Elektrische Antriebe - Regelung von Antriebssystemen

Elektrische Antriebe – Regelung von Antriebssystemen

Dierk Schröder

Elektrische Antriebe – Regelung von Antriebssystemen 3. bearbeitete Auflage

123

Univ. Prof. Dr.-Ing. Dr.-Ing. h.c. Dierk Schröder Technische Universität München Lehrstuhl für Elektrische Antriebssysteme und Leistungselektronik Arcisstr. 21, 80333 München [email protected]

ISBN 978-3-540-89612-8

e-ISBN 978-3-540-89613-5

DOI 10.1007/978-3-540-89613-5 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar. c 2009 Springer-Verlag Berlin Heidelberg  Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Satz: digitale Druckvorlage des Autors Herstellung: le-tex publishing services oHG, Leipzig Einbandgestaltung: eStudioCalamarS.L.,F.Steinen-Broo,Girona,Spain Gedruckt auf säurefreiem Papier 987654321 springer.de

Vorwort zur 3. Auflage

Es ist erfreulich, daß bereits wieder eine Neuauflage des Buches Regelung von ” Antriebssystemen“ notwendig ist. Dieses gibt die Chance, weitere Detailverbesserungen vorzunehmen. Die Detailverbesserungen beruhen u.a. auf erhaltenen Mitteilungen von Lesern, die beispielsweise auf Tippfehler hinweisen. Grundlegende Verbesserungen erfolgten bei der Regelung von Drehfeldmaschinen, bei denen die Parameter-Identifikation v¨ollig neu gestaltet wurde. ¨ Hierf¨ ur besteht Dank an Herrn Professor Michalik, der eine umfassende Ubersicht der Verfahren erstellte. Zus¨atzlich wurde ein Kapitel u ¨ber die Identifikation linearer Systeme eingef¨ ugt. Es ist angedacht, dieses Buch um ein weiterf¨ uhrendes regelungstechnisches Buch mit dem voraussichtlichen Titel Intelligente Verfahren ” zur Systemidentifikation und zur Regelung nichtlinearer Systeme“ zu erg¨anzen. Eine kleine Einf¨ uhrung in dieses hochinteressante Gebiet ist in Kapitel 19.5 zu finden. Damit w¨are die Regelung von Antrieben erweitert, um unbekannte nichtlineare Systeme zu identifizieren, zu modellieren, mit dem nichtlinearen Modell detailgenauer Simulationen durchzuf¨ uhren und pr¨aziser zu regeln. Somit w¨ urde die Regelung von Antriebssystemen auf komplexe mechatronische und technologische Systeme erweitert und eine geschlossene Darstellung erreicht. Eine zweite Umgestaltung erfolgte bei den Darstellungen der Pulsweitenmodulation. Hier wurde von Herrn Professor Steimel ein Kapitel eingef¨ ugt f¨ ur leistungselektronische Schaltungen (selbstgef¨ uhrte Wechselrichter vom Typ einge” pr¨agte Spannung“) mit niedrigen Schaltfrequenzen. Eine dritte wesentliche Erweiterung erfolgte bei der Regelung der Drehfeldmaschinen mit Feldschw¨achung, um das maximale Drehmoment per Statorspannung bzw. Statorstrom zu erhalten. Hierbei m¨ ussen außerdem die Begrenzungen der Statorspannung und/oder des Statorstroms ber¨ ucksichtigt werden. Eine weitere Anpassung an den Stand der Technik erfolgte bei den geberlosen Antrieben. Grundlegende Anpassungen erfolgten weiterhin bei der Darstellung der objektorientierten Modellbildung und Simulation. Ich danke allen wissenschaftlichen Mitarbeitern und insbesondere den Kollegen, die bei der Abfassung der zus¨atzlichen Kapitel und der Detailverbesserungen mir wertvolle Unterst¨ utzung gegeben haben; m¨oge dies alles f¨ ur die Zufriedenheit bei den Lesern f¨ uhren. M¨ unchen, im Sommer 2008

Dierk Schr¨oder

Vorwort zur 2. Auflage

Die erste Auflage des Buches Elektrische Antriebe 2: Regelung von Antrieben“ ” hat eine erfreuliche Aufnahme gefunden, so daß die Neuauflage erforderlich ist. Dies wurde als eine Chance und als Ansporn gesehen, dem neuen Buch erstens eine Neuordnung der Kapitel zu geben. So folgt nach den grundlegenden regelungstechnischen Kapiteln 1 - 5 nun das Kapitel 6: Abtastsysteme. Weiterhin folgt dem Kapitel 7: Regelung der Gleichstrommaschine sowie den Kapiteln wie der regelungstechnischen Modellbildung von netzgef¨ uhrten Stromrichter-Stellgliedern oder Fehlereinfl¨ usse und Genauigkeit bei geregelten Systemen nun die Regelung der Asynchronmaschine und danach die Regelungsvarianten der Synchronmaschinen. Erst nach der Regelungen der Antriebe an sich erfolgt die Erweiterung um mechatronische Fragestellungen. Zweitens wurden einige Kapitel in sich neu geordnet und um neue Aspekte erweitert, um eine durchg¨angigere Folge der Darstellungen zu erzielen. Beispielsweise wurde eine neue und damit geschlossenere Darstellung des regelungstechnischen Verhaltens der netzgef¨ uhrten Stromrichter-Stellglieder erarbeitet. In Kapitel 8.6.3 werden von Herrn Prof. Kennel — in Erweiterung der nicht ausregelbaren und ausregelbaren Fehler sowie der erreichbaren Genauigkeiten von Regelungen — die Auswirkungen der absoluten und differentiellen Genauigkeiten von Drehzahl- und Positionsgebern dargestellt. Weiterhin wurden drei typische Verfahren zur Stromeinpr¨agung bei Drehfeldmaschinen bzw. f¨ ur Stellglieder auf der Netzseite eingef¨ ugt. In Kapitel 15.5.1 wurden außerdem von Herrn Prof. Steimel die Varianten der direkten Selbstregelung ausf¨ uhrlich dargestellt. Es liegt somit nun eine durchg¨angige Beschreibung der Stromeinpr¨agungen bei den unterschiedlichsten Stromrichter-Stellgliedern vor. Drittens wurden neue Fragestellungen aufgenommen. Die selten angesprochene Problematik der Stellgr¨oßen-Beschr¨ankung bzw. der S¨attigung und die entsprechenden Gegenmaßnahmen (Regler-Windup und Strecken-Windup) wird in Kapitel 5.6 von Herrn Dr. Hippe und Herrn Dr. Wurmthaler abgehandelt. Weiterhin wird in Kapitel 14 das sich noch in der Entwicklung befindliche Gebiet der geberlosen Regelung von Asynchronmaschinen dargestellt. Da diese Anforderungen auch f¨ ur die anderen Drehfeldantriebe bestehen, wurden im Literaturverzeichnis zus¨atzlich die entsprechenden Ver¨offentlichungen f¨ ur die anderen Drehfeldantriebe, d.h. der Synchronmaschinen und der Reluktanzmaschinen, angegeben.

VII

In Kapitel 16.5 wird von Herrn Dr. Bauer die feldorientierte Regelung der Synchronmaschine beschrieben. Damit liegen nun die relevanten Regelverfahren sowohl f¨ ur die Asynchronmaschine als auch f¨ ur die Synchronmaschine geschlossen vor. Weiterhin folgt nach dem mechatronischen Grundkapitel 19: Drehzahlregelung bei elastischer Verbindung zur Arbeitsmaschine nun ausgehend von diesem Kapitel die Schwingungsd¨ampfung in Kapitel 20 von Herrn Dr. Filipovi´c. In Kapitel 20 werden ganz neue Ans¨atze wie der Linear Active Resonator (LAR) oder der Bandpass-Absorber (BPA) dargestellt. Ausgehend von diesen einfachsten mechatronischen Grundans¨atzen folgt in Kapitel 21 die Darstellung der objektorientierten Modellierung von Antriebssystemen von Herrn Dr. Otter, so daß mit diesem Werkzeug beliebig komplexe Systeme mittels Simulation analysiert werden und die Reglerentwicklung sowie die Optimierung des Gesamtsystems erfolgen k¨onnen. Abschließend folgt in Kapitel 22 die Darstellung der Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen von Herrn Dr. Wolfermann; dies ist ein langj¨ahriges spezielles Arbeitsgebiet des Lehrstuhls. Außer diesen grundlegenden Verbesserungen und Erweiterungen erfolgte mit großer Unterst¨ utzung der Mitarbeiter eine Vielzahl von zeitraubenden DetailVerbesserungen, die in ihrem Umfang hier nicht aufgez¨ahlt werden k¨onnen. Ich bin sowohl meinen Mitarbeitern f¨ ur die tatkr¨aftige Unterst¨ utzung als auch den vielen externen Autoren außerordentlich dankbar, daß sie neben ihrer beruflichen Arbeitsbelastung meiner Bitte entsprochen haben und einen Beitrag f¨ ur dieses Buch abgefaßt haben. Ein besonderer Dank gilt meiner Sekret¨arin, denn allen diesen Beitr¨agen mußte der entsprechende Rahmen gegeben werden. Ich hoffe sehr, daß unsere vereinten Anstrengungen allen Lesern dieses Buches die Chance gibt, sich in das komplexe Gebiet der Regelung elektrischer Aktoren und der mechatronischen Systeme effizient einzuarbeiten, erworbenes Wissen aufzufrischen und zu vertiefen sowie mit den dargestellten Werkzeugen einen Ansatzpunkt zu finden, die wachsenden Anforderungen an die zu regelnden Systeme erf¨ ullen zu k¨onnen. In Erweiterung des Ihnen vorliegenden Buches liegt inzwischen das Buch Intelligent Observer and Control Design for Nonlinear Systems“ vor, in dem ” insbesondere f¨ ur nichtlineare mechatronische Systeme Verfahren zur Identifikation, Modellierung und Regelung dargestellt werden. M¨ unchen, im Fr¨ uhjahr 2001

Dierk Schr¨oder

Vorwort zur 1. Auflage

Das vorliegende Lehrbuch ist das zweite Buch in der vierb¨andigen Reihe Elek” trische Antriebe“. Die Schwerpunktthemen dieses Bandes sind die Regelungsvarianten sowohl der drehzahlvariablen Gleichstrom- als auch der Drehstrom-Antriebe. Der vorliegende Band baut auf dem ersten Band Elektrische Antriebe 1, ” Grundlagen“ auf. Dies bedeutet, daß Fragen zur Auslegung von Antriebssystemen, die Signalflußpl¨ane f¨ ur Gleichstrom- und Drehstrom-Maschinen, die Steuereingriffe und deren Wirkung sowie die Funktion der Stellgliedvarianten im Ansatz als bekannt vorausgesetzt werden. Dies gilt ebenso f¨ ur die grundlegensten Kenntnisse der Regelungstechnik. Großer Wert wird auf die durchg¨angige Darstellung der mathematischen Behandlung von Regelkreisen, der Stabilit¨at sowie der Optimierungskriterien und deren praktische Anwendung gelegt. Es wird deshalb nicht nur das Betragsoptimum und das symmetrische Optimum, sondern auch das allgemein anwendbare D¨ampfungsoptimum ausf¨ uhrlich behandelt. Ein weiterer Schwerpunkt ist die Darstellung der Regelungen von Drehfeldmaschinen. Aufgrund der Bedeutung dieses Gebiets werden die grundlegenden Signalflußpl¨ane der Asynchron- und Synchron-Maschine und deren Abwandlungen in den verschiedenen Koordinatensystemen und Orientierungen noch einmal kurz wiederholt. Erweitert werden die Darstellungen um die permanent erregten Drehfeldmaschinen. Es folgt eine ausf¨ uhrliche Darstellung von Entkopplungsverfahren zur Regelung von Drehfeldmaschinen. Diese Vorgehensweise hat zwei Vorteile: Erstens wird damit das komplexe Thema der Feldorientierung leichter verst¨andlich und zweitens resultieren die Entkopplungsverfahren in relativ einfach zu realisierenden Regelverfahren. Es folgen die Erl¨auterungen zur feldorientierten Regelung einschließlich der Diskussion verschiedener Modelle und der Parameteradaption. In einem weiteren Kapitel werden die R¨ uckwirkungen mechanischer Systeme auf den elektrischen Antrieb beispielhaft erl¨autert. Um die angestrebte Durchg¨angigkeit des Lehrbuchs zu erreichen wurden auch Sonderfragen wie Fehlereinfl¨ usse, Genauigkeit sowie Schirmung oder Approximationen des dynamischen Stellglied-Verhaltens dargestellt. Das Ziel dieses Lehrbuches ist, sowohl eine Einf¨ uhrung zu geben f¨ ur Studierende der elektrischen Antriebstechnik an den Fachhochschulen und den Techni-

IX

schen Hochschulen als auch den in der Industrie T¨atigen eine Auffrischung des Wissens zu erm¨oglichen. Wiederum m¨ochte ich meiner Familie und meinen wissenschaftlichen Mitarbeitern danken f¨ ur das Verst¨andnis, die Unterst¨ utzung und die hilfreichen Diskussionen bei der Abfassung. Gedankt sei auch den Mitautoren von Lehrg¨angen des VDI-Bildungswerkes, mit denen ich vor vielen Jahren einen intensiven Gedankenaustausch u ¨ber die industriell angewandten Regelungsverfahren hatte. M¨ unchen, im Fr¨ uhjahr 1995

Dierk Schr¨oder

Inhaltsverzeichnis

1

Regelungstechnische Grundbegriffe und Grundregeln

1.1 1.2 1.3 1.3.1 1.3.2 1.4 1.5

Gegen¨ uberstellung von Steuerung und Regelung . . . . . . . . . Beschreibung des dynamischen Verhaltens durch Signalflußpl¨ane Frequenzgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ortskurvendarstellung in rechtwinkligen Koordinaten . . . . . . Frequenzkennlinien, Bode-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . Rechenregeln, Umwandlungsregeln, Signalflußplan . . . . . . . . F¨ uhrungs- und St¨orungs¨ ubertragungsfunktion . . . . . . . . . .

1 6 10 13 15 22 26

2

Stabilisierung und Optimierung von Regelkreisen

28

2.1 2.1.1 2.1.2 2.2 2.3

Stabilit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nyquist-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Frequenzkennlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Stabilit¨atspr¨ ufung anhand der Ubertragungsfunktion Optimierung bei offenem Kreis (Bode-Diagramm) . .

3

Standard-Optimierungsverfahren

46

3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.3 3.4 3.5

Betragsoptimum (BO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Herleitung f¨ ur Strecken ohne I-Anteil . . . . . . . . . . . . . . . Verallgemeinerung und Anwendung des Betragsoptimums . . . Mathematische Herleitung des Betragsoptimums . . . . . . . . Symmetrisches Optimum (SO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . Herleitung f¨ ur Strecken mit I-Anteil . . . . . . . . . . . . . . . Verallgemeinerung und Anwendung des Symmetrischen Optimums Mathematische Herleitung des Symmetrischen Optimums . . . . Auswahl des Reglers und Bestimmung der Optimierung . . . . . Optimierungstabelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F¨ uhrungsverhalten bei rampenf¨ormiger Anregung . . . . . . . .

46 47 50 56 60 60 65 72 74 81 83

4

Verallgemeinerte Optimierungsverfahren

85

4.1

D¨ampfungsoptimum (DO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

1

. . . . .

. . . . .

29 31 34 36 41

XII

Inhaltsverzeichnis

4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.2 4.3 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.5 4.6

Herleitung der Doppelverh¨altnisse . . . . . . . . . . . . Standardfunktionen des D¨ampfungsoptimums . . . . . Reglerauslegung nach dem D¨ampfungsoptimum . . . . Beispiele zum D¨ampfungsoptimum . . . . . . . . . . . Z¨ahlerpolynom und ¨aquivalente Sollwertgl¨attung . . . Erweitertes D¨ampfungsoptimum . . . . . . . . . . . . Kompensation des Z¨ahlerpolynoms . . . . . . . . . . . Divisionsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Allgemeine Methode f¨ ur Strecken mit Z¨ahlerpolynomen Reglerentwurf durch G¨ utefunktionale . . . . . . . . . . Reglerauslegung mit MATLAB . . . . . . . . . . . . .

5

Regelkreisstrukturen

115

5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.2 5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.4 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.4.4 5.5 5.5.1 5.5.2 5.5.3 5.5.4 5.5.5 5.5.6 5.5.6.1 5.5.6.2 5.5.6.3 5.5.6.4 5.5.7 5.6

Allgemein vermaschter Regelkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . Begrenzungsregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . St¨orgr¨oßenaufschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hilfsstellgr¨oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kaskadenregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modellbasierte Regelungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conditional Feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Internal Model Control (IMC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Smith-Pr¨adiktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vorsteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubertragungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Auslegung der Vorsteuer¨ ubertragungsfunktion A(s) . . . . . . . Beispiel: Nachlaufregelung mit IT1 -Strecke . . . . . . . . . . . . Beispiel: Nachlaufregelung mit zwei PT1 -Strecken und PI-Regler Zustandsregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zustandsdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L¨osung der Zustandsdifferentialgleichung im Zeitbereich . . . . Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . Entwurf einer Zustandsregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zustandsbeobachter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beobachtung mit Differentiation und Parallelmodell . . . . . . . Luenberger-Beobachter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zustandsregelung mit Beobachter . . . . . . . . . . . . . . . . . Kalman-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stellbegrenzungen in Regelkreisen P. Hippe, C. Wurmthaler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Allgemeine Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regler-Windup bei PI- und PID-Reglern . . . . . . . . . . . . .

115 115 116 117 118 122 122 123 125 126 127 127 128 129 131 131 133 137 137 139 142 143 144 146 148 149

5.6.1 5.6.2

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

86 87 89 93 98 100 100 100 101 105 111

150 150 151

Inhaltsverzeichnis

5.6.2.1 5.6.2.2

XIII

Beschreibung des Ph¨anomens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Maßnahmen zur Vermeidung des Regler-Windup bei PI- und PIDReglern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Systematisches Vorgehen zur Beseitigung von Regler- und Strecken-Windup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Struktur zur Ber¨ ucksichtigung von Begrenzungen der Stellgeschwindigkeit und der Stellamplitude . . . . . . . . . . . . . . .

