C. Cattaneo (Ed.)
Vedute e problemi attuali in relatività generale Lectures given at the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.), held in Sestriere (Torino), Italy, July 20-30, 1958
C.I.M.E. Foundation c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini” Viale Morgagni n. 67/a 50134 Firenze Italy
[email protected] ISBN 978-3-642-10900-3 e-ISBN: 978-3-642-10903-4 DOI:10.1007/978-3-642-10903-4 Springer Heidelberg Dordrecht London New York
©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 st Reprint of the 1 Ed. C.I.M.E., Florence, 1958 With kind permission of C.I.M.E.
Printed on acid-free paper
Springer.com
CENTRO INTERNATIONALE MATEMATICO ESTIVO (C.I.M.E)
1° Ciclo - Sestriere – 20–30 luglio 1958
VEDUTE E PROBLEMI ATTUALI IN RELATIVITA’ GENERALE
P. G. Bergmann:
Problems of quantization ....................................................
1
A. Lichnerowicz:
Radiations gravitationnelles et éléctromagnetiques en relativité generale........................................................... 33
J. L. Synge:
The geometry of space-time ............................................... 131
C. Cattaneo:
Grandezze relative standard in relatività generale.............. 251
E. Clauser:
Moto di particelle nell’ultima teoria unitaria einsteiniana ......................................................................... 271
CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO (C.I.N.E.)
P.G.BERGMANN
PROBLEMS OF QUANTIZATION
ROMA - Istituto Maternatico dell'Universita- 1958
1
-
GENERAL REMARKS.
1 -
The prinoipal subjeot of these le o tures is
to be the present status of the program of quantization of general relativity and of general-relativistio theories . Beoause of the unfamiliarity of many mathematioians with the physioal ideas in ourrent quantum theory,
I
shall attempt to give a brief sum-
mary of the pertinent ideas later on . I my leotures the olassioal (i.e. gram,
shall also emphasize in
non-quantum} aspeots of the pro-
in partioular the oonoept of observables . I
time permits,
shall also,
if
give a brief aooount of the present status of the theo_
ry of motion . Perhaps it will be neoessary t. relegate this topio to a seminar . REFERENCES.
For relativity I
suggest any standard textbook
as baokground . A thorough grounding in Riemannian and related geQmetries is desirable for any study in general relativity . For the fundamental ideas in quantum theory probably Dirao's book (Oxford,
1947) is a good oontemporary introduotion for mathematioia ns ,
though J . v.Neumann's old book is still exoellent . For a more physioal slant
Boh~'s
reoent book oan be reoommended.
field theory there are now available,
For quantum
in addition to G.Wentzel's
old book (Vienna, 1943), a book by S.S.Sohweber and a se r ies of artioles by Sohwinger,
Tomonaga,
Feynman,
and Dyson,
to mention
but the m.st important . Turning to the program of quantization of general relativity, d.
I mention a series of old artioles by L . Rosenfeld (Annalen Physik, 1930, InstJH.Poinoare,
Physioal Review (1949 to date),
1932), my own articles in the
and various status reports in
Helvetioa Physiba Aota (Suppl . IV,1956. whioh is the report o f the 1955 oonferenoe at Berne), Reviews of Modern Physios (July,1957)
3
-
2 -
and the separately issued pro o eedings of the Chapel Hill o onferen-
i957
o e of January,
N. Bohr "Festsohrift",
One artiole by O. Klein will be found in the whioh has been published as a book . Addi-
tional referenoes may suggest themselves in the oourse of our leotures and seminars . OUTLINE OF LECTURES . meant to be flexible,
The following preliminary outline is
in aooordanoe with the wishes of the parti-
o ipants . 1.
Physioal moti v ation of the program of
2.
Formal properties of general-relativistio theories
quantiza~ion .
with
an aotion prinoiple .
3. Summary or oonoepts of quantum theory . 4.
Teohnioal report on the status of the program of quantization .
5.
Construotion of observables in general relativity .
6.
Theory of motion .
1. PHYSICAL MOTIVATION . At present we have two major theoretioal struotures in theoretioal physio., sed together,
whioh have not been fu-
quantum theory and relativity . Quantum theory repre-
sents the formal and oomplete oodifi o ation of our reoognition that it is impossible to determ i ne simultaneously with oomplete aocuraoy any two dynamioal variables of a system whioh are oanonically conjugate (in the sense of Hamilton's meohanics) . Aooording to quantum theory there is a strong mutual interaction between a physical system and an observer that prevents the oonstruotion of a complete set of Cauohy data and their integration in the oourse of time,
as had been envisaged by Laplaoe . General relativity,
on the othe r hand,
pro b ably represents the most perfeot example
4
- 3 -
of a (pon-quantum) counts the
field theo~y now available and c e~tainly ac-
than any
bette~
g~avitational
theo~y
all the known facts about
fo~
field .
With two such ble,
othe~
comp~ehensive
theo~etical
st~u c tures
it appears only reasonable that one should attempt to extend
each into the field
cove~ed
contradiction,
or in success .
test heuristic value whole.
by the other,
so that the attempted
should either result in an irreconcilable clash and
integ~ation
Either event would have the grea-
the development of physical theory as a
fo~
At present we have not yet reached that stage .
2.
GENERAL-RELATIVISTIC THEORIES WITH AN ACTION PRINCIPLE .
We shall call a
theo~y
general-relativistic or generally covariaLt
if its laws take the same form in every reasonable coordinate system . this
If we
p~ope~ty
Vistic
-
,
-
and all
then it is
inva~iance
though tensor laws are an
a set o f dynamical laws that
conside~
may be interpreted as the p~inciple
au~vilinear
For this definition it is not essential t ha t
be that of tensor equations,
fo~m
important example .
nal
availa-
Eule~-Lagrange
p~oposed
theo~ies
necessa~y
equations o f
a variatio-
in physics posse s s t his
and sufficient for the relati-
of these laws that for any two
systems
aoo~dinate
chosen the action integrals of the same fo~m are eqUivalent,
in
that they differ at most by a su~face integ~al,
(2.1) whe~e the y'
a~e the t~ansfo~ms of the y .
This gene~al p~inciple
makes no ~efe~ence to the Riemannian natu~e of space-time, ny
othe~
assumed
geomet~ic
or a-
st~uctu~e .
If we conside~ in pa~ticula~ an infinitesimal coordinate t~ansfo~mation,
and if we ~estrict ou~selves to an action p r in c i-
5
- 4 -
pIe in whioh L is a funotion only of the y's and their first tial derivatives y
A,p
,
par-
then we have the prinoiple -oAL SYA
+ -oAp
L SYA
,p +
rP,p
SO
or (2.2) where the symbol SAL
stands for
variational derivative of L, the
density",
"generatin~
Lagrangian ~ law,
i
-oAL -
(-oAPL),p , the so-oalled
CP, whioh I shall oall
and the field
is determined by the stru o ture of the
is the symbol for the infinitesimal transformation
in this oase of the field variables,
representing the (infi-
nitesimal) ohange of the field as a funotion of the ooordinates. Beoause we assume general-relativistic covariance, volves a set of f our arbitrary functions,
field equations,
in-
the ·desc r iptors· of
the infinitesimal ooordinate transformation lows that Eq . (2 . 2)
SYA
~a!5 S X a .
It fol-
involves differential identities between the
whose structure depends on the assumed transfor-
mation law of the field variables .
Because the (oontracted) Bian-
chi identities are an example of such identities,
we shall call
the identities between the field equations that are related to their covarianoe Bianchi identities . sformation law be of the form
(2 . 3) then we have
and thus
6
Let,
for instance,
the tran-
- 5 -
Because the funotions
~p
are arbitrary,
we oan,
by integrating
this equation over a four-dimensional domain and oonverting the first term into a surfaoe integral,
oonolude that
(2.4) a set of four differential identities between the field equations
From the prooedure that we have used in the derivation o f
these
identities it is olear that the order of the differential identities oquals the highest differential order of the ours in the transformation law of the type
(2.3),
differential order of the field variables
YA'
of the ooeffioients
0,
d, . . . ,
~p
that
0 0 -
whereas the
whioh are arguments
is immaterial.
Even if the field equations oannot be interpreted as a set Qf Euler-Lagrange equations,
they will not lend themselves to an
ordinary Cauohy-type initial-value problem,
provided the va r iables
Qoourring in them are not all individually invariant,
oy A
=
.0- ,
Even with given initial values on a given three-dimensional h ype r surfaoe of the field variables and o , their derivatives,
given (finite) number
~t
it is always possible to ohange t h e values Qr
the fiold variables elsewhere by a ooordinate transformation, whioh is restrioted to be the identity transformation on the initial hypersurfaoe,
henoe the values of the field variables o f f
the hypersurfaoe oannot be determined by th~ initial values on the hypersurfaoe. With differential identities of the type (2,4),
we oan pro-
ve in detail just h~w the eq u ations di ff er from an ordina r y
set .
Consider the one term in Eqs . (2.4) whioh oontains third-~ r der de-
7
- 6 -
rivatives of the field variables . C 0' caATL) AJ.L
(2.6) Suppose,
,TO'
This term is _
C
0'
AJ.L
(lA T
(lBP Ly
B,PTO'
+" . " . 0
for the sake of simplicity we choose as an initial hyper-
surface one on which
xO
=
O.
(2.7)
c
0
A AB
But this matrix
AAB
AJ.L
Then it follows that 0
!!L,
also represents the set of coeffi c ients of
the second-order "time" derivatives in the field equations themselves , (2.8)
It follows from Eq . (2.8) that the matrix
AAB
is singular and
that it possesses (at least) four eigenvectors that belong to the eigenvalue ) We arrive at two conclusions: (1)
(At least) four of the highest "time" derivatives of the
field variables are not determined by the field equations . (2)
(At least) four linear combi n ations of the field equations
are free of second-order time derivatives and thus represent restri c t ions on the choice of the field Variables and their firstorder derivatives on an initial hypersurface. are often called constraints,
Such relationships
an expression that was originally
used in connection with the Hamiltonian formulation of the theory . In passing,
I
should like to note that relationships of the
form (2.2) playa role in the theory of mot i o n ,
a topic to which
I hope to come back toward the end of these lectures . The differential identities, (2.7),
and in particular the relations
lead to complications if we attempt to pass over from the
8
- 7 Lagrangian to the Hamiltonian form
the theory,
o~
a step that is
often considered preliminary to quantization . Ordinarily, field theory,
in a
one introduces the so-called canonical momentum den-
sities by the definition
With their help,
one then defines the Hamiltonian density H
(2.10)
where all "time"
=
Y
TTA -
A,O
have been expressed in terms of the
deri~atives
new canonical field variables, the tial" derivatives,
y
A,m
L
) and the
YA (and possibly their "spaTTA .
The complete set of c anoni-
oal field equations is
Y A, 0
-- d A
H
'
TT
A
, 0
= _
,
If the system is in a state desoribed by the Hilbert then the average of many measurements of A will be
given by the "braoket"
If
I>
scalar produot)
A,
happens t . be an eigen v~0tor of
genvalue be a',
(1. e .
a',
belonging to the ei-
then the "expectation value" of the measurement will
and moreover the expectation value of
henoe the soatter of observations will be zero, the measurement will invariably be a' . suIts of a measurement,
a ,2 ,
A2 will be
the out c ome o f
In all other cases the r e-
r epeated many times,
will scatter .
The other rule introduces a dynami c al law . Let
I~
and
IV
be two different states of which the physical system is capable . Then for an observable A we have the general rule
(3.4)
This dynamical law is the pre c ise analog to the law of motion i n Hamiltonian olassioal mechani c s. The formulation of these two rules is "representatio r - l n v a riant",
that is to say,
if we perform the following unitary (and
possibly time-dependent) transformations
I)
,
=
ul> U
13
u+ =
1
J
- 12 -
nothing will
By
chang~ .
of such unitary transformations we
m~ans
may distribute the time-dependenoe in any desired manner betweou the Hilbert veotors and the Hermitian operators, the observables . In
parti~
cular we speak of a " Schredinger representation " if
.! I) dt
~k = 0
I>
, dt
and of a "Heisenberg representation" if d
dt
rt
113
I'>
=
~k
0
::
qk 1
dt
remarkable how
1I'l011
dA , -dt =
OAt
ot
4:'"
[H, Al .
can be aocomp l ished with this 'bare
skeleton of rules . For instanoe it is a fairly easy task to show that if two operators
p
and
x
satisfy oommutation relations
of the kind (3.2) and if we assume for the Hamiltonian
H
the
form
Ie rotationnel
En ooordonnees adaptees
!3
Fa/3 de
¢a .
¢
=1
o D'apres
(19.12)
¢ = 0 a 0 D'autre part si l'on effectue Ie changement de ooordonnees locaF
les adaptees defini par
00.
"0
0
¢a
- "0
i ,x 0': x 0+ ~( x lX i)
70
~
- 37 A.Lichnerowicz
+ 1 j3 et
par suite
F ..
~
F
Ainsi
lJ i 'j , tenseur antisymetrique.
l es F
ij
definissent sur V
un
III
est ais6 de voir la siSt,niJication geometrigue de la nul-
11
lite du tenseur F
S'il est posBible de trouver, pour un voisiij des coo rdonnees looales adaptees telles que les
na g e U de V ,
m
t r " j e0 t
0
ire s
cor res p 0 n d an t a U so i e n t XO
de s hypersurfaces
lations : (20.4)
1
a
[R(3
,
Y,~~
]
+ 1(3 [R .
,]
ya)~~
+ 1 [R ] = 0 y a(3,A~
Supposons de plus qu!!> la metrique de Vm+1 satisfasse aux
b)
"equations d'Einstein" generalisees avec un tenseur second membre continu A,
lEI traversee de l'hypersurface S
[R
(20.5)
a{3
et d'apres l'etude du § 18,
]
=0 le vecteur
l a satisfait
a
la relation
(18.12).
De
1
a
(17.8)
on deduit
:
stant de longueur nulle,
est nul.
le deuxieme terme du second membre
De plus d'apres (18.12)
a
all a~
a
A
- a ,1 1 a~
73
~
o
.. 40 .... A.Lichnerowicz
Ainsi
(20.5) entraine
(20 . 6) c) On peut aussi etablir directement les relations (20.6)
de la maniere suivante : les coeffioients
r
(20.4)
de la conne-
xion riemannienne en coordonnees locales etant continus • versee de S ,
(16.1)
il
a uj3J.L telles que
resul te
(20.7) Par
la tra-
il resulte des conditions de Hadamard qu'il existe
un systeme de quantites
De
et
.=
[Ret
multi~lication
par
1
y
) ua 1 _ ua 1 j3,AJ.L j3J.L A j3AJ.L permutation circulaire sur
A, J.L,
1I
il
vient :
(20.8) qUi est equivalent
a
(20.4).
8i la relation (20.5) est satisfaite, on d.duit de (20.7)
=
En multipliant
uP 1 - uP 1 0 j3J.L P j3p J.L (20.7) par 1, 11 vient ainsi a 1 [R a ) P 1 1 - uP 1 1 a· j3,AJ.L - uj3p A J.L j3p A J.L
C'est-a-dire (20.6).
=0
Introduisons les formes de courbure
.na j3
= ..:.. Ra 2 j3,AI!
i" eJ.L
Aux disoontinuites du tenseur de courbure,
nous assooions les 2-for-
mes definies aux points de 8
= ~2
[R a j3 A ) e A " eJ.L , J.L Les relations (20.6) et (20.8) expriment que toutes les formes 10[.n a ] j3
cales
[.n~] so~t singUlieres, le vecteur neoessairement isotrope
etant vecteur propre isotrope oommun.
74
1
a
- 41 A.Lichnerowicz
21.
,
CAS GENERAL D'UN TENSEUR ADMETTANT LE TYPE DE SYMETRIE D'UN
TENSEUR DE COURBURE. Vm+1 admettant une
Au point x de 1a variete riemannienne metrique
hyperbolique normal considerons un tenseur
d~typ~
H 13 \ (/0) jouissant a ,fI.).L
des m;mes propri_tes de symetrie que Ie ten-
seur de courbure (2l.1)
H
aj3,Aj.!.
