Einführung in die Technische Mechanik: Statik (Springer-Lehrbuch) (German Edition)

Springer-Lehrbuch

Herbert Balke

Einführung in die Technische Mechanik Statik 3. Auflage

1C

Prof. Dr.-Ing. habil. Herbert Balke Technische Universität Dresden Institut für Festkörpermechanik 01062 Dresden [email protected]

ISSN 0937-7433 ISBN 978-3-642-10397-1 e-ISBN 978-3-642-10398-8 DOI 10.1007/978-3-642-10398-8 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2005, 2007, 2010 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandentwurf: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com)

Vorwort zur dritten Auflage Die anhaltende Nachfrage machte eine dritte Auflage des Buches erforderlich. Bei dieser Gelegenheit wurden geringf¨ ugige Erg¨anzungen vorgenommen. Dresden, im Fr¨ uhjahr 2010

H. Balke

Vorwort zur ersten Auflage Die Technische Mechanik vermittelt wesentliche Kenntnisse und Methoden, die der Ingenieur f¨ ur den Entwurf und die Beurteilung der Funktionsf¨ahigkeit und Zuverl¨ assigkeit von Konstruktionen ben¨ otigt. Sie ist deshalb Bestandteil der universit¨ aren Grundlagenausbildung der Maschinenbau-, Bau-, Mechatronik- und Elektroingenieure sowie weiterer Studieng¨ange. Wegen ihrer Anforderung, einerseits mittels Abstraktion von den komplexen Konstruktionen zu einfachen Modellen zu gelangen und andererseits die gewonnenen Modelle einer bis zum konkreten Zahlenergebnis f¨ uhrenden Berechnung zu unterwerfen, bereitet die Technische Mechanik den Studierenden erfahrungsgem¨aß Schwie¨ rigkeiten. Uber die p¨ adagogischen Wege, diese Schwierigkeiten zu minimieren, existieren unterschiedliche Auffassungen, die letztlich auch die Gliederung des gesamten Lehrstoffes beeinflussen. Eine allgemein bew¨ahrte Herangehensweise, die weitestgehend auf die jeweiligen Etappen der Mathematikausbildung R¨ ucksicht nimmt, fußt auf der Reihenfolge der Teildisziplinen Statik, Festigkeitslehre, Kinematik und Kinetik, wobei hier die Technische Str¨omungslehre als eigene Disziplin angesehen und deshalb ausgelassen wird. Im Fall ausreichender mathematischer Vorkenntnisse sind Kinematik und Kinetik, begrenzt auf starre K¨ orper, auch im Anschluss an die Statik vermittelbar. Die Konzeption des vorliegenden Buches Einf¨ uhrung in die Technische Me” chanik/Statik“, das mit den beiden B¨ anden zur Kinematik/Kinetik und Festigkeitslehre fortgesetzt werden soll, schließt sich der genannten Lehrmeinung an. In sie fließen die Erfahrungen der traditionellen Lehre zur Technischen Mechanik im Maschinenbau, in der Mechatronik und Elektrotechnik der Technischen Universit¨ at Dresden einschließlich meiner zehnj¨ahrigen Vorlesungspraxis an dieser Universit¨ at und der Technischen Universit¨at Chemnitz ein. Wichtige Anregungen entsprangen der l¨ anger w¨ahrenden Besch¨aftigung mit der Kontinuums- und Bruchmechanik sowie mit der elektromechanischen Feldtheorie des deformierbaren Festk¨ orpers. Diese betreffen die unabh¨angige G¨ ultigkeit der Impulsbilanz und Drehimpulsbilanz f¨ ur beliebige K¨orper und K¨ orperteile, eine Forderung, die das Schnittprinzip enth¨alt, sowie die auch

f¨ ur eine elementare Lehre der Mechanik zweckm¨aßige Einf¨ uhrung der unabh¨ angigen Lasten Einzelkraft und Einzelmoment. Sie sind seit dem Sommersemester 2000 Bestandteil meiner Grundlagenvorlesungen zur Technischen Mechanik. Das Buch ist stark am Stoff der einsemestrigen Statik-Vorlesung f¨ ur Maschinenbauingenieure orientiert und sehr genau mit den anschließenden Lehrinhalten zur Festigkeitslehre, Kinematik und Kinetik abgestimmt. Durch Kon¨ zentration auf das Wesentliche wird eine m¨oglichst gute Ubersichtlichkeit angestrebt. Es werden aber auch manche Sachverhalte etwas ausf¨ uhrlicher als unter dem Zeitdruck der Vorlesung dargestellt und nahe liegende Erg¨ anzungen einbezogen. Insofern hoffe ich, dass das Buch der Erarbeitung des Vorlesungsstoffes und dem Selbststudium der Statik dienlich sein kann. Das Verst¨ andnis der Technischen Mechanik entwickelt sich haupts¨achlich bei ihrer praktischen Umsetzung. Deshalb wird dem Leser empfohlen, Herleitungen und Beispiele eigenst¨ andig nachzuvollziehen. Dar¨ uber hinaus sollten die gewonnenen Kenntnisse durch die L¨ osung zus¨atzlicher Aufgaben, die den zahlreich vorliegenden Aufgabensammlungen entnehmbar sind, u uft ¨ berpr¨ und soweit vertieft werden, bis eine gewisse Routine in den Berechnungsabl¨ aufen erreicht wird. Meinen verehrten Lehrern, den Herren Professoren H. G¨oldner, F. Holzweißig, G. Landgraf und A. Weigand, bin ich daf¨ ur verpflichtet, dass sie meine Begeisterung f¨ ur das Fach Technische Mechanik“ geweckt haben. Besonde” rer Dank gilt den Herren Dr.-Ing. J. Brummund, Prof. P. Haupt (Universit¨at Kassel) und Prof. V. Ulbricht, mit denen die in den einf¨ uhrenden Lehrb¨ uchern zum Teil vorhandenen Widerspr¨ uche bei der Darlegung der Grundlagen von Statik und Kinetik ausdiskutiert werden konnten, Herrn Prof. S. S¨ahn f¨ ur den Hinweis auf die Bedingtheit der Kraftlinienfl¨ uchtigkeit beim starren K¨orper sowie den Herren Dr.rer.nat. H.-A. Bahr, Dipl.-Ing. C. H¨ausler, Dr.-Ing. habil. V. Hellmann, apl. Doz. Dr.-Ing. habil. G. Georgi und Dr.rer.nat. H.-J. Weiß (Fraunhofer-Institut f¨ ur Werkstoff- und Strahltechnik, Dresden) f¨ ur zahlreiche n¨ utzliche Anmerkungen zu einzelnen Details. Herzlich gedankt sei auch Herrn Prof. K.-H. Modler f¨ ur die Bereitstellung ur die Hilfe bei der der Zeichenkapazit¨ at, Herrn Dipl.-Ing. G. Haasemann f¨ ur die Computerzeichnung meiner BildTextverarbeitung, Frau C. Pellmann f¨ vorlagen und Frau K. Wendt, die mit viel Geduld und Einf¨ uhlungsverm¨ogen das Manuskript in eine druckreife Form gebracht hat. Dem Springer-Verlag danke ich f¨ ur die schnelle Herausgabe des Buches. Dresden, im Sommer 2004

H. Balke

Inhaltsverzeichnis Einf¨ uhrung ................................................................... Grundlegende Voraussetzungen Starrer K¨ orper .................................................... Lasten .............................................................. Einzelkraft......................................................... Einzelmoment .................................................... Schnittprinzip ..................................................... Kartesische Bezugssysteme f¨ ur Vektoren ....................

1 1.1 1.2 1.2.1 1.2.2 1.3 1.4

1 7 8 9 11 13 15

2.2.1 2.2.2 2.2.3

Kr¨ afte und Momente in der ebenen Statik Kr¨afte in der Ebene mit gemeinsamem Schnittpunkt ihrer Wirkungslinien .................................................... Ermittlung der resultierenden Kraft .......................... Gleichgewichtsbedingungen .................................... Beliebige Kr¨afte in der Ebene und Momente senkrecht zur Ebene.......................................................... Beliebige Kr¨afte in der Ebene ................................. Momente senkrecht zur Ebene ................................ Gleichgewichtsbedingungen ....................................

24 24 26 32

3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Ebene Tragwerke Geometrische Einteilung der Tragwerke ..................... Lagerarten ......................................................... Lasten .............................................................. Bestimmung der Lagerreaktionen ............................. Streckenlasten ....................................................

37 39 40 42 47

4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Schnittreaktionen des Balkens in der ebenen Statik Definition der Schnittreaktionen .............................. Berechnung der Schnittreaktionen............................ Beziehungen zwischen Streckenlast, Querkraft und Biegemoment ......................................................... Beispiele ........................................................... Schnittreaktionen gekr¨ ummter Balken .......................

60 61 67

5 5.1 5.2 5.3

Zusammengesetzte ebene Tragwerke Statische Bestimmtheit ......................................... Berechnung zusammengesetzter Tragwerke ................ Fachwerke .........................................................

71 74 78

2 2.1 2.1.1 2.1.2 2.2

19 19 22

55 57

6.2 6.3

Raumstatik Kr¨afte mit gemeinsamem Schnittpunkt ihrer Wirkungslinien ................................................................. Beliebige Kr¨afte und Momente im Raum ................... Gleichgewichtsbedingungen ....................................

85 87 89

7 7.1 7.2 7.3

R¨ aumliche Tragwerke Lagerarten ......................................................... Schnittreaktionen des Balkens................................. Beispiele ...........................................................

93 94 94

8 8.1 8.2 8.3

Reibung Grundlagen ........................................................ 101 Beispiele ........................................................... 104 Seilreibung ........................................................ 109

9 9.1 9.2 9.3

Schwerpunkt K¨orperschwerpunkt .............................................. 118 Fl¨achenschwerpunkt ............................................. 121 Linienschwerpunkt ............................................... 128

10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6

Fl¨ achenmomente zweiter Ordnung Definition der Fl¨achenmomente zweiter Ordnung ......... Berechnung der Fl¨achenmomente zweiter Ordnung ....... Transformation bei parallelen Bezugsachsen................ Zusammensetzung einfacher Fl¨achen ........................ Haupttr¨agheitsmomente ........................................ Polares Fl¨achentr¨agheitsmoment..............................

6 6.1

133 134 138 142 145 150

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Einf¨ uhrung Seit dem Altertum besch¨ aftigen sich Menschen mit Mechanik, um das Gleichgewicht und die Bewegung der K¨ orper unter der Wirkung von Lasten zu verstehen. So muss die Kraft in einem Seil, das zum Heben eines Gewichts dient, bekannt sein, damit ein gen¨ ugend festes Seil zur Verf¨ ugung gestellt wird. F¨ ur die Funktion eines Fahrzeuges ist unter Ber¨ ucksichtigung seiner Massenverteilung nicht nur sein Verhalten bei Orts¨anderungen sondern auch bei Orientierungs¨ anderungen wichtig. Die betrachteten K¨orper sind im Allgemeinen verformbar. Diese Eigenschaft wird als Bestandteil einer allgemeinen Bewegung angesehen. Offensichtliche Beispiele hierf¨ ur findet man bei der Federung der Fahrzeuge, aber auch bei der zu begrenzenden Durchbiegung einer Br¨ ucke oder der Schwankung eines Antennenmastes unter Windeinwirkung. Die Anwendung der gewonnenen Kenntnisse erstreckt sich von der primitiven Handarbeit u ¨ ber Planetenbahnberechnungen einschließlich Navigation bis zu Konstruktionen des Hochtechnologiesektors und dringt zunehmend in weitere Bereiche wie z.B. Materialwissenschaft, Mikroelektronik oder Medizin ein. Ihrem Wesen nach geh¨ ort die Mechanik ¨ ahnlich wie die Mathematik zu den streng logischen Wissenschaften. Die von ihr benutzten bzw. eingef¨ uhrten Begriffe wie K¨ orper, Ort, Orientierung, Zeit, Masse, Kraft, Moment, Arbeit und Energie bilden die in der Realit¨ at existierenden komplexen Sachverhalte auf u ¨ bersichtliche, logische und damit einer rechnerischen Behandlung zug¨ angliche Modelle ab. Als Grundlage dieser Modelle dienen einige wenige Prinzipien, die seit Jahrhunderten begleitend zu den sich anh¨aufenden Erfahrungen bei der L¨ osung praktischer Aufgaben mit zunehmendem Allgemeing¨ ultigkeitsgrad durch Abstraktion gewonnen wurden. Dabei galt die Mechanik lange Zeit haupts¨ achlich als Bestandteil der Physik. Mit der Zunahme ihrer Bedeutung f¨ ur die Technik entstand, zugeschnitten auf die neuen Herausforderungen, die Technische Mechanik, die jetzt zu den ingenieurwissenschaftlichen Grundlagen zu z¨ ahlen ist. Die Technische Mechanik nahm eine eigenst¨ andige Entwicklung, die sich sowohl in der Herkunft neuer Beitr¨age als auch schließlich in der Lehrbuchliteratur widerspiegelte und deren wahre Inhalte sich immer an den konkreten Problemen orientierte. Diese Entwicklung wird begleitet vom st¨ urmischen Fortschritt in der elektronischen Rechentechnik, die die effiziente mathematische Behandlung immer komplizierterer mechanischer Modelle erlaubt. Die Modelle, die die technische Realit¨at gegenw¨ artig und in absehbarer Zukunft am besten beschreiben, bestehen aus K¨ orpern, deren Eigenschaften als kontinuierlich u ¨ ber das K¨orpervolumen veruhrt sehr h¨aufig zu teilt angenommen werden. Diese Kontinuumsmechanik f¨ Differentialgleichungen mit Rand- und Anfangsbedingungen, welche mittels spezieller Diskretisierungen (z.B. Methode der finiten Elemente) in Com-

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Einf¨ uhrung

puterprogrammen umgesetzt und damit gel¨ ost werden. Solche Computerprogramme, die den Zugriff zu einer riesigen Vielfalt von realit¨atsnahen Modellen gestatten, sind seit u ¨ ber zwanzig Jahren Stand der Technik und kommerziell verf¨ ugbar. Die Nutzung dieser Programme und ihrer st¨andig weiterentwickelten Versionen geh¨ ort zu den unverzichtbaren Aufgaben des Ingenieurs. Sie sollte aber in jedem Falle auf dem Verst¨andnis der zugrunde liegenden ¨ Annahmen und Gleichungen beruhen, von Uberschlagsrechnungen, die sich aus vereinfachten Modellen ergeben, begleitet und durch Testrechnungen zum Vergleich mit bekannten, analytisch gel¨ osten Spezialf¨allen erg¨anzt werden. Aus den obigen Darlegungen ergeben sich zwei wichtige Folgerungen f¨ ur die Technische Mechanik als ingenieurwissenschaftliches Grundlagenfach. So sollten einerseits alle einzuf¨ uhrenden Begriffe, zu treffenden Annahmen und zu behauptenden S¨ atze im Einklang mit den konkreten zu l¨osenden Problemen stehen und widerspruchsfreie Verallgemeinerungen in der modernen Kontinuumsmechanik erlauben. Andererseits ist eine hierarchische Struktur der Inhalte des Faches, die m¨ oglichst in jeder komplexen Situation den R¨ uckgriff auf einfache Methoden gestattet, nicht nur f¨ ur die Lehre sondern auch f¨ ur die praktische Handhabung der Technischen Mechanik w¨ unschenswert. Im Folgenden geht es um die Technische Mechanik von Festk¨orpern, abk¨ urzend K¨ orper genannt. Die K¨ orper ersetzen bei der idealisierenden Modellierung die realen Bauteile. In der Statik wird das Gleichgewicht, d.h. die Beibehaltung der Ruhe der belasteten K¨ orper betrachtet. Die Deformationen der belasteten K¨ orper sind h¨ aufig klein gegen¨ uber ihren Abmessungen und k¨ onnen bei der Untersuchung des Gleichgewichts oft vernachl¨assigt werden, was zum Begriff des starren K¨ orpers f¨ uhrt. Die Festigkeitslehre ber¨ ucksichtigt die Verformungen und die Materialeigenschaften des K¨orpers bei der Berechnung der Beanspruchungen, die im K¨ orper auftreten. Sie beantwortet die Frage, ob der K¨ orper h¨ alt oder bricht bzw. wegen unzul¨assiger Deformatioullt. In der Kinematik werden die geometrischen nen seine Funktion nicht erf¨ Einzelheiten der Bewegung von K¨ orpern im Zeitablauf ohne Bezug zu irgendwelchen Lasten studiert. Der Zusammenhang zwischen den Bewegungen von K¨ orpern und den Lasten als Ursache daf¨ ur ist Gegenstand der Kinetik. Der Inhalt des vorliegenden Buches zur Statik ist wesentlich gepr¨agt durch die beiden Erfahrungss¨ atze u ullenden, voneinan¨ ber die gemeinsam zu erf¨ der unabh¨ angigen Bilanzen der Kr¨ afte und Momente im Falle des Gleichgewichts des K¨ orpers sowie beliebiger Teile desselben. In diesem Zusammenhang wird dem Moment eine gleichberechtigte Stellung gegen¨ uber der Kraft einger¨ aumt, wenn auch in die f¨ ur allgemeine Gleichgewichtsbetrachtungen ben¨ otigte Momentendefinition die Kraft selbst neben einer L¨ange eingeht. Die NEWTONschen Axiome, in denen die Kr¨aftebilanz, aber nicht die Momentenbilanz vorkommen, werden nicht als ausreichende Grundlage f¨ ur die

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Statik angesehen. Dieser in der Statik allgemein akzeptierte Standpunkt - das Hebelgesetz als Teilaussage der Momentenbilanz wurde schon von ARCHIMEDES (287-212 v.Chr.), also lange vor NEWTON (1643-1727), angegeben muss selbstverst¨ andlich in einer sich anschließenden Kinetik, die die Statik als Sonderfall enth¨ alt, ber¨ ucksichtigt werden, damit die Technische Mechanik der zwingenden Forderung gen¨ ugt, widerspruchsfrei zu sein. Mit anderen Worten, die Technische Mechanik, die in der Statik auf den beiden unabh¨angigen Vektorbilanzen der Kr¨afte und Momente beruht, kann sich in der Kinetik nicht allein auf die eine Vektorgleichung des sogenannten dynamischen Grundgesetzes der NEWTONschen Axiomatik st¨ utzen. Die Anwendung der genannten Erfahrungss¨ atze auf spezielle Anordnungen belasteter starrer K¨ orper erlaubt die Berechnung von Lager- und Schnittreaktionen, wobei zun¨ achst Probleme der ebenen Statik ausf¨ uhrlicher betrachtet werden, was erfahrungsgem¨ aß das Verst¨ andnis der r¨aumlichen Statik erleichtert. Reibungsprobleme lassen sich mit einordnen. Die zur Statik geh¨orenden Aufgaben der Schwerpunktbestimmung werden hier erg¨anzt um die Bereitstellung der sp¨ ater in der Balkentheorie ben¨ otigten Fl¨achenmomente zweiter ¨ Ordnung, was im Studienablauf eine g¨ unstige Ubungsgestaltung erm¨oglicht. Die f¨ ur die Statik erforderlichen Voraussetzungen umfassen Kenntnisse der Geometrie, Trigonometrie, Vektorrechnung, inhomogene lineare Gleichungssysteme, gew¨ ohnliche Ableitungen und bestimmte Integrale. Der Begriff der Funktion von mehreren Variablen wird angedeutet. Volumenintegrale werden mit Bezug auf endliche Summen erw¨ ahnt, Fl¨achenintegrale am Beispiel erkl¨ art und in den Anwendungen auf bekannte Ergebnisse zur¨ uckgef¨ uhrt.

Kapitel 1 Grundlegende Voraussetzungen

1

1

1 1.1 1.2 1.2.1 1.2.2 1.3 1.4

Grundlegende Voraussetzungen Starrer K¨orper .................................................... Lasten .............................................................. Einzelkraft......................................................... Einzelmoment .................................................... Schnittprinzip ..................................................... Kartesische Bezugssysteme f¨ ur Vektoren ....................

7 8 9 11 13 15

1 Grundlegende Voraussetzungen Die realen Objekte, welche Untersuchungsgegenstand der Statik sind, m¨ ussen auf das Wesentliche reduziert, d.h. idealisiert werden. Dies f¨ uhrt zu einem einfachen Begriffssystem, das durch Verkn¨ upfung mit der Erfahrung die Formulierung der beiden unabh¨ angigen Basisaussagen der Statik u ¨ ber das Gleichgewicht belasteter K¨ orper und beliebiger Teile von ihm erlaubt, n¨amlich die Kr¨ aftebilanz und die Momentenbilanz.