165

6

Abtastsysteme

171

6.1 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4 6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4 6.3 6.3.1 6.3.2 6.3.3 6.4 6.4.1 6.4.2 6.4.3 6.5 6.5.1 6.5.2 6.5.3 6.5.4

Grundlagen der z-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . Abtastvorgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . z-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gesetze und Rechenmethoden der z-Transformation . . . . . . Transformationstabelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubertragungsfunktionen von Abtastsystemen . . . . . . . . . Stabilit¨at und Pollagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubertragungsverhalten von zeitdiskreten Systemen . . . . . . Frequenzkennlinien-Darstellung von Abtastsystemen . . . . . Systeme mit mehreren nichtsynchronen Abtastern . . . . . . . Einschleifige Abtastregelkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufbau von digitalen Abtastregelkreisen . . . . . . . . . . . . Elementare zeitdiskrete Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . Quasikontinuierlicher Reglerentwurf . . . . . . . . . . . . . . . Optimierung des Reglers bei Abtastregelkreisen . . . . . . . . Realisierungsverfahren von Abtastreglern . . . . . . . . . . . . Parameteroptimierung des Reglers nach einem G¨ utekriterium Entwurf als Kompensationsregler . . . . . . . . . . . . . . . . Entwurf zeitdiskreter Regelkreise auf endliche Einstellzeit . . Reglerentwurf ohne Stellgr¨oßenvorgabe . . . . . . . . . . . . . Reglerentwurf mit Stellgr¨oßenvorgabe . . . . . . . . . . . . . . Wahl der Abtastzeit bei Dead-Beat-Reglern . . . . . . . . . . Beispiel zum Dead-Beat-Regler . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Regelung der Gleichstrommaschine

223

7.1 7.1.1 7.1.1.1 7.1.1.2 7.1.1.3 7.1.1.4 7.1.1.5 7.1.2 7.1.2.1

Geregelte Gleichstromnebenschlußmaschine im Ankerstellbereich Stromregelkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EMK-Kompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EMK-Bestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ausf¨ uhrung der EMK-Aufschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . Optimierung des Stromregelkreises . . . . . . . . . . . . . . . . Optimierung des Stromregelkreises mit Meßwertgl¨attung . . . . Drehzahlregelkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Optimierung des Drehzahlregelkreises mit Meßwertgl¨attung . .

224 224 225 226 228 229 234 237 240

5.6.3 5.6.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

151 152 155

171 172 173 175 183 187 187 192 194 198 200 200 202 204 207 207 209 209 211 213 217 220 220

XIV

Inhaltsverzeichnis

7.1.2.2 7.1.2.3 7.1.2.4 7.1.3 7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4 7.2.5

Regelkreise mit Stromsollwertbegrenzung . . . . . . . . . . . . . Direkte Drehzahlregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Strombegrenzungsregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lageregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geregelte Gleichstromnebenschlußmaschine im Feldschw¨achbereich Erregerstromregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schaltungsvarianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammelschienenantrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Contiflux-Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spannungsabh¨angige Feldschw¨achung . . . . . . . . . . . . . . .

8

Fehlerein߬ usse und Genauigkeit bei geregelten Systemen 275

8.1 8.2 8.3 8.3.1 8.3.1.1 8.3.1.2 8.3.1.3 8.3.1.4 8.3.1.5 8.4 8.5

8.6.3.1 8.6.3.2 8.7 8.7.1 8.7.2 8.7.3

Ausregelbare Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nicht ausregelbare Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Absch¨atzung der Auswirkung der Fehler . . . . . . . . . . . . . Statische Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fehler des Operationsverst¨arkers . . . . . . . . . . . . . . . . . Last¨anderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sollwertgeber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tachogenerator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Istwertteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erreichbare Genauigkeit analog drehzahlgeregelter Antriebe . . Fehler in Systemen mit digitaler Erfassung von Position und Drehzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Digitale Positionsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Digitale Drehzahlerfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Strommessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spannungsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gegen¨ uberstellung von Drehzahl- und Positionsgebern R. Kennel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Drehzahlregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Positionsregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EMV, st¨orsichere Signal¨ ubertragung und St¨orschutzmaßnahmen Oberschwingungen, EMV und Normen . . . . . . . . . . . . . . St¨orsichere analoge Signal¨ ubertragung . . . . . . . . . . . . . . St¨orschutzmaßnahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

300 300 302 315 315 317 318

9

Netzgef¨ uhrte Stromrichter

321

9.1 9.2 9.3

Prinzipielle Funktion netzgef¨ uhrter Stellglieder . . . . . Vereinfachte Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . Untersuchung des dynamischen Verhaltens netzgef¨ uhrter richterstellglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.5.1 8.5.2 8.6 8.6.1 8.6.2 8.6.3

. . . . . . . . Strom. . . .

241 245 247 248 252 256 258 260 262 264

275 279 285 285 286 288 289 290 291 291 293 293 294 296 296 299

321 325 330

Inhaltsverzeichnis

9.3.1 9.3.2 9.4 9.5 9.6 9.7

XV

Analyse des Stromrichterstellglieds bei einer Z¨ undwinkelverstellung in Richtung abnehmendem Steuerwinkel . . . . . . . . . . Analyse des Stromrichterstellglieds bei einer Z¨ undwinkelverstellung in Richtung zunehmendem Steuerwinkel . . . . . . . . . . Diskussion der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Laufzeitn¨aherung f¨ ur das Großsignalverhalten, Symmetrierung . Großsignal-Approximationen f¨ ur netzgef¨ uhrte Stromrichterstellglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

331 336 339 345 349 355

10

Untersuchung von Regelkreisen mit Stromrichtern mit der Abtasttheorie 356

10.1 10.2 10.3 10.4 10.4.1 10.4.2 10.4.3 10.5

Untersuchung des Steuerger¨ates ohne dynamische Symmetrierung Untersuchung des Stromrichters . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stromrichterstellglied bei l¨ uckendem Strom . . . . . . . . . . . Adaptive Stromregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Allgemeine Betrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Praktische Realisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr¨adiktive Stromf¨ uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Beschreibungsfunktion des Stromrichters mit nat¨ urlicher Kommutierung 387

11.1 11.2 11.3 11.4

Allgemeine Einf¨ uhrung . . . . . . . Diskussion der Ergebnisse . . . . . Untersuchung von Regelkreisen mit Grenzen des Verfahrens . . . . . .

12

Vergleich verschiedener Approximationen f¨ ur netzgef¨ uhrte Stromrichter 403

12.1 12.2 12.3 12.4

Ermittlung von Gl (z, m), Sprungf¨ahigkeit . . . . . . . . . . . . Berechnung der ersten Ableitung der Steuersatzeingangsspannung ¨ Uberpr¨ ufung der Stromrichterstellglied-Approximationen . . . . Synthese von Regelkreisen mit Stromrichter-Stellgliedern . . . .

404 407 411 418

13

Asynchronmaschine

423

13.1 13.1.1 13.1.2 13.1.2.1 13.1.2.2 13.1.2.3

Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funktionsprinzip der Drehfeld-Asynchronmaschine Raumzeigerdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . Definition eines Raumzeigers . . . . . . . . . . . . R¨ ucktransformation auf Momentanwerte . . . . . . Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . der . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beschreibungsfunktion . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

358 360 365 370 370 375 384 386

387 390 397 402

423 424 425 425 429 429

XVI

Inhaltsverzeichnis

13.1.2.4 13.1.2.5 13.2 13.2.1 13.2.2

Differentiation im umlaufenden Koordinatensystem . . . . . . . Bestimmung der Raumzeiger aus Motordaten . . . . . . . . . . Signalflußpl¨ane der Asynchronmaschine . . . . . . . . . . . . . Beschreibendes Gleichungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . Verallgemeinerter Signalflußplan der spannungsgesteuerten Asynchronmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Signalflußplan der stromgesteuerten Asynchronmaschine . . . . Station¨arer Betrieb der Asynchronmaschine . . . . . . . . . . . Umrechnung f¨ ur Stern- und Dreieckschaltung . . . . . . . . . . Steuerverfahren der Asynchronmaschine . . . . . . . . . . . . . Signalflußplan bei Statorflußorientierung . . . . . . . . . . . . . Signalflußplan bei Rotorflußorientierung . . . . . . . . . . . . . Signalflußplan bei Luftspaltflußorientierung . . . . . . . . . . . Regelungsverfahren der Asynchronmaschine . . . . . . . . . . . Entkopplungsregelung der Asynchronmaschine . . . . . . . . . . Entkopplung bei Umrichtern mit eingepr¨agter Spannung . . . . Entkopplung bei Umrichtern mit eingepr¨agtem Strom . . . . . . Feldorientierte Regelung der Asynchronmaschine . . . . . . . . Modellbildung der Asynchronmaschine . . . . . . . . . . . . . . I1 -Modell (Strommodell) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I1 βL -Modelle und I1 ΩL -Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . U1 I1 -Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U1 I1 ΩL -Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U1 ΩL -Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung der Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parameterbestimmung an Drehstrom-Asynchronmaschinen W. Michalik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubersicht zu Methoden der Parameterbestimmungen an Drehstrom-Asynchronmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . Parameterbestimmungen mit herk¨ommlichen Verfahren der Maschinenpr¨ ufung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vorgehensweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parameterbestimmungen mit Parametersch¨atzverfahren . . . . . Prinzip der Parametersch¨atzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parametersch¨atzungen an Asynchronmaschinen bei linearem Parametereinfluss auf die Sch¨atzfehler . . . . . . . . . . . . . . . . Parametersch¨atzungen an Drehstrom-Asynchronmaschinen bei nichtlinearem Parametereinfluss auf die Sch¨atzfehler . . . . . . Asynchronmaschine in normierter Darstellung . . . . . . . . . . Feldschw¨achbetrieb der Asynchronmaschine . . . . . . . . . . . Einschr¨ankungen bei der Realisierung der Regelung von Drehfeldantrieben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abtastender Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S¨attigungseffekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13.2.3 13.2.4 13.2.5 13.3 13.3.1 13.3.2 13.3.3 13.4 13.4.1 13.4.2 13.4.3 13.4.4 13.5 13.5.1 13.5.2 13.5.3 13.5.4 13.5.5 13.5.6 13.6 13.6.1 13.6.2 13.6.2.1 13.6.3 13.6.3.1 13.6.3.2 13.6.3.3 13.7 13.8 13.9 13.9.1 13.9.2

432 433 434 434 448 451 452 455 458 459 460 468 473 474 476 485 491 500 500 506 510 514 515 518 523 523 527 529 537 537 538 553 574 579 581 581 583

Inhaltsverzeichnis

XVII

13.9.3 13.9.4

Realisierbare Entkopplungsstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

584 586

14

Regelung von Drehfeldmaschinen ohne Drehzahlsensor

587

14.1 14.1.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.7.1 14.7.2 14.7.3 14.7.4 14.7.5 14.7.6 14.7.6.1 14.7.6.2 14.8 14.9 14.10 14.11 14.12

Einf¨ uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prinzipielle Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . Grundlegendes nichtadaptives Verfahren . . . . . . . . . . Nichtadaptive Verfahren: Statorspannungsgleichungen . . . Nichtadaptive Verfahren: Flußgleichungen . . . . . . . . . Nichtadaptive Verfahren: Sollgr¨oßenansatz . . . . . . . . . Direkte Sch¨atzung der Rotordrehzahl . . . . . . . . . . . . Adaptive Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MRAS-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problematik bei tiefen Frequenzen . . . . . . . . . . . . . MRAS-Verfahren: EMK-Berechnung . . . . . . . . . . . . MRAS-Verfahren: Flußberechnung . . . . . . . . . . . . . MRAS-Verfahren, basierend auf Blindleistungsberechnung Verfahren mittels Zustandssch¨atzung . . . . . . . . . . . . Verfahren auf Basis eines Luenberger-Beobachters . . . . . Verfahren auf Basis eines Kalman-Filters . . . . . . . . . . Sch¨atzverfahren mit neuronalen Netzen . . . . . . . . . . . Auswertung von Harmonischen . . . . . . . . . . . . . . . Auswertung von hochfrequenten Zusatzsignalen . . . . . . Bewertende Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . Comments on Sensorless Control Methods J. Luomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

587 593 596 600 604 605 607 613 618 619 623 624 626 627 628 637 641 644 646 656

. . .

663

15

Stromregelverfahren f¨ ur Drehfeldmaschinen

666

15.1 15.2 15.3

Regelstrecke und Stellglied der Statorstromregelung . . . . . . . Indirekte Verfahren der Statorstromregelung . . . . . . . . . . . Modulationsverfahren A. Steimel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundfrequenztaktung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nichtsynchronisierte ( freie“) Pulsweitenmodulation . . . . . . ” Sinus-Dreieck-Modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Symmetrierte Sinus-Dreieck-Modulation mit Zusatzsignalen . . Str¨ome des Wechselrichters bei symmetrierter Sinus-DreieckModulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Digitale Realisierung der Pulsweitenmodulation . . . . . . . . . Diskontinuierliche Taktungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flat-Top-Modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubermodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Synchrone Taktungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

666 671

15.3.1 15.3.2 15.3.2.1 15.3.2.2 15.3.2.3 15.3.2.4 15.3.3 15.3.3.1 15.3.3.2 15.3.4

673 673 677 677 679 683 684 685 685 688 690

XVIII

15.3.4.1 15.3.4.2 15.3.4.3 15.3.4.4 15.3.5 15.4 15.4.1 15.4.2 15.4.3 15.4.4 15.4.5 15.5

Inhaltsverzeichnis

15.5.1 15.5.2 15.5.3

Dreifachtaktung . . . . . . . . . . . . . . . F¨ unffachtaktung . . . . . . . . . . . . . . . Siebenfachtaktung . . . . . . . . . . . . . . Taktfrequenzbereiche, -wechsel . . . . . . . WR-Spannungsfehler . . . . . . . . . . . . . Optimierte Pulsverfahren . . . . . . . . . . Spannungsraumzeigermodulation . . . . . . On-line optimierte Pulsmustererzeugung . . Raumzeiger-Hystereseverfahren . . . . . . . Pr¨adiktive Stromregelung mit Schalttabelle Dead-Beat-Pulsmustererzeugung . . . . . . Direkte Regelungen A. Steimel . . . . . . . . . . . . . . . . . Direkte Selbstregelung . . . . . . . . . . . . Indirekte Statorgr¨oßen-Regelung . . . . . . Direct Torque Control . . . . . . . . . . . .

16

Synchronmaschine

759

16.1 16.1.1 16.1.2 16.1.3 16.1.4 16.1.5 16.2 16.2.1 16.2.2 16.3 16.3.1 16.3.2 16.3.3

Synchron-Schenkelpolmaschine ohne D¨ampferwicklung . . . . . Beschreibendes Gleichungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . Synchron-Schenkelpolmaschine in normierter Darstellung . . . . Signalflußplan bei Spannungseinpr¨agung . . . . . . . . . . . . . Signalflußplan bei Stromeinpr¨agung . . . . . . . . . . . . . . . . Ersatzschaltbild der Synchron-Schenkelpolmaschine . . . . . . . Synchron-Schenkelpolmaschine mit D¨ampferwicklung . . . . . . Beschreibendes Gleichungssystem und Signalflußplan . . . . . . Ersatzschaltbild der Schenkelpolmaschine mit D¨ampferwicklung Synchron-Vollpolmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beschreibendes Gleichungssystem und Signalflußpl¨ane . . . . . Ersatzschaltbild der Synchron-Vollpolmaschine . . . . . . . . . Feldorientierte Darstellung der Synchron-Vollpolmaschine mit D¨ampferwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Steuerbedingungen der Vollpolmaschine ohne D¨ampferwicklung Regelung der Synchronmaschine durch Entkopplung . . . . . . Regelung der Synchronmaschine durch Feldorientierung F. Bauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modelle zur Flußermittlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spannungsmodell (U1 I1 -Modell) . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spannungsmodell als Wechselgr¨oßenmodell . . . . . . . . . . . . Polares Spannungsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spannungsmodell als Gleichgr¨oßenmodell . . . . . . . . . . . . . Strommodell der Schenkelpolmaschine . . . . . . . . . . . . . . Regelung der Synchronmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . .

760 760 765 768 772 775 777 777 779 783 783 790

16.3.4 16.4 16.5 16.5.1 16.5.2 16.5.2.1 16.5.2.2 16.5.2.3 16.5.2.4 16.5.3

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

691 695 696 700 704 706 706 709 716 726 733

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

740 740 752 755

794 802 804 814 815 815 816 818 819 822 824

Inhaltsverzeichnis

XIX

16.5.3.1 16.5.4 16.5.5 16.5.6 16.5.7 16.6 16.6.1 16.6.2 16.6.3 16.6.4 16.6.5 16.7 16.7.1 16.7.2 16.7.3 16.7.4 16.7.5 16.7.6 16.7.7 16.7.8

Berechnung des Erregerstroms mit dem Strommodell . . . . . . Abl¨osung verschiedener Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flußregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flußf¨ uhrung im Feldschw¨achbereich . . . . . . . . . . . . . . . . Steuerung des cos ϕ der fremderregten Synchronmaschine . . . . Permanentmagneterregte Synchronmaschine (PM-Maschine) . . Signalflußplan der PM-Maschine . . . . . . . . . . . . . . . . . Regelung der PM-Maschine ohne Reluktanzeinfl¨ usse . . . . . . Rechteckf¨ormige Stromeinpr¨agung ohne Reluktanzeinfl¨ uße . . . Vergleich der sinus- und rechteckf¨ormig gespeisten PM-Maschine Feldschw¨achbereich der PM-Maschine . . . . . . . . . . . . . . PM-Maschine mit Reluktanzeinfl¨ ussen . . . . . . . . . . . . . . Maximales Moment pro Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . Verlustminimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Maximales Moment pro Volt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Feldschw¨achung unter Strom- und Spannungsbegrenzung . . . . Zusammenfassung der Steuerverfahren . . . . . . . . . . . . . . Einbindung in ein Antriebssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . Feldschw¨achregelung mit R¨ uckkopplung . . . . . . . . . . . . . Hybride Feldschw¨achregelungsstruktur . . . . . . . . . . . . . .