= -
H
=
j3a,f...).L
H
Supposons q.u "il existe un vecteur
1
H
aj3,).LA
0.13,\;,
0 ,
e 1 un vecteur norms
. t tel qu'on puisse prendre 1 = e lo + e 1
75
-
42 -
A.Lichnerowicz
A partir de
construisons un repere orthonorme (;~)
eo et de e 1 , V m+ 1 .
au point x de
Nous designerons ici par u, v,; . . ,
des indi-
ces prenant les valeurs 1,2, . . . , m, p.ar A, B, . . . ,des indices prenant les valeurs 2, ... ,m . Pour y
(21.8)
H
=0
Pour y
~
=
Bf-L 1 il vient
(21.9)
Q ~ F 1, (2i.7) donne
=0 = .0
+ .H
H
~
1f-L .Inv.ersement (21. 8) et (21 . 9) forment .unensemble equivalent nous interesser aux metriques pour lesquelles il existe un vecteur 1. tel que Ie tenseur a. relations
d~
courbure R (3 \ satisfait aux a. , 1\f.L
o
(24.1) et (24.2) Si Ro.(3,Af.L n'est pas trope.
S'i~,
identiquemen~ nul~
1
a.
est necessairement iso-
Le tenseur 4e Ricci de la metrique est alors de la form
x
en est ainsi un paint
de la variete V , 4
nous dirons
qu'en ce point la metrique correspond 1> une ~tat de radiation totale pure. Si en outre Ie tenseur de Ricci R...o.;6 est nul~ nou's dirons que nous avans un etat de radiation gravitationelle pure. Nous montrerons ulterieurement sur un example qu'il p eut en Stre ainsi en taus les points d'un domaine 1> 4 dimensions de la variete V .
4
Sur un tel domaine
ces des cones
el~mentaires
1
a.
definit un champ de
et par suite un champ de 3-plans tan-
gents aux canes Ie long de ces generatrices. est oompletam ent
gen~ratri -
int~grable,
Si ce champ de plans
nous dirons que la radiation envi_
sagee est de type integrable. b) tel que
Sur Vm+1 suppa sons qulil existe un champ de vecteurs 10. (24.1)
et
(24.2)
soient satisfaits.
chi
87
De l'ident1.te de Bia n -
-
54 A.Liahneroll'icz
la~aRftY'A~
-
~~laRya,A~
an ddduit par produit aontracte par
la,
-
~ylaRaft'A~
= 0 )
(24.2),
compte tenu de
R + ~ R =0 ft ya,A~ y aft,A~ qui joue ici Ie me-IR,e !'51e que L(l)F = 0 pour les radiations ele(24.4)
~
ctroma~n6tiques.
a
R
fty,A~
+
~
Si Raft = 0 et si la est un champ de gradient on
a par derivation contractee de
(24.1) :
=0 et d'apres (24.5)
a (14.6).
qui est semblable
25.
TRAJECTOIRES DU CHAMP DES VECTEURS Si le tenseur de Ricci
1
Ra(3 d.e V. +1 e s t , 0, il, est, alair
que les trajeatoires du champ de veateurs gdoddsiques isotropes. suite
Saft
defi~i
par
En effet on a necessairement R
= rlalft(r10). a
~aS ft
Des identites de aonservation,
a
a
sont des 0 et par on deduit:
a
= ~a(rl )lft + rl ~alft = 0
Ainsi la~alft est bien colineaire .a
1ft.
II est aisd d'etendre oe resultat au cas general.
Nous utili-
(24.4) et introduisons Ie tenseur defini par
serons 11 cet effet (25.1)
1
P
,fty,
= lP~
R
p fty,A~ qui presente Ie meme type de aymetrie que Ie tenseur de courbure.
De (24.4),
A~
on deduit que Ie tenseur Fa . A
(25.2)
",y,
~
satisfait aux relations
IvPfty,Af,J- + lAPfty,~v + If,J-P fty ,VA
=0
et
=0
(25.3) D'autre part derivons (24.1) Si nous posons
= IP~P1 a
et effectuons Ie produit aontraate par 1. il vient
88
:
-
55 A.Lichnerowicz
(25.4) En procddant de meme sur
De
(25 . 2)
et
(24 , 2).
on a .
(25 . 3) on deduit ainsi que le ve c teur u
seur de courbure satisfont
~ussi
et le ten-
a
aux relations (24 . 1) et
Le tenseur de courbure n'etant pas identique ment n ul, c essairement de peut que lui
longueu~
~tre
nulle
colineaire.
et
et~nt
Nous enoncerons;
Si sur une va~iete riemanienne V
THEOREIIE
m+l
type hyperboLique normaL est un champ de vecteurs
r
a te.T/.seur de
dont
courbu~e
u est ne-
a
orthogonal
la'
'a I
(24 . 2) .
il n e
metriqve de
O.
i L :existe
satisfaisant aux reLations (24.1) et (24.2)
Les trajectoires de ce champ de vecteurs sont des geodesiques de Longueur nuLLe de Z,a me-triquc.
26.
EXAMPLE DE RADIATION.
FORMULES PRELIMINAIRES.
muni de la metnique Sup po sons un vo i:S i n ag e U de V m+1 2 _~2 < 0; Cii) (dx O ) 2+ ds dcr 2 = Y (26.1) i = 1, .•. . , m ) (Yoo = 00 ou ds· 2 est une forme quadrati que en les variables (x i) . La metrique dcr 2 admet alors un groupe. 1 param ~ tre d'isometries xo-~o+const . et le vecteur groupe,
l
de oomposantes
(~0=1, ~i=O)
est
g~nerateur
de c e
de telle sante que les ooordonnees enviaagees sont adaptees au
groupe d'isometries. La (a
=
m~trique quotient est ioi definie par (ds·,2 . Si
0, 1, ..
I.'
et
ra,
f3y
r~i designent les coeffioients respe c tifs de s
ju connexions rie.aniennes de Vm+ 1 et Vm relativement aux ooordonnees envisagees r1fi ri jk jk Avec les notations du §19 , Ie tenseur antisymetrique F (26.2)
et s i
l'on rapporte U • des
rep~res
ij
orthonormes adaptes,
89
est nul le s formules
- 56 A.Lichnerowicz
(19.14) deviennent
(26.3)
R
(26.4)
R
(26 . 5)
R.
ij,kl ij, ko
= R'
ij, kl
= 0
~o,ko
Nous allons utiliseI' les formules prscsdentes pour la construction d'un example de radiation.
27.cONSTRUCTION D'UN EXAMPLE DE RADIATION. L'eepace numerique R4 etant rapporte aux coordonnees : x
= x1
_
y - x
2
z
= x3
(a
= 0,1,2,3)
po sons
o u=t-x= x _
x1
et munissons un domaine D de la met'rique definie pal' : (27.2)
ds 2 = e 2 ¢(dt 2
ou
~>O
¢,~>O,
dx 2 ) _
(~2dy2 + ~2dz2)
=
ga~dXadX~
sont trois fonctions de la seule variable u.
donnee une fonction feu),
nous designerons pal' f'
Etant
sa derivee en u;
et
o00 f = f " La metrique
(27.2)
oAd; f = 0
o01 f = - f " admet deux groupes ,
un parametre d'isometries
definie par les deux generateurs
~2 = 1
~3 ~t
=1
satisfait de deux facons aux hypotheses du paragraphe precedent .
Les nombres ~ et ~ sont les nombres scalaires associes aux deux generateurs.
Considerons la decomposition en carres du ds 2 : avec
90
- 57 A.LichnerowiQz
2
BNous dafinissons ainsi des
repe~es
aux d,eux &l'oupee d" iaometIli~s. coordonnees (x/3)
= ~dx 2
orthonormes adaptes
La matl1ice
(A~)
a la fois
de passage des
aux re·peres orthonorlle,e est diagonale et a pour
elements
Al = e o. Sur cette partie la m6trique definie par : 2~ 2 2 2 -2ft 2 2$ 2 2 (28.1) ds ~ e (at - dx ) - u (e dy + e dz) est reguliere si les fonctions $(u) et ~(u)
sont pour
u>o de clas-
3 se (C ,C p. m. ). Nous avons alors 1
a Pour que (28.1)
= log
u
a~=
1/u
a"
= -1/2 2
satisfasse aux equations Ra$ =
0,
il faut et il su f -
fit que (28. 2)
2¢' = u$' 2
Rosen Phys.Z.Sovyet Union 12,p.366(1937) ; klin lust 223,43, (1937).
95
Einstein e t
Rose n J
Fr an
- 62 A.Lichnerowicz
Nous pouvons slors choisir arbitrairement pour ft(u)
une fonction
3 de classe (C ,C p.m.) pour u>o, et ¢ Be trouvera determinee par 1
quadrature a partir de la relation (28.2). La metrique obt,nue sur (R4)
+
est a tenaeur de courbure non nulle ai la relation
(28.3) En particulier en un point ou
n'est pas satisfaite par ft ft'
= ft, :, = 0
le tenseur de courbure eat nul.
Ii
Nous avons ainsi obtenue la metrique indiquee par ROBen, maia qui n'est valable que pour (R4) +,
ce qui semblait en limiter l'in-
teret. b) En adoptant d'autres coordonnees il est ais6 de munir R4 d'une metrique partout reguliere,
euclidienne dans certains domai-
nes et coincidant dans d'autres avec la metrique de Rosen. En un point ou ft' (28.4)
a
ds 2
= e 2¢
la forme gali l eenne.
Y=
(28. 5)
Par difftrentiation, u e- ft dy
= 0, on peut ramener (28.1), soit
Adoptons
a
cet effet les coordonnees u,v et
z=
u e -ft 1
= dy
-
~u
Z du
du
u
_2 -2 dy + dz
-
_2 _2 y dy + z ,dz + z du 2 du + y u u2
2
et 2
u eft z
il vient
On en deduit 2 u (e- 2ft dy 2 + e 2ft dz 2 )
ds
+ e 2ft dz 2 )
du dv _ u2(e-2ftdy2
y2 + z2
= du(e 2¢ dv + 2 ydy + zdZ u
u
du)
Z
-
( _2 + dz 2 ) dy
En effectuant le nouveau changement de variables (28.6) u tt v e 2'"~v + 'J2 + _2 z
=
=
compte tenu de (28.2) il vient et il suffit de poser mene
a
ii
=t
-
X
,
V
=t
la forme galileenne. Cela pose,
96
+
ii
pour se trouver ra-
SuppOBonB que ft Boit une
- 63 A. Lichnerowi c z
fon c tion quelconque de classe (C 1 ,C 3 p.m.)
et effectuons sur
(28.4)
la transformation (1) definie par :
v=
u =u
(28.7)
2~ ,/2 + z2 e ~v +
~ /3 y = u e- y
u
Cette transformation definit une application bi u nivoque, (R 4 )+ sur
bien non nul de
lui mime.
k jaoo-
II vient ue ~ d z
u
=
d
z _ uZ
du -
"
z du
Par suite :
~ d2~d~~)
u 2 (e- 2 /3 dy 2
= dy_2
+ d'z
2
-
2
~d3 + -zd-z 3
"
du
+ ~2 +! 2 J
110&
U
~2
2 du +
_ Z2 du ) du + /3,2(y2 + z2)d u 2 u
d' autre par..t
-C,
_2 + _2 2 _2_2 = e 2 ¢dv + 2 .y_d.y__t__-_Z_d_Z - y z du + /3' [uv +z ))du u2
u
on en deduit (28.8)
et u etant deu~ nombres positifs, choisissons four /3' un e fon c 1 o tion definie et de c lasse (C 1 1 C2 p.~.) pour uo~ u U1 et telle q ue
u
6
/3 'i(U) = '/3 ' ,f (u ) = 0 = /3'(u) =0 o o 1 1 Cons i derons 1'espa c e numerique R4 des ensembles (u,;.i,i) et muni s -
/3'(u)
sons le de la metr.ique definie de La maniere suivante : pour u ~ u
- d s 2 -- du dv
0
pour u .f u ~ u 0
1
pour u
(_2 dy
Ie ds 2 est donne ds 2
= du
dy _
+ dz_2) par
(28.8)
( dy 2 + dz 2 )
La metrique ainsi definie sur R4 satisfait aux equations et est u < u o
m~me < u
1
part out de classe C 2 . si
/3'
R
=0
a. /3 Elle n'est pas euclidienne pour
ne satisfait pas (28.3).
Dans cette regi o n}
elle
(1)
Cette transformation et Ie raisonnement qui suit Bont dUB k Bo n d i Nature t
179,
10 72 (1957).
97
- 64 A.Lichnerowicz
represente un stat de radiation gravitationnelle pure et est de type integrable.
Bien entendu,
elle n'est pas euolidienne dans
Ie domains 6 1 infini de l'sspace.
98
- 65 A.Liohnerowioz
CHAPITRE IV REMARQUES SUR LE CAS PENTADIMENSIONNEL 29.
DU TENSEUR DE COURBURB, DU TENSEUR DE RICCI ET
COMPOSAN~ES
DU TENemUR D'EINSTEIN.
a
Les resultats preoedents nous conduisent
etudier les fronts
d'onde et les disoontinuites du tenseur de oourbure dans Ie oadre des theQries pentadimensionnelles, theo~ie
theo~ie
de
et
Kaluza~Klein
de Jordan.Thiry.
Nous considerons une
va~iete
riemannienne V
5
satisfaisant
aux hypotheses du §19 et nous rappelons d'abord les expressions des oomposantes reperes
Ra. A A
orthonor~es
voir indioe greo
(a., ••.
-I:!:.. adaptes,
_~,
= 0,1,2,3,4)
du tenseur de oourbure.
en
Si i, j
= 1,2,3,4, il vient (29.1) (29.2) (29:
3t
ou F
=t(t~F
R
~~,~~
~ i~
2'
+20tF
t
otF
iJ
i
~~
+(j&F)
I~!~
it;]
R (0 t) + J3 2 t 2 F F ! !!:!d~2 k i. 4!r ~ a ete identifie au tenseur ohamp eleotromagnetique,
~
!~ une oonstante et au les elements munis d'une - sont relatifs
est
a
Ia
metrique quotient. De (29.1) on deduit par oontraction : (29.4) De (29.2),
~ = R·
R
ir,t
i~
+1.~2t2 F 4
11 vient :
ir
F
~
r
(29.5) A partir de
R at de (29.4) et
!~
=R
iE,!
(29.5),
£ + R
!2'~
£
on obtient,
99
pour les oomposantes du tens eur
- 66 A.Lichnerowioz
de Riooi,
les expressions suivantes : 2
+!
R*
(29.6)
H:
~2F
F £
~r k
!L~29 (~3Fr . )
R.
(29.7)
2
1Q
r
2
1
-1 (32&2 F rs (29.8) R ~ 'V ~ + _~ F-22 4 r~ Evaluons enfin les o ompos~ntes du tenseur d'Einstein de V 5 S R - ~ y ~R
=
g:ll
!l:&
2
Q.1::t
De (29.6) i1 resulte : .
= R-+
R ! ~
rs
(32&2
____ ~ F
.ria
2
1
4
F-- - ~ 'V ~
et de (29.8)
R Q. 9. Ainsi la oourbure riemannienne Bcalaire R a pour valeurs (29. 9)
= R." +
On obtient ainsi, (29.10)
S
i~
= S·
-
it
)
S
(29.11)
:!:.2 S
(29.12)
22
Pour la theorie
(32&2
1
..
_~_ F F- Ia - 2l 'V ~ 4 ria pour le tenseu.r d' Einstein,
R
~A
(32~2 (2: 4
4
r
g
1~
F
r§
F£S!_F
' 1£
= .P.. g2~ (~3F!: ) 2 r i = .1. R- + 1.. (32~2F
2 8 Jordan-Thiry,
les oomposantes :
F 5:)_
~
e (V! 1
(0
i
~)
_g
~~
'V*~)
F!'~
1:2 les equations de champ s'eori-
vent S
(29.13)
13.13
-~ \!)I
a(3
ou le tenseur secondo membre
® a(3
d'crit les souroes du ohamp.
Dans un dcmaine depourvu de souroes,
ce tenseur est nul
(oas uni-
taire extenieur).
30 .
EQUATIONS DE CHAMP DANS LA THEORIE DE KALUZA-KLEIN. Dans la theorie de Kaluza-Klein
~=1
et les formules prece-
dentes relatives au tenseur_de oourbure prennent la forme : (30.1)
R
-
ij,~! -
RI!
1~,~!
+ (32 (F
4
F
!~ J!
