Technische Mechanik. Statik.. Lehrbuch mit Praxisbeispielen, Klausuraufgaben und Lesungen

Hans Albert Richard

I Manuela Sander

Technische Mechanik. Statik

Hans Albert Richard

I Manuela Sander

Technische Mechanik. Statik Lehrbuch mit Praxisbeispielen, Klausuraufgaben und L6sungen 3., Oberarbeitete und erweiterte Auflage Mit 249 Abbildungen STUDIUM

VIEWEG+ TEUBNER

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet Ober abrufbar.

1. Auflage 2005 2., verbesserte und erweiterte Auflage 2008 3., Oberarbeitete und erweiterte Auflage 2010 Aile Rechte vorbehalten © Vieweg+Teubner Verlag I Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010 Lektorat: Thomas Zipsner Ilmke Zander Der Vieweg +Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschOtzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulassig und strafbar. Das gilt insbesondere fOr Vervielfaltigungen, Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher von jedermann benutzt werden dOrften. Umschlaggestaltung: KOnkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-1036-6

v

Vorwort Viele Publikationen, die naturwissenschaftliche und technische Inhalte beschreiben, beginnen mit einer umfassenden Beschreibung der Grundlagen durch Fonneln und Texte. Dies macht es vielen Lemenden schwer, frUhzeitig die Gesarntzusarnrnenhange zu erkennen. Das vorliegende Lehr- und Ubungsbuch "Technische Mechanik - Statik" mit anwendungsnahen Beispielen geht daher einen etwas anderen Weg. Unter dem Motto "Lasst Bilder und Skizzen sprechen" werden zuniichst in einem Anfangskapitel Fragestellungen und Probleme der Statik dargestellt und fonnuliert Dies soll die Motivation, sich mit dem Inhalt des Buches auseinander zu setzen, erhbhen und es dem Leser von Anfang an ennoglichen, auch notwendige Details in einern Gesarntzusarnrnenhang zu sehen. Erst nach diesern Anfangskapitel werden dann aIle

wesentlichen Grundlagen und ihre Anwendungen dargestellt Diese Vorgehensweise hat sich in zahlreichen Lehrveranstaltungen, welche von den Autoren an

der Universitat Paderbom fill Ingenieursstudenten der Facher Maschinenbau, Wirtschaftsingenieurwesen, Elektrotechnik und Studierende angrenzender Gebiete, wie Technomathematik und Ingenieurinfonnatik, gehalten werden, bewahr!. Sie fUhrt zu einer hohen Aufmerksamkeit von Beginn an und einer aktiven Mitwirkung der Studierenden in Vorlesungen und Ubungen. 1m Wesentlichen beschaftigt sich dieses Buch mit dem Gleichgewicht von Bau- und Maschinenteilen, tragenden Stnikturen und deren Idealisierungen als starre Karper Betrachtet werden das Krafte- und Momentengleichgewicht sowie die Ennittlung von Auflager- und SchnittgrbJJen ebener und raurnlicher, ein- und rnehrteiliger Tragwerke. Weiterhin wird die Berechnung von Schwerpurikten behandelt Untersucht werden auch die Kraftwirkungen und die Reibung zwischen Korpern. Das Buch wendet sich an Studierende cler Ingenieurwissenschaften und angrenzender Gebiete

an Universitaten und Fachhochschulen. Es ist aber auch als Ratgeber fill in der Praxis tatige Ingenieure gedacht welche die Gelegenheit nutzen wollen, die wichtigen Grundlagen der Mechanik im Hinblick auf ihre derzeitigen Tatigkeiten in der Forschung, Produktentwicklung, Konstruktion und Berechnung aufzufrischen Die Statik stellt den ersten Teil eines entstehenden dreihandigen Lehrbuches der Technischen Mechanik dar Weitere Themenfelder wie Festigkeitslehre und Dynamik (Kinematik und Kinetik) sollen in Killze folgen. Die Technische Mechanik ist nicht allein durch das Lesen eines Buches erlembar Notwendig sind das selbstandige Bearbeiten und Lasen von Fragestellungen. Dieses Buch soll daher auch als Arbeitsanleitung verstanden werden. Die zahlreichen Beispiele kbnnen und sollen vom Leser nachvollzogen werden. Durch *** gekennzeichnete Beispiele behandeln prufungsrelevante Inhalte. Des Weiteren wird dem Lemenden anhand von fonnulierten Klausuraufgaben die Maglichkeit gegeben, vallig selbstandig Fragestellungen und Probleme der Statik zu lasen und somit den eigenen Kenntnisstand zu uberprufen. In diesem Sinne wUnschen wir Ihnen viel Freude beim Erlemen und beim Anwenden der Technischen Mechanik.

Vorwort zur 3. Auflage

VI

Herzlich gedankt sei an dieser Stelle Frau cand.-Ing. Melanie Stephan fUr das Zeichnen der Bilder und das Dbertragen der Texte und Fonneln in das Manuskript Weiterhin gilt unser Dank dem Vieweg Verlag fUr die gewahrte Unterstutzung und insbesondere Herm Thomas Zipsner fUr das Lektorat und die wertvollen Anregungen Paderbom, Juli 2005

Hans Albert Richard und Manuela Sander

Vorwort zur 3. Auflage Die auJ3erst positive Resonanz auf die erste und zweite Auflage hat uns dazu bewogen, das

Grundkonzept des Lehrbuchs Technische Mechanik. Statik konsequent fortzusetzen. Wir sind dankbar fUr die Hinweise, die dazu fUhrten, dass einige kleinere Fehler beseitigt werden konnten. Aufgrund von Vorschlagen wurden einzelne Kapitel und insbesondere der Aufgabenteil in Kapitel 11 emeut erweitert. Danken mbchten wird den derzeitigen und ehemaligen Mitarbeitem der Fachgruppe Angewandte Mechanik der Universitat Paderbom sowie den Mitarbeitem des Lehrstuhls fUr Strukturmechanik der Universitat Rostock fUr die Anregungen zu Prufungsaufgaben. Dem Vieweg+Teubner Verlag und insbesondere Herm Thomas Zipsner gilt unser Dank fUr die gewahrte Unterstutzung und die konstruktiven Diskussionen.

Dem Leser wUnschen wir viel Erfolg beim Erlemen und Anwenden der Technischen Mechanik Paderbom und Rostock, Februar 2010

Hans Albert Richard und Manuela Sander

VII

Inhaltsverzeichnis 1

Fragestellungen der Statik

2

Krafte und ihre Wirkungen

2.1 2.2 2.3

2.4

2.5

3

33

3.1

33 34 35 36 39

Moment einer Kraft 3.1.1 Vektordarstellung des Momentes 3.1.2 Berechnung des Momentes mit den Kraftkomponenten Moment einer ebenen Kraftegruppe Moment eines Kraftepaares

Liisen von Fragestellungen der ebenen Statik

4.1 4.2 4.3 4.4 5

5

5 8 10 11 11 12 13 15 15 22 23 25 28 28 31

Momente und ihre Wirkungen

3.2 3.3 4

AuJJere Krafte, wirkende Lasten Reaktionskrafte und innere Krafte Krafte am starren Karper 2.3.1 Linienfluchtigkeitsaxiom 2.3.2 Gleichgewichtsaxiom 2.3.3 Wechselwirkungsgesetz 2.3.4 Axiom vom Krafteparallelogramm Zentrale ebene Kraftegruppe 2.4.1 Ermittlung der Resultierenden 2.4.2 Zerlegung einer Kraft in verschiedene Richtungen 2.4.3 Gleichgewicht dreier Krafte 2.4.4 Gleichgewichtsbedingungen fUr zenlrale Kraftegruppe Beliebige ebene Kraftegruppe 2.5.1 Ermittlung der resultierenden Kraft einer ebenen Kraftegruppe 2.5.2 Zerlegung einer Kraft nach mehreren Richtungen

1

Gleichgewichtsbedingungen der ebenen Statik Der Freischnitt: Krafte werden sichtbar Lasungen fUr Probleme in Natur und Technik Standsicherheit

42 42 45 49 55

Einteilige ebene Tragwerke

58

5.1

58 58 58 59 59 60 60 61

Einzelkomponenten ebener Tragwerke 5.1.1 Seil 5.1.2 Stab 5.1.3 Balken 5.1.4 Bogentrager 5.1.5 Rahnien 5.1.6 Gelenktrager 5.1.7 Scheibe

VIII

Inhaltsverzeichnis 5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

6

61 Lagerungsarten 5.2.1 Verschiebbares Lager 61 5.2.2 Festes Lager 62 63 5.2.3 Einspannung 5.2.4 Ubersicht, alternative Darstellungen 63 Lagerungen fill ebene Tragwerke 64 65 5.3.1 Freiheitsgrade. stabile Lagerung und statische Bestimmtheit 5.3.2 Tragwerke mit einem Festlager und einem Loslager 65 5.3.3 Eingespannter Balken 66 5.3.4 Tragwerk mit zwei Festlagern 66 5.3.5 Tragwerke mit drei Lagerungen 66 5.3.6 Balken mit Einspannung und Festlager 67 67 5.3.7 Beispiele fill nichtstabile Lagerungen Rechnerische Ennittlung der Auflagerreaktionen von einteiligen Tragwerken 67 5.4.1 Freischnitt des Tragwerkes 68 5.4.2 Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen 68 5.4.3 Balken mit Fest- und Loslager 69 5.4.4 Eingespannter Balken 69 5.4.5 Rahmen 71 Zeichnerische Ennittlung der Auflagerreaktionen 73 5.5.1 Vertikal belasteter Balken 73 5.5.2 Balken mit nichtparallelen Kraften 73 Innere Krafte und Momente ebener Tragwerke 75 5.6.1 Nonnalkraft. Querkraft und Biegemoment 75 5.6.2 Schnittkraftgruppe 76 76 5.6.3 Nonnalkraft im Seil 77 5.6.4 Nonnalkraft im Stab 79 5.6.5 Nonnalkraft. Querkraft und Biegemoment im Balken 88 5.6.6 Nonnalkraft. Querkraft und Biegemoment beim Rahmen 5.6.7 Nonnalkraft. Querkraft und Biegemoment beim Bogentrager 91 Tragwerke mit kontinuierlich verteilter Belastung 95 5.7.1 Einbereichsprobleme mit beliebig verteilter Streckenlast 96 98 5.7.2 Balken mit konstanter Streckenlast 5.7.3 Balken mit Dreieckslast 101 5.7.4 Zusammenhang zwischen Belastungs- und SchnittgroJJen beim Balken .. 105 5.7.5 Mehrbereichsprobleme 106

Mehrteilige ebene Tragwerke

115

6.1

116 116 117 118 122 125 129 131

6.2 6.3 6.4 6.5 6.6

Tragwerke mit Gelenken 6.1.1 Freiheitsgrade. stabile Lagerung und statische Bestimmtheit 6.1.2 Lagerungen fill mehrteilige ebene Tragwerke Ennittlung der Auflagerreaktionen und der Gelenkkrafte Nonnalkraft-, Querkraft- und Biegemomentenverlaufe in den Tragwerksteilen Balken mit Gelenken (GERBER-Trager) Dreigelenkbogen Rahmentragwerke mit Gelenken

IX

Inhaltsverzeichnis

7

Ebene Fachwerke

134

7.1 7.2 7.3

135 136 137 137 138 143 146 149

7.4 8

Riiumliche Statik starrer Korper

152

8.1

152 153 154 155

8.2 8.3

9

statische Bestimmtheit Ennittlung der Auflagerkrafte von ebenen Fachwerken Ennittlung der Stabkrafte beim einfachen Fachwerk 7.3.1 Nullstabe 7.3.2 RlTTERsches Schnittverfaliren 7.3.3 Knatenpunktverfaliren 7.3.4 CREMONA-Plan Ennittlung der Stabkrafte beim nichteinfachen Fachwerk Stabilita~

Krafte und Mamente im Raum 8.1.1 Einzelkraft und ihre Kampanenten 8.1.2 Resultierende einer zentralen raumlichen Kraftegruppe 8. 1.3 Mom ent einer Kraft 8.1.4 Resultierende Kraft und resultierendes Moment einer beliebigen raumlichen Kraftegruppe Gleichgewichtsbedingungen der raumlichen Statik Raumliche Tragwerke 8.3.1 Lagerungsarten fUr raumliche Tragwerke 8.3.2 Freiheitsgrade, stabile Lagerung und statische Bestimmtheit 8.3.3 Ennittlung der Auflagerreaktianen 8.3.4 Ennittlung der SchnittgraJJen raumlicher Tragwerke

Schwerpunkt 9.1 Schwerpunkt eines Karpers 9.1.1 Ortsvektor des Schwerpunktes 9.1.2 Kaordinaten des Schwerpunktes 9.1.3 Massenmittelpunkt 9.1.4 Valumenmittelpunkt 9.1.5 Schwerpunkt, Massenmittelpunkt und Valumenmittelpunkt von zusarnrnengesetzten Korpem

9.2

10

9.1.6 Schwerpunkte einfacher hamagener Karper Schwerpunkt einer Flache 9.2.1 Ortsvektor des Flachenschwerpunktes 9.2.2 Kaordinaten des Flachenschwerpunktes 9.2.3 Flachenschwerpunkte fUr zusammengesetzte Flachen 9.2.4 Berechnung des Flachenschwerpunktes einzelner Flachen 9.2.5 Schwerpunktskaordinaten einfacher Flachen 9.2.6 Statisches Moment einer Flache

156 158 160 160 163 164 166 171 171 172 174 174 175 175

177 180 180 180 181 181 182 182

fu~q

185

10.1 Grundlagen der Festkarperreibung 10.2 Haftreibung 10.2.1 Karper auf schiefer Ebene 10.2.2 Reibungssektor, Reibungskegel 10.2.3 Leiter an einer Wand

185 186 187 189 190

X

11

Inhaltsverzeichnis 10.3 Gleitreibung lOA Seilhaftung und Seilreibung 10.4.1 Seilhaftung 104.2 Seilreibung

193 197 197 199

Klausuraufgaben

200

11.1 Aufgabenstellungen 11.2 Ergebnisse

200 207

Anhang

Al A2

A3 A4

215 GroJJen, Dimensionen und Einheiten der Mechanik Grundlagen der Vektorrechnung A2.1 Allgemeine Definitionen A2.2 Addition von Vektoren A2.3 Komponentendarstellung eines Vektors A2A Skalarprodukt zweier Vektoren A2.5 Vektorprodukt zweier Vektoren Genauigkeit der Zahlemechnung WeiterfUhrende Themen der Technischen Mechanik

Sachwortverzeichnis

,

215 215 216 216 217 218 219 220 220 221

1

1 Fragestellungen der Statik Die Technische Mechanik beschaftigt sich mit cler Lehre von den Kraften sowie den Bewegoogen, Spannungen ood Verforrmmgen, welche diese bei Korpem, Bauteilen, Maschinen sowie anderen natorlichen oder tedlllischen Strukturen hervonufen. Die Statik ist ein wichtiges Teilgebiet cler Technischen Mechanik ood beinhaltet die Lehre von den Kraften ood die Lehre valli Gleichgewicht. Betrachtet werden im Allgemeinen tragende Strukturen, die sich in Ruhe befinden und aufgnmd ihrer Fooktioo auch in Ruhe verbleiben mOssen. Die Gnmdlagen cler Statik dienen clem Ingenieur im Wesentlichen dam, •

sich einen Uberblick tiber die wirkenden Krille zu verschaffen,

•

die resultierende Wirkung dieser Krfifte m errnitteln,

•

die Wirkung von Kraften auf die Teilstrukturen zu bestimmen,

•

die in den Teilstrukhiren wirkenden inneren Krfifte ood Momente m errnitteln,

•

die Standsicherheit von Maschinen, Fahrzeugen ood Anlagen m OberpIiifen,

•

die Krafte an den Aufstands- oder Lagerpunkten zu bestimmen,

•

Schwerpunkte von K6rpem ood Flachen m errnitteln sowie

•

Haft- ood Gleitreiboogssituationen in Natur ood Teclmik m verstehen.

Bevor die Gnmdlagen ood Methoden der Statik im Einzelnen beschrieben werden, sollen die Aufgaben des Ingenieurs im Folgenden anhand von Fragestelloogen der Statik erlautert werden. Fragestellung 1-1 beschilligt sich mit einer Eisenbahnbrucke, Bild 1-1. Sie besteht aus einer Fachwerkstahlkonstruktion ood ist an den Stellen A ood B gelagert. Von Interesse ist hierbei unter anderem das Gesamtgewicht ood der Gesamtschwerpookt der Brucke sowie die Belastoog der Brucke bei einer ZUgOberfahrt. Aus dem Eigengewicht ood der Betriebsbelastoog sollen darm die Krafte in den Auflagerpookten ood die Krille in den Fachwerksteilen (z. B. in den Stab en) errnittelt werden.

BUd 1-1 Eisenbahnbmcke als FachweIkskonstmktion

2

1 Fragestelloogen der Statik

Bei Fragestelloog 1-2 soli ein Schaufelbagger, cler eine Last F anhebt, Bild 1-2, mit den Methoden der Statik ootersucht werden. Von grol3er Bedeutung ist dabei auch das Eigengewicht des Baggers, das als resultierende Kraft G im Korperschwerpunkt S angreift.

•• • F BUd 1-2

~B

/

Schaufelbagger im Betrieb

In diesem Zusammenhang ergeben sich viele Fragen, die mit den Methoden cler Statik gelost werden k6nnen: a)

Wie groll sind die Krfifte in den AufstandspunktenA und B?

b)

Wie grol3 darf die Last F maximal sein, damit eine ausreichende Standsicherheit des Baggers gewahrleistet ist?

c)

Welche Krille mOssen die Hydraulikzylinder bei Betriebslast aufbringen?

Daruber hinaus ist fUr die Entwickloog bzw. Konstruktioo noch von Bedeutoog, welche Krafte und Momente auf die weiteren Teilsysteme des Baggers wirken bzw. wie diese Belastoogen im Inneren der Systeme Obertragen werden.

-1-

-- -- -- -- -- -- -- --

I- - - - -I

BUd 1-3 Radsatzwelle eines Schienenfahrzeugs

Bei Fragestelloog 1-3 soli die Radsatzwelle eines Schienenfahrzeugs untersucht werden, Bild 1-3. Hierflir wurden bereits die Krafte F j = F 2 = F aus dem Wagenaufbau flir den Lastfall Geradeausfahrt errnittelt. Es bleiben u.a. noch die Fragen, wie grol3 in diesem Fall die Radaufstandskrafte sowie die Biegemomente ood die Querkrafte in der Radsatzwelle sind. Biegemomente ood Querkrafte sind ooter anderem bei der festigkeitsgerechten Auslegung dieser Radsatzwelle von groller Bedeutoog. Bei der Verkehrsampel, Fragestellung 1-4, interessiert ooter anderem, wie grol3 die Krafte und das Einsparmmoment im Ampelfoodament sind, wenn die drei Ampeln je ein Gewicht von

1 Fragestellungen der Statik

3

100 N haben. FOr die Auslegung des Ampelmastes sind daruber hinaus die wirkenden Norrnalund Querkrafte sowie die Biegemomente wiehtig.

o o o BUd 1-4

A

Vetkehrsampel

Fragestellung 1-5 besehaftigt sieh mit einem allUigliehen Problem. Eine Dame (Masse m = 60 kg, Gewieht G= 600N) steht aufnur einem FuI3, Bild 1-5. Vnter diesen Voraussetzoogen sollen mit den Methoden der Statik die Aufstandskrafte in den Punkten A ood B ood die FHiehenpressung ooter dem Sehuhabsatz bestimmt werden, werm dieser eine AufstandsfHiehe von 0,5 em 2 hat.

/

BUd 1-5

FuB einer Dame beim Einbeinstand

Eine Leiter ist an eine Wand angelelmt, Fragestelloog 1-6. Bine Person mit erhebliehem K6rpergewieht klettert die Leiter hinauf, Bild 1-6. Vnter Ben1eksiehtigung der Reiboogsverhaltnisse an Wand und Boden ist m errnitteln, ob die Person die Leiter sieher hinaufklettem kann. Interessant ist aueh die Frage, welche Bedeutung in diesem Zusammenhang das K6rpergewieht hat. Fragestelloog 1-7 besehaftigt sieh mit dem Gewieht ood dem Sehwerpookt einer Aufnahmevorriehhmg fUr Proben in einer PrOfmasehine, Bild 1-7. Bei der Vorriehtoog mit einer Nut und mehreren Bohrungen handelt es sieh lUll ein Frasteil aus dem Werkstoff Stahl, da hierrnit hohe Krafte Obertragen werden sollen. Die Diehte des Stahls betragt p= 7,85 kgfdm 3. Gesueht ist neben dem Gesamtgewieht G, der Sehwerpookt S mit den Koordinaten xs, Ys und Zs. Gibt es

4

1 Fragestelloogen der Statik

bei dieser Aufnahmevorrichhmg einen Unterschied zwischen Schwerpunkt, Massenmittelpookt und Volumenmittelpookt?

BUd 1-6

/

Person klettert cine Leiter hinauf

Diese und viele andere Fragestellungen lassen sich mit den Methoden der Statik lasen. Dieses Eingangskapitel soli das Interesse wecken, sich mit dem weiteren Inhalt des Buches auseinander zu setzen und auch notwendige Details in einem Gesamtmsammenhang m sehen. Die Verrnittlung der Grundlagen der Statik wird stets begleitet durch zahlreiche anwendoogsnahe, aber auch abstrakte Beispiele. Ausgewfihlte Klausuraufgaben sollen eine selbsUindige UberpIiifung des bereits gelemten Stoffes errnaglichen und Sicherheit beim Umgang mit ingenieurtedlllischen Fragestelloogen liefem.

o 0 x

BUd 1-7

Aufnahmevonichtung fur Proben in ciner pIiifmaschine

Das nfichste Kapitel wird sich mit Kraften und ihren Wirkoogen beschaftigen. Krfifte kann man aber leider nicht sehen. FOr eine erfolgreiche Anwendung der Methoden der Statik, mOssen Krfifte ood ihre Wirkungslinien gedanklich sichtbar gemacht werden. Welche Verfahren dam geeignet sind, wird in den nfichsten Kapiteln verdeutlicht.

5

2 Krafte und ihre Wirkungen Krafte treten uberall auf - in derNatur, in der Technik, im Verkehr, im Sport, usw. Ein Gelreidehalm wiegt sich im Wind, ebenso wie ein Femsehturm. Bei Bewegungen sind im Allgemeinen Krafte im Spiel. Das vielfach notwendige Verharren von Karpern in Rube wird ebenfalls durch Krafte garantiert Auch die Lasung der im Kapitel I dargestellten Fragestellungen erfordert eine intensive Beschaftigung mit der physikalischen GraJJe "Kraft". Es gibt zahlreiche Maglichkeiten Krafte einzuteilen. Krafte kannen z. B. auftreten als •

auJJere Krafte (wirkende Lasten),

•

Reaktionskrafte bzw. Auflagerkrafte,

•

innere Krafte.

Die Unterscheidung der Krafte ist fill das Lasen praktischer Fragestellungen der Statik von groJJer Wichtigkeit Zunachst gilt es herauszufinden, welche Krafte bei der gegebenen Problemstellung uberhaupt wirksarn sind. Die wirkenden Krafte oder Lasten bezeichnet man als auJ3ere Krafte. Diese auJJeren Krafte rufen dann Lagerkrafte, Bodemeaktionskrafte, Gelenkkrafte und Krafte, die zwischen Korpern oder Teilstrukturen wirken, hervor. Diese werden in cler Statik Zllsarnmenfassend Reaktions- oder Auflagerkrafte genannt Die auJ3eren Krafte, das heiJ3t die wirkenden Lasten, verursachen aber auch innere Krafte in Strukturen und Bauteilen. Die inneren Krafte gilt es zu ennitteln, urn Inforrnationen tiber die Belastbarkeit einer Struktur oder einer Teilstruktur zu erhalten. Dem Konstrukteur dienen sie unter anderern dazu, Bauteile sicher zu dirnensionieren.

2.1

AnDere Krafte, wirkende Lasten

AuJJere Krafte treten bei bewegten und ruhenden Karpem auf Eine stets wirkende Kraft ist die Gewichtskraft Diese wird im Allgemeinen mit dem Fonnelzeichen G bezeichnet. Die Gewichtskraft errechnet sich aus cler Masse m des Korpers und cler Fall- oder Schwerebeschleunigung g mit der Fonnel (2.1), greift im Schwerpurikt des Karpers an und ist stets zum Erdmittelpurikt gerichtet, Bild 2-1. Die Gewichtskraft hat, wie jede andere Kraft, die physikalische Grundeinheit Newton, abgekillzt N GraJJen, Dimensionen und Einheiten der Mechanik sind in Anhang Al zusammengestellt Bewegungen und insbesondere Bewegungsanderungen erfolgen unter dem Einfluss von Kraf-

ten. Bei Bewegungen Ireten neben der Gewichtskraft im Allgemeinen zusatzlich noch Beschleunigungs- oder Verzagerungskrafte auf

6

2 Krafte und ihre Wirkoogen

Die Beschleooigoogskraft F B errechnet sich aus cler Masse m ood cler Beschleunigung a nach clem Gnmdgesetz der Mechanik: (2.2). Die Kraftrichhmg etltspricht cler Richtoog der Beschleooigung, Bild 2-1.

