Fuzzy-Regelung: Grundlagen, Entwurf, Analyse

Springer-Lehrbuch

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Kai Michels Frank Klawonn Rudolf Kruse Andreas NUrnberger

Fuzzy-Regelung Grundlagen, Entwurf, Analyse

Mit 174 Abbildungen und 9 Tabellen

Springer

Dr. Kai Michels Fichtner GmbH & Co. KG Sarweystr.3 70191 Stuttgart [email protected]

Prof. Dr. Frank Klawonn FH Braunschweig/wolfenbuttel Pachbereich Informatik Salzdahlumer Str. 46/48 38302 Wolfenbuttel [email protected]

Prof. Dr. Rudolf Kruse Otto-von-Guericke-Universitat Fakultat Informatik Universitatsplatz 2 39106 Magdeburg kruse@ iws.cs.uni-magdeburg.de

Dr. Andreas Nurnberger University of California, Berkeley Dept . of Electrical Engineering and Computer Sciences Computer Science Division 94720 Berkeley, California, USA [email protected]

ACM Computing Classification (1998): 1,1.2,1.2.8 ISBN 3-540 -43548-4 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Die Deutsche Biblioth ek - CIP-Einheitsaufnahme Michels, Kai: Fuzzy- Regelung: Grundlagen, Entwurf, Analyse 1 Kai Michels ; Frank Klawonn; Rudolf Kruse; Andreas Nurnberger. - Berlin ; Heidelberg; New York; Hongkong; London; Mailand; Paris; Tokio: Springer, 2002 (Springer-Lehrbuch) ISBN 3-540-43548-4 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschutzt. Die dadurch begrundeten Rechte, insbesondere die der Ubersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfaltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfaltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulas sig. Sie ist grundsatzlich vergutungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ein Unternehmen der BertelsmannSpringer Science+Business Media GmbH http://www.springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002

Printed in Germany Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeiehnung nieht zu der Annahme, daB solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutzgesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher von jedermann benutzt werden durften. Umschlaggestaltung: design & production GmbH, Heidelberg Satz: Reproduktionsfertige Vorlagen von den Autoren Gedruckt auf saurefreiem Papier SPIN: 10869016 33/3142 ud

543210

Vorwort

"Fuzzy Control revolutioniert die Regelungstechnik". "Mit Fuzzy Control wird alles einfacher". So oder ahnlich lauteten zu Beginn der neunziger Jahre die Schlagzeilen, als Erfolgsberichte aus Japan iiber Fuzzy-Hegler durch die deutsche Presse gingen. Dart hatte man eine Idee in die industrielle Praxis umgesetzt , die 1965 von Prof. Lotti A. Zadeh in Berkeley vorgeschlagen und anschlieBend vor allem in Europa weiterentwickelt und in einigen praktischen Anwendungen erprobt worden war. Fuzzy-Regelung wurde in Japan als Technologie gefeiert , die mit ihrer Unscharfe und impliziten Uberlagerung verschiedener Aussagen die japanische Denkweise besonders gut widerspiegele. Ein neuer Technologie-Boom in Japan wurde vorhergesagt, durch den die Europaer ins Hintertreffen geraten wiirden. Verstandlicherweise losten diese Meldungen in Deutschland groBe Unruhe aus. Forschungsprojekte wurden initiiert, Entwicklungsabteilungen damit beauftragt, Fuzzy-Regelung en in Produkte umzusetzen. Schnell formierten sich Gegner und Befilrworter, und heftig wurde diskutiert, ob denn die "konventionelle" oder die Fuzzy-Regelung die bessere sei. Mittlerweile hat sich die Aufregung gelegt , insbesondere da die FuzzyRegelung in den letzten Jahren aus Sicht der klassischen Regelungstechnik analysiert wurde und somit eine objektivere Evaluierung ihrer Starken und Schwachen erfolgt ist . Desweiteren wurden verschiedene Einsatzmoglichkeiten von Fuzzy-Systemen in der dem Regelkreis iiberlagerten Steuer- und Automatisierungsebene , insbesondere im Zusammenspiel mit anderen Methoden des Soft Computing und der kiinstlichen Intelligenz, aufgezeigt. Das Ziel des vorliegenden Buches ist es, auf diesen Grundlagen den - sinnvoUen - Einsatz von Fuzzy-Reglcrn und Fuzzy-Systemen in der Rcgelungsund Automatisierungstechnik zu unterstiitzen. Es wendet sich daher sowohl an Regelungstechniker, die Fuzzy-Hegler als zusatzliche Option zum Losen regelungstechnischer Probleme betrachten sollten, als auch an Informatiker, urn ihnen die Welt der Regelungstechnik zu erschlieBen und einige Anwendungsmoglichkeiten der Methoden aus dem Soft Computing und der kiinstlichen Intelligcnz aufzuzeigen . Dabei soll dieses Buch einerseits als Lehrbuch die zur Beschaftigung mit Fuzzy-Reglern erforderlichen Grundlagen vermitteln, und zwar sowohl ftir Ingenieur- als auch Informatikstudentcn nach dem Vordiplom . Andererseits

VI

Vorwort

soli das Buch aber auch dem Anwend er als umfassend es Nachschlagewerk zu den verschiedenen Aspekten der Fuzzy-R egier und dem akt uellen St and der Forschung dienen. Der Aufb au des Buches t ragt diesen Zielen Rechnung. Im ersten Kapi tel ent halt das Buch eine fundi erte Einfuhru ng in die Theorie der Fuzzy-Syst eme, in der nicht nur die Vorgehensweise z.B. zur Verkniipfung von Fuzzy-Mengen beschri eben wird , sondern auch die semant ischen Hintergriinde. Ers t diese Kenn tnis verset zt den Anwend er in die Lage, die Einsatzm6glichkeiten eines Fuzzy-Syst ems richt ig einzuschatzen. 1m zweit en Kapitel folgt eine br eit e Darstellung der regelun gstechnis chen Grundlagen , die fur die Beschaftigun g mit Fuzzy-Reglern erforderlich sind. Obwoh l das zweite Kapitel damit in erste r Linie fur Nicht-Regelun gst echniker geschrieben wurde, konnen einzelne Teilkapitel wie z.B. iiber die Hyp ers tabilit atst heorie ode r Sliding-Mode-Regler auch fur Regelun gstechnik er int eressant sein , da diese Themen im Allgemeinen nicht zum regelungstechnischen Grundlagenwissen gehoren . Die Fuzzy -RegIer selbst werden im dritten Kapitel eingcfiihrt, wob ei dieses Kapi tel nach der fundi erten Einfuhrung der Fuzzy-Syst eme im ersten Kapitel relativ kurz ausfallen konnte. Sein Schwerpunkt liegt auf einer Dars t ellung der heute gan gigen T yp en von Fuzzy-Reglern, ent ha lt daruber hinaus ab er auch eine Interpretation des Mamdani-Reglers mit Hilfe von Ahnli chkeitsrelati onen , mit deren Hilfe die dem Fuzzy-Re gIer zugrunde liegenden Ide en nah er erlaute rt werden. Der letzte Abschnitt dieses Kapi tels widmet sich der anfangs erwahnte n Frage nach den Vor- und Nachtei len von Fuzzy-R eglern gegeniibe r klassischen Reglern. Das vierte Kap itel beha nde lt die Stabilitatsanalyse von Fuzzy-R eglern. Da die Frage nach der Stab ilit at gru ndsiitzlich die entscheidende Frage bei jeder Regelung ist und gerade auf diesem Gebiet in den letzten J ahren besonders int eressante En twicklun gen zu verzeichnen waren, wur de diesem Thema ein eigenes Kapitel gewidmet. Zielsetzun g des Kapitels ist , zunac hst einen Uberblick tiber die diversen Ansa tze zur Stabili tatsan alyse zu gebe n und am Schlu ss des Kapi tels tiber die Vor- und Nachteile der Verfahren zu diskutie ren, urn auch eine Entscheidungshilfe im pr aktischen Anwendungsfall zu bieten. 1m letzten Kapitel werden Ansatze zur Evaluierung und Optimierung von Fuzzy -Reglern beschr ieben , d.h. Methoden, die den Entwurf von FuzzyReglern unterstiitzen oder soga r automat isieren, insbesondere auch durch den Ein sat z von Neuronalen Net zen und evolutiona ren Algorithmcn . Zusatzlich zur gru ndlegenden Erlauterung der Themen werden jeweils auch akt uelle Forschun gsergebni sse beriicksichtigt. AbschlieBend mocht en wir uns bei all jenen bedanken , deren Arbeit im Rahmen von Forschun gsproj ekten oder st udent ischen Arbeiten und deren wert volle Beitrage in interessanten Disku ssion en uns erst in die Lage versetzt haben , dieses Buch zu schreibe n. Unser besonderer Dank gilt Prof. Werner Leonhard ftir die Ini tiierung des Forschungsprojektes "Stabilitatsana lyse und

Vorwort

VII

Selbsteinstellung von Fuzzy-Reglern ", Prof. Kai Muller fur die hervorragende Unterstiitzung in Fragen der Regelungstheorie, Prof. Lotfi A. Zadeh fur viele Anregungen und Diskussionen , Herrn Dr. Engesser vom Springer-Verlag fur die gute Zusammenarbeit, sowie einer Vielzahl von Kollegen und Freunden, die uns ~ direkt oder indirekt ~ bei der Arb eit unt erstiitzt haben.

Stuttgart, Magdeburg, Braunschweig, Berkeley im Mai 2002 Die Autoren

Inhaltsverzeichnis

1.

Grundlagen der Fuzzy-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Fuzzy-Mengen ... ...... .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . ... ... . . .... 1.2 Reprasentation von Fuzzy-Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Definition mittels Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Niveaumengen . . . ....... .... .. .... ......... .. .. .. 1.3 Fuzzy-Logik . . . . . . . .. .. ....... .. .. ........ ..... . .. . . . . . 1.3.1 Aussagen und Wahrheitswerte 1.3.2 t-Normen und t-Conormen 1.3.3 Voraussetzungen und Probleme 1.4 Operationen auf Fuzzy-Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.4.1 Durchschnitt . .. . .. . . . . . . . . . . . .. . .. .. . . .. . . .... ... 1.4.2 Vereinigung . .. . ... .. . .. .. . .. . . . .. .. . .. ........... 1.4.3 Kompl ement . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Linguistische Modifizierer 1.5 Das Extensionsprinzip 1.5.1 Abbildungen von Fuzzy-Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.5.2 Abbildungen von Niveaumengen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Kartesisches Produkt und zylindri sche Erweiterung . . . 1.5.4 Extensionsprinzip fiir mehrelementige Abbildungen . .. 1.6 Fuzzy-Relationen................ . . . . . .. . .. . . . . .. ... . . . . 1.6.1 Gew6hnliche Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Anwendung von Relationen und Inferenz . . . . . . . . . . . . 1.6.3 Inferenzketten . . . . . ... . .. . . . . . ... ... . . . . . . . . . . . . . 1.6.4 Einfache Fuzzy-Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.5 Verkettung von Fuzzy-Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.7 Ahnlichkeitsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . ... 1.7.1 Fuzzy-Mengen und ext ensionale Hiillen , . . . . . . . . . . . . . 1.7.2 Skalierungskonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.3 Int erpretation von Fuzzy-Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 6 6 8 10 11 14 19 20 21 22 23 25 26 27 29 30 31 33 33 34 37 39 43 45 47 48 52

2.

Regelungstechnische Grundlagen 2.1 Grundbegriffe . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . . . . .. 2.2 Modell der Strecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Problemstellung. .. . . . . . . .. ... .. . . . . ... . . . . ..... . .

59 59 63 63

X

Inhaltsverzeichnis

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.2.2 Normierung . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . .. . . .. . . 2.2.3 Elementare lineare Ubertragungsglieder . .. 2.2.4 Elementare nichtlineare Ubertragungsglieder . . . . . . . . . 2.2.5 Verz6gerungsglieder erster und zweiter Ordnung . . . . . . 2.2.6 Anwendungsbereich . .. . . . .. .. .. . . ... .. . . . . . . . . . . . . 2.2.7 Linearisierung . .... ....... . . . .... .. ... . . . . .... . . .. 2.2.8 AbschlieBende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Ubertragungsfunktion.. . .. . .. . . . . . . . . .. . ... . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Laplace- Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Berechnung von Ubertragungsfunktionen . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Interpretation der Ubertragungsfunktion 2.3.4 Berechnung der Sprungantwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.3.5 Vereinfachung einer Ubertragungsfunktion . . . . . . . . . . . Frequenzgangdarstellung .. . . ... .................... .. . . . 2.4.1 Einftihrung des Frequenzganges 2.4.2 Ortskurve . .. . .. . . . . .. . .. .. . .. . . . .. . .. . . .. . .. . . . . 2.4.3 Bode-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stabilitat linearer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Definition der Stabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Stabilitat einer Ubertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Stabilitat eines Regelkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4 Kriterium von Cremer, Leonhard und Michailow 2.5.5 Nyquist-Kriterium PID-Regler 2.6.1 Anforderungen an einen Regler 2.6.2 Reglertypen 2.6.3 Reglerentwurf. 2.6.4 Strukturerweiterung Zustandsdarstellung und Zustandsregelung 2.7.1 Grundlagen 2.7.2 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit 2.7.3. Der Ljapunovsche Stabilitatsbegriff fur lineare Systeme 2.7.4 Entwurf eines Zustandsreglers 2.7.5 Linearer Beobachter 2.7.6 Stationare Genauigkeit von Zustandsreglern 2.7.7 Normoptimale Regler , Nichtlineare Systeme 2.8.1 Eigenschaft en nichtlinearer Syst eme 2.8.2 Behandlung nichtlinearer Systeme mit linearen Methoden 2.8.3 Schaltende Ubertragungsglieder 2.8.4 Definition der Stabilitat bei nichtlinearen Systemen 2.8.5 Direkte Methode von Ljapunov 2.8.6 Harmonische Balance

64 65 67 69 73 74 75 76 76 78 80 82 85 87 87 88 92 93 93 95 96 98 100 105 105 109 115 118 127 127 136 ~40

143 149 151 153 160 160 161 168 180 188 192

Inhaltsverzeichnis

2.8.7 2.8.8 2.8.9 2.8.10 2.8.11

XI

Popov-Kriterium Kreiskriterium Hyperst ab ilitat Sliding Mode-R egler Nicht linea rer Beobacht er

205 214 222 232 237

3.

Fuzzy-Regler und Regier-Evaluierung 3.1 Mamdan i-Regler 3.1.1 Hinweise zum Reglerentwurf 3.1.2 Defuzzifizierungsmethoden 3.2 Ta kagi-Sugeno-Ka ng-RegIer 3.3 Logikbasierte RegIer 3.4 Mamdani-Rcgler und Ahnlichkeits relat ionen 3.4.1 Interpretation eines Reglers 3.4.2 Kons truktion eines Reglers 3.5 Fuzzy-Regelung versus klassische Regelun g

239 239 244 247 249 252 254 254 256 258

4.

Stabilitatsanalyse von Fuzzy-Regiern 4.1 Vorausset zungen 4.1.1 St ru kt ur des Regelkreises 4.1.2 Analyt ische Approximation eines Fuzzy-Regiers 4.1.3 Takagi-Sugeno-Kan g-Syst eme 4.2 Direkte Methode von Ljapunov 4.2.1 Anwendung auf gewohnliche Fuzzy-RegIer 4.2.2 Anwendung auf Takagi-Sugeno-Kang-Regier 4.2.3 Anwendung auf Facettenfunkt ionen 4.3 Harmonische Ba lance 4.4 Pop ov-Kriteriurn 4.5 Kreiskriterium 4.5.1 RegIer mit einer E ingangsg rofe 4.5.2 Regier mit mehreren Eingangsgrofen 4.5.3 Mehrgrof enregler 4.6 Normenbasierte St abili t at san alyse 4.7 Hyp erstabilit a tskriterium 4.8 Vergleich mit einem Slidin g Mode-Regler 4.9 Direkte Analyse im Zust andsraum 4.9.1 Konvexe Zerlegung 4.9.2 Cell-t o-Cell Mapping 4.10 Fazit

263 263 263 265 267 272 273 274 287 291 294 295 295 295 298 298 302 303 306 306 308 313

5.

Einstellung und Optimierung von Fuzzy-Reglern 5.1 Entwurf von TSK-Reglern 5.2 Adaption von Kenn feldern 5.2.1 Adap tiver Komp ensationsregler 5.2.2 Adapt iver Sliding Mode-Hegler

317 320 322 322 330

XII

Inhaltsverzeichnis 5.3 Modifikation der Fuzzy-Regeln 5.4 Modellbasierte Regelung 5.4.1 Modellstruktur 5.4.2 Einschritt-Regelung 5.4.3 Optimale Regelung 5.5 Fuzzy-RegIer und Fuzzy-Clustering 5.5.1 Fuzzy-Clu steranalyse 5.5.2 Erzeugung von Mamd ani-Reglern 5.5.3 Erzeugung von TSK-Modellen 5.6 Neuro Fuzzy-Regelung 5.6.1 Neuron ale Netze 5.6.2 Kombin ation Neuronaler Netze und Fuzzy-RegIer 5.6.3 Modelle mit iiberwachten Lernverfahren 5.6.4 Modelle mit verstarkendem Lernen 5.6.5 Diskussion 5.7 Fuzzy-Regier und evolut ionare Algorithmen 5.7.1 Evolut ionsstrat egien 5.7.2 Genetische Algorithmen 5.7.3 Evolutionare Algorithmen zur Optimierung von FuzzyReglern 5.7.4 Ein Genetischer Algorithmus zum Erlernen eines TSKReglers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.5 Diskussion

332 334 334 339 345 350 350 355 355 356 357 361 365 369 375 375 376 377 379 383 384

A. Anhang A.l Korr espondenzt afel zur Laplace-Transform ati on A.2 Systeme mit nicht-minimaler Phase A.3 Normen A.4 Die Ljapunov-Gleichung A.5 Die Lie-Ableitung A.6 Positiv reelle Syst eme A.7 Lineare Matrixungleichungen

387 387 388 391 396 398 399 400

Literaturverzeichnis

401

Index

413

1. Grundlagen der Fuzzy-Systeme

Die klassische Mathematik basiert auf der Grundannahme, dass allen formallogischen Aussagen immer einer der beiden Wahrheitswerte wahr oder falsch zugeordnet werden kann . Sofern sich ein formal es Modell fur eine zu bearbeitend e Aufgab e angeben lasst, st ellt die gewohnl iche Mathematik miichtige Werkzeuge zur Problem16sung bereit. Die Beschreibung eines formalen Modells geschieht in einer Terminologie, die sehr viel strikteren Regeln folgt als die natiirliche Umgangssprache. Auch wenn die formal e Spezifikation hiiufig mit groBem Aufwand verbunden ist , so lassen sich durch sie Missinterpretationen verm eiden . AuBerd em konnen im Rahmen eines formalen Modells Vermutungen bewiesen oder bisher unbekannte Zusammenhiinge abgeleite t werden. Trotzdem spielen im allt iiglichen Leben formale Modelle bei der Kommunikation zwischen Menschen im Pri nzip keine Rolle. Der Mensch ist in der Lage, naturlich-sprachliche Informationen hervorragend zu verarbeiten , ohne ub erh aupt an eine Formalisierung der Gegebenheiten zu denken . Beispielsweise kann ein Mensch den Rat , beim langsamen Anfahr en nur wenig Gas zu geben, direkt in die Praxis umsetzen. Soll das langsame Anfahren aut omat isiert werd en , so ist zunachst nicht klar, wie dieser Hinweis konkret umgesetzt werd en kann . Eine konkrete Angab e in Form eines eindeuti gen Wertes - etwa: driicke das Gasped al mit einer Geschwindigkeit von einem Zentimeter pro Sekunde herunter - wird bei einer Automati sierung benotigt. Umgekehr t kann der Mensch mit dieser Information wenig anfangen. Ublicherweise wird daher die Automatisierung eines Vorgangs nicht auf "gute Ratschliige" aus heuristischem oder Erfahrungswissen gestutzt, sondern auf der Grundlage eines formalen Modells des technischen oder physikalischen Syst ems vorgenommen . Diese Vorgehensweise ist sicherlich sinn voll, insbesond ere dann, wenn sich ein gutes Modell angeben lasst . Ein vollig and erer Ansatz best eht darin , das umgangssprachlich formulierte Wissen direkt fur den Entwurf der Automatisierung zu nutzen. Ein Hauptproblem dabei ist die Umsetzung verbaler Beschreibungen in konkr ete Werte, z.B. die oben erwahnte Zuordnung von "ein wenig Gas geben" und dem Herunterdrucken des Gasp edals mit einer Geschwindigkeit von einem Zentimeter pro Sekundc. K. Michaels et al., Fuzzy-Regelung © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002

2

1. Grundlagen der Fuzzy-Systeme

Der Mensch verwendet in seinen Beschreibungen iiberwiegend unscharfe oder vage Konzept e. Nur selten t rete n fest definierte Begriffe wie beispieIsweise Uberschallgeschwindigkeit als Angab e fur die Geschwindigkeit eines beobachteten FIugzeugs auf. Uberschallgcschwindigkeit chara kte risiert eine eindeutige Menge von Geschwindigkeiten , da die Schallgeschwindigkeit eine feste GroBe ist und somit eindeut ig klar ist , ob ein FIugzeug schneller als der Schall ist oder nicht . Bei den haufiger verwendeten unscharfen Konzepten wie schn ell, sehr groB, kurz usw. ist eine eindeut ige Ents cheidun g, ob ein gegebener Wert das entsprechende Att ribu t verdient , nicht mehr moglich, Dies hangt zum einen damit zusammen, dass die Attribute eine kontext abh angige Bedeutung hab en. Wenn wir schnell auf Flugzeuge beziehen, verstehen wir sicherlich andere Geschwindigkeiten darunter, als wenn wir an Autos denken. Aber selbst in dem Fall, dass der Kont ext - z.B. Aut os - klar ist , WIt es schwer, eine scharfe Trennung zwischen schnellen und nicht-schnellen Autos zu ziehen. Die Schwierigkeit besteht nicht darin , den richtigen Wert zu finden , ab der ein Auto (bzw. dessen Hochstgeechwindigkeit) als schnell bezeichnet werden kann . Dies wiirde voraussetzen, dass es einen solchen Wert iiberhaupt gibt . Es widerstrebt einem eher, sich iiberhaupt auf einen einzeInen Wert fest zulegen. Es gibt sicherlich Geschwindigkeiten , die man eindeut ig als schnell fiir ein Auto einst ufen wiirde, genauso wie einige Geschwindigkeiten als nichtschnell gelten. Dazwischen gibt es jedoch einen Bereich der mehr oder weniger schnellen Auto s.

1.1 Fuzzy-Mengen Die Idee der Fuzzy-Mengen besteht nun darin , dieses Problem zu losen , indem man die scharfe, zweiwert ige Unt erscheidun g gewohnlicher Mengen , bei denen ein Element entweder vollstandig oder gar nicht dazugehort, aufgibt . Stat t dessen lasst man bei Fuzzy-Mengen grad uelle ZugehOrigkeitsgrade zu. Bei einer Fuzzy-Menge muss daher fur jedes Element angegeben werden, zu welchem Grad es zur Fuzzy-Menge gehort . Wir definieren daher:

Definition 1.1 Ei ne Fuzzy-Menge oder Fuzzy-Teilm enge fJ der Grundm enge X ist eine A bbildun g fJ : X -. [0,1], die jedem Element x E X seine n ZugehOrig keitsgrad M( X) zu fJ zuordnei. Die M enge alter Fuzzy-Mengen von X bezeichnen uns: mit F(X) . Eine gewohnliche Mengen M S;; X kan n man als spezielle Fuzzy-Menge ansehen, indem man sie mit ihrer charak teristischen Funkti on oder 1ndikatorfunktion I falls x E M 1M : X -. {O, I} , x ...... { sonst

°

identifiziert . In diesem Sinne konnen Fuzzy-Mengen auch als verallgemeinerte charakte rist ische Funk tionen aufgefasst werden.

1.1 Fuzzy-Mengen

3

Beispiel 1.2 Abb . 1.1 zeigt die cha ra kterist ische Funk tion der Menge der Geschwindi gkeit en , die grofier als 170 km /h sind. Diese Menge ste llt keine adaquate Modelli erung der Menge aller hohen Geschwindigkeiten dar. Aufgrund des Sprunges bei dem Wert 170 ware 169.9 km/h keine hohe Geschwindigkeit , wahrend 170.1 km /h bereits vollstandig als hohe Geschwindi gkeit gelte n wiirde, Ein e Fuzzy-Menge wie in Abb. 1.2 darg este llt scheint dah er das Kon zept hohe Geschwindigkeit besser wiederzugeb en. 0 1

10

20

140 150 160 170 180 190 200

Abb. 1.1. Die charakteristische Funktion der Menge der Geschwindigkeiten gr6Ber als 170 krri /h 1

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20

140 150 160 170 180 190 200

Abb. 1.2. Die Fuzzy-Menge /LhG der hohen Geschwindigkeiten

Einige Autoren verstehen unt er einer Fuzzy-Menge explizit nur ein vages Kon zept A wie hohe Geschwindigkeit und bezeichnen die Funktion /LA , die jedem Element seinen Zugehorigkeitsgrad zu dem vagen Kon zept zuordnet , als Zugehorigkeit s- oder chara kterisierende Funktion der Fuzzy-Menge bzw. des vagen Konzept s A . Vom formalen Standpunkt aus betracht et bringt diese Unterscheidung keinen Vort eil, da fur Berechnungen immer die Zugehorigkeitsfunkti on - also das , was wir hier unter einer Fuzzy-Menge verst ehen benoti gt wird. Neben der Not ation einer Fuzzy-Menge als Abbildung in das Einheitsi nterva ll sind zum Teil auch andere Schr eibweisen ublich, die wir in diesem Buch aber nicht weiter verwend en werd en. In man chen Veroffent lichungen wird eine Fuzzy-Menge als Menge von Paaren der Elemente der Grundmenge und den ents prechenden ZugehOrigkeitsgrad en in der Form {( x,/L(x )) I x E X} geschrieben in Anlehnung daran, dass in der Mathematik eine Funktion ilbli-

4

1.

Grundlagen der Fuzzy-Systeme

cherweise als Menge von Urbild-Bild-Paaren formal definiert wird. Eh er irrefiihrend ist die manchmal verwendete Not at ion einer Fuzzy-Menge als formale Summ e L:XEX x//-L(x) bei hochstens abzahlbarer Grundmenge X bzw. als "Integral" JXEXx //-L (x ) bei uberabzahlbarer Grundmenge X. Es sollte betont werden , dass Fuzzy-Mengen innerh alb der "herkommlichen" Mathematik formalisiert werden , genauso wie die Wahrscheinlichkeitstheorie im Rahmen der "herkommlichen" Mathematik formuliert wird . In diesem Sinne eroffnen Fuzzy-Mengen nicht eine "neue" Math ematik , sondern lediglich einen neuen Zweig der Mathematik. Aus der Erkenntnis, dass sich bei der streng zweiwertigen Sicht vage Konzept e, mit denen der Mensch sehr gut umgehen kann , nicht adaquat modellieren lassen, haben wir den Begriff der Fuzzy-Menge auf einer rein intuitiven Basis eingefiihrt . Wir hab en nicht naher spezifiziert, wie ZugehOrigkeitsgrade zu int erpr etieren sind . Die Bedeutungen von 1 als volle Zugehorigkeit und 0 als keine Zugehorigkeit sind zwar offensichtlich. Wie ein Zugehorigkeitsgrad von 0.7 zu deuten ist oder warum man lieber 0.7 anst att 0.8 als Zugehorigkeitsgrad eines bestimmten Element es wahlen sollte, haben wir offen gelassen. Diese Fragen der Semantik werden oft vernachlassigt , was dazu fiihrt , dass keine konsequente Int erpret ation der Fuzzy-Mengen dur chgehalten wird und so Inkonsistenzen entstehen konnen. Versteht man Fuzzy-Mengen als verallgemeinerte charakte rist ische Funk tionen, ist es zunachst einmal nicht zwingend , das Einheits int ervall als kanonische Erweiterung der Menge {O, I } anzusehen. P rinzipiell ware auch eine andere linear geordnete Menge oder allgemeiner ein Verb and L anstelle des Einheitsintervalls denkb ar. Man spricht dann von L-Fuzzy-Mengen. Diese spielen jedoch in den Anwendungen im allgemeinen fast keine Rolle. Aber selbst wenn man sich auf das Einheitsintervall als die Menge der moglichen Zugehorigkeitsgrade festl egt , sollte geklart werden, in welchem Sinne bzw. als welche Art von Struktur es verstanden wird . Das Einh eitsintervall kann als eine ordinale Skala aufgefasst werden, d.h., es wird allein die lineare Ordnung der Zahlen verwendet , beispielsweise urn Praferenzen auszudriicken. In diesem Fall ist die Interpretation einer Zahl zwischen 0 und 1 als Zugehorigkeitsgrad nur im Vergleich mit einem anderen Zugehorigkeitsgrad sinnvoll. Auf diese Weise kann ausgedriickt werden , dass ein Element eher zu einer Fuzzy-Menge gehort als ein anderes. Ein Problem, das sich aus dieser rein ord inalen Auffasung des Einheitsintervalls ergibt, ist die Unvergleichbarkeit von Zugehorigkeitsgraden, die von verschiedenen Personen angegeben wurden. Die gleiche Schwierigkeit besteht beim Vergleich von Benotungen. Zwei Priifungskandid at en, die dieselbe Note bei verschiedenen Priifern erhalte n hab en , konnen in ihren Leistungen dur chaus sehr unterschiedlich sein. Die Notenskala wird jedoch La. nicht als reine ordinaIe Skala verwendet. Dur ch die Festlegung, bei welchen Leistungen oder bei welcher Fehlerquote eine ents prechende Note zu vergeben ist , wird versucht , eine Vergleichbarkeit der von verschiedenen Priifern stammenden Note n zu erreichen.

1.1 Fuzzy-Mengen

5

Das Einheitsintervall besitzt mit der kanonischen Metrik, die den Abst and zweier Zahlen quant ifiziert, und Operation en wie der Addition und der Mult iplikat ion wesentlich reichere Strukturen als die lineare Ordnung der Zahlen. In vielen Fallen ist es daher gunst iger, das Einh eitsintervall als metrische Skala aufzufassen, urn so eine konkretere Interpret ation der Zugehorigkeitsgrade zu erhalte n. Wir ste llen diese Fragen nach der Semanti k von Zugehorigkeitsgraden und Fuzzy-Mengen bis zum Abschnitt 1.7 zuruck und beschranken uns zunachst auf eine naive Interpret at ion von Zugehorigkeitsgraden in dem Sinne, dass die Eigenschaft , Element einer Menge zu sein, graduell erftillt sein kann . Es sollte betont werden, dass Gradu alit at etwas vollig anderes als das Konzept der Wahrs cheinlichkeit ist . Es ist klar , dass eine Fuzzy-Menge JL nicht als Wahrscheinlichkcit svert eilung bzw. -dichte aufgefasst werd en darf, da JL La. der wahrscheinlichkeitstheoret ischen Bedingung

L

JL( x) = 1

bzw.

xE X

nicht geniigt. Der ZugehOrigkeitsgrad JL(x) eines Element es x zur FuzzyMenge JL sollte auch nicht als Wahrscheinlichkeit dafiir inter pret iert werden , dass x zu JL gehort . Urn den Unterschied zwischen gradueller Erflilltheit und Wahrscheinlichkeit zu veranschaul ichen , betr achten wir folgendes Beispiel in Anlehnung an

[16] . U bezeichne die "Menge" der ungiftigen Fhissigkeiten. Ein Verdurste nder erhalt zwei Flaschen A und B und die Information, dass die Flasche A mit Wahrscheinlichkeit 0.9 zu U gehort, wahrend B einen ZugehOrigkeitsgrad von 0.9 zu U besit zt . Aus welcher der beiden Flaschen sollte der Verdurstende trinken? Die Wahrscheinlichkeit von 0.9 fur A konnt e etwa daher stammen, dass die Flasche einem Raum mit zehn Flaschen, von denen neun mit Mineralwasser gefullt sind und eine eine Zyankalilosung ent halt , zufallig ent nommen wurde. Der Zugehorigkeit sgrad von 0.9 dagegen bedeutet , dass die Flu ssigkeit "einigermaBen" trinkbar ist. Beispielsweise konnte sich in B ein Fru chtsaft befinden, dessen Haltbarkeitsdatum gerade iiberschrit ten wurd e. Es ist daher rat sam , die Flasche B zu wahlen, Die Fltissigkeit in der Flasche A besitzt die Eigenschaft ungiftig zu sein cntweder ganz (mit Wahr scheinlichkeit 0.9) odcr gar nicht (mit Wahrs cheinlichkeit 0.1). Dagegen erflillt die Fliissigkeit in B die Eigenschaft ungiftig zu sein nur graduell. Wahrscheinlichkeit sthcorie und Fuzzy-Mengen dienen also zur Modellierung vollig unterschiedlicher Phanornene - namlich der Quantifizierung der Unsicherheit , ob ein Ereignis eint ritt oder ob eine Eigenschaft erflillt ist, bzw. der Angab e inwieweit eine Eigenschaft vorhanden ist .

6

1.

Grundlagen der Fuzzy-Systeme

1.2 Reprasentation von Fuzzy-Mengen Nachdem wir im ersten Abschnitt Fuzzy-Mengen formal als Funk tion en von einer Grundmenge in das Einh eitsintervall eingefiihrt hab en, beschaftigen wir uns nun mit verschiedenen Moglichkeiten , Fuzzy-Mengen anzugeben, und mit geeignete n Methoden zur Darstellung und Speicherung von Fuzzy-Mengen.

1.2.1 Definition mittels Funktionen Ist die Grundmenge X = {Xl, .. . , x n } , iiber der wir Fuzzy-Mengen bet rachte n, eine endliche, diskrete Menge von einzelnen Obj ekt en, kann eine Fuzzy-Menge f.L i.a. nur dur ch die direkte Angab e der Zugehorigkeitsgrade f.L (x) fur jedes Element X E X spezifiziert werden - etwa in der Form f.L :;;; {(Xl ,f.L( Xl)) " ' " (Xn,f.L(Xn))}. In den meisten Fallen, die wir hier betrachten werden , besteht die Gru ndmenge X aus Werten, die eine reellwert ige Variable annehmen kann, so dass X fast immer ein reelles Int ervall ist . Eine Fuzzy-Menge f.L ist dann eine reelle Funktion mit Wert en im Einheitsinter vall, die beispielsweise durch die Zeichnung ihres Graph en fest gelegt und veranscha ulicht werden kann . Bei einer rein grafischen Definition von Fuzzy-Mengen lassen sich die Zugehorigkeitsgrade einzelner Elemente nur ungenau bestimmen, was zu Schwierigkeite n bei weit eren Berechnungen fuhrt , so dass sich die grafische Dar stellung nur zur Veranschaulichung eignet . Ublicherweise werden Fuzzy-Mengen zur Modellieru ng von Ausdr iicken - die haufig auch als linguistische Ausdriicke bezeichnet werden , urn den Sprac hbezug zu betonen - wie "ungefahr 3", "mittelgroB" oder "sehr groB" verwendet , die einen unscharfen Wert oder ein unscharfes Intervall beschreiben. Solchen Ausdr iicken zugeordnete Fuzzy-Mengen sollten bis zu einem bestimmt en Wert monoton steigend und ab diesem Wert monoton fallend sein. Fuzzy-Mengen dieser Art werden als konvex bezeichnet . Abb . 1.3 zeigt drei konvexe Fuzzy-Mengen, die zur Modellierung der Ausdriicke "ungefahr 3", "mitt elgroB" und "sehr groB" verwendet werden konnten. In Abb . 1.4 ist eine nichtkonvexe Fuzzy-Menge dargestellt . Aus der Konvexit at einer Fuzzy-Menge f.L folgt nicht , dass IJ, auch als reelle Funk t ion konvex ist .

'\2\ 2

3

mittelgroB

4

Abb. 1.3. Drei konvexe Fuzzy-Mengen

sehr groB

1.2 Repriisentation von Fuzzy-Mengen

7

Abb. 1.4. Eine nichtkonvexe Fuzzy-Mengen Es ist oft sinnvoll, sich auf einige wenige Grundformen konvexer FuzzyMengen zu beschranken, so dass eine Fuzzy-Menge durch die Angabe von wenigen P arametern eindeutig fest gelegt wird . Typische Beispiele fur solche parametrischen Fuzzy-Mengen sind die Dreiecksfunktioncn (vgl. Abb . 1.5) x- a

falls a :::; x:::; b c- b falls b :::; x :::; c a sonst , b-a

Aa,b,c :

X

lR ---.. [0,1],

c-x

1---7

{

wobei a < b < c gelten muss. Dreiecksfunktionen sind Spezialfalle von Trapezfunktionen (vgl. Abb. 1.5)

:,=~, falls a' < x < b' IIa' ,b' ,c' ,d' : IR ---.. [0,1]'

X I---7

falls b' < x < c'

1

{

d'

-

-

d' =~ falls c' :::; x :::; d' a sonst ,

wobei a' < b' :::; c' < d' gelte n muss. Wir lassen auBerd em die Paramet erkombinationen a' = b' = - 00 bzw. c' = d' = 00 zu. Die sich ergebenden Trapezfunktionen sind in Abb . 1.6 dargestellt. Fur b' = c' folgt IIa' ,b' ,c' ,d' = A a' ,b' ,d" Sollen anstelle stuckweiser linearer Funktionen wie den Dreiecks- oder Trap ezfunktionen glat te Funktionen verwendet werd en , biet en sich beispielsweise Glockenkurvcn der Form [Jm ,s :

an . Es gilt [Jm ,s(rn) ist.

a

b

C

a'

x

IR ---.. [0, 1]'

1---7

exp

(-(x ~ m)2)

= 1. Der P arameter s legt fest , wie breit die Glockenkurve

b'

c'

Abb. 1.5. Die Dreiecksfunktion Glockenkurve fl rn,s

d' A a ,b,c,

m

die Trapezfunktion

fla' ,b' ,c' ,d'

und die

8

1. Grundlagen der Fuzzy-Systeme

Abb. 1.6. Die Trapezfunktionen II - oo,- oo ,a,b, n .i.: und IIc,d,oo ,oo

1.2.2 Niveaumengen Die Angab e oder Dar stellung einer Fuzzy-M enge als Funkti on von der Grundmen ge in das Einheit sintervall , die jedem E lement einen ZugchOrigkeitsgrad zuordnet , bezeichn et man als vertikale Sieht. Eine andere Moglichkeit , Fuz zyMengen zu beschr eib en , biet et die horizontal e Sicht , bei der man ftir jeden Wert a au s dem Einheit sintervall die Men ge der Elemcnt e bctracht et , die einen Zugehorigkeit sgrad von mindestens a zur Fuzzy-Menge besit zen .

Definition 1.3 Es sei Ji E F (X ) eine Fuzzy-Menge tier Grundmenge X un d es sei a:: : a ::::: 1. Die (gewohnli che) M enge

heiflt a -Niveeiuuenge oder a -Scunit t der Fuzzy-Menge Ji.

Abb. 1. 7. Die o -Niveaumenge oder der o -Schnitt [f1] a der Fuzzy-Menge f1

Abb. 1.7 zeigt den o -Schnitt [Ji] a der Fuzzy-Menge Ji fur den Fall , dass Ji cine Tr ap czfunktion ist. Der o -Schnit t ist dann ein abgeschlossenes Intervall, Fur beliebige Fuzzy-Mengen gilt weit erhin, dass eine Fuzzy-Menge tiber den reellen Zahlen genau dann konvex ist , wenn aile ihr e Nivcau mengen Intervalle sind . In Abb. 1.8 ist der aus zwei disjunkten Intervallen bestehende o -Schnitt einer nicht-k onvexen Fuzzy-Menge dar gestellt . Eine wicht ige Eigenschaft der Nivea umenge n einer Fuzzy-M enge ist , dass sie d ie Fuzzy-Menge einde ut ig charakt erisieren. Ken nt man die Niveaumengen [Ji]a einer Fuzzy-Menge Ji fur aile a E [0, 1], so lasst sich der Zugehorigkeitsgr ad Ji(x) eines beliebigcn Elementes x zu Ji durc h die Form el

Ji(X)

=

sup {a E [0, 1] I x E [Ji]a }

(1.1)

1.2 Repriisentation von Fuzzy-Mengen

9

Abb. 1.8. Der aus zwei disjunkten Intervallen bestehende o-Schnitt [/1-10 der FuzzyMenge /1 bestimmen. Geometrisch bedeutet dies, dass eine Fuzzy-Menge die obere Einhiillende ihrer Niveaumengen ist . Die Charakterisierung einer Fuzzy-Menge durch ihre Niveaumengen erlaubt es uns spater in den Abschnitten 1.4 und 1.5, Operationen auf FuzzyMengen niveauweise auf der Ebene gewohnlicher Mengen durchzufuhren, Der Zusammenhang zwischen einer Fuzzy-Menge und ihren Niveaumengen wird haufig auch zur internen Darstellung von Fuzzy-Mengen in Rechnern verwendet. Man beschrankt sich auf die o-Schnitte fur endlich viele ausgewahlte Werte 0: , beispielsweise 0: = 0.25,0.5, 0.75,1, und speichert die zugehOrigen Niveaumengen einer Fuzzy-Menge . Urn den Zugehorigkeitsgrad eines Elementes x zur Fuzzy-Menge f.L zu bestimmen, kann dann die Formel (1.1) herangezogen werden, wobei das Supremum nur noch tiber die endlich vielen Werte von 0: gebildet wird. Auf diese Weise werden die ZugehOrigkeitsgrade diskretisiert, und man erhalt eine Approximation der urspriinglichen Fuzzy-Menge. Abb. 1.10 zeigt die Niveaumengen [f.Llo.25' [f.LJ O.5,[f.LJ O.75 und [f.L]1 der in Abb . 1.9 dargestellten Fuzzy-Menge u. Verwendet man nur diese vier Niveaumengen zur Speicherung von /1, ergibt sich die Fuzzy-Menge j'i(x)

= max {a E {0.25, 0.5, 0.75, I} I x

E

[IlL:. }

in Abb . 1.11 als Approximation fiir u , Die Beschrankung auf endlich viele Niveaumengen bei der Betrachtung oder Speicherung einer Fuzzy-Menge entspricht einer Diskretisierung der Zugehorigkeitsgrade, Neben dieser vertikalen Diskretisierung kann auch eine horizontale Diskretisierung, d.h., der Domanen, vorgenommen werden. Wie fein oder grob die Diskretisierungen der beiden Richtungen zu wahlen sind, ist problemabhangig, so dass es hierzu keine generellen Aussagen gibt. Allgemein bringt eine groBe Genauigkeit fur die ZugehOrigkeitsgrade selten signifikante Verbesserungen, da die ZugehOrigkeitsgrade meist lediglich heuristisch ermittelt oder ungefahr angegeben werden konnen und ein menschlicher Experte bei einer Beurteilung eben falls nur auf eine begrenzte Anzahl von Unterscheidungsstufen bzw. Akzeptanz- oder Zugehorigkeitsgraden zurtickgreift.

10

1. Grundlagen der Fuzzy-Systeme

1.00 0.75 0.50 0.25 Abb . 1.9. Die Fuzzy-Menge I-t 1.00 0.75

H f------J

0.50 0.25 Abb. 1.10. Die o-Niveaumengen der Fuzzy-Menge I-t fur a = 0.25,0 .5, 0.75, 1 1.00 0.75 0.50 0.25 Abb. 1.11. Die aus den o-Niveaurnengen erhaltene Approximation der FuzzyMenge I-t

1.3 Fuzzy-Logik Der Begriff Fuzzy-Logik hat drei unterschiedliche Bedeutungen. Am haufi gste n vers teht man unt er Fuzzy-Logik die Fuzzy-Logik im weiteren Sinne, zu der aile Applikationen und Theorien zahlen, in denen Fuzzy-Mengen auftreten. Hierzu zah len insb esond ere auch die Fuzzy-R egIer, mit denen sich dieses Bu ch auseinandersetzt . 1m Gegensatz zur Fuzzy-L ogik irn weiteren Sinne urnfasst die zweite , etwas enger gefasste Bedeutung des Begriffs Fuzzy-Lo gik die Ansatze des appr oximativen SchlieBens , bei denen Fuzzy-Mengen innerh alb eines Inferenzmechanismus - wie er etwa in Expertensystemen auftritt - gehandhabt und pr opagiert werden . Die Fuzzy-Logik irn engeren Sinne, urn die es in diesem Abschnitt geht, betracht et die Fuzzy-Systeme aus der Sicht der mehrw erti gen Logik und befasst sich mit Fragest ellungen , die eng mit Iogischen Kalkul en und den damit verbundenen Dedukt ionsmechanismen zusa mmenhiingen. Wir beschranken uns in diesem Abschni tt auf die fur das Verstandnis der Fuzzy-Regier notwendi gen Begriffe der Fuzzy-Logik. Eini ge etwas weite rflihrende Aspekte der Fuzzy-Logik im engeren Sinne werden im Abschni tt 3.3 tiber Iogikbasierte Fuzzy-RegIer bespro chen. Wir ben6t igen die Fuzzy-

1.3 Fuzzy-Logik

11

Logik vor allem fur die Einfiihrung der mengentheoretischen Op erat ionen fiir Fuzzy-Mengen. Die Grundlage dieser Operat ionen wie Vereinigun g, Dur chschnit t oder Komp lement bilden die logischen Verkniipfungen wie Disjunktion, Konjunktion bzw. Negat ion. Wir wiederholen daher kur z die fur die Fuzzy-Logik zu vera llgemeinernden Konzepte aus der klassischen Logik. 1.3.1 Aussa ge n u n d W ahrheitswert e

Die klassische Aussagenlogik beschaftigt sich mit dem formalen Umgang von Aussagen , denen einer der beiden Wahrheitswerte 1 (fur wahr) oder 0 (fur falsch) zugeordnet werden kann . Die Aussagen reprasentieren wir durch griechische Buchst ab en 0 weisen 8 1 und 82 einen negati ven Realt eil auf. Damit sind die Exponenti alfunktionen in der Sprungantwort abklingend , und diese konvergiert gegen den Endwert V . Fiir D ~ 1 sind 8 1 und 82 sogar rein reell, und die Sprungantwort sieht in diesem Fall ahnlich aus wie beim PT1 -Glied. Lediglich die Anfangsste igun g ist Null. Man spricht vom aperiodischen Fall. w(t)

w(t)

v - -- - - -- - - -- -

D>loderD=1

D e mit c aus (2.26). In dieser Konvergenz-Halbebene ist f(s) eine analyt ische Funktion von s. Da t bei einer Anwendung der Transformation auf Signalverlaufe die Dimension Z eit hat , muss s wegen der Exponentialfunkt ion in (2.27) die Dimension Z eir 1 hab en. s ist damit eine komplexe Frequenz. In der Regelungstechnik wird deshalb auch der Bildb ereich der Laplace-Transform ation als Frequenz- und der Originalb ereich als Zeitbereich bezeichnet. Urn die weit eren Betrachtungen aber nicht unn 6ti g zu erschweren, werd en t und s als dimensionslose Variablen behandelt. Unt er bestimmten Vorauss et zungen lasst sich eine Riicktransformation durchfiihren: c-l-joo

f (t ) = £ -1 {f (s)} =

~ 27r]

J est f (s)ds

fur t ;:: 0

c - j oo

f (t) = 0

fur t

O

t->oo

t-O t >O

2.3.2 Berechnung von Ubertragungsfunktionen Gegeben sei nun das Problem , dass in einem Regelkreis der Verlauf des Eingangssignales einer Strecke gegeben ist und das zugehorige Ausgan gssigna l berechnet werd en solI. Prinzipiell ist eine Losung dieses P rob lems mit Hilfe der Different ialgleichung der Strecke m6glich, erfordert abe r einen auBerorden tlic h hoh en Aufwand . Hier biet et sich der Einsat z der Lapl aceTr an sform ation an. Zunachst wird das Einga ngssignal nac h (2.27) oder besser mit Hilfe der Korresp ond enzt afel im Anh ang transformiert. Dann werden im Bildbereich mit Hilfe der oben gena nnt en Sat ze die Ausgangss igna le der einzelnen Ubert rag ungsglieder in der Reihenfolge berechnet , wie sie vom Einga ngssignal dur chlaufen werden. Das Ausgan gssignal des letzten Ubert ragungsgliedes ist das Ausgan gssignal der Strecke, das schlieBlich in den Zeitbereich zurii cktransformiert wird . Auch dafur ste ht wieder die Korresponde nztafel im Anh an g zur Verfiigun g, so dass sich das Problem auf die Berechnung des Ausgan gssignales im Bildbereich reduziert. Diese Berechnung ist aber bei linearen Ubertrag ungsgliedern sehr einfach. Die Integration eines Signales reduziert sich im Bildbereich wegen des Int egrat ionssatzes auf eine Mul tiplikation mit Ents preche nd wird aus der einfachen Differentiati on bei verschwinden den Anfangswerten nac h dem Differenti at ionssat z eine Multiplikati on mit s. Summation und Mult iplikati on mit einem konst ant en Fakt or bleiben wegen des Additionssatzes erha lte n, und ein Laufzeitg lied wird nach dem Verschiebungssatz durc h den Fakt or e- T L S berii cksichti gt. In allen Fallen wird ein t ransformiertes Einga ngssigna l

±.

2.3 Ubertragungsfunkt ion

79

x(s) mit einer von s abha ngigen Funktion G(s ) multipliziert, urn das Ausgangssignal y(s) zu erhalten. G(s) wird als Ubertragun gsfunktion bezeichnet (Abb. 2.18): y(s) = G(s )x (s ) (2.36) Von einer aufwiindigen Losung von Differenti algleichungen im Zeitbereich hat sich das Problem damit auf das Aufst cllen einer Ubert ragungsfunkt ion und die Multiplikation mit dem Eingangssignal im Frequenzb ereich reduziert. x(s)

G(s)

y(s) = G(s) x(s)

1

Frequenzbereich

. -- - - - - -- - - -- - - - - - -- - - - - - - --- - - - - - - -- --- - - - -

j

- - - - - - -- - - - - - - --

Zeitbcrcich x(t)

y( t)

Abb. 2.18. Anwendung der Laplace-Transformation Fur den Integrator lautet die Ubertragungsfunkt ion 1 s

G(s) = -

(2.37)

fur das Laufzeitglied

G(s) = e- h

s

(2.38)

und fur das Proportionalglied

G(s ) = k

(2.39)

Auch fur das PTJ- und PT2 -Glied lassen sich Ubertragungsfunktionen angeben: Aus Gleichun g (2.13) wird durch Anwendung des Differentiationssatzes bei verschwindendem Anfangswert von y(t )

T sy (s ) + y(s) = Vx(s )

(2.40)

und damit fiir die Ubertragungsfunktion des PTJ-Gliedes

G(s)

= y(s) = _V_ x (s)

(2.4 1)

Ts + 1

Analog crgibt sich fur das PT2-Glied aus Gleichung (2.17)

1 2D -2 s2y(s) + - sy( s) + y(s) WQ

= V x( s )

(2.42)

WQ

und die Uber tragungsfunk tion

G(s) = y(s) x(s)

V __ = ~_~ 1 s2

WK

+

2D S WQ

+1

(2.43)

80

2. Regelungstechnische Grundlagen

Die Koeffizienten der Differentialgleichung finden sich dir ekt in der Ubertragungsfunktion wieder. Der Nenner der Ubertragungsfunktion entspricht gerade dem charakterist ischen Polynom der homog enen Differenti algleichung. Best eht ein Blockschaltbild nur aus Integratoren , Summierern und Proportionalgliedern, so ent ste ht durch Zusammenfassen der einzelnen Terme imm er eine rein rationale Ubertragungsfunktion

m m- l G( s) = y(s) = bms + bm_l s + x (s ) ans n + an_ l s n- l +

+ bls + bo + al s + ao

m "5.n

(2.44)

bei der der Grad des Nenners grundsatzlich gr6Ber oder gleich dem Grad des Zahlers ist . Es sei aber nochmals darauf hingewiesen , dass eine solche Ub ertragungsfunktion nur dann ents te ht, wenn die Anfangswert e der einzelnen Signale und gegebenenfalls ihr er Ableitungen verschwind en. Andernfalls wlird en durch die Anwendung des Differentiationssatzes zusatzliche Terme entste hen. Im Folgend en soll diese Tat sache ohne weit ere Erw ahnung vorausgesetzt werd en . Weiterhin muss man sich dariiber im Klaren sein, dass nur ftir lineare Ubertragungsglieder Ubert ragungsfunkt ionen angegebe n werden konn en, Fur nichtlinear e Ubertragun gsglieder ist dies nicht moglich. Es ist sogar Vorsicht gebote n, denn eine Mul tiplikation oder Division im Zeitbereich entspri cht nicht einer Multiplikation oder Division im Frequenzbereich. Auch eine Kennlinie darf nicht dir ekt vom Zeit- in den Frequenzbereich libertragen werden. Nicht linea re Ubert ragun gsglieder miissen deshalb nach wie vor im Zeitb ereich behandelt werd en . 2.3.3 Interpretation der Ubertragungsfunktion Im Folgend en sollen nu n einige Betrachtungen ang estellt werd en , die die Int erpretation des Begriffes Ubertragungs funktion erleichte rn . Dazu wird zunachst die Impulsiuukiion 8(t) (Abb . 2.19) eingefiihrt, die nah erungsweise definiert ist durch: . 1 8(t) = lim -( s(t) - s(t - c)) (2.45) .(t) es>.t mit wachsendem t , denn die Exponentialfunktion konvergiert schneller gegen Null als jede endli che Potenz von t anwachst . 1st dagegen Re(s>.) > 0, so wachst dieser Ausdruck mit tuber aile MaBen. Fur jedes komplex konjugierte Polpaar lassen sich die zugehOrigen Ausdrucke ahnlich wie beim PT2-Gli ed (Gleichung (2.21)) zusammenfassen. Damit kennz eichnet jedes derartige Polpaar einen schwingungsfahigen Anteil des Syst ems. Analog zu den rein reellen Polen sind diese Schwingungen je nach Realteil des Polpaares auf- oder abklingend. Fur Pole s>. = 0 nimmt die Exponenti alfunktion den Wert Eins an und kann deshalb ent fallen. Ubr ig bleibt nur das Polynom. Hat die Strecke selbst kein en Pol bei Null , so ent halt y(s ) wegen der Sprungfunktion ~ nur einen einfachen Pol an dieser Stelle. Das zugehorige Polynom h>.(t) ist demnach vom Gr ad Null , d.h. konst an t . Der zugehOrige Ausdruck h>.(t)es>.t ist damit ebenfalls konstant. Falls sonst nur Pole mit negativem Realteil vorliegen , deren Beitrag mit wachsendem t verschwind et , bild et dieser konstante Wert den Endwert der Sprungantwort. Falls dag egen die Strecke seiber mindest ens einen Pol bei s>. = 0 ent halt, st eigt der Grad von h>.(t) , und der Ausdruck wachst mit t tiber aile MaBen. Ein Polpaar mit Re( s>.) = 0 und Im(s)J =1= 0 erzeugt gemaf Gleichun g (2.21) eine Schwingung mit konstanter Amplitude. Wenn es in groferer Vielfachheit als Eins auft rit t, wird der Grad des Polynoms h>.(t) grofer als Null, und das Produkt h>.(t)es>.t wachst dann auch hier iiber aile MaBen. Offensichtlich wird das Einschwingverhalten des Syst ems vollst andig durch die Pole der Ubertragungsfunktion beschrieben. Zusammenfassend lasst sich sagen, dass die Sprungantwort immer gegen einen endlichen Wert konvergiert, wenn aile Pole der Ubertragungsfunktion einen negativen Realteil aufweisen. Interessant ist , dass sich Anfangs- und Endwert der Sprungantwort auch mit Hilfe der Crenzwertsatze der Laplace-Tr ansformat ion berechnen lassen , sofern die Grenzwerte exist ieren. Fur den Endwer t der Sprungantwort gilt mit dem Grenzwertsatz der Lapl ace-Transform ation (2.34) , der allgemeinen Ub ertragu ngsfunktion (2.44) und der Formel fur die Sprungantwort eines linear en Ubertragungsgliedes (2.49) :

2.3 Ubertragungsfunktion

lim y(t)

t--. oo

= lim sy( s) = lim s ~ G(s) = lim G(s) = bo 8--. 0

8--. 0

S

ao

8--. 0

85

(2.59)

und analog dazu fiir den Anfangswert lim y(t) = lim G(s ) = 0

t- O

fur m

0

I

~

1

lim 5(s)

und

8-> 0

,

~

0

(2.103)

Und wegen der Stetigkeit der beiden Ubertragungsfunktionen T(s) und 5(s) sind dann auch fur kleine Werte von s bzw . w und damit im Nutzfrequenzbereich die Forderungen zumindest noch naherungsweise erftillt. Bei Zutreffen der Gleichungen (2.103) spricht man auch von stationiirer Genauigkeit . Ein stationer genaues System ist auch auf jeden Fall stabil im Sinne von Def. 2.4, d.h. es weist eine endliche Sprungantwort auf. Es ergibt sich namlich fur die Sprungantwort 1 lim y(t) = lim s-T(s) = lim T(s) = 1

t ->oo

8->0

S

8->0

(2.104)

d .h . die Ausgangsgrofe des geregelten Systems weist bei einem Eingangssprung den konstanten Endwert Eins auf. Fur den Regier folgt aus der Forderung nach Genauigkeit mit Gleichung (2.101) (2.105) lim K(s) = 00 8->0

Setzt man voraus, dass K(s) eine rationale Funktion ist , so fiihrt dies auf die notwendige Bedingung, dass K(s) einen Pol bei s = 0 aufweisen muss . Sofern G(s) keine Nullstelle bei s = 0 hat , wird das Produkt G(s)K(s) fiir s = 0 unendlich graB, und T(s) konvergiert gegen Eins. Besitzt G(s) dagegen eine solche Nullstelle, so nimmt lim G(s)K(s) einen endlichen Wert an , und 8->0

lim T(s) konvergiert nicht gegen Eins. Offensichtlich muss die Ordnung des

8->0

Pols von K(s) die Ordnung der Nullstelle von G(s) bei s = 0 urn mindestens Eins libersteigen. Ein Sonderfall soll hier nicht unerwahnt bleiben: Wenn die Strecke integrierende Wirkung hat, kann man die Ubertragungsfunktion in der Form G(s) = ~G(s) mit G(O) -I- 0 schreiben, was einer Hintereinanderschaltung von Integrator und dem Streckenteil G(s) entspricht. Wenn auBerdem die Storgrofle d erst hinter dem Integrator angreift (Abb. 2.32), so ergibt sich fur T(s) und 5(s):

T(s) = _ G(s)K(s) G(s)K(s) + s

2.6 PID-Regler

5(s) = _ sG(s) G(s)K (s) + s

107

(2.106)

Die geforderten Gr enzwert e zur Erzi elu ng st ationa rer Genauigkeit (vgl. (2.103)) werd en hier schon erre ieht, wenn K (O) -=I- 0 gilt . Man kann K (s) = 1 setze n und somit im Prinzip auf den Regier verzieht en. Od er anders ausgedriiekt, man kann den Integrator als Teil des Reglers auffassen, so dass lim K( s) = 00 gegebe n ist . Diese giinst ige Konstellation kann vor allem da nn 8 --->0

ent stehen, wenn das St ellglied , das aus Sicht des Reglers Teil der Streeke ist , int egrierende Wirkun g hat . Ein Beispiel fur ein solches St ellglied ist ein dureh einen Motor an getriebenes Ventil, mit dem der Durehfluss dureh ein Rohr geregelt werden solI. Der Mot or , desse n interne Ausgleichsvorgange vernachlassigt werd en sollen , wird mit der Ste llgrofie des Reglers angesteuert . Der Offnungs quersc hnitt des VentiIs verandert sieh dan n st et ig wie die Ausgangsgrof e eines Integrators.