100
_ F
F
11 J~
)
+!..,2 F
2
F
lJ ~~
- 67 A.LichnerolVicz
(30. 2) (30; 3)
Celles relatives au tenseur de Ricci s'ecrivent (30.4)
R
(30. 5)
R
(30.6)
R
ik
=
+.t:.2
R If
i~
F
= 13 'iJ• F-r i 2 ! !~
g~
F!
ir~
= l..2 F FI~ IS! 4
et celles relatives au tenseur d'Einstein
= S.;~ - _13 2 (1- g _
(30.7)
•
2
= .t V F!:
(30. 8)
Les
4
2
quator~e
r
F
i~!S!
rs F--
i
equations de champ e'ecrivent alors
(30.10)
1
~
-2 " ' L k
R
=
1.':'\ \ilIl..·k_
et (30.11)
ou
les
S
®
:1.2
'" R
!2
deerivent les sources du champ.
De (30 . 10) on deduira
contraction
P~H'
soit R
+ R
-
®
2R
S52 I1 en resulte R
et
(30.10)
=R
!2Q
-
®
paut ;tra mis sous la forme
I
(30.12)
31.
DISCONTTNUITES DU TENSEUR DE COURBURE DE V5 · La metrique Yaf3 de V5 et le g,enerateur infinite simal ~ du grou -
101
- 68 A.Lichnerowicz
pe d'isometries sont supposes de classe (C 1 ,C3 par morceaux). en resulte que la metrique quotient et le scalaire 1
(C ,C
t
II
sont aussi
3 par morceaux) alors que le tenseur F e s t continu et a ij
derivees premieres discontinues. Placons-nous dans un domaine de
V5
ou les seconds membres
des equations de champ sont continus et etudions les dieoont1nuites du tenseur de courbure de V
5
a la traversee d'une hypersurfa-
ce S engendree par des trajectoires du coordonnees locales adaptees, f(x i )
=
0
et,
1
o
2-
tout vecteur 1 colineaire au
g~oupe
d'isometries.
En re-
= 0.
Dans les hypotheses faites, la traversee de S ,
En
= 0, c' est-a-dire est orthog.ol4il au
vecteur tangent a la trajectoire du pere orthonorme adapte 1
d'isometries.
l'equation de S est dono de l 'a forme
dans ces coordonnees,
gradient de f satisfait
~roupe
en vertu de
en theorie de Jordan-Thiry,
on a, a
(18.4)
(31.1) Cette relation est encore verifiee dans les memes theor.ie de Kaluz a-K l ein en vertu de
(30.12),
D'apres l'etude generale faite au §20, nulle et le tenseur (31. 2)
1
a
[Rf3
[Rf3 '
hypothese~,
en
(30.11) at (30.6).
1
eet de longueur
\ J satisfait aux relations '1,1\11-
'1,f\~
J + If3(R '1a,f\r ,)
(31. 3) en un pOint x de S . En oe point,
oonsiderons le veoteur norme 1
,
-
=
t
2 1) astreint seulement 4 Les veoteurs 1 4 et 1 definissent un 2-plan
et donnons-nous un vecteur unitaire
a etre orthogonal a 1 0
-6
colineaire a 0
1
4
orthogonal a 1 ; dans oe 2-plan soit 11 Ie veoteur norme orthogonal o
a
14 tel qu'on puisse prendre:
102
- 69 A.Liohnerowioz
-=
--
1
On peut oompleter par deux veoteurs 1,1 au 3-plan defini par pere ..
(1) a
(1 0,11,1 ) 4
2
de facon
orthonorme adapte tel que
3
du 2-plan orthogonal
a
obtenir en x un re-
(31.4)
Boit satisfaite.
C'est
relativement a un tel repere que nous raisomnerons dans la suite. On notera que comme 1
=0
definissent au point c orj. respond ant de la variete-quotient un vecteur de longueur nulle. ~
,
les 1
32. MATRICE REPRESENTATIVE D'UN TENSEUR
H
/3 \
a , "f1.
ENx.
Soit H /3 \ I 0 un tenseur jouissant des mimes proprietes a ,,,f1. de symetrie que Ie tenseur de courbure et satisfaisant a (21.4) et
(21. ·5)
r
orthogonal
a
1 . Ce vecteur est ne o cessairement de longueur nulle et nous pouvons adopter en x Ie repere
pour un vecteur
(1 ) introduit au paragraphe precedent. a
(21 . 4) et
(21.5)
(32.1)
H
sont alors traduites par les relations (A, B
0
AB,Af1.
= 0,2,3)
et (32 . 2) Pour
H
/3 /3
= 0,2
l/3,Af1.
i l vient
1 ou 4,
H
Pour
+ H
4/3,Af1.
14,Af1.
0
:
= 0
et 3 on a respectivement
(32.4) (32 . 5)
H
(32.6)
H
42,Af1. 43,h.f1.
En posant 12 "
1
3
1 3 " 11 11/\ 12
+
H
+
H
= 7
12,Af1. 13 Af1. 1
72
=
7
3
0 0
= 7 1 A 1 4 4 1
r
1 2 " 14
75
1
= 76
r
r3" r4
0 0
1
A12
" 1 " 0
0
103
A1
1
3
14
=
-r
7 = 78 7
g
7 10
- 'f0 A.Lichnerowicz
on est conduit, comme au §21, trice (H
IJ
)
e. representer H (3 \
= 1, .•. ,10);
symetriCJ.ue (I,J
par une ma-
a ,f\.iJ. (32.1) ~t (32.3) s'e-
crivent : H
=
=
=
3J
= H 5J
=
H H H 0 lJ 4; 8J 9J En ce qUi concerne (32.4), (32.5), (32.6), i1 vient :
= -H 7J
H 10,J
H
H
= -H 6J
2J
8i nous posons H
-
55
11.1 mat rice et 1
3
=a (H
(H 24 ,34
=b
H66
IJ
H
=c
77
) prend 11.1 forme,
H
=d
27
H
37
e
-
pour un choix co.nvenab1e de 1
= 0) 1
(32.7)
1
2
3
4
5
6 ~ 7 I
p
0
10
0
0
0
0
0
oI
0
0
0
0
-b I d
0
0 -d
0
0
0
0
2
0
b
0
0
0
3
0
0
a
0
a
0
4
0
0
@
0
0
0
I
0
I
0
-
5
0
0
a
0
a
o,
0
0
6
0 -b
0
0
0
b I-d
0
0
I
c
0
0 -c
0
0
0
0
10
0
0
0
0
0
c
-d
7
0
d
8
0
0
0
0
0
oI
9
0
0
0
0
0
0
10
0
-
0 -d
0
-
I
I
d ,-c
d
On sait que necessairement : H
a(3
En faisant
a=(3=4 , i1 vient 7"
= H 40,4
0
= 7"1 a 1(3 :
+ H
42,4
2 + H
3 43,4
soit 'r
Ainsi pour que H
a(3
= 0,
= ", (a+b+c) i1 faut et i1 sui'fit que a + b + c
104
=
0
2
- 71 A.Lichnerowicz
33· MATRICE DES DISCONTINUITES DU TENSEUR DE COURBURE DANS LES THEORIES PENTADIMENSIONELLES. [R j3 \
D~n,s le cas du tenseur
a + b + c :: 0 . nifestement trice
([R
IJ
[R
J)
a ,"iJ.
J,
on a
[R
a
j3J ::
0 et
par suite
PoUr la theorie de Kaluza-Klein on a en outre,
ma-
J:: 0 et par suite cr :: a + b :: o. Ainsi la ma~S' ~'2. a la forme (32.7) soit avec a + b + c :: 0 (theorie soit avec c :: a + b :: 0 (theorie de Kaluza-Klein).
de Jordan~fhiry)
On retrouve aisement cette forme reduite a partir des formules -1
It
~ ['i7~(,\~)J :: Cl!l~ et des resultats anterieurs. tion de Hadamard,
Notons d'abord que d'apres la condi-
il existe un scalaire c en x tel que
Le repere orthenorMe adapte etant ohoisi de
fa~on
il resnlte de (33.1)
([R
a 7
I,J ~ 10
~
que la sous-matrice de
a 1a forme lisib1e sur
on deduit
[R 1t J ik
(33.2) [R*
Ainsi
!J,!!:1
J q~i
(33.2)
1
satisfa1 t
[R ll
1
!J,~l
h
et
e1 [~ k ca . 0
::
est represente,
1a sous_matrioe ([R o :: .. ( a +b ).
lJ
if;
1
.s
34 .
I
4
J)
1
e
4
+ e . l'
correspondant
(35.7). De plus de (32.6)
J ::
-
1
i
[R"
Jh,!!:l
1 +
1
[R I
J hi,!!:l
1
I,J
.s
6)
o 12, r 3,
correspondant a (32.7)
par ave o
En fin de
~ [~F 1 :: if; 1 2 ~ i~ ~ est singu1iere et de l'expression de oette forme pour
~~
1 =e
que
pour un choix oonvenab1e de
1) (1 5:.
!
ou
1 +
IJ
:
.s
+ -; , 1 6,7
iJ
on dedu1t 1a sous-matrioe correspondant
.s
J
1
a
10 .
RADIATION EN THEORIE DE KALUZA-KLEIN. 1) Pla90ns-nous dans 1e
c~dre
105
de 1a theorie de Kaluza-Klein,
- 72 A.Lichnerowicz
la variete V
5
etant
raRPo~tee
Pour simplifier Iss notations, sou 1 ig.n Olga des ind ic e s. da
112
cor responde
a
a
des reperes orthonormes adapt ea . nous supprimons dans la auite Ie
Su,ppo s'on B que 1 a metr i que d' ea paoe -t emps
un etat da radiation totale pure,
Ie champ ele-
ctromagnetique representant lui-mime un etat de radiation electromagnetique de mems vectsur fondamental isotrope.
Nous introduirona
Ie vecteur isotrope de V5 orthogonal a et ae projetant sur V4 aeIon Ie vecteur precedent. Sous nos hypotheses,
nous avona d'uns part:
=
(a)
(b) S 1, R'" 0 h ij, kl ob S designe ici 101 sommation apres permutation circulaire sur
(34.1)
les indices h,itj et d'autre part:
La formuls gulie~e,
=
li F .. =0
(b) 0 ij (30.1) nous oonduit a etudier,
(a)
(34.2)
S 1 F h
l.J
pour une 2-forme F sin-
Ie tenseur S 1
(F h
F ik jl
F
F
FilF jk )
=-
il jk
)
I l vient
S Ih(FikF jl -
S Ih(FikF lj
+ FilF jk )
Or F stant une 2-forme singuliere est un produit exter.ieur et
Ainsi: S Ih(FikF jl Nous voyons done que,
FilF jk ) = (S IhFij)Fkl
pour une 2-forme F singuliere,
=
S 1 (F F - F F ) 0 h ih jl il jk Lea hypotheses (34.1) et (34.2) entra1nent ainsi,
a partir de
(34. 3 )" SIR = 0 h ij,kl D'autre-part de (33.3), on dedui t
(34.4)
Ca)
1 R
h io,ko
1 R i
h o , ko
106
(b)
_R2 ~ 4
(1 F h ir
=0 1 F ) F r i hr k
- 73 A.Liohnerowioz
soi t,
d' apres
(34.2)
a
1 R
- 1 R
h io,ko
On a ainsi d'apres
2)
ho,ko
4
1 F F r r ih k
:
=
1 R
que le tenseur de oourbure et defini, orthonormes adaptes) (34.6)
_- 1-2
o (b) liR + 1 R 0 h io,ko i oh,ko io,ko Introduisons le tenseur de V5 ayant meme type de symetrie (a)
(34.5)
(34.2)b
i
=
P
relativement aux reperes
par :
=0
P
R
P
ij,kl ij,kl ij,ko io,ko ou le signe - figure pour des raisons de signature. oontraote' de P a{3,
P a{3 ,
=
(34.7) 1
o
.
yo
io,ko Le tenseur
.
verifie .
P 0 ·i 0 les relations
etant nul,
R
P
(34 . 4)
00
et
= .. R00 (94.5) peuvent s'exprimer
par :
S 1 P a {3l',Af.L
(a )
(34.8)
=0
(b)
ou le veoteur 1 , neoessairement isotrope est orthogonal ~ ~a. a 3) Inversement supposons que le tenseur P f3 < defini en re~
a ,yo
peres orthonormes adaptes par
a
oteur 1
orthogonal a satisfaites.
sa it tel qu'il existe un ve-
~a pour lequel les relations
Pa {3 est proportionnel Boit R
=0
De plus,
Frs ra d'apres (34.5) ,
00
(34.6)
a
lalf3'
Comme 1
o
(34 . 8)
= 0, on a P
00
soient
0,
et d'apres (30.6) F
.
b
1 F
F
1
(34.10)
=0 r
= 0
ir k li est ainsi veoteur propre,
aveo la valeur propre 0 ,
de Maxwell de F et la 2-forme Fest singuliere. oompte~tenu de
du tenseur
De (34 . 4)
on tire)
(34.3)
S 1 R"
=
=
0 1 i R· 0 h ij,kl ij,kl et la metrique ds*2 defini~ un etat de radiation tot ale pure.
107
- 74 A.Liohner01l'ioz
Supposons que les equations de ohamp (30.12) tes en l'absenoe de souroes
(®
ik La 2-forme F etant singuliere /3 2 2
et d'apres
F
De
(34.9)
= -
1 1
on deduit
:
ik
=
R
= 0).
soient satisfai-
0
F
r
ir k
T
i
k
(30.4)
= T 1 1 ik i k oe qui explique l'expression d'etat de "radiation tot ale R*
35.
pure~\
EXPRESSION INTRINSEQUE DU TENSEUR P /3 \
. a ,f\.)J. Il est poss~ble d'exprimer intrinsequement le tenseur P /3 • a,/'o ~ partir du tenseur de oourbure de V et du g~nerateur ~ du grou5 pe d'isometries. A oet effet introduisons le veoteur norme (;2=_1)
u
oolineaire
a ~
05.1}
defini par
et
t A./.L
a/3
et qui satisfait
:
t A)J. = t /-LA a/3
/3a
En reperes orthonormes adaptes,
o ,
on a
u
o
=
On en deduit
t
05.4) A partir de
tA)J.
A)J. 01
= gAg)J.
00
0
0
_ gAg)J. _ gAg}l 0
0
0
(35.2), (35.3), (35. 4),
a/3,yS
= tAPt.'W R
ay /3S A)J.,pU
En effet d'apres (35.2) P
ij, kl
R
= _gAg)J. 0
0
il est aise de verifier que
l'on a p
0
ij, kl
108
-1.
A.Lichnerowicz
D'apres
(35.3) P
et d'apres
(35.2)
ij,ko (35.4) :
et P
:=
0
R
io,ko io,ko ce qui est en aocord avec les relations du
36.
~34.
RADIATION EN THEORIE DE JORDAN-THIRY. 1) Sur V
munie de la m'trique-quotient ds
4
champ scalaire
~
t i re de
j
(36.1)
sup~osons
It
II And we
But first we must settle this questilln IIf the
measures when he makes an IIhserva.tJlln .
Let us turn to Fig .3. 4a, wllrld line C oat ching se he
We must tell him.
whioh represents an IIbserver with
'Yl~n, .ith
(null) world line NO.
,\~, Fig·3· 4 d Catohing a phllton iL a teles o ope
181
Of ollur-
- 46 will
D~ t
catoh the photon unless his telesoope is properly dire-
cted, and the oondition to be fulfilled is that the world line NO should intersect tho world line T of the end of the telesoope. Sinoe we are at present thinking ot an intinitesimal domain, thas means that the line NO, the 4-velocity V r of the observer, and the infinitesimal veotor Ot drawn orthogonal from 0 to meet T that these three should lie in a 2_spaoe. Let Ud .rThen the equa-
ti8ns (5.57) tell the astr8n8mer the small rotati8n he must give to his radio-gun in order t8 receive the returning signal from
h is Fermi cloordinates pointing due south and his second axis pointing due east,
(Fig. 5. 5a), he is (Zenith)
,
E
D
5
I
Fig.5.5a Astronomer's axes for observing a sputnik in the zenith. t8 give his radi8-gun a small rotation which c o n s is ts in part of a term containing the Riemann tensor and a part due to the rate of change of acceleration of the observer.
This second small rota-
tion carries the end of his radio-gun in a direction 8pposed to the rate of change of acceleration.
