C. Cattaneo ( E d.)
Relatività generale Lectures given at the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.), held in Salice d´ Ulzio (Torino), Italy, July 16-25, 1964
C.I.M.E. Foundation c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini” Viale Morgagni n. 67/a 50134 Firenze Italy
[email protected] ISBN 978-3-642-11020-7 e-ISBN: 978-3-642-11021-4 DOI:10.1007/978-3-642-11021-4 Springer Heidelberg Dordrecht London New York
©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 Reprint of the 1st ed. C.I.M.E., Ed. Cremonese, Roma, 1965 With kind permission of C.I.M.E.
Printed on acid-free paper
Springer.com
CENTRO INTERNATIONALE MATEMATICO ESTIVO (C.I.M.E)
Reprint of the 1st ed.- Salice d´ Ulzio, Italy, July 16-25, 1964
RELATIVITÀ GENERALE
J. Ehlers:
Gravitational waves................................................................
3
L. Bel:
Sur trois problemes physiques relatifs au ds2 de Schwarzschild.................................................................... 65
G. Ferrarese:
Proprietà di secondo ordine di un generico riferimento fisico in relatività generale .................................. 171
L. Mariot:
Interpretations physiques du quinzième potentiel en théorie pentadimensionnelle .............................................. 191
G. Caricato:
Sul problema di Cauchy per le equazioni gravitazionali nel vuoto .......................................................... 207
PREFACE
The following lectures were intended to serve as an introduction to the theory of gravitational waves, mainly for mathematicians not specialized in the field of general relativity. Accordingly, basic concepts and motivations an the purely local, differential geometrical" pure" radiation theory have been put in the foreground, and conceptually and computationally more complicated recent advances have indica ted only briefly. The references and footnotes should be considered an essential part of the course; I hope that some of them serve to clarify points raised in discussions which followed the lectures.
1
GRA VIT ATIONAL WAVES
by Jurgen Ehlers
1. Introduction: The Basis of the ,General Theory of Relativity From a physicist's point of view the general theory of relativity is of basic importance, despite of its very poor experimental or observational verification, for two reasons: a) It is the most convincing field theory of gravitation which is locally compatible with the experimentally well-established Lorentzian structure of the space-time metric, and b) it is the most impOJ'tant example of a physical theory in which the metric structure of space-time is treated not as given a priori, but dependent on and interrelated to other physical variables describing processes in spacetime. Although b) is not independent of
a) it is worthwhile to stress the auto-
nomousimportance of aspect b):So far, every physical theory, whether nonrelativistic or relativistic, classical or quantum, whether a particle -or a field theory, requires for the formulation of its basic laws as well as for its interpretation a metric and, associated with it, an affine connection which serves to formulate laws relating quantities with directional properties at different space-time points or "events". This implies that in all physical theories the metric has a strong influence on other physical quantities - I need only mention the law of inertia so fundamental not only for classical mechanics but also for, say, the quantum theory of scattering. N.evertheless this metric structure is not reinfluenced
by these physical quantities except in the general
theory of relativity and its generalizations. This strongly suggests the idea that the pre-Einsteinian theories may well be considered as approximate theories
3
- 3 -
J. Ehlers
which describe situations in which the metric field can be treated as an external field which has, under the special circumstances considered, always the same structure, whereas in more general cases or in a more precise description the metric is a field variable like, say, the electromagnetic field. It is certainly more convincing to have a theory where all quantities which are used to interpret the observed phenomena are interrelated ("principle of omnipresence of all state variables", to use a phrase from the modern theory of irreversible processes in continuous media) than the assign some of these quantities a priori and prescribe "laws" only for the remaining ones. If this point of view is accepted, then the gravitational field - if it is iden-
tified with the metric field - acquires, despite of its extreme weakness even in comparison with so called "weak" interactions, a fundamental role in physics since it is coupled to all other fields, due to the role of the metric stressed above.
There is a very good reason for this identication, namely the uni-
versal proportionality of inertial and ("passive ") gravitational mass of bodies substantiated with a precision of 10
-11
1
by the Eotvos-Dicke experiment.
Let us, then, accept this idea of the metric as a physical field, and formulate the first basic assumption of the Einsteinian theory, motivated by the special theory of relativity: (G) Riemannian assumption: The space-time manifold
V4
=
V
carries a
normal-hyperbolic Riemannian metric with the fundamental quadratic form (in an arbitrary local coordinate-system)
G
cab gab (x )dx dx
(1
~
a, b, .... abcd
R ab 2
11 efcd ef l
is the "right-dual" of the Riemann curvature tensor. The metric quantities are those of the external field.
6
- 6 -
J. Ehlers
A nonspinning test particle has, according to (4)1 ' a geodesic world line. For a pair of neighbouring nonspinning test particles the relative acceleration is a linear transform of the relative position vector
xa , u
a
bx a
= 0 ;
a b d (" c R bcdu u ox
(5)
These equations of motion for test particles give direct operational meaning to the metric
gab
since the set of all timelike geodesics determines a nor~
mal hyperbolic metric uniquely up to a constant factor. Moreover, (3)1 and (4) give a precise meaning to the statement that "the curvature tensor descri-
bes the strength and the directional properties of a gravitational field similarly to the way in which the field strength tensor describes an electromagnetic field. Finally, we observe that (4)2 gives a physical meaning to the Fermi propagation of vectors along curves. Since we may take the spin as small as we like" for a given mass, we can, to any desired degree of accuracy, realise a geodesic with a vector parallely propagated along it and orthogonal to the curve. Taking two such
test-gyroscopes near one another, we can supple-
ment (5) by the statementif-; The difference
~ Sa
between tha angular momentum of the first particle
and that of the second particle parallel displaced along the connection vector
6x a
and projected into the local space orthogonal to the 4-velocity
of the first part icle,
b.L Sa
-
,obeys the law
V ~.1.Sa ds
....S
-
x H
where R- a
b d r
bcd u u
Ox
7
c
ua
- 7 J. Ehlers
Here
Ha
belong to the 3-space orthogonal to
u
a
,and
(6)1 is written as a 3-vector relation containing the usual exterior product. Rewritten in this notation,
(5) assumes the form
E
a b d c a R bcdu u ox The equations (6) and (5') exhibit that, for a given "observer" (spatial) vectorfields
...E
and
... H
u
a
,the
defined in the infinitesimal neighbouhood
of the observer's world line playa similar role for a gravitational field as the electric and magnetic vectors relative to an inertial frame for an electromagnetic field. A null-geodesic also has a physical interpretation: It represents the world line of a particle of vanishing rest mass or, more classically, a light ray in the sense of geometrical optics. In this case, the statement can be "approximately deduced" by starting with the general relativistic form of Maxwell's equations and going over to the limit of "locally plane waves of infinitely small wave-length ,,3. As long as we do not have a description of the interaction of matter with gravitational fields, especially gravitational waves, the preceding remarks on test-body motions are a useful preliminary tool for the physical interpretation of algebraic and anlytic properties of vacuum gravitational fields and, especially, their curvature tensors. One should keep in mind, however, that this description of the action of gravitational fields on matter is very incomplete since the reaction of the particles on the fields is completely neglected.
8
- 8 J. Ehlers
2. The linear approximation. Survey of problems In order to get a survey over the problems with which we are faced let us at first drastically eliminate the mathematical complications due to the nonlinearity of eqs. (1) :
fl ab
Let us denote by
the orthonormal components of the flat space
time metric, and let us assume that the quantities
(7)
t') =g lab ab
-fl ab
satisfy the "weak field conditions"
where
r ~c
are the Christoffel symbols associated with the
gab
. Then
the field equation (1) reduces, in the sense of a formal approximation in which small quantities are neglected, to the linearised field equation
(9)
o 0/ ab
-
2\1}
1 (a, b)
+11 ab
WC T 'c
-2T
ab
here
(10)
and the D'Alembert-operator refer to the flat metric
0
and the raising and lowering of indices
II ab
9
- 9 J. Ehlers
A "small" coordinate change
(11)
x
a'
x
a
+
Ea
5
induces the transformation
r
a'b'
U)
Tab
-2~
J(a, b)
+A a bE) , c C
~ a' of the field variables
\lJ Tab One may now forget the "derivation" of (9) and (12) from the rigorous
theory and consider (9) as a gravitational field equation in flat space-time, formaRly very similar to electrodynamics. Then (12) can be considered not as induced by a coordinate transformation bur as a gage-transformation; in fact, the substitution (12) (with unchanged independent variables x a! ) leaves the left hand side of eq. (9) unchanged. It also follows from (9) that
(13)
o
But this equation clearly shows this linear theory of gravitation being physically wrong: According to (13), the gravitational field
\iJ 1 ab
would have
no influence on the energy and momentum bnlances of matter. Although the field is determined by its source
Tab
only up to gage transformations the
linearised equation of motion of a test particle is not gage invariant; this is a second inconsistency'3.
10
- 10 -
J. Ehlers
We therefore have to consider (9) at best as the first step in a sequence 16
of successive approximations", Let us nevertheless apply the flat-space interpretation of (9),
(12) in the following and state some mathematical pro-
perties of this theory rigorously, as a motivation for the analysis of the full theory. Let us consider a spatially bounded source
at rest in some iner-
tial frame. Then the retarded integral
(14 )
lJ'ab (x)
exists and satisfies, if (13) holds, the Einstein convention
o
(15)
~a
and the field equation (9). (dK
is the Lorentz-invariant measure on the past
light cone past,
C
of x.) If Tab and its first derivatives are bounded in the x (14) satisfies the boundary conditions
~ab, c
Xab k c
~a r
r
6- > 0 .
denotes the spatial distance of the argument of
ight line contained in the source region, and
+ It (2.)
ka
t..
from a time like stra-
is a null vector field poin-
ting away from the source and into the future, normalised according to
11
- 11 J. Ehlers ka u
= -1 if u a is the 4-velocity of the line mentioned above. a We now state the
theorem 11 : For a given source
exists up to gage transformations
til of (9) which satisfies the "outgoing radiaTab tion condition" (16). Among these, precisely one satisfies the Einstein conone and only one solution
vention (15) . To prove uniqueness, we apply the Kirchhoff integral representation lt (known in physics from the theory of diffraction)
41t· ~ ab (x)
(17)
-iC _0
rab dK
x
to the difference of two solutions of (9) both satisfying (16). The surface integrals in the general Kirchhoff-representation can and have been shifted to (past) infinity in
Cx
and then give zero because of (16)1,2,3' From (9)
and (17) we obtain for this difference
41'(
r
ab(x)
= - ,~_
which can be written, on account of (16)4' in the form with
~a(x) = ~~ ~ a
dK
x
(2
r
(a, b) -
-2 E + ') (a, b)
l1 ab
11 ab
f
Ec
') ,c
,and is, consequently, gage-equivalent to zero.
The existence has already been shown. A motivation for the name "outgoing radiation condition" for (16) can be seen in the fact that the change
at large distances from the source is smallest for displacements within the hypersurfaces of constant phase,
k dx a = 0 .
a
12
C ,
c)d
- 12 -
J. Ehlers
Because of this theorem, it is no loss of generality for problems involving bounded sources only to impose generally the condition (15), i. e. b
( 18)
o .
