Elektrische Messtechnik: Analoge, digitale und computergestutzte Verfahren. 5. Auflage

Springer-Lehrbuch Reinhard Lerch Elektrische Messtechnik Analoge, digitale und computergestützte Verfahren 5., neu ...

Author: Reinhard Lerch

220 downloads 1305 Views 14MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Springer-Lehrbuch

Reinhard Lerch

Elektrische Messtechnik Analoge, digitale und computergestützte Verfahren

5., neu bearbeitete Auflage Mit 532 Abbildungen und 64 Tabellen sowie DVD

123

Professor Dr.-Ing. Reinhard Lerch Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg Lehrstuhl für Sensorik Paul-Gordan-Str. 3/5 D-91052 Erlangen [email protected]

Extras im Web unter www.springer.com/978-3-642-05454-9

ISSN 0937-7433 ISBN 978-3-642-05454-9 e-ISBN 978-3-642-05455-6 DOI 10.1007/978-3-642-05455-6 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996, 2005, 2006, 2007 und 2010 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist nicht Urheber der Daten und Programme. Weder Springer noch der Autor übernehmen die Haftung für die CD-ROM und das Buch, einschließlich ihrer Qualität, Handels- und Anwendungseignung. In keinem Fall übernehmen Springer oder der Autor Haftung für direkte, indirekte, zufällige oder Folgeschäden, die sich aus der Nutzung der CD-ROM oder des Buches ergeben. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z. B. DIN, VDI, VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewähr für die Richtigkeit, Vollständigkeit oder Aktualität übernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls für die eigenen Arbeiten die vollständigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gültigen Fassung hinzuziehen. Einbandentwurf: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.de)

Vorwort zur fu ¨ nften Auflage

F¨ ur die 5. Auflage dieses Buches sind wichtige inhaltliche Erweiterungen vorgenommen worden. So wurde beispielsweise im Kapitel Messverstärker ein Abschnitt u arker mit differentiellem Ausgang hinzugef¨ ugt ¨ber Operationsverst¨ und im Kapitel Analoges Messen elektrischer Größen ein Abschnitt u ¨ber Strommeßzangen neu aufgenommen. Außerdem wurden dort die Operationsverstärker-Datentabellen aktualisiert. Da insbesondere die Hard- und Software zur Messdatenerfassung und Laborautomation kontinuierlicher Innovation unterliegen, wurden die entsprechenden Kapitel auf den neuesten Stand der Technik gebracht, so zum Beispiel auch der Abschnitt u ¨ber PXI-Systeme, welche in letzter Zeit immer mehr an Bedeutung gewinnen. Auch der Abschnitt u ¨ber Analog-Digital-Umsetzer wurde aktualisiert. Das Angebot an Software, ¨ Rechenbeispielen und sonstigen Ubungsaufgaben, die sich auf der beiliegenden DVD befinden, wurde erg¨ anzt und ebenfalls auf den neuesten Stand gebracht. Weiterhin wurden alle Kapitel im Hinblick auf Inkompabilitäten in der Schreibweise von Formeln und Formelzeichen u uft und bestehende ¨berpr¨ Abweichungen korrigiert. Bei all diesen Arbeiten konnte ich wieder auf das bewährte Team meines Lehrstuhls vertrauen. Mein besonderer Dank gilt Frau B. Melberg und Frau C. Salley-Sippel sowie den Herren Dipl.-Ing. Th. Albach, Dr. techn. S. J. Rupitsch, Dr.-Ing. A. Sutor und M. G¨ unther f¨ ur Ihre tatkräftige Mithilfe. F¨ ur die Unterst¨ utzung bei der technischen Erstellung des Werkes sowie beim Marketing geb¨ uhrt Frau Hestermann-Beyerle und Frau Kollmar-Thoni vom Springer-Verlag Heidelberg mein Dank. Abschließend darf ich mich bei allen Lesern bedanken, die dieses Werk kaufen, und darf Ihnen große Freude beim Lesen w¨ unschen. email: [email protected]

Erlangen, im Sommer 2010

Reinhard Lerch

Vorwort zur vierten Auflage

Zunächst einmal gilt mein besonders herzlicher Dank all denjenigen Lesern, die im letzten Jahr dieses Buch k¨ auflich erworben haben. Denn dank ihnen ist es möglich geworden, schon ein Jahr nach Erscheinen der letzten Auflage die nunmehr 4. Edition dieses Werkes herauszugeben. Dadurch ist es in relativ kurzer Frist gelungen, neben anstehenden kleineren Korrekturen wesentliche Erweiterungen bzw. Verbesserungen am Text und der beiliegenden DVD vorzunehmen. Viele der Vorschl¨ age dazu stammen von Fachkollegen an Universitäten und Fachhochschulen. In diesem Zusammenhang geb¨ uhrt meinen Kollegen aus dem Kreise des AHMT (Arbeitskreis der Hochschullehrer Meßtechnik; www.ahmt.de) mein besonderer Dank. Denn vor allem von ihnen kamen konstruktive Vorschl¨ age, das vorliegende Werk in Richtung Meßsignalverarbeitung, Korrelationsmeßtechnik, Regressions- und Test-Verfahren auszubauen. F¨ ur diese sehr wertvollen Hinweise und Anmerkungen bei der Evaluierung der letzten Auflage m¨ ochte ich an dieser Stelle nochmals meinen besonderen Dank aussprechen. ¨ Desweiteren sind die Ubungsund Demonstrationsbeispiele auf beiliegender DVD in großem Umfang, insbesondere f¨ ur die eben genannten Kapitel, ausgebaut worden. Diese basieren im wesentlichen auf dem Programm LabVIEW (National Instruments), das auch bei dieser Auflage auf der DVD in seiner neuesten Version (Studentenversion) vorliegt. Mit Hilfe der auf der ¨ DVD enthaltenen Ubungen, Programmier- und Demonstrationsbeispielen ist es möglich, daß der Leser sein mit dem Studium des Werkes erworbenes Wissen unmittelbar auf praktische ingenieurm¨ aßige Problemstellungen anwendet. Das ¨ ¨ dieses Lehrbuch begleitende Ubungsbuch “Elektrische Messtechnik - Ubungs¨ buch” rundet die Ubungsm¨ oglichkeiten in den Bereichen ab, f¨ ur die Computer¨ ubungen weniger geeignet sind als Rechnungen mit Papier und Bleistift. F¨ ur die entsprechende Unterst¨ utzung beim Erstellen der DVD und die gewinnbringende Kooperation mit der Firma National Instruments möchte ich mich vor allem bei den Herren Marc Backmeyer und Dipl.-Ing. Rahman Jamal bedanken.

VIII

Mein vorrangiger Dank gilt aber vor allem meinem Team des Lehrstuhls f¨ ur Sensorik, das durch seinen unerm¨ udlichen Einsatz in der letzen Zeit die schnelle Erstellung dieser 4. Auflage erm¨ oglicht hat. Hier sind vor allem zu nennen: Herr Dipl.-Ing. Thorsten Albach, Frau Bettina Melberg, Frau Cornelia SalleySippel, Herr Dr.-Ing. Alexander Sutor. Nicht zuletzt darf ich auch die wiederum exzellente Zusammenarbeit mit dem herausgebenden Verlag und seinen Mitarbeitern, vor allem Frau Eva Hestermann-Beyerle und Frau Monika Lempe, hervorheben.

email: [email protected]


Reinhard Lerch

Vorwort zur dritten Auflage

Dank der recht großen Beliebtheit dieses Buches ist es möglich, bereits zwei Jahre nach Erscheinen der letzten Auflage nunmehr die 3. Auflage dieses Werkes vorstellen zu k¨ onnen. Gegen¨ uber der 2. Auflage wurden vor allem die Kapitel zur Rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassung dem allerneuesten Stand der Technik angepaßt. So wird der j¨ ungst eingef¨ uhrte LXI-Standard zur Vernetzung von Meßgeräten ebenso behandelt wie die neuesten Entwicklungen auf dem Gebiet der Speicherprogrammierbaren Steuerungen (SPS), der Digitaloszilloskope, der USBMeßmodule sowie moderne Source Measuring Units. Damit ist dieser Block auf nunmehr 200 Seiten bzw. ein Drittel des Gesamtwerkes angewachsen. Das Kapitel Elektromechanische Meßger¨ ate“(Kapitel 6.1) wurde beibe” halten trotz der Tatsache, daß es sich dabei um eine in ihrer Bedeutung zur¨ uckgehende Meßger¨ ateklasse handelt. Dennoch halte ich diesen Abschnitt f¨ ur aüßerst wertvoll f¨ ur Studierende des Faches Sensorik bzw. f¨ ur das gesamte Gebiet der Mechatronik, da man anhand der Funktionsprinzipien f¨ ur elektromechanische Meßger¨ ate sehr sch¨ on die Interaktionen zwischen mechanischen und elektromagnetischen Feldern lernen kann. Demzufolge sind die hier behandelten elektromechanischen Grundprinzipien und Gesetzmäßigkeiten (z. B. die Lorentzkraft oder die Wirbelstromdämpfung) insbesondere f¨ ur das Verständnis von modernen elektromechanischen Sensoren und Aktoren wichtig. An dieser Stelle gilt es auch, zun¨ achst einmal all denjenigen herzlich zu danken, die mich in den beiden letzten Jahren auf Fehler bzw. unklare Darstellungen in der 2. Auflage aufmerksam gemacht haben. Meistens handelte es sich dabei um Studierende der Technischen Fakultät der Friedrich-AlexanderUniversität Erlangen-N¨ urnberg oder auch um Studierende anderer Universitäten und Fachhochschulen, die sich auf Pr¨ ufungen in ingenieurwissenschaftlichen Fächern vorbereitet haben. Alle berechtigten Einwände und Hinweise wurden in der vorliegenden Auflage ber¨ ucksichtigt. Bei der Erweiterung des Buches haben mich die Mitarbeiter des Lehrstuhls f¨ ur Sensorik der Universit¨ at Erlangen-N¨ urnberg wiederum mit großem

X

Einsatz unterst¨ utzt. In allererster Linie bin ich unserem akadem. Rat, Herrn Dr.-Ing. Alexander Sutor, ebenso wie Herrn Dipl.-Ing. Martin Meiler, Herrn Dipl.-Ing. Erich Leder sowie dem Leiter unserer Elektronikwerkstatt, Herrn Michael G¨ unther, f¨ ur ihre Beitr¨ age zu diesem Werk zu großem Dank verpflichtet. F¨ ur ihren unerm¨ udlichen Einsatz bei der elektronischen Fertigstellung des kamerafertigen Manuskriptes samt aller darin enthaltenen, teilweise diffizilen Grafiken gilt mein besonders herzlicher Dank wiederum Frau Cornelia SalleySippel und Frau Bettina Melberg. Bedanken möchte ich mich auch bei den beiden verantwortlichen Mitarbeiterinnen des Springer-Verlages, Frau Eva Hestermann-Beyerle und Frau Monika Lempe, f¨ ur die hervorragende Unterst¨ utzung und exzellente Zusammenarbeit. ¨ Diesem Buch liegt eine CD-ROM mit Ubungsaufgaben zur R Rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassung in NI LabVIEW sowie zur Programmierung von Speicherprogrammierbaren SteuerunR bei. Dabei gibt es Programmieraufgagen (SPS) mit CoDeSys ben, deren Lösung via Internet auf eine am Lehrstuhl f¨ ur Sensorik (FriedrichAlexander-Universit¨ at Erlangen-N¨ urnberg) aufgebaute Speicherprogrammierbare Steuerung heruntergeladen werden k¨ onnen. Anhand helligkeitsgesteuerter Lampen und LEDs l¨ aßt sich mittels einer WebCam die erfolgreiche Programmierung dieser SPS beobachten. Das oben gezeigte Icon weist an entsprechenden Stellen des Buches auf ¨ ¨ thematisch passende Ubungsaufgaben auf der CD-ROM hin. Weitere Ubungsbeispiele und Hinweise findet man unter www.lse.e-technik.uni-erlangen.de/elektrische_messtechnik

email: [email protected]


Reinhard Lerch

Vorwort zur zweiten Auflage

Die zweite Auflage tr¨ agt insbesondere den aktuellen Entwicklungen im Bereich Computerunterst¨ utzte Meßdatenerfassung Rechnung. Daher sind die entsprechenden Kapitel in der zweiten Auflage stark angewachsen und nehmen nunmehr u ¨ber ein Drittel des Gesamtumfanges ein. Infolgedessen können alle wesentlichen Hard- und Software-Komponenten der modernen rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassung behandelt werden. So werden beispielsweise die weltweite Vernetzung von Meßdaten- und Prozeßrechnern wie auch die Meßdatenerfassung unter Zuhilfenahme von Virtual Private Networks besprochen. Die zweite Auflage wurde ebenfalls erweitert auf dem Gebiet der Ausgleichsvorgänge in elektrischen Netzwerken, was der detaillierten Erläuterung der dynamischen Meßfehler und ihrer Korrekturmöglichkeiten zugute kommt. Auch die Analyse und Messung von nichtlinearen Bauelementen wurde in den Stoff aufgenommen. Bei der Erweiterung des Buches haben mich die Mitarbeiter des Lehrstuhls f¨ ur Sensorik der Universit¨ at Erlangen-N¨ urnberg mit großem Engagement unterst¨ utzt. In allererster Linie bin ich Herrn Dr.-Ing. Alexander Sutor und Herrn Dipl.-Ing. Martin Meiler f¨ ur ihre fachlichen Beiträge zu diesem Werk zu großem Dank verpflichtet. F¨ ur ihren unerm¨ udlichen Einsatz bei der Erstellung des Manuskriptes und der Grafiken gilt Frau Cornelia Salley-Sippel und Frau Bettina Melberg mein besonderer Dank. An der Korrekturlesung des Werkes waren alle Mitarbeiter des Lehrstuhls sowie Herr Dr.-Ing. G¨ unter Pretzl vom Lehrstuhl f¨ ur Technische Elektronik und meine Ehefrau Elke beteiligt. Auch ihnen sei an dieser Stelle daf¨ ur herzlich gedankt. Dank gilt auch den Mitarbeitern des Springer-Verlages f¨ ur die hervorragende Kooperation, insbesondere Frau Eva Hestermann-Beyerle und Frau Monika Lempe. email: [email protected]


Reinhard Lerch

Vorwort zur ersten Auflage

Die in der zweiten H¨ alfte unseres Jahrhunderts erfolgten innovativen Entwicklungen auf dem Gebiet der Elektrotechnik haben f¨ ur die Elektrische Meßtechnik eine Vielzahl neuer Verfahren und Meßschaltungen mit sich gebracht. So basiert die Messung elektrischer und nicht-elektrischer Größen heute vorwiegend auf Schaltungen, die erst durch in j¨ ungster Vergangenheit entwickelte elektronische Halbleiterbauelemente und integrierte Schaltkreise, wie beispielsweise Operationsverst¨ arker, digitale Grundschaltungen und AnalogDigital- bzw. Digital-Analog-Umsetzer, erm¨ oglicht wurden. Die Nutzung dieser modernen Elektronik und die enormen Fortschritte auf dem Gebiet der Digitalrechner haben zu einer sehr engen Verflechtung von Elektrischer Meßtechnik und Computertechnik bzw. Informatik gef¨ uhrt. Dies zeigt sich unter anderem in der Tatsache, daß die heutige Meßdatenerfassung und Meßsignalverarbeitung zunehmend auf Digitalrechner oder digitale Signalprozessoren verlagert werden und zum Teil in Software implementiert sind. Nachdem in den letzten Jahren eine Vielzahl von leistungsfähigen Sensoren zur Detektion nicht-elektrischer Meßgr¨ oßen entwickelt wurde, verstärkt sich der Trend, daß viele nicht-elektrotechnische Wissenschaftszweige, wie z. B. der Maschinenbau und die Verfahrenstechnik, ihre meßtechnischen Probleme mit rein elektrotechnischen bzw. informationstechnischen Mitteln lösen. Es wurde versucht, dieser Entwicklung mit der Struktur des vorliegenden Werkes Rechnung zu tragen, ohne die klassischen Grundlagen zu vernachlässigen. So werden nach einem einf¨ uhrenden Kapitel u ¨ber Meßfehler, die konventionellen elektromechanischen Meßwerke besprochen, welche zwar zunehmend von digitalen Meßger¨ aten abgel¨ ost werden, deren grundlegende Wandlungsmechanismen aber f¨ ur das Gebiet der elektromechanischen Meßwertaufnehmer (Sensoren) von großer Bedeutung sind. Nach den Abschnitten zur Messung von elektrischer Spannung, elektrischem Strom und elektrischer Impedanz folgen als thematische Schwerpunkte die Methoden und Verfahren sowie die daraus resultierenden elektronischen Schaltungen der modernen Elektrischen Meßtechnik. Diese werden in den Kapiteln Operationsverstärker, Darstellung elektrischer Signale, Digitale Meßtechnik, Messung von Frequenz

XIV

und Zeit sowie Meßsignalverarbeitung und Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung behandelt. Die in diesem Buch angesprochenen Themen und Fragestellungen decken den Stoff einer einf¨ uhrenden Vorlesung Elektrische Meßtechnik ab. Dar¨ uberhinaus ist die Thematik einer weiterf¨ uhrenden Vorlesung Rechnergest¨ utzte Meßdatenverarbeitung und Meßsignalverarbeitung enthalten, die als Wahlvorlesung f¨ ur Studenten h¨ oherer Semester Bestandteil des an der Johannes Kepler Universität Linz im Jahre 1990 eingerichteten Diplomingenieurstudienganges Mechatronik ist. Das Buch wendet sich jedoch nicht nur an Studenten der Fachrichtungen Elektrotechnik, Mechatronik, Maschinenbau, Informationstechnik, Physik und Chemie sondern auch an die bereits auf dem Gebiet der Meßtechnik praktisch t¨ atigen Ingenieure und Naturwissenschaftler, die ihr Wissen u ¨ber Meßtechnik auffrischen bzw. vertiefen wollen. Mit dem vorliegenden Werk sollen sowohl Kenntnisse u ¨ber die bei der Messung elektrischer Größen eingesetzten Standardverfahren vermittelt als auch der neueste Stand der zur modernen Elektrischen Meßtechnik zählenden computergest¨ utzten Meßdatenerfassung und Meßsignalverarbeitung beschrieben werden. ¨ Das Buch ist in Verbindung mit dem Begleitwerk Ubungen zur Elek” ¨ trischen Meßtechnik“ (R. Lerch; M. Kaltenbacher; F. Lindinger: Ubungen zur Elektrischen Meßtechnik. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag 1996) zum ¨ Selbststudium geeignet. In diesem Ubungsbuch werden neben kurzen Repetitorien zahlreiche praktische Aufgaben und weiterf¨ uhrende Beispiele zu dem gesamten im Lehrbuch behandelten Stoff angeboten. F¨ ur das Verständnis des in den beiden genannten Werken dargebotenen Stoffes werden lediglich Grundkenntnisse auf den Gebieten Elektrotechnik, Mathematik sowie Schaltungstechnik erwartet. Bei der Ausarbeitung des Manuskriptes habe ich viele Anregungen und wesentliche Unterst¨ utzung von allen am Institut f¨ ur Elektrische Meßtechnik der Universität Linz t¨ atigen Mitarbeitern erfahren. In allererster Linie bin ich Herrn Dipl.-Ing. Manfred Kaltenbacher und Herrn Dipl.-Ing. Franz Lindinger f¨ ur ihre wesentlichen fachlichen Beitr¨ age zu diesem Werk sowie ihren unerm¨ udlichen Einsatz im Zusammenhang mit der Erstellung des Manuskriptes zu größtem Dank verpflichtet. Die wahrlich nicht immer einfachen Aufgaben des computergerechten Textschreibens sowie der Anfertigung von Abbildungen lagen in den H¨ anden von Frau Waltraud Kratzer, die die immer wieder an¨ stehenden Texterweiterungen und Anderungen der Abbildungen mit großem Engagement und Sachverstand vorgenommen hat. Ihr geb¨ uhrt mein herzlicher Dank, ebenso wie Frau Sylvia Preßl, die ebenfalls viele der Grafiken angefertigt hat, wie auch Frau Ingrid Hagelm¨ uller, die f¨ ur die Texteingabe sowie die Erstellung der Abbildungen der ersten Manuskriptversion verantwortlich war. All denjenigen, die an der Korrekturlesung dieses Werkes beteiligt waren und Verbesserungsvorschl¨ age eingebracht haben, d. h. meinen Kollegen, meinen Assistenten, insbesondere den Herren Dipl.-Ing. Todor Sheljaskov und Dipl.Ing. Roland Exler, den Linzer Mechatronik-Studenten sowie meiner Ehefrau

XV

Elke, möchte ich ebenfalls meinen herzlichen Dank f¨ ur ihren großen Einsatz aussprechen. Mein Dank gilt auch dem Springer-Verlag, insbesondere Herrn Dr. Hubertus Riedesel, der die Anregung zur Abfassung des vorliegenden Werkes gab, sowie seinen Mitarbeiterinnen Frau Marianne Ozimkowski und Frau Gaby Maas f¨ ur ihre Unterst¨ utzung bei der Erstellung des kamerafertigen Manuskriptes. Allen eben genannten Personen m¨ ochte ich auch danken f¨ ur ihr Verständnis und ihre Geduld bei der mehrmals verz¨ ogerten Abgabe des Manuskriptes. Da es erwartungsgem¨ aß auch bei noch so sorgfältiger Bearbeitung des Textes nicht möglich sein d¨ urfte, die Erstauflage eines solchen Buches fehlerfrei zu halten, möchte ich mich schon vorab bei allen Lesern f¨ ur diese Fehler entschuldigen und sie ermutigen, von ihnen eventuell entdeckte Fehler an die folgende Adresse mitzuteilen: O. Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr. Reinhard Lerch Institut f¨ ur Elektrische Meßtechnik Johannes Kepler Universit¨ at Linz Altenberger Straße 69 A-4040 Linz email: [email protected]

Linz, im Januar 1996

Reinhard Lerch

Inhaltsverzeichnis

1

Umfang und Bedeutung der Elektrischen Meßtechnik . . . . . . 1.1 Zur Historie und Bedeutung der Meßtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Der Begriff des Messens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Begriffsdefinitionen in der Meßtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Allgemeine Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Meßger¨ at und Meßeinrichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Meßkette (Struktur einer elektrischen Meßeinrichtung) 1.4 Vorschriften und Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Klassifizierung von Meßmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Ausschlagmethode - Kompensationsmethode . . . . . . . . . 1.5.2 Analog - Digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Kontinuierlich - Diskontinuierlich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4 Direkt - Indirekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Die Informationstr¨ ager im Meßsignal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 3 4 4 5 5 6 7 7 8 8 9 9

2

Die Grundlagen des Messens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Maßsysteme, Einheiten, Naturkonstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Maßsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Naturkonstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Abgeleitete Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Größen- und Zahlenwertgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 11 11 13 13 13

3

Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und ¨ Vierpol-Ubertragungsverhalten ............................ 3.1 Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Ausgleichsvorg¨ ange in linearen Netzwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Die Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Die Laplace-Transformierte elementarer Zeitfunktionen . . . . . . 3.5 Die Eigenschaften der Laplace-Transformation — Laplace-Transformation einfacher mathematischer Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 17 21 24 27

30

XVIII Inhaltsverzeichnis

¨ 3.5.1 Uberlagerung .................................... 3.5.2 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3 Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.4 Produkt zweier Laplace-Funktionen — Faltung . . . . . . . 3.5.5 Multiplikationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.6 Verschiebung im Zeitbereich (Oberbereich) . . . . . . . . . . 3.5.7 Verschiebung im Laplace-Bereich (Unterbereich) . . . . . . 3.5.8 Dehnung bzw. Stauchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.9 Anfangswert-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.10 Endwert-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.11 Tabelle mathematischer Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . Analyse eines RC-Netzwerkes mittels Laplace-Transformation . Die R¨ ucktransformation von Laplace-Transformierten in den Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnung von Einschwingvorg¨ angen in elektrischen Netzwerken mit konzentrierten linearen passiven Bauelementen R¨ ucktransformation mittels Residuenmethode Heavisidescher Entwicklungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Vierpol-Ubertragungsfunktion im Zeit- und Frequenzbereich . . Beschreibung von linearen zeitinvarianten Netzwerken durch ihre Sprungantwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bode-Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13.1 Regeln f¨ ur Bode-Diagramme (reelle Pole und Nullstellen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13.2 Regeln f¨ ur Bode-Diagramme mit komplexen Polpaaren

65 67

Nichtlineare elektrische Bauelemente, Schaltungen und Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Nichtlineare konzentrierte Bauelemente (R, L, C) . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Nichtlinearer Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Nichtlineare Induktivit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 Nichtlineare Kapazit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Gesteuerte Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Analyse nichtlinearer elektrischer Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . .

73 73 73 74 79 85 89 90

3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13

4

5

30 30 31 31 33 33 34 34 34 35 35 36 37 39 41 52 56 60 60

Meßfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.1 Systematische Meßfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.2 Zufällige Meßfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 5.2.1 Normalverteilung, Mittelwert, Standardabweichung . . . 98 5.2.2 Vertrauensbereich f¨ ur den Schätzwert . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.2.3 Fortpflanzung zuf¨ alliger Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.3 Genauigkeitsklassen bei Meßger¨ aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Inhaltsverzeichnis

5.4

XIX

Dynamische Meßfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 ¨ 5.4.1 Das Ubertragungsverhalten von Meßsystemen . . . . . . . . 107 5.4.2 Definition des dynamischen Meßfehlers . . . . . . . . . . . . . . 111 5.4.3 Bestimmung des dynamischen Meßfehlers . . . . . . . . . . . . 112 5.4.4 Meßsystem mit Tiefpaßverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6

Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.1 Elektromechanische Meßger¨ ate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.1.1 Drehspulmeßwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 6.1.2 Galvanometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.1.3 Elektrodynamisches Meßwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 6.1.4 Dreheisenmeßwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.1.5 Drehspulquotientenmeßwerk (Kreuzspulmeßwerk) . . . . 130 6.1.6 Drehmagnetmeßwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.1.7 Elektrostatisches Meßwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.1.8 Schaltzeichen f¨ ur Meßger¨ ate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 6.2 Messung von Gleichstrom und Gleichspannung . . . . . . . . . . . . . . 136 6.2.1 Messung von Gleichstr¨ omen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.2.2 Messung von Gleichspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.2.3 Gleichzeitiges Messen von Strom und Spannung . . . . . . 142 6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung . . . . . . . . . . . 143 6.3.1 Begriffsdefinitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.3.2 Gleichrichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.3.3 Messung des Scheitelwertes (Spitzenwert, Peak Value) . 146 6.3.4 Messung des Gleichrichtwertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.3.5 Messung des Effektivwertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.3.6 Meßwandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.3.7 Strommeßzange f¨ ur Wechselstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.3.8 Hallelement (Galvanomagnetischer Effekt) . . . . . . . . . . . 164 6.3.9 Strommeßzange f¨ ur Gleichstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

7

Meßverst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 7.1 Operationsverst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 7.1.1 Idealer Operationsverst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 7.1.2 Realer Operationsverst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 7.1.3 Definitionen von Operationsverstärker-Kenngrößen . . . 176 7.1.4 Operationsverst¨ arker-Grundschaltungen . . . . . . . . . . . . . 183 7.1.5 Operationsverst¨ arker mit differentiellem Ausgang . . . . . 196 7.2 Spezielle Meßverst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 7.2.1 Differenzverst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 7.2.2 Instrumentenverst¨ arker (Instrumentierungsverstärker) . 201 7.2.3 Zerhacker-Verst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 7.2.4 Ladungsverst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 7.3 Rauschen von Meßverst¨ arkern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

XX

Inhaltsverzeichnis

8

Messung der elektrischen Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 8.1 Leistungsmessung im Gleichstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 8.2 Leistungsmessung im Wechselstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 8.2.1 Begriffsdefinitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 8.2.2 Leistungsmessung im Einphasennetz . . . . . . . . . . . . . . . . 221 8.2.3 Leistungsmessung in Drehstromsystemen . . . . . . . . . . . . 223 8.3 Messung der elektrischen Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

9

Messung von elektrischen Impedanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 9.1 Messung von ohmschen Widerst¨ anden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 9.1.1 Strom- und Spannungsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 9.1.2 Vergleich mit einem Referenzwiderstand . . . . . . . . . . . . . 236 9.1.3 Verwendung einer Konstantstromquelle . . . . . . . . . . . . . 238 9.1.4 Verwendung eines Kreuzspulinstrumentes . . . . . . . . . . . . 239 9.2 Kompensationsschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 9.2.1 Gleichspannungskompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 9.2.2 Gleichstromkompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 9.3 Gleichstrom-Meßbr¨ ucken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 9.3.1 Gleichstrom-Ausschlagbr¨ ucken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 9.3.2 Gleichstrom-Abgleichbr¨ ucken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 9.4 Messung von Schein- und Blindwiderständen . . . . . . . . . . . . . . . 245 9.5 Wechselstrom-Meßbr¨ ucken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 9.5.1 Wechselstrom-Abgleichbr¨ ucken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 9.5.2 Einfl¨ usse von Erd- und Streukapazitäten . . . . . . . . . . . . 252 9.5.3 Halbautomatischer Br¨ uckenabgleich . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 9.5.4 Wechselstrom-Ausschlagbr¨ ucken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale . . . . . . . . . . 263 10.1 Analoges Elektronenstrahl-Oszilloskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 10.1.1 Aufbau und Funktion der Elektronenstrahl-Röhre . . . . 263 10.1.2 Zeitablenkung und Triggerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 10.1.3 Funktionsgruppen eines Analog-Oszilloskops . . . . . . . . . 270 10.1.4 Sampling-Oszilloskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 10.2 Spannungsteiler in Elektronenstrahl-Oszilloskopen . . . . . . . . . . . 276 10.3 Fehler bei der analogen Elektronenstrahl-Oszilloskopie . . . . . . . 278 10.3.1 Statische Fehler (Fehler der Ablenkkoeffizienten) . . . . . 278 10.3.2 Linearit¨ atsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 10.3.3 Dynamische Fehler des Oszilloskops . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 10.4 Digital-Speicheroszilloskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 10.4.1 Prinzipielle Funktionsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 10.4.2 Wiedergabe des aufgezeichneten Bildes . . . . . . . . . . . . . . 289 10.4.3 Betriebsarten des Digital-Speicheroszilloskops . . . . . . . . 291 10.4.4 Einsatz von Digital-Oszilloskopen in Verbindung mit Computern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 10.5 Vergleich Analog- und Digital-Oszilloskope . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

Inhaltsverzeichnis

XXI

10.6 Digital-Phosphor-Oszilloskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 10.7 Stand der Technik bei Digital-Oszilloskopen . . . . . . . . . . . . . . . . 294 11 Digitale Meßtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 11.1 Duales Zahlensystem und Bin¨ arcodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 11.1.1 Dualzahlendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 11.1.2 BCD-, Hexadezimal- und Gray-Code . . . . . . . . . . . . . . . . 298 11.1.3 Fehlererkennung und Fehlerkorrektur . . . . . . . . . . . . . . . 299 11.2 Binäre Signale und ihre Verkn¨ upfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 11.2.1 Grundregeln bei der logischen Verkn¨ upfung . . . . . . . . . . 299 11.2.2 Digitale Grundschaltungen (Gatterschaltungen) . . . . . . 300 11.2.3 Digitale Addierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 11.3 Bistabile Kippschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 11.3.1 RS-Flip-Flop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 11.3.2 Taktzustandgesteuertes RS-Flip-Flop . . . . . . . . . . . . . . . 307 11.3.3 Taktflankengesteuertes RS-Flip-Flop . . . . . . . . . . . . . . . . 308 11.3.4 Taktzustandgesteuertes D-Flip-Flop (Data-Latch) . . . . 308 11.3.5 Taktflankengesteuertes D-Flip-Flop . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 11.3.6 Taktflankengesteuertes JK-Flip-Flop . . . . . . . . . . . . . . . . 311 11.3.7 Taktflankengesteuertes T-Flip-Flop . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 11.4 Monostabile Kippstufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 11.5 Zähler-Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 11.5.1 Dualz¨ ahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 11.5.2 BCD-Z¨ ahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 11.6 Digital-Analog-Umsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 11.6.1 Grundlagen und Kenngr¨ oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 11.6.2 Schaltungstechnische Realisierungen . . . . . . . . . . . . . . . . 320 11.6.3 Fehler bei der Digital-Analog-Umsetzung . . . . . . . . . . . . 325 11.7 Analog-Digital-Umsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 11.7.1 Abtastung (Sampling) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 11.7.2 Abtast-Halte-Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 11.7.3 Direktvergleichende Analog-Digital-Umsetzer . . . . . . . . 334 11.7.4 Analog-Digital-Umsetzung mit Delta-Sigma-Modulator 342 11.7.5 Time-Division-Multiplizierer (ImpulsbreitenMultiplizierer, S¨ agezahn-Multiplizierer) . . . . . . . . . . . . . 350 11.7.6 Analog-Digital-Umsetzung mit Zeit oder Frequenz . . . . 352 11.7.7 Vergleich der Grundprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 11.7.8 Fehler bei der Analog-Digital-Umsetzung . . . . . . . . . . . . 361 11.8 Digital-Multimeter (DMM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 11.8.1 Anzahl der Stellen und Genauigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 11.8.2 Beispiel eines 4 1/2 -stelligen Digital-Multimeters . . . . . . 366 11.8.3 Messungen des echten Effektivwertes von Signalen mit Gleichanteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 11.8.4 Gesamtfehler infolge Scheitelfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

XXII

Inhaltsverzeichnis

11.9 Strom-/Spannungsquellen mit R¨ uckmeßfunktion (Source Measure Units) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 11.9.1 Source Measure Units in automatischen Testsystemen . 369 11.9.2 Messung kleiner Str¨ ome bzw. Spannungen mit SMUs . 371 12 Die 12.1 12.2 12.3

Messung von Frequenz und Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 Mechanische Frequenzmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 Digitale Frequenzmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 Digitale Zeitmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 12.3.1 Zeitintervallmessung (Zeitdifferenzmessung) . . . . . . . . . . 376 12.3.2 Periodendauermessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 12.4 Digitale Phasenwinkelmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 12.5 Rechnender Z¨ ahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 12.6 Zeit-Spannungs-Umsetzer (t/U-Umsetzer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 12.7 Frequenz-Spannungs-Umsetzer (f/U-Umsetzer) . . . . . . . . . . . . . . 383 12.8 Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 12.8.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 12.8.2 Harmonische Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 12.8.3 LC-Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 12.8.4 Relaxationsoszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 12.8.5 Quarzoszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 12.8.6 Operationsverst¨ arker-Schaltung eines Quarzoszillators . 395 12.8.7 Fehler von Schwingquarzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 12.9 Fehler bei der digitalen Zeitintervall- bzw. Frequenzmessung . . 398 12.10 Atomuhren, Zeitzeichensender und Funknavigation . . . . . . . . . . 401 12.10.1 Atomuhren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 12.10.2 DCF-77 Zeitzeichensender . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 12.10.3 NAVSTAR/GPS-Satellitennavigation . . . . . . . . . . . . . . . 404 12.10.4 Galileo-Satellitennavigation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 12.10.5 St¨ orfaktoren bei der Satellitennavigation . . . . . . . . . . . . 411

13 Meßsignalverarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 13.1 Aufgaben und Bedeutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 13.2 Signalarten und Analyseformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 13.3 Multiplizieren, Dividieren, Quadrieren, Radizieren . . . . . . . . . . . 416 13.4 Ermittlung des Effektivwertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 13.4.1 Messung des Effektivwertes f¨ ur beliebige Signalverläufe 421 13.5 Bestimmung von Mittelungswerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 13.6 Kenngrößen nicht-sinusf¨ ormiger periodischer Signale . . . . . . . . . 424 13.7 Messung von Signaleigenschaften mittels Korrelationsfunktion 427 ¨ 13.8 Außere St¨ oreinwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 13.9 Optimalfilter (Wiener-Filter) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 ¨ 13.9.1 Ubertragungsfunktion eines Optimalfilters . . . . . . . . . . . 441 13.9.2 Beispiel f¨ ur ein Optimalfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

Inhaltsverzeichnis XXIII

14 Regression, lineare Korrelation und HypothesenTestverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 14.1 Regressionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 14.1.1 Ausgleichsgerade (lineare Regression) . . . . . . . . . . . . . . . 452 14.1.2 G¨ ute der Anpassung bei der linearen Regression (Varianz, Kovarianz, Restvarianz und Korrelationskoeffizient) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 14.1.3 Ausgleichspolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 14.1.4 Mehrfache lineare Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 14.2 Lineare Korrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 14.3 Testverfahren (Hypothesen-Testverfahren) . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 14.3.1 Testen von Hypothesen, Entscheidungen . . . . . . . . . . . . . 465 14.3.2 Beispiele f¨ ur Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 15 Grundlagen der Rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassung . . . . 475 15.1 Grundstrukturen von rechnergest¨ utzten Meßsystemen . . . . . . . 475 15.2 Basis-Hardware zur Meßdatenerfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 15.2.1 Multifunktions-Einsteckkarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 15.2.2 Multiplexer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 15.2.3 St¨ orungen infolge Erdschleifen und Einkopplungen . . . . 488 15.2.4 Serielle Schnittstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490 15.2.5 Parallelbussysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 15.2.6 Datenlogger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 15.3 Grundtypen des Datentransfers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 16 Meßdatenerfassung im Labor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 16.1 Die serielle RS232C-Schnittstelle (V.24-Schnittstelle) . . . . . . . . 495 ¨ 16.1.1 Ubertragungsmedien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 16.1.2 Leitungsbelegung und Steckerverbindung der RS232C-Schnittstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496 16.1.3 Pegelfestlegung und deren logische Zuordnung . . . . . . . . 499 16.1.4 Logikdefinition f¨ ur Datenleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 16.1.5 Logikdefinition f¨ ur Steuer- und Meldeleitungen . . . . . . . 500 16.1.6 Synchronisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500 16.1.7 Handshake-Verfahren (Quittierungsverfahren) . . . . . . . . 501 16.1.8 Software-Handshaking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501 16.1.9 Hardware-Handshaking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502 16.1.10 Hardware-Realisierung von seriellen Schnittstellen . . . . 503 16.2 Kenngrößen der seriellen Daten¨ ubertragung . . . . . . . . . . . . . . . . 506 16.3 Die RS485-Schnittstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507 16.3.1 Eine Twisted-Pair-Leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508 16.3.2 Zwei Twisted-Pair-Leitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508 16.4 Die 20 mA-Stromschleife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 16.5 Die USB-Schnittstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 16.6 Der IEC-Bus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510

XXIV Inhaltsverzeichnis

16.6.1 Historie des IEC-Bus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511 16.6.2 Bezeichnungen des IEC-Bus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511 16.6.3 IEC-Bus-Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511 16.6.4 Ger¨ ategrundfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512 16.6.5 IEC-Bus-Leitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 16.6.6 Bus-Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514 16.6.7 Handshake-Verfahren (Dreidraht-Handshake) . . . . . . . . 515 16.6.8 Nachrichtenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517 16.6.9 Schlußzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523 16.6.10 Statusabfrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523 16.6.11 IEC-Bus-Hardware . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524 16.7 VXI-Bus, PXI-Bus und MXI-Bus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527 16.7.1 VXI-Bus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527 16.7.2 Resource Manager (System Manager) . . . . . . . . . . . . . . . 528 16.7.3 Commander . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528 16.7.4 Servant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 16.7.5 Busgliederung/Teilbusse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 16.7.6 VXI- und IEC-Bus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 16.7.7 PXI-Bus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530 16.7.8 PCI-Express . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533 16.7.9 PXI-Express (PXIe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533 16.7.10 MXI-Bus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534 16.7.11 PXI MultiComputing (PXImc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536 16.7.12 Historie der bisher diskutierten Bus-Standards . . . . . . . 537 17 Meßdatenerfassung im Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 17.1 Die speicherprogrammierbare Steuerung (SPS) . . . . . . . . . . . . . . 539 17.1.1 Aufbau einer SPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 17.1.2 Programmstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 17.1.3 Permanent-zyklischer Betrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540 17.1.4 Ausnahmen vom permanent-zyklischen Betrieb . . . . . . . 542 17.1.5 Besonderheiten der Programmierung . . . . . . . . . . . . . . . . 542 17.1.6 Programmiersprachen f¨ ur SPS nach IEC 61131-3 . . . . . 542 17.1.7 Beispiele f¨ ur die IEC-genormten SPSProgrammiersprachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544 17.2 Neue Entwicklungen bei Speicherprogrammierbaren Steuerungen (SPS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549 17.2.1 Vernetzung von Speicherprogrammierbaren Steuerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549 17.2.2 Visualisierung von SPS-Daten und -Prozessen . . . . . . . . 553 17.3 Hierarchie industrieller Bussysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558 17.4 Vorschrift f¨ ur eine einheitliche Kommunikation: Das ISO-Schichtenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559 17.5 Netzwerktopologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561 17.6 Bus-Zugriffsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562

Inhaltsverzeichnis

XXV

17.6.1 Klassifizierung der Bus-Zugriffsverfahren . . . . . . . . . . . . 563 17.7 Modulationsverfahren und Bitcodierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563 17.7.1 Alternierende Puls Modulation (APM) . . . . . . . . . . . . . . 563 17.7.2 Fehlererkennung und Datensicherung . . . . . . . . . . . . . . . 565 17.7.3 Bitcodierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566 17.8 Schnittstellenkonverter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567 17.9 Der Feldbus (FAN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568 17.9.1 ASI-Bus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571 17.9.2 CAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572 17.9.3 PROFIBUS-DP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574 17.9.4 FIP-Bus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577 17.9.5 INTERBUS-S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578 17.9.6 BITBUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580 17.9.7 EIB (European Installation Bus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581 17.9.8 LON (Local Operating Network) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 17.9.9 DIN-Meßbus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585 17.10 Primäre Sensorelement-Schnittstelle (PrimSens) . . . . . . . . . . . . 586 18 Vernetzung von Meßdatenrechnern (Industrie-LAN, WAN) 589 18.1 IP-Adressen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590 18.2 Subnetzmasken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591 18.3 Internet-Protokoll (IP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592 18.4 Transmission Control Protocol (TCP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592 18.5 Echtzeitf¨ ahigkeit des Ethernet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592 ¨ 18.6 Ubergeordnete Kommunikationsebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 ¨ 18.7 Physikalische Ethernet-Ubertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 18.8 Ethernet-Telegrammstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594 18.9 Verbindung mehrerer lokaler Netze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594 18.10 Standort¨ ubergreifende Vernetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596 18.10.1 Breitband-ISDN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596 18.10.2 Datex-P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597 18.10.3 GSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597 18.10.4 Powerline-Kommunikation (Power Line Communication, PLC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598 18.10.5 Satellitenkommunikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599 18.10.6 Metropolitan Area Network (MAN) . . . . . . . . . . . . . . . . . 600 18.10.7 Wide Area Network (WAN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600 18.10.8 Hochgeschwindigkeits-Glasfasernetz FDDI . . . . . . . . . . . 600 18.11 Rechnernetze zur Meßdaten¨ ubertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601 18.11.1 Spezielle Bussysteme zur Meßdatenerfassung . . . . . . . . . 601 18.11.2 Vernetzung von Meßdatenerfassungssystemen mittels Ethernet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601 18.12 Virtuelle Instrumentierung auf der Basis von USB-Meßmodulen605 18.12.1 Funktionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605 18.12.2 Beispiele f¨ ur USB-Meßger¨ ate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606

XXVI Inhaltsverzeichnis

18.13 Ethernet-Nutzung zur Meßdatenerfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610 18.13.1 LXI - Ein neuer Standard f¨ ur die Meßtechnik . . . . . . . . 610 18.13.2 Die technische Basis von LXI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611 18.13.3 Die 3 Ger¨ ateklassen A, B und C des LXI-Standards . . . 612 18.13.4 Triggerm¨ oglichkeiten von LXI-Geräten . . . . . . . . . . . . . . 614 18.13.5 Triggerung gem¨ aß IEEE-1588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614 18.13.6 Die Situation des LXI-Ger¨ atemarktes . . . . . . . . . . . . . . . 616 18.14 VPN - Virtual Private Network . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616 19 Programmierung von Meßdatenerfassungssystemen . . . . . . . . 619 19.1 Allgemeine Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619 19.2 IEC- und VXI-Bus-Kommunikation, SCPI-Standard . . . . . . . . . 620 19.2.1 Syntax der SCPI-Sprache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622 19.2.2 SCPI-Datenformate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625 19.3 Einsatz kommerzieller Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626 19.4 Kategorien von Softwarel¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626 19.4.1 Dialoggef¨ uhrte Komplettpakete (Fertiglösungen) . . . . . 626 19.4.2 Modul-Bibliotheken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627 19.4.3 Graphikorientierte Entwicklungssysteme (Programmgeneratoren) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627 19.4.4 Systeme mit speziellen Kommandosprachen . . . . . . . . . . 628 19.5 LabVIEW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629 19.6 LabWindows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634 19.7 MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635 20 Geb¨ audeautomatisierung (Smart Home) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639 20.1 Struktur des Gesamtsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640 20.2 Datenerfassung mit frequenzanaloger Schnittstelle . . . . . . . . . . . 641 20.3 Datenerfassung mit digitaler Schnittstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643 20.4 Datenerfassung mit energieautarker digitaler Funkschnittstelle 644 20.5 Lokale und weltweite Vernetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647 20.5.1 LAN - lokales Netzwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647 20.5.2 Standort¨ ubergreifende Vernetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648 20.5.3 Weltweite Vernetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649 20.6 Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661

1 Umfang und Bedeutung der Elektrischen Meßtechnik

1.1 Zur Historie und Bedeutung der Meßtechnik Die meßtechnische Erfassung von physikalisch-technischen Gegenständen und Prozessen stellt zusammen mit der logischen Denkfähigkeit des Menschen, also insbesondere auch der F¨ ahigkeit, diese Objekte und Vorgänge mathematisch zu beschreiben, eine wesentliche Grundlage aller Natur- und Ingenieurwissenschaften dar. Schon der griechische Philosoph Platon (427-347 v. Chr.) hat auf die große Bedeutung der Meßtechnik hingewiesen, als er im X. Buch seines Werkes Der Staat“ schrieb [122]: ” ’Dieselben Gegenstände erscheinen uns krumm oder gerade, je nachdem ” wir sie in oder außer Wasser erblicken, ebenso hohl oder erhaben infolge der Täuschung unseres Gesichtssinnes durch die Farben; und all dies deutet auf eine Verwirrung in der Seele hin.’ (...) ’Messen, Zählen und Wägen zeigen sich dagegen als die willkommensten Helfer, so daß in uns nicht das scheinbar Größere oder Kleinere oder Zahlreichere oder Schwerere von Ausschlag ist, sondern das Rechnende, Messende, Wägende.’ ’Wie auch nicht!’ ’Das ist die Aufgabe des vern¨ unftigen Teiles in unserer Seele.’(...) ’Der Teil, der auf Maß und Berechnung vertraut, ist wohl der beste Teil der Seele?’ ’Nat¨ urlich!’ ’Sein Gegenteil gehört zu dem Schwachen in uns?’ ’Notwendigerweise!’“ Zwischen der Meßtechnik, deren grundlegende Aufgabe die experimentelle Bestimmung physikalischer Gr¨ oßen ist, und der Entwicklung der Industrielandschaft aber auch der kulturellen Entwicklung bestehen seit jeher große Abhängigkeiten. Die Meßtechnik spielte schon in der Antike eine zentrale Rolle, insbesondere im Zusammenhang mit Meßgrößen, die Bestandteil des t¨ aglichen Leben sind, wie z. B. Entfernungen oder das Gewicht von Waren. Die entsprechenden Maßeinheiten lieferte oft der menschliche Körper, wie u.a.

R. Lerch, Elektrische Messtechnik, Springer-Lehrbuch, 5th ed., DOI 10.1007/978-3-642-05455-6_1, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

2


die in fr¨ uheren Zeiten gebr¨ auchlichen Einheiten Fuß“, Spanne“ oder Klaf” ” ” ter“ zeigen. Wie die Funde von W¨ agesteinen belegen, war das f¨ ur die Entwicklung der Ware-Geld-Beziehung notwendige, auf Gewichtseinheiten basierende Wiegen bereits Jahrtausende vor Christus eingef¨ uhrt. Eines der ältesten, aus Babylon stammenden Maßsysteme enthielt auch schon Einheiten f¨ ur die Größen Länge“ (babylonische Elle), Fl¨ ache“, Volumen“ und Gewicht“. ” ” ” ” Um dem im Laufe der Jahrhunderte entstandenen Wildwuchs an Maßeinheiten Einhalt zu gebieten, war es eine Forderung der Französischen Revolution, daß einheitliche Maße vereinbart werden sollten. Schließlich wurde im Jahre 1799 die Längeneinheit Meter“ als der vierzigmillionste Teil des Erdmeri” dians zunächst in Frankreich, sp¨ ater auch in Preußen und Sachsen, festgeschrieben, während von der industriellen Entwicklung Englands die bekannten angelsächsischen L¨ angenmaßeinheiten ausgingen. Bis ins 19. Jahrhundert hinein beschränkte man sich auf die Messung geometrischer, mechanischer und thermischer Gr¨ oßen. F¨ ur die quantitative Erfassung weiterer wichtiger Meßgrößen, wie z. B. die Ionendosis oder die Energiedosis von radioaktiver Strahlung, standen bis dahin keine entsprechenden Meßgeräte zur Verf¨ ugung; es bestand jedoch schon die M¨ oglichkeit ihres qualitativen Nachweises. Die Meßtechnik hat auch ganz wesentlich zur Weiterentwicklung aller Natur- und Ingenieurwissenschaften beigetragen. So verhalf beispielsweise die Zeitmeßtechnik zu Aussagen u aßigkeiten bei der Erdrotation. ¨ber Unregelm¨ Heute ist die Meßtechnik als ein zentrales Element der modernen Technologieund Industrielandschaft etabliert. Sie dient dort neben dem Warenaustausch vor allem der Forschung und Entwicklung, der Fertigung sowie der Qualitätssicherung von Produkten. Eine Vielzahl technischer Funktionsabläufe muß st¨ andig meßtechnisch kontrolliert werden, um beispielsweise die gew¨ unschte Qualität in der Fertigung zu erreichen oder auch um die notwendige Sicherheit und Umweltverträglichkeit von Prozessen zu gewährleisten. Ein Beispiel aus dem Bereich des Umweltschutzes zeigt auch, daß sich manche der dort anstehenden Aufgaben erst mit der Entwicklung und Bereitstellung eines hochwertigen Meßverfahrens l¨ osen lassen. So wurde am Institut f¨ ur Hochfrequenztechnik der Universit¨ at Erlangen ein Empfänger f¨ ur elektromagnetische Submillimeterwellen (Frequenzen im Terahertzbereich) entwickelt, welcher in Flugzeugen, die in großer H¨ ohe fliegen, eingesetzt werden kann, um dort Schadstoffkonzentrationen zuverl¨ assig zu messen. Diese Messungen basieren im wesentlichen auf der Detektion elektromagnetischer Strahlung, die bei einer Frequenz von 2,5 Terahertz von sog. Hydroxyl-Ionen emittiert wird. Diese Hydroxyl-Ionen werden neben den Fluorkohlenwasserstoffen (FCKW) als eine Substanz angesehen, die zum Abbau der Ozonschicht f¨ uhrt. Viele technische Fortschritte spiegeln sich in der Entwicklung von Meßverfahren und dazugeh¨ origen Meßger¨ aten wider, die ihrerseits wiederum zu einer Verbesserung des Kenntnisstandes auf dem Gebiet der Elektrotechnik beitragen. Eines der j¨ ungsten Beispiele daf¨ ur ist der Quanten-Halleffekt, f¨ ur dessen Entdeckung im Jahre 1985 der Nobelpreis an Prof. von Klitzing vergeben wurde. Der Effekt konnte nur durch Bereitstellung und Nutzung einer sehr

1.2 Der Begriff des Messens

3

hochwertigen Meßtechnik entdeckt werden. Andererseits kann der QuantenHalleffekt wiederum zur hochgenauen Definition der Einheit des ohmschen Widerstandes genutzt werden, womit er zu einer größeren Präzision in der Elektrischen Meßtechnik beitr¨ agt. In nahezu allen Disziplinen der Technik geht die entsprechende Meßtechnik zunehmend in eine rein elektrische Meßwertverarbeitung u ¨ber. Der allgemeine Trend besteht darin, f¨ ur die verschiedenen Meßaufgaben Meßwertaufnehmer zu entwickeln, welche die unterschiedlichsten nicht-elektrischen Meßgrößen detektieren und in entsprechende elektrische Signale umsetzen. Die weitere Verarbeitung dieser nunmehr elektrischen Signale (Meßwerte) ist dann weitgehend standardisiert und mittlerweile ein fester Bestandteil der Elektrischen Meßtechnik geworden. Der große Vorzug der Elektrischen Meßtechnik liegt dabei vor allem in der großen Pr¨ azision, mit der sich elektrische Signale, etwa im Gegensatz zu mechanischen Gr¨ oßen, bei relativ geringem Aufwand verarbeiten und speichern lassen. Auch die Tatsache, daß sich die beiden Größen Frequenz“ und Zeit“ ” ” mit Hilfe der Methoden der Elektrischen Meßtechnik mit großer Genauigkeit bestimmen lassen, bildet eine weitere Basis ihres Erfolges. So beruht beispielsweise das Prinzip des heute weltweit angewendeten Navigationssystems GPS (Global Positioning System) auf einer pr¨ azisen Messung von Zeiten, in diesem Fall von Laufzeiten, die ein elektromagnetisches Signal von einem in bekannter Position befindlichen Satelliten bis zu einem Empfangsort benötigt. An diesem Empfangsort befindet sich ein portabler Empfänger, dessen geometrische Breiten-, Längen- und H¨ ohenkoordinaten aus diesen Zeitmessungen mit hoher Genauigkeit bestimmt werden k¨ onnen.

1.2 Der Begriff des Messens Unter Messen versteht man das quantitative Erfassen einer Größe, der sog. Meßgröße. Präziser formuliert heißt Messen, eine zu messende Größe als Vielfaches einer allgemein anerkannten Einheitsgr¨ oße derselben physikalischen Dimension zu bestimmen, und zwar durch experimentellen Vergleich mit einer Maßverkörperung dieser Einheit. Dabei bedienen wir uns sog. Meßgeräte. Meßgeräte können insbesondere auch den Teil der Natur erschließen helfen, f¨ ur den unsere Sinne keine Empfindungen haben, wie z.B. der Schall im Ultraschallbereich oder alle Arten von ionisierender Strahlung. Zur Durchf¨ uhrung von Messungen m¨ ussen die folgenden drei Voraussetzungen erf¨ ullt sein: • • •

Existenz eines Zahlensystems Definition einer Meßgr¨ oße Festlegung der Einheit.

Die Elektrische Meßtechnik behandelt zun¨ achst die Messung rein elektrischer Größen, wie Spannung, Strom, elektrische Leistung und Impedanz (Widerstand, Induktivität, Kapazit¨ at). Nach der eigentlichen Gewinnung (Detektion) des Meßsignals wird dieses verarbeitet, d. h. es wird u. a. kompensiert,

4


verstärkt, ¨ ubertragen, linearisiert oder digitalisiert, bevor das Meßergebnis (Meßwert) entweder • • •

auf einer Anzeige (analog oder digital) ausgegeben, mittels Schreiber oder Drucker dokumentiert oder zur Regelung eines Prozesses benutzt wird.

Ein weiteres wichtiges Teilgebiet der Elektrischen Meßtechnik beschäftigt sich mit der Messung nicht-elektrischer Größen. Dazu bedient man sich sog. Sensoren (Aufnehmer, Meßf¨ uhler, Detektoren), welche die jeweilige physikalische Größe in ein elektrisches Signal umwandeln, das dann leicht mit bewährten Methoden der Elektrischen Meßtechnik weiterverarbeitet werden kann. Zusammenfassend kann festgestellt werden, daß sich die Elektrische Meßtechnik mit den folgenden Teilaufgaben besch¨ aftigt: • • •

Gewinnung des Meßsignals, d. h. Detektion der (elektrischen oder nichtelektrischen) Meßgr¨ oße und Umwandlung in ein f¨ ur die weitere Verarbeitung geeignetes elektrisches Signal ¨ Verarbeitung und Ubertragung des elektrischen Meßsignals Darstellung, Dokumentation und Speicherung der Meßwerte.

Die Verarbeitung elektrischer Meßsignale zeichnet sich gegen¨ uber den Meßverfahren anderer Wissenschaftszweige durch folgende Vorz¨ uge aus: • • • •

leistungsarmes und damit r¨ uckwirkungsarmes Erfassen von Meßgrößen großer Meßbereichsumfang (hohe Dynamik) einfache Verarbeitbarkeit der Meßsignale mit Hilfe elektronischer Schaltungen ¨ leichte Ubertragbarkeit und Speicherung der Meßsignale mit Standardverfahren der Nachrichtentechnik.

1.3 Begriffsdefinitionen in der Meßtechnik 1.3.1 Allgemeine Begriffe Im folgenden werden die wichtigsten Begriffsdefinitionen der Meßtechnik nach DIN 1319 (Grundbegriffe der Meßtechnik), VDI/VDE 2600 (Metrologie, Meßtechnik) sowie DIN VDE 0410 (Bestimmungen f¨ ur elektrische Meßgeräte) zusammengefaßt: Messen ist der experimentelle Vorgang, durch den ein spezieller Wert einer physikalischen Gr¨ oße als Vielfaches einer Einheit oder eines Bezugswertes ermittelt wird (DIN 1319). Die Meßgröße ist die physikalische Gr¨ oße, deren Wert durch eine Messung ermittelt werden soll (VDI/VDE 2600). Der Meßwert ist der gemessene spezielle Wert einer Meßgröße, er wird als Produkt aus Zahlenwert und Einheit angegeben (DIN 1319).