The rotation is proportion.l
t8 the square of the distance 8f the sputnik . I have referred to a sputnik, travelling (say) a few hun. dred miles above the surface of the earth.
216
It would be nice to
- 81 -
be uble to take the moon instead of a sputnik, employed moon.
i~
but the method
not valid in the oase of a photon bouncing off the
The reason is that the power series method whioh I have u-
sed is valid only if we may make a power series development along the geodesio event.
r,
whioh extends from the observer to the observed
That oannot be done for the gravitational fields of the
earth and the moon, but it oan be done,
validly,
for the gravi-
tational field of the earth up to a distanoe fairly small oompared with the earth's radius,
i.e.
bove.
217
for a sputnik as envisaged a-
-
82 -
LECTURE VI THE PROBLEM OF THE FALLING APPLE AND THE PROBLEM OF THE PENDULUM. 6.1.
THE FALLING APPLE.
I would like te disoussJ re1ativistioa11y, that famous prob1em traditiena11y associated with Newtonian gravitation - the problem of the falling
r
o Fig.6.la The falling apple. In Fig.6.1a, r
is the world line ef the hand from wich the
apple is dropped; we may call r the world line ef the observer. r' is the world line of the apple.
rand r' touch at 0, the event
at which the dropping takes p1aoe. Our problem is te find out how r'
appears te r,
use a Fermi triad attached to r for this purpose. event
and we shall
Let P" be any
on r' and P the foot of the geodesic perpendicular drop-
ped from PIon
r
Let pp.
veotor to PP' at P.
Let OP
= u, and let ~i be the unit tangent
= sand
OP'
= s'.
Let
U~a) be the Fer-
mi triad at P. The Fermi ooordinates of pI relative to Pare (6.101)
r(a)
=
U
~ i Ui(a)
But in terms of the charaoteristic funotion we have
218
F(~,P')
= F(x,x l
),
- 83 -
(6.102)
F
i
and therefore (6.103) Note that although we speak of
"Fer~i
coordinates", our argument
is aotually conduoted in terms of general ooordinates. Let us write
(6.104)
on A' i
r e membering that r' AiA (6.104)
i
= dx'i
on
dS"i'
r,
r,'
is a geodesio. We have
= -1 ,
AiB
i
Aie
= 0
i
+ BiB.
1
=0 ,
A,i A ,
1
= -1.
AiD . + 3B Bi = 0 1 i By the orthogonality of rand PP' , we have F Ai = O. i By the law of Fermi propagation, we have (6.106)
(6.107) Our objeot is now to develop rea) as a
pow~r
series in s,
using (6.103), (6.107). The oaloulations are direot but tedious. We have (suppressing the subsoript r (6.108)
= [r] + s[dl!'/ds) +
t
a)
s2[d 2 r/ds 2 ] +
+ .1. s3 [d3r/ds3) + 1 s4 [d 4 r/ds 4 ] + ... 6
24
where [) means evaluation at 0, P and P' ooinoiding there. Note that r is an invariant, and these are ordinary derivatives , We are of oourse to remember that Fi in (6.103) and (6 . 106) funotion of two points.
219
is a
- 84 -
~e
not~
that a l is some function of a. and we shall write
(6.109)
dsl/d..
= S1'
d2a'/da~S.,eto.
Let ua differentiate (6.106) again and agair. and proceed. to the limit indioated by [ ). We get. in the first two steps. (6.110)
F F
(6 . 111)
ijk
ij
AiAj
AiAjA k + F i
+ FiJ"k,A A
'j
+
ijk'
F
ij'
AiAlj S
AiAJA'kS
1
k 2 i j A Sl + 3F y • B
+
1
+ F + F
F Bi : 0 i
ijtk
ij'
AiA'jAkS
i 'j BAS
1
1
+ F
ij'
AiA'JS
2
and this laat may be written
On passing to the ooinoidenoe limit
[ ) in (6.110) and (6.112),
we get
[s ) = 1
(6.113)
1
Prooeeding further,
I find
(6.114)
It is remarkable that the ourvature tensor does not appear here; it does appear in [S5)
.
We have now to oaloulate the ooeffioients in (6.108), using (6.115)
I'
=-
F Ui i
and the results of differentiating with respeot to s and going to the limit (6.116)
[
J.
Obviously [I')
=
O.
We have
dr/ds
but the last term vanishes here on aooount of (6.106). Using
220
- 85 -
(6.113 ) ,
we find
[dr/ds]
(6.11 'f)
= 0 ,
as indeed we expeot . Preoeeding, we get
=-
F
_ F
(6.118)
- F
ijk ij
AjAkU i
(BjU i
ij'
- 2F
ijk'
AjA,kUi s
1
-
F
ij'k'
A,jA,kU i S 2 1
+ AiAjU Bk) k
(~iA,jU BkS + A,jUiS ). k 1 2
Henoe (6.119) Differ~ntiating twioe more and prooeeding to the limit
obt eic .f ter
[ ], we
lerigthy oalcul at ions
aom~
=(6.120)
Restoring the subscript (a),
we have the following result :
llt.r proper time s from the instant of dropping, the r.L~tiv.
app~e
has,
to the hand, the Fermi position vector
(6.121)
+ 0
5
where
B(a) (6.122)
B2
z: B Ui
i
= B Bi i
(a)
C
K(a)
= C ui i
(a)
-
-
R
D
( a)
ijkm
Ui
(a)
( a)
=
D Ui i (a)
A~BkAm.
These quantities are evaluated at 0 The most remarkable conolusion to be d r awn from this result is this: f~ll
the gravitational field has a very small effect on the
ef the apple (in spite of the Newton legend l ).
221
The mest im-
- 86 portant term oomes from the 4-aooeleration , Bi of the hand
In fact
from the relativistio standpoint, we should say that the hand reoedes from the apple rather than the apple from the hand.
6.2. THE APPLE FALLING IN THE EARTH'S FIELD. Let us now make some oaloulations for an apple falling in the earth ' s gpavitational field.
We shall leave the sun of acoount,
and take for the earth's field the Sohwarzsohild line-element
=
.. d x id x j eij
(6.201)
The surviving oomponents o f the Riemann tensor are as follows
(6 . 202)
R 2323
= 2mr
R
=
3131
R 1212 where x
1
= r
I
x2
=
sin~e
R 1414
~sin2e
=
-2m r3
- !.!) r
i\7ll/ r
R2424
=.!.
(1
=
m/r 1-2m/r
R3434
= .!.
(1- ~)
e,
x 3 = IJ
x"
=
t.
r
r
r
sin 2 e,
The surviving Christof-
fel symbols are m/r2 1-2m/r r(1-1!.) r
(6.203)
rt
33
=
r 1 '" 44
-
'" r3
'" 1, r 13
, r3 = 23
'"
m/ r 2 1-2m/r '
oote
r(l- !:.)t; i n 2 8, r
+~ (l-~) . r
2
r
Although it would not be hard to allow for the rotation of earth, let us for simplioity disregard it' Th$n the world line
r
of the hand from whioh the apple is dropped is a t-line, and
so its 4-veloolty is (6.204)
222
- 87 -
¥or t he
. - I ooele ~ atign
(6.205)
we have
Bi
= SAi/Ss = dAi/ds
Bi
= (+m/r 2 ,
Bi
m/r2 , = ( l-~m/r
AjA k + ri jk
,
and henoe (6.206)
0,0,0), B2
0,0,0),
4
ml/r = 1-2m/r
Let us take the Fermi triad pgint:1.ng in the directillns gf r,
0, Sg that i U(l) (6.207)
::
(1
-
2m/r)
1/2 ,0,0,0),
i = (0, 1/~, 0, 0) , U(2) i u (3) =
(0, 0, r -1 ogseo
e ,
0) .
Therefgre (6.208)
B
= (mr- 2 (1
(a)
-
2m/rjl/2, 0, 0) .
Further k 4 dBi/ds + ri BjA = ri B1A 14 jk ret us write for brevity (6.209)
Oi
=
1 - 2m/r = Q .
(6.210) Then
.. m2 r -4QIi/2) } (6.211)
o i = (0, 0, 0, -m 2 r -4 Q-1/2) , O(a)
= (0, 0, 0) .
Also (6.212)
Di = doi/ds + ri CjA k = ri C4 A4 jk 44
and so Di = (m 3 r -6 Q-1 , 0, 0, 0) , (6.213)
D = i
Cm 3 r- 6 Q-2, 0,
0,
0) ,
(m 3 r- 6 Q-3/2, 0, 0) . D(a) =
223
•,
- 88 -
From
These are the four coordinate conditions we needed to complete our system of equatio n s . on ~ ,
we may say that our unknowns are now ga~ ,
(7.402) V
4
Since gU4 is known everywhere when it is known
being given by (7 . 212). Let us eliminate S
ij
from (7 . 211),
and write the equations
as follows =-kT . . , (~.
l.J
403)
km s (pV V ) Vk - c i j k ijkm We are about to discuss the Cauchy problem presented by these eT
quat ions .
I Vk ij k
I
=
As Cauchy data (CD) we shall take
(7 . 404)
,
,p.
V U
To pu t
the Cauchy problem in normal form,
we a re to solve for
(7.405) in terms of the CD.
We have the first three quantities at once
239
-
104 -
Nuw t h e first set of eqQatlons in ('.403) are equl~alent to
(tr.406) and
thes~
R lj
"~k'l'
l.
.,
,
lj
are the only equatlons whioh involve g
that
1'1
a",,44
•
But we kngw
:1:... g 44 g tcm, 2 afJ,4.4 a :..,.!. gfJ4 g + PD , R
'af3
(7.407)
.2. ga f3 g
44
Now if g44=0 on I
af3, 44
2
~4
R
af3., 44
2
+ CD
•
we oanng' pgsslbly solve these equatigns for
the six quantities gaf3,44' beoause they appear in o n ly fo u r
equa-
tions. But g44,- 0 1s the oond1t1·gn that ~ shguld be a null s'urfac·eJ
i . e.
a s u rf ac e f • 0 whl0.h satisfies (in any ooordinate sy-
stem) the equation ;:. 0 .
(7.408)
Henoe we oon o lude that nuLL surfaces · are characteristic surfaces
for the system (7.403' . In other words, it 1s pilsslble for shook waves to travel in the elastio medium with the velooity of light 1n vaouo (the fundamental relativistic V' elocit y~. Having got these oharaoteristios out of the way.
we shall
henoeforth assume
(7 . 409) We shal~ now use the Lemm a tions into another form.
Define
(7.410)
w
ij
rr
of 8eot . 7.3 to throw the equa-
"
G lj
+ k
T
Jt
R
+
T·
ij
so that in oonsequenoe (7 . 411)
iii
W ij
l j
k
ij
Noting that ('7 . 412)
I
we see f.rolll (C} of 8ec.'t.'7 3 t h at. o,u.l' equations (7 . 403) may be
240
-
105 -
wri ttl.t\- ~11.1 v'a.lel\l:l;i
(7.413)
R
(7.414)
Ti
=-
a{3
a{3
= 0 ,
Ii
j
k Til
(7.415) with the initial condition
G4 + k T4 = 0 on ~
(7.416)
i
i
We must not of course forget the equation (7 .4 17 )
=
V Vi i
-1
.
The second derivatives g ~
afJ,44
may be seen from SilL \'IuAltit'it.'!s.
(7.407), 1I~
occur only in (7.413),
and,
as
these equations can be solved for these
have ther"foce no further u se i' or
( '/.413)
-
we can throw them away. Since
(7.414) may be written
= CD
T4
(7.418)
j, 4
we know T4
j, 4
in terms of CD,
and these equations may be thrown
away. We are left then with the equations (7.415), split according as i is CD by (7.418),
=
4 or i ., 4.
Fer i
and so we may write
=
4,
and these we
the left hand side
(making a harmless change
in the last term) 4 k (pV V) V j ,k
(7.419) We h a va her e
f~u!'
(7.420)
~quations
V
4.km
= CD km t o solve for the fo ur quantities -
c
.j
s
p 4 , If they do not have a unique solution, 0',
4
,
they do have a unique solution, for i
j
4 is CD,
L is a characteristic.
then the right hand side of
and in fact this equation may be written
(7.421) Here we encounter a characteristic, given by (7.422)
V4 = 0
.
241
If
(7.415)
-
1.06 ..
is a charactetistic if it
The interpretation of this 1s that I
is tangent to the worLd Lines of matter. This oorresponds to a shook wave travelling with zero velooity in the medium.
(I am
grateful to Dr. C.B.Rayner for pointing out this type of oharaoteristio) . Having tbus CiiSp;os ad of tWill t :ypes d
c:hat:acteYistic, (1) nun suyfa-
oes, and (2) surfaoes of zero velooity, we turn our attention to the crux of the matter, viz, the question of solving (7.419) for the quantities (7.420). If the solution is unique, the Cauchy problem is regularJ if it is not unique, then I
is a oharacteri-
stia. The interest of these characteristio's is that they give Us the speeds of elastio waves in the medium. Henoeforth we aSBume ('7.423)
V
242
4
,. 0 •
- 107 -
LECTURE VIII ELASTIC WAVES . a.1. STATIONARY SKEW-GAUSSIAN COORDINATES . In
discu~sing
the equations of elasticity, one might use co-
fusing method.
'~
v'O"
moving, coordinates, so that
= 1.
But I find it a con-
Instead, I have used skew-gaussian coordinates,ba-
sed on the 3-space
I,
which may, or may not, be a oharacteristio.
But in the choice of the generating vector field on I we have liberty of choioe. Let us now deoid·e to ohoose this vect,or field in
the 'ir~~tion or the 4-velooity Vi on I (this does not mean that the geodesics will remain tangent to Vi after they leave I
- in
general they will not). We may oall these ooordinates stationary skew-gaussians. They serve to simplify the algebra of our problem, which is to investigate the solution of (a.101)
(~V4V) j
, k
Vk _ 04.km s .j
:: CD
km
for the four quantities V I P (T,4 ,4 For this coordinate system we have (a.102) and hence (a.103)
V
::
(T
,
g0"4
V 4
::
on I
-1
We have everywhere (a.104)
V Vi i
::
,
-1
Vi V i!j
::
0
•
and so (a . 105)
V
4Jj
:: 0
on I
.
on I
.
A simple caloulation gives then 1) (8.106)
V
4,4
:: 0
Everywhere we have l) For skew-gaussian coordinates, ri 44
243
=0
everywhere.
... lOa -
and hence
(a.loa) Since ~ ~s4 "'s4'"
1
Il
I
we have
(a . l09) As lor the rate of strain Sij' we have by (7.207)
(a.llo)
on ~
J'urther
sa~ =t('a'~,. + (8.111)
'A'a,4) + CD
=.l(g V + 2 a4 ~,4
g
~4
V
a,4
)
+ CD on ~ .
a.2. REDUCTION OF THE EQUATIONS. We now make use of these simplirications irt (8.101),
which
at once reduce to c4.~'If s '~ j ~v
(a.201)
CD .
Hence
(a.202) For j
P, 4 VJ' + P,4, 4 VJ. + pV j,4
= c4~~V .J
s
+ CD. ~v
= 4, this gives .p
(a.203 )
,4
.. p V;4
', 4
=
c4. ~v
.4
s
~v
+ CD ,
and for j=a it gives
(a.204)
p
V
,4 4
+
,4 V
P ,4 4
+ pV
a,4
=
"+fI = '0, the jumps are arbitr!:ll'Y. If
(8.40~ )
where
Q
A.+J.i. j
0,
we fi.nd
= Q g 4a 4 is undetermined; or J by (8.103), v
QJ
vQ
(8.406)
=Q
•
V
4 Q This i.s analogous to the fact that, J
in classical theory, the P-wa-
ves are longitudinal. For the S-waves J the equations (8.403) reduce to
(8 .40'7) If A+J.i. = OJ
~V
a,4
are arbitrarYJ as indeed we already know, since
then the P-waves and the S-.aves coincide. If A+J.i. j OJ we have
(8.408)
6.V
:; 0 ,
1J 4 the other "two oomponents being arbitrary. This ODI"r"_1>0nds t.e the transverse oharao.ter of 01ass1 .0&1
S~-.av.e8:'
8. 5.' QUASI~RIGIDITY.