~ a; b
Then (9) simplifies to
-2T
( 19)
ab
Outside of the sources, we have
o
0,
(20)
and we define, in the linear approximation, "free" gravitational waves as gage-equivalente classes of solutions of (20). The
"free" classical field theory defined by (20) can be used to construct
a corresponding special relativistic quantum theory of a "graviton field" . For this purpose one hase to define, on a suitably chosen subset of the solutions of (20), a Hilbert space structure with a scalar product that is invariant under (inhomogeneous) Lorentz transformations. You obtain thus an irreducible unitary representation of the inhomogeneous Lorentz group in a Hilbert space of solutions of (20) which is to be interpreted physically as the space of one - graviton states. According to the group theoretic classification of fundamental particles (or fields), one then finds the linearised free graviton field belonging to particles with vanishing rest mass and spin 2. (The spaces of n-particle states and, finally, the total (Fock-) space of the free graviton field can be constructed by standard procedures from the space of oneparticle states, )
13
- 13 J. Ehlers
The metric corresponding to the general solution of (20) which represents a plane wave travelling in the z-direction can be written in the form
G
(21 )
with two arbitrary functions
G
o
+ A(dx 2
A, B
dy2)
+ 2B dxdy
of the "phase"
u = z-t. G o
denotes the
Minkowskian metric. Since the coefficients of (21) depend on
u
only, the curvature tensor
(and all intrinsic characteristics of the metric field) are propagated without change along the rays (x, y, u) = const. which form a congruence of null geodesics, i. e. a plane gravitational wave propagates without distortion with fundamental velocity. (21) is in Gauss'normal form with respect to
,and thus the geodesics
(x, y, z) = const. may bethought of as world lines of test particles. It follows from (21) that a cloud of such particles undergoes a volume-preserving deformation which is restricted to directions orthogonal to the direction of propagation of the wave; the magnitude of this deformation depends on the amplitudes
A, B .
In order to characterize the wave (21 )independently of a special set of test particles we use the linearized curvature tensor. It has the form
where
(22)2
..
" mabmcd - mabmcd
R abcd
(22) 1
mab
is a singular bivector,
mab m
ab
0
14
~
mab m
ab
0
- 14 J. Ehlers
Consequently there exists a null vector
ka
such that
0).
(->
The quantities
mab' k
a
The 'interpretation of
are determined by mab' k a
R abcd
up to their signs.
follows from eq. (5) : Let
ua
be the
4-velocity of an arbitrary nonspinning test particle or "observer" . Then
p
(23)1
a
-
a b m bU -k u
c
c
.. a b a =- m bU q c -k u c
form an orthogonal pair of (with respect to this observer) purely spatial vectors, and (22) may be rewritten as
The accelerations of nearby test particles relative to our observer are, according to (5) and (23) , given by
(24)
These formulae show: The acceleration of a test particle relative to a freely falling observer vanishes if and only if its position vector to the projection
k~
of
ka
li x a
is parallel
into the observers 3-space. (k a u a )2 is equal
to the ratio (magnitude of relative acceleration / distance) for arbitrary nearby
15
- 15 J. Ehlers
test particles. The acceleration is parallel to parallel if
b
0( xa
if
'xa 0
Apa
, anti-
x a = A, qa . ka
For the wave (21)
is given by
(25)
and the propagation of the wave along the rays is expressed by
m
ab;c
o
kC
which implies, by (22) ,
R
abcd;e
ke
o
0,
A freely falling observer, however, will notice changes of the field; the strength (k U a )2 will be a function of this proper time, and the directions a a a a kJ. ,p ,q will rotate relative to spatial axes which are parallely propagated along his world line. These changes may be used to define, with respect to an observer, monochromatic waves and, among them, linearly, circularly etc. polarized waves quite similar to electrodynamics. We finally remark that vacuum curvature tensors of the algebraic type (22) can be characterized by the existence of a vector
(27)
Rabcd k
d
o
(~
ka
such that
0)
this remark suggests a way of defining pure radiation fields in the rigorous theory.
16
- 16 J. Ehlers
Let us now return to the inhomogeneous equation (19) and its retarded solution (14). If we choose an inertial frame in which the source is at rest and located near the origin of the space-coordinates we may write
(28)
CZ' l denote 3-vectors). If we are interested in the radiation field at large distances from the source, we will, as usual, write =
of
I
t - I~ + ( 12f r
-1
and develop
I - j 2f - :iP
__1___ /:!f -
, obtaining
N b(U, w)
a
\lJ ab (x, t) =
T
where we have written
-
u
+
r
II
~
,r
J
= I~ I
I~I
- I ~ - II
in powers
1 e (------z) r
for the retarded time
rection given by the unit vector
t-i!-ll
and
t - I~I
w
for the di-
' and x. X r
3
T b(y, u + --- ) d Y
From (29) it follows that
a
-
.
~ ab;c
-N ab k
r
c
+
e(~) r
..
N
~ ab;cd
~k
k + red
e(+) r
here the dot indicates a partial derivative with respect to the retarded time for fixed
w ,and
ka
is chosen as in (16) . Since the Einstein convention
17
17 -
~
J. Ehlers
(15) is satisfied in consequence of (13) we also have
iTab k b (30)2,3
= a(..!..)
r
give for the linearized curvature tensor the expression
{ (23)2 + a( :2)}
(31)
with
iab = (2r)
-1" (Nab
This result proves : The
1 2
Aa bNc c )
..!.. - part
+ a (+) r
of the curvature tensor which belongs
r . 10 the retarded radiation field of a bounded source has the same algebraic
structure as that of a plane wave. can of course be carried on fur-1 ther; the coefficients of the higher powers of r will be functions of (u, w) The development indicated before (29) 1
which can be represented by integrals like (29)2 with Tab replaced by its 2 2S. .;£. • We shall time derivatives, multiplied by polynomials in;t and r
return to this result in the rigorous theory. If the changes within the source are sufficiently slow it is useful to develop the integrand of (29)2 in powers of
1l!Jf. ; this leads to a multipole expansion of the radiation field. Becaur
se of the energy-momentum conservation law (13) the lowest order radiation is of the quadrupole type. We may finally ask: What is the energy carried away from a source by gravitational radiation? If we accept the gravitational energy tensor 20
(32)
tab =
-4l. (
i' cd, a Y cd , b-.!.2 ~"
a
'I' , b- .!.2 ~ ab
18
III
Tcd,e
llJ cd, e
T
1
- -2
If,c If ' c
)
- 18 J. Ehlers
which arises by linearisation of the Einstein energy-momentum affine tensor of the full theory and adding a term the divergence of which vanishes in consequence of (15) (and which can also be constructed by means of the Lagrangean formulation of the linear theory), we obtain from (15) and (16)
(33)
The factor of
ka kb
is never negative.
This expression (33) in conjunction with the expansion above can be and often has been used to calculate the gravitational energy loss of a spinning rod or double star etc. It can be used to estimate the radiation damping and the mass loss of such systems. In particular, one can specialize (28) to the case of a moving mass point (
b-like
source along a world line) and treat the
gravitational analogue of the Lienard- Wiechert potentials and fields well known in electrodynamics and then proceed to systems of a few mass points by superposition (simple quadrupoles etc). In view of the inconsistency of the linearized theory mentioned in the beginning of this section these considerations must be regarded with scepticism, however. A more satisfactory treatement has to include higher approximations such that the reaction of the field on the sources is accounted for. We shall not deal with this difficult question here. The problems we want to consider in the rigorous theory are those of existence, propagation properties, action on test particles of free gravitational waves, and waves emitted by bounded sources, and we shall use the results of the linear theory as a guide.
19
- 19 -
J. Ehlers
3. The Petrov-classification of conformal curvature tensors In section 1 we have seen that the quantity characterizing a gravitational field locally is the curvature tensor, and in section 2, that it is possible, at least in the linearized theory, to find a simple algebraic property, which holds rigourously for plane waves and asymptotically for waves emitted by a bounded source, namely eq. (27). It seems, therefore, useful to perform an algebraic classification of curvature tensors, try to define more or less "pure" radiation fields by weakening the condition (27) and then to look whether the different types of fields obey, rigorously or asymptotically for suitable boundary conditions, propagation laws generalizing eqs. (26) and (31), respectively. This idea has been originally put forward by Pirani and has been developed by Lichnerowicz, Bel, Sachs, Robinson, Trau tman, Bondi, Penrose, Newman Unti, Tamburino, Kundt, myself, and others. It has proven to be very fruitful, at least if the differential-geometrical, strictly classical point of view towards general relativity is adopted, as I do in these lectures. Let us now discuss the algebraic classification of curvature tensors of 4-dim., normal hyperbolic Riemannian manifolds. The curvature tensor has the symmetry properties
(34)
R abcd
=
R [cd} ab'
R [abcd]
= 0
a tensor obeying (34) , given at a point of a manifold, can always be realized as curvature tensor of a suitably chosen metric on this manifold. The linear space of tensors satisfying (34) is an irreducible representation space of the full linear group
GL(R,4).
With respect to the (homogeneous) Lorentz group this representation decomposes according to the formula
20
- 20 J. Ehlers
R abcd
= C abcd +
12 R
gabcd + Sabcd
here
( 36)
is the "bivector metric", and the tensors on the right hand side of (35)1 are characterized by the symmetry properties (34) together with (35) 1 and their "dual symmetries"
"S* = S,
- C
where we have omitted the indices.
R
We arrive at (35) by interpreting bivector space
t
C .. .. +
g .. ..
1 R 1'2
is the curvature scalar as before. R ab cd
as a linear mapping of the
v Cd } into itself and decomposing this mapping into that part, 'h t h e duality w h ic h commutes Wlt
V
~
'* V,
and
that part which anticommutes with it, which is called
S··
Finally, one
decomposes the first mapping into a trace-free part,
C· .
and a sca-
lar multiplication,
12 g R
Explicit representations of
(37)
( 38)
(39)
cab
R ab
cd
R
and
cd
S
are
2 ~ [a
[c
e - gabe (cSdj
Sabcd
Sab
C
ab
-
R 4
21
gab
R bJ d]
R
+ -
b
~ab cd
- 21 J, Ehlers
The tensors on the right hand side of (35)1 have dent components, respectively,
10, 1, 9
linearly indepen-
is algebrically equivalent to Sab' a C bcd is Weyl's conformal cure"
the trace-free part of the Ricci tensor,
vature tensor, briefly called conform-tensor in th following, for which we will give a geometrical interpretation in the next section, According to (35)1 an algebraic classification of curvature tensors is obtained by first classifying Ricci tensors and conform tensors separately, and then taking the joint classification of both, Since we are mainly interested in vacuum fields where R"", Rab
reduces to
C",
and since, moreover
within matter is explici tely given if the stress energy momentum ten-
sor is specified, we concentrate on the classification of conformtensors. (A'l analogous classification of
Rab
I
s has been given by Churchill).
The most elegant way to arrive at this classification, the Petrov-classification,
makes use of the spinor calculus, as pointed out by Penrose. We shall
follow his method since the spinor calculus is a very useful tool for the following investigations, too. Let us remember the main definitions and relations of spinoI' algebra: Let
S
be a complex, ternating scalar product
2-dimensional vector space with a bilinear, all . Its element are called
d ' l' J
2-contraspinors. The term "basis" shall be used only for pairs elements satisfying
_'"
'l' J
The components of
spect to such bases are written
f
A'
etc.
X, /"
of
with re-
as in tensor calculus; a
change of the basis induces a unimodular transformation of the components. (We have a "symplectic geometry" .) We write
(40)
,
"AB
d,
'1
22
A d,1 B 'l'
- 22 J. Ehlers
The components of the "metric spinor" are always given by
f,
(41)
- 0
(AB) -
,
tr12
s·
We can now construct the dual space 2-cospinors and written and its dual
s·
=
~A
s
of
; its elements are called
S i ~ A}
; the complex-conjugate space
{rA1 .The metric allows
to identify
=
S
and
S,.
we write
1
A
(42)
f,AB
E. AB
and similar relations hold for
Sand
S..
~B
,written with dotted indices, whe-
re
f. ..
(43)
AB
f-AB
numerically if
A
A,
.
B
B
Obviously we can now introduce spinors with more indices and use the usual rules of tensor calculus. Care must be taken, however, with index-shiftings since
is skew; we have, e. g.,
WAA
I
= -
f AA
We use the antilinear mapping
(44)
of
S
onto
S
The order of indices of a different kind is immaterial, e. g. (0 1
AB __
.D 1 BA.