BUd 2-1

G"/lrg

Gewichtskraft G lllld Beschlelllligungskraft FE beim Auto

Bei Kreisbewegungen wirkt stets eine Fliehkraft. Sie errechnet sich aus cler Masse m des K6rpers auf cler Kreisbalm, clem Radius r cler Kreisbalm und cler Winkelgeschwindigkeit (J) mit der Forme! FF

=m·r

o

(2.3).

0J2

Die Fliehkraft wiIkt bei cler Kreisbewegoog stets in radialer Richhmg.

,. BUd 2-2

Fliehkraft FF bei der Kreisbewegung ciner Massem

Gewichtskraft, Beschleunigoogskraft ood Fliehkraft sind Massenkrafte, werden aber auch Voltunenkrafte genannt, wobei sich die Masse m aus clem Volumen V ood cler Dichte p des Materials errechnet:

m=V·p

(2.4).

Massenkrafte wirken tiber das Volumen verteilt, werden jedoch idealisiert als im Schwerpookt des K6rpers angreifende Krafte dargestellt, Bild 2-1 und Bild 2-2. Neben den Massen- bzw. Volumenkraften kommen als aul3ere Krafte auch Flachenkrafte vor. Hierm zahlen z. B. der Luftwiderstand beim Auto oder die Windbelastung von BIiicken und Gebauden, die Schneelasten auf Dachem, der Wasserdruck auf die Staumauer eines Stausees und die Seitenwindkraft beim LKW, siehe auch Bild 2-3.

2.1 Aufiere Krafte, wirkende Lasten

7

BUd 2-3

P

Seitenwind bei einem LKW als FHichenkraft

Die Flachenlastf-kraft wird in der Statik mitp bezeidlllet ood kann z. B. aus einer Kraft F ood der Bezugsflache A mit der Beziehoog F

p~-

~~

A

errechnet werden. Die Einheit der Flachenlast ist damit z. B. N/m2 oder N/mm2, siehe Anhang A!.

Neben VollUllen- ood Flachenlasten venvendet man in der Mechanik noch zwei wichtige Idealisienmgen: •

die Linienkraft und

•

die Punktkraft oder Einzelkraft.

Die Linienlast q ist als Kraft pro Lange definiert und errechnet sich z. B. nach der Gleichoog F

q=I

(2.6),

wobei F die Kraft ood I die Lange darstellt. Die Einheit ist z. B. N/m oder N/mm. Beispiele fUr die Linienk.raft oder Streckenlast sind das Eigengewicht eines Balkens oder einer Rohrleitoog, das ober die Lange verteilt wirkt, siehe Bild 2-4. Auch die von einem Balken aufgenommene Flachenlast eines Deckenabschnitts eines Gebaudes oder eines Daches kann als Linien- oder Streckenlast angesehen werden.

q BUd 2-4 Gewicht eines Rohrleitungsteilstiickes als Strecken1ast

Der Begriff Einzelkraft wird venvendet, wenn L B. eine KraftObertragoog zwischen zwei Korpem auf kleiner, nahem pooktf6rrniger Ben1hrungsflache erfolgt oder wenn Massenkrafte und Flachenlasten idealisiert als Einzelkrafte betrachtet werden, die im Schwerpunkt der Massen oder der Flachen angreifen. Die Einheit der Einzelkraft Fist z. B. N oder kN. Diese Ideali-

8

2 Krafte und ihre Wirkoogen

sienmg errnoglicht den leichten Zugang mr Technischen Mechanik, insbesondere mr Statik, und erlaubt z. B. die L6soog aller Fragestellungen in Kapitel 1.

Die Einzelkraft stellt einen Vektor dar. Zur L6soog cler Fragestellungen cler Statik k6nnen somit die GesetzrnaJ3igkeiten cler Vektorrechnung herangezogen werden, siehe Anhang A2. Die Einzelkraft ist im Allgemeinen gekermzeichnet durch GroBe, Richhmg ood Angriffspookt.

AngrifTspunkt

~

~\\V. k ,..

~ Kriiftcm(l13stab

lr ungs lmc

BUd 2-5 Zeiclmerische Darstellung einer Einzelkraft

Zeiclmerisch wird die Einzelkraft als Pfeil (gerichtete Strecke, Vektor) dargestellt, Bild 2-5.

Der Vektorcharakter wird durch den Pfeil aber clem Buchstaben der physikalischen GroBe deutlich: F F =

IFI

kermzeichnet Gr6l3e und Richtung cler Einzelkraft, kermzeichnet den Betrag, das heiBt die GroBe der Einzelkraft.

FOr die zeiehnerisehe Darstellung ist die Einflihnmg eines Krillemal3stabs wiehtig. Das heillt, die dargestellte Lange der Kraft entsprieht einer bestimmten Gr6l3e der Kraft. Zum Beispiel kann der Lange von 1 em eine Kraft von ION entspreehen. In anderen Fallen karm der Kraftemal3stab 1 em ~ 100 kN sirmvoll sein. Bei der Losoog teelmiseher Fragestelloogen (siehe aueh Kapitel 1) wird haufig auf den Vektorpfeil ober dem Fonnelzeiehen verziehtet. Dies gesehieht in der Regel darm, werm die Kraftriehtoog eindeutig bekarmt ist (siehe aueh Bild 2-1 und Bild 2-2). Der Kraftpfeil gibt in diesem Fall die Riehhmg der Kraft an, die GroBe wird dureh den Betrag bestimmt. Aile in diesem Abselmitt besehriebenen Krille kormen als aul3ere Krille oder wirkende Lasten bezeielmet werden. Sie mfen im Allgemeinen Reaktionskrille an Aufstandsflaehen oder Auflagem hervor und haben irmere Krille in Tragstrukturen und Masehinen mr Folge.

2.2

Reaktionskrafte ond innere Krafte

Reaktionskrille sind z. B. die dureh auBere Krille oder wirkende Lasten hervorgerufenen StOtzkrille oder Lagerreaktionen. Irmere Krafte werden ebenfalls dureh die aul3eren Krafte verursaeht. Die Zusammenhange zwischen aul3eren Kraften, Reaktionskrillen ood irmeren Kraften sollen am Beispiel einer Lampe, die an einer Deeke aufgehangt ist, verdeutlieht werden.

2.2 Reaktionskrafte ood irmere Krafte

a)

9

0)

b)

d)

Schnur

s Lampcn-

korpcr, M(lsscm

G=m·g

G

BUd 2-6 Verdeutliehllllg voo auBerer Kraft, Reaktionskraft und innerer Kraft bei einer Lampe

a) b) e) d)

Darstellllllg als Gesamtsystem = mg als auBere Kraft Dureh gedankliehes Ulsen des Seils vam Haken wird die Reaktiooskraft R siehtbar Dureh gedankliehes Aufselmeiden des Seils wird die Seilkraft S als innere Kraft eIfahrbar

1m SehwerptUlkt der Lampe wirlct die Gewiehtskraft G

In Bild 2-6a wird als Gesamtsystem ein Lampenkorper, der Ober eine Schnur mit einem Haken an der Decke befestigt ist, betrachtet. Die Masse des Lampenkorpers ist m, die Schnurrnasse ist im Vergleich mr Masse des Lampenkorpers vemachlassigbar. 1m Schwerpookt des Lampenk6rpers wirkt die Gewichtskraft G = m·g als auI3ere Kraft, Bild 2-6b. Die Hakenkraft R, Bild 2-6c, stellt die Reaktionskraft dar. Sie wird erst sichtbar durch das gedankliche Losen des Seils vom Befestigungshaken. Dieses Vorgehen nermt man in der Mechanik. "Freisclmeiden". Dies bedeutet, das Teilsystem "Lampenkorper mit Sclmur" wird gedanklich vom Teilsystem "Haken und Decke" gelost. Die von dem Haken auf das Seil wirkende Kraft wird als Reaktionskraft R eingezeichnet Mit den Methoden der Statik karm darm die Reaktionskraft errnittelt werden. Sie wirkt der Gewichtskraft entgegen, ist in diesem Fall aber betragsmiil3ig genauso grol3 wie die Gewichtskraft, also R = G. Natorlich muss auch die Schnur eine Kraft Obertragen. Auch diese ist mnachst nicht zu erkennen. Sie wird erst durch das gedankliche Aufschneiden der Schnur als irmere Kraft oder Sclmur- bzw. Seilkraft S erfahrbar, Bild 2-6d. Urn die Sclmur auch nach dem Aufschneiden straff zu halten, muss jeweils am oberen ood am unteren Sclmurende eine betragsmaBig gleich grol3e Sclmurkraft S wirken. Diese irmere Kraft S ist in dem betrachteten Fall betragsmaBig ebenso groB wie die Gewichtskraft, d. h. S = G. Dies wird durch Betrachtung des ooteren Teilsystems in Bild 2-6d deutlich. Reaktionskrafte sind flir die Auslegoog von Lagerstellen wichtig. Die Kenntnis von irmeren Kraften ist von Bedeutoog fUr die Dimensionienmg von Bauteilen ood Strukturen. Daher zahlt die Fnnittloog von Reaktionskraften und irmeren Kriiften in Strukhiren und Bauteilen m den wichtigsten Aufgaben der Statik.

10

2 KraUe und ihre Wirkoogen

2.3

Krafte am starren Korper

Aile Karper in Natur ood Technik sind verfonnbar. Die Verfonnungen von technischen Strukturen, die durch die Einwirkoog von Krillen entstehen, sind im Allgemeinen jedoch klein gegenOber den Abmessoogen dieser Konstruktionen. Die Lasung von Fragestelloogen der Statik kann sehr vereinfacht werden, wenn man die Verfonnungen vemachlassigt, das heil3t die Strukruren als starr betrachtet. ,)

• • • G

A

Wirkungslinic dcr Autlagcrkraft bei Lager A

b)

i

/

Wirkungslinie der Gcwiclllskraft

Wirkungslinic dcr Auflagerkraft bci Lager B

!

1 I

FA

StaTTer Korpcr

als Modell dcr Briiekc

BUd 2-7 a) Reale Brtickenstmktur mit cler Gewichtskraft im Schwerpunkt der Brticke

b) Idealisienmg der Brticke als starrer Korper mit den wiIkenden Kraften und ilrren \Virlrungslinien

Bei einem starren Karper k6nnen die Krille beliebig auf ihrer Wirkungslinie verschoben werden. Sie sind damit, anders als beim verfonnbaren Karper, nicht an ihren Angriffspunkt gebooden. Diese wichtige Idealisierung in der Statik ist somit eine wesentliche Hilfe bei der Lasoog auch komplizierter Fragestelloogen. Die Betrachrung der Kraftwirkungen am starren K6rper nennt man auch Theorie 1. Ordnung. Dies bedeutet, L B. fUr die Errnittloog der Auflagerreaktionen der EisenbahnbIiicke, Fragestellung 1-1, kann diese als stalTer K6rper betrachtet werden. Beim starren Karper komrnt es auch nicht auf die Fachwerkstruktur an. Lediglich die Krille und ihre Wirkungslinien sind fUr die Bestimrnung der Auflagerreaktionen von Bedeurung, Bild 2-7. Die Vemachlassigung der Verfonnungen ist irn Allgemeinen ohne Bedeutung.

2.3 Krille am starren Karper

11

Sie flihrt nur bei StIUkturen, die sich stark verfonnen, wie z. B. Bauteilen aus weichem GlUllmi, zu Fehlem. Die Idealisienmg realer Strukhiren als starre K6rper erlaubt die Anwendoog der nachfolgenden Axiome der Statik. Axiome sind Gnmdtatsachen, die durch die Etfahnmg besUitigt werden.

2.3.1 LinienDiichtigkeitsaxiom Das Linienf10chtigkeitsaxiom lautet: "Der AngrifftpWlkt einer Kraji kmm aujder KrqftwirkWlgslinie beliebig verschoben werden, ofme doss sil:h an der Wirkung aujden starren Korper etwas tindert " Das Axiom wird durch Bild 2-8 verdeutlicht. Die Kraft karm im Punkt A, im Pookt B oder an einem anderen Pookt der Wirkoogslinie angreifen, die Wirkoog auf den starren K6rper ist stets dieselbe. bcliebigcr, _ starrer Korper

/(

.1 Wlrkungs-

.

B /

A

Wirkungslinie

lillie

BUd 2-8 Axiom von cler Unienfliichtigkeit cler Kraftvektoren

1m Gegensatz ZlUll starren Karper ist beim verforrrilaren K6rper die Lage des Kraftangriffspunkts wesentlich, da die Verfonnoogen des K6rpers ooter anderem vom Kraftangriffspunkt abhangen. Die Tatsache, dass man beim starren Karper die Kraft auf ihrer Wirkoogslinie beliebig verschieben darf, bedeutet aber nicht, dass man die Kraft beliebig in der Ebene verschieben karm. Eine Parallelverschiebung mm Beispiel, andert die Wirkoog auf den Karper wesentlich.

2.3.2 Gieichgewichtsaxiom Dieses Axiom lautet: "Zwei Kr4fte sind im Gleichge»icht, wenn sie • aujderselben Wirkungslinie liegen, • entgegengesetzt geril:htet und • gleil:hgrojJsind" Dies wird in Bild 2-9 verdeutlicht.

_

BUd 2-9 Zwei Kriifte im Gleichgewicht

j';-", ~ W;rkungslin;c

12

2 Krfifte und ihre Wirkoogen

Die Krafteaddition ergibt (siehe auch A2): (2.7). Gleichgewicht bedeutet somit, class keine resultierende Kraft wirkt Die VektorslUllme ergibt einen Nullvektor. Zwei Krille, die sich im Gleichgewicht befmden, bilden eine Gleichgewichtsgruppe. Ein ruhender Karper bleibt auch bei Einwirkung einer Gleichgewichtsgruppe in Ruhe.

2.3.3 Wechselwirkungsgesetz Dieses Axiom Hisst sich wie folgt forrnulieren:

"Die Kr4fte, die zwei Korper mWinander ausilben, sind gleich grojJ, entgegengesetzt gerichtet und liegen aujderselben Wirktmgslinie. " Dies bedeutet auch: "Die Wirkung ist stets der Gegenwirlamg gleich" oder

,,(Xtio = re(Xtio".

Da dieses Gesetz fUr das VersUindnis cler Technischen Mechanik insgesamt, aber auch der Statik von besonderer Wichtigkeit ist, soli es anhand von Beispielen noch weiter erlautert werden. Ein Stein, der mr Erde fallt, wird von der Erde angezogen. Auf den Stein wirkt die Gewichtskraft Os. Der Stein zieht aber in gleicher Weise auch die Erde an, Bild 2-10. Die Kraft P s wirkt auf derselben Wirkoogslinie, ist gleich grol3 wie Os, aber entgegengesetzt gerichtet

Erdc

BUd 2-10 Fallender Stein als Beispiel ffir das Wechselwirlnmgsgesetz

Die Hand, die gegen eine Wand druckt, etfalut von der Wand eine gleich grolle Gegenkraft, Bild 2-11. Die Kraftwirkungen werden erst deutlich, werm man die beiden K6rper gedanklich trermt Das heillt, die K6rper mOssen gedanklich "freigeschnitten" werden. Darm sind die Kraftwirkoogen auf jeden Karper zu betrachten: die Kraft, welche die Hand auf die Mauer ausObt und ebenso die Reaktionskraft, die von der Mauer auf die Hand wirkt. Die Gegenkraft Pw liegt auf derselben Wirkoogslinie wie t!.ie Hant!.kraft PH, ist betragsmal3ig ebenso grol3: Pw = PH, aber entgegengesetzt gerichtet: Pw = -PH.

2.3 Krille am starren Karper

13

Damit sind beide Krille auch im Gleichgewicht (siehe Gleichgewichtsaxiom). WirkungsIinie

Wand

/

b) .,Freischnitt"

/

BUd 2-11 a) Hand drilckt gegen eine Wand

b) "Freisclmitt" macht die wiIkenden Kriifte sichtbar.

Actio = Reactio wird auch bei der Lagenmg der EisenbahnbIiicke in Bild 1-1 und in Bild 2-7 deutlich. Betrachtet man einmal das Auflager B im Freischnitt, so erkermt man, dass das Lager der BIiicke eine Kraft F B auf das Betonteil ausObt, lUllgekehrt wirkt die Kraft F B aber auch als Lagerreaktionskraft F B auf die BIiicke, Bild 2-12. Aktions- ood Reaktionskraft liegen auf derselben Wirkoogslinie, sind aber entgegengesetzt gerichtet.

V o

Wirkwngslinic von Aklionswnd Rcaktionskrafi

0

BUd 2-12

Aktioos- und Reaktiooskraft im Lager B der Eisenbalmbrucke

2.3.4 Axiom vom Krafteparallelogramm Dieses Axiom Hisst sich wie folgt forrnulieren:

"Zwei Krtifle, die am selhen AngrijftpWlkt angreifen, setzen sil:h zu einer Krqft zusammen, deren GrojJe und Richtung sich als Diagonale des von heiden Krtiflen aujgespannten Parallelogramms ergibt. " Dieses Axiom beschreibt.das Superpositionspr~nzip der_Kraftwirkungen, Bild 2-13. Das heil3t, die re-3iultierC1!.de Kraft R ersetzt die Krille F j OOd]12. Ebenso werden die Teilwirkungen von F j und F2 durch die resultierende Wirkoog von R ersetzt

14

2 Krafte und ihre Wirkoogen Wirkungslinic der Kraft

r.r '),.." Wirkungslinic deT Rcsuhicrcnden

~F~~:J.R:"'__~//~/"

~:'~

-/'''' ./

/

/

/

/

/

/

/

/

J

//

Wirkungslinic

"" / ' deT Kraft ;;; BUd 2-13 Ennittlung der Rcsultierenden zweier Kriifte mit clem Kriifteparallelogramm

FOr die Zusammensetzoog zweier Krille m einer Resultierenden k6nnen auch die Gesetzmal3igkeiten cler Vektoraddition herangezogen werden (siehe Anhang A2). Rechnerisch ergibt sich samit:

- -

-

F j +Fz =R

(2.8).

Bild 2-14 zeigt die zeiclmerische Darstellung cler Addition der Kriifte

F1 und Fz .

R BUd 2-14 Grafische Darstelltmg der Vektoraddition: Aus stimmt.

Pi

lllld F2 wird die Rcsultierende R be-

Die Anwendung des Axioms vom Krafteparallelogramm soli an einem einfachen Beispiel verdeutlicht werden, bei clem zwei Kriifte an einem starren Karper angreifen. Durch die Richtoogen der Krille sind die jeweiligen Wirkoogslinien ood der Sclmittpunkt A vorgegeben, Bild 2-15a. Zur Errnittlung der Resultierenden R verschiebt man die Krille F1 und F2 auf ihren Wirlamgslinien, so dass die Krille im Sclmittpunkt A der Wirkoogslinien angreifen (Linienflochtigkeitsaxiom), Bild 2-15b. Die Resultierende ood ihre Wirkungslinie ergibt sich dann aus dem Krilleparallelogramm (Axiom vom Krafteparallelogramm).

2.4 Zentrale ebene Krillegruppe

15 Wirkungslinic

von~~

b)

':

Wirkungslinie von

I

F; '>._.

.-

I

- "--

Wirkungslinic von

F;

''-/---'lr-o.---'

..~Wirkungslinic vonF]

-: R

~

I

Ff

'''-Wirkungslinic dcr Rcsulticrcndcn

BUd 2-15 Zwci Krafte, die an cinem starren Korper angreifen, kOIlllen m ciner Resultierenden msam-

mengefasst werden. a) Krafte Illld F2 mit dem SChnittpIlllkt A ihrer \Virlrungslinien b) EnnittlIlllg der Resultierenden R mit dem Kriifteparallelogramm

i;

2.4

Zentrale ehene Kraftegruppe

Ztun leichteren VersUindnis wird mnachst die ebene Statik betrachtet ood dementsprechend die Wirkung von ebenen Kraftesystemen auf starre K6rper sowie auf Bauteile und Strukturen untersucht. Von einer zentralen ebenen Krillegruppe spricht man, werm die Krille in einer Ebene liegen und sich aile Kraftwirkungslinien in einem Pookt schneiden. Wichtige Aufgaben der Statik sind dann die Errnittloog der Resultierenden einer Krillegruppe, die Zerlegoog einer Kraft nach verschiedenen Richtungen und die Betrachtoog des Gleichgewichts dieser Krillegruppe.

2.4.1 Ermittlung der Resultierenden Zwei Krille mit gemeinsarnem Angriffspookt lassen sich mit dem Axiom vom Krafteparallelogramrn, siehe Kapitel 2.3.4, m einer Resultierenden msamrnenfassen. Raben mehrere Krafte - oder sogar beliebig viele Krille - einen gemeinsarnen Angriffspookt, das heil3t, die Wirkungslinien aller Krille schneiden sich in diesem Punkt, so lassen auch diese sich m einer Resultierenden msamrnenfassen. Dam bestehen mehrere Moglichkeiten: •

Zeichnerische Fnnittloog der Resultierenden mit dem Krafteparallelogramrn,

•

Zeichnerische Fnnittloog der Resultierenden im Krilleplan und

•

Reclmerische Errnittloog der Resultierenden.

Auch wenn mehrere Krille wirken, karm das Axiom vom Krilleparallelogramrn mr Anwendoog komrnen. In diesem Fall werden schrittweise Teilresultierende errnittelt, so lange bis ~ie Gesarntresultierende feststeht. Bild 2-16a zeigt eine zentrale Krillegruppe mit den Krillen F j , F2 und F3 , die an einer Konstruktion, hier idealisiert als starrer K6rper dargestellt, angreifen.

16

2 Krafte und ihre Wirkoogen Wirkungslinic

ryan

Ft

-, /

0)

Wirkungslinic

von';;;:

slarrcr/''>'-/---> e = 60,52°

22

2 Krafte und ihre Wirkoogen

2.4.2 Zerlegung einer Kraft in verschiedene Richtungen Bei vieleo Aufgaben cler Statik ist es erforderlich, eine gegebene Kraft in statisch gleichwertige Krafte nach verschiedenen Richtoogen zu zerlegen. Bei einer zentralen Kraftegruppe ist eine Zerlegoog nach zwei Richtoogen eindeutig moglich, werm die Wirkungslinie cler Zll zerlegenden Kraft durch den Schnittpookt cler heiden gegebenen Wirkungslinien geht. a)

Lagcplan:

Kriificplan:

b)

KM

r------
SIn

.( 3J

(hJ

jJ =arcsm . 1---; =arcsm 1- 1 =41,8°

FUr das Gleichgewicht gilt Z Pi = fUr das Abheben gelten muss.

0, d. h. P + G+ K + if = 0, wabei if = a als Kriterium

In Kamponentendarstellung erhalt man falgende Gleichungen: ---7 :

F ·casa-K ·casjJ= 0

1':

F·sina-G+K sinjJ=O

K=F

cosa cos jJ

(I) (2)

aus (I) und (2) falgl

F·sina-G+F

cosa sinjJ=O casjJ

dam it gilt fUr K: K

G .casa=14790N sina+casa·tanjJ casjJ ,

F

G

sina+ cosa· tanp

1216,3N

4.3 Losungen fUr Probleme in Natur und Technik

51

Beispiel 4-3

Ein Bauarbeiter schiebt eine mit Schutt gefUllte Schubkarre mit einer Gesarntrnasse m eine Rampe hoch. Ennitteln Sie zeichnerisch die Handkraft H des Bauarbeiters und die Kraft K auf das Rad nach Betrag und Richtung. geg.: m

~

50 kg, a

~

15°

Lasung:

Die Gewichtskraft der gefUllten Schubkarre ergibt sich zu: G =m· g

m

= 50kg ·9,81- = 490,5N S2

Zeichnerische Lasung

FUr drei Krafte im Gleichgewicht (siehe Kapitel 2.4.3) ergibt sich folgender Lage- und Krafteplan: Lageplan:

Krafteplan: 1 200 N I

"i

\

WL K

Durch Ausmessen folgt: H

~

130 N, K

~

450 N

Beispiel 4-4

Eine Person mit einern Gewicht G

fUhrt Liegestutzen durch.

/

Al---",a---I

B b

Bestirnrnen Sie rechnerisch die Krafte A und B, die an den Handen bzw. an den FuJJspitzen wirken.