There i ·s no doubt that rigid _otions (,in the. Bo.rn",R.oB.e1l senee) exist in
~enera.l
r8'ia.tiv1ty. The interior S'ohwarzschl1_d solut10n
is a rigid m.o .t ion. Bbtth.-re seems
equ~lly
to be no
do~b.t.
that dy-
namically rigid bodies 4.0 not exist in relativity. So we ask: what is the nearest approach to rigidity nioh _
can find?
The present theOry provides an answer, for it gives us what we might call a quasi_rigid medium - a medium in which all dlsturbances are propagated with the fundallen.1 ;al spe-ed (usual.ly de.noted by c J but
~qua~
to unity in the present lectures). In other
w~rdsJ
a quasi-rigid medium is one in which all the characteristics are null surfaces J exoept for those characteristics composed ot stream 1i
ne s, To disousa
quasi-rigldity~
let us go back to general coordi-
nates and the equations (7.403), viz.
248
-
( 8.5 00
( 8.5 02 ) where,
=-
Gij
T
I
yk
=
o
To make u
ijkm we are [cf.
= 1,
k T
ij
(py. YJ'> :r".V k -
=
ij k as in ('1.210),
(8.503)
113 -
."
c
ijkm
skm
g , +}.L( g g + g g ). ij km ik jm im jk (8.312) 1 to choose
Ag
A = - p
( 8 . 504) Now in general (8. 1) 0 5 ) and s o ,
o
ij km
km
s
= Ag ~J , ,y kl + k
}.L(Y
i
IJ'
+
y,
J
I'~
+
y y, i J
Ik yk
+
Y V, j ~
I k yk),
with the values (8.504) our sy~tem of equati o ns becomes G
ij
-
- k T.
,
J
(8.506) Y yi
= .. 1
.
i
Adding foul' coordinate conditions, 1 0 + 10 + 1 + 4
= 25
we have here a system of
equations for the 25 unknowns gij'
Tij ~
Vi,
P . Moreover, we know that this system of equations yield a regular Cau c hy problem relative to any spacelike 3-space
I.
These equaticns
appeal' worthy of study. For some purposes it may be useful to employ skew-gaussian coordinates relative to I (8.50'1)
,
re~lacing the
= -kT"
R
a~
Ti
a~
j
Ii
first of (8.506) by = 0,
remembering the oonsistency condition
C4 + k T4 = 0
(8.508) to be satisfied on
~
i i '
(x 4 =Q) . Only the first derivatives of gij are
c ontained i n G4 , The Cauchy data on I i
are
(8.509) and we have ( 8,510)
g
4a,4
= 0,
= -1 249
.
.- 114 -
Or we might use Gaussian ooordinates, for wbioh g
4(1
= O.
An alternative plan would be to use comoving coordinates. We oan in faot replaoe the ooordinate oonditions and the last of
(8 . 506) by the five equations ( 8 . 511)
vo.
= 0 , V4 = 1
I
g
= -1 .
44 That leaves us with 20 equations (as in the first two of (8.506» for the 20 quantities
(8 . 512)
Tij
I
go.~
I
g40.
I
P
However, comoving coordinates seem to obscure somewhat the geometrico-physioal aspeots of the problem. I wish to thank Drs . Wast and Rayner for discussions on the material of these leotureS.
250
CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO (C.I.M.E.)
C.CATTANEO
GRANDEZZE RELATIVE STANDARD IN RELATIVITA GENERALE
ROMA - Istituto Matematico dell Dniversita - 1958
251
GRANDEZZE RELATIVE STANDARD IN RELATIVITA' GENERALE
Nel seminario di oggi mi propongo
di mostrare come aIle e-
quazioni del mote di una particella libera di pro va, alla sola azione del campo gravitazionale,
abbandonata
possa darsi una forma
e una interpretazione del tutto analoga a quell a della meccanica newtoniana : derivata temporale del vettore quantita di moto
=
=
x campo gravitazionale
massa
e cib senza alcuna ipotesi restrittiva n. suI riferimento fisico, n. sulla velocita della particella,
n. sull'intensit. del campo.
II risultato si basa essenzialmente su due punti : mo luogo l'adozione di un
tempo
ferimento fisico considerato e, ze relative standard,
st~ndard
locale,
in conseguenza,
opportunamente definitej
1) In pri-
relativo al ridi altre grandez-
2)
in secondo luo-
go l'impiego sistematico di un'operazione differenziale particolare che chiamerb derivazione Ritengo opportuno, ca,
tra.vers~
ordinaria
0
covariante.
prima di entrare nella questione specifi-
fare un breve preambolo sulla nozione di riferimento fisico
in Relativita generale.
E'
ben note che in Relativita ristretta
hanno diritto di cittadinanza soltanto i o inerzialij newtoniana,
riferimenti galileiani
il problema,che pure. considerato aia in Meooanlca di descrivere fenomeni e formulare leggi fisiche in
altri riferimenti pili generali,
in Relativita ristretta non vie-
ne mai preso in considerazione.
1. no
In Relativita ristretta scegliere un riferimento galileia-
(con annes so sistema di orologi) equivale a scegliere,
spa~io-tempo
di Minkowski,
un asse tempora1e ad arbitrio
253
nello (tra 1e
-
2 -
C . Cattaneo
rette
"orientate nel tempo " ).
traria,
restano individuati,
vi istanti .
In ciascuno di
Su quests ret ts ,
con origine arb i-
in una scala arbitraria,
ques t i
i
successi-
istanti resta poi automatica -
mente determinato il sottospazio a tre dimensioni ortogonale all'asse temporale,
sottospaz i o che rappresenta 10 spazio fisico
in quell'istante. Conviene dare maggiore concretezza alia spazio fisico pensan dolo riempito di una damente collegate,
infinit ~
particelle ideali tra loro rigi-
cosl da costituire un vero riferimento fisico.
Benintes) si tratta di lora presenza,
di
partice ll e
ideali che non turbano,
il libero Bvolgersi de i
fenomeni,
co n la
fornen do sol tan -
to il riferimento nece ssario alIa loro descrizione.
Co n tale ipo-
tesi ogni retta parallela al l'a sse temporale si pub interpret are come la linea oraria,
ei08 come la storia,
di una d i
queste
00
3
partieelle di riferimento. In Relativita generale un ri ferimento galileiano ehe riempie tutto 10 spazio non esiste .
II
modo
pi~
sempliee e
spontaneo
pi~
di estendere alIa Relativita generale la nozione di riferim ento fisieo 8 quello di eonsiderare aneo r a 10 spazio riempito di una infinita di
pa r tieelle,
di zione di rigidita . di
riferi me nto",
stretta,
se nza
pi~
i mporre ,
beninteso,
alcuna co n-
Ed ecco cosl come alIa nozione di
"solido
abituale in Fisies classica e in Relativita ri-
si giunge in modo del tutto naturale alIa nozione pili
generale di
"fluido di riferimento".
ferimento equivale a scegliere, u no spazio curvo,
Scegliere un fluido
nella spazio-tempo V4 ,
di
ri-
che 8 ora
uns cong ruenza di linee del genere tempo ,
che
sana poi Ie linee orarie delle parti celle del nostro fluido di riferimento.
Assegnare tal congruenza 8 poi equivalente ad asse-
gnare un campo di
vettori ,
per esempio vettori unitari,
254
che s ia no
- 3 C.Cattaneo
tangenti
aIle linee medesime.
Con la soomparsa del riferimento galileiano viene anohe 5eno,
in
Relativit~
generale,
to riferimento fisioo
la
un tempo,
veramente un oontenuto fisioo. ooordinato ohe si pu.a
di assooiare a un da-
possibilit~
voglio dire un tempo ohe abbia Ad esso viene sostituito un tempo
pens are segnato da tanti orologi,
aIle varie partioelle del fluido di riferimento;
legati
la manoanza di
un riferimento galileiano rende assolutamente vana 1a speranza di un aooordo coerente di tutti
questi orologi
a questi non si ri-
chiede altro requisito ohe quellc di non fermarsi mai e di essere in qualche modo collegati tra 101'0 in guisa che a due eventi infinitamente vicini non soltanto corrispondano linee orarie di riferimento infinitamepte vioine, nei rispettivi orologi,
ma anche due istanti,
infinitamente vicini.
re pacifico che coordinate cosl generali,
letti
Naturalmente mi pa-
come quelle individua-
te dOl un tale sistema di particelle e di orologi,
benche perfet-
tamente adatte a coordinare gli eventi del mondo,
abbiano,
indi-
vidualmente ben poco significato fisico. Una volta scelto in V sistema di coordinate
4
un riferimento fisioo,
x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 e adattato al riferimento stes-
so se Ie lin ee coordinate x4
= val'.
si identificano con Ie linee
orarie delle particelle di riferimento dimension ali, del
diremo che un
converremo,
per moti vi
che la coordinata x4 dia i1 temp.o ooordinato t
fat tore oostante c ,
Le coordinate spaziali
velocit~
x
della luce nel vucto
x
4
a me no ct.
a
duare ciascuna partioella di
riferimentc rimanendc ocstanti lun-
go la "storia" della partice11a medesima(l).
(1)
Seguire.c costantem~nte la ccnvenzicne che gl'indici latini varino dOl 1 a 4, gl'indici greci da 1 a 3.
255
- 4 C.C3ott3oneo
Si30 3ncor3o ds
2
i
d'abitudine,
= g
k
dx dx ik 130 forma quadratic30 fondament31e di V4 che noi supporremo, (1)
iperbolic3 di tipo normale di
come
segnatura + + + -
II fatto che Ie coordin3te siano adattate a un riferimento fisico,
0
anche,
come suol dirsi,
che siano coordinate fisicamente
3mmissibili si traduce nella duplice disuguaglianza g44
dx a non simultane30mente nulli)
0
con tutte Ie condi-
che esse implicano. Una trasformazione arbit r aria
~i
coordinate,
fisicamente
am-
missibili,
comporta gener31mente un cambiamento delle linee tem-
porali x4,
e quindi un cambiamento del riferimento fisico.
che cio non accada, coordinate x4 sia del
perche cioe 130 trasformazione lasci ferme Ie linee
pur cambiando Ie 3ltre,
tipo x
x
Per-
a' 4'
x =x
occorre e basta che essa
a'
1 2 3 (x, x ,x )
4'
1 2 3 4 (x,x,x,x)
Una tale trasformazione si puo chiamare una trasformazione interna 301 riferimento considerato.
Essa puc decomporsi evidentemente
nel prodotto di una trasformazione delle sole coordinate spaziaIi (4 )
x
4'
x
4
(che non fa che cambiar nome aIle singole part ice lIe di riferimento)
( 5)
per una trasformRzione del tipo a I a J> 4' x X x
=
che non fa che cambiare l'orologio coordinato di ogni particella di
riferimento.
256
- 5 C.Cattaneo
2.
DECOMPOSIZIONE NATURALE DI UN CAMPO DI YETTORI IN UN RI-
FERIMENTO FISICO ASSEGNATO. In un punto x di Y
4
sia
Y
tempo e Y un vettore qualunque.
un vettore unitario del genere Come eben noto il vettore
V
pUO decomporsi univ ocame nte in un vettore A parallelo a y e in un v e tto re N ortogonale a
(6)
Precisamente si ha
N
o anche,
(7)
Y
in termini di componenti,
A
k
Un caso di speciale interesse per noi
= val'.
tangente alle linee x4 controvarianti i
e
quello in cui y e
p~r Ie sue componenti
cio che da
valori
(8 )
Y
1
4
k.
e per Ie componenti covarianti gli altri (9 )
~
Come ebe n noto,
Ie norme spaziotemporali di A e di N si chia-
mano rispettivamente 1a vettore Y
norm~
sp~zi~Le
e la
norm~
tempor~Le
dsl
E preci sa mente risulta
II vII spaz.
g
Ilvll spaz.
gik
ik
Ai Ak
(yiy.)2 < 0 ~
(10) NiN k
Yik
yiyk
Ya(3Y
a (3 Y
> 0
ove si e posto (11)
Yik
= gik
+ YiY k
Si sa bene che del tensore Y ik Ie componenti sono nulle;
Ya 4
cio assi cura trattarsi di fatto di un tensore spazia-
Ie a nove compon enti,
anziche a sedici; a t al tensore,
vento e oggi abitua1e in relativita generale,
257
il cui inter-
io penso possa ben
- 6 C.Cattaneo
adattarsi il nome di
tensore metrico
standard.
spaaia~e
Analoga-
mente chiameremo metrica spa2iaLe standard la corrispondente forma quadratica in tre variabili (12 )
do-
2
= '1 a f3dx
a
dx
f3
Anche al vettore unitario '1 noi daremo il nome, stificato tra poco,
di vettore met rico temporale standard assoeia-
to al riferimento fisico
impiegato,
nel punta considerato .
stesse vettore puo anche darsi il nome di
Allo
quadripotenzia~e
mico opiu precisamente si da talvolta a '14 il nome di scalare,
ohe sara giu-
dina-
potenzi~le
riservando il nome di potenziale vet tore al 3-vettore '1 a
(di fatto
Ie '1 a si trasformano come le eomponenti di un 3 - vettore
di fronte a una trasformazione puramente spaziale
(4);
mentre '14
in una tal trasformazione resta invariante).
3 . CONDIZIONI PER L'ELIMINAZIONE DEL POTENZIALE VETTORE. Abbiamo visto che il riferimento fisieo
-
dalla eongruenza delle linee x4, po di vettori unitari '1 . coordinate
~
4-vettore '1
parire tutto il
~
individuato
0 eio ehe fa 10 stesso dal eam-
Mediante un eambiamento interno di
evidentemente impossibile far
componenti del
S
ma talvolta
3-potenziale vettore '1 a '
~
seomparire tutte Ie possibile far
Pereh~
seom-
cia sia possibi-
le oeeorre e basta ehe la congruenza delle linee x4 sia una
con~
gruenza normaLe e cioe ehe esista una infinita di ipersuperfieie ehe siano perpendicolari aIle linee della congruenza medesima. La cos a non e
sempre possibile;
sibile puo mettersi
la condizione
sotto diverse forme.
ma usata da Weyssenhoff
:
perch~
essa sia pos-
10 ho scritto qui
La for-
Ie componenti del vet tore '1 devono sod-
disfare aIle tre equazioni
258
- 7 C.Cattaneo
In esse il simbolo to ad
x
4.
i
0i rappresenta la derivazione parziale rispet_
.
LE LEGGI DEL MOVIMENTO DI UNA PARTICELLA LIBERA.
Consideriamo una particella di prova M che,
per definizione,
subisce l'in flu enza del campo senza avere alcuna influenza su di esso.
Sia mo la sua massa propria,
Ci09 la massa di riposo che
essa avrebbe in una regione molto lontana dalla materia. i
~
U = (~) dt CiQ posto,
cora
la sua 4-veloci ta e
P = moD
il suo 4-impulso.
la legge del moto della particella,
all'azione del campo gravitaz ionale,
Sia an-
abbandonata
si riassume notoriamente
nell'equazione vettoriale I 0
(14 )
ove V . 4
D
9 il simbolo di differenziazione assoluta nella variets
La stessa equazione si pub esplicitare in forma scalare;
per
esempio si pub tradurre nel seguente sistema differenziale che utilizza simultaneamente Ie componenti covarLanti e controvar ianti di
P DP i
( 15)
dP. _ _ _ 1
dT
dT
(I simboli di Christoffe l semplici,
sono qui sostituiti da espressioni pill
a causa del parallelismo dei vettori
P
L'interpretazione assoluta dell'equazione (14) equivalenti
(15)
9 immediata :
particella M 9 una geodetica,
ed
D.
0 delle sue
la traiettoria d'Universo della orientata nei tempi,
della variets
v . 4
Ma delle equazioni
(15)
si 9 tentato di dare anche una inter-
259
- 8 a.Cattaneo
pretazione relativa al
riferimento fisico e cio mediante le se-
guenti definizioni a)
8i
e
introdotto anzitutto un 3-vettore velocita relativa COBl
definito
(16 )
dt sentito naturalmente il bisogno di misurare
e
Di tal vettore si
la grandezza non mediante il tensore metrico g
(limitato agli ik indici spaziali) ma mediante quello che ho chiamato il tensore metrico standard
(17) b)
u
2
8i introduce una massa relativa ml
(18)
mI
r e
ove
=
m
o
cosl definita
r
il rapporto tra il tempo coordinato e il tempo proprio
della particella
r
(19 ) c)
8i
=
-1 /2
dt dT
introduce ancora un 3-vettore impulso pa le cui componenti
controvarianti sono identiche alle tre prime componenti controvarianti del 4-impulso mlu
(20)
a
(l'ultima espressione giustifica la definizione della massa relativa) .