825 830 837 838 839 843 843 849 852 856 857 866 870 876 879 881 882 891 895 896

17

Geschaltete Reluktanzmaschine

898

17.1 17.2 17.3 17.4

¨ Uberlappende Bestromung von Statorwicklungen Leistungselektronische Stellglieder . . . . . . . . . Drehmoment-Welligkeit . . . . . . . . . . . . . . Geberloser Betrieb . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Identifikation linearer dynamischer Systeme

18.1 18.1.1 18.1.2 18.2 18.2.1 18.2.1.1 18.2.1.2 18.2.2 18.2.2.1 18.2.2.2 18.3 18.3.1 18.3.2 18.3.3 18.3.4

Grundlagen der Identifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parametrische und nichtparametrische Identifikationsverfahren Identifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineare dynamische Modellstrukturen . . . . . . . . . . . . . Modelle mit Ausgangsr¨ uckkopplung . . . . . . . . . . . . . . . Autoregressive with Exogenous Input Model . . . . . . . . . . Output Error Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modelle ohne Ausgangsr¨ uckkopplung . . . . . . . . . . . . . . Finite Impulse Response Model . . . . . . . . . . . . . . . . . Orthonormal Basis Function Model . . . . . . . . . . . . . . . Identifikationsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ARX-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . OE-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . FIR-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . OBF-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

902 903 905 906 907

. . . . . . . . . . . . . . .

908 908 909 910 912 913 915 917 918 919 924 925 925 933 935

XX

Inhaltsverzeichnis

18.4 18.4.1 18.4.2 18.5 18.6

Lerngesetz: Least-Squares-Verfahren . . . . . . Nichtrekursiver Least-Squares-Algorithmus (LS) Rekursiver Least-Squares-Algorithmus (RLS) . Gradientenabstiegsverfahren . . . . . . . . . . . Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Drehzahlregelung bei elastischer Verbindung zur Arbeitsmaschine 945

19.1 19.1.1 19.1.2 19.1.3 19.2 19.2.1 19.2.2 19.2.3 19.2.4 19.2.5 19.3 19.3.1 19.3.2 19.3.3 19.3.4 19.4 19.5

Regelung der Arbeitsmaschinendrehzahl . . . . . . . . . . . . . Strecken¨ ubertragungsfunktion GS1 (s) . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Analyse der Ubertragungsfunktion GS1 (s) . . . . . . . . . . . . Einfluß der elastischen Kopplung auf den Drehzahlregelkreis . . Regelung der Antriebsmaschinendrehzahl . . . . . . . . . . . . . Strecken¨ ubertragungsfunktion GS2 (s) . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Analyse der Ubertragungsfunktion GS2 (s) . . . . . . . . . . . . Einfluß der elastischen Kopplung auf den Drehzahlregelkreis . . Simulative Untersuchung der Arbeitsmaschinendrehzahl . . . . Bewertung der konventionellen Kaskadenregelung . . . . . . . . Zustandsregelung des Zweimassensystems . . . . . . . . . . . . Zustandsdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zustandsregelung ohne I-Anteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . Auslegung einer Zustandsregelung nach dem D¨ampfungsoptimum Zustandsregelung mit I-Anteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verallgemeinerung: Mehrmassensysteme . . . . . . . . . . . . . Nichtlineare Systeme — Intelligente Strategien . . . . . . . . .

947 947 949 950 953 953 953 955 958 962 963 963 965 968 973 977 984

20

Schwingungsd¨ ampfung

993

20.1 20.2

Allgemeine Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . Local Absorption of Vibrations D. Filipovi´c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resonant Absorbers: Linear Active Resonator (LAR) Design of the LAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Single-mass Multi-frequency Resonator . . . . . . . . . Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Absorbers with Local Feedback in Multi-mass Systems Analysis of the Primary System . . . . . . . . . . . . . Combined System with the Absorber . . . . . . . . . Related Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verification of Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bandpass Absorber (BPA) . . . . . . . . . . . . . . . Concept of the BPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20.2.1 20.2.2 20.2.2.1 20.2.2.2 20.2.2.3 20.2.3 20.2.3.1 20.2.3.2 20.2.3.3 20.2.3.4 20.2.3.5 20.2.4 20.2.4.1

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

937 938 939 942 944

993 1000 1000 1001 1002 1009 1012 1014 1016 1019 1025 1026 1033 1035 1035

Inhaltsverzeichnis

. . . .

. . . .

. . . .

20.2.4.2 20.2.4.3 20.2.4.4 20.2.5

A Case Study: Paper Mill Vibrations . . . . Simulation Results of the Paper Mill Model Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter 1049

21.1 21.2 21.3 21.4 21.5 21.6

Modulare Signalflusspl¨ane . . . . . . . . . . . . . Objektdiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . Ein vollst¨andiges Beispiel . . . . . . . . . . . . . Modelica — Kontinuierliche Systeme . . . . . . . Modelica — Komponenten-Schnittstellen . . . . . Modelica — Modellierung elektrischer Maschinen A. Haumer, Ch. Kral . . . . . . . . . . . . . . . 21.6.1 Ungeregelte elektrische Maschinen . . . . . . . . 21.6.2 Geregelte elektrische Antriebe . . . . . . . . . . . 21.7 Transformationsalgorithmen . . . . . . . . . . . . 21.7.1 Regul¨are Deskriptorsysteme . . . . . . . . . . . . 21.7.2 Singul¨are Deskriptorsysteme . . . . . . . . . . . . 21.7.3 Strukturell inkonsistente Deskriptorsysteme . . . 21.8 Lineare Deskriptorsysteme . . . . . . . . . . . . . 21.9 Modelica — Hybride Systeme . . . . . . . . . . . 21.10 Modelica — Strukturvariable Systeme . . . . . . 21.10.1 Ideale elektrische Schaltelemente . . . . . . . . . 21.10.2 Coulomb-Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.10.3 Reibungsbehaftete Komponenten . . . . . . . . . 22

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

XXI

. . . .

. . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

1051 1058 1062 1067 1079

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

1087 1087 1095 1105 1105 1112 1119 1121 1130 1144 1144 1150 1160

Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen 1166

W.Wolfermann

22.1 22.2 22.2.1 22.2.1.1 22.2.1.2 22.2.1.3 22.2.2 22.2.3 22.3 22.3.1 22.3.2 22.3.3

1040 1042 1044 1045

Einf¨ uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modellierung des Systems . . . . . . . . . . Technologisches System . . . . . . . . . . . Stoffbahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linearisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . Verhalten der Mechanik . . . . . . . . . . . Elektrische Antriebe . . . . . . . . . . . . . Linearer Signalflußplan des Gesamtsystems Systemanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . Regelbarkeit der Bahnkr¨afte . . . . . . . . . Stillstand der Maschine . . . . . . . . . . . Dynamik des ungeregelten Teilsystems . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

1166 1167 1167 1168 1174 1176 1176 1176 1177 1178 1179 1179

XXII

22.4 22.4.1 22.4.2 22.4.2.1 22.4.2.2 22.5 22.6 22.6.1 22.6.2 22.6.3 22.6.4 22.6.5 22.6.6 22.6.6.1 22.6.6.2 22.6.6.3 22.7 22.8 22.8.1 22.8.2 22.8.2.1 22.8.2.2 22.8.2.3 22.8.2.4 22.8.2.5 22.8.2.6 22.9 22.9.1 22.9.2 22.9.2.1 22.9.2.2 22.9.2.3 22.9.2.4 22.9.2.5 22.9.2.6 22.9.2.7 22.10

Inhaltsverzeichnis

Drehzahlregelung mit PI-Reglern in Kaskadenstruktur . Nicht schwingf¨ahiges ungeregeltes System . . . . . . . . Schwingf¨ahiges ungeregeltes System . . . . . . . . . . . . Regelung ohne Entkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . Regelung mit Entkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . Bahnkraftregelung mit PI-Reglern . . . . . . . . . . . . Registerfehler bei Rotationsdruckmaschinen . . . . . . . Einf¨ uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ableitung des Registerfehlers . . . . . . . . . . . . . . . Linearisierung des Registerfehlers . . . . . . . . . . . . . Zusammenhang der Registerfehler aufeinanderfolgender werke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linearisierter Signalflußplan . . . . . . . . . . . . . . . . Dynamisches Verhalten des Registerfehlers . . . . . . . . Druckmaschine mit Drehzahlregelung . . . . . . . . . . . Druckmaschine mit Winkelregelung . . . . . . . . . . . . Druckmaschine mit Registerfehlerregelung . . . . . . . . Zustandsregelung des Gesamtsystems . . . . . . . . . . . Dezentrale Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regelung des isolierten Teilsystems . . . . . . . . . . . . Dezentrale Entkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundlagen des Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematische Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . Modaltransformation des Teilsystems . . . . . . . . . . . Berechnung der R¨ uckf¨ uhrkoeffizienten . . . . . . . . . . Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beobachter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zentrale Beobachter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dezentrale Beobachter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Approximation durch St¨ormodelle . . . . . . . . . . . . . Beispiel: Dezentraler Beobachter f¨ ur zwei Teilsysteme . . Parameter¨anderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Informationsaustausch zwischen den Teilbeobachtern . . Zustandsregelung mit dezentralen Beobachtern . . . . . Beinflussung von dezentralen Reglern und Beobachtern . Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Variablen¨ ubersicht

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Druck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1182 1183 1184 1184 1185 1187 1191 1191 1192 1193 1194 1195 1195 1196 1199 1199 1200 1202 1202 1206 1206 1207 1208 1208 1209 1209 1212 1212 1213 1213 1214 1216 1219 1221 1223 1224 1225 1226

Inhaltsverzeichnis

XXIII

Literaturverzeichnis Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stellbegrenzungen in Regelkreisen . . . . . . . . . . . . . . z-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Antriebstechnik und benachbarte Gebiete . . . . . . . . . Netzgef¨ uhrte Stromrichter: Regelung . . . . . . . . . . . . Direktumrichter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Untersynchrone Kaskade (USK) . . . . . . . . . . . . . . . Stromrichtermotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stromzwischenkreis-Umrichter (I-Umrichter) . . . . . . . . Spannungszwischenkreis-Umrichter (U-Umrichter) . . . . . Regelung von Asynchron- und Synchronmaschine . . . . . Motoridentifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Direkte Selbstregelung von Drehfeldmaschinen . . . . . . . Geberlose Regelungen von Drehfeldmaschinen . . . . . . . Comments on Sensorless Control Methods . . . . . . . . . Reluktanzmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geschaltete Reluktanzmaschine: Auslegung und Regelung Geschaltete Reluktanzmaschine: Optimierter Betrieb . . . Geschaltete Reluktanzmaschine: Geberloser Betrieb . . . . Geschaltete Reluktanzmaschine: Synchron-Reluktanzmotor Identifikation linerarer dynamischer Systeme . . . . . . . . Systemintegration elektrischer Antriebe . . . . . . . . . . . Schwingungsd¨ampfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Objektorientierte Modellierung, Deskriptorsysteme . . . . Kontinuierliche Fertigungsanlagen . . . . . . . . . . . . . . Stichwortverzeichnis

1244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1244 1248 1248 1249 1250 1254 1256 1257 1259 1261 1263 1271 1275 1278 1293 1295 1299 1303 1303 1306 1310 1311 1312 1315 1320 1323

1 Regelungstechnische Grundbegriffe und Grundregeln

1.1

Gegenu ¨berstellung von Steuerung und Regelung

Bei technischen — aber auch anderen — Systemen besteht h¨aufig die Aufgabe, bestimmte Gr¨oßen auf einen gew¨ unschten Wert zu bringen und dort zu halten. Diese Gr¨oßen bezeichnet man als Ausgangsgr¨oßen x des Systems. Damit aber die Ausgangsgr¨oßen auf den gew¨ unschten Wert gebracht und dort gehalten werden k¨onnen, m¨ ussen die geeigneten Eingangsgr¨oßen u der Strecke bekannt und zug¨anglich sein. In Abb. 1.1 ist dies symbolisch und am Beispiel der Strecke Gleichstromne” benschlußmaschine“ (GNM) dargestellt. Die Eingangsgr¨oße bzw. die Stellgr¨oße u ist hierbei die Ankerspannung UA . Der Ausgangsgr¨oße x entspricht in diesem Beispiel die Motor-Drehzahl N. Der Block Strecke“ sei in Abb. 1.1 nur die ” Gleichstrommaschine. Die mathematischen bzw. funktionellen Zusammenh¨ange sind im Band Elektrische Antriebe — Grundlagen“ beschrieben [36, 37, 38]. ” IA -

Eingangsgr¨ oße

'$

UA ?

HH

H H &% N M 6 W  % %



IE

Ausgangsgr¨ oße

∧

⇒

u = UA

-

∧

Strecke

x=N -

Abb. 1.1: Steuerung der Gleichstromnebenschlußmaschine (GNM)

Wenn der Zusammenhang zwischen UA und N genau bekannt ist (beispielsweise bei Leerlauf im station¨aren Betrieb N = K UA ), dann kann durch Verstellen von UA die gew¨ unschte Drehzahl N eingestellt und dort gehalten werden. Wesentlich ist im vorliegenden Fall die proportionale Abh¨angigkeit zwischen N und UA . Diesen Vorgang nennt man Steuerung.

2

1 Regelungstechnische Grundbegriffe und Grundregeln

Im allgemeinen ist aber der Zusammenhang zwischen der Stellgr¨oße u und der Ausgangsgr¨oße x nicht genau bekannt, da unbekannte St¨orgr¨oßen z vorhanden sind, deren zeitlicher Verlauf nicht vorhergesagt werden kann. Bei der betrachteten Gleichstromnebenschlußmaschine kann sich beispielsweise im Ankerstellbereich der Erregerstrom IE ¨andern; der Erregerstrom ist in diesem Fall eine der m¨oglichen St¨orgr¨oßen, die Ankerspannung UA die Eingangsgr¨oße. Wenn sich nun der Erregerstrom IE ¨andert und dies nicht bekannt ist, ¨ f¨ uhrt dies auch zu einer — unerw¨ unschten — Anderung der Drehzahl. Eine andere St¨orgr¨oße ist die Belastung der Maschine, das Lastmoment MW , das bei ¨ ¨ Anderungen ebenso Anderungen der Drehzahl N verursacht. Solange diese St¨orgr¨oßen in ihrer Gr¨oße und in ihrem zeitlichen Verlauf nicht genau bekannt sind, werden durch die St¨orgr¨oßen somit unerw¨ unschte Ver¨anderungen der Ausgangsgr¨oße x = N nicht zu vermeiden sein. Um eine gezielte Beeinflussung des Systems zu erreichen, ist es deshalb notwendig, die Ausgangsgr¨oße x zu beobachten und die Stellgr¨oße u so zu ver¨andern, daß die Ausgangsgr¨oße in einem vorher vereinbarten Toleranzbereich bleibt. Der klassische Weg ist die Einf¨ uhrung des Regelkreises (Abb. 1.2). Regeldifferenz xd = w − xr F¨ uhrungs- xd -e gr¨oße w 6–

Regler

xr erfaßte Regelgr¨oße xr

St¨orgr¨oße z Stellgr¨oße u -

? -

Stellglied



 Strecke

Regelgr¨oße x

r

GNM 

Meßeinrichtung 

Abb. 1.2: Regelkreis am Beispiel der Gleichstromnebenschlußmaschine

Wie in Abb. 1.1 ist die Eingangsgr¨oße der Strecke die Stellgr¨oße u und die Ausgangsgr¨oße die Drehzahl N, die in Regelkreisen wie in Abb. 1.2 Regelgr¨oße x genannt wird. Die Strecke besteht jetzt allerdings aus dem leistungselektronischen Stellglied und der GNM. Zus¨atzlich sind die St¨orgr¨oßen z eingetragen, die in der Strecke eingreifen und die Regelgr¨oße x beeinflussen. Um die Regelgr¨oße x auf den gew¨ unschten Wert zu bringen und dort zu halten, wird sie durch eine Meßeinrichtung erfaßt. H¨aufig wird die Regelgr¨oße dabei in eine andere physikalische Gr¨oße umgeformt. In unserem Fall der Drehzahlregelung wird die Drehzahl h¨aufig mit einem Tachogenerator in eine Spannung umgeformt. Diese so erfaßte Regelgr¨oße xr ist der urspr¨ unglichen Regelgr¨oße x proportional; dies gilt zumindest im station¨aren Betriebsfall. Die erfaßte Regel-

1.1 Gegen¨ uberstellung von Steuerung und Regelung

3

gr¨oße xr wird nun mit dem Sollwert w verglichen; der Vergleich erfolgt durch Differenzbildung. Die Ausgangsgr¨oße des Vergleichs ist die Regeldifferenz xd . xd = w − xr = w − Kr x

(1.1)

Gleichung (1.1) besagt, daß die Regeldifferenz xd Null ist, wenn der Sollwert mit der erfaßten Regelgr¨oße xr u ur Kr = 1 gilt ¨bereinstimmt bzw. x = w/Kr ist. F¨ damit x = w. Die Funktion des Regelkreises in Abb. 1.2 kann wie folgt erl¨autert werden. Es wird angenommen, daß bei jedem der Bl¨ocke Regler, Stellglied, GNM und Meßeinrichtung eine Vergr¨oßerung der jeweiligen Eingangsgr¨oße im station¨aren Betrieb auch eine entsprechende Verg¨oßerung der Ausgangsgr¨oße bewirkt. Der Regler sei beispielsweise ein Verst¨arker mit der Verst¨arkung KR , das Stellglied k¨onne mit dem Verst¨arkungsfaktor KSTR , die GNM k¨onne mit der Verst¨arkung KS im station¨aren Zustand approximiert werden. Dann gilt: x = KS KSTR u = KS KSTR KR xd = K xd

(1.2)

Dies bedeutet, je h¨oher die resultierende Verst¨arkung K ist, desto geringer kann das ansteuernde Signal sein, um den gew¨ unschten Ausgangszustand (Arbeitspunkt) zu erhalten. Nun gilt aber zus¨atzlich die Gleichung xd = w − xr = w − x

mit

Kr = 1

(1.3)

Eine erste Erkenntnis aus dieser Gleichung ist, daß die Regelgr¨oße x im station¨aren Zustand der Sollgr¨oße w mit einem Regelfehler xd folgt, der umso kleiner ist, je gr¨oßer die resultierende Verst¨arkung K ist. Die zweite Erkenntnis ist, daß bei nur proportionalem Verhalten im Vorw¨artskanal Regler-Strecke der Istwert x den Sollwert w im station¨aren Betrieb nicht exakt erreichen kann. Der Vorteil der Regelung ergibt sich bei Einwirkung von St¨orgr¨oßen z. Wird eine St¨orgr¨oße z, wie z.B. das verlangte Lastmoment MW an der Welle erh¨oht, dann werden die Drehzahl N bzw. Regelgr¨oße x und damit die erfaßte Regelgr¨oße xr absinken. Die Regeldifferenz xd wird aufgrund xd = w − xr zunehmen, dies gilt ebenso f¨ ur u, so daß die Regelgr¨oße an den Sollwert herangef¨ uhrt wird. Verringert sich eine St¨orgr¨oße, so wird die Drehzahl N bzw. die Regelgr¨oße x zunehmen, die Regeldifferenz xd und die Gr¨oße u dagegen abnehmen, so daß die Regelgr¨oße x wiederum an den Sollwert w zur¨ uckgef¨ uhrt wird. Die Aufgabe der Regelung besteht somit darin, die Auswirkung der St¨orgr¨oße z auf die Regelgr¨oße x zu begrenzen. Die gew¨ahlte Struktur in Abb. 1.2 bewirkt, daß die Regelgr¨oße x der F¨ uhrungsgr¨oße w folgt. Die Regelung hat somit die zweifache Aufgabe, die Regelgr¨oße x auf die F¨ uhrungsgr¨oße w einzuregeln und ¨ St¨orungen auszuregeln. Bei den bisherigen Uberlegungen hat sich im station¨aren Zustand jeweils eine station¨are Regeldifferenz xd ergeben, die umso geringer ist, je gr¨oßer die resultierende Verst¨arkung gew¨ahlt wird. Eine andere L¨osung ist eine Reglerstruktur, die einen Integralanteil enth¨alt und die somit im station¨aren Betrieb xd = 0 erzwingt.