52

4 Lasen van Fragestellungen der ebenen Statik

Lasung:

Die Lasung ergibt sich durch Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen:

1:::

B·b-G·a=O

l'

A+B-G=O

=>

B=G

a b

(I) (2)

aus (I) und (2) falgl

A+G CI_G=O b

=>

A=G(I-~J

Beispiel 4-5 Freischnitt:

G

Eine Dame stehl auf nur einem FuJJ (Fragestellung 1-5, Bild 1-5). Enuitteln Sie die Aufstandskrafte in den Punkten A und B sawie die Flachenkraft unter dem Schuhabsatz. geg.:

G~600N,a~150mm,b~30mm,

Schuhabsatzilache A ~ 50 mm 2

Urn die entsprechenden Aufstandskrafte mittels der Gleichgewichtsbedingungen enuitteln zu kbnnen, ist ein Freischnitt zu erstellen. a

Lasung:

FB

a

=G·--=500N a +b

GemaJJ Gleichung (2.5) ergibt sich die Flachenkraft unter dem Schuhabsatz wie falgl

p=FB A

=10~ mm 2

•••

Beispiel 4-6

Urn die Beweglichkeit eines Patienten mit HuftprothesenachclerOperation weiter zu gewahrleisten, sall er physiatherapeutisch behandelt werden. Vorab muss nun geklart werden, ab bei einer Dbung mit ausgestrecktem Bein die Krafte an der Huftprothese nicht schadlich sind.

geg.:

G

~

aM

=

300 N, /s 15°

~

600 mm, /m

~

50 mm, h

~

70 mm, /1

~

30 mm, /2

~

200 mm, OS

~

10C,

4.3 Losungen fill Probleme in Natur und Technik

53

H tiftprothese

Muskel

---- - -Knie

Lasung:

a) Berechnung der Krafte im Huftgelenk und im Muskel eines liegenden Palienlen

-- -- -_co_=__-, G

FM

=G.~=3600N 1m

H x =FM ·cosaM = 3477,3N

l' :

H y - F M . sin aM - G =

a =>

H y =FM ·sinaM +G=1231,7N

b) Krafte auf die Prolliese

H j , Hz undR sind die Reaktionskrafte an der Prolliese. Aus den Kornponenten H x und H y ergibt sich eine resultierende Kraft H zu:

H

=~Hx2 +H/

= 3689,ON

Sie wirkt unter einern Winkel azUf Beinachse:

H lana = -y

Hx

=>

a = 19,5°

54

4 Lbsen von Fragestellungen der ebenen Statik

R-H.cos(a+as)=O

=>

R=H.cos(a+as)=321O,6N

N 2 '/2 +H .h.cos(a+as)-H·h .sin(a+as)=O

=>

N 2 =H '[/j.sin(a+as)-h.cos(a+as)]=-851,2N /2

Nj-N2-H.sin(a+as)=O

,j.

=>

Nj = N2 + H . sin(a + as) = 965,7N

Zur Vereinfachung wurde das Koordinatensystem entsprechend der Krafterichtungen gedreht.

Beispiel 4-7 FUr die Radsatzwelle eines Schienenfahrzeugs (Fragestellung 1-3, Bild 1-3) sollen fUr den Lastfall der Geradeausfahrt die Radaufstandskrafte bestimmt werden. geg.: F j

~

F2

~

F, a, b

Freischnitt.

-t-

"-

,..J

Fj

- - I-

A

1-----------------

-

r'-

F2

-- -

B

b

b

a

Bei der Geradeausfahrt eines Zuges werden idealerweise lediglich Krafte in vertikaler Richtung ubertragen. Die Gleichgewichtsbedingungen ergeben sich zu:

'B

F(a+b)-Aa-Fb=O

t

A+B-2·F=O

aus (I) und (2) folgt.

=>

A

F· (a+b-b) a

F

(I) (2)

F+B-2·F=O

=>

B~F

Wegen cler graBen Bedeutung von Tragwerken irn Bereich cler Technik werden diese in eige-

nen Kapiteln urufassend behandelt. •

Kapitel5:

Einteilige ebene Tragwerke

•

Kapitel6:

Mehrteilige ebene Tragwerke

•

Kapitel7:

Ebene Fachwerke

Dart werden neben den auJ3eren Kraften und den Auflagerreaktionen insbesondere auch die

inneren Krafte und Momente betrachtet.

4.4 Standsicherheit

4.4

55

Standsicherheit

Bei Strukhiren, deren Auflagerungen nur Druckkrafte aufnehmen karmen, besteht die Gefahr des Umkippens. Sicherer Stand ist nur gewahrleistet, d. h. das Umkippen wird verhindert, werm lUll die magliche Kippkante das Kippmoment A&iw kleiner ist als das Standmoment M starrl. Es muss also gewahrleistet sein, dass (4.12)

MKipp <MStand

ad" M.

_ MSland

Klpp -

(4.13),

SK

wobei Sk die Kippsicherheit darstellt. Bei praktischen Problemen sollte die Kippsicherheit mindestens 1,3 bis 1,6 betragen. FOr die in Bild 4-5 dargestellte Struktur ergibt sich bezuglich der Kippkante B das Kippmom",t MKipp

(4.14)

=Fj·e+Fz·d+Mj

und ein Standmoment MStand =

CIt

·c

+ Oz· (a+b+c)

(4.15).

Die Kippsicherheit betragt nach Gleichoog (4.13) somit SK = MStand = MKipp

CIt

·c + Oz· (a+b+c) Fj·e+Fz ·d+Mj

b

"

(4.16).

,

"

FI

F2

~ G, A

,

~ G, ,8 ,

Kippkamc B

BUd 4-5 Ermitthmg des Kiwmomentes, des Standmomentes und der Standsicherheit ffir die dargestellte StIUktur beziiglich der Kippkante B

Wirken auf ein Bauteil nur Krille und keine Momente, so ist Standsicherheit gegeben, werm die Wirkoogslinie der Resultierenden des wirkenden Krillesystems irmerhalb der maglichen Kippkanten verlauft.

56

4 L6sen von Fragestellungen cler ebenen Statik Wirkungslinic vonR ...\.

BUd 4-6 Standsicherheit bei K6rpem, die cilrch ein ebenes Kriiftesystem belastet sind

(A, B: mogliche Kiwkanten)

Bei Bild 4-6 verHiuft die Wirkoogslinie cler aus den Krfiften Fund G gebildeten Resultierenden R innerhalb cler Kippkanten A ood B. Somit steht cler Karper sieher auf der schiefen Ebene. Dies ware auch cler Fall, wenn our die Gewichtskraft G wirken wOrde, d. h. fUr F= O.

Beispiel 4-8

Gz

Die nebenstehend skizzierte Montageplattforrn hat ein Eigengewicht G j ood kann ein Montagegewicht O 2 tragen. Man bestimme das Gegenwicht 0 3, so class ein Umkippen verhindert wird. geg.: G j =1500N,G 2 =2000N,a=2m, b = 0,5 m, C = 0,5 m, Kippsicherheit SK=2

B

b

,

L6soog: Das Umkippen cler Montageplattfonn lUll die Kippkante B muss verhindert werden. MKipp,B =

MSland SK

O . C = ~G~l~·b~+_G~3~(~a_+~b) 2

SK

G - GZ"C·SK -Gl"b =500N 3 a+b

4.4 Standsicherheit

57

Beispiel 4-9

[lJ -

1m Zusammenhang mit Fragestellung 1-2, Bild 1-2, ergeben sich die Fragen hinsichtlich a) der Krafte in den Aufstandspunkten A und B sowie

G

b) der maximalen Kraft F, damit ausreichende Standsicherheit gewahrleistet ist A

B

geg.:

/

G, F, a, b, C, SK

Lasung:

a) Ermittlung der Aufstandskrafte Freischnitt

[lJ

,-'---G

FB

FA

Anstelle einer Gleichgewichtsbedingung iny-Richtung und einer Momentenbedingung kbnnen auch zwei Momentengleichgewichte aufgestellt werden:

"A

=>

F·a-G·b+FB .(b+c)=O

FB =_1_ (Gb-Fa) b +c FA

b) Bestirnrnung cler rnaxirnalen Kraft F Baggers gewahrleistet ist

=

= _1_. [Gc +F· (a +b + c)] b +c

Fmax , darn it eine ausreichende Standsicherheit des

FUr den Bagger ergibt sich bezuglich der Kippkante A das Kippmoment MKipp und ein Standinoment MStand

= G·b.

Urn Standsicherheit zu gewahrleisten, muss gelten: M Kipp

=

MStand SK

=>

Fmax·a

=

G·b SK

=>

G·b

Fmax = - SK ·a

= F· a

58

5 Einteilige ebene Tragwerke Viele Bauteile, Maschinen und Tragstrukturen lassen sich als ebene Tragwerke idealisieren

und so mit den Methoden der ebenen Statik behandem. Dazu mussen die Tragwerke gar nieht eben sein, lediglich die Krafte und Mornente bzw. die Kraftwirkungslinien rnussen in einer

Ebene liegen. Kornplexe Tragstrukturen oder 1.1aschinen sind irn Allgerneinen aus Einzelkornponenten zusarnrnengesetzt, die rniteinander verbunden sind, urn so eine Gesarntstruktur zu bilden. Hier kann man zurn Beispiel an den Tragrahmen eines Autos, an das innere Traggerust eines Flug-

zeugs oder ganz einfaeh an eine Bruekenstruktur denken Die Eisenbahnbrueke in Bild 1-1 ist rnechanisch gesehen aus Staben aufgebaut, die dUTch Knotenbleche rniteinander zu einern

Faehwerk verbunden sind. Die Radsatzwelle in Bild 1-3 kann dagegen als Balken betraehtet werden, wahrend die Grundstruktur der Montageplattfonn, Bild 1-4, aus einer Rahmenkonstruktion besteht Stabe, Balken und Rahmen sind somit Einzelkomponenten von Tragwerken. Diese und andere sollen irn Folgenden urnfassend beschrieben werden.

5.1

Einzelkomponenten ebener Tragwerke

Einzelbauteile oder Einzelkornponenten ebener Konstruktionen sind zurn Beispiel Seile, Stabe,

Balken, Bogentrager oder Rahmen. Bei derartigen Gebilden sind die Langenabmessungen deutlieh groJJer als die Quersehnittsabmessungen. Es ist sinnvoll, diese Einzelkomponenten von Strukturen zunachst aus statischer Sicht zu klassifizieren.

5.1.1 Seil Ein Seil ist dehnstarr, aber biegesehlaff und kann nur Zugkrafte in Seilriehtung aufnehmen, Bild 5-1. Es ist daher das einfaehste Konstruktionselement. II!

F

F

BUd 5-1 Seil: nUT Zugkrafte in Seilrichtung iibertragbar

Die Sehnur einer Lampe, Bild 2-6, ist im Sinne der Meehanik ein Seil. Bei Beispiel 2-2 ist der Funkmast dureh insgesamt 8 Seile abgespannt. Lasten werden am Kranhaken mit Seilen befestigt, siehe Beispiel 2-5. Ein nieht mehr funktionsfahiges Auto wird zurn Beispiel mit einem Seil abgesehleppt.

5.1.2 Stab Ein Stab hat eine gewisse Biegesteifigkeit. Er kann daher Zug- und Druekkrafte in Stabriehtung aufnehmen, Bild 5-2. Die Quersehnittsabmessungen beim Stab sind allerdings sehr klein gegenuber der Stablange.

59

5.1 Einzelkompooenten ebenerTragwerke ,)

..

b) F

F

F

.1

BUd 5-2 stab: Zug- oder Druckkrafte in stabrichttmg iibertragbar

I"

F

ZlUll Beispiel ist ein Faehwerk, Bild 1-1, aus SUiben aufgebaut, die Ober Knotenpookte (idealenveise Ober Gelenke) miteinander verbunden sind. SUibe finden aueh in Beispiel 2-7 Verwendung, urn ein Schild an einer Hauswand zu befestigen.

5.1.3 Balken Ein Balken hat eine deutlieh grol3ere Biegesteifigkeit als ein Stab. Er kann daher nieht nur Krille in Balkenriehtung, sondem aueh Krille quer zu seiner Aehse aufnehrnen ood sogar Momente Obertragen, Bild 5-3. Neben Einzelkrillen kormen ZlUll Beispiel aueh Streekenlasten auf den Balken wirken. Aueh beim Balken sind die Quersdlllittsabmessoogen klein gegenOber der BalkenHinge.

BUd 5-3 Balken: kann auch Querkrafte und Momente aufnehmen

Der Balken ist ein sehr wiehtiges Einzelbauteil, das hohe Stabilitat in eine KOI1struktiOl1 bringt. In diesem Bueh komrnen Balken bereits in einigen Abbildoogen ood Beispielen VOf. Die Radsatzwelle eines Sehienenfahrzeugs, Bild 1-3, stellt - aus Sieht der Meehanik - einen Balken dar (siehe aueh Beispiel 4-7). Die Leiter, Bild 1-6, die Rohrleihmg, Bild 2-4, ood die Trager in den Beispielen 2-4 ood 4-1 sind, meehaniseh gesehen, ebenfalls Balken. Wegen ihrer grol3en Bedeutung werden Balken im Kapitel 5.4 und Kapitel 5.6.4 sehr ausflihrlieh behandelt.

5.1.4 Bogentrager Ein Bogentrager ist ein Balken mit gektiimrnter Aehse. PI kann ebenso wie ein Balken Normal- ood Querkrille ood aber aueh Momente Obertragen. Konstruktiv bedingt komrnt ein Bogentrager in versehiedenen Tragstrukturen vor. F

BUd 5-4 Bogentrager: Balken mit gekrtimmter Achse

60

5 Einteilige ebene Tragwerke

5.1.5 Rahmen Ein Rahmen besteht aus mehreren Balken, die biegesteif miteinander verlnmden sind. Die Verbindung karm ZUlli Beispiel durch Verschweil3ung oder Verschraubung erfolgen. Ein Rahmen Obertragt ebenso wie ein Balken ood ein Bogentrager Norrnal- ood Querkrafte sowie Biegemomente. Ein Rahmen ist ein sehr stabiles Koostruktionselement.

F

BUd 5-5 Rahmen: Kombination biegesteif miteinander verbundener Balken

Die Mootageplattforrn in Bild 1-4 besteht im Wesentlichen aus einer Rahmenstruktur. Ein weiteres praktisches Beispiel fUr einen Rahmen stellt die Tragstruktur des Hafenkrans in den Bildem 4-2 bis 4-4 dar. Die Traggen1ste von Persooenkraftwagen ood Flugzeugen sind aus Sieht der Mechanik Rahmenstrukturen.

5.1.6 Gelenktrager Beim Gelenktrager werden Einzelkomponenten durch ein Gelenk zu einem Gesamttragwerk miteinander verbooden. Gelenke k6nnen zwar Krille, aber keine Momente Obertragen. Bild 5-6 zeigt die Einzelkomponente Rahmen in Verbindung mit der Einzelkomponente Bogentrager. Es handelt sich also urn ein mehrteiliges ebenes Tragwerk. Derartige Tragstrukturen werden spater in Kapitel 6 behandelt. Gclcnk

BUd 5-6

Gelenktrager: Einzelkompooenten sind durch Gelenke m einem GesamttragweIk miteinander verbllllden

5.2 Lagenmgsarten

61

5.1.7 Scheibe Ein weiteres ebenes Einzeltragwerk stellt eine Scheibe dar. Es ist ein ausgedelmtes ebenes Gebilde, bei dem aile Belastungen in der Scheibenebene wirken.

BUd 5-7 Scheibe: in cler Scheibenebene belastet

Scheiben, Platten ood Schalen werden als Flachentragwerke bezeichnet, allerdings liegt nur bei der Scheibe ein ebener Belastoogsmstand VOf. Platten ood Schalen ooterliegen ratunlicher Belastung.

5.2

Lagerungsarten

Samtliche Auflagerungen, StOtzoogen ood FOhnmgen von Tragwerken lassen sich auf drei Grundfalle mIiickflihren: •

verschiebbares Lager (Loslager),

•

festes Lager (Festlager) ood

•

Einspannoog.

Diese Lagenmgsarten werden im Folgenden dargestellt.

5.2.1 Verschiebbares Lager Das verschiebbare Lager wird auch Loslager oder verschiebbares StOtzgelenk genannt, Bild 5-8a. Das Tragwerk wird ober ein Gelenk mit dem Lagerstuhl verbunden. Dieser lasst sich nur parallel zur Unterlage bzw. zur Lagetflihnmg verschieben. Eine Bewegung senkrecht mr Lagetflihnmg ist nicht maglich. Die ober ein Loslager Obertragene Kraft wirkt daher stets senkrecht zur FOhnmgsebene. Dabei wirkt auf den starren K6rper (das Tragwerk) die Lagerreaktionskraft A, Bild 5-8b. Auf die Unterlage bzw. die Lagetfuhrung dIiickt, entsprechend dem Wechselwirkoogsgesetz, eine gleich grol3e Gegenkraft. Eine Lagenmg schrankt die Bewegoogsmaglichkeiten eines Tragwerkes bzw. eines starren Karpers ein. 1st ein starrer Karper nicht gelagert, hat er in der Ebene drei Maglichkeiten der Bewegung: Er karm mm Beispiel in x-Richtoog ood in y-Richtoog verschoben werden ood er karm sich tun den Winkel If verdrehen, Bild 4-1. Die Bewegungsmaglichkeiten nennt man Freiheitsgrade. Somit hat ein nicht gelagerter starrer Karper bei ebener Bewegoog insgesamt drei Freiheitsgrade, d. h. die Anzahl der Freiheitsgrade istj= 3. Durch ein Loslager (verschiebbares Lager) wird eine Verschiebung, z. B. iny-Richhmg, unterbooden. Damit kann ein Karper, der durch ein Loslager gelagert ist, nur noch eine Bewegung in x-Richhmg und eine Drehoog urn den Gelenkpunkt des Lagers ausflihren. Es verbleiben dem starren Karper also nur noch zwei Freiheitsgrade:j= 2.

62

5 Einteilige ebene Tragwerke oj

Tragwcrk. idcalisicrt als ~ Slurrer Korpcr

GclCnk~

!'L

Lagcrstuhl

/

. , ~........ vcrschlcbharcs

Lagcrfiihrung

Lager

,

BUd 5-8 Verschiebbares Lager oder Loslager a) Lagenmg des TragweIkes b) Freisclmitt des Lagers mit Aktions- lllld ReaktiooskraftA c) Rollenlager als [Kaktisches Beispiel fur ein verschiebbares Lager

Das verschiebbare Lager hat damit eine Auflagerbindoog. Man spricht clarm von einem statisch einwertigen Lager. Die Auflagerbindoogen werden im Allgemeinen mit a bezeichnet. Somit gilt fUr verschiebbare Lager: a = 1. Bild 5-8c zeigt ein Rollenlager, wie es z. B. bei Brucken ein verschiebbares Lager.

ZlUll

Einsatz kommt, als Beispiel flir

5.2.2 Festes Lager Das feste Lager wird auch Festlager oder festes Stutzgelenk genarmt. Uber ein Gelenk ist cler staITe Karper mit clem Lagerstuhl verbooden, cler auf einer Unterlage befestigt ist, Bild 5-9a. Ein derartiges Lager Hisst sich nicht mehr verschieben, d. h. weder eine Verschieboog in 3Richtoog noch eine Verschieboog in y-Richtoog ist maglich. Die Richhmg der Lagerkraft A, Bild 5-9b, ist von den auf den starren Karper einwirkenden Kraften ood Momenten abhangig. D. h. im Allgemeinen besitzt die Lagerreaktionskraft eine Komponente in x-Richtoog, Ax, und eine Komponente in y-Richtoog,Ay, Bild 5-9c. bj

oj

T11lgwerk, idcalisiert als starrcr Korper Gelcnk

YL

Lagcrstuhl is! fest mit Unlcrlagc verbullden

x BUd

5-9 Festes Lager oder Festlager a) Lagerllllg des Tragwetks _ b) Freisclmitt mit Lagerreaktionskraft A c) Freisclmitt mit den KomponentenAx lllldAy der Lagerreaktionskraft

Ax

Ay

63

5.2 Lagenmgsarten

Ein Festlager hat zwei Auflagerbindoogen, a= 2, ood ist somit statiseh zweiwertig. Dementspreehend karm sieh ein K5rper, der dureh ein festes Lager gehalten wird, nur noeh urn den Gelenkpookt des Lagers verdrehen. Ihm verbleibt also noch ein Freiheitsgrad der Bewegung: f~

1.

5.2.3 Einspannung Die Lagerungsart Einsparmoog liegt vor, wenn ein Tragwerk eingeklemmt, eingemauert, eingesehweil3t oder fest versehraubt mit einer Wand, einem Boden oder einem anderen stabilen Tragwerksteil ist. Ein eingespannter starrer Karper kann sieh nieht mehr bewegen. D. h. er Hisst sieh nieht mehr versehieben ood nieht mehr verdrehen.

,j

~ ~?;"k

b)

Emspannung

BUd 5-10 Lagenmgsart Einspamumg a) TragweIk ist eingespaIlllt, eingeklemmt oder eingesehweiBt b) Freisehnitt des Lagers mit den Lagerreaktionskraften Ax Illld A y Illld clem Lagereaktioosmoment oder Einspannmoment ME

Das Lager besitzt drei Auflagerbindungen und ist darnit statiseh dreiwertig. Darnit besitzt der eingespannte starre K5rper keine Freiheitsgrade mehr; es giltj= o. Als Lagerreaktionen ergeben sieh die KrafteA x oodA y sowie das Einsparmmornent.ME. 5.2.4 Ubersicht, alternative Darstellungen Eine Zusamrnenstelloog der Lagerungsarten mit den in der Statik verwendeten, vereinfaehten Symbolen, ihren Lagerreaktionen, den Auflagerbindoogen und den verbleibenden Freiheitsgraden zeigt Bild 5-11. Dort sind aueh alternative Darstelloogen der Lagenmgsarten angegeben. So stellt die Abstutzung eines starren Karpers mit einer Pendelstotze (Stab) eine statiseh einwertige Lagerung dar. Die gezeigte Abstutmng mit zwei Pendelstotzen entsprieht einer zweiwertigen Lagenmg und sornit einem Festlager. Die Lagerung mit drei Pendelstutzen ist einer dreiwertigen Lagerung ood sornit einer Einspannung gleiehwertig. Diese Lagerung WUfde mm Beispiel bei der Befestigung eines Hinweissehildes in Beispiel 2-7 venvendet

64

5 Einteilige ehene Tragwerke Lagenmgsart

Lagerreaktionen

a

f

F

1

2

Loslagcr

A

"""

Alternative Darstelloog

r-Pcndclsllllzc:

~

Starrcr K6rpcr is! iibcr

~ cincn Slab mil dcrn LagerSilz vcrbundcn

-F

2

f1F

3

A Einspannung

•

(

A,

Fcsllagcr

ME

1

/\

Lagcrung mit

/'/////// 2 Pcndclstulzcn

0

/'\

Lagcrung mit 3 PcndclSt(LlzCll. die nicht parallel /'/////////. vcr[3ufcn und dcrcn Wirkungslinicn 5ich nich! in einern Punkt schneidcn

BUd 5-11 Zusammenstelltmg cler Lagerungsarten

a:

f

AnzaW cler Auflagerbinchmgen, statische Wertigkeit AnzaW cler Freiheitsgrade

5.3 Lagerungen fiir ebene Tragwerke Tragwerke k6nnen ihre Fooktioo our ertlillen, werm sie stabil gelagert sind. Sie dOrreo sich also bei den moglichen Belastungen nicht bewegen, d. h. nicht verschieben oder verdrehen. NatOrlich k6nnen sich reale Tragwerke auch verforrnen. Diese Verforrmmgen sind aber im Allgemeinen sehr klein gegenOber den Tragwerksabmessoogen. In der Statik werden aile Tragwerke als starre, nicht verforrnbare Karper idealisiert, siehe Kapitel 2.3. Beim starren Karper sind die Verforrnoogen nicht nur klein, sondem Oberhaupt nicht existent. Bei falscher Lagenmg kann sich ein stalTer Karper aber bewegen. Diese so genarmten Starrk6rperbewegoogen mOssen durch geschickte Lagenmg oobedingt ausgeschlossen werden. D. h. ein Tragwerk ist nur darm fooktionstOchtig, werm es keine Starrk6rperfreiheitsgrade besitzt.

