Yk
~tant
do-
maine de Runge dans Yk+1 ' X est un espace de Stein. Les r~sultats de Narasimhan, Les principaux ~nonc~s ~tablis dans [3a] et [ 3b
J sont: Th~or~me
I ,-
Si D est un ouvert relativement compact dans
X, D, eX, X espace analytique et si tout x.
e bD
a un voisinage U
dans lequel existe une fonction p(x) strictement plurisousharmonique avec
D r'I U = (x, U
I
0,
et est une modifica-
tion propre d'un espace de Stein. TMoreme II, -
Soit X un lespace analytique : pour qu'il soit
de Stein, il faut et i1 suffit qu'il existe 1") une fonction p(x) continue plurisousharmonique sur X avec
XCI(
=
[x E X
I
p(x)(
«J
'eX
pour tout
o(~ 0
o
et 2 ) une fonction continue q(x) strictement plurisousharmonique sur X -
~ventuellement
q
=p
si p a cette
derni~re propri~t~.·
De plus si X est de Stein, la fonction p peut tement plurisousharmonique et analytique
175
r~elle,
~tre
choisie stric-
- 82 -
p. Lelong
L' ~nonc~ suivant est utile pour l'obtention du Oka
(jth~oreme
de K.
IV). Si X est un espace de Stein, D (C X, si
Theoreme III. -
Dt' 0' t ' 1 est une famille ~ontinue avec D.
O~
r~sultat
t" tf' , Dl = X ,
= D , UlDtoC Dt
D.((X, de maniere que Kt
=
n
t O t > to
pour Dt - Dt o
ait un voisinage U dans lequel existe pix) continue p. s. h. avec pix) ( 0 sur U () Dt II et p(x) = 0 sur Kt • ' alors D est un do maine de Runge dans X (donc un esp..Ice de Sfeiil). Theoreme IV • (.de K. Oka) -
Si D est un do maine de en tel
que -log d(z) est p. s. h., D est domaine d'holomorphie. En effet -log d(z) est contlnue ; p(z) ment p. s. h, dans D et et Ie
th~oreme
L I zk I 2]
= sup [-log d(z),
{z E D
I p(z),s c( 1 = DC(
est forte-
est compact
IT entraine que D est de Stein, c'est-a-dire domaine d'ho-
lomorphie, La
d~monstration
s' ~tend au
th~oreme
analytique de K. Oka
concernant les .domaines non ramifi~s au dessus de en .. Ehfin on obtient une caracterisation des espaces holomorphiquement convexes qui r~sultent d'espaces de Stein par des "~clatements" ponctuels. Theoreme V • n~cessaire
Soit X un espace analytique : une condition
et suffisante poJir qu' on ait dim Hq (X, S)
pour q
>0 et tout
faisceau analytique
holomorphiquement convexe et obtenu
[I'] ,
. ,(1) = 0 r,l 0, (theoremes A et B), que Hq(D t , (J) ~ Hq (0, IJ ) est
Ia methode de Grauert
surjectif. Il en resulte
(cf.
on deduit du fait que Hq(U
4a
et 4c et 4d
l
en utilisant un proce-
de en voie de devenir classique que
dim Hq (0
,C1 ) o.
2. II est clair que si D n'est pas un .do maine d'holomorphie, une fonction construite par Ie procede precedent
a.
partir d'une suite
se proiongera (par Ie procede) dans I'enveloppe d'holomorphie H(D) de D, les fk s'y prolongeant, ainsi que les Vk qui forment encore une famille
F
dans H(D) • Par
c~ntre
si dans Rn { Xl,..XnJ espace des parties reelles
(xk ) des (zk)' on se donne un domaine d non convexe
et une fonction
V (xl"'" xn) convexe, mais non prolongeable com me fonction convexe dans l'enveloppe de convexite d , V(x) est une fonction plurisousharmoc nique dans Ie tube T dMini par (de R
= partie
reelle) •
L'enveloppe d'holomorphie de Test T(d ), et si V etadt susceptible
c
d' ~tre construite selon la Proposition 1 dans T(d), elle se prolongerait en une fonction plurisousharmonique V(z) bornee superieurement sur tout tube T (d I), d I (: (d
• Alors V' (z) = sup V(z+ii) realiserait un prolonc t gement convexe de V(x) dans d , contrairement a. l'hypothese : un exemc pIe particulier d'une telle construction a ete donne dans [lb
1.