4

1 Regelungstechnische Grundbegriffe und Grundregeln

¨ ¨ Bei einer Anderung der F¨ uhrungsgr¨oße w bzw. bei Anderungen der St¨orgr¨oßen z wird die Regelgr¨oße x allerdings nicht sofort den station¨aren Endzustand erreichen k¨onnen, sondern mit einer gewissen Verz¨ogerung reagieren. Beispielsweise wird eine Erh¨ohung der Drehzahl-F¨ uhrungsgr¨oße w zu einer Erh¨ohung des Reglerausgangssignals u und zu einer Erh¨ohung der Ausgangsgr¨oße des Stellglieds f¨ uhren. Aufgrund des Tr¨agheitsmoments des Rotors der Gleichstrommaschine wird die Regelgr¨oße x (Drehzahl N) aber nicht sofort folgen k¨onnen. Wenn nun die Verst¨arkung KR des Reglers erh¨oht wird, dann wird die Stellgr¨oße u wesentlich mehr ausgesteuert als vorher. Dadurch wird sich die Regelgr¨oße x schneller ¨andern als bei einer kleineren Verst¨arkung des Reglers. Eine Erh¨ohung der Verst¨arkung im Regelkreis f¨ uhrt somit zu einer Verringerung der Verz¨ogerung im F¨ uhrungsverhalten des Regelkreises. Allerdings kann die Verz¨ogerung nicht immer durch eine Erh¨ohung von KR beliebig verringert werden. Die gleiche Aussage gilt f¨ ur das St¨orverhalten. Die grunds¨atzlichen Eigenschaften der Regelung sind (ohne Beweise): • der Wirkungsablauf findet in einem geschlossenen Kreis — dem Regelkreis — statt. • Der Einfluß von Nichtlinearit¨aten und unstetig arbeitenden Systemkomponenten, • der Einfluß der St¨orgr¨oßen und • der Einfluß von Verz¨ogerungen in der Strecke werden in der Auswirkung auf die Regelgr¨oße x verringert. Die Regelung hat gegen¨ uber der Steuerung somit beachtliche Vorteile. Zusammenfassend ergeben sich folgende charakteristische Eigenschaften von Regelungen und Steuerungen, die in der Tabelle Seite 5 oben zusammengestellt sind. Zur Beurteilung der G¨ ute von Regelkreisen dient h¨aufig die Sprungantwort, d.h. der zeitliche Verlauf der Regelgr¨oße bei Beaufschlagung des Regelkreises ¨ mit einer sprunghaften Anderung der F¨ uhrungsgr¨oße oder einer St¨orgr¨oße. Die daf¨ ur wichtigen Definitionen sind einer typischen Sprungantwort (sprunghafte ¨ Anderung der F¨ uhrungsgr¨oße) zu entnehmen, vgl. Abb. 1.3. Es ergeben sich somit drei Forderungen f¨ ur die Regelung: 1. Der Regelkreis muß stabil sein. 2. Die bleibende (station¨are) Regeldifferenz muß innerhalb eines gegebenen Toleranzbandes bleiben bzw. m¨oglichst klein sein. 3. Die Regelgr¨oße x soll der F¨ uhrungsgr¨oße w so schnell wie m¨oglich folgen.

1.1 Gegen¨ uberstellung von Steuerung und Regelung

Eigenschaft

in Steuerungen

in Regelungen

Grundstruktur Wirkungsablauf

Kettenstruktur stets nur in einer Richtung vom Eingang zum Ausgang

Kreisstruktur im geschlossenen Kreis, d.h. R¨ uckkopplung der Regelgr¨oße auf den Eingang zum Sollwert verminderte Auswirkung

Einfluß von Nichtlinea- volle Auswirkung rit¨aten in der Regelstrecke Einfluß von St¨orgr¨oßen voller Einfluß die Regelstrecke Zeitverhalten wie von der Regelstrecke vorgegeben Stabilit¨at

von der Strecke vorgegeben

5

reduzierter Einfluß ¨ z.B. durch Uberverstellung Verringerung der Einstellzeiten m¨oglich die M¨oglichkeit der Instabilit¨at ist gegeben. Instabile Strecken k¨onnen stabilisiert werden

w w0

1

0

t

x w0

t an : Anregelzeit

x max w0

±2%

t aus : Ausregelzeit

1

0

t an

t aus

t

Abb. 1.3: Charakteristische Gr¨ oßen der Sprungantwort eines Regelkreises mit dem Bezugs-Sollwert w0

6

1 Regelungstechnische Grundbegriffe und Grundregeln

Jede dieser Forderungen ist eine Bedingung sowohl f¨ ur das F¨ uhrungsverhalten ¨ als auch f¨ ur das St¨orverhalten des Regelkreises. Ziel der weiteren Uberlegungen muß daher sein, trotz hoher resultierender Verst¨arkung des Regelkreises und damit kleiner station¨arer Regeldifferenz sowie geringem Einfluß von St¨orgr¨oßen, die Stabilit¨at und ein gew¨ unschtes dynamisches Verhalten sicherzustellen. Da¨ zu ist notwendig, daß zun¨achst die Ubertragungsfunktionen der Komponenten des Regelkreises bekannt sind. Mit diesen Kenntnissen wird dann die Analyse des Regelkreises und der Entwurf (Synthese) der geeigneten Regeleinrichtung erm¨oglicht.

1.2

Beschreibung des dynamischen Verhaltens eines Systems durch den Signalflußplan

Der Signalflußplan eines Systems wird in zwei Schritten aufgestellt: 1. Aufgrund der physikalischen Gesetze werden die Funktionalbeziehungen ¨ (Ubertragungsfunktionen) ermittelt, die zwischen den verschiedenen zeitver¨anderlichen Gr¨oßen der betrachteten Komponente bestehen. 2. Durch geeignete (vereinbarte) Symbole werden diese Funktionalbeziehungen im Signalflußplan anschaulich dargestellt. Dieses Vorgehen soll am Beispiel eines unbelasteten RC-Gliedes gezeigt werden (Abb. 1.4).

e

-

R

r

e

I(t) Ue (t)

C ? e

r

Ua (t) ? e

Abb. 1.4: RC-Glied

Bei der Aufstellung der physikalischen Gleichungen empfiehlt es sich meist, mit den Zusammenh¨angen f¨ ur die energietragenden Gr¨oßen zu beginnen. Im Falle des RC-Gliedes wird im elektrischen Feld des Kondensators Energie gespeichert, beschreibbar durch die Ladung oder die Spannung des Kondensators. Im vorliegenden Fall ist die Kondensatorspannung gleichzeitig die Ausgangsgr¨oße des Systems und deswegen zu dessen Beschreibung besonders geeignet.

1.2 Beschreibung des dynamischen Verhaltens durch Signalflußpl¨ ane

7

Aus der Kondensatorgleichung folgt: 1 dQ 1 dUa (t) = · = I(t) dt C dt C

(1.4)

Aus der Schaltung folgt f¨ ur den Strom I(t): I(t) =

1 (Ue (t) − Ua (t)) R

(1.5)

Wird Gl. (1.5) in (1.4) eingesetzt, dann ergibt sich nach Umformung die Differentialgleichung f¨ ur die Ausgangsspannung Ua (t) mit der Zeitkonstante T = RC des RC-Gliedes zu RC T

dUa (t) + Ua (t) = Ue (t) dt

(1.6)

dUa (t) + Ua (t) = T U˙ a + Ua = Ue (t) dt

(1.7)

Die letzte Gleichung stellt die Differentialgleichung 1. Ordnung des RC-Gliedes dar. F¨ ur vorgegebene Verl¨aufe der Eingangsgr¨oße l¨aßt sich durch L¨osung der Differentialgleichung der zugeh¨orige Verlauf der Ausgangsgr¨oße berechnen. F¨ ur den Fall des Einschaltens einer Gleichspannung U0 zum Zeitpunkt t = 0 ergibt sich der bekannte Exponentialverlauf der Ausgangsgr¨oße:  0 f¨ ur t < 0 Ue (t) = (1.8) U0 f¨ ur t ≥ 0   Ua (t) = U0 1 − e−t/T

(1.9)

Wird statt der sprungartigen Eingangsspannung mit der Amplitude U0 eine Eingangsspannung mit der normierten Amplitude Eins an den Eingang geschaltet, dann ist das Eingangssignal die Testfunktion σ(t) (Einheitssprungfunktion) ¨ und das Ausgangssignal wird Sprungantwort oder auch Ubergangsfunktion des ¨ Ubertragungsgliedes genannt. Dies ist im Symbol anschaulich dargestellt (vgl. Abb. 1.5 rechts). Die Ermittlung des Signalflußplanes vereinfacht sich wesentlich, wenn statt der Aufstellung und der L¨osung der Differentialgleichung im Zeitbereich direkt in einem Bildbereich gearbeitet wird. Vorzugsweise wird die Laplace-Transformierte benutzt. Im Fall des RC-Tiefpasses kann die Differentialgleichung in den LaplaceBereich transformiert werden, indem im wesentlichen die Differentiation durch den Laplace-Operator s ersetzt wird. Man erh¨alt (alle Anfangsgr¨oßen Ui (t < 0) = 0) aus Gl. (1.7): Ua (s) (sT + 1) = Ue (s) (1.10)

8

1 Regelungstechnische Grundbegriffe und Grundregeln

6

U

Ue

U0

 

K=1 @ @



Ua

Ue

=⇒



-

T = RC

6

Ua

-

-

  

T

Symbol

-

-

Zeit t ¨ Abb. 1.5: Sprungantwort und Symbol der Ubergangsfunktion

¨ oder mit G(s) als Ubertragungsfunktion des RC-Tiefpasses: G(s) =

1 Ua (s) = Ue (s) 1 + sT

(1.11)

¨ Im Spezialfall eines linearen elektrischen Netzwerks kann die Laplace-Ubertragungsfunktion mittels komplexer Rechnung allerdings viel schneller bestimmt werden, wenn im komplexen Rechnungsgang j ω durch s ersetzt wird.

1 (1.12) Ue (s) = I(s) R + sC Ua (s) = I(s)

1 sC

(1.13)

also mit s = σ + j ω Ua (s) = G(s) = Ue (s)

1 sC 1 R+ sC

=

1 1 = 1 + sRC 1 + sT

(1.14)

¨ Wesentlich ist, daß unterschiedliche physikalische Systeme dieselbe Ubertragungsfunktion haben k¨onnen. Wir betrachten z.B. Abb. 1.6. Es gilt: Ua (s) Ue (s)

(1.15)

Ua (s) = I(s) R

(1.16)

Ue (s) = I(s) (R + sL)

(1.17)

G(s) =

1.2 Beschreibung des dynamischen Verhaltens durch Signalflußpl¨ ane

L

e

r

Ue (t)

e

Ua (t)

R ? e

9

? e

r

Abb. 1.6: LR-Tiefpaß

und mit T = L/R: G(s) =

R = R + sL

1 L 1+s R

=

1 1 + sT

(1.18)

Dieses Verfahren ist insbesondere bei linearen Systemen besonders einfach an¨ zuwenden, da bei Kettenstrukturen von Ubertragungsgliedern die einzelnen ¨ Ubertragungsfunktionen multipliziert werden (vgl. Kap. 1.3.2). Nichtlinearit¨aten m¨ ussen dabei als getrennte Bl¨ocke dargestellt werden. ¨ Wesentlich bei der Ermittlung der Differentialgleichung bzw. der Ubertragungsfunktion ist, daß dabei die Auftrennung des gesamten Systems in Einzelbl¨ocke an r¨ uckwirkungsfreien Stellen erfolgt, d.h. daß sich durch die Verket¨ tung der Einzelfunktionen zum Gesamtsystem nicht die einzelnen Ubertragungsfunktionen an sich ¨andern. Diese Voraussetzung ist allgemein zu beachten. Die Bedeutung der Bedingung der Auftrennung an r¨ uckwirkungsfreien Stellen soll am folgenden Beispiel erl¨autert werden. Es wird der belastete RC-Tiefpaß in Abb. 1.7 betrachtet.

e

-

I(t)

R1

r

Ue (t)





R2

C ? e

Ua (t) ?

r

Abb. 1.7: Belasteter RC-Tiefpaß





10

1 Regelungstechnische Grundbegriffe und Grundregeln

Wenn R2 → ∞ ist, dann gilt mit T = R1 C   = G1 (s) R2 →∞

1 1 + sT

(1.19)

Wenn R2 = ∞ ist, ergibt sich jedoch   G2 (s)

R2 =∞

=

Ua (s) Ue (s)

(1.20) R2 sC

R2 = I(s) 1 1 + sR2 C R2 + sC

R2 Ue (s) = I(s) R1 + 1 + sR2 C  R 

2 G2 (s) = R2 R2 =∞ (1 + sR2 C) R1 + 1 + sR2 C  R2 1  G2 (s) = · R1 R2 R1 + R2 R2 =∞ 1+s C R1 + R2 Ua (s) = I(s)

(1.21)

(1.22) (1.23)

(1.24)

¨ Aus dem Vergleich der beiden Ubertragungsfunktionen G1 (s) und G2 (s) ergibt sich, daß sich sowohl die statische Verst¨arkung als auch die Zeitkonstante des RCTiefpasses ge¨andert hat, d.h. eine Auftrennung an dieser Stelle ist unzul¨assig.

1.3

Frequenzgang

Im letzten Abschnitt wurde das Zeitverhalten einer Strecke untersucht, d.h. es interessierte der zeitliche Verlauf der Ausgangsgr¨oße Ua , z.B. nach einer sprunghaf¨ ten Anderung der Eingangsgr¨oße Ue . Das Verhalten wurde somit im Zeitbereich betrachtet. ¨ Eine andere Betrachtungsweise untersucht die Eigenschaften von Ubertragungsgliedern bei sinusf¨ormiger Anregung in Abh¨angigkeit von der Frequenz. Das Verhalten wird dann im Frequenzbereich betrachtet. Wir betrachten ein physikalisches System (Abb. 1.8), das durch ein sinusf¨ormiges Signal Ue (t) angeregt wird. Die sinusf¨ormige Anregung am Eingang wird beschrieben durch Ue (t) = Uˆe cos ωt (1.25) mit der Amplitude Uˆe und der Kreisfrequenz ω, kurz Frequenz genannt. Da wir uns hier auf die Behandlung linearer Glieder beschr¨anken wollen, wird bei sinusf¨ormiger Anregung Ue (t) auch die Ausgangsgr¨oße Ua (t) im eingeschwungenen

1.3 Frequenzgang

Ue (t)

-

lineares physikalisches System

Ua (t)

11

-

Abb. 1.8: Strecke

Zustand ein sinusf¨ormiges Signal mit der gleichen Frequenz sein. Ver¨andert ist jedoch im allgemeinen die Amplitude und der Phasenwinkel von Ua (t) gegen¨ uber Ue (t). F¨ ur die Ausgangsgr¨oße gilt daher allgemein Ua (t) = Uˆa (ω) cos(ωt + ϕ(ω))

(1.26)

mit der Amplitude Uˆa der Ausgangsschwingung und dem Phasenwinkel ϕ(ω) zwischen Eingangs- und Ausgangsschwingung. Wird ein lineares System mit einem sinusf¨ormigen Signal konstanter Amplitude angeregt, so antwortet das System somit im eingeschwungenen Zustand mit einem ebenfalls sinusf¨ormigen Signal mit ebenfalls konstanter Amplitude. Das Amplitudenverh¨altnis zwischen Eingangs- und Ausgangssignal ist abh¨angig von der Frequenz. Außerdem wird im allgemeinen zwischen Ein- und Ausgangsschwingung eine Phasenverschiebung festzustellen sein, die ebenso von der Frequenz abh¨angig ist. Wenn nun im Frequenzbereich (Bildbereich) der Quotient von Ausgangs- und Eingangsgr¨oße gebildet wird, dann erh¨alt man den Frequenzgang F (jω) (vgl. Abb. 1.9): F (jω) =

Ua (jω) Uˆa (ω) jϕ(ω) = |F (jω)| ejϕ(ω) = e Ue (jω) Uˆe (ω)

(1.27)

Der Frequenzgang stellt somit das Verh¨altnis von Ausgangs- zu Eingangsgr¨oße bei sinusf¨ormiger Anregung in Abh¨angigkeit von der Frequenz dar.