1.1 Starrer K¨ orper Eine f¨ ur die Statik wichtige Eigenschaft der technischen Objekte (Konstruktionen, Tragwerke, Bauelemente u.¨ a.) ist die geometrische Gestalt, d.h. die Gesamtheit der Abmessungen. In der Realit¨ at verformen sich die Objekte unter den einwirkenden Lasten. In vielen technisch relevanten F¨allen k¨onnen die dabei auftretenden Abmessungs¨ anderungen im Vergleich zu den Abmessungen vernachl¨ assigt werden. Dies f¨ uhrt zum Begriff des starren K¨orpers, der dadurch gekennzeichnet ist, dass alle Abst¨ ande zweier beliebiger K¨orperpunkte unge¨ andert bleiben. F¨ ur alle in dem Buch Statik“ behandelten Probleme ” wird von dieser Vereinfachung Gebrauch gemacht und der starre K¨orper, bis auf hervorzuhebende Sonderf¨ alle, abk¨ urzend als K¨orper bezeichnet. ¨ F¨ ur die weiteren Uberlegungen ist es erforderlich, die Lage des starren K¨orpers anzugeben. Dies geschieht relativ zu drei nicht in einer Ebene liegenden, starren Laborw¨ anden, welche auf der Erdoberfl¨ache fixiert sind. Die Bewegung der Erdoberfl¨ ache wird dabei zun¨ achst vernachl¨assigt. F¨ ur einen genaueren Lagebezug ist erfahrungsgem¨ aß der Fixsternhimmel anstelle der Erdoberfl¨ ache zu benutzen. Wenn die W¨ ande eben sind, senkrecht aufeinander stehen und die Abst¨ ande der K¨ orperpunkte zu diesen W¨anden im gleichen Maßstab gemessen werden, gewinnen wir ein kartesisches Koordinatensystem, das wegen der beschriebenen Bindung als raumfest bezeichnet wird und k¨ unftig verwendet werden soll. Ein solches Koordinatensystem mit den Achsen x, y, z ist im Bild 1.1 angegeben. In diesem System befindet sich ein starrer K¨ orper, der durch das starre orasentiert wird. Ort und Orientierung dieses thogonale Dreibein OABC repr¨ Dreibeins k¨ onnen folgendermaßen festgelegt werden (Bild 1.1 a). Die drei Koordinaten xO , yO , zO fixieren den Punkt O, verhindern also m¨ogliche Verschiebungen dieses Punktes. Winkel¨ anderungen um die zu x, y, z parallelen Achsen OA, OB, OC werden jeweils durch die Koordinaten zB , xC , yA blockiert. Die Lagebestimmung erfordert also insgesamt sechs Informationen. Wenn diese Bindungen aufgegeben werden, besitzt der K¨orper sechs

1.1

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1. Grundlegende Voraussetzungen y

y

B O

xC

C yO xO

z

zB

a)

zO

B A yA

O C yO

xC yC

x xO z

zO

A yA x

b)

Bild 1.1. Festlegung des starren K¨ orpers im kartesischen Koordinatensystem

unabh¨ angige Bewegungsm¨ oglichkeiten, n¨ amlich drei Verschiebungen und drei Winkel¨ anderungen. Die Anzahl der unabh¨ angigen Bewegungsm¨oglichkeiten wird auch als Freiheitsgrad f bezeichnet. Es gilt also f¨ ur den ungebundenen starren K¨ orper genau f = 6. Bild 1.1b zeigt eine andere m¨ ogliche Bindungsrealisierung mit derselben, dem Freiheitsgrad f = 6 entsprechenden Zahl von Bindungen, wobei zB durch yC ersetzt wurde. Beide F¨ alle von Bild 1 enthalten außer den drei Angaben u ¨ber den Ort des K¨ orperpunktes O drei Festlegungen u ¨ ber k¨orperfeste Richtungen. Eine solche Richtung ist eine Eigenschaft der jeweiligen Geraden, welche durch zwei K¨ orperpunkte gelegt wurde, und stellt neben dem Terminus Punkt“ einen ” weiteren ben¨ otigten Begriff dar. Der gebundene K¨ orper befindet sich in Ruhe. Bleibt der K¨orper nach L¨osen der Bindungen in Ruhe, d.h. erleidet er trotz m¨oglicher Belastungen keine Translation und Rotation, so befindet er sich im Gleichgewicht. Die statischen Bedingungen f¨ ur diese kinematisch definierte Situation werden im Folgenden schrittweise formuliert.

1.2

1.2 Lasten Auf die K¨ orper k¨ onnen Lasten (auch Belastungen genannt) zweier unterschiedlicher Typen einwirken, die durch einfache Anschauungsbeispiele erl¨ autert werden sollen. Ihr voller Bedeutungsumfang geht jedoch weit u ¨ ber diese Beispiele hinaus. Er bleibt im Allgemeinen offen, so dass die Lasten in jeder konkreten Situation neu spezifiert werden m¨ ussen.

1.2

Lasten

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1.2.1 Einzelkraft

Die auf die fixierte Wand W im Bild 1.2 (die Fixierung ist durch eine Schraffur angedeutet) ausge¨ ubte Kraft wird vom Kraftaus¨ ubenden u uhl in ¨ber das Gef¨ seiner Hand wahrgenommen.

W

O

H

Bild 1.2. Empfindung einer Kraft

Die Hand gibt dieser Kraft eine Richtung und einen Richtungssinn entsprechend der empfundenen Anspannung (in Bild 1.2 durch einen Pfeil angedeutet). Die summarische Wirkung der Kraft wird dann durch einen Zahlenwert beschrieben. Es ist denkbar, dieselbe Kraftwirkung auf die Wand unter Be¨ O zu realisieren, was zur Entlastung des Hakens H f¨ nutzung der Ose uhrt. ¨ und Haken bestehende Konstruktion, die als ein K¨orper F¨ ur die aus Ose modelliert wird, ist also der Ort f¨ ur den Kraftangriff wichtig. Die einfachste Idealisierung nimmt die geometrische Gestalt dieses Ortes als punktf¨ormig an. Die Zusammenfassung aller genannten Bestimmungsst¨ ucke f¨ uhrt zur folgenden naheliegenden Definition des Begriffes der Einzelkraft: Die Einzelkraft ist ein Vektor, der einen Angriffspunkt besitzt. K WL

a)

K

F

P

F

WL

P

b) Bild 1.3. Angriff einer Einzelkraft

Im Bild 1.3a ist dieser Sachverhalt nochmals dargestellt. Der Angriffspunkt P des Einzelkraftvektors F (Vektoren werden k¨ unftig durch fette Buchstaben bezeichnet) befindet sich am K¨ orper K, der mit der Umgebung, d.h. mit dem kartesischen Koordinatensystem, starr verbunden ist. Zus¨atzlich wurde die Linie angegeben, auf der der Einzelkraftvektor liegt, die sogenannte Wirkungslinie WL (strichpunktiert), deren Bedeutung sp¨ater erkl¨art wird. Mitunter ist es aus zeichentechnischen Gr¨ unden sinnvoll, bei gleicher Lage des Kraftangriffspunktes den Vektorpfeil in einer anderen Position auf der Wirkungslinie, z.B. mit der Pfeilspitze im Kraftangriffspunkt, einzutragen (Bild 1.3b).

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1. Grundlegende Voraussetzungen

Die noch zu besprechende wesentliche Vektoreigenschaft der Einzelkraft, n¨ amlich die G¨ ultigkeit des Vektorparallelogrammes, ist durch die Erfahrung, d.h. durch experimentelle Nachweise, gegeben und schon bei STEVIN (15481620) zu finden. Eine Einzelkraft kann eindeutig nach zwei gegebenen Richtungen durch den Angriffspunkt P der Einzelkraft zerlegt, und zwei gegebene Einzelkr¨ afte mit gemeinsamem Angriffspunkt P k¨onnen zu einer Einzelkraft ¨ zusammengefasst werden (wechselseitige statische Aquivalenz, s. Bild 1.4a). Zur Verk¨ urzung der Darstellung und Hervorhebung des gemeinsamen Angriffspunktes P ist es u ¨ blich, die beiden Parallelogramme u ¨ bereinander zu zeichnen. Damit die alternativ zu ber¨ ucksichtigenden ¨aquivalenten Kr¨afte F umlich als gemeinsam wirkend aufgefasst werden, sind oder F1 , F2 nicht irrt¨ sie durch unterschiedliche Stricharten dargestellt (Bild 1.4b). F

F2 =

P F

F2

P Bild 1.4.

a)

b)

F1

P

F1 F1

F2

F

F

c)

F2

F1

F¨ ur Einzelkr¨ afte g¨ ultiges Vektorparallelogramm a) und verk¨ urzte Darstellungen

b) bzw. c)

F¨ ur die grafische Realisierung der vektoriellen Zerlegung bzw. Zusammensetzung reicht das sogenannte Krafteck aus (Bild 1.4c). Analytisch gehorcht dieser Sachverhalt den Regeln der Vektorrechnung F = F1 + F2 .

(1.1)

In (1.1) wird nochmals die Beliebigkeit der Reihenfolge der Vektoraddition urfen selbst durch Zusammensetzung aus deutlich. Die Einzelkr¨ afte F1 , F2 d¨ Einzelkr¨ aften entstanden sein. Diese wiederholte Vektoraddition gem¨aß (1.1) ist nicht auf Einzelkr¨ afte beschr¨ ankt, die alle in derselben Ebene liegen. Umgekehrt enth¨ alt die Vektoreigenschaft den Fakt, dass eine Einzelkraft eindeutig nach drei gegebenen, nicht in einer Ebene liegenden Richtungen durch den Angriffspunkt der Einzelkraft zerlegt werden kann. F¨ ur das Studium des Gleichgewichts am gesamten starren K¨orper folgt aus ¨ der Erfahrung, dass die Einzelkraft ohne Anderung ihrer Wirkung auf das Gleichgewicht l¨ angs ihrer Wirkungslinie (Bild 1.3) verschoben werden kann,

1.2

Lasten

11

d.h. dass ihr Angriffspunkt auf der Wirkungslinie beliebig positionierbar ist. Alle dadurch entstehenden Anordnungen heißen deshalb statisch a¨quivalent, obwohl sie zu unterschiedlichen Wechselwirkungen im K¨orper f¨ uhren. Besteht kein Anlass zu Fehldeutungen, wird k¨ unftig die Einzelkraft abk¨ urzend als Kraft bezeichnet. Zur Quantifizierung physikalischer Gr¨ oßen reichen Empfindungen nicht aus. Diese Gr¨ oßen sind vermittels ihrer Wirkungen zu messen. Als Messeinrichtung f¨ ur die Kraft kann z.B. eine Federwaage dienen. Eine statische elastische Verl¨ angerung der Feder dieser Waage entspricht dann einer gewissen Kraft. Die Elastizit¨ at der Feder als Bestandteil der Messeinrichtung f¨ ur die Statik starrer K¨ orper wird dabei als gegeben hingenommen wie die Elastizit¨at des Antriebs einer Uhr f¨ ur die Zeitmessung in der Kinetik starrer K¨orper. Mit Festlegung von Normbedingungen f¨ ur den statischen Messvorgang w¨are auch eine Maßeinheit f¨ ur die Kraft gewinnbar. Die Maßeinheit der Kraft wird jedoch aus Zweckm¨ aßigkeitsgr¨ unden u ¨ ber eine andere physikalische Wirkung, n¨amlich ihr Verm¨ ogen, einen massebehafteten K¨orper translatorisch zu beschleunigen, abgeleitet. Dieser Sachverhalt liegt außerhalb der Statik. Hier muss auf das sp¨ atere Studium der Kinetik verwiesen werden. Mit den Grundgr¨ oßen L¨ ange, Zeit und Masse sowie ihren Einheiten Meter (m), Sekunde (s) und Kilogramm (kg) ergibt sich als Einheit [F ] des Betrages F = |F| der Kraft F das Newton (N) zu [F ] = 1N = 1kg · m/s2 . Unter Verwendung von drei Federwaagen kann die oben postulierte G¨ ultigkeit des Kr¨ afteparallelogramms experimentell best¨ atigt werden. 1.2.2 Einzelmoment

Bei der Anwendung eines Schraubendrehers auf die fixierte Konstruktion im Bild 1.5 wird u uhl wahrgenommen ¨ ber die Hand ein qualitativ anderes Gef¨ als in der Situation von Bild 1.2. B-B 1

B A

2

B

S Bild 1.5. Empfindung eines Momentes

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1. Grundlegende Voraussetzungen

Die Hand u ¨ bt mittels des Schraubendrehers ein Moment auf die abgebildete Konstruktion aus. Dieses Moment besitzt eine Richtung (nicht notwendig senkrecht zu dem Ausleger A) und einen Dreh- oder Winkelorientierungssinn, den die Hand sp¨ urt, auch wenn sie in Wirklichkeit eine Drehung des Schraubendrehers nicht ausf¨ uhrt. Unter Beachtung dieser beiden Merkmale wird die summarische Wirkung dann durch einen Zahlenwert beschrieben. Die Wirkung des vom Schraubendreher u ¨ ber den Ausleger A in den St¨ander S eingeleiteten Momentes ist dieselbe bei paralleler Anordnung des Schraubendrehers im Schlitz 2 anstelle des Schlitzes 1. Dann wird aber der Schlitz 1 entlastet. F¨ ur die als K¨ orper idealisierte Konstruktion des Auslegers ist also der Ort der Momenteneinleitung bedeutsam. Wie bei der Einzelkraft wird dieser Ort als Punkt idealisiert und damit die Definition eines Einzelmomentes erm¨ oglicht: Das Einzelmoment ist ein Vektor, der einen Angriffspunkt besitzt und dem ein Drehsinn zugeordnet ist. Der Drehsinn erzeugt vermittels einer Rechtsschraube den Richtungssinn des Einzelmomentenvektors. Vektoren, die der genannten Zusatzforderung gen¨ ugen, heißen axiale Vektoren und werden durch Pfeile mit doppelter Spitze abgebildet. Dies ist im Bild 1.6 zu sehen, wo der Einzelmomentenvektor M im Punkt P des K¨orpers K ¨ angreift und der gekr¨ ummte Pfeil den Drehsinn angibt. Ahnlich wie bei der Kraft wird manchmal aus zeichnerischen Gr¨ unden f¨ ur identische Lage des Einzelmomentangriffspunktes die Pfeilspitze des Vektors mit gleicher Orientierung in den Angriffspunkt gelegt. K

M

P

Bild 1.6. Angriff eines Einzelmomentes

Alles, was u ultigkeit des Vektorparallelogrammes bei Einzelkr¨aften ¨ ber die G¨ gesagt wurde, trifft auch f¨ ur Einzelmomente zu. F¨ ur das Studium des Gleichgewichts am gesamten starren K¨orper folgt weiter ¨ aus der Erfahrung, dass das Einzelmoment ohne Anderung seiner Wirkung auf das Gleichgewicht beliebig l¨ angs und parallel verschoben werden kann, sein Angriffspunkt also willk¨ urlich positionierbar ist. Alle dadurch entstehenden Anordnungen heißen deshalb statisch ¨aquivalent, obwohl sie zu un-

1.3

Schnittprinzip

13

terschiedlichen Wechselwirkungen im K¨ orper f¨ uhren. Die Angabe einer Wirkungslinie er¨ ubrigt sich. Zur quantitativen Bestimmung eines Einzelmomentes kann z.B. eine Drehfederwaage benutzt werden. Das Einzelmoment bewirkt eine statische Verdrehung der Torsionsfeder um einen gewissen Winkel, aus dem auf seine Gr¨ oße und seinen Richtungssinn gem¨ aß Rechtsschraube r¨ uckgeschlossen werden kann. Dieser Messvorgang w¨ are bei Ausf¨ uhrung unter Normbedingungen ¨ zur Definition einer Maßeinheit des Einzelmomentes geeignet. Ublicherweise wird jedoch die Kenntnis von Kraft und Abstand einschließlich der Eigenschaften dieser Gr¨oßen vorausgesetzt. Dann l¨ asst sich das Einzelmoment, wie in der Statik sp¨ ater gezeigt, mit dem Produkt aus dem Abstand zweier paralleler, entgegengesetzt gleich großer Kr¨ afte und dem Betrag einer der beiden Kr¨afte vergleichen. Damit besitzt das Einzelmoment die Dimension Kraft mal L¨ange und deshalb die Maßeinheit [M ] = 1Nm = 1kg · m2 /s2 . Im Gegensatz zur Verk¨ urzung der Sprechweise beim Kraftbegriff wird der Term Einzelmoment“ wegen der Unterscheidung vom sp¨ater einzuf¨ uhrenden ” Moment einer Kraft beibehalten.

1.3 Schnittprinzip Die zu betrachtenden K¨ orper sind gew¨ ohnlich an ihrer Oberfl¨ache mit der fixierten Umgebung verbunden. Sollen die K¨ orper unter der Einwirkung von gegebenen Lasten (auch als eingepr¨ agte Lasten bezeichnet) in Ruhe, d.h. im Gleichgewicht bleiben, so m¨ ussen die Bindungen erg¨anzend genau die Lasten auf den K¨ orper aus¨ uben, so dass das Gleichgewicht bestehen bleibt. Diese F¨ ahigkeit h¨ angt von der konstruktiven Gestaltung der Bindungen ab, ¨ die sp¨ ater besprochen werden soll. F¨ ur die Uberpr¨ ufung des Gleichgewichts sind also die Bindungen zu l¨ osen (zu schneiden) und durch die Lagerreaktionen (auch als Auflagerreaktionen bezeichnet) zu ersetzen, mit denen die Bindungen f¨ ahig sind, an der Schnittstelle auf den K¨orper zu wirken. Dabei d¨ urfen in u ¨ berschaubaren Situationen Reaktionen, die die Lager zwar u onnten, die aber wegen der Bilanz mit nicht vorhandenen einge¨bertragen k¨ pr¨ agten Lasten offensichtlich verschwinden, von vornherein weggelassen werden. Man spricht auch von der Befreiung des K¨orpers von den Bindungen an seine fixierte Umgebung bzw. vom Freischneiden des K¨orpers entsprechend dem Schnittprinzip von EULER (1707-1783). Diese Betrachtung wird gleichermaßen auf den gesamten K¨ orper oder Teile davon angewendet. Erfahrungsgem¨ aß treten dabei die Lagerreaktionen und die an K¨orperteilen

1.3

14

1. Grundlegende Voraussetzungen

entstehenden Schnittreaktionen (auch Schnittlasten) als Wechselwirkungen immer paarweise mit entgegengesetzt gleich großen Partnern auf, ein Fakt der sp¨ ater als Bestandteil der beiden grundlegenden Gleichgewichtsaussagen bewiesen werden kann. Zur Erl¨ auterung dienen die Beispiele von Bild 1.2 und 1.5. ¨ In Bild 1.7 wurde das Haken-Ose-System durch eine geschlossene r¨aumliche Schnittfl¨ ache, die in der Zeichenebene als eine geschlossene Schnittkontur zu sehen ist und abk¨ urzend als geschlossener Schnitt bezeichnet wird, von der Wandverbindung getrennt. Der Austausch der kraftaus¨ ubenden Hand durch die Kraft selbst ist dabei nebens¨ achlich (k¨ unftig werden die Vektoren in den Bildern h¨ aufig durch den Vektorpfeil und ihre Gr¨oße, die auch negativ sein kann, angegeben). Die Schnittstelle wurde hier nur durch eine Kraft FL auf der Wirkungslinie der eingepr¨ agten Kraft F und durch den entgegengesetzt gleich großen Partner ersetzt.

FL

FL

F

W

¨ Bild 1.7. Geschlossener Schnitt zur Befreiung des Haken- Ose-Systems von der Wand W

Bild 1.8 zeigt die analoge Situation f¨ ur die Anordnung aus Bild 1.5, wo an der Schnittstelle wegen der alleinigen eingepr¨agten Last M nur das Schnittmoment Mt eingetragen wurde.

Mt

Mt

M

A

Bild 1.8. Geschlossener Schnitt zur Befreiung des Schraubendrehers vom Schlitz des Ausle-

gers A

Das Schnittprinzip gilt auch f¨ ur zwei (oder mehrere) K¨orper, die u ¨ber eine gewisse Entfernung hinweg statisch wechselwirken. Beispiele f¨ ur eine solche Fernwirkung sind die Gravitation und der Elektromagnetismus. So ziehen sich massebehaftete K¨ orper nach dem NEWTONschen Gravitationsgesetz an. Die Wechselwirkungskraft zwischen elektrisch geladenen K¨orpern besteht gem¨aß dem Gesetz von COULOMB (1736-1806) bei gleichem Vorzeichen der Ladungen in einer Abstoßung der K¨ orper, bei entgegengesetztem Vorzeichen in einer Anziehung. Zwei kreuzweise u ¨bereinander liegende Stabmagnete u ¨ben außer einer Kraft ein Moment aufeinander aus. Wir ber¨ ucksichtigen gegebe-

1.4

Kartesische Bezugssysteme f¨ ur Vektoren

15

nenfalls nur die Schwerkraft als Folge der Erdanziehung, wobei der Erdk¨orper außerhalb der bildlichen Darstellung bleibt. In allen genannten F¨ allen beinhaltet das Schnittprinzip die Definition der K¨orperoberfl¨ ache und die Feststellung der durch die K¨orperoberfl¨ache hindurchtretenden statischen Wechselwirkungen der Umgebung auf den K¨orper. Diese Betrachtungsweise wird im allgemeineren Sachverhalten auch auf nichtmechanische Wechselwirkungen angewendet. Nach den obigen Ausf¨ uhrungen ist jetzt schon die Erfahrungstatsache zu vermerken, dass der befreite K¨ orper im Gleichgewicht bleibt, wenn die auf den K¨ orper gemeinsam wirkenden Lasten der Art nach Bild 1.2 bzw. 1.5 sich beide mit den von ihnen geweckten Lagerreaktionen gem¨aß Bild 1.7 bzw. 1.8 ausbilanzieren. Dieser grundlegende Sachverhalt, der im Folgenden ausf¨ uhrlicher besprochen wird, bildet den wesentlichen Inhalt der Statik.