3. Supposons V(z) plurisousharmonique et continue maine d'holomorphie de en. Sur un compact KeD tif precedent
185
dans un do-
Ie procede construc-
- 92 p. Lelong
f
W (z)
= lim sup Vn ( z)
l
w*(z)
= V(z)
V (z) n
= a log n
I fn I ,
a ') 0 n
nous fournit un resultat particulier par application d'un theoreme enonce
£ > 0 etant n >N •
au Chapitre 2: pour
Z'
e K,
donne, on aura
Vn(z)
< W:£
= V +E
it
D'autre part on a W = W sur un ensemble part out dense et
*
en un point z ou W(z) = W (z) = V(z), il existe une fonction V telle n
qu'on ait
£.
/
~
V(z) - -2- (.. Vn(z) ~ V(z) + 2
11 existe alors un voisinage ouvert U de z dans lequel on a encore pour z 'E. U
et l' on peut recrouvrir K avec un nombre fini de tels ouverts U. ; chacun d'eux on aura fait correspondre une fonction V ni Finalement on aura: Proposition 2 . -
1
a
I f.1 1
Si V(z) est plurisousharmonique et continue
dans un domaine D, P-convexe, correspond un ensemble fini
= a. log
1
a tout
[ ai
> 0,
compact KeD et f i } ,.
a tout e.
>0
fi holomorphe dans D ,
tel qu'on ait
I
I
JI1 variables
du type (1,1) :
[ t dz" p,q p,q p
dz
q
p,q=l. ... ,n
,
r t p,q hp hq > 0,
pour tout vecteur
t = (hk)
complexe. Rappelons qu'A ~~e fonctlon V (A valeurs r~elles) plurisousharmonlque est attacMe une mesure
(2)
.
positive pour tout 1i • On me idz
ext~rieure
1\
p
-
h h P q
pr~f~rera interpr~ter
t correspondante, obtenue en
la condition sur la for-
rempla~ant
•
h h par p q
dz • Elle s'~crit t = id d.. V, et est dans ce cas une forme q z z
g6nAralis6e (ou courant, au Bans de G. de Rham). On est conduit ainsi 191
- 98 P, Lelong
a la
notion de forme positive
de degre I relativement
rieure E 2n (dz ,dz), La notion s'etend
a l' algebre
exte-
au degre p, 0, p, n, Les
formes positives de degre p sont de type (p, p) et forment un
c~ne
con-
vexe E~, D'autre part, les coefficients peuvent Nre pris dans un espace vectoriel (cas des courants) ou dans un anneau (par exemple celui des fonctions continues), Dans ce dernier cas, un
mon~me,
produit (exterieur)
de q formes positives de degre I , est encore une forme positive; on obtiendra un
c~ne
positif dont les elements sont multipliables,
2, Elements positifs, Plac;ons-nous d'abord dans Ie cas d'une algebre exterieure complexe E 2n sur Ie corps K des constantes complexes, avec l'involution a ....
a
qui se ramene
a la
base autoconjuguee (WI"'"
,
,_'
(WI' .... W n' WI'"
OJ
conjugaison sur
Wn ,
K , On considerera une
WI' ....
CJ n ) ; les bases
-/ W n ) dectuites de la premiere par une tran-
sformation (T)
(3 )
qui permute avec la conjugaison, seront dites permises; les transformations (T) forment un groupe G, Par definition les elements positifs de E 2n ' de degre zero, sont les constantes reelles positives a
e R+ ,
considerera de plus une forme fondamentale
- ) avec c ' R + (i W 1\ W
(4)
n
192
n
On
- 99 p. Lelong
Le passage
par c
I
a toute
I -I
autre base permise (W, W ) remplace c I ofdans (4), et l'on a encore c ~ R • On appelle lin~aire pour tout
~l~ment
':l(
~ E2n qui s' ~crit )( = DMinition • -
Un
r.
~l~ment
~k W k' ak E K.