Ue (jω) -

Ua (jω) F (jω)

-

Abb. 1.9: Frequenzbetrachtung

Im allgemeinen sind sowohl das Amplitudenverh¨altnis ˆa (ω) U = Re2 {F (jω)} + Im2 {F (jω)} |F (jω)| = Uˆe (ω)

(1.28)

12

1 Regelungstechnische Grundbegriffe und Grundregeln

als auch der Phasenwinkel ϕ(ω) frequenzabh¨angig: ϕ(ω) = arctan

Im {F (jω)} Re {F (jω)}

(1.29)

Der Zusammenhang zwischen Eingangs- und Ausgangsgr¨oße wird in der komplexen Zahlenebene dargestellt (Abb. 1.10 rechts). U

Im

^

Ue

^

Ua |F( jw)| = ^ Ue ^

Re {F( jw)}

^

Ua

Ue 1

t

j

Re Im {F( jw)} F( jw)

j

Abb. 1.10: Untersuchung des Frequenzverhaltens

¨ Experimentell erh¨alt man den Frequenzgang eines Ubertragungsglieds durch Oszillographieren und Vergleichen der sinusf¨ormigen Eingangs- und Ausgangsgr¨oße (Verh¨altnis der Amplituden, Phasenverschiebung) oder mit industriell gefertigten Ger¨aten. Die rechnerische Ermittlung des Frequenzganges von F (jω) erfolgt nach den Regeln der komplexen Rechnung. Als Beispiel soll die Berechnung des Frequenzganges des RC-Tiefpasses gem¨aß Abb. 1.11 gezeigt werden.

e

ZR

r

Ue (jω)

e

ZC ? e

r

Ua (jω) ? e

Abb. 1.11: Ermittlung des Frequenzganges durch komplexe Rechnung

1.3 Frequenzgang

13

Mit ZR = R und ZC = 1/(jωC) gilt ZC Ua (jω) = = F (jω) = Ue (jω) ZR + ZC

1 jωC 1 R+ jωC

(1.30)

und f¨ ur T = RC folgt F (jω) =

1 1 + jωT

(1.31)

Der Frequenzgang des RC-Gliedes (Verz¨ogerungsglied) zeigt die zu erwartende Frequenzabh¨angigkeit. F¨ ur ω → ∞ folgt Ua = 0 und f¨ ur √ur ω = 0 gilt Ua = Ue , f¨ ω = 1/T wird Ua = Ue / 2 und ϕ = −45◦ (siehe Abb. 1.10). Aus dem Berechnungsgang ist zu entnehmen, daß der Frequenzgang der Son¨ derfall der Ubertragungsfunktion mit σ = 0 ist: s = σ + jω → jω

(1.32)

Der Grund f¨ ur die besondere Bedeutung der Frequenzdarstellung liegt in der ¨ einfachen meßtechnischen Erfassung. Dies ist insbesondere bei Ubertragungsgliedern wichtig, bei denen die Funktionalbeziehung theoretisch nicht oder nur sehr schwierig zu ermitteln ist. Außerdem ist das Verfahren außerordentlich anschaulich. Der Frequenzgang l¨aßt sich sowohl in rechtwinkliger (Ortskurve) als auch in logarithmischer Darstellung (Frequenzkennlinien, Bode-Diagramm) auftragen. 1.3.1

Darstellung in rechtwinkligen Koordinaten (Ortskurvendarstellung)

F¨ ur jede Frequenz ω ergibt sich nach Kap. 1.3 ein Punkt f¨ ur den Frequenzgang in der komplexen Zahlenebene. Die Verbindung der Punkte mit unterschiedlicher Frequenz ergibt die Ortskurve des Frequenzganges F (jω). Zur Berechnung der Ortskurve wird der komplexe Ausdruck in den Real- und den Imagin¨arteil zerlegt. Der Betrag des Frequenzganges F (jω) ergibt sich dann zu |F (ω)| = Re2 {F (jω)} + Im2 {F (jω)} (1.33) Der Phasenwinkel l¨aßt sich berechnen aus tan ϕ =

Im {F (jω)} Re {F (jω)}

(1.34)

1 (1 + jωT )

(1.35)

F¨ ur das RC-Glied mit F (jω) =

14

1 Regelungstechnische Grundbegriffe und Grundregeln

ergibt sich F (jω) =

jωT 1 − = Re {F } + j Im {F } 2 2 1+ω T 1 + ω 2T 2

tan ϕ = −ωT |F (ω)| = √

1 1 + ω2T 2

(1.36) (1.37) (1.38)

Die Ortskurve des RC-Gliedes beschreibt einen Halbkreis im 4. Quadranten der ¨ komplexen Zahlenebene, vgl. Abb. 1.12. Bei einer Anderung der Zeitkonstanten T ¨andert sich lediglich die ω-Teilung auf dem Halbkreis.

Abb. 1.12: Frequenzgang des RC-Glieds

1.3 Frequenzgang

1.3.2

15

Graphische Darstellung in logarithmischer Form (Frequenzkennlinien, Bode-Diagramm)

Bei dieser Darstellung des Frequenzganges werden der Amplitudengang |F (jω)| und der Phasengang ϕ(ω) getrennt in Abh¨angigkeit von ω aufgetragen. F¨ ur die ω-Achse wird ein logarithmischer Maßstab gew¨ahlt. Als Ordinate wird nicht |F (jω)|, sondern u ¨ blicherweise 20 log |F (jω)| mit der Dimension dB (Dezibel) aufgetragen; Beispiele zur Umrechnung sind der folgenden Tabelle zu entnehmen:   |F (jω)|

dB

= 20 log |F (jω)|

|F (jω)| = 0,1 = 1 = 10 = 100 = 1000

∧

= ∧ = ∧ = ∧ = ∧ =

−20 0 20 40 60

dB dB dB dB dB

(1.39)

F¨ ur ein Verz¨ogerungsglied erster Ordnung mit einer statischen Verst¨arkung K ergeben sich folgende Asymptoten:  K K f¨ ur ωT  1 F (jω) = = (1.40) K/(jωT ) f¨ ur ωT 1 1 + jωT F¨ ur den Amplitudengang folgt daraus: ⎧ 20 log K ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨  K  |F (jω)| = 20 log √ = dB 1 + ω2T 2 ⎪ ⎪ ⎪ 20 log K ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −20 log ωT ⎪ ⎪ ⎩

f¨ ur ωT  1, d.h. Gerade parallel zur Abszisse im Abstand 20 log K

(1.41)

f¨ ur ωT 1, d.h Gerade mit der dB Neigung − 20 Dekade

Die Asymptoten schneiden sich bei ω = 1/T und |F | = 20 log K. Der bei dieser asymtotischen Darstellung maximal auftretende Fehler ist 3dB, √ denn bei ω = 1/T ist |F (jω)| = K/ 2.

16

1 Regelungstechnische Grundbegriffe und Grundregeln

|F | [dB] 6

1 T

1 10T

20 log K

10 T

Q Q

Q

|F |

Q

Q

0 ϕ6 −45

Q

-

Q

Q

Q Q

Q

Q Q

−90◦

ω

Q

Q

Q Q

◦

Q

Q

QQ

Q

Q Q

ϕ

Abb. 1.13: Frequenzkennlinie des RC-Glieds

F¨ ur den Phasengang des gew¨ahlten Beispiels gilt (Abb. 1.13): ϕ(ω) = − arctan(ωT )

(1.42)

N¨aherungsweise kann mit folgendem Phasengang gearbeitet werden: 1 =⇒ ϕ(ω) = 0◦ 10T 10 1 FR0 , da diese Relation von false auf true schaltet. Im Gleitzustands ist V jedoch ein Zustand und damit eine bekannte Gr¨oße und s wird aus V berechnet: s := V + FR0 Da V = 0 ist, ergibt sich s = FR0 . Damit wird die Relation s > FR0 aber wieder false und das Reibelement schaltet zur¨ uck in den Haftzustand. Mit anderen Worten: Es kann nie vom Haft- in den Gleitzustand geschaltet werden. Angenommen, das w¨are trotzdem auf irgendeine Weise m¨oglich: Wenn mehrere verkoppelte Reibelemente vorhanden sind, k¨onnte es aber sein, dass dieser Gleitzustand keine konsistente Konfiguration ist, sondern nur ein Zwischenschritt in der Iteration zur L¨osung eines gemischt kontinuierlich/diskreten Gleichungssystems. Dies bedeutet, dass das Reibelement in der n¨achsten Iteration wieder in den Haftzustand zur¨ uck schalten m¨ usste. Dies ist aber nie m¨oglich, weil im Gleitzustand die Relativgeschwindigkeit V eine Zustandsgr¨oße ist, die als bekannt angenommen wird. Da im Vorw¨artsgleitzustand V > 0 ist, und da V nicht ge¨andert werden kann, kann auch nicht zur¨ uck in den Haftzustand geschaltet werden, da hierzu V ≤ 0 sein m¨ usste. Die beschriebenen Probleme existieren f¨ ur alle hybriden Modelle, bei denen in der einen Konfiguration ein regul¨ares System vorliegt und in einer anderen Konfiguration ein singul¨ares System. Dies ist z.B. der Fall, wenn eine ideale Diode parallel zu einer Kapazit¨at geschaltet wird. Das Coulomb-Reibmodell ist besonders kritisch, da schon beim einfachsten mechanischen System mit Coulomb-Reibung die erl¨auterten Probleme auftreten, da das System einen Freiheitsgrad verliert, wenn vom Gleit- in den Haftzustand geschaltet wird. Wie schon erw¨ahnt, ist zur Zeit nicht bekannt, wie diese Probleme automatisch gel¨ost werden k¨onnen. Wir gehen deswegen pragmatisch vor und transformieren die Gleichungen des Reibmodells manuell in eine besser geeignete Beschreibungsform: Wenn die Relativgeschwindigkeit verschwindet (V = 0), kann sich das Reibelement sowohl im Haft- als auch im Gleitzustand befinden. Die aktuelle Konfiguration ergibt sich aus der Reibkraft und der Beschleunigung V˙ , siehe Abb. 21.43. Wenn sich das Reibelement im Haftzustand befindet und die Reibkraft FR gr¨oßer als die maximale statische Haftreibkraft FR0 wird, schaltet das Element in den Vorw¨artsgleitzustand. Hier ist die Relativbeschleunigung V˙ positiv. Es wird wieder zur¨ uck in den Haftzustand geschaltet, wenn die Relativbeschleunigung verschwindet oder negativ wird. Da auch die Kennlinie von Abb. 21.43 nicht in einer Funktionsdarstellung FR = FR (V˙ ) angegeben werden kann, wird eine parameterisierte Beschreibungsform mit dem neuen Bahnparameter sa verwendet, siehe Abb. 21.43. Dies f¨ uhrt im wesentlichen auf die folgende Beschreibungsform, wenn V = 0 ist:

21.10 Modelica — Strukturvariable Systeme

FR sa

sa = FR0 V=0

1155

vorwärts gleiten

FR0 . V

rückwärts gleiten

-FR0 sa

sa = -FR0

Abb. 21.43: Kennlinie der Coulomb-Reibung bei V = 0

startF orward = sa > FR0 startBackward = sa < −FR0 V˙ = if startF orward then sa − FR0 else if startBackward then sa + FR0 else 0 FR = if startF orward then FR0 else if startBackward then −FR0 else sa Die drei Hauptkonfigurationen des Reibelements k¨onnen mit einer ModusVariablen mode auf die folgende Weise in Modelica gekennzeichnet werden: final constant Integer Forward = 1, Stuck = 0, Backward = -1; V > 0 V = 0 V < 0

-> -> ->

mode = Forward mode = Stuck mode = Backward

Aus noch zu erl¨auternden numerischen Gr¨ unden muss im Stuck -Modus die Relativgeschwindigkeit nicht identisch verschwinden. Die Relativgeschwindigkeit ist zwar sehr klein, kann aber jedes Vorzeichen besitzen. Mit anderen Worten: Der Stuck -Modus charakterisiert ein kleines Intervall um V = 0. Das Umschalten zwischen den verschiedenen Modi, kann am u ¨ bersichtlichsten durch einen endlichen Automaten beschrieben werden, siehe Abb. 21.44. Mit diesem endlichen Automaten wird garantiert, dass die Relativgeschwindigkeit beim Vorw¨artsgleiten positiv ist und beim R¨ uckw¨artsgleiten negativ. Der Stuck -Modus charakterisiert das kleine Interval um V = 0. Hier kann sich das Reibelement im Haft- oder im Gleitzustand befinden und wird durch die parameterisierte Kurve von Abb. 21.43 beschrieben. Hierbei wird der Vorw¨artsgleitzustand durch die Bool’sche Variable startForward und der R¨ uckw¨artsgleitzustand durch die Bool’sche Variable startBackward charakterisiert. Wenn sich das Reibelement im Stuck -Modus im Gleitzustand befindet, so verbleibt das Element

1156

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

startBackward and V < 0

startForward and V > 0

Stuck

Backward

V >= 0

Forward

V 0 if (pre(mode) pre(mode) and V < 0

== Forward or == Stuck and startForward) then Forward else == Backward or == Stuck and startBackward) then Backward else Stuck ;

Die beiden diskutierten Darstellungsformen m¨ ussen jetzt nur noch kombiniert werden. Hierzu muss definiert werden, dass startForward und startBackward nur true sein k¨onnen, wenn sich das Reibelement im Stuck -Modus befindet. Zusammengefasst ergibt sich schließlich das folgende, vollst¨andige Modelica-Modell des vereinfachten Coulomb-Reibmodells von Abb. 21.42 (da in Modelica bei Variablennamen keine Indices verwendet werden k¨onnen, unterscheiden sich die Modelica-Namen geringf¨ ugig von den bisher verwendeten Bezeichnungen): connector Flange "mechanischer Flange" Real X "Position vom Flansch"; flow Real F "Schnittkraft am Flansch"; end Flange; model SimpleFriction "vereinfachtes Coulomb-Reibmodell" parameter Real FR0, FR1 "Reibkoeffizienten"; Flange flange_a, flange_b "linker und rechter Flansch"; protected Real FR "Reibkraft"; Real X "relative Position"; Real V "relative Geschwindigkeit"; Real A "relative Beschleunigung";

21.10 Modelica — Strukturvariable Systeme

1157

Real sa "Bahnparameter"; final constant Integer Unknown = 2 "nicht definiert", Forward = 1 "vorw¨ arts gleiten", Stuck = 0 "V=0", Backward = -1 "r¨ uckw¨ arts gleiten"; Integer mode(min=Backward, max=Unknown, start=Unknown); Boolean startForward, startBackward; equation // Beziehungen zwischen Flansch- und Relativ-Variablen X = flange_b.X - flange_a.X; V = der(X); A = der(V); FR = -flange_a.F; FR = flange_b.F; // Basisgleichungen des Reibelements startForward = pre(mode)==Stuck and sa > FR0 or initial() and V>0; startBackward = pre(mode)==Stuck and sa < -FR0 or initial() and V 0 then Forward else if (pre(mode) == Backward or pre(mode) == Stuck and startBackward) and V < 0 then Backward else Stuck ; end SimpleFriction;

Das obige Reibelement enth¨alt noch die Vereinfachung, dass im Haftzustand die Zwangsgleichung V = 0 nicht explizit vorhanden ist. Da beim Umschalten vom Gleit- in den Haftzustand die Relativgeschwindigkeit beim Neustart der Integration verschwindet oder zumindest sehr klein ist, und die Beschleunigung A = der(V ) w¨ahrend des Haftens verschwindet, bleibt die Geschwindigkeit klein, da die L¨osung der Differentialgleichung der(V ) = 0 mit der Anfangsbedingung V = 0 auf die L¨osung V = 0 f¨ uhrt. Mit dieser bekannten Approximation wird er-

1158

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

reicht, dass das Modell auch im Haftzustand regul¨ar und nicht singul¨ar ist. Zum besseren Verst¨andnis soll das obige Modell auf das Anfangsbeispiel angewandt werden, bei dem ein Block auf einer rauhen Oberfl¨ache gleitet. Werden die Gleichungen des Blocks und die Gleichungen des Reibelements zusammengenommen, und wird eine BLT-Transformation durchgef¨ uhrt, f¨ uhrt dies im wesentlichen auf die folgenden sortierten Gleichungen: // Gemischt kontinuierlich/diskretes Gleichungssystem startForward = pre(mode)==Stuck and sa > FR0 or initial() and V>0; startBackward = pre(mode)==Stuck and sa < -FR0 or initial() and V 0 if (pre(mode) pre(mode) and V < 0

Konfigurationsbestimmung == Forward or == Stuck and startForward) then Forward else == Backward or == Stuck and startBackward) then Backward else Stuck ;

der(V) := A;

Damit ergibt sich also ein gemischt kontinuierlich/diskretes Gleichungssystem mit f¨ unf Gleichungen in den f¨ unf Unbekannten startForward, startBackward, sa, A, F R, sowie zwei nachfolgende explizit aufgel¨oste Gleichungen. Wenn sich das Element nicht im Stuck -Modus befindet, besitzen die Bool’schen Variablen startForward und startBackward den Wert false unabh¨angig vom Wert des Bahnparameters sa. In diesem Fall reduziert sich das gemischte Gleichungssystem auf ein rein reelles Gleichungssystem in drei Gleichungen mit den drei reellen Unbekannten sa, A, F R, welches problemlos gel¨ost werden kann. Wenn mehrere verkoppelte Reibelemente vorliegen, ergibt sich dieselbe Struktur, nur ist das gemischte Gleichungssystem gr¨oßer. Die Auswertung der Gleichungen soll an einer typischen Bewegung analysiert werden. Hierzu wird angenommen, dass der Block in die Vorw¨artsrichtung gleitet