1.3 Begriffsdefinitionen in der Meßtechnik

5

Das Meßergebnis ist ein aus mehreren Meßwerten einer physikalischen Größe oder aus Meßwerten f¨ ur verschiedene Gr¨ oßen nach einer festgelegten Beziehung ermittelter Wert oder Werteverlauf. Ein einzelner Meßwert kann aber auch bereits das Meßergebnis darstellen (VDI/VDE 2600). Meßprinzip heißt die charakteristische physikalische Erscheinung, die bei der Messung benutzt wird (DIN 1319). Meßverfahren nennt man die spezielle Art der Anwendung eines Meßprinzips (VDI/VDE 2600). Man unterscheidet dabei im wesentlichen zwischen dem Ausschlagverfahren, bei dem der Ausschlag oder die Anzeige eines Meßwertes ein Maß f¨ ur die Meßgr¨ oße ist (idealerweise proportional), und dem Nullabgleichverfahren, bei dem die in Kap. 1.5.1 beschriebene Kompensationsmethode eingesetzt wird. 1.3.2 Meßger¨ at und Meßeinrichtung Ein Meßgerät liefert oder verk¨ orpert Meßwerte, auch die Verkn¨ upfung mehrerer voneinander unabh¨ angiger Meßwerte, z. B. das Verhältnis von Meßwerten (DIN 1319). Eine Meßeinrichtung besteht aus einem Meßgerät oder mehreren zusammenhängenden Meßger¨ aten mit zus¨ atzlichen Einrichtungen, die ein Ganzes bilden (DIN 1319). Als Hilfsgeräte werden die Komponenten bezeichnet, die nicht unmittelbar der Aufnahme, der Umformung oder der Ausgabe von Meßwerten dienen. Meßsignale stellen Meßgr¨ oßen im Signalflußweg einer Meßeinrichtung durch zugeordnete physikalische Gr¨ oßen gleicher oder anderer Art dar (VDI/VDE 2600). 1.3.3 Meßkette (Struktur einer elektrischen Meßeinrichtung) Eine komplette Meßkette besteht aus den in Abb. 1.1 gezeigten Komponenten. Grundsätzlich besteht eine Meßeinrichtung zur elektrischen Messung elektrischer bzw. nicht-elektrischer Gr¨ oßen aus den Meßgeräten (Meßgliedern), die im einzelnen folgende Aufgaben erf¨ ullen: • • •

Aufnehmen der Meßgr¨ oße Weitergeben, Anpassen und Verarbeiten des Meßsignals Ausgeben des Meßwertes.

Nach dem Geräteplan (Abb. 1.1) sind die hierf¨ ur notwendigen Meßglieder in einer Meßkette zusammengeschaltet (VDI/VDE 2600, Bl. 3). Der Aufnehmer wandelt die Meßgr¨ oße entweder direkt oder u ¨ber andere physikalische Größen in ein elektrisches Meßsignal y1 um. Die Anpasser enthalten Meßgeräte, die zwischen Aufnehmer und Ausgeber in der Meßkette liegen. Dazu gehören vor allem Meßverstärker und elektronische Rechengeräte. Der Ausgeber gibt die Meßwerte z analog oder digital entweder direkt (d. h. sofort sichtbar und verständlich) u ¨ber eine Anzeige, Schreiber bzw. Zähler oder aber indirekt, d. h. nicht ohne Spezialvorrichtung lesbar, zur weiteren Informationsverarbeitung aus. Die Hauptaufgabe des Hilfsger¨ ates ist es, die von den Meßgeräten eventuell benötigte Hilfsenergie zu liefern.

6


Abb. 1.1. Struktur einer elektrischen Meßeinrichtung nach VDI/VDE 2600

1.4 Vorschriften und Normen In Tabelle 1.1 werden die wichtigsten nationalen und internationalen Institutionen angef¨ uhrt, die zur Normbildung und zur Definition von Vorschriften im Bereich der Elektrischen Meßtechnik beitragen. In Tabelle 1.2 sind die wichtigsten in der Elektrischen Meßtechnik zu beachtenden Vorschriften und Normen in tabellarischer Form zusammengefaßt. Tabelle 1.1. Normbildende Institutionen und Standardisierungsgremien ANSI CCITT

American National Standards Institute, New York; USA/national Comité Consultatif International Télégraphique et Téléphonique, Genf; international CEE Commission Internationale de Réglementation en vue de l’approbation de l’Equipment Electrique; Europa CENELEC Comité Européen de Coordination des Normes Electriques; Europa DIN Deutsches Institut f¨ ur Normung e. V., Berlin; national EIA Electronic Industry Association; USA/national IEC International Electrotechnical Commission; international IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers, New York; national/international ISO International Standards Organisation, Genf; international ¨ ¨ OVE Osterreichischer Verband f¨ ur Elektrotechnik, Wien; national VDE Verband Deutscher Elektrotechniker e. V., Frankfurt; national VDI Verband Deutscher Ingenieure e. V., D¨ usseldorf; national DKE Deutsche Elektrotechnische Kommission im DIN und VDE; national

1.5 Klassifizierung von Meßmethoden

7

Tabelle 1.2. VDE-Vorschriften und DIN-Normen (Auswahl) Norm

Inhalt

VDE 0410 VDE 0411 VDE 0414 VDE 0418 VDE 2600 DIN 1301 DIN 1304 DIN 1313 DIN 1319 DIN 1333 DIN 40108 DIN 40110 DIN 43710 DIN 43780 DIN 43802 DIN 43808 DIN 43821 DIN 43830 DIN 43850 DIN 5478 DIN 5483

Bestimmungen f¨ ur elektrische Meßger¨ ate Bestimmungen f¨ ur elektronische Meßger¨ ate und Regler Bestimmungen f¨ ur Meßwandler Bestimmungen f¨ ur Elektrizit¨ atsz¨ ahler Metrologie (Meßtechnik) Einheiten Formelzeichen Physikalische Gr¨ oßen und Gleichungen Grundbegriffe der Meßtechnik Zahlenangaben Gleich- und Wechselstromsysteme Wechselstromgr¨ oßen Thermospannungen und Werkstoffe der Thermopaare Genauigkeitsklassen von Meßger¨ aten Skalen und Zeiger f¨ ur elektrische Meßinstrumente Zungenfrequenzmesser Widerstandsferngeber Schreibende Meßger¨ ate Elektrizit¨ atsz¨ ahler Maßst¨ abe in graphischen Darstellungen Zeitabh¨ angige Gr¨ oßen

1.5 Klassifizierung von Meßmethoden Eine Klassifizierung von Meßmethoden kann nach verschiedenen Kriterien erfolgen. Die wichtigsten Klassifizierungsmethoden werden in den folgenden vier Abschnitten kurz beschrieben. 1.5.1 Ausschlagmethode - Kompensationsmethode Bei der Ausschlagmethode wird die Meßgr¨ oße direkt oder u ¨ber Zwischengrößen in einen möglichst proportionalen Ausschlag umgewandelt, z. B. die Winkelstellung eines Meßger¨ atezeigers. Als Sonderfall kann dieser Ausschlag auch in reiner Zahlendarstellung mit theoretisch unendlich vielen Nachkommastellen erfolgen. Ein charakteristisches Kennzeichen dieser Meßmethode ist der Entzug von Energie aus dem Meßobjekt, was eine R¨ uckwirkung auf die zu messende Größe zur Folge hat. Bei der Kompensationsmethode hingegen (Abb. 1.2) wird von der Meßgr¨ oße xE bzw. der daraus abgeleiteten Abbildungsgröße xB eine mittels einer Hilfsquelle erzeugte gleichartige und gleichgroße Kompensationsgröße xK (Vergleichsgröße) subtrahiert, so daß die Differenz von Meßgröße bzw. Abbildungsgröße und Kompensationsgr¨ oße gerade Null ergibt. Die Meßgröße wird

8


dabei zunächst mit Hilfe eines Aufnehmers in eine proportionale Abbildungsgr¨ oße xB umgewandelt. Die Kompensationsgröße muß sowohl einstellbar als auch meßbar sein. Da hierbei die zur Messung notwendige Energie aus der Hilfsquelle und nicht aus dem Meßobjekt stammt, ist diese Meßmethode r¨ uckwirkungsfrei, d. h. die Meßgr¨ oße wird nicht durch Energieentzug während des Meßvorganges ver¨ andert. Dem Nachteil des größeren gerätetechnischen Aufwandes stehen bei dieser Methode aber weitere Vorteile gegen¨ uber, wie z. B. die Reduzierung des St¨ orgr¨ oßeneinflusses beim Erzeugen der Kompensationsgr¨ oße in einer zweiten gleichartigen Meßstrecke oder die leichte Realisierung großer Meßbereiche [63].

Abb. 1.2. Signalfluß bei der Kompensationsmethode

1.5.2 Analog - Digital Bei den analogen Meßmethoden wird die Meßgröße durch eine eindeutige und stetige Anzeigegröße (Meßwert) dargestellt. Häufig hat der Ausgeber einer analog arbeitenden Meßeinrichtung eine Skalenanzeige. Im Gegensatz dazu wird bei den digitalen Meßmethoden die Meßgröße in Form einer in festgelegten Schritten quantisierten Anzeigegröße dargestellt. Der Ausgeber wird hier im allgemeinen in Form einer Ziffernanzeige oder einer Bildschirmausgabe realisiert. 1.5.3 Kontinuierlich - Diskontinuierlich Von kontinuierlichen Meßvorgängen spricht man, wenn die Meßgröße ohne zeitliche Unterbrechung erfaßt und auch dargestellt wird. Von einer diskontinuierlichen Messung ist die Rede, wenn die Meßgröße nur zu bestimmten (diskreten) Zeitpunkten erfaßt (abgetastet) wird.

1.6 Die Informationstr¨ ager im Meßsignal

9

1.5.4 Direkt - Indirekt Bei den direkten Meßmethoden wird die Meßgr¨ oße unmittelbar mit einer Maßverkörperung derselben physikalischen Dimension verglichen. Bei den indirekten Methoden wird die Meßgr¨ oße zun¨ achst in eine proportionale Zwischengröße umgewandelt und erst diese wird schließlich mit der Maßverkörperung verglichen. Die Bestimmung des Volumens eines Zylinders u ¨ber die Messung seines Durchmessers und seiner L¨ ange ist ein typisches Beispiel f¨ ur eine indirekte Messung.

1.6 Die Informationstr¨ ager im Meßsignal Der Träger der Information in der Meßtechnik ist das Meßsignal, d. h. eine physikalische Größe mit einem informationstragenden Parameter, der eine Information u oße aufnehmen kann. In der Elektrischen Meßtech¨ber eine Meßgr¨ nik werden typischerweise elektrische Spannungen bzw. elektrische Ströme als Informationsträger benutzt. Dabei werden von einem Signal folgende Eigenschaften verlangt: • •

Das Signal ist eine physikalische Gr¨ oße (Signalträger, Informationsträger), die sich zeitlich ver¨ andern l¨ aßt. Der Signalträger besitzt einen wahrnehmbaren Parameter (Informationsparameter), der die Werte der Meßgr¨ oße eindeutig und reproduzierbar wiedergeben kann, d. h. die Meßgr¨ oße wird auf den Informationsparameter in mathematisch eineindeutiger Weise abgebildet.

Da in der Elektrischen Meßtechnik die Meßsignale im allgemeinen in Form elektrischer Spannungen bzw. elektrischer Str¨ ome verarbeitet werden, bieten sich alle Standardformen des Informationsparameters an, die aus der elektrischen Nachrichtentechnik bekannt sind. Die den Meßwert beschreibenden Informationen werden dabei auf eine der folgenden Arten codiert:

Abb. 1.3. a) Amplitudenmoduliertes Signal (Der Meßwert ist proportional zur Momentanamplitude.), b)Frequenzmoduliertes Signal (Der Meßwert ist proportional zur Momentanfrequenz.)

10

• • • •


Amplitudenanaloges Signal (Amplitudenmodulation - AM) Meßwert ∼ Amplitude (Abb. 1.3a) Frequenzanaloges Signal (Frequenzmodulation - FM) Meßwert ∼ Frequenz eines zeitkontinuierlichen Signals oder einer Impulsfolge (Abb. 1.3b) Zeitanaloges Signal (Pulsdauermodulation - PDM) Meßwert ∼ Pulsdauer (Abb. 1.4a) Digitales Signal (Pulscodemodulation - PCM) Der Meßwert wird digital codiert (Abb. 1.4b).

Abb. 1.4. a) Pulsdauermoduliertes Signal (Der Meßwert ist proportional zur Pulsdauer tX .), b) Pulscodemodulation (Der Meßwert ist in Form einer Dualzahl codiert.)

2 Die Grundlagen des Messens

2.1 Maßsysteme, Einheiten, Naturkonstanten 2.1.1 Maßsysteme Die Messung einer physikalischen Gr¨ oße besteht im Vergleich mit einer Maßeinheit, d. h. die physikalische Gr¨ oße ergibt sich stets als Produkt aus einem Zahlenwert und einer Maßeinheit: Physikalische Gr¨ oße = Zahlenwert · Einheit

Man ist bestrebt, die Einheiten durch unvergängliche atomare Größen zu definieren, die an jedem Ort und zu jeder Zeit mit hoher Genauigkeit bestimmt werden können. Die Generalkonferenz f¨ ur Maße und Gewichte hat daher im Jahre 1960 das inzwischen weltweit eingef¨ uhrte Système International ” d’Unités“ (SI-System) vorgeschlagen, dessen Anwendung auch im deutschen Sprachraum gesetzlich vorgeschrieben ist. Das System definiert zunächst die Basisgrößen und die dazugeh¨ origen Basiseinheiten, welche beide in Tabelle 2.1 zusammengefaßt werden. Tabelle 2.1. SI-Basisgr¨ oßen und SI-Basiseinheiten Basisgr¨ oße

Formelzeichen Basiseinheit Einheitenzeichen

L¨ ange Masse Zeit Stromst¨ arke Temperatur Lichtst¨ arke Stoffmenge

l m t I T Iv n

Meter Kilogramm Sekunde Ampere Kelvin Candela Mol

m kg s A K cd mol


12

2 Die Grundlagen des Messens

Die Basiseinheiten der sieben Basisgr¨ oßen sind im SI-System exakt festgelegt worden. Die entsprechenden Definitionen werden in der folgenden Aufstellung beschrieben: •

•

•

•

•

Mechanik – 1 Meter (L¨ ange) Länge der Strecke, die Licht im Vakuum während des Zeitintervalls von (1/299 792 458) Sekunden durchl¨ auft (1983). – 1 Kilogramm (Masse) Masse des internationalen Kilogrammprototyps (1889). – 1 Sekunde (Zeit) ¨ Die 9 192 631 770fache Periodendauer der dem Ubergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Nuklids 133 Cs entsprechenden Strahlung (1967). Elektrotechnik – 1 Ampere (Stromst¨ arke) Stärke eines zeitlich unver¨ anderlichen elektrischen Stromes, der, durch zwei im Vakuum parallel im Abstand von 1 m voneinander angeordnete, geradlinige, unendlich lange Leiter von vernachlässigbar kleinem, kreisförmigem Querschnitt fließend, zwischen diesen Leitern pro 1 m Leiterlänge elektrodynamisch die Kraft 0, 2 · 10−6 N hervorrufen w¨ urde (1948). Thermodynamik – 1 Kelvin (Temperatur) ist der 273,16te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes des Wassers (1967). Optik – 1 Candela (Lichtst¨ arke) ist die Lichtst¨ arke in einer bestimmten Richtung einer Strahlungsquelle, die monochromatische Strahlung der Frequenz 540 · 1012 Hertz aussendet und deren Strahlst¨ arke in dieser Richtung (1/683) Watt je Steradiant beträgt (1979). Chemie – 1 Mol (Stoffmenge) ist die Stoffmenge eines Systems bestimmter Zusammensetzung, das aus ebenso vielen Teilchen besteht, wie Atome in (12/1000) kg des Nuklids 12 C enthalten sind (1971).

2.2 Gr¨ oßen- und Zahlenwertgleichungen

13

2.1.2 Naturkonstanten Zahlenwerte und Einheiten von Naturkonstanten werden durch das Maßsystem, i. allg. das SI-System, festgelegt (Tab. 2.2). So ergibt sich beispielsweise aus der Definition der Einheit der elektrischen Stromstärke die magnetische Feldkonstante zu µ0 = 4π · 10−7 Vs/Am = 1, 2566 · 10−6 Vs/Am [138]. Tabelle 2.2. Wichtige Naturkonstanten Naturkonstante

Zeichen

Zahlenwert

Einheit

Elektrische Elementarladung Elektrische Feldkonstante Lichtgeschwindigkeit im Vakuum Magnetische Feldkonstante Masse des Elektrons Plancksches Wirkungsquantum

e0 ε0 c0 µ0 m0 h

1, 6022 · 10−19 8, 8542 · 10−12 299 792 458 1, 2566 · 10−6 9, 1095 · 10−31 6, 6262 · 10−34

As AsV−1 m−1 ms−1 VsA−1 m−1 kg Js

2.1.3 Abgeleitete Einheiten Durch Multiplikation oder Divison der Basiseinheiten werden die f¨ ur die anderen physikalischen Gr¨ oßen ben¨ otigten Einheiten abgeleitet. Tritt bei dieser Ableitung nur der Zahlenfaktor ′ 1′ auf, so bezeichnet man die Einheiten als kohärent. Einige abgeleitete Einheiten haben eigenständige Namen (Tab. 2.3), wie z. B. der Druck p gemessen in der Einheit Pascal (Pa), andere wiederum werden nur in Form ihrer Basiseinheiten ausgedr¨ uckt, wie beispielsweise die magnetische Feldst¨ arke H mit der Einheit Ampere/Meter (A/m). Daneben gibt es noch abgeleitete Einheiten, die mit Hilfe von Einheiten ausgedr¨ uckt werden, die einen besonderen Namen haben, wie z. B. die Einheit der elektrischen Feldst¨ arke Volt/Meter (V/m = kg m s−3 A−1 ) oder die der Permittivität Farad/Meter (F/m = A2 s4 kg−1 m−3 ). Durch dezimale Vorsätze entstehen neue vergr¨ oßerte bzw. verkleinerte Einheiten (Tab. 2.4), z. B. die Einheit Megapascal (MPa), die 106 Pascal entspricht.

2.2 Gr¨ oßen- und Zahlenwertgleichungen Die mathematische Beziehung zwischen physikalischen Größen wird durch Gleichungen beschrieben. Man spricht von Größengleichungen, wenn sie ausschließlich den Zahlenfaktor ′ 1′ enthalten. Die elektrische Energie beispielsweise ist gegeben durch die Gr¨ oßengleichung (2.1). Darin bezeichnen U die Gleichspannung, gemessen in Volt (V), I den Gleichstrom, gemessen in Ampere (A), und t die Zeit, gemessen in Sekunden (s)

14

2 Die Grundlagen des Messens Tabelle 2.3. Abgeleitete SI-Einheiten mit eigenst¨ andigen Namen Gr¨ oße

Formel- Abgeleitete zeichen SI-Einheit

Beziehung zu SI-Einheiten

ebener Winkel r¨ aumlicher Winkel Frequenz Kraft Druck

α Ω f, ν F p

Radiant Steradiant Hertz Newton Pascal

rad sr Hz N Pa

1 rad 1 sr 1 Hz 1N 1 Pa

Energie, Arbeit, W¨ armeenergie Leistung, Energiestrom Ladung Spannung Widerstand Leitwert Kapazit¨ at

E

Joule

J

1J

P

Watt

W 1W

Q U R G C

Coulomb Volt Ohm Siemens Farad

C V Ω S F

magn. Fluß

Φ

Weber

Wb 1 Wb

magn. Flußdichte

B

Tesla

T

1T

Induktivit¨ at

L

Henry

H

1H

Lichtstrom Beleuchtungsst¨ arke

Φ Ev

Lumen Lux

lm 1 lm lx 1 lx

Aktivit¨ at einer radio- A aktiven Substanz Energiedosis D

1C 1V 1Ω 1S 1F

Becquerel Bq 1 Bq Gray

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

1 m m−1 1 m2 m−2 1 s−1 1 kg m s−2 1 N m−2 1 kg m−1 s−2 1 Nm 1 kg m2 s−2 1 Nm s−1 1 kg m2 s−3 1 As 1 kg m2 s−3 A−1 1 kg m2 s−3 A−2 1 s3 A2 kg−1 m−2 1 As V−1 1 A2 s4 kg−1 m−2 1 Vs 1 kg m2 s−2 A−1 1 V s m−2 1 kg s−2 A−1 1 Wb A−1 1 Vs A−1 1 kg m2 s−2 A−2 1 cd sr 1 lm m−2 1 cd sr m−2 1 s −1

Gy 1 Gy = 1 J kg −1 = 1 m2 s−2

E = U It .

(2.1)

Bei Verwendung koh¨ arenter Einheiten gelten f¨ ur die Einheiten die gleichen Formeln. Gleichung (2.1) resultiert also in folgender Einheitengleichung 1 Ws = 1 VAs = 1 Nm .

(2.2)

In Zahlenwertgleichungen hingegen werden nicht-kohärente Einheiten verkn¨ upft, wie z. B. bei der Berechnung der elektrischen Energie in der Einheit Kilowattstunde (kWh) E (kWh) = 0, 278 · 10−6 U (V) I (A) t (s) = 0, 278 · 10−6 E (Ws) .

(2.3)

2.2 Gr¨ oßen- und Zahlenwertgleichungen

15

Tabelle 2.4. Vors¨ atze zur Bezeichnung von dezimalen Vielfachen und Teilen von Einheiten Vorsatz Zeichen Zahlenwert Vorsatz Zeichen Zahlenwert Atto Femto Piko Nano Mikro Milli Zenti Dezi

a f p n µ m c d

10−18 10−15 10−12 10−9 10−6 10−3 10−2 10−1

Deka Hekto Kilo Mega Giga Tera Peta Exa

da h k M G T P E

10+1 10+2 10+3 10+6 10+9 10+12 10+15 10+18

Bei Zahlenwertgleichungen m¨ ussen die Einheiten mit angegeben werden. Verschiedene Einheiten werden in einer Einheitengleichung verkn¨ upft 1 kWh = 1000 VA 3600 s =

1 VAs . 0, 278 · 10−6

(2.4)

3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation ¨ und Vierpol-Ubertragungsverhalten

3.1 Fourier-Transformation Fourierreihen periodischer Funktionen Wir beginnen mit der Beschreibung periodischer Funktionen mit Hilfe von Fourier-Reihenentwicklungen und leiten daraus die Beschreibung auch nichtperiodischer Funktionen mittels der Fourier-Transformation ab. Die periodische Funktion f (t) = f (t + T ) läßt sich bekanntlich in Form einer trigonometrischen Reihe angeben [36] ∞

a0 X + (aν cos(νω0 t) + bν sin(νω0 t)) , 2 ν=1

f (t) =

(3.1)

wobei sich die Fourierkoeffizienten aν und bν mit 2 aν = T bν =

2 T

Z

+T /2

f (t) cos (νω0 t) dt

ν = 0, 1, 2, · · ·

(3.2)

f (t) sin (νω0 t) dt

ν = 1, 2, · · ·

(3.3)

−T /2

Z

+T /2

−T /2

berechnen lassen und T die Periodendauer darstellt. Eine alternative Darstellung kann in Form einer Cosinus-Reihe mit den Koeffizienten cν und Phasenwinkeln ϕν erfolgen f (t) =

∞ X

cν cos(νω0 t + ϕν ) mit

ϕ0 = 0 .

(3.4)

ν=0

Mit der bekannten Beziehung cos x =

1 jx (e + e−jx ) 2


(3.5)

18

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

l¨ aßt sich daraus eine ¨ aquivalente Exponentialreihe ableiten ∞ X

f (t) =

dν ejνω0 t

(3.6)

ν=−∞

1 cν ejϕν ; 2 und d0 = c0 .

d−ν = d∗ν =

mit dν =

1 cν e−jϕν 2

(3.7) (3.8)

Um die komplexwertigen Koeffizienten dν aus der Funktion f (t) zu erhalten, l¨ osen wir Gl. (3.6) nach dν auf. Dazu multiplizieren wir beide Seiten mit e−jµω0 t (µ ∈ Z) und integrieren u ¨ber eine Periode (Periodendauer T = 2π/ω0 ) Z

T

f (t)e−jµω0 t dt =

0

Z

T 0

∞ X

dν e−j(µ−ν)ω0 t dt .

(3.9)

ν=−∞

Auf der rechten Seite lassen sich Integral und Summe vertauschen und dν kann vor das Integral gezogen werden. F¨ ur das Integral gilt dann Z T 2π 0 f¨ ur ν 6= µ . (3.10) e−j(µ−ν)ω0 t dt = , wenn ω0 = T f¨ u r ν = µ T 0 Daraus folgt unmittelbar Z

T

0

f (t)e−jµω0 t dt = T dµ .

(3.11)

Jetzt ersetzen wir noch µ durch ν, so daß sich die Koeffizienten folgendermaßen berechnen lassen Z 1 T dν = f (t)e−jνω0 t dt. (3.12) T 0 ¨ Ubergang zur Fourier-Transformation Wir betrachten noch einmal die Exponentialentwicklung (Gl. (3.6)) und f¨ ugen einige g¨ unstige Erweiterungen ein (s. auch [162], [163]) f (t) =

∞ 1 X 2πdν jνω0 t e ω0 . 2π ν=−∞ ω0

(3.13)

In Gl. (3.12) verschieben wir die Integrationsgrenzen um eine halbe Periode dν =

1 T

Z

T /2

−T /2

f (t)e−jνω0 t dt

mit

T =

2π . ω0

(3.14)

Die Verallgemeinerung auf nicht-periodische Funktionen erreicht man, indem man die Periodendauer T → ∞ gehen l¨ aßt. Die diskreten Frequenzen νω0

3.1 Fourier-Transformation

19

werden ersetzt durch die kontinuierliche Frequenz ω und die endlichen Frequenzschritte ω0 durch das Differential dω. Wenn man in Gl. (3.14) den Ausdruck T = 2π/ω0 auf die linke Seite bringt, erhält man die Fourier-Transformierte F (jω) der Zeitfunktion f (t) Z ∞ 2πdν = f (t)e−jωt dt = F (jω). (3.15) ω0 −∞ Zur R¨ ucktransformation wird in Gl. (3.13) die Summe u ¨ber die diskreten ν ersetzt durch ein Integral u ¨ber ω. Wir setzen dementsprechend die FourieruckTransformierte F (jω) nach Gl. (3.15) ein und erhalten die Fourier-R¨ transformation (inverse Fourier-Transformation) Z ∞ 1 (3.16) f (t) = F (jω)ejωt dω . 2π −∞ Es sei noch angemerkt, daß die Fourier-Transformation bzw. die Fourier-R¨ ucktransformation symbolisch folgendermaßen geschrieben wird F (jω) = F {f (t)} f (t) = F −1 {F (jω)} .

(3.17) (3.18)

Die Fourier-Transformierbarkeit einer Funktion f (t) setzt ihre absolute Integrierbarkeit voraus Z ∞ |f (t)|dt < ∞ . (3.19) 0

Beispiele zur Fourier-Transformation Gegeben sei folgende Funktion f1 (t) = pT (t) =

1 0

f¨ ur −T ≤ t ≤ T , sonst

(3.20)

welche einen Rechteckimpuls beschreibt. Die Fourier-Transformierte dieser Funktion läßt sich mit Gl. (3.15) leicht berechnen F 1 (jω) =

Z

T

−T

e−jωt dt =

2 sin(T ω) . ω

(3.21)

Die Anwendung des Satzes von L’Hospital liefert an der Stelle ω = 0 den Grenzwert 2T . Abbildung 3.1 zeigt die Darstellung dieser Funktion im Zeitund Frequenzbereich. Weiterhin sei ein zeitlich unendlich andauerndes Sinus-Signal gegeben f2 (t) = sin ω0 t.

(3.22)

20


p (t) T

1

T

-T

Re {F1(jω)}

t

Im {F1(jω)} = 0 2T

−π/T

π/T

2π/T

ω

Abb. 3.1. Der Rechteckimpuls im Zeit- und Frequenzbereich

Die Fourier-Transformierte dieses Signals lautet F 2 (jω) = jπ [δ(ω + ω0 ) − δ(ω − ω0 )] =

π [δ(ω − ω0 ) − δ(ω + ω0 )] , j

(3.23)

wobei δ dem Dirac-Stoß (s. Kap. 3.4) entspricht. Das Spektrum dieses Signals ist in Abb. 3.2 dargestellt. Es enth¨ alt logischerweise nur einen Anteil bei der Frequenz ω0 bzw. −ω0 . Im {F2 (jω)}

Re {F2 (jω)} = 0 ω0 −ω0

ω

Abb. 3.2. Das Sinussignal im Frequenzbereich

3.2 Ausgleichsvorg¨ ange in linearen Netzwerken

21

Nun wollen wir durch Multiplikation der beiden Signale einen Teil des Sinussignals ausschneiden f3 (t) = f1 (t) · f2 (t) = pT (t) sin ω0 t.

(3.24)

Die Multiplikation im Zeitbereich entspricht einer Faltung im Frequenzbereich (s. Kap. 3.5.4), wodurch man leicht die Fourier-Transformierte F 3 (jω) erhält (∗: Faltungssymbol) 2 π sin T ω ∗ [δ(ω − ω0 ) − δ(ω + ω0 )] ω j Z 2π ∞ sin T Ω [δ(ω − Ω − ω0 ) − δ(ω − Ω + ω0 )]dΩ = j −∞ Ω 2π sin T (ω − ω0 ) sin T (ω + ω0 ) = . (3.25) − j ω − ω0 ω + ω0

F 3 (jω) =

In Abb. 3.3 ist der erste Term der Gl. (3.25) dargestellt. Bildlich gesprochen wird durch das Ausschneiden der unendlich scharfe Dirac-Stoß u ¨ber einen Frequenzbereich um ω0 verschmiert“, wobei der Impuls umso unschärfer ist, ” je k¨ urzer der Ausschnitt ist. F¨ ur ein unendlich langes Zeitfenster ergibt sich wiederum der Dirac-Stoß aus Abb. 3.2. j . F3(jω) Re {F3 (jω)} = 0 2πT ω0 −π/Τ

ω0

ω0 +π/Τ ω

Abb. 3.3. Das ausgeschnittene Sinussignal im Frequenzbereich

3.2 Ausgleichsvorg¨ ange in linearen Netzwerken Es sollen die zeitlichen Verl¨ aufe von Spannung und Strom in einem elektrischen Netzwerk ermittelt werden, wenn die Anregung einen beliebigen zeitlichen Verlauf zeigt. Schwerpunktm¨ aßig betrachtete Spezialfälle sind dabei eine zu einem bestimmten Zeitpunkt eingeschaltete periodische Anregung oder eine nach dem Einschaltzeitpunkt konstante Anregung. Nach diesem (Ein-) Schaltzeitpunkt läuft in dem Netzwerk ein sog. Einschwingvorgang ab, der sich nach mehr oder weniger langer Zeit dem stationären oder eingeschwun¨ genen Zustand ann¨ ahert. Eine neuerliche Anderung der Anregung, z. B. das Abschalten der Anregung, ruft einen weiteren Ausgleichsvorgang hervor.

22


Wenn wir uns auf ein elektrisches Netzwerk mit konzentrierten linearen und zeitinvarianten Elementen beschr¨ anken, so erfolgt die mathematische Beschreibung dieser Ausgleichsvorg¨ ange anhand einer linearen Differentialgleichung (DGL) mit konstanten Koeffizienten. Als Beispiel wollen wir den Einschwingvorgang einer RC-Tiefpaßschaltung betrachten, auf deren Eingangsklemmen zum Zeitpunkt t = 0 die Gleichspannung U0 aufgeschaltet wird (Abb. 3.4). t=0

R

i=C C

Uo

du c dt uc

Abb. 3.4. RC-Tiefpaßschaltung, die zum Zeitpunkt t = 0 mit einer Gleichspannung beaufschlagt wird.

F¨ ur Zeiten t > 0 kann die Maschengleichung −U0 + R · i + uc = 0

(3.26)

unter Verwendung der Strom-Spannungs-Beziehung f¨ ur den Kondensator i=C

duc dt

(3.27)

zu einer Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten umgeformt werden duc RC + u c = U0 . (3.28) dt ¨ Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ergibt sich aus der Uberlagerung der L¨ osung der homogenen Differentialgleichung RC

duch + uch = 0 dt

(3.29)

und einer partikul¨ aren L¨ osung der inhomogenen Differentialgleichung. Eine solche spezielle Lösung ucp l¨ aßt sich leicht angeben, wenn man bedenkt, daß f¨ ur t → ∞ der Ausgleichsvorgang abgeschlossen sein muß. Dann ist der Kondensator auf die Spannung U0 aufgeladen und es fließt kein Strom mehr. Somit ist diese partikuläre L¨ osung ucp = U0 . (3.30) Die allgemeine Lösung der homogenen DGL (Gl. (3.29)) lautet mit der Zeitkonstanten τ = RC uch = ke−t/τ , (3.31)

3.2 Ausgleichsvorg¨ ange in linearen Netzwerken

23

wobei k eine noch festzulegende Konstante ist. Die Gesamtlösung lautet also uc = uch + ucp = ke−t/τ + U0 .

(3.32)

Aus dem Anfangswert der Kondensatorspannung zum Zeitpunkt t = 0 (uc (0) = 0) läßt sich die Konstante k bestimmen k = −U0 .

(3.33)

uc = U0 (1 − e−t/τ ) .

(3.34)

Die Gesamtlösung lautet somit

Abbildung 3.5 zeigt den zeitlichen Verlauf der Kondensatorspannung uc . uC(t) U0 U0 (1-e -t/τ )

τ = RC

t

Abb. 3.5. Zeitlicher Verlauf der Ausgangsspannung des RC-Tiefpasses

Auch bei komplizierteren Netzwerken ist die Vorgehensweise analog, d.h. unter Verwendung der Kirchhoffschen Gesetze und den Strom-Spannungs-Beziehungen von Widerstand, Spule und Kondensator wird ein System von linearen ¨ Differentialgleichungen aufgestellt. Dessen L¨ osung ergibt sich aus der Uberlagerung der allgemeinen L¨ osung des homogenen Systems und einer partikulären Lösung des inhomogenen Systems. Wenn sich in einem Netzwerk nun n Energiespeicher (Kondensatoren und/oder Spulen) befinden, so enthält die L¨ osung n Konstanten, die so bestimmt werden m¨ ussen, daß die n Anfangswerte (Spannung bei Kondensatoren und Strom bei Spulen) der Energiespeicher erf¨ ullt werden, d. h. es muß ein lineares Differentialgleichungssystem mit n Unbekannten gelöst werden. In aller Regel wendet man aber zur Berechnung von Einschwingvorgängen eine elegantere Methode an, die uns das Aufl¨ osen dieses linearen Differentialgleichungssystems erspart. Diese basiert auf der sog. Laplace-Transformation, die eine spezielle Spektralzerlegung der Zeitfunktionen durchf¨ uhrt. Dies f¨ uhrt schließlich zu einem Rechengang, der die bekannten Methoden der komplexen Wechselstromrechnung [4], [136] benutzt.

24


3.3 Die Laplace-Transformation Die Laplace-Transformation ist eine Verallgemeinerung der Fourier-Transformation. F¨ ur die Berechnung von Einschwingvorgängen gen¨ ugt die Beschränkung auf Zeitfunktionen, die f¨ ur Zeiten t < 0 verschwinden. Man spricht dann von einseitiger Laplace-Transformation. Bei dieser wird nur u ¨ber positive t integriert. Ausgangspunkt ist die einseitige FourierTransformation Z ∞ f (t)e−jωt dt (3.35) F (jω) = 0

bzw. die inverse Fourier-Transformation Z ∞ 1 F (jω)ejωt dω . f (t) = 2π −∞

(3.36)

¨ Beim Ubergang zur Laplace-Transformation wird nun die in Gl. (3.35) noch rein imaginäre Frequenz jω durch die komplexe Frequenz s = σ + jω

(3.37)

ersetzt. Aus Gl. (3.35) wird dadurch die Basisgleichung der einseitigen Laplace-Transformation (Laplace-Transformationsgleichung) Z ∞ F (σ + jω) = f (t)e−σt e−jωt dt (3.38) 0

bzw. F (s) =

Z

∞

f (t)e−st dt .

(3.39)

0

Die Bedingung f¨ ur die Fourier-Transformierbarkeit einer Funktion f (t) (Gl. (3.19)) Z +∞ |f (t)| dt < ∞ , (3.40) −∞

d. h. die Forderung, daß f (t) absolut integrierbar sein muß, wird nunmehr entschärft, da Gl. (3.40) in Z ∞ |f (t)| e−σt dt < ∞ (3.41) 0

u ugen beispielsweise auch die Funktionen ¨bergeht. So gen¨ 1 f¨ ur t ≥ 0 f (t) = 0 f¨ ur t < 0 f¨ ur σ > 0 und

(3.42)

3.3 Die Laplace-Transformation

f (t) =

eα t 0

t≥0 t α der Bedingung nach Gl. (3.41). Wenn also der Wert σ in Abh¨ angigkeit von f (t) nur gen¨ ugend groß“ ” gewählt wird, so existiert die Laplace-Transformierte F (s). Das entsprechende Integral (Gl. (3.39)) konvergiert absolut und gleichmäßig f¨ ur alle s mit σ > σmin , wobei der Wert σmin die von der jeweiligen Funktion f (t) abhängende Konvergenzabszisse beschreibt. Die der Fourier-R¨ ucktransformation entsprechende Laplace-R¨ ucktransformation ergibt sich unter Verwendung der Gln. (3.35) bis (3.38) f¨ ur t > 0 zu Z ω=+∞ 1 F (σ + jω) · ejωt dω (3.44) f (t)e−σt = 2π ω=−∞ bzw.

1 f (t) = 2π

Z

ω=+∞ ω=−∞

F (σ + jω) · e(σ+jω)t dω .

(3.45)

Unter Verwendung der komplexen Frequenz s = σ + jω und der Beziehung ds = jdω läßt sich die Laplace-R¨ ucktransformation in der Form Z s=σ+j∞ 1 F (s)est ds (3.46) f (t) = 2πj s=σ−j∞ darstellen. Das R¨ ucktransformations-Integral nach Gl. (3.46) existiert nur, wenn F (s) an den Enden des Integrationspfades verschwindet. Der Integrationspfad verläuft in der komplexen s-Ebene (Abb. 3.6) parallel zur imaginären Achse in einem Bereich, wo σ > σmin gilt. F¨ ur σ > σmin ist F (s) eine holomorphe Funktion. Es sei erg¨ anzt, daß das Integral einer holomorphen Funktion nur von den Endpunkten des Integrationspfades, nicht aber von dessen Wegf¨ uhrung selbst, abhängt. Symbolische Darstellungen Laplace-Transformation: F (s) = L{f (t)} .

(3.47)

f (t) = L−1 {F (s)} .

(3.48)

R¨ ucktransformation: Die Zuordnung wird auch durch folgendes Symbolzeichen dargestellt f (t) ◦−−• F (s) ,

(3.49)

wobei wegen der Eindeutigkeit der Zuordnung (Eineindeutigkeit) aller im Bereich t > 0 stetiger Funktionen diese Zuordnung in beiden Richtungen der Transformation gilt.

26


Laplace-Ebene (s-Ebene) j. ω harmonische Schwingungen mit konstanter Amplitude exponentiell anwachsende Schwingungen

exponentiell abklingende Schwingungen

σ = Re {s}

Abb. 3.6. Laplace-Ebene (s-Ebene)

Während die Fourier-Transformation auf die rein imaginäre Achse jω und damit auf Sinusgrößen mit konstanter Amplitude beschränkt bleibt, kann mit einer komplexen Frequenz auch eine exponentiell anwachsende oder exponentiell abklingende Sinusgr¨ oße dargestellt werden (s. Abb. 3.6) ˆ · eσt cos(ωt + ϕ) = 1 (U e(σ+jω)t + U ∗ e(σ−jω)t ) u(t) = U 2

(3.50)

mit ˆ · ejϕ U= U ˆ · e−jϕ . U∗ = U

(3.51) (3.52)

Die äquivalente Darstellung in s bzw. s∗ lautet u(t) =

∗ 1 (U est + U ∗ es t ) 2

(3.53)

mit s∗ = σ − jω.

(3.54)

Der Wert von σ stellt dabei das D¨ ampfungsmaß dar (σ < 0) und ω die Kreisfrequenz (ω > 0). Es sei noch erg¨ anzt, daß die rein reelle Achse (ω = 0) reine Exponentialfunktionen mit reellen Exponenten verkörpert.

3.4 Die Laplace-Transformierte elementarer Zeitfunktionen

27

3.4 Die Laplace-Transformierte elementarer Zeitfunktionen Ziel dieses Abschnittes ist die Aufstellung einer Zuordnungstabelle, die elementare Zeitfunktionen und ihre entsprechenden einseitigen Laplace-Transformierten enthält. Bei der einseitigen Laplace-Transformation wird vorausgesetzt, daß die zu transformierende Zeitfunktion f¨ ur Zeiten t < 0 stets identisch Null ist. Dies wird f¨ ur jede Zeitfunktion durch Multiplikation mit der im folgenden definierten Sprungfunktion ε(t) erreicht. Aufgrund der eindeutigen Umkehr¨ barkeit der Transformation kann diese sowohl beim Ubergang vom Zeit- in den Laplace-Bereich als auch in umgekehrter Richtung verwendet werden. Sprungfunktion Die Sprungfunktion1 ε(t) beschreibt ein zum Zeitnullpunkt eingeschaltetes zeitlich konstantes Signal 1 f¨ ur t ≥ 0 f (t) = ε(t) = . (3.55) 0 f¨ ur t < 0 Die Laplace-Transformierte lautet ∞ Z ∞ 1 −st −st F (s) = e dt = − e . s 0 0

(3.56)

F¨ ur Realteile σ > 0 konvergiert das Integral in Gl. (3.56) und man erhält F (s) =

1 . s

(3.57)

Rampenfunktion F¨ ur die ab dem Zeitnullpunkt linear ansteigende Rampenfunktion t f¨ ur t ≥ 0 f (t) = oder f (t) = ε(t) · t 0 f¨ ur t < 0

(3.58)

erhält man die Laplace-Transformierte nach einmaliger partieller Integration ∞ Z Z ∞ 1 ∞ −st t −st −st e dt . (3.59) F (s) = te dt = − e + s s 0 0 0 Auch hier konvergiert das Integral nur f¨ ur komplexe Frequenzen s, deren Realteil positiv ist (σ > 0). Man erh¨ alt schließlich F (s) = 1

1 . s2

Die Sprungfunktion wird im folgenden stets mit ε(t) bezeichnet.

(3.60)

28


Parabelfunktionen Die Laplace-Transformierte einer Parabel n-ten Grades (n = 1, 2, 3, ...) ergibt sich durch n-malige partielle Integration n t f¨ ur t ≥ 0 f (t) = oder f (t) = ε(t) · tn (3.61) 0 f¨ ur t < 0 entsprechend zu F (s) =

n! sn+1

.

(3.62)

Exponentialfunktion Die Laplace-Transformierte der Exponentialfunktion st e0 f¨ ur t ≥ 0 f (t) = oder f (t) = ε(t) · es0 t 0 f¨ ur t < 0

(3.63)

ergibt sich zu F (s) =

Z

∞

e(s0 −s)t dt =

0

∞ 1 e(s0 −s)t . s0 − s 0

(3.64)

F¨ ur σ > Re{s0 } erh¨ alt man Konvergenz und es folgt F (s) =

1 . s − s0

(3.65)

Hyperbelfunktionen Da sich die Hyperbelfunktionen aus der Superposition von Exponentialfunktionen ergeben 1 2 1 sinh(s0 t) = 2

cosh(s0 t) =

es0 t + e−s0 t

(3.66)

es0 t − e−s0 t ,

(3.67)

lassen sich ihre Laplace-Transformierten aufgrund ihrer linearen Transformationseigenschaften leicht angeben 1 s 1 1 L{ε(t) · cosh(s0 t)} = = 2 + (3.68) 2 s − s0 s + s0 s − s20 bzw. 1 L{ε(t) · sinh(s0 t)} = 2

1 1 − s − s0 s + s0

=

s2

s0 . − s20

(3.69)

3.4 Die Laplace-Transformierte elementarer Zeitfunktionen

29

sin- und cos-Funktionen Der Spezialfall s0 = jω0 liefert mit den Gln. (3.66), (3.67) und cosh jω0 t = cos ω0 t sinh jω0 t = j sin ω0 t

(3.70) (3.71)

die Laplace-Transformierte harmonischer Signale s s2 + ω02 ω0 L{ε(t) · sin ω0 t} = 2 . s + ω02

L{ε(t) · cos ω0 t} =

(3.72) (3.73)

Delta-Impuls δ(t) Der Delta-Impuls (auch Dirac-Impuls bzw. Dirac-Stoß genannt), der bei der Analyse elektrischer Netzwerke große Bedeutung hat, ist keine Funktion im herkömmlichen Sinne, sondern mathematisch gesehen eine sog. Distribution. Die Distribution l¨ aßt sich durch einen Grenz¨ ubergang definieren. Dazu betrachten wir Abb. 3.7. Der dort gezeigte Signalverlauf läßt sich folgendermaßen beschreiben 1 f¨ ur 0 < t < T . (3.74) δT = T 0 sonst F¨ ur T → 0 erhält man daraus den Delta-Impuls. R +∞ F¨ ur den Dirac-Impuls gilt die Nebenbedingung −∞ δ(t)dt = 1. Die Laplace-Transformierte des Zeitsignals nach Gl. (3.74) ergibt Z T Z 1 −st 1 T −st 1 − e−sT FT (s) = e dt = . (3.75) e dt = T 0 sT 0 T δ

δT 1 T

1

δ (t)

T a)

t

t b)

Abb. 3.7. Delta-Impuls: a) Zeitfunktion, welche durch den Grenz¨ ubergang T → 0 den Delta-Puls definiert, b) Symbolische Darstellung: derR Zahlenwert an der Spitze +∞ des Pfeiles repr¨ asentiert den Fl¨ acheninhalt des Integrals −∞ δ(t)dt.

30


Die Laplace-Transformierte des Delta-Impulses erhält man schließlich durch den Grenz¨ ubergang T → 0 1 − e−sT =1. T →0 sT

lim FT (s) = Fδ (s) = lim

T →0

(3.76)

3.5 Die Eigenschaften der Laplace-Transformation — Laplace-Transformation einfacher mathematischer Operationen Bei der Anwendung der Laplace-Transformation ist es allgemein von Interesse, wie sich die Transformation auf einfache mathematische Operationen auswirkt. Bei der L¨ osung von Differentialgleichungen mit Hilfe der LaplaceTransformation ist es beispielsweise wichtig zu wissen, wie sich die Operationen Differentiation oder Integration transformieren. ¨ 3.5.1 Uberlagerung Wenn die Laplace-Transformierten zweier Zeitfunktionen f1 (t) und f2 (t) existieren f1 (t) ◦−−• F1 (s) f2 (t) ◦−−• F2 (s) ,

(3.77) (3.78)

¨ so gilt f¨ ur beliebige Konstanten c1 und c2 der Uberlagerungssatz c1 f1 (t) + c2 f2 (t) ◦−−• c1 F1 (s) + c2 F2 (s) .

(3.79)

Seine G¨ ultigkeit folgt unmittelbar aus der Linearität der Transformationsintegrale. 3.5.2 Integration Die Laplace-Transformierte des Integrals Z t f (τ )dτ

(3.80)

0

ergibt sich durch Einsetzen in die Transformationsformel (Gl. (3.39)) und partielle Integration zu Z t 1 (3.81) f (τ ) dτ ◦−−• F (s) , s 0 wobei F (s) die Laplace-Transformierte der Funktion f (t) ist.

3.5 Laplace-Transformation einfacher mathematischer Operationen

31

3.5.3 Differentiation Unter der Voraussetzung, daß die Funktion f (t) differenzierbar ist und ihre Laplace-Transformierte F (s) existiert, erh¨ alt man nach einmaliger partieller Integration f¨ ur die Laplace-Transformierte der Ableitung Z ∞ df (t) −st F˜ (s) = e dt (3.82) dt 0 die Zuordnung df (t) ◦−−• s F (s) − f (0+ ) . (3.83) dt Der rechtsseitige Grenzwert f (0+ ) ist der Funktionswert zum Zeitpunkt t = 0, wenn man den Funktionsverlauf von f (t) von Zeiten t > 0 kommend bis hin zum Grenzwert f¨ ur t → 0 verfolgt. Wenn alle Ableitungen von f (t) bis zur nten sowie die entsprechenden Laplace-Transformierten existieren, kann analog abgeleitet werden dn f (t) ◦−−• snF (s) − sn−1 f (0+ ) − sn−2 f ′ (0+ ) − · · · − f (n−1) (0+ ) . (3.84) dtn Nachdem sich die Operationen Integration und Differentiation im LaplaceBereich in eine Multiplikation mit 1s bzw. s u uhren lassen, gehen linea¨berf¨ re Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten, wie sie auch bei der Analyse elektrischer Netzwerke auftreten, in lineare algebraische Gleichungen u ¨ber. Damit lassen sich insbesondere Einschwingvorgänge in linearen mechanischen und elektrischen Netzwerken einfach berechnen (s. auch Kap. 5.4). 3.5.4 Produkt zweier Laplace-Funktionen — Faltung Die f¨ ur die Netzwerkanalyse wichtigste Eigenschaft ist die Transformation des zeitlichen Faltungsintegrals, das die Berechnung einer Systemantwort bei bekannter Erregung und gegebener Impulsantwort des Systems erlaubt (s. auch Kap. 3.11). Das Produkt zweier Laplace-Funktionen F1 (s) · F2 (s) Z ∞ f1 (τ )e−sτ dτ (3.85) F1 (s) = 0 Z ∞ F2 (s) = f2 (ϑ)e−sϑ dϑ (3.86) 0

l¨ aßt sich (gleichmäßige Konvergenz vorausgesetzt) als Doppelintegral formulieren Z ∞Z ∞ F1 (s) · F2 (s) = f1 (τ )f2 (ϑ)e−s(τ +ϑ) dτ dϑ . (3.87) 0

0

Die Variablensubstitution t = τ + ϑ f¨ uhrt mit ϑ = t − τ und dϑ = dt zu


32

F1 (s) · F2 (s) =

Z

t=∞

t=0

Z

τ =t

τ =0

f1 (τ )f2 (t − τ )dτ e−st dt .

(3.88)

Die obere Grenze des inneren Integrals darf auf τ = t gesetzt werden, weil f2 (t − τ ) bei kausalen Netzwerken f¨ ur negative Zeiten verschwindet. Das innere Integral ist gem¨ aß der Laplace-Transformationsgleichung die zu F1 (s) · F2 (s) geh¨ orende Zeitfunktion. Daher ist die Integraloperation Z t f1 (τ )f2 (t − τ )dτ (3.89) 0

das Zeitbereichsergebnis der Multiplikation F1 (s)·F2 (s). Man bezeichnet diese Operation als Faltung und k¨ urzt sie mit dem Symbol ∗ ab, um sie von der gewöhnlichen Multiplikation zu unterscheiden Z t f1 (τ )f2 (t − τ )dτ . (3.90) f1 (t) ∗ f2 (t) = 0

Es gilt also die Zuordnung f1 (t) ∗ f2 (t) ◦−−•F1(s) · F2 (s) .

(3.91)

Das Faltungsprodukt ist kommutativ, d. h. es gilt f1 ∗ f2 = f2 ∗ f1 .

(3.92)

Es sei ergänzt, daß sich die Faltung nach Gl. (3.90) auch ausf¨ uhren läßt, wenn f1 (t) und f2 (t) nur in rein graphischer oder numerischer Form gegeben sind. Abbildung 3.8 soll die Faltungsoperation verdeutlichen. f1 (t)

f2 (t) f2 (-t)

t1

f 1, 2 f1 (τ) t=0

-t 2

f 2 (t)

t2

t

: f 2 (t - τ)

t

f 1 (t) * f2 (t) Faltungsergebnis

t > t1 + t 2

t > t2

t1

τ

t2

t1

t1+ t2

Abb. 3.8. Zur Veranschaulichung des Faltungsintegrals

t

3.5 Laplace-Transformation einfacher mathematischer Operationen

33

3.5.5 Multiplikationssatz Ausgehend von der Transformationsgleichung (Gl. 3.39) Z ∞ F (s) = f (t)e−st dt

(3.93)

0

erhält man durch Differenzieren nach s Z ∞ dF = f (t)(−t) · e−st dt = L{−t · f (t)} . ds 0

(3.94)

Die n-malige Ableitung ergibt unmittelbar den Multiplikationssatz dn F = (−1)n L{tn · f (t)} dsn

(3.95)

dn F . dsn

(3.96)

bzw. tn · f (t) ◦−−• (−1)n

3.5.6 Verschiebung im Zeitbereich (Oberbereich) Es soll eine Funktion f (t) im Zeitbereich um eine Zeit t0 > 0 verschoben werden. F¨ ur die daraus resultierende Funktion (Abb. 3.9) f1 (t)

f (t)

0

0

t

t0

t

Abb. 3.9. Verschiebung im Zeitbereich um die Zeit to

f1 (t) =

f (t − t0 ) 0

f¨ ur t ≥ t0 f¨ ur t < t0

bzw. f1 (t) = ε(t − t0 ) · f (t − t0 ) (3.97)

folgt deren Laplace-Transformierte Z ∞ f (t − t0 )e−st dt . F1 (s) =

(3.98)

t0

Durch die Variablensubstitution τ = t − t0 wird e−st = e−st0 · e−sτ

(3.99)

34


und es folgt F1 (s) = e−st0

Z

∞

f (τ )e−sτ dτ = e−st0 F (s) .

(3.100)

0

Die Verschiebung im Zeitbereich um eine Zeit t0 entspricht also der Multiplikation im Frequenzbereich mit e−st0 ε(t − t0 ) · f (t − t0 ) ◦−−• e−st0 F (s) .

(3.101)

3.5.7 Verschiebung im Laplace-Bereich (Unterbereich) Wenn wir hingegen eine Verschiebung im Laplace-Bereich gemäß F1 (s) = F (s + s0 ) vornehmen, folgt F1 (s) =

Z

∞

(3.102)

f (t)e−s0 t e−st dt .

(3.103)

0

Dies bedeutet, daß F (s + s0 ) der mit e−s0 t multiplizierten Zeitfunktion f (t) entspricht e−s0 t f (t) ◦−−•F (s + s0 ) . (3.104) Die Anwendung dieses Satzes auf Gl. (3.62) ergibt schließlich tn −s0 t 1 . e ◦−−• n! (s + s0 )n+1

(3.105)

Demnach läßt sich zu einer beliebigen rationalen Funktion in s die zugehörige Zeitfunktion direkt ermitteln. Dazu wird die Funktion in Partialbr¨ uche zerlegt und anschließend r¨ ucktransformiert. F¨ ur den Fall, daß die gebrochen rationale Funktion denselben Z¨ ahler- und Nennergrad aufweist, muß vor der Partialbruchzerlegung eine Polynomdivision durchgef¨ uhrt werden. 3.5.8 Dehnung bzw. Stauchung Eine multiplikative reelle Konstante c, die auch als zeitlicher Dehnungsbzw. Stauchungsfaktor interpretiert werden kann, wirkt sich wie folgt auf die Laplace-Transformation aus 1 s f (ct) ◦−−• F c c

(c > 0) .

(3.106)

3.5.9 Anfangswert-Theorem Mit Hilfe dieses Theorems kann aus einer Laplace-Transformierten F (s) direkt der Anfangswert f (0+ ) der zugeh¨ origen Zeitfunktion f (t) bestimmt werden, ohne die Zeitfunktion selbst zu ermitteln [36] lim f (t) = f (0+ ) = t↓0

lim

Re(s)→∞

sF (s) .

(3.107)

3.5 Analyse eines RC-Netzwerkes mittels Laplace-Transformation

35

3.5.10 Endwert-Theorem Mit Hilfe dieses Theorems kann aus einer Laplace-Transformierten F (s) direkt der Grenzwert f (t → ∞) der zugeh¨ origen Zeitfunktion f (t) ermittelt werden, ohne diese direkt zu kennen [36] lim f (t) = lim sF (s).

t→∞

(3.108)

s→0

3.5.11 Tabelle mathematischer Operationen In Tabelle 3.1 sind nochmals die in den vorhergehenden Abschnitten diskutierten mathematischen Operationen bei der Laplace-Transformation zusammengestellt. Tabelle 3.1. Zusammenfassung der Laplace-Transformation einfacher mathematischer Operationen f (t)

F (s)

Bezeichnung

c1 f1 (t) + c2 f2 (t)

c1 F1 (s) + c2 F2 (s)

¨ (Uberlagerung)

Rt

1 s

(Integration)

0

f (τ ) dτ

F (s)

df (t) dt

s F (s) − f (0+ )

dn f (t) dtn

sn F (s) − sn−1 f (0+ ) − ... ... − sn−2 f ′ (0+ ) − · · · · · · − f (n−1) (0+ )

f1 (t) ∗ f2 (t)

F1 (s) · F2 (s)

tn · f (t)

(−1)n

ε(t − t0 ) · f (t − t0 )

e−st0 F (s)

Zeitverschiebung

e−s0 t f (t)

F (s + s0 )

Frequenzverschiebung

f (ct)

1 F c

lim f (t) = f (0+ ) t↓0

lim f (t)

t→∞

s c

lim

Re(s)→∞

Multiplikationssatz

(c > 0) sF (s)

lim sF (s)

s→0

Produkt im Laplace-Ber.

dn F dsn

(Differentiation)

Dehnung/Stauchung (Anfangswert-Theorem) (Endwert-Theorem)

36


3.6 Analyse eines RC-Netzwerkes mittels Laplace-Transformation Mit Hilfe der Laplace-Transformation l¨ aßt sich beispielsweise der bereits in Kapitel 3.2 behandelte Einschwingvorgang einer RC-Tiefpaßschaltung (Abb. 3.4) wesentlich eleganter berechnen als im Zeitbereich. Wir gehen dazu von der DGL (Gl. (3.28)) aus, welche die Spannung uc (t) am Kondensator beschreibt RC

duc (t) + uc (t) = u(t) . dt

(3.109)

Die Anwendung der Laplace-Transformation f¨ uhrt mit Einf¨ uhrung der Zeitkonstanten τ = RC zu folgender linearer Gleichung τ [sUc (s) − uc (0+ )] + Uc (s) = U (s) ,

(3.110)

wobei gilt Uc (s) = L{uc (t)}

und

U (s) = L{u(t)} .

(3.111)

Diese Gleichung kann leicht nach Uc (s) aufgel¨ ost werden Uc (s) = bzw. Uc (s) =

1 [U (s) + τ uc (0+ )] 1 + sτ 1 s+

1 τ

1 U (s) + uc (0+ ) . τ

(3.112)

(3.113)

Wenn wir voraussetzen, daß der Kondensator zu Beginn des Einschaltvorganges ungeladen ist uc (0+ ) = 0 (3.114) und zum Zeitnullpunkt eine Gleichspannung U0 eingeschaltet wird, erhalten wir mit der Laplace-Transformierten der Sprungfunktion 1 s

(3.115)

U0 s

(3.116)

U0 . s(1 + sτ )

(3.117)

ε(t) ◦−−• U (s) = und Gleichung (3.112) Uc (s) =

Abschließend erfolgt nun die R¨ ucktransformation von Gl. (3.117) in den Zeitbereich, was im folgenden Kapitel behandelt wird.