Abb. 2.32. Abspalten eines Integrators von der Strecke Die Erfullung der Gleiehungen (2.103), d.h . stationa re Genaui gkeit , ist fast imm er die element are Vorau sset zung fiir eine Regelun g. Daruber hinaus gibt es aber noeh weitere Kriterien , die nieht zu vernachlassigen sind. Zum einen ist dies die Ford erung naeh einer ausreichenden Regelgeschwindigkeit . So kann man es beispielsweise den Fahrgasten in einem Aufzug nicht zum uten , minuten lang auf das Err eiehen des nachsten Sto ekwerks zu warten . Wie die spate ren Beisp iele zeigen werd en , ist dies der Ford erung naeh st at iona rer Genau igkeit und dami t nach St abi lit at oft ent gegengeriehte t, so dass eine Regelun g hier immer nur einen Kompromiss dar stellen kann . Ein weiteres Kriterium ist eine ausreiehend grol3e Dampfung des Syst ems. So ist beim Aufzug ein Ube rschwingen des Lageregelkre ises ebenfalls nicht akzept abel, den n soli ein bestimmtes Sto ckwerk erreieht werd en, so dar f der Aufzug nieht erst etwas zu weit fah ren und sieh dann auf die riehti ge St elle einpendeln. Hier ist ein aperiodisehes Einsehwingverhalte n geford ert , d.h. die Damp fun g D muss grofler als Eins sein. Bei Syst emen , wo ein leieht es Uberschwingen nicht so kritiseh ist , st rebt man meist eine Dampfung D = ~ an, weil dies die kleinstmogliche Darnpfung ist , bei der noeh keine Resonan ziiberhohung auft ritt (vgl. Abb . 2.24). Im Einz elfall lassen sieh noeh weite re Kriterien definieren . J e naeh Anwendungsfall kann zum Beispiel die Amplitude des Uberschwingers bei der Sprungantwort relevan t sein, oder die Zeit , die benot igt wird, urn einen vor-

108

2. Regelungstechnische Grundlagen

gegebe nen Toleran zbereich urn den Endwert der Sprungantwort zu erreichen. Dement sprechend kann man auch die versch iedensten Giit emaBe ftir eine Regelung definieren. Ein oft verwend et es, zu minimi erendes Giit emaB lautet beispielsweise:

J 00

Q=

[(e(t))2 + k(u(t))2] dt

mit k > 0

(2.107)

o Damit Q moglichst klein ist, muss somit einerseits der mittlere quadrati sche Regelfehler e und damit die Abweichung zwischen Soll- und Istwert klein sein . Der zweit e Summand gewiihrleistet dagegen , dass dieses Ziel mit einer kleinen Stellgrofe erreicht werd en kann , urn so die Stelleinrich tung des Regelkreises zu schonen . Das Verh alten des Stellgliedes ist beim Reglerentwurf ohnehin in zweierlei Hinsicht zu beriicksichtig en. Zum einen als Teil der zu regelnd en Strecke, wenn es urn Stabilit at , Dampfung und Regelgeschwind igkeit geht. Zum anderen ist Z\l beachten , dass es aufgru nd seiner technischen Ausfiihrung nur Signale mit einer bestimmten maximalen Amplitude und Frequenz iibertragen kann. Es niit zt also nichts, wenn die Ausgangsgrofle des Reglers Signalante ile von hoher Frequ enz oder Amplitude ent halt , die vom Stellglied gar nicht an die Strecke weitergegeb en werden konn en , Es best eht dann sogar die Gefahr, dass das Stellglied iiberst euert und ein nicht linear es Verhalten aufweist , womit der gesa mte Reglerentwurf, der von einem linearen Verh alt en der einzelnen Ubertrag ungsglieder ausgeht, wieder in Frage geste llt wird . Ein einfaches Beispiel hierfiir ist das Ruder bei einem Schiff. Uber einen durch technische Randbedingungen vorgegeb enen Maximalwinkel hin aus kann es nicht verst ellt werd en. W ahrend im Norm alb et rieb der Ruderwinkel pr oporti onal zur Eingangsgrofie der Rudereinrichtung ist , kann nach Erreichen der maximalen Auslenkung auf eine weitere Erhohung der Ein gangs grofe nicht mehr reagiert werd en. Aus dem linearen Ubertragungsglied mit proportionalem Verhalten ist ein nichtlineares Glied geworden, dessen Kennlinie in Abb . 2.33 zu sehen ist. Ein e solche Kennlinie ist ty pisch fur viele Stellglieder . y

u

Abb, 2.33. Kennlinie eines Stellgliedes

Nachdem jetz t eine Vorst ellun g iiber die Anford erungen an einen RegIer best eht , sollen im Folgend en einige Standardregler behandelt werd en , die

2.6 PID-Regler

109

einfach zu verst ehen, zu realisieren und vor allem zu dim ensionieren sind . Aus diesem Grund wird auch der weit aus groBte Teil aller in der Praxis vorkommenden Regelun gen mit diesen Reglern verwirkli cht. 2.6.2 Reglertypen P-Regler. Der Proportionalregler (P-Regler) ste llt sicherlich den einfachsten Ansatz dar . Da die Einga ngsgrofe des Reglers die Regelabweichun g ist und seine Ausgangsgrofle die Stellgrofe, erzeugt dieser Regier mit der Ubertragun gsfunk tion

K (s) = P

(2.108)

eine zur Regelabweichun g prop ort ionale Stellgrofie. J e grofier die Abweichung zwischen Ist- und Sollwert ist , desto grofe r ist die Stellgrofle des Reglers. Ais einzigen einste llba ren Param eter hat dieser Regier seinen Verst iirkun gsfak tor

P. St ati onare Genauigkeit und die vollst andi ge Ausregelung einer Storung konn en mit dem P-Regler nicht erzielt werden, denn dazu miisst e K(O) = P nach den obigen Betrachtungen unendli ch groB werden . Damit der Regier zumindest naherungsweise genau arbeitet, sollte P demn ach moglichst groB gewahlt werden. Neben der Genauigkeit steigt dadurch auch die Regelgeschwindigkeit , denn bei gegebener Regelabweichung ftihrt eine Vergroflerung von P offensichtli ch zu einer Vergrofierung der Stellgrofe. Und aus dieser starkeren Anr egung der St recke resultiert natiirlich eine schnellere Ann aherun g der Regelgrofe an den Sollwert , auch wenn dieser zum Schluss nicht gena u erreicht wird. Ein er Erhohung von P sind aber aus St abilitatsgrtind en Grenzen gesetzt. An zwei Beispielen soll dies verd eutlicht werd en. Gegeben seien zwei Tiefpassst recken zweiter und drit ter Ordn ung, d.h . Hint ereinand erschaltungen von zwei bzw. drei PT1-G liedern, deren Ortskurven aus Abb. 2.34 ersicht lich sind. Bei Regelun g mit einem P-Regler ergibt sich fur die Kreisub ertragungsfunkt ionen des geschlossenen Kr eises jeweils: G(s)K(s ) = G(s )P. Die zugehOrigen Ort skurven gewinnt man durch Multi plikat ion der gegebenen Ortskur ven mit P , was fur P > 1 gleichbedeute nd mit einer Dehnung ist . Und damit wird auch die Gefahr deutlich, die eine Erhohun g von P beinh altet : Nach dem Nyquist-Kriterium ist die zulassige Phasend rehung bezuglich -1 in beiden Fallen Null, anschaulich gesehen diirfen die Ortskur ven den Punkt -1 also nicht links umfahr en und sollte n sich ihm im Int eresse einer ausreichend en Darnpfung auch nicht zu sehr nahern, Der Kr eis mit der Strecke dr itter Ord nung wird demnach inst abil , wenn ma n P immer weiter vergrofert, Der Kreis mit der Strecke zweite r Ordnung kann zwar durch Er hohen von P nicht instabil werd en, die Ortskurve kommt dem Punkt -1 aber immer naher , so dass der geschlossene Kreis eine unzumutbar kleine Dampfung aufweist.

110

2. Regelungsteehnisehe Grundlagen

In der Praxis sind die durch Stabilitats- bzw. Damp fungsanford erungen gegebenen Obergrenzen fur die Verst arkung des P-Reglers norm alerweise so niedrig, dass mit den zulassigen Werten ftir P eine stat ionare Genauigkeit nicht einmal nah erungsweise realisiert werd en kann . Denno ch gibt es geniigend Anwendungsfalle, in denen stat ionare Genauigkeit nicht wichti g ist und stat tdessen das Kost enargument zugunsten des P-Reglers entscheidet. Und nicht zuletzt kann ein P-Regler immer dann eingeset zt werden, wenn , wie oben erlautert, die Strecke bzw. das Stellglied integrierende Wirkun g hat . j Im(G(jro»

j Im(G(jro» -1

-1

Re(G(jro»

Re(G(jro»

PTz-Glied

Abb. 2.34. Ortskurven von Tiefpassstreeken zweiter und dritt er Ordnung Urn das Verh alten des P-Reglers und auch anderer, im Folgend en noeh vorgest ellter Regier besser einschatze n zu konn en, zeigt Abb . 2.35 die Sprungantworten eines geschlossenen Kreises mit verschiedenen Reglern und einem T iefpass dritter Ordnung als Strecke:

(2.109) Die mit P bezeiehnete Kurve kennzeichnet die Sprungantwort bei Regelun g mit einem P-Regler. Deutli ch ist zu sehen , dass nach Beend igun g des Einschwingvorga nges eine stationare Regelabweichun g zuriickbleibt. Wiirde man die Reglerverstarkung erhohen, so ki:innte man zwar die Regelabweichung verkleinern , miisst e aber gleichzeitig noch gri:iBere Schwingun gen am Anfang und schlieBlich sogar Instabilitat in Kauf nehmen. yet)

p

Abb. 2.35. Vergleich versehiedener Reglertypen

2.6 PID-Regler

111

I-RegIer. Wesentlieh bessere Regelergebnisse lassen sich mit einem Int egralregler (I-R egIer) erzielen:

1 1 K( s) = I - = S

(2.110)

Ti S

Dieser ist wegen (2.105) offensicht lieh ein st ationar genauer Regler , sofern die Streeke keine Nullstelle bei s = 0 hat . Doeh von diesem Fall soll hier abgesehen werden . Die stationare Genauigkeit lasst sich aueh ansehaulieh begriinden: Solange die Ein gangsgrofe e des Reglers ungleieh Null ist, wird sieh wegen der Int egrati on aueh die Ausgangsgrofe n des Reglers immer weiter verand ern . Er st wenn e = 0 gilt, andert sieh aueh die Stellgrofe n nicht mehr, und das Syst em hat seinen stationaren Endzust and erreicht. e = 0 bedeutet aber, dass die Regelgrofie y gleich der Fuhrun gsgrofe w ist . Der Parame ter T; wird Int egrierzeit genannt . J e kur zer diese Integrierzeit ist , desto schneller andert sich die St ellgrofe bei gegebener Regelabweichung. Irn Interesse einer hohen Regelgeschwindigkeit sollt e man T i also rnoglichst klein wahlen. Aueh bei diesem Hegler steht dem aber die Ford erung nach St abil it at im Wege. Als Beispiel soll ein PT2-Glied mit einem Integralregler geregelt werd en. Die Kr eisiibertragungsfunktion lautet

G(s )K(s) =

V ,2

w2

o

+

2D Wo S

+

1 1 T;s

.

V

1

T,

+ 2D s2 + s w5 ,3

(2.111)

Wo

f.

mit der Kreisverst arkung Die zugehorige Ortskurve zeigt Abb . 2.36 (linke Kurve). Die zulassige Phasendrehung der Ortskurve urn den Punkt -1 betragt wegen des Integrators ~. Falls die Ortskurve der Kr eisiibertragungsfunkt ion also wie eingezeichnet verlauft , ist der geschlossene Kreis stabil. Verklein ert man aber die Integrierzeit T; zur Erhohung der Regelgeschwindigkeit , so ste igt die Kr eisverst arkung, und die Ortskurve wird gedehnt, bis sie den Punkt -1 links umfah rt . Dann ware der geschlossene Kreis instabil. j Im(GKGro))

j Im(GKGro)) -I

Rc(GKGro))

Rc(GKGro))

Abb. 2.36 . Ortskurve cines PT2-Gliedes mit 1- und PI-Regier Im Hinblick auf die St ab ilitat ist der Int egralregler nicht besonders giinst ig. Urn die Kreisiibertragungsfunktion zu erha lten, muss die St reekeniibert ragungsfunkt ion mit dem Faktor T~s multipliziert werd en . Die Ph ase der Kr eisiibertragungsfunktion ergibt sieh demn ach als Summe aus der Phase der Streckeniib ertragun gsfunk tion G(s) und dem konstanten Winkel - ~ . Dies bed eutet , dass die Phase der Kr eisiibertragungsfunktion gegeniiber

112

2. Regelungstechnische Grundlagen

der Streckentibertragungsfunktion urn den konstanten Winkel - ~ abgesenkt und die Ortskurve im mathematisch negativen Sinn, naher zum Punkt -1 hin verdreht wird . Dadurch steigt offensichtlich die Gefahr der Instabilitat. Weiterhin ist der Integralregler, unabhangig von der Integrierzeit, schon von seiner Konfiguration her ein langsamer RegIer. Tritt beispielsweise eine plotzliche Regelabweichung auf, so muss der RegIer diese Grofe erst aufintegrieren, bevor die Stellgrofle einen nennenswerten Betrag erreicht. Dieser Effekt ist auch deutlich in Abb. 2.35 zu erkennen. Die Sprungantwort des mit dem IRegIer geregelten PT3-Gliedes erreicht zwar den richtigen Endwert , steigt aber zu Anfang nur sehr Iangsam an .

PI-RegIer. Die Nachteile werden behoben, wenn man P- und I-RegIer miteinander kombiniert. Man gelangt dann zu dem am haufigsten eingesetzten RegIer iiberhaupt, dem PI-Regier. Seine Ubertragungsfunktion lautet: (2.112) Man kann den PI-RegIer also entweder als Parallelschaltung aus P- und IRegIer oder als Hintereinanderschaltung aus Vorhalt (Tpis + 1) und Integra1 tor -p,s T auffassen . Die zweite Darstellungsart bietet sich zur Aufstellung von Kreisiibertragungsfunktionen G(s)K(s) an, da sich bei faktorieller Darstellung Ieichter die Phase und der Betrag angeben lassen . Anhand der ersten Darstellungsart konnen dagegen leichter die Sprungantwort und die Ortskurve des Reglers skizziert werden (Abb. 2.37). Aus der Sprungantwort wird sofort deutlich, warum dieser RegIer schneller ist als ein I-RegIer: Auf eine sprungformige Regelabweichung reagiert der RegIer von vornherein mit einer von Null verschiedenen Stellgrofe, die dann durch den Integrator nur noch nachgebessert wird. Die Stellgrofle muss im Gegensatz zum I-RegIer nicht erst Iangsam aufintegriert werden . Das verbesserte Regelverhalten ist auch in Abb . 2.35 zu erkennen. y(t)

j Im(KGm))

tm Re(KGm)) Abb. 2.37. Sprungantwort und Ortskurve eines PI-Reglers Das im Vergleich zum I-RegIer gunstigere Stabilitatsverhalten lasst sich aus der Ortskurve ablesen. Fur niedrige Frequenzen betragt die Phase zwar auch annahernd - ~ , geht dann aber fur hohe Frequenzen gegen Null. Wahrend beim I-RegIer also die Ortskurve der Strecke in jedem Frequenzbereich urn - ~ verdreht werden muss, urn die Ortskurve der Kreistibertragungsfunktion zu erhalten, fallt diese Verdrehung beim PI-RegIer umso ge-

2.6 PID-Regler

113

ringer aus, je hoher die Frequenz ist . Gerade im Bereich hoher Frequenzen gelangen abe r die Ortskurven vieler realer Strecken in die Nahe des Punktes -1. Wenn daher in diesem Frequenzbereich auch der Regier selber noch eine nennenswert e Phasendrehung aufweist , kann es leicht passieren , dass die Ortskurve der aus Stre cke und Regier bestehenden Kreisiibertragungsfunkt ion den Punkt - 1 umfahrt und der geschlossene Kreis instabi! wird. Aus diesem Grund ist es fur die Stabilitat des geschlossenen Kreises von Vorteil, dass der PI-Regier gerade in diesem Frequenzbereich nur eine geringe Ph asendrehun g verursacht. Die Verb esseru ng ist deutlich in Abb . 2.36 zu erkennen. Die rechte Or tskurve weist fur hohe Frequenzen eine geringere Ph asendrehun g auf, wodurch die Stabilitat nicht mehr gefahrdet ist. PID-Regl er . Die St ellgrofc des PI-Reglers setzt sich aus zwei Antei!en zusammen, einem Integralant eil fiir die Genauigkeit und einem Proportionalantei! zur Erh ohung der Regelgeschwindigkeit . Eine weitere Verbesserung des Regelverhalt ens ist zu erwarten, wenn eine Regelabweichung nicht erst dann bekarnpft wird , wenn sie schon existiert, wie es dur ch den P roportion alantei! geschieht, sondern am best en schon dann, wenn sie im Entstehen ist . Zu diesem Zweck kann man den PI-Regier urn einen Differentialanteil erweitern , und man erhalt einen PID -Regler: 1

K (s ) =P +I- +Ds s

(2.113)

Ein idealer Differenzierer mit der Ubert ragungsfun ktion s ist abe r weder realisierbar noch erwiinscht . Denn ein Faktor s in einem Sumrnanden bedeutet , dass der Summand umso grofere Werte annimmt , je hoher die Frequenz ist . Wegen dieser Hochpasseigenschaft verstarkt ein idealer Differenzierer daher die in der Praxis immer vorhand enen hochfrequenten Rauschsignale, was natu rlich vermieden werden sollte. Bei einem realen PID -Regler ist deshalb der D-Anteil mit der Zeitkonst anten Tv verzogert:

K (s) = P

+I~ +D s

s = VR T 1 S + 1 T2 S + 1 Tv s + 1 T 1 S Tv s + 1

(2.114)

Wie man sieht , lasst sich der PID-Regler auch als Reihenschaltung von PI-RegIer und einem rationalen Ubertragungsglied erster Ordnung, einem sogenan nte n DT1-Glied, auffassen. Grundsatzlich konnen dab ei die beiden Nullstellen T 1 und T 2 auch konjugiert komplex sein. Die Vorteile des PIDReglers gegeniiber dem PI-Regier lassen sich anh and seiner Sprungantwort und der Ortskurve erklaren, die in Abb. 2.38 dargestellt sind . Dabei sind die Verliiufe des idealen PID -Reglers (nach Gl. (2.113)) gest richelt eingezeichnet . Die Sprungantwort zeigt , dass der Regier genau das geforderte Verha lten aufweist: Eine (hier sprungforrnige) Regelabweichung wird durch den D-Anteil in ihrer Anfangsphase sehr heftig bekampft, wahrend sich der Regier im weiter en Verlauf wie ein PI -Regier verhalt . Daneben ist anhand der Ort skurve eine weitere Verb esserung des Stabilitatsverhaltens gegeniiber dem PI -Regier

114

2. Regelungstechnische Grundlagen

festzustellen: Die Phase des PI-Reglers geht fiir hohe Frequenzen gegen Null, wodur ch gewiihrleistet ist , dass die Ortskurve der Str ecke ftir hohe Frequenzen dur ch den Regier nicht naher zum Punkt -1 verdreht wird. Dagegen weist der Frequenzgang des PID-Reglers fur hohere Frequenzen eine positive Phase auf. Die gegebene Ortskurve einer Str ecke kann daher dur ch den Regier in diesem Frequenzbereich sogar im mathematisch positiven Sinn vom Punkt -1 weggedreht werden. Zu beacht en ist , dass wegen der hoheren Anzahl an einstellbaren Par ametern der PID-Regler naturlich schwieriger zu dimensionieren ist als ein PI-Regier. W ahr end PI-RegIer hiiufig ohne Rechnun g von Hand eingestellt werden, ist dies bei einem PID-Regier kaum moglich, vor allem nicht , wenn eine opt imale Einstellung angestrebt wird , die die Moglichkeit en des Reglers voll ausschopft . Abb. 2.35 zeigt deutlich, dass der PID-Regler von den Regelergebnissen her der beste der vorgestellten Regier ist. Prinzipiell lasst sich sagen, dass mit zunehmender Kompl exitiit des Reglers die Regelergebnisse immer besser werden. Dies ist nicht verwunderlich, da mehr Freiheitsgrade zur Verfligung ste hen, urn die gegensiitzlichen Forderung en nach Stabilitat und ausreichender Diimpfung einerseits sowie Schnelligkeit andererseits zu erfiillen. An Gleichung (2.113) ist zu erkennen, dass der PID-Regier als Sonderfalle auch die anderen vorgestellten Regier ent halt . Je nachdem, ob I , P oder D zu Null gesetzt werden, erhiilt man einen P- , 1- oder PI-Regier. Aus diesem Grund wird der Ausdruck PID-Regler hiiufig als Sammelbegriff ftir aile hier vorgestellten Regier verwendet. j Im(K(joo))

yet)

Re(K(joo))

Abb. 2.38. Sprungantwort und Ortskurve eines PID-Reglers PD-Regier. Nicht unerwiihnt bleiben soil an dieser Stelle der PD-Regler , der, wie der Name schon sagt, aus einem Proportional- und einem Differentialanteil besteht. Da der Differentialant eil ebenso wie beim PID-Regler nicht ideal realisiert werden kann , ergibt sich fur die Ubertragungsfunkt ion des Reglers: ]« (s)

=P +D

S

Tvs

+1

= Vn T I S + 1 Tvs

+1

(2.115)

Stationiire Genauigkeit kann mit diesem Regier wegen ]«(0) -I- CXl nur bei integri erenden Strecken erzielt werden. Bei geeigneter Dimensionierung reagiert

2.6 PID-Regler

115

er aber auf eine And erung der Regelabweichung starker als ein P-Regler. Sein Ein sa tz biet et sich dah er an , wenn Genauigkeit nicht so wichtig od er durch einen Integrator in Strecke bzw. Stellglied gewahrleist et ist und die mit einem P-Regler erreichbare Regelgeschwindigkeit nicht grof genug ist. IGI,", 1

LL

VR~-~"T---------;'-----~ , , ffiJo , , ,

g

,

o-~~-- -:--

ffiJog

Abb. 2 .39. Bode-Diagramm eines PD-Reglers Der PD-Regler kann abe r au ch ganz anders verwend et werden. Ein e Bet rac htung des zugehorigen Bod e-Diagramms fur T I > Tv (Abb. 2.39) zeigt, dass das Hinzufiigen eines PD -Reglers zur Strecke eine Anhebung der Phase der Kreisiibert ragungsfunktion in einem einstellbaren Frequ enzbereich mit sich bringt. Denn die Phase der Kreisub ertragungsfunktion ergibt sich als Summe de r Phasen aller einzelnen Ube rt rag ungsglieder . So kann man den PD-Regler dazu nutz en , die Or tskurve der St recke in ebe n diesem Frequenzbereich im mathemati sch positiven Sinn vom Punkt - 1 wegzudrehen. Die eigentliche Regelun g wird dann von einem anderen Regier iibemommen . Zu beachten ist allerdings, dass mit einer Anhebun g der Phase auch eine Vergrofe rung des Betrages fur hoh ere Frequ enzen einhergeht . Dies fiihr t zu einer Dehnung der Or tskurve und dami t moglicherweise zu einer Ann aherung an den kri t ischen Punkt. Andererseits kann natiirlich auch T I < Tv gewa hlt werde n. In diesem Fall wird der Bet rag verkleinert, was jetzt aber mit einer Absenkung der P hase bezahlt werde n muss. 1m Einzelfall ist abz uwagen, ob die Verwendung eines PD-Reglers als Phasenkorrek turglied einen Vort eil br ingt .

2.6.3 R egl erentwurf Damit sind die verschiedenen Regler-Grundtypen mit ihren wesentlichen Eigenscha ften vorges te llt worden. 1m Folgend en soli nun auf Verfahren eingegangen werde n, mit deren Hilfe sie zu berechnen sind. Wenn die Strecke nicht allzu kompliziert ist , konn en soga r schon einige einfache Ube rlegungen fiir die Dimensionierung des Reglers ausre ichend sein. Als Beisp iel fur solche Uberlegungen soli die Berechnung eines geeignete n PI - Reglers fur ein PT2-Gli ed vorgefUhrt werden. Es sei angenommen, dass das P T2 - Glied zwei reelle Pol e aufweist und sich dami t schreiben lasst als

V G(s) = (TIS + 1)(T2s + 1)

(2.116)

116

2. Regelungstechnische Grundlagen

Dann kann man den Regier so dirnensionieren, dass sich sein Vorhalt gegen eine Polstelle der Strecke kiirzen lasst und ein IT1-Glied entsteht (rechte Ortskurve in Abb. 2.36). Diese MaBnahme vereinfacht zunachst einmal die Kreisii bertragungsfunktion

(2.117)

mit T p i = T 2 > T 1 . Im Interesse einer hohen Regelgeschwindigkeit ist die grofere von beiden Zeitkonstanten gekiirzt worden . Denn der zugehorige Eint schwingvorgang e- 1"2 verlauft langsamer und sollte deshalb eliminiert werden. Das Kiirzen von Zeitkonstanten macht aber natiirlich nur dann Sinn, wenn die Zeitkonstante in der Ubertragungsfunktion auch eine Entsprechung in der realen Strecke hat. Insbesondere bei einer Ersatzzeitkonstanten lasst sich eine Polkiirzung nicht durchfuhren, denn dort stellt der durch die Polstelle reprasentierte Einschwingvorgang nur eine vereinfachte Naherung ftir den tatsachlichen Einschwingvorgang dar. Nach der Festlegung Tp i = T 2 ist nun noch der verbliebene Reglerparameter VR zu bestimmen. Dazu stellt man die Ubertragungsfunktion des geschlossenen Kreises auf:

T s _ yes) _ G(s)K(s) ( ) - w(s) - G(s)K(s) + 1

1

(2.118)

Der geschlossene Kreis ist also offenbar ein PT2-Glied, dessen Dampfung D durch den Parameter VR eingestellt werden kann . Ein Koeffizientenvergleich mit Gleichung (2.43) liefert (2.119)

Durch die Wahl einer gewiinschten Dampfung D wird damit auch der zweite Reglerparameter festgelegt, und der geschlossene Kreis verhalt sich wie ein gewohnliches PT2-Glied mit vorgegebener Dampfung. In der Praxis erfolgt die Berechnung der Reglerparameter nach entsprechender Vereinfachung der Streckeniibertragungsfunktion oft anhand solcher einfachen Ubcrlegungen, fur die es allerdings keinen festen Algorithrnus gibt und die von daher ein gewisses MaB an Ubersicht und Erfahrung erfordern. Etwas starker schematisiert ist dagegen das Wurzelortsverfahren. Bei diesem Verfahren wird zunachst die Lage der Pole des geschlossenen Kreises in Abhiingigkeit von den einstellbaren Reglerparametern angegeben. Aus einer ftir gut befundenen Polkonfiguration ergibt sich dann die Einstellung des Reglers. Welche Polkonfiguration die beste ist, hiingt von den Anforderungen an den Regelkreis und darnit vom Anwendungsfall ab oHier bleibt beim Entwurf

2.6 PID-Regler

117

noch ein groBes Mall an Freiheit, weshalb auch dieses Verfahren ein gewisses Mall an Intuition erfordert . Vollstandig schematisiert ist der Reglerentwurf dagegen bei Verwendung der Einstellregeln nach Ziegler-Nichols. Anhand der gemessenen Sprungantwort der Strecke werd en gewisse Kenndaten ermit te lt, aus denen dann mit Hilfe fester Form eln die Reglerparameter zu ber echnen sind . Die regelungstechnischen Uberlegungen, die zu diesen Form eln fuhr ten, sind nicht ohne weiteres nachzuvollziehen , so dass der Anwend er im Faile eines Misserfolges kaum weifi, wie die Parameter zu modifizieren sind . Eine weitere Moglichkeit ist die Optimierung eines vorgegebenen Cutemafies (vgl. (2.107)). Aus der Losung dieser Ex tremwertaufgabe ergibt sich automatisch die Einst ellung des Reglers . Der oft tibersehene Freiheitsgrad bei diesem Verfahren ist die Definition des Gutemafes. Der berechnete Regier ist natiirlich nur genau hinsichtlich des vorgegebenen Cutemafies optimal. Ist dieses ungunstig gewahlt, kann sich keine gute Regelung ergeben . Insofern setz t auch dieses Entwurfsverfahren eine gewisse Intuition voraus. Aile bisher vorgeste llte n Auslegungsverfahren hab en gemeins am , dass die Struktur des Reglers fest gelegt werd en muss und sich nur seine Parameter aus den jeweiligen Verfahren ergeben. Und es ist offensichtli ch, dass nicht mit jedem Regier jede Strecke stabilisiert werd en kann . So lasst sich beispielsweise eine aus zwei hintereinand ergeschalt et en Int egratorcn best ehend e Strecke prinzipiell nur mit dem PID- , nicht aber mit einem P-, 1- oder PI-Regier regeln. Vor der Dimensionierung eines Reglers ste ht also in allen Fallen die Analyse der Strecke und die Festlegung eines geeigneten Reglertyps. Dieser Schritt entfallt bei den sogenannten analytischen Verfahren. Hier liefert das Verfahren nicht nur die Reglerparameter , sondern auch die Strukt ur des Reglers , also die gesamte Regler-Ubertragun gsfunktion. Dab ei konnen natiirlich Ubertrag ungsfunkti onen ents tehen, die mit dem PID-Regler nichts mehr gemein hab en. Beispielhaft sei hier das Verfahren des Kompensation sreglers beschrieben. Bei diesem Verfahr en wird ftir den geschlossenen Kr eis eine Mcd ell-Ubertragun gsfunktion M (s) vorgegeben, die sich ihrerseits aus bestimrnten Anford erungen an das Einschwingverh alt en des geschlossenen Kreises ergibt : G(s)K(s) ~ M( s) (2.120)

T(s) = 1 + G(s)K(s)

Fur den Regier ergibt sich darnit sofort 1 M (s ) K(s ) = G(s) 1 - M (s)

(2.121)

Der Regier ent halt also die inverti erte Streckentib ertragungsfunktion, so dass der Einfluss der Strecke in der Kreisiibertragungsfunktion G(s )K(s ) vollstandig eliminiert ist. M (s) muss allerdings so gewahlt werd en , dass ein realisierbarer Regier entste ht, bei dem die Ordnung des Zahlerpolynoms kleiner als die des Nenn erpolynoms ist. Ein weiteres Problem stellt die Tatsache dar, dass die Pole und Nullstellen von G(s) normalerweise nicht exakt

118

2. Regelungstechnische Grundlagen

bestimmt werden konnen . G(s) und der Faktor G(s) in der Ubertragungsfunktion des Reglers kompensieren sich also moglicherweise nicht vollstandig, Solange G(s) nur Pole und Nullstellen mit negativem Realteil aufweist , ist dies zwar argerlich, aber noch kein Problem. Schlimmstenfalls treten (abklingende) Schwingungen auf, die eigentlich hatten eliminiert werden sollen. Hat aber G(s) beispielsweise einen Pol mit positivem Realteil und wird dieser Pol dureh K(s) nicht exakt gekiirzt, so weist die Kreisiibertragungsfunktion G(s)K(s) einen instabilen Pol auf. Aueh wenn dies nieht zwangslaufig Instabilitat des gesehlossenen Kreises bedeutet, sollte man eine instabile Kreisiibertragungsfunktion doeh vermeiden, wenn man die Moglichkeit dazu hat. Denn es kann durehaus vorkommen, dass dureh den Ausfall eines Sensors die Riiekfiihrung des Regelkreises aufgetrennt und der Kreis damit geoffnet wird . Dann ist das Ubertragungsverhalten vom Ein- zum Ausgang nur noeh dureh die instabile Kreislibertragungsfunktion bestimmt. Diese Instabilitat ist aber hier relativ einfaeh zu vermeiden. M (s) muss lediglieh so festgelegt werden, dass 1 - M(s) die einem instabilen Pol von G(s) entspreehende Nullstelle enthalt. Dadurch kiirzen sieh Pol und Nullstelle auf der rechten Seite von Gleichung (2.121), und vom Regier wird die Kompensation dieser Poistelle gar nieht mehr erwartet. Falls G(s) eine Nullstelle mit positivem Realteil enthalt, tritt dasselbe Problem auf. Damit nun K(s) keinen instabilen Pol bekommt, muss fur M (s) eine entspreehende Nullstelle gewahlt werden . Insgesamt gesehen bedeuten die Uberlegungen, dass bei der Auswahl der Modellfunktion M(s) von vornherein die Besonderheiten der Streeke zu berlieksichtigen sind . Damit hat aueh dieses Verfahren seinen Freiheitsgrad, der auf das Gelingen des Reglerentwurfs ganz wesentliehen Einfluss hat. 2.6.4 Strukturerweiterung Vorfilter. Noeh weitergehende Moglichkeiten eroffnen sieh, wenn man die in Abb. 2.31 gezeiehnete Struktur hinter sich lasst und zusatzliche Elemente und Verbindungen in den Regelkreis einftigt. Eine sehr einfaehe MaBnahme ist die Verwendung eines Vorfilters (Abb . 2.40). Mit dicsem crgibt sieh ftir die Fiihrungs-Ubertragungsfunktion

T(s) = y(s) = F(s) G(s)K(s) 1 + G(s)K(s) w(s)

(2.122)

wahrend die Stor- Ubertragungsfunktion S(s) unverandert ist , da das Filter auBerhalb des gesehlossenen Kreises liegt. Aus dem Grund hat es naturlich aueh keine Auswirkungen auf die Stabilitat des Systems. Damit erhalt man die Moglichkeit, Fuhrungs- und Storiibertragungsfunktion unabhangig voneinander zu gestalten. Zunachst wird der Regier K(s) fur ein optimales Storverhalten dimensioniert und anschlieBend das Vorfilter F(s) fur das Fiihrungsverhalten.

2.6 PID-Regler

119

Optim ales Storverhalten bedeutet meist eine schnelle Ausregelung von Storungen. Dab ei muss zwar die St abilit at berucksichtigt werden , eine hohe Darnp fung ist aber nicht unb edingt erforderlich. Bei der Auslegung ergibt sich daher ein Regier mit groBer Verstarkung und als Folge davon ein schlecht gedampftes Syst em. Dagegen ist beim Fiihrungsverhalten eine ausreichende Mindestdampfung von groBem Interesse. Ein gut gedampftes Fiihrungsverhalten lasst sich abe r nun dur ch das Vorfilter erzielen. Verwendet man hier beispielsweise einen Tiefpass , so gelangt eine Sollwertvera nderung nur noch verzogert , d.h. mit ste t igem Verlauf auf den geschlossenen Kreis und kann diesen trotz seiner geringen Dampfung nicht mehr zu Schwingungen anrege n. Aus Sicht der Eingangsgrofe stellt sich das System dami t als gut geda mpft dar. Dur ch Einba u eines Vorfilt ers wird es also moglich, die gegensatzlichen Forderungen nach schneller Ausregelung von Storun gen und einem gut geda mpften Fiihrungsverh alt en besser in Einklang zu bringen. d w

F I '---------lIf---Q--

e

--1'I

K

I--u----J' G , I

y

I'1-----...--"--

Abb. 2.40 . Vorfilter Storgr oBen a u fschaltung. Eine andere einfache Strukturerweiterung ist die S targroBenaufschaltung , die ebenfalls nicht im geschlossenen Kreis erfolgt und somit keine Auswirkun g auf die St abilitat des Syste ms hat. In Abb. 2.41 ist die ents prechende Strukt ur gezeichnet . Dab ei sei angenommen, dass die St orun g zwischen zwei Str eckent eilen G1(s) und G2 (s) angreift. Ziel ist , die Storu ng zu komp ensieren , bevor sie sich auf die Strecke auswirken kann. Voraussetzung ist natiirli ch, dass die Storgrofle messbar ist. Die einfachste Idee ist , an der Angriffsstelle der Storun g ein gleich groBes Signa l mit entgegengesetztem Vorzeichen aufzuscha lten. Dies ist aber normalerweise nicht moglich, da die Sto rung oft an einer St elle auf die Strecke einwirkt, an der der Mensch mit einem Stellglied iiberhaupt keinen Einfiuss nehmen kann. So wird beispielsweise der Kur s eines Schiffes dur ch eine seit lich angreifende St romung beeinfiusst , ohne dass sich die dadurch auf das Schiff wirkende Kraft dur ch eine an derselben St elle wirkende Gegenkraft komp ensieren lasst . Abh ilfe bietet hier nur ein recht zeitiges Gegenauslenken des Ruders, also ein Eingriff mit der Stellgrofie selbst. Ents prechend erfolgt eine Storgrofenaufschaltu ng normaierweise direkt nach dem Regier, so dass die zusat zliche Inform at ion in die Stellgrofe mit eingehen kann. Fiir eine vollstandige Komp ensation an der Angriffsstelle der Storung muss gelten: 1

F( s) = G1 (s)

(2.123)

120

2. Regelungstechnische Grundlagen

Weil diese Funktion aber im allgemeinen nicht exakt zu realisieren ist , hat man sich meist mit einer unvollstandigen Kompensation zu begntigen. Im Hinblick auf die Stabilitat oder Genauigkeit der Regelung spielt dies jedoch keine Rolle. Denn aus Sicht des Reglers stellt die Aufschaltung nur eine weitere Storung dar, die mit ausgeregelt wird . Eine Storgrofenaufschaltung macht immer dann Sinn, wenn Abweichungen zwischen Ausgangs- und Fuhrungsgrofle wegen technischer Randbedingungen unbedingt klein zu halten sind und ein erhoht er mess- und rechentechnischer Aufwand damit gerechtfcrtigt ist. d

w

y

Abb, 2.41. Storgrobenaufschaltung

Erganzende Riickfiihrung. Eine weitere Moglichkeit zur Verbesserung der Regelung besteht in einer etgiiuzetuieu Riickfiihrung. Diese wird im Gegensatz zu den beiden bisher vorgestellten strukturerweiternden MaBnahmen in den geschlossencn Kreis eingefUgt und hat damit Auswirkungcn auf die Stabilitat des Systems (Abb . 2.42) . Die Idee ist die folgende: Bei tiefpasshaltigen Strecken, wie sie meistens in der Praxis vorliegen , ist die Ausgangsgrofe gegentiber internen GraBen verzogert. Wenn es daher moglich ist, eine oder mehrere der internen GraBen zu messen, kann dem Regier im Falle einer Storung d 1 Information tiber eine bevorstehende Anderung der Ausgangsgrobe schon zugefuhrt werden , wenn sich die Ausgangsgrofe selbst noch gar nicht verandert hat. Entsprechend friiher kann der Regier auch GegenmaBnahmen einleiten, was zu einem verbesserten Storverhalten flihrt . Dieser Vorteil besteht natiirlich nicht , wenn die Storung hinter der Abgriffsstell e angreift, wie es ftir die eingezeichnete Storgrofe d2 der Fall ist . Hier ist sogar zu beachten, dass die Storiibertragungsfunktion

G2(s) + EKG 1G2(S) 1 + KG1(s)(E(s) + 1)

(2.124)

bei integrierendem Regier nur dann fiir s -> 0 gegen Null gehen kann (vgl. Gl. (2.103)) , wenn E(s) die Polstelle des Reglers bei s = 0 im Zahlerterm EKG 1G2 kompensiert. Im Interesse stationarer Genauigkeit muss daher fiir die Funktion E(s) in der hier vorgestellten Form grundsatzlich gelten : E(O) =

O.

2.6 PID-Regler

d2

d) W

I - I

K

H

E

I I

u

121

I G I 1 I

I

I G I 2 I I

y

I I

Abb. 2.42. Erganzende Riickfiihrung

K a skadenschaltung. Eine spezielle und in der P raxis sehr haufig eingesetzte Form der erganzenden RiickfUhru ng ist die Kaskadenschaltun g . In Abb. 2.43 ist ein Beispiel ftir eine zweischleifige Schaltung gezeigt. Dabei konnen im Prinzip belie big viele Schleifen auftreten. Eine Kaskadenschalt ung bietet sich an, wenn die Strecke als Reihenschalt ung versch iedener Ubertragungsglieder mit T iefpasswirkung dargestellt werden kann. Das System wird als eine Folge ineinander geschachtelter Regelkreise behandelt. Jeder RegIer ist dabei fiir den in seiner Ruckko pplungsschleife liegenden Streckenteil zustandig. In Abb. 2.43 regelt also RegIer 2 die GroBe Y2 und bekommt als Sollwert die Ausgangsgrofe UI des Reglers 1. Der geschlossene, innere Kreis ist fur den RegIer 1 wiederum Teil der von ihm zu regelnden Strecke. Seine Regelgrofe ist die Ausgangsgrofe des Systems YI. Ein Vorteil ist zunachst wie bei der erganzenden Ruckfuhrung die schnellere Ausrege lung von Storungen. Entsteht beisp ielsweise an der in Abb. 2.43 eingezeichneten Ste lle eine Storung d, so kann diese vom RegIer 2 bereits bekampft werden, sobald sich Y2 andert . Die Auslenkung der eigentlichen Regelgrofe YI wird dann naturlich weniger stark ausfallen. Ein weiterer Vortei l ist die Moglichkeit, interne GraBen zu begrenzen. In Abb. 2.43 ist am Ausgang des Reglers 1 eine so1che Begrenzung eingezeichnet , die in ihrer Funktionsweise dem nichtlinearen Ubertragungsglied in Abb . 2.33 entspricht. Diese Begrenzung wirkt zwar auf die GroBe UI ein , soli aber eigentlich eine Begrenzung ftir die interne Crofie Y2 darstellen. Wenn namlich Regier 2 schnell und genau genug arbeitet , kann man davo n ausgehen, dass Y2 in etwa dem durch UI vorgegebenen Verlauf entspricht und damit auch innerhalb der gegebenen Grenzen bleibt . SchlieBlich wird die Auswirkung von nichtlinearen Gliedern auf den Regelkreis beschrankt, in dem sie ent ha lten sind. Wiirde der innere Regelkreis beispielsweise ein nicht lineares Ubertragungsglied enthalten, so ware von dieser Nichtlinearitat bei hinreichend schnellem und genauem Regier 2 im auBeren Regelkreis kaum etwas wahrzunehmen. Denn durch die Regelu ng ist gewahrleistet, dass Y2 in etwa dem Signal UI folgt, was einem verzogerten, proportionalen und damit linearen Ubertragungsverhalten entspricht .

122

2. Regelungstechnische Grundlagen

Del' fur den Praktiker interessanteste Vorteil ist ab el' die leichte Inb etri ebnahme einer Kaskad enschaltung. Zunachst wird Regier 2 fiir den inner en Kreis dim ensioniert. Del' geschlossene innere Kr eis kann dann, bei hinr eichend schneller Regelung , dureh ein PT1 -Glied angenahert werd en. Mit diesel' Vereinfaehun g ist es anschlieBend auch moglich, Regier 1 fur den aufieren Kreis zu berechnen. Grundsatzlich dimensioniert man bei einer Kaskad enschaltung die Regier sukzessive von innen nach auBen, wobei jeweils del' innere Kreis durch ein einfaches Ubertragungsglied angenahert wird .

Abb. 2. 43 . Kaskadenschaltung

Diese Vorgehensweise soli anhand des Beispieles in Abb . 2.43 kurz erlautert werden . Gegeben sei eine aus drei hintereinand ergeschaltet en PT1 Gliedern best ehende Strecke, wobei das erste PT1-Glied als Naherung fur das dynamische Vel'halten des St ellgliedes zu verste hen ist . Aile drei PT1 Glieder hab en die Verstarkung Ein s, was die Reehnung erleichtert . Del' von Regier 2 zu regelnde Str eckent eil best eht aus zwei PT1 -Gliedern . Diesel' Fall ist ab el' bereits behand elt worden . Ais Regier ist ein P I-Regier zu wah len , dessen Zeitkonstante T p i man del' grofiercn del' beiden Streckenzeitkonstant en gleiehzusetzen hat, urn die ents prechende Poistelle zu kompensieren . Hier ist abel' eine del' beiden Zeitkon st anten, namlich T s , sowieso nur eine Ersatzzeitkonstante, d.h. es exist iert in del' realen Strecke kein entsprechender Pol , del' durch den Regier komp ensiert werd en konnte, Von daher erub rigt sich die Frage naeh del' groBeren Zeitkonstan ten , und man setzt T p i = T 2 . Fur die Reglerverst ark ung ergibt sieh nach Gleichun g (2.119)

Vn

=

T2

4T

2 (2.125) sD Nun ist noch eine geeignete Dampfung D zu wahlen. Del' innere Kreis wird naeh auBen als PT2 -Glied mit gerade diesel' Dampfung erscheinen. Wahlt man D < 1, so ist dieses PT2-Gli ed schwingungsfahig, was wiederum die Regelung des auberen Regelkreises erschwert. Aus dem Grund kommt nur ein Wert D ~ 1 in Frage, wobei ftir aile diese Werte del' innere Kreis ein aperiodisches Einsehwingverh alt en aufweist , das mit grofe r werdendem Dimmer langsamer wird. Fur eine opt ima le Regelgesehwindigkeit bei aperiodisehem Einschwingverh alten ist deshalb D = 1 die riehti ge Wahl fiir den Dampfungsfaktor. Fur das Uber tragungsverha lte n des inneren Kreises folgt daraus

Y2 (S) 1 Ul(S) - 4T§s2 +4Tss+1

(2.126)

2.6 PID-Regler

123

Ann ah erun g dieser Ubertrag ungsfunkt ion nach Gleichung (2.66) durch ein PT1-Glied ergibt Y2(s) 1

Ul(S):::::: 4T ss + 1

(2.127)

Dam it best eht dann aber auch die vorn RegIer 1 zu regelnde Strecke aus zwei P T1-Gliedern , und bei Vern achliissigung der Begrenzung ergeben sich hier nach vollig analogen Uberlegungen die Reglerp arameter zu T pi = T 1 und

(2.128) Statische Vorsteuerung. Neben den genannte n Vort eilen hat die Kaskadenschaltung allerdings den Nachteil eines schlechten Fiihrungsverh alt ens. Der Grund ist leicht einzusehen. Wird am Eingan g der Scha lt ung flir den auferste n Kreis ein neuer Soliwert vorgegeben , so muss diese Anregung erst die gesamte Reglerkaskade durchlaufen, ehe die Strecke selbst angeregt wird und sich die Ausgangsgrofe verandert . Abhilfe bietet hier eine Vorst euerung . Sie verbessert das Fiihrungsverhalten und wird daher oft in Verbindung mit einer Kaskadenr egelung verwendet . Eine sogenannt e statische Vorst eueru ng ist in Abb . 2.44 zu sehen. Die Fuhrungs-Ubertragungsfunkti on des Systems lau tet:

T (s) = y(s) w(s)

= G(s )(K (s) + V ) G(s)K (s) + 1

(2.129)

Da die Vorsteuerun g auBerhalb des geschlossenen Kreises liegt , kann der Faktor V ohne Riicksicht auf die Stab ilitat fest gelegt werd en, was man auch daran erkennt, dass V nicht im Nenner der Ubert ragungsfunkt ion auftaucht. Die stationare Genauigkeit der Regelung ist ebenfalls nicht gefiihrdet , denn falls K (s) einen Int egralanteil enthalt, d .h. lim K (s) = . 00 , gilt weiterhin 8~ 0

lim T (s) = 1. Die Wir kun g einer Vorsteueru ng lasst sich folgend erm aBen

8-> 0

erklaren: Falls der Regier beispielsweise ein PI-RegIer ist , so wird bei einer Sollgrobenanderung Liw dieser Sprung , multipli ziert mit dem P roportionalanteil P des Reglers, an die St recke weitergegeben . Gleichzeitig gelangt aber auch ein Sprung V Liw tiber den Vorsteuerkanal auf die St recke. Bei einer Verand erung der Sollgrofie vergroliert also gewissermaBen der Vorsteuerkanal den Proportionalanteil des Reglers. Das riickgekopp elte Signal y lauft dagegen nicht tiber den Vorsteuerkanal, d.h. im weit eren Verlauf ist der RegIer auf sich allein gestellt. Der Vorsteuerkanal bleibt konstant auf dem anfangs erreichte n Wert , und der RegIer wird, falls er einen Integrator ent halt , seine Stellgrofe so lange weiter vera ndern, bis die Regelabweichung e verschwunden ist . In der Anfangsph ase wird durch die Vorst eueru ng also die Anregung auf die Strecke vergrofert, was zu einer erhohten Regelgeschwindigkeit fuhrt , wahrend im weiteren Verlauf der Vorst euerkanal die Ausregelung der Regelabweichung nicht mehr beeinflusst.

124

2. Regelungstechnische Grundlagen

w

y

Abb. 2.44. Statische Vorsteuerung

Dynamische Vorsteuerung. Bei einer Kaskadenschaltung lasst sich im Prinzip fur jeden Regelkreis eine statische Vorsteuerung einfugen. Elegant er ist aber eine dynamische Vorsteuerung, die auch als F iihrun gsgroBengenerator bezeichnet wird. Das Prinzip der Vorsteuerung, namlich durch eine zusat zliche Aufschaltung das Fuhrungsverh alt en des Regelkreises zu verbessern , bleibt aber erhaIten. Die Funktionsweise eines Fuhrungsgrofengenerators soll anhand des Beispieles in Abb . 2.45 erlautert werden . Die Zeitverluste, die bei der Kaskad enr egelung dadurch entstehen, dass ein neuer Sollwert erst die gesamte Reglerkaskade durchlaufen muss, ehe er auf die St recke gelangt , sollen hier dadurch eliminiert werden, dass passend zum Sollwert Y l ,Z i ei fur die Haupt regelgrolle Yl ein Sollwert Y2 ,Soll fur die innere Regelgrofe Y2 abge leitet und direkt an den inneren Regier 2 gegeben wird . Dieser regelt dann seine Regelgrofe Y2 auf den geforderte n Wert , und die Hauptregelgrofle ste llt sich in der Foige theoretisch ohne Mitwir kung von Regier 1 auf den richtigen Wert ein. FGG

Abb. 2.45. Dynamische Vorsteuerung

Die Berechnun g des Sollwertes Y 2,S oll erfolgt im Fiihrungsgroflengenera tor (FGG) mittels eines Streckenmodells. Zwischen Y2 ,Soll und Yl ,S oll muss der gleiche Zusammenh ang wie zwischen Y2 und Yl bestehen, im vorliegenden Fall also ein PTrGlied mit der Verzogerungszeit T 1 • Dieses PT1-Glied ist aber im FGG auch vorhanden. Wenn nun ein neuer Sollwert Y l,Ziei ftir die Hauptregelgrofe vorgegeben wird , so wird sich der Ausgang des Int egrators im FGG so lange verand ern ,

2.6 PID-Regler

125

bis sein Eingang gleich Null ist, also bis Yl ,Soll = Yl ,Ziel gilt. In dem Fall hat aber wegen des oben erwahnte n Zusamm enhanges auch Y2 ,Soll gerade den zu Yl ,Zi el passenden Wert erreicht . Durch den Int egrator im FGG wird dariiber hinaus auch gewahrleistet , dass Y2 ,Soll einen st et igen Verlauf aufweist , der vom Hegler 2 fur die als Ausgang eines Verzogerungsgliedes sicherlich ebenfalls stetige GraBe Y2 dann auch eingehalte n werden kann . Die Gesamtschaltung im FGG , also das Ubertragungsverhalten von Yl ,Ziel nach tn.ssu, entspricht einem PT2-Glied , dessen Dampfung iiber die Integrator-Z eitkonstante T eingeste llt wird. Wird diese Zeitkonstante groB genug gewahlt , so ist die Dampfung grofer als Eins , das Einschwingverhalten ist aperiodisch, und sowohl Yl ,Soll als auch Y2 ,S oll verand ern sich monoton vom alten auf den neuen Sollwert. Es ste llt sich die Frage, warum der aufere Regelkreis iiberhaupt noch benotigt wird . Man muss aber in der Praxis immer damit rechnen, dass das Streckenmodell im FGG nicht exakt ist oder Storungen in der Strecke zwischen Y 2 und Yl angr eifen, die vom Regier 2 natiirlich nicht erkannt werden konnen, Daher ist ein aufe rer Regelkreis fur die Hauptregelgrofle unerlasslich, Da der Sollwert Y l ,S oll ftir diese Regelgrofe ebenfalls vom FGG stammt, ist sichergestellt, dass die Sollwert e ftir beide Regier zueinander passen und die Regier nicht gegeneinand er arbeiten. Wie bei der stat ischen Vorsteuerung gibt es auch beim Ftihrungsgrofengenerator keine St abilitatsprobleme, sofern seine interne Ubertragungsfunktion nicht inst abil ist , da auch er auBerhalb des geschlossenen Kreises ar beitet . Damit ist er natiirlich auch nur bei einer Anderung der Fuhrungsgrofle wirksam . Die schnelle Ausregelung von StOrungen ist aber dur ch die Kaskadenschalt ung ohnehin gewahrleistet . Entkopplung. Bisher nicht behandelt wurden in diesem Kapitel die MehrgraBensysteme. Dab ei ist es in der Realit at der Norm alfall, dass auf ein System mehrere Grofen einwirken und andererseit s auch mehr ere Ausgan gsgrofe n von Interesse sind, wobei jede Ausgangsgrofe von mehreren Eingangsgrofen abh angen kann . Man spricht hier von einer Verkopplung der einzelnen Grofen .

In man chen Fallen lasst sich zu jeder Ausgangsgrofe genau eine Eingangsgrofe angeben, die einen wesentli chen Einfluss auf die Ausgangsgrofie hat , wahrend der Einfluss aller anderen Eingangsgrofien eher gering ist. Dann kann man versuchen , die Ubort ragungsfunkt ion von jeder Eingangs- zur zugehorigen Ausgangsgrofe zu bestimmen und fur dieses Teilsyst em eine Regelung wie fur ein gewohnliches Eingrofiensyst em auszul egen. Der Einfluss der anderen Teilsyst eme wird ignorier t . Das Mehrgrofensystem wird also in mehrere Teilsysteme zerlegt, die als voneinand er unabhangige Eingrofensysteme behandelt werden. Voraussetzung fur den Erfolg dieser Vorgehensweise ist offensichtlich , dass die Kopplungen zwischen den Teilsyste men ausreichend schwach sind .