The usefulness of this calculus for Minkowskian geometry is due to the following fact: Consider the vector spaces
23
- 23 J. Ehlers
~
(45 )
11
- \ LIJ
v =
AB 1
5
and the scalar product
(46)
which is real-valued over
(47)
"K:A
\
l1\
V x V • Take a basis
fA
A
A
,r- A J(
of
S
= 1
and define
m
(48)
AB
-~
A -
"..
B
and (we omit indices) 1 e. - f2
(t
1 1 - i f2
+ t)
-
(t - t)
( 49) e " 3
Then
1\ t, t, k, m I - )
1 If (k + m)
is a basis of
e
4
=k
•k e a
= m. m = t
1
p
(k _ m)
VI: 1 a basis of V,
~
products are, according to (46), (47), (48),
t
=
.k
=t
e = /:,. b ab
24
.m
and (49),
= 0,
t·
t =k . m = 1 ,
and the scalar
- 24 -
J.Ehlers
The metric (46)1 in
V
V
has, accordingly, the signature +++-
is a
Minkowski- space. We can describe the elements of nents
V
-
(or V) by means of their compo-
~a
instead of using
with respect to an arbitrary basis of V (V) (gAB the IIspinor" components" 1 ,and then write
a
(52)
!;
.
(0 AB AB 1
of the basis of
A change ces, via (49), a Lorentz-transformation in homomorphism of the unimodular group
V
S
indu-
,and one can prove that this
SL(C, 2) =
AB
i. e. they are represented by "bispinors"
If the "translation" (55) is applied to the curvature tensor, a spinor
RAE BF CG
DH
is obtained. It may be decomposed into irreducibile parts
by the method described above; then the spinor analogue of (35) 1 results. I only write down the decomposition of the conform tensor: 1
(62)
2
here "h. c.
n
denotes the Hermitian conjugate as in (60).
The converse of (62) is given by
(63)
rABCD
1
=
2"
.
E
.
G
CAEB CGD
The complicated symmetry-and duality properties of
Cabcd
with the statement that a representation (62) holds and formspinor, is totally symmetric. Now it is easy to classify the
C' s by classifying the
are equivalent
r ABCD
,the con-
r's , to obtain
normal forms, and to give geometrical interpretations of the results.
28
- 28 -
J. Ehlers
According to the fundamental theorem of algebra the binary quartic A B C .D ~ AB CD ~ is a product of linear factors. That
sst,
r ( ):: r
means there exist spinors
(64)
1(, A
such that
'ABCD
the corresponding null directions being determined by
o
(65)
Naturally one may assign multiplicities to'these "pr'incipal null directions" of
C ... Let us write
two simple p. n. d.,
C: 2, 1, 1
to express that
C
has one 2fold and
etc. Then we may define the Petrov-types conformtensors
(-spinors) by the following table:
I: 1,1,1,1;
II: 2,1,1;
D: 2,2;
(66)
III: 3, 1; The last type,
0
N: 4;
0: ---
, consists of the zero conform tensor only; this type be-
longs, as is well-konwn, to conformally flat spaces. The symbols are to be used as names of the types and also as kernel letters of of
r.. 's
1, ... ,0 C ... 's
belonging to these types.
This classification is not only invariant under Lorentz-transformations but also under "duality rotations" given by
or, tensorially, by
29
- 29 -
J. Ehlers
C. ..
cos 17 C... + sin (}- .. C ...
_
and under moltiplications with real scalars. One can now use the fact that triples of null directions can be transformed into arbitrary positions on the Argand sphere (see above) in order to obtain normal forms for the "special" types, i. e. those admitting at least one degenerate null direction. Such normal forms are
(68)
(69)
III ABCD
(70)
D ABCD = -
A((,
"'(A I""B) lC(C
r D) -
t
A(C E. D)B)
o,
- 1 (4
~ (A I.\\ B)
l\
(C
I
1\
D)
+
Ie
A
)C
B f' C I"" D
(71)
+
r A /" B
lC C )( D) + 4 K A )\ B " C
1;;
D'
1
f
here is always
1 .
(72)
In the cases II and III the "eigenbasis" te ambiguity, in case
N
(1) A'
rA 1
is fixed up to a fini-
up to null rotations, and in case
D
up to rotations
(58).
A non-special conformspinor can be written (in three different ways) as
30
0 ,
- 30 -
J. Ehlers
(73)
+
r ( )(
A K B )( C )\: D +
rArB r C r D) t
0
where again (72) holds. These normal forms can, of course, be written in tensor form, but the resulting formulae are complicated, and we shall not need them. We want to mention, however, the equations which characterize a spinor
11:
A
down the corresponding tensor equations for f(;
A
c d
A
C abcd
'
and we also write a A - B and k ~')
O. On sait que ceci existe et nous nous proposons de carac-
teriser ces solutions particulieres des equations du mouvement par une relation entre les deux constantes du mouvement E et P. Nous supposons, bien entendu·, ce cerc1e contenu dans un plan
p
= cte.
Posons : 1
u =r
Si r
a
e-
=a,
u
= 1.. a
;0
d.. et par consequent toutes 1es derivees de u par rapport
doivent ~tre nulles. Or de (I, 25) il vient du
(II, 1)
n
2
(II,2)
de-
,£.il.
cP
etant d'apres (I, 22) et (I, 9) : .[}.2
=
2j'1X 2u 3 _
X 2u 2 + 2f
ou nous avons pose
x:
=cp
Nous devons par consequent avoir (II,3)
D'autre part par definition de (II, 1) il vient
Soit
85
m
2 4
c u-
- 17 -
L. Bel
et cette expression devant @tre nulle pour u
- d D.. 2 (0()
(II,4)
du
=
=
d....
0
Reciproquement il est facile de voir que (II, 3) et (II, 4) entra:tnent
u = O
doit ~tre retenu. En effet
~ -1
S
~ +1
conduit a
2 .:: O. Bornons-nous pour l'instant aux etats lies au sens stricte.
De (II, 7) i1 vient a l'approximation envisage mc 2
En
VI -
"zn: '
d' ou finalement : (II, 9)
E
n
~
mc
2
88
- 20 -
L. Bel
Autrement dit les energies de liaison des differents etats sont 2 _ W = 2 mc n 2n2
A
et cOIncident avec les energies correspondantes du cas newtonnien. Nous obtenons les rayons des orbites correspondant n a partir de (II, 6) en posant 3 /... pres est:
E"
-1. Le resultat
a des
a chaque
valeur de
termes de I' ordre de
tX. n donc
resultat qui coincide encore avec Ie resultat newtonnien. d. - Les resultats precedents peuvent ceci qu'ils confirment
a un tres
~tre
consideres satisfaisants dans
haut degre d'approximation les resultats d'u-
ne theorie, la theorie de Newton, que l'on sait
~tre
une excellente theorie du
champ de gravitation. Toutefois nous croyons qu'il ne serait pas justifie de pretendre que la question des energies de liaison des etats lies gravitationnels est tranchee. 11 convient de se rappeler que nou,; n'avons quaritifie que les··orbite'; circulaires et que la ccindition d'cirbite circulaire elimine l'essentiel des corrections relativistes. M~me
s'il faut se mefier de tirer des conclusions trop generales de l'e-
tude que nous venons de faire, il nous semble qu'elle a ete utile. 11 a ete en effet conjecture [3] que dans Ie probleme qui nous occupe il n'y aurait pas d'etats lies quantifies. Les resultats que nous avons exposes semblent prouver Ie contraire et on ne voit pas tres bien pourquoi la methode de quantification de Bohr,
m~me
en la sachant incomplete, serait inadequate dans notre cas
alors qu'elle a tres bien reussi ailleurs.
89
- 21 -
L. Bel
e. - Nous avons exclu l'expression (II, 8) de ~ [, = +1
pan:!e qu Ielle entrafhait
~
2
qui correspondait
a
2(JP
(II,16)
lim () c~
1
...
D'autre part q ne depend pas en fait de c (II,17)
q =
2kMm2
t;2
11 ne nous reste done quia etablir Ie comportement limite de .}f 2. Or :
2 2 me
~2
(J 2
(J - - - 2 -
. <JC
Ou encore
2 2 m c
=
c
mc 2
2
rl
1
'f? )
et d'apres (1,1)
2 2 me
93
C
~2
2.2 2·2 2·2 = r +r + sin 9
(e
2
]
• 2 . 2 (t) +sm
2 (j v r 1 (J--+-(1--) c2 c2 (T
OU:
v
r2
-j
.. 2
e'f' )
- 25 -
L. Bel
Par consequent : E2 2 2 - -2- = lim m c c c~tP
1-1
L
- (1
Donc: lim,}\' 2 c -) p.
a un
developpement
Autrement la formule (II, 28) manque de signification
fonctionnelle. Toutefois d'apres un theoreme de Poincare [2 Jrelatif
a la
methode de La-
place pour la resolution d'equations differentielles lineaires dont les coefficients sont des polynomes, on peut affirmer qu'il existe toujours une solution au voisinage de l'infini qui coincide avec (II, 28) si cette derniere existe et dans Ie cas contraire a pour developpement asymptotique Ie deuxieme membre de (II, 28).
Nous ne savons pas
a l'heure
actuelle si Ie developpement (II, 28) est
convergent ou pas, mais donnons quand-ml:'me Ie relation de ricurrence pour
100
- 32 L. Bel
Ie calcul des coefficients b m puisque nous savons, d'apres Ie theoreme precedent, que de toutes fa
mc 2
---
n
termes de 1 'ordre de
A4
pres
m2c4,< 2 n
d'ou il vient finalement
a des
2
termes de l'ordre de
103
;( 3 pr.es
- 35 -
L. Bel E = mc 2 _
2
~
2
~ 2n2
ce qui etablit Ie resultat enonce puisqu'il coincide au terme additif mc 2 pres avec (B, 12). Le postulat de quantification que nous avons adopte conduit done, pour ?~O,
a des
resultats tout-a-fait satisfaisants.
11. - L'etat super-lie. Pour
J
=
-1 un fait nouveau se presente qui n'a pas d'analogue dans
la theorie du potentiel central de Newton. En effet pour
f
= -1
l'equation
(II, 24) donne
Soit, compte tenu des definitions respectives 1
E
V2"
mc
2
Cette valeur de E est la valeur de l'energie qui entra1nait un comportement a l'infini en r -2 pour Ie potentiel effectif (II, 19). Nous devons faire deux remarques au sujet de cet etat qu'on peut appeller super-lie. a) La valeur de E correspondante ne depend pas de bablement dfi au fait que les va1eurs de
f
~
. Ceci est pro-
precises, que l'on deduirait de la
solution correcte du probleme de raccordement des solutions aux voisinages des points singuliers, ne seraient pas entieres mais differeraient des entiers pas des termes de I' ordre de
A.
2. C' est ce qui arrive dans Ie probleme de
l'App. C pour lequel il existe aussi un etat super-lie dont l'origine est similaire
a l'origine
de ce1ui que nous discutons ici.
b) L'energie de liaison qui est
104
- 36 L. Bel
L
mc 2 -E
mc
2
~
0,3 mc
2
est d 'un
ordre de grandeur bien superieur a. celui qui correspond aux etats J 2 mc 2 newtonniens qui est de I' ordre de " 2 . On retrouve encore un decalage similaire dans l'ordre de grandeur des energies de liaison des etats lies correspondant au probleme de l'App. C.
Conclusion. Au point de vue physique ce chapitre comporte essentiellement deux resultats. Un resultat attendu : l'existence d'une serie discrete d'etats lies dont l'energie de liaison est celle que l'on deduit de la theorie du potentiel central newtonnien. Et un resultat inattendu : l'existence d'un etat super-lie. Nous tenons a. dire que les dontes qu'on puisse avancer sur l'existence de cet etat nous paral'ssent tout-a.-fait legitimes, beaucoup de travail formel restant a. faire pour pouvoir etablir son existence sur des bases plus solides. Cependant nous croyons qu'il y a deux arguments de plausibilite qui inclinent a. croire a. son existence. Premierement, I 'analogie formelle entre Ie probleme que nous avons envisage et celui de l'App. C pour lequel, formellement au moins, l'existence d'un etat super-lie est hors de doute. Deuxiemement, parce qu'il serait vraiment surprenant que deux theories, celle de Schwarz schild et celle de Newton, dont les previsions theoriques classiques peuvent differer enormement pour des conditions initiales convenablement cnoisies, fussent tout a. fait equivalentes du point de vue quanti que.