1.4

1.4 Kartesische Bezugssysteme f¨ ur Vektoren F¨ ur die analytische Zerlegung und Zusammensetzung der Vektoren ist die Benutzung einer so genannten Vektorbasis zweckm¨aßig. Diese entsteht aus orthogonalen Einheitsvektoren, die parallel zu dem schon in Bild 1.1 benutzten kartesischen Koordinatensystem angeordnet werden. Die Gemeinsamkeit von Koordinatensystem und Vektorbasis soll Bezugssystem (wie in Abschnitt 1.1 raumfest) heißen. Bild 1.9 gibt den ebenen Sonderfall mit den Basisvektoren ex , ey , angewendet auf das Vektorbeispiel Kraft, wieder. y Fy ey

F ®

ex

Fx

x

Bild 1.9. Ebene Komponentenzerlegung der Kraft

In Bild 1.9 lesen wir die Komponentendarstellung der Kraft F ab. F = Fx + Fy = Fx ex + Fy ey ,

(1.2)

Fx = F cos α ,

(1.3)

Fy = F sin α .

Die Summanden in (1.2) sind die Komponenten (d.h. auch Vektoren) von F, w¨ ahrend Fx , Fy die Maßzahlen oder Vektorkoordinaten von F bezeichnen (mitunter werden in der Literatur die Vektorkoordinaten Komponenten

16

1. Grundlegende Voraussetzungen

genannt). Weiter erh¨ alt man F = |F| =

 Fx2 + Fy2 ,

tan α =

Fy . Fx

(1.4)

Obige Formeln gelten auch, wenn der Angriffspunkt von F nicht mit dem Ursprung des kartesischen Bezugssystems zusammenf¨allt. Dar¨ uber hinaus werden sie analog auf Einzelmomentvektoren angewendet. Die naheliegende Erweiterung der Vorgehensweise auf den Raum mittels der uhrt. rechtsh¨ andigen Basis ex , ey , ez wird in Kapitel 6 vorgef¨

Kapitel 2 Kr¨ afte und Momente in der ebenen Statik

2

2 2.1

2

2.1.1 2.1.2 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3

Kr¨ afte und Momente in der ebenen Statik Kr¨afte in der Ebene mit gemeinsamem Schnittpunkt ihrer Wirkungslinien .................................................... Ermittlung der resultierenden Kraft .......................... Gleichgewichtsbedingungen .................................... Beliebige Kr¨afte in der Ebene und Momente senkrecht zur Ebene.......................................................... Beliebige Kr¨afte in der Ebene ................................. Momente senkrecht zur Ebene ................................ Gleichgewichtsbedingungen ....................................

19 19 22 24 24 26 32

2 Kr¨ afte und Momente in der ebenen Statik 2.1 Kr¨ afte in der Ebene mit gemeinsamem Schnittpunkt ihrer Wirkungslinien Eine spezielle Situation liegt vor, wenn ein K¨ orper nur durch Kr¨afte belastet ist, deren Wirkungslinien in einer Ebene liegen und einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Eine solche Kr¨ afteanordnung wird auch als zentrale Kr¨ aftegruppe oder zentrales Kraftsystem bezeichnet. Diese Kr¨afte k¨onnen grafisch mittels Kr¨ afteparallelogramm bzw. Krafteck und analytisch mit Hilfe eines kartesischen Bezugssystems zu einer f¨ ur den gesamten K¨orper statisch aquivalenten resultierenden Kraft zusammengefasst werden. Das Gleichge¨ wicht des K¨ orpers in dieser speziellen Situation ist gegeben, wenn die resultierende Kraft verschwindet. 2.1.1 Ermittlung der resultierenden Kraft

An einem nicht n¨ aher beschriebenen K¨ orper greifen exemplarisch drei Kr¨afte Fi an (Bild 2.1), deren Wirkungslinien einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Die Lage der Kr¨ afte auf der Wirkungslinie ist dabei bedeutungslos. Beispielsweise wurde der Angriffspunkt der Kraft F2 im Lageplan in den gemeinsamen Schnittpunkt verschoben, der auch als Ursprung des Bezugssystems benutzt wird. LP

y F3

KP

FR

FR

F2 ey ex F1

F2

F3

®R

x

F1

F2

Bild 2.1. Zentrale Kr¨ aftegruppe mit Lageplan (LP) und Kr¨ afteplan (KP)

Das Krafteck (auch Kr¨ afteplan) ergibt mit der Aneinanderreihung der halbierten Kr¨ afteparallelogramme die resultierende Kraft FR nach Gr¨oße, Richtung und Richtungssinn. Die Lage der Wirkungslinie der resultierenden Kraft ist durch den gemeinsamen Schnittpunkt im Lageplan von Bild 2.1 festgelegt. F¨ ur die grafische Realisierung w¨ ahlt man einen zweckm¨aßigen Maßstab.

2.1

20

2. Kr¨afte und Momente in der ebenen Statik

¨ Die analytische Vektoraddition liefert die statische Aquivalenz folgender Terme

FR = FRx ex + FRy ey =

3 

3 3   Fi = ( Fix )ex + ( Fiy )ey

i=1

i=1

Fix ,

FRy =

i=1

mit FRx =

3  i=1

3 

Fiy .

i=1

Betrag, Richtung und Richtungssinn der statisch ¨aquivalenten resultierenden Kraft folgen aus  FRy 2 + F2 , tan αR = FR = FRx Ry FRx und den Vorzeichen der Vektorkoordinaten FRx , FRy . Im Fall von n Kr¨ aften mit gemeinsamem Schnittpunkt ihrer Wirkungslinien gilt die Rechenvorschrift FRx =

n 

Fix ,

FRy =

i=1

FR =

n 

Fiy ,

(2.1)

i=1

 2 + F2 , FRx Ry

tan αR =

FRy . FRx

(2.2)

Beispiel 2.1 Im Lageplan von Bild 2.2 sind drei Kr¨ afte mit den Betr¨agen F1 = F, F2 = 3F und F3 = 2F gegeben. Gesucht wird auf analytischem und grafischem Weg die resultierende Kraft mit allen Bestimmungsst¨ ucken. LP

KP F2

y ey

F1

F1

F2

ex

x F3 45°

FR

F3 |®R|

FR

1F

Bild 2.2. Lageplan (LP) und Kr¨ afteplan (KP) zu Beispiel 2.1

2.1

Kr¨ afte in der Ebene mit gemeinsamem Schnittpunkt ihrer Wirkungslinien

21

L¨osung: F¨ ur den analytischen L¨ osungsweg liefert der Lageplan von Bild 2.2 mit den gegebenen Kr¨ aften F ey

F1 = F2 =

3F ex √ √ 2 2 2F ex − 2F ey , F3 =− 2 2 FR = FRx ex + FRy ey =

3 

Fi = (3 −

√ √ 2)F ex + (1 − 2)F ey

i=1

= 1, 59F ex − 0, 41F ey . Der Betrag von FR ergibt sich aus  2 + F 2 = 1, 64 F |FR | = FR = FRx Ry und der Winkel αR wegen FRx > 0, FRy < 0 aus tan αR =

FRy = −0, 261 FRx

zu αR = −14, 6◦. F¨ ur die grafische L¨osung mittels des Kr¨ afteplanes ist ein Maßstab zu w¨ahlen. Dabei bestimmt die gezeichnete L¨ ange der Einheit 1F die Genauigkeit der Zahlenwerte, die n¨aherungsweise aus dem Kr¨ afteplan von Bild 2.2 abgelesen werden k¨ onnen. Die Richtung der Wirkungslinie und der Richtungssinn afteplan u von FR im Lageplan werden aus dem Kr¨ ¨ bernommen. Das Ergebnis h¨ angt nicht von der Reihenfolge der Kr¨ afteanordnung im Kr¨afteplan ab.  Die hier demonstrierte grafische L¨ osungsmethode unterst¨ utzt wie in anderen einfachen F¨ allen die Vorstellung. Sie wurde in der Vergangenheit auch f¨ ur komplexere Probleme in verfeinerter Form angewendet, hat aber mit der Entwicklung der digitalen Rechentechnik ihre Bedeutung verloren. K¨ unftig wird bei Benutzung des kartesischen Bezugssystems die vektorielle Rechnung ohne Basisvektoren nur mit (2.1), (2.2) ausgef¨ uhrt, und in den Abbildungen werden Vektoren durch Pfeile mit Gr¨oßenangabe festgelegt.

22

2. Kr¨afte und Momente in der ebenen Statik

2.1.2 Gleichgewichtsbedingungen

Die Antwort auf die Frage, ob sich ein K¨ orper im Gleichgewicht befindet, folgt aus der Erfahrung. Greift nur eine Kraft an, so muss diese verschwinden, damit der K¨ orper nicht in translatorische und eventuell rotatorische Bewegung versetzt wird, d.h. den Zustand der Ruhe verl¨asst. Unterliegt der K¨ orper einer zentralen Kr¨ aftegruppe, so hat die resultierende Kraft zu verschwinden. Im letzten Fall wird die Gleichgewichtsbedingung f¨ ur n Kr¨afte durch die Bilanzen FR =

n 

Fi = 0

(2.3)

i=1

oder n 

Fix = 0 ,

i=1

n 

Fiy = 0

(2.4)

i=1

erf¨ ullt. Wegen (2.3) verschwindet auch der Betrag von FR . In der grafischen L¨ osung schließt sich das Krafteck. Beispiel 2.2 Eine masselose Scheibe sei an zwei Seilen 1, 2 aufgeh¨angt und u ¨ber ein weiteres Seil durch ein vertikal wirkendes Gewicht G belastet (Bild 2.3). Im Gleichgewicht stellt sich die abgebildete Anordnung ein. 1 LP

2 30°

KP

60°

FS1 30°

FS2

FS1

60°

30° FG

FS2 G

geschlossener Schnitt

y FG

x

Bild 2.3. Gewichtsbelastete Scheibe mit Lageplan (LP) nach Schnitt und Kr¨ afteplan (KP)

Gesucht sind die Kr¨ afte, die die Seile auf die Scheibe im Gleichgewicht aus¨ uben. L¨osung: F¨ ur die Pr¨ ufung des Gleichgewichts der Scheibe sind zun¨achst deren Bindungen mit der Umgebung durch einen gedachten geschlossenen Schnitt zu l¨ osen. Dabei wird die Fernwirkung der Massenanziehung zwischen Gewicht

2.1

Kr¨ afte in der Ebene mit gemeinsamem Schnittpunkt ihrer Wirkungslinien

23

und Erde durch die entsprechende Kraft FG ersetzt. Die Seile u ¨ bertragen erfahrungsgem¨ aß nur Kr¨ afte in Seilrichtung, welche als Schnittlasten agieren. Neben dem gegebenen Richtungssinn f¨ ur die Gewichtskraft werden die auf die Scheibe wirkenden Seilkr¨ afte FS1 und FS2 per Definition mit einer Pfeilrichtung von der Scheibe weg weisend positiv gez¨ ahlt, wenn sie Zug beinhalten (bei negativem Ergebnis, entsprechend Druck, w¨ urde ein Seil versagen), siehe Lageplan in Bild 2.3. F¨ ur die analytische Erf¨ ullung der Gleichgewichtsforderung kommen die beiden Kr¨ aftebilanzen (2.4) zur Anwendung. Die Betr¨age der Kraftkomponenten werden addiert, wenn der Richtungssinn der Kraftkomponenten mit dem Sinn des jeweiligen Z¨ ahlpfeiles →“ bzw. ↑“ gem¨aß ” ” den Basisvektoren ex bzw. ey u ¨ bereinstimmt, sonst abgezogen. 2 

Fix = 0 ,

→: FS1 cos 60◦ − FS2 cos 30◦ = 0 ,

Fiy = 0 ,

↑: FS1 sin 60◦ + FS2 sin 30◦ − FG = 0 .

i=1 3  i=1

Man sieht, dass eine Multiplikation der einzelnen Gleichungen mit (-1), was einer Umkehrung des Z¨ ahlsinnes gleichk¨ ame, das Ergebnis nicht ¨andert. Die Z¨ ahlpfeile m¨ ussen also nicht wie die Basisvektoren ex , ey angeordnet sein. Sie k¨ onnen auch beliebig von null verschiedene Winkel einschließen. Der Ersatz der trigonometrischen Ausdr¨ ucke f¨ uhrt auf das inhomogene lineare Gleichungssystem 1√ 1 FS1 − 3FS2 = 0 , 2 2 1√ 1 3FS1 + FS2 = FG . 2 2 √ Multiplikation der ersten Gleichung mit (− 3)√und Addition zur zweiten sowie Multiplikation der zweiten Gleichung mit 3 und Addition zur ersten liefert 1 2FS2 = FG , FS2 = FG = 0, 5FG , 2 √ √ 3 FG = 0, 866FG . FS1 = 2FS1 = 3FG , 2 Diese Zahlenwerte k¨ onnen n¨ aherungsweise auch aus dem geschlossenen Kr¨afteplan von Bild 2.3 abgelesen werden. 

24

2.2

2. Kr¨afte und Momente in der ebenen Statik

2.2 Beliebige Kr¨ afte in der Ebene und Momente senkrecht zur Ebene 2.2.1 Beliebige Kr¨ afte in der Ebene

Anstelle der in Abschnitt 2.1 betrachteten zentralen Kr¨aftegruppe wird jetzt die allgemeinere (aber immer noch spezielle) Lastanordnung aus Kr¨aften betrachtet, bei der die Wirkungslinien keinen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Zur Bestimmung der f¨ ur den gesamten starren K¨orper statisch a¨quivalenten resultierenden Kraft k¨ onnen die Kr¨ afte auf ihrer Wirkungslinie verschoben und wiederholt Kr¨ afteparallelogramme gebildet werden. Diese Vorgehensweise zeigt Bild 2.4 am Beispiel von drei Kr¨ aften F1 , F2 , F3 . F2 F3

FR12 F1

FR12

F3 FR

Bild 2.4. Grafische Bestimmung der resultierenden Kraft

Die grafische L¨ osung liefert Betrag, Richtungssinn und Lage der Wirkungslinie der resultierenden Kraft. Das obige Ergebnis l¨ asst auch eine analytische L¨osung erwarten. Hierf¨ ur werden in einer weiteren Lastanordnung (Bild 2.5) zun¨achst zwei parallele Kr¨ afte F1 , F2 betrachtet (in Bild 2.5 mit Volllinien dargestellt, die K¨ orperkontur wurde weggelassen). Diese sind in y-Richtung orientiert. Ihre grafische Zusammenfassung mittels Kr¨ afteparallelogramm scheitert zun¨achst, gelingt aber durch Hinzuf¨ ugung zweier gleich großer, entgegengesetzter, auf ur sich im Gleichgewicht gleicher Wirkungslinie liegender Hilfskr¨ afte FH , die f¨ stehen und deshalb keinen Einfluss auf die resultierende Kraft haben. ¨ Dem Bild 2.5 entnimmt man aus der Ahnlichkeit entsprechender Dreiecke h F2 = , b FH

F1 h = , a FH

woraus das bekannte Hebelgesetz von ARCHIMEDES F1 a = F2 b

2.2

Beliebige Kr¨ afte in der Ebene und Momente senkrecht zur Ebene y

25

FR

F1

F2

b

a

FH

FH

O

F2

x

F1

x1

h xR x2

Bild 2.5. Bestimmung der Resultierenden zweier paralleler Kr¨ afte

folgt. Dieses gilt auch ohne die im Allgemeinen nicht erlaubte, zu unterschiedlichen Wechselwirkungen im K¨ orper f¨ uhrende Voraussetzung u ¨ ber die Verschiebbarkeit von Kraftangriffspunkten, ist dann aber als eigenst¨andiger Erfahrungssatz anzunehmen (s. Abschnitt 2.2.3). In das vom Bezugspunkt O unabh¨ angige Hebelgesetz wird b = x2 − a − x1 eingesetzt und auf beiden Seiten F1 x1 addiert F1 a + F1 x1 = F1 (a + x1 ) = F2 (x2 − a − x1 ) + F1 x1 = F1 x1 + F2 x2 − F2 (a + x1 ) bzw. (F1 + F2 )(a + x1 ) = F1 x1 + F2 x2 . Durch Zusammenfassung der Faktoren entsteht schließlich FR xR = F1 x1 + F2 x2 ,

(2.5)

eine Gleichung, die nach Ausrechnung von FR die Lage xR der Wirkungslinie der resultierenden Kraft liefert. In (2.5) werden alle Terme nach der einheitlichen Vorschrift Kraft mal Abstand der Wirkungslinie vom gemeinsamen ” Bezugspunkt“ gebildet. Diese Terme heißen auch Moment“ der jeweiligen ” Kraft bez¨ uglich des Bezugspunktes O oder gleichbedeutend bez¨ uglich der zur x, y-Ebene senkrechten Achse durch den Punkt O. Gleichung (2.5) besagt, dass das Moment der resultierenden Kraft FR gleich (statisch ¨aquivalent) ist uglich des gemeinsamen Bezugspunktes O. der Summe der Momente Fi xi bez¨ Das Ergebnis h¨ angt wie im Fall der grafischen L¨ osung nicht von der Hilfskraft FH und, wie schon festgestellt wurde, nicht von der Wahl des gemeinsamen Bezugspunktes ab. Es l¨ asst sich auch auf mehr als zwei parallele Kr¨afte sowie auf Kr¨ afte erweitern, die parallel zur x-Achse liegen. Da alle Kr¨afte einer be-

26

2. Kr¨afte und Momente in der ebenen Statik

liebigen Anordnung nach der x- und der y-Richtung zerlegt werden k¨onnen, liefert dann die Anwendung der Ergebnisse f¨ ur die x- und y-Richtung einen Schnittpunkt, der auf der Wirkungslinie der resultierenden Kraft liegt, und ¨ damit die L¨ osung des Problems. Hierzu und f¨ ur sp¨atere Uberlegungen wird im Folgenden der Begriff des Momentes etwas detaillierter gefasst. 2.2.2 Momente senkrecht zur Ebene

In der x, y-Ebene sei eine Kraft F mit dem Betrag F und den Vektorkoordinaten Fx , Fy gegeben (Bild 2.6). y x ey

Fy

® ®

ex ez O z

F ®

Fx y x

rn Bild 2.6. Zum Moment einer Kraft

Das Moment M(K) der Kraft F bez¨ uglich des Punktes O ist bestimmt durch die Definition M(K) = Mz(K) ez = F rn ez .

(2.6)

In (2.6) ist M(K) ein Vektor, der senkrecht auf dem Abstand rn der Wirkungslinie der Kraft F vom Punkt O und der Wirkungslinie der Kraft F steht und dessen Richtungssinn durch die Rechtsschraube bestimmt wird, die F mit dem Abstand rn um die z-Achse erzeugt. Er heißt deshalb auch axialer Vektor. Seine Einheit ist gem¨ aß (2.6) Nm. Sofern nur Momente parallel zur z-Achse in Betracht kommen, kann auf den Gebrauch des Einheitsvektors ez verzichtet werden. Aus der Geometrie von Bild 2.6 folgt dann f¨ ur die verbleibende Koordinate des Vektors M(K) mit (2.6) Mz(K) = F rn =F (x sin α − y cos α) =(F sin α)x − (F cos α)y =Fy x − Fx y .

(2.7)

2.2

Beliebige Kr¨ afte in der Ebene und Momente senkrecht zur Ebene

27

¨ Die Aquivalenzbetrachtung f¨ ur n beliebige Kr¨ afte und die dazugeh¨orige resultierende Kraft FR liefert FRx =

n 

Fix ,

FRy =

i=1

n 

Fiy ,

(2.8)

i=1

f¨ ur FRx = 0, FRy = 0 analog zu (2.5)  1  Fiy xi , FRy i=1 n

xR =

 1  Fix yi , FRx i=1 n

yR =

d.h. einen Punkt xR , yR der Wirkungslinie von FR , sowie MRz = FRy xR − FRx yR =

n 

(Fiy xi − Fix yi ) =

i=1

n  i=1

(K)

Miz

.

(2.9)

Die Geradengleichung der Wirkungslinie von FR lautet mit dem Anstieg (2.2)   n Fix yi FRx y− y − yR FRy i=1 = =   n x − xR FRx x− Fiy xi FRy i=1

oder

  1  FRy x− Fiy xi − Fix yi FRx FRx i=1 i=1 n

y=

n

und mit (2.9) y=

FRy MRz x− , FRx FRx

FRx = 0 bzw. x =

MRz , FRy

FRx = 0 .

(2.10)

uglich des In (2.9) ist das Moment MRz der resultierenden Kraft FR bez¨ (K) uglich Punktes O gleich der Summe der Momente der Kr¨afte Miz bez¨ desselben Punktes O. Die Lage der resultierenden Kraft relativ zu den Kr¨ aften, aus denen sie berechnet wurde, h¨ angt nicht von der Wahl des Bezugspunktes O bei der Aufstellung von (2.9) ab. Beispiel 2.3 Gegeben sei eine √ Rechteckscheibe mit der Abmessung a und den Kr¨aften F1 = F , F2 = 2 2F (Bild 2.7). Gesucht ist die resultierende Kraft auf analytischem Weg. L¨osung: Zun¨ achst werden die Vektorkoordinaten und der Betrag der resultierenden Kraft gem¨ aß (2.8), (2.2) bestimmt, wobei der Summationsindex an den Sum-

28

2. Kr¨afte und Momente in der ebenen Statik y

a

F1

a

F2 45° FR

a

a/2

O

®R

z

x

Bild 2.7. Zur analytischen Bestimmung der resultierenden Kraft

menzeichen zur Vereinfachung weggelassen wird. √  √ 2 ◦ F = 2F , Fix = F2 cos 45 = 2 2 FRx = 2 √  √ 2 ◦ F =F , FRy = Fiy = −F1 + F2 sin 45 = −F + 2 2 2  √ 2 + F2 = FR = FRx 5F . Ry Das Moment der resultierenden Kraft bez¨ uglich des Punktes O ergibt sich aus (2.9)  MRz = (Fiy xi − Fix yi ) = −F1 a + (F2 sin 45◦ )2a − (F2 cos 45◦ )a √ √ √ √ 2 2 = −F a + 2 2F 2a − 2 2F a = Fa 2 2 und die Gleichung der Wirkungslinie der resultierenden Kraft aus (2.10) y=

Fa x a FRy MRz F x− = − . x− = FRx FRx 2F 2F 2 2

Der Winkel αR der Wirkungslinie zur x-Achse nach Bild 2.7 betr¨agt mit (2.2) tan αR =

FRy 1 = , FRx 2

αR = 26, 6◦ . 