126

2. Regelungstechnische Grundlagen

Bei zu starker Verkopplung der Teilsysteme kann diese Methode aber fatal e Folgen hab en. Wird beispielsweise durch einen RegIer eine Eingangsgr6Be der Mehrgr6Benstrecke verand ert , so verand ern sich mehrere Ausgangsgr6Ben, was Reaktionen anderer Regier hervorruft , die sich wiederum auf die Regelgr6Be des erste n Reglers auswirken konnen, Dieser leitet daraufhin entsprechende GegenmaBnahm en ein, was wiederum GegenmaBnahmen anderer Regier hervorruft. Es ist unwahrscheinlich, dass das Syst em jemals in einen st ationar en Endzustand kommt . Schlimmstenfalls konnen die Schwingungen sogar aufklingen. Man kann aber weiterhin fur jede Gr6Be einen eigenen Regelkreis auslegen, falls sich der Einfluss der anderen Gr6Ben auf diesen Kreis komp ensieren lasst . Abb. 2.46 zeigt als Beispiel eine Zweigr6Benstrecke, bei der sich die Stellgr6Ben U1 und U2 tiber die Ubertragungsglieder Gi j auf beide Ausgangsgr6Ben auswirken. Damit jeder der beiden Regelkreise fur sich dimensioniert werden kann , sind die Gr6Ben d1 und d2 zu kompensieren. Dies geschieht mit den Signalen a1 und a2, die tiber die Entkopplun gsglieder E i j aus den Stellgr6Ben hervorgehen. Beispielsweise muss fur eine Komp ensat ion von d2 durch a2 gelten: (2.130) Die Entkopplung ents pricht damit im Prinzip einer St6rgr6Benaufschaltung. Aus (2.130) folgt mit d2(s) = G 12(S)U2(S) und a2(s) = E 12 (S)U2(S) fur die Berechnun g des Ent kopplungsgliedes: I

Gll (s )Ed s)U2(S) == -G 12(S)U2(S) =} E () __ G 12(S) 12 S Gu(s)

(2.131)

Analog dazu gilt fur das zweite Entkopplungsglied: E

( ) __ G21(S) 21 S

-

G22 ( S )

(2.132)

Da bei diesen Formeln Ubertragungsfunktionen im Nenner auftauchen, gibt es naturlich Beschrankungen in Bezug auf Nullst ellen mit positi vem Realt eil und auch in Bezug auf die Ordnung von Zahler- und Nennerpolynom, so dass eine solche Ent kopplung in vielen Fallen nur eingeschra nkt oder gar nicht moglich ist . Die in diesem Kap itel vorgestellt en Methoden eignen sich hervorr agend zur Regelung linearer Eingr6Bensysteme, aber auch nichtlineare Strecken (nach einer Linearisierung) und sogar Mehrgr6Bensyste me lassen sich teilweise noch mit diesen einfachen Mitte ln regeln. Daher besteht der iiber walt igende Ant eil aller indus tri ell eingesetzten Regier aus Reglern vom PID -Typ mit den verschiedensten Strukt urerweiterungen. In der Forschung wird dagegen seit den sechziger J ahren ein anderer Ansat z verfolgt , der eine wesentli ch t iefere Einsicht in das Systemverhalt en mit sich bringt und dadurch eine

2.7 Zustandsdarstellung und Zustandsregelung

127

Entkopplung t- -

, .

, , ,

- - - - - - - - -- - -- - - - ---,

Ut

' I

,

1

,,

Y2 ' '

,

Abb. 2.46. Entkopplung bei einem Zweigrofiensyst em

Mehrgrof enr egelun g von St recken beliebiger Ordnung in einem geschlossenen Ansat z errnoglicht . Es ist das im niichst en Kapit el vorgest ellte Prinzip der Zustand sregelun g.

2.7 Zustandsdarstellung und Zustandsregelung 2.7.1 Grundlagen Definition von Zustandsgroflen. Die Met hodik , die den klassischen regelungstechnischen Verfahren zu Grunde liegt , lasst sich folgenderm aBen skizzieten: Die Different ialgleichungen der St recke werden in den Frequenzbereich t ransform iert und zu einer Ubertragungsfunkt ion zusa mmengefasst , fur die dann - ebenfalls im Frequenzb ereich - ein geeignet er Regier gesucht wird. Diese Vorgehensweise ist in der Mitte des J ah rhu nderts entwickelt word en, wahr end sich die Regelun gstechn ik als eigenstiindige W issenschaft etablierteo Aber seit Beginn der sechziger J ahre ist an ihre Seite eine vollig andere Meth odik getreten, die in diesem Kapitel vorgestellt werden solI. Sie wird als Zust andsraumrnethodik bezeichnet und geht zu gra Ben Teilen auf Rudolf Kalm an zuriick [79, 209]. Der entscheidende Unte rschied zur bisherigen Vorgehensweise liegt in einer Betrachtung der int ernen GraBen des Systems. Versucht e ma n friiher , die internen Grof en zu eliminieren und durch die Ube rt rag ungsfunktio n einen direkt en Zusammenh ang zwischen Ein- und Ausgan gsgrof en herzustellen , so wird bei der Zust and sr au mmeth odik gerade das gegent eilige Ziel verfolgt. Hier wird auf das Verhalten der int erne n Syst emgrofen besonderes Augenmerk gelegt , wiihrend d ie Ausgan gsgrofien nur am Rande betrachtet werden. Es wird sich zeigen , dass die Bet rachtung der intern en Grofen zu wesentli ch besseren Einsicht en in das Systemverhalten fuhrt .

128

2. Regelungstechnische Grundlagen

Das zu Grunde liegende Prinzip ist relativ einfach. Die Differenti algleichungen der Strecke werden nicht mehr in den Frequenzbereich transformiert und zu einer Ubertrag ungsfunktion zusammengefasst , sond ern im Zeitbereich so zerlegt, dass ein System aus Differenti algleichungen erst er Ordnung entsteht . Dies ist immer mi:iglich, denn jede Differentialgleichun g k-t er Ordnung lasst sich in k Gleichungen erster Ordnun g zerlegen, sofern man genligend inte rne Hilfsgri:iBen, die sogena nnte n Zustand sgroBen einfiihrt. Diese Zust and sgri:iBen oder Zustandsvariablen konnen da bei durchaus realen physikalischen Gri:iBen ents prechen. Am Ende erhalt man ftir eine Strecke n-ter Ordnung ein System von n Differentialgleichungen erste r Ordnung, wodurch die n Zustandsgri:iBen festg elegt sind . Die Ausgangsgri:iBen des Syst ems konn en dann durch gewi:ihnliche Funktionen der Eingangs- und Zustandsgri:iBen beschrieben werden. Es ergibt sich

Xi = Yj

Ii( XI , X 2 " " , UI , U 2,

= gj ( X I , X 2 , ... ,UI,U2 ,

,t) ,t)

,n } j E {l , ,m}

i E {l ,

(2.133)

bzw. in vekto rieller Schreibweise

x = f (x, u , t ) Y = g (x , u , t)

(2.134)

= [Xl , ...,xn]T , U = [UI , ...]T , Y = [YI, ... ,Ym]T, f = [h ,..., fn]T und [gl ' ...,gm]T.

mit x g =

Diese Gleichun gen bezeichnet man als die Zustandsdarstellung des Syst ems . Dab ei sind die Ui die Eingangsgri:iBen des Syst ems, die Xi die Zustandsgri:iBen, die Yi die Ausgangsgri:iBen und die Ii und gi zunachst beliebige, skalare Funktionen der Zust and s- und Eingangsgri:iBen sowie der Zeit t. Die Ausgangsgri:iBen mussen nicht unb edingt von den Zust and sgri:iBen verschieden sein. Bei Gleichheit einer Zustand sgri:iBe und einer Ausga ngsgri:iBe wird die zugehi:irige Funk tion gj natii rlich trivial: Yj = g j( x, u , t ) = X j ' Allgemein ist aber davon auszugehen, dass die Anzahl der Ausgangsgri:iBen m kleiner ist als die Anzahl der Zust and sgri:iBen n. Da u und y als Vektoren definiert werden , sind Mehr gri:iBensysteme in diesem Ansatz offensicht lich von vornherein ent halte n. Bei Bedarf kann aus diesen Gleichungen auch ein direkter Zusamm enhang zwischen Ein- und Ausgangsgri:iBen ermit te lt werd en, wie spa ter noch gezeigt wird . Eine Beschrankung auf lineare und zeit invariante Syst eme, wie sie bisher durch die Anwendung der Laplace-Transformati on erforderlich war , ent fallt .

Eigenschaften von Zustandsgroflen. Anh and eines sehr einfachen Beispieles soli nun ein GefUhl da ftir vermittelt werden, was eigent lich eine Zustandsgri:iBe ist . Gegeben sei ein Korper der Masse m , auf den eine Kraft f a einwirkt (Abb. 2.47), wobei die Reibung vernachlassigt werd en solI. Die zugehor igen Gleichungen lau ten:

2.7 Zustandsdarstellung und Zustandsregelung

129

fa(t) = m a(t) a(t) = dv(t) dt

= dl(t)

v(t)

dt

(2.135)

"j",7",~

Abb. 2.47. Beschleunigter Korper Ausgehend von einem festen Zeitpunkt to soll nun die Lage 1des Korpers zu einem spateren Zeitpunkt tl > to ermittelt werden . Eine Umformung der Gleichungen liefert

a(t)

1

= - fa(t) m

J t

v(t) =

a(T)dT + v(to)

to t

l(t) =

J

v(T)dT + l(to)

(2.136)

to

und Einsetzen in die letzte Gleichung schlieBlich

l(td =

J [j ~ to

fa(eJ)deJ + V(tO)] dr + l(to)

(2.137)

to

Folgendes ist ersichtlich: Die Lage l(td zu einem bestimmten Zeitpunkt kann nur dann berechnet werden, wenn die Anfangswerte l(to) und v(to) sowie der Verlauf der Eingangsgr6Be des Systems fa(t) im Zeitintervall t E [to, t l ] bekannt sind . Fruhere Vorgange fur t < to spielen keine Rolle. Daraus folgt, dass l(t o) und v(t o) offenbar den Zustand des Systems zum Zeitpunkt to vollstandig charakterisieren. Mit Kenntnis dieses Zustandes und der von diesem Zeitpunkt an angreifenden Eingangsgr6Be fa(t) lasst sich jeder Folgezustand berechnen. a(to) ist dafiir nicht erforderlich, da zur Berechnung von a(t) aus der Eingangsgr6Be im Gegensatz zu v(t) und l(t) auch keine Integration erforderlich ist. Die Beschleunigung kann sogar ohne weiteres eliminiert werden. Man erhalt dann eine Zustandsdarstellung des Systems gemaf Gleichung (2.133) mit den Zustandsgr6Ben X l = v und X 2 = l; der Ausgangsgr6Be y = lund der Eingangsgr6Be u = fa:

130

2. Regelungstechnische Grundlagen

.

dv(t ) t dl (t)

1

Xl = -d- = - ia (t) = ft(u ) . X2

m

= d,t = v(t ) = !2(Xl) y = I(t) = g(X2)

(2.138)

Anhan d der Form der beiden Gleichungen (2.134) lasst sich auch allgemein beweisen, dass das Systemverhalte n durch die Werte der Zust an dsgrofen zu einem bestimmten Zeitpunkt und den weiteren Verlauf der Eingangsgrofen eindeutig bestimmt ist. Eb enso ergibt sich durch Umstellen der Zust andsgleichungen sofort , dass die Zust andsgroflen immer durch Integration aus anderen Crofen hervorgehen und dah er in einem Blockschaltbild Ausgan gsgrofen von Integratoren sein miissen (vgl. auch Abb. 2.47):

J t

x (t) =

f (x (r ),u(r),r)dr +x(O )

(2.139)

r =O

Da weiterhin als Argumente des Vekt ors f keine Ableitungen auftreten, sind die Zust andsgrofien immer das Er gebnis einer Integration endlicher GraBen und dami t grundsatzlich stetig. Die Integrat oren konnen daher wegen ihr es nur stetig vera nderlichen Inh alt es auch als Speicher int erpretiert werden , was in vielen Fallen die Anschaulichkeit der Zust andsdarstellung erhoht . Als Speichergrofen komm en stetig veranderliche GraBen wie Masse an Fliissigkeit in einem Behalter oder En ergie in Frage. Die Zust andsgrofien reprasentieren dann beispielsweise den En ergieinh alt des Syst ems. Fasst man die Zust andsgrofien zu einem Zust and svektor x = [Xl , ...,xnV zusammen, so beschreibt dieser Vektor einen Punkt im n-dimensionalen Zustandsraum . Wegen der St etigkeit der einzelnen Komp onenten bilden diese Punkte im zeit lichen Verlau f eine Trajekto rie oder Zustandskurve. In Abb . 2.48 ist eine solche Kurve fur die oben beschriebene St recke dargestellt. Ausgehend vom Anfan gszustand 1(0) = v(O) = 0 nehm en Lage und Geschwindi gkeit bei konstanter positi ver Beschleuni gun g zun achst zu. Da die Geschwindigkeit in der Anfangsph ase der Bewegung starker anste igt als die Lage, ergibt sich eine parab olische Kurvenform. Anschauli ch gesehen muss erst eine Geschwindigkeit vorh anden sein , bevor cine Lageanderung eintri tt . Zum Zeitpunkt t l wird die Kraft bzw. die Beschleuni gung auf einen negativen Wert umgeschaltet . Die Geschwindi gkeit verringert sich wieder, bis die Endposition zum Zeitpunkt t 2 erreicht ist . Berechnen lasst sich eine solche Zustandskurve, wenn ma n in den Zust an dsgleichun gen die Zeit eliminiert und v dir ekt in Abh an gigkeit von 1 angibt. Zu st a n d sda r st e ll u n g linearer Systeme. Die Zust andsdarstellun g kann noch starker schema tisiert werden , wenn man sich auf lineare und zeitinvariant e Syste me ohne Totz eit en beschra nkt . Die Vektorfunktionen f = [ft ,..., i nf' und g = [gl' ...,gm]T werd en dadurch zu linearen Funktionen

2.7 Zustandsdarst ellung und Zustandsregelung

131

v let)

t=O

,, a>0 : a
174

2. Regelungsteehnisehe Grundlagen

Abb. 2.12. Dreipunktglied ohne und mit Hysterese nem Dreipunktregler ohne naehgesehalteten Integrator wtirde der Regelkreis genauso in eine stationare Schwingung tibergehen wie mit einem Zweipunktregler. Dagegen kann mit Hilfe des Integrators wegen seines kontinuierlichen Ausgangsgrofenbereiches genau der passende Wert ftir y' bereitgestellt werden. Dies heiBt aber nieht , dass der in Abb . 2.72 gezeigte Kreis in jedem Fall zur Ruhe kommt . Wenn namlich die Integrationszeit sehr kurz im Verhaltnis zu den nachfolgenden Streckenzeitkonstanten ist , wird die Ausgangsgrofe y dem Integrator-Ausgang y' nieht schnell genug folgen konnen . Der Integrator durchlauft dann den richtigen Wertebereich, d.h. die Werte, die am Streekenausgang einen im Toleranzbereich liegenden Wert von y hervorrufen wurden, wah rend die Ausgangsgrofe y aber noeh auBerhalb des Toleranzbereiches von w liegt. Wenn sie diesen dann endlieh erreicht, hat sieh y' schon wieder aus dem richtigen Wertebereich entfernt. y wird dem neuen Wert von y' folgen und daher den Toleranzbereich wieder verlassen . Bei ungiinstig gewiihlten Parametern entstehen also auch hier Schwingungen, die nicht abklingen. Fiir die Kombination aus Dreipunkt-Regler und Integrator spricht aber, dass ein Integrator bei technischen Systemen relativ haufig am Anfang der Strecke vorkommt , so dass ftir diese Kombination nicht extra ein Integrator in die Strecke eingefUgt werden muss . Ein Beispiel ist die Druckregelung in einem Kessel mit einem Motorventil, das den Ablauf aus diesem Kessel regelt . Das SchlieBen des Ventils hat also einen Dru ckanstieg im Kessel zur Folge, und das Offnen einen Druckabfall. Der Ventilmotor wird tiber einen Wahlschalter mit den drei Moglichkeiten auf, zu und stop angesteuert. Bei auf dreht sich der Motor in die eine Richtung und der Ventil-Offnungsquerschnitt vergrofert sich, bei zu erfolgt eine Drehung in die andere Richtung und der Querschnitt verkleinert sich. Der Wahlschalter bildet demnach das Dreipunkt-Glied, das Ubertragungsvcrhaltcn zum Ventiloffnungsquerschnitt lasst sich durch einen Integrator beschreiben, und das dynamische Verhalten des Kessels durch das Verzogerungsglied hoherer Ordnung. Vorzeitiges Umschalten und Sliding Mode. Wie die obigen Beispiele gezeigt haben , fuhrt ein System, das einen Zweipunktregler enthalt, immer

2.8 Nichtlineare Systeme

175

Schwingungen ails. Enthalt der Zweipunktregler Hysterese, kann das System durch das verzogerte Umschalten sogar instabil werden. Die Uberlegung liegt deshalb nahe , durch vorzeitiges Umschalten das Systemverhalten zu verb essern. Die Umschaltgerade eines idealen Zweipunktgliedes miisste also in der oberen Halft e der Zust ands ebene nach links und in der unt eren Halft e nach rechts verschoben werden. A.hnliche Auswirkungen ha t auch eine Verdrehung der Schaltgeraden in posit iver Richtung. Diese Verdr ehun g lasst sich fur das System in Abb . 2.66 bzw. 2.67 beispielsweise erzielen, wenn man die Gleichung e = 0 bzw. l = w ftir die Schalt gerade in der Zustandsebene dur ch l = w - kv mit k > 0 ersetzt. Fur die Stellgrofe folgt die Definitionsgleichung: 0 < w - kv-l u= { 1 (2.228) - 1 0 > w - kv -l Dieses Verh alten lasst sich offenbar erzielen, wenn man als Eingangsgrofe des Zweipunktgliedes statt e bzw. w -l gerade w - kv -l wahlt. Man erhalt dann die in Abb . 2.73 gezeichnete Struktur mit einer zusatzlichen Riickfiihrung. Anhand der Zust and skurve ist deutlich zu sehen, dass sich das Stabilitatsverhalten des Syst ems verb essert hat. Die Amplituden der Schwingung nehmen immer weiter ab, bis schlieBlich der Sollwert w = l erreicht ist . v

t=O

Abb. 2.73. Zweipunktregler mit zusatzlicher Rlickfiihrung Betrachtet man das Einschwingverhalte n aber etwas genauer , so stellt man fest , dass das System nicht ganz so ideal ist , wie es auf den ersten Blick erscheint (Abb. 2.74). Die Zust and skurve nah ert sich beispielsweise irgendwann von rechts mit u = -1 der geneigten Schaltgeraden. Bei Errei chen der Schaltgerad en wird auf u = 1 umgeschaltet . Der Systemzustand sollte sich jetzt eigent lich nach links von der Schaltgeraden ent fernen. Da die Neigung der Zustandskurve aber grofier ist als die Neigung der Schaltgeraden , ent fernt sich das System nach rechts . Da in diesem Bereich jedoch die Bedingung fur u = - 1 gilt , wird sofort wieder umgeschalt et , und das System nahert sich wiederum der Schalt geraden. Auf diese Art und Weise gleitet das System bei einer t heoretisc h unendlich hohen Umscha lt frequenz in den Endzust and hinein. Ein solches Verhalt en wird als sliding mode bezeichnet . Eine unendlich hohe Umschalt frequenz kann es dabei in der Realit iit naturlich nicht geben,

176

2. Regelungstechnische Grundlagen

weshalb die vorangegangene Erkl arung auch eher als Erkl iirungsans at z denn als Beweis zu verstehen ist. Dennoch ist bei einer solchen Anord nun g in der Tat eine auBerordent lich hohe Schaltfrequenz kur z vor Erreichen des Sollwertes zu beobachten. Ein e exakte Herleitung fur einen Sliding Mode-RegIer findet sich in Kapitel 2.8.10 . Bei hyst eresebehafteten Zweipunktreglern weicht das Syste mverhalten durch die jeweils verzogerten Umschaltungen zwar etwas vom hier beschriebenen Idealzustand ab , ist im Prinzip aber das gleiche. Die Verwendung eines Dreipunktreglers bringt den Vort eil mit sich, dass der RegIer abschaltet , sobal d sich die Ausgangsgrofse ausreichend nahe am Sol1wert befindet. So konnen die hochfrequent en Umschaltvorgiinge in der Endphase vermieden werden. v

: l=w Abb. 2.14. Sliding mode mit einem schaltenden Ubert ragungsglied Zeitoptimale Regelung. Bisher war es immer so, dass ein Syst em mit einem scha lte nden Ubertragungsglied bei Vorgab e eines neuen Sol1wertes zunachst tiber das Ziel hinausgeschossen ist . Er st dann naherte es sich nach mehreren Umschaltv orga ngen - wenn iiberhaup t - dem gewtinschte n Endzustand. Dieses Verh alten soll fiir einen dopp elt en Integrator , d.h . einen beschleunigte n Korp er kur z ana lysiert werd en. Der Anfangszustand sei (I, v) = (0, 0), und der Endzust and sei (w, 0). Urn den Endzustand zu erreichen, muss der Korp er zunachst beschleunigt werden. Ein HinausschieBen tiber das Ziel bedeut et demn ach, dass die anfangliche Beschleunigun gsph ase zu lange gedauert hat und es nicht mehr moglich war, den Korp er bis zum Erreichen des Zielpunktes abzubremsen. Ein verb essertes Regelverh alten ergibt sich dernnach auf jeden Fall, wenn man rechtz eitig mit dem Abbremsen beginnt. Und ein zeitoptimales Verhalten liegt vor, wenn der Korp er so lange wie moglich beschleuni gt und dann im letztrnoglichen Augenblick mit dem Abbremsen begonnen wird. Ein Blick auf die Zust and sebene zeigt , welches Vorgehen dazu notwendig ist (Abb. 2.75). Zunachst wird eine Schaltkurve berechnet. Dies ist die Zustandskurve , auf der das System fur v > 0 bei maxim al moglicher negativer Beschleuni gung exakt in den Zielpunkt iiberfilhrt wird (bzw. ftir v < 0 bei maxima l moglicher positiver Beschleunigung). Befindet sich der Systemzust and unterhalb dieser Schaltkurve (P unkt 1), so kann das System zunachst noch so lange positiv beschleunigt werden, bis die Schaltkurve erre icht wird . Dann wird au f maxim al mogliche negati ve Beschleuni gung umgeschalt et , und das Syst em bewegt sich auf der Scha lt kurve exa kt in den Zielpunk t. Liegt der Sy-

2.8 Nichtlineare Systeme

177

stemzustand dagegen oberhalb der Schaltkurve (Punkt 2), so bedeutet dies, dass das System nicht mehr so abgebremst werden kann, dass der Zielpunkt noch erreicht wird. Stattdessen befindet sich das System nach dem Abbremsen im Zustand 3. Urn von dort aus in den Zielzustand zu gelangen, ist es zunachst weiterhin in negativer Richtung zu beschleunigen, bis der untere Ast der Schaltkurve erreicht wird . Von dort aus kann es dann mit maxi maier positiver Beschleunigung in den Zielzustand iiberfiihrt werden. ~S chaltkurve

v

I

-:

2

Abb. 2.75. Zeitoptimaler Verstellvorgang

Eine Regelungsstruktur, die solche Verstellvorgange ermoglicht, wird zeitoptimale Regelung genannt und ist in Abb . 2.76 gezeichnet. Im Regier 1 wird zunachst der Wert der Schaltkurve us fur die jeweilige Regeldifferenz e berechnet. Da l in diese Regeldifferenz mit negativem Vorzeichen eingeht, erscheint die Schaltkurve im zugehorigen Block geradc seitenverkehrt. Dies ist auch anschaulich leicht zu erklaren. Beispielsweise befindet man sich fiir eine positive Regeldifferenz, wenn also der Sollwert groBer als der lstwert ist, in Abb . 2.75 links vorn Zielpunkt. Daher muss in diesem Fall der zugehorige Wert der Schaltkurve positiv sein , was die im Regier 1 eingezeichnete Schaltkurve auch widerspiegelt. Der so berechnete Wert der Schaltkurve vs wird dann mit der tatsachlichen Geschwindigkeit v verglichen. Ist die Differenz positiv, so befindet sich das System unterhalb der Schaltkurve. Entsprechend erzeugt der Zweipunktregler 2 die maximal mogliche positive Stellgrofe. Sobald die Differenz us - v kleiner als Null wird , schaltet der Regier auf die negative Stellgrofe urn, und das System bewegt sich auf der Schaltkurve in den Zielpunkt. Im Zielpunkt ist das Verhalten dann allerdings undefiniert. Da der Regier 2 immer eine von Null verschiedene Ausgangsgrofie liefert , kann das System nicht zur Ruhe kommen. Es wird mit theoretisch unendlich hoher Schaltfrequenz urn den Zielpunkt herum schwingen . Hier sollte die Moglichkeit einer Abschaltung vorgesehen werden , beispielsweise, indem man das Zweipunktglied durch cin Dreipunktglied ersetzt. Anhand der Variationsrechnung Iasst sich beweisen , dass die durch diese Reglerstruktur erzeugten Regelvorgange immer zeitoptimale Regelvorgange

178 w

2. Regelungstechnische Grundlagen e

Abb. 2.76. Zeitoptimale Regelung sind . Dies ist auch ansehaulieh sofort klar , denn die St reeke wird zunachst , abhangig vorn Anfangszust and , mit maximaier positiver oder negative r Kraft besehleunigt und dann im let ztmo glichen Augenbliek mit der entgege ngeriehteten Kraft abgebremst. Ganz offensiehtlieh kann man ein solches Verhalt en nur mit einem sehaltenden Regier erzeugen. 1st der Regier hysteresebehafte t , so kann das System wegen der verspateten Umsehaltung nieht exakt auf der Sehaltkurve in den Zielpu nkt lau fen. St attdessen bewegt es sieh neben der Sehaltkurve und sehieBt deshalb etwas tiber das Ziel hinaus. In der Umgebung des Zielpunkt es stellen sieh dann Sehwingun gen mit kleiner Ampli tude und sehr hoher Frequenz ein. In der Praxis ergibt sieh auBerdem noeh das Problem, dass man die Streeke zur Bereehnung der Sehaltkurve genau kenn en muss , was meist ens nieht gegeben ist . Aber aueh bei nicht exakt bereehnete r Sehaltkurve ergibt sieh noeh ein reeht gutes Regelverh alt en. Ein e zeitoptimale Regelung ist aueh fur Systeme hoherer Ordnung moglieh. In einem Syst em dri tter Ordnung ist beispielsweise die Sehaltkurve dureh eine Sehalt ebene im Zust and sraum zu ersetzc n. Dur eh eine maxim ale positi ve oder negat ive Ausgangsgrolle 1L des Reglers wird zunachst diese Sehaltebene erre ieht. Dort muss das Vorzeiehen von 1L geweehselt werden. Das Syst em bewegt sieh dann im Zust and sraum auf der Sehaltebcnc bis zu einer Sehaltkur ve, die in der Ebene verlauft . Dart wird dann erne ut das Vorzeiehen von 1L geweehselt , und das Syst em strebt in den Endzustand . Es lasst sieh zeigen, dass fur cin Syst em der Ordnung n, das keine Pole mit positivem Realteil aufweist , gena u n - 1 Varzeiehenweehsel der Stellgrolle fur einen Regelvorgang erforderlieh sind. Pulsweitenmodulation. Zum Absehluss soll auf das fiir die Praxis auBerst wiehti ge Verfahr en der Pulsweitenmodul ati on (PWM) eingegangen werd en. Der Naehtei l sehalte nder Ubert ragungsglieder best eht darin , dass ihre Ausgangsgrofie nur wenige, diskrete Werte annehmen kan n. Damit sind sie zunachst als Stellglieder fur eine hoehwerti ge Regelung nicht zu gebra uehen. And ererseit s ist man wegen ihres geringen Preises aber trotzdem daran int eressiert , sic innerhalb einer Regelung einzusetzen. Hier stellt die P WM ein geeignetes Verfahren dar , urn einem Sehalt er dureh intelligente Anst euerung ein quasi-kont inuierliehes Verhalten aufzupragen. Bei der PWM wird ein sehalt end es Ubertragun gsglied naeh einem sp eziellen Sehaltmust er hoehfrequent umgesehaltet , so dass sieh an seinem Ausgang eine hoehfrequente Reeht eeksehwingung mit variabler Pulsweit e einste llt . Gibt man diese Reeht eeksehwin-

2.8 Nichtlineare Systeme

179

gung als Stellgrofe auf eine Tiefpassstrecke, so werden die hochfrequenten Anteile aus dem Signal herausgefiltert. Die Ausgangsgrofe der Strecke ist demnach nur vom Mittelwert der Rechteckschwingung abhan gig. Damit kann man den Mittelwert nah erungsweise als Stellgrofe ansehen. Da dieser Mittelwert andererseit s aber in Abh angigkeit vom Schaltmuster st etig veranderlich ist , ist es nur eine Frage des Schaltmusters, urn dem schaltenden Ubertragungsglied die Eigenschaften eines linearen Reglers aufzupriigen. Ein sehr anschauli ches Verfahren, ein solches Schaltmuster und damit einen quasilinearen RegIer zu erzeugen, bildet die Linearisierung durch eine Riickfiihrung (Abb. 2.77). DeI' aus Zweipunktglied und Riickflihrfunktion G R (s) bestehend e, int erne Kreis wiI'd unter der Voraussetzung, dass er stabil ist , Schwingungen ausfuhren, Und zwar fuhrt u eine Recht eckschwingung aus, und YR schwingt urn die Eingangsgrofie e. Je kleiner die Hysteresebreite des Zweipunktgliedes ist , desto hochfrequenter ist die Rechteckschwingung und desto weniger entfernt sich auch YR von e. Wenn weiterhin die Strecke G(s) Tiefpasseigenschaften besitzt , wiI'd nur der Mittelwert der Recht eckschwingung am Ausgang Y wirksam. Das gleiche gilt auch fur die Auswirkungen c1er Stellgrofe auf die int ern e Riickkopplungsgrofle YR. Man kann sich da her auf eine Betrachtung der Mittelwer te beschranken, Es gilt YR (S) = GR(s)u(s) und bei ausreichend kleiner Hysteresebr eite au ch e ~ fiR . Darau s folgt 1

u(s) ~ GR(s)e(s)

(2.229)

d.h. hinsichtlich der Mittelwerte ents pricht das gesamte Ubertragungsverh alten des Reglers mit Riickflihrung in etwa dem Kehrwert der int ern en Ubertragungsfunktion. J e nach Wahl dieser Funktion lassen sich so niiherungsweise die verschiedensten linearen Regier realisieren. Regier

1--- - - - - - - - - - - - - --- - - - -,

w

e

y

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y

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-

-

-

_ I

Abb. 2.77. Lineari sierung durch int erne Rtickfiihrung

Neben der Linearisierung durch eine Riickflihrung gibt es noeh viele ander e Verfahren zur Pulsweitenmodulation. Haufig werden optirnierte Schaltmuster in Tabellen abgel egt und c1ann je nach zu erzeugendem Mittelwert u ausgelesen (vgl. [108]). Die gesamte Pulsweit enrnodulation wird dabei von

180

2. Regelungstechnische Grundlagen

einem einzigen Ie Iibern ommen. Insbesond ere im Bereich der elektrischen Antriebst echnik ist die Pulsweit enm odulation von groBer Bedeutung. Damit ist die Dar st ellung der verschiedenen Aspekt e schalt ender Ubertragun gsglieder abgeschlossen . Anh and dieser Ubertragungsglieder sollten die wichtigst en nichtlinearen Effekt e anschaulich erlautert und ein gewisses Grundverst andnis ftir die Problematik nichtlinearer Regelkreise vermitt elt werden. Von zentraler Bedeutung fur den Regelungstechniker ist da bei die Stabili tat sfrage. Urn ein nichtlin eares System hinsichtli ch seiner Stabilit at analysieren zu konnen, ist es ab er erforderlich, dass man von der bisher praktizierten , eher int uitive n Sichtweise zu einer exakte n Formuli erung des Problems iibergeht . Die folgenden Definition en und Satze sind dabei nur fur zeitkonti nuierliche Systeme angegeben, gelten ab er in ana loger Weise auch fur zeitdi skrete Syst eme. AnschlieBend werden dann die fur nichtlinear e Syst eme wichtigst en Stabilitatskriterien , die au ch auf Syst eme mit Fuzzy-Reglern anwendbar sind, vorgestellt . 2.8.4 Definition der Stabilitiit bei nichtlinearen Systemen Ruhelage. Urn den Begriff der Stabilitat fur nichtlineare Systeme exakt definieren zu konnen , muss zunachst auf den Begriff der Ruhelage eingegangen werd en (vgl. [45, 46, 54]): Definition 2.20 Ein dynamisches Sys tem befindet sich fur einen gegebenen konstanten Eingangsvektor Uo genau dann in der durch den Zustands vektor X R bezeichneten Ruh elage, wenn sich die Zustand sgrojlen nicht mehr veriindern, d.h, wenn gilt (2.230)

Dab ei ist die Festlegun g eines konstanten Ein gangsvektors notwendig, da das Syst em sonst offensicht lich nie zur Ruh e kommen konnte. Bei einem linearen Syst em ergebe n sich die Ru helagen aus

o = X R = AXR + Bu.,

(2.231)

Fur IA I =I 0 ergibt sich genau eine Losun g bzw. Ruh elage XR = -A-1BuO . And ernfalls treten keine oder unendli ch viele Losun gen auf. Ein Beispiel ist ein einfacher Int egrator, der sich durch die Zustandsgleichun g

x = Ox + 1u

(2.232)

darstellen lasst . Offenbar ist IAI = O. Fur u =I 0 gibt es keine Ruh elage, wahr end die Gleichun g fiir u = 0 unendli ch viele Losun gen besitz t. Dieses Ergebni s ist einsichtig, wenn man sich klarm acht , dass ein Int egrator fiir eine

2.8 Nichtlineare Systeme

181

von Null verschiedene Eingangsgrobe immer weiter auf- oder abintegriert, wahrend er fur u = 0 an der Stelle stehenbleibt, wo er sich gerade befindet. Wahrend ein lineares System also entweder keine, eine oder unendlich viele Ruhelagen besitzt, konnen bei einem nichtlinearen System auch endlich viele, und zwar mehr als eine Ruhelage auftreten. Ein Beispiel ist das Pen del aus Abb . 2.10. Falls der Korper mittels einer starren Stange aufgehangt ist, existieren offensichtlich Ruhelagen fur a = 0 und a = tt . Stabilitatsdefinition nach Ljapunov. Dabei existiert fur beide Ruhelagen des Pendels ein wesentlicher qualitativer Unterschied, der mit Hilfe der Stabilitatsdefinition nach Ljapunov [112] prazise angegeben werden kann: Definition 2.21 Eine Ruhelage XR heijJt genau dann stabil fur eine gegebene konstante EingangsgrojJe uo, wenn zu jedem E > 0 ein 8 > 0 existiert, so dass fur alle Ix(O) - xRI < 8 die Bedingung Ix(t) - xRI < Emit t 2 0 erjiill: ist.

Eine Ruhelage heiBt also genau dann stabil, wenn der Zustand x(t) des Systems ftir aIle t > 0 in einer beliebig engen Umgebung (E) der Ruhelage bleibt, sofern der Anfangszustand ausreichend nahe (8) bei der Ruhelage liegt (Abb. 2.78).

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,

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Abb. 2.78. Zur Stabilitatsdefinition nach Ljapunov

Laut dieser Definition ist die obere Ruhelage des Pendels instabil, wahrend die untere Ruhelage stabil ist. Lenkt man beispielsweise das Pendel etwas aus der unteren Ruhelage aus und betrachtet diese Stellung als Startzustand, so wird das Pendel zwar schwingen, sich aber nie weiter von der Ruhelage entfernen als beim Startzustand. Hier existiert also zu jeder beliebigen s-Urngebung, die fur t > 0 nicht mehr verlassen werden solI, gerade ein Abstand 8 = E, in dem der Anfangszustand liegen muss, urn diese Bedingung einzuhalten. Dies ist bei der oberen Ruhelage offenbar nicht der Fall. Angenommen, es ist gefordert, dass eine e-Umgebung beispielsweise von einigen Winkelgraden urn die obere Ruhelage nicht rnehr verlassen werden darf. Der einzige Anfangszustand, fiir den diese Bedingung erfiillt ist , ist die Ruhelage seIber. Falls der Anfangszustand nur ganz leicht von der Ruhelage abweicht, kippt

182

2. Regelungstechnische Grundlagen

das Pendel nach unt en , und die geforderte Umgebung wird verlassen. Andererseits ist aber in der Definition gefordert, dass man zu jedem beliebigen c eine J-Umgebung fur den St artzustand mit J > 0 angeben konnen muss, damit die Ruh elage stabil ist . Da dies offenbar fiir die obere Ru helage nicht erfullt wird , ist sie inst abil. Ein anderes anschauliches Beispiel ist das ideale Zweipunktgli ed mit doppelt em Int egrat or (Abb . 2.67). Das System fiihrt um die Ruh elage (l ,v) = (w,O) eine Dauerschwingung aus, deren Amplitude vom Anfangszust and abha ngig ist. Verlangt man hier, dass das System ftir t > 0 innerh alb einer ganz best immt en s-Umgebung um die Ruh elage bleibt , so muss man nur den Anfan gszust and ents prechend wahlen, Daher ist dieses Syst em stabil im Sinne von Ljapunov. Man muss sich aber dartib er im klar en sein, dass die Stabilitat nach Ljapunov nur gewahrleist et , dass eine vorgegebene Umgebung um die Ruh elage nicht mehr verlassen wird. Dies ist in vielen Anwendungsfallen jedoch nicht ausreichend . Dort wird daruber hinaus auch verlangt , dass eine vorgegebene Ruh elage frilher oder spater tatsachlich erreicht wird. Diese Forderung fiihrt auf den Begriff der asymptotisclJen S tabilitat : Definition 2.22 Ein e Ruhelage XR heiflt asymptotisch stabil, wenn sie fur eine konstante Anregung "0 stabil ist un d auflerdem eine (3- Umgebung besitzt mit lim x (t) = XR fur Ix(O) - xRI < (3, d.h. eine Umgebung, aus der aile t -wcc Zustiind e in die Ruhelag e streben. Die Gesam theit aller Punkte des Zustandsraumes, aus denen die Traj ektorien gegen X R streben, heiflt Einz ugsbereiclJ der RulJelage . Umfas st der Einzugsbereich aile Anfangszustiinde, die unter gegebenen, technischen Beschriink ungen auftre ten kon nen, so heifJt die Ruhelage asymptotisch stabil im Groflen. Umf asst der Einzugsbereich den gesamten Zustandsraum, so heiflt die Ruhelage global asymp totisclJ sta bil . Als anschauliches Beispiel kann wieder das Pendel dienen, und zwar seine unt ere Ruh elage. Wenn ein ideales Pendel vorliegt und als Anfangszust and eine Auslenkung vorliegt , so schwingt das Pendel immer weit er und kommt nie zur Ruh e. Die Ruh elage ist stabil nach Ljapunov, aber nicht asympt otisch st abil . Beriicksichtigt man dagegen beispielsweise den Luftwid erst and , so nimmt die Amplitude der Schwingung immer weiter ab und die Ruh elage wird - wenn auch theoretisc h nach unendlich langer Zeit - erreicht. Damit ist die Ruh elage asymptot isch stabil. Globale asympt ot ische Stab ilitat liegt aber nicht vor, denn es exist iert gena u ein Punkt im Zust andsraum , aus dem keine Traj ekto rie in die unt ere Ruh elage verlauft , und zwar die obere Ruh elage. Setzt man jedoch vorau s, dass das Pendel an einer Decke aufgehangt ist und die obere Ruh elage damit sowieso nie erreicht werden kann , so kann man das System als asympt ot isch st abil im Gra Ben bezeichnen. Den Ljapunovschen St abilit iit sbegriff kann man auch auf zeitvariante Syste me anwenden. Da sich hier das System aber mit der Zeit verandern kann , muss die obige Definition nicht nur fur einen einzigen Anfangszeitpunkt t = 0

2.8 Nichtlineare Systeme

183

sond ern fur aile beliebigen Anfangszeitpunkte erfiillt sein. Damit ist 8 moglicherweise nicht nur eine Funktion von e, sondern auch von der Zeit t. Falls 8 ab er bei einem zeitvarianten System t rotz der Zeitvari anz weit erhin nur eine Funktion von e ist , spricht man von gleichmaBiger St abilitat. Stabilitat von Trajektorien. Gegenstand der bisherigen Stabilitatsbet ra cht ungen waren die Ruhelagen. Die vorgest ellten Stabilitatsb egriffe lassen sich aber auch auf Traj ektorien anwenden. In der jeweiligen Definition ist dann lediglich die Ruh elage durch eine Traj ekt orie zu ersetzen. Eb enso wie eine Ruh elage kann auch eine Traj ektorie inst abil , stabil oder asymptot isch stabil sein. Als Beispiel sei eine Schwingun g betrachtet , wie sie bei einem doppelten Int egrator mit idealem Zweipunktglied auftritt (Abb. 2.67). Bei dieser Schwingung hangen Amplitude und Frequenz, d.h. der Verlauf der Schwingun g, vom jeweiligen Anfangszustand ab o Ein veranderter Anfangszustand fuhrt auf einen and eren Zyklus. Liegt der verand ert e Anfan gszust and beispielsweise et was recht s vom ursprtin glichen Anfangszust and in der Zustandsebene, so bedeutet dies eine kleinere Anfan gsauslenkung von der Ruh elage und daher auch eine kleinere Schwingun gsamplitude. Es ergibt sich eine ahnliche Traj ektorie wie im ursprunglichen Fall, allerdings naher zur Ruh elage ais die crste Trajektorie. Offensichtlich lasst sich zu jeder e-Umgebung urn die ursprimgliche Tr aj ektorie auch eine 8-Umgebung angeben, in der ein Anfangszu stand liegen muss, dami t die dar aus resulti erend e Tr ajektorie in der z-Umgebung der ursprtinglichen Schwingungstraj ektorie bleibt. Dies bedeutet ab er gerade St abilitat der urspriinglichen Schwingung im Ljapunovschen Sinn e. Eine solche Schwingung bezcichnet man als Dauerschwingun g. Asymptotis che St abilitat liegt abe r nicht vor , denn die aus einem verand erten Anfangszustand resultierend e Schwingun g wird nie in die urspriinglich vorgegebe ne Schwingung ubergehen. Aber nur wenn dies gilt, kann man von asymptotischer Stabilitat sprechen. Ein Beispiel fiir diesen Fallliegt beim Zweipunktglied mit Hyst erese und IT}-Glied vor (Abb. 2.71). Aus jedem beliebigen Anfangszust and geht die Traj ekt orie fruher oder spater in die Traj ektori e der gegebenen Schwingun g tiber . Eine solche Schwingun g mit asymptotischem Einschwingverhalten bezeichnet man als Grenzzyklu s. Damit ist der Unt erschied zwischen Dauerschwingung und Grenzzyklus mit Hilfe des Ljapunovschen Stabilitat sbegriffs noch einm al prazisiert word en. Dab ei rniissen Grenzzyklen nicht unbedin gt asy mptotisch st abil, sondern konnen auch instabil sein. Ein instabiler Grenzzyklu s ist dadurch definiert, dass sich die von einem dem Grenzzyklus benachbarten Anfangszust and ausgehende Traj ektori e von der Traj ektorie des Grenzzyklus entfernt. Ein Grenzzyklus kann sogar stabil und instabil zugleich sein. Bei einem System zweiter Ordnung unterteilt der Zyklus die Zust and sebene in zwei Gebiete, ein inneres und ein auferes. Nun kann es vorkommen , dass aile Traj ektorien im Innengebiet zum Grenzzyklus hinstreben, wahr end aile Trajektorien auBerhalb von ihm wegstreben. Ein solcher Grenzzyklu s ist dann nach innen stabil

184

2. Regelungstechnische Grundlagen

und nach auBen instabil. Dies ist allerd ings nur eine rein theoret ische Konst ru kt ion, denn auch ein nur einseitig inst abil er Grenzzyklu s kann nicht von lange r Lebensdauer sein. Einc kleine Storung reicht aus, damit das System den Zyklus nach auBen verlasst und nie wieder zu ihm zunickkehr t. Denn och sollte man sich tiber die Moglichkeit solcher Grenzzyklen mit unterschiedlichem Stabilit ats verhalte n im klaren sein, da sie beim spater bchandelten Verfahren der Beschreibungsfunktion noch einmal aufta uchen werden. Zu beachten ist , das s, urn die St abili tat einer Schwingun g zu untersuchen, der Ljapunovsche Stabilitatsbegriff nur auf die zugehorigen Trajektorien im Zustandsr aum angewendet wurde. Wilrde man den Verla uf der Zustandsgrofen tiber die Zeit betrac hte n, ergabe sich ein ganz ande res Bild. Als Beispiel soil wieder das Pend el dienen . Unter Vern achlassigun g des Luftwiderst andes fuhrt es eine yom Anfangszustand abhangige Dauerschwingung aus. Auf eine bestimmte Anfan gsausl enkung folgt eine Dauerschwingung mit einer ganz bestimmten Frequ enz und Amplitude, wahrend auf eine ctwas grofere Anfangsauslenkung eine Dau erschwingung mit etwas kleinerer Frequenz und etwas groferer Amplitude folgt. Zeichnet man die Traj ektorien der beiden Schwingungen , so werden sie eine ahnliche Form aufweisen und in unmi ttelb arer Nachb arschaft zueinander verlaufen, wobei die Traj ektorie der Schwing ung mit der kleineren Ampli tude innerhalb der anderen Trajekt orie verlauft , Daraus folgt die einfache St abili tat der Schwingun g nach Ljapunov. Zcichnet man ab er den Veriauf der Positi on des Pend els als Funk tion der Zeit fur beide Faile auf, so werden sich die Kurven wegen der unt erschiedlichen Frequenzen der Schwingun gen immer weit er ausein an der bewegen. Wii rde man die Stabilitat anha nd dieser Ku rven definieren , ware das System nicht stabil. In [124] und [151] wird deshalb eine Schwingung nur dann als asymptotisch stabil bezeichnet , wenn die Ljapunovsche Stabilitatsdefinit ion auf den zeitli chen Verlauf der Zust andsgrofen zutrifft. Wenn dagegen nur St abil it at hinsichtli ch der Trajektorien vorliegt, so wird von or bitaler Stab ilitiit gesprochen. In der Praxis ist dieser Unterschied allerdings nicht relevant , weil im allgemeinen nicht der explizite zeitli che Verlauf der Zustand sgroflen sondern nur die prinzipielle Form einer Schwingung interessiert . Deshalb soil hier die St ab ilitat einer Schwingun g weit erhin anhand der Trajektorien beurteilt werden. Stabilitat von linearen Systemen. Nachdem nun die Ljapunovsche Stabilit atsdefinition ftir nichtlin eare Systeme ausfiihrlich erorte rt wurde, soil noch einma l die Verbindung zu den linearen Syst emen hergestellt werden . Ein linear es Syst em ist nach Def. 2.16 gena u dann asymptotisch stabil, wenn seine Zust andsgrofen ohne aufere Anr egun g aus jedem beliebigen Anfangszustand gegen Null st reben. Die Frage ist nun , wie man diese Definition mit Def. 2.21 und 2.22 in Einklang br ingt . Zunachst fallt auf, dass in Def. 2.16 von der St abili tat des Systems die Rede ist , wahrend sich 2.21 und 2.22 nur auf die Stabilitat einer einzigen

2.8 Nichtlineare Systeme

185

Ruhelage beziehen. Zur Erklarung sei ein lineares System mit konstanter Anregung Uo betrachtet: x = Ax-i-Bu., (2.233) Eine sich bei dieser Anregung einstellende Ruhelage tialgleichung

XR

erftillt die Differen(2.234)

Mit L1x = x -

XR

ergibt sich nach Subtraktion der beiden Gleichungen L1x = AL1x

(2.235)

Nun gilt aber doch, dass ftir die Stabilitatsanalyse der Ruhelage ausschlieBlich der Abstand des Zustandsvektors zur Ruhelage relevant ist. Die Untersuchung kann damit anhand von Gl. (2.235) durchgeftihrt werden. In dieser Gleichung tauchen aber sowohl die Anregung als auch die Ruhelage selbst gar nicht mehr auf. Das Ergebnis, das man erhalt, wird daher fur alle Ruhelagen und aIle Anregungen das gleiche sein, d .h. wenn eine Ruhelage fiir eine Anregung asymptotisch stabil ist, so sind alle Ruhelagen ftir alle Anregungen asymptotisch stabil. Man spricht aus dem Grund bei einem linearen System nicht von der Stabilitiit einer Ruhelage, sondern von der Stabilitiit des Systems. Dies ist ein ganz wesentlicher Unterschied zu einem nichtlinearen System, bei dem verschiedene Ruhelagen ein vollig unterschiedliches Stabilitatsverhalten aufweisen konnen . Wenn daher eine einzige Ruhelage eines linearen Systems fur eine Anregung asymptotisch stabil nach Definition 2.21 und 2.22 ist, so gilt dies fur aIle Ruhelagen und insbesondere auch fiir die Ruhelage x = 0 und u = o. Damit ist das System aber auch nach Definition 2.16 asymptotisch stabil. Analog gilt die Umkehrung fur Instabilitat. Aus DeL 2.21 und 2.22 folgt fiir lineare Systeme also Def. 2.16. Fiir die Herleitung der Aquivalenz der Definitionen ist nun noch zu zeigen, dass bei linearen Systemen aus DeL 2.16 auch die beiden anderen Definitionen folgen. Wegen des gleichen Stabilitatsverhaltens aller Ruhelagen bei einem linearen System ist naheliegend, diesen Nachweis fur den einfachsten Fall, namlich fur die Ruhelage x = 0 und u = 0 zu fiihren und das Ergebnis auf das gesamte System zu erweitern. Aus (2.233) ergibt sich wegen u = 0 zunachst (2.236) x=Ax Nun sei vorausgesetzt, dass das System nach Def. 2.16 asymptotisch stabil ist , d .h. seine Zustandsgrofen streben ohne iiuBere Anregung aus jedem beliebigen Anfangszustand gegen Null. Dies ist aber nach Satz 2.17 genau dann der Fall, wenn alle Eigenwerte von A einen negativen Realteil aufweisen. In dem Fall sind aber auch eventuell auftretende Schwingungen abklingend. Demnach lasst sich fiir jede s-Umgebung urn die Ruhelage x = 0, die fur t > 0 nicht verlassen werden solI, eine J-Umgebung angeben, in der der Anfangszustand liegen muss: J = c. Damit ist die Ruhelage nach DeL 2.21 stabil. Und die

186

2. Regelungstechnische Grundlagen

asymptot ische St abilit at nach Def. 2.22 ist gewahrleiste t , weil alle Zust and sgrofe n gegen die Ruhel age Null streben. Auch hier gilt die Umkehrung fur Instabilitat analog. Dartiber hinaus ist die Ruh elage x = 0 und u = 0 global asympto t isch stabil, d .h aus allen Zustand en des Zust andsraum es st reben die Trajekto rien in diese Ruh elage. Als Beweis ist es ausrei chend zu zeigen, dass keine weit ere Ruh elage exist iert . Dies ist ab er der Fall, denn wenn A ausschlieBlich Eigenwerte mit negativem Realt eil aufweist, gilt IAI -I 0, und Gleichung (2.236) kann ftir x = 0 nur die Losung x = 0 besitzen.

Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit. Zwei weite re wicht ige Systemeigenschaft en neben der St abilitat sind die Steuer- und Beobachtbarkeit . Wie schon in Kapitel 2.7.2 angesprochen, sollte man vor dem Entwurf der Regelung sicherstellen, ob man auf das System uberhaupt den gewiinschte n Einfluss nehmen kann , d.h . ob Steuerbarkeit vorliegt . Falls ftir die Regelung Zust ands grofen verwendet werd en, muss auch sichergeste llt sein, dass man diese Zust and sgroflen aus den messbaren Ausgangsgroflen Iiberhaup t berechnen kann . Diese Systemeigenschaft ents pricht der Beobachtbarkeit . Zwei Moglichkeit en biet en sich hier fur nichtlin ear e Syst eme an. Die eine ist , das Syst em am Arbeitspunkt zu linearis ieren und auf das lineare Modell die Steuer- und Beobachtbarkeits kriterien linearer Systeme anzuwenden. Hier tritt ab er wieder das Problem auf, dass ein lineares Modell das nichtlin eare Systemverhalt en nur in einem engen Bereich urn den Arbei tspunkt ausr eichend gut approximiert und die Aussagen hinsichtlich Steuer- und Beobachtb arkeit dement sprechend auf einen kleinen Bereich des Zust and sraum es beschrank t sind. Der andere Ansatz ist , die Definitionen und Kriterien fur nichtlineare Syste rne geeignet abzuandern, So gibt es beispielsweise in [172] Definitionen fiir Erreichbarkeit und Untersc heidbarkeit von Zust and en. Hinreichende und leicht handzuhab ende Kriterien entsprechend Sat z 2.13 und 2.15 fur allgemeine nichtlin eare Systeme existieren aber nicht . Nur ftir spezielle Klassen von nichtlin ear en Syst emen wie beispielsweise bilinear e Syst erne existieren so1che Kri terien. Definition der Ruhelage Null. Im weiteren Verlauf wird der Einfachheit halb er immer vorausgeset zt , dass in der betrachteten Ruh elage alle Systemgroflen den Wert Null annehmen. Ist dies nicht der Fall, so muss das System umd efiniert werden. Diese MaBnahme kann man auch so interpretieren, dass man von den tatsachlichen Crofen x zu deren Abweichungen von der Ruh elage Llx = x - X R iibergeht . Der Vektor Llx wird dann als neue Systemgrof e definiert und erfiillt gerade die Forderu ng, dass er in der Ruh elage den Wert Llx = 0 annimmt. Es sei ausdrucklich darauf hingewiesen, dass es sich bei diesem Schritt urn eine exa kte Umdefinit ion des Systems und nicht urn eine Linearisierung am Arb eitspunkt hand elt . Fur ein lineares System ist dieser Ubergang nicht notwendig. Denn da das Systemverhalten von allen Ruh elagen gleich ist, kann man immer von vornherein ausschlieBlich die Ruhelage x = 0 betrachten. Relevant ist diese

2.8 Nichtlineare Systeme

187

Umdefinit ion dah er nur fur nichtlineare Syst eme. Als Beispiel zeigt Abb . 2.79 die dafur erforderlichen Schritte fur einen aus einem linearen und einem nichtlinearen Teil bestehend en Stand ardregelkreis. Der nichtlineare Teil sei dab ei durch eine von e und e abhiingige Funk ti on u = f(e , e) gegeben.

TB BT u

A.y

w

o

A.y

A.e

nichtlinearer Teil Abb. 2 .79. Umformen cines nichtlinearen Standardregelkreises Die zu betrachtende Ruhelage sei durch die Vektoren w , UR , YR und e R = YR chara kterisiert. Der Ubergang von den t atsachlichen GraBen u , Y und e zu ihren Abweichun gen von der Ruhelage .1u,.1y und .1e geschieht nun folgendermaBen : Im ersten Schrit t wird an zwei Stellen des Regelkreises die Orofle Y R subtrahiert. Beide Subt rakti onen heben sich in ihrer Wirkung wegen der negativen Riickkopplung gera de auf, d.h . das Syst em wird durch diese MaBnahm e nicht vera ndert . Im zweiten Schrit t soli die Subtraktion von YR am Ausgan g des linearen Teiles durch die Subt raktion eines Vektors UR am Eingang des linearen Teiles ersetzt werden, wobei U R gerade der zur Ruhelage gehorende Stellgroflenvektor ist . Das Gleichsignal UR kann dabei aus dem Gleichsignal YR mit Hilfe des Zusammenh anges YR = G( s = O)UR berechnet werden . .1u = U - U R kenn zeichnet dann die Abweichung von der Ruhel age. AuBerd em werden die Anregun gsgrofien W und YR vor dem Einga ng des nichtlinearen Teiles zusammengefasst . Insgesamt lasst sich damit ein neues nichtlin eares Ubert ragungsverha lt en W -

_

.1u

.

= fpe , .1e ) = f(.1e + W

d -

YR , dt (.1e

+W

-

YR)) - UR

(2.237)

definieren. Das dadurch ents tandene, neue Gesamt syst em mit seinen Systemgrofe n Lle, .1u und Lly erfullt die Bedin gung , dass alle Syst emgrof en in der

188

2. Regelungstechnische Grundlagen

Ruhelage den Wert Null annehmen. Im Folgenden wird nun immer vorausgesetzt, dass vor der Stabilitatsanalyse eine derartige Umdefinition erfolgt ist. Es wird deshalb immer die Ruhelage Null bei der Anregung Null betrachtet. 2.8.5 Direkte Methode von Ljapunov

Damit kann nun auf die Frage eingegangen werden , wie denn bei einem gegebenen System die Stabilitat einer Ruhelage zu bestimmen ist. Wiirde man streng nach Def. 2.21 und 2.22 vorgehen, so miisste man fur jeden moglichen Anfangszustand die Losung der nichtlinearen Differentialgleichung ftir die zu untersuchende Ruhelage ermitteln. Bei unendlich vielen Anfangszustsnden ist dies offensichtlich nicht moglich, Es sind daher Kriterien oder Methoden erforderlich, die auch ohne aufwandige Rechnungen eine Stabilitatsaussage fur die betreffende Ruhelage zulassen. Fur ein System zweiter Ordnung lasst sich eine Betrachtung in der Zustandsebene durchfuhren, wie dies bei den schaltenden Ubertragungsgliedern bereits gezeigt wurde . Fur Systeme hoherer Ordnung und auch Mehrgrofiensysteme sind dagegen andere Kriterien erforderlich, die im Folgenden vorgestellt werden sollen. Das erste dieser Kriterien stammt von Ljapunov selbst und wird als direkte Methode von Ljapunov bezeichnet. Folgende Idee liegt dem Verfahren zu Grunde: Es wird eine vom Zustandsvektor abhangige, skalare LjapunovFunktion V(x) definiert, die im Nullpunkt den Wert Null haben muss und ansonsten mit zunehmender Entfernung vom Nullpunkt ansteigt. Man kann V auch als eine Art verallgemeinerten Abstand zur Ruhelage auffassen. Abb . 2.80 zeigt als Beispiel die Hohenlinien einer solchen Funktion in der Zustandsebene . Weiterhin hat ein Zustandsvektor und mit ihm die Funktion V entsprechend der Zustandsgleichung des Systems einen bestimmten zeitlichen Verlauf. Wenn man nun zeigen kann, dass die zeitliche Ableitung der Funktion V ftir beliebige Zustandsvektoren x negativ ist, so bedeutet dies doch , dass die Zustandskurve frtiher oder spater aile Hohenlinien von auBen nach innen uberschreitet und der Zustandsvektor damit zwangslaufig gegen Null strebt. Das System ist in dem Fall offenbar asymptotisch stabil.

x

v' Abb. 2.80. Direkte Methode nach Ljapunov

2.8 Nichtlineare Systeme

189

Satz 2.23 Das dyna mische Sy stem x = f (x) besitze die Ruhelage x = O. Es gebe eine in de, Umgebung de, Ruhelag e sam t ihren partiellen Ableitungen ersie r Ordnung stetige Funktion V(x), die dart positiv definit ist , d.h. V (x) > a fu r x =1= 0 und V (x ) = 0 fur x = o. Weiterhin sei die zeitliche A bleitung

v= ~ 8V Xi = ~ 8V Ii ~ 8x · ~8x· i=1

t

i= 1

(2.238)

t

in der Umgebung der R uhelage negativ definit. Dan n ist die Ruh elage asympto tisch stabil und die Umgebung ihr Einzugsbereich. G sei ein Gebiet innerhalb de, Umgebung, in dem V < c gilt (mit c > 0) und dessen Rand durch V = c gebildet unrd. Wenn G dariiber hinaus beschriinkt ist und die Ruh elage enthiilt, so gehort G zum Einzugsbereich de, Ruh elage. Wenn de, Einzugsbereich de, gesamte Zustandsmum ist und dariiber hinaus mit zunehmen der Entfernung von der Ruh elage [x] = + ...+ 00 auch V(x) -. 00 gilt, so ist die Ruhelage global asymptotisch stabil. Falls V negativ semi definit ist (V(x ) :::; 0), so kann nur die einfache Stab ilitiit gewiihrleistet werden. Falls abe, die Punktmenge, auf der V = 0 ist, aujler x = 0 keine an dere Traj ektorie enthiilt, so liegt auch hier asymptotische St abilitiit vor.