105
- 37 -
L. Bel
CHAPITRE III
ONDES PLANES A L'INFINI
Introduction Nous abordons dans ce chapitre Ie probleme de la generalization, au ds 2 de Schwarzschild, de la notion d'onde plane familiere, et combien utile, en Relativite Restreinte. Ce probleme est equivalent, dans un sens, au probleme de la caracterization des faisceaux de particules d'epreuve
a energie
et impulsion lineaire
definies. Nous proposons des definitions pour la notion d'onde plane
a l'infini
au
sens geometrique d'abord et au sens physique ensuite. Nous e1ablissons les etapes d'un programme qui devrait permettre, en principe, la construction d'ondes planes me
a une
a 1 'infini
au sens geometrique et realisons effectivement ce program-
approximation qui sera precisee. A cette approximation nous obte-
nons aussi des ondes planes
a 1 'infini
au sens physique.
Les resultats ici obtenus ont des rapports avec au mains deux problemes physiques precis. D'une part, Ie probleme de la diffusion de deux particules
a interaction
purement gravitationnelle. Dans ce sens ce chapitre peut €ltre considere comme une prolongation du precedent. D'autre part, avec Ie probleme de la formulation du phenomene de l'Aberration et de l'effet Dl:lppler dans l'espace-temps de Schwarz schild.
1. - Les ondes planes en Relativite Restreinte. Une famille complete d'ondes planes en Relativite Restreinte est definie par la fonction (III,l)
-Et-t
107
P.x i 1
- 38 -
L. Bel
dependant de quatre parametres E restreindre aux cas
et Pi que nous supposerons, pour nous
physique plus immediat, astreints' a satisfidre
d'inter~t
les conditions E2
- c
2 \"
L
2 Pi ~ 0
E '7 0
i
L'object de ce chapitre est de generaliser la famille de fonctions 8 tout en conservant
a la
generalisation les proprietes qui font l'importance de la
n
notion d'onde plane.
importe donc de savoir qu'elles sont ces proprietes aus-
si bien au point de vue formel, ce qui nous donnera des indices sur la definition generalisee qu'il conviendra de retenir, qu'au point de vue de l'interpretation physique, ce qui precisera Ie domaine d'application des resultats ici obtenus. Considerons Ie point de vue formel d'abord. En Relativite Restreinte l'integrale d'action d'une particule de masse m
est 8
=J: -
mc 2
V-:~ ~dt
o L'equation de Hamilton-Jacobi associee au systeme dynamique defini par l'integrand ci-dessus est: A 8 = (08)2 '-', - tft -
(III, 2)
c
2,
L
et on constate que si E2
-c
2 ~
~
p2 _
2 4
i-mc
la fonction 8 (III, 1) est une integrale complete de (III, 2). Dne deuxieme constatation est que: (III, 3)
42 8 = (I() t 2
l) 28
2 \" ) - c
De (III, 2) et (III, 3) il vient
108
'U 28
L Q >
eident, la direction et Ie sens de l'incidenee 6tant eeux du veeteur n.
110
- 41 -
L. Bel
3, - Programme pour la construction effective.
a. - Nous avons deja rencontre des solutions de l'equation (III, 6) au chap. 1. En effet nous avons vu que quelles que soient les constantes E, M et P pour m
qu'elles conduisent a des expressions reelles la fonction
[,In
(1,23) (III,7)
S
-Et + - c
- - dr +
U
oii (III,8)
est une solution de (III, 6). N ous allons nous en servir pour obtenir une nouvelle fonction S particuliere satisfaisant aux conditions de la definition d'onde plane a l'infini avec quoi la preuve de l'existence sera faite. Posons M
0
et supposons E 2 _ m 2 c 4 .... ~
o
La differentielle de la fonction (III, 7) compte tenu de M (III,9)
dS = -E dt +
~ n c(j
dr + P d
0 est
8
L'integrale generale de cette equation decrit maintenant un faisceau de particules dont chacune des trajectoires est contenue dans un plan et a pour equation dans ce plan (Voir Ch. I Sec. II)
e- 8
0 =
S
cpJ
r
ro
111
r2~
Cf'
= cte
- 42 -
L. Bel
b. - Considerons Ie faisceau de droites paralleles a l'axe z,
e
r sin
r (~)
s
lfo et faisons correspondre a chaque valeur de s la valeur de P (m,10)
~
P = _
\jE2 _
m 2c 4 '
Faisons maintenant correspondre a chaque paire de valeurs (s, l?o)' c' est-
r(~
a-dire! chaque droite du faisceau preuve d'equations au voisinage de
e - ¥iT
(III, 11)
= -cp
j
r
eP
P
la trajectoire de la particule d'e-
9 = :+: II
est:
dr _ ( ) -2-=fr,P,E r
.n..
ayant au deuxieme membre la valeur (III, 10) et
0
etant Ie signe de s .
Nous obtenons ainsi une congruence de courbes qui sont les trajectoires d'un faisceau de particules d'epreuve de masse m, energie E nage de
:+: 17
et ayant au voisi-
une vitesse radiale negative. 11 est clair d'ailleurs que la cor-
respondence envisagee peut Chaque element de
~tre
_Il. (-;{)
rendue biunivoque-. a un point
a 1'infini
pour
e-
=
')(00'"
+1)
et il suffit de developper et negliger les termes en )"'2 pour obtenir ximation envisagee
ce qui entrafhe d'apres (III,24) 2 4 (III,25) ( ~ 2 + C2
11.
)
':l
=
120
0
avec
~
0
-)-I - ( E 2 +:J 2 ))
-.in' 9
)1j
a l'appro-
- 51 -
L. Bel
comme nous avions annonce. Remarque 1. - Les resultats que nous avons exposes iei ont ete utilises pour formuler correctement les phenomenes de I' Aberration et I' effet nl:lppler par A. Montserrat a qui est dO. d'ailleurs l'essentiel des calculs approches, L'utilite de ces resultats pour etudier les phenomenes mentionnes tient au fait qu'ils permettent de caracteriser avec precision Ie rayonnement emis par un object lumineux situe
a l'infini.
Plus preeisement, ce rayonnement est decrit
dans Ie travail de A. Montserrat par une onde monochromatique et plane a l'infini correspondant
a.
m = O.
Remarque II. - En ce qui concerne Ie probleme d.e la diffusion des particules d'epreuve dans un champ de Schwarz schild et les resultats de ce chapitre, Ie rapport s 'etablit evidemment
a travers 1'equation (III, 25) qui est t'equation
d'onde que nous avons deja utilisee au chapitre II pour etudier 1es etats lj.es. La forme de 1a fonction
1!
(III, 25) et Ie fait de satisfaire a I'approximation
envisagee a l'equation (III, 25) en font 1a partie principale a l'infini incident d'un probleme de diffusion correspondant
a.
une energie et direction d'ineidence
bien definies. Analoguement a ce qui arrive pour un potentiel newtonnien I 'onde ineidente est distorsionnee. Cette distorsion dans notre cas est Ie terme enf de Ia formule (III,22).
121
- 52 -
L, Bel
CHAPITRE IV : DEUX ASPECTS PARTIELS DE LA GENERALISATION DU GROUPE DE LORENTZ INHOMOGENE.,
Introduction. Ce chapitre s'inspire de la conviction qu' en Relativite Generale, dans tout domaine exterieur, tout comme en Relativite Restreinte, il convient d'introduire deux notions fondamentales. Premierement la notion d'observateur privilegie. Deuxiement la notion d'ensemble de transformation definissant la correspondance entre les coordonnees d'un
m~me
evenement par rapport
a
deux observateurs privilegies. La trajectoire de tout observateur pouvant
~tre
identifiee
a une
trajectoi-
re spatio-temporelle orientee dans Ie temps, Ie premier probleme revient donc
a distinguer
dans tout domaine exterieur des trajectoires temporelles
particulieres. Le premier point de vue adopte ici est que toute geodesique orientee dans Ie temps peut
~tre
identifiee
a la
trajectoire d 'un observateur privilegie qui
generalise la notion d'observateur galileen de la Relativite Restreinte. Cen'est pas un point de vue nouveau. Il a ete souvent exprime, surtout dans Ie passe, mais sans beaucoup de conviction semble-il puisque seul article
a notre
connaissance un
[5] a ete cons acre aux exigences qu 'un tel point de vue comporte.
Le deuxieme point de vue est que dans les cas particuliers OU la metri.que admet un groupe d'isometries
a un
a trajectoires orientees dans identifiee a la trajectoire d 'un
parametre
Ie temps, chaque trajectoire du groupe peut Nre
observateur privilegie qui est immobile par rapport aux sources. Ceci est, croyons-nous, couramment admis. Le cas qui nous interesse ici est Ie cas du ds
123
2
de Schwarzschild,
qui
- 53 -
L. Bel
est un ds
2
.
statlque admettant par consequent un groupe d'isometries a un pa-
rametre a trajectoires orientees dans Ie temps. Nous distinguerons donc deux grandes classes d'observateurs privilegies. Ceux que nous designerons par 0, dont la trajectoire est une trajectoire du groupe indique, et ceux que nous designerons par 0', dont la trajectoire est une geodesique orientee dans Ie temps. Nous parlerons aussi d'un observateur C
que nous supposerons i2tre a'
-
l'origine des coordonnees polaires. Ce n'est que la convention habituelle pour nous referer a la classe
..
° dans son ensemble,. etant entendu que si
a est Ie
vecteur position d'un observateur de la classe 0 et (r, t) sont les coordonnees d'un evenement P
par rapport a l'origine, les coordonnees de P
a 0 sont par definition
(7-1:
par rapport
t).
Les problemes que nous abordons ici ne sont en fait que deux aspects partiels du probleme general de definir la correspondance entre les coordonnees d'un mi2me evenement par rapport a deux observateurs privilegies. Dans la premiere section no us nous bornons a considerer des observateurs de la classe 0' dont les trajectoires d'espace sont radiales et des evenements qui ont lieu sur Ie rayon de la trajectoire correspondante. Les resultats sont donnes sous forme d' algoritme permettant de calculer les fonctions de transformation des coordonnees d'un evenement P refere a un observateur de la sous-classe de 0' envisagee, et refere a C . Dans la deuxieme section nous considerons l'ensemble de la classe 0' ainsi que C mais par contre nous nous limitons au premier ordre d'approximation dans un sens qui sera precise. Il est clair qu'ayant les formules de transformation entre C
et un ob-
servateur quelconque 0' nous pourrions en principe obtenir les formules de transformation entre un couple quelconque d'observateurs 0' par elimination, entre les formules deja obtenues, des coordonnees relatives a C . C 'est dans ce sens que strictement parlant les resultats ici obtenus sont un premier pas
124
- 54 L. Bel
vers la generalisation du groupe de Lorentz inhomogEme. Mais, tout en continuant
a nous
referer uniquement aux transformations entre C et 0', il est un
autre sens dans lequel il est legitime de parler de generalisation du groupe de Lorentz inhomogene. En effet, ces fonctions de transformation entre C et 0' que nous obtenons se reduisent aux transformations definissant Ie groupe de ·Lorentz inhomogene si dans elle nous supposons que la masse centrale M est nulle. C 'etait evidemment une condition necessaire. Nous definissons, dans la premiere section, ce qu'on pourrait appeler "transformations speciales de Newton" qui avec les transformations que nous obtenons plus tard et qu'on pourrait appeler "transformations speciales de Schwarz schild" permettent de presenter nos resultats sous la forme du diagramme complet : Lorentz
1
Schwarzschild
Galilee
--+
t
Newton
ou une fleche horizontale veut dire que dans les formules de transformation correspondantes on a fait tendre c vers infini, et ou une fleche verticale veut dire qu'on a fait tendre la constante de gravitation k, on ce que revient au m1lme M, vers zero. Les resultats de la deuxieme section realisent aussi ce mais
a l'approximation
diagramme
envisage ce n'est qu'un resultat trivial et nous n'en re-
parlerons plus.