0
entraine, si
fIE
f2~ E~:
On a
a~ R
On pose
n E+
193
=[
o
E~
•
t
•
E~,
et
- 100 -
p. Lelong
20
'f
Pour que
appartienne
a E~ il faut et il suffit qu'il
f
existe une base permise ( W, (;j ) dans laqueUe q
f
(6 )
I)
3
,
=
s.
'1
J
W.I\ W., J
1 ( q ~ n, s.
J
J
on obtient une fonctirln d'un 2(n-p)-vecteur
(5) pour un ensemble
A
=
lL~-P
a la
O(k
,s
d'un L
,s
= r.~k,S w.J
1
Cf)
est fixe,
n-p , 0( 1'···'
de systemes de
-
T (i) ,(j)
base ( W, {;j l. si
Si l' on explicite les elements 'Xk
+•
R
ex n-p)
On Ie voit en ecrivant
, .•• , L;P
etant Ie nombre de coefficients
l' ecriture par rapport
ex
£:
Ln-p , autoconjugue, notee
e(1' , Ln- p) ; cette application est injective. n
f
Pour la suite, remarquons que si dans (5)
et si 1'on fait varier Ie systeme Ln - p (c( 1' ... '
N = (C P)2
s'exprime par
f
f
L~-P
,
dans
est de type (p, pl.
n-p s
k = 1, ••. , n-p;
s = l, .... N •
On determine les coefficients par Ie systeme des equations (5)
a condition que Ie systeme soit regu-
lier. Considerons d' abord Ie determinant
(./) = II'a,J II .
h J S
k, S
'
j
e (j' ) ,
k = 1. .... n-p
(j I ) designant la combinaison complementiare de (j) • Le systeme qui
determine les
cP
(i), (j)
est regulier si 194
11 F a OU /j
est Ie deter-
,
- 101 -
p. Lelong
minant d'ordre N :
UII.X(j')
(7)
s = 1, •• "N (i I ) et (j' ) parcourant les combinaisons Cn - p ; I est la signature de n
la permutation
[ (i) , (il)]
par rapport
~
[ 1, ••• In]
• Si l' on
explicite les parties r~elles et imaginaires des aj k.s = a.,j + ia"j j \, s k. S k. s
on obtient pour ~ Ie produit par une constante non nulle d'un polyr Ij ] ~ coefficients r~els, non identiquement nul. nOme P Lak,s' a"j k,s Si 1'on pose
N = N(n-p)n • 1 a"j) dans 1'espace R2N 1 des (a I j ' k k ,s ,s ensembles
A
les points
r~sulte
que dans tout ouvert de R2N 1 •
il Y a des points repr6sentatifs de systllmes
r6sultat est utilis6 dans ~
'f'
des
non r~guliers forment une vari~t~ a1g~brique de dimen-
sion 2N 1 - 1 , soit W • II en
relatifs
repr~sentat'if s
A
non d6g6n6r6s; ce
[ 4] . Si l'on considllre les
et aux Ln-p s
d'un systllme r6gulier
J\ _ [n-p -
Ll
195
n-p , , ••• , LN
J'
e(
p •
Le quotient
'P 1 est bien determine
par (11) sous la condition que les espaces vectoriels E(? 1) , E(
If)
n'aient pas d'element (non nul) en communi ou ce qui revient au
m~me,
que 1'on aU
"ff 1II If = 0,
ou encore
205
* CP1 1\
h = 0 pour toute forme
- 112 -
p. Lelong
r
lin~aire pure v~rifiant h 1\ q = 0 ; Ie quotient appartient
a E~-q Indiq1.!ons
les gk appartimant
s~uIement
a une
'f I
ici Ie principe de la
ainsi
d~termin~
d~monstration
base ti nit air e de Cn(dz) • Alors
: soit
fA r= 0
entraine
I~ k ~q
On remarque alors que si
f
est
~crit
dans une base a laquelle appar-
tiennent gI' ••• ' gq , sous la forme (12) t3 ne contenant plus ni gi ' ni gI' alors on a t3 = 0; mais Ie fait que
f
est positive entraine dans (12) que l'on ait tl
e
E P'; I , t2
=t~
;
t3 = 0 entraine d'autre part t2 = t~ = 0, [SUbst:tuer a gi l'expression hg i et remarquer que l'expression obtenue en h, h donne un r~sultat positif dans toute ('f ,Ln- p) . Finalement ~ A = 0 entraine
r
e
On divisibi1it~ de
op~re
f
alors de proche en proche de par les produits (igk A gk) •
206
mani~re
a obtenir la
- 113 -
p. Lelong
Soit
on a
oil A q est Ie sous-espace vectoriel de en associ~ a tient (11) oil