65

5.3 Lagenmgen fUr ebene Tragwerke

5.3.1 Freiheitsgrade, stabile Lagerong ond statische Bestimmtheit Ein nieht gelagerter K6rper karm sieh frei bewegen. In einer Ebene hat der starre Karper somit drei Magliehkeiten der Bewegung, namlieh zwei Translationen ood eine Rotation. D. h. die Anzahl der Freiheitsgrade istj= 3, da keine Auflagerbindungen bestehen: ages = O. Ganz allgemein karm man damit festhalten, dass die Summe der Freiheitsgrade den Wert drei nieht obersehreitet. Somit erhalt man bei einem gelagerten Karper die Anzahl der Freiheitsgrade mit der Beziehung (5.1). In Gleiehung (5.1) stellt ages die Summe der Auflagerreaktionen eines gelagerten Karpers dar. Ergibt siehj > 0, so kann sieh das Tragwerk noeh bewegen. Es ist damit statiseh oobrauehbar, insbesondere bei allgemeiner Belashmg des Tragwerks. FOr j= 0 sind in der Regel keine Starrkarperbewegoogen des Bauteils mehr maglieh und es liegt eine statiseh bestimmte und stabile Lagemng vor. Eine Ausnahme ist in Kapitel 5.3.7, Bild 5-17b, gezeigt j= 0 ist somit eine notwendige, aber nieht immer hinreiehende Bedingung fur statisehe Bestimmtheit und Stabilitiit. Bei statiseh bestimmten Tragwerken karmen die insgesamt wiIkenden drei Auflagerreaktionen mit den Methoden der Statik, d. h. mit den drei Gleiehgewiehtsbedingungen der ebenen Statik (siehe KapiteI4.1), bestimmt werden. 1st naeh Gleiehung (5.1) die Anzahl der Freiheitsgradej< 0, so ist das Tragwerk ebenfalls stabil gelagert. Es liegtjetzt allerdings eine statiseh oobestimmte Lagen.mg vor. Die Auflagerreaktionen kannen nieht mehr mit den Methoden der Statik allein bestimmt werden. Dies bedeutet, die drei Gleiehgewiehtsbedingungen reiehen nieht aus, urn vier ood mehr Lagerreaktionen m errnitteln. Es mOssen zusatzlieh noeh die VerfoITlloogen der Tragstrukturen beIiieksiehtigt werden. Daher werden statiseh unbestimmte Probleme im Rahmen der Festigkeitslehre behandelt

5.3.2 Tragwerke mit einem Festlager ond einem Loslager Tragwerke, die dureh ein Festlager ood ein Loslager gesiehert sind, besitzen insgesamt drei Auflagerbindoogen: Gges=3. Entspreehend Gleiehoog (5.1) istj=O. Das Tragwerk ist somit stabil ood statiseh bestimmt gelagert. Die Gleiehgewiehtsbedingungen der ebenen Statik. reichen aus, urn die Auflagerreaktionen m bereehnen. 0)

b)

(1:2

(/=1

(/;;2 7777

BUd 5-U lfagweIke mit einem Festlager lllld einem Loslager a) Beliebiges lfagweIk, idealisiert als stalTer Karper, zweifaeh gelagert b) Zweifaeh gelagerter Rahmen

5 Einteilige ebene Tragwerke

66

5.3.3 Eingespannter Balken Ein Tragwerk, ZlUll Beispiel ein Balken oder Trager, mit einer Einsparuumg besitzt insgesamt drei Auflagerbindoogen: Q'l"S = 3. Somit ist das Tragwerk statisch bestimmt ood stabil gelagert.

BUd 5-13

t/-3

lfagweIk mit einer Einspamumg

5.3.4 Tragwerk mitzwei Festlagern Ein Tragwerk, das mit zwei Festlagem gesichert ist, besitzt insgesamt vier Auflagerbindoogen. Mit Gleichoog (5.1) ergibt sich j=3-a gf!:3=3-4=-1.

D. h. das Tragwerk ist stabil, aber statisch oobestimmt gelagert. Der Grad der statischen Unbestimmtheit istj= -1, es handelt sich somit lUll ein einfach statisch oobestimmtes Problem.

(/=2

0=2

BUd 5-14 TragweIk mit zwei Festlagem

Die ZOOl cler Auflagerreaktiooetl ist gr6l3er als die ZOOl cler Gleichgewichtsbedingungen. Mit den Methoden cler Statik karm dieses Problem daher nicht gelost werden.

5.3.5 Tragwerke mit drei Lagerungen Bei dem dargestellten Tragwerk, Bild 5-15, kann es sich lUll eine BIiicke oder einen Durchlauftrager einer Deckenkonstruktion handeln. Bei Gges = 4 ergibt sichf= -1. Es handelt sich urn ein einfach statisch oobestimmtes Problem.

,,~2 ~S;;::,==,,=~=,=:zs::;;:::==,,=~=,:::;;JiS. 7777/

BUd 5-15 Lagenmgen einer Brticke

7777/

5.4 Reehnerisehe Fnnittloog der Auflagerreaktionen von einteiligen Tragwerken

67

5.3.6 Balken mit Einspannung und Festlager Bei dem in Bild 5-16 gezeigten Balken mit Einspannung ood Festlager liegen fUnf Auflagerbindungen ood damit flinf Auflagerreaktionen vor. Somit handelt es sieh lUll ein zweifaeh statiseh oobestimmtes Problem.

BUd 5-16 Zweifaeh statiseh llllbestimmt gelagerter Balken

5.3.7 Beispiele fiir nichtstabile Lagerungen Der Balken mit zwei Loslagem ist nieht stabil gelagert, er besitzt eine horizontale Bewegoogsmogliehkeit ood ist damit fUr beliebige Belastungen oobrauehbar.

SO

,)

a=1

(/"'1 ;>777;

b)

u=1

SO

;>777;

1/=1

:zs: ;>777;

is.

a gcs "'2 f~1

;>777;

(/=1

is.

;>777;

"gcs= 3 f"" 0, aber Systcm iSl horizontal vcrsehicbbar

BUd 5-17 Niehtstabile Lagemngen a) Balken mit zwei Loslagem b) Balken mit drei Loslagem

Dies gilt aueh fUr den Balken mit drei Loslagem, der sieh horizontal versehieben lasst. An diesem Fall erkennt man, dass die Bedingoogj= 0 notwendig, aber nieht immer hinreiehend ist. D. h. der Ingenieur soUte stets seinen physikalisehen Saehverstand einsetzen.

5.4

Rechnerische Ermittlung der Auflagerreaktionen von einteiligen Tragwerken

Eine wiehtige Gnmdaufgabe der Statik ist die Fnnittloog der Auflagerreaktionen von Tragwerken. Die Kenntnis der Reaktionskrille ood, falls vorhanden, des Reaktionsmomentes ist fUr die Auslegoog der Lager selbst, aber aueh fUr die Dimensionienmg der Tragwerke von Bedeutoog. So hangen die in Bauteilen und Strukturen Obertragenen irmeren Krille ood Momente mal3geblieh von den gewahlten Lagenmgen ood somit von den Lagerkrillen oodloder den Lagerrnomenten abo Vnter Auflagerreaktionen versteht der Ingenieur die vom Auflager auf das Bauteil ausgeObten Krille ood Momente.

68

5 Einteilige ebene Tragwerke

5.4.1 Freischnitt des Tragwerkes Auflagerreaktionen werden cler Betrachtoog mganglich, werm man das Bauteil gedanklich von den Auflagem lost In diesem Freisclmitt werden darm neben den auI3eren Kraften die Auflagerreaktiooetl eingezeiclmet ood wie aul3ere Krille ood Momente behandelt. Diese Vorgehensweise wird in Bild 5-18 erHiutert. FOr den zweifach gelagerten Balken mit Einzelkraft F, Bild 5-18a, ist der Freischnitt in Bild 5-18b dargestellt. Das Festlager (links) kann dabei die Kraftkompooenten Ax und A y aufnehmen, wahrend das Laslager (rechts) nur eine vertikale Kraft B = By Obertragen kann. b)

Frcischnitt: f

P·coso.

"

B

dJ

oj

A

)M

A,

Frcischllill:

ME

F

)M

Ay

BUd 5-18 Freigesclmittene Balken fur verschiedene Lagenmgen und Belasmngen a) Balken mit Fest- lllld Loslager und Einzelkraftbelasttmg b) Freisclmitt des zweifach gelagerten Balkens mit den LagerreaktiooskriiftenAz, A y lllld B c) Eingespallllter Balken, belastet durch Einzelkraft Fund EinzelmomentM d) Freisclmitt des eingespallllten Balkens mit den LagerreaktiooenAx, A y undME

Der eingespannte Balken, Bild 5-1&, ist mit einer Einzelkraft Fund einem Biegemoment M belastet Bild 5-18d zeigt den entsprechenden Freischnitt mit den LagerreaktionskraftenAx und A y ood dem Lagerrnoment.ME.

5.4.2 Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen Die Lagerreaktionen lassen sich noo mit den Gleichgewichtsbedingoogen der ebenen Statik, Kapitel 4.1, errnitteln. Das Tragwerk befindet sich nur dann im Gleichgewicht, d. h. es ist stabil gelagert, werm aile drei Gleichgewichtsbedingoogen erflillt sind. D. h. die Summen aller Kriifte in x-Richtoog ood in y-Richhmg und die Summe aller Momente urn einen beliebigen Punkt, am zweckmaJ3igsten lUll einen Lagerpunkt, mOssen Null sein. Es muss also gelten LF'ix = 0 ( ---+ ), LF'iy = 0 (t ) und mm Beispiel LMA = 0 (A).

5.4 Rechnerische Ennittlung der Auflagerreaktianen von einteiligen Tragwerken

69

5.4.3 Balken mit Fest- und Loslager FUr den in Bild 5-18a dargestellten Balken sallen die Auflagerkrafte mittels der Gleichgewichtsbedingungen der ebenen Statik ermittelt werden. Das Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen erfalgt unter Betrachtung aller in dem Freischnitt eingetragenen Krafte. Bild 5-18b. Die Gleichgewichtsbedingung in x- Richtung ergibt unter Beachtung der Kraftrichtungen: ---7:

Ax -F'casa=O

(5.2).

Gleichgewicht iny-Richtung erhalt man fUr:

1':

A y +B-F'sina=O

(5.3).

Die Mamentenbedingung urn den Lagerpunkt A ergibt unter Beachtung der Drehrichtungen cler Mornente: (5.4). Aus Gleichung (5.4) erhalt man die Auflagerkraft im rechten Lager: F·a·sina B=----c--

(5.5).

Z

Gleichung (5.2) liefert die AuflagerkraftA,: (5.6).

Ax =F·cosa

Mit Gleichung (5.3) und Gleichung (5.5) erhalt man die vertikale Auflagerkraft A y im linken Lager:

· a· - F. SIn Ay -

(I aJ- F.(Z-a).sina - - Z

-~---c;'---

Z

(5.7).

Damit sind alle gesuchten Auflagerkrafte bestimmt Bei der Berechnung der Auflagerreaktianen kann anstatt der Gleichgewichtsbedingung IFiy ~ O. Gleichung (5.3). auch eine zweite Mamentenbedingung verwendet werden. FUr den Lagerpunkt B wUrde diese wie falgt lauten:

8':

AyZ-F(Z-a)sina=O

(5.8).

Hieraus ergibt sich wiederum die in Gleichung (5.7) dargestellte Fannel fUr die Auflagerkraft Gleichung (5.3) kann in diesem Fall Zill Kantralle der Ergebnisse fUr A y und B verwendet werden.

5.4.4 Eingespannter Balken FUr den in Bild 5-18c dargestellten Balken sallen die Auflagerreaktianen ennittelt werden. Beim Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen werden alle in dem Freischnitt eingetragenen Krafte und Mamente beriicksichtigt: ---7:

Ax

=0

(5.9). (5.10).

70

5 Einteilige ebene Tragwerke

'A

(5.11).

ME-F·a-M=O

Aus diesen Gleichgewichtsbedingungen erhalt man: A y =F

Ax =0

und damit alle gesuchten Lagerreaktionen.

Beispiel 5-1 Eine Welle ist wie skizziert gelagert und durch die Krafte F, und F 2 sowie durch die Gewichtskraft G belastet:

--i-, A

~

a) Zeichnen Sie fUr diese Welle das mechanische Ersatzmodell. b) Bestimmen Sie die Auflagerkrafte in den Lagerpunkten A und B.

G

a

b c

geg.: F,

~

a

~

c~

I

1 kN, F 2 ~ 0,5 kN, G ~ 2 kN, 240 mm, b ~ 360 mm, 640 mm, I ~ 800 mm,

a~30c

Lasung:

a) Mechanisches Ersatzmodell:

F~

1m Lager A werden die Bewegungen sowohl in x- als auch in y-Richtung unterbunden, d. h. es handelt sich urn ein Festlager. Das Lager B ist als Loslager anzusetzen, da noch eine Bewegung in x-Richtung mbglich ist:

x

b) Auflagerkrafte in den Lagerpunkten A und B Freischnitt: Ax

F~

5.4 Rechnerische Fnnittloog der Auflagerreaktionen von einteiligen Tragwerken

=>

t:

B

71

1 I

=-. (Fj. cosa· a+G·b+ Fz .c)= 1,56kN

Ay-Fj.cosa-G-Fz+B=O

=>

A y =Fj·cosa+G+Fz -B=I,81kN

5.4.5 Rahmen FOr den in Bild 5-19 dargestellten Rahmen sollen die Auflagerreaktionen errnittelt werden. Dazu werden die moglichen Lagerreaktionskrafte in den Freischnitt eingezeiclmet. Gleichgewicht bzw. stabile Lagenmg liegt vor, werm folgende Gleichgewichtsbedingoogen erflillt sind: (5.12),

'A:

B·a-Fj·c-Fz·b=O

(5.13). (5.14).

Zur Kontrolle karm noch die Beziehoog

t:

(5.15)

Ay+B-Fz=O

venvendet werden. b) Frcischnill:

F,

b

")

F2

F,

,

Bfi;; d At.

+

"

B Ay

BUd 5-19 Zweifach gelagerter Rahmen

a) Rahmen mit Los- lllld Festlager b) Freischnitt des Rahmens mit den LagetkriiftenAx,A y lllld B

Die gesuchten Auflagerreaktionen erhfilt man oomittelbar aus den Gleichungen (5.12) bis (5.14).

72

5 Einteilige ebene Tragwerke

Beispiel 5-2 b

An einern Krankenhausbett ist wie skizziert ein Rahmen ZUlli Festhalten der Patienten befestigt

a) Zeichnen Sie fUr den Rahmen das mechanische Ersatzmodell. b) Bestimmen Sie die Auflagerkrafte in den Lagerpunkten A und B.

a

geg.:

F~

600N, a

~

300 mm, b ~ 500 mm

Lasung:

a) Mechanisches Ersatzmodell:

Das Lager A ist als Festlager ausgepragt, wahrend das Lager B einem Loslager mit Freiheitsgrad iny-Richtung entspricht

x

b) Auflagerkrafte in den Lagerpunkten A und B Freischnitt F

B

Ax

A y =F=600N

B':

F·b-A x ·a=O

---+:

Ax + B = 0

b Ax =F·-=IOOON a

B=-A x =-IOOON

5.5 Zeidlllerische Errnittlung der Auflagerreaktionen

5.5

73

Zeichnerische Ermittlung der Auflagerreaktionen

1st eine Tragstruktur durch Einzelkrafte belastet, so lassen sich die Auflagerreaktionen mit dem Seileckverfahren, siehe auch Kapitel2.5.2, bestimmen.

5.5.1 Vertikal belasteter Balken a) Lagcplan

A

---i----i'--_L . . ---- i o

,

I

, ,

,

I

I 3 2

BUd 5-20 Ermitthmg der Auflagerreaktionen bei einem Balken, der mit vertikalen Kraften belastet ist,

mittels des SeileckveIfahrens a) Lagep1an mit Seileck lllld ScWussiinie s b) Krafteplan mit den Auflagerlcriiften FA und FE

Das Seileckverfahren kommt in der bereits bekannten Art mr Anwendung. 1m Krafteplan werden die wirkenden Krafte, z. B. Fj, F 2 und F 3, entsprechend Bild 5-20, im Krafternal3stab eingezeichnet ood der gewahlte Pol P mit Anfangs- ood Endpookten der Krafte durch Polstrahlen verbooden. Die Polstrahlen 0-3 im Bild 5-2Ob werden dann als Seilstrahlen (parallel m den Polstrahlen) in den Lageplan Obertragen, so dass sich die Seilstrahlen 0 ood 1 auf der Wirkungslinie von F l , 1 und 2 auf der Wirkungslinie von F 2 sowie 2 ood 3 auf der Wirkoogslinie von F 3 schneiden, Bild 5-20a. Diese Schnittpookte im Lageplan reprasentieren die entsprechenden Kraftecke irn Krafteplan. Verbindet man noo den Schnittpunkt von Seilstrahl 0 mit der Wirkungslinie der Auflagerkraft FA mit dem Schnittpunkt von Seilstrahl 3 mit der Wirkungslinie der Auflagerkraft F B , so emalt man die Schlusslinie s. Die Richhmg der Schlusslinie, Obertragen in den Krafteplan, ergibt die Krafte FA ood FB . Da aile Lasten, z. B. F l , ... , F 3, vertikal ausgerichtet sind, wirken auch die Auflagerreaktionskrafte FA ood F B vertikal, aber entgegengesetzt von F l , F 2 und F 3. Die angreifenden Krafte und die Lagerreaktionskrafte bilden ein geschlossenes Krafteck, da sich der Balken im Gleichgewicht befmdet 5.5.2 Balken mit nichtparallelen Kraften Bei einern beliebig mit Einzelkraften belasteten Balken ist lediglich die Wirkoogslinie der Kraft im Loslager bekannt. In diesem Fall muss das Seileck im Gelenkpookt des Festlagers begonnen werden, da dieser einen Pookt der Wirkungslinie von FA darstellt Wendet man das Seileckverfahren in der bekannten Weise an, Bild 5-21, so erhalt man aus dem Krafteplan die

74

5 Einteilige ebene Tragwerke

Auflagerkrafte FA ood F B nach GroBe ood Richtoog. 1m Krafteplan liegt F B zwischen Polstrahl 2 ood cler Schlusslinie s, da sich im Lageplan 2 ood s auf cler Wirkungslinie von FB schneiden. FA ergibt sich nach Grol3e ood Richtoog durch Schliel3en des Kraftecks zwischen S ood o. b) Kriillcplan

a) Lagcplun

p

I'

BUd 5-21 Ennittlung der Auflagerreaktionen beim Balken mit nichtparallelen Kriiften mittels Seileck-

vetfahren a) Lageplan mit Seileck lllld ScWusslinie; cia die Richttmg cler Auflagetkraft FA lllld damit die \Virktmg von FA nicht bekannt ist, wird das Seileck im Lagerpllllkt A begOIllletl b) Kriifteplan mit den PolstraWen und den mittels Seileckvetfahren ennittelten Auflagerlcriiften FA lllld FE

Das Seileckverfahren karm in gleicher Weise auch bei anderen einteiligen Tragwerken, wie Rahmen oder Bogentragem angewendet werden.

Beispiel 5-3 FOr die in Beispiel 5-1 dargestellte Welle sallen nun zeiclmerisch miuels des Seileckverfahrens die Auflagerkrafte bestimmt werden. Zeiclmerische Lasung: Lageplan:

Krafteplan: 200mm

f------j

o A

o

G

3 B

Durch Ausmessen falgt:A = 1,9 kN, B = 1,6 kN

5.6 Irmere Krille und Momente ebener Tragwerke

5.6

75

IDDere Krafte oDd MomeDte eheDer Tragwerke

Ein Tragwerk muss so konstruiert ood dimensioniert sein, dass seine Tragfahigkeit fUr aile auftretenden Belastungen gewahrleistet ist. Dies bedeutet, die mlassige Beanspruchungsgrenze des Materials darfnicht Oberschritten werden. Urn dies nachweisen m konnen, mOssen die im Bauteil wirkenden irmeren Krille ood Momente errnittelt werden. Es ist also herausmfinden, wie die aufieren Krille durch das Bauteil hindurchgeleitet werden. Die Errnittlung der resultierenden irmeren Krafte und des resultierenden irmeren Momentes geschieht mit dem Sdmittprinzip von EULERfLAGRANGE. Dabei wird das Tragwerk an den interessierenden Stellen gedanklich aufgeschnitten (siehe z. B. Bild 4-4). An diesen Schnittstellen werden die moglichen inneren Krafte ood das innere Moment angenommen ood eingezeichnet. Durch Gleichgewichtsbetrachtoogen am freigeschnittenen Tragwerksteil kormen dann die inneren Krafte ood das irmere Moment errnittelt werden. Die resultierenden irmeren Krille ood das resultierende irmere Moment nennt man msammenfassend auch Schnittgrol3en.

5.6.1 Normalkraft, Querkraft uDd BiegemomeDt b)

vcnciltc inncrc "---'oX Kriiflc: Spannungcn

BUd

5-22 Schnittprinzip von EULER/LAGRANGE zur Ennittltmg 00 SchnittgroBen N, QundM a) TragweIk 000 starrer Kocper mit den wiIkenden Kraften (auBeren Kraften lllld Lagerreaktionskriiften) und dem gedachten Schnitt b) UblicheIWeise im TragweIk auftretende verteilte iImere Krafte (Spammngen) c) Die SchnittgroBen N, Q lllldMveIkorpem die resultierende \Virlrung der inneren Kriifte

1m Inneren eines Bauteils treten bei Belastung verteilte innere Krille auf, so genannte Spannoogen, Bild 5-22b. Die Schnittgrol3en •

Norrnalkraft.N,

•

Querkraft Q und

•

Biegemoment M

76

5 Einteilige ebene Tragwerke

verk6rpem die resultierende Wirkung cler irmeren Krille, Bild 5-22c. Sie werden cler Betrachtung zuganglich, werm man den starren Karper bzw. das Tragwerk an cler interessierenden Stelle gedanklich aufschneidet. Die Norrnalkraft Nwirkt dabei stets normal, d. h. senkrecht, mr SdlllittfHiche. Die Querkraft Q ist stets tangential mr SchnittfHiche gerichtet. Das Sclmittmoment bzw. innere Biegemoment Mbezieht sich auf den Schwerpookt cler SclmittfHiche. Die Schnittgrol3en sind in cler in Bild 5-22c dargestellten Weise positiv definiert. Die Errnittloog von N, Q ood M eIfolgt am freigesdlllittenen Tragwerksteil mit den Gleichgewichtsbedingungen cler ebenen Statik, Kapitel 4.1. Mit I:.F;x = 0 ( ---+ ) emfilt man die Norrnalkraft N, mit LF;y= 0 (1) ergibt sich die Querkraft Q, mit LM; = 0 ('I) bemglich des Schwerpooktes cler SchnittfHiche Hisst sich das BiegemomentMberechnen. Die drei unbekarmten Schnittgr6l3en k6nnen also mit den drei Gleichgewichtsbedingoogen der ebenen Statik errnittelt werden. Damit ist die Berechnung der Sdlllittgr6l3en ein statisch bestimmtes Problem.

5.6.2 Schnittkraftgruppe NatOrlich gilt auch fUr irmere Krille das WechselwiIkoogsgesetz, Kapitel 2.3.3. Demnach sind Norrnalkraft, Querkraft und Biegemoment am linken ood am rechten Schnittufer oder am linken ood am rechten freigeschnittenen Tragwerksteil gleich groll, jedoch entgegengesetzt gerichtet, Bild 5-23. Irmere Krille haben somit keine Wirkung nach aul3en. D. h. bei Fragen des Gleichgewichts des Tragwerks oder des idealisierten starren Korpers und bei der Errnittloog der Lagerreaktionen mOssen die inneren Krfifte nicht berucksichtigt werden.

BUd 5-23 SchnittgroBen am linken lllld am rechten Schnittufer sind im Gleichgewicht

Tragwerke sind bekanntlich aus verschiedenen Einzelkomponenten aufgebaut Die Fnnittloog der Schnittgr6l3en in diesen Gnmdbausteinen von Konstruktionen wird im Folgenden vorgestellt.

5.6.3 Normalkraftim Seil Ein Seil kann nur Zugkrille in Seilrichtoog aufnehmen. Die irmere Kraft im Seil ist damit eine Normalkraft. Sie wirkt normal (senkrecht) mm Seilquerschnitt und wird mit N oder mit S (Seilkraft) bezeichnet. Die Schnur der Lampe, Bild 2-6, karm als Seil aufgefasst werden. FOr den ooteren freigeschnittenen Teil der Lampe (siehe Bild 2-6d und Bild 5-24) kann die Seilkraft mit der Gleichgewichtsbedingoog I:.Fiy = 0 errnittelt werden: (5.16). Daraus ergibt sich:

S = G.

5.6 Irmere Krafte und Momente ebener Tragwerke

77

s

YL

G

BUd 5-24

Ennittlllllg der Seilkraft S am freigesclmittenen Teil cler Lampe

Die Errnittloog der Seilkrafte bei mehreren Seilen bzw. mehreren Kraften erfolgt in ahnlicher Weise. Beispiel 2-5 zeigt die Errnittlung der Seilkrafte fUr zwei Seile, die eine Last tragen.

5.6.4 Normalkraft im Stab Ein Stab Obertragt Zug- oder Druckkrafte in Stabrichtoog, Bild 5-25a. Die innere Kraft im Stab ist darnit eine Norrnalkraft.

..

b)

F

F gcdachtcr Schnin

c)

•

F

N

I~x.1-

N(:c)

F CT-TTT"T-nrrn x BUd 5-25 Nonnalkraft im stab

a) Zugstab mit gedachtem Schnitt b) Freigeschnittener stabteil mit Schnittkraft N c) Normalkraftver1aufiiber der StabHinge

FOr das freigesclmittene Stabteil, Bild 5-25b, erhalt man mit der Gleichgewichtsbedingung LF;x=O:

---+: N-F=O

(5.17)

und somit N=F.