Per determinare le componenti covarianti di tal 3-vettore
si ritiene opportuno ancora una volta usare il tensore metrioo Ya~'
dono,
Ne consegue che tali componenti covarianti in generale,
d)
introduce
l 'ene rgia totale relativa della particella
( 21 )
a
non coinci-
con le analoghe componenti covarianti spazia-
li del 4-impulso P Infine si
p
H
= -cP 4 260
- 9 C.Cattaneo
e)
Un potenziale gravitazionale scalare
X=
e,
(1 + g44)c 2 2 come abbiamo gia ri cordato,
f)
un 3-potenziale vettore
(22)
y
(23)
= ga4 a
Con
~ueste
V-
g 44 definizioni pub riconoscersi,
per esempio,
caso di un sistema di coordinate tempo-ortogonali
(y
a
= 0),
prime tr e equazioni (15) possono mettersi nella forma d*p _ mt _ _ (24) __ a dt Yx a perfettamente simile a quella della meccanica olassioa. la parte di u n potenziale scalare,
gravitazionale ma ssa inerte, fine
le
-aX
=
X ha
che nel
quello di una massa
11 I
(mentre la stessa quantita,
Infatti
ma col significato di
compare a primo membro nell'espressione di
Pa ha proprio la parte di una quantita di moto.
d W vuol significare una differenziazione assoluta,
in-
Pa;
11 simbolo
eseguita me-
diante simboli di Ch ristoffel costruiti con la parte spaziale del tensore metrico
ga~
(che nelle ipotesi attuali di tempo-ortogona-
lita coincide col tensore metrico standard). Un altro caso interessante s1 presenta quando,
Ya j 0,
si
suppone che la particella sia in quiete momentanea
(moto incipiente) e quaz i ·oni
(25)
pur essendo
ua
cioe
= O.
In tale istante le prime tre
(15) possono ora scriversi nella forma dlt p
__ a dt
=-
mI
-ax
a;a
+
mI c
y
-ay
--G..
4
-at
nel la quale al campo proveniente da un potenziale scalare si ag giunge ora un campo che deriva da un potenziale vettore
y
a
il
campo co mplessi vo e del tu tto analogo aillazione ponderomotrice che un campo elettromagnetico esercita su di una particella r ica in quiete momentanea.
Nella formula che precede,
261
Ca-
il simbolo
-
10 C.Cattaneo
d- di differenziazione assoluta e del tutto superfluo pOiche, to l'annullarsi istantaneo del vettore
P
0-
da-
essa si identifica
con la derivazione ordinaria . Se si rinuncia alle ipotesi molto partico l ari ora considerate
(tempo-ortogonal it a oppure moto incipiente)
ra una interpretazione espressiva delle equazioni che si fa cc iano simultaneamente due ipotesi
:
si conosee aneo(15)
pur-
1,2,3
1) che il moto re-
l ativo sill. lento 2) ehe il campo grav itaz ionale sill. debole. tali condizioni le equazioni
In
(1 5 )1,2,3 si possono serivere nel-
la seguente forma approssimata d II- P a. __ m'
(26 )
dt
OX (-- oxa
01' a j3 e -- + c u) ot wa j3
ove si e posta
e nelle quali figura,
a secondo membro,
un nuovo termine ehe ri-
corda mo lto il campo apparente del Coriolis.
Conviene ancora ri-
cordare che la derivata assoluta ehe figura a primo membro e ora costruita col tensore metrieo standard. La formula
(26)
e molto interessante mil. e soltanto approssi-
mata .
5 . DERIVAZIONE TRASVERSA. Nell'intento di raggiungere un risultato completo e rigoroso faro una breve digressione. Consideriamo in V 4 un qualsiasi campo di scalari x 3 ,x 4 ) e il suo gradiente, ancora
(dx i ) un vettore qualunque,
ortogonale a (28)
di componenti eovarianti
1', Y
o.f 1
.
salvo la condizione di essere
con servando il significato di pocanzi 'Y.dxi 1
=0
Questa ortogonalita comporta per dx 4 l'espressione dxa (29) dx4 = _ 'Ya
1'4
262
Sia
:
-
11 -
C.Cattaneo
Se ora si consider a il differenziale tot ale di il vettore
(dx i )
(30)
f
secondo
si trova
('0
df
a
Si vede nascere cosi in modo naturale un operatore che gia abbiamo incontrato all'inizio di questa conversazione e che io indichero con questa notazione
~
(31 )
11 differenziale di
f
df
in cui si puC, Ii di
(dx i ).
--'0 'Y4
4 (dx i )
secondo il vettore gia considerato
puo allora anche esprimersi (32)
'Ya
= '0 a
a
= ~i f
= 3a f
dx i
se si vuole,
La quantita
COS l.
dx a
utilizzare Ie sole componenti spazia-
3. f
,
di cui la quarta
~
e
sempre nulla,
sono Ie componenti covarianti di un vet tore normale a 'Y : mera il gradiente trasverso di
f
rispetto alIa direzione di
Si puo anche riconoscere facilmehte che esso non
'0 f
vettore proiezione del vettore
10 chia-
e
'Y
altro che il
suI sottospazio tangente a
i
tre dimensioni ortogonale a 'Y
~
Quanto all'operazione
derivazione
parzia~e
a
essa potra naturalmente ohiamarsi
trasversa.
L 'operazion e differenziale ora introdotta puo estendersi in modo assai naturale al caso in cui si parta, seal are,
da un oampo di vettori ohe siano,
al vettore
'Y ,
(33) Consideriamo,
v
4
di un tal campo,
condo un vettore (34)
cia ohe oomporta
(dx i ) che sia, Dv
anziche da un oampo
in ogni punto,
normali
'Y va
-20--
v
4
o
il differenziale assoluto in come pooanzi,
k
263
se-
-4
ortogonale a 'Y
- 12 C.Cattaneo
e appliehiamo al vettore DV k la deeomposizione naturale
(35)
Dv
Applieando la
=
A
+ N
k si ottiene per N l'espressione y k
(7 )
(36 )
N
k
Dv
k
k
k
- -LDv
Y
4
4
Se si tien eonto ora delle eondizioni (dx i )
sia a
(29) e (33) imposte sia a
e si limit a la variazione dell'indiee da 1 a 3
(vi),
(dal momento ehe N
e sempre nullo),
4
si trova per
N~
,
.
un espresslo-
ne di questo tipo ""~
= 'Va
N~
(37)
v~ dx
a
nella quale eompaiono solamente le eomponenti Quanto ai eoeffieienti mente notevole ehe e re spaziale
v~
9:
vp ,
spaziali di
essi hanno un'espressione vera-
quella di una derivata eovariante del vetto-
nella quale in luogo dei simboli di Christoffel or-
dinari eompaiono dei simboli di Christoffel di nuovo genere, struiti a part ire dal tensore metrieo fondamentale gik '
o
a
Ya~
eo-
in luogo del tensore
e in cui all a ordinaria derivazione parziale
viene sistematieamente sostituita la derivazione trasversa Non e
qui il easo di esaminare le proprieta di questa opera-
zione differenziale ehe ehiamero derivazione
covariante trasversaj
mi limitero a segnalare ehe essa opera su campi vettoriali, soriali,
spaziali,
0
ten-
eioe appartenenti al sottospazio tangente a
tre dimensioni normale a spaziali,
~a
Y ,
e da aneora come risultato t&nsori
eioe appartenenti allo stesso sottospazio.
Se ei si limit a a eonsiderare il easo, partieolarmente,
ehe qui ei interessa
ehe il vettore ehe si differenzia e il vettore
lungo il quale si differenzia abbiano la stessa direzione dx
(38)
si trova per
N~
i
_
-
e v
i
,
l'espressione partieolarmente sempliee
264
- 13 C.Cattaneo
(39)
6. GRANDEZZE RELATIVE STANDARD. Dopo questa digressione torniamo alIa questione fisica che ci occupa. iii x , x + dx ,
Consideriamo due eventi infinitamente vicini per e8.
relativi
a una stes8a particella.
Conservando il nome di
intervaLLo di tempo Goordinato tra i due eventi in questione alIa q uan tit a
= dx 4 /c ,
dt
noi chiameremo intervaLLo di
tempo re-
Lativo standard r ispe tto al riferimento fisico S la quantita _
(40.
dT - -
La definizione 1)
e
1
- Y.dx c ~
i
giustificata dalle circostanze seguenti
II suo quadrato,
moltiplicato per _c 2 ,
e
:
identico alIa
i
norma temporale del vettore
(dx ) e come tale ha un significato
invariante di fronte a un qualsiasi cambiamento interno di coordinate. 2)
Se il vettore
i
e
(dx )
orientato nel tempo,
dT ha 10 stes-
so segno di dt. o
ta,
come accade in relativita ristret-
e
si ha senz' al tro dT
= dt
.
81 osservi anzitutto che con l'intervento d1 questo tempo e della forma quadratica spaziale standard
Ya~'
la metrica spazio-
temporale si esprime ( 41)
Dalla definizione di un tempo standard s1 trae una defin1ziona naturale di veLocitd reLativ~ standard (42)
va
=~
dT la c ui norma spaziale v 2 e Ie componenti covarianti s1 definiscono naturalmente mediante il tensore
265
-
14 -
C.Cattaneo
(43)
v
(44)
v
DaIle formule tra i
tre tempi dt ;: dT
2
a si traggono facilmente i
(40)
dt , 1 ty f3
f..
dT
dT .
rapporti
Si trova dT dT
V-g44
Si pub osservare che il secondo rapporto •
identico al fat tore 10-
rentziano della relativita ristretta. dt dT
Infine il rapporto dt dT
si ottiene dai precedenti
(y
dt dT dT dT
f3
.:d c
1)
Y(1_~)1/2 4
c2
Esso si present a pili semplice ora che • espresso in funzione dela
la velocita standard v , Ie
u
che non prima,
quando era espresso nel-
a Quanto al trivettore quantita di moto noi conserveremo la
definizione abituale
= pa = m
dT va o dT a _ dT a ma poich. puo scriversi p - mo dT v , pa
la definizione di massa relativa,
standard cosl definite (48 )
m
= mo JdT dT
_
.~-
si • condotti a modifioare
introducendo una
m~ssa
reLativa
m
o
\~ r-~
la quale risulta formalmente identica alIa massa relativa della relativita ristretta. Naturalmente anche del 3-vettore quantita di moto si calcoleranno Ie componenti covarianti e la grandezza mediante il tensore metrico standard . Come gia si disse in precedenza, non coincidono con Ie P
a
e,
come si constata facilmente,
266
Ie
p
a si ha
- 15 C.Cattaneo
(49)
p
a
= t'a
+ mcy
Quanto all ' energia relativa,
.
a
noi assumeremo come definizione
standard la seguente
E
(50)
=
modificando quindi la precedente definizione (21)
y
per il fattors
4
La giustificazione di tutte le precedenti definizioni, grandezze relative standar'd (tem'Io, nergia)
e
velocita,
impulso,
di
massa,
e-
giustificata dal fatto che tutte le grandezze in questio_
ne sono invarianti per ogni trasformazione di ooordinate interna al riferimento fisioo,
avenda,
piu preoisamente,
riale rispetto alle trasformazioni medesime.
oarattere tenso-
(Vioeversa le analo-
ghe grandezze relative definite al modo abituale avevano oarattere invariantivo soltanto rispetto a cambiamenti di coordinate puramente spaziali).
Tale carattere invariantivo lascia presume-
re che le grandezze standard ora definite abbiano realmente un maggior contenuto fisico .
7. EQUAZIONI RELATIVE STANDARD DEL MOTO DI UNA PARTICELLA LIBERA DI PROVA , Tutto ci~ premesso torniamo all'equazione di moto della nostra particella, do
'r
equazione che si pub anche scrivere,
sostituen-
aT, d T
Se ora si effettua sul vettore che compare a primo membro ia decomposizione naturale (52)
D P d T
=A
+ N
l'equazione precedente si spezza nelle due
267
- 16 C.Cattaneo
o D P d T
(54) La prima di eaae,
o y
eaaendo
un vettore non nullo,
equivale
all ' equazione aoalare DP
( 55·)
---! La aeoonda ,
dT
= .0
acritta prendendo le oomponenti covarianti di
e osservando ohe la quarta di tali oOrnponenti la,
~
.. ~
identioamente nul-
equivale alle tre equazioni acalari
(56) La
(55) non
~,
DP a
DP 4
dT
dT
=0
Ya
Y4
aalvo il oambiamento del parametro,
quart a delle equal!5.ioni
(15)
teat~
scritte e ,
che la
come quella,
potra.
interpretarsi oome equazione dell ' energia.
(56) non ooincidono affatto oon le prime tre equazio-
Ma le ni
(15)
esae ne differiaoono,
mine nullo,
ma
~
come appare evidente,
pel' un ter-
proprio questo termine ohe permettera. di dare
alle equazioni del moto la forma ceroata . Nelle equazioni
(56) ai pub aviluppare l ' operazione
differenziazione aaaoluta·in V
(57)
D P
4
_ dP
1 aghk
a
-:2
axa
se ai aeparano i
altri
ae si sostituisce a Pa' (47),
di
mediante la formula ben nota phU k
termini in oui figura l'indioe 4 dagli
Allora,
splioite (49) e
D
le 101'0 espressioni e-
e ae poi ai aoooatano opportunamente dei
termini oon oalo01i un pb lunghi di oui vi faooio grazia, oonosoe che alle equazioni pub dsrsi 1s seguente forma :
268
si ri-
- 17 C.Cattaneo
( d Pa dT
1
-
2"
~ o y\
a fl.M
P
A M V
)
(58)
o . Nella somma dei primi due termini si riconosoe subito que110 che abbiamo chiamato 1a derivata assoluta trasversa del 3-vet(i"p tore Pa' cioe ~. Nei termini tra parentesi quadre si ricodT
nosce,
a meno di un fattore,
i1 sistema antisimmetrico ohe compa-
re a primo membro della condizione di norma1it a della congruenza
4 x ;
i1 termine successive puo 1asciarsi inalterato;
l'u1timo non e
che 1a derivata parziale trasversa rispetto a x del 10g/-g ha dunque
d
p
~
(59)
dT
44
.
Si
2 Y 1 2'" m [- - c "alog(-1g ) + c " (....9:.) + 2 44 4 1'4
A primo membro c'e dun que 1a derivata assoluta trasversa del 3-vettore d'impulso spaziale standard;
a secondo membro figura la
massa relativa standard come fattore oomune; rentesi
la quantita
pa-
entr~
quadre puo dunque ben interpretarsi come i1 campo gravita-
zionale re1ativo al riferimento
fisic~
considerato.
Questo campo e
complessivamente invariante di fronte a un cambiamento interno di coordinate.
In esso possono tuttavia distinguersi tre parti
prima derivante da un potenzia1e sca1are; da un 3-pot e nziale vettore; forma1mente,
:
una
la seconda proveniente
1a terza infine e del tutto simile,
al campo apparente di Corio1is,
che sparisce quando
la congruenza di riferimento e norma1e. Noi abbiamo quindi stabi1ito in generale e rigorosamente, su1tati ana10ghi a quelli,
da noi richiamati,
biliti soltanto in forma approssimata.
preoedentemente sta-
E oia oontro alcune espres-
se diohiarazioni fatte nei testi di re1ativita. Le ana10gie tra queste equazioni e quel1e approssimate ri-
269
ri-
-
18 -
C.Cattaneo
chiamate in precedenza sono evidenti. ne Ie differenze : tro
- 1
c 2 log(-g
Conviene anche sottolinear-
il potenziale scalare );
e
ora sostituito dall'al-
il potenziale vettore
Y a dal potenziale ~ Yf3 ~ Ya flaf3 - Y [0 ( - h 013(-) a Y4 Y4 Converra anche sottolineare che tutte Ie definizioni da noi
2 44 Ya . il tensore vortice waf3 dal tensore Y4 ' introdotte e i
-
J.
risultati ottenuti hanno carattere invariantivo di
fronte a una qualsiasi trasformazione di coordinate interna al riferimento fisi c o prefissato. Aggiungero,
per terminare,
a secondo membro della
che dei tre termini che figurano
(59) l'ultimo termine e invariante di fron-
te a una trasformazione interna di coordinate; 10 sono separatamente ma
e la
loro somma che
270
e
gli altri due non invariante .