In den bisherigen Betrachtungen existierte eine resultierende Kraft mit von null verschiedenem Betrag. Eine besondere Situation entsteht im Falle zweier gleich großer entgegengerichteter paralleler Kr¨afte mit verschiedenen Wirkungslinien (sogenanntes Kr¨ aftepaar, siehe Bild 2.8). Gem¨ aß Kr¨ afteplan verschwindet die resultierende Kraft. Zu den bisher ber¨ ucksichtigten Erfahrungen tritt jetzt eine weitere wichtige unabh¨angige Erfahrung hinzu, n¨ amlich dass die Anordnung von Bild 2.8 sich trotz verschwin-

2.2

Beliebige Kr¨ afte in der Ebene und Momente senkrecht zur Ebene LP

y ey O ez z ex

F

l

29

KP

F

FR =0

x

Bild 2.8. Kr¨ aftepaar mit Lageplan (LP) und Kr¨ afteplan (KP)

dender resultierender Kraft nicht im Gleichgewicht befindet. Der K¨orper verl¨ asst unter der Wirkung des Kr¨ aftepaares seinen Ruhezustand, indem er, anders als bei nichtverschwindender resultierender Kraft, eine rein rotatorische Bewegung ausf¨ uhrt. F¨ ur die in der Statik zu gebende Antwort auf die Frage, wie diese Art der Gleichgewichtsverletzung verhindert werden kann, aftepaares eingef¨ uhrt. Seine Definition lautet wird das Moment MKP des Kr¨ MKP = F l ez .

(2.11)

In (2.11) bezeichnet l nach Bild 2.8 den Abstand zwischen den Wirkungslinien der beiden Kr¨ afte. Dieser h¨ angt im Gegensatz zu rn in (2.6) definitionsgem¨aß nicht von einem Bezugspunkt ab. Die Gr¨ oße MKP (gemessen in Nm) ist ein axialer Vektor, der weder einen Bezugspunkt noch im Allgemeinen einen Angriffspunkt besitzt. Er steht senkrecht auf der Ebene des Kr¨aftepaares, und sein Richtungssinn wird durch die Rechtsschraube bestimmt, die das Kr¨ aftepaar um die z-Achse erzeugt. Deshalb kann auch hier auf die Angabe des Einheitsvektors ez verzichtet werden. Als einzige Koordinate des Vektors MKP z verbleibt MKP z = F l .

(2.12)

¨ F¨ ur statische Aquivalenzbetrachtungen am gesamten K¨orper ist das Kr¨aftepaar in der Ebene durch beliebige andere Kr¨ aftepaare von gleichem Momentenbetrag und mit gleichem Drehsinn ersetzbar. Dies zeigt Bild 2.9. P1 *

F FH

®

F l P ¢1

®

P ¢2

* l F

®

FH *

F P2

¨ Bild 2.9. Statische Aquivalenz zweier Kr¨ aftepaare

30

2. Kr¨afte und Momente in der ebenen Statik

Zu den im Abstand l gegebenen Kr¨ aften der Gr¨oße F werden zwei entgegengesetzt gleich große, auf einer gemeinsamen Wirkungslinie liegende Hilfsugt, die die statische Gesamtsituation nicht ¨andern. Die kr¨ afte FH hinzugef¨ Anwendung des Kr¨ afteparallelogramms in Bild 2.9 ergibt ∗

MKP z = F l = F cos α

∗

∗∗ l = Fl . cos α

(2.13)

¨ Die Aquivalenz (2.13) gestattet auch den Grenz¨ ubergang α → π/2, d.h. ∗

∗

∗∗

F /F → ∞, l/l → 0 mit F l = F l . Werden dazu noch die Kraftangriffspunkte auf gleiche H¨ ohe gebracht, z.B. durch Verschiebung des Punktes P1 nach P1 und des Punktes P2 nach P2 , so entsteht das konzentrierte Moment eines Kr¨ aftepaares. Dieses besitzt einen Angriffspunkt an der Stelle, wo P1 beliebig nahe an P2 heranger¨ uckt wurde. Die Lage dieses Angriffspunktes beeinflusst wie beim Einzelmoment im Bild 1.5, wo der Momentenvektor in der Zeichenebene liegt, die Lastverteilung im K¨orper. F¨ ur das Gleichgewicht des gesamten starren K¨ orpers ist sie genauso bedeutungslos wie die Verschiedenartigkeit der Bestandteile der Momente von Kr¨aftepaaren mit gleichem Richtungssinn und gleichem Betrag gem¨ aß (2.13). Die Vektoreigenschaft der Momente von Kr¨ aften und Kr¨aftepaaren ergibt sich mittels der Momentendefinition aus den Vektoreigenschaften von Abst¨anden und Kr¨ aften. Die Vektoreigenschaft von Einzelmomenten ist, wie fr¨ uher bemerkt, eine unabh¨ angige Erfahrungstatsache. Als solche ben¨otigt sie keinen Bezug zu den Vektoreigenschaften von Abst¨anden und Kr¨aften. Wir setzen ¨ aber die statische Aquivalenz zwischen Einzelmomenten und Momenten von ¨ Kr¨ aftepaaren voraus. Diese Aquivalenz wird durch die sp¨ater zu akzeptierende, empirisch eingef¨ uhrte allgemeine Momentenbilanz begr¨ undet. In einer ¨ solchen Aquivalenz stehen die Vektoreigenschaften des Einzelmomentes bei Verwendung der Gleichung (2.11) sowie des im Kapitel 6 angegebenen Kreuzproduktes (6.10) im Einklang mit den Vektoreigenschaften der Kr¨afte auf zwei gegebenen parallelen Wirkungslinien und des dazugeh¨origen Abstandvektors. Einzelmomente, die hier voraussetzungsgem¨aß auf der Betrachterebene senkrecht stehen und deren Orientierung  in z-Richtung auch durch das Symbol “ gem¨ aß Rechtsschraube angezeigt wird, k¨onnen unter Beachtung ihrer ” Vorzeichen durch algebraische Addition zu einem f¨ ur den gesamten K¨orper statisch ¨ aquivalenten resultierenden Moment zusammengefasst werden. Bei statisch ¨ aquivalenter Zerlegung der Einzelmomente in Kr¨aftepaare gem¨aß (2.12) w¨ urden die Vektoraddition der entstandenen Kr¨afte und die anschlieaftepaares der resultierenden Kr¨afte ßende Berechnung des Momentes des Kr¨ zum gleichen Ergebnis f¨ uhren.

2.2

Beliebige Kr¨ afte in der Ebene und Momente senkrecht zur Ebene

31

Beispiel 2.4 Eine Scheibe sei durch drei Einzelmomente M1 = M , M2 = 2M , M3 = 4M belastet (Bild 2.10). Gesucht ist das resultierende Moment Mz . M2

M1 M3 z

Bild 2.10. Scheibe mit drei Einzelmomenten

L¨osung: Das resultierende Moment Mz ergibt sich aus Mz = M1 − M2 + M3 = (1 − 2 + 4)M = 3M , wobei m¨ ogliche Angriffspunkte der Mk keine Bedeutung haben.



Im allgemeinen Belastungsfall liegen außer beliebigen Kr¨aften Fi noch Einzelmomente Mk , die senkrecht zur x, y-Ebene stehen, vor. Die resultierende Kraft wird dann wie bisher aus den Kr¨aften ohne Ber¨ ucksichtigung der Einzelmomente gebildet. Die beiden Teilergebnisse sind gemeinsam der Ausgangsanordnung des Belastungsfalles statisch ¨aquivalent. Das gesamte resultierende Moment ist die Summe der Momente aller Kr¨afte bez¨ uglich eines Punktes und aller Einzelmomente. Das gesamte resultierende Moment wird bei der Formulierung der Gleichgewichtsbedingungen und sp¨ater in der Kinetik ben¨ otigt. Beispiel 2.5 Eine Scheibe sei gem¨ aß Bild 2.7 und Bild 2.10 der Beispiele 2.3 und 2.4 belastet (Bild 2.11). M1

y

a

F1

a

45° F2 M2

M3

a O z

x

Bild 2.11. Scheibe unter Kr¨ afte- und Momentenbelastung

Gesucht sind die resultierende Kraft und das gesamte resultierende Moment bez¨ uglich des Punktes O.

32

2. Kr¨afte und Momente in der ebenen Statik

L¨osung: Die resultierende Kraft ergibt sich wie im Beispiel 2.3 ohne Ber¨ ucksichtigung der Einzelmomente M1 , M2 , M3 . Das gesamte resultierende Moment MGz bez¨ uglich des Punktes O folgt aus dem Ergebnis f¨ ur MRz des Beispiels 2.3 unter Hinzuf¨ ugung des Ergebnisses f¨ ur Mz von Beispiel 2.4. MGz = MRz + Mz = F a + 3M .  Erg¨ anzend ist noch der Begriff des Versatzmomentes zu erkl¨aren, der sich er¨ gibt, wenn eine Kraftwirkungslinie unter Wahrung der statischen Aquivalenz f¨ ur den gesamten K¨ orper parallel verschoben wird (Bild 2.12). l = F

MKP =F·l

F =

F

F

l F

¨ Bild 2.12. Statische Aquivalenz unter Ber¨ ucksichtigung eines Versatzmomentes

Gem¨ aß Bild 2.12 muss bei Parallelverschiebung der Kraftwirkungslinie des linken Bildes um den Abstand l das Versatzmoment MKP = F l, interpretierbar als Einzelmoment mit beliebigem Angriffspunkt, hinzugef¨ ugt werden. ¨ Die Aquivalenz kann auch von rechts nach links gelesen werden. Deshalb ist die aus dem gegebenen Moment MKP und der Kraft F im rechten Bild bestehende Belastung der Kraft im linken Bild statisch ¨aquivalent, sofern der Kraftbetrag nicht verschwindet. Dann l¨ asst sich diese Kraft als eine Resultierende der Gesamtbelastung interpretieren, ein Begriff, den wir nicht weiter benutzen wollen. Abschließend sei nochmals hervorgehoben, dass das Moment einer Kraft einen Bezugspunkt, das Einzelmoment aber einen Angriffspunkt besitzt. Das Moment eines Kr¨ aftepaares h¨ angt nicht von einem Bezugspunkt ab. 2.2.3 Gleichgewichtsbedingungen

Das Gleichgewicht eines K¨ orpers mit einem Einzelmoment als einzige Belastung ist erfahrungsgem¨ aß nur m¨ oglich, wenn dieses Moment verschwindet. Greifen mehrere Einzelmomente an, so muss bei Gleichgewicht die Summe der Einzelmomente null sein. Im allgemeinen Fall mehrerer beliebiger Kr¨afte Fi in der x, y-Ebene und ussen zur Gew¨ahrleistung zur x, y-Ebene senkrechter Einzelmomente Mk m¨ des Gleichgewichts die resultierende Kraft FR und das gesamte resultieren-

2.2

Beliebige Kr¨ afte in der Ebene und Momente senkrecht zur Ebene

33

(K)

de Moment MG , gebildet als Summe aus den Momenten Mi der Kr¨afte bez¨ uglich eines Bezugspunktes und den Einzelmomenten Mk , gemeinsam verschwinden. Wegen der verschwindenden resultierenden Kraft ist der Bezugspunkt f¨ ur die Bildung der Momente der Kr¨ afte beliebig w¨ahlbar. Die beiden durch die Erfahrung begr¨ undeten Vektorgleichungen zur Gew¨ahrleistung des Gleichgewichts eines K¨ orpers unter n Kr¨ aften Fi und m Einzelmomenten Mk FR =

n 

Fi = 0 ,

MG =

i=1

n  i=1

(K)

Mi

+

m 

Mk = 0

(2.14)

k=1

liefern in Koordinatendarstellung zwei Kr¨ aftegleichgewichtsbedingungen (Kr¨ aftebilanzen) und eine Momentengleichgewichtsbedingung (Momentenbilanz): n 

Fix = 0 ,

n 

→: ... ,

i=1

Fiy = 0 ,

↑: ... ,

(2.15)

i=1 n  i=1

(xi Fiy − yi Fix ) +

m 

Mkz = 0 ,



O : ... .

(2.16)

k=1

Die Z¨ ahlpfeile →, ↑, “ geben den f¨ ur jede Gleichung einheitlich zu verwen” denden Z¨ ahlsinn an. Sie k¨ onnen jeweils auch unabh¨angig vom Bezugssystem gew¨ ahlt werden. Der beliebige Bezugspunkt O f¨ ur (2.16) soll daran erinnern, dass er f¨ ur alle Terme in der linken Summe von (2.16) einheitlich gilt. Die Anzahl der Gleichungen (2.15), (2.16) stimmt mit dem Freiheitsgrad f = 3 des starren K¨ orpers in der Ebene u ¨ berein. Die Gleichungen (2.15), (2.16) sind die mit der Beschr¨ankung auf Kr¨afte in der Ebene und Momente senkrecht zur Ebene geltenden Grundgesetze der Statik. Sie beruhen auf zwei unabh¨ angigen Erfahrungss¨atzen (Axiomen). Das Teilgleichungssystem (2.15) enth¨ alt die Aussage, dass ein rein translatorisch gef¨ uhrter K¨ orper, wie z.B. in den letzten beiden Zeilen von Bild 3.4 gezeigt, nicht aus dem Zustand der Ruhe in eine translatorische Bewegung u uhrung verschwin¨bergeht, wenn die resultierende Kraft in Richtung der F¨ det. Diese Aussage ist schon bei STEVIN nachweisbar. Die zu (2.15) f¨ uhrende Behauptung, dass jeder K¨ orper im Zustand der Ruhe oder der gleichf¨ormigen geradlinigen Bewegung bleibt, wenn er nicht durch auferlegte Kr¨afte gezwungen wird, diesen Zustand zu ¨ andern (dies entspricht NEWTONs erstem Axiom), l¨ asst m¨ ogliche Drehungen außerhalb der Betrachtung. Insofern garantiert (2.15) allein nicht die Aufrechterhaltung des Ruhezustandes. Hierf¨ ur muss zus¨ atzlich (2.16) erf¨ ullt werden, was den vollst¨andigen Freischnitt des K¨ orpers erfordert. Der erg¨ anzte, nicht aus (2.15) gewinnbare Gleichungssatz

34

2. Kr¨afte und Momente in der ebenen Statik

(2.15), (2.16), der wegen der linken Summe in (2.16) das ARCHIMEDESsche Hebelgesetz enth¨ alt, wird haupts¨ achlich EULER zugeschrieben. Es sei nochmals betont, dass mit (2.16) auch dann eine Gleichgewichtsforderung bestehen bleibt, wenn alle Kr¨ afte f¨ ur sich verschwinden, d.h. nur Einzelmomente auftreten. Im Vergleich zu dieser einfachen Situation ist das Gleichgewichtsstudium bei alleiniger Belastung des K¨orpers durch beliebige Kr¨afte schwieriger, da in diesem Fall das gesamte Gleichungssystem (2.15), (2.16) betrachtet werden muss. Das bereits vor NEWTON bekannte Kr¨ afteparallelogramm und das Hebelgesetz des ARCHIMEDES als wesentliche Bestandteile der Statik von K¨orpern belegen die historisch und logisch eigenst¨ andige Entwicklung der Statik innerhalb der Mechanik. Ihr intuitives Verst¨ andnis kann schon den Ingenieuren des Altertums unterstellt werden, die viele anspruchsvolle, noch heute bestehende Bauwerke geschaffen haben. Die Berechtigung der in Abschnitt 2.2.2 vorausgesetzten statischen ¨ Aquivalenz zwischen Einzelmomenten und Momenten von Kr¨aftepaaren ergibt sich aus (2.15), (2.16), wenn in (2.16) die Einzelmomente durch entgegengesetzt gleich große Terme ersetzt werden, da der linke Summand von (2.16) wegen (2.15) das Moment eines Kr¨ aftepaares darstellt. Die G¨ ultigkeit von (2.15), (2.16) wird f¨ ur den gesamten K¨orper und beliebige Teile von ihm gefordert. Hiermit kann der noch fehlende Nachweis erbracht werden, dass die Schnittlasten paarweise mit entgegengesetzt gleich großen Partnern auftreten. Dies wird am Beispiel eines Stabes unter Zugbelastung gezeigt (Bild 2.13). F1 F1

F F2 F3

F

Bild 2.13. Schnittlastbetrachtung

Gleichgewicht des gesamten K¨ orpers erfordert →:

−F1 + F = 0 ,

F1 = F .

Gleichgewicht der Teile des K¨ orpers ergibt →: −F1 + F2 = 0 ,

F2 = F1 = F ,

→: −F3 + F = 0 ,

F3 = F = F2 .

Analoges gilt f¨ ur die sp¨ ater ben¨ otigten quer zum Stab orientierten Schnittkr¨ afte und f¨ ur Schnittmomente.

Kapitel 3 Ebene Tragwerke

3

3

3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Ebene Tragwerke Geometrische Einteilung der Tragwerke ..................... Lagerarten ......................................................... Lasten .............................................................. Bestimmung der Lagerreaktionen ............................. Streckenlasten ....................................................

37 39 40 42 47

3 Ebene Tragwerke ¨ Beim bisherigen Studium der Aquivalenz von Kr¨aften und Momenten an K¨orpern wurde nur die geometrische Anordnung der Lasten betrachtet. Reale Bauteile nehmen Lasten auf (auch als eingepr¨agte Lasten bezeichnet), die u ¨ber Lager (auch Auflager) an die Umgebung weitergeleitet werden. Die weitergeleiteten Lasten wecken in den Lagern Reaktionen, die auf das Bauteil zur¨ uckwirken und so das Gleichgewicht sichern. Der Begriff des Tragwerkes umfasst neben dem Bauteil und den zugelassenen Lasten auch die Lager. In einem statischen Modell wird das reale Bauteil durch einen einfachen K¨ orper ersetzt, der je nach Geometrie und Belastung h¨aufig eine spezielle mechanische Bezeichnung erh¨ alt. Außerdem ist die komplizierte konstruktive Ausbildung realer Lager durch vereinfachende Annahmen auf u ¨ berschaubare simple Lagertypen zu reduzieren. Beide Maßnahmen erfordern Kenntnisse u ¨ber die wirkliche Konstruktion und sind deshalb nicht Gegenstand dieser Ausf¨ uhrungen. Die hier zu behandelnden Tragwerke liegen bereits als statisches Modell vor und bestehen aus dem belasteten K¨orper und einfachen typisierten Lagern. Umfassen Tragwerksmodelle mehrere K¨orper, so sprechen wir von zusammengesetzten Tragwerken. Ein einfaches Beispiel hierf¨ ur zeigt Bild 3.1. Dort ist ein starrer Balken in einer als Lager bezeichneten starren Wand eingespannt. An seinem rechten Ende befindet sich eine feste Rolle, ¨ die sich reibungsfrei drehen kann. Uber die Rolle wird ein biegeschlaffes Seil gef¨ uhrt, an dessen einem Ende ein Gewicht vertikal h¨angt und dessen anderes Ende an der Wand befestigt ist. Es k¨ onnen z.B. die Lagerreaktionen von Interesse sein. Balken feste Rolle Lager

Seil Gewicht Ä (eingepragte Kraft) Bild 3.1. Tragwerksbeispiel

3.1 Geometrische Einteilung der Tragwerke Linienf¨ ormige Tragwerke liegen vor, wenn eine Hauptabmessung deutlich gr¨oßer als die beiden anderen Abmessungen ist. Als Beispiel hierf¨ ur gibt Bild 3.2 einen unterschiedlich belasteten Stab und einen gekr¨ ummten Balken wieder, wobei die Einzelmomente Mt beim Torsionsstab und M beim geraden Bal-

3.1

38

3. Ebene Tragwerke

ken aus der ebenen Statik, die entsprechend Kapitel 2 nur Kr¨afte in der Betrachterebene und Momente senkrecht dazu ber¨ ucksichtigt, hinausf¨ uhren. Erstmals tritt auch im Fall des Balkens eine auf einer Linie verteilte Kraft (als Linienkraftdichte bezeichnet) auf. l1 l2 l3 Stab

Zugstab

Mt

Mt

Torsionsstab

Balken

M

M

l3 l1

l2

Ä Gekrummter Balken Bild 3.2. Linienf¨ ormige Tragwerke f¨ ur l1 >> l2 , l3

Bei Fl¨ achentragwerken u ¨ bersteigen zwei Hauptabmessungen deutlich die dritte (Bild 3.3). Die Beispiele enthalten eine in ihrer Ebene durch verteilte Kr¨afte belastete Scheibe (Bild 3.3a), eine durch eine Linienmomentendichte belastete Platte (Bild 3.3b) und eine durch eine Fl¨achenkraftdichte (Innendruck) belastete Schale (Bild 3.3c). l1

l1 l2

l2 l3

l3

a)

b) l2 l1 pi c)

pi - Innendruck l3

Bild 3.3. Fl¨ achentragwerke f¨ ur l1 , l2 >> l3 ; Scheibe a), Platte b) und Schale c)

Einf¨ uhrend werden einfache, d.h. aus einem Bauteil oder K¨orper bestehende, linien- und scheibenf¨ ormige Tragwerke, die durch Kr¨afte in der Ebene des Tragwerkes und Momente senkrecht zu dieser Ebene belastet sind (ebene Tragwerke), behandelt, in der Ebene liegende Momente wie beim Torsions-

3.2

Lagerarten

39

stab und geraden Balken sowie hier nicht angegebene Kr¨afte senkrecht zur Ebene also ausgeschlossen. Außer in extra zu untersuchenden F¨ allen wird k¨ unftig die Bemaßung der Mittellinie von St¨ aben und Balken wegen l1 >> l2 , l3 der Bemaßung einer der beiden Linien der durch den Doppelstrich symbolisierten Kontur n¨aherungsweise gleichgesetzt.