Jxi

x; -.

Der Beweis fur diesen Sat z findet sich beispielsweise in [99]. Der erste Teil des Sat zes bedarf wegen der vora ngegangenen Betrachtung keiner weiteren Erkl arung, wohl aber die letzten dr ei Absatz e, Die Uberlegungen zum Einzugsbereich der Ruhelage gestalten sich am einfachsten, wenn man sich V anhand von Hohenlinien in einer Zustandsebene gegeben denkt . Zum zweiten Absatz des Satzes zeigt Abb. 2.81 ein Beispiel, in dem die Funk t ion V nicht im gesamten Zust and sraum, sondern nur zwischen den beiden gestrichelten Linien negativ definit und sonst positiv definit ist. Damit ist eine Zustandskurve m6glich, wie sie in der Abbildung

Abb. 2.81. Einzugsbereich einer stabilen Ruhelage

190

2. Regelungstechnische Grundlagen

eingezeichnet ist . Solange sich die Kurve zwischen den gestrichelten Linien befindet , ub erschreit et sie die Hohenlini en von aufe n nach innen , im tibrigen Bereich aber von innen nach aufen. Der Einzugsbereich der Ruhelage muss dami t keinesfalls den gesamten Bereich zwischen den gestrichelte n Linien umfassen , in dem V < 0 gilt. Sicher zum Einzugsbereich gehort nur das Gebiet G innerh alb der Hohenlinie H. Denn diese kann auf keinen Fall von innen nach aufien ub erschri t ten werden, weil sie vollstandig im Gebiet mit V < 0 verlauft. Offensichtli ch muss man als Begrenzun g eines Einzugsbe reiches daher immer eine geschlossene Hohenlinie angeben . Dies ist abe r gena u die Bedin gun g, die im zweiten Absa tz des Satz es gefordert wird. Mit der Vorst ellung , dass V durch Hohenlini en gegeben ist , lasst sich auch die Ford erung nach dem unendli chen Wachstum von V mit unendlicher En tfernung vom Nullpunkt erklaren, Wenn V namlich nicht mit zunehmender Entfernung immer weit er wachsen wiird e, so gab e es Hohenlinien , die bis ins Unendliche reicht en und doch nie geschlossen waren , Zwei aufeina nder folgend e Hohenlini en konnten daher im Unendli chen unendli ch weit auseinanderliegen. Wenn dann bei V < 0 die Zust andskurve die Hohenlini e mit dem gr6Beren Wert von V ub erschri tt en hat , so mtisste eine unendlich lan ge Zeit bis zum Uberachreiten der Hohenlinie mit dem kleineren Wert vergehen. Der Zustandspunkt wiirde demn ach unendli ch lan ge Zeit zwischen beiden Holienlinien in m6glicherweise unendli cher Ent fernung vom Ruhepunkt verweilen, und das System ware nicht stabil. Der letzte Absa tz des Satzes ist wieder recht einfach zu verstehen. Wenn V und dami t der Abst and zum Nullpunkt mit der Zeit nicht kleiner wird, sondern gleich bleibt (V = 0) , so liegt offensicht lich nur einfache Stabilitat vor. Wenn abe r andere rseits die P unkte des Zustan dsrau mes mit V = 0 keine zusa mmenha ngenden Tr aj ektorien bilden , so muss das System (sofern es noch nicht den Nullpunkt erreicht hat ) immer wieder auch Zustan de annehmen, in denen V < 0 gilt. Dami t ist die Funkti on V im zeit lichen Veriauf zwar nicht st reng monoton , aber doch monoton fallend. Der Nullpunkt wird fruher oder sparer erre icht, und das System ist deshalb asymp toti sch stabil. Mit Hilfe der direkt en Meth ode lasst sich auch die Instabili tat einer Ruhelage na chweisen. In v611iger Analogie zu Satz 2.23 ist hier die positive Definitheit von V zu zeigen . Sowohl fur den Nachweis der Inst abilitat als auch der Stabilitat einer Ruhelage exist ieren ftir verschiedene Randbedin gungen zahlreiche Varianten von Satz 2.23 [54], darunter auch die sogenannten Inst ab ilit atstheoreme von Ljapunov seibe r. Selbst fur zeitvar iante Syst eme (z.B. [18, 151]) und sogar fiir Systeme mit auferer Anregun g [99] exist ieren T heore me. Die zu Grunde liegende Idee, namli ch die Verwendung einer Ljap unov-Funktion, ist aber in allen Fallen dieselb e, weshalb hier auf nah ere Er lauterungen verzichtet wird. Stattdessen soil noch kur z auf das entsc heidende Problem bei der Anwend ung der direkten Met hode eingega ngen werden. Offensichtlich hau gen doch Form und Gr6Be des nachweisbaren Ein zugsbereiches einer Ruhelage

2.8 Nichtlineare Systeme

191

ganz wesentlich von der gewahlten Ljapunov-Funktion V ab o Eine anders gewahlte Funktion V kann einen vollig anderen Einzu gsbereich liefern . Die Wahl der Ljapunov-Funktion entse heidet sagar dartib er , ob iiberha upt die St abilitat der Ruh elage naehgewiesen werden kann. Und falls keine geeignete Funkt ion gefunden wird, so heiBt dies nieht , dass die Ruh elage inst abil ist , sondern lediglieh, dass die Suehe erfolglos war. Zum Nachweis der Instabilitat mtisste, wie oben erwahnt, eine Ljapunov-Funktion gefunden werd en, deren Ableitung inaner positiv definit ist . Aus dem Grund sind tiber die Jahre versehiedene Ansatze entst anden, urn die Suehe naeh einer Ljapunov-Funktion zu syste ma tisieren [18, 45, 46, 52, 54, 151, 156]. Den entse heidenden Makel des Verfahr ens, dass narnlich im Faile des Nieht-Auffind ens einer Ljapunov-Funktion keine Stabilitatsaussage moglich ist, konnten aber aueh sie nieht beseitigen. Erst in jlingster Zeit konnte dieser Mangel durch den Einsatz von LMIAlgorithmen (vgl. Anhang A.7) fur die sehr umfassende Klasse von TSKSystemen (vgl. Kap . 4.1.3) behoben werden . Mit Hilfe dieser Algorithmen ist es narnlich moglich, die generelle Frage naeh der Exist enz einer LjapunovFunk tion mit negativ definit er Ableitung fur das gegebene System zu beantworten. Und diese ist , wie sich zeigen lasst , gleichbedeut end mit der Frage naeh der Stabilitat des Syst ems. Behandel t wird dieser Ansatz in Kapitel 4.2.2. Hier solI st attdessen noeh ein Beispiel ftir die Anwendung der direkt en Methode behandelt werden , und zwar die sehwingende Masse aus Abb. 2.4. Dab ei maeht die St abilit atsanalyse eines linearen Systems mit Hilfe der direkte n Methode eigentlieh keinen Sinn , weil eine Unte rsuehung der Eigenwerte der Syste mmat rix wesentlieh einfaeher ware. Andererseits ist dieses Beispiel anseha ulieh und erfordert aueh keinen graBen Reehenaufwand. Die Zustandsgleiehung des von auBen nieht angeregt en Systems lautet naeh Gleiehung (2.143) (2.239) Del' Gesamt-Energieinhalt des Syst ems ist die Summ e aus der in der bewegten Masse enthaltenen kinetis ehen Energie und der in der Feder gespeieherten potentiellen Energic. Dur eh die Reibung verliert dieses System Energi e, bis die Sehwingung sehlieBlieh zum Erliegen kommt . Da somit die Energi e monot on abnehmend ist, liegt es nah e, den En ergieinhalt des Syst ems als Ljapunov-Funktion zu definiercn und auf diese Art und Weise die Stabilitat der Ruh elage (v,1) = (0, 0) zu beweisen:

+J I

V

= E = Ekin + E pot =

21 m v 2

fJdx

o 1

2

1

= - mv + - cf l 2

2

2

+J I

=

21 m v 2

cfxdx

0

(2.240)

192

2. Regelungstechnische Grundlagen

V ist stetig und stetig differenzierbar. AuBerdem ist die Funktion im gesamten Zustandsraum auBer im Ursprung (v, i) = (0,0) positiv und wachst mit [x] = I(v, if I ---+ 00 iiber alle MaBen. Damit sind die Voraussetzungen aus Satz 2.23 fur globale Stabilitat erfullt. Zu untersuchen ist jetzt noch die negative Definitheit von V. Die Ableitung von V nach der Zeit ergibt unter Berucksichtigung der Zustandsgleichung

V=

triuii + Cfii

= mv[- Cr

m

=

-v 2cr

V -

cf i] m

+ cfiv (2.241)

Offensichtlich ist diese Funktion negativ semidefinit, da sie nicht nur im Ursprung den Wert Null annimmt, sondern in allen Zustanden mit v = O. Dies ist leicht zu erklaren. Ein Energieverlust und damit eine Abnahme von V wird durch Reibung verursacht. Diese tritt genau dann auf, wenn die Geschwindigkeit von Null verschieden ist. In den Punkten maxi maier Auslenkung der Feder sind aber die Geschwindigkeit und damit auch die Reibung und V gleich Null. Zunachst ist also global nur die einfache Stabilitat, nicht aber asymptotische Stabilitat gewahrleistet. Untersucht man jedoch die Punkte des Zustandsraumes, in denen V = 0 gilt , so stellt man fest , dass diese (auBer im Ursprung) keine zusammenhangende Trajektorie bilden. Ein Zustand (v = 0, l =1= 0) bedeutet, dass die Feder maximal ausgelenkt ist und die Amplitude der Schwingung gerade den Maximalwert erreicht hat . Durch die Feder wird die Masse aber sofort wieder beschleunigt, und das System nimmt einen Zustand mit v =1= 0 und V < 0 an. Insgesamt ist V daher monoton abnehmend und die globale asymptotische Stabilitat des Systems gemaf dem vierten Absatz von Satz 2.23 bewiesen.

2.8.6 Harmonische Balance Damit sollen die Ausfiihrungen zur direkten Methode abgeschlossen werden. Ein vollig anderer Ansatz liegt der Methode der Beschreibungsfunktion oder auch Methode der harmonischen Balance zu Grunde. Bei diesem Verfahren, das hier nur fur Eingrofensysteme betrachtet werden solI, wird zunachst davon ausgegangen, dass die Ausgangsgrofie y des Systems urn die Ruhelage y = 0 eine Schwingung ausfiihrt . Damit schwingen dann natiirlich auch die Regelabweichung e und die Stellgrofle u . Die Entstehung der Schwingung wird nicht betrachtet. Die Analyse der Schwingung lasst dann Ruckschlusse auf das Stabilitatsverhalten des Systems hinsichtlich der betrachteten Ruhelage zu . Die zu Grunde gelegte Schwingung kann dabei eine Dauerschwingung oder ein Grenzzyklus sein , was im Folgenden nicht unterschieden werden soll. Voraussetzung ist die Unterteilbarkeit des Regelkreises in einen linearen und einen nichtlinearen Teil wie beim Standardregelkreis gernaf Abb . 2.79. Die gesamte Dynamik des Systems wie z.B . Integratoren, Laufzeitglieder,

2.8 Nichtlineare Systeme

193

usw. soIl dabei im linearen Teil enthalten sein , wahrend der nichtlineare Teil momentan wirkend sein muss:

u(t)

= f(e,sgn(e))

(2.242)

Dies bedeutet, dass sich die Ausgangsgrofe u des nichtlinearen Teiles im Prinzip aus der momentan anliegenden Eingangsgrofie e ohne Kenntnis frtiherer Werte von e oder u berechnen lasst. So kann man beispielsweise bei Kennliniengliedern direkt aus dem Momentanwert der Eingangsgrofe e die AusgangsgroBe u = f(e) berechnen. Sie sind damit momentan wirkend. Als momentan wirkend gelten aber auch die hysteresebehafteten Ubertragungsglieder, obwohl dart cine gewisse Kenntnis der Vorgeschichte erforderlich ist, weil man sonst nicht weiB, in welchem Zweig der Hystereseschleife sich das System gerade befindet. Diese Vorgeschichte wird durch den Term sgnte) ausgedruckt, Dartiber hinaus muss die auftretende Kennlinie des nichtlinearen Teiles monoton steigend sein und eine ungerade Funktion darstellen (Nullpunktsymmetrie). Dies ist beispielsweise bei den sehaltenden Ubertragungsgliedern gegeben . Die Ubertragungsfunktion des linearen Teiles muss dagegen ein ausgepragtes Tiefpassverhalten aufweisen, wobei auf die Bedeutung dieser Eigensehaft im Verlauf der folgenden Herleitung noeh naher eingegangen wird. Auch diese Forderung ist in der Praxis in vielen Fallen erfullt, so dass es fur das Verfahren der Besehreibungsfunktion einen groBen Anwendungsbereieh gibt . Fur die Herleitung geht man davon aus, dass am Ausgang des Systems eine harmonische Schwingung y(t) = -Asin(wt) vorliegt, deren Amplitude A und Frequenz w bestimmt werden sollen. Da das System vor Anwendung des Verfahrens entsprechend Abb . 2.79 umdefiniert wurde und somit die Fiihrungsgrofe w gleich Null ist, liegt am Eingang des nichtlinearen Gliedes die GroBe e(t) = Asin(wt) an . Dann ergibt sich als Ausgangsgrofie des nichtlinearen Gliedes ebenfalls ein periodisches Signal , das sich als Fourierreihe mit der Grundfrequenz w darstellen lasst und wegen der Nullpunktsymmetrie der nichtlinearen Kennlinie keinen Gleichanteil enthalt: 00

u(t) =

LA

k

cos kwt

+ B k sin kwt

k =l

J ~J T

mit

Ak =

~

u(t) cos(kwt)dt

o

T

e; =

u(t) sin(kwt)dt

o

T = 21f w

(2.243)

Dieses Signal bildet wiederum die Eingangsgrofie ftir den linearen Teil. Nach Satz 2.3 erzeugt jede Teilschwingung am Eingang des linearen Teiles cine

194

2. Regelungstechnische Grundlagen

Ausgangsschwingung mit derselben Frequenz . Wenn nun die Tiefpasswirkung des linearen Teiles ausreichend ausgepragt ist , so werden aber alle Schwingungen mit einer Frequenz, die grofler als die Grundschwingung wist, aus dem Signal weitgehend herausgefiltert, und iibrig bleibt nur der Grundschwingungsanteil. Die ausreichende Tiefpasswirkung ist dabei eine formal schwer zu beschreibende Eigenschaft. Als Faustregel gilt, dass in der Ubertragungsfunktion der Grad des Nennerpolynoms den des Zahlerpolynoms urn mindestens 2 iibersteigen sollte . Aber auch eine Graddifferenz von 1 kann schon ausreichend sein. Auf jeden Fall sollte man am Ende des Verfahrens, wenn die Parameter der Schwingung und damit auch w berechnet sind, noch einmal uberpriifen, ob durch den linearen Teil die hoherfrequenten Signalanteile 2w, 3w, ... tatsachlich ausreichend unterdriickt werden konnen. Andernfalls ist eine wesentliche Voraussetzung des Verfahrens nicht erfullt und die gesamte Rechnung ungiiltig . Die am Ausgang des linearen Teiles ubrlggebliebene Grundschwingung stellt gerade das anfangs vorgegebene Signal y(t) = - A sin(wt ) dar. Alle anderen Schwingungsanteile, die am Ausgang des nichtlinearen Teiles erzeugt wurden, konnten den linearen Teil nicht passieren. Aber nur Signalanteile, die in der Lage sind , alle Teile des Regelkreises zu passieren, konnen zu einer sich selbst aufrecht erhaltenden oder sogar aufklingenden Schwingung des Gesamtsystems beitragen und damit dessen Stabilitat gefahrden. Fur die Stabilitatsanalyse ist es daher zulassig, alle hoherfrequenten Anteile am Ausgang des nichtlinearen Teiles zu vernachlassigen. Es bleibt

u(t)

Ai

= Al coswt + B I sinwt = C I sin(wt + 0 die Funktion f( e, e) mit e monoton steigen . Der ausreichende T iefpasscharakter des linear en Teiles wird ebenfalls voraus gesetzt . Dann kann man genau wie im Fall moment an wirkender Nicht linearitaten die Oberschwingun gen am Ausgang des nichtlin ear en Teiles vernachlassigen. F i.ir die Koeffizienten der Grundschwingung gilt jetzt : T

Al

= T2

T

J '

f( e, e) cos(wt)dt

= T2

o

J .

f (A sm(wt) , Aw cos(wt )) cos(wt)dt

0

(2.261) T

BI =

~

T

J

f( e, e) sin(wt)dt =

o

~

J

f(A sin(wt), Aw cos(wt )) sin(wt)dt

0

mit T = ~ . Nach denselben Form eln wie ftir momentan wirkende Nicht lineari t at en ergibt sich wieder eine Beschreibungsfunktion N (A , w), die jet zt aber nicht mehr nur von der Ampli tude A, sondern auch von der Frequenz w der Schwingung abhangig ist . Dies ftihrt dazu , dass die Darst ellun g dieser Beschreibungsfunk tion nicht Bur eine Kurve - N tA) , sond ern eine ganze Kurvenschar - N(~ ,w ) mit w als Parameter erfordert , d.h. ftir jede Frequenz W I exist iert eine am plit udena bhangige Kurve - N( l ,w!l ' F i.ir eine St abilit atsanalyse werden diese Kurvenschar und die Ortskurve des linearen Teiles in der komplexen Eb ene aufgetragen. Die Kurvenschar wird dann als kritischer Punkt des Nyquist- Kriteriums gedeutet. Aus der Lage der Ortskurve zur Kurvenschar lassen sich auch hier Riickschliisse auf das Stabil it atsverhalten ziehen. Als Beispiel zeigt Abb . 2.86 die Ortskurve eines P T3 -Gliedes und eine Kurvenschar , wie sie bei einem Fuzzy-Hegler entstehen konn te , 1m _ -_ 1_ N(A,ro)

Re

Abb. 2.86 . Harmonische Balance mit frequenzabhangiger Beschreibungsfunktion

204

2. Regelungstechnische Grundlagen

Sollte iiberh aup t einer der Schnittpunkte eine Schwingung im System kenn zeichnen , so wird es sich auf jeden Fall urn einen stabilen Grenzzyklus hand eln. Zur Erkl arung sei angenommen, dass sich das System in einem Schnittpunkt befindet und eine Schwingung ausfiihrt . Falls dur ch eine Storu ng die Amplitude verkleinert wird , so nah ert sich das System auf der ents prechenden Kurve der Kurvenschar dem Ursprung und befindet sich dadur ch in einem Punkt, der von der Ortskurve umschlossen wird. Die Phasendre hung der Ortskurve urn diesen Punkt ist negativ, wiihrend sie laut Nyquist-Kriterium fiir ein stabiles System Null betragen miisste. Es liegt Instabilitat vor, die Schwingung klingt wieder auf, und das System wandert zuriick in den Schnittpunkt . Falls sich das Syst em dagegen im Schnittpunkt befindet und die Amplitude dur ch eine Storung vergrofe rt wird , so entfernt sich das Syst em auf einer Kurve der Kurvenschar vom Ursprung. Die Phasendrehun g der Ortskurve urn den dann vom System eingenommenen Punkt betriigt Null. Es liegt Stabilitiit vor , die Schwingung klingt ab, und das System wandert auch hier wieder zuriick in den Schnittpunkt . 1m Gegensatz zu vorher reprase ntiert jetzt aber nicht mehr jeder Schnittpunkt eine mogliche Schwingung. Bisher wurde in einem Schnitt punk t dur ch die Kurve der Beschreibun gsfunkt ion die Amplitude und dur ch die Ortskurve des linear en Teiles die Frequenz der Schwingung definiert , und jeder Schnittpunkt ents prach einer moglichen Losung der Gleichung (2.249). Jetzt ist die Kurve der Beschreibun gsfunktion dagegen zusiitzlich noch frequenzabh iingig. Damit ein Schnittpunkt eine mogliche Schwingung reprasenti ert , miissen die durch die Kurve der Beschreibun gsfunk tion und die durch die Ortskurve des linearen Teiles im Schnittpunkt gegebenen Frequenzen iibereinstimmen. Nur dann ist diese Frequenz auch die Frequenz einer moglichen Schwingung. Die Ampl itude ergibt sich nach wie vor aus der Kurve der Beschreibu ngsfunkt ion. Offenbar ist eine graphische Losung unter diesen Bedingungen reiner Zufall, so dass zur Er mittlung der Werte fiir Amplit ude und Frequenz der Schwingung von vorn herein nur eine nummerische Losung der (2.249) entsprechenden Gleichung .

1

G(Jw) = - N( A,w)

(2.262)

in Frage kommt. Auf numm erischem Wege lasst sich auch die Beschreibungsfunktion N (A ,w) selbst grundsiitzlich immer bestimmen. Dies bietet sich an, wenn vom nichtlin earen Teil iiberhaup t keine analytische Beschreibun g vorliegt, wie dies vor allem bei einem Fuzzy-Regler der Fall ist. Dazu wird ein best immtes Werte paar (A l , wt} vorgegeben und die entsp rechende Sinusschwingung am Eingang des nichtlin ear en Teiles aufgeschaltet. An seinem Ausgang wird sich eine periodische Schwingung einstellen, die aber nicht unbedingt einer Sinusschwingung ents pricht . Mit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate kann sie jedoch durch eine Sinusschwingung approximiert werden. Ein Vergleich dieser approximierenden Schwingung mit der Eingangsschwingung

2.8 Nichtlineare Systeme

205

liefert dann die Verst arkung V und die Phasenverzogerung - cp des nichtlinear en Teiles fiir das Wert epaar (A I , WI) ' Dies fiihrt aber auch sofort auf den (komplexen) Wert N (AI ,WI ) der Beschreibungsfunktion. Auf diese Art und Weise kann die Beschreibungsfunktion punktweise ermitte lt werden. In [187J wird sogar eine Erweiterun g des Verfahr ens auf Mehrgrobensysteme diskutiert . Diese Erweiteru ng erfordert aber Voraussetzungen beim Syste m, die im Anwendun gsfall nicht nachzupriifen sind. Eine Stabilitatsanalyse mit diesem Verfahren steht damit auf recht unsicherem Fundament , so dass hier auf eine Darstellung von vornherein verzichtet werden soli.

2.8.7 Popov-Kriterium Dami t kann zu einem anderen Verfahren iibergegangen werden , das auf dem Stabilitatskriterium von Popov basiert. Im Gegensatz zur Methode der harmonischen Balance ist es ein exaktes Kriterium. Allerdings kann es in Einzelfallen zu sehr konservativen Ergebnissen fiihren , da es zwar hinr eichend , abe r nicht notwendig ist . Das bedeut et , dass die Stabilitat eines stabilen Systems moglicherweise nicht nachgewiesen werden kann. Andererseits ist es einfach anzuwenden. Voraussetzung ist wieder , dass das Syste m in einen moment an wirkenden, nichtlin earen Teil und einen linear en Teil unterteilt werden kann. Das Verfahr en soli zunachst fiir Eingrofensyst eme vorgest ellt werden. Die Kennlini e des nichtlin earen Teiles und die Ort skurve des linearen Teiles miissen bekannt sein. Urn die Formulierung des Kriteriums moglichst einfach zu halt en, ist fur den nichtlin earen Teil eine zusat zliche Definition erforderlich (vgl. Abb . 2.87):

Definition 2.24 Ein e Kennlinie f (e) verliiuft im Sekior [k l , k 2 ], wenn gilt

und f (O) = 0

e

Abb. 2 .87. Sektor einer Kennlinie

(2.263)

206

2. Regelungsteehnisehe Grundlagen

Damit kann das Pop ov-K riterium formuliert werden , dessen Beweis mit Hilfc der dire kten Methode von Ljapunov erfolgen kann , auf den hier aber verzichtet werde n soli (siehe [2]): Sa t z 2.25 (P opov-Krite rium) Gegeben sei ein geschlossen er Kreis, best ehend aus eine m lin earen und eine m nichtlinearen Teil. Die Ubertraquuqsfunktion G(s) des lin earen Teiles sei rein rational, habe ausschli efJlich P olstellen m it n egati vem R ealt eil und eine n Verstiirkungsfaktor Vi = 1. W eit erh in sei die Ordnung des N ennerpo lynoms grafJer als die des Ziihlerpolynoms. D er nichtlin eare Teil sei durch eine ein deutige und siii ckuieis e ste tige K ennlinie u = f (e) gegeben. Wenn dann die Ungleichung R e((l

1

+ jqw)G(jw)) > - "k

(2.264)

mit 0 < k ~ 00 und beliebigem , en dlichem q fur alle Frequenzeti 0 ~ w < 00 erj iill: ist, so besitzt der R egelkreis fur je de K en nlin ie, die im S ekio r [0, k] verliiujt, eine global asymptotisch stab ile R uhelage fu r u = y = O. Er wird dann auch als absolut stabil im S ektor [0, k] bezeichn et . W enn die rechie S eit e der Ungleichung auch gleich Null (d.h. k = (0) gesetzt werden kann, so ergibt sich ein Sekior [0, 00] . W eist die Funktion G (s) ni cht nur Polstellen m it n egativem R ealt eil, sondern au ch eine Pol st elle auf der imaginiiren A chse auf, so ist zus iitzlich zu m it irgen dei ne m E > 0 zei gen, dass die lin eare Ubertragungsfunktion stabil ist (Grenzstabilitiit) . In dies em Fall ist der zuliissige S ekior fur die nichtline are K en n linie (0, k ]. Tret en tnehrere Polstellen auf der imaginii ren A chs e auf, so ergibt sich n eben der Forderung nach Gren zstab ilitiit als uieit ere Vers chiirfung, dass fur k nur no ch en d liche W ert e zugelassen sind und sich der S ekior abso lut er Stabilitiit auf [C, k ] reduzieri. W eit erh in darf kein e Frequen z existie ren, die das Gleichungssystem

l:;2:{S)

un d

w Im(G(jw) )

=0

(2.265)

erf ullt. D afur is t in (2.264) ober das Gleic hheitszeichen zugelasse n .

Als sehr starke Einschr iinkung mag zunachst die Fordcru ng nach ciner Verstarkun g Vi = 1 des linearen Teiles erseheinen. Dies ist aber nicht so, denn ein Verstiirkungsfaktor Vi =I 1 kann ohne P rob leme dem nicht linearen Teil hinzugerechnet werden. Statt u = f( e) erhalt ma n dann die Kennl inie

u=

Vi f( e) = j(e ).

Auch die Voraussctz ungen fur die lineare Ubert ragungsfunktion sollen kurz erlautert werden . Wenn eine Kennlinie t atsachlich auf der im Satz angegebenen unt eren Sektorgrenze k 1 = 0 verlauft , so bedeutet dies doeh, dass die Stellgr6Be u und damit die Eingangsgr6Be des linearen Teiles immer gleich Null sind . Damit ist ab er der lineare Systemteil ohn e aufiere Einwirkung,

2.8 Nichtlineare Systeme

207

also gewisserma Ben sich selbst ub erlassen . Wenn dann asy mpt ot ische Stabilit at des Gesamtsyst ems gefordert ist , so kann dies nur dadurch gewahrleiste t werden, dass der lineare Teil auch ohne Einwirkung von auBen aus jedem Anfangs zustand zur Ruhe kommen kann. Daraus resultiert wiederum die im Satz formulierte Ford erung nach dem negativen Realt eil siimtlicher Polstellen (vgl. Satz 2.17). Wenn nun die linear e Ubertragun gsfunktion auch rein imag inate Polstellen aufweist (also beispielsweise einen Int egralant eil), wiirde der lineare Syste mte il ohne aufere Einwirkung nicht in den Nullzust and laufen. Deshalb muss in diesem Fall Null als untere Sektorgren ze ausgeschlossen werd en. Diese Einschriinkung des zuliissigen Sektors ist aber noch nicht ausreichend. Zusiitzlich muss noch gezeigt werd en, dass der geschlossene Kr eis tiberh aupt stabilisierbar ist , und zwar durch die Kennlinie f (e) = ceo Der nichtlinear e Teil muss demn ach durch einen linearen Verstiirkun gsfaktor E ersetzt und fur den so ents tandenen, linearen Kr eis

EG(S) 1 + EG (S)

(2.266)

die St abilitiit na chgewiesen werd en. Diese Eigenschaft bezeichnet man als Grenzst abilitiit. Ihr Nachweis ist aber nicht weit er schwierig, da es sich urn ein rein linear es P roblem hand elt. SchlieBlich bleiben noch die Verschiirfungen im letz ten Absatz des Sat zes zu disku t ieren. Die Redu zierun g auf endliche Werte von k bedeutet , dass beispielsweise ein ideales Zweipunktglied nicht mehr die Voraussetzun gen fur eine Anwendung erfiillt, da die Steigung seiner Kennlinie im Nullpunkt unendlich grof ist . Und die Bedingung, dass fiir keine Frequenz das Gleichungssyste m (2.265) erfullt sein darf, ist gleichbedeutend mit der Forderu ng, dass die im Folgend en noch vorgestellte Popov-Or tskurve nicht durch den Punkt 0) laufen dar f, Erweitert werden kann der obige Satz auch fur den Fall, dass der lineare Teil eine Laufzeit ent halt. Die Voraussetzungen des Sat zes sind dann dahingehend zu verscharfen, dass die nicht lineare Kennlinie nicht nur st uckweise stetig , sondern stetig sein muss und weiterhin q jet zt nicht mehr beliebig gewahlt werd en kann, sondern q > 0 gelten muss. Verschiedene andere Spezialfalle, die aber fiir die Praxis nicht mehr so relevan t sind, finden sich in [2]. Man muss sich aber immer dariib er im klaren sein, dass das Popov-Kriterium keine Aussage fur den Fall macht , dass eine Kennlinie den Sektor verlasst . Inst abilitat kann mit dem Pop ov-Krit erium nicht nachgewiesen werd en. Es ste llt sich noch die Frage nach der Vorgehensweise bei der Anwendung auf ein praktisches Problem. Gegeben sind beispielsweise eine nichtlineare Kennlinie und die Ortskurve des linearen Teiles, der wiederum die Voraussetz ungen des Satzes erfiillt . Die Frage ist , ob der geschlossene Kreis stabil ist . Dazu ist mit Hilfe der Ungleichung (2.264) der zuliissige Sektor [0, k] zu

(- t,

208

2. Regelungstechnische Grundlagen

ermitteln und zu tiberpnifen , ob die gegebe ne Kennlinie in diesem Sektor liegt . Zuniichst wird ein beliebiger Wert q fest gelegt und aus der Ungleichung (2.264) der zugehorige Wert k berechnet, mit dem diese Ungleichung fur alle w erfiillt ist . Wenn dann d ie Kenn linie im durch k definiert en Sektor liegt , so ist die Stabilitat des Syst ems nachgewiesen . Ein Prob lem entsteht abe r, wenn eine gegebene Kennlinie in diesem Sekto r nicht ent halte n ist. Da Satz 2.25 nur ein hinreichend es Stabilitatskrite riurn darstellt , lasst sich in diesem Fall keine Aussage machen. Die Frage ist dann, ob ein q existiert, mit dem ma n einen groferen Sekto r erhalte n hatte, Eine ahn liche Frage stellt sich auch, wenn die nichtlineare Kennli nie (z.B. beim Reglerentwurf) erst noch fest gelegt werd en soll. In dem Fall ist man natiirlich daran interessiert , einen rnoglichst groBen Sektor ftir die Kennlinie zur VerfUgung zu hab en. Grundsat zlich sollt e man q also nicht beliebig festlegen , sond ern versuchen , q so zu bestimmen , dass k maximal wird . Fur diese Aufgab e exist iert eine sehr elegante, graphische Losung. Dazu ist zunachst die Popov-Ungleichun g (2.264) umz uschreiben in

Re(G(j w)) - qwIm(G(jw)) >

1

-k

(2.267)

Nun definiert man eine neue Or t skurve G(jw) = x+ Hj mit dem Realt eil x = Re(G(j w)) und dem Imaginar teil y = wIm(G(jw)). Dies ist die sogenannte Popov-Ortskurve. Die Popov-Ungleichun g lau tet mit den Koordinaten dieser Or tskurve _ _ 1 x - qy > - (2.268) k oder umgestellt _ _ 1 x > qy - k (2.269) Diese Ungleichung muss fur alle Werte von w, also ftir jeden Punkt der Or tsku rve, erftillt sein. Der Gre nzfall dieser Ungleichung ist _ _ 1 Xc = qy - k

bzw.

_

Y=

1(_

-q

*

Xc

+-k1)

(2.270)

(2.271)

-to

Durch also eine Gera de mit der Steigung und dem x-Achsenabschnitt diese Grenzgerade wird zu jedem Imaginar teil y der Popov-Or tskurve ein Realt eil Xc vorgegeben . Ande rerse its muss aber der Realteil x der PopovOr tskurve nach Gleichung (2.269) gr6Ber sein als der durch die Gre nzgerade vorgegebene Realteil. Die Ungleichungen (2.269) und da mit (2.264) sind daher nur da nn fur aile Werte von w erfiillt , wenn die Popov-Or tskurve rechts von der Grenzgeraden, d.h. im Bereich gr6Berer Realteile verlauft (Abb. 2.88).

2.8 Nichtlineare Systeme

209

1m

_ 1 a-arctan q

Re

Popov-Ortskurve

/ Abb. 2.88. Graphische Bestimmung des maximalen Sektors Die Vorgehensweise zur Bestimmung der gr6Btm6glichen Sektorgrenze k wird anhand von Abb . 2.88 deutlich. Anhand der gemessenen oder berechnete n Or tskurve des linearen Teiles G(j w) ist zunachst die Popov-Ortskurve zu zeichnen. Dann muss eine Grenzgerade eingezeichnet werd en. Ihre Steigun g ~ ist beliebig, da auch q lau t Satz 2.25 beliebig gewiihlt werd en kann . Allerd ings muss sie links von der Ortskurve verlau fen, damit die Ungleichung (2.264) erfullt ist . Dur ch den Schnit tpunkt - j; der Grenzgeraden mit der reellen Achse wird dann die obere Sekto rgrenze k festgelegt . J e weiter dieser Schnitt punkt rechts liegt , desto gr6Ber ist k. Das maxim ale k ergibt sich offensichtlich, wenn die Grenzgerade wie eingezeichnet annahernd eine Tangent e an die Popov-Or tskurve darstellt. Eine echt e Tangente dar f sie nicht sein, da sonst in der Ungleichung (2.264) auch die Gleichheit zugelassen sein miisste . Diese Unte rscheidung kann aber in der Praxis ruhi gen Gewissens vernac hliissigt werden , da dort wegen der Ungenauigkeit beim Messen und Zeichnen sowieso keine exakt en Werte ermit telt werden. Interessan t fiir die Anwendung ist auch die Moglichkeit einer Sektort ransforma tion. Satz 2.25 geht immer von einer unt eren Sektorgrenze 0 bzw. e aus. Falls nun die Kennlini e in einem beliebigen Sekto r [k1 , k2 1 mit k 1 < 0 liegt , so ist der Satz zunachst einmal nicht anwendbar. In einem solchen Fall ist die Kennlinie u = f (e) zu ersetze n durch die transformiert e Kennlinie Ut = f t (e) = f( e) - k 1 e, wie es in Abb . 2.89 dargest ellt ist . Die neue Kennlinie liegt dann in einem Sektor [0, k] mit k = k 2 - k1 . Diese MaBnahme kann man auch so deuten , dass man in den geschlossenen Kreis par allel zur Nichtlinearitiit ein Proportional glied mit dem Verst iirkungsfaktor -k1 einfugt, so dass dann die Nichtlinearitat f (e) zusam men mit dem Pr oportionalglied gera de die tra nsformiert e Nicht linearitiit ft (e) bildet. Eine solche Veriinderung des Syste ms wiirde natiirlich das Er gebni s der Stabilitatsanalyse verfalschen , Deshalb ist vor Beginn der Rechnung die durch die Kennlinientransform ation erfolgte Vera nderung an and erer St elle wieder aufzuheben. Es biet et sich an, parallel zur transformierten Nicht linearitat It(e) ein weiteres Proporti onalglied mit der Verstarkung k 1 einzufugen, das die Wir kung des erste n Prop orti onalgliedes gerade wieder aufhebt. Dieses

210

2. Regelungstechnische Grundlagen

e

,------{ k] l---------.

- - - - - - - --_ !~~~---- - - - - - w

e

u

, ,, , , , ,,,

u

y

,

J

1

Abb . 2 .89. Sektortr ansformation Proportionalglied wird dann fur die Anal yse allerdings dem linearen Syste mte il hin zugerechnet . Die Fr age ist jetzt , wie die Ubertragun gsfunk tion des veranderten linear en Systemteiles aussieht . In einem nicht transformierten Syst em gilt die Beziehun g e - = -G(s) (2.272) U

1m t ra nsformierte n System nach Abb. 2.89 ergibt sich

(Ut + k1 e)G(s) = - e e

Ut

G(s)

1 + k1G(s) = -Gt(s)

(2.273)

und dami t fur die linear e Ubertragungsfunk tion des tran sformierten Systems

G(s) Gt(s) = 1 + k1G(s)

(2.274)

Ein e Sektortransformation umfasst also zwei Schrit t e: Der Sekt or [k1 , k2 ] wird durch den Sektor [0, k] erset zt mit k = k2 - k 1, und die Ubertragungsfunk tion G(s) des linearen Teiles durch Gt(s) nach (2.274). Auf dieses transformierte Syst em wird dann das Popov-Kriterium angewendet, was bedeutet , dass G t die Vorauss et zungen des Kriteriums fiir den linearen Syst emt eil erfiillen muss.

2.8 Nichtlineare Systeme

211

Kan n dann fur das transformierte System Stabili tat naehgewiesen werden, so gilt dies aueh fur das Original system . Angemerk t sei, dass eine Sektortransformati on aueh fiir k1 > 0 Vorteile bringen kann. Wenn man beispielsweise weiB, dass die Kennlinie im Sekt or [k1 , k 2 ] mit k1 > 0 verlauft, so verkleinert sich dureh die Sekto rt ra nsformation die obere Sektorgrenze k = k2 - k1 und dam it auch der Sektor [0, k]' fur den Stabil it at nachzuweisen ist . Die Bedin gung fiir den linearen Systemteil fallt dadureh offenbar weniger st reng aus. Zum Abschluss soll noeh auf die Erweiteru ng des Verfahrens fur Mehrgr6Bensysteme eingegangen werd en. Die entspreehende Version des PopovKriteriums lautet hier: Satz 2.26 (Popov-Kriterium [iir Mehrgroflens ystem e) Gegeben sei ein S tandardregelkreis, best ehend aus einem lin earen und ein em nichtlin earen Teil, wobei der lineare Teil durch die lineare Ubertragungsmatrix G(s ) und der nichtlin eare Teil durch den Vekt or f defin iert ist . Die Vekt oren e , u un d y haben gleiche Dim ension . Die ein zelnen Ubertragungsjunktionen Gi j (s) der Ubertragungsmatrix weisen nur Pole m it n egativem R ealteil auf. Die einzeln en K omponent en von f best ehen aus stiickweise st etigen, eindeutigen K enn linien, die j eweils nur von der en tsprechen den K omponent e des Eingangsvektors e abhiingig sind (u, = j i (ei)) und in den S ektoren [0, k i] verlauje n. Dann ist der Standardregelkreis global asymptotisch sta bil im Pun kt w = u = y = 0 , wenn die quadratische Ubert ragungsmatrix G p(s) = (I + sQ)G (s) + V

(2.275)

streng positiv reell ist. Dabei ist Q eine beliebige, reelle Diagonalm atrix und

V eine positiv sem idefin it e Diagonalm atrix mit Vii =

t: : : : O.

Sollten die Vektoren u und y nicht dieselbe Dimension aufweisen , so best eht die Moglichkeit , die Vektoren urn zusatzliche (Pseudo-)Komponenten zu erweite rn. Die Erweiteru ng lasst sich durch Einfiigen zweier statischer, linear er Ubert ragungsglieder beschreiben , die sich in ihrer Wirkung gegenseit ig aufheben . Die Vorgehensweise wird im Kapitel 2.8.9 dargest ellt . Die St abili tat im Mehr gr6Benfall ist nach Sat z 2.26 gewahrleistet, wenn die Matrix G p(s ) streng positiv reell ist. Dies bedeutet nach Sat z A.lO im Anh ang unt er and erem, dass ihre Elemente [Gp(S)]ij ausschlieBlich Pole mit negat ivem Realteil aufweisen diirfen. Da die Pole der Element e von G p(s ) gegeniiber denen von G (s ) nieht vera ndert sind und andererseits die Funktion en Gij (s ) lau t Vorau ssetz ung nur Pole mit negativem Realteil besitzen , gilt dies auch ftir die Pole von [Gp(S)] ij. Sollten die Pole der Ubertragungsfunktionen G ij(s ) auch nicht- negative Realteilc aufweisen , so beste ht prin zipiell die Moglichkeit , ein lineares Ru ckkopplungsglied in den linear en Syst emt eil einzufugen und den linear en Syste mte il vor Beginn der eigent liehen Stabilitat san alyse in ein stabiles Syst em umzuform en. Diese Verand erun g des Gesamtsystems muss aber durch

212

2. Regelungstechnische Grundlagen

Einfiigen eines weiteren Elementes an anderer Stelle wieder aufgehoben werden , urn das Syst em in seiner W irkung nicht zu vera ndern, Dieses weite re Element wird im nichtlinearen Systemteil eingefUgt. Auch diese MaBnahme wird im Kapi tel 2.8.9 beschrieb en. Fur die weite ren Ausfiihrungen sei nun vorausgesetzt, dass die Vektoren u und y gleiche Dimension hab en und der lineare Syst emt eil stabil ist , d .h. die Funkt ionen Gij (s) nur Pole mit negat ivem Realt eil besitzen. Nun ist zu iiberp rufen , ob die Matrix G p(s) positiv reell ist bzw. ob die mit G p(s) gebildete Matrix Hp(jw) (entspricht Matrix H aus Sat z A.lO ) fur aIle Frequenzen ausschlieBlich positi ve Eigenwerte aufweist . Falls die Kennl inien des nichtlinearen Teiles mit den Sektorgrenzen k; und damit auch die Elemente von V vorgegebe n sind, so kann man G p und H p mit einer beliebigen Matrix Q bild en und hoffen , dass aIle Eigenwerte von H p (jw) fiir aIle Frequ enzen posit iv sind. 1st dies nicht der Fall, so stellt sich dieselbe Frage wie im Eingrofienfall: Gib t es iiber haupt eine Matrix Q, die auf posit ive Eigenwert e von H p(j w) fuhrt? Und wie findet man diese Matrix? Sinnvoller ist offensichtlich der schon im Ein grofienfall besch ritte ne Losungsweg, namlich von vorn herein die freien P aram eter so zu besti mme n, dass sich moglichst groBe zulass ige Sektoren fiir die nicht linear en Kennlinien ergeben. Zunachst ist festzustellen , dass die zulassigen Sekt oren fiir die nicht linearen Ke nnlin ien durch die Elemente der Diagonalmatrix V vorgegeben werden. Je kleiner die Vii, desto grofer die zulassigen Sektoren. Die Matrix V wird daher zunachst zu Null gesetzt, was bedeutet, dass die obe re Sektorgre nze fiir aIle Kennlinen den Max imalwert 00 ann immt. Dan n wird nach Satz A.I0 die Matrix 1

H p(j w) = 2" (Gp(jw) =

+ G- Tp (jw))

1

-

T

2"((1 + jw Q) G(jw) + G (jw)(1 - jw Q))

(2.276)

mit einer beliebigen Matrix Q gebildet . Auf nummerischem Wege wird nun Q da hingehend optimiert, dass der kleinst e vorkommende Eigenwert von H, (j w) tiber aIle Frequenzen moglichst groB wird . Die Opt imierung wird vorzeiti g abg ebrochen, sobald dieser Wert grofer als Null ist . In dem Fall ist G p mit V = 0 st reng positiv reell, und die zulassigen Sektoren fiir aIle Kennlinien betragen [0, 00]. Falls am Ende der Optimierung der kleinst e vorkomm end e Eigenwert einen Wert J.l < 0 aufweist, so muss V = 1J.lII gewahlt werden. Mit dieser Wahl ergibt sich namlich fiir H p(j w) statt (2.276) gera de 1

H p(j w) = 2"((1 + jw Q) G(jw)

+ G- T (jw)( 1 -

jw Q))

+ 1J.lII

(2.277)

Dadur ch werden aber aIle Eigenwerte der Matrix urn 1J.l1 nach rechts und somit auch der kleinste Eigenwert in den positiven Bereich verschoben. H p(j w) ist dann fur aIle Frequenzen pos it iv definit, d.h. G p mit V = 1J.lII st reng

2.8 Nichtlineare Systeme

213

positiv reell. Die Sektorgrenzen ftir aile Sektoren lauten damit [0, 1~ ll . Selbstverstandlich ist auch eine and ere Wahl von V moglich, die fur einzelne Kennlinien moglicherweise grofe re obere Sektorgrenz en als I ~I zulassen wiirde, doch kann bei verschiedenen Diagonalelement en von V deren Wirkung auf die Eigenwerte von Hp(jw) nicht mehr so einfach vorhergesagt werd en . Auch im Mehrgrofenfall ist die Moglichkeit einer Sektortransformation gegeben. 1m Eingrofienfall geschah die Transformation dadurch, dass sowohl dem nichtlinearen als auch dem linearen Teil jeweils ein Proportionalglied mit der Verstarkung - k 1 bzw. +k 1 hinzu gefilgt wurd e, so dass sich die Wirkun g insgesa mt wieder aufhob (Abb. 2.89). Dieses Proportionalglied wird im Mehr grofienfall durch eine konst ant e Diagonalmatrix D erset zt . Es ergibt sich fur die Komp onent en des neuen nichtlin earen Ubert ragun gsverhaltens f' :

f:( ei) = f;( ei) - diiei

(2.278)

und fur den linearen Teil (vgl. Abb . 2.89 und Gleichung (2.274) ) (2.279) AbschlieBend ist zu sagen, dass das Popov-Kriterium zumindest im Eingrofienfall recht einfach anzuwenden und dami t ftir die Praxis gut geeignet ist. Die benotigten Informati onen iiber das Syst em sind leicht zu beschaffen. Fur den linearen Syst emteil reicht der gemessene Frequenzgang (bzw. im Mehr grofenfall die verschiedenen Frequenzgange Gij (j w)) aus, wahrend ftir den nichtlinearen Teil nur der Sektor bekannt sein muss, in dem die Kennlinie verlauft . Daftir liefert das Popov-Kriterium, da es nur ein hinreichendes Kriterium ist , sehr konser vative Ergebni sse, d.h. oft kann mit dem PopovKriterium kein St abilitatsnachweis erbracht werd en, obwohl das Syst em stabil ist. 1m Mehrgroflenfall ist das Popov-Kri terium wohl eher selten anwendbar, und zwar wegen der sehr einschrankenden Bedin gun g, dass jede Komponente des Ausgangsvektors des nichtlinearen Teiles nur von der jeweiligen Kornponent e des Eingan gsvektors ab hangen darf: Ui = f i(Ci)' Denn dies bedeutet letztendlich, dass z.B. ein nichtlin ear er (Fuzzy-)Mehrgrobenr egler nur cine Parallelschaltung von Eingrofienreglern sein darf. Mit einer solchen Reglerstrukt ur lassen sich aber reale Mehr grofienstrecken , in denen sich eine Eingangsgrofie auf verschiedene Ausgangsgroflen auswirken kann , im allgemeinen nicht regeln. Sinnvoller ist im Mehrgrof enfall sicherlich die Anwendung des Hyp erst abilit atskriteriums, weshalb die fur die Praxis wicht ige Erweiterung aller Vektoren auf gleiche Dimension und die St abilisierung des linearen Syste mte iles wie erwahn t dor t behand elt werden. Nicht unerwahnt bleiben soli hier die beruhmte Vermutung von Aisermann . Sie lautet : Wenn man den nichtlinearen Systemteil U = f( e) durch ein Proportionalglied mit dem Verstarkungsfaktor k 1 erset zt und das so entst andene Gesamtsystem stabil ist und dasselbe auch fur einen Verst iirkun gsfaktor

214

2. Regelungstechnische Grundlagen

k z > k 1 gilt, dann ist das System au ch fur jede beliebige nichtlin ear e Kennlinie im Sektor [k1 , k2 1 stabil. Obwohl diese Vermutung plausib el erscheint, so ist sie doch nicht allgemeingiilt ig. Ein Gegenb eweis findet sich in [54] und Gegenb eispiele gibt es schon fur Systeme zweite r Ordnung. Man kan n die St abili t at eines Syst ems mit einer nichtlinearen Kennlinie eben nicht dadurch abscha t zen, dass man die nichtlineare Kennlinie mit linear en Kennl inien vergleicht. Leider findet sich dieses Vorgehen in der Praxis aber relati v haufig, weshalb hier ausdriicklioh davor gewarnt werd en soli. 2.8.8 Kreiskriterium Das nachste vorgest ellte Stab ilit atskriter ium ist das Kreiskriterium . Es basiert auf gena u denselb en Voraussetzun gen wie das Popov-Kriterium. Auch hier wird von einer Unt erteilun g des Syst ems in einen linearen und einen nichtlinearen Teil ausgegangen, wobei das Ubert ragungsverhalte n des nichtlinear en Teiles aber nicht unb edin gt durch eine st atische Kennlinie darstellbar sein muss. Fur den Eingrofenfall mit einer stat ischen Kennlinie lasst sich das Verfahren relativ einfach herleit en , indem man in der Pop ov-Ungleichun g (2.264) den freien Par am et er q zu Null set zt, einige Umformungen vornimmt und das Erg ebnis graphisch int erpret iert (vgl. [45, 46]). Geradliniger auf Mehrgrofensysteme erweit erb ar ist aber eine Herleitung, die auf der Verwendung von Normen basiert (vgl. [18]). Normen sind schon im Zusammenh an g mit normopt imalen linearen Zust andsreglern erwahnt word en und im Anhang ausfiihrlich behandelt . So lasst sich die Norm einer Ubert rag ungsmatrix als eine Art maximal er Verst arkungsfaktor vorn Ein- zum Ausgan gssignalvektor inte rpret ieren. Es gilt beispielsweise fur die oo-Norm einer linearen Ube rtragungsmatrix G mit y = Gu gemaf Gleichung (A.22)

. IIG(Jw)lloo =

sup sup w

u;ofO

IG(jw)ul 1I u

(2.280)

und fur die oo-Norm einer nichtlinearen Ubertragungsfunktion mit f( e , e , ...) = u laut Gleichung (A.25)

lui Ilflloo = sup -II e;ofO e

(2.281)

wobei e , u und y die Orofien des Regelkreises gemaf Abb. 2.79 darstellen . Fur Eingrofensyst eme wird dara us (vgl. Gleichun g (A.24))

IIG(j w)ll oo

= sup IG(jw)1 w

lui 11/1 100 = sup -II e;ofO e

(2.282)

2.8 Nichtlineare Systeme

215

In einem Regelkreis, der aus einem linearen und einem nichtline aren Teil besteht, gilt mit diesen Definitionen fur die Ausgangsgrofe y = G(jw)f(e,e , ...). Ware f eine lineare Uber tragungsm atrix F , so konnte man schreiben y = GFe, und GF ware die Matrix der Kreisub ert ragungsfunktion, an han d der eine St abilitatsan alyse erfolgen kann . Da f ab er nur als nichtlin eare Vektorfunktion von e definiert ist , existiert keine explizite Kreisube rt ragungsfunkt ion. Es lasst sich lediglich, entsprechend der Definition der einzelnen Normen, der maxi male Ubertragungsfaktor von lei nach Iyl abschat zen , und zwar dur ch das Produkt der einzelnen Normen IIGII IIfII. Weiterhin gilt das small gain theorem, das ebenfalls schon im Zusarnrnenhang mit normoptim alen Zust and sreglern angesprochen wurd e. Es besagt , dass der geschlossene Kreis aus linearem und nichtlin earem Teil sicherlich dann st abil ist , wenn der maxim ale Ubertragungsfaktor von lei nach Iyl kleiner als Eins und auBerdem der lineare Teil fur sich genommen st abil ist . Die erste Bedingung ist leicht einzusehen, denn sie gara nt iert, dass Iyl < lei gilt. Dami t wird dann durch die Riickkopplung ein gegentiber e verkleinerter Vektor y wieder vorn in den Kreis eingespeist, beim Dur chlaufen von fund G weit er verkleinert usw., so dass e , u und y friiher oder spat er gegen Null konvergiercn. Das System ist demnach st abil. Daneben muss der Fall beriicksichtigt werden, wenn die Ausgangsgrofle u des nichtlinearen Teiles konst ant Null ist. Die GroBe y = Gu und damit auch der Ubertragungsfaktor von lei nach Iyl waren fur bcliebige Eingangsvektoren e damit ebcnfalls Null und die erste Bedingung des small gain theorem offenbar erftillt . Der linear e Teil wiirde dann aber keine Anrcgun g von auBen mehr erha lten, weshalb zusat zlich sichergestellt sein muss, dass er auch ohne aufe re Anregung aus jedem beliebigen Anfangszust and wieder zum Ruh ezust and zuriickkehrt. Er muss also stabil sein, was dur ch die zweite Bedingung des small gain th eorem gewahrleistet wird . Mit dem small gain t heorem und der obigen Abschat zung fur den maximalen Ubertragungsfakt or von lei nach Iyl ergibt sich als hinr eichende Bedingung fiir die Stabilitat des aus nichtlinearem und linearem Teil bestehcnden Regelkreises zum einen die Forderung nach der Stabilitat von G sowie die Bedingung (2.283) IIG(jw)1111f11< 1 Wahlt man ftir die Normen jeweils die oo-Norm, so ergibt sich fur ein Mehrgrofiensyst em (2.284) IIG(jw)lloo 11£11 00 < 1 und ftir ein Eingrof ensystem mit (2.282) sup

IG(jw) 1sup lull < 1

w

e# O

e

(2.285)

Die Norm des linear en Teiles ist gerade der maxim ale Abst and der Ortskurve zum Urspru ng, wahrend die Norm des nichtlin ear en Teiles dem betragsmaliig

216

2. Regelungstechnische Grundlagen

groBtmoglichen Verst arkungsfaktor vorn Eingang zum Ausgang des nichtlinear en Ubertragungsgliedes entspricht. Kann man fiir das nichtlin ear e Ubert ragungsverhalten eine obere und untere Sektor grenze angeben wie beispielsweise fur eine Kennlinie nach Abb. 2.87, so ist dieser Verst arkungsfakt or sicherlich kleiner als der maximale Betrag einer Sektorgrenze (2.286)

Einsetz en in Gleichung (2.285) ergibt als neue, verscharfte Bedingung fur die Stabilitat des geschlossenen Kreises sup IG(jw)1 max {lkll , Ik21} < 1

(2.287)

w

bzw. (2.288)

Das Syst em ist also stabil, wenn der Abstand der Ortskurve des stabilen, linear en Teiles vorn Ursprung immer kleiner ist als der Kehrwert des maximalen Betrages einer Sektorgrenze. Demnach ist nur die Sektorgrenze ausschlaggebend, die den grofieren Betrag aufweist . Dann kann man aber doch, ohne das Ergebnis der Ungleichung zu beeinflussen, die andere Sektorgrenze dahingehend verand ern , dass gilt: Ik11 = Ik21 und k1 < 0 < k 2 • Durch diese MaBnahm e vergrofer t sich der zulassige Sekt or fur das nichtli neare Ubertragungsverhalte n, ohne dass die St abilitatsbedingung fur den linearen Teil verscharft wird . Die gleiche Uberlegung lasst sich anstellen, wenn das nichtlin eare Ubert ragungsverhalten bereits vorgegeben ist und durch cinen Sekto r [k1, k 2 ] mit Iki l =1= Ik21 begrenzt wird . Durch eine Sektortransformation von [kl , k 2 ] auf [-k d, kdl mit kd = ~lk2 - kd (Abb. 2.90) and ert sich die rechte Seit e der Ungleichung (2.288) zu Wegen kd < max{ lkll , Ik21} ist sie gr6Ber geworden und die Bedingung ftir den linearen Teil damit nicht mehr so st reng. Diese Bedingung soli im Folgenden hergeleitet werden. Wie beim Popov-Kriterium erfolgt die Sektor- Transformation durch Einfu gen zusatzlicher Proportionalglieder (vgl. Abb. 2.89) , wobei hier der Sckt or ab er nicht urn die unt ere Sektorgrenze k1, sondern urn den Mittelwert km = Hk 1 + k2 ) verdreht wird . Mit kd = ~l k2 - kil wird das nichtlin eare Ubert ragungsverhalte n dann dur ch den symm etrischen Sektor [- kd, kd l begrenzt , und der linear e Systemteil vera ndert sich (vgl. (2.274)) zu

IL.