125
- 55 -
L. Bel
SECTION I : GENERALISATION DU GROUPE DE LORENTZ INHOMOGENE SPECIAL A LA REDUCTION UNIDIMENSIONELLE RADIALE DU ds 2 DE SCHWARZSCHILD
1. - "Les transformations speciales de Newton" . Considerons une masse M a. l'origine r=O et une particule d'epreuve de masse m, soumise uniquement au champ de gravitation newtonnien de M, que nous identifierons a. un observateur 0' en chute libre. Nous supposons la trajectoire de 0' radiale et par consequent, abstraction faite, ce que nous fairons dans la suite de cette section, des coordonnees
e !f, et
l'equation
differentielle du mouvement de 0' est
Plus precisement la trajectoire de 0', et par consequent l'observateur 0' lui-m~me,
sera caracterisee par la solution de cette equation correspondant
aux conditions initiales r ,t o
0
et W,
r 0 etant la position initiale de 0' a.
l'instant to et W etant l'integrale premiere W = 21
~ 2 _ kM r
c 'est-a.-dire l'energie au facteur m
=
~ ~ 2 _ kM 2 0 ro
pres. Nous ecrirons symboliquement
O'(P ,W) pour designer l'observateur correspondant. o Soient r et tIes coordonnees d'un eVEmement P, suffisamment proche de Po
par rapport a. C , observateur fixe a. r=O. Nous nous proposons
de determiner les fonctions de transformation donnant les coordonnees r' et t' de ce
evenement par rapport a. O'(P ,W). o Il est conforme au caract ere absolu du temps dans la theorie de Newton m~me
126
- 56 -
L. Bel
de poser t'-t' = t-t
(IV, 1)
o
0
t' etant Ie temps pour 0' correspondant au temps t de C. Et il est cono 0 forme au caract ere absolu de l'espace de poser, si on suppose que les directions r
croissante et r' croissante coincident
(IV, 2)
r' = r-r 1
ou: r1
=
r(t-t , r , W) 0
o
r(t-t , r , W) etant la solution de l'equation differentielle du mouvement coro
0
respondant aux conditions initiales qui caracterisent O'(P , W). Cette fonction o est donnee, comme on sait, sous forme implicite par l'equation : t-to
=
tJr
c=-rIr I
dr
1
ro En developpant Ie deuxieme membre en serie jusqu'au terme en (r 1 -r 0)2 il vient t-t
(r 1 - ro) +
o
e. -=-,rO:-----J:::;--:3,-/;2r2 2(W+ 2 kM
o
kM)
ro
En inversant cette serie nous obtenons jusqu'au terme en (t-t )2 o r1-r
v.
kM kM = (;. 2(W+-)(t-t) - 2 (t-t ) 2 o r o 2 0 o ro
Or (IV, 2) peut s' ecrire r' = r - r
o
- (r -r ) 1
0
et, par consequent, nous obtenons pour r'
127
a l'approximation
envisagee
- 57 -
L. Bel
(IV, 3)
r'
r-r
=
o
-E;.
V
kM ro
2(W+~)(t-t) 0
+kM2 2 ro
(t-t )
2
0
Cette formule de tranSformation est une generalisation de la formule de transformation spatiale du groupe de Galilee
a laquelle
elle se reduit si
a l'approximation envisagee, par inspection de la forc 'est vrai aussi a tous les ordres par construction, comme
kM = O. Ceci est vrai, mule (IV, 3), mais
on peut Ie constater facilement.
2. - Le groupe de Lorentz special inhomogene. a. - Considerons les deux fonctions de transformation, relatives
a deux
observateurs galileens 0 et 0', definissant Ie groupe de Lorentz special inhomogEme t-t (IV,4a)
t' -t'
(IV,4b)
r'
o
=
o
r-r
-vi c 2(r-r 0 )
o
- v(t-t ) 0
L'interpretation de ces formules est fournie par l'interpretation des differents arguments qui y figurent. Ainsi si r ment P par rapport
a
0, et r 0
qui a une vitesse v par rapport evenement par rapport
a
et t sont les coordonnees d'un evene-
est la position initiale
a
a l'instant
to de 0,
0, r' et t' sont les coordonnees du
0'. Cette interpretation suppose en outre que
m~me
t~
est
Ie temps pour 0' qui correspond au temps to de 0 et que les directions positives des axes r
et r' coincident.
Nous nous proposons pour l'instant d'etablir un certain nombre de resultats concernant les formules (IV,4) aussi bien au point de vue formel qu'au
128
- 58 -
L. Bel
point de vue de certaines interpretations dont elles sont susceptibles. Ces resultats nous suggereront dans que I sens il convient de tenter la generalisation 2 . au cas de la reduction unidimensionnelle radiale du ds de Schwarzschlld. b. - Posons -1
E
d' ou i1 vient
v=~
(IV, 5)
E
e. = Ivl ~
VE2_1
et :
Avec ces notations nous pouvons ecrire les formules (IV, 4) sous la forme (IV,6a)
't(PIE Ip) o
'5
t'-t' = -E(t-t) 0
~
VE2_1 (r-r)
0'"
0
(IV,6b)
ou encore pour cette derniere d{(P/N/P) == r'
(IV,7)
o
=
-N(t-t ) + 10
c
V
N 2 +c 2 (r-r) 0
Considerons les deux integrales definissant respectivem'ent Ie temps pro-
1:: f V v~
pre et la distance propre t (IV,8a,b)
1
o
=
1
to
1-
c
dt
J(P 1
f E~ t
P
=
2
2
dt
dr dt
u = -
•
tl
E. de la deuxieme integrale correspondra dans les considerations qui vent a la convention adoptee suivant laquelle les directions positives de r Le
129
suiet
59 L. Bel
r' coincident. Ces deux integrales definissent des problemes variationnels pour lesquels les equations de Hamilton-Jacobi respectives sont : (IV, 9a, b)
(~~)2 _ C2(~::-)2
=
1
On verifie immediatement que (IV, 6a) et (IV, 7) sont respectivement des integrales completes des equations precedentes. En outre de ;
t;) 1"'
~
il resulte que E
(P \ E \ P ) = -E 0
IJJ( (P/N/P) 'dt
=-N
0
et N sont precisement les Hamiltoniens respectifs asso2 . pres, l'energle d'une par-
cies aux integrales (IV, 8). E est, au facteur -me ticule de masse m .
Les transformations du groupe de Lorentz special sont donc des integrales completes des equations de Hamilton-Jacobi associees aux integrales definissant Ie temps propre et la distance propre, les constantes d'integration etant les Hamiltoniens respectifs. c. - Ecrivons symboliquement l'equation de l'extremale de (IV, 8a) correspondant aux conditions initiales Po' E sous la forme
A
etant Ie point variable sur l'extremale. D'apres Ie resultat ci-dessus et
les resultats classiques de mecanique analytique il y a donc equivalence entre les deux relations
I I Po)
(IV, 10)
G(A E
= 0 ¢:>
~i
(A / E
I Po)
=
= 0
a
t de
Y --.l V.t;
- Ev
Calculons d'autre part la derivee totale par rapport long de G(A/ E
I Po)
O. De (IV, 6b) il vient ;
~ dt (A I E I P 0 )
= -
130
c
C \
X
(AI E
I Po)
Ie
- 60 -
L. Bel
soit d'apres (IV, 5)
~(AIEIP) dt 0
0
Comme on a aussi :
il resulte qu'il y a donc equivalence entre les deux relations (IV, 11) Evidemment (IV, 10) et (IV, 11) donnent dans les deux cas G(A I E
IP o) =
0 (=) r - r
0
- v(t-t ) 0
=
0
Les deux fonctions de transformation (IV, 6) definissent donc
a travers
(IV, 10)
et (IV, 11) deux expressions equivalentes de 1 'integrale generale des equations differentielles des extremales de (IV, Sa). Soit G(A IE/ P ) o
=
0 l' equation de la trajectoire d 'un observateur galileen
O'(P 0' E). Pour bien comprendre
l'int~ret
des resultats ci-dessus il convient
d'insister sur Ie fait que, alors que dans (IV, 6) r
et t sont les coordonnees
d'un evenement quelconque, dans (IV, 10) et (IV, 11) rest la position de 0' par rapport
a
0
a l'instant
t. Cette ambivalence d'interpretations des formu-
les (IV, 6) vient de l'ambivalence d'interpretations de l'integrale (IV, Sa) qui est aussi bien l'integrale de temps propre d 'un observateur galileen que 1'inte.
grale d'achon, au facteur -mc d. - Soit P
1: (A I E I Po)
=
?:
2
pres, des particules libres.
un evenement quelconque et considerons la variete (P I E
(IV, ga) correspondant
I Po). Cette variete etant a la constante E elle est
l'extremale G(AIE/P o )
=
une integrale complete de une variete tranversale
a
O. Soit PI Ie point d'intersection des deux. PI e-
tant sur la variete transversale nous aurons
131
7::' (P 1\E/P o )
=
'C' (PIElp 0 )
et
- 61 L. Bel
P
1
et P
0
etant sur la
m~me
extremaIe, d'apres (IV, Ga) et Ie theoreme du
ch. 1. Sect. I, il vient : (IV, 12a)
t'-t' = o
L
1 PI = It VI _ v 2 dt P 2 o to c
l'integrale etant caIcuIee Ie long de G(AIE/P ) = O. o
En inversant les r(''lles des integrales (IV, 8a) et (IV, 8b) un raisonnement identique permet d'obtenir Ie resultat correspondant : r'=X P PI
(IV,12b)
=(tc.\~ ) tl V
l'integrale etant calculee Ie long de
u
'T
-
dt
\;
(AlE Ip ) = o
1:' (piE \p 0 ).
Note. - D'apres la remarque II de la fin de Chap. I, sect. II, on peut resumer les resultats precedents en termes des metriques d't"'2 = dt 2 _
-T c
dr 2
de la maniere suivante : les varietes
di(,2 = dr 2 _ c 2 dt 2
?: (A/E/P o )
= cte sont d'une part des
varietes orthogonales ala famille de geodesiques G(AIEIP ) = 0 , d'autre 2 0 part des geodesiques de ddt . (IV, 12) montrent donc que t'-t' et r' sont o les coordonnees geodesiques de P par rapport a 0'.
3. - Generalisation du groupe de Lorentz special inhomogene
Considerons la reduction unidimensionnelle radiale du ds 2 de Schwarzschild:
'0=
(IV, 13)
~ r
1 -
Les integrales de temps propre et distance propre correspondantes sont (IV,14a,b)
,:1 = o
elV~ )t o
2 v 2dt , O'c
e
d(~ Jt CV~2 =
1
132
l
_c 25 dt,
u=·~~, t=I~1
- 62 -
L. Bel
Soit G(AIElp ) = 0 l'equation de l'extremale de (IV, 14a) correspondant aux o conditions initiales (P , E), E etant I'Hamiltonien o
E
(IV, 15)
qui est une integrale premiere des equations differentielles des extremales de
l:"
) = cte la famille de transversales correspondant o ala milme constante E. Considerons un point quelconque P et la transver(IV, l4a). Et soit
(AlE IP
sale de la famille precedente qui passe par P. Son equation est 'L(AIE\P ) = 1:"'(PIElp ). Elle coupera l'extremale G(A\Elp) o
0
0 en un
0
point PI' Nous nous proposons de resoudre Ie probleme suivant Determiner les fonctions (IV, 16a, b)
P = It PI -
r'
la premiere integrale etant calculee Ie long de G(AIE/p ) long de
o
l' (AlE Ip o ) = 1;' (piE Ip 0 ).