3.7 Die R¨ ucktransformation von Laplace-Transformierten in den Zeitbereich

37

3.7 Die Ru ¨ cktransformation von Laplace-Transformierten in den Zeitbereich Zur R¨ ucktransformation einer Laplace-Funktion in den Zeitbereich ist prinzipiell das Umkehrintegral oder R¨ ucktransformations-Integral (Gl. (3.46)) zu l¨ osen Z s=σ+j∞ 1 f (t) = F (s)est ds . (3.118) 2πj s=σ−j∞ Dieses Integral existiert, wenn F (s) f¨ ur ω → ±∞ gegen Null strebt. F¨ ur die R¨ ucktransformation aus dem Laplace-Bereich in den Zeitbereich existieren die bereits in Kapitel 3.3 eingef¨ uhrten Nomenklaturen f (t) = L−1 {F (s)}

(3.119)

f (t) ◦−−•F (s) .

(3.120)

bzw. Genauso wie bei der Fourier-Transformation ist die Zuordnung zwischen f (t) und F (s) f¨ ur alle im Bereich t > 0 stetigen Funktionen umkehrbar eindeutig. Dies bedeutet, daß das Symbol ◦−−• in beiden Richtungen gelesen werden kann. Diese Tatsache gibt Anlaß zu folgender Strategie f¨ ur die R¨ ucktransformation: Man zerlegt die r¨ uckzutransformierende Laplace-Funktion F (s) in eine Summe von Teilfunktionen F (s) = F1 (s) + F2 (s) + · · · Fn (s) ,

(3.121)

deren jeweilige R¨ ucktransformation aus Tab. 3.2 bekannt ist. Insbesondere l¨ aßt sich in Verbindung mit der Beziehung ε(t) ·

1 tn −s0 t e ◦−−• n! (s + s0 )n+1

(3.122)

zu jeder rationalen Funktion in s die dazugehörige Zeitfunktion unmittelbar angeben, nachdem man die Funktion in Partialbr¨ uche zerlegt hat. Da andererseits die L¨ osung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten im Laplace-Bereich auf rationale Funktionen f¨ uhrt, lassen sich diese DGLn, die ja lineare elektrische Netzwerke mit konzentrierten Elementen beschreiben, mit Hilfe der Laplace-Transformation besonders leicht l¨ osen.

38

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten Tabelle 3.2. Laplace-Transformierte einiger wichtiger Zeitfunktionen f (t)

F (s)

δ(t)

1

ε(t)

1/s n

ε(t) · t /n!

(n = 0, 1, · · ·)

ε(t) · tn e−αt /n!

1/(sn+1 )

(n = 0, 1, · · ·) 1/(s + α)n+1

ε(t) · cos βt

s/(s2 + β 2 )

ε(t) · sin βt

β/(s2 + β 2 )

ε(t) · sin(βt + ϕ)

(s · sin ϕ + β · cos ϕ)/(s2 + β 2 )

ε(t) · cos(βt + ϕ)

(s · cos ϕ − β sin ϕ)/(s2 + β 2 )

ε(t) · e−αt sin(βt + ϕ)

[(s + α) sin ϕ + β · cos ϕ]/[(s + α)2 + β 2 ]

ε(t) · e−αt cos(βt + ϕ)

[(s + α) cos ϕ − β · sin ϕ]/[(s + α)2 + β 2 ] (s + α)/ (s + α)2 + β 2 β/ (s + α)2 + β 2

ε(t) · e−αt cos βt ε(t) · e−αt sin βt ε(t) · t cos βt

(s2 − β 2 )/(s2 + β 2 )2

ε(t) · t sin βt

2βs/(s2 + β 2 )2

ε(t) · t2 sin βt

2β(3s2 − β 2 )/(s2 + β 2 )3

ε(t) · t2 cos βt

2(s3 − 3β 2 s)/(s2 + β 2 )3 (s2 + 2β 2 )/ s(s2 + 4β 2 ) 2β 2 / s(s2 + 4β 2 )

ε(t) · cos2 βt ε(t) · sin2 βt ε(t) · cosh βt ε(t) · sinh βt ε(t) ·

t 2β

ε(t) ·

sin βt t

sinh(βt)

√ ε(t) · 1/ πt p ε(t) · 2 t/π

s/(s2 − β 2 )

β/(s2 − β 2 ) s/(s2 − β 2 )2 arctan βs √ 1/ s √ 1/(s s)

3.8 L¨ osung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

39

3.8 L¨ osung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten ¨ Zwecks leichterer Uberpr¨ ufbarkeit der L¨ osung wenden wir uns nochmals dem Beispiel aus Kapitel 3.2 zu. Die Differentialgleichung, die den Einschwingvorgang der RC-Schaltung aus Abb. 3.4 beschreibt, lautet (Gl. (3.28) bzw. Gl. (3.109)) duc (t) + uc (t) = u(t) . (3.123) RC dt Die Anwendung der Laplace-Transformation f¨ uhrt mit τ = RC zu τ [sUc (s) − uc (0+ )] + Uc (s) = U (s) .

(3.124)

Diese algebraische Gleichung l¨ aßt sich leicht nach der gesuchten Größe Uc (s) auflösen (vgl. Gl. (3.113)) 1 1 + Uc (s) = U (s) + uc (0 ) . (3.125) s + τ1 τ F¨ ur den Fall, daß u(t) eine im Zeitnullpunkt t = 0 eingeschaltete Gleichspannung U0 ist, d. h. U0 , (3.126) U (s) = s und der Kondensator zu diesem Zeitpunkt ungeladen ist (uc (0+ ) = 0), folgt Uc (s) =

U0 . τ s(s + τ1 )

(3.127)

Diese rationale Funktion wird nun in Partialbr¨ uche zerlegt, d. h. also in rationale Grundfunktionen, die in Tab. 3.2 enthalten sind U0 C1 C2 Uc (s) = = U . (3.128) + 0 s+α s+β τ s(s + τ1 ) Durch Koeffizientenvergleich erh¨ alt man die Werte der Konstanten α=

1 ; τ

β=0

Daraus folgt

und C2 = −C1 = 1 .

(3.129)

−1 1 . (3.130) + s s + τ1 Gemäß Superpositionsregel und Tab. 3.2 ergibt sich folgende Zeitfunktion i h (3.131) uc (t) = U0 − U0 e−t/τ = U0 (1 − e−t/τ ) . Uc (s) = U0

Der zeitliche Spannungsverlauf der Kondensatorspannung uc (t) wurde bereits in Abb. 3.5 gezeigt. Das Ergebnis (Gl. (3.131)) entspricht der auf anderem Wege ermittelten L¨ osung der linearen Differentialgleichung im Zeitbereich (Gl. (3.34)).

40


L¨ osung f¨ ur eingeschaltete Sinusspannung Wenn die RC-Tiefpaßschaltung gem¨ aß Abb. 3.4 nun mit einer bei t = 0 eingeschalteten harmonischen Wechselspannung beaufschlagt wird, so läßt sich das Ergebnis analog ermitteln. Dazu wird zun¨ achst die Eingangsspannung u(t) u(t) = ε(t) · U0 sin ω0 t

(3.132)

gemäß der Tab. 3.2 in den Laplace-Bereich transformiert U (s) = U0

s2

ω0 . + ω02

(3.133)

Durch Einsetzen in Gleichung (3.125) erh¨ alt man die Kondensatorspannung Uc im Laplace-Bereich 1 U0 ω0 1 + Uc (s) = + uc (0 ) . (3.134) · s + τ1 τ s2 + ω02 Eine Partialbruchzerlegung f¨ uhrt zu 1 uc (0+ ) 1 1 U0 ω0 τ −s + + . Uc (s) = τ ω02 + τ12 s + τ1 s2 + ω02 s + τ1

(3.135)

Die Zuordnungstabelle (Tab. 3.2) liefert 1 τ

s2 + ω02 s2

− •−◦ ε(t) ·

1 sin ω0 t τ ω0

s − •−◦ ε(t) · cos ω0 t . + ω02

(3.136) (3.137)

Das Ergebnis im Zeitbereich lautet also 1 U0 ω0 1 + −t/τ −t/τ . + uc (0 ) · e uc (t) = ε(t) · sin ω0 t − cos ω0 t + e τ ω02 + τ12 τ ω0 (3.138) Abbildung 3.10 zeigt den Spannungsverlauf f¨ ur einen anfänglich ungeladenen Kondensator uc (0+ ) = 0. Nach dem Ausgleichsvorgang (e−t/τ -Term), der mit der Zeitkonstanten τ abklingt, bleiben nur noch die beiden sin −/ cos −Wechselanteile u ¨brig, die zu einer einzigen Sinusfunktion zusammengefaßt werden k¨ onnen r 1 1 (3.139) sin ω0 t − ω0 cos ω0 t = ω02 + 2 sin(ω0 t − ϕ) τ τ mit ϕ = arctan(ω0 τ ) . (3.140) Dieser Teil der Lösung beschreibt den eingeschwungenen Zustand, wie ihn auch die einfache Wechselstromrechnung liefert. F¨ ur einen anfänglich ungeladenen Kondensator (uc (0+ ) = 0) folgt also

3.9 Einschwingvorg¨ ange in Netzwerken mit linearen Bauelementen

uC(t)

U0 1/τ (1/τ)2+ω02

41

sin(ω0 t-ϕ)

ϕ

t= ω 0

t

Abb. 3.10. Einschwingverhalten des RC-Netzwerkes nach dem Einschalten der Sinus-Spannung. Der station¨ are Anteil ist gestrichelt gezeichnet.

uc (t) = ε(t) ·



U0  1 q τ 2 ω + 0

1 τ2

sin(ω0 t − ϕ) +



ω0 e−t/τ  . ω02 + τ12

(3.141)

3.9 Berechnung von Einschwingvorg¨ angen in elektrischen Netzwerken mit konzentrierten linearen passiven Bauelementen In diesem Abschnitt soll das der linearen Netzwerkanalyse zugrundeliegende Schema erarbeitet werden, das die Berechnung von Ausgleichsvorgängen mittels Laplace-Transformation behandelt. Neben der bereits im vorhergehenden Abschnitt besprochenen Methode, bei welcher die lineare Differentialgleichung des gegebenen Netzwerkes auf¨ gestellt und mit Hilfe der Laplace-Transformation (Uberf¨ uhrung der DGL in eine algebraische Gleichung) gel¨ ost wird, gibt es nämlich auch die Möglichkeit, das zu analysierende Netzwerk direkt im Laplace-Bereich (Frequenzbereich) zu beschreiben. Dazu m¨ ussen die einzelnen Elemente (Widerstand, Kondensator oder Spule) mit Anfangswertgeneratoren versehen werden. Im folgenden wird gezeigt, wie man daraus unmittelbar eine lineare algebraische Gleichung in der Laplace-Variablen s gewinnen kann, welche nach Auflösen nach der gesuchten Größe U (s) bzw. I(s) durch eine Laplace-R¨ ucktransformation den gesuchten Spannungs- und Stromverlauf u(t) bzw. i(t) liefert (Abb. 3.11) [19]. Zwecks Gewinnung eines Ersatzschaltbildes im Laplace-Bereich m¨ ussen sowohl die Kirchhoffschen Gleichungen P uν (t) = 0 (Maschengleichung) und (3.142) P iν (t) = 0 (Knotengleichung)

42

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten lineare Differential-

gleichungen + Anfangsbedingungen

LaplaceTransformation

lineare algebraische Gleichungen in s

gesuchte Größen In (s), Un (s) im Laplace-Bereich

im Zeitbereich in(t), un(t)

KirchhoffGleichungen Auflösen nach den

Netzwerk mit Anfangsgesuchten Spannungen und wertgeneratoren Strömen im Frequenzbereich

LaplaceRücktransformation

Abb. 3.11. Prinzipielles Vorgehen bei der Berechnung von linearen Netzwerken mit Hilfe der Laplace-Transformation

als auch die die Netzwerkelemente beschreibenden Spannungs-Strom-Beziehungen uR = RiR (ohmscher Widerstand) diL (Spule) uL = L dt duC (Kondensator) iC = C dt in den Laplace-Bereich transformiert werden.

(3.143)

Transformation der Kirchhoffschen Gleichungen Wenden wir uns zun¨ achst den Kirchhoffschen Gleichungen zu. Da die LaplaceTransformation eine lineare Operation ist, gelten die Kirchhoffschen Gleichungen f¨ ur die Spannungen und Str¨ ome in derselben Form wie im Zeitbereich P Uν (s) = 0 (Maschengleichung) und (3.144) P Iν (s) = 0 (Knotengleichung) .

Transformation der Netzwerkelementgleichungen

1. Widerstandsgleichung Da ein idealer ohmscher Widerstand keinerlei Zeitverhalten zeigt, bleibt


iR(t) R

43

I R(s)

u R(t)

R

UR(s)

Abb. 3.12. Transformation eines ohmschen Widerstandes in den Laplace-Bereich

die Widerstandsgleichung bei der Laplace-Transformation unverändert (Abb. 3.12) UR (s) = RIR (s) . (3.145) 2. Kondensatorgleichung Bei der Transformation der Kondensatorgleichung m¨ ussen die Anfangswerte der Kondensatorspannung ber¨ ucksichtigt werden. Dazu betrachten wir den allgemeinen Fall, daß ein urspr¨ unglich auf eine Spannung uC (0− ) aufgeladener Kondensator zum Zeitpunkt t = 0 mit einer idealen (Innenwiderstand Ri = 0) Spannungsquelle verbunden wird (Abb. 3.13). Dabei springt die Kondensatorspannung2 von uC (0− ) auf uC (0+ ) = U0 . i (t) t=0 U0

uc (0-)

Abb. 3.13. Kondensator, der zum Zeitpunkt t = 0 mit einer idealen Spannungsquelle verbunden wird. 2

Anmerkung: Es sei an dieser Stelle ausdr¨ ucklich darauf hingewiesen, daß die Kondensatorspannung und der Spulenstrom im Schaltzeitpunkt (hier t = 0) nur im theoretischen Grenzfall bei idealen Netzwerkelementen, d. h. nicht verlustbhafteten Kapazit¨ aten bzw. Induktivit¨ aten, und idealen Quellen (ohne Innenwiderstand) springen k¨ onnen. In der Praxis kommen diese F¨ alle jedoch nicht vor, so daß hierbei nicht zwischen einem rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert unterschieden werden muß. Es gilt hier stets uC (0− ) = uC (0+ ) bzw. iL (0− ) = iL (0+ ). Das Einschließen des o. g. theoretischen Grenzfalles und die daraus resultierende Unterscheidung zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert wird jedoch hier in Anlehnung an die Lehre von Bosse [19] beibehalten, weil sie aus Sicht des Au¨ tors das Ubertragen des Netzwerkes vom Zeit- in den Laplace-Bereich von der Vorstellung her erleichtert. Schließlich verbindet man mit den Anfangswerten zum Zeitpunkt t = 0− gedanklich stets den Zustand der Elemente (Kapazit¨ at bzw. Induktivit¨ at) unmittelbar vor dem Schalten. Man muß bei der Ana¨ lyse des Netzwerkes keine Uberlegungen mehr anstellen, was im Zeitschaltpunkt geschieht.

44


Dies geht einher mit einer ebenso sprunghaft stattfindenden Ladungsänderung, die von einem diracf¨ ormigenStrom begleitet wird [19] i(t = 0) = C[uC (0+ ) − uC (0− )]δ(t) .

(3.146)

Damit kann die allgemeine Spannungs-Strom-Beziehung des Kondensators abgeleitet werden duC + − + [uC (0 ) − uC (0 )]δ(t) . (3.147) iC (t) = C dt Mit der Laplace-Transformation geht Gl. (3.147) u ¨ber in IC (s) = C sUC (s) − uC (0+ ) + uC (0+ ) − uC (0− ) uC (0− ) IC (s) = sC UC (s) − . s

(3.148) (3.149)

Ein Kondensator im Zeitbereich l¨ aßt sich also gemäß Abb. 3.14 in den Laplace-Bereich transformieren. Die Spannungsquelle im Ersatzschaltbild repräsentiert die Kondensatorspannung zum Zeitnullpunkt. Es handelt sich dabei um die Kondensatorspannung unmittelbar vor einem eventuell zum Zeitnullpunkt stattfindenden Spannungssprung.

I C (s) iC (t) C

u C (t)

uc (0-) s sC

UC (s)

Abb. 3.14. Transformation eines Kondensators in den Laplace-Bereich [19]

3. Spulengleichung Die Strom-Spannungs-Beziehung einer Induktivität uL = L

diL dt

(3.150)

besagt, daß die Spannung uL einen δ-Impuls erfährt, wenn der Spulenstrom iL und damit der magnetische Fluß in der Spule springt. Wenn man nun zul¨ aßt, daß der Strom zum Zeitnullpunkt t = 0 von iL (0− ) + auf iL (0 ) springt, so ergibt sich die Spannungs-Strom-Beziehung in folgender ausf¨ uhrlicher Form [19] diL uL = L + [iL (0+ ) − iL (0− )]δ(t) . (3.151) dt


45

Die Laplace-Transformation dieser Gleichung liefert mit Gl. (3.83) UL (s) = L s · IL (s) − iL (0+ ) + iL (0+ ) − iL (0− ) (3.152) − iL (0 ) UL (s) = sL IL (s) − . (3.153) s Die entsprechende Ersatzschaltung wird in Abb. 3.15 gezeigt. Der Spule mit der Impedanz sL ist eine Gleichstromquelle parallelgeschaltet, die den im Zeitnullpunkt durch die Spule fließenden Strom repräsentiert und zwar ¨ den Strom unmittelbar vor der eventuellen sprunghaften Anderung. iL (t) L

u L(t)

I L(s) i L(0-) s

sL

UL(s)

Abb. 3.15. Transformation einer Induktivit¨ at in den Laplace-Bereich [19]

Die eben hergeleiteten Ersatzschaltungen f¨ ur Induktivitäten, Kapazitäten und ohmsche Widerstände reduzieren sich auf die vereinfachte Form aus der Wechselstromrechnung, wenn die Elemente vor dem Schaltzeitpunkt (hier stets als Zeitnullpunkt angenommen) energiefrei sind, d. h. die Kapazitäten sind spannungs- und damit ladungsfrei und die Induktivitäten sind strom- bzw. flußfrei. Zusammenfassung der Regeln f¨ ur die Netzwerkanalyse im Laplace-Bereich • •

Alle Zeitgrößen werden f¨ ur t > 0 durch ihre Laplace-Transformierten ersetzt F¨ ur die Impedanz im Laplace-Bereich Z(s) =

U (s) I(s)

(3.154)

gilt – ohmscher Widerstand ZR (s) = R

(3.155)

ZL (s) = sL

(3.156)

– Induktivität

46


– Kapazität

1 . (3.157) sC Die Anfangswerte der Kondensatorspannungen und Spulenströme (Werte zum Zeitpunkt t = 0− , also unmittelbar vor dem Schalt-Zeitpunkt t = 0) werden durch zus¨ atzliche Quellen (in Serienschaltung beim Kondensator bzw. in Parallelschaltung bei der Spule) mit der Quellspannung uC (0− )/s bzw. dem Quellstrom iL (0− )/s erfaßt. Die Spannungen und Str¨ ome lassen sich mit den Methoden der Wechselstromrechnung und der linearen Netzwerkanalyse berechnen: ¨ – beim Ubergang zur Laplace-Transformation wird der Frequenzterm jω durch die komplexe Frequenz s ersetzt – die transformierten Spannungen U (s) bzw. Ströme I(s) entsprechen den komplexen Amplituden der Wechselstromrechnung; allerdings tragen die Laplace-Transformierten die Dimension einer Amplitudendichte (Einheit V/Hz“ bzw. A/Hz“). ” ” Nach dem Lösen der Netzwerkgleichungen im Frequenzbereich werden die gesuchten Spannungen bzw. Str¨ ome in den Zeitbereich zur¨ ucktransformiert. ZC (s) =

•

•

•

Beispiel — Analyse eines Serienschwingkreises F¨ ur den in Abb. 3.16 gezeigten Serienschwingkreis (Reihenschwingkreis) ist der Strom i(t) f¨ ur t ≥ 0 zu berechnen. Dabei sind sowohl die Spannung u(t) als auch die Anfangswerte des Spulenstromes iL (0− ) und der Kondensatorspannung uC (0− ) bekannt. R

L

C

i(t) u(t) Abb. 3.16. Serienschwingkreis im Zeitbereich

Zur Berechnung wird zun¨ achst das Zeitbereichsersatzschaltbild (Abb. 3.16) in den Laplace-Bereich transformiert (Abb. 3.17). Aus dem Ersatzschaltbild des Serienschwingkreises im Laplace-Bereich kann die Spannung U (s) abgeleitet werden iL (0− ) I(s) uc (0− ) U (s) = RI(s) + sL I(s) − + + . (3.158) s sC s Diese Gleichung wird schließlich nach der gesuchten Größe I(s) aufgelöst


47

sL sC

R

I(s)

uC(0-) s

i L (0-) s U(s)

Abb. 3.17. Serienschwingkreis im Laplace-Bereich

I(s) =

U (s) + LiL (0− ) − uc (0− )/s . 1 R + sL + sC

(3.159)

Wir gehen davon aus, daß die beiden Energiespeicher zum Zeitnullpunkt leer sind und zu diesem Zeitpunkt eine Gleichspannung mit dem Wert U0 aufgeschaltet wird u(t) = ε(t) · U0 (3.160) iL (0− ) = 0

Daraus folgt I(s) = bzw. I(s) =

und

uc (0− ) = 0 .

U0 s(R + sL +

(3.162)

1 sC )

U0 1 · L s2 + s R L +

1 LC

(3.161)

.

(3.163)

Laplace-R¨ ucktransformation einer rationalen Funktion zweiten Grades Die Aufgabe, den Strom I(s) nach Gl. (3.163) in den Zeitbereich zur¨ uckzutransformieren, soll m¨ oglichst allgemein formuliert werden. Deshalb wird die R¨ ucktransformierte folgender rationaler Funktion 2. Grades gesucht F (s) =

A s+B . s2 + 2 d s + ω02

Diese Funktion hat die beiden Pole s1 und s2 q s1 = −d + d2 − ω02 q s2 = −d − d2 − ω02 .

(3.164)

(3.165) (3.166)

F¨ ur ω02 ≤ d2 liegen die Pole bei reellen und f¨ ur ω02 > d2 bei komplexwertigen Frequenzen.

48


Das mit einer Partialbruchzerlegung eventuell einhergehende Rechnen mit komplexwertigen Gr¨ oßen l¨ aßt sich umgehen, indem man den Nenner von Gl. (3.163) in eine Summe von Quadraten zerlegt s2 + 2 d s + ω02 = (s + d)2 + (ω02 − d2 ) .

(3.167)

Mit der Hilfsgröße ωd (sie entspricht der Kreisfrequenz, die sich im gedämpften Schwingkreis einstellt) ωd2 = ω02 − d2 (3.168) l¨ aßt sich F (s) wie folgt angeben F (s) =

A(s + d) + B − Ad . (s + d)2 + ωd2

(3.169)

Die Anwendung des Verschiebungssatzes (Gl. (3.102)) auf die Beziehungen ε(t) · cos ω0 t ◦−−•

s s2 + ω02

(3.170)

ε(t) · sin ω0 t ◦−−•

ω0 s2 + ω02

(3.171)

und

liefert f¨ ur ωd2 > 0, also f¨ ur komplexwertige Pole, die Laplace-Zuordnungen s+d − •−◦ ε(t) · e−dt cos ωd t (s + d)2 + ωd2

(3.172)

ωd − •−◦ ε(t) · e−dt sin ωd t . (s + d)2 + ωd2

(3.173)

Unter Zuhilfenahme dieser Zuordnungen kann die zu F (s) gehörige Zeitfunktion f (t) angegeben werden B − Ad −dt sin ωd t . (3.174) A cos ωd t + f (t) = ε(t) · e ωd Sollten jedoch die Pole im Reellen liegen, so wird anstatt ωd die Hilfsgröße ωr2 = d2 − ω02

(3.175)

verwendet. Dies f¨ uhrt schließlich mit den Korrespondenzen s+d − •−◦ ε(t) · e−dt cosh ωr t (s + d)2 − ωr2

(3.176)

ωr − •−◦ ε(t) · e−dt sinh ωr t (s + d)2 − ωr2

(3.177)

und


zu der entsprechenden Zeitfunktion B − Ad −dt A cosh ωr t + f (t) = ε(t) · e sinh ωr t . ωr

49

(3.178)

Die Lösungen f¨ ur komplexwertige Pole (Gl. (3.174)) und f¨ ur reellwertige Pole (Gl. (3.178)) lassen sich mit der Beziehung ωd2 = −ωr2

(3.179)

ωd = ±jωr

(3.180)

s1 = s2

(3.181)

ω02

=d

(3.182)

ωd = ωr = 0 .

(3.183)

bzw. ineinander u uhren. ¨berf¨ Es ist noch der sog. aperiodische Grenzfall zu behandeln, bei dem die beiden Polstellen zusammenfallen, d. h. es gilt 2

und Die physikalische Deutung von Gl. (3.183) besagt, daß sich gerade keine Schwingung mehr einstellt. Zur Berechnung der entsprechenden Zeitfunktion f (t) ist ein Grenz¨ ubergang von Gl. (3.174) bzw. Gl. (3.178) notwendig. Gleichung (3.174) beispielsweise f¨ uhrt mit lim

ωd →0

zu

sin ωd t =t ωd

f (t) = ε(t) · e−dt [A + (B − Ad)t] .

(3.184) (3.185)

Anwendung auf den Serienschwingkreis Wenn man nun die eben abgeleiteten Transformationen auf die LaplaceGleichung anwendet, die den Strom im Serienschwingkreis beschreibt (Gl. (3.163)), so folgt mit R 2L 1 ω02 = LC d=

(3.186) (3.187)

A=0 B=

(3.188)

2dU0 U0 = R L

und ωd2 = −ωr2 =

1 LC

(3.189) R2 C 1− 4L

(3.190)

50


der Strom im Serienschwingkreis beim Anlegen eines Gleichspannungssprunges U0 −dt 2d i(t) = ε(t) · sin ωd t , (3.191) e R ωd wenn die Pole komplexwertig sind, bzw. U0 −dt 2d sinh ωr t e R ωr U0 d −dt ωr t = ε(t) · e (e − e−ωr t ) R ωr U0 −t/τ1 e − e−t/τ2 = ε(t) · 2ωr L U0 −(d−ωr )t = ε(t) · e − e−(d+ωr )t 2ωr L

i(t) = ε(t) ·

(3.192)

f¨ ur reellwertige Pole, d. h. wenn

d2 − ω02 = ωr2 > 0 .

(3.193)

Gleichung (3.191) beschreibt eine ged¨ ampfte Sinusschwingung mit der Abklingkonstanten d und der Kreisfrequenz s 2 d . (3.194) ωd = ω0 1 − ω0 i(t) U0 ωd L

Hüllkurve U0 - d t e ωd L

d= d=

ω0 4 ω0 2

aperiodischer Grenzfall (d = ω0 )

t

-

U0

ωd L

Abb. 3.18. Der Stromverlauf des Serienschwingkreises f¨ ur verschiedene D¨ ampfungswerte sowie f¨ ur den aperiodischen Grenzfall. Die Polstellen sind konjugiert-komplex.


51

F¨ ur verschwindende D¨ ampfung (d = 0) handelt es sich dabei um eine harmo1 nische Schwingung mit der Kreisfrequenz ω0 = √LC . Abbildung 3.18 zeigt den Stromverlauf f¨ ur solche Dämpfungswerte, bei denen die Pole konjugiert komplex sind, so daß eine abklingende Schwingung entsteht. Liegen jedoch die Pole im Reellen, so daß i(t) durch Gl. (3.192) beschrieben wird, ergibt sich ein Zeitverlauf gemäß Abb. 3.19. Der zeitliche Funktionsverlauf errechnet sich aus der Differenz zweier Exponentialfunktionen mit negativen Exponenten. Der aperiodische Grenzfall ω02 = d2 f¨ uhrt zu i(t) = ε(t) · 2

Uo −dt U0 d t e−dt = ε(t) · te . R L

(3.195)

In den Abbildungen 3.18 und 3.19 ist dieser Stromverlauf zum Vergleich ebenfalls eingezeichnet.

i(t) U0 2ωr L

U0 . - t / τ 1 e 2ωr L

3 ω 2 0 aperiodischer Grenzfall (d = ω0 )

d=

1

τ2 = d+ ωr

1

τ1 = d-ω r

-

U0 2ωr L

t

U0 . - t / τ e 2 2ωr L

Abb. 3.19. Vergleich des Stromverlaufs im aperiodischen Grenzfall mit dem Stromverlauf bei st¨ arkerer D¨ ampfung. Die Pole liegen im Reellen. Es bilden sich keine harmonischen Schwingungen mehr aus.

52


3.10 Ru ¨ cktransformation mittels Residuenmethode Heavisidescher Entwicklungssatz Ist die Laplace-Transformierte F (s) als Quotient zweier Polynome gegeben F (s) =

Z(s) , N (s)

(3.196)

und hat F (s) nur einfache Pole bei s1 · · · sn F (s) =

Z(s) , (s − s1 )(s − s2 ) · · · (s − sn )

(3.197)

so läßt sich die zu F (s) geh¨ orende Zeitfunktion f (t) nach der sog. Residuenmethode (auch als Heavisidescher Entwicklungssatz bezeichnet) berechnen [19] n n X Z(sν ) sν t X e = rν esν t . (3.198) f (t) = ′ (s ) N ν ν=1 ν=1 Dabei stellt N ′ (sν ) die Ableitung von N (s) nach s an der Stelle sν dar. F¨ ur den Fall, daß N (s) Mehrfachpolstellen enth¨ alt, ist die Auswertung nach der Residuenmethode etwas aufwendiger. Daher soll an dieser Stelle nur auf die entsprechende Literatur verwiesen werden [19], [36]. Beispiel f¨ ur die Anwendung des Heavisideschen Entwicklungssatzes ¨ Wir betrachten einen Vierpol (Abb. 3.20) mit folgendem Ubertragungsverhalten GAP (s) =

s2 − 2ds + ω02 U2 (s) . = 2 U1 (s) s + 2ds + ω02

(3.199)

Ein solcher Vierpol wird auch als Allpaß bezeichnet, weil er alle Frequenzen bez¨ uglich ihren Amplituden gleichermaßen behandelt. Das heißt, f¨ ur jede beliebige harmonische Anregung mit jω ergibt sich ein konstanter Betrag der ¨ Ubertragungsfunktion von

U 1 (s)

GAP Allpaß

U 2 (s)

Abb. 3.20. Vierpol mit Allpaßcharakter

3.10 Heavisidescher Entwicklungssatz

|GAP (jω)| =

|U 2 (jω)| =1. |U 1 (jω)|

53

(3.200)

Nur die Phase bzw. die Laufzeit der Signale wird durch den Allpaß beeinflußt. Dies kann auch anhand der vollkommen symmetrischen Anordnung der Pole und Nullstellen eines Allpasses in der s-Ebene veranschaulicht werden (Abb. 3.21). Die eingerahmten Pole bzw. Nullstellen entsprechen dem Fall d2 > ω02 ; die konjugiert-komplexen Paare dem Fall d2 < ω02 . GAP (s) besitzt Pole bei q (3.201) s1,2 = −d± d2 − ω02 . Es sind wiederum die drei Standardf¨ alle

d2 > ω02 2

(3.202)

ω02

(3.203)

d2 = ω02

(3.204)

d < und

zu unterscheiden. Die zu GAP (s) geh¨ orende Zeitfunktion gAP (t) wird als Impulsantwort des Vierpols bezeichnet (s. auch Kap. 3.11). Sie l¨ aßt sich nach der Residuenmethode erst berechnen, wenn wir eine Polynomdivision vornehmen. Damit wird sichergestellt, daß der Grad des Z¨ ahlerpolynoms kleiner ist als der des Nennerpolynoms j. ω j . √ω02 - d 2 q1

s1

-d

+d σ = Re {s}

s2

q2 - j . √ω 2 - d 2 0

Abb. 3.21. Pol-Nullstellen-Diagramm (s. S. 57) eines Allpasses. x: Polstellen, o: Nullstellen, 2 : d2 > ωo2 (s. Gl. (3.199))

54


GAP (s) =

4ds s2 − 2ds + ω02 =1− 2 s2 + 2ds + ω02 s + 2ds + ω02

GAP (s) = 1 + G∗AP (s) .

(3.205) (3.206)

Wir wollen nun GAP (s) mit Hilfe der Residuenmethode zur¨ uck in den Zeitbereich transformieren ∗ gAP (t) = δ(t) + gAP (t) = δ(t) + r1 · es1 t + r2 · es2 t .

(3.207)

F¨ ur die beiden Residuen von G∗AP (s) ergibt sich r1 =

−2ds1 Z(s1 ) = ′ N (s1 ) s1 + d

(3.208)

r2 =

−2ds2 Z(s2 ) = . N ′ (s2 ) s2 + d

(3.209)

und

Mit Gl. (3.201) folgt

bzw.

Mit der Hilfsgröße

p 2d(d − d2 − ω02 ) p r1 = d2 − ω02

p −2d(d + d2 − ω02 ) p . r2 = d2 − ω02 ωr =

und Gl. (3.198) erh¨ alt man

q d2 − ω02

∗ gAP (t) = r1 e−dt eωr t + r2 e−dt e−ωr t .

(3.210)

(3.211)

(3.212)

(3.213)

Schließlich ergibt sich mit Gl. (3.206) die Impulsantwort gAP (t) = δ(t) + e−dt (r1 eωr t + r2 e−ωr t ) .

(3.214)

Nun sind wiederum die drei bekannten Fallunterscheidungen zu treffen: 1. d2 > ω02 : Es ergeben sich reelle Werte f¨ ur r1 , r2 und ωr . 2. d2 < ω02 : Es ergeben sich konjugiert-komplexe Werte r1 und r2 sowie ein rein imaginärer Wert ωr . Mit der Beziehung ωd2 = −ωr2 (Gl. (3.179)) folgt

3.10 Heavisidescher Entwicklungssatz

r 1,2

−2d(−d ± jωd ) d = = −2d 1 ± j ±jωd ωd

55

(3.215)

∗ gAP (t) = r1 es1 t + r2 es2 t d d ejωd t + 1 − j e−jωd t = −2d e−dt 1 + j ωd ωd d ejωd t − e−jωd t = −2d e−dt ejωd t + e−jωd t + j ωd d gAP (t) = δ(t) − 4de−dt cos ωd t − sin ωd t . (3.216) ωd

3. d2 = ω02 (aperiodischer Grenzfall): Mit Anwendung der Regel von L’Hospital folgt gAP (t) = δ(t) − 4de−dt (1 − d t) .

(3.217)

Abbildung 3.22 zeigt die Impulsantworten des betrachteten Allpasses f¨ ur verschiedene Werte von d bez¨ uglich ω0 . g (t) AP

2

2

d = ω2 0

2

d ω2 0

-4d Abb. 3.22. Impulsantwort des Allpasses f¨ ur verschiedene Werte von d

56


¨ 3.11 Vierpol-Ubertragungsfunktion im Zeit- und Frequenzbereich Wir gehen von einem Vierpol (Abb. 3.23) aus, der aus passiven linearen konzentrierten Netzwerkelementen aufgebaut ist. Der Zusammenhang zwischen dem zeitlichen Verlauf des Ausgangssignals y(t) und der zeitabhängigen Eingangsgröße x(t) wird u ¨ber das Faltungsintegral hergestellt Z +∞ Z +∞ y(t) = x(t) ∗ g(t) = x(τ )g(t − τ )dτ = x(t − τ )g(τ )dτ . (3.218) −∞

x (t)

−∞

y (t)

g (t)

Abb. 3.23. Ein Vierpol kann durch seine Impulsantwort g(t) charakterisiert werden

Da wir kausale Systeme voraussetzen, deren Impulsantwort g(t) f¨ ur t < 0 verschwindet, und auch die Anregungsfunktion f¨ ur t < 0 zu Null angenommen werden darf, kann die untere Grenze des Faltungsintegrals (−∞) durch 0“ ” und die obere Grenze (+∞) durch t“ ersetzt werden ” Z t Z t y(t) = x(τ )g(t − τ )dτ = x(t − τ )g(τ )dτ . (3.219) 0

0

Dabei bezeichnet g(t) die sog. Impulsantwort oder Gewichtsfunktion. Man erhält sie als Ausgangssignal f¨ ur den Fall, daß die Erregung am Eingang ein Dirac-Impuls δ(t) ist, d. h. (Abb. 3.24) y(t) = g(t)

f¨ ur

x(t) = δ(t) .

(3.220)

Im Laplace-Bereich vereinfacht sich das Faltungsintegral gemäß Kap. 3.5.4 zu einer Multiplikation der entsprechenden Laplace-Transformierten der an der Faltung beteiligten Funktionen, d. h. y(t) = L−1 {Y (s)} = L−1 {G(s) · X(s)} .

(3.221)

¨ Dabei wird G(s) als Laplace-Ubertragungsfunktion (auch Netzwerku ¨bertragungsfunktion) des Systems bzw. Vierpols bezeichnet. Im folgenden ¨ sollen die Eigenschaften und die Darstellungsmöglichkeiten dieser Ubertragungsfunktion G(s) und der dazugeh¨ origen Zeitfunktion g(t) (Impulsantwort) n¨ aher betrachtet werden.

¨ 3.11 Vierpol-Ubertragungsfunktion im Zeit- und Frequenzbereich

Dirac-Stoß x(t)

x(t)

δ (t)

t=0

lineares Netzwerk Impulsantwort g(t)

57

Impulsantwort y(t)

y(t)

t

g(t) t

Abb. 3.24. Anregung eines linearen Systems durch einen Dirac-Stoß

Es kann gezeigt werden, daß G(s) f¨ ur ein lineares passives Netzwerk aus konzentrierten Elementen als Quotient zweier Polynome darstellbar ist G(s) =

Z(s) . N (s)

(3.222)

Da G(s) gleichermaßen auch als Quotient von Laplace-Ausgangsfunktion Y (s) zu Laplace-Eingangsfunktion X(s) dargestellt werden kann G(s) =

Y (s) , X(s)

(3.223)

sind die Koeffizienten der Polynome Z(s) und N (s) reell und identisch mit den Koeffizienten der Differentialgleichung (Gl. (5.69)), die den Zusammenhang zwischen y(t) und x(t) f¨ ur t > 0 beschreibt. Aus diesem Grund liegen die Nullstellen der Polynome Z(s) und N (s) bei reellen, bei paarweise entgegengesetzt gleichen imagin¨ aren oder bei paarweise konjugiert komplexen Werten. Die Pole sν von G(s), d. h. also die Nullstellen des Nennerpolynoms N (s), werden auch als Eigenwerte des Netzwerkes bezeichnet. Liegen diese Pole in der linken Laplace-Halbebene (σν < 0), dann gilt das Netzwerk als stabil, weil keine aufklingenden Schwingungen auftreten können. Dies liegt daran, daß die Pole bzw. Eigenwerte sν die Exponenten der in der Impulsantwort auftretenden Schwingungen in der Form esν t festlegen. Bei Netzwerken, die nur aus passiven Elementen bestehen, liegen die Pole immer in der abgeschlossenen linken Halbebene. Die Nullstellen qµ des Zählerpolynoms Z(s) hingegen sind bzgl. ihrer Lage nicht auf die linke s-Halbebene beschränkt. ¨ Zur anschaulichen Darstellung von Ubertragungsfunktionen verwendet man des öfteren sog. Pol-Nullstellen-Diagramme. Abbildung 3.25 zeigt ¨ die Pol-Nullstellenverteilung einer Ubertragungsfunktion vom Grad n = 3, d. h. sie weist drei Pole auf, G(s) = const. ·

(s − q1 )(s − q2 ) . (s − s1 )(s − s2 )(s − s3 )

(3.224)

Die Pole sind im Diagramm mit Kreuzen (x) und die Nullstellen mit Rin¨ gen (o) gekennzeichnet. Das Pol-Nullstellen-Diagramm läßt das Ubertragungsverhalten des Vierpols, das ja durch G(s) mathematisch beschrieben wird, f¨ ur beliebige s, insbesondere auch f¨ ur s = jω, d. h. also f¨ ur ungedämpfte

58


j. ω

s1

s3

q1

q2

σ = Re {s}

s2 ¨ Abb. 3.25. Pol-Nullstellen-Diagramm einer Ubertragungsfunktion mit 2 Nullstellen (o) und 3 Polen (x)

harmonische Schwingungen, unmittelbar erkennen. Wenn nämlich das lineare Netzwerk eine rein harmonische Anregung der Form jωt jϕx (ω) jωt ˆ ˆ x(t) = Re{X(ω)e } = Re{X(ω)e e }

(3.225)

erfährt, f¨ uhrt dies im eingeschwungenen Zustand bei einem linearen Vierpol stets zu einem Antwortsignal y(t) mit derselben Frequenz aber veränderter Amplitude und Phasenlage y(t) = Re{Yˆ (ω)ejωt } = Re{Yˆ (ω)ejϕy (ω) ejωt } ,

(3.226)

ˆ und |Yˆ | = Yˆ gilt. Die Ubertragungsfunktion ˆ =X ¨ G(jω) des linearen wobei |X| Systems ist dann folgendermaßen definiert G(jω) =

Yˆ (ω) Yˆ (ω) j(ϕy −ϕx ) e = |G(jω)|ejϕ(ω) . = ˆ ˆ X(ω) X(ω)

(3.227)

¨ Die komplexe Ubertragungsfunktion G(jω) l¨ aßt sich aufspalten in den Betragsgang |G(jω)| und den dazugeh¨ origen Phasengang arg{G(jω)} = ϕ(ω). ¨ F¨ ur den Sonderfall s = jω beschreibt also diese Ubertragungsfunktion das Netzwerkverhalten f¨ ur den station¨ aren harmonischen Betrieb bei der Kreisfrequenz ω. Der Funktionsverlauf G(jω) wird als Frequenzgang bezeichnet. Er ist komplexwertig und wird daher oft in den Amplitudengang und den Phasengang aufgespalten. Amplitudengang: |G(jω)| Phasengang: arg{G(jω)}

¨ 3.11 Vierpol-Ubertragungsfunktion im Zeit- und Frequenzbereich

59

Wir wollen zunächst den Amplitudengang betrachten |G(jω)| = |const.| ·

|jω − q1 ||jω − q2 | . |jω − s1 ||jω − s2 ||jω − s3 |

(3.228)

Die einzelnen Betragskomponenten in dieser Gleichung entsprechen den Distanzen des beliebig variierbaren Aufpunktes jω zu den einzelnen Pol- und Nullstellen sν bzw. qµ . Das Verh¨ altnis dieser Beträge charakterisiert den Amplitudengang. Es läßt sich direkt aus dem Pol-Nullstellen-Diagramm ermitteln (Abb. 3.26). Es verdeutlicht auch, wie sich |G(jω)| bei Annäherung an eine Polstelle vergrößert und bei Ann¨ aherung an eine Nullstelle verkleinert. Der Phasenwinkel von G(jω) l¨ aßt sich ebenfalls aus dem Diagramm bestimmen < ) G(jω) = ϕN1 + ϕN2 − ϕP1 − ϕP2 − ϕP3 .

(3.229)

Allgemein kann man feststellen, daß in der linken Halbebene liegende Pole sowie die in der rechten Halbebene liegende Nullstellen mit wachsendem ω den Phasenwinkel verringern, w¨ ahrend ihn die Nullstellen in der linken Halbebene erhöhen. Nullstellen auf der imagin¨ aren Achse liefern einen Winkel von ±π/2, ¨ der beim Uberschreiten einer Nullstelle um π springt. Der kleinstmögliche Winkelbeitrag ergibt sich, wenn alle Nullstellen von ¨ G(s) in der linken Halbebene liegen. Ubertragungsnetzwerke mit dieser Eigenschaft bezeichnet man als Minimalphasensysteme. Sobald Nullstellen ¨ in der rechten Halbebene auftreten, enth¨ alt das Ubertragungsnetzwerk einen Allpaßanteil (s. auch Kap. 3.10). j. ω s1 ϕP1

jω − s 3

jω − s 1 s = jω

frei variierbares ω jω − q = √ω 2 + q 2

jω − q1

2

ϕP3

ϕN1

s3

q1

2

ϕN2

q2

σ = Re {s}

jω − s2 =

√s 2+ 2R

(s + ω ) 2 2I

ϕ

P2

s2 ¨ Abb. 3.26. Bestimmung von Betrag und Phase einer Ubertragungsfunktion anhand der Einzelbeitr¨ age aller Nullstellen und Pole

60


3.12 Beschreibung von linearen zeitinvarianten Netzwerken durch ihre Sprungantwort Die Antwort y(t) eines vom Ruhezustand aus mit der Sprungfunktion ε(t) 0 f¨ ur t < 0 ε(t) = (3.230) 1 f¨ ur t ≥ 0 ¨ angeregten Netzwerkes wird Sprungantwort h(t) oder auch Ubergangsfunktion genannt (Abb. 3.27). Sie charakterisiert das Netzwerk ebenso vollständig wie die Impulsantwort g(t). Der Zusammenhang zwischen Sprungantwort h(t) und Impulsantwort g(t) l¨ aßt sich leicht herleiten h(t) =

Z

t

g(τ )dτ .

(3.231)

0

Sprunganregung x(t)

x(t)

Lineares Netzwerk

y(t)

Sprungantwort y(t) h(t)

t=0 t

t

Abb. 3.27. Anregung eines linearen Netzwerkes durch einen Sprung

3.13 Bode-Diagramme ¨ Wir betrachten die Ubertragungsfunktion G(s) eines zeitinvarianten linearen Netzwerkes. Diese l¨ aßt sich gem¨ aß Gl. (3.224) durch eine gebrochen rationale Funktion der Form G(s) =

(s − q1 )(s − q2 ) · · · (s − qn ) (s − s1 )(s − s2 ) · · · (s − sm )

(3.232)

¨ darstellen. F¨ ur den Spezialfall s = jω folgt die Ubertragungsfunktion G(jω) G(jω) =

(jω − q1 )(jω − q2 ) · · · (jω − qn ) . (jω − s1 )(jω − s2 ) · · · (jω − sm )

(3.233)

¨ Als erstes Beispiel wollen wir die einfache Ubertragungsfunktion G(jω) =

10 jω + 10

(3.234)

3.13 Bode-Diagramme

61

G(jω) 1

G (s) =

100

10 s + 10

200

ω

300

¨ Abb. 3.28. Amplitudengang der Ubertragungsfunktion G(s) = Darstellung

10 s+10

in linearer

betrachten. Abbildung 3.283 zeigt den im linearen Maßstab gezeichneten Amplitudengang. In der Praxis ist es jedoch u ¨blich, solche Amplitudengänge in doppelt logarithmischer Form aufzutragen. Dazu wird |G(jω)| logarithmiert4 , mit 20 multipliziert und in der Einheit Dezibel dB dargestellt (Abb. 3.29) G(jω) 0 dB -10

G (s) =

10 s + 10

-20 -30

0,1

1

10

100

1000

ω

Abb. 3.29. Amplitudengang in doppelt logarithmischer Darstellung (sowohl die Abszisse als auch die Ordinate ist logarithmisch unterteilt)

3

4

Die Einheitenbezeichnung der Frequenzachse wird hier wie in den folgenden Diagrammen weggelassen, da es sich hierbei um abstrakte Beispiele ohne konkreten Bezug zu realen Systemen handelt. Der hier verwendete Logarithmus mit der Basis 10 (Zehnerlogarithmus) wird in diesem Buch stets mit lg“ bezeichnet. ”

62


arg{G(jω)} 0° G (s) =

10 s + 10

-45°

-90° 1

0,1

10

100

1000

Abb. 3.30. Phasengang von G(s) =

ω

10 s+10

|G(jω)| = 20 · lg |G(jω)| dB .

(3.235)

Die graphische Darstellung des Phasenganges ϕ(jω) = arg{G(jω)}

(3.236)

erfolgt in aller Regel einfachlogarithmisch, d. h. man trägt ϕ linear und ω logarithmisch auf. Abbildung 3.30 zeigt den Phasengang der oben betrachteten ¨ Ubertragungsfunktion (Gl. (3.234)). Man bezeichnet diese Darstellungen als Bode-Diagramm. ¨ Solange die Pole und Nullstellen der Ubertragungsfunktion im Pol-Nullstellen-Diagramm auf der negativen reellen Achse liegen, können die Asymptoten der Diagrammverl¨ aufe nach einem einfachen Schema festgelegt werden. Dazu ¨ Tabelle 3.3. Analyse der Ubertragungsfunktion G(s) = ω

G(jω)

20 · lg |G(jω)| dB Phase

ω=0

1

0 dB

0o

ω < 0, 1|s1 |

1

0 dB

≈ 0o

ω < |s1 |

≈1

0 dB

ω = |s1 |

10 js1 +10

- 3 dB

ω > |s1 |

≈

10 jω

- 20 dB/Dekade

ω > 10|s1 | ≈

10 jω

- 20 dB/Dekade

−45o

≈ −90o

10 s+10

3.13 Bode-Diagramme

63

betrachten wir wiederum beispielhaft die Funktion G(s) =

10 , s + 10

(3.237)

die einen Pol bei s1 = −10 hat. Eine einfache Analyse der Situation f¨ uhrt zu Tab. 3.3 und dem in den ¨ Abbn. 3.31 und 3.32 dargestellten asymptotischen Verhalten. Hat die UberG(jω)

approximierter exakter Verlauf

0 -3 -10 dB -20

G (s) =

10 s + 10

-30

0,1

Abb. 3.31. 10 G(s) = s+10

1

10

100

1000

ω

Mit Hilfe von Asymptoten bestimmter Amplitudengang von

arg{G(jω)} 0° -6° exakter Verlauf -45°

G (s) =

10 s + 10

-84° -90°

0,1

1

10

100

1000

Abb. 3.32. Mit Hilfslinien angen¨ aherter Phasengang von G(s) =

ω

10 s+10

64


tragungsfunktion statt des Pols eine entsprechende Nullstelle bei s = q1 , kehrt sich das Diagramm um (Abbn. 3.33 und 3.34). G(jω) 50 dB 40

G (s) = s + 10

30

exakter Verlauf

23 20

0,1

1

10

100

1000

ω

Abb. 3.33. Mit Asymptoten angen¨ aherter Amplitudengang von G(s) = s + 10

arg{G(jω)} +90° +84° G (s) = s + 10 +45°

exakter Verlauf

+6° 0°

0,1

1

10

100

1000

ω

Abb. 3.34. Vergleich des exakt berechneten sowie des mit Hilfslinien angen¨ aherten ¨ Phasenganges der Ubertragungsfunktion G(s) = s + 10

3.13 Bode-Diagramme

65

3.13.1 Regeln f¨ ur Bode-Diagramme (reelle Pole und Nullstellen) ¨ F¨ ur den Fall, daß die Ubertragungsfunktion mehrere reelle Pole und Null¨ stellen enthält, geht man folgendermaßen vor: Man zerlegt die Ubertragungsfunktion multiplikativ in Systeme 1. Ordnung und addiert dann den logarithmisch dargestellten Amplitudengang sowie die linear dargestellte Phase. Unter der Bedingung, daß sich alle Pole und Nullstellen auf der negativen reellen Achse des Pol-Nullstellen-Diagramms befinden und der gegenseitige Abstand gen¨ ugend groß ist, lassen sich Regeln definieren, die das Abschätzen der Amplituden- und Phasenverl¨ aufe erleichtern [53], [129]: Amplitudengang 1. Lage und Vielfachheit von Polen und Nullstellen bestimmen 2. Achsen zeichnen und Eckfrequenzen eintragen 3. Bei ω → 0 beginnen: a) weder Pol noch Nullstelle bei s = 0: Steigung 0 dB/Dekade b) pro Pol bei s = 0: Steigung -20 dB/Dekade c) pro Nullstelle bei s = 0: Steigung +20 dB/Dekade 4. Gerade Linie bis zur n¨ achsten Eckfrequenz 5. F¨ ur jeden Pol Steigung um 20 dB/Dekade verringern, f¨ ur jede Nullstelle Steigung um 20 dB/Dekade erh¨ ohen. Punkte 4 und 5 so lange wiederholen, bis alle Eckfrequenzen abgearbeitet sind 6. Beschriftung der vertikalen Achse durch Ausrechnen von |G(jω)| in einem waagrechten Bereich des Bode-Diagrammes. 7. Ecken um 3 dB pro Pol bzw. Nullstelle abrunden Phasengang 1. Achsen zeichnen und Eckfrequenzen eintragen 2. Bei ω → 0 beginnen: a) weder Pol noch Nullstelle bei s = 0: Phase 0◦ b) pro Pol bei s = 0: Phase −90◦ c) pro Nullstelle bei s = 0: Phase +90◦ 3. Gerade Linie bis 0, 1× n¨ achste Eckfrequenz 4. Jeder Pol subtrahiert 90◦ , jede Nullstelle addiert 90◦ u ¨ber einen Bereich von 0, 1× Eckfrequenz bis 10× Eckfrequenz verteilt. Auf diese Art alle Eckfrequenzen abarbeiten 5. Phasenskizze gl¨ atten, so daß arctan-Verl¨ aufe entstehen. Abrundungen ca. 6◦ pro Pol bzw. Nullstelle bei 0, 1× Eckfrequenz und 10× Eckfrequenz


66

G(jω) 20 17 14 10

G (s) =

s + 1000 (s + 10)

2

dB 0,1

1

10

100

1000

ω

10000

-20

-40 exakter Verlauf -60

arg{G(jω)} 0° 0,1

-45°

1

10

100

1000

ω

10000

exakter Verlauf G (s) =

s + 1000 (s + 10)

2

-90°

-135°

-180° Abb. 3.35. Approximierter und exakt berechneter Amplituden- und Phasengang

3.13 Bode-Diagramme

67

Beispiel: Bode-Diagramm mit reeller Pol-Nullstellenverteilung ¨ Betrachten wir folgende Laplace-Ubertragungsfunktion G(s) =

s + 1000 . (s + 10)2

(3.238)

Es befinden sich weder Pole noch Nullstellen bei s = 0, daher ergibt sich bei ω → 0 f¨ ur den Amplitudengang |G(jω)| = 20 dB und eine Steigung von 0 dB sowie f¨ ur den Phasengang arg{G(jω)} = 0. Bei s = −10 befindet sich ein doppelter Pol, daher f¨ allt der Amplitudengang ab ω = 10 mit −40 dB/Dekade ab und die Phase verringert sich auf −180◦ u ¨ber einen Bereich von ω = 1 bis ω = 100 verteilt. Die Nullstelle bei s = −1000 f¨ uhrt dazu, daß die Steigung des Amplitudenganges sich ab ω = 1000 auf −20 dB/Dekade erhöht und die Phase auf −90◦ ansteigt. Die Abbildung 3.35 zeigt die approximierten sowie die exakten Verläufe. 3.13.2 Regeln f¨ ur Bode-Diagramme mit komplexen Polpaaren ¨ Wenn die Ubertragungsfunktion ein komplexes Polpaar aufweist, bedeutet dies, daß ein schwingungsf¨ ahiges System beschrieben wird, z. B. ein Resonanzkreis. Man hat zwei F¨ alle zu unterscheiden (Abb. 3.36): j. ω schwach gedämpft

σ = Re {s}

stark gedämpft

Abb. 3.36. Konjugiert-komplexe Polstellen f¨ ur schwach ged¨ ampftes sowie stark ged¨ ampftes System

68


schwach ged¨ ampftes System Ob eine schwache oder eine starke D¨ ampfung vorliegt, läßt sich an der Lage der Doppelpolstelle ablesen. Gilt f¨ ur den Betrag des Imaginärteils |Im(si )| ≫ |Re(si )|, so herrscht schwache D¨ ampfung vor, was dazu f¨ uhrt, daß es im Amplitudengang zu einer deutlichen Resonanz¨ uberhöhung kommt. F¨ ur Frequenzen weit oberhalb der Eckfrequenz fällt der Amplitudengang mit 40 dB/Dekade aufgrund des doppelten Pols. Ferner findet die Resonanz¨ uberhöhung bei ω ≈ |Im (si )| statt, d.h. in der Nähe des Imaginärteils des Pols. Diese ist umso ausgepr¨ agter, je n¨ aher der Pol an der imaginären Achse liegt. Näher“ heißt, daß der Winkel zwischen der Verbindungsgeraden (Pol ” - Nullpunkt) und der imagin¨ aren Achse kleiner ist. Die Phase fällt an dieser Stelle wegen des doppelten Pols nahezu sprunghaft um 180◦ ab. Die Nähe der Pole zur imaginären Achse ist ein Maß f¨ ur die Steilheit dieses Phasensprungs. stark ged¨ ampftes System Bei stark gedämpften Systemen ist der Realteil der konjugiert-komplexen Polstelle wesentlich gr¨ oßer als der Imagin¨ arteil. Es gilt |Im(si )| ≪ |Re(si )|. Auch hier fällt der Amplitudengang mit 40 dB/Dekade f¨ ur Frequenzen oberhalb der ¨ Eckfrequenz ab. Die Uberh¨ ohung im Amplitudengang infolge Resonanz geht allerdings immer mehr zur¨ uck und verschwindet f¨ ur den Grenzfall, daß die konjugiert-komplexe Polstelle in einen Doppelpol u ¨bergeht. In diesem Grenzfall zeigt der Amplitudengang den bereits oben diskutierten 6 dB-Abfall bei der Eckfrequenz ω ≈ |Re(si )|. Systeme mit mittlerer D¨ ampfung F¨ ur Fälle, die zwischen den o. g. Extrema (|Im(si )| ≫ |Re(si )| und |Im(si )| ≪ |Re(si )|) liegen, gelten folgende Regeln: ¨ 1. Ein Uberschwingen tritt auf, sobald der Imaginärteil der Polstelle größer wird als der Realteil, d. h. f¨ ur |Re(si )| < |Im(si )|. 2. Die Eckfrequenz ω ergibt sich aus dem Betrag der Polstelle p ω = Re(si )2 + Im(si )2 . (3.239) ¨ 3. Das Maximum der Uberschwingungsamplitude liegt zwischen der Frequenz ω = 0 und der Eckfrequenz aus Pkt. 2.