G(s) Gt(s) = 1 + kmG(s) Aus Gleichung (2.288) wird dann die Bedingung

(2.289)

2.8 Nichtlineare Systeme

217

k.Je

e

Abb. 2.90. Sektortransformation fiir das Kreiskriterium

(2.290) fur aile w. Zu beachten ist, dass der lineare Teil fur das small gain theorem nun nicht mehr G(s) , sondern Gt(s) ist und G t daher eine stabile Ubertragungsfunktion sein muss, wahrend fur G zunachst keine Vorgaben mehr bestehen. Weiterhin ist eine Berechnung von k« und k m nur fur k 2 < 00 moglich, weshalb der Fall k 2 = 00 auszuschlieBen ist . Einsetzen fiir G, und umstellen liefert dann (2.291) Diese Ungleichung wird nun quadriert, wobei die Betragsquadrate durch Produkte der komplexen GraBen mit ihren konjugiert komplexen Werten dargestellt werden :

0< (k;" - kJ)G(jw)G(jw) + km(G(jw) + G(jw)) + 1

(2.292)

Mit k;, - kJ = k 1k2 ergibt sich (2.293) Nun sind in Abhangigkeit der Vorzeichen von k1 und k 2 verschiedene Faile zu unterscheiden. Im ersten Fall sei k 1 k 2 > 0, d.h. beide Sektorgrenzen haben das gleiche Vorzeichen. Dann lasst sich die Ungleichung mit den Abkiirzungen r = 11.1... -.1...1 und m = _1(...L +.1...) umformen zu 2 k k2 2 kl k2 1

IG(jw) -

rnl > r

(2.294)

Die Ortskurve muss also auBerhalb eines Kreises mit dem Radius r und dem Mittelpunkt m verlaufen (Abb. 2.91 oben links). Fiir k 1 < 0 < k 2 erhalt man mit denselben Abkiirzungen

IG(jw) - rn]
0 entfallt der erste Term in (2.293), und es ergibt sich 1 (2.296) Re(G(jw)) > - k 2

f

Die Ortskurve muss also rechts von der durch - 2 definierten Geraden verlaufen (Abb. 2.91 unten links) . In analoger Weise ergibt sich ftir k: < 0, k 2 = 0 eine Gerade durch - f1 ' von der aus gesehen die Ortskurve links verlaufen muss (Abb. 2.91 unten rechts). j Im(G(jOl))

J!!.l1(G(jOl»

Re(G(jOl))

Re(G(jOl»

j Im(G(jOl»

-k;:I :,

Re(G(jOl))

,,

j Im(G(jOl»

I : Re(G(jOl» --k

I :, , ,

Abb. 2.91. Zum Kreiskriterium

In den letzten drei Fallen tritt aber noch ein weiteres Problem hinzu . Denn prinzipiell ent halt wegen 0 E [k1 , k2 ] jed er von ihnen auch die Moglichkeit einer Kennlinie f( e) = O. Wie schon ftir das Popov-Kriterium und das small gain theorem diskutiert , wiirde damit der lineare Systemteil sich selbst iiberlassen bleiben. Stabilitat des Gesamtsystems kann daher nur dann erreicht werden , wenn der lineare Systemteil fur sich genommen stabil ist . Zur Forderung, dass G t stabil ist und nur Pole mit negativem Realteil aufweist , tritt daher in diesen Fallen die Forderung, dass dies auch ftir G selbst gilt. Fur jede Konstellation von Sektorgrenzen k 1 , k 2 lasst sich also ein verbotenes Gebiet V(k 1 , k2 ) angeben, in dem die Ortskurve des linearen Teiles nicht verlaufen darf, damit der geschlossene Kreis stabil ist . Wenn man eine Gerade als einen Kreis mit unendlichem Radius ansieht, so ist dieses verbotene Gebiet immer kreisforrnig. Daraus resultiert der Name des Kreiskriteriums:

Satz 2.27 (Kreiskriterium) Gegeben sei ein geschlossener Kreis, bestehend aus einem linearen und einem nichtlinearen Teil. Das nichtlineare Ubertra-

2.8 Nichtlineare Systeme

219

gungsverhalten sei durch einen S ektor [kl , k 2 ] m it k 2 < 00 beschriinkt. Falls k l und k 2 verschieden e Vorzeichen haben oder eine der beiden S ektorg renzen gleich Null ist, muss die Ubertragungsjunktion des lin earen Teiles G ( s) stabil

Hk

sein. Di e Funktion Gt( s ) = I+~~~(s) mit k m = l + k 2 ) muss immer sta bil sein und doriiber hinaus auch die Ordnung ihres N enn erpolynom s grojler als die Ordnung des Ziihlerpolynoms . W enn dann die Ortskurve G(jw) fur alle w > 0 aujlerhalb des durch k l un d k 2 gegebenen, verbotene n Gebietes V (k l , k 2 ) verliiuft, so besitzt der geschloss ene K reis eine global asymptotisch stabile Ruhelage fur u = y = o.

Interessant ist es, kur z den Zusamm enhang zwischen dem Kreiskriteriurn und dem Popov-Kri terium sowie der Methode der harmonischen Balance aufzu zeigen. Wie bereit s erwahnt , lasst sich das Kreiskriterium ftlr stat ische Nichtlinearitiiten auch aus dem Popov-Kriterium herleiten, indem man in der Popov-Ungleichun g (2.264) den freien Parameter q zu Null setzt, einige Umformungen vorn immt und das Er gebnis gra phisch int erpretiert (vgl. [45, 46]). Dieser Verzicht auf einen frei wahlb aren Par amet er bed eutet aber eine Verschiirfung einer hinreichenden St abili tiitsb edin gung , so dass das Kreiskrit erium offenba r eine noch konservati vere Aussage als das Popov-Kriterium darstellt . Es kann daher durchaus vorkommen, dass man die Stab ilitiit eines Systems mit dem Kr eiskriterium nicht nachweisen kann , wohl aber mit dem Popov-Kriteriurn . Inst abili t iit kann man mit beiden Krit erien nicht nachweisen, da beide nur hinreichend , aber nicht notwendi g sind . Ahnli ches gilt auch fiir den Zusamm enhang zwischen dem Kr eiskriterium und der Methode der harmonischen Balance. Hier lasst sich na chweisen, dass die fur cine gegebene Kennlinie berechnet e Kurve der Beschreibungsfunktion - N l A) vollstiindig in dem mit dem Kreiskriterium ermit telte n, verbotenen Gebiet V( k 1 , k2 ) liegt [18]. Wird daher mit dem Kreiskriterium Stabilitiit nachgewiesen, d.h . verlau ft die Ortskurve des linearen Teiles auBerha lb des verbotenen Gebietes, so wiirde man auch mit der Methode der Beschreibun gsfunkti on St ab ilitiit nachweisen , da die lineare Ortskurve und die Kurve der Beschreibun gsfunk tion offensicht lich keinen Schnittpunkt aufweisen konnen , In der anderen Richtung gilt diese Folgerung ab er nicht . Denn wenn die Ortskurv e die Kurve der Beschreibungsfunktion nicht schneidet bzw. die durch diese Kurve abgedeckt e Fla che nicht beriihrt, so bedeutet dies noch lange nicht , dass sie auch auBerhalb des wesentli ch gr6Beren , verbotenen Gebiet es des Kreiskriteriums bleibt . Das Kreiskriterium ist also das konservativste der dr ei Kriterien, dafur aber, da es im Gegensatz zu den beiden anderen Kri terien auch fur dynamische Nicht linearit at en gilt , das Kri terium mit dem gri:iBten Anwendungsb ereich, wenn man von einigen Spezialfallen absieht , die im Pop ov-Kriterium noch ent halten sind. Dariiber hinaus ist es offensichtlich von allen drei Kriterien am einfachst en anzuwenden. Die Sektorgrenzen eines nichtlinear en Ubertragun gsgliedes sind einfach zu bestimmen, und die Ortskurve des linearen Syst emt ciles kann man durch eine Messung erh alt en. Es biet et sich dah er im

220

2. Regelungstechnische Grundlagen

Anwendungsfall an , den Stab ilitatsnachweis zunachst mit dem Kreiskri teriurn zu versuchen und nur im Faile eines Misserfolges die anderen Kri terien heranzuz iehen. Eine Ubertrag ung des mit Hilfe des small gain theorem hergeleiteten Kreiskriteriums auf Mehr grof ensyst eme ist nun kein P roblem mehr , obwohl sich hier bei weit em kein so gut han dhabb ares Verfahren zur Uberpnifung der Stabilitat ergibt wie im Eingrof enfall. Ausgangspunkt ist die Ungleichung (2.284) (2.297) IIG(jw)lloo 11£1100 < 1 Die Norm des nichtlinear en Syst ernteiles wird ents prechend Gleichung (2.281) bestimmt:

Ilflloo =

lui

sup -II e#O e

(2.298)

Eine relativ einfache und trotzdem genaue Abschiitzung lasst sich durchftihren , wenn fur jede Komp onent e des Vektors u gilt : Ui = Ji(ei )' J ede dieser nichtlinearen Funk ti onen verlaufe in einem Sekt or [ki 1 , ki 2 ]. Dann fugt man ents prechend Abb . 2.92 zunachst eine Diagonalmatrix M parallel zur Nichtlineari t at ein, urn die Sekto ren in den einzelnen Komp onent en jeweils ftir sich zu symmet rieren. Fur die Elemente von M muss dam it gelte n (2.299)

AnschlieBend wird noch eine Diagonalm atrix H eingefiigt, mit deren Komp onenten die neu entstandenen Kennlini en und damit auch die sym rnetrischen Sektorgrenzen multipliziert werden. Wahlt man (2.300)

so verlauft jede Kennlinie der neu entstandenen Nicht linearitat f' im Sektor [- 1,1]. Das Verhaltnis ~ ist dam it fur jedes i maxim al gleich Eins, weshal b sich die Norm der Nichtlin earitat nach (2.298) durch Ilf'lloo :::; 1 abschat zen

lasst. Die Erweiterung der Nichtlinearitat urn M und H darf natiirlich nicht erfolgen, ohn e auBerhalb von f' , also irn linear en Teil des Regelkreises, entsprechende Matrizen einzufugen, die die Wirkung von M und H gerade kompensieren. Denn sonst wiirde die Stabilitats analyse mit einem veranderten Regelkreis erfolgen, und die resultierenden Stabili tatsaussagen waren ftir das Originalsystem unbrauchbar. Abb. 2.92 zeigt, wie dies geschieht. H wird durch die inverse Matri x H -l kompensiert , und M durch eine andere Matrix M , die mit entge gengesetz tem Vorzeichen parallel geschaltet wird . Insgesamt sind damit die beiden Regelkreise in Abb. 2.92 aquivalent, Fur den unt eren, erweiterten Regelkreis ergibt sich fiir das linear e Ubertrag ungsverha lten von u' nach e

2.8 Nichtlineare Systeme

G' =

(I -

GM)-IGH- 1

221 (2.301)

und fur die St abilitat sforderung (2.297)

IIG'(jw) lloo 11£' 1100 < 1 Mit

11£' 1100 < 1 wird

(2.302)

daraus die Forderung

11(1- GM)-IGH- 1 1100 < 1

(2.303)

Diese Ungleichung ist sicherlich erftillt , wenn (2.304) gilt . Aus (A.20) folgt sofort 1

- 1

11(1 - GM) 1100 = III - GMll oo

(2.305)

und damit (2.306) Da die Berechnun g der oo-Norm mitt lerweile in jedem regelungstechnischen Software-Tool ent ha lten ist , lasst sich diese Bedingung quasi auf Knopfdruck ub erpriifen. Falls eine algebraische Losung angest rebt wird , kann man die 00Norm auch durch andere, leichter zu berechnende Normen abscha tzen (vgl. [18]). Eine solche Abschat zung kann allerdings sehr grob sein. AbschlieBend muss dann noch wie im Eingroflenfall die Stabilitat von G und G' nachgewiesen werden, was abe r ein rein lineares Problem und somit nicht besonders schwierig ist.

f ee) w

e

, ,, , ,,, , , ~

•

•

,

J

Abb. 2.92. Sektortran sformation im Mehrgroflenfall

222

2. Regelungstechnische Grundlagen

2.8.9 Hyperstabilitat Urn das nachste Stabilitiitskriterium vorstellen zu konnen, muss zunachst ein neuer, strengerer Stabilitiitsbegriff als der von Ljapunov eingefuhrt werden, und zwar die Hyperstabilitat [154, 155]:

Definition 2.28 Gegeben sei ein lineares, steuer- und beobachtbares System mit dem Zustandsvektor x, dessen Eingangsvektor u(t) und Ausgangsvektor y(t) dieselbe Dimension haben. x(O) ist der AnJangszustand. Damit ist y(t) von x(O) und u(t) abhiingig. Das System heiflt hyperstabil, wenn fur jeden Anfangszustand, jeden Eingangsvektor und jedes (30 gleichung

> 0 aus der Integralun(2.307)

fur alle T > 0 die Ungleichung Ix(t)1 ::; (30 + (31Ix(0)1 fur alle 0 < t < T mit einer beliebigen positiven Konstanten (31 folgt. Konvergiert dariiber hinaus der Zustandsvektor gegen Null, lim x(t) = 0, so heiflt das System asymptotisch t-i-co

hyperstabil.

Die Idee dieser Definition lautet: Wenn das Produkt aus Ein- und Ausgangsgrofen eines hyperstabilen Systems in einem gewissen Sinne beschrankt ist, so bleiben auch die Zustandsgrofen beschriinkt. Die Voraussetzung gleicher Dimension ftir die Ein- und Ausgangsgrofe ist notwendig, weil das Produkt u T y sonst nicht gebildet werden kann. Interessant ist ein Vergleich dieser Definition mit den bisher verwendeten Stabilitiitsdefinitionen. Die ersten beiden Stabilitiitsdefinitionen 2.4 (endliche Sprungantwort) und 2.5 (BIBO-Stabilitiit) bezogen sich auf die Reaktion des Systemausgangs auf eine Eingangsgrofie, wahrend die Definition nach Ljapunov 2.21 das interne Verhalten des Systems (Zustandsgrofen) ohne iiuBere Anregung als Reaktion auf einen Anfangszustand betrachtete. Dagegen werden bei der Hyperstabilitat sowohl der Anfangszustand als auch eine aufiere Anregung in Betracht gezogen . Offensichtlich ist ein (asymptotisch) hyperstabiles System auch (asymptotisch) stabil nach Ljapunov. Denn die Ungleichung (2.307) ist sicherlich erfullt fur einen Eingangsvektor u(t) = 0 , d .h. fur ein System ohne iiuBere Anregung. In einem hyperstabilen System ist dann auch der Zustandsvektor beschriinkt durch Ix(t)[ ::; (30+(31Ix(0)1. Damit ist das System aber auch stabil nach Ljapunov. Und die Verschiirfung hinsichtlich asymptotischer Stabilitiit ist sowieso in beiden Definitionen gleich. Ein lineares System, das stabil nach Ljapunov ist, ist aber auch stabil nach den Definitionen 2.4 und 2.5, wie bereits friiher gezeigt wurde. Von allen vorgestellten Stabilitiitsdefinitionen ist daher die Hyperstabilitiit die strengste. Dies kann man auch daran erkennen, dass beispielsweise die Riickkopplung zweier hyperstabiler Systeme HI und H 2 gemiiB Abb . 2.93 wieder ein hyperstabiles System mit der EingangsgroBe

2.8 Nichtlineare Systeme

223

w und der Ausga ngsgrofe y ergibt , wie sich beweisen Iasst . Die Riickkopplung zweier Ljapunov-stabil er Systeme muss dagegen nieht zwangs ldufig wieder auf ein Ljapunov-st abiles System fiihren. w

Abb. 2.93 . Rtickkopplung zweier hyperstabiler Systeme

Anh and der Integralungleiehun g sieht man , dass die Hyp erst abi lit at in gewissem Sinne eine Erw eiterung der im Popov-Kriterium erwahnte n absolute n Stabilitat ist . Absolute St abilitat nach Satz 2.25, beispielsweise im Sekt or [0, (0) , setzt vorau s, dass die Kennlinie f (e) in genau diesem Sektor verliiuft . Diese Bedin gun g lasst sieh aber aueh ausdriieken dureh die Forderu ng f( e)e 2: O. Mit f (e) = u und e = -y wird dar au s uy ::::: O. Der Zusammenh an g mit der Integralungleiehun g ist deut lieh zu erkennen. Der Begriff der Hyp erst abili tiit lasst sieh aueh energet isch deu ten . So lassen sich u und y beispielsweise als Strom und Spannung am Ein gan g einer elekt rischen Sehaltu ng interpr et ieren und die Zustandsgrof e x als interner Energiespeieher, zum Beispiel die Spa nnung an einem Kond ensat or . Das P rodukt aus u un d y entsprieht dann der zugefUhrten elekt risehen Leistung, und das Integral iiber diesem P roduk t der zugefUhrten elekt risehen En ergie. Wenn diese gemaf der Integralungleiehung beschrank t ist , so muss, sofern die Sehaltung hyperstabil ist , aueh die intern gespeieherte Energie und da mit x beschrank t sein. Fiir passive elekt risehe Seha lt ungen t rifft dieser Saehverhalt immer zu, sie sind demn aeh hyp erstabil. Enthalt eine Sehalt ung abe r akt ive Baut eile wie z.B. Verstarker , so ist die Hyp erstabilitiit nicht unbedin gt gegeben. Anzumerken ist noeh, dass die hier angegebene Definition eine st ark vereinfaehte und enger gefasste Version der allgemeinen Definition (vgl. [1 44, 155] ist , die sieh auf niehtlineare, zeitvariante Systerne bezieht , wobei dort zudem noeh die Bet rage dureh verallgemeinerte Funktionen ersetzt sind . Fiir soleh allgemeine Syst eme ergeben sieh dann aber keine pr aktiseh anwendba ren Stabilitiitskriterien mehr. Stattdessen soli hier , ausgehend von der eng gefasste n Definition fur lineare Syste rne, ein St abili tatskriterium fiir den Standardregelkreis naeh Abb . 2.79 entwiekelt werd en . Die betraehtete Ruhelage sei w = y = 0 , andern falls ist das System geeignet umzud efinieren. Erfiill t nun der niehtlineare Teil die Ungleiehung (2.308)

224

2. Regelungstechnische Grundlagen

ftir aile T > 0, dann erfiillen wegen e = -y offensiehtlieh die Ein- und Ausgangsgroflen u und y des linearen Systemteiles aueh die Voraussetzung (2.307) aus Definition 2.28. Wenn dann noeh gezeigt werden kann, dass der lineare Systemteil hyperstabil ist, so ist garantiert, dass seine Zustandsgrofen beschrankt bleiben, und zwar unabhangig vom internen Verhalten des nichtlinearen Systemteiles. 1m Falle asymptotiseher Hyperstabilitat konvergieren die Zustandsgrofen sogar gegen Null. Wenn man daruber hinaus fordert , dass der niehtlineare Systemteil keine internen Zustandsgrofen enthalt, so kann es keine Zustandsgrofien im Gesamtsystem geben , die nicht gegen Null konvergieren. Das bedeutet aber doeh , dass das Gesamtsystem in der Ruhelage x = 0 asymptotiseh stabil im Ljapunovschen Sinne ist. Damit gilt .

Satz 2.29 Der nichtlineare Standardregelkreis hat filr den Sollwert w = 0 die (asymptotisch) stabile Ruhelage x = 0, wenn das lineare Teilsystem (asymptotisch) hyperstabil ist und das statische, nichtlineare Teilsystem filr alle T > 0 die Integralungleichung

(2.309)

erfilllt .

Was ist aber zu tun, wenn der nichtlineare Teil nicht statiseh ist, sondern ebenfalls interne Zustandsgroflen enthalt? Wie schon gesagt , haben interne Vorgange im nichtlinearen Teil keinen Einfluss auf die Beschranktheit der Zustandsgrofen des linearen Teiles, sofern nur die Ungleichung (2.309) eingehalten wird. Damit ein Standardregelkreis mit einem dynamischen niehtlinearen Teil asymptotiseh stabil ist , muss daher lediglieh neben den Bedingungen aus Satz 2.29 sichergestellt sein, dass die Zustandsgrofien des nichtlinearen Teiles gegen Null konvergieren . Dafur gibt es aber kein einfach anzuwendendes, allgemeingliltiges Kriterium, oft jedoeh ermoglicht eine vergleichsweise einfache dynamische Struktur des nichtlinearen Teiles cine Abschatzung des Zustandsgrofenverlaufes gewissermaBen von Hand. Und falls die Zustandsgrofien des niehtlinearen Teiles unter teehnischen Gesichtspunkten sowieso nieht von Interesse sind , kann man auf diese Betrachtung aueh vollig verzichten. Man darf dann allerdings nicht mehr von der asymptotischen Stabilitat des gesamten Systems sprechen, sondern nur noch davon, dass die Zustandsgrofen des linearen Teiles fur den gegebenen Sollwert gegen Null konvergieren. Es stellt sich nun die Frage, wie im Anwendungsfall vorzugehen ist. Oft wird schon die Forderung nach gleicher Dimension der Vektoren u und y das erste Problem darstellen, weil dies in vielen Fallen nicht von vornherein gegeben ist. Meist weist der niehtlineare Teil (z.B. cin Fuzzy-Hegler) mehr Ein- als Ausgangsgrofen auf. Urn hier gleiehe Dimension zu gewiihrleisten, miissen fur den nichtlinearen Systemteil zusatzliche Ausgangsgrofen mit dem

2.8 Nichtlineare Systeme

225

kons t an ten Wert Null definiert werden. Entsprechend ist die Anzahl der Eingangsgr6Ben des linear en Systemteiles zu erhohen und dessen Ubert rag ungsmatrix zu verandern . Nichtlinearer Teil

Linearer Teil

Abb. 2.94. Einftigen zusa t zlicher Matrizen zur Herstellung gleicher Dimension von Ein- und Ausgangsvektoren

Die Definition zusatzlicher Ausgan gsgr6Ben ents pric ht dem EinfUgen zweier Matri zen M und N in den geschlossenen Kr eis (Abb . 2.94). Urn dab ei das System nicht zu verandern , muss die Bedingun g NM = I erftillt sein. In Abb . 2.94 gilt fur die Mat rizen N und M

N= (1 0)

(2.310)

Dadurch wird aus der Ausgan gsgrof e u des nichtlinear en Systemteiles der Ausgan gsvektor u = [u ,O]T und aus der Ube rt ra gungsmatrix (2.311) die qu adratische Ubertrag ungsmat rix (2.312) Dam it weisen beide Syst emteile die gleiche Anzahl an Ein- und Ausgangsgrof en auf. 1m Folgend en wird auf eine explizite Dar stellung der Matrizen M und N verzichtet, d.h . sowohl f als auch G gelte n als entsprechend erweite rte Syst em teile, Nun soll zun achst das linear e Teilsyst em auf Hyp erstabilitiit ub erpruft werden . Dazu wird der folgend e Satz benotigt , der hier aber nicht bewiesen werd en soil: Satz 2.30 Ein lineares, zeitinvariantes, steuer- und beobachtbares Sys tem ist genau dann asymptotisch hyperstabil, wenn es streng positiv reell ist (vgl. K ap. A.6). Wie im Anschluss an Satz A.lO schon erwahnt , ist damit fur die Hyperst abilitat des linearen Syst emteilcs zunachst einmal Vorau ssetzung, dass dieser st abil ist. Sollte dies nicht der Fall sein, so kann man versuchen , durch eine Tr an sform at ion ein stabiles Syst em zu erzeugen. Zu diesem Zweck wird

226

2. Regelungstechnische Grundlagen

fur den linearen Teil eine Riickkopplungsmatrix K eingefUgt, wie es in Abb .

2.95 dar gest ellt ist. Die Matrix D sei zunachst Null. Dann ergibt sich dur ch die Riickkopplung ein neues, lineares System G ' = (I + GK) -lG , dessen Eigenwert e unter gewissen Voraussetz ungen bei geeigneter Wahl von K aile einen negativen Realt eil aufweisen. In der Zust andsdarstellung wird die Wirkung von Knoch etwas deutlicher:

x=

Ax + B(u - Ky) = (A -BKC)x+Bu A'=A-BKC

mit

y

=

Cx

und

D= 0 (2.313)

Verand ert wird also die Syst emmatrix, und die Stabilisierun g kann nur bei einer bestimmten Struktur von A , B und C gelingen. Vorausgeset zt wurd e bei dieser Darst ellung, dass im urspr iinglichen System kein direkter Durchgriff von der Stell- zur Ausgangsgrofle besteht (D = 0) . Grundsatzlich kann das Verfahr en aber auch bei direkt em Dur chgriff angewendet werden. Die Gleichungen werden dann lediglich etwas aufwandiger. Die dur ch das Hinzufiigen von K erfolgte Verand erung des Gesamtsyste ms muss aber an anderer Stelle wieder ruckgangig gemacht werden , da sonst die Stabilit atsanalyse anhand eines veranderten Regelkreises erfolgen wiirde. Man kann sich leicht klarm achen, dass durch das HinzufUgen von K die urspriingliche Eingangsgrofle u des linearen Teiles urn den addit iven Term - Ky verand ert wird . Eine zusatzlich tiber den nichtlinearen Systemteil f par allel geschaltete Mat rix K hebt diese Wirkun g wegen -Ke = +Ky aber gerade wieder auf, so dass das abgebildete , erweite rte System (mit D = 0) gerade dem urspriin glichen Originalsystem entspricht. Fur die St abilitatsanalyse wird demnach der lineare Teil G dur ch G' und der nichtlin eare Teil f durch £1 erset zt. Diese Systemtransfor mation ist der Sektor transformation beim Popov- und Kreiskri terium vergleichbar. Man passt einen gegebenen St and ardregelkreis dur ch Transform ation an die Vorausset zungen des anzuwendenden St abilit at skrit eriums an. Kann dann fiir das transformiert e Syste m St abilitat nachgewiesen werden , so gilt dies auch fur das Originalsyst em. Es liege nun ein st abiles, lineares Syst em G'(s) vor. Nun ist nach Satz A.lO zu prufen, ob die Matri x H'(jw) =

~(G' (jw) + G,T(j w))

(2.31 4)

ftir aile Frequenzen w ausschlieBlich positive Eigenwert e aufweist. Dies kann numm erisch durch gefiihrt werden. Die erforderlichen Schritte sind denen ahnlich, die auch schon beim Popov-Kriterium fiir Mehrgrofensysterne durchgefuhrt wurd en. Wegen der Frequenzabh angigkeit von H' ergibt sich ftir jeden Eigenwert eine frequenzabh angige Kur ve. Sollte diese Kur ve ftir jeden

2.8 Nichtlineare Systeme

227

Eigenwert im Positiven verla ufen, so ist das lineare System G' streng positi v reell. Andernfalls ist wiederu m eine Systemtransformation notwendig (Abb. 2.95). Ziel dieser Transfo rmation ist , den linearen Systemt eil durch Parallelschaltung einer Diagonalmatrix streng positiv reell zu machen, wobei diese Diagonalmatrix aber moglichst kleine Elemente hab en soll. Denn je kleiner die Elemente, desto grofe r sind die zulassigen Sektoren fur das Ubertragungsverhal ten des nichtli nearen Systemteiles, wie spat er noch gezeigt wird . Zu ermitte ln ist zunachst der kleinste auftretende Wert d < 0 aller Eigenwert e von H ' iiber w . Die Addition einer Matrix D = IdlI zu G' fiihrt dann auf das System G" = G' + D mit der zugeord neten Matrix

~ (G"(jw) + G"T(j w) ) = ~(G'(jw) + D + C,T(jw ) + D) = H ' (jw) + IdlI (2.315)

H" (jw) =

Offensichtli ch sind die Eigenwert e von H" gegeniiber denen von H' urn Idl na ch rechts verschob en und deshalb alle positiv. Da G" zudem dieselben, st abilen Pole aufweist wie G' , ist das erweite rte Syst em G " damit streng posit iv reell. Moglich ist auch, die Erweiterung mit einer beliebigen, positiv semidefiniten Diagonalmatrix D dur chzufiihren, deren Element e nicht alle gleich sind. Doch in dem Fall kann kein direkt er Zusamm enhan g zwischen diesen Elementen und der Verschiebung der Eigenwerte von H' angegeben werden. Dies kann wiederum die Bestimrnung der Matrix D sehr schwierig und zeitaufwandi g machen. Urn groBere zulassige Sektoren fiir einzelne nichtlin ear e Kennlinien zu erhalte n, kann eine unt erschiedliche Wahl der Diagonalelemente jedoch manchmal notwendig sein. Die Diagonalmatrix D , dur ch deren Einfiigen der lineare Syst emt eil stre ng positiv reell wird , lasst sich auch anhand der Zust and sdarstellung des Systems und Sat z A.ll berechnen. Dazu wird zunachst eine Matrix L mit gra d(L ) = n beliebig festgelegt . Mit L und gegebener Systemmatrix A' lasst sich dann aus dcr Ljapunov-Glcichung (A.41) cine Matrix P bere chnen. Da es sich bei A ' urn die Systemmatrix des st abilcn Syst ems G' hand elt , sind samtliche Eigenwerte von A' negativ. Aus grad(L) = n folgt , wie bereits im Anhang skizziert , da ss LL T eine symmet rische, positiv definit e Mat rix ist . Damit folgt aus Satz A.6, dass P positiv definit ist lind die Vorausset zung aus Satz A.ll erfiillt . Wegen der Regulari tat ist L invertierb ar , und V ergibt sich aus Gleichung (A.42) zu (2.316) Da schlieBlich D eine Diagonalmatrix sein soll, kann ihre Symmetrie vorausgesetzt werden: D = D T . Damit lasst sich ab er Gleichung (A.43) zur Bestimmung von D umform en:

228

2. Regelungstechnische Grundlagen D =

~ VTV

(2.317)

2

GemaB Abb . 2.95 wird diese Matrix zum stabilen linearen Systemt eil

G'(s) parallel geschalt et . Das entstehende Syst em G"( s) erfullt wegen der Anwendung der Gleichungen (A.41) - (A.43) zur Berechnun g von D sicherlich die Voraussetzungen aus Satz A.ll und ist damit st reng positi v reell. Im Gegensatz zum vorherigen Ansatz ist bei diesem Verfah ren abe r nicht gewahrl eist et , dass die Diagonalelemente von D so klein wie moglich sind. 1m Hinbli ck auf die weitere Verwendung von D ist der vorherige Ansatz daher vorzuziehen. D

D

- - -- -- - - - - -- - -- - - - - -w

e'

e

u'

o o o

u

G(s)

y o o o

o o

,

o

, 1

0 I

f f'

~ - -- - - -- - - - - - - - - - - - - ~ G'

GOO

Abb. 2.95. Erweiterung des linearen Systemteiles zur Cewahrleistung der Hyperstabilit at Die durch das Hinzufiigen von D erfolgte Verand erung des Gcsamt syste ms muss nun an anderer St elle wieder kompensiert werd en. J etzt ist es so, dass durch das Hinzu fugen von D die ursprtingliche Eingangsgrofie des nichtli near en Teiles e urn den addit iven Term - D u' verand ert wird . Diese Wirkung kann durch eine Ruckkopplung mit D tiber den nichtli nearen Teil f' aufgehoben werden. Damit entspricht das abgebildet e, erweiterte Syste m gerade wieder dem urspriinglichen Originalsyst em. Insgesamt wird also fur die St abilit atsanalyse der linear e Teil G durch Gil und der nichtlinear e Teil f durch f " ersetzt. Falls fur das tra nsformierte Syst em Stabilitat nachgewiesen werd en kann , so gilt dies auch fur das Originalsystem. Bevor der letz te und entscheidende Schrit t der Stabilitat sanalyse vorgest ellt wird , sollen zuna chst noch einmal aIle bisherigen Transform ationen aufgelist et werden: • Hinzufiigen zweier Matriz en N und M , urn gleiche Dimension der Vekto ren u und e hzw. y zu erreichen. • Hinzuftigen einer RtickfUhrmatri x K zur St abilisieru ng des linearen Teiles. • HinzufUgen einer parallelgeschalteten Diagonalmat rix D , urn den linearen Teil positi v reell zu machen. Nach den Transform ati onen ist der linear e Teil Gil des t ransformierte n Systems sicher asymp totis ch hyp erst abil. Somit muss zum Nachweis der St a-

2.8 Nichtlineare Systeme

229

bilitat des geschlossenen Kreises jetzt noch gezeigt werden, dass der erweite rte nichtl inear e Syst emteil f" die Ungleichung T

!

u'T e' dt :::::

- fJ5

(2.318)

o bzw.

T

! [f(e) - Ke f[e - D (f (e) - Ke )]dt ::::: o

- fJ6

(2.319)

erftillt . Hinreichend dafiir ist auf jeden Fall, wenn jeweils die i-te Komponent e beider Vekt oren im Int egranden dasselbe Vorzeichen aufweist . Dies flihrt auf die Sekt orb edingung

O
0, dem Zustandsvektor x = [x , x,...,x(n- I) ]T und der Ausgangsgrofe y. Naeh Definition eines Fehlervektors e = fe, e, .. ., e(n -l)j T mit e = Ys - Y und dem Sollwert Ys sowie geeigneter Festl egung eines Par ametervektor s r = [ro , ... , rn -l]T lasst sich ein ideales Regelgesetz (5.13) angeben, mit dem sieh, eingesetzt in (5.12), fur den Fehler und seine Ableitungen die Differenti algleiehung (5.14) ergibt. Dur eh dieses Regelgeset z erfolgt also offenbar eine Komp ensation der nichtlinearen Funktion f(x) , so dass eine linear e Differentialgleiehung ubrig bleibt. Wahlt man r so, dass aIle Nullstellen des eharakt erist isehen Polynoms dieser Differentialgleiehung einen negativen Realt eil aufweisen , so werden der Fehler und seine Ableitungen aueh bei zeitveranderlichem Sollwert gegen Null konvergieren . Ein solches Regelgesetz ist aber im allgemeinen nicht realisierbar , da die Funktion f nicht exakt bekannt ist . Aus dem Grund wird hier ein aus zwei Anteilen bestehendes Regelgeset z definiert : u = uc(t , x ) + us(x)

(5.15)

Dab ei ist U c die Ausgangsgrofie des Fuzzy-Reglers (5.11), der mit der Zeit so adapt iert werden solI, dass sie moglichst genau der idealen Stellgrofe u*

5.2 Adaption von Kennfeldern

323

entspricht. Die Adaption setzt aber voraus, dass der Fehler- bzw. der Zustandsvektor beschrankt ist . Urn dies sicherzustellen, wird ein zweiter Regier mit der Ausgangsgrofe U s parallelgeschalt et , der nur dann eingreift , wenn die Beschrankung verletzt wird. Mit diesem Regeigesetz andert sich die Differentialgleichung fur den Regelfehler. Ausgeh end von Gieichung (5.12) x (n)

= f(x) + b(uc + us)

(5.16)

liefert die Subtraktion von b7L' mit (5.13)

Daraus folgt ftir den Fehler ern) = yi n) - x (n) = _ r T e

+ b(u'

-

Uc -

(5.18)

us)

und in vektorieller Schreibweise

e= mit b

=

Re

+ b(u' -

Uc -

us)

(5.19)

[0, ...,0 , b] T und der Matrix

(5.20)

R = ( . : . . : . . : . • • •. . . : . . ) -ro -rl -r2 .. . -rn-l

die ein st abiles System beschreibt . Nun soll zun achst das Regelgesetz fiir die Stellgrofe U s entwickelt werden. Mit einer vorzugebenden, positiv definit en Matrix Q ergibt sich aus der Ljapunov-Gleichung (vgl. Satz A.6) (5.21) eine symmetrische, positiv definite Matrix P . Mit dieser wird wiederum eine spate r als Ljapunov-Funktion verwendete Funktion (5.22) definiert. Weiterhin sind eine ober e Schranke F > fund eine untere Schranke o < B ::; b fur die Streckenparameter zu ermitteln sowie eine Grenze Vo fur die Funktion Ve vorzugeben. Damit lasst sich das Regelgesetz angeben:

us(x) = {sgn(eTPb)

o

sonst

[Iucl + ~(F + Iyi ) I + IrTel)] n

fiir Ve

;:::

Vo

(5.23)

324

5. Einstellung und Optimierung von Fuzzy-Reglern

Us ist also nur dann von Null verschieden, wenn der Term 4eTpe grofler als die Schranke Va ist. Fur den Fall soll gezeigt werden , dass die Ableitung der LjapunovFunk tion v" aus (5.22) immer kleiner als Null ist . Fur diese gilt zunachst

Ve

=

~eTpe + ~eTpe

(5.24)

Einsetz en von (5.19) ergibt . 1 Ve = 2'(Re + b(u* - Ue

-

1

T 1 T us)) Pe + 2'e P(Re + b(u* - Ue

1

= 2'eT (R Tp + PR)e + 2'(u* -

Ue

-

-

us))

u s)(bTpe + eTPb)

(5.25)

Da bTpe ein Skalar und P symmetrisch ist , gilt

bTpe = (b Tpe f = eTpTb = eTPb

(5.26)

und dah er mit (5.21) .

1 T

T

*

Ve = -2'e Qe + e Pb(u - Ue

-

us)

(5.27)

Unt er Verwendung des Regelgesetzes (5.23) ftir Ve 2 Va wird dar aus

Ve = -~eTQe + eTPb(u* - leTPbl [Iuel +

ue )

~(F+ ly~n)1 + IrTel)]

(5.28)

Abschat zen des zweit en Summanden mit (5.13) liefert

Ve < -~eTQe + leTPb l [~(lf(X)1 + ly~n)1 + Ir Tel) + luel] -leTPbl [IUel + ~

1 T

-2'e Qe < 0

~ (F + ly~n)1 + Ir TeD] fur e i- 0

(5.29)

Damit ist die negative Definitheit der Ljapunov-Funktion bewiesen. Dar aus folgt mit (5.22), dass durch Us der Ausdruck ~ eT Pe so lan ge vcrkleinert wird, bis er kleiner als die Grenze Va ist . Das bedeute t aber wiederu m, dass mit Hilfe von Us der Fehlervektor aus jedem beliebigcn Anfan gszust and in den dur ch Ve = ~ eT pe ~ Va gegebcncn Bereich uberfiihrt und dort geha lten wird . Wiird e man die Grenze Va = 0 setze n und auf den Ant eil U e in (5.15) verzichten, so war e wegen der fortwahrenden Vcrringerung von Ve sogar garantiert, dass der Fehlervektor gegen Null konvergiert . Eine solche Rcgelun g

5.2 Adaption von Kennfeldern

325

wiirde allerdings wie ein Sliding Mode-Regier den Nachteil aufweisen, dass bei jedem Vorzeichenwechsel des Terms eTPb wegen der Signumfu nktion in (5.23) die Stellgr6Be einen relativ groBen Sprung aufweist , was natiirlich negative Auswirkungen auf das Stellglied hat. Solange sich das Syst em daher innerhalb des durch Ve :s: Va gegebenen Bereiches befindet , ist der ada pt ive Fuzzy-RegIer vorzuziehen, der im Folgenden beschrieben wird. Dieser Fuzzy-Regier solI durch ein Kennfeld ents prechend Gleichung (5.11) beschrieben werden. Mit einer Konst ant en I > 0, einer geeignet zu wahlenden Schranke U > 0 und der n-t en Spalte Pn der Matrix P aus (5.21) wird da nn das folgende Adap tionsgeset z fur den Koeffizientenvekt or definiert : I

u=

{

[eT Pn] k (x )

falls

a sonst

lui < U oder (lui ~ U und e T PnuTk (x ) :s: 0)

(5.30)

Fur den Beweis, dass durc h dieses Adaptionsgesetz tatsiichlich ein st ahiler Regier entsteht , ist zunachst die Beschrank theit des Koeffizientenvektors lui :s: U nachzuweisen. Zu diesem Zweck wird eine Ljapunov-Funkt ion Vu = ~ lul 2 = ~ uT u definiert. Fur ihre Ableitung gilt mit (5.30)

V.u =

U

T·

U

l eT PnuTk (x ) falls =

{

o

lui < U oder (lui ~ U und T T e Pnu k(x) :s: 0)

(5.31)

sonst

Dar aus folgt : Solange lui < U ist , kann sich der Wert der Ljapunov-Funkti on und damit der Betrag des Koeffizientenvektors beliebig veriindern . Falls aber lui ~ U gilt, erfolgt eine Veriinder ung der Ljap unov-Funk t ion bzw. des Betrages nur da nn, wenn e T PnuTk (x ) :s: 0 ist , und zwar urn eben genau diesen Wert e T PnuTk (x ), mult ipliziert mit der positiven Konst ant en J. Damit ist gewiihrleiste t , dass die Ljapunov-Funk tion fur lui ~ U irnrner negativ semidefinit und der Betrag lui monoto n abnehmend ist. Der Koeffizientenvektor u wird dah er dur ch das Ada pt ionsgesetz (5.30) in den Bereich lui < U iiberfuhrt und dann dort gehalt en. Es lasst sich also ein Zeit pun kt definieren , von dem ab der Bet rag des Koeffizientenvektors lui irnmer kleiner als die Schra nke U ist. Eb enfalls beschrankt ist der Zust andsvektor, und zwar aus folgendem Grund: Durch U s wird doch die negati ve Definitheit der Ljapunov-Funktion Ve = ~ eT Pe gara nt iert , sofern ihr Wert grofier als die vorgegebene Schranke Va ist . Mit Hilfe von U s wird , wie oben schon angernerkt , der Fehlervektor e in den durch Ve = ~ eT Pe :s: Va gegebenen Bereich iiberfuhrt und dort geha lten. Damit folgt aber auch die Beschriinkth eit von lei. Und dar aus resultiert wiederum, sofern der Betrag des Sollvektors beschriinkt ist , wegen e = Ys - Y und y = x auch die Beschriinkth eit des Zust and svektors x dur ch einen Wert X ~

[x].

Nachdem die Exist enz von Schran ken fur Zust and s- und Koeffizientenvekto r sichergeste llt ist , kann innerhalb des dur ch die Beschriinkungen vorgegebenen Bereiches ein optimaler Parametervektor definiert werden:

326

5. Einstellung und Optimierung von Fuzzy-Reglern

(5.32)

u" = {u I min sup luc(x, u) - U*(X)I} lul:5 U Ixl:5 X

u * kennzeichnet also denj enigen Param et ervektor aus dem Bereich lui::; U, fur den die Ausgangsgrofe U c des Fuzzy-Reglers fur alle [x] ::; X die geringst en Abweichungen von der theoretisch optimalen Stellgrof e u* aufweist. Dabei wird aber normalerweise ein von Null vers chieden er Restfehler

w(x) = u*(x) - uc(x , u ")

(5.33)

zuriickbleiben , der jedoch umso klein er wird, je mehr Stiitzstellen das Kennfeld besit zt . Mit diesem Restfehler wird a us der Differentialgleichung fur den Regelfehler (5.19) mit U c = uTk

e=

+ b(uc(x , u") + w - U c - us) = Re + bLluTk(x) + b( w - us) Re

(5.34)

mit einem Mod ellfehler Llu = u" - u. Nun soll eine neu e Ljapunov-Funktion (5.35) definiert werden. Wenn gezeigt werden kann, dass ihr e Ableitung negativ definit ist , so bedeutet dies eine st andige Abnahme sowohl des Regel- als auch des Modellfehlers. Daraus folgt let ztendlich sowohl die asymptot ische Stabilitiit des Systems als auch das Erreichen eines optimalen Koeffizientenvektors. Zun achst gilt fur die Ableitung der Ljapunov-Funktion .

V =

I T b T -I eTPe + -e Pe + -Llu LliJ.

2

(5.36)

~

2

Einsetzen von (5.34) liefert

v = ~(Re + bLluTk + b(w 1

-eTP(Re + bLluTk

2

us) fPe

+

b T . + b(w - us)) + -Llu Llu ~

(5.37)

und unter der Ausnutzung der Tat sache , dass das Produkt LluTk eine n Skalar darstellt und demnach innerhalb eines Vektorproduktes beliebig verschoben werden kann und a uch durch eine Tr ansposition unverandert bleib t

v = ~eT(RTp + PR)e + ~bTpe(LluTk + w 1 b . - eTPb(LluTk + w - us) + -LluT Llu 2

"y

us) + (5.38)

5.2 Adaption von Kennfeldern

327

Die Verwendung von (5.21) und (5.26) ergibt

V = - ~ eTQe + eTPb(L1u Tk + w 2

us) + ~L1uT L1iJ.

1

(5.39)

Mit L1iJ. = -iJ. und dem Adaptionsgeset z (5.30) wird daraus (5.40) Da b nur in der letzten Komponente von Null verschieden ist , gilt eTPb = beTPn. Dieser Skalar kann innerhalb des let zten Vektorproduktes an den

Anfang verschoben werden. Damit heben sich der erste Summ and in der Klamm er und der let zte Summ and der Gleichung heraus. Zudem ist wegen der Signumfunktion in (5.23) der Term - eTP bu s sicherlich negativ . Damit ergibt sich die Abschiitzung (5.41) Wenn der Restfehler w so klein ist, dass der Bet rag des zweiten Summanden kleiner ist als der des ersten , ist die Ableitung der Ljapunov-Funktion negativ, und sowohl der Fehlervektor e als auch die Abweichung des Koeffizient envektor s L1u gehen gegen Null. w kann dur ch eine ausreichend hohe Anzahl an Stiitzstellen des Fuzzy-Kennfeldes beliebig klein gemacht werden, doch es wird immer sehr kleine Wert e von e geben, fiir die der Betrag des ersten Summ and en kleiner ist als der des zweite n. Demn ach kann man fur sehr kleine Fehlervektoren e nicht gara ntieren, dass die Ableitung der LjapunovFunkt ion immer negat iv ist . Und dam it kann auch nicht garant iert werden, dass e und L1u gegen Null gehen. Damit war e der Regier dann aber auch bei konst antcm Sollwcrt nicht stationar gcnau. And ererseit s muss aber Folgendes beriicksichtigt werden: Der P aram etervekt or u wird dur ch das Verfahren so ada ptiert , dass die Ausgangsgrofe des Reglers innerhalb eines gegebenen Bereiches rnoglichst genau dem idealen Regelgesetz u* entspricht . Wenn sich nun , bei stationar em Sollwert , die Ausgangsgrofie des Systems diesern Sollwert angenahert hat , dann wird sich auch der Par amet ervektor irnrner rnehr demjenigen Pararn et ervektor annahern, mit dem die Ausgangsgrofle des Reglers der idealen Regelgrofe fiir diesen kleinen Bereich urn den Soliwert ents pricht . Der Parametervektor wird also durch die Adaption mit der Zeit perfekt an gena u diesen einen Arb eitspunkt angepasst . Dadurch wird dann aber auch die stationare Regelabweichung verschwinden. Nach dieser aufwandigen Rechnung sollte vielleicht noch einmal kur z zusarnrnengefasst werden. Das Regelgesetz ist bei diesern Verfahren dur ch (5.15) gegeben, wobei sich U s aus (5.23) und U c aus (5.11) ergibt . Dab ei wird der Koeffizientenvekt or u laufend nach (5.30) ada pt iert . kist der vom Moment anzust and abhiingige Vekt or der Gewichtungsfaktoren.

328

5. Einstellung und Optimierung von Fuzzy-Reglern

Die notwendigen Parameter in den Gleichungen erhalt man folgendermaBen: Zunachst werden die Koeffizienten r; fur die Fehlerdifferentialgleichung (5.14) so festgelegt, dass der Fehler gegen Null konvergiert , d.h. dass das charakteristische Polynom ausschlieBlich Nullstellen mit negativem Realteil besitzt. Damit ist dann auch die Matrix R nach (5.20) definiert. AnschlieBend muss eine positiv definite Matrix Q gewahlt werden, im einfachsten Fall also Q = I. Mit R und Q lasst sich dann auch Pals Losung der LjapunovGleichung (5.21) berechnen. Der dazu notwendige Algorithmus ist Bestandteil jeder modernen regelungstechnischen Software. Dann wird eine beliebige positive Konstante 'Y gewahlt. Sie stellt eine Art Beschleunigungsfaktor fur die Adaption des Koeffizientenvektors u dar. Bei groBem 'Y erfolgt die Adaption schnell , dafiir muss aber auch mit - wenn auch stabilen - Schwingungen gerechnet werden . Bei kleinem 'Y kann es dafur langer dauern, bis der richtige Koeffizientenvektor gefunden ist und die Regelung zufriedenstellend arbeitet. AuBerdem muss eine obere Schranke U fur den Betrag des Koeffizientenvektors festgelegt werden . Sie steUt gewissermaBen eine obere Schranke ftir den Betrag der Stellgrofe dar. Da sich der Gewichtungsvektor k aus dem Momentanzustand des Systems ergibt, der Fehlervektor e gemessen wird und Pn die letzte Spalte der oben berechneten Matrix P ist, ist das Adaptionsgesetz (5.30) fur u und damit U c vollstandig definiert . Fiir die Berechnung von Us fehlen nun noch Abschatzungen ftir die Modellparameter fund b aus (5.12), und zwar eine obere Schranke F fur fund eine untere Schranke B ftir b. Ebenso muss eine obere Schranke Va fiir Ve aus (5.22) angegeben werden. Diese stellt ein MaB fur den maximal zulassigen Fehler dar. Solange der Fehler klein ist, arbeitet der Fuzzy-Hegler, bei groferen Fehlern wird dagegen Us wirksam. In dem Fall muss dann aber eine starke Beanspruchung des Stellgliedes in Kauf genommen werden. Die Kenntnis des Vektors b ist nicht erforderlich, denn es gilt sgn( eTPb) = sgn( eTPi) mit dem Einheitsvektor i = (0, .., 0, 1)T. Damit ist die Regelung vollstandig definiert. Inwieweit sie in der Lage ist , die Ausgangsgrofie y des Systems immer nahe genug am Sollwert Ys zu halten, hangt aber ganz wesentlich davon ab, dass die Anzahl der Stiitzstellen des Fuzzy-Kennfeldes (5.11) hoch genug ist, so dass die Abweichung w aus (5.33) zwischen bestmoglicher und idealer Stellgrofie ausreichend klein wird. Beliebig hoch sollte man die Anzahl der Stiitzstellen aber auch nicht wahlen, da jede weitere Stiitzstelle eine zusatzliche Komponente des Koeffizientenvektors u und damit einen zusatzlichen, vom Verfahren zu optimierenden Parameter bedeutet. Und dies wirkt sich wiederum negativ auf die Konvergenz des Adaptionsverfahrens aus . Kritisch anzumerken ist dariiber hinaus, dass sowohl zur Berechnung von Us gemaf (5.23) als auch fiir die Adaption des Fuzzy-Kennfeldes nach (5.30) die Kenntnis des Fehlervektors e erforderlich ist, und damit insbesonde-

5.2 Adaption von Kennfeldern

329

re auch der (n - l )ten Ableitung des Fehlers e. Diese kann in der Praxis aber unm oglich direkt aus e gewonnen werden, da sich das unvermeidliche Messrauschen auf der gemessenen Grol3e e spatestens mit der zweit en Ableitung so stark auswirken wiirde, dass an eine Verwendung des Signales nicht mehr zu denken ist . Abhilfe kann hier nur die Verwendu ng eines Beobachters schaffen. Dieser setzt jedoc h die Existenz eines relativ genauen Modells der Strecke vora us. Damit ste llt sich abe r die Frage nach dem Sinn des Verfahrens, denn die Adaption dient doch letztendlich gerade dazu , das Streckenmodell zu approximieren. In [130] wird die diskrete Variante dieses Verfahre ns auf eine Beispielstrecke angewendet. Eine Erweit eru ng dieses Verfahrens auf Strecken der Form x(n)

=

f(x)

+ g(x) u

y =x

(5.42)

findet sich in [42, 175] und [195]. Dabei darf g aber nicht beliebig, sondern muss entweder immer posit iv oder immer negativ sein. Die Struktur der Regelung unterscheidet sich nicht vom hier vorgestellten Algorit hmus. Allerdings wird dort nicht nur f , sondern auch g durch ein Kennfeld in einer Adaption approximiert. Das Beweisschema bleibt jedoch gleich und fuhrt letztendlich auf eine ahnliche Stabilitatsaussage wie (5.41). Die Darstellun g in [42] ist dar iiber hinaus reizvoll, weil das P rinzip des Komp ensationsreglers und auch das Verfahren seiber auf der Basis von Lie-Ableitungen entwickelt werden. Aufgegriffen wird das oben beschriebene Verfahren auch in [101] . Hier wird vorgeschlagen , das Regelgesetz (5.15) urn einen von e abha ngigen Ant eil (5.43) mit k d > 0 zu erweitern . Dadur ch soll das Regelverhalten verbessert werden, ahnlich wie durch das Hinzufugen eines Different ialanteiles zum PI-Regier. Die Stabilitatsaussage andert sich nicht , auch hier filhrt der Beweis let ztendlich auf Gleichung (5.41). Ein anderes Verfahren fur die Adapt ion eines Kompensationsreglers wird in [174] vorgeste llt . Es ist ebenfalls fiir Strecken der Form (5.42) geeignet, gar antiert im Gegensatz zu den obigen Verfahren aber die asymptot ische Stabilit at , d.h . es kann eine Ljapunov-Funktion ents prechend (5.35) angegeben werden, deren Ableit ung immer negativ definit ist . Dafiir erfordert dieses Verfah ren aber die Angabe von Intervallgrenzen fur jeden einzelnen Koeffiziente n des g approximierenden Kennfeldes. So soll sichergeste llt werden, dass der fur g geschatzte Wert immer positiv ist . In [147] wird das Verfahren sogar auf Systeme der Form

x=

A (x) + B (x)u

y=h(x)

(5.44)

erweit ert. Bedingung ist ab er, dass die Elemente der Matrix B aul3erhalb der Hauptdiagonalen Bur sehr kleine Werte im Verhaltnis zu den Werten der

330

5. Einstellung und Optimierung von Fuzzy-Reglern

Haup td iagonalen aufweisen, was einem weitgehend ent koppelten System entspricht. Zudem weist der Regier , urn die Stabilitat zu gewahrleiste n, einen sehr groBen schaltend en Anteil auf, was in der Praxis zu erheblichen Problemen fiihren diirfte.

5.2.2 Adaptiver Sliding Mode-Regler Ein anderer Ansa tz wird dagegen in [186] verfolgt. Auch hier wird ein Kennfeld adaptiert , doch dient diese Adap tion der Verb esserung eines Sliding Mode-Reglers (vgl. Kap. 2.8.10). Ausgangspunkt der Uberlegungen ist das Stellgesetz (2.337) des Sliding Mode-Reglers u

= - fo(x) + g;.. (e) + x~n) + Usgn(q)

(5.45)

mit U ~ F + D + 1]

(5.46)

nach (2.340) . Der wesentli che Nacht eil dieses Reglers best eht dar in, dass auf der durch q = 0 gegebenen Hypereb ene die Stellgrofe einen unsteti gen Verlauf aufweist. Der zugehorige Sprung ist dab ei offenba r umso grofier, je grofler U ist. F ist eine obere Grenze fur die Abweichung zwischen realer Strecke und nomin alem Modell:

F ~ lL1f (x)1= If (x ) - f o(x )1

(5.47)

Normalerweise wird fur diesen "Vert eine Konst ante angesetzt, weil man die Funkti on L1f(x ) nicht einmal nah erungsweise kennt. Ware diese Funk tion aber bekannt , so konn te man den konst anten Wert U in (5.45) durch eine zustandsa bhangige Funktion

U*( x) = lL1f( x)1

+ D + 1]

(5.48)

ersetzen, mit der die asy mptotische Stabilitat des Syst ems ebenfalls gewahrleiste t war e. Die Unste t igkeite n im Verlauf der Stellgrof e konn ten dadurch zwar nicht vermi eden werd en , wiird en ab er im allgerneinen doch wesentlich kleiner ausfallen, als dies bei einem konst anten F bzw. U der Fall ware. Die Idee ist nun , U* durch ein Kennfeld (5.11) zu approximieren und dieses durch das Adaptionsgesetz U = 'Y lqlk (x)

(5.49)

so zu ada ptieren, dass U(x) moglichst gena u U*( x) ents pricht. Dabei ist u der Par am et ervektor, k der Gewichtungsvektor , 'Y eine positive Konstante und q die in (2.328) definierte Variable. Aufgrund der diskreten St ru kt ur eines Kennfeldes kann U* aber nur nah erungsweise approx imiert werden. Die beste und dam it kleinst rnogliche Approxi mation sei

5.2 Adaption von Kennfeldern

Uopt(x) = U*(x) +c

331 (5.50)

mit einer positiven Konstanten c. Entsprechend exist iert ein optimaler Parametervektor Uopt mit Uopt(x) = U~Ptk(x) (5.51) und ein Parameterfehler L1u = Uopt - u . Damit gilt der im Folgenden noeh verwendete Zusammenhang (5.52) Urn zu zeigen , dass aueh bei der Approximation von U* (x) dureh ein Kennfeld mit dem Adaptionsgesetz (5.49) noeh ein asymptotiseh stabiles Gesamtsystem vorliegt, wird die Ljapunov-Funktion 1

1

V = _ (q2 + - L1u T L1u) 2 .,

(5.53)

definiert und gezeigt , dass sie gegen Null konvergiert. Fur ihr e Ableitung naeh der Zeit gilt . . 1 T. V=qq--L1u U (5.54)

.,

wegen L1it

= -vu. Einsetz en von (2.334) und (5.45) liefert

V=

q(- L1 f (x ) - d - Usgn(q)) -

= q(-L1f(x) - d) -lqlU -

.,~L1uT

.,~L1uT

it

it

(5.55)

und mit (5.48) und (5.52)

V=

q(- L1 f (x ) - d) - lql(lL1f (x )1+ D + rJ - L1uTk + c)

_~L1uT it

.,

(5.56)

Wegen -qL1f(x) -lqllL1f(x)1 :::; 0 und -qd -lqlD :::; 0 lasst sieh abschatzen .