CENTRO
INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO (C.I.M.E.)
E. CLAUSER
MOTO DI PARTICELLE NELL ULTIMA TEORIA UNITARIA EINSTEINIANA
ROMA - Istituto Matematico dell'Universitl - 1958
271
-
1
~
MOTO DI PARTICELLE NELL'ULTIMA TEORIA UNITARIA EINSTEINIANA
1.- In questa esposizione indioherb brevemente oome dalle equazioni di campo del 1953 della teoria unit aria di Einstein,
si posso-
no dedurre Ie equazioni di movimento di un sistema di particelle con approssimazione arbitraria,
pur di identiticare ciascuna par-
ticella con singolarita, di tipo prefissato, dalle equazioni di campo;
una
~celta,
fra quelle permesse
almeno a priori ragionevole
e spontanea di queste singolarita, mi permettera infine di conoludere che nelle precedenti equazioni di movimento compaiono Ie forze prinoipali che in fisioa olassica agiscono su un oorpusoolo dotato di massa e di oarioa elettrica, e oioa la forza gravitazionaIe newtoniana,
la forza elettrostatica ooulombiana, la forza elet-
trodinamica di Lorentz, oltre ad ulteriori forze ahe, ben-inteso, non
ann~llano
Ie preoedenti e Bono meno rilevanti di quelle.
Dedurre equazioni di movimento da equazioni di campo a un problema ormai clasSico; ben
~resto,
in relativita generale, dove si delineb
fu originariamente risolto mostrando ohe la legge del-
la geodetioa spazio-temporale, valida per un oorpuscolo,
si pub
trarre dalle equazioni del oampo gravitazionale, evitando cosl di farne un tioo,
~ostulato,
grazie
a~la
solenoidal ita del tensore energe-
la quale oonsegue direttamente dalle identita di Bianohi.
In questa trattazione, il oorpusoolo non influenza naturalmente 10 spazio-tempo ed a ivi rappresentato da un tensore energetico ovunque nullo, fuoroha dentro un tubo di Bastone evanesoente, tracoiato lungo la linea oraria desoritta dal corpusoolo stesso
[1].
La possibilita di dedurre una legge dinamica dalle equazioni gravitazionali non dipende tuttavia dalla presenza del tensore e-
273
-
2 -
E.Clauser
nergetioo, ma risiede, delle equazioni stesse,
oltre ohe nella neoessaria non linearita nell'esistenza delle identita di Bianohi.
Di oib era persuaso Einstein sin dal 1927,
quando dedusse in pri-
ma approssimazione le equazioni di movimento di una partioella dalIe equazioni gravitazionali degli spazi vuoti, val ide esternamente alIa partioella stessa [2];
questa oostituisoe allora una singola-
rita del oampo individuato dal tensore fondamentale,
oome 10 e del
oampo gravitazionale newtoniano in meccanica classica. In suocessive ricerche
[3], Einstein con alcuni collaborato-
ri stabili Ie leggi del moto di due
0
piu particelle identifioan-
dole oon singolarits del oampo gravitazionale da esse provocato, senza l'intervento di alcun tensore energetioo, da lui ritenuto un ente estraneo alla pura geometria della spazio-tempo
oltrech~
di incerta fisionomia. II problema gravitazionale veniva cos1 risolto i n relativita generale con un metoda che permette di dedurre Ie equazioni di
mo~
vimento di un sistema di particelle in approssimazioni successive. In prima approssimazione Ie forze agenti su una particella risultano allora costituite dalla sola forza gravitazionale newtoniana, nelle approssimazioni successive dalla precedente e da forze meno rilevanti
(1) .
II problema del mota delle particelle si presenta anohe nella teoria unitaria einsteiniana
tra le forze che governano il
movimento di corpuscoli dotati di massa e di carica elettrica c'e da aspettarsi di trovare quelle essenziali della fisica classica, cioe la forza gravitazionale newtoniana,
~
la forza elettrostatica
coulombiana e la forza elettrodinamica di Lorentz,
oltre ad even
tuali addendi di interazione. (1) Cfr . loco 4ultimo citato in problema veggasi [4J.
per altri lavari sullo stesso
274
- 3 E.Clauser
Infeld affronto questo problema avvalendosi delle equazioni einsteiniane di campo (asimmetrico) formulate nel 1950 e trovo la forza gravitazionale newtoniana, ma non Ie rimanenti forze classiche
[5].
Piu tardi,
Callaway utilizzo alia stesso fine Ie equazio-
ni del 1953 del campo unitario, ma il suo procedimento non era adeguato e non gli permise di andare al di 1& del risultato di Infeld
[6]. Legittimo era dunque il sospetto che dalla attuale for_
mulazione della teoria unitaria einsteiniana non si potessero trarre tutte Ie forze della fisica classica;
per ovviare a cia furono
anzi proposte opportune modifiche aIle equazioni di campo Ma non occorre essere oosi drastici;
[7].
come ho gia detto all'i-
nizio, nelle equazioni di movimento dedotte dalle equazioni di campo del 1953 della teoria unitaria einsteiniana,
tutte Ie forze
essenziali dell'elettrodinamica classica possono comparire accanto alIa forza gravitazionale newtoniana;
a tal fine basta assume-
re come potenziale elettrostatico di ciasouna particella la funzione biarmonica,
somma della funzione armonica element are che e-
sprime il classico potenziale elettrostatioo di un corpuscolo,
con
un polinomio di secondo grado nella distanza dalla particella potenziante,
proprio in conformita aIle equazioni elettromagnetiche
che intervengono nel problema e che si traggono in prima approssimazione dalle equazioni di campo. polinomio
~
essenziale,
perch~
II termine lineare di questa
senza di esso la forza elettrosta-
tica coulombiana non compare nelle equazioni di movimento di prima approssimazione,
e nemmeno possono comparire,
nelle approssi-
mazioni successive,
la forza precedente e la forza elettrodinamt-
ca di Lorentz. Cia spiega il risultato negativo di Callaway,
il quale si
~
limitato a scegliere per ciascuna particella il classico potenzia_
275
- 4 E.Clauser
le elettrostatico elementare
[6J" presumendo cosi fra il campo e-
lettromagnetico maxwelliano e quello contenuto nella teoria unitaria einsteiniana del 1953, ri comunque,
una analogia troppo stretta ed a prio-
ingiustificata.
Sono giunto alla accennata conclusione riprendendo il problema daccapo ed avvalendomi di alcune ricerche di P.G.Bergmann e di R.Schiller
[8),
nonche adattando il metodo di approssimazioni suc-
cessive gia utilizzato da Einstein ed Infeld nel caso gravitazionale
(1)
;
,
m~
e stato cosi possibile,
oltre tutto,
di stabilire un
procedimento ricorrente che permette di dedurre le equazioni di movimento in successive approssimazioni; boriosi,
ma elementari,
due mie Note
esso richiede calcoli la-
ahe mi limitero a riassumere traendoli da
[9), [10). Ecco-lo in breve.
2.- LE EQUAZIONI DEL CAMPO UNITARIO EINSTEINIANO E LE CORRISPONDENTI IDENTITA'
DI CONSERVAZIONE.
Le equazjoni mulate nel 1953,
(1)
Rgl
(2)
R
(3)
r
(4)
di campo della teoria unitaria di Einstein, sono 1e seguenti : 0
!p,Y
t
=0
a§ V gaf3;JJ +-
dove,
E
=0
R
+ R
gaf3,JJ
- g~f3raJJ -
f3J" a
Y..J' f3 a
coordinate spaziali
=0 valori 0,1,2,3
valori 1,2,3 relativi alle
(zero essendo l'indice temporale),
coefficiente di connessione, Cfr
a gaa r vf3
come in seguito, gli indioi greci aSSUlliono i
gli indici latini assumeranno invece i
(1)
for-
loco terzo citato in
[3).
276
- 5 E.Clauser
e il tensore contratto di curvatura, tensore fondamentalej
gaft
so no le componenti del
indichiamo infine con
r.
g il determinante
formato con le componenti del tensore fondamentale e con
~aft "
+
ga ft
la generica componente della densita tensoriale fondamentale
(1)
Fra le (1) sussistono notoriamente le quattro identita (6)
2(R
S'2:.§)
R
-R nfl
~£..§- (b~(R
R
+ Rf3
?J'
+R
R)-
R
,/(,%
~ , I-' ~, Y ~, Y a Y;j' I-' YJJVI ,0' che diremo identita contratte di Bianchi-Einstein perche genera-
lizzano le identita (contratte) di Bianchi, ni gravitazionali,
e perche, come quelle,
(2 )
" 0
che legano le equazio-
garantiscono che il si-
stema (1) lascia libera la scelta del riferimento spazio-temporaleo
Tenendo conto nelle (6) delle equazioni
[9]
r ft
(7)
y,ft
con (8 )
r ft Y
"-2(R
-
(3) e (4) si ottiene
0
=
rt.f!.J1 + 12"
R
+ ,sft(13+
('l/LJ)
~\:J
Y
(;/L V
R
/Lv
)
_"Oft
(;'/L V Q/Lv\!),y
e
(II )
(1 )
Qui e nel seguito sono adottate le notazioni usate da Einstein in [11]: il punto e virgola indica derivazione tensoriale, la virgola derivazione parziale ordinaria rispetto alle coordinate, le lettere gotiche densita tensoriali e nel seguito anche densita vettorialij pure con lettere gotiche verranno indicate le pseudodensita, ossia quegli enti che si trasformano come densita soltanto quando la trasformazione di coordinate e lineare. Infine, anche nelle formule non tensoriali, viene omesso il simbolo di sommatoria relativo a due indici uguali,uno collocato in basso e l'altro in alto. (2 )
Vedi.
ad esempio, loco citato in [11] oppure loco citato in [12].
277
- 6 E.Clauser
nelle quali
f3
S y
=1
Sf3
per y
= (3) ;
ni di campo (3) Einstein (6),
in definitiva,
e (4) e,
(sf3
tramite Ie identitll contratte di Bianchi-
dalla Bola struttura dei primi membri delle rimanen-
ti equazioni di oampo (1) mera Ie
=
0 per Y f ~, Y Ie (7) discendono dalle equazio-
e l'ordinario simbolo di Kronecker
Y
e
(2)1
per quest'ultima circostanza chia-
(7) identita forti di conservazione,quando esse sono spe-
cificate dalla (8)
e dalle (II)
lorche nella (8) e nelle equazioni
(1)
e
(2) ;
(II)
,
qualificandole invece deboli al-
si tiene ulteriormente oonto delle
chiamerp infine pseudodensitll energetica ten-
soriale l'ente individuato dalle sedici quantitll la teoria gravitazionale esso adempie, di materia concentrata,
(8),
poiche nel -
in regioni comunque prive
allo stesso ufficio ricoperto dal tensors
energetico nelle regioni dove la materia e distribuita con oontinuita .
3.- LE EQUAZIONI DI MOVIMENTO DI UNA PARTICELLA. L'esistenza delle identita
(7) di conservazione permette di
dedurre dalle equazioni di campo della teoria unitaria,
Ie equa-
zioni di movimento di una particella individuata da singolaritll del tensore fondamentale.
P.G.Bergmann ha infatti ottenuto una
formula integrale rigorosa la quale determina il movimento di singolarita in teorie di campo che fanno oapo ad un prinoipio variazionale libero,
dal quale provengono equazioni covarianti rispet-
to a trasformazioni di coordinate dello spazio e del tempo, ricamente non lineari e formanti gruppo
[8].
Anzi,
gene-
la formula ci-
tata discende soltanto da identita forti e deboli di conservazione che hanno ancora la forma rie perche esse,
(7) e che sussistono in queste teo-
pur generalizzando ampiamente il formalismo del-
la relativita generale,
possiedono identita analoghe aIle identita
278
- 7 E.Olauser
contratte di Bianchi. Ho potuto percib dimostrare che la formula considerata sussiste anche nella teoria unitaria einsteiniana
[9),
malgrado c he il principio variazionale che la regge non sia libero ma condizionato.
J(1L
(9)
0"
Essa e la seguente
o.y
"1,0
t
tis") n 11
=0
dO"
("I
S
= 0,1,2,3;
1,2,3)
s
con (j10)
e con
T~"I
componenti rispettive della pseudodensit. tenso-
e
riale energetica forte e debole; perficie chiusa,
nella (9),
0"
e una qualunque su-
bidimensionale e regolare che appartiene all'or-
dinario spazio tridimensionale eu c lideo ed isola Ie singolarit . che individuano la particella, normale a
n e i l coseno direttore di una s prefissata ad arbitrio; infine sopra 0" la funzione
0",
integranda e regolare.
II primo membro della (9) non dipende da
0"
e sarebbe identicamente nullo se la funzione integranda fosse reesso dipende quindi soltanto dal-
golare anche internamente a
0"
la natura delle singolarit.
d~lla
racchiuse da
0"
(1).
funzione integranda,
La (9) consegue da tutte Ie equazioni di cam-
po ed e pertanto una condizione
i~posta
da queste equazioni aIle
singolarit. delle componenti del tensore fondamentale, ro movimento; particella,
che song
ed al 10-
la (9) determina quindi il movimento di ciascuna
una volta calcola,ta la funzione integranda mediante
una soluzione delle equazioni di campo,
purche questa soluzione
contenga quelle singolarit. che individuano ciascuna particella. Adattando alIa teoria unitaria il procedimento utilizzato da Bergmann e Schiller per il calcolo del "superpotenziale" finito dalle (10) (1)
[8)
e tenendo conto della (8) e delle
Ofr.loco citato in [9),
par.3 od anche loco citato in
279
~I f311
(.(..
d_
"I (:rr),
so-
(13) .
- 8 E.Clauser
no riuscito ad esprimere la funzione integranda della (10) mediante i
coefficienti di connessione,
la densita tensoriale fondamen-
tale e la parte emisimmetrica del tensore contratto di curvatura (9).
4.- 1L METODO D1 APPROSS1MAZ10NE. L'ardua difficolta di integrare le equazioni di campo (I) in corrispondenza a singolarita opportunamente prefissate,
imp one la
rinuncia a trarre dalla (9) le equazioni rigorose di movimento; da essa si possono invece ottenere le equazioni di movimento in. approssimazioni successive,
adottando parzialmente il metodo uti-
lizzato da Einstein e collaboratori nel oaso gravitazionale nella piu elaborata formulazione di questa metodo
(1 )
(3):
, l e oompo-
nenti del tensore fondamentale sono sviluppate in oonvenienti serie di funzioni,
ordinate seoondo le potenze intere e positive di
un parametro A a priori arbitrario;
si suppone inoltre che oia-
souna grandezza vari piu rapidamente da posta a posto ohe da istante a istante,
oon ohe,
in partioolare,
la velooita di oia-
souna partioella risulta piooola rispetto alla velooita della oe nel vuoto,
lu~
riferita ad un osserva·tore tn.erziale.
Le equazioni di oampo si spezzano allora in equazioni ricorrenti,
oiasouna oostituita da termini della stesso grado in A ,
dalle quali si possono trarre elementi suffioienti al oaloolo del movimento di partioelle in approssimazioni suooessive;
questo mo-
vimento e anzi individuato dalle condizioni di integrabilita del sistema di equazioni rioorrenti,
allorohe si esoludono singolari-
ta polari di ordine maggiore di uno,
ohe implioano la presenza nel
oampo gravitazionale di partioelle di massa negativa.
(1) Cfr . looo terzo oitato in [31.
280
-
9 E.Clauaer
10 invece aviluppo il tenaore fondamentale in aerie di pote
A per
ze di
poter similmente sviluppare la funzione integranda
della (9) e per poter spezzare Ie equazioni di campo (I) zioni ricorrenti ; ta potenza di
A
nella (9)
in equa-
arreato 10 aviluppo ad una prefiaaa-
e questa indica l'approaaimazione con la quale ai
calcolano Ie equazioni di movimento,
e poi integro Ie equazioni
ricorrenti di campo che individuano la (9) coa1 preoiaata, rispondenza a singolarita opportune;
in cor-
il successive calcolo dei re-
lativi integrali di superficie da infine Ie richieate equazioni di movimento . Giova allora scegliere come parametro velocita c della luce nel vuoto, ziale ,
A il
reoiproco della
riapetto ad un oaaervatore iner-
con che A "c
-1
t
ed identificare al tempo romeriano la coordinata temporale
x
o
aa-
sumendo x
o
IE
ct " A-I t
perch. in tal modo l'ulteriore condizione -di moto lento" imposta dal metodo di approsaimaz10ne
e
senz'altro aoddisfatta,
ritenendo
di uguali ordini di grandezza la derivata parziale di una qual unque quantita r1spetto al tempo te apaziali
t
e non ad
x
o
ed aIle coord ina-
x 1 ,x 2 ,x 3 .
