*. 5icci (Ed.)
7eoria dei numeri Lectures given at the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.), held in Varenna (Como), Italy, $ugust ,
C.I.M.E. Foundation c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini” Viale Morgagni n. 67/a 50134 Firenze Italy
[email protected] ISBN 978-3-642-10891-4 e-ISBN: 978-3-642-10892-1 DOI:10.1007/978-3-642-10892-1 Springer Heidelberg Dordrecht London New York
©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 st Reprint of the 1 ed. C.I.M.E., Florence, 1955 With kind permission of C.I.M.E.
Printed on acid-free paper
Springer.com
CENTRO INTERNATIONALE MATEMATICO ESTIVO (C.I.M.E)
2° Ciclo - Varenna, Villa Monastero – 16-25 Agosto, 1955
TEORIA DEI NUMERI
H. Davenport:
Problemes d’empilement et de decouvrement ......................
1
L. J. Mordell:
Equazioni diofantee .............................................................. 45
P. Erdös:
Some problems on the distribution of prime numbers ......... 79
G. Ricci:
Sul reticolo dei punti aventi per coordinate i numeri primi ....................................................................... 89
C. A. Rogers:
The geometry of numbers ..................................................... 97
H.D A V E H P 0 R T
PROBLEMES DIEMPILEMENT
ET
DE DECOUVREMENT
ROMA-Istituto Matematico dell'Universita,1955-ROMA
1
H.Davenport
PROBLEMES D'EM'PILEMENTET DE DECOUVREMENT
Le sujet que je me propose de traiter dans ces conferencea of fre beaucoup de problemes simples et interessants, qui pour l a plupart attendent toujours une solution.
Jusqu'a present
on n'a pas trouve beaucoup de methodes applicables a ces mes, et
a mon
probl~
avis, un ricne terrain attend encore la decouv erte
d 'idees nouvelles.
1.
Definitions.
Les concepts d'empilement Ie plus compact et de recouvrelQCnt les moins compact sont tres generaux, et nos defini t ions seront done d'une portee plus large que nous n'est necess aire plus tard. Le sujet se rapporte
a 1 'espace
numerique reel
a.
n dimc))wions
et nous nous servirons de la notation suivante. N:ous desi gncronS' un point quclconque de l'espace par
et nous definissons
A~ = ~ +I
( A un nombre
(Ax1 ,···, AXn)
= (X 1+Y1'···'Xn+Yn)·
Pour chaque ensemble E de points, nOlus noterons ble de tous les points rci ~ designe
ULn
A~,
~
+
AE l' ensem-
ou ~ est un point quelconque de E.
nmmbre reel
j
soit positif, soit negatif.
chuque point E de lies pace, notons points
re el),
E+E
Pour
llensemble de tous les
E, ou 2! est un point quelconque de E.
Soit S un ensemble borne de points, mesurable au sens de 3
H.Davenport
- 2 -
Lebesgue et
a mesure m(S)
> O.
Suit C Ie cube
1 2
Soient
~1'.'"
des points tels que les ensembles
~k
S + ~1'.'"
S +~
soient tous disjoints et soient tous contenus dans Ie cube ou
A est
A c~
un grand nombre positif,
Nous disons que ces ensembles sont empiles dans le cubeAC.
La mesure totale des ensembles est k m(S), et Is mesure (c'est-a.:-
A. C
dire Ie volume) de
I
ainsi k m(S) 'Am.
A'rI.
est
La densi te de 1 I empilement est
Si ko designe la plus grande valeur possi blede
k, nous definissons la densite de l'empilement Ie plus compact de S dans
A C comme
suit:
(1)
<S( 5; A0) ~
On a 0
1•
On demontre facilement que la limite
existe, et nous appelons l~us
compact pour S, ou Ie coefficient dlempilement de S.
Gonstatons dlabord deux proprietes simples de ~ (5; AC), con5idere comme fonction de diminuer
a mesure
que
i\. .
Primo, Ie nombre ko ne peut pas
A augmen-te,
que
4
et SiA 1 .( A2
il slensuit.
H.:!Davepport
- 3 -
Secundo, on a
pour tout entier positif m.
Oar on peut regarder le cube mAC
comme une somme de mn cubes, dont chacun est congru a
A0;
et si
on repete dans chacun de ces cubes l'empilement Ie plus compact pour Ie cube).. 0, on obtient pour mAO un empilement possib1 8 la meme densi te qu' auparavant. Ces deux proprietes montrent
S( 5 ; AC)
est une fonction presque monotone de
s tence de la limite s'ensuit facilement.