'P 1 est
d~termin~
r,
et 1'on ob-
par
3. Formes positives a coefficients continus; courants positifs.· - On obtient
encore une
les formes dont les coefficients sont pri~ dans l' anne au des fonctions continues sur une vari~t~ wn a structure alg~bre
si l'on
consid~re
analytique complexe; mais avec quelques
pr~cautions ~videntes,
les resul-
tats s'etendent aux formes generalisees (courants). Definition. ve, de
degr~
1
g~bre
o
Une forme differentieIle sur Wn sera dite positi-
p, sl : eIle est
homog~ne
de type (p ,p) ,
2' ses coefficients sont des fonctions continues sur Wn ; 3 0 en tout point zO (: Wn , eIle est une forme positive de l' alexterieure E 2n (dz , dZ ), c'est-a-dire verifie la condition (5) pour k
k
tout syst~me Ln - p de formes lin~aires pures
207
0(
1' ... ' Q(
n-p
- 114 -
p. Lelong
Remarques. 1 0 Si l' on a sur Wn une met rique donnee par une forme hermitienne definie positive ~ g
~
pq
dz
p
dz-
q
= ds 2
des coordonnees locales dz k , dZk ' et si I' on pose
f2 =.! [g 2
pq
on peut dans la condition (5) remplacer
n l!1 n. I
dz /\ P
1;'
n
dzq par "1'element de volume"
•
2
o
La classe des formes positives, de degre p, soit
est independante des coordonnees locales choisies sur W • 3 J On remarque qu'on a deux possibilites d'exprimer qU'une forme
'f' ' acoefficients
l'une est d' ecrire neaires pures
e ( cp
continus, de type (p ,p) appartient
; 0( 1"'"
a coefficients
a cP ~ :
0( n-p) .) 0 , les 0( k etant li- .
constants (ou plus generalement continus);
il suffit alors d' ecrire les conditions
en chaque point pour tous les plans complexes Bn - p • p
On peut aussi exprimer qu'en chaque point la forme. duit sur chaque sous-espace
AP
tangent
208
a W,
soit dZ k
=
cP
L a~ dUj
in,
- 115 p. Lelong
1 .£ j
~
avec c(
p, une forme
f ,j,p)
~ O. Pour I'expression de ces conditions, il sera indif-
ferent d'utiliser, dans l' espace tangent, Ia met rique induite pour celle de Wn , ou celle de 1'espace euclidien en (dz). Definition. -
Un courant t(
'P ) sera. dit
positif, de de gre p,
de dimension (complexe) n-p sur Wn si a. il est
de qegre (p ,p) ; n-p _ . b. pour. tout syst~me L - (0( 1' ••• '
a coefficients
homog~ne
~
VI
n-p
)
de formes pures
constants, on a
A (i 0(1" ~
t
1)1\ ... 11 (i0(
n-p
Ai,
n-p
) = T(t,Ln- p)
ou T(L n- p ) est une distributi'on positive (donc une mesure positive). Il revient au m~me d'exprimer que pour toute f , ~ (W) avec f ,) 0, on a
j
tA(fio(lA«"l)A ...
Aio( n-p A~
n-p
~O.
Remarques. Q
1
Pour qu'un courant soit positif, il faut et il suffit qu'il Ie
soit Iocalement. o
2
Soient
AP
n n-p un sous-espace de e (d\) et B Ie sous-espace
complementaire :
209
- 116 p. Lelong
B n - p une mesure positive; J\ n-p n-p n-p tout systeme non d~g~n~r~ I ~ de B ,soit B 1 •..~ .• B en N n'ombre N, donne la possibilit~ de calculer'les coefficients de est une application qui associe
t = .[ t(.)(.)dZ i " , 1 J 1
a t et a tout
00'
1\
Adz. Adz. lp J1
00'
1\
dz. Jp
sous la forme
les
c~i)(j) ~tant des constantes complexes; les T(t, ~-p) sont des mesu ...
res, done: Proposition 7. -
Un courant positif test continu d'ordre z~ro:
Ie s distributions
associ~es
a ses
coefficients sont des mesures de Radon complexes; et
l'on a
Il en
a coefficients
r~sulte
continus
qu'on pourra multiplier un courant par une forme
a support
compact.