., 1

T

V :::; - lql(1J + c) - -L1u (it - ., Iqlk )

(5.57)

Der erste Summand ist sieher negativ und der zweite wegen des Adaptionsgeset zes (5.49) Null. Damit ist die Ableitung der Ljapunov-Funktion fur q f=. 0 negativ definit, d.h. q und der Fehlervektor L1u konvergieren gegen Null. Die Konvergenz von q gegen Null ist aber naeh KapiteI2.8.10 gleiehbedeutend mit der asymptot isehen Stabilitat des Syst ems. Und ein versehwindender Fehlervektor L1u bedeutet , dass sich die Ausg angsgrofe U des Kennfeldes so dieht wie rnoglich dem optimalen Wert U* annahert . Daraus folgt wiederum na eh dem anfangs Gesagten , dass die St ellgrofensprunge minimal geword en sind.

332

5. Einstellung und Optimierung von Fuzzy-Reglern

In [10, 11, 12] wird der gesamte Ansatz noch einmal sehr detailliert anaIysiert und ein anschauliches Beispiel vorgefuhrt. In [199] wird ein Adaptiver Sliding Mod e-Hegler fiir Systeme der Form x (n ) =

f(x)

+ b(x)u + d(t)

(5.58)

entwickelt . Dabei wird nicht die Stellgrofe direkt adaptiert , sondern FuzzyModelle ftir fund b. Die entsprechenden Adaptionsgesetze sowie der Stabilitatsbeweis unterscheiden sich aber nicht wesentlich vom hier vorgestellten Verfahren, so dass auf eine explizite Darstellung verzichtet werden kann. Wie schon bei den adaptiven Kompensationsreglern besteht auch hier ein wesentlicher Kritikpunkt am Verfahren darin, dass in die Berechnung der Stellgrofe laut (5.45) die (n - l)-te Ableitung des Fehlers e eingeht. Diese kann ohn e einen nichtlinearen Beobachter nicht berechnet werden, der ab er wiederum ein relativ prazises Modell der Strecke voraussetzt. Bei Existenz eines solchen Modells st ellt sich aber die Frage nach dem Sinn des ganz en Verfahrens , denn die Adaption dient doch letztendli ch dazu, genau dieses Modell zu approximieren. Am Ende dieses Kapitels muss festgestellt werden, dass bei der Adaption von Kennfeldern , wie sie hier erlautert wurde, die Fuzzy-M engen tiberhaupt nicht mehr auftauchen. Von daher stellt sich die Frage, ob dieses Thema nicht eher zum Bereich der klassis chen Regelungstechnik zu zahlen ist . Andererseits muss man aber die Tatsache akzeptieren , dass ein Fuzzy-RegIer nichts anderes ist als ein Kennfeldregler . Er unterscheidet sich von einem klassischen Kennfeldregler nicht in seiner Wirkung, sondern nur in der Art und Weise, wie er entwickelt wird. Die in diesem Kapitel vorgestellten Verfahren bilden damit die Grenze zwischen klassischer Regelungstechnik und FuzzyReglern und durften deshalb nicht vernachlassi gt werd en. 1m Folgenden soll aber wieder zu Fuzzy-Reglern, die auf Fuzzy-M engen basieren, zurii ckgekehrt werden.

5.3 Modifikation der Fuzzy-Regeln Bei diesem Verfahren handelt es sich urn einen Ansatz , der auf den ersten Blick auBerst plausibel erscheint . Er st bei genauerer Betrachtung stellt man fest , dass dieser Ansatz die Gefahr der Instabilitat in sich birgt und daher in der Praxis bei St recken hoherer Ordnung unb edingt vermieden werd en sollte. Vorgestellt werden soll der einfachste Ansatz, z.B. nach [158, 173, 178, 183]. Die Erlauterung dieses Ans atzes erfolgt hier ftir Eingrofensyteme. Das Verfahren ist ab er auch auf Mehr grobensysteme erweiterbar. Voraussetzung ist ein exist ierender Fuzzy-RegIer, der im geschlossenen Kreis bereits arbeitet . Diesem wird eine Adaptionseinheit (vgl. Abb . 5.1) zugeordnet , die als Eingangsgrolle wie der Fuzzy-Hegler zu jedem Zeitpunkt t = kT einen Messwert e(k ) erhalt . Dabei ist T die Abtastzeit der Regelung . Intern lasst sich daraus leicht die Differen z zweier aufeinand erfolgender

5.3 Modifikation der Fuzzy-Regeln

333

Messwert e .1e(k) = e(k ) - e(k - 1) ber echnen . Anhand der Werte e(k) und .1e(k) wird dann die Adaption nach folgender Strategie durchgefiihrt: Wenn sowohl der Fehler als auch die Differenz Null sind , arb eitet der Fuzzy-Regler offenbar zufried enstellend. 1st der Fehler beispielsweise positiv, die Differenz ab er negativ, so best eht ebenfalls kein Handlungsbedarf, wei! der Fehler gerade kleiner wird . Wenn aber sowohl der Fehler als auch die Differenz beide positiv oder beide negati v sind, d.h . wenn der Absolutwert des Fehlers wachst , greift die Adaption ein. Und zwar wird davon ausgegangen, dass die Ursach e fur das Anwachsen des Fehlers im Zeitin tervall (k - l)T < t :s: kT durch eine fehlerhaft e St ellgrofe n( k - 1) zum Zeitpunkt t = (k -1)T hervorg erufen wurde. Dann wird rekonstruiert, welche Fuzzy-Regel fur das Zust andekommen dieser Stellgrofe maBgeblich verantwortlich ist . Die Ausgangsgrofe dieser Regel wird ansehlieBend ents prechend der Regelbasi s in Abb . 5.1 verand ert . Bei dieser Regelbasis handelt es sich also nicht urn die Regelbasis des FuzzyReglers, sondern urn das Adaptionsgeset z.

w

NB NM 20 PM PB PB 20 PS PM PB PB PM NS 20 PS PS PB ZO ~M NS ZO PS PM NM NB :NS NS ZO PS NB INBiNB NMNS 20

Abb. 5.1. Einfaehe Adaption eines Fuzzy-Reglers Wenn beispielsweise sowohl e(k ) als auch die Differenz .1e(k) positiv sind , so bedeutet dies doeh , dass die Ausgangsgrofle y nicht nur kleiner ist als der Sollwert w, sond ern dass sich der Abst and zwischen w und yauch noch immer weite r vergroflert . Die Stellgrofe des Fuzzy-Reglers zum Zeitpunkt t = (k - 1)T war also offenbar zu klein , weshalb die Ausgangsgrofle der zugehorigen Regel dureh das Adaptionsgeset z vergroflert wird . Diese Strategie wirkt auf den erste n Blick durchaus verniinftig, weshalb sie aueh immer wieder, vor allem von Nieht-Regelun gsteehnikern , aufgegriffen wird. Sie ist aber nur bei Streeken erste r Ordnung sieher erfolgreich. In anderen Fallen kann sie dagegen erns t hafte Probleme verursachen . Dies kann man sich leieht verdeutliehen anh and eines Fuzzy-Reglers mit den Eingangsgrofen e und .1e und der Ausgangsgrofe .1u, die ansehlieBend zur Stellgrofe u = I:.1u aufsummiert wird (vgl. Abb. 4.1). Dadurch ent ste ht ein Gesamt-Regler, der einem PI-Regier vergleichbar ist . Die Regelb asis des Fuzzy-Reglers mage der in Abb . 4.5 ents prechen. Dieser RegIer regelt beispielsweise eine aus 3 Verzogerun gsgliedern bestehend e, lineare Streeke 3. Ordnung.

334

5. Einstellung und Optimierung von Fuzzy-Reglern

Es sei angenommen, dass die St ellgrofen des Fuzzy-Reglers vom Betrag her zu grof sind und sich das System dicht an der Stabilitatsgrenze befind et . Im linearen Fall wiird e dies bedeuten, dass die Or tskurve der Kr eisiibert ragungsfunktion dieht am Punkt -1 vorbeilauft , ihn aber noch nieht umschlingt (vgl. Kap . 2.5.5) . Nach einer Anr egung fuhrt das System dah er starke und kaum abklingend e Schwingungen aus. Nun solI ein Zeitpunkt t = kT wahrend einer Schwingung betrachtet werden , in dem die Regeldifferenz gerade wieder positiv wird , d.h. sowohl e(k) als auch Lle(k) sind positiv. Der Fuzzy-R egIer wird eine positive Stellgrofe Llu(k) ausgeben. Im na chst en Abtastschritt ist e(k + 1), da die Regeldifferenz gerade erst wieder positiv geworden war , noch etwas grofer geworden. Das Adaptionsgesetz wird deshalb in diesem darauffolgenden Abtastschritt aber laut Regelbasis in Abb. 5.1 die Ausg angsgrofe derjenigen Regel vergroBern, die fur Llu(k) haupt verantwortlich ist . Durch die Adaption werden die St ellgrofsen des Reglers in diesem Fall also noch weit er vergrofert. Damit wird die Heglerverst arkung vergroflert. War e der Fuzzy-R egler ein linear er RegIer , so wiird e nun die Ortskurve der Kreisubertragungsfunktion gedehnt werden und moglicherweise den Punkt -1 umschlingen . Das Nyqui stkriterium ware verlet zt und das Syst em instabil. Damit ist offensiehtlich, dass dieser Ansatz nicht nur erfolglos, sondern bei nieht-trivialen Strecken sagar gefahrlich ist . Eine sinnvolle Adaption erford ert Rilcksicht nahme auf die Struktur der Strecke und nicht nur auf die Entwicklung der Regelabweichung in einem bestimmten Zeitintervall. Aus dem Grund basieren die im folgend en Kapitel vorgest ellt en Verfahren auf einem Mod ell der Strecke.

5.4 Modellbasierte Regelung 5.4.1 Modellstruktur Das bei diesem Ansatz verwend et e Streckenmodell muss es errnoglichen , mit den Messwerten , die zu einem bestimmten Zeitpunkt t = kT vorliegen (also auch vergangene Messwerte) , den Ausgan gsgrofenvektor y(k + 1) bzw. den Zust andsvektor x(k + 1) zum Zeitpunkt t = (k + 1)T vorh erzusagen . Ein Zust andsrnod ell beschreibt beispielsweise den Zusammenhang zwischen akt uellem Zust andsvektor x(k) , aktuellern St ellgrofenvektor u(k) und der daraus resultierenden And erung des Zust andsvektors im nachsten Abtastschritt Llx(k + 1). Die Differenzengleiehung eines solchen Modells lautet

Llx(k + 1) = x(k

+ 1) -

x(k) = f(x(k) , u(k ))

(5.59)

Die Alt ernat ive zum Zust andsmodell bildet ein Mod ell, das dir ekt den Zusa mrnenha ng zwischen Ein- und Ausgan gsgrofien der Strecke beschr eibt und insofern mit einer Ub ertragungsfunktion zu vergleichen ist :

5.4 Modellbasierte Regelung

y(k

+ 1) = f [u(k -

n), ..., u(k) ,y(k - n), ...,y (k)]

335

(5.60)

Beide Modellvarianten konn en fiir die naehfolgend besehriebenen Algorithmen verwendet werden, wobei sieh a ber, wie sieh noeh zeigen wird, die einfacher en Losungen bei einem Zustandsmodell ergeben . 1m allgemeinen wird das Mod ell der Streeke aber nicht als Differenzengleiehung vorliegen , zumal in dem Fall sowieso meist ens die Auslegung eines klassisehen Reglers vorzuzieh en ist . Hier muss st attdessen davon a usgega ngen werden , dass die Information tiber die Streeke nur in Form eines Kennfeldes, eines Neuronalen Net zes oder als Fuzzy-Modell zur Verfiigung steht. Kennfelder und Neuronale Net ze sollen an dieser Stelle nieht explizit behandelt werden , da sie bereit s in Kapitel 4.1 bzw. 5.6 bes ehrieben sind. Ab er aueh ein Fuz zy-Modell muss hier wahl nieht mehr ausfiihrlieh erlaute rt werden. Einerseit s kann es in Form von Regeln der Art

R:

' IL (n ) an d ... an d X n IS R . (n H) d d ' (n + rn) an d Ul IS IJR an . .. a n Urn IS IJR A • (1) d ... an d oUX A • (n) t hen oUXl IS l/R an n IS IJR .

If

.

(1)

X l IS IJR

(5.61)

mit dem Zustandsvektor x = [Xl , . . . , xn ]T und dem St ellgrofenvektor u [Ul , .. . , u rnV vorliegen , od er ab er aueh als Fuzzy-Relation.

=

Modellbildung. Es stellt sieh noeh die Fr age , wie man iiberhaupt ein Modell der Streeke erhalte n kann. Ein Mod ell in Form von Differenzengl eiehungen lasst sieh dir ekt auf analyt isehem Wege au fstellen , sofern a usreiehe ndes Wissen tiber die der Streeke zu Grunde liegenden physikalisehen Gesetze exist iert . St ehen dagegen nur Messwerte der Streeke zur Verfiigung, so biet en sieh st at ist isehe Verfahren a n, wie sie in der Literatur ausfiihrlieh b esehrieben sind [69, 70, 105, 113, 192]. Kennfelder und Neuronale Net ze werd en auf der Basis gem essener Werte erste llt. Die Berechnung von Kennfeldern kann ebenso wie die nummerisehe Ermittlung der Koeffizienten von Differenzengl eichungen mit Hilfe klassiseher stat ist ischer Verfahren erfolgen, und Hinweise zur Konfiguration und zum Tr ainieren von Neuronalen Netzen finden sieh in Absehnitt 5.6. Bei Fuzzy-Modellen sind wiederum mehrere Arten der Mod ellbildung mogli ch. Einerseits kann das Streekenverhalten a uf der Basis des vorhandenen Wis sens tiber die Streeke dir ekt linguistiseh in Form von Fuzzy-Regeln b esehri eb en werd en . Man kann ab er aueh anhand von gemessenen Werten mit Hilfe von Fuzzy Clus tering-Algori thmen ein Fuzzy-Modell erhalte n (vgl. Absehnitt 5.5) . Sowohl die linguistisehe Modellbildung als aueh die Modellbildung mit Hilfe von Ciu st ering-Algorithmen fuhren auf ein linguistiseh interpreti erbar es Modell, das sowohl in Form von Fuzz y-Regeln als au ch als Fuzzy-Relation abge speiehert werden kann . Fuzzy-Modelle. SehlieJ3lieh bleibt noeh die Moglichkeit , jedem wahrend der Identifikation angefallene n Messwerttupel dir ekt eine eigene Fuzz y-Relatio n

336

5. Einstellung und Optimierung von Fuzzy-Reglern

zuzuordnen und diese Relationen dann disjunktiv zu verknilpfen [120] . Das so entstandene Modell ist natiirlich nicht mehr linguistisch int erpretierbar, weist aber ftir eine modellbasierte Regelung einige Vorteile auf, weshalb das Verfahren im Folgenden naher beschrieben werden soll. Der Einfachheit halber soll der Algorithmus anhand einer statischen Eingrofienstrecke ohne interne Dynamik erklart werden. Bei einer solchen Strecke Wit wahrend der Identifikationsphase zu jedem Zeitpunkt t = kT ein Messwertpaar (u(k) , y(k)) an. Damit besteht also ein Zusammenhang zwischen dem Stellgrofienwert u(k) und dem Ausgangsgroflenwert y(k), den man durch eine zunachst scharfe Relation Rk = {(u(k),y(k))} beschreiben kann, d.h. man speichert lediglich das Messwertpaar (u(k),y(k)) ab . Nun kann man aber doch davon ausgehen, dass , wenn das Wertepaar (u(k), y( k)) auftreten kann, au ch ahnliche Wertepaare auftreten konnen, Unter Verwendung der Ahnlichkeitsrelation

E : (IR x IR)2 -+ [0,1] , ((uI,xd, (U2 ,X2)) -+ min {1- min (lUI - u2 1, 1),1 - min (lxI - x21, I)}

(5.62)

lasst sich Rk daher durch eine Fuzzy-Relation, und zwar die extensionale Hulle von Rk /-lRk :

IR x IR -+ [0,1], (u, y) -+ min {I - min (Iu(k) - u], 1) ,1 - min (Iy(k) - yl, I)}

(5.63)

ersetzen. Aus dern Punkt (u(k) ,y(k)) in der u - y-Ebene wird dadurch die Fuzzy-Menge /-lR k (vgl. Abb. 5.2). Aus mengentheoretischer Sicht ist /-lRk die Menge aller zu (u( k), y(k)) ahnlichen Punkte, wobei die Ahnlichkeit durch (5.63) definiert ist. Man kann diese Fuzzy-Relation auch als Menge aller Wertepaare (u, y) der Strecke an sehen, die iiberhaupt moglich sind . Das Wertepaar (u( k) , y( k)) als gemessenes Wertepaar ist sicherli ch moglich und hat daher zu dieser Menge den Zugehorigkeitsgrad Eins , wahrend der Zugehorigkeitsgrad fur andere Wertepaare mit zun ehmendem Abstand zum Punkt (u(k),y(k)) sinkt. Man unterstellt also, dass Wertepaare, die in der Nahe eines gemessenen Wertepaares liegen, ebenfalls moglich sind, und zwar umso mehr, je kleiner der Abstand ist . Angemerkt sei, dass sich mit einer anderen Ahnlichkeitsrelation naturlich eine andere Fuzzy-Relation /-lRk ergeben wiirde, Es bietet sich aber im Hinblick auf die Rechenzeit an , fur die Modellbildung eine moglichst einfache Relation zu verwenden. Die disjunktive Verkniipfung aller wahrend der Identifikation entstandenen Fuzzy-Rclationen /-lRk ergibt dann das Fuzzy-Modell der Strecke: (5.64)

5.4 Modellbasierte Regelung

337

Abb. 5.2 zeigt ein solches Modell, das aus zwei Messwertpaaren (u( I), y(I)) und (u(2) ,y(2)) entstanden ist .

,r

,,

y(2)

y(l )

y

Abb. 5.2. Fuzzy-Modell einer Strecke Anstelle disjunktiv verknupfte r Ahnli chkeit srelati onen sind na tiirlich auch konjunktiv verkniipfte Implikationen fiir die Modellbildung denkbar. Aus theoret ischer Sicht ware dies sogar besser l weil dann mit jedem neuen Messwertpaar die Modellrelat ion, also die das Ubertrag ungsver halte n charakt erisierende Fuzzy-M enge kleiner , d. h. scharfer und damit praziser werden wtirde, Und dies ist doch eigent lich auch beabsicht igt , wenn man dem Modell neue Inform ation hinzuftigt . Im Gegensatz dazu wird bei d isjunktiver Verkniipfung der einzelnen Relationen die Gesamtrelation mit jedem neuen Messwertpaar und jeder neuen Teilrelation JLRk immer grof er und unscharfer. Allerdings gibt es bei der konjunktiven Verknupfung ein nicht zu unte rschatzendes pr akt isches Problem. Wenn namlich Messrau schen vorliegt , konnen sich fiir denselb en Wert der Eingangsgrofie wahrend der Identifikat ion durchaus unte rsch iedliche Werte der Ausga ngsgro fe ergeben. Dies fiihrt dann aber zu einer totalen Eliminieru ng sa mt licher Inform ation in dem bet reffenden Bereich des Mod ells, so dass es let ztendlich vollig unbrau chbar ist . Aus dem Grund ist die disjunktive Verknupfung von Ahnli chkeit srelationen vorzuziehen . Zur Vervollst andi gun g der Er lauterungen soll nun noch beschriebe n werden, wie man anhand dieses Mode lls fiir eine gegebene Ein gangsgrof e u(k) die zu erwart ende Ausgan gsgrofle Ym (k ) bere chnet. Dazu definiert man zunachst eine Ein gan gs-Fu zzy-Menge (Singleto n)

JLu:IR ----+[O,l] , u ----+ {

° I

: u = u(k ) : sons t

(5.65)

und berechnet mit dieser und der gegebenen Mode llrelation JLR die Relationalgleichung JLy = JLu a JLR. Man erha lt die Ausgan gs-Fu zzy-Menge JLy : IR ----+ [0,1], Y ----+ sup {min [JLu(u), JLR(U , y)] I u E U}

(5.66)

= JLR(u(k ), y) = JLy(Y) Diese Vorgehensweise entspricht einem Schnitt parallel zur y-Achse durch die Relat ion JI R an der Stelle u = u(k ), der auf die Ausga ngsvariable y proji ziert

338

5. Einstellung und Optimierung von Fuzzy-Reglern

wird (Abb. 5.3). Durch anschlieBende Defuzzifizierung erh alt man dann den zu erwartenden Wert der Ausgangsgrofe Ym(k) . Offenbar sind dies dieselb en Schritte, die auch bei der Bere chnung der Ausgangsgrofie eines gewohnlichen Fuzzy-Reglers erforderlich sind , wenn dieser als Fuzzy-Rel ation abgesp eichert ist .

y

Abb. 5.3. Berechnung der Ausgangsgrofle bei einem Fuzzy-Modell Die gesamte Vorgehensweise ist ohne Probleme auf Mehr grofenstrecken hoherer Ordnung iibertragbar. Ein e Strecke erster Ordnung lasst sich beispielsweise durch Messwerttripel (u(k), x(k), f!.x(k + 1)) (Stellgrofe, Zust andsgrofie, resultierende And erung der Zustandsgrofle) beschreiben , wobei Stell- und Zustandsgrofe die Eingangsgrofen des Modells sind und die And erung der Zustandsgrofe die Ausgangsgrofe. Das Fuzzy-Modell muss also eine zusiitzliche Dimension erhalte n. Allgemein konnen sich fur beliebige Strecken somit multidimensionale Fuzzy-Modell e ergeb en. Offenbar lassen sich aber samtliche Gleichungen leicht auf mehrere Dimensionen erweite rn, so dass sich am gesamten Verfahren durch die Erweiterung auf mehr ere Dimension en nichts andert . AbschlieBend zu diskutieren ist noch die Absp eicherung eines solchen Modells . Hier bietet es sich an , den gesamten Raum, der durch die beteiligten Grofen aufgespannt wird , zu diskretisieren. An jed er der so entstandenen Stiitzstellen wird anschlieBend der dort giiltige ZugehOrigkeitsgrad einget ragcn (Abb. 5.4). Die Modellrclation ist dann durch die Interpolation zwischen dicsen abg espeicherten Zugehorigkeitsgraden definiert. Dies fiihrt natiirlich zu einer Differenz zwischen Originalrelation und abgespeicherte r Relation, doch kann man die Differenz bei ausreichend feiner Rast erung beliebig klein machen. I

I

f

I

-- -- ~ - ----7- - ---r- - - - ~-- -

I

I

I

I

-- - - ~ ~ - - - - f I -

-

-

I -/- -

-

,

__ - ~ L

I -

-

I -of -

-

f

I

- ~ ~--

, -

-

-

I I- -

-

I -

-

I - 1- I

-

I

,

I

I

I

I

I

-

I

- -- - , --- -- ,-- - - -,--- - , --,, ,, ,, I

I

I

I

y

Abb. 5.4. Zur Abspeicherung eines Fuzzy-Modells

5.4 Modellbasierte Regelung

339

5.4.2 Einschritt-Regelung Den Kern der Einschri tt-Regelun g nach Abb . 5.5 bildet kein gewohnli ches, sondern ein invertiertes St reckenmodell. Ein solches Modell st ellt zwar wie ein gewohnliches Mod ell den Zusammenh an g zwischen Ein- und Ausgan gsgroBe dar , besitzt allerdings vertau scht e Ein- und Ausgan gsgrofien. In dieses invertierte Modell wird dann beispielsweise eine gewiinschte Anderu ng des Zust andsvektors Llx(k + 1) oder ein gewunscht er Wer t ftir den Ausgan gsvektor y(k + 1) im niichsten Abtast schritt eingegebe n, und man erhiilt als Ausg ang sgrofle diejenige Stellgrofie u(k), die dazu zum akt uellen Zeit punkt erforderlich ist . Nun kon nt e man im einfachste n Fall den Sollwert w als gewiinschte n Ausgangsvekt or y(k + 1) im nachsten Abtast schrit t vorgeben , doch stellt sich dab ei ein Problem. Falls namlich, wie es norm alerweise der Fall sein wird , der Sollwer t nicht inne rh alb eines Abtast schrit tes erre icht werd en kann , kann das invertierte Modell auch keine St ellgrofe liefern . Daher ist eine weitere Einheit notwendi g, in der anhand der Werte von w und y(k) fiir den folgenden Abt astschri t t zuniichst ein geeignetes Zwischenziel z be rechnet wird , das dann auch t atsachlich innerh alb eines Abtastschrittes erreicht werd en kann. Dieses Zwischenziel bildet dann die Eingangsgrofe fur das invertierte Streckenmodell. Die Stellgrofienb erechnung auf der Basis des Streckenmodells verursacht abe r noch ein weite res Problem . Solang e das Streckenm odell ein exaktes Abbild der Strecke darst ellt , ftihrt die damit berechnet e Stellgrofie auch exa kt auf das gewiinschte (Zwischen- )Ziel. Existie ren abe r Differen zen zwischen Modell und Strecke aufgrund von Modellungenaui gkeiten oder Veranderungen inn erh alb der Strecke, so ist dies nicht mehr der Fall, und der RegIer arbeite t nicht meh r stationar gena u. Zu losen ist dieses Problem nur dadurch, da ss das Streckenm odell st andig an eine sich moglicherweise vera ndernde Strecke angepasst wird . Dazu mussen die Messwerte aus der St recke in jedem Abtastschritt in das Modell zur uckgefiihrt werd en , wie dies auch in Abb. 5.5 eingezeichnet ist . __ _____ _____ ____ ~_e,gl~r

_

w

Abb. 5.5. Einschritt-Regelung mit invcrtiertcm Modell

y

340

5. Einstellung und Optimierung von Fuzzy-Reglern

1m Folgenden sollen nun die Modellinversion , die -ad ap tion und die Berechnung von Zwischenzielen fur die verschiedenen Modellvarianten diskutiert werden, und zwar zunachst die Inversion , dann die Adaption und zum Schluss die Berechnung von Zwischenzielen. Modellinversion. Am einfachsten ist die Inversion von Fuzzy-Relationen (Abb. 5.2). Wegen der Symmmetrie des Fuzzy-Mod ells hinsichtlich seiner Einund Ausgan gsgrofien kann die Mod ellinversion hier namlich durch schlichtes Vertaus chen der GroBen erfolgen. Beim st atischen Eingrofensyst em wird der gewiinschte Wert z = y(k) zur Eingang sgrofe und die zugehorige Stellgrofe um(k) zur Ausgangsgrofe des Modells. Der Schnitt durch die Relation (vgl. Abb. 5.3) erfolgt dann parallel zur u-Achse an der Stelle y = y(k). Man erhalt eine Fuzzy-Menge Mu und nach einer Defuzzifizierung schlieBlich die Stellgrofe u (vgl. [111, 120]). Da Fuzzy-Relationen auch ohn e weit eres ftir mehrdimension ale Systeme aufgest ellt werd en konnen, ist die Modellinversion auch ftir Strecken hoherer Ordnung und Mehrgrofiensyst eme unproblematisch. Die Modelle werd en wie gewohnt erste llt und anschlieBend lediglich invers benutzt. Man kann fiir die Modellinversion bei Fuzzy-Relationen t heoret isch auch einen anderen Weg [149, 188] beschreit en , der auf den Ergebnissen von Sanchez [167] basiert. Anhand dieser Er gebni sse ist es moglich, ftir gegebene Mengen My und MR die groBtmogliche Fuzzy-Menge Mu zu berechnen , mit der die Relationalgleichung My = Mu 0 MR erfiillt ist . Dies ents pricht aber doch gerade der vorliegenden Aufgab enst ellung. Gegeb en sind y und R , wahrend u gesucht ist . Allerdings exist iert dab ei ein Problem . Die Losung Mu ist namlich nur dann eine nicht-leere Menge, wenn My ausrcichend groB gewahlt wird. Wenn man also, wie es am einfachste n ist, die gewiinschte Ausgan gs-Fuzzy-Menge My als Singleton vorgibt , so wird normalerweise keine Losung Mu fur die Relat ionalgleichung exist ieren. Dami t kann aber fur den Regier in den meist en Abtastschritten auch keine Stellgrofe ermit te lt werd en. AuBerd em ist der Algorithmus sehr rechenaufwandig, so dass insgesa mt der vorh er vorgest ellte Losungswog vorzuziehen ist. Ein vollig anderer Weg fiir die Mod ellinversion ist einzuschlagen, wenn das Mod ell in Form von Fuzzy-Regeln , als Kennfeld oder als Neuronales Net z vorliegt . Wahrend man ein Kennfeld dur ch Interpolation zwischen den Werten an den Stii tzstellen zumindest prinzipiell auch invers benutzen kann, ist dies bei Fuzzy-Regeln und Neuronalen Netz en vollkomm en unmo glich. Abhilfe biet et hier der Vorschlag in [150], das Modell von vornherein invers aufzub au en , d.h. mit vertaus cht en Ein- und Ausgangsgrofen. Schon beim Erz eugen des Modells werden also y und x als Ein gan gs- und die Stellgrofe u als Ausgang sgrolle behandelt. Keiner lan gen Erklarungen bedarf es, wenn das Streckenm odell als Differenzengleichung vorliegt , denn fur die Inver sion gibt es hier nur zwei AIternativen . Entweder lasst sich die Funktion f in den Differenzengleichun gen (5.59) oder (5.60) nach der gesuchte n GroBe u(k) auflosen oder nicht . Falls

5.4 Modellbasierte Regelung

341

ja, so kann aus diesen Gleichungen auf analyt ischem Wege ein inverses Modell mit u(k) als Ausgangsgrofe bestimmt werden. Andernfalls kann dagegen fur eine gegebene Ausgangsgrofe die ent sprechende Stellgrofe anhand der Differenzengleichungen nur numm erisch berechnet werden. Deshalb wird beispielsweise in [75] die analyt ische Auflosbark eit einfach vora usgesetzt. Grundsiitzlich exist iert ftir alle Arten von Modellen ein sehr einfacher, dafur aber rechenaufwandiger Weg, urn die Inversion zu vermeiden. Und zwar wird eine ausreichend groBe Anzahl verschiedener Werte fiir u jeweils als Eingangsgrofie in das nicht invert ierte Modell eingespe ist . Derjenige Wert von u , bei dem die Ausgangsgrofe y (k + 1) dem Zwischen-Ziel z am nachst en komm t , wird dann als Ste llgrofie auf die Strecke gegeben [109, 157].

Modelladaption. Damit sollen die AusfUhrungen zur Modellinversion abgeschlossen werden. Der nachst e zu diskutierend e Punkt ist die Adaption des Modells. Bei einer Fuzzy-Relati on kann diese Modell-Adaption relativ einfach erfolgen , wie wieder anhand der stat isehen Ein grofienstrecke erlaute rt werd en soll. Und zwar wird in jedem Abtasts chritt die Ste llgrofle u(k) , die an die Streeke ausgegeben wird , auch in das nicht-inverti erte Streekenmodell eingegeben. Man erhalt die zu erwartende Ausgangsgrolle Ym(k ). Diese wird dann mit der sich tatsachlich einste llenden, gemessenen Ausgangsgrofie y (k ) verglichen. 1m Faile einer Differenz muss der ents preehende Teil der Modell-Relation f-L R in y-Richt ung verschoben werden, so dass die veranderte Relati on die akt uellen Verhaltnisse in der Strecke widerspiegelt (Abb. 5.6). Das Modell wird also in jedem Abtastsehritt sowohl invers fur die Berechnung der Ste llgrofe , als auch nieht-i nvers fiir die Adapt ion verwendet.

-

ym(k)

y(k)

Abb. 5.6. Adaption einer Fuzzy-Relation Nach demselb en Prinzip hat die Adaption zu erfolgen, wenn das FuzzyModell in Form von Fuzzy-Regeln oder als Kennfeld vorliegt. In jedem Abt astsehritt ist die Ausgangsgrofie des Modells mit der gemessenen Ausgangsgrofie der Strecke zu vergleiehen, und im Faile einer Abweichung ist das Modell zu verand ern . Bei einer Fuzzy-Regel verandert man die Ausgangs-FuzzyMenge und bei einem Kcnnfcld die an den ents preehenden Stiitzstellen abgespeieherten Werte. Noeh einfaeher ist die Adap tion bei einem Neuro nalen Netz. Sofern es sieh im Trainin gsmodu s befindet , wird es sieh automatiseh an Veriinderu ngen innerh alb der Streeke anpassen.

342

5. Einstellung und Optimierung von Fuzzy-Reglern

Liegt das Mod ell dagegen als Differenzengleichung vor , so muss auf ein klassisches Identifikationsverfahren zuriickgegriffen werden. Da zu werden tiber ein lan geres Zeitintervall ausreichend viele Messwerte der Strecke gesammelt und anschlieBend durch Regression auf nummerischem Wege ein neues, aktuelles St reckenmodell berechnet. Hier kann die Aktualisierung des 1'10dells also nicht in jedem Abtastschritt , sondern nur in grofe rem zeit lichen Abstand erfolgen. Zudem ist eine solche Neub erechnung nummerisch nicht unproblematis ch, wenn die neu gesammelte n Messwerte nicht genugend Informat ion ent halte n. 1m Hinblick auf die Adaption sind die anderen Modelle also sicherlich einer Differenzengleichun g vorzuziehen. Berechnung von Zwischenschritten. SchlieBlich bleibt die Berechnung von Zwischenschritten anzusprechen, die das entscheidende Problem der Ein schrit t-Regelung offenb aren wird. Eine sehr elegante Losung fiir Modelle in Form von Fuzzy-R elationen wird dazu in [53] vorgeschlagen. Die Tatsache, dass der Soliwert w moglicherweise nicht in einem Abtastschritt erreicht werden kann , wird dadurch beriicksi chti gt , dass als gewiinscht er Ausgangswert y(k + 1) nicht nur ein Singleton, sondern eine Fuzzy-Menge fly vorgegeben wird. Die ZugehOrigkeitsfunktion dieser Fuzzy-Menge weist fur y = y(k) den Wert Null auf und steigt mit zun ehm ender Nahe zum Wert y = w an . Abb. 5.7 zeigt eine solche Funktion fur ein System erst er Ordnung. Diese FuzzyMenge bild et dann die Eingangsgrofe der Relat ionalgleichun g fl u = ILy 0 ILR. Die ZugehOrigkeitsfunktion der Ausgan gsgrofie fl u wird dam it ftir genau die Werte von u von Null verschieden sein, die im folgend en Abtastschri tt eine Ausgangsgrofe y( k + 1) zwischen y(k) und w hervorrufen konn en, Dab ei hang t der Zugehori gkeitsgrad sowohl vom Abst and zwischen zu erwarte nder Ausgan gsgrofie und w , als au ch von den entsprechenden Werten der Modellrelation aboJ e naher eine Stellgrofie das Syst em an den Sollwert w heranfiih ren kann, desto grofer ist ihr Zugehorigkeitsgrad zur Menge fl u . Durch Defuzzifizierung von flu wird sich dann sicherlich eine geeignete Stellgrofie ergeben.

y(k)

w

Abb. 5.7. Erweiterte Eingangsgrofle fiir das inverse Modell Bei Modell en in Form von Fuzzy-Regeln , Kennfeldern , Neuronalen Net zen oder Differenzengleichungen ist dieser Algorithmus natiirlich nicht verwendbar. Fur diesen Fall wird in [75] zur Berechnung der Zwischenziele ein einfacher I-RegIer mit der Eingan gsgrofe e = w - y vorgeschlagen. Die Ausgang sgrofe dieses Reglers, also das Zwischenziel z, ent spricht im stationaren Zu-

5.4 Modellbasierte Regelung

343

stand gerade der RegelgroBe y. Denn zwischen z und y befinden sich nur das inverse Modell und die Strecke, die sich beid e, sofern das Modell annahernd exa kt ist, in ihrer Wirkung komp ensier en. AuBerdem muss y im stationaren Zustand gleich w sein , da sonst die Eing angsgrofe w - y des Integrators von Null verschieden ware und sieh die Ausgangsgrofe des Integrators verandern wiirde. Damit ware dann ab er noeh kein stationa rer Zustand erre icht. 1m st ationaren Zustand gilt also w = z = y. Nach einer Anderung des Sollwertes w wird sieh z als Ausgan gsgrofe des l-Reglers solange stetig verandern, bis y gleieh w und die Regelabweiehung e versehwunden ist . In dem dann err eichten, neuen st ationaren Zust and gilt wieder w = z = y . z und damit die Folge der Zwischenziele andert sieh also ste t ig und bei entsprechender Auslegung des l-Reglers auch langsam vom alte n zum neuen Sollwert . So soll gewahrleist et werd en , dass zu jedern Zwisehenziel auch t atsachlich eine Stellgrofle existiert, die die Strecke innerhalb von einem Abtastsehritt zum Zwisehenziel hinfuhren kann. Offenb ar wird bei beiden soeb en vorgestellten Verfahren vorausg esetzt, dass eine Stellgrofle exist iert, mit der sieh der Ausgangsvektor y , wenn der Sollwert w nieht im nachfolgend en Abtast sehritt erreieht werd en kann, zumindest in Riehtung des Sollwertes verandern lasst . Ausgehend von einem Vektor y(k ) zum akt uellen Zeitpunkt muss also ftir die Kornponent en des Ausg ang svektors zum nachfolgend en Zeitpunkt immer

+ 1) :s; ui, 2: Yi(k + 1) 2: Wi

Yi (k) < Yi (k

falls Wi 2: Yi(k)

Yi(k)

falls ui; :s; Yi(k)

(5.67)

gelte n. Im zweidim ension alen Fall (Abb . 5.8) bedeutet dies , das s das System ausgehend von einem Vektor y (k) so in den Zielzust and w hineingefuhrt werd en kann, dass alle y (k) naehfolgend en Ausgangsgroben y(k + j ) in einem Reehteek mit den Eekpunkt en y(k) und w liegen . Y2

y(k)

Abb. 5.8. Zulassiges Gebiet fur nachfolgende Ausgangsvektoren und m6gliche Trajektorie eines Nicht-Minimalphasensystems Diese Vorau sset zung ist jedoeh nur fur Minimalphasensys teme immer erftillt (vgl. Anh an g A.2). Bei Systemen mit nieht-minimaler Phase, die insbesond ere unter den Mehrgroflensystemen haufig anzut reffen sind, kann es vorkommen , das s das Syst em von y(k) nach w nur auf einer Tr aj ektorie

344

5. Einstellung und Optimierung von Fuzzy-Reglern

iiberfiihr t werden kann , die dieses Gebiet verlasst oder soga r vollstiindig auBerhalb verlauft (Abb . 5.8) . Auf so1che Systeme kann die Einschritt-Regelung daher nicht angewendet werden. Noch eingeschriinkter ist der Anwendungsbereich sogar, wenn ein Zustandsmo dell nach (5.59) verwendet wird , und zwar unabh iingig davon , ob es in Form von Differenti algleichun gen oder als Fuzzy-Modell vorliegt. Hier wiirde die Einschri tt-Regelung bei jedem System versage n, dessen Ordnung groBer als Eins ist. Als Beispiel sei eine Beschleuni gun gsst recke angenommen, die durch die Differentialgleichun g F = ml mit den Zust an dsgrofien 1 un d v gegeben ist (vgl. Kap . 2.7.1). Das System soll von einem Star t zust and (lo,vo) = (0, 0) in den Endzust and (ll,vd = (w, O) ub erfuhrt werd en. Die dazu notwendige Tr aj ekt orie im Zust andsraum ist in Abb. 2.48 dargest ellt . Offensichtli ch ist zwischenzeitlich eine von Null verschiedene Geschwindigkeit v erforder lich, damit sich der Korp er in den Endzustand bcwegt . Andererseits ist aber die Geschwindi gkeit sowohl im Anfan gs- als auch im Endzustand Null. Demnach ist hier das Gebiet moglicher Zwischenzustiinde (Abb. 5.8) von einem Recht eck zu einer Verbindungslinie zwischen Anfan gs- und Endzustand auf der l-A chse degeneriert , auf der die Geschwindigkeit ftir alle Zust iinde gleich Null ist. Beide Verfahren wiird en dam it nur Zwischenziele erzeugen, die auf der l-Achse liegen , bei denen die Geschwindigkeit also Null ist . Der Korp er soll seine Position von 1 = nach 1 = w veriindern , ohne dass seine Geschwindigkeit jemals von Null verschieden wird. Dies ist offensicht lich unmoglich. Wegen dieses eklatanten Mange ls des Einschritt-Verfahrens wird in [4] vorgeschlagen , das Streckenmodell fiir eine Vorh ersage iiber mehr ere Abt astschr itte zu nutzen. Dazu werde n zunachst im Hinblick auf die Gegebe nheite n der St recke obe re und untere Grenzen fiir die Ste llgrofen sowie die maxima l mogliche Anderung einer Stellgrofle innerhalb eines Abtastschrittes festgelegt. Weite rhin wird der Ste llgrofenra um diskretisiert , d.h. es werden nur end lich viele verschiedene Werte ftir die Stellgrofien in Bet racht gezogen. SchlieBlich wird noch eine feste Anzahl r an vorherzusagenden Abt astschri tte n vorgegeben. Unte r dicscn Vorausset zung en gibt es innerhalb des Vorh ersage intervalls nur endlich viele rnogliche Stellgrofensequenzen. Zu einem Zeitpunkt t = kT werd en dann alle rnoglichen Stellgrofensequenzen ftir das Zeitintervall kT :::; t :::; (k + r )T anhand des Streckenmodells simuliert und der resultierend e Verlauf der Regelgrofie bewertet. Von derjenigen Sequenz, deren Bewertung am besten ausfallt, wird dann der erste Wert zum Zeitpunkt t = kT als Ste llgrofie an die Strecke ausgegeben . Die gesamte Rechnung wird im nachfolgenden Abtastzeit punkt t = (k + l)T mit dem urn einen Schrit t verschobenen Vorh ersageintervall wiederholt . Ahnliche, im Det ail aber schlechtere Vorschliige finden sich auch in [35, 40] und [168]. Das gru ndsiit zliche Problem bei diesem Ansatz besteht darin, die Anzahl r an vorhe rzusagenden Abtastschritten sowie die Bewertungsfunkt ion fiir die Regelgrofle geeignet festzulegen. Wenn r zu klein gewiihlt wird und die Re-

°

5.4 Modellbasiert e Regelung

345

gelgrofe innerhalb des Vorh ersageintervalls noeh nieht de n Sollwer t erreieht , kann fur Systeme mit nieht-minim aler Phase der Erfolg oder Misserfolg der St ellgrofensequenz iiberhaupt noeh nieht abgeschatzt werd en . Dam it wird aber aueh die Auswahl einer geeigneten Bewertungsfunktion unmoglich, Andererseits muss man natiirlieh wegen des Reehenau fwandes daran interessiert sein , r so klein wie moglich zu halten . Letztendli eh miissen r und die Bewertungsfunktion also an die Streeke angepasst werde n, was bei vorher unb ekannten Streeken nur in mehreren It erationen moglich ist .

5.4.3 Optimale Regelung Bei der optimalen Regelun g naeh [120] wird dagegen eine Strategie zur Bereehnung der Zwisehenziele verfolgt , die einen optimalen Verlauf der RegelgroBe und das Erreichen des Sol1wertes von vornherein gewahrleiste t . Ansonst en entspricht die Gesamtstruktur der Regelung der Ein sehritt-Regelung au s Abb. 5.5. Den Kern bildet ein Zust andsmodell der Streeke in Form einer Fuzzy-Relation, da s fur die Bereehnung der St ellgrofie invers benutzt wird . Auch die Mod ellad aption zur Cewahrleistung stat iona rer Gena uigkeit erfolgt hier gena uso wie bei der Einschritt-Rege lung. Der Unterschied zur Ein schrittRegelung besteht demn ach nur in der Berechnung der Zwischenziele. Die Strategie zur Berechnun g der Zwischenzi ele beruht dar auf, bei einem Wechsel des Sollwert es zunac hst mogliche Zust andstr aj ektori en zum Zielpunkt zu ermitteln und das System dann in den folgend en Abtastschritte n auf einer dieser Tr ajektori en in den Zielpunkt zu ftihren . Wegen des Reehenaufwandes zur Berechnung der Traj ektorien eignet sich dieses Verfahren insbesondere fur Systeme mit unveran derlichern Sollwer t , wah rend bei einem sich fortwahrend verandernden Sol1wert der Rechenaufwand moglicherweise zu groB ist. Erklart werden soll dieser Algorit hmus anhand eines Systems zweite r Ordnun g mit einer Ste llgrofie und einem festen Sollwert bzw. Zielzustand. Die Modellrelation f.lR weist als Ein gan gsgrofen die beiden Zustandsgrofien xl( k) und x2(k) sowie die St ellgrofie u(k ) auf, wahrend die Au sgangsgrofen die aus den Eingan gsgrofen resultierend en And erungen der Zust andsgrofen im nachfolgenden Abtast sehrit t L1xl(k + 1) und L1x2(k + 1) sind . Damit ist die Relation f.lR ftmf-dim ensional, 1m erst en Schritt wird ein Arb eitsbereieh urn den Zielzust and fest gelegt, von dem man sieher weiB, dass er vom System nicht verl assen wird . Dieser begrenzte Zustandsraum wird diskr eti siert, so dass inn erh alb der Gr enzen eine endliehe Anzahl diskr et er Zustande existiert . Aus Abb. 5.11 ist eine solche Diskr etisierung fur ein Syste m zweite r Ordnung ersicht lich. Dabei ist der Urspr ung des Koord inatensystems der Zielzust and. 1m zweite n Sehri t t wird fiir jeden dieser Zustande ermittelt , wie groB die Moglichkeit ist, ihn mit einer geeigneten Stellgrofe inn erh alb eines Ab t astschr ittes in einen seiner Nachba rzustande zu ub er fuhr en , Ab b. 5.9 verdeutlicht dies fiir einen Zust and des Beispielsystems. In der Mit t e ist der betrachtete Zust and , der von acht Nachbarzustanden umgeben ist . Gesucht ist jetzt

346

5. Einstellung und Optimierung von Fuzzy-Reglern

beispi elsweise die Moglichkeit , den mittleren Zustand innerhalb eines Abtastschrittes in den recht en oberon Zustand zu ub erftihr en. Gegeb en sind dabei die Koordinaten des mittleren Zust andes (Xl m, X2m) und des rechten oberen Zust andes ( Xl n X2r)' Dann wird der mittlere Zust and als aktueller Zustand (xl (k ), x2(k)) = (Xl m, X2m) definiert, und die Differenz zwischen mittlerem und recht em oberen Zustand als die im folgenden Abtastschritt gewiinschte Zust andsdifferenz (.:1xl(k + 1), .:1x2(k + 1)) = ( Xl r - Xl m,X2r - X2m )' X2

0.2 0.9

0.8

0.3 0.1 0.9 0.0 0.2

-

xI

Abb. 5. 9 . Moglichkeiten fur den Ubergang von einem Zustand in seine Nachbarzustande AnschlieBend werd en fur X l und X2 ZugehOrigkeitsfunktion en (Singletons) ents prechend (5.65) definiert. Fur .:1 Xl und .:1x2 als gewiinschte Ausgangsgrofien werden dag egen Zugehorigkeitsfunktionen entsprechend Abb . 5.7 gewiihlt, die fur .:1xi = 0 den Wert Null, und fur .:1xi = Xir - Xim den Wert Eins aufweisen . Mit den durch diese Zugehorigkeitsfunktionen definiert en Fuzzy-Mengen und der Mod ellrelation J-lR kann dann die Relation algleichun g (5.68) berechnet werden, und man erha lt eine Fuzzy-Menge J-lu fur die Ste llgr6Be. Diese Fuzzy-Menge kenn zeichnet all diejenigen Stellgr6Ben , die das Syst em vom mit tleren Zust and aus dem rechte n oberen Zust and nah er bringen konn en , Sie wird jetz t allerdings nicht defuzzifiziert, da man nur an einem MaB fur die Moglichkeit des Zust andsiiberganges, nicht ab er an der dazu notwendigen Ste llgrofe int eressiert ist . Dieses MaB ist der groflte vorkommende Zugeh6rigkeitsgrad (5.69) in der Fuzzy-Men ge J-lu, in unserem Fall also 0.8. Die Verwendung eines anderen MaBes, beispielsweise J-lu(u )du wiird e wenig Sinn machen , da man nicht an der Machti gkeit der Menge interessiert ist , sondern nur daran, ob iiberhaupt irgend eine Stellgr6Be exist iert , mit der der betrachtet e Zustandsiib ergang erzwungen werden kann. Als Resultat dieses Schrittes ist ftir jeden Zust and des beschr ankten , diskretisierten Zustandsraumes bekannt, wie groB die Moglichkeit ist , ihn innerhalb eines Abtastschrittes in seine Nachbarzustande zu iiberfiihr en . Zwischen

J

5.4 Modellbasierte Regelung

347

je zwei benachbarten Zust iinden kann man sich damit zwei mit einer MaBzahl versehene Verbindungslinien in beide Richtungen denken, die die Moglichkeit fur den entsprechenden Zustandsiibergang angeben. In Abb . 5.9 sind nur die vom mittleren Zustand ausgehenden Verbindungslinien eingezeichnet. Nun soli von jedem Punkt des diskretisi erten Zust andsraum es aus eine Trajektorie tiber verschiedene andere diskrete Zustande in den Zielpunkt gefunden werd en. Diese soli einerseits moglichst kur z sein, and ererseits aber nur Zust andsiibergiinge beinhalten, die einen groBen Moglichkeitswert aufweisen. Denn umso grofier ist dann auch die Moglichkeit , dass die Trajektorie vom realen Syst em nachvollzogen werden kann . Urn diese Aufgabenstellung in geschlossener Form als Opt imierungsproblem formulieren zu konn en , werden die Moglichkeit swert e aller Zust andsiibergiinge zunachst transformiert, und zwar gemaf pi = 1.0 _ P" mit a > 0 (5.70) Der Wert pi ist also umso kleiner , je groBer die Moglichkeit des zugehorigen Zustandsiiberganges ist. Mit a kann das Verh altnis der pl-Werte groBer und kleiner Moglichkeitswerte zueinander beeinflusst werd en . Dies hat wiederum Auswirkungen auf die Wahrs cheinlichkeit, mit der in den berechneten Trajektorien Zust andsiibergange mit groBen oder kleinen Moglichkeitswerten auft rete n. Nachdem aile Moglichkeitswerte transformiert worden sind , kann das Gewicht einer Traj ektorie als Summ e aller Werte pi der beteiligten Zust andsubergange definiert werden . Offensichtlich ist dieses Gewicht umso kleiner, je weniger Zust and sub ergange die Trajektorie ent halt und je kleiner die Werte pi der bet eiligten Zust andsiibergange sind . Dies bedeutet ab er doch gerade , dass die Trajektorie kur z ist und Zustandsiibergange mit groBen Moglichkeitswerten ent halt . Die Aufgab e lautet daher , von jed em Punkt des Zustand sraume s die Trajektorie ZUIll Zielpunkt mit dem kleinstrnoglichen Gewicht zu finden . Diese Aufgabe lost der Algorithmus von Dijkstra, der im Folgend en erlautert werd en solI. Dieser Algorithmus ist rekursiv definiert. Deshalb wird fur die Erkliirung zunachst ein zusamrnenh angend es Gebiet des diskretisiert en Zust andsraumes vorausgesetzt , in dem fur aile Zust and e die optimalen Trajektori en, die innerhalb des Gebietes zum Zielpunkt verlaufen, bereits bekann t sind. Diesem Gebiet soli nun ein weiterer, benachbarter Zustand hinzugefiigt werd en, d.h. auch fur ihn ist die optimale Traj ektorie inner halb des Gebietes zu berechnen . Da der Zustand dem Gebiet benachbart ist , werd en einige Zustandsiibergange mit ent sprechenden Gewichten pi zwischen diesem Zust and und Zust and en innerh alb des Gebietes exist ieren. Da die optim ale Trajektorie von jedem dieser alten Zust ande aus bereits bekannt ist , muss nur iiberprtift werden, tiber welchen dieser Zustande die optimale Trajektorie des neuen Zust and es verliiuft . Dazu ist jeweils das Gewicht des Zustandsiiberganges vom neuen zum alte n Zustand zum Gewicht der opt imalen Traj ektorie des alten Zustandes zu addieren. Uber denj enigen

348

5. Einstellung und Optimierung von Fuzzy-Reglern

alten Zustand, bei dem die Addition den kleinsten Wert ergeben hat , verlauft dann die optimale Trajektorie des neuen Zustandes. Fur den neuen Zustand wird daher dieser alte Zustand als Naehfolger innerhalb der Traj ektorie abgespeiehert. AnsehlieBend muss ab er aueh noeh iiberpruft werden, ob sieh dureh das Hinzufiigen des neuen Zustandes die optimale Traj ekto rie ftir einen alten Zustand verandert, d.h . ob es von diesem alten Zustand aus moglicherweise gunstiger ist , tiber den neuen Zustand in den Zielpunkt zu laufen. Naehdem aueh dies iiberpruft ist und fur diejenigen Zustande, deren Traj ektorie in Zukunft tiber den neuen Zustand verlauft, eben dieser neue Zustand als Nachfolger eingetragen ist , ist der Rekursionssehritt beend et. Das Gebiet wird urn den neuen Zustand erweitert, und der Algorithmus beginnt mit dem nachsten neuen Zustand von vorn. Anhand des einfaehen Beispiels in Abb. 5.10 solI der Algorithmus nun verdeutlicht werden . Der Zielpunkt ist S, und das Gebiet , in dem die optimalen Trajektorien bereits bereehnet sind, besteht aus A , B und S . Diesem Gebiet solI der neue Zustand N hinzugefUgt werden. Die Gewichte der Zustandsubergange von N zu seinen Naehbarn A und B in beiden Riehtungen sind bekannt. Die Trajektorie N - A - S hat das Gewieht 0.3 + 0.4 = 0.7, wah rend die Trajektorie N - B - S das Gewieht 0.1 + 0.9 = 1.0 aufweist . Die optimale Trajektorie von N naeh S verlauft demnach tiber A . AnsehlieBend kann aber festg estellt werden , dass das Gewieht der Trajektorie B - N - A - S mit 0.8 geringer ist als das Gewicht der urspriinglich optimalen Trajektorie von B naeh S mit 0.9. Daher muss aueh fiir Beine neue optimale Trajektorie definiert werden, die jetz t tiber N und A verlauft. Am End e dieses Rekursionssehritt es wird dann ftir N der Naehfolger A und fur B der Naehfolger N eingetragen.

Abb. 5.10. Beispiel zum Algorithmus von Dijkstra Mit Dijkstra's Algorithmus kann man nun , ausgeh end vom Zielzustand, fur aIle diskreten Zustande des begrenzten Zustandsraum es die optimalen Trajektorien zum Zielzustand bereehnen (Abb. 5.11). Mit Hilfe dieser Trajektori en lasst sieh ftir die Regelung immer das geeignete Zwisehenziel angeben . Die Bereehnung sieht fur jeden Abtastsehritt folgendermaBen aus: Der akt uelle Zustand der Str eeke wird gemessen und der nachstli egende diskrete Zust and bestimmt . Dessen Naehfolgezustand innerhalb der bereehnet en

5.4 Modellbasierte Regelung

349

Trajektori e wird dann als Zwisehenziel an das inverse Modell ausgegeben. Das inverse Modell liefert wiederum die notwendige Stellgrofie, urn das System zumindest naherungsweise innerhalb des nachsten Abt astsehrittes in das Zwisehenziel zu iiberftihren. Von dem Zust and aus, der am Ende dieses Abtastsehrittes erreicht ist , erfolgt dann die gesamte Bereehnung von neuem. Die Frage ist natiirlieh, inwieweit sich das nur nahe rungsweise Erreiehen eines Zwisehenzieles innerhalb eines Abt ast schrit tes auf dieses Regelverfahren auswirkt . Denn es ist anzunehmen, dass dieser Fall sogar der Norm alfall ist . Dureh Akkumulation dieser Fehler in mehreren Abt astsehritten kann es dann im sehlimmste n Fall vorkomm en, dass sich das System immer weit er von der ursprtin glieh bereehneten Traj ektori e ent fernt und schlieBlich einen Zustand annimmt, der naher an einer anderen bereehneten Traj ekt orie liegt. Von diesem Zeitpunkt an wird es dann auf der anderen Trajektorie weit ergeftihrt. Am End resultat and ert sich dadurch nichts, da aueh diese Trajektorie im Zielpunkt endet . Wegen dieser Redundanz mussen die Trajektorien also nur nah erungsweise rieht ig sein. Von daher reieht es aueh bei lan gsam zeitverand erlichen Streeken aus, die Trajektorien nur in groferen zeit lichen Abst and en neu zu berechnen. Das Syste m kann auch dann noch auf der Basis dieser Trajektorien in die Nahe des Zielpunktes uberftlhrt werden. Dort spielen dann die Traj ekt orien, die der Berechnung von Zwischenzielen dienen, sowieso keine Rolle mehr , wei! das System den Zielpunkt nun innerhalb eines Abt astschrittes erreichen kann . Die dazu notwendige Stellgrofe wird abe r anha nd des (invertierten) Fuzzy-Modells berechnet , das wegen der fortwah renden Adap tion im Gegensatz zu den Trajekto rien die aktu ellen Verh altni sse in der Strecke widerspiegelt . Somit wird diese Stellgrolle das Syst em exakt in den Zielpunkt iiberfiihren , und die stationa re Genauigkeit der Regelung ist gewahrleistet.