3.2 Lagerarten Gem¨ aß der in Abschnitt 3.1 definierten Belastung muss der Freiheitsgrad f der noch nicht gelagerten, ebenen Tragwerke, der zwei Verschiebungen in der Ebene und eine Drehung um eine Achse senkrecht zur Ebene, also f = 3 Bewegungsm¨ oglichkeiten umfasst, auf fr = 0 reduziert werden. Dabei bleiben die aus der Ebene herausf¨ uhrenden Bewegungsm¨oglichkeiten, die in der Realit¨ at meist konstruktiv verhindert sind, außerhalb der Betrachtung. Die Reduktion des Freiheitsgrades wird durch unterschiedliche Lagerkonstruktionen verwirklicht, die eine, zwei oder drei Bindungen mit der Umgebung gew¨ ahrleisten, so dass mit allen beteiligten Lagern zusammen die Bedingung ullt wird. Dieser Zustand heißt auch statisch bestimmt und wird im fr = 0 erf¨ Folgenden vorausgesetzt. Die Lager tragen nach der Anzahl ihrer Bindungen die Bezeichnung ein-, zwei- oder dreiz¨ ahlig. Die mehr oder weniger komplizierten realen Lagerkonstruktionen werden zu Modellen idealisiert, die symbolisch die gebundenen und die frei gebliebenen Bewegungsm¨ oglichkeiten darstellen und folglich nach dem Freimachen (auch Freischneiden) eine eindeutige Aussage u ¨ ber die vom Lager auf das Bauteil aus¨ ubbare Belastung (Lagerreaktion) erlauben. Bild 3.4 enth¨ alt einige wichtige Beispiele f¨ ur verschiedene Lager, ihre Bezeichnung, das Symbol f¨ ur das Modell, die dazugeh¨ origen m¨oglichen Lagerreaktionen (Einzelkr¨ afte und -momente, deren Z¨ ahlpfeile auch entgegengesetzt zum eingetragenen Richtungssinn angenommen werden d¨ urfen) f¨ ur den Fall des Auftretens beliebiger, hier nicht angegebener, eingepr¨agter Lasten und den verbliebenen Freiheitsgrad fL des Tragwerkes am Lager, der zusammen mit der Zahl der Lagerreaktionen den Freiheitsgrad f = 3 des starren K¨orpers in der Ebene ergeben muss. Balken werden im Symbol als Doppellinie gezeichnet, nach dem Freimachen vom Lager vereinfacht als fette Volllinie. Die gelenkige Verbindung zwischen symbolisiertem Lagerbock und Balkenende (s. zweiz¨ ahliges Festlager) wird gleichbedeutend durch das scharnierartige Symbol bzw. die Spitzenlagerung dargestellt, wobei die geringf¨ ugige Exzentrizit¨at der Spitze außerhalb der Balkenachse unbeachtet bleibt. Das Loslager realisiert eine Kraft senkrecht zu seiner Verschieblichkeit. Das Festlager und die

3.2

40

3. Ebene Tragwerke

Einspannung lassen verschiedene Lagerkraftzerlegungen zu, deren zwei Komponenten nicht notwendig senkrecht aufeinander stehen m¨ ussen. Die Einspannung kann jedoch zus¨ atzlich noch ein Einzelmoment auf das Bauteil aus¨ uben. Gelenke und F¨ uhrungen werden spiel- und reibungsfrei angenommen. Bezeichnung

Art und Anzahl der Lagerreaktionen

Symbol

gelenkiges Losoder Rollenlager Ä (einzahlig)

B

Freiheitsgrad am Lager fL =2 1 Verschiebung 1 Drehung um B

FB

FBh B

FBv auch

Festlager Ä (zweizahlig)

fL =1 1 Drehung um B

B FBh Einspannung Ä (dreizahlig)

B

MB

parallele Fuhrung Ä Ä (zweizahlig) orthogonale Fuhrung Ä Ä (zweizahlig)

FBv

MB

FB

B B

FB

fL =0

fL =1 1 Verschiebung

fL =1 1 Verschiebung

MB Bild 3.4. Beispiele f¨ ur Lagerarten

3.3

3.3 Lasten Die in der Realit¨ at auf Tragwerke wirkenden eingepr¨agten Lasten m¨ ussen idealisiert werden. Die am weitesten gehende Vereinfachung f¨ uhrt zu den schon benutzten Lasten Einzelkraft und Einzelmoment (siehe Abschnitt 1.2). Linienf¨ ormige Tragwerke k¨ onnen in der Ebene durch verteilte Kr¨afte quer oder l¨ angs zur Stabachse belastet werden (Bild 3.5). Diese Linienkraftdichten werden in N/m gemessen. Ihr Wert kann vom Ort abh¨angen und wird dann durch eine Funktion der Ortskoordinate q(s) bzw. ql (s) angegeben. Man

3.3

Lasten

41

spricht von Streckenlasten, obwohl das allgemeinere Wort Last auch Momente beinhaltet. q(s) q l(s) s

s a)

b)

Bild 3.5. Streckenlasten: a) Balken, b) Zugstab

Verteilte Momente, die senkrecht auf der Betrachterebene stehen, werden durch eine Linienmomentendichte m(s) mit der Einheit Nm/m=N beschrieben (Bild 3.6). m(s)

s Bild 3.6. Linienmomentendichte beim Balken

Die Lasten von Bild 3.5 und 3.6 k¨ onnen auch als Querschnittsmittelwerte von Volumenlastdichten aufgefasst werden, f¨ ur deren Beschreibung eine Funktion von einer Variablen ausreicht. Das Beispiel einer tangentialen Fl¨ achenkraftdichte t infolge gleichm¨aßig verteilten Gewichts in einer homogenen Scheibe der Dicke h mit konstanter Volumenmassendichte ρ demonstriert Bild 3.7. Mit der Volumenmassendichte ρ und der Erdbeschleunigung g = 9, 81ms−2 ergibt sich zun¨achst eine zur Scheibenebene tangential orientierte Volumenkraftdichte (Wichte) γ = ρg und damit die tangentiale Fl¨ achenlast t = γh = ρgh in der Einheit [t] = [γh] = [ρgh] =

N kg m m= 2 . m 3 s2 m

F¨ ur b 0 Dieser Abstand zwischen den Wirkungslinien von FN und FG muss f¨ die Bedingung a μ gilt allgemein. Sie l¨asst sich auch in dem Bild 8.3 veranschaulichen. ¹ ,¹0 ¹0

¹

v rel Bild 8.3. Abh¨ angigkeit der Reibungskoeffizienten von der Relativgeschwindigkeit

Hier wird der singul¨ are Charakter der Haftreibung deutlich. Bei der geringsten Relativgeschwindigkeit, wie sie z.B. infolge einer Ersch¨ utterung auftreten kann, besteht die Gefahr, dass ein an der Haftreibungsgrenze belasteter K¨ orper unter Verletzung des Gleichgewichtes in den Zustand des Gleitreibens ¨ u ur die Grenze des Ubergangs ¨ bergeht. Die Richtung der Haftreibungskraft f¨ zum Gleiten ist dabei entgegengesetzt zur Richtung der erwarteten Relativgeschwindigkeit des K¨ orpers beim Gleiten.

8.2

8.2 Beispiele Im Folgenden werden sowohl Haft- als auch Gleitreibungsprobleme behandelt. Beispiel 8.1 Auf einer schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel α befindet sich ein K¨ orper mit der Masse m (Bild 8.4). Gesucht sind f¨ ur gegebene Koeffizienten ur Haftreibung μ0 , μ der Haft- bzw. Gleitreibung der maximale Winkel f¨ und der minimale Winkel f¨ ur Gleitreibung nach L¨osen der Haftung. Die K¨ orperform wird als hinreichend flach vorausgesetzt, so dass Kippen des K¨ orpers ausgeschlossen ist.

8.2

Beispiele

105

®

m ¹ 0,¹ ®

FG =mg

v rel FH,FGl

FN

Bild 8.4. Haft- und Gleitreibung auf schiefer Ebene

L¨osung: Wir beginnen mit der Untersuchung des Haftens. Nach dem Freimachen der Reibstelle ergeben die Gleichgewichtsbedingungen: :

FN − FG cos α = 0 ,

FN = FG cos α > 0 ,

:

FH − FG sin α = 0 ,

FH = FG sin α > 0 .

Damit folgt aus (8.3) |FH | = FH ≤ μ0 FG cos α bzw. tan α ≤ μ0 und αmax = arctan μ0 . Dieses Ergebnis ist technisch nicht verwertbar, wenn das Haften auch bei Ersch¨ utterungen sicher garantiert werden soll. Dann muss wegen μ < μ0 (siehe Bild 8.3) mit α ¯ max < arctan μ ein kleinerer maximaler Neigungswinkel α ¯max gefordert werden. Andererseits ¨ betr¨ agt der minimale Winkel zur sicheren Uberwindung des Haftens bei fehlender Ersch¨ utterung αmin > arctan μ0 . Schließlich gew¨ ahrleistet der aus α ¯ min = arctan μ bestimmte Winkel α ¯ min das Gleiten mit konstanter Absolutgeschwindigkeit. 

106

8. Reibung

Beispiel 8.2 Eine Metallleiter steht auf einem Holzboden und lehnt an einer Holzwand. Gegeben sind die Abmessungen b und a aus b/a = k > 1 nach Bild 8.5a sowie die Reibungskoeffizienten f¨ ur Haften μ0 und Gleiten μ < μ0 . Gesucht ist die H¨ ohe h des Angriffspunktes des Gewichtes FG auf der Leiter, so dass Haften gerade noch stattfindet bzw. so dass Abrutschen der Leiter sicher vermieden wird. Das Eigengewicht der Leiter sei gegen¨ uber FG vernachl¨assigbar.

B

FBN

½

FG b

FBH h

b

h

FG FCH

a a)

C b)

c

FCN ½

a

Bild 8.5. Zum Haften und Abrutschen einer Leiter

L¨osung: Beim Freimachen der Leiter werden die Normalkomponenten der Lagerreaktionen als Druckkr¨ afte vorausgesetzt und die Haftreibungskr¨afte f¨ ur die ¨ Grenze des Ubergangs zu einem m¨ oglichen Gleiten entgegengesetzt zum erwarteten Richtungssinn der relativen Gleitgeschwindigkeit an den Punkten B bzw. C eingetragen. Dies entspricht den beiden Grenzlagen der resultierenden Lagerreaktionen gem¨ aß dem gr¨ oßten Wert f¨ ur h in der grafischen L¨osung mit der Gleichgewichtsforderung, dass sich die Wirkungslinien der drei beteiligten Kr¨ afte (resultierende Lagerreaktionen bei B und C sowie Gewichtskraft FG ) in einem Punkt schneiden (Bild 8.5b). Dieser Schnittpunkt liegt sonst irgendwo in der schraffierten Fl¨ ache. Mit der gewonnenen Zusatzinformation folgt FCH > 0 und FBH > 0. Die Gleichgewichtsbedingungen liefern drei Gleichungen ↑: →: 

C:

FBH − FG + FCN

=0,

FBN − FCH

=0,

−FBN b − FBH a + FG c = 0

8.2

Beispiele

107

f¨ ur die vier unbekannten Kr¨ afte FBH , FBN , FCH , FCN und den gesuchten Abstand c, aus dem sich die H¨ ohe h ergibt. Es liegt also statische Unbestimmtheit vor, die durch zus¨ atzliche Gleichungen behoben werden muss. An der Grenze des Haftens gilt gem¨ aß (8.3) f¨ ur FCH > 0, FBH > 0: FCH = μ0 FCN ,

FBH = μ0 FBN .

Dies wird in die Gleichgewichtsbedingungen eingesetzt: μ0 FBN + FCN = FG , FBN − μ0 FCN =

0,

−(b + μ0 a)FBN + FG c =

0.

Das entstandene System von drei linearen Gleichungen f¨ ur die drei Unbeachst die Bestimmung von FBN aus kannten FBN , FCN und c erlaubt zun¨ den ersten beiden Gleichungen und anschließend c aus der letzten: FBN =

μ0 FG , 1 + μ20

c=

μ0 (b + μ0 a) . 1 + μ20

Mittels Strahlensatzes folgt aus Bild 8.5b und mit b/a = k h=

μ0 (k + μ0 ) b c=b . a 1 + μ20

Damit Abrutschen sicher vermieden wird, ist in dieser Gleichung μ anstelle von μ0 zu benutzen und dann h 0. Dies entspricht einer Zunahme der Seilkraft mit wachsendem Umschlingungswinkel ϕ. Dann ist mit (8.9) dFH = dFS > 0 und mit (8.8), (8.10) dFS ≤ μ0 FS dϕ .

(8.11)

Den Intervallgrenzen des Umschlingungswinkels ϕ = 0...α werden die Intervallgrenzen der Seilkraft FS = FS1 ...FS2 zugeordnet. Die Integration von (8.11) liefert dann FS2 

FS1

dFS ≤ μ0 FS

α dϕ 0

bzw. wegen FS1 , FS2 > 0 ln

FS2 ≤ μ0 α , FS1

und da die Exponentialfunktion streng monoton steigt,  FS2  ≤ exp(μ0 α) , exp ln FS1 so dass FS2 ≤ FS1 eμ0 α .

(8.12)

folgt. Im Fall dFS < 0 (mit zunehmendem Umschlingungswinkel nimmt die Seilkraft ab) ist in (8.9) dFH = dFS < 0 ,

8.3

Seilreibung

111

und (8.8), (8.10) ergeben −dFS ≤ μ0 FS dϕ bzw. nach Integration (die Seilkr¨ afte sind wieder positiv) sowie Umkehrung des Ungleichheitszeichens bei Multiplikation der Ungleichung mit (−1) ln

FS2 ≥ −μ0 α FS1

und deshalb FS2 ≥ FS1 e−μ0 α .

(8.13)

¨ Bei Ubergang zur Gleitreibung ist in (8.12), (8.13) der Haftreibungskoeffizient μ0 durch den Gleitreibungskoeffizient μ zu ersetzen und das Gleichheitszeichen zu benutzen. Es gelten dann FS2 = FS1 eμα

(8.14)

f¨ ur eine Relativgeschwindigkeit des Seiles im Richtungssinn von FS2 und FS2 = FS1 e−μα

(8.15)

f¨ ur eine Relativgeschwindigkeit des Seiles im Richtungssinn von FS1 . Wie schon fr¨ uher diskutiert, muss der Haftreibungskoeffizient μ0 in (8.12), (8.13) f¨ ur die Berechnung der Seilkraft, mit der Haften sicher u ¨ berwunden werden soll, verbleiben, w¨ ahrend μ0 durch den Gleitreibungskoeffizient μ zu ersetzen ist, wenn die Forderung nach sicherem Haften steht.

vrel

k¼

FS

FG Bild 8.9. Zur Veranschaulichung der Seilgleitreibung

Abschließend kommen wir nochmals auf Bild 8.7 zur¨ uck und wandeln die Anordnung so ab, dass ein Umschlingungswinkel α = k π entsteht. Wir fragen nach der Kraft zum gleichm¨ aßigen Absenken des Gewichts (Bild 8.9). Mit FG = FS2 und FS = FS1 gilt (8.14) FG = FS eμα = FS eμkπ (FG = FS1 und FS = FS2 liefern mit (8.15) dasselbe). F¨ ur das Beispiel μ = 0, 3 und k = 1 folgt FG = 2, 6 FS , d.h. schon bei nur halber Um-

112

8. Reibung

schlingung des Kreiszylinders ist die Ablasskraft deutlich kleiner als die Gewichtskraft. Durch mehrfache Umschlingung kann dieser Effekt beliebig vergr¨ oßert werden. Beispiel 8.4 Die Trommel einer Bandbremse wird durch ein Band mit dem Umschlingungswinkel α gebremst (Bild 8.10). Zur Verst¨arkung der Bremskraft dient ein Hebel. Gegeben sind die Abmessungen R, l, L, α, der Gleitreibungskoeffizient μ sowie die Bremskraft F . Gesucht wird das Antriebsmoment Ma der Trommel bei gleichf¨ ormiger Drehbewegung der Trommel. Ma Ma

1

FCh

®

FCv

R

C

F B a)

FS1

FS2

FBh l

L

FS1

FS2 b)

FBv

F

2

Bild 8.10. Modell einer Bandbremse

L¨osung: Nach der Befreiung des Systems von den Lagerbindungen bei B und C trennt ein Schnitt das Teilsystem 1j Trommel/Band vom Teilsystem 2j Hebel/Band. Die Momentengleichgewichte um C f¨ ur 1jund B f¨ ur 2jliefern 

C:

(FS2 − FS1 )R − Ma = 0 ,

B:

FS1 l − F (L + l) = 0 .



Das Reibungsgesetz lautet f¨ ur die gegebene Zuordnung von Drehsinn und Bandkr¨ aften nach (8.14) FS2 = FS1 eμα . Die Aufl¨ osung der ersten Gleichung ergibt mit den beiden verbleibenden Gleichungen Ma = F

R (L + l)(eμα − 1) . l

8.3

Seilreibung

113

Der Leser u ¨berzeuge sich davon, dass bei entgegengesetztem Antriebssinn  das Ergebnis M =F lautet.

R (L + l)(1 − e−μα ) l 

Kapitel 9 Schwerpunkt

9

9 9.1 9.2 9.3

9

Schwerpunkt K¨orperschwerpunkt .............................................. 118 Fl¨achenschwerpunkt ............................................. 121 Linienschwerpunkt ............................................... 128

9 Schwerpunkt ¨ Wir kn¨ upfen an die Aquivalenzbetrachtungen des Abschnittes 2.2 an und betrachten n parallele Kr¨ afte in vertikaler Richtung (Bild 9.1). O F1

F2

x1

...

Fn

FR

x2 xR xn

Bild 9.1. Resultierende paralleler Kr¨ afte

Die Kontur des K¨ orpers, an dem die Kr¨ afte angreifen, ist f¨ ur das Folgende unwichtig und wurde weggelassen. Die Kr¨ afte zeigen nach unten, so dass sie bei Vernachl¨ assigung der Ortsabh¨ angigkeit der Erdschwere als Gewichte gedeutet werden k¨ onnen. Auch dies ist nicht wesentlich, erm¨oglicht aber den Bezug auf ein anschauliches Beispiel. Zur Berechnung des Betrages der resultierenden Kraft benutzen wir (2.8) mit gewendetem Z¨ ahlsinn. Dabei lassen wir, wenn kein Anlass zu Missverst¨ andnissen besteht, den Laufindex und seine Grenzen am Summenzeichen weg:  Fi . (9.1) FR = Die Lage der Wirkungslinie der resultierenden Kraft bez¨ uglich des willk¨ urlich gew¨ ahlten Punktes O wird gem¨ aß (2.9) aus  Fi xi (9.2) FR xR = bestimmt. Die Zusammenfassung von (9.1) und (9.2) liefert  Fi xi . xR =  Fi

(9.3)

Das Ergebnis f¨ ur xR h¨ angt von der Wahl des Bezugspunktes O ab. Die mit (9.3) bestimmte Lage der Resultierenden relativ zu den Kr¨aften, aus denen die Resultierende ermittelt wurde, ist jedoch unabh¨angig davon. Dies l¨asst sich durch Wahl eines anderen Bezugspunktes leicht zeigen. orpers, so stellt die statisch ¨aquivalente Sind die Kr¨ afte Fi Teilgewichte eines K¨ resultierende Kraft das Gesamtgewicht dar, und xR gibt die Lage der Wirkungslinie des Gesamtgewichtes an. Eine gleich große Gegenkraft auf derselben Wirkungslinie w¨ urde das Gleichgewicht des K¨orpers gew¨ahrleisten.