Beispiele: Bode-Diagramme f¨ ur komplexe Polpaare Im folgenden wollen wir zwei Beispiele diskutieren. Zunächst betrachten wir ¨ die Ubertragungsfunktion G(s) =

1 . s2 + 0, 4s + 1, 04

(3.240)

3.13 Bode-Diagramme

69

G(jω) 20 17 10 dB 0,01

0,1

1

10

100

-20 G (s) =

1000

ω

1 s2 + 0,4s + 1,04

-40

-60

arg{G(jω)} 0° 0,01

0,1

1

10

100

1000

ω

-45° G (s) =

1 s2 + 0,4s + 1,04

-90°

-135°

-180° Abb. 3.37. Amplituden- und Phasengang mit einer Resonanz¨ uberh¨ ohung bei ω ≈ 1

70


Sie besitzt lediglich ein komplexes Polpaar bei s1,2 = −0, 2 ± j. Daraus folgt, daß f¨ ur kleine ω die Phase gleich Null ist. Außerdem erhält man f¨ ur ω → 0 einen waagrechten Amplitudenverlauf mit |G(jω)| ≈ 0 dB. Das Polpaar f¨ uhrt zu einer deutlichen Resonanz¨ uberhöhung an der Stelle ω ≈ 1; f¨ ur h¨ ohere Frequenzen l¨ aßt sich der Amplitudenverlauf durch eine Gerade mit −40 dB/Dekade Steigung ann¨ ahern. Die Phase fällt bei ω ≈ 1 um −180◦ ab ¨ (Abb. 3.37). Um den Einfluß der Pol-Nullstellenkonfiguration auf das Ubertra¨ gungsverhalten eines Netzwerkes zu verdeutlichen, betrachten wir die Ubertragungsfunktion G(s) =

s(s + 100)2 (s + 104 ) . (3.241) (s + 0, 2 + j)(s + 0, 2 − j)(s + 20 + 1000j)(s + 20 − 1000j) j. ω s5

s2 s1 s7

s4

σ = Re {s}

s3

s6 Abb. 3.38. Gl. (3.241)

¨ Pol(x)-Nullstellen(o)-Diagramm der Ubertragungsfunktion nach

Diese Darstellung l¨ aßt die Lage der Pole und Nullstellen sofort erkennen (Abb. 3.38). Die Nullstelle bei s1 = 0 f¨ uhrt dazu, daß die Amplitude f¨ ur kleine ω mit 20 dB/Dekade ansteigt (Abb. 3.39). Die erste Resonanz¨ uberhöhung wird durch das komplexe Polpaar s2,3 = −0, 2 ± j verursacht und befindet sich bei ω ≈ 1. Hier ändert sich die Steigung um −40 dB/Dekade auf −20 dB/Dekade. Als nächstes folgt eine doppelte Nullstelle auf der reellen Achse bei s4 = −100. Daher ändert sich die Steigung bei ω = 100 um +40 dB/Dekade auf +20 dB/Dekade. Wegen des komplexen Polpaares s5,6 = −20±1000j kommt es bei ω ≈ 1000 abermals zu einer Resonanz¨ uberhöhung. Die Steigung des Amplitudenganges ändert sich um −40 dB/Dekade auf −20 dB/Dekade. Schließlich gilt es noch die Nullstelle s7 = −104 zu beachten, welche dazu f¨ uhrt, daß

3.13 Bode-Diagramme

G(jω)

s (s + 100)2 (s + 104 ) (s + 0,2 + j) (s + 0,2 - j) (s + 20 + 1000j) (s + 20 - 1000j)

G (s) =

60

71

dB 40

exakter

20

Verlauf approximierter

0 0,1

1

arg{G(jω)} +90°

100

10

1000

10000

ω

4

G (s) =

s (s + 100)2 (s + 10 ) (s + 0,2 + j) (s + 0,2 - j) (s + 20 + 1000j) (s + 20 - 1000j)

exakter

Verlauf approximierter

+45°

0° 0,1

1

10

100

1000

10000

ω

-45°

-90° Abb. 3.39. Amplituden- und Phasengang mit zwei Resonanz¨ uberh¨ ohungen bei ω ≈ 1 und ω ≈ 1000

sich die Steigung bei ω = 104 um +20 dB/Dekade auf 0 dB/Dekade erhöht. Beim Vergleich des approximierten Amplitudenganges (Abb. 3.39) mit der exakten Lösung fällt auf, daß die zweite Resonanz wesentlich stärker ausgeprägt ist als die erste. Dies ist darauf zur¨ uckzuf¨ uhren, daß das Polpaar s5,6 näher an

72


der imaginären Achse liegt als das Polpaar s2,3 . Näher“ heißt, daß der Win” kel der Pole mit der imagin¨ aren Achse kleiner ist. Abschließend muß noch die vertikale Achse beschriftet werden. Hierzu benutzt man die Tatsache, daß der Amplitudenverlauf f¨ ur ω → ∞ waagrecht ist und daß die Amplitude dort 0 dB beträgt (limω→∞ |G(jω)| = 1). F¨ ur die Phase bei kleinen Frequenzen erhält man wegen der Nullstelle bei s1 = 0 den Wert +90◦ . Beim ersten komplexen Polpaar ändert sich die Phase um −180◦ auf −90◦ . Die doppelte Nullstelle bei s4 = −100 f¨ uhrt zu einem Anstieg um 180◦ auf (ungefähr) zwei Dekaden verteilt. Das zweite komplexe Polpaar verursacht wiederum eine Phasenänderung um −180◦. Schließlich bleibt noch die Nullstelle s7 = −104 wodurch die Phase auf 0◦ zur¨ uckgeht. Betrachtet man den exakten Phasenverlauf in Abb. 3.39, so erkennt man, daß sich hier die st¨ arkere zweite Resonanz in einem deutlich steileren Phasen¨ ubergang auswirkt.

4 Nichtlineare elektrische Bauelemente, Schaltungen und Systeme

Im Gegensatz zu den vereinfachenden Annahmen, daß die in den betrachteten elektrischen Netzwerken enthaltenen Bauelemente zeitinvariant, d.h. keine Funktion der Zeit darstellen, und linear sind, d. h. keine Abhängigkeiten der Widerstands-, Kapazit¨ ats- und Induktivit¨ atswerte von den angelegten Spannungen bzw. den durch sie fließenden Str¨ omen vorhanden sind, wollen wir in diesem Kapitel gerade diese Abh¨ angigkeiten zulassen. Wir sprechen in diesem Fall allgemein von zeitvarianten R, L, C = f (t)

(4.1)

R, L, C = f (u, i)

(4.2)

bzw. nichtlinearen Bauelementen und Netzwerken. Sie stellen eine Verallgemeinerung der linearen Bauelemente und Netzwerke dar.

4.1 Nichtlineare konzentrierte Bauelemente (R, L, C) 4.1.1 Vorbemerkungen Nichtlineare Bauelemente werden im allgemeinen durch ihre Kennlinien beschrieben. Kennlinien k¨ onnen als geschlossene analytische Ausdr¨ ucke, in Form von Tabellen oder als gemessene Kurven vorliegen. Bei einem Widerstand spricht man von einer Strom-Spannungs-Kennlinie, bei einer Induktivität von einer Fluß-Strom-Kennlinie und bei einer Kapazität von einer LadungsSpannungs-Kennlinie. Ist der Kennliniengraph punktsymmetrisch zum Ursprung, so bezeichnet man diesen als bilaterale Kennlinie. Kennlinien, die bei sehr langsam ver¨ anderlichen oder zeitlich konstanten anregenden Größen aufgenommen werden, heißen statische Kennlinien. Bei linearen Elementen und sinusf¨ ormiger Anregung kann eine Kennlinie, welche die Momentanwerte von Strom und Spannung beschreibt, durch ein√ fache Skalierung mit dem Faktor 2 auf beiden Achsen gemäß


74


ˆ U Ueff = √ 2

und

Iˆ Ieff = √ 2

(4.3)

in eine Kennlinie zur Beschreibung der Effektivwerte umgewandelt werden, ˆ und Iˆ die Scheitelwerte von Spannung bzw. Strom bezeichnen. wobei U Bei Bauelementen mit nichtlinearer Kennlinie besteht nat¨ urlich keine lineare Beziehung mehr zwischen Strom und Spannung. Bei Anlegen einer sinusförmigen Wechselspannung an ein nichtlineares Element ist der Strom nicht mehr sinusförmig. Er enth¨ alt neben der Grundfrequenz noch höhere Harmonische. Der Effektivwert bestimmt sich dann zu s Z 1 T 2 i (t) dt . (4.4) Ieff = T 0 Aus diesem Grunde gehen Momentanwert- und Effektivwertkennlinie nicht mehr einfach durch Maßstabs¨ anderung auseinander hervor. Der Unterschied zwischen beiden Kurven ist aber im allgemeinen gering, da sich bei der Bildung des Effektivwertes die Oberwellen quadratisch zur Grundwelle addieren und deren Amplituden (im Vergleich zur Grundwelle) mit der Ordnungszahl der Harmonischen abnehmen. 4.1.2 Nichtlinearer Widerstand Das Schaltsymbol f¨ ur einen nichtlinearen Widerstand ist in Abb. 4.1 gezeigt. Man unterscheidet zwischen stromgesteuerten Widerst¨ anden, die in der Form u = R(i) i (4.5) und spannungsgesteuerten Widerst¨ anden, die in der Form i = G(u) u

(4.6)

dargestellt werden. Im zeitvarianten Fall tritt zu der jeweiligen Abhängigkeit noch die der Zeit t hinzu. i u Abb. 4.1. Schaltsymbol f¨ ur nichtlinearen Widerstand

In Abb. 4.2 ist exemplarisch eine Strom-Spannungs-Kennlinie eines nichtlinearen (stromgesteuerten) Widerstandes gezeigt. An dieser Kennlinie sind nun allgemein zwei verschiedene Gr¨ oßen zur Beschreibung des Bauteils definiert. Betrachtet man einen speziellen Arbeitspunkt (u0 , i0 ), so wird die Steigung der Ursprungsgeraden durch diesen Punkt als statischer Widerstand

4.1 Nichtlineare konzentrierte Bauelemente (R, L, C)

R s (i 0)

75

R(i 0)

u u0

a)

i0

i

R

R s (i) b)

R(i) i

Abb. 4.2. a) Strom-Spannungs-Kennlinie eines nichtlinearen ohmschen Widerstandes mit Ursprungsgerade und Tangente im Arbeitspunkt (u0 , i0 ), b) statischer RS und differentieller Widerstand R

Rs (i0 ) =

u0 i0

(4.7)

bezeichnet (Abb. 4.2). Er ist eine Funktion des Arbeitspunktes. Die Steigung der Tangente an die Kurve im Arbeitspunkt (i0 ) hingegen entspricht dem differentiellen Widerstand du R(i0 ) = . (4.8) di i=i0

Neben der Betrachtung der (statischen) Kennlinie des nichtlinearen Bauelements ist auch dessen Zeitverhalten von grundlegender Wichtigkeit. So reagiert ein reales nichtlineares Bauelement, je nach zugrundeliegendem physikalischem Mechanismus, der f¨ ur die Nichtlinearität verantwortlich ist, nicht so¨ fort auf eine Anderung der ¨ außeren elektrischen Größen. Innere physikalische Vorgänge, die zur Nichtlinearit¨ at f¨ uhren, k¨ onnen z. B. einem Exponentialgesetz mit einer bestimmten Zeitkonstante τ gehorchen. Ist die Nichtlinearität des Bauteils temperaturbedingt, so kann die entsprechende Erwärmungszeitkonstante im Bereich von Sekunden oder Minuten liegen. Bauelemente mit einer im Vergleich zur Periodendauer der anregenden Größe T großen Zeitkonstanten τ bezeichnet man als tr¨ age Bauelemente. Man hat drei Fälle zu unterscheiden [119]:

76


1. Die Periodendauer der anregenden Gr¨ oße ist sehr groß im Vergleich zur Zeitkonstanten des nichtlinearen Bauelementes (T ≫ τ ): Hier verhält sich das Bauelement tr¨ agheitslos. Ein nichtlinearer Widerstand verhält sich hier wie sein differentieller Widerstand im jeweiligen Arbeitspunkt. 2. Die Periodendauer der anregenden Gr¨ oße ist sehr klein im Vergleich zur Zeitkonstanten des nichtlinearen Bauelementes (T ≪ τ ): Das Bauelement ist tr¨ age, d. h. es ¨ andert seinen Widerstandswert fast nicht. Somit verh¨ alt es sich bei dieser Anregung wie ein lineares Bauelement mit konstantem Widerstandswert, der seinem statischen Widerstand entspricht. Die Kennlinie geht u ¨ber in eine Ursprungsgerade mit dem Anstieg des statischen Widerstandes. 3. Die Periodendauer der anregenden Gr¨ oße liegt in der Größenordnung der Zeitkonstanten des nichtlinearen Bauelementes (T ≈ τ ): Der Widerstandswert ¨ andert sich verz¨ ogert, d. h. die Kennlinie erhält die Form einer geschlossenen Kurve, die den Arbeitspunkt umfaßt. Es tritt also eine Hysterese auf und Strom sowie Spannung am Widerstand werden gegeneinander in der Phase verschoben, so daß zusätzlich zum ohmschen Widerstand kapazitive und induktive Anteile hinzutreten.

i

u

Abb. 4.3. Kennlinie eines bilateralen Widerstandes

Passive Widerst¨ ande sind Widerst¨ ande, die weder Quellen enthalten noch Halbleitereigenschaften aufweisen. Sie zeigen eine bzgl. des Koordinatenursprunges im u − i−Kennlinienfeld punktsymmetrische Kennlinie (Abb. 4.3). Man bezeichnet diese Widerst¨ ande bzw. ihre entsprechende Kennlinie auch als bilateral. Die Klemmen dieses Widerstandes sind beliebig vertauschbar. Diese Punktsymmetrie geht verloren, wenn die Bauelemente Halbleiter mit ¨ pn−Uberg¨ angen enthalten, wie z. B. Dioden. Abbildung 4.4 zeigt die typische i − u−Kennlinie einer Diode

4.1 Nichtlineare konzentrierte Bauelemente (R, L, C)

77

i i

u

IS

u

Abb. 4.4. Typische Diodenkennlinie mit Schaltzeichen

i = Is (eu/UT − 1),

(4.9)

wobei UT die Temperaturspannung bezeichnet UT =

k·T e

(4.10)

mit k: Boltzmannkonstante k = 1, 38 · 10−23 Ws K e: Elektronenladung e = 1, 6 · 10−19 As T : absolute Temperatur. Eine besondere Eigenschaft weisen die sog. Tunneldioden auf; sie zeigen n¨ amlich in ihrer i − u−Kennlinie Bereiche mit negativer Steigung (Abb. 4.5). Dies bedeutet, daß sich die Tunneldiode dort wie ein negativer differentieller Widerstand verh¨ alt. Bez¨ uglich eines vorgegebenen Stromwertes i kann es

i i di UVB uE < − UVB

UB V

.

(4.38)

UB entspricht in der Praxis der um ca. 1 Volt reduzierten Versorgungsspannung des Operationsverst¨ arkers. Kollektor

uBE

Basis iB

iC

u CE

Emitter

Abb. 4.21. Schaltzeichen eines Bipolartransistors

Auch Transistoren lassen sich in Form von gesteuerten Quellen darstellen. Bei Bipolartransistoren (Abb. 4.21) ist der Basisstrom iB die steuernde Größe und der Kollektorstrom die gesteuerte Gr¨ oße (Abb. 4.22). iB iC u CE

iB

u BE a)

u CE b)

Abb. 4.22. Transistorkennlinien: a) Eingangskennlinienfeld eines Bipolartransistors und b) Ausgangskennlinienfeld

4.3 Analyse nichtlinearer elektrischer Netzwerke Die Analyse von elektrischen Netzwerken, die nichtlineare Bauelemente enthalten, ist in aller Regel bedeutend aufwendiger als die Analyse vergleichbarer linearer Netzwerke. Dies beginnt damit, daß das Superpositionsprinzip nicht mehr anwendbar ist. Selbst einfache Netzwerke mit nur einem oder zwei nichtlinearen Elementen erfordern oft numerische Lösungen. Bei einfacheren Netzwerken ist die graphische Bestimmung der (des) Arbeitspunkte(s) oft eine

4.3 Analyse nichtlinearer elektrischer Netzwerke

91

i Ri

Uo

u

RL

Abb. 4.23. Zu analysierendes Netzwerk

Alternative mit Anschauungscharakter. Wir beginnen daher mit der graphischen Bestimmung des Arbeitspunktes des in Abb. 4.23 gezeigten linearen Widerstandsnetzwerkes, das von einer Quelle gespeist wird. Bei der graphischen L¨ osung werden die beiden Geraden, welche einerseits den ohmschen Lastwiderstand RL und andererseits die Quelle mit dem Innenwiderstand Ri beschreiben, in das i−u-Kennlinienfeld eingetragen (Abb. 4.24). Der Schnittpunkt, der auch als Arbeitspunkt bezeichnet wird, liefert die Lösung f¨ ur den Strom iAP , der durch den Zweig des Netzwerkes fließt, sowie die Spannung uAP am eingezeichneten Klemmenpaar U0 , Ri + RL RL = U0 . Ri + RL

iAP =

(4.39)

uAP

(4.40)

Im Falle eines nichtlinearen Lastwiderstandes kann es keine, eine, mehrere oder sogar unendlich viele L¨ osungen, sprich Arbeitspunkte, geben (Abb. 4.25 und 4.26). Formelmäßig läßt sich die Situation der mit einem nichtlinearen Widerstand belasteten Quelle folgendermaßen beschreiben. Die unabhängige Quelle mit Innenwiderstand Ri wird durch u

Arbeitspunkt

u = RL i

U0 u

u = U0 - R i i

AP

i

AP

U0 Ri

i

Abb. 4.24. Graphische Arbeitspunktbestimmung der Schaltung aus Abb. 4.23

92


u = U0 − Ri i

(4.41)

charakterisiert. Wenn sich der Lastwiderstand RL durch eine analytische Funktion der Form FRL (i, u) = 0 (4.42) darstellen läßt, so f¨ uhrt die Tatsache, daß der Strom durch die Quelle mit dem durch den Lastwiderstand in Betrag und Richtung identisch ist, zu der Gleichung FRL (i, U0 − Ri i) = 0 . (4.43)

u U0 Kennlinie der Quelle Kennlinie des nichtlinearen Lastwiderstandes

i

Abb. 4.25. Graphische Bestimmung des Arbeitspunktes – Beispiel f¨ ur nichtexistente L¨ osung

Dies ist im allgemeinen Fall eine nichtlineare transzendente Gleichung, die mit Hilfe eines geeigneten numerischen Verfahrens, z.B. mit der Newton-RaphsonMethode, gelöst werden kann. Prinzipiell ist also eine Gleichung der Form f (x) = 0

(4.44)

iterativ zu lösen, bis ein gew¨ unschtes Abbruchkriterium unterschritten wird. Dabei muß die Lösung, wie Abb. 4.26 zeigt, nicht eindeutig sein, sondern sie kann vom Startpunkt x(0) abh¨ angen. Die L¨ osung erhält man durch fortlaufende Iterationen u ¨ber n x(n+1) = x(n) −

f (x(n) ) . f ′ (x(n) )

(4.45)

Voraussetzung f¨ ur die Anwendbarkeit des Verfahrens ist die stetige Differenzierbarkeit der Funktion f (x).

4.3 Analyse nichtlinearer elektrischer Netzwerke

93

u

Kennlinie der Quelle

U0 uAP Kennlinien zweier beispielhafter nichtlinearer Lastwiderstände

i

iAP

Abb. 4.26. Graphische Bestimmung des Arbeitspunktes der Schaltung aus Abb. 4.23. Die durchgezogene Kennlinie liefert einen Arbeitspunkt, auf der gestrichelten sind zwei Arbeitspunkte m¨ oglich.

Beispiel — Lineare Spannungsquelle mit Diode Es soll die in Abb. 4.27 gezeigte Schaltung analysiert werden. Die Diode läßt sich durch u i = Is (e UT − 1) (4.46) beschreiben. Im konkreten Fall betragen die Werte f¨ ur den Sättigungssperrstrom der verwendeten Siliziumdiode IS = 10 pA

(4.47)

und f¨ ur die Temperaturspannung bei Raumtemperatur UT = 26 mV .

(4.48)

F¨ ur die Leerlaufspannung der Quelle gilt U0 = 3 V und f¨ ur ihren Innenwiderstand Ri = 1 kΩ. Da in diesem Fall zu erwarten ist, daß i ≫ IS ist, vereinfacht sich die Diodengleichung zu u i = IS e UT . (4.49)

Ri Uo

i u

Abb. 4.27. Zu analysierende Schaltung

94


Wenn man jetzt die Quelle mit der Gleichung u = U0 − Ri i

(4.50)

ber¨ ucksichtigt, erh¨ alt man folgende transzendente Gleichung zur Beschreibung der Schaltung u (4.51) f (u) = u − U0 + Ri IS e UT = 0 . Die Ableitung nach u ergibt f′ =

df Ri IS Uu e T. =1+ du UT

(4.52)

Da wir wissen, daß die Durchlaßspannung von Siliziumdioden bei etwa 0, 6 V liegt, nehmen wir diesen Wert als Startwert u(0) f¨ ur das Iterationsverfahren. Es ergeben sich die Iterationen von Spalte 1 der Tab. 4.1. Auch f¨ ur kleinere Startwerte konvergiert der Algorithmus (Spalte 2). Je schlechter der Startwert gewählt wird, umso mehr Iterationen werden benötigt (Spalte 3). Weitere Verfahren zur Analyse von nichtlinearen Netzwerken finden sich in [163]. Tabelle 4.1. Iterative L¨ osung von Gl. (4.51) f¨ ur verschiedene Startwerte u(0) Spalte 1 (0)

u

u(1) (2)

u

(3)

u

(4)

u

u(5)

Spalte 2

=

(0)

0.6000 V u

=

0.5746 V u(1)

=

(2)

=

0.5503 V u

(3)

0.5284 V u

Spalte 3

=

(0)

0.4500 V u

=

2.0000 V

=

0.6127 V u(1)

=

1.9740 V

=

(2)

=

1.9481 V

(3)

=

1.9221 V

(4)

1.8961 V

=

0.5871 V u 0.5621 V u

=

(4)

0.5121 V u

=

0.5388 V u

=

0.5042 V u(5)

=

0.5193 V

= .. .

(6)

u

=

(6)

0.5028 V u

=

0.5070 V u(58)

=

0.5110 V

u(7)

=

0.5027 V u(7)

=

0.5031 V u(59)

=

0.5039 V

=

(8)

=

(60)

=

0.5028 V

(61)

=

0.5027 V

(8)

u

0.5027 V u

0.5027 V u u

5 Meßfehler

Messungen sind in der Regel fehlerbehaftet, auch wenn sie noch so präzise durchgef¨ uhrt werden. Die Ermittlung und Angabe der entsprechenden Meßfehler sollte zu jeder zuverl¨ assigen Messung gehören, damit die aus dem Meßergebnis abgeleiteten Schl¨ usse bzw. Entscheidungen auf einer sicheren Grundlage basieren. So besteht bei vielen Arten von Messungen die Gefahr, daß sich die zu messenden Gr¨ oßen durch das Einbringen der Meßgeräte verändern. Beispielsweise kann ein Spannungsmesser die zu messende Spannung verändern, weil er infolge seiner nicht idealen (d.h. nicht unendlich hohen) Innenimpedanz die Spannungsquelle belastet. Generell ist darauf zu achten, daß solche R¨ uckwirkungen der Meßeinrichtung auf die Quelle, der die Meßgröße entstammt, so gering wie möglich gehalten werden. Eine weitere typische Fehlerquelle besteht in der unsachgem¨ aßen Anwendung der Geräte, wie z. B. dem Betrieb in einem nicht spezifizierten Frequenz- oder Temperaturbereich. Aber selbst bei bestimmungsgerechter und r¨ uckwirkungsfreier Anwendung von Meßgeräten gibt es Meßfehler, die zuf¨ alliger Natur sind, wie z. B. die Ablesefehler. Die Charakterisierung eines Meßfehlers erfolgt durch Angabe des absoluten oder des relativen Meßfehlers. Der absolute Meßfehler F ist definiert als Differenz aus dem Meßwert A (Anzeigewert) und dem wahren Wert W F = A−W .

(5.1)

Der relative Fehler f entspricht dem absoluten Fehler, bezogen auf den wahren Wert F 100% . (5.2) f= W Bei nicht bekanntem wahren Wert W und kleinem Meßfehler (|F/A| ≪ 1) darf folgende Näherung angewendet werden f≈

F 100% . A

(5.3)

Zur Charakterisierung von Meßger¨ aten bezieht man den absoluten Meßfehler des Gerätes häufig auf den Meßbereichsumfang, die sog. Meßspanne Msp, wel-


96

5 Meßfehler

che der Differenz zwischen Meßbereichsendwert und Meßbereichsanfangswert entspricht F f˜ = 100% . (5.4) Msp Die Größe f˜ wird als normierter bzw. zum Teil auch als reduzierter Fehler bezeichnet. In der Meßtechnik unterscheidet man prinzipiell zwischen systematischen Meßfehlern und zufälligen Meßfehlern. Der wesentliche Unterschied zwischen diesen Fehlerarten liegt in der Vorhersagbarkeit und damit der Korrigierbarkeit der systematischen Fehler, welche bei den zufälligen nicht gegeben ist. Die zufälligen Fehler lassen sich nur noch mit Hilfe von Wahrscheinlichkeiten beziffern. Der Fehler beim Ablesen einer Meßgeräteskala ist ein typischer zufälliger Fehler. Eine weitere Klassifizierung unterscheidet zwischen statischen und dynamischen Fehlern. W¨ ahrend sich die statischen Fehler nur auf die statischen Eigenschaften der Meßeinrichtung beziehen und damit nur f¨ ur rein statische Meßgr¨ oßen bzw. f¨ ur den statischen Anteil von dynamischen Meßgrößen relevant sind, beschreiben die dynamischen Meßfehler das Verhalten bei zeitlich variablen Meßgr¨ oßen. Dynamische Meßfehler sind die aus ¨ den nicht idealen Ubertragungseigenschaften des Meßsystems resultierenden Abweichungen vom wahren zeitlichen Verlauf der Meßgröße.

5.1 Systematische Meßfehler Bei den systematischen Fehlern sind die Ursachen bekannt. Es gibt systematische Abweichungen, die w¨ ahrend einer Messung einen konstanten Betrag und ein bestimmtes Vorzeichen haben (statische Meßfehler) und solche, die eine zeitliche Veränderung des Meßwertes w¨ ahrend einer Meßreihe bewirken (dynamische Meßfehler). Wenn die systematischen Fehler bekannt sind, kann nach Gl. (5.1) der wahre Wert berechnet werden. Da systematische Fehler also prinzipiell korrigierbar sind, sollten sie nach M¨ oglichkeit im ersten Schritt der Meßwertverarbeitung berichtigt werden. Fortpflanzung systematischer Fehler Ist das Meßergebnis y eine Funktion mehrerer Meßgrößen xi (i = 1 ... n), so muß die gesuchte Gr¨ oße y durch Auswertung des sog. Aufgabengesetzes y = Fkt.(x1 , ..., xn )

(5.5)

ermittelt werden. Mit dem wahren Wert yw ergibt sich schließlich der absolute Meßfehler ∆y zu ∆y = y − yw = f (x1 + ∆x1 , ..., xn + ∆xn ) − f (x1 , ..., xn ) .

(5.6)

5.1 Systematische Meßfehler

97

Wenn der absolute Einzelmeßfehler ∆xi klein ist gegen¨ uber der entsprechenden Einzelmeßgröße xi (|∆xi | ≪ |xi |), l¨ aßt sich ∆y aus den partiellen Ablei¨ tungen und den kleinen Anderungen ∆xi auf der Basis der nach den linearen Gliedern abgebrochenen Taylorreihe der Funktion y entwickeln n X ∂y ∆xi . ∆y = ∂x i i=1

(5.7)

Aus Gl. (5.7) lassen sich die folgenden Regeln f¨ ur die Fortpflanzung systematischer Fehler herleiten: • • • •

Bei der Addition von Meßgr¨ oßen werden die absoluten Fehler addiert. Bei der Subtraktion von Meßgr¨ oßen werden die absoluten Fehler subtrahiert. Bei der Multiplikation von Meßgr¨ oßen werden die relativen Fehler addiert. Bei der Division von Meßgr¨ oßen werden die relativen Fehler subtrahiert.

Besteht das Aufgabengesetz beispielsweise aus einer Multiplikation von Meßgr¨ oßen mit gleichzeitiger Potenzierung y = kxr11 xr22 · · · xrnn ,

(5.8)

so ergibt sich der absolute Fehler ∆y durch Auswertung von Gl. (5.7) ∆y = y

n X i=1

ri

∆xi . xi

(5.9)

Daraus kann der gesamte relative Fehler ∆y/y als Summe der mit den Exponenten ri gewichteten relativen Einzelfehler fi errechnet werden n

n

X ∆y X ∆xi ri fi . ri = = y xi i=1 i=1

(5.10)

Es sei an dieser Stelle darauf hingewiesen, daß die oben beschriebene vorzeichenbehaftete Behandlung von Fehlern nur Sinn macht, wenn man die Vorzeichen der Fehler explizit kennt. In vielen F¨ allen allerdings sind die Richtungsabweichungen der Fehler und damit ihre Vorzeichen unbekannt. Deshalb macht man von Gl. (5.7) in abgewandelter Form Gebrauch n X ∂y ∆y = ∂xi ∆xi ,

(5.11)

i=1

d. h. man geht vom “worst case” aus, daß alle Fehler in die selbe Richtung weisen. Die Abweichung ∆y entspricht also dann dem maximalen (Absolut-) Fehler, der auftreten kann.

98

5 Meßfehler

5.2 Zuf¨ allige Meßfehler 5.2.1 Normalverteilung, Mittelwert, Standardabweichung und Stichprobe Zufällige Fehler sind nicht unmittelbar erfaßbare Abweichungen vom wahren Wert. Sie können nur in Form von Wahrscheinlichkeitsaussagen beschrieben werden. Typischerweise liefern die Wiederholungen eines Meßvorganges unterschiedliche, streuende Meßwerte xi . Zur Beurteilung zufälliger Fehler ist es daher notwendig, mehrere bzw. soviele Messungen wie möglich durchzuf¨ uhren. Aus der Annahme, daß unendlich viele voneinander unabhängige, gleichverteilte (rein zufällige) Einflußgr¨ oßen wirksam sind und gen¨ ugend (theoretisch unendlich) viele Einzelmessungen durchgef¨ uhrt wurden, liegt eine Normalverteilung (Gaußverteilung) der Meßwerte vor. Dies geht aus dem Normalverteilungsgesetz f¨ ur zufällige Fehler hervor. Die Abweichungen sind dann durch folgende Eigenschaften charakterisiert: positive und negative Abweichungen treten gleich häufig auf und mit zunehmender Größe der Abweichung nimmt die Wahrscheinlichkeit f¨ ur ihr Auftreten ab. Die Häufigkeit ihres Auftretens wird durch die Wahrscheinlichkeitsdichte p(x) beschrieben. Sie entspricht einer Gauß- bzw. Normalverteilung (Abb. 5.1) p(x) =

1 x−µ 2 1 √ e− 2 ( σ ) . σ 2π

(5.12)

Der arithmetische Mittelwert µ aller Meßwerte xi , der auch als Erwartungswert bezeichnet wird, ergibt schließlich den gesuchten wahren Wert xw N 1 X xi . N →∞ N i=1

xw = µ = lim

Abb. 5.1. Gaußsche Verteilungsfunktion p(x)

(5.13)

5.2 Zuf¨ allige Meßfehler

99

Ein Maß f¨ ur die Abweichung der Einzelwerte vom Mittelwert µ ist die mittlere quadratische Abweichung, die man als Standardabweichung σ und deren Quadrat als Varianz σ 2 bezeichnet v u N u 1 X (xi − µ)2 . (5.14) σ = t lim N →∞ N i=1

Die statistische Sicherheit (Wahrscheinlichkeit) P f¨ ur das Auftreten eines einzelnen Meßwertes in einem Intervall x1 ≤ x ≤ x2 errechnet sich wie folgt Z x2 Z x2 2 2 1 p(x) dx = √ P = e−(x−µ) /2σ dx σ 2π x1 x1 Z x2 Z x1 2 2 1 1 −(x−µ)2 /2σ2 = √ e dx − √ e−(x−µ) /2σ dx . (5.15) σ 2π 0 σ 2π 0 R kx2 Da das Integral e dx keine analytische Lösung besitzt, wurde die sog. Errorfunction erf(x) eingef¨ uhrt Z w 2 2 erf(w) = √ e−c dc , (5.16) π 0 welche in Tafelwerken, z. B. in [1], tabelliert ist. Dabei besteht folgender Zusammenhang zwischen der Variablen c der Errorfunction und der Variablen x der Wahrscheinlichkeitsdichte c=

x−µ √ . σ 2

(5.17)

Aus Gl. (5.15) folgt unter Zuhilfenahme der Errorfunction die statistische Sicherheit P x1 − µ 1 x2 − µ √ √ − erf . (5.18) P = erf 2 σ 2 σ 2 Aufgrund des schiefsymmetrischen Verhaltens der Errorfunction erf(w) = −erf(−w)

(5.19)

errechnet sich die statistische Sicherheit P f¨ ur das Auftreten eines Meßwertes xi im Bereich −δ ≤ x − µ ≤ δ zu δ √ P (δ) = erf . (5.20) σ 2 In Tab. 5.1 sind charakteristische Werte von P (δ) notiert (s. auch Abb. 5.1). Wenn im Rahmen einer Meßreihe die Standardabweichung σ ermittelt wurde, läßt sich mit Hilfe von Tab. 5.1 der zu einer bestimmten statistischen Sicherheit P gehörende Vertrauensfaktor t bestimmen

100

5 Meßfehler

Tabelle 5.1. Fehlerwahrscheinlichkeit P (statistische Sicherheit) bei symmetrischem Intervall −δ ≤ x − µ ≤ +δ δ 0,5 σ 0,67 σ 1 σ 1,65 σ 1,96 σ 2,58 σ 3,0 σ 3,3 σ P [%] 38,3 50 68,3 90 95 99 99,73 99,9

δ = tσ .

(5.21)

Der zufällige Fehler Fxi eines Einzelmeßwertes xi liegt dann mit einer statistischen Sicherheit (Wahrscheinlichkeit) von P innerhalb des Intervalls ±tσ Fxi = ±tσ .

(5.22)

Bei der hier zunächst angenommenen unendlich hohen Anzahl von Messungen h¨ angt der Vertrauensfaktor t in der nach Tab. 5.1 bezifferten Weise nur von der frei gewählten statistischen Sicherheit P (Wahrscheinlichkeit) ab. Wenn beispielsweise eine statistische Sicherheit von 95 % gefordert wird, beträgt der Vertrauensfaktor t nach Tab. 5.1 t = 1,96. Dies bedeutet, daß die Abweichung des Einzelmeßwertes vom wahren Wert µ = xw bei einer Wahrscheinlichkeit von 95 % nicht größer ist als ± 1,96 σ. Wird die Messung einer Meßgr¨ oße mit denselben Mitteln und unter gleichen Bedingungen N-mal wiederholt, bezeichnet man dies als Stichprobe aus der Grundgesamtheit der theoretisch unendlich vielen Messungen. F¨ ur den praktischen Fall einer nur endlichen Anzahl von Messungen (N < ∞) kann aus den einzelnen Meßwerten xi (i = 1...N ) der Mittelwert µ (wahrer Wert xw ) nicht mehr nach Gl. (5.13) gebildet werden, sondern nur noch ein Schätzwert x ˜ angegeben werden N 1 X xi . (5.23) x ˜= N i=1 F¨ ur eine endliche Anzahl N von Meßwerten definiert man anstelle der Standardabweichung σ die Schwankung s (empirische Standardabweichung) bzw. die Streuung s2 v u N u 1 X (xi − x ˜)2 . (5.24) s=t N − 1 i=1

Der Wert von s wird auch als mittlerer quadratischer Fehler (vom Schätzwert) der Meßwerte xi bezeichnet. Tip: ¨ Diese Thematik kann man anhand der LabVIEW Ubungsaufgabe 2.2a auf der CD-ROM vertiefen.


101

5.2.2 Vertrauensbereich f¨ ur den Sch¨ atzwert Im Zusammenhang mit Meßfehlerabsch¨ atzungen stellt sich im allgemeinen auch die Frage nach der G¨ ute des im Rahmen einer Meßserie ermittelten Schätzwertes x ˜. Die Antwort auf diese Frage kann ebenfalls nur in Form einer statistischen Sicherheit P (Wahrscheinlichkeit) gegeben werden. Um die G¨ ute des Schätzwertes x ˜ anzugeben, muß festgestellt werden, wie nahe dieser Schätzwert x ˜ (Mittelwert aus N Messungen) dem wahren Wert xw (Mittelwert f¨ ur N → ∞) liegt. Dazu nehmen wir zun¨ achst an, daß eine unendlich hohe Anzahl von Einzelmessungen xi vorliegt. Die Standardabweichung dieser sog. Grundgesamtheit wird mit σ bezeichnet. Wenn wir dieser Grundgesamtheit eine Stichprobe mit N Einzelmeßwerten entnehmen, können wir deren Schätzwert x ˜ errechnen (Abb. 5.2). Werden mehrere solcher Stichproben genommen, so gelangt man zu einer Verteilung von Sch¨ atzwerten. Die Schwankung sx˜ dieser Schätzwerteverteilung liefert schließlich den gesuchten Vertrauensbereich des Schätzwertes x˜. In der Praxis jedoch wird man nicht mehrere Stichproben entnehmen, sondern sich auf eine beschr¨ anken. Dies f¨ uhrt letztendlich zum selben Ergebnis, da wir davon ausgehen, daß alle in der Grundgesamtheit vorkommenden Meßwerte xi voneinander unabhängig sind. Aus diesem Grund l¨ aßt sich die Schwankung sx˜ berechnen, indem man das Gaußsche Fehlerfortpflanzungsgesetz (Kap. 5.2.3) auf die in Abb. 5.2 gezeigte Stichprobe selbst anwendet. Die Schwankung sx˜ l¨ aßt sich demnach wie folgt ermitteln

Grundgesamtheit

N, ~ x, s Stichprobe

s: Standardabweichung der Grundgesamtheit x w : wahrer Wert = Schätzwert der Grundgesamtheit

Abb. 5.2. Grundgesamtheit von Meßwerten mit einer Stichprobe zu N Einzelmeßwerten. Die Stichprobe hat den Sch¨ atzwert x ˜ und die Schwankung s.

102

Mit

5 Meßfehler

v uN 2 uX ∂˜ x σ2 . sx˜ = t ∂x i i=1 ∂ ∂˜ x = ∂xi ∂xi

N 1 X xi N i=1

!

=

(5.25)

1 N

folgt aus dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz (Gl. (5.25)) v r uN uX 1 1 1 t 2 sx˜ = σ = N σ2 = √ σ . 2 2 N N N i=1

(5.26)

(5.27)

Die Schwankung der atzwerte x˜ ist also gemäß Gl. (5.27) √ Verteilung der Sch¨ um den Faktor 1/ N kleiner als die der Einzelwerte xi (s. auch Gl. (5.24)). In der Praxis kann man den exakten Wert von σ nicht ermitteln, da unendlich viele Messungen vorausgesetzt werden. Daher wird man anstatt σ die Schwankung s aus der aktuellen Stichprobenverteilung (Abb. 5.2) verwenden. Die vollständige Angabe eines Meßergebnisses x erfolgt durch Bezifferung des Schätzwertes x ˜ und seiner Vertrauensgrenzen V in der Form ts x=x ˜±V =x ˜± √ . N

(5.28)

Der zufällige Fehler Fx˜ des Sch¨ atzwertes betr¨ agt demnach ts Fx˜ = ± √ . N

(5.29)

Der Vertrauensfaktor t ist bei einer endlichen Anzahl von Meßwerten neben der gewählten statistischen Sicherheit P auch von der Anzahl N der Einzelmessungen abhängig. Die Funktion der entsprechenden Fehlerverteilung ist die sog. Student-Verteilung (Abb. 5.3), die auch als t-Verteilung bezeichnet wird. Die Student-Verteilung ist also die Verteilung der Stichprobe (N < ∞), welche verständlicherweise breiter ist als die Normalverteilung, weil die Vertrauensgrenzen bei gleicher statistischer Sicherheit P aufgrund der Tatsache, daß man u oßer sind als bei der f¨ ur N → ∞ ¨ber weniger Meßwerte mittelt, gr¨ geltenden Normalverteilung (Tab. 5.2). Mit einer f¨ ur die Praxis ausreichenden Genauigkeit gehen Student- und Normalverteilung ab N > 200 ineinander u ¨ber. Tip: Auf der CDROM befindet sich das LabVIEW-Programm student_density.vi, mit dem die Studentverteilung graphisch dargestellt werden kann. Der Wertebereich kann frei gewählt und Werte f¨ ur N k¨ onnen definiert werden.


103

p(x) pN pt

µ−σ

µ

µ+σ

x

Abb. 5.3. Vergleich von Normalverteilung pN und Student-Verteilung (t-Verteilung) pt f¨ ur N = 5

F¨ ur N = 50 Meßwerte beispielsweise bedeutet dies, daß der gefundene Mittelwert (= Sch¨ ˜) mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,73 % um höchstens √atzwert x ±3, 16 sx˜ / 50 vom unbekannten wahren Wert xw abweicht. Der Wert von t = 3, 16 kann Tab. 5.2 entnommen werden. Aus Tab. 5.2 ist auch abzulesen, daß der Vertrauensfaktor f¨ ur die Normalverteilung (N → ∞) mit dem f¨ ur die Student-Verteilung (N < ∞) ab einer Losgr¨ oße von N > 200 nahezu identisch ist. Die bei einer Wahrscheinlichkeit von 68,3 % bestehende Unsicherheit wird als der mittlere Fehler ∆x des Sch¨ atzwertes bezeichnet s ∆x = |xw − x ˜| = √ . N

(5.30)

Die zufälligen Fehler k¨ onnen im Gegensatz zu den systematischen Fehlern Tabelle 5.2. Abh¨ angigkeit des Vertrauensfaktors t von der Anzahl der Messungen N bei verschiedener statistischer Sicherheit P

N

P = 68, 3% = ˆ 1, 0σ P = 95% = ˆ 1, 96σ P = 99% = ˆ 2, 58σ P = 99, 73% = ˆ 3, 0σ √ √ √ √ t t/ N t t/ N t t/ N t t/ N

2 3 4 6 10 20 50 100 200 > 200

1,84 1,32 1,20 1,11 1,06 1,03 1,01 1,01 1,00 1,00

1,30 0,76 0,60 0,45 0,34 0,23 0,14 0,10 0,07 1,00 √ N

≈0

12,7 4,30 3,18 2,57 2,26 2,09 2,01 1,98 1,97 1,96

8,98 2,48 1,59 1,05 0,72 0,47 0,28 0,20 0,14 1,96 √ N

≈0

63,7 9,92 5,84 4,03 3,25 2,86 2,68 2,63 2,60 2,58

45,0 5,73 2,92 1,65 1,03 0,64 0,38 0,26 0,18 2,58 √ N

≈0

236 19,2 9,22 5,51 4,09 3,45 3,16 3,08 3,04 3,0

167 11,1 4,61 2,25 1,29 0,77 0,45 0,31 0,22 3,00 √ N

≈0

104

5 Meßfehler

grundsätzlich nicht korrigiert werden. Zuf¨ allige Fehler können allerdings durch eine hinreichend große Anzahl von Einzelmessungen beliebig klein gehalten werden. Tip: Mit dem LabVIEW-Programm student_table.vi kann die Tab. 5.2 berechnet werden. Die Wahrscheinlichkeiten sowie die Werte f¨ ur N k¨ onnen eingestellt werden.

Beispiel — Meßreihe mit zuf¨ alligen Fehlern Im Rahmen einer Meßreihe wurden folgende 10 Werte gemessen: i xi

1 85,0

2 3 4 5 6 7 8 9 10 85,6 84,7 84,9 85,8 85,2 84,6 85,3 85,1 85,4

Der Schätzwert x ˜ betr¨ agt nach Gl. (5.23) 10

x˜ =

1 X xi = 85, 16 . 10 i=1

(5.31)

Die Schwankung s (empirische Standardabweichung) berechnet sich nach (Gl. (5.24)) zu v u 10 u 1 X s=t (xi − x ˜)2 = 0, 381 . (5.32) 10 − 1 i=1

Der zufällige Fehler Fxi der Einzelmessung beziffert sich bei einer (frei gewählten) statistischen Sicherheit von 95 % nach Tab. 5.2 auf Fxi (95 %) = ±ts = ±2, 26 · 0, 381 = ±0, 861 .

(5.33)

Der zufällige Fehler des Schätzwertes Fx˜ ergibt sich bei derselben statistischen Sicherheit von 95 % zu ts Fx˜ (95 %) = ± √ = ±0, 272 . N

(5.34)

Damit kann die vollst¨ andige Angabe des Meßergebnisses in folgender Form geschehen x = 85, 16 ± 0, 272 , (5.35) wobei sich die Angabe der absoluten Toleranzgrenzen von ±0, 272 auf eine gewählte statistische Sicherheit von 95 % bezieht.


105

Tip: Eine LabVIEW-Aufgabe zum Thema “Schwankung des Schätzwertes in Abh¨ angigkeit von der Probenlänge” findet sich auf der CD-ROM (Aufgabe 2.2b).

5.2.3 Fortpflanzung zuf¨ alliger Fehler Wenn die gesuchte Meßgr¨ oße y eine Funktion mehrerer mit voneinander unabhängigen zufälligen Fehlern behafteter Einzelmeßgrößen xi (i = 1, . . . , n) ist y = Fkt.(x1 , . . . , xn ) , (5.36) l¨ aßt sich der Mittelwert µy , der dem wahren Wert yw entspricht, wie folgt berechnen yw = µy = Fkt.(µ1 , . . . , µn ) , (5.37) wobei µi die Mittelwerte der Einzelmeßgr¨ oßen xi bezeichnen (Anzahl der jeweils aufgenommenen Meßwerte N → ∞). Unter der Voraussetzung kleiner Einzelstandardabweichungen σi l¨ aßt sich die Standardabweichung σy des Mittelwertes µy nach dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz (Gl. (5.38)) ermitteln v u n uX ∂y 2 σy = t σi2 . (5.38) ∂x i (µ1 ,µ2 ,...,µn ) i=1

Ist beispielsweise das Aufgabengesetz vom Typ y = kxr11 xr22 ,

(5.39)

so ergibt sich der mittlere relative Fehler fy (Wahrscheinlichkeit von 68,3 %) zu σy Fy = y y s 2 2 r2 r1 = σ12 + σ22 . x1 x2

fy =

(5.40)

Dabei wurde ber¨ ucksichtigt, daß der absolute zufällige mittlere Fehler Fy , d.h. der Fehler f¨ ur eine Wahrscheinlichkeit von 68,3 %, gerade der Standardabweichung σy entspricht. Da im praktischen Fall die Anzahl der aufgenommenen Meßwerte endlich bleibt (N < ∞), handelt es sich bei dem errechneten Mittelwert nur um einen Schätzwert y˜ des wahren Wertes yw . Wenn x ˜i den Schätzwert der Einzelmeßgr¨ oße xi bezeichnet, gilt y˜ = Fkt.(˜ x1 , . . . , x ñ ) .

(5.41)

106

5 Meßfehler

Unter der Voraussetzung einer Normalverteilung und f¨ ur kleine Schwankungen (si ≪ |xi |) berechnet sich die Schwankung sy˜ des Schätzwertes y˜ wiederum nach dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz aus den Schwankungen si der Einzelmeßgrößen v u n uX ∂y 2 sy˜ = t s2i . (5.42) ∂xi (˜ x1 ,˜ x2 ,...,˜ xn ) i=1

5.3 Genauigkeitsklassen bei Meßger¨ aten F¨ ur standardmäßige elektrische Meßger¨ ate wird vom Hersteller eine Genauigkeitsklasse, d. h. eine garantierte obere Fehlergrenze angegeben, die i. allg. mit G oder Gk bezeichnet wird. Sie gibt den Betrag der auf den Meßbereichsendwert bezogenen maximal m¨ oglichen Abweichung ∆x vom wahren Wert in Prozent an ∆x |Fehlangabe| 100% = 100% . (5.43) G = xend |Meßbereichsendwert| Es gibt folgende genormte Genauigkeitsklassen nach VDE 0410:

• •

Betriebsmeßgeräte: 1; 1,5; 2,5; 5,0 Feinmeßgeräte: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5.

Der entsprechende maximale relative Fehler beträgt demnach ∆x xend G =± . x x 100%

(5.44)

Er nimmt also stark zu, wenn der Meßbereich nur im unteren Teil genutzt wird. Der durch die Genauigkeitsklasse beschriebene Maximalfehler gilt selbstverständlich nur bei Einhaltung der ansonsten vom Hersteller spezifizierten Randbedingungen, wie der Einhaltung von Temperaturgrenzen, Frequenzbereich, Fremdfeldeinfluß, Lage etc.. Bei Instrumenten, deren Meßbereichsanfangswert nicht mit dem Nullpunkt identisch ist, wird die Fehlangabe statt auf den Meßbereichsendwert auf den Meßbereichsumfang bezogen, die auch als Meßspanne Msp bezeichnet wird (Gl. (5.4)).

5.4 Dynamische Meßfehler Bei der Messung zeitlich variabler Gr¨ oßen treten infolge der nicht-idealen ¨ Ubertragungseigenschaften der Meßsysteme stets dynamische Meßfehler auf. Diese sind im wesentlichen auf Tr¨ agheiten der Meßeinrichtungen (Tiefpaßverhalten) zur¨ uckzuf¨ uhren, welche sich infolge ihrer Speichereigenschaften bez¨ uglich mechanischer, thermischer oder elektromagnetischer Energie nicht

5.4 Dynamische Meßfehler

107

vermeiden lassen. Da das Verst¨ andnis von dynamischen Meßfehlern grundlegende Kenntnisse auf dem Gebiet der systemtheoretischen Beschreibung von Meßsystemen verlangt, folgt zun¨ achst ein Abschnitt, der die entsprechende Systemtheorie kurz wiederholen soll (s. Kap. 3). ¨ 5.4.1 Das Ubertragungsverhalten von Meßsystemen ¨ Beschreibung des Ubertragungsverhaltens durch Impulsantwort bzw. Sprungantwort Ein lineares Meßsystem liefert an seinem Ausgang die Impulsantwort g(t) (Gewichtsfunktion), wenn die Eingangsgr¨ oße ein Dirac-Impuls δ(t) ist (Abb. 5.4) (Kap. 3.11). x(t)

x(t)

δ(t)

y(t)

Lineares Meßsystem

t

t0

y(t) g(t) t0

t

Abb. 5.4. Impulsantwort g(t) eines linearen Meßsystems

F¨ ur eine beliebige Anregungsfunktion x(t) ergibt sich das Ausgangssignal y(t) durch Faltung mit der Impulsantwort (Kap. 3.11) y(t) =

Z

+∞

−∞

x(τ )g(t − τ ) dτ =

Z

+∞

−∞

x(t − τ )g(τ )dτ = x(t) ⋆ g(t) .

(5.45)

Da wir kausale Meßsysteme voraussetzen, deren Impulsantwort g(t) f¨ ur t < 0 verschwindet und auch die Anregungsfunktion x(t) f¨ ur t < 0 zu Null annehmen, kann man die untere Grenze des Faltungsintegrals (−∞) durch ′ 0′ und die obere Grenze (+∞) durch ′ t′ ersetzen (Gl. (3.219)) y(t) =

Z

0

t

x(τ )g(t − τ ) dτ =

Z

0

t

x(t − τ )g(τ ) dτ .

(5.46)

Anstatt ein Meßsystem durch seine Impulsantwort zu beschreiben, ist es in der Meßtechnik auch gebr¨ auchlich, seine Sprungantwort h(t) anzugeben. Diese erhält man als Ausgangssignal, wenn man als Anregungssignal x(t) eine Sprungfunktion verwendet (Abb. 5.5), wobei die Sprungfunktion folgendermaßen definiert ist  ¨r t ≥ 0  1 fu (5.47) ε(t) =  0 fu ¨r t < 0 .

Der Zusammenhang zwischen Sprungantwort h(t) und Impulsantwort g(t) wurde bereits in Kapitel 3.12 hergeleitet (Gl. (3.231))

108

5 Meßfehler

h(t) =

Z

t

g(τ ) dτ .

(5.48)

0

Der Wert, der sich nach einer Sprunganregung als stabiler Wert einstellt, wird als Beharrungswert bezeichnet. x(t)

x(t) t0

Lineares Meßsystem

y(t)

h(t)

y(t)

t

t0

t

Abb. 5.5. Sprungantwort h(t) eines linearen Meßsystems

¨ Beschreibung des Ubertragungsverhaltens durch ¨ Ubertragungsfunktionen Aus der linearen Systemtheorie weiß man (Kap. 3.11), daß harmonische Anregungen der Form jωt jϕx (ω) jωt ˆ ˆ } = Re{X(ω)e e } x(t) = Re{X(ω)e

(5.49)

bei linearen Systemen im eingeschwungenen Zustand stets zu einem Antwortsignal y(t) mit derselben Frequenz aber ver¨ anderter Amplitude und Phasenlage f¨ uhren y(t) = Re{Yˆ (ω)ejωt } = Re{Yˆ (ω)ejϕy (ω) ejωt } , (5.50) ˆ und |Yˆ | = Yˆ gilt. Die Ubertragungsfunktion ˆ =X ¨ G(ω) des linearen wobei |X| Systems ist dann folgendermaßen definiert G(ω) =

Yˆ (ω) Yˆ (ω) j(ϕy −ϕx ) = e = |G(ω)|ejϕ(ω) . ˆ ˆ X(ω) X(ω)

(5.51)

¨ Die komplexe Ubertragungsfunktion G(ω) l¨ aßt sich aufspalten in den Betragsgang |G(ω)| und den dazugeh¨ origen Phasengang arg{G(ω)} = ϕ(ω). Daraus lassen sich die Dämpfung a(ω) und deren Phase b(ω) wie folgt errechnen a(ω) = −20 lg |G(ω)| [dB] b(ω) = −arg(G(ω)) .

(5.52) (5.53)

¨ Die Ubertragungsfunktion gibt also Auskunft dar¨ uber, wie das Meßsystem die Amplitude und die Phasenlage einer harmonischen Anregung verändert. ¨ F¨ ur beliebige (nicht-periodische) Zeitsignale berechnet sich die Ubertragungsfunktion eines linearen Systems aus den Quotienten der FourierTransformierten (Tab. 5.3) F {y(t)} und F {x(t)} vom Ausgangs- und Eingangssignal y(t) bzw. x(t) G(ω) =

F {y(t)} . F {x(t)}

(5.54)


109

Tabelle 5.3. Definitionsgleichungen der Laplace- und Fourier-Transformationen (Kap. 3) Fourier-Transformation Fourier-R¨ ucktransformation F{x(t)} = X(ω) x(t) = F −1 {X (ω)} R +∞ R +∞ 1 X(ω)ejωt dω = −∞ x(t)e−jωt dt = 2π −∞ Laplace-Transformation L{x(t)} = X(s) R∞ = 0 x(t)e−st dt

Laplace-R¨ ucktransformation x(t) = L−1 {X (s)} R σ+j∞ 1 = 2πj X(s)est ds σ−j∞

Mit diesen Zusammenh¨ angen und der Eigenschaft, daß eine Faltung zweier Signale im Zeitbereich einer Multiplikation der Fourier-Transformierten im Frequenzbereich entspricht, erh¨ alt man aus Gl. (5.45) Y (ω) = X(ω) G(ω) .

(5.55)

Daraus folgt auch, daß die Fourier-Transformierte der Gewichtsfunktion der ¨ Ubertragungsfunktion entspricht. G(ω) = F {g(t)} .

(5.56)

Beschränkt man sich auf kausale Zeitsignale (x(t) = 0 f¨ ur t < 0), so ist es zweckmäßig, anstatt der Fourier-Transformation die Laplace-Transformation ¨ (Tab. 5.3) zu verwenden. Die Laplace-Ubertragungsfunktion G(s) eines linearen Systems ist folgendermaßen definiert G(s) =

Y (s) L{y(t)} = . L{x(t)} X(s)

(5.57)

Dabei sind L{x(t)} und L{y(t)} die Laplace-Transformierten (Tab. 5.3) der Zeitfunktionen x(t) und y(t), wobei s = σ + jω die Laplace-Variable darstellt. Die Faltungsoperation (Gl. (5.46)) vereinfacht sich f¨ ur kausale Zeitsignale und Systeme im Laplace-Bereich ebenfalls zu einer Multiplikation der entsprechenden Laplace-Transformierten (Kap. 3.5.4) Y (s) = G(s)X(s) .

(5.58)

¨ Die Ubertragungsfunktion G(s) ist demnach auch die Laplace-Transformierte der Impulsantwort g(t) G(s) = L{g(t)} . (5.59) Entsprechend dem Integrationssatz der Laplace-Transformation (Kap. 3.5.2) Z t 1 L f (τ ) dτ = F (s) , (5.60) s 0

110

5 Meßfehler

wobei L{f (t)} = F (s) ,

(5.61)

¨ folgt aus Gl. (5.48) der Zusammenhang zwischen der Ubertragungsfunktion G(s) und der Sprungantwort h(t) G(s) −1 h(t) = L . (5.62) s Zusammengesetzte Systeme Die Gesamt¨ ubertragungsfunktionen der in Abb. 5.6 gezeigten zusammengesetzten Systeme ergeben sich wie folgt: Serienschaltung (Abb. 5.6a) Y (s) = G1 (s)G2 (s) X(s)

(5.63)

Y (s) = G1 (s) + G2 (s) X(s)

(5.64)

G(s) = Parallelschaltung (Abb. 5.6b) G(s) =

R¨ uckkoppelschaltung (Kreisschaltung) (Abb. 5.6c) G(s) =

Y (s) G1 (s) = . X(s) 1 + G1 (s)G2 (s)

(5.65)

¨ Abb. 5.6. Zusammengesetzte Ubertragungssysteme: a) Serienschaltung (Hintereinanderschaltung), b) Parallelschaltung, c) R¨ uckkoppelschaltung (Kreisschaltung)


111

¨ Beschreibung des Ubertragungsverhaltens durch Differentialgleichungen F¨ ur lineare Systeme kann der mathematische Zusammenhang zwischen dem Anregungssignal x(t) und dem Ausgangssignal y(t) in Form einer Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten beschrieben werden (′ =d/dt) ˆ a0 x + a1 x′ + . . . + an x(n) = b0 y + b1 y ′ + . . . + bm y (m) .