La conaiderazione deg11 ordini di grandezza rende COS1 comodo di ritenere puro numero il tenaore fondamentale; ponenti ho attribuito i
seguenti aviluppi :
281
aIle sue com-
- 10 E.Clauser
goo
= 1 + A. 2 a. 2 g
+00
g
= A. 3 a. 3 g
+ >-..5 a 5~ 9..!l +...
= >-..2f32g
+ >-.. f3
= >-..3f33 g
+ A. 5 f35 g
~
m.y.
gon
.
3~
3 0vn
ooeffioienti,
h}l 5°vn
(8 8
mn mn
= 1 per m:in =0 per mfn)
J
+... , +.. . ,
distinti dagli indioi ordinali ad essi
sono puri numeri;
tanto velooita, (III)
4 4
2 mJ-
V
Le
a. foo +.. . ,
4 4 = -8 mn + >-..2a. 2 g + >-.. a. gmn +.•• , S~
g
sottostanti,
A.4 4
gmn (III )
nei quali i
+
dimensionalmente a e f3 sono per-
ed in valore sono oostanti a priori arbitrarie.
preoisano in forma e dimensioni gli sviluppi adottati
da Callaway
[6)
e oo rrispondono sostanzialmente nella loro parte
simmetrica a quelli assunti da Einstein e Infeld per il oaso gravitazionale
(1).
Un prooedimento rioorrente permette oosl di trarre dalle
(4)
gli sviluppi dei o oeffioienti di oonnessione in serie di potenze di A. e suooessivamente, e
(3)
5.-
grazie alle
(5) ,
di trarre dalle
(1), (2)
le equazioni rioorrenti di oampo.
LE EQUAZIONI DI MOVIMENTO IN PRIMA APPROSSIMAZIONE. DaIle posizioni e dai oalooli preoedentemente indioati risul-
ta faoilmente ohe le le identit a,
(9) oessano di essere, almeno a priori, del-
quando in esse si oominoia a tenere oonto dei termi-
ni di quarto grado in >-.. . dai ooeffioienti ~aR' ~::;.:::.
fondamentale.
Questi termini dipendono esolusivamente
gol e gmn degli sviluppi ~-
tv
1000
del tensore
Le oorrispondenti equazioni rioorrenti di oampo so-
(1)------------Cfr .
(III)
terzo oitato in
[3) .
282
-
11 -
E.Clauser
no lineari ed omogenee e si separano in due gruppi, quali riguarda ~~ e
~21
e l'altro ~m~.
~~
coincidono
ti,
valide in prima approssimazione;
il primo dei
Le equazioni relative a
con Ie equazioni gravitazionali degli spazi vuoesse impongcno quindi 80110
spazio-tempo 180 metrioa individuata dalla forma quadratica 222 2 2 2 2 2 (11) ds = (1 + ~ a ~ )dx - (1 - ~ a g )(dx + dx + 2 00 0 200 1 2 con il puro numero ~oo
= ~OO(x1,x2,x3)'
funzione armonica (ed a
priori arbitraria) dell'ordinario spazio euclideo tridimensionaIe;
come soluzioni particolari di
~oo
e di
~~
ho scelto quelle
stesse che si assumono per gli spazi vuoti in relativita gene r aIe,
ho oioe posto
(12 )
~oo
(13) e,
3°J
- -2 h a -2
!s
s m ~-1
,
l
-
s 4 h a- 3 !s m ~-1~ 1
1
per 180 (11)
( 14)
nelle quali
e 180 costante di Cavendish,
h
s r e 180 distanza nel-
l'ordinario spazio euclideo tridimensionale tra il punta potenzias to e 180 particella esse sima di massa costante ~ , VIla componente cartesiana ellesima della velocita della particella essesima. Le g
obbediscono aIle seguenti equazioni :
t~
3
r
(15)
g 1m 2 1.J1,ID
(16)
=0 g ) 2pl,m
=
0
V
con
~
operatore di Laplace nell'ordinario spazio euclideo ;
quazione (15)
e identicamente soddisfatta assumendo
283
l'e-
- 12 E.Clauser
" =k 21J
(17 )
¢
,3 '
con ¢(x 1 ,x 2 ,x 3 ) funzione arbitraria e k c ostante arbitraria di cui 8 comodo disporre per esplicitare dimensioni; le (16) si riducono ad imporre a
¢
grazie alle (17)
di essere una funzione biarmo-
nica dell'ordinari o spazio tridimensionale euclideo,
la (16) di-
venta Ci08 : (18)
6 6
¢ =0
come soluzione della (18) corrispondente al campo di una particella,
ho assunto
(19 )
con A,B , C costanti arbitrarie ed r distanza tra il punta generico delle spazio ordinario e la particella situata dove la (19) ha una singolarita polare ;
la soluzione element are (19) coincide con
la piu generale funzione biarmonica che dipende dalla sola coordinata raggio r , va di inter&sse ;
a meno di una costante additiva arbitraria, l'indipendenza di
¢
pri-
dalla latitudine e dalla lon-
gitudine 8 suggerita dalla mancanza di direzioni privilegiate uscenti dalla particella. Infine la linearita e l'omogeneita delle equazioni (15) e
(16) permettono di assumere ancora le (17) co-
me soluzione relativa a piu corpuscoli, zione
¢
identificando perc la fun-
nella somma di altrettanti termini (19).
Le precedenti determinazioni (12), (13) e (14),
(17) e
(19)
precisano le funzioni integrande della (9) sino ai termini di quarto grado in A. ;
prima di proseguire conviene perc indicare,
ch8 utile in seguito,
la soluzione scelta per la
obbediscono alle seguenti equazioni lineari ed omogenee : (20)
6«(33 g + (33~ + (32A ) ~ om 1 °ml 4 1 3vo , m 3v' 2V'
284
=0
per-
quali
- 13 E.Clauser
(21) dove l'indioe 4 sta ad indioare il tempo t
in oorrispondenza a
ciascuna particella ho allora 8ssunto (22) con! vettore velocita della particella;
e
¢
specificato dalla
(19) . Qualche accorgimento element are permette di snellire il calcolo dei quattro integrali di superficie (9); no ai termini di quarto grado in A ,
valutandoli si-
la (9) corrispondente al va-
lore zero dell'indice scoperto y risulta allora una identita ; tre
(9) rimanenti,
Ie
nel caso di due particelle, sono invece rias-
sunte dalla seguente equazione vettoriale dell'ordinario sP bz io euclideo 1 2
1 1
(23)
m
s;
2
6)
h ~ vers(O r2 1
1 2 C C
2
h
+
2
1
0)+
2
1
2
1 2
421
2
~4k2 vers(O _ 0) _ C B ~ k (0 - 0), h
1
nella quale ~ e il vettore accelerazione della particella 1 ,ed 1 2 o ed 0 indicano Ie posizioni occupate rispettivamente dalle particelle 1 e 2. Ponendo 2
1
(IV)
dove
1 e
e segno , (24)
1 1 m ~
t: ed
= - e
2 C 2
r 4 -21 k e
::h
= 0 2 e
B
-
2 e
-h ~
-4 -22 k e
= 0
sono Ie oariche delle due partioelle in valore
la (23)
=h
A
si riduce alIa seguente equazione
1 2 m m r2
2 vers (0
1
0)
-
1 2 + e e vers(6 r
285
2
6)-
1 1 2 • e e vers (0
.
1 h~-4k -2 2
-
2
0) ;
-
14 -
E . Clauser
nella prima approssimazione oonsiderata si ottiene oosi la legge fondamentale ohe nella dinamioa olassioa individua il movimento della partioella 1 per azione della partioella 2 ,
rispetto ad un
osservatore inerziale. Questa azione prima
e
e
data da tre forze oentrali:
la forza gravitazionale newtoniana;
za elettrostatioa ooulombiana;
la seoonda
e
la
la for-
la terza forza ha modulo oostante
e ooeffioiente proporzionale al prodotto delle due oariohe ed al-4 -2 la oostante h di Cavendish; di questa ooeffioiente h ~ k possiamo a priori affermare soltanto ohe deve avere ordine di grandezza finito, vuole ohe Ie g
quando
V
e
misurato in unita elettrostatiohe, se si 2 siano piooole dell'ordine A e vi predomini l'ad-
dendo ooulombiano ;
questa forza proviene manifestamente dall'in-
terazione fra oampo gravitazionale e oampo elettromagnetioo ed quindi bene aooetta in una teoria unitaria,
e
ohe proprio nella ri-
oeroa di queste forze trova la sua giustifioazione fisioa. L ' equazione (24) si estende infine a sistemi di quante si vogliano partioelle, definitiva,
rimanendo inalterata nella sua struttura.
In
si pub dunque affermare ohe dalle equazioni di oam-
po del 1953 della teoria unitaria einsteiniana si pub trarre una equazione di movimento di partioelle la quale in prima approssimazione differisoe dall'equazione vettoriale di movimento di prima approssimazione della fisioa olassioa, inerziale,
solt~nto
per l'ulteriore presenza di una deb ole forza,
oentrale di interazione fra i tioo,
riferita ad un osservatore
oampi gravitazionale ed elettromagne.
oreati dalle partioelle stesse,
6.- LE EQUAZIONI DI MOVIMENTO IN SECONDA APPROSSIMAZIONE. Proseguendo il oaloolo della (9) si pub oonstatare ohe nelIe equazioni di movimento delle approssimazioni successive alIa
286
- 15 E . Clauser
prima mancano termini in A5 ,
sicche le equazioni di movimento
Q~
seconda approssimazione sono costituite dalla somma dei termini di quarto grado in A (i quali danno luogo all'equazione (24) di prima approssimazione) con termini di sesto grado in A delle equazioni
(9), relative ai valori 1,2,3 dell'indice y
considerarli esplicitamente,
Prima di
conviene osservare che grazie alle
posizioni (IV) le soluzioni (17)' (19) e
(22) delle equazioni elet-
tromagnetiche (15)
individuano,
e (16),
(20)
denza a ciascuna particella, due campi:
e (21),
in corrispon-
un campo elettromagnetico somma di
il primo e quello generato da una carica puntiforme in
movimento rispetto ad un osservatore inerziale, valutato in prima approssimazione e conforme alla nota soluzione di Wi echertLienard;
l'altro campo si puo invece interpretare come quello at-
traverso il quale si comincia a manifestare l'interazione fra gravitazione ed elettricita.
E ed B
Indicando con
i due termini ma-
xwelliani del precedente campo elettromagnatico, -1
k
g12:: E3 + h ~,3 2 v
= e r
-2
risulta infstti : 0)
vers(P
3
h UJ
I, 3
, •••
A(UAg)i + Ah(~Agrad'l'\ = Hi + Ah(,lLt\gradW)i dove ~
= -~ -4 k -2 e
r
,
P e il punta potenziato ad 0 e la posizione occupata dalla carica potenziante. le,
8i puo allora constat are,
nel caso di due particel-
che gli integrali di sesto grado in A delle
(9), valutati at-
torno alla particella 1, danno luogo al vettore
2)
1(1 Ae 1::1I!1.
il quale costituisce l'addendo elettrodinamico della forza totale di Lorentz
287
- 16 E . Clauser 2 2 1 vettori E ed H sono valutati nella posizione 0 oc-
nella quale i
cupata dalla particella 1 . 8i puc anzi dimostrare l'assetto senza procedere al calcolo, concettualmente semplice, ma assai laborioso, Ii .
In definitiva,
mazione,
di questi integra-
l'equazione di movimento di seconda approssi-
tratta dalle equazioni di campo del 1953 della teoria u-
nitaria einsteiniana,
nel caso di due particelle,
si present a co-
sl :
1 2 m ~
vers
+ -
dove i
1 - h 2
f3
-4 -21 2 1 2 k e e ve r s (0 - 0)
+... ,
puntini indicano termini provenienti dalla valutazione de-
gli integrali
( 9 ) in seconda approssimazione, termini che non e-
lidono quelli esplicitati . La (25)
si estende poi inalterata nel-
la forma dei termini messi in evidenza,
a sistemi costituiti da
quante si vogliano particelle. Mi
sembra cosl di poter concludere con tre oservazioni
il
problema discusso porta a prefer ire la formulazione 1953 della teoria unitaria einsteiniana a quella del 1950 perche applicando il procedimento da me indicato alIa formulazione 1950, sulta armonica, risultato,
anziche biarmanica,
la
¢
ri-
e cio porta a confermare il
fisicamente insoddisfaoente, di Infeld
[5]; 10 schema
elettromagnetioo di prima approssimazione oontenuto nelle equazioni 1953,
essendo pili ampio di quello maxwelliano,
permette di te-
nere conto anche in prima approssimazione dell'interazione tra gravitazione ed e l ettricita;
infine,
dalle equazioni del campo
unitario si deduce che tutte le forze ponderomotrici dell'elettrodinamica classioa compaiono aocanto a quella gravitazionale nella determinazicne del movimento di un corpuscolo elettrizzato.
288
-
17 E.Clauser
INDICAZIONI BIBLIOGRAFICHE [1]
H.Weyl, 38;
"Raum -
A.S.
Eddington,
Londra (1923), [2]
Zeit - Materie", VaEd . ,
"The mathe.matioal Theory of RelatiYity",
A.Einstein e J.Grommer,
A. Einstein,
"Allgemeine Relativitltstheorie und
Sitz.PreussiAk.Wiss.,
L.lnfeld,
A.Einstein, L.lnfeld ,
tivity theory", [4]
A. Soheidegger, 25,
[5]
(1953),
L.lnfeld, tion",
[6]
Ann.of Math.,
Ann.of Math.;
vol.39,
(1938),66;
vo1.41,(1940),
455 ;
"Motion of partioles in general rela-
Canadian Journ.of Math., "Gravitational motion",
vo1.1 (1949),
209 .
Revs.Modern Physio 8
451.
"The new Einstein theory and the equations of mo-
Aota Phys.Pol.X,
J.Callaway,
faso . 3-4 (1950),284.
"The equations of motion in Einstein's new uni-
fied field theory",
[7]
(1927),1.
"The gravitational equations and the
problem of motion (II)", L.lnfeld,
Berlino
B. Hoffmann "The gravitational equations
and the problem of motion",
A. Einstein,
par .
par . 56.
Bewegungsgesetz", [3]
Berlino (1923),
B.Kursunollu, 5
Phys.Rev . ,
92,
(1953),1567.
"Gravitation and eleotrodynamios",
88, (1952) 1369;
W. B.Bonnor,
Phys . Rev . ,
"The equations of motion in the
non-simmetrio unified theory",
Proo.Roy.Soo.London,
A. 226
(1954),366. [8]
P.G.Bergmann, 680;
"Non-linear field theory",
P. G. Bergmann,
R. Sohiller,
Classioal and quantum field
theory in the lagrangian formalism", [9]
E.Clauser, steiniano",
[10]
E.Clauser, niana",
Phys.Rev . 75,(1949)
Phys.Rev.,89,
(1953),4.
"Movimento di partioelle nel oampo unitario einRend.Aoo . Linoei,
Vol.XXI,
(1956),408.
"Legge di moto nell'ultima teoria unitaria einstei-
Nuov:o Cimento,
Serie X,
289
vol. VII,
(1958),
764.
- 18 E.Clauser
[llJ
A.Einstein,
"The meaning of relativity",
Prinoeton (1953), [12J
A.Einstein,
Appl.11,
trad . it.Einaudi Editore .
"The Bianohiidentities in the generalized theo-
ry of gravitation", Can.Journ.Math., 'f'.o1.11, [13J
J.Goldberg,
4 a ed.
(1950),120.
"strong oonservation laws and equations of mo-
tion in oovariant field theories", Phys . Rev.,89,
290
(1953),263.