Abb. 5.11. Trajektorien in einem diskretisierten, begrenzten Zustandsraum

350

5. Einstellung und Optimierung von Fuzzy-Reglern

5.5 Fuzzy-RegIer und Fuzzy-Clustering Auf den ersten Blick scheinen Fuzzy-Regelung und Fuzzy-Clusteranalyse wenig Gemeinsamkeit en aufzuweisen. Bei der Clusteranalyse wird versucht , Cluster, d.h. Gruppierungen oder einzelne Anhaufungen von Dat en in einem Datensatz zu finden . Eines der einfachste n und elementarste n FuzzyClus teringverfahren sucht nach etwa kugelformigen Punktwolken (Clustern) in Datensatzen und reprasentiert jede einzelne Punktwolke durch einen ty pischen Vertreter, den (gewichteten) Schwerpunkt (Clusterzentrum) der jeweiligen Punktwolke. Fur die Datenpunkte werden Zugehori gkeitsgrade zu den einzelnen Clust ern berechnet . Dabei betragt der Zugehorigkeits grad eines Datums im Clusterzentrum eins und wird im Wesentlichen mit zun ehm endem Abstand zum Clusterzentrum kleiner. Betrachtet man Mamdani-Regler in dem Sinne, dass jede Regel einen uns charfen Punkt im Produkt raum aus Ein- und Ausgangsgrofen repr asentiert, so wird der Zusammenhang zur Fuzzy-Clusteranalyse deutlich: Ein e Regel charakte risiert einen typischen Punkt auf dem Graphen der Ubert ragungsfunktion und mit zun ehrnend em Abstand zu diesem Punkt wird der Erfullungs-y'Zugehorigkeitsgr ad zu der Regel geringer . Ein e Regel kann auf diese Weise als ein Cluster gedeutet werd en. Das Clu st erzentrum ist der durch die Regel charakte risierte Punkt auf dem Graphen der Ubertragungsfunktion, im FaIle von Dreiecksfunktionen in der Regel der Punkt, an dem aIle Dreiecksfunktionen den Wert Ein s annehmen. Hat man Daten tiber das Regelverh alten eines (menschlichen) Reglers gesammelt, biet et die Fuzzy-Clusteranalyse eine Moglichkeit , aus diesen Daten Fuzzy-Regeln zu erzeugen . Das Ergebn is einer Clusteranalyse muss nur unter Verwendung der eben beschrieb enen Analogie zwischen Fuzzy-Clustern und Fuzzy-Regeln in eine Regelbasis umgewandelt werden. Dab ei erzeugt jedes Cluster eine Regel. Bevor wir auf dieses Verfahren genauer eingehen , sollen zunachst einige grundlegende Verfahren der Fuzzy-Clusteranalyse vorgest ellt werden. Wir fuhren diese Verfahren hier nur insoweit ein, wie sie fur das elementar e Verst andnis in Verbindung mit Fuzzy-Reglern notwendi g sind. Ein e det aillier te Darstellung verschiedener Fuzzy-Clustering-Verfahren sowie weit erfiihrende Techniken zur Regelerzeugung mittels Fuzzy-Clusteranalyse finden sich in [60, 61]. 5.5 .1 Fuzzy-Clusteranalyse Bei der Fuzzy-Clusteranalyse ist ein Datensatz X = {x., . . . ,Xk } ~ IRP aus k jeweils p-dimensional en Dat entupeln jVektoren gegebe n, der in eine vorh er festgelegt e Anzahl evan Clust ern eingeteilt werd en solI. Wie die Anzahl c der Clust er automatisch bestimmt wird, werd en wir sparer noch sehen. J edes der c Cluster wird durch einen Satz von Param et ern , dem Clusterprototyp w. , gekennz eichnet. 1m einfachste n Fall konn te W i da s jeweilige Clust erzentrum sein , d .h. W i E lie. Neb en den Clusterp ar amet ern W i solI au13erdem ftir jedes

5.5 Fuzzy-Regier und Fuzzy-Clustering

351

Datum Xj zu jedem Cluster Wi ein ZugehOrigkeitsgrad U ij E [0,1] berechnet werden. Die Clusterpar ameter W i und die ZugehOrigkeitsgrad e U i j sollten so bestimmt werden, dass die Dat en moglichst nah an dem Cluster liegen, dem sie zugeordnet sind. Formal soil dies dur ch die Minimierung der folgenden Zielfunktion erreicht werden: e

k

LL

F (U ,W;X)

U iJd(W i ,Xj)

(5.71)

i= 1 j = 1

Dab ei ist U = (U i j) die Matrix aus den ZugehOrigkeitsgraden und W (WI , . . . , W e ) die Matrix der Clusterprototypen. d(W i , X j) ist der noch nah er zu definierende Abstand des Datums X j zum Cluste r W i. In der Zielfunktion F werden die mit den ZugehOrigkeitsgraden gewichteten Abstande der Dat en zu den Clustern aufsummiert. Auf die Bedeutung des vorher zu wahlenden Param eters m werden wir spater eingehen. Soil die Funktion F ohne weitere Einschrankungen minimiert werden, so ist die Losung offensichtlich : Man wahle einfach Uij = 0 fiir aile i = 1, . .. , C, j = 1, . .. , k, d.h. , kein Datum wird irgend einem Clust er zugeordne t. Urn diese trivi ale, abe r unerwiinschte Losung auszuschlieBen, wird die Nebenbcdingung

(j =I , .. . , k )

(5.72)

eingefuhrt . Diese Nebenbedingung verlangt , dass jedes Datum Xj mit einem Gesamtzugehor igkeit sgrad von Eins zugeordnet werden muss. Dieser Gesamtzugehorigkeitsgrad kann aber auf die einzelnen Cluste r aufgeteilt werden. Die Nebenbedingung (5.72) erlaubt es, die Zugehorigkeitsgrade auch als Wahrscheinlichkeite n zu interpretieren, weshalb man auch von probabilistischer Clust eranalyse spricht . Der einfachste Fuzzy-Clustering-Algorithmus auf dieser Grundlage ist der Fuzzy-c-Means-Algorithmus (FCM) . Beim FCM soilen die Prototypen die Clusterzent ren repr asenti eren, d.h. W i E lRP . Als Abst andsmaf

wird der quadratische euklidische Abst and verwendet. Fur die Zielfunktion (5.71) unter der Nebenbedingung (5.72) ergeben sich dann die folgenden notwendigen Bedingungen fur das Vorhand ensein eines Minimums: k

L uik' Xj Wi

=

j=1 =----:-k---

LU;'k j= 1

(5.73)

352

5. Einstellung und Optimierung von Fuzzy-Reglern 1 Uij

=

c

L

(d (Wi , Xj )) f=1 d(Wf ,Xj )

1

(5.74)

m -l

War en die Zugehi::irigkeitsgrade Uij scharf, d.h. Uij E {O, I} , dann entsprache in der Formel (5.73) W i genau dem Schwerpunkt der Vektoren, die dem i-te n Cluster zugeordnet sind: Im Zahler bewirken die Uij , dass nur die Daten aufaddiert werden, die dem Cluster zugeordnet sind, der Nenner ergibt genau die Anzahl der dem Cluste r zugeordnete n Daten. Bei Zugehi::irigkeitsgrad en U i j E [0, 1] ergibt sich ein mit den Zugehi::irigkeitsgraden gewichte ter Schwerpunkt . Die Formel (5.74) besagt , dass sich die Zugehi::irigkeitsgrade aus den relativen Distanzen der Dat en zu den Clustern ergeben. Damit erhalt man fur ein Datum den gri::iBten Zugehi::irigkeitsgrad fiir das Cluster , zu dem es den geringst en Abstand ha t . An dieser Formel lafit sich auch der Einfluss des Paramet ers m - Fuzzifier genannt - erklaren. Fiir m --t 00 folgt U i j --t ~' d.h ., jedes Datum wird jedem Cluster mit (nahezu) demselben Zugehi::irigkeitsgrad zugeordnet . Fiir m --t 1 gehen die Zugehi::irigkeitsgrade gegen die (scharfen) Werte 0 oder 1. Je kleiner m (mit m > 1) gewahlt wird , desto "weniger fuzzy" wird die Clustereinteilung . In vielen Fallen wird m = 2 gesetzt. Leider fiihrt die Minimierung der Zielfunktion (5.71) auf ein nichtlinear es P roblem. In den beiden Gleichungen (5.73) und (5.74) treten auf der rechte n Seite jeweils noch zu optimie rende Paramet er auf: Bei den Prototypen W i die Zugehi::irigkeit sgrade Uij und umgekehrt . Aus diesem Grund wendet man die St rategie der alte rnierenden Opt imieru ng an. Zu Beginn werden die Clusterzentren W i zufallig gewahl t und mit diesen Wert en die Zugehi::irigkeitsgrade U i k mit Hilfe der Formel (5.74) berechnet . Danach halt ma n die Zugehi::irigkeitsgrad e fest und bestimmt die Cluste rzent ren mittels Gleichung (5.73). Mit den neuen Clusterzentren werden so wiederum die neuen Zugehi::irigkeitsgrade berechnet und dieses altern ierende Schema wird bis zur Konvergenz fortgesetzt, d .h., bis die Anderung der Prototypen oder der Zugehi::irigkeitsgrad e eine vorgegebene kleine Schranke unterschreit et . Bei diesem Verfahren ist noch ein Sonderfall bei der Anwendung der Formel (5.74) zu betrachten. Ist der Abst and eines Datums zu einem der Cluster null, so wird der Nenner in der Formel (5.74) ebenfalls null. In diesem Fall sollte der Zugehi::irigkeitsgrad des Datums zu dem Clust er mit Abstand null auf eins, der Zugehi::irigkeitsgrad zu allen anderen Clustern auf null geset zt werden. Sollte die Dist anz eines Datums zu mehreren Cluste rn null sein, was beim FCM den pathologischen Fall bedeut en wiirde, dass zwei Clusterzentren zusa mmenfallen, so werden die Zugehi::irigkeits grade des Datums gleichmafiig auf die Cluste r mit Abstand null aufgeteilt . Neben dem FCM werden noch einige weitere Fuzzy-Clustering-Verfahren fiir die Erzeugung von Fuzzy-Reglern aus Dat en eingesetzt. An dieser Stelle soil exemplarisch nur noch eine weite re Technik und eine Mischform mit dem

5.5 Fuzzy-Regier und Fuzzy-Clustering

353

FCM vorgestellt werden. Weitere Fuzzy-Clustering-Verfahren und ihr Bezug zu Fuzzy-Reglern sind in [60, 61] zusammengefaBt . Wir betracht en eine fur unsere Zwecke etwas vereinfachte Variant e des Fuzzy-c-Variet ies-Algorithmus (FCV) [15, 17]. Bei diesem Algorithmus werden nicht wie beim FCM haufenformig e Cluster gesucht, sondern Cluste r in Form von Hyperebenen , d.h ., bei zweidimensionalen Dat en Cluster in Form von Geraden, bei dreidimensionalen Dat en in Form von Eb enen. Auf diese Weise kann ein Dat ensatz lokal dur ch lineare Beschreibun gen angenahert werden , die sich fur die Verwendung von TSK-Modellen eignen. Der FCV basiert auf derselben Zielfunktion (5.71) wie der FCM , wobei die Dist anzfunktion modifiziert wird . Allerd ings wird ein Clust er beim FCV durch cine Hyperebene beschrieben, d.h . durch einen Ortsvektor V i und einen norm alisierten Normalenvekto r e., der senkrecht auf der dem Cluster zugeordneten (Hyp er-)Ebene steht . Ais Distanz wird in der Formel (5.71) der quadr ati sche Abst and des Datums zu der dem Cluster zugeordneten Hyperebene verwendet : (5.75) Dab ei ist (Xj - v.) T e i das Skalarprodukt der Vektoren (x , - V i) und e. . Die ZugehOrigkeitsgrade werden beim FCV nach derselben Formel (5.74) wie beim FCM berechne t , wobei die Distanzfunktion (5.75) zu verwenden ist . Die Ortsvektoren beim FCV werden genauso wie die Clusterzentren (5.73) beim FCM bestimmt. Der Normalenvektor e, eines Clusters ist der normalisierte Eigenvektor der Matrix k

'"' · - v '·)(xJ· - v ,·)T Z:: u~(x 'J J

Ci

j =l k

Luij j=l

zum kleinsten Eigenwert. Ein Nachteil des FCV besteht dari n, dass die Geradencluster (oder allgemeiner : die Hyperebenencluster) unendli che Ausdehnung hab en. Aus diesem Grund kann ein Cluster zwei Ceradenstiicke abdecken, zwischen denen eine Lucke liegt , sofern die beiden Cluster annaher nd auf einer Geraden liegen. Deswegen wird an Stelle des reinen FCV eine Kombin ation mit dem FCM bevorzugt , bei der die Distanzfunktion eine Konvexkombin ation aus der FCVund der FCM-Distanz ist:

Fur Q = 0 ergibt sich der FCM , fur ex = 1 der FCV . Die mod ifiziert e Distanzfunktion wirkt sich dir ekt nur bei der Berechnun g der ZugehOrigkeitsgrade U i j aus . Man spricht bei der Verwendung dieser Distanzfunktion auch von

354

5. Einstellung und Optimierung von Fuzzy-Reglern

Elliptotype-Clusterin g, da die Cluster - je nach Wahl des P arameters 0: eher die Form langgestreckter Ellipsen hab en [15]. Das prob abilistische Clustern mit der Nebenbedingung (5.72) hat den Nacht eil, dass die ZugehOrigkeitsgrad e allein aufgrund der relat iven Dist anzen berechnet werden. Das hat zur Folge, das die ZugehOrigkeitsfunktionen zu den Clustern zum Teil unerwiins chte Eigenschaften aufweisen. Im Clusterzentrum ist der Zugehi.irigkeit sgrad eins und mit steigendem Abst and fallt der Zugehi.irigkeitsgrad zunachst aboTrotzd em kann der Zugehi.irigkeitsgrad spa ter wieder anste igen. Beispielsweise ergibt sich fur Ausreisserdat en, die sehr weit von allen Clustern ent fernt sind , ein Zugehi.irigkeitsgrad von ca. l i e zu allen Clustern . Das Noise-Clustern [34] vermeidet diesen Effekt indem zwar die probabilist ische Nebenbedingung (5.72) beibehalt en wird , ab er ein zusatz liches Rausch(Noise)-Cluster eingefiihrt wird , dem die Ausreisserdaten mit hohem Zugehi.irigkeitsgrad zugeordnet werden sollen. AIle Dat en hab en eine vorher festgelegt e und im Verlauf der Clust eran alyse unverand erte (groBe) Dist anz zum Rausch-Cluster. Auf diese Weise erhalte n Dat en, die sehr weit von allen and eren Clustern ent fernt liegen , einen hohen Zugehi.irigkeits grad zum Rau sch-Clust er. Das possibilisti sche Clustern [96J laBt die probabilistische Nebenbedingung ganzlich fallen und fiihrt zusat zlich einen Term in die Zielfunktion ein, der Zugehi.irigkeitsgrade nahe Null bestraft. Nachteil des possibilistischen Clust ern ist , dass jedes Cluster unabh angig von den anderen berechnet wird , so dass eine gut e Initialisierung (z.B, mit dem Ergebnis einer prob abilist ischen Clusteranalyse) erforderlich ist . Bisher sind wir davon ausgegangen, dass die Anzahl e der Cluster bei der Clust eranalyse vorher festgelegt wird. SolI die Anzahl der Clust er aut omatisch bestimmt werden , gibt es zwei prinzipelle Ansatze: 1. Man verwendet ein globales Giit emaB, das das Gesamtergebnis der Clustera na lyse bewertet . Eines von vielen solcher Giit emaBe ist die Separat ion [197J c

k

L L U~']d(Wi 5

X j)

i= l j =l C·

min{11 i#-t

Vi -

vt} 11 2 }

,

die den mittleren Abst and der Daten zu den ihnen zugeordnet en Clustern im Verh altnis zum kleinsten Abstand zweier Clust erzentren betrachtet . Umso kleiner der Wert von 5 , desto besser ist die Clustereinteilung. Man beginnt die Clust eranalyse mit zwei Clust ern bis hin zu einer Maximalzahl von gewiinschte n Clustern und bestimmt jeweils den Wert 5 . Man wahlt am Ende die Clust eranzahl und -eint eilung, fur die 5 den kleinsten Wert ergeben hat .

5.5 Fuzzy-Hegler und Fuzzy-Clustering

355

2. Bei der Verwendung von lokalen GiitemaBen beginnt man mit einer eher zu groBen Anzahl von Clustern und wendet das Compatible Cluster Merging (CCM) an [95]. Sehr kleine Cluster werden geloscht , Cluster, die sehr nahe beieinander liegen, verschmolzen, was zu einer verringerten Anzahl der Cluster fuhrt . Die Clusteranalyse wird dann wiederum mit der verringerten Anzahl von Clustern durchgefUhrt. Dabei wird als Initialisierung das Ergebnis verwendet, das man aus dem Loschungs- und Verschmelzungsprozess erhalten hat. Einen genaueren Uberblick tiber weitere GiitemaBe und ihre Verwendung bei der Bestimmung der Clusteranzahl gibt [60,61].

5.5.2 Erzeugung von Mamdani-Reglern Eine einfache Moglichkeit, aus gemessenen Daten mittels Fuzzy-Clusteranalyse einen Mamdani-Hegler zu generieren, besteht darin, den gesamten Datensatz mit dem FCM zu clustern und jedes Cluster als eine Regel zu int erpretieren. Dazu werden die Cluster auf die einzelnen Eingangsgroben und die Ausgangsgrofie projiziert und anschlieBend durch geeignete Fuzzy-Mengen (z.B . Dreiecks- oder Trapezfunktionen) angenahert. Abb. 5.12 zeigt eine typische Projektion eines Fuzzy-Clusters auf die Variable x . Dazu wird die x-Koordinate jedes Datums auf der x-Achse aufgetragen. Die Hohe der einzelnen Striche gibt den jeweiligen ZugehOrigkeitsgrad des entsprechenden Datums zum betrachteten Cluster an. Die Approximation einer solchen diskreten Fuzzy-Menge mittels einer Dreiecks- oder Trapezfunktion erfolgt tiblicherweise durch ein heuristisches Optimierungsverfahren. Dazu werden Daten mit kleinen Zugehorigkeiten gar nicht betrachtet und ftir die restlichen zum Beispiel die Summe der quadratischen Fehler der Zugehorigkeitsgrade minimiert. Ein mogliches iteratives Verfahren wird in [177] beschrieben. Die durch Approximation der Clusterprojektionen erhalte nen Fuzzy-Mengen erfullen im allgemeinen nicht die Voraussetzungen, die man iiblicherweise an die Fuzzy-Partitionen stellt. Die Fuzzy-Mengen konnen zum Beispiel sehr unterschiedliche Uberlappungsgrade aufweisen. In der Regel werden daher projizierte Fuzzy-Mengen, die sich sehr ahnlich sind, durch eine Fuzzy-Menge ersetzt. AuBerdem nimmt man durch das Projizieren und die Approximation einen Informationsverlust in Kauf. Die Fuzzy-Regeln, die sich aus einer FuzzyClusteranalyse ergeben, werden daher haufig verwendet , urn einen Uberblick tiber mogliche sinnvolle Regeln zu erhalten oder zur Initialisierung beispielsweise eines Neuro Fuzzy-Systems [134] (siehe hierzu auch Abschnitt 5.6). Alternativ werden zum Teil auch nur die Eingangsgrofen oder die Ausgangsgrofe [177] separat geclustert, urn geeignete Fuzzy-Mengen zu erhalten.

5.5.3 Erzeugung von TSK-Modellen Das Elliptotype-Clustering eignet sich zur Bestimmung eines TSK-Modells aus Daten. Wie schon bei den Mamdani-Reglern induziert jedes Cluster eine

356

5. Einstellung und Optimierung von Fuzzy-Reglern

r / /

/ / / /

I I I /

I

/

' -, ,

,

,

-,

,, , , '

'

Abb. 5.12. Projektion eines Fuzzy-Clusters und Approximation mit einer Drei-

ecksfunktion Regel. Ebenso werden wie bei den Mamdani-Reglern mittels Projektionen geeignete Fuzzy-Mengen fur die Eingangsgr6Ben bereehnet. Fur die Funktionen in den Konklusionsteilen der Regeln werden Funktionen der Form

verwendet, die den Geraden, Ebenen bzw. Hyperebenen entspreehen, die den jeweiligen Clustern zugeordnet sind. Dazu muss die bei der Clusteranalyse dureh Orts- und Normalenvektor besehriebene Gerade oder (Hyper- )Ebene nur entspreehend als Funktion in den Eingangsgr6Ben ausgedriickt werden.

5.6 Neuro Fuzzy-Regelung Als vielverspreehender Ansatz zur Optimierung einer bekannten Regelbasis oder aueh zum vollstiindigen Erlernen eines Fuzzy-Systems haben sieh Ansiitze erwiesen, die dureh die Kopplung von Fuzzy-Systemen mit Lernverfahren kilnstlicher Neuronaler Netze motiviert sind . Diese Methoden werden im Allgemeinen unter dem Begriff Neuronale Fuzzy-Systeme oder Neuro Fuzzy-Systems zusammengefasst. Mittlerweile gibt es eine Vielzahl von spezialisierten Modellen . Neben Modellen fur regelungsteehnisehe Anwendungen wurden insbesondere Systeme zur Klassifikation und allgemeinere Madelle zur Funktionsapproximation entwiekelt. Eine ausflihrliehe Einflihrung in dieses Gebiet findet sich z.B. in [HO, 135]. Ein Uberbliek tiber aktuelle Anwendungen kann z.B. [21, 213] entnommen werden. Wir werden uns in diesem Absehnitt auf eine Einflihrung in die Methodik beschranken und einige ausgewiihlte Ansiitze diskutieren. Des Weiteren geben wir im Folgenden eine kurze Einflihrung in die Grundprinzipien Neuronaler Netze insoweit sie fur die naehfolgend diskutierten regelungsteehnisehen Modelle notwendig sind. Eine ausfiihrliche Einflihrung in die Grundlagen kunstlieher Neuronaler Netze wird z.B. in [23, 162, 210] gegeben .

5.6 Neuro Fuzzy-Regelung

357

5.6.1 Neuronale Netze Die Motivation zur Entwicklung kiinstlicher Neuronaler Netze entsprang der Erforschung der biologischen Nervenzellen. Diese sind trotz ihrer im Vergleich zu Mikroprozessoren langsamen Schaltzeiten in der Lage durch massive und hierarchische Vernetzung und die damit erzielte hochgradige Parallelitat komplexe Aufgaben effizient zu losen, Ein Neuronales Netz entsteht hierbei aus der Zusammenschaltung mehrerer Neuronen (Nervcnzellen bzw. Verarbeitungscinhciten) zu cinem komplexen Netzwerk. Die einzelnen Neuroncn iibernehmen hierbei die Funktion cinfacher Automatcn oder Prozessoren, die aus ihrer aktuellen Eingabe und ihrem Zustand (Aktivicrung) ihren neuen Zustand und ihre Ausgabe berechnen. Bci kiinstlichcn Neuronalen Netzen versucht man dieses Verhalten durch eine Menge von Abbildungen nachzubilden . Wahrend die Verschaltung biologischer Neuronaler Netze sehr komplex sein kann, beschrankt man sich bci der Betrachtung kiinstlicher Neuronaler Netze meist auf Netzwerke mit einem hierarchischen Aufbau. Hierbei werden die Ncuroncn in Schicht en zusammengefasst. Die Neuronen einer Schichten konnen nur von Neuroncn benachbarter Schichten beeinflusst werden, d .h. die Neuronen einer Schicht sind untereinander nicht verbunden. Die auferen beiden Schichten dienen zur Kommunikation des Netzes mit seiner Umgebung und werden als Ein- und Ausgabeschicht bezeichn et (siehe auch Abb . 5.13) . Ein Netz dieser Struktur wird auch als vorwartsbetriebenes (feed-forward) Netz bezeichnet. Lasst man auch Riickkopplungen zwischen den Schichten bzw. einzelnen Neuronen zu, so spricht man von einem riickgekoppelten oder auch rekurrentem (recurrent) Netz.

Ausgabeschicht

innere Schicht

Eingabeschicht

Abb. 5.13. Ein zweischichtiges Neuronales Netz bestehend aus zwei Eingangsneu-

ronen, fiinf inneren Neuronen und einem Ausgabeneuron Die meisten Modelle kiinstlicher Ncuronaler Netz e lassen sich durch folgende allgemeine Definition beschreiben (nach [135]).

Definition 5.1 Ein Neuronales Netz ist ein Tupel (U, W, A , 0 , NET) , wobei gilt: 1. U ist eine endliche Menge von Verarbeitungseinheiten (N euronen},

358

5. Einstellung und Optimierung von Fuzzy-Reglern

2. W , die Ne izuierkst ruk iur, ist eine Mat rix die die Abbildung vom kortesischen Produki U x U in R definiert , 3. A ist eine Abbildung, die jedem u E U eine Aktivierungsfunktion A u : lR3 -7 lR zuordne t, 4. 0 ist eine Abbildung, die j edem u E U eine Ausgab efunktion O« : lR -7 JR zuordne t und 5. NET ist eine Abbildung, die j edem u E U eine Netzeingabcfunktion NET u : (R x lR)U -7 R zuordnei.

Die Bestimmung der Ausgab e des Netzes erfolgt in einem vorwartsbetriebenen , schichtweise aufgebauten Net z dur ch aufeinander folgende Berechnun g der Ausgaben von der untersten zur obersten Schicht . Dieser Vorgang wird auch als Propagation bezeichnet . Bei der Propagation berechnet jedes Neuron U i basierend auf den Ausgaben der vorhergehenden Schicht seine eigene Aktivierung und Ausgab e. Hierzu wird zunachst aus den anliegenden Eingaben OJ (dies sind die Ausgaben der vorherigen Schicht oder die Eingaben in das Netz) mit der Netzeingabefunktion NET ; die Netzein gabe

(5.76) berechnet . In den meist en Netzmodellen wird mit t els der Netzgewicht e Wj; die gewichtete Summe tiber die Eingabewerte des Neurons U; gebildet , d .h. net;

=L

Wj; . OJ'

(5.77)

j

Mittels der Aktivierungsfunktion A ; wird anschlieBend die aktuelle Aktivi erun g a; berechnet : ) (5.78) ai -_ Ai ( net. , a;(alt ) ,e;, wobei a~alt) der bisherige Zust and des Neurons und ei eine ext erne Eingabe ist . Die externe Eingab e wird im allgemeinen nur bei den Eing abeeinheiten in der Eingabeschicht verwendet . Eb enso wird die alte Aktivi erung a~alt) in (vorwiirtsb etriebenen) Netzmodellen meist nicht verwendet . Somit vereinfacht sich die Berechnun g der Aktivierun g zu a; = A;(net;). Als Aktivierungsfunktion werden hierb ei meist sigmoide Funktionen verwendet (siehe auch Abb . 5.14): 1

a· -1t +eX' Die Berechnun g der Ausgabe

0;

(5.79)

erfolgt schlieBlichdurch die Ausgab efunktion

Oi' Diese kann zur Skalierung der Ausgab e verwendet werd en, wird aber in den meist en Netzmodellen durch die Identitat realisiert , d.h.

(5.80)

5.6 Neuro Fuzzy-Regelung

359

o Abb. 5.14. Eine sigmoide Aktivierungsfunktion

Eine schematische Darstellung der Arbeitsweise eines Neurons wird in Abb . 5.15 gegeben. Das wohl bekannteste Netzmodell ist das Multilayer-Perzeptron. Ein Netz dieses Typs besteht aus beliebig vielen Neuronen, die analog Abb . 5.13 in Form eines gerichteten Graphen bestehend aus einer Eingabeschicht, einer Ausgabeschicht und beliebig vielen verdeckten Schicht en angeordnet werden konnen, Hierbei sind keine Riickkopplungen zwischen den Neuronen erlaubt, d.h. die Ausgabe des Netzes kann basierend auf den aktuellen Eingaben durch einmalige Propagation von der Eing abe- zur Ausgabeschicht berechnet werden. Die Eingabeschicht reicht bei diesem Modell die Eingaben an die folgende - die erste verd eckt e Schicht - weiter, ohne eine Transformation der Eing ab ewerte durchzufiihren, d.h. die Aktivierungsfunktion wird durch die Identitat ersetzt . Hierdurch ist es moglich eine Eingabe an mehrere Neuronen weiterzuleiten. Fur das Multilayer-Perzeptron wurde gezeigt , dass es ein universelle r Approximator ist , d.h . es kann prinzipiell jede st etige Funktion beliebig gut approximiert werden (siehe z.B. [47, 62]). Das Lern en in einem Neuronalen Netz erfolgt durch Veranderung der Net zgewichte . Das Ziel des Lernvorgangs ist es das Netz so zu trainieren, dass es auf best immte Netz eingab en mit einer bestimmten Ausgabe reagiert. Auf diese Weise ist es dann au ch in der Lage auf neue unbekannte Eingab en,

Abb. 5.15. Schematisches Darstellung eines Neurons

360

5. Einstellung und Optimierung von Fuzzy-Reglern

d .h. Eingaben die nicht zum Training des Netzes verwendet wurden , mit einer geeigneten Ausgabe zu antworte n (Genera lisierungsfiihigkeit) . Die existierenden Lernverfahren lassen sich in iiberwacht e und nicht-Iiberwachte Lernverfahren unt erscheiden. Bei den nicht-Iiberwachten Lernverfahren sind lediglich die Eingaben in das Netz bekannt. Nach Abschluss des Lernvorgangs soll das Netz ahnllche Eingaben auf ahnliche Ausgaben abbilden. Hierb ei werden meist Verfahren zum Wettbewerbslernen eingesetzt. Ein bekan ntes Netzmodell das ein solches Verfahren einsetzt sind die selbstorgan isierenden Kar ten , auch nach ihrem Entwickler Kohonen-Net ze genannt

[92]. Bei den iiberwachten Lern aufgaben sind sowohl die Eingab en in das Netz, als auch die zugehorigen Ausgaben bekannt . Das Prinzip der zugehOrigen Lernverfahr en basiert darauf, zunachst eine Eingab e dur ch das Net z zu propagieren , und diese dann mit der gewiinschte n Ausgabe zu vergleichen. AnschlieBend werden die Gewichte und Schwellenwerte so veriindert, dass das Netz bei nochmaliger Eingab e des selben Musters der gewiinschte n Ausgabe naher kommt . Dieser Prozess wird mit den veriigbaren Trai ningsdate n so lange wiederholt , bis das Netz eine gewiinschte Genauigkeit erre icht hat . Das wohl bekannt est e Lernverfahr en das dieses Prinzip verwendet ist das Backpropagation Verfahren fur das Multilayer-Perzept ron [165]. Die Grund idee des Verfahrens besteht in einer iterativen Verkleinerung des Ausgabefeh lers entlang der Gradienten einer Fehlerfunktion. Der Ausgabe fehler E wird hierbei nach jeder Pro pagation basierend auf den Fehlern an den einzelnen Ausgabeeinheiten Ai berechnet:

E= L(Pi-

Oi)2,

(5.81)

A;

wobei Pi die gewiinschte Ausgab e und 0i die t atsachliche Ausgab e der Einheit Ai beschreibt . Nach jedem Lernschrit t werden die Netzgewichte dann prop ortional zu den negati ven Fehlergradienten verandert , d.h.

BE

-1wu v ex - -,:::.-- .

(5.82)

UW u v

Eine ausftihrliche Beschreibun g des Verfahrens sowie diverser Variant en, die die Konvergenz des Verfah rens beschleunigen sollen (wie z.B. Quickprop [39] und resilient backpropagation (RP ROP) [160]), kann den zu Beginn des Kapit els genannte n Biichern entnommen werden. Das Gru ndprinzip dieses Lernverfahrens wird auch in den im Folgenden vorgeste llte n Neuro FuzzyModellen eingeset zt . Regelungstechnische Anwendungen. Neurona le Netze konnen sowohl als Regier als auch zur Modellierung bzw. Identifikation der Strecke eingesetzt werden. Gru ndlegende Voraussetzungen hierfiir sind, dass geniigend Date n vorhanden sind die zum Trai nieren des Netzes verwendet werden konnen.

5.6 Neuro Fuzzy-Regelung

361

Weiterhin miissen diese Daten auch den gesamten Zustandsraum der Strecke abdecken. Falls Paare (x(k), u(k)) von Messgrofen (im Allgemeinen die Ausgangsund Zustandsgrofen der Strecke oder die von einem bestehenden Regier verwendeten Eingangsgrofen) x(k) = [xI(k) , ...,xn(k)]T und zugehOrigen Stellgrofen u(k) = [uI(k), ...,um(k)]T bekannt sind, kann ein Neuronales Netz, z.B. ein Multilayer-Perzeptron, direkt mit diesen Werten trainiert werden. Das verwendete Netz muss in diesem Fall aus n Eingabeneuronen und m Ausgabeneuronen bestehen. Die Wertepaare konnen z.B. durch Messungen an einem bestehenden Regier - wobei das Netz in diesem Falliediglich den Regier ersetzen wiirde - oder durch Protokollierung der Stellgrofen eines menschlichen Bedieners ermittelt werden. Das Neuronale Netz sollte nach dem Training aufgrund seiner Generalisierungeigenschaft in der Lage sein auch fur Zwischenwerte die nicht in den Trainingsdaten enthalten waren geeignete Stellgrofien zu ermitteln. Ebenso kann ein Neuronales Netz auch zur Modellierung der Strecke (auch invers) verwendet werden. Dazu miissen ausreichend viele Zustandsvektoren x(k) = [xI(k), ...,xn(k)]T und Ausgangsgrofen y(k) = [YI(k), ...,Yn,(k)]T der Strecke sowie die zugehorigen Stellgrofen u(k) = [UI (k) , ..., Urn (k)]T bekannt sein . Basierend auf diesen Werten kann dann ein Neuronales Netz zur Modellierung der Strecke entworfen werden. Hierbei werden die Vektoren x(k) und u(k) als Eingangsgrofien und y(k + 1) als Ausgangsgrofien zum Training des Netzes verwendet. Ein inverses Streckenmodell erhalt man durch einfaches Vertauschen der Ein- und Ausgangsgrofien, Zu beachten ist hierbei, dass vorwiirtsbetriebende Neuronale Netze ein statisches Ein- / Ausgabeverhalten haben, da sie lediglich eine Abbildung von den Eingabewerten auf die Ausgabewerte durchfiihren. Somit miissen die fur das Trainieren des Netzes gewahlten Eingangsgrofen des Netzes eindeutig die Abbildung auf die Ausgangsgrofen beschreiben. Ein vorwiirtsbetriebenes Netz ist nicht in der Lage ein dynamisches Verhalten zu Lernen. Detaillierte Diskussionen zu regelungstechnischen Anwendungen Neuronaler Netze finden sich z.B. in [110, 123, 159].

5.6.2 Kombination Neuronaler Netze und Fuzzy-Hegler Die Kombination von Neuronalen Netzen und Fuzzy-Systemen in sogenannten Neuro Fuzzy-Systemen soli die Vorteile beider Strukturen vereinen. Von den Fuzzy-Reglern soll im wesentlichen die Moglichkeit zur Interpretation des Reglers und des Einbringens von Vorwissen iibernommen werden. Neuronale Netze sollen die Lernfahigkeit und somit die Moglichkeit zur automatischen Optimierung oder auch der automatischen Generierung des gesamten Reglers beitragen. Durch die Moglichkeit a priori Wissen in Form von Fuzzy-Regeln in das System einbringen zu konnen, erhofft man die Zeit und die Anzahl an Thainingsdaten die zum Training des Systems benotigt wird im Vergleich zu reinen

362

5. Einstellung und Optimierung von Fuzzy-Reglern

Neuronalen Reglern deutlich zu reduzieren. Falls nur sehr wenig Traingsdaten vorhand en sind , kann das Einbringen von Vorwissen unt er Umstanden sogar notwendig sein, urn einen Regier iiberhaupt erstellen zu konnen , Weiterhin hat man mit Neuro Fuzzy-Syst emen prinzipiell die Moglichkeit einen Regier zu erlernen und dessen Regelstrat egie anschlieBend dur ch Analyse dcr gelernten Fuzzy-Regeln und Fuzzy-Mengen zu interpretieren und ggf. manuell - auch im Hinblick auf die im vorherigen Kapitel diskutiert en St abilit atskriterien - zu iiberarb eiten, 1m wesentlichen werden bei den Neuronalen Fuzzy-Reglern kooperative und hybride Modelle unt erschieden. Bei den kooperativcn Modellen arbeiten das Neuronale Netz und der Fuzzy-RegIer gctrennt. Das Neuron ale Net z dient hierbei dazu, einige Paramet er des Fuzzy-Reglers (offline) zu erzeugen oder (online) wahrend des Einsatz cs zu optimieren (siehe z.B. [93, 141, 153]). Hybride Modelle versuchen , die Strukturen Ncuronaler Netzc und Fuzzy-Hegler zu vereinigen. Ein Fuzzy-RegIer kann somit als Neuronales Netz interprctiert oder sogar mittels eines Neuronalen Netzes implem cntiert werden. Hybridc Modelle hab en den Vorteil einer einheit lichen Struktur, die keine Kommunikation zwischen den beid cn unt erschiedlichen Modellen erfordcrt . Somit ist das Syst em prinzipiell in der Lage sowohl online als auch offline zu Lernen. Diese Ansatze haben sich mit tlerweile gegeniiber den kooperati ven Modellen dur chgcsetzt (siehe z.B. [9, 55, 72, 136, 189]). Die Grundgedanke der hybriden Verfahren besteht darin , die FuzzyMengen und Fuzzy-Regeln in eine Neuronale Struktur abzubilden. Dieses Prinzip soll im Folgenden verdeutlicht werden. Betrachten wir hierzu die Fuzzy-Regeln R; eines Mamd ani-R eglers

Ri

:

If X l is It~l ) and

and

Xn

is It~ n) (5.83)

th en y is Iti , bzw.

R; eines TSK-Reglers R'i

:

If

. X l IS

Iti( 1) an d

then Y = f i( XI ,

an d z.. X n iIS Iti(n)

,xn ) .

(5.84)

Die Aktivierung iii dieser Regeln kann wie in Abschnitt 3.1 bzw. 3.2 beschrieben durch eine t-Norm berechnet werden. Bei gegebenen Eingabewerten X l, ... , X n erhalt en wir fur iii mit der t-Norm min somit: (5.85) Eine Moglichkeit eine solche Regel mit Hilfe eines Neuronalen Netzes darzustellen besteht darin , die reellwertigen Verbindungsgewichte Wji von einem Eingab eneuron U j zu einem inneren Neuron U i jeweils dur ch die Fuzzy-Menge It~j ) zu ersetzen. Das innere Neuron reprasentiert somit eine Regel und die Verbindung von den Eingab einheiten reprasentieren die Fuzzy-Mengen in den

5.6 Neuro Fuzzy-Regelung

363

Pramissen der Regeln. Urn mit dem inner en Neur on die Regelaktivi erung berechnen zu konn en miissen wir lediglich seine Netze ingabefunkt ion rnadifizieren. Wahlen wir z.B. als t-norm das Minimum, so definieren wir als Netze inga be (vgl. (5.76) und (5.77)) : . {Jli(1) (Xl) , .. . , Jli(n ) ( X n ) } . net ,. -_ NETJ.(X l , · · · , X n ) _- nun

(5.86)

Erset zen wir schlieBlich noch die Akti vierungsfunk tion des Neurons durch die Identitat , entspricht die Akti vierung des Neurons der Regelaktivierung in (5.85) und das Neuron kann somit unmittelbar zur Berechnun g der Regelaktivierung einer beliebigen Fuzzy-Regel verwend et werd en. Eine grafische Darstellung dieser Struktur fiir eine Regel mit zwei Eingab en ist in Abb. 5.16 (links) gegeben. Eine alternative Darstellungsmoglichkeit ergibt sich, wenn die FuzzyMengen der Pramisse als eigenst andige Neuronen modelliert werd en. Hierzu wird die Netzeingabefunktion durch die Identitat und die Aktivierungsfunkti on des Neurons durch die cha ra kte rist ische Funktion der Fuzzy-Menge erset zt. Das Neuron berechnet somit fur jede Eing abe den ZugehOrigkeitsgrad zu der durch die Akti vierungsfunk tion reprasentiert en Fuzzy-Menge. In dieser Darstellung benoti gt man zwei Neuronenschichte n urn die Pramisse eine Fuzzy-Regel zu modellieren (siehe Abb . 5.16 (rechts)) . Hierb ei ergibt sich der Vorteil, dass die Fuzzy-Mengen unm itt elbar in mehr eren Regeln verwende t werd en konn en, urn somit die Interpretierbarkeit der gesamte n Regelbasis sicherzuste llen. Die Netzgewichte W ij in den Verbindungen von den FuzzyMengen zum Regelneuron werd en in dieser Darst ellung mit 1 initialisiert und als konst ant bet rachtet. Die Gewichte von den Eingab ewerten zu den FuzzyMengen konn en zur Skalierung der Eingabegrofen verwendet werd en. Soli auch die Auswertung einer gesamten Regelbasis modelliert werd en, muss unterschieden worden, ob ein Mamd ani oder eine T SK-Regler verwendet wird. Fur den TSK-Regler sind verschiedene Realisierungen moglich. Prinzipiell wird aber fur jede Regel cine weitere Einheit zur Auswertung der Ausgabefunkt ion Ii - die dann als Netz eingabefunktion implementi ert wird angelegt und mit allen Ein gab eeinheiten ( Xl , . . . ,X n ) verbunden , Die Ausgaben dieser Einheiten werd en dann mit den von den Regelneuronen berechneten Regelaktivierungen ai in einem Ausgabeneuron U out zusammengefiihrt, welches schlieBlich mittels der Netzeingabefunktion die Ausgab e des TSKReglers berechnet (siehe auch 3.9) :

L i(ai . I i(xI , ... , x n ) ) L i ai

(5.87)

Die Verb indungsgewichte zwischen den angelegten Neur onen sind dabei wieder konstant 1 und als Aktivierungsfunk ti on wird die Identit at verwendet. Fur den Mamd an i-Regler hangt die konkr ete Implementierung von der gewahlte n t-Conorm und der Defuzzifizierungsmethode ab (siehe hierzu auch Abschnitt 3.1). In jedem Fall fasst abe r ein gemeinsames Ausgab eneuron die

364

5. Einstellung und Optimierung von Fuzzy-Reglern

Abb. 5.16. Beispiel eines Neuronales Netz zur Berechnung der Aktivierung einer Fuzzy-Regel (If XI is 11;1) and X2 is 1l;2)then ...): Modellierung der Fuzzy-Mengen als Gewichte (links) und als Aktivierungsfunktionen eines Neurons (rechts) Aktivierungen der einzelnen Regelneuronen zusammen und berechn et mittels einer modifizierten Netz eingab efunktion basi erend auf den jeweiligen FuzzyMengen in den Konklusionen der Regeln einen scharfen Ausgabewert. Die Ub erfiihrung einer Fuzzy-R egelbasis in eine Netz struktur lasst sich somit au ch in folgenden Vorschriften zusammenfassen: 1. Fur jede Ein gangs grofe Xi wird ein Neuron gleicher Bezeichnung in der Ein gab eschicht an gelegt. 2. Fur jede Fuzzy-Menge J.L~j) wird ein Neuron gleicher Bezeichnung angelegt und mit dem entsprechenden Ein gabeneuron Xi verbunden . 3. Fur jede Ausgabegrolle Yi wird ein Neuron gleicher Bezeichnung ang elegt . 4. Fiir jede Fuzzy-Regel R; wird ein inn eres (Regel-) Neuro n gleicher Bezeichnung angelegt und eine t-Norm zur Berechnung der Aktivierung festgelegt. 5. Jedes Regelneuron R; wird gemaf ihrer korr espondierend en Fuzzy-Regel mit den ent sprechenden Neuronen, die die Fuzzy-Mengen der Pramissen reprasentieren , verbunden. 6. Mamdani-Regler: J edes Regelneuron wird gemaf der Konklusion ihrer korr espondierenden Fuzzy-Regel mit dem Ausgab eneuron verbunden . Als Verbindungsgewicht ist jeweils die Fuzzy-Menge der Konklusion zu wahl en , Weit erhin ist eine t-Conorm und das Defuzzifizierungs-Verfahren in den Ausgabeneuronen geeignet zu int egrieren. TSK-Regler: Fur jede Regeleinheit wird ein weite res Neuron zur Berechnun g der Ausgab efunktion angelegt und mit dem ents prechenden Ausgabe neuron verbunden . Weit erhin werden aIle Ein gab eeinh eiten mit den Neuronen zur Berechnung der Ausgab efunktionen und aIle Regeln mit dem Ausgabeneuron verbunden.

5.6 Neuro Fuzzy-Regelung

365

Nach der Uberftihrung einer Regelbasis in die oben beschriebene Darstellung , konnen anschlieBend Lernverfahren Neuronaler Netze auf diese Struktur iibertragen werden. Die Lernverfahren miissen jedoch aufgrund der geanderten Netzeingabe- und Aktivierungsfunktionen, und da nicht mehr reellwertige Netzgewichte, sondern die Parameter der Fuzzy-M engen gelernt werden sollen, modifiziert werden. Mit der Abbildung auf eine Neuronale Netzstruktur ist man somit - insoweit geeignete Lerndaten verfUgbar sind - in der Lage die Parameter der Fuzzy-Mengen zu optimieren. Bestehen bleibt allerdings das Problem eine initiale Regelbasis aufstellen zu miissen, die dann in eine Netzwerkstruktur uberfiihrt werden kann. Diese muss entweder manuell erstellt werden oder es miissen andere Verfahren, z.B. die im vorherigen Abschnitt beschrieben Fuzzy-Clustering Verfahren, Heuristiken oder evolutionare Algorithmen (siehe Abschnitt 5.7), herangezogen werden. In den folgenden Abschnitten diskutieren wir zwei hybride Neuro FuzzySysteme, an hand derer wir die Prinzipien und Probleme von Neuro FuzzyArchitekturen insbesondere im Hinblick auf den Einsatz in regelungstechnischen Anwendungen naher erlautern.

5.6.3 Madelle mit iiberwachten Lernverfahren Neuro Fuzzy-Modelle mit iiberwachten Lernverfahren versuchen die FuzzyMengen und ~ ftir ein TSK-Modell - die Parameter der Ausgabefunktionen einer gegebenen Regelbasis mit Hilfe von bekannten Ein- und Ausgabegr6Ben zu optimieren. Die iiberwachten Modelle bieten sich sornit an , wenn z.B. bereits eine Beschreibung der Strecke mit Fuzzy-Regeln vorhanden ist, die Regelbasis aber noch nicht die gewiinschte Genauigkeit erreicht. Stehen Messdaten der zu approxirnierenden Strecke zur VerfUgung (Tupel von Zustands-, Ausgangsund Stellgr6Ben) so konnen diese zum nachtrainieren der Systems verwendet werden, Dies ist sowohl fiir das normale als auch das inverse Streckenmodell moglich . Der Vorteil gegeniiber dem Einsatz eines Neuronalen Netzes liegt darin, dass das Fuzzy-Modell bereits eine Approximation der Strecke beschreibt und somit das Training meist wesentlich schneller geht und auch weniger Daten ben6tigt werden, als es beim Training eines Neuronalen Netz es der Fall ist . Dieses muss die Ubertragungsfunktion der Strecke vollstandig aus den Daten lernen. Hierbei tritt immer das Problem auf, dass der Lernvorgang in einern lokalen Minimum enden kann , oder dass in Teilbereichen, z.B . weil fur diese nicht ausreichend oder sogar gar keine Messdaten vorhanden waren , nicht das wirkliche Streckenverhalten approximiert wird . Neuro Fuzzy-Modelle mit uberwachten Lernverfahren bieten sich auch dann an , wenn ein bestehender Regier durch einen Fuzzy-Regier ersetzt werden solI, d.h. ebenfalls Messdaten des Regelverhaltens des realen Reglers verfugbar sind. Auch hier wird eine bestehende Regelbasis vorausgesetzt. Die

366

5. Einstellung und Optimierung von Fuzzy-Reglern

Lernverfahr en konnen dann genutzt werden , urn die App roximati on des ursprunglichen Reglers zu verbessern. Ist keine initial e Fuzzy-Regelbasis vorhanden , die das zu approximierende Syst em, d.h . den Regier oder die Strecke, beschreibt und kann diese auch nicht nah erungsweise manu el! aufgeste llt werd en, bietet sich die Komb inati on mit denen im vorherigen Abschnitt beschriebenen Fuzzy-Clu st erin g Verfahren oder den im letzten Abschnit t beschriebenen evolut ionaren Algorit hmen an. Diese konnen genutzt werd en urn basierend auf den Messdat en eine initiale Fuzzy-Regelbasis zu erstellen. Im Foigend en diskutieren wir als typisches Beispiel fur ein Neuro FuzzySyst em mit iiberwachte m Lernen das ANFIS-Modell. Neben diesem gibt es eine Reihe weiterer Ansatze, die jedoch auf ahnlichen Prinzipien beruh en. Ein Uberbli ck tiber weitere Modell findet sich z.E . in [21 , 110, 135]. Das ANFIS-Modell. In [72] wurd e das Neuro Fuzzy-Syst em ANF IS I (Adaptiv-Network-b ased Fuzzy Inference System) vorgeste llt, das mittlerweiIe in einer Vielzahl von Entwicklungs- bzw. Simulationswerkzeugen int egriert wurd e. Das ANFIS-M odel! basiert auf einer hyb riden Struktur , d .h. es ist sowohl als Neuronales Netz als auch als Fuzzy-System interpreti erb ar. Das Modell verwendet die Fuzzy-Regeln eines TSK -Reglers (siehe auch Abschnitt 3.2). In Abb . 5.17 ist ein Beispiel eines Modells mit den dr ei Fuzzy-Regeln

RI R2 R3

:

If X l is A l and

X2

is B I then y =

!J( Xl , X2 )

:

If X l is Al and If Xl is A 2 and

X2

is B 2 t hen Y = is B 2 then y =

h (X I , X2 )

:

X2

!3 (X I,X2)

wobei AI, A 2 , B I und B 2 linguist ische Ausdrii cke sind, die den jeweiligen Fuzzy-Mengen in den Pramissen zugeordnet sind, dargestell t. Die Funktionen Ii in den Konklu sionen sind beim ANFIS-Modell durch eine Linearkombinat ion der Eingangsgrofien definiert , d.h . im obigen Beispiel mit zwei EingangsgroBen durch (5.88) I i = P i XI + Qi x 2 + rio

flY)

Die Struktur des Modells zur Berechnun g der Regelakt ivierung ents pricht der im vorherigen Abschnitt diskutierten (Schicht 1 und 2 in Abb . 5.17). Ais t- Norm zur Auswerung der Pramisse wird hier aber das Produkt verwend et , d.h. die Neuro nen der Schicht 2 berechnen die Akti vierung iii einer Regel i durch 1

In [72] wird das im Folgenden diskutierte TSK-Regler basierte Modell genauer als t ype-3 ANFIS bezeichnet. Die Autoren verwenden den Typ hierbei urn Regelbasen mit unterschiedlichen Konklusionen zu unterscheiden. Mit t ype-l werden Modelle mit monotonen Fuzzy-Mengen in den Konklusionen und mit type2 Mamdani-Regel basierte Modelle bezeichnet. Da die Autoren nur fur typ e- 3 Modelle explizit ein Lernverfahren vorschlagen, bezeichnet man mit ANF1S im Allgemeinen das type-3 ANFIS-Modell.

5.6 Neuro Fuzzy-Regelung

367

)'

Schicht 5 Auswertung der Konklusionen

Schicht 4

Schicht 3

Schicht 2

Auswertung der Pramissen (Regelaktivierung)

Schicht I

Eingabeschicht

XI

Abb . 5. 17 . Struktur eines ANFIS Netzes mit drei Regeln ii i =

II /.l;j) (Xj).

(5.89)

j

Die Auswertung der Konkl usionen und die Berechnung eines Ausgabewertes ist im ANF IS-Modell auf die Schichte n 3 bis 5 verteilt . Schicht 3 berechnet den relati ven Anteil ii , jcder Regel an der Gesam t au sgabe basierend auf den Regelaktivi erungen iii . Die Neuro nen der Schicht 3 berechnen somit

- =

Qi

Qi

= n et i =

iit·

~.

(5.90)

L.Jj Qj

Die Neuronen der Schicht 4 berechnen ans chlieJ3end die gewichte t en Regelausgaben basi erend auf den Eingabegrof en Xk und den relativen Regelakt ivieru ngen iii der vorh erigen Schicht: (5.91)

Das Ausgab eneuron U out in Schicht 5 berechnet schlieBlich die Gesamtausgabe des Netz es bzw. des Fuzzy-Syst ems: (5.92)

368

5. Einstellung und Optimierung von Fuzzy-Reglern

Das ANFIS-Modell benotigt zum Lernen eine feste Lernaufgabe. Es mussen somit eine ausreichende Anzahl von Paaren von Ein- und Ausgabegrofen zum Trainieren vorhanden sein. Basierend auf diesen Lerndaten werden dann die Modellparameter, d .h. die Parameter der Fuzzy-Mengen und die Parameter der Ausgabefunktionen f;, bestimmt. Als Lernverfahren werden in [72] unterschiedliche Ansatze vorgeschlagen . Neben einem reinen Gradientenabstiegsverfahren analog dem Backpropagation Verfahren fur Neuronale Netze (siehe hierzu auch Abschnitt 5.6.1) werden auch Kombinationen mit Verfahren zum Losen iiberbestimmter Linearer Gleichungssystem (z.B. der Methode der kleinsten (Fehler-) Quadrate bzw. least square estimate (LSE) [24]) vorgeschlagen . Hierbei werden die Parameter der Pramissen (Fuzzy-Mengen) mit einem Gradientenabstiegsverfahren und die Parameter der Konklusionen (Linearkombination der Eingangsgrofen) mit einem LSE Verfahren bestimmt. Das Lernen erfolgt hierbei in mehreren getrennten Schritten, wobei jeweils die Parameter der Pramissen bzw. der Konklusionen als konstant angenommen werden . Im erst en Schritt werden aIle Eingabevektoren durch das Netz bis zu Schicht 3 propagiert und fur jeden Eingabevektor die Regelaktivierungen gespeichert. Basierend auf diesen Wert en wird ftir die Parameter der Funktionen j; in den Konklusionen ein uberbestimmtes Gleichungssystem aufgestellt. Seien 1\j die Parameter der Ausgabefunktionen f;, xi(k) die Eingabegrofen und y(k) die Ausgabegrofle des k-ten Ttainingspaares, sowie lii(k) die relativen Regelaktivierung so erhalt man n

y(k) = L o'i(k)Yi(k) = L o'i(k)(L rijxj(k)

+ riO) , Vi, k .

(5.93)

j =l

Mit xi(k) := [1, Xl (k), ... , xn(k )]T erhalt man somit fur eine genugend groBe Anzahl m an Trainingsdaten (m > (n + 1) . r, wobei r die Anzahl der Regeln und n die Anzahl der Eingangsgrofien ist) das uberbestimmte lineare Gleichungssystem

y=aRX.

(5.94)

Die Parameter des so aufgestellten linearen Gleichungssystems - die Parameter der Ausgabefunktionen j; in der Matrix R - lassen sich somit nach Propagation aller Trainingspaare mit einem LSE Verfahren bestimmen. AnschlieBend wird der Fehler an den Ausgabeeinheiten basierend auf den neu berechneten Ausgabefunktionen bestimmt und mittels eines Gradientabstiegsverfahren die Parameter der Fuzzy-Mengen optimiert. Die Kombination beider Verfahren ftihrt zu einer verbesserten Konvergenz, da die Losung des LSE bereits eine (im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate) optimale Losung fiir die Parameter der Ausgabefunktion bzgl. der initialen Fuzzy-Mengen liefert. Leider sieht das ANFIS-Modell fur die Optimierung der Fuzzy-Mengen in den Pramissen keine Restriktionen vor, d.h. es ist nicht sichergestellt, dass der Eingabebereich nach der Optimierung noch vollstiindig mit Fuzzy-Mengen

5.6 Neuro Fuzzy-Regelung

369

iiberdeckt ist . Somit konnen ggf. Definitionsliicken nach der Optimierung auftreten. Dies ist nach dem Lernen eines Modells unbedingt zu prufen. Ebenso konnen sich Fuzzy-Mengen unabhangig voneinander vera ndern und auch ihre Reihenfolge und somit ihre Bedeutung vert auschen . Dies sollt e insbesond ere dann beacht et werden, wenn eine initial e Regelbasis manuell aufgestellt wurd e und der RegIer anschlieBend interpreti ert werden solI. 5.6.4 Madelle mit veratarkendem Lernen Die Grundidee der Modelle mit verst arkendem Lernen (reinforcement learning) [7] besteht darin , einen RegIer moglichst ohne Kenntnis der Strecke zu bestimmen. Der Lernprozess soli dab ei mit einer minimalen Menge von Informationen tiber das Regelziel auskommen. 1m Extremfall erhalt das Lernverfahren lediglich die Inform ation ob die Strecke noch st abil ist oder der RegIer versagt hat (im Fall der Regelung eines inversen Pendels kann dies z.B. dann der Fall sein wenn das Pendel umgefallen ist oder der Wagen , der das Pendel halt , an eine Begrenzung gestoBen ist). Das Hauptproblem dieser Ansat ze besteht darin , die Bewertung der Regelakt ion geeignet aufzubereite n, so dass sie zum Lernen bzw. zur Optimierung des Reglers genutzt werden kann . Wie schon in Abschnitt 5.3 gezeigt , kann es bei der direkten Nutzung eines Fehlersignals zur Optimi erung sogar im Extremfall zu einer Divergenz des Lernvorgangs kommen. Dies licgt an dem prin zipiellen Problem, dass der akt uelle Zust and der Strecke nicht nur von der let zten Regelungsaktion , sondern von allen vorhergehenden Zustand en beeinfiuBt ist. Wir konnen im Allgemcinen somit auch nicht davon ausgeh en, dass die letzte Regelaktion den grosste n Einfiuss auf den akt uellen Systernzust and hat. Dieses Problem wird auch als credit assignment problem bezeichnet [7], d.h . das Problem einer Regelaktion die (langfristige) Auswirkung auf die Strecke zuzuordnen. Mittlerweile wurden im Bereich des verst arkenden Lernens eine Vielzahl von Modellen vorgeschlagen. Aile Modelle basieren im wesentlichen auf dem Prinzip das Lernproblem auf zwei Syst eme aufzut eilen: Ein Bewertungssystern (Kritiker) und ein System, dass eine Beschreibung der Regelungsstrategie speichcrt und diese auf die Str ecke anwendet (Akto r) . Die Aufgab e des Bewertungssystems ist es, den akt uellen Zustand unt er Beriicksichtigung der vorherigen Zust and e und Regelaktionen zu beurteilen und basierend auf diesen Information en die Ausgabe des Aktors zu bewerten und dessen Regelungsstrat egie ggf. zu adapt ieren. Eine Int egration eines solchen Ansatzes in einen Regelkreis kann Abb . 5.18 ent nommen werden. Die bisher vorgeschlagenen Verfahr en die Prinzipien des verst arkenden Lernens verwenden basieren meist auf einer Kopplung mit Neuronalen Netzen (siehe z.B. [6, 77]). Als sehr erfolgversprechend hab en sich dabci Verfahren erwiesen, die Meth oden der dynamischen Programmierung [8, 13, 14] verwenden , urn eine optimale Regelstrat egie zu bestimmen. Eine ausfiihrliche Diskussion dieser T hemat ik kann z.B. in [159] gefunden werden.