(5.66)

Gemäß dem Differentiationssatz der Laplace-Transformation (Kap. 3.5.3) L{f (n) (t)} = sn F (s) − sn−1 f (t)|t=0 − . . . sf (t)(n−2) |t=0 − f (t)(n−1) |t=0 ,

(5.67)

wobei f (n) die n-te Ableitung der Funktion f nach der Zeit t ist, kann Gl. (5.66) f¨ ur den vereinfachten Fall, daß alle Anfangswerte f (t = 0) bis f (t)(n−1) |t=0 Null sind, folgendermaßen im Laplace-Bereich dargestellt werden a0 X(s) + a1 sX(s) + . . . + an sn X(s) = b0 Y (s) + b1 sY (s) + . . . + bm sm Y (s) . (5.68) ¨ Damit ergibt sich folgender fester Zusammenhang zwischen der Ubertragungsfunktion G(s) im Laplace-Bereich und den Koeffizienten der Differentialgleichung a0 + a1 s + a2 s2 + . . . + an sn , (5.69) G(s) = b 0 + b 1 s + b 2 s2 + . . . + b m sm wobei stets n ≤ m gilt. Der Quotient E E=

a0 b0

(5.70)

wird auch als Empfindlichkeit des Meßsystems bezeichnet. ¨ Bei Kenntnis der Laplace-Ubertragungsfunktion G(s) bzw. der Fourier¨ Ubertragungsfunktion G(ω), der Impulsantwort g(t) bzw. der Sprungantwort h(t) oder auch der Koeffizienten ai und bj der Differentialgleichung lassen sich die dynamischen Meßfehler eines Meßsystems beschreiben. Die Definition des dynamischen Meßfehlers und seine Bestimmung anhand dieser Kennwerte wird in den beiden folgenden Abschnitten beschrieben. 5.4.2 Definition des dynamischen Meßfehlers Beim Erfassen zeitlich ver¨ anderlicher Meßgr¨ oßen entstehen aufgrund der oben ¨ beschriebenen (nicht-idealen) Ubertragungseigenschaften unweigerlich dynamische Meßfehler. Da sich im Falle linearer Meßsysteme die dynamischen Fehler von den statischen separieren lassen, k¨ onnen wir uns im folgenden ohne Einschränkung der Allgemeinheit auf dynamische Meßfehler konzentrieren und die statischen ausschließen. Der momentane dynamische Meßfehler Fdyn ist definiert als

112

5 Meßfehler

Fdyn = x(t) − xw (t) ,

(5.71)

wobei x(t) und xw (t) die zeitlichen Verl¨ aufe des Meßwertes bzw. des wahren Wertes darstellen. Praktischer als die Angabe der Momentanverläufe von Fehlern ist die Angabe ihrer Mittelwerte. Wenn wir einen stationären Verlauf der Meßgröße voraussetzen (station¨ ar heißt, daß die sich durch zeitliche Mittelung ergebenden Kenngrößen, wie z. B. der quadratische Mittelwert des Signals (Kap. 6.3.1), konstant bleiben), l¨ aßt sich als wichtige Kenngröße der mittlere quadratische dynamische Fehler angeben 2 Fdyn

1 = lim T →∞ T

Z

T

0

2 Fdyn (t) dt .

(5.72)

Wenn der Meßgrößenverlauf periodisch ist, darf die Integrationszeit T auf die 2 einen absoluten Fehler beziffert, ist Periodendauer begrenzt werden. Da Fdyn es zweckmäßig, diesen auf den quadratischen Mittelwert x2 des Meßsignals zu normieren (Kap. 6.3.1) Z 1 T 2 x (t) dt . (5.73) x2 = T 0 Es ergibt sich somit der bezogene quadratische Mittelwert des dynamischen 2 Fehlers fdyn 2 fdyn =

2 Fdyn

x2

.

(5.74)

5.4.3 Bestimmung des dynamischen Meßfehlers Im folgenden wird angenommen, daß der dynamische Fehler durch das (nicht¨ ¨ ideale) Ubertragungsverhalten des Meßsystems, das sich durch die Ubertragungsfunktion G(s) beschreiben l¨ aßt (Abb. 5.7), verursacht wird. Bei deterministischen Anregungssignalen l¨ aßt sich der dynamische Meßfehler mit der ¨ bekannten Ubertragungsfunktion des Meßsystems G(s) ermitteln

wahre Meßgröße x w (t)

Xw (s)

Meßsystem G(s)

gemessener Wert (Meßwert) X (s)

x(t)

¨ Abb. 5.7. Dynamischer Meßfehler aufgrund des (nicht-idealen) Ubertra¨ gungsverhaltens des Meßsystems. G(s) ist die Ubertragungsfunktion im LaplaceBereich.


113

Fdyn (s) = X(s) − Xw (s)

= Xw (s)[G(s) − 1] 1 . = X(s) 1 − G(s)

(5.75)

F¨ ur den Fall, daß das Eingangssignal (wahrer Wert) des Meßsystems bekannt ist (Vorw¨ artsanalyse), erh¨ alt man den Momentanverlauf des absoluten Meßfehlers Fdyn (t) durch folgende Laplace-R¨ ucktransformation Fdyn (t) = L−1 {Xw (s)[G(s) − 1]} .

(5.76)

Im umgekehrten Fall (R¨ uckw¨ artsanalyse) ist der Meßwert x(t) bekannt, und man erhält Fdyn (t) als 1 Fdyn (t) = L−1 X(s) 1 − . (5.77) G(s) 5.4.4 Meßsystem mit Tiefpaßverhalten In aller Regel zeigen Meßsysteme ein mehr oder weniger ausgeprägtes Tiefpaßverhalten. Im folgenden soll daher zun¨ achst der aus einem Tiefpaß 1. Ordnung resultierende dynamische Fehler berechnet werden (Abb. 5.8), wenn der wahre Wert zum Zeitpunkt t = 0 auf den Wert X0 springt.

xw (t)

Xw (s)

GM(s) =

1 1+sτ

X (s)

x (t)

M

Abb. 5.8. Meßsystem (Tiefpaß 1. Ordnung)

Vorw¨ artsanalyse Wenn der wahre Wert bekannt ist, l¨ aßt sich gemäß Gl. (5.76) der absolute dynamische Meßfehler wie folgt berechnen Fdyn (t) = L−1 {Xw (s)[GM (s) − 1]} = L−1 {F (s)} . Mit Xw (s) = folgt

X0 s

X0 1 X0 τM F (s) = −1 =− . s 1 + sτM 1 + sτM

(5.78)

(5.79)

(5.80)

114

5 Meßfehler

Der zeitliche Verlauf des dynamischen Meßfehlers lautet Fdyn (t) = −X0 · e−t/τM .

(5.81)

Der mittlere quadratische dynamische Fehler beträgt (Gl. (5.72)) 1 T →∞ T

2 Fdyn = lim

Z

0

T

X02 e−2t/τM dt

T −X02 τM 1 −2t/τM = lim e T →∞ T 2 0 i −X02 τM 1 h −2T /τM e −1 =0. = lim T →∞ T 2

(5.82)

R¨ uckw¨ artsanalyse Hier ist nur der gemessene Wert bekannt. Aus Gl. (5.77) folgt der dynamische Fehler 1 . (5.83) Fdyn (t) = L−1 X(s) 1 − GM (s) Die Auswertung f¨ uhrt zum selben Ergebnis wie die Vorwärtsanalyse −X0 τM Fdyn (t) = L−1 = −X0 · e−t/τM . 1 + sτM

(5.84)

Verringerung des dynamischen Fehlers durch Korrekturnetzwerk Der vom Meßsystem herr¨ uhrende dynamische Fehler kann durch ein nachgeschaltetes Korrekturnetzwerk zum Teil kompensiert werden. Dies soll anhand eines Beispiels demonstriert werden. Das Ausgangssignal des Meßsystems (Tiefpaß 1. Ordnung) wird aus diesem Grund mittels eines OszilloskopTastkopfes abgegriffen (s. auch Kap. 10.2). Die gesamte Meßkette wird in Abb. 5.9 gezeigt. Mit RT VR = . (5.85) RE ¨ lautet die Ubertragungsfunktion der gesamten Meßkette (Meßsystem und Tastkopf) Gges (s) =

XT (s) 1 + sτT 1 · = . XW (s) 1 + sτM 1 + sτT + VR (1 + sτE )

(5.86)

Dabei wird vorausgesetzt, daß die Ein- bzw. Ausgangsimpedanzen vom Meßsystem und dem Tastkopf so gew¨ ahlt wurden, daß die beiden Netzwerke auch ¨ nach der Zusammenschaltung ihr urspr¨ ungliches Ubertragungsverhalten beibehalten.


Meßsystem

115

Tastkopf RT

xW(t)

x (t)

GM =

1 1+sτ

GT =

M

RE

CT

CE

xT (t)

1+ sτT 1 + VR+ s (VR τ E + τ T )

Abb. 5.9. Meßsystem mit Korrekturnetzwerk (Tastkopf). Die Zeitkonstanten sind folgendermaßen definiert: τT = RT CT ; τE = RE CE .

Um die Auswirkung des Korrekturnetzwerkes auf das Ausgangssignal zu demonstrieren, werten wir wiederum das Ausgangssignal xT (t) (bzw. zunächst XT (s)) f¨ ur eine Sprunganregung aus XT (s) =

1 1 + sτT 1 X0 · · · . +VR τE s 1 + sτM 1 + VR 1 + s τT1+V R

Mit τ∗ =

τT + VR τE 1 + VR

(5.87)

(5.88)

erhält man

1 1 + sτT 1 1 + VR = · · . X0 s 1 + sτM 1 + sτ ∗ Eine Partialbruchzerlegung XT ·

XT ·

1 + VR A C B = + + X0 s 1 + sτM 1 + sτ ∗

(5.89)

(5.90)

liefert A=1 τM (τT − τM ) τM − τ ∗ τ ∗ (τT − τ ∗ ) C = −τC = − . τM − τ ∗

B = τB =

(5.91) (5.92) (5.93)

Mit XT (s) =

X0 1 τC 1 τB 1 · − ∗ · + 1 + VR s τM s + 1/τM τ s + 1/τ ∗

ergibt sich die entsprechende Zeitfunktion zu X0 τB −t/τM τC −t/τ ∗ x(t) = . ε(t) + ·e − ∗ ·e 1 + VR τM τ

(5.94)

(5.95)

116

5 Meßfehler

Abbildung 5.10 verdeutlicht die Verbesserung des dynamischen Verhaltens der Meßeinrichtung durch das nachgeschaltete Korrekturnetzwerk. Es wurden folgende Werte verwendet: X0 = 10 V; τM = 100 µs; VR = 9; τE = 0 (Weglassen von RE ). Die Zeitkonstante τT wird variiert. x (t) T

τ T = 1,17 τ

M

1V τ = 1,00 τ T

0,5V

τ T = 0,81 τ

M M

τ =0 T

100

500

t (µs)

¨ Abb. 5.10. Den schnellsten Einschwingvorgang ohne Uberschwingen erh¨ alt man, wenn die Nullstelle des Tastkopfes genau auf dem Pol des Tiefpasses liegt. Der Wert τT = 0 liefert den prinzipiellen Zeitverlauf der Sprungantwort des Meßsystems ohne Korrekturnetzwerk.

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Die Grundfunktionen eines Meßger¨ ates gliedern sich in die Aufnahme der Meßgröße, die Verarbeitung des Meßsignals und in die Ausgabe des Meßwertes (Abb. 6.1). Bei den Meßger¨ aten zur Messung von elektrischem Strom bzw. elektrischer Spannung unterscheidet man zwischen den klassischen elektromechanischen Instrumenten mit analogen Zeigerskalen und den moderneren elektronischen, auf digitaler Basis arbeitenden Geräten mit interner AnalogDigital-Umsetzung und Ziffern- oder Bildschirmausgabe. Obwohl die klassischen Zeigergeräte in den letzten Jahren an Bedeutung verloren haben, sollen diese im Kap. 6.1 ausf¨ uhrlich beschrieben werden, da die in diesen Geräten genutzten Wandlungsprinzipien von grundlegender Bedeutung f¨ ur die Elektrische Meßtechnik sind, insbesondere f¨ ur die Sensortechnik bei der Messung mechanischer Größen. Auf die auf digitaler Basis arbeitenden Meßgeräte wird in Kap. 11 näher eingegangen. Meßgröße Aufnahme der Meßgröße Verarbeitung des Meßsignals Ausgabe des Meßwertes Meßwert Abb. 6.1. Grundfunktionen eines Meßger¨ ates

6.1 Elektromechanische Meßger¨ ate Elektromechanische Meßger¨ ate beruhen auf dem Prinzip, einer zu messenden elektrischen Größe (i. allg. Strom oder Spannung) mit Hilfe eines geeigneten physikalischen Effektes eine Kraftwirkung zuzuordnen. Diese Kraft wird auf


118


einen Zeiger u ¨bertragen, der durch eine im allgemeinen von einer Feder erzeugten Gegenkraft in einer Stellung verharrt, so daß der Zeigerausschlag ein Maß f¨ ur die Meßgr¨ oße darstellt, wenn m¨ oglich ihr proportional ist. 6.1.1 Drehspulmeßwerk Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld Einer der im Bereich der Elektromechanik vielfach genutzten Effekte ist die Kraftwirkung auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld. Wenn sich ein gerader linienf¨ ormiger Leiter der L¨ ange l, der einen Strom I f¨ uhrt, in ~ befindet einem homogenen Magnetfeld mit der magnetischen Induktion B (Abb. 6.2), wirkt auf ihn die mechanische Kraft F~ [19] ~ . F~ = I(~l × B)

(6.1)

Dabei zeigt ~l in die positive Stromrichtung des Leiters.

Abb. 6.2. Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld

Aufbau und Prinzip Das Drehspulmeßwerk ist ein Standardmeßwerk, bei dem der eben beschriebene physikalische Effekt genutzt wird, gem¨ aß dem auf einen stromdurchflossenen Leiter in einem Magnetfeld eine mechanische Kraft ausge¨ ubt wird. Das Drehspulmeßwerk besteht aus einem mit Polschuhen versehenen, feststehenden Dauermagneten, der in Verbindung mit einem zylindrischen Weicheisenkern in einem begrenzten Winkelabschnitt des Luftspaltes ein radial~ homogenes B-Feld erzeugt (Abb. 6.3). Der Weicheisenkern wird von einer drehbar gelagerten Spule mit rechteckigem Spulenrahmen und Windungszahl N umschlossen. Die H¨ ohe des Spulenrahmens beträgt l, seine Breite 2r. Wird die Spule von einem Strom I durchflossen, ergibt sich die Kraftwirkung auf einen einzelnen Leiter nach Gl. (6.1). Das auf die aus N Leiterwindungen ~ el berechnet sich somit zu bestehende Spule wirkende Drehmoment M

6.1 Elektromechanische Meßger¨ ate

119

Abb. 6.3. Drehspulmeßwerk: a) Prinzipieller Aufbau, b) Schnitt durch den Spulenrahmen, c) Symbol

~ el = 2N~r × F~ M ~ = 2N~r × [I(~l × B)] = 2N rIlB~ea ,

(6.2)

wobei der Einheitsvektor ~ea in Richtung der Drehachse zeigt. Durch eine an der Spule angebrachte Spiralfeder (Federkonstante D) wird das R¨ uckstellmo~ mech erzeugt ment M ~ mech = −Dα~ea . M (6.3)

~ el + M ~ mech = 0 folgt der Winkel α, bei Aus der Gleichgewichtsbedingung M dem sich Gleichgewicht einstellt bzw. bei dem der Zeiger verharrt α=

2N lBr I = Si I . D

(6.4)

Dabei bezeichnet Si die Stromempfindlichkeit des Drehspulmeßwerkes. In technischen Ausf¨ uhrungen wird anstatt der Spiralfeder oft ein Spannband benutzt, das neben der Erzeugung des R¨ uckstellmomentes sowohl der Stromzuf¨ uhrung als auch der reibungsarmen Lagerung der Drehspule dient. Dynamisches Verhalten eines Drehspulmeßwerkes F¨ ur eine winkelgeschwindigkeitsproportionale Dämpfung mit dem Dämpfungsmoment η α˙ und dem Beschleunigungsmoment Θα ¨ (das Trägheitsmoment der Drehspule wird mit Θ bezeichnet) ergibt sich die den Winkelausschlag α beschreibende Differentialgleichung zu Θα ¨ + η α˙ + Dα = Mel (t) ,

(6.5)

wobei ein Punkt u ¨ber dem Formelzeichen die zeitliche Ableitung der entsprechenden Formelgr¨ oße nach der Zeit und zwei Punkte die zweifache zeitliche Ableitung bedeuten. Mit den Substitutionen f¨ ur die Eigenkreisfrequenz ω0 des ungedämpften Systems

120


r

D Θ und mit dem normierten Dämpfungskoeffizient η˜ ω0 =

η η˜ = √ 2 ΘD

(6.6)

(6.7)

ergibt sich die folgende Differentialgleichung 2˜ η 1 1 α ¨+ α˙ + α = Mel (t) . ω02 ω0 D

(6.8)

Von den Lösungen dieser Differentialgleichung interessiert im allgemeinen die Antwort auf eine zeitlich sprunghaft ansteigende Eingangsgröße (Sprungantwort). In Abhängigkeit des (normierten) D¨ ampfungskoeffizienten η˜ erhält man die normierte Sprungantwort α/α0 , wobei α0 den Ausschlag f¨ ur t → ∞ bezeichnet (Abb. 6.4): •

keine Dämpfung (˜ η = 0) α = 1 − cos ω0 t α0

•

(6.9)

periodische (schwingende) Einstellung η˜ < 1 α ω0 −˜ηω0 t = 1− e cos(ωt − ϕ) α0 ω

(6.10)

p

(6.11)

mit ω = ω0

1 − η˜2

Abb. 6.4. Auf den Endausschlag α0 bezogene Sprungantwort eines Drehspulinstrumentes bei verschiedenen (normierten) D¨ ampfungskoeffizienten η˜


und

!

(6.12)

α = 1 − e−ω0 t (1 + ω0 t) α0

(6.13)

ϕ = arctan •

•

121

aperiodischer Grenzfall (˜ η = 1)

η˜

p 1 − η˜2

aperiodische (kriechende) Einstellung (˜ η > 1) 1 −t/τ1 α 1 1 −t/τ2 √ − e =1+ + e α0 τ2 τ1 2ω0 η˜ − 1 mit τ1 = und τ2 =

1 p ω0 (˜ η − η˜2 − 1)

1 p . ω0 (˜ η + η˜2 − 1)

(6.14)

(6.15)

(6.16)

D¨ ampfung beim Drehspulmeßwerk

Ein Dämpfungsmoment entsteht, wenn die durch die Drehspulenbewegung im Magnetfeld induzierte Spannung u uhrt. ¨ber einen Widerstand zu einem Strom f¨ Nach der Lenzschen Regel wirkt dieser Ausgleichstrom dem Meßstrom entgegen und dämpft damit die Ausschlagbewegung des Zeigers. Bei einer Spule mit Rahmenhöhe l und Windungszahl N betr¨ agt die induzierte Spannung uind Z dφ d ~ dA ~ B uind = −N = −N dt dt "Z # I ~ ∂B ~ ~ =N dA − (~v × B) d~s A ∂t I = −N ωrB ds = −2N lrB

dα . dt

(6.17)

~ ~ d ist Dabei wurde ber¨ ucksichtigt, daß ∂ B/∂t = 0. Das Dämpfungsmoment M dem resultierenden Strom iind proportional ~ d = 2N~r × F~ = 2N~r × [iind (~l × B)] ~ M

Md = 2N rlBiind .

(6.18) (6.19)

Wenn die induzierte Spannung uind den Strom iind in einem Kreis mit Widerstand RK hervorruft, ergibt sich das D¨ ampfungsmoment

122


Md = (2N rlB)2

1 dα . RK dt

(6.20)

Mit Md = η α˙

(6.21)

folgt f¨ ur den (nicht-normierten) D¨ ampfungskoeffizienten η aus Gl. (6.5) η=

(2N rlB)2 . RK

(6.22)

Dabei setzt sich der Gesamtwiderstand des Meßkreises RK , der sog. Schließungswiderstand, aus dem Widerstand der Meßspule RSP , einem eventuell vorhandenen Abgleichwiderstand RT und dem Widerstand des äußeren Kreises RA zusammen RK = RSP + RT + RA . (6.23) Wenn ein Abgleichwiderstand RT vorhanden ist, kann dieser bei konstantem RA genutzt werden, um beispielsweise eine aperiodische Dämpfung zu erzielen. Die k¨ urzeste Einstellzeit wird allerdings f¨ ur einen Dämpfungsgrad ¨ η˜ < 1, also nach leichtem Uberschwingen erreicht. Abbildung 6.5 zeigt die auf die Periodendauer T0 der Grundschwingung bezogene Einstellzeit TE , die das Meßwerk nach einer Sprunganregung ben¨ otigt, um innerhalb einer Schwankungsbreite von ± 1,5 % des Endausschlages zu bleiben. Die f¨ ur den Wert ± 1,5 % ermittelte Zeit wird auch als Beruhigungszeit bezeichnet. Nachteilig an dem eben beschriebenen D¨ ampfungsmechanismus ist allerdings, daß die Größe der Dämpfung u ¨ber den Schließungswiderstand RK vom jeweiligen Widerstand RA des ¨ außeren Kreises abh¨ angt.

Abb. 6.5. Bezogene Einstellzeit TE /T0 als Funktion des normierten D¨ ampfungskoeffizienten η˜ bei einem zul¨ assigen Toleranzbereich von ± 1,5 % um den Endausschlag


123

Um diese Abhängigkeit zu vermeiden, setzt man vorzugsweise die sog. Rahmendämpfung ein, bei der die Spule auf einen elektrisch leitenden Aluminiumrahmen aufgebracht wird. In dem Aluminiumrahmen werden infolge der Drehbewegung elektrische Spannungen induziert, die im geschlossenen Rahmen Wirbelströme zur Folge haben. In Verbindung mit dem Magnetfeld des Permanentmagneten bilden sich infolge dieser Ströme Kräfte (Gegenkräfte) aus, die gemäß der Lenzschen Regel so gerichtet sind, daß sie die Bewegung bremsen und damit d¨ ampfen. Im allgemeinen werden Drehspulinstrumente so ausgelegt, daß die Rahmend¨ ampfung u ¨berwiegt, um die Dämpfungswerte von den oben beschriebenen Einfl¨ ussen des jeweiligen Meßkreises (Gln. (6.22) und (6.23)) unbeeinflußt zu lassen. 6.1.2 Galvanometer Spezielle Bauformen des Drehspulinstrumentes, die darauf abzielen, eine besonders hohe Stromempfindlichkeit zu erreichen, werden als Galvanometer bezeichnet. Da sie im allgemeinen zum Feststellen der Stromlosigkeit in Meßbr¨ ucken oder Kompensatoren eingesetzt werden, benötigen Galvanometer keine in Strom- bzw. Spannungswerten kalibrierte Skala. Wenn der mechanische Zeiger durch einen Lichtzeiger ersetzt wird, f¨ uhrt dies zu besonders hoher Empfindlichkeit. Dieser Lichtzeiger besteht aus einem am Spannband befestigten Spiegel, dessen Winkelstellung mit Hilfe eines auf ihn auftreffenden und aus seiner Ruhelage ausgelenkten Lichtstrahles detektiert wird (Abb. 6.6). Typische Werte f¨ ur die Stromempfindlichkeit von solchen DrehspulSpiegelgalvanometern liegen zwischen Si = 10 mm/pA und Si = 105 mm/pA f¨ ur 1 m Lichtzeigerl¨ ange. Die hohe Stromempfindlichkeit Si wird durch Verwenden einer Feder mit kleiner Drehfederkonstante D erreicht (Gl. (6.4)). Damit andererseits die Eigenfrequenz ω0 nicht zu klein und damit die Einschwingdauer nicht zu groß werden, muß auch das Trägheitsmoment Θ gemäß Gl. (6.6) gering gehalten werden, was durch eine Spule mit geringem Rahmendurchmesser erreicht wird. Das dynamische Verhalten von Galvanometern wird durch die dämpfende Wirkung des im Meßkreis induzierten Stromes gesteuert. F¨ ur die aperiodische D¨ ampfung η˜ = 1 fordern die Gln. (6.7) und (6.22) einen Schließungswiderstand RKaper, der sich wie folgt ergibt

Abb. 6.6. Spiegelgalvanometer

124


2 RKaper = √ (N rlB)2 . ΘD

(6.24)

Durch eine geeignete Wahl des Abgleichwiderstandes RT kann nach Gl. (6.23) das Galvanometer so eingestellt werden, daß sein Zeiger entweder schwingend (RK > RKaper ) oder kriechend (RK < RKaper ) seine Endstellung erreicht. Die Einstellung der Dämpfung von Galvanometern läßt sich gemäß Gl. (6.22) bei entsprechenden Bauformen auch durch Ver¨ andern der magnetischen Induktion ~ in Form eines ver¨ B anderlichen magnetischen Nebenschlusses erreichen. Es ist allerdings zu beachten, daß durch diese Maßnahmen auch die Empfindlichkeit des Galvanometers ver¨ andert wird. Kriechgalvanometer Mit Hilfe eines kriechend ged¨ ampften Galvanometers (RK ≪ RKaper ), einem sog. Kriechgalvanometer, bei dem außerdem das Richtmoment vernachlässigbar klein ist (D → 0), kann ein Z Spannungsstoß = u dt (6.25) unmittelbar gemessen werden. Da wegen der kriechenden Einstellung (RK ist sehr klein) außerdem das Beschleunigungsmoment Θα ¨ vernachlässigt werden darf, ist in diesem Fall nur das D¨ ampfungsmoment relevant. Aus den Gln. (6.2) und (6.5) folgt f¨ ur D = 0 Θα ¨ + η α˙ = Mel (t) = 2N rlBi(t) .

(6.26)

Wegen der dominierenden Spulend¨ ampfung ergibt sich mit Gl. (6.20) aus Θα ¨+

2N rlBu(t) (2N rlB)2 α˙ = RK RK

(6.27)

unter Vernachlässigung des Beschleunigungsmoments die Spannung zu u(t) = 2N lrB bzw. der Spannungsstoß Z

dα dα = cf dt dt

(6.28)

t2

t1

u(t) dt = cf [α(t2 ) − α(t1 )] = cf [α2 − α1 ] .

(6.29)

Bei bekannter Flußmeterkonstante cf kann die Größe des Spannungsstoßes unmittelbar aus der Differenz der Winkelstellungen (α2 − α1 ) des Zeigers zu den Zeiten t2 und t1 ermittelt R werden. Eine solche Anordnung kann aufgrund des Zusammenhanges φ = u dt zur Messung des magnetischen Flusses φ bzw. der magnetischen Induktion unter Verwendung von Pr¨ ufspulen eingesetzt werden.


125

Ballistisches Galvanometer Das ballistische Galvanometer dient dem Zweck, die von einem Stromstoß gelieferte Ladungsmenge zu messen. Dies wird dadurch erreicht, daß beim ballistischen Galvanometer ein im Vergleich zur Periodendauer der Meßwerkgrundschwingung zeitlich sehr kurzer StromstoßR einen Drehimpuls erzeugt. Mit Hilfe von Gl. (6.2) l¨ aßt sich der Drehimpuls M (t) dt, welcher der Drehspule durch den Stromstroß verliehen wird, wie folgt angeben Z

0

T

M (t) dt = 2N rlB

Z

T

i(t) dt = 2N rlBQ0 .

(6.30)

0

Q0 ist die mit dem Stromstoß zugef¨ uhrte Ladungsmenge. Die Integrationszeit T in Gl. (6.30) wird so gew¨ ahlt, daß der Strompuls bei t = T bereits wieder abgeklungen ist. Aus diesem Drehimpuls resultiert eine Schwingbewegung der Drehspule, die nach Gl. (6.5) beschrieben werden kann. Bei der L¨ osung dieser Differentialgleichung gehen wir davon aus, daß der Drehimpuls der Drehspule eine Anfangswinkelgeschwindigkeit α(t ˙ = 0) verleiht, aber bereits zu Beginn der eigentlichen Schwingung die Anregung durch das Moment ~ wieder abgeklungen ist. Damit kann man sich auf die Lösung der homogeM nen Differentialgleichung beschr¨ anken Θα ¨ + η α˙ + Dα = 0 .

(6.31)

Mit den geltenden Anfangsbedingungen α(0) = 0

(6.32)

und Z 1 T M (t)dt Θ 0 1 Si DQ0 = 2N rlBQ0 = = Si ω02 Q0 Θ Θ

α(0) ˙ = ω(0) ≈ ω(T ) =

(6.33)

folgt als Lösung der Differentialgleichung f¨ ur den aperiodischen Grenzfall α(t) = ω(0)te−ω0 t ,

(6.34)

wobei ω0 die Kreisfrequenz der Grundschwingung der an der Drehfeder (Federkonstante D) aufgeh¨ angten Drehspule mit dem Trägheitsmoment Θ bezeichnet r D . (6.35) ω0 = Θ Es sei erwähnt, daß der Standardbetriebsfall f¨ ur das ballistische Galvanometer der aperiodische Grenzfall (˜ η = 1) (Gl. (6.7)) ist.

126


Beim ballistischen Galvanometer interessiert von der Drehbewegung im wesentlichen nur der sog. ballistische Ausschlag αball , welcher der ersten Schwingungsamplitude entspricht. Dieses Schwingungsmaximum erhält man durch Nullsetzen der Funktion α(t) ˙ α(t) ˙ = ω(0)e−ω0 t (1 − ω0 t) = 0 .

(6.36)

Daraus folgt, daß sich der als ballistische Ausschlag bezeichnete Maximalausschlag αmax zu einem Zeitpunkt t = 1/ω0 einstellt. Der dazugehörige Winkel αball ergibt sich zu αball = αmax =

ω(0) Si ω 0 = Q0 . eω0 e

(6.37)

Der ballistische Ausschlag ist somit proportional zur zugef¨ uhrten Ladungsmenge Q0 . Die Proportionalit¨ atskonstante zwischen dem ballistischen Ausschlag αball und der Ladungsmenge Q0 wird als sog. ballistische Konstante cball bezeichnet eT0 e = , (6.38) cball = Si ω 0 2πSi wobei cball folgendermaßen definiert ist Q0 =

ZT

i(t)dt = cball αball .

(6.39)

0

In Gl. (6.38) bezeichnen e die Eulersche Zahl (e = 2, 71828) und T0 die Periodendauer der unged¨ ampften Meßwerkgrundschwingung. 6.1.3 Elektrodynamisches Meßwerk Das elektrodynamische Meßwerk besitzt, ¨ ahnlich dem Drehspulmeßwerk, eine bewegliche, von einem Meßstrom durchflossene Drehspule, die an einer Drehfeder aufgehängt ist. Der Unterschied zum Drehspulmeßwerk besteht darin, daß das zur Erzeugung der mechanischen Auslenkkraft notwendige Magnetfeld von einer zweiten, feststehenden Spule, der sog. Feldspule geliefert wird. Wenn diese Feldspule einen Eisenkern besitzt, spricht man von der sog. eisengeschlossenen Form des elektrodynamischen Meßwerkes (Abb. 6.7). Die feststehende Spule mit der Windungszahl N1 wird vom Strom I1 , die bewegliche mit Windungszahl N2 vom Strom I2 durchflossen. Mit dem auf die Feldspule angewendeten Durchflutungsgesetz [19] I ~ · d~s = N I H (6.40) folgt

~ L + ~lFe · H ~ Fe = N1 I1 , 2~bL · H

(6.41)


127

I1 N1 N2

b) feststehende Spule

B bL a) Weicheisenkern

I2

hochpermeabler Drehspule Weicheisenkern

c)

Abb. 6.7. Elektrodynamisches Meßwerk (eisengeschlossen): a) Prinzipieller Aufbau, b) Schaltzeichen, c) Symbol f¨ ur die eisengeschlossene Form

wobei bL den radialen Abstand zwischen Weicheisenzylinder und Polschuh, ~ Fe die magnetische lFe die Weglänge des magnetischen Feldes im Eisen, H ~ Feldstärke im Eisen und HL die magnetische Feldstärke im Luftspalt bezeich~ = µH ~ ergibt sich unter der Voraussetzung einer sehr großen Pernen. Mit B meabilität des Eisenkerns (µFe ≫ µ0 ) die im Luftspalt erzeugte magnetische ~L Induktion B ~ L | = BL = µ0 N1 I1 . (6.42) |B 2bL ~ el auf die vom Strom I2 durchflossene Drehspule mit der Das Drehmoment M Spulenquerschnittsfl¨ ache 2rl und der Windungszahl N2 beträgt mit Gl. (6.2) (~ea : Einheitsvektor in Richtung der Drehachse) h i ~ el = 2N2~r × F~ = 2N2~r × I2 (~l × B ~ L) M = 2N2 rI2 lBL~ea =

µ0 rlN1 N2 I1 I2~ea . bL

(6.43)

Analog zum Drehspulmeßwerk resultiert daraus f¨ ur das mit einer R¨ uckstellfeder der Federkonstanten D ausgestattete elektrodynamische Meßwerk ein Zeigerausschlag um den Winkel α α=

µ0 rlN1 N2 I1 I2 = kI1 I2 . bL D

(6.44)

Das elektrodynamische Meßwerk ist also ein multiplizierendes Instrument, welches das Produkt zweier Str¨ ome anzeigt. Wenn man das elektrodynamische Meßwerk mit sinusf¨ ormigen Str¨ omen i1 (t) und i2 (t) (Kap. 6.3) derselben Frequenz speist

128


i1 (t) = Iˆ1 sin ωt i2 (t) = Iˆ2 sin(ωt + ϕ) ,

(6.45) (6.46)

dann ist die Anzeige zu dem Produkt der Effektivwerte und dem Cosinus des Phasenwinkels ϕ zwischen den Str¨ omen proportional Z 1 T α = ki1 (t)i2 (t) = k i1 (t)i2 (t) dt T 0 Z T 1 =k Iˆ1 Iˆ2 sin ωt sin(ωt + ϕ) dt T 0 Z T Iˆ1 Iˆ2 k cos ϕ Iˆ1 Iˆ2 [cos ϕ − cos(2ωt + ϕ)] dt = k = 2T 0 2 = kI1eff I2eff cos ϕ .

(6.47)

Bei der Auswertung von Gl. (6.47) wurde angenommen, daß die Trägheit des Instrumentes so groß ist, daß es in bezug auf die Wechselgrößen eine zeitliche RT Mittelung vornimmt, d. h. der Term 0 cos(2ωt + ϕ) leistet keinen Beitrag zum Zeigerausschlag α. Das Haupteinsatzgebiet von elektrodynamischen Meßwerken liegt demzufolge auf dem Gebiet der Leistungsmessung. Man unterscheidet beim elektrodynamischen Meßwerk zwei Bauformen: Das eisengeschlossene elektrodynamische Meßwerk besitzt einen hochpermeablen Eisenkern, der oft aus geschichteten und isolierten Blechen aufgebaut ist, um die Wirbelstromverluste gering zu halten. Dabei wird auch auf geringe Hystereseverluste geachtet. Die eisengeschlossene Form erm¨ oglicht geometrisch kleine Bauausf¨ uhrungen, bei ~ L innerhalb des Luftspaltes stets in radialer der die magnetische Induktion B ¨ Richtung verläuft, so daß der Ubergang vom Vektorprodukt zum Skalarprodukt in Gl. (6.43) analog zum Drehspulmeßwerk erlaubt ist. Außerdem bleibt der Fremdfeldeinfluß bei dieser Bauform gering. Beim eisenlosen elektrodynamischen Meßwerk nach Abb. 6.8 läßt sich

Abb. 6.8. Elektrodynamisches Meßwerk (eisenlos): a) Prinzip, b) Symbol


129

durch geeignete Bauformen der Spulen erreichen, daß die am Spulenrahmen in tangentialer Richtung angreifende und f¨ ur die Drehbewegung maßgebende Kraftkomponente (in Abb. 6.8 eingezeichnet) in einem Drehwinkelbereich von α = ±45◦ bei konstanten Str¨ omen I1 und I2 praktisch einen konstanten Betrag hat. Denn durch spezielle Spulenformen wird gerade ein solches Magnetfeld aufgebaut, daß die sich gem¨ aß Gl. (6.43) ergebende Kraft eine auf den Spulenrahmen bezogene konstante und nicht von der Winkelstellung abhängige Tangentialkomponente aufweist. Damit ist das mechanische Antriebsmoment und in Folge auch der Ausschlag α wiederum proportional zum Produkt I1 I2 aus Feld- und Drehspulenstrom. Nachdem die magnetische Induktion der Feldspulen typischerweise in der Größenordnung B = 0, 01 T liegt, ist auf Meßfehler durch Fremdfelder zu achten, z. B. auch auf die Ausrichtung im Erdmagnetfeld (B = 10−4 T). Bei eisenlosen Meßwerken entfallen die Fehlereinfl¨ usse infolge von Wirbelstromund Hystereseverlusten, so daß sie als Pr¨ azisionsleistungsmesser eingesetzt werden können. 6.1.4 Dreheisenmeßwerk Als physikalischen Effekt nutzt das Dreheisenmeßwerk die Kraft zwischen zwei Magnetpolen, wobei das ben¨ otigte Magnetfeld von dem zu messenden Strom erzeugt wird. Man verwendet eine feststehende Spule, in deren Feld zwei Eisenplättchen gleichsinnig magnetisiert werden und sich infolgedessen abstoßen (Abb. 6.9). Die mechanische Kraft (Kraft zwischen zwei Magnetpolen) ist proportional dem Quadrat der von der Spule erzeugten magnetischen Induktion, welche wiederum proportional dem durch die Spule fließenden Strom I ist. Die in der Spule mit der Selbstinduktivit¨ at L des Dreheisenmeßwerks aufgrund des Meßstromes I gespeicherte magnetische Energie Emagn beträgt

Abb. 6.9. Dreheisenmeßwerk: a) Prinzip, b) Aufbau, c) Symbol

130


Emagn =

1 2 LI . 2

(6.48)

Wenn das Meßger¨ at als verlustfrei angenommen wird, entspricht die Reduzierung der magnetischen Feldenergie bei einer Zeigerdrehung exakt der Zunahme der in der Drehfeder gespeicherten potentiellen Energie (dEmech = ~ el aus der Anderung ¨ −dEmagn ). Damit l¨ aßt sich das erzeugte Drehmoment M der magnetischen Feldenergie errechnen ~ el = dEmagn ~ea = 1 dL I 2~ea . M dα 2 dα

(6.49)

Dabei bezeichnet ~ea den Einheitsvektor in Richtung der Drehachse. Da der Term dL/dα von der Winkelstellung abh¨ angt, ergibt sich ein bauformabhängiger, im allgemeinen nichtlinearer Verlauf des Drehmoments als Funktion des Winkels α. Mit dem durch eine Drehfeder (Drehfederkonstante D) erzeugten ~ mech Gegendrehmoment M ~ mech = −Dα~ea M

(6.50)

l¨ aßt sich der Winkel α des Zeigerausschlages f¨ ur den Gleichgewichtszustand ~ el + M ~ mech = 0) angeben (M α=

1 dL 2 I = k(α)I 2 . 2D dα

(6.51)

Durch entsprechende geometrische Formgebung der Plättchen, d. h. eine Beeinflussung des Terms dL/dα bzw. k(α), kann eine annähernd lineare Abhängigkeit des Ausschlags α vom Strom I erreicht werden. Bei Wechselstrom schwankt das Drehmoment infolge der quadratischen Abhängigkeit vom Strom mit der doppelten Frequenz. Infolge der mechanischen Trägheit des Meßwerkes wird damit der quadratische Mittelwert, also der Effektivwert, angezeigt. Dies kann analog zum elektrodynamischen Meßwerk abgeleitet werden (Gl. (6.47)). Der Energieverbrauch des Dreheiseninstrumentes und damit auch seine R¨ uckwirkung auf den Meßvorgang sind gr¨ oßer als beim Drehspulinstrument. Es wird als robustes und preiswertes Betriebsinstrument vorwiegend in der elektrischen Energietechnik eingesetzt. Bei h¨ oheren Frequenzen wird der Fehler vor allem von Wirbelstromverlusten in den Blechteilen des Meßwerkes bestimmt. 6.1.5 Drehspulquotientenmeßwerk (Kreuzspulmeßwerk) Beim Drehspulquotientenmeßwerk, das auch als Kreuzspulmeßwerk bezeichnet wird, sind zwei Spulen mit rechteckigem Spulenquerschnitt und demselben Rahmendurchmesser (Windungszahlen: N1 bzw. N2 ; Spulenströme: I1 bzw. I2 ) starr miteinander verbunden, so daß ihre Querschnittsebenen einen Winkel


F1

Kreuzspule

F2 I2

I1 α

N

131

Permanentmagnet S

B a)

F2

β=90°

F1 r

b)

Abb. 6.10. Drehspulquotientenmeßwerk: a) Prinzipieller Aufbau, b) Symbol

von β = 90◦ bilden (Abb. 6.10) . Das Magnetfeld sei homogen zwischen den Polen N und S, was bedeutet, daß es im Gegensatz zum Drehspulmeßwerk radial inhomogen ist. Die von den Meßstr¨ omen I1 und I2 hervorgerufenen mechanischen Kräfte F~1 und F~2 ergeben sich zu ~ F~1 = N1 I1 (~l × B)

F1 = N1 I1 lB ~ F~2 = N2 I2 (~l × B)

F2 = N2 I2 lB .

(6.52) (6.53) (6.54) (6.55)

Wenn ~ea den in Richtung der Drehachse der Spule zeigenden Einheitsvektor ~ = 2~r × F~ die und r den Radius der Spulenrahmen bezeichnen, folgen mit M ~ 1 und M ~2 Einzeldrehmomente M ~ 1 = 2rF1 sin α ~ea M ~ 2 = −2rF2 cos α ~ea . M

(6.56) (6.57)

Nachdem Kreuzspulinstrumente keine Drehfedern zur Erzeugung der mechanischen R¨ uckstellkraft enthalten, lautet die Gleichgewichtsbedingung ~1 +M ~2 = 0 . M

(6.58)

Daraus folgt der Zusammenhang zwischen den Strömen I1 und I2 sowie dem Winkel α des Zeigerausschlages F2 N2 I2 = F1 N1 I1

(6.59)

I2 . α = arctan k I1

(6.60)

tan α = bzw.

132


Es ist anzumerken, daß Drehspulquotientenmeßwerke nach Gl. (6.60) unmittelbar zur Widerstandsmessung eingesetzt werden können, da ihr Ausschlag vom Quotient zweier Str¨ ome bestimmt wird (Kap. 9.1.4). F¨ ur Ausf¨ uhrungsformen, bei denen die Winkelstellung zwischen den beiden Spulen nicht 90◦ sondern β betr¨ agt, gilt ! I2 N2 I1 N1 + cos β α = arctan . (6.61) sin β 6.1.6 Drehmagnetmeßwerk Das Drehmagnetmeßwerk besteht aus einer feststehenden, vom Meßstrom I durchflossenen Feldspule der L¨ ange l und Windungszahl N (Abb. 6.11). Bei Vernachlässigung der Streuverluste erzeugt der Strom in ihrem Inneren ein ~ I , die sich aus dem DurchflutungsMagnetfeld der magnetischen Feldst¨ arke H gesetz berechnet I ~ s = NI Hd~ (6.62) HI =

N I. l

(6.63)

Abb. 6.11. Drehmagnetmeßwerk: a) Prinzip, b) Symbol

In diesem Magnetfeld dreht sich ein Permanentmagnet. Die notwendige R¨ uck~ R eines zus¨ stellkraft wird durch das Feld H atzlichen permanenten Richtma~ I ∼ I) und des Richtgneten gebildet. Die magnetischen Felder der Spule (H ~ R = const.) u magneten (H ¨berlagern sich vektoriell (Abb. 6.12) und der bewegliche Magnet zeigt in Richtung des resultierenden Feldes, dessen Richtung (und Stärke) vom Strom I abh¨ angt. Der Proportionalitätsfaktor k ist wiederum eine Funktion des Ausschlagwinkels α, so daß die Skala nichtlinear geteilt ist. F¨ ur obige Anordnung gilt nach Abb. 6.12


133

¨ Abb. 6.12. Vektorielle Uberlagerung der magnetischen Felder im Drehmagnetmeßwerk

tan α =

HI N = I. HR lHR

(6.64)

Mit der Stromrichtung ¨ andert sich also auch das Vorzeichen des Drehwinkels, der infolge der mechanischen Tr¨ agheit des Meßwerkes letztlich ein Maß f¨ ur den zeitlichen Mittelwert (Gleichstromwert) des Spulenstromes ist. Die Vorz¨ uge des Drehmagnetmeßwerkes liegen in seiner einfachen Konstruktion; so ist beispielsweise keine Stromzuf¨ uhrung zu den beweglichen Teilen notwendig, wie dies beim Drehspulmeßwerk der Fall ist. Nachteilig wirkt sich jedoch der hohe Eigenverbrauch und seine im Vergleich zum Drehspulmeßwerk geringere Empfindlichkeit aus. 6.1.7 Elektrostatisches Meßwerk Die nach dem elektrostatischen Prinzip arbeitenden Meßwerke beruhen auf der Coulombschen Anziehungskraft zwischen elektrischen Ladungen. Die elektrostatischen Meßwerke dienen der Messung elektrischer Spannungen bzw. Ladungen. Im allgemeinen wird eine feststehende Elektrode mit dem spannungsmäßig hohen Meßpotential verbunden und eine mechanisch bewegliche, meist drehbar gelagerte Elektrode auf Massepotential gelegt (Abb. 6.13). Das aus der Coulombschen Anziehungskraft resultierende Drehmoment ~ el läßt sich auf der Basis des Energieerhaltungssatzes berechnen, demzufolge M sich die Zunahme der mechanischen Energie Emech aus der Abnahme der elektrischen Energie Eel ergibt bewegliche Platte α

a)

feststehende Platte (Stator)

∆x

U b)

Abb. 6.13. Elektrostatisches Meßwerk: a) Prinzip, b) Symbol

134


dEmech = −dEel .

(6.65)

Die elektrische Energie Eel entspricht der Energie, die im Kondensator gespeichert ist, während sich die mechanische aus dem Produkt von Drehmoment ~ el und Drehwinkel α errechnet. Mit Gl. (6.65) folgt M Mel dα =

1 2 u dC , 2

(6.66)

wobei u die am Meßwerk anliegende Spannung und C die Kapazität zwischen den Elektroden bezeichnen. Infolge des mit Federkraft erzeugten R¨ uckstellmomentes Mmech = Dα (6.67) ergibt sich der Ausschlagwinkel α aus der Gleichgewichtsbedingung (Mmech + Mel = 0) 1 dC 2 α= u = k(α)u2 . (6.68) 2D dα Bei angelegter Wechselspannung zeigt das Gerät den quadrierten Effektivwert der Spannung an, falls das Meßwerk als mechanisch träge gegen¨ uber der Wechselspannungsfrequenz bezeichnet werden kann. Diese Tatsache kann wiederum analog zu Gl. (6.47) abgeleitet werden. Durch spezielle Plattengeometrien kann der Zusammenhang zwischen dem Ausschlagwinkel α und der angelegten Spannung u linearisiert werden. Absolute elektrostatische Hochspannungsmesser beruhen auf der Messung der Anziehungskraft zwischen parallelen Kondensatorplatten. Dabei werden Meßgenauigkeiten im Bereich von 0,01 % erreicht [137]. Der ohmsche Innenwiderstand elektrostatischer Meßwerke liegt in der Größenordnung 1012 bis 1014 Ω. Die Hochfrequenztauglichkeit wird allerdings durch den mit der Frequenz zunehmenden Blindstrom sowie den ebenfalls

Abb. 6.14. Aufbau eines elektrostatischen Meßwerkes, das auf der Influenz von Ladungen basiert.


135

parasitären Einfluß der Zuleitungsinduktivit¨ aten begrenzt. Eine besondere Bauform eines elektrostatischen Hochspannungsmeßwerkes wird in Abb. 6.14 gezeigt. Es beruht auf der Influenz von Ladung auf der beweglichen Rotorelektrode, die u ¨ber die Drehfeder geerdet ist. Die Dämpfung des Meßwerkes wird bei dieser Bauform durch Luftkammerdämpfung erzielt, also eine durch die Bewegung der Rotorplatte hervorgerufene Strömungsdämpfung. 6.1.8 Schaltzeichen f¨ ur Meßger¨ ate In Tabelle 6.1 sind die f¨ ur den Bereich der elektromechanischen Meßgeräte wichtigsten Schaltzeichen und Symbole zusammengefaßt. Tabelle 6.1. Symbole f¨ ur Meßger¨ ate nach VDE 0410 und DIN 43802

136


6.2 Messung von Gleichstrom und Gleichspannung In diesem Abschnitt wird die direkte Messung von Gleichstrom und Gleichspannung mit Hilfe von Strom- und Spannungs-Meßwerken beschrieben. 6.2.1 Messung von Gleichstr¨ omen Die Messung des Gleichstromes in einem Zweig eines beliebigen, aus ohmschen Widerständen, Gleichspannungs- und Gleichstromquellen zusammengesetzten linearen Netzwerkes kann nach dem in Abb. 6.15 gezeigten Prinzip der Ersatzspannungsquelle ohne Einschr¨ ankung der Allgemeinheit auf das in Abb. 6.16 dargestellte Problem reduziert werden. Wenn der Meßzweig aus dem Widerstand RL besteht und das restliche Netzwerk durch die Spannungsquelle (mit Leerlaufspannung UQ und Innenwiderstand RQ ) ersetzt wird, läßt sich der zu messende Strom IL mit einem idealen, d. h. widerstandslosen (RM = 0) Strommesser exakt bestimmen IL =

UQ . RQ + RL

(6.69)

Bei einem realen Meßger¨ at fließt infolge des endlichen Innenwiderstandes RM des Meßgerätes nicht mehr der urspr¨ unglich zu messende Strom IL (wahrer

¨ Abb. 6.15. Aquivalenz von einem Tor eines linearen Netzwerkes und einer Ersatzspannungsquelle bzw. einer Ersatzstromquelle

6.2 Messung von Gleichstrom und Gleichspannung

137

Abb. 6.16. Strommessung in einem Zweig eines Gleichstromnetzwerkes

Wert), sondern der geringere Strom IL′ IL′ =

UQ . RQ + RL + RM

(6.70)

Nur f¨ ur RM ≪ (RQ + RL ) wird n¨ aherungsweise der wahre Wert gemessen (IL′ ≈ IL ), ansonsten f¨ uhrt der endliche Innenwiderstand des Meßgerätes bei der Strommessung zu einem Belastungsfehler. Dies ist ein systematischer Meßfehler, der sich wie folgt ermitteln l¨ aßt. F¨ ur den vereinfachten Fall RL = 0 (Kurzschluß) berechnen sich der wahre Wert IL und der tatsächlich gemessene Wert IL′ zu IL =

UQ RQ

(6.71)

IL′ =

UQ . RQ + RM

(6.72)

Der relative Meßfehler fI betr¨ agt in diesem Fall also fI =

IL′ − IL −1 = . RQ IL 1 + RM

(6.73)

Bei unbekanntem Innenwiderstand der Quelle RQ , muß dieser vor einer Fehlerermittlung bzw. -korrektur nach Gl. (6.73) ebenfalls gemessen werden. Dies kann im (theoretisch vereinfachten) Fall durch Messung von Leerlaufspannung UQ und Kurzschlußstrom IK der Ersatzspannungsquelle geschehen. Der Innenwiderstand RQ ergibt sich bei Messungen von UQ und IK mit idealen Meßwerken zu UQ . (6.74) RQ = IK F¨ ur den allgemeinen Fall RL 6= 0 ist RQ durch (RQ + RL ) zu ersetzen. Das negative Vorzeichen in Gl. (6.73) bedeutet, daß infolge des systematischen Fehlers bei der Strommessung stets ein zu niedriger Wert gemessen wird. Man kann aus Gl. (6.73) bzw. der entsprechenden graphischen Darstellung (Abb. 6.17) als Regel ableiten, daß bei der Strommessung der Innenwiderstand des

138


Abb. 6.17. Betrag des relativen Fehlers fI bei der Strommessung als Funktion von RQ /RM . RM : Meßger¨ ateinnenwiderstand, RQ : Innenwiderstand der Ersatzspannungsquelle

Meßgerätes möglichst klein sein sollte. Bei bekannten Innenwiderständen RMU bzw. RMI von Spannungs- bzw. Strommeßwerk kann RQ aus der mit systema′ ′ tischen Fehlern behafteten Spannung UQ (UQ ist der Meßwert, den ein an die Klemmen der Ersatzspannungsquelle angeschlossenes Spannungsmeßwerk mit ′ ′ Innenwiderstand RMU anzeigt) und dem Strom IK (IK ist der Meßwert, den ein an die Klemmen der Ersatzspannungsquelle angeschlossenes Strommeßwerk mit Innenwiderstand RMI anzeigt) ermittelt werden. Die entsprechende Fehlerkorrektur liefert den exakten Wert von RQ U′ RMU RMI − I ′Q K . (6.75) RQ = ′ UQ − R ′ MU I K

Meßbereichserweiterung f¨ ur die Strommessung Zur Messung von Str¨ omen, welche den Meßbereich des unbeschalteten Meßwerkes u ¨bersteigen, sind entsprechende Maßnahmen zur Meßbereichserweiterung zu treffen. Drehspulmeßwerke beispielsweise haben, je nach Auslegung, Endbereichswerte von nur IMend = 10 µA...100 mA bei einem Spannungsabfall von UMend = 2 mV...200 mV. Praktische Meßgeräte hingegen weisen mehrere umschaltbare Meßbereiche auf, so daß auch wesentlich höhere Ströme mit einund demselben Instrument gemessen werden können. Um einen Strommesser f¨ ur einen höheren Meßbereich vorzubereiten, wird dem Meßwerk ein Widerstand RP , ein sogenannter Shunt, parallel geschaltet (Abb. 6.18). Wegen der Parallelschaltung der Widerst¨ ande RM und RP gilt RM IM = RP IP = RP (I − IM ) .

(6.76)


IM

139

RM

IP I

RP

Abb. 6.18. Meßbereichserweiterung f¨ ur die Strommessung

Damit kann die Dimensionierung von RP f¨ ur einen geforderten Meßbereichsendwert Iend = vi IMend nach folgender Formel erfolgen RP = RM

IMend RM = . Iend − IMend vi − 1

(6.77)

In Gl. (6.77) bezeichnet IMend den Strom durch das Meßwerk bei Vollausschlag und vi den Faktor, um den der Strommeßbereich erweitert wird. Abbildung 6.19 zeigt die Schaltung eines Vielfachmeßger¨ ates f¨ ur Strom mit den Meßbereichsendwerten 1 mA, 10 mA und 0,1 A. Durch die gezeigte Schaltung (Abb. 6.19) wird vermieden, daß der Kontaktwiderstand des Schalters das Verhältnis RM /RP beeinflußt.

Abb. 6.19. Vielfachmeßger¨ at zur Strommessung (IMend =0,1 mA; Iend = 1 mA bis 0,1 A)

6.2.2 Messung von Gleichspannungen Meßwerke, die der Strommessung dienen, k¨ onnen prinzipiell auch zur Spannungsmessung eingesetzt werden, indem der bei Anlegen einer Spannung U an das Meßwerk fließende Strom mit dem Innenwiderstand RM multipliziert und als Spannung ausgegeben wird. Abbildung 6.20 zeigt die entsprechende Meßschaltung. F¨ ur eine nicht vorhandene Last (RL → ∞) kann folgende Maschengleichung angegeben werden IM RQ + IM RM − UQ = 0 . Daraus folgt

(6.78)

140


Abb. 6.20. Spannungsmessung in einem Zweig eines Gleichstromnetzwerkes

IM RM = UM = UQ − IM RQ .

(6.79)

−1 UM − UQ = . M UQ 1+ R RQ

(6.80)

Der relative Meßfehler fU (Belastungsfehler) beträgt somit fU =

F¨ ur den Fall eines endlichen Lastwiderstandes RL verringert sich der relative Meßfehler fU , da anstatt RQ in Gl. (6.80) jetzt der geringere Wert der Parallelschaltung von RQ und RL einzusetzen ist fU =

−1 + 1+ RM RQ

RM RL

=

−1

1 + RM

RQ +RL RQ RL

.

(6.81)

Abbildung 6.21 zeigt den Betrag des relativen Meßfehlers bei der Spannungsmessung. Aus den Gln. (6.80) und (6.81) und der entsprechenden graphischen Darstellung kann die Regel abgeleitet werden, daß bei der Spannungsmessung der Innenwiderstand des Meßger¨ ates m¨ oglichst groß sein sollte.

Abb. 6.21. Betrag des relativen Fehlers fU bei der Spannungsmessung als Funktion von RM /RQ . RM Meßger¨ ateinnenwiderstand; RQ Innenwiderstand der Quelle, deren Leerlaufspannung gemessen wird.


141

Meßbereichserweiterung f¨ ur die Spannungsmessung Durch Vorschalten eines Pr¨ azisionswiderstandes RS kann eine Erweiterung des Spannungsmeßbereiches erfolgen (Abb. 6.22). F¨ ur einen geforderten Meßbereichsendwert von Uend = vu UMend folgt f¨ ur die Dimensionierung von RS RS =

vu − 1 RM . vi

(6.82)

Abb. 6.22. Meßbereichserweiterung f¨ ur die Spannungsmessung

F¨ ur den Fall, daß keine Strommeßbereichserweiterung (vi = 1 bzw. RP → ∞) vorgenommen wird, gilt RS = (vu − 1)RM =

Uend − RM . IMend

(6.83)

Durch Vorschalten von Widerst¨ anden kann das in (Abb. 6.19) gezeigte Strommeßgerät zu einem Universal-Vielfachmeßgerät aufger¨ ustet werden (Abb. 6.23). Es ist anzumerken, daß der Innenwiderstand von Spannungsmeßgeräten meistens auf den Meßbereichsendwert bezogen wird. Die Angabe 100 kΩ/V beispielsweise bedeutet, daß im Meßbereich mit dem Endwert 10 V der Innenwiderstand des Ger¨ ates 1 MΩ betr¨ agt.

Abb. 6.23. Universal-Vielfachmeßger¨ at f¨ ur Spannung und Strom

142


6.2.3 Gleichzeitiges Messen von Strom und Spannung Bei der gleichzeitigen Messung von Strom und Spannung ergeben sich zusätzliche Fehler. Es gibt zwei M¨ oglichkeiten der Schaltungsanordnung. Bei der Variante nach Abb. 6.24a wird die Generatorspannung UM sowie der Laststrom IL pseudokorrekt angezeigt, bei der Variante nach Abb. 6.24b hingegen wird die Lastspannung UL sowie der Generatorstrom IQ pseudorichtig gemessen. Der Begriff pseudokorrekt“ bzw. pseudorichtig“ soll aussagen, ” ” daß die entsprechenden Meßwerke zwar die aktuelle Meßgröße richtig messen, daß jedoch durch das Vorhandensein eines realen (nicht-idealen) Meßwerkes die urspr¨ ungliche Meßgr¨ oße infolge des oben besprochenen Belastungsfehlers verfälscht wird.