0, la seconde Ie
Si O'(P , E) est l'observateur de 0' dont la trajectoire est G(AIEIP) o 0 nous dirons, par analogie avec les resultats du paragraphe precedent, que
0
t'-t' et r' sont les coordonnees de P par rapport a O'(P , E), et en detero 0 minant ces fonctions en termes de P, E et Po nous obtiendrons les formules de transformation de coordonnees entre C , observateur fixe a r
=
0, et la
classe d'observateurs en chute libre 0'.
4. - Determination de la fonction t' -t' . o La resolution de la premiere partie du probleme est presque immediate. En effet la fonction
L
(AIElp ), pour definir une famille de transversales, o
doit iltre une integraIe complete de I' equation de Hamilton-Jacobi associee a (IV, 14a) qui est
133
- 63 -
L. Bel
D'autre part, la constante d'integration devant 1;tre I'Hamiltonien, ?;,,(A\E\P 0) doit 1;tre de la forme : ?;,(A\Elp ) = -E(t-t ) + W(r, r ,E) 0 0 0
d' ou en obtient facilement (IV,17) '7:(AIEIP ) o
=
-E(t-t ) - -.e.Jr 0
c
ro
.!l 6'"
dr
.0.=
VE2- 6'
Si PI est Ie point d'intersection de la variete ~ (AIEIP ) = ?;"(PIEIP ) o 0 avec l'extremale, G(AIElp )= 0, pour 1;tre sur.la variete" nous aurbns o
1:;'(P 1/E/P o ) = 'ti(PjE/Po ) et pour 1;tre sur l'extremale
d'apres Ie theoreme du Chap. I, Sect. I:
t'(P 11Elp ) = o
't' Pp1 0
et par consequent no.us, obtenons finalement
r.
t'-t' = -E(t-t ) - £ D dr o 0 c ro G" La methode de Hamilton-Jacobi permet ainsi de resoudre facilement un pro(lV,18)
bleme d'apparence complique et qui Ie serait m1;me reellement si on essayant d'appliquer directement la definition de Ia fonction t'-t' . o
5. - Determination de Ia fonction r'. a. - Resolvons maintenant la deuxieme partie. Comenc;ons par constater que la methode de Hamilton-Jacobi n'est pas dans ce cas directement applicable. En effet, nous pourrions appliquer cette methode si la variete 'C(AIE\P) o (IV, 19)
"t (P)E)P ) etait une extremale de 0
~ ~1 = )
t
f.
V~ -
c 2( j
t1
t
dt;s
f
t1
134
L dt
- 64 -
L. Bel et si G(AIE Ip
1:' (AlE Ip o ) =
o
)=
0 etait une variete transversale aux extremales
cte. Or il n'en estrien. En effet, les equations differentielles
E
des extremales de (IV, 19) sont
0, OU :
=
c:=~0L_gL -
Or
o
L
dt
() u
i() r
eu
_
~-~\f,~2~=
(5V~ et puis que sur
-c 2 (5"
"Z'(AIEIPo)
(IV, 20)
u
=
cte, d'apres (IV, 17), nous avons:
=
- ,EcEe"
n
par un calcul facile nous obtenons
~L _
(IV,21)
1) u
E
- -
0
Ensuite, de d dt
il vient finalement
cc6"'
c..~_- -
(IV, 22)
2il
ce qui prouve que les varietes
f
0
T(AIE IP ) = cte ne sont pas des extremales o
de (IV, 19). b .. - Pour resoudre (IV, 23)
OU
A. (r, t, E)
eJt11\
c~s
dt ==
difficultes nous introduisons 1 'integrale
eJt1
[L +
A (E
+
~ ~ u~
dt
est une fonction auxiliaire. D'apres (IV, 20), Ie long de
135
- 65 L. Bel
1:'(AIE Ip o ) =
cte
E+~nu=O c
6"
et par consequent la fonction r'(IV, 16b) peut tout aussi bien (IV,24)
r' =
X~
=
1
Imposons a 1)
A
(t / \ dt
o les deux conditions suivantes
A est telle que les
definie par
Jtl
1:' (AlE Ip ) =
l'integrale etant calculee Ie long de
~tre
' ( (PIE IP ). 0
varietes (;,(AIEIP ) = cte sont des extremales de o
(IV, 23). 2) l'extremale G(A/E/P ) = 0 de (IV, 14a) est une variete transversale o ala famille d'extremales (,"(A\EIP ) = cte. o
A existe nous
Si une telle fonction
pouvons appliquer la methode de Ha-
milton-Jacobi pour calculer la fonction r' . c. - Les varietes 1:'(A/E/P ) o
=
cte seront des extremales de (IV, 23) si
Ie long de ces varietes
g=~ 01\ -
dt
~ u
-
'dl\ dr
Or:
d' ou il vient
qui compte tenu de (IV, 20) devient :
tLa condition 1) imposee a
=
"+ ~S- dA
C;
c
dt
=
0
~ est donc, compte tenu de (IV, 22)
136
- 66 L. Bel
dA
(IV, 25)
dt
avec u donne par (IV, 20). Cette equation determine
~
sur chaque variete
'(:'"(AIE Ip ) = de si on se donne sur chacune de ces varietes la valeur de o
it
en un point. Nous allons voir que c'est precisement la condition 2) qui fixe ces conditions initiales. d. - Une fonction K(AIE) mille d'extremales
'C'
=
cte sera une variete transversale ala fa-
(AIElp ) = de de (IV, 23) si et seulement si (Voir Dei.
o
Chap. I, Sect. I):
(IV, 26)
Mais compte tenu de (IV, 20) :
L=~
n
et d'apres (IV, 21) nous pouvons ecrire les conditions (IV, 26) sous la forme
fJJl
rr
(IV, 27)
fJJ.(,_
7Jt - -
E
S
+~A.Q
c
t cll
+
fi
AE
Ceci nous donne un systeme d'equations en derivees partielles pour determiner
J(,
si nous connaissons
A . Car
si
A satisfait la condition 1),
donc (IV, 25),
ce systeme d'equations est completement integrable. En effet : (IV, 28)
0 J.t
0
2 J( 2 ~-tC)r0t
=
~ n ~A c
Mais d'apres (IV,17):
137
s7(Jt
+
tc 0il.
I()r-
E
0~ .
lOr
- 67 -
L. Bel
(IV, 29) et d'apres (IV, 25) et (IV, 20)
d'ou, par substitution de cette derniere et de (IV, 29) dans (IV, 28) on obtient:
Ce (:lu'il fallait demontrer • e. - Supposons
,A
connue et soit J..(, (AlE) = cte l'integrale generale de
(IV,27). Calculons sa derivee totale par rapport au temps Ie long de G(AIEiPo)=O. De (IV, 15) il vient : (IV, 30)
v = _
6'n
f: c
E
ce qui avec (IV, 27) conduit au resultat suivant (IV,31)
d K _fdJ-t di-1)t
+
0,).1 _ j\ 6" "i)rv- E
Posons: j{(AIE; P ) = o
J! (A/E)
- J{.(P IE) . 0
Avec cette notation l' equation de la variete transversale de la famille J(,(AIE) = cte qui passe par Pest:
o
Jt(AIE; P ) o
=
0
de sorte que en particulier nous avons J{.(P IE; P ) = 0 o 0
Ainsi, la condition necessaire et suffisante pour que l'extremale G(AIEIPo)=O de (IV, 14a) coincide avec
i(.(AIE; P ) = 0, et la condition 2) soit satisfaite, o
138
- 68 -
L. Bel
est que: (IV,32) Ie long de G(AIE; P } ~ O. Autrement dit, d'apres (IV,3l), que sur G(AIEIP } ~ o
II
soit zero o O. Cette condition avec (IV, 25) determine completement la
fonction,lt et par consequent aussi l'integrale generale de (IV,26) J-((AIE} ~ ~
cte. f. - Considerons maintenant, P etant un evenement quelconque, la fonc-
tion :
J(. (pIE;
P ) ~ JUpIE} o
J((P , E} 0
et soit PI Ie point d'intersection de l'extremale [;'(AIElp } ~ 1:"'(PIE/P } o 0 avec la variete transversale: J{(AIE; P } ~ 0 ' j
~
satisfaisant
a la
condition (IV, 47) est
i' { [ \ 2 QjQk] k Rj 0jk + c l-Q o W
-
c
2
Q j U)
0
R~' etant une matrice quelconque du groupe orthogonal qui peut ~tre interpreJ tee comme definissant l'orientation relative du trirepere de 0' par rapport au tri-repere orthonorme adapte aux coordonnees polaires all point A
150
=
A o.
- 80 -
L. Bel APPENDICE A
[1 J, [2 ]
Rappels sur les equations differentielles lineaires au deuxieme ordre. a. - Considerons l'equation differentielle lineaire du deuxieme ordre d 2R + M dR dr2 dr
(A,1)
+ NR = 0
ou M et N sont des fonctions de r. Par un changement de fonction inconnue toute equation de ce type peut
~tre
a une
ramenee
forme canonique ou la deri-
vee premiere n'y figure pas. En effet, si nous posons R = F exp[-
~ JMdr
J
la nouvelle equation pour Fest :
o
+ JF ou
1 dM _ ~ M2 2 dr 4
N
J
b. - Nous nous bornerons dans ces rappels au cas ou M et N sont des fonctions rationnelles. Dans ce cas I' equation peut toujours s 'ecrire sous la forme: (A,2)
P
2
~+P ~+PR
o dr2
1 dr
2
ou Pi (i = 0,1,2) sont des polynomes en r Les points singuliers
a distance
0
sans diviseur commun.
finie de l'equation (A, 2) sont les raci-
nes de l'equation Po = O. Tout autre point est dit ordinaire. Au voisinage de tout point ordinaire r
=
a i1 existe une et une seule solution telle que: R(a)
=
a
dR --- (a) = a dr 1
o
151
- 81 -
L. Bel
a 0 et a 1 etant deux constantes arbitraires. II nous interesse surtout ici quelques definitions et resultats concernant
les points singuliers. Nous supposerons que r = 0 est un point singulier. L'etude qui suit s' appliquera evidemment
a tout
autre point singulier r = p puis-
que on se ramene trivialement au cas precedent par Ie changement de variable x = r-p. Posons i=O,1,2 011
)) (P.) designe la valuation du polynome correspondant. 1
(...oJ.
1
est l'ordre
de multiplicite de la racine r = 0 pour chacune des equations Pi = O.
r =0
etant un point singulier nous avons :
Soit
d.
un entier tel que
l'egalite etant atteinte au moins une fois. Recrivons l'equation (A, 2) sous la forme:
011 nous avons pose :
Q =r
0\.
-2
o
P
C>I.
0
Q1 = r
-1
PI
Nous avons : ) ) (Q ) =
o
0\
-2+
[J 0
>0
l'egalite precedent Ie zeroetant atteinte au moins une fois. Ecrivons les polynomes Q i sous la forme:
152
- 82 -
L. Bel
(A,3)
ou
D'apres les definitions precedentes nous savons que Q.
1,0
r0
i,
pour au moins une valeur de
Q.)...J,
ainsi que
r0
pour au moins une valeur de j . c. - Nous nous proposons de savoir sous quelles conditions l'equation (A, 2) admet au voisinage de r= 0 des solutions dont Ie developpement en se-
rie dans ce voisinage est de la forme
=L 00
(A,4)
R
n=o
s
a r s+n
n
a
o
r0
etant une constante. De telles solutions si elles existent sont dites regulie-
res. Elles ne sont pas les seules
a porter
ce nom, ce pourquoi nous les ap-
pellerons plus precisement solutions regulieres au sens stricte. Calculons D(r m ). Nous obtenons facilement (A,5)
Q Q1 + QJ
D(r m ) = rm [ m(m-l) o + m
Pour que Ie developpement presume de R soit Ie developpement d'une solution de D(R) i1 faut que: 0&'
L
D(R) = '"' anD(r s+n .) n=o
0
ce que nous pouvons ecrire, d'apres (A, 5) et (A, 3), sous la forme:
153
- 83 -
L. Bel
~
D(R) = ~ anr
s+nj_(s+n)(s+n-l)
ou encore
~I h6
oP
=L
~
(A,6)
D(R)
p=s
ou c
~
P
=?-, h=o
a \(s+n)(s+n-l)Q + (s+n)Ql + Q2 ] nL 0, p-s-n , p-s-n ,p-s-n
avec p >,,- s. (A, 6) entrafne c
(A,7)
p
=
En particulier pour p c
=a
s
et puisque a
o
f
0
p ~ s.