21.10 Modelica — Strukturvariable Systeme

1159

und die Geschwindigkeit verschwindet oder negativ wird, d.h. es tritt ein Ereignis ein. 1. Am Ereignispunkt wird das gesamte Modell einmal ausgewertet. Da pre(mode) = Forward ist, muss nur ein reelles Gleichungssystem gel¨ost werden und die Reibkraft berechnet sich zu FR = FR0 + FR1*V“. Da” nach wird die Variable mode berechnet. Da V ≤ 0, ergibt sich mode = Stuck. 2. Nach der Modellauswertung sind mode und pre(mode) unterschiedlich, d.h. eine Ereignis-Iteration wird gestartet (siehe Seite 1142). Nach Setzen von pre(mode) = mode = Stuck wird das Modell neu ausgewertet. Da pre(mode) = Stuck ist, liegt nun ein gemischtes Gleichungssystem vor, welches iterativ gel¨ost wird. Basierend auf der entsprechenden L¨osung, wird mode berechnet. Wenn sich als Ergebnis −F R0 ≤ sa ≤ F R0 ergibt, ist das Reibelement im Haftzustand und mode = Stuck. Da pre(mode) = mode ist, wird die Ereignisiteration abgebrochen und die Simulation neu gestartet. Im folgenden werde angenommen, dass sich eine L¨osung mit sa < −F R0 ergibt. Wenn zus¨atzlich V < 0 ist, ergibt sich mode = Backward. 3. Da pre(mode) und mode unterschiedlich sind, wird wiederum gesetzt: pre(mode) = mode = Backward und die Ereignis-Iteration wird fortgesetzt, d.h. das Modell wird neu ausgewertet. Da sich das Reibelement nicht mehr im Stuck -Modus befindet, liegt wiederum nur ein reelles Gleichungssystem vor um sa, A, F R zu berechnen. Da sich der Wert von V nicht ¨andert, berechnet sich mode wieder zu Backward. Da nun pre(mode) = mode ist, wird die Ereignis-Iteration abgebrochen und die Integration neu gestartet, hierbei befindet sich das Element im R¨ uckw¨arts-Gleitzustand. Das obige vereinfachte Reibmodell kann nun leicht auf den Fall verallgemeinert werden, dass die maximale statische Reibkraft FRmax und die Gleitreibkraft bei verschwindender Geschwindigkeit FR0 unterschiedlich sind, siehe Abb. 21.41. Hierzu m¨ ussen beim obigen Reibmodell nur die folgenden Modifikationen vorgenommen werden: model Friction parameter Real peak=1.0 "FRmax=peak*FR0"; ... protected ... parameter Real FRmax=peak*FR0; Boolean startForward (start=false) startBackward(start=false); equation ...

// neu

1160

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

// Basisgleichungen des Reibelements (modifiziert) startForward = pre(mode)==Stuck and (sa>FRmax or pre(startForward ) and sa>FR0) or initial() and V>0; startBackward = pre(mode)==Stuck and (sa MR0 startBackward = not off and pre(mode) == Stuck and sa < -MR0

Ansonsten werden die gleichen Gleichungen wie beim Modell SimpleFriction verwendet. Bremse Bei Scheibenbremsen und Trommelbremsen wird jeweils ein Bremsbelag gegen eine Scheibe gedr¨ uckt. Diese Art von Bremsen k¨onnen als Kupplung angesehen

1164

21 Objektorientierte Modellierung und Simulation von Antriebssystemen M. Otter

werden, die zwischen einer Welle und dem Geh¨ause angebracht ist. Damit ist die Modellstruktur, siehe dritte Zeile von Tabelle 21.16, praktisch identisch zum Modell einer Kupplung, bei der ein Flansch der Kupplung in der Umgebung fixiert ist. Im wesentlichen ¨andert sich nur der Zusammenhang zwischen den Flanschvariablen und dem Reibmoment. Weiterhin muss der Geometriefaktor cgeo der Konstruktion der Bremse angepasst werden. Freilauf Freil¨aufe sind Einrichtungen zwischen Wellen oder Wellen und Geh¨ausen, die eine Relativdrehzahl zwischen den verbundenen Teilen nur in einer Drehrichtung zulassen, in der anderen Richtung dagegen verhindern. Die meist eingesetzten kraftschl¨ ussigen Freil¨aufe enthalten Klemmk¨orper, die in einer Drehrichtung zu einem großen Reibmoment f¨ uhren und damit die Relativbewegung in dieser Richtung blockieren. Das ideale Modell eines Freilaufs ist in der vierten Zeile von Tabelle 21.16 angegeben. Wie aus der Kennlinie in der zweiten Spalte zu sehen ist, ¨ hat der Freilauf Ahnlichkeiten mit einer Diode. Die gleichungsm¨aßige Beschreibung ist jedoch unterschiedlich, da die parameterisierte Kennlinie wiederum nicht direkt realisiert werden kann, da die Komponente je nach Schaltstellung einen Freiheitsgrad hinzuf¨ ugt oder entfernt. Automatikgetriebe Zum Abschluss dieses Kapitels u ¨ ber reibungsbehaftete Komponenten wird noch kurz eine komplexere Anwendung der besprochenen Elemente am Beispiel eines Automatikgetriebes erl¨autert (weitere Details sind in [850] zu finden). Automatikgetriebe sind Getriebe, bei denen eine elektronische Ansteuerungseinheit automatisch zwischen den G¨angen schaltet. Den schematischen Aufbau einer typischen Konstruktion ist in Abb. 21.46 zu sehen. Hierbei werden mit Ci Kupplungen bzw. Bremsen bezeichnet. In Abb 21.47 ist das entsprechende Objektdiagramm, einem Bildschirmabzug des Programs Dymola [846], abgebildet. Dieses Automatikgetriebe besteht aus drei Standard-Planetengetrieben p1, p2, p3, siehe Tabelle 21.11 auf Seite 1116, die u ¨ber Kupplungen, Bremsen und Freil¨aufe so verbunden sind, dass durch ent¨ sprechende Ansteuerung der Kupplungen und Bremsen eine gew¨ unschte Ubersetzung eingestellt werden kann. Der linke Flansch in Abb. 21.47 ist die Eingangswelle und der rechte Flansch die Ausgangswelle des Getriebes; s1 und s2 sind tr¨agheitsbehaftete Wellen, die die Tr¨agheit der wichtigsten drehenden Teile erfassen. Die Anpresskr¨afte der Kupplungen und Bremsen werden approximativ als Signale modelliert, die direkt von einer elektronischen Ansteuerungseinheit vorgegeben werden. Eine realistischere Simulation erfordert zus¨atzlich die Modellierung der Hydraulik, mit der die Anpresskr¨afte tats¨achlich erzeugt werden. F¨ ur eine Simulation wird noch ein Modell der Umgebung ben¨otigt, in der das Automatikgetriebe eingesetzt wird. In [850] wird hierzu ein einfaches Modell der L¨angsdynamik eines Fahrzeugs verwendet. Das Gesamtmodell wird, wie in

21.10 Modelica — Strukturvariable Systeme Gang

C4

1 2 3 4 R

x x x x

C5

C6 x

x x x

C7

C8

C11

1165

C12

x x x

x x x

x x

x

C5 C6 C7 C8 C11 C12

C4

Abb. 21.46: Getriebeschema des Automatikgetriebes ZF 4HP22 Fix2

Fix1 C8

C4=0.12

C7

Fix4

Fix3

C12=0.12

C6=0.12

C5=0.12 s1=1e-4

C11

s2=1e-4 p1=110/50

p2=110/50

p3=120/44

Abb. 21.47: Objektdiagramm des Automatikgetriebes ZF 4HP22

den vorherigen Abschnitten erl¨autert, in eine DAE u uhrt und dann symbo¨ berf¨ lisch in eine sortierte DAE transformiert. Bei der BLT-Transformation wird ein kontinuierlich/diskretes Gleichungssystem mit 49 kontinuierlichen Gleichungen und zehn diskreten Gleichungen identifiziert, das im wesentlichen die Gleichungen aller Komponenten des Automatikgetriebes enth¨alt, da diese eng miteinander verkoppelt sind. Mit dem Tearing-Verfahren kann das kontinuierliche KernGleichungssystem von 49 auf zehn Gleichungen reduziert werden. Das System hat sieben gekoppelte Kupplungen und Bremsen Ci , so dass 27 = 128 Schaltstrukturen und 37 = 2187 unterschiedliche Schaltzust¨ande m¨oglich sind. In [850] wird noch darauf eingegangen, wie das obige Modell in einer Echtsimulation auf einem Signalprozessor eingesetzt werden kann.

22

Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen Dr.-Ing. W. Wolfermann, M¨ unchen

22.1

Einfu ¨hrung

In Produktionsanlagen mit kontinuierlicher Fertigung werden Stoffbahnen verschiedener Materialien wie Metalle, Kunststoffe, Textilien oder Papier erzeugt und in unterschiedlichen Sektionen bearbeitet. Der Aufgabe entsprechend durchlaufen die Stoffbahnen dabei verschiedene Bearbeitungsschritte mit elastischen oder plastischen Verformungen, Beschichtungen oder speziellen Behandlungen. Am Ende der Bearbeitung werden die Stoffbahnen meist in Wickeln gespeichert. Die Stoffbahn wird in den Sektionen u ¨ber angetriebene rotierende Walzen gef¨ uhrt, von denen die Energie f¨ ur die Verformung und den Transport durch Reibung oder Pressung u ¨bertragen wird. Die Walzen werden in modernen Anlagen von elektrischen Maschinen einzeln angetrieben. Die technologischen sowie die elektrischen Gr¨oßen sind geregelt, wobei die einzelnen Regelgr¨oßen von einem u uhrungssystem so einander zugeordnet werden, daß die tech¨bergeordneten F¨ nologischen Aufgaben richtig erf¨ ullt werden. In Abb. 22.1 ist ein Beispiel einer kontinuierlichen Fertigungsanlage dargestellt. Dieses Anlagenbeispiel besteht aus einem an der Achse angetriebenen Abwickler 1, dem eine gewichtsbelastete T¨anzerwalze TW und weitere angetriebene Walzen 2...5 folgen. Das Endsystem bildet ein am Umfang angetriebener Aufwickler 6. Im Gegensatz zum Abwickler 1 erfolgt beim Aufwickler 6 der Antrieb am Umfang u ¨ber eine angetriebene Walze, wobei das Drehmoment u ¨ber die Reibkraft zwischen Walze und Stoffbahn u ¨bertragen wird. Das gesamte elektrische Antriebssystem besteht aus den elektrischen Maschinen M, den leistungselektronischen Stellgliedern S sowie diversen Regelkreisen. Ein u ¨bergeordnetes F¨ uhrungssystem steuert und regelt das Gesamtsystem gem¨aß den technologischen Forderungen. Als Antriebe dienen heute sowohl Gleichstrom- als auch Drehfeldmaschinen mit Umrichterspeisung. Industriestandard sind Regelungen in Kaskadenstruktur mit Strom- (Ri ), Drehzahl- (Rn ), Bahnkraft- (Rf ) und Lage-Regelkreisen (Rl ). Als Regler werden die bekannten P-, PI- oder PID-Regler verwendet, wobei diese h¨aufig ohne Ber¨ ucksichtigung der Verkopplungen der Teilsysteme durch

22.2 Modellierung des Systems

1167

Abb. 22.1: Beispiel einer kontinuierlichen Fertigungsanlage

die Bahnkr¨afte — wie sp¨ater abgeleitet — entworfen werden. Deshalb treten, vor allem bei h¨oheren Produktionsgeschwindigkeiten und ung¨ unstigen Daten der Anlage, gegenseitige Beeinflussungen und Schwingungen in den Bahnkr¨aften der Sektionen auf, die von den einfachen Kaskadenregelungen nicht bed¨ampft werden k¨onnen. Um in solchen F¨allen dennoch zu befriedigenden Ergebnissen zu kommen, m¨ ussen andere Regelverfahren, wie dezentrale Zustandsregelungen mit Entkopplungen oder lernf¨ahige Methoden angewendet werden. Mit Hilfe dieser Verfahren k¨onnen dann auch Nichtlinearit¨aten im Bahnsystem, Reibung und Lose sowie Begrenzungen der Stellgr¨oßen ber¨ ucksichtigt werden [789, 790, 791, 792, 917].

22.2

Modellierung des Systems

22.2.1

Technologisches System

Bei den heute verwendeten Regelstrategien wird vorausgesetzt, daß die Strecke hinsichtlich der Struktur und der Parameter m¨oglichst genau bekannt ist. Um dieses Ziel zu erreichen, wird zun¨achst der Signalflußplan der Regelstrecke, bestehend aus den angetriebenen Walzen und der Stoffbahn, ermittelt.

1168

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

22.2.1.1 Stoffbahn Die reale Stoffbahn stellt einen dreidimensionalen K¨orper dar, der im allgemeinen in L¨angs-, Quer- und Dickenrichtung unterschiedliches Materialverhalten aufweist. So ist beispielsweise das Materialverhalten von Papier aufgrund seiner Faserstruktur stark anisotrop, d.h. der Elastizit¨atsmodul in den drei Richtungen ist unterschiedlich. Jede Stoffbahn besitzt zudem elastische, viskoelastische und plastische Anteile. Bei Metallen u ¨ berwiegt weitgehend das elastische Verhalten, w¨ahrend Kunststoffe eher ein viskoelastisches Verhalten zeigen und Papier ein inhomogener Faserstoff ist, der alle drei Anteile aufweist. Weiterhin ist das Materialverhalten oft auch noch von den Belastungszyklen w¨ahrend der Bearbeitung abh¨angig. Abbildung 22.2 zeigt beispielsweise das prinzipielle SpannungsDehnungsverhalten von Papier bei zwei Belastungszyklen.

Abb. 22.2: Prinzipielles Spannungs- Dehnungsdiagramm f¨ ur Papier

Bis zur Spannung σE verl¨auft die Kennlinie im elastischen Bereich linear. Bei zunehmender Belastung beginnt dann im plastischen Bereich ein deutlich flacherer und nichtlinearer Verlauf der Kennlinie bis zur Dehnung 1 . Wird das Papier entlastet, nimmt die Dehnung zun¨achst um den Betrag Δ1 ab, um nach einer Zeitverz¨ogerung nochmals um den Betrag Δ2 abzunehmen (viskoelastisches Verhalten). Die dabei verbleibende Dehnung 2 stellt die endg¨ ultige plastische Verformung dar. Wird das Papier nun einer weiteren Belastung unterzogen, wiederholt sich der Zyklus, beginnt aber mit einem steileren Anstieg, d.h. das Papier wird nach mehreren aufeinanderfolgenden Belastungsspielen dehnungssteifer“, der Elasti” zit¨atsmodul ist gr¨oßer geworden. Dieses Verhalten resultiert aus der Faserstruktur des Papiers [902].

22.2 Modellierung des Systems

1169

Kunststofffolien werden w¨ahrend des Transportes in den Folienanlagen in L¨angs- und Querrichtung bei erh¨ohten Temperaturen gereckt, um eine bleibende Verformung zu erreichen. Nach dem Reckvorgang wird die Folie wieder auf Umgebungstemperatur abgek¨ uhlt. Wegen des visko-elastischen Verhaltens tritt dabei eine L¨angs- und Querrelaxation der Folie ein. Diese Vorg¨ange k¨onnen nur mit mehrdimensionalen, nichtlinearen Modellen beschrieben werden [914]. Bei der Erzeugung von Stahlblech in Kalt- oder Warmwalzwerken tritt die plastische Verformung des Materials im Walzspalt in den Vordergrund. Hier sind zur Beschreibung des technologischen Verhaltens komplexe mehrdimensionale, nichtlineare Modelle erforderlich [911, 918]. In vielen F¨allen kann aber trotz des nichtlinearen Verhaltens wegen des stets vorhandenen elastischen Anteils und bei nicht zu großen Dehnungs¨anderungen an einem Arbeitspunkt in erster N¨aherung von einer elastischen Stoffbahn ausgegangen werden. Die Beschreibung des Materialverhaltens erfolgt dann mit dem von Cauchy angegebenen linearen allgemeinen Hook’schen Gesetz [915]: σij = Eijkl · kl

(22.1)

σij stellt in Gl. (22.1) den Spannungstensor, Eijkl einen Elastizit¨atstensor 4. Stufe und kl den Verzerrungs- oder Dehnungstensor dar. Die Zahl der unabh¨angigen Komponenten des Elastizit¨atstensors reduziert sich mit zunehmender Symmetrie des Stoffverhaltens. Liegt beispielsweise Symmetrie bez¨ uglich zweier aufeinander senkrecht stehender Ebenen vor, ergeben sich neun elastische Konstanten, man spricht dann von einem orthotropen Stoff. Auf die Stoffbahn angewendet bedeutet dies, daß in den drei Hauptrichtungen (L¨angs-, Querrichtung und Dicke) jeweils verschiedene Elastizit¨atskonstante vorliegen. Der vollst¨andig isotrope Stoff dagegen besitzt nur noch zwei unabh¨angige Konstante, den bekannten Elastizit¨atsmodul E und die Querdehnzahl ν. Betrachtet man eine Stoffbahn deren Dicke sehr klein gegen¨ uber der L¨ange und Breite ist, was bei allen folienartigen Bahnen wie Papier, Kunststoff und zum Teil bei Metallen der Fall ist, kann das Stoffbahnverhalten f¨ ur regelungstechnische Untersuchungen vereinfacht mit dem eindimensionalen Spannungszustand nach dem bekannten Hook’schen Gesetz beschrieben werden: σ = ·E

(22.2)

Mit dem Stoffbahnquerschnitt A0 vor der Verformung erh¨alt man daraus folgende Beziehung f¨ ur die Bahnkraft Fjk zwischen den Walzen j und k (Abb. 22.1): Fjk = jk · E · A0

(22.3)

Wie allgemein u ¨blich, wird mit normierten Gr¨oßen gearbeitet. Diese Gr¨oßen sowie ihre Bezugswerte sind in Tabelle 22.1 aufgelistet. Nach der Normierung kann das Stoffbahnverhalten durch die Nenndehnung N beschrieben werden.