118

9. Schwerpunkt

¨ Die obige Uberlegung l¨ asst sich auf n parallele Kr¨afte erweitern, die nicht in einer Ebene liegen und z.B. senkrecht auf der x, y-Ebene stehen (Bild 9.2). F2 Oz

FR

F1 y1

x2

x

y2

x1

yR

xR

Fn

yn

xn y Bild 9.2. Resultierende paralleler Kr¨ afte, die nicht in einer Ebene liegen

Die Kr¨ afte¨ aquivalenz liefert wieder (9.1).  FR = Fi . Gem¨ aß (6.9) haben wir jetzt zus¨ atzlich zur schon benutzten Momenten¨aquivalenz bez¨ uglich der y-Achse (9.2) eine weitere Momenten¨aquivalenz bez¨ uglich der x-Achse  Fi yi (9.4) FR yR = zu ber¨ ucksichtigen und gewinnen mit (9.1)  Fi yi . yR =  Fi

(9.5)

Die Koordinaten xR , yR legen den Punkt in der x, y-Ebene fest, durch den die Wirkungslinie von FR parallel zur z-Achse gehen muss oder anders ausgedr¨ uckt, die Schnittlinie der durch die Gleichungen x = xR , y = yR beschriebenen Ebenen definiert die Wirkungslinie von FR . 9.1

9.1 K¨ orperschwerpunkt Wir betrachten jetzt einen K¨ orper mit dem Volumen V und der Masse m im Erdbeschleunigungsfeld, das wieder ortsunabh¨angig angenommen wird. Die Massendichte sei dieselbe an allen Punkten des K¨orpers. Eine Variable mit einer solchen Eigenschaft heißt auch homogen. Das Gewicht des K¨orpers ist dann ebenfalls gleichm¨ aßig u orpervolumen verteilt. Wir suchen ¨ ber das K¨ den Punkt des K¨ orpers, in dem die statisch ¨aquivalente resultierende Kraft des Gesamtgewichtes angreift, unabh¨ angig von der Orientierung des K¨orpers bez¨ uglich der Richtung der Erdbeschleunigung g oder was dasselbe bedeutet, unabh¨ angig von der Richtung der Erdbeschleunigung relativ zur K¨orperorientierung. Dieser Punkt heißt Schwerpunkt. Der K¨orper sei zerlegbar

9.1

K¨ orperschwerpunkt

119

in Teilelemente mit den Volumina ΔVi und den Massen Δmi , f¨ ur die die Gewichte ΔFGi einschließlich ihrer Angriffspunkte Si mit den kartesischen Koordinaten x ¯i , y¯i , z¯i bekannt sind (Bild 9.3). y

V ¢FGi ¢Vi Si FG ¢FGi S FG ¢FGi yi FG

zi

xi

x

yS zS

xS z

Bild 9.3. Zerlegung des orientierten K¨ orpers in Elemente

Wir benutzen die Bezeichnungen x ¯, y¯, z¯, weil das Koordinatensystem x, y, z f¨ ur eine Anordnung reserviert wird, bei der der Koordinatenursprung in den noch zu findenden Schwerpunkt gelegt werden soll. Die Teilgewichte haben f¨ ur alle relativen Orientierungen der Erdbeschleunigung die Gr¨oße ΔFGi = gΔmi .

(9.6)

Das Gesamtgewicht betr¨ agt f¨ ur alle relativen Orientierungen der Erdbeschleunigung  Δmi . (9.7) FG = gm = g Gem¨ aß (6.9) sind f¨ ur drei Gruppen paralleler, jeweils in x-, y- bzw. z-Richtung ¨ orientierter Kr¨ afte zun¨ achst insgesamt sechs Aquivalenzgleichungen m¨oglich:   Fiy xi , FRz xR = Fiz xi (9.8) FRy xR = FRx yR = FRy zR =





Fix yi ,

Fiy zi ,

FRz yR = FRx zR =





Fiz yi

(9.9)

Fix zi .

(9.10)

F¨ ur die vorliegende Situation gelten mit (9.6), (9.7) die Spezialisierungen Fix = Fiy = Fiz = ΔFGi = gΔmi ,

FRx = FRy = FRz = FG = gm

120

9. Schwerpunkt

und Bezeichnungen xi = x¯i ,

yi = y¯i ,

zi = z¯i ,

xR = x¯S ,

yR = y¯S ,

zR = z¯S ,

so dass sich die Gleichungspaare (9.8), (9.9), (9.10) auf    x ¯i Δmi y¯i Δmi z¯i Δmi , y¯S = , z¯S = x ¯S = m m m

(9.11)

reduzieren. Die durch (9.11) gegebenen Ebenen x¯ = x ¯S , y¯ = y¯S und z¯ = z¯S enthalten jeweils das entsprechende Paar aufeinander senkrechter Wirkungslinien zu (9.8), (9.9) und (9.10). Der Schnittpunkt dieser Ebenen ergibt die orperschwerpunktes (Bild 9.3). Diese KoorKoordinaten x¯S , y¯S , z¯S des K¨ dinaten enthalten nicht mehr die Erdbeschleunigung und fallen deshalb mit den Koordinaten des sogenannten Massenmittelpunktes zusammen. Die Begriffe Schwerpunkt und Massenmittelpunkt werden unter dieser Bedingung, die auch bei uns gilt, als Synonyme gebraucht. Wie schon erw¨ ahnt, beruht (9.11) auf der Kenntnis der Gesamtmasse m, der Teilmassen Δmi und der Schwerpunktskoordinaten x¯i , y¯i , z¯i der Teilmassen uberhinaus die Dichte ρ unΔmi . Ist dieses Wissen nicht vorhanden und dar¨ gleichm¨ aßig u orper verteilt, so werden die zu den Teilmassen Δmi ¨ ber den K¨ geh¨ orenden Teilvolumina ΔVi des Gesamtvolumens V auf solche Weise verkleinert, dass ihre maximale Abmessung D gegen null geht und gleichzeitig ihre Anzahl n nach unendlich strebt. Wir benutzen außerdem den Begriff der Funktion f von mehreren unabh¨ angigen Variablen x ¯, y¯, z¯. Analog zur Funktion von einer unabh¨ angigen Variablen erzeugt die Funktion von mehreren unabh¨ angigen Variablen gem¨ aß der Vorschrift w = f (¯ x, y¯, z¯) eindeutig eine Zahl w innerhalb ihres Wertbereiches, wenn x ¯, y¯, z¯ gegebene Werte innerhalb ihres Definitionsbereiches (statt eines Intervalls jetzt ein Volumen) annehmen. Mit diesen Voraussetzungen ergeben die entstehenden unendlichen Summen des Typs  n  f (¯ xi , y¯i , z¯i )ΔVi = f (¯ x, y¯, z¯)dV (9.12) lim D→0 n→∞

i=1

V

das rechts stehende sogenannte Volumenintegral mit dem Volumendifferential dV = d¯ xd¯ y d¯ z . Dabei liegt der Punkt (¯ xi , y¯i , z¯i ) im Inneren oder auf xi , y¯i , z¯i ) hat den an diesem Punkt berechneten dem Rand von ΔVi , und f (¯ Wert, der f¨ ur das gesamte Teilvolumen ΔVi gilt. Zur Berechnung des Volumenintegrals sind nacheinander in beliebiger Reihenfolge drei bestimmte Integrationen auszuf¨ uhren. Bei Verwendung kartesischer Koordinaten gem¨aß Bild 9.3 k¨ onnen z.B. zun¨ achst die mit dem Funktionswert f (¯ x, y¯, z¯) multiplizierten Volumendifferentiale dV in der y¯-Richtung, das erhaltene Zwi-

9.2

Fl¨ achenschwerpunkt

121

schenergebnis in x ¯-Richtung und das zweite Zwischenergebnis schließlich in z¯-Richtung aufintegriert werden. F¨ ur die Gesamtmasse des K¨ orpers ergibt sich bei ver¨anderlicher Dichte ρ(¯ x, y¯, z¯) mit der Definition (9.12)  x, y¯, z¯)dV . (9.13) m = ρ(¯ V

Anstelle von (9.11) entsteht x ¯S =

1 m

 x ¯ρ(¯ x, y¯, z¯)dV, V

1 y¯S = m

 y¯ρ(¯ x, y¯, z¯)dV,

(9.14)

V

z¯S =

1 m

 z¯ρ(¯ x, y¯, z¯)dV . V

Eine homogene Dichte ρ=konst. f¨ allt aus (9.14) heraus    1 1 1 x ¯S = x ¯dV , y¯S = y¯dV , z¯S = z¯dV , V V V V

V

(9.15)

V

so dass sich die Koordinaten des Volumenschwerpunktes ergeben, die dann mit den Koordinaten des K¨ orperschwerpunktes bzw. Massenmittelpunktes u ¨bereinstimmen. Der Massenmittelpunkt hat große Bedeutung bei der L¨osung von Problemen der Starrk¨ orperkinetik. Der Schwerpunkt ebener Fl¨achen ist wichtig f¨ ur die Biegetheorie der Balken in der Festigkeitslehre.

9.2 Fl¨ achenschwerpunkt Gegeben sei eine Fl¨ ache mit dem Inhalt A, die in der x ¯, y¯-Ebene liegt (Bild 9.4). Gesucht wird der Schwerpunkt dieser Fl¨ache (auch Fl¨ achenschwerpunkt). Ein anschaulicher Zugang zum Fl¨ achenschwerpunkt folgt wieder aus zwei Momenten¨ aquivalenzen um die x ¯- bzw. y¯-Achse f¨ ur alle Teilfl¨achen- Gewichte“ ” xi Δ¯ yi in z-Richtung. Dabei werden die Dichte (Masse pro Fl¨ache) ΔAi = Δ¯ und die Erdbeschleunigung durch die Gr¨ oße Eins ersetzt. Dies ergibt analog

9.2

122

9. Schwerpunkt A

yII (x)

y yS yi

Si ¢yi ¢xi

S

yI (x ) z

xI xi

xS

xII x

Bild 9.4. Zur Definition des Fl¨ achenschwerpunktes

zu (9.7), (9.11)  A= ΔAi ,

x ¯S =

1  x ¯i ΔAi , A

y¯S =

1  y¯i ΔAi . A

(9.16)

Die n Teilfl¨ achen ΔAi und die Lage der n Teilfl¨achenschwerpunkte Si m¨ ussen bekannt sein. Andernfalls wird analog zu (9.12) ein Grenzwert gebildet, bei dem die maximale Abmessung der Fl¨ achenelemente D gegen null und ihre Anzahl nach unendlich geht. Die Entsprechung zu (9.12) lautet dann f¨ ur eine zun¨ achst noch beliebige Funktion f (¯ x, y¯)  n  f (¯ xi , y¯i )ΔAi = f (¯ x, y¯)dA , (9.17) lim D→0 n→∞

i=1

A

wo die rechte Seite ein sogenanntes Fl¨achenintegral mit dem Fl¨ achendifferential oder -element dA darstellt. Damit werden die anstelle der endlichen Summen in (9.16) zu benutzenden unendlichen Summen zu Fl¨ achenintegralen, und es entsteht mit den nacheinander angewendeten Spezialisierungen f (¯ x, y¯) = 1, f (¯ x, y¯) = x ¯ und f (¯ x, y¯) = y¯ in (9.17)  (9.18) A = dA , A

1 x ¯S = A

 x ¯dA ,

1 y¯S = A

A

 y¯dA . A

Die Ausdr¨ ucke x ¯s A =



x ¯i ΔAi ,

y¯s A =



y¯i ΔAi

(9.19)

9.2

Fl¨ achenschwerpunkt

123

in (9.16) und





x ¯s A =

x ¯dA ,

y¯s A =

A

y¯dA A

in (9.19) werden in Anlehnung an ihre Herkunft (9.2) als statische Momente ¯ bzw. y¯i oder der Fl¨ ache A bez¨ uglich der Achse, von der die Abst¨ande x¯i oder x y¯ zum Fl¨ achenelement ΔAi oder dA gemessen werden, bezeichnet. Wegen der ersten Potenz dieser Abst¨ ande unter der Summe bzw. dem Integral heißen die statischen Momente auch Fl¨ achenmomente erster Ordnung. Sie haben wie der Fl¨ achenschwerpunkt eine fundamentale Bedeutung f¨ ur die sp¨ater zu behandelnde Biegetheorie der Balken. Die Berechnung der Fl¨ achenintegrale in (9.18), (9.19) erfordert zwei bestimmte Integrationen beliebiger Reihenfolge innerhalb der Fl¨achenberandung. Bei Verwendung kartesischer Koordinaten gem¨ aß Bild 9.4 ist z.B. folgende Variante m¨ oglich x)  II (¯ x¯II y¯ x¯II   y¯II (¯ d¯ y d¯ x= x) − y¯I (¯ x) d¯ x , (9.20) A= x ¯I

x ¯S =

y¯S =

1 A

1 A

x ¯I

y¯I (¯ x)

x) II (¯ x¯II y¯

 x¯II   1 x ¯d¯ y d¯ x= x ¯ y¯II (¯ x) − y¯I (¯ x) d¯ x , (9.21) A

x ¯I

x ¯I

y ¯I (¯ x)

x) II (¯ x¯II y¯

x ¯I

 x¯II  2  2 1 y¯II (¯ d¯ x . (9.22) y¯d¯ y d¯ x= x) − y¯I (¯ x) 2A x ¯I

y¯I (¯ x)

Die Berandungsteile m¨ ussen dabei durch die Funktionen yI (¯ x), yII (¯ x) eindeutig beschreibbar sein. Sonst ist die Gesamtfl¨ache zweckentsprechend zu zerlegen und das Integral u ache als Summe der Integrale ¨ ber die Gesamtfl¨ u achen zu bilden. ¨ber Teilfl¨ Die in der Definition (9.17) enthaltene Summation bzw. die f¨ ur gew¨ohnliche bestimmte Integrale geltenden, hier sinngem¨ aß anwendbaren Rechenregeln f¨ uhren noch zu den folgenden n¨ utzlichen Formeln:    f (¯ x, y¯)dA + f (¯ x, y¯)dA = f (¯ x, y¯)dA (9.23) A1

A2

A1 +A2

124

9. Schwerpunkt

(A1 und A2 u ¨ berlappen sich nicht),  

  f1 (¯ x, y¯) + f2 (¯ x, y¯) dA = f1 (¯ x, y¯)dA + f2 (¯ x, y¯)dA .

A

A

(9.24)

A

Die folgenden zwei Beispiele sollen die Bestimmung des Schwerpunktes mit Hilfe der Fl¨ achenintegrale in (9.18), (9.19) demonstrieren. Beispiel 9.1 Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Basisl¨ange b und der H¨ohe h (Bild 9.5). Gesucht sind die Schwerpunktkoordinaten x¯S , y¯S . y

h

yII (x)

S

dA = yII dx dy

x

xS dx

x

b Bild 9.5. Zur Schwerpunktberechnung beim rechtwinkligen Dreieck

L¨osung: x) zerlegt. Die Dreiecksfl¨ ache wird in Streifen der Breite d¯ x und der H¨ohe y¯II (¯ Bild 9.5 enth¨ alt mit der Streifenbreite d¯ x bereits den Grenz¨ ubergang, f¨ ur den der Unterschied zwischen linker und rechter Streifenh¨ohe verschwindet. Die x) betr¨ agt gem¨ aß Strahlensatz H¨ ohe y¯II (¯ y¯II (¯ x) = h −

h x ¯. b

An der Dreiecksbasis ist y¯I (¯ x) = 0 . Die linke und rechte Intervallgrenze f¨ ur x ¯ sind x ¯I = 0 ,

x ¯II = b .

9.2

Fl¨ achenschwerpunkt

125

Die Auswertung von (9.20) f¨ uhrt u ¨ ber den auch aus Bild 9.5 ablesbaren Zwischenschritt x)  II (¯  b  y¯ b  y¯II (¯x)  b 

h ¯ d¯ x y¯

d¯ x= h− x d¯ y d¯ x= A= b 0 0

0

0

0

nach L¨ osen des unbestimmten Integrals auf  b  ¯2

hx 1 A = h¯ x− = hb ,

b 2 0 2 ein aus der Dreieckslehre bekanntes Ergebnis. Die Gleichung (9.21) ergibt x) II (¯  b  y¯ b b h x ¯S A = ¯)d¯ x x ¯d¯ y d¯ x= x ¯ y¯II (¯ x)d¯ x= x ¯(h − x    b 0

0

0

 b  2 hx ¯3

x ¯ hb2 = h − =

2 b 3 0 6 und damit 1 x¯S = A

 x ¯dA =

 dA

0

b hb2 2 = . 6 hb 3

A

 in Man sieht mit Bild 9.5, dass f¨ ur das streifenf¨ ormige Fl¨achenelement dA  y¯-Richtung u ¯= konst. gilt und die Verwendung von dA deshalb auch ¨berall x sofort die Bildung eines bestimmten Integrals erlaubt.

h

b/3 S

h/3 b

Bild 9.6. Schwerpunkt des rechtwinkliges Dreiecks

Aus der Vertauschung der willk¨ urlich gew¨ ahlten Bezeichnungen b und h folgt noch ohne Rechnung y¯S =

h . 3

126

9. Schwerpunkt

Man merke sich die Lage des Schwerpunktes beim rechtwinkligen Dreieck entsprechend Bild 9.6.  Beispiel 9.2 F¨ ur eine Halbkreisfl¨ ache vom Radius R (Bild 9.7) sind die Schwerpunktkoordinaten gesucht. L¨osung: Das statische Moment bez¨ uglich einer Querschnittssymmetrieachse verschwindet, d.h. es gilt x ¯S = 0 . y

R

S yS

dy dx

y x

Bild 9.7. Schwerpunkt der Halbkreis߬ ache

Der halbkreisf¨ ormige Rand wird durch  y¯II (¯ x) = R 2 − x ¯2 beschrieben. Mit der Gleichung (9.22) ergibt sich unter Ausnutzung der Symmetrie R y¯II y¯S A = 2  y¯S A =

0

 R R 2 y¯d¯ y d¯ x = y¯II (¯ x)d¯ x = (R2 − x ¯2 )d¯ x

0

0

 R x¯3

2R3 2 , R x ¯− = 3 0 3

0

und wegen 1 2 πR 2 2R3 2 4R . y¯S = = 3 πR2 3π A=

 Das Ergebnis von Beispiel 9.2 l¨ asst sich auch auf den Viertelkreis anwenden (Bild 9.8).

9.2

Fl¨ achenschwerpunkt

127

R

S

S 4R/(3¼) 4R/(3¼)

Bild 9.8. Schwerpunktlagen von Halb- und Viertelkreis

Die L¨ osung der k¨ unftig betrachteten Probleme kommt mit den Formeln (9.16) f¨ ur zusammengesetzte Fl¨ achen bei Kenntnis der Teilfl¨achen und Teilfl¨ achenschwerpunktlagen aus. Dies wird im Folgenden demonstriert. Beispiel 9.3 Gegeben ist eine zusammengesetzte Fl¨ ache, bestehend aus drei Teilfl¨achen mit bekannten Schwerpunktlagen (Bild 9.9). y

a

S1 S2 a

x

S3

Bild 9.9. Zur Schwerpunktberechnung einer zusammengesetzten Fl¨ ache

L¨osung: Gem¨ aß (9.16) ist mit der Bezeichnungs¨ anderung ΔAi = Ai   3  a2 1 π = (3 + π) , A= Ai = a2 1 + + 2 2 2 i=1   3  1 1 π 1 1 3 = − a3 , x ¯S A = x ¯i Ai = a − · 1 + · + 0 · 2 3 2 2 3 i=1 wo die ersten Faktoren in den Summanden der Klammer die horizontalen Schwerpunktabst¨ ande der Teilfl¨ achen anzeigen. Damit ergibt sich x¯S = −

2 2a a3 =− , 3 a2 (3 + π) 3(3 + π)

128

9. Schwerpunkt

und weiter y¯S A =

3 

y¯i Ai = a

3

i=1



 1 1 4 π 1 ·1+ · − =0, 2 3 2 3π 2

y¯S = 0 .  Beispiel 9.4 Gegeben ist ein Vollkreis vom Radius R mit einem Loch vom Radius R/2 (Bild 9.10). Gesucht sind die Schwerpunktkoordinaten der zusammengesetzten Fl¨ ache. y

x

2R Bild 9.10. Zur Schwerpunktberechnung einer zusammengesetzten Fl¨ ache

L¨osung: Aus (9.16) folgt 2 

3 1 Ai = πR2 (1 − ) = πR2 , 4 4 i=1  2  1 1 1 x ¯i Ai = πR3 0 · 1 + (− ) = − πR3 , x ¯S A = 2 4 8 i=1 A=

wo das Minuszeichen in der runden Klammer das Fehlen der kleinen Kreisfl¨ ache anzeigt, und damit x ¯S = − Wegen Symmetrie ist y¯S = 0.

πR3 4 R =− . 2 8 3πR 6 

9.3

Linienschwerpunkt

129

9.3

9.3 Linienschwerpunkt Die Schwerpunktkoordinaten ebener Linien k¨ onnen nach Bild 9.11 und analog zu (9.18), (9.19) definiert werden als:  L = ds , (9.25) L

x ¯S =

1 L

 x ¯ds ,

y¯S =



1 L

y¯ds .

L

(9.26)

L

y

L

yS y

S 0

ds

s x

xS

x

Bild 9.11. Zur Definition des Linienschwerpunktes

Die bestimmten Integrale sind l¨ angs der Kurve 0 ≤ s ≤ L zu berechnen. Im Fall von Linienz¨ ugen mit n abschnittsweise bekannten L¨angen und Schwerpunktkoordinaten gilt ¨ ahnlich wie in (9.16) L=

n 

1 x ¯i ΔLi , L i=1 n

ΔLi ,

x ¯S =

i=1

1 y¯i ΔLi . L i=1 n

y¯S =

(9.27)

Die Ermittlung des Linienschwerpunktes soll nur an einer zusammengesetzten Linie mit bekannten L¨ angen und Schwerpunktlagen der Teillinien demonstriert werden. Beispiel 9.5 F¨ ur einen U-f¨ ormigen Linienzug (Bild 9.12) sind die Schwerpunktkoordinaten gesucht. y

S2 a

a/2

S1

S 2a

S3 x

Bild 9.12. Schwerpunkt einer zusammengesetzten Linie

L¨osung: ange der Linie ergibt sich zu L = 4a. Aus Wegen Symmetrie ist x ¯S = 0. Die L¨

130

9. Schwerpunkt

(9.27) folgt 1 y¯S L = a2 ( · 1 · 2 + 1 · 2) = 3a2 2 bzw. y¯S =

3a2 3 = a. 4a 4

In einem technischen Anwendungsfall kann der Linienzug von Bild 9.12 den extra zu fertigenden Ausschnitt am Rand eines Blechteils begrenzen. Dann muss die Stanzkraft im Schwerpunkt dieses Linienzuges angreifen, damit das Stanzwerkzeug nicht verkantet. 