0 =
s
on obtient
\s(s-l)Q ~
0,0
+ sQ·l
+ Q
2 0 -,OJ
j- =
0
0
s(s-l)Q
(A,8)
0,0
+ sQ
1,0
+ Q
2,0
0
Cette equation est dite 1 'equation indicielle,. Elle exprime une condition necessaire que s doit satisfaire pour que (A,4) puisse I!!tre une solution de (A, 2). d. - Nous nous proposons maintenant de caracteriser la nature du point singulier par une etude de l' equation indicielle et rappeler quelques resultats sur 1 'existence de solutions regulieres. 1) Si Q
0,0
f
0 l'equation indicielle admet deux racines distinctes ou u-
ne racine double. Le point singulier est dit I!!tre un point singulier regulier. En termes des
Soient sl
c..v.1
ce cas est caracterise par:
et s2 les deux racines de (A,8). Deux cas sont
154
a distinguer
- 84 L. Bel
a) Si sl -s2 n'est pas un entier il existe pour chacune des racines sl et s2 une solution reguliere au sens stricte de 1a forme (A,4). b) Si sl-s2 '::> 0 est un entier il n'existe en general qu'une seule solution reguliere au sens stricte. Elle est associee
a
Sl et on la determine com-
me dans Ie cas precedent. Si sl =s2 il ne peut exister evidemment qu'une seule solution reguliere au sens stricte et elle existe reellement, 2) Si Q
0,0
= 0 ,Q1
,0
to,
ce qui entrafhe
l'equation indicielle n'admet qu'une seule racine. Nous dirons dans ce cas que r = 0 est un point quasi-regulier. La solution reguliere associee
a cette
raci-
ne peut exister ou peut ne pas exister. Dans tous les cas ou la solution reguliere au sens stricte peut exister les coefficients an se calculent
a partir
des equations (A, 7) pour p
"> s
qui
constituent une relation de recurrence pour ces coefficients contenant au maximum, comme on peut Ie voir facilement,),i +1 coefficients. Le developpement ainsi obtenu converge dans les cas 1) pour sl et s2 si sl-s2 n'est pas un entier, converge pour sl
si sl-s2 est un entier positif et converge aussi pour
sl =s2· Dans Ie cas 2) la solution reguliere existe ou pas suivant que Ie developpement obtenu converge ou pas. Us existent des exemp1es pour lesquels l'une ou l'autre de ces circonstances se produit. Dans tous les cas ou Ie developpement obtenu est convergent Ie domaine de convergence n'est en general que Ie cercle de centre r=O et rayon p,
p etant Ie module du point singu-
lier Ie plus proche de r = O. 3) Enfin si Q
0,0
= 0, Q 1
,0
= 0 alors necessairement Q 2
,0
t-
0 et 1'02-
quation indicielle n'a pas de solutions et par consequent l'equation (A, 2) n'admet pas de solutions regulieres au voisinage de r = O. Le point r = 0 est dit
155
- 85 -
L. Bel
~tre
un point singulier irregulier. On peut caracteriser aussi ce cas par
e. - Pour connaftre la nature de l'infini r = 00
=~ .
gement de variable r u
u
La nature de r
= -:L
il suffit de faire Ie chan-
est alors la nature du point
i:i7
0 pour I 'equation transformee. Tout ce que nous venons de dire s 'applique
=
done apres ce changement de variable. 11 peut toutefois
~tre
plus commode
d'avoir la caracterisation du point de l'infini d'une maniere directe. Pour cela il n'y a quIa suivre pas
a pas
ce que nous avons fait pour Ie point r
=
0 en
partant cependant cette fois de la definition suivante : Dne solution de (A, 2) est dite reguliere au sens stricte au voisinage de l'infini si elle est de Ia forme R
ou
f'
~
=
L..., n... =0
bnr
p-
b
r1.,.
o
f
0
est une constante. L' equation indicielle pour) est:
o
(A,9)
r0
I) Si Q j; 0,
, Ie point de l'infini est soit un point ordinaire, soit un
point singulier regulier. 11 est ordinaire si et seulement si deg Po 2) Si Q
o,j.I
=
=
2 deg(2rP o - r PI)
0 et Q I /, ,.I'
r0 ,
r
=
. 4 deg r P 2
= ~
est un point singulier quasi-regu-
lier. 3) Si Q
0,
1/ =
QI
I ,1/
= 0 , necessairement Q 2 ,
v
r 0,
Le point r
00
est·dans ce cas un point singulier irregulier. Au sujet de I 'existence de solutions regulieres au sens stricte les
m~mes
resultats que nous avons rappeles pour Ie point r =.0 s 'appliquent ici avec u-
156
- 86 -
L. Bel
f
ne seule modification. Quand 1 'equation indicielle admet deux racines
J
f
2 qui different par un entier
f
1 -
tion reguliere au sens stricte associee
2
aJ
>0
1 et
seule l'existence de la solu-
2 est assuree.
Dans tous les cas ou la solution reguliere au sens stricte existe, ou peut exister, la suite d'equations qui permet de calculer les coefficients b n. de proche en proche est:
c
(A,10)
ou
0
p
Ptf1 v
~
c p ::
L\b n ~(J -n)( JP-n-1)Q
0,
n-
f
((.) -n)Q1 ,n- p+}
r
p -) -p + Q 2 ,n--p )
~~o
ou encore en posant n
=
m+
r:- /
-
p+q = m
11 -1, I \,+1 est aussi positif, d'ou q et par consequent E positifs. Il convient encore de completer ce resultat par une discussion plus detaillee portant sur les valeurs possibles de V. De (C, 11), (C,10), (C, 8) et la discussion qui a ete faite sur les valeurs possibles de A , i1 vient )I
'>
pour 1
0, et pour 1
~
~ n' + 1 +
-' 21 ( V(21+ 1) 2-24 -Q- - -- 1)
0 quand I' exposant
a I' origine
est s 1. Si nous de-
veloppons en serie la racine carree (si -e est la charge de l'electron 1
O~ 137 ) nous obtenons :
D'autre part pour 1
~
0 , quand l'exposant ).I
~
n' + 1 -
~
(
a l'origine
VI - 4 ~
et en developpant la racine carree
\..I
~ n' +
Ainsi les valeurs possibles de)/
0 2 + O(
sont:
167
2
0" )
est s2' nous avons
2 '+ 1)
- 97 -
L. Bel
).I :
0+
r o ,1 + !J l' ... ,
n+
~n
n entier )!. 0
'x' 2. sont des quantites qui sont au maximum de 1 'ordre de V n Supposons n ~ 1 . Si nous negligeons 1es termes d' ordre superieur a
ou les
12 dans (C, 12) nous obtenons
\j
(C,13)
et nous retrouvons au terme me
2
pres, comme il se devrait, les energies
non relativistes des etats lies.
f. - Par contre si nous supposons n
,. d ' or d re superIeur a'X" U 2 nous E
=
0 et negligeons encore les termes
0 b tenons
o
Cet etat n'a pas d'analogue dans Ie cas non relativiste. On peut dire qu'il est un etat super -lie. Remarquons enfin que si nous avions suppose carrement a-dire V
=0
et par consequent E
o
f=
=
~
o
o,
c'est-
-1, nous aurions obtenu
0
qui comme nous 1 'avons vu, quand nous avons considere les particularites du potentiel effectif (C, 4), etait la seule valeur de 1 'energie qui entrafnait -2 pour ce potentiel.
un comportement a l'infini en r
168
- 98 -
L. Bel
BIBLIOGRAPHIE
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A. Peres
: Phys. Rev. 120 (1960).
R. M. Lauger eN. Rosen: Phys. Rev. 37 (1931)
Singh & Pandey
: Proc. Nat. Inst. Sci. India, A vol. 26 n. 6(1960).
169
CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO (C 1. M, E, )
G, FERRARESE
PROPRIETA' DI SECONDO ORDINE DI UN GENERICO RIFERIMENTO FISICO IN RELATIVITA' GENERALE,
171
PROPRIETA' Dl SECONDO ORDINE Dl UN GENERICO RIFERIMENTO FISICO IN RELATIVITA' GENERALE,
In questo seminario vengono estese ad un generico riferimento fisico della relativita generale alcune proprieta di secondo or dine recentcmente sta' 'd a (1) , P er b reVl't'a, b 1'l't 1 e per una congruenza rlgl
"h C10 c e
non menoma 1a ge-
neralita, si fa usa della tecnica delle proiezioni in coordinate adattate al riferimento fisico (2); tecnica che viene rielaborata nella prima parte aHa Iuee dei metodi dei riferimenti anolonomi (3), L'estensione si consegue utilizzando la deeomposizione naturale del tensore di curvatura (4), deeomposizione che qui viene ritrovata direttamente partire da una espressione intrinseca generale del tens ore di Riemann. Partieolarmente significativa
e una
relazione in termini finiti tra il ten-
sore vortice spaziale del riferimento, i1 tens ore di deformazione e i due tensori di curvatura spazio-temporale e spaziale rispettivamente [cfr, (41)]
]a
quale sembra particolarmente adatta a riconoscere la possibilita di eventuali moti rigidi in una V"
curva, (Negli spazi piatti vale, come
e noto,
il teore-
rna di Herglotz-Noether secondo cui Ie congruenze rigide sono tutte e sole quelle definenti un gruppo di isometrie ad un parametro. Tale teorema viene qui ritrovato come conseguenza quasi immediata della relazione sopra citata),
(1) Cfr, Pirani, F, A. E. e Williams, G., Rigid motion in a gravitational field, Seminaire Janet, 5e annee n. 8-9 (1961="62). Proiezioni naturali e derivazione trasversa.in una va(2) Cfr. Cattaneo, C" rieta riemanniana a metrica iperbolica normale, Annali. di Matern. (IV), V. 48, P:-361(1959}~.~
(3) Cfr. ad es. Schouten, J. A., Ricci calculus, 2 a ed. Springer- Verlag, BerlinGottingen-Heidelberg (1954). (4) Cfr. Cattaneo Gasparini, 'I., Projections naturelles des tenseurs de courbure d'une variete Vn+1 a metriquellYPerbolique normale, C. R. Acad. Sc, Paris, t. 252, p. 3722(1961).
173
- 2
G. Ferrarese
La medesima relazione vale anche a ritrovare rapidamente alcune notevoli proprieta dei moti rigidi in uno spazio di
~iinkowskL
1. Coordinamento di alcune nozioni sui riferimenti anolonomi. Siano:
V"
una
varieta differenziabile di classe sufficientemente elevata, riferita a coordinate locali (xi) (i
=
led e i €t~t
0,1,2,3);
rispettivamente la bas,:: e la cobase
naturali (1 )
(i, h
J
~v
0,1,2,3);
quattro forme lineari indipendenti assegnate IC
I"(.
•
A~ ~. (J"
(2)
v-
I
'A ~i1 reciproco di II.
"t
A-
(3)
~
(1' = 0,1,2,3 indice ordinale); It
[,.v
1,;
'A
5
Le qerantita numeriche
~,:
r
/'f...
'AI.-= ~"c. 5
lit)! ~II:
nella matrice
,
f l\.
t)" ='7.
v,
h
, ove l'indiee in basso Eo ordinale e l'indice in
to i Eo tensoriale (5), inJl,vidwfho la base duale di
[~},
2,
generalmente ane-
lonoma, costituita dai quattro vettori contravarianti >!