370

5. Einstellung und Optimierung von Fuzzy-Reglern

w

Abb. 5.18. Regleradaption mittels eines Kritikers: Basierend auf der Regelabweichung (links) und als Zustandsrcglcr (rechts) 1m Bereich der Neuro Fuzzy-Syst erne gibt es mittlerweile ebenfalls eine Vielzahl von Ansat zen, die allerdings bis heute leider nicht die Cu te der Syst eme, die basierend auf Neuronalen Netzen entwickelt wurd en, erreicht haben. Beispiele solche Ansat ze sind GARIC [9], FY NESSE [1 61] und das NEF CON-Modell [1 33, 142], das wir im Folgenden kurz vorstellen werden. Das NEFCON-Modell. Das Haup t ziel des NEF CON-Modells (NEeura l Fuzzy CONntro ller) ist es online mit einer moglichst geringen Anzahl von Trainingszyklen eine geeignete und interpr etierbare Regelbasis zu ermitte ln. Weit erhin soll es moglich sein, rnoglichst einfach Vorwissen in den Traningprozess einzubeziehen urn den Lernvorgang zu beschleunigen. Dieses unterscheidet es von den meisten reinforcement learni ng Ansat zen, die versuchen einen moglichst optimalen Regier zu erzeugen und hierfur auch sehr lange Lern phasen in Kauf nehm en. Des Weiteren sind im NEF CON-Modell auch heurist ische Ansatze zum Erlernen einer Regelbasis vorgesehen, wodurch es sich von den meisten anderen Neuro Fuzzy-Systemen unterscheidet , die im Allgemeinen nur zur Optim ierun g einer Regelbasis eingesetzt werden konnen. Das NEFC ON-Modell ist ein hybrides Modell eines Neuronalen FuzzyReglers. Ausgehend von der Definition eines Mamd ani-Reglers, erhalt man die Netzst ruktur , wenn man - analog der Beschreibung in Abschnitt 5.6.2 die Fuzzy-Mengen als Gewichte und die Mess- und Stellgroben sowie die Regeln als Vera rbeitungseinheiten interpretiert . Das Netz hat dann die Strukt ur eines Multilayer-Perzeptrons lind kann als dreischichtiges Fuzzy-Perzept ron [137] interp retiert werden. Das Fuzzy-Perzept ron entsteht hierb ei aus einem Perzeptron (siehe Abb . 5.13), durch Modellierung der Gewichte, der Netzeingabe und der Aktivi erung der Ausgab eeinheit als Fuzzy-Mengen. Ein Beispiel fur einen Fuzzy-Regler mit 5 Regeleinheit en, 2 Messgrofen und einer StellgroBe ist in Abb. 5.19 gegeben. Die inneren Einheiten R I , . .. , R 5 repr asentieren hierb ei die Regeln, die Einheiten X l , X 2 und y die MeB- bzw. Stellgrofien und Jl~i) und u; die FuzzyMengen fur die Pramissen bzw. Konklusionen. Die Verbindungen mit gemeinsamen Gewicht en kennzeichnen gleiche Fuzzy-Mengen. Bei einer Vera nderung dieser Gewicht e miissen somit alle Verb indungen mit diesem Gewicht angepasst werden, urn sicherzust ellen, dass gleiche Fuzzy-Mengen weiterhin durch gleiche Gewichte repr asent iert werden. Somit laBt sich die dur ch die Netz-

5.6 Neuro Fuzzy-Regelung

371

Abb. 5.19. Ein NEFCON System mit 2 Eingangsgrossen und 5 Regeln

struktur definierte Regelbasis aueh in Form der in Tabelle 5.1 aufgelistete n Fuzzy-Regeln formuli eren . Ri : if Xl R2 : if Xl R 3: if Xl R 4 : if X l R 5 : if Xl

is A il ) is Ail ) is A~l ) is A ~l ) is A~l )

and and and and and

X2 X2 X2 X2 X2

is A i 2) is A~2) is A~2 ) is A~2) is A~2 )

then then then then then

y y y y y

is B, is B , is B2 is B 3 is B3

Tabelle 5.1. Die Regelbasis des in Abb. 5.19 gezeigten NEFCON-Systems

Das Lern verfah ren des NEFCON-Modells laBt sieh im Wesentliehen in zwei voneinander unabhangige Phasen aufteilen. In der ersten Phase wird eine Regelbasis fur das dynamisehe Syst em erlernt, oder - falls a priori Wissen vorhanden ist - manuell aufgest ellt. Diese Regelbasis wird im Allgemeinen das System noeh nieht au sreiehend genau steuern und somit ist eine Optimierung der Fuzzy-Mengen notwendig. Diese Anpassung erfolgt in der zweiten Phase dureh den eigentliehen NEFCON-Lernalgorithrnus. Beide Phasen erfordern die Definition eines Syst ern-Fehlers zur Bestimmung bzw. Anpassung der Kontrollregeln. Der System-Fehler ub ernimmt hierb ei die Aufgab e eines Kritikers, der den aktuellen Systemzustand bewertet .

372

5. Einstellung und Optimierung von Fuzzy-Reglern

Neben dem Fehler e muf weiterhin bekannt sein, ob die optimale Stellgrofe Yopt fur einen gegebenen Zust and positi v oder negativ ist . Zusammen ergibt sich somit der erweite rte Fehler E E [-1 ,1]:

mit der Eing ab e (Xl, ...,X n ) . Einige Moglichkeiten zur Beschreibung des Syst em-Fehlers werden am Ende dieses Abschnittes beschrieb en. Lernen einer Regelbasis. Falls fur das zu ste uern de Syst em noch keine ausreichende Regelbasis exist iert, bzw. aufgeste llt werd en kann , muss sie durch ein geeignetes Regellernverfahren erzeugt werd en. Die im Folgend en vorgest ellten Algorithmen zum Erl ern en einer Regelbasis kommen ohn e eine vorgegebene fest e Lern aufgabe aus, sondern versuchen basierend auf dem Syst em-Fehler eine geeignete Regelbasis zu bestimmen (siehe auch [142]) . Beide Verfah ren set zen geeignete Fuzzy-Partitionierung der Mess- und Stellgrofienb ereiche vorraus (siehe hierzu auch die Diskussionen in Abschnitt 3.4.2). Ein Eliminationsverfahren zum Lernen einer Regelbasis Das Eliminationsverfahren beginnt mit einer vollst andigen iiberbestimmten Regelbasis, d.h. die Regelbasis besteht aus allen Regeln die durch Kombination der FuzzyMengen in den initialen Fuzzy-Partitionierungen der Mess- und Stellgrofen aufgeste llt werd en konn en , Der Lernvorgan g t eilt sich im Wesentlichen in zwei Phasen auf. In der erste n Phase werd en die Regeleinh eit en entfernt, deren Ausgab en ein unterschiedliches Vorzeichen zur optimalen Stellgr6Be aufweisen. In der zweiten Phase wird bei allen Regeln basierend auf ihrem Anteil an der Regelausgabe (Regelaktiv ierung) die Fehler tiber mehrere Regelungszyklen akkumuliert. Aus den Mengen von Regeln mit ident ischen Pramissen wird bei jeder Stellgrofenberechnung jeweils eine Regel zufallig ausgewahlt. Nach einer festgelegt en Anzahl von Zyklen werden aus den verbli ebenen Mengen der Regeln mit gleichen Pramissen jeweils die Regeln ausgewahlt, die in mehreren Regelun gszyklen den geringste n Fehler akkumuliert hab en. Die restlichen Regeln und solche Regeln, die sehr selte n oder ub erh aupt nicht akt iv waren, werd en eliminiert . Ein Nachteil des Eliminati onsverfahrens ist , dass es mit einer sehr grossen Regelbasis beginnt und somit bei Syst emen mit vielen Messwerten oder sehr vielen Fuzzy-Mengen zur Beschreibung der Mess- und Stellgrofien sehr speicherplatz- und rechenze itaufwendig ist . Dieses Problem versucht man mit einem inkrement ellen Lernverfahren zu losen . Inkrementelles Lernen der Regelbasis. Dieses Verfahren beginnt mit einer leeren Regelbasis und versucht ~ ausgehend von einer vorgegebenen Fuzzy-Partitio nierung der der Mess- und Stellgrofen - eine Regelbasis iterativ zu konstruieren . Dieses Lernverfahren best eht au s zwei Phasen. In der erst en Phase werd en die Messwerte mit Hilfe der vorha ndenen P artitionierung

5.6 Neuro Fuzzy-Regelung

373

klassifiziert , d.h . fiir jeden Messwert wird die Fuzzy-Menge mit dem hochsten Zugehorigkeitsgrad ausgewahlt. Die zugehOrige Stellgrofen wird mittels einer Heuristik direkt aus dem Fehler bestimmt und anschlieBend analog den Messwerten klassifiziert . Die so gefundene Regel wird in die Regelbasis aufgenommen. Dab ei geht man davon aus, dass Messwert tupel mit ahnlich en Fehlerwerten auch ahnliche Stellgrofen erfordern . In der zweite n Phase wird versucht, die Regelkonklusion en zu optimieren in dem die gelernte Regelbasis auf die Str ecke angewendet und basierend auf den so ermittelt Fehlerwerten die Fuzzy-Mengen in den Konklu sionen ggf. getauscht werden. Die verwendete Heuristik bildet den erweit erten Fehler E lediglich linear auf das Int ervall der Stellgrofie ab o Es wird dab ei von einer direkt en Abhangigkeit zwischen dem Fehler und der St ellgrofe ausgegangen. Dies ist insbesondere fur Strecken probl ematisch, die einen Int egralanteil zur Regelung benotigen, d .h. die eine Stellgrofe ungleich Null benotigen urn da s Regelziel zu erreichen bzw. zu halt en. Diese Heuristik setzt ebenfalls voraus, dass der Fehler nicht nur aus der Regelabweichung bestimmt wird , sondern dass versucht wird , auch die folgenden Zustande der Str ecke zu beriicksicht igen (siehe hierzu die Diskussion im Abschnitt iiber die Bestimmung des Syst emfehlers sowie die Betrachtungen in Abschnitt 5.3). Das inkr ement elle Lernverfahren errnoglicht es sehr gut, Vorwissen in die Regelbasis einfliel3en zu lassen. Fehlend e Regeln werden dann dur ch das Verfah ren hinzug efUgt. Beide vorgestellten Heuristiken konnen aufgrund der bereits diskutierten Probleme jedoch nicht fur aile Strecken eine sinnvolle Regelbasis liefern. Die mit den oben vorgestellten Verfahren gelernten Regelbasen sollten zumindest dann, wenn das im Foigenden disku tiert e Optimierungsverfahren keine zufriendenst ellende Losung erzielen kann - noch einmal manuell auf ihre Konsist enz gepriift werden. In jedem Fall sollte die Moglichkeit zur Einbeziehung von Vorwissen genutzt werden, d.h. bekannte Regeln solit en vor dem Lernen in die Regelbasis aufgenommen werden . Die Regellernverfahren sollten die manuell definierten Regeln anschlieBend nicht mehr verandern . Optimierung einer Regelbasis. Der NEFCON-Lernalgorithmus zum Optimi eren einer Regelbasis basiert auf dem Prinzip des BackpropagationAlgorithmus ftir das mehr schichtige Perzeptron. Der Fehler wird , beginnend bei der Ausgabe einheit , riickwart s dur ch das Netzwerk propagiert und lokal zur Adaption der Fuzzy-Mengen genutzt. Das Optimieren der Regelbasis erfolgt dur ch Veranderung der FuzzyMengen in den Pramissen und Konklu sionen. Die Fuzzy-Mengen einer Regel werden in Abh angigkeit von ihrem Beitrag zu einer Regelaktion und dem daraus resultierenden Fehler entweder 'belohnt' oder 'bestra ft'. Es wird somit das Prinzip des verstarkenden Lernens verwendet . Eine 'Belohnung' oder 'Best rafung' kann hierb ei durch Verschieben oder Verkleinern /Vergrofiern des Triigers der Fuzzy-Mengen erfolgen. Diese Anpas sungen werden iterativ vorgenommen, d.h. der Regier wird wahrend des Lernvorgangs zur Regelung der

374

5. Einstellung und Optimierung von Fuzzy-Reglern

Str ecke eingesetzt und nach jeder Regelaktion erfolgt eine Beur teilung des neuen Zustandes und eine inkr ementelle Adaption des Reglers. Das prinzipielle Problem dieses Ansatz es besteht darin , dass die Bestimmung des System-Fehlers sehr sorgfiilt ig durchgefUhrt werden muss, urn die zu Beginn dieses Abschnittes diskut ierte n Probleme der Bewertung einer Regelakt ion zu vermeiden. Dies kann in vielen Fall en sehr aufwendig oder sagar unmo glich sein. Denno ch konnen die vorgeschlagenen Verfahrcn bei einfachen Strecken eingeset zt werden und auch bei komplcxeren Strecken bei der Entwicklung eines Fuzzy-Reglers durchaus hilfreich sein. Zu beachten ist , dass der so ermittelt Regier sehr sorgfaltig auf seine Stabilitat hin untersucht werden sollte . Bestimmung eines Systemfehlers. Der System-Fehler iibemimmt im NEFCON-Modell die Aufgab e des Kritikers, d.h. er ist unmittelbar fur den Erfolg odcr Misserfolg des Lernvorgangs verantwortlich. Eine gute Definition des System-Fehlers ist fur die vorgeschlagenen Lernverfahren somit eine unabdingbare Voraussetzung. Im Prinzip ergeben sich fur die Definition des System-Fehlers eine Vielzahl von Moglichkeiten, die auch die Verwendung von Streckenmodellen mit einschlieBt Ist ein solches (inverses) Modell vorhanden kann es genut zt werden , urn die Regelaktion des Fuzzy-Reglers Zll bewerten. (siehe hierzu die Diskussionen zur Modellbasierten Regelung in Abschnitt 5.4). Dieser Ansatz ste llt sozusagen den 'perfckte n' Kritiker dar. Ziel der verst arkenden Lernverfahren ist es aber, moglichst auch unb ekannte Systeme regeln zu konnen und somit ohne ein Modell der Strecke a usz ukommen , Fur das NEFC ON-Modell wurd en deshalb Ansatze vorgeschlagen, die mit moglichst wenig Inforrna tion en iiber die Strecke auskommen sollen. Ein sehr einfacher Ansatz zur Beurteilung der Giit e eines Systemzust and s besteht darin ftir 'gute' Zustand e im wesentlichen zwei Faile zu unterscheiden: • Die Messwerte entsprechen in etwa den optimalen bzw. den gewiinschte n Werten. • Die Messwert e weichen vom Optimum ab , streben aber dem optimalen Zustand entgegen (kompensatorische Situation). Diese Zust ande erhalten die Giit e G = 1. 'Schlechte ' Zust and e (z.B. groBe Abweichung von den optimalen Wert en und Tendenz zur Vergroferung der Abweichung vom Optimum) werden mit G = 0 bewert et. Basierend auf der Giite G E [0,1] des aktuellen Systemzust ands lasst sich dann unm ittelbar der System-Fehler E bestimmen:

Diescr sehr einfache Ansatz kann jedoch - ana log dem Beispiel in Abschnitt 5.3 - dazu fiihren , dass die Ste llgrofe bei einem leicht schwingenden System

5.7 Fuzzy-Regier und evolutionare Algorithmen

375

mit dem Ziel des Gegensteuerns immer weiter vergrofert und das Schwingen somit verst arkt wird. Bei dem Entwurf der Giit efunktion muss deshalb versucht werd en, auch solche Zustand sand erung en, die durch zu starke Regelaktionen verur sacht wurden, geeignet zu beurteilen. In [135] wurd e deshalb ein alternat iver Ansat z vorgeschlagen , bei dem man versucht , den Syst em-Fehler direkt mit Fuzzy-Regeln zu beschr eiben . Dies hat den Vorteil, dass man bei Verwendung von Zust andgrofen der Strecke mit der Fehlerbeschreibung implizit eine Regelungsstrategie vorschlagen kann, die vom Regier dann zur Optimierung genutzt wird. Die Aufstellung einer Regelbasis set zt natiirlich ein Verst andis fur die Strecke voraus und ist fur komplexe Systeme meist zu aufwandig. Wie in [135] am Beispiel des inversen Pend els gezeigt, kann dieser Ansat z jedo ch dur chaus erfolgreich zum Lernen eines Fuzzy-Reglers eingesetzt werden. 5.6.5 Diskussion Wir wir in diesem Abschnitt gezeigt hab en, konnen Neuro Fuzzy-Syst eme genut zt werden, urn einen Fuzzy-Hegler oder das Fuzzy-Modell einer Str ecke mit Hilfe von Messdaten zu optimieren. Insbesondere die Verfahren die auf tiberwachten Lernverfahren basieren konnen hierftir auch bei komplexen Stre cken eingesetz t werden. Die bisher entwickelten Neuro Fuzzy-Systeme, die auf verstarkenden Lernverfahren beruhen , konnen (bisher) leider nur zum Lernen von Reglern fur sehr einfache Stre cken erfolgreich genutzt werden. Allerdings ist zu erwar t en , dass auch hier in naherer Zukunft Verfahren vorgeschlagen werden, die - analog den Modellen, die basierend auf Neuronalen Netze entwickelt wurd en erfolgreich zum Lernen von Regelungsstrat egien eingeset zt werden konnen.

5.7 Fuzzy-Regler und evolutionare Algorithmen Unt er dem Begriff evolut ionare Algorithmen werden Optimierungsstrat egien zusammengefasst , die sich am Vorbild der biologischen Evolution orientieren. Evolutionar e Algorithmen versuchen dur ch die Anwendung einiger Grundprin zipien natiirlicher Evolution spro zesse auf eine Population von Losungsalt ern ativen schrittweise tiber mehrerer Generationen bessere Losungen zu £Inden . Hierzu ist es notwendig sowohl die Zielfunktion , die das (Optimierungs-) Problem definiert als auch notwendige Bewertungskriterien geeignet zu kodieren. Die den evolut ionare n Algorithmen zugrunde liegenden Grundprinzipien und Moglichkeiten der Problemkodierung werden im Folgenden nah er beschrieben . Um eine vorgegebene Zielfunktion zu optimieren , d.h. die freien P aram eter der Zielfunktion so zu wahlen , dass sie einen moglichst kleinen (Minimierung) oder moglichst groBen (Maxirnierung) Wert annimmt, wird zunachst eine Popul ation von zufalligen Losungen (Chrom osomen ) crzeugt . Dicse Familic von

376

5. Einstellung und Optimierung von Fuzzy-Reglern

zufalligen Anfangslo sungen wird im Allgemeinen noch sehr weit von einem Optimum der Zielfunktion ent fernt sein. Aus dieser Anfangspopulation werden neue Losungen durch die Anwendung genetischer Op eratoren bestimmt . Die wichtigst en genetischen Op eratoren sind Mut ation und Crossover. Bei der Mutation werden zufallige, nach Moglichkeit kleine Anderu ngen an den Param et ern (Genen) eines Indi viduums (einer Losung innerhalb einer Population) vorgenommen. Beim Crossover werden die Par am et ersiit ze zweier Individuen vermis cht . Man lasst dann einen Teil dieser erweite rte n Populati on ausste rbe n, so dass man wieder eine Population in derselben GroBe wie die Anfangspopulation erhalt . Mit dieser neuen Generation und den Folgegenerationen fahrt man wie mit der Anfang spopul ation fort . Das Ausst erb en wird tiber die Selektion gesteuert , bei der Individuen mit einer hoher en Fitness eine grofere Uberlebens- oder Vermehrungschance erhalte n. Die Fitness eines Individuums ist umso grofer, je besser es die Zielfunktion opt imiert . Diesen Auswahl vorgang nennt man Selektion. Beend et wird dieser Evolut ionsprozess wenn eine genii gend gute Losun g gefunden wur de oder sich tiber mehrere Generationen keine bessere als die bisher gefundene best e Losung ergeb en hat . Es gibt eine Reihe von evolut iona ren Algorithmen , die auf diesen Grundprin zipien basieren [5, 51, 119, 139]. Fur die Zwecke der Fuzzy-Regelun g werden wir uns an dieser Stelle auf die elementaren Grundlagen der zwei Hauptrichtungen evolut iona re Algorithmen , die Evolutionsstrategien und die genetischen , Algorithmen konzentrieren o 5.7.1 Evolutionsstrategien

Evolutionsstrategien eignen sich fiir die Optimierung von Zielfunk t ionen mit reellwerti gen Param et ern. Ein e potenzielle Losung des Op t imierungsproblems, d.h. ein Individuum innerh alb einer Population, wird als reeller Vekto r fest er Dimension definiert. Will man beispielsweise gemessene Daten {(Xi,Yi, Zi) I i = 1, . . . , n } durch eine Ebe ne f( z) = a+ bx+cy anna her n, die die Summe der absolute n Fehler in z-Richt ung minimi ert, wtird e man als Zielfunktion n

Z(a ,b, c) = L la+b , xi + C'Yi - Zil i=l

verwend en. Ein Individuum, d .h. eine mogliche Losun g, best eht aus einem dr eidimensionalen Vektor (a, b, c). Die Populationsgrofe - die Anzahl der Individuen in einer Generation - wird bei den Evolutionsst rat egien tiblicherweise mit J.1 bezeichnet (wobei dami t hier keine Fuzzy-Menge gemeint ist!) . Aus einer Anfan gspopulation von J.1 zufiilligen Losun gen (al , bl , ci ), . .. , (aJL , bJL , c,J werden durch Mutation v Nachkommen erzeugt . Die Mutat ion erfolgt , indem auf eine Losun g (aj , bj , Cj) drei unabhiingige norm alverteilte Zufallswerte Cl, C2, C3 jeweils mit Erwartungs wert Null und festegelgt er kleiner Varian z addiert werden , so dass

5.7 Fuzzy-Hegler und evolutionare Algorithmen

377

man als Nachkomme (a j + 10 1, bj + 102, Cj + 103) erhalt. Insgesamt werden so von jeder Population 1/ Nachkommen erzeugt . Die Selekt ion erfolgt bei den Evolutionsst ra tegien nach dem Elit eprinzip, bei dem die J.1 besten Individuen in die Folgegeneration iibernomm en werden. I-lierbei werd en zwei unterschiedliche Vorgehensweisen unterschieden: • Es werden die J.1 besten Individuen aus den J.1 + 1/ Eltern und Kind ern ausgewiihlt. In diesem Fall spricht man von einer (J.1 + l/)-Strategie oder einfach Plus-Strategie. • Die J.1 Nachfolger werden nur aus den 1/ Kind ern gewiihlt . Diesen Ansat z bezeichnet man als (J.1 , 1/ )-St rategie oder einfach als Komma-Strategie. Der Vorteil der Plus-Strategie besteht darin , dass sich die beste Losung in einer Population niemals verschlechtern kann . Dafur neigt eine Plus-Strat egie eher dazu , in einem lokalen Optimum st ecken zu bleibcn. Komm a-Strategien konnen sich einfacher aus einem lokalen Minimum befreien, allerdings kann sich auch eine Verschlechteru ng von einer Generation auf die nachste ergeben. Bci der Verwendung einer Komma-S trat egie sollte in jedem Fall die bisher best e gefundene Losun g gesondert gespeichert werden. Auch wenn diese einfache Form der Evolut ionsstrategie haufig schon recht zufriedenste llende Losungen liefert , empfiehlt sich eine Schrittweitenada ption. Das bedeutet , dass der Parametervektor jedes Indi viduums noch urn eine weit erc Komponente ergiinzt wird. Die zusatz liche Komponente gibt die Varianz der Normalverteilung bei der Mut at ion an. Fuhren Mutationen haufig zu Verbesserungen, so kan n die Schrit tweite, d.h. die Varianz, vergrofert werden. Sind die Nachkommen fast aile schlechter als die Eltern , so sollte die Schrittweite verkleinert werden , Eine Faustregel besagt hier , dass die Schrittweit e (Varianz) gut gewiihlt ist , wenn etwa ein Funftel der Nachkommen erfolgreich sind. Bei einer grofieren Anzahl erfolgreicher Nachkommen kann die Schrittweitc erhoht , bei weniger als ein Flinft el erfolgreichen Mutationen verringert werden. 5.7.2 Genetische Algorithmen

1m Gegensatz zu den Evoluti onsstratcgicn vcrwenden die genetischen Algorithmen in der ursprlinglichen Form eine rein biniire Kodierung, in etwas allgemeinerer Form eine beliebige diskret e Kodierung der Losun g. Anstelle der reellen Paramct ervcktoren der Evolutionsstrategicn arbcitcn gcnetischc AIgorit hmen mit biniiren Vektoren oder Vektoren , deren Komp onenten jeweils nur endlich viele Wert e annchmen konnen, Ein typisches P roblem war e beispielsweise die Verteilung einer Anzahl von Fertigungsauftragen. Dies konnten zum Beispiel Kopien in verschiedenen Stuckzahlen sein, die auf zwei verschiedenen Produk tionsmaschinen erste llt werden sollen, so dass die Zcit zur Erledigung aller Auft rage moglichst kur z ist. Sollen n Auftrage bear beitet werden , wiirde man einen binaren Vekt or mit n Komponent en verwenden. Eine Eins an der

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5. Einstellung und Optimierung von Fuzzy-Reglern

i-te n Stelle wiirde bedeuten , dass del' i-t e Auf trag auf del' Maschine Eins bearb eitet wird, bei einer Null wiirde er auf del' anderen Maschine produziert werden. Mutation werden bei genet ischen Algorithmen mit einer sehr kleinen Wahrscheinlichkeit fur jede Variable dur chgefUhrt. Bei einer binaren Kodi erung wird im Faile einer Mutation eine Eins in eine Null umgewand elt und umgekehrt. Kann eine Variable mehr als nur zwei Werte annehmen, so wird del' mutiert e Wert oft nach einer Gleichvert eilung tiber aIle moglichen Werte zufallig ausgewahlt. Cfinstiger ist es in diesem Fall jedoch - sofern die Problemstellung dies errnoglicht - nur Mut ationen zu ahnlichen oder benachbarte n Werten zuzulassen. Eine wesentliche Rolle spielt bei den genet ischen Algorithmen das Crossover. Dab ei werden zufallig zwei Individuen (Chromos omen) aus einer Population ausgewahlt und zufallig ein Kreuzu ngspun kt ftir die beiden Paramet ervektoren bestimmt . An den Teil VOl' dem Kreuzungspunkt des ersten Chromosoms wird del' Teil nach dem Kreuzungspunkt des zweiten Chromosoms angehangt und umgekehr t . Auf diese Weise erha lt man zwei neue Individuen. Soli zum Beispiel Crossover nach del' vierten St elle auf die beiden Chromosomen 110011101 und 000010101 angewendet werden , so erhalt man als Er gebn is die beiden Chrornosomen 110010101 und 000011101. Das Crossover soli dazu dienen, zwei Losungen zu einer insgesamt verb esserten Losun g zu vereinigen , wenn die eine Losung fur die ersten Par ameter eine recht gute Konfiguration gefunden hat und die andere Losung fur die hinteren Paramet er eine gute Kombin ation liefert . Diesel' Effekt kann nur auft rete n, wenn die einzelnen Paramet er nicht zu stark voneina nder abhangen. Ansonst en ents pricht Crossover eher einer massiven Mut ation. Del' hier beschriebene Crossover-Op erator wird auch One-Point- Crossover genannt , da die Chrornosomen an einer Stelle gekreuzt werden. Giinst iger ist meist ens das TwoPoin t-Crossover , bei dem zwei Kreuzungspunkte ausgewahlt werden und del' Abschnit t zwischen diesen beiden Punkten ausgetauscht wird . Die Selektion involviert bei den genet ischen Algorithmen immer einen Zufallsmechanismus im Gegensatz zu del' reinen Bestenauswahl bei den Evolutionsstrategien. In del' urspriinglichen Version del' genet ischen Algorithmen wird die Roulettradselektion angewendet . Dab ei erha lt jedes Chromosorn eine individuelle Selektionswahrscheinlichkeit, die propo rt ional zu seiner Fitness gewahlt wird. Es gibt zahl reiche Variante n dieses Selektion sverfahrens. Ublicherweise wird zumindest das beste Chromosom in die nachste Generat ion iibernommen, auch wenn es tro tz seiner grofite n Selektionswahrscheinlichkeit zufallig nicht iiberlebt hatte. Die sich aus den oben beschriebenen Operator en ergebende Grundstruktur genet ischer Algorithmen ist in Abb . 5.20 dargestellt . Prinzipiell lassen sich genetische Algorithrnen immer auf eine binare Kodierung redu zieren. Endli ch viele Wert e konnen dur ch eine geeignete Anzahl von Bits dargestellt werden , was lediglich zu Iangeren Chromosomen

5.7 Fuzzy-Regier und evolutionare Algorithmen

379

begin t:=O ; initialize(P(t)) ; II Bestimme Anfangspopulation evaluate(P(t»); II Bewerte die Population while (not Abbruchkriterium(P(t),t)) do t:=t+l; select pet) from pet-i); crossover(P(t»; mutate(P(t» ; evaluate(P(t»); end; end; Abb. 5.20. Grundstruktur genetischer Algorithmen

fiihrt. Allerdings kann dadureh ein zusatzlicher unerwiinsehter Mutationseffekt beim Crossover auft rete n. Wird eine Variable, die aeht Werte annehmen kann , dureh dr ei Bit kodiert, so kann Crossover nun aueh innerhalb dieser Variabl en st att finden, so dass naeh der Kreuzung die Kodierung der Variablen mehr oder weniger zufallig ist. Neben der eigentliehen P aramet erkombination wird dadureh beim Crossover auBerdem ein Variablenwert geandert. Genetisehe Algorithmen lassen sich aueh auf Probleme mit reellwertigen Paramet ervektoren anwenden. Man verwend et dazu fur jeden reellen Par ameter cine geniigend groBe Anzahl von Bits , so dass sich die reelle Zahl mit der gewiinschte n Genauigkeit darstellen lasst. Dies unterseheidet die Genetisehe Algorithmen zun achst nieht von den Evolutionsstrategien, da aueh dort die reellen Parameter im Reehner lediglieh binar reprasentiert werden . Allerdings gewinnt die Mutation eine v6l1ig andere Bedeutung. Wird ein hoherwertiges Bit mutiert , andert sich der kodierte reelle Wert extrern, wahrcnd eine Veranderung eines niederwertigen Bits eher der Mutation in kleinen Schritten im Sinne der Evolutionsst rategien ents prieht. In diesem Sinne empfiehlt es sich, untersehiedliche Mut ationswahrscheinlichkeiten fur die einzelnen Bits vorzug eben . Hoherwer tige Bits soliten im Gegensa tz zu den niederwertigen Bits eine sehr geringe Mutationswahrseheinliehk eit erhalte n. 5.7.3 Evolutlonare Algorithmen zur Optimierung von Fuzzy-Reglern

Soli ein Fuzzy-Regier mit Hilfe evolut ionarer Algorithmen automati seh erst ellt werd en, so muss zunachst die vom evolutio naren Algorithmus zu optimi erend e Zielfunktion festgelegt werd en. Liegen Messdaten eines Reglers vor - dies konnen z.B. Messdaten die dureh Beobaehtung eines mensch lichen Bedieners gewonnen wurden sein - , so sollte der Fuzzy-Hegler die so definierte Regelfunktion moglichst gut annahern. Als zu minimi erend e Fehlerfunktion bieten sieh die mittlere quadr atisehe oder absolute Abweichung sowie die maximale Abweiehung der Reglerfunktion von den Messdaten all. Wenn die Messdaten von versehiedenen Personen st amrnen, kann eine Ap-

380

5. Einstellung und Optimierung von Fuzzy-Reglern

proximation zu einem sehr schlechten Gesamtverh alten des Reglers fuhre n, Wenn die einzelnen Personen jeweils durchau s erfolgreiche, aber unterschiedliche Regelun gsst rategien verfolgen , und der RegIer gezwungen wird , die Date n moglichst gut anzuna hern, wird sich an jeder Stelle eine Mittelung der Einzelstrategien ergeben, die als Gesamtst rat egie im schlimmsten Fall tiberhaupt nicht funk tioniert . Sollen beispielsweise Hinderni sse umfah ren werden, und in den Dat en wurde in jeweils der Halft e der Falle links und rechts ausgewichen , ergibt die Mit telun g weiter gerade aus auf das Hind erni s zuzufahren. Die verwendete n Daten sind soweit rnoglich immer auf ihre Konsistenz hin zu ub erpriifen. St eht ein Simulationsmod ell der zu regelnd en Strecke zur VerfUgung, so lassen sich divers e sinnvolle Giitekri terien definieren , z.B, die Zeit oder die En ergie, die der Regier brau cht , urn den Prozess aus verschiedenen Anfan gszustanden auf den Sollwert zu bringen, eine Bewertung des Uberschwingverhaltens etc. Verwend en die evolut ionaren Algorithmen ein Simulati onsmodell mit einer derartigen Zielfunk tion, ist es im Allgemeinen giinst iger , die Zielfunktion lan gsam zu verschar fen. In einer zufalligen Anfangsp opul ation wird wah rscheinlich ub erh aupt kein Ind ividuum (Regier) in der Lage sein , den P rozess sehr nah e an den Arbeitspunkt zu bringen. Man konn te daher zunachst als Zielfunkti on die Zeit nehm en , die der Regier den P rozess in einer sehr groBziigigen Umgebung das Arb eitspunkt es halten kann [59]. Mit zunehmender Generatio nsza hl wird die Zielfunk t ion imm er weite r verscharft , bis sie schlieBlich die eigent lich gewiinschte n Kriterien ent halt . Die Paramet er eines Fuzzy-Reglers, die mit einem evolut ionaren Algorithmus erlernt werden konnen, te ilen sich in dr ei Gruppen auf, die im Folgenden nah er beschrieben werd en. Die Regelbasis. Wir gehen hierb ei zunachst davon aus, dass die FuzzyMengen fest vorgegeben sind oder auch gleichzeitig mit einem anderen Verfahren optimiert werden. Hat der Regier zum Beispiel zwei Ein gangsgroflen, fur die n l bzw. n 2 Fuzzy-Mengen definiert sind, so kann fiir jede der moglichen nl . n2 Kombinationen eine Ausgab e definiert werd en . Bei einern Mamd an iRegier mit n o Fuzzy-Mengen fur die Ausgangsgrolle wiird e sich dah er ein Chromosom mit n l . n2 Param etern (Genen) anbiete n, wobei jedes dieser Gene einen von no Werten annehmen kann. Die fur den genetischen Algorithmus erforderliche Kod ierung der Regeltab elle als linearer Vektor mit nl . n 2 Komponent en kann jedoch beim Crossover zu P roblemen ftihren. Das Crossover sollte bei einem genet ischen Algorith mus daftir sorgen, dass zwei Losun gen , die jeweils einen anderen Teil der Parameter bereits gut opt imier t hab en , zu einer besseren Gesamt16sun g verschmolzen werden. Bei der Op timi erung einer Regelbasis eines Fuzzy-Reglers liegen die giinstigen Vora ussetzungen vor, dass die Par am eter eine gewisse Una bha ngigkeit aufweisen. Zwar wirken benachbarte Regeln auf ub erlappend e Bereiche, aber nicht-benachbart e Regeln int eragieren nicht . Wenn zwei Fuzzy-Regier vorliegen , die jeweils in einem anderen Teil der Regelt abelle giinstige Eint rag e

5.7 Fuzzy-RegIer und evolutionare Algorithmen

381

fur die Ausgab en del' Regeln gefunden hab en , ergibt sich aus dem Zusammensetz en del' beiden Teiltabellen ein insgesam t besserer Regier. Ein Bereich entspricht in einer Tabelle allerd ings nicht einem linearen Teilstuck, sondern eher einem rechtec kigen oder quadratischen Ausschnitt . Ein genet ischer Algorithmus in Reinform wtird e beim Crossover nur lineare Teilst ucke austauschen. Bier ist es dah er vorteilhaft , wenn man bei del' Tabellen-forrnigen Kodieriu ng bleibt und einen modifizier ten Crossover-Ope rator einfiihrt , del' Teilt ab ellen austauscht [86]. Wir hab en hier zwar nur den Fall von zwei Ein gangsgr6Ben disku tiert , die Ubert rag ung auf Regier mil' mehr eren Einga ngsgr6Ben erfolgt jedoch analog. Urn bei del' Mut at ion nur kleine Veranderungen vorzun ehm en , sollte eine Ausgab e-Fuzzy-Menge nicht du rch eine beliebige zufallige andere, sond ern durch eine del' beiden benachbar ten ersetzt werd en. Bei einem TSK -Mod ell miissen ftir die Regelbasis anste llc del' AusgabeFuzzy-Mengen Ausgabefunktionen bestimmt werd en. Ublicherweise werden diese Funktionen in par amctrisierter Form angegeben, z.B,

bei den Ein gan gsgr6Ben x und y sowie den in Regel R zu bestimmenden drei Parametern on , bR und CR. Bei einer Regelt ab elle mit - wie obe n nl . nz Eint rag en miissten hier insgesam t 3 . n l . nz reelle Param eter fur die Regeltabelle best immt werd en. In diesem Fall sollte wegen del' reellen Param eter eine Evolutionsstrategie gewahlt werden . Soli nicht die gesa mt e Regeltabelle ausgefiillt werden, sondern nur eine beschrankte Anzahl von Regeln erzeugt werden , kann jeder Regel ein zusatzliches bin ares Gen zugeordnet werden, das besagt , ob die Regel des Reglers iiberh aupt verwendet wird . Bei einem TSK-Modell hatte man in diesem Fall einen echte n evolutionar en Algorithmus, da sowohl reelle als auch diskr ete Par am eter verwendet werde n. Die Anza hl del' akt iven Regeln kann fest vorgegeben werden, wobei ab el' sichergestellt werd en muss , dass sich diose Anzahl bei Mutation und Crossover nicht verandert. Bei del' Mutati on konnte zum Beispiel cine Regel zufallig akt iviert und dafur eine andere deaktiviert werd en. Beim Crossover miisst e somit ansch lieBend ein Reparaturalgorithmus angewendet werden. Bei zu vielen aktiven Regeln wiird en beispielsweise zufallig so viele Regeln deaktivi ert , bis die gewiinschte Anzahl erre icht ist . Ein e bessere Strat egie besteht darin, die Anzah l del' akt ivcn Regeln nicht festzulegen. Da Fuzzy-R egier mit einer kleineren Anzahl von Regeln vorzuziehen sind, ist es sinnvoll, in die Zielfunk tion einen Zusatzterm aufzunehmen , del' mit ansteigend er Regelzahl den Wert del' Zielfunk tion zunehmend verschlechtert. Diesel' Zusatzterm solIte mit einem geeignet en Gewicht eingehen. W ird das Gewicht zu groB gewahlt , wird pr imal' eine kleine Anz ahl von Regeln belohnt , na hezu unabhangig davon , wie gut oder schlecht das Regelverhal ten ist . Bei einem zu kleinen Gewicht spielt del' Term eine zu geringe Rolle und bewirkt keine Ver ringeru ng del' Anza hl del' Regeln.

382

5. Einstellung und Optimierung von Fuzzy-Reglern

Die Fuzzy-Mengen. Die Fuzzy-Mengen werden iiblicherweise in paramet risierter Form wie bei Dreiecks-, Trapez- oder GauBfunktionen angegeben. Diese rellen Par ameter sind wiederum fur eine Evolutionsstrategie geeignet. Allerdings ftihrt das bloBe Op timieren derar tiger parametri sierter FuzzyMengen nur selte n zu vern iinftigen Ergebnissen. Der opt imierte Fuzzy-Regier kan n zwar durcha us ein sehr gutes Regelverhal ten aufweisen, die FuzzyMengen iiberlappen sich aber vollig beliebig, so dass es kaum moglich ist , ihnen sinnvolle linguistische Terme zuzuordnen und interpretierbare Regeln zu formulieren. Der Fuzzy-Regier ents pricht dann eher einer Black Box, wie bei Neuronalen Netzen , bei der zwar interne Paramet er so eingeste llt wurden, dass ein gewiinschtes Verh alten gezeigt wird , die Parameterwahl aber keine Int erpr etation zulasst. Giinstiger ist es, den Param et ersatz so zu wahlen, dass die Interpreti erbarkeit des Fuzzy-Reglers immer gewahrleistet ist . Eine Moglichkeit ware die Einschrankung auf Dreiecksfunktionen, die jeweils so gewahl t sind, dass der linke und rechte Nachbar einer Fuzzy-Menge an der Stelle den Wert Eins annehmen, an der die mittlere Fuzzy-Menge gerade auf null gefallen ist . Die Evolut ionsst rategie wiirde in diesem Fall pro Eingangs- oder Ausgangsgrofe gena uso viele reelle Par ameter hab en, wie Fuzzy-Mengen erwiinscht sind . Der jeweilige reelle Parameter gibt an, wo die ents prechende Dreiecksfunktion den Wert Eins annimmt. Selbst bei dieser Par ametri sierun g konnen noch unerwiinschte Effekt e auftreten, etwa wenn die Fuzzy-Menge etwa null dur ch Mutationen irgendwann die Fuzzy-Menge p ositiv klein iiberholt . Eine einfache Anderung der Par ametri sierung wiirden diesen Effekt vermeiden: Der Betrag des k-te n Parameters gibt nicht mehr die Lage der Spitze der Dreiecksfunkt ion absolut an, sondern wie weit sie von der Spitze der vorh ergehenden Dreiecksfunkt ion ent fernt ist. Der Nachtei l dieser Kodierung besteht darin , dass eine Anderung (Mutation) des erste n Wertes eine Verschiebung aller Fuzzy-Mengen zur Folge hat und damit eine recht groBe Anderung im Gesamtverhalt en des Reglers bewirken kan n. Werden die Dreiecksspitzen direkt paramet risiert , wirkt sich eine Mut ation nur lokal aus. Daher sollte man bei der direkten Par ametrisierun g bleiben, allerdin gs Mut ationen, die zum Uberholen von Fuzzy-Mengen fiihren, verbieten. Auf diese Weise bewirken Mutat ionen kleine Veranderungen und die Int erpreti erbarkeit des Fuzzy-Reglers bleibt erhalte n. Zusatztiche Parameter. Mit evolutionaren Algorithmen lassen sich insofern dies gewiinscht ist - auch weit ere Param et er eines Fuzzy-Reglers einste llen. Man kann beispielsweise eine parametri sierte t-Nor m fur die Aggregation der Regelpramissen verwenden und fur jede Regel den Par ameter der t-Norm individuell einste llen. Derselbe Ansatz bietet sich auch fur eine param etri siert e Defuzzifizierungsstrategie an. Derartige Par ameter hab en auf die Interpret ierbarkeit eines Fuzzy-Reglers meist nachteilige Effekt e und sollen daher an dieser Stelle nicht weite r verfolgt werden.

5.7 Fuzzy-Regler und evolutionare Algorithmen

383

Eine offene Frage bleibt, ob die Regelbasis und die Fuzzy-Mengen gleichzeitig oder naeheinder optimiert werden soUten. So lange sieh die Regelbasis noeh massiv andern kann , erseheint es wenig sinnvoU, eine Feinoptimierung der Fuzzy-Mengen vorzunehmen. Die Regelbasis stellt eher das Grundgeriist des Fuzzy-Reglers dar, wahrend die konkrete Wahl der Fuzzy-Mengen mehr fur die Feinjus tierung verantwortlieh ist . Urn den evolutionaren Algorithmus nieht mit einer zu graBen Param cterzahl zu iiberfrachten , empfiehlt es sich, zuerst die Regelbasis auf der Grundlage von St and ard-Fuz zy-Partitionen zu erlernen und danach die Fuzzy-Mengen bei festgehaltener Regelbasis zu optimieren .

5.7.4 Ein Genetischer Algorithmus zum Erlernen eines TSK-Reglers

Urn das Prinzip der Parameterkodierung zu verdeutlichen st ellen wir im Folgenden einen Genetischer Algorithmus zum Erlernen eines TSK-Reglers vor, der in [102] vorgeschlagen wurd e. Der Algorithmus versuch t aUe Parameter des Reglers, d .h. die Regelbasis, die Form der Fuzzy-Mengen und die Paramet er der Konklusionen , gleichzeitig zu optimieren. Urn die Regeln R; : If Xl is J.l~) and . . . and

Xn

is Ilf:) then Y =

fr( XI , .. .

,xn ) ,

mit f r( XI, " .,

x n ) = P~

+ Xl

. P~

+ .. .+ X n

. P~

eines Takagi-Sugeno-Reglers erlernen zu konnen , miissen die Fuzzy-Mengen der Ein gabegrofen und die Parameter Po, . . . -P« jeder Regel kodiert werden. Eine dr eiecksforrnige Fuzzy-Menge wird in diesem Ansatz durch drei binar kodierte Par ameter beschrieb en (m em bership [un ction ch rom osom MFC) : left base

center

rightbase

I 10010011 I 10011000 I 11101001 I Die Parameter leftbase, t igbtbese und center sind dabei keine absoluten Grofen , sondern bezeichnen die Abstand e zu einem Bezugspunkt. left base und t igbibese beziehen sich auf den Mittelpunkt (cent er) einer Fuzzy-Menge und center bezieht sich auf den Abstand zum center des linken Naehbarn der Fuzzy-Menge. Wahlt man diese Parameter positiv, werden Uberholungseffekte und anormale Fuzzy-Mengen vermied en. Die Parameter Po , . . . , Pn einer Regel werden direkt dur ch Binarzahlen kodiert und ergeben das rule-consequent param et ers chrom osom e (RPC): Po

I 10010011

c:J

Pn

11101001 I

Die komplette Regelbasis eines TSK-Reglers wird basierend auf diesen Parameterkodierungen dann in Form eines Bit-Strings kodiert:

384

5. Einstellung und Optimierung von Fuzzy-Reglern

GroBe 1

Crofc n

Paramet er der Konklusionen

Neben der Par ameteroptirnierung wird versucht , die Anzahl der FuzzyMengen einer GroBe und dam it auch die Anzahl der Regeln in der Regelbasis zu rninimieren. Dabei wird von einer maximalen Anzahl von Fuzzy-Mengen ausgegangen. Es werden diejenigen eleminiert, die nicht mehr im zulassigen Wertebereich einer GroBe liegen. Des Weiteren werden RegIer mit weniger Regeln bei der Selektion gegeniiber anderen mit gleicher Leistung bevorzugt . In [102] wurde dieser Ansatz mit einem invertierten Pendel (StabbalanceP roblem) getestet . Fu r eine Regelbasis mit 5 Fuzzy-Mengen je Einga begrofie (2) und 8-Bit Binarzahlen ergibt sich eine Chromo somenlange von 2· (5·3· 8) + (5 ·5) · (3·8) = 840. Zur Bewertung wurd en die RegIer mit 8 Start bedingungen getestet und die Zeit gemessen, die der RegIer benoti gt , urn das Pendel in die Senkrechte zu bring en. Dab ei ist zwischen drei Fallen zu unterscheiden: 1. Gelingt es dem RegIer, das Pendel innerhalb einer festgelegt en Zeit spann e

in die Senkr echte zu bringen, erha lt er urn so mehr Punkt e je schneller ihm dies gelang. 2. Gelingt es dem RegIer in dieser Zeitspann e nicht , das Pendel senkrecht zu halten , erhalt er eine festgesetzt e Anzahl von Punkten , die in jedem Fall geringer ist als im ersten Fall. 3. Fallt das Pendel wahrend der Simulat ionszeit urn, erhalt der ents prechende RegIer urn so mehr P unkte, je Hinger das Pendel aufrecht blieb, jedoch weniger als in den beiden erste n Fallen. Fur das Erlernen eines 'brauchbaren' Reglers wurden tiber 1000 Generationen benot igt . Diese recht hohe Anzahl an Generat ionen ergibt sich aus der groBen Chrornosomenlange und den daraus enste henden groBen Schemata. Bei der Kodierung werden auBerdem kaum Nachbarschaftsbez iehungen ausgenutzt. So kann es sein, dass die Prarnisse einer Regel dur ch die am Anfan g des Chromsomoms kodierte Fuzzy-Menge bestimmt wird , die zugehorige Konklusion sich jedoch am Ende des Chromosoms befindet . Somit ist die Wah rscheinlichkeit , dass eine gute Regel bei einem Crossover wieder zerst ort wird recht hoch. Int eressant ist die Fahigkeit dieses Ansatzes, die Anzahl der benotigten Regeln zu minimieren. Im Vordergrund steht dab ei nicht alleine das Regelungsverh alten des Reglers zu opti mieren, sondern die fur die Regelung wicht igen Regeln zu bestimmen.

5. 7.5 Diskussion Wir haben verschiedene Ansatzen diskutie rt, wie Fuzzy-Hegler mit Hilfe von evolutionaren Algorithmen erlernt oder opt imiert werden konnen. Eine wesentl iche Rolle spielt dabei die Kodieru ng des Fuzzy-Reglers fur den evolut iona ren Algorit hmus. Die Kodieru ng sollte zum einen so gewahlt werden, dass

5.7 Fuzzy-Regier und evolutionare Algorithmen

385

- wie sich auch immer die Parameter im Rahmen der zugelassenen Moglichkeiten durch den evolutionaren Algorithmus ergeben ~ die Interpretierbarkeit des Fuzzy-Reglers gewahrleistet wird . Zum anderen sollte die Kodierung sicherstellen, dass der evolut ionare Algorithmus seine Starken ausspielen kann. Mutation zum Beispiel sollte nicht nur eine kleine Veranderung der kcdierten Paramet er zur Folge haben , sond ern auch nur eine kleine Anderung im Gesamtverh alt en des Reglers bewirken. Ins gesamt sollt e man versuchen , gtinstige Heuristiken zu verwend en, die sowohl die Interprctierb arkeit des Erg ebnis ses erleichte rn als auch den evolutionaren Algorithmus bei seiner Optimierungsstrat egie untersttitzen. Ein en Uberbli ck tiber die enorm groBe Anzahl von Publikationen im Bereich FuzzySyst erne und evolut ionare Algorithmen geben [32, 56, 57, 152].

A. Anhang

A .I Korrespondenztafel zur Laplace-Transformation

f(t)

mit

f(t 0

(A.33)

o Da diese Ungleichung fiir jeden Anfangszustand x (O) erfiillt ist , muss auch P positiv definit sein . In anderer Richtung wird nun die positi ve Definitheit von P vorausgesetzt. Daraus ist zu folgern , dass A ausschlieBlich Eigenwert e mit negativem Realt eil besitzt. Zun achst lasst sich filr das System (A.29) eine Ljapunov-Funktion (A.34)

A A Die Ljapun ov-Gleichung

397

angeben, die wegen der positiven Definitheit von P sicher ebenfalls positiv definit ist . Fur die Ableitu ng dieser Ljapunov-Funktion gilt mit (A.3D)

(A.35) Diese Ableitung ist wegen der positiven Definith eit von Q sicherlich negativ definit . Daraus folgt die Stabilitat des Systems (A.29) und damit wiederurn die Tat sache, dass A ausschlieBlich Eigenwerte mit negati vem Realt eil aufweist .

398

A. Anhang

A.5 Die Lie-Ableitung Definition A.7 Gegeben sei die skalarwertige Funkt ion "\(x) des Vektors x = [Xl , ..., xn ]T sowie die Vektorfunktion f(x) = [II(x), ..., fn(x)jT . Die LieAbl eitung von ),(x) entlang f(x) ist defini ert als die skalarwertige Funktion o),(x ) L~ Ii(x) n

Lc)'(x) =

i= l

(A.36)

'

Definition A.8 Die wiederholte Lie-Abl eitung zuniichst entlang f(x) und dann en tlang g(x) ist definiert zu

(A.37)

Definition A .9 Die k-fache Lie-Abl eitung von ),(x) entlang f(x) ist die skalarwertige Funkt ion L~)'(x), die als R ekurs ion sbeziehung definiert ist durch

(A.38) mit L~)'(x) = ),(x) .

A.6 Positiv reelle Systeme

399

A.6 Positiv reelle Systeme Je nach Dimension und Beschreib ungsform des Systems kann einer der folgenden Satze herangezogen werden, um zu best immen, ob das vorliegende System (stre ng) positiv reell ist . Auf den Beweis der Satze soll hier verzichtet werden . Satz A .IO Ein lineares Eingroflensystem ist genau dann streng positiv reell, wenn seine Ubertragungsfunktion nur Pole mit negativem Realteil aufweist utul Re( G(jw)) > 0 fur w ~ 0 gilt. Ein Mehrgroflensystem mit quadratischer Ubertragungsmatrix G (s ) ist qencu dann streng positiv reell, wenn die Elemente G ij (s) der Ma trix ausschliefl lich Polstellen mit negativem R ealteil aufweisen und auflerdem die hermi tesche Ma trix 1 -T H (j w) = 2( G(jw) + G (jw)) (A.39) fur aile w weist.

~

0 positiv definit ist , d.h. aussc hliefllich positive Eigenwerte auf-

Wegen der negat iven Realtei le der Pole aller Teiliibertragungsfunktio nen ist jede einzelne Ubertragungsfunktio n und da mit das gesamte System stabil. Die Stabilitat eines Systems ist demnach eine Voraussetzung dafiir, dass es auch streng positiv reell ist . Satz A .ll Ein durch

x = A x -l Bu y

= Cx-l Du

(A.40)

gegebenes lineares System ist genau dann streng positiv reell, wenn die folgenden Bedingungen erfullt sind: • Das lin eare System muss vollstiindig steuer- und beobachtbar sein. • Es muss Matrizen L , P und Y geeigneter Dimension geben mit

A Tp

+ PA =

- LLT

(A.41) (A.42) (A.43)

LY = C T -PB D +DT = y Ty

• grad(L) = grad(A) = n • P ist symmetrisch und positiv definit: P = p T und P

>0

Anmerk ung: Aus grad( L) = n folgt hier, dass LLT eine symmetrische, positiv definite Mat rix ist . Weiter hin ist P nach Voraussetz ung ebenfalls positiv definit. Damit folgt aus (A.41) und Satz A.5, dass A nur Eigenwerte mit negat ivem Realteil aufweist. Auch aus diesem Satz lasst sich also ableiten, dass die Stabilitat eine Voraussetzung dafiir ist, dass das System positiv reell ist.

400

A. Anhang

A.7 Lineare Matrixungleichungen Die Darstellun g in diesem Abschnit t folgt im wesentli chen der Darst ellung in

[169]. Das Grundproblem in der Theorie der linearen Matrixungleichungen (linear matrix inequalities, LMI's) kann folgendermaBen formuliert werd en: Gegeben sei eine symmet rische Matrix, deren Koeffizienten affin von gewissen freien Paramete rn abhange n. Kann man diese freien Paramet er dann so wahlen, dass die symmetrische Matrix negativ definit wird , d.h . ausschlieBlich negati ve Eigenwerte besitzt ? Dab ei ist eine affine Funkt ion eines Par amet ers a definiert durch f(a) = aa + b, wobei a und b Konstant en sind . Eine affine Funktion ist demn ach eine linear e Funktion, erweitert urn einen konstanten Ant eil. Mit x als Vekt or der freien Paramet er und F(x) als symmet rische Matrix, deren Koeffizienten affin von den freien Parametern abhangen, lasst sich das Gru ndproblem auch anders definieren: Existiert ein Vektor x , fur den F(x)

0 ist zu (A.44) mit G = -F aquivalent . • Bei der Matrixungleichung A T p + PA + Q < 0 mit der gesuchten Matrix p lasst sich F(x) = A T p + PA + Q setze n. Die Koeffizienten von P bilden dab ei den Vekt or x der gesuchte n Par amter. Offensichtlich sind die Koeffizienten von F affin von diesen Parametern abha ngig. Urn die Symm etrie von F zu gewahrleiste n, mussen aber P und Q symmet risch sein. • Die Negativi tat einer Blockmatrix lasst sich mittels der Negativitat ihre r Blocks chara kte risieren:

(~

~)

< 0