I~emarquons
que nous aurions obtenu la
A , et
a
q'J.0
I' exi-
On a, bien entendu,
m~me
valeur pour
~~ 5 )
si nous avions suppose Ie cube 0 ferme au lieu d'ouvert. La definition de
S~ ( 5 )
que nous venons de dOll..'1er est un
peu speciale, en tant qu"'elle emplo:fJe un systeme particulier de coordorillees et une espece particuliere de corps (c'est-a-dire eli cube). Ces limitations se laissent facilement lever.
Premie~ement,
il est evident qu1une translation du syateme de coordonaees n'a 8ucun effete Deuxiemement, on peut remplacer Ie cube C par tout ensemble J qui est quarrable,
mesurable au sens de Jordan.
c'est-a-dire~
Dans ce cas-la, nous definissons SCS i que ~ (j ,\ C) mais nous remp1a@ons
.•
>\
A J)
de 1a
par
A"'m(J). Il es t
m~me
fa gon
f acile de demonttrer que
Car, puisque Jest mesurable au sens de Jordan, il est contenu 5
H.Davenport
- 4 -
dans la reunion d1un eftJemble fini de cubes non-empietants
C1 "" ,C r , et contient lui-m~me un ensemble fini de cubes non-empietants c~, ... ,CS' tels que et
et
pui ssent se faire arbitrairement petits. Avec une notation evidente, nous avons
at
. terme 0 ( (\ \ n-1) est introdui t afin de tenir compte du nom'l)rc ou, Ie
+~,~ qui sont contenus dans }l J maQs non entierement contenus dans un de AC 1 , ••• , .~ Cr , En faisant tendre A des corps
vers
CX)
S
nous obtenons
~( C/1 \ . ~
0,' -t('0') (
rm
(C 15 )
J)
ffll(C) + ... +
W\
(Ct)
tm (3)
ce qui donne (4).
La relation (4) montre en pa:cticulier que jnvariant affine de S, c'est·,· 3.-dire que· $"(S1)::
X
S(S)
b~S2)
est si S...I
S(:
transforme en 32 au moyen d'une trasformation lineaire de l'e s pac(: a determinant non-nul, Car, dans une telle trasformation, 1:.1 mesure de J et :La mesure de D se multiplli:ant tous les deux pcr 6
H.Davenport
- 5 -
le mame nombre,
a savoir
le determinant de la transformation.
Nous passons maintenant
a la
definition dtun autre nombra:
la densite du recouvrement Ie moins compact pour S, ou Ie coeffi-
c~ont
de
r~couvrement
de
S,
que nous designerons par
~ (S). s
nnte toujours un ensemble do points Vlorne et mesurable, mais nors allons supposer maintenant que S ai t au moins un point interic)ul', afi11 d'assurer qib.e la densite soit toujours finie. Soient des points tels que la reunion des ensembles
3,1" , ,,3,1
S + 3,1 , ••• , S + 3,1
contienno tout 10 cube vrent
A. C.
AC.
Nous disons que ces ensembles reCO l1-
Soi t 10 la moindre valeur possible de 1.
s ons la densite du recouvrement Ie moins compact de
Nous definis-
AC par S com-
me suit:
On demontre dans difficulte que
~
cxistc, Ul1
L'analoguc de (4) ticmt, d'ou i l suit que
~ (S)
nst allssi
invariant affine de S.
On a
~(S) ~ -1
(6 )
Les definitions de
S~S)
at de
~
~
(S) peuvent se formuler
[,utroment. Designons par .£1 '].2" •• un ensemble infini de points, tol que les cnsGmbles S + .l?1' S + .l?2""
soient tous clisjoin-Il;r,
::?r()llons la donsi to superioure de la reunion de ces ensembles, e-t11otons
~~ (S)
la borno superioure de cettG dGnsite supericure,pri-
se pour tout ensemblE) :2.1 '.£2" •• permis. On demontre aisemont qJ,le
7
H.Davenport
- 6 -
cGd;lJe dGfini tion equi vaut
m~me
panr
~(s).
a la
ae
dofini tion donnee plus tard. E-t
2. Empilements et rocouvrements reguliers. On appelle resea~'ensemble de points qu'on obtient de l'ensemble de tous les pmints a. coordonnees entieres au moyen d 'un.e transformation lineaire de l' espacG.