(1' = 0,1,2,3)
(2')
(tetrade generica). Per un generico vettore spazio tangente
!11.
~
V"
(0 pili generalmente per un tensore) della
si chiamano inirinseche Ie componenti secondo la base
Esse vengono contrassegnate con un indice in alto (-J-.), per distin-
guerle dalle componenti natural~ (11~) che figurano nella decomposizione secondo-la base si
It
1r
5 e.}
!\ ~. ~ =' /I' V'" ~
. 11 passaggio dalle une
aIle altre
. .." V· """ 1 V"".
e inversamente
Oltre ana base (2'), Ie quantita
A'".
e immediato,
avendo-
~
definiscono i quattro operatori dif-
~
(5) Si conviene di porre in basso tensorialL
0
in alto gli indici ordinali e a lato gli indici
174
G. Ferrarese
ferenziali (lineari omogenei) indipendenti (r, i
(4)
=
0,1,2,3) ,
Ie derivate pfaffiane secondo i vettori covarianti (2'). Introdotte Ie corrispondenti parentesi di Poisson
r fJ] '" J!;,
si puo scrivere
:/7;,) l'f'J , '~:.>
~ t
DaD'ultima espressione del sistema tripl0 considerato appare evidente che I
Per quanta riguarda il tens ore di curvatura basta osservare che anche in forma intrinseca, 1 'identita di Ricci 8i scrive al modo usuale :
(6) Cfr. ad es. G. Ferrarese, Sulle equazioni di moto di un sistema soggetto a unvincolo anolonomo mobile, Rend. di Matern., Vol. XXII, 3-4 (1963), n. 1,2,3,4.
176
- b
G. Ferrarese 'In
VV Vn. ::: VII 1)- -1J~ R
(12) ove
'V
'l:
'" It
:,'1>.,.
1ll..
11t'l. ~
indica la derivazione covariante intrinseca K
~
\1-v- -::/J 7/ - (J(V"'
(13)
t
It 'I'll
111>
1l.
k
Esplicitando il 1 0 membra della (12) si ritrova facilmente, pel'
n
tenso-
re di Riemann, l'espressione generale (7) m ''IIl. K ,tfl, .'l:Y>,
12.11"~~ =IJ~ -t-rX (k JJ(~ 5 ,(;1~ h. "K "~b-n..
(14)
ave l'ultilno termine, non c1assil'o, e diretta conseguenza della anolonomia "' '- (8) . d e I 1'1' fe1'lmen,o
2. Riferimenti anolonomi
naJ.1:lr~lmente
associati ad un campo di faccette (9).
Particolarmente interessante per la relativita generale e i1 caso in cui in
~i
dotata della sola struttura di varieta diffcrenziabile, sia fissato un campo di faccette
L
31.
,cioe una sola forma line are
~
tore di proporzionalita. (Se La varieta norma1e, il campo di faccette
L", '
di '
definita a meno di un fat-
e dotata di metric a iperbolica
pu1'che del genere spazio, definisce un
riferimento fisico, per aUra rappresentato, in tal caso,anche dalla congruenza dei vettori normali aIle
V
Supposto (15)
o tf~ ::\ "
to,
=-v, e~ Oi..",
2.X
).
conviene fissare l'attenzione suI riferimento
«
~ .s.
)...
e..(
...
(eX
~
1,2,3)(10),
(7) Cfr. lac. cit. (2), p. 172 e, per connessioni lineari generiche, A. Lichnerowicz, Theorie globale des comwxions et des groupes d'holonomie, Roma, Cremonese (1955), p. 87. (8) Si noti che il tensore di anolonomia compare nella (14) anche per il tramite dei coefficienti [efr. (9') e (9)] .
rJt
(9) Per il cas a di
u~~
varieta riemanniana si confronti (1).
(10) Si conviene che gli lndici greci varina da 1 a 3, quelli Iatini da 0 a 3.
177
G. Ferrarese
(generalmente anolonomo e dipendente, oltre che dal campo di faccette
Lx,
dal sistema di coordinate prescelto) nonche sulla base duale che risulta definita dai vettori contravarianti (15')
)
Viene cosi' realizzata in ogni punto di
, tanto per 10 spazio tangente, quan-
to per il suo duale, una decomposizione nel prodotto di uno spazio unidimensionale per uno spazio tridimensionale. Precisamente dello spazio
(c1.
=
6))(.
dei vettori tangenti alle linee
A
'X~'
costituisce una base =
1,2,3) una base per i vettori appartenenti alla faccetta
.
.s ~
per i vettori
,
che soddisfano alla condizione
S" y~ :::- 0
finisce pertanto una decomposizione dello spazio tangente di
var.
t)x.
)t.'
7;
I
4. Decomposizione naturale del tens ore di curvatura. Identita del Bianchi.
Per quanta riguarda il tensore di curvatura, dalla espressione generale (14), avuto riguardo alle (20) e (26), seguono Ie componenti significative
(11) (12)
.
Cfr.loc.
CIt.
Cfr.1oc.
CIt.
.
(1), p.371. (1), p.384.
183
'J
- 12 -
G. Ferrarese
- 7,J R \. -
/"
"tIS'
~....,
+
£:
{.p "oW
W
(;
::;fO> 0"" - ':?"~'" ":::.If
;..,
fo
(\
... ':'l..f S'
"f r; " R~: ~ SPj.> - \?'f ~G""V +.rJ.fr' C",
a
lifO"'
(32)
~
-i""W
~".w
':;1-'
.......,
I
'>
. oR :: t(, + (", C., - -D ~~'~jJ r ,;",.. f ~G"'f'
\.
1'06'"
l)'"
'
ove Ie quantita
~
7""""'
.r'jJfop ::~)-J::} + If:}f~} ~1f 1~} - i~~Hfil
(33)
J
definiscono un tens ore spaziale del tutto analogo ad un tens ore di Riemann co-
-;{:xl::'
struito con 1 'impiego della metrica spaziale
e della derivazione tra-
sversa. In forma totalmente covariante, concordemente alle proiezioni calcolate per via divers a da 1. Cattaneo Gasparini (13), si ha
(fit '" lJc ':J
(32 ')
+
~: f)~ - g~"
""
gfl' • Dr ,"-;'
'\ L~,~ ':- \7/j ~~ + ~~ ~~v - D.fr'C~ i( f:vG"'"::' J ~
fp
V':>(),J -
',"
f7
I'"
r;~/ ~~I;"f - v... r..~ -
/'.,
l. t;" (.101
essendo naturalmente (33')
p }L(S" ==
"- -- -~f- (f)~/')+1 ~r[ (G""~; .......".--..... ~) . . . . . )i1 !;t'S bI~fr:-='()c-(f~l") 1t0 aj-lf))/· (?I}' '1-
Si noti tuttavia che il tens ore
'Pf""
non gode generalmente di tutte Ie pro-
.tl j)
prieta algebriche di un tensore di curvatura. Si ha infatti dalla (33')
(13) Cfr.loc. cit. (3), rilevando la diversa convenzione di segno qui assunta per il tens ore di Riemann.
184
- I
G. Ferrarese
(34)
do che suggedsce di assumere eeHlF, tensore di curvatura spaziale il seguen-
te :
i)
~t)
I';n'~
I")';
-"
-no~"J"t I
,d'~., A'~Ui'u/\,.'! '" '\'71 I? ( i~(/'I ~ f =1., J1 ~ ) ;',,:" '
,,'
,~
'
I
185
/
II.i. "
./
/-.
...
»
1.M,' /
\
\~'( /
G, Ferrarese
nonche
S ~..~ =-ls4,,(~A;.r+C"~(-~"J:-~R~)'"
~;~ :o~:)',~~,:~o :;t:::~:~~(~::~~;q.;;:tr~··;V, Nel pnmc caso perche Ia (:3:3) d,c:in,sce 11 IEnsore dl. cu, vatura dl liEa
riferlla aIle cGo:i'djna,e
2'."' ~
=8
var.)
~h metnca
t::!:za ~~';
-:r!'
(var'.et,} quc-zlerp.e di
i""1! ...~,6 (?t.;')['.,; "J(i)
~
rispetto
an"
>nee
,Nel secondo caso perct 2,
t il te['sore di CUTva:ura dene varieia norm ali aUa
';ar.
Per quanto /""i.glJarda
dj due
teas (14: se Eo agevole riconoscere diret.tamente. ovvero per il tramite della (12) " . . (15 che per 1Jn qual1,:nq-,.;2 vett..ur-e ,~I:.~_::_~~:-:-~~" '51 ha 11'jnF~r3ic,ne
derivazion~ covariant~
y--:"t>
~~r- ~~r :fi r,?1- .tt~
(37)
5 ~ ,f\.lcune conseguenze
de'~le t~~l>_
';::::aEo d: una varieta plaita.
Tenuto conts della p (lslzi,one (35 ' - 'f' 3 '] 16) I'love I e d (2J -.2:rnlale ptato:anE"
e, per la (32')2' della identita possono essere sostituite dalla de-
rivazione
3"
scr:ivono al modo seguente :
(14) Bastatener conto d8ila (32), e deJJ'ldentlta., valida per
Y=fJ ,
171"iI "- ~ 1(: - ~Yr-t:N ¥Y·~ ~v-~(~r-~ip~ ~~'r' PrG~EzlOnj de~
(15) Cfr. L Cattaneo Casea~'inL varie-1:a riemannlana a meL~~2.:~ Vol.XXfl, 1-2 (1963L J:, 1 4 5. (16) Si
:::,~+.:::·"c
~perbc,ti~:;a
',:1
brlche de.l tens·,'_"::
E
d.; ,- -i) r-:-!an,:. ,-. d
186
tensorl dl curvatura di una rormale., Rend. di Matern.:.
l'i -
(38)
D'altra pa::'te,
app~kando
d
l'cperazicmE
ai due memb:::,i della
32';
,,~~
2:
otti2ne
cia
CL:l
(39)
ave S1
e posta
(40)
Nella (38)1 gli inelid~,
che' degli ultimi tre
~t?Tmini.
~,
uno s:i
f '
ar~EuJ.la
Ii". variando da 1 a 3, e
d·!.H::~
si Bornman.;;
~n
.~~~L9_~~
1:nodo
eli fatto Ia (38)1 risulta equi·,;alente a -
(41)
·····_··--·1
]F =.EF+; (~.f(sr-R..~ ;(,/") +tfi"rD,.. I· i
In quest 'ultima forma essa ben ce spaziale medIante
jj
tensore
S l
!~i RJenl~lnn
( 42)
187
di
- 16 G. Ferrarese
La (41) generalizza una relazione analoga ottenuta recentemente da Pirani- Williams nel caso di una congruenza rigida (17). Essa permette di rica_.N
Yare, in particolare, ()
11f '. 'I,
N
rL.i ,,\,"'" ' ...r.",:.-
mediante
(J
e il tens ore di curva-
'i
tura; si che in definitiva Ie (38)3 e (39) vengono complessivamente ad esprime-
;,>"
re tutte Ie derivate prime del vettore di curvatura delle linee diante
Cr
stesso,
XC
Se Ie linee ovvero
1
1) '-r""~'" f'~
'1',\
v~r,
0
costituiscono una congruenza rigida
it .. '= rt~(~:i 'U) J(~)1
var. me-
0
e 1'1 tensore dl' Rl'emann. (18)
rF?ff" ~
0
Ie formule precedenti si semplificano note-
volmente. In particolare Ie (39) e (42);), si scrivono rispettivamente tenutoanche conto della (22)2'
=- [~ (Fin -?J R ifiiv7JC~ ~ F") ,.,. /; (~r0 (su
(13)
o
214
Z
- 7 -
G. Caricato
none he Ie relazioni differenziali (9)
campo di tensori doppi simmetrici
~ij
ivi soggetti aHa condizione Oi4 =0,
tali da soddisfare in W il sistema differenziale
(10) (equazioni di evoluzio-
ne) 2s", :'(
r ~4)2l)4~4ntl.f - '