Abb. 6.24. Gleichzeitige Messung von Strom und Spannung: a) Messung pseudokorrekt f¨ ur Generatorspannung UM und Laststrom IL , b) Messung pseudokorrekt f¨ ur Lastspannung UL und Generatorstrom IQ

Bei den nicht pseudokorrekt“ gemessenen Größen hingegen wird noch nicht ” einmal die aktuelle Gr¨ oße richtig angezeigt. So wird beispielsweise bei der Schaltungsvariante nach Abb. 6.24a die aktuelle Lastspannung UL vom Spannungsmesser nicht erfaßt. F¨ ur die Schaltungsvariante nach Abb. 6.24a ergibt sich folgender relativer Meßfehler fIL bei der Bestimmung des Laststromes IL fIL = −

RQ RL + RMI (RMU + RQ ) . RMU RQ + (RMI + RL )(RMU + RQ )

(6.84)

F¨ ur die Schaltungsvariante nach Abb. 6.24b hingegen errechnet sich der relative Fehler bei der Strommessung zu fIL = −

RQ RL + RMI (RMU + RL ) . RMU RL + (RMI + RQ )(RMU + RL )

(6.85)

Bei den relativen Meßfehlern nach den Gln. (6.84) und (6.85) ist als wahrer Wert stets derjenige Laststrom angenommen, welcher bei nicht vorhandenen bzw. idealen Meßger¨ aten fließen w¨ urde.

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

143

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung 6.3.1 Begriffsdefinitionen Es sei vorausgeschickt, daß die folgenden Definitionen gleichermaßen f¨ ur eine elektrische Spannung u(t) und f¨ ur einen elektrischen Strom i(t) gelten. Eine Wechselspannung u(t) mit sinusf¨ ormigem Zeitverlauf wird durch Gl. (6.86) b den Scheitelwert der Wechselspannung, ω = 2πf ihre beschrieben, wobei U Kreisfrequenz (Einheit (s−1 )), f die Frequenz der Wechselspannung (Einheit (Hz)) und ϕ den Phasenwinkel (Einheit (rad)) bezeichnen b sin(ωt + ϕ) . u(t) = U

(6.86)

In der Meßtechnik sind folgende Gr¨ oßen von Bedeutung: •

Arithmetischer Mittelwert u=

• •

1 T

Z

1 T

Z

Gleichrichtwert |u| =

T

u(t) dt

(6.87)

|u(t)| dt

(6.88)

0

0

T

Effektivwert (quadratischer Mittelwert) s Z 1 T 2 Ueff = u (t) dt . T 0

(6.89)

Eine Gleichspannung mit U = Ueff setzt in einem Verbraucher (ohmscher Widerstand) die gleiche Leistung um wie die Wechselspannung mit dem Effektivwert Ueff . In den Gln. (6.87 - 6.89) versteht man unter T = 1/f die Periodendauer der Wechselspannung (Einheit (s)). Es sei ausdr¨ ucklich darauf hingewiesen, daß obige Definitionsgleichungen auch auf nicht-sinusförmige Zeitverläufe angewendet werden d¨ urfen, solange das Signal periodisch ist. Sie gelten beispielsweise auch f¨ ur Wechselspannungen mit u ¨berlagertem Gleichanteil. Wie man den Effektivwert von Signalen ermittelt, die nicht periodisch sind, wird in Kap. 13.4.1 behandelt. Weiterhin sind definiert: •

Scheitelfaktor Scheitelfaktor (crest factor) = C =

•

Formfaktor Formfaktor = F =

b U Scheitelwert = Effektivwert Ueff

Ueff Effektivwert = . Gleichrichtwert |u|

(6.90)

(6.91)

144


√ F¨ ur rein sinusförmige √ Gr¨ oßen betr¨ agt der Scheitelfaktor C = 2 und der Formfaktor F = π/(2 2) = 1, 11. Setzt sich eine Spannung uges (t) aus ei¨ ner Uberlagerung von n Teilspannungen ui (t) (Gleichspannungen oder Wechselspannungen mit sinusf¨ ormigem Zeitverlauf und Frequenzen, die in einem ganzzahligen Verh¨ altnis stehen) zusammen uges (t) =

n X

ui (t) ,

(6.92)

i=1

¨ so ergibt sich deren Effektivwert Ueffges aus der quadratischen Uberlagerung der Effektivwerte der Teilspannungen v u n uX 2 . Ueffges = t Uieff (6.93) i=1

Dies gilt insbesondere f¨ ur eine aus einem Gleich- (u ) und einem (reinen) Wechselanteil (u∼ ) zusammengesetzte Mischgröße der Form u(t) = u + u∼ (t) .

(6.94)

Der Effektivwert des Wechselanteils U∼eff ergibt sich gemäß Definitionsgleichung (6.89) zu s Z 1 T 2 u (t) dt . (6.95) U∼eff = T 0 ∼

Der Effektivwert der Mischspannung Ugeseff l¨ aßt sich schließlich anhand von Gl. (6.93) berechnen q 2 Ueffges = u 2 + U∼eff . (6.96)

In diesem Zusammenhang sollen auch die folgenden Größen definiert werden: •

Schwingungsgehalt s

•

Welligkeit w

s=

U∼eff Ueffges

(6.97)

U∼eff . (6.98) u Es sei nochmals darauf hingewiesen, daß alle obigen Definitionen in analoger Weise f¨ ur einen Wechselstrom i(t) gelten. w=

6.3.2 Gleichrichtung Zur Messung von Wechselgr¨ oßen mit Hilfe der in der elektrischen Meßtechnik vorzugsweise eingesetzten Meßwerke ben¨ otigt man Schaltungen zur Gleichrichtung des Meßstromes bzw. der Meßspannung. In diesen Schaltungen verwendet man heute im allgemeinen Halbleiterdioden, die der Einweg- bzw. der Zweiweg-Gleichrichtung der elektrischen Wechselgrößen dienen.


145

Einweg-Gleichrichtung Wenn bei der Messung einer Wechselspannung eine Halbwelle unterdr¨ uckt werden soll, so ist die Gleichrichtung mit einer einfachen Diode zu bewerkstelligen. Die Anordnung nach Abb. 6.25 mißt den halben Gleichrichtwert der angelegten Spannung bzw. des Stromes. Genaugenommen ist noch das nicht-ideale Diodenverhalten in Form des Diodeninnenwiderstandes sowie der Schwellenspannung von 0,7 V (bei Siliziumdioden) zu ber¨ ucksichtigen, die im

Abb. 6.25. Messung des halben Gleichrichtwertes einer Wechselspannung mit Hilfe eines Drehspulmeßger¨ ates

Durchlaßbetrieb stets an der Diode abf¨ allt. Aus dem nicht-idealen Diodenverhalten (s. dazu die Kennlinien (ideal, idealisiert und real) einer Siliziumdiode in Abb. 6.26) resultiert das in Abb. 6.27 gezeigte Ersatzschaltbild einer Halbleiterdiode, das aus einer Serienschaltung von idealer Diode, Diodeninnenwiderstand und einer Spannungsquelle, welche die Schwellenspannung1 repräsentiert, besteht. Die Schwellenspannung von typischen Siliziumdioden beträgt ca. 0,7 V. Die Schwellenspannung von Germanium- und auch Schottky-Dioden [157] liegen bei 0,3 V. Die parasit¨ are Parallelkapazität (= Sperrschichtkapazität) Cg wirkt sich bei h¨ oheren Frequenzen (typischerweise oberhalb 10 kHz) aus, indem sie die Diode f¨ ur hochfrequente Str¨ ome u uckt und damit zum ¨berbr¨ Teil ihre Gleichrichterwirkung aufhebt. iD

iD reale Kennlinie

ideale Diode uD

idealisierte Kennlinie 0,7 V

uD

Abb. 6.26. Kennlinie einer Siliziumdiode (ideal, idealisiert und real)

1

Die Schwellenspannung wird auch als Durchlaßspannung, Schleusenspannung oder Kniespannung bezeichnet.

146


0,7 V iD

Cg

uD

Abb. 6.27. Ersatzschaltbild einer Siliziumdiode

Zweiweg-Gleichrichtung (Vollweg-Gleichrichtung) Die Graetz-Schaltung (Abb. 6.28) erm¨ oglicht die vollständige Gleichrichtung beider Halbwellen, womit der vollst¨ andige Gleichrichtwert mit Hilfe eines Drehspulmeßgerätes gemessen wird. Bei dieser Schaltung sind stets zwei der vier Dioden in Durchlaßrichtung geschaltet, so daß die am Meßgerät anliegende Spannung uM im Vergleich zur Eingangsspannung u∼ um den doppelten Wert der Diodenschwellenspannung reduziert wird (Abb. 6.28b). Bei Anliegen der positiven Halbwelle sind die Dioden D1 und D4 leitend, während hingegen bei der negativen Halbwelle die Dioden D2 und D3 leiten.

Abb. 6.28. a) Graetz-Schaltung zur Erfassung beider Halbwellen bei der Gleichrichtung, b) Spannungsverlauf

6.3.3 Messung des Scheitelwertes (Spitzenwert, Peak Value) Der Scheitelwert US (Spitzenwert, Peak Value) ist der innerhalb eines definierten Zeitraumes betragsm¨ aßig gr¨ oßte Wert des Signals. Bei unsymmetrischem Kurvenverlauf gilt ˆ = max{U ˆ+ , U ˆ− } , US = U (6.99)

ˆ+ und U ˆ− die im positiven bzw. negativen Amplitudenbereich liegenwobei U ˆ+ ≥ 0 und U ˆ− ≥ 0). Zur Messung des positiven den Spitzenwerte sind (U ˆ+ ) dient die Schaltung nach Abb. 6.29. Es wird Spannungs-Scheitelwertes (U hierbei der Ladekondensator auf den Spitzenwert der angelegten Spannung


147

Abb. 6.29. Schaltung zur Messung des Spannungs-Spitzenwertes (bei symmetrischem Spannungsverlauf)

aufgeladen und vom Meßger¨ at gemessen. Zur Messung des negativen Spitzenˆ− muß lediglich die Diode in der Meßschaltung (Abb. 6.29) umgewertes U polt werden. Die durch das Meßger¨ at verursachten Ladungsverluste werden durch kurzzeitige Ladestr¨ ome, die je Periode einmal auftreten, ausgeglichen (Abb. 6.30). Zur exakten Messung des Spitzenwertes werden daher vorwiegend Geräte mit elektronischem Eingangsverstärker eingesetzt, welche sehr hohe Eingangsimpedanzen aufweisen.

Abb. 6.30. Spannungsverlauf bei der Spitzenwertgleichrichtung nach Abb. 6.29

Zur Messung des Spitzenwertes von Spannungen mit unsymmetrischem Kurvenverlauf eignet sich die sog. Villard-Schaltung (Abb. 6.31), die auch als ein-stufige Kaskadenschaltung bezeichnet wird. Die beiden Dioden laden den Kondensator C2 auf die Summe der Betr¨ age von positivem und negativem Spitzenwert auf. Es handelt sich also um die Messung des Spitze-Spitze-Wertes (Peak to Peak Value) USS ˆ+ + U ˆ− . USS = U

(6.100)

Die Schaltung funktioniert so, daß w¨ ahrend der negativen Halbwelle nur die Diode D1 leitet und den Kondensator C1 auf den negativen Spitzenwert auflädt

148


Abb. 6.31. Villard-Schaltung zur Messung des Spitze-Spitze-Wertes USS (Peak to Peak Value) bei Spannungen mit unsymmetrischem Kurvenverlauf

ˆ− . uC1 = U

(6.101)

Während der positiven Halbwelle leitet D2 und lädt die Kapazität C2 am Ausgang auf die Spannung ˆ+ = U ˆ− + U ˆ+ uA = uC1 + U

(6.102)

auf. In praktischen Schaltungen sind allerdings noch die Diodenschwellenspannungen und die Entladung durch den Innenwiderstand des angeschlossenen Spannungsmeßwerkes zu ber¨ ucksichtigen. Die Villard-Schaltung kann also bei gewöhnlicher symmetrischer Eingangsspannung zur Spannungsverdopplung eingesetzt werden. Sie l¨ aßt sich aber auch in Form einer mehrstufigen Kaskadenschaltung aufbauen, so daß in jeder Stufe die Spannung verdoppelt wird. Allerdings treten dabei relativ hohe Innenwiderstände auf. Die in Abb. 6.32 gezeigte Delon-Schaltung eignet sich ebenfalls zur Messung des Spitze-Spitze-Wertes USS . W¨ ahrend der positiven Halbwelle wird C1 ˆ u ber D auf U aufgeladen, w¨ a hrend in der negativen Halbwelle die Span¨ 1 + ˆ− ansteigt, so daß sich als Ausgangsspannung nung am Kondensator C2 auf U uA wiederum der nach Gl. (6.100) definierte Spitze-Spitze-Wert USS ergibt. Die Delon-Schaltung wird auch als Greinacher-Schaltung oder als doppelte Einweg-Gleichrichterschaltung bezeichnet.

Abb. 6.32. Delon-Schaltung zur Messung des Spitze-Spitze-Wertes USS


149

6.3.4 Messung des Gleichrichtwertes Prinzipiell läßt sich die Bestimmung des Gleichrichtwertes von Wechselgrößen mit Hilfe eines Doppelweggleichrichters durchf¨ uhren. Nachteilig wirkt sich allerdings die Nichtlinearit¨ at der Dioden aus. Es besteht außerdem das Problem, daß die Diodenschwellenspannung zweifach vorhanden ist. Aus diesen Gr¨ unden ist die Schaltungsvariante nach Abb. 6.34a g¨ unstiger, bei der in Reihe mit dem Meßger¨ at jeweils eine Diode und ein Vorwiderstand RV liegen. Der Vorwiderstand dient der in Abb. 6.33 erl¨ auterten Linearisierung der Kennlinie. Da jedoch ein Teil des Stromes am Meßwerk vorbeifließt, werden f¨ ur Wechselgrößen sowohl die Empfindlichkeit des Meßgerätes als auch sein Innenwiderstand geringer. Dies belegt das Beispiel eines Standard-Meßgerätes, dessen Innenwiderstand mit RM = 33 kΩ/V f¨ ur Gleichstrom und RM = 10 kΩ/V f¨ ur Wechselstrom angegeben wird.

Abb. 6.33. Linearisierung einer Diodenkennlinie durch eine Serienschaltung mit einem hochohmigen Widerstand

Bei Verwendung eines Meßwandlers (Transformator mit Mittelanzapfung) (Abb. 6.34b) kann der Nachteil der Schaltungsvariante mit Vorwiderständen (Abb. 6.34a) vermieden werden. Die bessere Linearität erreicht man bei dieser Schaltung durch Hochtransformieren der Spannung (¨ u < 1), wodurch die Kennlinienkr¨ ummung der Diode einen geringeren Einfluß hat. Dies geht allerdings wiederum auf Kosten des Innenwiderstandes, denn der Transformator ¨ setzt diesen um den Faktor u¨2 herab (Zprimär = Zsekundär · u ¨2 ; u¨: Ubersetzungsverhältnis des Transformators; u¨ < 1, s. Abb. 6.34b). Außerdem lassen sich

150


u

iM

ü:1

RM u Z primär

a)

iM

RM

Z sekundär

b)

Abb. 6.34. Schaltungen zur Messung des Gleichrichtwertes von Spannungen: a) Br¨ uckenschaltung mit Dioden und Widerst¨ anden, b) Transformatorbr¨ ucke

Meßwandler nur zur Messung reiner Wechselspannungen (ohne Gleichanteil) einsetzen. 6.3.5 Messung des Effektivwertes Bei Verwendung eines Drehspulmeßwerkes in Verbindung mit den oben gezeigten Vollweg-Gleichrichterschaltungen mißt man den Gleichrichtwert |u| einer ur einen bekannten Zeitverlauf kann dieSpannung (bzw. eines Stromes |i|). F¨ ser Gleichrichtwert in einen Effektivwert umgerechnet werden. Bei entsprechender Kalibrierung zeigt das Ger¨ at dann den im allgemeinen interessierenden Effektivwert an. Meistens erfolgt diese Kalibrierung f¨ ur rein sinusförmige Zeitverläufe (Formfaktor F = 1,11). F¨ ur nicht sinusförmige Meßgrößen wird somit ein falscher Meßwert angezeigt. Das Dreheiseninstrument hingegen l¨ aßt sich unmittelbar zur Effektivwertmessung einsetzen. Es handelt sich hierbei um einen echten Effektivwertmesser, da das Meßwerk die Operationen Quadrieren und Mitteln bis zu Frequenzen in der Größenordnung von 1 kHz ohne weitere Beschaltung durchf¨ uhrt. Bei Dreheiseninstrumenten ist allerdings zu beachten, daß ihr Innenwiderstand nicht rein ohmsch ist, sondern auch merkliche induktive Anteile enthält. Dies kann aber durch Zuschalten von Kapazit¨ aten f¨ ur einen bestimmten Frequenzbereich wieder kompensiert werden. Auch das elektrodynamische Meßwerk kann zur Effektivwertmessung eingesetzt werden. Zur Messung des Stromeffektivwertes werden beide Spulen des Meßwerkes in der Regel parallel- oder auch in Reihe geschaltet. Aufgrund der mechanischen Tr¨ agheit bildet das Meßwerk den Mittelwert des Stromquadrates, d. h. der Ausschlagwinkel α seines Zeigers ergibt sich wie folgt α = ki2 .

(6.103)

Somit entsteht eine Anzeige, die dem quadratischen Mittelwert des Stromes und damit dem Quadrat des Effektivwertes proportional ist. Dabei ist allerdings darauf zu achten, daß die Innenwiderst¨ ande beider Pfade (feststehende Spule und Drehspule) klein gegen¨ uber dem Widerstand des Meßkreises sein


151

sollten, um die systematischen Belastungsfehler so gering wie möglich zu halten. Verhalten von Standard-Zeigermeßwerken bei Wechselstrom In Tabelle 6.2 wird das Verhalten der Standard-Zeigermeßgeräte im Wechselstromfall zusammengefaßt. Tabelle 6.2. Das Verhalten von Standard-Zeigermeßger¨ aten bei der Messung von Wechselgr¨ oßen Typ

Anzeige

Verwendung

Drehspulmeßwerk

α ∼ i(t) = ¯i

Universelles Meßwerk (hohe Empfindlichkeit)

Drehspulmeßwerk mit Gleichrichter

ate α ∼ |i(t)| ∼ |i|· Formfaktor i. allg. werden die Ger¨ mit einem Formfaktor F = 1, 11 f¨ ur rein sinusf¨ ormige Wechselgr¨ oßen kalibriert

elektrodynamisches Meßwerk

α ∼ i1 (t)i2 (t)

Leistungsmessung (Effektivwertmesser)

Dreheisenmeßwerk

2 α ∼ i(t)2 = Ieff

robustes Betriebsmeßger¨ at (Effektivwertmesser)

Drehspulquotienten- α = arctan const. meßwerk = Kreuzspulinstrument

i2 (t) i1 (t)

Drehmagnetmeßwerk α = arctan(const. i(t))

Widerstandsmessung

robustes Betriebsmeßger¨ at

6.3.6 Meßwandler Meßwandler haben die prim¨ are Aufgabe, hohe Ströme bzw. Spannungen auf einfach meßbare Werte zu transformieren. Weiterhin werden sie aus Sicherheitsgr¨ unden eingesetzt, wenn das Meßgerät galvanisch von den spannungsf¨ uhrenden Leitern getrennt werden soll, wie z. B. bei Messungen an ¨ Hochspannungsanlagen. Sie sind aber auch in der Lage, infolge ihrer Ubertragungseigenschaften bez¨ uglich hoher (Kurzschluß-) Ströme Schutzfunktionen auszu¨ uben. ¨ Meßwandler sind von ihrem Aufbau her Ubertrager bzw. Transformatoren, die aus einer auf einen gemeinsamen Eisenkern gewickelten Primärspule mit Windungszahl N1 und einer Sekund¨ arspule mit Windungszahl N2 bestehen

152


Abb. 6.35. Transformator

(Abb. 6.35). Das entsprechende, aus diskreten Schaltelementen bestehende allgemeine Ersatzschaltbild eines Transformators wird in Abb. 6.36 gezeigt. In diesem Ersatzschaltbild stellen die Widerst¨ ande R1 bzw. R2 die ohmschen Widerstände von Prim¨ ar- bzw. Sekund¨ arwicklung dar, während R1E die Verluste im Eisenkern beschreibt. Die Induktivit¨ aten X1σ bzw. X2σ repräsentieren die Streuverluste auf der Prim¨ ar- bzw. Sekund¨ arseite. X1h ist die Primärinduktivität, die den Magnetisierungsstrom tr¨ agt. F¨ ur einen idealen Transformator gilt R1 = R2 = 0 X1σ = X2σ = 0

(6.104) (6.105)

X1h → ∞ R1E → ∞ .

(6.106) (6.107)

¨ Das Ersatzschaltbild beschr¨ ankt sich damit auf den idealen Ubertrager mit ¨ dem Ubersetzungsverh¨ altnis u ¨. Die sekund¨ arseitig angeschlossene Lastimpedanz (RL , XL ) wird B¨ urde genannt. In Abb. 6.37 wird ein zu dem Ersatzschaltbild von Abb. 6.36 ¨ aquivalentes Netzwerk gezeigt. Es wurden hier jedoch alle sekundärseitig auftretenden Gr¨ oßen (Str¨ ome und Spannungen) und Elemente ¨ auf die Primärseite umgerechnet; außerdem wurde die infolge des Ubertragers stets vorhandene Potentialtrennung zwischen Primär- und Sekundärseite nicht ber¨ ucksichtigt. Prinzipiell w¨ are auch ein weiteres Ersatzschaltbild denkbar, bei dem alle primärseitigen Gr¨ oßen und Netzwerkelemente auf die Sekundärseite transformiert werden.

Abb. 6.36. Ersatzschaltbild eines Transformators. Der im Ersatzschaltbild enthal¨ ¨ tene Ubertrager (Ubersetzungsverh¨ altnis u ¨: 1) weist ideale Eigenschaften auf.


153

Abb. 6.37. Transformator-Ersatzschaltbild, bei dem alle sekund¨ arseitig auftretenden Gr¨ oßen und Elemente auf die Prim¨ arseite umgerechnet wurden.

Stromwandler Beim Stromwandler wird der zu messende (Wechsel-) Strom durch die Primärwicklung des Transformators geschickt, w¨ ahrend die Sekundärwicklung im Idealfall von einem Strommeßwerk kurzgeschlossen wird (Abb. 6.38). F¨ ur ¨ einen idealen Stromwandler (Ubertrager) ergibt sich das Verhältnis von Primär¨ zu Sekundärstrom aus dem Ubersetzungsverh¨ altnis u ¨, dessen Kehrwert im Zusammenhang mit Meßwandlern meistens mit ki bezeichnet wird I1eff N2 1 = = = ki . I2eff N1 u ¨

(6.108)

Der Stromwandler ist also ein sekund¨ arseitig kurzgeschlossener bzw. niederohmig abgeschlossener Transformator, der nur aus wenigen Primärwindungen besteht. Der Transformator ist i. allg. so ausgelegt, daß bei primärem Nennstrom I1 = INenn der Sekund¨ arstrom I2 = 5 A bzw. I2 = 1 A beträgt. Bei hohen Primärströmen I1 > 500 A gen¨ ugt prim¨ arseitig meist eine Windung. Der Kern eines Stromwandlers ist lediglich f¨ ur den relativ geringen Differenzfluß bemessen, da der vom Prim¨ arstrom erzeugte magnetische Fluß im Falle des niederohmigen sekund¨ arseitigen Abschlusses bzw. Kurzschlusses von dem vom Sekund¨ arstrom herr¨ uhrenden Gegenfluß kompensiert wird. Eine Auftrennung des Sekund¨ arkreises h¨ atte zur Folge, daß der gesamte Primärfluß pl¨ otzlich vom Kern aufgenommen werden m¨ ußte, was leicht zu thermischer ¨ ¨ Uberlastung f¨ uhren kann. Gleichzeitig w¨ urde eine sich aus dem Ubersetzungsverhältnis ergebende hohe Spannung an den Sekundärklemmen anliegen.

Abb. 6.38. Stromwandlerschaltung mit standardm¨ aßiger Bezeichnung der Anschlußklemmen. K, L: Prim¨ aranschlußklemmen; k, l: Sekund¨ aranschlußklemmen.

154


¨ Um Spannungs¨ uberschl¨ age und Uberhitzung zu vermeiden, d¨ urfen Stromwandler daher sekund¨ arseitig nicht im Leerlauf betrieben werden. Oft werden ¨ aus diesem Grund Uberspannungsableiter an Stromwandlern angebracht. Abbildung 6.39 zeigt einen handels¨ ublichen Durchsteck-Stromwandler. Bei dieser Ausf¨ uhrungsform wird der den Meßstrom tragende Leiter durch den Meßumformer gesteckt. Dabei wird der Leiter von einem Sondenkern, auf den eine Sondenspule gewickelt ist, umschlossen. Dieses Funktionsprinzip ist prinzipiell identisch mit dem einer Strommeßzange f¨ ur Wechselstrom (s. Kap. 6.3.7).

Abb. 6.39. Durchsteck-Stromwandler f¨ ur Schienenmontage mit ki = 8 (s. Gl. (6.108)) und prim¨ arseitigen Nennstrom von I1eff =40 A.

Fehler des Stromwandlers Der Fehler des Stromwandlers ist bei gegebenem Primärstrom I1 die Abweichung des mit der Nenn¨ ubersetzung kNi multiplizierten Sekundärstromes I2 vom Primärstrom. Der relative Fehler betr¨ agt fi =

I2ist − I2soll I2eff kNi − I1eff 100% = 100% . I2soll I1eff

(6.109)

Neben diesem in Gl. (6.109) angegebenen Betragsfehler gibt es noch einen Winkelfehler. Der entsprechende Fehlwinkel δi ist die Voreilung des Sekundärstromes gegen¨ uber dem Prim¨ arstrom. Beide Fehler (Betragsfehler und Winkelfehler) lassen sich dem Zeigerdiagramm entnehmen, welches in Abb. 6.40


155

I1R1 j . I1X1σ

U1

U1h ü.I2R2 ü .U2

ü. j.I2 X2 σ I2 ü δi

Iµ

I1h

Iµ

I1

I1E φ

Abb. 6.40. Zeigerdiagramm eines Stromwandlers. I µ entspricht dem Magnetisierungsstrom (= Prim¨ arstrom bei sekund¨ arseitigem Leerlauf).

gezeigt ist. Man kann diesem Diagramm auch entnehmen, daß der Fehler des Stromwandlers mit dem magnetischen Fluß bzw. dem Magnetisierungsstrom I µ zunimmt. ¨ aus Der Magnetisierungsstrom I µ ergibt sich als vektorielle Uberlagerung dem eigentlichen Magnetisierungsstrom I 1h und dem entsprechenden Verluststrom I 1E (Abb. 6.36 und 6.37). Durch geeignete Dimensionierung und Materialauswahl wird daher versucht, den Magnetisierungsstrom klein zu halten. Die f¨ ur Stromwandler standardisierten Fehlerklassen sind in Tab. 6.3 notiert. Die jeweilige Fehlerklasse beziffert den maximalen relativen Betragsfehler nach Gl. (6.109) in Prozent, w¨ ahrend der zul¨ assige Winkelfehler von der aktuellen Belastung durch die B¨ urde abh¨ angt. Mit Hilfe der Operationsverstärkerschaltung nach Abb. 6.41 kann der mit dem Magnetisierungsstrom gekoppelte Fluß annähernd zu Null abgeglichen werden, so daß die Stromwandlerfehler sehr klein werden, wenn es gelingt, die Streuverluste sowie die Windungsverluste Tabelle 6.3. Fehlerklassen und Winkelfehler f¨ ur Meßwandler bei 25 bis 100 % Nennb¨ urde Stromwandler Winkelfehler Spannungswandler Winkelfehler in Bogenminuten in Bogenminuten Fehlerklasse bei 1 . . . 1, 2Inenn Fehlerklasse 0, 1Inenn bei 0, 8 . . . 1, 2Unenn 0,1 0,2 0,5 1

5 10 30 60

0,1 0,2 0,5 1

5 10 20 40

156


Abb. 6.41. Fehlerkompensierende Stromwandlerschaltung; P r: Prim¨ arwicklung; Se: Sekund¨ arwicklung; F u ¨: F¨ uhlerwicklung; R: (rein) ohmscher Widerstand.

ebenfalls klein zu halten [149]. Der in der Schaltung verwendete ohmsche Widerstand sollte eine m¨ oglichst geringe parasit¨ are Kapazität bzw. Induktivität aufweisen, weil eventuelle Blindanteile einen entsprechenden Winkelfehler verursachen. Spannungswandler Beim Spannungswandler wird die zu messende Wechselspannung an die Prim¨ arwicklung des Transformators gelegt, w¨ ahrend an die Sekundärwicklung ein Spannungsmesser mit sehr hohem Innenwiderstand angeschlossen wird (Abb. ¨ 6.42). F¨ ur einen idealen Spannungswandler (idealer Ubertrager) ergibt sich ¨ das Verhältnis von Prim¨ ar- zu Sekund¨ arspannung wiederum aus dem Ubersetzungsverhältnis u ¨, das bei Spannungswandlern meistens mit ku bezeichnet wird U1eff N1 = =u ¨ = ku . (6.110) U2eff N2 Spannungswandler sind also sekund¨ arseitig im Leerlauf betriebene bzw. sehr hochohmig abgeschlossene Transformatoren. Die Sekundärspannung beträgt bei primärseitig angelegter Nennspannung im Falle standardmäßiger Auslegung U2 = 100 V.

Abb. 6.42. Spannungswandlerschaltung mit standardm¨ aßiger Bezeichnung der Anschlußklemmen. U , V : Prim¨ aranschlußklemmen; u, v: Sekund¨ aranschlußklemmen.


157

Fehler des Spannungswandlers Der Spannungsfehler eines Spannungswandlers ist bei gegebener Primärspannung U1 die Abweichung der mit der Nenn¨ ubersetzung kNu multiplizierten Sekundärspannung U2 von der Prim¨ arspannung. Der entsprechende relative Fehler fu beträgt fu =

U2eff kNu − U1eff U2ist − U2soll 100% = 100% . U2soll U1eff

(6.111)

Abb. 6.43. Zeigerdiagramm eines Spannungswandlers

Sowohl dieser Betragsfehler als auch der ihm zugeordnete Winkelfehler (Winkel zwischen dem Spannungszeiger U 1 (Primärspannung) und dem Spanarspannung)) sind dem Zeigerdiagramm des Spannungszeiger U 2 (Sekund¨ nungswandlers (Abb. 6.43) zu entnehmen. Aus dem Zeigerdiagramm ist ersichtlich, daß der Fehler des Spannungswandlers sowohl vom Wandler selbst als auch von der B¨ urde abh¨ angt. Denn mit Verändern der B¨ urde ändert sich der Stromzeiger I 2 und somit das Teilzeigerdiagramm, bestehend aus den Ï 2 R2 , j¨ uI 2 X2σ und U 1h , und damit letztlich auch der Fehler. Zeigern uÜ 2 , u Die Genauigkeitsklassen beziffern wiederum den zulässigen relativen Spannungsfehler fu nach Gl. (6.111) in Prozent. Der entsprechende Spannunsfehlwinkel δu ist in Tab. 6.3 notiert. F¨ ur Meßspannungen oberhalb 200 kV verwendet man kapazitive Spannungsteiler, welche die Hochspannung auf etwa 10 % ihres urspr¨ unglichen Wertes herabsetzen (Abb. 6.44). Die nachgeschaltete Drossel wird so bemessen,

Spannungswandler C1 Drossel

U1 C2

U2

Abb. 6.44. Grundschaltung des Spannungswandlers mit kapazitiver Teilung zur Messung sehr hoher Spannungen. C1 , C2 : Hochspannungs-Kondensatoren.

158


daß bei Nennfrequenz im Meßkreis Resonanz herrscht [141]. Die zu messende at anliegende Spannung U 2 haben Spannung U 1 und die am Spannungsmeßger¨ in diesem Fall dieselbe Phasenlage. 6.3.7 Strommeßzange f¨ ur Wechselstrom Strommeßzangen sind potentialfrei arbeitende Strommesser, die nach dem Induktionsprinzip arbeiten. Es handelt sich dabei um Meßsonden, die den Meßstrom f¨ uhrenden Leiter zangenf¨ ormig umschließen, ohne dass dabei irgendein elektrisch leitender Kontakt zwischen dem Leiter und der Meßeinrichtung besteht (Abb. 6.45). Sie werden daher auch als Zangenamperemeter bezeichnet. Man setzt sie heute sowohl im Bereich der Energie- als auch der Nachrichtentechnik ein. W¨ ahrend in der Energietechnik typischerweise hohe Ströme (bis einige kA) niedriger Frequenz (bis 10 kHz) gemessen werden, handelt es sich bei den nachrichtentechnischen Anwendungen eher um den umgekehrten Fall niedriger Stromwerte (ab µA) bei h¨ oheren Frequenzen (bis 1 GHz). Die

Abb. 6.45. Strommeßzange

heutigen Zangenamperemeter sind im allgemeinen in der Lage, sowohl Wechselstrom als auch Gleichstrom zu messen. Das Funktionsprinzip ist allerdings bei Gleichstrom ein g¨ anzlich anderes. W¨ ahrend Wechselstromzangen nach dem Induktionsprinzip arbeiten, basieren gleichstromgeeignete Zangen auf einem Hallsensor, der das Magnetfeld in einem hochpermeablen Kern mißt, welcher den stromf¨ uhrenden Leiter wie im Wechselstromfall umschließt. Dieser gewichtige Unterschied f¨ uhrt zu der hier gew¨ ahlten Gliederung. Wir werden


159

im direkten Anschluß die Wechselstrommeßzangen behandeln. Danach folgt zunächst eine allgemeine Einf¨ uhrung in den galvanomagnetischen Effekt sowie den Aufbau von Hallelementen, bevor abschließend die Gleichstrommeßzangen besprochen werden. Funktionsprinzip und Ersatzschaltbilder Strommeßzangen koppeln das den Wechselstrom f¨ uhrenden Leiter stets umgebende Magnetfeld rein induktiv in die Sondenspule der Strommeßzange. Abbildung 6.46 zeigt den prinzipiellen Aufbau einer Wechselstrommeßzange und Abb. 6.48 das entsprechende Ersatzschaltbild. Die an der Sondenspule abgreifbare elektrische Wechselspannung ist proportional zum Strom durch den Meßleiter. Diese Proportionalit¨ at folgt unmittelbar aus dem Induktionsgesetz, das hier Anwendung findet. Es handelt sich bei der Anordnung aus ¨ Meßleiter und Sondenspule n¨ amlich um einen Ubertrager oder Transformator, dessen Grundgleichungen (Gln. (6.112) und (6.113)) und Ersatzschaltbilder (Abb. 6.47) hier gelten [4] U 1 = jωL1 I 1 − jωM I 2 U 2 = jωM I 1 − jωL2 I 2 .

(6.112) (6.113) I mess

Kern

Sondenwicklung I mess ZL

a) I mess

rm

b)

Kernquerschnittsfläche A K

Abb. 6.46. Strommeßzange: a) prinzipielle Anordnung [26]; b) Querschnittsgeometrie.

160


I1

L2 - M

L1 - M

1

2 I2

U1

U2

M

1'

2'

Abb. 6.47. Ersatzschaltbild eines Transformators. L1 und L2 sind die EigenInduktivit¨ aten von Prim¨ ar- bzw. Sekund¨ arwicklungen. M bezeichnet die Koppelinduktivit¨ at zwischen Prim¨ ar- und Sekund¨ arseite.

Die Primärseite des Transformators (Eigeninduktivität L1 ) wird vom Meßleiter und seine Sekund¨ arseite (Eigeninduktivität L2 ) von der Sondenspule gebildet (s. Abb. 6.48). Die Koppelinduktivität M sorgt f¨ ur die Kopplung von Primär- und Sekund¨ arseite. Der Kern der Sondenspule, der gleichzeitig den Meßleiter umschließt, muß hochpermeabel sein, damit das Magnetfeld, das der Meßleiter generiert, sich vollst¨ andig im Kern konzentriert. Dadurch werden zu Meßfehlern f¨ uhrende Streufelder vermieden. Der Strom durch den Meßleiter erzeugt in der Umgebung des Leiters ein ~ bzw. H-Feldlinien ~ Magnetfeld, dessen Bden Leiter konzentrisch umschließen. ~ in radialer Entfernung r läßt sich aus dem Die magnetische Feldst¨ arke H Maxwellschen Durchflutungsgesetz berechnen ~ |H(r)| =

I . 2πr

(6.114)

Aufgrund seiner hohen Permeabilit¨ at konzentriert sich das Magnetfeld auf den Kern der Sondenwicklung. In dieser wird nach dem Induktionsgesetz eine Spannung induziert, die dem Meßstrom proportional ist. Wenn die SondenI mess L2 - M

L1 - M ZE

M

UL

ZL

Meßleiter I mess Abb. 6.48. Ersatzschaltbild einer Strommeßzange, das aus konzentrierten Elementen besteht. L1 ist die Eigeninduktivit¨ at des stromf¨ uhrenden Meßleiters, M die Koppelinduktivit¨ at und L2 die Eigeninduktivit¨ at der Stromzangenwicklung. Z E die Lastimpedanz am Meßort der Zange und Z L ist die Lastimpedanz des an die Sondenwicklung angeschlossenen Spannungsmeßger¨ ates.


161

spule (Kernquerschnittsfl¨ ache AK ) N Windungen aufweist, wird die Spannung Z

~ d~s = −N ∂Φ = −N u0 (t) = E ∂t L

Z

µ0 µrK

AK

~ ∂H ~ dA ∂t

(6.115)

~ die induzierte elektrische Feldstärke, L die Gesamtlänge induziert, wobei E der Spulenwindungen, Φ den magnetischen Fluß, AK die Querschnittsfläche und µ0 µrK die Permeabilit¨ at des Sondenkerns bezeichnen. Infolge der Annahme sinusf¨ ormiger Zeitabhängigkeit läßt es sich die zeitliche Ableitung durch eine Multiplikation mit jω im Komplexen ersetzen ∂ = b jω . ∂t

(6.116)

Daraus folgt f¨ ur die komplexe Amplitude U 0 der induzierten (Leerlauf-) Spannung (s. auch Abb. 6.49) Z i = jωL 2 UL

U0= jωΜΙ mess

ZL

Abb. 6.49. (Sekund¨ arseitiges) Ersatzschaltbild einer Strommeßzange. Z i = jωL2 wird auch als Schleifenimpedanz der Strommeßzange bezeichnet. Z L stellt die Lastimpedanz dar.

U0 = −

Z

AK

~ A ~ ≈ −jωN µ0 µrK H AK = −jωM I jωN µ0 µrK Hd m mess . (6.117)

Dabei approximiert man das Integral in Gl. (6.117) durch die mittlere Induktion B m bzw. die mittlere magnetische Feldst¨ arke H m (s. auch Abb. 6.46b) B m = µ0 µrK H m =

µ0 µrK . I 2πrm mess

(6.118)

Die Koppelinduktivit¨ at M ergibt sich demnach wie folgt M =N

µ0 µrK AK . 2πrm

(6.119)

Die Meßspannung U L l¨ aßt sich anhand von Abbildung 6.49 angeben. Sie betr¨ agt ZL jωM I mess . UL = (6.120) Z L + jωL2

162


Um die Lastimpedanz Z E am Meßort der Zange zu ermitteln, verwenden wir die Ersatzschaltbilder aus Abbildung 6.48 bzw. 6.50. Die Impedanz ergibt sich demnach zu ω2M 2 Z E = jωL1 + . (6.121) Z L + jωL2 Dabei ist L1 die prim¨ arseitige Eigeninduktivität, d.h. die Eigeninduktivität des Meßleiters, wenn sich die Zange am Meßort befindet. 2

I mess 1 ZE

UL

ZL

I mess 1'

2'

Abb. 6.50. Transformatoren-Ersatzschaltbild einer Strommeßzange. Z E bezeichnet die Lastimpedanz der Strommeßzange am Meßort.

¨ Ubertragungsfaktor der Strommeßzange (Transferimpedanz) ¨ Der Ubertragungsfaktor einer Strommeßzange ist das Verhältnis aus der an der Sondenspule induzierten Spannung und dem Meßstrom Z Tr =

UL . I mess

(6.122)

¨ Da dieser Ubertragungsfaktor die Einheit einer Impedanz trägt, wird er auch als Transferimpedanz Z Tr bezeichnet. Infolge der Spannungsteilung an Z L und jωL2 (s. Abb. 6.49) ergibt sich die Transferimpedanz zu (s. auch Gl. (6.120)) UL jωM Z L Z Tr = = . (6.123) I mess Z L + jωL2 In Abhängigkeit der Lastimpedanz Z L (s. Abb. 6.49) unterscheidet man folgende Fälle: •

1. hochohmige Last Z L : Die Transferimpedanz hat (zeitlich gesehen) differenzierenden Charakter (Anstieg von 20 dB/Dek. im Bodediagramm, s. Kap. 3.13) |Z L | ≫ ωL2 → Z Tr = jωM .

•

(6.124)

2. niederohmige Last Z L : Die Transferimpedanz ist frequenzunabh¨ angig (ebener Verlauf ohne Steigung im Bodediagramm)


|Z L | ≪ ωL2 → Z Tr =

M Z . L2 L

163

(6.125)

Insgesamt ergibt sich der typische Hochpaßcharakter (Abb. 6.51) mit einer 3 dB-Eckfrequenz fg von 1 |Z L | fg = , (6.126) 2π L2 d. h., wenn |Z L | kleiner wird, verringert sich auch fg . Dies bedeutet, daß bei h¨ oherer Belastung (d.h. Z L wird kleiner) die Eckfrequenz sinkt. Der von Stromzangen prinzipiell nutzbare Frequenzbereich geht von der Rauschgrenze, die stets im differenzierenden Bereich liegt, bis zu dem Resonanzbereich, der an den konstanten Frequenzgang oberhalb der Eckfrequenz anschließt. Diese Resonanzen lassen sich nicht mehr anhand des Ersatzschaltbildes (Abb. 6.48) beschreiben. Zur Erkl¨ arung dieses Phänomens sei auf weiterf¨ uhrende Literatur verwiesen [99]. Abbildung 6.51 zeigt die Transferimpedanz einer typischen Strommeßzange. Im allgemeinen wird man bestrebt sein, den frequenzunabh¨ angigen mittleren Teil oberhalb der Grenzfrequenz fg f¨ ur die Strommessung zu nutzen. Z Tr 1000 Ω

100 10 1 0,1 1

10

100

MHz

1000 Frequenz

Abb. 6.51. Transferimpedanz einer Strommeßzange [39]

Einf¨ ugeimpedanz einer Strommeßzange Die Strommeßzange hat infolge der induktiven Kopplung zwischen ihrer Sondenspule und dem Meßleiter eine R¨ uckwirkung auf die Strombelegung des Leiters. Die Stärke dieser R¨ uckwirkung l¨ aßt sich an der Größe der sog. Einf¨ ugeimpedanz ablesen. Die Einf¨ ugeimpedanz Z ins der Strommeßzange entspricht der Impedanz Z E der Zange am Meßort minus der Eigenimpedanz des Meßleiters Z 10 = jωL10

164


Z ins = Z E − Z 10 = jωL1 +

ω2M 2 − jωL10 Z L + jωL2

(6.127)

mit (s. Gl. (6.119)) M =N

µ0 µrK AK . 2πrm

(6.128)

Abbildung 6.52 zeigt die Einf¨ ugeimpedanz einer typischen Strommeßzange. Z ins 10 Ω

1 0,1 0,01 0,001

100

1k

10 k 100 k 1 M 10 M

Hz

1G Frequenz

Abb. 6.52. Einf¨ ugeimpedanz einer Strommeßzange [83]

6.3.8 Hallelement (Galvanomagnetischer Effekt) Der Halleffekt (galvanomagnetischer Effekt) wurde vom amerikanischen Physiker Edwin Herbert Hall im Jahre 1879 entdeckt und ist eine Folge der Lorentzkraft. Bewegt sich n¨ amlich ein geladenes Teilchen mit der Ladung q und ~ der Geschwindigkeit ~v in einem Magnetfeld der magnetischen Flußdichte B, so wirkt auf dieses die mechanische Kraft (Lorentzkraft) ~ F~L = F~mag = q(~v × B).

(6.129)

Diese Kraft bewirkt eine Ablenkung der Ladungsträger und f¨ uhrt in einem Hallelement (Abb. 6.53) zu einer Ansammlung von Ladungsträgern bzw. einer ~ H normal Aufladung der Hilfselektroden, was wiederum ein elektrisches Feld E zum Geschwindigkeitsvektor ~v zur Folge hat. Dieses elektrische Feld u ¨bt nun seinerseits wiederum die Kraft ~H F~el = q E

(6.130)


äußeres Magnetfeld

165

b d

B J

+

Sensorelektrode

EH

_

ez

UH

ey ex

I Abb. 6.53. Hallelement (Hallsensor)

auf die Ladungsträger aus. Der Gleichgewichtszustand stellt sich f¨ ur F~mag + F~el = 0

(6.131)

ein. Mit dem in Abb. 6.53 eingef¨ uhrten Koordinatensystem und der Festlegung von Elektronen als Ladungstr¨ ager (q = −e0 ; mit der Elementarladung e0 ) gilt F~mag = −e0 vB(−~ey × ~ez ) = e0 vB~ex ~H . F~el = −e0 E

(6.132) (6.133)

Mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingung (Gl. (6.131)) ~ H + e0 vB~ex 0 = −e0 E

(6.134)

~H berechnet sich das im Hallelement einstellende maximale elektrische Feld E zu ~ H = vB~ex . E (6.135) Nun kennt man noch den Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit ~v der Ladungsträger und der elektrischen Stromdichte J~ J~ = −e0 n~v = e0 nv~ey ,

(6.136)

wobei n die Ladungstr¨ agerdichte bezeichnet, d. h. die Anzahl der freien Ladungsträger pro Volumeneinheit. Dr¨ uckt man den Betrag der elektrischen ~ durch den Strom I aus Stromdichte |J| ~ = |J|

I , bd

(6.137)

so erhält man unter Ber¨ ucksichtigung von Gl. (6.135) den folgenden Ausdruck ~H f¨ ur die elektrische Feldst¨ arke E ~ H = 1 I B~ex . E ne0 bd

(6.138)

166


Die an den (Sensor-)Elektroden meßbare Hallspannung beträgt somit UH =

Z2 1

~ H d~s = 1 1 IB = RH 1 IB . E ne0 d d

(6.139)

Dabei bezeichnet man den materialabh¨ angigen Wert 1/(ne0 ) als Hallkonstante RH = +

1 . ne0

(6.140)

Man erkennt, daß f¨ ur eine große Hallkonstante und somit eine hohe Empfindlichkeit die Anzahl der Ladungstr¨ ager gering sein muß. Damit kommen f¨ ur diesen Effekt nicht Metalle, sondern in erster Linie Halbleiter in Frage, wie die folgende Gegen¨ uberstellung zeigt: Kupfer : n = 8, 7 · 1022 1/cm3 Silizium : n = 1, 5 · 1010 1/cm3 . Ein Hallsensor liefert gem¨ aß Gl. (6.139) eine Ausgangsspannung UH , die direkt proportional der magnetischen Induktion B ist, welche ihn in senkrechter Richtung durchsetzt. Allerdings h¨ angt diese Hallspannung auch von der Umgebungstemperatur ab. Dies ist darauf zur¨ uckzuf¨ uhren, daß wiederum die Ladungsträgerbeweglichkeit und damit die Hallkonstante RH z. T. stark von der Temperatur abhängig ist. In Tab. 6.4 findet man die Kennwerte von typischen Hallelementen. Tabelle 6.4. Kennwerte von typischen Hallelementen

Type

KSY10 SV200 Erkl¨ arung

Material KH in V/AT IN in mA UH in mV bei B=0,5 T R1 in kΩ R2 in kΩ α in %/K

GaAs 170-230 5 25 1 1 -0,05

InAs > 10 20 > 100 60 60 -0,1

Leerlaufempfindlichkeit (=UH /(BI)) Nennstrom Hallspannung Bahnwiderstand im Strompfad Bahnwiderstand im Spannungspfad Temperaturkoeffizient

Abbildung 6.54 zeigt schematisch die Feldverteilung in einem Hallelement. Bei nicht vorhandenem Magnetfeld (Bz = 0) handelt es sich um den Standardfall, daß die Strombahnen auf k¨ urzestem Wege von der Elektrode 1 zur ¨ Elektrode 2 verlaufen. Die Aquipotentiallinien verlaufen in vertikaler Richtung (y-Richtung). Bei eingeschaltetem Magnetfeld (Bz 6= 0) hingegen wirkt ¨ die Lorentzkraft und es kommt zu Feldverzerrungen. Die Aquipotentiallinien verlaufen schräg, so daß an direkt gegen¨ uberliegenden Punkten (dort, wo die


167

Ua

UH Äquipotentialflächen ohne / mit Magnetfeld

ΘH

1 +

+

+

+

+

+

+

+

Elektrode 2

+

E ax Fläche A Elektrode 1

jn

I 2

ΘH

Potentialdifferenz der Äquipotentiallinien = Hallspannung

E

EH

Beispiel: n-Halbleiter y

B

x

¨ Abb. 6.54. Verlauf der Aquipotentiallinien mit und ohne ¨ außeres Magnetfeld. ΘH ist der Hallwinkel.

Sensorelektroden angebracht sind) eine Hallspannung anliegt. Da die beiden stromzuf¨ uhrenden Elektroden 1 und 2 aufgrund ihrer (idealen) Leitereigen¨ schaften Aquipotentialfl¨ achen darstellen, kommt es in ihrer Nähe zu einer weiteren Feldverzerrung. Der in Abb. 6.54 eingezeichnete Hallwinkel läßt sich wie folgt berechnen ~H| |E ΘH = arctan . (6.141) ~ ax | |E ~ in einem Hallelement ergibt sich aus der Uberlagerung ¨ Die Feldstärke E der ~ Feldstärke Eax , die durch die an die stromzuf¨ uhrenden Elektroden angelegte außere Spannung entsteht, mit der Feldst¨ arke aufgrund des Halleffektes, der ¨ ~ H , die Gesamtfeldst¨ Hallfeldstärke E arke ~ =E ~ ax + E ~H = E ~ ax − ~v n · B ~z , E dr

(6.142)

n wobei ~vdr die Driftgeschwindigkeit der (negativen) Ladungsträger darstellt. Der sog. Hallwinkel ΘH ist der Winkel zwischen dem resultierenden elektri~ und dem von außen angelegten Feld E ~ ax . schen Feld E Eine typische Anwendung von Hallelementen ist die Messung von Gleichströmen mit Hilfe von Strommeßzangen.

168


6.3.9 Strommeßzange f¨ ur Gleichstrom Da das Induktionsprinzip wegen der fehlenden Zeitabhängigkeit nicht genutzt werden kann, erfordert das Messen von Gleichströmen mittels Zangenamperemeter einen Sensor, der in der Lage ist, das vom Meßleiter erzeug~ te statische B-Feld in eine proportionale Meßspannung umzuwandeln. Standardmäßig geschieht dies mit Hilfe der im vorhergehenden Abschnitt beschriebenen Hallelemente, die sehr wohl in der Lage sind, auch zeitlich konstante Magnetfelder zu bestimmen. Dazu wird das Hallelement in den bei einem bestimmten Umfangswinkel in radialer Richtung geschlitzten Sondenkern eingebracht (s. Abb. 6.55). Aufgrund der im Vergleich zur Luftumgebung sehr hohen Permeabilität des Kerns konzentriert sich auch hier (wie schon beim nicht geschlitzten Sondenkern der Wechselstromsonde) das vom Strom im Meßleiter erzeugte Magnetfeld im Kern. Die Feldlinien der magnetischen Induktion ~ verlaufen wie schon bei der Wechselstromsonde (s. Kap. 6.3.7) im SondenB kern prinzipiell in Umfangsrichtung. Aufgrund der Stetigkeitsbedingungen von Magnetfeldern an permeablen Grenzschichten gehen die in normaler Richtung ~ ~ aus der Sondenfläche austretenden B-Linien kontinuierlich in die B-Linien des Luftspaltfeldes bzw. in das das Hallelement durchdringende Magnetfeld u ber. ¨ Der in den Sondenkern eingebrachte Schlitz nimmt das Hallelement so auf, daß ~ ¨ das B-Feld das Hallpl¨ attchen in senkrechter Richtung durchsetzt. Die Offnung im Kern sollte möglichst klein gehalten werden, damit keine nennenswerten Streufelder seitlich austreten k¨ onnen. Geht man wie schon beim Wechselstromzangenamperemeter von einer ~ m| = B m mittleren magnetischen Induktion |B Feldlinien der magnetischen Induktion B

IS

Wicklungen zur Erzeugung des Kompensationsflusses

Hallelement

IH

I mess

stromführender Leiter

RM UM

IS

Abb. 6.55. Prinzip einer Gleichstrommeßzange mit Kompensationsprinzip nach [133]. Die Meßspannung UM ist proportional zum Meßstrom Imess .


B m = µ0 µrK H m =

µ0 µrK I 2πrm mess

169

(6.143)

aus, so läßt sich die Hallspannung nach Gl. (6.139) ermitteln UH =

RH RH µ0 I mess . IH B m = IH d d 2πrm

(6.144)

Damit ist die Hallspannung proportional zum Meßstrom. Bei der Messung k¨ onnen aber verschiedene Fehler auftreten. Neben dem Erdmagnetfeld, das die Genauigkeit im allgemeinen negativ beeinflussen wird, verfälscht auch die Temperaturempfindlichkeit des Hallelementes die Messung. Eine Möglichkeit, die Meßgenauigkeit zu erh¨ ohen, besteht in der Anwendung des Kompensationsprinzips (s. auch Kap. 9.2). Dazu wird im Sondenkern ein dem Magnetfeld des Meßstromes entgegengesetztes Magnetfeld erzeugt. Die Stärke des Gegenfeldes entspricht genau der des prim¨ aren Feldes, so daß das Magnetfeld im Sondenkern zu Null abgeglichen wird. Da somit die Hallspannung stets Null ist, geht beispielsweise auch der (temperaturempfindliche) Hallwiderstand RH nicht mehr in die Meßgenauigkeit ein. Um das Gegenfeld im Sondenkern zu erzeugen, wird eine Kompensationsspule auf den Kern gewickelt (s. Abb. 6.55), die von einem geregelten Strom beschickt wird. Die Kompensationsschaltung besteht aus dem Hallelement, dessen Hallspannung auf Null abgeglichen wird, und einem Operationsverst¨ arker, dessen Differenzeingangsspannung im eingeregelten Zustand ebenfalls Null ist. Der Ausgangsstrom IS des Operationsverstärkers wird durch die Kompensationswicklung geschickt und erzeugt das Gegenfeld. Dieser Strom ist proportional zum Meßstrom. Er wird mit Hilfe des Shunt-Widerstandes in eine Meßspannung UM umgesetzt. Diese ist die Ausgangsgröße der Gesamtanordnung und ein originalgetreues Abbild der Meßgröße, d. h. UM ∼ Imess .

7 Meßverst¨ arker

Um mit Meßgeräten auch Spannungen und Ströme messen zu können, die unterhalb der Ansprechempfindlichkeit des Meßwerkes liegen, werden Meßverstärker eingesetzt. Sie wandeln die zu messende Spannung bzw. den zu messenden Strom in ein proportionales Signal höherer Amplitude um. Dabei werden folgende Eigenschaften der Meßverst¨ arker gefordert: • • • • •

geringe R¨ uckwirkung auf die Meßgr¨ oße Signaltreue (Linearit¨ at) hohe Amplitudendynamik (niedriges Eigenrauschen, geringe Verzerrungen bei großen Amplituden) ausreichende Bandbreite (Ausgangssignal muß dem Eingangssignal zeitlich folgen können) eingeprägtes Ausgangssignal (Spannung oder Strom).

Während man in der klassischen Meßtechnik versucht hat, die R¨ uckwirkungsfreiheit einer Messung durch Kompensationsverfahren zu erreichen, bedient sich die elektronische Meßtechnik dazu eines Meßverstärkers mit geeigneter Eingangs- bzw. Ausgangsimpedanz. So kann beispielsweise die bei der Spannungsmessung stets vorhandene Belastung eines Meßkreises infolge der endlichen Innenimpedanz des Meßger¨ ates und der daraus resultierende Meßfehler durch die Verwendung eines Meßverst¨ arkers mit sehr hohem Eingangswiderstand i. allg. soweit reduziert werden, daß sie nicht mehr stört. Elektronische Verst¨ arkerschaltungen werden weiterhin eingesetzt, um die in Form elektrischer Signale vorliegenden Meßwerte in analoger Form weiterzuverarbeiten. So werden beispielsweise Verst¨ arker verwendet, um Meßwerte zu addieren, subtrahieren, multiplizieren, logarithmieren, integrieren oder zu differenzieren. Bei der Realisierung elektronischer Meßverstärker werden, abgesehen von Anwendungen im Bereich sehr hoher Frequenzen (> 150 MHz) oder hoher Spannungen (> 150 V), heute vorwiegend integrierte Operationsverstärkerschaltungen eingesetzt. Diese Operationsverstärker (Operational Amplifier, OpAmp) dienen dabei nicht nur als reine Meßverstärker sondern


172

7 Meßverst¨ arker

auch als universelle Grundbausteine der gesamten analogen Signalverarbeitung. Abbildung 7.1 zeigt die standardm¨ aßig verwendeten Schaltsymbole f¨ ur elektronische Meßverst¨ arker.