Ainsi les points ! du r'€liieaU
s '0 btiennent de n form.e s lineaires
en uonnant aux variables, u 1 , ••• un toutes :J.es valeurs entikre,s . Les coefficients cl .. sont des nombres reels arbi traires, a conlJ eli tion que det 0)
et supposons qu'un reseauA ait la propriete que
tous les ensembles S + j2, ou p parcourt les points de disjoints. Alors S, (1)
a
A
A , f3oi~J1t
donne un empilement regulier pour I' ensemble
densite m(S)/d( /\ ). Nous definissons
s(S) =~«tt ci(A)5) 'm (
et nous appelons
~ (S)
1\
Ia densi te de l' empilement regulier le
plus compact pour S, ou Ie coefficient d'empilement regulier de S. Nous definissons de fagon analogue la densite du recouvrcmont regulier Ie moins compact pour S, ou Ie coefficient de ment reguliar de S, que nous notons
!i}
recouv.~
(S). Il est evident que
puisqne les empilements reguliers forment un sousensemble de t ow, les empilements, et de
3.
m~me
quant aux recouvrements.
Les corps convexes.
Dorenavant, nous allons no us limiter pour la plupart au cas oD. l' ensemble S est un corps convexe sym~trique. Un corps conve~e
9
H.Davenport
- 8 -
s;r.metr1que K est un ensemble de pOints, ouvert 1 ) et borne, tel
t (2 - ~)
que
est un point de K quand 2 et S sont des pointu
En particulier
-K. K. Il est bien connu que tout corps
est quarrable, c'est-a-dire
pos~ede
ae
conve~
un volume au sens clasSique
de Jordan. Nous allons donc employer la notation V(K) au l i eu m(K).
Le probleme de trouver
S
ae
(K) pour un corps convexe f;;ymetrlque
eqtdvaut au probleme de' trouver Ie determinant critique de 1f, voila un des problemes les plus importants de la geometri8 des noro.bres. Car la condition que les corps K + :£ n'empietent pa& (p. ()-Gant un pOint quelconquc de 1\ 10 r eseau
1\
.:l - :£1 et
ainsi Ie point
~
-:.£2
~,
et K + :£2 ont un point commun £,
se trouvent tous les deux dalile K, et
~(P1-P2) se trouve dans K. D'autre part, s'il
0Aiste un point S de .& +
a 1a condition que
n'a.it pa.s d'autre point que l'origine 0 dans le
corps 2K. En affet, 81 K + ~J.lo:L'S
) equiv aut
A autre
que 0 dans 2K, elora les corps ~ es
t
.9. contiennent tous les deux le point
dn.ns Ia definition de
1\ de maniere
a.
~
(K) dans (1) du
A ) minimal,
rendre d(
/\ n I ai t d I autre point que 0 dans 2K.
Sl et empietent. Done,
S2, i l nous faut choisie
toujoura a condition que Le minimum de d ( 1\ ) sous
cette condition est, po.r det1ni tion, 1e determinant critique du corps 2:K, designe par
I:!
(2K). Done
(1)
Le simple fait que iln
S (K)
,
1 nous donne le theoreme c1assiql4e
l.1inkowski, fondamental pou.r la geometrie des nombres:
D. (K) ~
2-n V(K).
---------------------1) Pour les valeurs de
~ U (K) etc.
dans K sa frontiere ou non.
i l n' importe rien si on il'.cllH,
Les formulations deviennent un pea
plus simple s1 l'on inclue la frontiere quand on traite lEls qlle .. stions de recouvrement mais non quand on traite les questions
a eJupilement. I
10
H.Davenpo:c-l;
- 9 -
Dans los raisonnements relatifs aux corps convexes,U -est [OlXvent utile de s e servir de la norme (fonction de distanc e) C!. ' U~1
corps .
lious a.efinissons la norme F(!) d lun corps convexe symetr::' que It CO Jil.ffiE: suit. Si ! est un po int queleonque autre que 0, i l exist/? Lm nCllmbrc posi tif et bien de f ini .LU
tel que
fl' ontiere de K, et nous posons F(!) :::
d.efinition nous me ttons 1Pkt-
')le Ie cliametre de K. Si
K+R empiete K + ."ei , E est conte"1U
d~lrS
2K + :£ .• Ainsi les corps ~
2 K + :£1' ••• ' 2K + Ek l' ccouvrent
tout Ie cube
(A- Ao)c. II s'ensuit que
Ceci donne Ie resultat enonce, en faisant
A tendre
vers l'iI1fi.ni.
La demonstration de (2) est un peu plus difficile. Nous :rn'el1on s un reseau compact pour K.
1\
qui fournisse un empilement regulier Ie plus
Nous laissons
a c5te
la demonstration
qu't~1
tel reseau existe, car son existence n' est aucunement esse:1ti elJ.e au raisonnement do 1:r
du
~ 3,
Soit
F(~)
la norme de K.
Par la definiti on
il existe un point z .de l'espace tel que M I
13
H. Davenport
- 12 -
pour tout E de /\ P OT
• Considerons maintenant le point
1a definition de lil I ; i l exi s te un point Ep de
(4 )
F (.f- o - 3Z) -