Die Stabkraft ist in diesem Fall Ober die gesarnte StabHinge konstant. Das positive Vorzeichen zeigt an, dass es sich bei NlUll eine innere Zugkraft handelt. WOrde der Stab auf Druck beansprucht, ergabe sich Nnegativ. Da die Nonnalkraft Ober die gesarnte StabHinge stetig ist, Bild 5-25c, spricht man auch von einem Einbereichsproblem. Ein Mehrbereichsproblem ist dagegen in Bild 5-26 dargestellt.

78

5 Einteilige ebene Tragwerke b) Bereich I: 0 < x


---+:

Ax -FRx =0

A::

FRy ·a + Fw (a +b)- B· (a +b + c)+ Fu . (2a +b +c)= 0

=>

B=

Ax =FRx =5kN

1 .[FRy .a+Fw (a+b)+Fu .(2a+b+c)]=16,2kN a+b+c

b) SchnittgrbBen entlang der Welle Die Welle ist in 4 Bereiche einzuteilen. Vor dem Lagerpunkt A und hinter dem Laufrad treten keine SchnittgrbBen auf Bereich I:

O<x Qr = A y = 9,8 kN

Mr =Ay'x

Mr(x=O)=O M r (x=a)=A y .a=3916Nm

~

"l1 a <x < a+b

F

a

=>

.1

fLN,

II+)~

Ry

Q

II

x

=>

NIl =FRx -Ax =0

5.6 Innere Krafte und Momente ebener Tragwerke

11

MIl - A y . x + FRy· (x - a) = 0 MIl (x =

=>

87

MII(x) =A y ·x- FRy· (x-a)

a) = A y .a = 3916Nm

MIl (x = a +b)= A y · (a +b)- FRy ·b = 1363,2Nm

a+b < x < a+b+c (Verwendung des rechten Schnittufers)

Bereich III:

~ MIII

N

QIII

l=::::;~====t::::J

III

x

III

B

•

1':

QIII +B-Fu =0



=0)=0

MIl

= A y . X2

M II (X2 =a)=1875Nm

a < X2 < b-a

---+ : NIII = 0 G

QIII +--A y =0 2

=>

MIll

G

= A y 'X2 - - . (X2 2

-a)= 0

MIII(X2 =a)=1875Nm M III (X2 =b-a)=1875Nm

Aufgrund der Symmetrie des Rahmens und der Belastung sind die Ergebnisse fill die Bereiche IV und V identisch mit denen aus Bereich II bzw. I.

5.6.7 Normalkraft, Querkraft und Biegemoment beim Bogentrager Ein Bogentrager kann als schwach geknjmmter Balken angesehen werden. Daher ergibt sich auch die gleiche Vorgehensweise wie beim geraden Balken. Anstatt einer Langenkoordinate ist aber rneist eine Winkelkoordinate sinnvoll. Beim fest eingespannten Viertelkreisbogen und der Belastung mit einer Einzelkraft F am Bogenende. Bild 5-32, hegt ein Einbereichsproblem VOL Fill die Bestimmung der SchmttgroJJen wird sinnvoller Weise eine Winkelkoordinate

=0

A y =3'F=300N

=>

MA

= -4·F·Q = -400Nm

100 N,

Q

~

1m

94

5 Einleilige ebene Tragwerke

b) SchnittgrbBen enllang des Ampelmasles (Dreibereichsproblem) Bereich I: 0 < Xl < 2a

I:

N]+Ay=O

---+:

Q]=O

'I:

M] -MA =0

=>N]=-A y =-300N

=>

M] =MA =-400Nm

Ay

Bereich II:

0° <

M

A

=qob(a-%]

b) Verlauf der SchnittgrbJJen Bereich I:

a < XI < h

M]. _iN]

~Q] I

"I

M]+MA=O M] =-MF-qob(a-%]

110

5 Einteilige ebene Tragwerke

Bereich II: 0 <xu < a f-:

Nn=O

Qn - qo .xn = 0 Qn(xn = 0)= 0

=>

Qn = % . xn

Qn(xn = a)= %. a

2

2

XII XII Mn+qo·--=O => Mn=-qo·_-

2

Bereich III: 0 <XIII < b-a --7:

Nm

2

=0

J. : Qm + % . xm = 0 =>

Qm = -% . xm

Qm(xm = 0) = 0 Qm(xm = b - a) = -qo (b - a) M

m

+%·Xm

2

2

0

Mm

Mm(xm = 0)= 0

•••

Beispiel 5-10

A//;: I : I

I •

x

•

- - - - . e - - - -• .

I b

:,

Ein Kleintransporter mit einer Gesarntrnasse mT steht auf einer Brucke. Die Brucke mit einern Eigengewicht GB ist in A und B wie skizziert gelager\.

5.7 Tragwerke mit kontinuierlich verteilter Belastung

III

Bestirnrnen Sie unter Berucksichtigung des Eigengewichts GB cler Brucke sowie des Gewichts des Kleintransporters

a) die Auflagerkrafte in A und B sowie b) die Querkraft- und Biegemomentenverteilung enllang der Brucke. GB ~ 500kN, mT~ 4,6t,g~ 9,81 m/s 2,a ~ 5 m, b ~ 20m, l~ 3,5 m

geg.:

Lasung: Freischnitt: G T /2

GT /2

~ Bx

Ay

q

B

By

Das Eigengewicht wird als Streckenlast angenornrnen. Es ergibt sich aus:

G

kN

%=~=25b m Die Masse mT des Kleintransporters ist auf zwei Achsen verteilt, d. h. GT

G Achse = 2

mT·g = - 2 - = 22,6kN

a) Auflagerkrafte in A und B I A y =- [GT b B x =0

(b -a-~J+qB ._b:] = 279,9kN

By = ~ +GT -A y = 265,2kN

b) Querkraft- und Biegemomentenverteilung Bereich 1:

0<x ---------_.~

~ ~

1200 N/m, 1000 N/m, 1600 N/m,

~200mm,

~250mm,

l~

•

x

~

450 mm

Lasung:

Freischnitt: q

qj

3

q2, Das Lager A kann als Festlager und das Lager B als Loslager angenornrnen werden.

f\

I

Ax Ay

Ii

III

B

a) Auflagerkrafte in A und B Ax=O

---7:

~: B=Hq2bH+%J+q3aH+b+~J]=445N 1':

A y = qj ·a+q2·b +q3 'a-B=365N

b) SchnittgrbJJenverlaufe zwischen den Auflagern A und B Bereich I:

a/2 < x < a

J.

qj

QI =Ay -qj'x QI (x

I

QI

Ay x

~)MI

•

'I'

MI

= 0) = 365 N

=Ay(X-~J-qj

M{X=~J=-6Nm

QI(x=a)=125N x2 2 MI (x

= a) = 12,5Nm

114

5 Einteilige ebene Tragwerke

Bereich II: a <x < a+b

QII =A y -qj -a-q2 -(x-a) QII(x=a)=125N QII(X = a +b) = -125N

q2

MIl =A y

(x-~J-qja(x-~J (x-a?

Ay

-q2-~~­

2

x

MIl (x =

a) = 12,5Nm

MIl (x =

a +b) = 12,5Nm

Bereich III: a/2 < x' < a Qm '\

Qm(x'=~J=-285N Qm(x'=a)=-125N ,...,.

III:

III

(

Mm(x')=B- x'-~ -q3

J

x,2 2

Mm(x'=~J=-8Nm

B

.. An der Stelle x

= q3 -x'-B

x'

Mm(x'= a) = 12,5Nm ~

0,325 mist Q(x)

MIl (x = 0,325) = 20,3Nm _

~

°

und somitMrr(x} maximal. Der Wert ergibt sich zu

115

6 Mehrteilige ebene Tragwerke Komplexe Tragstrukturen sind im Allgemeinen aus EinzelkompOl1etlten zllsammengesetzt. Diese sind miteinander verbunden, urn so eine Gesamtstrukhir zu bilden. Die Verbindoog cler EinzelkompOl1etlten karm aufunterschiedliche Arten geschehen. Beim Rahmen sind z. B. mehrere Balken biegesteif miteinander verbunden, wobei die Verbindoogsstelle Norrnalkrafte, Querkrafte ood auch Biegemomente Obertragen karm. Durch die feste Verbindung zwischen den Einzelkomponenten wird ein Rahmen auch als einteiliges Tragwerk betrachtet (siehe u. a. die Kapitel 5.4.5 ood 5.6.6). Gesamttragwerke k6nnen aber auch aus mehreren Einzeltragwerke bestehen, die durch Gelenke miteinander verillmden sind. Ein Gelenk karm eine beliebige Kraft, d. h. zwei Kraftkomponenten, Obertragen. Eine MomentenObertragung ist bei einem reibungsfreien Gelenk jedoch nicht moglich. Beispiele fUr mehrteilige ebene Tragwerke mit Gelenken sind in Bild 6-1 gezeigt. In diesen Beispielen sind SUibe, Balken, Rahmen oder Bogentrfiger mit Gelenken verbooden. F

I-;::==~==:;;L Gc1cnk

Gclcnk

b)

F

d)

0)

/' Gclcnk

Gclcnk

\

"lIm?,""'x l~ ,

=

=

BUd 6-1 Beispiele fur mehrteilige ebene TragweIke mit Gelenken

a) b) c) d)

Grundshuktur eines Hafenkrans: Rahmen lllld Pendelstiitze sind fiber ein Gelenk verbllllden Gelenkbogen Mehrteiliges TragweIk mit zwei Gelenken Balken mit Gelenk (GERBER-nager)

Ein Tragwerk, das ausschliel3lich aus Stfiben aufgebaut ist, die durch Gelenke miteinander verbunden sind, nennt man Fachwerk. Fachwerke sind wichtige ood sehr stabile Tragstrukturen, die sehr leicht bauen. Sie werden in Kapitel 7 gesondert behandelt.

116

6 Mehrteilige ebene Tragwerke

6.1

Tragwerke mit Gelenken

Mehrteilige ebene Tragwerke mit Gelenken, wie sie in Bild 6-1 dargestellt sind, sollen mm eingehender ootersueht werden. Es wurde bereits envalmt, dass ein Gelenk, Bild 6-2a, nur Gelenkkrafte ood keine Momente Obertragen karm. oj

'L~

bJ

Gy

Gy

x

BUd 6-2 Gelenk als Verbindllllgselement zwischen Einzeltragwetken a) Gelenk als Schamiergelenk b) Freiselmitt des Gelenkes mit den Gelenkkriiften Gx lllld Gy

Die Gelenkkrafte werden siehtbar dureh gedankliehes Aufsehneiden im Gelenk, Bild 6-2b. In einem x-y-Koordinatensystem treten dann die Kraftkomponenten Ox und Oyauf. Entspreehend dem Weehselwirkoogsgesetz (siehe Kapitel 2.3.3) wirken die Gelenkkrafte auf beide Tragwerksteile. Sie sind betragsmaJ3ig gleieh grol3, aber am jeweiligen Tragwerksteil entgegengesetzt geriehtet. An Tragwerken mit Gelenken greifen somit folgende Kriifte ood Momente an: •

AuBere Lasten (Kratte, Momente, Streekenlasten),

•

Auflagerreaktionen (Auflagerkrafte, Auflagerrnomente),

•

Zwisehenreaktionen (Gelenkkrafte).

Die Errnittlung der Auflager- ood Zwisehenreaktionen von Tragwerken mit Gelenken ist eine wiehtige Aufgabe der Statik. Sind die Auflager- ood Zwisehenreaktionen bereelmet, so k6nnen aueh die inneren Krafte und Momente, also die Sehnittgrol3en, fUr die einzelnen TragwerksteiIe errnittelt werden.

6.1.1 Freiheitsgrade, stabile LageroDg oDd statische Bestimmtheit Tragwerke kormen ihre Fooktion nur ertlillen, werm sie stabil gelagert sind. Insbesondere bei Gelenktragwerken ist eine sorgfaltige Lagerung, eine gUnstige Anordnoog der Gelenke ood die UberpIiifung der Stabilitat von grol3er Bedeutoog. Eine Stank6rperbewegoog des Gesamttragwerks und aller Einzeltragwerke ist sieher ausmsehliel3en. D. h. das Tragwerk darf keine Bewegoogsfreiheitsgrade besitzen. Ein freies, nieht gelagertes Einzeltragwerk hat in der Ebene drei Freiheitsgrade. Es karm sieh z. B. in x- und y-Riehhmg bewegen ood urn einen Winkel qJverdrehen (siehe aueh Bild 4.1b). Eine Anzahl von n freien (nieht gelagerten ood nieht verboodenen) Tragwerken hat somit 3n Freiheitsgrade. Bei realen Tragwerken wird die Anzahl der mogliehen Freiheitsgrade lUll die Anzahl a~s der Auflagerbindoogen (Auflagerreaktionen) ood die Anzahl Zges der Zwisehenreaktionen (Gelenkkrafte) reduziert. Ein System von n geboodenen K6rpem hat somit

If

-3n-(a ges +Zges)1

(6.1)

117

6.1 Tragwerke mit Gelenken Freiheitsgrade.

Ein Loslager hat bekanntlieh eine Auflagerbindung: a = 1, ein Festlager zwei Auflagerbindungen: a= 2 und eine Einsparuumg drei Auflagerbindungen: a= 3 (siehe aueh Kapitel 5.2 ood Kapitel 5.3). Ein Gelenk ist statiseh zweiwertig. Entspreehend den Gelenkkraften Ox und Oy hat ein Gelenk somit zwei Zwisehenreaktionen: z= 2. FOr j= 0 ist das mehrteilige Tragwerk statiseh bestimmt ood stabil gelagert. In diesem Fall k6nnen die Auflagerreaktionen ood die Gelenkkrafte mit den Methoden der Statik, d. h. mit den Gleiehgewiehtsbedingungen der ebenen Statik, errnittelt werden. FOr j< 0 ist das Tragwerk ebenfalls stabil gelagert. Es liegt darm allerdings eine statiseh unbestimmte Lagenmg VOf. Die Struktur ist als Tragwerk venvendbar, allerdings lassen sieh die Auflagerreaktionen ood die Gelenkkrafte nieht allein mit den Methoden der Statik las en. Ergibt siehj> 0, so besitzt das Tragwerk Starrkarperfreiheitsgrade. Es kann sieh bewegen, ist somit instabilood als statisehes Tragwerk unbrauehbar.

6.1.2 Lagerungen fUr mehrteilige ebene Tragwerke Bild 6-3 zeigt ein mehrteiliges Tragwerk, bei dem zwei starre Karper dureh ein Gelenk miteinander verbunden sind. Das GesamttragweIk ist dureh zwei Festlager gelagert. ,j

YL,

A

bj

A, By BUd

6-3 Stabilitat, statisehe Bestimmtheit, Auflagerluiifte lllld Gelenkkriifte bei einem GelenktragweIk a) Zwei staITe Kocper sind mit einem Gelenk verbunden b) Freiselmitt der Tragwerksteile mit den Auflagerlcraften Ax> Ay> Ex lllld By sowie den Gelenkkriiften Gx lllld Gy

Mit n = 2, ages = 4 oodzges = 2 ergeben sieh naeh Gleiehoog (6.1) j = 3·2 - (4 + 2) = 6 - 6 = 0 Freiheitsgrade. Damit ist das Tragwerk statiseh bestimmt und stabil gelagert

118

6 Mehrteilige ebene Tragwerke

Dies gilt auch fUr die Tragwerke in Bild 6-la und Bild 6-lb. Hier ist ebenfalls n ~ 2, a,,, ~ 4 und z,,, ~ 2 und somitf~ o. Das Tragwerk in Bild 6-lc ist durch ein Festlager und eine Einspannung gelagert; die drei Tragwerksteile sind durch zwei Gelenke miteinander verbunden. Mit n ~ 3, a,,, ~ 5, z,,, ~ 4 erhalt man nach Gleichung (6.1) f = 3·3 - (5 + 4) = O. Damit ist auch dieses Tragwerk statisch bestimmt und stabil gelagert. FUr den Balken mit einem Gelenk sowie einem Fest- und zwei Loslagern, Bild 6-ld, gilt n ~ 2, a,,, ~ 4, z,,, ~ 2 und somit f = 3·2 - (4 + 2) = 0 . Es zeigt sich, dass auch dieser Trager statisch bestimmt und stabil gelagert ist

6.2

Ermittlung der Auflagerreaktionen und der Gelenkkrlifte

FUr den Fall, dass ein mehrteiliges ebenes Tragwerk, dessen Einzelkomponenten mit Gelenken verbunden sind, statisch bestimmt und stabil gelagert ist, lassen sich die Auflagerreaktionen und die Gelenkkrafte mit den Gleichgewichtsbedingungen der ehenen Statik bestimmen. Dabei geht man von cler Tatsache aus, class das Gesarntsystern nur irn Gleichgewicht sein kann,

wenn jedes Teilsystem fUr sich im Gleichgewicht ist Die Ermittlung der Auflager- und Zwischemeaktionen erfolgt dabei z. B. durch Aufschneiden in den Gelenken und durch Gleichgewichtsbetrachtung fUr jedes Einzeltragwerk Es ist aber auch mbglich, zunachst die drei Gleichgewichtsbedingungen fUr das Gesamttragwerk aufzustellen und dann die Einzeltragwerke zu behandeln. Grundsatzlich mussen fUr die Einzeltragwerke auch Momentengleichgewichtsbedingungen urn die Gelenkpurikte aufgestellt werden. Diese Mornentenbedingungen sind u.a. fUr die Bestirnrnung cler Auflagerreaktionen notwendig. Die Ermittlung der Auflagerreaktionen und der Gelenkkrafte soll an einem dreiteiligen Tragwerk verdeutlicht werden, Bild 6-4. Das durch eine Kraft F belastete Gesamttragwerk ist mit zwei Festlagern und einem Loslager gesichert, Bild 6-4a. Die Tragwerksteile sind durch zwei Gelenke rniteinander verbunden. 11it n = 3, ages = 5 und Zgcs = 4 erhalt man nach Gleichung (6.I)f~ o. Dies bedeutet das Tragwerk ist statisch bestimmt und stabil gelagert. Die Freischnitte aller Tragwerksteile, Bild 6-4b, erhalt man durch gedankliches Aufschneiden in den Gelenken. Dabei kann die Richtung der Gelenkkrafte beliebig angenommen werden Zu beachten ist jedoch das Wechselwirkungsgesetz, nach dem die Gelenkkrafte auf die benachbarten Tragwerksteile entgegengesetzt wirken. Die Gleichgewichtsbedingungen sind nun auf jedes Tragwerksteil anzuwenden.

FUr Teil I gilt

,,-. OJ:

(6.2),

Ax ·a=O

1::: Gtx· a = 0

=>

Gtx = 0

(6.3),

(6.4).

A, BUd 6-4 Ermittlung cler Auflager- lllld Gelenkkriifte ffir ein mehrteiliges TragweIk

a) lfagwetk mit den Auflagem bei A, B lllld C lllld den Gelenken G j lllld G2 b) Freischnitt aller TragweIksteile cilrch gedankliches Aufschneiden in den Gelenken mit den m ermittelnden AuflageIkriiften Ax> AT' Ex> By lllld C sowie den m bestimmenden Gelenk-

kriiften G1x> Gjv,> G 2x> G 2y

Die Gleichgewichtsbedingoogen fUr Tragwerksteil 2 lauten ~

OJ: ~

G.,"

G ZY · 2h-P·sina·b=O

=>

°2Y

G1y ·2h-P.sina.b=O

=>

°1 Y

F

=-.

2

F

=-.

2

sina

(6.5),

sina

(6.6),

120

6 Mehrteilige ebene Tragwerke (6.7).

Mit Gleichung (6.4) und Gleichung (6.6) ergibt sich zudem

F

.

A =-·sma y 2

(6.8)

und mit den Gleichungen (6.3) und (6.7) falgt G 2x

= F ·cosa

(6.9).

FUr Tragwerksteil 3 gelten die Gleicligewichtsbedingungen ---+: Ex +G 2x

=0

(6.10), (6.11),

"8:

C ·c-G 2x . d

=0

(6.12).

Aus den Gleichungen (6.10) und (6.9) falgt

Ex = -G 2x = -F· cosa

(6.13).

Die Gleichungen (6.11), (6.9) und (6.5) fUlrren zu

(1.

d d B =G 2 -G 2x ·-=F· -sma--·cosa y y c 2 c

J

(6.14).

Mit den Gleichungen (6.12) und (6.9) erhalt man d c

d c

C=G 2x ·-=F·-·casa

(6.15).

Damit sind die fUnf Auflagerreaktianen und die vier Gelenkkrafte bestimmt Wichtig fUr die Lasung waren u. a. die Gelenkbedingungen, d. h. die Gleichgewichtsbedingungen urn die Gelenkpunkte G, und G2 .

Beispiel 6-1

•••

Die gezeichnete HebebUlme wird mit einer Kraft F im Punkt Hunter dem Winkel a belastet Die beiden Balken sind in den Punkten A und C drehbar und in den Punkten B und D verschiebbar gelagert In den Punkten E und list ein hydraulischer Zylinder befestigt, mit dem die Hahe der BUlme geandert werden kann. Zu berechnen sind

a) die Lagerkrafte bei A, B, C und D sawie b) die Zugkraft Z am hydraulischen Zylinder und die Gelenkkraft G geg.: F,

G,

a

6.2 Ennittlung der Auflagerreaktionen und der Gelenkkrafte

121

a a

2a

Lasung:

a) Lagerkrafte in A, B, C und D Teilsystem 1

Ax =F· cosa

Teilsystem 2

---+ :

F

=>

'2'.

Cx=F·cosa

-D·4a-F·cosa·4a +F ·sina·3a=O

=>

1': D

3 D =-F· cosa+-F· sma 4

C y +D-F ·sina=O

1 =F ·cosa+-F ·sma 4

122

6 Mehrteilige ebene Tragwerke

b) Zugkraft Z am hydraulischen Zylinder und die Gelenkkraft G

G':

Z . a - Ax . 2a - A y . 2a - D . 2a = 0

=>

1':

Z = 2F ·sina

G y +D-A y

~O

1

G =F·cosa--F·sma y 2

---+ :

=>

D

6.3

G x + Ax + Z

=0

G x =F ·cosa-2F sma

Normalkraft-, Querkraft- und BiegemomentenverHiufe in den Tragwerksteilen

Die Berechnung der SchnittgrbJJen N(x), Q(x) undM(x) in mehrteiligen Tragwerken erfalgt in gleicher Weise wie bei einteiligen Tragwerken. Durch gedachte Schnitte in den Tragwerksteilen werden die SchnittgrbJJen sichtbar und berechenbar. Dabei ist jedes Tragwerksteil als Einbereichs- ader, falls gegeben, als Mehrbereichsproblem zu behandeln. Bei Teil 1 in Bild 6-4 handelt es sich urn ein Einbereichsproblem. Die SchnittgrbJJen ergeben sich fUr den freigeschnittenen Tragwerksteil, Bild 6-5a, mit den Gleichgewichtsbedingungen (6.16), (6.17), (6.18). Samit erhalt man als einzige SchnittgrbJJe F N I =-A =--·sma

(6.19).

2

y

Bei Tragwerksteil 2 liegt ein Zweibereichsproblem var. FUr Bereich II, Bild 6-5b, lauten die Gleichgewichtsbedingungen --+: NIl

J.:

=0

QIl-Gly=O

(6.20), F

QII =Gl y =-·sma 2

(6.21).

6.3 Nonnalkraft-, Querkraft- und BiegemomentenverHiufe in den Tragwerksteilen F M u = G 1y · Xu =-. XII· sina 2

M u -G1y ·Xu =0

123

(6.22).

b)

oj

BUd 6-5

Bestinnmmg der SchnittgrOBen fur die lfagwerksteile 1 lllld 2 des mehrteiligen TragweIks in Bild6-4 a) SchnittgroBen im Bereich I (lfagwetkstei11) b) SchnittgroBen im Bereich II (TragwerksteiI2) c) SchnittgroBen im Bereich III (TragweIksteiI2)

FOr den Bereich III (Tragwerksteil 2), Bild 6-5c, gilt

=>

---+: Nm+P·cosa=O

Nm=-P·cosa

(6.23),

F Qm=--·sina 2

1:

Qm+p·sina-Gly=O

'ill:

Mm+P.(xm-b).sina-G1y·xm=0

(6.24), (6.25).

=> Mm=p·(b-xm).sina 2

Damit sind aile Sclmittgrol3en fUr die Tragwerksteile 1 und 2 bekarmt Diese Vorgehensweise gilt fUr aile mehrteiligen Tragwerke, bei denen die Tragwerksteile durch Gelenke verbunden sind.

•••

Beispiel 6-2 b ,

d F

D

, A

I.