Eingang

Ausgang Eingang

Ausgang

a)

uE

uA

uA uE

uE

uA

b) Abb. 7.1. Schaltsymbole f¨ ur elektronische Meßverst¨ arker: a) allgemeine Symbole, b) massebezogene Darstellungen (allgemein, nicht-invertierend, invertierend)

7.1 Operationsverst¨ arker 7.1.1 Idealer Operationsverst¨ arker Abbildung 7.2 zeigt das Schaltbild eines (idealen) Operationsverstärkers. Er besitzt stets einen invertierenden mit ′ N′ bzw. ′ −′ gekennzeichneten und einen mit ′ P′ bzw. ′ +′ gekennzeichneten nicht-invertierenden Eingang sowie einen Ausgang. Sowohl die beiden Eingangsklemmen als auch die Ausgangsklemme bilden mit der Masseleitung jeweils ein elektrisches Tor. Das wichtigste Kennzeichen eines (idealen) Operationsverst¨ arkers ist, daß die Eigenschaften des mit ihm realisierten Verst¨ arkers nur durch die äußere Beschaltung des Operationsverst¨ arkerbausteins festgelegt werden, welche i. allg. auf rein passiven Bauelementen basiert. Ein idealer Operationsverstärker ist äquivalent einer spannungsgesteuerten Spannungsquelle mit der Leerlaufspannungs-

N

iN iA

uD uN

P

iP

u DV0 uA

uP

Abb. 7.2. Ersatzschaltbild eines (idealen) Operationsverst¨ arkers

7.1 Operationsverst¨ arker

173

verstärkung V0 → ∞. F¨ ur die Ausgangsspannung uA gilt allgemein (Abb. 7.2) uA = V0 uD = V0 (uP − uN ) ,

(7.1)

aus der f¨ ur V0 → ∞ notwendigerweise uD = 0 folgt. Die Eingangsströme iN bzw iP des idealen Operationsverst¨ arkers sind Null iN = iP = 0 .

(7.2)

Infolgedessen muß f¨ ur den Eingangswiderstand rE , der bei einem realen Operationsverstärker zwischen P - und N -Eingang liegt (Abb. 7.3), rE → ∞

(7.3)

gelten. Der Ausgangswiderstand rA (Widerstand in Serie zur spannungsgesteuerten Spannungsquelle, s. Abb. 7.3) betr¨ agt wie bei einer idealen Spannungsquelle rA = 0 . (7.4) Weiterhin sind beim idealen Operationsverst¨ arker alle Eigenschaften frequenzund temperaturunabh¨ angig. +UB iN

u gl Vgl

u'D

rE

UD0

uD

u DV0

rA

iA

iP

uN

r gl

uP I N0

r gl

-UB

uA

I P0

Abb. 7.3. Kleinsignal-Ersatzschaltbild eines realen Operationsverst¨ arkers

7.1.2 Realer Operationsverst¨ arker In Abb. 7.3 wird das Schaltbild und in Abb. 7.4 die Kennlinie der Leerlaufverstärkung eines realen Operationsverst¨ arkers gezeigt. Genauer gesagt handelt es sich dabei um einen dahingehend idealisierten Operationsverstärker, daß er innerhalb seiner Aussteuerungsgrenzen (uAmin ≤ uA ≤ uAmax ) linea¨ re Ubertragungseigenschaften aufweist (s. Kennlinie der Leerlaufspannungsverstärkung in Abb. 7.4). Die maximale und die minimale Ausgangsspannung

174

7 Meßverst¨ arker

uA +UB u Amax UD0

uD

u Amin -UB Abb. 7.4. Kennlinie der Leerlaufverst¨ arkung eines Operationsverst¨ arkers (gestrichelt: mit Offsetspannung)

uAmax bzw. uAmin liegen bei Standard-Operationsverstärkern betragsmäßig etwa um 1 bis 3 V unter der Betriebsspannung ±UB des Operationsverstärkers. Die wesentlichen Unterschiede zum idealen Operationsverstärker sind: a) Der Eingangs- und der Ausgangswiderstand nehmen endliche Werte an: rE ≈ 1 MΩ bis 1 TΩ; rA ≈ 2 Ω bis 100 Ω, b) der reale Verstärkungsgrad liegt zwischen 104 ≤ V0 ≤ 107 . F¨ ur den realen Operationsverstärker sind die im Kap. 7.1.3 enthaltenen wichtigen Kenngr¨ oßen definiert. Zum Verständnis dieser Kenngrößen ist die Erl¨ auterung der Funktionsweise einer R¨ uckkopplungsschaltung, und im speziellen Fall die Funktion einer Gegenkopplungsschaltung, gemäß Abb. 7.5 notwendig. Eine solche Gegenkopplungsschaltung enthält einen Verst¨ arker mit der Leerlaufverstärkung V0 , ein R¨ uckkoppel¨ Netzwerk mit der Ubertragungsfunktion Vg , welche im allgemeinen Fall frequenzabhängig sein kann, und einen Subtrahierer. Die Ausgangsspannung uA l¨ aßt sich anhand von Abb. 7.5 wie folgt angeben uA = V0 uD = V0 (uE − uA Vg ) .

(7.5)

Daraus folgt f¨ ur die Gesamtverst¨ arkung V V =

uA = uE

1 V0

1 . + Vg

(7.6)

Im Falle eines idealen Verst¨ arkers (V0 → ∞) ergibt sich die Gesamtverstärkung der Gegenkopplungsschaltung zu V0 uE

uD

Rückkoppel-Netzwerk

uA Vg

Abb. 7.5. Gegenkopplungsschaltung


1 V0 →∞ Vg +

lim V = lim

V0 →∞

=

1 V0

1 . Vg

175

(7.7)

Die Gegenkopplungsschaltung aus Abb. 7.5 l¨ aßt sich f¨ ur den Fall einer sehr hohen Verstärkung (V0 → ∞) (Gl. (7.7)) durch einen invertierenden Verstärker nach Abb. 7.6 realisieren, wenn die Leerlaufverstärkung des dort verwendeten Operationsverstärkers ebenfalls gegen einen unendlich hohen Wert strebt. Da bei einem Operationsverst¨ arker die Eingangsströme idealerweise verschwinden (iP = iN = 0), ergibt sich aus der Schaltung nach Abb. 7.6 i1 + i2 = 0 .

(7.8)

Zwei im Schaltbild (Abb. 7.6) vorgenommene Maschenumläufe ergeben weiterhin uE = R1 i1 − uD uA = R2 i2 − uD = V0 uD .

R2 i1

R1

i2

iN uD

uE

(7.9) (7.10)

V0 uA

Abb. 7.6. Invertierende Verst¨ arkerschaltung

Aus den Gln. (7.8 - 7.10) folgt die Gesamtverstärkung V V =

R2 −R uA 1 = uE 1 + V10 (1 +

R2 R1 )

.

(7.11)

F¨ ur einen idealen Operationsverst¨ arker (V0 → ∞) folgt f¨ ur die Gesamtverstärkung V schließlich uA R2 lim V = =− . (7.12) V0 →∞ uE R1 Ein Koeffizientenvergleich zwischen den Gln. (7.7) und (7.12) liefert die Be¨ ziehung zwischen der Ubertragungsfunktion Vg des R¨ uckkoppel-Netzwerkes (Abb. 7.5) und den Werten R1 und R2 der ohmschen Widerstände der Operationsverstärkerschaltung nach Abb. 7.6 Vg = −

R1 . R2

(7.13)

Es sei nochmals darauf hingewiesen, daß die in Gl. (7.13) angef¨ uhrte Verstärkung Vg des R¨ uckkoppel-Netzwerkes nur dann mit der aus Gl. (7.6) bzw. Gl. (7.7) identisch ist, wenn V0 einen sehr hohen Wert annimmt.

176

7 Meßverst¨ arker

7.1.3 Definitionen von Operationsverst¨ arker-Kenngr¨ oßen Im folgenden werden die wichtigsten Kenngr¨ oßen von Operationsverstärkern bzw. Operationsverst¨ arkerschaltungen beschrieben. Die verwendeten Größenbezeichnungen beziehen sich auf die in Abb. 7.2 und Abb. 7.3 gezeigten Ersatzschaltbilder von idealem und realem Operationsverstärker sowie die in Abb. 7.5 gezeigte Gegenkopplungsschaltung. •

Leerlaufspannungsverst¨ arkung (open loop voltage gain) V0 Es handelt sich hierbei um die Differenzverstärkung der offenen Schleife, d. h. des nicht-r¨ uckgekoppelten, unbeschalteten Operationsverstärkers. V0 =

•

•

- ideal: V0 → ∞ - real: 104 ≤ V0 ≤ 107 Leerlaufspannungsverst¨ arkungsmaß V0 [dB] ∂uA V0 [dB] = 20 lg V0 = 20 lg ∂uD

uP + uN . 2

(7.15)

(7.16)

Gleichtaktspannungsverst¨ arkung (common mode voltage gain) Vgl Bei einem realen Operationsverst¨ arker erscheint die um den Faktor Vgl verstärkte Gleichtaktspannung Ugl am Ausgang Vgl =

•

(7.14)

- ideal: V0 → ∞ - real: 80 dB ≤ V0 ≤ 140 dB Gleichtaktspannung (common mode voltage) ugl Die Gleichtaktspannung entspricht dem arithmetischen Mittel der beiden Eingangsspannungen uN und uP ugl =

•

∂uA ∂uD

∂uA . ∂ugl

(7.17)

- ideal: Vgl = 0 - real: Vgl ≈ 1 Gleichtaktunterdr¨ uckung (common mode rejection ratio) CMRR V0 (7.18) CMRR [dB] = 20 lg Vgl - ideal: CMRR → ∞ - real: CMRR ≈ 100 dB


•

177

¨ Ubertragungsfunktion (frequency response) G(ω) ¨ Die komplexe Ubertragungsfunktion G(ω) von Operationsverstärkerschal¨ tungen, die auch als Ubertragungsfaktor bezeichnet wird, entspricht der komplexen Verst¨ arkung, d. h. dem Verh¨ altnis der in Zeigerform dargestellten Ausgangsspannung U A zur Differenzeingangsspannung U D . Die¨ se Ubertragungsfunktion l¨ aßt sich f¨ ur reale Operationsverstärker nach Gl. (7.19) approximieren G(ω) =

V U A (ω) 0 . = U D (ω) 1 + j ωω1 1 + j ωω2

(7.19)

¨ eines Tiefpasses mit den G(ω) entspricht also der Ubertragungsfunktion beiden Eckfrequenzen ω1 und ω2 (ω2 > ω1 ) [140]. Dies bedeutet, daß ¨ der Betrag der Ubertragungsfunktion ab der Frequenz ω1 = 2πf1 mit 20 dB/Dekade (= b 6 dB/Oktave) und ab der Frequenz ω2 = 2πf2 mit 40 dB/Dekade (= b 12 dB/Oktave) f¨ allt. Der Wert V0 stellt die Gleichspannungsverstärkung dar. Bei unbeschalteten Operationsverstärkern liegt f1 typischerweise im Bereich einiger Hertz, w¨ ahrend f2 der oberen Grenzfrequenz des unbeschalteten Operationsverst¨ arkers entspricht. Abbildung 7.7 zeigt den Frequenzgang der Leerlaufverst¨ arkung des Universal-Operationsverstärkers vom Typ µA 741 nach Betrag und Phase (Tiefpaß-Eckfrequenzen: f1 ≈ 10 Hz und f2 ≈ 5 MHz). |G(w)| [dB]

j (°)

120

0

80

-45 -90

40 0 -20

-135 100 102

104

106 f (Hz)

a)

-180

100 102

104

106 f (Hz)

b)

Abb. 7.7. Frequenzgang der Leerlaufspannungsverst¨ arkung des Operationsverst¨ arkers µA 741 (UB = ±15 V) bei einer Temperatur von 25◦ C: a) Betrag, b) Phase

•

Verst¨ arkung der geschlossenen Schleife (closed loop voltage gain), Gesamtverst¨ arkung V Es handelt sich hierbei um die Gesamtverstärkung V des r¨ uckgekoppel¨ ten Verstärkers nach Abb. 7.5 (die Ubertragungsfunktion des R¨ uckkoppelNetzwerkes wird mit Vg bezeichnet) V =

∂uA ∂uE

(7.20)

178

7 Meßverst¨ arker

- ideal (V0 → ∞):

1 Vg

(7.21)

V0 1 + Vg V0

(7.22)

V =

- real (Gl. (7.6)): V = •

Gleichtakteingangswiderstand (common mode input resistance) Der Gleichtakteingangswiderstand rgl wird wie folgt berechnet rgl =

•

•

•

(7.23)

- ideal: rgl = ∞ - real: rgl = 1 GΩ . . . 100 TΩ Differenzeingangswiderstand (differential input resistance) rE Da im allgemeinen der Gleichtaktwiderstand rgl groß ist gegen¨ uber dem Differenzeingangswiderstand rE (rgl ≫ rE ), gilt folgende Definitionsgleichung f¨ ur den Differenzeingangswiderstand rE =

•

∂ugl + iN )

1 2 ∂(iP

∂uD − iN )

1 2 ∂(iP

- ideal: rE = ∞ - real: rE = 1 MΩ . . . 1 TΩ Ausgangswiderstand (output resistance) rA ∂uA rA = − ∂iA uD =const.

(7.24)

(7.25)

- ideal: rA = 0 - real: rA = 2 Ω . . . 100 Ω Eingangsfehlspannung (input offset voltage), Offsetspannung UD0 Durch nicht-identische Eingangstransistoren des bei Operationsverstärkern stets vorhandenen Differenzeingangsverst¨ arkers [156] wird auch f¨ ur uN = uP = 0 beim realen Operationsverst¨ arker eine Ausgangsspannung uA 6= 0 erzeugt. Jene Spannungsdifferenz UD0 , welche am Eingang angelegt werden muß, um die Ausgangspannung auf Null abzugleichen, wird als Eingangsfehlspannung oder als Eingangs-Offsetspannung UD0 bezeichnet. Sie erscheint im Schaltbild des realen Operationsverstärkers als Spannungsquelle am Eingang (Abb. 7.3). - ideal: UD0 = 0 - real: UD0 = 0, 5 µV . . . 5 mV Gesamtausgangsspannung (output voltage) uA ¨ Die Gesamtausgangsspannung uA ergibt sich als Uberlagerung aus der verstärkten Leerlauf-Differenzeingangsspannung uD , die um die Offsetspannung UD0 vermindert wird, und der mit der Gleichtaktverstärkung multiplizierten Gleichtaktspannung


u′D = uP − uN

(7.26) V0 (u′D

uA = V0 uD + Vgl ugl = − UD0 ) + Vgl ugl = V0 (uP − uN − UD0 ) + Vgl ugl

•

•

•

•

179

(7.27) (7.28)

Versorgungsspannungsunterdr¨ uckung (power supply rejection ratio) PSRR Die Versorgungsspannungsunterdr¨ uckung ist ein Maß daf¨ ur, welchen Einfluß eine Spannungsschwankung der Versorgung auf die Ausgangsspannung hat ∂uA (7.29) PSRR [dB] = −20 lg ∂uB - ideal: PSRR → ∞ - real: PSRR ≈ 100 dB Grenzfrequenz (cutoff frequency) fg , Bandbreite (bandwidth) Die 3-dB-Grenzfrequenz fg ist jene Frequenz, bei der die Verstärkung gegen¨ uber √ ihrem Gleichspannungswert um 3 dB (entspricht einem Faktor von 1/ 2) gesunken ist. Diese obere Grenzfrequenz, die im allgemeinen der Bandbreite des Verst¨ arkers entspricht, ist von der aüßeren Beschaltung des Operationsverst¨ arkers abh¨ angig. F¨ ur unbeschaltete Operationsverstärker liegt sie bei einigen Hertz (Abb. 7.7). Anstiegsgeschwindigkeit (slew rate) SR Die Anstiegsgeschwindigkeit (Einheit V/µs) entspricht der zeitlichen Ableitung der Ausgangsspannung im Großsignalbetrieb bei Anlegen eines Spannungssprunges am Eingang ∂uA (7.30) SR = ∂t max - ideal: SR → ∞ V V - real: SR = 0, 5 µs . . . 10.000 µs Eingangsruhestrom (input bias current) IB Die Eingangstransistoren eines Operationsverstärkers weisen grundsätzlich Basis- bzw. Gatestr¨ ome auf. Selbst bei Operationsverstärkerschaltungen mit einer sog. inneren Bias-Stromversorgung sind die Ströme IN und IP noch ungleich Null und m¨ ussen durch die ¨ außere Beschaltung aufgebracht werden. Trotz des m¨ oglichst symmetrischen Aufbaus der meisten Differenzeingangsstufen ist dar¨ uber hinaus IN 6= IP . In Datenblättern sind stets die Mittelwerte von IN und IP sowie der Betrag ihrer Abweichungen voneinander angegeben. F¨ ur den mittleren Eingangsruhestrom (Biasstrom, Input Bias Current) IB gilt dabei folgende Definition IB =

IN0 + IP0 2

(7.31)

- ideal: IB = 0 - real: IB = 3 fA(FET) . . . 1 µA (bipolar, in Sonderfällen bis 25 µA)

180

•

7 Meßverst¨ arker

Eingangsfehlstrom (input offset current), Offsetstrom ID0 Der Offsetstrom ID0 eines Operationsverstärkers entspricht der Differenz der Eingangsruhestr¨ ome IN0 und IP0 ID0 = IN0 − IP0

•

•

•

(7.32)

- ideal: ID0 = 0 - real: ID0 = 1 fA ... 20 nA Offsetspannungsdrift (offset voltage drift) Die Offsetspannungsdrift beschreibt die Abhängigkeit der Offsetspannung UD0 von der Temperatur ϑ ∂UD0 (7.33) ∂ϑ - ideal: 0 - real: 0, 01 µV/◦C . . . 15 µV/◦ C Eingangsstromdrift Die Eingangsstromdrift beschreibt die Temperaturabhängigkeit des Eingangsstromes ∂(iP , iN ) (7.34) ∂ϑ uN =const.,uP =const.

- ideal: 0 - real: 10 fA/◦ C . . . 1 µA/◦ C Verst¨ arkungs-Bandbreite-Produkt (gain bandwidth product) V fg Wichtiger noch als der reine Verstärkungsfaktor ist das sogenannte Verstärkungs-Bandbreite-Produkt fg0 V0 , welches bei Universaltypen bei etwa V0 fg0 = 106 Hz liegt und bei auf hohe Bandbreite ausgerichteten Operationsverstärkern bis zu 3 · 109 Hz reicht. Durch eine Gegenkopplungsschaltung gemäß Abb. 7.5 wird der effektive Verstärkungsfaktor V und die effektive Grenzfrequenz fg der Meßschaltung eingestellt. Das Produkt aus Verstärkungsfaktor V und Bandbreite bzw. Grenzfrequenz fg ist f¨ ur Grenzfrequenzen oberhalb von fg0 (fg > fg0 ) bei einem bestimmten Operationsverstärkertyp stets ein konstanter Wert (Abb. 7.8) V V0 1 0,1 f g0

0,01 0,01

0,1

1

fg 10

100

f f g0

Abb. 7.8. Zusammenhang zwischen Grenzfrequenz und Verst¨ arkungsfaktor eines Operationsverst¨ arkers (Konstanz des Verst¨ arkungs-Bandbreite-Produktes V fg )


V fg = V0 fg0 . •

181

(7.35)

Transitfrequenz (unity gain bandwidth) fT Die Transitfrequenz fT ist jene Frequenz, bei der die Leerlaufspannungsverstärkung auf 0 dB abgesunken ist.

In Tabelle 7.1 sind die Leistungsdaten einiger kommerziell erhältlicher Operationsverstärker zusammengefaßt. Diese Zusammenstellung enthält neben den beiden Universaltypen (µA 741, TL 081) Operationsverstärker, die im Hinblick auf bestimmte Leistungsdaten optimiert wurden, wie z. B. hohe Transitfrequenz (THS3201), hohe Slew-Rate (THS3201), geringes Rauschen (AD797) oder hohe Ausgangsspannung (PA89). Tabelle 7.1: Leistungsdaten kommerziell erh¨ altlicher Operationsverst¨ arker

1

Bezeichnung µA 741 Hersteller Philips OPV-Typ Urvater

TL 081 TI Universal J-FET

LM324 Philips Low Cost Universal

THS3201 TI High Slew-Rate

UD0 IB ID0 rgl V0 CMRR SR fT ts u-Rauschen bei i-Rauschen bei Iout Ub max Rail to Rail Preis ca.

± 1 mV 80 nA 20 nA 2 MΩ 200 V/mV 90 dB 0,5 V/µs 1 MHz ∼ 1 µs

3 mV 30 pA 5 pA 1012 Ω 200 V/mV 86 dB 16 V/µs 4 MHz ∼ 300√ ns 15 nV Hz 1 kHz

± 2 mV 45 nA ± 5 nA

± 0,7 mV ± 13 µA

100 V/mV 70 dB 0,3 V/µs 1 MHz ∼ 2, 5 µs √ 40 nV/ Hz 1 kHz

∼ 10 mA ± 18 V

∼ 20 mA ± 18 V

± 10 mA ± 16 V

10500 V/µs 1,8 GHz 20 ns √ 1,7 nV/ Hz > 10 MHz √ 20 pA/ Hz > 10 MHz ± 100 mA ± 8V

0,17 EUR

0,24 EUR

0,16 EUR

2,10 USD

1

780 kΩ

Rail to Rail heißt, daß der jeweilige Operationsverst¨ arker bez¨ uglich Eingangsspannung (IN) bzw. Ausgangsspannung (OUT) bis an die Grenzen der Betriebsspannung betrieben werden kann [156].

182

7 Meßverst¨ arker

Bezeichnung LMH6629 Hersteller National OPV-Typ Wideband

AD8551 AD797 INA116 Analog Devices Analog Devices Burr Brown Zero Drift Ultralow Noise Instrum.verst¨ arker


1 µV 10 pA 20 pA

± 0,15 mV - 15 µA ± 0,1 µA 450 kΩ 78 dB 87 dB 1600 V/µs 0,9 GHz 42 ns √ 0,7 nV/ Hz > 1 MHz √ 2,6 pA/ Hz > 1 MHz 250 mA ± 5,5 V 3,86 USD

140 dB 140 dB 0,4 V/µs 1,5 MHz √ 42 nV/ Hz 1 kHz√ 2 fA/ Hz 10 Hz ± 10 mA +6 V IN + OUT 1,47 USD

25 µV 250 nA 100 nA 7,5 kΩ 20 V/µV 130 dB 20 V/µs 110 MHz 800 ns √ 0,9 nV/ Hz 1 kHz √ 2 pA/ Hz 1 kHz 50 mA ± 18 V

0,5 mV 3 fA 1 fA ≥ 1015 Ω programmierbar 89 dB 0,8 V/µs 800 kHz 22 µs √ 28 nV/ Hz 1 kHz √ 0,1 fA/ Hz 1 kHz ± 5 mA ± 18 V

5,29 USD

4,20 USD

Bezeichnung PA50 Hersteller Apex OPV-Typ High Output Current

PA89A Apex High Output Voltage

MAX4464 Maxim Low Power 1,8 V 750 nA

LT6350 Linear Technology ADC-Treiber

UD0 IB ID0 rgl V0 CMRR SR fT ts u-Rauschen bei i-Rauschen bei Iout

2 mV 10 pA 10 pA 100 GΩ 102 dB 100 dB > 50 V/µs 3 MHz 1 µs 10 µV RMS 100 kHz BW

250 µV 3 pA 3 pA 100 GΩ 120 dB 110 dB 16 V/µs 10 MHz 2 µs 4 µV RMS 10 kHz BW

± 500 µV ± 200 pA ± 13 pA

± 0,1 mV - 3 µA ± 0,1 µA 4 MΩ

100 dB 95 dB 20 V/ms 40 kHz ∼ 1 ms √ 150 nV/ Hz 1 kHz

118 dB 41 V/µs 85 MHz 200 ns √ 1,9 nV/ Hz

100 A f¨ ur 1 ms ± 50 V

75 mA

11 mA

± 45 mA

± 600 V

716 USD

950 USD

+6 V OUT 0,65 EUR

12,6 V IN + OUT 3,19 USD

Ub max Rail to Rail Preis ca.

√ 1,1 pA/ Hz


Bezeichnung LMC6041 Hersteller National OPV-Typ

Ultralow Bias


1 mV 2 fA 1 fA > 10 TΩ 136 dB 75 dB 0,02 V/µs 75 kHz 200 µs √ 83 nV/ Hz 1 kHz √ 0,2 fA/ Hz 1 kHz 22 mA 15,5 V OUT 0,91 EUR

AS1710 austriamicrosystems mit shut down

LM13700 National

ISO124 TI

Transconductans

Isolationsverst¨ arker

0,6 mV 50 pA 50 pA 1 GΩ 100 dB 70 dB 10 V/µs 10 MHz ∼ 1 µs √ 15 nV/ Hz 1 kHz

0,4 mV 1 µA 0,6 µA

± 20 mV

50 mA 7V IN + OUT 0,23 EUR

9,6 mA/V 110 dB 50 V/µs 2 MHz

183

200 kΩ 1 V/V 2 V/µs 50 kHz 50 µs √ 4 nV/ Hz

√ 600 pA/ Hz 10 kHz 1 mA ± 18 V

± 15 mA ± 18 V

1,35 EUR

15,06 EUR

7.1.4 Operationsverst¨ arker-Grundschaltungen Ein Operationsverst¨ arker kann durch entsprechende aüßere Beschaltung in sehr vielfältiger Weise f¨ ur Meßaufgaben eingesetzt werden. Im folgenden werden verschiedene Standard-Operationsverst¨ arkerschaltungen vorgestellt, wobei jeweils das Verh¨ altnis von Ausgangsgr¨ oße (i. allg. die Ausgangsspannung uA ) zu Eingangsgr¨ oße (i. allg. die Eingangsspannung uE ) angegeben wird. Die Beziehung zwischen Ausgangs- und Eingangsgröße läßt sich leicht ableiten, wenn man den Operationsverst¨ arker in der folgenden Weise idealisiert: Differenzeingangsspannung uD = 0, Eingangswiderstand rE → ∞, Eingangsströme iN = 0 bzw. iP = 0, Leerlaufverst¨ arkung V0 → ∞. Die Auswertung der aus dem jeweiligen Schaltbild resultierenden Knoten- und Maschengleichungen liefert dann unmittelbar den gesuchten mathematischen Zusammenhang zwischen Ausgangs- und Eingangsgr¨ oße. Invertierender Verst¨ arker Der invertierende Verst¨ arker wurde bereits in Kap. 7.1.2 besprochen (s. Abb. 7.6). F¨ ur einen idealen Operationsverst¨ arker ergibt sich das Verhältnis von Ausgangsspannung uA zur Eingangsspannung uE zu (s. Gl. (7.12))

184

7 Meßverst¨ arker

R2 uA =− . uE R1

(7.36)

Invertierer Der reine Invertierer (Abb. 7.9) hat die Aufgabe, die Polarität der Eingangsspannung am Ausgang umzukehren uA = −uE ,

(7.37)

was dadurch erreicht wird, daß beim invertierenden Verstärker (Abb. 7.6) die Widerstände R1 und R2 identisch gew¨ ahlt werden.

Abb. 7.9. Grundschaltung des Invertierers

Nicht-invertierender Spannungsverst¨ arker Der nicht-invertierende Spannungsverst¨ arker (Abb. 7.10) behält die Polarität der Eingangsspannung bei und erlaubt die Einstellung des Verstärkungsfaktors u ¨ber die Widerstandskombination R1 und R2 uA R2 =1+ . uE R1

Abb. 7.10. Nicht-invertierender Spannungsverst¨ arker

(7.38)


185

Addierender Verst¨ arker Der addierende Verst¨ arker (Abb. 7.11) addiert die Eingangsspannungen und dreht die Polarität nach der Summenbildung um. Mit Hilfe der Widerstandswerte R1 und R2 lassen sich die Eingangsspannungen u1 und u2 mit Gewichtsfaktoren versehen u1 u2 uA = iG R3 = −(i1 + i2 )R3 = − + R3 . (7.39) R1 R2 Im allgemeinen w¨ ahlt man R1 = R2 = R3 , so daß eine ungewichtete Summenbildung erzielt wird uA = −(u1 + u2 ) . (7.40)

Abb. 7.11. Addierender Verst¨ arker

Subtrahierender Verst¨ arker Der subtrahierende Verst¨ arker (Abb. 7.12) erlaubt die Differenzbildung der beiden Eingangsspannungen u1 und u2 . F¨ ur beliebige Widerstandswerte lassen sich wiederum Gewichtsfaktoren einstellen uA = u2

R3 R4 (R1 + R3 ) . − u1 R1 (R2 + R4 ) R1

(7.41)

F¨ ur den Fall R1 /R3 = R2 /R4 ergibt sich die gew¨ unschte Subtraktion der Eingangsspannungen mit zus¨ atzlicher Verst¨ arkung um den Faktor R3 /R1 uA =

R3 (u2 − u1 ) . R1

(7.42)

F¨ ur den reinen Subtrahierer w¨ ahlt man R1 = R2 = R3 = R4 , so daß ungewichtet subtrahiert wird uA = u2 − u1 . (7.43)

186

7 Meßverst¨ arker

Abb. 7.12. Subtrahierender Verst¨ arker

Impedanzwandler Mit Hilfe des Impedanzwandlers (Abb. 7.13), der auch als Spannungsfolger bezeichnet wird, werden Quellen mit hohem Innenwiderstand an Schaltungen mit niedrigem Widerstand angepaßt. So kann beispielsweise an hochohmigen Schaltungen mit weniger hochohmigen Meßwerken r¨ uckwirkungsfrei gemessen werden. Die Eingangsspannung erscheint dabei unverändert am Ausgang uA = uE .

(7.44)

Abb. 7.13. Impedanzwandler

Integrierender Verst¨ arker In der analogen Signalverarbeitung ist der auf einem Operationsverstärker basierende Integrierer (Integrator) eines der zentralen Elemente. Der integrierende Verstärker (Abb. 7.14) bildet das zeitliche Integral einer Eingangsspannung. F¨ ur den Fall, daß der Anfangswert der Ausgangsspannung uA zu Beginn der Integration den Wert Null annimmt, folgt Z Z Z t 1 t 1 t 1 uA = iG dt = − iE dt = − uE dt . (7.45) C 0 C 0 RC 0


187

Abb. 7.14. Integrierende Operationsverst¨ arkerschaltung

Differenzierender Verst¨ arker (Prinzip) Der differenzierende Verst¨ arker (Abb. 7.15) hat die Aufgabe, die Eingangsspannung uE zeitlich zu differenzieren uA = iG R = −iE R = −RC

duE . dt

(7.46)

Abb. 7.15. Prinzip einer differenzierenden Operationsverst¨ arkerschaltung

Differenzierender Verst¨ arker (praktische Realisierung) Die Schwingneigung der Prinzipschaltung nach Abb. 7.15 kann vermieden werden, wenn die modifizierte Differenzierer-Schaltung nach Abb. 7.16 verwendet wird. Die reine Differenzierung der Eingangsspannung erreicht man durch die Wahl entsprechender Zeitkonstanten R1 C1 und R2 C2 . Denn wählt man diese so klein, daß die h¨ ochste in der Eingangsspannung enthaltene Signalfrequenz ω klein ist gegen¨ uber den Kehrwerten der beiden Zeitkonstanten 1 R1 C1 1 ω≪ , R2 C2

ω≪

folgt wiederum

(7.47) (7.48)

duE . (7.49) dt Eine modifizierte Operationsverst¨ arkerschaltung eines Differenzierers wird in [85] behandelt. uA = −R2 C1

188

7 Meßverst¨ arker

Abb. 7.16. Differenzierende Operationsverst¨ arkerschaltung (technisch verwendbar)

Logarithmierender Verst¨ arker mit Diode Eine die Eingangsspannung logarithmierende Operationsverstärkerschaltung enthält eine Diode im R¨ uckkoppelzweig (Abb. 7.17). Mit der f¨ ur den Durchlaßbereich vereinfachten (Diodensperrstrom IS ≪ Diodenstrom iD ) Diodenkennlinie iD = f (uD ) uD (7.50) iD = IS e mUT folgt unter Ber¨ ucksichtigung der Knotengleichung iD = iE die Ausgangsspannung uA als logarithmierte Eingangsspannung uE iE uE uA = −mUT ln f¨ ur uE > 0 . (7.51) = −mUT ln IS IS R Dabei bezeichnen IS den temperaturabh¨ angigen Sperrstrom der Diode, m = 1...2 den stromabh¨ angigen Korrekturfaktor und UT die Temperaturspannung der Diode kT UT = , (7.52) e0 die bei einer Temperatur T = 25◦ C einen Wert von UT = 25, 7 mV aufweist. In Gl. (7.52) wurden folgende Bezeichnungen verwendet: die Boltzmann-Konstante k = 1, 38 · 10−23 Ws/K, die absolute Temperatur T (K) und die Elementarladung e0 = 1, 6 · 10−19 As.

Abb. 7.17. Logarithmierende Operationsverst¨ arkerschaltung mit Diode


189

Logarithmierender Verst¨ arker mit Transistor Der Einfluß des stromabh¨ angigen Korrekturfaktors m (Gl. (7.51)) läßt sich umgehen, wenn man statt der Diode einen Transistor gemäß Abb. 7.18 einsetzt. F¨ ur den Kollektorstrom iC gilt bei kleinem Kollektorsperrstrom ICS (ICS ≪ iC ) uBE (7.53) iC = ICS e UT , wobei uBE die Basis-Emitter-Spannung und UT die Temperaturspannung bezeichnen. F¨ ur die Ausgangsspannung uA des Logarithmierers folgt daraus f¨ ur uE > 0 uE uA = −UT ln . (7.54) RICS

Abb. 7.18. Prinzipschaltung eines Logarithmierers mit Operationsverst¨ arker und einem Transistor im R¨ uckkoppelzweig

e-Funktionsgenerator Wenn man in der logarithmierenden Operationsverstärkerschaltung (Abb. 7.19) Widerstand und Transistor vertauscht, invertiert man die mathematische Operation des Logarithmierens, d. h. der nat¨ urliche Logarithmus aus Gl. (7.54) geht u ur uE < 0 kann die Aus¨ber in eine Exponentialfunktion. F¨ gangsspannung wie folgt angegeben werden uA = RiC = RICS e−uE /UT .

Abb. 7.19. Einfacher e-Funktionsgenerator

(7.55)

190

7 Meßverst¨ arker

Komparator ohne Hysterese Ein unbeschalteter Operationsverst¨ arker, wie er in Abb. 7.20 gezeigt wird, stellt einen Komparator ohne Hysterese dar. Seine Ausgangsspannung läuft f¨ ur positive Eingangsspannungen uD > 0, d. h. u1 < u2 , auf ihren positiven Grenzwert uAmax uA = +uAmax f¨ ur u1 < u2 . (7.56) Umgekehrt wird f¨ ur eine negative Differenzeingangsspannung uD < 0, d. h. u1 > u2 , der negative Grenzwert erreicht, der dem positiven mit umgekehrtem Vorzeichen entspricht uA = −uAmax

f¨ ur

u1 > u2 .

(7.57)

Abb. 7.20. Komparator ohne Hysterese

Invertierender Komparator mit Hysterese (Invertierender Schmitt-Trigger) Bei einem Komparator mit Hysterese, der auch als invertierender SchmittTrigger bezeichnet wird, gibt es im Gegensatz zu einem Komparator ohne Hysterese zwei Schaltschwellen, die im folgenden mit uEauf und uEab bezeichnet werden. Dieses Schaltverhalten wird u ¨ber eine Mitkopplung des Komparators erreicht (Abb. 7.21a), d. h. ein Teil der Ausgangsspannung uA wird mit Hilfe des aus R1 und R2 bestehenden Spannungsteilers auf den nichtinvertierenden Eingang des Operationsverst¨ arkers zur¨ uckgekoppelt. Bei vernachlässigbarer Differenzeingangsspannung liegt die Eingangsspannung uE am Widerstand R1 des Spannungsteilers an, so daß unter Ber¨ ucksichtigung der Tatsache, daß die Ausgangsspannung infolge der Mitkopplung nur die Werte +uAmax bzw. −uAmax annehmen kann, die Schaltschwellen uEauf bzw. uEab (Abb. 7.21b) wie folgt hergeleitet werden k¨ onnen R1 , R1 + R2 R1 . = +uAmax R1 + R2

uEauf = −uAmax uEab

(7.58) (7.59)


191

Es sei darauf hingewiesen, daß der einzige Unterschied zwischen der Schaltung eines Schmitt-Triggers (Abb. 7.21) und einem nicht-invertierenden Spannungsverstärker (Abb. 7.10) die Form der R¨ uckkopplung ist. Während der nicht-invertierende Spannungsverst¨ arker gegengekoppelt ist (R¨ uckkopplung des Spannungsteilers auf den invertierenden Eingang des Operationsverstärkers) und damit absolut stabil arbeitet, ist die R¨ uckkopplung beim SchmittTrigger eine Mitkopplung (R¨ uckkopplung auf den nicht-invertierenden Eingang des Operationsverst¨ arkers), so daß sich das gezeigte bistabile Verhalten einstellt, d. h. die Ausgangsspannung l¨ auft entweder auf ihren positiven oder ihren negativen Endwert.

Abb. 7.21. Invertierender Schmitt-Trigger: a) Operationsverst¨ arkerschaltung, b) Kennlinien des invertierenden Schmitt-Triggers

Multivibrator Wenn die Ausgangsspannung eines invertierenden Schmitt-Triggers zeitlich verzögert auf den Eingang zur¨ uckgef¨ uhrt wird, entsteht ein sog. Multivibrator. Dies ist ein Oszillator, der eine Rechteckschwingung liefert. Anhand des Schaltbildes nach Abb. 7.22 l¨ aßt sich die Differentialgleichung f¨ ur uC (t) ableiten, indem man die Knotenregel f¨ ur den Verbindungsknoten zwischen R und C anwendet duC ±uAmax − uC = . (7.60) dt RC Mit der Anfangsbedingung uC (t = 0) = uEauf ergibt sich die Lösung dieser Differentialgleichung zu 2R1 + R2 −t/RC uC (t) = uAmax 1 − . (7.61) e R1 + R2 Die Periodendauer T der Rechteckschwingung beträgt somit 2R1 . T = 2RC ln 1 + R2

(7.62)

F¨ ur R1 = R2 folgt

T = 2RC ln 3 ≈ 2, 2RC .

(7.63)

192

7 Meßverst¨ arker

Abb. 7.22. a) Multivibrator mit Komparator, b) Spannungsverl¨ aufe in der Multivibrator-Schaltung

Voltmeterschaltung Die Voltmeterschaltung (Abb. 7.23) erm¨ oglicht eine hochohmige Spannungsmessung mit einem Strommeßger¨ at. Es handelt sich dabei um einen Spannungsverstärker mit Stromausgang. Bei Vernachlässigung der Differenzeingangsspannung fällt die Eingangsspannung uE direkt am Widerstand R ab, so daß uE (7.64) iM = R gilt, woraus unmittelbar die gew¨ unschte Proportionalität zwischen uE und iM folgt iM ∼ uE . (7.65)

Abb. 7.23. Voltmeterschaltung

Stromgesteuerte Spannungsquelle Abbildung 7.24 zeigt die Schaltung einer mit Hilfe eines Operationsverstärkers realisierten stromgesteuerten Spannungsquelle. Bei einer stromgesteuerten Spannungsquelle ist die Ausgangsspannung uA proportional dem Eingangsstrom iE . Wenn man den Operationsverst¨ arkereingangsstrom iN vernachlässigt,


193

folgt unmittelbar der Zusammenhang zwischen Eingangsstrom iE und der Ausgangsspannung uA uA = −iE R . (7.66) Prinzipiell könnte diese Schaltung auch der Strommessung mit niedrigem Innenwiderstand dienen. Der Nachteil, daß eine Eingangsklemme auf Massepotential liegt, wird allerdings erst durch die folgende Amperemeterschaltung vermieden.

Abb. 7.24. Stromgesteuerte Spannungsquelle

Amperemeterschaltung Die Amperemeterschaltung (Abb. 7.25) erlaubt die niederohmige Strommessung mit einem Spannungsmeßger¨ at, wobei an den Meßkontakten keine Spannung abfällt, d. h. es wird leistungslos und damit ohne einen durch den Innenwiderstand eines Meßger¨ ates bedingten systematischen Fehler gemessen. Bei Vernachlässigung der Eingangsdifferenzspannungen der Operationsverstärker verschwindet die Eingangsspannung uE uE = 0 .

Abb. 7.25. Erdfreie Amperemeterschaltung

(7.67)

194

7 Meßverst¨ arker

Weiterhin liegen die mit u′ gekennzeichneten Punkte auf gleichem Potential. Die Potentialdifferenz gegen Masse betr¨ agt u′ . Damit kann man bez¨ uglich der Operationsverst¨ arker 1 und 2 die beiden folgenden Spannungsumläufe angeben −u′ + iE R1 + u2 = 0 (7.68) und −u′ − iE R1 + u1 = 0 .

(7.69)

Die Subtraktion der Gl. (7.69) von Gl. (7.68) liefert 2iE R1 = −(u2 − u1 ) .

(7.70)

Die Differenzbildung (u2 − u1 ) der beiden Teilspannungen wird von dem nachfolgenden subtrahierenden Verst¨ arker vorgenommen (siehe auch Abb. 7.12 bzw. Gl. (7.43)), so daß, wie bei der Strommessung gefordert, die Ausgangsspannung uA proportional dem Eingangsstrom iE ist uA = u1 − u2 = −(u2 − u1 ) = 2R1 iE .

(7.71)

Stromverst¨ arker Beim Stromverstärker (Abb. 7.26) ist der Strom iM , welcher durch das am Ausgang des Operationsverst¨ arkers liegende Meßwerk fließt, proportional zum Eingangsstrom iE . Wenn man wiederum die Differenzeingangsspannung des Operationsverstärkers vernachl¨ assigt, f¨ allt an den Widerständen R1 und R2 dieselbe Spannung u ab iE R1 = −u (iE + iM )R2 = u .

(7.72) (7.73)

Aus den Gln. (7.72) und (7.73) folgt iM = −

R1 + R2 iE R2

(7.74)

u R1 iE

iM iE + iM R2

u

Abb. 7.26. Stromverst¨ arker


195

bzw. die gew¨ unschte Proportionalit¨ at zwischen dem Eingangsstrom iE und dem Strom iM durch das Meßger¨ at iM ∼ iE .

(7.75)

Aktiver Vollweg-Gleichrichter Mit Hilfe von Operationsverst¨ arkern lassen sich auch mit realen Dioden nahezu ideale Gleichrichter in Form sog. aktiver Gleichrichterschaltungen realisieren. Der Hauptnachteil von nicht-aktiven Gleichrichterschaltungen, also Schaltungen, die nur auf Dioden basieren, beruht auf der endlichen Diodenschwellenspannung (0,7 V bei Siliziumdioden (Kap. 6.3.2)). Abbildung 7.27 zeigt eine aktive Vollweg-Gleichrichterschaltung, deren Ausgangsspannung uA dem Betrag der Eingangsspannung uE entspricht uA = |uE | .

(7.76)

Der linke Abschnitt der Schaltung stellt einen aktiven Einweg-Gleichrichter dar. Es gilt uA1 = −uE f¨ ur uE ≥ 0 (7.77)

bzw.

uA1 = 0 f¨ ur uE < 0 .

(7.78)

Die rechte Teilschaltung ist ein addierender Verstärker (Abb. 7.11 bzw. Gl. (7.39)), der in Verbindung mit dem Einweg-Gleichrichter insgesamt zu einem Vollweg-Gleichrichter f¨ uhrt. Damit ergibt sich die Ausgangsspannung uA f¨ ur negative Eingangsspannungswerte zu uA = −uE f¨ ur uE < 0 .

(7.79)

F¨ ur positive Eingangsspannungen uE folgt aus der f¨ ur den Addierer geltenden Beziehung zwischen Ausgangsspannung und Eingangsspannung (Gl. (7.39)) ! uE −uE R = uE f¨ ur uE > 0 . (7.80) + R uA = − R 2

Abb. 7.27. Aktive Vollweg-Gleichrichterschaltung

196

7 Meßverst¨ arker

Die Auswirkungen von nicht vernachl¨ assigbaren Diodenschwellenspannungen bei endlicher Verst¨ arkung der Operationsverst¨ arker wird in [85] behandelt. Es sei darauf hingewiesen, daß aus Offsetspannungen und Eingangsströmen des Operationsverstärkers weitere Fehler resultieren können. 7.1.5 Operationsverst¨ arker mit differentiellem Ausgang Während die bisher behandelten Standard-Operationsverstärker einen massebezogenen Ausgang (Single-ended Output) haben, finden seit einiger Zeit auch spezielle Operationsverst¨ arker mit einem differentiellen Ausgang (Abb. 7.28a) h¨ aufiger Anwendung. Statt des einen Ausgangs gibt es hierbei zwei Ausgangsleitungen, eine positive und eine negative. Die negative Ausgangsleitung ist am Invertierungszeichen zu erkennen. Die Ausgänge sind hier wie die Eingänge differentiell geschaltet. Dies bedeutet, dass die beiden Ausgänge

+

uN

uA uD

_

uP

uA

a) +U B interner Operationsverstärker zur Regelung der Gleichtaktspannung u glA

uN rA

+

uA

uDV0 uD

interne Rückkopplung uDV0 rA

_

uA

uP

b)

u glA -UB

Abb. 7.28. Differentieller Operationsverst¨ arker: a) vereinfachte Darstellung; b) Darstellung mit Eingang zur Regelung der Ausgangsgleichtaktspannung


197

gegen¨ uber Masse betragsm¨ aßig dieselbe Spannung aufweisen, sie haben nur umgekehrte Vorzeichen. Im Gegensatz zu den bisher behandelten Schaltungen mit Single-ended Ausgang sind nunmehr zwei R¨ uckkopplungschleifen notwendig (Abbn. 7.29 - 7.31), welche identisch aufgebaut sein m¨ ussen. Um einen stabilen Betrieb zu erm¨ oglichen, m¨ ussen die Ausgänge auf den Eingang mit jeweilig umgekehrter Polarit¨ at (Vorzeichen) zur¨ uckgef¨ uhrt werden. Ein weiterer Unterschied zum klassischen Operationsverstärker ist die zusätzliche Eingangsklemme uglA (Abb. 7.28b). Sie hat die Aufgabe, eventuell auf beiden Eing¨ angen (uP und uN ) gleichsinnig lastende Störspannungen, d. h. also Gleichtaktspannungen, am Ausgang zu kompensieren. Dies bedeutet, dass der Operationsverst¨ arker mit differentiellem Ausgang in der Lage ist, Gleichtaktstörungen zu unterdr¨ ucken. F¨ ur den Fall, dass kein Signal an den uglA -Eingang angelegt wird, erscheint die halbe Betriebsspannung als Gleichtaktsignal am Ausgang. Ansonsten erh¨ alt man das angelegte uglA -Signal als Offset im Ausgangssignal. Definitionen f¨ ur differentielle Operationsverst¨ arker •

Differentielle Ausgangsspannung uDA − uDA = u+ A − uA

•

Gleichtakt-Ausgangsspannung uglA uglA =

•

(7.81)

− u+ a + uA 2

(7.82)

(Gesamt-)Spannungsverst¨ arkung VDA VDA =

− u+ uDA A − uA = = 2 V0 uP − uN uD

(7.83)

Abbildung 7.29 zeigt eine Verst¨ arkerstufe mit differentiellem Ausgang. Es gibt nunnmehr zwei R¨ uckkopplungsschleifen, welche identische R¨ uckkopplungswiderstände (R1 ) enthalten. Die (differentielle) Spannungsverstärkung ergibt sich wie im Fall des Operationsverst¨ arkers mit nicht-differentiellem Ausgang zu R1 _

uE

R2

+

uA _

+

uE

uA

R2 R1

Abb. 7.29. Differentielle Verst¨ arkerstufe

198

7 Meßverst¨ arker

V =

− R1 u+ A − uA , = + R2 uE − u− E

(7.84)

d. h. wie gewohnt aus dem Verh¨ altnis der Widerstände von R¨ uckkopplungsund Eingangszweig. Es sei nochmals betont, dass im Gegensatz zum klassischen Operationsverst¨ arker hier beide R¨ uckkopplungsschleifen geschlossen werden m¨ ussen, um ein einwandfreies Arbeiten der Schaltung zu gewährleisten. Im Falle von nicht identischen R¨ uckkopplungszweigen kommt es zu Gleichtaktfehlern im Ausgangssignal. So f¨ uhrt beispielsweise eine Abweichung von 0,1 % in den Widerst¨ anden zu einem CMRR (s. Gl. (7.18)) von 60 dB. In der Praxis ist oft die Konvertierung eines massebezogenen Signals in ein nicht-massebezogenes differentielles Signal gefragt. Abbildung 7.30 zeigt die beiden Schaltungsvarianten, die diese Aufgabe erf¨ ullen. Sie arbeiten beide gleichermaßen, auch wenn einmal das Eingangssignal auf den invertierenden und das andere Mal auf den nicht-invertierenden Eingang gelegt wird. R1

R1

R2

_

uE

uA R 2'

R2

+

uA

+

uA _

uA

uE

R1

R2'

R1

Abb. 7.30. Schaltungen zur Konvertierung von massebezogenen Eingangssignalen (single-ended input) in differentielle Ausgangssignale

Die Verstärkung V ergibt sich in beiden F¨ allen wiederum aus dem Verhältnis der Widerstände von R¨ uckkopplungsund Eingangszweig V =

− u+ R1 A − uA = . uE R2

(7.85)

Hierbei ist zu beachten, dass der Innenwiderstand RiQ der am Eingang ange′ ′ schlossenen Quelle (z. B. RiQ = 50 Ω) in die Berechnung von R2 eingeht. R2 ist also um diesen Wert (50 Ω) zu vergr¨ oßern. Eine der Hauptanwendungen von differentiellen Operationsverstärkern ist die Ansteuerung von Analog-Digital-Umsetzern (s. Kap. 11.6). Moderne Analog-Digital-Umsetzer (ADU bzw. ADC) besitzen in der Regel einen diffe− rentiellen Eingang mit zwei Eingangssignalen u+ IN und uIN (s. Abb. 7.31). Das auf diesen differentiellen Eingang bezogene Nullsignal entspricht der Gleich− taktspannung an seinem Eingang. Diese betr¨ agt 1/2 (u+ IN +uIN ). Das maximale + − Eingangssignal uIN − uIN darf die Versorgungsspannung nicht u ¨berschreiten; sie liegt meist bei wenigen Volt (3 V - 5 V). Die Bezugspotentiale des differentiellen Eingangs entsprechen dabei einerseits dem Massepotential der Schaltung


199

C1 R3 _ uE

R2

R1

+ UB

u+IN

u Esignal + uE

C2

R3

R2

u glA R1

_

C2

u IN

ADU u refADU

_U

B

C1 Abb. 7.31. Schaltung mit differentiellem Operationsverst¨ arker zur Ansteuerung eines Analog-Digital-Umsetzers

und andererseits dem Wert der Versorgungsspannung. In der potentialmäßigen Mitte liegt das Nullsignal des ADU-Eingangs, welches, wie bereits oben erwähnt, identisch ist mit der Gleichtaktspannung am Eingang des ADUs. Die klassische Schaltungstechnik zur Ansteuerung von ADUs besteht in der Verwendung von zwei Operationsverst¨ arkern, die als Differenzverstärker arbeiten. Zusätzlich ist ein dritter Operationsverstärker notwendig, um den Differenzverstärker mit der vom ADU ben¨ otigten Gleichtaktspannung vorzuspannen. Die Alternativl¨ osung verwendet einen Transformator zur Signal¨ ubertragung am Eingang des ADU. Die letztgenannte Lösung schließt allerdings die Analog-Digital-Umsetzung von Gleichsignalen aus. Hier bieten differentielle Operationsverst¨ arker nunmehr die Möglichkeit, mit nur einem aktiven Bauteil und auch weniger passiven Bauelementen auszukommen [113]. Um ein massebezogenes Eingangssignal in der oben beschriebenen Weise auf das Eingangsspannungsintervall abzubilden, muss also die Gleichtaktspannung am Eingang des ADUs (entspricht dem Wert des Nullsignals am Eingang) von der differentiellen Ausgangsstufe des Operationsverstärkers bereitgestellt werden. Da die Ausgangsgleichtaktspannung am Eingang uglA vorgegeben werden kann, nutzt man die Möglichkeit von modernen ADUs, genau diesen Spannungswert bereitzustellen. Die Treiberstufe f¨ ur den ADU auf Basis eines differentiellen Operationverstärkers funktioniert also, wenn man dieses Ausgangssignal des ADU auf den uglA -Eingang des Operationsverstärkers gibt. Diese Schaltung hat den Vorteil einer im Idealfall nahezu vollständigen Unterdr¨ uckung von Gleichtaktst¨ orsignalen am Eingang. Zudem werden infolge der differentiellen Ausf¨ uhrung die geradzahligen Vielfachen der Grundwelle und damit die harmonischen Verzerrungen (s. a. Kap. 13.6 Klirrfaktor“) re” duziert [113].

200

7 Meßverst¨ arker

Es sei noch erwähnt, dass der durch die Bauelemente R1 und C1 gebildete Tiefpaß ein Anti-Aliasing-Filter (s. Kap. 11.7.1) darstellt. Es hat ein 3 dBGrenzfrequenz von 1 . (7.86) fg = 2πR1 C1 Der Widerstand R3 entkoppelt den Ausgang des Operationsverstärkers von C2 , dessen Aufgabe das schnelle Laden der Eingangskapazität des Wandlers (s. Kap. 11.7.2) ist. Typisch sind Werte R3 =10 bis 30 Ω und C2 = 0,1 bis 2 nF. Tabelle 7.2 enth¨ alt typische Vertreter von kommerziell erhältlichen Operationsverstärkern mit differentiellem Ausgang. Weitere Informationen zu differentiellen Operationsverst¨ arkern findet der interessierte Leser in [72], [73]. Tabelle 7.2. Leistungsdaten differentieller Operationsverst¨ arker (Stand: Juni 2010) Bezeichnung

ADA4960-1

CA3112

LMH6554

LTC6412

THS4509

Hersteller

Analog Devices

Intersil

National

Linear Technology

TI

Auswahlkriterium

∗1

∗2

∗3

∗4

∗5

300 mW

≪ 300 mW

260 mW

330 mW

180 mW

max. Leistung SR fT u-Rauschen Ubmax Preis ca.

8,7 kV/µs

6,2 kV/µs

6,6 kV/µs

5 GHz 1,35 GHz 2,8 GHz 800 MHz 3 GHz √ √ √ √ 1,6 nV/ Hz 0,9 nV/ Hz 2,7 nV/ Hz 2,3 nV/ Hz 5,35 V

24 V

7,65 USD

4,94 USD

± 5,5 V

5,90 EUR

3,8 V

5,5 V

7,45 USD

4,95 USD

∗1 Die Verst¨ arkung des ADA4960-1 kann mittels eines Widerstandes eingestellt werden. ∗2 Beim CA3112 handelt es sich um 6 Transistoren, die die typische Ver schaltung zweier Differenzverst¨ arker aufweisen. ∗3 Der LMH6554 hat einen Abschalteingang, um die Leistungsaufnahme zu reduzieren. ∗4 Die Verst¨ arkung des LTC6412 ist mittels einer analogen Steuerspannung beeinflußbar (AGC). ∗5 Die moderate Stromaufnahme zeichnet den THS4509 aus.

7.2 Spezielle Meßverst¨ arker 7.2.1 Differenzverst¨ arker Ein Differenzverstärker ist notwendig, um die Signale von Quellen mit floatendem Eingang (nicht massebezogenem Eingang) zu verstärken. Dabei handelt es sich um Quellen, deren Potentiale gegen¨ uber Masse schwanken. Dies ist

7.2 Spezielle Meßverst¨ arker

201

z. B. bei Strommessungen mittels Shunt oft der Fall. Auch bei massebezogenen Signalquellen bietet der Differenzverst¨ arker den Vorteil hoher Gleichtaktunterdr¨ uckung (> 100 dB). Abbildung 7.32 zeigt den Schaltungsaufbau. Der Verstärkungsgrad dieser Schaltung kann leicht nach dem Superpositionsprinzip berechnet werden V =

R1 uA = . uE2 − uE1 R2

(7.87)

Um die Eigenschaften des Differenzverst¨ arkers zu verbessern, insbesondere im Hinblick auf eine Erh¨ ohung der Eingangsimpedanz werden sog. Instrumentenverstärker eingesetzt, die auch als Instrumentierungsverstärker bezeichnetwerden (s. Kap. 7.2.2). Diese besitzen eine sehr hohe Eingangsimpedanz. Dabei ist zu bedenken, daß der Innenwiderstand Ri einer an den Differenzeingang des Verstärkers nach Abbildung 7.32 angeschlossenen Spannungsquelle den Verstärkungsgrad ver¨ andert V →V =

R1 . R2 + Ri

(7.88)

R1 R2

u E1

u E2

uA

R2 R1

Abb. 7.32. Differenzverst¨ arker

7.2.2 Instrumentenverst¨ arker (Instrumentierungsverst¨ arker) In der Elektrischen Meßtechnik werden h¨ aufig präzise arbeitende Meßverstärker benötigt, die in der Lage sind, einen hohen Gleichtaktstöranteil möglichst vollständig zu unterdr¨ ucken und nur den Differenzanteil, der in diesem Fall dem Nutzsignal entspricht, zu verst¨ arken. Zur Erf¨ ullung dieser Anforderungen scheiden somit alle Verst¨ arkertypen aus, bei denen einer der Eingänge auf Bezugspotential liegt. Mit dem in Abb. 7.33 gezeigten Instrumentenverstärker, der von einem Subtrahierverst¨ arker mit zwei vorgeschalteten Elektrometerverstärkern gebildet wird, werden die gestellten Anforderungen erf¨ ullt. Neben der hohen Gleichtaktunterdr¨ uckung zeichnet sich der Instrumentenverstärker vor allem durch gute Linearit¨ atseigenschaften, hohen Eingangswiderstand sowie eine geringe Beeinflussung durch Eingangsstörgrößen aus. Die beiden Operationsverstärker 1 und 2 liefern die Spannung u1

202

7 Meßverst¨ arker

Abb. 7.33. Schaltung eines Instrumentenverst¨ arkers

uE1 − uE2 = u1 = uE1 + R1 R

R1 R1 uE1 − 1+ uE2 R R

(7.89)

bzw. die Spannung u2 uE1 − uE2 u2 = uE2 − R2 = R

R2 R2 1+ uE1 . uE2 − R R

(7.90)

F¨ ur eine reine Gleichtakteingangsspannung uE1 = uE2 = ugl ergibt sich demnach f¨ ur beide Stufen (1 und 2) eine Gleichtaktverstärkung vom Wert 1 u1 u2 = =1. ugl ugl

(7.91)

Der nachgeschaltete Subtrahiererverst¨ arker (OpAmp 3) liefert f¨ ur die folgendermaßen dimensionierten Widerst¨ ande R6 R4 = R3 R5

(7.92)

die Ausgangsspannung uA (Gl. (7.41)) uA =

R4 (u2 − u1 ) . R3

(7.93)

Mit den Gln. (7.89) und (7.90) ergibt sich die Differenzverstärkung zu R1 + R2 R4 uA . (7.94) 1+ = uE2 − uE1 R3 R Wenn man die Schaltung vollkommen symmetrisch aufbaut (R1 = R2 = R′ und R3 = R4 = R5 = R6 ), folgt

7.2 Spezielle Meßverst¨ arker

uA 2R′ =1+ . uE2 − uE1 R

203

(7.95)

Die Gleichtaktverst¨ arkung der Gesamtschaltung ist dann aus Symmetriegr¨ unden (Gl. (7.91)) gleich Null. Die Differenzverst¨ arkung läßt sich u ¨ber R einstellen, ohne daß in die (abgeglichene) Stufe 3 eingegriffen werden muß. Instrumentenverstärker sind komplett integriert als 1-Chip-Bausteine kommerziell erhältlich (z. B. LTC 2053 von Linear Technology (s. Tab. 7.1)). 7.2.3 Zerhacker-Verst¨ arker Mit Hilfe von Zerhacker-Verstärkern, die auch unter dem Begriff ChopperVerstärker bekannt sind, werden Gleichspannungen verstärkt, ohne daß größere Fehler durch Offsetspannungen auftreten. Sie stellen hochwertige Gleichspannungsverstärker mit geringen Spannungsdriften (5. . . 25 nV/K) dar, allerdings weisen sie h¨ ohere Rauschpegel als Verstärker ohne Chopper auf. Das Prinzip des Zerhacker-Verst¨ arkers beruht auf der Umwandlung (Zerhacken) einer Gleichspannung in eine Wechselspannung, der Verstärkung dieser Wechselspannung mit einem Wechselspannungsverstärker und einer anschließenden Synchron-Gleichrichtung. Abbildung 7.34 zeigt das Prinzip eines Eintakt-Zerhacker-Verst¨ arkers. Der RC-Tiefpaß am Eingang stellt sicher, daß eventuell im Eingangssignal uE enthaltene h¨ oher frequente Spektralanteile weggefiltert werden; denn zum einwandfreien Funktionieren des ZerhackerVerstärkers ist es notwendig, daß die Zerhackerfrequenz wesentlich größer ist als die höchste zu verst¨ arkende Signalfrequenz. Die Hochpaßfilternetzwerke C2 R2 und C3 R3 befreien Verst¨ arkereingangs- und -ausgangssignal jeweils vom Gleichspannungsanteil. F¨ ur den Fall eines idealen Wechselspannungsverstärkers (frequenzunabh¨ angige Verst¨ arkung und keine Frequenzabhängigkeit der Phasenverschiebung) sorgt das synchrone Umschalten der beiden Schalter S1 und S2 f¨ ur eine am Ausgangstiefpaß R4 C4 anliegende Signalspannung, die im wesentlichen wieder eine Gleichspannung ist. Die Schalter S1 und S2 arbeiten dabei als Synchrongleichrichter. Wenn f¨ ur die Zerhackerkreisfrequenz die Relation 1 (7.96) ωtakt ≫ R4 C4 eingehalten wird, ergibt sich die Ausgangsspannung uA zu [77] uA = V uE .