1170

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

Tabelle 22.1: Normierung

Unnormierte Gr¨oßen Strom I Drehmoment M Drehzahl N Geschwindigkeit V Bahnl¨ange Ljk Bahnkraft Fjk Radius Rk

Normierte Gr¨oßen i = I/IAN m = M/MiN n = N/N0N v = V /VN ljk = Ljk /LN fjk = Fjk /FN rk = Rk /RN

Bezugswerte Nennstrom IAN Nennmoment MiN Nennleerlaufdrehzahl N0N Nenngeschw. VN Nennl¨ange LN Nennkraft FN Nennradius RN

Aus Gl. (22.3) folgt f¨ ur die normierte Dehnung in Maschinenrichtung N =

FN E · A0

(22.4)

wobei FN die Bezugsgr¨oße Nennkraft, A0 den Nennquerschnitt und E den Elastizit¨atsmodul in L¨angsrichtung darstellt. Somit ist N die Dehnung, die sich aus der Belastung der Stoffbahn mit der Nennkraft bei Nennquerschnitt und dem Elastizit¨atsmodul ergibt. W¨ahrend des Transports der Stoffbahn durch die gesamte Anlage bleibt die ¨ Masse bei dynamischen Anderungen von Bahnkraft und Dehnung konstant. Dieses Verhalten kann mit dem Massenerhaltungssatz eines bewegten Fluids in einem Kontrollvolumen beschrieben werden. In Abb. 22.3a ist ein beliebiger Kontrollraum und in Abb. 22.3b ein Teilsystem j − k dargestellt. Die folgende Gleichung beschreibt die dynamischen Vorg¨ange im Kontrollraum und ist in der Str¨omungsmechanik als Kontinuit¨atsgleichung bekannt [919].  0 d ρ · dV = − ρ · V · dA (22.5) dt Vc (t)

Ac (t)

Der Term auf der linken Seite von Gl. (22.5) beschreibt die zeitliche Massen¨anderung dm/dt in einem Kontrollvolumen Vc (t), w¨ahrend auf der rechten Seite die an der Oberfl¨ache Ac (t) des Kontrollvolumens zu- und abstr¨omende Masse angegeben ist. Die Gr¨oße V stellt die Relativgeschwindigkeit zwischen Massenelement und Kontrollraumgrenze dar, w¨ahrend dV ein Volumenelement bedeutet. Mit der folgenden Gleichung f¨ ur die Masse im eindimensionalen Fall ρ(t) · dV = ρ(t) · A(t) · dX

(22.6)

wobei dX die L¨angen¨anderung in der L¨angskoordinate im eindimensionalen Fall und A(t) die Fl¨ache nach der Verformung bedeutet, sowie dem Satz der Massenkonstanz vor (Index 0) und nach der Verformung (ohne Index) eines Stoffes aus

22.2 Modellierung des Systems

1171

)

) Abb. 22.3: Str¨ omender Fluid im beliebigen Kontrollraum und einem Teilsystem

1172

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

der Kontinuumsmechanik [919] ρ(t) · A(t) = ρ0 · A0 ·

1 1 + (t)

(22.7)

erh¨alt man die L¨osung der Kontinuit¨atsgleichung (22.5), wobei zur Auswertung dieser Gleichung nur der Verlauf der Hauptdehnungen (t) im K¨orper und an der Kontrolloberfl¨ache Ac (t) ben¨otigt werden. Die Geschwindigkeit V muß nur auf der Kontrolloberfl¨ache Ac (t) bekannt sein. Nach einigen Umformungen erh¨alt man f¨ ur das Teilsystem nach Abb. 22.3b mit den Gleichungen (22.5) und (22.6) folgende allgemeine L¨osung: ⎡ ⎤ ⎞ ⎛ ⎢ ⎥ L Ajk (t) Aij (t) jk (t) ⎢ ⎥ d ⎜ ⎢ ⎟ ⎥ dX ⎠ = − ⎢−ρij (t)Vj (t) dA + ρjk (t)Vk (t) dA⎥ ⎝ρjk (t)Ajk (t) ⎢ ⎥ dt ⎣ ⎦ 0    0   0     eintretende Masse austretende Masse zeitl. Massen¨anderung (22.8) Nach Ausf¨ uhrung der Integration ergibt sich d (ρjk (t)Ajk (t)Ljk (t)) = ρij (t)Aij (t)Vj (t) − ρjk (t)Ajk (t)Vk (t) dt

(22.9)

und mit Gl. (22.7) folgt die L¨osung der Kontinuit¨atsgleichung (22.5) f¨ ur das Teilsystem nach Abb. 22.3.b:

d Ljk (t) Vj (t) Vk (t) = − (22.10) dt 1 + jk (t) 1 + ij (t) 1 + jk (t)          zeitl. Massen¨anderung Massenzufluß Massenabfluß Der linke Term von Gl. (22.10) beschreibt die zeitliche Massen¨anderung, der rechte die zu- und abfließende Masse [903]. Gleichung (22.10) lautet nach der Normierung mit den Bezugsgr¨oßen in Tabelle 22.1:

vj (t) d ljk (t) vk (t) TN · = − (22.11) dt 1 + jk (t) 1 + ij (t) 1 + jk (t) wobei die Nenn-Bahnzeitkonstante TN aus den Nenngr¨oßen laut Tabelle 22.1 wie folgt berechnet wird: LN TN = (22.12) VN d = 0, folgt aus Gl. (22.10): Im station¨aren Fall, d.h. dt Vk 1 + jk = Vj 1 + ij

(22.13)

22.2 Modellierung des Systems

1173

Gleichung (22.13) l¨aßt erkennen, daß die Dehnung jk in der Stoffbahn von der Relation der Walzenumfangsgeschwindigkeiten Vk /Vj und der einlaufenden Dehnung ij abh¨angt. Da die Dehnungen der Stoffbahn bei Metallen, Kunststoffen und Papier nur einige Promille betragen, hat die Geschwindigkeitsrelation Vk /Vj aufeinanderfolgender Walzen einen Wert, der nahe bei 1 liegt. Wird die Dehnung jk in der Stoffbahn, wie vielfach in realen Anlagen u ¨blich, u ¨ ber die Umfangsgeschwindigkeiten der Walzen eingestellt, ist eine hochgenaue Drehzahlregelung der Antriebe erforderlich. vj

__

+

vk

vk 1 1+ e jk

1 1+ e i j

1 s TQNk

1 s l jkTN 1

+

1+ e jk0

+

1 __

+

e jk fjk = f (e jk ) __ fjk

rk

+ m kl

m jk mk

rk

fkl

Abb. 22.4: Nichtlinearer Signalflußplan eines Teilsystems

In Abb. 22.4 ist f¨ ur das Teilsystem nach Abb. 22.3b der nichtlineare, normierte Signalflußplan laut Gl. (22.11) zusammen mit der mechanischen Grundgleichung f¨ ur rotierende Massen, wie in Gl. (22.20) beschrieben, dargestellt. Die Dehnung jk0 stellt die Anfangsdehnung zum Zeitpunkt t = 0 dar. F¨ ur das Stoffgesetz ist ein beliebiger nichtlinearer Zusammenhang zwischen Dehnung und Kraft angenommen. Die nichtlineare Gleichung (22.11) der Stoffbahn muß immer dann angewendet ¨ werden, wenn im Betrieb solcher Anlagen große Anderungen der zeitabh¨angigen Systemgr¨oßen auftreten, beispielsweise beim Anfahren der Anlage oder wenn das Verhalten der Stoffbahn nichtlinear ist.

1174

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

22.2.1.2 Linearisierung ¨ Werden nur kleine dynamische Anderungen im Arbeitspunkt zugelassen, kann das nichtlineare Stoffbahnverhalten linearisiert werden, so daß Gl. (22.3) bzw. (22.4) gilt. Ebenso wird die nichtlineare Gleichung (22.11) um den Arbeitspunkt durch Anwendung der Taylorreihe und Abbruch nach dem ersten ¨ Glied linearisiert. Alle Variablen stellen dann kleine Anderungen um diesen Arbeitspunkt dar. Nach einigen Umrechnungen erh¨alt man die linearisierte und ¨ normierte Differentialgleichung der Anderungen:

d Δvk Δljk Δvj Tjk Δjk − = − − Δjk + Δij (22.14) dt ljk v0 v0 Die Zeitkonstante Tjk wird Bahnzeitkonstante genannt und stellt die Transportzeit der Stoffbahn von der Walze j zur Walze k dar. Sie ist von der mittleren Maschinengeschwindigkeit v0 und der freien Bahnl¨ange ljk der Stoffbahn zwischen den Walzen j und k abh¨angig. Tjk =

Ljk ljk = · TN V0 v0

(22.15)

Es sei besonders darauf hingewiesen, daß die Bahnzeitkonstante Tjk nicht konstant ist, sondern von der mittleren Maschinengeschwindigkeit v0 abh¨angt. Um den linearen Signalflußplan zu erhalten, wird Gl. (22.14) in den LaplaceBereich transformiert.

Δvk Δljk Δvj sTjk Δjk − = − − Δjk + Δij (22.16) ljk v0 v0 Der zweite Term in der Klammer auf der linken Seite in den Gleichungen (22.14) und (22.16) beschreibt eine L¨angen¨anderung Δljk der Stoffbahn zwischen den Walzen j und k. Dies trifft zu, wenn beispielsweise eine T¨anzerwalze verwendet wird (Abb. 22.1). Deshalb sind zwei F¨alle zu unterscheiden. Fall 1: System mit T¨anzerwalze. ¨ Die Ubertragungsfunktion lautet:

Δvk 1 + sTjk 1 Δvj Δljk = − − Δij + Δjk ljk v0 v0 sTjk sTjk

(22.17)

Die L¨angen¨anderung Δljk h¨angt von der Differenz der Geschwindigkeiten Δvj und Δvk und der einlaufenden Dehnung Δij ab. Das Zeitverhalten ist integral. Die Dehnung Δjk wird von der an der T¨anzerwalze wirkenden Kraft bestimmt.

22.2 Modellierung des Systems

Dvj

Dvk

+ D vk

__

1175

1 v0 D ei j

+ + 1 s TQNk

1 1 + s Tjk D e jk

1

eN __ D fjk

rk

D m jk

+ +

Dm kl

rk

D fkl

D mk

Abb. 22.5: Linearer Signalflußplan eines Teilsystems

Fall 2: System ohne T¨anzerwalze. ¨ lautet: Hier ist Δljk = 0 und die Ubertragungsfunktion

Δvj 1 Δvk − + Δij Δjk = v0 v0 1 + sTjk

(22.18)

Die Dehnung Δjk ist von der Differenz der Geschwindigkeiten Δvj und Δvk und der einlaufenden Dehnung Δij abh¨angig. Das Zeitverhalten entspricht dem eines PT1 -Gliedes mit der Bahnzeitkonstante Tjk . F¨ ur das System ohne T¨anzerwalze ist in Abb. 22.5 der lineare, normierte Signalflußplan des Teilsystems nach Abb. 22.3b dargestellt.

1176

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

22.2.1.3 Verhalten der Mechanik Die Transportwalzen sind mit dem elektrischen Antrieb u ¨ber mechanische Verbindungselemente wie Kupplungen, elastische Wellen, Getriebe, Kardangelenke etc. gekuppelt. Dadurch entsteht ein komplexes mechanisches System. Die regelungstechnische Behandlung bei elastischen Verbindungen zwischen Antrieb und Arbeitsmaschine wurde in Kap. 19 ausf¨ uhrlich behandelt. Im Kap. 22 wird jedoch vereinfachend angenommen, daß die mechanische Verbindung zwischen Antrieb und Walze starr sei sowie keine Lose vorhanden ist. Dann k¨onnen die Schwungmassen der Antriebsmaschinen, Wellen, Getriebe, Kupplungen und Walzen zu einer resultierenden Gesamtschwungmasse zusammengefaßt werden. Das Widerstandsmoment ΔMwk ist durch die an den beiden Seiten der Walze angreifenden Bahnkr¨afte ΔFjk und ΔFkl bestimmt. Nach der Normierung ergibt sich folgende Gleichung: Δmwk = (Δfkl − Δfjk ) rk

(22.19)

Die mechanische Grundgleichung f¨ ur das Drehmomentgleichgewicht lautet in normierter Form ([36, 37, 38], Antriebsanordnungen: Grundlagen): TΘN k 22.2.2

dΔnk = Δmk − Δmwk dt

(22.20)

Elektrische Antriebe

Kontinuierliche Fertigungsanlagen werden sowohl von Gleichstrom- als auch von Drehfeldmaschinen angetrieben. Die Drehzahl der Gleichstrommaschine wird meist u ¨ber die Ankerspannung geregelt, w¨ahrend die Drehfeldmaschine mit Umrichtern und feldorientierter Regelung betrieben wird. Damit wird ihr ein Verhalten eingepr¨agt, das mit dem der Gleichstrommaschine vergleichbar ist. Die Gleichstrommaschine und deren Regelung wird in [36, 37, 38], Kap. 3 sowie in Kap. 7 in diesem Buch, die Drehfeldmaschine in [36, 37, 38], Kap. 5 sowie in Kap. 13 in diesem Buch ausf¨ uhrlich beschrieben. Bei beiden Maschinenarten kann f¨ ur regelungstechnische Anwendungen das dynamische Verhalten durch ein Verz¨ogerungsglied 1. Ordnung laut Gl. (22.21) gen¨ahert werden. Gers i (s) =

Δmk Kers i = Δm∗k 1 + sTers i

(22.21)

Kers i stellt dabei die Verst¨arkung und Ters i die Ersatzzeitkonstante der Strombzw. Drehmomentregelung des Antriebes dar. Abh¨angig vom Arbeitspunkt und der Qualit¨at der Regelung betr¨agt die Ersatzzeitkonstante Ters i etwa 0, 3...10 ms.

22.2.3

Linearer Signalflußplan des Gesamtsystems

Der lineare Signalflußplan f¨ ur ein System mit 6 angetriebenen Walzen einschließlich Wicklern und T¨anzerwalze ist in Abb. 22.6 dargestellt. Im Unterschied zu

22.3 Systemanalyse

Mechanisches System

1177

Teilsystem

Linearisierter Signalflußplan r

r

r

r

K ers i 1 + s T ers i

m*1

K ers i 1 + s T ers i

m*2

K ers i 1 + s T ers i

m*3

K ers i 1 + s T ers i

m*4

K ers i 1 + s T ers i

m*5

K ers i 1 + s T ers i

m*6

Abb. 22.6: Linearer Signalflußplan des Gesamtsystems

Abb. 22.1 wurden beide Wickler als Achswickler ausgef¨ uhrt, was aber keine ¨ grunds¨atzlichen Auswirkungen auf den Signalflußplan hat. Die einzige Anderung ist, daß beim Umfangswickler die Motordrehzahl unabh¨angig vom Wickeldurchmesser ist. Es sei darauf hingewiesen, daß ab Abb. 22.6 und in allen folgenden Signalflußpl¨anen sowie in allen Gleichungen ab Gl. (22.22) das Δ-Zeichen ¨ weggelassen wurde, um die Ubersichtlichkeit zu erh¨ohen. Grunds¨atzlich sind alle Ein- und Ausgangswerte in den Bildern und Formeln ¨ kleine Anderungen um den Arbeitspunkt.

22.3

Systemanalyse

Durch die Kopplungen der Antriebe u ¨ber die Stoffbahn ergibt sich ein Mehr¨ gr¨oßenregelsystem. Wie in Abb. 22.6 ersichtlich, k¨onnen sich Anderungen im System sowohl in als auch gegen die Transportrichtung ausbreiten. So wirkt bei-

1178

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

¨ spielsweise eine Anderung des Motorsollmomentes m∗4 u ¨ ber die Geschwindigkeit v4 auf die Dehnung 45 und die Bahnkraft f45 . Die Dehnungen und Kr¨afte wiederum beeinflussen alle nachfolgenden Teilsysteme. Da aber die Geschwindigkeit ¨ ¨ v4 auch eine Anderung der Bahnkraft f34 bewirkt, breitet sich die Anderung auch gegen die Transportrichtung auf die vorherigen Teilsysteme aus. Wie in Abb. 22.6 erkennbar, stellen die Geschwindigkeiten, Dehnungen und Bahnkr¨afte die Verkopplungen dar. Es werden deshalb an die Regelung des Gesamtsystems besondere Anforderungen gestellt, um die Teilsysteme so gut wie m¨oglich zu entkoppeln. 22.3.1

Regelbarkeit der Bahnkr¨ afte

Zum Verst¨andnis der Regelbarkeit gen¨ ugt es, das in Abb. 22.6 markierte Teilsystem 3. Ordnung zu betrachten. Die Bahnkraft f34 ist von der Geschwindigkeit v4 und von der in das Teilsystem einlaufenden Dehnung 23 abh¨angig. Unter der Annahme, die Geschwindigkeiten v3 und v5 sowie die Dehnung 23 seien eingepr¨agt, ¨ ergibt sich folgende Ubertragungsfunktion: f34 1 1 = v4 v0 N 1 + sT34

(22.22)

¨ ¨ Eine Anderung der Geschwindigkeit v4 verursacht aber ebenfalls eine Anderung ¨ der Bahnkraft f45 . Diese Anderung wird auf zwei verschiedenen Wegen erzeugt. Einmal u ¨ ber den rechten Pfad des Teilsystems nach Abb. 22.6 entsprechend Gl. (22.22) und andererseits u ¨ber den linken Pfad des Teilsystems zum rechten ¨ Pfad wegen des Transportes der Dehnung 34 in das System 4-5. Durch Uberlagerung folgt: f45 1 1 1 1 1 + = − v4 v  1 + sT45 v  1 + sT34 1 + sT45  0 N   0 N   rechter Pfad linker −→ rechter Pfad

(22.23)

¨ Nach der Umformung von Gl. (22.23) lautet die Ubertragungsfunktion f¨ ur diesen Fall: f45 1 1 sT34 = − (22.24) v4 v0 N 1 + sT45 1 + sT34 Im eingeschwungenen Zustand folgt aus Gl. (22.22): f34 ∞ 1 = v4 v0 N