,I~

[

.1: ~I. g

.1

,B

124

6 Mehrteilige ebene Tragwerke

Auf die Vorderachse eines PKW wirkt die Achslast F. Die Rader sind jeweils gelenkig tiber zwei Lenker am Rahmen befestigt 1m Fall des linken Rades sind dies die Lenker CD und EK. Zwischen dem unteren Lenker und dem Rahmen ist ein StoJJdampfer angebracht Bestimrnen Sie: a) die Radaufstandskrafte in A und B, b) die Gelenkkrafte in den Gelenken C, D, E und K sowie die KraftFs, die der StoJJdampfer auf den unteren Lenker ausubt. geg.:

8 kN, a ~ 280 mm, b ~ ISO mm, C ~ 20 mm, 250 mm, g ~ 300 mm, I ~ 800 mm

F~ f~

d~

350 mm, e ~ 140 mm,

Lasung: a) Radaufstandskrafte in A und B Freischnitt

F

B

A

F B=-=4kN 2

=>

F·I-B·21=0

=>

A+B-F=O

A=F-B=4kN

b) Gelenkkrafte in den Punkten C, D, E und K sowie die Kraft F s, die der StoJJdampfer auf den unteren Lenker ausubt

/"----------- ........" " System.2

\

(Rad rrn t Aufhiingung)

I I I I I

I I I

\

\

Ex / \, A

E

, ..... _---

y

~~

I I

/,,/

"

\

ex

Dx

\

\

,-----------------/ ----------/~ ---....

I I I \ \

.....

,\ :J fc:) I

I I

Dx

I

I

I

I I I I

Dy

\

/~-----------------

/ System 1 (Lenker CD)

"

System 3 (Lenker EK)

I I I I

Ey

-"" \

FS

I I I

I

I \

Ex ,

............... _

Kx

Ky

------- --------

/ .".../

I I

I I

6.4 Balken mit Gelenken (GERBER-Trager)

125

System I: cD ·.

C y ·d=O

I:

Dy+Cy=O

=>

(I)

=>

(2) (3)

System 2:

F E y =D y -A=-2=-4kN D x =A Z,=2,lkN a Ex =-Dx =-2,lkN Mit Gleichung (3) folgt: C x = D x = 2,lkN System 3:

f+g g

F s = -E y . _ - = 7,3kN

I:

Ky-Ey-Fs=O

=>

K y =E y +Fs =3,3kN K x = Ex = -2,lkN

6.4

Balken mit Gelenken (GERBER-Trager)

Bei langen Tragem werden in der Praxis miller Randlagem im Allgemeinen auch noch Zwischenlager verwendet: Dann liegt aber ein statisch unbestimmtes Problem VOL Durch die gezielte EinfUhrung von Gelenken erhalt man einen so genannten GERBER-Trager und dam it ein statisch bestimmtes System. Die zusatzlichen Lager fUhren zu einer geringeren Durchbiegung des Systems und einer geringeren Querkraftbelastung. Durch die Gelenke, die bekanntlich keine Mornente ubertragen kbnnen, werden zudern die Biegernornente im Balken reduziert. Bild 6-6a zeigt einen Balken, der dreifach gelagert ist und ein Gelenk G besitzt: Mit n ~ 2, a,,, ~ 4 und z,,, ~ 2 ergibt sich nach Gleichung (6.1) f~ O. Damit handelt es sich urn ein statisch bestimmtes und stabiles System. Die Ennittlung der Auflager- und Gelenkkrafte erfolgt mit den Gleichgewichtsbedingungen. FUr Tragwerksteil 2, Bild 6-6c, ergibt sich somit



=>

C=F

e

e+d

Gy=F

d e+d

(6.27),

(6.28).

6 Mehrteilige ebene Tragwerke

126 oj G

()

" b)

Gy

Tcilsyslcm 1

Gy

8

A

F

c) Tcilsyslcm 2

c

BUd 6-6 Ennittltmg der Auflager- und Gelenkkriifte im GERBER-lrager

a) Gesamtsystem mit einem Festlager und zwei Loslagem und einem Gelenk b) Freisclmitt des Teilsystems 1 c) Freisclmitt des Teilsystems 2

Die Gleichgewichtsbedingungen fUr Tragwerksteil 1, Bild 6-6b, liefem

"A':

B=G . a+b =F. (a+b).d Y a a.(c+d)

B.a-Gy.(a+b)=O

(629),

(630).

A-a-Gy.b=O

Damit sind die Auflagerkrafte ood die Gelenkkrafte errnittelt. oj

F G

A b) Q(x)

A

c) M(x)

c

B

II f'j II

B

F

x

c

BUd 6- 7 SchnittgrOBen beim GERBER-

lrager a) AuBere Kraft Food Auflagetkriifte am Balken b) QueIkraftdiagramm (Querkraftverlauf) c) Momentendiagramm (MOOlentenverl auf)

6.4 Balken mit Gelenken (GERBER-Trager)

127

Die Bestimmung der SchnittgrbJJen erfalgt wie in Kapitel 6.3 beschrieben fUr die beiden Teilsysteme. Die sich ergebenden Querkraft- und Mamentenverlaufe sind in Bild 6-7 dargestellt

•••

Beispiel 6-3

Ein Gelenktrager ist wie skizziert gelagert und dUTch ein Moment M sowie eine konstante Streckenlast qo belastet

Bestirnrnen Sie a) die Auflager- und Gelenkkrafte, b) den Querkraft- und Mamentenverlauf im gesamten Trager geg.: M, qo, a Lasung:

q0UID...s

a) Auflager- und Gelenkkrafte

n~ System 1

System 2

System 1:



M 3 M 3 B=-+-GY =-+-·qo·a 2a2 2a4

1 M C y =Gy-B=--qo ·a-4 2a

128

6 Mehrteilige ebene Tragwerke

b) Querkraft- und Momentenverlauf Bereich I: 0 < XI < a (System 1)

Bereich II:

~ x

0 < Xrr < a (System 2) QII =-G

y

MIl

II~)

~Q II

Bereich III:

MIl (xII =0)=0

0 < Xm < 2a (System 2, Verwendung des rechten Schnittufers)

I:

Qm+Cy=O

=>

.....,.

III:

1 M Qm =-Cy =-qo ·a+4 2a

Mm-M-Cy·xm=O

=>

M m =M +C y ,xm

Mm(xm =O)=M Mm(xm

= 2a) = -qo

a2

2

a =-%.-

2

6.5 Dreigelenkbogen

129

Q(x)

1

M

rnTTrnTTl "4 go . a + z:;-

"

go .2

x

-go M(x)

go

2

"'8 x

" -go

2

6.5 Dreigelenkbogen Einen Bogentrager mit einem Zwischengelenk nermt man auch Dreigelenkbogen. Man zahlt in diesem Fall neben dem Zwischengelenk Gauch noch die Gelenke in den beiden Festlagem A und B mit, Bild 6-8. oj

a

A

b)

B

Tragwcrkslcil 1

Tragwcrkslcil2

G, F

Bx

BUd 6-8 Dreigelenkbogen

a) Dreigelenkbogen mit dem Zwischengelenk G lllld den Auflagergelenken A lllld B b) Freischnitt der Tragwetksteile 1 lllld 2

Der gezeigte Dreigelenkbogen ist statisch bestimmt und stabil gelagert. Mit n = 2, 2 ergibt sich mit Gleichoog (6.1)j= o.

Gges =

4 ood

Zges =

Die Fnnittloog der Auflagerkrafte ood der Gelenkkrafte erfolgt mit den Gleichgewichtsbedingoogen fUr die Tragwetksteile 1 und 2.

130

6 Mehrteilige ebene Tragwerke

FOr Teill erhiilt man (6.31),

---+: Ax +F-G x =0

(632),

'G:

(6.33).

Ax .a-Ay ·a+F a.(l-sinq?)=O

FOr Teil 2 gilt (634), ~

B:

Ox .a-Gy ·a=O

(6.35), (6.36).

Mit diesen sechs Gleichgewichtsbedingoogen lassen sich die sechs unbekannten Kriifte errnit-

t,1n

Ax FOr

=-F.(l-~Sinq;J,

F

A y =--·sinq; 2

ood

F

Ex =B y =G x =G y =-·sinq;. 2

rp= 45° ergeben sich A

~

~{1- ,[2]. F 4'

und

FOr einen Dreigelenkbogen, bei clem eine Kraft F auf nur einen Tragwerksteil wirkt, ist auch eine einfache grafische Errnittloog cler Auflagerreaktionen ood cler Gelenkreaktiooen moglich, Bild 6-9. a) Lagcplan

F

b) Kriiftcplan fUr das GesalllUJ

1 QI =-Ax =-2 F

l'

NI + Ay = 0

=>

N I =-A =--F

"I

M

I

3

=>

+Ax -xI =0

2

y

M

I

=-A x -XI

0 < Xrr < 2a

--+ : N n +Ax =0

=>

1 N n =-Ax =-2 F

l'

A y -Qn =0

=>

Qn =A y =-F

"ll:

Mn-Ay-xn+Ax-h=O

=>

Mn

3

2

= A y -xn - Ax -h = 0 3

Mn(xn =O)=-A x -h=--F-a 2

6.6 Rahmentragwerke mit Gelenken

Bereich III:

133

0 < Xm < h (Verwendung des anderen Schnittufers)

j;!

Mm Qm

III

Xilll

---7 :

Qm +E x =0

=>

1 Qm =-E x =--F 2

l'

Nm+Ey=O

=>

3 N m =-E =-F y 2

"

M m - Ex . xm = 0

III:

Bx Mm(xm =0)=0

By 3/2 .p -l/2·P

I I (-) I I

=>

M m = Ex . xm

3 Mm(xm =h)=-F·a 2

$

I-I--

Ss =Ax -B=F-F=O

(7.10).

Die Stabkraft S, ist somit null. Dies erkennt man auch mit den Regeln fill Nullstabe (siehe insbesondere Bild 7-4b). Die Stabe 2 und 4 sind Zugstabe, wahrend die Stabe 1 und 3 Druckstabe sind. Die Einteilung der Stabe in Zug- und Druckstabe ist fill die Dimensionierung der Stabe von Bedeutung (siehe Teil: Festigkeitslehre) Der RlTTER-Schnitt kann auch durch mehr als drei Stabkrafte gehen, wenn einzelne Stabkrafte schon bekannt sind. Damit die Stabkrafte mit den drei Gleichgewichtsbedingungen der ebenen Statik ermittelt werden kbnnen, dillfen in diesem Schnitt aber nicht mehr als drei unbekannte Stabkrafte wirken.

7.3 Ennittlung der Stabkrafte beim einfachen Fachwerk

141

•••

Beispiel 7-1 A

III

I

a

4

IV 8 VII 12 IX 16 X 20

3

B

XII 2a

2a

2a

2a

2a

2a

2a

a

Eine Dachunterkonstruktion, die auf zwei Betonpfeilem C und D gelagert ist, tragt das Dach einer Fabrikhalle. Als anteilige Dachlast kann eine konstante Streckenlast qo angenornrnen werden. Bestirnrnen Sie:

a) die Auflagerkrafte A, B, C und D und b) die Stabkrafte in den Staben I-II mit Hilfe des RlTTERschen Schnittverfahrens. geg.:

qo

~

7000 N/m, a ~ I m

Lasung:

a) Auflagerkrafte A, B, C und D Freischnitt Dach

~,o Ax

A

B y

B·12a-qo ·14a·6a =0 A y -qo ·14a+B=0

=> B=qo·14a.6a

49kN

12a

=>

A y =qo ·14a-B=49kN

Freischnitt Dachunterkonstruktion

Ay

B

Cy

D

142

C':

7 Ebene Fachwerke

B . lOa - D . 8a - A y . 2a = 0

=>

D=~

8

(IOB-2A y )=49kN

C y =A y +B -D = 49kN b) Stabkrafte in den Staben 1 - 11 mit Hilfe des RITTERschen Schnittverfahrens

Iv·

Ay

4

IV 8

88 89 6

V 10

810 '2a-C y '2a+A Y '4a=0

=>

J.:

8 10 = C y - 2A y = -49kN

89'sin45°+Ay-Cy=0 =>

8 9 =0

810

Cy

=>

8 8 = -810 = 49kN

Ay

II

6

VIO

l'

8 7 +C y -A y =0

--7 :

8 4 +810 =0

=>

=>

8 7 =0

84 = -810 = 49kN

810

Cy

Ay

IT'

81

81 . 2a - A y . 2a = 0

=>

l'

8 3 +C y -A y =0

--7 :

8 1 +8 6 =0

86 Cy

8 1 =A y = 49kN

IT'

=>

=>

8 3 =0

86 = -81 = -49kN

8 4 . 2a +85 ·sin45°· 2a-A y ' 2a = 0

Ay

=> 8 5 =_._1_ (A y -84 )=0 sm45°

84 85 83

J.

8 2 . cos 45° +A y +8 3 +85 ·cos45° = 0

=> _ -A y -83 -85 ·cos45° 82 cos 45°

-69,3kN

143

7.3 Errnittloog der Stabkrafte beim einfachen Fachwerk

7.3.3 Knotenpunktverfahren Dieses Verfahren geht davon aus, dass sich das gesamte Fachwerk im Gleichgewicht befindet, wenn fUr jeden Knoten Gleichgewicht nachgewiesen werden kann. Dam werden aile Fachwerkknoten gedanklich freigeschnitten. An den SUiben, die in einen Knoten einmOnden, werden dann die Stabkrafte als Zugkrafte eingetragen. Mit den Gleichgewichtsbedingoogen fUr die zentrale Kraftegruppe (die Wirkungslinien aller Krafte schneiden sich im Knotenpookt, siehe auch Kapitel 2.4.4), namlich mit LF';x = 0 ( ---+ ) und mit LF';y= 0 (t) lassen sich dann die Stabkrafte ennitteln. Sinnvoll ist es an einem zweistabigen Knoten m beginnen, da dart die beiden unbekarmten Stabkrafte mit den zwei Gleichgewichtsbedingungen sofort errnittelt werden kormen. ,j

b) Knotcn I:

FJ=2F 2

II

III fi=F

5,

5

54

Ax'"'F

Ay=F

B=F d) Knotcn [I:

c) Knolcn JII:

5,

Ay=F

IV

4

Ax·F

FI''' 2F

III F2=F

52

II

53

5, 5,

BUd 7-7 Ermittlung der Stabkriifte mit clem KnotenpunktveIfahren a) Freigeschnittenes Fachwetk nach Bild 7-3, bei dem zur Ennittlung der Stabkrafte die Knoten nacheinander freigesclmitten werden b) Freisclmitt fur Knoten I mit den als Zugkriifte angenonunenen stabkriiften Sj lllld S4 c) Freigeschnittener Knoten III mit den Stabkraften S2 lllld S5 d) Freisclmitt fur Knoten II mit den Stabkraften Sj, q und [h Auch das Knotenpooktverfahren soli an dem Fachwerk in Bild 7-3a verdeutlicht werden. Somit ist ein oomittelbarer Vergleich der hier vorgestellten Methoden zur Fnnittlung der Stabkrafte moglich.

144

7 Ebene Fachwerke

Die auJJeren Krafte und die Auflagerreaktionen des Fachwerks sind in Bild 7-7a eingetragen. Dart ist auch angedeutet, wie die Knoten freigeschnitten werden sollen. Die Gleichgewichtsbedingungen fill den freigeschnittenen Knoten I, Bild 7-7b, fUhren zu (7.11) und (7.12). Aus Gleichung (7.11) erhalt man S4 =A x =F

und mit Gleichung (7.12) ergibt sich Sj =-A y =-F.

Fill den Knoten III, Bild 7-7c, liefert die Gleichgewichtsbedingung 'iF" f-:

~

0

S2-F2=O => S2=F2 =F

(7.13).

Die Gleichgewichtsbedingung iny-Richtung liefert

J.

Ss

=0

(7.14).

Mit den Gleichgewichtsbedingungen fill Knoten III, Gleichung (7.13) und (7.14), lasst sich auch die Nullstabregel 2, Bild 7-4b, erklaren. Bei Knoten III handelt es sich urn einen zweistabigen Knoten, bei dem die Kraft F 2 in Richtung von Stab 2 wirkt Wahrend Stab 2 die Kraft F 2 aufnimmt, ist der andere Stab, hier Stab 5, Nullstab, d. h. S, ~ o. Mit der Gleichgewichtsbetrachtung am Knoten II, Bild 7-7d, kann auch die Stabkraft S3 ermittelt werden: (7.15). Somit sind alle Stabkrafte des Fachwerks bestimmt Wenn man Krafteplane fill die einzelnen Knoten zeichnet erkennt man auJJerdem, dass die Kraftecke fill alle Knoten geschlossen sind. Das Knotenpunktverfahren funktioniert immer, da jeder Knoten fill sich im Gleichgewicht sein muss. Es eignet sich auch in besonderer Weise fUr die cornputertechnische Behandlung.

Beispiel 7-2

•••

Eine Eisenbahnbriicke, bestehend aus einer Fachwerkskonstruktion, ist in A und B gelagert (Fragestellung I-I). Die Krafte, die sich aus einer Zuguberfahrt ergeben, greifen idealisiert an den Knoten III und Van. Bestimrnen Sie

a) die Auflagerkrafte in A und B sowie b) die Stabkrafte des Fachwerks mit Hilfe des Knotenpunktverfahrens. geg.: F, a

7.3 Ennittlung der Stabkrafte beim einfachen Fachwerk al2

.-+

a

145 a

AI~I:===4=== ;JlIV~===8=== VI

al2

Lasung:

a) Auflagerkrafte in A und B

II

IV

4

VI

8

Ax

=-;~ =====~~====~¥======~VII B

=0

---7:

Ax

~:

F . a + F . 2a - B . 3a = 0

l' :

A y - 2F + B

b) Stabkrafte

=>

=0

:J

l'

A y +Sj·sin45°=O =>

Sj =-_F_=_fiF sin 45°

---7 :

Sj·cos45°+S 2 ~O =>

S2 =-Sj ·cos45°=F

J.

Sj ·cos45°+S 3 ·cos45°=O

---7 :

S4 +S3 ·sin45°-Sj ·sin45°=O

82

2

Ay

II

45°

4

45°

84

=>

S3 =-Sj =fiF

=> S4 =Sj·sin45°-S3 ·sin45°=-2F

146

7 Ebene Fachwerke

---+:

S6 +Ss ·sin45°-S 3 ·sin45°-S 2 =0

=>

---+:

S6 =S3 ·sin45°-Ss 'sin45°+S 2 =2F

Ss +S7 ·sin45°-S s 'sin45°-S4 =0

=>

Ss =Ss 'sin45°-S 7 'sin45°+S4 =-2F

Aus Symmetriegrlinden gilt:

7.3.4 CREMONA-Plan Die Stabkrafte eines Fachwerks lassen sich auch zeichnerisch, z. B. mit dem CREMONA-Plan, ennitteln. Bei diesern wichtigsten grafischen Verfahren arbeitet man, wie bei vielen anderen zeichnerischen Verfahren, mit einern Lageplan und einern Krafteplan. Dabei wird irn Lageplan eine Feldeinteilung in auJ3ere und innere Polygone vorgenornrnen, die es erlaubt, die Kraftecke

fUr alle Knoten im Krafteplan systematisch aneinander zu reihen. Alle Stabkrafte kbnnen dann aus dem Krafteplan ermittelt werden. Ob Zug- oder Druckbelastung in den Staben vorliegt, ergibt sich aus der Darstellung der Stabkrafte im Lageplan. Auch dieses Verfahren soll wegen der Vergleichbarkeit an dem in Bild 7-3a gezeigten Fachwerk durchgefUhrt werden. Zunachst wird im Lageplan das freigeschnittene Fachwerk mit den auJJeren Kraften F l ~ 2F und F 2 ~ F sowie den Auflagerkraften A, ~ F, A y ~ F und B ~ F dargestellt, Bild 7-8a. Danach kann cler Krafteplan gezeichnet werden. Beginnend mit F1 werden unter Beachtung eines Rechtsdrehsinns im Lageplan alle Krafte im Krafteplan aneinandergereiht, Bild 7-8b. Der sich ergebende geschlossene Krafteplan zeigt, dass sich das Fachwerk im Gleichgewicht befindet: Nun erfolgt die Einteilung der Felder des Fachwerks in auJJere und innere Polygone, Bild 7-8c. AuJJere Polygone sind nach auJJen offene Felder zwischen den Kraften. Die inneren Felder beim Fachwerk CGebiete zwischen den Staben) bezeichnet man als innere Polygone. FUr die Ubertragung dieser Feldbezeichnungen in den Krafteplan bedarf es folgender Uberlegungen. Durchlauft man im Lageplan die auJJeren Felder mit einem Rechtsdrehsinn, so muss man von Feld Ca) nach Feld (b) die Kraft F l uberschreiten. F l liegt somit im Lage- und im Krafteplan zwischen Ca) und Cb), wobei ein Feld im Lageplan zu einem Punkt im Krafteplan wird. Ca) bezeichnet nun im Krafteplan den Anfangspunkt und (b) den Endpunkt der Kraft F l , Bild 7-8d. F 2 liegt im Lageplan und im Krafteplan zwischen Cb) und Cc), usw.

7.3 Errnittloog cler Stabkrafte beim einfachen Fachwerk a) Lagcplan

147

b) Kriiftcplan

~

Ax'" F

Ay"'F F]=2F

P 4

A x= F

(bl

FI \.

"

FrF

B-F

Ay"'F

01

BaF

Rechlsdrehsinn

dl (a)

A,

(01

2

Ay

("

(0

FI (b)

l:\ 4

F,

(d)

B (g)

(01

Zug (+)

Druck (-)

BUd 7-8 Ermittlung der Stabkriifte mit dem CREMONA-Verfahren

a) b) c) d)

Freigeschnittenes Fachwerk nach Bild 7 -3 im Lageplan Kriifteplan mit allen am FachweIk angreifenden iiuBeren Kriiften lllld LageIkriiften Feldeinteilllllg im Lageplan in iiuBere Po1ygone ((a) bis (e» lllld illllere Polygone ((f), (g» Ubertragung der Feldbezeiclmllllgen in den Kriifteplan: Feld im Lageplan ergibt Pllllkt im Kriifteplan e) Festlegllllg der Vorzeichen der stabkriifte im Lageplan f) Darstellllllg der Zug- lllld Druckstiibe beim FachweIk

148

7 Ebene Fachwerke

Hat man die Bezeichnungen fill alle auJJeren Polygone in den Krafteplan ubertragen, so gilt es noch die inneren Polygone ira Krafteplan zu finden. Da z. B. Polygon (I) im Lageplan, Bild 7-8c, durch eine vertikale Linie (Stab 1) von (a) und durch eine horizontale Linie (Stab 4) von (d) abgegrenzt ist, erhalt man durch eine vertikale Linie an (a) und eine horizontale Linie an (d) einen Schnittpurikt (I) im Krafteplan, Bild 7-8d, usw. Die Zuordnung der Stabkrafte ira Krafteplan erfolgt mit der folgenden Uberlegung. Stab 1 hegt im Lageplan zwischen den Feldern (a) und (I). Folghch ergibt sich die Stabkraft S, ira Krafteplan zwischen (a) und (I), S2 hegt dann zwischen (b) und (g), S3 zwischen (I) und (g), usw. Die Stabkrafte lassen sich nun im Krafteplan ablesen, Bild 7-8d. Fill die Ennittlung der Vorzeichen der Stabkrafte, Bild 7-8e, gilt das Nachfolgende: Dberquert man fill jeden Knoten die Stabe in einem Rechtsdrehsinn, Bild 7-8e, so wandert man bei Knoten I von (a) nach (I) uber Stab 1. Die Wanderungsrichtung von (a) - (I) im Krafteplan wird mit einem Pfeil im Lageplan festgehalten, usw. Wird auf diese Weise jeder Knoten betrachtet, erhalt man das in Bild 7-8e gezeigte Bild. Mit den Definitionen der Zug- und Druckstabe nach Bild 7-8f erkennt man, dass die Stabe 1 und 3 Druckstabe und die Stabe 2 und 4 Zugstabe sind. Da im Krafteplan die Purikte (c) und (g) zusammenfallen, ist Stab 5 ein Nullstab.