210
- 117 P, Lelong
0' autre part les
d~finitions
entrainent :
Les classes ~ ~ ,T~
Proposition 8, -
(formes positives
et courants positifs) sont invariantes par un homeomorphisme analytique complexe. Dans la suite on se bornera
a l'~tude
de formes et de courants
positifs dans des domaines de Cn . On peut envisager pour un courant t 6
T~ diff~rentes normes dans un domaine 0 •
I t( f )I '
l' N1(t) = sup cp dans 0, indMiniment
2 ~ N2(t) mesures complexes
f
pour les
a support
compact
d~rivables, v~rifiant
= sup 1/ T(i)(j) associ~es
II ,
les TU)(j)
aux coefficients
~tant les normes des
t(i)(j) du courant t.
3 0 N(t, J\ ) = sup T(t, Bn-P ), pour les Bn- p d'un systeme s s s n-p n-p B1 ' .. " BN r~ gulier donn~. Ces trois normes sont Proposition 9, -
~quivalentes.
Si t est un courant positif de degre 1 ,
=i les mesures complexes T
De plus on a :
p,q
[tpq dz P A d~q
associ~es
(13)
211
aux coefficients t
pq
v~rifient
- 118 p. Lelong
En effet, soit f une fonction positive, indMiniment derivable a support compact dans D :
....
L.
T
~,q
vecteur h, d' ou, les Tkk
p,q
(f) h h p q
etant des mesures positives:
II Tpq 1/ ~ Tpp + Tqq Il en resulte que NI(t) ~ Regularisa+ion. -
est positif pour tout
, [ . Tkk • k
r )Tp,q
~ 2n
Plac;ons-nous dans en
suite de noyaux continus, positifs, a'support la boule p Alors, si t G T+ ' Ie courant
t
m
=n~O(
r
T pp •
soit 0(
I z/
m
~
(z) une m- I .
m
obtenu en regularisant par composition chacun des coefficients de t, appartient aussi a T t , et l' on a p
sur toute forme continue a support compact
r.
Par regularisation a partir des enonces precedents, on etablit alors TMor?!me I : a. Le produit d'une forme A
est un courant t "
f
appartenant a
b. Le produit d'une forme est un courant de
T~+1
cp ~ ~ ~ p+1 T+ . f f: i ~
•
212
f
T~
par un courant t €
T~
par un courant t
- 119 -
p. Lelong
Plus
un monOme
g~h~ralement,
1
est un courant positif se les deux conditions suivantes sont 0(
•
tout les
.} • tout les Le
th~or~me
TMor~me
sont des courants positifs et si les
v~rifi~es
:
1 ' sauf l'un d'eux au plus,
l ' sauf l'un d'eux (au plus), de division
s'~tend
2. - Soient un courant positif de
rang q, de degrcA. 1 ,avec
LU T q.~r 0,
If
UJ T q+1 -:
I.f ' ainsi que toute puissance 'f m ,
et l'on a
sont de degr~ 1 •
:
sur une vari~t~ analytique complexe Wn , et
Alors
sont des formes,
degr~
p, 1" p' n,
une forme positive de 0, v~rifiant
tAr = 0 .