Kapitel 10 Fl¨ achenmomente zweiter Ordnung

10

10

10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6

Fl¨ achenmomente zweiter Ordnung Definition der Fl¨achenmomente zweiter Ordnung ......... Berechnung der Fl¨achenmomente zweiter Ordnung ....... Transformation bei parallelen Bezugsachsen................ Zusammensetzung einfacher Fl¨achen ........................ Haupttr¨agheitsmomente ........................................ Polares Fl¨achentr¨agheitsmoment..............................

133 134 138 142 145 150

10 Fl¨ achenmomente zweiter Ordnung F¨ ur die sp¨ ater zu entwickelnde Biegetheorie der Balken werden neben den schon erw¨ ahnten Fl¨ achenmomenten erster Ordnung noch Fl¨achenmomente zweiter Ordnung ben¨ otigt, deren Er¨ orterung zweckm¨aßig bereits hier erfolgt.

10.1 Definition der Fl¨ achenmomente zweiter Ordnung Die f¨ ur die folgenden Definitionen erforderlichen Bezeichnungen sind in Bild 10.1 angegeben. Das Fl¨ achenelement dA besitzt den Abstand y¯ zur x¯-Achse bzw. den Abstand x ¯ zur y¯-Achse eines willk¨ urlich gew¨ahlten kartesischen Koordinatensystems. Im Schwerpunkt S der Fl¨ ache A befindet sich der Ursprung des kartesischen Koordinatensystems x, y, wobei die Koordinatenachsen x¯ und x bzw. y¯ und y parallel zueinander sind. y y

dA y

A x

S

x

x

Bild 10.1. Zur Definition der Fl¨ achenmomente zweiter Ordnung

Unter Ber¨ ucksichtigung der Funktion von zwei Ver¨anderlichen f (¯ x, y¯) und des Fl¨achenintegrals (9.17) lauten die Definitionen der Fl¨achenmomente zweiter Ordnung bez¨ uglich des x ¯, y¯-Systems:   2 Iy¯y¯ = x ¯2 dA , (10.1) Ix¯x¯ = y¯ dA , A

A



Ix¯y¯ = −

x ¯y¯dA .

(10.2)

A

Die zweite Ordnung der Fl¨ achenmomente (10.1), (10.2) kommt in dem Inte¯y¯ annimmt. granden f (¯ x, y¯) zum Ausdruck, der hier die Form y¯2 , x¯2 oder x achentr¨agheitsmomente oder einDie Gr¨ oßen Ix¯x¯ bzw. Iy¯y¯ heißen axiale Fl¨ fach Fl¨ achentr¨ agheitsmomente bez¨ uglich der indizierten Achsen x ¯ bzw. y¯, w¨ ahrend Ix¯y¯ als Deviations- bzw. Zentrifugalmoment bezeichnet wird. Wie aus (10.1), (10.2) ersichtlich, haben die Fl¨ achenmomente zweiter Ordnung die Dimension (L¨ ange)4 .

10.1

134

10. Fl¨achenmomente zweiter Ordnung

Des Weiteren k¨ onnen die Fl¨ achenmomente zweiter Ordnung auch bez¨ uglich des Schwerpunktkoordinatensystems x, y angegeben werden. Sie lauten dann entsprechend der Form (10.1), (10.2)   2 Iyy = x2 dA , (10.3) Ixx = y dA , A

A

 Ixy = −

xy dA .

(10.4)

A

Die axialen Fl¨ achentr¨ agheitsmomente sind wegen dA, x¯2 , y¯2 , x2 , y 2 > 0 immer positiv. Dagegen f¨ uhrt in den Formeln (10.2) bzw. (10.4) der Ausdruck (−¯ xy¯) bzw. (−xy) im ersten und dritten Quadranten zu negativen Deviationsmomenten.

10.2

10.2 Berechnung der Fl¨ achenmomente zweiter Ordnung Alle Fl¨ achenmomente zweiter Ordnung (10.1), (10.2) (und entsprechend auch (10.3), (10.4)) sind durch ein Fl¨ achenintegral gem¨aß (9.17) gegeben und k¨ onnen deshalb ¨ ahnlich wie die statischen Momente in (9.21), (9.22) berechnet werden, wobei jetzt der Integrand f (¯ x, y¯) in (9.17) gem¨aß (10.1), (10.2) ¯2 bzw. −¯ xy¯ zu ersetzen ist. Dabei wird allerdings zur Vereinfadurch y¯2 , x chung der Rechnung die Integrationsreihenfolge f¨ ur (10.1) so gew¨ahlt, dass ¯2 bei der ersten Integration jeweils konstant sind die Integranden y¯2 bzw. x (Bild 10.2a bzw. 10.2b). y

y

yII (x ) yII

xI ( y )

xII (y ) dy

yI

x

dx

dx

y x

a)

dy

b)

xI

yI (x) xII

x

Bild 10.2. Verschiedene Integrationsreihenfolgen: a) zuerst u ¯, b) zuerst u ¨ber x ¨ber y¯

Gem¨ aß Bild 10.2a entsteht  Ix¯x¯ = A

y) II (¯  y¯II x¯ y¯II 2 y¯ dA = y¯ d¯ x d¯ y= y¯2 [¯ xII (¯ y) − x ¯I (¯ y )]d¯ y 2

y¯I

x ¯I (¯ y)

y ¯I

(10.5)

10.2 Berechnung der Fl¨ achenmomente zweiter Ordnung

135

und gem¨ aß Bild 10.2b  Iy¯y¯ = A

x) II (¯  x¯II y¯ x¯II x ¯ dA = x ¯2 d¯ y d¯ x= x ¯2 [¯ yII (¯ x) − y¯I (¯ x)]d¯ x. 2

x ¯I

(10.6)

x ¯I

y¯I (¯ x)

F¨ ur Ix¯y¯ gibt es im Allgemeinen keine Vorzugsreihenfolge der Integrationen. Ein m¨ oglicher Rechenablauf ist  Ix¯y¯ = −

x) II (¯  x¯II y¯ x ¯y¯dA = − x ¯y¯d¯ y d¯ x x ¯I

A

y¯I (¯ x)

 x¯II  1 2 2 x. x ¯ [¯ yII (¯ x)] − [¯ yI (¯ x)] d¯ =− 2

(10.7)

x ¯I

Im Folgenden werden einige Beispiele betrachtet. Beispiel 10.1 F¨ ur das Rechteck mit der Grundseite b und der H¨ohe h nach Bild 10.3 sind die Fl¨ achenmomente zweiter Ordnung bez¨ uglich der Koordinatenachsen x¯, y¯ zu berechnen. y x dA

h

y

b

x

Bild 10.3. Zu den Fl¨ achenmomenten zweiter Ordnung des Rechtecks

L¨osung: Entsprechend Bild 10.3 gilt f¨ ur (10.5) y) = 0 , x ¯I (¯

x ¯II (¯ y) = b ,

y¯I = 0 ,

y¯II = h ,

so dass sich h Ix¯x¯ = 0

y¯2 bd¯ y=

h b 3  bh3 y¯  = 3 0 3

(10.8)

136

10. Fl¨achenmomente zweiter Ordnung

ergibt. Die Auswertung von (10.6) liefert mit x) = 0 , y¯I (¯

y¯II (¯ x) = h , b

Iy¯y¯ = 0

x ¯I = 0 ,

x ¯II = b

b h 3  hb3 ¯  = , x ¯ hd¯ x= x 3 3 0 2

(10.9)

ein Ergebnis, das man durch Vertauschung der willk¨ urlich gew¨ahlten Bezeichnungen f¨ ur b und h auch aus Ix¯x¯ gewinnt. Mit (10.7) ergibt sich Ix¯y¯

1 =− 2

b

x ¯h2 d¯ x=−

0

b ¯2  h2 x b 2 h2 . =−  2 2 0 4

(10.10) 

Beispiel 10.2 F¨ ur das Rechteck des Beispiels 10.1 werden die Fl¨achenmomente zweiter Ordnung bez¨ uglich der Schwerpunktachsen x, y gesucht (Bild 10.4). y x dA S

h

y x

b Bild 10.4. Zu den Fl¨ achenmomenten zweiter Ordnung des Rechtecks

L¨osung: Nach Bild 10.4 ist f¨ ur (10.5) mit x anstelle x ¯ und y anstelle y¯ xI (y) = −

b , 2

xII (y) =

b , 2

yI = −

h , 2

yII =

h , 2

so dass h

2 Ixx = −h 2

h b 3  2 bh3 y bdy = y  = 3 −h 12 2

2

(10.11)

10.2 Berechnung der Fl¨ achenmomente zweiter Ordnung

137

und durch Vertauschung der Bezeichnungen b und h Iyy =

hb3 12

(10.12)

folgen. Weiter ergibt sich aus (10.7) b

Ixy

1 =− 2

2

h h x[( )2 − (− )2 ]dx = 0 . 2 2

(10.13)

− 2b

 Das letzte Ergebnis war zu erwarten, da bereits f¨ ur einen einfach symmetrischen Querschnitt mit einer Koordinatenachse als Symmetrieachse einer der beiden Faktoren des Produktes xy zwei entgegengesetzt gleich große Beitr¨age liefert, die sich aufheben. Es sei schon hier vermerkt, dass Koordinatenachsen, f¨ ur die das Deviationsmoment verschwindet, als Hauptachsen bezeichnet werden. Symmetrieachsen einer Fl¨ ache sind also immer Hauptachsen. Beispiel 10.3 Ein Viertelkreissektor mit dem Radius R liegt mit seinen geraden Seiten auf den Achsen x¯, y¯ eines kartesischen Koordinatensystems (Bild 10.5). Gesucht sind die Fl¨ achenmomente zweiter Ordnung bez¨ uglich des x ¯, y¯-Systems. y

R x Bild 10.5. Zu den Fl¨ achenmomenten zweiter Ordnung des Viertelkreissektors

L¨osung: Wir benutzen (10.6) und (10.7) mit  x) = 0 , y¯II (¯ x) = R 2 − x ¯2 , y¯I (¯

x ¯I = 0 ,

x ¯II = R

und erhalten zun¨ achst R

 x ¯ 2 R2 − x ¯2 d¯ x=− (R − x ¯2 )3 4 0

R R2  2 x ¯  π 4 x ¯ R −x R . + ¯2 + R2 arcsin =  8 R 0 16

Iy¯y¯=

x ¯2

(10.14)

138

10. Fl¨achenmomente zweiter Ordnung

Die L¨ osung des unbestimmten Integrals wird entweder unter Nutzung von Polarkoordinaten gewonnen oder wie hier einer Integraltabelle entnommen. Wegen der Gleichberechtigung der Achsen x ¯ und y¯ gilt dann auch π 4 R . (10.15) Ix¯x¯ = 16 F¨ ur das Deviationsmoment ergibt sich Ix¯y¯

1 =− 2

R 0

1 x ¯(R − x ¯ )d¯ x=− 2 2

2

 R R 1 R2 2 1 4  2 3 x¯ − x ¯  (R x ¯−x ¯ )d¯ x=− 2 2 4 0 0

1 = − R4 . 8

(10.16)

Aus diesen Ergebnissen gewinnt man mit Anwendung von (9.23) auf den Vollkreis nach Bild 10.6 die Fl¨ achentr¨ agheitsmomente f¨ ur das Schwerpunktkoordinatensystem x, y. y S

x

Bild 10.6. Zu den Fl¨ achenmomenten zweiter Ordnung des Vollkreises

Eine Addition der vier axialen Fl¨ achentr¨ agheitsmomente ergibt π π Ixx = Iyy = 4 R4 = R4 . 16 4

(10.17)

Bei den Deviationsmomenten des Viertelkreissektors sind die negativen Vorzeichen im ersten und dritten Quadranten zu beachten: Ixy =

R4 (−1 + 1 − 1 + 1) = 0 . 8

(10.18)

Dieses Ergebnis wurde erwartet, da x und y Symmetrie- bzw. Hauptachsen sind. 

10.3

10.3 Transformation bei parallelen Bezugsachsen Gew¨ ohnlich werden in der Theorie der Balkenbiegung die Fl¨achenmomente zweiter Ordnung bez¨ uglich der Schwerpunktachsen ben¨otigt. H¨aufig sind aber zuerst die Fl¨ achenmomente zweiter Ordnung bez¨ uglich beliebiger kartesischer Koordinaten bekannt oder einfacher zu berechnen. Es besteht die Aufgabe, aus deren Kenntnis sowie aus den Angaben u ¨ ber den Inhalt und die Schwer-

10.3 Transformation bei parallelen Bezugsachsen

139

punktlage der Fl¨ ache die Fl¨ achenmomente zweiter Ordnung bez¨ uglich der Schwerpunktachsen zu bestimmen. Hierzu betrachten wir Bild 10.7 und benutzen die Definitionsgleichungen (10.1), (10.2). y

y

y yS

S

dA

xS

x

x

x

Bild 10.7. Zur Transformation der Fl¨ achenmomente zweiter Ordnung

Die Koordinatenachsen x ¯, y¯ aus (10.1), (10.2) sind gem¨aß Bild 10.7 parallel zu den Schwerpunktachsen x, y. Der Schwerpunkt S besitzt im x ¯, y¯System die Koordinaten x¯S , y¯S . Damit ergeben sich die Koordinaten des Fl¨ achenelementes dA zu x ¯ = x¯S + x ,

y¯ = y¯S + y ,

(10.19)

und aus (10.1) folgt mit (9.24)    2 2 Ix¯x¯ = y¯ dA = (¯ yS + y) dA = (¯ yS2 + 2¯ yS y + y 2 )dA A

= y¯S2



A



dA + 2¯ yS A



 ydA +

A

A

y 2 dA .

A

Das statische Moment A ydA bez¨ uglich  der Schwerpunktachse x verschwindet gem¨ aß (9.19) wegen y¯S = 0. Mit A dA = A und der Definition (10.3) entsteht deshalb Ix¯x¯ = Ixx + y¯S2 A

(10.20)

und nach analoger Rechnung mit x¯ = x¯S + x in Iy¯y¯ (bzw. Vertauschung der Koordinatenbezeichnungen in (10.20)) Iy¯y¯ = Iyy + x¯2S A .

(10.21)

Zu bemerken ist, dass wegen x ¯2S , y¯S2 , A > 0 die axialen Fl¨achentr¨agheitsmomente bez¨ uglich der Schwerpunktachsen x, y immer kleiner sind als bez¨ uglich der beliebigen Achsen x ¯, y¯ außerhalb des Schwerpunktes.

140

10. Fl¨achenmomente zweiter Ordnung

Mit (10.2), (10.19) und (9.24) ergibt sich noch   Ix¯y¯ = − x ¯y¯dA = − (¯ xS + x)(¯ yS + y)dA A

A



=−

(¯ xS y¯S + x ¯S y + y¯S x + xy)dA A



= −¯ xS y¯S

 dA − x ¯S

A

 ydA − y¯S

A

 xdA −

A

xydA . A

Es verschwinden uglich der Schwerpunkt wieder die statischen Momente bez¨  achsen A ydA, A xdA, so dass wir mit   dA = A , − xydA = Ixy A

A

das Ergebnis Ix¯y¯ = Ixy − x ¯S y¯S A

(10.22)

erhalten. Die Aussage der Formeln (10.20), (10.21), (10.22) wird auch als STEINERscher Satz bezeichnet (STEINER, 1796-1863). Wir testen den Formelsatz mittels der Fl¨ achenmomente zweiter Ordnung des Rechtecks bez¨ uglich der Achsen x ¯, y¯ gem¨ aß Bild 10.3 und x, y gem¨aß Bild 10.4. Die obigen Ergebnisse lauteten: bh3 , 3 hb3 , = 3

bh3 , 12 hb3 , = 12

Ix¯x¯ =

Ixx =

Iy¯y¯

Iyy

h , 2 b x ¯S = , 2 y¯S =

A=b·h , Ix¯y¯ = −

b 2 h2 , 4

Ixy = 0 .

Sie stehen im Einklang mit (10.20), (10.21), (10.22) , wie die folgende Rechnung zeigt. h bh3 bh3 + ( )2 bh = , 12 2 3 3 3 b hb hb Iy¯y¯ = + ( )2 bh = , 12 2 3 2 2 b h bh Ix¯y¯ = 0 − bh = − . 22 4 Ix¯x¯ =

Die Anwendung des STEINERschen Satzes sei in einem weiteren Fall demonstriert.

10.3 Transformation bei parallelen Bezugsachsen

141

Beispiel 10.4 F¨ ur das rechtwinklige Dreieck mit den Seitenl¨ angen b und h nach Bild 10.8 werden die Fl¨ achenmomente zweiter Ordnung bez¨ uglich der Schwerpunktachsen, die parallel zu den Seiten liegen, gesucht. y

y

yII (x )

h

b/3 S

x

h/3 yI (x ) xII x

xI

b Bild 10.8. Zu den Fl¨ achenmomenten zweiter Ordnung des rechtwinkligen Dreiecks

L¨osung: Wir berechnen zun¨ achst nach Bild 10.2b und (10.6) mit x ¯I = 0 ,

x ¯II = b , x¯II

y¯I (¯ x) = 0 ,

y¯II (¯ x) = h − b

2

x ¯ [¯ yII (¯ x) − y¯I (¯ x)]d¯ x=

Iy¯y¯ = x ¯I

b h 3 h 4  hb3 ¯ − x ¯  = = x 3 4b 0 12

0

h x ¯ b

h ¯ d¯ x x ¯2 h − x b (10.23)

und wegen der Vertauschbarkeit der willk¨ urlich w¨ahlbaren Seitenbezeichnungen Ix¯x¯ =

bh3 . 12

(10.24)

Aus (10.7) folgt Ix¯y¯

2

 b  b  h 1 2 2 2 h2 3 2 ¯ −0 d¯ h x x x ¯ h− x x=− ¯− h x ¯ + 2x ¯ d¯ b 2 b b 0 0 b  2 ¯ 1 2 x ¯4  2x ¯3 1 x =− h − + 2 2 2 b 3 b 4 0   b 2 h2 h2 b 2 1 2 1 − + =− . (10.25) =− 2 2 3 4 24 1 =− 2

142

10. Fl¨achenmomente zweiter Ordnung

Die Transformation dieser Ergebnisse mittels des STEINERschen Satzes auf die Schwerpunktachsen x, y gem¨ aß (10.20),..., (10.22) ergibt mit x ¯S =

b , 3

y¯S =

h , 3

A=

1 bh 2

h bh3 bh3 bh3 1 − ( )2 · bh = (3 − 2) = , 12 3 2 36 36 b hb3 hb3 hb3 1 − ( )2 · bh = (3 − 2) = , = Iy¯y¯ − x ¯2S A = 12 3 2 36 36 bh1 b 2 h2 b 2 h2 b 2 h2 + bh = (−3 + 4) = . = Ix¯y¯ + x ¯S y¯S A = − 24 332 72 72

Ixx = Ix¯x¯ − y¯S2 A =

(10.26)

Iyy

(10.27)

Ixy

(10.28) 

Bei Kenntnis der Fl¨ achenmomente zweiter Ordnung, des Fl¨acheninhalts und der Schwerpunktkoordinaten spezieller Fl¨ achen wie Rechteck, Kreis, rechtwinkliges Dreieck und andere ist es m¨ oglich, die Fl¨achenmomente zweiter Ordnung solcher Fl¨ achen zu berechnen, die aus den genannten Fl¨achen zusammengesetzt sind.