•••

Beispiel 7-3

-----'--.....·1··----"---... a

B

a

VI

~

Bestimrnen Sie fUr den skizzierten und mit einer Kraft F belasteten Wandkran

a/2

a F

a) rechnerisch die Auflagerkrafte in A und B, b) die Stabkrafte mit Hilfe des CREMONAPlans.

a

geg.:

a

~

2 m, F

~

25 kN

a/2

Lasung:

a) Auflagerkrafte in A und B

'1\': ---7:

B·2a+F·2a=O Ax +B=O

=>

Freischnitt:

=>

B

B=-F=-25kN

F

Ax =-B=25kN

Ax und a

A

= arctan -----..£ = 45°

Ay

Ay

7.4 Ennittlung der Stabkrafte beim nichteinfachen Fachwerk

149

b) Ennittlung der Stabkrafte mit Hilfe des CREMONA-Plans Lageplan:

Krafteplan: (d), (e)

B

7

F

(h), (1)

F

1m

t----I

10kN

t----I

(c)

Durch Abmessen folgt:

7.4

Sl = 25kN

S4 =25kN

S7 = -18,6kN

SlQ=50kN

S2 =-56kN

Ss = -18,6kN

Ss =50kN

Sll =-56kN

S3 =OkN

S6 =-47,5kN

S9 =OkN

Ermittlung der Stabkrlifte beim nichteinfachen Fachwerk

Die Ennittlung der Stabkrafte beim nichteinfachen Fachwerk ist u. U erheblich aufwandiger als beirn einfachen Fachwerk. Dies hat insbesondere darn it zu tun, class je Knoten rnindestens drei Stabe vorliegen und somit mindestens drei unbekannte Stabkrafte zu ennitteln sind. Dies bedeutet beispielsweise, dass beim Knotenpunktverfahren je Knoten mehr Unbekannte als Gleichgewichtsbedingungen vorkommen. Die Gleichgewichtsbetrachtungen an einem Knoten fUhren also noch zu keinern Ergebnis. Erst die Untersuchung rnehrerer Knoten und im Extrern-

fall aller Knoten liefert gemlgend Gleichungen, urn die unbekannten Stabkrafte ennitteln zu kbnnen. Anwendbar ist auJJerdem das RlTTERsche Schnittverfahren. Aber auch hier reicht u. U ein Schnitt nicht aus, urn die ersten Stabkrafte ennitteln zu kbnnen Ein CREMONA-Plan Hisst sich erst zeichnen, wenn rnindestens eine Stabkraft bekannt ist. Es kann daher auch zielfUhrend sein, rnehrere Verfahren in Korn bination einzusetzen. Zum

Beispiel kann die kombinierte Anwendung des Knotenpunktverfahrens und des RlTTERschen Schnittverfahrens sinnvoll sein.

Das in Bild 7-9a dargestellte nichteinfache Fachwerk besteht aus II Staben und 7 Knoten. Es ist statisch bestimmt gelagert und durch die Krafte F, und F 2 belastet: Mit k ~ 7, s ~ II und G,,, ~ 3 ergibt sich mit Gleichung (7.I)f~ o. Es handelt sich urn ein stabiles, statisch bestimmtes Fachwerk

7 Ebene Fachwerke

150

,j

b)

...F2'= F

" 10 2a

A,

.SI

Ay

oj

d)

51

II

«

B

0)

5,

4

5, IV

4

II

•

5,

A,

It

A,

II

.SI

Ay BUd 7-9 Ennittltmg der Stabkrafte beim nichteinfachen FachweIk

a) statisch bestimmt gelagertes lllld stabiles nichteinfaches FachweIk b) Freigeschnittenes Fachwerk mit den auBeren Lasten Fj lllld F2 lllld den AuflageIkriiften Ax,

AyundB c) Freisclmitt fur Knoten I mit den Stabkriiften Sj, S;. und S11 d) Freigesclmittener Knoten II mit den Stabkraften Sj, fh lllld S4 e) RITTER-Sclmitt chirch die Stabe 4, 5 lllld 11

Die Auflagerkrafte, Bild 7-9b, lassen sich mit den Gleichgewichtsbedingoogen errnitteln: ---+: Ax - F z = 0 ~

Ax = F z = F

B:

A y .4a-Fj "2a-Fz "3a=O

'A:

B·4a-Fj "2a+Fz "3a=O

=>

=>

(7.16) Fj 2

3 4

5 4

A =-+-Fz =-F y

Fj

3

1

2

4

4

B~---F2=--F

(7.17)

(7.18).

Zur Errnittloog der Stabkrafte karm das Knotenpooktverfahren angewendet werden. FOr Knoten I, Bild 7-9c, ergeben sich die Gleichgewichtsbedingoogen

7.4 Ennittlung der Stabkrafte beim niehteinfaehen Faehwerk

lSI (7.19),

I:

Sj+S2·eosa+Ay=0

(7.20).

FUr Knoten II, Bild 7-9d, gilt ---+: S4+ S 3· sin jJ=0

(7.21), (7.22).

Bisher stehen erst vier Gleiehungen, (7.19)-(7.22), flinfunbekannten Stabkraften, S, bis S4 und 8 11 , gegenuber. Es ist also noch die Betrachtung weiterer Knoten erforderlich, urn eine fUr die Ennittlung der Stabkrafte ausreiehende Zahl von Gleiehungen zur VerfUgung zu haben. Beim RITTERsehen Sehnittverfahren ist z. B. ein erster RITTER-Sehnit!, RSI, dureh die Stabe 4, 5 und II sinnvoll, Bild 7-ge. Die Momentenbedingung urn Punkt IV liefert dann (7.23). Daraus lasst sieh unmittelbar die Stabkraft

2 2 5 F Sl1 =-A +-A =-F+-·-F=-x 3 y 3 4 6

(7.24)

ennitteln. Mit weiteren Gleieligewiehtsbetraehtungen und weiteren Sehnitten erhalt man dann die ubrigen Stabkrafte. Dass eine Kombinalion von RITTER-Sehnittverfahren und Knotenpunktverfahren Vorteile bringen kann, erkennt man safar!, wenn man die Stabkraft Sl1 aus Gleiehung (7.24) in Gleichung (7.19) einsetzt. Hierdureh ergibt sieh unmittelbar S2 und dann aus Gleiehung (7.20) aueh S,.

152

8 Raumliche Statik stalTer Korper Von raumlicher Statik spricht man, werm Krille ood Momente nicht in einer Ebene wilken. Eine Kraft F im Raum hat darm nicht our zwei KompOl1etlten, wie in cler Ebene, soodem drei Kompooenten (z. B. F x, F y ood FJ. 1m Gegensatz mr ebenen Statik, bei der das Moment lediglich in der x-y-Ebene wirkt, bzw. der Momentenvektor our eine KOflllOl1ente in z-Richhmg besitzt, hat cler Momentenvektor im RalUll drei Komponenten (z. B. Afx, My und MJ. Die Axiome der Statik, siehe Kapitel 2.3, gelten im Raum in gleicher Weise wie in cler ebenen Statik. Allerdings andem sich beim starren Karper im RalUll die Uberlegoogen zur StabiliUit und zur statischen Bestimmtheit, die Gleichgewichtsbedingungen, die Lagenmgsarten und Lagerreaktiooetl sowie die Sclmittgr6l3en. Die Tatsache, class die ebene Statik bereits behandelt wurde, erleichtert den Zugang mr ratunlichen Statik, da die wichtigen Gnmdprinzipien der Mechanik auch hier Anwendoog fmden.

y

/f

y

F,

F,

,

,

, x

x

F)

x

BUd 8-1 Beispiele fur ebene und raumliche Statik

a) Balken mit Kraft F 1 inx-y-Ebene als Beispiel fur ebene Statik b) Balken mit schrag wirkender Kraft F2 als Beispiel ffir raumliche statik c) Ra1unen mit sclrrag wirkender Kraft F3 als Beispiel fur raumliche Statik

Eine Unterscheidoog von ebener und ratunlicher Statik ist in Bild 8-1 gezeigt. Bei dem Balken in Bild 8-la with die Kraft F j in der x-y-Ebene. Es liegt somit ein ebenes Balkenproblem vor. Bild 8-lb zeigt einen Balken, bei dem die Kraft F 2 schrag in der y-z-Ebene angreift. Es handelt sich dabei urn ein Problem der raumlichen Statik., da der Balken tun zwei Achsen gebogen wird. Der Rahmen mit in beliebiger Richtung schrag wirkender Kraft F 3, Bild 8-lc, stellt ein Problem der Ratunstatik dar. Neben Nonnalkraften ood jeweils zwei Querkraften wirken in den Querschnitten der Struktur auch zwei Biegemomente und mdem im hinteren Abschnitt noch ein Torsionsmoment.

8.1

Krafte uDd MomeDte im Raum

Bevor die Gleichgewichtsbedingoogen der raumlichen Statik sowie die Lagerungsarten, die statische Bestimmtheit ood die Schnittgrol3en von raumlichen Tragwerken vorgestellt werden, soli zooachst auf die Krafte und Momente ood ihre Wirkungen im Raum eingegangen werden. Betrachtet werden daher mnachst die Einzelkraft ood ihre Komponenten im Raum, die Resul-

8.1 Krafte ood Momente im Ratun

153

tierende einer zentralen Kraftegruppe, das Moment einer Kraft ood die resultierende Kraft sowie das resultierende Moment einer beliebigen ratunlichen Kraftegruppe.

8.1.1 Einzelkraft ond ihre Komponenten Eine Einzelkraft hat im Raum drei Komponenten. Vnter Zugrundelegoog eines kartesischen Koordinatensystems sind dies die Komponenten F x, F y und F z. Der Vektor der Einzelkraft lasst sich darm mit den Basisvektoren ex' ey ood ez mathematisch wie folgt beschreiben: (8.1).

"1

/

I

------------7. / I

l

-+

/ / ,,,r•y /

L - - - .... ------F-

I ' I l I I

I I I I

ey 0. -+

I

/

/

ell

I I

I I

I I I

I

I

I I

-+

FZ I

/

/

I I

1F.~I.r

--- ----.. ----:...~ I / I // Iv /

BUd 8-2

Einzelkraft F lllld ihre KOOlpooenten F" F y und F~ im Raum ex, e y , e z : Basisvektoren in kartesischen Koordinaten Winkel von F m den Koora, j3, y: dinatenachsenx,Y undz

- - -

Der Betrag des Kraftvektors ergibt sich darm mit F=

IFI =~Fx

2

+F/ +Fz 2

(8. 2).

Geometrisch stellt sich der Betrag des Vektors als Diagonale des aufgesparmten Quaders dar. Mit den Raumwinkeln a; J3 ood r zwischen Fund den Koordinatenachsen lassen sich die Kraftkomponenten wie folgt schreiben: F x = F· cosa

(8.3),

F y = F· cos J3

(8.4),

Fz=F·cosr

(8.5).

Setzt man diese Komponentengleichoog in Beziehoog (8.2) ein, so erkennt man, dass die Raumwinkel nicht ooabhangig voneinander sind. Es gilt: cos 2 a+cos 2 J3+cos 2 r=1

(8.6).

154

8 Ratunliche Statik starrer K6rper

8.1.2 Resultierende einer zentralen raumlichen Kraftegruppe Eine zentrale ratunliche Kraftegruppe liegt vor, wpm sich die Wirkoogslinien aller Krfifte in einem Ratunpookt sdllleiden. Die Resultierende R dieser Kraftegruppe ergibt sich darm aus der Vektorsumme cler wirkenden Krafte:

- - -

-

R=Fj +Fz +F3 +

- = L..:.F; "-

(8.7).

+Fn

i=l

In Komponenten erhiilt man R x = F 1x +F2:i; +F3x

+

+Fnx =

" LFix

(8.8),

i=l

R y = Fly +Fzy +F3y +

+Fny =

" y LFi

(8.9),

i=l

R z =F1z +F2z +F3z +

" +Fnz = LFjz

(810).

i=l

'J

b)

y

,, , ,,,R y

y

I

R

I

',

/

,/R-r,

X

-----------~------y

BUd 8-3 Ennittltmg der Resultierenden einer zentralen raumlich':l Kr~egmp~

a) Zentrale raumliche Kriiftegrnppe mit den Kriiften F j , F2 und F3 sowie den jeweiligen Komponenten F!x, F1J:: Fj ,> usw. b) Resultierende Kraft R der zentralen Kriiftegmppe mit den Komponenten Rx> Ry lllld R, sowie den Raumwinkeln Q\I., f3R lllld Jk

Mit den Basisvektoren ex' auch wie folgt darstellen:

ey

ood

ez

ood den Komponenten Hisst sich die Resultierende (8.11)

oder (8.12). Der Betrag der Resultierenden ergibt sich mit der Formel

R

=

IRI =~Rx 2 +R/ +Rz 2

(8.13),

8.1 Krille ood Momente im RalUll die Raumwinkel

QR,

155

J3R ood )R lassen sich mit den Beziehungen

R~

cosaR = - ,

und

R

R,

cosrR

=-

R

berechnen.

8.1.3 Moment einer Kraft Das M£iTIent Kraft F:

if

r ood

einer Kraft im RalUll erredlllet sich als Vektorprodukt von Ortsvektor

(8.14).

r

Der Momentenvektor if steht dabei senkrecht auf dem von ood F aufgespannten Parallelogramm, wobei dessen Flache dem Betrag von ~ entspricht (siehe Bild 8-4 und Kapitel 3.1.1).

b)

)'

y~-------"

// :

/ :M, , / ,I

'

(----t---

" /

// I

I : I : "

x

I I I I I

IMz / 1/' I /

7' Y

l!;;

I

: I I

_

,

I

ex I

M

I I I

x -+-------J;--~ •• I / I // I / I /

x

~/-------~ BUd 8-4 Moment einer Kraft im Raum

a) Momentenvektor steht senkrecht auf der von b) Komponenten Mx>MyundM, des Momentes

r und F aufgespannten Ebene

Bei beliebiger Lage der Kraft im RalUll hat der Momentenvektor irn kartesischen Koordinatensystem die drei Komponenten M", My ood AIz. Mit diesen Komponenten ood den Basisvektoren ex' ey und ez lasst sich der Momentenvektor wie folgt beschreiben: (8.15). FOr den Betrag des Momentes gilt dann

M=lifl=~Mx2+M/+M/

(8.16).

Das ingenieurrnaJ3ige Vorgehen bei RalUllstatikproblemen besteht u. a. darin, die Komponenten M", My ood M z aus den Komponenten der wirkenden Kraft m errnitteln. Beispielsweise fUr die in Bild 8-5 dargestellte Situation mit den Kraftkomponenten F x, F y und F z und den Koordi-

156

8 Ratunliche Statik starrer K6rper

oaten des Kraftangriffspunktes x, y ood z gilt es, die Komponenten AIx, A1y oodMz des Momentes M zu errechnen. )'

Fy'f-------...,

//

f--r---_ I

r iL.':l'

I)' I

I

I ,

-+" F // II

....... I

I

....."Fx

J/

/

x

,/ /:

,-

~~--~------"

BUd 8-5

Ermitthmg cler Komponenten M" My lllldM, eines Momentes if mit den Komponenten Fx>FyundF,derKraft

X

F

Die Kraftkomponenten F y und F z bewirken dabei ein Moment lUll die x-Achse. F z liefert dabei ein rechtsdrehendes (positives) Moment lUll die x-Achse mit clem Betrag Fz ' Y und zeigt dabei in Richtung cler positiven x-Achse bzw. in Richhmg des auf cler Koordinatenachse eingezeichoeten Momentes M".. F y flihrt m einem linksdrehenden (negativen) Moment urn die x-Achse mit clem Betrag -Fy'z . FOr die KomponenteMx des Momentes M ergibt sich somit (8.17). Die Obrigen Komponenten erhfilt man auf gleiche Weise: (8.18), (8.19). Man erkennt, dass bezOglich der y-Achse nur die Kraftkomponenten F x ood Fz ein MomentAfy besitzen, wahrend Fy und F x ein Moment bezOglich der z-Achse hervonufen.

8.1.4 Resultierende Kraft und resultierendes Moment einer beliebigen raumlichen Kraftegruppe FOr eine beliebige ratunliche Kraftegruppe, Bild 8-6a, lasst sich die resultierende Kraft R, Bild 8-6b, durch Vektoraddition der Einzelkrafte errnitteln:

" R=F; +F2 +F3 + +Fn =LFI

(8.20).

i=l

Die KomponentenR x, R y ood Rz errechnen sich mit den Forrneln

Rx=L.Fix

(8. 21),

=L.Fiy

(8.22),

RZ=LFiz

(8.23).

Ry

157

8.1 Krille ood Momente im RalUll

Das resultierende Moment M R bemglich des Koordinatenurspnmgs, Bild 8-6b, errechnet sich aus den Momenten der Krille bzw. aus dem Moment der Resultierenden bemglich desselben Bezugspunktes:

MR

=Yj XF

1 +r2

XF2 +r3 XF3 + +~ XFn

=:i: ~ XFJ= :i:M = xl? i

i=l

rR

(8.24).

i=l

Aus Gleichoog (8.24) ergibt sich der Momentensatz:

"Die Swnme der A10mente der Kra.fte eines rtiumlichen Krqftesystems ist gleich dem Moment der Resultierenden dieses Krqftesystemsfiir denselben Bezugspunkt " Das resultierende Moment ist von der Wahl des Bemgspunktes abhangig. y

,j

- ,7 -

bj

F,

Y

MR

'2

-"

-,.

x

R x

R

"-)

,

BUd 8-6 Ermittlung der resultierenden Kraft und des resultierenden Momentes einer beliebigen raumli-

chen Kriiftegmppe a) Kraftegrnppe mit mehreren Kriiften b) Resultierende Kraft lllld resultierendes Moment

R

MR

der Kriiftegmppe

In Anlelmoog an Bild 8-5 ood die Gleichoogen (8.17) - (8.19) lassen sich auch die Komponenten~, ~y ood Mfa. bemglich der Bemgsachsen x, y und z bestimrnen:

MP.:i;

=

L" (Fiz· Yi -Fiy .zJ

(8.25),

" L(Fix ·zi -Fiz .xJ

(8.26),

i=l

M Ry

=

i=l

MRz =

L" (Fiy ·xi -Fix .yJ i=l

(8.27).

158

8 Raumliche Statik starrer Karper

Beispiel 8-1 y

x

a

z

An dem gezeichneten Quader greifen die Krafte F l , F 2 , F) und F 4 an. Man bestimme die von diesen Kraften hervorgerufenen Momente beziiglich der X-, y- und zAchse.

geg.: Fj,F2 ,F),F4 , a,b,

C

Lasung: Die Mornente werdenjeweils in positive Achsrichtung positiv angenornrnen:

M x =Fj·b +F2 ·c-F4 ·b

8.2

Gleichgewichtsbedingungen der raumlichen Statik

Bei raumlichen Kraftesystemen liegt Gleichgewicht vor,


Bewegung von Karpern und

Strukturen wird verhindert, wenn keine resultierende Kraft R und kein resultierendes Moment

111 R

wirkt FUr das Gleichgewicht des Systems muss also gelten:

R=O

(8.28)

und gleichzeitig (8.29). Mit den Kornponenten cler resultierenden Kraft und den Kornponenten des resultierenden Mo-

mentes gilt auch

R x =0

(8.30),

R y =0

(8.31),

R z =0

(8.32),

M Rx =0

(8.33),

MRy=O

(8.34),

MRz =0

(8.35).

8.2 Gleichgewichtsbedingungen der raumlichen Statik

159

Daraus erhalt man die Gleichgewichtsbedingungen der raumlichen Statik in Komponentenschreibweise, wie sie irn Ingenieurbereich Anwendung finden: L:F;x=O

-4

(8.36),

L:Fiy =0

yt

(8.37),

L:F;z=O

Jt'z

(8.38),

L:M ix =0

~

(8.39),

L:Miy=O

yf

(840),

L:M iz =0

/z

(841).

In Worten lauten die Gleichgewichtsbedingungen der raumlichen Statik: "Gleichgewicht herrscht, wenn •

die Summe aller Krafte in x-Richtung gleich null,

•

die Summe aller Krafte in y-Richtung gleich null,

•

die Summe aller Krafte in z-Richtung gleich null,

•

die Summe aller Momente um die x-Achse gleich null,

•

die Summe aller Momente um die y-Achse gleich null und

•

die Summe aller Momente um die z-Achse gleich null

sind"

In cler Raurnstatik existieren also insgesarnt sechs Gleichgewichtsbedingungen. Diese rnussen gleichzeitig erfUllt sein, dam it ein Gebilde als brauchbare raumliche Tragstruktur angesehen werden kann. In diesen sechs Gleichgewichtsbedingungen der raumlichen Statik sind die drei Gleichgewichtsbedingungen der ebenen Statik (siehe Kapitel 4.1) enthalten. Diese werden durch die Gleichungen (8.36), (8.37) und (841) reprasentiert

Bei der Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen der Raumstatik ist ebenso wie bei der ebenen Statik auf das Vorzeichen, d. h. auf die Richtung der Krafte und Momente genau zu achten. Daher kbnnen auch hier die bei den Gleichgewichtsbedingungen (Gleichungen (8.36) bis (841)) dargestellten Symbole verwendet werden, welche die positive Richtung der Krafte und Momente beschreiben. FUr IF" ~ 0 gilt dann -4 und LM" ~ 0 kann z. B. durch ~ ersetzt werden. Die Momentenbedingungen werden dabei durch Doppelpfeile dargestellt, welche die positive Drehrichtung charakterisieren. Wegen der Eindeutigkeit der Richtungen, insbesondere bei der z. T. verwendeten perspektivischen Darstellung der raumlichen Strukturen, werden die Pfeile und die Drehpfeile mit der Koordinatenbezeichnung versehen. Mit den Gleichgewichtsbedingungen der Raumstatik kann man sechs unbekannte statische GraBen bestirnrnen. Hierzu zahlen z. B. die Reaktionskrafte und/oder Reaktionsrnornente eines in bestimmter Weise gelagerten Kbrpers. Auch lassen sich die im allgemeinen Belastungsfall auftretenden sechs SchnittgrbJJen der Raumstatik mit den Gleichgewichtsbedingungen bestirnrnen.

160

8.3

8 Ratunliche Statik statTer K6rper

Raumliche Tragwerke

Bei raumlichen Tragwerken k6nnen die angreifenden aul3eren Krafte ood die dadurch hervorgerufenen Auflagerreaktionen beliebig im Raum wirken. Ein einfaches Beispiel fUr ein Raumstatikproblem ist in Bild 8-1b gezeigt. Die schrag angreifende Kraft P 2 bewirkt z. B. Auflagerkrafte und Auflagerrnomente in y- ood z-Richtung. Zudem versucht sie den Balken urn die yund die z-Achse zu verbiegen, was entsprechende Querkrafte ood Schnittmomente zur Folge hat. Bei dem in Bild 8-1c dargestellten Rahmen treten im Lager (Einsparmoog) insgesamt sechs Lagerreaktionen aufund im hinteren Teil des Rahmens wirken insgesamt sechs Schnittgr6l3en. Diese zunachst oobekannten statischen Gr6l3en lassen sich mit den Methoden der Ratunstatik errnitteln.

8.3.1 Lagerungsarten fUr raumliche Tragwerke Bei der raumlichen Statik haben die Lagerungsarten z. T. eine andere Bedeuhmg als in der ebenen Statik. Deshalb sollen im Folgenden die wesentlichen Lagerungsarten der Raumstatik beschrieben werden.

8.3.1.1

Pestlager

Bei einem Festlager wird ein Tragwerk tiber einen Lagerstuhl mit der Unterlage fest verbooden. Dies bedeutet, weder eine Verschieboog in x-Richtoog, noch eine Verschiebung in.1':Richtoog, noch eine Verschieboog in z-Richtoog ist m6glich, Bild 8-7a. Die Lagerkraft A nimmtje nach Belastoog der Struktur eine bestimmte Richtoog im Ratun ein. Sie hat damit die Komponenten Ax, A y ood A z, Bild 8-7b. Ein Festlager hat bei der ratunlichen Statik somit drei Auflagerbindungen, a= 3, ood ist somit statisch dreiwertig. Ein Tragwerk, das durch ein Festlager gehalten wird, kann nicht mehr verschoben werden. Allerdings verbleiben noch drei Drehfreiheitsgrade im Lagergelenk. ,)

riiUl111iches Tmgwerk. idealisiert als Slarrer

b)

K6rpcr

(/:)

Lagersluhl isl fesl mit Unlerlagc verbunden BUd 8-7 Festlager der Raumstatik

a) Lagenmg des lfagwCIkes chirch ein Festlager _ b) Freisclmitt mit den KomponentenA"A yundA, der Lagerreaktionskraft A

8.3 Ratunliche Tragwerke

8.3.1.2

161

Einfach verschiebbares Lager

Bei einem einfach verschiebbaren Lager wird das Tragwerk tiber ein Gelenk mit dem Lagerstool verbooden. Der LagerstOOI wird z. B. mit Rollen so geflihrt, dass eine Bewegoog in einer Richhmg, L B. in x-Richhmg, maglich ist, Bild 8-8a. r.iumlichcs Tragwcrk, idealisien als starrer Korpcr

b)

(/-2

cinfach versehiebbarcs Lager (Verschicbung in x-Richlung) BUd 8-8 Einfach verschiebbares Lager

a) Lagerung eines lfagwetkes mit einem einfach verschiebbaren Lager b) Freischnitt mit den LagerreaktionokriiftenA yundA,

In diesem Fall wirken die LagerreaktionskrafteA y undA z. Das Lager hat somit zwei Auflagerbindungen, a = 2, und ist statisch zweiwertig. Durch ein einfach verschiebbares Lager werden zwei Freiheitsgrade (z. B. Bewegungen in y- ood z-Richtoog) ooterdn1ckt Ein so gelagerter starrer Karper besitzt somit noch vier Freiheitsgrade der Bewegung.