(7.97)

Als nachteilig kann sich bei Zerhacker-Verst¨ arkern die geringe Signalbandbreite auswirken, welche auf die am Eingang notwendige Tiefpaßfilterung zur¨ uckzuf¨ uhren ist. In der Praxis lassen sich nur Signalbandbreiten von etwa 0, 1 · ftakt bis 0, 3 · ftakt realisieren.

204

7 Meßverst¨ arker

synchrones Schalten R1

S1

S2

R4

2V

C2 uE

u1 R 2

C1

C3 u2

u3 R 3

C4

u4

uA

u E(t) 0 u 1 (t)

t

0 u 2 (t)

t

0 t

u 3 (t) 0 t u 4 (t), u A(t)

u4

uA

0

t

Abb. 7.34. Prinzipschaltung eines Zerhacker-Verst¨ arkers. Der Verst¨ arker V muß keine Gleichspannungs¨ ubertragungseigenschaften aufweisen, da er als reiner Wechselspannungsverst¨ arker arbeitet. Die Signalverl¨ aufe gelten f¨ ur einen Verst¨ arker, der einen Gesamt-Verst¨ arkungsfaktor (uA /uE ) von V = 2 aufweist.

7.2.4 Ladungsverst¨ arker Die elektrische Ladung kann mit Hilfe eines ballistischen Galvanometers gemessen werden. Das ballistische Galvanometer ist eine spezielle Ausf¨ uhrungsform des Drehspulmeßger¨ ates, dessen Wirkung darauf beruht, daß der ballistische Zeigerausschlag des Instrumentes unter bestimmten Bedingungen der ihm zugef¨ uhrten elektrischen Ladung proportional ist (siehe Kap. 6.1.2). Mit ballistischen Galvanometern sind Ladungsmessungen ab Q = 1 nC möglich, wenn die Integrationszeit (jene Zeit, in der dem Drehspulmeßwerk die Ladung durch einen Strom zugef¨ uhrt wird) nicht gr¨ oßer ist als 10 % der Periodendauer der mechanischen Eigenschwingung des Galvanometers. In der modernen (elektronischen) Meßtechnik bedient man sich bei der Ladungsmessung elektronischer Verstärkerschaltungen, die als Ladungsverstärker bezeichnet werden. Mit Hilfe von Ladungsverst¨ arkern lassen sich auch Ladungsmengen messen, die wesentlich kleiner sind als die oben angegebene Grenze von Q = 1 nC.

7.3 Rauschen von Meßverst¨ arkern

205

Abb. 7.35. Ladungsverst¨ arker

Beim Ladungsverst¨ arker (Abb. 7.35) wird eine verlustarme Kapazität C verwendet, um die von einem Strom i(t) in einem definierten Zeitintervall [0,t] gelieferte Ladung zu integrieren. Es gilt Z t q(t) = i(t′ ) dt′ = Cu(t) . (7.98) 0

Bei Vernachlässigung der Eingangsdifferenzspannung (uA = −u(t)) folgt uA (t) = −

1 q(t) . C

(7.99)

Die Ausgangsspannung uA (t) ist also proportional der vom Strom i(t) gelieferten Ladung q(t). Der effektive Eingangswiderstand eines idealen Ladungsverstärkers beträgt RE = 0. Problematisch sind bei Ladungs- und Integrationsverstärkern die Nullpunktfehlergr¨ oßen, die auch bei nicht vorhandenem Eingangssignal eine Hochintegration der Ausgangsspannung bis zur Begrenzung durch eine der beiden Speisespannungen bewirken. Im Dauerbetrieb ist entweder eine zyklische R¨ ucksetzung der Spannung an der Integrationskapazität notwendig, oder es muß mit einem hochohmigen Parallelwiderstand zur Kapazität daf¨ ur gesorgt werden, daß die durch Nullpunktfehler bedingte langsame Aufladung der Kapazit¨ at durch einen ebenso großen Entladestrom kompensiert wird.

7.3 Rauschen von Meßverst¨ arkern Unter Rauschen versteht man die statistische Abweichung eines Signals von seinem Sollwert. Bei elektronischen Bauteilen und damit auch bei elektronischen Meßverstärkern unterscheidet man die folgenden, auf unterschiedlichen physikalischen Ursachen beruhenden Arten von Rauschen, welche verschiedenen Spektralbereichen zugeordnet werden k¨ onnen (Abb. 7.36). •

Thermisches Rauschen (Johnson-noise) Das thermische Rauschen, das auch Widerstandsrauschen genannt wird, findet man in allen elektrischen Bauteilen mit Verlustwiderständen. Es ist auf willk¨ urliche Ladungstr¨ agerbewegungen (Wärmebewegung der freien

206

7 Meßverst¨ arker

spektrale Rauschleistungsdichte

PopcornRauschen 1/f - Rauschen (Funkelrauschen) Thermisches Rauschen, Schrotrauschen

f Abb. 7.36. Spektrale Zuordnung verschiedener Rauscharten

Elektronen (Valenzelektronen)) zur¨ uckzuf¨ uhren, die mit der Temperatur an Intensität zunehmen. Ein ohmscher Widerstand kann bez¨ uglich seines Rauschverhaltens durch eines der in Abb. 7.37 gezeigten Ersatzschaltbilder dargestellt werden [14]. Die Effektivwerte der dort gezeigten RauschErsatzspannungs- bzw. Rausch-Ersatzstromquelle lassen sich anhand der sog. NYQUIST-Formel ermitteln: – NYQUIST-Formel in bezug auf eine Ersatzspannungsquelle 2 Ureff = u2r (t) = 4kT RB

(7.100)

– NYQUIST-Formel in bezug auf eine Ersatzstromquelle (Abb. 7.37c) 2 Ireff = i2r (t) = 4kT

1 B. R

(7.101)

Dabei bezeichnen k = 1, 38 · 10−23 Ws/K die Boltzmann-Konstante, T (K) die absolute Temperatur, B (Hz) die Beobachtungsbandbreite, R (Ω) den Wert des ohmschen Widerstandes, Ureff die effektive Leerlaufspannung der Rausch-Ersatzspannungsquelle und Ireff den effektiven Kurzschlußstrom der Rausch-Ersatzstromquelle. Das thermische Rauschen ist ein sog. Weißes Rauschen, d. h. es zeigt im interessierenden Frequenzbereich keinerlei spektrale Abhängigkeit.

R R ur a)

1 G=R

bzw.

b)

ir c)

Abb. 7.37. Ersatzrauschquellen eines ohmschen Widerstandes: a) rauschender ohmscher Widerstand, b) Ersatzspannungsquelle: rauschfreier Widerstand mit Rausch-Ersatzspannungsquelle, c) Ersatzstromquelle: rauschfreier Widerstand (Leitwert G = 1/R) mit Rausch-Ersatzstromquelle


•

207

Schrotrauschen (Schottky-Rauschen) Das Schrotrauschen, das auch als Stromrauschen bzw. Schottky-Rauschen bezeichnet wird, entsteht in Halbleitern, wenn Ladungsträger eine Sperrschicht passieren. Abbildung 7.38 zeigt die Rausch-Ersatzschaltung eines ¨ rauschenden pn-Uberganges. Es handelt sich hierbei ebenfalls um weißes Rauschen. Bei Operationsverst¨ arkern wird das Schrotrauschen vom Eingangsruhestrom verursacht. Der entsprechende Effektivwert des Rauschstroms Irschrot ergibt sich aus dem Eingangsruhestrom IB , der Elektronenladung e0 sowie der Beobachtungsbandbreite B 2 Irschrot = 2|e0 |IB B .

(7.102)

I

I

rauschfrei

rauschend i rschrot

¨ Abb. 7.38. Ersatzschaltung eines rauschenden pn-Uberganges in bezug auf sein Schrotrauschen

•

1/f-Rauschen (Funkelrauschen) Das 1/f-Rauschen, das auch als Funkelrauschen (Flicker Noise) bezeichnet wird, erzeugt ein Rauschsignal mit einer Spektralverteilung, die mit 1/f zu höheren Frequenzen hin abf¨ allt. Bei Halbleiterbauelementen werden Oberflächeneigenschaften daf¨ ur verantwortlich gemacht, genau genommen handelt es sich dabei um fluktuierende Umladungen von Oberflächenzuständen [14]. Das Funkelrauschen ist von seiner spektralen Verteilung her gesehen ein Rosa Rauschen, d. h. ein Rauschen, dessen charakteristisches Merkmal eine konstante Rauschleistung pro Frequenzdekade ist.

•

Rekombinationsrauschen (r-g-noise) (Quantenrauschen) Das Rekombinationsrauschen ist auf das willk¨ urliche Einfangen (Trapping) und Freigeben von Ladungstr¨ agern in Halbleitern zur¨ uckzuf¨ uhren, d. h. es wird durch die zuf¨ allige Generation bzw. Rekombination von Ladungsträgern hervorgerufen.

•

Popcorn-Rauschen Das Popcorn-Rauschen, das auch als Burst-Rauschen bezeichnet wird, ist auf metallische Verunreinigungen im Halbleiter zur¨ uckzuf¨ uhren und äußert ¨ sich in Form zuf¨ allig auftretender Anderungen der Gleichstrom-Parameter. Es erscheint in der spektralen Rauschleistungsverteilung in Form eines diracförmigen Gleichanteils bei der Frequenz f = 0 (Abb. 7.36) [51].

208

7 Meßverst¨ arker

Die Beschreibung des Verst¨ arkerrauschens Das Verstärkerrauschen wird im allgemeinen in Form der von den (internen) Rauschquellen des Verst¨ arkers erzeugten Rauschleistung bzw. der daraus resultierenden Reduzierung des Signal/Rausch-Verhältnisses zwischen Eingangs- und Ausgangstor angegeben. Der Berechnung dieses Signal/RauschVerhältnisses legt man bei Vierpolen und somit auch bei Verstärkern die in Abb. 7.39 gezeigte Rauschersatzschaltung zugrunde. Dabei wird das eigentliche Verstärkerrauschen durch die Angabe einer Rauschspannungsquelle und einer Rauschstromquelle beschrieben. Beide Rauschquellen sind auf den Verstärkereingang bezogen. Diese Rauschersatzquellen sind dabei im allgemei√ nen durch die spektralen Werte der Rauschspannungsdichte Ufr (f ) [nV/ Hz] √ bzw. der Rauschstromdichte Ifr (f ) [pA/ Hz] gekennzeichnet. Die äquivalente Rauscheingangsspannung UrEges am Verst¨ arkereingang erhält man durch Rauschspannungsquelle

ur

Rauschstromquelle ir

uE

uA

uE

uA

RE

RE Vierpol mit Rauschquellen

rauschender Verstärker

rauschfreier Verstärker

Abb. 7.39. Ersatzschaltung eines rauschenden Verst¨ arkers

¨ quadratische Uberlagerung der von den Rauschquellen am Verstärkereingang hervorgerufenen Spannungsanteile. Diese wiederum ergeben sich aus der Integration der spektralen Rauschdichtegr¨ oßen u ¨ber das Frequenzintervall [fmin , fmax ], in dem gemessen wird. Die Effektivwerte der Rauschspannung Ureff sowie des Rauschstromes Ireff berechnen sich demnach wie folgt 2 Ureff = 2 Ireff =

Z

fmax

fmin Z fmax fmin

Ufr2 (f ) df

(7.103)

Ifr2 (f ) df .

(7.104)

Infolge der ohmschen Spannungsteilung (Abb. 7.40) ergibt sich die quadrati¨ sche Uberlagerung der Effektivwerte zu s 2 2 RE RE RQ 2 2 UrEges = Ureff + Ireff . (7.105) RE + RQ RE + RQ


209

Rausch-ErsatzSpannungsquelle RQ

ir uE

uA

ur RE

U0Signal Rausch-ErsatzStromquelle

Abb. 7.40. Rauschersatzschaltung eines mit einer Signalquelle beschalteten elektrischen Vierpoles

Die Spannung UrEges ist der Effektivwert der auf den Verstärkereingang bezogenen Rauschspannung, welche das gesamte Verstärkerrauschen im Frequenzintervall [fmin , fmax ] repr¨ asentiert, d. h. der in Abb. 7.40 gezeigte eigentliche Verstärker ist frei von Rauschquellen. In obiger Ableitung wurde die Korrelation zwischen den beiden Rauschquellen vernachlässigt, was in vielen praktischen Fällen in erster N¨ aherung erlaubt ist. F¨ ur den Fall nicht vernachlässigbarer Korrelation findet sich die entsprechende Herleitung in der Literatur, z. B. in [94]. Das Rauschen von Operationsverst¨ arkern Im Gegensatz zu den oben beschriebenen Verstärkern ist beim Operationsverstärker zu beachten, daß es sich hier nicht um ein Zweitor handelt. Der Eingang des Operationsverst¨ arkers besteht strenggenommen aus drei Klemmen (invertierender Eingang, nichtinvertierender Eingang und Masse). Daher sind f¨ ur die Beschreibung des Rauschens von Operationsverstärkern drei voneinander unabh¨ angige Rauschquellen erforderlich. Abbildung 7.41 zeigt einen Operationsverst¨ arker und dessen Rauschersatzschaltung. Die Beschreibung mit einer Spannungsquelle und zwei Stromquellen ist die gängigste Darstellung, wenn auch prinzipiell andere Darstellungsformen möglich sind. F¨ ur die Stromquellen gilt aus Symmetriegr¨ unden, daß die Rauschleistungsdichten ur uD

uA

uD

uA

i r,1

i r,2

Abb. 7.41. Rauschersatzschaltung eines Operationsverst¨ arkers

210

7 Meßverst¨ arker

gleich sind i2r,1 = i2r,2 .

(7.106)

Die Stromquellen sind dennoch als unkorreliert zu betrachten. Beispiele zum Rauschen von Operationsverst¨ arkern finden sich in [85]. Signal/Rausch-Verh¨ altnis Das Signal/Rausch-Verh¨ altnis (Signal-to-Noise-Ratio) S/N an einem elektrischen Tor ist definiert als das Verh¨ altnis von Signalspannung zu Rauschspannung an diesem Tor. So ergibt sich das Signal/Rausch-Verhältnis am Ausgangstor des Verst¨ arkers zu UArauschfrei S , (7.107) [dB] = 20 lg N UrA wobei UArauschfrei das Nutzsignal am Verst¨ arkerausgang (Effektivwert) und UrA die Rauschspannung am Verst¨ arkerausgang (Effektivwert) bezeichnen. Das Signal/Rausch-Verh¨ altnis l¨ aßt sich aber auch auf den Verstärkereingang beziehen. F¨ ur die in Abb. 7.40 gezeigte Beschaltung des Verstärkers gilt ! RE UErauschfrei S RQ +RE U0Signal = 20 lg , (7.108) [dB] = 20 lg N UrEges UrEges wobei UErauschfrei das Nutzsignal am Verst¨ arkereingang (Effektivwert) und UrEges die Rauschspannung am Verst¨ arkereingang (Effektivwert) bezeichnen. Bei obiger Berechnung wurde die Signalquelle (Abb. 7.40) zunächst als rauschfrei angenommen. Soll das Rauschen des Innenwiderstandes RQ der Signal′ quelle ber¨ ucksichtigt werden, muß UrEges in Gl. (7.108) durch UrEges ersetzt werden s 2 RE ′ 2 UrEges = UrEges , (7.109) + 4kT RQ(fmax − fmin ) RQ + RE wobei UrEges die bereits in Gl. (7.105) berechnete, von den internen Rauschquellen des Verstärkers hervorgerufene Rauschspannung bezeichnet. Rauschzahl Die Rauschzahl F eines rauschenden (Verst¨ arker-)Vierpols ist definiert als das Verhältnis von Signal/Rausch-Verh¨ altnis am Eingangstor zum Signal/RauschVerhältnis am Ausgangstor F =

PsE PrE PsA PrA

=

PsE PrA . PsA PrE

(7.110)


211

Dabei bezeichnen PsE die Signalleistung am Eingang, PsA die Signalleistung am Ausgang, PrE die Rauschleistung am Eingang (die von der Signalquelle oder von externen St¨ orquellen eingespeiste Rauschleistung) und PrA die Rauschleistung am Ausgang. Die Rauschzahl wird oft auch in logarithmischer Form angegeben F˜ (dB) = 10 lg F . (7.111) Unter Einbeziehung der Leistungsverstärkung Vp des Vierpols PsA PsE

(7.112)

PrA . Vp PrE

(7.113)

Vp = erhält man F =

Wenn man voraussetzt, daß der Verst¨ arker f¨ ur das Signal und das Rauschen dieselbe Leistungsverst¨ arkung aufweist, folgt f¨ ur die Rauschleistung PrA am Ausgang PrA = PrE Vp + PrAamp = PrE Vp + PrEamp Vp = PrEtot Vp ,

(7.114)

wenn PrEamp die auf den Verst¨ arkereingang bezogene und PrAamp die auf den Ausgang bezogene Rauschleistung des Verstärkers darstellen. Aus den Gln. (7.113) und (7.114) folgt f¨ ur die Rauschzahl F F =

PrEtot PrAamp PrEamp =1+ =1+ = 1 + Fz . PrE PrE Vp PrE

(7.115)

Der Term Fz bezeichnet die sog. Zusatzrauschzahl, welche im Falle eines nichtrauschenden Verst¨ arkers identisch Null ist, d. h. F = 1. Da die Leistungen PrEtot und PrE am selben Widerstand, n¨ amlich dem Eingangswiderstand RE des Verstärkers, wirken, folgt mit den oben gewählten Bezeichnungen und der Rauschspannung UrEges aus Gl. (7.105) F =1+

2 UrEges = 1 + Fz . ′2 UrQuelle

(7.116)

′ In Gl. (7.116) bezeichnet UrQuelle die effektive Rauschspannung der Quelle, die mit dem Teilerverh¨ altnis des Eingangsspannungsteilers gewichtet am Verst¨ arkereingang wirksam wird ′ UrQuelle = UrQuelle

RE . RE + RQ

(7.117)

Wenn das Rauschen der Quelle durch das thermische Rauschen des Innenwiderstandes RQ der Quelle beschrieben werden kann, folgt f¨ ur die entsprechende Rauschspannung UrQuelle

212

7 Meßverst¨ arker 2 UrQuelle = 4kT RQ(fmax − fmin ) .

(7.118)

Im weiteren wollen wir annehmen, daß der Eingangswiderstand RE des Verstärkers wesentlich gr¨ oßer ist als der Innenwiderstand der Signalquelle (RE ≫ RQ ). Unter dieser Annahme folgt mit Gl. (7.105) und den Gln. (7.116)(7.118) 2 2 2 Ureff + Ireff RQ = 1 + Fz . (7.119) F =1+ 4kT RQ(fmax − fmin ) Im allgemeinen definiert man noch den sog. äquivalenten Rauschwiderstand Rr und den äquivalenten Rauschleitwert Gr des Vierpols, indem man den in Gl. (7.119) vorkommenden Rauschleistungen diese Werte wie folgt zuordnet 2 Ureff = 4kT (fmax − fmin )Rr 2 Ireff = 4kT (fmax − fmin )Gr .

(7.120) (7.121)

Damit läßt sich Gl. (7.119) in folgender Form schreiben F =1+

2 Rr + Gr RQ . RQ

(7.122)

Die durch Gl. (7.122) beschriebene Funktion F durchläuft in Abhängigkeit von RQ ein charakteristisches Minimum (Abb. 7.42). Man spricht von Rauschanpassung, wenn der Minimalwert Fmin der Rauschzahl erreicht wird. Der dazu notwendige optimale Innenwiderstand RQopt der Signalquelle ergibt sich durch Ableitung von Gl. (7.122) nach RQ und anschließendem Nullsetzen zu r Rr RQopt = . (7.123) Gr Damit läßt sich auch die bestenfalls erreichbare minimale Rauschzahl Fmin angeben p Ureff Ireff Fmin = 1 + 2 Rr Gr = 1 + . (7.124) 2kT (fmax − fmin ) log F

F min R Q opt

log R Q

Abb. 7.42. Abh¨ angigkeit der Rauschzahl vom Quellenwiderstand RQ


213

Rauschen von Kettenschaltungen Um die resultierende Rauschzahl einer Verst¨ arker-Kettenschaltung (Abb. 7.43) zu ermitteln, wird zun¨ achst jedem Vierpol eine Ersatzrauschspannungsquelle (mit der effektiven Rauschspannung UrEgesi ) zugeordnet, welche die internen Rauschquellen des Vierpoles ¨ aquivalent ersetzt. Wenn man alle Spannungen auf den Eingang der ersten Vierpolstufe bezieht, folgt f¨ ur den Signal/RauschVerhältnis ! S U0Signal (7.125) = 20 lg ′ N UrEges    U0Signal = 20 lg  r U2 2 2 UrQuelle + UrEges1 + rEges2 + V2 u1

2 UrEges3 2 V2 Vu1 u2

+ ...

  , 

wobei UrEgesi die Ersatzrauschspannung des i-ten Vierpols und Vui die Spannungsverstärkung des i-ten Vierpols bezeichnen. UrQuelle UrEges1

UrEgesn

UrEges2 .....

RQ U0Signal

Vierpol 1

Vierpol 2

Vierpol n

VU1

VU2

VUn .....

Abb. 7.43. Rauschen von Vierpol-Kettenschaltungen

Friis hat in einer grundlegenden Arbeit [47] die Gesamtrauschzahl Fges einer Vierpol-Kettenschaltung abgeleitet (siehe auch [14]) Fges = F1 +

F3 − 1 Fn − 1 F2 − 1 + + ...+ . Vp1 Vp1 Vp2 Vp1 Vp2 . . . Vp(n−1)

(7.126)

In Gl. (7.126) bezeichnen Fi die Rauschzahl des i-ten Vierpoles und Vpi seine Leistungsverstärkung. F¨ ur mehrstufige Verst¨ arkerschaltungen kann bei gen¨ ugend hoher Leistungsverst¨ arkung der einzelnen Stufen folgende Näherung angenommen werden F1 ≫

F3 − 1 Fn − 1 F2 − 1 ≫ ≫ ... ≫ . Vp1 Vp1 Vp2 Vp1 Vp2 . . . Vp(n−1)

(7.127)

Dies bedeutet, daß das Rauschverhalten der Kettenschaltung im wesentlichen vom Rauschen der Eingangsstufe bestimmt wird.

214

7 Meßverst¨ arker

Rauschmessung: Bestimmung der Rauschzahl Ein ohmscher Widerstand gibt bei der absoluten Temperatur T gemäß den Gln. (7.100) und (7.101) im Frequenzintervall B = fmax − fmin bei Leistungsanpassung die Rauschleistung PrR ab PrR = kT B ,

(7.128)

wobei k die Boltzmann-Konstante k = 1, 38 · 10−23 Ws/K bezeichnet. Leistungsanpassung heißt, daß der rauschende Widerstand seine Leistung an einen Zweipol bzw. das Eingangstor eines Vierpols abgibt, dessen Innenwiderstandswert mit dem des Rauschwiderstandes u ¨bereinstimmt, so daß am Zweipol nur die Hälfte der urspr¨ unglichen Rauschspannung (Gl. (7.100)) anliegt. Die auf diese Weise von einem ohmschen Widerstand abgegebene Rauschleistung hängt nicht vom Widerstandswert ab, sondern wird nur von der Temperatur des Widerstandes und der Beobachtungsbandbreite B bestimmt. Gemäß einer zweiten Rauschzahl-Definition gibt die Rauschzahl F auch an, um welchen Faktor ein Vierpol mit der Leistungsverstärkung Vp bei der Referenztemperatur T0 = 290 K die thermische Rauschleistung PrR des Innenwiderstandes der Signalquelle durch sein Eigenrauschen vergrößert [94]. Die Umrechnung in die urspr¨ ungliche Definition (Gl. (7.110)) läßt sich wie folgt durchf¨ uhren PrA PrA PsE PrA = = . (7.129) F = PsA PrE Vp PrR Vp kT0 B Gleichung (7.128) findet Anwendung, um die Rauscheigenschaften von Vierpolen durch Angabe einer fiktiven Rauschtemperatur TR zu beschreiben. Dazu wird der Rauschleistung PrE mit Hilfe von Gl. (7.128) die Temperatur T0 und der Rauschleistung PrEamp die Temperatur TR zugeordnet (s. auch Abb. 7.44). Mit Gl. (7.115) ergibt sich dann die fiktive Rauschtemperatur TR zu TR = (F − 1)T0 .

(7.130)

PrA0 bzw. PrA1 PrE0 = k T 0 B

PrE1 = k T 1 B

Verstärker VP , Pramp

Leistungsmeßgerät

DUT R (T0 )

R (T1 )

Abb. 7.44. Prinzipschaltung zur Messung der Rauschzahl eines Verst¨ arkers (=DUT (Device Under Test)). Der Widerstand R gibt im Frequenzintervall B die temperaturabh¨ angige Rauschleistung PrE = PrR = kT B ab. Es wird Leistungsanpassung zwischen dem als Rauschgenerator dienenden ohmschen Widerstand R und dem Verst¨ arkereingang vorausgesetzt.


215

Die Rauschmessung kann mit Hilfe der Prinzipschaltung nach Abb. 7.44 erfolgen. Dabei wird die Rauschleistung am Ausgang eines Verstärkers, dessen Rauschzahl gemessen werden soll, f¨ ur zwei unterschiedliche (aber bekannte) Eingangsrauschleistungen mit Hilfe eines Leistungsmeßgerätes gemessen. Bei linearem Verhalten des Verst¨ arkervierpols gilt f¨ ur die Gesamtrauschleistung PrA an seinem Ausgang in Abh¨ angigkeit der am Eingang eingespeisten Rauschleistung PrE = kT B (Abb. 7.45) PrA0 = kT0 BVp + Pramp = kT0 BVp F

(7.131)

PrA1 = kT1 BVp + Pramp ,

(7.132)

bzw. wobei Pramp die Gesamtrauschleistung der internen Rauschquellen des Verst¨ arkers bezeichnet. Infolge des linearen Verhaltens (Abb. 7.45) gilt weiterhin

bzw. F˜ (dB) = 10 lg

F =

T1 T0 − 1 PrA1 PrA0 − 1

∆T T0

− 10 lg

(7.133)

PrA1 −1 PrA0

,

(7.134)

wobei ∆T = T1 − T0 die Rauschtemperaturdifferenz beschreibt. In der Praxis werden keine rauschenden Widerst¨ ande sondern Rauschgeneratoren verwendet, die in der Lage sind, definiert einstellbare Rauschleistungen abzugeben. Im allgemeinen wird dann auch die in dB gemessene Rauschleistungserhöhung ENR (Excess Noise Ratio) PrA PrA1 kTBVP

PrA0 = kT 0 BVP F Pramp

-T R = -

Pramp kBVP

0

T0

T1

T

P rE0

PrE1

PrE =kTB

Abb. 7.45. Rauschleistung am Vierpolausgang als Funktion der Temperatur des Quellwiderstandes bzw. als Funktion der Eingangsrauschleistung. Die Steigung beider Geraden betr¨ agt kBVp

216

7 Meßverst¨ arker

EN R = 10 lg

∆T T0

(7.135)

anstatt der Rauschtemperaturdifferenz ∆T angegeben. Der Quotient PrA1 /PrA0 wird oft auch als Y-Faktor bezeichnet Y = Daraus folgt

PrA1 . PrA0

(7.136)

F˜ (dB) = EN R − 10 lg(Y − 1) .

(7.137)

Bei vorgegebenem Wert von ENR kann mit Hilfe eines geeigneten Leistungsmessers der Y-Faktor gemessen und damit die Rauschzahl anhand von Gl. (7.137) bestimmt werden. Diese Art der Rauschmessung wird oft auch als Y-Faktor-Methode bezeichnet. Als Rauschgenerator (Noise Source) kann man eine der handels¨ ublichen Rauschquellen verwenden. Einer der meist gebräuchlichen Rauschgeneratoren ist die Rauschquelle No. 346 in Ausf¨ uhrungsform A, B bzw. C (Abb. 7.46). Diese Quelle ist in der Lage, Rauschsignale im Frequenzbereich 10 MHz bis 26,5 GHz zu liefern. Ihr Excess Noise Ratio betr¨ agt 15 dB, entsprechend einer Rauschtemperatur von etwa 10.000 K (s. Gl. (7.135)). Die Kalibrierung des ENR-Wertes hat aufgrund der hohen Bandbreite, die das Gerät abdeckt, f¨ ur spezifische Frequenzbänder separat zu erfolgen. Abbildung 7.46b zeigt einen weiteren handels¨ ublichen Rauschgenerator, der bis 50 GHz spezifiziert ist. Als eigentliche Rauschquellen werden in diesen Rauschgeneratoren Siliziumdioden mit niedriger Kapazität genutzt, die mit Hilfe einer Konstantstromquelle im Bereich ihres Zenerdurchbruchs betrieben werden. Die Dioden liefern in diesem Betriebszustand bis zu Frequenzen von ca. 50 GHz ein nahezu konstantes Rauschspektrum [3], [60], [61].

a)

b)

Abb. 7.46. Standard-Rauschquellen: a) Rauschgenerator 346B; b) Rauschgenerator 4001A

Die Rauschzahl kann schließlich mit Hilfe eines Rauschzahlmeßgerätes (NFA (Noise Figure Analyzer)) (Abb. 7.47) oder auch eines Spektrumanalysators gemessen werden. Das Herz eines Noise-Figure-Analysators besteht aus einem hochgenauen Leistungsmesser (Power Detector), der in Kombination mit einem Rauschgenerator die Rauschzahl nach der oben beschriebenen Y-FaktorMethode bestimmt. Da Spektrumanalysatoren in der Lage sind, spektrale Leistungsdichteverteilungen zu messen, l¨ aßt sich mit ihrer Hilfe ebenfalls die


217

Abb. 7.47. Rauschzahlmeßger¨ at (Noise Figure Analyzer (NFA))

Rauschzahl in Abh¨ angigkeit der Frequenz bestimmen. Gegen¨ uber einem reinen Rauschzahlmeßger¨ at besitzen sie den Vorteil einer universellen Verwendbarkeit. Rauschzahlmessung in geschirmter Umgebung Die Messung von Rauschzahlen erweist sich in normaler Laborumgebung aufgrund der dort im allgemeinen vorhandenen Störeinfl¨ usse oft als nicht durchf¨ uhrbar. Dies gilt insbesondere dann, wenn eine niedrige Rauschzahl (F < 3 dB) gemessen oder wenn eine hohe Meßgenauigkeit gefordert wird. Solche Messungen erfordern dann entweder einen speziellen EMV-Meßraum oder zumindest eine Meßbox, die f¨ ur die notwendige Abschirmung gegen äußere elektromagnetische Felder und auch Leitungsstörungen sorgt. Kommerziell erhältlich gibt es verschiedene Ausf¨ uhrungsformen solcher Meßboxen. Eine davon wird von dem Meßger¨ ate-Hersteller Rohde & Schwarz (R & S) angeboten [132]. Ihre ¨ außeren Abmessungen (B×H×T) betragen ca. 700 mm × 300 mm × 500 mm. Der Pr¨ ufling (DUT (Device Under Test)) wird zur Messung in das geschirmte Innere der Meßbox gegeben. Die Box weist in ihrer H¨ ulle eine elektromagnetische Schirmung auf, die f¨ ur eine obere Frequenz von 3 GHz und ein (frequenzabh¨ angiges) Schirmmaß von 40 bis 75 dB spezifiziert ist. In Verbindung mit einem Rauschgenerator und einem Vorverstärker, die sich ebenfalls beide in der Meßbox befinden, sowie einem außerhalb der Box befindlichen Spektrumanalysator wird das Meßsystem zur Rauschzahlmessung komplettiert (Abb. 7.48). Die Rauschmessung kann dabei automatisch per Softwaresteuerung von statten gehen. Dazu wird eine spezielle Meßsoftware (FS-3K) zur Verf¨ ugung gestellt, die seitens des Spektrumanalysators, beispielsweise ein FSPx (x=3/7/13/30 steht f¨ ur die obere Grenzfrequenz des

218

7 Meßverst¨ arker

Analysators in GHz) von R & S, eine 28 V Gleichspannung bereitstellt. Mittels dieser Spannung wird der Rauschgenerator gezielt einund ausschaltet. Im ausgeschalteten Zustand betr¨ agt seine Rauschtemperatur T0 =290 K (s. Abb. 7.45), während sich im eingeschalteten Zustand die Rauschtemperatur um ∆T auf T1 erh¨ oht. Der Wert von ∆T l¨ aßt sich aus Gl. (7.135) aus dem von Hersteller angegebenen ENR-Wert ermitteln. Das vor der Rauschquelle angeordnete Filter dient der Eliminierung von Störungen, die sich eventuell auf der 28V-Leitung befinden. Das Meßsignal gelangt nach der (eventuellen) Vorverstärkung auf den Eingang des Spektrumanalysators. Der Spektrumanalysator mißt die frequenzabh¨ angigen Signalleistungen (Y-Faktor) in Abhängigkeit des vom Rauschgenerator vorgegebenen ENR-Wertes. Der Vorverstärker wird aus Entstörgr¨ unden von einem in der Meßbox befindlichen Akkumulator gespeist. F¨ ur den Fall, daß das Testobjekt einen Anschluß nach außen benötigt, sind weitere Anschl¨ usse in Form entstörter Leitungsdurchf¨ uhrungen vorhanden. 28 VDC

Spektrumanalysator FSPx

elektromagnetisch geschirmte Meßbox Device under Test

Vorverstärker Akku

optionale Anschlußleitungen für DUT

DUT

Rauschgenerator

Filter

Abb. 7.48. Rausch-Meßplatz mit elektromagnetisch geschirmter Meßbox der Firma Rohde & Schwarz [132]

8 Messung der elektrischen Leistung

8.1 Leistungsmessung im Gleichstromkreis Die elektrische Leistung P an einem elektrischen Tor ergibt sich aus dem Produkt von Spannung U und Strom I P = UI .

(8.1)

Diese Leistung kann mit Hilfe eines elektrodynamischen Meßwerkes gemessen werden. Dazu schickt man den Strom I durch die Feldspule (Widerstand RWA ) und legt die Spannung U an die Drehspule (Widerstand RWV ) an. Abbildung 8.1 zeigt die entsprechende Schaltung mit dem elektrodynamischen Meßwerk. Falls der Strom I2 durch die Drehspule gegen¨ uber dem Verbraucherstrom IV vernachlässigt werden darf, ist der Zeigerausschlag α proportional zur Leistung PV des Verbrauchers ˜ 1 I2 = k(I ˜ 2 + IV )I2 ≈ kI ˜ V I2 α = kI ˜ V UV = kUV IV = kPV . = kI RWV

(8.2)

Die Feldspule sollte wegen der Strommessung niederohmig und die Drehspule wegen der Spannungsmessung hochohmig sein.

Abb. 8.1. Leistungsmessung mit einem elektrodynamischen Meßwerk. Der Punkt kennzeichnet die Polarit¨ at des Spannungspfades.


220


Abb. 8.2. Leistungsmessung mit einem elektrodynamischen Meßwerk: a) Es werden der Quellstrom und die Verbraucherspannung richtig gemessen. b) Es werden die Quellspannung und der Verbraucherstrom richtig gemessen.

Die von der Quelle gelieferte Leistung PQ teilt sich in die vom Verbraucher umgesetzte Leistung PV und die vom Meßger¨ at benötigte Leistung PM PQ = PV + PM .

(8.3)

Wie anhand von Abb. 8.2 deutlich wird, kann ein elektrodynamisches Meßwerk stromrichtig oder spannungsrichtig angeschlossen werden. Die Begriffe strom- und spannungsrichtig beziehen sich dabei entweder auf die Quellenseite (Quellentor) oder die Verbraucherseite (Verbrauchertor) des Meßgerätes. Spannungsrichtig in bezug auf die Verbraucherseite heißt, daß die am Verbraucherwiderstand RV anliegende Spannung UV gemessen wird, während der Strom, der durch die Stromspule des Meßger¨ ates fließt, dem Quellstrom, d. h. also der Summe aus Verbraucherstrom IV und Drehspulenstrom I2 , entspricht (Abb. 8.2a). Bei der in bezug auf die Verbraucherseite stromrichtigen Messung ist es umgekehrt, hier wird der richtige Wert des Verbraucherstroms gemessen, w¨ ahrend am Spannungseingang die Summe aus Verbraucherspannung und Feldspulenspannung anliegt. Eine korrekte Messung der Verbraucherleistung PV bzw. der Quelleistung PQ ist erst m¨ oglich, wenn das elektrodynamische Meßwerk um eine Korrekturspule erweitert wird, welche dieselbe Windungszahl aufweist wie die Stromspule (Abb. 8.3). Durch diese Korrekturspule fließt der Strom, den auch die Drehspule f¨ uhrt (I2 ). Bei der Stromrichtung nach Abb. 8.3a addiert sich die Wirkung dieses Korrekturspulenstroms zu der des Feldspulenstroms I1 , so daß die Leistung quellrichtig gemessen wird. Bei Stromumkehr nach Abb. 8.3b kann die Leistung verbraucherrichtig gemessen werden. Es sollte jedoch erw¨ ahnt werden, daß generell bei allen Messungen durch das Einbringen des elektrodynamischen Meßwerkes systematische Meßfehler

Abb. 8.3. Leistungsmessung mit einem elektrodynamischen Meßwerk, das mit einer Korrekturspule ausgestattet ist: a) Es wird die Quelleistung richtig gemessen. b) Es wird die Verbraucherleistung richtig gemessen.

8.2 Leistungsmessung im Wechselstromkreis

221

auftreten. So wird bei einer verbraucherrichtigen Messung beispielsweise zwar die aktuelle Verbraucherleistung korrekt erfaßt, die Verbraucherleistung jedoch, die bei nicht vorhandenem Meßwerk im Verbraucher umgesetzt w¨ urde, erhält man erst nach einer Fehlerkorrektur der systematischen Meßfehler.

8.2 Leistungsmessung im Wechselstromkreis 8.2.1 Begriffsdefinitionen Nachdem sich mit Hilfe der Fourieranalyse jeder beliebige periodische Zeitverlauf einer Spannung bzw. eines Stromes in seine rein sinusförmigen Spektralkomponenten zerlegen und in Form einer Fourierreihe darstellen läßt, können wir uns im folgenden ohne Einschr¨ ankung der Allgemeinheit auf rein sinusförmige Zeitverl¨ aufe beschr¨ anken ˆ sin(ωt + ϕu ) u(t) = U i(t) = Iˆ sin(ωt + ϕi ) .

(8.4) (8.5)

Die entsprechenden Effektivwertbetr¨ age erh¨ alt man mit der Definition aus Kap. 6.3.1 ˆ U Ueff = √ 2 ˆ I Ieff = √ . 2

(8.6) (8.7)

Die Wechselgrößen aus Gln. (8.4) und (8.5) lassen sich alternativ in komplexer Schreibweise als Zeigergr¨ oßen ˆ e−jϕu ˆ ejϕu U ∗ = U U =U ∗ jϕ ˆ −jϕi , ˆ i I = Ie I = Ie

(8.8) (8.9)

oder als Effektivwertzeiger angeben U eff = Ueff ejϕu I eff = Ieff ejϕi .

(8.10) (8.11)

8.2.2 Leistungsmessung im Einphasennetz In (einphasigen) Wechselstromkreisen sind die folgenden Leistungsgrößen definiert:

222


Komplexe Leistung P Die komplexe Leistung P ist folgendermaßen definiert P = U eff I ∗eff = Ueff Ieff ejϕu −ϕi = Ueff Ieff ejϕui

(8.12)

P = Re(P ) + jIm(P ) = PW + jPB .

(8.13)

Wirkleistung PW Die Wirkleistung PW ist der Teil der komplexen elektrischen Leistung, der in der Impedanz Z in eine andere (nicht-elektrische) Energieform, wie z. B. in mechanische Energie oder in W¨ armeenergie umgesetzt wird. Sie entspricht dem Produkt von Spannungs- und Stromeffektivwert, multipliziert mit dem Cosinus der Phasenwinkeldifferenz zwischen Strom und Spannung (Einheit Watt (W)) (8.14) PW = Re(P ) = Ueff Ieff cos ϕui . Die Messung der Wirkleistung kann direkt mit Hilfe eines elektrodynamischen Meßwerkes erfolgen, da bei diesem der Zeigerausschlag dem Produkt I1eff I2eff cos ϕ proportional ist (Gl. (6.47)). Es gelten ansonsten die bereits f¨ ur den Gleichstromkreis aufgestellten Regeln (Kap. 8.1). Blindleistung PB Die Blindleistung PB wird durch das Speicherverhalten einer komplexen Impedanz verursacht. Dieser Teil der Leistung pendelt periodisch zwischen der Quelle und dem Verbraucher mit der Impedanz Z hin und her (Einheit VoltAmpere-reaktiv (VAR bzw. VAr)) PB = Im(P ) = Ueff Ieff sin ϕui .

(8.15)

Die Blindleistung wird ebenfalls mit Hilfe eines elektrodynamischen Meßwerkes bestimmt. Allerdings muß ein 90◦ -Phasenschieber verwendet werden, der den Strom des Spannungspfades gegen¨ uber der Spannung U V um −90◦ dreht

Abb. 8.4. Messung der Blindleistung in einem Wechselstromkreis mit Hilfe eines elektrodynamischen Meßwerkes und einem 90◦ -Phasenschieber.


223

(Abb. 8.4). F¨ ur den Zeigerausschlag α gilt dann ˜ 1eff I2eff cos ϕ ≈ kIVeff UVeff cos(ϕ − 90◦ ) = kIVeff UVeff sin ϕ . α = kI

(8.16)

Da die 90◦ -Phasenverschiebung frequenzabh¨ angig ist, sind die Geräte zur Blindleistungsmessung u ur eine Frequenz von 50 Hz bzw. 60 Hz ¨blicherweise f¨ konzipiert. F¨ ur stark oberwellenhaltige Signale ergeben sich daher fehlerhafte Meßwerte. Die Blindleistung wird bei induktiven Lasten positiv und bei kapazitiven Lasten negativ angezeigt. Scheinleistung PS Die Scheinleistung ist die in einer komplexen Impedanz Z umgesetzte Leistung. Sie entspricht dem Produkt der Effektivwerte von Strom und Spannung an der Impedanz Z (Einheit Volt-Ampere (VA)) q 2 + P2 . PS = |P | = Ueff Ieff = PW (8.17) B

Meßtechnisch läßt sich die Scheinleistung am einfachsten durch separate Strom- und Spannungsmessungen der Effektivwerte Ieff und Ueff und die anschließende Produktbildung gem¨ aß Gl. (8.17) ermitteln. 8.2.3 Leistungsmessung in Drehstromsystemen Prinzipielle Schaltungsvarianten in Drehstromsystemen Bei Drehstromsystemen unterscheidet man zwischen dem 3-Leiter-System und dem 4-Leiter-System, je nachdem, ob ein Neutralleiter vorhanden ist oder nicht. Abbildung 8.5 zeigt beide Varianten. Die komplexen Verbraucher Z 1 ,

Abb. 8.5. a) 4-Leiter-Drehstromsystem mit Sternschaltung der Verbraucher (N: Neutralleiter), b) 3-Leiter-Drehstromsystem mit Dreieckschaltung der Verbraucher

224


Z 2 und Z 3 können in Form einer Sternschaltung (Abb. 8.5a) oder einer Dreieckschaltung (Abb. 8.5b) zusammengeschaltet werden. Beim 4-Leiter-System hat man zwischen den Leiterspannungen (verkettete Spannung) U 12 , U 23 und U 31 (Spannungen zwischen zwei Außenleitern) und den Sternspannungen U 1N , U 2N und U 3N (Spannungen zwischen Außenleiter und Neutralleiter) zu unterscheiden (Abb. 8.5). Der Neutralleiter wird auch als Sternpunkt bezeichnet. Im Falle eines 3-Leiter-Systems kann man sich zu meßtechnischen Zwecken (Abb. 8.9) einen k¨ unstlichen Sternpunkt N ′ schaffen, indem man die drei Leiter L1 , L2 und L3 jeweils mit einem hochohmigen Widerstand R zu dem k¨ unstlichen Sternpunkt N ′ verbindet. Im folgenden wollen wir zun¨ achst eine symmetrische Belastung voraussetzen, d. h. die drei Lastimpedanzen sind identisch Z 1 = Z 2 = Z 3 . Im Zeigerdiagramm (Abb. 8.6) erkennt man, daß sowohl die Leiterspannungen als auch die Sternspannungen um jeweils 120◦ gegeneinander phasenverschoben sind. In Drehstromnetzen gilt generell U 12 = U 1N − U 2N U 23 = U 2N − U 3N

U 31 = U 3N − U 1N .

(8.18) (8.19) (8.20)

Dabei sollte erwähnt werden, daß sich in 3-Leiter-Systemen die Bezeichnung N auf den k¨ unstlichen Sternpunkt N ′ bezieht. Im speziellen gilt bei symmetrischer Belastung (8.21)

U 1N = U U 2N = U e

−j120◦

(8.22)

U 3N = U e

+j120◦

(8.23)

und |U 31 | =

p √ |U 1N |2 + |U 3N |2 − 2|U 1N ||U 3N | cos 120◦ = |U 1N | 3 . (8.24)

Die Leiterspannungen sind betragsm¨ aßig stets gleich

Abb. 8.6. Zeigerdiagramm eines symmetrisch belasteten Drehstromsystems. Leiterspannungen: U 12 , U 23 , U 31 ; Sternspannungen: U 1N , U 2N , U 3N


√ √ |U 12 | = |U 23 | = |U 31 | = |U | 3 = U 3

225

(8.25)

und ihre (Zeiger)-Summe ergibt Null U 12 + U 23 + U 31 = 0 .

(8.26)

Die Ströme des 4-Leiter-Systems gen¨ ugen folgender Bedingung I1 + I2 + I3 = IN .

(8.27)

F¨ ur den Fall symmetrischer Belastung (gleiche Lastimpedanzen Z 1 = Z 2 = Z 3 ) verschwindet der Strom im Neutralleiter des 4-Leiter-Systems. Weiterhin gilt f¨ ur die Leiterstr¨ ome I1 = I

(8.28)

I2 = I e

−j120◦

I3 = I e

+j120◦

(8.29) .

(8.30)

Aus Abb. 8.7 folgt der Zusammenhang zwischen Leiterströmen und Strangströmen bei einer Dreieckschaltung 1 |I 12 | = |I 23 | = |I 31 | = √ |I| . 3

(8.31)

Im 3-Leiter-System ist die Summe der drei Leiterströme infolge des nicht vorhandenen Neutralleiters stets Null I1 + I2 + I3 = 0 .

(8.32)

Abb. 8.7. Zeigerdiagramm von Leiterstr¨ omen I i und Strangstr¨ omen I ij bei der Dreieckschaltung. Die Form des gleichseitigen Dreiecks erh¨ alt man nur f¨ ur symmetrische (gleiche) Lasten Z i .

226


Messung der Wirkleistung in Drehstromsystemen F¨ ur den Fall symmetrischer Belastung gen¨ ugt ein Leistungsmesser, i.allg. wiederum ein elektrodynamisches Meßwerk. Die umgesetzte Gesamtleistung ergibt sich dabei als die dreifache Einzelleistung, welche gerade von dem einen Leistungsmesser angezeigt wird. F¨ ur den allgemeinen Fall unsymmetrischer Belastung jedoch werden beim 4-Leiter-System drei und beim 3-Leiter-System zwei Leistungsmesser ben¨ otigt. Es gilt die generelle Regel, daß n−1 Leistungsmesser eingesetzt werden m¨ ussen, wenn n Leitungen zu einem Verbraucher f¨ uhren, da eine der Leitungen stets als R¨ uckleitung angesehen werden kann. 4-Leiter-System Zur Wirkleistungsmessung in einem 4-Leiter-System werden drei elektrodynamische Meßwerke gem¨ aß Abb. 8.8 zusammengeschaltet. Die Gesamtwirkleistung PWges ergibt sich als Summe der einzelnen Leistungen PWi PWges = PW1 + PW2 + PW3 = U1Neff I1eff cos ϕ1 + U2Neff I2eff cos ϕ2 + U3Neff I3eff cos ϕ3 . (8.33) Dabei bezeichnet ϕi den Phasenwinkel zwischen dem Strom Ii und der Spannung UiN .

Abb. 8.8. Wirkleistungsmessung in einem 4-Leiter-Drehstromsystem

3-Leiter-System Oft werden auch bei 3-Leiter-Systemen drei Leistungsmesser eingesetzt, um die einzelnen Leistungen getrennt beobachten zu können. Das Meßergebnis ist damit außerdem genauer, insbesondere bei kleinen Leistungen und großen Phasenwinkeln. Da das 3-Leiter-System keinen Mittelpunktleiter aufweist,


227

Abb. 8.9. Wirkleistungsmessung im 3-Leiter-System

m¨ ussen die drei Spannungspfade zu einem k¨ unstlichen Sternpunkt N ′ verbunden werden. Dies entspricht der Schaltung nach Abb. 8.9. Dabei m¨ ussen die Widerstände bzw. Impedanzen der Spannungspfade aus Symmetriegr¨ unden gleich sein. Die Gesamtwirkleistung l¨ aßt sich dann wiederum nach Gl. (8.33) ermitteln. Im 3-Leiter-System gen¨ ugen allerdings auch zwei Leistungsmesser, wenn man sie in Form der sog. Aaronschaltung (Abb. 8.10) zusammenschaltet. Die beiden Meßwerke zeigen die von ihnen gemessenen Wirkleistungen PW1 und PW2 an, die sich in der Summe wie folgt darstellen PW1 + PW2 = U13eff I1eff cos(

Elektrische Messtechnik: Analoge, digitale und computergestutzte Verfahren. 5. Auflage

Elektrische Messtechnik: Analoge, digitale und computergestutzte Verfahren 2. Auflage

Elektrische Messtechnik: Analoge, digitale und computergestützte Verfahren

Elektrische Messtechnik: Analoge, digitale und computergestützte Verfahren (Springer-Lehrbuch)

Elektrische Messtechnik: Analoge, digitale und computergestützte Verfahren, 3.Auflage (Springer-Lehrbuch)

Elektrische Messtechnik: Analoge, digitale und computergestützte Verfahren, 4.Auflage (Springer-Lehrbuch)

Elektrische Messtechnik: Analoge, digitale und computergestützte Verfahren (Springer-Lehrbuch) (German Edition)

Nachrichtenübertragungstechnik: Analoge und digitale Verfahren mit modernen Anwendungen

Elektrische Messtechnik: Übungsbuch

Messtechnik 4 Auflage - Grundlagen und Anwendungen der elektrischen Messtechnik für alle technischen Fachrichtungen und Wirtschaftsingenieure

Elektrische Messtechnik: Übungsbuch (Springer-Lehrbuch) (German Edition)

Elektrische Maschinen und Antriebe. Lehr- und Arbeitsbuch 6. Auflage

Elektroniksimulation mit PSPICE: Analoge und digitale Schaltungen mit ausfuhrlichen Simulationsanleitungen, 3.Auflage GERMAN

Elektrische Antriebe - Grundlagen, 3.Auflage

Digitale Bildsignalverarbeitung. Grundlagen, Verfahren, Beispiele GERMAN

Medien- und Internetmanagement 5. Auflage

Elektrotechnik und Elektronik, 5. Auflage

Messtechnik 3 Auflage - Grundlagen und Anwendungen der elektrischen Messtechnik fur alle technischen Fachrichtungen und Wirtschaftsingenieure

Digitale Bildverarbeitung, 6. Auflage GERMAN

Elektrische und magnetische Felder: Eine praxisorientierte Einführung 2. Auflage

Geschlecht und digitale Medien

Hochfrequenzmesstechnik: Verfahren und Meßsysteme

Pharmazeutische Produkte und Verfahren

Digitale Fernseh- und Horfunktechnik in Theorie und Praxis: MPEG-Basisbandcodierung, DVB-, DAB-, ATSC-, ISDB-T-Ubertragungstechnik, Messtechnik, 3. Auflage

Professionelle Videotechnik: Analoge und digitale Grundlagen, Filmtechnik, Fernsehtechnik, HDTV, Kameras, Displays, Videorecorder, Produktion und Studiotechnik GERMAN

Elektrische Antriebe in der Fahrzeugtechnik: Lehr- und Arbeitsbuch, 2. Auflage

Ubungsbuch Regelungstechnik. Klassische, modell- und wissensbasierte Verfahren 3. Auflage

Coil Coating: Bandbeschichtung - Verfahren, Produkte und Markte, 2.Auflage

Energie aus Biomasse. Grundlagen, Techniken und Verfahren (2. Auflage)

Anwendungsorientierte Mikroprozessoren: Mikrocontroller und Digitale Signalprozessoren, 4. Auflage (eXamen.press)

Elektrische Maschinen: Eine Einführung, 2.Auflage

Elektrische Messtechnik: Analoge, digitale und computergestutzte Verfahren. 5. Auflage

Elektrische Messtechnik: Analoge, digitale und computergestutzte Verfahren 2. Auflage

Elektrische Messtechnik: Analoge, digitale und computergestützte Verfahren

Elektrische Messtechnik: Analoge, digitale und computergestützte Verfahren (Springer-Lehrbuch)

Elektrische Messtechnik: Analoge, digitale und computergestützte Verfahren, 3.Auflage (Springer-Lehrbuch)

Elektrische Messtechnik: Analoge, digitale und computergestützte Verfahren, 4.Auflage (Springer-Lehrbuch)

Elektrische Messtechnik: Analoge, digitale und computergestützte Verfahren (Springer-Lehrbuch) (German Edition)

Nachrichtenübertragungstechnik: Analoge und digitale Verfahren mit modernen Anwendungen

Elektrische Messtechnik: Übungsbuch

Messtechnik 4 Auflage - Grundlagen und Anwendungen der elektrischen Messtechnik für alle technischen Fachrichtungen und Wirtschaftsingenieure

Elektrische Messtechnik: Übungsbuch (Springer-Lehrbuch) (German Edition)

Elektrische Maschinen und Antriebe. Lehr- und Arbeitsbuch 6. Auflage

Elektroniksimulation mit PSPICE: Analoge und digitale Schaltungen mit ausfuhrlichen Simulationsanleitungen, 3.Auflage GERMAN

Elektrische Antriebe - Grundlagen, 3.Auflage

Digitale Bildsignalverarbeitung. Grundlagen, Verfahren, Beispiele GERMAN

Medien- und Internetmanagement 5. Auflage

Elektrotechnik und Elektronik, 5. Auflage

Messtechnik 3 Auflage - Grundlagen und Anwendungen der elektrischen Messtechnik fur alle technischen Fachrichtungen und Wirtschaftsingenieure

Digitale Bildverarbeitung, 6. Auflage GERMAN

Elektrische und magnetische Felder: Eine praxisorientierte Einführung 2. Auflage

Geschlecht und digitale Medien

Hochfrequenzmesstechnik: Verfahren und Meßsysteme

Pharmazeutische Produkte und Verfahren

Digitale Fernseh- und Horfunktechnik in Theorie und Praxis: MPEG-Basisbandcodierung, DVB-, DAB-, ATSC-, ISDB-T-Ubertragungstechnik, Messtechnik, 3. Auflage

Professionelle Videotechnik: Analoge und digitale Grundlagen, Filmtechnik, Fernsehtechnik, HDTV, Kameras, Displays, Videorecorder, Produktion und Studiotechnik GERMAN

Elektrische Antriebe in der Fahrzeugtechnik: Lehr- und Arbeitsbuch, 2. Auflage

Ubungsbuch Regelungstechnik. Klassische, modell- und wissensbasierte Verfahren 3. Auflage

Coil Coating: Bandbeschichtung - Verfahren, Produkte und Markte, 2.Auflage

Energie aus Biomasse. Grundlagen, Techniken und Verfahren (2. Auflage)

Anwendungsorientierte Mikroprozessoren: Mikrocontroller und Digitale Signalprozessoren, 4. Auflage (eXamen.press)

Elektrische Maschinen: Eine Einführung, 2.Auflage

Recommend Documents