1 ~ m ~ q , divise t ,
l'identit~
t=t
(4)
De plus \
1
1\
Ulq I
.
est unique sous la condition
d'~tre
positif et de
v~ri
fier la condition
=0 • Si q l P
~,
on a t v~ TP- q . on a t = t I 1 t ' 1
par
(5)
213
o si
q> p; enfin t1 est donne
- 120 p. Lelong
Il suffit d' ~tablir Ie
localement, c' est- a-dire dans
th~or~me
un doma1ne D de en ; on dM1nit tl par (15) qui a bien un sens, car S(z)
> 0 dans D ; de plus tIE
Tr
q
s1 q ~ p , I' adjoint d' un courant
t € T+' appartenant a T" ; si pc::: q, on a Iftl = O. P n-p On ~tablit (14) a partir de (15), s1 test une forme, en appliquant la proposition 6 en chaque point. Pour passer aux courants on
proc~de par r~gularisation ; on a ~videmment en appelant RO( t =0( Ie
r~gularis~
Soit
de t au moyen du noyau
~
m
*t
0(
I,m
= 0(
m
t et
m
= S-2(z) ~ql\ ,
*t m
On a alors, d'aprh (14) et (5), puisqu'il n'intervient que des formes a coefficients continus
t
D' autre part
'f q
m
=t
I,m
Al,Jlq 1
~tant a coefficients continus,
t = lim m=oo D'apr~s
t
une suite de noyaux r~gular1sants, continus, tendant
vers la mesure de Dirac. Soit t
(6)
*
(16) lim tl,m=t 1 ex1ste et v~rifie
214
- 121 P. Lelong
et l'on a
t
Pour
l'unicit~,
et si t 1 est positif,
*\
= (lim
t
) 1\ q = t A UI q • 1, m I l
'¥
si ron a
l' est aussi et 11 existe alors t2 ' tel que
l'on ait
D'ou
t2 = S-2 (z)
et d' apr~s (17)
on retrouve ainsi l'expression (15).
215
*t
- 122 -
p. Lelong
Image d'un courant positif. -
Soit z J = f(z) une application
propre et analytique complexe d'une variete Wn analytique complexe dans une variete W' n analytique complexe. Soit t un courant positif sur Wn• Son image t I = ft est definie par
011 f 1
'f
resulte de
de z et dz ; t'
'P
par remplacement de z /
et dz I
en. fonction
est un courant positif.
On notera que si l'on considere deux ouverts U et U
I
en cor-
respondance biunivoque par f, et deux compacts K C u, K' Co u', avec K' = f(K) , il existe deux constantes a, b (dependant de' K) telles que
Applications. Cas des courants positifs fermes. 10
Si Vest une fonction plurisousharmonique, t = id
z
d- V
z
est un courant positif ferme. Reciproquement si Vest une fonction 10calement sommable ( tion 1c
-0)
~
de la Definition 1
V < +00 en tout point), si V verifie la condi-
,§
1 du Chapitre 2, et si id z dz V
'T~
Vest plurisousharmonique. De plus, si l'on se donne un courant t positif ferme de degre 1, l' equation
t
id
d_ V
z z
admet localement une solution V plurisousharmonique.
216
,
- 123 -
p. Lelong
2
/)
8i l'on consid~re en particulier la fonction V = log I f(z) I
associ~ t = i .1t -1 d d_ log
ou fest holomorphe, Ie courant
z z
If I
l'op~rateur d'int~gration
sur Ie diviseur f = 0 et la me sure positive
(1 B)
0"
t
=
,
est
Ap n-1 (n-l)!
= 0, On pose
est l'aire de l'ensemble analytique f
0(
Le
i = "2 dz d
r~sultat
[3
Courants positirs
e T~-P
1 -..r E T;.
\ log '- zk z k
n dans C - 0 .
a H.
(pour la formulation
(1B) remonte
actuelle, voir Kodaira
degr~ n-p, t
z
Poincar~
J ). ferm~s,
-
A un courant t positif,
de
, associons les courants de degr~ maximum
..; = Jt'
-p t "
0( p
fop p!
mentale
ferm~
est la forme fonda-
"~l~ment de volume" de la dimension complexe p. La forme
est la forme positive dMinie par
217
0(
- 124 p~
Lelong
(19)
Elle est positive car on a vu que V = log II z 1\ est plurisousharmonique, Elle est
d~finie
cr
plication
sauf pour z = 0 , Alors d'aprh Ie
et
th~or~me
de multi-
sont des mesures positives si t est un courant
)J
positif de type (P, p) , Utilisons maintenant l'hypotMse que t est en supposant d'abord que t soit une forme Ions
/lull B -B
en supposant t d~fini dans
11