8.3.1.3

Zweifarh verschiebbares Lager

Bei einem zweifach verschiebbaren Lager wird der Lagershihl auf der Unterlage so geflihrt, dass Bewegungen in der Ebene der Lagertlihrung, z. B. in x- und z-Richtoog, maglich sind, Bild 8-9a. b) (/=1

zweifach verschiebbarcs Lager (Verschiebung in x- und z-Richlung moglieh. z. B. Kugellagcrung) BUd 8-9 Zweifach verschiebbares Lager

a) Lagerung des raumlichen TragweIkes b) Freischnitt mit LagerreaktionskraftAy

162

8 Ratunliche Statik starrer K6rper

In diesem Fall wirkt lediglich die LagerreaktionskraftAy- Das Lager hat eine Auflagerbindung,

a= 1, ood ist somit statisch einwertig. Es wird also lediglich die Bewegoog in y-Richhmg unterdIiickt. Ein so gelagerter stalTer Karper besitzt noch flinfFreiheitsgrade cler Bewegung. 8.3.1.4

Einspannung

Eine Einspannung liegt vor, wenn ein Tragwerk fest verbooden ist mit einer Wand, clem Boden oder einem anderen stabilen Tragwerksteil. Das Lager Hisst weder eine Verschiebung noch eine Verdrehung des Tragwerkes Zll, Bild 8-10.

bJ

'J Tragwcrk

/

o

A,

)/ BUd 8-10 Lagenmgsart Einspanmmg a) lfagweIk ist eingespannt, eingeklemmt 000 eingeschweiBt b) Freisclmitt des Lagers mit den Lagerreaktionokriiften Ax> A y lllldA, lllld den LagerreaktionsmomentenMAx,MAy lllldMk:

1m allgemeinen Fall nimmt das Lager drei Lagerreaktionskrafte (Ax, A y ood AJ und drei Lagerrnomente (MAx, MAy und MAJ auf, Bild 8-lOb. Das Lager besitzt sechs Auflagerbindoogen und ist damit statisch sechswertig. Ein mit einer Einsparmung gelagertes Tragwerk besitzt keine Freiheitsgrade mehr, d. h. es giltj= o. Das Tragwerk ist somit statisch bestimmt und stabil gelagert.

8.3.1.5

Ubersicht

Eine Zusammenstellung der wesentlichen Lagerungsarten der raumlichen Statik ist in Bild 8-11 gezeigt. Neben den Lagerreaktionskraften undloder Momenten sind auch die Anzahl der Auflagerbindungen ood der Freiheitsgrade angegeben, die dem starren K6rper, der durch ein entsprechendes Lager gestOtzt ist, noch verbleiben (siehe auch Kapitel 8.3.2).

8.3 Ratunliehe Tragwerke

163

Lagenmgsart

Lagerreaktionen

a

f

Fcstlagcr

A7(A,

3

3

2

4

1

5

6

0

A Einrach vcrschiebbarcs Lager

"

Zwcirach vcrschiebbarcs Lager

~

. A,

A,~

r--7t:,11) f

MAx

Einspannung

~

Ax

MAy

BUd 8-11 Zusammenste!hmg von Lagerungsarten cler raumlichen statik a: Anzah! der Auflagerbincimgen, statische Wertigkeit f" Anzah! der verb!eibenden Freiheitsgrade eines starren K6rpers

8.3.2 Freiheitsgrade, stabile Lagerong ond statische Bestimmtheit Ein starrer, nieht gelagerter Karper, der sieh im Raum frei bewegen karill, besitzt insgesamt seehs Freiheitsgrade. Er kann in die X-, y- lllld z-Riehtung versehoben werden und er kann sieh urn die X-, y- lllld z-Aehse drehen. Die Bewegungsmagliehkeiten bestehen also im allgemeinen Fall aus drei Translationen, den Versehiebllllgen u x, u y lllld Uz, lllld drei Rotationen, den Drehllllgen ~ rpy, qt, Bild 8-12. 1st der Karper ge!agert, so ist er nieht mehr frei beweglieh. D. h. die Bewegungsmagliehkeiten werden dureh die Lagenmg des Karpers reduziert. In diesem Fall lassen sieh die Freiheitsgrade mit der Forme! (8.42) erreehnen. afl'S stellt darin die Sumrne der Auflagerbindungen eines ge!agerten Karpers dar. Die Auflagerbindungen a der Lagenmgsarten fUr raumliehe Tragwerke kannen Kapite! 8.3.1 entnomrnen werden.

164

8 Ratunliche Statik starrer K6rper

FOr j= 0 sind keine Starrkorperbewegoogen des Tragwerkes mehr moglich. Es ist damit statisch bestimmt und stabil gelagert Die insgesamt wirkenden sechs Auflagerreaktiooetl k6nnen mit den Methoden cler Statik, d. h. mit den sechs Gleichgewichtsbedingungen cler raumlichen Statik (siehe Kapitel 8.2), errnittelt werden. )'

.y

.,

"y

",

",

BUd 8-U

x

Bewegungsfreiheitsgrade eines starren K6rpers im Raum: 3 lfanslationen (Verschiebungen u" u y und u,) 3 Rotationen (Drehllllgen ¢lx. fA, 1fI:)

Bei den in den Bildem 8-1b ood 8-1c gezeigten Tragwerken der raumlichen Statik liegenjeweils Einsparuumgen mit Gges = a= 6 vor. Daher sind diese Tragwerke statisch bestimmt ood stabil gelagert: j = 6- 6 = O. Aber auch bei den nachfolgend beschriebenen Beispielen 8-2 und 8-3 liegen statisch bestimmte Lagerungen vor.

8.3.3 Ermittlung der Auflagerreaktionen Die reclmerische Bestimmung der Auflagerreaktionen von Raumtragwerken soli am Beispiel des eingesparmten Rahmens, Bild 8-13a, verdeutlicht werden. Der Rahmen liegt in einer x-zEbene ood ist am Rahmenende durch eine schrag in einer y-z-Ebene liegende Kraft Fbelastet ,j

bj

b

;:;;; #=-----------a

BUd 8-13 Ennittlung der Auflagerreaktiooen bei Problemen der Raumstatik a) EingespaIlllter Rahmen, der in der x-z-Ebene liegt Illld chirch die Einzelkraft Fin einer y-zEbene belastet ist b) Freisclmitt des Rahmens mit den LagerreaktionenA"A y undA, sowie MA:.f., MAy undMAz;

8.3 Riiumliche Tragwerke

165

1m Lager (Einsparmung) kbrmen bei einem allgemeinen Belastungsfall die Auflagerkrafte A" A y und A, sowie die Auflagermomente M A" MAy und M A, wirken, Bild 8-13b. Diese Lagerreaktionen erhalt man durch konsequente Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen der Riiumstatik:

4:

(8.43),

Ax =0

yt

Ay-F ·sina=O

=> A y =F ·sina

(8.44),

0

A z +F ·cosa=O

=> Az =-F ·cosa

(8.45),

-4,.:

MAY.+F ·sma· a=O

=>

MAY. =-F· a·sma

(8.46),

yf

MAy-F ·cosa b=O

=>

MAy=F·b ·cosa

(8.47),

.4

MAz-F ·sina·b=O

=>

MAz=F·b ·sma

(8.48).

Damit sind alle Auflagerreaktionen dieses Systems (siehe Bild 8-13b) bestimmt Weitere Anwendungen sind in den Beispielen 8-2 und 8-3 gezeigt

•••

Beispiel 8-2

/

/

/

/

Der nebenstehend skizzierte Couchtisch ist durch zwei Krafte F j und F 2 belastet Man bestirnrne

Jt---~-------

I

I

L I 31 a--Y4 1

a) die Auflagerreaktionen in A, B und C

I

SOWle

B

b) die Stabkrafte in den Staben 1 - 6. geg.: F j , F 2 , a, b, a; jJ

a

Lasung:

Freischnitt

y - - ..... - - - - - - -

I

I

I

I

x

c

166

8 Raumliche Statik starrer Kbrper

a) Auflagerreaktionen A, B und C

h:

Fe . a - F 2 . a = 0

=> _Fj-Fe F A2

b) Stabkrafte in den Staben 1 - 6

4:

S2· sina =0

yt

A

=>

Sj +FA +S2 ·cosa=O

S2 =0

=>

Sj =-FA

F2 -Fj 2

B

(I) (2)

c

aus (I) und (2) [algI

8.3.4 Ermittlung der Schnittgriillen raumlicher Tragwerke Bedingt durch die Belastung und/oder die Geometrie kbnnen bei raumlichen Tragwerken insgesamt sechs SchnittgrbJJen auftreten. Es sind odie N onnalkraft N, odie Querkraft Q ~ Qy, odie Querkraft Q" •

das Moment (Torsionsrnornent)Mx ,

o

das Moment (Biegemoment) My und

o

das Moment (Biegemoment) M

~ M,.

8.3 Ratunliche Tragwerke

167

...... M

BUd 8-14 SchnittgrOBen der raumlichen Statik am linken lllld am rechten Schnittufer einer Tragstruktur

N. Normalkraft, Q = Qi Querlcraft, G: Querkraft in z-Richtung Mx : Moment urn diex-Achse,My: Moment urn diey-Achse, M=Mx : Moment urn diez-Achse

Die inneren KrafteNood Q = Qy sowie das innere MomentM= M z sind bereits aus der ebenen Statik bekannt. 1m ratunlichen Fall komrnen noch die Querkraft Qz und die Momente M x ood A1y hinzu. Das MomentM". wirkt mm Beispiel bei einem Balken als Torsionsmoment, wahrend A1y ein weiteres Biegemoment darstellt. b)

tMAY ;:;?/

Schnill im Bereich I

j/r - -- -- -- -- ---. :/ /

MAx

••

A,

Ay

I

N

Mx

••

BUd 8-15 Ermittlllllg der SchnittgrOBen beim eingespannten Rahmen

a) b)

Lage der Schnitte bei clem vorliegenden Zweibereichs]Xobiem Freischnitt des abgesclmittenen linken Ralunenteils mit den SchnittgrOBen N, Qy> G, M" MyundMx

Die Errnittloog dieser Sdlllittgr6l3en erfolgt nach dem Freischnitt mit den sechs Gleichgewichtsbedingoogen der Ratunstatik. Dies soli am Beispiel des eingespannten Rahmens, Bild 8-13a, verdeutlicht werden. Es handelt sich hierbei tun ein Zweibereichsproblem, da die Rahmenecke eine Unstetigkeitsstelle im Schnittgrol3enverlauf darstellt, Bild 8-15a. 1m Bereich I wirken dann die folgenden Schnittgr6l3en, siehe Bild 8-15b:

..:4:

N+A x =0

mit Ax =0

(8.49),

168

8 Raurnliche Statik starrer Kbrper

Y.j.

Qy -A y =0

=>

Qy -A -F·sina y-

(8.50),

.cz:

Qz +Az

=0

=>

Qz =-Az =F'cosa

(8.51),

4:

M x +MA:x =0

y! ..4

=>

(8.52),

M x =-MA:x =F'a sma

My-MAy-A z 'x=O

=>

My

=M Ay +Az 'x=F .(b-x).cosa

(8.53),

Mz+MAz-A y 'x=O

=>

Mz

= -M Az + Ay ·x = -F· (b -x).sina

(8.54).

Beim Aufstellen der Momentengleichungen ist darauf zu achten, dass alle Momente urn die jeweiligen Achsen der Schnittflache berechnet werden. In gleicher Weise kbnnen auch die SchnittgrblJen in Bereich II ennittelt werden. Eine Anwendung zur SchnittgrblJenbestimmung ist in Beispiel 8-3 gezeigt.

•••

Beispiel 8-3 a

FUr das nebenstehende Rohrleitungssystem, das durch die Krafte F l und F 2 belastet ist, bestimme man

a

c=

a) die Auflagerreaktionen in A, B und C sowie b) die SchnittgrblJen enllang des Rohrsystem s. geg.: F l , F 2 , a, b

Lasung: y

Freischnitt:

x

z

a) Auflagerreaktionen in den Lagerungen A, B und C

4:

-By·b=O

yl

-Az·a+Cz 'a+F2 ·b =0

Zj{'

Ay·a-Cy·a=O

4:

Ax +F2 = 0

=>

=>

By =0

=>

(I) (2)

A y =Cy

Ax =-F2

(3) (4)

8.3 Riiumliche Tragwerke

169 (5)

Zl':

(6)

A =C =Fj y y 2

aus (I), (3) und (5) [algI aus (2) und (6) [algI

b) SchnittgrbJJen enllang des Rahrsystems Bereich 1:

0


Qz =-Cz =F2 - 2a

xII

b

~: M x =0

l

II

•

yi

My+C z -xII = 0

=>

My (XII = 0)= 0

My(XII =a)=F2 2

Cy I

ZjI': M z -Cy -xII =0 Mz(XII = 0)= 0

My =-Cz -xII b

=>

M z = Cy -xII

Mz(XII =a)=Fj-~ 2

170

8 Raumliche Statik starrer Karper

Bereich III: 0 <xm
1/

2 2 x _b -c +d.(b+2c)

3(b+c)

S -

_ h"(b+2')

Ys - 3(b+c)

oS x

h

2 Xs =-b 3

h

Ys = 3

,

A---,

1/\" b

Schicfwinkligcs Drcicck

b+c xs=-3

h

Ys = 3 x

Kreis

Y

Xs =Ys =0

S

Y

x

Halbkrcis

Xs = 0 (Symmetrieachse) Ys x BUd 9-8 Schwerpunkte einfacher FHichen

4

=-1

3"

184

9 Schwerpunkt

Aus Gleichung (9.45) geht auch hervor, dass das statische Moment beziiglich des Schwerpunktes (rs = 0) null is! Mit Gleichung (9.47) erhalt man das statische Moment beziiglich der x-Achse Sx

f

= y. d4

(9.55)

A

und mit Gleichung (9.46) das statische Moment bezuglich der y-Achse (9.56).

Sy=fx.d4 A

Die statischen Momente spielen neben der Schwerpunktsberechnung auch in der Festigkeitslehre eine Rolle. Dart haben auch die FHichemnomente 2. Ordnung, die FHichentragheitsmomente, eine groJ3e Bedeutung.

•••

Beispiel 9-3 t

h

FUr den skizzierten Querschnitt, bestehend aus einern scharf-

kantigen T-Stahl und einem U-Profil, bestimme man die Lage des Flachenschwerpunkts.

h

geg.:

h

~

40 mm, b

~

40 mm, t ~ 5 mm

y

tl

t

x

b

Lasung:

Einteilung der Profile in vier Teilflachen, (3) ist dabei die Flache h· b ·A i

YSi ·A i

[mm']

[mm']

[mm']

62,5

175

3500

10937,5

20

42,5

200

4000

8500

(3)

20

20

1600

32000

32000

(4)

22,5

20

-1050

-23625

-21000

925

15875

30437,5

XSi

YSi

Ai

[mm]

[mm]

(I)

20

(2)

v(l) ,(2) (3) y

1-----I

(4)

L...

_

L

x

17,2mm

32,9mm

XSi

185

10 Reibung Reibungserscheinungen spielen in cler gesarnten Technik sowie im taglichen Leben eine wichtige Rolle. Ohne Reibung ist z. B. keine kontrollierte Fortbewegung maglich. Beim Gehen

erlaubt uns die Haftreibung zwischen Schuhsohle und StraJJe die Fortbewegung. Sinkt die Haftreibung, z. B. bei Glatteis, so ist die kontrollierte Gehbewegung gefahrdet, man kann ausgleilen. Auch eine Autofahrt ist ohne Haftreibung nicht maglich. Dies bedeutet, dass zwischen dem Autoreifen und der StraJJe eine Haftreibungskraft wirkt, die eine Fahrt erst zulasst Auch bei Kurvenfahrten hat die Reibung eine herausragende Bedeutung. 1st die Haftreibung zu gering, beginnt das Fahrzeug zu gleiten und wird z. B. aus der Kurve getragen. Letzteres wird besonders bei Autorennen deutlich. AIle Brernsvorgange mit rnechanischen Brernsen basieren auf Reibungsvorgangen. Dabei

werden z. B. Rader oder rotierende Scheiben durch Reibung abgebremst D. h. eine der Bewegung entgegengerichtete Gleitreibungskraft sorgt fUr die Bremsverzagerung. Reibung ist in vielen Bereichen in Natur und Technik eine Notwendigkeit Reibung kann aber auch ungiinstige Wirkungen haben. So vennindert Reibung in Motoren, in Getrieben und in Wellenlagem die Leistung der Maschinen und fuhrt zu erhbhtem VerschleiJJ. Urn diese negativen Erscheinungen zu verrnindem, wird die Reibung bzw. die cler Bewegung entgegenwirken-

de Gleitreibungskraft unter Umstanden durch Schmiermittel herabgesetzt. Bei der Beruhrung von zwei festen Karpem kann also Haftreibung oder Gleitreibung vorliegen. Die Haftkrafte und die Gleitreibungskrafle wirken in den Beruhrflachen.

10.1 Grundlagen der Festkorperreibung Die Grundlagen fUr die zuvor beschriebenen Reibungserscheinungen sollen anhand eines einfachen Kbrpers, cler sich auf einer rauen Unterlage befindet, verdeutlicht werden.

Liegt der Karper, Bild IO-Ia, ruhig auf der Unterlage, so wirkt als auJJere Kraft die Gewichtskraft G. In der Beruhrflache zwischen Karper und Unterlage tritt demzufolge lediglich eine Nonnalkraft N auf, Bild 10-1 b. Diese wirkt, wie der Name schon sagt, nonnal (senkrecht) zur Beruhrflache und entsprechend dem Wechselwirkungsgesetz (siehe Kapitel 2.3.3) sowohl auf den Karper als auch auf die Beruhrflache. Beim Freischmtt des ruhenden Karpers, Bild IO-Ib, ist die von der Unlerlage auf den Karper ausgeuble Nonnalkraft N eingezeichnet Diese ist mit der Gewichtskraft G im Gleichgewicht:

1'.

N-G=O

N=G

(10.1).

Der Betrag der Nonnalkraft entspricht dem Betrag der Gewichtskraft, Gleichung (10.1). Da tangential zur Beruhrflache keine Krafte wirken, ist der Karper insgesamt im Gleichgewicht, er befindet sich in Ruhe, d. h. er bewegt sich nicht Auch wenn eine horizontale auJJere Kraft F auf den Karper wirkt, Bild IO-Ic, bleibt der Karper bis zu einer Grenzkraft in Ruhe. In diesem Fall wird infolge der Oberflachemauigkeiten zwischen Karper und Unterlage eine tangentiale Kraft R H ubertragen, welche die Bewegung

186

10 Reibung

verhindert Die so genannte Haftreiboogskraft RH tritt stets in solcher GrOl3e ood Richtoog auf, class Gleichgewicht herrscht. Es handelt sich also, wie z. B. bei einem Auflager, lUll eine Reaktionskraft. ,)

d)

,)

b)

BcwcgungsriChlung ----..

~ R~ tN F

N

•

H R

tN

-. (I

BUd 10-1 K6rper auf ciner rauen Unterlage a) Karper der Masse m liegt auf der Unterlage b) Freisclmitt des mhenden Karpers mit der Gewichtskraft G und der N onnalkraft N

c) ObwoW eine horizontale Kraft FwiIkt, befindet sich cler Karper in Rube. Neben der Gewichtskraft G und der N onnalkraft Nwirlct noch die Haftreibllllgskraft RH d) Die horizontal wiIkende Kraft F versetzt den Karper in Bewegung. Nllll wirkt die Gleitreibungskraft Ro cler Bewegung entgegen

Mit den Gleichgewichtsbedingungen erhfilt man fUr diese Sihiation (Bild IO-Ie):

N=G

(10.2), (10.3).

Die Haftreibungskraft R H (L T. auch Haftkraft oder Hafumgskraft genarmt) ist somit genausa grol3 wie die tangential mr BerOhrlHiche wirkende Kraft F. Da Gleichgewicht in x- ood yRichtoog herrscht, bleibt der Karper in Ruhe. Wirkt eine gral3ere horizontale Kraft F oder liegt eine verrninderte Reiboog zwischen K6rper und Unterlage vor, bewegt sich der K6rper in Richhmg von F, Bild lO-ld. Der Karper befindet sich also nicht mehr im Gleichgewicht. Es entsteht eine beschleooigte Bewegung mit der Beschleooigoog a. Infolge der OberlHichenrauigkeit wirkt darm eine horizontale Kraft R G, welche die Bewegung erschwert Diese Gleitreiboogskraft wirkt stets entgegengesetzt mr Bewegoogsrichhmg. Sie ist somit eine Widerstandskraft, die von den Werkstoffpaanmgen und der OberlHichenbeschaffenheit abhangt. Bei dem in Bild lO-ld dargestellten Bewegungsvorgang ist F > R G. Gnmdsatzlich ist somit zwischen Haftreibung (Haftoog) und Gleitreiboog m unterscheiden.

10,2 Haftreibung Wie zu Begirm dieses Kapitels beschrieben, ist Haftreibung von grol3er Bedeuhmg fUr zahlreiche Vorgange in Natur ood Technik. Ein Karper haftet aber nicht oobegrenzt auf einer Unterlage oder einem anderen K6rper. Es existiert fUr aile Kontaktpaarungen eine Grenzhafumgsoder eine Grenzhaftreibungssihiation.

187

10.2 Haftreibung

Haftreiboog ood damit eine Gleichgewichtssituation (siehe KapitellO.1) liegt nur solange vor, bis die HaftreibungskraftRH die GrenzhaftoogskraftR Hmax erreicht, d. h. solange (lOA)

ist. Die Grenzhaftoogskraft R HllllX ist der Nonnalkraft N und dem Haftreibungskoeffizienten f1H proportional. Es gilt das so genarmte COULO:MBsche Gesetz (10.5). Der Haftreibungskoeffizient f1H hfulgt von der Werkstoffpaanmg der in Kontakt befindlichen Karper ood von der ObeIiHichenrauigkeit der sich ben1hrenden Flachen abo Werte fUr f1H sind in Bild 10-2 angegeben.

~;:r I'H

~ of

H

R

tN

RH=F R Hmax = fiH ·N

Kontaktpaamng

/lH

Stahl auf Stabl

0,2... 0,3

Holz aufHolz

0,5

Autoreifen aufStralle Stahl aufEis

0,7.. 0,9 0,03

Ski aufSdlllee

0,1...0,3

BUd 10-2 Haftreibung und Haftreibungskoeffizienten

Aus den Gleichungen (10.4) ood (10.5) ergibt sich somit die Haftbedingoog

IR

H 8 1 und fiG der Gleitreibungskoefflzient ist Umgekehrt lasst sich 8 1 mit der Formel 8 = 8 . e -PG-a 1 2

berechnen.

(10.42)

200

11 Klausuraufgaben Die Technische Mechanik ist nicht allein durch das Lesen eines Buches erlembar. Die folgen-

den Aufgaben sallen deshalb den Leser dam etmuntem, selbstsUindig Fragestelloogen ood Probleme der Statik m Jasen und sich so auf anstehende Klausuren vormbereiten. Zur Kontrolle cler eigenen Rechnungen sind die Ergebnisse in Kapitel 11.2 aufgeflihrt. Neben diesen Klausuraufgaben stellen auch die mit *** gekermzeichneten Beispiele der vorangegangenen Kapitel klausurrelevante Fragestellungen dar.

11.1 Aufgabenstellungen Aufgabe 1 F

d

Ein Papierhefter ist, wie skizziert, aufgebaut. Bestimmen Sie fUr den Fall, dass am Hebel eine Kraft F eingeleitet wird, die Heftkraft F H im Pookt H, sowie die Gelenkkrfifte in C ood D.

c·

geg.:

I:

.1

F=2ooN,I=300mm,a=200mm, b=20mm,c=50mm,d=150mm, a=30°

.1

Aufgabe 2 Eine Lokomotive mit den gegebenen Achslasten F j bis F s wird auf einer Drehscheibe so aufgestellt, class die resultierende Last auf dem Drehzapfen cler Scheibe in der Mitte ruht. Errnitteln Sie zeiclmerisch den Abstand x

zwischen Zapfenmitte ood hinterer Achse. geg.:

F j = 150 kN, F 2 = 100 kN, F 3 = 100 kN, F 4 = 70kN, F s = 50 kN, a= 2,3 m, b = 2,7 m, c = 2,0 m, d= 1,5 m

x

..

11.1 Aufgabenstelloogen

201

Aufgabe 3

[],

30

4b

a2a

C

b

Il

_[)o _

2b E

G

"

@

b

H

A

0

b

d

F M K b

,

Die Bewegung der dargestellten Baggerschaufel wird durch die drei Zylinder BE, CD und III gesteuert Das Gewicht der mit Schutt geflillten Schaufel ist durch eine Ersatzkraft F in Punkt M gegeben. Die Zylinder und die Bauteile des Auslegers werden als starr ood masselos angenommen. Beredlllen Sie die notwendigen Krafte in den Zylindem, damit die Schaufel in der dargestellten Lage verbleibt. geg.: F= 10kN, a = 0,1 m,b = 0,25m, c = D,4m, d= 1,5 m

Aufgabe 4 Die dargestellte Tragkonstruktion ist durch die Kraft F ood die Streckenlast q belastet Man bestimme a) die Auflagerkrafte bei A ood B ood b) dieSchnittgr6l3enflirO<x