(22.25)

Dagegen lautet das Ergebnis von Gl. (22.24) f¨ ur den eingeschwungenen Zustand: f45 ∞ = 0 v4

(22.26)

22.3 Systemanalyse

1179

Gleichung (22.26) zeigt, daß die Bahnkraft f45 bei einer Geschwindigkeits¨ande¨ rung v4 nur dynamischen Anderungen unterliegt. Diese Tatsache kann auch anschaulich mit Hilfe von Abb. 22.6 erkl¨art werden. Nehmen wir an, die Geschwindigkeit v4 ¨andert sich sehr schnell. Dann wird die Bahnkraft f34 gem¨aß Gl. (22.22) mit einem PT1 -Verhalten ansteigen, w¨ahrend die Bahnkraft f45 zun¨achst abnimmt. Beim Transport der Stoffbahn wird aber auch die h¨ohere Bahnkraft f34 in das System 4-5 gef¨ uhrt und der dortige Abfall der Bahnkraft f45 kompensiert. F¨ ur die Auslegung der Regelung bedeutet dies, daß die Bahnkraft station¨ar nur vom nachfolgenden Antrieb ¨uber die Geschwindigkeitsrelation beeinflußt werden kann. 22.3.2

Stillstand der Maschine

In den Signalflußpl¨anen von Abb. 22.5 und 22.6 ist ein Proportionalglied mit der Verst¨arkung 1/v0 vorhanden. Im Falle des Stillstandes ist die mittlere Geschwindigkeit v0 der Maschine aber Null. Dies w¨ urde zu einer unendlichen Verst¨arkung f¨ uhren. Da aber die Bahnzeitkonstante Tjk ebenfalls von v0 gem¨aß Gl. (22.15) abh¨angt, kann das Verz¨ogerungsglied 1. Ordnung 1/(1 + sTjk ) zusammen mit der Verst¨arkung 1/v0 folgendermaßen umgeformt werden: jk = [(vk − vj ) − v0 jk ]

1 s ljk TN

(22.27)

Im Falle von v0 = 0 ergibt sich: jk = (vk − vj )

1 s ljk TN

(22.28)

Somit haben kontinuierliche Fertigungsanlagen die Besonderheit, daß sie ihre Struktur abh¨angig vom Arbeitspunkt ¨andern. Aus einem PT1 -Glied ist im Stillstand ein reines I-Glied geworden und die direkten Verkopplungen der Teilsysteme u ¨ber die Dehnungen jk entfallen. Dies ist physikalisch aus der Tatsache erkl¨arbar, daß im Stillstand kein Transport von Material und Dehnungen ¨ in die nachfolgenden Systeme erfolgt, der die Anderungen der Dehnung dort ausgleicht. Folglich muß sich bei einer Geschwindigkeitsdifferenz der Walzen die Bahnkraft integral ¨andern. Wie sp¨ater noch gezeigt wird, ist im Stillstand auch keine D¨ampfung in der Stoffbahn wirksam, was Auswirkungen auf die Regelung hat. In Abb. 22.7 ist der Signalflußplan f¨ ur das Verhalten der Stoffbahn eines Teilsystems im Stillstand dargestellt. 22.3.3

Dynamik des ungeregelten Teilsystems

Um das Verhalten des ungeregelten Gesamtsystems zu untersuchen, ist es zweckm¨aßig, zun¨achst ein Teilsystem 3. Ordnung nach Abb. 22.6 zu betrachten. Die

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

1180

__

vj

+

ei j

__

vj

vk

+

+

vk

__

+ v0 1 s l jkTN

v0

1 s l jkTN

e jk

e jk Umgeformtes PT1 - Glied

Stillstand

Abb. 22.7: Signalflußplan der Bahnkraft im Stillstand

¨ Ubertragungsfunktion der Geschwindigkeit zum Drehmoment eines solchen Teilsystems lautet unter der Annahme, daß die Geschwindigkeiten v3 und v5 , allgemein vj bzw. vl , eingepr¨agt sind: vk v0 N (1 + sTjk ) (1 + sTkl ) = mk N

(22.29)

Der Nenner N in Gl. (22.29) ist 3. Ordnung: N = 1 + s(v0 N TΘN k + Tjk + Tkl ) + s2 [v0 N TΘN k (Tjk + Tkl )] + s3 v0 N TΘN k Tjk Tkl (22.30) Die charakteristische Gleichung (22.30) kann als L¨osung drei reelle Pole oder einen reellen Pol und ein konjugiert komplexes Polpaar haben. Somit sind folgende F¨alle zu unterscheiden: Fall 1: Ist die folgende Bedingung TB > v0 N TΘN k

(22.34)

dann bleibt das Teilsystem 3. Ordnung mit einem reellen Pol und einem konjugiert komplexen Polpaar erhalten. In realen Anlagen ist die Bedingung nach Gl. (22.34) um so besser erf¨ ullt, je gr¨oßer die freien Bahnl¨angen, je gr¨oßer der Elastizit¨atsmodul der Stoffbahn und je kleiner die Schwungmassen sowie die Maschinengeschwindigkeiten sind. Der Elastizit¨atsmodul ist beispielsweise relativ groß f¨ ur Stoffbahnen aus Papier oder Stahlblech. Im Fall 2 ergeben sich Probleme, wenn einfache Regelungen ohne besondere Maßnahmen eingesetzt werden. ¨ Die Eigenkreisfrequenz ω0 des Teilsystems 3. Ordnung mit der Ubertragungsfunktion nach Gl. (22.29) kann wie folgt berechnet werden: ω0 = 

1 ljk N TΘN k TN 2

(22.35)

Der D¨ampfungsfaktor D ergibt sich zu: ? 3 D = v0 8

2N TΘN k ljk TN

(22.36)

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

1182

Wie ersichtlich, h¨angt der D¨ampfungsfaktor D von der mittleren Arbeitsgeschwindigkeit v0 der Maschine ab. Deshalb ist der Stillstand der kritischste Fall f¨ ur die Regelung. Die Eigenkreisfrequenz ω0 dagegen ist nicht von v0 abh¨angig. Fall 3: System ohne Stoffbahn W¨ahrend des Einziehens oder bei Bahnriß ist in einigen Teilsystemen keine Stoff¨ bahn vorhanden. F¨ ur diesen Fall ist die Ubertragungsfunktion sehr einfach: vk 1 = (22.37) mk s TΘN k Die Regelung muß auch diesen Fall beherrschen k¨onnen.

vk m k 0.1

vk mk 1

2

3

0.05 0.1

0 1

0.01

-0.05 1

10 100 w (1/s) w0

-0.1

a) Bodediagramm

0 0.5 1 1.5 2 t (s) b) Sprungantwort

Abb. 22.8: Bodediagramme und Sprungantworten eines Teilsystems 3. Ordnung

In Abb. 22.8a sind die Bodediagramme und in Abb. 22.8b die Sprungantworten des ungeregelten Teilsystems 3. Ordnung f¨ ur die oben diskutierten F¨alle dargestellt. In Abb. 22.8a ist f¨ ur den Fall 1 das PT1 -Verhalten zu erkennen, w¨ahrend f¨ ur den Fall 2 deutlich die Resonanzerh¨ohung bei der Eigenkreisfrequenz ω0 und f¨ ur den Fall 3 das integrale Verhalten zu sehen sind. Abbildung 22.8b zeigt das entsprechende Zeitverhalten f¨ ur die 3 diskutierten F¨alle. In [910, 923] werden das Teilsystem- und das Gesamtsystemverhalten ausf¨ uhrlich beschrieben.

22.4

Drehzahlregelung mit PI-Reglern in Kaskadenstruktur

Bei vielen kontinuierlichen Fertigungsanlagen in der Kunststoff-, Textil- und Papierindustrie wird eine Strom- und Drehzahlregelung in Kaskadenstruktur verwendet, wie in Abb. 22.1 f¨ ur die Klemmstellenantriebe 2, 4 und 5 dargestellt.

22.4 Drehzahlregelung mit PI-Reglern in Kaskadenstruktur

1183

Die Bahnkr¨afte sind dann nur gesteuert. Wie aus Gl. (22.13) erkennbar, ist die Dehnung jk und damit auch die Bahnkraft fjk von der Relation der Walzenumfangsgeschwindigkeiten Vk /Vj und der einlaufenden Dehnung ij abh¨angig. Da die Dehnungen in der Regel nur einige Promille betragen, liegt die Geschwindigkeitsrelation nahe bei 1. Dies erfordert eine hochgenaue und m¨oglichst schwingungsfreie Drehzahlregelung der Antriebe. Wie in Kap. 22.3.3 beschrieben, kann das ungeregelte System sich aperiodisch oder schwingend verhalten. Deshalb ist vor dem Entwurf der Drehzahlregelung die Pr¨ ufung vorzunehmen, ob das ungeregelte System schwingf¨ahig ist oder nicht. Diese Pr¨ ufung erfolgt mit den Bedingungen nach den Gleichungen (22.31) oder (22.34). Im folgenden Kapitel wird die Vorgehensweise beim nicht schwingf¨ahigen ungeregelten System beschrieben. 22.4.1

Nicht schwingf¨ ahiges ungeregeltes System

F¨ ur diesen Fall lautet die Strecken¨ ubertragungsfunktion des Teilsystems 3. Ordnung nach Abb. 22.6 mit den Gleichungen (22.21), (22.33) und einer Drehzahlgl¨attung mit der Zeitkonstanten Tgn wie folgt: Kers i 1 nk v0 N = m∗k 1 + s v0 N TΘN k 1 + sTers i 1 + sTgn

(22.38)

Hier kann problemlos eine Kaskadenregelung f¨ ur den Strom und die Drehzahl beispielsweise nach den Verfahren der Strukturoptimierung, wie Betragsoptimum BO oder Symmetrischem Optimum SO, entworfen werden ([23] und Kap. 3). Faßt man die kleinen Zeitkonstanten in Gl. (22.38) zur Summenzeitkonstante Tσn = Ters i + Tgn

(22.39)

¨ zusammen, so lautet die f¨ ur die Regleroptimierung erhaltene Ubertragungsfunktion der Drehzahlregelstrecke GSnopt (s) =

Kers i v0 N 1 + s v0 N TΘN k 1 + sTσn

(22.40)

Um keine bleibende Regelabweichung bei St¨orgr¨oßen zu erhalten, wird ein PIRegler eingesetzt, der nach dem Symmetrischen Optimum ausgelegt werden soll. ¨ Dessen Ubertragungsfunktion ist wie folgt definiert: GRn (s) = VRn

1 + sTnn sTnn

(22.41)

Nach den Einstellregeln des SO ergeben sich folgende Reglerparameter: Verst¨arkung TΘN k (22.42) VRn = 2 Tσn Kers i

1184

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

Nachstellzeit Tnn = 4 · Tσn

(22.43)

¨ Um eine zu große Uberschwingung zu vermeiden, ist eine Sollwertgl¨attung notwendig. Abh¨angig vom Verh¨altnis der Zeitkonstanten TΘN k /Tσn liegt bei einer PT-Regelstrecke die Gl¨attungszeitkonstante TGn zwischen TGn = (0 ... 4) · Tσn

(22.44)

Die Sprungantwort der so geregelten Drehzahl entspricht der Standard¨ ubergangsfunktion des Symmetrischen Optimums wie in Kap. 3.2 beschrieben. Sie ist auch in Abb. 22.9 f¨ ur ωd /ω0 = 10 dargestellt. ωd ist die Durchtrittsfrequenz des offenen Drehzahlregelkreises und in Gl. (22.45) definiert, ω0 die Eigenkreisfrequenz des mechanischen Systems und in Gl. (22.35) angegeben. 22.4.2

Schwingf¨ ahiges ungeregeltes System

22.4.2.1 Regelung ohne Entkopplung ¨ Es gilt die Ubertragungsfunktion nach den Gleichungen (22.29) und (22.30). Wie ¨ in Abb. 22.8a erkennbar, wird bei h¨oheren Frequenzen der Betrag der Ubertra¨ gungsfunktion |vk /mk | (Fall 2) identisch mit den Ubertragungsfunktionen nach Fall 1 und 3. Gelingt es deshalb, die Drehzahlregelung so schnell auszulegen, daß die Durchtrittsfrequenz ωd des offenen Drehzahlregelkreises in diesem h¨oheren Frequenzbereich liegt, kann der Drehzahlregler wie beim System mit reellen Polen nach Kap. 22.4.1 ausgelegt werden. F¨ ur die Durchtrittsfrequenz einer Drehzahlregelung nach dem SO gilt: ωd =

1 2 Tσn

(22.45)

Die Bedingung f¨ ur eine schnelle Regelung lautet ωd ≥ (5 ... 10) ω0

(22.46)

wobei ω0 die Eigenkreisfrequenz des ungeregelten Systems nach Gl. (22.35) ist. ¨ Abbildung 22.9 zeigt, daß bei der Relation ωd /ω0 = 10 die Ubergangsfunktion der eines symmetrisch optimierten Regelkreises mit Sollwertgl¨attung entspricht. Der schnelle Drehzahlregler kann die Eigenfrequenzen sehr gut bed¨ampfen. Das Problem bei realen Anlagen liegt aber oft darin, daß die Durchtrittsfrequenz ωd wegen verrauschter Meßsignale und der dann notwendigen Gl¨attungen nicht beliebig erh¨oht werden kann und somit Gl. (22.46) nicht mehr erf¨ ullbar ist. Wird trotz der Tatsache, daß Gl. (22.46) nicht gilt, eine Kaskadenregelung mit SO-optimierten PI-Reglern entworfen, ist das Regelergebnis unbefriedigend wegen der auftretenden Schwingungen und der schlechten Regeldynamik, wie in Abb. 22.9 f¨ ur die Relationen ωd /ω0 = 1 und ωd /ω0 = 0, 1 dargestellt. Deshalb werden f¨ ur solche F¨alle andere Regelkonzepte ben¨otigt.

22.4 Drehzahlregelung mit PI-Reglern in Kaskadenstruktur

1185

wd w0

Vk Vk*

10

1.0 0.8

1

0.6 0.4 0.2 0.1 0

10

20

30

40

t 50 Ts n

¨ Abb. 22.9: Ubergangsfunktionen eines geregelten Teilsystems 3. Ordnung

22.4.2.2 Regelung mit Entkopplung Wie in Abb. 22.1 ersichtlich sind die Walzen u ¨ber die elastische Stoffbahn miteinander verbunden. Dadurch entsteht ein schwingf¨ahiges Mehrmassensystem. Im linearen Signalflußplan nach Abb. 22.6 ist erkennbar, daß die Walzenantriebe durch die Bahnkr¨afte f34 und f45 , die auf die Drehmomentvergleichsstelle des Antriebes wirken, miteinander verkoppelt sind. Prinzipiell ist es m¨oglich, mittels einer inversen Aufschaltung der gemessenen Bahnkr¨afte f34 und f45 auf den Stromreglereingang das System zu entkoppeln. In realen Anlagen sind aber die gemessenen Bahnkr¨afte verrauscht und m¨ ussen gegl¨attet werden. Je nach der Funktionsweise der Bahnkraftmeßaufnehmer (z.B. induktiv oder mit Dehnmeßstreifen) sind Gl¨attungszeitkonstanten von bis zu 300 ms notwendig. Deshalb ist die Entkopplung mit den gemessenen und verrauschten Bahnkr¨aften nur bedingt einsetzbar, da diese wegen der Gl¨attungen verz¨ogert am Aufschaltpunkt wirken und die Entkopplung verschlechtern. Eine Verbesserung der Entkopplung wird dagegen erreicht, wenn die Bahnkr¨afte mit Hilfe eines Beobachters aus den mit wesentlich kleineren Gl¨attungen meßbaren Systemgr¨oßen Drehzahl und Strom ermittelt werden. Da f¨ ur die Kompensation nur die Bahnkraftdiffernz fjk − fij gesch¨atzt werden muß, kann ein reduzierter Beobachter eingesetzt werden. Solch ein relativ einfacher Beobachter ist in Abb. 22.10 dargestellt, wobei sich anhand von Abb. 22.10a die Funktionsweise erkl¨aren l¨aßt, w¨ahrend in Abb. 22.10b der Beobachter durch Signalflußplanumformung in die ¨aquivalente Luenberger-Struktur umgerechnet ist [910, 923]. Die Eingangsgr¨oßen des Beobachters nach Abb. 22.10 sind der Motorstrom ij oder das Motormoment mj sowie die Motordrehzahl nj des entsprechenden Teilsystems j. Nach Abb. 22.10a wird die Drehzahl nj mit der mechanischen Schwungmassenzeitkonstante TΘN j differenziert und damit das gesch¨atzte Be-

22 Modellierung und Regelung kontinuierlicher Fertigungsanlagen W.Wolfermann

1186

Beobachter

Teilsystem j

Beobachter

nj s TQNj 1+ sTbeo

__

f^dj

^j m

__

1 s TQNj __

+

ij = m j

f^dj

K ers i 1+ s Ters i

+

+

ij = m j

+

K ers i 1+ s Ters i

1 Kers i

__ ^i dj

1 s TQNj

m bj

1 1+ sTbeo 1 Kers i Ginv

nj ^n j

__

TQNj Tbeo

1 s TQNj

^ m bj

+

+

Teilsystem j

__ Ginv

+ i j*

a) Reduzierter Beobachter

^i dj

+ i j*

b) Äquivalenter Luenberger Beobachter

Abb. 22.10: Entkopplungsbeobachter

schleunigungsmoment m ˆ bj gebildet. Subtrahiert man von diesem Beschleunigungsmoment das gesch¨atzte Motormoment m ˆ j , tritt am Ausgang der Summationsstelle das Widerstandsmoment auf. Dieses entspricht der Bahnkraftdifferenz fˆdj = fjk − fij . Sowohl das Beschleunigungsmoment m ˆ bj als auch das Motormoment m ˆ j werden durch ein PT1 -Glied mit der Beobachterzeitkonstante Tbeo gegl¨attet. F¨ ur diese Zeitkonstante sollte gelten: Tbeo