10.4

10.4 Zusammensetzung einfacher Fl¨ achen Gem¨ aß der Rechenregel f¨ ur Fl¨ achenintegrale (9.23) sind die Fl¨achenmomente zweiter Ordnung zusammengesetzter Fl¨achen durch Addition der Fl¨ achenmomente zweiter Ordnung nicht u ¨ berlappender Teilfl¨achen bestimmbar, wenn alle Fl¨ achenmomente auf gleiche Koordinatenachsen bezogen sind. F¨ ur nicht bekannte Teilfl¨ achenmomente k¨ onnen Zwischenrechnungen auf der Basis des STEINERschen Satzes behilflich sein. Zun¨ achst gehen wir von bekannten Teilfl¨ achenmomenten aus. Beispiel 10.5 F¨ ur die im Bild 10.9 dargestellte Fl¨ ache, bestehend aus einem Quadrat und einem Rechteck, sind die Fl¨ achenmomente zweiter Ordnung bez¨ uglich der Schwerpunktachsen x, y gesucht. L¨osung: Jede Achse des x ¯ , y¯-Systems wird hier so gew¨ahlt, dass auf sie gem¨aß Bild 10.9 von jeder Teilfl¨ ache eine Kante f¨ allt und die Teilfl¨achenmomente damit bekannt sind. Die Fl¨ achenmomente der Gesamtfl¨ache bez¨ uglich des x ¯, y¯-Systems folgen dann durch Addition der Teilfl¨ achenmomente der Quadrat- und Rechteckfl¨ achen bez¨ uglich des x ¯, y¯-Systems. Mittels (10.8),...,(10.10) ergibt

10.4 Zusammensetzung einfacher Fl¨ achen

143

y

S1

a a

y

S2

S

x a

2a

x

Bild 10.9. Zu den Fl¨ achenmomenten zweiter Ordnung einer zusammengesetzten Fl¨ ache

sich 1 1 a · a3 + a(2a)3 = 3a4 , 3 3 1 1 3 Iy¯y¯ = a · a + 2a · a3 = a4 , 3 3 1 2 2 1 2 3 Ix¯y¯ = a a − a (2a)2 = − a4 . 4 4 4 Ix¯x¯ =

Die Schwerpunktkoordinaten sind gem¨ aß (9.16) und Bild 10.9 2

x¯S =

1 a 1  1 1 x ¯Si Ai = ( · 2 − · 1)a = , A i=1 3 2 2 6

y¯S =

1 5 1  1 y¯Si Ai = (1 · 2 + · 1)a = a . A i=1 3 2 6

2

Die STEINERschen Formeln (10.20),...,(10.22) liefern 5 11 4 a , Ixx = Ix¯x¯ − y¯S2 A = 3a4 − ( a)2 3a2 = 6 12 a 11 4 Iyy = Iy¯y¯ − x a , ¯2S A = a4 − ( )2 3a2 = 6 12 3 a 5a 2 a4 3a = − . Ixy = Ix¯y¯ + x ¯S y¯S A = − a4 + 4 6 6 3

(10.29)

 Beispiel 10.6 F¨ ur den Kreisringquerschnitt mit dem Innenradius Ri und dem Außenradius achenmomente zweiter Ordnung bez¨ uglich der Ra nach Bild 10.10 sind die Fl¨ Schwerpunktachsen x, y zu bestimmen. L¨osung: Die Anwendung des Ergebnisses (10.17) auf die Außenkreisfl¨ache und die

144

10. Fl¨achenmomente zweiter Ordnung y

S

x

2Ri 2Ra Bild 10.10. Zu den Fl¨ achenmomenten zweiter Ordnung des Kreisringes

fehlende Innenkreisfl¨ ache f¨ uhrt unter Beachtung der Symmetrie zu π Ixx = Iyy = (Ra4 − Ri4 ) , Ixy = 0 . 4

(10.30) 

Im allgemeinen Fall wird zun¨ achst immer ein beliebiges Koordinatensystem x ¯, y¯ f¨ ur die Berechnung der Schwerpunktlage ben¨otigt. Die Berechnung der Teilfl¨ achenmomente bez¨ uglich dieses gemeinsamen Koordinatensystems, Addition der Teilfl¨ achenmomente und Transformation der Gesamtfl¨ achenmomente auf Schwerpunktkoordinaten der Gesamtfl¨ache gestalten sich h¨ aufig u ¨ bersichtlicher als die sofortige Berechnung der Teilfl¨achenmomente bez¨ uglich eines Schwerpunktkoordinatensystems der Gesamtfl¨ache mit anschließender Addition. Der Rechnungsgang wird im Folgenden skizziert. Dazu betrachten wir die zusammengesetzte Fl¨ache nach Bild 10.11, die sich in Teilfl¨ achen mit bekannten Inhalten, Schwerpunktlagen und Teilfl¨ achenmomenten bez¨ uglich der Teilfl¨ achenschwerpunktachsen zerlegen l¨asst. y ySi yS

yi

y

Si

xi

S x

xS

xSi

x

Bild 10.11. Zu den Fl¨ achenmomenten zweiter Ordnung zusammengesetzter Fl¨ achen

Nach Berechnung des Inhalts und der Schwerpunktkoordinaten x¯S , y¯S der Gesamtfl¨ ache nach (9.16) sowie der Fl¨ achenmomente zweiter Ordnung der

10.5 Haupttr¨ agheitsmomente

145

Gesamtfl¨ ache bez¨ uglich der Koordinaten x¯, y¯ aus    2 2 Ix¯x¯ = (Ixi xi + y¯Si Ai ) = Ixi xi + y¯Si Ai    2 2 Iy¯y¯ = (Iyi yi + x¯Si Ai ) = Iyi yi + x ¯Si Ai    Ix¯y¯ = (Ixi yi − x ¯Si y¯Si Ai ) = Ixi yi − x ¯Si y¯Si Ai

(10.31) (10.32) (10.33)

(an den Summenzeichen wurde wieder abk¨ urzend der Laufindex weggelassen) erfolgt die Transformation auf die Schwerpunktachsen der Gesamtfl¨ache Ixx = Ix¯x¯ − y¯S2 A ,

Iyy = Iy¯y¯ − x ¯2S A ,

Ixy = Ix¯y¯ + x ¯S y¯S A .

Dieser Rechenablauf l¨ asst sich auch in ein Computerprogramm umsetzen.

10.5

10.5 Haupttr¨ agheitsmomente In Abschnitt 10.2 wurde bereits angemerkt, dass das Deviationsmoment verschwindet, wenn eine der Bezugsachsen mit einer Symmetrieachse der Fl¨ache zusammenf¨ allt. Wir suchen jetzt f¨ ur unsymmetrische Fl¨achen die Orientierung des Koordinatensystems, f¨ ur die das Deviationsmoment verschwindet. Dazu betrachten wir zun¨ achst die Transformation der Fl¨achenmomente bei Drehung des Koordinatensystems (Bild 10.12). y

y sin

x

v

xcos

u y

v u

S

x

xcos y sin Bild 10.12. Drehung des Koordinatensystems f¨ ur Fl¨ achenmomente zweiter Ordnung

Gesucht seien die Fl¨ achenmomente bez¨ uglich der Achsen u, v bei gegebenen Fl¨achenmomenten bez¨ uglich der Achsen x, y. Der Winkel ϕ sei ebenfalls bekannt. Die im Folgenden abzuleitenden Transformationsbeziehungen h¨angen nicht davon ab, ob die Koordinatenurspr¨ unge im Schwerpunkt der Fl¨ache liegen, werden aber in der Regel auf diesen Fall angewendet. Aus Bild 10.12

146

10. Fl¨achenmomente zweiter Ordnung

liest man ab: v = −x sin ϕ + y cos ϕ .

u = x cos ϕ + y sin ϕ ,

(10.34)

Diese Koordinatenbeziehungen gelten f¨ ur alle Punkte der vorliegenden Ebene einschließlich des berandeten Ebenenst¨ ucks. Die Definitionsgleichungen (10.3), (10.4) f¨ uhren in den Koordinaten u, v und bei Benutzung von (10.34) auf   2 Iuu = v dA = (−x sin ϕ + y cos ϕ)2 dA A

A



u dA = A

= cos ϕ Iuv = −



2

x dA + 2 sin ϕ cos ϕ

A



= sin ϕ cos ϕ

xydA + sin2 ϕ

A



uvdA = − A

y 2 dA ,

(x cos ϕ + y sin ϕ) dA

A





2

A



xydA + cos2 ϕ

A



2

2



2

x dA − 2 sin ϕ cos ϕ

= sin ϕ Ivv =

A



2



y 2 dA ,

A

(x cos ϕ + y sin ϕ)(−x sin ϕ + y cos ϕ)dA A

2

x dA + (sin2 ϕ − cos2 ϕ)

A



 xydA − sin ϕ cos ϕ

A

y 2 dA .

A

Mit den Fl¨ achenmomenten nach (10.3), (10.4) und den trigonometrischen Formeln 1 1 sin2 ϕ = (1 − cos 2ϕ) , 2 sin ϕ cos ϕ = sin 2ϕ , cos2 ϕ = (1 + cos 2ϕ) 2 2 folgt daraus 1 1 (Ixx + Iyy ) + (Ixx − Iyy ) cos 2ϕ + Ixy sin 2ϕ , 2 2 1 1 = (Ixx + Iyy ) − (Ixx − Iyy ) cos 2ϕ − Ixy sin 2ϕ , 2 2 1 = − (Ixx − Iyy ) sin 2ϕ + Ixy cos 2ϕ . 2

Iuu =

(10.35)

Ivv

(10.36)

Iuv

(10.37)

Wir suchen nun den Winkel ϕ = ϕ0 , so dass in (10.37) Iuv = 0 wird. Das Ergebnis hierf¨ ur lautet tan 2ϕ0 =

2Ixy . Ixx − Iyy

(10.38)

10.5 Haupttr¨ agheitsmomente

147

Wegen tan α = tan(α + π) liefert (10.38) zwei Winkel ϕ0 und ϕ¯0 = ϕ0 + π/2 f¨ ur zwei senkrecht aufeinander stehende Achsen u, die dann als Hauptachsen bezeichnet werden. Die dazugeh¨ orenden Fl¨ achentr¨agheitsmomente heißen Haupttr¨ agheitsmomente. Sie berechnen sich durch Einsetzen von ϕ0 , ϕ¯0 in (10.35). Aus den Transformationsgleichungen (10.35), (10.36), (10.37) lassen sich noch einige n¨ utzliche Schlussfolgerungen ziehen. Sowohl dIuu /dϕ = 0 als auch uhren auf die Beziehung Iuv = 0, d.h. die Haupttr¨agheitsmodIvv /dϕ = 0 f¨ mente sind station¨ ar in ϕ. Die umgeformten Gleichungen (10.35), (10.37)

2

2 1 1 (Ixx − Iyy ) cos 2ϕ + Ixy sin 2ϕ Iuu − (Ixx + Iyy ) = 2 2

2 1 2 Iuv = − (Ixx − Iyy ) sin 2ϕ + Ixy cos 2ϕ 2 liefern nach Addition unter Ber¨ ucksichtigung von sin2 2ϕ + cos2 2ϕ = 1

2

2 1 1 2 2 (Ixx − Iyy ) +Ixy Iuu − (Ixx + Iyy ) +Iuv = . (10.39) 2 2 Diese Gleichung beschreibt f¨ ur gegebene Werte

2 1 1 2 2 a = (Ixx + Iyy ) , (Ixx − Iyy ) +Ixy R = 2 2 einen Kreis (auch Tr¨ agheitskreis) in den Koordinaten Iuu , Iuv mit dem um a auf der Iuu -Achse verschobenen Mittelpunkt und dem Radius R (Bild 10.13). 2

Iuv

1 Iuv

RR 01

2

0

Ixy

Ixx - Iyy

I2

02

Iuu

2

a Ixx Iuu I1

Bild 10.13. Tr¨ agheitskreis

An diesem Tr¨ agheitskreis nach MOHR (1835-1918) kann der Term tan 2ϕ0 gem¨ aß (10.38) abgelesen werden. Außerdem findet man f¨ ur Iuv = 0 in (10.39)

148

10. Fl¨achenmomente zweiter Ordnung

auf der Iuu -Achse das Maximum I1 von Iuu und das Minimum I2 von Iuu 

2 1 1 2 , (Ixx − Iyy ) +Ixy I1,2 = (Ixx + Iyy ) ± (10.40) 2 2 d.h. die mit der Forderung Iuv = 0 an der Stelle ϕ0 gem¨aß (10.38) berechneten ar sondern auch extremal in ϕ. Außerdem Iuu -Werte sind nicht nur station¨ h¨ angt die mit (10.40) gebildete Summe I1 + I2 = Ixx + Iyy offensichtlich nicht von der Orientierung des benutzten Koordinatensystems ab und wird deshalb als Invariante bezeichnet. In Bild 10.13 wird des Weiteren die n¨ utzliche Formel tan ϕ01,2 =

Ixy Ixx − I2,1

(10.41)

best¨ atigt, die im Gegensatz zu (10.38) einen eindeutigen Zusammenhang zwischen dem jeweiligen Haupttr¨ agheitsmoment und der dazugeh¨orenden Hauptachsenorientierung vermittelt. Wir diskutieren nun noch den Sonderfall Ixy = 0. Wenn Ixx = Iyy gilt, folgen aus (10.38) ϕ0 = 0, ϕ¯0 = π/2, d.h, x und y sind Hauptachsen. Dieser Fall tritt bei einfacher Symmetrie der Fl¨ ache auf. F¨ ur Ixx = Iyy gilt mit (10.37) eiur sin 2ϕ = 0 andererseits Ixx = Iyy . nerseits Iuv = 0, und aus Iuv = 0 folgt f¨ Außerdem liefert (10.40) I1 = I2 = Ixx = Iyy , so dass ϕ0 in (10.38) oder (10.41) unbestimmt bleibt. Dann stellen beliebige kartesische Koordinatensysteme Hauptachsensysteme dar. Dies ist f¨ ur alle mehrfach symmetrischen Fl¨ achen wie den Kreis und das Quadrat, aber auch f¨ ur solche Fl¨achen wie z.B. das regelm¨ aßige Sechseck oder das gleichseitige Dreieck erf¨ ullt. Wir betrachten dazu das gleichseitige Dreieck von Bild 10.14. Wegen mehrfacher Symmetrie ist Ixy = Iuv = 0 und wegen sin 2ϕ = 0 in (10.37) Ixx = Iyy . y u v x Bild 10.14. Gleichseitiges Dreieck als Beispiel f¨ ur unbestimmte Hauptachsen

Die Berechnung der Haupttr¨ agheitsmomente und Orientierungen der Hauptachsen soll noch an einem Beispiel demonstiert werden.

10.5 Haupttr¨ agheitsmomente

149

Beispiel 10.7 Gegeben ist wieder die Fl¨ ache von Bild 10.9, f¨ ur die die Haupttr¨agheitsmomente gesucht sind. L¨osung: Bei genauer Betrachtung erweist sich die Fl¨ ache als einfach symmetrisch (Bild 10.15).

1

y

S

2 45°

x

Bild 10.15. Zur Berechnung der Haupttr¨ agheitsmomente

Aus (10.29) sind die Fl¨ achenmomente zweiter Ordnung bez¨ uglich des x, ySystems bekannt. Ixx = Iyy =

11 4 a , 12

Ixy = −

a4 . 3

Die Haupttr¨ agheitsmomente ergeben sich mit (10.40) zu I1,2 = I1 =

11 4 a4 1 ·2· a ± , 2 12 3

15 4 a , 12

I2 =

7 4 a 12

und die Hauptrichtungen ϕ01,2 aus (10.41) −1  = −1 , tan ϕ01 =  11 7 − 3 12 12 −1  =1, tan ϕ02 =  11 15 − 3 12 12

ϕ01 = 135◦ ,

ϕ02 = 45◦ .

Der Winkel ϕ01 = 135◦ (oder auch ϕ01 = −45◦ ) best¨atigt die Symmetrieachse als Hauptachse.  Abschließend sei noch vermerkt, dass f¨ ur I1 >> I2 die Hauptachsenzuordnung mittels der Anschauung u uft werden kann, da dann wesentliche ¨ berpr¨ Fl¨ achenteile in der zweiten Hauptrichtung deutlich weiter voneinander angeordnet sind als in der ersten.

150

10.6

10. Fl¨achenmomente zweiter Ordnung

10.6 Polares Fl¨ achentr¨ agheitsmoment Die bisher betrachteten Fl¨ achentr¨ agheitsmomente waren auf Koordinatenachsen bezogen, die in derselben Ebene wie die betroffene Fl¨ache lag. F¨ ur die Kinetik der Rotation von Scheiben um eine Achse senkrecht zur Scheibenebene sowie f¨ ur die Theorie der Torsion von St¨aben mit Kreisquerschnitt ist noch ein weiteres Fl¨ achenmoment zweiter Ordnung bereitzustellen, das auf den Ursprung des x¯, y¯-Systems bezogen wird (Bild 10.16) und deshalb polares Fl¨ achentr¨ agheitsmoment heißt. Der Ursprung des x ¯, y¯-Systems erscheint auch als Durchstoßpunkt der z¯-Achse durch die x¯, y¯-Ebene. y

r z

dA y

x

x

Bild 10.16. Zur Definition des polaren Fl¨ achentr¨ agheitsmomentes

Die Definitionsgleichung des polaren Fl¨ achentr¨agheitsmomentes lautet  Iz¯ = r¯2 dA , (10.42) A

woraus mit r¯2 = x¯2 + y¯2

(10.43)

und (9.24), (10.1)    Iz¯ = (¯ x2 + y¯2 )dA = x ¯2 dA + y¯2 dA = Ix¯x¯ + Iy¯y¯ A

A

A

folgt. Liegt der Koordinatenursprung im Fl¨achenschwerpunkt, schreiben wir auch   2 Iz = Ip = r dA = (x2 + y 2 )dA = Ixx + Iyy , (10.44) A

A

wo der Index p auf das Wort polar“ verweist. Hieraus ergibt sich im Son” derfall Ixx = Iyy wie z.B. beim Kreisquerschnitt Ip = 2Ixx = 2Iyy .

10.6 Polares Fl¨ achentr¨ agheitsmoment

151

Diese Gr¨ oße wird in der Theorie der Torsion von St¨aben mit Kreisquerschnitt ben¨ otigt.

Index Angriffspunkt 9, 12, 29, 32 ff. ARCHIMEDES 3, 33 Auflagerreaktionen 13 außere Lasten 55 ¨ axiales Fl¨ achentr¨ agheitsmoment 133 ff. Balken 37 ff., 55 ff. Bezugsachse 90, 95, 138 ff. Bezugspunkt 25 ff., 43 ff., 58, 88, 117 Bezugssystem 15 ff., 85 ff. Biegemoment 56 ff., 75 ff. Bindung 7, 13, 22, 39 ff. COULOMB 14 CREMONA-Plan 82 Deviationsmoment 133 ff. Dreigelenkbogen 77 ebene Tragwerke 37, 71 eingepr¨ agte Lasten 13 Einspannung 40, 93 Einzelkraft 9 ff., 40 Einzelmoment 11 ff., 30 ff., 88 ff. EULER 13, 34, 82, 90 Fachwerk 78, 82 Fernwirkung 14 Festlager 39, 72, 93 Fl¨ achenkraftdichte 38 Fl¨ achenmomente erster Ordnung 123 Fl¨ achenmomente zweiter Ordnung 133 Fl¨ achenschwerpunkt 121 ff. Fl¨ achentr¨ agheitsmoment 133 ff. Fl¨ achentragwerk 38 Freiheitsgrad 8, 33, 39, 71, 90, 93 Freischneiden 13, 39, 59 F¨ uhrung 40 Gelenk 40, 59, 63, 71, 76, 86 Gelenkkr¨ afte 42, 72, 76 GERBER-Tr¨ ager 76

gesamtes resultierendes Moment 31, 32, 89 Gleichgewicht 7 ff. Gleichgewichtsbedingungen 22, 32 ff., 89 ff. Gleitreibung 103 ff. Gleitreibungsgesetz 103 Gleitreibungskoeffizient 103 Gleitreibungskraft 103 globale Bilanz 90 Grundgesetze der Statik 33, 90 Haftreibung 101 ff. Haftreibungsgesetz 102 Haftreibungskoeffizient 101 Haftreibungskraft 101 Hauptachsen 137, 147 Haupttr¨ agheitsmomente 145 Hebelgesetz 25, 33 innere Lasten 55 Knoten 71 ff., 82, 86 Koordinatensystem 7 ff. orper 7 ff. K¨ K¨ orperschwerpunkt 118 Kr¨ aftebilanz 7, 23, 33, 82 Kr¨ aftepaar 28 ff., 45, 89 Kr¨ afteplan 19 Kraft 9 ff. Kraftdichte 90 Krafteck 10 Kreuzprodukt 88 Lageplan 19 Lager 13, 37 ff., 93 Lagerreaktionen 13, 37 ff. L¨ angskraft 55 ff., 94 Lasten 7 ff., 37 ff., 55, 71, 94 linienf¨ ormige Tragwerke 37, 41, 49 Linienkraftdichte 38, 40, 49 Linienmomentendichte 38, 41, 50

154

Index

Linienschwerpunkt 129 lokale Bilanz 90 Loslager 39, 71 ff., 93 Massenmittelpunkt 120 MOHR 147 Moment 11 ff. Moment der Kraft 25, 26 Moment des Kr¨ aftepaares 29 Momentenbezugsachse 95 Momentenbilanz 7, 33 ff., 81, 89 Momentendichte 50, 90 Newton 11 NEWTON 3, 33, 90 NEWTONsche Axiome 2, 82 Orientierung 7 ff. Ort 7 ff. Ortsvektor 88 Platte 38 polares Fl¨ achentr¨ agheitsmoment 150 Punkt 7 Punktmechanik 82 Querkraft 55 ff., 94 r¨ aumliche Tragwerke 93 Raumstatik 85 Reibkegel 103 Reibung 101 resultierende Kraft 19 ff., 32, 47, 86, 89, 117 resultierendes Moment 30, 50, 88 Richtung 8 ff., 88, 96, 101, 117 Richtungssinn 9 ff. RITTERscher Schnitt 81 Schale 38 Scheibe 38 Schnittgr¨ oßen 56 ff. Schnittlasten 13 Schnittprinzip 13

Schnittreaktionen 13, 55 ff., 94 Schnittstelle 13, 55 Schnittufer 55 Schwerpunkt 118 Seilreibung 109 Selbsthemmung 109 Stab 34, 37, 50 starrer K¨ orper 7 ¨ statische Aquivalenz 10, 20, 30, 32, 33, 82, 89 statische Bestimmtheit 72 ff. statisches Moment 123 statische Unbestimmtheit 72 STEINERscher Satz 140 STEVIN 10 Streckenlast 41, 47, 60 ff. Torsionsmoment 94 Tr¨ agheitskreis 147 Vektorbasis 15 Vektorkoordinaten 15, 20 ff., 88 Vektorparallelogramm 10, 12, 85, 96 Verdrehung 13 Versatzmoment 32 Verschiebung 7, 39, 74, 93 Volumenkraftdichte 41 Volumenschwerpunkt 121 Wechselwirkungen 11, 13, 25, 55 Winkel¨ anderung 7, 93 Wirkungslinie 9 ff., 48, 85, 117 zentrale Kr¨ aftegruppe 19, 85 Zentralkr¨ afte 82 Zentrifugalmoment 133 zusammengesetzte Tragwerke 37, 74 Zustandslinien 59